2019년 비상교육 내공의 힘 확률과 통계 답지

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1 강 원순열 p. 6 1 {7-1}?=6?=720 2 각 영역에 5가지 색을 칠하는 방법의 수는 5가지 색을 원형 으로 배열하는 원순열의 수와 같으므로 {5-1}?=4?=24 3 8명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 {8-1}?=7?=5040 이때 정사각형 모양의 탁자에서는 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 2 가지씩 있다. 8 7 7 6 1 2 6 5 8 1 5 4 3 4 2 3 따라서 구하는 방법의 수는 5040\2=10080 1 ⑴ 반장과 부반장을 한 명으로 생각하면 5명이 원탁에 둘 러앉는 경우의 수는 {5-1}?=4?=24 그 각각에 대하여 반장과 부반장이 서로 자리를 바꾸어 앉는 경우의 수는 2?=2 따라서 구하는 경우의 수는 24\2=48 ⑵ 반장의 자리를 고정시키면 부반장이 앉는 경우의 수는 1 나머지 4명이 앉는 경우의 수는 4명을 일렬로 배열하는 순열의 수와 같으므로 4?=24 따라서 구하는 경우의 수는 1\24=24 2 부모님을 한 명으로 생각하면 6명이 원탁에 둘러앉는 경우 의 수는 {6-1}?=5?=120 그 각각에 대하여 부모님이 서로 자리를 바꾸어 앉는 경우 의 수는 2?=2 / a=120\2=240 우진이와 부모님을 한 명으로 생각하면 5명이 원탁에 둘러 앉는 경우의 수는 {5-1}?=4?=24 그 각각에 대하여 부모님이 서로 자리를 바꾸어 앉는 경우 의 수는 2?=2 / b=24\2=48 / a+b=240+48=288 따라서 구하는 값은 ④이다. 3 주어진 그림의 가운데 삼각형을 칠하는 방법의 수는 4 나머지 3개의 삼각형을 칠하는 방법의 수는 가운데 삼각형 에 칠한 색을 제외한 나머지 3가지 색을 원형으로 배열하는 원순열의 수와 같으므로 {3-1}?=2?=2 따라서 구하는 방법의 수는 4\2=8 4 빨간색과 보라색을 하나로 생각하여 6가지 색을 칠하는 방 법의 수는 6가지 색을 원형으로 배열하는 원순열의 수와 같 으므로 {6-1}?=5?=120 2?=2 이때 빨간색과 보라색의 칠해진 위치를 바꾸는 방법의 수는 따라서 구하는 방법의 수는 120\2=240 5 6명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 {6-1}?=5?=120 이때 직사각형 모양의 탁자에서는 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 3 가지씩 있다. 5 4 1 2 6 2 4 5 3 3 1 5 2 6 1 따라서 구하는 방법의 수는 120\3=360 6 10명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 {10-1}?=9? 이때 정오각형 모양의 탁자에서는 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 2 가지씩 있다. 1 10 10 9 9 8 7 1 2 3 8 7 6 2 3 4 5 6 4 5 즉, 정오각형 모양의 탁자에 10명에 둘러앉는 방법의 수는 9?\2=8?\18 따라서 a=18이므로 구하는 값은 ③이다. I. 경우의 수 1 교/과/서/속 핵심 유형 실전 문제 p. 7 4 6 3 19고등(확통)_내공_해설(01~49)-OK.indd 1 2018-10-25 오후 12:01:08 2 강 중복순열과 같은 것이 있는 순열 p. 8 1 ⑴ 3 ⑵ 2 2=3@=9 4=2$=16 T T 3 4=3$=81 T 3 7? 2?\3?\2? =210 2 구하는 경우의 수는 서로 다른 3개 중에서 4개를 택하는 중 복순열의 수와 같으므로 4 오른쪽으로 한 칸 가는 것을 a, 위쪽으로 한 칸 가는 것을 b 라고 하면 구하는 최단 경로의 수는 a, a, a, b, b를 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로 5? 3?\2? =10 교/과/서/속 핵심 유형 실전 문제 1 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 0, 2로 2개이다. 만의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 3개이고, 나머 지 세 자리에 올 수 있는 숫자는 각각 4개이다. 따라서 구하는 짝수의 개수는 2\3\4 3=2\3\4#=384 T 2 5개의 숫자 중에서 3개를 택하는 중복순열의 수는 5 3=5#=125 숫자 3을 제외한 4개의 숫자 중에서 3개를 택하는 중복순 T 열의 수는 4 3=4#=64 따라서 구하는 자연수의 개수는 T 125-64=61 3 ⑴ 구하는 함수는 집합 Y의 원소 4개 중에서 중복을 허용 하여 3개를 택하고, 그 원소를 집합 X의 원소에 각각 대응시키면 된다. 따라서 구하는 함수의 개수는 4개 중에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 4 3=4#=64 ⑵ 구하는 함수는 집합 Y의 원소 4개 중에서 서로 다른 3 T 개를 택하여 집합 X의 원소에 각각 대응시키면 된다. 따라서 구하는 함수의 개수는 4개 중에서 3개를 택하는 순열의 수와 같으므로 4P3=24 2 정답과 해설 p. 9 수는 4? 2?\2? =6 따라서 구하는 경우의 수는 3\6=18 4 X에서 Y로의 함수는 집합 Y의 원소 5개 중에서 중복을 허용하여 4개를 택하고, 그 원소를 집합 X의 원소에 각각 대응시키면 된다. 따라서 X에서 Y로의 함수의 개수는 5개 중에서 4개를 택 하는 중복순열의 수와 같으므로 m=5 4=5$=625 X에서 Y로의 일대일함수는 집합 Y의 원소 5개 중에서 서 로 다른 4개를 택하여 집합 X의 원소에 각각 대응시키면 T 된다. 따라서 X에서 Y로의 일대일함수의 개수는 5개 중에서 4 개를 택하는 순열의 수와 같으므로 n=5P4=120 / m-n=625-120=505 5 ⑴ 양 끝에 3을 배열하는 경우의 수는 1 나머지 자리에 1, 1, 2, 2, 4를 배열하는 경우의 수는 =30 5? 2?\2? 따라서 구하는 경우의 수는 1\30=30 ⑵ 3개의 짝수 번째 자리에 2, 2, 4를 배열하는 경우의 수는 =3 3? 2? 4개의 홀수 번째 자리에 1, 1, 3, 3을 배열하는 경우의 6 3개의 E를 한 문자 e로 생각하면 구하는 경우의 수는 e, X, C, L, L, N, T를 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로 7? 2? =2520 7 지점 A에서 지점 C까지 가는 최단 경로의 수는 4? 2?\2? =6 지점 C에서 지점 B까지 가는 최단 경로의 수는 3? 2? =3 따라서 구하는 최단 경로의 수는 6\3=18 8 지점 P에서 지점 Q까지 가는 최단 경로의 수는 =126 9? 5?\4? 지점 P에서 지점 R까지 가는 최단 경로의 수는 =10 5? 3?\2? 지점 R에서 지점 Q까지 가는 최단 경로의 수는 =6 4? 2?\2? 즉, 지점 P에서 지점 R를 거쳐 지점 Q까지 가는 최단 경로 의 수는 10\6=60 따라서 구하는 최단 경로의 수는 126-60=66 19고등(확통)_내공_해설(01~49)-OK.indd 2 2018-10-25 오후 12:01:09 계산력 다지기 p. 10~11 1 ⑴ {5-1}?=4?=24 ⑵ {6-1}?=5?=120 ⑶ 남학생 2명을 한 명으로 생각하면 6명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 {6-1}?=5?=120 이때 남학생 2명이 서로 자리를 바꾸어 앉는 경우의 수는 2?=2 따라서 구하는 경우의 수는 120\2=240 ⑷ 회장의 자리를 고정시키면 부회장이 서는 경우의 수는 1 나머지 6명이 서는 경우의 수는 6명을 일렬로 배열하는 순열의 수와 같으므로 6?=720 따라서 구하는 경우의 수는 1\720=720 2 ⑴ 각 영역에 4가지 색을 칠하는 경우의 수는 4가지 색을 원형으로 배열하는 원순열의 수와 같으므로 {4-1}?=3?=6 ⑵ 각 영역에 6가지 색을 칠하는 경우의 수는 6가지 색을 원형으로 배열하는 원순열의 수와 같으므로 {6-1}?=5?=120 ⑶ 주어진 그림의 가운데 사각형을 칠하는 경우의 수는 5 나머지 4개의 삼각형을 칠하는 경우의 수는 가운데 사 각형에 칠한 색을 제외한 나머지 4가지 색을 원형으로 배열하는 원순열의 수와 같으므로 {4-1}?=3?=6 따라서 구하는 경우의 수는 5\6=30 ⑷ 주어진 그림의 가운데 원을 칠하는 경우의 수는 7 나머지 6개의 영역을 칠하는 경우의 수는 가운데 원에 칠한 색을 제외한 나머지 6가지 색을 원형으로 배열하 는 원순열의 수와 같으므로 {6-1}?=5?=120 따라서 구하는 경우의 수는 7\120=840 3 ⑴ 9명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 {9-1}?=8? 이때 정삼각형 모양의 탁자에서는 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 다음 그림과 같이 서로 다른 경 우가 3가지씩 있다. 1 9 9 8 8 1 7 2 4 5 6 3 4 7 5 6 2 3 9 1 8 7 6 5 2 3 4 따라서 구하는 방법의 수는 8?\3 ⑵ 12명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 {12-1}?=11? 이때 정사각형 모양의 탁자에서는 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 다음 그림과 같이 서로 다른 경 우가 3가지씩 있다. 12 11 10 11 10 9 12 1 2 8 7 6 3 4 5 1 2 3 11 12 1 4 5 10 9 6 8 9 8 7 7 6 5 2 3 4 따라서 구하는 방법의 수는 11?\3 ⑶ 15명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 {15-1}?=14? 이때 정오각형 모양의 탁자에서는 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 다음 그림과 같이 서로 다른 경 우가 3가지씩 있다. 1 15 14 13 15 14 13 12 1 2 3 4 5 11 10 9 6 7 8 2 3 4 5 6 2 3 4 7 8 9 14 13 15 1 12 11 12 11 10 10 9 8 5 6 7 따라서 구하는 방법의 수는 14?\3 ⑷ 12명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 {12-1}?=11? 이때 정육각형 모양의 탁자에서는 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 다음 그림과 같이 서로 다른 경 우가 2가지씩 있다. 12 11 11 10 2 3 1 4 10 9 8 7 12 1 2 3 9 6 8 7 5 6 4 5 따라서 구하는 방법의 수는 11?