1 강
함수의 극한
p. 6
⑵ f{x}=2x @이라고 하면 y=f{x}의
y=f{x}
1
⑴ f{x}=x+5라고 하면 y=f{x}
의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
3이
따라서 x
-2일 때, f{x}
`!
!
므로
lim
-2
x`
!
{x+5}=3
그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 x
1일 때, f{x}
2이므로
!
`!
2x @=2
lim
1
x`
!
⑶ f{x}=j-x+2l라고 하면
y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그
- 2일
림과 같다. 따라서 x
2이므로
때, f{x}
` !
!
-2j-x+2l=2
lim
x`
!
y
y=f{x}
5
3
-5 -2
xO
y
2
O
1
x
y
y=f{x}
2
-2
O
2
x
!
2 ⑴ lim
x`
2+
⑵ lim
x`
2-
⑶ lim
x`
3+
⑷ lim
3-
x`
!
!
!
`f{x}=1
`f{x}=1
`f{x}=2
`f{x}=0
1 ⑴ f{x}=
x@-8x+12
x-2 라고 하면 x=2일 때,
`f{x}=
=x-6
{x-2}{x-6}
x-2
이므로 y=f{x}의 그래프는 오른
쪽 그림과 같다. 따라서 x
2일
때, f{x}
-4이므로
`!
!
x@-8x+12
lim
x-2
2
x`
!
=-4
y
O
-4
-6
⑵ f{x}=
f{x}=
x#-1
x-1 이라고 하면 x=1일 때,
{x-1}{x@+x+1}
x-1
=x@+x+1
2
y=f{x}
6
x
이므로 y=f{x}의 그래프는 오
1
른쪽 그림과 같다. 따라서 x
`!
일 때, f{x}
x#-1
lim
x-1
1
x`
!
!
=3
3이므로
y=f{x}
y
3
1
O
1
x
y
O
1
y=f{x}
3
x
x
x
2 ⑴ f{x}=
x@-4x+3
x-1 이라고 하면 x=1일 때,
f{x}=
=x-3
{x-1}{x-3}
x-1
이므로 y=f{x}의 그래프는 오른
쪽 그림과 같다. 따라서 x
1일
때, f{x}
-2이므로
`!
!
x@-4x+3
lim
x-1
1
x`
!
=-2
-2
-3
⑵ f{x}=
이라고 하면 x=1일 때,
f{x}=
x-1
jxk-1
{jxk-1}{jxk+1}
=jxk+1
jxk-1
이므로 y=f{x}의 그래프는 오른
쪽 그림과 같다. 따라서 x
1일
때, f{x}
2이므로
` !
!
3 ⑴ f{x}=
=2
x-1
lim
jxk-1
1
x`
!
1
x 이라고 하면 y=f{x}의
그래프는 오른쪽 그림과 같다. 따라
서 x
E일 때, f{x}
0이므로
!
`!
1
x =0
lim
x`
E
1
x @
⑵ f{x}=
!
이라고 하면 y=f{x}
의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 x
E이
0일 때, f{x}
`!
1
므로 lim
x @
0
!
=E
!
x`
⑶ f{x}=2x라고 하면 y=f{x}의 그
래프는 오른쪽 그림과 같다. 따라서
y=f{x}
y
2
1
O 1
y
y=f{x}
O
y
O
y
y=f{x}
x
⑷ f{x}=-x@+1이라고 하면
y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림
-E일 때,
과 같다. 따라서 x
f{x}
`!
-E이므로
!
{-x@+1}=-E
lim
-E
x`
!
4 ⑴ f{x}=2-
1
x 이라고 하면 y=f{x}
의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 x
-E일 때, `f{x}
1
x ]
2-
=2
-E[
`!
lim
x`
!
2
!
이므로
⑵ f{x}=
이라고 하면
1
{x-1}@
y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림
과 같다. 따라서 x
`f{x}
1일 때,
`!
E이므로
!
1
lim
{x-1}@
1
x`
!
=E
y=f{x}
y
1
O
x
y=f{x}
y=f{x}
y
2
x
O
2!
y=f{x}
1
x
y
1
O
I. 함수의 극한과 연속 1
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 7
x
`!
E일 때, f{x}
2x=E
!
lim
x`
E
!
E이므로
O
x
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 1
2018-04-26 오후 1:41:53
⑶ f{x}=x@+2x+1이라고 하면
y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그
림과 같다. 따라서 x
f{x}
lim
x`
E
!
E이므로
!
{x@+2x+1}=E
`!
E일 때,
⑷ f{x}=-j4-x l라고 하면
y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림
-E일 때,
과 같다. 따라서 x
f{x}
`!
-E이므로
!
{-j4-xl}=-E
lim
-E
x`
!
5 ⑴ lim
x`
1+
!
⑵ lim
1-
x`
!
`f{x}= lim
1+
`f{x}= lim
1-
!
x`
x`
!
{x+1}=2
{-3x+2}=-1
6 ⑴ lim
x`
2+
!
⑵ lim
2-
x`
!
`f{x}= lim
2+
`f{x}= lim
2-
!
x`
x`
!
{-3x+5}=-1
{2x@-5}=3
7 lim
x`
!
|x+3|
x+3
-3+
|x+3|
lim
x+3
x`
!
따라서 lim
-3+
=1
x+3
= lim
x+3
-3+
x`
!
-{x+3}
= lim
x+3
-3-
x`
!
`f{x}이므로 극한 lim
`f{x}= lim
-3
-3-
=-1
-3-
x`
x`
x`
!
존재하지 않는다.
!
`f{x}는
!
{x-1}{x-4}
x-1
{x-4}=-3
{x-1}{x-4}
-{x-1}
9-{x-4}0=3
8 lim
x @-5x+4
|x-1|
1+
x`
!
= lim
1+
x`
!
= lim
1+
x`
!
= lim
1-
x`
!
= lim
1-
x`
!
`f{x}= lim
1-
x`
!
x@-5x+4
|x-1|
lim
1-
x`
!
따라서 lim
1+
x`
!
재하지 않는다.
`f{x}이므로 극한 lim
1
!
x`
`f{x}는 존
2 강
함수의 극한값의 계산
p. 8
1
⑴ lim
2
x`
!
9 f{x}+2g{x}0 =lim
2
!
x`
f{x}+2 lim
2
!
x`
g{x}
g{x}-1
⑵ lim
f{x}
2
x`
!
=
=3+2\{-2}=-1
g{x}-1
=
-2-1
3
=-1
lim
2
x`
!
lim
2
x`
!
f{x}
2 정답과 해설
y=f{x}
y
1
-1
O
x
y
4
O
x
-2 y=f{x}
ax-3
2 ⑴ lim
x-1
1
!
lim
1
x`
!
x`
=3에서 lim
1
!
x`
{ax-3}=a-3=0 / a=3
{x-1}=0이므로
x+2
x @+3x+a
{x @+3x+a}=4-6+a=0
=-1에서 lim
-2
!
x`
{x+2}=0이므로
⑵ lim
-2
x`
!
lim
-2
x`
!
/ a=2
3 lim
1
x`
!
lim
1
x`
!
{-x@+3x+1}=3, lim
1
!
x`
`f{x}=3
{x@-x+3}=3이므로
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 9
1 ⑴ lim
x`
!
-3
x@+5x+6
x+3
⑵ lim
1
x`
!
1x@+33-2
x-1
{x+3}{x+2}
x+3
{x+2}
= lim
x`
-3
!
= lim
x`
-3
!
=-1
{1x@+33-2}{1x@+33+2}
=lim
{x-1}{1x@+33+2}
1
x`
!
x@-1
=lim
{x-1}{1x@+33+2}
1
x`
!
{x-1}{x+1}
=lim
{x-1}{1x@+33+2}
1
x`
!
x+1
=lim
1x@+33+2
1
x`
!
1
2
=
1
⑶ lim
x [
0
x`
!
1+
1
x-1 ]
1
=lim
x -
0
x`
!
{x-1}+1
x-1
=
1
=lim
x-1
0
x`
!
=-1
x #-8
2 ⑴ lim
x-2
x`
2
!
{x-2}{x @+2x+4}
=lim
x-2
2
x`
!
=lim
x`
2
!
=12
{x@+2x+4}
⑵ lim
-2
x`
!
3x+6
jx+3l-1
{3x+6}{jx+3l+1}
{jx+3l-1}{jx+3l+1}
3{x+2}{jx+3l+1}
x+2
3{jx+3l+1}
= lim
-2
x`
!
= lim
-2
x`
!
= lim
-2
x`
!
=6
1
1
⑶ lim
x [
0
x`
!
1
x+2
+
3x-2 ]
{3x-2}+{x+2}
{x+2}{3x-2}
=
1
=lim
x -
0
x`
!
4
=lim
{x+2}{3x-2}
x`
0
!
=-1
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 2
2018-04-26 오후 1:41:54
3 ⑴ lim
x@-5x+3
6x@+4x-1
E
x`
!
1-
=lim
x`
E
6+
!
5
x +
4
x -
3
x @
1
x @
=
1
6
⑵ lim
x`
E
{1x @+8x3-x}
!
{1x @+8x3-x}{1x @+8x3+x}
1x @+8x3+x
=lim
x`
E
!
=lim
x`
E
!
=lim
x`
E
!
8x
1x @+8x3+x
8
8
q1+
x e+1
=4
4 ⑴ lim
x`
!
E
4-3x@
x@-2x+5
=lim
x`
E
1-
!
⑵ lim
x`
E
{1x@-2x3-1x@+2x3}
!
4
x@
2
x
-3
+
5
x@
=-3
{1x@-2x3-1x@+2x3}{1x@-2x3+1x@+2x3}
=lim
1x@-2x3+1x@+2x3
x`
E
!
-4x
=lim
1x@-2x3+1x@+2x3
x`
E
!
-4
=lim
2
x`
E
q1-
x e+q1+
!
2
x e
=-2
=-3에서 lim
1
!
x`
{x-1}=0이므로
{2x@+ax+b}=2+a+b=0
2x@+ax+b
5 lim
x-1
x`
1
!
lim
x`
1
!
∴ b=-a-2
yy`㉠
㉠을 주어진 식에 대입하면
2x@+ax-a-2
lim
x-1
1
x`
!
{x-1}{2x+a+2}
=lim
x-1
1
x`
!
=lim
{2x+a+2}
1
x`
!
=2+a+2=-3
∴ a=-7
a=-7을 ㉠에 대입하면 b=5
{x-2}=0이므로
x-2
6 lim
jx+al-b
{jx+al-b}=j2+al-b=0
=8에서 lim
2
!
x`
x`
2
!
lim
2
x`
!
∴ b=j2+al
㉠을 주어진 식에 대입하면
yy`㉠
x-2
lim
jx+al-j2+al
2
x`
!
{x-2}{jx+al+j2+al}
=lim
{jx+al-j2+al}{jx+al+j2+al}
2
x`
!
{x-2}{jx+al+j2+al}
=lim
x-2
2
x`
!
=lim
2
x`
!
{jx+al+j2+al}
=2j2+al=8
∴ a=14
a=14를 ㉠에 대입하면 b=4
7 x@+1>0이므로 주어진 부등식의 각 변을 x @+1로 나누면
2x @+x+7
x @+1
2x @+x+1
x @+1
< f{x}<
2x @+x+1
이때 lim
x @+1
E
!
`f{x}=2
x`
lim
x`
E
!
2x @+x+7
=2, lim
x @+1
x`
E
!
=2이므로
8 x @>0이므로 주어진 부등식의 각 변을 x @으로 나누면
-5x @+8
x @
-5x @+3
x @
<
<
-5x @+8
=-5, lim
x @
E
!
x`
=-5이므로
`f{x}
x @
-5x @+3
x @
=-5
이때 lim
x`
E
!
`f{x}
x @
lim
x`
E
!
계산력 다지기
p. 10~11
!
x @=2
x`
2
⑵ lim
-1
x`
!
1
1 ⑴ lim
2
jx+5l=2
x @+x-6
x+3
{x+3}{x-2}
x+3
⑶ lim
-3
x`
!
{x-2}=-5
= lim
-3
x`
!
= lim
-3
x`
!
x-4
⑷ lim
jx k-2
4
x`
!
{jx k+2}{jx k-2}
=lim
jx k-2
4
x`
!
=lim
{jx k+2}=4
4
x`
!
2
x-1
⑸ lim
x`
E
=0
!
=E
1
⑹ lim
|x|
0
x`
!
⑺ lim
{x @-4x+5}=E
x`
E
!
⑻ lim
-E
x`
!
-j8-2xl=-E
2 ⑴ lim
f{x}=2
f{x}=0
f{x}=2
-3+
x`
!
⑵ lim
x`
-2
!
⑶ lim
x`
-1-
!
⑷ lim
x`
0+
!
⑸ lim
x`
1
!
⑹ lim
x`
2-
!
⑺ lim
x`
3+
!
⑻ lim
4+
x`
!
f{x}=3
f{x}=3
f{x}=3
f{x}=1
f{x}=0
I. 함수의 극한과 연속 3
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 3
2018-04-26 오후 1:41:54
3 ⑴ lim
-2+
f{x}=0
x`
!
⑵ lim
x`
-1
!
⑶ lim
x`
0
!
⑷ lim
x`
1-
!
⑸ lim
x`
1+
!
⑹ lim
x`
2-
!
⑺ lim
x`
2+
!
⑻ lim
3-
x`
!
f{x}=2
f{x}=0
f{x}=2
f{x}=1
f{x}=1
f{x}=2
f{x}=0
x @+2x-3
4 ⑴ lim
x-1
x`
1
!
{x+3}{x-1}
x-1
{x+3}=4
=lim
1
x`
!
=lim
1
x`
!
x @-2x-8
⑵ lim
x #-4x
-2
x`
!
= lim
-2
x`
!
{x+2}{x-4}
x{x+2}{x-2}
=
= lim
-2
x`
!
x-4
x{x-2}
3
-6
4
-2\{-4}
{x-3}{x @+3x+9}
x-3
{x @+3x+9}
=-
x #-27
⑶ lim
x-3
3
x`
!
=lim
3
x`
!
=lim
3
x`
!
⑷ lim
-1
x`
!
jx+5l-2
x+1
=9+9+9=27
= lim
-1
x`
!
= lim
-1
x`
!
= lim
-1
x`
!
=
{jx+5l-2}{jx+5l+2}
{x+1}{jx+5l+2}
x+5-4
{x+1}{jx+5l+2}
1
jx+5l+2
1
=
4
1
j4+2
{1x @+123-4}{1x @+123+4}
=lim
{x-2}{1x @+123+4}
2
x`
!
x @+12-16
=lim
{x-2}{1x @+123+4}
2
x`
!
{x+2}{x-2}
=lim
{x-2}{1x @+123+4}
2
x`
!
x+2
=lim
1x @+123+4
2
x`
!
1
2+2
2
j4+12l+4
{2x+6}{1x @+73+4}
= lim
{1x @+73-4}{1x @+73+4}
-3
x`
!
{2x+6}{1x @+73+4}
= lim
x @+7-16
-3
x`
!
=
=
2{x+3}{1x @+73+4}
= lim
{x+3}{x-3}
-3
x`
!
2{1x @+73+4}
= lim
x-3
-3
x`
!
2{j9+7l+4}
-6
=-
=
8
3
⑸ lim
2
x`
!
1x @+123-4
x-2
2x+6
⑹ lim
1x @+73-4
-3
x`
!
4 정답과 해설
1
⑺ lim
x [
0
x`
!
4
2-
x+2 ]
=lim
0
x`
!
1
x -
2{x+2}-4
x+2
=
2
=lim
x+2
0
x`
!
=1
1
⑻ lim
x [
0
x`
!
1
2x+3
1
=lim
x -
0
x`
!
-
1
5x+3 ]
{5x+3}-{2x+3}
{2x+3}{5x+3}
1
3
=
3
=lim
{2x+3}{5x+3}
0
x`
!
=
5 ⑴ lim
x`
!
E
2x @+3x-5
3x @-x+4
=lim
x`
E
!
⑵ lim
x`
E
!
4x+3
x @+2x-1
=lim
x`
E
!
2+
-
3-
+
3
x
1
x
5
x @
4
x @
=
2
3
4
x
+
1+
2
x
3
x @
1
x @
-
=0
⑶ lim
x`
E
!
3x
1x @+63+2
=lim
x`
E
!
q1+
3
6
x @ e+
2
x
=3
⑷ lim
x`
E
{14x @+x3-2x}
!
{14x @+x3-2x}{14x @+x3+2x}
=lim
14x @+x3+2x
x`
E
!
4x @+x-4x @
=lim
14x @+x3+2x
x`
E
!
x
=lim
14x @+x3+2x
x`
E
!
1
=lim
=
1
x`
E
!
x e+2
q4+
1
4
⑸ lim
x`
E
{1x @+4x3-1x @-2x3}
!
{1x @+4x3-1x @-2x3}{1x @+4x3+1x @-2x3}
=lim
1x @+4x3+1x @-2x3
x`
E
!
{x @+4x}-{x @-2x}
=lim
1x @+4x3+1x @-2x3
x`
E
!
6x
=lim
1x @+4x3+1x @-2x3
x`
E
!
6
=lim
x`
E
!
q1+
4
x e+q1-
2
x e
=3
!
1
⑹ lim
3x-19x @-x3+63
x`
E
3x+19x @-x3+63
=lim
{3x-19x @-x3+63}{3x+19x @-x3+63}
x`
E
!
3x+19x @-x3+63
=lim
9x @-{9x @-x+6}
x`
E
!
3x+19x @-x3+63
=lim
x-6
x`
E
!
3+q9-
=lim
x`
E
!
1-
+
6
x @ e
=6
1
x
6
x
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 4
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x @+ax+b
6 ⑴ lim
x-2
x`
2
=1에서 lim
2
!
x`
{x-2}=0이므로
{x @+ax+b}=4+2a+b=0
㉠을 주어진 식에 대입하면
jx+5l-3
ax+b
lim
4
x`
!
!
lim
2
x`
!
/ b=-2a-4
yy ㉠
㉠을 주어진 식에 대입하면
x @+ax+b
lim
x-2
2
x`
!
x @+ax-2a-4
=lim
x-2
2
x`
!
{x-2}{x+a+2}
=lim
x-2
2
x`
!
=lim
{x+a+2}
2
x`
!
=a+4=1
/ a=-3
a=-3을 ㉠에 대입하면 b=2
{ax+b}=-3a+b=0
ax+b
⑵ lim
x @+7x+12
-3
x`
!
이므로
lim
-3
x`
!
/ b=3a
yy ㉠
lim
-3
x`
!
㉠을 주어진 식에 대입하면
ax+b
x @+7x+12
ax+3a
x @+7x+12
a{x+3}
{x+3}{x+4}
= lim
-3
x`
!
= lim
-3
x`
!
a
x+4
= lim
-3
x`
!
=a=1
=1에서 lim
-3
x`
!
{x @+7x+12}=0
{x+1}=0이므로
a=1을 ㉠에 대입하면 b=3
⑶ lim
-1
x`
!
lim
-1
x`
!
=4에서 lim
-1
x+1
jx+al+b
{jx+al+b}=ja-1l+b=0
!
x`
yy ㉠
lim
-1
x`
!
/ b=-ja-1l
㉠을 주어진 식에 대입하면
x+1
jx+al+b
x+1
= lim
jx+al-ja-1l
-1
{x+1}{jx+al+ja-1l}
= lim
{jx+al-ja-1l}{jx+al+ja-1l}
-1
{x+1}{jx+al+ja-1l}
= lim
{x+a}-{a-1}
-1
!
!
x`
x`
x`
!
!
= lim
-1
x`
{jx+al+ja-1l}
=2ja-1l=4
/ a=5
a=5를 ㉠에 대입하면 b=-2
=
jx+5l-3
ax+b
1
6 에서 lim
{ax+b}=4a+b=0
!
x`
4
⑷ lim
4
x`
!
lim
4
x`
!
/ b=-4a
{jx+5l-3}=0이므로
=lim
4
x`
!
jx+5l-3
ax-4a
{jx+5l-3}{jx+5l+3}
=lim
a{x-4}{jx+5l+3}
4
x`
!
x+5-9
=lim
a{x-4}{jx+5l+3}
4
x`
!
=
=
1
a{jx+5l+3}
=lim
4
x`
!
1
6a
1
6
/ a=1
a=1을 ㉠에 대입하면 b=-4
족집게 기출문제
01~02강
p. 12~15
1 ②
6 ④
11 ③
2 -3
7 ④
12 ④
3 ③
8 ㄱ, ㄷ
13 -15
4 ⑤
9 ③
14 ②
5 ①
10 ⑤
15 2
16 ③
17 ④
18 ⑤
19 [
0,
1
4 ] 20 16
21 ⑤
22 a=0, b=2
23 ⑴ A{k, 3jk k}, B{k, jk k}, C{k, 0} ⑵
1
3
24
7
8
x #-x @-6x
1 ㄱ. lim
x-3
x`
3
!
x{x+2}{x-3}
=lim
x-3
3
x`
!
=lim
3
x`
!
x{x+2}=15
ㄴ. lim
-1
x`
!
3
|x+1|
=E
ㄷ. lim
x`
E
!
ㄹ. lim
-E
x`
!
-
2
x-4 ]
=0
[
{-j3-xl}=-E
따라서 수렴하는 것은 ㄱ, ㄷ이다.
2 lim
x`
`f{x}= lim
1+
`f{x}= lim
1-
!
x`
!
`f{x}- lim
1-
x`
!
x`
1+
!
lim
1-
x`
!
∴ lim
1+
x`
!
9-{x-1}@-10=-1
{x+1}=2
`f{x}=-1-2=-3
3
t-1
t+1
=a로 놓으면 a=1-
2
t+1
t`
!
lim
t`
E
!
4t-1
t+1
E일 때, a`
t-1
t+1 ]
`f
[
!
= lim
1-
a`
!
1-이므로
`f{a}=2
=b로 놓으면 b=4-
5
t+1
t`
!
lim
-E
t`
!
-E일 때, b`
4t-1
t+1 ]
`f
[
!
= lim
4+
b`
!
4+이므로
`f{b}=3
yy ㉠
∴ lim
t`
E
!
`f
[
t-1
t+1 ]
+ lim
-E
t`
!
`f
[
4t-1
t+1 ]
=2+3=5
I. 함수의 극한과 연속 5
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 5
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4 lim
x`
!
4+
lim
4-
x`
!
x`
|x-4|
`f{x} = lim
x{x-4}
4+
1
1
= lim
4
x
4+
x`
!
=
!
x`
|x-4|
`f{x} = lim
x{x-4}
4-
1
x ]
= lim
[
4-
x`
!
-
!
= lim
4-
x`
!
1
4
=-
= lim
4+
x`
!
x-4
x{x-4}
-{x-4}
x{x-4}
/ lim
4+
x`
!
f{x}- lim
4-
x`
!
`f{x}=
1
4
-
-
[
1
4 ]
=
1
2
!
[x+1]=1
0+일 때, 10이므로 위의 부등식의 각 변을 3x @+1로 나누면
9{x+1}@
9{x-1}@
3x @+1
3x @+1
<
9{x+1}@
=3, lim
3x @+1
E
x`
!
=3이므로
<
9 f{x}0@
3x @+1
9{x-1}@
3x @+1
!
이때 lim
x`
E
9 f{x}0@
lim
3x @+1
x`
E
!
=3
19 두 점 P, Q의 좌표를 P{x, 2x @}, Q{0, y}라고 하자.
두 점 O, P는 원 위의 점이므로 OQ
=PQ
에서
OQ
@=PQ
Z
@, y @=x @+{y-2x @}@
Z
1
4 {∵ x=0}
4x @y=4x $+x @ ∴ y=x @+
점 P가 원점 O에 한없이 가까워지면 x`
1
4 ]
x @+
y=lim
x`
!
lim
0
x`
!
