1
대푯값과 산포도
1 대푯값
개념 확인
1 ⑴ 8 ⑵ 17.5
2 ⑴ 중앙값：5.5, 최빈값：5
⑵ 중앙값：21, 최빈값은 없다.
3 ⑴ 23분 ⑵ 25분 ⑶ 15분
step 1
기초 개념 드릴
1-1 ⑴ 5 ⑵ 7.5 ⑶ 4 연구 ;2N;
1-2 ⑴ 4 ⑵ 7 ⑶ 8.5
2-1 ⑴ 7 ⑵ 6, 9 ⑶ 없다.
2-2 피자
3-1 중앙값：7시간, 최빈값：7시간
3-2 중앙값：150회, 최빈값：130회
2 산포도
개념 확인
1 ㉠ 0 ㉡ 1 ㉢ 0
x=-2, 표준편차：
'
2점
2
3
16쪽 ~ 18쪽
8쪽 ~ 10쪽
기록 (회) 도수 (명) (계급값)_(도수) 편차 (회)
(편차)Û
`
15_4=60 -11 (-11)Û
_(도수)
_4=484
10이상~20미만
20 ~30
30 ~40
40 ~50
25_2=50 -1
35_3=105
45_1=45
9
19
4
2
3
1
합계
10
260
⑴ 26회 ⑵ 109 ⑶
'Ä
109회
`
(-1)Û
_2=2
`
_3=243
_1=361
9Û
`
19Û
`
1090
step 1
기초 개념 드릴
19쪽
11쪽
1-1 -3 연구 0
1-2 -2
2-1
6회 연구 분산
'
2-2 x=-1, 표준편차：
'
2점
3-1
동호회 수 (개) 도수 (명) (계급값)_(도수) 편차 (개)
(편차) Û`_(도수)
0이상~ 2미만
2 ~ 4
4 ~ 6
6 ~ 8
8 ~10
합계
9
12
11
6
2
40
1_9=9
3_12=36
5_11=55
7_6=42
9_2=18
160
-3
-1
(-3)Û`_9=81
(-1)Û`_12=12
1
3
5
1Û`_11=11
3Û`_6=54
5Û`_2=50
208
,
step 2
대표 유형으로 개념 잡기
20쪽 ~ 23쪽
3-2
'Ä
5.2개
'Ä
170점
1-2 70점
2-3
3회
'
3-3 2
7-2
4.6초
'¶
5-2 평균：26, 표준편차：10 6-2
3시간
2-2 8
7초
3-2
'
4-2 70
'
8-2 ②
step 2
대표 유형으로 개념 잡기
12쪽 ~ 13쪽
1-2 평균：940시간, 중앙값：1045시간, 최빈값：1000시간
2-2 ⑤
`
4-2 중앙값：10
ùC, 최빈값：14
ùC
3-2 6
`
step 3
개념 뛰어넘기
14쪽 ~ 15쪽
01 7시간
02 12
03 ③
04 봄
05 중앙값：255
`
06 중앙값：82.5
08 9
mm, 최빈값：260
mm
%, 최빈값：84
`
09 6.5
`
%
`
10 15
07 ③
11 ⑤
12 평균：27분, 중앙값：30분, 최빈값：20분
step 3
개념 뛰어넘기
24쪽 ~ 25쪽
01 63점
05 ④
6시간
08
'
12 ②, ③
02
'¶
06 290
`
18.5
cm 03 ⑤
04 2
07 평균：3, 표준편차：5
09 ③
10 3.4
11 원재
빠른 정답 1
빠른 정답Answer&Explanation 2
피타고라스 정리
1 피타고라스 정리
개념 확인
1 ⑴
'¶
41 ⑵ 6 ⑶ 12
step 1
기초 개념 드릴
1-1 ⑴ 2
2-1 ⑴
'
34 ⑵ 6
'¶
5 ⑵ 3
2
'
3-1 12 연구 x+3
1-2 ⑴ 4
2 ⑵ 4
5
'
2-2 ⑴ 4
2 ⑵
'
'
'
7
3-2 6
step 2
대표 유형으로 개념 잡기
30쪽 ~ 31쪽
1-2 x=8, y=17
1-3 x=8, y=
41
3-2 ⑴ 3
'¶
2 ⑵
'
5
'
2-2 2
cm
4-2 9
cm
`
`
step 3
개념 뛰어넘기
01
'¶
05 2
21
cmÛ
`
13
02 15
`
06 3
cm
09
cm
10 3
cm
'¶
31
'¶
`
`
`
03 4
5
07 2
2
11 8
3
'
'
'
04 ③
08 ④
12 16
3
cmÛ
'
`
`
2 피타고라스 정리의 설명
개념 확인
34쪽 ~ 36쪽
1 ⑴ 24
cmÛ
⑵ 16
`
cmÛ
`
2 ⑴ 정사각형 ⑵
`
'¶
cm ⑶ 49
3 ⑴ 15
cm ⑵ 7
`
cm ⑶ 29
`
29
cmÛ
`
`
4 ㈎ a+b ㈏ ;2!;
`
cÛ
㈐ aÛ
`
`
+bÛ
`
`
cmÛ
`
`
2 빠른 정답
28쪽
29쪽
step 1
기초 개념 드릴
37쪽
1-1 ⑴ 34 ⑵ 12
1-2 ⑴ 64 ⑵ 75
5 ⑵ 20
2-1 ⑴ 2
'
3-1 ⑴ 4 ⑵ 16
2-2 ⑴ 2
10 ⑵ 40
'¶
3-2 ⑴ 6 ⑵ 2 ⑶ 4
step 2
대표 유형으로 개념 잡기
38쪽 ~ 39쪽
cmÛ
1-2 28
`
3-2 (100-50
`
3)
cmÛ
'
`
`
2-2 80
cmÛ
4-2 98
cmÛ
`
`
`
`
step 3
개념 뛰어넘기
40쪽
01 24
02 ④
05 36-10
11
'¶
03 100
06 2
'¶
`
cmÛ
04 24
`
cm
`
10
`
cm
3 피타고라스 정리를 이용한 성질 ⑴
개념 확인
41쪽 ~ 43쪽
1 ⑴ × ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ◯ ⑸ ◯ ⑹ ×
32쪽 ~33쪽
2
50)
`
=9
`
`
xÛ
따라서 ADÓ의 길이는 3
cm이다.
`
11 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D
8
D
…… [ 40
% ]
에서 BCÓ에 내린 수선의 발을
`
`
H라 하면
BHÓ=ADÓ=8이므로
…… [ 60
% ]
HCÓ=12-8=4 …… [ 30
% ]
`
A
B
8
C
H
12
2. 피타고라스 정리 19
정답과 해설Ã
△DHC에서
-4Û
DHÓ=
8Û
`
"Ã
ABÓ=DHÓ=4
`
△ABC에서
ACÓ=
12Û
=
48=4
'¶
3이므로
3
'
'
"Ã
`
+(4
3)Û
=
192=8
'
`
'¶
3
'
…… [ 40
% ]
12 오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓
A
6 cm
D
점 A, D에서 BCÓ에 내린 수
4 cm
선의 발을 각각 E, F라 하면
4 cm
F
C
B
E
10 cm
BEÓ=CFÓ
=
_(10-6)=2
(cm)
;2!;
`
△ABE에서
-2Û
AEÓ=
4Û
"Ã
`
=
12=2
3
(cm)
`
'¶
'
`
∴ ABCD=
_(6+10)_2
3=16
'
3
'
`
(cmÛ
)
`
;2!;
2 피타고라스 정리의 설명
개념 확인
1. ⑴ 24
cmÛ
⑵ 16
`
cmÛ
`
29
`
cm ⑶ 29
2. ⑴ 정사각형 ⑵
`
'¶
cm ⑶ 49
cm ⑵ 7
3. ⑴ 15
`
cmÛ
`
`
cmÛ
`
`
`
`
4. ㈎ a+b ㈏
cÛ
㈐ aÛ
`
+bÛ
`
`
;2!;
1 ⑴ BFGC=16+8=24
`
⑵ DEBA=52-36=16
(cmÛ
)
`
(cmÛ
`
)
`
2 ⑴ △AEH ª△BFE ª△CGF ª△DHG (SAS 합동)
이므로 HEÓ=EFÓ=FGÓ=GHÓ
∠ HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90ù
따라서 EFGH는 정사각형이다.
⑵ △AEH에서
+2Û
EHÓ=
5Û
"Ã
`
=
29
(cm)
`
'¶
`
⑶ EFGH는 한 변의 길이가 EHÓ인 정사각형이므로
EFGH=EHÓ Û
=29
(cmÛ
29)Û
)
`=(
'¶
`
`
`
3 ⑴ △ABC에서
ACÓ=
17Û
"Ã
`
⑵ AHÓ=BCÓ=8
-8Û
=
225=15
(cm)
`
'¶
cm이므로
`
`
`
HCÓ=ACÓ-AHÓ=15-8=7
(cm)
⑶ CFGH는 한 변의 길이가 HCÓ인 정사각형이므로
CFGH=HCÓ Û
=49
(cmÛ
)
`=7Û
`
`
`
20 정답과 해설
…… [ 30
% ]
step 1
`
`
1-1. ⑴ 34 ⑵ 12
1-2. ⑴ 64 ⑵ 75
5 ⑵ 20
2-1. ⑴ 2
'
3-1. ⑴ 4 ⑵ 16
2-2. ⑴ 2
10 ⑵ 40
'¶
3-2. ⑴ 6 ⑵ 2 ⑶ 4
37쪽
34쪽 ~36쪽
3-1 ⑴ BQÓ=CRÓ=3이므로
QRÓ=BRÓ-BQÓ=7-3=4
1-1 ⑴ BFGC=5Û
⑵ ACHI=4Û
+3Û
`
-2Û
=34
`
=12
`
`
1-2 ⑴ JKGC=ACHI=8Û
=64
⑵ BFKJ=ADEB=10Û
-5Û
=75
`
`
`
2-1 ⑴ △ABC에서
+4Û
ABÓ=
2Û
"Ã
`
=
20=2
5
`
'¶
'
⑵ AGHB는 한 변의 길이가 ABÓ인 정사각형이므로
AGHB=ABÓ Û
=20
5)Û
`=(2
'
`
2-2 ⑴ △GFC에서
+6Û
GFÓ=
2Û
"Ã
`
=
40=2
10
`
'¶
'¶
⑵ EFGH는 한 변의 길이가 GFÓ인 정사각형이므로
EFGH=GFÓ Û
=40
10)Û
`=(2
'¶
`
⑵ PQRS는 한 변의 길이가 QRÓ인 정사각형이므로
PQRS=QRÓ Û
=16
`=4Û
`
3-2 ⑴ △ABC에서
-8Û
BCÓ=
10Û
"Ã
`
=
36=6
`
'¶
⑵ AHÓ=BCÓ=6이므로
HCÓ=ACÓ-AHÓ=8-6=2
⑶ HCFG는 한 변의 길이가 HCÓ인 정사각형이므로
HCFG=HCÓ Û
=4
`=2Û
`
step 2
1-2. 28
cmÛ
`
3-2. (100-50
`
3)
cmÛ
`
`
'
2-2. 80
cmÛ
4-2. 98
cmÛ
`
`
`
`
38쪽 ~39쪽
1-2 △ABC에서
-5Û
ACÓ =
9Û
"Ã
`
=
56=2
14
(cm)
`
'¶
'¶
`
오른쪽 그림과 같이 ICÓ를 그으면
H
△IAB=△IAC
=
ACHI
;2!;
;2!;
=
_(2
14)Û`
'¶
`
=28
(cmÛ
)
`
I
A
D
C
5 cm
F
9 cm
G
B
E
(cm)이므로
2-2 AHÓ=12-8=4
△AEH에서
+8Û
EHÓ=
=
`
4Û
"Ã
80=4
5
(cm)
`
`
'
△AEH ª△BFE ª△CGF ª△DHG ( SAS 합동)
이므로 EFGH는 정사각형이다.
'¶
`
∴ EFGH=(4
5)Û
=80
(cmÛ
)
'
`
`
`
3-2 △ABE에서 ABÓ=ADÓ=10
3
-5Û
AEÓ=
75=5
=
10Û
`
(cm)
cm이므로
"Ã
AHÓ=BEÓ=5
`
`
'¶
cm이므로
'
`
`
HEÓ=AEÓ-AHÓ=5
3-5
(cm)
'
△ABE ª△BCF ª△CDG ª△DAH이므로
EFGH는 정사각형이다.
`
∴ EFGH =(5
3-5)Û
'
=100-50
`
3
(cmÛ
)
`
'
`
4-2 △ABE ª△ECD이므로 AEÓ=EDÓ
이때 ∠AEB+∠DEC=∠AEB+∠EAB=90ù이므로
∠AED=180ù-90ù=90ù
즉 △AED는 ∠AED=90ù인 직각이등변삼각형이다.
이때 △AED=58
이므로
`
cmÛ
`
_AEÓ_EDÓ=58, AEÓ Û`=116 (∵ AEÓ=EDÓ)
;2!;
29
(cm)
`
∴ AEÓ=2
'¶
△ABE에서
BEÓ=
(2
29)Û
-4Û
=
100=10
(cm)
"Ã
ECÓ=ABÓ=4
'¶
`
`
`
'¶
cm, CDÓ=BEÓ=10
cm이므로
`
ABCD=
_(4+10)_14
`
;2!;
=98
(cmÛ
)
`
`
step 3
01. 24
05. 36-10
11
'¶
02. ④
03. 100
cmÛ
04. 24
`
cm
`
10
`
cm
06. 2
'¶
`
40쪽
01 △ABC에서
-4Û
ABÓ=
8Û
"Ã
∴ △JFK=
`
=
48=4
3
`
'¶
'
BFKJ
;2!;
;2!;
;2!;
=
ADEB
=
_(4
3)Û
=24
'
`
02 ① △EBC와 △ABF에서
EBÓ=ABÓ, BCÓ=BFÓ, ∠EBC=∠ABF
∴ △EBC ª△ABF ( SAS 합동)
②, ③ EBÓ∥DCÓ이므로 △EBA=△EBC
△EBC ª△ABF이므로 △EBC=△ABF
BFÓ∥AKÓ이므로 △ABF=△BFJ
∴ △EBA=△BFJ
④ △AEC와 △JFK의 넓이가 같은지는 알 수 없다.
⑤ ADEB =2△EBA=2△EBC
=2△ABF=2△BFJ
=2△JFK
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
03 △AEH ª△BFE ª△CGF ª△DHG ( SAS 합동)
이므로 HEÓ=EFÓ=FGÓ=GHÓ
또 ∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90ù이므로
EFGH는 정사각형이다.
…… [ 30
% ]
이때 EFGH=52
cmÛ
`
이므로
`
EHÓ=
52=2
13
(cm) (∵ EHÓ>0)
…… [ 20
% ]
'¶
'¶
`
△AEH에서
AHÓ=
(2
13)Û
-4Û
=
36=6
(cm)
"Ã
'¶
`
`
'¶
`
…… [ 20
% ]
따라서 ADÓ=AHÓ+HDÓ=6+4=10
(cm)이므로
`
…… [ 30
% ]
ABCD=10Û
=100
(cmÛ
)
`
`
`
`
`
`
`
04 △AEH ª△BFE ª△CGF ª△DHG ( SAS 합동)
이므로 EFGH는 정사각형이다.
AEÓ=x
EHÓ=
cm라 하면 △AEH에서
`
2x
+xÛ
xÛ
(cm)
=
"Ã
`
EFGH의 둘레의 길이가 12
'
`
`
4_
2x=12
2
∴ x=3
'
'
따라서 ABÓ=2_3=6
(cm)이므로
`
ABCD의 둘레의 길이는
4ABÓ=4_6=24
(cm)
`
2
cm이므로
'
`
05 △ABE에서
-(
AEÓ=
6Û
"Ã
AHÓ=BEÓ=
`
25=5
11)Û
=
'¶
'¶
`
11이므로
'¶
HEÓ=AEÓ-AHÓ=5-
11
'¶
△ABE ª△BCF ª△CDG ª△DAH이므로
EFGH는 정사각형이다.
∴ EFGH =(5-
11)Û
'¶
=36-10
`
11
'¶
2. 피타고라스 정리 21
정답과 해설 06 △ABE ª△ECD이므로
BEÓ=CDÓ=4
cm, ECÓ=ABÓ=2
`
cm
`
△ABE에서
+4Û
AEÓ=
2Û
'¶
`
"Ã
∴ EDÓ=AEÓ=2
=
`
20=2
5
(cm)
'
`
5
cm
'
`
이때 ∠AEB+∠DEC=∠AEB+∠EAB=90ù이므로
∠AED=180ù-90ù=90ù
즉 △AED는 ∠AED=90ù인 직각이등변삼각형이므로
ADÓ =
+(2
(2
5)Û
5)Û
"Ã
`
'
40=2
10
`
'¶
'
`
(cm)
=
'¶
다른 풀이
△ABE ª△ECD이므로
BEÓ=CDÓ=4
`
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A
cm, ECÓ=ABÓ=2
`
cm
에서 CDÓ에 내린 수선의 발을
H라 하면
DHÓ=4-2=2
(cm)
`
△AHD에서
+2Û
ADÓ=
6Û
"Ã
`
=
40=2
10
(cm)
`
'¶
'¶
`
D
H
4 cm
A
2 cm
B
4 cm
E
2 cm
C
3 피타고라스 정리를 이용한 성질 ⑴
41쪽 ~43쪽
개념 확인
2. 590ù이므로
`
xÛ
+4Û
>3Û
, xÛ
`
∴ x>5 (∵ x>0)
>25
`
`
㉠, ㉡에서 구하는 x의 값의 범위는
52Û
+3Û
이므로 둔각삼각형이다.
`
`
`
⑵ 7Û
`
⑶ 10Û
<4Û
+6Û
`
=6Û
`
+8Û
`
`
`
`
`
`
이므로 예각삼각형이다.
이므로 직각삼각형이다.
⑷ 11Û
>7Û
+8Û
이므로 둔각삼각형이다.
step 1
1-1. 1, 3, 2,
'
1-2. 3, 9, 3, 3
5, 1,
'
5 연구 차, 합
5, 3
5, 9
'
'
2-1. ⑴ ㉡, ㉤ ⑵ ㉣, ㉥ ⑶ ㉠, ㉢
44쪽
연구 ⑴ 예각삼각형 ⑵ 직각삼각형 ⑶ 둔각삼각형
2-2. ⑴ ㉣, ㉤ ⑵ ㉢, ㉥ ⑶ ㉠, ㉡
2-1 ㉠ 8Û
>5Û
+6Û
이므로 둔각삼각형이다.
`
㉡ 12Û
`
<7Û
`
+10Û
㉢ 4Û
`
>(
`
7)Û
`
+2Û
'
`
이므로 예각삼각형이다.
이므로 둔각삼각형이다.
`
`
`
`
`
㉣ 3Û
㉤ 4Û
=(
'
<(2
3)Û
+(
`
2)Û
'
+(
6)Û
이므로 직각삼각형이다.
`
10)Û
이므로 예각삼각형이다.
㉥ 5Û
=(2
3)Û
+(
13)Û
이므로 직각삼각형이다.
'
'
`
`
'¶
'¶
`
`
2-2 ㉠ 9Û
이므로 둔각삼각형이다.
㉡
이므로 둔각삼각형이다.
`
10Û
㉢ (
㉣ 5Û
㉤ (
'¶
㉥ (3
>3Û
+7Û
`
>4Û
`
41)Û
`
+8Û
`
=4Û
'¶
`
<(3
`
35)Û
`
2)Û
'
<5Û
`
6)Û
`
=(3
'
`
`
+5Û
`
+3Û
이므로 직각삼각형이다.
이므로 예각삼각형이다.
`
`
+(2
3)Û
이므로 예각삼각형이다.
`
'
+6Û
이므로 직각삼각형이다.
`
2)Û
'
`
45쪽 ~46쪽
2-2. 6
3-2. 52
직각삼각형이 되려면
(a+4)Û
=aÛ
+(a+2)Û
`
+8a+16=aÛ
`
aÛ
`
+aÛ
+4a+4
`
`
aÛ
-4a-12=0, (a-6)(a+2)=0
`
`
∴ a=6 (∵ a>2)
2-3 Ú 가장 긴 변의 길이가 a일 때
aÛ
=2Û
+5Û
=29
`
`
Û 가장 긴 변의 길이가 5일 때
`
∴ a=
'¶
29 (∵ a>0)
`
5Û
+2Û
=aÛ
, aÛ
`
Ú, Û에서 구하는 a의 값은
'¶
=21
`
`
21,
'¶
'¶
29이다.
∴ a=
21 (∵ a>0)
3-2 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여
5-35이므로 50)
㉠, ㉡에서 구하는 x의 값의 범위는 52Û
+5Û
이므로 둔각삼각형이다.
㉢ 7Û
>4Û
+5Û
이므로 둔각삼각형이다.
㉣ 4Û
=3Û
㉤ 8Û
`
㉥ (2
<5Û
`
3)Û
`
'
+(
'
+(5
=2Û
`
7)Û
이므로 직각삼각형이다.
`
2)Û
이므로 예각삼각형이다.
'
`
+(2
2)Û
이므로 직각삼각형이다.
`
'
따라서 예각삼각형인 것은 ㉠, ㉤이다.
step 3
01. ⑤
05. ④
02. 4
06. ②
47쪽
03. '¶
161, 17 04. 3개
이므로 직각삼각형이 아니다.
이므로 직각삼각형이 아니다.
16이므로
'
7, 4,
'¶
21 중 가장 긴 변의 길이는
'¶
21
+5Û
+7Û
`
+5Û
`
+10Û
`
`
② 8Û
`
③ 12Û
`
④ 4=
'¶
이다.
'¶
'
2
'
(2
2=
'
2, 4, 2
'
=(2
6)Û
(
21)Û
+(
7)Û
`
'
8, 4=
`
+4Û
이므로 직각삼각형이 아니다.
`
16, 2
24이므로
6=
⑤ 2
'¶
'
'¶
6 중 가장 긴 변의 길이는 2
6이다.
'
'
'
따라서 직각삼각형인 것은 ⑤이다.
`
`
2)Û
+4Û
이므로 직각삼각형이다.
`
02 x+1이 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되기 위한 조건
에 의하여
x+1<(x-1)+x
∴ x>2
직각삼각형이 되려면
(x+1)Û
=(x-1)Û
+xÛ
`
+2x+1=xÛ
xÛ
`
`
-2x+1+xÛ
`
`
xÛ
-4x=0, x(x-4)=0
`
`
∴ x=4 (∵ x>2)
03 Ú 가장 긴 변의 길이가 a일 때
aÛ
`
=8Û
+15Û
=289
`
`
∴ a=17 (∵ a>0)
Û 가장 긴 변의 길이가 15일 때
15Û
=8Û
`
∴ a=
`
=161
+aÛ
, aÛ
`
`
161 (∵ a>0)
'¶
Ú, Û에서 구하는 a의 값은
'¶
…… [ 40
% ]
`
`
`
…… [ 40
% ]
161, 17이다. …… [ 20
% ]
yy ㉡
04 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여
8-58이므로 85Û
`
`
∴ x>
'¶
+8Û
, xÛ
>89
`
`
89 (∵ x>0)
'¶
3개이다.
㉠, ㉡에서
892Û
>1Û
`
+(
`
`
10)Û
'
=2Û
`
'¶
`
39)Û
'¶
>4Û
<3Û
`
+7Û
`
`
② 3Û
③ (
④ (
⑤ 9Û
`
2)Û
+3Û
이므로 둔각삼각형이다.
`
이므로 둔각삼각형이다.
`
+(
이므로 직각삼각형이다.
`
'
이므로 예각삼각형이다.
+6Û
6)Û
`
`
`
이므로 둔각삼각형이다.
따라서 예각삼각형인 것은 ④이다.
4-2 ㉠ 2Û
<1Û
+2Û
이므로 예각삼각형이다.
한편 x가 가장 긴 변의 길이이고 둔각삼각형이므로
01 ① 4=
3,
16이므로
'
'¶
10)Û
+(
3)Û
'¶
+(
'
`
'¶
`
4Û
`
10, 4 중 가장 긴 변의 길이는 4이다.
이므로 직각삼각형이 아니다.
0)
=8_2=16
`
=2_(2+8)=20
=4_(4+9)=52
`
=4_9=36
yÛ
`
⑵ xÛ
yÛ
`
∴ y=2
'
∴ x=2
'¶
5 (∵ y>0)
13 (∵ x>0)
∴ y=6 (∵ y>0)
2
4Û
+8Û
=6Û
`
`
`
80=36+xÛ
+xÛ
이므로
`
, xÛ
`
=44
`
11 (∵ x>0)
∴ x=2
'¶
3 ⑴ 3Û
+5Û
=4Û
`
`
`
34=16+xÛ
+xÛ
이므로
`
, xÛ
`
=18
`
2 (∵ x>0)
+xÛ
이므로
`
=20
`
, xÛ
`
5 (∵ x>0)
∴ x=3
'
=3Û
⑵ 2Û
+5Û
`
`
`
29=9+xÛ
∴ x=2
'
4 ⑴ (색칠한 부분의 넓이)=10+20=30
(cmÛ
)
⑵ (색칠한 부분의 넓이)=30+18=48
(cmÛ
)
`
`
`
`
⑵ 9 연구 BEÓ
1-2. ⑴
⑵ 2
19
'¶
step 1
3
1-1. ⑴
3
'
2
4
5
'
3
2-1. ⑴ 2
'
3-1. ⑴ 7p
`
3-2. ⑴ 72p
6 ⑵
10
'¶
2-2. ⑴ 2
21 ⑵ 3
2
'¶
'
cmÛ
⑵ 20
`
cmÛ
`
⑵ 60
`
`
`
cmÛ
연구 S£
`
cmÛ
`
1-1 ⑴ △ABC에서
3)Û
BCÓ=
(3
"Ã
'
`
+3Û
=
36=6
`
'¶
이때 ABÓ_ACÓ=ADÓ_BCÓ이므로
3
3_3=x_6, 6x=9
3
'
'
∴ x=
3
3
'
2
24 정답과 해설
⑵ DEÓ Û
`+BCÓ Û
+xÛ
19)Û
`+CDÓ Û
`=BEÓ Û
+8Û
=6Û
(
'¶
`
=81
xÛ
`
, 19+xÛ
`
∴ x=9 (∵ x>0)
`
`
`이므로
=100
1-2 ⑴ △ABC에서
-4Û
ACÓ=
6Û
"Ã
`
=
20=2
5
`
'¶
'
이때 ABÓ_ACÓ=ADÓ_BCÓ이므로
4_2
5=x_6, 6x=8
5
'
'
4
5
'
3
∴ x=
⑵ DEÓ Û`+BCÓ Û`=BEÓ Û`+CDÓ Û`이므로
6Û
`
xÛ
+10Û
`
=76
`
=xÛ
+(2
15)Û
`
'¶
∴ x=2
+60
, 136=xÛ
`
19 (∵ x>0)
`
'¶
2Û
2-1 ⑴ ABÓ Û`+CDÓ Û`=ADÓ Û`+BCÓ Û`이므로
+4Û
, 40=xÛ
`
`
`
xÛ
∴ x=2
6 (∵x>0)
⑵ APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û`이므로
`
=24
+16
=xÛ
+6Û
'
`
`
=8Û
7Û
`
xÛ
+5Û
`
=10
+xÛ
, 74=64+xÛ
`
`
∴ x=
`
10 (∵ x>0)
'¶
6Û
2-2 ⑴ ABÓ Û`+CDÓ Û`=ADÓ Û`+BCÓ Û`이므로
+xÛ
, 100=16+xÛ
`
`
`
∴ x=2
xÛ
⑵ APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û`이므로
`
=84
=4Û
+8Û
'¶
`
`
21 (∵ x>0)
=xÛ
3Û
`
xÛ
+5Û
`
=18
+4Û
, 34=xÛ
`
`
∴ x=3
`
+16
2 (∵ x>0)
'
`
`
`
step 2
3
1-2. 3
'
2-3. 64
3-3. 6
5-2. :ª2°:
p
cmÛ
`
7-2. 5
10
cm
'¶
`
`
6
2-2. 4
'
3-2. 21
4-2. 119
6-2. 20
cm
`
7-3. ⑴ ∠DBC, ∠FDB, ∠FDB, FDÓ
⑵
:Á5¤:`
cm ⑶
:¢5¥:`
cmÛ
`
3-1 ⑴ (색칠한 부분의 넓이)=16p-9p=7p
(cmÛ
)
⑵ (색칠한 부분의 넓이)=12+8=20
3-2 ⑴ (색칠한 부분의 넓이)=96p-24p=72p
(cmÛ
)
51쪽
⑵ (색칠한 부분의 넓이)=
_12_10=60
(cmÛ
)
;2!;
`
`
(cmÛ
`
)
`
`
`
`
`
52쪽 ~55쪽
1-2 △ADC에서
ADÓ=
-(3
6Û
"Ã
`
`
이때 ADÓ Û
`=BDÓ_CDÓ이므로
∴ y=
3
=y_3
9=3
=
3)Û
'
'
3
3Û
`
'
'
△ABD에서
3)Û
+(
x=
3Û
"Ã
'
`
∴ x+y=2
`
3+
=
12=2
3
'¶
3=3
'
3
'
'
'
2-2 △ABC에서
+(4
BCÓ=
5)Û
=
`
'
'¶
`+CDÓ Û
`=BEÓ Û
DEÓ Û
=BEÓ Û
`+(6
`
∴ BEÓ=4
8Û
"Ã
`
`+BCÓ Û
+12Û
6)Û
(2
`
'
BEÓ Û
`=96
144=12
`이므로
2)Û
, 168=BEÓ Û
`
'
6 (∵ BEÓ>0)
'
`+72
2-3 △ABC에서
+8Û
ABÓ=
=
164=2
'¶
`
DEÓ Û
`+BDÓ Û
`=AEÓ Û
+BDÓ Û
DEÓ Û
41)Û
=10Û
'¶
`-DEÓ Û
∴ BDÓ Û
10Û
"Ã
`
`+ABÓ Û
`+(2
`
`=64
`
41
'¶
`이므로
`, DEÓ Û
`+164=100+BDÓ Û
`
3-2 △ABO에서
(2
2)Û
ABÓ=
+1Û
=
"Ã
`
'
`
'
`=ADÓ Û
ABÓ Û
`+BCÓ Û
`+CDÓ Û
`이므로
∴ ADÓ Û
=21
3)Û
+(2
`=3Û
`+BCÓ Û
9=3
`
'
`
3-3 ABCD가 등변사다리꼴이므로
ABÓ=DCÓ이다.
