1 강
지수
p. 6
1
⑴ -27의 세제곱근을 x라고 하면 x#=-27이므로
x#+27=0, {x+3}{x@-3x+9}=0
/ x=-3 또는 x=
3-3j3i
2
따라서 -27의 세제곱근 중 실수인 것은 -3이다.
⑵ 16의 네제곱근을 x라고 하면 x$=16이므로
x$-16=0, {x+2}{x-2}{x@+4}=0
/ x=-2 또는 x=2 또는 x=-2i
따라서 16의 네제곱근 중 실수인 것은 -2, 2이다.
2 ⑴ 2_#=
1
2#
=
1
8
⑵ [
1
3 ])=1
⑶ 27-
3@ ={3#}-
3@
1
3@
=3_@=
=
1
9
⑷ 160.75={2$}4#=2#=8
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 7
1 ⑴ %j-32l-$j81k =%1{-2}%3-$13$2
=-2-3=-5
⑵ #j2\#j4=#j2\4l=#12#2=2
@)j7
!)j7
⑶ %r
%j7 y=
!)j7
!)j7
@)j7
⑷ #1j64k 3\%j243l_$1j256l 3 =^12^2\%13%2_*12*2
j7
$j7 y\r
=1
\
=2\3_2=3
2 ⑴ $1{-2}$3+#j125k =$12$2+#15#2=2+5=7
⑵
=#q
#j108k
#j4
108
4 e=#j27k=#13#2=3
⑶ %132@2_{#j3}^ =%12!)2_#13^2
=2@_3@=
4
9
⑷ $1#j81k 3\1#j81k 3 =!@13$2\^13$2=#j3\#13@2
=#13\3@3=#13#2=3
3 ⑴ 5#_{5_#}_!=5#_5#=1
2!\44% =2-
⑵ 2-
2!\{2@}4%=2-
2!\22%
=2-
2!
+
2%=2@=4
⑷ 4^1a%2\#1a@2 6 ={a6%\a3@}2!={a6%
+
3@}2!
={a2#}2!=a4#
4 ⑴ 4\{2_!}@=2@\2_@=2@_@=2)=1
⑵ 23$\3-
3@\6-
3! =23$\3-
3@\{2\3}-
3!
=23$\3-
3@\2-
3!\3-
3!
=23$
-
-
3@
3!
3!\3-
2
3
=2\3_!=
⑶ $1a#b2\jabk_$1ab#2 =a4# b4!\a2! b2!_a4! b4#
=a4#
4!\b4!
4#
+
-
+
-
2!
2!
=a\b)=a
⑷ a1aja 3 =a\{a\a2!}2!=a\a2!\a4!
4!=a4&
=a!+
+
2!
5 ⑴ 7p\83" =7p\{2#}3"=7p\2p
={7\2}p=14p
j2
5}j2={2 }j2=2
2
⑵ {42j2
⑶ aj48k_aj3 =a4j3-j3=a3j3
⑷ {aj3}j12k=aj36k=a^
6 ⑴ {5j2+1}j2-1=5{j2+1}{j2-1}=5
j2
1
⑵ 4
1
j2\
1
2 ]
[
=2j2-j2=2)=1
={2@}
j2\{2_!}j2=2j2\2-j2
⑶ aj27k_aj48k\aj12k =a3j3_a4j3\a2j3
=a3j3-4j3+2j3=aj3
\2j3\b j3
3
4 }2j3=a
1
j3\bq
⑷ {a
1
j3
2
\2j3=a@b#
=3-3_!+3+2+3_!=8
⑵ {a3!-b-
3!}{a3@+a3!b-
3!+b-
3@}
={a3!-b-
3!}9{a3!}@+a3!b-
3!+{b-
3!}@0
={a3!}#-{b-
3!}#=a-b_!=a-
1
b
8 {x4!-y8!}{x4!+y8!}{x2!+y4!}{x+y2!}
=9{x4!}@-{y8!}@0{x2!+y4!}{x+y2!}
={x2!-y4!}{x2!+y4!}{x+y2!}
=9{x2!}@-{y4!}@0{x+y2!}
={x-y2!}{x+y2!}
=x@-{y2!}@=x@-y
이때 x=3, y=2이므로
7 ⑴ {32!+3-
2!}{32!-3-
2!}+{32!+3-
2!}@
={32!}@-{3-
2!}@+{32!}@+2\32!\3-
2!+{3-
2!}@
⑶ {#ja\a@_1a#2}^ ={a3!\a@_a2#}^
={a3!
+2-
2#}^={a6%}^=a%
{x4!-y8!}{x4!+y8!}{x2!+y4!}{x+y2!}
=x@-y=3@-2=7
I. 지수함수와 로그함수 1
19고등(수학1)_내공_해설(001~036)OK.indd 1
2018-04-26 오후 1:26:53
로그2 강
p. 8
1
⑴ 0=log5 1
⑵ 3=log4 64
⑶ -4=log2
1
16
2 ⑴ 진수의 조건에서 x@-4>0
{x+2}{x-2}>0 / x<-2 또는 x>2
⑵ 밑의 조건에서 x+1>0, x+1=1
x>-1, x=0 / -10
⑶ 밑의 조건에서 x-3>0, x-3=1
x>3, x=4 / 34
진수의 조건에서 5-x>0 / x<5
yy`㉠
yy`㉡
따라서 ㉠, ㉡에 의하여
30, a+1=1
/ -10
진수의 조건에서 모든 실수 x에 대하여 x @+ax+4>0이
어야 하므로 이차방정식 x @+ax+4=0의 판별식을 D라
yy`㉠
고 하면
D=a@-16<0, {a+4}{a-4}<0
/ -40}로 놓으면
xyz=0에서 k=1
aX=k에서 a=kx!
bY=k에서 b=ky!
5Z=k에서 5=kz!
yy`㉠
yy`㉡
이때
+
=
1
x
1
y
2
z 이므로 ㉠\㉡을 하면
ab =kx!\ky!=kx!
+
y!
=kz@={kz!}@
=5@=25
aX=bY=5Z=k {k>0}로 놓으면 xyz=0에서 k=1
aX=k에서 x=log a`k, bY=k에서 y=log b`k,
5Z=k에서 z=log 5`k
1
y
2
z 이므로 log k`a+log k`b=2 log k`5
이때
1
x
=
+
log k`ab=log k`25 / ab=25
26 {a+1}P={b+1}Q={c+1}R=231S의 각 변에 상용로그를
취하면
p log {a+1}=s log 231에서
=
log {a+1}
s log 231
1
p
q log {b+1}=s log 231에서
=
log {b+1}
s log 231
1
q
r log {c+1}=s log 231에서
1
r =
1
p
+
log {c+1}
s log 231
1
1
r =
q
+
log {a+1}+log {b+1}+log {c+1}
s log 231
=
log {a+1}{b+1}{c+1}
s log 231
=
1
s
이므로
log {a+1}{b+1}{c+1}=log 231
/ {a+1}{b+1}{c+1}=231
그런데 a+1>2, b+1>2, c+1>2이고
231=3\7\11
{a+1}+{b+1}+{c+1}=3+7+11=21
이므로
/ a+b+c=18
27 [x]는 x의 정수 부분, x-[x]는 x의 소수 부분을 의미한다.
㈎에서 log t의 정수 부분이 3이므로
3
5
2 이므로
1
5 ]#<
[
[
1
j5 ]%
따라서 -2<
2
3 이므로 0.2@<#j25k
⑵
=
1
2 ]
1
#j128l
므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
1
2 ]X은 밑이 1보다 작으
3&이고, 함수 y=
[
[
따라서 0.6<
7
3 이므로
1
2 ]
[
0.6
>
1
#j128l
5 함수 y=2X-2는 밑이 1보다 크므로 x의 값이 증가하면 y
6 함수 y=
1
2 ]X"!-1은 밑이 1보다 작으므로 x의 값이 증가
[
의 값도 증가한다. 즉,
x=2일 때 최대이고, 최댓값은
y=2@-2=2
x=0일 때 최소이고, 최솟값은
y=2)-2=-1
하면 y의 값은 감소한다. 즉,
x=-1일 때 최대이고, 최댓값은
y=
1
2 ]_!"!-1=0
[
x=2일 때 최소이고, 최솟값은
y=
1
2 ]@"!-1=-
7
8
[
7 y=2x@-2x+3에서 x@-2x+3=t라고 하면
t=x@-2x+3={x-1}@+2
yy`㉠
㉠의 최솟값이 2이므로 t>2
따라서 함수 y=2T은 밑이 1보다 크므로 t의 값이 증가하면
y의 값도 증가한다.
즉, t>2에서 t=2일 때 최소이고, 최솟값은
y=2@=4
8 y=3-x@+4x에서 -x@+4x=t라고 하면
t=-x@+4x=-{x-2}@+4
yy`㉠
㉠의 최댓값이 4이므로 t<4
따라서 함수 y=3T은 밑이 1보다 크므로 t의 값이 증가하면
y의 값도 증가한다.
즉, t<4에서 t=4일 때 최대이고, 최댓값은
y=3$=81
I. 지수함수와 로그함수 9
19고등(수학1)_내공_해설(001~036)OK.indd 9
2018-04-26 오후 1:26:57
5 강 로그함수
p. 20
1
⑴ y=5X"!에서 x+1=log5 y, x=log5 y-1
x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는
y=log5 x-1
1
3 ]X에서 x=log
⑵ y=
3! y
[
x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는
y=log
3! x
2 ⑴
y=log3 x
⑵
y
y=log
x
2!
1
3
x
21
x
O
-1
y
1
O
3 ⑴ y=log5 {x+2}+3
⑵ y=-log5 {-x}=log5 [
-
1
x ]
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
1 ⑴ 함수 y=log2 {x+4}-3의
그래프는 함수 y=log2 x의
그래프를 x축의 방향으로
-4만큼, y축의 방향으로 -3
y
O
-4
4
x
-1
만큼 평행이동한 것이므로 오
y=log2 {x+4}-3
른쪽 그림과 같고, 점근선의
방정식은 x=-4이다.
y
2
O
그래프는 함수 y=log
x의
2!
그래프를 x축의 방향으로 1
만큼, y축의 방향으로 4만
큼 평행이동한 것이므로 오
른쪽 그림과 같고, 점근선의
방정식은 x=1이다.