1
4
=
0[
0이므로
!
따라서 점 Q가 한없이 가까워지는 점의 좌표는 [
0,
1
4 ]이다.
20 ! x`
!
8+일 때, x보다 작은 소수는 2, 3, 5, 7이므로
f{x}=4이고, x>2 f{x}=8이므로
a= lim
8+
x`
g{x}= lim
8+
x`
f{x}=4
!
8-일 때, x보다 작은 소수는 2, 3, 5, 7이므로
!
@ x`
!
f{x}=4이고, x<2 f{x}=8이므로
b= lim
8-
x`
g{x}= lim
8-
x`
!
1
f{x}
=
1
4
∴
=
=16
a
b
!
4
1
4
I. 함수의 극한과 연속 7
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 7
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Z
Z
`f{x}
x+1
-1
`f{x}=0 ∴ f{-1}=0
=2에서 lim
-1
!
x`
21 lim
x`
!
lim
-1
x`
!
{x+1}=0이므로
{x-1}=0이므로
=10에서 lim
1
!
`f{x}
lim
x-1
1
x`
!
lim
`f{x}=0 ∴ f{1}=0
x`
1
!
다항함수 g{x}에 대하여 f{x}={x-1}{x+1}g{x}라고
x`
하면
`f{x}
lim
x+1
-1
x`
!
= lim
-1
x`
!
= lim
-1
x`
!
∴ g{-1}=-1
`f{x}
lim
x-1
1
x`
!
{x-1}{x+1}g{x}
x+1
{x-1}g{x}=-2g{-1}=2
yy`㉠
{x-1}{x+1}g{x}
=lim
x-1
1
x`
!
=lim
1
x`
!
{x+1}g{x}=2g{1}=10
yy`㉡
∴ g{1}=5
㉠, ㉡을 모두 만족하는 함수 g{x} 중 차수가 가장 낮은 것
은 일차함수이므로 g{x}=ax+b {a, b는 상수}라고 하면
-a+b=-1, a+b=5
위의 두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=2
따라서 h{x}={x-1}{x+1}{3x+2}이므로
h{2}=24
채점 기준
㈎ 세 점 A, B, C의 좌표를 구한다.
㈏ OA
, AC
㈐ 극한값을 구한다.
, OB
를 k에 대한 식으로 나타낸다.
, BC
Z
배점
2점
1점
3점
24 lim
x`
!
0
11+x+x@3-{1+ax}
x@
911+x+x @3-{1+ax}0911+x+x @3+{1+ax}0
=lim
x@911+x+x@3+{1+ax}0
0
x`
!
yy`㈎
{1-a@}x+{1-2a}
=lim
x{11+x+x@3+1+ax}
0
x`
!
이때 lim
0
!
x`
x{11+x+x@3+1+ax}=0이므로
9{1-a@}x+{1-2a}0=1-2a=0
lim
0
x`
!
∴ a=
1
2
∴ b =lim
0
x
!
x`
=lim
0
x`
4
!
=
3
8
3
4 x
[11+x+x@3+1+
3
[11+x+x@3+1+
1
2
x
]
1
2
x
]
22 lim
x`
x`
!
-1+
`f{x}의 값이 존재하려면
lim
!
{-x+1}
{ax+b}= lim
-1-
yy`㉠
`f{x}의 값이 존재하려면
x`
-1
!
lim
x`
-1+
!
∴ -a+b=2
lim
1
x`
!
lim
x`
1+
!
∴ a+b=2
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=2
{x@+1}= lim
1-
yy`㉡
{ax+b}
lim
1+
x`
!
!
x`
`f{x}= lim
`f{x}
x`
!
-1-
∴ a+b=
+
=
1
2
3
8
7
8
yy`㈎
`f{x}= lim
1-
x`
`f{x}
!
채점 기준
㈎ 주어진 식의 분자를 유리화한다.
㈏ a의 값을 구한다.
㈐ b의 값을 구한다.
㈑ a+b의 값을 구한다.
yy`㈏
yy`㈐
yy`㈑
배점
1점
2점
2점
1점
채점 기준
㈎ lim
f{x}의 값이 존재하기 위한 조건을 이용하여 a, b
㈏ lim
f{x}의 값이 존재하기 위한 조건을 이용하여 a, b
-1
x`
!
에 대한 식을 세운다.
1
!
x`
에 대한 식을 세운다.
㈐ a, b의 값을 구한다.
23 ⑴ 세 점 A, B, C의 좌표는
A{k, 3jk k}, B{k, jk k}, C{k, 0}
OA
⑵ lim
OB
0+
k`
!
1k@+9k3-3jk k
1k@+k3-jk k
-AC
-BC
= lim
0+
k`
!
= lim
0+
k`
!
jk+9l-3
jk+1l-1
{jk+9l-3}{jk+9l+3}{jk+1l+1}
= lim
{jk+1l-1}{jk+1l+1}{jk+9l+3}
0+
k`
!
k{jk+1l+1}
1
= lim
= lim
3
k{jk+9l+3}
0+
k`
0+
k`
!
!
jk+1l+1
jk+9l+3
=
8 정답과 해설
3 강
함수의 연속
p. 16
1
ㄱ. 함수 f{x}는 x=a에서 정의되지 않으므로 x=a에서
yy`㈏
불연속이다.
f{x}가 존재하지 않으므로 x=a에서 불연속이다.
ㄴ. lim
x`
a
!
ㄷ. lim
a
x`
!
f{x}= f{a}이므로 x=a에서 불연속이다.
따라서 x=a에서 연속인 함수의 그래프는 ㄹ이다.
yy`㈐
2 ⑴ [2, 7]
⑵ [-3, 1}
yy`㈏
yy`㈐
배점
2점
2점
1점
yy`㈎
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Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ㄷ. f{2}=4, lim
2
!
x`
f{x}=lim
2
!
x`
x@-4
x-2
=lim
2
x`
!
{x+2}=4이
f{x}=1, lim
1-
x`
!
f{x}=1 / lim
1
!
x`
f{x}=1
f{x}=f{1}이므로 함수 f{x}는 x=1에서 연
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
1 ㄱ. f{2}=0, lim
f{x}=lim
2
!
x`
2
x`
f{x}=f{2}
!
lim
2
x`
!
{x@-2x}=0이므로
따라서 함수 f{x}는 x=2에서 연속이다.
ㄴ. 함수 f{x}는 x=2에서 정의되지 않으므로 x=2에서
불연속이다.
므로
lim
2
x`
!
f{x}=f{2}
따라서 함수 f{x}는 x=2에서 연속이다.
따라서 x=2에서 연속인 함수는 ㄱ, ㄷ이다.
2 ㄱ. f{1}=1, lim
1
x`
f{x}=f{1}
!
lim
1
x`
!
f{x}=lim
1
!
x`
1x@+x-13=1이므로
따라서 함수 f{x}는 x=1에서 연속이다.
ㄴ. 함수 f{x}는 x=1에서 정의되지 않으므로 x=1에서
# f{3}=3
lim
3+
x`
!
이때 lim
3
!
속이다.
x`
x`
4 ! f{1}=1
lim
1+
x`
!
이때 lim
1
!
속이다.
@ f{2}=1
lim
2+
x`
!
이때 lim
2
!
x`
연속이다.
p. 17
f{x}=3, lim
3-
x`
!
f{x}=3 / lim
3
!
x`
f{x}=3
f{x}=f{3}이므로 함수 f{x}는 x=3에서 연
⑴ 극한값이 존재하지 않는 점은 x=1, x=2의 2개이다.
⑵ 불연속인 점은 x=1, x=2의 2개이다.
f{x}=3, lim
2-
x`
!
f{x}=3 / lim
2
!
x`
f{x}=3
f{x}=f{2}이므로 함수 f{x}는 x=2에서 불
3+
# lim
x`
!
/ lim
3+
f{x}=1, lim
3-
f{x}= lim
3-
!
x`
x`
x`
!
f{x}=2
f{x}
!
즉, lim
3
x`
!
에서 불연속이다.
f{x}가 존재하지 않으므로 함수 f{x}는 x=3
⑴ 극한값이 존재하지 않는 점은 x=3의 1개이다.
⑵ 불연속인 점은 x=2, x=3의 2개이다.
5 ⑴ 함수 y=2x@-x는 모든 실수 x에서 연속이므로 연속인
구간은 {-E, E}
x-3
2x+4
⑵ 함수 y=
은 x=-2인 모든 실수 x에서 연속이
므로 연속인 구간은 {-E, -2}, {-2, E}
6 ⑴ 함수 y=jx-8l 은 x>8인 모든 실수 x에서 연속이므로
연속인 구간은 [8, E}
2x+1
x@+9
⑵ 함수 y=
구간은 {-E, E}
은 모든 실수 x에서 연속이므로 연속인
7 함수 f{x}가 모든 실수 x에서 연속이려면 x=3에서 연속
이어야 하므로
f{x}=f{3}
lim
3
x`
!
x@+ax-12
∴ lim
x-3
3
x`
!
{x-3}=0이므로
㉠에서 lim
3
!
=b
x`
yy`㉠
lim
x`
3
!
∴ a=1
a=1을 ㉠에 대입하면
x@+x-12
lim
x-3
3
x`
!
∴ b=7
{x-3}{x+4}
x-3
{x+4}=b
=lim
x`
3
!
=lim
3
x`
!
I. 함수의 극한과 연속 9
불연속이다.
ㄷ. lim
1+
x`
f{x} = lim
1+
x`
!
!
lim
1-
x`
!
f{x} = lim
1-
x`
!
x@-x
|x-1|
x{x-1}
x-1
= lim
x`
1+
!
= lim
1+
x`
!
=1
x
x@-x
|x-1|
x{x-1}
-{x-1}
{-x}
= lim
x`
1-
!
= lim
1-
x`
!
=-1
f{x}= lim
1-
x`
f{x}
x`
∴ lim
1+
!
따라서 lim
1
!
x=1에서 불연속이다.
!
x`
따라서 x=1에서 연속인 함수는 ㄱ이다.
f{x}가 존재하지 않으므로 함수 f{x}는
3 ! lim
x`
1+
!
∴ lim
1+
x`
!
즉, lim
1
x`
!
f{x}=1, lim
1-
f{x}= lim
1-
!
x`
x`
!
f{x}=2
f{x}
에서 불연속이다.
2+
@ lim
x`
!
/ lim
2+
f{x}=2, lim
2-
f{x}= lim
2-
!
x`
x`
x`
!
f{x}=1
f{x}
!
즉, lim
2
x`
!
에서 불연속이다.
f{x}가 존재하지 않으므로 함수 f{x}는 x=2
f{x}가 존재하지 않으므로 함수 f{x}는 x=1
{x@+ax-12}=9+3a-12=0
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8 함수 f{x}가 모든 실수 x에서 연속이려면 x=1에서 연속
f{x}=f{1}
{x@+8x+a}=1+8+a=0 ∴ a=-9
x`
이어야 하므로 lim
1
!
x@+8x+a
∴ lim
x-1
1
x`
!
{x-1}=0이므로
㉠에서 lim
1
!
=b
x`
lim
x`
1
!
a=-9를 ㉠에 대입하면
yy`㉠
x@+8x-9
lim
x-1
1
x`
!
{x-1}{x+9}
=lim
x-1
x`
1
!
{x+9}=b
=lim
1
x`
!
∴ b=10
4 강
연속함수의 성질
p. 18
1
ㄱ. 연속함수의 성질 ⑴, ⑵에 의하여 x=a에서 연속이다.
ㄴ. 연속함수의 성질 ⑴, ⑶에 의하여 x=a에서 연속이다.
ㄷ. 연속함수의 성질 ⑴, ⑷에 의하여 x=a에서 연속이다.
ㄹ. f{a}=0이면
는 x=a에서 정의되지 않으므로
2 g{x}
f{x}
x=a에서 연속인지 불연속인지 알 수 없다.
따라서 x=a에서 연속인 함수는 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
2 최댓값: 없다, 최솟값: 0
3 함수 f{x}는 닫힌구간 [0, 3]에서 연속이고
f{0}=4, f{3}=13, 즉 f{0}= f{3}
이므로 사잇값의 정리에 의하여 f{c}=6인 c가 열린구간
{0, 3}에 적어도 하나 존재한다.
1 ⑴ f{x}-g{x}=x@+2x+3-
1
x-2
=
x#-x-7
x-2
은
x=2인 모든 실수 x에서 연속이므로 연속인 구간은
{-E, 2}, {2, E}
⑵ f{x} g{x}=
은 x=2인 모든 실수 x에서
x@+2x+3
x-2
연속이므로 연속인 구간은
{-E, 2}, {2, E}
10 정답과 해설
은 x=2인 모든 실수 x
⑶
=
1
{x@+2x+3}{x-2}
g{x}
f{x}
에서 연속이므로 연속인 구간은
{-E, 2}, {2, E}
f{x}
g{x}
이므로 연속인 구간은
{-E, E}
⑷
={x@+2x+3}{x-2}는 모든 실수 x에서 연속
2 ⑴ f{x}+2 g{x}=x-1+2j4-xl 는 x<4인 모든 실수 x
에서 연속이므로 연속인 구간은 {-E, 4]
⑵ f{x} g{x}={x-1}j4-xl 는 x<4인 모든 실수 x에서
연속이므로 연속인 구간은 {-E, 4]
는 x=1이고 x<4인 모든 실수 x에서
⑶
⑷
= j4-xl
x-1
g{x}
f{x}
연속이므로 연속인 구간은 {-E, 1}, {1, 4]
f{x}
g{x}
로 연속인 구간은 {-E, 4}
x-1
j4-xl
=
은 x<4인 모든 실수 x에서 연속이므
3 ⑴ f{x} =x@-6x+2={x-3}@-7
함수 y=f{x}의 그래프는 오른쪽
그림과 같고 f{x}는 닫힌구간
[-1, 4]에서 연속이므로 최댓값
과 최솟값을 갖는다.
따라서 x=-1에서 최댓값은 9,
x=3에서 최솟값은 -7이다.
⑵ f{x}=
2x+7
x+2
=
3
x+2
+2
함수 y=f{x}의 그래프는 오른
쪽 그림과 같고 f{x}는 닫힌구간
[-1, 3]에서 연속이므로 최댓값
과 최솟값을 갖는다.
따라서 x=-1에서 최댓값은 5,
x=3에서 최솟값은
13
5 이다.
4 ⑴ f{x} =x@-2x+6
={x-1}@+5
함수 y=f{x}의 그래프는 오른
쪽 그림과 같고 f{x}는 닫힌구
간 [-2, 0]에서 연속이므로 최
댓값과 최솟값을 갖는다.
따라서 x=-2에서 최댓값은 14,
x=0에서 최솟값은 6이다.
⑵ 함수 y=f{x}의 그래프는 오
른쪽 그림과 같고 f{x}는 닫힌
구간 [-2, 6]에서 연속이므
로 최댓값과 최솟값을 갖는다.
따라서 x=-2에서 최댓값은
0, x=6에서 최솟값은 -2이다.
y
9
y=f{x}
3
4
x
-1
-6
O
-7
y
5
2
13
5
-2
y=f{x}
-1
O
3
x
y=f{x}
y
14
6
5
y
1
O
-3
-2
-2
6
x
y=f{x}
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 19
-2
O
1
x
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 10
2018-04-26 오후 1:41:58
5 f{x}=x#-3x+1이라고 하면 함수 f{x}는 다항함수이므
로 닫힌구간 [-3, 2]에서 연속이고
f{-3}=-17<0, f{2}=3>0
이므로 사잇값의 정리에 의하여 f{c}=0인 c가 열린구간
{-3, 2}에 적어도 하나 존재한다.
따라서 방정식 x#-3x+1=0은 열린구간 {-3, 2}에서
적어도 하나의 실근을 갖는다.
6 f{x}=x#-2x@+7x+5라고 하면 함수 f{x}는 다항함수
이므로 닫힌구간 [-1, 0]에서 연속이고
f{-1}=-5<0, f{0}=5>0
이므로 사잇값의 정리에 의하여 f{c}=0인 c가 열린구간
{-1, 0}에 적어도 하나 존재한다.
따라서 방정식 x#-2x@+7x+5=0은 열린구간 {-1, 0}
에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.
7 f{x}=x @+x+a라고 하면 함수 f{x}는 다항함수이므로
닫힌구간 [-1, 2]에서 연속이고
f{-1}=1-1+a=a, f{2}=4+2+a=a+6
f{-1}f{2}<0이면 사잇값의 정리에 의하여 f{c}=0인 c
가 열린구간 {-1, 2}에 적어도 하나 존재하므로
f{-1}f{2}=a{a+6}<0 / -60일 때
lim
0
x`
!
| f{x}|=lim
0
!
x`
# f{0}<0일 때
lim
0
x`
!
| f{x}|=lim
0
!
x`
f{x}=f{0}=| f{0}|
9-f{x}0=-f{0}=| f{0}|
!, @, #에 의하여 함수 | f{x}|는 x=0에서 연속
이다.
ㄷ. [반례] f{x}=
-
1`{x>0}
-1`{x<0}
이면 | f{x}|=1이므로 함
수 | f{x}|는 x=0에서 연속이지만 함수 f{x}는 x=0
④
f{x}g{x}
{x#-1}{x@-x+1}
f{x}+g{x}
x{x@+x-1}
은 (분모)=0이 되는 실수 x에서 정의되지 않으므로 불
=
에서 불연속이다.
따라서 옳은 것은 ㄴ이다.
연속이다.
⑤
{ f`J`g}{x}
g{x}
=
{x@-x+1}#-1
x@-x+1
에서 x@-x+1=
=0이므로 모든 실수 x에
x-
[
1
2 ]@+
3
4
서 연속이다.
따라서 모든 실수 x에서 연속인 함수가 아닌 것은 ④이다.
15 ① 함수 f{x}=x+5는 닫힌구간 [-1, 0]에서 연속이므로
최대 · 최소 정리에 의하여 최댓값과 최솟값을 모두 갖는다.
② 함수 f{x}=
는 닫힌구간 [-1, 1]에서 연속이므로
x
x-2
최대 · 최소 정리에 의하여 최댓값과 최솟값을 모두 갖는다.
③ 반열린 구간 {0, 3]에서 함수
y=f{x}
13 함수 h{x}=
f{x}
g{x}
가 모든 실수 x에서 연속이려면 모든 실
수 x에 대하여 g{x}=x@+2ax-2a+3=0이어야 한다.
갖는다.
y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림
과 같으므로 f{x}는 x=3에서 최
댓값 1, x=1에서 최솟값 -3을
y
1
-2
-3
O
1
3
x
I. 함수의 극한과 연속 13
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 13
2018-04-26 오후 1:41:59
④ 반열린 구간 [-3, 2}에서 함수
y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림
과 같으므로 f{x}는 x=-3에서
최솟값 0을 갖고 최댓값은 존재
하지 않는다.
y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림
과 같으므로 f{x}는 x=2에서 최
댓값 2, 02}
0`{x<2}
1 {x>2}
0 {12}
(
\
-
\
9
0 {10, f{3}=27>0, f{4}=69>0
따라서 f{1}f{2}<0이므로 사잇값의 정리에 의하여 주어
진 방정식의 실근이 존재하는 구간은 {1, 2}이다.
17 함수 f{x}는 모든 실수 x에서 연속이므로 닫힌구간
[-1, 4]에서 연속이고
f{-1}f{0}<0, f{0}f{1}<0, f{2}f{3}<0,
f{3}f{4}<0
이므로 사잇값의 정리에 의하여 방정식 f{x}=0은 열린구
간 {-1, 0}, {0, 1}, {2, 3}, {3, 4}에서 각각 적어도 하
나의 실근을 갖는다.
따라서 방정식 f{x}=0은 열린구간 {-1, 4}에서 적어도
4개의 실근을 갖는다.
18 ! a=0일 때
lim
a+
x`
!
lim
x`
a-
!
따라서 lim
a+
x`
!
f{x}f{x-a}= lim
0+
f{x}f{x-a}= lim
0-
!
x`
x`
9`f{x}0@=49
9`f{x}0@=1
!
f{x}f{x-a}= lim
a-
x`
!
f{x}f{x-a}이므
로 함수 f{x}f{x-a}는 x=a에서 불연속이다.
@ a=0일 때
x-a=t로 놓으면 x`
a+일 때 t
0+, x`
a-일
!
!
!
때 t
lim
a+
x`
!
0-이므로
!
f{x}f{x-a} = lim
a+
x`
!
lim
a-
x`
!
f{x}f{x-a} = lim
a-
x`
f{x}\ lim
0+
t`
!
f{t}
=f{a}\7=7f{a}
f{x}\ lim
0-
t`
!
=f{a}\1=f{a}
!
f{t}
함수 f{x}f{x-a}가 x=a에서 연속이려면
f{x}f{x-a}가 존재해야 하므로
lim
x`
a
!
7 f{a}=f{a} ∴ f{a}=0
∴ a=-1, 14
14 정답과 해설
세 함수 y=g{x}+h{x}, y=g{x}h{x}, y=|h{x}|의
그래프는 다음 그림과 같다.
y
2
O
2
x
y
1
O
-1
y=g{x}+h{x}
y=g{x}h{x}
y=|h{x}|
y
1
O
21
x
1
2
x
따라서 a1=1, a2=3, a3=3이므로
a1j3}
-1 {|x|0이면 사잇값의 정리에 의하여 방정식
g{x}=0은 열린구간 {0, 1}, {1, 2}에서 각각 적어도 하나
의 실근을 갖는다.
즉, -a@+5a-4>0에서 {a-1}{a-4}<0
∴ 1
ㄴ. 오른쪽 그림에서
f{b}-f{a}
b-a
는 직선 A B의 기울기이고,
직선 AB의 기울기는 직선
y=x의 기울기보다 작으므로
f{b}-f{a}
b-a
<1
이때 b-a>0이므로
f{b}-f{a}f '{b}
따라서 옳은 것은 ㄷ이다.
20 정답과 해설
9 함수 f{x}는 x=4에서 불연속이고 x=1, x=4에서 미분
가능하지 않으므로 불연속인 점의 개수는 1, 미분가능하지
않은 점의 개수는 2이다.
따라서 그 합은
1+2=3
10 ㄱ. lim
x`
1
!
속이다.
f{1+h}-f{1}
lim
h
0+
h`
!
f{x}=f{1}=0이므로 함수 f{x}는 x=1에서 연
|h@+2h|
= lim
h
0+
h`
!
h@+2h
= lim
h
0+
h`
!
= lim
0+
h`
!
{h+2}=2
|h@+2h|
h
-h@-2h
h
f{1+h}-f{1}
h
lim
0-
h`
!
= lim
0-
h`
!
= lim
0-
h`
!
= lim
0-
h`
!
따라서 f '{1}이 존재하지 않으므로 함수 f{x}는 x=1
{-h-2}=-2
에서 미분가능하지 않다.
g{x}=g{1}=2이므로 함수 g{x}는 x=1에서 연
ㄴ. lim
1
x`
!
속이다.
g{1+h}-g{1}
lim
h
0+
h`
!
{h@+2h+2}-2
= lim
h
0+
h`
!
lim
0-
h`
!
g{1+h}-g{1}
h
{3h+2}-2
h
h@+2h
= lim
h
0+
h`
!
= lim
{h+2}
0+
h`
!
=2
= lim
0-
h`
!
= lim
0-
h`
!
=3
3h
h
에서 미분가능하지 않다.
k{x}=k{1}=0이므로 함수 k{x}는 x=1에서 연
ㄷ. lim
1
x`
!