`+CDÓ Û
ABÓ Û
2ABÓ Û
`=(2
`=ADÓ Û
+8Û
2)Û
'
∴ ABÓ=6 (∵ ABÓ>0)
`
`+BCÓ Û
, ABÓ Û
`
`이므로
`=36
4-2 APÓ Û
`+CPÓ Û
=5Û
+yÛ
12Û
`=BPÓ Û
+xÛ
`+DPÓ Û
, 144+yÛ
`
`
`이므로
=25+xÛ
`
`
∴ xÛ
`
-yÛ
`
=119
`
`
같으므로
(색칠한 부분의 넓이)=
_p_5Û
;2!;
`
`
=
p
(cmÛ
)
:ª2°:
`
5-2 색칠한 부분의 넓이는 BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이와
6-2 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로
_ACÓ_16=96
∴ ACÓ=12
(cm)
`
;2!;
△ABC에서
ABÓ=
12Û
+16Û
=
400=20
(cm)
"Ã
`
`
'¶
`
cm이므로
7-2 AEÓ=ADÓ=15
△ABE에서
-9Û
BEÓ=
15Û
`
=
144=12
(cm)
"Ã
`
`
CEÓ=BCÓ-BEÓ=15-12=3
'¶
`
(cm)
`
EFÓ=x
cm라 하면 DFÓ=x
cm이므로
`
`
CFÓ=9-x
(cm)
`
△FEC에서
+(9-x)Û
3Û
`
18x=90
=xÛ
, 9+81-18x+xÛ
`
`
∴ x=5
`
=xÛ
`
따라서 △AEF에서
15Û
AFÓ=
+5Û
=
"Ã
`
`
'¶
250=5
10
(cm)
'¶
`
7-3 ⑵ AFÓ=x
cm라 하면
`
FBÓ=FDÓ=10-x
(cm)
`
△ABF에서
+xÛ
6Û
=(10-x)Û
`
`
20x=64
∴ x=
:Á5¤:
:Á5¤:`
따라서 AFÓ의 길이는
cm이다.
⑶ △ABF=
_
;2!;
:Á5¤:
_6=
:¢5¥:`
(cmÛ
)
`
, 36+xÛ
`
`
=100-20x+xÛ
`
56쪽 ~57쪽
02. 8
2
'
03. 2
2
'
04. 32
06. x=4, y=2
3
'
07. 20
10
m
'¶
`
09. 25
cmÛ
`
`
10. 32
5
cmÛ
'
`
11. :Á2°:`
`
cm
step 3
01. 3
05. '¶
51
08. ④
12. :ª4°:`
cm
01 CBÓ Û`=BDÓ_ABÓ이므로
4Û
=
`
:Á5¤:
_ABÓ
∴ ABÓ=5
△ABC에서
=
x=
-4Û
5Û
"Ã
`
9=3
`
'
2. 피타고라스 정리 25
정답과 해설 02 CDÓ=x라 하면
ACÓ Û`=CDÓ_BCÓ이므로
3)Û
=x(8+x), 48=8x+xÛ
'
+8x-48=0, (x-4)(x+12)=0
`
`
(4
xÛ
`
∴ x=4 (∵ x>0)
△ADC에서
3)Û
ADÓ=
(4
'
"Ã
∴ △ADC=
`
;2!;
-4Û
=
32=4
2
`
'¶
_4_4
2=8
2
'
'
'
03 DEÓ Û`+BCÓ Û`=BEÓ Û`+CDÓ Û`이므로
, DEÓ Û`+49=61
=6Û
+5Û
`
`
∴ DEÓ=2
3 (∵ DEÓ>0)
'
DEÓ Û`+7Û
`
DEÓ Û`=12
△ADE에서
3)Û
ADÓ=
(2
"Ã
'
`
-2Û
=
8=2
`
'
2
'
04 △ABC에서
ABÓ=
=
+4Û
'¶
ABÓ Û`+DEÓ Û`=ADÓ Û`+BEÓ Û`이므로
+BEÓ Û`
52=2
6Û
"Ã
5)Û
13
'¶
`
`
`
'¶
13)Û
+DEÓ Û`=(2
(2
'
52+DEÓ Û`=20+BEÓ Û`
∴ BEÓ Û`-DEÓ Û`=32
`
05 △AOD에서
ADÓ=
+5Û
6)Û
`
ABÓ Û`+CDÓ Û`=ADÓ Û`+BCÓ Û`이므로
+BCÓ Û`, 100=49+BCÓ Û`
49=7
=
(2
"Ã
'
'¶
`
=7Û
6Û
+8Û
`
`
`
BCÓ Û`=51
∴ BCÓ=
51 (∵ BCÓ>0)
'¶
06 ABÓ Û`+CDÓ Û`=ADÓ Û`+BCÓ Û`이므로
, 41=25+xÛ
=5Û
+6Û
5)Û
(
'
`
=16
xÛ
`
`
∴ x=4 (∵ x>0)
`
+xÛ
`
`
△BCO에서
=
-2Û
y=
4Û
"Ã
`
`
'¶
12=2
3
'
09 △ABC에서 ABÓ Û`+ACÓ Û`=10Û
이때 ABÓ=ACÓ이므로 2ABÓ Û`=100
ABÓ Û`=50
∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC
∴ ABÓ=5
(cm)
2
'
`
`
…… [ 60
% ]
`
`
=
_5
2_5
2
;2!;
'
'
=25
(cmÛ
)
`
`
…… [ 40
% ]
10 △ABC에서
ACÓ=
12Û
-8Û
=
80=4
5
(cm)
"Ã
'¶
∴ (색칠한 부분의 넓이)=2△ABC
'
`
`
`
=2_
_8_4
;2!;
5
'
=32
5
(cmÛ
)
'
`
`
11 ∠FBD=∠DBC
(접은 각),
∠DBC=∠FDB (엇각)
∴ ∠FBD=∠FDB
즉 △FBD는 FBÓ=FDÓ인
이등변삼각형이다.
(12-x) cm
F
A
E
x cm
6 cm
x cm
12 cm
D
C
B
`
cm라 하면 AFÓ=(12-x)
cm
cm이므로
FDÓ=x
`
FBÓ=FDÓ=x
`
△ABF에서
+(12-x)Û
6Û
`
=xÛ
, 36+144-24x+xÛ
`
`
=xÛ
`
`
24x=180
∴ x=
따라서 FDÓ의 길이는
cm이다.
:Á2°:
:Á2°:`
…… [ 50
% ]
12 AEÓ=x
cm라 하면
A
`
`
…… [ 50
% ]
`
EBÓ=(10-x)
DEÓ=AEÓ=x
cm
`
cm
`
이때
BDÓ=
BCÓ
;2!;
;2!;
=
_10=5
(cm)
`
x cm
F
E
(10-x) cm
x cm
B
D
10 cm
C
이므로
△EBD에서
+(10-x)Û
5Û
`
20x=125
∴ x=
따라서 AEÓ의 길이는
cm이다.
:ª4°:
:ª4°:`
=xÛ
, 25+100-20x+xÛ
`
`
`
=xÛ
`
07 APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û`이므로
+DPÓ Û`, 6500=2500+DPÓ Û`
`
40Û
=50Û
+70Û
DPÓ Û`=4000
`
`
∴ DPÓ=20
10
(m)
'¶
따라서 세영이가 있는 P 지점에서 나무 D까지의 거리는
`
20
10
m이다.
'¶
`
08 ACÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이는
_p_2Û
=2p
(cmÛ
)
`
`
`
;2!;
∴ (색칠한 부분의 넓이)=12p-2p=10p`(cmÛ
)
`
26 정답과 해설
3. 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용
step 1
1-1. ⑴ 2
'
1-2. ⑴ 5 ⑵ 5
2
'
7 ⑵ 8
연구
aÛ`+bÛ`,
'
2
63쪽
1 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 ⑴
2-1. ⑴ 8`cm ⑵ 6`cm
연구
3
'
2
3
, '
4
개념 확인
60쪽 ~62쪽
1. ⑴ 10 ⑵ 17 ⑶ 5
2 ⑷ 6
2. ⑴ 높이：2
'
3`cm, 넓이：4
3`cmÛ`
'
;2#;
'
3
3
'
4
⑵ 높이：
`cm, 넓이：
`cmÛ`
3. ⑴ AHÓ=8`cm, △ABC=48`cmÛ`
⑵ AHÓ=12`cm, △ABC=84`cmÛ`
1 ⑴ x=
8Û`+6Û`=10
⑵
⑶
⑷
"Ã
"Ã
'
'
x=
15Û`+8Û`=17
x=
2_5=5
2
x=
2_3
'
2=6
'
3
2 ⑴ (높이)= '
2
_4=2
3`(cm)
3
(넓이)= '
4
_4Û`=4
3`(cmÛ`)
'
'
⑵
3
(높이)= '
2
_
3=
`(cm)
'
;2#;
3
(넓이)= '
4
'
3
3
'
4
_(
3)Û`=
`(cmÛ`)
3 ⑴ BHÓ=
BCÓ=
_12=6`(cm)
;2!;
△ABH에서 AHÓ=
;2!;
10Û`-6Û`=8`(cm)
"Ã
△ABC=
_BCÓ_AHÓ
=
_12_8=48`(cmÛ`)
⑵
BHÓ=x`cm라 하면 CHÓ=(14-x)`cm
Û`=15Û`-xÛ`
△ABH에서 AHÓ
Û`=13Û`-(14-x)Û`
△AHC에서 AHÓ
즉 15Û`-xÛ`=13Û`-(14-x)Û`이므로
28x=252
∴ x=9
△ABH에서 AHÓ=
15Û`-9Û`=12`(cm)
"Ã
△ABC=
_BCÓ_AHÓ
=
_14_12=84`(cmÛ`)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
2-2. ⑴ 높이：
6`cm, 넓이：2
3`cmÛ`
'
5`cm ⑶ 3
⑵ 2
'
3`cmÛ`
'
'
3-1. ⑴ 12`cm ⑵ 60`cmÛ`
3-2. ⑴ 3
5`cm ⑵ 12
5`cmÛ`
'
'
'
1-1 ⑴ x=
8Û`-6Û`=2
7
⑵
2
∴ x=8
"Ã
2x=8
'
'
1-2 ⑴ x=
3
4)Û`-3Û`=5
(
"Ã
'
⑵
2x=10
∴ x=
'
10
2
'
=5
2
'
2-1 ⑴ 정삼각형의 한 변의 길이를 x`cm라 하면
x=4
3
∴ x=8
'
따라서 정삼각형의 한 변의 길이는 8`cm이다.
⑵ 정삼각형의 한 변의 길이를 x`cm라 하면
xÛ`=9
3, xÛ`=36
'
∴ x=6 (∵ x>0)
따라서 정삼각형의 한 변의 길이는 6`cm이다.
3
2-2 ⑴ (높이)= '
2
_2
2=
6`(cm)
'
'
3
(넓이)= '
4
_(2
2)Û`=2
3`(cmÛ`)
'
'
⑵
정삼각형의 한 변의 길이를 x`cm라 하면
xÛ`=5
3, xÛ`=20
∴ x=2
5 (∵ x>0)
'
'
따라서 정삼각형의 한 변의 길이는 2
5`cm이다.
'
⑶ 정삼각형의 한 변의 길이를 x`cm라 하면
x=3
∴ x=
6
3
'
=2
3
'
따라서 정삼각형의 넓이는
_(2
3)Û`=3
3`(cmÛ`)
'
'
3
'
2
3
'
4
3
'
4
3
'
2
3
'
4
3-1 ⑴ BHÓ=
BCÓ=
_10=5`(cm)
;2!;
;2!;
따라서 △ABH에서
AHÓ=
13Û`-5Û`=12`(cm)
"Ã
3. 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 27
정답과 해설
⑵ △ABC=
_BCÓ_AHÓ
=
_10_12=60`(cmÛ`)
3-2 ⑴ BHÓ=x`cm라 하면 CHÓ=(8-x)`cm
△ABH에서 AHÓ Û`=7Û`-xÛ`
△AHC에서 AHÓ Û`=9Û`-(8-x)Û`
즉 7Û`-xÛ`=9Û`-(8-x)Û`이므로
16x=32
∴ x=2
따라서 △ABH에서
AHÓ=
7Û`-2Û`=3
"Ã
5`(cm)
'
⑵ △ABC=
_BCÓ_AHÓ
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
=
_8_3
5=12
5`(cmÛ`)
'
'
하면
64쪽 ~66쪽
2-2. 4p
step 2
1-2. :Á1ª7¼:
`cm
3-2. 16
3`cmÛ`
'
'
5`cmÛ`
5-2. 2
'
4-2. ⑴ 10
3`cm ⑵ 50
3`cmÛ`
'
6-2. 126`cmÛ`
1-2 △ABD에서
BDÓ=
"Ã
15Û`+8Û`=17`(cm)
ABÓ_ADÓ=BDÓ_AHÓ이므로
8_15=17_AHÓ
∴ AHÓ=
`(cm)
:Á1ª7¼:
2-2 정사각형의 한 변의 길이를 x라 하면
2x=4
2
∴ x=4
'
'
따라서 정사각형에 내접하는 원의 반지름의 길이는 2이므
3-2 정삼각형 ADE의 한 변의 길이를 a`cm라 하면
로 원의 넓이는
p_2Û`=4p
3
'
4
aÛ`=12
3에서 aÛ`=48
∴ a=4
3 (∵ a>0)
'
즉 ADÓ=4
3`cm
'
'
이때 정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 b`cm라 하면
3
'
2
b=4
3
∴ b=8
'
3
∴ △ABC= '
4
_8Û`=16
3`(cmÛ`)
'
28 정답과 해설
4-2 ⑴
오른쪽 그림과 같이 두 대각
선 AC, BD의 교점을 O라
하면 △ABC는 한 변의 길
이가 10`cm인 정삼각형이
므로
3
BOÓ= '
2
_10=5
3`(cm)
'
10 cm
60∞
B
D
A
O
C
∴ BDÓ=2BOÓ=2_5
'
⑵ ABCD=2△ABC
3=10
3`(cm)
'
=2_
_10Û`
=50
3`(cmÛ`)
}
'
3
'
4
{
5-2 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에
A
서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라
3 cm
3 cm
B
C
H
4 cm
BHÓ=
BCÓ=
_4=2`(cm)
;2!;
;2!;
△ABH에서
AHÓ=
3Û`-2Û`=
"Ã
∴ △ABC=
5`(cm)
'
_4_
5=2
5`(cmÛ`)
'
'
;2!;
6-2 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A
에서 BCÓ에 내린 수선의 발을
20 cm
H라 하고 BHÓ=x`cm라 하면
B
CHÓ=(21-x)`cm
△ABH에서 AHÓ Û`=20Û`-xÛ`
△AHC에서 AHÓ Û`=13Û`-(21-x)Û`
즉 20Û`-xÛ`=13Û`-(21-x)Û`
42x=672
∴ x=16
따라서 △ABH에서
AHÓ=
"Ã
20Û`-16Û`=12`(cm)이므로
△ABC=
;2!;
_21_12=126`(cmÛ`)
A
13 cm
H
21 cm
C
step 3
01. ⑴ 5 ⑵ 7 ⑶ 4
3 ⑷ 9
2
'
'
02. ③
67쪽 ~68쪽
03. 5
2`cm 04. :Á5ª:
'
`cm 05. 8`cm
06. 12
3`cmÛ`
3`cm 08. 6
3
2`cm 10. 24
3`cmÛ`
07. 6
'
11. ③
'
12. ②
09. 4
'
13. (16+8
3)`cm
'
'
'
01 ⑴ x=
8Û`-(
3
9)Û`=5
'
⑵ x=
(7
3)Û`-(7
2)Û`=7
'
⑶
2x=4
6
∴ x=
"Ã
"Ã
'
'
⑷
2x=18
∴ x=
'
'
=4
3
'
4
6
'
2
'
18
2
'
=9
2
'
02 가로의 길이를 x`cm라 하면 세로의 길이는 2x`cm이므로
xÛ`+(2x)Û`=5Û`, 5xÛ`=25
xÛ`=5
∴ x=
5 (∵ x>0)
'
따라서 직사각형의 가로의 길이는
'
5`cm이다.
03 정사각형의 한 변의 길이를 x`cm라 하면
(3x)Û`+xÛ`=10Û`, 10xÛ`=100
xÛ`=10
∴ x=
1
0 (∵ x>0)
∴ ACÓ=
(2
"Ã
'
1
0)Û`=5
2`(cm)
'
'
0)Û`+(
1
'
04 △ABD에서
BDÓ=
"Ã
3Û`+4Û`=5`(cm)
ABÓ_ADÓ=BDÓ_AHÓ이므로
3_4=5_AHÓ
∴ AHÓ=
`(cm)
:Á5ª:
05 정사각형에 내접하는 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
prÛ`=8p, rÛ`=8
∴ r=2
2 (∵ r>0) …… [ 40`% ]
'
따라서 정사각형의 한 변의 길이는
06 정삼각형의 한 변의 길이를 x`cm라 하면
3
'
2
_x=6
∴ x=
12
3
'
=4
3
'
3
∴ (넓이)= '
4
_(4
3)Û`=12
3`(cmÛ`)
'
'
07 점 G는 정삼각형 ABC의 무게중심이므로
ADÓ=3GDÓ=3_3=9`(cm)
즉 정삼각형 ABC의 높이는 9`cm이므로 △ABC의 한 변
의 길이를 x`cm라 하면
x=9
∴ x=
3
'
2
따라서 △ABC의 한 변의 길이는 6
18
3
=6
'
'
3
3`cm이다.
'
08 △ABC에서
1
ABÓ=
(2
"Ã
'
5)Û`-6Û`=2
6
'
3
∴ △DBA= '
4
_(2
6)Û`=6
3
'
'
09 교통표지판의 한 변의 길이를 x`cm라 하면
3
'
4
'
_xÛ`=8
3, xÛ`=32
∴ x=4
2 (∵ x>0)
따라서 교통표지판의 한 변의 길이는 4
2`cm이다.
'
'
10 BEÓ=ECÓ=CFÓ=
_8=4`(cm)
;2!;
∠GEC=∠GCE=60ù이므로 △GEC는 한 변의 길이가
4`cm인 정삼각형이다.
…… [ 30`% ]
3
∴ △GEC= '
4
_4Û`=4
3`(cmÛ`)
'
…… [ 20`% ]
3
이때 △ABC= '
4
_8Û`=16
3`(cmÛ`)이므로`…… [ 20`% ]
'
(색칠한 부분의 넓이) =2(△ABC-△GEC)
=2_(16
3-4
3)
'
=2_12
'
3
'
=24
3`(cmÛ`)
'
…… [ 30`% ]
11 정육각형은 합동인 6개의 정삼각형으로 나누어진다.
정삼각형의 한 변의 길이를 x`cm라 하면
3
6_ '
4
'
xÛ`=18
3, xÛ`=12
∴ x=2
3 (∵ x>0)
'
따라서 정육각형의 둘레의 길이는
6_2
3=12
3`(cm)
'
'
△ABH에서
AHÓ=
6Û`-2Û`=4
"Ã
∴ △ABC=
2`(cm)
'
_4_4
2=8
2`(cmÛ`)
'
'
;2!;
6 cm
6 cm
B
H
4 cm
C
13 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서
A
BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면
=
_16=8`(cm)
BHÓ=
BCÓ
;2!;
;2!;
;2!;
이때
_16_AHÓ=96이므로 AHÓ=12`(cm)
B
C
H
16 cm
△ABH에서
ABÓ=
"Ã
8Û`+12Û`=4
1
3`(cm)
'
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
3+16+4
ABÓ+BCÓ+CAÓ =4
'
=16+8
3
'
3`(cm)
'
3. 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 29
2_2
2=4
2`(cm)이므로
'
'
정사각형의 대각선의 길이는
2_4
2=8`(cm)
'
'
…… [ 30`% ]
12 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서
A
BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면
…… [ 30`% ]
BHÓ=
BCÓ=
_4=2`(cm)
;2!;
;2!;
정답과 해설
2 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 ⑵
3-2 ⑴ ABÓ=
ABÓ=
(-4)Û`+(-4)Û`=4
'
(3-2)Û`+(5-4)Û`=
2
2
'
⑵
⑶
⑷
"Ã
"Ã
"Ã
"Ã
69쪽 ~70쪽
ABÓ=
{-2-(-3)}Û`+(-3-2)Û`=
2
6
ABÓ=
(2-4)Û`+{-1-(-5)}Û`=2
'
5
'
개념 확인
6, y=
3 ⑵ x=6, y=3
1. ⑴ x=
'
2. ⑴ -1,
'
'
5 ⑵ 4, 4
2 ⑶ 4, 2,
'
3
'
9
2
'
1 ⑴
2
∴ x=
6
3：x=1：
'
3：y=1：1
'
'
'
3
∴ y=
'
∴ x=6
⑵
3：x=1：2
3：y=1：
'
3
∴ y=3
3
'
step 1
1-1. x=5, y=5
연구
1, 1,
2,
2, 5, 1, 5
'
'
1-2. ⑴ x=2
2, y=4 ⑵ x=3
2, y=3
2
'
'
'
6, y=2
2-1. x=
'
2
'
3,
연구
3, 2,
'
2-2. ⑴ x=5, y=5
'
2
6, 2, 2
'
'
3 ⑵ x=6
3-1. ⑴ 5 ⑵
'
2 ⑵
3-2. ⑴ 4
1
'
'
7 ⑶
'
2 ⑶
'
4
1 ⑷
7
4
'
6 ⑷ 2
2
'
5
'
3, y=3
3
'
'
1-2 ⑴ x：2
2=1：1
'
⑵
2
2
'
2：y=1：
'
2,
x：6=1：
'
'
2：y=1：1
3
'
2
∴ x=2
'
∴ y=4
2x=6
∴ x=3
2
'
∴ y=3
2
'
2-2 ⑴ x：10=1：2, 2x=10
∴ x=5
y：10=
3：2, 2y=10
3
'
∴ y=5
'
3
'
⑵
x：9=2：
'
'
3,
3x=18
∴ x=6
3
'
y：9=1：
'
∴ y=3
3
'
3,
3y=9
'
3-1 ⑴ ABÓ=
(-3)Û`+4Û`=5
⑵
⑶
⑷
ABÓ=
(5-1)Û`+(3-2)Û`=
1
7
'
ABÓ=
{3-(-2)}Û`+(-4-0)Û`=
4
1
ABÓ=
(-1-4)Û`+(-1-6)Û`=
'
4
7
'
"Ã
"Ã
"Ã
"Ã
30 정답과 해설
71쪽
3, y=2
6 ⑵ x=6
3, y=6
6
'
'
'
3`cmÛ`
2-3. 65
'
3-3. ③
72쪽 ~74쪽
step 2
1-2. ⑴ x=4
'
2`cmÛ`
2-2. 40
'
3-2. 1
2
4-2. 5
'
5-2. ⑴ ABÓ=
6-2. 2
4
1`cm
'
6
5, BCÓ=
6
5, CAÓ=4
5
'
'
'
⑵ ABÓ=BCÓ인 이등변삼각형
1-2 ⑴ △ABC에서
ACÓ：BCÓ=
3：2이므로 x：8=
3：2
'
'
∴ x=4
3
'
2：1이므로 4
3：y=
2：1
'
'
'
∴ y=2
6
'
3이므로 6：x=1：
'
3
'
2이므로 6
3：y=1：
'
2
'
'
2x=8
3
'
△ACD에서
ACÓ：ADÓ=
2y=4
3
'
'
△ABC에서
ABÓ：BCÓ=1：
∴ x=6
3
'
△BCD에서
BCÓ：BDÓ=1：
∴ y=6
6
'
2-2 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A
A
D
8 cm
45∞
B
H
10 cm
C
에서 BCÓ에 내린 수선의 발을
H라 하면
△ABH에서
AHÓ：ABÓ=1：
2이므로
'
2,
AHÓ：8=1：
2 AHÓ=8
'
'
2`(cm)
∴ AHÓ=4
'
∴ ABCD=10_4
2=40
2`(cmÛ`)
'
'
⑵
2-3 오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점
A
8 cm
D
6-2 오른쪽 그림과 같이 점 D와
A, D에서 BCÓ에 내린 수선의
10 cm
발을 각각 H, H'이라 하면
B
60∞
H
10 cm
C
H′
C
3 cm
A
5 cm
E
P
10 cm
10 cm
D
5 cm
B
5 cm
D′
ABÓ에 대하여 대칭인 점을
D'이라 하면
CPÓ+DPÓ=CPÓ+D'PÓ
¾CD'Ó
이때 △CED'에서
CD'Ó=
"Ã
10Û`+(3+5)Û`=2
4
1`(cm)
따라서 CPÓ+DPÓ의 최솟값은 2
4
1`cm이다.
'
'
△ABH에서
ABÓ：AHÓ=2：
3이므로
'
3, 2AHÓ=10
3
'
10：AHÓ=2：
∴ AHÓ=5
'
'
3`(cm)
또 ABÓ：BHÓ=2：1이므로
10：BHÓ=2：1, 2BHÓ=10
∴ BHÓ=5`(cm)
이때 CH'Ó=BHÓ=5`cm, HH'Ó=ADÓ=8`cm이므로
BCÓ=BHÓ+HH'Ó+H'CÓ
=5+8+5=18`(cm)
∴ ABCD=
_(8+18)_5
3
;2!;
'
=65
3`(cmÛ`)
'
3-2 ABÓ=
(-3-a)Û`+(-1-4)Û`=
4
1이므로
"Ã
'
(-3-a)Û`+(-5)Û`=41
aÛ`+6a+9+25=41
aÛ`+6a-7=0, (a+7)(a-1)=0
∴ a=-7 또는 a=1
이때 점 A는 제 1 사분면 위의 점이므로 a=1
3-3 ①
{2-(-1)}Û`+(-2-3)Û`=
3
4
'
'
1
'
②
(3-1)Û`+{-2-(-5)}Û`=
1
3
③
(-4-2)Û`+(-1-1)Û`=2
0
④
(2-4)Û`+(5-7)Û`=2
2
'
⑤
(13-10)Û`+{-4-(-5)}Û`=
1
0
'
"Ã
"Ã
"Ã
"Ã
"Ã
따라서 두 점 사이의 거리가 가장 먼 것은 ③이다.
4-2 y=-3(x+4)Û`-3의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
y=xÛ`-2x+3=(x-1)Û`+2의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(-4, -3)
(1, 2)
따라서 두 꼭짓점 사이의 거리는
{1-(-4)}Û`+{2-(-3)}Û`=5
2
'
"Ã
5-2 ⑴ABÓ=
{2-(-5)}Û`+(-4-0)Û`=
"Ã
(3-2)Û`+{4-(-4)}Û`=
'
{3-(-5)}Û`+(4-0)Û`=4
6
'
5
5
6
5
'
BCÓ=
"Ã
CAÓ=
"Ã
⑵△ABC는 ABÓ=BCÓ인 이등변삼각형이다.
75쪽
step 3
01. ⑴ x=2
02. ⑴ x=6
6 ⑵ x=9, y=9
3 ⑵ x=2
6, y=4
3
'
'
2
'
3, y=
'
2, y=2
'
3)`cmÛ`
'
'
04. (4+4
2)`cm
'
03. 24(3+
'
05. -5
06. 20
07. 10`m
01 ⑴3：x=
3x=6
3：2,
'
3y=3
'
3：1,
'
'
6=1：1
∴ x=2
3
∴ y=
'
3
'
6
∴ x=2
'
∴ y=4
3
'
2
6：y=1：
'
'
2
3：y=
⑵x：2
'
02 ⑴△ABC에서
ABÓ：BCÓ=1：
2이므로 6：x=1：
'
2
'
∴ x=6
2
'
△DBC에서
BCÓ：CDÓ=
3y=6
2
'
'
⑵△ADC에서
ADÓ：ACÓ=
2x=18
∴ x=9
△ABD에서
ADÓ：ABÓ=1：
∴ y=9
2
'
3：1이므로 6
2：y=
3：1
'
'
'
∴ y=2
6
'
3：2이므로 x：6
3=
3：2
'
'
'
2이므로 9：y=1：
'
2
'
03 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A
에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H
8 3
cm
A
75∞
45∞
B
60∞
C
H
라 하면
△AHC에서
ACÓ：AHÓ=2：
3이므로 8
3：AHÓ=2：
3
'
'
'
2AHÓ=24
∴ AHÓ=12`(cm)
또 ACÓ：CHÓ=2：1이므로 8
3：CHÓ=2：1
2CHÓ=8
3
∴ CHÓ=4
'
'
3`(cm)
'
3. 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 31
정답과 해설
∠B=180ù-(75ù+60ù)=45ù
△ABC에서
△ABH에서
AHÓ：BHÓ=1：1이므로 12：BHÓ=1：1
∴ BHÓ=12`(cm)
따라서 BCÓ=BHÓ+HCÓ=12+4
3`(cm)이므로
'
45∞ 4 cm
C
4 cm
A
45∞
B
△ABC=
_(12+4
3)_12
;2!;
'
=24(3+
3)`(cmÛ`)
'
04 정팔각형의 한 외각의 크기는
360ù
8
=45ù이므로
∠ABC=∠ACB=45ù
△ABC에서
ABÓ：BCÓ=1：
2이므로
'
2
ABÓ：4=1：
2 ABÓ=4
'
∴ ABÓ=2
2`(cm)
'
따라서 처음 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이는
'
2
2+4+2
2=4+4
2`(cm)
'
'
'
05 ABÓ
{1-(-3)}Û`+(-1-a)Û`=4
2이므로
="Ã
'
4Û`+(-1-a)Û`=32, 16+aÛ`+2a+1=32
aÛ`+2a-15=0, (a+5)(a-3)=0
∴ a=-5 또는 a=3
이때 점 A가 제 3 사분면 위의 점이므로
a=-5
06 ABÓ=
{-3-(-1)}Û`+{3-(-3)}Û`=2
"Ã
{3-(-3)}Û`+(5-3)Û`=2
1
0
0
1
'
BCÓ=
"Ã
{3-(-1)}Û`+{5-(-3)}Û`=4
"Ã
CAÓ=
5 …… [ 50`% ]
이때 CAÓ Û`=ABÓ Û`+BCÓ Û`이므로 △ABC는 ∠B=90ù이고
ABÓ=BCÓ인 직각이등변삼각형이다.
…… [ 30`% ]
'
'
∴ △ABC=
_ABÓ_BCÓ
;2!;
;2!;
=
_2
1
0_2
1
0=20
'
'
…… [ 20`% ]
4. 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용
1 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 ⑴
78쪽 ~79쪽
개념 확인
29
1. ⑴ 2
`
'¶
2. ⑴ 높이：8
cm ⑵ 5
3
cm
`
'
cm, 부피：96p
`
⑵ 높이：3
'
⑶ 높이：12
3
cm, 부피：9
`
'
cm, 부피：100p
3p
⑷ 높이：2
cm, 부피：6
`
10
'¶
`
cmÜ
`
`
cmÜ
`
`
cmÜ
`
10p
'¶
`
cmÜ
`
`
1 ⑴ (대각선의 길이)=
8Û`+4Û`+6Û`=2
29`(cm)
⑵
(대각선의 길이)=
3_5=5
'¶
(cm)
3
'
`
2 ⑴ (높이)=
10Û
-6Û
=8
(cm)
"Ã
`
`
`
(부피)=
_p_6Û
_8=96p
(cmÜ
)
`
`
⑵
(높이)=
-3Û
=3
3
(cm)
`
'
`
(부피)=
_p_3Û
_3
3=9
3p
`
'
(cmÜ
)
`
⑶
(높이)=
13Û
-5Û
=12
(cm)
"Ã
`
`
(부피)=
_p_5Û
_12=100p
(cmÜ
)
`
`
⑷
(높이)=
-3Û
=2
10
(cm)
`
'¶
;3!;
6Û
"Ã
`
;3!;
;3!;
7Û
"Ã
`
;3!;
(부피)=
_p_3Û
_2
10=6
10p
(cmÜ
)
'¶
`
`
'
`
`
'¶
"Ã
'
`
`
`
`
80쪽
step 1
1-1. ⑴ 5
1-2. ⑴ 3
'
2 ⑵ 2
'
10 ⑵ 2
aÛ
6 연구 "Ã
22
`
'¶
+bÛ
+cÛ
`
`
'¶
3
'
'
`
`
2-1. ⑴ 2
cm ⑵ 3
2-2. ⑴ 3
3
cm ⑵ 2
3a
`
cm 연구 '
6
cm
'
`
07 오른쪽 그림과 같이 점 B와
A
3-1. 높이：6
cm, 부피：18p
cmÜ
lÛ
연구 "Ã
`
`
-rÛ
,
`
;3!;
prÛ`h
`
CEÓ에 대하여 대칭인 점을 B'
이라 하면
APÓ+BPÓ =APÓ+B'PÓ
¾AB'Ó
4 m
C
2 m
D
P
8 m
8 m
이때 △ADB'에서
AB'Ó=
"Ã
8Û`+(4+2)Û`=10`(m)
따라서 이동하는 최단 거리는 10`m이다.