1
5
x
2 ⑴ 함수 y=-log3 {x+2}의
그래프는 함수 y=log3 x의
그래프를 x축에 대하여 대
칭이동한 후 x축의 방향으
로 - 2만큼 평행이동한 것
y
-1
O
-2
-2
7
x
y=-log3 {x+2}
이므로 오른쪽 그림과 같고,
점근선의 방정식은 x=-2이다.
10 정답과 해설
⑵ 함수
y =log
{-x+3}
=log
9-{x-3}0
3!
3!
의 그래프는 함수 y=log
x
3!
2
3
x
y
O
-1
y=log
{-x+3}
의 그래프를 y축에 대하여 대
칭이동한 후 x축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이므
로 위의 그림과 같고, 점근선의 방정식은 x=3이다.
3!
3 ⑴ log4 8=log2 2j2이고, 함수 y=log2 x는 밑이 1보다 크
므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
따라서 3>2j2이므로 log2 3>log4 8
1
4
3! 2이고, 함수
3! 16=log
3! 2=log
⑵ 3 log
3! 8,
log
y=log
3! x는 밑이 1보다 작으므로 x의 값이 증가하면
y의 값은 감소한다.
따라서 8>2이므로 3 log
3! 2<
log
3! 16
1
4
4 ⑴ log
5!
0.5=log5 2이고, 함수 y=log5 x는 밑이 1보다 크
므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
따라서 j5>2이므로 log5 j5>log
1
2 log
9이고, 함수 y=log
⑵
작으므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
9=log
0.5
4!
2!
4!
5!
x는 밑이 1보다
p. 21
따라서 7<9이므로 log
7>
4!
1
2
log
9
2!
5 함수 y=log3 x-2는 밑이 1보다 크므로 x의 값이 증가하
면 y의 값도 증가한다. 즉,
x=3일 때 최대이고, 최댓값은
y=log3 3-2=-1
x=1일 때 최소이고, 최솟값은
y=log3 1-2=-2
이 증가하면 y의 값은 감소한다. 즉,
x=-2일 때 최대이고, 최댓값은
5! {-2+3}+1=1
y=log
x=2일 때 최소이고, 최솟값은
5! {2+3}+1=0
y=log
7 y=log2 {-x@-4x}에서 -x@-4x=t라고 하면
t=-x@-4x=-{x+2}@+4
yy`㉠
㉠의 최댓값이 4이므로
t<4
따라서 함수 y=log2 t는 밑이 1보다 크므로 x의 값이 증가
하면 y의 값도 증가한다.
즉, t<4에서 t=4일 때 최대이고, 최댓값은
y=log2 4=log2`2@=2
⑵ 함수 y=log
{x-1}+4의
2!
y=log
{x-1}+4
2!
6 함수 y=log
5! {x+3}+1은 밑이 1보다 작으므로 x의 값
19고등(수학1)_내공_해설(001~036)OK.indd 10
2018-04-26 오후 1:26:58
8 y=log3 {x@-6x+12}에서 x@-6x+12=t라고 하면
t=x@-6x+12={x-3}@+3
yy`㉠
㉠의 최솟값이 3이므로 t>3
따라서 함수 y=log3 t는 밑이 1보다 크므로 x의 값이 증가
하면 y의 값도 증가한다.
즉, t>3에서 t=3일 때 최소이고, 최솟값은
y=log3 3=1
6 강 지수함수와 로그함수의 활용
p. 22
1
⑴ 2X_%=
1
4 에서 2X_%=2_@이므로
x-5=-2 / x=3
⑵ [
1
1
5 ]@X=
5 ]@X=25에서 [
2x=-2 / x=-1
1
5 ]_@이므로
[
2 ⑴ 10#_X>10j10k에서 10#_X>102#이고, 밑이 1보다 크므로
3
2
3
2 / x<
3-x>
⑵
[
1
3 ]@X_!>
2x-1log4 {5x-2}에서 밑이 1보다 크므로
x+2>5x-2 / x<1
yy`㉠
진수의 조건에서 x+2>0, 5x-2>0이므로
x>-2, x>
/ x>
yy`㉡
2
5
2
5
2
5
㉠, ㉡에 의하여
1에서 log
3! {x-3}>log
3!
1
3 이고, 밑이
yy`㉠
1보다 작으므로
1
3 / x<
x-3<
10
3
㉠, ㉡에 의하여 30이므로 x>3
yy`㉡
p. 23
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
1 9X-2\3X-3=0을 변형하면
{3X}@-2\3X-3=0
3X=t {t>0}로 치환하면
t@-2t-3=0, {t+1}{t-3}=0
/ t=3 {? t>0}
따라서 t=3X이므로
3X=3 / x=1
2 2X{2X-5}+4>0을 변형하면
{2X}@-5\2X+4>0
2X=t {t>0}로 치환하면
t@-5t+4>0, {t-1}{t-4}>0
/ 04 (? t>0)
따라서 t=2X이므로
0<2X<1 또는 2X>4
/ 2X<2) 또는 2X>2@
이때 밑이 1보다 크므로
x<0 또는 x>2
3 4\10^\a@=1.6\10&이므로
a@=4 / a=2 (? a>0)
x시간 후에 박테리아가 1.28\10*마리가 된다고 하면
4\10^\2X=1.28\10*
2X=2% / x=5
따라서 5시간 후이다.
4 정수 필터를 한 번 통과할 때마다 불순물의 양의 60 %가
통과하므로 처음 불순물의 양을 a라 하고, 정수 필터를 x
번 통과한 후의 불순물의 양이 처음 양의
81
625 이하가 된다
고 하면
60
100 ]X<
a
[
81
625 a, [
3
5 ]X<
[
밑이 1보다 작으므로 x>4
따라서 정수 필터를 최소한 4번 통과해야 한다.
3
5 ]$
5 진수의 조건에 의하여 x>0, x%>0이므로 x>0
{log2 x}@-log2 x%+6=0을 변형하면
{log2 x}@-5 log2 x+6=0
log2 x=t로 치환하면
t@-5t+6=0, {t-2}{t-3}=0
/ t=2 또는 t=3
따라서 t=log2 x이므로
log2 x=2 또는 log2 x=3
/ x=2@=4 또는 x=2#=8
이때 진수의 조건이 x>0이므로 구하는 해는
x=4 또는 x=8
I. 지수함수와 로그함수 11
19고등(수학1)_내공_해설(001~036)OK.indd 11
2018-04-26 오후 1:26:58
6 진수의 조건에 의하여
x>0, x#>0이므로 x>0
yy`㉠
{log3 x}@-log3
x#
9 >0을 변형하면
{log3 x}@-3 log3 x+2>0
log3 x=t로 치환하면
t@-3t+2>0, {t-1}{t-2}>0
/ t<1 또는 t>2
t=log3 x이므로
log3 x<1 또는 log3 x>2
/ log3 xlog3 9
이때 밑이 1보다 크므로
x<3 또는 x>9
따라서 ㉠, ㉡을 동시에 만족하는 x의 값의 범위는
09
yy`㉡
7 1.77+5 log R>9.27에서
log R>1.5, log R>log 101.5
밑이 1보다 크므로 R>10j10k
따라서 망원경의 구경은 10j10k mm 이상이다.
8 올해의 매출액을 a라 하고, 매년 r배씩 매출액을 증가시킨
다고 하면
ar%=2.5a, r%=2.5
양변에 상용로그를 취하면
log r%=log 2.5, 5 log r=0.40
log r=0.08, log r=log 1.2
/ r=1.2
따라서 매년 1.2배씩 매출액을 증가시켜야 한다.
족집게 기출문제
04~06강
p. 24~27
1 ②
6
4
7
11 ⑤
16 ④
21 ③
26 ④
2 ⑤
3 ②
7 ①
8 ⑤
9 3
12 ㄷ, ㄹ 13 ⑤
18 ①
17 -2
23 6년
22 1
1
10
27 -6
28 ⑴
4
17
10
14 ④
19 ③
24 ②
5
7
2
10 28
15 ⑤
20 ④
25 2
1
3
⑵ 2030년 29
1 f{1}=3에서 3A"B=3 / a+b=1
f{2}=27에서 3@A"B=3# / 2a+b=3
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-1
yy`㉠
yy`㉡
12 정답과 해설
따라서 f{x}=3@X_!이므로
f{-1}=3_#=
1
27
2 ① f{x+y}=a X"Y=aXa Y=f{x}f{y}
② f{x-y}=aX_Y=
f{x}
f{y}
③ f{x@}=ax@={aX}X=9 f{x}0X
aX
aY
=
x
2 ]
=a2X={aX}2!=
④ f [
⑤ f{3x}=a#X={aX}#=9 f{x}0#=3f{x}
f{x}3
4
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
3 오른쪽 그림에서 a b=a, a c=b이
므로
a 2b+c={ab}@\a c=a @b
y
b
a
y=ax
y=x
O
a
b
c d
x
4 f{a}=2이므로 3 A=2
/
f{2a}+f{-2a}
f{a}+f{-a}
=
3@A+3_@A
3A+3_A
=
4+
2+
4!
2!
=
17
10
5 함수 y=a!_X+b의 그래프의 점근선의 방정식은 y=b이므로
b=-3
함수 y=a!_X-3의 그래프가 점 {3, 1}을 지나므로
1=a_@-3, a@=
1
4 / a=
7
2
/ a-b=
-{-3}=
1
2
1
2 (? a>0)
6 두 점 P, Q의 x좌표를 각각 a, 2a라고 하면
3
2 ]_A에서
3
2 ]@A=
1
k
[
yy`㉠
3
2 ]@A+8에 ㉠을 대입하면
[
k\
k\
[
3
2 ]A=
3
2 ]@A=-4\
[
[
1
k
k\
=-4\
+8,
=7 / k=
1
k
4
k
7 함수 y=3_X"@+k=
1
3 ]X_@+k의 그래프는 함수
[
4
7
y
O
x
y=3
-x'2
+k
[
y=
1
3 ]X의 그래프를 x축의 방향으
로 2만큼, y축의 방향으로 k만큼 평
행이동한 것이므로 이 그래프가 제3
사분면을 지나지 않으려면 오른쪽
그림과 같이 y축과 만나는 점의 y좌
표가 0보다 크거나 같아야 한다.
3 @+k>0 / k>-9
따라서 상수 k의 최솟값은 -9이다.
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2018-04-26 오후 1:26:59
8 A=20.5, B=$j8=24#, C=#j2=23!이고, 밑이 1보다 크므로
15 함수 y=log
2!