속이다.
k{1+h}-k{1}
k'{1} =lim
h
0
!
h`
따라서 k'{1}이 존재하므로 함수 k{x}는 x=1에서 미
따라서 x = 1에서 연속이지만 미분가능하지 않은 함수는
h#
=lim
h
0
h`
!
=lim
0
h`
!
h@=0
분가능하다.
ㄱ, ㄴ이다.
이므로
f '{0}=3-6-2=-5
O a
b
x
11 f '{x}={x+1}{x+3}+{x-2}{x+3}+{x-2}{x+1}
O
a
b
x
따라서 g '{1}이 존재하지 않으므로 함수 g{x}는 x=1
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2018-04-26 오후 1:42:03
17 함수 f{x}가 x=2에서 미분가능하면 x=2에서 연속이고
{x-3}=0이므로
f{x+2}+4
12 lim
x-3
=6에서 lim
3
!
x`
x`
3
!
lim
x`
3
!
∴ f{5}=-4
이때 x+2=t로 놓으면 x
9 f{x+2}+40=f{5}+4=0
f{x+2}+4
lim
x-3
3
x`
!
3일 때, t
5이므로
!
!
f{x+2}-f{5}
=lim
x-3
3
x`
!
f{t}-f{5}
=lim
t-5
5
t`
!
=f '{5}=6
∴ f{5}+f '{5}=-4+6=2
13 f{x}=1-x+x@-x#+x$-y-x(+x!)이므로
f '{x}=-1+2x-3x@+4x#-y-9x*+10x(
∴ f '{1}=-1+2-3+4-y-9+10=5
14 f{x}=ax@+bx+c { a, b, c는 상수}라고 하면
yy`㉠
yy`㉡
yy`㉢
f '{x}=2ax+b
f{1}=4에서 a+b+c=4
f '{1}=1에서 2a+b=1
f '{-1}=-7에서 -2a+b=-7
㉡, ㉢을 연립하여 풀면
a=2, b=-3
a=2, b=-3을 ㉠에 대입하면
c=5
따라서 f{x}=2x@-3x+5이므로
f{2}=8-6+5=7
15 f{x}=x#+ax@+bx+c { a, b, c는 상수}라고 하면
f '{x}=3x@+2ax+b
주어진 식에 대입하면
{x+1}{3x@+2ax+b}=3{x#+ax@+bx+c}
3x#+{2a+3}x@+{2a+b}x+b=3x#+3ax@+3bx+3c
양변의 계수를 비교하면
2a+3=3a에서 a=3
2a+b=3b에서 b=a=3
b=3c에서 c=
=1
b
3
따라서 f{x}=x#+3x@+3x+1이므로
f{1}=1+3+3+1=8
f{2+3h}-f{2-2h}
16 lim
h
h`
0
!
f{2+3h}-f{2}+f{2}-f{2-2h}
=lim
h
0
h`
!
f{2+3h}-f{2}
=lim
3h
0
h`
!
\3+lim
0
!
h`
f{2-2h}-f{2}
-2h
\2
=3 f '{2}+2 f '{2}
=5 f '{2}
이때 f '{x}=x$-x@+1이므로
5 f '{2}=5\{16-4+1}=65
f{x}=f{2}에서
x`
!
미분계수 f '{2}가 존재한다.
! x=2에서 연속이므로
f{x}= lim
2-
lim
x`
2+
!
4a+b=8-8+8
∴ 4a+b=8
yy`㉠
@ 미분계수 f '{2}가 존재하므로
f{2+h}-f{2}
lim
h
0+
h`
!
9a{2+h}@+b0-{4a+b}
= lim
h
0+
h`
!
4ah+ah@
= lim
h
h`
0+
!
= lim
0+
h`
!
f{2+h}-f{2}
lim
h
0-
h`
!
{4a+ah}=4a
9{2+h}#-4{2+h}+80-{4a+b}
= lim
h
0-
h`
!
8h+6h@+h#
= lim
h
h`
0-
!
= lim
0-
h`
!
{8+6h+h@}=8
{∵ ㉠}
즉, 4a=8이므로 a=2
따라서 a=2를 ㉠에 대입하면 b=0이므로
a+b=2
18 f{x}=3xN-5x라고 하면 f{1}=-2이므로
3xN-5x+2
lim
x-1
1
x`
!
=lim
1
x`
!
f{x}-f{1}
x-1
=f '{1}=10
이때 f '{x}=3nxN_!-5이므로
f '{1}=3n-5
따라서 3n-5=10이므로 n=5
f{x}-2
19 lim
x-3 =2에서 lim
x`
3
x`
3
!
9 f{x}-20=0
!
lim
x`
3
!
∴ f{3}=2
{x-3}=0이므로
f{x}-2
∴ lim
3
x`
!
x-3 =lim
!
x`
3
f{x}-f{3}
x-3
=f '{3}=2
g{x}-1
lim
x-3 =5에서 lim
3
x`
!
lim
x`
3
!
∴ g{3}=1
9 g{x}-10=0
!
x`
3
{x-3}=0이므로
g{x}-1
∴ lim
3
x`
!
x-3 =lim
!
x`
3
g{x}-g{3}
x-3
=g '{3}=5
한편 곱의 미분법에 의하여
9 f{x}g{x}0'=f '{x}g{x}+f{x}g '{x}
따라서 함수 f{x}g{x}의 x=3에서의 미분계수는
f '{3}g{3}+f{3}g '{3}=2\1+2\5=12
II. 미분 21
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 21
2018-04-26 오후 1:42:03
20 다항식 x!))-100x@+ax-b를 {x-1}@으로 나누었을 때
23 ㄱ. g{x}=f{a}에서
의 몫을 Q{x}라고 하면
x!))-100x@+ax-b
={x-1}@ Q{x}
㉠의 양변에 x=1을 대입하면
-99+a-b=0
yy`㉠
yy`㉡
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면
100x((-200x+a
=2{x-1}Q{x}+{x-1}@ Q'{x}
위의 식의 양변에 x=1을 대입하면
-100+a=0 ∴ a=100
a=100을 ㉡에 대입하면
1-b=0 ∴ b=1
∴ a+b=101
21 함수 f{x}의 최고차항의 차수와 계수를 각각 m, a {a=0}
라고 하면 도함수 f '{x}의 최고차항의 차수와 계수는 각각
m-1, am이다.
{xN-2} f '{x}=f{x}에서 좌변의 최고차항의 차수와 계수
는 각각 n+m-1, am이므로
n+m-1=m, am=a
∴ n=1, m=1
따라서 f{x}=ax+b { a, b는 상수}라고 하면 f{4}=3에서
4a+b=3
∴ b=-4a+3
이때 f{x}=ax-4a+3이고 f '{x}=a이므로
{x-2}f '{x}=f{x}에 대입하면
{x-2}\a=ax-4a+3
ax-2a=ax-4a+3
∴ a=
3
2
즉, f{x}=
x-3이므로
3
2
f{n} =f{1}=
3
2 \1-3
=-
3
2
22 세 점 A, B, C의 x좌표를 각각 a, b, c라고 하면
f{x}={x-a}{x-b}{x-c}
∴ f '{x} ={x-a}'{x-b}{x-c}
+{x-a}{x-b}'{x-c}
+{x-a}{x-b}{x-c}'
={x-b}{x-c}+{x-a}{x-c}
+{x-a}{x-b}
따라서 곡선 y=f{x} 위의 점 C에서의 접선의 기울기는
f '{c}이므로
f '{c} ={c-a}{c-b}
=AC
\BC
22 정답과 해설
f{a}+{b-a}f '{x}= f{a}
{b-a}f '{x}=0
∴ f '{x}=0 {∵ b-a>0}
즉, 주어진 그래프에서 곡선 y=f{x}의 접선의 기울기
가 0이 될 때의 x의 값이 2개 존재하므로 g{x}=f{a}
를 만족하는 실수 x의 값이 존재한다.
ㄴ. g{b}-f{a}
=f{a}+{b-a} f '{b}-f{a}
={b-a} f '{b}
이때 b-a>0이지만 f '{b}는 양 또는 음의 값일 수 있
으므로 항상 {b-a} f '{b}>0, 즉 g{b}>f{a}인 것은
아니다.
ㄷ. g{a}-f{b}
=f{a}+{b-a}f '{a}-f{b}
-
f '{a}-
={b-a}
f{b}-f{a}
b-a
이때 b-a>0이고, 곡선 y=f{x}의 x=a인 점에서의
접선의 기울기가 x의 값이 a에서 b까지 변할 때의 평균
=
변화율보다 크므로
f '{a}>
f{b}-f{a}
b-a
따라서 {b-a}
f '{a}-
-
f{b}-f{a}
b-a
=
>0이므로
g{a}>f{b}
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
24 함수 f{x}가 x=1에서 미분가능하면 x=1에서 연속이므로
f{x}=f{1}에서
f{x}= lim
1-
lim
1+
x`
!
1+a=b+1
!
x`
/ a=b
또 f '{1}이 존재하므로
yy`㉠
f{1+h}-f{1}
lim
h
0+
h`
!
{1+h}#+a{1+h}@-{1+a}
= lim
h
0+
h`
!
= lim
0+
h`
!
=3+2a
9{3+2a}+{3+a}h+h@0
f{1+h}-f{1}
lim
h
0-
h`
!
b{1+h}+1-{1+a}
= lim
h
0-
h`
!
에서 3+2a=b
yy`㉡
=b {∵ ㉠}
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-3, b=-3
∴ a+b=-6
채점 기준
㈎ a, b에 대한 식을 세운다.
㈏ a, b의 값을 구한다.
㈐ a+b의 값을 구한다.
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
배점
3점
1점
1점
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 22
2018-04-26 오후 1:42:03
Z
Z
f{x}
26 ⑴ lim
x-1
x`
1
=5에서 lim
1
!
x`
{x-1}=0이므로
!
lim
1
x`
!
f{x}=0 ∴ f{1}=0
yy`㈎
방정식은
25 f '{x}=-3x@+9이므로
f{1}=4, f '{1}=6
1f{x}3-2
x-1
=lim
-
1
x`
!
lim
1
x`
!
1f{x}3-2
x-1
yy`㈎
\ 1f{x}3+2
1f{x}3+2 =
1f{x}3+2 =
1
\
1
\lim
1f{x}3+2
1
x`
!
f{x}-4
=lim
x-1
-
1
x`
!
f{x}-f{1}
x-1
=lim
1
x`
!
=f '{1}\
=6\
1
2+2
1
1f{1}3+2
3
=
2
yy`㈏
yy`㈐
배점
1점
4점
1점
채점 기준
㈎ f{1}, f '{1}의 값을 구한다.
㈏ 주어진 식을 변형한다.
㈐ 극한값을 구한다.
f{x}
∴ lim
x-1
1
!
x`
f{x}-f{1}
=lim
x-1
1
x`
!
=f '{1} =5
⑵ f{x}=x#+ax@+b에서 f '{x}=3x@+2ax
f{1}=0에서
1+a+b=0
yy`㉠`
yy`㈏
f '{1}=5에서
3+2a=5
채점 기준
㈎ f{1}의 값을 구한다.
㈏ f '{1}의 값을 구한다.
㈐ a, b에 대한 식을 세운다.
㈑ a, b의 값을 구한다.
㈒ a-b의 값을 구한다.
배점
1점
2점
2점
1점
1점
접선의 방정식과 평균값 정리
7 강
p. 34
1
f{x}=x@-3x+7이라고 하면 f '{x}=2x-3
점 {1, 5}에서의 접선의 기울기는
`f '{1}=2\1-3=-1
따라서 구하는 접선의 방정식은
y-5=-{x-1} ∴ y=-x+6
2 함수 f{x}=-x@+4x는 닫힌구간 [0, 4]에서 연속이고
열린구간 {0, 4}에서 미분가능하며 f{0}=f{4}=0이므로
롤의 정리에 의하여 f '{c}=0인 c가 열린구간 {0, 4}에 적
어도 하나 존재한다.
`f '{x}=-2x+4이므로
`f '{c}=-2c+4=0 ∴ c=2
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 35
1 ⑴ `f{x}=x@-5x+1이라고 하면 f '{x}=2x-5
접점의 좌표를 {t, t@-5t+1}이라고 하면 접선의 기울
기가 -1이므로
`f '{t}=2t-5=-1 ∴ t=2
따라서 접점의 좌표는 {2, -5}이므로 구하는 접선의
y+5=-{x-2} ∴ y=-x-3
⑵ `f{x}=x#-4x+2라고 하면 f '{x}=3x@-4
접점의 좌표를 {t, t#-4t+2}라고 하면 접선의 기울기
가 -1이므로
`f '{t}=3t@-4=-1, t@=1
∴ t=-1 또는 t=1
따라서 접점의 좌표는 {-1, 5} 또는 {1, -1}이므로
2 ⑴ `f{x}=x@-6x+5라고 하면
`f '{x}=2x-6
접점의 좌표를 {t, t@-6t+5}라고 하면 접선의 기울기
가 6이므로
`f '{t}=2t-6=6 ∴ t=6
따라서 접점의 좌표는 {6, 5}이므로 구하는 접선의 방정
식은
y-5=6{x-6} ∴ y=6x-31
⑵ `f{x}=-2x#+9x@-6x-5라고 하면
`f '{x}=-6x@+18x-6
접점의 좌표를 {t, -2t #+9t @-6t-5}라고 하면 접선
의 기울기가 6이므로
`f '{t}=-6t@+18t-6=6
t@-3t+2=0, {t-1}{t-2}=0
∴ t=1 또는 t=2
따라서 접점의 좌표는 {1, -4} 또는 {2, 3}이므로 구
하는 접선의 방정식은
y+4=6{x-1} 또는 y-3=6{x-2}
∴ y=6x-10 또는 y=6x-9
II. 미분 23
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-2
∴ a-b=3
yy`㈐
yy`㈑
yy`㈒
구하는 접선의 방정식은
y-5=-{x+1} 또는 y+1=-{x-1}
∴ y=-x+4 또는 y=-x
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 23
2018-04-26 오후 1:42:04
3 ⑴ f{x}=-2x@+3x라고 하면
f '{x}=-4x+3
접점의 좌표를 {t, -2t@+3t}라고 하면 접선의 기울기
는 f '{t}=-4t+3이므로 접선의 방정식은
y-{-2t@+3t}={-4t+3}{x-t}
∴ y={-4t+3}x+2t@
이 직선이 점 {-1, -3}을 지나므로
-3={-4t+3}\{-1}+2t@
yy`㉠
t@+2t=0, t{t+2}=0
∴ t=0 또는 t=-2
이것을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은
y=3x 또는 y=11x+8
⑵ f{x}=x#+1이라고 하면
f '{x}=3x@
접점의 좌표를 {t, t#+1}이라고 하면 접선의 기울기는
`f '{t}=3t@이므로 접선의 방정식은
y-{t#+1}=3t@{x-t}
∴ y=3t@x-2t#+1
yy`㉠
이 직선이 점 {1, -3}을 지나므로
-3=3t@-2t#+1, 2t#-3t@-4=0
{t-2}{2t@+t+2}=0
∴ t=2 {∵ 2t@+t+2>0}
이것을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은
y=12x-15
f '{x}=2x-2
접점의 좌표를 {t, t@-2t+3}이라고 하면 접선의 기울
기는 f '{t}=2t-2이므로 접선의 방정식은
y-{t@-2t+3}={2t-2}{x-t}
∴ y={2t-2}x-t@+3
이 직선이 점 {-2, 10}을 지나므로
10={2t-2}\{-2}-t@+3
yy`㉠
t@+4t+3=0, {t+3}{t+1}=0
∴ t=-3 또는 t=-1
이것을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은
y=-8x-6 또는 y=-4x+2
⑵ f{x}=-x#+3x-1이라고 하면
f '{x}=-3x@+3
접점의 좌표를 {t, -t#+3t-1}이라고 하면 접선의 기
울기는 f '{t}=-3t@+3이므로 접선의 방정식은
y-{-t#+3t-1}={-3t@+3}{x-t}
∴ y={-3t@+3}x+2t#-1
이 직선이 점 {0, 1}을 지나므로
1=2t#-1, t#-1=0, {t-1}{t@+t+1}=0
∴ t=1 {∵ t@+t+1>0}
yy`㉠
이것을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은
y=1
24 정답과 해설
5 f{x}=x#-3x@+x+1이라고 하면
f '{x}=3x@-6x+1
점 {2, -1}에서의 접선의 기울기는
f '{2}=12-12+1=1
이므로 점 {2, -1}에서의 접선의 방정식은
y-{-1}=x-2 ∴ y=x-3
곡선 y=x#-3x@+x+1과 접선 y=x-3의 식을 연립하
여 교점의 x좌표를 구하면
x#-3x@+x+1=x-3
x#-3x@+4=0
{x+1}{x-2}@=0
표는
{-1, -4}
∴ x=-1 또는 x=2
즉, 교점의 좌표는 {-1, -4}, {2, -1}이므로 점 P의 좌
6 f{x}=-x#-x@+x+4라고 하면
f '{x}=-3x@-2x+1
점 {1, 3}에서의 접선의 기울기는
f '{1}=-3-2+1=-4
이므로 점 {1, 3}에서의 접선의 방정식은
y-3=-4{x-1} ∴ y=-4x+7
곡선 y=-x#-x@+x+4와 접선 y=-4x+7의 식을 연
립하여 교점의 x좌표를 구하면
-x#-x@+x+4=-4x+7
{x+3}{x-1}@=0
∴ x=-3 또는 x=1
즉, 교점의 좌표는 {-3, 19}, {1, 3}이므로 점 P의 좌표는
{-3, 19}
7 함수 f{x}=-x@+6x는 닫힌구간 [-1, 2]에서 연속이고
열린구간 {-1, 2}에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의
=`f '{c}인 c가 열린구간 {-1, 2}에
하여
f{2}-f{-1}
2-{-1}
적어도 하나 존재한다.
`f '{x}=-2x+6이므로
8-{-7}
3
=-2c+6 ∴ c=
1
2
8 함수 f{x}=x#-2x+2는 닫힌구간 [0, 3]에서 연속이고
열린구간 {0, 3}에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여
f{3}-f{0}
3-0
=f '{c}인 c가 열린구간 {0, 3}에 적어도 하
나 존재한다.
`f '{x}=3x@-2이므로
23-2
3
=3c@-2, c@=3
∴ c=j3 {∵ 0f{x2}
따라서 함수 f{x}=
1
x 은 열린구간 {0, E}에서 감소한다.
⑵ x10이므로
x2
2 ]@
3
4
[
`f{x2}-f{x1}<0 ∴ f{x1}>f{x2}
따라서 함수 f{x}=-x#은 열린구간 {-E, E}에서
감소한다.
2 x=a, x=c, x=e의 좌우에서 함수 f{x}가 증가하다가 감
소하므로 f{x}는 x=a, x=c, x=e에서 극대이다.
따라서 극대가 되는 점의 개수는 3이다.
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 37
1 ⑴ `f{x}=x#-
x@-6x+1에서
3
2
`f '{x}=3x@-3x-6=3{x+1}{x-2}
`f '{x}=0에서
x=-1 또는 x=2
함수 f{x}의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
`f '{x}
`f{x}
y
+
↗
-1
0
y
-
↘
따라서 함수 f{x}는 열린구간 {-E, -1}, {2, E}에
서 증가하고, 열린구간 {-1, 2}에서 감소한다.
⑵ `f{x}=-2x#+6x-7에서
`f '{x}=-6x@+6=-6{x+1}{x-1}
`f '{x}=0에서
x=-1 또는 x=1
함수 f{x}의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
2
0
1
0
y
+
↗
y
-
↘
x
`f '{x}
`f{x}
y
-
↘
-1
0
y
+
↗
`f '{x}=4x#-8x=4x{x+j2}{x-j2}
`f '{x}=0에서 x=-j2 또는 x=0 또는 x=j2
함수 f{x}의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
y -j2 y
+
0
0
0
x
`f '{x} -
`f{x}
↘
↗
y
-
↘
j2 y
+
0
↗
따라서 함수 f{x}는 열린구간 {-j2, 0}, {j2, E}에서
증가하고, 열린구간 {-E, -j2}, {0, j2}에서 감소한다.
⑵ `f{x}=x#-6x@+12x+3에서
`f '{x}=3x@-12x+12=3{x-2}@
`f '{x}=0에서 x=2
함수 f{x}의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
`f '{x}
`f{x}
y
+
↗
2
0
y
+
↗
이때 f '{2}=0이지만 x=2의 좌우에서 f '{x}>0이므
로 함수 f{x}는 x=2에서 증가한다.
따라서 함수 f{x}는 열린구간 {-E, E}에서 증가한다.
3 ` f '{x}=3x@+2kx+k+6이고 함수 f{x}가 열린구간
{-E, E}에서 증가하려면 모든 실수 x에 대하여
f '{x}>0이어야 하므로 3x@+2kx+k+6>0
즉, 이차방정식 3x@+2kx+k+6=0의 판별식을 D라고
하면 D<0이어야 하므로
D
4
{k+3}{k-6}<0 ∴ -30 ∴ x<6
그런데 x>0이므로 00}
따라서 직선 y=ax+3이 점 {-1, 0}을 지나므로
0=-a+3 ∴ a=3
28 정답과 해설
4 f{x}=x#-x+1이라고 하면
`f '{x}=3x@-1
이때 점 A{1, 1}에서의 접선의 기울기는 f '{1}=2이므로
직선 L1의 방정식은
y-1=2{x-1} ∴ y=2x-1
또 직선 L1에 수직인 직선의 기울기는 -
1
2 이므로 직선 L2의
방정식은
1
2
y-1=-
{x-1} ∴ y=-
x+
1
2
3
2
0,
따라서 B{0, -1}, C
[
3
2 ]이므로 삼각형 ABC의 넓이는
1
2
\
[
3
2
+1
\1=
]
5
4
5 f{x}=x#+ax+2, g{x}=bx@+3이라고 하면
`f '{x}=3x@+a, g'{x}=2bx
두 곡선이 x=1인 점에서 공통인 접선을 가지므로
`f{1}=g{1}에서
1+a+2=b+3
yy`㉠
`f '{1}=g'{1}에서
3+a=2b
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=3, b=3
따라서 함수 g{x}=3x@+3의 그래프 위의 점 {1, 6}에서의
접선의 방정식을 구하면 g'{x}=6x에서 g'{1}=6이므로
y-6=6{x-1}
∴ y=6x
좌표이다.
이때 오른쪽 그림과 같이 두 점
{-2, f{-2}}, {3, f{3}}을
지나는 직선과 평행한 접선을
6개 그릴 수 있으므로 상수 c의
개수는 6이다.
y
y=f{x}
-2
O
3
x
7 x10이어야 하므로 이차방정식 f '{x}=0의 판
별식을 D라고 하면
=a@+3a<0
D
4
a{a+3}<0 ∴ -34
따라서 상수 a의 최솟값은 4이다.
y=f '{x}
1
3@
2
x
10 f{x}=x#+ax@+bx-100에서
`f '{x}=3x@+2ax+b
함수 f{x}가 x=-5와 x=1에서 극값을 가지므로
`f '{-5}=0, f '{1}=0
75-10a+b=0, 3+2a+b=0
위의 두 식을 연립하여 풀면
a=6, b=-15
따라서 f{x}=x#+6x@-15x-100이므로 구하는 극댓값은
`f{-5}=-125+150+75-100=0
11 f{x}=2x#-3ax@-12a@x에서
`f '{x}=6x@-6ax-12a@=6{x+a}{x-2a}
`f '{x}=0에서 x=-a 또는 x=2a
함수 f{x}의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
`f '{x}
`f{x}
y
+
↗
-a
0
7a#
y
-
↘
2a
0
-20a#
y
+
↗
함수 f{x}의 극댓값은 f{-a}=7a#, 극솟값은
`f{2a}=-20a#이다.