\2 4=n$=81=3$ / n=3 3=n#=125=5# / n=5 r=4R=64=4# / r=3 r=6R=216=6# / r=3 4 ⑴ n ⑵ n ⑶ 4 ⑷ 6 T T T T I. 경우의 수 3 19고등(확통)_내공_해설(01~49)-OK.indd 3 2018-10-25 오후 12:01:09 5 ⑴ 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4로 4개이다. 나머지 두 자리에 올 수 있는 숫자는 각각 5개이다. 따라서 구하는 자연수의 개수는 4\5 ⑵ 만의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4로 4개이다. 나머지 네 자리에 올 수 있는 숫자는 각각 5개이다. T 2=4\5@=100 1 같은 운동부 학생을 각각 한 사람으로 생각하면 4명이 원탁 에 둘러앉는 방법의 수는 {4-1}?=3?=6 그 각각에 대하여 같은 운동부 학생끼리 서로 자리를 바꾸 어 앉는 방법의 수는 각각 2?=2 따라서 구하는 방법의 수는 6\2\2\2\2=96 따라서 구하는 자연수의 개수는 4\5 4=4\5$=2500 ⑶ 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 3으로 2개이다. 천의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4로 4개이다. 나머지 두 자리에 올 수 있는 숫자는 각각 5개이다. T 따라서 구하는 홀수의 개수는 2\4\5 2=2\4\5@=200 ⑷ 0, 1, 2, 3, 4의 5개의 숫자로 만들 수 있는 네 자리의 T 자연수의 개수는 4\5 3=4\5#=500 4를 제외한 0, 1, 2, 3의 4개의 숫자로 만들 수 있는 네 자리의 자연수의 개수는 3\4 따라서 구하는 자연수의 개수는 500-192=308 3=3\4#=192 T T 6 ⑴ 6? 2?\3? =60 ⑵ 7? 2?\3?\2? =210 ⑶ 양 끝에 m을 배열하는 경우의 수는 1 일렬로 배열하는 경우의 수는 9? 2?\2? =90720 따라서 구하는 경우의 수는 1\90720=90720 ⑷ o, o, a를 한 문자 X로 생각하면 6개의 문자 X, f, t, b, l, l을 일렬로 배열하는 경우의 수는 6? 2? =360 3? 2? 따라서 구하는 경우의 수는 360\3=1080 o, o, a를 일렬로 배열하는 경우의 수는 =3 7 ⑴ =15 6? 4?\2? 8? 3?\5? ⑶ =56 ⑵ ⑷ 6? 3?\3? 10? 6?\4? =20 =210 2 남학생 3명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 {3-1}?=2?=2 여학생 3명이 남학생 사이사이의 3개의 자리에 앉는 방법 의 수는 3?=6 따라서 구하는 방법의 수는 2\6=12 3 아이 5명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 {5-1}?=4?=24 어른 3명이 아이 사이사이의 5개의 자리에 앉는 방법의 수는 5P3=60 따라서 구하는 방법의 수는 24\60=1440 4 정오각뿔의 밑면을 칠하는 방법의 수는 6 밑면에 칠한 색을 제외한 5가지 색을 사용하여 옆면 5개를 칠하는 방법의 수는 5가지 색을 원형으로 배열하는 원순열 의 수와 같으므로 {5-1}?=4?=24 따라서 구하는 방법의 수는 6\24=144 법의 수는 8C4=70 고른 4가지 색으로 작은 원의 안쪽 4개의 영역을 칠하는 방 법의 수는 {4-1}?=3?=6 남은 4가지 색으로 나머지 4개의 영역을 칠하는 방법의 수는 4?=24 따라서 구하는 방법의 수는 70\6\24=10080 6 10명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 {10-1}?=9? 이때 직사각형 모양의 탁자에서는 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 5 가지씩 있다. 10 9 8 9 8 7 나머지 자리에 a, t, h, e, a ,t, i, c, s의 9개의 문자를 5 작은 원의 안쪽 4개의 영역을 칠하는 4가지 색을 고르는 방 족집게 기출문제 01~02강 2 ② 1 96 7 ⑤ 6 ④ 12 ⑤ 11 ④ 17 ② 16 ③ 21 ③ 22 ③ 25 ⑴ 3N ⑵ 360 4 144 3 ① 9 192 8 ③ 14 ② 13 ② 19 ④ 18 18 23 228 24 84 26 64번째 27 600 p. 12~15 5 ⑤ 10 ④ 15 ① 20 66 4 정답과 해설 1 2 9 10 7 8 3 8 4 7 5 6 2 7 3 6 4 5 1 2 3 10 1 2 6 5 4 3 10 1 8 9 7 6 5 4 3 2 6 5 4 9 10 1 따라서 구하는 방법의 수는 9?\5 19고등(확통)_내공_해설(01~49)-OK.indd 4 2018-10-25 오후 12:01:09 7 구하는 방법의 수는 서로 다른 3개 중에서 4개를 택하는 중 14 7개의 문자 A, A, B, B, B, C, D를 일렬로 배열하는 경 복순열의 수와 같으므로 3 4=3$=81 T 8 깃발을 1번, 2번, 3번 들어 올려서 만들 수 있는 신호의 개 우의 수는 7? 2?\3? C, D를 한 문자로 생각하여 6개의 문자를 일렬로 배열하는 =420 수는 각각 1=3, 3 3 2=3@=9, 3 3=3#=27 따라서 만들 수 있는 서로 다른 신호의 개수는 T T 3+9+27=39 T 9 4의 배수가 되려면 다섯 자리의 자연수의 끝의 두 자리의 수가 00 또는 4의 배수이어야 하므로 그 경우는 00, 12, 20, 32 의 4가지 그 각각에 대하여 만의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외 한 3개, 나머지 자리에 올 수 있는 숫자는 각각 4개이므로 3\4 2=3\4@=48 따라서 4의 배수의 개수는 4\48=192 T 10 학생 4명이 서로 다른 4인용 텐트 5개 중에서 각각 텐트를 한 개씩 택하는 경우의 수는 서로 다른 5개 중에서 4개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 5 이때 학생 4명이 모두 다른 텐트를 택하는 경우의 수는 5P4=120 4=5$=625 T 따라서 구하는 경우의 수는 625-120=505 11 a를 두 번 연속하여 나열하는 경우는 aabb, baab, bbaa, aacc, caac, ccaa, aabc, baac, bcaa, aacb, caab, cbaa 의 12가지 a를 세 번 연속하여 나열하는 경우는 aaab, baaa, aaac, caaa의 4가지 a를 네 번 연속하여 나열하는 경우는 aaaa의 1가지 따라서 구하는 경우의 수는 3 4-{12+4+1}=3$-17=64 T 1=4 12 만들 수 있는 한 자리의 자연수의 개수는 4 만들 수 있는 두 자리의 자연수의 개수는 4 만들 수 있는 세 자리의 자연수의 개수는 4 따라서 4+16+64=84이므로 90번째 수는 1111, 1112, 1113, 1114, 1121, 1122, 1123, y 에서 1122이다. T T T 2=4@=16 3=4#=64 13 f{3}=b이므로 구하는 함수는 집합 Y의 원소 3개 중에서 중복을 허용하여 4개를 택하고, 그 원소를 집합 X의 원소 1, 2, 4, 5에 각각 대응시키면 된다. 따라서 구하는 함수의 개수는 3 4=3$=81 T =60 6? 2?\3? 그 각각에 대하여 C, D의 자리를 서로 바꾸어 배열하는 경 경우의 수는 우의 수는 2?=2 즉, C, D가 이웃하도록 배열하는 경우의 수는 60\2=120 따라서 구하는 경우의 수는 420-120=300 15 5의 배수가 되려면 일의 자리의 숫자가 5이어야 한다. 나머지 자리에 올 수 있는 숫자를 택하는 경우의 수는 5를 제외한 5개의 숫자 1, 1, 1, 2, 2 중에서 3개를 택하는 경우 의 수와 같다. ! 1, 1, 1을 택하는 경우 @ 1, 1, 2를 택하는 경우 1, 1, 1을 나머지 자리에 배열하는 경우의 수는 1 1, 1, 2를 나머지 자리에 배열하는 경우의 수는 3? 2? =3 # 1, 2, 2를 택하는 경우 1, 2, 2를 나머지 자리에 배열하는 경우의 수는 3? 2? =3 !, @, #에 의하여 구하는 5의 배수의 개수는 1+3+3=7 16 9개의 문자를 일렬로 배열하는 경우의 수는 =45360 9? 2?\2?\2? 양 끝에 r를 배열하는 경우의 수는 양 끝에 r를 놓는 경우 의 수가 1이고, 나머지 자리에 i, n, t, e, p, e, t를 배열하 는 경우의 수가 =1260이므로 7? 2?\2? 1\1260=1260 따라서 구하는 경우의 수는 45360-1260=44100 17 3개의 문자 D, A, M을 모두 x로, 2개의 문자 E, R를 모 두 y로 생각하면 5개의 문자 x, x, x, y, y를 일렬로 배열 한 후 첫 번째 x는 D, 두 번째 x는 A, 세 번째 x는 M으로 바꾸고 첫 번째 y는 E, 두 번째 y는 R로 바꾸면 된다. 따라서 구하는 방법의 수는 5? 3?\2? =10 I. 경우의 수 5 19고등(확통)_내공_해설(01~49)-OK.indd 5 2018-10-25 오후 12:01:10 18 4개의 문자를 택하는 방법은 =12 A, A, B, C 또는 A, B, B, C 또는 A, B, C, C 로 3가지가 있다. A, A, B, C를 일렬로 배열하는 방법의 수는 4? 2? 이때 두 문자 A, A를 한 문자로 생각하면 A, A를 이웃하 게 배열하는 방법의 수는 3개의 문자를 일렬로 배열하는 방 법의 수와 같으므로 3?=6 즉, 두 문자 A, A를 이웃하지 않게 배열하는 방법의 수는 12-6=6 같은 방법으로 A, B, B, C 또는 A, B, C, C를 택하여 같은 문자끼리 이웃하지 않게 배열하는 방법의 수는 각각 6 따라서 구하는 방법의 수는 3\6=18 19 오른쪽 그림과 같이 두 지점 P, Q 를 잡으면 지점 A에서 지점 B까지 B P 가는 최단 경로의 수는 다음과 같 Q A 이 나누어 생각할 수 있다. ! A ! \ P B인 경우 3? 2? B인 경우 =18 ! 4? 2?\2? Q 3? 2? ! \ @ A 4? 3? ! =12 !, @에 의하여 구하는 최단 경로의 수는 18+12=30 20 오른쪽 그림과 같이 네 지점 P, Q, R, S를 잡으면 지점 A에서 지점 B 까지 가는 최단 경로의 수는 다음과 A P R Q S B ! ! \ B인 경우 B인 경우 ! =20 Q 5? 4? R P ! 1\1=1 같이 나누어 생각할 수 있다. ! A @ A 4? 3? # A 4? 3? $ A 1\ ! 5? 2?\3? B인 경우 B인 경우 ! =5 ! \ =40 ! S 5? 4? !~$에 의하여 구하는 최단 경로의 수는 1+20+40+5=66 오른쪽 그림과 같이 지점 C를 잡으 면 지점 A에서 지점 B까지 가는 최 A 단 경로의 수는 9? 