이책의
정답과 해설
수학 (상)
I 다항식
다항식의 연산
항등식과 나머지정리
인수분해
II
방정식과 부등식
복소수
이차방정식
이차방정식과 이차함수
여러 가지 방정식
연립일차부등식
이차부등식과 연립이차부등식
1
2
3
4
5
6
7
8
9
III
도형의 방정식
10
11
12
13
평면좌표
직선의 방정식
원의 방정식
도형의 이동
002
013
025
037
046
065
078
099
116
133
144
159
179
1 다항식의 연산
본책 8~21쪽
0009
(2x+3)Û`=(2x)Û`+2´2x´3+3Û`
⑴ -xÛ`+(2y+1)x+3yÛ`+5 ⑵ 3yÛ`+5+(2y+1)x-xÛ`
=25xÛ`-4yÛ`
25xÛ`-4yÛ`
개념 마스터
STEP1
0001
⑴ x에 대하여 차수가 높은 항부터 나열하면
-xÛ`+(2y+1)x+3yÛ`+5
⑵ x에 대하여 차수가 낮은 항부터 나열하면
3yÛ`+5+(2y+1)x-xÛ`
0002 4xÛ`+xy+7yÛ`
=4xÛ`+12x+9
4xÛ`+12x+9
0010
(3x-1)Û`=(3x)Û`-2´3x´1+1Û`
=9xÛ`-6x+1
9xÛ`-6x+1
0011
(5x+2y)(5x-2y)=(5x)Û`-(2y)Û`
0012
(x+3)(x-5)=xÛ`+(3-5)x+3´(-5)
=xÛ`-2x-15
xÛ`-2x-15
0003
0004
0005
(xÛ`-3xy+yÛ`)-(-3xÛ`-5xy+4yÛ`)
=xÛ`-3xy+yÛ`+3xÛ`+5xy-4yÛ`
0013
(2x+3)(4x-7)=2´4xÛ`+(-14+12)x+3´(-7)
=4xÛ`+2xy-3yÛ`
4xÛ`+2xy-3yÛ`
=8xÛ`-2x-21
8xÛ`-2x-21
(7xÛ`+xy-yÛ`)+(xy-5yÛ`)-(xÛ`+4xy)
=7xÛ`+xy-yÛ`+xy-5yÛ`-xÛ`-4xy
=6xÛ`-2xy-6yÛ`
6xÛ`-2xy-6yÛ`
=xÛ`+(2y)Û`+(3z)Û`+2´x´2y+2´2y´3z+2´3z´x
=xÛ`+4yÛ`+9zÛ`+4xy+12yz+6zx
xÛ`+4yÛ`+9zÛ`+4xy+12yz+6zx
0014
(x+2y+3z)Û`
-3A+2B=-3(2xÜ`+5xÛ`-3x+2)+2(-xÜ`-4xÛ`+3)
=-6xÜ`-15xÛ`+9x-6-2xÜ`-8xÛ`+6
=-8xÜ`-23xÛ`+9x
-8xÜ`-23xÛ`+9x
0006
5B-(2A+B)
=5B-2A-B=-2A+4B
=-2(2xÜ`+5xÛ`-3x+2)+4(-xÜ`-4xÛ`+3)
=-4xÜ`-10xÛ`+6x-4-4xÜ`-16xÛ`+12
=-8xÜ`-26xÛ`+6x+8
-8xÜ`-26xÛ`+6x+8
0015
(x+2)Ü`=xÜ`+3´xÛ`´2+3´x´2Û`+2Ü`
=xÜ`+6xÛ`+12x+8
xÜ`+6xÛ`+12x+8
0016
(3x-4y)Ü`=(3x)Ü`-3´(3x)Û`´4y+3´3x´(4y)Û`-(4y)Ü`
=27xÜ`-108xÛ`y+144xyÛ`-64yÜ`
27xÜ`-108xÛ`y+144xyÛ`-64yÜ`
0017
(x+2)(xÛ`-2x+4)=xÜ`+2Ü`=xÜ`+8
xÜ`+8
0007
2x(xÛ`+x-4)=2xÜ`+2xÛ`-8x
2xÜ`+2xÛ`-8x
0018
(5x-2)(25xÛ`+10x+4)=(5x)Ü`-2Ü`
=125xÜ`-8
125xÜ`-8
0008
(2a+b)(aÛ`+ab-bÛ`)
0019
(x+2)(x+4)(x+5)
=2aÜ`+2aÛ`b-2abÛ`+aÛ`b+abÛ`-bÜ`
=xÜ`+(2+4+5)xÛ`+(2´4+4´5+5´2)x+2´4´5
=2aÜ`+3aÛ`b-abÛ`-bÜ`
2aÜ`+3aÛ`b-abÛ`-bÜ`
=xÜ`+11xÛ`+38x+40
xÜ`+11xÛ`+38x+40
002 | I . 다항식
정답과 해설 0020
(x-y+1)(xÛ`+yÛ`+xy-x+y+1)
={x+(-y)+1}{xÛ`+(-y)Û`+1Û`-x´(-y)-(-y)´1-1´x}
=xÜ`+(-y)Ü`+1Ü`-3´x´(-y)´1
=xÜ`-yÜ`+3xy+1
xÜ`-yÜ`+3xy+1
0021
(9xÛ`+6xy+4yÛ`)(9xÛ`-6xy+4yÛ`)
={(3x)Û`+3x´2y+(2y)Û`}{(3x)Û`-3x´2y+(2y)Û`}
=(3x)Ý`+(3x)Û`(2y)Û`+(2y)Ý`
0028
2x-2
xÛ`+x+2`<Ô2xÜ`+2xÛ`-4x+1
2xÜ`+2xÛ`+4x
2xÜ`-2xÛ`-8x+1
2xÜ`-2xÛ`-2x-4
2xÜ`+2xÛ`-6x+5
∴ 몫：2x-2, 나머지：-6x+5
=81xÝ`+36xÛ`yÛ`+16yÝ`
81xÝ`+36xÛ`yÛ`+16yÝ`
0029 ㈎ 3 ㈏ 3 ㈐ -9 ㈑ -2 ㈒ -10 ㈓ xÛ`-2x-3 ㈔ -10
몫：2x-2, 나머지：-6x+5
1ㅡ
다
항
식
의
연
산
0030
-1
1 -2
-1
1 -6
3 -4
1 -3
4 -2
0031
-2
3
4
-6
0 -5
4 -8
3 -2
4 -13
0032
;2!;
2
2
1 -3 -6
1
1 -1
2 -2 -7
STEP2
0033
계산한다.
3A-2(2A-B)+C
⑴ 7 ⑵ 18
∴ 몫：xÛ`-3x+4, 나머지：2
몫：xÛ`-3x+4, 나머지：2
⑴ 12 ⑵ 40
∴ 몫：3xÛ`-2x+4, 나머지：-13
몫：3xÛ`-2x+4, 나머지：-13
0022
⑴ xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=3Û`-2´1=7
⑵ xÜ`+yÜ`=(x+y)Ü`-3xy(x+y)
=3Ü`-3´1´3=18
0023
⑴ xÛ`+yÛ`=(x-y)Û`+2xy=4Û`+2´(-2)=12
⑵ xÜ`-yÜ`=(x-y)Ü`+3xy(x-y)
=4Ü`+3´(-2)´4=40
0024
⑴ xÛ`+
=
x+
{
;[!;}
1
xÛ`
Û`-2=4Û`-2=14
⑵
{
x-
;[!;}
x+
{
;[!;}
Û`=
Û`-4=4Û`-4=12
∴ x-
=Ñ2
;[!;
3
'
0025
aÛ`+bÛ`+cÛ` =(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)
0026 ㈎ 4 ㈏ 4 ㈐ 2
0027
xÛ`-x-2
x+2`<Ô`xÜ`+xÛ`-4x+3
xÜ`+2xÛ`
-xÛ`-4x
-xÛ`-2x
-2x+3
-2x-4
-2x-7
⑴ 14 ⑵ Ñ2
3
'
∴ 몫：2xÛ`+2x-2, 나머지：-7
몫：2xÛ`+2x-2, 나머지：-7
=9Û`-2´8=65
65
유형 마스터
유형 마스터
|전략| 먼저 주어진 식을 간단히 정리한 다음 A, B, C에 각 다항식을 대입하여
=3A-4A+2B+C=-A+2B+C
=-(3xÛ`-2xy+4yÛ`)+2(5xÛ`-3xy+yÛ`)+(-2xÛ`-5yÛ`)
=-3xÛ`+2xy-4yÛ`+10xÛ`-6xy+2yÛ`-2xÛ`-5yÛ`
=5xÛ`-4xy-7yÛ`
①
0034
A-2(X-B)=2A에서
1 다항식의 연산 | 003
∴ 몫：xÛ`-x-2, 나머지：7
몫：xÛ`-x-2, 나머지：7
A-2X+2B=2A, 2X=-A+2B
`X=-
A+B
;2!;
=-
(2xÜ`+4xÛ`-6)+(xÜ`-xÛ`+2x+3)
;2!;
=-xÜ`-2xÛ`+3+xÜ`-xÛ`+2x+3
=-3xÛ`+2x+6
0035
A+B=xÛ`+xy+yÛ`
B+C=4xÛ`-3xy+yÛ`
C+A=-3xÛ`+4yÛ`
㉠+㉡+㉢을 하면
2(A+B+C)=2xÛ`-2xy+6yÛ`
∴ A+B+C=xÛ`-xy+3yÛ`
0036
A∨(B∧C)
0039
(3xÛ`+3x+4)(2xÛ`+kx-7)의 전개식에서 xÛ` 항은
3xÛ`´(-7)+3x´kx+4´2xÛ`=(3k-13)xÛ`
이때, xÛ`의 계수가 5이므로
①
3k-13=5
∴ k=6
0040
(1+x+xÛ`+xÜ`+y+x2018)Û`
=(1+x+xÛ`+xÜ`+y+x2018)(1+x+xÛ`+xÜ`+y+x2018)
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
④
이 식의 전개식에서 xÞ` 항은
1´xÞ`+x´xÝ`+xÛ`´xÜ`+xÜ`´xÛ`+xÝ`´x+xÞ`´1
=xÞ`+xÞ`+xÞ`+xÞ`+xÞ`+xÞ`=6xÞ``
따라서 xÞ`의 계수는 6이다.
참고 주어진 식의 전개식에서 xÞ`의 계수와
(1+x+xÛ`+xÜ`+xÝ`+xÞ`)(1+x+xÛ`+xÜ`+xÝ`+xÞ`)의 전개식에서 xÞ`의 계
6
①
수는 서로 같다.
0041
=A∨(B-2C)=2A+B-2C
=2(xÛ`-2x+yÛ`)+(3x-y+2yÛ`)-2(3xÛ`+2yÛ`)
=2xÛ`-4x+2yÛ`+3x-y+2yÛ`-6xÛ`-4yÛ`
(1+2x+3xÛ`+4xÜ`)Û`=(1+2x+3xÛ`+4xÜ`)(1+2x+3xÛ`+4xÜ`)
이 식의 전개식에서 xÛ` 항은
1´3xÛ`+2x´2x+3xÛ`´1=3xÛ`+4xÛ`+3xÛ`=10xÛ`
=-4xÛ`-x-y
-4xÛ`-x-y
(1+2x+3xÛ`)Û`=(1+2x+3xÛ`)(1+2x+3xÛ`)
이 식의 전개식에서 xÛ`항은
1´3xÛ`+2x´2x+3xÛ`´1=3xÛ`+4xÛ`+3xÛ`=10xÛ`
따라서 두 다항식 (1+2x+3xÛ`+4xÜ`)Û`, (1+2x+3xÛ`)Û`의 전개식
에서 xÛ`의 계수는 모두 10이므로 주어진 식의 xÛ`의 계수는 0이다.
①
다른 풀이 (1+2x+3xÛ`+4xÜ`)Û`의 전개식에서 xÛ`의 계수는 4xÜ`과 관계
없이 결정되므로 (1+2x+3xÛ`+4xÜ`)Û`과 (1+2x+3xÛ`)Û`의 전개식에서
xÛ`의 계수는 서로 같다.
따라서 주어진 식의 xÛ`의 계수는 0이다.
… ❷
0042
(x+1)(x+2)(x+3)y(x+10)의 전개식에서 xá` 항은
… ❸
xá`´10+xá`´9+xá`´8+y+xá`´2+xá`´1
5x+2
=(1+2+y+8+9+10)xá`=55xá`
따라서 xá`의 계수는 55이다.
③
비율
40 %
40 %
20 %
0043
|전략| 곱셈 공식을 이용하여 좌변의 식을 전개한다.
① (x-1)(x+2)(x-4)
=xÜ`+(-1+2-4)xÛ`+{(-1)´2+2´(-4)+(-4)´(-1)}x
+(-1)´2´(-4)
0037
2A+B=xÛ`+8x-3
A-B=2xÛ`+x-12
㉠+㉡을 하면
yy`㉠
yy`㉡
3A=3xÛ`+9x-15 `∴`A=xÛ`+3x-5
… ❶
이것을 ㉡에 대입하면
(xÛ`+3x-5)-B=2xÛ`+x-12
∴`B =xÛ`+3x-5-(2xÛ`+x-12)
=-xÛ`+2x+7
∴`A+B=xÛ`+3x-5+(-xÛ`+2x+7)
=5x+2
채점 기준
❶ 다항식 A를 구할 수 있다.
❷ 다항식 B를 구할 수 있다.
❸ A+B를 계산할 수 있다.
0038
004 | I . 다항식
|전략| xÜ`항은 (xÜ`항)_(상수항), (xÛ`항)_(x항), (x항)_(xÛ`항)에서 나올 수 있으
=xÜ`-3xÛ`-6x+8
므로 이 항들만 선택하여 곱한다.
(xÜ`+2xÛ`-x+4)(2xÛ`+3x-5)의 전개식에서 xÜ`항은
xÜ`´(-5)+2xÛ`´3x+(-x)´2xÛ`=-5xÜ`+6xÜ`-2xÜ`=-xÜ`
② (a-b)(a+b)(aÛ`+bÛ`)(aÝ`+bÝ`)
=(aÛ`-bÛ`)(aÛ`+bÛ`)(aÝ`+bÝ`)
=(aÝ`-bÝ`)(aÝ`+bÝ`)
따라서 xÜ`의 계수는 -1이다.
-1
=a¡`-b¡`
정답과 해설 ④ (x-2y)Ü`=xÜ`-3´xÛ`´2y+3´x´(2y)Û`-(2y)Ü`
=xÜ`-6xÛ`y+12xyÛ`-8yÜ`
0049
xÛ`-2x=t로 놓으면
⑤ (x-2)(xÛ`+2x+4)=xÜ`-2Ü`=xÜ`-8
③
(xÛ`-2x+3)(xÛ`-2x-1)
=(t+3)(t-1)=tÛ`+2t-3
=(xÛ`-2x)Û`+2(xÛ`-2x)-3
=xÝ`-4xÜ`+4xÛ`+2xÛ`-4x-3
=(2x)Û`+(-y)Û`+3Û`+2´2x´(-y)+2´(-y)´3+2´3´2x
=xÝ`-4xÜ`+6xÛ`-4x-3
따라서 a=6, b=-4이므로 2a+b=8
8
=4xÛ`+yÛ`-4xy+12x-6y+9
따라서 a=1, b=-4, c=12이므로
0044
(2x-y+3)Û`
a+b+c=9
0045
(x-y)(x+y)(xÛ`-xy+yÛ`)(xÛ`+xy+yÛ`)
={(x-y)(xÛ`+xy+yÛ`)}{(x+y)(xÛ`-xy+yÛ`)}
=(xÜ`-yÜ`)(xÜ`+yÜ`)
=(xÜ`)Û`-(yÜ`)Û`=xß`-yß`
(xÛ`-1)(xÛ`+x+1)(xÛ`-x+1)
=(x-1)(x+1)(xÛ`+x+1)(xÛ`-x+1)
={(x-1)(xÛ`+x+1)}{(x+1)(xÛ`-x+1)}
=(xÜ`-1)(xÜ`+1)
=xß`-1=2-1(∵ xß`=2)
9
0050
(5+3a)Ü`=A, (5-3a)Ü`=B로 놓으면
{(5+3a)Ü`-(5-3a)Ü`}Û`-{(5+3a)Ü`+(5-3a)Ü`}Û`
=(A-B)Û`-(A+B)Û`=-4AB
=-4(5+3a)Ü`(5-3a)Ü`
=-4{(5+3a)(5-3a)}Ü`
①
=-4(25-9aÛ`)Ü`
=-4(25-9´3)Ü` (∵ a=
3)
'
=-4´(-8)=32
0051
|전략| 먼저 곱셈 공식의 변형을 이용하여 xy의 값을 구한다.
xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy에서
4=(2
2)Û`-2xy
∴ xy=2
'
∴ xÜ`+yÜ``=(x+y)Ü`-3xy(x+y)
①
=(2
2)Ü`-3´2´2
2=4
2
'
'
'
④
|전략| 두 일차식의 상수항의 합이 같도록 짝지어 전개한 후 공통부분을 치환한다.
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}
=(xÛ`+5x+4)(xÛ`+5x+6)
xÛ`+5x=t로 놓으면
(주어진 식) =(t+4)(t+6)=tÛ`+10t+24
=(xÛ`+5x)Û`+10(xÛ`+5x)+24
=xÝ`+10xÜ`+25xÛ`+10xÛ`+50x+24
=xÝ`+10xÜ`+35xÛ`+50x+24
xÝ`+10xÜ`+35xÛ`+50x+24
0052
xÜ`-yÜ`=(x-y)Ü`+3xy(x-y)에서
4=1Ü`+3xy´1
∴ xy=1
∴
+
=
;]{;
;[};
yÛ`+xÛ`
xy
=
(x-y)Û`+2xy
xy
= 1Û`+2´1
1
=3
0053
xÜ`+yÜ`=(x+y)Ü`-3xy(x+y)에서
7=1Ü`-3xy´1
∴ `xy=-2
∴`xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=1Û`-2´(-2)=5
∴`xÝ`+yÝ`` =(xÛ`+yÛ`)Û`-2xÛ`yÛ`
=5Û`-2´(-2)Û`=17
(a-b+c)(a+b-c)={a-(b-c)}{a+(b-c)}
b-c=t로 놓으면
(주어진 식) =(a-t)(a+t)=aÛ`-tÛ`
=aÛ`-(b-c)Û`
=aÛ`-(bÛ`-2bc+cÛ`)
=aÛ`-bÛ`+2bc-cÛ`
전개한 식을 b에 대한 내림차순으로 정리하면
-bÛ`+2bc+aÛ`-cÛ`
0054
a=2+
3, b=2-
3에서
'
a+b=4, ab=1
'
∴
b
aÛ`
+ a
bÛ`
(a+b)Ü`-3ab(a+b)
(ab)Û`
=
= bÜ`+aÜ`
aÛ`bÛ`
= 4Ü`-3´1´4
1Û`
=52
③
32
⑤
17
52
1 다항식의 연산 | 005
0046
=1
0047
0048
1ㅡ다항식의 연산 0055
식의 값을 구한다.
|전략| 양변을 x로 나누어 x+
;[!;의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용하여
x+0이므로 xÛ`-3x+1=0의 양변을 x로 나누면
x-3+
;[!;
∴ xÜ`+ 1
xÜ`
=0
∴ x+
=3
;[!;
Ü`-3
{
=
x+
{
;[!;}
x+
;[!;}
=3Ü`-3´3=18
참고 x=0을 xÛ`-3x+1=0에 대입하면 1+0이므로 x+0이다.
0056
a+
{
;a!;}
Û`=aÛ`+ 1
aÛ`
+2=3+2=5
그런데 a>0이므로 a+
=
5
'
;a!;
Ü`-3
=
a+
{
;a!;}
a+
{
;a!;}
=(
5)Ü`-3´
5=2
5
'
'
'
∴ aÜ`+ 1
aÜ`
0057
x+0이므로 xÛ`-x-1=0의 양변을 x로 나누면
x-1-
=0
∴ x-
=1
;[!;
∴ xÛ`+2x-
+ 1
xÛ`
;[@;
;[!;
=xÛ`+ 1
xÛ`
+2
x-
{
;[!;}
=
x-
{
;[!;}
Û`+2+2
x-
{
;[!;}
=1Û`+2+2´1=5
⑤
0058
|전략| 먼저 곱셈 공식의 변형을 이용하여 ab+bc+ca의 값을 구한다.
(a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서
(-1)Û`=5+2(ab+bc+ca) ∴`ab+bc+ca=-2
∴` aÜ`+bÜ`+cÜ`` =(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)+3abc
=-1´{5-(-2)}+3´2=-1
②
㉠의 양변을 제곱하여 정리하면
aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+2(abÛ`c+abcÛ`+aÛ`bc)=9
aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+2abc(a+b+c)=9
aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+2´1´1=9
∴`aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`=7
⑤
❶ ab+bc+ca의 값을 구할 수 있다.
❷ aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`의 값을 구할 수 있다.
0061
a-b=2, b-c=3을 변끼리 더하면 a-c=5
∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca
=
(2aÛ`+2bÛ`+2cÛ`-2ab-2bc-2ca)
… ❷
7
비율
40 %
60 %
②
=
{(aÛ`-2ab+bÛ`)+(bÛ`-2bc+cÛ`)+(cÛ`-2ca+aÛ`)}
=
{(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}
=
{2Û`+3Û`+(-5)Û`}=19
19
채점 기준
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
0062
용한다.
|전략| 주어진 식에 (2-1)을 곱하여 곱셈 공식 (a+b)(a-b)=aÛ`-bÛ`을 이
(2+1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1)(216+1)
=(2-1)(2+1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1)(216+1)
2-1=1
=(2Û`-1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1)(216+1)
=(2Ý`-1)(2Ý`+1)(2¡`+1)(216+1)
=(2¡`-1)(2¡`+1)(216+1)
=(216-1)(216+1)
=232-1
④
0059
(a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서
0063
100=a로 놓으면
1Û`=2+2(ab+bc+ca) ∴`ab+bc+ca=
-;2!;
aÜ`+bÜ`+cÜ`=(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)+3abc에서
3=1´
2-
[
{-;2!;}]
+3abc, 3abc=
;2!;
∴ abc
=;6!;
;6!;
0064
101_(10000-100+1)-99_10101
=(a+1)(aÛ`-a+1)-(a-1)(aÛ`+a+1)
=aÜ`+1-(aÜ`-1)=2
2
9_11_101_10001
=(10-1)(10+1)(100+1)(10000+1)
=(10Û`-1)(10Û`+1)(10Ý`+1)
=(10Ý`-1)(10Ý`+1)
yy`㉠
… ❶
=10¡`-1
②
0060
(a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서
1Û`=7+2(ab+bc+ca)
∴`ab+bc+ca=-3
006 | I . 다항식
006 | I . 다항식
정답과 해설 이때, (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서
따라서 Q(x)=x-1, R(x)=x-2이므로
7Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+40
∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=9
∴ ABÓ=
aÛ`+bÛ`+cÛ`=
9=3
"Ã
'
3
Q(2)+R(3)=1+1=2
2
∴`OAÓ
Û`+OBÓ
Û`+OCÓ
Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`
=(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)
=9Û`-2´26=29
0065
1.002Ü` =(1+0.002)Ü`
=1Ü`+3_1Û`_0.002+3_1_0.002Û`+0.002Ü`
=1+0.006+0.000012+y
=1.006012y
따라서 소수점 아래 첫째, 셋째, 다섯째 자리의 숫자는 각각 0, 6, 1이
므로 구하는 합은 7이다.
7
0066
한 식으로 나타낸다.
|전략| 직육면체의 세 모서리의 길이를 a, b, c라 하고 주어진 조건을 a, b, c에 대
직육면체의 세 모서리의 길이를 각각 a, b, c라 하면
모든 모서리의 길이의 합이 28이므로
4(a+b+c)=28
∴ a+b+c=7
또, 직육면체의 겉넓이가 40이므로
2(ab+bc+ca)=40
세 모서리의 길이가 각각 a, b, c인 직육면체에서
⑴ 모서리의 길이의 총합 ⇨ 4(a+b+c)
⑵ 대각선의 길이 ⇨
aÛ`+bÛ`+cÛ`
"Ã
⑶ 겉넓이 ⇨ 2(ab+bc+ca)
⑷ 부피 ⇨ abc
0067
직사각형의 가로의 길이를 a, 세로의 길이를 b라 하면
직사각형의 대각선의 길이가 19이므로
aÛ`+bÛ`=19Û`=361
또, 직사각형의 둘레의 길이가 42이므로
2(a+b)=42
∴ a+b=21
이때, aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab에서
361=21Û`-2ab
∴ ab=40
따라서 직사각형의 넓이는 40이다.
40
채점 기준
0069
❶ a+b+c의 값을 구할 수 있다.
❷ ab+bc+ca의 값을 구할 수 있다.
Û`+OCÓ
Û`+OBÓ
❸ OAÓ
Û`의 값을 구할 수 있다.
|전략| 직접 나눗셈을 하여 몫과 나머지를 구한다.
x-1
xÛ`-2x+2`<ÔxÜ`-3xÛ`+5x-4
xÜ`-2xÛ`+2x
-xÛ`+3x-4
-xÛ`+2x-2
-xÛ`+2x-2
0070
xÛ`+2x-2
2x+2`<Ô2xÜ`+6xÛ`-4x-7
2xÜ`+2xÛ`
2xÜ`+4xÛ`
2xÜ`+4xÛ`+4x
2xÜ`+4xÛ`-4x-7
2xÜ`+4xÛ`-4x-4
2xÜ`+2xÛ`-6x-3
∴ a=2, b=4, c=4, d=7, e=-3
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
0071
xÛ`-x-5`<Ô2xÜ`-5xÛ`+x-1
2xÜ`-2xÛ`-10x
2x-3
2xÜ`-3xÛ`+11x-1
2xÜ`-3xÛ`+3x+15
2xÜ`-3xÛ`+8x-16
따라서 몫은 2x-3, 나머지는 8x-16이므로
a=2, b=-3, c=8, d=-16
∴ a+b+c+d=-9
0068
세 모서리 OA, OB, OC의 길이를
각각 a, b, c라 하면
OAÓ+OBÓ+OCÓ=9에서
a+b+c=9
ab+
bc+
ca=13
;2!;
;2!;
;2!;
∴`ab+bc+ca=26
△OAB+△OBC+△OCA=13에서
O
a
b
… ❶
A
C
c
0072
B
|전략| 다항식 A를 다항식 B로 나누었을 때의 몫을 Q, 나머지를 R라 하면
A=BQ+R이다. (단, (R의 차수)<(B의 차수))
xÜ`-xÛ`-2x+1=A(x+2)+3x-1이므로
A(x+2)=xÜ`-xÛ`-2x+1-(3x-1)
… ❷
=xÜ`-xÛ`-5x+2
1 다항식의 연산 | 007
… ❸
29
비율
30 %
30 %
40 %
⑤
①
1ㅡ다항식의 연산 ∴ A=(xÜ`-xÛ`-5x+2)Ö(x+2)
∴ 2xÝ`+3xÜ`+2xÛ`+2x-1=(xÛ`+x-1)(2xÛ`+x+3)+2
이때, xÛ`+x-1=0이므로 구하는 식의 값은 2이다.
②
|전략| 다항식 f(x)를 x+
;aB;로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라 할
때, f(x)를 ax+b로 나누었을 때의 몫은 ;a!;
Q(x), 나머지는 R이다.
⑤
f(x)=
x-
Q(x)+R=
(2x-1)Q(x)+R
{
;2!;}
;2!;
=(2x-1)´
Q(x)+R
;2!;
0073
f(x)=(x-1)(3x-4)+5=3xÛ`-7x+9
따라서 f(x)를 2x-1로 나누었을 때의 몫은
Q(x), 나머지는 R
;2!;
따라서 f(x)=3xÛ`-7x+9를 x+1로 나누었을 때의 몫은 3x-10,
나머지는 19이다.
몫：3x-10, 나머지：19
=
x-
´5Q(x)+R
{
;5@;}
f(x)=(5x-2)Q(x)+R
=5
x-
Q(x)+R
{
;5@;}
0076
이다.
0077
이다.
채점 기준
①
… ❶
… ❷
… ❸
비율
30 %
50 %
20 %
따라서 f(x)를 x-
로 나누었을 때의 몫은 5Q(x), 나머지는 R
;5@;
몫：5Q(x), 나머지：R
❶ f(x)를 5x-2에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
❷ f(x)를 x-
;5@;에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
❸ f(x)를 x-
;5@;로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구할 수 있다.
0078
f(x)=(3x-1)Q(x)+R
이 식의 양변에 x를 곱하면
xf(x)=x(3x-1)Q(x)+Rx
=3x
x-
Q(x)+R
x-
{
;3!;}
{
+
R
;3!;
;3!;}
=
x-
{
;3!;}
{3xQ(x)+R}+
R
;3!;
따라서 xf(x)를 x-
로 나누었을 때의 몫은 3xQ(x)+R,
;3!;
나머지는
R이다.
;3!;
④
0079
|전략| 주어진 조립제법을 이용하여 몫과 나머지를 구해 본다.
다항식 3xÜ`+axÛ`+bx-6을 x+1로 나누었을 때의 몫과 나머지를
조립제법을 이용하여 구하면
xÛ`-3x+1
x+2`<Ô xÜ`-2xÛ`-5x+2
xÜ`+2xÛ`
xÜ`-3xÛ`-5x
xÜ`-3xÛ`-6x
xÜ`-3xÛ`-6x+2
xÜ`-3xÛ`-6x+2
xÜ`-3xÛ`-6x+0
∴ A=xÛ`-3x+1
3x-10
x+1`<Ô 3xÛ`-17x+19
3xÛ`+13x
3xÛ`-10x+19
3xÛ`-10x-10
3xÛ`-10x-19
0074
직육면체의 높이를 A라 하면
(x+1)(x+2)A=2xÜ`+5xÛ`+x-2
∴ A=(2xÜ`+5xÛ`+x-2)Ö(xÛ`+3x+2)
2x-1
xÛ`+3x+2`<Ô 2xÜ`+5xÛ`+4x-2
2xÜ`+6xÛ`+4x
2xÜ`- xÛ`-3x-2
2xÜ`- xÛ`-3x-2
2xÜ`- xÛ`-3x-0
2x+k`(k는 상수)라 하면
(x+1)(x+2)(2x+k)=2xÜ`+5xÛ`+x-2
양변의 상수항을 비교하면
2k=-2
∴ k=-1
따라서 직육면체의 높이는 2x-1이다.
0075
2xÛ`+x+3
xÛ`+x-1`<Ô 2xÝ`+3xÜ`+2xÛ`+2x-1
2xÝ`+2xÜ`-2xÛ`
2xÝ`+2xÜ`+4xÛ`+2x
2xÝ`+2xÜ`+4xÛ`- x
2xÝ`+2xÜ`+3xÛ`+3x-1
2xÝ`+2xÜ`+3xÛ`+3x-3
2xÝ`+2xÜ`+3xÛ`+3x-2
008 | I . 다항식
따라서 직육면체의 높이는 2x-1이다.
2x-1
다른 풀이 2xÜ`+5xÛ`+x-2에서 xÜ`의 계수가 2이므로 구하는 높이를
정답과 해설 1ㅡ
다
항
식
의
연
산
-1
3
b
-6
이 식의 전개식에서
-a+3
a-b-3
xÝ` 항은 8xÜ`´6x+(-12xÛ`)´xÛ`=48xÝ`-12xÝ`=36xÝ`
a
-3
3
a-3
b-a+3
a-b-9
이때, k=-1, c=-3, a-3=-1, b-a+3=-5,
a-b-3=d이므로
k=-1, c=-3, a=2, b=-6, d=5
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
0080
주어진 조립제법에서 미정계수를 구하 2
면 오른쪽과 같으므로
a=1, b=3, c=-2, d=2
∴ a+b+c+d=4
0081
주어진 조립제법에 의하여
x항은 6x´9+(-1)´6x=54x-6x=48x
따라서 xÝ`의 계수는 36, x의 계수는 48이므로
a=36, b=48
∴ a+b=84
③
④
0084
유형 04 공통부분이 있는 식의 전개
|전략| 공통부분이 xÛ`+x가 되도록 두 일차식끼리 적당히 묶어 전개한다.
1
1
3 -2
2
5
10
8
2
16
18
4
(x+2)(x+3)(x-1)(x-2)
={(x+2)(x-1)}{(x+3)(x-2)}
=(xÛ`+x-2)(xÛ`+x-6)
xÛ`+x=t로 놓으면
(주어진 식) =(t-2)(t-6)=tÛ`-8t+12
=(xÛ`+x)Û`-8(xÛ`+x)+12
따라서 a=8, b=12이므로 a+b=20
⑤
f(x)=
x+
(px+q)+r=3
x+
´
(px+q)+r
{
;3@;}
{
;3@;}
;3!;
=(3x+2)
px+
q
}
;3!;
+r
{;3!;
따라서 f(x)를 3x+2로 나누었을 때의 몫은
px+
q, 나머지는
;3!;
;3!;
;3!;
r이다.
몫：;3!;
px+
q, 나머지：r
13=4Û`-ab
∴ ab=3
유형 05 곱셈 공식의 변형을 이용한 식의 값 구하기 - 두 문자인 경우
|전략| 먼저 곱셈 공식의 변형을 이용하여 ab의 값을 구한다.
aÛ`+ab+bÛ`=(a+b)Û`-ab에서
∴ aÜ`+bÜ`=(a+b)Ü`-3ab(a+b)
=4Ü`-3´3´4=28
③
|전략| 먼저 주어진 식을 간단히 정리한 다음 A, B, C에 각 다항식을 대입하여
|전략| x+y, xy의 값을 구하고 곱셈 공식의 변형을 이용한다.
유형 05 곱셈 공식의 변형을 이용한 식의 값 구하기 - 두 문자인 경우
내신 마스터
내신 마스터
STEP3
0082
유형 01 다항식의 덧셈과 뺄셈
계산한다.
2(A+B)-{B-(A-C)}
=2A+2B-(B-A+C)
=2A+2B-B+A-C
=3A+B-C
=3(2xÛ`+5xy+yÛ`)+(xÛ`-3xy+2yÛ`)-(-xÛ`+xy-3yÛ`)
=6xÛ`+15xy+3yÛ`+xÛ`-3xy+2yÛ`+xÛ`-xy+3yÛ`
=8xÛ`+11xy+8yÛ`
⑤
0083
유형 02 다항식의 전개식에서 특정항의 계수 구하기
+ 03 곱셈 공식을 이용한 식의 전개
2-1)
=
2-1
'
2-1
'
2+1)(
'
2+1
2+1
x= 1
'
y= 1
'
2-1
=
=
따라서 x+y=2
(
'
(
'
'
'
2-1)(
2+1)
'
2, xy=1이므로
=
2+1
'
xÝ`+xÜ`y+xyÜ`+yÝ` =xÜ`(x+y)+yÜ`(x+y)
=(xÜ`+yÜ`)(x+y)
={(x+y)Ü`-3xy(x+y)}(x+y)
={(2
2)Ü`-3´1´2
2}´2
2
'
'
'
2´2
'
=10
'
2=40
④
0085
0086
0087
|전략| 곱셈 공식을 이용하여 식을 전개하고, xÝ`항과 x항이 나오는 부분만 찾아
계수를 구한다.
(2x-1)Ü`(x+3)Û`=(8xÜ`-12xÛ`+6x-1)(xÛ`+6x+9)
유형 06 곱셈 공식의 변형을 이용한 식의 값 구하기 - xÑ
;[!; 꼴을 포함한 경우
|전략| xÛ`+
1
xÛ`
x+
=
{
;[!;}
Û`-2, xÜ`+
1
xÜ`
x+
=
{
;[!;}
Ü`-3
x+
{
;[!;}임을 이용한다.
1 다항식의 연산 | 009
=
x+
;[!;}
Û`-2=5Û`-2=23
=
x+
Ü`-3
x+
{
;[!;}
;[!;}
=5Ü`-3´5=110
따라서 a=23, b=110이므로 a+b=133
④
xÛ`+
1
xÛ`
xÜ`+ 1
xÜ`
{
{
0088
유형 07 곱셈 공식의 변형을 이용한 식의 값 구하기 - 세 문자인 경우
|전략|
+
;a!;
+
=
;c!;
;b!;
ab+bc+ca
abc
ab+bc+ca, abc의 값을 구한다.
(a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서
5Û`=9+2(ab+bc+ca)
∴ ab+bc+ca=8
+
= ab+bc+ca
abc
;c!;
에서
∴ abc=4
+
;a!;
;b!;
2= 8
abc
∴ aÜ`+bÜ`+cÜ` =(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)+3abc
=5´(9-8)+3´4=17
②
0091
유형 08 곱셈 공식을 이용한 수의 계산
|전략| 201Û`=(200+1)Û`, 98_102=(100-2)(100+2)이므로 곱셈 공식
(a+b)Û`=aÛ`+2ab+bÛ`, (a+b)(a-b)=aÛ`-bÛ`을 이용한다.
201Û`+98_102=(200+1)Û`+(100-2)(100+2)
=40000+400+1+10000-4
=50397
이므로 다섯 자리 자연수이다.
0092
유형 09 곱셈 공식의 도형에의 응용
식을 간단히 한다.
|전략| 공통부분이 생기도록 적당히 항을 묶은 후 곱셈 공식을 이용하여 주어진
(a-b+c)(a-b-c)=(a+b+c)(c-b-a)에서
{(a-b)+c}{(a-b)-c}={c+(a+b)}{c-(a+b)}
(a-b)Û`-cÛ`=cÛ`-(a+b)Û`
aÛ`-2ab+bÛ`-cÛ`=cÛ`-(aÛ`+2ab+bÛ`)
이므로 주어진 조건식에서
∴ n=5
②
유형 07 곱셈 공식의 변형을 이용한 식의 값 구하기 - 세 문자인 경우
2aÛ`+2bÛ`=2cÛ`
∴ aÛ`+bÛ`=cÛ`
|전략| aÛ`+bÛ`+cÛ`+ab+bc+ca=
{(a+b)Û`+(b+c)Û`+(c+a)Û`}임을
;2!;
따라서 주어진 삼각형은 빗변의 길이가 c인 직각삼각형이다. ④
{(aÛ`+2ab+bÛ`)+(bÛ`+2bc+cÛ`)+(cÛ`+2ca+aÛ`)}
|전략| 다항식 A를 다항식 B로 나누었을 때의 몫을 Q, 나머지를 R라 하면
0093
유형 11 다항식의 나눗셈 - A=BQ+R
A=BQ+R이다. (단, ( R의 차수)<( B의 차수))
xÝ`+xÜ`+2xÛ`+x+2=A(xÛ`-1)+2x+5이므로
A(xÛ`-1)=xÝ`+xÜ`+2xÛ`+x+2-(2x+5)
②
∴ A=(xÝ`+xÜ`+2xÛ`-x-3)Ö(xÛ`-1)
=xÝ`+xÜ`+2xÛ`-x-3
xÛ`+x+3
xÛ`-1`<ÔxÝ`+xÜ`+2xÛ`-x-3
xÝ`-xÜ`-2xÛ`
xÝ`-xÜ`+3xÛ`-x
xÝ`-xÜ`+3xÛ`-x
xÝ`-xÜ`+3xÛ`-x-3
xÝ`-xÜ`+3xÛ`-x-3
xÝ`-xÜ`+3xÛ`-x-0
0094
유형 12 몫과 나머지의 변형
(4-1)을 곱하여 곱셈 공식 (a+b)(a-b)=aÛ`-bÛ`을
(4-1)=1
;3!;
∴ A=xÛ`+x+3
①
0089
;2!;
=
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
0090
;3!;
;3!;
;3!;
;3!;
이용한다.
aÛ`+bÛ`+cÛ`+ab+bc+ca
=
(2aÛ`+2bÛ`+2cÛ`+2ab+2bc+2ca)
=
{(a+b)Û`+(b+c)Û`+(c+a)Û`}
=
{(2-
3)Û`+(2+
3)Û`+3Û`}
'
'
'
'
=
(7-4
3+7+4
3+9)=
:ª2£:
유형 08 곱셈 공식을 이용한 수의 계산
|전략| 주어진 식에 ;3!;
이용한다.
(4+1)(4Û`+1)(4Ý`+1)(4¡`+1)
=
(4-1)(4+1)(4Û`+1)(4Ý`+1)(4¡`+1)
=
(4Û`-1)(4Û`+1)(4Ý`+1)(4¡`+1)
=
(4Ý`-1)(4Ý`+1)(4¡`+1)
=
(4¡`-1)(4¡`+1)
(416-1)=
=
;3!;
232-1
3
010 | I . 다항식
따라서 a=3, b=32이므로 a+b=35
③
때, f(x)를 ax+b로 나누었을 때의 몫은 ;a!; Q(x), 나머지는 R이다.
|전략| 다항식 f(x)를 x+
;aB;로 나누었을 때의 몫을Q(x), 나머지를 R라 할
정답과 해설 다.
0095
;3!;
f(x)=(ax+b)Q(x)+R=a
x+
Q(x)+R
{
;aB;}
0097
=
x+
´aQ(x)+R
{
;aB;}
따라서 f(x)를 x+
로 나누었을 때의 몫은 aQ(x), 나머지는 R이
;aB;
유형 05 곱셈 공식의 변형을 이용한 식의 값 구하기 - 두 문자인 경우
|전략| 먼저 곱셈 공식의 변형을 이용하여 aÛ`+bÛ`, xÛ`+yÛ`의 값을 구한다.
aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab
=(-1)Û`-2´(-1)=3
④
xÛ`+yÛ` =(x-y)Û`+2xy
=3Û`+2´3=15
∴ (ax+by)(bx+ay)=abxÛ`+aÛ`xy+bÛ`xy+abyÛ`
=ab(xÛ`+yÛ`)+xy(aÛ`+bÛ`)
=(-1)´15+3´3=-6
유형 13 조립제법을 이용한 다항식의 나눗셈
|전략| 주어진 다항식을 x-
;3!;로 나누었을 때의 몫과 나머지를 조립제법을 이
용하여 구하고, 이를 변형하여 3x-1로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구한다.
채점 기준
❶ aÛ`+bÛ`의 값을 구할 수 있다.
❷ xÛ`+yÛ`의 값을 구할 수 있다.
❸ (ax+by)(bx+ay)의 값을 구할 수 있다.
3
3
5 -11
2
1
2 -3
6 -9 -1
∴ 3xÜ`+5xÛ`-11x+2=
x-
(3xÛ`+6x-9)-1
0098
{
{
;3!;}
;3!;}
=
x-
´3(xÛ`+2x-3)-1
유형 09 곱셈 공식의 도형에의 응용
|전략| 직육면체의 세 모서리의 길이를 a, b, c라 하고 주어진 조건을 a, b, c에 대
=(3x-1)(xÛ`+2x-3)-1
한 식으로 나타낸다.
따라서 QÁ(x)=3xÛ`+6x-9, RÁ=-1,
Qª(x)=xÛ`+2x-3, Rª=-1이므로
QÁ(x)Rª+Qª(x)RÁ
=(3xÛ`+6x-9)´(-1)+(xÛ`+2x-3)´(-1)
=-3xÛ`-6x+9-xÛ`-2x+3
=-4xÛ`-8x+12
ABÓ=a, BCÓ=b, BFÓ=c라 하면
직육면체의 겉넓이가 42이므로
2(ab+bc+ca)=42
∴ ab+bc+ca=21
△BGD의 세 변의 길이의 제곱의 합은 DBÓ
Û`+BGÓ
Û`+GDÓ
… ❶
Û`=44이므로
(aÛ`+bÛ`)+(bÛ`+cÛ`)+(cÛ`+aÛ`)=44
②
∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=22
이때, (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서
(a+b+c)Û`=22+2´21=64
∴ a+b+c=8 (∵ a+b+c>0)
0096
따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 4(a+b+c)이므로
유형 02 다항식의 전개식에서 특정항의 계수 구하기
4(a+b+c)=4´8=32
|전략| xÜ`항과 x항이 나오는 부분만 찾아 구한 계수가 각각 5, 4임을 이용하여 상
수 m, n의 값을 구한다.
(xÛ`+mx+2n)(2xÛ`-3x+n)의 전개식에서
xÜ`항은 xÛ`´(-3x)+mx´2xÛ`=(-3+2m)xÜ`
이때, xÜ`의 계수가 5이므로
-3+2m=5
∴ m=4
또, x항은 mx´n+2n´(-3x)=(mn-6n)x
이때, x의 계수가 4이므로
mn-6n=4, 4n-6n=4
∴ n=-2
∴ m-2n=4-2´(-2)=8
채점 기준
❶ xÜ`항에서 m의 값을 구할 수 있다.
❷ x항에서 n의 값을 구할 수 있다.
❸ m-2n의 값을 구할 수 있다.
… ❶
… ❷
… ❸
8
배점
2점
3점
1점
채점 기준
❶ ab+bc+ca의 값을 구할 수 있다.
❷ aÛ`+bÛ`+cÛ`의 값을 구할 수 있다.
❸ a+b+c의 값을 구할 수 있다.
❹ 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합을 구할 수 있다.
0099
유형 06 곱셈 공식의 변형을 이용한 식의 값 구하기 - xÑ
;[!; 꼴을 포함한 경우
|전략| 양변을 x로 나누어 x+
;[!;의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용하여
식의 값을 구한다.
⑴ x+0이므로 xÛ`-4x+1=0의 양변을 x로 나누면
x-4+
=0
∴ x+
=4
;[!;
;[!;
1 다항식의 연산 | 011
… ❶
… ❷
… ❸
-6
배점
2점
2점
3점
… ❷
… ❸
… ❹
32
배점
2점
2점
2점
1점
1ㅡ다항식의 연산 |전략| 다항식의 나눗셈은 각 다항식을 내림차순으로 정리한 후 자연수의 나눗셈
abÛ`=75=3´5Û`이고, a, b는 서로소인 자연수이므로
⑵xÛ`+ 1
xÛ`
xÜ`+ 1
xÜ`
=
x+
{
;[!;}
Û`-2=4Û`-2=14
x+
=
{
;[!;}
Ü`-3
x+
{
;[!;}
=4Ü`-3´4=52
⑶ x+2xÛ`+3xÜ`+
2
=
x+
{
;[!;}+
xÛ` }
=4+2´14+3´52=188
{
+ 3
xÜ`
;[!;
+ 2
xÛ`
xÛ`+ 1
+3
{
xÜ`+ 1
xÜ` }
채점 기준
⑴ x+
;[!;의 값을 구할 수 있다.
⑵ xÛ`+ 1
xÛ`
, xÜ`+ 1
xÜ`
의 값을 구할 수 있다.
⑶ x+2xÛ`+3xÜ`+
의 값을 구할 수 있다.
+ 2
xÛ`
+ 3
xÜ`
;[!;
0100
유형 10 다항식의 나눗셈 - 몫과 나머지
+ 11 다항식의 나눗셈 - A=BQ+R
과 같은 방법으로 한다.
⑴ A=(x+1)(x+2)+3=xÛ`+3x+5
⑵ B=(x+1)(3x-1)+5=3xÛ`+2x+4
⑶xA+B =x(xÛ`+3x+5)+(3xÛ`+2x+4)
=xÜ`+3xÛ`+5x+3xÛ`+2x+4
=xÜ`+6xÛ`+7x+4
이므로
x+7
xÛ`-x+1`<ÔxÜ`+6xÛ`+7x+4
xÜ`-6xÛ`+6x
xÜ`+7xÛ`+6x+4
xÜ`+7xÛ`-7x+7
xÜ`+7xÛ`=13x-3
풀이 참조
0102
∴ (입체도형의 부피)
=(x+4)Ü`-{3xÛ`(x+4)-2xÜ`}
=xÜ`+12xÛ`+48x+64-(3xÜ`+12xÛ`-2xÜ`)
=48x+64
따라서 a=48, b=64이므로 a+b=112
②
참고 구멍 부분의 부피는 한 변의 길이가 x인 정사각형을 밑면으로 하고, 높이
가 x+4인 정사각기둥 3개의 부피에서 중복된 부분인 한 모서리의 길이가 x인
정육면체의 부피를 두 번 빼주어 구할 수 있다.
|전략| 처음 정육면체의 부피와 부피가 75인 직육면체의 부피를 각각 a, b에 대
한 식으로 나타낸다.
처음 정육면체의 부피는
(a+2b)Ü`=aÜ`+6aÛ`b+12abÛ`+8bÜ`
yy ㉠
이때, a, b는 서로소인 자연수이므로 ㉠에서 aÜ`, aÛ`b, abÛ`, bÜ`은 모두 다
른 값이다. 즉, ㉠에서 27개의 작은 직육면체 중 부피가 aÜ`인 것은 1
개, aÛ`b인 것은 6개, abÛ`인 것은 12개, bÜ`인 것은 8개이다.
따라서 부피가 75인 작은 직육면체는 12개이므로
abÛ`=75
a=3, b=5
∴ b-a=2
②
주의 75=75´1Û`에서 a0이므로 ac+bd=3
3
⑶ xA+B를 xÛ`-x+1로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구할 수 있다.
|전략| 주어진 세 식을 변끼리 더하여 a+b+c, ab+bc+ca의 값을 구한 후 곱
a+3b=4ab, b+3c=4bc, c+3a=4ca를 변끼리 더하면
|전략| 정육면체의 부피에서 정육면체를 관통하는 구멍, 즉 3개의 정사각기둥의
부피를 빼서 주어진 입체도형의 부피를 구한다.
정육면체의 부피는 (x+4)Ü`
={(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)}-(ab+bc+ca)
=(a+b+c)Û`-3(ab+bc+ca)
정육면체를 관통하는 구멍 한 개의 부피는 xÛ`(x+4)
=3Û`-3´3=0
0
지는 13x-3이다.
채점 기준
⑴ 다항식 A를 구할 수 있다.
⑵ 다항식 B를 구할 수 있다.
창의·융합 교과서 속 심화문제
0101
012 | I . 다항식
배점
3점
4점
3점
배점
4점
4점
4점
정답과 해설 ∴ (a+b)(b+c)(c+a)=2a´2a´2a=8aÜ``
ㅁ. 주어진 식의 좌변을 전개하여 정리하면
=8´2=16
(x+1)Û`+(x-1)=xÛ`+2x+1+x-1
④
0105
|전략| 곱셈 공식의 변형을 이용하여 a, b, c 사이의 관계식을 구한다.
(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)=aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc에서
(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)=6-3´2=0
그런데 a+b+c+0이므로
aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca=0
즉,
{(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}=0이므로
;2!;
a-b=0, b-c=0, c-a=0
∴ a=b=c
이때, abc=2이므로 aÜ`=2
0106
라 하면
|전략| 세 정사각형의 한 변의 길이를 a, b, c로 놓고, 주어진 조건을 이용하여
a+b+c, ab+bc+ca의 값을 구한다.
세 정사각형 OABC, ODEF, OGHI의 한 변의 길이를 각각 a, b, c
△OCD=
absin30ù=
ab´
=
ab
;4!;
;2!;
;2!;
△OFG=
bcsin30ù=
bc´
=
bc
;4!;
;2!;
;2!;
△OIA=
casin30ù=
ca´
=
ca
;4!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
∴ △OCD+△OFG+△OIA=
ab+
bc+
;4!;
;4!;
ca
;4!;
=
;4!;
(ab+bc+ca)
;4!;
이때, 세 삼각형의 넓이의 합이 20이므로
(ab+bc+ca)=20
∴ ab+bc+ca=80
또, 세 정사각형의 둘레의 길이의 합이 80이므로
4a+4b+4c=80
∴ a+b+c=20
따라서 세 정사각형의 넓이의 합은
aÛ`+bÛ`+cÛ` =(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)
2 항등식과 나머지정리
본책 24~35쪽
개념 마스터
STEP1
0107
ㄴ. 주어진 식의 좌변을 전개하여 정리하면
3(x-1)+2=3x-1
이므로 x의 값에 관계없이 등식이 항상 성립한다.
=xÛ`+3x
이므로 x의 값에 관계없이 등식이 항상 성립한다.
따라서 항등식은 ㄴ, ㅁ이다.
ㄴ, ㅁ
0108
주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로
3=a+b, 1=b
∴ a=2, b=1
0109
ax+b(x-1)=(a+b)x-b이므로
(a+b)x-b=3x+1
이 식이 x에 대한 항등식이므로
a+b=3, -b=1
∴ a=4, b=-1
0110
주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로
a-1=1, a+b=0, c-2=1
∴ a=2, b=-2, c=3
a=2, b=1
a=4, b=-1
a=2, b=-2, c=3
=20Û`-2´80=240
240
삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 각각 b, c이고 그 끼인각이 ∠A일 때, 삼각
각형 ABC의 넓이 S는 다음과 같다.
삼각형의 넓이
⑴ ∠A가 예각일 때
C
b
A
B
H
c
⑵ ∠A가 둔각일 때
C
b
H
A
c
B
S=
bcsinA
;2!;
S=
bcsin(180ù-A)
;2!;
0111
주어진 식의 우변을 전개하면
xÛ`+c(x+2)+1=xÛ`+cx+2c+1이므로
axÛ`-3x+b-1=xÛ`+cx+2c+1
이 식이 x에 대한 항등식이므로
a=1, -3=c, b-1=2c+1
∴ a=1, b=-4, c=-3
a=1, b=-4, c=-3
0112
주어진 등식의 양변에 x=0, x=1, x=2를 각각 대입하면
1=-c, 1=b, 3=2a+2b+c
∴ a=1, b=1, c=-1
a=1, b=1, c=-1
2 항등식과 나머지정리 | 013
2ㅡ항등식과 나머지 정리 ∴ a=-1, b=2, c=4
a=-1, b=2, c=4
xÜ`-ax+b=(xÛ`-x+1)f(x)+x+2가 x에 대한 항등식이므로
0121
|전략| 주어진 식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 차수가 같아야 한다.
즉, f(x)가 x에 대한 일차식이어야 하므로 f(x)=x+c로 놓는다.
f(x)는 x에 대한 일차식이어야 한다.
이때, 좌변의 최고차항의 계수가 1이므로 f(x)=x+c로 놓으면
xÜ`-ax+b =(xÛ`-x+1)(x+c)+x+2
=xÜ`+(c-1)xÛ`+(2-c)x+c+2
정답과 해설
0113
주어진 등식이 x, y에 대한 항등식이므로
a+4=3, b-3=-1, c+1=5
0114
a(x+y)-b(x-y)+1=(a-b)x+(a+b)y+1이므로
(a-b)x+(a+b)y+1=3x-5y+c
이 식이 x, y에 대한 항등식이므로
a-b=3, a+b=-5, 1=c
∴ a=-1, b=-4, c=1
a=-1, b=-4, c=1
0115 ㈎ -
;aB; ㈏ ;aB;
0116
⑴ f(1)=1-2-3+5=1
⑵ f(-2)=-8-8+6+5=-5
0117
⑴ f(2)=16+4-1=19
Û`+2´
⑵ f
=4´
{;2!;}
{;2!;}
;2!;
-1=1+1-1=1
0118
f(x)=xÜ`-kxÛ`+3x-1로 놓으면 f(2)=5이므로
8-4k+6-1=5
∴ k=2
0119
f(x)=2xÜ`-3xÛ`+k로 놓으면 f(-2)=0이므로
-16-12+k=0
∴ k=28
2
28
p+q=0
채점 기준
|전략| 주어진 식의 좌변을 전개하여 정리한 후 양변의 동류항의 계수를 비교한
0124
주어진 식의 좌변을 전개하여 정리하면
(x+a)(bxÛ`-27x+9)=bxÜ`+(ab-27)xÛ`+(9-27a)x+9a
이므로 bxÜ`+(ab-27)xÛ`+(9-27a)x+9a=7xÜ`+cxÛ`-99x+36
이 식이 x에 대한 항등식이므로
b=7, ab-27=c, 9-27a=-99, 9a=36
유형 마스터
유형 마스터
STEP2
0120
다.
∴ a=4, b=7, c=1
∴ a+b+c=12
014 | I . 다항식
이 식이 x에 대한 항등식이므로
0=c-1, -a=2-c, b=c+2
∴ a=-1, b=3, c=1
∴ ab=-3
0122
ax+by+6
x+2y+2
=k (k는 상수)로 놓으면
ax+by+6=k(x+2y+2)
∴ (a-k)x+(b-2k)y+6-2k=0
이 식이 x, y에 대한 항등식이므로
0123
(x△p)+(3△x)=(y△q)+(2△1)에서
xp+x-p-yq+y+q-2=0
∴ (p+1)x-(q-1)y-(p-q+2)=0
이 식이 x, y에 대한 항등식이므로
p+1=0, q-1=0, p-q+2=0
따라서 p=-1, q=1이므로
❶ 주어진 등식을 x, y에 대하여 정리할 수 있다.
❷ p, q의 값을 구할 수 있다.
❸ p+q의 값을 구할 수 있다.
|전략| 주어진 등식의 양변에 적당한 값을 대입한다.
주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면
-1=-c
∴ c=1
양변에 x=1을 대입하면
2=2b
∴ b=1
양변에 x=-1을 대입하면
-2=2a
∴ a=-1
⑴ 1 ⑵ -5
a-k=0, b-2k=0, 6-2k=0
∴ k=3, a=3, b=6
∴ b-a=3
⑴ 19 ⑵ 1
(xp-x-p)+(3x-3-x)=(yq-y-q)+(2-2-1)
-3
3
… ❶
… ❷
… ❸
0
비율
50`%
30`%
20`%
12
∴ abc=-1
②
0125
주어진 등식의 양변에 x=-2를 대입하면
또, ㉡에서 a(x-1)Û`+b(x-1)+c를 x-1로 나누었을 때의 몫은
a(x-1)+b, 나머지는 c이고, a(x-1)+b를 x-1로 나누었을 때의 몫
yy ㉠
은 a, 나머지는 b이다.
따라서 조립제법을 반복해서 시행하면 다음과 같다.
c=-4
양변에 x=0을 대입하면
2b+c=-2
양변에 x=1을 대입하면
3a+3b+c=2
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=1, b=1, c=-4
∴ a+b+c=-2
다른 풀이 ax(x+2)+b(x+2)+c=axÛ`+(2a+b)x+2b+c이므로
axÛ`+(2a+b)x+2b+c=xÛ`+3x-2
이 식이 x에 대한 항등식이므로
a=1, 2a+b=3, 2b+c=-2
∴ a=1, b=1, c=-4
∴ a+b+c=-2
0126
주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면
0=1+a+b
∴ a+b=-1
양변에 x=
2, 즉 xÛ`=2를 대입하면
'
0=4+2a+b
∴ 2a+b=-4
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=2
∴ ab=-6
0127
|전략| 주어진 식이 x에 대한 항등식이고, 좌변의 최고차항의 계수가 1이므로 이
를 이용하여 a의 값을 먼저 구한다.
xÜ`+2x-1=a(x-1)Ü`+b(x-1)Û`+c(x-1)+d가 x에 대한 항
등식이고 좌변의 최고차항의 계수가 1이므로 a=1
즉, xÜ`+2x-1=(x-1)Ü`+b(x-1)Û`+c(x-1)+d
주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면
1+2-1=d
∴ d=2
양변에 x=0을 대입하면
-1=-1+b-c+2
즉, b-c=-2
양변에 x=2를 대입하면
8+4-1=1+b+c+2
즉, b+c=8
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 b=3, c=5
∴ ad+bc=1´2+3´5=17
다른 풀이 f(x)=xÜ`+2x-1이라 하면
f(x)=a(x-1)Ü`+b(x-1)Û`+c(x-1)+d
yy ㉡
yy ㉢
-2
yy ㉠
yy ㉡
②
2 -1
1 -3
3 -2
=d
2
5
=c
0
1
1
1
2
1
3
=b
1
1
1
1
1
1
1
=
a
0128
∴ a=1, b=3, c=5, d=2
∴ ad+bc=17
|전략| 주어진 식을 k에 대하여 정리한 후 항등식의 성질을 이용한다.
주어진 등식을 k에 대하여 정리하면
(2x-y-3)k+(3x-y-2)=0
이 식이 k에 대한 항등식이므로
2x-y-3=0, 3x-y-2=0
두 식을 연립하여 풀면 x=-1, y=-5
∴ xy=5
5
0129
주어진 등식의 좌변을 k에 대한 내림차순으로 정리하면
xkÛ`+3(-x+y)k-2x+z=2kÛ`-3
이 식이 k에 대한 항등식이므로
x=2, -x+y=0, -2x+z=-3
따라서 x=2, y=2, z=1이므로
x+y+z=5
⑤
0130
|전략| 2x+y=1을 y에 대하여 정리한 후 주어진 식에 대입하여 항등식의 성질
을 이용한다.