{x+a}+2는 밑이 1보다 작으므로 x=-2
3
4 에서 23!<20.5<24#
1
3 <0.5<
/ C0이 모든 실수 x
에 대하여 항상 성립하려면 이차방정식
x@-2{2A+1}x-3{2A-5}=0의 판별식을 D라고 할 때
D
4 ={2A+1}@+3{2A-5}<0, 2@A+5\2A-14<0
이때 2A=t {t>0}로 치환하면
t@+5t-14<0, {t+7}{t-2}<0
/ 00)
따라서 t=2 A이므로 0<2 A<2에서 a<1
19 진수의 조건에 의하여 x>0
yy`㉠
{log2 x}@-log2 x&+10=0에서 log2 x=t로 치환하면
t@-7t+10=0, {t-2}{t-5}=0
/ t=2 또는 t=5
t=log2 x이므로 log2 x=2 또는 log2 x=5
/ x=4 또는 x=32
yy`㉡
따라서 ㉠, ㉡을 동시에 만족하는 두 실근의 차는
32-4=28
20 진수의 조건에서 x>0이고 x>8이므로
x>8
yy`㉠
log3 x+log3 {x-8}<2에서 log3 x{x-8}0, 2_X>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에
의하여
t=2X+2_X>212X\2_X3=2 (단, 등호는 x=0일 때 성립)
따라서 t>2에서 ㉠은 t=2일 때 최솟값 -1을 갖는다.
25 AB
Z =log2 k-log4
1
k
=
log2 k
3
2
CD
=log2 {k+2}-log4
Z
1
k+2
=
3
2 log2 {k+2}
사다리꼴 ABDC의 넓이가
9
2 이므로
3
2 log2 {k+2}
=
=
9
2
1
2
\2\
3
2 log2 k+
-
9
2
3
2 log2 k{k+2}=
log2 k{k+2}=log2 2#
k{k+2}=8
{k+4}{k-2}=0
/ k=2 (? k>1)
26 11이므로
a1에서 b1이므로
clogc a @>0
>
1
2
logc b
logc a
/ loga c>2 logb c
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
21 log x에서 진수의 조건에 의하여
x>0
yy`㉠
xlog x<
100
x 의 양변에 상용로그를 취하면
log xlog xa @이고, c>1이므로
탄소 배출량이 현재의 80 % 이하가 된다고 하면
log 96=log {2%\3}=5 log 2+log 3=1.9821이므로
n{1.9821-2}<3\0.3010-1 / n>5.4\\\
따라서 최소 6년 후이다.
27 함수 y=2@X의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방
향으로 n만큼 평행이동하면
y=22{x-m}+n
yy`㈎
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2018-04-26 오후 1:26:59
이 그래프를 x축에 대하여 대칭이동하면
y=-22{x-m}-n=-2_@M\4X-n
이 식이 y=-64\4X+3=-2^\4X+3과 같으므로
-2m=6, -n=3
따라서 m=-3, n=-3이므로
m+n=-6
채점 기준
㈎ 함수 y=2@X의 그래프를 평행이동한 그래프의 식을
㈏ ㈎의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식
구한다.
을 구한다.
㈐ m+n의 값을 구한다.
28 ⑴ f{2010}=2N이므로
N\2k{2010-2000}=2N
2!)K=2, 10k=1
/ k=
1
10
⑵ t년에 8배 이상이 된다고 하면
N\2 {t-2000}>8N
1
10
1
10
2 {t-2000}>2#에서 밑이 1보다 크므로
1
10 {t-2000}>3
/ t>2030
따라서 동물의 개체 수가 처음으로 2000년의 8배 이상이
yy`㈐
되는 것은 2030년이다.
채점 기준
㈎ k의 값을 구한다.
㈏ 부등식을 세운다.
㈐ 처음으로 2000년의 8배 이상이 되는 해를 구한다.
배점
2점
2점
2점
29 ! a>1일 때
함수 f{x}는 x=0에서 최솟값 -2를 갖는다.
f{0}=loga 4=-2이므로
1
4
a_@=4, a@=
그런데 a>1이므로 a의 값은 존재하지 않는다. yy`㈎
@ 01일 때, a의 값을 구한다.
㈏ 00
⑵ -
p
3 는 제4사분면의 각이므로
sin h<0, cos h>0, tan h<0
3 tan h=
sin h
cos h
=
=- j5
2
j5
3
-
2
3
16 정답과 해설
p
3@
y
1
3"
-1
-1
H
O
1
x
심으로 하고 반지름의 길이가 1
인 원의 교점을 P, 점 P에서 x
축에 내린 수선의 발을 H라고
하면 CPOH=
p
3 이므로 점 P
P
-
의 좌표는
1
2 , j3
[
2 ]
/ sin h= j3
2
, cos h=-
1
2 , tan h=-j3
2 오른쪽 그림과 같이 각의 크기가
p인 동경과 원점 O를 중심으
7
4
로 하고 반지름의 길이가 1인 원
의 교점을 P, 점 P에서 x축에
내린 수선의 발을 H라고 하면
CPOH=
p
4 이므로 점 P의 좌
y
1
O
p
4&
H4"
-1
1
x
P
-1
P
표는
2 , - j2
j2
[
2 ]
/ sin h=- j2
2
, cos h= j2
2
, tan h=-1
3 ⑴ sin h<0을 만족하는 각 h는 제3사분면 또는 제4사분면
의 각이고, cos h>0을 만족하는 각 h는 제1사분면 또
는 제4사분면의 각이다.
따라서 두 식을 동시에 만족하는 각 h는 제4사분면의
각이다.
⑵ cos h<0을 만족하는 각 h는 제2사분면 또는 제3사분면
의 각이고, tan h>0을 만족하는 각 h는 제1사분면 또는
제3사분면의 각이다.
따라서 두 식을 동시에 만족하는 각 h는 제3사분면의 각
이다.
이다.
이다.
4 ⑴ sin h>0을 만족하는 각 h는 제1사분면 또는 제2사분면
의 각이고, tan h>0을 만족하는 각 h는 제1사분면 또는
제3사분면의 각이다.
따라서 두 식을 동시에 만족하는 각 h는 제1사분면의 각
⑵ cos h<0을 만족하는 각 h는 제2사분면 또는 제3사분면
의 각이고, tan h<0을 만족하는 각 h는 제2사분면 또
는 제4사분면의 각이다.
따라서 두 식을 동시에 만족하는 각 h는 제2사분면의 각
19고등(수학1)_내공_해설(001~036)OK.indd 16
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Z
5 sin@ h+cos@ h=1에서
cos@ h=1-sin@ h=1-
9
25
=
16
25
각 h가 제3사분면의 각이면 cos h<0이므로
cos h=-
4
5
tan h=
이므로 tan h=
sin h
cos h
-
-
3
5
4
5
=
3
4
6 sin@ h+cos@ h=1에서
sin@ h=1-cos@ h=1-
=
1
4
3
4
각 h가 제4사분면의 각이면 sin h<0이므로
sin h=- j3 k
2
tan h=
이므로
tan h=
=-j3 k
sin h
cos h
- j3 k
2
1
2
7 ⑴ sin h+cos h=
1
4 의 양변을 제곱하면
sin@ h+2 sin h cos h+cos@ h=
1
16
1+2 sin h cos h=
/ sin h cos h=-
⑵ sin# h+cos# h
1
16
15
32
=
1
4
\
1+
[
15
32 ]
=
47
128
={sin h+cos h}{sin@ h-sin h cos h+cos@ h}
8 ⑴ sin h-cos h=-
1
2 의 양변을 제곱하면
sin@ h-2 sin h cos h+cos@ h=
1
4
1-2 sin h cos h=
/ sin h cos h=
⑵ sin# h-cos# h
1
4
3
8
={sin h-cos h}{sin@ h+sin h cos h+cos@ h}
11
16
3
8 ]
=-
=-
1+
1
2
\
[
9
sin h
1-cos h
-
cos h
sin h
=
sin@ h-cos h{1-cos h}
sin h{1-cos h}
=
=
sin@ h-cos h+cos@ h
sin h{1-cos h}
1-cos h
sin h{1-cos h}
=
1
sin h
10
-
cos h
1+sin h
1+sin h
cos h
{1+sin h}@-cos@ h
cos h{1+sin h}
=
=
1+2 sin h+sin@ h-{1-sin@ h}
cos h{1+sin h}
=
=
=
2 sin h+2 sin@ h
cos h{1+sin h}
2 sin h{1+sin h}
cos h{1+sin h}
2 sin h
cos h
=2 tan h
계산력 다지기
p. 32~33
1 ⑴ 470!=360!\1+110!이므로
360!\n+110! (단, n은 정수)
⑵ 780!=360!\2+60!이므로
360!\n+60! (단, n은 정수)
⑶ 1130!=360!\3+50!이므로
360!\n+50! (단, n은 정수)
⑷ -510!=360!\{-2}+210!이므로
360!\n+210! (단, n은 정수)
⑸ -600!=360!\{-2}+120!이므로
360!\n+120! (단, n은 정수)
⑹ -930!=360!\{-3}+150!이므로
360!\n+150! (단, n은 정수)
2 ⑴ 640!=360!\1+280!이므로 제4사분면의 각이다.
⑵ 880!=360!\2+160!이므로 제2사분면의 각이다.
⑶ 1060!=360!\2+340!이므로 제4사분면의 각이다.
⑷ -490!=360!\{-2}+230!이므로 제3사분면의 각이다.
⑸ -980!=360!\{-3}+100!이므로 제2사분면의 각이다.
⑹ -1040!=360!\{-3}+40!이므로 제1사분면의 각이다.
3 ⑴ 54!=54\
⑵ 72!=72\
p
180
p
180
=
3
10
p
=
p
2
5
⑶ 150!=150\
p
180
=
p
5
6
⑷
=
\
=45!
p
4
3
5
p
4
3
5
180!
p
180!
p
⑸
p=
p\
=108!
⑹
7
10
7
10
p=
p\
=126!