이때 극댓값과 극솟값의 차가 1이므로
7a#-{-20a#}=1
a#=
∴ a=
1
27
1
3
12 삼차함수 f{x}=ax#+bx@+cx+d의 그래프에서 x
!
E이므로 a>0
일 때, f{x}
또 x=0일 때 y축의 음의 부분과 만나므로 d<0
곡선 y=f{x}의 접선의 기울기가 0이 되는 접점의 x좌표
가 방정식 f '{x}=0의 실근과 같으므로 방정식 f '{x}=0
E
!
의 두 실근은 서로 다른 양수이다.
`f '{x}=3ax@+2bx+c=0에서 이차방정식의 근과 계수의
관계에 의하여
(두 근의 합)=-
>0, (두 근의 곱)=
>0
2b
3a
c
3a
이때 a>0이므로 b<0, c>0
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
13 f{x}=x#+ax@+bx+c에서 f '{x}=3x@+2ax+b
함수 y=f '{x}의 그래프에서 f '{0}=0, f '{2}=0이므로
b=0, 12+4a+b=0 ∴ a=-3, b=0
∴ f{x}=x#-3x@+c
이때 함수 f{x}는 x=0에서 극대이고 극댓값이 3이므로
`f{0}=c=3
따라서 f{x}=x#-3x@+3이고 x=2에서 극소이므로 극솟
값은
`f{2}=8-12+3=-1
14 ㄱ. 열린구간 {-3, -2}에서 f '{x}>0이므로 함수 f{x}는
열린구간 {-3, -2}에서 증가한다.
ㄴ. 열린구간 {4, 6}에서 f '{x}>0이므로 함수 f{x}는 열
린구간 {4, 6}에서 증가한다.
ㄷ. `f '{-2}=0이고 x=-2의 좌우에서 f '{x}의 부호가
양에서 음으로 바뀌므로 함수 f{x}는 x=-2에서 극
대이다.
는다.
ㄹ. `f '{4}=0이지만 x=4의 좌우에서 f '{x}의 부호가 바
뀌지 않으므로 함수 f{x}는 x=4에서 극값을 갖지 않
ㅁ. 함수 f{x}는 x=-2에서 극대이고 x=1에서 극소이므
로 극값은 2개이다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
15 함수 y=f '{x}의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가
-2, 3이므로 f '{x}=0에서 x=-2 또는 x=3
함수 f{x}의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
`f '{x}
`f{x}
y
-
↘
-2
0
y
+
↗
3
0
y
+
↗
즉, 함수 f{x}는 x<-2에서 감소하고 x>-2에서 증가
하며 x=-2에서 극소이다.
또 x=3의 좌우에서 f '{x}의 부호가 바뀌지 않으므로 함수
`f{x}는 x=3에서 극값을 갖지 않는다.
따라서 함수 y=f{x}의 그래프가 될 수 있는 것은 ③이다.
II. 미분 29
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 29
2018-04-26 오후 1:42:05
16 f '{x}=6x@+6{a-1}x+6이고, 삼차함수 f{x}가 극값을
갖지 않으려면 이차방정식 f '{x}=0이 중근 또는 허근을
가져야 하므로 판별식을 D라고 하면
D
4
{a+1}{a-3}<0 ∴ -10 ∴ a>-3
2
1
x
@ f '{-1}=a-9<0
∴ a<9
# f '{2}=a<0
$ 이차함수 y=f '{x}의 축의 방정식은 x=1이므로 축은
y=f '{x}
열린구간 {-1, 2}에 있다.
!~$에 의하여 a의 값의 범위는 -30}
t
`f '{t}
`f{t}
y
-
↘
1
0
90
극소
y
+
↗
30 정답과 해설
따라서 함수 f{t}는 t=1에서 최소이므로 구하는 최솟값은
f{1}=90
20 직육면체의 밑면인 정사각형의 한 변의 길이를 x, 직육면체
의 높이를 y라고 하면 모든 모서리의 길이의 합이 36이므로
9
2 ]
8x+4y=36 ∴ y=9-2x [단, 0
@ 4{x-1}{x@+x+a}=0이 한 실근과 중근을 갖는 경우
이차방정식 x@+x+a=0이 x=1을 근으로 갖거나 1이
아닌 실수를 중근으로 가져야 한다.
1+1+a=0 ∴ a=-2
z 이차방정식 x@+x+a=0이 x=1을 근으로 가질 때
x 이차방정식 x@+x+a=0이 1이 아닌 실수를 중근
으로 가질 때
판별식을 D라고 하면 D=1-4a=0
∴ a=
1
4
!, @에 의하여 상수 a의 값의 범위는
1
a=-2 또는 a>
4
따라서 상수 a의 최솟값은 -2이다.
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 30
2018-04-26 오후 1:42:06
Z
Z
따라서 S{a}는 a=
2
3 에서 최대이므로 겹치는 부분의 넓이
따라서 a=
1
9 , b=3이므로 ab=
1
3
yy`㈑
22 정사각형 EFGH의 두 대각선의 교점의 좌표를 {a, a@}이
라고 하면 두 정사각형이 겹치는 부분의 넓이 S{a}는
S{a} =
-
-
a-
[
1
2
1
2 ]=-[
a@+
1
2 ]
-
1
2 =
={1-a}a@
1
2 0이므로 함수 f{x}는 x=4에서 최댓값 b, x=3
에서 최솟값 -27a+b를 갖는다.
b=3, -27a+b=0
yy`㈐
yy`㈏
채점 기준
㈎ `f '{x}를 구한다.
㈏ `함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타낸다.
㈐ a, b에 대한 식을 세운다.
㈑ ab의 값을 구한다.
26 `오른쪽 그림과 같이 원뿔에 내접하
는 원기둥의 밑면의 반지름의 길이
를 x cm, 높이를 y cm라고 하면
6 : 18=x : {18-y}, 18-y=3x
∴ y=-3x+18 {단, 00
따라서 주어진 방정식은 한 실근과 두 허근을 갖는다.
2 ⑴ f{x}=x#-3x+7이라고 하면
f '{x}=3x@-3=3{x+1}{x-1}
f '{x}=0에서 x=-1 또는 x=1
x>-1에서 함수 f{x}의 증가와 감소를 표로 나타내면
다음과 같다.
x
`f '{x}
`f{x}
-1
0
9
f{x}>0이다.
y
-
↘
1
0
5
극소
y
+
↗
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 45
1 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 함수
y=x#-6x@+9x의 그래프와 직선 y=a의 교점의 개수와
같다.
`f{x}=x#-6x@+9x라고 하면
`f '{x}=3x@-12x+9=3{x-1}{x-3}
32 정답과 해설
`f '{x}=0에서
x=1 또는 x=3
함수 f{x}의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
`f '{x}
`f{x}
y
+
↗
1
0
4
극대
y
-
↘
3
0
0
극소
y
+
↗
따라서 함수 y=f{x}의 그래프는
y=f{x}
오른쪽 그림과 같으므로 서로 다른
세 실근을 갖도록 하는 실수 a의
값의 범위는
0-1일 때, 함수 f{x}는 x=1에서 최솟값 5를 갖는다.
⑵ x>-1일 때, 함수 f{x}의 최솟값은 5이고 5>0이므로
오른쪽 그림과 같으므로 서로 다른
세 실근을 갖도록 하는 실수 a의 값
따라서 x>-1일 때, 부등식 x#-3x+7>0이 성립한다.
의 범위는
324
4
1
O
-2
x
-3
2x#+x@-3x+4=-2x@+9x+a에서
2x#+3x@-12x+4-a=0
f{x}=2x#+3x@-12x+4-a라고 하면
f '{x}=6x@+6x-12=6{x+2}{x-1}
f '{x}=0에서
x=-2 또는 x=1
삼차방정식 f{x}=0이 한 실근과 두 허근을 가지려면
(극댓값)\(극솟값)>0, 즉 f{-2}f{1}>0이어야 하므로
{24-a}{-3-a}>0
{a+3}{a-24}>0
/ a<-3 또는 a>24
4 두 곡선 y=x#-2x@-5x+7, y=x@+4x+a가 서로 다른
두 점에서 만나려면 방정식
x#-2x@-5x+7=x@+4x+a, 즉
x#-3x@-9x+7=a가 중근과 다른 한 실근을 가져야 한다.
f{x}=x#-3x@-9x+7이라고 하면
f '{x} =3x@-6x-9
=3{x+1}{x-3}
f '{x}=0에서
x=-1 또는 x=3
함수 f{x}의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
`f '{x}
`f{x}
y
+
↗
-1
0
12
극대
y
-
↘
3
0
-20
극소
y
+
↗
-20
x#-2x@-5x+7=x@+4x+a에서
x#-3x@-9x+7-a=0
f{x}=x#-3x@-9x+7-a라고 하면
f '{x}=3x@-6x-9=3{x+1}{x-3}
f '{x}=0에서 x=-1 또는 x=3
삼차방정식 f{x}=0이 중근과 다른 한 실근을 가지려면
(극댓값)\(극솟값)=0, 즉 f{-1}f{3}=0이어야 하므로
{12-a}{-20-a}=0, {a+20}{a-12}=0
/ a=-20 또는 a=12
5 f{x}=2x#+3x@-12x+7이라고 하면
`f '{x}=6x@+6x-12=6{x+2}{x-1}
`f '{x}=0에서 x=1 {∵ x>0}
x>0에서 함수 f{x}의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음
과 같다.
x
`f '{x}
`f{x}
한다.
0
-
7
y
-
↘
1
0
0
극소
y
+
↗
x>0일 때, 함수 f{x}의 최솟값은 f{1}=0이고, f{1}>0
이므로 f{x}>0이다.
따라서 x>0일 때, 부등식 2x#+3x@-12x+7>0이 성립
6 x$+4x@+9>-2x@+16x에서
x$+6x@-16x+9>0
f{x}=x$+6x@-16x+9라고 하면
`f '{x} =4x#+12x-16=4{x-1}{x@+x+4}
`f '{x}=0에서 x=1 {∵ x@+x+4>0}
함수 f{x}의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
`f '{x}
`f{x}
y
-
↘
1
0
0
극소
y
+
↗
모든 실수 x에 대하여 함수 f{x}의 최솟값은 f{1}=0이고,
f{1}>0이므로 f{x}>0이다.
따라서 모든 실수 x에 대하여 부등식
x$+4x@+9>-2x@+16x가 성립한다.
II. 미분 33
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 33
2018-04-26 오후 1:42:07
7 함수 y=f{x}의 그래프가 함수 y=g{x}의 그래프보다 항
상 위쪽에 있으려면 모든 실수 x에 대하여 f{x}>g{x},
즉 f{x}-g{x}>0이어야 한다.
h{x}=f{x}-g{x}라고 하면
h{x}=x$-3x#+2x-{x#+2x+k}=x$-4x#-k
/ h'{x}=4x#-12x@=4x@{x-3}
h'{x}=0에서 x=0 또는 x=3
함수 h{x}의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
h'{x}
`h{x}
y
-
↘
0
0
-k
y
-
↘
3
0
-27-k
극소
y
+
↗
따라서 함수 h{x}의 최솟값은 h{3}=-27-k이므로 모
든 실수 x에 대하여 h{x}>0이 성립하려면
-27-k>0 / k<-27
8 닫힌구간 [0, 4]에서 함수 y=f{x}의 그래프가 함수
y=g{x}의 그래프보다 아래쪽에 있다는 것은 함수 y=g{x}
의 그래프가 함수 y=f{x}의 그래프보다 위쪽에 있다는 것
과 같다.
즉, 닫힌구간 [0, 4]에서 g{x}-f{x}>0이어야 한다.
h{x}=g{x}-f{x}라고 하면
h{x} =3x#+x@-12x+k-{x#-2x@+24x}
=2x#+3x@-36x+k
/ h'{x}=6x@+6x-36=6{x+3}{x-2}
h'{x}=0에서 x=2 {? 00이 성립하려면
k-44>0 / k>44
따라서 자연수 k의 최솟값은 45이다.
1 강
속도와 가속도
p. 46
1
v=
=3t@-6, a=
=6t
dx
dt
dv
dt
34 정답과 해설
2 ⑴ l=3+2t
dl
dt
=2
⑵
⑷
dS
dt
8\5+12=52
⑶ S={3+2t}{3+2t}=4t@+12t+9
=8t+12이므로 시각 t=5에서의 S의 변화율은
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 47
1 ⑴ 점 P의 시각 t에서의 속도를 v, 가속도를 a라고 하면
v=
=-3t@+18t-24,
a=
=-6t+18
따라서 시각 t=1에서의 점 P의 속도와 가속도는 각각
v=-3+18-24=-9,
a=-6+18=12
⑵ 운동 방향이 바뀌는 순간의 속도는 0이므로
v=-3t@+18t-24=0에서
-3{t-2}{t-4}=0 ∴ t=2 또는 t=4
따라서 점 P의 운동 방향이 처음으로 바뀌는 시각은 2이다.
2 ⑴ 점 P의 시각 t에서의 속도를 v, 가속도를 a라고 하면
v=
=3t@-6t-9,
a=
=6t-6
dx
dt
dv
dt
dx
dt
dv
dt
따라서 시각 t=5에서의 점 P의 속도와 가속도는 각각
v=75-30-9=36,
a=30-6=24
⑵ 운동 방향이 바뀌는 순간의 속도는 0이므로
v=3t@-6t-9=0에서
3{t+1}{t-3}=0 ∴ t=3 {∵ t>0}
따라서 점 P가 운동 방향을 바꿀 때의 위치는 t=3에서
의 점 P의 위치이므로
x=3#-3\3@-9\3+4=-23
3 ㄱ. 30, 20이므로 점 P는 움직이는 방향을 t=2, t=5에서 2
번 바꾼다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 34
2018-04-26 오후 1:42:07
ㄷ. t=a에서 v>0, t=c에서 v<0이므로 t=a일 때와
t=c일 때의 점 P의 운동 방향은 서로 반대이다.
족집게 기출문제
10~11강
p. 48~51
4 ㄱ. 00, b0}
따라서 물체가 다시 지면에 떨어지는 순간의 속도 v는
v =20-10\4=-20 {m/s}
6 자동차가 제동이 걸린 지 t초 후의 속도를 v m/s라고 하면
v=
=30-6t
dx
dt
자동차가 정지할 때의 속도는 0이므로
30-6t=0 / t=5
따라서 자동차가 정지할 때까지 걸린 시간은 5초이므로 자
동차가 움직인 거리 x는
x=30\5-3\5@=75 {m}
7 t초 후의 가로의 길이는 5+t, 세로의 길이는 5+2t이므로
t초 후의 이 사각형의 넓이를 S라고 하면
S ={5+t}{5+2t}=25+15t+2t@
즉, t초 후의 이 사각형의 넓이의 변화율은
dS
dt
=15+4t
따라서 10초 후의 이 사각형의 넓이의 변화율은
15+4\10=55
8 t초 후의 정육면체의 한 모서리의 길이는 {4+2t} cm이므
로 t초 후의 이 정육면체의 부피를 V cm#라고 하면
V={4+2t}#
즉, t초 후의 이 정육면체의 부피의 변화율은
dV
dt
=3{4+2t}@\2=6{4+2t}@
따라서 3초 후의 이 정육면체의 부피의 변화율은
6{4+2\3}@=600 {cm#/s}
1 ③
4 ㄱ, ㄴ
9 ③
14 ①
19 0-16 7 a>-4 8 ④
13 ①
12 ②
11 ④
18 ⑤
16 ②
17 ⑤
20 ㄱ, ㄴ, ㄷ
21 ④
23 ⑴ v=4t-5, a=4 ⑵ 7
1 주어진 방정식에서 2x#-3x@-12x+4=a이므로 이 방정
식의 실근의 개수는 함수 y=2x#-3x@-12x+4의 그래프
와 직선 y=a의 교점의 개수와 같다.
`f{x}=2x#-3x@-12x+4라고 하면
`f '{x} =6x@-6x-12
=6{x+1}{x-2}
`f '{x}=0에서
x=-1 또는 x=2
함수 f{x}의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
-1
0
11
극대
y
-
↘
이때 함수 y = f { x }의 그래프는
오른쪽 그림과 같으므로 한 실근
과 서로 다른 두 허근을 갖도록
하는 실수 a의 값의 범위는
a<-16 또는 a>11
따라서 p=-16, q=11이므로
p+q=-5
y
+
↗
2
0
-16
극소
y
y=f{x}
11
y=a
4
2
-1
O
x
-16
y=a
2 주어진 방정식에서 2x$-4x@+5=-a이므로 이 방정식의
실근의 개수는 함수 y=2x$-4x@+5의 그래프와 직선
y=-a의 교점의 개수와 같다.
`f{x}=2x$-4x@+5라고 하면
`f '{x}=8x#-8x=8x{x+1}{x-1}
`f '{x}=0에서
x=-1 또는 x=0 또는 x=1
II. 미분 35
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 35
2018-04-26 오후 1:42:07
함수 f{x}의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
5 f{x}=x$-4x#+a라고 하면
이때 함수 y=f{x}의 그래프는 오른
y
y=f{x}
7 h{x}=f{x}-g{x}라고 하면
`f '{x} -
x
`f{x}
y -1 y
0
+
3
극소
↘
↗
0
0
5
극대
y
-
↘
1
0
3
극소
y
+
↗
이때 함수 y=f{x}의 그래프는 오
y=f{x}
른쪽 그림과 같으므로 서로 다른
네 실근을 갖도록 하는 실수 a의
y
5
3
y=-a
-1
O
1
x
값의 범위는
3<-a<5
∴ -50이 성립하도록 하는 실수 a의 값의 범위는
a-27>0 ∴ a>27
따라서 실수 a의 최솟값은 27이다.
6 f{x}=x#-9x@+24x+k라고 하면
f '{x}=3x@-18x+24=3{x-2}{x-4}
x>4에서 f '{x}=0인 x의 값이 없으므로 함수 f{x}는 최
솟값이 없다.
그런데 x>4에서 f '{x}>0이므로 함수 f{x}는 x>4에서
증가한다.
따라서 x>4일 때, f{x}>0이 성립하려면 f{4}>0이어야
하므로
f{4}=4#-9\4@+24\4+k=k+16>0
/ k>-16
h{x} =2x#+3x@-{x#-a}=x#+3x@+a
∴ h'{x}=3x@+6x=3x{x+2}
열린구간 {1, 3}에서 h'{x}=0인 x의 값이 없으므로 함수
h{x}는 최솟값이 없다.
그런데 열린구간 {1, 3}에서 h'{x}>0이므로 함수 h{x}
는 열린구간 {1, 3}에서 증가한다.
따라서 열린구간 {1, 3}에서 h{x}>0, 즉 f{x}>g{x}를
만족하려면 h{1}>0이어야 하므로
1+3+a>0 ∴ a>-4
8 함수 y=f{x}의 그래프가 함수 y=g{x}의 그래프보다 항
상 아래쪽에 있으려면 모든 실수 x에 대하여 f{x}0이어야 한다.
h{x}=g{x}-f{x}라고 하면
h{x} =2x#+4x@-25x+k-{x#+x@+20x+1}
=x#+3x@-45x+k-1
/ h'{x}=3x@+6x-45=3{x+5}{x-3}
h'{x}=0에서 x=-5 또는 x=3
함수 h{x}의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
h'{x}
h{x}
y
+
↗
-5
0
k+174
극대
y
-
↘
3
0
k-82
극소
y
+
↗
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 36
2018-04-26 오후 1:42:08
따라서 함수 h{x}의 최솟값은 h{3}=k-82이므로 모든
실수 x에 대하여 h{x}>0이 성립하려면
h{3}=k-82>0 / k>82
따라서 자연수 k의 최솟값은 83이다.
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
m=-6, n=9
∴ v=3t@-12t+9=3{t-1}{t-3},
a=6t-12
9 점 P의 시각 t에서의 속도를 v, 가속도를 a라고 하면
dx
dt
dx
dt
v=
=-3t@+6t, a=
=-6t+6
dv
dt
점 P의 가속도가 0이면
-6t+6=0 / t=1
따라서 t=1일 때의 점 P의 위치 x는
x=-1+3+4=6
10 점 P의 시각 t에서의 속도를 v라고 하면
v=
=6t@-12t-1=6{t-1}@-7
00에
서 속도 v의 부호가 두 번째로 바뀌는 것은 t=4일 때이므
로 이때의 점 P의 가속도 a는
a=6\4-18=6
12 두 점 P, Q의 시각 t에서의 속도를 각각 vp, vq라고 하면
vp=3t@-6t+1, vq=-t+3
두 점 P, Q의 속도가 같아지는 순간은 vp=vq일 때이므로
3t@-6t+1=-t+3, 3t@-5t-2=0
{3t+1}{t-2}=0 ∴ t=2 {∵ t>0}
따라서 t=2일 때,
xp=8-12+2+2=0, xq=-2+6-1=3
이므로 두 점 P, Q 사이의 거리는 3이다.
13 점 P의 시각 t에서의 속도를 v, 가속도를 a라고 하면
v=3t@+2mt+n, a=6t+2m
점 P는 t=1에서 운동 방향을 바꾸므로 t=1에서 v=0이다.
3+2m+n=0
yy`㉠
또 t=1에서의 위치가 8이므로
1+m+n+4=8
yy`㉡
따라서 점 P가 t=1 이외에 운동 방향을 바꾸는 시각은
v=0에서 t=3이므로 이때의 가속도 a는
a=18-12=6
14 ㄱ. e0,
df에서 v>0
이므로 점 P는 움직이는 방향을 t=d, t=f에서 두 번
바꾼다.
따라서 옳은 것은 ㄱ이다.
15 로켓의 t초 후의 속도를 v m/s라고 하면
v=
=10-10t
dh
dt
최고 높이에 도달했을 때, v=0이므로
10-10t=0
∴ t=1
따라서 로켓의 최고 높이 h는
h=10-5=5 {m}
16 사람이 1 m/s의 속도로 움직이므로 t초 동안 움직인 거리
는 t m이다.
그림자의 앞끝이 t초 동안 움
직이는 거리를 x m라고 하면
오른쪽 그림에서
ABCT
DEC이므로
3.4`:`x=1.7`:`{x-t}
s
s
1.7x=3.4{x-t}
A
D
1.7`m
3.4`m
l`m
C
t`mE
x`m
B
x=2{x-t}
/ x=2t
이때 그림자의 길이를 l m라고 하면 l=CE
l =CB
=x-t=2t-t=t
-BE
Z
이므로
따라서 그림자의 길이의 변화율은
dl
dt
=1 {m/s}
II. 미분 37
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 37
2018-04-26 오후 1:42:08
Z
Z
17 t초 후의 정삼각형의 한 변의 길이는 {6+2t}이므로 t초 후
함수 h{x}의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
의 정삼각형의 넓이를 S라고 하면
S= j3
4
{6+2t}@=9j3+6j3t+j3t@
즉, t초 후의 정삼각형의 넓이의 변화율은
dS
dt
따라서 t=10일 때, 정삼각형의 넓이의 변화율은
6j3+2j3\10=26j3
=6j3+2j3t
18 t초 후의 고무 풍선의 반지름의 길이는 {10+t} cm이므로
고무 풍선의 부피를 V cm#라고 하면
4
3
V =
p{10+t}#=
p{1000+300t+30t@+t#}
4
3
즉, t초 후의 고무 풍선의 부피의 변화율은
dV
dt
따라서 t=3일 때, 고무 풍선의 부피의 변화율은
4
3 p{300+180+27}=676p {cm#/s}
p{300+60t+3t@}
4
3
=
19 f{x}=x#-6x@이라고 하면 f '{x}=3x@-12x
접점의 좌표를 {t, t#-6t@}이라고 하면 접선의 기울기는
f '{t}=3t@-12t이므로 접선의 방정식은
y-{t#-6t@}={3t@-12t}{x-t}
∴ y={3t@-12t}x-2t#+6t@
이 직선이 점 {0, a}를 지나므로 a=-2t#+6t@
이때 점 {0, a}에서 곡선 y=x#-6x@에 그은 서로 다른 접
선이 3개이므로 방정식 a=-2t #+6t @은 서로 다른 세 실
근을 가져야 한다.
g{t}=-2t #+6t @이라고 하면
g'{t}=-6t@+12t=-6t{t-2}
g'{t}=0에서 t=0 또는 t=2
함수 g{x}의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 함수 y=g{t}의 그래프는 오
y=g{t}
t
g '{t}
g{t}
y
-
↘
0
0
0
극소
y
+
↗
른쪽 그림과 같으므로 방정식
a=-2t #+6t @이 서로 다른 세 실근
을 갖도록 하는 실수 a의 값의 범위
는 00에서 만나지 않는다.