B
2 m
E
2 m
B′
`
`
4Û
"Ã
2Û
"Ã
`
`
5Û
"Ã
4Û
"Ã
`
`
3-2. 높이：6
cm, 부피：8p
cmÜ
`
`
1-1 ⑴ x=
+3Û
+5Û
=5
2
⑵
x=
+2Û
+4Û
=2
6
1-2 ⑴ x=
+4Û
+7Û
=3
10
⑵
x=
+6Û
+6Û
=2
22
`
`
`
`
`
`
`
`
'
'
'¶
'¶
32 정답과 해설
2-1 ⑴ (대각선의 길이)=
3_2=2
⑵
(대각선의 길이)=
3_
'
3=3
3
(cm)
`
(cm)
'
`
2-2 ⑴ (대각선의 길이)=
3_3=3
3
(cm)
⑵
(대각선의 길이)=
3_2
`
'
2=2
'
6
(cm)
'
`
'
'
'
'
3-1
(높이)=
(3
5)Û
-3Û
=6
(cm)
"Ã
'
`
`
`
(부피)=
_p_3Û
_6=18p
(cmÜ
)
`
`
;3!;
;3!;
`
`
3-2
(높이)=
(2
10)Û
-2Û
=6
(cm)
"Ã
'¶
`
`
`
(부피)=
_p_2Û
_6=8p
(cmÜ
)
`
`
81쪽 ~83쪽
A
D
M
C
E
3
H
G
B
F
step 2
1-2. ⑴
'¶
6
3-2. 2
cm
`
'
4-2. 높이：3
59 ⑵ 5
2
'
2-2. '
6
5
cm, 부피：36
5p
cmÜ`
'
`
'
`
5-2.
5
32
'
3
p
cmÜ
`
`
6-2. 17
cm
`
1-2 ⑴
5Û
"Ã
xÛ
+4Û
+xÛ
`
`
+41=100, xÛ
`
=10이므로
=59
`
`
∴ x=
'¶
3x=5
'
'
59 (∵ x>0)
6이므로 x=5
2
'
⑵
2-2 오른쪽 그림과 같이 FHÓ를 그으면
△FGH에서
FHÓ=
2_3=3
2
BHÓ=
3_3=3
3
'
'
'
'
△BFH에서
BFÓ_FHÓ=BHÓ_FMÓ이므로
3_FMÓ
2=3
3_3
'
∴ FMÓ=
'
6
'
3-2 정육면체의 한 모서리의 길이를 x
cm라 하면
`
BGÓ=GDÓ=DBÓ=
2x
(cm)
'
`
이때 △BGD는 한 변의 길이가
'
cm인 정삼각형이므로
2x
`
3
'
4
_(
2x)Û
=12
'
`
3
3, '
2
'
xÛ
=12
3
'
`
xÛ
=24
∴ x=2
6
(∵ x>0)
`
'
따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 2
`
4-2 오른쪽 그림과 같이 밑면인 원의 반지
름의 길이를 r
cm라 하면
`
=36
`
prÛ
=36p, rÛ
`
∴ r=6 (∵ r>0)
∴ (높이)=
9Û
"Ã
`
-6Û
=3
5
(cm)
`
'
`
(부피)=
_36p_3
5=36
'
5p
`
'
(cmÜ
)
`
;3!;
5-2 밑면인 원의 반지름의 길이를 r
cm라 하면
9 cm
r cm
2pr=8p
∴ r=4
원뿔의 모선의 길이를 l
cm라 하면
`
2p_l_
=8p
∴ l=6
240
360
주어진 전개도로 원뿔을 만들면 오른
쪽 그림과 같으므로
(높이)=
6Û
"Ã
`
-4Û
=2
5
(cm)
`
'
`
∴ (부피)=
_p_4Û
_2
5
;3!;
`
'
=
5
32
'
3
`
p
(cmÜ
)
`
`
`
6-2 단면인 원의 반지름의 길이를 r
cm라 하면
prÛ
=225p, rÛ
=225
`
∴ r=15
`
`
(∵ r>0)
따라서 구의 반지름의 길이는
15Û
+8Û
=17
(cm)
"Ã
`
`
`
step 3
01. 6
cm
`
03. 16
2
cmÜ
05. 54
2
cmÛ
'
'
`
`
`
`
07. 4
6
cm
'
`
09. 4
3
cm
'
32
`
21
'¶
3
11.
p`cmÜ`
02. 16+2
34
'¶
04. ④
06. 18
6
cmÛ
`
`
'
6
'
3 `
4
08.
cm
10. 98
2p
cmÜ
'
`
`
12. 4
cm
`
01 DHÓ=x
cm라 하면
`
+(3
(3
2)Û
'
`
'
+36=72, xÛ
2)Û
+xÛ
`
`
=36
"Ã
xÛ
`
`
∴ x=6 (∵ x>0)
=6
2에서
'
6 cm
4 cm
84쪽 ~85쪽
6
cm이다.
'
`
따라서 DHÓ의 길이는 6
cm이다.
`
4. 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 33
정답과 해설
02 △ABF에서 AFÓ=
AGÓ=
+6Û
+8Û
6Û
"Ã
=2
`
+8Û
`
34
`
`
'¶
6Û
"Ã
`
따라서 △AFG의 둘레의 길이는
34
AFÓ+FGÓ+AGÓ =10+6+2
=16+2
'¶
34
'¶
=10
…… [ 30
% ]
08 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면
A
…… [ 30
% ]
ACÓ=
2_4=4
(cm)
'
'
2
`
3
`
'
'
AGÓ=
3_4=4
(cm)
…… [ 40
% ]
△AGC에서
ACÓ_CGÓ=AGÓ_CMÓ이므로
`
`
`
C
D
H
M
E
B
F
4 cm
G
`
`
03 정육면체의 한 모서리의 길이를 x
cm라 하면
3x=2
'
'
∴ (부피)=(2
6에서 x=2
2
'
=16
2)Ü
`
'
2
(cmÜ
)
'
`
`
04 정육면체의 한 모서리의 길이를 x
6xÛ
=144, xÛ
=24
∴ x=2
`
`
'
따라서 정육면체의 대각선의 길이는
3_2
6=6
2
(cm)
'
'
`
'
cm라 하면
`
6 (∵ x>0)
05 정육면체의 한 모서리의 길이를 x
cm라 하면
3x=18
∴ x=6
3
'
'
△FGH에서
2_6
FHÓ=
'
'
∴ △DFH=
3=6
6
(cm)
'
`
_6
6_6
3=54
2
(cmÛ
)
;2!;
'
'
'
`
`
4
2_4=4
3_CMÓ
'
∴ CMÓ=
(cm)
4
'
6
'
`
3
09 △BCD에서 BDÓ=
즉 BDÓ=BGÓ=GDÓ=12
'
2_12=12
(cm)
2
'
`
2
cm이므로 △BGD는 한 변의
'
`
길이가 12
2
cm인 정삼각형이다.
'
`
3
∴ △BGD= '
4
_(12
2)Û
=72
'
`
3
'
`
(cmÛ
)
`
(삼각뿔 C-BGD의 부피)=(삼각뿔 D-BGC의 부피)
이므로
;3!;
;3!;
_△BGD_CIÓ=
_△BGC_CDÓ
;3!;
_72
3_CIÓ=
_
_12_12
_12
'
;3!;
{;2!;
}
24
3 CIÓ=288
'
∴ CIÓ=4
3
(cm)
'
`
06 AMÓ=MGÓ=GNÓ=NAÓ이므로 AMGN은 마름모이
다.
10 주어진 직각삼각형을 직선 l을 회전
l
축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는
회전체는 오른쪽 그림과 같은 원뿔
11 cm
이때 오른쪽 그림과 같이 AGÓ, MNÓ
A
이다.
을 각각 그으면 AGÓ⊥MNÓ이다.
AGÓ=
'
MNÓ=
3_6=6
'
2_6=6
`
2
3
(cm)
(cm)
'
`
'
∴ AMGN=
_AGÓ_MNÓ
B
M
F
C
E
6 cm
G
D
N
H
이때 원뿔의 높이는
7 cm
11Û
-7Û
=6
2
(cm)
`
`
"Ã
`
따라서 구하는 입체도형의 부피는
'
_p_7Û
_6
2=98
`
'
2p
`
'
(cmÜ
)
`
;3!;
;2!;
;2!;
=
_6
3_6
2
'
'
=18
6
(cmÛ
)
'
`
`
07 오른쪽 그림과 같이 AFÓ, FCÓ를 각각
그으면
ACÓ =AFÓ=FCÓ
=
2_8=8
2
(cm)
`
'
'
따라서 △AFC는 정삼각형이고
FMÓ은 △AFC의 높이이므로
3
FMÓ= '
2
_8
2=4
6
(cm)
'
'
`
D
H
A
M
C
E
8 cm
G
B
F
34 정답과 해설
11 밑면인 원의 반지름의 길이를 r
cm라 하면
`
2p_10_
=2pr
∴ r=4
;3!6$0$;
…… [ 30
% ]
`
이때 주어진 전개도로 원뿔을 만들면 오
른쪽 그림과 같으므로
(높이)=
10Û
-4Û
=2
21
(cm)
"Ã
`
`
'¶
`
…… [ 30
% ]
`
∴ (부피)=
_p_4Û
_2
21
;3!;
32
=
`
'¶
`
21
'¶
3
`
p
(cmÜ
)
10 cm
4 cm
…… [ 40
% ]
`
12 단면인 원의 반지름의 길이를 r
cm라 하면
`
3 ⑴
D
C
2pr=4
5p
∴ r=2
5
'
'
5
cm이므로
즉 HAÓ=2
`
'
△OHA에서
-(2
OHÓ=
6Û
"Ã
`
5)Û
=4
(cm)
'
`
`
2 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 ⑵
(최단 거리)=AGÓ=
+(4+3)Û
=
74
(cm)
`
'¶
`
5Û
"Ã
`
A
E
B
3 cm
➡
G
3 cm
B
C
3 cm
cm5
F
G
cm3
5 cm
F
위의 그림의 전개도에서 최단 거리는 AGÓ의 길이와 같
⑵
(최단 거리)=AGÓ=
(5+3)Û
+3Û
=
73
(cm)
"Ã
D
3 cm
C
➡
H
4 cm
cm4
B
cm3
`
'¶
`
A
`
D
C
G
F
5 cm
5 cm
G
위의 그림의 전개도에서 최단 거리는 AGÓ의 길이와 같
A
E
H
으므로
A
E
B
F
으므로
89쪽
step 1
'
`
`
1-1. 높이：2
7
cm, 부피：
32
7
'
3
cmÜ
`
`
`
448
3 `
cmÜ
cmÜ
`
2
`
'
cmÜ
`
`
3-2. 5
3
'
1-2. 높이：7
cm, 부피：
2-1. 높이：4
6
cm, 부피：144
`
'
cm, 부피：27
2-2. 높이：6
3-1. 10p
`
cm
`
5p
cm
'
`
'
;2!;
'
;2!;
1-1 ACÓ=
2_4=4
2
(cm)
'
`
AHÓ=
ACÓ=
_4
2=2
(cm)이므로
;2!;
'
2
'
`
△OAH에서
-(2
OHÓ=
6Û
"Ã
`
따라서 정사각뿔의 높이는 2
'
`
`
2)Û
=2
(cm)
7
'
∴ (부피)=
_(4_4)_2
;3!;
7 cm이다.
7
32
'
`
3
7=
'
'
(cmÜ
)
`
1-2 ACÓ=
2_8=8
2
(cm)
'
`
AHÓ=
ACÓ=
_8
2=4
(cm)이므로
;2!;
'
2
'
`
△OAH에서
-(4
OHÓ="Ã9Û
`
2)Û
=7
(cm)
'
`
`
4. 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 35
개념 확인
86쪽 ~88쪽
1. ⑴ 8
2
cm ⑵ 4
2
cm ⑶
'
'
`
`
'
`
4
6
'
3 `
2. ⑴ 2
3
cm ⑵
cm ⑶
cmÜ`
2
256
'
3
cmÜ
`
`
`
16
2
'
3
3. ⑴ 5, 3,
'¶
`
73
cm ⑵ 4, 3,
74
cm
'¶
`
1 ⑴ ABCD는 정사각형이므로
ACÓ=
2_8=8
2
(cm)
'
`
'
;2!;
⑵
AHÓ=
ACÓ=
_8
2=4
2
(cm)이므로
;2!;
'
'
`
△OAH에서
-(4
OHÓ=
8Û
"Ã
`
2)Û
=4
2
(cm)
'
`
'
`
⑶
(부피)=
_(8_8)_4
2=
;3!;
256
'
3
2
`
(cmÜ
`
)
'
2 ⑴ △BCD는 정삼각형이므로
3
DMÓ= '
2
_4=2
(cm)
'
3
`
⑵
점 H는 △BCD의 무게중심이므로
DHÓ=
DMÓ=
_2
3=
(cm)
;3@;
;3@;
'
4
3
'
3 `
따라서 △AHD에서
AHÓ=¾¨4Û
-
`
{
4
3
'
3 }
=
4
6
'
3 `
(cm)
⑶
3
△BCD= '
4
_4Û
`
2`
=4
3
(cmÛ
)이므로
'
`
`
(부피)=
_4
3_
;3!;
'
4
6
'
3
=
16
2
'
3 `
(cmÜ
)
`
정답과 해설 따라서 정사각뿔의 높이는 7 cm이다.
∴ (부피)=
_(8_8)_7=
;3!;
448
3 `
(cmÜ
)
`
3
2-1 DMÓ= '
2
_12=6
3
(cm),
'
`
DHÓ=
DMÓ=
_6
3=4
3
(cm)이므로
;3@;
;3@;
'
'
`
△AHD에서
AHÓ=
12Û
-(4
"Ã
`
따라서 정사면체의 높이는 4
'
'
`
`
3)Û
=4
6
(cm)
6 cm이다.
'
3
이때 △BCD= '
4
_12Û
=36
3
(cmÛ
`
'
`
)이므로
`
(부피)=
_36
3_4
6=144
2
(cmÜ
;3!;
'
'
'
`
)
`
3
2-2 DMÓ= '
2
_3
6=
'
(cm),
9
2
'
2 `
2
9
'
2
DHÓ=
DMÓ=
_
=3
2
(cm)이므로
;3@;
;3@;
'
`
△AHD에서
6)Û
AHÓ=
(3
"Ã
'
`
-(3
2)Û
=6
(cm)
'
`
`
따라서 정사면체의 높이는 6 cm이다.
3
3
이때 △BCD= '
'
2 `
4
3
_(3
6)Û
=
27
'
`
(부피)=
_
;3!;
27
'
2
_6=27
3
(cmÜ
)
'
`
`
(cmÛ`)이므로
3-1 밑면인 원의 둘레의 길이는 2p_4=8p
(cm)
`
B′
A′
6
cm
p
6
cm ➡
p
B
A
B
A
로
4 cm
8
cm
p
위의 그림의 전개도에서 최단 거리는 AB'Ó의 길이와 같으므
(최단 거리)=AB'Ó=
(8p)Û
+(6p)Û
=10p
(cm)
"Ã
`
`
`
90쪽 ~91쪽
step 2
1-2. ⑴ 2
6
cm ⑵
cmÜ`
'
'
`
`
32
10
6
'
3
6
'
3
`
`
2-2. ⑴ 3
2
cm ⑵
cm
3-2. 2
13p`cm
'¶
4-2. 2
3
cm
'
`
1-2 ⑴ ACÓ=
2_4=4
2
(cm)이므로
'
'
`
ACÓ=
AHÓ=
;2!;
따라서 △OAH에서
;2!;
'
_4
2=2
(cm)
2
'
`
OHÓ=
(4
2)Û
-(2
2)Û
=2
6
(cm)
"Ã
'
`
'
`
⑵
(부피)=
_(4_4)_2
6=
;3!;
'
`
32
6
'
3 `
(cmÜ
)
`
'
'
2-2 ⑴ 정사면체의 한 모서리의 길이를 x
cm라 하면
`
6
'
3
x=2
3
∴ x=3
2
'
따라서 정사면체의 한 모서리의 길이는 3
2
cm이다.
⑵ 정사면체의 한 모서리의 길이를 x
2
`
2
'
12
xÜ
=
`
250
'
3
`
, xÜ
=1000
∴ x=10
'
`
cm라 하면
따라서 정사면체의 높이는
6
'
3
_10=
(cm)
10
6
'
3 `
3-2 밑면인 원의 반지름의 길이를 r
cm라 하면
`
prÛ
=9p, rÛ
=9
∴ r=3 (∵ r>0)
`
`
이때 밑면인 원의 둘레의 길이는
2p_3=6p
`
(cm)
오른쪽 그림의 전개도에서 B
최단 거리는 AB'Ó의 길이와
같으므로
(최단 거리)
=AB'Ó
(6p)Û
+(4p)Û
`
13p
(cm)
=
"Ã
=2
'¶
`
`
B′
4
cm
p
A′
A
6
cm
p
B
2 cm
A
O
H
C
3-2 밑면인 원의 둘레의 길이는 2p_5=10p
(cm)
`
오른쪽 그림의 전개도에서 B
최단 거리는 AB'Ó의 길이와
같으므로
(최단 거리)
=AB'Ó=
(10p)Û
+(5p)Û
`
"Ã
(cm)
`
=5
5p
'
`
B′
5
cm
p
A′
A
10
cm
p
4-2 오른쪽 그림의 전개도에서
OBCA는 마름모이므로
BAÓ⊥OCÓ
이때 BAÓ와 OCÓ의 교점을 H
라 하면 △OCA는 정삼각형
이므로
3
AHÓ= '
2
_2=
3
(cm)
'
`
36 정답과 해설
따라서 전개도에서 최단 거리는 BAÓ의 길이와 같으므로
04 주어진 정팔면체는 모든 모서리의 길이가 6
cm인 정사각
(최단 거리)=BAÓ=2AHÓ
=2_
3=2
3
(cm)
'
'
`
92쪽 ~93쪽
step 3
82
cmÛ
01. '¶
02. 높이：3
`
`
cm, 부피：32
`
cmÜ
`
`
03. :¤3¢:`
cmÜ
`
05. 54
6
cmÜ
`
`
'
2
3 `
cmÛ
`
07. '
09. 6
5
cm
11. 4
5
cm
'
'
`
`
04. 72
2
cmÜ
'
`
`
06. 2
6
cmÜ
'
`
`
08. '¶
73
10. 5p
cm
`
21
12. '¶
cm
`
01 ACÓ=
2_4=4
2
(cm)
'
`
AHÓ=
ACÓ=
_4
2=2
2
(cm)이므로
;2!;
'
'
`
△OAH에서
-(2
OHÓ=
7Û
"Ã
∴ △OAH=
`
2)Û
=
41
(cm)
'
`
'¶
`
'¶
_2
2_
41=
82
(cmÛ
)
'¶
`
`
;2!;
'
'
;2!;
'
;2!;
02 ACÓ=
2_4
2=8
(cm)
'
`
AHÓ=
ACÓ=
_8=4
(cm)이므로
…… [ 40
% ]
;2!;
`
△OAH에서
-4Û
OHÓ=
5Û
"Ã
=3
(cm)
`
따라서 정사각뿔의 높이는 3
`
`
∴ (부피)=
_(4
2_4
2)_3
;3!;
'
'
`
=32
(cmÜ
)
`
03 주어진 전개도로 만들어지는 정
`
`
`
cm이다.
`
…… [ 30
% ]
…… [ 30
% ]
O
H
2 6
cm
D
A
4 cm
B
C
4 cm
사각뿔은 오른쪽 그림과 같다.
ACÓ=
2_4=4
2
(cm)
'
`
AHÓ=
ACÓ=
_4
2
'
;2!;
'
;2!;
=2
2
(cm)
'
`
이므로 △OAH에서
-(2
(2
OHÓ=
6)Û
"Ã
'
`
2)Û
=4
(cm)
'
`
`
∴ (부피)=
_(4_4)_4=
;3!;
:¤3¢:`
(cmÜ
)
`
`
C
A
H
E
F
B
D
뿔 2개를 밑면이 꼭 맞게 붙인 것과 같다.
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에
서 BCDE에 내린 수선을 발을
6 cm
H라 하면
BDÓ=
2_6=6
2
(cm)
'
`
'
;2!;
BHÓ=
BDÓ=
_6
2
'
;2!;
=3
2
(cm)
'
`
이므로 △ABH에서
AHÓ=
-(3
2)Û
6Û
"Ã
`
이때 정사각뿔의 부피는
=3
2
'
`
`
(cm)
'
_(6_6)_3
2=36
2
(cmÜ
)
'
'
`
`
;3!;
∴ (정팔면체의 부피)=2_36
2=72
'
2
'
`
(cmÜ
)
`
05 DMÓ= '
_6
3=9
(cm)
'
`
3
2
DHÓ=
DMÓ=
_9=6
(cm)이므로
;3@;
;3@;
`
△AHD에서
3)Û
AHÓ=
`
'
3
△BCD= '
4
(6
"Ã
-6Û
=6
(cm)
2
'
`
`
_(6
3)Û
=27
(cmÛ
)이므로
'
`
3
'
`
(부피)=
_27
3_6
2=54
6
(cmÜ
)
;3!;
'
'
'
`
`
`
06 DMÓ=
DHÓ=
_2=3
(cm)
;2#;
;2#;
`
정사면체의 한 모서리의 길이를 x
cm라 하면
`
3
'
2
2
'
12
x=3
∴ x=2
3
'
따라서 정사면체의 부피는
_(2
3)Ü
=2
'
`
6
'
`
(cmÜ
)
`
3
07 DMÓ= '
2
_2=
3
(cm)
'
`
MHÓ=
DMÓ=
;3!;
_
3= '
;3!;
'
3
3 `
(cm)이므로
3
AMÓ= '
2
_2=
3
(cm)
'
`
△AMH에서
AHÓ=¾¨(
3)Û
-
'
`
{
3
'
3 }
=
2
6
'
3 `
(cm)
∴ △AMH=
2`
3
_ '
_
3
2
6
'
3
;2!;
2
3 `
= '
(cmÛ
)
`
4. 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 37
정답과 해설
08 오른쪽 그림의 전개도에서 최
B
C
D
단 거리는 AFÓ의 길이와 같으
5. 삼각비
F
G2
4
H
2
므로
(최단 거리)
=AFÓ=
(2+4+2)Û
+3Û
`
`
"Ã
=
73
'¶
A
3
E
1 삼각비의 뜻
개념 확인
09 △ABC에서 ACÓ=
오른쪽 그림의 전개도에서
3Û
"Ã
+4Û
`
`
=5
(cm)
`
A
B
C
…… [ 30
% ]
`
A′
최단 거리는 AD'Ó의 길이와
6 cm
D
3 cm
E
4 cm 5 cm
F
D′
같으므로
(최단 거리)
=AD'Ó
=
"Ã
=6
(3+4+5)Û
+6Û
`
`
5
(cm)
'
`
…… [ 70
% ]
`
step 1
1. ⑴
;1¥7;
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
;1!7%;
;1¥5;
;1!7%;
;1¥7;
:Á8°:
96쪽
97쪽
채꼴의 중심각의 크기를 xù라
8 cm
3-1. ⑴ ACÓ, BDÓ ⑵ BCÓ, BDÓ ⑶ ACÓ, DEÓ
3-2. ⑴ ACÓ, ADÓ, ACÓ ⑵ BCÓ, BDÓ, ADÓ ⑶ ACÓ, BDÓ, CDÓ
10 밑면인 원의 둘레의 길이는
2p_6=12p
(cm)
`
오른쪽 그림의 전개도에서 최
단 거리는 AB'Ó의 길이와 같
고 AB'Ó=13p
cm이므로
A'B'Ó =
`
(13p)Û
"Ã
=5p
`
(cm)
`
-(12p)Û
`
따라서 원기둥의 높이는 5p
cm이다.
`
11 오른쪽 그림의 전개도에서 부
B
A
13
cm
p
12
cm
p
B′
A′
A
x∞
4 cm
M
B
B′
하면
2p_8_
=2p_2
;36{0;
∴ x=90
이때 ∠MAB'=90ù이므로 △MAB'는 직각삼각형이다.
따라서 전개도에서 최단 거리는 MB'Ó의 길이와 같으므로
(최단 거리)=MB'Ó=
4Û
"Ã
`
+8Û
=4
5
(cm)
`
'
`
12 오른쪽 그림의 전개도에서
△ABC, △ACD는 정삼각
형이므로
AMÓ= '
_2
3=3
(cm)
'
`
3
2
B
30∞
M
2 3
cm
D
A
60∞
C
이때 ∠MAC=30ù, ∠CAD=60ù이므로
∠MAD=90ù
따라서 전개도에서 최단 거리는 MDÓ의 길이와 같으므로
(최단 거리) =MDÓ=
3Û
"Ã
`
+(2
3)Û
=
21
(cm)
'
`
'¶
`
38 정답과 해설
1-1. ⑴ sin A=
, cos A=
, tan A=
;5#;
;5$;
;5$;
;5#;
;4#;
;3$;
⑵ sin B=
, cos B=
, tan B=
연구
⑴ BCÓ, ABÓ, BCÓ ⑵ ACÓ, ABÓ, ACÓ
1-2. ⑴ sin A=
2
5
'
5
5
, cos A= '
5
, tan A=2
5
⑵ sin C= '
5
, cos C=
, tan C=
;2!;
2
5
'
5
2-1. ⑴
1
1 ⑵ sin A= '
6
1
1
'
, cos A=
1
, tan A= '
5
1
;6%;
2-2. ⑴
5 ⑵ sin A=
'
5
, cos A= '
3
;3@;
, tan A=
2
5
'
5
1-1 ⑴ sin A=
=
;1¤0;
;5#;
cos A=
=
;1¥0;
;5$;
tan A=
=
;8^;
;4#;
⑵ sin B=
=
;1¥0;
;5$;
1-2 ⑴ sin A=
=
cos B=
=
;1¤0;
;5#;
tan B=
=
;6*;
;3$;
2
5
'
5
5
= '
5
2
5
'
1
5
'
;1@;
cos A=
tan A=
=2
⑵
sin C=
5
= '
5
2
5
'
5
1
5
'
2
5
'
;2!;
cos C=
=
tan C=
2-1 ⑴ BCÓ=
6Û`-5Û`=
1
1
2-2 ⑴ ABÓ=
3Û`-2Û`=
⑵
tan A=
"Ã
"Ã
'
5
'
5
'
5
2
=
2
5
'
3-2 △ABC»△DAC (AA 닮음)이므로
∠DAC=∠ABC=x
⑴
sin x=
ACÓ
BCÓ
=
ADÓ
ABÓ
=
ABÓ
BCÓ
ACÓ
ABÓ
BDÓ
ABÓ
ADÓ
BDÓ
CDÓ
ACÓ
ADÓ
ACÓ
=
CDÓ
ADÓ
⑵
cos x=
=
=
⑶
tan x=
=
step 2
1-2.
3
3
1
'
13
3-2. ;3!;
4-2. ;5&;
2-2. 24
3`cmÛ`
'
3-3. ;9%;
5-2.
6
'
5+2
7
6-2. sin a=
, cos a=
, tan a=
;5#;
;5$;
;4#;
ACÓ=
_12=6이므로
;2!;
1-2 △ABC에서
BCÓ=
15Û`-12Û`=9
이때 CDÓ=
;2!;
△BCD에서
BDÓ=
"Ã
"Ã
9Û`+6Û`=3
1
3
'
=
3
3
1
'
13
9
1
3
3
'
∴ cos x=
2-2
sin B=
이므로
=
;2!;
ACÓ
3
8
'
ACÓ
3
8
'
3
2ACÓ=8
'
이때 BCÓ=
∴ ACÓ=4
3`(cm)
'
3)Û`=12`(cm)이므로
(8
3)Û`-(4
"Ã
'
'
△ABC=
_12_4
3=24
3`(cmÛ`)
'
'
;2!;
3-2 sin B=
이므로 오른쪽 그림과 같
;3!;
3
이 ∠C=90ù, ABÓ=3, ACÓ=1인 직
B
A
1
C
각삼각형 ABC를 생각하면
BCÓ=
3Û`-1Û`=2
"Ã
2
2
'
2
'
3
cos B_tan B=
2
2
'
3
2
_ '
4
=
;3!;
2
= '
4
1
'
2
2
따라서 cos B=
, tan B=
이므로
3-3 cos A=
이므로 오른쪽 그림과 같이
;9%;
C
∠B=90ù, ABÓ=5, ACÓ=9인 직각삼
9
각형 ABC를 생각하면
BCÓ=
9Û`-5Û`=2
1
4
"Ã
2
4
'
1
'
9
따라서 sin A=
, tan A=
4
2
1
'
5
A
B
5
이므로
sin AÖtan A=
2
2
4
4
1
'
9
1
'
9
Ö
_
4
2
1
'
5
5
1
4
2
'
=
=
;9%;
98쪽 ~100쪽
4-2 △ABC와 △DBE에서
∠BCA=∠BED=90ù, ∠B는 공통
따라서 △ABC`»△DBE`(AA 닮음)이므로
∠BAC=∠BDE=x
△ABC에서 BCÓ=
5Û`-3Û`=4
"Ã
따라서 sin x=sin A=
BCÓ
ABÓ
=
,
;5$;
cos x=cos A=
ACÓ
ABÓ
=
이므로
;5#;
sin`x+cos`x=
+
=
;5#;
;5&;
;5$;
5-2 △ABC»△HBA
(AA 닮음)이므로
∠BCA=∠BAH=x
A
x y
H
2 6
y
B
5
x
C
△ABC»△HAC
(AA 닮음)이므로 ∠CBA=∠CAH=y
△ABC에서 BCÓ=
(2
6)Û`+5Û`=7
"Ã
따라서 cos x=cos C=
cos y=cos B=
ABÓ
BCÓ
=
'
ACÓ
BCÓ
6
2
'
7
=
,
;7%;
이므로
cos x+cos y=
+
;7%;
2
6
'
7
=
6
'
5+2
7
5. 삼각비 39
정답과 해설
3
y
B
3
O
3x+4y-12=0
a
4
A
x
4
6-2 3x+4y-12=0에 y=0을 대입
3x-12=0
∴ x=4
∴ A(4, 0)
3x+4y-12=0에 x=0을 대입
하면
하면
4y-12=0
∴ y=3
∴ B(0, 3)
△BOA에서 ABÓ=
4Û`+3Û`=5이므로
"Ã
sin a=
cos a=
tan a=
BOÓ
ABÓ
=
;5#;
AOÓ
ABÓ
BOÓ
AOÓ
=
;5$;
=
;4#;
step 3
01. ⑤
05.