5?\4? =126 6 정답과 해설 지점 A에서 지점 C를 거쳐 지점 B까지 가는 최단 경로의 수는 4? 2?\2? 따라서 구하는 최단 경로의 수는 126-60=66 5? 3?\2? =60 \ 21 가로 방향으로 한 칸 가는 것을 a, 세로 방향으로 한 칸 가 는 것을 b, 아래쪽으로 한 칸 가는 것을 c라고 하자. 꼭짓점 A에서 꼭짓점 B까지 가는 최단 경로의 수는 5개의 a, 2개의 b, 4개의 c를 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으 므로 11? 5?\2?\4? 꼭짓점 A에서 꼭짓점 C까지 가는 최단 경로의 수는 2개의 a, 2개의 b를 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로 =6930 =6 4? 2?\2? 꼭짓점 C에서 꼭짓점 D까지 가는 최단 경로의 수는 1 꼭짓점 D에서 꼭짓점 B까지 가는 최단 경로의 수는 2개의 a, 4개의 c를 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로 =15 6? 2?\4? 즉, 꼭짓점 A에서 모서리 CD를 거쳐 꼭짓점 B까지 가는 최단 경로의 수는 6\1\15=90 따라서 구하는 최단 경로의 수는 6930-90=6840 22 가운데 정사각형을 칠하는 방법의 수는 9 나머지 8가지 색을 사용하여 나머지 8개의 정사각형을 칠 하는 방법의 수는 8개를 일렬로 배열하는 방법의 수와 같으 므로 8? 이때 주어진 도형에서 8개의 정사각형을 칠하는 한 가지 방 법에 대하여 다음과 같이 서로 같은 경우가 4가지씩 있다. ④ ⑤ ② ③ ② ③ ① ⑨ ⑧ ⑦ ⑥ ⑥ ⑦ ① ⑤ ④ ③ ② ⑧ ⑨ ① ⑦ ⑥ ⑤ ④ ④ ⑤ ① ③ ② ⑨ ⑧ ⑧ ⑨ ⑥ ⑦ 따라서 구하는 방법의 수는 9\ =18\7? 8? 4 C B 23 공 5개를 서로 다른 가방 3개에 넣는 방법의 수는 서로 다 른 3개 중에서 5개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 3 5=3%=243 T 19고등(확통)_내공_해설(01~49)-OK.indd 6 2018-10-25 오후 12:01:10 어느 한 가방에 넣은 공에 적힌 수의 합이 24보다 크려면 6, 8, 10이 각각 적힌 공을 포함하여 4개 이상의 공이 들어 있 어야 하고, 그 경우의 수는 다음과 같이 나누어 생각할 수 있다. ! 어느 한 가방에 넣은 공이 4개인 경우 어느 한 가방에 넣은 공에 적힌 수가 2, 6, 8, 10이면 나머지 2개의 가방 중에서 한 가방에 넣은 공에 적힌 수 는 4이고, 나머지 한 가방은 빈 가방이므로 그 경우의 수는 3?=6 또 어느 한 가방에 넣은 공에 적힌 수가 4, 6, 8, 10이 면 나머지 2개의 가방 중에서 한 가방에 넣은 공에 적힌 수는 2이고, 나머지 한 가방은 빈 가방이므로 그 경우의 수는 3?=6 @ 어느 한 가방에 넣은 공이 5개인 경우 어느 한 가방에 넣은 공에 적힌 수가 2, 4, 6, 8, 10이면 나머지 2개의 가방은 빈 가방이므로 그 경우의 수는 3? 2? =3 !, @에 의하여 어느 한 가방에 넣은 공에 적힌 수의 합이 24보다 큰 경우의 수는 6+6+3=15 따라서 구하는 방법의 수는 243-15=228 24 오른쪽 그림과 같이 네 꼭짓점 P, Q, R, S를 잡으면 꼭짓점 A에서 꼭짓점 B까지 가는 최 단 경로의 수는 다음과 같이 나 누어 생각할 수 있다. P B Q R S A 3? 2? 4? 2? 3? 2? ! A ! P ! B인 경우: \ =36 @ A ! Q ! B인 경우: \ =36 4? 2? 3? 2? ! ! ! P Q \1\ B인 경우: # A !, @, #에 의하여 꼭짓점 A에서 꼭짓점 P 또는 꼭짓 점 Q를 거쳐 꼭짓점 B까지 가는 최단 경로의 수는 36+36-9=63 yy`㉠ =9 3? 2? $ A ! R ! B인 경우: 1\ =12 4? 2? % A ! S ! B인 경우: \ =12 4? 3? 3? 2? ! ! ! S R B인 경우: 1\1\ ^ A $, %, ^에 의하여 꼭짓점 A에서 꼭짓점 R 또는 꼭짓점 S를 거쳐 꼭짓점 B까지 가는 최단 경로의 수는 12+12-3=21 yy`㉡ =3 3? 2? 따라서 ㉠, ㉡에 의하여 구하는 최단 경로의 수는 63+21=84 25 ⑴ 3종류의 도형 중 n개를 택하여 만들 수 있는 신호의 개 수는 3 n=3N yy`㈎ ⑵ 3종류의 도형 중 2개 이상 5개 이하를 택하여 만들 수 T 있는 신호의 개수는 3@+3#+3$+3%=360 채점 기준 ㈎ 중복순열을 이용하여 만들 수 있는 신호의 개수를 구 ㈏ 도형을 2개 이상 5개 이하로 택하여 만들 수 있는 신호 한다. 의 개수를 구한다. 26 만들 수 있는 한 자리의 자연수의 개수는 3 만들 수 있는 두 자리의 자연수의 개수는 3\4 1=3\4=12 만들 수 있는 세 자리의 자연수의 개수는 T 3\4 2=3\4@=48 T 즉, 2000보다 작은 자연수의 개수는 3+12+48=63 yy`㈏ 배점 3점 3점 yy`㈎ yy`㈏ yy`㈐ 따라서 2000은 64번째 수이다. yy`㈑ 채점 기준 ㈎ 만들 수 있는 한 자리의 자연수의 개수를 구한다. ㈏ 만들 수 있는 두 자리의 자연수의 개수를 구한다. ㈐ 만들 수 있는 세 자리의 자연수의 개수를 구한다. ㈑ 2000은 몇 번째 수인지 구한다. 배점 1점 2점 2점 2점 27 두 문자 a, a를 한 문자 A로 생각하면 a, a가 이웃하도록 배열하는 방법의 수는 6개의 문자 A, b, c, c, d, e를 일렬 =360 로 배열하는 방법의 수와 같으므로 6? 2? 두 문자 c, c를 한 문자 C로 생각하면 c, c가 이웃하도록 배 열하는 방법의 수는 6개의 문자 a, a, b, C, d, e를 일렬로 yy ㈎ =360 배열하는 방법의 수와 같으므로 6? 2? 이때 문자 a는 a끼리, 문자 c는 c끼리 이웃하도록 배열하는 방법의 수는 5개의 문자 A, b, C, d, e를 일렬로 배열하는 yy`㈏ 방법의 수와 같으므로 5?=120 따라서 구하는 방법의 수는 360+360-120=600 채점 기준 ㈎ 문자 a끼리 이웃하도록 배열하는 방법의 수를 구한다. ㈏ 문자 c끼리 이웃하도록 배열하는 방법의 수를 구한다. ㈐ 문자 a는 a끼리, 문자 c는 c끼리 이웃하도록 배열하는 ㈑ 같은 문자는 적어도 한 쌍이 이웃하도록 배열하는 방 방법의 수를 구한다. 법의 수를 구한다. yy`㈐ yy`㈑ 배점 2점 2점 2점 1점 I. 경우의 수 7 19고등(확통)_내공_해설(01~49)-OK.indd 7 2018-10-25 오후 12:01:10 3 강 중복조합 p. 16 1 ⑴ 6H2 =6'2-1C2 =7C2=21 ⑵ 2H8 =2'8-1C8 =9C8=9C1=9 2 구하는 경우의 수는 서로 다른 5개에서 5개를 택하는 중복 조합의 수와 같으므로 5H5 =5'5-1C5 =9C5=9C4=126 3 ⑴ 구하는 해의 개수는 3개의 문자 x, y, z에서 8개를 택 하는 중복조합의 수와 같으므로 3H8=3'8-1C8=10C8=10C2=45 ⑵ x, y, z가 양의 정수일 때, X=x-1, Y=y-1, Z=z-1로 놓으면 X, Y, Z는 음이 아닌 정수이다. 이때 x=X+1, y=Y+1, z=Z+1을 방정식 x+y+z=8에 대입하면 {X+1}+{Y+1}+{Z+1}=8 / X+Y+Z=5 yy ㉠ 따라서 구하는 양의 정수해의 개수는 방정식 ㉠의 음이 아 닌 정수해의 개수와 같으므로 3개의 문자 X, Y, Z에서 5개를 택하는 중복조합의 수와 같다. / 3H5=3'5-1C5=7C5=7C2=21 교/과/서/속 핵심 유형 실전 문제 p. 17 조합의 수와 같으므로 3H6=3'6-1C6=8C6=8C2=28 2 구하는 경우의 수는 서로 다른 8개에서 4개를 택하는 중복 조합의 수와 같으므로 8H4=8'4-1C4=11C4=330 따라서 구하는 경우의 수는 ④이다. 3 먼저 4명의 학생에게 볼펜을 한 자루씩 나누어 주고, 나머 지 볼펜 6자루를 4명의 학생에게 나누어 주면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 4개에서 6개를 택하 는 중복조합의 수와 같으므로 4H6=4'6-1C6=9C6=9C3=84 8 정답과 해설 4 먼저 빨간 공, 노란 공, 파란 공을 각각 1개씩 꺼내고, 나머 지 4개의 공을 꺼내면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 4개를 택하 는 중복조합의 수와 같으므로 3H4=3'4-1C4=6C4=6C2=15 5 {x+y+z}%의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 3개의 문 자 x, y, z에서 5개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 3H5=3'5-1C5=7C5=7C2=21 6 {a+b}#의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 2개의 문자 a, b에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 2H3=2'3-1C3=4C3=4C1=4 {x+y+z}$의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 3개의 문 자 x, y, z에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 3H4=3'4-1C4=6C4=6C2=15 따라서 구하는 항의 개수는 4\15=60 7 ⑴ 구하는 해의 개수는 4개의 문자 x, y, z, w에서 15개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 4H15=4'15-1C15=18C15=18C3=816 ⑵ x, y, z, w가 양의 정수일 때, X=x-1, Y=y-1, Z=z-1, W=w-1로 놓으면 X, Y, Z, W는 음이 아닌 정수이다. 이때 x=X+1, y=Y+1, z=Z+1, w=W+1을 방 정식 x+y+z+w=15에 대입하면 {X+1}+{Y+1}+{Z+1}+{W+1}=15 / X+Y+Z+W=11 yy ㉠ 따라서 구하는 양의 정수해의 개수는 방정식 ㉠의 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 4개의 문자 X, Y, Z, W에서 11개를 택하는 중복조합의 수와 같다. / 4H11=4'11-1C11=14C11=14C3=364 수와 같으므로 a=3H10=3'10-1C10=12C10=12C2=66 한편 x, y, z가 자연수일 때, X=x-1, Y=y-1, Z=z-1 로 놓으면 X, Y, Z는 음이 아닌 정수이다. 