ㄷ. 0<4a<4, 즉 00}
4 주어진 식의 양변에 x=1을 대입하면
0=1-2a-9 ∴ a=-4
x
따라서 ?
미분하면
1
`f{x}=2x+8
f{t}`dt=x@+8x-9이므로 양변을 x에 대하여
5 f{t}=t$-t#+2t@+3으로 놓고, 함수 f{t}의 한 부정적분
{t$-t#+2t@+3}`dt
f{t}`dt
을 F{t}라고 하면
1
x
x-2 ?
2
lim
2
x`
!
1
x
x-2 ?
2
=lim
2
x`
!
x
}
2
F{t}
=lim
2
x`
!
1
x-2 {
F{x}-F{2}
x-2
=F '{2}=f{2}
=16-8+8+3=19
=lim
2
x`
!
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 42
2018-04-27 오후 3:56:12
6 f{t}=t#-3t@+t-5로 놓고, 함수 f{t}의 한 부정적분을
F{t}라고 하면
x
1
x@-1 ?
1
1
lim
1
x`
!
x
x@-1 ?
1
F{x}-F{1}
x@-1
1
2
F '{1}=
=lim
1
x`
!
=lim
1
x`
!
1
2
=
{t#-3t@+t-5}`dt
F{t}
x
}
1
1
f{t}`dt=lim
x@-1 {
x`
1
!
F{x}-F{1}
x-1
=lim
1
x`
!
\
1
x+1
f{1}=
\{1-3+1-5}=-3
1
2
7 f{x}=4x#-2x+1로 놓고, 함수 f{x}의 한 부정적분을
F{x}라고 하면
{4x#-2x+1}`dx
lim
0
h`
!
1+h
1+h
1
h ?
1
1
h ?
1
F{1+h}-F{1}
h
=lim
0
h`
!
=lim
0
h`
!
f{x}`dx=lim
0
!
h`
=4-2+1=3
1+h
1
h {
F{x}
}
1
=F '{1}=f{1}
8 f{x}=x$-2x@+3x+7로 놓고, 함수 f{x}의 한 부정적분
lim
0
h`
!
=lim
0
h`
!
=lim
0
h`
!
=lim
0
h`
!
=lim
0
h`
!
을 F{x}라고 하면
{x$-2x@+3x+7}`dx
3+h
3+h
1
h ?
3-h
1
f{x}`dx=lim
h ?
3-h
h`
0
!
F{3+h}-F{3-h}
h
1
h {
F{x}
3+h
}
3-h
F{3+h}-F{3}+F{3}-F{3-h}
h
F{3+h}-F{3}
h
+lim
0
h`
!
F{3-h}-F{3}
-h
=F '{3}+F '{3}=2F '{3}=2f{3}
=2\{81-18+9+7}=158
1 ⑴
d
dx -? xf{x}`dx
=
xf{x}=2x@-5x / f{x}=2x-5
=xf{x}이므로
d
dx -? 3xf{x}`dx
=
3xf{x}=3x@+6x / f{x}=x+2
=3xf{x}이므로
⑵
d
dx
d
dx
⑶ F{x} =? -
{x#+3x+2}
dx
=
=x#+3x+2+C
/ f{x}=F '{x}=3x@+3
⑷ F{x} =? -
{2x#-5x@+7}
dx
=
=2x#-5x@+7+C
/ f{x}=F'{x}=6x@-10x
2 ⑴ ? {-x@+5x-4}`dx=-
1
3
5
2
x#+
x@-4x+C
⑵ ? {2x#+3x@-4x+1}`dx=
x$+x#-2x@+x+C
⑶ ? {3x+2}{x-3}`dx =? {3x@-7x-6}`dx
=x#-
x@-6x+C
1
2
7
2
⑷ ? {2x@-1}{4x+1}`dx =? {8x#+2x@-4x-1}`dx
=2x$+
x#-2x@-x+C
2
3
3 ⑴ ? {x+2}@`dx+? {x-2}@`dx
=? {x@+4x+4}`dx+? {x@-4x+4}`dx
2
3
=? {2x@+8}`dx=
x#+8x+C
⑵ ?
x$
x@+1
dx-?
1
x@+1
dx
=?
x$-1
x@+1
{x@+1}{x@-1}
x@+1
dx
dx=?
1
3
=? {x@-1}`dx=
x#-x+C
⑶ ?
x@
x+2
dx+?
x-2
x+2
dx
=?
x@+x-2
x+2
{x+2}{x-1}
x+2
dx
dx=?
1
2
x@-x+C
=? {x-1}`dx=
x#
x@+2x+4
⑷ ?
dx-?
8
x@+2x+4
dx
=?
x#-8
x@+2x+4
dx=?
{x-2}{x@+2x+4}
x@+2x+4
dx
=? {x-2}`dx=
x@-2x+C
1
2
{
1
}
-2
2
}
1
1
4 ⑴ ?
-2
{6x+5}`dx=
3x@+5x
=8-2=6
2
2
⑵ ?
1
⑶ ?
3
-1
⑷ ?
3
{9x@+4x-2}`dx =
3x#+2x@-2x
=28-93=-65
{6x@-8x+3}`dx =
2x#-4x@+3x
2
}
3
-1
}
3
{
{
{
=-9-27=-36
4
5 ⑴ ?
1
{x+4}@`dx-?
1
{6k+9}`dk
4
4
4
=?
1
{x@+8x+16}`dx-?
1
{6x+9}`dx
{x@+2x+7}`dx=
x#+x@+7x
4
}
1
4
1
3
{
1
=?
196
3
=
-
=57
25
3
III. 적분 43
계산력 다지기
p. 58~59
{3x@-2x+1}`dx=
x#-x@+x
=6-1=5
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 43
2018-04-26 오후 1:42:11
3
3
3
2
2
1
1
2
3
3
5
0
1
3
3
⑵ ?
-2
{3t-2}@`dt+?
-2
{12x-8}`dx
=?
-2
{3x-2}@`dx+?
-2
{12x-8}`dx
3
3
3
=?
-2
{9x@-12x+4}`dx+?
-2
{12x-8}`dx
{9x@-4}`dx=
=?
=69-{-16}=85
-2
3x#-4x
{
}
-2
-1
dx+?
2
dx
1
x@+x+1
2
1
x@+x+1
dx
2
⑶ ?
-1
x#
x@+x+1
2
=?
-1
x#
x@+x+1
x#-1
x@+x+1
=?
-1
=?
-1
1
⑷ ?
-1
x#
x+3
1
dx-?
-1
-1
dx=?
1
2
{
-1
27
x+3
1
dx-?
1
dx
=?
-1
x#
x+3
dx+?
-1
27
x+3
dx
{x-1}`dx=
x@-x
=0-
=-
2
}
-1
3
2
3
2
2
{x-1}{x@+x+1}
x@+x+1
dx
=?
-1
x#+27
x+3
dx=?
-1
1
{x+3}{x@-3x+9}
x+3
dx
{x@-3x+9}`dx=
x#-
x@+9x
1
3
{
3
2
1
}
-1
-1
=?
47
6
=
-
-
[
65
6 ]
=
56
3
2
6 ⑴ ?
-1
{3t@-5}`dt+?
2
{3x@-5}`dx
=?
-1
{3x@-5}`dx+?
2
{3x@-5}`dx
3
3
{
{3x@-5}`dx=
x#-5x
=12-4=8
=?
-1
3
⑵ ?
2
{4x#+3x@-2x}`dx+?
3
{4s#+3s@-2s}`ds
=?
2
{4x#+3x@-2x}`dx+?
3
{4x#+3x@-2x}`dx
{4x#+3x@-2x}`dx=
x$+x#-x@
5
}
2
3
}
-1
5
5
{
=?
=725-20=705
2
⑶ (주어진 식)
-1
=?
-2
{6x@-2x}`dx+?
-1
{6x@-2x}`dx
0
1
1
+?
0
{6x@-2x}`dx
=?
-2
{6x@-2x}`dx+?
0
{6x@-2x}`dx
{6x@-2x}`dx=
-2
=?
=1-{-20}=21
1
1
2x#-x@
{
}
-2
⑷ (주어진 식) =?
-3
{5x$+1}`dx+?
1
{5x$+1}`dx
2
2
-3
{5x$+1}`dx=
=?
=34-{-246}=280
2
x%+x
{
}
-3
44 정답과 해설
7 ⑴ f{t}=t@-2t+3으로 놓고, 함수 f{t}의 한 부정적분을
F{t}라고 하면
x
1
x-1 ?
1
lim
1
x`
!
{t@-2t+3}`dt
x
x`
x`
1
F{t}
1
x-1 {
=lim
1
!
=lim
1
!
f{t}`dt=lim
1
!
x
x-1 ?
1
F{x}-F{1}
x-1
=F '{1}=f{1}
=1-2+3=2
⑵ f{t}=t#+t@-3t+1로 놓고, 함수 f{t}의 한 부정적분
}
x`
1
을 F{t}라고 하면
lim
3
x`
!
1
x
x-3 ?
3
{t#+t@-3t+1}`dt
x
x`
x`
1
F{t}
1
x-3 {
=lim
3
!
=lim
3
!
f{t}`dt=lim
3
!
x
x-3 ?
3
F{x}-F{3}
x-3
=F '{3}=f{3}
=27+9-9+1=28
⑶ f{t}=2t#-t@+2t+4로 놓고, 함수 f{t}의 한 부정적분
}
x`
3
{2t#-t@+2t+4}`dt
1
f{t}`dt=lim
x@-4 {
2
!
F{x}-F{2}
x-2
x`
F{t}
x
}
2
\
1
x+2
=lim
2
x`
!
1
4
=F '{2}\
f{2}=
\{16-4+4+4}
을 F{t}라고 하면
lim
2
x`
!
=lim
2
!
x`
=lim
2
!
x`
1
x
x@-4 ?
2
1
x
x@-4 ?
2
F{x}-F{2}
x@-4
1
1
4
4
=
=5
을 F{t}라고 하면
lim
1
x`
!
1
x
x#-1 ?
1
1
{t$-3t@+5t-7}`dt
=lim
1
!
x`
=lim
1
!
x`
x
x#-1 ?
1
F{x}-F{1}
x#-1
1
f{t}`dt=lim
x#-1 {
1
!
F{x}-F{1}
x-1
=lim
1
x`
!
x`
F{t}
x
}
1
\
1
x@+x+1
⑷ f{t}=t$-3t@+5t-7로 놓고, 함수 f{t}의 한 부정적분
=F '{1}\
=
f{1}
1
3
1
3
=
\{1-3+5-7}=-
1
3
4
3
8 ⑴ f{x}=2x@+x-4로 놓고, 함수 f{x}의 한 부정적분을
{2x@+x-4}`dx
f{x}`dx=lim
0
!
h`
2+h
1
h {
F{x}
}
2
F{x}라고 하면
lim
0
h`
!
2+h
1
h ?
2
2+h
h`
=lim
0
!
1
h ?
2
F{2+h}-F{2}
h
=F '{2}=f{2}
=8+2-4=6
=lim
0
!
h`
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 44
2018-04-26 오후 1:42:11
⑵ f{x}=-x#+2x@-5x+3으로 놓고, 함수 f{x}의 한
부정적분을 F{x}라고 하면
lim
0
h`
!
3-h
1
h ?
3
{-x#+2x@-5x+3}`dx
=lim
0
!
h`
=lim
0
!
h`
3-h
f{x}`dx=lim
0
!
1
h ?
3
F{3-h}-F{3}
h
h`
=-lim
0
!
h`
3-h
1
h {
F{x}
}
3
F{3-h}-F{3}
-h
=-F '{3}=-f{3}=-{-27+18-15+3}=21
⑶ f{x}=3x#-4x@+x-6으로 놓고, 함수 f{x}의 한 부
정적분을 F{x}라고 하면
lim
0
h`
!
4
1
h ?
4+h
{3x#-4x@+x-6}`dx
=lim
0
!
h`
=lim
0
!
h`
4+h
`f{x}`dx=lim
0
!
4
1
h ?
F{4}-F{4+h}
h
h`
1
h {
F{x}
4
}
4+h
=-lim
0
!
h`
F{4+h}-F{4}
h
=-F '{4}=-f{4}=-{192-64+4-6}=-126
⑷ f{x}=x$-2x#+6x-1로 놓고, 함수 f{x}의 한 부정
적분을 F{x}라고 하면
1-h
lim
0
h`
!
1
h ?
1+h
{x$-2x#+6x-1}`dx
=lim
0
!
h`
=lim
0
!
h`
=lim
0
!
h`
1-h
1+h
1
f{x}`dx=lim
h ?
0
!
F{1-h}-F{1+h}
h
h`
1
h {
F{x}
1-h
}
1+h
F{1-h}-F{1}+F{1}-F{1+h}
h
h`
=-lim
0
!
F{1-h}-F{1}
-h
F{1+h}-F{1}
h
=-F '{1}-F '{1}=-2F '{1}=-2f{1}
=-2\{1-2+6-1}=-8
-lim
0
h`
!
족집게 기출문제
12~14강
3 ⑤
x@+6x+C
5
3
5
x#+
x$-
1 ①
1
4
8 8
2 ③
5
2
9 ③
32
100
9
101
19 4
18 ②
24 8
23 ④
27 ⑴ f '{x}=12x@-4 ⑵ 1
14
13
15 ①
20 2
25 -4
10 k<0
4 ③
6 ⑤
16
11 ①
1
3
21 6
26 -5
p. 60~63
7
23
6
12 ②
17 ②
22 50
1 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
{x-2}f{x} =-4x#+6x@+4x
=-2x{2x+1}{x-2}
따라서 f{x}=-2x{2x+1}이므로
`f{-2}=4\{-3}=-12
2 f{x} =/ -
d
dx
{x@-6x}
dx
=`
=x@-6x+C
={x-3}@-9+C
이때 함수 f{x}는 x=3에서 최소이고 최솟값이 8이므로
-9+C=8 ∴ C=17
따라서 f{x}=x@-6x+17이므로
`f{1}=1-6+17=12
3 f{x} =/
{x@+1}@
x@+x+1
`dx-/
x@
x@+x+1
`dx
=/
=/
{x@+1}@-x@
x@+x+1
`dx
{x@+x+1}{x@-x+1}
x@+x+1
`dx
=/ {x@-x+1}`dx
=
x#-
x@+x+C
1
3
1
2
1
3
1
2
이때 곡선 y=f{x}가 점 {0, 0}을 지나므로 C=0
따라서 f{x}=
x#-
x@+x이고 곡선 y=f{x}가 점
{2, a}를 지나므로
8
3
-2+2=
a=
8
3
4 f{x} =/ {1+2x+3x@+y+10x(}`dx
=x+x@+x#+y+x!)+C
`f{0}=7에서 C=7
따라서 f{x}=x+x@+y+x!)+7이므로
f{1}=10+7=17
5 f '{x}=3x@-10x+5이므로
`f{x} =/ {3x@-10x+5}`dx
=x#-5x@+5x+C1
`f{0}=6에서 C1=6
따라서 f{x}=x#-5x@+5x+6이므로
/ {x#-5x@+5x+6}`dx
=
1
4
5
3
5
2
x$-
x#+
x@+6x+C
6 f '{x}=3x@-6x+4이므로
`f{x} =/ {3x@-6x+4}`dx
=x#-3x@+4x+C
이때 곡선 y=f{x}가 점 {0, -2}를 지나므로
C=-2
따라서 f{x}=x#-3x@+4x-2이므로
`f{3}=27-27+12-2=10
III. 적분 45
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 45
2018-04-26 오후 1:42:12
`f{x}=/ 2x`dx=x@+C1
7 ! x>1일 때
@ x<1일 때
`f{x}=/ {x@+x}`dx=
x#+
x@+C2
1
3
1
2
!, @에 의하여 f{x}=
x@+C1
{x>1}
x#+
x@+C2 {x<1}
3!
2!
(
-
9
함수 f{x}가 모든 실수 x에서 미분가능하면 x=1에서 연
속이므로
lim
1+
x`
!
f{x}= lim
1-
x`
f{x}=f{1}
1+C1=
+
+C2, C1-C2=-
!
1
2
1
3
1
6
1
6
23
6
8
9 f{x}+g{x}0=2x+1에서
d
dx
`f{x}+g{x}=x@+x+C1
위의 식의 양변에 x=0을 대입하면
`f{0}+g{0}=C1 ∴ C1=0
∴ f{x}+g{x}=x@+x
d
dx 9 f{x}g{x}0=3x@-2x+1에서
``f{x}g{x}=x#-x@+x+C2
10 ` f '{x}=a{x-1}{x-3} {a>0}이라고 하면
f '{2}=-2이므로
-a=-2 ∴ a=2
즉, f '{x}=2x@-8x+6이므로
f{x} =/ {2x@-8x+6}`dx
=
x#-4x@+6x+C
2
3
`f{0}=0에서 C=0
x#-4x@+6x=kx
x#-4x@+{6-k}x=0
2
3
2
3
x
3
따라서 f{x}=
x#-4x@+6x이므로 방정식 f{x}=kx는
2
3
이 방정식이 오직 하나의 실근을 가져야 하므로 이차방정식
2x@-12x+3{6-k}=0은 허근을 가져야 한다.
위의 이차방정식의 판별식을 D라고 하면
D
4
∴ k<0
=36-6{6-k}<0
11 F{x} =/ {-4x+9}`dx
=-2x@+9x+C
∴ f{2}-f{0} =4+C1-C2=4-
=
92x@-12x+3{6-k}0=0
위의 식의 양변에 x=0을 대입하면
`f{0}g{0}=C2 ∴ C2=-1
∴ f{x}g{x} =x#-x@+x-1={x-1}{x@+1}
이때 f{0}=1, g{0}=-1, f{x}+g{x}=x@+x를 만족
모든 실수 x에 대하여 F{x}<0이려면 이차방정식 F{x}=0
은 서로 다른 두 허근을 가져야 하므로 이차방정식
-2x@+9x+C=0의 판별식을 D라고 하면
D=81+8C<0
해야 하므로
`f{x}=x@+1, g{x}=x-1
∴ f{3}-g{3}=10-2=8
∴ C<-
81
8
따라서 F{0}=C의 값이 될 수 있는 것은 ①이다.
9 `f '{x}=ax{x-2} {a>0}라고 하면
12 /2! {4x#+9x@+a}`dx+/5% {2x#-3x@+a}`dx
f{x} =/ ax{x-2}`dx=/ {ax@-2ax}`dx
=
x#-ax@+C
a
3
f '{x}=0에서 x=0 또는 x=2
함수 f{x}의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
`f '{x}
`f{x}
y
+
↗
0
0
극대
y
-
↘
2
0
극소
y
+
↗
함수 f{x}는 x=0에서 극댓값이 4, x=2에서 극솟값이 0
이므로
f{0}=4, f{2}=0
8
3
C=4,
a-4a+C=0 ∴ C=4, a=3
=
x$+3x#+ax }2!+0
{
=-36-a=-40
∴ a=4
x`dx+
x@`dx+
x#`dx
1
1
2 ?
0
1
1
3 ?
0
1
13 ?
0
+y+
1
1
100 ?
0
x!))`dx
=
{
1
2
x@
+
1
}
0
1
2 {
1
3
x#
+
1
}
0
1
3 {
1
4
1
}
0
x$
+y+
1
100 {
1
101
x!)!
1
}
0
=
+
1
2
1
2\3
+
1
3\4
+y+
1
100\101
=
1-
[
1
2 ]
+
[
1
2
-
1
3 ]
+
[
1
3
1
4 ]
-
+y+
1
100
[
-
1
101 ]
따라서 f{x}=x#-3x@+4, f '{x}=3x{x-2}이므로
f{1}+f '{3}=2+9=11
=1-
1
101
=
100
101
46 정답과 해설
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 46
2018-04-26 오후 1:42:12
14 k/aC x`dx-/aB x@`dx=k/bC x`dx에서
18 `f{x}=/0X {t@-2t-3}`dt를 x에 대하여 미분하면
k/aC x`dx-k/bC x`dx=/aB x@`dx
k
[/aC x`dx+/cB x`dx
]
=/aB x@`dx
k/aB x`dx=/aB x@`dx
k
1
{
2
1
{
3
x@ }aB=
1
2
x# }aB
1
3
k\
{b@-a@}=
{b#-a#}
이때 a=b이고 a+b=6, ab=4이므로
k =
\
b#-a#
b@-a@
=
\
2
3
{b-a}{b@+ab+a@}
{b-a}{b+a}
=
\
b@+ab+a@
b+a
=
\
2
3
{a+b}@-ab
a+b
2
3
2
3
2
3
=
\
6@-4
6
=
32
9
15 |x-1|+|x-5|=
-2x+6 {0 0이므로
구하는 도형의 넓이는
/-1#` |-x@+2x+3|`dx =/-1#` {-x@+2x+3}`dx
=
-
{
x#+x@+3x }-1#
1
3
=
32
3
2 ⑴ 곡선 y=-x@-2x+8과
y=-x@-2x+8
y
8
x축의 교점의 x좌표는
-x@-2x+8=0에서
-{x+4}{x-2}=0
/ x=-4 또는 x=2
이때 닫힌구간 [-4, 2]에서
-x@-2x+8>0
이므로 구하는 도형의 넓이는
?-4@ |-x@-2x+8|dx =?-4@ {-x@-2x+8}`dx
1
3
⑵ 곡선 y=x@-4x-5와 x축의 교
=
-
{
x#-x@+8x
}-4@ =36
y=x@-4x-5
-4
O
2
x
-1
5
x
y
O
-5
점의 x좌표는
x@-4x-5=0에서
{x+1}{x-5}=0
∴ x=-1 또는 x=5
이때 닫힌구간 [-1, 5]에서
x@-4x-5<0
이므로 구하는 도형의 넓이는
/-1%` |x@-4x-5|`dx =/-1%` {-x@+4x+5}`dx
=
-
{
x#+2x@+5x }-1% =36
1
3
점의 x좌표는
x@-4x+3=0에서
{x-1}{x-3}=0
∴ x=1 또는 x=3
이때 닫힌구간 [-1, 1]에서
x@-4x+3>0이고, 닫힌구간
[1, 3]에서 x@-4x+3<0이므
로 구하는 도형의 넓이는
/-1#` |x@-4x+3|`dx
3
-1
O
1
3
x
=/-1!` {x@-4x+3}`dx+/1# {-x@+4x-3}`dx
=
x#-2x@+3x }-1! +
{
-
x#+2x@-3x }1#
1
3
1
{
3
20
3
=
+
=8
4
3
III. 적분 49
y=x@+4x
y
3 ⑴ 곡선 y=x@-4x+3과 x축의 교
y
y=x@-4x+3
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 49
2018-04-26 오후 1:42:14
에서
-2
O
2
6
x
{x#-2x@-5x+6}`dx
닫힌구간 [1, 3]에서 -x#+2x@+5x-6>0이므로 구
하는 도형의 넓이는
|-x#+2x@+5x-6|dx
3
?