180!
p
II. 삼각함수 17
19고등(수학1)_내공_해설(001~036)OK.indd 17
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4 ⑴ l=3\
=
p
2 , S=
1
2
\3@\
=
p
p
6
3
4
⑵ l=4\
p=3p, S=
\4@\
p=6p
1
2
1
2
1
2
3
4
5
8
p
5
⑶ l=8\
p=5p, S=
\8@\
p=20p
⑷ h=36\
p
180
=
p
5 이므로
l=10\
=2p, S=
\10@\
=10p
⑸ h=75\
p
180
=
5
12
p이므로
l=12\
p=5p, S=
\12@\
p=30p
⑹ h=126\
p
180
=
7
10
p이므로
1
2
1
2
5
12
7
10
l=20\
p=14p, S=
\20@\
p=140p
p
6
3
4
5
8
p
5
5
12
7
10
5 각의 크기가 h인 동경과 원점 O를 중심으로 하고 반지름의
길이가 1인 원의 교점을 P라고 하면
j2
2 ]이므로
⑴ P
-
j2
2 ,
[
sin h= j2
⑵ P
-
[
sin h=
⑶ P
-
[
2 , cos h=-
1
2 ]이므로
j3
2 ,
1
2 , cos h=-
1
2 ]이므로
j3
2 , -
1
2 , cos h=-
sin h=-
⑷ P
-
[
sin h=-
⑸ P
1
2 , -
[
sin h=-
⑹ P
j3
2 , -
[
j2
2 ]이므로
j2
2 , -
j2
2 , cos h=-
j3
2 ]이므로
j3
2 , cos h=
1
2 ]이므로
1
2 , cos h=
sin h=-
j2
2 , tan h=-1
j3
2 , tan h=-
j3
3
2 , tan h= j3
j3
3
j2
2 , tan h=1
1
2 , tan h=-j3
j3
2 , tan h=-
j3
3
tan h=
=
=
sin h
cos h
4
3
5$
5#
⑵ sin@ h=1-cos@ h=1-
16
25
이때 각 h가 제2사분면의 각이므로
9
25
=
sin h=
4
5
tan h=
sin h
cos h
=
=-
4
3
5$
-
5#
⑶ cos@ h=1-sin@ h=1-
144
169
이때 각 h가 제3사분면의 각이므로
25
169
=
cos h=-
12
13
tan h=
sin h
cos h
=
=
5
12
⑷ sin@ h=1-cos@ h=1-
=
4
9
5
9
이때 각 h가 제4사분면의 각이므로
sin h=-
j5
3
tan h=
sin h
cos h
=
=-
j5
2
-
-
5
13
12
13
-
j5
3
2
3
8 ⑴ sin h+cos h=
1
3 의 양변을 제곱하면
sin@ h+2 sin h cos h+cos@ h=
1
9
1+2 sin h cos h=
/ sin h cos h=-
1
9
4
9
⑵
1
sin h
+
1
cos h
=
cos h+sin h
sin h cos h
1
3
=-
3
4
-
4
9
=
⑶ {sin h-cos h}@
=sin@ h-2 sin h cos h+cos@ h
=1-2 sin h cos h
=1-2\
-
[
4
9 ]
=
17
9
/ |sin h-cos h|=
j17k
3
⑷ sin# h+cos# h
6 ⑴ 제1사분면
⑵ 제3사분면
⑶ 제2사분면
⑷ 제4사분면
18 정답과 해설
7 ⑴ cos@ h=1-sin@ h=1-
16
25
=
9
25
이때 각 h가 제1사분면의 각이므로 cos h=
3
5
={sin h+cos h}{sin@ h-sin h cos h+cos@ h}
={sin h+cos h}{1-sin h cos h}
13
27
4
9 ]
1+
=
1
3
\
=
[
19고등(수학1)_내공_해설(001~036)OK.indd 18
2018-04-26 오후 1:27:02
족집게 기출문제
p. 34~37
07~08강
1 ㄴ, ㄷ
6 ⑤
11 ①
16 ⑤
21 ③
2 ②
5
4
7
p
12 ④
17 ④
22 -
5
6
3 ⑤
8 ②
13 ④
18 j2
23 ③
4 ④
9 ④
14 ④
19 ②
24 1
5 ⑤
10 16p
15
8
15
20 ①
25 ④
26 -1
27 2 cos h 28 ⑴ -
7
16
⑵ j15k
8
1 ㄱ. 1=
180!
p
p
5
p
8
1
4
9
4
ㄴ.
=
\
=36!
p
5
p
8
1
4
180!
p
180!
p
180!
p
ㄷ.
=
\
=22.5!
ㄹ.
=
\
=
45!
p
ㅁ.
p=
p\
=405!
9
4
180!
p
ㅂ. 3p=3p\
=540!
180!
p
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
2 ①
5
6
p
②
p=2p+
13
6
p
6
③ 1080!=360!\3+0!
④ -
p=2p\{-1}+
p
5
4
3
4
⑤ 1050!=360!\2+330!
p
6
따라서 30!=
를 나타내는 동경과 일치하는 것은 ②이다.
3 ㄱ. 114!는 제2사분면의 각이다.
ㄴ. 1003!=360!\2+283!이므로 제4사분면의 각이다.
ㄷ. -127!=360!\{-1}+233!이므로 제3사분면의 각이다.
ㄹ.
p는 제3사분면의 각이다.
ㅁ.
p는 제4사분면의 각이다.
4
3
11
6
28
9
ㅂ.
p=2p+
p이므로 제3사분면의 각이다.
10
9
따라서 제3사분면의 각인 것은 ㄷ, ㄹ, ㅂ이다.
4 각 h가 제3사분면의 각이므로 정수 n에 대하여
3
2
2np+p0을 만족하는 각 h는 제1사분면 또는 제4사
분면의 각이고, cos h tan h<0을 만족하는 각 h는 제3사
분면 또는 제4사분면의 각이다.
따라서 두 식을 동시에 만족하는 각 h는 제4사분면의 각이다.
이때 p0, L>0이므로
40-2r>0 / 00, cos h<0이므로
1sin@ h3-1cos@ h3+1{cos h-sin h}@3
=sin h-{-cos h}-{cos h-sin h}
=2 sin h
15 sin@ h=1-cos@ h=1-
9
25
=
16
25
이때 각 h가 제3사분면의 각이므로 sin h=-
4
5
tan h=
sin h
cos h
=
=
4
3
-
-
4
5
3
5
/ sin h+tan h=-
+
=
4
5
4
3
8
15
16
1+sin h
1-sin h
=
1
3 에서 3{1+sin h}=1-sin h
4 sin h=-2 / sin h=-
각 h가 제4사분면의 각이므로
1
cos h=11-sin@ h3=q1-
4 e= j3
2
17 sin h+cos h=-
j3
3 의 양변을 제곱하면
sin@ h+2 sin h cos h+cos@ h=
1
2
1
3
1+2 sin h cos h=
/ sin h cos h=-
1
3
1
3
/ tan@ h+
1
tan@`h
=
=
+
cos@ h
sin@ h
sin@ h
cos@ h
{sin@ h+cos@ h}@-2 sin@ h cos@ h
sin@ h cos@ h
sin$ h+cos$ h
sin@ h cos@ h
=
=
1-2{sin h cos h}@
{sin h cos h}@
=
1-2\
9!
9!
=7
18 tan h+
=2에서
1
tan h
cos h
sin h
+
sin h
cos h
1
sin h cos h
=2,
sin@ h+cos@ h
sin h cos h
=2
=2 / sin h cos h=
1
2
/ sin h+cos h =1{sin h+3cos h}@3 [
? 00)
/ {sin h-cos h}@ ={sin h+cos h}@-4 sin h cos h
={-k}@-4\{-k} (? ㉠, ㉡)
=k@+4k
={-1+j2}@+4\{-1+j2} (? ㉢)
=2j2-1
yy`㉢
/ k{sin h-cos h}@={-1+j2}{2j2-1}=5-3j2
26 각의 크기가 -
2
3
p인 동경과 원점 O를 중심으로 하고 반
지름의 길이가 1인 원의 교점을 P라고 하면
P
-
, - j3
1
2 ]
[
2
/ sin h=- j3
1
2
2
/ sin h tan h-cos h =- j3
2
, cos h=-
yy`㈎
yy`㈏
, tan h=j3
1
2 ]
-
[
\j3-
1
2
3
2
=-
+
=-1
yy`㈐
II. 삼각함수 21
19고등(수학1)_내공_해설(001~036)OK.indd 21
2018-04-26 오후 1:27:03
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
㈎ 각의 크기가 -
p인 동경과 원점 O를 중심으로 하고
채점 기준
2
3
반지름의 길이가 1인 원의 교점을 구한다.
㈏ sin h, cos h, tan h의 값을 구한다.
㈐ 주어진 식의 값을 구한다.
배점
2점
2점
2점
27 sin h cos h>0을 만족하는 각 h는 제1사분면 또는 제3사
분면의 각이고, sin h tan h <0을 만족하는 각 h는 제2사
분면 또는 제3사분면의 각이다.
따라서 두 식을 동시에 만족하는 각 h는 제3사분면의 각이다.
yy`㈎
각 h가 제3사분면의 각이면
sin h<0, cos h<0, tan h>0
이므로
1{sin h-tan h}@3-|sin h+cos h|-1cos@ h3-|tan h|
=-{sin h-tan h}+{sin h+cos h}+cos h-tan h
=2 cos h
채점 기준
㈎ h가 제몇 사분면의 각인지 구한다.
㈏ h가 속한 사분면에서 삼각함수의 값의 부호를 구한다.
㈐ 주어진 식을 간단히 한다.
28 ⑴ sin h+cos h= j2
4 의 양변을 제곱하면
sin@ h+2 sin h cos h+cos@ h=
1
8
1+2 sin h cos h=
/ sin h cos h=-
⑵ {sin h-cos h}@
1
8
7
16
=sin@ h-2 sin h cos h+cos@ h
=1-2\
-
[
7
16 ]
=
15
8
각 h가 제2사분면의 각이면 sin h>0, cos h<0이므로
sin h-cos h>0
/ sin h-cos h=q
/ sin@ h-cos@ h
15
8 w= j30k
4
={sin h+cos h}{sin h-cos h}
yy`㈏
yy`㈐
배점
2점
1점
2점
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
배점
3점
2점
1점
\
j30k
4
=
=
j2
4
j15k
8
채점 기준
㈎ sin h cos h의 값을 구한다.
㈏ sin h-cos h의 값을 구한다.
㈐ sin@ h-cos@ h의 값을 구한다.