이때 x=X+1, y=Y+1, z=Z+1을 방정식 x+y+z=10에 대입하면 {X+1}+{Y+1}+{Z+1}=10 / X+Y+Z=7 yy ㉠ 따라서 b의 값은 방정식 ㉠의 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 3개의 문자 X, Y, Z에서 7개를 택하는 중복조 합의 수와 같다. / b=3H7=3'7-1C7=9C7=9C2=36 / a+b=66+36=102 1 구하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 6개를 택하는 중복 8 a의 값은 3개의 문자 x, y, z에서 10개를 택하는 중복조합의 19고등(확통)_내공_해설(01~49)-OK.indd 8 2018-10-25 오후 12:01:10 4 강 이항정리 p. 18 1 ⑴ {2a+b}% =5C0{2a}%+5C1{2a}$b+5C2{2a}#b@ +5C3{2a}@b#+5C4{2a}b$+5C5 b% =32a%+80a$b+80a#b@+40a@b#+10ab$+b% ⑵ {x-3y}$ =4C0 x$+4C1 x#{-3y}+4C2 x@{-3y}@ +4C3 x{-3y}#+4C4{-3y}$ =x$-12x#y+54x@y@-108xy#+81y$ 2 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ⑴ {x+y}$=x$+4x#y+6x@y@+4xy#+y$ ⑵ {a-b}^ =a^-6a%b+15a$b@-20a#b#+15a@b$-6ab%+b^ 교/과/서/속 핵심 유형 실전 문제 p. 19 1 ⑴ {3x+2y}&의 전개식의 일반항은 7Cr{3x}&_R{2y}R=7Cr 3&_R2Rx&_RyR xy^항은 7-r=1, r=6일 때이므로 r=6 따라서 xy^의 계수는 7C6\3\2^=1344 ⑵ [ x- 3 x# ]$의 전개식의 일반항은 x$_R x#R =4Cr{-3}R 3 x# ]R - [ 4Cr x$_R 상수항은 4-r=3r일 때이므로 r=1 따라서 상수항은 4C1\{-3}=-12 2 {4x-y}%의 전개식의 일반항은 5Cr{4x}%_R{-y}R=5Cr 4%_R{-1}Rx%_RyR x@y#항은 5-r=2, r=3일 때이므로 r=3 / a=5C3\4@\{-1}#=-160 x@+ [ 5 x ]^의 전개식의 일반항은 6Cr{x@}^_R =6Cr 5R 5 x ]R [ x!@_@R xR x(항은 {12-2r}-r=9일 때이므로 r=1 / b=6C1\5=30 / b-a=30-{-160}=190 3 ⑴ {x+1}#의 전개식의 일반항은 3Cr x#_R {x+2}%의 전개식의 일반항은 5Cs x%_S2S 따라서 {x+1}#{x+2}%의 전개식의 일반항은 3Cr x#_R\5Cs x%_S2S=3Cr 5Cs 2Sx*_R_S yy ㉠ x@항은 8-r-s=2, 즉 r+s=6 ( 00, B>0, C>0 이때 a=A+1, b=B+2, c=C+3을 방정식 a+b+c=10에 대입하면 {A+1}+{B+2}+{C+3}=10 / A+B+C=4 yy ㉠ 따라서 구하는 해의 개수는 방정식 ㉠의 음이 아닌 정수해 의 개수와 같으므로 3개의 문자 A, B, C에서 4개를 택하 는 중복조합의 수와 같다. / 3H4=6C4=6C2=15 9 {ax+y}&의 전개식의 일반항은 7Cr{ax}&_RyR=7Cr a&_Rx&_RyR x#y$항은 7-r=3, r=4일 때이므로 r=4 이때 x#y$의 계수가 -280이므로 7C4\a#=-280, 35a#=-280 a#=-8 / a=-2 {? a는 실수} 즉, {-2x+y}&의 전개식의 일반항은 7Cr{-2}&_Rx&_RyR x@y%항은 7-r=2, r=5일 때이므로 r=5 따라서 x@y%의 계수는 7C5\{-2}@=84 10 [ x#+ 3 x@ ]N의 전개식의 일반항은 3R x@R 3 x@ ]R=nCr x#N_#R [ nCr{x#}N_R 상수항은 3n-3r=2r일 때이므로 =nCr 3R x#N_#R x@R r= n 3 5 이때 n, r는 자연수이고 5와 3은 서로소이므로 n은 5의 배수, r는 3의 배수이다. 따라서 자연수 n의 최솟값은 5이다. 11 x{x+a}{x+3}%의 전개식에서 x$의 계수는 {x+a}{x+3}%의 전개식에서 x#의 계수와 같다. {x+3}%의 전개식의 일반항은 5Cr x%_R3R=5Cr 3Rx%_R yy ㉠ 이때 {x+a}{x+3}%의 전개식에서 x#항은 x와 ㉠의 x@항, a와 ㉠의 x#항이 곱해질 때 나타난다. ! ㉠에서 x@항은 5-r=2, 즉 r=3일 때이므로 @ ㉠에서 x#항은 5-r=3, 즉 r=2일 때이므로 !, @에 의하여 {x+a}{x+3}%의 전개식에서 x#의 계수는 1\270+a\90=90a+270 5C3\3#=270 5C2\3@=90 이때 x{x+a}{x+3}%의 전개식에서 x$의 계수가 90이므로 90a+270=90, 90a=-180 ∴ a=-2 13 2C0=3C0=y=12C0=1이므로 2C0+3C0+y+12C0=11 1C1+2C1+3C1+y+12C1 =2C2+2C1+3C1+y+12C1 =3C2+3C1+4C1+y+12C1 =4C2+4C1+5C1+y+12C1 ⋮ =12C2+12C1=13C2 이므로 2C1+3C1+y+12C1=13C2-1C1=77 2C2+3C2+y+12C2 =3C3+3C2+4C2+y+12C2 =4C3+4C2+5C2+y+12C2 =5C3+5C2+6C2+y+12C2 ⋮ =12C3+12C2=13C3=286 따라서 구하는 모든 수의 합은 11+77+286=374 =3C3+3C2+4C2+y+11C2 =4C3+4C2+5C2+y+11C2 =5C3+5C2+6C2+y+11C2 ⋮ =11C3+11C2=12C3=220 15 2C0+3C1+4C2+5C3+y+20C18 =3C0+3C1+4C2+5C3+y+20C18 =4C1+4C2+5C3+y+20C18 =5C2+5C3+6C4+y+20C18 ⋮ =20C17+20C18=21C18 따라서 nC18=21C18이므로 n=21 3C3+4C3+5C3+6C3+y+15C3 =4C4+4C3+5C3+6C3+y+15C3 =5C4+5C3+6C3+y+15C3 =6C4+6C3+7C3+y+15C3 ⋮ =15C4+15C3=16C4 14 {1+x}N의 전개식의 일반항은 nCr xR이므로 n>2인 자연 수 n에 대하여 {1+x}N의 전개식에서 x@의 계수는 nC2이다. 따라서 주어진 식의 전개식에서 x@의 계수는 각 항의 전개 식에서 x@의 계수의 합이므로 구하는 계수는 2C2+3C2+4C2+y+11C2 따라서 16Cr=16C4이므로 r=4 또는 r=12 그런데 8P{A}+P{B} 1 4 1 4 , P{B}= 1 2 이므로 ㄹ. [반례] 주사위 한 개를 던질 때, 소수의 눈이 나오는 사 건을 A, 짝수의 눈이 나오는 사건을 B라고 하면 P{A}= 1 2 , P{B}= 1 2 이때 P{A}+P{B}=1이지만 A5B=920이므로 A 와 B는 서로 배반사건이 아니다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 15 P{A5B} =P{A}+P{B}-P{A6B} =0.4+0.5-0.6=0.3 =1-0.3=0.7 16 동전의 앞면이 나오는 사건을 A, 주사위의 눈의 수가 짝수 가 나오는 사건을 B라고 하면 P{A}= 1 2 , P{A5B}= 1 2 , P{B}= 따라서 구하는 확률은 P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B} 1 4 = + - = 1 2 1 4 3 4 1 2 17 계곡에 다녀온 학생을 택하는 사건을 A, 바다에 다녀온 학 생을 택하는 사건을 B라고 하면 P{A6B}=0.8, P{B}=0.4, P{A5B}=0.3 이때 P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B}이므로 0.8=P{A}+0.4-0.3 / P{A}=0.7 따라서 구하는 확률은 0.7이다. 10 세 가지 색의 리본 중에서 10개를 고르는 경우의 수는 / P{AC6BC} =P{{A5B}C}=1-P{A5B} 19고등(확통)_내공_해설(01~49)-OK.indd 20 2018-10-25 오후 12:01:14 18 두 학생의 선택과목이 모두 물리학, 화학, 생명과학, 지구과 학인 사건을 각각 A, B, C, D라고 하면 P{A}= = P{C}= = 4C2 30C2 11C2 30C2 2 145 , P{B}= 11 87 , P{D}= 10C2 30C2 5C2 30C2 = 3 29 = 2 87 네 사건 A, B, C, D는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은 P{A}+P{B}+P{C}+P{D} 11 87 2 145 2 87 3 29 4 15 = + + = + 19 세 수의 곱이 짝수인 사건을 A라고 하면 AC은 세 수의 곱 구하는 확률은 맨 앞에 서는 사람을 제외한 나머지 세 사람 중에서 가장 큰 사람이 세 번째에 설 확률과 같다. 이때 나 머지 세 사람 중에서 가장 큰 사람이 두 번째, 세 번째, 네 1 번째에 설 확률은 각각 3 로 같다. 따라서 구하는 확률은 이다. 1 3 23 3명의 학생이 가위바위보를 한 번 할 때, 승부가 나는 사건 을 A라고 하면 AC은 승부가 나지 않는 사건이다. 3명의 학생이 가위바위보를 한 번 할 때, 나오는 모든 경우의 세 수의 곱이 홀수가 되려면 세 수가 모두 홀수이어야 하므로 수는 3 3=3#=27 이 홀수인 사건이다. P{AC}= 6C3 12C3 따라서 구하는 확률은 1 11 = P{A}=1-P{AC}=1- 1 11 = 10 11 건이므로 P{AC}= 4C3 10C3 따라서 구하는 확률은 1 30 = P{A}=1-P{AC}=1- 1 30 = 29 30 20 10개의 제비 중에서 3개를 꺼낼 때, 적어도 1개는 당첨 제비 가 아닌 사건을 A라고 하면 AC은 3개 모두 당첨 제비인 사 21 2개의 점을 택하여 선분을 그을 때, 선분의 길이가 1보다 긴 사건을 A라고 하면 AC은 선분의 길이가 1 이하인 사건 이다. 8개의 점 중에서 2개의 점을 택하여 선분을 그을 때, 선분 의 길이가 1 이하일 확률은 P{AC}= 8 8C2 따라서 구하는 확률은 2 7 = P{A}=1-P{AC}=1- = 2 7 5 7 22 네 사람이 일렬로 줄을 서는 경우의 수는 4?=24 키가 작은 사람부터 차례로 A, B, C, D라고 하면 주어진 조건을 만족하는 경우는 다음과 같다. ! D 인 경우 나머지 세 사람이 서는 경우의 수는 3?=6 @ C 인 경우 맨 앞에 D가 서고, 나머지 두 사람 A, B가 서는 경우 의 수는 2?=2` !, @에 의하여 앞에서 세 번째에 서는 사람이 자신과 이 웃한 두 사람보다 키가 큰 경우의 수는 6+2=8 8 24 따라서 구하는 확률은 = 1 3 승부가 나지 않는 경우는 모두 같은 것을 내거나 모두 다른 T 것을 내는 두 가지 경우이다. 이때 모두 같은 것을 내는 경우의 수는 3, 모두 다른 것을 내 는 경우의 수는 3?=6이므로 승부가 나지 않는 경우의 수는 3+6=9 즉, 승부가 나지 않을 확률은 P{AC}= 9 27 = 1 3 따라서 구하는 확률은 P{A}=1-P{AC}=1- = 1 3 2 3 3명의 학생이 가위바위보를 한 번 할 때, 나오는 모든 경우의 수는 3 3=3#=27 승부가 나는 경우는 한 명이 이기거나 두 명이 이기는 두 T 가지 경우이다. ! 