-2
1
=?
-2
3
+?
1
{-x#+2x@+5x-6}`dx
+
-
{
1
4
x$+
x#+
x@-6x
2
3
5
2
3
}
1
y=x#-6x@-4x+24
=
x$-
x#-
x@+6x
1
4
{
2
3
5
2
1
}
-2
⑵ 곡선
y=x#-6x@-4x+24와
x축의 교점의 x좌표는
x#-6x@-4x+24=0
y
24
{x+2}{x-2}{x-6}
=0
/ x=-2 또는 x=2
또는 x=6
이때 닫힌구간 [-2, 2]에서
x#-6x@-4x+24>0이고, 닫힌구간 [2, 6]에서
x#-6x@-4x+24<0이므로 구하는 도형의 넓이는
6
?
-2
2
=?
-2
|x#-6x@-4x+24|`dx
{x#-6x@-4x+24}`dx
=
x$-2x#-2x@+24x
1
4
{
=64+64=128
+?
2
6
2
}
-2
+
-
{
1
4
4 ⑴ 곡선 y = x @ - 5 x + 4와 x축의
교점의 x좌표는 x@-5x+4=0
에서
{x-1}{x-4}=0
∴ x=1 또는 x=4
이때 닫힌구간 [1, 4]에서
y=x@-5x+4
y
4
O
1
4 5
x
x@-5x+4< 0이고, 닫힌구간
[4, 5]에서 x@-5x+4>0이므로 구하는 도형의 넓이는
{-x#+6x@+4x-24}`dx
1
5 ⑴ ?
-1
{x$+x#+x@+x+1}`dx
=?
-1
{x$+x@+1}`dx+?
-1
{x#+x}`dx
1
x$+2x#+2x@-24x
6
}
2
{x$+x@+1}`dx+0
x%+
x#+x
1
3
1
}
0
⑵ ?
-2
{x%-5x$+4x-2}`dx
=?
-2
{x%-5x$+4x-2}`dx
{x%-5x$+4x-2}`dx
{x%-5x$+4x-2}`dx
0
-?
2
2
+?
0
2
/1% |x@-5x+4|`dx
=?
-2
{x%-5x$+4x-2}`dx
=/1$ {-x@+5x-4}`dx+/4% {x@-5x+4}`dx
=?
-2
{-5x$-2}`dx+?
-2
{x%+4x}`dx
+
1
{
3
x#-
x@+4x }4%
5
2
=
-
{
x#+
1
3
+
=
11
6
=
9
2
⑵ 곡선
5
2
x@-4x }1$
19
3
y=-x#+2x@+5x-6
과 x축의 교점의 x좌
y
표는
-2
O
1
3
x
-6
y=-x#+2x@+5x-6
이때 닫힌구간 [-2, 1]에서 -x#+2x@+5x-6<0이고,
-x#+2x@+5x-6=0
에서
{x+2}{x-1}{x-3}
=0
/ x=-2 또는 x=1
또는 x=3
50 정답과 해설
2
=2?
0
{-5x$-2}`dx+0
=2
-x%-2x
=-72
{
2
}
0
1
6 ⑴ ?
-1
x@{x+1}#`dx
=?
-1
{x%+3x$+3x#+x@}`dx
=?
-1
{3x$+x@}`dx+?
-1
{x%+3x#}`dx
1
{3x$+x@}`dx+0
x%+
x#
1
3
1
}
0
1
0
=2?
3
5
=2
{
=
28
15
=
63
4
+
16
3
=
253
12
1
1
0
=2?
1
5
=2
{
=
46
15
0
0
2
2
1
1
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 50
2018-04-26 오후 1:42:14
2
⑵ ?
-3
{10x$+11x#-6x@+3}`dx
=?
-3
{10x$+11x#-6x@+3}`dx
2
-?
3
{10t$+11t#-6t@+3}`dt
3
+?
2
{10x$+11x#-6x@+3}`dx
2
3
3
=?
-3
{10x$+11x#-6x@+3}`dx
=?
-3
{10x$-6x@+3}`dx+?
-3
11x#`dx
3
3
=2?
0
{10x$-6x@+3}`dx+0
=2
2x%-2x#+3x
=882
{
3
}
0
6 강
정적분의 활용(2)
p. 66
1
닫힌구간 [0, 3]에서 -x@+4x+1>x@-2x+1이므로 구
하는 도형의 넓이는
/0# 9{-x@+4x+1}-{x@-2x+1}0`dx
=/0# {-2x@+6x}`dx=
-
{
x#+3x@ }0#=9
2
3
2 ⑴ t=0에서 t=c까지 점 P의 위치의 변화량은
/0A v{t}`dt+/aB v{t}`dt+/bC v{t}`dt
=S1+{-S2}+S3=10+{-20}+5=-5
⑵ t=0에서 t=c까지 점 P가 움직인 거리는
/0A |v{t}|`dt+/aB |v{t}|`dt+/bC |v{t}|`dt
=S1+S2+S3=10+20+5=35
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
1 ⑴ 곡선 y=x@-x-6과 직선
y=x+2의 교점의 x좌표는
x@-x-6=x+2에서
{x+2}{x-4}=0
∴ x=-2 또는 x=4
이때 닫힌구간 [-2, 4]에서
x+2>x@-x-6이므로 구하
는 도형의 넓이는
p. 67
y
y=x@-x-6
y=x+2
4
x
-2
2
O
-6
/-2$` 9{x+2}-{x@-x-6}0`dx
=/-2$` {-x@+2x+8}`dx
=
-
{
x#+x@+8x }-2$
1
3
=36
⑵ 두 곡선 y=x@-6x+8,
y=-x@+4x의 교점의 x좌표는
x@-6x+8=-x@+4x에서
2{x-1}{x-4}=0
∴ x=1 또는 x=4
이때 닫힌구간 [1, 4]에서
-x@+4x> x@-6x+8이므로
구하는 도형의 넓이는
/1$ 9{-x@+4x}-{x@-6x+8}0`dx
=/1$ {-2x@+10x-8}`dx
=
-
{
x#+5x@-8x }1$=9
2
3
y
y=x@-6x+8
O
1
x4
y=-x@+4x
2 ⑴ 곡선 y=x@-2x-3과 직선
y=-x+3의 교점의 x좌표는
x@-2x-3=-x+3에서
{x+2}{x-3}=0
∴ x=-2 또는 x=3
이때 닫힌구간 [-2, 3]에서
-x+3>x@-2x-3이므로
구하는 도형의 넓이는
y
y=x@-2x-3
3
3
-2
O
-3
x
y=-x+3
/-2# 9{-x+3}-{x@-2x-3}0`dx
=/-2# {-x@+x+6}`dx
=
-
x#+
{
x@+6x }-2# ` =
1
3
1
2
125
6
⑵ 두 곡선 y=x@-7x,
y=-x@-3x+6의 교점의
x좌표는
x@-7x=-x@-3x+6에서
2{x+1}{x-3}=0
∴ x=-1 또는 x=3
이때 닫힌구간 [-1, 3]에서
-x@-3x+6>x@-7x이므로
구하는 도형의 넓이는
/-1#` 9{-x@-3x+6}-{x@-7x}0`dx
=/-1#` {-2x@+4x+6}`dx
=
-
{
x#+2x@+6x }-1# `=
2
3
64
3
y
y=x@-7x
-1
6
3
O
x
y=-x@-3x+6
III. 적분 51
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 51
2018-04-26 오후 1:42:15
3 f{x}=x#-6x@+10x라고 하면
f '{x}=3x@-12x+10
점 {1, 5}에서의 접선의 기울기는 f '{1}=1
점 {1, 5}에서의 접선의 방정식은
y-5=x-1 / y=x+4
곡선 y=x#-6x@+10x와 직선 y=x+4의 교점의 x좌표는
x#-6x@+10x=x+4, x#-6x@+9x-4=0
{x-1}@{x-4}=0 / x=1 {중근} 또는 x=4
y
y=x#-6x@+10x
t#-3t@+8t }0#
1
{
3
5 ⑴ 5+/0# {t@-6t+8}`dt =5+
=5+6
=11
1
{
3
⑵ /1# {t@-6t+8}`dt=
⑶ 10이고, 2x#-6x@+10x이므로 구하는
도형의 넓이는
/1$ 9{x+4}-{x#-6x@+10x}0dx
=/1$ {-x#+6x@-9x+4}`dx
x$+2x#-
x@+4x
}1$
9
2
=
-
{
1
4
=
27
4
4 f{x}=x#+2x@+x+2라고 하면
f '{x}=3x@+4x+1
점 {0, 2}에서의 접선의 기울기는 f '{0}=1
점 {0, 2}에서의 접선의 방정식은
y-2=x / y=x+2
곡선 y=x#+2x@+x+2와 직선 y=x+2의 교점의 x좌표는
x#+2x@+x+2=x+2에서 x#+2x@=0
x@{x+2}=0 / x=-2 또는 x=0 (중근)
y
y=x#+2x@+x+2
y=x+2
2
-2
O
x
하는 도형의 넓이는
/-2) 9{x#+2x@+x+2}-{x+2}0`dx
=/-2) {x#+2x@}`dx
=
1
{
4
x$+
2
3
x#
}-2)
=
4
3
52 정답과 해설
1
3
-
{
t#+3t@-8t }2#
=
1
3
{
=
+
4
3
t#-3t@+8t }1@+
2
3
=2
6 ⑴ 4+/0% {3t@-12t}`dt =4+
t#-6t@ }0%
{
=4+{-25}
=-21
⑵ /2% {3t@-12t}`dt=
⑶ 20이므로
t#-6t@ }2%=-9
{
시각 t=2에서 t=5까지 점 P가 움직인 거리는
/2% |3t@-12t|`dt
=/2$ {-3t@+12t}`dt+/4% {3t@-12t}`dt
=
-t#+6t@ }2$+
{
t#-6t@ }4%
{
=16+7
=23
7 물체가 최고 지점에 도달할 때의 속도는 0이므로
v{t}=30-10t=0에서 t=3
따라서 t=3일 때, 물체가 최고 지점에 도달하게 되므로 구
하는 높이는
10+/0# {30-10t}`dt
=10+
30t-5t@
{
}0#=55 {m}
치는 0이므로
405+/0A {-10t}`dt=0
405+
-5t@ }0A=0
{
405-5a@=0, a@=81
/ a=9 {? a>0}
따라서 물체가 땅에 떨어질 때까지 걸리는 시간은 9초이다.
닫힌구간 [-2, 0]에서 x#+2x@+x+2>x+2이므로 구
8 a초 후에 물체가 땅에 떨어진다고 하면 그때의 물체의 위
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 52
2018-04-26 오후 1:42:15
족집게 기출문제
15~16강
1 ⑤
6 ⑤
11 ①
16 ⑤
7
2 ④
2
3
12 ①
3 ③
2
3
8 -
13 ⑤
17 510 m 18 12
21 ⑴ 36 ⑵ 108
22 1
9
4 ③
11
34
14 ②
3
2
23 4초
19
p. 68~71
5 ①
10 16
15 ③
20 ②
1 /-2@` 9 f{x}+g{x}0`dx
=/-2@` f{x}`dx+/-2@` g{x}`dx
=2/0@ f{x}`dx+0
=2\5+0=10
2 곡선 y=x#-x와 직선 y=x의
교점의 x좌표는 x#-x=x에서
x{x+j2}{x-j2}=0
∴ x=-j2 또는 x=0
또는 x=j2
y
y=x#-x
y=x
-1
-j2
j2
O
1
x
이때 닫힌구간 [-j2, 0]에서
x#-x>x이고, 닫힌구간
[0, j2 ]에서 x>x#-x이므로 구하는 도형의 넓이는
j
/-j2
@ |{x#-x}-x|`dx
=/-j2) ` 9{x#-x}-x0`dx+/0
@ 9x-{x#-x}0`dx
j
=/-j2) ` {x#-2x}`dx+/0
1
4
x$-x@ }-j2) +
1
4
{
{
=
-
j
x$+x@ }0
@
j
@ {-x#+2x}`dx
=1+1=2
y
y=x@+2
3
2
1
-1
O
x
y=-2x+1
3 y=x@+2에서 y'=2x이므로 점
{-1, 3}에서의 접선의 방정식은
y-3=-2{x+1}
∴ y=-2x+1
이때 닫힌구간 [-1, 0]에서
x@+2>-2x+1
이므로 구하는 도형의 넓이는
/-1)` 9{x@+2}-{-2x+1}0`dx
=/-1)` {x@+2x+1}`dx
=
1
{
3
x#+x@+x }-1)`=
1
3
4 곡선 y=-2x@+4kx와 x축의 교
점의 x좌표는 -2x@+4kx=0에서
-2x{x-2k}=0
y
O
y=-2x@+4kx
∴ x=0 또는 x=2k
이때 닫힌구간 [0, 2k]에서
-2x@+4kx>0이고, 곡선
y=-2x@+4kx와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 72이
2k
x
므로
/0@K {-2x@+4kx}`dx =
-
{
x#+2kx@ }0@K
2
3
8
3
=
k#=72
k#=27 ∴ k=3
5 곡선 y=-x@+4와 x축의 교점
의 x좌표는 -x@+4=0에서
-{x+2}{x-2}=0
∴ x=-2 또는 x=2
이때 닫힌구간 [-2, 2]에서
-x@+4>0이므로 곡선
y=-x@+4와 x축으로 둘러싸인
도형의 넓이를 S1이라고 하면
y=ax@
y
4
S2
S1
-2
O
x2
y=-x@+4
S1 =/-2@` {-x@+4}`dx
=2/0@ {-x@+4}`dx
=2
-
{
x#+4x }0@
1
3
=
32
3
두 곡선 y=-x@+4, y=ax@의 교점의 x좌표는
-x@+4=ax@에서 {a+1}x@=4
∴ x=-
또는 x=
2
2
ja+1l
ja+1l
2
}에서 -x@+4>ax@이
-
,
이때 닫힌구간 {
ja+1l
므로 두 곡선 y=-x@+4, y=ax@으로 둘러싸인 도형의 넓이
를 S2라고 하면
2
ja+1l
2
ja+1l 9{-x@+4}-ax@0`dx
S2=/- 2
ja+1l
2
ja+1l 9-{a+1}x@+40`dx
S2=/- 2
ja+1l
2
S2=2/0
ja+1l 9-{a+1}x@+40`dx
S2=2
-
{
a+1
3
x#+4x }0
2
ja+1l
S2=
32
3ja+1l
이때 S1=4S2이므로
32
3
ja+1l=4 ∴ a=15
=4\ 32
3ja+1l
III. 적분 53
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 53
2018-04-26 오후 1:42:15
6 곡선 y=x@{x-a}{x-b}=x$-{a+b}x#+abx@과 x축
으로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 같으므로
1
10 ?
-1
1
f{x}`dx =?
-1
x@`dx=
1
{
3
1
x#
}
-1
=
2
3
이때 함수 f{x}가 모든 실수 x에 대하여 f{x}=f{x+2}
/0B 9x$-{a+b}x#+abx@0`dx=0
1
4
b%-
x$+
x%-
ab
3
a+b
4
{a+b}\b$+
1
x# }0B=0
{
5
1
1
3
5
이때 b=0이므로 양변을 b$으로 나누어 정리하면
12b-15{a+b}+20a=0
5
3
5a-3b=0 ∴
b
a =
ab$=0
7 A : B=1 : 2에서 B=2A
y=x@-2x+p
곡선 y=x@-2x+p는 직선 x=1
에 대하여 대칭이므로 오른쪽 그
림에서 빗금친 부분의 넓이는
1
2
B=A
y
p
A
O
따라서 곡선 y=x@-2x+p와 x
축, y축 및 직선 x=1로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 같으
므로
1
/0! {x@-2x+p}`dx=0, {
3
x#-x@+px }0!=0
-
+p=0 ∴ p=
2
3
2
3
8 f{x}=x#, g{x}=x@+1이라 하고, 두 곡선의 교점의 x좌
표를 x=k라고 하자.
닫힌구간 [0, k]에서 g{x}> f{x}이고, 닫힌구간 [k, 2]
에서 `f{x}>g{x}이므로
B-A =/k@ 9 f{x}-g{x}0`dx-/0K 9 g{x}-f{x}0`dx
=/k@ 9 f{x}-g{x}0`dx+/0K 9 f{x}-g{x}0`dx
=/0@ 9 f{x}-g{x}0`dx
=/0@ {x#-x@-1}`dx
=
{
1
4
x$-
x#-x
1
3
}0@=-
2
3
9 두 곡선의 교점의 x좌표는 xN=xN"!에서
xN{x-1}=0 ∴ x=0 또는 x=1
이때 닫힌구간 [0, 1]에서 xN>xN"!이므로
Sn =/0! {xN-xN"!}`dx
=
1
n+1
{
xN"!-
1
n+2
xN"@
}0!
=
1
n+1
-
1
n+2
∴ S2+S3+S4+y+S100
1
4 ]
1
5 ]
=
1
3
1
4
-
+
-
[
[
+y+
1
101
-
1
102 ]
[
=
-
1
3
1
102
=
11
34
54 정답과 해설
이므로
/1$( f{x}`dx
=/1# f{x}`dx+/3% f{x}`dx+/5& f{x}`dx
=/1# f{x}`dx+/1# f{x}`dx+/1# f{x}`dx
+y+/47$( f{x}`dx
+y+/1# f{x}`dx
=24/1# f{x}`dx=24/-1! f{x}`dx=24\ 2
3
=16
x
B
x=1
11 두 곡선 y=f{x}, y=g{x}는
직선 y=x에 대하여 대칭이므
로 오른쪽 그림에서 색칠한 두
y=f{x}
y=x
y
9
부분의 넓이는 같다.
/2( g{x}`dx
=2\9-1\2-/1@ f{x}`dx
=16-/1@ {x#+1}`dx
2
1
-1
O
21
-1
1
4
{
19
4
45
4
=
=16-
x$+x }1@=16-
12 `f{x}={x+3}{x-3}{x+jk k}{x-jk k}
이때 0a}
t=10
따라서 열차가 제동을 건 지 10초 후에 정지하므로 정지할
∴ lim
a`
E
`
!
PQ
a
1{b-a}@+{b@-a@}@3
a
때까지 움직인 거리는
/0!) |30-3t|`dt =/0!) {30-3t}`dt
=
30t-
{
t@ }0 !)=150 {m}
16 물이 수도관을 따라 흘러나온 길이를 L이라고 하면
L=/0^ {8t-t@}`dt=
4t@-
{
t#
}0^=72
따라서 흘러나온 물의 양은
(수도관의 단면의 넓이)\(물이 흘러나온 길이)
=p\2@\72=288p
3
2
1
3
17 엘리베이터가 1층에서 출발하여 맨 위층까지 올라가는 데
걸리는 시간을 a초라 하고, 출발한 지 t초 후의 속도를
v{t}라고 하면 가속도는 v'{t}이므로
(
v'{t}=
-
9
5 {0 x이고, 닫힌구
간 [1, 2]에서 x>x#-3x@+3x이므로 구하는 도형의 넓
2
{/0! 9{x#-3x@+3x}-x0`dx
이는
+/1@ 9x-{x#-3x@+3x}0`dx }
=2
=2
- /0! {x#-3x@+2x}`dx+/1@ {-x#+3x@-2x}`dx =
1
4
x$+x#-x@ }1@
1
{
4
{
-
x$-x#+x@ }0!+2
1
2
=1
=
+
1
2
채점 기준
㈎ 구하는 도형의 넓이가 곡선 y=f{x}와 직선 y=x로
둘러싸인 도형의 넓이의 2배임을 안다.
㈏ 곡선 y=f{x}와 직선 y=x의 교점의 x좌표를 구한다.
㈐ 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구한다.
23 두 점 P, Q의 시각 t에서의 속도는
`f{t}=2t-2, g{t}=-t+4
yy`㈎
두 점 P, Q의 시각 t에서의 위치를 각각 xp, xq라고 하면
yy`㈐
배점
2점
2점
3점
xp =/ {2t-2}`dt
=t@-2t+C1
xq =/ {-t+4}`dt
=-
t@+4t+C2
1
2
t=0일 때 xp=0, xq=0이므로
C1=0, C2=0
∴ xp=t@-2t, xq=-
t@+4t
yy`㈏
1
2
이때 두 점 P, Q가 만나는 시각은 xp=xq일 때이므로
t@-2t=-
t@+4t
1
2
t{t-4}=0
∴ t=4 {∵ t>0}
따라서 두 점 P, Q가 출발한 후 다시 만나는 시각은 4초 후
이다.
채점 기준
㈎ 두 점 P, Q의 시각 t에서의 속도를 구한다.
㈏ 두 점 P, Q의 시각 t에서의 위치를 구한다.
㈐ 두 점 P, Q가 다시 만나는 시각을 구한다.
yy`㈐
배점
2점
2점
2점
21 ⑴ 곡선 y=-x@+6x와 x축의 교점의 x좌표는
-x@+6x=0에서
-x{x-6}=0
∴ x=0 또는 x=6
이때 닫힌구간 [0, 6]에서 -x@+6x>0이므로 구하는
도형의 넓이는
/0^ {-x@+6x}`dx =
-
{
x#+3x@ }0^
1
3
=36
⑵ 곡선 y=-x@+6x와 직선
y=mx의 교점의 x좌표는
-x@+6x=mx에서
x{x+m-6}=0
∴ x=0 또는 x=6-m
이때 닫힌구간 [0, 6-m]에서
-x@+6x> mx이므로 곡선
y=-x@+6x와 직선
yy`㈎
y=mx
O
6-m
x
6
y=-x@+6x
y=mx로 둘러싸인 도형의 넓이는
/0^_M 9{-x@+6x}-mx0`dx
=/0^_M 9-x@+{6-m}x0`dx
=
-
{
1
3
x#+
6-m
2
x@ }0^_M
=
{6-m}#
6
yy`㈏
이때 곡선 y=-x@+6x와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓
이가 직선 y=mx에 의하여 이등분되므로
{6-m}#
6
\36
1
2
=
∴ {6-m}#=108
yy`㈐
채점 기준
㈎ 곡선과 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구한다.
㈏ 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 m에 대한
식으로 나타낸다.
㈐ {6-m}#의 값을 구한다.
배점
2점
3점
1점
y
22 두 곡선 y=f{x}, y=g{x}는 직선 y=x에 대하여 대칭이
므로 구하는 넓이는 곡선 y=f{x}와 직선 y=x로 둘러싸
yy`㈎
인 도형의 넓이의 2배이다.
곡선 y=f{x}와 직선 y=x의 교점의 x좌표는
x#-3x@+3x=x
x{x-1}{x-2}=0
∴ x=0 또는 x=1 또는 x=2
yy`㈏
y=f{x}
y=x
y=g{x}
y
2
1
O
1
2
x
56 정답과 해설
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 56
2018-04-26 오후 1:42:17
내공 점검
01~02강
내공 점검
1 2
6 ⑤
11 ②
2 ④
4
3
12 3
7
p. 74~75
5 ④
10 ①
3 -2
8 3
4 ①
9 ④
13 ⑴ b=-a ⑵ 32 14 3
1 lim
x`
!
1
f{x}+lim
2
!
x`
x+2
{x@-3x}+lim
x-1
2
!
x`
x`
g{x} =lim
1
!
=-2+4
=2
2 lim
x`
!
2
f{x}=lim
2
!
x`
{ax+b}=10이므로
2a+b=10
yy`㉠
f{x}의 값이 존재하므로
lim
1
x`
!
lim
1+
x`
!
lim
x`
1+
!
∴ a+b=7
f{x}= lim
1-
x`
f{x}
!