22 정답과 해설
9 강 삼각함수의 그래프
p. 38
1
함수 f{x}의 주기가 4이므로
f{2}=f{6}=f{10}
/ f{10}=1
2
치역
최댓값
최솟값
주기
y=sin x
9y|-1
1
2 의 해는 함수 y=sin x의 그래프가 직선
y=
1
2 과 만나거나 위쪽에 있는 x의 값의 범위이므로
p
6 -1의
- j3
2 의
해는 오른쪽 그림에서 함
수 y=cos x의 그래프가
직선 y=- j3
2 보다 위쪽
y
1
O
에 있는 x의 값의 범위이므로
00이고 최댓값이 4, 최솟값이 -2이므로
a+c=4, -a+c=-2
두 식을 연립하여 풀면
a=3, c=1
b>0이고 주기가 p이므로
2p
b
/ abc=3\2\1=6
=p / b=2
6 b>0이고 주어진 그래프에서 주기가
p
2 이므로
=
p
2 / b=2
p
b
함수 y=a tan 2x+c의 그래프가 원점을 지나므로
c=0
p
8 , 4
함수 y=a tan 2x의 그래프가 점 [
]를 지나므로
p
4=a tan
4
/ a=4
/ a-b-c=4-2-0=2
1 f{x+2}=f{x}이므로
f{2021}=f{2019}=f{2017}=y=f{3}=f{1}=-1
f{2020}=f{2018}=f{2016}=y=f{2}=f{0}=2
/ f{2019}+f{2020}+f{2021}=-1+2-1=0
7 주어진 함수의 주기를 각각 구하면
①
2p
2
④ p
=p
=p
②
2p
2
⑤ p
③
p
2
따라서 주기가 나머지 넷과 다른 하나는 ③이다.
p
2
4
<1<
p
2 이므로 오른쪽 그림에서
cos 1|sin x|의 해는
오른쪽 그림에서 함수 y=cos x
의 그래프가 함수 y=|sin x|
의 그래프와 만나거나 위쪽에
있는 x의 값의 범위이므로
p
4
0
{2 cos x-1}{cos x-2}>0
이때 항상 cos x-2<0이므로
2 cos x-1<0
/ cos x<
1
2
y
1
O
y
1
O
y=
2!
3"
y=cos`x
2p
x
p
3%
부등식 cos`x<
1
2 의 해는 위의 그림에서 함수 y=cos x의
그래프가 직선 y=
1
2 보다 아래쪽에 있는 x의 값의 범위이
므로
p
3
0
이 항상 성립하려면 이차방정식 x@-2x cos h+2 cos h=0
의 판별식을 D라고 할 때, D<0이어야 한다.
D
4
=cos@ h-2 cos h<0
cos h{cos h-2}<0
이때 항상 cos h-2<0이므로
cos h>0
2"
y=cos`h
2p
h
p
2#
부등식 cos h>0의 해는 위의 그림에서 함수 y=cos h의
그래프가 h축보다 위쪽에 있는 h의 값의 범위이므로
00}
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
1 ⑴ B=180!-{45!+105!}=30!
b
=
sin B 이므로
, b sin 45!=4 sin 30!
사인법칙에서
a
sin A
b
sin 30!
=
4
sin 45!
j2
2 b=2 / b=2j2
사인법칙에서
=2R이므로
a
sin A
=2R, 2R sin 45!=4
4
sin 45!
j2R=4 / R=2j2
/ b+R=2j2+2j2=4j2
b
⑵ 사인법칙에서
a
sin A
=
sin B 이므로
3
j3
sin 30!
=
sin B , j3 sin B=3 sin 30!
2 / sin B= j3
3
2
j3 sin`B=
이때 0!180!이므로
C=30!
/ A=15!, C=30!
3 ⑴ 코사인법칙에 의하여 cos A=
b@+c@-a@
2bc 이므로
cos A=
8@+7@-13@
2\8\7
=-
1
2
이때 0!0}
사인법칙에서
=
b
sin B 이므로
a
sin A
j5
sin 45!
=
j2
sin B
, j5 sin B=j2 sin 45!
j5
5
j5 sin B=1 / sin B=
4 ⑴ 코사인법칙에 의하여 cos B=
c@+a@-b@
2ca 이므로
cos B=
{j2}@+4@-{j10k}@
2\j2\4
이때 0!0}
사인법칙에서
a
sin A
c
=
sin C 이므로
6
sin A
=
14
sin 120!
, 14 sin A=6 sin 120!
14 sin A=3j3 / sin A=
3j3
14
II. 삼각함수 29
19고등(수학1)_내공_해설(001~036)OK.indd 29
2018-04-26 오후 1:27:08
5 삼각형 ABC에서 외접원의 반지름의 길이를 R라고 하면
사인법칙에 의하여
a
2R , sin B=
sin A=
b
2R , sin C=
c
2R
이를 a sin A=b sin B=c sin C에 대입하면
a\
=c\
=b\
b
2R
c
2R
a
2R
/ a@=b@=c@
이때 a>0, b>0, c>0이므로 a=b=c
따라서 삼각형 ABC는 정삼각형이다.
6 코사인법칙에 의하여
c@+a@-b@
2ca
cos B=
a@+b@-c@
2ab
이를 b cos C-c cos B=a에 대입하면
, cos C=
b\
-c\
c@+a@-b@
2ca
a@+b@-c@
2ab
양변에 2a를 곱하면
a@+b@-c@-{c@+a@-b@}=2a@
=a
2b@-2c@=2a@ / b@=a@+c@
따라서 삼각형 ABC는 B=90!인 직각삼각형이다.
7 C=180!-{30!+105!}=45!
=
ABC에서 사인법칙에 의하여
BC
s
sin 30!
j2
2 BC
3
sin 45!
3
2 / BC
, BC
=
=
3j2
2 (km)
sin 45!=3 sin 30!
따라서 구하는 거리는
`km이다.
3j2
2
2 강
다각형의 넓이
1
ABC =
p. 48
1
2 ca sin B
1
2
=
\2\4\sin 30!=4\
=2
1
2
s
f
2
ABCD =AB
\BC
\sin B
=2j3\6\sin 60!
j3
=12j3\
2
=18
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 49
1 A=180!-{64!+76!}=40!
b
사인법칙에서
=
sin B 이므로
a
sin A
b
sin 64!
=
32
sin 40!
0.64b=32\0.90=28.8 / b=45
, b sin 40!=32 sin 64!
/
ABC =
1
2 ab sin C
1
2
s
=
\32\45\sin 76!
=720\0.97=698.4
8
ABC에서 코사인법칙에 의하여
@ =AB
=4@+2@-2\4\2\cos 60!
@-2\AB
@+AC
\AC
BC
s
\cos A
2 C=180!-{107!+30!}=43!
사인법칙에서
b
sin B
c
=
sin C 이므로
=20-16\
=12
1
2
=2j3 {km} {? BC
ABC에서 AB
@+CA
@=BC
/ BC
이때
>0}
=4`km, BC
@이므로
=2j3`km, CA
ABC는 C=90!인 직각
=2`km
이고 AB
s
삼각형이다.
한편 학교를 세우려는 지점을 P라고 하면 점 P는 세 지점
ABC의 외접원의
A, B, C로부터 같은 거리에 있으므로
s
중심이다.
, b sin 43!=17 sin 30!
b
sin 30!
=
17
sin 43!
1
2
0.68b=17\
=8.5 / b=12.5
/
ABC =
s
1
2 bc sin A
1
2
=
\12.5\17\sin 107!
=106.25\sin 73!
=106.25\0.96=102
s
A
2`km
60!
C
4`km
P
B
따라서 구하는 거리는 PC
의 길이이므로
PC
=
AB
=
\4=2 {km}
1
2
1
2
30 정답과 해설
=
=
2
7
cos C=
7@+8@-9@
2\7\8
3 코사인법칙에 의하여
a@+b@-c@
2ab
sin@ C=1-cos@ C이므로
sin C =11-cos C3 {? 0!0}
⑵
a
sin A
b
=
sin B 에서
=
6
sin 30!
a sin 30!=6 sin 120!,
=3j3 / a=6j3
a
sin 120!
a
2
=2R
=2R에서
6
b
sin B
sin 30!
2R sin 30!=6 / R=6
⑶ A=180!-{30!+105!}=45!
b
a
sin A
=
sin B 에서
a sin 30!=4j3 sin 45!,
4j3
sin 30!
b
sin B
2R sin 30!=4j3 / R=4j3
=2R에서
=2R
=
4j3
sin 30!
a
sin 45!
a
2 =2j6 / a=4j6
⑷ B=180!-{75!+45!}=60!
c
=
sin C 에서
b
sin B
b sin 45!=8 sin 60!, j2
2
b
sin 60!
=
8
sin 45!
b=4j3 / b=4j6
=2R에서
c
sin C
2R sin 45!=8, j2R=8 / R=4j2
8
sin 45!
=2R
2 ⑴
2
sin C
c
=
=
1
sin 30!
sin C 에서
a
sin A
/ sin C=2 sin 30!=1
이때 0!180!이므로
B=45!
/ A=75!, B=45!
=
3j3
sin 120!
3
sin A
3j3
2 / sin A=
1
2
3j3 sin A=3 sin 120!=
이때 0!180!이므로
A=30!
/ A=30!, B=30!
II. 삼각함수 31
계산력 다지기
p. 50~51
⑷
a
sin A
c
=
sin C 에서
1 ⑴
b
=
=
b
sin 60!
2j3
sin 45!
a
sin B 에서
sin A
b sin 45!=2j3 sin 60!, j2
2
2j3
a
sin A
sin 45!
2R sin 45!=2j3, j2R=2j3 / R=j6
=2R에서
=2R
b=3 / b=3j2
19고등(수학1)_내공_해설(001~036)OK.indd 31
2018-04-26 오후 1:27:09
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
3 ⑴ cos A=
b@+c@-a@
2bc
=
5@+8@-7@
2\5\8
=
1
2
이때 0!0}
⑵ c@ =a@+b@-2ab cos C
={3j2}@+6@-2\3j2\6\cos 135!
j2
=54-36j2\
2 ]
=90
-
[
/ c=3j10k {? c>0}
⑶ a@ =b@+c@-2bc cos A
j3
2
=3@+{2j3}@-2\3\2j3\cos 30!
=21-12j3\
=3
/ a=j3 {? a>0}
sin B 에서
a
sin A
3
sin B
=
=
b
j3
sin 30!