2x+y=1에서 y=1-2x
yy ㉠
이것을 주어진 식에 대입하면
(2a+b)x-b(1-2x)+2=0
(2a+3b)x-(b-2)=0
yy ㉡
이 식이 x에 대한 항등식이므로
2a+3b=0, b-2=0
④
따라서 a=-3, b=2이므로 aÛ`-bÛ`=5
⑤
=(x-1){a(x-1)Û`+b(x-1)+c}+d
=(x-1)[(x-1){a(x-1)+b}+c]+d
yy㉠
yy㉡
0131
x-y=1에서 x=1+y
이것을 주어진 식에 대입하면
㉠에서 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 몫은 a(x-1)Û`+b(x-1)+c이
a(1+y)Û`+b(1+y)+yÛ`-2y(1+y)+cy+2=0
고 나머지는 d이다.
(a-1)yÛ`+(2a+b-2+c)y+a+b+2=0
2 항등식과 나머지정리 | 015
2ㅡ항등식과 나머지 정리 0132
|전략| 주어진 등식의 양변에 x=1, x=-1을 각각 대입하고, 두 식을 더하여
이때, 나머지가 0이므로 ax+b+1=0
∴ a=0, b=-1
∴ ab=0
이 식이 y에 대한 항등식이므로
a-1=0, 2a+b-2+c=0, a+b+2=0
∴ a=1, b=-3, c=3
∴ a+b+c=1
a¥+a¤+a¢+aª+a¼의 값을 구한다.
주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면
(1-3+2)Ü`=a»+a¥+a¦+y+aÁ+a¼
yy ㉠
(-1+3+2)Ü`=-a»+a¥-a¦+y-aÁ+a¼
yy ㉡
양변에 x=-1을 대입하면
㉠+㉡을 하면
4Ü`=2(a¥+a¤+a¢+aª+a¼)
∴ a¥+a¤+a¢+aª+a¼=32
0133
주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면
(2-1-1)Þ`=aÁ¼+a»+a¥+y+aÁ+a¼
yy ㉠
… ❶
(2+1-1)Þ`=aÁ¼-a»+a¥-y-aÁ+a¼
yy ㉡
… ❷
양변에 x=-1을 대입하면
㉠-㉡을 하면
-2Þ`=2(a»+a¦+y+aÁ)
∴ aÁ+a£+y+a»=-16
채점 기준
❶ aÁ¼+a»+a¥+y+a¼의 값을 구할 수 있다.
❷ aÁ¼-a»+a¥-y+a¼의 값을 구할 수 있다.
❸ aÁ+a£+y+a»의 값을 구할 수 있다.
①
32
… ❸
-16
비율
40`%
40`%
20`%
다른 풀이
xÛ`+x+1
ax+b
x-1
<Ô xÜ` +
xÜ`+xÛ`+
-xÛ`+(a-1)x+b
ax-1
-xÛ`-
ax+b+1
ax
다항식 f(x)를 다항식 g(x)로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 R(x)
이면
f(x)=g(x)Q(x)+R(x) (단, ( g(x)의 차수)>(R(x)의 차수))
이때, f(x)가 n차식, g(x)가 m차식이면 Q(x)는 (n-m)차식이고,
R(x)는 최대 (m-1)차식이다.
0136
xÜ`+axÛ`+b를 xÛ`-x-2로 나누었을 때의 몫을 x+c(c는 상수)라
하면
xÜ`+axÛ`+b =(xÛ`-x-2)(x+c)+x+2
=(x+1)(x-2)(x+c)+x+2
이 식이 x에 대한 항등식이므로
Ú 양변에 x=-1을 대입하면
-1+a+b=1
∴ a+b=2
Û 양변에 x=2를 대입하면
8+4a+b=4
∴ 4a+b=-4
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=4
∴ ab=-8
yy ㉠
yy ㉡
①
0134
주어진 등식의 양변에 x=2를 대입하면
22018+1=a2018+a2017+y+aÁ+a¼
양변에 x=1을 대입하면 2=a¼
∴ a2018+a2017+y+aÁ=22018+1-2=22018-1
0137
xÝ`+axÜ`+bxÛ`-x+2를 xÛ`+2x+3으로 나누었을 때의 몫을
xÛ`+cx+d (c, d는 상수)라 하면
xÝ`+axÜ`+bxÛ`-x+2
=(xÛ`+2x+3)(xÛ`+cx+d)+3x+8
①
=xÝ`+(2+c)xÜ`+(d+2c+3)xÛ`+(2d+3c+3)x+3d+8
이 식이 x에 대한 항등식이므로
0135
|전략| xÜ`의 계수가 1인 삼차식을 xÛ`의 계수가 1인 이차식으로 나누었을 때의 몫
a=2+c, b=d+2c+3, -1=2d+3c+3, 2=3d+8
따라서 a=2, b=1, c=0, d=-2이므로
은 x의 계수가 1인 일차식이다.
b-a=-1
-1
xÜ`+ax+b를 xÛ`+x+1로 나누었을 때의 몫을 x+c(c는 상수)라 하면
xÜ`+ax+b =(xÛ`+x+1)(x+c)
=xÜ`+(c+1)xÛ`+(c+1)x+c
이 식이 x에 대한 항등식이므로
0=c+1, a=c+1, b=c
따라서 c=-1, a=0, b=-1이므로
ab=0
016 | I . 다항식
0138
|전략| 다항식 f(x)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 f(a)임을 이용한다.
나머지정리에 의하여 f(3)=2, g(3)=-1
따라서 5f(x)+4g(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는
5f(3)+4g(3)=5´2+4´(-1)=6
6
0
정답과 해설 f(x)=xÛ`+ax+b에서
f(2)=4+2a+b=2
∴ 2a+b=-2
f(-1)=1-a+b=-4
∴ -a+b=-5
④
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-4
∴ a+b=-3
yy㉠
yy㉡
③
따라서 (x+1)f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는
0139
나머지정리에 의하여 f(2)=8
3f(2)=3´8=24
0140
나머지정리에 의하여
RÁ=f(a)=aÜ`+aÛ`+2a+1
Rª=f(-a)=-aÜ`+aÛ`-2a+1
이때, RÁ+Rª=6이므로
=2aÛ`+2=6
∴ aÛ`=2
0141
나머지정리에 의하여
f(2)+g(2)=-1,{f(2)}Û`+{g(2)}Û`=13
f(2)=a, g(2)=b라 하면
a+b=-1, aÛ`+bÛ`=13
aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab에서
13=(-1)Û`-2ab
∴ ab=-6
RÁ+Rª=(aÜ`+aÛ`+2a+1)+(-aÜ`+aÛ`-2a+1)
f(x)를 xÛ`-6x+8로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를
따라서 f(x)를 x-aÛ`, 즉 x-2로 나누었을 때의 나머지는
=(x-2)(x-4)Q(x)+ax+b
f(2)=8+4+4+1=17
17
f(2)=2a+b=5
yy㉠, f(4)=4a+b=7
yy㉡
0145
|전략| 다항식 f(x)를 이차식으로 나누었을 때의 나머지는 ax+b (a, b는 상수)
로 놓는다.
나머지정리에 의하여 f(2)=5, f(4)=7
R(x)=ax+b`(a, b는 상수)라 하면
f(x)=(xÛ`-6x+8)Q(x)+R(x)
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=3
따라서 R(x)=x+3이므로 R(2)=5
5
0146
나머지정리에 의하여 2f(1)=6, 5f(-1)=5
∴ f(1)=3, f(-1)=1
f(x)를 (x+1)(x-1)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를
ax+b`(a, b는 상수)라 하면
f(x)=(x+1)(x-1)Q(x)+ax+b
f(1)=a+b=3
yy㉠, f(-1)=-a+b=1
yy㉡
0147
나머지정리에 의하여 f(-2)=2, f(2)=-2
다항식 (xÛ`-x+1)f(x)를 xÛ`-4로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나
머지를 ax+b`(a, b는 상수)라 하면
(xÛ`-x+1)f(x)=(xÛ`-4)Q(x)+ax+b
=(x+2)(x-2)Q(x)+ax+b
양변에 x=-2를 대입하면 7f(-2)=-2a+b
양변에 x=2를 대입하면 3f(2)=2a+b
∴ -2a+b=14
∴ 2a+b=-6
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-5, b=4
따라서 구하는 나머지는 -5x+4이다.
yy㉠
yy㉡
③
… ❶
… ❷
… ❸
… ❹
-5x+4
비율
30`%
30`%
30`%
10`%
2 항등식과 나머지정리 | 017
따라서 {`f(x)}Ü`+{ g(x)}Ü`을 x-2로 나누었을 때의 나머지는
{`f(2)}Ü`+{ g(2)}Ü``=aÜ`+bÜ`=(a+b)Ü`-3ab(a+b)
=(-1)Ü`-3´(-6)´(-1)=-19 -19
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=2
따라서 구하는 나머지는 x+2이다.
0142
|전략| 다항식 f(x)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 f(a)임을 이용하여 a,
b의 값을 구한다.
f(x)=axÜ`+2xÛ`+bx-4라 하면 나머지정리에 의하여
f(1)=7, f(-2)=4이므로
f(1)=a+2+b-4=7
∴ a+b=9
f(-2)=-8a+8-2b-4=4
∴ 4a+b=0
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=12
∴ ab=-36
yy㉠
yy㉡
-36
0143
f(x)=xÜ`+axÛ`-4x+5라 하면 나머지정리에 의하여
f(2)=f(-1)이어야 하므로
f(2)=8+4a-8+5=4a+5,f(-1)=-1+a+4+5=a+8
즉, 4a+5=a+8에서 3a=3
∴ a=1
④
채점 기준
0144
나머지정리에 의하여 3f(2)=6, -3f(-1)=12
∴ f(2)=2, f(-1)=-4
❶ f(-2), f(2)의 값을 구할 수 있다.
❷ x에 대한 항등식을 세울 수 있다.
❸ a, b의 값을 구할 수 있다.
❹ (xÛ`-x+1)f(x)를 xÛ`-4로 나누었을 때의 나머지를 구할 수 있다.
2ㅡ항등식과 나머지 정리 0148
f(x)를 xÛ`+2x-3으로 나누었을 때의 몫을 QÁ(x)라 하면
xà`+xÞ`+xÜ`+x=(xÜ`-x)Q(x)+axÛ`+bx+c
=x(x+1)(x-1)Q(x)+axÛ`+bx+c yy㉠
f(x)를 xÛ`+x-6으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를
㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=0, b=4
f(x)를 (xÛ`-1)(x+2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를
즉, (a-2)xÛ`+(b-1)x+c=(a-2)(xÛ`+x+1)+2x-4
f(x)를 xÛ`-x-2로 나누었을 때의 몫을 Qª(x)라 하면
f(x)=(xÛ`+2x-3)QÁ(x)+2x+5
=(x+3)(x-1)QÁ(x)+2x+5
∴ f(-3)=-1
f(x)=(xÛ`-x-2)Qª(x)+3x-2
=(x+1)(x-2)Qª(x)+3x-2
∴ f(2)=4
R(x)=ax+b`(a, b는 상수)라 하면
f(x)=(xÛ`+x-6)Q(x)+R(x)
=(x+3)(x-2)Q(x)+ax+b
f(-3)=-3a+b=-1
f(2)=2a+b=4
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=2
따라서 R(x)=x+2이므로 R(-1)=1
0149
|전략| 다항식 f(x)를 삼차식으로 나누었을 때의 나머지는
axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)로 놓는다.
R(x)=axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)라 하면
f(x)=(xÛ`-1)(x+2)Q(x)+axÛ`+bx+c
이때, f(x)를 xÛ`-1로 나누었을 때의 나머지가 3x-1이므로
axÛ`+bx+c를 xÛ`-1로 나누었을 때의 나머지도 3x-1이다.
즉, axÛ`+bx+c=a(xÛ`-1)+3x-1
∴ f(x)=(xÛ`-1)(x+2)Q(x)+a(xÛ`-1)+3x-1 yy㉠
또, f(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지가 2이므로 나머지정리에
의하여 f(-2)=2
㉠에서 f(-2)=3a-7=2이므로 a=3
따라서 구하는 나머지는
R(x)=3(xÛ`-1)+3x-1=3xÛ`+3x-4
3xÛ`+3x-4
axÛ`+bx+c를 xÛ`-1로 나누었을 때의 나머지가 3x-1이 되는지 확인해
이차식이므로 xÛ`-1로
나누어진다.
보자.
f(x)=(xÛ`-1)(x+2)Q(x)+axÛ`+bx+c
=(xÛ`-1)(x+2)Q(x)+a(xÛ`-1)+R(x)
=(xÛ`-1){(x+2)Q(x)+a}+3x-1
f(x)를 xÛ`-1로 나누었을 때의 몫
=(xÛ`-1)(x+2)Q(x)+a(xÛ`-1)+3x-1
∴ axÛ`+bx+c=a(xÛ`-1)+3x-1
0150
xà`+xÞ`+xÜ`+x를 xÜ`-x로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를
R(x)=axÛ`+bx+c`(a, b, c는 상수)라 하면
018 | I . 다항식
㉠의 양변에 x=0을 대입하면 0=c
㉠의 양변에 x=-1을 대입하면
-1-1-1-1=a-b+c
c=0이므로 a-b=-4
㉠의 양변에 x=1을 대입하면
1+1+1+1=a+b+c
c=0이므로 a+b=4
따라서 R(x)=4x이므로 R(2)=8
yy㉡
yy㉢
8
yy㉠
yy㉡
yy㉠
yy㉡
1
라 하면
0151
f(x)+2xÛ`+x를 (xÛ`+x+1)(x-1)로 나누었을 때의 몫을 Q(x)
f(x)+2xÛ`+x=(xÛ`+x+1)(x-1)Q(x)+axÛ`+bx+c
∴ f(x)=(xÛ`+x+1)(x-1)Q(x)+(a-2)xÛ`+(b-1)x+c
이때, f(x)를 xÛ`+x+1로 나누었을 때의 나머지가 2x-4이므로
(a-2)xÛ`+(b-1)x+c를 xÛ`+x+1로 나누었을 때의 나머지도
2x-4이다.
∴ f(x)=(xÛ`+x+1)(x-1)Q(x)+(a-2)(xÛ`+x+1)+2x-4
또, f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 1이므로 나머지정리에
의하여 f(1)=1
㉡에서 f(1)=3(a-2)-2=1이므로 a=3
이것을 ㉠에 대입하면
xÛ`+(b-1)x+c=xÛ`+x+1+2x-4
=xÛ`+3x-3
이므로
b-1=3, c=-3
∴ b=4, c=-3
∴ a+2b+3c=3+2´4+3´(-3)=2
2
0152
|전략| 다항식 f(ax+b)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 f(aa+b)임을
f(x+1)을 x-1로 나누었을 때의 나머지는
이용한다.
f(1+1)=f(2)
f(x)를 xÛ`-4로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면
f(x)=(xÛ`-4)Q(x)-4x+3
=(x+2)(x-2)Q(x)-4x+3
따라서 구하는 나머지는
f(2)=-4´2+3=-5
①
정답과 해설 0153
f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 25, x-2로 나누었을 때의
0157
f(x)=x2018+x2017-x라 하면 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 몫이
나머지가 18이므로
f(1)=25, f(2)=18
Q(x), 나머지는 f(1)=1이므로
f(x)=(x-1)Q(x)+1
yy㉠
따라서 f(2x-5)+f(x-1)을 x-3으로 나누었을 때의 나머지는
Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 Q(-1)이므로 ㉠의 양변
f(2´3-5)+f(3-1)=f(1)+f(2)
에 x=-1을 대입하면
=25+18=43
43
f(-1)=-2Q(-1)+1
1-1-(-1)=-2Q(-1)+1,2Q(-1)=0
∴ Q(-1)=0
0
0154
f(x+2009)를 x+2011로 나누었을 때의 나머지는
f(-2011+2009)=f(-2)
∴ `f(-2)=-6
f(x+2011)을 x+2009로 나누었을 때의 나머지는
f(-2009+2011)=f(2)
∴ ` f(2)=6
이때, f(x)=xÛ`+ax+b에서
f(-2)=4-2a+b=-6
f(2)=4+2a+b=6
∴`-2a+b=-10, 2a+b=2
두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=-4
∴`ab=-12
0155
f(x)+g(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지는 7이므로
f(-2)+g(-2)=7
f(x)-g(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지는 3이므로
f(-2)-g(-2)=3
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 f(-2)=5, g(-2)=2
따라서 xf
x
를 x+4로 나누었을 때의 나머지는
}
{;2!;
yy㉠
yy㉡
0156
|전략| 다항식 f(x)를 x-a로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 R이면
f(x)=(x-a)Q(x)+R임을 이용한다.
f(x)를 x-1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 2이므로
f(x)=(x-1)Q(x)+2
yy㉠
또, Q(x)를 x-2로 나누었을 때의 몫을 Q'(x)라 하면 나머지가 3
0158
f(x)를 xÛ`+x+1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 2x-5이
f(x)=(xÛ`+x+1)Q(x)+2x-5
yy㉠
또, Q(x)를 x-1로 나누었을 때의 몫을 Q'(x)라 하면 나머지가 4
므로
이므로
Q(x)=(x-1)Q'(x)+4
㉡을 ㉠에 대입하면
=(xÜ`-1)Q'(x)+4xÛ`+6x-1
따라서 R(x)=4xÛ`+6x-1이므로
R(-1)=4-6-1=-3
yy㉡
②
-12
f(x)=(xÛ`+x+1){(x-1)Q'(x)+4}+2x-5
0159
xÜ`-2xÛ`+mx-4를 x-1로 나누었을 때의 나머지를 R라 하면
xÜ`-2xÛ`+mx-4=(x-1)Q(x)+R
또, Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 몫을 Q'(x)라 하면 나머지가
-5이므로
∴ xÜ`-2xÛ`+mx-4=(x-1){(x+1)Q'(x)-5}+R
=(x-1)(x+1)Q'(x)-5(x-1)+R
양변에 x=1을 대입하면 m-5=R
양변에 x=-1을 대입하면 -m-7=10+R
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m=-6, R=-11
yy㉠
yy㉡
-6
-4f
´(-4)
}
{;2!;
=-4f(-2)=-4´5=-20
-20
Q(x)=(x+1)Q'(x)-5
이므로
Q(x)=(x-2)Q'(x)+3
㉡을 ㉠에 대입하면
f(x)=(x-1){(x-2)Q'(x)+3}+2
=(x-1)(x-2)Q'(x)+3x-1
이때, f(2)=5이므로 xf(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는
2f(2)=2´5=10
0160
|전략| x=1000이라 하면 x-2=998이므로 x11을 x-2로 나누었을 때의 나
yy㉡
머지를 이용한다.
f(x)=x11이라 할 때, f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는
f(2)=211이므로 몫을 Q(x)라 하면
x11=(x-2)Q(x)+211
위의 식의 양변에 x=1000을 대입하면
100011=998Q(1000)+211
10
2 항등식과 나머지정리 | 019
2ㅡ항등식과 나머지 정리 이때, 100011을 998로 나누었을 때의 나머지를 r라 하면 0Ér<998
이므로
100011 =998Q(1000)+211
=998{Q(1000)+2}+52
0164
f(x-1)f(x+1)이 x-1로 나누어떨어지므로
f(1-1)f(1+1)=0, 즉 f(0)f(2)=0
∴ f(0)=0 또는 f(2)=0
따라서 100011을 998로 나누었을 때의 나머지는 52이다.
②
이때, f(x)=xÜ`+xÛ`-ax+2에 대하여 f(0)=2이므로 f(2)=0
자연수 a를 자연수 b로 나누었을 때의 몫을 q, 나머지를 r라 하면
자연수의 나눗셈
a=bq+r(0Ér0이므로a=1,b=1,c=-4,d=1
∴ad-bc=1´1-1´(-4)=5
0239
[a,b]+[b,c]+[c,a]
5
xÝ`-4xÜ`+5xÛ`-4x+1=xÛ`
{
x+
;[!;
x+
-3
;[!;
}
}{
xÝ`-4xÜ`+5xÛ`-4x+1=(xÛ`-x+1)(xÛ`-3x+1)
④
0240
주어진식을a에대한내림차순으로정리한후인수분해하면
0235
xÝ`-4xÜ`+5xÛ`-4x+1=xÛ`
{
xÛ`-4x+5-
+
;[$;
1
xÛ` }
xÝ`-4xÜ`+5xÛ`-4x+1=xÛ`
xÛ`+
-4
x+
{
;[!;}
+5
]
xÝ`-4xÜ`+5xÛ`-4x+1=xÛ`
x+
-4
x+
{
;[!;}
+3
]
[
[{
1
xÛ`
;[!;}
2`
-1
0236
xÝ`-2xÜ`-5xÛ`+2x+1=xÛ`
{
xÛ`-2x-5+
+
;[@;
1
xÛ` }
xÝ`-2xÜ`-5xÛ`+2x+1=xÛ`
xÛ`+
-2
x-
{
-5
]
;[!;}
1
xÛ`
[
xÝ`-2xÜ`-5xÛ`+2x+1=xÛ`
x-
`-2
x-
[{
;[!;}
{
-3
]
;[!;}
xÝ`-2xÜ`-5xÛ`+2x+1=xÛ`
{
x-
;[!;
+1
}{
x-
;[!;
-3
}
xÝ`-2xÜ`-5xÛ`+2x+1=(xÛ`+x-1)(xÛ`-3x-1)
④
0237
|전략| 주어진 식을 전개한 후 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.
주어진식을a에대한내림차순으로정리한후인수분해하면
aÛ`(b-c)+bÛ`(c-a)+cÛ`(a-b)
=(b-c)aÛ`-(bÛ`-cÛ`)a+bÛ`c-bcÛ`
=(b-c)aÛ`-(b-c)(b+c)a+bc(b-c)
=(b-c){aÛ`-(b+c)a+bc}
=(b-c)(a-b)(a-c)
=-(a-b)(b-c)(c-a)
참고 b나 c에 대한 내림차순으로 정리한 후 인수분해해도 그 결과는 같다.
③
=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)
=aÛ`b-abÛ`+bc(b-c)+cÛ`a-caÛ`
=(b-c)aÛ`-(bÛ`-cÛ`)a+bc(b-c)
=(b-c)aÛ`-(b+c)(b-c)a+bc(b-c)
=(b-c){aÛ`-(b+c)a+bc}
=(b-c)(a-b)(a-c)
따라서주어진식의인수인것은③이다.
③
(a+b)(b+c)(c+a)+abc
=(ab+ac+bÛ`+bc)(c+a)+abc
=abc+aÛ`b+acÛ`+aÛ`c+bÛ`c+bÛ`a+bcÛ`+abc+abc
=(b+c)aÛ`+(bÛ`+cÛ`+3bc)a+bc(b+c)
={(b+c)a+bc}(a+b+c)
=(ab+bc+ca)(a+b+c)
따라서주어진다항식의인수인것은④이다.
④
다른 풀이 a+b+c=t로 놓으면
a+b=t-c, b+c=t-a, c+a=t-b이므로
(a+b)(b+c)(c+a)+abc
=(t-c)(t-a)(t-b)+abc
=tÜ`-(a+b+c)tÛ`+(ab+bc+ca)t
=(ab+bc+ca)t`(∵ a+b+c=t)
=(a+b+c)(ab+bc+ca)
0241
|전략| 주어진 식을 인수분해한 후 조건을 대입하여 식을 간단히 한다.
ab+c=1에서c=1-ab,ab=1-c
∴2ab-aÛ`b-abÛ`-abc=2ab-aÛ`b-abÛ`-ab(1-ab)
=ab(2-a-b-1+ab)
=ab(1-a-b+ab)
=ab(1-a)(1-b)
=(1-c)(1-a)(1-b)
=(1-a)(1-b)(1-c)
④
0238
주어진식을a에대한내림차순으로정리한후인수분해하면
aÛ`(b+c)+bÛ`(c+a)+cÛ`(a+b)+2abc
=aÛ`(b+c)+bÛ`c+bÛ`a+cÛ`a+cÛ`b+2abc
=(b+c)aÛ`+(bÛ`+cÛ`+2bc)a+bÛ`c+cÛ`b
=(b+c)aÛ`+(b+c)Û`a+bc(b+c)
=(b+c){aÛ`+(b+c)a+bc}
=(b+c)(a+b)(a+c)
=(a+b)(b+c)(c+a)
0242
a+b+c=0에서a=-(b+c)
∴2aÛ`+bc=2{-(b+c)}Û`+bc
∴2aÛ`+bc=2bÛ`+5bc+2cÛ`
∴2aÛ`+bc=(2b+c)(b+2c)
∴2aÛ`+bc=(b+b+c)(b+c+c)
∴2aÛ`+bc=(b-a)(c-a)(∵b+c=-a)
(a+b)(b+c)(c+a)
∴2aÛ`+bc=(a-b)(a-c)
④
3 인수분해 | 029
3ㅡ인수분해2
0243
주어진식을x에대한내림차순으로정리한후인수분해하면
다른 풀이 xÝ`+axÛ`+b가 (x-1)Û`을 인수로 가지므로
xÝ`+axÛ`+b=(x-1)Û`Q(x) 꼴로 나타낼 수 있다.
조립제법에 의하여
1
1
1
1
1
0
1
a
1
1 a+1
1
2
0 1
a+1
b11
a+1a
a+1 a+b+1
a+3
2 a+3
2a+4
⑤
이때, 나머지가 모두 0이므로
`a+b+1=0, 2a+4=0
∴ a=-2, b=1
∴ b-a=3
2xÛ`+xy-yÛ`-7x-y+6
=2xÛ`+(y-7)x-(yÛ`+y-6)
=2xÛ`+(y-7)x-(y+3)(y-2)
={x+(y-2)}{2x-(y+3)}
=(x+y-2)(2x-y-3)
이때,x-y-2=0에서x-2=y,y+2=x
∴(주어진식)=(y+y){2(y+2)-y-3}
=2y(y+1)
다른 풀이 x-y-2=0에서 y=x-2
∴ 2xÛ`+xy-yÛ`-7x-y+6
∴ =2xÛ`+x(x-2)-(x-2)Û`-7x-(x-2)+6
∴ =2xÛ`+xÛ`-2x-xÛ`+4x-4-7x-x+2+6
∴ =2xÛ`-6x+4=2(xÛ`-3x+2)
∴ =2(x-1)(x-2)
∴ =2y(y+1) (∵ x=y+2)
0246
f(x)=2xÜ`+5xÛ`-ax-3이라하면 f(x)가x-1을인수로가지므
로
f(1)=2+5-a-3=0
따라서 f(x)=2xÜ`+5xÛ`-4x-3이므 1
로조립제법을이용하여인수분해하면
∴ a=4
f(x)=(x-1)(2xÛ`+7x+3)
f(x)=(x-1)(x+3)(2x+1)
따라서b=1이므로a+b=5
2
2
5 -4 -3
7 -3
2
7
3 -0
③
다른 풀이 2xÜ`+5xÛ`-ax-3=(x+3)(x-1)(2x+b)에서
2xÜ`+5xÛ`-ax-3=(xÛ`+2x-3)(2x+b)
=2xÜ`+(4+b)xÛ`-(6-2b)x-3b
0244
주어진식을z에대한내림차순으로정리한후인수분해하면
xyz+xÛ`y-xy+x+z-1
=(xy+1)z+(xÛ`y-xy+x-1)
=(xy+1)z+{xy(x-1)+(x-1)}
=(xy+1)z+(x-1)(xy+1)
=(xy+1)(z+x-1)
이때,x+y+z=1에서x+z=1-y
∴(주어진식)=(xy+1)(1-y-1)
=-y(xy+1)
이 식이 x에 대한 항등식이므로
5=4+b, a=6-2b, 3=3b
∴ b=1, a=4
∴ a+b=5
⑤
0247
P(x)=xÝ`-xÜ`+3xÛ`+ax+b라하면P(x)가x+1,x-1을인수
0245
|전략| xÝ`+axÛ`+b=(x-1)Û`Q(x)로 놓으면 이 식은 x에 대한 항등식이므로
주어진 식에 x=1을 두 번 대입하여 상수 a, b의 값을 구한다.
로가지므로
P(-1)=1+1+3-a+b=0
f(x)=xÝ`+axÛ`+b라하면 f(x)가(x-1)Û`을인수로가지므로
∴-a+b=-5
f(1)=1+a+b=0
∴b=-a-1
P(1)=1-1+3+a+b=0
yy`㉠
∴a+b=-3
따라서 f(x)=xÝ`+axÛ`-a-1이므로조립제법을이용하여인수분
㉠,㉡을연립하여풀면a=1,b=-4
……㉠
……㉡
따라서P(x)=xÝ`-xÜ`+3xÛ`+x-4이므로조립제법을이용하여인
수분해하면
-1
1 -1
-1
3
2 1-5
1 -4
4
-1
1 -2
5 -4
4
1 -1
0
1 -1
4 -0
∴P(x)=(x+1)(x-1)(xÛ`-x+4)
∴f(x)=xÛ`-x+4
③
∴2a-b+f(1)=2-(-4)+4=10
10
해하면
1
1
1
1
1
0
1
a
1
0 1 -a-1
a+1
a+1
0 1
1 a+1
1
2
a+1
a+3
2 a+3 2a+4
f(x)가(x-1)Û`을인수로가지므로
2a+4=0
∴ a=-2
a=-2를㉠에대입하면b=1
∴b-a=3
030 | I. 다항식
정답과 해설 aÜ`+aÛ`b-acÛ`+abÛ`+bÜ`-bcÛ`
=-(a+b)cÛ`+aÜ`+aÛ`b+abÛ`+bÜ`
=-(a+b)cÛ`+aÛ`(a+b)+bÛ`(a+b)
=(a+b)(aÛ`+bÛ`-cÛ`)
즉,(a+b)(aÛ`+bÛ`-cÛ`)=0에서
a>0,b>0이므로a+b+0
∴aÛ`+bÛ`-cÛ`=0
∴ aÛ`+bÛ`=cÛ`
삼각형이다.
0249
주어진식의좌변을인수분해하면
aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc
=(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)
a>0,b>0,c>0이므로a+b+c+0
∴(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`=0
∴a=b=c
채점 기준
❶ 주어진 식의 좌변을 인수분해 할 수 있다.
❷ a, b, c 사이의 관계식을 구할 수 있다.
❸ 주어진 삼각형의 모양을 판단할 수 있다.
aÛ`(b-c)-bÛ`(a+c)-cÛ`(a-b)+2abc
=(b-c)aÛ`-(bÛ`+cÛ`-2bc)a-bÛ`c+bcÛ`
=(b-c)aÛ`-(b-c)Û`a-bc(b-c)
=(b-c){aÛ`-(b-c)a-bc}
=(b-c)(a-b)(a+c)
즉,(b-c)(a-b)(a+c)=0에서
a>0,c>0이므로a+c+0
∴b-c=0또는a-b=0
∴a=b또는b=c
0248
|전략| 주어진 등식의 좌변을 인수분해하여 a, b, c 사이의 관계식을 구한다.
aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc
aÜ`+bÜ`+cÜ`=3abc에서aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc=0이므로
주어진식의좌변을c에대한내림차순으로정리한후인수분해하면
=(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)
따라서주어진조건을만족시키는삼각형은빗변의길이가c인직각
0252
=
(a+b+c){(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}=0
;2!;
그런데a>0,b>0,c>0에서a+b+c+0이므로
(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`=0
∴ a=b=c
∴
;aB;
+ 2c
b
+ 3a
c
=1+2+3=6
6
⑤
aÜ`+bÜ`+aÛ`b+abÛ`=(aÜ`+aÛ`b)+(bÜ`+abÛ`)
aÜ`+bÜ`+aÛ`b+abÛ`=aÛ`(a+b)+bÛ`(a+b)
aÜ`+bÜ`+aÛ`b+abÛ`=(a+b)(aÛ`+bÛ`)
aÜ`+bÜ`+aÛ`b+abÛ`=(a+b){(a+b)Û`-2ab}
aÜ`+bÜ`+aÛ`b+abÛ`=3(3Û`-2´2)=15
15
=(a+b+c)´
{(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}
… ❶
;2!;
0253
a-b=3 ……㉠,b-c=1 ……㉡
즉,(a+b+c){(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}=0에서
㉠+㉡에서a-c=4,즉c-a=-4
따라서주어진조건을만족시키는삼각형은정삼각형이다. … ❸
=(-b+c)aÛ`+(b+c)(b-c)a-bc(b-c)
주어진식을a에대한내림차순으로정리한후인수분해하면
abÛ`-aÛ`b+bcÛ`-bÛ`c+caÛ`-cÛ`a
… ❷
=(-b+c)aÛ`+(bÛ`-cÛ`)a-bÛ`c+bcÛ`
0250
주어진식의좌변을a에대한내림차순으로정리한후인수분해하면
정삼각형
=(b-c){-aÛ`+(b+c)a-bc}
=-(b-c)(a-b)(a-c)
=(a-b)(b-c)(c-a)
=3´1´(-4)=-12
비율
40 %
40 %
20 %
0254
a+b+c=0에서b+c=-a,c+a=-b,a+b=-c이므로
aÛ`(b+c)+bÛ`(c+a)+cÛ`(a+b)=-aÜ`-bÜ`-cÜ`
한편,aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc=(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)
에서a+b+c=0이므로aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc=0
∴aÜ`+bÜ`+cÜ`=3abc=3´(-3)=-9
∴(주어진식)=-(aÜ`+bÜ`+cÜ`)=9
②
⑤
0255
|전략| 주어진 식을 적당히 변형하여 인수분해 공식 aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b)를
이용한다.
3Û`-5Û`+7Û`-9Û`+11Û`-13Û`+15Û`-17Û`
따라서보기중가능한삼각형은ㄱ,ㄴ이다.
③
=(3+5)(3-5)+(7+9)(7-9)+(11+13)(11-13)
0251
|전략| aÜ`+bÜ`+cÜ`=3abc에서 aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc=0이므로 이 등식의 좌변을
인수분해한다.
=-2(8+16+24+32)
=-2´80=-160
+(15+17)(15-17)
=(-2)´8+(-2)´16+(-2)´24+(-2)´32
-160
3 인수분해 | 031
3ㅡ인수분해 ∴
50_51_52_53+1=2651
'Ä
④
xÛ`+8x=t로놓으면
정답과 해설
0256
9999=x로놓으면
9999Ü`+1
9998_9999+1
= xÜ`+1
(x-1)x+1
= (x+1)(xÛ`-x+1)
xÛ`-x+1
=x+1
=9999+1=10000
④
0257
50=n으로놓으면
50_51_52_53+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1
={n(n+3)}{(n+1)(n+2)}+1
=(nÛ`+3n)(nÛ`+3n+2)+1
=(nÛ`+3n)Û`+2(nÛ`+3n)+1
=(nÛ`+3n+1)Û`
=(50Û`+3´50+1)Û`=2651Û`
0258
f(x)=xÝ`+6xÜ`-24xÛ`+26x-9에 대하여 f(1)=0, f(-9)=0
이므로조립제법을이용하여인수분해하면
-1
-9
1
1
6 -24
1
26 -9
9
7 -17
7 -17
9
18 -9
-9
0
1 -2
1 -0
f(x)=(x-1)(x+9)(xÛ`-2x+1)
=(x-1)Ü`(x+9)
∴f(1.1)=(1.1-1)Ü`(1.1+9)
=0.1Ü`_10.1=0.0101
내신 마스터
내신 마스터
STEP3
0259
유형 01 공식을 이용한 인수분해
|전략| 공통인수를 묶어낸 후 인수분해 공식을 적용한다.
①(x-y)xÛ`-(x-y)yÛ`=(x-y)(xÛ`-yÛ`)
=(x-y)(x+y)(x-y)
=(x+y)(x-y)Û`
③27xÜ`-yÜ`=(3x-y)(9xÛ`+3xy+yÛ`)
따라서인수분해가잘못된것은③이다.
032 | I. 다항식
0260
유형 01 공식을 이용한 인수분해
|전략| 인수분해 공식 aÜ`-bÜ`=(a-b)(aÛ`+ab+bÛ`)을 이용한다.
(x-2y)Ü`-125yÜ`
=(x-2y)Ü`-(5y)Ü`
=(x-2y-5y){(x-2y)Û`+(x-2y)´5y+(5y)Û`}
=(x-7y)(xÛ`-4xy+4yÛ`+5xy-10yÛ`+25yÛ`)
=(x-7y)(xÛ`+xy+19yÛ`)
따라서주어진다항식의인수인것은⑤이다.
⑤
0261
인수분해한다.
유형 02 공통부분이 있는 식의 인수분해
|전략| 공통부분이 생기도록 적당히 두 일차식을 묶은 후 공통부분을 치환하여
(xÛ`+4x+3)(xÛ`+12x+35)+15
=(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15
={(x+1)(x+7)}{(x+3)(x+5)}+15
=(xÛ`+8x+7)(xÛ`+8x+15)+15
(주어진식)=(t+7)(t+15)+15
(주어진식)=tÛ`+22t+120
(주어진식)=(t+12)(t+10)
(주어진식)=(xÛ`+8x+12)(xÛ`+8x+10)
(주어진식)=(x+2)(x+6)(xÛ`+8x+10)
따라서a=6,b=8,c=10이므로
a+b+c=24
④
유형 03 복이차식 (xÝ`+axÛ`+b 꼴)의 인수분해
|전략| 주어진 식에 4xÛ`yÛ`을 더하고 빼서 AÛ`-BÛ` 꼴로 변형하여 인수분해한
xÝ`+4yÝ`=xÝ`+4xÛ`yÛ`+4yÝ`-4xÛ`yÛ`
⑤
xÝ`+4yÛ`=(xÛ`+2yÛ`)Û`-(2xy)Û`
xÝ`+4yÛ`=(xÛ`+2xy+2yÛ`)(xÛ`-2xy+2yÛ`)
따라서a=2,b=2또는a=-2,b=2이므로
aÛ`+bÛ`=4+4=8
②
0262
다.
0263
유형 03 복이차식 (xÝ`+axÛ`+b 꼴)의 인수분해
|전략| xÝ`+5xÛ`+9는 xÛ`항을 적당히 분리하여 AÛ`-BÛ` 꼴로 변형한 후 인수분
해하고, xÝ`+2xÜ`+xÛ`-9는 공통인수 xÛ`을 묶어 인수분해 공식
aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b)를 이용한다.
xÝ`+5xÛ`+9=xÝ`+6xÛ`+9-xÛ`
xÝ`+5xÛ`+9=(xÛ`+3)Û`-xÛ`
③
xÝ`+5xÛ`+9=(xÛ`+x+3)(xÛ`-x+3)
xÝ`+2xÜ`+xÛ`-9=xÛ`(xÛ`+2x+1)-9
xÝ`+2xÜ`+xÛ`-9=xÛ`(x+1)Û`-3Û`
xÝ`+2xÜ`+xÛ`-9={x(x+1)+3}{x(x+1)-3}
xÝ`+2xÜ`+xÛ`-9=(xÛ`+x+3)(xÛ`+x-3)
따라서 두 다항식의 공통인 인수는 xÛ`+x+3이다.
③
=2(x+1)(3x+7)
이때, 주어진 직육면체의 밑면의 한 변의 길이는 x+1, 높이는 x+3
이므로 겉넓이는
2(x+1)Û`+4(x+1)(x+3)
=2(x+1){(x+1)+2(x+3)}
따라서 a=1, b=3, c=7이므로
a+b+c=11
④
유형 04 여러 개의 문자가 포함된 식의 인수분해
|전략| 주어진 식을 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 정리한 후 인
⑴ (직육면체의 겉넓이)=2_(밑넓이)+(옆넓이)
⑵ (직육면체의 부피)=(밑넓이)_(높이)
주어진 식을 x에 대한 내림차순으로 정리한 후 인수분해하면
0264
수분해한다.
2xÛ`+xy-yÛ`+2x-7y-12
=2xÛ`+(y+2)x-(yÛ`+7y+12)
=2xÛ`+(y+2)x-(y+3)(y+4)
={x+(y+3)}{2x-(y+4)}
=(x+y+3)(2x-y-4)
따라서 두 인수의 합은
(x+y+3)+(2x-y-4)=3x-1
①
0265
유형 05 인수정리와 조립제법을 이용한 인수분해
|전략| 식의 값을 0으로 만드는 x의 값을 찾아 인수정리와 조립제법을 이용하여
주어진 식을 인수분해한다.
f(x)=2xÝ`+5xÜ`-8xÛ`-17x-6이라 하면 f(-1)=0, f(2)=0
이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면
-1
-2
2
2
2
5 -8 -17 -6
6
-2 -3
11
0
3 -11 -6
6
14
4
7
3 -0
f(x) =(x+1)(x-2)(2xÛ`+7x+3)
=(x+1)(x-2)(2x+1)(x+3)
따라서 주어진 다항식의 인수인 것은 ②이다.
②
0266
유형 05 인수정리와 조립제법을 이용한 인수분해
|전략| (직육면체의 부피)=(밑넓이)_(높이)이므로 인수정리와 조립제법을 이
0267
유형 06 axÝ`+bxÜ`+cxÛ`+bx+a 꼴의 인수분해
|전략| 주어진 식을 xÛ`으로 묶어낸 후 xÛ`+
1
xÛ`
=
x-
{
;[!;}
`+2임을 이용한다.
xÝ`-xÜ`-4xÛ`+x+1
+ 1
xÛ` }
;[!;
=xÛ`
xÛ`-x-4+
{
xÛ`+ 1
xÛ`
[
=xÛ`
-
x-
{
;[!;}
-4
]
=xÛ`
x-
[{
;[!;}
-
x-
{
;[!;}
-2
]
=xÛ`
x-
{
;[!;
x-
-2
;[!;
}
}{
2`
+1
=(xÛ`+x-1)(xÛ`-2x-1)
따라서 주어진 다항식의 인수인 것은 ①이다.
①
0268
유형 07 순환하는 꼴의 다항식의 인수분해
|전략| 주어진 식을 전개한 후 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.
주어진 식을 x에 대한 내림차순으로 정리한 후 인수분해하면
(x-y)Ü`+(y-z)Ü`+(z-x)Ü`
=(xÜ`-3xÛ`y+3xyÛ`-yÜ`)+(yÜ`-3yÛ`z+3yzÛ`-zÜ`)
+(zÜ`-3zÛ`x+3zxÛ`-xÜ`)
=-3xÛ`y+3xyÛ`-3yÛ`z+3yzÛ`-3zÛ`x+3zxÛ`
=-3(y-z)xÛ`+3(yÛ`-zÛ`)x-3yÛ`z+3yzÛ`
=-3(y-z)xÛ`+3(y+z)(y-z)x-3yz(y-z)
=-3(y-z){xÛ`-(y+z)x+yz}
=-3(y-z)(x-y)(x-z)
=3(x-y)(y-z)(z-x)
②
용하여 부피를 인수분해하고, 밑면의 한 변의 길이와 높이를 구한다.
다른 풀이 x-y=a, y-z=b, z-x=c로 놓으면
f(x)=xÜ`+5xÛ`+7x+3이라 하면 -1
1
a+b+c=0
5
3
7
-1 -4 -3
f(-1)=0이므로 조립제법을 이용
∴ (x-y)Ü`+(y-z)Ü`+(z-x)Ü`
1 -4
3 -0
∴ =aÜ`+bÜ`+cÜ`
하여 인수분해하면
f(x)=(x+1)(xÛ`+4x+3)
f(x)=(x+1)(x+1)(x+3)
f(x)=(x+1)Û`(x+3)
∴ =(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)+3abc
∴ =3abc (∵ a+b+c=0)
∴ =3(x-y)(y-z)(z-x)
3 인수분해 | 033
3ㅡ인수분해2
0269
유형 08 인수분해를 이용한 식의 변형 - 조건식이 주어진 경우
|전략| 조건식을 변형하여 주어진 식에 대입한 후 인수분해한다.
x-y+3z=0에서y=x+3z
∴xÛ`+yÛ`+3zx=xÛ`+(x+3z)Û`+3zx
∴xÛ`+yÛ`+3zx=x(x+3z)+(x+3z)Û`
∴xÛ`+yÛ`+3zx=(x+3z)(x+x+3z)
∴xÛ`+yÛ`+3zx=(x+3z)(2x+3z)
∴xÛ`+yÛ`+3zx=y(2x+3z)(∵ y=x+3z)
③
∴
∴
0272
∴
aÜ`+bÜ`+cÜ`
abc
-3= aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc
abc
-3= (a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)
abc
-3=
2{12-(-4)}
4
=8
②
0270
유형 09 인수정리와 인수분해를 이용하여 미정계수 구하기
|전략| xÜ`-xÛ`+2f(x)=(x-1)(x+a)(x+b)로 놓고 이 식이 x에 대한 항
등식임을 이용한다.
f(x)=ax+b(a,b는상수)라하면
xÜ`-xÛ`+2f(x)=xÜ`-xÛ`+2(ax+b)
=xÜ`-xÛ`+2ax+2b
이식이x-1을인수로가지므로조립제법을이용하면
1
1 -1
1
2a 2b
20 2a
1
0
2a 2a+2b
이때,나머지가0이므로
2a+2b=0
∴ a+b=0
xÜ`-xÛ`+2ax+2b=(x-1)(xÛ`+2a)
따라서(x+a)(x+b)=xÛ`+2a이므로
그런데ab=-2이므로a=-1
이값을㉠에대입하면b=1
∴f(x)=-x+1
다른 풀이
xÜ`-xÛ`+2f(x)=(x-1)(x+a)(x+b)
xÜ`-xÛ`+2f(x)=(x-1){xÛ`+(a+b)x+ab}
2f(x)=-(a+b-ab)x-ab
2f(x)=-2x+2
∴ f(x)=-x+1
유형 12 인수분해를 이용한 수의 계산
|전략| 29를 문자로 치환한 후 인수분해 공식을 이용한다.
29=x로놓으면
29Ý`+29Û`+1
29Û`+29+1
= xÝ`+xÛ`+1
xÛ`+x+1
= (xÛ`+x+1)(xÛ`-x+1)
xÛ`+x+1
=xÛ`-x+1=xÛ`+2x+1-3x
=(x+1)Û`-3x
=(29+1)Û`-3´29
=30Û`-87
∴A=87
0273
유형 12 인수분해를 이용한 수의 계산
|전략| 인수분해 공식을 이용하여 주어진 식을 인수분해하고, 10과 30 사이의 자
연수 중에서 3ß`-1의 인수를 찾는다.
yy㉠
3ß`-1=(3Ü`)Û`-1
=(3Ü`+1)(3Ü`-1)
=(3+1)(3Û`-3+1)(3-1)(3Û`+3+1)
따라서10과30사이에있는자연수중에서3ß`-1을나누어떨어지도
록하는자연수는13,14,26,28의4개이다.
②
②
0274
주어진식을x에대한내림차순으로정리하면
xÛ`-2xy+yÛ`+ax-4y-5
=xÛ`-(2y-a)x+yÛ`-4y-5
=xÛ`-(2y-a)x+(y+1)(y-5)
주어진식이x,y에대한일차식의곱으로인수분해되려면
-(y+1)-(y-5)=-2y+a
④
… ❶
… ❷
4
배점
4점
3점
0271
유형 11 인수분해를 이용한 식의 값 구하기
|전략| 먼저 인수분해 공식 aÛ`+bÛ`+cÛ`=(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)를 이
용하여 ab+bc+ca의 값을 구한다.
∴a=4
채점 기준
aÛ`+bÛ`+cÛ`=(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)에서
❶ 주어진 식을 x에 대한 내림차순으로 정리할 수 있다.
12=2Û`-2(ab+bc+ca)
∴ ab+bc+ca=-4
❷ a의 값을 구할 수 있다.
034 | I. 다항식
xÜ`-xÛ`+2f(x)=xÜ`+(a+b-1)xÛ`-(a+b-ab)x-ab
|전략| 주어진 식을 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 정리한 후 인
즉, a+b-1=-1에서 a+b=0이고, ab=-2이므로
수분해한다.
유형 04 여러 개의 문자가 포함된 식의 인수분해
xÛ`+(a+b)x+ab=xÛ`+2a에서a+b=0,ab=2a
=4_7_2_13
정답과 해설 0275
유형 05 인수정리와 조리제법을 이용한 인수분해
|전략| 인수정리와 조립제법을 이용하여 주어진 식을 인수분해하고, f(0)+0,
g(3)+0임을 이용하여 이차식 f(x), g(x)를 구한다.
xÝ`+xÜ`-8xÛ`-12x=x(xÜ`+xÛ`-8x-12)
h(x)=xÜ`+xÛ`-8x-12라하면 -2
1
h(-2)=0이므로조립제법을이용
하여인수분해하면
h(x)=(x+2)(xÛ`-x-6)
=(x+2)(x+2)(x-3)
=(x+2)Û`(x-3)
1 -8 -12
12
2
-2
1 -1 -6 -0
∴xÝ`+xÜ`-8xÛ`-12x=x(x+2)Û`(x-3)
… ❶
f(x),g(x)는각각이차식이고 f(0)+0,g(3)+0이므로 f(x)는
x를인수로갖지않고,g(x)는x-3을인수로갖지않는다.
즉, f(x)=(x+2)(x-3),g(x)=x(x+2)
∴g(1)=3
… ❷
… ❸
3
채점 기준
❶ 주어진 식을 인수분해할 수 있다.
❷ f(x), g(x)를 구할 수 있다.
❸ g(1)의 값을 구할 수 있다.
배점
3점
2점
1점
0276
유형 11 인수분해를 이용한 식의 값 구하기
|전략| x+y, xy의 값을 구하여 주어진 식을 인수분해한 식에 대입한다.
x=1+
3,y=1-
3에서
'
x+y=(1+
3)+(1-
3)=2
'
3)(1-
'
3)=-2
xy=(1+
'
'
'
∴x(yÛ`-2)+y(xÛ`-2)=xyÛ`-2x+yxÛ`-2y
∴x(yÛ`-2)+y(xÛ`-2)=(xyÛ`+xÛ`y)-(2x+2y)
∴x(yÛ`-2)+y(xÛ`-2)=xy(x+y)-2(x+y)
∴x(yÛ`-2)+y(xÛ`-2)=(x+y)(xy-2)
∴x(yÛ`-2)+y(xÛ`-2)=2(-2-2)=-8
❶ x+y, xy의 값을 구할 수 있다.
❷ 주어진 식을 인수분해할 수 있다.
채점 기준
0277
⑵P(x)=xÝ`-3xÜ`+3xÛ`+3x-4이므로조립제법을 이용하여 인
⑴P(-1)=1-a+b-3-4=0
⑴∴-a+b=6
⑴P(1)=1+a+b+3-4=0
⑴∴a+b=0
⑴㉠,㉡을연립하여풀면a=-3,b=3
수분해하면
-1
1 -3
-1
3
4 -7
3 -4
4
-1
1 -4
7 -4
4
1 -3
0
1 -3
4 -0
⑴∴P(x)=(x+1)(x-1)(xÛ`-3x+4)
⑴∴f(x)=xÛ`-3x+4
채점 기준
⑴ 상수 a, b의 값을 구할 수 있다.
⑵ f(x)를 구할 수 있다.
……㉠
……㉡
풀이 참조
배점
4점
6점
0278
면
유형 10 인수분해를 이용하여 삼각형의 모양 판단하기
|전략| 주어진 등식의 좌변을 인수분해하여 a, b, c 사이의 관계식을 구한다.
⑴주어진식의좌변을c에대한내림차순으로정리한후인수분해하
⑴aÝ`+aÛ`cÛ`+bÛ`cÛ`-bÝ`=(aÛ`+bÛ`)cÛ`+aÝ`-bÝ`
⑴aÝ`+aÛ`cÛ`+bÛ`cÛ`-bÝ`=(aÛ`+bÛ`)cÛ`+(aÛ`+bÛ`)(aÛ`-bÛ`)
… ❶
⑴aÝ`+aÛ`cÛ`+bÛ`cÛ`-bÝ`=(aÛ`+bÛ`)(cÛ`+aÛ`-bÛ`)
⑴즉,(aÛ`+bÛ`)(cÛ`+aÛ`-bÛ`)=0에서
⑴a>0,b>0이므로aÛ`+bÛ`+0
⑴∴cÛ`+aÛ`-bÛ`=0
∴ bÛ`=aÛ`+cÛ`
⑴따라서주어진조건을만족시키는삼각형은빗변의길이가b인직
⑵빗변의길이가b인직각삼각형의넓이는
ac이다.
;2!;
… ❷
… ❸
-8
배점
2점
3점
2점
각삼각형이다.
채점 기준
⑵ 삼각형의 넓이를 구할 수 있다.
풀이 참조
배점
8점
4점
❸ ❷의 식에 x+y, xy의 값을 대입하여 주어진 식의 값을 구할 수 있다.
⑴ 주어진 식의 좌변을 인수분해하여 삼각형의 모양을 판단할 수 있다.
유형 09 인수정리와 인수분해를 이용하여 미정계수 구하기
|전략| xÝ`+axÜ`+bxÛ`+3x-4=(x+1)(x-1)f(x)는 x에 대한 항등식이
므로 주어진 식에 x=-1, x=1을 각각 대입하여 상수 a, b의 값을 구한다.
⑴P(x)=xÝ`+axÜ`+bxÛ`+3x-4라하면P(x)가x+1,x-1을
각각인수로가지므로
한다.
창의·융합 교과서 속 심화문제
0279
|전략| xÛ`+x-n=(x+a)(x-b) ( a, b는 자연수)를 만족하는 a, b의 값을 구
3 인수분해 | 035
3ㅡ인수분해 fÇ(x)=xÛ`+x-n=(x+a)(x-b)(a,b는자연수)에서
xÛ`+x-n=xÛ`+(a-b)x-ab
0282
|전략| 다항식 f(x)가 x-c로 나누어떨어지면 f(c)=0임을 이용하여 주어진
식을 인수분해한 다음 a, b, c 사이의 관계를 조사한다.
이때,ab의값은1000이하인자연수이고,a-b=1인a,b의값을구
f(x)=xÜ`-(a+b)xÛ`-(aÛ`+bÛ`)x+aÜ`+bÜ`+aÛ`b+abÛ`이라하면
∴a-b=1,ab=n
해보면다음표와같다.
a
b
ab
2
1
2
3
2
6
4
3
12
y
y
y
31
30
32
31
930
992
따라서1000개의다항식중(x+a)(x-b)꼴로인수분해되는
fÇ(x)의개수는31이다.
③
f(c)=(c-a-b)(cÛ`-aÛ`-bÛ`)=0
다항식 f(x)가x-c로나누어떨어지므로
f(c)=cÜ`-(a+b)cÛ`-(aÛ`+bÛ`)c+aÜ`+bÜ`+aÛ`b+abÛ`
f(c)=cÜ`-(a+b)cÛ`-(aÛ`+bÛ`)c+aÛ`(a+b)+bÛ`(a+b)
f(c)=cÜ`-(a+b)cÛ`-(aÛ`+bÛ`)c+(aÛ`+bÛ`)(a+b)
f(c)=cÛ`{c-(a+b)}+(aÛ`+bÛ`){(a+b)-c}
f(c)=cÛ`(c-a-b)-(aÛ`+bÛ`)(c-a-b)
이때,a,b,c는삼각형의세변의길이이므로c+a+b
즉,cÛ`-aÛ`-bÛ`=0
∴ cÛ`=aÛ`+bÛ`
따라서주어진조건을만족시키는삼각형은빗변의길이가c인직각
삼각형이다.
빗변의 길이가 c인 직각삼각형
인수정리
다항식 `f(x)가 일차식 x-a로 나누어떨어지면 ⇨ f(a)=0
0283
|전략| 주어진 조건을 이용하여 a, b, c, d, e, f 사이의 관계식을 구한다.
여덟개의정삼각형모양의면에적힌수의합을구하면
abc+acd+ade+aeb+fbc+fcd+fde+feb=105
a(bc+cd+de+eb)+f(bc+cd+de+eb)=105
(a+f){b(c+e)+d(c+e)}=105
(a+f)(b+d)(c+e)=105
이때,여섯개의꼭짓점에적힌수는모두자연수이고,105=3´5´7
a+b+c+d+e+f=3+5+7=15
15
0284
|전략| 15=A로 놓고 AÜ`+AÛ`-A+2를 인수분해한다.
A=15로놓으면
15Ü`+15Û`-15+2=AÜ`+AÛ`-A+2
f(A)=AÜ`+AÛ`-A+2라하면 -2
1
1 -1
-2
1 -1
2
2 -2
1 -0
0280
|전략| nÝ`-6nÛ`+25의 값이 소수이려면 인수는 1과 자기 자신뿐이어야 한다.
nÝ`-6nÛ`+25=nÝ`+10nÛ`+25-16nÛ`
nÝ`-6nÛ`+25=(nÛ`+5)Û`-(4n)Û`
nÝ`-6nÛ`+25=(nÛ`+4n+5)(nÛ`-4n+5)
이것이소수이므로
nÛ`+4n+5=1또는nÛ`-4n+5=1
이어야한다.즉,
nÛ`+4n+4=(n+2)Û`=0에서n=-2
nÛ`-4n+4=(n-2)Û`=0에서n=2
이때,nÝ`-6nÛ`+25=17로소수가되므로조건을만족시킨다.
따라서구하는정수n은-2,2의2개이다.
2
0281
|전략| 인수정리와 조립제법을 이용하여 xÜ`+(a-1)xÛ`+(2-a)x-2를 인수
이므로
분해하고, 서로 다른 세 일차식의 곱으로 인수분해되도록 하는 상수 a의 값을 구
한다.
f(x)=xÜ`+(a-1)xÛ`+(2-a)x-2라하면 f(1)=0이므로조립
제법을이용하여인수분해하면
1
1
1
a-1
11
a1
2-a -2
a1 -2
21 -0
∴ f(x)=(x-1)(xÛ`+ax+2)
이때,xÛ`+ax+2=(x+p)(x+q)(p,q는정수)라하면
f(-2)=0이므로 조립제법을 이
xÛ`+ax+2=xÛ`+(p+q)x+pq에서
a=p+q
yy㉠,2=pq
yy㉡
그런데㉡에서p=-1,q=-2또는p=-2,q=-1일때는
용하여인수분해하면
f(A)=(A+2)(AÛ`-A+1)
f(A)=(15+2)(15Û`-15+1)
A=15를 대입
f(x)=(x-1)Û`(x-2)가되어 f(x)가서로다른세일차식의곱으
f(A)=17_211=a_b
로인수분해된다는조건을만족하지않는다.
따라서p=1,q=2또는p=2,q=1이므로㉠에서
이때,a,b는자연수이고17과211은소수이므로
a=17,b=211또는a=211,b=17
3
∴a+b=228
228
a=1+2=3
036 | I. 다항식
정답과 해설 4 복소수
본책 52~61쪽
0298
개념 마스터
STEP1
0285 실수부분 : 0, 허수부분 : 6
0286 실수부분 : -3, 허수부분 :
'
5
0287 실수부분 : ;2&;, 허수부분 : -
;2#;
0288 실수부분 : 2-
3, 허수부분 : 0
'
0289 ㄱ, ㄴ, ㅁ, ㅂ
0290
(x+2y)-4i=-1+2yi에서
x+2y=-1,2y=-4
∴x=3,y=-2
0291
(2x-y)+(x+3y)i=4-5i에서
2x-y=4,x+3y=-5
∴x=1,y=-2
0292
3+2iÓ=3-2i
0293
5Õ=5
0294
-3iÓ=3i
0295
4i-
'
0296
0297
(3+i)(2-i)=6-3i+2i-iÛ`=6-i-(-1)
=7-i
7-i
0299
1+i
1+3i
=
(1+i)(1-3i)
(1+3i)(1-3i)
= 1-3i+i-3iÛ`
1-9iÛ`
=
4-2i
10
=
-
i
;5!;
;5@;
;5@;
-
i
;5!;
0300
⑴xÛ`+yÛ`=(1+i)Û`+(1-i)Û`=2i-2i=0
⑵
+
=
;]!;
;[!;
+
1
1-i
=
1-i+1+i
(1+i)(1-i)
1
1+i
2
1-i Û`
⑵
+
=
;]!;
;[!;
=
=1
;2@;
다른 풀이 x=1+i, y=1-i이므로
x+y=(1+i)+(1-i)=2, xy=(1+i)(1-i)=2
⑴ xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=2Û`-2´2=0
⑴ 0 ⑵ 1
x=3, y=-2
⑵
+
=
1
x
1
y
x+y
xy
=
=1
;2@;
0301
i¡`=(iÝ`)Û``=1
x=1, y=-2
0302
(-i)Þ`=-iÞ`=-iÝ`´i=-i
3-2i
0303
i50=(iÝ`)12´iÛ`=1´(-1)=-1
5
0304
i100+i200=(iÝ`)25+(iÝ`)50=1+1=2
1
-i
-1
2
3i
'
4i
i
;5#;
4 복소수 | 037
2Ó=-
2+4iÓ=-
2-4i
'
'
-4i-
2
'
0306
-16=
6i=4i
1
'¶
'
(5-2i)+(3+4i)=(5+3)+(-2+4)i
=8+2i
8+2i
-18=-
8i=-3
1
2i
'
'
-3
2i
'
(2-i)-(-3+4i)=(2+3)+(-1-4)i
=5-5i
5-5i
-
=
®É;2»5;
i=
i
;5#;
;2»5;
®É
3i
0305
-3=
3i
'
'¶
0307
-
'¶
0308
4ㅡ복소수§
§
정답과 해설
0309
Ñ
'¶
-2=Ñ
2i
'
a의 제곱근
곱근이라 한다.