한 명이 이기는 경우 이기는 한 명을 정하는 방법의 수는 3C1 그 각각에 대하여 가위, 바위, 보 중에서 한 가지로 이 기는 방법의 수는 3C1 즉, 한 명이 이기는 방법의 수는 3C1\3C1=9 따라서 한 명이 이길 확률은 9 27 1 3 = @ 두 명이 이기는 경우 이기는 두 명을 정하는 방법의 수는 3C2 그 각각에 대하여 가위, 바위, 보 중에서 한 가지로 이 기는 방법의 수는 3C1 즉, 두 명이 이기는 방법의 수는 3C2\3C1=9 따라서 두 명이 이길 확률은 9 27 1 3 = !, @에 의하여 승부가 날 확률은 1 3 2 3 1 3 + = II. 확률 21 19고등(확통)_내공_해설(01~49)-OK.indd 21 2018-10-25 오후 12:01:15 24 10장의 카드 중에서 3장을 꺼내는 경우의 수는 10C3=120 꺼낸 3장의 카드에 적힌 수 중에서 연속인 자연수가 없는 사건을 A라고 하면 AC은 꺼낸 3장의 카드에 적힌 수 중에 서 연속인 자연수가 있는 사건이다. 이때 연속인 자연수가 있는 경우는 두 자연수만 연속이거 5\6 3\2=5\6#\2=10\6# 나 세 자연수가 모두 연속인 두 가지 경우가 있다. ! 두 자연수만 연속인 경우 연속인 두 자연수 a, b {a1} =1-P{X=0} =1- 1 30 = 29 30 3 ⑴ 확률의 총합은 1이므로 6 1 7 7 +a+ =1, 2 7 3 7 + +a=1 / a= 1 7 p. 45 ⑵ P{X>1} =P{X=2}+P{X=3} 2 7 =a+ 3 7 2 7 1 7 = + = 4 확률의 총합은 1이므로 2a+3a+a+2a=1, 8a=1 / a= 1 8 / P{X@=1} =P{X=-1 또는 X=1} =P{X=-1}+P{X=1} =2a+a=3a=3\ = 1 8 3 8 5 ⑴ 확률의 총합은 1이므로 P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}=1 a 12 10a 12 + + + =1 2a 12 3a 12 4a 12 =1 / a= 6 5 ⑵ P{X>3} =P{X=3}+P{X=4} = 3a 12 + = = \ = 4a 12 7a 12 7 12 6 5 7 10 따라서 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. 6 확률의 총합은 1이므로 X P{X=x} 0 1 32 1 5 32 2 5 16 3 5 16 4 5 32 5 1 32 합계 1 P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}=1 k 1\2 + k 2\3 + k 3\4 + k 4\5 =1 30 정답과 해설 19고등(확통)_내공_해설(01~49)-OK.indd 30 2018-10-25 오후 12:01:19 1- k -[ 1 2 ] + [ 1 2 - 1 3 ] + [ 1 3 - 1 4 ] + [ 1 4 - 1 5 ]= =1 1- k [ 1 5 ] =1, 4 5 k=1 / k= 5 4 / P{2 [ 5 2 a ] 1 1 10 2 1 5 3 3 10 4 2 5 합계 1 =P{X>2} =P{X=2}+P{X=3}+P{X=4} 9 10 3 10 = 2 5 1 5 + = + ⑷ E{X}=1\ +2\ +3\ +4\ =3 1 5 3 10 2 5 1 10 1 5 1 10 +2@\ +3@\ E{X@}=1@\ 2 5 / V{X}=E{X@}-9E{X}0@=10-3@=1 / r{X}=1V{X}3=1 따라서 X의 평균은 3, 분산은 1, 표준편차는 1이다. +4@\ 3 10 =10 ⑸ E X = E{X}= \3= 1 2 3 2 1 2 ] V X = ] [ r X = ] | \1= 1 4 1 4 1 2 ]@ V{X}= 1 1 2 | 2 r{X}= \1= 1 2 1 2 [ 1 2 [ 1 2 [ ⑹ E{-X+4}=-E{X}+4=-3+4=1 V{-X+4}={-1}@ V{X}=1\1=1 r{-X+4}=|-1|r{X}=1\1=1 따라서 -X+4의 평균은 1, 분산은 1, 표준편차는 1이다. 3 ⑴ P{X=x}= 3Cx\9C2-x 12C2 {x=0, 1, 2} ⑵ X P{X=x} 0 6 11 1 9 22 2 1 22 합계 1 ⑶ P{X=0 또는 X=2} =P{X=0}+P{X=2} + = 1 6 11 22 ⑷ P{X>1} = 13 22 =P{X=1}+P{X=2} = 9 22 + = 1 22 5 11 6 11 6 11 ⑸ E{X}=0\ +1\ +2\ = 1 22 1 2 E{X@}=0@\ +1@\ +2@\ = 9 22 9 22 / V{X} =E{X@}-9E{X}0@= 13 22 1 22 13 22 1 2 ]@= 15 44 - [ / r{X}=1V{X}3=q 15 44 w= j165l 22 15 따라서 X의 평균은 1 2 , 분산은 44 , 표준편차는 j165l 22 이다. ⑹ E{2X+5}=2E{X}+5=2\ +5=6 V{2X+5}=2@ V{X}=4\ r{2X+5}=|2|r{X}=2\ j165l 22 1 2 15 44 = 15 11 = j165l 11 따라서 2X+5의 평균은 6, 분산은 15 11 , 표준편차는 j165l 11 이다. 4 ⑴ P{X=x}= 5Cx\3C3-x {x=0, 1, 2, 3} 1 15 56 2 15 28 3 5 28 합계 1 ⑵ X P{X=x} 8C3 0 1 56 ⑶ P{21} =1-P{X=0} 3 5 ]!)=1- =1-10C0 2 5 ])[ [ 3 5 ]!) [ 따라서 P{X>1}은 ④이다. 3 자유투가 성공하는 횟수를 확률변수 X라고 하면 자유투가 성공할 확률이 0.2이므로 X는 이항분포 B{10, 0.2}를 따 른다. 즉, X의 확률질량함수는 P{X=x}=10Cx 0.2X 0.8!)_X {x=0, 1, 2, y, 10} 따라서 자유투가 성공한 횟수가 한 번 이하일 확률은 P{X<1} =P{X=0}+P{X=1} =10C0 0.2) 0.8!)+10C1 0.2! 0.8( =0.107+0.268=0.375 38 정답과 해설 4 정답을 맞히는 문항 수를 확률변수 X라고 하면 정답을 맞 힐 확률이 1 2 이므로 X는 이항분포 B [ 10, 1 2 ]을 따른다. P{X=x}=10Cx 즉, X의 확률질량함수는 1 2 ]!)_X=10Cx [ {x=0, 1, 2, y, 10} 따라서 시험 점수가 45점 이상이려면 X>9이어야 하므로 1 2 ]X[ 1 2 ]!) [ 합격할 확률은 P{X>9} =P{X=9}+P{X=10} 1 2 ]!)+10C10 1 1024 1 2 ]!) 11 1024 =10C9 [ 10 1024 = + = [ 5 확률변수 X는 이항분포 B 36, [ E{X}=36\ =24, r{X}=q36\ 2 3 2 3 ]를 따르므로 2 3 1 3 \ e=2j2 6 확률변수 X는 이항분포 B{20, p}를 따른다. E{X}=4이므로 20p=4 / p= 1 5 이때 V{X}=20\ 16 5 이고, V{X}=E{X@}-9E{X}0@이므로 4 5 1 5 = \ E{X@} =V{X}+9E{X}0@= +4@= 16 5 96 5 7 확률변수 X는 이항분포 B{60, 0.05}를 따르므로 E{X}=60\0.05=3 V{X}=60\0.05\0.95=2.85 따라서 X의 평균은 3, 분산은 2.85이다. 8 확률변수 X는 이항분포 B 50, [ 2 5 ]를 따르므로 E{X}=50\ =20, V{X}=50\ \ =12 2 5 3 5 2 5 / E{X}+V{X}=20+12=32 2 강 정규분포 p. 56 1 구하는 확률은 y=f{x}의 그래프와 x축 및 두 직선 x=0, x=1로 둘러 싸인 부분의 넓이와 같으므로 P{0a}<0.5 E{X2}>a이므로 P{X2>a}>0.5 / P{X1>a}=P{X2>a} 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 4 x 3 강 표준정규분포 y=f{x} p. 58 21 54 x 1 ⑴ P{Z>1.5} =P{Z>0}-P{075} =P Z> [ 75-60 10 ] =P{Z>1.5} =P{Z>0}-P{0426} =P =P{Z>0.5} [ Z> 426-420 12 =P{Z>0}-P{096} =P =P{Z>2} [ Z> 96-80 8 =P{Z>0}-P{00이고 y B 5, [ 2 5 ]를 따르므로 X의 확률질량함수는 3 5 ]%_X {x=0, 1, 2, y, 5} 2 5 ]X[ [ P{X=x}=5Cx 따라서 이 선수가 4발 이상 명중시킬 확률은 P{X>4} =P{X=4}+P{X=5} 2 2 5 ]%[ 5 ]$[ =5C4 [ 3 5 ]) 3 5 ]!+5C5 [ 272 32 3125 3125 = = 240 3125 + 2 E{X}=18p=6에서 p= 1 3 \ 2 3 / V{X}=18\ 1 3 V{X}=E{X@}-9E{X}0@이므로 E{X@} =V{X}+9E{X}0@=4+6@=40 =4 3 P{X=x} =80Cx 3X 4*) =80Cx [ 3 4 ]X[ 1 4 ]*)_X 이므로 확률변수 X는 이항분포 B 80, {x=0, 1, 2, y, 80} 3 4 ]을 따른다. [ / E{X}=80\ =60 3 4 4 확률변수 X는 이항분포 B{20, 0.8}을 따르므로 V{X}=20\0.8\0.2=3.2 5 5종류의 액세서리 중에서 2종류를 택할 때, 2종류 모두 목 걸이일 확률은 2C2 5C2 = 1 10 따라서 확률변수 X는 이항분포 B 100, 1 10 ]을 따르므로 [ r{X}=q100\ 1 10 \ 9 10 e=3 6 동전 한 개를 20번 던질 때, 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 X, 총점을 확률변수 Y라고 하면 Y=3X-{20-X}=4X-20 X는 이항분포 B 20, 1 2 ]을 따르므로 E{X}=20\ =10 [ 1 2 =4\10-20=20 따라서 총점의 기댓값은 20점이다. / E{Y} =E{4X-20}=4E{X}-20 7 ㄱ. -20이고 y=j{x}의 그래프와 x축 및 두 직 선 x=-2, x=0으로 둘러싸인 도형의 넓이가 1 2 \2\1=1 이므로 확률밀도함수이다. y=h{x} y 2 -2 xO y 2 y=i{x} -2 xO y y=j{x} 1 -2 xO 따라서 확률밀도함수가 될 수 있는 것은 ㄴ, ㅁ이다. 8 y=f{x}의 그래프와 x축 및 두 직선 x=0, x=6으로 둘러 1 5 y 5! 싸인 도형의 넓이가 1이므로 1 2 \{4+6}\a=1, 5a=1 / a= P{Xm}=0.5 ㄴ. 정규분포 곡선과 x축 사이의 넓이가 1이므로 P{Xa}=1 ㄷ. a0.5이므로 P{Xa}= =0.35 3500 10000 Z> P [ a-60 20 ] =0.35 P{Z>0}-P 072} =P Z> [ 72-80 8 ] =P{Z>-1} =P{-10} =P{0k}=0.023 P Z> [ k-27 9 2 =0.023 ] 00}-P [ k-27 9 2 =0.023 ] 20 한 팩에 들어 있는 당도가 12브릭스 미만인 딸기의 개수를 확률변수 X라고 하면 X는 이항분포 B{20, 0.05}를 따른다. 