5
5
'
6
09. 1
02.
06.
10.
3
5
'
5
5
6
'
12
3
3
1
'
13
03.
3
2
1
'
13
07. ;1!7%;
04. 16`cmÛ`
08.
6
2
'
11
11. ⑴ 4
2 ⑵ 4
3
3 ⑶ sin x= '
3
6
, cos x= '
3
2
⑷ '
3
'
'
'
12. ⑴ 3
3 ⑵
3 ⑶ 2
6 ⑷
'
'
2
2
'
3
01 ABÓ=
3Û`+(3
3)Û`=6
"Ã
'
①
③
⑤
sin A=
=
;6#;
;2!;
②
tan A=
3
= '
3
④
3
3
3
'
=
cos B=
;6#;
;2!;
cos A=
sin B=
3
3
'
6
3
= '
2
3
3
'
6
3
= '
2
02 ACÓ=
10Û`+5Û`=5
5이므로
"Ã
'
cos A=
, cos C=
5
5
5
5
= '
5
'
5
∴ cos A+cos C= '
5
+
2
5
'
5
3
5
'
5
10
5
5
'
=
=
2
5
'
5
40 정답과 해설
03
tan B=
10
BCÓ
이므로
=
;3@;
10
BCÓ
2BCÓ=30
∴ BCÓ=15`(cm)
따라서 ABÓ=
15Û`+10Û`=5
1
3`(cm)이므로
sin B=
'
"Ã
10
1
'
5
3
=
2
3
1
'
13
04
sin A=
BCÓ
8
2
이므로 '
2
=
BCÓ
8
2BCÓ=8
2
∴ BCÓ=4
2`(cm)
이때 ACÓ=
8Û`-(4
2`(cm)이므로
'
2)Û`=4
'
'
△ABC=
_4
2_4
2=16`(cmÛ`)
'
'
'
"Ã
;2!;
;3@;
05
cos B=
이므로 오른쪽 그림과 같이
A
∠
C=90ù, ABÓ=3, BCÓ=2인 직각삼
각형 ABC를 생각하면
5
ACÓ=
3Û`-2Û`=
"Ã
'
5
따라서 sin B= '
3
5
, tan B= '
2
이므로
5
sin B+tan B= '
3
5
+ '
2
=
5
5
'
6
B
C
2
7 sin A=5
∴ sin A=
;7%;
따라서 오른쪽 그림과 같이
…… [ 30`% ]
∠
B=90ù, ACÓ=7, BCÓ=5인 직각
삼각형 ABC를 생각하면
ABÓ=
7Û`-5Û`=2
6 …… [ 40`% ]
A
"Ã
'
6
5
'
12
=
5
'
2
6
∴ tan A=
…… [ 30`% ]
C
5
B
3
7
07 △ABC와 △EDC에서
∠
BAC=∠DEC=90ù, ∠C는 공통
따라서 △ABC»△EDC (AA 닮음)이므로
∠CBA=∠CDE=x
△ABC에서
BCÓ=
8Û`+15Û`=17
"Ã
∴ sin x=sin B=
ACÓ
BCÓ
=
;1!7%;
08 △ABC와 △EBD에서
∠BCA=∠BDE=90ù, ∠B는 공통
따라서 △ABC»△EBD (AA 닮음)이므로
∠
BAC=∠BED
101쪽 ~102쪽
06
7 sin A-5=0에서
△BED에서
BDÓ=
11Û`-7Û`=6
2
'
"Ã
∴ sin A=sin(∠BED)=
BDÓ
BEÓ
=
6
2
'
11
09 △ABC`»△DBA
(AA 닮음)이므로
∠BCA=∠BAD=x
A
x y
2
y
B
D
`
2 3
x
C
△ABC`»△DAC`
(AA 닮음)이므로 ∠CBA=∠CAD=y
2Û`+(2
3)Û`=4이므로
'
△ABC에서 BCÓ=
"Ã
ABÓ
BCÓ
sin x=sin C=
cos y=cos B=
=
=
;4@;
;2!;
ABÓ
BCÓ
=
=
;4@;
;2!;
∴ sin x+cos y=
+
=1
;2!;
;2!;
10
y=
x+3에 y=0을 대입하면
0=
x+3,
x=-3
∴ x=-2
;2#;
y=
x+3에 x=0을 대입하면 y=3
;2#;
;2#;
;2#;
∴ A(-2, 0)
∴ B(0, 3)
△AOB에서 ABÓ=
"Ã
3
1
∴ sin a=
BOÓ
ABÓ
=
3
2Û`+3Û`=
1
3
'
3
=
3
1
'
13
'
11 ⑴ FHÓ=
2_4=4
'
'
4
2
3
3
4
'
4
4
3
= '
3
2
3
6
= '
3
'
'
BHÓ=
3_4=4
sin x=
BFÓ
BHÓ
=
FHÓ
BHÓ
=
cos x=
'
'
3
sin x_cos x= '
3
6
_ '
3
2
= '
3
⑵
⑶
⑷
3
12 ⑴ AMÓ= '
2
_6=3
3
'
⑵
DMÓ=AMÓ=3
3이므로
'
MHÓ=
DMÓ=
_3
3=
3
;3!;
'
'
;3!;
⑶
△AMH에서
AHÓ=
(3
3)Û`-(
3)Û`=2
6
"Ã
'
'
'
…… [ 40`% ]
…… [ 30`% ]
…… [ 30`% ]
⑷
△AMH에서
sin x=
AHÓ
AÕMÓ
=
6
3
2
3
'
'
=
2
2
'
3
다른 풀이
6
⑶ AHÓ= '
3
_6=2
6
'
2 삼각비의 값
개념 확인
3
1. ⑴ 1 ⑵ '
2
⑶
⑷
;2!;
;3@;
103쪽 ~106쪽
2. ⑴ 0.8192 ⑵ 0.5736 ⑶ 1.4281 ⑷ 0.5736 ⑸ 0.8192
3. ⑴ 1 ⑵ 0 ⑶ 0 ⑷ 1
4. ⑴ ① 0.6691 ② 0.7547 ③ 0.9325
⑵ ① 43ù ② 42ù ③ 42ù
1 ⑴ sin 30ù+cos 60ù=
+
=1
;2!;
;2!;
⑵
tan 60ù-cos 30ù=
3
3- '
2
3
= '
2
'
2
cos 45ù_sin 45ù= '
2
2
_ '
2
=
;2!;
3
tan 30ùÖsin 60ù= '
3
3
Ö '
2
3
= '
3
_
2
3
'
=
;3@;
2 ⑴ sin 55ù=
=ABÓ=0.8192
⑵
cos 55ù=
=
=OBÓ=0.5736
ABÓ
OAÓ
=
ABÓ
1
OBÓ
OAÓ
CDÓ
ODÓ
OBÓ
1
CDÓ
1
OBÓ
OAÓ
ABÓ
OAÓ
=
OBÓ
1
=
ABÓ
1
tan 55ù=
=
=CDÓ=1.4281
△AOB에서 ∠OAB=180ù-(55ù+90ù)=35ù이므로
sin 35ù=
=OBÓ=0.5736
⑸
cos 35ù=
=ABÓ=0.8192
3 ⑴ sin 90ù+tan 0ù=1+0=1
cos 0ù-sin 90ù=1-1=0
sin 0ù+cos 90ù-tan 0ù=0+0-0=0
(cos 90ù+sin 90ù)Öcos 0ù=(0+1)Ö1=1
⑶
⑷
⑶
⑷
⑵
⑶
⑷
5. 삼각비 41
정답과 해설
step 1
1-1. ⑴ x=4
3, y=4 ⑵ x=5, y=5
2
'
연구
⑴
;2!;
3
, '
2
3
, '
3
2
⑵ '
2
'
2
, '
2
, 1
1-2. ⑴ x=
2, y=
2 ⑵ x=12, y=8
3
'
'
'
2-1. 1.3554
2-2. 1.4037
3-2. 1
3-1. 0
연구
⑴ 0, 1, 0 ⑵ 1, 0
4-1. ⑴ 0.9272 ⑵ 0.3907 ⑶ 2.2460
4-2. ⑴ 0.5592 ⑵ 0.8387 ⑶ 0.7002
1-1 ⑴ cos 30ù=
3
이므로 '
2
;8{;
=
;8{;
2x=8
3
∴ x=4
3
'
sin 30ù=
이므로
;8};
;2!;
;8};
'
=
2y=8
∴ y=4
⑵
tan 45ù=
이므로 1=
∴ x=5
;[%;
;[%;
sin 45ù=
2
이므로 '
2
;]%;
=
;]%;
2y=10
∴ y=5
2
'
'
1-2 ⑴ sin 45ù=
2
이므로 '
2
;2{;
=
;2{;
2x=2
2
'
cos 45ù=
2
∴ x=
'
2
이므로 '
2
;2};
=
;2};
2y=2
2
∴ y=
2
'
'
⑵
tan 60ù=
cos 60ù=
이므로
x
4
3
'
3
4
'
y 이므로
3=
'
=
;2!;
x
4
3
'
3
4
'
y
∴ x=12
∴ y=8
3
'
2-1 sin 37ù=
=
=ABÓ=0.6018
tan 37ù=
=
=CDÓ=0.7536
∴ sin 37ù+tan 37ù=0.6018+0.7536=1.3554
2-2 sin 52ù=
=
=ABÓ=0.7880
ABÓ
OAÓ
CDÓ
ODÓ
ABÓ
1
CDÓ
1
ABÓ
OAÓ
OBÓ
OAÓ
ABÓ
1
OBÓ
1
42 정답과 해설
107쪽
3-1 sin 90ù-cos 0ù+tan 0ù_sin 0ù
=1-1+0_0=0
3-2 sin 0ù_cos 90ù+cos 0ù-tan 0ù
=0_0+1-0=1
step 2
1-2. ⑴
⑵
⑶
3
;4%;
;2!;
'
3
2-2. '
3
108쪽 ~111쪽
6
2-3. '
2
4-2. ②
6-2. ②
3-2. ⑴ x=2
3, y=2
6 ⑵ x=6, y=4
3
'
'
'
5-2. ⑴ 0 ⑵
'
3
3 ⑶ 0 ⑷ '
6
6-3. tan 0ù, cos 70ù, sin 45ù, cos 0ù
7-2. 13ù
8-2. x=8.452, y=18.126
1-2 ⑴ sin 30ù_cos 60ù+tan 45ù
=
_
+1=
+1=
;2!;
;2!;
;4!;
;4%;
⑵
sin 45ùÖcos 45ù-tan 30ù_sin 60ù
⑶
tan 60ù_sin 30ù+cos 30ùÖtan 45ù
2
= '
2
2
Ö '
2
3
- '
3
3
_ '
2
=1-
=
;2!;
;2!;
=
3_
'
3
+ '
2
;2!;
Ö1
3
= '
2
3
+ '
2
=
3
'
3
∴ tan x=tan 30ù= '
3
2-2 tan 45ù=1이므로 x+15ù=45ù
∴ x=30ù
3
2-3 cos 30ù= '
2
이므로 2x-10ù=30ù
2x=40ù
∴ x=20ù
∴ sin(2x+5ù)_tan 3x=sin 45ù_tan 60ù
2
= '
2
_
6
3= '
2
'
cos 52ù=
=
=OBÓ=0.6157
∴ sin 52ù+cos 52ù=0.7880+0.6157=1.4037
3-2 ⑴ △ADC에서 sin 60ù=
이므로
;4{;
3
'
2
=
, 2x=4
3
∴ x=2
3
;4{;
'
'
따라서 작은 것부터 차례대로 나열하면
tan 0ù, cos 70ù, sin 45ù, cos 0ù
7-2 sin 15ù=0.2588이므로 x=15ù
cos 14ù=0.9703이므로 y=14ù
tan 16ù=0.2867이므로 z=16ù
∴ x+y-z=15ù+14ù-16ù=13ù
8-2 △ABC에서 ∠B=180ù-(90ù+25ù)=65ù
cos 65ù=
ABÓ
BCÓ
=
;2Ó0;
이고
삼각비의 표에서 cos 65ù=0.4226이므로
0.4226=
∴ x=8.452
sin 65ù=
=
;2Õ0;
이고
삼각비의 표에서 sin 65ù=0.9063이므로
0.9063=
;2Õ0;
∴ y=18.126
;2Ó0;
ACÓ
BCÓ
step 3
6
01. ⑴ 2 ⑵ 1 ⑶ '
4
2
02. '
2
03. x=2, y=4
04. 8
05. 3(
3-1)
112쪽 ~113쪽
'
3
3
'
2
06. 1.8537
07. ①, ④
08. ④
09.
10. ⑤
11. 1.7575
12. 14.122
13. ⑴ 50ù ⑵ 0.7660 ⑶ 1.1918
△ABD에서 sin 45ù=
이므로
2
'
2
=
2
3
'
y
,
'
2y=4
3
∴ y=2
6
'
'
⑵
△BCD에서 sin 45ù=
이므로
2
3
'
y
x
2
6
'
2
'
2
=
x
2
6
'
, 2x=12
∴ x=6
△ABC에서 sin 60ù=
이므로
;]^;
3
'
2
=
,
'
;]^;
3y=12
∴ y=4
3
'
4-2 ① sin x=
ABÓ
OAÓ
=
ABÓ
1
=ABÓ
②
cos x=
=
=OBÓ
③
tan x=
=
=CDÓ
OBÓ
1
CDÓ
1
OBÓ
OAÓ
CDÓ
ODÓ
1
ABÓ
1
OBÓ
1
sin x
=
1
cos x
=
따라서 OBÓ의 길이와 그 값이 같은 것은 ②이다.
5-2 ⑴ sin 0ù+cos 90ù-tan 0ù=0+0-0=0
sin 90ù_tan 60ù-cos 90ù=1_
3-0=
3
'
'
(cos 90ù+sin 0ù)Ötan 45ù=(0+0)Ö1=0
sin 90ù_cos 30ù-cos 0ù_tan 30ù
3
=1_ '
2
3
-1_ '
3
3
= '
2
3
- '
3
3
= '
6
가하므로 sin 20ùcos 45ù
④
⑤
⑵
⑶
⑷
③
④
⑤
6-2 ① 0ùÉxÉ90ù일 때, x의 값이 증가하면 sin x의 값도 증
②
0ùÉxÉ90ù일 때, x의 값이 증가하면 cos x의 값은 감
01 ⑴ 2 sin 30ù+tan 45ù=2_
+1=1+1=2
;2!;
sin 30ù=
, cos 60ù=
이므로 sin 30ù=cos 60ù
;2!;
;2!;
2
cos 45ù= '
2
3
tan 30ù= '
3
, tan 45ù=1이므로 cos 45ùtan 45ù=1
03
tan`30ù=
3
이므로 '
3
=
x
3
2
'
x
3
2
'
3x=6
∴ x=2
cos`30ù=
3y=4
3
'
'
2
3
3
이므로 '
2
'
y
∴ y=4
=
2
3
'
y
04
tan 45ù=
이므로 1=
BCÓ
3
4
'
∴ BCÓ=4
sin 60ù=
3
이므로 '
2
=
3
4
'
ACÓ
BCÓ
3
4
'
3
'
3
4
'
ACÓ
3
'
3
DCÓ
3 ACÓ=8
∴ ACÓ=8
…… [ 50`% ]
'
'
05
tan 30ù=
3
BCÓ
3
이므로 '
3
=
3
BCÓ
3`BCÓ=9
∴ BCÓ=3
3
'
3
DCÓ
3-3=3(
'
3-1)
'
∴ BDÓ =BCÓ-DCÓ=3
06
cos y=
=ABÓ=0.7431
ABÓ
OAÓ
=
ABÓ
1
CDÓ
ODÓ
=
CDÓ
1
tan x=
=CDÓ=1.1106
∴ cos y+tan x=0.7431+1.1106=1.8537
07 ① sin x=
②
sin y=
ABÓ
OAÓ
=
ABÓ
1
=ABÓ
OBÓ
OAÓ
=
OBÓ
1
=OBÓ
cos x=
OBÓ
OAÓ
=
OBÓ
1
=OBÓ
③
④
△AOB»△COD (AA 닮음)이므로 y=z
ABÓ
OAÓ
∴ cos z=cos y=
ABÓ
1
=ABÓ
=
⑤
tan z=
ODÓ
CDÓ
=
1
CDÓ
따라서 ABÓ의 길이와 그 값이 같은 것은 ①, ④이다.
2
08 ① cos 90ù_sin 45ù=0_ '
2
=0
②
tan 0ù+sin 30ù_cos 45ù
=0+
2
_ '
2
2
= '
4
;2!;
③
sin 0ù_cos 0ù+tan 45ù
=0_1+1=1
44 정답과 해설
11
sin 28ù=0.4695이므로 x=28ù
tan 29ù=0.5543이므로 y=29ù
∴ cos x+cos y =cos 28ù+cos 29ù
=0.8829+0.8746
=1.7575
12 △ABC에서 ∠A=180ù-(42ù+90ù)=48ù
sin 48ù=
BCÓ
ABÓ
=
;1Ó
Ò0;
이고
삼각비의 표에서 sin 48ù=0.7431이므로
0.7431=
∴ x=7.431
…… [ 40`% ]
;1Ó
Ò0;
ACÓ
ABÓ
cos 48ù=
=
;1Õ0;
이고
삼각비의 표에서 cos 48ù=0.6691이므로
0.6691=
∴ y=6.691
;1Õ0;
…… [ 40`% ]
∴ x+y=7.431+6.691=14.122
…… [ 20`% ]
13 ⑴ cos`x=
=OBÓ=0.6428
OBÓ
OAÓ
=
OBÓ
1
cos`50ù=0.6428이므로 x=50ù
⑵
sin`50ù=
이므로 0.7660=
∴ ABÓ=0.7660
⑶
tan`50ù=
이므로 1.1918=
ABÓ
1
CDÓ
1
ABÓ
OAÓ
CDÓ
ODÓ
∴ CDÓ=1.1918
6. 삼각비의 활용
1 삼각비의 활용 ⑴
개념 확인
1. ⑴ 0.59, 5.9 ⑵ 0.81, 8.1
2. ⑴ 5 ⑵ 5
3 ⑶ 3
3 ⑷ 2
13
'
'¶
'
2 ⑵ 4
2
'
3. ⑴ 2
'
3
4. ⑴ h ⑵ '
3
h ⑶ 3(3-
3)
'
5. ⑴
'
3h ⑵ h ⑶ 5(
3+1)
'
2 ⑴ △AHC에서
AHÓ=10 sin 30ù=10_
=5
;2!;
⑵
△AHC에서
⑶
⑷
3
CHÓ=10 cos 30ù=10_ '
2
=5
3
'
BHÓ=BCÓ-CHÓ=8
3-5
3=3
3
'
'
'
△ABH에서
3)Û
ABÓ="Ã(3
'
`
+5Û
=2
13
`
'¶
3 ⑴ △BCH에서
2
CHÓ=4 sin 45ù=4_ '
2
=2
2
'
⑵
△ABC에서
∠A=180ù-(45ù+105ù)=30ù
2
2
'
ACÓ
△AHC에서
=sin 30ù이므로
ACÓ=
2
2
'
sin 30ù
=2
2Ö
'
=4
2
'
;2!;
4 ⑴ △ABH에서
∠BAH=180ù-(45ù+90ù)=45ù
∴ BHÓ=h tan 45ù=h
⑵
△AHC에서
∠CAH=180ù-(60ù+90ù)=30ù
3
∴ CHÓ=h tan 30ù= '
3
h
⑶
BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로
3
6=h+ '
3
18
3+
∴ h=
h,
3
3+
'
3
h=6
=3(3-
3)
'
3
'
116쪽 ~118쪽
5 ⑴ △ABH에서
∠BAH=180ù-(30ù+90ù)=60ù
∴ BHÓ=h tan 60ù=
3h
'
⑵
△ACH에서
∠ACH=180ù-135ù=45ù이므로
∠CAH=180ù-(45ù+90ù)=45ù
∴ CHÓ=h tan 45ù=h
⑶
BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로
10=
3h-h, (
3-1)h=10
'
'
∴ h=
=5(
3+1)
'
10
3-1
'
119쪽
step 1
1-1. ④ 연구 32
1-2. x=18.2, y=8.4
2-1. ⑴ 2
3 ⑵ 3 ⑶
'¶
'
21
2-2. ⑴ 5 ⑵ 5
3 ⑶ 5 ⑷ 5+5
3
'
'
3-1. ⑴
'
3h ⑵ h ⑶ 2(
3-1) 연구 CHÓ
'
3
3-2. ⑴ h ⑵ '
3
h ⑶ 3+
3
'
1-1 ∠A=180ù-(58ù+90ù)=32ù
9
9
sin 32ù
ABÓ
에서 ABÓ=
sin 32ù=
1-2 ∠C=180ù-(65ù+90ù)=25ù
cos 25ù=
이므로
;2Ó0;
x=20 cos 25ù=20_0.91=18.2
sin 25ù=
이므로
;2Õ0;
y=20 sin 25ù=20_0.42=8.4
3
2-1 ⑴ △ABH에서 AHÓ=4 sin 60ù=4_ '
2
=2
3
'
⑵
△ABH에서 BHÓ=4 cos 60ù=4_
=2
;2!;
∴ CHÓ=BCÓ-BHÓ=5-2=3
⑶
△AHC에서 ACÓ="Ã(2
3)Û
+3Û
=
21
`
'¶
'
`
2-2 ⑴ △BCH에서
BHÓ=10 sin 30ù=10_
=5
;2!;
6. 삼각비의 활용 45
정답과 해설 ⑵
△BCH에서
3
CHÓ=10 cos 30ù=10_ '
2
=5
3
'
⑶
△ABC에서
∠A=180ù-(105ù+30ù)=45ù
△ABH에서
5
AHÓ
이므로 AHÓ=
tan 45ù=
5
tan 45ù
=5
⑷
ACÓ=AHÓ+CHÓ=5+5
3
'
3-1 ⑴ △ABH에서
∠BAH=180ù-(30ù+90ù)=60ù
∴ BHÓ=h tan 60ù=
3h
'
⑵
△AHC에서
∠CAH=180ù-(45ù+90ù)=45ù
∴ CHÓ=h tan 45ù=h
⑶
BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로
4=
3h+h, (
3+1)h=4
'
'
∴ h=
=2(
3-1)
'
4
3+1
'
3-2 ⑴ △ABH에서
∠BAH=180ù-(45ù+90ù)=45ù
∴ BHÓ=h tan 45ù=h
⑵
△ACH에서
∠ACH=180ù-120ù=60ù이므로
∠CAH=180ù-(60ù+90ù)=30ù
3
∴ CHÓ=h tan 30ù= '
3
h
⑶
BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로
3
2=h- '
3
6
3-
∴ h=
h,
3
3-
'
3
h=2
=3+
3
'
3
'
tan 50ù=
에서 ACÓ=
6
ACÓ
6
tan 50ù
따라서 ACÓ의 길이를 나타내는 것은 ㉠, ㉣이다.
2-2 △ABC에서
tan 38ù=
이므로
CBÓ
10
CBÓ=10 tan 38ù=10_0.78=7.8
(m)
∴ CHÓ=CBÓ+BHÓ=7.8+1.5=9.3
(m)
`
`
A
3-2 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에
서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라
하면
△ACH에서
AHÓ=100 sin 60ù
3
=100_ '
2
=50
3
(m)
'
`
B
H
80 m
100 m
60∞
C
CHÓ=100 cos 60ù=100_
=50
(m)
;2!;
∴ BHÓ=BCÓ-CHÓ=80-50=30
(m)
`
`
따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 △AHB에서
ABÓ="Ã(50
8400=20
+30Û
(m)
3)Û
=
21
'¶
`
'
'¶
`
`
4-2 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점
C에서 ABÓ에 내린 수선의 발
을 H라 하면
△CAH에서
60 2
m
45∞
A
C
H
105∞
30∞
B
CHÓ=60
2 sin 45ù=60
=60
(m)
'
'
2
2_ '
2
'
2
2_ '
2
'
`
`
AHÓ=60
2 cos 45ù=60
=60
(m)
△ABC에서 ∠B=180ù-(105ù+45ù)=30ù
△CHB에서 tan 30ù=
이므로
60
BHÓ
3
=60Ö '
3
BHÓ=
60
tan 30ù
=60
3
(m)
'
`
따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는
ABÓ =AHÓ+BHÓ=60+60
(m)
3
'
`
m라 하면
`
5-2 CHÓ=h
△CAH에서
∠ACH
=180ù-(60ù+90ù)=30ù
30∞
B
C
30∞
60∞
h m
A
60∞
H
50 m
step 2
1-2. ㉠, ㉣
3-2. 20
21
m
`
'¶
25
3
'
2 `
m
5-2.
120쪽 ~122쪽
2-2. 9.3
m
`
4-2. (60+60
3)
m
'
`
6-2. 50(3+
3)
m
'
`
1-2 ∠A=180ù-(40ù+90ù)=50ù
ACÓ
6
tan 40ù=
에서 ACÓ=6 tan 40ù
이므로
3
AHÓ=h tan 30ù= '
3
h
(m)
`
46 정답과 해설
m라 하면
6-2 CHÓ=h
`
△CAH에서
∠ACH =180ù-(45ù+90ù)
C
45∞
30∞
h m
=45ù
이므로
45∞
100 m
60∞
B
A
H
04 △ABC에서 tan 25ù=
이므로
ACÓ
5
△CHB에서
∠BCH=180ù-(90ù+30ù)=60ù이므로
BHÓ=h tan 60ù=
3h
(m)
'
`
이때 ABÓ=AHÓ+BHÓ이므로
3h,
h=50
h+
3
50= '
3
'
3
∴ h=50_ '
4
3
4
'
3
25
'
2
3
=
따라서 CHÓ의 길이는
m이다.
3
25
'
2
`
AHÓ=h tan 45ù=h
(m)
`
△CBH에서
∠BCH=180ù-(60ù+90ù)=30ù이므로
3
BHÓ=h tan 30ù= '
3
h
`
(m)
이때 ABÓ=AHÓ-BHÓ이므로
3
100=h- '
3
h,
3
3-
'
3
h=100
∴ h=
300
3-
3
'
=50(3+
3)
'
따라서 CHÓ의 길이는 50(3+
3)
m이다.
'
`
step 3
01. ④
05. {
20+
20
3
'
3 }`
m
07. (4+4
3)
cm
'
`
3-1)
m
`
09. 10(
'
02. 2.86
m
03. 9
m
`
04. 3.95
m
`
`
'¶
06. 2
21
6+3
2
'
08. '
10. 4
3
'
11. 10
m
`
01 ∠A=180ù-(26ù+90ù)=64ù이므로
cos 64ù=
∴ ACÓ=8 cos 64ù
ACÓ
8
02
(가로등의 높이)=2 tan 55ù=2_1.43=2.86
(m)
`
03
tan 30ù=
이므로
ABÓ
3
3
'
3 tan 30ù
ABÓ=3
'
=3
3
3_ '
3
'
=3
(m)
`
cos 30ù=
이므로
3
3
'
ACÓ
ACÓ=
3
3
'
cos 30ù
=3
3
3Ö '
2
'
=3
3_
'
2
3
'
3
=6
(m)
따라서 부러지기 전 나무의 높이는
ABÓ+ACÓ=3+6=9
(m)
`
`
ACÓ=5 tan 25ù=5_0.47=2.35
(m)
…… [ 50
% ]
따라서 가로등의 높이는
AHÓ=ACÓ+CHÓ=2.35+1.6=3.95
(m) …… [ 50
% ]
`
`
`
`
D
05 오른쪽 그림의 △DCH에서
DHÓ
20
tan 30ù=
이므로
=
3
20
'
3
`
(m)
DHÓ=20 tan 30ù
3
=20_ '
3
△CBH에서
BHÓ
20
tan 45ù=
이므로
BHÓ =20 tan 45ù=20
(m)
`
따라서 방송국 건물의 높이는
DBÓ=BHÓ+DHÓ=20+
3
20
'
3
`
(m)
C
30∞
45∞
H
A 20 m
B
방송국
스포츠
센터
4 3
60∞
B
H
6 3
C
H라 하면
△ABH에서
AHÓ=4
3 sin 60ù
=4
3
3_ '
2
=6
BHÓ=4
3 cos 60ù
=4
3_
=2
3
'
;2!;
'
'
'
'
∴ CHÓ=BCÓ-BHÓ=6
3-2
3=4
3
'
'
'
따라서 △AHC에서
ACÓ="Ã6Û
+(4
3)Û
'
`
`
=2
21
'¶
6. 삼각비의 활용 47
123쪽 ~124쪽
06 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A
A
에서 BCÓ에 내린 수선의 발을
정답과 해설 07 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에
서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라
A
H
45∞
△CHB에서
∠BCH=180ù-(45ù+90ù)=45ù이므로
하면
△BCH에서
3
BHÓ=8 cos 30ù=8_ '
2
=4
3
(cm)
'
`
B
30∞
105∞
C
8 cm
…… [ 20
% ]
BHÓ=h tan 45ù=h
(m)
`
이때 ABÓ=AHÓ+BHÓ이므로
20=
3h+h, (
3+1)h=20
'
'
∴ h=
20
3+1
'
=10(
3-1)
'
CHÓ=8 sin 30ù=8_
=4
(cm)
…… [ 20
% ]
;2!;
`
따라서 CHÓ의 길이는 10(
3-1)
m이다.
'
`
△ABC에서
∠A=180ù-(30ù+105ù)=45ù
△AHC에서 tan 45ù=
이므로
4
AHÓ
AHÓ=
4
tan 45ù
=4
(cm)
`
∴ ABÓ=AHÓ+BHÓ=4+4
3
(cm)
…… [ 20
% ]
'
`
10 오른쪽 그림과 같이
AHÓ=h라 하면
A
60∞
30∞
h
…… [ 40
% ]
△ABH에서
∠BAH =180ù-(30ù+90ù)
B
30∞
8
120∞
C
60∞
H
`
`
`
`
08 △ABC에서
∠C =180ù-(60ù+75ù)
A
60∞
H
=45ù
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에
75∞
B
45∞
C
서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H라
6
=60ù
이므로
BHÓ=h tan 60ù=
3h
'
△ACH에서
∠ACH=180ù-120ù=60ù이므로
∠CAH=180ù-(60ù+90ù)=30ù
3
∴ CHÓ=h tan 30ù= '
3
h
이때 BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로
8=
3
3h- '
3
'
h,
2
3
'
3
h=8
3
∴ h=8_ '
2
=4
3
'
따라서 AHÓ의 길이는 4
3이다.