-16=Ñ
6i=Ñ4i
1
'
-12=
3i´
1
2i=
3
6iÛ`=-6
'
'
'
0310
Ñ
'¶
0311
-3
'¶
'Ä
0312
2
'
-3
'¶
2
3i
= '
'
= '
'
2i
3i Û`
6
=- '
3
i
0316
Ñ
2i
'
(1+2i)(2-
3i)Û`(2+
3i)Û`
'
'
=(1+2i){(2-
'
=(1+2i)(4+3)Û`
3i)(2+
3i)}Û`
'
실수 a에 대하여 제곱하여 a가 되는 수, 즉 xÛ`=a를 만족시키는 x를 a의 제
=49+98i
따라서a=49,b=98이므로
a-b=-49
-49
Ñ4i
-6
6
- '
3
i
0317
2-
2+
3i
3i
'
'
+
+
+
2+
2-
3i
3i
'
'
=
(2-
'
(2+
4-4
'
=
3i)Û`
'
3i)
'
3i)Û`+(2+
3i)(2-
'
3i-3+4+4
4+3
'
3i-3
=
;7@;
①
0318
(2+i)◎(4-i)=(2+i)+(4-i)-2(2+i)(4-i)
=6-2(8-2i+4i+1)
=6-18-4i
=-12-4i
따라서구하는허수부분은-4이다.
①
0319
|전략| x=a+bi (a, b는 실수)가 주어지고 x에 대한 식의 값을 구할 때에는
x-a=bi로 변형한 후 양변을 제곱하여 x에 대한 이차방정식을 만든다.
x=
3+i
2
에서2x-3=i
유형 마스터
유형 마스터
STEP2
0313
①5-2i의실수부분은5이고,허수부분은-2이다.
②모든실수는복소수에포함되므로0도복소수이다.
③1+2i는순허수가아니다.
④a=2i,b=0이면a+bi=2i는순허수이다.
a가 실수라는 조건이 없으므로 허수일 수도 있다.
⑤
0314
|전략| 허수 중에서 실수부분이 0인 허수가 순허수이다.
허수는-i,1+3i,
2i,2-
i이고,이중순허수는-i,
2i이므로
양변을제곱하면4xÛ`-12x+9=-1
'
;4#;
'
보기중순허수가아닌허수는1+3i,2-
i의2개이다.
2
;4#;
4xÛ`-12x=-10
∴2xÛ`-6x=-5
∴6xÛ`-18x+14=3(2xÛ`-6x)+14
=3´(-5)+14=-1
-1
0315
|전략| 복소수의 곱셈은 i를 문자처럼 생각하여 전개한 후 iÛ`=-1임을 이용하여
계산하고, 복소수의 나눗셈은 분모, 분자에 분모의 켤레복소수를 곱하여 계산한
다.
(2+3i)(5-i)+
=10-2i+15i+3+
2(-3+2i)
1+i
2(-3+2i)(1-i)
(1+i)(1-i)
=13+13i+
2(-3+3i+2i+2)
2
=13+13i-1+5i
=12+18i
따라서a=12,b=18이므로
a+b=30
038 | II. 방정식과 부등식
038 | II. 방정식과 부등식
0320
a+b=(2+i)+(2-i)=4
ab=(2+i)(2-i)=5
∴
+
=
b
a
a
b
aÛ`+bÛ`
ab
=
(a+b)Û`-2ab
ab
∴ + =
4Û`-2´5
5
=
;5^;
다른 풀이
+
=
a
b
2-i
2+i
+
2+i
2-i
= (2-i)Û`+(2+i)Û`
(2+i)(2-i)
b
a
30
=
3-4i+3+4i
5
=
;5^;
;5^;
§
0321
|전략| 복소수 a+bi (a, b는 실수)가 순허수이면 a=0, b+0이다.
(1+i)xÛ`+(3-i)x+2(1-i)
=xÛ`+xÛ`i+3x-xi+2-2i
=(xÛ`+3x+2)+(xÛ`-x-2)i
이복소수가순허수가되려면
xÛ`+3x+2=0
yy㉠,xÛ`-x-2+0
yy㉡
㉠에서(x+1)(x+2)=0
∴ x=-1또는x=-2
㉡에서(x+1)(x-2)+0
∴ x+-1,x+2
따라서구하는x의값은x=-2
0322
z=i(x-2i)Û`=i(xÛ`-4xi-4)
=4x+(xÛ`-4)i
z가실수가되려면
xÛ`-4=0,(x+2)(x-2)=0
∴ x=-2또는x=2
이때,음수x의값이a이므로a=-2
또,x=-2를z=4x+(xÛ`-4)i에대입하면
z=-8,즉b=-8
∴a-b=-2-(-8)=6
채점 기준
❶ z를 (실수부분)+(허수부분) i로 나타낼 수 있다.
❷ a, b의 값을 구할 수 있다.
❸ a-b의 값을 구할 수 있다.
0323
zÛ`이실수가되려면z는실수이거나순허수이어야한다.
z=a(1+i)-3(1-i)=(a-3)+(a+3)i에서
Úz가실수일때
a+3=0
∴ a=-3
Ûz가순허수일때
a-3=0이고a+3+0
∴ a=3
따라서모든실수a의값의합은-3+3=0
②
다른 풀이 zÛ`=(a-3)Û`+2(a-3)(a+3)i-(a+3)Û
zÛ`이 실수가 되려면
2(a-3)(a+3)=0
∴ a=-3 또는 a=3
따라서 모든 실수 a의 값의 합은 -3+3=0
0324
z=aÛ`(1-2i)+a(1+i)-(2-i)
=aÛ`-2aÛ`i+a+ai-2+i
=(aÛ`+a-2)+(-2aÛ`+a+1)i
… ❶
… ❷
… ❸
6
비율
30`%
60`%
10`%
㉠에서(a+2)(a-1)=0
∴ a=-2또는a=1
㉡에서(2a+1)(a-1)+0
∴ a+-
,a+1
;2!;
따라서구하는a의값은a=-2
①
「복소수 z에 대하여 zÛ`이 음의 실수이면 z는 순허수이다.」를 설명하여 보자.
z=a+bi (a, b는 실수)라 하면
zÛ`=(a+bi)Û`=aÛ`-bÛ`+2abi
zÛ`이 음의 실수가 되려면
aÛ`-bÛ`<0 yy ㉠, 2ab=0 yy ㉡
-2
㉡에서 a=0 또는 b=0
이때, b=0이면 ㉠에서 aÛ`<0이 되어 성립하지 않는다. (∵ aÛ`¾0)
따라서 a=0이고 ㉠에서 -bÛ`<0이므로 b+0
즉, a=0, b+0이므로 z는 순허수이다.
0325
|전략| a+bi=c+di (a, b, c, d는 실수)이면 a=c, b=d이다.
= x(1-i)+y(1+i)
(1+i)(1-i)
= (x+y)+(-x+y)i
2
(1+2i)x+(2-i)y=-5+10i에서
x+2xi+2y-yi=-5+10i
(x+2y)+(2x-y)i=-5+10i
복소수가서로같을조건에의하여
x+2y=-5,2x-y=10
두식을연립하여풀면x=3,y=-4
∴x+y=-1
0326
x
1+i
즉,
+ y
1-i
+ -x+y
2
x+y
2
i=3-i이므로
(x+y)+(-x+y)i=6-2i
복소수가서로같을조건에의하여
x+y=6,-x+y=-2
두식을연립하여풀면x=4,y=2
∴xy=8
채점 기준
❶ 주어진 등식의 좌변을 (실수부분)+(허수부분) i로 나타낼 수 있다.
❷ x, y의 값을 구할 수 있다.
❸ xy의 값을 구할 수 있다.
0327
xÛ`+yÛ`i+x+yi-2-6i=0에서
(xÛ`+x-2)+(yÛ`+y-6)i=0
②
… ❶
… ❷
… ❸
8
비율
40`%
40`%
20`%
4 복소수 | 039
zÛ`이음의실수가되려면z는순허수이어야하므로
복소수가서로같을조건에의하여
aÛ`+a-2=0
yy㉠,-2aÛ`+a+1+0
yy㉡
xÛ`+x-2=0,yÛ`+y-6=0
4ㅡ복소수 xÛ`+x-2=0에서(x+2)(x-1)=0
∴x=-2또는x=1
yÛ`+y-6=0에서(y+3)(y-2)=0
∴`y=-3또는y=2
따라서x+y의값이될수있는것은
-2-3=-5,-2+2=0,1-3=-2,1+2=3
⑤
0328
|전략| z=a+bi, z ®=a-bi (a, b는 실수)로 놓고 주어진 보기의 식을 계산하여
본다.
z=a+bi(a,b는실수)라하면z Õ=a-bi이므로
∴ a=0
ㄱ.a+bi=-(a-bi)에서2a=0
0331
|전략| 주어진 식을 간단히 정리한 후 a, b의 값을 대입한다.
aaÕ+aÕb+abÕ+bbÕ=aÕ(a+b)+bÕ(a+b)
=(a+b)(aÕ+bÕ)
=(a+b)(a+bÓ)
이때,a=-1+2i,b=2-i이므로
a+b=1+i,a+bÓ=1-i
∴(주어진식)=(1+i)(1-i)=2
①
0332
zÁÕ-zªÕ=zÁ-zªÓ=3+2i이므로zÁ-zª=3-2i
따라서z=bi이므로z는순허수이다.
zÁÕ´zªÕ=zÁzªÓ=6+i이므로zÁzª=6-i
ㄴ.(a+bi)-(a-bi)=0에서2bi=0
∴ b=0
∴(2zÁ+1)(2zª-1)=4zÁzª-2(zÁ-zª)-1
따라서z=a이므로z는실수이다.
=4(6-i)-2(3-2i)-1
ㄷ.z=i이면zÛ`=-1로실수이지만(z+1)Û`=(i+1)Û`=2i이므로
=17
허수이다.
따라서옳은것은ㄴ이다.
②
0329
z=a+bi(a,b는실수)라하면zÕ=a-bi이므로
ㄱ.(z+1)(zÕ+1)=zzÕ+z+zÕ+1
ㄴ.(z+1)(zÕ-1)=zzÕ-z+zÕ-1
=(a+bi)(a-bi)+a+bi+a-bi+1
=aÛ`+bÛ`+2a+1(실수)
=(a+bi)(a-bi)-(a+bi)+a-bi-1
=aÛ`+bÛ`-1-2bi
ㄴ.이때,b+0이면실수가아니다.
ㄷ.(2z+1)(zÕ+1)-z=2zzÕ+2z+zÕ+1-z
=2zzÕ+z+zÕ+1
=2(a+bi)(a-bi)+a+bi+a-bi+1
=2(aÛ`+bÛ`)+2a+1(실수)
따라서항상실수인것은ㄱ,ㄷ이다.
③
0330
|전략| 허수 z에 대하여 복소수 f(z)가 실수이면 f(z)는 그 켤레복소수
{ f(z)}Ó와 같다. 즉, {f(z)}Ó=f(z)이다.
복소수
이실수이므로
1
1-zÛ`
É{
,
=
1-zÛ`Ó
= 1
1
1-zÛ`
∴ (z-z Õ)(z+zÕ)=0
1
1
1-zÛ` }
1-zÛ`
1-zÛ`=1-zÛ`Ó,1-zÛ`=1-z ÕÛ`
zÛ`-z ÕÛ`=0
그런데z는허수이므로z+zÕ
∴z+zÕ=0
이때,z=a+bi(a,b는실수)라하면zÕ=a-bi이므로
z+zÕ=2a=0
따라서z의실수부분은0이다.
∴ a=0
040 | II. 방정식과 부등식
0333
z= wÕ+1
2w-1
∴zzÕ= 2-
'
1+2
'
2i
∴zzÕ= 2-
'
2i
1+2
'
다른 풀이 zÕ=Ð{
wÕ+1
2w-1
zzÕ=
´
2i
2i
= 2-
'
1+2
'
= 2-
'
1+2
'
2i
2i
2i+1
2i)-1
2i
2i
= 1-
'
2(1+
'
2-
'
1+2
'
2i
´ 2+
'
2i
1-2
'
´Ð{
2i
2i }
= 4+2
1+8
=
;3@;
´
2-
'
1+2
'
2iÓ
2iÓ
wÕ+1
2w-1 }
=
wÕ+1Ó
2w-1Ó
=
w+1
2wÕ-1
에서
w+1
2wÕ-1
=
wwÕ+w+wÕ+1
4wwÕ-2(w+wÕ)+1
이때, w+wÕ=(1+
2i)+(1-
2i)=2,
wwÕ=(1+
'
(주어진 식)=
'
2i)(1-
'
'
2i)=3이므로
3+2+1
4´3-2´2+1
=
;3@;
0334
aaÕ=3,bbÕ=3에서a= 3
aÕ
,b= 3
bÕ
a+b=6i에서
3
aÕ
+ 3
bÕ
=6i
3(aÕ+bÕ)
aÕ´bÕ
=6i,3(a+bÓ)=6iabÓ
3´6iò=6iabÓ,3´(-6i)=6iabÓ
abÓ=-3 ∴ab=-3
∴
1
a
+ 1
b
=
a+b
ab
= 6i
-3
=-2i
다른 풀이 aaÕ=3, bbÕ=3에서
=
1
a
a Õ
,
3
1
b
=
b Õ
3
∴
+
=
+
1
a
1
b
b Õ
3
=
a Õ+b Õ
3
=
a+bÓ
3
0
∴ + =
=
=-2i
-6i
3
a Õ
3
6iÕ
3
②
;3@;
-2i
정답과 해설 0335
|전략| z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고 주어진 식에 대입한 후 복소수가 서로 같
을 조건을 이용하여 a, b의 값을 구한다.
z=a+bi(a,b는실수)라하면z Õ=a-bi이므로
즉,z=1+i이므로
zÛ`=(1+i)Û`=1+2i-1=2i
zÝ`=zÛ`´zÛ`=2i´2i=-4
z¡`=zÝ`´zÝ`=(-4)´(-4)=16
(1+2i)z+3z Õi=6i+2에서
(1+2i)(a+bi)+3(a-bi)i=6i+2
a+bi+2ai-2b+3ai+3b=2+6i
(a+b)+(5a+b)i=2+6i
복소수가서로같을조건에의하여
a+b=2,5a+b=6
두식을연립하여풀면a=1,b=1
∴z=1+i
④
0336
z=a+bi (a,b는실수)라하면z Õ=a-bi이므로
z+z Õ=(a+bi)+(a-bi)=2a=8
∴ a=4
zz Õ=(a+bi)(a-bi)=aÛ`+bÛ`=16+bÛ`=16
bÛ`=0
∴ b=0
따라서z=4이므로
z
1-i
= 4(1+i)
(1-i)(1+i)
=2+2i
⑤
z+zi=(a+bi)+(a+bi)i=a+bi+ai-b
0337
z=a+bi (a,b는실수)라하면
=(a-b)+(a+b)i
이므로
z+ziÓ=(a-b)-(a+b)i=1-i
복소수가서로같을조건에의하여
a-b=1,a+b=1
두식을연립하여풀면a=1,b=0
따라서z=1이므로z+
=1+1=2
;z!;
2
따라서zÇ`이양수가되는자연수n의최솟값은8이다.
채점 기준
❶ z=a+bi로 놓고 주어진 등식에 대입하여 식을 정리할 수 있다.
❷ a, b의 값을 구할 수 있다.
❸ zÇ`이 양수가 되는 자연수 n의 최솟값을 구할 수 있다.
… ❸
8
비율
40`%
30`%
30`%
0339
|전략| 음이 아닌 정수 n에 대하여 i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n+4=1
임을 이용한다.
1+i+iÛ`+iÜ`+y+i3050
=(1+i+iÛ`+iÜ`)+(iÝ`+iÞ`+iß`+ià`)+y+i3048+i3049+i3050
=(1+i-1-i)+(1+i-1-i)+y+1+i-1
=i
i
1
i
0340
+ 1
i Û`
+ 1
i Û`
1
i
=
{
+ 1
i Ü`
+ 1
i Ü`
+ 1
i Ý`
+ 1
+y+ 1
i 102
+y+
i Ý` }
1
i 97 + 1
i 98 + 1
i 99 + 1
i 100 }
{
=+ 1
i 101 + 1
i 102
-1- 1
i
=
{
1
i
= 1
i
-1=-1-i
+1
+y+
}
1
i
-1- 1
i
{
+1
+ 1
i
}
-1
따라서a=-1,b=-1이므로
a+b=-2
-2
0338
z=a+bi(a,b는실수)라하면zÕ=a-bi이므로
(2+i)z+(3-2i)zÕ=2-2i에서
(2+i)(a+bi)+(3-2i)(a-bi)=2-2i
2a+2bi+ai-b+3a-3bi-2ai-2b=2-2i
(5a-3b)-(a+b)i=2-2i
복소수가서로같을조건에의하여
5a-3b=2,a+b=2
두식을연립하면풀면a=1,b=1
… ❶
… ❷
0341
|전략|
1+i
1-i
=i,
1+i
1-i
1-i
1+i
= (1+i)Û`
(1-i)(1+i)
=-i 임을 이용한다.
= 2i
2
=i
1-i
1+i
= (1-i)Û`
(1+i)(1-i)
= -2i
2
=-i
1000
∴
{
1+i
1-i }
+
{
1-i
1+i }
1010
=i1000+(-i)1010
=(iÝ`)250+{(-i)Ý`}252´(-i)Û`
=1+iÛ`
=1+(-1)=0
④
4 복소수 | 041
4ㅡ복소수 0342
(1-i)300={(1-i)Û`}150=(-2i)150
=(-2)150´i4´37+2=-2150
(1+i)300={(1+i)Û`}150=(2i)150
=2150´i4´37+2=-2150
0346
-3
'
'¶
1
2+
-3
'Ä
'¶
=
3i´2
3+
3i´2
'
'
'
3
12
-3
2
1
-12+ '¶
'
3i
3
3i+ '
2
'
'
+ '
'Ä-
3
3i
+ '
2
'
∴(1-i)300-(1+i)300=-2150-(-2150)=0
0
=6i-6+
i-
i
;2!;
;2!;
0343
zÛ`=
{
= 2i
2
1+i
2 }
'
2`
∴1+z+zÛ`+y+z¡`
=i이므로zÝ`=-1
=(1+z+zÛ`+zÜ`)+zÝ`(1+z+zÛ`+zÜ`)+z¡`
=(1+z+i+zi)-(1+z+i+zi)+z¡`
=z¡`=(zÛ`)Ý`=iÝ`
=1
다른 풀이 zÛ`=i이므로
1+zÛ`+zÝ`+zß`=1+i-1-i=0
∴1+z+zÛ`+y+z¡`
=(1+zÛ`+zÝ`+zß`)+z(1+zÛ`+zÝ`+zß`)+z¡`
=z¡`=1
0344
1
따라서-6+6i=a+bi이므로
=-6+6i
a=-6,b=6
∴a+b=0
채점 기준
❶ 주어진 식의 좌변을 간단히 할 수 있다.
❷ a, b의 값을 구할 수 있다.
❸ a+b의 값을 구할 수 있다.
0347
|전략| 음수의 제곱근의 성질을 이용한다.
a
b
'
'
①
"
②
'
=-
이므로a>0,b<0
®;bA;
a
bÛ`=
'
b=
a´
"Å
b
a
a
'
'
bÛ`=-b
a
'
bÛ`=|b|=-b
"
③-a<0,-b>0이므로
'¶
④ab<0이므로|ab|=-ab
-a
'¶
|전략|
=-i,
=i 임을 이용하여 f(n)을 간단히 한 후
1-i
1+i
1+i
1-i
f(1)+f(2)+f(3)+y+f(100)의 값을 구한다.
-b=
-a)´(-b)=
(
b
a
"
'
⑤a-b>0이므로|a-b|=a-b
③
1-i
1+i
= (1-i)Û`
(1+i)(1-i)
= -2i
2
=-i
1+i
1-i
= (1+i)Û`
(1-i)(1+i)
= 2i
2
=i
∴ f(n)=
4n
1-i
1+i }
{
-
{
2n
1+i
1-i }
∴ f(n)=(-i)4n-i 2n=1-(-1)Ç``
f(1)+f(2)+f(3)+y+f(100)
=2+0+2+y+0
=2´50=100
즉,n이짝수일때 f(n)=0이고,n이홀수일때 f(n)=2이므로
-a=
ai (a>0)임을 이용하여 음수의 제곱근을 허수단위 i를 사용하
0iÛ`=-
1
0
'
-2)Û``=
-2
'¶
'¶
-2=
2i´
2i=-2
'
'
0345
|전략|
'¶
여 나타낸다.
'
-5=
①
'¶
②
'¶
③(-
-2
'¶
-5
'
'
-2)Û`=(
0=
2
2i´
'
5i´2
'
'
1
5i=
'
5=10i
'¶
8
-2
=
8
=
④ '
'¶
⑤ '¶-
2
'
2
2
'
2i
'
2
2i
'
2
'
'¶
= 2
i
=2i
=-2i
042 | II. 방정식과 부등식
0348
a
b
'
'
∴
"
=-
이므로a>0,b<0
®;bA;
a-b)Û`+|a|-
(
bÛ`=|a-b|+|a|-|b|
"
=a-b+a-(-b)
=2a
100
a
b이므로a<0,b<0
0349
a
b=-
'
'
'
ㄱ.a+b<0
=
®;aB;
b
a
ㄴ. '
'
aÛ`
ㄷ.
"Å
"Å
bÛ`=|a|´|b|=(-a)´(-b)=ab
ㄹ.a+b<0이므로|a+b|=-a-b
|a|+|b|=-a-b
∴|a+b|=|a|+|b|
③
ㅁ.-a>0,b<0이므로
'¶
'Ä
따라서옳은것은ㄱ,ㄹ의2개이다.
-a
b=
'
-ab
… ❶
… ❷
… ❸
0
비율
60`%
30`%
10`%
③
②
정답과 해설
Å
Ã
Ã
내신 마스터
내신 마스터
STEP3
0350
0353
유형 04 복소수가 실수 또는 순허수가 될 조건
|전략| 복소수 z에 대하여 zÛ`이 양의 실수이면 z는 0이 아닌 실수이어야 한다.
유형 02 복소수의 사칙연산
|전략| 복소수의 나눗셈은 분모, 분자에 분모의 켤레복소수를 곱하여 계산한다.
z =(a+2i)(1-2i)=a-2ai+2i+4
=(a+4)-2(a-1)i
3-2i+ 1-2i
1-i
+3i+ -1+2i
1+i
=3-2i+
(1-2i)(1+i)
(1-i)(1+i)
+3i+
(-1+2i)(1-i)
(1+i)(1-i)
=3-2i+
+3i+
3-i
2
1+3i
2
=5+2i
0351
유형 02 복소수의 사칙연산
|전략| 규칙을 찾아 주어진 등식을 간단히 한다.
f(1, 2)= 1-2i
1+2i
, f(2, 4)=
2-4i
2+4i
= 1-2i
1+2i
, y,
f(5, 10)=
이때,
1-2i
1+2i
5-10i
= 1-2i
5+10i
1+2i
= (1-2i)Û`
(1+2i)(1-2i)
(주어진 식)=5´
=-3-4i
-3-4i
5
= -3-4i
5
이므로
다른 풀이 `f(a, b)=
a-bi
a+bi
=
(a-bi)Û`
(a+bi)(a-bi)
이때, b=2a이면
=
aÛ`-bÛ`
aÛ`+bÛ`
-
2ab
aÛ`+bÛ`
i
`f(a, 2a)=
aÛ`-(2a)Û`
aÛ`+(2a)Û`
-
4aÛ`
aÛ`+(2a)Û`
i=
-3-4i
5
(∵ a+0)
∴ f(1, 2)=f(2, 4)=y=f(5, 10)=
-3-4i
5
∴ (주어진 식)=5´
=-3-4i
-3-4i
5
0352
한다.
x+y=
3i
1+
'
2
+
3i
1-
'
2
=1
xy=
3i
1+
'
2
´
3i
1-
'
2
=
=1
;4$;
∴ xÛ`-xy+yÛ` =(x+y)Û`-3xy
=1Û`-3´1=-2
(cid:9000) ②
다른 풀이
xÛ`-xy+yÛ`=
3i
1+
'
2
{
-
}
`
3i
1+
'
2
´
3i
1-
'
2
+
{
3i
1-
'
2
}
`
xÛ`-xy+yÛ`=
-2+2
3i
'
4
-
+
;4$;
-2-2
3i
'
=-2
4
zÛ`이 양의 실수가 되려면 z는 0이 아닌 실수이어야 하므로
a+4+0, a-1=0
∴ a=1
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ⑤
0354
유형 05 복소수가 서로 같을 조건
|전략| 좌변을 정리하여 a+bi 꼴로 나타낸 후
a+bi=c+di ( a, b, c, d는 실수)이면 a=c, b=d임을 이용한다.
(x+i)(2i-y)+(2y-x)i=2+4i에서
2xi-xy-2-yi+2yi-xi=2+4i
-xy-2+xi+yi=2+4i
(-xy-2)+(x+y)i=2+4i
복소수가 서로 같을 조건에 의하여
-xy-2=2, x+y=4
∴ xy=-4, x+y=4
(cid:9000) ①
∴
+
;[!;
;]!;
= x+y
xy
= 4
-4
=-1
(cid:9000) ②
0355
용한다.
유형 06 켤레복소수의 성질
|전략| a=a+bi ( a, b는 실수)로 놓고 복소수의 연산과 켤레복소수의 성질을 이
ㄱ. a=i이면 a-a Õ=i-(-i)=2i이므로 허수이다.
ㄴ. a=a+bi(a, b는 실수)라 하면 a Õ=a-bi이므로
aa Õ=(a+bi)(a-bi)=aÛ`+bÛ`=0
따라서 a=b=0이므로 a=0
ㄷ. a=0이면 aÛ`-aÛ`Õ=0이므로 실수이다.
4ㅡ
복
소
수
0356
유형 07 켤레복소수의 성질을 이용한 연산
|전략| 주어진 식을 간단히 정리한 후 a+b와 a+bÓ의 값을 대입한다.
aa Õ+a Õb+abÕ+bbÕ =a Õ(a+b)+bÕ(a+b)
=(a+b)(a Õ+bÕ)
=(a+b)(a+bÓ)
=(3+
5i)(3-
5i)
'
'
=14
(cid:9000) ③
4 복소수 | 043
유형 03 복소수가 주어질 때의 식의 값
|전략| x, y가 서로 켤레복소수이므로 x+y, xy의 값을 이용하여 식의 값을 구
따라서 옳은 것은 ㄴ이다.
(cid:9000) ②
2
2
0357
유형 04 복소수가 실수 또는 순허수가 될 조건
+ 08 z=a+bi로 놓고 조건을 만족시키는 복소수 z 구하기
+
;z@;에 대입한 식이 실수이려면
|전략| z=a+bi (a, b는 실수, b+0)로 놓고 ;2Z;
허수부분이 0이어야 한다.
z=a+bi (a,b는실수,b+0)라하면
+ 2
+
a+bi
= a+bi
2
= a+bi
2
= a+bi
2
;2Z;
;z@;
+
;2Z;
;z@;
+
;2Z;
;z@;
+ 2(a-bi)
(a+bi)(a-bi)
+ 2a-2bi
aÛ`+bÛ`
+
=
;z@;
;2Z;
{;2A;+
2a
aÛ`+bÛ` }
+
{;2B;-
2b
aÛ`+bÛ` }
i
이때,
+
가실수이려면
;z@;
;2Z;
- 2b
;2B;
aÛ`+bÛ`
=0
∴ aÛ`+bÛ`=4
∴zz Õ=(a+bi)(a-bi)=aÛ`+bÛ`=4
④
ai (a>0)임을 이용하여 음수의 제곱근을 허수단위 i를 사용하
0360
유형 11 음수의 제곱근의 계산
|전략|
'¶
여 나타낸다.
-a=
'
00이므로
-4y
y
'
y-x
x-y
+ 'Ä
'Ä
y-x
y-xi
2
yi
'
y
'
+ 'Ä
'Ä
xÛ`+
-x
-x+ 'Ä
'Ä
'Ä
"
=x+
xi
xi+
'
'
=x-x+2i+
1
i
=2i-i=i
0361
유형 08 z=a+bi로 놓고 조건을 만족시키는 복소수 z 구하기
|전략| z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고 주어진 식에 대입한 후 복소수가 서로 같
을 조건을 이용하여 a, b의 값을 구한다.
z=a+bi (a,b는실수)라하면z Õ=a-bi이므로
(2+i)z+(1-i)z Õ=1+4i에서
(2+i)(a+bi)+(1-i)(a-bi)=1+4i
2a+2bi+ai-b+a-bi-ai-b=1+4i
0358
유형 09 i의 거듭제곱
|전략| 음이 아닌 정수 n에 대하여 i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n+4=1
임을 이용하여 식을 정리한 후 네 항씩 묶어 계산한다.
i+2iÛ`+3iÜ`+y+49i49+50i50
=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+y+49i-50
=(2-2i)+(2-2i)+y+49i-50
(3a-2b)+bi=1+4i
복소수가서로같을조건에의하여
3a-2b=1,b=4
두식을연립하여풀면a=3,b=4
∴zz Õ=(3+4i)(3-4i)=25
❶ z=a+bi로 놓고 주어진 등식에 대입하여 식을 정리할 수 있다.
②
채점 기준
❷ a, b의 값을 구할 수 있다.
❸ zz Õ의 값을 구할 수 있다.
유형 10 복소수의 거듭제곱
0362
1+i
1-i
솟값을 구한다.
|전략|
=i임을 이용하여 f(n+k)=f(n)을 만족시키는 자연수 k의 최
1+i
1-i
= (1+i)Û`
(1-i)(1+i)
= 2i
2
=i이므로
f(n)=
1+i
1-i }
{
=i Ç``
n`
f(n+k)=f(n)에서i n+k=i Ç`
∴ i û`=1
이것을만족시키는k의값은4의배수이므로자연수k의최솟값은4
130
130
{
+
=
1+i
1-i }
1-i
1+i }
{
=(-i)130+i130
={(-i)Ý`}32´(-i)Û`+(iÝ`)32´iÛ`
이다.
채점 기준
❶ f(n)을 간단히 할 수 있다.
=-1-1=-2
①
❷ f(n+k)=f(n)을 만족시키는 자연수 k의 최솟값을 구할 수 있다.
=12(2-2i)+49i-50
=-26+25i
따라서a=-26,b=25이므로
a+b=-1
0359
유형 10 복소수의 거듭제곱
|전략|
1+i
1-i
=i,
1+i
1-i
1-i
1+i
= (1+i)Û`
(1-i)(1+i)
=-i 임을 이용한다.
= 2i
2
=i
1-i
1+i
= (1-i)Û`
(1+i)(1-i)
= -2i
2
=-i
∴ f
{
1+i
1-i }
+ f
{
1-i
1+i }
=f(i)+f(-i)
044 | II. 방정식과 부등식
④
… ❶
… ❷
… ❸
25
배점
3점
2점
1점
… ❶
… ❷
4
배점
3점
4점
정답과 해설 |전략| 음수의 제곱근의 성질을 이용하여 a, b, c의 부호를 결정한다.
ㄴ.zÁÕ-zª=zÁÕ-zÁÕ=0,zÁ-zªÕ=zÁ-zÁ=0이므로
ㄱ.zÁÕ+zª=zÁÕ+zÁÕ=2zÁÕ,zÁ+zªÕ=zÁ+zÁ=2zÁ이므로
zªÕ=zÁÕÓ=zÁ
zÁÕ+zª+zÁ+zªÕ
zÁÕ-zª=zÁ-zªÕ
a<0, b<0, c>0에서
a+b<0, -c<0이므로
a+b-c<0
∴ |a+b-c|=-(a+b-c)
ㄷ.zÁzª는실수이므로zÁzª=zÁzªÓ
ㄹ.zÁzªÕ=zÁ´zÁ=zÁÛ`,zÁÕzª=zÁÕ´zÁÕ=zÁÕ Û`이므로
zÁzªÕ+zÁÕzª
따라서옳은것은ㄴ,ㄷ이다.
②
유형 12 음수의 제곱근의 성질
b=-
a
b에서a<0,b<0
'
=-
에서b<0,c>0
®;bC;
⑴∴a<0,b<0,c>0
0363
a
⑴
'
'
c
⑴ '
b
'
⑵
"Å
채점 기준
⑴ a, b, c의 부호를 결정할 수 있다.
⑵ 주어진 식을 간단히 할 수 있다.
aÛ`+|b|-
a+b-c)Û`=|a|+|b|-|a+b-c|
(
"
=-a-b+(a+b-c)
=-c
풀이 참조
배점
4점
6점
창의·융합 교과서 속 심화문제
0364
|전략| z=a+bi (a, b는 실수)가 주어지고 z에 대한 식의 값을 구할 때는
z-a=bi 꼴로 변형하여 양변을 제곱한다.
zÛ`=-3+2i에서zÛ`+3=2i
양변을제곱하면zÝ`+6zÛ`+9=-4
∴zÝ`+6zÛ`+13=0
이식의양변을z로나누면zÜ`+6z+
=0
∴zÝ`+zÜ`+2zÛ`+6z+
=zÝ`+2zÛ`+
zÜ`+6z+
:Áz£:
:Áz£:}
:Áz£:
{
=(-6zÛ`-13)+2zÛ`
=-4zÛ`-13
=-4(-3+2i)-13
=-1-8i
-1-8i
0365
|전략| zÁ+zª, zÁzª가 모두 실수이므로 zÁ+zª, zÁzª의 허수부분이 0임을 이용한
zÁ=a+bi,zª=c+di (a,b,c,d는실수)라하면두복소수zÁ,zª는
실수가아니므로
b+0,d+0
zÁ+zª=(a+c)+(b+d)i에서zÁ+zª는실수이므로
b+d=0
∴ b=-d
zÁzª=(ac-bd)+(ad+bc)i에서zÁzª는실수이므로
ad+bc=0
㉠을㉡에대입하면
ad-cd=0,d(a-c)=0
a-c=0 (∵d+0) ∴a=c
다.
0366
|전략| z=a+bi (a, b는 실수)에 대하여 z Õ=a-bi임을 이용하여
zÇ (n은 자연수)의 규칙성을 찾는다.
zª=(1+2i)Ó+(1+i)=(1-2i)+(1+i)=2-i
z£=(2-i)Ó+(1+i)=(2+i)+(1+i)=3+2i
z¢=(3+2i)Ó+(1+i)=(3-2i)+(1+i)=4-i
z°=(4-i)Ó+(1+i)=(4+i)+(1+i)=5+2i
⋮
이때,zª,z£,z¢,z°,y에서실수부분은2,3,4,5,y로나타나고,허
수부분은-1,2가반복되어나타난다.
∴z100=100-i
100-i
0367
|전략| 음이 아닌 정수 k에 대하여 i 4k+1=i, i 4k+2=-1, i 4k+3=-i, i 4k+4=1임
을 이용하여 SÇ을 구한다.
SÇ=i-1-i+1+y+i Ç`
i
(n=4m-3)
-1+i(n=4m-2)
-1(n=4m-1)
0 (n=4m)
SÇ=
[
ㄱ.20=4´5이므로Sª¼=0
(m은자연수)
ㄴ.SÇ=-1을만족시키는경우는n=4m-1일때이므로50이하
의자연수n은3,7,11,y,47의12개이다.
ㄷ.SÁ+Sª+S£+y+S¢¼
=(i-1+i-1+0)+(i-1+i-1+0)
y+(i-1+i-1+0)
+
=(-2+2i)´10
=-20+20i
따라서옳은것은ㄱ,ㄷ이다.
③
따라서zÁ=a+bi이면zª=a-bi=zÁÕ이다.
zÇ`+z=(-i)Ç`-i
yy㉠
yy㉡
0368
|전략| z= 1-i
1+i
=-i이므로 k가 자연수일 때, (-i)4k=1, (-i)4k-1=i,
(-i)4k-2=-1, (-i)4k-3=-i임을 이용하여 zÇ`+z를 구한다.
z= 1-i
1+i
= (1-i)Û`
(1+i)(1-i)
= -2i
2
=-i이므로
4 복소수 | 045
4ㅡ복소수§
Ã
Ú n=4k (k는 자연수)일 때, (-i)4k=1이므로
Û n=4k-1 (k는 자연수)일 때, (-i)4k-1=i이므로
Ü n=4k-2 (k는 자연수)일 때, (-i)4k-2=-1이므로
zÇ`+z=1-i
zÇ`+z=i-i=0
zÇ`+z=-1-i
Ý n=4k-3 (k는 자연수)일 때, (-i)4k-3=-i이므로
zÇ`+z=(-i)-i=-2i
Ú~Ý에서 zÇ`+z=0을 만족시키는 경우는 n=4k-1 (k는 자연수)
일 때이다.
따라서 100 이하의 자연수 중 조건을 만족시키는 자연수 n은 3, 7,
11, 15, y, 99의 25개이다.
③
다른 풀이 z=
1-i
1+i
=
(1-i)Û`
(1+i)(1-i)
=
-2i
2
=-i이므로
zÛ`=z´z=-1, zÜ`=zÛ`´z=i,
zÝ`=zÜ`´z=1, zÞ`=zÝ`´z=z=-i,
zß`=zÝ`´zÛ`=zÛ`=-1, zà`=zÝ`´zÜ`=zÜ`=i, y
이때, zÇ`+z=0이려면 zÇ`=-z=i이어야 한다.
zÜ`=zà`=z11=y=z99=i이므로 구하는 100 이하의 자연수 n은 3, 7, 11,
y, 99의 25개이다.
0369
|전략| 복소수가 서로 같을 조건을 이용하여 a, b의 값을 구한 후
(zÛ`+1)Ç``(n은 자연수)의 규칙성을 찾는다.
zÛ`+zÕ=(a+bi)Û`+(a-bi)
=(aÛ`-bÛ`+a)+(2ab-b)i
zÛ`+zÕ=0이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여
aÛ`-bÛ`+a=0
2ab-b=0
∴ b(2a-1)=0
yy ㉠
yy ㉡
b>0이므로 ㉡에서 2a-1=0
∴ a=
;2!;
㉠에 a=
을 대입하여 정리하면 bÛ`=
;2!;
;4#;
3
∴ b= '
2
(∵ b>0)
∴ z=
3i
1+
'
2
이때, zÛ`+1=
3i
1+
'
2
{
+1=
1+
'
2
3i
,
(zÛ`+1)Û`=
3i
1+
'
2
{
3i
-1+
2
'
,
}
2`
=
}
2`
(zÛ`+1)Ü`=(zÛ`+1)(zÛ`+1)Û`=
5 이차방정식
본책 64~81쪽
1
개념 마스터
STEP1
0370
xÛ`-x-2=0에서 (x+1)(x-2)=0
∴ x=-1 또는 x=2
x=-1 또는 x=2
0371
3xÛ`+5x-2=0에서 (x+2)(3x-1)=0
∴ x=-2 또는 x=
;3!;
x=-2 또는 x=
;3!;
x=
;3!;
0372
9xÛ`-6x+1=0에서 (3x-1)Û`=0
∴ x=
;3!;
0373
;2!;
xÛ`-3x+4=0의 양변에 2를 곱하면
xÛ`-6x+8=0, (x-2)(x-4)=0
∴ x=2 또는 x=4
x=2 또는 x=4
0374
xÛ`-4x-3=0에서
-(-2)Ñ
(-2)Û`-1´(-3)
x=
"Ã
1
=2Ñ
7
'
x=2Ñ
7
'
0375
xÛ`+x+1=0에서
-1Ñ
x=
1Û`-4´1´1
"Ã
2´1
=
-1Ñ
'¶
2
-3
x=
3i
-1Ñ
2
'
0376
xÛ`+6x+11=0에서
3i
1+
'
2
´
3i
-1+
2
'
=-1,
-3Ñ
x=
"Ã
3Û`-1´11
1
=-3Ñ
-2
'¶
(zÛ`+1)Ý`=(zÛ`+1)(zÛ`+1)Ü`=
´(-1)=
3i
1+
'
2
-1-
2
'
3i
,
(zÛ`+1)Þ`=(zÛ`+1)Û`(zÛ`+1)Ü`=
3i
-1+
2
'
´(-1)=
1-
'
2
3i
,
(zÛ`+1)ß`={(zÛ`+1)Ü`}Û`=(-1)Û`=1
⋮
이므로 (zÛ`+1)Ç` 이 정수이려면 n은 3의 배수이어야 한다.
즉, 구하는 자연수 n의 개수는 100 이하의 자연수 중 3의 배수의 개
수와 같으므로 33이다.
33
x=-3Ñ
2i
'
0377
9xÛ`-6
x=
'
-(-3
x= '
2Ñ1
3
2x+1=0에서
2)Ñ
'
(-3
"Ã
9
'
2)Û`-9´1
=
3
'
2Ñ3
9
046 | II . 방정식과 부등식
x=
3i
-1Ñ
2
'
x=-3Ñ
2i
'
x= '
2Ñ1
3
정답과 해설 0378
2xÛ`-5x+2=0에서 (2x-1)(x-2)=0
∴ x=
또는 x=2 (실근)
;2!;
x=
;2!; 또는 x=2 (실근)
0379
xÛ`-6x+4=0에서 xÛ`+2´(-3)x+4=0이므로
-(-3)Ñ
(-3)Û`-1´4
"Ã
1
=3Ñ
5 (실근)
'
x=
0384
|x-3|+|x+2|=7에서
Ú x<-2일 때, -x+3-x-2=7
-2x+1=7, -2x=6
∴ x=-3
Û -2Éx<3일 때, -x+3+x+2=7
그런데 5+7이므로 해가 없다.
Ü x¾3일 때, x-3+x+2=7
2x-1=7, 2x=8
∴ x=4
Ú, Û, Ü에서 주어진 방정식의 근은
x=3Ñ
5 (실근)
'
x=-3 또는 x=4
x=-3 또는 x=4
0380
xÛ`+3=0에서 xÛ`=-3
∴ x=Ñ
-3=Ñ
3i (허근)
'¶
'
x=Ñ
3i (허근)
'
0381
3xÛ`+4x+2=0에서 3xÛ`+2´2x+2=0이므로
-2Ñ
x=
2Û`-3´2
"Ã
3
=
-2Ñ
'¶
3
-2
0385
xÛ`-5|x|-6=0에서
Ú x<0일 때, xÛ`+5x-6=0
그런데 x<0이므로 x=-6
Û x¾0일 때, xÛ`-5x-6=0
(x+6)(x-1)=0
∴ x=-6 또는 x=1
x=
2i
-2Ñ
3
'
(허근)
x=
2i
-2Ñ
3
'
(허근)
그런데 x¾0이므로 x=6
(x+1)(x-6)=0
∴ x=-1 또는 x=6
Ú, Û에서 주어진 방정식의 근은 x=Ñ6
x=Ñ6
다른 풀이 xÛ`=|x|Û`이므로 주어진 방정식은
|x|Û`-5|x|-6=0,(|x|+1)(|x|-6)=0
그런데 |x|¾0이므로 |x|=6
∴ x=Ñ6
Ú, Û에서 주어진 방정식의 근은 x=1
x=1
0386
보기에 주어진 각 이차방정식의 판별식을 D라 하면
0382
|x+1|=3x-1에서
Ú x<-1일 때, -x-1=3x-1
-4x=0
∴ x=0
그런데 x<-1이므로 해가 없다.
Û x¾-1일 때, x+1=3x-1
Û -2x=-2 ∴ x=1
0383
|2x-4|=|x|에서
Ú x<0일 때, -2x+4=-x
∴ x=4
Ú 그런데 x<0이므로 해가 없다.
Û 0Éx<2일 때, -2x+4=x
∴ x=
;3$;
Ü x¾2일 때, 2x-4=x
∴ x=4
Ú, Û, Ü에서 주어진 방정식의 근은
다른 풀이 |2x-4|=|x|에서 2x-4=Ñx
Ú 2x-4=x일 때, x=4
Û 2x-4=-x일 때, 3x=4
∴ x=
;3$;
Ú, Û에서 주어진 방정식의 근은
x=
;3$; 또는 x=4
x=
또는 x=4
;3$;
x=
;3$; 또는 x=4
⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 D>0이어야 하므로 ㄱ, ㅁ이다.
⑵ 중근을 가지려면 D=0이어야 하므로 ㄴ이다.
⑶ 허근을 가지려면 D<0이어야 하므로 ㄷ, ㄹ이다.
⑴ ㄱ, ㅁ ⑵ ㄴ ⑶ ㄷ, ㄹ
ㄱ. D=(-5)Û`-4´1´2=17>0
ㄴ.
=(-4)Û`-1´16=0
ㄷ.
=(-1)Û`-2´1=-1<0
ㄹ. D=3Û`-4´5´1=-11<0
ㅁ.
=3Û`-2´3=3>0
D
4
D
4
D
4
0387
이차방정식 xÛ`-2x+k=0의 판별식을 D라 하면
D
4
=(-1)Û`-1´k=1-k
5 이차방정식 | 047
5ㅡ이차방정식 정답과 해설
⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 D>0이어야 하므로
⑴
=1-k>0
∴ k<1
⑵ 중근을 가지려면 D=0이어야 하므로
⑴
=1-k=0
∴ k=1
⑶ 허근을 가지려면 D<0이어야 하므로
⑴
=1-k<0
∴ k>1
D
4
D
4
D
4
⑴ k<1 ⑵ 1 ⑶ k>1
1
유형 마스터
유형 마스터
STEP2
0388
|전략| 주어진 이차방정식을 (x에 대한 이차식)=0 꼴로 변형한 후 인수분해를
이용하여 해를 구한다.
2(x+2)Û`-3=3x+8에서
2(xÛ`+4x+4)-3=3x+8
∴`x=-3 또는 x=
;2!;
0392
|전략| x=-1을 주어진 이차방정식에 대입한다.
이차방정식 xÛ`-2ax-a+1=0의 한 근이 -1이므로
(-1)Û`-2a´(-1)-a+1=0
∴ a=-2
a=-2를 주어진 방정식에 대입하면
xÛ`+4x+3=0, (x+1)(x+3)=0
∴ x=-1 또는 x=-3
따라서 다른 한 근은 -3이다.
0393
이차방정식 xÛ`+kx+
(-1+
1-2
'
2)Û`+k(-1+
'
2+2+k(-1+
'
2+k(-1+
'
2)=0
'
2)=-1+
2
'
1-
'
k(-1+
∴ k=1
'
2-2=0의 한 근이 -1+
2이므로
'
2)+
'
2)+
2-2=0
'
2-2=0
'
2xÛ`+5x-3=0, (x+3)(2x-1)=0
주의 이차방정식의 켤레근의 성질을 이용하려면 계수가 모두 유리수이어야 하
①
므로 다른 한 근을 -1-
2로 생각하여 문제를 해결하지 않도록 주의한다.
'
0389
xÛ`-5x+7=0에서 근의 공식을 이용하여 해를 구하면
-(-5)Ñ
x=
"Ã
(-5)Û`-4´1´7
2
=
3i
5Ñ
'
2
p, q는 유리수이므로 p=5, q=3
∴ p+q=8
0394
이차방정식 mxÛ`-3x+m+1=0의 한 근이 2이므로
2Û`m-3´2+m+1=0, 5m=5
∴ m=1
m=1을 주어진 방정식에 대입하면
xÛ`-3x+2=0, (x-1)(x-2)=0
8
∴ x=1 또는 x=2
따라서 다른 한 근은 1이므로 a=1
0390
(xCx)+2(3Cx)+2=0에서
(2xÛ`+x-x)+2(6x+3-x)+2=0
2xÛ`+10x+8=0, xÛ`+5x+4=0
(x+1)(x+4)=0
∴ x=-1 또는 x=-4
따라서 주어진 식을 만족시키는 모든 실수 x의 값의 합은
-1+(-4)=-5
①
∴ m+a=2
채점 기준
❶ m의 값을 구할 수 있다.
❷ a의 값을 구할 수 있다.
❸ m+a의 값을 구할 수 있다.
0395
x=1이 이차방정식 kxÛ`+ax+(k+1)b=0의 근이므로
k+a+(k+1)b=0
(b+1)k+(a+b)=0
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
b+1=0, a+b=0
k에 대한 항등식
따라서 a=1, b=-1이므로
x=-1 또는 x=
2-1
'
a-b=2
②
2-1을 곱하면
'
2-1)=0
0391
주어진 방정식의 양변에
2(
xÛ`+
'
'
xÛ`+(2-
(x+1)(x-
2-1)x-(
'
2+1=0
2)x-
'
'
2+1)=0
'
∴`x=-1 또는 x=
2-1
'
048 | II . 방정식과 부등식
②
1
… ❶
… ❷
… ❸
2
비율
40`%
40`%
20`%
0396
|전략| 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 기준으로 x의 값의 범위
를 나눈다.
Ú x<
일 때, xÛ`-(2x-1)=7
Ú xÛ`-2x-6=0
∴ x=1Ñ
7
Ú 그런데 x<
이므로 x=1-
;2!;
Û x¾
일 때, xÛ`+(2x-1)=7
'
7
'
;2!;
;2!;
Ú xÛ`+2x-8=0, (x+4)(x-2)=0
Ú ∴ x=-4 또는 x=2
Ú 그런데 x¾
이므로 x=2
;2!;
Ú, Û에서 주어진 방정식의 근은
7 또는 x=2
x=1-
'
∴ a+b=(1-
7)+2=3-
7
'
'
0397
Ú x<0일 때, 2xÛ`-5x+3=0
Û 0Éx<1일 때, xÛ`-x=-(x-1)+3
xÛ`=4
∴ x=-2 또는 x=2
그런데 0Éx<1이므로 해가 없다.
Ü x¾1일 때, xÛ`-x=x-1+3
xÛ`-2x-2=0
∴ x=1Ñ
3
그런데 x¾1이므로 x=1+
'
3
'
Ú, Û, Ü에서 주어진 방정식의 근은
x=-1-
5 또는 x=1+
'
따라서 모든 근의 합은
3
'
(-1-
5)+(1+
3)=
3-
'
'
'
5
'
3-
5
'
'
절댓값 기호를 2개 포함한 방정식
절댓값 기호를 2개 포함한 방정식 |x-a|+|x-b|=c(a0)는
x1이므로 x=-2+2
3
'
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 -2+2
3이다.
'
④
-2+2
3
'
처음 토지의 한 변의 길이를 x`m라 하면 길을 제외한 토지의 넓이는
10(16-x)(20-x)`(cmÜ`)
0404
|전략| 처음 토지의 한 변의 길이를 x`m라 하고 주어진 조건을 이용하여 x에 대
한 방정식을 세운다.
(x-3)(x-5)`(mÛ`)
길을 제외한 토지의 넓이가 처음 토지의 넓이의
이므로
;4#;
(x-3)(x-5)=
xÛ`
;4#;
4xÛ`-32x+60=3xÛ`
xÛ`-32x+60=0, (x-2)(x-30)=0
∴ x=2 또는 x=30
이때, x>5이므로 x=30
따라서 처음 토지의 한 변의 길이는 30`m이므로 그 넓이는 900`mÛ`이
다.
900`mÛ`
주의 구하는 값이 길이, 인원 수, 물건의 개수, 시간, 거리 등인 경우에는 그 값이
양수이어야 함에 주의한다.
다.
채점 기준
0407
케이크의 밑면의 가로와 세로의 길이를 각각 x`cm씩 줄였을 때, 줄
인 밑면의 가로의 길이와 세로의 길이는 각각 (16-x)`cm,
(20-x)`cm이므로 케이크의 부피는
부피를 40`% 줄인 케이크의 부피는
´16´20´10=1920`(cmÜ`)
;1¤0¼0;
즉, 10(16-x)(20-x)=1920이므로
xÛ`-36x+128=0, (x-4)(x-32)=0
∴ x=4 또는 x=32
그런데 밑면의 가로의 길이에서 01
(100-x)(100+x)=9600
10000-xÛ`=9600, xÛ`=400
∴ x=Ñ20
이때, x>0이므로 구하는 x의 값은 20이다.
다른 풀이
만큼 인하 후
만큼 인상하였으므로
x
100
x
100
-
{
x
100 }
´
x
100
∴`x=Ñ20
=-
;10$0;, xÛ`=400
이때, x>0이므로 구하는 x의 값은 20이다.
0409
|전략| 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가
질 조건은 D>0이다.
이차방정식 xÛ`+2(k-1)x+kÛ`+2=0의 판별식을 D라 하면
D
4
=(k-1)Û`-(kÛ`+2)>0
kÛ`-2k+1-kÛ`-2>0, -2k-1>0
∴ k<-
;2!;
D
4
D
4
식을 D라 하면
=(-k)Û`-(k+6)=0
kÛ`-k-6=0, (k+2)(k-3)=0
∴ k=-2 또는 k=3
따라서 모든 실수 k의 값의 합은 -2+3=1
1
0411
이차방정식 xÛ`-2ax+aÛ`-a+6=0의 판별식을 D라 하면
=(-a)Û`-1´(aÛ`-a+6)<0
aÛ`-aÛ`+a-6<0, a-6<0
∴ a<6
0413
(mÛ`-1)xÛ`+2(m-1)x+2=0이 이차방정식이므로
20
mÛ`-1+0, (m+1)(m-1)+0
∴ m+-1, m+1
yy`㉠
이 이차방정식이 중근을 가지므로 판별식을 D라 하면
D
4
=(m-1)Û`-2(mÛ`-1)=0
mÛ`-2m+1-2mÛ`+2=0
mÛ`+2m-3=0, (m+3)(m-1)=0
∴`m=-3 또는 m=1
㉠, ㉡에서 m=-3
yy`㉡
①
0414
(k-1)xÛ`+2(k+1)x+k+2=0이 이차방정식이므로
k-1+0
∴ k+1
yy`㉠
… ❶
이 이차방정식이 실근을 가지므로 판별식을 D라 하면
D
4
=(k+1)Û`-(k-1)(k+2)¾0
k+3¾0
∴ k¾-3
yy`㉡
… ❷
… ❸
-3Ék<1 또는 k>1
채점 기준
❶ 주어진 방정식이 이차방정식이기 위한 k의 조건을 구할 수 있다.
❷ 주어진 이차방정식이 실근을 가지기 위한 k의 값의 범위를 구할 수 있다.
❸ 실수 k의 값의 범위를 구할 수 있다.
비율
40 %
40 %
20 %
0415
|전략| 두 이차방정식의 판별식을 각각 DÁ, Dª라 하면 DÁ¾0일 때, Dª의 부호
이차방정식 xÛ`+ax+b=0이 실근을 가지므로 판별식을 DÁ이라 하
를 조사한다.
면
DÁ=aÛ`-4b¾0
Dª=(a-2)Û`-4(-a+b)
=aÛ`-4a+4+4a-4b
=aÛ`-4b+4>0 (∵`㉠)
갖는다.
따라서 자연수 a의 값은 1, 2, 3, 4, 5이고, 그 개수는 5이다. 5
이차방정식 xÛ`+(a-2)x-a+b=0의 판별식을 Dª라 하면
0412
이차방정식 xÛ`-2(k-a)x+kÛ`+aÛ`-b+1=0의 판별식을 D라
따라서 이차방정식 xÛ`+(a-2)x-a+b=0은 서로 다른 두 실근을
하면
D
4
={-(k-a)}Û`-(kÛ`+aÛ`-b+1)=0
kÛ`-2ak+aÛ`-kÛ`-aÛ`+b-1=0
-2ak+b-1=0
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
-2a=0, b-1=0
∴ a=0, b=1
∴ a+b=1
0416
이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 판별식을 D라 하면
D=bÛ`-4ac
b=a+c를 ㉠에 대입하면
②
D=(a+c)Û`-4ac=(a-c)Û`
yy`㉠
③
yy`㉠
5 이차방정식 | 051
5ㅡ이차방정식 이때, a, c가 서로 다른 실수이므로
D=(a-c)Û`>0
x에 대한 이차방정식 xÛ`-2(k-1)x+2kÛ`-6k+4=0의 판별식을
따라서 이차방정식 axÛ`+bx+c=0은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
={-(k-1)}Û`-(2kÛ`-6k+4)=0
서로 다른 두 실근
kÛ`-4k+3=0, (k-1)(k-3)=0
∴ k=3 (∵ k>1)
이때, 주어진 이차식은 xÛ`-4x+4, 즉 (x-2)Û`으로 인수분해되므로
⑤
0420
(k-2)xÛ`+(4k-8)x+3k-2가 이차식이므로 k+2
또, 이 식이 완전제곱식이 되려면 x에 대한 이차방정식
(k-2)xÛ`+(4k-8)x+3k-2=0의 판별식을 D라 할 때
=(2k-4)Û`-(k-2)(3k-2)=0
a
a
b=-
b이므로 a<0, b<0 (∵ ab+0)
'
ㄱ. 이차방정식 xÛ`-bx+a=0의 판별식을 DÁ이라 하면
'
'
DÁ=(-b)Û`-4a=bÛ`-4a>0
이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
ㄴ. 이차방정식 xÛ`+ax-b=0의 판별식을 Dª라 하면
Dª=aÛ`-4´1´(-b)=aÛ`+4b
aÛ`+4b의 값의 부호는 알 수 없으므로 이 이차방정식의 근을 판별
할 수 없다.
ㄷ. 이차방정식 axÛ`+bx-1=0의 판별식을 D£라 하면
D£=bÛ`-4´a´(-1)=bÛ`+4a
ㄹ. 이차방정식 bxÛ`+x-a=0의 판별식을 D¢라 하면
D¢=1Û`-4´b´(-a)=1+4ab>0
이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
따라서 항상 서로 다른 두 실근을 갖는 이차방정식은 ㄱ, ㄹ이다.
bÛ`+4a의 값의 부호는 알 수 없으므로 이 이차방정식의 근을 판별
kÛ`-8k+12=0, (k-2)(k-6)=0
할 수 없다.
∴ k=6 `(∵ k+2)
⑤
0421
주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 x에 대한 이차방정식
③
(a-c)xÛ`-2bx+a+c=0의 판별식을 D라 할 때
0418
|전략| 이차식 axÛ`+bx+c가 완전제곱식이면 이차방정식 axÛ`+bx+c=0이
중근을 갖는다.
주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 x에 대한 이차방정식
xÛ`-2(k-a)x+(k-1)Û`-b=0의 판별식을 D라 할 때
=(-b)Û`-(a-c)(a+c)=0
bÛ`-(aÛ`-cÛ`)=0
∴ aÛ`=bÛ`+cÛ`
따라서 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형은 빗변의 길이가 a인 직각삼
각형이다.
빗변의 길이가 a인 직각삼각형
D라 할 때
D
4
a=-2
∴ k-a=5
D
4
D
4
0417
D
4
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
식 D가 완전제곱식이 되어야 한다.
0422
|전략| 주어진 식이 두 일차식의 곱으로 인수분해되려면 (주어진 식)=0의 판별
2xÛ`+xy-yÛ`-x+ky-1을 x에 대한 내림차순으로 정리하면
2xÛ`+(y-1)x+(-yÛ`+ky-1)
1
이때, x에 대한 이차방정식 2xÛ`+(y-1)x+(-yÛ`+ky-1)=0의
판별식을 D라 하면
=9yÛ`-2(4k+1)y+9
가 완전제곱식이 되어야 한다.