즉, X의 확률질량함수는 P{X=x}=20Cx 0.05X 0.95@)_X {x=0, 1, 2, y, 20} 한 팩에 당도가 12브릭스 미만인 딸기가 2알 이상 들어 있을 확률은 P{X>2} =1-P{X<2} =1-9P{X=0}+P{X=1}0 =1-{20C0 0.05) 0.95@)+20C1 0.05! 0.95!(} =1-{0.36+0.38}=0.26 따라서 2팩 중에서 한 팩의 딸기 값을 지불하지 않을 확률은 2C1\0.26\{1-0.26}=0.3848 21 ㈎에서 f{80-x}=f{80+x}이면 f{x}의 그래프는 직선 x=80에 대하여 대칭이므로 m=80 확률변수 X는 정규분포 N{80, r@}을 따르므로 Z= X-80 r 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N{0, 1}을 따 른다. P{m-657} =P Zy> [ 57-50 7 ] =P{Zy>1} =P{Zy>0}-P{05} =P{X=5}+P{X=6} 1 2 ]^+6C6 [ 1 64 =6C5 [ 1 2 ]^ 6 64 = + = 7 64 채점 기준 ㈎ 충전 후 48시간 이상 사용 가능할 확률을 구한다. ㈏ 충전 후 사용 가능 시간이 48시간 이상인 배터리가 5 개 이상일 확률을 구한다. yy ㈏ 배점 3점 4점 25 학생들의 영어 점수를 확률변수 X라고 하면 X는 정규분 포 N{68, 10@}을 따른다. X-68 10 즉, Z= 로 놓으면 Z는 표준정규분포 N{0, 1}을 따 yy ㈎ 른다. 상위 10 % 이내에 속하기 위한 최소 점수를 c점이라고 하면 P{X>c}=0.1 Z> P [ c-68 10 ] =0.1 P{Z>0}-P 033} =P [ Z> 33-27 3 ] =P{Z>2} =P{Z>0}-P{06 / n>36 3 상자에서 구슬 한 개를 꺼낼 때, 구슬에 적힌 숫자를 확률변 수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. 합계 1 X P{X=x} 3 1 6 2 3 1 6 -1 1 3 1 3 1 3 1 1 2 1 2 1 2 E{X}={-1}\ +1\ +3\ = E{X@}={-1}@\ +1@\ +3@\ = / V{X} =E{X@}-9E{X}0@= 1 6 7 3 7 3 - [ 2 3 ]@= 17 9 19고등(확통)_내공_해설(01~49)-OK.indd 46 2018-10-25 오후 12:01:26 이때 표본의 크기는 n=3이므로 2 3 , V{Xk}= 17 9 3 @}-9E{Xk}0@에서 17 27 = E{Xk}= V{Xk}=E{Xk E{Xk @} =V{Xk}+9E{Xk}0@ 2 = 3 ]@= 29 27 17 27 + [ 4 E{X}=0\ 1 5 +1\ +2\ = 1 2 3 10 E{X@}=0@\ 1 5 / V{X} =E{X@}-9E{X}0@ +2@\ +1@\ 1 2 3 10 11 10 = 17 10 = 17 10 - [ 11 10 ]@= 49 100 49 900 이므로 이때 V{Xk}= 49 100 n = 49 900 / n=9 5 로션 한 개의 용량을 확률변수 X라고 하면 X는 정규분포 N{200, 4@}을 따르므로 로션 64개의 용량의 표본평균 Xk는 정규분포 N 4@ 64 ], 즉 N{200, 0.5@}을 따른다. 200, [ Xk-200 0.5 즉, Z= 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N{0, 1} 을 따른다. 따라서 로션의 평균 용량이 199 mL 이상 201 mL 이하일 확 률은 P{199 jnk 2 ] [ 05}=0.0013에서 Z> P [ =0.0013 ] 5-4.5 0.5 jnk P{Z>jnk}=0.0013 P{Z>0}-P{040 / n>1600 따라서 n의 최솟값은 1600이다. 30 jnk 간은 xk-2\ 60 jnk - 30 jnk 100 따라서 최소 100개의 표본을 조사해야 한다. <6, jn k>10 18 정규분포 N{m, r@} {r>0}을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출할 때, 모평균 m에 대한 신뢰도 a % 의 신뢰구간의 길이는 2k\ [단, P{|Z|200+8jnk}<0.1에서 200+8jnk-200 Z> P 50 [ jnk <0.1 ] P{Z>0.16n}<0.1 P{Z>0}-P{00.4 이때 P{01.28 / n>8 따라서 n의 최솟값은 8이다. yy ㈐ 채점 기준 ㈎ Xk가 따르는 확률분포를 구하고 표준화한다. ㈏ P{Xk>200+8jn k}<0.1을 확률변수 Z에 대한 식으 로 변형한다. ㈐ n의 최솟값을 구한다. 배점 2점 3점 2점 xk-2.58\ 이때 19.680) 7 {x+1}^-x$ x 의 전개식에서 x#의 계수는 {1+x}^-x$의 전 개식에서 x$의 계수와 같다. {1+x}^의 전개식의 일반항은 6Cr 1^_Rx R=6Cr x R 즉, {1+x}^의 전개식에서 x$ 항은 r=4일 때이므로 x$의 계 수는 6C4=6C2=15 따라서 구하는 x#의 계수는 15-1=14 8 {1+x}%의 전개식의 일반항은 5Cr 1%_RxR=5Cr xR {a+x}#의 전개식의 일반항은 3Cs a#_SxS 따라서 주어진 식의 전개식의 일반항은 5Cr xR\3Cs a#_SxS=5Cr 3Cs a#_SxR"S x의 계수는 r+s=1 {03인 자연수 n에 대하여 {1+2x}N의 전개식에서 x#의 계수는 nC3\2#이다. 주어진 식의 전개식에서 x#의 계수는 각 항의 전개식에서 x#의 계수의 합이므로 구하는 계수는 3C3 2#+4C3 2#+5C3 2#+y+10C3 2# =2#{3C3+4C3+5C3+y+10C3} =2#{4C4+4C3+5C3+y+10C3} =2#{5C4+5C3+6C3+y+10C3} =2#{6C4+6C3+7C3+8C3+9C3+10C3} ⋮ =2#{10C4+10C3} =2#\11C4 =8\330 =2640 11 2nC1+2nC3+2nC5+y+2nC2n-1=2@N_!이므로 2@N_!=128=2& 따라서 2n-1=7이므로 n=4 12 a0} 채점 기준 ㈎ 주어진 전개식에서 x@의 계수를 구한다. ㈏ 주어진 전개식에서 x#의 계수를 구한다. ㈐ a의 값을 구한다. 14 nC0+nC1+nC2+y+nCn=2N이므로 nC1+nC2+nC3+y+nCn=2N-1 따라서 주어진 부등식은 2000<2N-1<3000 / 2001<2N<3001 이때 2!)=1024, 2!!=2048, 2!@=4096이므로 n=11 채점 기준 ㈎ nC0+nC1+nC2+y+nCn을 2N에 대한 식으로 나타 낸다. ㈏ 주어진 부등식을 2N에 대한 부등식으로 나타낸다. ㈐ n의 값을 구한다. yy`㈏ yy`㈐ 배점 3점 3점 2점 yy`㈎ yy`㈏ yy`㈐ 배점 3점 2점 2점 05~06강 내공 점검 1 ④ 7 32 6 11 166 7 2 ③ 1 3 9 14 12 8 3 ③ 3 5 5 7 13 p. 78~79 5 ② 10 ⑤ 4 ② 9 ② 1 A=9{1, 5}, {2, 4}, {3, 3}, {4, 2}, {5, 1}0 B=9{2, 4}, {4, 2}0 C=9{2, 2}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 2}, {4, 4}, {4, 6}, D=9{1, 1}, {2, 2}, {3, 3}, {4, 4}, {5, 5}, {6, 6}0 ④ B5D=Z이므로 B와 D는 서로 배반사건이다. {6, 2}, {6, 4}, {6, 6}0 2 11명 중에서 대표 3명을 뽑는 경우의 수는 11C3=165 남학생 2명과 여학생 1명을 뽑는 경우의 수는 6C2\5C1=75 따라서 구하는 확률은 75 165 5 11 = 3 서로 다른 6개의 동전 중에서 3개를 뽑는 방법의 수는 6C3=20 꺼낸 동전 3개의 총 금액이 300원 이상이려면 500원짜리 동 전 1개는 반드시 꺼내고, 나머지 동전 5개 중에서 2개를 꺼내 야 하므로 그 방법의 수는 5C2=10 따라서 구하는 확률은 10 20 1 2 = 4 확률의 총합은 1이므로 0.14+0.41+p+0.06+0.03=1 / p=0.36 즉, 걸이 나올 확률이 0.36이므로 90 n ∴ n=250 =0.36` D 4 P C A B 5 변 BC를 지름으로 하는 원 위에 점 P를 잡을 때 삼각형 PBC는 직각삼 각형이 되므로 오른쪽 그림의 색칠 한 부분에 점 P를 잡을 때 삼각형 PBC는 둔각삼각형이 된다. P 따라서 구하는 확률은 (색칠한 부분의 넓이) ( ABCD의 넓이) = 1 2 \p\2@ 4@ = p 8 6 P{A6B}=P{A}+P{B}-P{A5B}에서 f 3 4 =P{A}+3P{A}- 1 8 4 P{A}= 7 8 / P{A}= 7 32 내공 점검 53 19고등(확통)_내공_해설(050~064) OK.indd 53 2018-10-25 오전 11:32:43 7 꺼낸 공 4개 중에서 빨간 공이 2개인 사건을 A, 3개인 사 y=4이면 x+z=12이므로 방정식 x+z=12의 음이 아닌 건을 B라고 하면 3C2\7C2 10C4 P{A}= = P{B}= 3C3\7C1 10C4 = 3 10 1 30 두 사건 A, B는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은 P{A6B}=P{A}+P{B}= 3 10 + = 1 30 1 3 8 빨간색과 노란색이 이웃하지 않도록 칠하는 사건을 A라고 하면 AC은 빨간색과 노란색이 이웃하도록 칠하는 사건이다. 빨간색과 노란색이 이웃하도록 칠하는 경우의 수는 빨간색 과 노란색을 하나로 생각하여 5가지 색을 원형으로 배열하 는 경우의 수에 빨간색과 노란색이 칠해진 위치를 바꾸는 경우의 수를 곱한 것과 같으므로 {5-1}?\2? {6-1}? P{AC}= 2 5 = 따라서 구하는 확률은 P{A} =1-P{AC} =1- = 2 5 3 5 정수해의 개수는 2H12=13C12=13C1=13 따라서 구하는 확률은 13 153 이므로 p=153, q=13 / p+q=166 채점 기준 ㈎ 방정식 x+y+z=16의 음이 아닌 정수해의 개수를 구 한다. ㈏ y=4일 때의 음이 아닌 정수해의 개수를 구한다. ㈐ p, q의 값을 구한다. ㈑ p+q의 값을 구한다. 12 흰 공이 나오지 않는 사건을 A, 흰 공이 1개 나오는 사건을 B, 흰 공이 2개 나오는 사건을 C라고 하면 P{A}= P{B}= P{C}= 4C4 9C4 = 1 126 4C3\5C1 9C4 = 4C2\5C2 9C4 = 10 63 10 21 9 함수 f`:`X` 2! `X 가 f{1}= f{2}인 사건을 A라고 하면 AC은 함수 f 가 f{1}= f{2}인 사건이다. 함수 f 가 f{1}= f{2}인 경우는 정의역의 원소 1, 2는 공 역의 원소 1, 2, 3, 4 중 하나의 값에 대응시키고, 공역의 원소 1, 2, 3, 4 중에서 중복을 허락하여 2개를 택하여 나 머지 정의역의 원소 3, 4에 대응시키는 경우이므로 채점 기준 ㈎ 흰 공이 나오지 않을 확률을 구한다. ㈏ 흰 공이 1개 나올 확률을 구한다. ㈐ 흰 공이 2개 나올 확률을 구한다. ㈑ 주어진 조건을 만족하는 확률을 구한다. 