'
65∞
50∞ h m
A
H
B
25∞
9 m
40∞
C
11 오른쪽 그림과 같이
AHÓ=h
m라 하면
`
△ABH에서
∠BAH
=180ù-(25ù+90ù)
=65ù
이므로
C
h m
H
20 m
A
30∞
45∞
B
BHÓ=h tan 65ù=2.1h (m)
△ACH에서
∠CAH=180ù-(40ù+90ù)=50ù이므로
CHÓ=h tan 50ù=1.2h (m)
이때 BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로
9=2.1h-1.2h, 0.9h=9
∴ h=10
따라서 AHÓ의 길이는 10
m이다.
`
하면
△BCH에서
2
CHÓ=6 cos 45ù=6_ '
2
2
BHÓ=6 sin 45ù=6_ '
2
=3
2
'
=3
2
'
△ABH에서
2
3
'
AHÓ
tan 60ù=
이므로
AHÓ=
3
2
'
tan 60ù
=
3
2
'
3
'
=
6
'
∴ ACÓ=AHÓ+CHÓ=
6+3
2
'
'
09 오른쪽 그림과 같이
CHÓ=h
m라 하면
`
△CAH에서
∠ACH
=180ù-(30ù+90ù)
=60ù
이므로
AHÓ=h tan 60ù=
3h
(m)
'
`
48 정답과 해설
2 삼각비의 활용 ⑵
개념 확인
1. ⑴ 26
3 ⑵ 30
2
'
'
2. ⑴ 12
3 ⑵ 54
'
27
'
2
2
3. ⑴
⑵ 20
3
'
;2!;
;2!;
;2!;
=
;2!;
3
_13_8_ '
2
=26
3
'
=
_10_12_sin 45ù
=
;2!;
2
_10_12_ '
2
=30
2
'
1-1 ⑴ △ABC=
_7_6_sin 45ù
=
;2!;
2
_7_6_ '
2
=
2
21
'
2
125쪽 ~127쪽
⑵
△ABC=
_5_4_sin(180ù-120ù)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
=
_5_4_sin 60ù
=
;2!;
3
_5_4_ '
2
=5
3
'
=
;2!;
3
_6_8_ '
2
=12
3
'
=
_10_11_sin 45ù
=
;2!;
2
_10_11_ '
2
=
2
55
'
2
1 ⑴ △ABC=
_13_8_sin 60ù
1-2 ⑴ △ABC=
_6_8_sin 60ù
⑵
△ABC=
_10_12_sin(180ù-135ù)
⑵
△ABC=
_10_11_sin(180ù-135ù)
2 ⑴ ABCD=4_6_sin 60ù
2-1 ⑴ ABCD=6_8_sin(180ù-120ù)
⑵
ABCD=9_12_sin(180ù-150ù)
3
=4_6_ '
2
=12
3
'
=9_12_sin 30ù
=9_12_
=54
;2!;
⑵
ABCD=8_10_sin 45ù
=6_8_sin 60ù
3
=6_8_ '
2
=24
3
'
2
=8_10_ '
2
=40
2
'
3 ⑴ ABCD=
_6_9_sin 45ù
2-2 ⑴ ABCD는 평행사변형이므로 ADÓ=BCÓ=9
⑵
ABCD=
_8_10_sin(180ù-120ù)
=
;2!;
2
_6_9_ '
2
=
2
27
'
2
=
_8_10_sin 60ù
=
;2!;
3
_8_10_ '
2
=20
3
'
1-1. ⑴
⑵ 5
3 연구 ⑴ 45,
⑵ 120, 5
3
;2!;
;2!;
;2!;
2
55
'
2
'
'
3
27
'
2
step 1
2
21
'
2
1-2. ⑴ 12
3 ⑵
'
'
'
'
2-2. ⑴ 36
2 ⑵ 45
3-2. ⑴ 6
2 ⑵ 8
3
'
'
128쪽
'
'
3
27
'
2
2
21
'
2
'
'
3-1. ⑴ 14
2 ⑵
연구 ⑴ 45, 14
2 ⑵ 120,
∴ ABCD=8_9_sin(180ù-135ù)
=8_9_sin 45ù
2
=8_9_ '
2
=36
2
'
⑵
ABCD=9_10_sin 30ù
=9_10_
=45
;2!;
3-1 ⑴ ABCD=
_7_8_sin 45ù
;2!;
;2!;
;2!;
=
;2!;
2
_7_8_ '
2
=14
2
'
=
_9_6_sin 60ù
3
_9_6_ '
2
=
=
;2!;
27
'
2
3
2-1. ⑴ 24
3 ⑵ 40
2 연구 ⑴ 120, 24
3 ⑵ 45, 40
2
⑵
ABCD=
_9_6_sin(180ù-120ù)
6. 삼각비의 활용 49
정답과 해설 step 2
1-2. 45ù
3-2. 14
5-2. 6
`
3
'
cm
129쪽 ~131쪽
2-2. 4
cm
`
4-2. 150
3
cmÛ
'
`
`
6-2. 45ù
=x_x_sin 60ù
3
= '
2
xÛ
``
(cmÛ
)
`
3
즉 '
2
xÛ
=18
3이므로 xÛ
=36
`
'
`
∴ x=6 (∵ x>0)
4-2 오른쪽 그림과 같이 정육각형은 6개
의 합동인 이등변삼각형으로 나누어
진다.
이때 ∠AOB=
=60ù이므로
360ù
6
구하는 정육각형의 넓이는
A
B
10 cm
O
6_
_10_10_sin 60ù
{;2!;
=6_
_10_10_ '
{;2!;
'
`
=150
3
(cmÛ
)
`
}
3
2 }
5-2 마름모 ABCD의 한 변의 길이를 x
cm라 하면
`
ABCD=x_x_sin(180ù-120ù)
따라서 마름모 ABCD의 한 변의 길이는 6
cm이다.
`
6-2 두 대각선이 이루는 예각의 크기를 x라 하면
ABCD=
_14_10_sin x=70 sin x
;2!;
즉 70 sin x=35
2
2이므로 sin x= '
2
'
∴ x=45ù
따라서 두 대각선이 이루는 예각의 크기는 45ù이다.
3-2 ⑴ ABCD=
_6_4_sin(180ù-135ù)
=
_6_4_sin 45ù
=
;2!;
2
_6_4_ '
2
=6
2
'
;2!;
;2!;
;2!;
⑵ ABCD=
_4_8_sin 60ù
=
;2!;
3
_4_8_ '
2
=8
3
'
1-2 △ABC=
_6_4_sin B
;2!;
=12 sin B
즉 12 sin B=6
2
2이므로 sin B= '
2
'
이때 0ù<∠B<90ù이므로 ∠B=45ù
2-2 △ABC=
_5_ABÓ_sin(180ù-135ù)
;2!;
;2!;
=
_5_ABÓ_sin 45ù
=
;2!;
2
_5_ABÓ_ '
2
=
5
2
'
4
ABÓ
(cmÛ
)
`
`
즉
5
2
'
4
ABÓ=5
2이므로 ABÓ=4
(cm)
'
`
3-2 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으
면
ABCD
=△ABD+△BCD
=
_8_6_sin 60ù
;2!;
A
60∞
6
8
150∞
4
C
D
2 3
B
132쪽 ~133쪽
step 3
01. 4
05.
2
'
27
'
4
3
08. 60ù
02. 135ù
03. 9
3
cmÛ
'
`
04. 50
`
'
3
06. (12p-9
3)
cmÛ
'
`
`
07. 8
2
cmÛ
'
`
`
09. 3
2
'
10. 14
3
cmÛ
'
`
11. 6
`
2
'
24
'
5
3
12. ⑴ 24
3 ⑵ △ABD=3x, △ADC=2x ⑶
'
+
_4_2
3_sin(180ù-150ù)
;2!;
'
=
_8_6_sin 60ù+
_4_2
3_sin 30ù
;2!;
'
;2!;
=
;2!;
3
_8_6_ '
2
+
_4_2
3_
'
;2!;
;2!;
=12
3+2
3=14
3
'
'
'
01 △ABC=
_BCÓ_
10_sin 30ù
;2!;
;2!;
'¶
'¶
=
_BCÓ_
10_
10
즉 '¶
4
BCÓ=2
5이므로 BCÓ=
'
10
= '¶
4
;2!;
BCÓ
8
5
'
10
'¶
=4
2
'
50 정답과 해설
=
_8_8
3+
_8
3_9_sin 30ù
;2!;
'
;2!;
'
∴ △AMC=
;2!;△ABC
02 △ABC=
_8_12_sin x
;2!;
=48 sin x
즉 48 sin x=24
2
2이므로 sin x= '
2
'
…… [ 40
% ]
…… [ 30
% ]
이때 90ù<∠x<180ù이므로 ∠x=135ù …… [ 30
% ]
03 △ABC=
_12_9_sin 60ù
;2!;
=
;2!;
3
_12_9_ '
2
=27
3
(cmÛ
)
'
`
`
∴ △AGC=
;3!;△ABC=
;3!;
_27
3=9
3
(cmÛ
)
'
`
`
'
04 △ABC에서 ACÓ=8 tan 60ù=8
'
∴ ABCD=△ABC+△ACD
3
=32
3+
_8
3_9_
;2!;
'
;2!;
=32
3+18
3=50
3
'
'
'
'
05 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면
A
ABCD
=△ABC+△ACD
=
_5_4_sin 60ù
;2!;
D
7
120∞
7
C
4
60∞
B
5
+
_
7_
7_sin(180ù-120ù)
;2!;
'
'
=
_5_4_sin 60ù+
_
7_
7_sin 60ù
;2!;
'
'
;2!;
=
;2!;
3
_5_4_ '
2
+
_
7_
;2!;
'
3
7_ '
2
'
=5
3+
'
7
3
'
4
=
3
27
'
4
07 ABCD는 마름모이므로 ADÓ=ABÓ=4
cm
`
∴ ABCD=4_4_sin(180ù-135ù)
=4_4_sin 45ù
2
=4_4_ '
2
=8
2
(cmÛ
)
'
`
`
08 ABCD=3
3_4
6_sin B=36
2 sin B
'
'
'
즉 36
2 sin B=18
'
3
6이므로 sin B= '
2
'
이때 0ù<∠B<90ù이므로 ∠B=60ù
09 ABCD는 평행사변형이므로 CDÓ=ABÓ=4
ABCD=6_4_sin 45ù
2
=6_4_ '
2
=12
2
'
…… [ 40
% ]
=
_
;2!;
;2!;
ABCD
=
ABCD
=
_12
2=3
2
'
'
…… [ 60
% ]
`
`
10 ABCD=
_7_8_sin 60ù
=
;2!;
3
_7_8_ '
2
=14
3
(cmÛ
)
'
`
`
11 ABCD=
_ACÓ_6_sin(180ù-150ù)
=
_ACÓ_6_sin 30ù
=
_ACÓ_6_
=
ACÓ
;2!;
;2#;
즉
ACÓ=9
2이므로 ACÓ=6
;2#;
2
'
06 △OAC에서 ∠OCA=∠OAC=30ù
∴ ∠AOC=180ù-(30ù+30ù)=120ù
…… [ 20
% ]
12 ⑴ △ABC=
_12_8_sin 60ù
(부채꼴 AOC의 넓이)
=p_6Û
_
`
120
360
=12p
(cmÛ
)
`
`
…… [ 30
% ]
⑵
△ABD=
_12_x_sin 30ù
=
;2!;
3
_12_8_ '
2
=24
3
'
△OAC=
_6_6_sin(180ù-120ù)
;2!;
;2!;
=
_6_6_sin 60ù
=
;2!;
3
_6_6_ '
2
=9
3
(cmÛ
) …… [ 30
% ]
'
`
`
=
_12_x_
=3x
;2!;
△ADC=
_x_8_sin 30ù
=
_x_8_
=2x
∴ (색칠한 부분의 넓이)
=(부채꼴 AOC의 넓이)-△OAC
=12p-9
(cmÛ
)
3
'
`
`
…… [ 20
% ]
⑶
△ABC=△ABD+△ADC이므로
24
3=3x+2x, 5x=24
3
∴ x=
'
3
24
'
5
;2!;
'
;4!;
;4!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
'
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
`
`
`
`
`
`
`
6. 삼각비의 활용 51
정답과 해설 7. 원과 직선
1 원의 현
개념 확인
1. ⑴ 7 ⑵ 12
2. ⑴ 6 ⑵ 5
∴ x=7
∴ x=12
∴ x=6
∴ x=5
1 ⑴ ABÓ⊥OMÓ이므로 BMÓ=AMÓ=7`cm
⑵
ABÓ⊥OMÓ이므로 ABÓ=2BMÓ=2_6=12`(cm)
2 ⑴ OMÓ=ONÓ이므로 CDÓ=ABÓ=6`cm
⑵
ABÓ=CDÓ이므로 ONÓ=OMÓ=5`cm
136쪽 ~137쪽
∴ x=8
⑵
ABÓ⊥OMÓ이므로
ABÓ=2AMÓ=2_9=18`(cm)
∴ x=18
2-1 ⑴ △OAM에서 AMÓ=
ABÓ=2AMÓ=2_4=8`(cm)
"Ã
5Û`-3Û`=4`(cm)
⑵
_10=5`(cm)
BMÓ=
ABÓ=
;2!;
;2!;
△OMB에서 OMÓ=
6
∴ x=2
"Ã
'
7Û`-5Û`=2
6`(cm)
2-2 ⑴ △OAM에서 AMÓ=
ABÓ=2AMÓ=2_3
"Ã
3=6
6Û`-3Û`=3
3`(cm)
3`(cm)
'
'
'
'
⑵
AMÓ=
ABÓ=
_16=8`(cm)
∴ x=6
3
'
;2!;
;2!;
△OAM에서 OAÓ=
∴ x=10
"Ã
8Û`+6Û`=10`(cm)
3-1 ⑴ OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=CDÓ=14`cm
AMÓ=
ABÓ=
_14=7`(cm)
;2!;
;2!;
⑵
ABÓ=CDÓ이므로 ONÓ=OMÓ=8`cm
∴ x=7
∴ x=8
∴ x=4
∴ x=7
138쪽
3-2 ⑴ OMÓ=ONÓ이므로 CDÓ=ABÓ=8`cm
CNÓ=
CDÓ=
_8=4`(cm)
;2!;
;2!;
⑵
ABÓ=CDÓ이므로 ONÓ=OMÓ=7`cm
step 1
1-1. ⑴ 10 ⑵ 8
연구
BMÓ
1-2. ⑴ 3 ⑵ 18
2-1. ⑴ 8 ⑵ 2
6
연구
OMÓ
'
3 ⑵ 10
2-2. ⑴ 6
'
3-1. ⑴ 7 ⑵ 8
연구
⑴ CDÓ ⑵ ONÓ
3-2. ⑴ 4 ⑵ 7
1-1 ⑴ ABÓ⊥OMÓ이므로
BMÓ=AMÓ=10`cm
∴ x=10
⑵
ABÓ⊥OMÓ이므로
AMÓ=
ABÓ=
_16=8`(cm)
;2!;
;2!;
∴ x=8
1-2 ⑴ ABÓ⊥OMÓ이므로
BMÓ=
ABÓ=
_6=3`(cm)
;2!;
;2!;
∴ x=3
52 정답과 해설
step 2
139쪽 ~141쪽
1-2. ⑴
⑵
:ª4»:
:Á2£:
2-2. :Á3¦:
`cm
3-2. 2
3`cm
'
5-2. ⑴ 8 ⑵ 10
4-2. 9`cm
6-2. ⑴ 55ù ⑵ 36ù
1-2 ⑴ ABÓ⊥OCÓ이므로 AMÓ=BMÓ=6`cm
OCÓ=OAÓ=x`cm이므로 OMÓ=(x-4)`cm
△OMA에서
xÛ`=(x-4)Û`+6Û`, 8x=52
∴ x=
:Á2£:
⑵
ABÓ⊥OCÓ이므로 AMÓ=BMÓ=5`cm
5-2 ⑴ CDÓ⊥ONÓ이므로
OCÓ=OAÓ=x`cm이므로 OMÓ=(x-2)`cm
△OAM에서
xÛ`=5Û`+(x-2)Û`, 4x=29
∴ x=
:ª4»:
2-2 ABÓ⊥CDÓ, ADÓ=BDÓ이므로
CDÓ의 연장선은 오른쪽 그림과
같이 원의 중심을 지난다. 원의
중심을 O, 원의 반지름의 길이
A
B
r cm
10 cm
O
(r-3) cm
C
3 cm
D
를 r`cm라 하면
DOÓ=(r-3)`cm
ABÓ=
_10=5`(cm)이므로
;2!;
이때 ADÓ=
;2!;
△AOD에서
rÛ`=5Û`+(r-3)Û`, 6r=34
∴ r=
:Á3¦:
따라서 원의 반지름의 길이는
`cm이다.
:Á3¦:
3-2 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O
6 cm
B
에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 M
이라 하고 원 O의 반지름의 길이
를 r`cm라 하면
r cm
A
M
O
AMÓ=
ABÓ=
_6=3`(cm)
;2!;
;2!;
;2R;
OMÓ=
`cm이므로
△AOM에서
Û`,
rÛ`=3Û`+
{;2R;}
;4#;
rÛ`=9
rÛ`=12
∴ r=2
3 (∵ r>0)
'
따라서 원 O의 반지름의 길이는 2
3`cm이다.
'
4-2 ABÓ：CDÓ=5：2이므로
30：CDÓ=5：2, 5CDÓ=60
∴ CDÓ=12`(cm)
30 cm
O
원의 중심 O에서 ABÓ에 내린 수선의
A
C
M
D
B
발을 M이라 하면
AMÓ=
ABÓ=
_30=15`(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
CMÓ=
CDÓ=
_12=6`(cm)
∴ ACÓ=AMÓ-CMÓ=15-6=9`(cm)
_30=15
CNÓ=
CDÓ=
;2!;
;2!;
△OCN에서 ONÓ=
ABÓ=CDÓ이므로 OMÓ=ONÓ=8
17Û`-15Û`=8
"Ã
∴ x=8
⑵
OMÓ=ONÓ이므로 CDÓ=ABÓ=16
CDÓ⊥ONÓ이므로
_16=8
DNÓ=
CDÓ=
;2!;
;2!;
△ODN에서 ODÓ=
∴ x=10
"Ã
8Û`+6Û`=10
6-2 ⑴ OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ
즉 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로
∠x=∠ABC=
_(180ù-70ù)=55ù
;2!;
⑵
OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ
즉 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로
∠ABC=∠ACB=72ù
∴ ∠x=180ù-(72ù+72ù)=36ù
step 3
142쪽 ~143쪽
01. 2
3`cm 02. 4
'
5`cm 03. ;1*0(;
'
`cm 04. 8`cm
05. 10`cm
06. 10
3`cm 07. 6`cm
08. 4
2`cm
'
09. 32
5`cmÛ` 10. 12`cm
11. 136ù
'
12. ⑴ 정삼각형 ⑵ 9
3`cmÛ`
'
'
01
△OAM에서 AMÓ=
ABÓ⊥OMÓ이므로 AMÓ=BMÓ
2Û`-1Û`=
"Ã
'
3`(cm)
∴ ABÓ=2AMÓ=2_
3=2
3`(cm)
'
'
02
OCÓ=OBÓ=6`cm이므로
OMÓ=6-2=4`(cm)
△OMB에서
MBÓ=
6Û`-4Û`=2
"Ã
5`(cm)
'
ABÓ⊥OCÓ이므로 AMÓ=BMÓ
∴ ABÓ=2MBÓ=2_2
5=4
5`(cm)
'
'
7. 원과 직선 53
정답과 해설 03
오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 긋고 원
08 CDÓ⊥ONÓ이므로
O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
OMÓ=(r-5)`cm …… [ 30`% ]
O
8 cm
A
M
5 cm
B
△OMB에서
rÛ`=8Û`+(r-5)Û`
…… [ 40`% ]
C
10r=89
∴ r=
;1*0(;
CNÓ=
CDÓ=
_14=7`(cm)
;2!;
;2!;
△OCN에서
ONÓ=
"Ã
9Û`-7Û`=4
2`(cm)
'
ABÓ=CDÓ이므로 OMÓ=ONÓ=4
2`cm
'
따라서 원 O의 반지름의 길이는
`cm이다. …… [ 30`% ]
;1*0(;
09 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서
A
04
ABÓ⊥CDÓ, ADÓ=BDÓ이므로
CDÓ의 연장선은 오른쪽 그림과
같이 원의 중심을 지난다. 원의
중심을 O라 하면
A
13 cm
D
24 cm
B
C
O
ADÓ=
ABÓ=
;2!;
;2!;_
△AOD에서 ODÓ=
"Ã
24
12`(cm)
=
13Û`-12Û`=5`(cm)
∴ CDÓ=OCÓ-ODÓ=13-5=8`(cm)
C
N
D
CDÓ에 내린 수선의 발을 N이라 하면
ABÓ=CDÓ이므로
12 cm
M
8 cm
O
ONÓ=OMÓ=8`cm
…… [ 20`% ]
B
△ONC에서
CNÓ=
12Û`-8Û`=4
"Ã
'
∴ CDÓ=2CNÓ=2_4
5`(cm)
5=8
5`(cm)
'
'
…… [ 25`% ]
…… [ 25`% ]
∴ △ODC=
_CDÓ_ONÓ
;2!;
;2!;
=
_8
5_8=32
5`(cmÛ`) …… [ 30`% ]
'
'
05
ABÓ⊥CDÓ, ADÓ=BDÓ이므로 CDÓ
의 연장선은 오른쪽 그림과 같이 원
의 중심을 지난다.
원의 중심을 O, 원의 반지름의 길
C
A
2 cm
D
r cm
B
8 cm
10 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에
서 ABÓ, CDÓ에 내린 수선의 발을 각
O
(r-2) cm
각 M, N이라 하면 ABÓ∥CDÓ이므로
A
C
16 cm
M
O
N
16 cm
10 cm
B
D
이를 r`cm라 하면
ODÓ=(r-2)`cm
이때 ADÓ=
ABÓ
Ó=
;2!;
△AOD에서 rÛ`=4Û`+(r-2)Û`
∴ r=5
4r=20
;2!;
_8=4`(cm)이므로
따라서 원래 접시의 지름의 길이는 2_5=10`(cm)이다.
세 점 M, O, N은 한 직선 위에 있다.
NDÓ=
CDÓ=
_16=8`(cm)
;2!;
;2!;
△OND에서
ONÓ=
"Ã
10Û`-8Û`=6`(cm)
ABÓ=CDÓ이므로 OMÓ=ONÓ
이때 두 현 AB, CD 사이의 거리는 MNÓ의 길이와 같으므로
MNÓ=2ONÓ=2_6=12`(cm)
06 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에
서 ABÓ에 내린 수선의 발을 M이라
하면
OMÓ=
_10=5`(cm)
;2!;
△OAM에서 AMÓ=
"Ã
∴ ABÓ=2AMÓ=2_5
10Û`-5Û`=5
3`(cm)
'
3`(cm)
3=10
'
'
O
M
A
10 cm
11 OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ
즉 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로
B
∠
ACB=∠ABC=68ù
∴ ∠BAC=180ù-(68ù+68ù)=44ù
따라서 AMON에서
∠x=360ù-(44ù+90ù+90ù)=136ù
07 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서
ABÓ에 내린 수선의 발을 M이라 하면
MBÓ=
ABÓ=
_18=9`(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
MDÓ=
CDÓ=
_6=3`(cm)
∴ BDÓ=MBÓ-MDÓ=9-3=6`(cm)
B
18 cm
O
M
6 cm
D
C
A
12 ⑴ ODÓ=OEÓ=OFÓ이므로 ABÓ=BCÓ=CAÓ
즉 △ABC는 정삼각형이다.
⑵ ABÓ⊥ODÓ이므로 ADÓ=BDÓ
∴ ABÓ=2ADÓ=2_3=6`(cm)
3
∴ △ABC= '
4
_6Û`=9
3`(cmÛ`)
'
54 정답과 해설
∠APB=360ù-(90ù+115ù+90ù)=65ù
⑵
∠PBO=90ù이므로 △PBO에서
2 원의 접선
개념 확인
1. ⑴ 5 ⑵ 65
3. ⑴ 10 ⑵ 4
2. ⑴ x=2, y=4, z=3 ⑵ x=4, y=7, z=5
1 ⑴ PAÓ=PBÓ=5`cm
∴ x=5
⑵
∠PAO=∠PBO=90ù이므로
APBO에서
∴ x=65
2 ⑴ AFÓ=ADÓ=2
∴ x=2
BDÓ=BEÓ=4
∴ y=4
CEÓ=CFÓ=3
∴ z=3
⑵
ADÓ=AFÓ=4
∴ x=4
BDÓ=BEÓ=7
∴ y=7
CFÓ=CEÓ=5
∴ z=5
3 ⑴ ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로
x+12=7+15
∴ x=10
⑵
ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로
8+6=x+10
∴ x=4
step 1
2
1 ⑵ 6
1-1. ⑴
'
1-2. ⑴ 12 ⑵ 2
3 ⑶ 130 ⑷ 56
'
1 ⑶ 55 ⑷ 61
2
'
2-1. 9`cm
연구
BEÓ, CEÓ
2-2. 15`cm
3-1. 3`cm
연구
ADÓ
3-2. 12`cm
1-1 ⑴ ∠PAO=90ù이므로 △APO에서
5Û`-2Û`=
PAÓ=
1`(cm)
2
'
1`cm
2
'
PBÓ=PAÓ=
∴ x=
2
1
⑵
∠PAO=90ù이므로 △AOP에서
"Ã
'
"Ã
PAÓ=
12Û`-6Û`=6
3`(cm)
'
3`cm
'
PBÓ=PAÓ=6
∴ x=6
3
'
⑶
∠PAO=∠PBO=90ù이므로 APBO에서
∠AOB=360ù-(90ù+50ù+90ù)=130ù
144쪽 ~145쪽
∴ x=130
⑷
PAÓ=PBÓ이므로 △PBA는 이등변삼각형이다.
∠PBA=∠PAB=62ù이므로
∠APB=180ù-(62ù+62ù)=56ù
∴ x=56
1-2 ⑴ ∠OBP=90ù이므로 △BPO에서
13Û`-5Û`=12`(cm)
PBÓ=
"Ã
PAÓ=PBÓ=12`cm
∴ x=12
PBÓ=
10Û`-4Û`=2
2
1`(cm)
"Ã
'
1`cm
2
'
PAÓ=PBÓ=2
∴ x=2
2
1
'
⑶
∠PAO=∠PBO=90ù이므로 AOBP에서
∠APB=360ù-(90ù+125ù+90ù)=55ù
∴ x=55
⑷
PAÓ=PBÓ이므로 △PBA는 이등변삼각형이다.
∠ PAB=∠PBA
=
_(180ù-58ù)=61ù
;2!;
∴ x=61
146쪽
2-1 AFÓ=ADÓ=2`cm
BEÓ=BDÓ=8-2=6`(cm)
CEÓ=CFÓ=5-2=3`(cm)
연구
PBÓ, 90
∴ BCÓ=BEÓ+CEÓ=6+3=9`(cm)
2-2 CEÓ=CFÓ=9`cm
ADÓ=AFÓ=15-9=6`(cm)
BDÓ=BEÓ=18-9=9`(cm)
∴ ABÓ=ADÓ+BDÓ=6+9=15`(cm)
3-1
BPÓ=BQÓ=5`cm이고
ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로
(APÓ+5)+9=7+10
∴ APÓ=3`(cm)
3-2 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로
(4+PBÓ)+(7+DRÓ)=7+16
∴ PBÓ+DRÓ=12`(cm)
7. 원과 직선 55
정답과 해설
147쪽 ~151쪽
5-2 DEÓ=DAÓ=4`cm, CEÓ=CBÓ=9`cm이므로
step 2
1-2. 60`cmÛ`
3`cm
3-2. 4
'
5-2. 78`cmÛ`
7-2. 5`cm
10-2. 6`cm
9-2. ABÓ=10`cm, ADÓ=9`cm
2-2. 46ù
4-2. 3`cm
6-2. 6`cm
8-2. ⑴ 15`cm ⑵ 9p`cmÛ`
1-2 OBÓ=OAÓ=8`cm이므로 OPÓ=8+9=17`(cm)
∠OAP=90ù이므로 △OAP에서
17Û`-8Û`=15`(cm)
APÓ=
"Ã
∴ △OAP=
;2!;
_15_8=60`(cmÛ`)
2-2 ∠PAO=90ù이므로
∠PAB=90ù-23ù=67ù
이때 PAÓ=PBÓ이므로 △PBA는 이등변삼각형이다.
∠PBA=∠PAB=67ù
∴ ∠APB=180ù-(67ù+67ù)=46ù
DCÓ=DEÓ+ECÓ=4+9=13`(cm)
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점
D에서 BCÓ에 내린 수선의
E
C
9 cm
H
4 cm
D
A
O
B
발을 H라 하면
HBÓ=DAÓ=4`cm이므로
CHÓ =CBÓ-HBÓ
=9-4=5`(cm)
△CDH에서
DHÓ=
"Ã
13Û`-5Û`=12`(cm)
따라서 사다리꼴 ABCD의 넓이는
_(4+9)_12=78`(cmÛ`)
;2!;
6-2 오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OHÓ를 긋
는다.
O
H
A
B
6 3
cm
이때 큰 원과 작은 원의 반지름의 길
이의 비가 2：1이므로
OAÓ=2r`cm, OHÓ=r`cm라 하자.