라 하면
D'
4
={-(4k+1)}Û`-9´9=0
즉, y에 대한 이차방정식 9yÛ`-2(4k+1)y+9=0의 판별식을 D'이
={-(k-a)}Û`-{(k-1)Û`-b}=0
kÛ`-2ak+aÛ`-kÛ`+2k-1+b=0
(-2a+2)k+aÛ`-1+b=0
-2a+2=0, aÛ`-1+b=0
두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=0
∴ a+b=1
이차식 f(x)가 완전제곱식이 된다.
이차방정식 f(x)=0이 중근을 갖는다.
이차방정식 f(x)=0의 판별식 D=0이다.
HjK
HjK
야 한다.
052 | II . 방정식과 부등식
0419
주어진 이차식이 (x+a)Û` 꼴로 인수분해되려면 완전제곱식이 되어
(4k+1+9)(4k+1-9)=0, 8(2k+5)(k-2)=0
∴`k=2 (∵ k>0)
2
x에 대한 이차식 f(x)=axÛ`+bx+c`( a, b, c는 실수 )에 대하여
D =(y-1)Û`-4´2´(-yÛ`+ky-1)
정답과 해설§
0423
xÛ`+4xy+myÛ`-x-5y-2를 x에 대한 내림차순으로 정리하면
xÛ`+(4y-1)x+myÛ`-5y-2
이때, x에 대한 이차방정식 xÛ`+(4y-1)x+myÛ`-5y-2=0의 판
즉, y에 대한 이차방정식 (16-4m)yÛ`+12y+9=0의 판별식을 D'
⑶ (2a-1)(2b-1)=4ab-2(a+b)+1
=4´3-2´(-2)+1=17
a+
⑷
{
1
b }{
1
a }
b+
=ab+
+2
1
ab
=3+
+2=
;3!;
:Á3¤:
⑴ -6 ⑵ -
;3@; ⑶ 17 ⑷ :Á3¤:
0427
xÛ`-(1+3)x+1´3=0
∴ xÛ`-4x+3=0
xÛ`-4x+3=0
③
0428
xÛ`-(-2+4)x+(-2)´4=0
∴ xÛ`-2x-8=0
xÛ`-2x-8=0
0424
xÛ`+xy+3x-2yÛ`+3y+k를 x에 대한 내림차순으로 정리하면
xÛ`+(y+3)x+(-2yÛ`+3y+k)
이때, x에 대한 이차방정식 xÛ`+(y+3)x+(-2yÛ`+3y+k)=0의
별식을 D라 하면
D=(4y-1)Û`-4(myÛ`-5y-2)
=(16-4m)yÛ`+12y+9
가 완전제곱식이 되어야 한다.
이라 하면
D'
4
=6Û`-9(16-4m)=0
16-4m=4
∴ m=3
판별식을 D라 하면
D=(y+3)Û`-4(-2yÛ`+3y+k)
=9yÛ`-6y+9-4k
가 완전제곱식이 되어야 한다.
하면
D'
4
=9-9(9-4k)=0
0429
xÛ`-{(1+
∴ xÛ`-2x-1=0
0430
xÛ`-{(2+
∴ xÛ`-4x-1=0
'
'
'
'
0431
2)+(1-
2)}x+(1+
2)(1-
2)=0
'
'
xÛ`-2x-1=0
5)+(2-
5)}x+(2+
5)(2-
5)=0
'
'
xÛ`-4x-1=0
xÛ`-{(1+i)+(1-i)}x+(1+i)(1-i)=0
∴ xÛ`-2x+2=0
xÛ`-2x+2=0
0432
xÛ`-{(2+3i)+(2-3i)}x+(2+3i)(2-3i)=0
∴ xÛ`-4x+13=0
xÛ`-4x+13=0
0433
4
[
4
{
xÛ`-
-1+
x+(-1)´
=0
{
;4!;}
;4!;]
xÛ`+
x-
;4#;
;4!;}
=0
∴ 4xÛ`+3x-1=0 4xÛ`+3x-1=0
즉, y에 대한 이차방정식 9yÛ`-6y+9-4k=0의 판별식을 D'이라
-72+36k=0
∴ k=2
④
2
개념 마스터
STEP1
0425
이차방정식 xÛ`+2x-2=0에서 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-2, ab=-2
⑴ a+b+ab=-2-2=-4
⑵ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=(-2)Û`-2´(-2)=8
⑶ |a-b|= "Ã
2Û`-4´1´(-2)
|1|
=
1
2=2
3
'
'
⑷ (a-1)(b-1) =ab-(a+b)+1
=-2-(-2)+1=1
⑴ -4 ⑵ 8 ⑶ 2
3 ⑷ 1
'
다른 풀이 ⑶(a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab이므로
(a-b)Û`=(-2)Û`-4´(-2)=12
∴ |a-b|=2
3
'
0426
이차방정식 xÛ`+2x+3=0에서 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-2, ab=3
⑴ aÛ`b+abÛ`=ab(a+b)=3´(-2)=-6
⑵
+
=
1
b
a+b
ab
=-
;3@;
1
a
0434
6
[
xÛ`-
+
x+
´
;2!;
;3@;]
;3@;}
{;2!;
=0
6
{
xÛ`-
x+
;6&;
;3!;}
=0
∴ 6xÛ`-7x+2=0 6xÛ`-7x+2=0
0435
두 수 a, b를 근으로 하는 이차방정식은 근과 계수의 관계에 의하여
∴ x=-(-2)Ñ
-2)Û`-1´(-3)=2Ñ
(
7
'
xÛ`-4x-3=0
이때, a0, b>0)
yy`㉠
③
054 | II . 방정식과 부등식
0447
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-1, ab=-3
이므로
(a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab
=(-1)Û`-4´(-3)=13
∴ a-b=
1
3 (∵ a>b)
'
∴ aÜ`-bÜ` =(a-b)Ü`+3ab(a-b)
0451
|전략| 근과 계수의 관계를 이용하여 미정계수 사이의 관계식을 세운다.
이차방정식 xÛ`-2ax-1=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계
이차방정식 xÛ`+3x+b=0의 두 근이 aÛ`b, bÛ`a이므로 근과 계수의
에 의하여
a+b=2a, ab=-1
관계에 의하여
aÛ`b+bÛ`a=-3, aÛ`b´bÛ`a=b
∴ ab(a+b)=-3, aÜ`bÜ`=b
=(
1
3)Ü`+3´(-3)´
1
3=4
1
3
'
'
'
4
1
3
'
㉠을 ㉡에 대입하면 -1´2a=-3, (-1)Ü`=b
0448
|전략| 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 두 근이 a, b일 때, aaÛ`+ba+c=0,
abÛ`+bb+c=0임을 이용하여 주어진 식을 간단히 하고, a+b, ab의 값을 대
∴ a=
, b=-1
;2#;
∴ ab=-
;2#;
∴ (aÛ`-3a+1)(bÛ`-3b+1)=(a-1)(b-1)
=ab-(a+b)+1
=2-4+1=-1
③
이차방정식 4xÛ`+2x+b=0의 두 근이
,
이므로 근과 계수의 관
1
a
1
b
yy`㉠
yy`㉡
③
yy`㉠
yy`㉡
1
… ❸
40
비율
40 %
40 %
20 %
0452
이차방정식 3xÛ`-ax+4=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계
에 의하여
a+b=
, ab=
;3A;
;3$;
계에 의하여
1
a
+
1
b
=-
,
;2!;
1
a
´
1
b
=
;4B;
∴ a+b=-
ab, ab=
;2!;
;b$;
㉠을 ㉡에 대입하면
=-
´
;2!;
;3$;
=-
,
;3@;
;3$;
=
;b$;
;3A;
∴ a=-2, b=3
∴ a+b=1
0453
이차방정식 xÛ`-mx+n=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계
에 의하여
a+b=m, ab=n
관계에 의하여
㉠을 ㉡에 대입하면 m+n=4, mn=2
∴ mÜ`+nÜ`=(m+n)Ü`-3mn(m+n)
=4Ü`-3´2´4=40
채점 기준
❶ 근과 계수의 관계를 이용하여 ㉠을 구할 수 있다.
❷ 근과 계수의 관계를 이용하여 ㉡을 구할 수 있다.
5 이차방정식 | 055
입하여 주어진 식의 값을 구한다.
이차방정식 xÛ`-4x+2=0의 두 근이 a, b이므로
aÛ`-4a+2=0에서 aÛ`-3a+1=a-1
bÛ`-4b+2=0에서 bÛ`-3b+1=b-1
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=4, ab=2
0449
이차방정식 xÛ`-2x+3=0의 두 근이 a, b이므로
aÛ`-2a+3=0에서 aÛ`+3=2a
bÛ`-2b+3=0에서 bÛ`+3=2b
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=2, ab=3
∴
9b
aÛ`+a+3
+
9a
bÛ`+b+3
9b
3a
9a
3b
=
+
=
+
3b
a
3a
b
∴
∴
+
+
=
3(aÛ`+bÛ`)
ab
=
3{(a+b)Û`-2ab}
ab
=
3(2Û`-2´3)
3
=-2
②
aÛ`+a-1=0에서 aÛ`+a=1
bÛ`+b-1=0에서 bÛ`+b=1
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-1, ab=-1
∴ (1+a+aÛ`+aÜ`)(1+b+bÛ`+bÜ`)
={1+a+a(a+aÛ`)}{1+b+b(b+bÛ`)}
=(1+a+a)(1+b+b)
=(1+2a)(1+2b)
=1+2(a+b)+4ab
0450
이차방정식 xÛ`+x-1=0의 두 근이 a, b이므로
이차방정식 xÛ`-4x+2=0의 두 근이 a+b, ab이므로 근과 계수의
yy ㉠
… ❶
a+b+ab=4, (a+b)´ab=2
yy ㉡
… ❷
=1+2´(-1)+4´(-1)=-5
①
❸ mÜ`+nÜ`의 값을 구할 수 있다.
5ㅡ이차방정식
0454
이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계
∴ aÛ`b+abÛ`+2a+2b =ab(a+b)+2(a+b)
=(ab+2)(a+b)
=(k-2)(2k+1)=2kÛ`-3k-2
에 의하여
a+b=-a, ab=b
이차방정식 xÛ`-(b-3)x+2a+4=0의 두 근이 a-1, b-1이므
2kÛ`-3k-2=3,2kÛ`-3k-5=0
yy ㉠
즉, aÛ`b+abÛ`+2a+2b=3에서
로 근과 계수의 관계에 의하여
(a-1)+(b-1)=b-3, (a-1)(b-1)=2a+4
∴ a+b-2=b-3, ab-(a+b)+1=2a+4
yy ㉡
(2k-5)(k+1)=0
∴ k=-1 (∵ k는 정수)
0458
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=2k+1, ab=4k-1
0455
이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계
이차방정식 axÛ`-bx+c=0의 두 근이 a+b, ab이므로 근과 계수
㉣에서 a+b=1이므로 이를 ㉢에 대입하면 ab=-2
참고 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 두 근이 a, b이고 c+0이므로
0456
|전략| aÛ`+bÛ`=28에서 좌변을 a+b, ab에 대한 식으로 변형한 후 a+b, ab
㉠을 ㉡에 대입하면
-a-2=b-3, b+a+1=2a+4
a+b=1, -a+b=3
두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=2
∴ aÛ`+bÛ`=5
에 의하여
a+b=-
, ab=
;aB;
;aC;
의 관계에 의하여
(a+b)+ab=
, ab(a+b)=
;aB;
;aC;
㉠을 ㉡에 대입하면
(a+b)+ab=-(a+b)
ab(a+b)=ab
∴ aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab
=1Û`-2´(-2)=5
a+0, b+0
즉, ab+0이므로 ㉣에서 a+b=1
의 값을 대입한다.
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=2m, ab=10-4mÛ``
aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=28에서
(2m)Û`-2(10-4mÛ`)=28
12mÛ`-20=28, mÛ`=4
∴ m=2 (∵ m>0)
0457
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=2k+1, ab=k-4``
056 | II . 방정식과 부등식
(a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab=21에서
5
(2k+1)Û`-4(4k-1)=21
4kÛ`+4k+1-16k+4=21, 4kÛ`-12k-16=0
kÛ`-3k-4=0, (k+1)(k-4)=0
∴ k=4 (∵ k는 자연수)
4
yy`㉠
0459
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-2k, ab=kÛ`-2k+2
|a|+|b|=2
2의 양변을 제곱하면
'
|a|Û`+2|a||b|+|b|Û`=8
yy`㉡
yy`㉢
yy`㉣
①
aÛ`+bÛ`+2|ab|=8에서 (a+b)Û`-2ab+2|ab|=8이므로
(-2k)Û`-2(kÛ`-2k+2)+2|kÛ`-2k+2|=8
이때, kÛ`-2k+2=(k-1)Û`+1>0이므로
(-2k)Û`-2(kÛ`-2k+2)+2(kÛ`-2k+2)=8
(-2k)Û`=8, 4kÛ`=8, kÛ`=2
∴ k=
2 (∵ k>0)
'
0460
|전략| 주어진 이차방정식의 두 근의 비가 2`:`3이므로 두 근을 2a, 3a로 놓는다.
주어진 방정식의 두 근을 2a, 3a (a+0)라 하면 근과 계수의 관계에
의하여
2a+3a=10k
2a´3a=-kÛ`+1
㉠에서 a=2k이므로 ㉡에 대입하면
6´(2k)Û`=-kÛ`+1, 25kÛ`=1
kÛ`=
;2Á5;
∴ k=
(∵ k>0)
;5!;
0461
주어진 방정식의 두 근을 a, a+3이라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
②
a+(a+3)=2k+1
a(a+3)=kÛ`
㉠에서 a=k-1이므로 ㉡에 대입하면
(k-1)(k+2)=kÛ`, kÛ`+k-2=kÛ`, k-2=0
∴ k=2
-1
②
yy ㉠
yy ㉡
①
yy ㉠
yy ㉡
2
정답과 해설 다른 풀이 주어진 방정식의 두 근을 a, b(a>b)라 하면
a-b=3
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=2k+1, ab=kÛ`
3Û`=(2k+1)Û`-4kÛ`
4k=8
∴ k=2
이때, (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab이므로
0462
주어진 방정식의 두 근을 a, a+1 (a는 정수)이라 하면 근과 계수의 관
계에 의하여
a+(a+1)=a
a(a+1)=a+11
㉠에서 a=2a+1이므로 ㉡에 대입하면
aÛ`+a=2a+12, aÛ`-a-12=0
(a+3)(a-4)=0
∴ a=-3 또는 a=4
Ú a=-3일 때, a=-5
Û a=4일 때, a=9
Ú, Û에서 a는 양수이므로 a=9
0465
|전략| 두 수 a, b를 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은
xÛ`-(a+b)x+ab=0이다.
이차방정식 xÛ`+2x+3=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계
에 의하여
a+b=-2, ab=3
이때, aÛ`, bÛ`을 두 근으로 하는 이차방정식에 대하여
(두 근의 합) =aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab
=(-2)Û`-2´3=-2
(두 근의 곱)=aÛ`´bÛ`=(ab)Û`=3Û`=9
따라서 구하는 이차방정식은 xÛ`+2x+9=0
④
yy ㉠
yy ㉡
0466
이차방정식 xÛ`-ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계
에 의하여
a+b=a, ab=b
1
a
1
b
이때,
,
을 두 근으로 하는 이차방정식에 대하여
②
(두 근의 합)=
+
=
1
a
1
a
1
b
1
b
a+b
ab
=
;bA;
1
ab
=
;b!;
(두 근의 곱)=
´
=
따라서 구하는 이차방정식은 xÛ`-
x+
=0, 즉 bxÛ`-ax+1=0
;bA;
;b!;
⑤
0463
주어진 방정식의 두 근을 a, 4a (a+0)라 하면 근과 계수의 관계에 의
하여
a+4a=5(k-1)
a´4a=-16k
㉠에서 a=k-1이므로 ㉡에 대입하면
4(k-1)Û`=-16k, (k-1)Û`=-4k, kÛ`+2k+1=0
(k+1)Û`=0
∴ k=-1
이다.
yy ㉠
yy ㉡
0464
근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱이 -18<0이므로 두 근의 부
호는 서로 다르다.
0467
APÓ, BPÓ의 길이를 두 근으로 하는 이차방정식에 대하여
②
(두 근의 합)=APÓ+BPÓ=ABÓ=22
(두 근의 곱)=APÓ´BPÓ=CPÓ´DPÓ=8´12=96
따라서 구하는 이차방정식은 xÛ`-22x+96=0이다.
주어진 방정식의 두 근을 a, -2a라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
원에서의 비례 관계
a+(-2a)=-(k-5)
∴ a=k-5
yy ㉠
한 원에서 두 현 AB와 CD가 만나는 점을 P라 하면
⇨ PAÓ´PBÓ=PCÓ´PDÓ
xÛ`-22x+96=0
P
A
C
D
B
Ú, Û에서 k=8 또는 k=2이므로 모든 실수 k의 값의 합은
a´(-2a)=-18, aÛ`=9
∴ a=-3 또는 a=3
Ú a=3일 때, ㉠에 대입하면 k=8
Û a=-3일 때, ㉠에 대입하면 k=2
8+2=10
채점 기준
❶ a의 값을 구할 수 있다.
❷ k의 값을 구할 수 있다.
❸ 모든 실수 k의 값의 합을 구할 수 있다.
… ❶
… ❷
… ❸
10
비율
50 %
30 %
20 %
0468
이차방정식 xÛ`-3x-2=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계
에 의하여
a+b=3, ab=-2
, b+ 1
이때, a+ 1
a
b
을 두 근으로 하는 이차방정식에 대하여
5 이차방정식 | 057
5ㅡ이차방정식 0471
|전략| 잘못된 근의 공식을 이용하여 두 근의 곱을 a, c에 대한 식으로 나타내어
본다.
이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 근의 공식을 x= -bÑ
bÛ`-ac
로
"Ã
2a
잘못 적용하여 얻은 두 근이 -1, 6이므로
´ -b-
bÛ`-ac
bÛ`-ac
-b+
"Ã
2a
"Ã
2a
= bÛ`-(bÛ`-ac)
4aÛ`
= ac
4aÛ`
= c
4a
=-6
이때, 방정식에서 원래의 두 근의 곱은
이므로
;aC;
=-6에서
c
4a
따라서 이 이차방정식의 원래의 두 근의 곱은 -24이다. -24
=-24
;aC;
다른 풀이 근의 공식에서
bÛ`-4ac를
"Ã
"Ã
bÛ`-ac로 잘못 적용하였다는 것
c로 잘못 대입한 것과 같다.
은 c의 값을 ;4!;
-1, 6을 두 근으로 하고, xÛ`의 계수가 a인 이차방정식은
a(x+1)(x-6)=0, axÛ`-5ax-6a=0
이때, -6a 대신에 (-6a)´4를 대입하면 원래의 방정식의 상수항이 된다.
즉, 원래의 방정식은 axÛ
Û`-5ax-24a=0
따라서 이 이차방정식의 원래의 두 근의 곱은
-24a
a
=-24
0472
|전략| 이차방정식 f(x)=0의 두 근을 a, b라 하면 f(2x+1)=0의 근은
2x+1=a, 2x+1=b를 만족시키는 x의 값이 된다.
이차방정식 f(x)=0의 두 근을 a, b라 하면 a+b=3
f(a)=0, f(b)=0이므로 f(2x+1)=0이려면
2x+1=a 또는 2x+1=b
∴ x=
또는 x=
a-1
2
b-1
2
-11
따라서 이차방정식 f(2x+1)=0의 두 근의 합은
a-1
2
+
b-1
2
=
a+b-2
2
= 3-2
2
=
;2!;
;2!;
{
{
(두 근의 합)=
a+
1
b }
+
b+
{
1
a }
=a+b+
a+b
ab
(두 근의 합)=3+
3
-2
=
;2#;
(두 근의 곱)=
a+
b+
=ab+2+
1
b }{
1
a }
1
ab
(두 근의 합)=-2+2+
1
-2
=-
;2!;
따라서 구하는 이차방정식은 2
xÛ`-
x-
=0,
{
;2#;
;2!;}
즉 2xÛ`-3x-1=0이다.
2xÛ`-3x-1=0
0469
이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 근이 2, a이므로 근과 계수의 관계
이차방정식 xÛ`+(b-1)x+2a+3=0의 두 근이 -1, b이므로 근
yy`㉠
에 의하여
2+a=-a, 2a=b
과 계수의 관계에 의하여
-1+b=-(b-1), -b=2a+3
yy`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
-1+b=-(2a-1), -b=2(-2-a)+3
∴ 2a+b=2, -2a+b=1
두 식을 연립하여 풀면 a=
, b=
;4!;
;2#;
따라서 a, b, 즉
을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 8인 이차방정
,
;4!;
;2#;
식은
xÛ`-
8
[
+
x+
´
;4!;
;2#;]
;2#;}
{;4!;
=0
8
xÛ`-
x+
=0, 8xÛ`-14x+3=0
{
;4&;
;8#;}
이므로 m=-14, n=3
∴ m+n=-11
0470
|전략| 대한이는 이차항의 계수와 상수항을, 민국이는 이차항의 계수와 일차항의
계수를 바르게 보았다.
대한이는 방정식의 xÛ`의 계수와 상수항을 바르게 보고 풀었으므로
(두 근의 곱)=
=(1+
6)(1-
6)=-5
;aC;
'
'
으므로
(두 근의 합)=-
=
+1=
;aB;
;3!;
;3$;
따라서 주어진 이차방정식은
a
xÛ`-
x-5
=0,
(3xÛ`-4x-15)=0
{
;3$;
}
;3A;
(3x+5)(x-3)=0
;3A;
∴ x=-
또는 x=3
;3%;
058 | II . 방정식과 부등식
또한, 민국이는 방정식의 xÛ`의 계수와 x의 계수를 바르게 보고 풀었
이때, 선택지의 각 식의 좌변에 x=-1을 대입하여 f(-1)=0을 만
족하는 것을 찾으면 ⑤이다.
⑤
0473
방정식 f(x)=0이 -1을 근으로 가지므로 f(-1)=0
0474
이차방정식 f(x)=0의 두 근을 a, b라 하면 ab=4
f(a)=0, f(b)=0이므로 f(2x)=0이려면
x=-
;3%; 또는 x=3
2x=a 또는 2x=b
∴ x=
또는 x=
a
2
b
2
정답과 해설 따라서 이차방정식 f(2x)=0의 두 근의 곱은
0478
a
2
´
b
2
=
ab
4
=
=1
;4$;
0475
이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이므로
f(a)=0, f(b)=0
즉, f(2x-2)=0이려면
2x-2=a 또는 2x-2=b
∴ x=
또는 x=
a+2
2
b+2
2
(cid:9000) ①
1
2-1
=
2+1
'
2-1)(
2+1)
=
2+1
'
(
'
'
계수가 유리수인 이차방정식 xÛ`+2ax+b=0의 한 근이 1+
'
다른 한 근은 1-
2이다.
'
이때, 근과 계수의 관계에 의하여
(1+
2)+(1-
2)=-2a
∴ a=-1
(1+
2)(1-
∴ b=-1
'
'
'
2)=b
'
따라서 이차방정식 xÛ`+bx+a=0, 즉 xÛ`-x-1=0의 근은
-(-1)Ñ
(-1)Û`-4´1´(-1)
"Ã
2
=
5
1Ñ
'
2
… ❶
2이면
'
… ❷
… ❸
… ❹
비율
20 %
30 %
30 %
20 %
(cid:9000) x=
5
1Ñ
'
2
x=
채점 기준
❶
1
2-1
'
(cid:9000) 3
의 분모를 유리화할 수 있다.
❷ 켤레근의 성질을 이용하여 다른 한 근을 구할 수 있다.
❸ 근과 계수의 관계를 이용하여 a, b의 값을 구할 수 있다.
❹ 이차방정식 xÛ`+bx+a=0의 근을 구할 수 있다.
0479
계수가 실수인 이차방정식 xÛ`+mx+n=0의 한 근이 -1+2i이면
다른 한 근은 -1-2i이다.
이때, 근과 계수의 관계에 의하여
(-1+2i)+(-1-2i)=-m
∴ m=2
(-1+2i)(-1-2i)=n
∴
1
m
+ 1
n
=
+
;2!;
;5!;
=
;1¦0;
∴ n=5
´ 1
n
1
m
=
,
´
;2!;
;5!;
=
;1Á0;
,
1
1
m
n
+ 1
따라서
을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은
xÛ`-
1
m
{
x+ 1
m
´ 1
n
n }
=0에서 xÛ`-
x+
=0이므로
;1¦0;
;1Á0;
(cid:9000) 1
a=-
, b=
;1Á0;
;1¦0;
∴ 5(a+b)=5
-
+
=-3
{
;1¦0;
;1Á0;}
(cid:9000) ③
내신 마스터
내신 마스터
STEP3
0480
유형 01 이차방정식의 풀이
|전략| 이차항의 계수를 유리화한 후 주어진 이차방정식의 해를 구한다.
주어진 방정식의 양변에
2를 곱하면
'
6)x-
'
6=0
2´
3=0
'
2´2
'
'
4xÛ`+(2
2xÛ`+
2(2-
'
2-2
'
3)x-
'
'
3)(2x+
'
2)=0
'
(2x-
'
3
∴`x= '
2
2
또는 x=- '
2
5ㅡ
이
차
방
정
식
5 이차방정식 | 059
따라서 이차방정식 f(2x-2)=0의 두 근의 곱은
a+2
2
´
b+2
2
=
ab+2(a+b)+4
4
= 4+2´2+4
4
=3
(∵ a+b=2, ab=4)
로 f(x)=a(xÛ`-2x+4)이다.
∴ f(2x-2) =a{(2x-2)Û`-2(2x-2)+4}
=a(4xÛ`-12x+12)
따라서 이차방정식 f(2x-2)=0의 두 근의 곱은
12a
4a
=3
다른 풀이 이차방정식 f(x)=0의 두 근의 합이 2, 두 근의 곱이 4이므
0476
|전략| 먼저 주어진 근의 분모를 실수화한 후 이차방정식의 켤레근의 성질을 이
용한다.
= (1+i)Û`
1+i
1-i
계수가 실수인 이차방정식 xÛ`+ax+b=0에서 한 근이 i이면 다른
(1-i)(1+i)
= 2i
2
=i
한 근은 -i이다.
이때, 근과 계수의 관계에 의하여
i+(-i)=-a
∴`a=0
i´(-i)=b
∴`b=1
∴`a+b=1
다른 풀이
=i이므로 주어진 이차방정식에 대입하면
1+i
1-i
iÛ`+ai+b=0, (b-1)+ai=0
a, b가 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여
b-1=0, a=0
∴`a=0, b=1
∴`a+b=1
0477
계수가 실수인 이차방정식 xÛ`-ax+4b=0에서 한 근이 2+ai이면
다른 한 근은 2-ai이다.
이때, 근과 계수의 관계에 의하여
(2+ai)+(2-ai)=a
∴ a=4
(2+ai)(2-ai)=4b
즉, 4+aÛ`=4b에서 4+4Û`=4b
∴ b=5
∴ a+b=9
(cid:9000) ⑤
3
따라서 a= '
2
2
, b=- '
2
이므로
2aÛ`-bÛ`=
-
=1
;2#;
;2!;
0481
유형 02 이차방정식의 한 근이 주어질 때 미정계수 구하기
|전략| x=1을 주어진 이차방정식에 대입한다.
이차방정식 xÛ`-(a+5)x+aÛ`-2a=0의 한 근이 1이므로
1-(a+5)+aÛ`-2a=0
aÛ`-3a-4=0, (a+1)(a-4)=0
∴ a=4 (∵ a>0)
a=4를 주어진 방정식에 대입하면
xÛ`-9x+8=0, (x-1)(x-8)=0
∴ x=1 또는 x=8
따라서 다른 한 근은 8이므로 a=8
∴ a+a=12
유형 02 이차방정식의 한 근이 주어질 때 미정계수 구하기
|전략| x=a, x=b를 주어진 식에 각각 대입한 후 식을 변형하거나 양변을 b로
xÛ`-3x+1=0의 한 근이 a이므로 aÛ`-3a+1=0
∴ aÛ`=3a-1
xÛ`-ax+1=0의 한 근이 b이므로 bÛ`-ab+1=0
이때, b+0이므로 양변을 b로 나누면
b-a+ 1
b
b+ 1
∴ b+ 1
b
-aÛ`=3a-(3a-1)=1
=a
=0
∴ 3
{
b }
0482
나눈다.
0483
유형 04 가우스 기호를 포함한 이차방정식의 풀이
|전략| 정수 n에 대하여 nÉx0이므로 x=10
0485
⑤
yy`㉠
yy`㉡
⑤
유형 06 판별식을 이용한 이차방정식의 근의 판별
|전략| 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, 이차방정식이 중근을 가질 조건은
D=0, 허근을 가질 조건은 D<0이다.
④
이차방정식 xÛ`-2(a+2)x+2aÛ`-1=0의 판별식을 DÁ이라 하면
DÁ
4
=(a+2)Û`-(2aÛ`-1)=0
aÛ`+4a+4-2aÛ`+1=0, -aÛ`+4a+5=0
aÛ`-4a-5=0, (a+1)(a-5)=0
∴ a=-1 또는 a=5
이차방정식 xÛ`+2x+2a+1=0의 판별식을 Dª라 하면
=1Û`-(2a+1)<0, -2a<0
Dª
4
∴ a>0
㉠, ㉡에서 a=5
④
0486
유형 06 판별식을 이용한 이차방정식의 근의 판별
|전략| 이차방정식이 m의 값에 관계없이 중근을 가지면 이차방정식의 판별식
D=0은 m에 대한 항등식이다.
이차방정식 xÛ`-2(m-a+1)x+mÛ`+aÛ`-2b=0의 판별식을 D라
=(m-a+1)Û`-(mÛ`+aÛ`-2b)=0
mÛ`+aÛ`+1-2am-2a+2m-mÛ`-aÛ`+2b=0
-2am+2m-2a+2b+1=0
(-2a+2)m-2a+2b+1=0
이 식이 m의 값에 관계없이 항상 성립하므로
-2a+2=0, -2a+2b+1=0
따라서 a=1, b=
이므로
=2
;2!;
;bA;
③
하면
D
4
0487
Ú, Û, Ü에서 주어진 방정식의 근은 x=
3 또는 x=2이므로
'
유형 08 이차식이 완전제곱식이 될 조건
|전략| 이차식 axÛ`+bx+c가 완전제곱식이면 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의
②
판별식 D=0이므로 a, b, c 사이의 관계를 알아본다.
Ú 0cÛ` ⇨ △ABC는 예각삼각형
⑶ aÛ`+bÛ`=cÛ` ⇨ △ABC는 직각삼각형
⑷ aÛ`+bÛ`0이므로
a<0, b<0
유형 14 두 근의 조건이 주어진 이차방정식
|전략| 주어진 이차방정식의 두 근의 절댓값의 비가 1`:`2이고, 두 근의 부호가 서
로 다르므로 두 근을 a, -2a로 놓는다.
근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱이 -
<0 (∵ m은 자연수)
;m^;;
이므로 두 근의 부호는 서로 다르다.
5 이차방정식 | 061
5ㅡ이차방정식 주어진 방정식의 두 근을 a, -2a라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
a+(-2a)=- 2m-3
∴ a= 2m-3
m
a´(-2a)=-
즉,
{
2m-3
2
m }
;m^;;
= 3
m
m
∴ aÛ`= 3
m
이므로
4mÛ`-12m+9=3m,4mÛ`-15m+9=0
(4m-3)(m-3)=0
∴ m=
또는 m=3
;4#;
따라서 자연수 m의 값은 3이다.
0493
유형 17 이차방정식 f(x)=0과 f(ax+b)=0의 관계
|전략| 이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이므로 f(4x-3)=0의 근은
4x-3=a, 4x-3=b를 만족시키는 x의 값이 된다.
이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이므로
f(a)=0, f(b)=0
즉, f(4x-3)=0이려면
4x-3=a 또는 4x-3=b
∴ x=
또는 x=
a+3
4
b+3
4
따라서 이차방정식 f(4x-3)=0의 두 근의 합은
a+3
4
+
b+3
4
=
a+b+6
4
(∵ a+b=-2)
= -2+6
4
=1
0494
를 나눈다.
유형 03 절댓값 기호를 포함한 이차방정식의 풀이
|전략| 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 기준으로 x의 값의 범위
x-1)Û`=|x-1|이므로 xÛ`+|x+1|=|x-1|-1
(
"
Ú x<-1일 때, xÛ`-(x+1)=-(x-1)-1
xÛ`=1
∴ x=Ñ1
그런데 x<-1이므로 해가 없다.
Û -1Éx<1일 때, xÛ`+x+1=-(x-1)-1
xÛ`+2x+1=0, (x+1)Û`=0
∴ x=-1
Ü x¾1일 때, xÛ`+x+1=x-1-1
xÛ`=-3이므로 해가 없다.
Ú, Û, Ü에서 주어진 방정식의 근은 x=-1
④
… ❶
… ❷
… ❸
… ❹
배점
2점
2점
2점
1점
채점 기준
❶ x<-1일 때 x의 값을 구할 수 있다.
❷ -1Éx<1일 때 x의 값을 구할 수 있다.
❸ x¾1일 때 x의 값을 구할 수 있다.
❹ x의 값을 구할 수 있다.
062 | II . 방정식과 부등식
유형 07 계수가 문자인 이차방정식의 근의 판별
|전략| 두 이차방정식의 판별식을 각각 DÁ, Dª라 하면 DÁ=0일 때, Dª의 부호
이차방정식 xÛ`-2ax+bÛ`+1=0이 중근을 가지므로 판별식을 DÁ이
=(-a)Û`-(bÛ`+1)=0
∴ aÛ`=bÛ`+1
yy ㉠
… ❶
③
이차방정식 xÛ`+4ax+2b+1=0의 판별식을 Dª라 하면
=(2a)Û`-(2b+1)=4aÛ`-2b-1
=4(bÛ`+1)-2b-1 (∵ ㉠)
=4bÛ`-2b+3
=4
b-
{
;4!;}
+
>0
{
∵
{
b-
;4!;}
:Á4Á:
¾0
}
따라서 이차방정식 xÛ`+4ax+2b+1=0은 서로 다른 두 실근을 갖
2`
2`
0495
를 조사한다.
라 하면
DÁ
4
Dª
4
는다.
채점 기준
서로 다른 두 실근
… ❷
… ❸
배점
2점
3점
1점
❶ a, b 사이의 관계식을 구할 수 있다.
❷ 이차방정식 xÛ`+4ax+2b+1=0의 판별식의 부호를 조사할 수 있다.
❸ 이차방정식 xÛ`+4ax+2b+1=0의 근을 판별할 수 있다.
0496
한다.
유형 10 근과 계수의 관계를 이용하여 식의 값 구하기 + 18 이차방정식의 켤레근
|전략| 이차방정식의 켤레근의 성질을 이용하여 a, b의 값을 구하고,
xÛ`+bx+a=0에서 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 차의 제곱의 값을 구
계수가 유리수인 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 한 근이 2-
2이면
'
다른 한 근은 2+
2이다.
'
이때, 근과 계수의 관계에 의하여
(2-
2)+(2+
2)=-a ∴ a=-4
'
'
(2-
2)(2+
'
'
2)=b ∴ b=2
b라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-2, ab=-4
∴ (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab
=(-2)Û`-4´(-4)=20
따라서 이차방정식 xÛ`+bx+a=0, 즉 xÛ`+2x-4=0의 두 근을 a,
… ❶
… ❷
… ❸
20
배점
2점
2점
2점
x=-1
채점 기준
❶ a, b의 값을 구할 수 있다.
할 수 있다.
❷ xÛ`+bx+a=0에서 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 합과 곱을 구
❸ xÛ`+bx+a=0의 두 근의 차의 제곱의 값을 구할 수 있다.
정답과 해설Ã
0497
유형 15 이차방정식의 작성
|전략| 두 수 a, b를 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은
xÛ`-(a+b)x+ab=0이다.
창의·융합 교과서 속 심화문제
0499
|전략| BPÓ=x라 하고 합동인 두 삼각형을 찾아 피타고라스 정리를 이용한다.
⑴ 이차방정식 xÛ`+3x+4=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관
△ABP와 △ADQ에서
A
1
D
x
Q
1-x
B
x
P
1-x
C
계에 의하여
a+b=-3, ab=4
⑵
b
a+1
,
a
b+1
⑵ (두 근의 합)=
⑵ (두 근의 합)=
를 두 근으로 하는 이차방정식에 대하여
b(b+1)+a(a+1)
(a+1)(b+1)
(a+b)Û`-2ab+a+b
ab+a+b+1
=
+
a
b
a+1
b+1
aÛ`+bÛ`+a+b
ab+a+b+1
(-3)Û`-2´4+(-3)
4+(-3)+1
=
⑵ (두 근의 합)=
=-1
⑵ (두 근의 곱)=
b
a+1
´
a
b+1
=
ab
ab+a+b+1
⑵ (두 근의 합)=
4
4+(-3)+1
=2
를 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은
ABÓ=ADÓ, APÓ=AQÓ,
∠B=∠D=90ù
∴ △ABPª△ADQ`(RHS 합동)
BPÓ=DQÓ=x라 하면
CPÓ=CQÓ=1-x
삼각형 APQ가 정삼각형이므로
APÓ=PQÓ, 즉 `APÓ Û`=PQÓ Û`에서
1+xÛ`=(1-x)Û`+(1-x)Û`
xÛ`-4x+1=0
∴ x=2Ñ
3
이때, 01
;aC;
풀이 참조
배점
4점
6점
2점
⑶
b
a+1
,
a
b+1
⑶ xÛ`+x+2=0
채점 기준
따라서 선분 BP의 길이는 2-
3이다.
④
0500
|전략| 두 이차방정식의 판별식을 이용하여 ㄱ, ㄴ, ㄷ의 참, 거짓을 따져 본다.
ㄱ. b=a+c이므로 이차방정식 axÛ`+bx+c=0에 대입하면
ㄱ. axÛ`+(a+c)x+c=0, (ax+c)(x+1)=0
ㄱ. 즉, 이차방정식 axÛ`+bx+c=0이 -1보다 작은 실근을 갖는다.
ㄴ. 이차방정식 axÛ`+2bx+c=0이 허근을 가지므로 판별식을 DÁ이
라 하면
DÁ
4
ㄱ.
=bÛ`-ac<0
0498
ㄱ. 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 판별식을 Dª라 하면
유형 16 잘못 보고 푼 이차방정식
|전략| 갑은 xÛ`의 계수와 상수항을, 을은 xÛ`의 계수와 x의 계수를 바르게 보았다.
ㄱ. Dª=bÛ`-4ac
ㄱ. 이때, 00
⑴ 갑은 방정식의 xÛ`의 계수와 상수항을 바르게 보고 풀었으므로
ㄱ. 즉, Dª=bÛ`-4acy일 때와 xy일 때
x∨y=x이므로 2xÛ
`
+yÛ
x∧y=y이므로 2xÛ
`
+yÛ
`
=x
`
-1=y
㉠-㉡을 하면
x-y=1
∴ y=x-1
이것을 ㉠에 대입하면
`
`
`
D=(-3)Û
`
x는 존재하지 않는다.
Û xx-y이므로
B
y
x
A
2
D
6
C
x+y
x-y
8
4
16
2
32
1
에서 x=6, y=2
에서 x=9, y=7
x+y=8
x-y=4
x+y=16
x-y=2
x+y=32
x-y=1
[
[
[
에서 x=
, y=
:£2£:
:£2Á:
∴
[
x=6
y=2
또는
[
x=9
y=7
(∵ x, y는 자연수)
따라서 ABCD의 둘레의 길이의 최댓값은
1
2+6+x+y=2+6+9+7=24
24
정답과 해설 8 연립일차부등식
본책 120~137쪽
개념 마스터
STEP1
0739 -53
0741 xÉ2
0742 -2 x-5
3
x-1
7
à
㉠에서 x>5
x>-6
x>-6
따라서 주어진 연립부등식의 해는
0753 x=1
0754 해가 없다.
0755 해가 없다.
0756 해가 없다.
따라서 주어진 연립부등식의 해는
0746
x+4¾3
2xÉ10
[
㉠에서 x¾-1
㉡에서 xÉ5
-1ÉxÉ5
0747
2x+7>1
3x-1É2
[
㉠에서 x>-3
㉡에서 xÉ1
-33x-3
[
㉠에서 x¾-3
㉡에서 x>-2
㉡의 양변에 21을 곱하면
3x-3>7x-35
∴ x<8
따라서 주어진 연립부등식의 해는
yy ㉠
yy ㉡
5-6
따라서 주어진 연립부등식의 해는
㉡
㉡
㉡
㉠
-1
5
x
-1ÉxÉ5
yy ㉠
yy ㉡
㉠
-3
1
x
-35
2x-11<-13
[
㉠에서 x>1
㉡에서 x<-1
따라서 주어진 연립부등식의 해는
xÉ-4
따라서 주어진 연립부등식의 해는
yy ㉠
yy ㉡
㉡
㉠
5
8
x
5-2
x>-2
따라서 주어진 연립부등식은 해가 없다.
해가 없다.
8ㅡ연립일차부등식 정답과 해설
0759
주어진 부등식에서
-2Éx+3
x+3<2
[
㉠에서 x¾-5
㉡에서 x<-1
0760
주어진 부등식에서
2x-3É3x+1
3x+1Éx+9
[
㉠에서 x¾-4
㉡에서 xÉ4
따라서 주어진 부등식의 해는
-5Éx<-1
따라서 주어진 부등식의 해는
-4ÉxÉ4
유형 마스터
유형 마스터
1
STEP2
0761
5(x+1)¾x+9
x+3É3(x-1)+2
[
㉠에서 5x+5¾x+9
∴ x¾1
㉡에서 x+3É3x-1
∴ x¾2
따라서 주어진 연립부등식의 해는
0764
4x-(-5-9x)<3x+8
5(x+1)¾x+1
[
㉠에서 4x+5+9x<3x+8
yy ㉠
yy ㉡
㉠
10x<3
∴ x<
;1£0;
-5 -1
x
㉡에서 5x+5¾x+1
∴ x¾-1
-5Éx<-1
따라서 주어진 연립부등식의 해는
-1Éx<
이므로
;1£0;
M=0, m=-1
∴ M-m=1
yy ㉠
yy ㉡
㉠
0765
-4
4
x
-4ÉxÉ4
x-2
3
-
5x-3
4
<1
0.5(x-1)+0.8¾0.2(x+3)
㉡
㉡
|전략| 양변에 적당한 수를 곱하여 계수를 정수로 만든 다음 부등식을 푼다.
à
㉠에서 4(x-2)-3(5x-3)<12, 4x-8-15x+9<12
-11x<11
∴ x>-1
㉡에서 5(x-1)+8¾2(x+3), 5x-5+8¾2x+6
3x¾3
∴ x¾1
따라서 주어진 연립부등식의 해는
-1
1
x
㉡
㉠
⑤
-2
1
-2
2
-
:Á6£:
㉡에서 4(x-1)-3(x+1)É2
4x-4-3x-3É2
∴ xÉ9
따라서 주어진 연립부등식의 해는
x¾1
0766
-
:Á6£:
이다.
0767
;2#;
'
yy ㉠
yy ㉡
㉡
㉠
1
2
x
x¾2
x
x
③
yy ㉠
yy ㉡
㉠
⑤
x-2.13에서 x>5
2x-6<14에서 x<10
따라서 연립부등식의 해는
5-11
㉡에서 9x+15<6x+6
∴ x<-3
④ 5+2x>-(8-5x)+1에서 5+2x>-8+5x+1
-3x>-12
∴ x<4
5-2(x+2)¾3x-1에서 5-2x-4¾3x-1
따라서 주어진 부등식의 해는
-11
;3&;
따라서 연립부등식의 해는
7x
3(1-x)
2
É-(x+1)
à
㉠에서 2x+10>7x
∴ x<2
㉡에서 3(1-x)É-2(x+1)
3-3xÉ-2x-2
∴ x¾5
2
5
7
3
4
x
3
x
③
yy ㉠
yy ㉡
㉡에서 3x-4É2x+2
∴ xÉ6
따라서 주어진 부등식의 해는
㉡
0772
주어진 부등식에서
4-xÉ3x-4
3x-4É2(x+1)
[
㉠에서 x¾2
2ÉxÉ6이므로
a=2, b=6
∴ a+b=8
0773
주어진 부등식에서
1-
2(1-x)
3
<
3x+5
4
3x+5
4
<
1-x
2
-2
à
㉠에서 12-8(1-x)<3(3x+5)
12-8+8x<9x+15
∴ x>-11
㉡에서 3x+5<2(1-x)-8
따라서 주어진 부등식의 해를 수직선 위에 나타내면 ④와 같다.
④
3x+5<2-2x-8
∴ x<-
:Á5Á:
yy ㉠
yy ㉡
㉡
1
x
x=1
yy ㉠
yy ㉡
㉠
④
yy ㉠
yy ㉡
2
6
x
㉠
8
yy ㉠
yy ㉡
8 연립일차부등식 | 101
8ㅡ연립일차부등식 따라서 주어진 부등식의 해는
㉡
주어진 연립부등식의 해가 5ÉxÉ12이므로
㉠
x
-11
-
11
5
4a=12,
=5
∴ a=3, b=-7
a-b
2
∴ ab=-21
7
채점 기준
❶ 주어진 부등식을 연립부등식으로 나타낼 수 있다.
❷ ㉠의 해를 구할 수 있다.
❸ ㉡의 해를 구할 수 있다.
❹ ab의 값을 구할 수 있다.
-11-7
㉡에서 x<1
따라서 주어진 부등식의 해는
㉡
-7
4-a
2
2x-3<17-3x에서 x<4
주어진 연립부등식의 해가 -1-3에서 x>a-3
주어진 연립부등식의 해가 없으려면 오른
쪽 그림에서
a-3¾2
∴ a¾5
-9
2
'
2
a-3
x
⑤
yy ㉠
yy ㉡
… ❶
… ❷
… ❸
0780
주어진 부등식에서
3x+13x+1에서 2x-6>3x+1
-x>7
∴ x<-7
주어진 연립부등식이 해를 가지려면 오
른쪽 그림에서
3a-2<-7, 3a<-5
∴ a<-
;3%;
따라서 정수 a의 최댓값은 -2이다.
실수 a의 값의 범위를 구한다.
3x+1É7에서 xÉ2
2x+a>x+4에서 x>4-a
이때, 연립부등식을 만족시키는 정수 x
가 2개이려면 오른쪽 그림에서
0É4-a<1, -4É-a<-3
∴ 30이면 px-1
-4
x
a+1
2
aÉ-9
㉡에서 2xÉa-4
∴ xÉ
a-4
2
3
4
x
a-10
2
yy ㉠
yy ㉡
따라서 a의 값이 될 수 있는 것은 ④이다.
④
이때, 연립부등식을 만족시키는 정수 x
가 2개이려면 오른쪽 그림에서
<2, 2Éa-4<4
1É
a-4
2
∴ 6Éa<8
-1
0
2 x
1
a-4
2
따라서 a의 최솟값은 6이다.
6
¾
+
;6{;+;3A;
;3!;
;2{;
2(x+1)>3x+a
à
㉠에서 3x+2¾x+2a
∴ x¾a-1
㉡에서 2x+2>3x+a
∴ x<2-a
이때, 연립부등식을 만족시키는 정수 x
가 0과 1뿐이려면 오른쪽 그림에서
Ú -110-x
[
㉠에서 100x+4000É4600
∴ xÉ6
㉡에서 2x>10
∴ x>5
∴ 515-x
[
㉠에서 12000É200x+10500<12500
1500É200x<2000
∴
Éx<10
:Á2°:
:Á2°:
㉡에서 2x>15
∴ x>
∴
:Á2°:
20x
180<25x
[
㉠에서 x<9
㉡에서 x>
:£5¤:
∴
:£5¤:
;2!;
x>
;2!;
0808
|x-2|<3x에서
Ú x<2일 때, -(x-2)<3x
-4x<-2
∴ x>
;2!;
그런데 x<2이므로
-1
그런데 x¾2이므로 x¾2
0809
1É|4x+5|É7에서
-7É4x+5É-1 또는 1É4x+5É7
Ú -7É4x+5É-1에서 -12É4xÉ-6
∴ -3ÉxÉ-
;2#;
Û 1É4x+5É7에서 -4É4xÉ2
∴ -1ÉxÉ
;2!;
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉠
yy ㉡
0802
상자의 개수를 x라 하면 볼펜은 (5x+4)개이므로
6(x-3)+1É5x+4É6(x-3)+6
즉,
6(x-3)+1É5x+4
5x+4É6(x-3)+6
[
㉠에서 6x-17É5x+4
∴ xÉ21
㉡에서 5x+4É6x-12
∴ x¾16
∴ 16ÉxÉ21
따라서 상자는 최대 21개이다.
0803
승용차의 수를 x라 하면 사람은 (4x+16)명이므로
5(x-4)+1É4x+16É5(x-4)+5
즉,
5(x-4)+1É4x+16
4x+16É5(x-4)+5
[
㉠에서 5x-19É4x+16
∴ xÉ35
㉡에서 4x+16É5x-15
∴ x¾31
∴ 31ÉxÉ35
0804
학생 수를 x라 하면 사탕은 (5x+12)개이므로
7(x-1)+1É5x+12<7(x-1)+5
즉,
7(x-1)+1É5x+12
5x+12<7(x-1)+5
[
㉠에서 7x-6É5x+12
∴ xÉ9
㉡에서 5x+12<7x-2
∴ x>7
∴ 7-2
그런데 x<-1이므로 -20, x-2¾0이므로 주어진 부등식은
x+1+(x-2)<5
2x<6
∴ x<3
그런데 x¾2이므로 2Éx<3
⑷ ⑴, ⑵, ⑶에서 주어진 부등식의 해는 -20에서 k> ㈏ -2
0811
|2x-1|-|x|<3에서
Ú x<0이면 2x-1<0, x<0이므로 주어진 부등식은
-(2x-1)-(-x)<3, -2x+1+x<3
-x<2
∴ x>-2
그런데 x<0이므로 -2-
;3@;
그런데 0Éx<
이므로 0Éx<
;2!;
;2!;
Ü x¾
이면 2x-1¾0, x>0이므로 주어진 방정식은
;2!;
2x-1-x<3
∴ x<4
그런데 x¾
이므로
Éx<4
;2!;
;2!;
Ú, Û, Ü에서 -20
Ü ab=2k-1>0
∴ k>
;2!;
Ú, Û, Ü에서
0
∴ k>0
Ú, Û, Ü에서 0-1이다.
Ú, Û, Ü에서 ㈐ -20) 꼴의 부등식은 -c0
00, k>1
⑵ 이차방정식 f(x)=0이 실근을 가져야 하므로 D¾0
주어진 그림에서 f(1)>0, k<1
⑶ 주어진 그림에서 f(1)<0
b+1
a
=-3,
-b+1
a
=1
∴ 3a+b=-1, a+b=1
두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=2
∴ ab=-2
0820
|x-a|<1에서 -1, > ⑵ ¾, >, < ⑶ <
∴ a-15에서
⑤
0824
|전략| x<-1, -1Éx<1, x¾1로 범위를 나누어 푼다.
2|x-1|+3|x+1|É6에서
Ú x<-1일 때, -2(x-1)-3(x+1)É6
;5&;
;5&;
그런데 x<-1이므로 -
Éx<-1
Û -1Éx<1일 때, -2(x-1)+3(x+1)É6
∴ xÉ1
그런데 -1Éx<1이므로 -1Éx<1
Ü x¾1일 때, 2(x-1)+3(x+1)É6
5xÉ5
∴ xÉ1
그런데 x¾1이므로 x=1
Ú, Û, Ü에서 -
ÉxÉ1
;5&;
Ú x<-
일 때, -(2x+3)+(x-1)>5
;2#;
-x>9
∴ x<-9
그런데 x<-
이므로 x<-9
;2#;
Û -
Éx<1일 때, (2x+3)+(x-1)>5
;2#;
3x>3
∴ x>1
그런데 -
Éx<1이므로 해는 없다.
;2#;
Ü x¾1일 때, (2x+3)-(x-1)>5
∴ x>1
그런데 x¾1이므로 x>1
채점 기준
0826
❶ x<
-;2#;일 때의 부등식의 해를 구할 수 있다.
❷ -
Éx<1일 때의 부등식의 해를 구할 수 있다.
;2#;
❸ x¾1일 때의 부등식의 해를 구할 수 있다.
❹ 주어진 부등식의 해를 구할 수 있다.
… ❶
… ❷
… ❸
… ❹
비율
25 %
25 %
25 %
25 %
2
(x+1)Û`+|x-2|É6에서 2|x+1|+|x-2|É6
"Ã
Ú x<-1일 때, -2(x+1)-(x-2)É6
-3xÉ6
∴ x¾-2
그런데 x<-1이므로 -2Éx<-1
Û -1Éx<2일 때, 2(x+1)-(x-2)É6
5
a
x
∴ xÉ2
④
그런데 -1Éx<2이므로 -1Éx<2
0821
|전략| x<2, x¾2로 범위를 나누어 푼다.
2|x-2|<-x+5에서
Ú x<2일 때, -2(x-2)<-x+5
-x<1
∴ x>-1
그런데 x<2이므로 -1
;5(;
그런데 x<1이므로 해는 없다.
Û x¾1일 때, 2(x-1)<3x-7
-x<-5
∴ x>5
그런데 x¾1이므로 x>5
Ú, Û에서 x>5
따라서 x>5가 x>a를 포함하려면 오
른쪽 그림에서
a¾5
108 | II . 방정식과 부등식
따라서 자연수 x는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6개이다.
⑤
Ú, Û, Ü에서 x<-9 또는 x>1
x<-9 또는 x>1
정답과 해설 xÉ-4 또는 x¾2
=1Û`-(2k+1)<0
Ú x<-1일 때, |-(x+1)-1|¾2, |-x-2|¾2
Ü x¾2일 때, 2(x+1)+(x-2)É6
3xÉ6
∴ xÉ2
그런데 x¾2이므로 x=2
Ú, Û, Ü에서 -2ÉxÉ2
따라서 a=-2, b=2이므로
a+b=0
0827
||x+1|-1|¾2에서
|x+1|-1É-2 또는 |x+1|-1¾2
∴ |x+1|É-1 또는 |x+1|¾3
그런데 |x+1|¾0이므로 |x+1|¾3
x+1É-3 또는 x+1¾3
∴ xÉ-4 또는 x¾2
다른 풀이 ||x+1|-1|¾2에서
-x-2É-2 또는 -x-2¾2
-xÉ0 또는 -x¾4
∴ x¾0 또는 xÉ-4
그런데 x<-1이므로 xÉ-4
Û x¾-1일 때, |x+1-1|¾2, |x|¾2
∴ xÉ-2 또는 x¾2
그런데 x¾-1이므로 x¾2
Ú, Û에서 xÉ-4 또는 x¾2
③
0832
0831
|x-a|¾0이므로 |x-a|ÉaÛ`-a를 만족시키는 해가 오직 한 개
만 존재하려면
aÛ`-a=0, a(a-1)=0
∴ a=0 또는 a=1
따라서 모든 실수 a의 값의 합은 1이다.
1
|전략| 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가
질 조건은 D>0, 허근을 가질 조건은 D<0이다.
이차방정식 xÛ`-2x+k-3=0의 판별식을 DÁ이라 하면
=(-1)Û`-(k-3)>0
-k+4>0
∴ k<4
yy`㉠
이차방정식 xÛ`+2x+2k+1=0의 판별식을 Dª라 하면
-2k<0
∴ k>0
㉠, ㉡에서 구하는 k의 값의 범위는 0c의 해가 모든 실수가 되려면 c<0이어야 한다.
|2x+1|>a+1의 해가 모든 실수이려면
a+1<0
∴ a<-1
①
0829
|2x-1|¾0이므로 |2x-1|É6-2k의 해가 존재하지 않으려면
=(-a)Û`-(aÛ`-a+6)<0
6-2k<0
∴ k>3
따라서 정수 k의 최솟값은 4이다.
채점 기준
❶ k의 값의 범위를 구할 수 있다.
❷ 정수 k의 최솟값을 구할 수 있다.
… ❶
… ❷
4
비율
70`%
30`%
a-6<0
∴ `a<6
yy`㉠
이차방정식 4xÛ`+4ax+aÛ`+a-2=0의 판별식을 Dª라 하면
=(2a)Û`-4(aÛ`+a-2)<0
-4a+8<0
∴ `a>2
㉠, ㉡에서 구하는 a의 값의 범위는 21
=(k-2)Û`-(kÛ`+k-1)<0
8 연립일차부등식 | 109
8ㅡ연립일차부등식 Ú
=(k-1)Û`-(kÛ`+1)¾0, -2k¾0
∴ `kÉ0
이때, 주어진 사차방정식이 서로 다른 네 실근을 가지려면 방정식 ㉠
이차방정식 xÛ`+2(2k-3)x+4kÛ`+3=0의 판별식을 Dª라 하면
Dª
4
=(2k-3)Û`-(4kÛ`+3)<0
-12k+6<0
∴ k>
;2!;
오른쪽 그림에서 주어진 두 이차방정식 중
적어도 하나가 허근을 갖는 실수 k의 값의 범
0840
주어진 이차방정식의 두 근을 a, b라 하면
Ú a+b=-
mÛ`+m-6
3
=0
mÛ`+m-6=0, (m+3)(m-2)=0
∴ m=-3 또는 m=2
1
k
1
2
Û ab=
<0
∴ m>1
-m+1
3
k>
;2!;
Ú, Û에서 구하는 실수 m의 값은 2이다.
2
위는
k>
;2!;
ab>0이다.
양수이므로
D
4
0836
|전략| 이차방정식의 두 실근 a, b가 모두 양수이면 판별식 D¾0, a+b>0,
주어진 이차방정식의 판별식을 D, 두 근을 a, b라 하면 두 근이 모두
Û a+b=-2(k-1)>0
∴ `k<1`
Ü ab=kÛ`+1>0
Ú, Û, Ü에서 kÉ0
따라서 정수 k의 최댓값은 0이다.
0
0837
주어진 이차방정식이 한 개의 양의 근과 한 개의 음의 근을 가지므로
두 근은 서로 다른 부호이다. 즉, 두 근을 a, b라 하면
ab=2a-4<0
∴ a<2
따라서 실수 a의 값이 될 수 있는 것은 ①이다.
①
0841
|전략| x에 대한 사차방정식이 서로 다른 네 실근을 가지려면 xÛ`=t로 치환한
t에 대한 이차방정식이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 한다.
xÛ`=t로 놓으면 주어진 방정식은
tÛ`-2t-k+3=0
yy ㉠
은 서로 다른 두 개의 양의 실근을 가져야 하므로 판별식을 D라 하면
Ú
=(-1)Û`-(-k+3)>0
∴ k>2
D
4
Û (두 근의 합)=-(-2)>0
Ü (두 근의 곱)=-k+3>0
∴ k<3
Ú, Û, Ü에서 20에서 k<
;5(;
Ü y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=1이고 1>-1이다.
Û a+b=-2<0
Ü ab=
>0
∴ k>
;8#;
8k-3
4
Ú, Û, Ü에서
-3
Û ab=5m<0
∴ m<0
Ú, Û에서 -33
유형 02 계수가 유리수 또는 무리수인 연립일차부등식의 풀이
(cid:9000) ⑤
|전략| 먼저 연립부등식의 해를 구하고 부등식의 성질을 이용하여 A=-2x+3
즉, xÛ`-4x+k=0의 두 근 중 한 근만이 -2와 1 사이에 있어야 한
0845
xÛ`+x-2=0에서 (x+2)(x-1)=0
∴ x=-2 또는 x=1
다.
f(x)=xÛ`-4x+k라 하면
f(x)=(x-2)Û`-4+k에서 이차함수
y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이
x=2이므로 이차함수 y=f(x)의 그래
프가 오른쪽 그림과 같아야 한다.
Ú f(-2)=k+12>0에서 k>-12
Û f(1)=-3+k<0에서 k<3
Ú, Û에서 -122(x+2)
'
-2-
'
x+2
3
¾
x-4
9
à
㉠에서
'
3x+3>2x+4
3-2)x>1 ∴ x<
(
'
'
3-2<0이므로 부등호의 부호 바뀜.
1
3-2
=-2-
'
3
'
y=f(x)
㉡에서 -18-3(x+2)¾x-4
-18-3x-6¾x-4
∴ xÉ-5
따라서 주어진 연립부등식의 해는
21
-2
x
xÉ-5이므로
㉡
㉠
-5 -2-
3 x
'
-2x¾10
∴ -2x+3¾13
즉, A¾13
따라서 A의 최솟값은 13이다.