{ax+b}= lim
1-
!
yy`㉡
x`
{5x+2}
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=3, b=4
∴ ab=12
3 f{x}=t로 놓으면 x
`!`
lim
1-
x`
!
f{x}- lim
3+
x`
!
3+일 때, t
3+이므로
`!`
f{x}- lim
3+
t`
!
f{t}
f{ f{x}} = lim
x`
1-
!
=1-3
=-2
4 x-2=t로 놓으면 x
`!`
`f{t}
`f{x-2}
=lim
lim
t
x-2
0
t`
2
x`
!
!
=a
2일 때, t
0이므로
`!`
`f{x}
즉, lim
x
0
x`
!
=a이므로
3x+f{x}
lim
2x+f{x}
0
x`
!
=lim
0
x`
!
=
3+a
2+a
=4
3+
2+
f{x}
x
f{x}
x
3+a=8+4a
-3a=5
∴ a=-
5
3
5 ④ lim
x`
!
E
x+1
jxk+1
jxk+
=lim
x`
E
1+
!
1
jxk
1
jxk
=E
x@-x
6 ㄱ. lim
x#-1
x`
1
!
=lim
1
x`
!
x{x-1}
{x-1}{x@+x+1}
x
=lim
x@+x+1
1
x`
!
1
3
=
x-
ㄴ. lim
0
x`
x+
!
1
x
1
x
=lim
0
x`
!
x@-1
x@+1
=-1
ㄷ. lim
x`
E
!
{j2x+4l-j2x+1l}
x`
!
{j2x+4l-j2x+1l}{j2x+4l+j2x+1l}
=lim
j2x+4l+j2x+1l
E
=0
3
=lim
j2x+4l+j2x+1l
E
따라서 극한값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
!
x`
xf{x}-3x
7 lim
x#-x@-2x
x`
2
!
x9 f{x}-30
=lim
x{x+1}{x-2}
2
x`
!
f{x}-3
=lim
{x+1}{x-2}
2
x`
!
f{x}-3
=lim
2
x`
!
!
x`
2
1
x-2 \lim
x+1
=4\
=
1
3
4
3
8 x=-t로 놓으면 x
-E일 때, t
E이므로
`!`
lim
-E
x`
!
=lim
t`
E
!
`!`
{14x@-3ax3+2x}
{14t@+at3-2t}
{14t@+at3-2t}{14t@+at3+2t}
=lim
14t@+at3+2t
t`
E
!
at
=lim
14t@+at3+2t
t`
E
!
1
a
2
4
=
=
∴ a=2
x#-a#
∴ lim
x@-a@
a
x`
!
{x-2}{x@+2x+4}
{x-2}{x+2}
x#-2#
=lim
=lim
x@-2@
2
x`
2
x`
!
!
x@+2x+4
=lim
x+2
2
x`
!
=3
=1이므로 f{x}는 최고차항의 계수가 2인
=-4에서 lim
-1 {x@-x-2}=0이므로
x`
!
9 lim
x`
`f{x}
2x@+x+2
E
!
이차함수이다.
`f{x}
-1
x@-x-2
-1 f{x}=0
lim
x`
!
lim
x`
!
∴ f{-1}=0
`f{x}
x@-x-2
lim
x`
!
-1
`f{x}=2{x+1}{x+a} {a는 상수}라고 하면
-1
= lim
x`
!
2{x+1}{x+a}
{x+1}{x-2}
2{x+a}
= lim
x-2
x`
!
2{-1+a}
-3
=-4
-1
=
∴ a=7
따라서 f{x}=2{x+1}{x+7}이므로
`f{1}=32
내공 점검 57
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 57
2018-04-26 오후 1:42:17
a f{x}=a, lim
a 9 g{x}-f{x}0=b {a, b는 실수}라고
x`
!
10 ㄱ. lim
x`
!
하면
a g{x}
lim
x`
!
=lim
!
=lim
!
x`
=b+a
x`
a 9 g{x}-f{x}+f{x}0
a 9 g{x}-f{x}0+lim
x`
a f{x}
!
ㄴ. [반례] `f{x}=g{x}=
-
1 {x>0}
-1 {x<0}
이면
lim
x`
!
0 f{x}g{x}=1이지만 lim
0 f{x}와 lim
0 g{x}의 값은
x`
x`
!
!
모두 존재하지 않는다.
ㄷ. [반례] `f{x}=
, g{x}=
이면 모든 실수 x
1
x@+2
1
x@+1
에 대하여 f{x}1일 때, x-1>0이므로 주어진 부등식의 각 변을 x-1
로 나누면
x@+2x-3
x-1
<
`f{x}
x-1
<
2x@-2
x-1
x@+2x-3
lim
x-1
1+
x`
!
{x+3}{x-1}
= lim
x-1
x`
1+
!
= lim
1+
x`
!
{x+3}=4
2x@-2
lim
x-1
1+
x`
!
2{x+1}{x-1}
x-1
1+
1+ 2{x+1}=4
`f{x}
x-1
1+
=4
= lim
x`
!
= lim
x`
!
∴ lim
x`
!
12 lim
x`
!
2+
{x-a}=2-a<2이므로
x`
!
f{ f{x}}=3-a
2+ f{x}= lim
2+ f{ f{x}}={2-a}@-1=a@-4a+3
2- {x@-1}=3>2이므로
2- f{x}= lim
x`
!
lim
x`
!
lim
x`
!
lim
2-
x`
!
f{ f{x}}의 값이 존재하기 위해서는
lim
x`
2
!
lim
x`
x`
!
!
a@-4a+3=3-a
2+ f{ f{x}}= lim
2- f{ f{x}}이어야 하므로
a@-3a=0, a{a-3}=0
∴ a=3 {∵ a>0}
채점 기준
㈎ lim
㈏ lim
x`
!
x`
!
2+ f{ f{x}}의 값을 a를 사용하여 나타낸다.
2- f{ f{x}}의 값을 a를 사용하여 나타낸다.
㈐ 양수 a의 값을 구한다.
58 정답과 해설
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
배점
3점
3점
4점
yy`㈏
yy`㈐
배점
5점
6점
1점
yy`㈎
yy`㈏
배점
5점
7점
ajx-2l+b
13 ⑴ lim
3`
x-3
{ajx-2l+b}=a+b=0
=2에서 lim
3
!
x`
x`
!
lim
3
x`
!
∴ b=-a
{x-3}=0이므로
yy`㈎
⑵ lim
x`
!
ajx-2l+b
3`
x-3
ajx-2l-a
=lim
3
x-3
x`
!
a{jx-2l-1}
=lim
3
x-3
x`
!
a{jx-2l-1}{jx-2l+1}
=lim
3
{x-3}{jx-2l+1}
x`
!
a
a
=lim
3
2
jx-2l+1
x`
!
∴ a=4, b=-4
∴ a@+b@=32
=2
=
채점 기준
㈎ b를 a에 대한 식으로 나타낸다.
㈏ a, b의 값을 구한다.
㈐ a@+b@의 값을 구한다.
14 2f{x}-3g{x}=h{x} yy ㉠
라고 하면 /x\, h{x}=2이고, lim
이므로
E
!
x`
h{x}
`f{x}
=0
lim
E
x`
!
㉠에서 3g{x}=2f{x}-h{x}이므로
f{x}=E {또는 -E}
8f{x}-3g{x}
3g{x}
lim
E
x`
!
=lim
E
x`
!
=lim
E
x`
!
6f{x}+h{x}
2f{x}-h{x}
h{x}
f{x}
h{x}
f{x}
2-
6+
=3
채점 기준
㈎ 2f{x}-3g{x}=h{x}로 놓고 lim
의 값을 구
h{x}
`f{x}
E
x`
!
한다.
㈏ lim
x`
!
E
8f{x}-3g{x}
`3g{x}
의 값을 구한다.
03~04강
내공 점검
1 ②
6 ④
11 157
2 ㄱ, ㄷ
7 ①
12 3개
3 ⑤
8 ④
4 ③
9 ④
p. 76~77
5 ⑤
10 -6
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 58
2018-04-26 오후 1:42:18
1 ㄱ. lim
f{x}=lim
0
!
x`
{x@+1}=1
x`
0
!
이때 lim
0
!
x`
연속이다.
f{x}=f{0}이므로 함수 f{x}는 x=0에서 불
ㄴ. lim
0+
x`
!
lim
0-
x`
!
∴ lim
0
!
x`
g{x}= lim
0+
g{x}= lim
0-
!
x`
x`
{|x|+3}= lim
0+
{|x|+3}= lim
0-
!
x`
x`
!
!
g{x}=3
{x+3}=3
{-x+3}=3
g{x}=g{0}이므로 함수 g{x}는 x=0에서
이때 lim
0
!
x`
연속이다.
ㄷ. lim
0+
x`
!
|x|
h{x}= lim
x
0+
x`
!
= lim
0+
x`
!
x
x
=1
lim
0-
x`
!
|x|
h{x}= lim
x
0-
-x
x
h{x}가 존재하지 않으므로 함수 h{x}는
= lim
0-
x`
!
=-1
!
x`
따라서 lim
0
!
x=0에서 불연속이다.
x`
따라서 x=0에서 연속인 함수는 ㄴ이다.
2 ㄱ. lim
f{x}=1
f{x}=1, lim
0-
x`
x`
!
0+
x`
f{x}=1
!
∴ lim
0
!
f{x}=1, lim
1-
f{x}= lim
1-
!
즉, lim
1+
ㄴ. lim
1+
x`
!
x`
x`
x`
!
!
서 불연속이다.
f{x}=0
f{x}이므로 함수 f{x}는 x=1에
f{x}=3
ㄷ. ! lim
x`
-1+
f{x}=0, lim
x`
-1-
f{x}= lim
-1-
x=-1에서 불연속이다.
!
즉, lim
x`
!
-1+
!
!
x`
@ f{0}=1, lim
f{x}=1에서 lim
0
!
함수 f{x}는 x=0에서 연속이다.
!
x`
x`
0
f{x}이므로 함수 f{x}는
f{x}=f{0}이므로
ㄴ과 !, @에 의하여 함수 f{x}가 불연속인 점은
x=-1, x=1의 2개이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
3 함수 f{x}가 x=2에서 연속이려면 lim
f{x}=f{2}이어야
x`
!
2
하므로
1x@+3a3=j4+3al=a
lim
x`
2
!
4+3a=a@, a@-3a-4=0
{a+1}{a-4}=0 ∴ a=4 {∵ a>0}
4 함수 f{x}가 x=a에서 연속이면
a- f{x}
lim
x`
!
lim
x`
!
a+ f{x}= lim
a+ f{x} = lim
!
!
x`
x`
a+
=a@+3a-7
{[x]@+3[x]-7}
lim
x`
!
a- f{x} = lim
x`
a- {[x]@+3[x]-7}
={a-1}@+3{a-1}-7
!
따라서 a@+3a-7={a-1}@+3{a-1}-7이므로
2a+2=0 ∴ a=-1
5 f{x} =1-
x-
1
1
x-
2
x
=1-
1
x
x@-2
x-
=1-
x@-2
x#-3x
따라서 x=0, x@-2=0, x#-3x=0일 때, 함수 f{x}가
정의되지 않으므로 불연속이 되는 x의 값은 -j3, -j2, 0,
j2, j3의 5개이다.
6 ! 함수 f{x}는 x=0에서 불연속이므로 함수 f{ f{x}}는
`f{x}=0을 만족하는 x=-2와 x=2에서 불연속이다.
한편 f{x}=t로 놓으면 x
x
!
0+이므로
0+일 때 t
-2+,
!
0-일 때 t
f{ f{x}}= lim
-2+
!
f{t}=0
f{ f{x}}= lim
0+
f{t}=-2
t`
!
t`
!
!
lim
0+
x`
!
lim
0-
x`
!
즉, lim
0
!
x`
f{ f{x}}가 존재하지 않으므로 함수 f{ f{x}}는
x=0에서 불연속이다.
따라서 함수 f{ f{x}}가 불연속인 점은 3개이므로
a=3
@ 함수 g{x}는 x=-1에서 불연속이므로 함수 g{`f{x}}
는 f{x}=-1을 만족하는 x의 값에서 불연속이다.
이때 함수 y=f{x}의 그래프에서 f{x}=-1을 만족하
는 x의 값은 2개이다.
한편 !에서와 같이 f{x}=t로 놓으면
g{t}=-1
g{ f{x}}= lim
-2+
t`
!
g{ f{x}}= lim
0+
t`
!
g{t}=2
lim
0+
x`
!
lim
0-
x`
!
즉, lim
0
!
x`
g{ f{x}}가 존재하지 않으므로 함수 g{`f{x}}
는 x=0에서 불연속이다.
따라서 함수 g{ f{x}}가 불연속인 점은 3개이므로
b=3
!, @에 의하여 a+b=6
7 x=1일 때, f{x}=
2x@+2x+a
x-1
함수 f{x}가 x=1에서 연속이므로
lim
1
x`
!
f{x}=f{1}
=f{1}
yy`㉠
2x@+2x+a
lim
x-1
1
x`
!
㉠에서 lim
1
!
x`
lim
x`
1
!
∴ a=-4
{x-1}=0이므로
{2x@+2x+a}=4+a=0
a=-4를 ㉠에 대입하면
2x@+2x-4
lim
x-1
1
x`
!
2{x+2}{x-1}
x-1
=lim
x`
1
!
=lim
1
x`
!
=6=f{1}
2{x+2}
∴ a+f{1}=-4+6=2
내공 점검 59
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 59
2018-04-26 오후 1:42:18
8
가 연속함수이려면 모든 실수 x에 대하여 f{x}=0이
g{x}
`f{x}
어야 한다.
즉, 방정식 f{x}=0의 실근이 존재하지 않아야 하므로 이
방정식의 판별식을 D라고 하면
D=a@-8<0 ∴ -2j20
g{1}=f{1}-1=-4-1=-5<0
g{2}=2f{2}-7=2\5-7=3>0
이때 g{0}g{1}<0, g{1}g{2}<0이므로 사잇값의 정리에
의하여 방정식 g{x}=0은 열린구간 {0, 1}, {1, 2}에서 각
yy`㈎
각 적어도 하나의 실근을 갖는다.
또 g{-1}=0이므로 실근 x=-1을 갖는다.
따라서 방정식 xf{x}=2x@-1은 닫힌구간 [-1, 2]에서
적어도 3개의 실근을 갖는다.
yy`㈏
채점 기준
㈎ g{x}=xf{x}-2x@+1로 놓고 g{-1}, g{0},
g{1}, g{2}의 부호를 구한다.
㈏ 사잇값의 정리를 이용하여 주어진 방정식이 적어도 몇
개의 실근을 갖는지 구한다.
배점
4점
6점
05~06강
내공 점검
1 ②
6 ③
11 13
4 5
3 ④
2 ⑤
7 ①
9 10
8 5
12 ⑴ -1 ⑵ f '{x}=4-2x
p. 78~79
5 ②
10 ⑤
13 -18
1 x의 값이 0에서 2까지 변할 때의 평균변화율은
`f{2}-f{0}
2-0
=
`4a+2
2
=2a+1
`f '{x}=3x@+2ax-3이므로 x=-1에서의 미분계수는
`f '{-1}=-2a
따라서 2a+1=-2a이므로
a=-
1
4
2 lim
0
h`
!
`f{3}-f{3-2h}
`f{3-2h}-f{3}
h
=2 lim
0
h`
!
-2h
=2 f '{3}=2\1=2
`f{x@}-f{1}
`f{x@}-f{1}
3 lim
1
x`
!
x-1
=lim
1
x`
!
=lim
1
x`
!
`f{x@}-f{1}
x-1
x@-1
=f '{1}\2=4
\
x+1
x+1
\{x+1}
따라서 곡선 y=f{x} 위의 점 {1, f{1}}에서의 접선의 기
∴ f '{1}=2
울기는 f '{1}=2이다.
4 함수 f{x}는 x=-1, x=2에서 불연속이므로
또 함수 f{x}는 x=-1, x=1, x=2에서 미분가능하지
m=2
않으므로 n=3
∴ m+n=2+3=5
5 ㄱ. lim
0+
h`
!
`f{0+h}-f{0}
`f{0+h}-f{0}
lim
0-
h`
!
h[h]
= lim
0+
h`
!
= lim
0-
h`
!
h
h
h[h]
= lim
0+ [h]=0
h`
!
= lim
0- [h]=-1
h`
!
따라서 f '{0}이 존재하지 않으므로 함수 f{x}는 x=0
에서 미분가능하지 않다.
g{0+h}-g{0}
ㄴ. lim
0+
h`
!
g{0+h}-g{0}
lim
0-
h`
!
= lim
0+
h`
!
h-|h|
h
h-h
=0
h-|h|
h
h+h
=2
= lim
0+
h`
!
h
= lim
0-
h`
!
= lim
0-
h`
!
h
따라서 g '{0}이 존재하지 않으므로 함수 g{x}는 x=0
에서 미분가능하지 않다.
ㄷ. lim
0+
h`
!
lim
0-
h`
!
k{0+h}-k{0}
h|h|
= lim
0+
h
h`
!
= lim
0+ h=0
h`
!
k{0+h}-k{0}
h|h|
= lim
0-
h
h`
!
= lim
0- {-h}=0
h`
!
따라서 k'{0}=0이므로 함수 k{x}는 x=0에서 미분
가능하다.
따라서 x=0에서 미분가능한 함수는 ㄷ이다.
h
h
h
h
h
h
6 f '{x}=1+2x+3x@+y+10x(이므로
f '{1}=1+2+3+y+10=55
f '{-1}=1-2+3-4+y+9-10=-5
∴ f '{1}+f '{-1}=55-5=50
7 함수 f{x}가 x=2에서 미분가능하면 x=2에서 연속이므로
`f{2}=lim
2 f{x}에서
x`
!
2a+b=4-4+6 / 2a+b=6
yy`㉠
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 60
2018-04-26 오후 1:42:19
2 lim
0
h`
`f{3}-f{3-2h}
h
!
=2 lim
0
h`
!
`f{3-2h}-f{3}
-2h
=2 f '{3}=2\1=2
3 lim
1
x`
`f{x@}-f{1}
x-1
!
=lim
1
x`
!
`f{x@}-f{1}
x-1
`f{x@}-f{1}
x@-1
=f '{1}\2=4
=lim
1
x`
!
\
x+1
x+1
\{x+1}
∴ f '{1}=2
따라서 곡선 y=f{x} 위의 점 {1, f{1}}에서의 접선의 기
울기는 f '{1}=2이다.
4 함수 f{x}는 x=-1, x=2에서 불연속이므로
m=2
또 함수 f{x}는 x=-1, x=1, x=2에서 미분가능하지
않으므로 n=3
∴ m+n=2+3=5
5 ㄱ. lim
0+
h`
!
`f{0+h}-f{0}
h
`f{0+h}-f{0}
h
h[h]
h
h[h]
h
0-
= lim
lim
0- [h]=-1
h`
h`
!
!
따라서 f '{0}이 존재하지 않으므로 함수 f{x}는 x=0
= lim
h`
!
0-
= lim
h`
!
0+
= lim
h`
!
0+ [h]=0
에서 미분가능하지 않다.
ㄴ. lim
h`
0+
!
g{0+h}-g{0}
h
= lim
h`
!
0+
= lim
h`
!
0+
h-|h|
h
h-h
h
=0
h-|h|
h
h+h
h
g{0+h}-g{0}
h
lim
h`
!
0-
= lim
h`
!
0-
= lim
h`
!
따라서 g '{0}이 존재하지 않으므로 함수 g{x}는 x=0
0-
=2
에서 미분가능하지 않다.
ㄷ. lim
h`
0+
!
k{0+h}-k{0}
h
k{0+h}-k{0}
h
h|h|
h
h|h|
h
= lim
h`
!
0+
= lim
h`
!
0+ h=0
0-
lim
= lim
0- {-h}=0
h`
h`
!
!
따라서 k'{0}=0이므로 함수 k{x}는 x=0에서 미분
= lim
h`
!
0-
가능하다.
따라서 x=0에서 미분가능한 함수는 ㄷ이다.
6 f '{x}=1+2x+3x@+y+10x(이므로
f '{1}=1+2+3+y+10=55
f '{-1}=1-2+3-4+y+9-10=-5
∴ f '{1}+f '{-1}=55-5=50
7 함수 f{x}가 x=2에서 미분가능하면 x=2에서 연속이므로
`f{2}=lim
!
x`
2 f{x}에서
2a+b=4-4+6 / 2a+b=6
yy`㉠
또 f '{2}가 존재하므로
f{2+h}-f{2}
h
f{2+h}-f{2}
h
lim
h`
!
0+
lim
h`
!
0-
= lim
h`
!
0+
= lim
h`
!
0-
=2
a{2+h}+b-{2a+b}
h
=a
{2+h}@-2{2+h}+6-6
h
/ a=2
a=2를 ㉠에 대입하면
4+b=6 ∴ b=2
따라서 f{x}=
-
`f{3}=6+2=8
{x>2}
2x+2
x@-2x+6 {x<2}
이므로
8 f{x}=x&-2x^+3x%-2x$+x#이라고 하면 f{1}=1
f '{x}=7x^-12x%+15x$-8x#+3x@
∴ lim
1
x`
!
x&-2x^+3x%-2x$+x#-1
x-1
=lim
1
x`
!
f{x}-1
x-1
f{x}-f{1}
x-1
=f '{1}=7-12+15-8+3=5
=lim
1
x`
!
f{x}-1
x-2
9 lim
2
2 9 f{x}-10=f{2}-1=0
=3에서 lim
!
x`
x`
!
lim
x`
!
∴ f{2}=1
2 {x-2}=0이므로
∴ lim
2
x`
!
f{x}-1
x-2
f{x}-f{2}
x-2
=lim
2
x`
!
=f '{2}=3
g{x}-3
x-2
=1에서 lim
!
lim
2
x`
!
2 9 g{x}-30=g{2}-3=0
lim
x`
!
∴ g{2}=3
x`
2 {x-2}=0이므로
∴ lim
2
x`
!
g{x}-3
x-2
g{x}-g{2}
x-2
=lim
2
x`
!
=g '{2}=1
h'{x}=f '{x}g{x}+f{x}g '{x}이므로
h'{2} =f '{2}g{2}+f{2}g '{2}
=3\3+1\1=10
10 다항식 x%-23x@+ax+b를 {x-2}@으로 나누었을 때의
yy ㉠
몫을 Q{x}라고 하면
x%-23x@+ax+b={x-2}@ Q{x}
㉠의 양변에 x=2를 대입하면
32-92+2a+b=0 / 2a+b=60 yy ㉡
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면
5x$-46x+a=2{x-2}Q{x}+{x-2}@ Q'{x}
위의 식의 양변에 x=2를 대입하면
80-92+a=0 / a=12
a=12를 ㉡에 대입하면
24+b=60 / b=36
/ a+b=12+36=48
내공 점검 61
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 61
2018-04-26 오후 1:42:19
11 f{1}=2, g{1}=2이므로
`f{1+2h}-g{1-h}
h
lim
0
h`
!
9 f{1+2h}-20-9 g{1-h}-20
=lim
0
h
h`
!
`f{1+2h}-f{1}
h
=lim
0
h`
!
-lim
0
h`
!
g{1-h}-g{1}
h
g{1-h}-g{1}
-h
+lim
0
h`
!
=2 lim
0
h`
!
`f{1+2h}-f{1}
2h
=2 f '{1}+g'{1}
이때 f '{x}=1+2x, g'{x}=3x@+4x#이므로
`f '{1}=3, g'{1}=7
`f{1+2h}-g{1-h}
h
∴ lim
0
h`
!
=2 f '{1}+g'{1}
=2\3+7
=13
채점 기준
㈎ `f{1}, g{1}의 값을 구한다.