ABÓ는 작은 원의 접선이므로 ABÓ⊥OHÓ
∴ AHÓ=
ABÓ=
_6
3=3
3`(cm)
;2!;
;2!;
'
'
A
B
O
4 cm
60∞
P
3-2 오른쪽 그림과 같이 OPÓ를 그
으면
△AOPª△BOP ( RHS 합동)
∴ ∠OPB=
∠APB
;2!;
;2!;
=
_60ù=30ù
△OBP에서 tan 30ù=
OBÓ
BPÓ
=
4
BPÓ
이므로
△OAH에서
(2r)Û`=(3
'
3)Û`+rÛ`, 3rÛ`=27
rÛ`=9
∴ r=3 (∵ r>0)
따라서 큰 원의 반지름의 길이는
2r=2_3=6`(cm)
7-2 BDÓ=BEÓ=7`cm이므로
AFÓ=ADÓ=10-7=3`(cm)
∴ CEÓ=CFÓ=8-3=5`(cm)
3
'
3
=
4
BPÓ
,
'
3 BPÓ=12
=4
∴ BPÓ=
12
3
'
이때 PAÓ=PBÓ이므로
'
3`(cm)
∠PAB=∠PBA=
_(180ù-60ù)=60ù
;2!;
따라서 △ABP는 정삼각형이므로
3`cm
ABÓ=BPÓ=4
'
8-2 ⑴ △ABC에서
ACÓ=
"Ã
12Û`+9Û`=15`(cm)
⑵ 오른쪽 그림과 같이 원 O의
A
반지름의 길이를 r`cm라 하
면 DBEO는 정사각형이
9 cm
D
F
r cm
O
므로
BDÓ=BEÓ=r`cm
B
E
12 cm
AFÓ=ADÓ=(9-r)`cm, CFÓ=CEÓ=(12-r)`cm
C
4-2 ADÓ=AFÓ=ACÓ+CFÓ=6+1=7`(cm)이므로
이때 ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로
BDÓ=ADÓ-ABÓ=7-5=2`(cm)
∴ BEÓ=BDÓ=2`cm
또 CEÓ=CFÓ=1`cm이므로
BCÓ=BEÓ+CEÓ=2+1=3`(cm)
15=(9-r)+(12-r)
2r=6
∴ r=3
따라서 원 O의 넓이는
p_3Û`=9p`(cmÛ`)
56 정답과 해설
다른 풀이
△ABC=
_12_9
;2!;
=54`(cmÛ`)
원 O의 반지름의 길이를
r`cm라 하면
A
r cm
9 cm
D
F
15 cm
r cm
O
B
E
r cm
12 cm
C
△ABC= △OAB+△OBC+△OCA
이므로
03 OCÓ=OBÓ=3`cm이므로 OPÓ=3+6=9`(cm)
∠PBO=90ù이므로 △PBO에서
PBÓ=
9Û`-3Û`=6
2`(cm)
"Ã
∴ PAÓ=PBÓ=6
'
2`cm
'
04 ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 AOBP에서
∠AOB=360ù-(90ù+60ù+90ù)=120ù
오른쪽 그림과 같이 OPÓ를 그
54=
_9_r+
_12_r+
_15_r
;2!;
;2!;
;2!;
으면
54=18r
∴ r=3
따라서 원 O의 넓이는 p_3Û`=9p`(cmÛ`)
△PAOª△PBO (RHS 합동)
이므로
∠APO=∠BPO=
_60ù=30ù
;2!;
9-2 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ=
_46=23`(cm)
;2!;
△PAO에서
O
B
A
6 3
cm
P
60∞
152쪽~153쪽
…… [ 30`% ]
CDÓ=13`cm이므로 ABÓ=23-13=10`(cm)
BCÓ=14`cm이므로 ADÓ=23-14=9`(cm)
10-2 △ABE에서 ABÓ=
"Ã
EDÓ=x`cm라 하면 BCÓ=(x+6)`cm
10Û`-6Û`=8`(cm)
EBCD가 원 O에 외접하므로
EDÓ+BCÓ=EBÓ+CDÓ에서
x+(x+6)=10+8, 2x=12
∴ x=6
따라서 EDÓ의 길이는 6`cm이다.
step 3
01. 21ù
02. 34`cm
03. 6
2`cm 04. 12p`cmÛ`
'
05. 5`cm
06. :Á3¤:
`cm 07. 49p`cmÛ` 08. 8`cm
09. 2`cm
10. 6p`cm
11. 162`cmÛ` 12. ;7(;
`cm
01 PAÓ=PBÓ이므로 △PAB에서
∠BAP=
_(180ù-42ù)=69ù
;2!;
∠PAO=90ù이므로 ∠OAB=90ù-69ù=21ù
02 ∠PBO=90ù이므로 △PBO에서
13Û`-5Û`=12`(cm)
PBÓ=
"Ã
PAÓ=PBÓ=12`cm, OAÓ=OBÓ=5`cm이므로
(APBO의 둘레의 길이) =OAÓ+APÓ+PBÓ+BOÓ
=5+12+12+5=34`(cm)
OAÓ=6
3 tan 30ù=6
=6`(cm)
'
3
3_ '
3
'
∴ (색칠한 부분의 넓이)=p_6Û`_
=12p`(cmÛ`)
;3!6@0);
05 ACÓ=ATÓ=PTÓ-PAÓ=10-7=3`(cm)
PT'Ó=PTÓ=10`cm이므로
BCÓ=BT'Ó=PT'Ó-PBÓ=10-8=2`(cm)
∴ ABÓ=ACÓ+BCÓ=3+2=5`(cm)
06 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D
에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H
3 cm
D
A
E
4 cm
O
C
H
B
라 하면
HBÓ=DAÓ=3`cm,
DHÓ=ABÓ=2AOÓ
=2_4=8`(cm)
BCÓ=x`cm라 하면
CEÓ=CBÓ=x`cm, CHÓ=(x-3)`cm
DEÓ=DAÓ=3`cm이므로 DCÓ=(x+3)`cm …… [ 30`% ]
△CDH에서 8Û`+(x-3)Û`=(x+3)Û`
…… [ 30`% ]
12x=64
∴ x=
:Á3¤:
:Á3¤:
따라서 BCÓ의 길이는
`cm이다.
…… [ 10`% ]
07 오른쪽 그림과 같이 ABÓ와 작은 원과
의 교점을 H라 하면 OHÓ⊥ABÓ이므로
AHÓ=
ABÓ=
_14=7 (cm)
;2!;
;2!;
큰 원의 반지름의 길이를 R cm, 작은
원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
△OAH에서
7Û`+rÛ`=RÛ`
∴ RÛ`-rÛ`=49
R cm
O
r cm
H
14 cm
A
B
7. 원과 직선 57
정답과 해설 8. 원주각
1 원주각
개념 확인
1. ⑴ 60ù ⑵ 90ù
2. ⑴ 38ù ⑵ 35ù
3. ⑴ 27 ⑵ 10 ⑶ 9
4. ㉠, ㉢
156쪽 ~159쪽
1 ⑴ ∠x=
∠AOB=
_120ù=60ù
;2!;
;2!;
⑵ ∠x=2∠APB=2_45ù=90ù
C
2 ⑴ ∠x=∠APB=38ù
⑵ ABÓ는 원 O의 지름이므로
∠ACB=90ù
△ABC에서
∠x=180ù-(90ù+55ù)=35ù
3 ⑴ µAB=µ CD이므로
∠CQD=∠APB=27ù
∴ x=27
⑵ ∠APB=∠CQD이므로
µAB=µ CD=10
cm
`
∴ x=10
⑶ ∠APB：∠CQD=µAB：µ CD이므로
20ù：60ù=3：x, 1：3=3：x
∴ x=9
∴ (색칠한 부분의 넓이)
=(큰 원의 넓이)-(작은 원의 넓이)
=p(RÛ`-rÛ`)=49p`(cmÛ`)
08 BDÓ=BEÓ=5`cm이므로
AFÓ=ADÓ=7-5=2`(cm)
CFÓ=CEÓ=6`cm이므로
ACÓ=AFÓ+CFÓ=2+6=8`(cm)
09 ADÓ=x`cm라 하면 AFÓ=ADÓ=x`cm이므로
BEÓ=BDÓ=(6-x)`cm, CEÓ=CFÓ=(5-x)`cm
이때 BCÓ=BEÓ+CEÓ이므로
7=(6-x)+(5-x), 2x=4
∴ x=2
따라서 ADÓ의 길이는 2`cm이다.
10 오른쪽 그림에서 원 O의 반지름
A
의 길이를 r`cm라 하면
DBEO는 정사각형이므로
BDÓ=BEÓ=r`cm
AFÓ=ADÓ=(8-r)`cm
CFÓ=CEÓ=(15-r)`cm
이때 ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로
17=(8-r)+(15-r), 2r=6
F
8 cm r cm
O
D
17 cm
B
E
15 cm
…… [ 50`% ]
∴ r=3
…… [ 30`% ]
따라서 원 O의 둘레의 길이는
2p_3=6p`(cm)
…… [ 20`% ]
11 원의 지름의 길이가 2_6=12`(cm)이므로
ABÓ=12`cm
ADÓ+BCÓ =ABÓ+CDÓ
=12+15=27`(cm)
∴ ABCD=
_(ADÓ+BCÓ)_ABÓ
;2!;
;2!;
=
_27_12=162`(cmÛ`)
12 AFÓ=BFÓ=
ABÓ=
_6=3`(cm)이므로
;2!;
;2!;
AEÓ=AFÓ=3`cm, BGÓ=BFÓ=3`cm
∴ CHÓ=CGÓ=10-3=7`(cm)
EIÓ=x`cm라 하면 IHÓ=EIÓ=x`cm이므로
IDÓ=10-(3+x)=7-x`(cm)
58 정답과 해설
4 ㉠ ∠ADB=∠ACB이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위
㉡ ∠BAC+∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위
㉢ ∠ADB=∠ACB이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위
에 있다.
에 있지 않다.
에 있다.
에 있지 않다.
△ICD에서
㉣ ∠DAC+∠DBC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위
(7+x)Û`=(7-x)Û`+6Û`, 28x=36
∴ x=
;7(;
따라서 EIÓ의 길이는
`cm이다.
;7(;
다.
따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것은 ㉠, ㉢이
step 1
1-1. ⑴ 58ù ⑵ 46ù ⑶ 40ù ⑷ 65ù 연구
, 90ù
;2!;
1-2. ⑴ 126ù ⑵ 73ù ⑶ 56ù ⑷ 50ù
2-1. ⑴ 3 ⑵ 50 연구 정비례
160쪽
3-1 ⑴ ∠x=∠BAC=55ù
⑵ ∠ABD=∠ACD=40ù이므로
△ABP에서
∠x=180ù-(70ù+40ù)=70ù
∴ ∠x =∠ADC-∠BDC
=90ù-25ù=65ù
2-2. ⑴ 8 ⑵ 18
3-1. ⑴ 55ù ⑵ 70ù
3-2. ⑴ 110ù ⑵ 85ù
1-1 ⑴ ∠x=
∠AOB=
_116ù=58ù
;2!;
;2!;
⑵ ∠APB=
∠AOB=
;2!;
△PAO에서
OPÓ=OAÓ이므로 ∠x=∠APO=46ù
;2!;
_92ù=46ù
⑶ ∠x=∠ACB=40ù
⑷ ∠BDC=∠BAC=25ù
이때 ACÓ는 원 O의 지름이므로
∠ADC=90ù
1-2 ⑴ ∠x=2∠APB=2_63ù=126ù
⑵ ∠AOB=360ù-214ù=146ù
∴ ∠x=
∠AOB=
_146ù=73ù
;2!;
;2!;
⑶ ∠x=∠ADB=56ù
⑷ ∠BAC=∠BDC=40ù
이때 ACÓ는 원 O의 지름이므로
∠ABC=90ù
△ABC에서
∠x=180ù-(40ù+90ù)=50ù
2-1 ⑴ ∠APB=∠CQD이므로
µAB=µ CD=3
cm
∴ x=3
⑵ ∠APB：∠BPC=µAB：µ BC이므로
xù：25ù=8：4, x：25=2：1
∴ x=50
2-2 ⑴ ∠APB=∠BPC이므로
µ BC=µAB=4
cm
따라서 µAC=4+4=8
(cm)이므로 x=8
`
⑵ ∠APB：∠CQD=µAB：µ CD이므로
xù：54ù=5：15, x：54=1：3
3x=54
∴ x=18
`
`
3-2 ⑴ ∠DAC=∠DBC=50ù이므로
△APD에서 ∠x=50ù+60ù=110ù
⑵ △PCD에서 ∠PDC=110ù-25ù=85ù
∴ ∠x=∠BDC=85ù
step 2
1-2. ∠x=120ù, ∠y=240ù 1-3. 126ù
161쪽 ~165쪽
3-2. ⑴ ∠x=60ù, ∠y=25ù ⑵ ∠x=58ù, ∠y=36ù
2-2. 61ù
4-2. 63ù
6-2. 66ù
8-2. 54ù
10-2. 110ù
cm
3
5-2. 2
'
7-2. 51ù
`
9-2. 60ù
1-2
¨ BAD에 대한 원주각의 크기가 60ù이므로
∠BOD=2_60ù=120ù
∴ ∠y=360ù-120ù=240ù
∠x=
_240ù=120ù
;2!;
1-3 오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면
P
Q
∠AOB =2∠APB
=2_28ù=56ù
∠BOC =2∠BQC
=2_35ù=70ù
∴ ∠x=56ù+70ù=126ù
35∞
A
x
C
28∞
O
B
2-2 ∠PAO=∠PBO=90ù이므로
APBO에서
∠AOB=360ù-(90ù+58ù+90ù)=122ù
∴ ∠x=
∠AOB=
_122ù=61ù
;2!;
;2!;
3-2 ⑴ ∠x=∠BAC=60ù
△DPC에서
60ù+∠y=85ù
∴ ∠y=25ù
8. 원주각 59
정답과 해설 ⑵ ∠x=∠ADB=58ù
∠DBA=∠DCA=56ù이므로
△ABC에서
∠y=180ù-(56ù+30ù+58ù)=36ù
10-2 △DPB에서 ∠DBC=50ù+30ù=80ù
네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
∠x=∠DBC=80ù
∠y=∠PDB=30ù
∴ ∠x+∠y=80ù+30ù=110ù
4-2 오른쪽 그림과 같이 BCÓ를 그으면
D
∠DCB=∠DAB=27ù
이때 ABÓ는 원 O의 지름이므로
∠ACB=90ù
∴ ∠x=90ù-27ù=63ù
A
27∞
O
B
x
C
A
60∞
D
C
B
O
6 cm
5-2 오른쪽 그림과 같이 BOÓ의 연장선이
원 O와 만나는 점을 D라 하면
∠BDC=∠BAC=60ù이고
∠BCD=90ù이므로
△BCD에서
6
BDÓ
sin 60ù=
3
, '
2
=
6
BDÓ
3
BDÓ=12
∴ BDÓ=4
3 (cm)
`
'
따라서 원 O의 반지름의 길이는 2
'
3
cm이다.
'
`
µAB=µ CD이므로 ∠ACB=∠DBC=33ù
6-2
△PBC에서 ∠x=33ù+33ù=66ù
7-2 ∠CAB：∠ACD=µ BC：µAD=3：2이고
△ACP에서 ∠ACP+∠CAP=85ù이므로
3
3+2
∠CAB=85ù_
=85ù_
=51ù
;5#;
8-2
µAB：µ BC：µ CA=4：3：3이므로
∠ACB：∠BAC：∠ABC=4：3：3
∴ ∠x=180ù_
3
4+3+3
=180ù_
=54ù
;1£0;
9-2 오른쪽 그림과 같이 ABÓ를 그으면
A
D
µAD의 길이는 원주의
이므로
;1Á2;
∠ABD=180ù_
=15ù
;1Á2;
이때 µAD：µ BC=1：3이므로
x
P
B
C
166쪽 ~168쪽
step 3
01. 34ù
05. 75ù
09. (15+5
3)
'
cm
12. 10
`
16. 42ù
02. 11p
`
06. 37ù
cm
`
13. 26
`
17. 63ù
cmÛ
03. 115ù
`
07. 62ù
10. 62ù
04. 10ù
08. 3
11. 26ù
cm
14. 12ù
15. 40ù
18. ①, ④
19. 37ù
01 오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면
E
D
∠AOB =2∠AEB
=2_32ù=64ù
∠BOC=132ù-64ù=68ù이므로
A
132∞
C
32∞
O
B
∠BDC=
∠BOC
;2!;
;2!;
=
_68ù=34ù
02 ∠BOC=2∠BAC=2_55ù=110ù
∴ (색칠한 부분의 넓이)=p_6Û
_
110
360
`
`
=11p
(cmÛ
)
`
03 ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 APBO에서
∠AOB=360ù-(90ù+50ù+90ù)=130ù
이때 ¨ADB에 대한 중심각의 크기는 360ù-130ù=230ù이
므로 ∠x=
_230ù=115ù
;2!;
04 ∠x=∠BAC=45ù
△BCD에서
∠CBD=180ù-(20ù+60ù+45ù)=55ù
…… [ 30
% ]
∴ ∠y=∠CBD=55ù
∴ ∠y-∠x=55ù-45ù=10ù
…… [ 50
% ]
…… [ 20
% ]
`
`
`
∠ABD：∠BAC=1：3, 15ù：∠BAC=1：3
∴ ∠BAC=45ù
△ABP에서 ∠x=45ù+15ù=60ù
05 ∠DBC=∠DAC=20ù
△ACQ에서 ∠ACB=20ù+35ù=55ù
△PBC에서 ∠x=20ù+55ù=75ù
60 정답과 해설
06 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면
C
11 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면
C
A
32∞
O
D
x
B
D
25∞
O
A
C
B
ABÓ는 원 O의 지름이므로
∠ADB=90ù
µ CD=µ DB이므로
∠CBD=∠DAB=32ù
△DAB에서
32ù+(∠x+32ù)+90ù=180ù
∴ ∠x=26ù
12 △ABP에서 ∠BAP=75ù-30ù=45ù
∠BAC：∠ABD=µ BC：µAD이므로
45ù：30ù=15：µAD, 3：2=15：µAD
3µAD=30
∴ µAD=10
(cm)
`
13 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으
면 ABÓ는 원 O의 지름이므로
∠ACB=90ù
∠ABC=∠ADC=25ù이므로
10 cm
△ACB에서
∠BAC =180ù-(90ù+25ù)=65ù
∠ADC：∠BAC=µAC：µ CB이므로
25ù：65ù=10：µ CB, 5：13=10：µ CB
5µ CB=130
∴ µ CB=26
(cm)
`
14 오른쪽 그림과 같이 원 O 위의
PQ
A
O
96∞
12 cm
x
D
3 cm
C
B
한 점 Q를 잡아 AQÓ, BQÓ를 그으
면
∠AQB=
∠AOB
;2!;
;2!;
=
_96ù=48ù
∠AQB：∠CPD=µAB：µ CD이므로
48ù：∠x=12：3, 48ù：∠x=4：1
4∠x=48ù
∴ ∠x=12ù
ABÓ는 원 O의 지름이므로
∠ACB=90ù
∠CAB=∠CDB=53ù
△CAB에서
∠x=180ù-(53ù+90ù)=37ù
A
x
B
O
53∞
D
07 오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으
면 ABÓ는 반원 O의 지름이므로
∠ADB=90ù
∠CAD=
∠COD
;2!;
C
D
P
x
56∞
O
A
B
=
_56ù=28ù
;2!;
△PAD에서
∠x=180ù-(90ù+28ù)=62ù
08 오른쪽 그림과 같이 원 O의 중심을 지
A′
A
O
2 5
B
C
나는 A'CÓ를 그으면
∠BA'C=∠BAC이고
∠A'BC=90ù이므로
tan A=tan A'=
BCÓ
A'BÓ
5
= '
2
2
5
'
A'BÓ
5
= '
2
,
'
5 A'BÓ=4
5
'
∴ A'BÓ=4
△A'BC에서 A'CÓ=
"Ã
따라서 원 O의 반지름의 길이는 3이다.
(2
5)Û
+4Û
=6
'
`
`
09 ABÓ는 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù
이때 ABÓ=2 OBÓ=2_5=10
`
(cm)이므로 …… [ 30
% ]
△ABC에서
3
BCÓ=10 cos 30ù=10_ '
2
=5
3
(cm) …… [ 30
% ]
'
`
`
`
`
`
ACÓ=10 sin 30ù=10_
=5
(cm)
…… [ 30
% ]
;2!;
`
15
µAB：µ BC：µ CA=3：2：4이므로
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
3+5
ABÓ+BCÓ+CAÓ =10+5
=15+5
3
(cm)
…… [ 10
% ]
'
'
`
∠ACB：∠BAC：∠ABC=3：2：4
∴ ∠x=180ù_
2
3+2+4
=180ù_
=40ù
;9@;
10
µAB=µ BC이므로
∠BAC=∠ADB=28ù
BDÓ는 원 O의 지름이므로 ∠BAD=90ù
∴ ∠x=90ù-28ù=62ù
16
µAC의 길이는 원주의
이므로
;1Á2;
∠CBA=180ù_
=15ù
;1Á2;
△PAB에서 ∠PAB=36ù-15ù=21ù
∴ ∠DOB=2∠DAB=2_21ù=42ù
8. 원주각 61
정답과 해설 17 오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면
⑵ ∠x+100ù=180ù
∴ ∠x=80ù
D
A
B
x
P
µAB의 길이는 원주의
이므로
;1Á0;
∠ADB=180ù_
=18ù
;1Á0;
이때 µAB：µ CD=2：5이므로
…… [ 30
% ]
`
∠y=∠A=75ù
않는다.
2 ㉠ ∠B+∠D+180ù이므로 ABCD는 원에 내접하지
㉡ ∠A=∠DCE이므로 ABCD는 원에 내접한다.
∠ADB：∠CAD=2：5, 18ù：∠CAD=2：5
㉢ ∠BAC=∠BDC이므로 ABCD는 원에 내접한다.
2∠CAD=90ù
∴ ∠CAD=45ù
…… [ 40
% ]
㉣ ∠B+∠D=180ù이므로 ABCD는 원에 내접한다.
△APD에서 ∠x=45ù+18ù=63ù
…… [ 30
% ]
따라서 ABCD가 원에 내접하는 것은 ㉡, ㉢, ㉣이다.
③ ∠ABD=90ù-25ù=65ù
1-2. ⑴ ∠x=60ù, ∠y=105ù ⑵ ∠x=75ù, ∠y=55ù
∠ABD=∠ACD이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위
2-1. ⑴ ∠x=70ù, ∠y=90ù ⑵ ∠x=85ù, ∠y=85ù
step 1
1-1. ⑴ ∠x=95ù, ∠y=115ù
⑵ ∠x=80ù, ∠y=100ù 연구 180ù
171쪽
2-2. ⑴ ∠x=103ù, ∠y=105ù ⑵ ∠x=83ù, ∠y=85ù
3-1. ㉡, ㉣
3-2. ㉠, ㉣
C
`
`
18 ① ∠BAC+∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위
에 있지 않다.
② ∠DBC=35ù+35ù=70ù
∠DAC=∠DBC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위
에 있다.
에 있다.
에 있다.
④이다.
④ ∠ADB=180ù-(40ù+110ù)=30ù
∠ADB+∠ACB이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위
에 있지 않다.
⑤ ∠BDC=180ù-(45ù+75ù)=60ù
∠BAC=∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위
따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있지 않은 것은 ①,
19 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
∠BDC=∠BAC=44ù
△BCD에서
∠x=180ù-(42ù+57ù+44ù)=37ù
2 원과 사각형
개념 확인
2. ㉡, ㉢, ㉣
1. ⑴ ∠x=75ù, ∠y=85ù ⑵ ∠x=80ù, ∠y=75ù
1-1 ⑴ 85ù+∠x=180ù
∴ ∠x=95ù
∴ ∠y=115ù
65ù+∠y=180ù
⑵ △ABD에서 ∠x+60ù+40ù=180ù
∴ ∠x=80ù
80ù+∠y=180ù
∴ ∠y=100ù
1-2 ⑴ 120ù+∠x=180ù
∴ ∠x=60ù
75ù+∠y=180ù
∴ ∠y=105ù
⑵ (50ù+35ù)+(∠y+40ù)=180ù
∴ ∠y=55ù
△ABC에서 50ù+∠x+55ù=180ù
∴ ∠x=75ù
2-1 ⑴ ∠x=∠A=70ù
90ù+∠y=180ù
⑵ △ACD에서
∠y=∠x=85ù
∴ ∠y=90ù
2-2 ⑴ ∠x+77ù=180ù
∴ ∠x=103ù
∠y=∠A=105ù
169쪽 ~170쪽
50ù+45ù+∠x=180ù
∴ ∠x=85ù
1 ⑴ 105ù+∠x=180ù
∴ ∠x=75ù
⑵ ∠x=∠DCE=83ù
95ù+∠y=180ù
∴ ∠y=85ù
95ù+∠y=180ù
∴ ∠y=85ù
62 정답과 해설
㉡ ∠BAC=∠BDC이므로 ABCD는 원에 내접한다.
㉢ ∠A+∠C+180ù이므로 ABCD는 원에 내접하지
3-2 ABCD가 원에 내접하므로
3-1 ㉠ ∠ADC=180ù-55ù=125ù
∠ADC+∠ABE이므로 ABCD는 원에 내접하지
않는다.
않는다.
않는다.
는다.
㉣ ∠A+∠C=180ù이므로 ABCD는 원에 내접한다.
따라서 ABCD가 원에 내접하는 것은 ㉡, ㉣이다.
3-2 ㉠ △ABC에서 ∠B=180ù-(60ù+50ù)=70ù
∠B+∠D=180ù이므로 ABCD는 원에 내접한다.
㉡ ∠BAC+∠BDC이므로 ABCD는 원에 내접하지
㉢ ∠D+∠ABE이므로 ABCD는 원에 내접하지 않
㉣ ∠A+∠C=180ù이므로 ABCD는 원에 내접한다.
따라서 ABCD가 원에 내접하는 것은 ㉠, ㉣이다.
5-2 PQCD가 원 O'에 내접하므로
step 2
1-2. ⑴ ∠x=115ù, ∠y=65ù ⑵ ∠x=69ù, ∠y=111ù
172쪽 ~174쪽
2-2. ⑴ 47ù ⑵ 73ù
4-2. 50ù
6-2. ①, ⑤
3-2. 52ù
5-2. 168ù
1-2 ⑴ △ABC에서 ∠x=180ù-(45ù+20ù)=115ù
ABCD가 원에 내접하므로
115ù+∠y=180ù
⑵ △ABD에서
∴ ∠y=65ù
∠DAB=∠DBA=
_(180ù-42ù)=69ù
;2!;
∴ ∠x=69ù
ABCD가 원에 내접하므로
69ù+∠y=180ù
∴ ∠y=111ù
2-2 ⑴ 한 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로
∠BAC=∠BDC=53ù
ABCD가 원 O에 내접하므로
∠DAB=∠DCE=100ù
즉 ∠x+53ù=100ù
∴ ∠x=47ù
⑵ ∠BAD=
∠BOD=
_146ù=73ù
;2!;
;2!;
ABCD가 원 O에 내접하므로
∠x=∠BAD=73ù
∠PBC=∠ADC=44ù
△QCD에서 ∠QCP=40ù+44ù=84ù
△BPC에서 44ù+∠x+84ù=180ù
∴ ∠x=52ù
4-2 오른쪽 그림과 같이 CEÓ를 그으면
A
ABCE가 원 O에 내접하므로
120ù+∠AEC=180ù
∴ ∠AEC=60ù
∠CED=85ù-60ù=25ù이므로
∠x=2∠CED=2_25ù=50ù
E
85∞
B
120∞
O
x
C
D
∠PQB=∠PDC=96ù
ABQP가 원 O에 내접하므로
∠BAP+96ù=180ù
∴ ∠BAP=84ù
∴ ∠x=2∠BAP=2_84ù=168ù
6-2 ① ∠A+∠C=90ù+90ù=180ù
② ∠BAD=180ù-95ù=85ù이므로 ∠BAD+∠DCE
③ ∠B+∠D=85ù+85ù=170ù
④ △DBC에서 ∠BCD=180ù-(40ù+80ù)=60ù
이므로
∠BAD+∠BCD=110ù+60ù=170ù
⑤ ABCD는 등변사다리꼴이므로
∠BAD+∠BCD=180ù
따라서 ABCD가 원에 내접하는 것은 ①, ⑤이다.
01. 210ù
02. 22ù
03. 15ù
06. 120ù
07. 65ù
175쪽 ~176쪽
04. 60ù
08. 15ù
10. 105ù
11. 145ù
12. ①, ③
14. 37ù
step 3
05. 70ù
09. 56ù
13. ⑤
01 ABCD가 원 O에 내접하므로
∠x+110ù=180ù
∴ ∠x=70ù
∠y=2∠x=2_70ù=140ù
∴ ∠x+∠y=70ù+140ù=210ù
8. 원주각 63
정답과 해설
02 BCÓ는 원 O의 지름이므로 ∠BAC=90ù
10 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면
ABCD가 원 O에 내접하므로
∠ABC+112ù=180ù
∴ ∠ABC=68ù
△ABC에서 ∠x=180ù-(90ù+68ù)=22ù
03 BCDE가 원 O에 내접하므로
85ù+∠x=180ù
∴ ∠x=95ù
…… [ 40
% ]
ABCD가 원 O에 내접하므로
A
105∞
E
B
O
60∞
x
D
C
∠BAC=
∠BOC
;2!;
;2!;
=
_60ù=30ù
∠CAE=105ù-30ù=75ù
ACDE가 원 O에 내접하므로
75ù+∠x=180ù
∴ ∠x=105ù
∠BAD+95ù=180ù
∴ ∠BAD=85ù …… [ 20
% ]
11 오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면
A
△ABF에서 ∠y=25ù+85ù=110ù
∴ ∠y-∠x=110ù-95ù=15ù
…… [ 20
% ]
…… [ 20
% ]
ABCD가 원에 내접하므로
115ù+∠CDA=180ù
F
100∞
B
115∞
04 ABCD가 원 O에 내접하므로
∠CDP=∠ABC=88ù
△DCP에서 ∠x=180ù-(88ù+32ù)=60ù
05 △ABD에서 ∠BAD=180ù-(45ù+65ù)=70ù
ABCD가 원 O에 내접하므로
∠x=∠BAD=70ù
06 ∠BAD=
_240ù=120ù
;2!;
ABCD가 원 O에 내접하므로
∠x=∠BAD=120ù
07 ABCE가 원 O에 내접하므로
∠EAB+85ù=180ù
∴ ∠EAB=95ù
∴ ∠BAD=95ù-30ù=65ù
ABCD가 원 O에 내접하므로
∠DCF=∠BAD=65ù
08 ∠ABD=180ù-(100ù+48ù)=32ù
한 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로
∠y=∠ABD=32ù
∠BDC=∠BAC=53ù
ABCD가 원에 내접하므로
∠ADC=∠ABE=100ù
즉 ∠x+53ù=100ù
∴ ∠x=47ù
∴ ∠x-∠y=47ù-32ù=15ù
∴ ∠CDA=65ù
ADEF가 원에 내접하므로
100ù+∠ADE=180ù
∴ ∠ADE=80ù
C
x
D
E
∴ ∠x=∠CDA+∠ADE=65ù+80ù=145ù
12 ① 오른쪽 그림에서
∠BAP =∠PQC
A
103∞
B
O
77∞
D E
103∞
P
Q
77∞
O′
103∞
C
=∠CDE
=103ù
즉 동위각의 크기가 같으므로
ABÓ∥CDÓ
② ABÓ∥PQÓ인지 알 수 없다.
③ ∠PDC=180ù-103ù=77ù
④ ∠ABQ의 크기는 알 수 없다.
⑤ ∠BQP=180ù-103ù=77ù
따라서 옳은 것은 ①, ③이다.
13 ① ∠CAD=∠CBD=34ù
② ∠DCE=∠BAD=118ù
③ ∠DCB=∠EDC=75ù (엇각)
∴ ∠BAD+∠DCB=105ù+75ù=180ù
④ ∠ADB=180ù-(90ù+35ù)=55ù
∴ ∠ACB=∠ADB
⑤ ∠DAC=180ù-(30ù+90ù)=60ù
△DPB에서 ∠DBC=30ù+35ù=65ù
∴ ∠DAC+∠DBC
따라서 ABCD가 원에 내접하지 않는 것은 ⑤이다.
09 ABCD가 원에 내접하므로
∠QAB=∠DCB=∠x
…… [ 30
% ]
△PBC에서 ∠PBQ=∠x+23ù
△AQB에서
∠x+45ù+(∠x+23ù)=180ù
2∠x=112ù
∴ ∠x=56ù
…… [ 30
% ]
14 ∠BAC=∠BDC=68ù이므로
…… [ 30
% ]
…… [ 10
% ]
ABCD는 원에 내접한다.