세 사건 A, B, C는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은 1 126 P{A}+P{B}+P{C}= 9 14 yy`㈑ 10 63 10 21 + + = P{AC}= 4\4 4 2 = 1 4 4 T 따라서 구하는 확률은 P{A} =1-P{AC} T =1- = 1 4 3 4 는 경우이므로 P{AC}= 2H7 4H7 = 8C7 10C7 = 1 15 따라서 구하는 확률은 P{A} =1-P{AC} 14 15 =1- 1 15 = 10 1, 2, 3, 4 중에서 중복을 허락하여 7개를 뽑을 때, 짝수를 적어도 한 개 뽑는 사건을 A라고 하면 AC은 뽑은 7개가 모 두 홀수인 사건이다. 홀수만 뽑는 경우는 1, 3 중에서 중복을 허락하여 7개를 뽑 11 방정식 x+y+z=16의 음이 아닌 정수해의 개수는 3H16=18C16=18C2=153 yy`㈎ 54 정답과 해설 13 u와 e가 이웃하지 않도록 배열하는 사건을 A라고 하면 AC 은 u와 e가 이웃하도록 배열하는 사건이다. 주어진 7개의 문자를 일렬로 배열하는 방법의 수는 =420 7? 3?\2? u와 e를 한 문자로 생각하면 6개의 문자를 일렬로 배열하는 yy`㈎ 방법의 수는 =60이고, u와 e가 서로 자리를 바꾸는 6? 3?\2? 방법의 수는 2?=2이므로 u와 e가 이웃하도록 배열하는 방 P{A}=1-P{AC}=1- = yy`㈑ 법의 수는 60\2=120 / P{AC}= 2 7 따라서 구하는 확률은 120 420 = 2 7 5 7 채점 기준 ㈎ 전체 경우의 수를 구한다. ㈏ u, e가 이웃하는 경우의 수를 구한다. ㈐ u, e가 이웃할 확률을 구한다. ㈑ u, e가 이웃하지 않을 확률을 구한다. yy`㈏ yy`㈐ yy`㈑ 배점 3점 4점 2점 1점 yy`㈎ yy`㈏ yy`㈐ 배점 3점 3점 3점 1점 yy`㈏ yy`㈐ 배점 2점 4점 2점 2점 19고등(확통)_내공_해설(050~064) OK.indd 54 2018-10-25 오전 11:32:44 2 60세 이상인 사람을 뽑는 사건을 A, 남자를 뽑는 사건을 B 6 두 사건 A, B가 서로 독립이고 P{A5B}= 1 9 이므로 07~08강 내공 점검 2 ③ 3 ④ 4 ② 5 ③ 1 6 2 5 4 9 11 ⑴ 7 ⑤ 7 8 ⑵ 4 7 8 12 20 81 4 9 9 ① 13 26 81 p. 80~81 10 15 32 1 제주도를 선호하는 학생을 뽑는 사건을 A, 1학년 학생을 뽑는 사건을 B라고 하면 220 400 P{A}= 11 20 = P{A5B}= 88 400 = 11 50 따라서 구하는 확률은 P{B|A}= P{A5B} P{A} = = 2 5 11 50 11 20 라고 하면 3 10 , P{B|A}= P{A}= 4 9 따라서 구하는 확률은 P{A5B} =P{A}P{B|A} 3 10 2 15 = 4 9 = \ 3 두 정육면체 A, B를 고르는 사건을 각각 A, B라 하고, 두 번 모두 빨간색 면이 나오는 사건을 R라고 하면 P{R} =P{A5R}+P{B5R} =P{A}P{R|A}+P{B}P{R|B} = 1 2 \ [ 1 2 ]@+ 1 2 \ [ 1 3 ]@ = 13 72 따라서 구하는 확률은 P{A|R}= P{A5R} P{R} = 1 2 ]@ 1 2 \ [ 13 72 = 9 13 4 뽑은 한 사람이 양성 반응이 나타난 사람인 사건을 A, 실 제로 C 질병에 걸린 사람인 사건을 B라고 하면 P{A|B}=0.9, P{AC|BC}=0.9, P{B}=0.04이므로 P{A|BC}=0.1, P{BC}=0.96 뽑은 한 사람이 양성 반응이 나타난 사람일 확률은 P{A} =P{B5A}+P{BC5A} =P{B}P{A|B}+P{BC}P{A|BC} =0.04\0.9+0.96\0.1 =0.132 따라서 구하는 확률은 P{B|A} = P{A5B} P{A} 0.04\0.9 0.132 = = 3 11 5 A=91, 3, 5, 70, B=91, 2, 3, 40, C=91, 2, 3, 60 A5B=91, 30, A5C=91, 30, B5C=91, 2, 30 1 2 1 2 , P{C}= 1 4 , P{B5C}= 3 8 / P{A}= P{A5B}= 1 2 , P{B}= 1 4 , P{A5C}= ㄱ. P{A5B}=P{A}P{B} 즉, A와 B는 서로 독립이다. ㄴ. P{A5C}=P{A}P{C} 즉, A와 C는 서로 독립이다. ㄷ. P{B5C}=P{B}P{C} 즉, B와 C는 서로 종속이다. 따라서 서로 독립인 사건은 ㄱ, ㄴ이다. P{A}P{B}= 1 9 A와 BC, AC과 B도 각각 서로 독립이므로 P{A5BC}+P{AC5B} =P{A}P{BC}+P{AC}P{B} =P{A}91-P{B}0+91-P{A}0P{B} =P{A}+P{B}-2P{A}P{B} =P{A}+P{B}- 2 9 이때 021P{A}P{B}3=2q 2 3 [단, 등호는 P{A}=P{B}= 1 3 일 때 성립] / P{A5BC}+P{AC5B}> - = 2 3 2 9 4 9 따라서 구하는 최솟값은 4 9 이다. 7 세 선수 A, B, C가 화살을 한 번 쏘아 표적을 맞히는 사건 을 각각 A, B, C라고 하면 세 사건 A, B, C는 서로 독립 이므로 AC, BC, CC도 서로 독립이다. / (표적을 맞힌 화살이 있을 확률) =(적어도 한 명이 표적을 맞힐 확률) =1-(세 명 모두 표적을 맞히지 못할 확률) =1-P{AC5BC5CC} =1-P{AC}P{BC}P{CC} =1- 1- [ 4 5 ][ 1- 3 4 ][ 1- 2 3 ] =1- 1 60 = 59 60 내공 점검 55 19고등(확통)_내공_해설(050~064) OK.indd 55 2018-10-25 오전 11:32:44 8 주사위를 한 번 던져서 6의 약수가 나오는 경우를 , 6의 약수가 나오지 않는 경우를 ×로 나타내면 총 4번을 던져서 성수가 이기는 경우와 그 확률은 다음 표와 같다. 지은 성수 지은 성수 확률 ! @ # ×  ×    × ×     1 3 2 3 1 3 \ \ \ = 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 81 8 81 8 81 \ \ \ = \ \ \ = !, @, #에 의하여 구하는 확률은 20 4 81 81 8 81 8 81 + + = 9 4쌍의 부부가 시험관아기 시술을 하였을 때 ! 한 쌍의 부부도 성공하지 못할 확률은 81 256 1 4 ])[ [ 4C0 3 4 ]$= @ 한 쌍의 부부만 성공할 확률은 3 4 ]#= !, @에 의하여 구하는 확률은 1- 1 4 ]![ 27 64 4C1 + = [ 27 64 ] 67 256 81 256 [ 이 나오는 횟수를 y라고 하자. ! 점 P의 위치가 4인 경우 x+y=5, 2x-y=4 두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=2 1 2 ]@= 즉, 그 확률은 5C3 [ 1 2 ]#[ @ 점 P의 위치가 7인 경우 x+y=5, 2x-y=7 두 식을 연립하여 풀면 x=4, y=1 5 16 즉, 그 확률은 5C4 [ 1 2 ]$[ 1 2 ]!= 5 32 !, @에 의하여 구하는 확률은 5 16 5 32 15 32 = + 10 동전 한 개를 5번 던질 때, 앞면이 나오는 횟수를 x, 뒷면 11 ⑴ 세 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 모든 경우의 수는 6\6\6=216 사건 A의 여사건 AC은 눈의 수의 곱이 홀수인 사건이 고, 눈의 수의 곱이 홀수이려면 눈의 수가 모두 홀수이 어야 하므로 그 경우의 수는 3\3\3=27 / P{AC}= 1 8 따라서 구하는 확률은 27 216 = 56 정답과 해설 ⑵ A5B는 눈의 수의 곱이 짝수이고, 그 합도 짝수인 사 건으로 다음 두 가지 경우가 있다. ! 세 눈의 수가 모두 짝수인 경우 그 경우의 수는 3\3\3=27 @ 두 눈의 수는 홀수, 나머지 한 눈의 수는 짝수인 경우 그 경우의 수는 3C1\{3\3\3}=81 !, @에 의하여 A5B가 일어나는 경우의 수는 27+81=108 / P{A5B}= 108 216 = 1 2 따라서 구하는 확률은 P{B|A}= P{A5B} P{A} = = 4 7 1 2 7 8 채점 기준 ㈎ P{AC}을 구한다. ㈏ P{A}를 구한다. ㈐ P{A5B}를 구한다. ㈑ P{B|A}를 구한다. yy`㈐ yy`㈑ 배점 3점 2점 3점 2점 12 선미가 딸기 맛 사탕을 꺼내는 사건을 A, 지호가 딸기 맛 사탕을 꺼내는 사건을 B라고 하자. ! 선미, 지호 모두 딸기 맛 사탕을 꺼내는 경우 P{A}= 5 9 P{B|A}= = 4 8 1 2 ∴ P{A5B} =P{A}P{B|A} 5 9 1 2 @ 선미, 지호 모두 오렌지 맛 사탕을 꺼내는 경우 5 18 = \ = yy`㈎ 3 8 P{AC}= 4 9 , P{BC|AC}= / P{AC5BC} =P{AC}P{BC|AC} 4 9 1 6 = 3 8 \ = !, @에 의하여 구하는 확률은 5 P{A5B}+P{AC5BC}= 18 + = 1 6 4 9 채점 기준 ㈎ 선미, 지호 모두 딸기 맛 사탕을 꺼낼 확률을 구한다. ㈏ 선미, 지호 모두 오렌지 맛 사탕을 꺼낼 확률을 구한다. ㈐ 선미와 지호가 같은 맛 사탕을 꺼낼 확률을 구한다. yy`㈏ yy`㈐ 배점 4점 4점 2점 yy`㈎ yy`㈏ 13 동전을 두 번 던져서 모두 앞면이 나오는 사건을 A라고 하면 P{A}= 1 4 yy`㈎ 꺼낸 구슬 중에서 검은 구슬이 3개인 사건을 B라고 하면 주머니에서 구슬을 한 개씩 4번 꺼낼 때, 검은 구슬이 3개 P{A}=1-P{AC}=1- = yy`㈏ 1 8 7 8 일 확률은 P{B|A}=4C3 [ 2 3 ]#[ 1 3 ]!= 32 81 19고등(확통)_내공_해설(050~064) OK.indd 56 2018-10-25 오전 11:32:45 # 두 눈의 수의 차가 2인 경우 {1, 3}, {2, 4}, {3, 5}, {4, 6}, {3, 1}, {4, 2}, {5, 3}, {6, 4} 이므로 그 경우의 수는 8 !, @, #에 의하여 1 6 , P{X=1}= P{X=0}= 2 9 P{X=2}= 6 36 8 36 = = 10 36 = 5 18 yy`㈑ / P{00} =P{X=0}+P{X=1} = +a= + = 1 4 1 2 1 4 3 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 모든 경우의 수는 6\6=36 ! 두 눈의 수의 차가 0인 경우 {1, 1}, {2, 2}, {3, 3}, {4, 4}, {5, 5}, {6, 6} 이므로 그 경우의 수는 6 @ 두 눈의 수의 차가 1인 경우 {1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {5, 6}, {2, 1}, {3, 2}, {4, 3}, {5, 4}, {6, 5} 이므로 그 경우의 수는 10 19고등(확통)_내공_해설(050~064) OK.indd 57 2018-10-25 오전 11:32:45 1 7 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3, 4이고, 그 확 률은 각각 = = = = 1 3 4 15 P{X=2}= P{X=1}= P{X=0}= 5C4 6C4 4C3 6C4 3C2 6C4 2C1 6C4 1C0 6C4 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. 