3
2 / sin B=
j3
2
j3 sin B=3 sin 30!=
⑷ b@ =c@+a@-2ca cos B
-
=4@+{4j3}@-2\4\4j3\cos 150!
j3
=64-32j3\
2 ]
/ b=4j7 {? b>0}
c
sin C 에서
4j7
sin 150!
b
sin B
4
sin C
=112
=
=
[
4j7 sin C=4 sin 150!=2 / sin C=
j7
14
5 ⑴
ABC =
s
s
⑵
ABC =
1
2 ab sin C
1
2
1
2 bc sin A
1
2
32 정답과 해설
=
\j2\2\sin 45!=j2\
j2
2
=1
=
\4\6\sin 60!=12\
j3
2
=6j3
⑶
ABC =
s
1
2 ca sin B
1
2
=
\8\9\sin 150!=36\
=18
1
2
⑷ cos C=
=
=
a@+b@-c@
2ab
5@+9@-10@
2\5\9
1
15
sin C =11-cos C3 {? 0!0}라고 하면
a+b=7k, b+c=6k, c+a=5k
/ {a+b} : {b+c} : {c+a}
=7k : 6k : 5k
=7 : 6 : 5
4
ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라고 하면 사인법
칙에 의하여
s
a
2R , sin B=
sin A=
b
2R , sin C=
c
2R
이를 sin@ A=sin@ B+sin@ C에 대입하면
P
Q
24`m
B
45!
75!
A
30!
s
5 CAQB =180!-{75!+45!}=60!
=
24
sin 60!
sin 60!=24 sin 45!
ABQ에서 사인법칙에 의하여
AQ
s
sin 45!
AQ
j3
2
/ AQ
=12j2
=8j6 {m}
PQA에서 tan 30!=
이때
AQ
PQ
AQ
이므로
s
=AQ
PQ
tan 30!=8j6\ j3
3
=8j2 {m}
따라서 나무의 높이는 8j2 m이다.
a@ =5@+7@-2\5\7\cos 60!
1
2
=74-70\
=39
/ a=j39k {? a>0}
사인법칙에 의하여
yy`㉠
5
=
=
7
sin C
sin B , j39k
j39k
sin 60!
sin 60!
j39k sin B=5 sin 60!, j39k sin C=7 sin 60!
5j13k
26 , sin C=
/ sin B=
7j13k
26
yy`㉡
㉠, ㉡에 의하여
a{sin B+sin C}=j39k\
5j13k
26
[
+
7j13k
26 ]
=6j3
7 AD
=x라 하고 주어진 조건을 그림
A
x
으로 나타내면 오른쪽과 같다.
ABC에서 코사인법칙에 의하여
p
3
@ =2@+3@-2\2\3\cos
AC
s
2
B
3"
3
D
1
C
또 원에 내접하는 사각형의 성질에 의하여 마주 보는 두 대
=13-12\
=7
1
2
/ AC
=j7 {? AC
>0}
각의 크기의 합이 p이므로
CADC=p-
=
p
p
3
2
3
따라서
ACD에서 코사인법칙에 의하여
AC
@=x@+1@-2\x\1\cos
s
2
3
p
[
-
1
{j7}@=x@+1-2x\
2 ]
7=x@+x+1, x@+x-6=0
{x+3}{x-2}=0 / x=2 {? x>0}
/ AD
=2
II. 삼각함수 33
19고등(수학1)_내공_해설(001~036)OK.indd 33
2018-04-26 오후 1:27:11
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
8 부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기
에 비례하므로
A
CBOC=360!\
4
3+4+5
=120!
2
O
2
ABC의 외접원의 반지름
B
C
s
그런데
의 길이가 2이므로
s
=OC
OB
=2
BC
s
OBC에서 코사인법칙에 의하여
@ =2@+2@-2\2\2\cos 120!
1
[
2 ]
=2j3 {? BC
=8-8\
>0}
=12
-
/ BC
9
ABC의 세 변의 길이를 a=2k, b=3k, c=4k {k>0}
라고 하면 코사인법칙에 의하여
s
cos A =
b@+c@-a@
2bc
=
{3k}@+{4k}@-{2k}@
2\3k\4k
=
21k@
24k@
=
7
8
/ sin A =11-cos@ A3 {? 0!0}라고 하면
k
j5
/ sin A : sin B : sin C
k
j5
k
2j5
사인법칙에 의하여
a=2R sin A, b=2R sin B, c=2R sin C이므로
a : b : c =2R sin A : 2R sin B : 2R sin C
=1 : 2 : j5
k
:
2
:
=
=sin A : sin B : sin C
=1 : 2 : j5
ABC의 세 변의 길이를 a=l, b=2l, c=j5l
따라서
{l>0}이라고 하면 c의 값이 가장 크므로 AB
장 길고, 그 대각인 C의 크기가 가장 크다.
s
의 길이가 가
즉, 코사인법칙에 의하여
cos C =
a@+b@-c@
2ab
/ C=90! {? 0!0, c>0}
따라서
ABC는 b=c인 이등변삼각형이다.
12 세 지점 A, B, C는 한 원 위에 있으
ABC의 외
므로 울타리의 길이는
접원의 둘레의 길이와 같다.
목장의 반지름의 길이를 R라고 하면
s
B
80`m
사인법칙에 의하여
=2R
BC
sin 60!
이때 코사인법칙에 의하여
BC
@ =80@+50@-2\80\50\cos 60!
1
2
=8900-8000\
=4900
/ BC
=70 {m} {? BC
>0}
yy`㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
70j3
3
=2R / R =
70
sin 60!
따라서 구하는 울타리의 길이는
70j3
3
2pR=2p\
140j3
3
=
p {m}
{m}
13
ABC의 넓이를 S라고 하면 그 넓이가 3이므로
1
2
S =
s
\2j3\2\sin A=3
p
3 {? A는 예각}
2 / A=
/ sin A= j3
14 B=180!-{110!+40!}=30!
=
이므로
25
sin 30!
사인법칙에 의하여
a
sin 110!
a sin 30!=25 sin 110!, a sin 30!=25 sin 70!
1
2 a=25\0.94=23.5
/ a=47
/
ABC =
\47\25\sin 40!
s
=
\47\25\0.64=376
1
2
1
2
15 CACB =180!-{60!+75!}=45!
ABC에서 사인법칙에 의하여
6
sin 45!
=
AC
sin 60!
이므로
s
AC
sin 45!=6 sin 60!, j2
2
AC
=3j3
/ AC
=3j6
따라서
ACD의 넓이를 S라고 하면
S =
=
\CD
1
2 \AC
s
\3j6\4\ j3
1
2
2
=9j2
\sin 60!
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Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
16
ABC는 오른쪽 그림과 같으
6
A
3
60! 60!
D
C
므로
s
s
s
s
s
1
2
1
2
1
2
ABC=
ABD+
ACD
B
yy`㉠
s
ABC =
\6\3\sin 120!=9\
ABD =
\6\AD
\sin 60!=3\AD
\
=
AD
ACD =
\3\AD
\sin 60!=
\AD
\
=
AD
j3
2
=
9j3
2
j3
2
j3
2
3
2
3j3
2
3j3
4
s
이를 ㉠에 대입하면
3j3
9j3
2
2
=2
/ AD
AD
=
+
3j3
4
AD
,
9j3
2
=
9j3
4
AD
17
ABC에서 코사인법칙에 의하여
s
cos A =
b@+c@-a@
2bc
=
{x+1}@+{x+2}@-x@
2{x+1}{x+2}
=
x+5
2{x+2}
이때 cos A=
x+5
2{x+2}
5{x+5}=8{x+2} / x=3
4
5 이므로
=
4
5
ABC의 세 변의 길이는 a=3, b=4, c=5
따라서
sin A =11-cos@ A3 {? 0!0}
23 오른쪽 그림에서
형이므로
s
ACD는 직각삼각
A
sin`24!=
CD
AD
0.4=
100
AD
BCD에서
/ AD
=250 {m}
24!
B
66!
24!
24!
66!
100`m
C
D
CCBD=180!-{24!+132!}=24!
s
이므로
BCD는 BD
=CD
인 이등변삼각형이다.
/ BD
=100 {m}
=CD
s
ACD에서
또,
CADC=180!-{24!+90!}=66!
s
이므로
CADB =CBCD-CADC
=132!-66!=66!
II. 삼각함수 35
30
28
따라서
OAP에서 코사인법칙에 의하여
19고등(수학1)_내공_해설(001~036)OK.indd 35
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Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
I
I
Z
i
I
i
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
이때
AB
\BD
\cos 66!
@+BD
Z
ABD에서 코사인법칙에 의하여
@-2\AD
Z
@ =AD
s
Z
=250@+100@-2\250\100\cos`{90!-24!}
=62500+10000-50000\sin`24!
=72500-50000\0.4
=72500-20000
=52500
=50j21k {m} (? AB
/ AB
따라서 구하는 터널의 길이는 50j21k m이다.
>0)
=3BP
에서 AP
: BP
=3 : 5
A
3k
P
=3k, BP
=2CQ
=5k {k>0}라 하고,
=2 : 3
: CQ
에서 BQ
5k
B
2l
Q
3l
C
24 5AP
이므로
AP
3BQ
이므로
BQ
=3l {l>0}이라고 하자.
=2l, CQ
ABC=80이므로
1
s
2
\AB
\BC
\sin B=80
\8k\5l\sin B=80
1
2
/ kl sin B=4
PBQ
1
2
\BP
/
=
s
\BQ
\sin B
=
\5k\2l\sin B
1
2
=5kl sin B
=5\4=20
25 ⑴ 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180!이므로
1
1+1+4
A=180!\
=30!,
s
ABC에서
B=180!\
=30!,
1
1+1+4
4
1+1+4
C=180!\
=120!
yy`㈎
⑵
ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라고 하면 사인
법칙에 의하여
s
a=2R sin A, b=2R sin B, c=2R sin C
/ a@ : b@ : c@
yy`㈏
={2R sin A}@ : {2R sin B}@ : {2R sin C}@
=sin@ A : sin@ B : sin@ C
=sin@ 30! : sin@ 30! : sin@ 120!
=
1
4
1
:
4
3
:
4
=1 : 1 : 3
채점 기준
㈎ A, B, C의 값을 구한다.
㈏ 사인법칙을 변형한다.
㈐ a@ : b@ : c@을 구한다.
36 정답과 해설
26 AD
=x라고 하면
1
2
ABD =
\4\x\sin a
=2x sin a
yy`㉠
ACD =
\3\x\sin b
1
2
s
s
yy`㉡
yy`㈎
그런데 BD
=2 : 1이고,
ABD와
ACD는 높이가
ACD의 넓이의 비는
s
s
yy`㉢
yy`㈏
=
x sin b
3
2
: DC
같으므로
ABD와
ACD=2 : 1
ABD :
s
s
㉠, ㉡을 ㉢에 대입하면
s
s
3
2x sin a :
2
x sin b=2 : 1
2 sin a=3 sin b
/
sin b
sin a
=
2
3
채점 기준
㈎
㈏
용하여 나타낸다.
s
s
㈐
sin b
s
sin a
의 값을 구한다.
s
ABD와
ACD의 넓이를 각각 sin a, sin b를 사
ABD와
ACD의 넓이의 비를 구한다.