즉 ∠ABC+∠ADC=180ù이므로
75ù+(∠x+68ù)=180ù
∴ ∠x=37ù
64 정답과 해설
`
`
`
`
`
`
`
`
177쪽
178쪽
3 접선과 현이 이루는 각
개념 확인
1. ⑴ 70ù ⑵ 55ù
1 ⑴ ∠x=∠BAT=70ù
⑵ ∠x=∠CBA=55ù
step 1
1-1. ⑴ 110ù ⑵ 75ù 연구 원주각
1-2. ⑴ 40ù ⑵ 45ù
2-1. 15ù
2-2. 22ù
3-1. ⑴ 32ù ⑵ 30ù 연구 90ù
3-2. ⑴ 46ù ⑵ 17ù
1-1 ⑴ ∠x=∠CBA=110ù
⑵ △BCA에서
∠BCA=180ù-(35ù+70ù)=75ù
∴ ∠x=∠BCA=75ù
1-2 ⑴ ∠x=∠BAT=40ù
⑵ ∠CBA=∠CAT=80ù
△CAB에서
∠x=180ù-(55ù+80ù)=45ù
2-1 ∠y=∠BCA=72ù
∠x=180ù-(51ù+72ù)=57ù
∴ ∠y-∠x=72ù-57ù=15ù
2-2 ∠x=∠CAT=85ù
△CAB에서
∠y=180ù-(32ù+85ù)=63ù
∴ ∠x-∠y=85ù-63ù=22ù
3-1 ⑴ BCÓ는 원 O의 지름이므로 ∠CAB=90ù
△CAB에서
∠BCA=180ù-(90ù+58ù)=32ù
∴ ∠x=∠BCA=32ù
⑵ BCÓ는 원 O의 지름이므로 ∠CAB=90ù
∠BCA=∠BAT=60ù
△CAB에서 ∠x=180ù-(60ù+90ù)=30ù
3-2 ⑴ BCÓ는 원 O의 지름이므로 ∠CAB=90ù
△CAB에서
∠BCA=180ù-(44ù+90ù)=46ù
∴ ∠x=∠BCA=46ù
⑵ BCÓ는 원 O의 지름이므로 ∠CAB=90ù
∠BCA=∠BAT=73ù
△CAB에서
∠x=180ù-(73ù+90ù)=17ù
179쪽 ~181쪽
step 2
1-2. ∠x=60ù, ∠y=40ù
3-2. 40ù
5-2. 45ù
2-2. 55ù
4-2. 56ù
6-2. 57ù
1-2 ∠ACB=
∠AOB=
_120ù=60ù
;2!;
;2!;
∴ ∠x=∠BCA=60ù
△OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠OBA=∠OAB=
_(180ù-120ù)=30ù
;2!;
∠CBA=∠CAT=70ù이므로
∠y=70ù-30ù=40ù
2-2 ABCD가 원에 내접하므로
∠BCD+95ù=180ù
∴ ∠BCD=85ù
△BCD에서
∠DBC=180ù-(85ù+40ù)=55ù
∴ ∠x=∠DBC=55ù
3-2 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으
면 ABÓ는 원 O의 지름이므로
∠ACB=90ù
B
25∞
O
△ACB에서
∠BAC =180ù-(25ù+90ù)
A
x
P
C
T
=65ù
∠ACP=∠ABC=25ù이므로
△APC에서 ∠x=65ù-25ù=40ù
4-2 ∠FEC=∠FDE=62ù, ∠EFC=∠EDF=62ù이므로
△ECF에서 ∠ECF=180ù-(62ù+62ù)=56ù
△ABC에서 ∠x=180ù-(68ù+56ù)=56ù
8. 원주각 65
정답과 해설 5-2 원O에서∠BTQ=∠BAT=70ù
06 ∠BCA=∠BAT=30ù
……[25
%]
182쪽 ~183쪽
∠CBA=∠CAT=62ù이므로
µAB=µ BC이므로∠CAB=∠BCA=30ù ……[25
%]
△ABC에서
∠ABC=180ù-(30ù+30ù)=120ù
……[25
%]
따라서ABCD가원에내접하므로
∠ADC+120ù=180ù
∴ ∠ADC=60ù……[25
%]
07 오른쪽그림과같이ABÓ를그
으면BCÓ는원O의지름이므로
∠CAB=90ù
△ABC에서
∠x=180ù-(90ù+62ù)=28ù
∠BAP=∠BCA=28ù이므로
△APB에서∠y=62ù-28ù=34ù
C
x
O
62∞
T
A
B
y
P
08 오른쪽그림과같이BDÓ를그으면
D
ADÓ는원O의지름이므로
∠ABD=90ù
`
ABCD가원O에내접하므로
……[30
%]
∠BAD+114ù=180ù
∴∠BAD=66ù
O
114∞
A
T
x
B
……[30
%]
△ABD에서
∠ADB=180ù-(66ù+90ù)=24ù
∴∠x=∠ADB=24ù
……[40
%]
`
`
`
`
C
`
`
09 △ABC에서
∠ABC=180ù-(54ù+68ù)=58ù
△BED에서BEÓ=BDÓ이므로
∴∠x=∠BED=61ù
10 △PBA에서PAÓ=PBÓ이므로
∠PAB=∠PBA=
_(180ù-40ù)=70ù
;2!;
;2!;
∠CAB=∠CBE=65ù이므로
∠x=180ù-(70ù+65ù)=45ù
11 원O에서∠ATP=∠ABT=45ù
원O'에서∠DTP=∠DCT=80ù
∴∠x=180ù-(45ù+80ù)=55ù
12 ∠CDT=180ù-112ù=68ù이므로
∠BAT=∠BTQ=∠CDT=68ù
원O'에서∠CTQ=∠CDT=∠x
∴∠x=180ù-(70ù+65ù)=45ù
6-2 ∠DCT=180ù-122ù=58ù이므로
∠ABT=∠ATP=∠DCT=58ù
△ABT에서∠x=180ù-(65ù+58ù)=57ù
step 3
01.36ù
05.30ù
08.24ù
12.57ù
02.33ù
06.60ù
09.61ù
03.35ù
04.64ù
07.∠x=28ù,∠y=34ù
10.45ù
11.55ù
01 △ABC에서CAÓ=CBÓ이므로
∠CBA=∠CAB=72ù
∴∠BCA=180ù-(72ù+72ù)=36ù
∴∠x=∠BCA=36ù
02 ∠CBA=∠CAT=57ù이므로
∠COA=2∠CBA=2_57ù=114ù
△OCA에서OCÓ=OAÓ이므로
∠x=
_(180ù-114ù)=33ù
;2!;
03 ∠CBA=∠CAT=70ù
70ù：∠BCA=2：1,2∠BCA=70ù
∴∠BCA=35ù
∴∠x=∠BCA=35ù
04 ABCD가원에내접하므로
104ù+∠DAB=180ù
∴ ∠DAB=76ù
△DAB에서∠BDA=180ù-(76ù+40ù)=64ù
∴∠x=∠BDA=64ù
05 ABCD가원에내접하므로
72ù+∠ABC=180ù
∴ ∠ABC=108ù
△APB에서∠BAP=108ù-66ù=42ù
∠BCA=∠BAP=42ù이므로
66 정답과 해설
△ABC에서∠x=180ù-(108ù+42ù)=30ù
△ABT에서∠x=180ù-(68ù+55ù)=57ù
∠CBA：∠BCA=µAC：µAB=2：1이므로
∠BED=∠BDE=
_(180ù-58ù)=61ù
9. 원주각의 활용
1 원에서 선분의 길이 사이의 관계
186쪽 ~188쪽
step 1
1-1. ⑴ 6 ⑵ 16
연구
PBÓ
1-2. ⑴ 8 ⑵ 12
2-1. ⑴ 3
2 ⑵ 2
'
2-2. ⑴
⑵
:Á2°:
:ª2£:
3-1. 10
연구
PBÓ
3-2. 8
189쪽
개념 확인
1. ⑴ 12 ⑵ 20
2. ⑴ 12 ⑵ 4 ⑶ 5
3. ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ ×
1 ⑴ PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
4_x=8_6, 4x=48
∴ x=12
⑵
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
5_16=4_x, 4x=80
∴ x=20
2 ⑴ ABÓ⊥CDÓ이므로
PAÓ=PBÓ=6
이때 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
6_6=x_3
∴ x=12
⑵
ODÓ=OCÓ=6이므로
OPÓ=ODÓ-PDÓ=6-2=4
이때 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
5_x=(6+4)_2, 5x=20
∴ x=4
⑶
OCÓ=ODÓ=5이므로
PCÓ=OPÓ-OCÓ=7-5=2
이때 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
3_(3+x)=2_(7+5), 9+3x=24
3x=15
∴ x=5
1-1 ⑴ PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
x_4=8_3, 4x=24
∴ x=6
⑵
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
2_x=4_8, 2x=32
∴ x=16
1-2 ⑴ PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
5_x=4_10, 5x=40
∴ x=8
⑵
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
4_9=3_x, 3x=36
∴ x=12
2-1 ⑴ ABÓ⊥CDÓ이므로 PCÓ=PDÓ=x
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
9_2=x_x, xÛ`=18
∴ x=3
2 (∵ x>0)
'
⑵
OAÓ=OBÓ=5이므로 PBÓ=2+5+5=12
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
2_12=4_(4+x), 24=16+4x
4x=8
∴ x=2
2-2 ⑴ OAÓ=OBÓ=9이므로 OPÓ=9-3=6
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
3_(6+9)=6_x, 6x=45
∴ x=
:Á2°:
⑵
OCÓ=ODÓ=x
3 ⑴ 3_11+5_6이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
⑵ 2_8=4_4이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있
지 않다.
다.
6_(6+12)=4_(4+2x), 108=16+8x
8x=92
∴ x=
:ª2£:
⑶ 3_(3+5)=4_(4+2)이므로 네 점 A, B, C, D는
한 원 위에 있다.
3-1 PDÓ_PAÓ=PCÓ_PBÓ이므로
⑷
4_(4+4)+2_(2+8)이므로 네 점 A, B, C, D는
5_(5+7)=6_x, 6x=60
한 원 위에 있지 않다.
∴ x=10
9. 원주각의 활용 67
정답과 해설
3-2 PAÓ_PDÓ=PBÓ_PCÓ이므로
4-2 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
6_(6+2)=4_(4+x), 48=16+4x
4x=32
∴ x=8
PAÓ=(8-r)`cm, PBÓ=(8+r)`cm
이때 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
(8-r)(8+r)=4_(4+5), 64-rÛ`=36
rÛ`=28
∴ r=2
7 (∵ r>0)
'
따라서 원 O의 반지름의 길이는 2
7`cm이다.
'
step 2
1-2. ⑴ 8 ⑵ 6
3-2. ⑴ 5 ⑵ 8
5-2. ㉠, ㉣
7-2. 6
2-2. 10
4-2. 2
'
3`cm
'
7`cm
6-2. :Á5¥:
8-2. 12
190쪽 ~193쪽
5-2 ㉠ 2_6=4_3이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.
㉡ 6_(6+3)+4_(4+8)이므로 네 점 A, B, C, D는 한
원 위에 있지 않다.
㉢
6_8+10_4이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있
㉣ 4_15=5_(5+7)이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원
1-2 ⑴ PCÓ=x라 하면 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것은 ㉠, ㉣이
지 않다.
위에 있다.
다.
4_16=x_x, xÛ`=64
∴ x=8 (∵ x>0)
따라서 PCÓ의 길이는 8이다.
⑵ PCÓ=x라 하면
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
8_(8+4)=x_(x+10), 96=xÛ`+10x
xÛ`+10x-96=0, (x-6)(x+16)=0
∴ x=6 (∵ x>0)
따라서 PCÓ의 길이는 6이다.
2-2 OBÓ=OAÓ=10`cm이므로
POÓ=PBÓ=
_10=5`(cm)
;2!;
PCÓ=x`cm라 하면 ABÓ⊥CDÓ이므로 PDÓ=PCÓ=x`cm
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
(10+5)_5=x_x, xÛ`=75
∴ x=5
'
즉 PCÓ=5
3 (∵ x>0)
3`cm이므로
'
CDÓ=2PCÓ=2_5
3=10
3`(cm)
'
'
3-2 ⑴ PAÓ=7-x, PBÓ=7+x
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
(7-x)(7+x)=4_6, 49-xÛ`=24
xÛ`=25
∴ x=5 (∵ x>0)
⑵
PAÓ=x-4, PBÓ=x+4
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
(x-4)(x+4)=6_8, xÛ`-16=48
xÛ`=64
∴ x=8 (∵ x>0)
68 정답과 해설
6-2 원 O에서 PAÓ_PBÓ=PEÓ_PFÓ이고
원 O'에서 PCÓ_PDÓ=PEÓ_PFÓ이므로
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ
즉 5_x=(11-9)_9이므로
5x=18
∴ x=
:Á5¥:
7-2 원 O에서 PAÓ_PBÓ=PEÓ_PFÓ이고
원 O'에서 PCÓ_PDÓ=PEÓ_PFÓ이므로
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ
즉 (9+3)_2=3_(2+x), 24=6+3x
3x=18
∴ x=6
8-2 원 O에서 PAÓ_PBÓ=PEÓ_PFÓ이고
원 O'에서 PCÓ_PDÓ=PEÓ_PFÓ이므로
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ
즉 5_(5+4)=3_(3+x), 45=9+3x
3x=36
∴ x=12
step 3
194쪽 ~195쪽
01. 10
02. ②
2`cm 04. 36p
05. 6
09. 5
1
5
06. 2
'
10. ③
03. 9
'
07. 59`m
08. ④
11. 10
12. 4`cm
01
PBÓ=x라 하면 PAÓ=14-x
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
(14-x)_x=5_8, 14x-xÛ`=40
xÛ`-14x+40=0, (x-4)(x-10)=0
∴ x=4 또는 x=10
이때 PAÓ0)
'
따라서 PCÓ의 길이는 2
3이다.
'
07
오른쪽 그림과 같이 POÓ의
연장선이 원 O와 만나는 점
을 D라 하고 CDÓ=x`m라
하면
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
30_(30+40)=25_(25+x)
D
25 m
C
P
30 m
A
O
40 m
B
2100=625+25x, 25x=1475
∴ x=59
따라서 연못의 지름의 길이는 59`m이다.
08 ① 4_12+6_7이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있
지 않다.
지 않다.
② 8_8+6_10이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있
③ 3_(3+9)+4_(4+4)이므로 네 점 A, B, C, D는
03
PAÓ：PBÓ=2：1이므로
한 원 위에 있지 않다.
PBÓ=x`cm라 하면 PAÓ=2x`cm
…… [ 30`% ]
④
3_(3+5)=2_(2+10)이므로 네 점 A, B, C, D는
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
2x_x=12_3, 2xÛ`=36
'
2=6
'
2=9
'
2`(cm)
'
ABÓ=6
2+3
'
'
xÛ`=18
∴ x=3
2 (∵ x>0)
…… [ 40`% ]
한 원 위에 있지 않다.
이때 PAÓ=2_3
2`(cm), PBÓ=3
2`cm이므로
따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것은 ④이다.
'
…… [ 30`% ]
09 ∠AEC=∠ADC=90ù이므로 네 점 A, E, D, C는 한 원
한 원 위에 있다.
⑤
2_(2+4)+4_(4+2)이므로 네 점 A, B, C, D는
04
ABÓ⊥CDÓ이므로 PBÓ=PAÓ=3
'
원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
3
PDÓ=2r-3
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
3=3_(2r-3), 27=6r-9
3
3_3
'
'
6r=36
∴ r=6
따라서 원 O의 넓이는 p_6Û`=36p
05
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
(8+x)(8-x)=4_7, 64-xÛ`=28
xÛ`=36
∴ x=6 (∵ x>0)
B
8
A
6
C
O
12
D
06
오른쪽 그림과 같이 POÓ의 연
장선이 원 O와 만나는 점을 D
라 하고 원 O의 반지름의 길이
P
를 r라 하면
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
6_(6+8)=(12-r)(12+r)
84=144-rÛ`, rÛ`=60
∴ r=2
5 (∵ r>0)
1
'
따라서 원 O의 반지름의 길이는 2
1
5이다.
'
위에 있다.
CDÓ=x라 하면 BEÓ_BAÓ=BDÓ_BCÓ이므로
4_(4+2)=3_(3+x), 24=9+3x
3x=15
∴ x=5
따라서 CDÓ의 길이는 5이다.
10 ① ∠DCE+∠A이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에
②
∠B+∠D+180ù이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위
있지 않다.
에 있지 않다.
다.
에 있지 않다.
③ 3_8=6_4이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있
④ ∠BAC+∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위
⑤ 4_(4+6)+3_(3+8)이므로 네 점 A, B, C, D는
한 원 위에 있지 않다.
따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것은 ③이다.
11 원 O에서 PAÓ_PBÓ=PEÓ_PFÓ이고
원 O'에서 PCÓ_PDÓ=PEÓ_PFÓ이므로
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ
즉 (4+ACÓ)_2=4_7, 8+2ACÓ=28
2ACÓ=20
∴ ACÓ=10
9. 원주각의 활용 69
정답과 해설
3-1 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
6_(6+6)=4_(4+x), 72=16+4x
4x=56
∴ x=14
PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
yÛ`=6_(6+6)=72
∴ y=6
2 (∵ y>0)
'
3-2 PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
(4
3)Û`=6_(6+x), 48=36+6x
'
6x=12
∴ x=2
PTÓ
Û`=PCÓ_PDÓ이므로
(4
3)Û`=y_(y+8), 48=yÛ`+8y
'
yÛ`+8y-48=0, (y-4)(y+12)=0
∴ y=4 (∵ y>0)
197쪽
12 원 O에서 PAÓ_PBÓ=PEÓ_PFÓ이고
원 O'에서 PCÓ_PDÓ=PEÓ_PFÓ이므로
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ
즉 6_(6+ABÓ)=5_(5+7), 36+6ABÓ=60
6ABÓ=24
∴ ABÓ=4`(cm)
5Û`=3_(3+2x), 25=9+6x
2-1 ⑴ PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
xÛ`=3_(3+12)=45
∴ x=3
5 (∵ x>0)
'
⑵
PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
6x=16
∴ x=
;3*;
2-2 ⑴ PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
xÛ`=(9-5)_(9+5)=56
∴ x=2
1
'
4 (∵ x>0)
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
⑵
PTÓ
2 원에서 할선과 접선 사이의 관계
4Û`=(5-x)(5+x), 16=25-xÛ`
196쪽
xÛ`=9
∴ x=3 (∵ x>0)
개념 확인
1. ⑴ 8 ⑵
;2(;
1 ⑴ PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
4Û`=2_x, 2x=16
∴ x=8
⑵
PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
6Û`=3_(3+2x), 36=9+6x
6x=27
∴ x=
;2(;
step 1
1-1. ⑴ 6 ⑵ 5
연구
PBÓ
1-2. ⑴
3
3 ⑵ 12
'
'
2-1. ⑴ 3
5 ⑵
;3*;
1
4 ⑵ 3
2-2. ⑴ 2
'
3-1. x=14, y=6
2
'
3-2. x=2, y=4
연구
PBÓ, PAÓ, PDÓ
1-1 ⑴ PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
xÛ`=4_(4+5)=36
∴ x=6 (∵ x>0)
⑵
PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
10Û`=x_(x+15), xÛ`+15x-100=0
(x-5)(x+20)=0
∴ x=5 (∵ x>0)
1-2 ⑴ PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
xÛ`=3_(3+8)=33
∴ x=
3
3 (∵ x>0)
'
⑵
PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
8Û`=4_(4+x), 64=16+4x
4x=48
∴ x=12
70 정답과 해설
step 2
1-2. 7
3-2. ⑴ 8 ⑵ 6
198쪽 ~199쪽
2-2. ⑴ 8 ⑵ 4
4-2. 4
6
'
1-2 오른쪽 그림과 같이 POÓ의 연장선이
B
원 O와 만나는 점을 B라 하고 원 O의
반지름의 길이를 r라 하면
OAÓ=OBÓ=r
이때 PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
(4
2)Û`=(9-r)(9+r), 32=81-rÛ`
'
rÛ`=49
∴ r=7 (∵ r>0)
따라서 원 O의 반지름의 길이는 7이다.
O
9
A
P
4 2
T
2-2 ⑴ QAÓ_QBÓ=QCÓ_QTÓ이므로
QAÓ_6=3_8
∴ QAÓ=4
PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
12Û`=x_(x+10), 144=xÛ`+10x
xÛ`+10x-144=0, (x-8)(x+18)=0
∴ x=8 (∵ x>0)
⑵
QAÓ_QBÓ=QCÓ_QTÓ이므로
8_QBÓ=4_12
∴ QBÓ=6
PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
(6
2)Û`=x_(x+14), 72=xÛ`+14x
'
xÛ`+14x-72=0, (x-4)(x+18)=0
∴ x=4 (∵ x>0)
3-2 ⑴ PTÓ
PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
Û`=4_(4+12)=64
∴ PTÓ=8 (∵ PTÓ>0)
⑵
△PAT와 △PTB에서
∠P는 공통, ∠PTA=∠PBT
따라서 △PAT»△PTB (AA 닮음)이므로
PAÓ：PTÓ=ATÓ：TBÓ, 4：8=ATÓ：12
8ATÓ=48 ∴ ATÓ=6
4-2 PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
Û`=3_(3+5)=24
PTÓ
∴ PTÓ=2
6 (∵ PTÓ>0)
'
이때 PT'Ó=PTÓ=2
6이므로
PTÓ+PT'Ó=2
'
6+2
'
6=4
6
'
'
이때 PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
3Û`=PAÓ_5, 5PAÓ=9
∴ PAÓ=
`(cm)
;5(;
…… [ 40`% ]
B
03 오른쪽 그림과 같이 POÓ의 연
장선이 원 O와 만나는 점을 B
Û`=PAÓ_PBÓ이
라 하면 PTÓ
므로
'
(3
3)Û`=x_(x+6)
27=xÛ`+6x
xÛ`+6x-27=0, (x-3)(x+9)=0
∴ x=3 (∵ x>0)
3
O
x
A
P
3 3
T
04 QAÓ_QBÓ=QCÓ_QDÓ이므로
QAÓ_4=2_8
∴ QAÓ=4
…… [ 40`% ]
PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
(8
2)Û`=x_(x+8), 128=xÛ`+8x
'
xÛ`+8x-128=0, (x-8)(x+16)=0
∴ x=8 (∵ x>0)
…… [ 60`% ]
05 PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
Û`=3_(3+9)=36
PTÓ
∴ PTÓ=6 (∵ PTÓ>0)
△PAT와 △PTB에서
∠P는 공통, ∠ATP=∠TBP
따라서 △PAT»△PTB (AA 닮음)이므로
PAÓ：PTÓ=ATÓ：TBÓ, 3：6=4：TBÓ
3BTÓ=24
∴ BTÓ=8
step 3
01. 2
6
'
02. ;5(;
`cm
03. 3
04. 8
05. 8
06. 5
07. 4
2
1
'
01
PTÓ
PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
Û`=(12-10)_12=24
∴ PTÓ=2
6 (∵ PTÓ>0)
'
200쪽
06 원 O에서 PTÓ
원 O'에서 PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이고
Û`=PCÓ_PDÓ이므로
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ
즉 3_(3+9)=4_(4+CDÓ)
36=16+4CDÓ, 4CDÓ=20
∴ CDÓ=5
07 PTÓ
Û`=PAÓ_PBÓ이므로
Û`=6_(6+8)=84
PTÓ
02 PTÓ는 원 O의 접선이므로 ∠PTB=90ù …… [ 30`% ]
△BPT에서
BPÓ=
3Û`+4Û`=5`(cm)
…… [ 40`% ]
"Ã
∴ PTÓ=2
2
1 (∵ PTÓ>0)
'
이때 PTÓ=PT'Ó이므로
PTÓ+PT'Ó=2
2
1+2
1=4
2
1
2
'
'
'
9. 원주각의 활용 71
정답과 해설
단원 종합 문제
06 x를 제외한 자료가 모두 다르므로 최빈값을 가지려면 x는
7, 8, 10, 4, 11 중 하나이어야 한다.
따라서 최빈값은 x회이다.
1쪽 ~ 3쪽
(평균)=
7+8+10+4+11+x
6
=
40+x
6
(점)
1 대푯값과 산포도
01. ④
02. 15
03. ②
04. ④
05. 16.5
06. 8
07. 6개
08. 140
09. -3
10. 62
kg
`
11. ③
12. 2
2
cm
'
`
13. 10
14. 20.6
15. 평균：5, 분산：10 16. ⑤
17. 88
18. ④
이때 평균과 최빈값이 같으므로
40+x
6
=x, 40+x=6x
5x=40
∴ x=8
07 조건 ㈎에서 5개의 변량을 작은 값에서부터 크기순으로 나
열할 때 25가 3번째에 있어야 하므로 a¾25
yy ㉠
조건 ㈏에서 4개의 변량을 작은 값에서부터 크기순으로 나
열할 때 30과 34가 2번째, 3번째에 있어야 하므로 aÉ30
yy ㉡
㉠, ㉡에서 25ÉaÉ30
29, 30의 6개이다.
따라서 조건을 만족하는 정수 a의 개수는 25, 26, 27, 28,
08 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열할 때, 20번째와
21번째 변량이 속하는 계급은 모두 60점 이상 70점 미만이
므로
(중앙값)=
=65(점)
∴ a=65
도수가 가장 큰 계급은 70점 이상 80점 미만이므로
(최빈값)=
=75(점)
∴ b=75
60+70
2
70+80
2
∴ a+b=65+75=140
10 편차의 총합은 0이므로 민석이의 몸무게의 편차를 x
kg이
`
09 편차의 총합은 0이므로
0+(-3)+7+x+(-1)+y=0
∴ x+y=-3
라 하면
-2+3+x+5+(-4)+1=0
x+3=0
∴ x=-3
따라서 민석이의 몸무게는
65+(-3)=62
(kg)
`
01
5회의 시험에서 x점을 받는다고 하면
89+85+91+92+x
5
=90
357+x=450
∴ x=93
따라서 5회의 시험에서 93점을 받아야 한다.
02
(평균)=
7+5+13+3+6+4+4
7
=
:¢7ª:
=6
자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면
3, 4, 4, 5, 6, 7, 13
(중앙값)=5, (최빈값)=4
따라서 a=6, b=5, c=4이므로
a+b+c=6+5+4=15
03 라면을 좋아하는 학생이 가장 많으므로 최빈값은 라면이다.
04 ① (평균)=
16+13+12+28+14+13+15+9
8
=
120
8
=15(분)
②, ③, ④ 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면
9, 12, 13, 13, 14, 15, 16, 28
(중앙값)=
=13.5(분), (최빈값)=13(분)
13+14
2
따라서 중앙값과 최빈값은 같지 않다.
⑤ 이 자료에 14분을 추가하면
9, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 16, 28
따라서 중앙값은 14분이므로 중앙값이 바뀐다.
05 평균이 16이므로
8+12+21+x
4
=16
72 정답과 해설
41+x=64
∴ x=23
…… [ 40
% ]
자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면
8, 12, 21, 23
∴ (중앙값)=
=16.5
…… [ 60
% ]
12+21
2
`
`
11 ① 평균보다 큰 변량의 편차는 양수이다.
② 편차는 산포도가 아니다.
④ 분산, 표준편차가 작을수록 변량이 고르게 분포되어 있
다.
⑤ 산포도가 작을수록 변량은 평균을 중심으로 모여 있다.
12 편차의 총합은 0이므로
-4+2+4+0+x=0
x+2=0
∴ x=-2
(분산)=
(-4)Û`+2Û`+4Û`+0Û`+(-2)Û`
5
=
:¢5¼:
=8
∴ (표준편차)=
8=2
2
(cm)
'
'
`
…… [ 40
% ]
…… [ 40
% ]
…… [ 20
% ]
`
`
`
17
(A반의 분산)=
{A반의 (편차)Û
`
의 총합}
=80이므로
15
{A반의 (편차)Û
`
(B반의 분산)=
의 총합} =15_80=1200
{B반의 (편차)Û
`
10
의 총합}
=100이므로
{B반의 (편차)Û
`
의 총합}=10_100=1000
따라서 A, B 두 반 전체 학생 25명의 영어 성적의 분산은
1200+1000
25
2200
25 =88
=
13
(평균)=
6+5+9+14+13+7+9
7
=
:¤7£:
=9(시간)
편차는 각각 -3, -4, 0, 5, 4, -2, 0이므로
(분산)=
(-3)Û`+(-4)Û`+0Û`+5Û`+4Û`+(-2)Û`+0Û`
7
=
:¦7¼:
=10
=
=11(권)
220
20
(2-11)Û
`
=
412
20
=20.6
14
(평균)=
2_1+6_5+10_5+14_6+18_3
20
(분산)=
_1+(6-11)Û
_5+(10-11)Û
`
`
20
_5+(14-11)Û
`
_6+(18-11)Û
`
_3
15
a, b, c에 대하여 평균이 6, 분산이 10이므로
a+b+c
+(b-6)Û
(a-6)Û
+(c-6)Û
3 =6,
`
`
3
`
=10
a-1, b-1, c-1에 대하여
(평균)=
(a-1)+(b-1)+(c-1)
3
=
a+b+c-3
3
{(a-1)-5}Û
`
(분산)=
=6-1=5
+{(b-1)-5}Û
+{(c-1)-5}Û
`
`
3
+(c-6)Û
`
=10
(a-6)Û
+(b-6)Û
=
`
`
3
16 편차의 합은 0이므로
-4+(-1)+x+2+y=0
∴ x+y=3
표준편차가
10이므로
'¶
+(-1)Û
5
`
`
+xÛ
+2Û
+yÛ
`
`
10)Û
`
`
=(
'¶
=29
+21=50
∴ xÛ
+yÛ
=(x+y)Û
`
+yÛ
`
`
-2xy
∴ xy=-10
`
`
-2xy이므로
(-4)Û
xÛ
+yÛ
`
`
이때 xÛ
29=3Û
`
18 ① B반의 성적이 더 우수하다.
②, ③ 알 수 없다.
④, ⑤ A반의 표준편차가 더 작으므로 A반의 성적이 더 고
르다.
2 피타고라스 정리 ~ 4 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용
4쪽 ~ 8쪽
01. ②
02. 23
06. ⑤
07. 3
`
5
03. '
cm 08. ②
10. 10
cmÛ
`
11. 12
`
12. ⑤
04. 4
05. 5
3
'
cmÛ
09. 196
`
13. x=6, y=2
`
3
'
14. '¶
21
cm 15. '¶
`
33
cm 16. '
`
3
`
km 17. 8p
cmÛ
`
18. :Á4¦:
`
3
cm 20. 15
2`cm
'
cm 25. 4
6
3
21. '
26. ⑤
`
cmÛ
19. 3
'
23. 12
`
28. ④
24. '
`
29. 3
`
6
'
`
cm
31. 105p
cmÛ
`
`
32.