(cid:9000) ⑤
따라서 정수 k는 -11, -10, y, 2의 14개이다.
(cid:9000) 14
0849
유형 05 해가 주어진 연립일차부등식
|전략| 각 부등식의 해의 공통부분이 x<-2임을 이용한다.
0846
f(x)=axÛ`-(a+1)x+4라 하면
이차방정식 f(x)=0의 한 근은 2보다 크고 다른 한 근은 2보다 작으
므로
Ú a>0일 때, y=f(x)의 그래프는 오른
y=f(x)
쪽 그림과 같다.
f(2)=2a+2<0에서 a<-1
그런데 a>0이므로 조건을 만족시키는
a의 값은 존재하지 않는다.
2
x
>4x+3
3x-a
2
2x-1
3
É
x+1
3
+
x-1
6
à
㉠에서 3x-a>2(4x+3)
3x-a>8x+6
∴ x<-
a+6
5
㉡에서 2(2x-1)É2(x+1)+x-1
4x-2É2x+2+x-1
∴ xÉ3
Û a<0일 때, y=f(x)의 그래프는 오른
이때, 주어진 연립부등식의 해가 x<-2이므로
쪽 그림과 같다.
f(2)=2a+2>0에서 a>-1
그런데 a<0이므로 -14x-17
3(x-2)-2¾2x-5
[
㉠에서 x<5
㉡에서 3x-6-2¾2x-5
∴ x¾3
yy ㉠
yy ㉡
_300=30`(g)
;1Á0¼0;
물을 x`g 더 넣는다고 하면
4É
30
300+x
_100É6
4(300+x)É3000É6(300+x)
즉,
4(300+x)É3000
3000É6(300+x)
[
8ㅡ
연
립
일
차
부
등
식
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉠
yy ㉡
8 연립일차부등식 | 111
㉠에서 1200+4xÉ3000
∴ xÉ450
㉡에서 3000É1800+6x
∴ x¾200
∴ 200ÉxÉ450
Ü x¾
일 때, 2x-1-x¾2
∴ x¾3
;2!;
그런데 x¾
이므로 x¾3
;2!;
따라서 a=200, b=450이므로 a+b=650
④
Ú, Û, Ü에서 xÉ-1 또는 x¾3
따라서 a=-1, b=3이므로 a+b=2
①
유형 14 |ax+b|c 꼴의 부등식의 풀이
|전략| 부등식의 해를 만족시키는 정수가 5개 포함되도록 수직선 위에 나타내 본
0854
|x-2|c 꼴의 부등식의 풀이
+ 16 절댓값 기호를 2개 포함한 부등식의 풀이
|전략| 두 부등식의 해를 각각 구하여 해가 같아지는 상수 k의 값을 구한다.
3|x+1|É2|x+2|에서
Ú x<-2일 때, -3(x+1)É-2(x+2)
-xÉ-1
∴ x¾1
그런데 x<-2이므로 해는 없다.
Û -2Éx<-1일 때, -3(x+1)É2(x+2)
Ú, Û에서 22
해가 존재하려면
a-2¾0
∴ a¾2
Ü x¾2일 때, x+x-2Éa
∴ xÉ
그런데 x¾2이므로 해가 존재하려면
a+2
2
a+2
2
¾2
∴ a¾2
Ú, Û, Ü에서 a¾2
따라서 적당하지 않은 것은 ①이다.
①
|x-1|É2x+1에서
Ú x<1일 때, -(x-1)É2x+1
∴ x¾0
그런데 x<1이므로 0Éx<1
Û x¾1일 때, x-1É2x+1
∴ x¾-2
그런데 x¾1이므로 x¾1
Ú, Û에서 x¾0
2(x+1)0에서 a<-
;3*;
Ú, Û, Ü에서 -4Éa<-
;3*;
따라서 정수 a는 -4, -3의 2개이다.
①
따라서 자연수 a는 1, 2의 2개이다.
②
Ü y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=4이고 4<6이다.
0858
유형 20 이차방정식의 실근의 부호 ⑵
|전략| a, b, c의 부호를 따져 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 근을 판별한다.
이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 판별식을 D라 하면
D=bÛ`-4ac>0
즉, 이차방정식 axÛ`+bx+c=0은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
|전략| 각 일차부등식을 풀어 a, b의 값을 구하고, 이를 대입한 연립부등식의 해
ab>0에서 a와 b의 부호가 같으므로 -
<0
;aB;
∴ (두 근의 합)=-
<0
;aB;
-3x+1<-5에서 x>2
∴ a=2
2x+
Éx-
에서 xÉ-1
∴ b=-1
;3@;
;3!;
… ❶
… ❷
유형 01 연립일차부등식의 풀이
0861
를 구한다.
8 연립일차부등식 | 113
8ㅡ연립일차부등식 a=2, b=-1을 주어진 연립부등식에 대입하면
이때, k+0이지만 범위에 포함되지 않으므로
k<-1
㉠, ㉡에서 구하는 k의 값의 범위는 -3Ék<-1
yy ㉡
… ❷
… ❸
-3Ék<-1
채점 기준
❶ ㉠을 구할 수 있다.
❷ ㉡을 구할 수 있다.
❸ k의 값의 범위를 구할 수 있다.
배점
3점
2점
2점
0864
다.
유형 04 A0)
'
"Ã
'
'
'
⑵ a=1+
2를
É
2(x-1)에 대입하여 정리하면
2x-a
2
'
2x-1-
2É2
2(x-1)
'
'
2(
2-1)x¾
2-1
∴ x¾
(∵
2-1>0)
;2!;
'
'
⑶ a=1+
2를
'
'
2(x-1)<0.5(
2x-a)+
에 대입하여 정리하면
'
;2!;
2
2(x-1)<
2x-1-
2+1
'
'
2x<
'
'
2
∴ x<1
⑷ ⑵, ⑶에서 주어진 부등식을 만족시키는
⑶
2x+1>0
-x+2É0
[
㉠에서 x>-
;2!;
㉡에서 x¾2
따라서 구하는 연립부등식의 해는
yy ㉠
yy ㉡
-
1
2
유형 07 연립일차부등식에서 미지수의 값의 범위 구하기
- 정수인 해의 개수가 주어진 경우
|전략| 각 부등식의 해를 구한 후 정수가 3개 포함되도록 수직선 위에 나타내
yy ㉠
yy ㉡
x¾2
채점 기준
0862
❶ a의 값을 구할 수 있다.
❷ b의 값을 구할 수 있다.
❸ 연립일차부등식의 해를 구할 수 있다.
㉡에서 2x-2¾x+3
∴ x¾5
이때, 주어진 연립부등식을 만족시키는
정수 x가 3개이려면 오른쪽 그림에서
본다.
x+a¾3+2x
2(x-1)¾x+3
[
㉠에서 xÉa-3
7Éa-3<8
∴ 10Éa<11
채점 기준
❶ ㉠의 해를 구할 수 있다.
❷ ㉡의 해를 구할 수 있다.
❸ 조건을 만족시키는 a의 값의 범위를 구할 수 있다.
㉡
㉠
2
x
… ❸
x¾2
배점
1점
1점
4점
… ❶
… ❷
배점
1점
1점
4점
5
6
8 x
7
a-3
… ❸
10Éa<11
x의 값의 범위는
Éx<1
;2!;
채점 기준
⑴ 이차방정식을 풀어 a의 값을 구할 수 있다.
⑵
2x-a
2
É
'
2(x-1)의 해를 구할 수 있다.
⑶
'
2(x-1)<0.5(
2x-a)+
'
;2!;의 해를 구할 수 있다.
⑷ 주어진 부등식의 해를 구할 수 있다.
⑵
1
x
1
2
풀이 참조
배점
3점
3점
3점
3점
0863
라 하면
DÁ
4
Dª
4
유형 18 이차방정식의 근의 판별과 연립일차부등식
0865
|전략| 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, 이차방정식이 실근을 가질 조건은
D¾0, 허근을 가질 조건은 D<0이다.
이때, (이차항의 계수)+0임에 주의한다.
이차방정식 (k-1)xÛ`+2(k+1)x+k+2=0의 판별식을 DÁ이
유형 13 연립일차부등식의 활용 - 과부족 ⑵
|전략| 사과의 개수를 상자의 개수로 나타낸다.
⑴ 상자의 개수를 x라 하면 사과는 (9x+3)개이므로
12(x-3)+1É9x+3É12(x-3)+12
=(k+1)Û`-(k-1)(k+2)¾0, k+3¾0
∴ k¾-3
이때, k+1이므로
-3Ék<1 또는 k>1
이차방정식 kxÛ`+2(k+2)x+k=0의 판별식을 Dª라 하면
㉡에서 9x+3É12x-36+12
∴ x¾9
yy ㉠
… ❶
㉠에서 12x-36+1É9x+3
∴ xÉ
:£3¥:
=(k+2)Û`-k´k<0, 4k+4<0
∴ k<-1
∴ 9ÉxÉ
:£3¥:
⑵ ⑴에서 세운 부등식에서
12(x-3)+1É9x+3
9x+3É12(x-3)+12
[
yy ㉠
yy ㉡
114 | II . 방정식과 부등식
정답과 해설 이때, 연립부등식의 해가 40, a+2b<0인 경우로 나누어 부등식을 푼다.
Ú a+2b>0일 때
2a+5b-5
a+2b
0이 성립하지 않는다.
2a+5b-5
a+2b
∴ 2a+3b=-5
=4에서 2a+5b-5=4a+8b
a+b-1
a+2b
=5에서 a+b-1=5a+10b
∴ 4a+9b=-1
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-7, b=3
Û a+2b<0일 때
a+b-1
a+2b
0
∴ k>0
;2K;
Ú, Û, Ü에서 00의 해는 y=f(x)의 그래프가 x축보다 위쪽에 있는 부분
의 x의 값의 범위이므로 x<-2 또는 x>1
⑵ f(x)É0의 해는 y=f(x)의 그래프가 x축과 만나거나 x축보다
01 ⑵ -2ÉxÉ1
0870
|전략| 이차방정식의 axÛ`+bx+c=0의 두 근의 합, 두 근의 곱의 부호를 주어
ㄱ. 이차방정식 axÛ`+bx+c=0이 서로 다른 두 실근을 가지므로
진 조건에 맞도록 결정한다.
bÛ`-4ac>0
ㄴ. 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 두 근을 a, b라 하면
Ú a+b=-
<0,
>0
∴ ab>0
;aB;
;aB;
a와 b의 부호가 서로 같다.
0873
이차방정식 xÛ`-3x-4=0에서
(x+1)(x-4)=0
∴ x=-1 또는 x=4
f(x)=xÛ`-3x-4라 하면 y=f(x)의 그래
프가 오른쪽 그림과 같으므로 이차부등식
-4
f(x)<0의 해는 -10에서 a<0
a<0이므로 ac<0에서 c>0
∴ c>0
ㄷ. a=-1, b=-1, c=2이면
-xÛ`-x+2=0, xÛ`+x-2=0
0874
이차방정식 xÛ`+3x+2=0에서
(x+2)(x+1)=0
∴ x=-2 또는 x=-1
(x+2)(x-1)=0
∴ x=-2 또는 x=1
즉, 두 근이 서로 다른 부호이고, 음의 근의 절댓값이 양의 근보다
크지만 a+b+c=(-1)+(-1)+2=0
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
②
f(x)=xÛ`+3x+2라 하면 y=f(x)의 그래
프가 오른쪽 그림과 같으므로 이차부등식
-2
-1
O
x
f(x)¾0의 해는 xÉ-2 또는 x¾-1
xÉ-2 또는 x¾-1
0871
|전략| 주어진 방정식이 이차방정식이므로 a>0, a<0인 경우로 나누어 푼다.
f(x)=axÛ`-(a-1)x-4라 하면 이차방정식 f(x)=0의 한 근은
0875
f(x)=xÛ`+4x+4라 하면
-2와 -1 사이에 있고, 다른 한 근은 1과 2 사이에 있다.
f(x)=(x+2)Û`
Ú a>0일 때, y=f(x)의 그래프가 오른쪽
y=f(x)
따라서 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과
같으므로 이차부등식 f(x)>0의 해는
-1
1
-2
2
x
x+-2인 모든 실수이다.
그림과 같아야 하므로
f(-2)=6a-6>0에서 a>1
f(-1)=2a-5<0에서 a<
;2%;
f(1)=-3<0
f(2)=2a-2>0에서 a>1
따라서 a의 값의 범위는 15
k>5
0879
xÛ`-3x-10>0에서 (x+2)(x-5)>0
∴ x<-2 또는 x>5
x<-2 또는 x>5
0880
3xÛ`-7x+2É0에서 (3x-1)(x-2)É0
∴
ÉxÉ2
;3!;
ÉxÉ2
;3!;
0881
10xÛ`-11x-6¾0에서 (5x+2)(2x-3)¾0
∴ xÉ-
또는 x¾
;5@;
;2#;
xÉ-
;5@; 또는 x¾
;2#;
0882
-2xÛ`+5x+3<0에서 2xÛ`-5x-3>0
(2x+1)(x-3)>0
∴ x<-
또는 x>3
;2!;
x<-
;2!; 또는 x>3
0883
xÛ`-6x+9=(x-3)Û`¾0
따라서 xÛ`-6x+9>0의 해는 x+3인 모든 실수이다.
x+3인 모든 실수
따라서 xÛ`+4x+6<0의 해는 없다.
해는 없다.
0884
xÛ`+4x+6=(x+2)Û`+2¾2
0885
4xÛ`+4x+1=(2x+1)Û`¾0
0890
모든 실수 x에 대하여 주어진 부등식이 성립하려면 이차함수
y=-xÛ`+kx-k-3의 그래프가 x축보다 항상 아래쪽에 있어야 하
므로 이차방정식 -xÛ`+kx-k-3=0의 판별식을 D라 하면
D=kÛ`+4(-k-3)<0, kÛ`-4k-12<0
(k+2)(k-6)<0
참고 -xÛ`+kx-k-3<0에서 xÛ`-kx+k+3>0이므로
∴ -20이 성립하도록 하는 실수
k의 값의 범위를 구해도 된다.
1
유형 마스터
유형 마스터
STEP2
0891
|전략 | 부등식 f(x)¾g(x)의 해는 y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프
와 만나거나 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이다.
axÛ`+(b-m)x+c-n¾0에서 axÛ`+bx+c¾mx+n
따라서 주어진 이차부등식의 해는 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래
프가 직선 y=mx+n과 만나거나 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범
위이므로 xÉ-6 또는 x¾2
④
0892
이차부등식 f(x)É0의 해는 y=f(x)의 그래프가 x축과 만나거나
x축보다 아래쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이므로 -3ÉxÉ2
따라서 a=-3, b=2이므로 ab=-6
-6
9ㅡ
이
차
부
등
식
과
연
립
이
차
부
등
식
0893
`f(x)g(x)<0에서 f(x)>0, g(x)<0 또는 f(x)<0, g(x)>0
Ú f(x)>0, g(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는
9 이차부등식과 연립이차부등식 | 117
따라서 4xÛ`+4x+1É0의 해는 x=-
이다.
;2!;
x=-
;2!;
x<-2 또는 x>4
2
Û f(x)<0, g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는
ㄹ. -3xÛ`+2x-3>0에서 3xÛ`-2x+3<0
-24
x<-2 또는 -24
0894
|전략 | axÛ`+bx+c=0(a>0)이 서로 다른 두 실근 a, b(a0의 해는 xb이다.
이차방정식 xÛ`-2x-5=0의 해는 x=1Ñ
6이므로 이차부등식
xÛ`-2x-5>0의 해는 x<1-
6 또는 x>1+
6
따라서 a=1-
6, b=1+
a-b=-2
'
6
'
'
6이므로
'
'
'
0895
(x+2)(x-1)<4x+16에서 xÛ`+x-2<4x+16
xÛ`-3x-18<0, (x+3)(x-6)<0
∴ -30
즉, -3xÛ`+2x-3>0의 해는 없다.
0897
xÛ`+2x-24É0에서 (x+6)(x-4)É0
∴ -6ÉxÉ4
① |x-2|É3에서 -3Éx-2É3
∴ -1ÉxÉ5
② |x-1|É4에서 -4Éx-1É4
∴ -3ÉxÉ5
-2
6
'
③ |x+1|É4에서 -4Éx+1É4
∴ -5ÉxÉ3
④ |x-1|É5에서 -5Éx-1É5
∴ -4ÉxÉ6
⑤ |x+1|É5에서 -5Éx+1É5
∴ -6ÉxÉ4
따라서 주어진 이차부등식과 해가 같은 부등식은 ⑤이다.
⑤
0896
|전략 | 각 부등식의 좌변을 a(x-p)Û`+q 꼴로 변형한다. 이때, xÛ`의 계수가 음
7aÉxÉ-3a
0898
a<0이므로 axÛ`-4aÛ`x-21aÜ`¾0의 양변을 a로 나누면
xÛ`-4ax-21aÛ`É0, (x-7a)(x+3a)É0
이때, 7a<-3a이므로 구하는 해는 7aÉxÉ-3a
0899
a, b가 이차방정식 xÛ`-5ax+6aÛ`=0의 두 근이므로 근과 계수의 관
계에 의하여
a+b=5a, ab=6aÛ`
(a-1)(b-1)É0에서 ab-(a+b)+1É0
6aÛ`-5a+1É0, (3a-1)(2a-1)É0
∴
ÉaÉ
;3!;
;2!;
;3!;
ÉaÉ
;2!;
다른 풀이 xÛ`-5ax+6aÛ`=0에서 (x-2a)(x-3a)=0
∴ a=2a, b=3a 또는 a=3a, b=2a
xÛ`+ax+b<0의 해가 -10에 대입하면
-2xÛ`+x+3>0, 2xÛ`-x-3<0
(x+1)(2x-3)<0
∴ -10의 해는 모든 실수이다.
ㄷ. 9xÛ`+6x+1=(3x+1)Û`¾0
즉, 9xÛ`+6x+1<0의 해는 없다.
ㄹ. -3xÛ`+2x-3>0에서 3xÛ`-2x+3<0
그런데 3xÛ`-2x+3=3
x-
{
+
¾
;3*;
;3*;
;3!;}
이므로
3xÛ`-2x+3<0, 즉 -3xÛ`+2x-3>0의 해는 없다.
2`
D
4
D
4
D
4
=(-4)Û`-1´16=0
이므로 모든 실수 x에 대하여 xÛ`-8x+16¾0
즉, xÛ`-8x+16É0의 해는 x=4이다.
=1Û`-1´3=-2<0
이므로 모든 실수 x에 대하여 xÛ`+2x+3>0
즉, xÛ`+2x+3>0의 해는 모든 실수이다.
ㄷ. 이차방정식 9xÛ`+6x+1=0의 판별식을 D라 하면
=3Û`-9´1=0
이므로 모든 실수 x에 대하여 9xÛ`+6x+1¾0
즉, 9xÛ`+6x+1<0의 해는 없다.
118 | II . 방정식과 부등식
따라서 해가 없는 부등식은 ㄷ, ㄹ이다.
⑤
이것을 (a-1)(b-1)É0에 대입하면
다른 풀이 ㄱ. 이차방정식 xÛ`-8x+16=0의 판별식을 D라 하면
(2a-1)(3a-1)É0
∴ ;3!;
ÉaÉ
;2!;
ㄴ. 이차방정식 xÛ`+2x+3=0의 판별식을 D라 하면
임을 이용한다.
0900
|전략 | 해가 a0의 해가 -
0
;2#;}
즉, axÛ`-ax-
a>0에서 -a=4, -
a=b
;4#;
;4#;
∴`a=-4, b=3
∴ ab=-12
채점 기준
❶ 조건을 만족시키는 이차부등식을 세울 수 있다.
❷ a, b의 값을 구할 수 있다.
❸ ab의 값을 구할 수 있다.
0902
axÛ`+6x-4>0의 해가 10
0905
axÛ`+bx+c>0의 해가 -10
… ❶
즉, axÛ`-ax-2a>0에서 b=-a, c=-2a
이것을 (b+c)xÛ`+(a-2c)x-2b>0에 대입하면
-3axÛ`+5ax+2a>0
이때, -a>0이므로 3xÛ`-5x-2>0
(3x+1)(x-2)>0
∴ x<-
또는 x>2
;3!;
… ❷
… ❸
-12
비율
50`%
30`%
20`%
x<-
;3!; 또는 x>2
0906
|전략 | f(x)É0의 해를 이용하여 f(x)를 작성한 후 x에 2x+1을 대입하여
f(2x+1)É0의 해를 구한다.
f(x)É0의 해가 -1ÉxÉ3이므로 양수 a에 대하여
f(x)=a(x+1)(x-3)이라 하면
f(2x+1) =a(2x+1+1)(2x+1-3)
즉, axÛ`-a(b+1)x+ab>0에서 -a(b+1)=6, ab=-4
=4a(x+1)(x-1)
두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=2
∴ a+b=0
부등식 f(2x+1)É0, 즉 4a(x+1)(x-1)É0에서
③
(x+1)(x-1)É0
∴ -1ÉxÉ1
다른 풀이 axÛ`+6x-4>0의 해가 10의 해가 x<-2 또는 x>1이므로
a>0이고 a(x+2)(x-1)>0
즉, axÛ`+ax-2a>0에서 b=a, c=-2a
이것을 cxÛ`-bx+a>0에 대입하면
-2axÛ`-ax+a>0
이때, -a<0이므로 2xÛ`+x-1<0
(x+1)(2x-1)<0
∴ -10
∴ x<2017 또는 x>2020
따라서 f(2018-x)<0을 만족시키는 x의 값이 될 수 없는 것은 ③
-
;1¦0;
이다.
③
다른 풀이 f(x)¾0의 해가 -2ÉxÉ1이므로
f(x)<0의 해는 x<-2 또는 x>1
f(2018-x)<0의 해는 2018-x<-2 또는 2018-x>1에서
x>2020 또는 x<2017
따라서 f(2018-x)<0을 만족시키는 x의 값이 될 수 없는 것은 ③이다.
0908
f(x)<0의 해가 x<-2 또는 x>4이므로 음수 a에 대하여
f(x)=a(x+2)(x-4)라 하면
f(-2x) =a(-2x+2)(-2x-4)
1
=4a(x-1)(x+2)
9 이차부등식과 연립이차부등식 | 119
이차부등식과 연립이차부등식9ㅡ 부등식 f(-2x)¾0, 즉 4a(x-1)(x+2)¾0에서
(x-1)(x+2)É0
∴ -2ÉxÉ1
0912
xÛ`-4|x|É0에서
따라서 f(-2x)¾0을 만족시키는 정수 x의 값은 -2, -1, 0, 1로
Ú x<0일 때, xÛ`+4xÉ0
그 합은 -2이다.
-2
x(x+4)É0
∴ -4ÉxÉ0
따라서 f(-2x)¾0을 만족시키는 정수 x의 값은 -2, -1, 0, 1로 그 합
그런데 x¾0이므로 0ÉxÉ4
다른 풀이 f(x)<0의 해가 x<-2 또는 x>4이므로
f(x)¾0의 해는 -2ÉxÉ4
f(-2x)¾0의 해는 -2É-2xÉ4에서 -2ÉxÉ1
은 -2이다.
0909
axÛ`+bx+c<0의 해가 -10이고 axÛ`+bx+c=a(x+1)(x-2)라 하면
따라서 a+b의 최솟값은 4+(-4)=0
②
0b-4
4 a
x
0913
|전략 | 정수 n에 대하여 [x]=n일 때, nÉx0,
D=bÛ`-4ac=0이어야 한다.
이차부등식 xÛ`-(k+1)x+2k+2É0의 해가 오직 하나이므로
이차방정식 xÛ`-(k+1)x+2k+2=0의 판별식을 D라 하면
D=(k+1)Û`-4(2k+2)=0
kÛ`-6k-7=0, (k+1)(k-7)=0
∴ k=-1 또는 k=7
따라서 모든 실수 k의 값의 합은 -1+7=6
6
0916
이차부등식 axÛ`-2(a+4)x+2a+2¾0의 해가 하나뿐이므로
따라서 정수 x는 -5, -4, y, 5의 11개이다.
①
a<0
… ❶
정답과 해설2
이차방정식 axÛ`-2(a+4)x+2a+2=0의 판별식을 D라 하면
Û a-1=0, 즉 a=1일 때
(a+2)(a-8)=0
∴ a=-2 (∵ a<0)
… ❷
D
4
=(a+4)Û`-a(2a+2)=0
-aÛ`+6a+16=0, aÛ`-6a-16=0
이것을 주어진 부등식에 대입하면
-2xÛ`-4x-2¾0, xÛ`+2x+1É0
(x+1)Û`É0
∴ x=-1
∴ b=-1
채점 기준
❶ a의 부호를 알 수 있다.
❷ a의 값을 구할 수 있다.
❸ b의 값을 구할 수 있다.
0´xÛ`+0´x-9=-9<0이므로 부등식의 해는 없다.
Ü a-1<0, 즉 a<1일 때
부등식의 해가 존재하려면 이차방정식
(a-1)xÛ`+2(a-1)x-9=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하
므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
=(a-1)Û`-(a-1)´(-9)>0, aÛ`+7a-8>0
D
4
(a-1)(a+8)>0
∴ a<-8 또는 a>1
그런데 a<1이므로 a<-8
Ú, Û, Ü에서 a<-8 또는 a>1
④
0920
|전략 | 이차부등식 axÛ`+bx+c>0이 항상 성립하려면 a>0,
D=bÛ`-4ac<0이어야 한다.
… ❸
-1
비율
20`%
50`%
30`%
0917
|전략 | 이차부등식 axÛ`+bx+c<0이 해를 가지려면 a<0일 때는 이차부등식
모든 실수 x에 대하여 이차부등식 xÛ`+2(k+2)x-k>0이 성립해
야 하므로 이차방정식 xÛ`+2(k+2)x-k=0의 판별식을 D라 하면
따라서 해를 갖도록 하는 정수 a의 값이 아닌 것은 ⑤이다. ⑤
참고 a=3이면 주어진 부등식이 이차부등식이 아니므로 a+3
가 모든 실수이므로 a>0
은 항상 해를 갖고, a>0일 때는 D=bÛ`-4ac>0이어야 한다.
(a-3)xÛ`-4x+a<0에서
Ú a-3>0, 즉 a>3일 때
주어진 이차부등식이 해를 가지려면 이차방정식
(a-3)xÛ`-4x+a=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 이
이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
4
=(-2)Û`-(a-3)´a>0, aÛ`-3a-4<0
(a+1)(a-4)<0
∴ -13이므로 30, 즉 3xÛ`-2ax-a<0이 해를 가지
려면 이차방정식 3xÛ`-2ax-a=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하
므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
4
=(-a)Û`-3´(-a)>0, a(a+3)>0
∴ a<-3 또는 a>0
따라서 자연수 a의 최솟값은 1이다.
①
0919
(a-1)xÛ`+2(a-1)x-9>0에서
Ú a-1>0, 즉 a>1일 때
D
4
=(k+2)Û`+k<0, kÛ`+5k+4<0
(k+4)(k+1)<0
∴ -42x, 즉 axÛ`-2(a+1)x+2a>0의 해
이차방정식 axÛ`-2(a+1)x+2a=0의 판별식을 D라 하면
D
4
=(a+1)Û`-2aÛ`<0, aÛ`-2a-1>0
이차방정식 aÛ`-2a-1=0의 해는 a=1Ñ
2이므로
'
이차부등식 aÛ`-2a-1>0의 해는
a<1-
2 또는 a>1+
2
'
그런데 a>0이므로 a>1+
2
'
'
따라서 정수 a의 최솟값은 3이다.
0923
(k+3)xÛ`+2(k+3)x+2>0에서
1<
2<2에서 2<1+
2<3
'
'
②
이차함수 y=(a-1)xÛ`+2(a-1)x-9의 그래프는 아래로 볼록
Û k+-3일 때, 모두 실수 x에 대하여 주어진 부등식이 성립하려면
하므로 주어진 이차부등식은 항상 해를 갖는다.
k+3>0
∴ k>-3
Ú k=-3일 때, 0´xÛ`+0´x+2=2>0이므로 모든 실수 x에 대하
여 주어진 부등식이 성립한다.
… ❶
9 이차부등식과 연립이차부등식 | 121
이차부등식과 연립이차부등식9ㅡ 이차방정식 (k+3)xÛ`+2(k+3)x+2=0의 판별식을 D라 하
면
D
4
채점 기준
=(k+3)Û`-2(k+3)<0, kÛ`+4k+3<0
(k+3)(k+1)<0
∴ -3-3이므로 -30이 해를 갖지 않으려면 a<0,
D=bÛ`-4acÉ0이어야 한다.
-xÛ`+2(k+3)x+4(k+3)>0에서
xÛ`-2(k+3)x-4(k+3)<0
… ❷
… ❸
… ❹
-5
비율
30`%
40`%
20`%
10`%
xÛ`-2(k+3)x-4(k+3)=0의 판별식을 D라 하면
=(k+3)Û`+4(k+3)É0, (k+7)(k+3)É0
∴ -7ÉkÉ-3
따라서 M=-3, m=-7이므로 M-m=4
②
0925
이차부등식 xÛ`-2ax+a+6É0의 해가 없으려면 모든 실수 x에 대
하여 이차부등식 xÛ`-2ax+a+6>0이 성립해야 하므로 이차방정
식 xÛ`-2ax+a+6=0의 판별식을 D라 하면
D
4
D
4
(a+2)(a-3)<0
∴ -20이 항상 성립하려면 pÉxÉq에서
( f(x)의 최솟값)>0이어야 한다.
f(x)=xÛ`-4x+2a-3이라 하면
y
y=f(x)
f(x)=(x-2)Û`+2a-7
0ÉxÉ3에서 f(x)>0이어야 하므로
y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같아야
2a-7
한다.
이때, 최솟값은 f(2)이므로 f(2)>0
O
2 3
x
즉, 2a-7>0
∴ a>
;2&;
a>
;2&;
0928
f(x)=2xÛ`-4x+aÛ`-3a+2라 하면
f(x)=2(x-1)Û`+aÛ`-3a
0ÉxÉ2에서 f(x)<0이어야 하므로
y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같아야
한다.
이때, 최댓값은 f(0) 또는 f(2)이므로 f(0)<0
즉, aÛ`-3a+2<0에서 (a-1)(a-2)<0
y
y=f(x)
1
2
O
x
1g(x)의 해와 같다.
xÛ`-ax-b>-2x+3에서 xÛ`+(-a+2)x-b-3>0 yy`㉠
해가 x<-5 또는 x>1이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은
(x+5)(x-1)>0
∴ xÛ`+4x-5>0
yy`㉡
㉠과 ㉡이 일치해야 하므로
-a+2=4, -b-3=-5
∴ a=-2, b=2
0930
3xÛ`-2x-70
∴ k>1
이차방정식 (k-1)xÛ`+2(k-1)x+2=0의 판별식을 D라 하면
=(k-1)Û`-2(k-1)É0, (k-1)(k-3)É0
D
4
∴ 1ÉkÉ3
0931
xÛ`-2x1이므로 10
yy`㉠
0936
kxÛ`+kx-10
∴ mxÛ`-2mx-3m>0
yy`㉡
성립한다.
0933
|전략 | 이차함수 y=f(x)의 그래프가 직선 y=g(x)보다 항상 위쪽에 있으면
이차부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립한다.
한다.
㉠과 ㉡이 일치해야 하므로
n=-2m, mn+2=-3m
n=-2m을 mn+2=-3m에 대입하면
-2mÛ`+2=-3m, 2mÛ`-3m-2=0
(2m+1)(m-2)=0
∴ m=-
`(∵ m<0)
;2!;
∴ n=-2m=-2´
-
=1
{
;2!;}
∴ m-n=-
;2#;
xÛ`-2ax+1>2x+a에서 xÛ`-2(a+1)x-a+1>0
이 이차부등식이 항상 성립해야 하므로 이차방정식
xÛ`-2(a+1)x-a+1=0의 판별식을 D라 하면
D
4
=(a+1)Û`-(-a+1)<0, aÛ`+3a<0
a(a+3)<0
∴ -30
∴ xÛ`+(a-2)x+4>0
이 이차부등식이 항상 성립해야 하므로 이차방정식
xÛ`+(a-2)x+4=0의 판별식을 D라 하면
D=(a-2)Û`-16<0, aÛ`-4a-12<0
(a+2)(a-6)<0
∴ -20
(a+1)(a-4)>0
∴ a<-1 또는 a>4
그런데 a<0이므로 a<-1
a<-1
의 길이는
18-2x
2
=9-x`(m)
9 이차부등식과 연립이차부등식 | 123
이차부등식과 연립이차부등식9ㅡ 정답과 해설
이때, 텃밭의 넓이가 20`mÛ` 이상이 되어야 하므로
0944
x(9-x)¾20, xÛ`-9x+20É0
(x-4)(x-5)É0
∴ 4ÉxÉ5
따라서 가로의 길이의 최댓값과 최솟값의 차는 5-4=1`(m) ①
0940
t초 후의 수면으로부터의 높이가 (-5tÛ`+6t+10)`m이므로 수면에
서 2`m 이상의 높이에 있으려면
-5tÛ`+6t+10¾2에서 5tÛ`-6t-8É0
(5t+4)(t-2)É0
∴ -
ÉtÉ2
;5$;
그런데 t¾0이므로 0ÉtÉ2
따라서 다이빙 선수가 2`m 이상의 높이에 있는 시간은 2초 동안이다.
2초
0941
가격을 올리기 전의 상품의 가격을 A원, 판매량을 B개라 하면
x+1¾4x-3에서 xÉ
;3$;
2xÛ`-3x-9<0에서 (2x+3)(x-3)<0
∴ -
0에서 (x+2)(x-3)>0
∴ x<-2 또는 x>3
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 x>3
124 | II . 방정식과 부등식
⑷ ⑶에서 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -10
(x+2)(x+5)>0
∴ x<-5 또는 x>-2
yy ㉠
xÛ`+7x+1<9에서 xÛ`+7x-8<0
(x+8)(x-1)<0
∴ -80
(x+4)(x-2)>0
∴ x<-4 또는 x>2
yy ㉠
xÛ`-15É-2x에서 xÛ`+2x-15É0
(x+5)(x-3)É0
∴ -5ÉxÉ3
yy ㉡
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -5Éx<-4 또는 23
3xÛ`-5x-12<0에서 (3x+4)(x-3)<0
∴ -
0에서 x(x-2)>0
따라서 a=-
, b=-1이므로 ab=
;3$;
;3$;
④
∴ x<0 또는 x>2
yy`㉡
(x-1)(x-4)¾0
∴ xÉ1 또는 x¾4
yy ㉠
0950
xÛ`-5x¾-4에서 xÛ`-5x+4¾0
-xÛ`+7x>10에서 xÛ`-7x+10<0
(x-2)(x-5)<0
∴ 22
3xÛ`-4x+30
yy`㉡
③
0956
2xÛ`+1<3x에서 2xÛ`-3x+1<0
(2x-1)(x-1)<0
∴
0
∴ x<1 또는 x>
yy`㉠
;2#;
∴ x¾-
;2K;
3xÛ`+2x+5É2xÛ`+x+7에서 xÛ`+x-2É0
(x+2)(x-1)É0
∴ -2ÉxÉ1
yy`㉡
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -2Éx<1
㉠, ㉡의 공통부분이
0에서 x(2x+3)>0
∴ x<-
또는 x>0
;2#;
3xÛ`-(3a-4)x-a+1<0에서 (3x+1)(x-a+1)<0
yy`㉠
yy`㉡
x
a
a>2
yy ㉠
yy ㉡
yy`㉠
yy`㉡
9 이차부등식과 연립이차부등식 | 125
이차부등식과 연립이차부등식9ㅡ -5 -4 -3 -2
-
a-1
3
2
-
1
3
0 x
Û a-1=-
, 즉 a=
일 때, (3x+1)Û`<0이 되어 해가 존재하
;3!;
;3@;
2x+12
……`㉠
0962
|전략 | 삼각형의 세 변의 길이가 a, b, c이고, a가 가장 긴 변의 길이일 때, 둔각삼
각형이면 aÛ`>bÛ`+cÛ`이다.
x>0이므로 세 변 중 가장 긴 변의 길이는 2x+1
삼각형이 만들어질 조건에 의하여
(가장 긴 변의 길이)<(나머지 두 변의 길이의 합)
둔각삼각형이려면 xÛ`+(2x-1)Û`<(2x+1)Û`
xÛ`-8x<0, x(x-8)<0
∴ 0-
, 즉 a>
일 때
;3!;
;3@;
오른쪽 그림에서
30
(x+3)(x-4)>0
∴ x<-3 또는 x>4
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 40이므로 x¾2
xÛ`+8xÉ48에서 xÛ`+8x-48É0
(x+12)(x-4)É0
∴ -12ÉxÉ4
그런데 x>0이므로 00
(x-1)(x-2)>0
∴ x<1 또는 x>2
……`㉠
xÛ`-3x-4<6에서 xÛ`-3x-10<0
(x+2)(x-5)<0
∴ -20, (x+4)(x-3)>0
0964
상품 A`kg을 100x`km 운송하는 데 드는 비용이
자동차는 A(xÛ`+2x+2)만 원, 철도는 A(x+14)만 원,
선박은 A
x+16
만 원이므로
}
{;2!;
A(x+14)3
그런데 x>0이므로 x>3
yy`㉠
yy`㉡
yy`㉢
yy`㉣
yy`㉠
㉡에서 x+14<
x+16
∴ x<4
;2!;
그런데 x>0이므로 00, (k+2)(k-2)>0
④
∴ k<-2 또는 k>2
yy`㉠
0961
xÛ`+8x+7>0에서 (x+7)(x+1)>0
∴ x<-7 또는 x>-1
xÛ`+|x|-6É0에서
Ú x<0일 때, xÛ`-x-6É0
(x+2)(x-3)É0
∴ -2ÉxÉ3
그런데 x<0이므로 -2Éx<0
Û x¾0일 때, xÛ`+x-6É0
그런데 x¾0이므로 0ÉxÉ2
Ú, Û에서 -2ÉxÉ2
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -10, 허근을 가질 조건은 D<0이다.
정답과 해설 이차방정식 xÛ`-2kx+k+6=0이 허근을 가지므로 이 이차방정식
Û a+b=-
2(3m+1)
3
<0
∴ m>-
;3!;
Ü ab= m+1
3
>0
∴ m>-1
Ú, Û, Ü에서 m¾
;3!;
m¾
;3!;
0970
주어진 이차방정식의 두 근을 a, b라 하면 두 근의 부호가 서로 다르
므로
∴ 10에서 m<7
Ü y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=m이므로
∴ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=(2k)Û`-2´2k(k-1)=4k
㉠에서 0É4kÉ8이므로 aÛ`+bÛ`의 최댓값은 8이다.
8
m<1
Ú, Û, Ü에서 mÉ-2
0969
|전략 | 이차방정식의 두 실근 a, b가 모두 음수이면 판별식 D¾0, a+b<0,
0973
f(x)=xÛ`+aÛ`x+a-7이라 하면
주어진 이차방정식의 판별식을 D, 두 근을 a, b라 하면 두 근이 모두
ab>0이다.
음수이므로
D
4
Ú
=(3m+1)Û`-3(m+1)¾0, 9mÛ`+3m-2¾0
(3m+2)(3m-1)¾0
∴ mÉ-
또는 m¾
;3@;
;3!;
이차방정식 f(x)=0의 두 근 사이에 1이 있
으므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과
1
같다.
f(1)=1+aÛ`+a-7<0에서 aÛ`+a-6<0
(a+3)(a-2)<0
∴ -30에서 k>-
;3!;
Ü f(1)=k+1>0에서 k>-1
Ý y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=
이므로
;2K;
즉, axÛ`-6ax+9a¾0에서 b=-6a, c=9a
이것을 bxÛ`+cx+6a<0에 대입하면
-6axÛ`+9ax+6a<0
이때, -3a>0이므로 2xÛ`-3x-2<0
(2x+1)(x-2)<0
∴ -
0)이라 하면
… ❶
x-1
3
}
f
{
부등식 f
{
=a
{
x-1
3
}
x-1
3
+2
}{
x-1
3
-1
=
a(x+5)(x-4)
}
;9!;
<0, 즉
a(x+5)(x-4)<0에서
;9!;
(x+5)(x-4)<0
∴ -53|x-1|에서
Ú x<1일 때, xÛ`-2x-3>-3(x-1)
xÛ`+x-6>0, (x+3)(x-2)>0
∴ x<-3 또는 x>2
그런데 x<1이므로 x<-3
Û x¾1일 때, xÛ`-2x-3>3(x-1)
xÛ`-5x>0, x(x-5)>0
∴ x<0 또는 x>5
그런데 x¾1이므로 x>5
Ú, Û에서 x<-3 또는 x>5
0975
|전략 | 이차방정식 xÛ`-1=0의 해를 이용하여 이차함수 y=xÛ`+ax-6의 그
래프의 개형을 생각해 본다.
xÛ`-1=0에서 (x+1)(x-1)=0
∴ x=Ñ1
즉, xÛ`+ax-6=0의 한 근이 -1과 1 사이에 있어야 하므로
f(x)=xÛ`+ax-6이라 하면 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같
다.
채점 기준
-1
1
x
-1
1
x
f(-1)f(1)<0에서 (-a-5)(a-5)<0
(a+5)(a-5)>0
∴ a<-5 또는 a>5
따라서 자연수 a의 최솟값은 6이다.
❶ xÛ`-1=0의 두 근을 구할 수 있다.
❷ a에 대한 이차부등식을 세우고, 그 해를 구할 수 있다.
❸ a의 최솟값을 구할 수 있다.
… ❷
… ❸
6
비율
20`%
60`%
20`%
내신 마스터
내신 마스터
STEP3
0976
유형 01 그래프를 이용한 이차부등식의 풀이
|전략 | 부등식 f(x)5이므로
a<0이고 a(x+3)(x-5)<0
즉, axÛ`-2ax-15a<0에서 -2a=2, -15a=b
0980
0981
D
4
D
4
0982
D
4
0983
0984
유형 07 이차부등식이 해를 한 개만 가질 조건
|전략 | 이차부등식 axÛ`+bx+cÉ0이 단 하나의 실근을 가지려면 a>0,
D=bÛ`-4ac=0이어야 한다.
유형 13 이차부등식과 두 그래프의 위치 관계 － 항상 성립
|전략 | 이차함수 y=f(x)의 그래프가 직선 y=g(x)보다 항상 위쪽에 있으면
이차부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립한다.
이차부등식 (k+1)xÛ`-2(k+1)x+1É0이 단 하나의 해를 가져야
xÛ`+(k-3)x+5>x+1에서 xÛ`+(k-4)x+4>0
하므로
k+1>0
∴ k>-1
이 이차부등식이 항상 성립해야 하므로 이차방정식
xÛ`+(k-4)x+4=0의 판별식을 D라 하면
이차방정식 (k+1)xÛ`-2(k+1)x+1=0의 판별식을 D라 하면
D=(k-4)Û`-16<0, kÛ`-8k<0
=(k+1)Û`-(k+1)=0, kÛ`+k=0
k(k+1)=0
∴ k=0 또는 k=-1
그런데 k>-1이므로 k=0
k(k-8)<0
∴ 00,
D=bÛ`-4acÉ0이어야 한다.
유형 06 가우스 기호를 포함한 이차부등식의 풀이 + 16 연립이차부등식의 풀이
|전략 | 정수 n에 대하여 [x]=n일 때, nÉx0, k(k-1)>0
∴ `k<0 또는 k>1
yy`㉠
이차방정식 (kÛ`-k)xÛ`-2kx+2=0의 판별식을 D라 하면
2[x]-3É0에서 [x]É
;2#;
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -2<[x]É
;2#;
이때, [x]의 값은 정수이므로 [x]=-1, 0, 1
=(-k)Û`-2(kÛ`-k)É0, kÛ`-2k¾0
k(k-2)¾0
∴ `kÉ0 또는 k¾2
㉠, ㉡에서 k<0 또는 k¾2
yy`㉡
⑤
[x]=-1에서 -1Éx<0
[x]=0에서 0Éx<1
[x]=1에서 1Éx<2
주어진 연립부등식의 해는 -1Éx<2
따라서 a=-1, b=2이므로 a+b=1
④
유형 12 이차부등식과 두 그래프의 위치 관계 － 특정한 범위에서 성립
|전략 | 이차함수 y=f(x)의 그래프가 이차함수 y=g(x)의 그래프보다 아래쪽
에 있는 부분의 x의 값의 범위는 이차부등식 f(x)0에서 (x+3)(x-5)>0
a=-4, b=3
∴ b-a=7
④
∴ x<-3 또는 x>5
yy`㉠
9 이차부등식과 연립이차부등식 | 129
이차부등식과 연립이차부등식9ㅡ -3ÉaÉ5
0988
0989
ab>0이다.
양수이므로
그런데 ㉠, (x-8)(x-a)<0의 공통부
분이 50
∴ a>2
yy ㉠
이 직육면체의 부피는 a(a+4)(a-2)이고 처음 정육면체의 부피는
aÜ`이므로 a(a+4)(a-2)0이 항상 성립하려면 p0,
( f(x)의 최솟값)>0이어야 한다.
f(x)=xÛ`-2ax+2a+3이라 하면
f(x)=(x-a)Û`-aÛ`+2a+3
-10이어야 하므로
-10
∴ k<4
Ü ab=k-1>0
∴ k>1
Ú, Û, Ü에서 10에서 k(k+4)>0
∴ k<-4 또는 k>0
Û `f(0)=kÛ`-1<0에서 (k+1)(k-1)<0
∴ -10에서 (k-1)(k-15)>0
∴ k<1 또는 k>15
Ú, Û, Ü에서 00에서
aÛ`-2a-3<0, (a+1)(a-3)<0
y=f(x)
그런데 -10이므로 -aÉx-1Éa
∴ -a+1ÉxÉa+1
……`㉠
… ❶
xÛ`-4aÛ`>0에서 (x+2a)(x-2a)>0
∴ x<-2a 또는 x>2a (∵ a>0)
……`㉡
… ❷
㉠, ㉡의 공통부분이 없으려면 오른쪽 그
림에서 -2aÉ-a+1, a+1É2a
즉, a¾-1, a¾1에서 a¾1
… ❸
-2a
-a+1 a+1
2a
차방정식의 판별식을 Dª라 하면
Dª=(a+1)Û`-4(aÛ`-1)<0, 3aÛ`-2a-5>0
(a+1)(3a-5)>0
∴ a<-1 또는 a>
yy`㉡
⑶ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -30의 해를 구할 수 있다.
❸ a의 값의 범위를 구할 수 있다.
채점 기준
0994
유형 17 해가 주어진 연립이차부등식
|전략 | 각 부등식의 해를 구한 후 공통부분이 없도록 수직선 위에 나타내 본다.
⑴ xÛ`-9x-36>0에서 (x+3)(x-12)>0
∴ x<-3 또는 x>12
⑵ xÛ`-2(a+2)x+aÛ`+4a<0에서 (x-a)(x-a-4)<0
yy`㉠
yy`㉡
∴ a0의 해를 구할 수 있다.
⑵ xÛ`-2(a+2)x+aÛ`+4a<0의 해를 구할 수 있다.
⑶ a의 값의 범위를 구할 수 있다.
⑷ M+m의 값을 구할 수 있다.
풀이 참조
배점
3점
3점
4점
2점
유형 20 이차방정식의 근의 판별과 이차부등식
|전략 | 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, 이차방정식이 허근을 가질 조건은
채점 기준
0995
D<0이다.
창의·융합 교과서 속 심화문제
0996
|전략 | 부등식 f(x)>0의 해는 y=f(x)의 그래프가 x축보다 위쪽에 있는 부
분의 x의 값의 범위임을 이용한다.
ㄱ. f(x)g(x)>0에서
f(x)>0, g(x)>0 또는 f(x)<0, g(x)<0
Ú f(x)>0, g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는
a0의 해는 a0이므로 해는 없다.
Û x¾0일 때, xÛ`-4¾0, (x+2)(x-2)¾0
∴ xÉ-2 또는 x¾2
그런데 x¾0이므로 x¾2
Ú, Û에서 x¾2
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 2Éx<5
따라서 a=2, b=5이므로 a+b=7
yy`㉡
7
0998
|전략 | k<0, 01인 경우로 나누어 부등식을 푼다.
Ú k<0일 때, k<00
∴ xkÛ`
오른쪽 그림에서 이를 만족시키는 정
수 x는 무수히 많이 존재한다.
k
0
k2
x
0
k2
k 1
x
Û 01일 때, 11)
'
'
Ú, Û, Ü에서
20에서 (x-a)(x-b)>0
xÛ`-(b+c)x+bc>0에서 (x-b)(x-c)>0
다.
∴ xb
∴ xc
yy`㉠
yy`㉡
k1
2
k2 3
x
1001
|전략 | 직사각형 PQCR와 두 삼각형 APR, PBQ의 넓이를 각각 a에 대한 식
으로 나타낸다.
'
2△APR에서 a(12-a)>
aÛ`
;2!;
2a(12-a)>aÛ`, aÛ`-8a<0
a(a-8)<0
∴ 0c
PQCR>△PBQ에서 a(12-a)>
(12-a)Û`
;2!;
이때, 주어진 연립부등식의 해가 x<-3 또는 x>2이므로
2a(12-a)>144-24a+aÛ`, aÛ`-16a+48<0
a=-3, c=2
(a-4)(a-12)<0
∴ 40)
1025
|전략| 점 P(a, b)가 직선 y=x+2 위의 점이면 b=a+2이다.
⑤
점 P(a, b)가 직선 y=x+2 위의 점이므로
b=a+2
APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로
(a-2)Û`+(b+1)Û`=(a+3)Û`+(b-2)Û`
aÛ`-4a+4+bÛ`+2b+1=aÛ`+6a+9+bÛ`-4b+4
∴`-5a+3b=4
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=3
∴`aÛ`+bÛ`=10
yy`㉠
yy`㉡
10
1026
구하는 점을 P(0, a)라 하면 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로
(-3)Û`+(a+2)Û`=(-1)Û`+(a+4)Û`
aÛ`+4a+13=aÛ`+8a+17
-4a=4
∴ `a=-1
1021
ABÓ=BCÓ이므로
(a-2)Û`+1Û`=
(-2-a)Û`+(6-1)Û`
"Ã
양변을 제곱하면 (a-2)Û`+1=(-2-a)Û`+25
"Ã
aÛ`-4a+5=aÛ`+4a+29, -8a=24
∴`a=-3
-3
1022
ABÓÉ4에서 ABÓ Û`É4Û`이므로
{(k+2)-1}Û`+(3-k)Û`É16
2kÛ`-4k-6É0, 2(k+1)(k-3)ÉÉ0
∴ -1ÉkÉ3
{-3-(-k+1)}Û`+{(k+1)-3}Û`
1023
ABÓ =
"Ã
"Ã
"Ã
=
(-4+k)Û`+(k-2)Û
=
2kÛ`-12k+20
=
2(k-3)Û`+2
"Ã
따라서 ABÓ¾
'
1024
오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 O지점
을 원점, 일직선 모양의 두 도로를 각각
x축, y축으로 놓으면 출발한지 t시간 후
의 A, B 두 사람의 위치는
(-10+3t, 0), (0, -5+4t) … ❶
이때, 두 사람 사이의 거리를 l이라 하면
l=
(-10+3t)Û`+(-5+4t)Û`
"Ã
l=
"Ã
l=5
"Ã
"Ã
25tÛ`-100t+125
tÛ`-4t+5
l=5
(t-2)Û`+1
채점 기준
❶ t시간 후의 두 사람 A, B의 위치를 좌표로 나타낼 수 있다.
❷ 두 사람 사이의 거리를 구할 수 있다.
❸ 두 사람 A, B가 가장 가까이 있을 때의 거리를 구할 수 있다.
134 | III . 도형의 방정식
즉, t=2일 때 l은 최솟값 5를 갖는다.
따라서 두 사람 A, B가 가장 가까이 있을 때의 거리는 5`km이다.
따라서 정수 k는 -1, 0, 1, 2, 3의 5개이다.
⑤
따라서 구하는 점의 좌표는 (0, -1)이다.
(0, -1)
`
1027
P(a, 0)이라 하면 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로
(a-2)Û`+(-5)Û`=(a-4)Û`+(-1)Û`
aÛ`-4a+29=aÛ`-8a+17
4a=-12
∴ `a=-3
2이므로 ABÓ의 길이의 최솟값은
2이다.
②
'
∴`P(-3, 0)
또, Q(0, b)라 하면 AQÓ=BQÓ에서 AQÓ Û`=BQÓ Û`이므로
(-2)Û`+(b-5)Û`=(-4)Û`+(b-1)Û`
bÛ`-10b+29=bÛ`-2b+17
A
-10
y
O
-5
B
8b=12
∴ `b=
;2#;
x
∴`Q
0,
{
;2#;}
∴`PQÓ=
3Û`+
¾Ð
=
®Â:¢4°:
=
3
5
'
2
{;2#;}
2`
1028
APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로
… ❷
(a-3)Û`+(b-3)Û`=(a+1)Û`+(b-5)Û`
aÛ`-6a+9+bÛ`-6b+9=aÛ`+2a+1+bÛ`-10b+25
… ❸
5`km
비율
30`%
50`%
20`%
∴ 2a-b=-2
또, BPÓ=CPÓ에서 BPÓ Û`=CPÓ Û`이므로
(a+1)Û`+(b-5)Û`=(a+5)Û`+(b-3)Û`
aÛ`+2a+1+bÛ`-10b+25=aÛ`+10a+25+bÛ`-6b+9
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=0
∴ 2a+b=-2
∴ a+b=-1
③
yy ㉠
yy ㉡
②
정답과 해설Ð
1029
점 P(a, b)가 삼각형 ABC의 외심이므로 APÓ=BPÓ=CPÓ
APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로
(a+4)Û`+(b+1)Û`=(a-2)Û`+(b-7)Û`
aÛ`+8a+16+bÛ`+2b+1=aÛ`-4a+4+bÛ`-14b+49
∴`3a+4b=9
APÓ=CPÓ에서 APÓ Û`=CPÓ Û`이므로
1032
ABÓ Û`=(a-1)Û`+(a-1)Û`=2aÛ`-4a+2
BCÓ Û`=1Û`+(-1-a)Û`=aÛ`+2a+2
CAÓ Û`=(-a)Û`+(1+1)Û`=aÛ`+4
삼각형 ABC는 ∠B=90ù인 직각삼각형이므로
CAÓ Û`=ABÓ Û`+BCÓ Û`에서
aÛ`+4=2aÛ`-4a+2+aÛ`+2a+2, 2aÛ`-2a=0
(a+4)Û`+(b+1)Û`=(a-4)Û`+(b-3)Û`
a(a-1)=0 ∴`a=0 또는 a=1
aÛ`+8a+16+bÛ`+2b+1=aÛ`-8a+16+bÛ`-6b+9
그런데 a=1이면 점 A와 점 B의 좌표가 같게 되므로 a=0
0
yy`㉠
yy`㉡
①
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=3
∴`2a+b=1
∴`b-a=4
삼각형의 외심
⑴ 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점이다.
⑵ 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.
1030
오른쪽 그림과 같이 C 도서관을 원점, A 도
서관을 x축 위에 오도록 좌표평면을 정
하면
A(8, 0), B(4, 2), C(0, 0)
공원을 만들려는 지점을 P(a, b)라 하면
PAÓ=PBÓ에서 PAÓ Û`=PBÓ Û`이므로
(a-8)Û`+bÛ`=(a-4)Û`+(b-2)Û`
aÛ`-16a+64+bÛ`=aÛ`-8a+16+bÛ`-4b+4
∴`-2a+b=-11
또, PAÓ=PCÓ에서 PAÓ Û`=PCÓ Û`이므로
(a-8)Û`+bÛ`=aÛ`+bÛ`
aÛ`-16a+64+bÛ`=aÛ`+bÛ`
-16a+64=0
∴ `a=4
a=4를 ㉠에 대입하면 b=-3
1033
삼각형 ABC가 정삼각형이므로 ABÓ=BCÓ=CAÓ
ABÓ=BCÓ에서 ABÓ Û`=BCÓ Û`이므로
(1+1)Û`+(-1-1)Û`=(a-1)Û`+(b+1)Û`
∴`aÛ`-2a+bÛ`+2b=6
BCÓ=CAÓ에서 BCÓ Û`=CAÓ Û`이므로
(a-1)Û`+(b+1)Û`=(-1-a)Û`+(1-b)Û`
-4a+4b=0
∴ `b=a
㉡을 ㉠에 대입하면 aÛ`-2a+aÛ`+2a=6, aÛ`=3
yy`㉠
yy`㉡
2
3
'
y
2
B
A
8
x
O(C)
4
∴`a=Ñ
3, b=Ñ
3 (복호동순)
'
'
그런데 점 C가 제`1`사분면 위의 점이므로 a=
3, b=
3
'
'
∴`a+b=2
3
'
1034
삼각형 ABC가 이등변삼각형이 되려면 ABÓ=BCÓ 또는 BCÓ=CAÓ
yy`㉠
또는 CAÓ=ABÓ이어야 한다.
Ú ABÓ=BCÓ에서 ABÓ Û`=BCÓ Û`이므로
Ú 1Û`+(5-2)Û`=(a-1)Û`+(1-5)Û`
Ú 10=(a-1)Û`+16, (a-1)Û`=-6
Ú 그런데 (a-1)Û`¾0이므로 이를 만족시키는 실수 a의 값은 존재
따라서 P(4, -3)이므로 새로 만들 공원과 A 도서관 사이의 거리는
(8-4)Û`+{0-(-3)}Û`=5`(km)
"Ã
5`km
알아본다.
ABÓ Û`=(-2-2)Û`+(-2-1)Û`=25
BCÓ Û`=(-1+2)Û`+(5+2)Û`=50
CAÓ Û`=(2+1)Û`+(1-5)Û`=25
이므로 BCÓ Û`=ABÓ Û`+CAÓ Û`이고 ABÓ Û`=CAÓ Û`, 즉 ABÓ=CAÓ
따라서 삼각형 ABC는 ∠A=90ù인 직각이등변삼각형이다. ④
하지 않는다.
Û BCÓ=CAÓ에서 BCÓ Û`=CAÓ Û`이므로
Ú (a-1)Û`+(1-5)Û`=(-a)Û`+(2-1)Û`
Ú aÛ`-2a+17=aÛ`+1, 2a=16 ∴ a=8
Ü CAÓ=ABÓ에서 CAÓ Û`=ABÓ Û`이므로
Ú (-a)Û`+(2-1)Û`=1Û`+(5-2)Û`
Ú aÛ`+1=10, aÛ`=9
∴ a=Ñ3
Ú, Û, Ü에서 모든 실수 a의 값의 합은
1035
|전략| O(0, 0), A(x, y), B(1, -2)라 하고, 주어진 식이 무엇을 나타내는
지 생각해 본다.
O(0, 0), A(x, y), B(1, -2)라 하면
xÛ`+yÛ`=OAÓ,
(x-1)Û`+(y+2)Û`=ABÓ이므로
"Ã
"Ã
10 평면좌표 | 135
1031
|전략| ABÓ, BCÓ, CAÓ의 길이를 구한 후 △ABC의 세 변의 길이 사이의 관계를
8+3+(-3)=8
8
10ㅡ평면좌표 xÛ`+yÛ`+
(x-1)Û`+(y+2)Û` =OAÓ+ABÓ
"Ã
"Ã
¾OBÓ=
1Û`+(-2)Û`=
5
'
"Ã
따라서 m=
5이므로 mÛ`=5
'
⑤
1040
P(a, b)라 하면
APÓ Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û`
1036
A(2, -3), B(x, y), C(-4, 5)라 하면
(x-2)Û`+(y+3)Û`=ABÓ,
(x+4)Û`+(y-5)Û`=BCÓ이므로
(x-2)Û`+(y+3)Û`+
(x+4)Û`+(y-5)Û`
"Ã
=ABÓ+BCÓ
"Ã
"Ã
¾ACÓ=
(-4-2)Û`+(5+3)Û`=10
"Ã
따라서 구하는 최솟값은 10이다.
P(1, 3)
채점 기준
⑤
=(a+1)Û`+(b-2)Û`+(a-4)Û`+(b-6)Û`+aÛ`+(b-1)Û`
=3aÛ`-6a+3bÛ`-18b+58
=3(a-1)Û`+3(b-3)Û`+28
이때, a, b가 실수이므로 (a-1)Û`¾0, (b-3)Û`¾0
∴ APÓ Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û`¾28
따라서 a=1, b=3일 때 주어진 식의 최솟값이 28이므로
❶ 점 P의 좌표를 (a, b)라 하고, 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 이차
식을 세울 수 있다.