27 오른쪽 그림과 같이 BD
BD
s
를 그으면
BCD에서 코사인법칙에 의하여
@
@ =BC
Z
Z
@+CD
Z
-2\BC
\CD
=3@+5@-2\3\5\
[
-
1
2 ]
\cos 120!
A
3
B
3
120!
C
5
D
=49
/ BD
=7 {? BD
>0}
ABD에서 코사인법칙에 의하여
또
yy`㈎
s
cos A =
@
Z
AB
@-BD
@+AD
Z
Z
\AD
2\AB
1
3@+8@-7@
2
2\3\8
=
=
sin A =11-cos@ A3 {? 0!0 / n>6.75
그런데 n은 자연수이므로 n의 최솟값은 7이다.
따라서 처음으로 양수가 되는 항은 제7항이다.
6 주어진 등차수열의 일반항 an은
an=36+{n-1}\{-5}=-5n+41
이때 제n항에서 처음으로 음수가 된다고 하면
an=-5n+41<0 / n>8.2
그런데 n은 자연수이므로 n의 최솟값은 9이다.
따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제9항이다.
7 ⑴ x가 -7과 3의 등차중항이므로
y가 3과 13의 등차중항이므로
x=
-7+3
2
=-2
y=
3+13
2
=8
/ x=-2, y=8
y가 5와 -3의 등차중항이므로
x=
13+5
2
=9
y=
5+{-3}
2
/ x=9, y=1
=1
8 2x+1이 x-3과 4x+1의 등차중항이므로
2{2x+1}={x-3}+{4x+1}
4x+2=5x-2 / x=4
⑵ x가 13과 5의 등차중항이므로
4 강
등차수열의 합
p. 58
1
⑴
1091+{-23}0
2
=-110
⑵
1092\16+{10-1}\{-3}0
2
=25
2 a7 =S7-S6
={2\7@-1}-{2\6@-1}
=97-71=26
III. 수열 37
19고등(수학1)_내공_해설(037~056)OK.indd 37
2018-04-26 오후 1:28:06
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 59
6 주어진 등차수열의 첫째항을 a, 공차를 d, 첫째항부터 제n
1 주어진 등차수열의 첫째항이 -9, 공차가 4이므로
an=-9+{n-1}\4=4n-13
이 수열의 제n항을 15라고 하면
4n-13=15 / n=7
따라서 첫째항부터 제7항까지의 합은
7{-9+15}
2
=21
an=31+{n-1}\{-7}=-7n+38
이 수열의 제n항을 -25라고 하면
-7n+38=-25 / n=9
따라서 첫째항부터 제9항까지의 합은
9931+{-25}0
2
=27
2 주어진 등차수열의 첫째항이 31, 공차가 -7이므로
3 100 미만의 자연수 중에서 4의 배수를 작은 것부터 차례로
나열하면
4, 8, 12, 16, y, 96
이므로 첫째항이 4, 공차가 4인 등차수열이다.
이 수열의 일반항을 an이라고 하면
an=4+{n-1}\4=4n
제n항을 96이라고 하면
4n=96 / n=24
따라서 이 수열의 첫째항부터 제24항까지의 합은
24{4+96}
2
=1200
수를 작은 것부터 차례로 나열하면
2, 9, 16, 23, y, 100
이므로 첫째항이 2, 공차가 7인 등차수열이다.
이 수열의 일반항을 an이라고 하면
an=2+{n-1}\7=7n-5
제n항을 100이라고 하면
7n-5=100 / n=15
따라서 이 수열의 첫째항부터 제15항까지의 합은
15{2+100}
2
=765
4 100 이하의 자연수 중에서 7로 나누었을 때의 나머지가 2인
항까지의 합을 Sn이라고 하면
S5=
592a+{5-1}d0
2
/ a+2d=17
=85
yy`㉠
S10=
1092a+{10-1}d0
2
/ 2a+9d=-1
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=31, d=-7
yy`㉡
=-5
/ S20=
2092\31+{20-1}\{-7}0
2
=-710
7 ! n=1일 때,
a1=S1=-2+1=-1
@ n>2일 때,
an =Sn-Sn-1
={-2n@+1}-9-2{n-1}@+10
=-4n+2
yy`㉠
이때 a1=-1은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같지 않으므로
수열 9an0은 둘째항부터 등차수열이다.
따라서 일반항은
a1=-1, an=-4n+2 {n>2}
8 ! n=1일 때,
a1=S1=2+3=5
@ n>2일 때,
an =Sn-Sn-1
={2n@+3n}-92{n-1}@+3{n-1}0
=4n+1
yy`㉠
이때 a1=5는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같다.
따라서 일반항은
an=4n+1
5 강
등비수열과 등비수열의 합
5 주어진 등차수열의 첫째항을 a, 공차를 d, 첫째항부터 제n
항까지의 합을 Sn이라고 하면
S4=
S8=
492a+{4-1}d0
2
892a+{8-1}d0
2
=26 / 2a+3d=13 yy`㉠
=100 / 2a+7d=25 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, d=3
/ S10=
1092\2+{10-1}\30
2
=155
p. 60
1
⑴ an=3\{j2}N_!
⑵ an=2\{-3}N_!
48
1-
-
2
1
2 ]% =
[
1
2
1-
=93
38 정답과 해설
19고등(수학1)_내공_해설(037~056)OK.indd 38
2018-04-26 오후 1:28:06
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 61
1 등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
2 등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
a3=ar@=18
a6=ar%=486
yy`㉠
yy`㉡
㉡_㉠을 하면
r#=27
그런데 r는 실수이므로 r=3
r=3을 ㉠에 대입하면
9a=18 / a=2
/ an=2\3N_!
a2=ar=
yy`㉠
a7=ar^=
yy`㉡
3
2
16
81
㉡_㉠을 하면
2
32
3 ]%
243
r%=
=
[
그런데 r는 실수이므로
r=
2
3
r=
2
3 를 ㉠에 대입하면
2
3 a=
/ an=
9
4
3
2 / a=
2
N_!
3 ]
9
4
\
[
3 x가 6과
x@=6\
3
2 의 등비중항이므로
3
2
, x@=9
/ x=-3 또는 x=3
4 x+1이 x-5와 3x+3의 등비중항이므로
{x+1}@={x-5}{3x+3}
x@+2x+1=3x@-12x-15
x@-7x-8=0, {x+1}{x-8}=0
/ x=-1 또는 x=8
그런데 x=-1이면 x+1=0이므로 주어진 조건을 만족하지
5 주어진 등비수열의 첫째항을 a, 공비를 r, 첫째항부터 제n
않는다.
/ x=8
항까지의 합을 Sn이라고 하면
=6
S3=
S6=
a{1-r#}
1-r
a{1-r^}
1-r
㉠을 ㉡에 대입하면
6{1+r#}=-42 / r#=-8
이때 r는 실수이므로 r=-2
㉢을 ㉠에 대입하면
a91-{-2}#0
1-{-2}
=6 / a=2
/ S9=
291-{-2}(0
1-{-2}
=342
yy`㉢
6 주어진 등비수열의 첫째항을 a, 공비를 r, 첫째항부터 제n
항까지의 합을 Sn이라고 하면
=-15
yy`㉠
S4=
S8 =
a{1-r$}
1-r
a{1-r*}
1-r
=
a{1-r$}{1+r$}
1-r
=-255
yy`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
-15{1+r$}=-255 / r$=16
이때 r>0이므로 r=2
㉢을 ㉠에 대입하면
a{1-2$}
1-2
=-15 / a=-1
/ S12=
{-1}\{2!@-1}
2-1
=-4095
yy`㉢
7 매년 초에 50만 원씩 10년 동안 적립할 때, 10년 말까지
적립금의 원리합계는 다음과 같다.
1년 초 2년 초
y
9년 초 10년 초 10년 말
제1회 50만 원
제2회
50만 원
y
제9회
제10회
10년간
9년간
y
50만 원
50\1.04!)
50\1.04(
–¡
y
2년간
50만 원
1년간
50\1.04@
50\1.04
따라서 10년 말까지 적립금의 원리합계는
50\1.04+50\1.04@+50\1.04#+y+50\1.04!)
=
50\1.04\{1.04!)-1}
1.04-1
=650(만 원)
8 매월 말에 10만 원씩 3년, 즉 36개월 동안 적립할 때, 3년
말까지 적립금의 원리합계는 다음과 같다.
1개월 말
2개월 말
y
35개월 말 36개월 말
제1회 10만 원
제2회
y
제35회
제36회
35개월간
34개월간
10만 원
y
10\1.005#%
10\1.005#$
–¡
y
10만 원
10\1.005
1개월간
10만 원
10
yy`㉠
따라서 3년 말까지 적립금의 원리합계는
10+10\1.005+10\1.005@+y+10\1.005#%
=
a{1-r#}{1+r#}
1-r
=-42
yy`㉡
=
10\{1.005#^-1}
1.005-1
=400(만 원)
III. 수열 39
19고등(수학1)_내공_해설(037~056)OK.indd 39
2018-04-26 오후 1:28:07
계산력 다지기
p. 62~63
y가 4와 -4의 등차중항이므로
⑷ 등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
y가 x와 -9의 등차중항이므로
1 ⑴ 첫째항이 -9, 공차가 5이므로
an=-9+{n-1}\5=5n-14
⑵ 첫째항이 7, 공차가 -3이므로
an=7+{n-1}\{-3}=-3n+10
⑶ 등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a3=a+2d=-3, a6=a+5d=9
두 식을 연립하여 풀면 a=-11, d=4
/ an=-11+{n-1}\4=4n-15
a2=a+d=29, a5=a+4d=47
두 식을 연립하여 풀면 a=23, d=6
/ an=23+{n-1}\6=6n+17
⑸ 등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a4=a+3d=-18, a9=a+8d=-43
두 식을 연립하여 풀면 a=-3, d=-5
/ an=-3+{n-1}\{-5}=-5n+2
⑹ 등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a5=a+4d=14, a10=a+9d=-21
두 식을 연립하여 풀면
a=42, d=-7
/ an=42+{n-1}\{-7}=-7n+49
2 ⑴ an=-23+{n-1}\5=5n-28
이때 제n항에서 처음으로 양수가 된다고 하면
an=5n-28>0 / n>5.6
그런데 n은 자연수이므로 n의 최솟값은 6이다.