32
14
'¶
3
30. 3
55p
cmÜ
'¶
`
`
33. ③
34. 6
22. 24
27. 15
3
'
cm
`
01
(x+8)Û
=xÛ
`
16x=80
+12Û
, xÛ
`
`
`
∴ x=5
+16x+64=xÛ
+144
`
02 △ABH에서 AHÓ=
∴ x=15
"Ã
△AHC에서 HCÓ=
∴ y=8
"Ã
`
`
∴ x+y=15+8=23
25Û
-20Û
=
225=15
`
'¶
17Û
-15Û
=
64=8
`
'¶
03 △ACB에서 ACÓ=
1Û
"Ã
△ADC에서 ADÓ=
△AED에서 AEÓ=
`
따라서 △AFE에서 AFÓ=
3)Û
'
+1Û
2)Û
'
2
=
'
`
+1Û
`
+1Û
`
(
"Ã
(
"Ã
3
'
=
`
=
4=2
`
+1Û
'
=
`
5
'
2Û
"Ã
`
04 ACÓ=AB'Ó=
2Û`+2Û`=
8=2
'
2
'
"Ã
단원 종합 문제 73
정답과 해설 ADÓ=AC'Ó=
(2
2)Û`+2Û`=
12=2
3
'
AEÓ=AD'Ó=
(2
3)Û`+2Û`=
16=4
"Ã
"Ã
'
'
'¶
'¶
따라서 ABÓ=8+6=14 (cm)이므로
ABCD=14_14=196 (cmÛ
)
`
A
6
8
10 △ABC ª△CDE이므로
∠ACB+∠ECD=∠ACB+∠CAB=90ù
D
D
C
`
`
`
05 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면
△ABD에서
BDÓ=
100=10
6Û`+8Û`=
'¶
"Ã
"Ã
따라서 △BCD에서
CDÓ=
10Û`-5Û`=
75=5
3
'
'¶
B
5
C
06 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에
A
3
서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라
3
하면
HCÓ=ADÓ=3, BHÓ=5-3=2
△ABH에서 AHÓ=
∴ DCÓ=AHÓ=
5
"Ã
3Û`-2Û`=
5
'
'
△DBC에서 BDÓ=
5Û`+(
5)Û`=
30
"Ã
'
'¶
B
H
5
07 ADÓ=
AGÓ=
_
=
;2#;
;3%;
;2%;
;2#;
(cm)
…… [ 30
% ]
이때 점 D가 직각삼각형 ABC의 외심이므로
ADÓ=BDÓ=CDÓ=
cm
;2%;
+
∴ BCÓ=
;2%;
;2%;
따라서 △ABC에서
-4Û
ACÓ=
=
5Û
"Ã
`
`
'
=5 (cm)
…… [ 40
% ]
9=3 (cm)
…… [ 30
% ]
08 ①, ②, ③ △EBC와 △ABF에서
EBÓ=ABÓ, BCÓ=BFÓ, ∠EBC=∠ABF이므로
△EBC ª△ABF (SAS 합동)
∴ ECÓ=AFÓ, ∠ECB=∠AFB
④
EBÓ∥DCÓ이므로 △AEB=△EBC
BFÓ∥AMÓ이므로 △ABF=△NBF
∴ △AEB =△EBC=△ABF
=△NBF=△NFM
⑤
△AEB=△NBF이므로
ADEB=2△AEB=2△NBF=BFMN
09 △AEH ª△BFE ª△CGF ª△DHG (SAS 합동)
이므로 HEÓ=EFÓ=FGÓ=GHÓ
∠
HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90ù
따라서 EFGH는 정사각형이다.
이때 EFGH=100
cmÛ
`
100=10 (cm) (∵ EHÓ>0)
이므로
`
EHÓ=
'¶
△AEH에서 AEÓ=
10Û
-6Û
=
64=8 (cm)
"Ã
`
`
'¶
74 정답과 해설
∴ ∠ACE=180ù-90ù=90ù
이때 ACÓ=CEÓ=x cm라 하면
△ACE에서 xÛ
=20
`
`
∴ x=2
+xÛ
xÛ
=(2
10)Û
'¶
`
5 (∵ x>0)
`
∴ △ACE=
;2!;
'
'
_2
5_2
5=10 (cmÛ
)
'
11 가장 긴 변의 길이가 x+1이므로
(x+1)Û
`
2x=24
=5Û
`
+xÛ
, xÛ
`
`
∴ x=12
+2x+1=25+xÛ
`
`
12 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여
7-47이므로 74Û
, xÛ
`
`
㉠, ㉡에서
`
'¶
6565
∴ x>
65
yy ㉡
'¶
13 △AHC에서 ACÓ=
3
3Û
"Ã
`
∴ y=2
AHÓ Û
'
`=BHÓ_CHÓ에서 3Û
3
`
∴ BHÓ=3
'
△ABH에서 ABÓ=
∴ x=6
3Û
"Ã
`
+(
3)Û
=
12=2
3
'
`
'¶
'
=BHÓ_
3
'
+(3
3)Û
=
36=6
'
`
'¶
…… [ 30
% ]
…… [ 40
% ]
…… [ 30
% ]
`
`
`
14 DEÓ Û`+BCÓ Û`=BEÓ Û`+CDÓ Û`이므로
2Û
+BCÓ Û`=4Û
+3Û
, BCÓ Û`=21
`
`
`
∴ BCÓ=
'¶
21 (cm) (∵ BCÓ>0)
15 ABÓ Û`+CDÓ Û`=ADÓ Û`+BCÓ Û`이므로
7Û`+3Û`=5Û`+BCÓ Û`, BCÓ Û`=33
∴ BCÓ=
33 (cm) (∵ BCÓ>0)
16 APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û`이므로
=5Û
`=3
`
3 (km) (∵ DPÓ>0)
'
`
∴ DPÓ=
`, DPÓ Û
+DPÓ Û
+(2
3)Û
4Û
`
'¶
'
따라서 공원에서 D의 집까지의 거리는
3
km이다.
'
`
17 SÁ+Sª=S£=
_p_4Û
=8p (cmÛ
)
;2!;
`
`
18 AQÓ=ADÓ=17이므로
△ABQ에서 BQÓ=
"Ã
∴ CQÓ=17-15=2
17Û`-8Û`=
225=15
'¶
25 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A
에서 BCÓ에 내린 수선의 발을
A
105∞
H
4 2
C
45∞
B
…… [ 40
% ]
H라 하면
DPÓ=x라 하면 QPÓ=DPÓ=x, CPÓ=8-x이므로
∠BAH =180ù-(90ù+45ù)
△PQC에서 xÛ`=2Û`+(8-x)Û`
…… [ 40
% ]
xÛ`=4+64-16x+xÛ`, 16x=68
∴ x=
=45ù
이므로
`
`
`
:Á4¦:
…… [ 20
% ]
따라서 DPÓ의 길이는
이다.
:Á4¦:
19 △ACD에서 ACÓ=
"Ã
이때 DAÓ_DCÓ=ACÓ_DHÓ이므로
'
'¶
(6
3)Û`+6Û`=
144=12 (cm)
6
3_6=12_DHÓ
∴ DHÓ=3
3 (cm)
'
'
20 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
정사각형의 대각선의 길이는 2_15=30
(cm)이므로
`
2x=30
∴ x=15
2
'
따라서 정사각형의 한 변의 길이는 15
'
2
cm이다.
'
`
21 정삼각형의 한 변의 길이를 a라 하면
3
'
4
aÛ
=9
3, aÛ
=36
∴ a=6 (∵ a>0)
`
'
`
3
∴ AHÓ= '
2
_6=3
3
'
∴ GHÓ=
AHÓ=
_3
3=
3
;3!;
'
'
;3!;
22 오른쪽 그림과 같이 정육각형의 대각선
을 모두 그으면 정육각형은 한 변의 길
이가 4인 정삼각형 6개로 나누어진다.
8
O
∴ (정육각형의 넓이)=6_
3
'
4
_4Û`
}
{
3
'
=24
23 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에
서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라
하면
A
5 cm
B
H
8 cm
5 cm
C
BHÓ=
BCÓ=
_8=4 (cm)
;2!;
△ABH에서 AHÓ=
;2!;
5Û
"Ã
`
-4Û
=
9=3 (cm)
`
'
∴ △ABC=
;2!;
_8_3=12 (cmÛ
)
`
24 △ABC에서 ABÓ：BCÓ=1：
'
∴ BCÓ=2
2：BCÓ=1：
3
3
3 (cm)
△DBC에서 BCÓ：CDÓ=
3：CDÓ=
2：1,
'
2 CDÓ=2
2
'
'
'
2：1
3
'
∴ CDÓ=
=
6 (cm)
'
'
2
'
3
'
2
'
∠CAH=105ù-45ù=60ù
…… [ 20
% ]
△AHC에서 ACÓ：AHÓ=2：1이므로
2：AHÓ=2：1, 2AHÓ=4
2
4
'
'
∴ AHÓ=2
2
'
따라서 △ABH에서 ABÓ：AHÓ=
'
∴ ABÓ=4
2：1
ABÓ：2
2=
'
'
2：1이므로
…… [ 40
% ]
…… [ 40
% ]
`
`
`
26 ①
(3-1)Û`+(0-2)Û`=
8=2
2
'
'
"Ã
"Ã
"Ã
"Ã
"Ã
(2-1)Û`+(3-2)Û`=
'
(0-1)Û`+(-2-2)Û`=
2
17
'¶
(-1-1)Û`+(3-2)Û`=
'
(-1-1)Û`+(-2-2)Û`=
5
②
③
④
⑤
20=2
5
'
'¶
따라서 점 (1, 2)와 거리가 가장 먼 점은 ⑤이다.
27 오른쪽 그림과 같이 점 D와
BCÓ에 대하여 대칭인 점을
D'이라 하면
APÓ+PDÓ
=APÓ+PD'Ó
¾AD'Ó
A
4 cm
B
5 cm
P
12 cm
D
5 cm
C
5 cm
E
12 cm
D′
=
12Û
+(4+5)Û
=15
(cm)
"Ã
`
`
`
따라서 APÓ+PDÓ의 최솟값은 15
cm이다.
`
'¶
28
xÛ
=4
+3Û
+5Û
`
`
+34=48, xÛ
`
"Ã
xÛ
'
=14
3이므로
`
`
∴ x=
14 (∵ x>0)
29 △EFG에서 EGÓ=
3_9=9
AGÓ=
'
3 (cm)
'
'
2_9=9
2 (cm)
'
△AEG에서 AEÓ_EGÓ=AGÓ_EMÓ이므로
6 (cm)
∴ EMÓ=3
3_EMÓ
9_9
2=9
'
'
'
30 △AOB에서 AOÓ=
∴ (부피)=
=
55 (cm)
8Û
"Ã
_(p_3Û
-3Û
`
)_
`
`
'¶
;3!;
'¶
55=3
55p (cmÜ
)
`
'¶
31 △AOB에서 ABÓ=
'¶
따라서 단면인 원의 넓이는 p_(
13Û`-8Û`=
"Ã
105 (cm)
105)Û`=105p (cmÛ`)
'¶
단원 종합 문제 75
정답과 해설 32 ACÓ=
2_4=4
2
'
'
AHÓ=
ACÓ=
_4
2=2
;2!;
△OAH에서 OHÓ=
;2!;
'
8Û
"Ã
`
2
'
-(2
2)Û
=
56=2
14
'
`
'¶
∴ (부피)=
_(4_4)_2
14=
;3!;
'¶
32
14
'¶
3
3
33 ①, ④ CMÓ=OMÓ= '
2
_18=9
3
'
CHÓ=
CMÓ=
_9
3=6
3
;3@;
'
'
;3@;
△OHC에서 OHÓ=
18Û
-(6
3)Û
=
216=6
6
'¶
'
"Ã
△OMC=
_9
3_6
6=81
;2!;
'
'¶
`
'
34 ABÓ=x라 하면 오른쪽 그림의 전
C
개도에서
(x+9)Û`+10Û`=(5
13 )Û`
'¶
xÛ`+18x+81+100=325
xÛ`+18x-144=0, (x+24)(x-6)=0
x=6 (∵ x>0)
따라서 ABÓ의 길이는 6이다.
9쪽 ~ 12쪽
2
05. '
3
8
3
'
3
15. 10.1
m
`
18. ②
5 삼각비 ~ 6 삼각비의 활용
01. ④
02. 4
2
'
03. ②
04. ;5&;
06.
2
5
'
5
2
07. '
3
08. ③
09. ⑤
10.
11. 1
12. ②, ⑤ 13. 1.2819 14. ④
16. 10
19. 5(
'¶
21
m
`
3+1)
'
3
cmÛ
`
m
`
`
26. 30ù
22. 56
'
25. ②
17. (2
20. 10
3 +6)
cm
`
'
cm 21. 135ù
`
'
23. 16
3 24. 50
2
cmÛ
'
`
`
01 ACÓ=
10Û`-8Û`=6
"Ã
sin A=
=
;5$;
;1¥0;
② cos A=
=
;1¤
§0;
;5#;
cos B=
=
;5$;
;1¥0;
④ sin B=
=
;1¤0;
;5#;
tan B=
=
;8^;
;4#;
②
③
⑤
①
③
⑤
02
sin B=
ACÓ
6
이므로
=
;3!;
ACÓ
6
3ACÓ=6
∴ ACÓ=2
∴ BCÓ=
-2Û
=4
2
`
'
6Û
"Ã
`
76 정답과 해설
03
tan A=
이므로 오른쪽 그림과 같이
C
:Á5ª:
∠
B=90ù, ABÓ=5, BCÓ=12인 직각삼각
형 ABC를 생각하면
ACÓ=
+12Û
=13
5Û
"Ã
`
`
12
따라서 sin A=
, cos A=
이므로
A
;1!3@;
;1°3;
B
5
sin A-cos A=
-
=
;1!3@;
;1°3;
;1¦
¶3;
'
`
2
'
D
A
G
10
F
5 13
x
B
9
04 △ABC »△AED (AA 닮음)이므로
∠AED=∠ABC=x
△ADE에서 ADÓ=
-3Û
=4
5Û
"Ã
`
sin x=sin (∠AED)=
cos x=cos (∠AED)=
`
ADÓ
AEÓ
=
;5$;
DEÓ
AEÓ
=
;5#;
∴ sin x+cos x=
+
=
;5#;
;5&;
;5$;
05 △ABH »△CAH (AA 닮음)이므로
∠
ACH=∠BAH=x, ∠ABH=∠CAH=y
=2
6 (cm)
…… [ 20
% ]
…… [ 20
% ]
…… [ 40
% ]
…… [ 20
% ]
`
`
`
`
△ABC에서
-(2
ABÓ=
6Û
"Ã
`
sin x=sin C=
'
3)Û
`
ABÓ
BCÓ
'
2
=
6
6
= '
3
sin y=sin B=
ACÓ
BCÓ
6
∴ sin x_sin y= '
3
2
3
=
3
= '
3
3
_ '
3
2
= '
3
'
6
'
6
06
2x-y+6=0에 y=0을 대입하면
2x+6=0, 2x=-6
∴ x=-3
∴ A(-3, 0)
2x-y+6=0에 x=0을 대입하면
-y+6=0
∴ y=6
∴ B(0, 6)
△AOB에서 ABÓ=
3Û
"Ã
6
∴ sin a=
BOÓ
ABÓ
=
+6Û
=3
5
'
`
2
`
=
5
'
5
3
5
'
07 EGÓ=
2_1=
2, AGÓ=
3_1=
3이므로
'
'
sin x=
=
'
AEÓ
AGÓ
EGÓ
AGÓ
'
1
3
'
3
= '
3
2
3
6
= '
3
= '
'
cos x=
3
∴ sin x_cos x= '
3
6
_ '
3
2
= '
3
08 ① sin 30ù+cos 60ù=
;2!;
3
sin 60ù-tan 30ù= '
2
+
=1
;2!;
3
- '
3
3
= '
6
3
tan 45ù_sin 60ù=1_ '
2
3
= '
2
2
sin 45ùÖcos 45ù= '
2
2
Ö '
2
2
= '
2
②
③
④
⑤
sin 30ù_tan 60ùÖcos 30ù=
_
_
=1
2
2
'
;2!;
=
_
;2!;
3
3Ö '
2
2
3
3_
'
'
'
=1
09
cos 60ù=
이므로
;2!;
2x+10ù=60ù, 2x=50ù
∴ x=25ù
10 △BCD에서 sin 45ù=
이므로
BCÓ
2
4
'
4
ACÓ
, 2BCÓ=8
2
'
2
=
BCÓ
2
4
'
∴ BCÓ=4
,
3 ACÓ=8
3
'
2
=
4
ACÓ
'
∴ ACÓ=
8
3
'
3
△ABC에서 sin 60ù=
이므로
16 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에
A
서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라
하면 △ACH에서
AHÓ=40 sin 60ù
3
=40_ '
2
=20
3 (m)
'
40 m
60∞
C
H
50 m
B
CHÓ=40 cos 60ù=40_
=20 (m)
∴ HBÓ=CBÓ-CHÓ=50-20=30 (m)
;2!;
'
△AHB에서 ABÓ=
"Ã
따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 10
m이다.
(20
3)Û`+30Û`=10
21 (m)
'¶
21
`
'¶
17 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서
A
ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면
H
△HBC에서
CHÓ=6
2 sin45ù
'
'
=6
2
2_ '
2
=6 (cm)
45∞
B
75∞
C
6 2
cm
…… [ 50
% ]
BHÓ=CHÓ=6 (cm)
`
`
…… [ 50
% ]
△ABC에서 ∠A=180ù-(45ù+75ù)=60ù
△AHC에서 tan 60ù=
이므로
AHÓ=
6
tan 60ù
6
3
'
=
=2
3 (cm)
∴ ABÓ=AHÓ+BHÓ=2
3+6 (cm)
6
AHÓ
'
'
11
(주어진 식)=1_
+1_
;2!;
=
+
;2!;
;2!;
;2!;
=1
18 오른쪽 그림과 같이 AHÓ=h cm
12 ② 0ùÉAÉ90ù일 때 A의 값이 증가하면 cos A의 값은 감
소하므로 cos 30ù>cos 75ù
⑤
2
sin 45ù= '
2
2
, cos 45ù= '
2
이므로 sin 45ù=cos 45ù
라 하면
△ABH에서
BHÓ=AHÓ=h cm
△AHC에서
A
30∞
45∞
B
60∞
C
h cm
H
60 cm
13
sin 71ù=0.9455이므로 x=71ù
tan 73ù=3.2709이므로 y=73ù
∴ cos x+sin y =cos 71ù+sin 73ù
=0.3256+0.9563
=1.2819
14 ABÓ=10 sin 23ù=10_0.39=3.9
BCÓ=10 cos 23ù=10_0.92=9.2
∴ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ
=3.9+9.2+10=23.1
15
tan 40ù=
이므로
BCÓ
10
BCÓ=10 tan 40ù=10_0.84=8.4 (m)
∴ CHÓ=BCÓ+BHÓ=8.4+1.7=10.1 (m)
∠CAH=180ù-(90ù+60ù)=30ù이므로
3
CHÓ=h tan 30ù= '
3
h (cm)
3
이때 BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 60=h+ '
3
h
3
3+
'
3
h=60
∴ h=
=30(3-
3)
'
따라서 AHÓ의 길이는 30(3-
cm이다.
180
3+
3
'
3)
'
`
19 오른쪽 그림과 같이
AHÓ=h m라 하면
△ABH에서
∠BAH
A
60∞
h m
B
30∞
10 m
45∞
C
H
=180ù-(30ù+90ù)=60ù이므로
BHÓ =h tan 60ù=
3h (m)
'
△ACH에서 CHÓ=AHÓ=h (m)
단원 종합 문제 77
정답과 해설
이때 BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로 10=
3h-h
25 BCÓ=ADÓ=9이므로
3
ABCD=6_9_sin 60ù=6_9_ '
2
=27
3
'
26 두 대각선이 이루는 예각의 크기를 x라 하면
ABCD=
_8_9_sin x=36 sin x
;2!;
즉 36 sin x=18이므로 sin x=
;2!;
∴ x=30ù
따라서 두 대각선이 이루는 예각의 크기는 30ù이다.
13쪽 ~ 16쪽
7 원과 직선 ~ 9 원주각의 활용
01. 10
02. 8
3p
cm
'
`
03. 50ù
04. 11p
cmÛ
`
`
05. 5
cm 06. 6
cm 07. 118ù
`
08. 70ù
09. 50ù
11. ②
12. 90ù
`
7
10. '
4
(
3-1)h=10
∴ h=
'
=5(
3+1)
'
따라서 AHÓ의 길이는 5(
'
10
3-1
'
3+1)
'
m이다.
`
20 △ABC=
_ABÓ_12_sin 60ù
;2!;
=
3
_ABÓ_12_ '
2
;2!;
=3
3 ABÓ
'
즉 3
3 ABÓ=30
3이므로 ABÓ=10
(cm)
'
'
`
21 △ABC=
;2!;
_8_10_sin(180ù-B)=40 sin(180ù-B)
2
2이므로 sin(180ù-B)= '
2
'
즉 40 sin(180ù-B)=20
2
이때 sin 45ù= '
2
이므로
180ù-∠B=45ù ∴ ∠B=135ù
22 △ABC에서
ABÓ=16 cos 60ù=16_
;2!;
3
ACÓ=16 sin 60ù=16_ '
2
∴ ABCD=△ABC+△ACD
'
;2!;
;2!;
'
'
;2!;
;2!;
'
'
'
=
_8_8
3+
_8
3_12_
=32
3+24
3=56
3 (cmÛ
) …… [ 50
% ]
'
'
`
`
`
=8 (cm)
…… [ 25
% ]
13. 108ù
14. ②
15. 45ù
16. 65ù
17. 72ù
=8
3 (cm) …… [ 25
% ]
18. 50ù
19. 12ù
20. 40ù
21. 50ù
22. ④
23. 2
7
cm 24. 10p
25. ⑤
26. 6
'
`
27. 2
15
'¶
=
_8_8
3+
_8
3_12_sin 30ù
28. ;2(;`
cm 29. 2
cm
`
;2!;
D
`
4
A
4
B
4 3
60∞
C
120∞
4 3
01 ABÓ⊥OCÓ이므로
AMÓ=BMÓ=
ABÓ=
_12=6
;2!;
;2!;
원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 OMÓ=r-2
△OMB에서
=6Û
+(r-2)Û
rÛ
`
`
따라서 원 O의 반지름의 길이는 10이다.
, 4r=40
`
∴ r=10
02 OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=CDÓ=12 cm
BMÓ=
ABÓ=
_12=6 (cm)
;2!;
;2!;
…… [ 40
% ]
A
45∞
O 5 cm
B
△OBM에서
OBÓ=
6
cos 30ù
3
=6Ö '
2
=6_
=4
3 (cm)
'
따라서 원 O의 둘레의 길이는
2
3
'
2p_4
3=8
3p (cm)
'
'
`
`
`
…… [ 40
% ]
…… [ 20
% ]
03 OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ
즉 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로
∠ACB=∠ABC=65ù
∴ ∠BAC=180ù-(65ù+65ù)=50ù
23 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면
ABCD
=△ABD+△DBC
=
_4_4_sin(180ù-120ù)
;2!;
+
_4
3_4
'
;2!;
'
3
_4_4_ '
2
=
;2!;
=4
3+12
3=16
3
'
'
'
3_sin 60ù
+
_4
3_4
;2!;
'
3
3_ '
2
'
24 오른쪽 그림과 같이 정팔각형은 8개
의 합동인 이등변삼각형으로 나누어
진다.
이때 ∠AOB=
=45ù이므로
360ù
8
(정팔각형의 넓이)=8_
_5_5_sin 45ù
{;2!;
}
2
2 }
=8_
_5_5_ '
{;2!;
2 (cmÛ
)
`
=50
'
78 정답과 해설
04 ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 APBO에서
∠
BAC=∠BDC이므로
∠AOB=360ù-(90ù+70ù+90ù)=110ù
∴ (색칠한 부분의 넓이)=p_6Û
_
=11p`(cmÛ`)
110
360
`
cos A=cos D=
DCÓ
BDÓ
=
2
7
'
8
7
= '
4
…… [ 40
% ]
`
05 CFÓ=x cm라 하면 CEÓ=CFÓ=x cm이므로
ADÓ=AFÓ=(9-x) cm, BDÓ=BEÓ=(11-x) cm
이때 ABÓ=ADÓ+BDÓ이므로
(9-x)+(11-x)=10, 2x=10
∴ x=5
따라서 CFÓ의 길이는 5
cm이다.
`
06 ABCD는 등변사다리꼴이므로 ABÓ=DCÓ
ABÓ+DCÓ=ADÓ+BCÓ이므로
2ABÓ=8+18=26
∴ ABÓ=13 (cm)
오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점
A
8 cm
D
A, D에서 BCÓ에 내린 수선의 발
을 각각 E, F라 하면
BEÓ=CFÓ=
_(18-8)
B
;2!;
=5 (cm)
O
E
F
18 cm
C
△ABE에서 AEÓ=
"Ã
13Û
-5Û
=12 (cm)
`
`
따라서 원 O의 지름의 길이는 AEÓ의 길이와 같으므로
원 O의 반지름의 길이는
_12=6 (cm)
;2!;
07 ∠BAC=
_(360ù-124ù)=118ù
;2!;
08 ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 AOBP에서
∠AOB=360ù-(90ù+40ù+90ù)=140ù
∴ ∠ACB=
∠AOB=
_140ù=70ù
;2!;
;2!;
11
2：3=30ù：∠x이므로 2∠x=90ù
∴ ∠x=45ù
2：4=30ù：∠y이므로 2∠y=120ù
∴ ∠y=60ù
∴ ∠y-∠x=60ù-45ù=15ù
12
µAB：µ BC：µ CA=2：3：1이므로
∠ACB：∠BAC：∠ABC=2：3：1
∴ ∠BAC=180ù_
3
2+3+1
=180ù_
=90ù
;2!;
13 오른쪽 그림과 같이 BCÓ를 그으면
D
A
B
P
x
C
∠ACB=180ù_
=36ù
;5!;
µAB：µ CD=1：2이므로
∠ACB：∠DBC=1：2
따라서 △PBC에서
∠x=36ù+72ù=108ù
∠
DBC=2∠ACB=2_36ù=72ù
14 ∠x=
∠BOD=
_160ù=80ù
;2!;
;2!;
ABCD는 원 O에 내접하므로
80ù+∠y=180ù
∴ ∠y=100ù
∴ ∠y-∠x=100ù-80ù=20ù
15 BCÓ는 원 O의 지름이므로 ∠BAC=90ù
ABCD가 원 O에 내접하므로
∠
DAB+∠BCD=180ù에서
(90ù+25ù)+(20ù+∠x)=180ù
09 오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면
P
C
65∞
D
∴ ∠x=45ù
∠ADB=90ù
△PAD에서
∠PAD =180ù-(65ù+90ù)=25ù
A
O
B
∴ ∠COD =2∠CAD
=2_25ù=50ù
16 △DCE에서 ∠DCE=100ù-35ù=65ù
ABCD가 원에 내접하므로 ∠x=∠DCE=65ù
10 오른쪽 그림과 같이 BOÓ의 연장선이
A
17 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면
E
원 O와 만나는 점을 D라 하면 BDÓ는
원 O의 지름이므로
∠
BCD=90ù
△DBC에서
DCÓ=
8Û`-6Û`=2
"Ã
7
'
…… [ 40
% ]
B
`
4
O
6
D
C
ACDE는 원 O에 내접하므로
∠EAC+130ù=180ù
∴ ∠EAC=50ù
A
86∞
O
130∞
D
B
C
이때 ∠BAC=86ù-50ù=36ù이므로
…… [ 20
% ]
`
∠
BOC=2∠BAC=2_36ù=72ù
단원 종합 문제 79
정답과 해설 B
y
O
64∞
C
T
A
x
P
18 ∠x=∠BAT=70ù이므로
∠BOA=2∠x=2_70ù=140ù
△OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠y=
_(180ù-140ù)=20ù
;2!;
∴ ∠x-∠y=70ù-20ù=50ù
19 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으
면 ABÓ는 원 O의 지름이므로
∠
∠ACB=90ù
BAC=∠BCT=64ù
△ACB에서
∠y=180ù-(64ù+90ù)=26ù
△BPC에서 ∠x=64ù-26ù=38ù
∴ ∠x-∠y=38ù-26ù=12ù
20 △PAB에서 PAÓ=PBÓ이므로
∠
∠
∠
PBA=
_(180ù-50ù)=65ù
;2!;
CBA=∠CAD=75ù이므로
EBC=180ù-(65ù+75ù)=40ù
21 원 O에서 ∠BTQ=∠BAT=75ù
원 O'에서 ∠CTQ=∠CDT=55ù
∴ ∠x=180ù-(75ù+55ù)=50ù
22 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
5_x=10_3
∴ x=6
23 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
PAÓ=
cm, PBÓ=
+r=
r (cm)
;2R;
;2#;
;2R;
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
_
;2R;
;2#;
r=3_7,
=21, rÛ
=28
rÛ
;4#;
`
`
∴ r=2
7 (∵ r>0)
'
따라서 원 O의 반지름의 길이는 2
7
cm이다.
'
`
24 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로
3_(3+5)=(7-r)(7+r)
24=49-rÛ
=25
∴ r=5 (∵ r>0)
`
따라서 원 O의 둘레의 길이는
, rÛ
`
2p_5=10p
80 정답과 해설
25 ① ∠BAC=∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위
② 2_6=3_4이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있
③ ∠B+∠D=180ù이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위
④
∠DAB=∠DCE이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위
에 있다.
다.
에 있다.
에 있다.
⑤ 4_(4+6)+3_(3+8)이므로 네 점 A, B, C, D는
한 원 위에 있지 않다.
따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있지 않은 것은 ⑤이
다.
26 원 O에서 PAÓ_PBÓ=PEÓ_PFÓ이고
원 O'에서 PCÓ_PDÓ=PEÓ_PFÓ이므로
PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ
즉 8_3=4_PDÓ이므로 PDÓ=6
27 QAÓ_QBÓ=QCÓ_QDÓ이므로
QAÓ_3=2_6
PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로
PTÓ Û`=5_12=60
∴ QAÓ=4
…… [ 50
% ]
∴ PTÓ=2
15 (∵ PTÓ>0)
'¶
…… [ 50
% ]
`
`
28 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 PTÓ Û`=4_(4+5)=36
∴ PTÓ=6 (cm)(∵ PTÓ>0)
△PAT와 △PTB에서
∠PTA=∠PBT, ∠P는 공통
따라서 △PAT »△PTB (AA 닮음)이므로
PAÓ：PTÓ=ATÓ：TBÓ에서
4：6=3：TBÓ, 4BTÓ=18
∴ BTÓ=
(cm)
;2(;`
29 원 O에서 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이고
원 O'에서 PT'Ó Û`=PAÓ_PBÓ이므로
PTÓ=PT'Ó (∵ PTÓ>0, PT'Ó>0)
∴ PTÓ=
TT'Ó=
_8=4 (cm)
;2!;
;2!;
PAÓ=x cm라 하면
PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로
4Û
=x(x+6), xÛ
`
(x+8)(x-2)=0
`
+6x-16=0
∴ x=2 (∵ x>0)
따라서 PAÓ의 길이는 2
cm이다.
`