❷ ❶의 식의 값이 최소일 때의 점 P의 좌표를 구할 수 있다.
… ❶
… ❷
P(1, 3)
비율
60`%
40`%
1037
A(a, 0), B(0, -1), C(3, 3)이라 하면
aÛ`+1=ABÓ,
(a-3)Û`+9=ACÓ이므로
"Ã
"Ã
aÛ`+1+
(a-3)Û`+9 =ABÓ+ACÓ
실수의 성질
따라서 구하는 최솟값은 5이다.
④
¾BCÓ=
(3-0)Û`+(3+1)Û`=5
"Ã
모든 실수 A, B에 대하여 AÛ`¾0, BÛ`¾0
∴ AÛ`+BÛ`¾0
특히 AÛ`+BÛ`=0이면 A=0, B=0
"Ã
"Ã
"Ã
이 문제에서 A(a, 0)으로 놓으면 두 점 B, C의 좌표를 정하는 방법은 다음
과 같이 네 가지가 있다.
Ú B(0, 1), C(3, -3)
Û B(0, -1), C(3, 3)
Ü B(0, 1), C(3, 3)
Ý B(0, -1), C(3, -3)
Ú, Û의 경우 위와 같이 풀면 되지만, Ü, Ý의 경우 점 A(a, 0)은 x축 위
의 점이므로 BCÓ 위에 있을 수 없다.
따라서 이 경우에는 점 B, 점 C 중 하나를 x축에 대하여 대칭이동한 다음 위
와 같이 문제를 풀면 된다.
1038
|전략| P(0, a)라 하고, APÓ Û`+BPÓ Û`을 a에 대한 식으로 나타낸다.
점 P는 y축 위의 점이므로 P(0, a)라 하면
APÓ Û`+BPÓ Û`=1Û`+(a+2)Û`+(-1)Û`+(a-4)Û`
APÓ Û`+BPÓ Û`=2aÛ`-4a+22
APÓ Û`+BPÓ Û`=2(a-1)Û`+20
따라서 a=1일 때 주어진 식의 최솟값은 20이다.
1039
점 P는 직선 y=x+3 위의 점이므로 P(a, a+3)이라 하면
PAÓ Û`+PBÓ Û`=(a+2)Û`+(a+3)Û`+(a-2)Û`+(a+3)Û`
PAÓ Û`+PBÓ Û`=4aÛ`+12a+26
따라서 a=-
일 때 주어진 식의 최솟값이 17이므로 점 P의 x좌표
PAÓ Û`+PBÓ Û`=4
a+
+17
{
;2#;}
2`
;2#;
는 -
이다.
;2#;
136 | III . 도형의 방정식
1041
|전략| 주어진 점이 원점 또는 좌표축 위의 점이 되도록 좌표축을 정한다.
오른쪽 그림과 같이 변 BC를 x축 위에
놓고 변 BC의 중점 M을 원점 O가 되도
록 좌표평면을 잡는다.
이때, △ABC의 세 꼭짓점의 좌표를 각
각 A(a, b), B(-c, 0), C( ㈎ c , 0)
A(a, b)
y
O
M
B(-c, 0)
C(c, 0)
x
이라 하면
ABÓ Û`+ACÓ Û`={(a+c)Û`+bÛ`}+{(a-c)Û`+bÛ`}
ABÓ Û`+ACÓ Û`=(aÛ`+2ac+cÛ`+bÛ`)+(aÛ`-2ac+cÛ`+bÛ`)
ABÓ Û`+ACÓ Û`=2aÛ`+2bÛ`+2cÛ`
ABÓ Û`+ACÓ Û`=2( ㈏ aÛ`+bÛ`+cÛ` )
또, AMÓ Û`=aÛ`+bÛ`, BMÓ Û`=cÛ`이므로
AMÓ Û`+BMÓ Û`= ㈏ aÛ`+bÛ`+cÛ`
∴ ABÓ Û`+ACÓ Û`=2(AMÓ Û`+BMÓ Û`)
참고 이를 파포스(Pappos)의 정리(중선정리)라 한다.
20
㈎ c ㈏ aÛ`+bÛ`+cÛ`
1042
오른쪽 그림과 같이 변 BC를 x축 위
에 놓고 BDÓ=2CDÓ인 점 D를 원점 O
가 되도록 좌표평면을 잡는다.
이때, △ABC의 세 꼭짓점의 좌표를
y
A(a, b)
x
C(c, 0)
각각 A(a, b), B( ㈎ -2c , 0),
B(-2c, 0)
O D
①
C(c, 0)이라 하면
정답과 해설 ㈎ -2c ㈏ aÛ`+bÛ`+2cÛ`
∴`m`:`n=2`:`1
ABÓ Û`+2ACÓ Û`={(a+2c)Û`+bÛ`}+2{(a-c)Û`+bÛ`}
ABÓ Û`+2ACÓ Û`=(aÛ`+4ac+4cÛ`+bÛ`)+2(aÛ`-2ac+cÛ`+bÛ`)
ABÓ Û`+2ACÓ Û`=3aÛ`+3bÛ`+6cÛ`
ABÓ Û`+2ACÓ Û`=3( ㈏ aÛ`+bÛ`+2cÛ` )
또, ADÓ Û`=aÛ`+bÛ`, CDÓ Û`=cÛ`이므로
ADÓ Û`+2CDÓ Û`= ㈏ aÛ`+bÛ`+2cÛ`
∴ ABÓ Û`+2ACÓ Û`=3(ADÓ Û`+2CDÓ Û`)
1043
|전략| 두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)에 대하여 ABÓ를 m : n(m>0, n>0)으
로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q, 중점을 M이라 하면
myª-nyÁ
myª+nyÁ
m+n }
, Q
{
mxª-nxÁ
m-n
,
m-n }
(단, m+n),
,
mxª+nxÁ
m+n
xÁ+xª
2
,
P
{
M
{
yÁ+yª
2
}
선분 AB를 3`:`2로 내분하는 점은
3´1+2´(-4)
3+2
,
3´(-3)+2´7
3+2
}
P
{
, 즉 P(-1, 1)
선분 AB를 3`:`2로 외분하는 점은
3´1-2´(-4)
3-2
,
3´(-3)-2´7
3-2
}
Q
{
따라서 선분 PQ의 중점의 좌표는
-1+11
2
,
1+(-23)
2
}
{
, 즉 Q(11, -23)
, 즉 (5, -11)
(5, -11)
1044
선분 AB를 1`:`2로 외분하는 점의 좌표가 (-6, b)이므로
1´a-2´(-1)
1-2
∴`ab=40
1´(-6)-2´2
1-2
=-6,
=b
∴ `a=4, b=10
⑤
1045
ABÓ 를 3`:`1로 내분하는 점의 좌표가 (0, 0)이므로
3´(b+1)+1´3
3+1
3b+6=0, a-2=0
3´(-1)+1´(a+1)
3+1
=0,
=0
∴ a=2, b=-2
즉, B(-1, -1), C(4, -2)
BCÓ 를 4`:`3으로 외분하는 점의 좌표가 (x, y)이므로
=19, y=
4´(-2)-3´(-1)
4-3
=-5 … ❸
x=
4´4-3´(-1)
4-3
∴ x-y=24
채점 기준
❶ a, b의 값을 구할 수 있다.
❷ 두 점 B, C의 좌표를 구할 수 있다.
❸ x, y의 값을 구할 수 있다.
❹ x-y의 값을 구할 수 있다.
1046
선분 AB를 m`:`n으로 외분하는 점의 좌표는
{
m´(-2)-n´1
m-n
m´6-n´(-3)
m-n
이 점이 (-5, 15)와 같으므로
,
, 즉
{
}
-2m-n
m-n
,
6m+3n
m-n }
-2m-n
m-n
=-5,
6m+3n
m-n
=15에서 m=2n
따라서 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점의 좌표는
2´(-2)+1´1
2+1
,
2´6+1´(-3)
2+1
}
{
, 즉 (-1, 3)
(-1, 3)
1047
점 A를 원점, 직선 AB를 x축으로 하는 새로운 좌표평면에 대하여
A(0, 0), B(b, 0)(b>0)이라 하면
선분 AB를 2`:`3으로 내분하는 점은
{
P
2´b+3´0
2+3
2b
5
선분 AB를 3`:`2로 외분하는 점은
0
2+3 }
, 즉 P
,
{
, 0
}
Q
{
3´b-2´0
3-2
,
0
3-2 }
, 즉 Q(3b, 0)
이때, PQÓ=13이므로
3b- 2b
5 }
¾Ð{
=13에서
=13Û`, bÛ`=25
2`
∴ b=5 (∵ b>0)
{
13b
5 }
∴ ABÓ=5
2`
다른 풀이
A
P
B
Q
위의 그림에서 PQÓ=13이므로 ABÓ=5이다.
5
17
1048
3ABÓ=2BCÓ에서 ABÓ : BCÓ=2 : 3
이때, a>0이므로 직선 AB 위의 세 점 A, B, C는 이 순서대로 놓여
있고, 점 C는 선분 AB를 5 : 3으로 외분하는 점이다.
a= 5´4-3´(-2)
=13, b= 5´1-3´(-1)
=4
5-3
5-3
∴`a+b=17
다른 풀이 3ABÓ=2BCÓ에서 ABÓ : BCÓ=2 : 3
이때, a>0이므로 점 B는 ACÓ를 2 : 3으로 내분하는 점이다.
즉,
2a+3´(-2)
2+3
=4,
2b+3´(-1)
2+3
=1에서
2a-6=20, 2b-3=5
∴ a=13, b=4
∴ a+b=17
등식을 만족시키는 선분의 연장선 위의 점 구하기
ABÓ의 연장선 위에 nABÓ=mBCÓ(m>0, n>0)
m+n
가 되도록 점 C를 잡으면
A
m
B
n
C
⑴ 점 B는 ACÓ를 m : n으로 내분하는 점이다.
⑵ 점 C는 ABÓ를 (m+n) : n으로 외분하는 점이다.
… ❶
… ❷
… ❹
24
비율
40`%
20`%
30`%
10`%
10 평면좌표 | 137
10ㅡ평면좌표 1049
|전략| 점 P(a, b)를 구한 후 이 점이 제 1 사분면 위의 점이므로 a>0, b>0임
1052
|전략| 세 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª), C(x£, y£)에 대하여 △ABC의 무게중심
을 이용하여 t의 값의 범위를 구한다.
t : (1-t)에서 t>0, 1-t>0
∴`00, b>0이다.
즉, 9t-3>0, -2t+5>0에서
0, b<0, c>0이므로
(기울기)=-
>0, (y절편)=-
>0
;bC;
;bA;
따라서 직선 ax+by+c=0의 개형은 오른
쪽 그림과 같으므로 제`1, 2, 3`사분면을 지
난다.
⑵ ax+by+c=0에서 b=0이므로
ax+c=0
∴ `x=-
;aC;
a<0, c<0이므로 -
<0
;aC;
따라서 직선 ax+by+c=0의 개형은 오른
쪽 그림과 같으므로 제`2, 3`사분면을 지난
다.
y
O
y
O
x
x
144 | III . 도형의 방정식
⑴ 제`1, 2, 3`사분면 ⑵ 제`2, 3`사분면
따라서 구하는 점의 좌표는 (1, 3)이다.
(1, 3)
정답과 해설 1101
주어진 식을 k에 대하여 정리하면
(x+2y+6)k+(x+2)=0
1109
-2x+y-1=0에서 y=2x+1
즉, 직선 ax+(b-1)y+3=0은 기울기가 2이고 점 (-1, 1)을 지
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면
나는 직선이므로
x+2y+6=0, x+2=0
y-1=2{x-(-1)}, y=2x+3
두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=-2
∴ 2x-y+3=0
따라서 구하는 점의 좌표는 (-2, -2)이다.
(-2, -2)
따라서 a=2, b-1=-1이므로 a=2, b=0
11ㅡ
직
선
의
방
정
식
x-y-9+9x+6y+9=0
∴ y=-2x
y=-2x
(x-y-9)+k(3x+2y+3)=0`(k는 실수)
yy`㉠
3
점 (2, 1)을 지나고 기울기가 tan 30ù= '
3
인 직선의 방정식은
1102
두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을
으로 놓으면 이 직선이 원점을 지나므로
-9+3k=0
∴ k=3
k=3을 ㉠에 대입하면
1103
|1´1+1´3-2|
1Û`+1Û`
=
2
2
'
=
2
'
1104
|3´(-2)-4´4+2|
3Û`+(-4)Û`
=
:ª5¼:
=4
"Ã
"Ã
1105
|-10|
2Û`+1Û`
"Ã
=
10
5
'
=2
5
'
∴ a+b=2
1110
2
②
3
y-1= '
3
(x-2)
∴
3x-3y+3-2
3=0
'
따라서 a=3, b=3-2
3이므로
'
'
a+b=6-2
3
'
1111
|전략 | 두 점 (xÁ, yÁ), (xª, yª)를 지나는 직선의 방정식은
y-yÁ=
(x-xÁ)이다. (단, xÁ+xª)
두 점 (1, 1), (3, -7)을 지나는 직선의 방정식은
y-1=
(x-1)
∴ y=-4x+5
yª-yÁ
xª-xÁ
-7-1
3-1
2
'
4
두 점 (4, a), (b, 9)가 직선 y=-4x+5 위의 점이므로
a=-16+5=-11, 9=-4b+5에서 b=-1
2
5
'
∴`a-b=-10
-10
1106
두 직선 x+y-2=0, x+y+6=0은 평행하므로 두 직선 사이의 거
리는 직선 x+y-2=0 위의 한 점 (0, 2)와 직선 x+y+6=0 사이
의 거리와 같다.
∴
|0+2+6|
1Û`+1Û`
"Ã
=
8
2
'
=4
2
'
1112
삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는
2+(-2)+0
3
-1+(-5)+3
3
G
,
{
, 즉 G(-1, 0)
}
4
2
'
따라서 직선 BG의 방정식은
0-(-2)
-1-(-5)
y-0=
{x-(-1)} ∴ y=
x+
;2!;
;2!;
유형 마스터
유형 마스터
STEP2
1107
|전략 | 점 (xÁ, yÁ)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식은
y-yÁ=m(x-xÁ)이다.
두 점 (2, 7), (3, 1)을 이은 선분의 중점
{
2+3
2
,
7+1
2
, 즉
}
, 4
를 지나고 기울기가 4인 직선의 방정식은
}
{;2%;
y-4=4
x-
∴ 4x-y-6=0
{
;2%;}
따라서 a=4, b=-6이므로 ab=-24
①
1113
선분 AB를 3：2로 내분하는 점의 좌표는
3´3+2´(-2)
3+2
{
,
3´6+2´1
3+2
, 즉 (1, 4)
}
두 점 (1, 4), (-3, -4)를 지나는 직선의 방정식은
y-4=
(x-1)
∴ y=2x+2
-4-4
-3-1
따라서 a=2, b=2이므로 aÛ`+bÛ`=8
1108
x절편이 3이므로 점 (3, 0)을 지나고 기울기가 -2인 직선의 방정식
채점 기준
은
❶ ABÓ를 3：2로 내분하는 점의 좌표를 구할 수 있다.
❷ 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구할 수 있다.
y-0=-2(x-3)
∴ y=-2x+6
y=-2x+6
❸ a, b의 값을 구하고, aÛ`+bÛ`의 값을 계산할 수 있다.
y=
x+
;2!;
;2!;
… ❶
… ❷
… ❸
8
비율
40`%
50`%
10`%
11 직선의 방정식 | 145
1114
직선 AC의 방정식은
y-4=
(x-2)
∴ y=-3x+10
-2-4
4-2
직선 OB의 방정식은 y=0
…… ㉠
…… ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=
, y=0
:Á3¼:
따라서 두 대각선의 교점의 좌표는
, 0
이다.
{:Á3¼:
}
{:Á3¼:
, 0
}
1115
|전략 | x절편이 a, y절편이 b인 직선의 방정식은
+
=1이다. (단, ab+0)
x
a
y
b
x절편을 a라 하면 y절편은 -a이므로 직선의 방정식은
+ y
-a
;a{;
=1
∴ y=x-a
1119
|전략 | △ABC의 꼭짓점 A를 지나면서 그 넓이를 이등분하는 직선은 BCÓ의 중
점을 지나야 함을 이용한다.
점 A를 지나고 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하려면 직선이 BCÓ의
중점을 지나야 한다.
BCÓ의 중점의 좌표는
{
2+(-4)
2
,
3+5
2
, 즉 (-1, 4)이므로 두
}
점 (1, -2), (-1, 4)를 지나는 직선의 방정식은
y-(-2)=
(x-1)
∴ y=-3x+1
②
4-(-2)
-1-1
1120
두 직사각형의 넓이를 동시에 이등분하려면 직선이 두 직사각형의 대
각선의 교점을 모두 지나야 한다.
제`1`사분면 위에 있는 직사각형의 대각선의 교점의 좌표는
이 직선이 점 (1, 2)를 지나므로 2=1-a
∴ a=-1
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=x+1이다.
③
2+6
2
{
,
3+5
2
, 즉 (4, 4)
}
1116
x절편이 -3, y절편이 -9인 직선의 방정식은
x
-3
+ y
-9
=1
∴ y=-3x-9
이 직선이 점 (a, 6)을 지나므로
6=-3a-9
∴ a=-5
제`3`사분면 위에 있는 직사각형의 대각선의 교점의 좌표는
-2+0
2
{
,
-2+(-4)
2
, 즉 (-1, -3)
}
이때, 직선 ax+by-8=0이 두 점 (4, 4), (-1, -3)을 지나므로
4a+4b-8=0, -a-3b-8=0
두 식을 연립하여 풀면 a=7, b=-5
-5
∴`a-b=12
12
1117
|전략 | 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 직선 AB와 직선 AC의 기울기
가 같아야 함을 이용한다.
두 점 (2, 0), (-3+a, 3)을 지나는 직선의 기울기와 두 점 (2, 0),
(6, a-1)을 지나는 직선의 기울기가 같으므로
= a-1
4
= a-1-0
6-2
3-0
-3+a-2
(a-1)(a-5)=12
3
a-5
∴ aÛ`-6a-7=0
에서
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 a의 값의 곱은 -7이다.
1121
△ABD와 △ACD의 넓이의 비가 3：2이므로 점 D는 BCÓ를 3：2
로 내분하는 점이다.
3´4+2´(-1)
3+2
3´(-3)+2´2
3+2
, 즉 D(2, -1)
}
D
,
{
따라서 두 점 A(3, 3), D(2, -1)을 지나는 직선의 방정식은
y-3=
(x-3)
∴ y=4x-9
y=4x-9
-1-3
2-3
①
1122
1118
직선 AB의 기울기와 직선 AC의 기울기가 같으므로
= 3-2
a-2
3-1
-a-1
aÛ`-a=0, a(a-1)=0
에서 -(a-2)(a+1)=2
∴ a=1`(∵`a>0)
이때, 두 점 A(1, 2), B(3, 1)을 지나는 직선 l의 방정식은
y-2= 1-2
3-1
∴ y=-
(x-1)
;2%;
x+
;2!;
따라서 직선 l의 y절편은
이다.
;2%;
채점 기준
❶ 기울기를 이용하여 a에 대한 식을 세우고, a의 값을 구할 수 있다.
❷ 직선 l의 방정식을 구할 수 있다.
❸ 직선 l의 y절편을 구할 수 있다.
146 | III . 도형의 방정식
|전략 | 직선 ax+by+c=0을 y=-
x-
;bA;
;bC; 꼴로 변형하고 기울기와 y절편
의 부호를 알아본다.
ax+by+c=0에서 b+0이므로 y=-
x-
;bA;
;bC;
ac>0, bc>0이므로 ab>0
따라서 (기울기)=-
<0, ( y절편)=-
<0이므로 직선의 개형
;bA;
;bC;
③
은 ③과 같다.
1123
ax+by+c=0에서 b+0이므로 y=-
x-
;bA;
;bC;
이 직선의 기울기는 음수이고 y절편은 양수이므로
-
<0, -
>0
∴ ac<0
;bA;
;bC;
cx+ay+b=0에서 a+0이므로 y=-
x-
;aC;
;aB;
… ❶
… ❷
… ❸
;2%;
비율
50`%
30`%
20`%
정답과 해설 y
O
y
O
y
O
따라서 (기울기)=-
>0,
;aC;
(y절편)=-
<0이므로 직선의 개형은 오른
;aB;
쪽 그림과 같고 제`2 사분면을 지나지 않는다.
1124
ax+by+c=0에서 b+0이면 y=-
x-
;bA;
;bC;
ㄱ. ac<0, bc>0에서 ab<0이므로
(기울기)=-
>0, (y절편)=-
<0
즉, 오른쪽 그림과 같이 제`1, 3, 4`사분면을
지난다.
ㄴ. ab<0, ac<0에서 bc>0이므로
;bA;
;bA;
;bC;
;bC;
즉, 오른쪽 그림과 같이 제`1, 3, 4`사분면을
지난다.
ㄷ. ab>0에서 (기울기)=-
<0이고
;bA;
bc=0에서 c=0
즉, 오른쪽 그림과 같이 제`2, 4`사분면을 지
ab>0에서 b+0
y
O
난다.
따라서 옳은 것은 ㄷ이다.
1125
|전략 | 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0이 평행하면
a
a'
, 일치하면
이다.
a
a'
b
b'
b
b'
c
c'
c
c'
=
+
=
=
x
②
x
x
③
(기울기)=-
>0, (y절편)=-
<0
x
직선 bx+cy-4=0도 점 (-1, 2)를 지나므로
-b+2c-4=0
∴ b-2c=-4
두 직선 3x+2y-1=0, bx+cy-4=0이 수직이므로
3b+2c=0
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 b=-1, c=
;2#;
∴ a+b+2c=4
1128
직선 x+ay+1=0과 직선 2x-by+1=0이 수직이므로
1´2+a´(-b)=0
∴ ab=2
… ❶
또, 직선 x+ay+1=0과 직선 x-(b-3)y-1=0이 평행하므로
, -b+3=a
∴ `a+b=3
… ❷
= a
-b+3
;1!;
+
1
-1
∴`aÜ`+bÜ` =(a+b)Ü`-3ab(a+b)
=3Ü`-3´2´3=9
…… ㉠
…… ㉡
4
… ❸
9
비율
40`%
40`%
20`%
채점 기준
❶ ab의 값을 구할 수 있다.
❷ a+b의 값을 구할 수 있다.
❸ aÜ`+bÜ`의 값을 구할 수 있다.
1129
|전략 | 두 직선이 평행하면 두 직선의 기울기는 같고, y절편이 다르다.
두 점 (-2, 1), (4, -1)을 지나는 직선의 기울기는
-1-1
4-(-2)
=-
;3!;
;3!;
;3!;
기울기가 -
이고 점 (3, 2)를 지나는 직선의 방정식은
y-2=-
(x-3)
∴ x+3y-9=0
두 직선 (k+1)x+y-1=0, 2x-(k-2)y-1=0이 평행하거나
따라서 a=3, b=-9이므로 a-b=12
⑤
일치하려면
=
k+1
2
1
-k+2
kÛ`-k=0, k(k-1)=0
에서 (k+1)(-k+2)=2
1130
∴ k=0 또는 k=1
두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기는
=-1이므로 구하는
2-5
4-1
Ú k=0일 때,
=
+
;2!;
;2!;
이므로 두 직선은 평행하다.
Û k=1일 때,
=
=
;1!;
;2@;
이므로 두 직선은 일치한다.
Ú, Û에서 a=0, b=1이므로 a-b=-1
③
-1
-1
-1
-1
직선의 기울기는 1이다.
ABÓ를 1`:`2로 내분하는 점의 좌표는
1´4+2´1
1+2
{
,
1´2+2´5
1+2
, 즉 (2, 4)
}
따라서 기울기가 1이고 점 (2, 4)를 지나는 직선의 방정식은
y-4=x-2
∴ y=x+2
y=x+2
1126
두 직선 ax-4y+1=0, (a-2)x+2y+3=0이 서로 수직이려면
a(a-2)+(-4)´2=0
∴ aÛ`-2a-8=0
1131
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 a의 값의 합은 2이다. ③
1127
직선 3x+ay-1=0이 점 (-1, 2)를 지나므로
-3+2a-1=0
∴ a=2
직선 2x-y-1=0, 즉 y=2x-1에 수직인 직선의 기울기는 -
;2!;
이므로 점 P(-2, 5)를 지나고 기울기가 -
인 직선의 방정식은
y-5=-
{x-(-2)} ∴ y=-
x+4
;2!;
;2!;
;2!;
11 직선의 방정식 | 147
11ㅡ직선의 방정식 이때, 점 H는 두 직선 y=2x-1, y=-
x+4의 교점이므로 두 식
직선 x-2y=0과 직선 AB는 수직이므로
;2!;
y-4=-
(x-3)
∴ y=-
x+
;2!;
:Á2Á:
y=-
x+
;2!;
:Á2Á:
;2!;
y-1=-{x-(-1)}
∴ y=-x
yy`㉠
을 연립하여 풀면 x=2, y=3
∴ H(2, 3)
1132
∠BAO=∠ACO이므로
∠BAC =∠BAO+∠CAO=∠ACO+∠CAO=90ù
즉, 두 직선 lÁ, lª는 서로 수직이다.
이때, 두 점 A(0, 2), B(-1, 0)을 지나는 직선 lª의 기울기는
=2이므로 직선 lÁ의 기울기는 -
0-2
-1-0
따라서 직선 lÁ에 평행하고 점 (3, 4)를 지나는 직선의 방정식은
이다.
;2!;
1133
|전략 | ABÓ의 수직이등분선은 ABÓ의 중점을 지나고, 직선 AB와 수직임을 이용
한다.
ABÓ의 중점의 좌표는
{
,
3+(-5)
2
, 즉 (1, -1)
}
직선 AB의 기울기는
=-2
-1+3
2
-5-3
3-(-1)
따라서 ABÓ의 수직이등분선은 기울기가
이고 점 (1, -1)을 지나
므로 y-(-1)=
(x-1)
∴ y=
x-
;2!;
이 직선이 점 (5, a)를 지나므로 a=
;2!;
;2!;
;2#;
-
=1
;2#;
;2%;
1134
직선 3x+2y-6=0, 즉 y=-
x+3의 x절편, y절편이 각각 2, 3
;2#;
이므로 양 끝점을 A(2, 0), B(0, 3)이라 하면
ABÓ의 중점의 좌표는
{
2+0
2
,
0+3
2
, 즉
}
{
1,
;2#;}
직선 AB의 기울기는 -
;2#;
따라서 ABÓ의 수직이등분선은 기울기가
이고 점
{
;3@;
1,
;2#;}
을 지나므
로 y-
=
;2#;
;3@;
(x-1) ∴ y=
x+
;3@;
;6%;
이 직선이 점
, a
를 지나므로
}
{;4!;
a=
´
;3@;
;4!;
+
;6%;
=1
1135
=-1
∴ m-n=-4
yy`㉡
④
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m=-1, n=3
②
´ n-m
1-3
;2!;
∴ mn=-3
1136
-3+1
Ú ACÓ의 중점의 좌표는
{
2
3-(-1)
1-(-3)
직선 AC의 기울기는
=1
,
-1+3
2
, 즉 (-1, 1)
}
즉, ACÓ의 수직이등분선은 기울기가 -1이고 점 (-1, 1)을 지
나므로
2+1
Û BCÓ의 중점의 좌표는
{
2
3-2
1-2
직선 BC의 기울기는
=-1
,
2+3
2
, 즉
}
{;2#;
,
;2%;}
즉, BCÓ의 수직이등분선은 기울기가 1이고 점
,
{;2#;
;2%;}
를 지나므로
y-
=x-
∴ y=x+1
;2%;
;2#;
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=-
, y=
;2!;
;2!;
따라서 구하는 점의 좌표는
{
-
,
;2!;
;2!;}
이다.
-
{
;2!;
,
;2!;}
다른 풀이 삼각형 ABC의 세 변의 수직이등분선의 교점은 외심이고 외심
(a+3)Û`+(b+1)Û`=(a-2)Û`+(b-2)Û`
aÛ`+6a+9+bÛ`+2b+1=aÛ`-4a+4+bÛ`-4b+4
∴`5a+3b=-1
또, BPÓ=CPÓ에서 BPÓ
Û`=CPÓ
Û`이므로
(a-2)Û`+(b-2)Û`=(a-1)Û`+(b-3)Û`
yy`㉠
aÛ`-4a+4+bÛ`-4b+4=aÛ`-2a+1+bÛ`-6b+9
∴`a-b=-1
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-
;2!;, b=
;2!;
∴`P
-
{
,
;2!;
;2!;}
1
을 P(a, b)라 하면 APÓ=BPÓ=CPÓ가 성립한다.
Û`=BPÓ
APÓ=BPÓ에서 APÓ
Û`이므로
⑤
1137
|전략 | 서로 다른 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 세 직선이 모두 평행
할 때, 두 직선이 평행할 때, 세 직선이 한 점에서 만날 때이다.
x-y=0 y`㉠, x+y=2 y`㉡, 5x-ky=15 y`㉢이라 하자.
ABÓ의 중점의 좌표는
{
3+1
2
, m+n
2
, 즉
}
{
2, m+n
2
}
직선 x-2y=0이 이 점을 지나므로
2-2´ m+n
=0 ∴ m+n=2
2
Ú 두 직선 ㉠, ㉢이 평행할 때
=
;5!;
-1
-k
+
;1¼5;
∴ k=5
Û 두 직선 ㉡, ㉢이 평행할 때
yy`㉠
=
;5!;
1
-k
+
;1ª5;
∴ k=-5
148 | III . 도형의 방정식
정답과 해설 1143
직선 2x-y=1이 점 (a, b)를 지나므로
ax+2(2a-1)y=-2
이 식을 a에 대하여 정리하면
(x+4y)a-2y+2=0
이 식이 a의 값에 관계없이 항상 성립하려면
x+4y=0, -2y+2=0
두 식을 연립하여 풀면 x=-4, y=1
Ü 직선 ㉢이 두 직선 ㉠, ㉡의 교점 (1, 1)을 지날 때
5-k=15
∴ k=-10
Ú, Û, Ü에서 모든 상수 k의 값의 합은
5+(-5)+(-10)=-10
1142
주어진 식을 k에 대하여 정리하면
(2x+y-3)k-(x-2y+1)=0
④
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면
2x+y-3=0, x-2y+1=0
두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=1
∴ P(1, 1)
1138
x-2y+m+1=0 y㉠, x-y-1=0 y㉡, mx-2y+4=0 y㉢
이라 하자.
세 직선 ㉠, ㉡, ㉢이 한 점에서 만나려면 직선 ㉢이 두 직선 ㉠, ㉡의
의 방정식은
따라서 점 P(1, 1)을 지나고 직선 x=2y, 즉 y=
x에 평행한 직선
;2!;
y-1=
(x-1)
∴ y=
;2!;
x+
;2!;
;2!;
y=
x+
;2!;
;2!;
교점을 지나야 한다.
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=m+3, y=m+2
직선 ㉢이 점 (m+3, m+2)를 지나려면
m(m+3)-2(m+2)+4=0
mÛ`+m=0, m(m+1)=0
∴ m=-1 또는 m=0
2a-b=1
∴ b=2a-1
따라서 모든 실수 m의 값의 합은 -1+0=-1
②
b=2a-1을 ax+2by=-2에 대입하면
1139
서로 다른 세 직선 ax+y-1=0, 2x-y+3=0, x+by+1=0에
의하여 좌표평면이 4개의 영역으로 나누어지려면 세 직선이 모두 평
행해야 한다.
두 직선 ax+y-1=0, 2x-y+3=0이 평행하려면
=
;2A;
1
-1
+
-1
3
∴ a=-2
두 직선 2x-y+3=0, x+by+1=0이 평행하려면
=
;1@;
-1
b
+
;1#;
∴ b=-
;2!;
∴ ab=1
1140
|전략 | 주어진 직선이 k의 값에 관계없이 일정한 점을 지나므로 주어진 식은
k에 대한 항등식이다.
주어진 식을 k에 대하여 정리하면
(3x+y-4)k+(x+y+2)=0
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면
3x+y-4=0, x+y+2=0
두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=-5
∴ P(3, -5)
따라서 점 P(3, -5)와 원점 사이의 거리는
②
3Û`+(-5)Û`=
34
'¶
"Ã
1141
주어진 식을 k에 대하여 정리하면
(x-y+2)k+(x+y+a)=0
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면
x-y+2=0, x+y+a=0
즉, 점 (-3, b)는 위의 두 직선의 교점이므로
-3-b+2=0, -3+b+a=0
두 식을 연립하여 풀면 a=4, b=-1
∴`ab=-4
따라서 직선 ax+2by=-2는 항상 점 (-4, 1)을 지난다. ⑤
1144
|전략 | 직선 k(x-a)+y-b=0은 k의 값에 관계없이 정점 (a, b)를 지난다.
1
y=mx+m+2에서 m(x+1)-(y-2)=0
yy`㉠
이 직선은 m의 값에 관계없이 항상 점 (-1, 2)를 지난다.
오른쪽 그림과 같이 두 직선이 제`1`사분면
에서 만나도록 직선 ㉠을 움직여 보면
Ú 직선 ㉠이 점 (3, 0)을 지날 때
4m+2=0
∴ m=-
;2!;
Û 직선 ㉠이 점 (0, 3)을 지날 때
m-1=0
∴ m=1
y
3
2
Ú
Û
-1 O
3
x
y=-x+3
Ú, Û에서 구하는 m의 값의 범위는 -
0)
;2#;
;2#;
1160
|전략 | △ABC의 밑변을 ABÓ라 하면 높이는 점 C에서 직선 AB까지의 거리이
다.
이때, ABÓ=
(6-3)Û`+(5-1)Û`=5이고 점 C
1,
와 직선
{
;2%;}
"Ã
4x-3y-9=0
yy`㉡
yy`㉢
두 직선 ㉡, ㉢`의 교점을 B,
두 직선 ㉠, ㉢`의 교점을 C
라 하면
A(3, 1), B(6, 5), C
1,
{
;2%;}
4x-3y-9=0 사이의 거리는
4´1-3´
-9
;2%;
|
|
4Û`+(-3)Û`
"Ã
=
;2%;
∴ △ABC=
´5´
=
:ª4°:
;2%;
;2!;
ABÓ=
(5-3)Û`+(-1-3)Û`=2
5
"Ã
'
직선 AB의 방정식은
y-3=
(x-3)
∴ `2x+y-9=0
-1-3
5-3
점 C(-1, 1)과 직선 AB 사이의 거리는
|2´(-1)+1´1-9|
2Û`+1Û`
10
5
=2
=
'
5
"Ã
∴`△ABC=
'
5=10
´2
5´2
;2!;
'
'
(-3-0)Û`+(0-6)Û`=3
5
'
1161
ABÓ=
"Ã
직선 AB의 방정식은
y-6= 0-6
-3-0
(x-0)
∴ `2x-y+6=0
점 C(3, k)와 직선 AB 사이의 거리는
|2´3-1´k+6|
2Û`+(-1)Û`
=
"Ã
|12-k|
5
'
이때, 삼각형 ABC의 넓이가 15이므로
|12-k|
5
´3
5´
'
;2!;
'
12-k=Ñ10
=15, |12-k|=10
∴ k=2 또는 k=22
따라서 모든 실수 k의 값의 합은 24이다.
1162
선은 평행하다.
직선 OA와 직선 4x-3y-30=0의 기울기가
로 같으므로 두 직
;3$;
따라서 삼각형 OAP에서 OAÓ를 밑변으로 하면 원점에서 직선
4x-3y-30=0까지의 거리가 높이가 된다.
OAÓ=
3Û`+4Û`=5
"Ã
원점과 직선 4x-3y-30=0 사이의 거리는
=6
|-30|
4Û`+(-3)Û``
"Ã
∴ △OAP=
´5´6=15
;2!;
152 | III . 도형의 방정식
다른 풀이 두 직선 3x+4y-13=0, 4x-3y-9=0에서
3´4+4´(-3)=0
즉, 두 직선은 수직이므로 ∠CAB=90ù
③
∴ △ABC=
´ABÓ´ACÓ=
´5´
=
;2!;
;2%;
:ª4°:
;2!;
:ª4°:
1164
|전략 | 두 직선의 각의 이등분선 위의 점에서 두 직선에 이르는 거리는 같다.
두 직선 x+2y-1=0, 2x-y-1=0이 이루는 각의 이등분선 위의
한 점의 좌표를 (x, y)라 하면 점 (x, y)에서 두 직선에 이르는 거리
가 같으므로
|x+2y-1|
1Û`+2Û`
=
"Ã
|2x-y-1|
2Û`+(-1)Û`
"Ã
x+2y-1=Ñ(2x-y-1)
∴ x-3y=0 또는 3x+y-2=0
이 중에서 기울기가 음수인 것은 3x+y-2=0
따라서 a=3, b=1이므로 a-b=2
②
⑤
1165
직선 OA의 방정식은 y=
x
∴ `5x-2y=0
직선 OB의 방정식은 y=-
x
∴ `2x+5y=0
오른쪽 그림과 같이 ∠AOB의 이등분선 위
의 한 점을 P(x, y)라 하면 점 P에서 두 직선
y
5
A
;2%;
;5@;
에 이르는 거리가 같으므로
|5x-2y|
5Û`+(-2)Û`
=
|2x+5y|
2Û`+5Û`
"Ã
5x-2y=Ñ(2x+5y)
"Ã
∴`3x-7y=0 또는 7x+3y=0
P
5
O
-2
2
x
B
이때, ∠AOB의 이등분선의 기울기는 양수이므로 구하는 방정식은
15
3x-7y=0
⑤
정답과 해설 ∴ y=-3 또는 4x+5y+3=0
y=-3 또는 4x+5y+3=0
다른 풀이 두 점 (1, 1), (-1, 5)를 지나는 직선의 방정식은
1166
P(x, y)라 하면 2PRÓ=PSÓ이므로
2´
|x+2y+3|
1Û`+2Û`
=
|2x+y-3|
2Û`+1Û`
"Ã
"Ã
2(x+2y+3)=Ñ(2x+y-3)
내신 마스터
내신 마스터
STEP3
1167
유형 01 기울기와 한 점이 주어진 직선의 방정식
|전략 | 점 (xÁ, yÁ)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식은
y-yÁ=m(x-xÁ)이다.
선분 AB를 1：2로 내분하는 점의 좌표는
1´(-12)+2´3
1+2
,
1´(-5)+2´4
1+2
{
, 즉 (-2, 1)
}
1168
유형 02 두 점을 지나는 직선의 방정식
|전략 | 두 점 (xÁ, yÁ), (xª, yª)를 지나는 직선의 방정식은
y-yÁ=
(x-xÁ)이다. (단, xÁ+xª )
yª-yÁ
xª-xÁ
두 점 (-1, 1), (3, 5)를 지나는 직선의 방정식은
y-1=
5-1
3-(-1)
{x-(-1)}
∴ y=x+2
두 점 (1, 1), (-1, 5)를 지나는 직선의 기울기와 두 점 (-1, 5),
(-k+2, k+1)을 지나는 직선의 기울기가 같으므로
=
5-1
-1-1
2k-6=k-4
k+1-5
-k+2-(-1)
∴ k=2
에서 -2= k-4
-k+3
③
11ㅡ
직
선
의
방
정
식
y-1=
5-1
-1-1
(x-1)
∴ y=-2x+3
이 직선이 점 (-k+2, k+1)을 지나므로
k+1=2k-4+3
∴ k=2
1171
유형 06 계수의 부호에 따른 직선의 개형
|전략 | 직선 ax+by+c=0을 y=-
x-
;bA;
;bC; 꼴로 변형하고 기울기와 y절편
의 부호를 알아본다.
따라서 (기울기)=-
<0,
;bA;
(y절편)=-
>0이므로 직선의 개형은 오른
;bC;
쪽 그림과 같고 제 3 사분면을 지나지 않는다.
y
O
x
③
따라서 점 (-2, 1)을 지나고 기울기가 -2인 직선의 방정식은
ax+by+c=0에서 b+0이므로 y=-
x-
;bA;
;bC;
y-1=-2(x+2)
∴ y=-2x-3
③
ab>0, ac<0이므로 bc<0
이 직선이 x축, y축에 의하여 잘리는 선분의 길이는 직선이 x축과 만
나는 점 (-2, 0)과 y축과 만나는 점 (0, 2) 사이의 거리이므로 구
유형 07 두 직선의 위치 관계
|전략 | 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0이 수직이면 aa'+bb'=0,
하는 길이는
(0+2)Û`+(2-0)Û`=2
2
'
"Ã
1169
유형 03 x절편, y절편이 주어진 직선의 방정식
|전략 | x절편이 a, y절편이 b인 직선의 방정식은 ;a{;
+
;b};
=1이다. (단, ab+0 )
x절편이 4, y절편이 2이므로 주어진 직선의 방정식은
+
;4{;
;2};
=1
∴ y=-
x+2
③ x=2, y=1을 y=-
x+2에 대입하면
;2!;
;2!;
따라서 이 직선 위의 점은 ③ (2, 1)이다.
③
1=-
´2+2
;2!;
1170
유형 04 세 점이 한 직선 위에 있을 조건
|전략 | 임의의 세 점이 삼각형을 이루지 않으려면 세 점 중 어느 두 점이 일치하
거나 세 점이 일직선 위에 있어야 한다.
세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 존재하지 않으므로 세 점은 한 직
선 위에 있다.
②
두 직선 (a-2)x+2y-1=0, 3x+(a-1)y+1=0에 대하여
평행하면
=
+
이다.
a
a'
b
b'
c
c'
Ú 두 직선이 수직으로 만날 때
(a-2)´3+2(a-1)=0
5a=8
∴ a=
;5*;
Û 두 직선이 만나지 않을 때, 즉 평행할 때
a-2
3
=
2
a-1
+
-1
1
(a-2)(a-1)=6, aÛ`-3a-4=0
(a+1)(a-4)=0
∴ a=-1 또는 a=4
그런데 a=-1일 때
이므로 두 직선은 일치
-3
3
=
2
-2
=
-1
1
Ú, Û에서 a=
, b=4이므로 5ab=32
;5*;
②
유형 09 선분의 수직이등분선의 방정식
|전략 | 마름모 ABCD에 대하여 두 점 B, D를 지나는 직선 l은 ACÓ의 수직이등
1172
한다.
∴ a=4
1173
분선이다.
11 직선의 방정식 | 153
ABCD는 마름모이므로 두 점 B, D를 지나는 직선 l은 선분 AC
즉, 점 C의 좌표를 (a, b)라 하면 ACÓ의 중점의 좌표는
의 수직이등분선이다.
두 점 A(1, 3), C(5, 1)에 대하여 선분 AC의 중점의 좌표는
1+5
2
{
,
3+1
2
, 즉 (3, 2)
}
직선 AC의 기울기는
1-3
5-1
=-
;2!;
따라서 직선 l은 오른쪽 그림과 같이
l
선분 AC의 중점 (3, 2)를 지나고 기
A
D
울기가 2인 직선이므로
y-2=2(x-3)
∴ 2x-y-4=0
즉, a=-1, b=-4이므로 ab=4
②
O
1
3
5
x
y
3
2
1
사각형의 성질
⑴ 평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.
⑵ 직사각형의 두 대각선은 길이가 서로 같고, 서로 다른 것을 이등분한다.
⑶ 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다.
⑷ 정사각형의 두 대각선은 길이가 서로 같고, 서로 다른 것을 수직이등분한
-2+a
2
{
,
-1+b
2
이고, 이 점의 좌표가 (1, 2)이어야 하므로
}
-2+a=2, -1+b=4
∴ a=4, b=5
따라서 점 C의 좌표는 (4, 5)이다.
③
다른 풀이 직선 kx-y-k+2=0이 직사각형 ABCD의 넓이를 이등
분하려면 이 직선이 두 대각선의 교점을 지나야 한다.
점 C의 좌표를 (a, b)라 하면 ACÓ의 중점의 좌표는
-2+a
2
{
,
-1+b
2
}
B
C
이 점이 직선 k(x-1)-(y-2)=0 위의 점이므로
-2+a
2
k
{
-1
-
}
{
-1+b
2
-2
=0
}
-4+a
2
k
{
-
{
}
-5+b
2
}
=0
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면
-4+a
2
=0,
-5+b
2
=0
∴ a=4, b=5
따라서 점 C의 좌표는 (4, 5)이다.
다.
1174
1175
1176
유형 13 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식
|전략 | 직선 l이 k의 값에 관계없이 일정한 점을 지나므로 직선 l은 k에 대한 항
등식이다. 이때, 주어진 k의 값을 직선 l에 대입하여 참, 거짓을 따져 본다.
ㄱ. 직선 l：2x+y-4+k(x-y+1)=0이 k의 값에 관계없이 항
상 성립하려면
2x+y-4=0, x-y+1=0
유형 11 정점을 지나는 직선의 방정식
|전략 | 주어진 식을 k에 대하여 정리한다.
주어진 식을 k에 대하여 정리하면
(2x-y+10)k+(3x+2y+1)=0
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면
두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=2
2x-y+10=0, 3x+2y+1=0
따라서 직선 l은 실수 k의 값에 관계없이 항상 점 (1, 2)를 지난
두 식을 연립하여 풀면 x=-3, y=4
∴ P(-3, 4)
다.
이때, 직선 3x-y=1, 즉 y=3x-1에 수직인 직선의 기울기는 -
;3!;
이므로 기울기가 -
이고 점 P를 지나는 직선의 방정식은
;3!;
y-4=-
{x-(-3)}
∴ y=-
x+3
;3!;
;3!;
따라서 직선 y=-
;3!;x+3의 x절편은 9이다.
ㄴ. k=-2이면 직선 l은 2x+y-4-2(x-y+1)=0
3y-6=0
∴ y=2
따라서 x축에 평행하다. (y축에 수직이다.)
ㄷ. k=1이면 직선 l은 2x+y-4+x-y+1=0
3x-3=0
∴ x=1
유형 12 정점을 지나는 직선의 활용
|전략 | 주어진 직선이 직사각형 ABCD의 넓이를 이등분하려면 이 직선이 두 대
과 수직이다.
④
따라서 y축에 평행하다. (x축에 수직이다.)
ㄹ. k=2이면 직선 l은 2x+y-4+2(x-y+1)=0
∴ 4x-y-2=0
따라서 4´1+(-1)´4=0이므로 직선 l은 직선 x+4y+3=0
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.
⑤
y
D
C(a, b)
2
1177
A(-2, -1)
O
1
B
x
유형 14 점과 직선 사이의 거리
|전략 | APÓ의 최솟값은 점 A와 주어진 직선 사이의 거리와 같다.
APÓ의 최솟값은 점 A(a, 1)과 직선
+
=1, 즉 3x+4y-12=0
;4{;
;3};
하려면 점 (1, 2)는 두 대각선의 교점이어야 한다.
사이의 거리와 같으므로
각선의 교점을 지나야 한다.
kx-y-k+2=0에서
k(x-1)-y+2=0
yy ㉠
직선 ㉠은 k의 값에 관계없이 항상
점 (1, 2)를 지난다.
이때, 직선 ㉠이 k의 값에 관계없이
직사각형 ABCD의 넓이를 이등분
154 | III . 도형의 방정식
정답과 해설 |3´a+4´1-12|
3Û`+4Û`
=2
"Ã
|3a-8|=10, 3a-8=Ñ10
∴ a=6 (∵ a>0)
즉, 직선 BD의 방정식은 y-2=-2(x-3)
∴ 2x+y-8=0
따라서 점 A(0, 3)과 직선 2x+y-8=0 사이의 거리는
④
|3-8|
2Û`+1Û`
"Ã
=
5
5
'
=
5
'
⑤
1178
유형 14 점과 직선 사이의 거리
|전략 | 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용한다.
점 P(a, 0)에서 두 직선 2x+y-2=0, x-y-4=0에 이르는 거리
1181
가 같으므로
|2´a-2|
2Û`+1Û`
"Ã
=
"Ã
|a-4|
1Û`+(-1)Û``
,
'
2(2a-2)Û`=5(a-4)Û`
2|2a-2|=
5|a-4|
'
2(4aÛ`-8a+4)=5(aÛ`-8a+16), 3aÛ`+24a-72=0
∴ aÛ`+8a-24=0
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실수 a의 값의 합은 -8이다.
⑤
1179
유형 14 점과 직선 사이의 거리
|전략 | 점 P와 직선 l 사이의 거리를 f(k)=
(c>0)라 하면 g(k)가 최
c
g(k)
소일 때 f(k)는 최댓값을 갖는다.
두 직선 2x+y-5=0, x-2y=0의 교점을 지나는 직선의 방정식은
2x+y-5+k(x-2y)=0
∴ (2+k)x+(1-2k)y-5=0
이 직선과 원점 사이의 거리를 `f(k)라 하면
|-5|
(2+k)Û`+(1-2k)Û``
=
5
5kÛ`+5
"Ã
5kÛ`+5가 최소, 즉 k=0일 때 f(k)가 최대이므로 구하는 최
"Ã
-
+2=
;2!;
;2#;
1182
좌표를 구한다.
유형 17 자취의 방정식 － 점과 직선 사이의 거리
|전략 | 두 직선의 각의 이등분선 위의 점에서 두 직선에 이르는 거리는 같다.
두 직선 3x+y+1=0, x-3y-1=0이 이루는 각의 이등분선 위의
한 점의 좌표를 (x, y)라 하면 점 (x, y)에서 두 직선에 이르는 거리
가 같으므로
|3x+y+1|
3Û`+1Û`
=
"Ã
|x-3y-1|
1Û`+(-3)Û`
"Ã
|3x+y+1|=|x-3y-1|
3x+y+1=Ñ(x-3y-1)
∴ x+2y+1=0 또는 2x-y=0
따라서 주어진 두 직선이 이루는 각을 이등분하는 직선의 방정식은
y=-
x-
또는 y=2x이므로 기울기의 합은
;2!;
;2!;
f(k)=
따라서
"Ã
댓값은
f(0)=
5
5
'
=
5
'
점 (2, 1)일 때이다.
2Û`+1Û`=
5
'
"Ã
1180
다른 풀이 두 직선 2x+y-5=0, x-2y=0의 교점 (2, 1)을 지나는
직선과 원점 사이의 거리가 최대일 때는 원점에서 직선에 내린 수선의 발이
따라서 구하는 최댓값은 점 (2, 1)과 원점 사이의 거리와 같으므로
유형 15 평행한 두 직선 사이의 거리
|전략 | 두 직선 AC, BD는 평행하므로 점 A와 직선 BD 사이의 거리를 구한다.
두 직선 AC, BD 사이의 거리는
점 A와 직선 BD 사이의 거리와 같
다.
직선 BD는 직선 x-2y+2=0,
즉 y=
x+1과 수직이므로 기울
;2!;
기가 -2이고, 점 B(3, 2)를 지난다.
y
3 A
2
1
C
x-2y+2=0
D
B
-2
O
3
x
유형 02 두 점을 지나는 직선의 방정식
|전략 | 마름모의 네 변의 길이는 같으므로 ABÓ의 길이를 이용하여 두 점 C, D의
ABÓ=
(-1-2)Û`+(-1-3)Û`=5
"Ã
이때, BCÓ와 ADÓ는 x축에 평행하고, BCÓ=ADÓ=5이므로
②
C(4, -1), D(7, 3)
따라서 직선 CD의 방정식은
y-(-1)=
3-(-1)
7-4
(x-4), 즉 y=
x-
:Á3»:
;3$;
이므로 구하는 y절편은 -
이다.
:Á3»:
❶ ABÓ의 길이를 이용하여 두 점 C, D의 좌표를 구할 수 있다.
❷ 직선 CD의 방정식을 구할 수 있다.
❸ 직선 CD의 y절편을 구할 수 있다.
채점 기준
1183
유형 10 세 직선의 위치 관계
|전략 | 세 직선에 의해 좌표평면이 6개의 영역으로 나누어지는 경우는 세 직선
중 두 직선이 평행한 경우, 세 직선이 한 점에서 만나는 경우이다.
11 직선의 방정식 | 155
④
… ❶
… ❷
… ❸
-
:Á3»:
배점
3점
2점
1점
11ㅡ직선의 방정식 세 직선이 좌표평면을 6개의 영역으로 나누는 경우는 세 직선 중 두
1185
직선이 평행하고 다른 한 직선이 평행한 두 직선과 각각 한 점에서 만
나는 경우와 주어진 세 직선이 한 점에서 만나는 경우이다. … ❶
Ú 직선 ax-y=4가 직선 x-y=2 또는 x+y=2와 평행할 때
유형 13 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식
|전략 | 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0의 교점을 지나는 직선의 방
정식을 ax+by+c+k(a'x+b'y+c')=0`( k는 실수)으로 놓는다.
⑴ 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을
(x-2y+2)+k(2x+y-6)=0 (k는 실수)
… ❷
으로 놓으면
(2k+1)x+(k-2)y-6k+2=0
…… ㉠
두 직선 x-y=2와 x+y=2의 교점 (2, 0)이 직선 ax-y=4
=
;1A;
-1
-1
+
또는
=
;2$;
;1A;
-1
1
+
;2$;
∴ a=1 또는 a=-1
Û 세 직선이 한 점에서 만날 때
위에 있어야 하므로
2a=4
∴ a=2
Ú, Û에서 모든 실수 a의 값의 곱은
-1´1´2=-2
채점 기준
❶ 세 직선이 좌표평면을 6개의 영역으로 나누는 경우를 생각할 수 있다.
❷ 직선 ax-y=4가 직선 x-y=2 또는 x+y=2와 평행할 때의 a의 값
을 구할 수 있다.
❸ 세 직선이 한 점에서 만날 때의 a의 값을 구할 수 있다.
❹ 모든 실수 a의 값의 곱을 구할 수 있다.
이 직선이 점 (1, 3)을 지나므로
2k+1+(k-2)´3-6k+2=0
-k-3=0
∴ k=-3
k=-3을 ㉠에 대입하면 -5x-5y+20=0
∴ x+y-4=0
⑵ 직선 y=-x+4가 x축과 만나는 점의
좌표는 (4, 0)이고, y축과 만나는 점의
좌표는 (0, 4)이므로 오른쪽 그림에서
y
4
O
구하는 도형의 넓이는
´4´4=8
;2!;
채점 기준
⑴ f(x, y)=0을 구할 수 있다.
x
4
y=-x+4
풀이 참조
배점
6점
4점
1184
유형 12 정점을 지나는 직선의 활용
|전략 | k의 값에 관계없이 항상 지나는 정점을 찾아 선분 AB와 만나도록 직접
(2, 2)
(1, 2)를 지난다.
… ❶
오른쪽 그림과 같이 직선 ㉠이 선분 AB와
-2
1186
그려 보면서 실수 k의 값의 범위를 알아본다.
kx-y-k+2=0에서
k(x-1)-(y-2)=0
yy ㉠
이 직선은 k의 값에 관계없이 항상 점
한 점에서 만나도록 움직여 보면
Ú 직선 ㉠이 점 A(-2, 0)을 지날 때
-3k+2=0
∴ k=
;3@;
Û 직선 ㉠이 점 B(0, 4)를 지날 때
-k-2=0
∴ k=-2
4
B
y
2
Ú
A
O 1
x
Û
⑵ f(x, y)=0과 x축 및 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다.
다른 풀이 ⑴ 두 직선 x-2y+2=0, 2x+y-6=0의 교점의 좌표는
두 점 (2, 2), (1, 3)을 지나는 직선의 방정식은
y-2=
(x-2)
∴ y=-x+4
3-2
1-2
유형 16 꼭짓점의 좌표가 주어진 삼각형의 넓이
|전략 | △ABC의 밑변을 BCÓ라 하면 높이는 점 A에서 직선 BC까지의 거리이
다.
⑴ BCÓ=
(-2-2)Û`+(-2-4)Û`=2
13
"Ã
'¶
⑵ 직선 BC의 방정식은
y-4=
(x-2)
∴ 3x-2y+2=0
-2-4
-2-2
Ú, Û에서 직선 ㉠과 선분 AB가 한 점에서 만나도록 하는 k의 값의
점 A(0, -1)과 직선 3x-2y+2=0 사이의 거리는
-2ÉkÉ
;3@;
|-2´(-1)+2|
3Û`+(-2)Û`
=
4
13
=
4
13`
'¶
13
"Ã
⑶ △ABC=
'¶
4
13`
'¶
13
=4
´2
13´
'¶
;2!;
❶ 직선 kx-y-k+2=0이 k의 값에 관계없이 항상 지나는 점의 좌표를
채점 기준
❷ 직선이 점 A(-2, 0)을 지날 때의 k의 값을 구할 수 있다.
⑴ BCÓ의 길이를 구할 수 있다.
❸ 직선이 점 B(0, 4)를 지날 때의 k의 값을 구할 수 있다.
⑵ 점 A와 직선 BC 사이의 거리를 구할 수 있다.
❹ 직선과 선분 AB가 한 점에서 만날 때의 k의 값의 범위를 구할 수 있다.
⑶ △ABC의 넓이를 구할 수 있다.
풀이 참조
배점
3점
4점
3점
범위는 -2ÉkÉ
;3@;
채점 기준
구할 수 있다.
156 | III . 도형의 방정식
… ❸
… ❹
-2
배점
2점
2점
2점
1점
… ❷
… ❸
… ❹
배점
1점
2점
2점
1점
정답과 해설 창의·융합 교과서 속 심화문제
1187
|전략| t초 후의 점 A, B, C의 좌표를 t에 대한 식으로 각각 나타낸 후, 세 점이
한 직선 위에 있을 조건을 이용하여 t의 값을 구한다.
두 점 A, B가 초당 3, 2의 속력으로 움직이므로 t(t+0)초 후의 두
점 A, B의 좌표는 A(3t, 0), B(0, 2t)
점 C는 직선 y=
x-1 위를 초당
5의 속력으로 움직이므로 t초
'
동안 움직인 거리는
;2!;
5t
'
이때, 오른쪽 그림과 같이 직선
y
y=
x-1이 y축과 만나는 점을 P,
;2!;
점 C를 지나고 y축에 평행한 직선과
점 P를 지나고 x축에 평행한 직선의
교점을 H라 하면 직선 y=
x-1
;2!;
B(0, 2t)
1
y= x-1
2
C(2t, -1+t)
O
P
-1
5t
'
2t
t
H
x
A(3t, 0)
의 기울기는
이므로
;2!;
PHÓ=2CHÓ
따라서 CHÓ=a, PHÓ=2a라 하면 △CPH는 직각삼각형이므로
aÛ`+(2a)Û`=(
∴ a=t
5t)Û`
'
즉, t초 후의 점 C의 좌표는 C(2t, -1+t)
세 점 A, B, C가 일직선 위에 있으려면 직선 AB와 직선 AC의 기울
기가 같아야 하므로
(t-1)-0
2t-3t
, -
=
;3@;
:t!;
-1
=
2t-0
0-3t
∴ t=3(초)
따라서 출발한 지 3초 후에 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 놓이게 된
다.
3초 후
참고 출발한 지 3초 후에 세 점 A, B, C의 좌표는 각각 A(9, 0), B(0, 6),
C(6, 2)이고, 세 점은 직선 y=-
x+6 위에 있다.
;3@;
1188
|전략| 직선 AB의 y절편을 구한 다음 넓이가 같을 조건을 이용하여 a의 값을 구
y
a
D
Sª
1
B
C
-1
SÁ
O
A
a
x
한다.
오른쪽 그림과 같이 선분 AB와 y축의
교점을 D라 하자.
두 점 A(a, a), B(-1, 1)을 지나는
직선의 방정식은
y-1=
a-1
a-(-1)
∴ y= a-1
a+1
x+
2a
a+1
{x-(-1)}
따라서 점 D의 좌표는 D
0,
2a
a+1 }
{
SÁ=
´
{
;2!;
Sª=
´
;2!;
2a
a+1
2a
a+1
+1
´1=
}
´a= aÛ`
a+1
3a+1
2(a+1)
직선 AB의 y절편
한편, ODBC의 넓이를 SÁ, △OAD의 넓이를 Sª라 하면
이때, y축이 사각형 OABC의 넓이를 이등분하므로
= aÛ`
a+1
3a+1
2(a+1)
SÁ=Sª에서
(a+1)(3a+1)=2aÛ`(a+1)
(a+1)(2aÛ`-3a-1)=0
∴ a=-1 또는 a=
이때, a>0이므로 a=
17`
3Ñ
'¶
4
3+
'¶
4
17`
점 A(a, a)는 제 1 사분면 위의 점이므로 a>0
17`
3+
'¶
4
1189
|전략| 삼각형의 무게중심의 성질을 이용하여 BNÓ, LMÓ의 교점과 점 N 사이의
거리를 구하고, BNÓ⊥LMÓ임을 이용하여 a, b에 대한 식을 세운다.