2H4 3H4 2H3 3H4 2H2 3H4 2H1 3H4 2H0 3H4 P{X=3}= P{X=4}= 2 15 1 15 1 5 = = = = = = X P{X=x} ‌0 1 3 1 3 ‌1 4 15 4 15 ‌2 1 5 1 5 ‌3 2 15 2 15 ‌4 1 15 합계 ‌1 4 3 1 15 E{X} =0\ +1\ +2\ +3\ +4\ = 따라서 X의 평균은 4 3 이다. 8 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이고, 그 확률은 각각 P{X=0}= P{X=1}= P{X=2}= 3C0\6C2 9C2 = 5 12 3C1\6C1 9C2 = 1 2 3C2\6C0 9C2 = 1 12 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X P{X=x} ‌1 1 2 ‌2 1 12 합계 ‌1 E{X} =0\ +1\ +2\ 1 2 1 2 1 12 2 3 = 1 12 5 6 E{X @} =0@\ +1@\ +2@\ = / V{X}=E{X @}-9E{X}0@= 5 6 - [ 2 3 ]@= 7 18 ‌0 5 12 5 12 5 12 9 E{aX+b}=7, V{aX+b}=12에서 aE{X}+b=7, a@ V{X}=12 이때 E{X}=5, V{X}=3이므로 5a+b=7, 3a@=12 3a@=12에서 a@=4 / a=2 {? a>0} a=2를 5a+b=7에 대입하면 10+b=7 / b=-3 / a-b=5 10 확률의 총합은 1이므로 3 10 2 5 + +a+2a=1, 3a= 3 10 / a= 1 10 58 정답과 해설 E{X}=1\ +2\ +3\ +4\ = 3 10 3 10 2 5 2 5 1 10 1 10 1 5 11 5 1 5 E{X @}=1@\ +2@\ +3@\ +4@\ =6 / V{X} =E{X @}-9E{X}0@ =6- 11 5 ]@= [ 따라서 r{X}=1V{X}3= r{5X+2} =|5|r{X} =5\ j29k 5 =j29k 29 25 j29k 5 이므로 11 확률의 총합은 1이므로 P{X=1}+P{X=2}+y+P{X=10}=1 k 1\2 + k 2\3 +y+ k 10\11 =1 1- k -[ 1 2 ] + [ 1 2 - 1 3 ] +y+ 1 10 [ - 1 11 ]= =1 =1, k=1 10 11 1- k [ / k= 1 11 ] 11 10 yy`㈎ yy`㈏ yy`㈐ / P{X>3} =1-9P{X=1}+P{X=2}0 11 20 =1- + [ 11 60 ] 4 15 =1- 11 15 = 채점 기준 ㈎ 확률의 총합이 1임을 이용하여 k에 대한 식을 세운다. ㈏ k의 값을 구한다. ㈐ P{X>3}을 구한다. 배점 3점 3점 4점 12 ⑴ 확률의 총합은 1이므로 3 10 +a+b=1 E{X@}= 7 10 8 5 이므로 8 5 ∴ a+b= yy`㉠ yy`㈎ a+4b= yy`㉡ yy`㈏ a= 2 5 , b= ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 3 10 3 10 +1\ 2 5 ⑵ E{X}=0\ +2\ =1 3 10 E{X@}= 8 5 이므로 V{X} =E{X @}-9E{X}0@ = -1@= 8 5 3 5 yy`㈐ yy`㈑ ∴ V{2X+3}=2@ V{X}=4\ = 3 5 12 5 따라서 2X+3의 분산은 yy`㈒ 12 5 이다. 19고등(확통)_내공_해설(050~064) OK.indd 58 2018-10-26 오후 3:43:06 채점 기준 ㈎ 확률의 총합이 1임을 이용하여 식을 세운다. ㈏ X@의 평균이 5*임을 이용하여 식을 세운다. ㈐ a, b의 값을 구한다. ㈑ V{X}를 구한다. ㈒ 2X+3의 분산을 구한다. 배점 1점 1점 2점 3점 3점 13 짝수는 2, 4, 6, 8의 4개이므로 확률변수 X가 가질 수 있 는 값은 0, 1, 2, 3이고, 그 확률은 각각 P{X=0}= P{X=1}= P{X=2}= P{X=3}= 4C0\5C3 9C3 = 4C1\5C2 9C3 = 4C2\5C1 9C3 = 4C3\5C0 9C3 = 5 42 10 21 5 14 1 21 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X P{X=x} ‌0 5 42 5 42 5 42 ‌1 10 21 10 21 10 21 ‌2 5 14 5 14 5 14 ‌3 1 21 합계 ‌1 yy`㈎ 1 21 4 3 1 21 7 3 E{X} =0\ +1\ +2\ +3\ = E{X@} =0@\ +1@\ +2@\ +3@\ = / V{X} =E{X@}-9E{X}0@ = 7 3 - [ 4 3 ]@= 5 9 5 9 w= 따라서 r{X}=1V{X}3=q r{9X+1} =|9|r{X} j5 3 이므로 =9\ j5 3 =3j5 채점 기준 ㈎ 확률변수 X의 확률분포를 구한다. ㈏ r{X}를 구한다. ㈐ r{9X+1}을 구한다. yy`㈏ yy`㈐ 배점 3점 4점 3점 11~13강 내공 점검 1 ⑤ 8 27 6 11 4 2 ② 7 14 3 5 8 ② 4 46 9 ⑤ 12 160 13 0.0668 p. 84~85 5 ② 10 ⑤ 1 확률변수 X가 이항분포 B 10, [ 7 10 ]을 따르므로 X의 확률 질량함수는 P{X=x}=10Cx [ 7 10 ]X[ 3 10 ]!)_X {x=0, 1, 2, y, 10} / P{X<9} =1-P{X=10} =1-10C10 [ 7 10 ]!)[ 3 10 ]) =1- 7 10 ]!) [ 2 E{X}=5에서 20p=5 / p= 1 4 따라서 확률변수 X는 이항분포 B 20, 1 4 ]을 따르므로 [ V{X}=20\ \ = 1 4 3 4 15 4 V{X}=E{X @}-9E{X}0@에서 E{X @} =V{X}+9E{X}0@ +5@ = 15 4 = 115 4 E{X}=500\ =50 1 10 1 10 9 10 V{X}=500\ \ =45 / V [ X-5 = ] [ 1 3 1 3 ]@V{X} = \45=5 1 9 3 확률변수 X는 이항분포 B 500, [ 1 10 ]을 따르므로 4 주사위를 18번 던졌을 때, 3의 배수의 눈이 나오는 횟수를 확 률변수 Y라고 하면 3의 배수 이외의 눈이 나오는 횟수는 18-Y이므로 X=3Y+{18-Y}=2Y+18 1 주사위를 한 번 던질 때, 3의 배수의 눈이 나올 확률은 3 이 므로 확률변수 Y는 이항분포 B 18, 1 3 ]을 따른다. [ 이때 E{Y}=18\ =6, 1 3 1 3 2 3 V{Y}=18\ \ =4 이므로 E{X} =E{2Y+18}=2E{Y}+18 =2\6+18=30 V{X} =V{2Y+18}=2@ V{Y} =4\4=16 / E{X}+V{X}=30+16=46 내공 점검 59 19고등(확통)_내공_해설(050~064) OK.indd 59 2018-10-25 오전 11:32:46 5 ①, ④ -10, i{x}>0인 것이 아 니므로 확률밀도함수의 그래프가 아니다. ② g{x}>0이고 y=g{x}의 그래프와 x축 및 두 직선 x=-1, x=1로 둘러싸인 도형의 넓이가 2\ [ 1 2 ] \1\1 =1이므로 확률밀도함수의 그래프이다. ③ y=h{x}의 그래프와 x축 및 두 직선 x=-1, x=1로 1 2 \2\2=2이므로 확률밀도 둘러싸인 도형의 넓이가 함수의 그래프가 아니다. ⑤ y=j{x}의 그래프와 x축 및 두 직선 x=-1, x=1로 둘러싸인 도형의 넓이가 2\1=2이므로 확률밀도함수 의 그래프가 아니다. 따라서 확률밀도함수의 그래프가 될 수 있는 것은 ②이다. 6 y= f{x}의 그래프와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 1이 므로 1 2 \6\a=1, 3a=1 / a= 1 3 017}이므로 m= 5+17 2 =11 ㈏에서 r{-2X+1}=6이므로 |-2|r{X}=6 / r{X}=3, 즉 r=3 / m+r=11+3=14 8 확률변수 X, Y는 각각 정규분포 N{50, 5@}, N{40, 2@}을 따르므로 Zx= X-50 5 , Zy= Y-40 2 으로 놓으면 Zx, Zy 는 모두 표준정규분포 N{0, 1}을 따른다. 60 정답과 해설 P{X>60} =P Zx> [ 60-50 5 =P{Zx>2} ] P{Y60}=P{Y 40-a 2 ] 2= 40-a 2 ∴ a=36 9 확률변수 X가 정규분포 N{80, 4@}을 따르므로 X-80 Z= 4 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N{0, 1}을 따 P{Z<0}+P 06 / n>36 3 jn k 따라서 n의 최솟값은 36이다. 는 정규분포 N{55, 10@}을 따르므로 Z= 면 Z는 표준정규분포 N{0, 1}을 따른다. 이때 입학 시험 점수가 65점 이상일 확률은 P{X>65} =P [ =P{Z>1} ] Z> 65-55 10 =P{Z>0}-P{099} =P Z> [ 99-90 6 =P{Z>1.5} ] =P{Z>0}-P{0k} =0.0668에서 Z> P [ k-200 2 =0.0668 ] 0.5-P [ 0 =0.1587 jn k 3 ] P{Z>0}-P 05 / n>25 따라서 n의 최솟값은 25이다. =1이므로 / m=55 4@ n n=16 / m+n=55+16=71 채점 기준 ㈎ m의 값을 구한다. ㈏ n의 값을 구한다. ㈐ m+n의 값을 구한다. 11 모집단은 정규분포 N{55, 4@}을 따르고 표본의 크기는 n이 므로 표본평균 X 는 정규분포 N 55, 4@ n ]을 따른다. [ yy`㈎ yy`㈏ yy`㈐ 배점 4점 4점 2점 yy`㈎ yy`㈏ yy`㈐ yy`㈑ 배점 4점 2점 2점 2점 12 샴푸 한 개의 용량을 확률변수 X라고 하면 X는 정규분포 N{700, 7@}을 따르므로 n개의 용량의 표본평균 X 는 정규 분포 N 700, [ 7@ n ]을 따른다. X -700 7 jn k 을 따르므로 P{|X -700|<1.4}>0.95에서 즉, Z= 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N{0, 1} X 1.4 7 jn k -700 7 jn k < | >0.95 P ] [| P{|Z|<0.2jnk}>0.95 2P{00.95 ∴ P{00.475 이때 P{01.96 jnk>9.8 ∴ n>96.04 따라서 n의 최솟값은 97이다. 채점 기준 ㈎ P{|X -700|<1.4}>0.95를 표준정규분포를 따르는 확률변수 Z에 대한 식으로 변형한다. ㈏ 표준정규분포표를 이용할 수 있도록 식을 변형한다. ㈐ n의 값의 범위를 구한다. ㈑ n의 최솟값을 구한다. 19고등(확통)_내공_해설(050~064) OK.indd 62 2018-10-25 오전 11:32:47 X X X X X X C X X X X X X 13 P{0