㈏ 주어진 극한값을 미분계수를 이용하여 나타낸다.
㈐ `f '{1}, g'{1}의 값을 구한다.
㈑ 주어진 극한값을 구한다.
12 ⑴ `f{x+y}=f{x}+f{y}-2xy+1의 양변에 x=0, y=0
을 대입하면
`f{0}=f{0}+f{0}+1
∴ f{0}=-1
⑵ `f '{x} =lim
0
!
h`
`f{x+h}-f{x}
h
9 f{x}+f{h}-2xh+10-f{x}
h
`f{h}+1
h
-2x
=
`f{0+h}-f{0}
h
-2x
=lim
0
h`
!
=lim
h`
!
0 -
=lim
0
h`
!
=f '{0}-2x
=4-2x
채점 기준
㈎ `f{0}의 값을 구한다.
㈏ `f '{x}를 도함수의 정의와 주어진 식을 이용하여 나타
낸다.
㈐ `f '{x}를 구한다.
13 f '{x}= 2{3x@-4}{5x#+x@}
+{2x-1}\6x\{5x#+x@}
+{2x-1}{3x@-4}{15x@+2x}
이므로
f '{1}=2\{-1}\6+1\6\6+1\{-1}\17=7
yy`㈎
f '{-1} =2\{-1}\{-4}+{-3}\{-6}\{-4}
yy`㈏
+{-3}\{-1}\13
=-25
∴ f '{1}+f '{-1}=7-25=-18
62 정답과 해설
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
yy`㈑
배점
2점
4점
2점
2점
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
배점
3점
4점
3점
채점 기준
㈎ f '{x}를 구한다.
㈏ f '{1}의 값을 구한다.
㈐ f '{-1}의 값을 구한다.
㈑ f '{1}+f '{-1}의 값을 구한다.
배점
3점
3점
3점
1점
07~09강
내공 점검
3 ②
2 6
1 2
6 ②
8 ③
7 ①
9 a<-4 또는 a>2 10 ⑤
13 77
p. 80~81
4 ④
5 ⑤
11 -16
12 -56
1 f{x}=x#-3x@+2x+1이라고 하면
f '{x}=3x@-6x+2
접선의 기울기가 2이므로 3x@-6x+2=2에서
3x@-6x=0
3x{x-2}=0
∴ x=0 또는 x=2
따라서 P{0, 1}, Q{2, 1} 또는 P{2, 1}, Q{0, 1}이므로
P
=2
Q
2 f{x}={2x+3}{x@+1}이라고 하면
f '{x}=6x@+6x+2
점 {-1, 2}에서의 접선의 기울기는 f '{-1}=2이므로 접
선의 방정식은
y-2=2{x+1}
∴ y=2x+4
따라서 a=2, b=4이므로
a+b=6
3 f{x}=x#-3x@+x+2라고 하면
f '{x}=3x@-6x+1
접점의 좌표를 {t, t #-3t @+t+2}라고 하면 접선의 기울
기는 f '{t}=3t@-6t+1이므로 접선 L의 방정식은
y-{t#-3t@+t+2}={3t@-6t+1}{x-t}
∴ y={3t@-6t+1}x-2t#+3t@+2
이 접선이 점 {1, 3}을 지나므로
3=-2t#+6t@-6t+3
2t{t@-3t+3}=0
yy`㉠
∴ t=0 {∵ t@-3t+3>0}
t=0을 ㉠에 대입하면 접선 L의 방정식은
y=x+2
따라서 원점 O에서 직선 x-y+2=0까지의 거리는
yy`㈐
yy`㈑
2
j1+1l
=j2
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 62
2018-04-26 오후 1:42:19
X
Z
4 함수 f{x}={x-2}{x@+2x}=x#-4x는 닫힌구간 [0, 2]
에서 연속이고 열린구간 {0, 2}에서 미분가능하며
f{0}=f{2}=0이므로 롤의 정리에 의하여 f '{c}=0인
c가 열린구간 {0, 2}에 적어도 하나 존재한다.
f '{x}=3x@-4이므로 f '{c}=3c@-4=0
따라서 c@=
4
3 이므로
c=
2j3
3 {∵ 00이므로 함수 f{x}는 x=1에서 극값을 갖지
솟값을 갖는다.
않는다.
ㄷ. `f '{5}=0이지만 x=5의 좌우에서 f '{x}의 부호가 바뀌
지 않으므로 함수 f{x}는 x=5에서 극값을 갖지 않는다.
따라서 옳은 것은 ㄱ이다.
8 f{x}=2x#+ax@+bx+4에서
`f '{x}=6x@+2ax+b
함수 f{x}가 x=-1에서 극댓값 8을 가지므로
`f{-1}=8, f '{-1}=0
`f{-1}=8에서
-2+a-b+4=8
yy`㉠
`f '{-1}=0에서
6-2a+b=0
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=-6
즉, f{x}=2x#-6x+4이므로
`f '{x}=6x@-6=6{x+1}{x-1}
`f '{x}=0에서 x=-1 또는 x=1
따라서 함수 f{x}는 x=1에서 극소이므로 극솟값은
`f{1}=2-6+4=0
9 f '{x}=9x@+4{a+1}x+4이고 삼차함수 f{x}가 극값을
가지려면 이차방정식 f '{x}=0이 서로 다른 두 실근을 가
져야 하므로 판별식을 D라고 하면
D
4
a@+2a-8>0, {a+4}{a-2}>0
∴ a<-4 또는 a>2
=4{a+1}@-36>0
10 f{x}=4x#-3x@-6x+2에서
`f '{x}=12x@-6x-6=6{2x+1}{x-1}
`f '{x}=0에서
1
2
또는 x=1
x=-
닫힌구간 [-1, 1]에서 함수 f{x}의 증가와 감소를 표로
나타내면 다음과 같다.
x
`f '{x}
-1
+
`f{x}
1
y
+
↗
-
1
2
0
15
4
극대
y
-
↘
1
0
-3
따라서 함수 f{x}는 x=-
1
2 에서 최댓값
15
4 , x=1에서
최솟값 -3을 가지므로
M=
15
4 , m=-3 ∴ M+m=
3
4
11 f{x}=x#-3x@+{k+3}x-3, g{x}=x@-2x+3이라고
하면
f '{x}=3x@-6x+k+3, g '{x}=2x-2
두 곡선이 x=t인 점에서 접한다고 하면
! x=t인 점에서 두 곡선이 만나므로
f{t}=g{t}
t#-3t @+{k+3}t-3=t @-2t+3
∴ t#-4t @+{k+5}t-6=0
@ x=t인 점에서의 두 곡선의 접선의 기울기가 같으므로
yy`㉠
yy`㉡ yy`㈎
f '{t}=g '{t}
3t @-6t+k+3=2t-2
∴ k=-3t @+8t-5
㉡을 ㉠에 대입하면
t#-4t @+{-3t @+8t-5+5}t-6=0
t#-2t @+3=0, {t+1}{t @-3t+3}=0
∴ t=-1 {∵ t @-3t+3>0}
t=-1을 ㉡에 대입하면
k=-3-8-5=-16
채점 기준
㈎ 두 곡선이 x=t인 점에서 접한다고 놓고 t, k 사이의
관계식을 세운다.
㈏ t의 값을 구한다.
㈐ k의 값을 구한다.
yy`㈏
yy`㈐
배점
4점
4점
2점
내공 점검 63
19고등(수학2)_내공_해설(01~72)-OK.indd 63
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12 f{x}=2ax#-3ax@에서
f '{x}=6ax@-6ax=6ax{x-1}
f '{x}=0에서 x=0 또는 x=1
a>0이므로 닫힌구간 [-2, 2]에서 함수 f{x}의 증가와
감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
-2 y
+
`f '{x} +
`f{x} -28a ↗
0
0
0
극대
y
-
↘
1
0
-a
극소
y
+
↗
2
+
4a
이때 a>0이므로 함수 f{x}의 최댓값은 4a, 최솟값은
-28a이다.
즉, 함수 f{x}의 최댓값은 8이므로
4a=8 ∴ a=2
따라서 함수 f{x}의 최솟값은
-28a=-28\2=-56
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
채점 기준
㈎ 함수 f{x}의 최댓값과 최솟값을 a에 대한 식으로 나타낸다.
㈏ a의 값을 구한다.
㈐ 함수 f{x}의 최솟값을 구한다.
배점
6점
2점
2점
13 BP
PC
=x {00이므로 t=1일 때와
t=4일 때의 운동 방향은 서로 반대이다.
따라서 옳은 것은 ㄷ이다.
3 f{x}=x#-6x@+9x+a라고 하면
7 t초 후의 공의 속도를 v m/s라고 하면
f '{x}=3x@-12x+9=3{x-1}{x-3}
f '{x}=0에서 x=1 {∵ 0g{x}이어야 하므로 f{x}-g{x}>0이어야 한다.
h{x}=f{x}-g{x}라고 하면
h{x}=x$-4x#-2x@+12x+a
h'{x} =4x#-12x@-4x+12
=4{x+1}{x-1}{x-3}
h'{x}=0에서
x=-1 또는 x=1 또는 x=3
함수 h{x}의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
h '{x} -
h{x}
y -1 y
+
0
1
y
0
+
↘ a-9 ↗ a+7 ↘ a-9 ↗
y
-
3
0
함수 h{x}는 x=-1 또는 x=3에서 최솟값 a-9를 가지
므로 h{x}>0이려면
a-9>0 ∴ a>9
따라서 정수 a의 최솟값은 10이다.
5 점 M의 시각 t에서의 위치를 xm이라고 하면
{2t#-7t@}+{-t@+8t}
2
xm =
=t#-4t@+4t
점 M의 시각 t에서의 속도를 v라고 하면
v=
dxm
dt
=3t@-8t+4={3t-2}{t-2}
v=0에서 t=
2
3 또는 t=2
8 t초 후의 두 점 A, B의 좌표는 각각 {2t, 0}, {0, 2t}이므
v =
dx
dt
=20-10t
최고 높이에서 공의 속도는 0 m/s이므로
v=20-10t=0
∴ t=2
따라서 공이 도달하는 최고 높이는
x =30+20\2-5\2@
=50 {m}
=l이라고 하면
로 선분 AB의 중점의 좌표는
C{t, t}
OC
l=1t @+t @3=j2t {∵ t>0}
따라서 OC
dl
dt
의 길이의 변화율은
=j2
원의 넓이를 S cm@라고 하면
S=p{2t}@=4pt@
∴
dS
dt
=8pt
9 t초 후의 가장 바깥쪽 원의 반지름의 길이는 2t cm이므로
따라서 t=5일 때, 가장 바깥쪽 원의 넓이의 변화율은
8p\5=40p {cm@/s}
10 t초 후의 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 {4+t} cm, 높
이는 {6+2t} cm이다.
t초 후의 원기둥의 부피를 V cm#라고 하면
V =p{4+t}@{6+2t}=2p{4+t}@{3+t}
시각 t에 대한 부피 V의 변화율은
dV
dt
=4p{4+t}{3+t}+2p{4+t}@
=2p{4+t}{6+2t+4+t}
=2p{4+t}{10+3t}
6+2t=16에서
t=5
내공 점검 65
2
따라서 점 M이 처음으로 운동 방향을 바꾸는 시각은
3 이다.
따라서 t=5일 때, 원기둥의 부피의 변화율은
2p\{4+5}\{10+15}=450p {cm#/s}
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Z
Z
11 f{x}=x#-3x@-24x+k라고 하면
f '{x} =3x@-6x-24
=3{x+2}{x-4}
x>4에서 f '{x}=0인 x의 값이 없으므로 함수 f{x}는 최
솟값이 없다.
그런데 x>4에서 f '{x}>0이므로 함수 f{x}는 x>4에서
yy`㈎
증가한다.
따라서 x>4일 때, f{x}>0이 성립하려면 f{4}>0이어야
yy`㈏
하므로
f{4}=4#-3\4@-24\4+k=k-80>0
∴ k>80
따라서 k의 최솟값은 80이다.
채점 기준
㈎ 함수 f{x}의 최솟값이 없음을 안다.
㈏ 함수 f{x}가 x>4에서 증가함을 안다.
㈐ k의 최솟값을 구한다.
yy`㈐
배점
2점
2점
6점
12 점 P의 시각 t에서의 속도를 v, 가속도를 a라고 하면
v=3t@+2mt+n, a=6t+2m
t=3일 때, 점 P의 속도는 0, 가속도는 8이므로
27+6m+n=0, 18+2m=8
yy`㈎
yy`㈏
위의 두 식을 연립하여 풀면
m=-5, n=3
따라서 v=3t@-10t+3이므로 t=5일 때, 점 P의 속도는
3\5@-10\5+3=28
yy`㈐
yy`㈑
채점 기준
㈎ 점 P의 시각 t에서의 속도와 가속도를 구한다.
㈏ m, n에 대한 식을 세운다.
㈐ m, n의 값을 구한다.
㈑ t=5일 때, 점 P의 속도를 구한다.
배점
3점
2점
2점
3점
13 t초 후의 풍선의 반지름의 길이를 r cm라고 하면
r=4+0.2t
풍선의 반지름의 길이가 6 cm가 될 때의 시각은
4+0.2t=6에서
t=10
풍선의 겉넓이를 S cm@라고 하면
S=4p{4+0.2t}@
시각 t에 대한 겉넓이 S의 변화율은
dS
dt
=8p{4+0.2t}\0.2
=1.6p{4+0.2t}
따라서 t=10일 때, 풍선의 겉넓이의 변화율은
1.6p{4+0.2\10}=9.6p {cm@/s}
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
채점 기준
㈎ 풍선의 반지름의 길이가 6 cm가 될 때의 시각을 구한다.
㈏ 시각 t에 대한 겉넓이 S의 변화율을 구한다.
㈐ t=10일 때, 풍선의 겉넓이의 변화율을 구한다.
배점
3점
4점
3점
66 정답과 해설
12~14강
내공 점검
1 ②
6 ③
11 29
2 ①
5
2
12 32
7
3 ⑤
8 ④
13 4
p. 84~85
5 ③
10 ②
4 1
9 ①
1 `주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
`f{x}=x#-6x@+8x+2
∴ f{2}=8-24+16+2=2
2 f '{x}=3x@-6x+a이므로
`f{x} =/ {3x@-6x+a}`dx=x#-3x@+ax+C
이때 곡선 y=f{x}가 점 {1, 0}을 지나므로
1-3+a+C=0
yy`㉠
또 점 {-1, 0}을 지나므로
-1-3-a+C=0
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, C=3
즉, f{x}=x#-3x@-x+3={x+1}{x-1}{x-3}이므
로 방정식 f{x}=0의 근은 x=-1 또는 x=1 또는 x=3
/ -1\1\3=-3
3 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
`f{x}+6x=f{x}+x f '{x}+6x@-6x
xf '{x}=-6x@+12x
∴ f '{x}=-6x+12
위의 식의 양변을 x에 대하여 적분하면
`f{x}=/ {-6x+12}`dx=-3x@+12x+C
`f{0}=3에서 C=3
따라서 f{x}=-3x@+12x+3=-3{x-2}@+15이므로
x=2에서 최댓값 15를 갖는다.
4 /-a@A {3x@+2x}`dx =
x#+x@
}-a@A
{
={8a#+4a@}-{-a#+a@}
=9a#+3a@
9a#+3a@=12이므로
3a#+a@-4=0, {a-1}{3a@+4a+4}=0
∴ a=1 {∵ a는 실수}
5 /1$ f{x}`dx-/2$ f{x}`dx+/0! f{x}`dx
=/1$ f{x}`dx+/4@ f{x}`dx+/0! f{x}`dx
=/1@ f{x}`dx+/0! f{x}`dx
=/0@ f{x}`dx=/0@ {x#-2}`dx
=
1
{
4
x$-2x }0@=0
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6
4
?n=1
an =/0! | f{x}|`dx+/1@ | f{x}|`dx+/2# | f{x}|`dx
+/3$ | f{x}|`dx
이때 닫힌구간 [0, 2]에서 3x@-6x<0이고, 닫힌구간
[2, 4]에서 3x@-6x>0이므로
4
?n=1
an =/0@ | f{x}|`dx+/2$ | f{x}|`dx
9 주어진 식의 양변에 x=2를 대입하면
0=8-4a ∴ a=2
/2X t f{t}`dt=x#-2x@의 양변을 x에 대하여 미분하면
x f{x}=3x@-4x
따라서 f{x}=3x-4이므로
f{1}=3-4=-1
=/0@ {-3x@+6x}`dx+/2$ {3x@-6x}`dx
10 주어진 식에서
x#-3x@ }2$
{
=
-x#+3x@ }0@+
{
=4+20
=24
x+1 {-2-x#+2x@
y
y=x@-2x
O-1
2
x
y=-x#+2x@
이고, 닫힌구간 [0, 2]에서
-x#+2x@>x@-2x이므로 구하는 도형의 넓이는
/-1) 9{x@-2x}-{-x#+2x@}0`dx
+/0@ 9{-x#+2x@}-{x@-2x}0`dx
=/-1) {x#-x@-2x}`dx+/0@ {-x#+x@+2x}`dx
=
1
{
4
=
5
12
x$-
1
3
+
=
8
3
x#-x@ }-1) +
37
12
-
{
1
4
x$+
x#+x@ }0@
1
3
5 f{x}=x@-x+1이라고 하면 f '{x}=2x-1
점 {1, 1}에서의 접선의 기울기는 f '{1}=1
점 {1, 1}에서의 접선의 방정식은 y=x
곡선 y=x@-x+1과 직선
y=x의 교점의 x좌표는
x@-x+1=x에서
x@-2x+1=0, {x-1}@=0
∴ x=1 (중근)
닫힌구간 [0, 1]에서
x@-x+1>x
O
y
1
이므로 구하는 넓이는
y=x@-x+1
y=x
1
x
O
21
x
/0! 9{x@-x+1}-x0`dx =/0! {x@-2x+1}`dx
1
3
x#-x@+x
1
{
3
}0!=
=
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6 방정식 f{x}=g{x}, 즉 f{x}-g{x}=0의 해가 -1, 1, 2
9 00이고, 1g{x}이므로
S1 =/-1! 9 f{x}-g{x}0`dx
=/-1! a{x#-2x@-x+2}`dx
=a/-1! {x#-x}`dx+a/-1! {-2x@+2}`dx
=0+2a/0! {-2x@+2}`dx
=2a
-
{
x#+2x }0!
2
3
16
3
=
a=
8
3
∴ a=2
닫힌구간 [1, 2]에서 g{x}>f{x}이므로
S2 =/1@ 9 g{x}-f{x}0`dx
=/1@ 9-2{x#-2x@-x+2}0`dx
=-2
x$-
x#-
2
3
1
2
x@+2x }1@
1
{
4
=
5
6
7 a초 후에 물체가 땅에 떨어진다고 하면 그때의 물체의 위
치는 0이므로
500+/0A {-10t}`dt=0
500+
-5t @ }0A=0
{
500-5a@=0
a@=100
∴ a=10 {∵ a>0}
따라서 물체가 땅에 떨어질 때까지 걸리는 시간은 10초이다.
8 t=0에서의 점 P의 위치를 a라고 하면
-
x{t} =a+/0T [
1
10
=a+
{
-
3
10
t@+3t
dt
]`
t#+
3
2
t@ }0T
=-
t#+
t@+a
1
10
3
2
3
10
x'{t}=v{t}=-
t@+3t=0에서
-
3
10
t{t-10}=0
∴ t=0 또는 t=10
따라서 x{t}는 t=10에서 최댓값 50+a를 가지므로
50+a=58 ∴ a=8
/0@ |2-2t#|`dt
=/0! {2-2t#}`dt+/1@ {-2+2t#}`dt
=
2t-
{
t$ }0!+
{
-2t+
t$
}1@
1
2
1
2
=
+
3
2
11
2
=7
1
2
1
2
1
2
1
2
10 ㄱ. 출발 후 2초 동안 점 P가 움직인 거리는
\2\2=2
\2\1=1
출발 후 2초 동안 점 Q가 움직인 거리는
따라서 출발 후 2초 동안 점 P가 움직인 거리는 점 Q가
움직인 거리의 2배이다.
ㄴ. t=4일 때, 두 점 P, Q의 속도는 1로 같다.
ㄷ. 출발한 지 6초 후 점 P의 위치는
\6\2=6
출발한 지 6초 후 점 Q의 위치는
\2\1+2\1+
\{1+2}\2=6
1
2
따라서 위치가 같으므로 t=6일 때, 두 점 P, Q는 만난다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
11 곡선 y=x{x-2}{x-a}와 x
y
y=x{x-2}{x-a}
O
2
a
x
yy`㈏
축의 교점의 x좌표는
x{x-2}{x-a}=0에서
x=0 또는 x=2 또는 x=a
곡선과 x축으로 둘러싸인 두 도
yy`㈎
형의 넓이가 같으므로
/0A x{x-2}{x-a}`dx=0
/0A 9x#-{a+2}x@+2ax0`dx=0
1
{
4
x$-
a+2
3
x#+ax@
}0A=0
-
1
12
a$+
a#=0
1
3
a$-4a#=0
a#{a-4}=0
∴ a=4 {∵ a>2}
채점 기준
㈎ 주어진 곡선과 x축의 교점의 x좌표를 구한다.
㈏ 곡선과 x축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 같음을 이
용하여 식을 세운다.
㈐ a의 값을 구한다.
yy`㈐
배점
4점
2점
4점
내공 점검 69
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12 ⑴ `f{x}=
x#-2x@+3x+2에서
1
3
`f '{x}=x@-4x+3
이때 f '{0}=3이므로 접선 L의 방정식은
y-2=3x ∴ y=3x+2
곡선 y=f{x}와 직선 L의 교점의 x좌표는
x#-2x@+3x+2=3x+2
1
3
13 점 P의 시각 t에서의 속도를 v{t}라고 하면
v{t} =/ {6t-14}`dt
=3t@-14t+C1
yy`㈎
v{0}=10이므로 C1=10
∴ v{t}=3t@-14t+10
점 P의 시각 t에서의 위치를 x{t}라고 하면
yy`㈎
x@{x-6}=0 ∴ x=0 또는 x=6
1
3
따라서 곡선 y=f{x}와 직선 L의 교점 중 접점이 아닌
점의 x좌표는 6이다.
⑵ 닫힌구간 [0, 6]에서
3x+2>f{x}
yy`㈏
y=3x+2
y
이므로 구하는 도형의 넓이는
/0^ 9{3x+2}-f{x}0`dx
1
3
x#+2x@
dx
-
]`
=/0^ [
1
12
=
-
{
=36
x$+
x#
}0^
2
3
yy`㈐
채점 기준
y=f{x}
2
O
6
x
㈎ 접선 L의 방정식을 구한다.
㈏ 곡선 y=f{x}와 직선 L의 교점 중 접점이 아닌 점의 x
㈐ 곡선 y=f{x}와 직선 L로 둘러싸인 도형의 넓이를 구
좌표를 구한다.
한다.
배점
3점
2점
5점
x{t} =/ {3t@-14t+10}`dt
=t#-7t@+10t+C2
x{0}=0이므로 C2=0
∴ x{t}=t#-7t@+10t
x{t}=t#-7t@+10t=0에서
t{t-2}{t-5}=0
∴ t=0 또는 t=2 또는 t=5
따라서 점 P가 출발한 후 원점으로 처음 돌아오는 것은 2
yy`㈏
초 후이다.
채점 기준
㈎ 속도 v{t}를 구한다.
㈏ 위치 x{t}를 구한다.
㈐ 점 P가 출발한 후 원점으로 처음 돌아오는 시각을 구
한다.
yy`㈐
배점
4점
4점
2점
70 정답과 해설
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memo
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memo
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