삼각형 ABC에서 BNÓ⊥LMÓ이고
LMÓ∥ACÓ이므로 BNÓ⊥ACÓ
이때, 두 직선 LM, BN의 교점을 P
라 하면 점 N이 변 AC의 중점이므로
B
점 P는 선분 LM의 중점이다.
L(2, 1)
N(a, b)
A
2
4
'
G
P
M(4, -1)
C
따라서 점 P의 좌표는
{
2+4
2
, 1-1
2
, 즉 (3, 0)
}
삼각형 LMN의 무게중심은 삼각형 ABC의 무게중심 G와 같고 선
분 NP는 삼각형 LMN의 중선이므로
NPÓ=3GPÓ=12
2
'
이때, N(a, b)이고 P(3, 0)이므로
무게중심은 중선을 2：1로 내분한다.
NPÓ
Û`=(a-3)Û`+bÛ`=(12
2)Û`=288
'
한편, 직선 NP와 직선 LM이 서로 수직이므로
yy ㉠
yy ㉡
=-1에서
b
a-3
=1
´
-1-1
4-2
b-0
a-3
∴ b=a-3
㉡을 ㉠에 대입하면
(a-3)Û`+(a-3)Û`=288, 2(a-3)Û`=288
(a-3)Û`=144=12Û`
a-3=-12 또는 a-3=12
∴ a=-9 또는 a=15
그런데 삼각형 LMN의 무게중심 G
가 제 1 사분면 위
a+6
3
{
,
;3B;}
의 점이므로 a=15
a=15를 ㉡에 대입하면 b=12
∴ ab=180
삼각형 ABC에서
⑴ AMÓ=MBÓ, ANÓ=NCÓ이면
MNÓ∥BCÓ, MNÓ=
;2!; BCÓ
⑵ AMÓ=MBÓ, MNÓ∥BCÓ이면
ANÓ=NCÓ
⑤
A
2배
M
N
B
C
11 직선의 방정식 | 157
11ㅡ직선의 방정식 1190
|전략| 직사각형을 좌표평면 위에 놓고 점과 직선 사이의 거리를 구하는 공식을
직선 m은 직선 l과 x축이 이루는 각의 이등분선이므로 점 P에서 직
선 l과 x축에 이르는 거리는 같다.
즉, 점 P(a, ka)에서 두 직선 4kx-y=0, y=0에 이르는 거리가 같
이용한다.
오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위
에 직사각형 ABCD를 점 C를
원점으로 하고, 선분 BC를 x축,
선분 DC를 y축에 오도록 놓으
면 두 점 A, M의 좌표는 각각
A(-4, 6), M(0, 3)이다.
직선 AC의 방정식은
CDÓ의 중점
y=-
x이므로 PRÓ의 길이를
;2#;
A(-4, 6)
4
D(0, 6)
으므로
y
S
6
M(0, 3)
P
R
16kÛ`+1=9, kÛ`=
;2!;
2
∴ k= '
2
(∵ k>0)
B
Q
C
x
따라서 직선 l의 기울기는
a라 하면 점 Q의 좌표는 Q(-a, 0), 점 P의 좌표는 P
-a,
{
a
}
;2#;
다른 풀이 △OAQ에서 OPÓ는 ∠AOQ의 이등분선이므로
2
2
'
=ka
|4ka-ka|
(4k)Û`+(-1)Û`
16kÛ`+1=3
"Ã
∴
"Ã
양변을 제곱하여 풀면
2
4k=4´ '
2
=2
2
'
OAÓ：OQÓ=APÓ：QPÓ
a：
aÛ`+(4ka)Û`=ka：3ka
"Ã
1+16kÛ`=1：3
1：
"Ã
1+16kÛ`=3
∴
"Ã
양변을 제곱하여 풀면
따라서 직선 l의 기울기는
2
4k=4´ '
2
=2
2
'
1+16kÛ`=9, kÛ`=
;2!;
2
∴ k= '
2
(∵ k>0)
이다. (단, 00)
점 C'에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하
면 삼각형 C'BH에서
3
'
C'
라 하고, 이를 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다.
∠C'BH=60ù이고 BC'Ó=BCÓ=2이므로
y
l : y=4kx
Q(a, 4ka)
m : y=kx
P(a, ka)
O
A(a, 0)
x
이때, x축 위의 한 점 A(a, 0)(a>0)을 잡고, 점 A를 지나고 y축에
평행한 직선을 그어 두 직선 m, l과 만나는 점을 각각 P, Q라 하면
P(a, ka), Q(a, 4ka)
158 | III . 도형의 방정식
BHÓ=1, C'HÓ=
3
'
∴ C'(1,
3)
'
30ù
30ù
H(1, 0)
B
C
x
이때, 두 점 B(0, 0), D(2, 4)를 지나는
직선 BD의 방정식은 y=2x이므로 점 C'(1,
3)과 직선 y=2x, 즉
'
2x-y=0 사이의 거리는
3|
|2´1-1´
2Û`+(-1)Û`
2-
'
5
=
'
3
'
"Ã
따라서 a=
, b=
이므로
;5@;
;5!;
100ab=100´
´
;5@;
;5!;
=8
=
;5@;'
5-
;5!;'¶
15
D
E
8
정답과 해설 12 원의 방정식
본책 190~207쪽
1202
반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은
1194
xÛ`+(y+2)Û`=5Û`에서 원의 중심의 좌표는 (0, -2), 반지름의 길이
각각 대입하면
C=0
는 5이다.
(0, -2), 5
1+1-A+B+C=0
∴ -A+B+C=-2
(x-3)Û`+(y+2)Û`=rÛ`이고, 이 원이 점 (2, 0)을 지나므로
(-1)Û`+2Û`=rÛ`
∴`rÛ`=5
따라서 구하는 원의 방정식은
(x-3)Û`+(y+2)Û`=5
(x-3)Û`+(y+2)Û`=5
1203
원의 방정식을 xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0으로 놓고 세 점의 좌표를
49+1+7A+B+C=0
∴ 7A+B+C=-50
C=0을 ㉠, ㉡에 각각 대입하면
-A+B=-2, 7A+B=-50
두 식을 연립하여 풀면 A=-6, B=-8
따라서 구하는 원의 방정식은
xÛ`+yÛ`-6x-8y=0
xÛ`+yÛ`-6x-8y=0
12ㅡ
원
의
방
정
식
yy ㉠
yy ㉡
1
개념 마스터
STEP1
1193
(x-3)Û`+(y+5)Û`=2Û`에서 원의 중심의 좌표는 (3, -5), 반지름
의 길이는 2이다.
(3, -5), 2
1195
(x-1)Û`+yÛ`=4Û`에서 원의 중심의 좌표는 (1, 0), 반지름의 길이는
4이다.
(1, 0), 4
1196
xÛ`+yÛ`+4x-5=0에서 (x+2)Û`+yÛ`=9
따라서 원의 중심의 좌표는 (-2, 0), 반지름의 길이는 3이다.
1197
xÛ`+yÛ`-2x-10y-7=0에서 (x-1)Û`+(y-5)Û`=33
따라서 원의 중심의 좌표는 (1, 5), 반지름의 길이는
(-2, 0), 3
1
유형 마스터
유형 마스터
STEP2
1204
|전략| 중심이 x축 위에 있는 원의 방정식은 (x-a)Û`+yÛ`=rÛ`으로 놓는다.
3
3이다.
'
(1, 5),
3
3
'
원의 중심이 x축 위에 있으므로 원의 방정식을
(x-a)Û`+yÛ`=rÛ`
으로 놓으면 이 원이 두 점 (2, 0), (3, 1)을 지나므로
(2-a)Û`=rÛ`, (3-a)Û`+1=rÛ`
두 식을 연립하여 풀면 a=3, rÛ`=1
따라서 원의 방정식이 (x-3)Û`+yÛ`=1이므로 구하는 넓이는 p이다.
p
1198
중심의 좌표가 (2, 1)이고 반지름의 길이가 1이므로 원의 방정식은
(x-2)Û`+(y-1)Û`=1
(x-2)Û`+(y-1)Û`=1
1199
중심의 좌표가 (-2, -3)이고 반지름의 길이가 2이므로 원의 방정
식은 (x+2)Û`+(y+3)Û`=4
(x+2)Û`+(y+3)Û`=4
따라서 구하는 원의 넓이는 p이다.
다른 풀이 원의 중심을 C(a, 0)이라 하고
A(2, 0), B(3, 1)이라 하면 ACÓ=BCÓ이므로
(a-2)Û`=
(a-3)Û`+(-1)Û`
"Ã
"Ã
양변을 제곱하여 풀면 a=3
이때, 원의 반지름의 길이는 ACÓ=
(3-2)Û`=1
"Ã
1200
중심이 원점이고 반지름의 길이가 7인 원의 방정식은
xÛ`+yÛ`=49
1205
원의 중심이 y축 위에 있으므로 원의 방정식을
xÛ`+yÛ`=49
xÛ`+(y-b)Û`=rÛ`
으로 놓으면 이 원이 두 점 (-4, 1), (3, 0)을 지나므로
1201
중심이 점 (-4, 1)이고 반지름의 길이가 2인 원의 방정식은
16+(1-b)Û`=rÛ`, 9+bÛ`=rÛ`
두 식을 연립하여 풀면 b=4, rÛ`=25
(x+4)Û`+(y-1)Û`=4
(x+4)Û`+(y-1)Û`=4
따라서 원의 방정식은 xÛ`+(y-4)Û`=25
12 원의 방정식 | 159
ㄴ. (
6)Û`+(3-4)Û`=7+25이므로 주어진 원은 점 (
6, 3)을 지나
'
'
지 않는다.
1210
삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는
ㄷ. 원의 반지름의 길이가 5이므로 둘레의 길이는 10p이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
③
-4+4+(-6)
3
,
8+(-1)+8
3
{
, 즉 (-2, 5)
}
다른 풀이 원의 중심을 C(0, b)라 하고
A(-4, 1), B(3, 0)이라 하면 ACÓ=BCÓ이므로
4Û`+(b-1)Û`=
"Ã
양변을 제곱하여 풀면 b=4
"Ã
(-3)Û`+bÛ`
따라서 원의 반지름의 길이는 ACÓ=
(-3)Û`+4Û`=5
"Ã
1206
원의 중심이 직선 y=x-2 위에 있으므로 원의 방정식을
(x-a)Û`+(y-a+2)Û`=rÛ`
으로 놓으면 이 원이 두 점 (0, 1), (3, 4)를 지나므로
aÛ`+(3-a)Û`=rÛ`, (3-a)Û`+(6-a)Û`=rÛ`
두 식을 연립하여 풀면 a=3, rÛ`=9
따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 3이다.
3
이므로 구하는 원은 두 점 (-2, 5), (4, -1)을 지름의 양 끝점으로
하는 원이다.
원의 중심의 좌표는
{
-2+4
2
,
5+(-1)
2
, 즉 (1, 2)
}
반지름의 길이는
;2!;"Ã(4+2)Û`+(-1-5)Û`=3
따라서 구하는 원의 방정식은 (x-1)Û`+(y-2)Û`=18이므로 이 원
2
'
위의 점인 것은 ②이다.
②
1211
원의 중심의 좌표는
{
1+5
2
,
4+6
2
, 즉 (3, 5)
}
반지름의 길이는
;2!;"Ã(5-1)Û`+(6-4)Û`=
'
5
즉, 원의 방정식은
(x-3)Û`+(y-5)Û`=5
1207
xÛ`+yÛ`-2x-10y+1=0에서
(x-1)Û`+(y-5)Û`=25
xÛ`+yÛ`+2bx+4by+10=0에서
(x+b)Û`+(y+2b)Û`=5bÛ`-10
직선 3x-y+a=0이 원 ㉠의 중심 (1, 5)를 지나므로
3-5+a=0
∴ a=2
직선 3x-y+2=0이 원 ㉡의 중심 (-b, -2b)를 지나므로
-3b+2b+2=0
∴ b=2
∴ ab=4
1208
|전략| 두 점 A, B를 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식은
…… ㉠
…… ㉡
x=2를 원의 방정식에 대입하여 풀면 y=3 또는 y=7
∴ A(3, 5), B(2, 3), C(2, 7)
이때, △ABC의 밑변의 길이는 BCÓ=7-3=4, 높이는 점 A와 직선
x=2 사이의 거리이므로 1이다.
∴ △ABC=
´4´1=2
;2!;
2
1212
|전략| 주어진 방정식을 (x-a)Û`+(y-b)Û`=rÛ` 꼴로 변형한 후 rÛ`>0이어야
4
함을 이용한다.
xÛ`+yÛ`+6x-2my+2mÛ`-4m+4=0에서
(x+3)Û`+(y-m)Û`=-mÛ`+4m+5
이 방정식이 원을 나타내려면
(원의 중심)=(ABÓ의 중점), (반지름의 길이)=
ABÓ임을 이용한다.
-mÛ`+4m+5>0, mÛ`-4m-5<0
;2!;
(m+1)(m-5)<0
∴ `-10, kÛ`+k-2<0
(k+2)(k-1)<0
∴ -20)
①
1218
x+2y=0
2x-y=0
3x+y-10=0
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
이때, 원의 넓이가 최대이려면 반지름의 길이가 최대이어야 하므로
-2kÛ`-2k+4=-2
k+
Û`+
{
;2!;}
;2(;
따라서 -20
∴ `k<0
㉠, ㉡에서 k=-
2
'
yy ㉠
yy ㉡
-
2
'
1217
원의 방정식을 xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0으로 놓고 세 점 (2, 1),
(-4, 3), (-1, -3)의 좌표를 각각 대입하면
4+1+2A+B+C=0
∴ 2A+B+C=-5
…… ㉠
1220
원의 중심이 직선 y=x-1 위에 있으므로 중심의 좌표를 (a, a-1)
16+9-4A+3B+C=0
∴ -4A+3B+C=-25 …… ㉡
로 놓자. 이때, 원이 x축에 접하므로 반지름의 길이는 |a-1|이다.
1+9-A-3B+C=0
∴ -A-3B+C=-10 …… ㉢
즉, 원의 방정식은 (x-a)Û`+(y-a+1)Û`=(a-1)Û`
㉠-㉡ 을 하면 6A-2B=20
∴ 3A-B=10
이 원이 점 (1, 1)을 지나므로
㉡-㉢ 을 하면 -3A+6B=-15
∴ A-2B=5
(1-a)Û`+(2-a)Û`=(a-1)Û`, (2-a)Û`=0
∴ `a=2
두 식을 연립하여 풀면 A=3, B=-1
이것을 ㉠ 에 대입하여 풀면 C=-10
따라서 원의 방정식은 (x-2)Û`+(y-1)Û`=1이므로 구하는 둘레의
길이는 2p이다.
2p
12 원의 방정식 | 161
12ㅡ원의방정식 1221
|전략| y축에 접하는 원은 (원의 반지름의 길이)=|(중심의 x좌표)|임을 이용한다.
이때, 중심 (r, -r)가 직선 y=2x-3 위의 점이므로
-r=2r-3
∴ `r=1
원의 중심이 점 (a, 1)이고 원이 y축에 접하므로 반지름의 길이는
따라서 구하는 원의 방정식은
(x-1)Û`+(y+1)Û`=1
(x-1)Û`+(y+1)Û`=1
|a|이다.
즉, 원의 방정식은 (x-a)Û`+(y-1)Û`=aÛ`
이 원이 점 (1, 3)을 지나므로
(1-a)Û`+4=aÛ`, -2a=-5
∴ `a=
;2%;
;2%;
1225
주어진 원의 중심은 곡선 y=xÛ`-6과 직선 y=x 또는 y=-x의 교
1222
원 xÛ`+yÛ`-2ax-2y+b=0이 점 (-1, 2)를 지나므로
1+4+2a-4+b=0
∴ `2a+b=-1 yy`㉠
… ❶
(-2, -2), (3, 3)
xÛ`+yÛ`-2ax-2y+b=0에서
(x-a)Û`+(y-1)Û`=aÛ`-b+1
Û xÛ`-6=-x에서 (x-2)(x+3)=0
… ❷
∴ x=2 또는 x=-3
이 원의 중심의 좌표는 (a, 1)이고 원이 y축에 접하므로 반지름의
즉, 곡선 y=xÛ`-6과 직선 y=-x의 교점의 좌표는
점이다.
Ú xÛ`-6=x에서 (x+2)(x-3)=0
∴ x=-2 또는 x=3
즉, 곡선 y=xÛ`-6과 직선 y=x의 교점의 좌표는
길이는 |a|이다.
즉,
aÛ`-b+1=|a|이므로 양변을 제곱하면
"Ã
aÛ`-b+1=aÛ`
∴ `b=1
b=1을 ㉠에 대입하면 a=-1
∴`a+b=0
채점 기준
❸ a, b의 값을 구할 수 있다.
❹ a+b의 값을 구할 수 있다.
… ❸
… ❹
0
비율
30 %
20 %
40 %
10 %
(2, -2), (-3, 3)
Ú, Û에서 m=4
또, 네 원의 중심의 좌표는 (-2, -2), (3, 3), (2, -2), (-3, 3)
이고 반지름의 길이는 각각 2, 3, 2, 3이다.
따라서 네 원의 넓이의 합은 4p+9p+4p+9p=26p이므로 n=26
∴ m+n=30
③
❶ 원이 점 (-1, 2)를 지남을 이용할 수 있다.
x축, y축에 동시에 접하는 원의 중심은 직선 y=x 또는 직선 y=-x 위에
❷ 주어진 원의 방정식을 (x-p)Û`+(y-q)Û`=rÛ` 꼴로 변형할 수 있다.
있다.
1223
|전략| x축, y축에 동시에 접하면서 중심이 제 2 사분면 위에 있는 원의 방정식은
(x+r)Û`+(y-r)Û`=rÛ` (r>0)으로 놓을 수 있다.
원의 중심이 제 2 사분면 위에 있어야 하므로 반지름의 길이를 r라 하
이의 최댓값과 최솟값을 구한다.
xÛ`+yÛ`-2x-2y-2=0에서
(x-1)Û`+(y-1)Û`=4
면 중심의 좌표는 (-r, r)이다.
즉, 원의 방정식은 (x+r)Û`+(y-r)Û`=rÛ`
이 원이 점 (-1, 2)를 지나므로
(-1+r)Û`+(2-r)Û`=rÛ`, rÛ`-6r+5=0
(r-1)(r-5)=0
∴ r=1 또는 r=5
의 중심 사이의 거리는
(-5+1)Û`+(5-1)Û`=4
2
'
"Ã
따라서 두 원의 중심의 좌표는 각각 (-1, 1), (-5, 5)이므로 두 원
1226
|전략| 원의 중심과 점 A 사이의 거리, 원의 반지름의 길이를 이용하여 APÓ의 길
원의 중심 (1, 1)과 점 A(-2, 3) 사이의 거리는
(-2-1)Û`+(3-1)Û`=
3
1
"Ã
이때, 원의 반지름의 길이가 2이므로 APÓ의 길이의 최댓값은
'
'
3+2,
1
최솟값은
1
3-2이다.
'
따라서 구하는 최댓값과 최솟값의 곱은
3+2)(
1
3-2)=13-4=9
1
(
'
'
④
1227
원 xÛ`+yÛ`=rÛ`의 중심 (0, 0)과 점 A(4, 2) 사이의 거리는
4Û`+2Û`=2
5
"Ã
이때, 원의 반지름의 길이는 r이고 APÓ의 길이의 최댓값이 3+2
'
1224
원의 중심이 제 4 사분면 위에 있으므로 반지름의 길이를 r라 하면 중
심의 좌표는 (r, -r)이다.
므로
2
'
5+r=3+2
5
∴ `r=3
'
162 | III . 도형의 방정식
9
5이
'
④
정답과 해설
1228
오른쪽 그림과 같이 원 위의 점 P에 대
하여 APÓ의 길이가 최소인 점을 PÁ,
A(8, 6)
1231
APÓ`:`BPÓ=2`:`1에서 APÓ=2BPÓ이므로 APÓ
Û`=4BPÓ
Û`
점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
최대인 점을 Pª라 하자.
PÁ
(x+3)Û`+(y-4)Û`=4{(x-3)Û`+(y-1)Û`}
원 xÛ`+yÛ`=9의 중심 O(0, 0)과 점
xÛ`+yÛ`-10x+5=0
∴ (x-5)Û`+yÛ`=20
O
(0, 0)
Pª
따라서 점 P의 자취는 중심이 점 (5, 0)이고 반지름의 길이가 2
5인
'
4
5p
'
A(8, 6) 사이의 거리는
AOÓ=
8Û`+6Û`=10
"Ã
APÁÓ=AOÓ-3=10-3=7
APªÓ=AOÓ+3=10+3=13
∴ 7ÉAPÓÉ13
이때, APÓ의 길이가 정수가 되는 점 P를 찾아보면
Ú APÓ=8, 9, 10, 11, 12를 만족시키는 점 P는 각각 2개
Û APÓ=7, 13을 만족시키는 점 P는 각각 1개
따라서 구하는 점 P의 개수는
5´2+2´1=12
x, y 사이의 관계식을 구한다.
표를 (a, b)라 하면
(a-1)Û`+(b+2)Û`=5
이때, APÓ의 중점의 좌표를 (x, y)라 하면
x= -1+a
2
, y= 3+b
2
∴ a=2x+1, b=2y-3
㉡을 ㉠에 대입하면
(2x+1-1)Û`+(2y-3+2)Û`=5
Û`=
∴ xÛ`+
y-
{
;2!;}
;4%;
원이므로 구하는 자취의 길이는
2p´2
5=4
5p
'
'
다른 풀이 APÓ`:`BPÓ=2`:`1에서
선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점의 좌표는
2´3+1´(-3)
2+1
{
,
2´1+1´4
2+1
}
, 즉 (1, 2)
선분 AB를 2 : 1로 외분하는 점의 좌표는
2´3-1´(-3)
2-1
{
,
2´1-1´4
2-1
}
, 즉 (9, -2)
원이고, 이 원의 반지름의 길이는
(9-1)Û`+(-2-2)Û`=2
5
'
;2!;"Ã
따라서 구하는 자취의 길이는 2p´2
5=4
5p
'
'
④
따라서 점 P의 자취는 두 점 (1, 2), (9, -2)를 지름의 양 끝점으로 하는
좌표평면 위의 두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)에 대하여 선분 AB를
m : n(m>0, n>0)으로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라 하면
mxª+nxÁ
m+n
P
{
,
myª+nyÁ
m+n }
, Q
{
mxª-nxÁ
m-n
,
myª-nyÁ
m-n }
(단, m+n)
1232
OPÓ`:`APÓ=2`:`1에서 OPÓ=2APÓ이므로 OPÓ
Û`=4APÓ
Û`
점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
xÛ`+yÛ`=4{(x-3)Û`+yÛ`}
1229
|전략| P(a, b), APÓ의 중점의 좌표를 (x, y)라 하고 주어진 조건을 이용하여
원 xÛ`+yÛ`-2x+4y=0, 즉 (x-1)Û`+(y+2)Û`=5 위의 점 P의 좌
선분의 내분점과 외분점
따라서 APÓ의 중점이 나타내는 도형은 중심의 좌표가
{
0,
;2!;}
이고,
xÛ`+yÛ`-8x+12=0
∴ (x-4)Û`+yÛ`=4
인 원이므로 구하는 길이는
5
반지름의 길이가 '
2
5
2p´ '
2
=
5p
'
오른쪽 그림과 같이 OPÓ가 원의 접선일
y
때, ∠POA의 크기가 최대가 된다.
이때, 원의 중심을 C라 하면 직각삼각
P
A
3
C
2
4
O
2
6
x
형 OCP에서
Û`-CPÓ
Û`
OPÓ
Ó=¿¹OCÓ
=
"Ã
4Û`-2Û`=2
3
'
2
개념 마스터
STEP1
1233
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식을
1230
원 xÛ`+yÛ`=9 위의 점 P의 좌표를 (a, b)라 하면
aÛ`+bÛ`=9
이때, △APB의 무게중심 G의 좌표를 (x, y)라 하면
x=
1+8+a
3
, y=
6+0+b
3
∴ a=3x-9, b=3y-6
㉡을 ㉠에 대입하면
(3x-9)Û`+(3y-6)Û`=9
∴ (x-3)Û`+(y-2)Û`=1
⑤
-4-8k=0
∴ `k=-
;2!;
xÛ`+yÛ`+6x-4y+1+k(xÛ`+yÛ`+2x-8y-7)=0 (k+-1) y`㉠
으로 놓으면 이 원이 점 (-1, 0)을 지나므로
2
3
'
12 원의 방정식 | 163
yy ㉠
yy ㉡
5p
'
yy ㉠
yy ㉡
12ㅡ원의방정식 k=-
을 ㉠ 에 대입하면
;2!;
1239
원의 중심 (-2, 1)과 직선 x-2y-2=0 사이의 거리는
xÛ`+yÛ`+6x-4y+1-
(xÛ`+yÛ`+2x-8y-7)=0
;2!;
∴`xÛ`+yÛ`+10x+9=0
xÛ`+yÛ`+10x+9=0
|-2-2-2|
1Û`+(-2)Û`
"Ã
=
=
6
5
'
6
5
'
5
이때, 원의 반지름의 길이는 4이고
<4이므로 원과 직선은 서
6
5
'
5
로 다른 두 점에서 만난다.
서로 다른 두 점에서 만난다.
1234
(x-2)Û`+yÛ`=10에서 xÛ`+yÛ`-4x-6=0
두 원의 공통인 현의 방정식은
xÛ`+yÛ`-4x-6-(xÛ`+yÛ`+y-5)=0
∴`4x+y+1=0
4x+y+1=0
(x-3)Û`+(y+2)Û`=4
1240
xÛ`+yÛ`-6x+4y+9=0에서
1235
두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은
xÛ`+yÛ`-2x+4y-3-(xÛ`+yÛ`+4x-6y+2)=0
∴`6x-10y+5=0
6x-10y+5=0
1236
y=2x-4를 xÛ`+yÛ`=25에 대입하면
xÛ`+(2x-4)Û`=25
∴`5xÛ`-16x-9=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
4
=(-8)Û`-5´(-9)=109>0
따라서 교점의 개수는 2이다.
1237
x+y-1=0에서 y=-x+1
y=-x+1을 xÛ`+yÛ`-2x-6y+6=0에 대입하면
xÛ`+(-x+1)Û`-2x-6(-x+1)+6=0
∴`2xÛ`+2x+1=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
4
=1Û`-2´1=-1<0
따라서 교점의 개수는 0이다.
원의 중심 (3, -2)와 직선 x+y+3=0 사이의 거리는
|3-2+3|
1Û`+1Û`
=
4
2
=2
2
'
"Ã
'
이때, 원의 반지름의 길이는 2이고 2
지 않는다.
2>2이므로 원과 직선은 만나
'
만나지 않는다.
1241
원 xÛ`+yÛ`=4에 접하고 기울기가 3인 직선의 방정식은
y=3xÑ2
3Û`+1
∴ `y=3xÑ2
1
0
y=3xÑ2
1
0
'
"Ã
"Ã
'
'
2
1242
직선 y=2x+1과 평행한 직선의 기울기는 2이므로 원 xÛ`+yÛ`=9에
접하고 기울기가 2인 직선의 방정식은
y=2xÑ3
2Û`+1
∴ `y=2xÑ3
5
y=2xÑ3
5
'
1243
원 xÛ`+yÛ`=13 위의 점 (3, -2)에서의 접선의 방정식은
3x-2y=13
∴ `3x-2y-13=0
3x-2y-13=0
1244
원 xÛ`+yÛ`=20 위의 점 (2, 4)에서의 접선의 방정식은
2x+4y=20
∴ x+2y-10=0
x+2y-10=0
0
1245
⑴ y=mx+4
⑵ 원의 중심 (0, 0)과 직선 y=mx+4, 즉 mx-y+4=0 사이의
1238
원의 중심 (0, 0)과 직선 3x-y-10=0 사이의 거리는
|-10|
3Û`+(-1)Û`
=
10
0
1
"Ã
이때, 원의 반지름의 길이가
'
=
1
0
'
'
다.(접한다.)
1
0이므로 원과 직선은 한 점에서 만난
한 점에서 만난다.(접한다.)
거리는 반지름의 길이 2와 같으므로
=2, 4=2
mÛ`+1
"Ã
|4|
"Ã
mÛ`+(-1)Û`
양변을 제곱하면
⑶ y=Ñ
3x+4
'
16=4(mÛ`+1), mÛ`=3
∴ m=Ñ
3
'
⑴ y=mx+4 ⑵ Ñ
3 ⑶ y=Ñ
3x+4
'
'
164 | III . 도형의 방정식
정답과 해설
1246
⑴ xÁx+yÁy=5
Ú |r-2|<5에서 -50이므로 03
또, 점 (xÁ, yÁ)은 원 xÛ`+yÛ`=5 위의 점이므로
Ú, Û에서 31, aÛ`+4a+19>0
Û
aÛ`+4a+20<5의 양변을 제곱하면
"Ã
aÛ`+4a+20<25, aÛ`+4a-5<0
(a+5)(a-1)<0
∴`-50이므로 항상 성립한다.
aÛ`
4
¾Ð
+2a+13=
+1
|;2A;|
양변을 제곱하면
aÛ`
4
+2a+13= aÛ`
4
+|a|+1
2a-|a|=-12
Ú, Û에서 -50)
(cid:9000) 00)
Ú, Û에서 모든 r의 값의 합은 10이다.
1253
두 원의 중심의 좌표가 각각 (0, 0), (a, b)이므로 중심 사이의 거리는
aÛ`+bÛ`
"Ã
두 원의 반지름의 길이가 각각 5, 2이므로 두 원이 만나지 않으려면
Ú 한 원이 다른 원의 외부에 있는 경우
5+2<
aÛ`+bÛ`
∴ `aÛ`+bÛ`>49
Û 한 원이 다른 원의 내부에 있는 경우
5-2>
aÛ`+bÛ`
∴ `0ÉaÛ`+bÛ`<9
Ú, Û에서 aÛ`+bÛ`>49 또는 0ÉaÛ`+bÛ`<9
"Ã
"Ã
aÛ`+bÛ`>49 또는 0ÉaÛ`+bÛ`<9
이 원의 넓이가
p이므로
;2%;
aÛ`+36
16
;2%;
=
, aÛ`=4
∴ `a=2 (∵`a>0)
2
⑤
으로 놓으면
1256
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식을
xÛ`+yÛ`+2x-4y-6+k(xÛ`+yÛ`-18x-8y+6)=0 (k+-1)
yy ㉠
(k+1)xÛ`+(k+1)yÛ`+(2-18k)x+(-4-8k)y-6+6k=0
이때, 이 원의 중심이 x축 위에 있으므로 원의 중심의 y좌표는 0이다.
즉, y의 계수가 0이므로 -4-8k=0
∴ k=-
;2!;
xÛ`+yÛ`+2x-4y-6-
(xÛ`+yÛ`-18x-8y+6)=0
;2!;
k=-
을 ㉠에 대입하면
;2!;
xÛ`+yÛ`+22x-18=0
∴ (x+11)Û`+yÛ`=139
따라서 구하는 원의 넓이는 139p이다.
⑤
1254
|전략| 두 원 xÛ`+yÛ`+ax+by+c=0, xÛ`+yÛ`+a'x+b'y+c'=0의 교점을
지나는 원의 방정식을
1257
|전략| 두 원 xÛ`+yÛ`+ax+by+c=0, xÛ`+yÛ`+a'x+b'y+c'=0의 교점을
지나는 직선의 방정식은 xÛ`+yÛ`+ax+by+c-(xÛ`+yÛ`+a'x+b'y+c')=0
xÛ`+yÛ`+ax+by+c+k(xÛ`+yÛ`+a'x+b'y+c')=0 (k+-1)으로 놓는다.
이다.
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식을
두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은
xÛ`+yÛ`+5x+y-6+k(xÛ`+yÛ`-x-y-2)=0 (k+-1) yy ㉠
xÛ`+yÛ`-x+2y-3-(xÛ`+yÛ`-3x+ay-1)=0
으로 놓으면 이 원이 점 (4, 2)를 지나므로
∴2x+(2-a)y-2=0
이 직선이 직선 3x+y+1=0과 수직이므로
2´3+(2-a)´1=0
∴ a=8
④
36+12k=0
∴ `k=-3
k=-3을 ㉠에 대입하면
xÛ`+yÛ`+5x+y-6-3(xÛ`+yÛ`-x-y-2)=0
xÛ`+yÛ`-4x-2y=0
따라서 a=-4, b=-2, c=0이므로`
a+b+c=-6
1255
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식을
xÛ`+yÛ`-6x+ay+8+k(xÛ`+yÛ`-4x)=0 (k+-1) yy`㉠
으로 놓으면 이 원이 점 (1, 0)을 지나므로
3-3k=0
∴ `k=1
k=1을 ㉠에 대입하면
xÛ`+yÛ`-6x+ay+8+(xÛ`+yÛ`-4x)=0
xÛ`+yÛ`-5x+
y+4=0
;2A;
∴`
x-
{
;2%;}
Û`+
y+
{
;4A;}
Û`= aÛ`+36
16
166 | III . 도형의 방정식
①
⑵ 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0이 수직이려면
⑴ 두 직선 y=ax+b, y=a'x+b'이 수직이려면
aa'=-1
aa'+bb'=0
1258
두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은
xÛ`+yÛ`+x-2y-(xÛ`+yÛ`-x-y-2)=0
2x-y+2=0
∴ y=2x+2
이 직선과 평행하고 점 (1, -1)을 지나는 직선의 방정식은
y-(-1)=2(x-1)
∴ y=2x-3
따라서 a=2, b=-3이므로
ab=-6
-6
정답과 해설 1259
원 xÛ`+yÛ`-x+ay+14=0이 원 xÛ`+yÛ`-2x+8y+3=0의 둘레
두 원의 공통인 현의 방정식은
xÛ`+yÛ`-16-(xÛ`+yÛ`+8x+6y+14)=0
를 이등분하려면 두 원의 공통인 현이 원 xÛ`+yÛ`-2x+8y+3=0의
∴ 4x+3y+15=0
… ❶
원점 O와 공통인 현 사이의 거리는
지름이어야 한다.
두 원의 공통인 현의 방정식은
xÛ`+yÛ`-x+ay+14-(xÛ`+yÛ`-2x+8y+3)=0
∴`x+(a-8)y+11=0
yy`㉠
… ❷
또, xÛ`+yÛ`-2x+8y+3=0에서
(x-1)Û`+(y+4)Û`=14
yy`㉡
따라서 직선 ㉠이 원 ㉡의 중심 (1, -4)를 지나야 하므로
1-4(a-8)+11=0, -4a=-44
OCÓ=
|15|
4Û`+3Û`
직각삼각형 OAC에서
=3
"Ã
ACÓ
=¿¹OAÓ
Û`-OCÓ
Û`=
4Û`-3Û`=
7
'
"Ã
따라서 공통인 현의 길이는
ABÓ=2ACÓ=2
7
'
∴`a=11
채점 기준
❶ 두 원의 공통인 현이 원 xÛ`+yÛ`-2x+8y+3=0의 지름임을 알 수 있다.
❷ 두 원의 공통인 현의 방정식을 구할 수 있다.
❸ a의 값을 구할 수 있다.
… ❸
11
비율
40 %
30 %
30 %
1260
두 원의 중심을 지나는 직선은 공통인 현을 수직이등분하므로 선분
AB의 중점의 좌표는 두 원의 공통인 현과 두 원의 중심을 지나는 직
선의 교점의 좌표이다.
두 원의 공통인 현의 방정식은
xÛ`+yÛ`-4x-20-(xÛ`+yÛ`-9x-10y+30)=0
∴`x+2y-10=0
yy`㉠
xÛ`+yÛ`-4x-20=0에서 (x-2)Û`+yÛ`=24
xÛ`+yÛ`-9x-10y+30=0에서
{
x-
;2(;}
Û`+(y-5)Û`=
:¤4Á:
두 원의 중심 (2, 0),
, 5
를 지나는 직선의 방정식은
{;2(;
}
(x-2)
∴ `y=2x-4
yy`㉡
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 x=
, y=
:Á5¥:
:Á5¤:
따라서 선분 AB의 중점의 좌표는 두 직선의 교점의 좌표인
y-0= 5-0
-2
;2(;
,
{:Á5¥:
:Á5¤:}
이다.
1261
1262
오른쪽 그림과 같이 두 원 xÛ`+yÛ`=1,
(x-2)Û`+(y+1)Û`=4의 중심을 각
각 O, O'이라 하고, OO'Ó과 ABÓ의 교
점을 C라 하자.
(x-2)Û`+(y+1)Û`=4에서
xÛ`+yÛ`-4x+2y+1=0
이므로 두 원의 공통인 현의 방정식은
xÛ`+yÛ`-1-(xÛ`+yÛ`-4x+2y+1)=0
∴ 2x-y-1=0
점 O'(2, -1)과 공통인 현 사이의 거리는
4
5
'
5 }
Û`=
2
5
'
5
O'CÓ=
|4+1-1|
2Û`+(-1)Û`
=
4
5
'
5
"Ã
직각삼각형 O'AC에서
Û`-OCÓ
ACÓ=¿¹O'AÓ
따라서 공통인 현의 길이는
Û`=
¾¨2Û`-
{
ABÓ=2ACÓ=
4
5
'
5
∴ △O'AB=
´ABÓ´O'CÓ
;2!;
∴ △O'AB=
´
;2!;
4
5
'
5
´
4
5
'
5
=
;5*;
{:Á5¥:, :Á5¤:}
1263
두 원의 교점을 지나는 원의 넓이가 최소가 되려면 공통인 현이 그 원
|전략| 두 원의 공통인 현의 방정식을 구한 후 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현
을 수직이등분함을 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 두 원
xÛ`+yÛ`=16,
xÛ`+yÛ`+8x+6y+14=0의 중심을
각각 O, O'이라 하고, 두 원의 교점을
A, B, OO'Ó과 ABÓ의 교점을 C라 하
자.
y
A
-4
O'
O
-3
C
B
의 지름이어야 한다.
오른쪽 그림과 같이 두 원
xÛ`+yÛ`=4, xÛ`+yÛ`-4x+3y=9의 중
심을 각각 O, O'이라 하고, 두 원의 교
점을 A, B, OO'Ó의 연장선과 ABÓ의
x
교점을 C라 하자.
두 원의 공통인 현의 방정식은
xÛ`+yÛ`-4-(xÛ`+yÛ`-4x+3y-9)=0
∴ 4x-3y+5=0
y
A
2C
O
O'
x
B
3
2
-
2
7
'
y
O
A
C
2
-1 B
O'
x
;5*;
12 원의 방정식 | 167
12ㅡ원의방정식 원점 O와 공통인 현 사이의 거리는
OCÓ=
|5|
4Û`+(-3)Û`
=1
직각삼각형 OAC에서
"Ã
¿¹
ACÓ=
OAÓ
Û`-OCÓ
Û`=
2Û`-1Û`=
3
'
"Ã
원의 넓이는
p´(
3)Û`=3p
'
따라서 조건을 만족시키는 원의 반지름의 길이는
3이므로 구하는
'
1264
xÛ`+yÛ`-2y-9=0에서 xÛ`+(y-1)Û`=10이므로 반지름의 길이는
원 xÛ`+yÛ`-2y-9=0의 중심 (0, 1)과 공통인 현 사이의 거리는
0이다.
1
'
한편, 두 원의 공통인 현의 방정식은
xÛ`+yÛ`-2y-9-(xÛ`+yÛ`-x+k)=0
∴ x-2y-k-9=0
|-2-k-9|
1Û`+(-2)Û`
|-k-11|
5
이때, 공통인 현의 길이가 2
=
"Ã
'
=
|k+11|
5
'
2¾Ð(
'
1
0)Û`-
{
|k+11|
5
'
}
5이므로
'
Û`=2
5
'
1266
원의 중심 (3, 2)와 직선 3x+4y+5=0 사이의 거리는
|9+8+5|
3Û`+4Û`
"Ã
=
:ª5ª:
이때, 원의 반지름의 길이는 r이므로 원과 직선이 서로 다른 두 점에
서 만나려면 r>
이어야 한다.
:ª5ª:
따라서 자연수 r의 최솟값은 5이다.
③
⑤
1267
원의 중심 (2, -1)과 직선 mx+y-5m+2=0 사이의 거리는
|2m-1-5m+2|
mÛ`+1Û`
=
"Ã
|-3m+1|
mÛ`+1Û`
"Ã
이때, 원의 반지름의 길이는 1이므로 원과 직선이 서로 다른 두 점에
서 만나려면
|-3m+1|
mÛ`+1Û`
양변을 제곱하면
"Ã
<1, |-3m+1|<
mÛ`+1
"Ã
9mÛ`-6m+10, -kÛ`+25>0
kÛ`-25<0, (k+5)(k-5)<0
∴ `-51, |-3m|>
mÛ`+1
"Ã
9mÛ`>mÛ`+1, 8mÛ`>1, mÛ`>
;8!;
2
∴ m<- '
4
2
또는 m> '
4
2
m<- '
4
2
또는 m> '
4
다른 풀이 y=m(x-2)를 xÛ`+yÛ`+2x=0에 대입하면
xÛ`+mÛ`(x-2)Û`+2x=0
∴ (1+mÛ`)xÛ`-2(2mÛ`-1)x+4mÛ`=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선이 만나지 않으므로
D
4
=(2mÛ`-1)Û`-(1+mÛ`)´4mÛ`<0
1271
중심이 직선 y=x+5 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를 (a, a+5)
-8mÛ`+1<0, mÛ`>
2
;8!; ∴ m<- '
4
2
또는 m> '
4
라 하자.
원의 중심 (a, a+5)와 직선 x+2y-8=0 사이의 거리를 dÁ, 직선
원의 반지름의 길이를 r라 할 때, 이 원이 두 직선에 접하려면
2x-y+1=0 사이의 거리를 dª라 하면
|a+2(a+5)-8|
1Û`+2Û`
|2a-(a+5)+1|
"Ã
dÁ=
dª=
2Û`+(-1)Û`
"Ã
=
=
|3a+2|
5
'
|a-4|
5
'
dÁ=dª=r이므로
|3a+2|
5
'
|3a+2|
5
'
=
=
|a-4|
5
'
|a-4|
5
'
=r
에서
|3a+2|=|a-4|, 3a+2=Ñ(a-4)
Ú 3a+2=a-4일 때, 2a=-6
∴ a=-3
Û 3a+2=-(a-4)일 때, 4a=2
∴ a=
;2!;
Ú, Û에서 a=-3 (∵ a<0)
즉, 원의 중심의 좌표는 (-3, 2)이므로 b=2
a=-3을 ㉠에 대입하면 r=
7
5
'
5
따라서 원의 넓이는 p´
7
5
'
5 }
Û`=
{
:¢5»:
p
∴ p=
:¢5»:
∴ a+b+p=
:¢5¢:
1272
|전략| 원과 직선이 만나지 않으려면 원의 중심과 직선 사이의 거리를 d, 반지름
의 길이를 r라 할 때, d>r임을 이용한다.
1273
원의 중심 (0, 0)과 직선 x+
3y-a
0 사이의 거리는
'
=
=
|-a|
"Ã1Û`+('3)Û`
이때, 원의 반지름의 길이는 1이므로 원과 직선이 만나지 않으려면
|a|
2
|a|
2
>1, |a|>2
∴ `a<-2 또는 a>2
따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 ③이다.
③
yy ㉠
1274
원의 중심 (0, a)와 직선 x-y+1=0 사이의 거리는
|-a+1|
=
|1-a|
2
'
1Û`+(-1)Û`
"Ã
이때, 원의 반지름의 길이는 3
'
|1-a|
2
'
>3
2, |1-a|>6
'
2이므로 원과 직선이 만나지 않으려면
1-a<-6 또는 1-a>6
∴ a<-5 또는 a>7
따라서 자연수 a의 최솟값은 8이다.
③
1275
|전략| 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분한다.
:¢5¢:
오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 직
선 4x+3y-15=0에 내린 수선의 발
을 H라 하면
OHÓ=
|-15|
4Û`+3Û`
"Ã
=
:Á5°:
=3
y
A
O
x
H
B
x2+y2=25
4x+3y-15=0
12 원의 방정식 | 169
12ㅡ원의방정식
직각삼각형 AOH에서 OAÓ=5이므로
Û`-OHÓ
AHÓ=¿¹OAÓ
`="Ã
∴`ABÓ=2AHÓ=2´4=8
5Û`-3Û`=4
1278
xÛ`+yÛ`-4y=0에서
8
xÛ`+(y-2)Û`=4
오른쪽 그림과 같이 원
y
x2+(y-2)2=4
2
PC
H
Q
x
y=mx-4
O
-4
xÛ`+(y-2)Û`=4와 직선 y=mx-4
의 두 교점 P, Q와 원의 중심 C(0, 2)
를 세 꼭짓점으로 하는 △CPQ를 좌
표평면 위에 나타내면 CPÓ, CQÓ는 원
의 반지름이므로
CPÓ=CQÓ=2
2x-y+k=0
y
B
H
A
3
C
O
2
따라서 △CPQ가 정삼각형이려면 PQÓ=2이어야 한다.
x
원의 중심 C에서 PQÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면
(x-2)2+(y-3)2=36
PHÓ=
PQÓ=1
;2!;
직각삼각형 CPH에서
Û`-AHÓ
CHÓ=¿¹CAÓ
또, 점 C(2, 3)과 직선 2x-y+k=0 사이의 거리는
6Û`-4Û`=2
=
5
'
"Ã
`
Û`-PHÓ
CHÓ=¿¹ CPÓ
또, 점 C(0, 2)에서 직선 mx-y-4=0 사이의 거리는
2Û`-1Û`=
=
3
"Ã
'
`
1276
오른쪽 그림과 같이 주어진 원과
직선의 두 교점을 A, B, 원의 중심
C(2, 3)에서 직선 2x-y+k=0
에 내린 수선의 발을 H라 하면
AHÓ=
ABÓ=
´8=4
;2!;
;2!;
직각삼각형 CHA에서 CAÓ=6이
므로
CHÓ=
|4-3+k|
2Û`+(-1)Û`
"Ã
=
|k+1|
5
'
㉠, ㉡ 에서
|k+1|
5
=2
5
'
'
|k+1|=10, k+1=Ñ10
∴`k=9 (∵`k>0)
CHÓ=
|-2-4|
=
6
mÛ`+(-1)Û`
"Ã
mÛ`+1
"Ã
㉠, ㉡에서
=
3, 6=
3mÛ`+3
'
"Ã
6
mÛ`+1
"Ã
양변을 제곱하면
36=3mÛ`+3, mÛ`=11
∴ m=
1
1 (∵ m>0)
'
yy ㉠
yy ㉡
1
1
'
1277
오른쪽 그림과 같이 주어진 원과 직선
의 두 교점을 A, B라 하면 두 점 A, B
를 지나는 원 중에서 넓이가 최소인 것
A
은 ABÓ를 지름으로 하는 원이다. … ❶
원의 중심 (0, 0)에서 직선
x+2y+5=0에 내린 수선의 발을 H
라 하면
OHÓ=
|5|
1Û`+2Û`
=
5
5
=
5
'
'
직각삼각형 OAH에서 OAÓ=5이므로
"Ã
Û`-OHÓ
AHÓ=¿¹OAÓ
따라서 구하는 원의 넓이는
=
"Ã
`
5Û`-(
5)Û`=2
5
'
'
p´(2
5)Û`=20p
'
채점 기준
❶ ABÓ를 지름으로 하는 원이 넓이가 최소인 원임을 알 수 있다.
❷ OHÓ의 길이를 구할 수 있다.
❸ AHÓ의 길이를 구할 수 있다.
❹ 넓이가 최소인 원의 넓이를 구할 수 있다.
170 | III . 도형의 방정식
1279
|전략| 원의 중심을 C, 반지름의 길이를 r라 할 때, 원 밖의 한 점 A에서 그은 접
y
x2+y2=25
x
O
H
B
x+2y+5=0
선의 길이 l은 l=
¿¹
xÛ`+yÛ`-6x-10y+25=0에서
Û`-rÛ`이다.
ACÓ
(x-3)Û`+(y-5)Û`=9
오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 C라 하면
CAÓ=
(-1-3)Û`+(2-5)Û`=5
직각삼각형 ACP에서
APÓ=
CAÓ
Û`-CPÓ
Û`=
5Û`-3Û`=4
"Ã
"Ã
¿¹
P
3
C(3, 5)
A(-1, 2)
4
1280
오른쪽 그림에서
OPÓ=
3Û`+2Û`=
1
3
"Ã
'
직각삼각형 OAP에서
APÓ=
OPÓ
Û`-OAÓ
Û`
¿¹
"Ã(
'
APÓ=
1
3)Û`-1Û`=2
3
'
y
A
O
P(3, 2)
x
B
이때, △OAPª△OBP(RHS 합동)이므로
AOBP=2△OAP
AOBP=2´
´1´2
3=2
3
;2!;
'
'
2
3
'
yy`㉠
yy`㉡
③
… ❷
… ❸
… ❹
20p
비율
30 %
30 %
30 %
10 %
정답과 해설Û
Û
Û
Û
|전략| 원의 중심과 직선 사이의 거리, 원의 반지름의 길이를 이용하여 원과 직선
1281
사이의 거리의 최댓값과 최솟값을 구한다.
xÛ`+yÛ`-4x+2y-4=0에서
(x-2)Û`+(y+1)Û`=9
|6+4+15|
3Û`+(-4)Û`
=5
"Ã
이때, 원의 반지름의 길이는 3이므로
M=5+3=8, m=5-3=2
∴`Mm=16
원의 중심 (2, -1)과 직선 3x-4y+15=0 사이의 거리는
1282
xÛ`+yÛ`-2x+2y-7=0에서
(x-1)Û`+(y+1)Û`=9
원의 중심 (1, -1)과 직선 x+y+8=0 사이의 거리는
|1-1+8|
1Û`+1Û`
"Ã
=4
2
'
이의 거리를 d라 하면
4
2-3ÉdÉ4
2+3
'
'
이때, 5<4
'
수는 12이다.
원의 반지름의 길이는 3이므로 원 위의 점 P와 직선 x+y+8=0 사
2<6이므로 d가 될 수 있는 정수는 3, 4, y, 8의 6개이
고, 각각의 거리에 해당하는 점 P가 2개씩 있으므로 구하는 점 P의 개
1285
x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 60ù인 직선의 기울기는
tan 60ù=
3이므로 직선의 방정식을 y=
3x+k라 하면
'
'
이 직선이 점 A(3, 3)을 지나므로
3=3
3+k
∴ `k=3-3
3
'
'
이때, 원의 중심 (1, 3)과 직선 y=
3x+3-3
3, 즉
'
'
3=0 사이의 거리는 반지름의 길이 r와 같으므로
'
|
3x-y+3-3
'
3-3+3-3
'
"Ã(
'
3)Û`+(-1)Û`
'
3|
=
3|
|-2
'
2
=
3
'
이때, 원의 반지름의 길이는 r이므로 원과 직선이 접하려면
16
r=
3
'
따라서 구하는 원의 넓이는 p´(
3)Û`=3p
'
①
B(4, 3)
5
x
y
5
O
C
-5
-5
A(0, -5)
1286
점 C와 직선 AB 사이의 거리가 최대일
때 △ABC의 넓이가 최대이고, 이때는
오른쪽 그림과 같이 점 C에서의 접선이
직선 AB와 평행할 때이다.
직선 AB의 기울기는
3-(-5)
4-0
=2이
므로 기울기가 2인 접선의 방정식은
y=2xÑ5
2Û`+1
∴ y=2xÑ5
"Ã
5
'
위의 그림에서 점 C에서의 접선의 방정식은 y=2x+5
5이고 점
'
A(0, -5)와 접선 2x-y+5
5=0 사이의 거리는
12
=
5|
|5+5
'
5
'
5|
|5+5
'
2Û`+(-1)Û`
"Ã
이때, ABÓ=
"Ã
댓값은
'
=5+
5
'
'
(4-0)Û`+(3+5)Û`=4
5이므로 △ABC의 넓이의 최
1283
|전략| 원 xÛ`+yÛ`=rÛ`에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식은
y=mxÑr
mÛ`+1이다.
"Ã
직선 x+3y-2=0, 즉 y=-
x+
에 수직인 직선의 기울기는 3
;3!;
;3@;
이고, 원 xÛ`+yÛ`=10의 반지름의 길이는
1
0이므로 구하는 접선의
'
이다.
방정식은
y=3xÑ
1
0´
3Û`+1
∴ `y=3xÑ10
y=3xÑ10
'
"Ã
1284
접선의 방정식을 y=2x+k라 하면 원의 중심 (1, -3)과 직선
y=2x+k, 즉 2x-y+k=0 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 1과
´4
5´(5+
5)=10+10
5
;2!;
'
'
'
10+10
5
'
1287
|전략| 원 xÛ`+yÛ`=rÛ` 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은 xÁx+yÁy=rÛ`
원 xÛ`+yÛ`=20 위의 점 (a, b)에서의 접선의 방정식은
ax+by=20
∴ y=-
x+
;bA;
:ªb¼:
이때, 접선의 기울기가 2이므로
b=0이면 접선의 방정식이 y축과 평행하
여 기울기가 2가 될 수 없다. ∴ b+0
-
=2
∴ a=-2b
;bA;
점 (a, b)는 원 xÛ`+yÛ`=20 위의 점이므로
aÛ`+bÛ`=20
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-4, b=2 또는 a=4, b=-2
∴ ab=-8
yy ㉠
yy ㉡
-8
5
∴ k=-5Ñ
5
'
이때, k는 구하는 직선의 y절편이므로 두 직선의 y절편의 곱은
'
1288
원 xÛ`+yÛ`=25 위의 점 (4, 3)에서의 접선의 방정식은
20
4x+3y=25
∴ `4x+3y-25=0
yy ㉠
… ❶
같으므로
|2+3+k|
2Û`+(-1)Û`
"Ã
k+5=Ñ
=1, |k+5|=
5
'
(-5+
5)(-5-
5)=20
'
'
12 원의 방정식 | 171
12ㅡ원의방정식
원의 중심 (5, 5)와 직선 4x+3y-25=0 사이의 거리는 원 O의 반
1291
따라서 구하는 원 O의 넓이는 p´2Û`=4p
는 접선의 방정식은
지름의 길이와 같으므로
|20+15-25|
4Û`+3Û`
"Ã
=
:Á5¼:
=2
채점 기준
❶ 접선의 방정식을 구할 수 있다.
❷ 원 O의 반지름의 길이를 구할 수 있다.
❸ 원 O의 넓이를 구할 수 있다.
… ❷
… ❸
4p
비율
30 %
50 %
20 %
|전략| 접선의 기울기를 m이라 하고, 주어진 점을 지나는 접선의 방정식을 세운
후 원의 중심과 접선 사이의 거리가 반지름의 길이와 같음을 이용한다.
접선의 기울기를 m이라 하면 기울기가 m이고 점 (1, -1)을 지나
y-(-1)=m(x-1)
∴ `mx-y-m-1=0
원의 중심 (-1, 2)와 접선 mx-y-m-1=0 사이의 거리는 반지
름의 길이 1과 같으므로
|-m-2-m-1|
mÛ`+(-1)Û`
"Ã
=1, |-2m-3|=
mÛ`+1
"Ã
양변을 제곱하여 정리하면 3mÛ`+12m+8=0
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 기울기의 합은 -4이다.
④
yy ㉠
(x-7)2+(y-5)2=8
1292
직선 l이 원 O'의 넓이를 이등분하므로 직선 l은 원 O'의 중심
원 O의 중심 (0, 0)과 직선 l 사이의 거리는 반지름의 길이 1과 같으
(-2, 0)을 지난다.
즉, 0=-2m+n
∴ n=2m
직선 l의 방정식은 mx-y+2m=0
므로
|2m|
mÛ`+(-1)Û`
"Ã
=1, |2m|=
mÛ`+1
"Ã
양변을 제곱하여 정리하면 3mÛ`=1
3
∴ `m=Ñ '
3
③
3
m=Ñ '
3
을 ㉠에 대입하면 n=Ñ
2
3
'
3
1289
xÛ`+yÛ`-14x-10y+66=0에서
(x-7)Û`+(y-5)Û`=8
원의 중심 (7, 5)와 접점 (5, 3)을 이은
직선의 기울기는
3-5
5-7
기울기는 -1이다.
y
8
5
3
O
=1이므로 이와 수직인 접선의
5
x
87
y=-x+8
이때, 기울기가 -1이고 점 (5, 3)을 지나는 직선의 방정식은
y-3=-(x-5)
∴ y=-x+8
따라서 위의 그림에서 구하는 넓이는
´8´8=32
;2!;
다른 풀이 원 xÛ`+yÛ`-14x-10y+66=0, 즉
(x-7)Û`+(y-5)Û`=8 위의 점 (5, 3)에서의 접선의 방정식은
(5-7)(x-7)+(3-5)(y-5)=8
∴ y=-x+8
따라서 구하는 넓이는 ;2!;
´8´8=32
1290
원 xÛ`+yÛ`=4 위의 점 P(a, b)에서의 접선의 방정식은 ax+by=4
Û`+bÛ`=1
{-;2!;}
3
∴ b=Ñ '
2
xÛ`+yÛ`-10x+24=0에서 (x-5)Û`+yÛ`=1
원의 중심 (5, 0)과 직선 ax+by-4=0 사이의 거리는
|5a-4|
aÛ`+bÛ`
"Ã
서 만나려면
|5a-4|
aÛ`+bÛ`
"Ã
이때, 원의 반지름의 길이는 1이므로 원과 직선이 서로 다른 두 점에
<1, |5a-4|<
aÛ`+bÛ`
"Ã
이때, 점 P(a, b)는 원 xÛ`+yÛ`=4 위의 점이므로 aÛ`+bÛ`=4
∴ mÛ`+nÛ`=
+
=
;3%;
;3$;
;3!;
;3%;
다른 풀이 직선 l과 원 O의 접점을 (a, b)라 하면 직선 l의 방정식은
ax+by=1
직선 l이 원 O'의 넓이를 이등분하므로 직선 l은 원 O'의 중심 (-2, 0)을 지난
다. 즉, -2a=1
∴ a=-
;2!;
점 (a, b)는 원 O 위에 있으므로 aÛ`+bÛ`=1에서
따라서 직선 l의 방정식은 -;2!;
3
xÑ '
2
y=1,
3
즉 y=Ñ '
3
2
3
'
3
xÑ
(복호동순) 이므로 mÛ`+nÛ`
=;3!;+;3$;=;3%;
1293
접선의 기울기를 m이라 하면 기울기가 m이고 점 (2
3, 4)를 지나
'
므로 접선의 방정식은
y-4=m(x-2
3)
'
원의 중심 (0, 2)와 접선 mx-y-2
∴ mx-y-2
'
3m+4=0
3m+4=0 사이의 거리는 반
'
즉, |5a-4|<2이므로 -2<5a-4<2
∴
0)
③
y=4
y
4
2
h
60ù
O
-2
32
x
y= 3
x-2
③
|전략| 두 원의 공통내접선, 공통외접선과 두 원의 반지름으로 이루어진 직각삼
두 원의 중심을 각각 C, C'이라 하면 C(0, 0), C'(4, 0)
내신 마스터
내신 마스터
STEP3
1297
유형 01 중심이 좌표축 또는 직선 위에 있는 원의 방정식
|전략| 중심이 y축 위에 있는 원의 방정식은 xÛ`+(y-b)Û`=rÛ`으로 놓는다.
오른쪽 그림과 같이 공통외접선과 원의
두 접점을 각각 A, B라 하고 점 C에서
BC'Ó에 내린 수선의 발을 H라 하면
A
1
C
B
2H
C'
중심이 y축 위에 있으므로 원의 방정식을
xÛ`+(y-b)Û`=rÛ`
으로 놓으면 이 원이 두 점 (-1, 0), (3, 2)를 지나므로
1+bÛ`=rÛ`, 9+(2-b)Û`=rÛ`
두 식을 연립하여 풀면 b=3, rÛ`=10
따라서 원의 방정식은 xÛ`+(y-3)Û`=10
2
C'
C
1
P
Q
T
y=1을 원의 방정식에 대입하면 x=Ñ
6이므로
'
A(-
6, 1), B(
6, 1) 또는 A(
6, 1), B(-
6, 1)
'
'
'
'
∴`ABÓ=2
6
'
④
1298
유형 03 원이 되기 위한 조건
따라서 공통외접선과 공통내접선의 길이의 차는
후 rÛ`>0임을 이용한다. 이때, 원이 제 2 사분면 위에 있으려면 r0, b>0) 꼴로 변형한
1
5-
7
'
'
1
5-
'
7
'
xÛ`+yÛ`+6x-2y-2k+4=0에서
C'HÓ=2-1=1
ABÓ=CHÓ=
CC'Õ
Û`-C'HÓ
Û`
¿¹
4Û`-1Û`=
=
"Ã
1
5
'
오른쪽 그림과 같이 공통내접선과 원의
두 접점을 각각 P, Q라 하고 점 C'에서
CPÓ의 연장선에 내린 수선의 발을 T라
하면
CTÓ=2+1=3
PQÓ=TC'Ó=
CC'Õ
Û`-CTÓ
Û`
¿¹
4Û`-3Û`=
7
'
=
"Ã
1295
xÛ`+yÛ`+8x+4y+19=0에서
(x+4)Û`+(y+2)Û`=1
xÛ`+yÛ`-6x+10y+30=0에서
(x-3)Û`+(y+5)Û`=4
(x+3)Û`+(y-1)Û`=2k+6
이 방정식이 원을 나타내려면
2k+6>0
∴ k>-3
이 원이 제 2 사분면 위에 있으려면
2k+6<1, 2k+6<1
∴ k<-
'Ä
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -30)
1307
유형 15 원과 직선의 위치 관계 - 접할 때
|전략| 원과 직선이 접하면 원의 중심과 직선 사이의 거리를 d, 반지름의 길이를
r라 할 때, d=r임을 이용한다.
중심의 좌표가 (1, 3)이고 x축에 접하는 원의 방정식은
(x-1)Û`+(y-3)Û`=9
1309
유형 19 원 위의 점과 직선 사이의 거리
|전략| 원의 중심과 직선 AB 사이의 거리, 원의 반지름의 길이를 이용하여 PHÓ
의 길이의 최솟값을 구한다.
삼각형 PAB의 넓이가 최소가 되려면
y
A(2, 5)
두 점 A(2, 5), B(4, -1)을 지나는 직
②
선의 방정식은
y-5= -1-5
4-2
(x-2)
∴ 3x+y-11=0
원의 중심 (0, 0)과 직선 3x+y-11=0 사이의 거리는
H
2
x
B(4, -1)
-2
O
-2
|-11|
3Û`+1Û`
=
11
0
1
'
=
11
0
1
'
10
"Ã
이때, 원의 반지름의 길이는 2이므로
( PHÓ의 길이의 최솟값)=
11
0
1
'
10
-2
'
"Ã
최솟값은
원의 중심 (1, 3)과 직선 2x-3y+k=0 사이의 거리는
또, ABÓ=
(4-2)Û`+(-1-5)Û`=2
1
0이므로 △PAB의 넓이의
|2-9+k|
2Û`+(-3)Û`
=
|k-7|
1
3
'
"Ã
이때, 원의 반지름의 길이는 3이므로 원과 직선이 접하려면
´2
1
0´
'
{
;2!;
11
0
1
'
10
-2
=11-2
1
0
'
}
③
|전략| 원의 중심을 C, 반지름의 길이를 r라 할 때, 원 밖의 한 점 P에서 그은 접
|k-7|
3
1
k-7=Ñ3
'
=3, |k-7|=3
1
3
'
1
3
∴ k=7Ñ3
1
3
'
'
따라서 모든 k의 값의 곱은
(7+3
1
3)(7-3
1
3)=-68
'
'
1308
유형 18 접선의 길이
선의 길이 l은 l=
PCÓ
Û`-rÛ`이다.
¿¹
오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 C, 점
P에서 원에 그은 두 접선의 접점을 각
각 A, B, ABÓ의 중점을 M이라 하면
CPÓ=6
직각삼각형 CAP에서
APÓ =¿¹ CPÓ
-CAÓ
`
6Û`-3Û`=3
`
3
="Ã
'
1310
이다.
'
Û`
1
aÛ`
+ 1
bÛ`
aÛ`+bÛ`=2
②
유형 21 원의 접선의 방정식 - 원 위의 한 점이 주어질 때
|전략| 원 xÛ`+yÛ`=rÛ` 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은 xÁx+yÁy=rÛ`
점 P(a, b)에서의 접선의 방정식은 ax+by=2
∴ A
, 0
, B
0,
}
{
;b@;}
{;a@;
ABÓ=2
2이므로
y
C3
¾¨{;a@;}
+{-;b@;}
Û`=2
2,
'
4
aÛ`
+ 4
bÛ`
=8
=2
∴ aÛ`+bÛ`=2aÛ`bÛ`
MA
O
B
x
이때, 점 P(a, b)는 원 xÛ`+yÛ`=2 위의 점이므로
-3 P
㉡을 ㉠에 대입하면
…… ㉠
…… ㉡
2aÛ`bÛ`=2, aÛ`bÛ`=1
∴ ab=1 (∵ a>0, b>0)
①
12 원의 방정식 | 175
12ㅡ원의방정식
Û
Û
1311
따라서 구하는 원의 방정식은
유형 18 접선의 길이 + 22 원의 접선의 방정식 - 원 밖의 한 점이 주어질 때
(x-8)Û`+(y-11)Û`=200
… ❹
|전략| 점 A에서 원 C에 그은 두 접선이 서로 수직이고, 접점을 P, P'이라 하면
(x-8)Û`+(y-11)Û`=200
채점 기준
❶ 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점의 좌표를 구할 수 있다.
❷ 선분 AB를 1`:`2로 외분하는 점의 좌표를 구할 수 있다.
❸ 원의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 구할 수 있다.
❹ 원의 방정식을 구할 수 있다.
배점
2점
2점
2점
1점
C(1, 3)
'
5
P
5
'
P'
A(a, 0)
|전략| P(a, b), Q(x, y)라 하고 주어진 조건을 이용하여 x, y 사이의 관계식
원 xÛ`+yÛ`=1 위의 점 P의 좌표를 (a, b)라 하면
②
aÛ`+bÛ`=1
yy ㉠
… ❶
다른 풀이 접선의 기울기를 m이라 하면 기울기가 m이고 점 (a, 0)을 지
이때, 선분 AP를 2`:`1로 내분하는 점 Q의 좌표를 (x, y)라 하면
원의 중심 (1, 3)과 직선 mx-y-am=0 사이의 거리는 반지름의 길이
yy ㉡
… ❷
이때, 두 접선의 기울기는 이 이차방정식의 두 근이고, 두 접선이 수직이므로
가
인 원이므로 구하는 넓이는
;3@;
3x+4
}
2
Û`+
{
y
Û`=1
}
{;2#;
∴ `
x+
{
;3$;}
Û`+yÛ`=
;9$;
따라서 점 Q의 자취는 중심의 좌표가
{
-
;3$;
, 0
이고 반지름의 길이
}
CPAP'은 정사각형이다.
xÛ`+yÛ`-2x-6y+5=0에서
(x-1)Û`+(y-3)Û`=5
오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 C, 점 A에서
원에 그은 접선의 두 접점을 각각 P, P'이라 하
면 두 접선이 서로 수직일 때 CPAP'은 정
사각형이므로 APÓ=CPÓ=
'
이때, 직각삼각형 CAP에서
Û`+APÓ
Û`이므로
Û`=CPÓ
CAÓ
5
(a-1)Û`+9=5+5, aÛ`-2a=0
a(a-2)=0
∴ a=0 또는 a=2
따라서 모든 실수 a의 값의 합은 2이다.
=
5, |m-3-am|=
'
5
"Ã
'
mÛ`+1
나는 직선의 방정식은
y=m(x-a)
∴ mx-y-am=0
5와 같으므로
'
|m-3-am|
mÛ`+(-1)Û`
"Ã
양변을 제곱하여 정리하면
(aÛ`-2a-4)mÛ`-6(1-a)m+4=0
근과 계수의 관계에 의하여
4
aÛ`-2a-4
=-1, 4=-aÛ`+2a+4
aÛ`-2a=0, a(a-2)=0
∴ a=0 또는 a=2
따라서 모든 실수 a의 값의 합은 2이다.
1313
유형 09 자취의 방정식
을 구한다.
x=
2a-4
2+1
, y=
2b
2+1
∴ a=
3x+4
2
, b=
y
;2#;
㉡을 ㉠에 대입하면
p´
{;3@;}
Û`=
p
;9$;
채점 기준
❶ ㉠을 구할 수 있다.
❷ ㉡을 구할 수 있다.
1314
유형 17 현의 길이
❸ 점 Q의 자취가 나타내는 도형의 넓이를 구할 수 있다.
1312
유형 02 두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식
|전략| 두 점 A, B를 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식은
(원의 중심)=(ABÓ의 중점), (반지름의 길이)=
ABÓ임을 이용한다.
;2!;
선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점의 좌표는
2´(-6)+1´6
,
2+1
2´(-3)+1´9
, 즉 (-2, 1)
}
2+1
{
선분 AB를 1`:`2로 외분하는 점의 좌표는
1´(-6)-2´6
,
1-2
1´(-3)-2´9
, 즉 (18, 21)
}
1-2
{
… ❷
이므로 원의 중심의 좌표는
{
-2+18
2
,
1+21
2
, 즉 (8, 11)
}
|전략| 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분한다.
원 C가 x축에 접하므로 원의 방정식을
(x-a)Û`+(y-b)Û`=bÛ` (a>0, b>0)이라 하자.
… ❶
오른쪽 그림과 같이 원 C와 y축의 두 교
점을 각각 A, B라 하고, 원의 중심 C에
서 y축에 내린 수선의 발을 H라 하면
AHÓ=
ABÓ=
;2!;
´2
5=
'
5 … ❶
'
;2!;
직각삼각형 ACH에서
CAÓ
Û`=CHÓ
Û`+AHÓ
Û`이므로
y
H
A
O
B
5
C
b
yy ㉠
a
5
x
반지름의 길이는
;2!;"Ã(18+2)Û`+(21-1)Û`=10
'
2
… ❸
bÛ`=aÛ`+5
176 | III . 도형의 방정식
… ❸
p
;9$;
배점
1점
3점
3점
정답과 해설 또, 점 C(a, b)가 직선 x+y-5=0 위에 있으므로
양변을 제곱하여 정리하면
a+b-5=0
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=3
따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 3이다.
… ❷
… ❸
3
배점
2점
3점
1점
mÛ`+
3m=0, m(m+
3)=0
'
∴ m=0 또는 m=-
'
따라서 접선의 방정식은
'
3
y=2 또는
'
3x+y+4=0
⑵ 점 A(0, 2)에서 직선
'
면
AHÓ=
|2+4|
"Ã(
'
3)Û`+1Û`
=3
⑶ BPÓ=APÓ=2
3이므로
△ PAB=
´BPÓ´AHÓ=
´2
3´3=3
;2!;
'
3
'
'
;2!;
3x+y+4=0에 내린 수선의 발을 H라 하
채점 기준
1315
❶ AHÓ의 길이를 구할 수 있다.
❷ a, b의 값을 구할 수 있다.
❸ 원의 반지름의 길이를 구할 수 있다.
유형 02 두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식
+ 14 원과 직선의 위치 관계 - 서로 다른 두 점에서 만날 때
|전략| 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 원의 중심과 직선 사이의 거리
채점 기준
를 d, 반지름의 길이를 r라 할 때, d0)라 하면 점 (3, k)와 직선
3x-3y=0 사이의
'
거리는 반지름의 길이 3과 같다. 즉,
|3
3-3k|
'
'
3)Û`+(-3)Û`
3
"Ã(
3-k=Ñ2
'
이때, OOªÓ=
'
=3, |
3-k|=2
'
3
'
∴ k=3
3`(∵ k>0)
'
3Û`+(3
"Ã
Û`-OªQÓ
'
Û`=
3)Û`=6이므로 직각삼각형 OQOª에서
OQÓ=¿¹OOªÓ
참고 두 원 O와 OÁ은 모두 반지름의 길이가 2인 원이고 직선 l에 접한다. 즉, 점
O와 점 OÁ은 직선 l과 같은 거리에 있으므로 직선 OOÁ은 직선 l과 평행하다.
6Û`-3Û`=3
3
3
"Ã
'
'
3
(x+1)Û`+(y-6)Û`=1과 모두 만
나지 않고 그 사이를 통과하려면
-1
O
㉠이 고정된 두 원의 반지름의 길이와 움직이는 원의 지름의 길이의
합보다 커야 한다.
|-m-6|
mÛ`+1
"Ã
양변을 제곱하여 정리하면
35mÛ`-12m<0, m(35m-12)<0
>1+1+2´2, |-m-6|>6
mÛ`+1
"Ã
∴ 00)
;4#;
③
ABÓ가 두 원 xÛ`+yÛ`=4, (x+1)Û`+(y-2)Û`=4의 공통인 현이므로
∴ 4x-y-6=0
4x-y-6=0
정답과 해설
13 도형의 이동
본책 210~223쪽
개념 마스터
STEP1
1323
(0+2, 0-1), 즉 (2, -1)
1324
(3+2, 2-1), 즉 (5, 1)
1325
(-4+2, 3-1), 즉 (-2, 2)
1326
(-2+2, -1-1), 즉 (0, -2)
1327
(2-2, -3+3), 즉 (0, 0)
1328
(-2-2, 3+3), 즉 (-4, 6)
1329
(4-2, 2+3), 즉 (2, 5)
1331
x+4=0, y-5=2이므로
1332
x+4=4, y-5=7이므로
x=0, y=12
∴ (0, 12)
1333
x+4=2, y-5=-7이므로
1334
x+4=-3, y-5=-4이므로
x=-7, y=1
∴ (-7, 1)
1330
(-1-2, -5+3), 즉 (-3, -2)
(-3, -2)
x=-4, y=7
∴ (-4, 7)
(-4, 7)
x=-2, y=-2
∴ (-2, -2)
(-2, -2)
⑶ 원점：(-2, 3)
1335
-7+a=2, 6+b=4이므로
a=9, b=-2
1336
(x-1)-2(y+2)-5=0
a=9, b=-2
(2, -1)
∴`x-2y-10=0
x-2y-10=0
1337
y+2=2(x-1)Û`-(x-1)+1
∴`y=2xÛ`-5x+2
y=2xÛ`-5x+2
1338
(x-1+1)Û`+(y+2-3)Û`=4
∴`xÛ`+(y-1)Û`=4
xÛ`+(y-1)Û`=4
(5, 1)
(-2, 2)
(0, -2)
[1339~1341]
방정식 f(x, y)=0이 나타내는 도형이 평행이동
(x, y)
(x-2, y+3)에 의하여 옮겨지는 도형의 방정식은
(0, 0)
1Ú
f(x+2, y-3)=0이다.
1339
5(x+2)-2(y-3)+1=0
(-4, 6)
∴`5x-2y+17=0
5x-2y+17=0
(2, 5)
1340
y-3=-(x+2)Û`+6(x+2)+7
∴`y=-xÛ`+2x+18
y=-xÛ`+2x+18
1341
(x+2)Û`+(y-3)Û`-(x+2)+4(y-3)-20=0
∴`xÛ`+yÛ`+3x-2y-21=0
xÛ`+yÛ`+3x-2y-21=0
1342
구하는 직선은 주어진 직선을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향
으로 5만큼 평행이동한 것이므로 2(x+1)+3(y-5)-1=0
∴ 2x+3y-14=0
2x+3y-14=0
(0, 12)
1343
⑴ x축：(2, 3)
⑵ y축：(-2, -3)
⑷ 직선 y=x：(-3, 2)
⑸ 직선 y=-x：(3, -2)
⑴ (2, 3) ⑵ (-2, -3) ⑶ (-2, 3)
(-7, 1)
⑷ (-3, 2) ⑸ (3, -2)
13 도형의 이동 | 179
13ㅡ도형의 이동 정답과 해설
1344
⑴ x축：x+(-y)+1=0, 즉 x-y+1=0
⑵ y축：(-x)+y+1=0, 즉 x-y-1=0
⑶ 원점：(-x)+(-y)+1=0, 즉 x+y-1=0
⑷ 직선 y=x：y+x+1=0, 즉 x+y+1=0
⑸ 직선 y=-x：(-y)+(-x)+1=0, 즉 x+y-1=0
⑴ x-y+1=0 ⑵ x-y-1=0 ⑶ x+y-1=0
⑷ x+y+1=0 ⑸ x+y-1=0
1345
⑴ x축：(-y)=xÛ`-3x+1, 즉 y=-xÛ`+3x-1
⑵ y축：y=(-x)Û`-3(-x)+1, 즉 y=xÛ`+3x+1
⑶ 원점：(-y)=(-x)Û`-3(-x)+1, 즉 y=-xÛ`-3x-1
⑷ 직선 y=x：x=yÛ`-3y+1
⑸ 직선 y=-x： (-x)=(-y)Û`-3(-y)+1
즉, x=-yÛ`-3y-1
⑴ y=-xÛ`+3x-1 ⑵ y=xÛ`+3x+1 ⑶ y=-xÛ`-3x-1
⑷ x=yÛ`-3y+1 ⑸ x=-yÛ`-3y-1
1346
⑴ x축： (x-1)Û`+{(-y)+4}Û`=25
즉, (x-1)Û`+(y-4)Û`=25
⑵ y축： {(-x)-1}Û`+(y+4)Û`=25
즉, (x+1)Û`+(y+4)Û`=25
즉, (x+1)Û`+(y-4)Û`=25
⑷ 직선 y=x： (y-1)Û`+(x+4)Û`=25
즉, (x+4)Û`+(y-1)Û`=25
⑸ 직선 y=-x： {(-y)-1}Û`+{(-x)+4}Û`=25
즉, (x-4)Û`+(y+1)Û`=25
⑴ (x-1)Û`+(y-4)Û`=25 ⑵ (x+1)Û`+(y+4)Û`=25
⑶ (x+1)Û`+(y-4)Û`=25 ⑷ (x+4)Û`+(y-1)Û`=25
⑸ (x-4)Û`+(y+1)Û`=25
1347
P(x, y)라 하면 x=
=1, y=
=-2
-1+3
2
1-5
2
∴ P(1, -2)
P(1, -2)
1348
구하는 점의 좌표를 (p, q)라 하면
-2+p
2
3+q
2
=-1,
=2
따라서 구하는 점의 좌표는 (0, 1)
∴`p=0, q=1
180 | III . 도형의 방정식
1349
⑴ 두 점 (a, b), (p, q)를 이은 선분의 중점의 좌표가 (2, 5)이므로
⑵ 점 (a, b)가 직선 3x+4y-1=0 위의 점이므로
⑴
a+p
2
=2,
b+q
2
=5
⑴ ∴ a=4-p, b=10-q
⑴ 3a+4b-1=0
⑴ ㉠을 ㉡에 대입하면
⑴ 3(4-p)+4(10-q)-1=0
⑴ ∴ 3p+4q-51=0
…… ㉠
…… ㉡
⑴ 따라서 점 (p, q)는 직선 3x+4y-51=0 위의 점이므로 구하는
도형의 방정식은 3x+4y-51=0
⑴ a=4-p, b=10-q ⑵ 3x+4y-51=0
1350
⑴
{
-3+a
2
,
1+b
2 }
⑵ 두 점 A, B를 지나는 직선은 직선 x-y+1=0과 수직이다.
직선 x-y+1=0의 기울기가 1이므로 두 점 A, B를 지나는 직선
의 기울기는 -1이다.
⑶ 선분 AB의 중점
{
-3+a
2
,
1+b
2 }
가 직선 x-y+1=0 위의
점이므로
-3+a
2
-
1+b
2
+1=0
∴`a-b=2
yy ㉠
b-1
a-(-3)
=-1
∴`a+b=-2
yy ㉡
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=0, b=-2
∴`B(0, -2)
⑴
{
-3+a
2
,
1+b
2
}
⑵ -1 ⑶ B(0, -2)
유형 마스터
유형 마스터
STEP2
1351
|전략| 평행이동 (x, y)
로 옮겨지면 p=a+m, q=b+n이다.
12Ú
(x+m, y+n)에 의하여 점 (a, b)가 점 (p, q)
점 (-2, 3)을 점 (1, -1)로 옮기는 평행이동을
(x, y)
(x+m, y+n)이라 하면
1Ú
-2+m=1, 3+n=-1 ∴ m=3, n=-4
이때, 평행이동 (x, y)
(x+3, y-4)에 의하여 점 (3, -2)
1Ú
로 옮겨지는 점의 좌표를 (a, b)라 하면
a+3=3, b-4=-2 ∴ a=0, b=2
(0, 1)
따라서 구하는 점의 좌표는 (0, 2)이다.
⑤
⑶ 원점： {(-x)-1}Û`+{(-y)+4}Û`=25
또, 직선 AB의 기울기가 -1이므로
다른 풀이 정삼각형 OAB에서 OBÓ=OAÓ=2이므로
(x+1, y-2)에 의하여 옮겨
|a|=2 cos 60ù=1, |b|=2 sin 60ù=
3
a>0, b>0이므로 a=1, b=
3
'
∴ B(1,
3)
'
'
4
1357
x, y좌표의 부호가 같을 때에는 ㈎ 에 의하여
(x, y)
(x-2, y+1)이므로
(5, 1)
(3, 2)
(1, 3)
(-1, 4)
1Ú
1Ú
1Ú
1Ú
(x+2, y-b)에 의하여 옮겨
x, y좌표의 부호가 다를 때에는 ㈏ 에 의하여
1352
점 (-2, 3)이 평행이동 (x, y)
지는 점의 좌표는
(-2+1, 3-2), 즉 (-1, 1)
1Ú
이 점이 직선 y=mx+5 위의 점이므로
1=-m+5
∴ m=4
1353
점 (-1, 4)가 평행이동 (x, y)
1Ú
지는 점의 좌표는
(-1+2, 4-b), 즉 (1, 4-b)
이 점이 점 (a, 2)와 일치하므로
1=a, 4-b=2
∴ `a=1, b=2
∴ a-b=-1
(x, y)
(x-2, y-1)이므로
1Ú
1Ú
(-9, 0)
(-1, 4)
(-3, 3)
(-5, 2)
(-7, 1)
1Ú
1Ú
1Ú
이때, (-9)´0=0이므로 ㈐ 에 의하여 이동을 멈춘다.
②
따라서 멈출 때까지 이동한 횟수는 7이다.
7
1358
|전략| 직선 ax+by+c=0을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼
평행이동한 직선의 방정식은 a(x-m)+b(y-n)+c=0이다.
직선 ax-y+1-a=0을 주어진 평행이동에 의하여 평행이동한 직
선의 방정식은
a(x-m)-(y-2)+1-a=0
∴ ax-y-am+3-a=0
a=-3, -am+3-a=9
따라서 a=-3, m=1이므로
a+m=-2
1359
점 (2, 1)이 평행이동 (x, y)
진 점의 좌표가 (-2, 3)이므로
1Ú
2+m=-2, 1+n=3 ∴ m=-4, n=2
(x+m, y+n)에 의하여 옮겨
5
1Ú
즉, (x, y)
(x-4, y+2)이다.
직선 x+by+c=0을 x축의 방향으로 -4만큼, y축의 방향으로 2만
1354
점 (m, n)을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행
이동한 점의 좌표는 (m+3, n-2)
한편, xÛ`+yÛ`-4x+2y-2=0에서
(x-2)Û`+(y+1)Û`=7
즉, 원의 중심의 좌표는 (2, -1)이므로
m+3=2, n-2=-1
∴ `m=-1, n=1
1355
점 A(3, 4)를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이
동한 점을 A'이라 하면 점 A'의 좌표는
(3+a, 4+2), 즉 (a+3, 6)
이때, 원점 O로부터의 거리가 처음의 거리의 2배가 되었으므로
OA'Ó=2OAÓ, 즉 OA'Ó Û`=4OAÓ Û`에서
(a+3)Û`+6Û`=4(3Û`+4Û`), (a+3)Û`=64
a+3=Ñ8
∴ `a=5 (∵`a>0)
∴`m+n=0
0
이 직선이 직선 3x+y-9=0, 즉 -3x-y+9=0과 일치하므로
1356
도형을 평행이동하여도 그 모양은 변하지 않는다.
즉, △O'A'B'이 정삼각형이므로 △OAB도 정삼각형이다.
오른쪽 그림의 △OAB에서
y
큼 평행이동한 직선의 방정식은
(x+4)+b(y-2)+c=0
∴ x+by-2b+c+4=0
이 직선이 직선 x-5y+10=0과 일치하므로
b=-5, -2b+c+4=10에서 c=-4
B'(4, 6
3)
'
∴`m+n+b+c=-11
B(a, b)
A'
O'
채점 기준
O
H
A(2, 0)
x
❶ m, n의 값을 구하여 평행이동을 알 수 있다.
한 변의 길이가 2인
3
정삼각형의 높이는 '
2
´2=
3
'
OAÓ=2이므로 OHÓ=1
이때, △OAB에서
3
BHÓ=
'
∴ B(1,
3)
'
점 B가 평행이동
(x, y)
1Ú
이므로 1+m=4,
∴ mn=15
3
'
(x+m, y+n)에 의하여 옮겨지는 점이 B'(4, 6
3)
3+n=6
3
∴ m=3, n=5
'
'
3
'
'
⑤
식을 구할 수 있다.
❸ b, c의 값을 구할 수 있다.
❹ m+n+b+c의 값을 구할 수 있다.
❷ 주어진 평행이동에 의하여 직선 x+by+c=0이 옮겨지는 직선의 방정
-2
… ❶
… ❷
… ❸
… ❹
-11
비율
30 %
30 %
20 %
20 %
13 도형의 이동 | 181
13ㅡ도형의 이동 1360
직선 y=ax+b를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 -1만
1364
|전략| 원 xÛ`+yÛ`=rÛ`을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이
큼 평행이동한 직선의 방정식은
y+1=a(x+2)+b ∴ y=ax+2a+b-1
동한 원의 방정식은 (x-m)Û`+(y-n)Û`=rÛ`이다.
xÛ`+yÛ`-4x+2y+1=0에서 (x-2)Û`+(y+1)Û`=4
이 직선이 직선 y=3x+2와 y축 위의 점에서 수직으로 만나므로 기
원 (x-2)Û`+(y+1)Û`=4를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로
울기의 곱이 -1이고 y절편이 같아야 한다.
즉, 3a=-1, 2a+b-1=2에서 a=-
, b=
;3!;
;;Á3Á;;
∴ b-a=4
b만큼 평행이동한 원의 방정식은
(x-a-2)Û`+(y-b+1)Û`=4
⑤
이 원이 원 (x-4)Û`+(y+2)Û`=4와 겹쳐지므로
-a-2=-4, -b+1=2
∴ `a=2, `b=-1
1361
직선 y=x-2를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 -1만큼
직선 y=-x-3을 y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 직선의 방정
평행이동한 직선의 방정식은
y+1=x-m-2
∴ y=x-m-3
식은
y-n=-x-3
∴ y=-x+n-3
∴`b-a=-3
①
다른 풀이 원의 평행이동은 원의 중심의 평행이동으로 생각할 수 있다.
원 xÛ`+yÛ`-4x+2y+1=0, 즉 (x-2)Û`+(y+1)Û`=4의 중심의 좌표는
(2, -1)이고, 이 점을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행
이동한 점의 좌표는 (2+a, -1+b)
yy ㉠
이때, 이 점이 원 (x-4)Û`+(y+2)Û`=4의 중심의 좌표 (4, -2)이므로
2+a=4, -1+b=-2
∴ a=2, b=-1
∴ b-a=-3
이때, 두 직선 ㉠, ㉡이 모두 점 (3, -4)를 지나므로
-4=3-m-3에서 m=4, -4=-3+n-3에서 n=2
∴ m+n=6
②
(x, y)
(x+1, y+2)
1Ú
포물선 y=xÛ`+4x-1을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 2
yy ㉡
1365
원점을 점 (1, 2)로 옮기는 평행이동은
1362
직선 x-y+2=0을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 -1만
큼 평행이동한 직선의 방정식은
(x-m)-(y+1)+2=0 ∴ x-y+1-m=0
이 직선의 x절편은 m-1, y절편은 1-m
이고 m>1이므로 직선과 x축, y축으로
둘러싸인 부분은 오른쪽 그림의 색칠한 부
y
O
y=x+1-m
m-1
x
분과 같다.
이 부분의 넓이가 8이므로
(m-1)Û`=8, (m-1)Û`=16
;2!;
m-1=Ñ4 ∴`m=5 (∵`m>1)
5
1-m
∴ m+n=-4
만큼 평행이동한 포물선의 방정식은
y-2=(x-1)Û`+4(x-1)-1
y=xÛ`+2x-2 ∴ y=(x+1)Û`-3
따라서 꼭짓점의 좌표는 (-1, -3)이므로
m=-1, n=-3
∴ `m+n=-4
-4
다른 풀이 포물선의 평행이동은 꼭짓점의 평행이동으로 생각할 수 있다.
포물선 y=xÛ`+4x-1, 즉 y=(x+2)Û`-5의 꼭짓점의 좌표는 (-2, -5)
이고, 이 점이 평행이동 (x, y)
(x+1, y+2)에 의하여 옮겨지는 점
1Ú
의 좌표는 (-1, -3)이므로 m=-1, n=-3
1366
xÛ`+yÛ`+ax+by+2=0에서
x+
{
;2A;}
+
{y+
;2B;}
= aÛ`
4
+ bÛ`
4
-2
이 원을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한
2`
2`
1363
직선 l : 2x+y+1=0을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 a
원의 방정식은
이때, 두 직선 l과 m 사이의 거리는
5이므로 직선 l 위의 한 점
2-
=-1, `-1-
=2
∴ `a=6, `b=-6
;2A;
;2B;
x-2+
;2A;}
+
{y+1+
;2B;}
{
= aÛ`
4
+ bÛ`
4
-2
이때, 중심의 좌표가 (-1, 2)이므로
2`
2`
r=
또, 반지름의 길이는
+ bÛ`
4
aÛ`
4
∴`a+b+r=4
-2=
¾Ð
6Û`
4
¾Ð
+
(-6)Û`
4
-2=
16=4
'¶
a+4=Ñ5
∴ `a=1 (∵`a>0)
1
①
만큼 평행이동한 직선 m의 방정식은
2(x-2)+(y-a)+1=0
∴ `2x+y-a-3=0
(0, -1)과 직선 m 사이의 거리는
즉,
|-1-a-3|
2Û`+1Û`
"Ã
=
5에서 |a+4|=5
'
'
5이다.
'
182 | III . 도형의 방정식
정답과 해설 1367
포물선 y=3xÛ`+6x+7, 즉 y=3(x+1)Û`+4를 x축의 방향으로 p
1370
|전략| 마름모의 넓이를 이등분하는 직선은 마름모의 두 대각선의 교점을 지남을
만큼, y축의 방향으로 p+3만큼 평행이동한 포물선의 방정식은
이용한다.
직선 3x-2y-6=0을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만
y-(p+3)=3(x-p+1)Û`+4
∴`y=3(x-p+1)Û`+p+7
이다.
p+7=0
∴ `p=-7
이 포물선의 꼭짓점 (p-1, p+7)이 x축 위에 있으므로 y좌표는 0
큼 평행이동한 직선의 방정식은
3(x-a)-2(y-b)-6=0
오른쪽 그림과 같이 직선 ㉠이 마름모의
-7
넓이를 이등분하려면 직선 ㉠이 마름모
다른 풀이 포물선의 평행이동은 꼭짓점의 평행이동으로 생각할 수 있다.
포물선 y=3xÛ`+6x+7, 즉 y=3(x+1)Û`+4의 꼭짓점의 좌표는
의 두 대각선의 교점을 지나야 한다.
이때, 마름모 PQRS의 두 대각선의 교
(-1, 4)이고, 이 점을 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 p+3만큼
점의 좌표는
평행이동한 점의 좌표는
(-1+p, 4+p+3)
이때, 이 점이 x축 위에 있으므로 y좌표는 0이다.
4+p+3=0
∴ `p=-7
3+3
2+6
2
,
{
2 }
3(4-a)-2(3-b)-6=0
, 즉 (4, 3)이므로
∴ 3a-2b=0
…… ㉠
S
y
6
3
P
R
O
2
4
Q
6
x
⑤
1371
|전략| 두 원이 외접하려면 두 원의 중심 사이의 거리가 두 원의 반지름의 길이의
원 xÛ`+yÛ`=1을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행
합과 같음을 이용한다.
이동한 원의 방정식은
(x-a)Û`+(y-b)Û`=1
xÛ`+yÛ`-6x+8=0에서 (x-3)Û`+yÛ`=1
외접하는 두 원의 중심 (a, b), (3, 0) 사이의 거리는 두 원의 반지
름의 길이의 합 2와 같으므로
(a-3)Û`+bÛ`=2
"Ã
양변을 제곱하면 (a-3)Û`+bÛ`=4
이때, a, b는 정수이므로
(a-3)Û`=0, bÛ`=4 또는 (a-3)Û`=4, bÛ`=0
∴`a=3, b=Ñ2 또는 a-3=Ñ2, b=0
따라서 구하는 정수 a, b의 순서쌍 (a, b)는
(3, 2), (3, -2), (5, 0), (1, 0)
1372
|전략| 점 (x, y)를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (y, x), x축
에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (x, -y)이다.
점 P(1, 3)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점은 Q(3, 1)
점 Q(3, 1)을 x축에 대하여 대칭이동한 점은 R(3, -1)
따라서 오른쪽 그림에서
△PQR=
´2´2=2
;2!;
6
2
'
(3, 2), (3, -2), (5, 0), (1, 0)
이 원을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한
1368
xÛ`+yÛ`-2x+4y+1=0에서
(x-1)Û`+(y+2)Û`=4
원의 방정식은
(x-m-1)Û`+(y-n+2)Û`=4
이 원이 원 xÛ`+yÛ`=4와 일치하려면
-m-1=0, -n+2=0
∴ m=-1, n=2
원 xÛ`+yÛ`-6y+8=0, 즉 xÛ`+(y-3)Û`=1을 x축의 방향으로 -1
만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 원의 방정식은
(x+1)Û`+(y-2-3)Û`=1
∴ (x+1)Û`+(y-5)Û`=1
(-1)Û`+5Û`=
2
6
'
"Ã
따라서 원의 중심 (-1, 5)와 원점 사이의 거리는
1369
|전략| 원과 직선이 접하려면 원의 중심과 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길
이와 같아야 함을 이용한다.
직선 y=2x+k를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼
평행이동한 직선의 방정식은
y+3=2(x-2)+k ∴ 2x-y+k-7=0
이 직선이 원 xÛ`+yÛ`=5에 접하므로 원의 중심 (0, 0)과 직선 사이의
거리는 원의 반지름의 길이
5와 같다.
'
즉,
|k-7|
2Û`+(-1)Û`
'
"Ã
k-7=Ñ5
∴ k=2 또는 k=12
=
5에서 |k-7|=5
따라서 모든 k의 값의 합은 14이다.
14
y=x
P
y
3
1
O
1
-1
Q
3
R
x
2
13 도형의 이동 | 183
13ㅡ도형의 이동§
1373
민주의 위치를 나타내는 점의 좌표를 (m, n)이라 하면
1377
처음 직선의 기울기를 m이라 하면 점 (-1, 0)을 지나는 직선의 방
형식이의 위치를 나타내는 점의 좌표는 (-m, -n)
정식은 y=m(x+1)
혜나의 위치를 나타내는 점의 좌표는 (n, m)
이 직선을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은
따라서 a=-m, b=m이므로 a+b=0
0
-y=m(x+1)
이 직선이 점 (1, 1)을 지나므로
-1=m(1+1)
∴ m=-
;2!;
①
1378
직선 ax+(b-1)y=1을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선의
1374
점 P의 좌표를 (a, b)로 놓으면 점 P를 x축에 대하여 대칭이동한 점
의 좌표는 (a, -b)
∴`a<0, b>0
이다.
이 점이 제`3 사분면 위의 점이므로 a<0, -b<0
방정식은
또한, 점 P를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (-a, -b)이
고, 이 점을 다시 x축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (-a, b)
ay+(b-1)x=1
∴ (b-1)x+ay=1
이 직선이 직선 (a-3)x-(b+1)y=1과 일치하므로
b-1=a-3, a=-b-1
∴ a-b=2, a+b=-1
이때, -a>0, b>0이므로 점 (-a, b)는 제`1 사분면 위의 점이다.
제 1 사분면
두 식을 연립하여 풀면 a=
, b=-
;2!;
;2#;
다른 풀이 점 P를 x축에 대하여 대칭이동한 점이 제`3 사분면 위에 있으
므로 점 P는 제`2`사분면 위의 점이다.
따라서 오른쪽 그림과 같이 생각할 수 있다.
P
(제`2`사분면)
원점
111Ú
대칭
PÁ
(제`4`사분면)
x축
111Ú
대칭
Pª
(제`1`사분면)
P
y
O
Pª
PÁ
x
직선 y=
ax-1을 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은
y=
a(-x)-1
∴ y=-
ax-1
yy`㉠
… ❶
직선 y=
ax-1을 원점에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은
-y=
a(-x)-1
∴ y=
ax+1
yy`㉡
… ❷
;2!;
;2!;
1375
점 P(3, 2)를 y축에 대하여 대칭이동하면 PÁ(-3, 2)
점 PÁ(-3, 2)를 x축에 대하여 대칭이동하면 Pª(-3, -2)
이때, 두 직선 ㉠, ㉡이 수직이므로
점 Pª(-3, -2)를 원점에 대하여 대칭이동하면 P£(3, 2)
즉, 점 P를 y축, x축, 원점에 대하여 이 순서로 대칭이동하면 자기 자
-
a´
a=-1, aÛ`=4
∴ `a=2 (∵`a>0)
;2!;
;2!;
신으로 돌아온다.
따라서 2018=3´672+2이므로 대칭이동하는 과정을 2016번 반복
채점 기준
하면 이동한 후의 점의 좌표는 (3, 2)이고, 2018번 이동한 후의 점의
좌표는 (-3, -2)이다.
(-3, -2)
❶ 주어진 직선을 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식을 구할 수 있다.
❷ 주어진 직선을 원점에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식을 구할 수 있다.
❸ 양수 a의 값을 구할 수 있다.
∴ ab=-
;4#;
1379
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
-
;4#;
… ❸
2
비율
30`%
30`%
40`%
1376
|전략| 도형 `f(x, y)=0을 x축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은
f(x, -y)=0이다.
직선 y=2x-1을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은
-y=2x-1
∴ `y=-2x+1
1380
|전략| 도형 f(x, y)=0을 y축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은
f(-x, y)=0이다.
xÛ`+yÛ`-4x+6y+9=0에서 (x-2)Û`+(y+3)Û`=4
이 원을 y축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은
(-x-2)Û`+(y+3)Û`=4
∴ (x+2)Û`+(y+3)Û`=4
이 직선에 수직인 직선의 기울기는
이므로 기울기가
이고
;2!;
;2!;
이때, 이 원의 중심 (-2, -3)이 원점을 지나는 직선 l：y=ax 위
점 (2, 1)을 지나는 직선의 방정식은
에 있으므로
y-1=
(x-2)
∴ `y=
;2!;
x
;2!;
y=
x
;2!;
-3=-2a ∴ a=
;2#;
;2#;
184 | III . 도형의 방정식
정답과 해설 1381
ㄱ. (x-1)Û`+(y-1)Û`=2를 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 도
1385
|전략| 원과 직선이 만나지 않으려면 원의 중심과 직선 사이의 거리가 원의 반지
형의 방정식은 (-y-1)Û`+(-x-1)Û`=2
름의 길이보다 커야 함을 이용한다.
∴ (x+1)Û`+(y+1)Û`=2
중심이 점 (3, -1)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식은
ㄴ. 2x-2y-1=0을 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 도형의 방
(x-3)Û`+(y+1)Û`=rÛ`
정식은 2(-y)-2(-x)-1=0
이 원을 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은
(-y-3)Û`+(-x+1)Û`=rÛ`
∴ (x-1)Û`+(y+3)Û`=rÛ`
ㄷ. y=xÛ`+1을 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은
이때, 이 원과 직선 3x+4y-1=0이 만나지 않으려면
∴ 2x-2y-1=0
-x=(-y)Û`+1
∴ yÛ`=-x-1
따라서 직선 y=-x에 대하여 대칭이동하였을 때 처음의 도형과 일
치하는 도형의 방정식은 ㄴ뿐이다.
②
1382
중심이 점 (-1, 2)이고 반지름의 길이가 k인 원의 방정식은
(x+1)Û`+(y-2)Û`=kÛ`
이 원을 x축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은
(x+1)Û`+(-y-2)Û`=kÛ`
∴ `(x+1)Û`+(y+2)Û`=kÛ`
이때, 이 원이 점 (2, 2)를 지나므로
(2+1)Û`+(2+2)Û`=kÛ`, kÛ`=25
∴ k=5 (∵ k>0)
1383
포물선 y=xÛ`+mx+n을 원점에 대하여 대칭이동한 포물선의 방정
-y=(-x)Û`+m(-x)+n, y=-xÛ`+mx-n
Û`+ mÛ`
4
-n
{
x- m
2 }
m
2
,
mÛ`
4
}
-n
이 점 (2, 1)과 일치하므로
-n=1
∴ `m=4, n=3
식은
∴ y=-
이때, 꼭짓점
{
=2,
mÛ`
4
m
2
∴ m-n=1
(-2, -1)
y=(x+2)Û`-1
∴ `y=xÛ`+4x+3
따라서 m=4, n=3이므로 m-n=1
1384
직선 3x-4y+a=0을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은
3x-4(-y)+a=0
∴ `3x+4y+a=0
이 직선이 원 xÛ`+(y-2)Û`=9에 접하므로 원의 중심 (0, 2)와 직선
사이의 거리는 원의 반지름의 길이 3과 같다.
즉,
|8+a|
3Û`+4Û`
"Ã
=3에서 |8+a|=15
(원의 중심과 직선 사이의 거리)>(원의 반지름의 길이)이므로
|3-12-1|
3Û`+4Û`
"Ã
>r, 10>5r ∴`00) 00)
7
이동하면 (-a-3, 1)이다.
13ㅡ도형의 이동 이 점이 점 (3, b)와 일치하므로
-a-3=3, 1=b
∴ `a=-6, b=1
∴ a+b=-5
다른 풀이 주어진 그림에서
f(-1, 0)=0, f(0, -1)=0, f(-1, -1)=0이므로
①
f(-1, 0)=0일 때, f(1-y, -x)=0에서
1389
|전략| 원의 넓이를 이등분하는 직선은 원의 중심을 지남을 이용한다.
직선 y=x+2를 y축의 방향으로 m만큼 평행이동한 직선의 방정
식은
y-m=x+2
∴ `y=x+m+2
이 직선을 원점에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은
-y=-x+m+2
∴ `y=x-m-2
이 직선이 원 xÛ`+yÛ`-2x+6y+1=0, 즉 (x-1)Û`+(y+3)Û`=9의
넓이를 이등분하려면 원의 중심 (1, -3)을 지나야 하므로
1-y=-1, -x=0
∴ `x=0, y=2
f(0, -1)=0일 때, f(1-y, -x)=0에서
1-y=0, -x=-1
∴ `x=1, y=1
f(-1, -1)=0일 때, f(1-y, -x)=0에서
1-y=-1, -x=-1
∴ `x=1, y=2
따라서 세 점 (0, 2), (1, 1), (1, 2)를 지나는 도형은 ⑤이다.
1392
방정식 f(-x, y)=0, f(x, -y)=0, f(-x, -y)=0이 나타내
는 도형은 방정식 f(x, y)=0이 나타내는 도형을 각각 y축, x축, 원
-3=1-m-2
∴ `m=2
2
점에 대하여 대칭이동한 것이므로 주어진 네 개의 도형으로 둘러싸인
1390
|전략| 중심의 좌표가 (a, b), 반지름의 길이가 r인 원이 x축, y축에 동시에 접
원 (x-p)Û`+(y+q)Û`=4를 x축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식
부분은 다음 그림의 색칠한 부분과 같다.
y
1
f(-x, y)=0
f(x, y)=0
-2
f(-x, -y)=0
O
-1
2
x
f(x, -y)=0
이 원을 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 원의 방정식은
따라서 구하는 넓이는
´4´2=4
;2!;
4
하면 |a|=|b|=r임을 이용한다.
은 (x-p)Û`+(-y+q)Û`=4
∴`(x-p)Û`+(y-q)Û`=4
(x-p)Û`+(y-1-q)Û`=4
이 원이 x축과 y축에 동시에 접하므로
|p|=|1+q|=2
∴`p=2, q=1 (∵`p>0, q>0)
∴`p+q=3
채점 기준
❶ 주어진 원을 x축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식을 구할 수 있다.
❷ ❶의 원을 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 원의 방정식을 구할 수 있다.
❸ p+q의 값을 구할 수 있다.
… ❶
… ❷
… ❸
3
배점
30`%
30`%
40`%
이다.
f(x, y)=0이 나타내는 도형을 직선 y=-x에 대하여 대칭이동하
면 f(-y, -x)=0이고, 이것을 다시 y축의 방향으로 1만큼 평행이
동하면 f(1-y, -x)=0이다.
y
y
1
→
x
O
1
x
→
-1
O
-1
y
2
1
O
186 | III . 도형의 방정식
1393
f(x, y)=0이 나타내는 도형을 y축에 대하여 대칭이동하면
f(-x, y)=0이고, 이것을 다시 y축의 방향으로 1만큼 평행이동하
면 f(-x, y-1)=0이다.
y
1
O
1
x
y
→
-1
y
1
O
→
-2
x
y
2
O
x
f(x, y)=0 ` f(-x, y)=0 ` ` f(-x, y-1)=0
따라서 f(-x, y-1)=0이 나타내는 도형은 ⑤이다.
⑤
다른 풀이 주어진 그림의 도형은 점 (0, 1)에서 꺾이므로 f(0, 1)=0
즉, f(-x, y-1)=0이 나타내는 도형은 점 (0, 2)에서 꺾인다.
또, 주어진 그림에서 f(1, 0)=0이므로 f(-x, y-1)=0에서
-x=1, y-1=0
∴ x=-1, y=1
즉, f(-x, y-1)=0이 나타내는 도형은 점 (-1, 1)을 지난다.
따라서 구하는 도형은 ⑤이다.
1391
|전략| 도형 `f(x, y)=0과 `f(-y, -x)=0은 직선 y=-x에 대하여 대칭
f(0, 1)=0일 때, f(-x, y-1)=0에서
-x=0, y-1=1
∴ x=0, y=2
f(x, y)=0
f(-y, -x)=0
f(1-y, -x)=0
1
x
1394
ㄱ. f(x, y)=0이 나타내는 도형을 원점에 대하여 대칭이동하면
따라서 f(1-y, -x)=0이 나타내는 도형은 ⑤이다.
⑤
f(-x, -y)=0이다.
정답과 해설 ㄴ. f(x, y)=0이 나타내는 도형을 x축의 방향으로 1만큼 평행이동
하면 f(x-1, y)=0이고, 이것을 다시 x축에 대하여 대칭이동
1398
|전략| 두 점 P, Q가 직선 l에 대하여 대칭이면 직선 l은 PQÓ의 수직이등분선이
하면 f(x-1, -y)=0이다.
ㄷ. f(x, y)=0이 나타내는 도형을
x축의 방향으로 3만큼, y축의 방
향으로 1만큼 평행이동하면
f(y-3, x-1)=0
f(x-3, y-1)=0이고, 이것을
다시 직선 y=x에 대하여 대칭이
동하면 f(y-3, x-1)=0이다.
이것은 도형 B를 나타내는 방정식이 아니다.
ㄹ. f(x, y)=0이 나타내는 도형을 x축
y
3
2
두 점 P(-3, 7), Q(a, b)에 대하여 PQÓ의 중점
가 직선 y=2x+3 위의 점이므로
다.
{
,
7+b
-3+a
2 }
2
=2´ -3+a
7+b
2
2
+3 ∴ 2a-b=7
yy`㉠
-1
O
x
또, 직선 PQ가 직선 y=2x+3과 수직이므로
´2=-1 ∴ a+2b=11
b-7
a-(-3)
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=5, b=3
yy`㉡
∴ a-b=2
②
y
O
-1
1
2
x
f(-y-1, -x)=0
의 방향으로 1만큼 평행이동하면
f(x-1, y)=0이고, 이것을 다시 직
선 y=-x에 대하여 대칭이동하면
f(-y-1, -x)=0이다.
이것은 도형 B를 나타내는 방정식이
아니다.
따라서 도형 B를 나타내는 방정식은 ㄱ, ㄴ이다.
①
1395
|전략| 점 P(x, y)를 점 (a, b)에 대하여 대칭이동한 점을 P'이라 하면 점
2-3
4-2
´a=-1 ∴ a=2
(a, b)는 PP'Ó의 중점이다.
두 점 (a, 2), (-1, b)를 이은 선분의 중점의 좌표가 (3, 4)이므로
=3,
=4 ∴ a=7, b=6
2+b
2
a+(-1)
2
∴ ab=42
42
a=2를 ㉠에 대입하면 b=-
∴`y=2x-
;2&;
;2&;
이때, 직선 l의 x절편은
, y절편은 -
;4&;
이
;2&;
므로 직선 l과 x축, y축으로 둘러싸인 삼각
1399
직선 l의 방정식을 y=ax+b라 하면 두 점 P(2, 3), Q(4, 2)에 대
하여 PQÓ의 중점
{
3,
;2%;}
가 직선 l 위의 점이므로
=3a+b
;2%;
또, 직선 PQ가 직선 l과 수직이므로
yy`㉠
형의 넓이는
´
´
;2!;
;4&;
;2&;
=
;1$6(;
y
3
2
O
-
7
2
P
2
l
Q
4
7
4
x
;1$6(;
1400
원 (x+2)Û`+(y-1)Û`=1의 중심 (-2, 1)을 직선 y=x-3에 대하
여 대칭이동한 점의 좌표를 (a, b)라 하면 두 점 (-2, 1), (a, b)
, 1+b
2 }
를 이은 선분의 중점
{
가 직선 y=x-3 위의 점이
-2+a
2
므로
1+b
2
= -2+a
2
-3
∴ a-b=9
yy`㉠
또, 두 점 (-2, 1), (a, b)를 지나는 직선이 직선 y=x-3과 수직
1396
원 xÛ`+yÛ`-2x-8=0, 즉 (x-1)Û`+yÛ`=9의 중심의 좌표는
(1, 0)이고 반지름의 길이는 3이다.
원의 중심 (1, 0)을 점 (2, 1)에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를
(a, b)라 하면
1+a
2
0+b
2
=2,
=1
∴ a=3, b=2
원은 대칭이동하여도 반지름의 길이가 변하지 않으므로 구하는 도형
은 중심의 좌표가 (3, 2)이고 반지름의 길이가 3인 원이다.
∴ (x-3)Û`+(y-2)Û`=9
①
1397
포물선 y=xÛ`+2x+3=(x+1)Û`+2의 꼭짓점의 좌표는 (-1, 2)
포물선 y=-xÛ`+6x-13=-(x-3)Û`-4의 꼭짓점의 좌표는
이므로
(3, -4)
두 포물선이 점 P(a, b)에 대하여 대칭이므로 두 포물선의 꼭짓점도
점 P(a, b)에 대하여 대칭이다.
따라서 두 꼭짓점을 이은 선분의 중점이 P(a, b)이므로
2+(-4)
a= -1+3
2
∴ ab=-1
=1, b=
=-1
2
´1=-1
b-1
a+2
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=-5
∴ a+b=-1
yy`㉡
원은 대칭이동하여도 반지름의 길이가 변하지 않으므로 구하는 도형
은 중심의 좌표가 (4, -5)이고 반지름의 길이가 1인 원이다.
②
∴ (x-4)Û`+(y+5)Û`=1
(x-4)Û`+(y+5)Û`=1
13 도형의 이동 | 187
13ㅡ도형의 이동 정답과 해설
1401
두 원의 중심 (0, 0), (3, 1)을 이은 선분의 중점
,
{;2#;
;2!;}
이 직선
ax+by-5=0 위의 점이므로
a+
b-5=0
∴`3a+b=10
;2#;
;2!;
yy`㉠
또, 두 점 (0, 0), (3, 1)을 지나는 직선이 직선 ax+by-5=0, 즉
y=-
x+
와 수직이므로
;bA;
;b%;
´
-
;3!;
{
;bA;}
=-1
∴`a=3b
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=1
∴`aÛ`+bÛ`=10
1402
|전략| 점 A를 y축에 대하여 대칭이동한 점을 A', 점 B를 x축에 대하여 대칭이
동한 점을 B'이라 하면 APÓ+PQÓ+QBÓ¾A'B'Ó임을 이용한다.
점 A(1, 2)를 y축에 대하여 대칭
이동한 점을 A', 점 B(2, 1)을 x
A'(-1, 2)
A(1, 2)
y
O
P
Q
B(2, 1)
x
B'(2, -1)
축에 대하여 대칭이동한 점을 B'
이라 하면
A'(-1, 2), B'(2, -1)
APÓ=A'PÓ, QBÓ=QB'Ó이므로
APÓ+PQÓ+QBÓ =A'PÓ+PQÓ+QB'Ó
¾A'B'Ó
APÓ+PQÓ+QAÓ =A'PÓ+PQÓ+QA"Ó
¾A'A"Ó
=
(3-1)Û`+(-1-3)Û`=2
5
"Ã
따라서 △APQ의 둘레의 길이의 최솟값은 2
'
5이다.
'
2
5
'
1405
점 A(2, 4)를 직선 x+y-2=0에 대하여 대칭이동한 점을
yy`㉡
A'(m, n)이라 하자.
10
AA'Ó의 중점
{
+ 4+n
2
2+m
2
2+m
2
, 4+n
2
이 직선 x+y-2=0 위의 점이므로
}
-2=0 ∴ m+n=-2 yy`㉠
또, 직선 AA'이 직선 x+y-2=0과 수직이므로
´(-1)=-1 ∴ m-n=-2
n-4
m-2
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m=-2, n=0
yy`㉡
∴ A'(-2, 0)
APÓ=A'PÓ이므로
APÓ+BPÓ =A'PÓ+BPÓ
y
4
A
2
-2
A'
-3
P
(13+2)Û`+(-3-0)Û`
¾A'BÓ
=
"Ã
=3
2
6
'
… ❷
x+y-2=0
… ❶
13
x
B
3
6
2
'
배점
60`%
40`%
=
(2+1)Û`+(-1-2)Û`=3
2
"Ã
'
3
2
'
❶ 점 A'의 좌표를 구할 수 있다.
❷ APÓ+BPÓ의 최솟값을 구할 수 있다.
점 P가 y축 위의 점이므로 점 A를 y축에 대하여 대칭이동하고, 점 Q가 x축
위의 점이므로 점 B를 x축에 대하여 대칭이동한다.
1403
점 A(2, 1)을 직선 y=x에 대하여 대
y
칭이동한 점을 A'이라 하면
A'(1, 2)
APÓ=A'PÓ이므로
A'(1, 2)
P
A(2, 1)
APÓ+BPÓ =A'PÓ+BPÓ
O
¾A'BÓ
=
(5-1)Û`+(3-2)Û`=
7
1
'
"Ã
x
④
y=x
B(5, 3)
점 (a, b)가 점 (p, q)로 옮겨지면 p=a+m, q=b+n이다.
(x+m, y+n)에 의하여
13Ú
점 (5, 2)를 점 (1, 4)로 옮기는 평행이동을
(x, y)
(x+m, y+n)이라 하면
1Ú
5+m=1, 2+n=4
∴ m=-4, n=2
이때, 평행이동 (x, y)
(x-4, y+2)에 의하여 점 P(3, 1)이
옮겨지는 점을 P'(a, b)라 하면
1Ú
a=3-4=-1, b=1+2=3
∴ P'(-1, 3)
∴ PP'Ó=
(-1-3)Û`+(3-1)Û`=2
"Ã
5
'
④
1404
점 A(3, 1)을 직선 y=x에 대하여 대칭
이동한 점을 A', x축에 대하여 대칭이동
한 점을 A"이라 하면
A'(1, 3), A"(3, -1)
APÓ=A'PÓ, QAÓ=QA"Ó이므로
y
A'(1, 3)
y=x
P
A(3, 1)
O
Q
x
A''(3, -1)
1407
유형 02 도형의 평행이동 - 직선
|전략| 직선 ax+by+c=0을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼
평행이동한 직선의 방정식은 a(x-m)+b(y-n)+c=0이다.
채점 기준
내신 마스터
내신 마스터
STEP3
1406
유형 01 점의 평행이동
|전략| 평행이동 (x, y)
188 | III . 도형의 방정식
§
§
§
직선 x-2y+5=0을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -3만
aÛ`+4=12, aÛ`=8
∴ a=Ñ2
2
큼 평행이동한 직선의 방정식은
따라서 모든 실수 a의 값의 곱은 2
2´(-2
2)=-8
③
'
'
'
(x-1)-2(y+3)+5=0
∴ `x-2y-2=0
이 직선의 x절편은 2, y절편은 -1이므로
y
x축, y축에 의하여 잘리는 선분은 두 점
(2, 0), (0, -1)을 이은 선분이다.
따라서 이 선분의 길이는
(0-2)Û`+(-1-0)Û`=
5
'
"Ã
1410
2
x
O
-1
x-2y-2=0
유형 05 점의 대칭이동
|전략| 세 점 A, B, C가 일직선 위에 있으려면 직선 AB와 직선 BC의 기울기가
같아야 함을 이용한다.
점 P(3, -1)을 x축, y축에 대하여 대칭이동한 점은 각각
③
A(3, 1), B(-3, -1)
점 Q(a, b)를 x축에 대하여 대칭이동한 점은
1408
유형 04 평행이동의 활용
|전략| 두 원이 서로 다른 두 점에서 만나려면
(두 원의 반지름의 길이의 차)<(두 원의 중심 사이의 거리)<(두 원의 반지름의
길이의 합)임을 이용한다.
원 (x+3)Û`+(y-2)Û`=3을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로
b만큼 평행이동한 원의 방정식은
(x-a+3)Û`+(y-b-2)Û`=3
1411
이때, 세 점 A, B, C가 일직선 위에 있으려면
, -3-a=-3+3b
(직선 AB의 기울기)
=(직선 BC의 기울기)
C(a, -b)
= -1+b
-3-a
-1-1
-3-3
∴ a=-3b
따라서 직선 PQ의 기울기는
b+1
a-3
= b+1
-3b-3
= b+1
-3(b+1)
=-
;3!;
이 원과 원 (x+3)Û`+(y-2)Û`=3이 서로 다른 두 점에서 만나려면
(두 원의 반지름의 길이의 차)<(두 원의 중심 사이의 거리)
유형 08 대칭이동의 활용
|전략| 도형 `f(x, y)=0을 y축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은
<(두 원의 반지름의 길이의 합)
f(-x, y)=0이고, 원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은
이어야 한다.
3<
즉,
3-
'
'
∴ 00)
채점 기준
있다.
❶ 주어진 포물선을 원점에 대하여 대칭이동한 포물선의 방정식을 구할 수
❷ ❶의 포물선을 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 포물선의 방정식을 구
할 수 있다.
❸ 양수 a의 값을 구할 수 있다.
… ❶
… ❷
… ❸
2
배점
2점
2점
3점
정답과 해설 1418
유형 12 직선 y=mx+n에 대한 대칭이동
|전략| 직선 x-y+1=0이 ACÓ, BDÓ의 수직이등분선임을 이용하여 두 점 C,
1420
|전략| y=|x|의 그래프를 평행이동한 도형 l, m의 방정식을 구하고, q<00
∴ a>3
-3a+21>0
∴ a<7
-
중심의 좌표가
{
;2!;
이고 반지름의 길이가 1인 원 OÁ의 방정식은
, 0
}
원 OÁ을 y축에 대하여 대칭이동한 원 Oª의 방정식은
2`
-x+
+yÛ`=1
∴
{
x-;2!;}
+yÛ`=1
원 OÁ을 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 원 O£의 방정식은
2`
x+
{
;2!;}
+yÛ`=1
{
[
;2!;}
2`
;2!;]
2`
2`
13 도형의 이동 | 191
따라서 3