따라서 처음으로 양수가 되는 항은 제6항이다.
⑵ an=-44+{n-1}\4=4n-48
이때 제n항에서 처음으로 양수가 된다고 하면
an=4n-48>0 / n>12
그런데 n은 자연수이므로 n의 최솟값은 13이다.
따라서 처음으로 양수가 되는 항은 제13항이다.
⑶ an=41+{n-1}\{-6}=-6n+47
이때 제n항에서 처음으로 음수가 된다고 하면
an=-6n+47<0 / n>7.83^
그런데 n은 자연수이므로 n의 최솟값은 8이다.
따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제8항이다.
⑷ an=57+{n-1}\{-7}=-7n+64
이때 제n항에서 처음으로 음수가 된다고 하면
an=-7n+64<0 / n>9.1^42857^
그런데 n은 자연수이므로 n의 최솟값은 10이다.
따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제10항이다.
3 ⑴ x가 12와 4의 등차중항이므로
x=
12+4
2
=8
40 정답과 해설
y=
4+{-4}
2
=0
⑵ x가 -21과 -9의 등차중항이므로
x=
-21+{-9}
2
=-15
y가 -9와 3의 등차중항이므로
y=
-9+3
2
=-3
⑶ x가 24와 y의 등차중항이므로
x=
24+y
2
y=
x+{-9}
2
/ 2x=24+y
yy`㉠
/ 2y=x-9
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=13, y=2
⑷ x가 -33과 y의 등차중항이므로
x=
-33+y
2
/ 2x=-33+y
yy`㉠
y가 x와 3의 등차중항이므로
x+3
y=
2 / 2y=x+3
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=-21, y=-9
4 ⑴ 첫째항이 11, 공차가 3이므로
an=11+{n-1}\3=3n+8
이 수열의 제n항을 41이라고 하면
3n+8=41 / n=11
따라서 첫째항부터 제11항까지의 합은
11{11+41}
2
=286
⑵ 첫째항이 -8, 공차가 4이므로
an=-8+{n-1}\4=4n-12
이 수열의 제n항을 28이라고 하면
4n-12=28 / n=10
따라서 첫째항부터 제10항까지의 합은
10{-8+28}
2
=100
⑶ 첫째항이 20, 공차가 -7이므로
an=20+{n-1}\{-7}=-7n+27
이 수열의 제n항을 -29라고 하면
-7n+27=-29 / n=8
따라서 첫째항부터 제8항까지의 합은
8920+{-29}0
2
=-36
⑷ 첫째항이 -15, 공차가 6이므로
an=-15+{n-1}\6=6n-21
이 수열의 제n항을 33이라고 하면
6n-21=33 / n=9
따라서 첫째항부터 제9항까지의 합은
9{-15+33}
2
=81
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5 ⑴ ! n=1일 때,
a1=S1=2+5=7
@ n>2일 때,
an =Sn-Sn-1
={2n@+5n}-92{n-1}@+5{n-1}0
=4n+3
yy`㉠
이때 a1=7은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 일반
항은 an=4n+3
⑵ ! n=1일 때,
a1=S1=-3+1=-2
@ n>2일 때,
an =Sn-Sn-1
={-3n@+n}-9-3{n-1}@+{n-1}0
=-6n+4
yy`㉠
이때 a1=-2는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 일
반항은 an=-6n+4
⑶ ! n=1일 때,
a1=S1=1-4+2=-1
@ n>2일 때,
an =Sn-Sn-1
={n@-4n+2}-9{n-1}@-4{n-1}+20
=2n-5
yy`㉠
이때 a1=-1은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같지 않으므
로 수열 9an0은 둘째항부터 등차수열이다.
따라서 일반항은 a1=-1, an=2n-5 {n>2}
⑷ ! n=1일 때,
a1=S1=-2+6+4=8
@ n>2일 때,
an =Sn-Sn-1
={-2n@+6n+4}
=-4n+8
yy`㉠
이때 a1=8은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같지 않으므로
수열 9an0은 둘째항부터 등차수열이다.
따라서 일반항은 a1=8, an=-4n+8 {n>2}
6 ⑴ 첫째항이 7, 공비가 2이므로 an=7\2N_!
⑵ 첫째항이 243, 공비가 -
1
3 이므로
an=243\
-
[
1
3 ]N_!
⑶ 등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
yy`㉡
yy`㉠
a4=ar#=-12j3
a7=ar^=108
㉡_㉠을 하면 r#=-3j3={-j3}#
그런데 r는 실수이므로 r=-j3
r=-j3을 ㉠에 대입하면
-3j3a=-12j3 / a=4
/ an=4\{-j3}N_!
⑷ 등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
⑸ 등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
a2=ar=384
a5=ar$=162
㉡_㉠을 하면 r#=
yy`㉠
=
yy`㉡
3
27
4 ]#
64
3
4
[
그런데 r는 실수이므로 r=
r=
3
4 을 ㉠에 대입하면
3
4 a=384 / a=512
/ an=512\
3
4 ]N_!
[
a3=ar@=3
a6=ar%=-375
yy`㉠
yy`㉡
㉡_㉠을 하면 r#=-125={-5}#
그런데 r는 실수이므로 r=-5
r=-5을 ㉠에 대입하면
25a=3 / a=
3
25
/ an=
\{-5}N_!
3
25
yy`㉡
yy`㉠
a3=ar@=24
a6=ar%=384j2
㉡_㉠을 하면 r#=16j2={2j2}#
그런데 r는 실수이므로 r=2j2
r=2j2를 ㉠에 대입하면
8a=24 / a=3
/ an=3\{2j2}N_!
⑹ 등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
a@=7\28=14@ / a=14 {? a>0}
b가 28과 112의 등비중항이므로
b@=28\112=56@ / b=56 {? b>0}
⑵ a가 4와
a@=4\
4
9 의 등비중항이므로
4
9
4
3 ]@ / a=
=
[
4
3 {? a>0}
b가
b@=
4
9 와
4
9
\
4
81 의 등비중항이므로
4
81
4
27 ]@ / b=
=
[
4
27 {? b>0}
8 ⑴ a+1이 a-1과 3a-1의 등비중항이므로
{a+1}@={a-1}{3a-1}, a@-3a=0
a{a-3}=0 / a=3 {? a>0}
⑵ a+2가 a-4와 4a-1의 등비중항이므로
{a+2}@={a-4}{4a-1}, a@-7a=0
a{a-7}=0 / a=7 {? a>0}
III. 수열 41
-9-2{n-1}@+6{n-1}+40
7 ⑴ a가 7과 28의 등비중항이므로
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9 ⑴ 등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
a2=ar=4
a5=ar$=32
yy`㉠
yy`㉡
㉡_㉠을 하면 r#=8=2#
그런데 r는 실수이므로 r=2
r=2를 ㉠에 대입하면
2a=4 / a=2
따라서 첫째항이 2, 공비가 2인 등비수열의 첫째항부터
제10항까지의 합 S10은
2{2!)-1}
2-1
=2!!-2
S10=
⑵ 등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
1
2 을 ㉠에 대입하면
3
2 / a=6
r=
a
4
=
제10항까지의 합 S10은
S10 =
1-
6
[
1-
=12
[
1-
1
2!) ]
1
2
1
2!) ]
따라서 첫째항이 6, 공비가
1
2 인 등비수열의 첫째항부터
a3=ar@=2
2
27
a6=ar%=
㉡_㉠을 하면 r#=
yy`㉠
yy`㉡
1
27
=
[
1
3 ]#
1
3
그런데 r는 실수이므로 r=
1
3
a
9
r=
을 ㉠에 대입하면
=2 / a=18
제10항까지의 합 S10은
S10 =
18
1-
[
1-
=27
1-
[
1
3!) ]
1
3
1
3!) ]
따라서 첫째항이 18, 공비가
1
3 인 등비수열의 첫째항부터
⑶ 등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
a2=ar=12
a5=ar$=324
yy`㉠
yy`㉡
㉡_㉠을 하면 r#=27=3#
그런데 r는 실수이므로 r=3
r=3을 ㉠에 대입하면
3a=12 / a=4
따라서 첫째항이 4, 공비가 3인 등비수열의 첫째항부터
제10항까지의 합 S10은
4{3!)-1}
3-1
=2{3!)-1}
S10=
⑷ 등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
3
2
3
16
a3=ar@=
yy`㉠
a6=ar%=
yy`㉡
㉡_㉠을 하면
=
1
8
r#=
1
2 ]#
그런데 r는 실수이므로
[
r=
1
2
42 정답과 해설
족집게 기출문제
p. 64~67
13~15강
1 ④
6 ②
11 ②
21 ①
26 ④
29 15
16 -2 17 ⑤
2 ①
7 ④
12 ⑤
22 ⑤
27 18
5 ①
10 22
15 ③
1
4
20
4 ⑤
9 ③
14 ④
3 ③
8 ②
13 ②
j3
4
23 ②
28 ⑴ an=2N_! ⑵ 255
19 ②
18
24 880 25 ③
1 등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a2=a+d=10
a5=a+4d=43
yy`㉠
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-1, d=11
따라서 an=-1+{n-1}\11=11n-12이므로
a11=11\11-12=109
2 등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a3+a6+a9 ={a+2d}+{a+5d}+{a+8d}
=3a+15d=15
yy`㉠
a4+a7+a10 ={a+3d}+{a+6d}+{a+9d}
=3a+18d=17
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
2
3
a=
5
3 , d=
5
3
/ an=
+{n-1}\
=
n+1
2
3
2
3
따라서 ak=
k+1=13에서
2
3
2
3 k=12 / k=18
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3 등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a3+a9=0이므로
{a+2d}+{a+8d}=0
/ a+5d=0
a10=12이므로
a+9d=12
yy`㉠
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-15, d=3
/ an=-15+{n-1}\3=3n-18
an>100에서
3n-18>100
/ n>
=39.3^
118
3
제7항이 17이므로
-1+6d=17, 6d=18
/ d=3
이때 y는 제5항이므로
y=-1+{5-1}\3=11
따라서 처음으로 100보다 커지는 항은 제40항이다.
4 주어진 등차수열의 공차를 d라고 하면 첫째항이 -1이고
5 다항식 P{x}=x@+ax+2를 일차식 x-1, x-2, x-4로
나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의하여
P{1}=a+3, P{2}=2a+6, P{4}=4a+18
따라서 a+3, 2a+6, 4a+18이 이 순서대로 등차수열이므로
2{2a+6}={a+3}+{4a+18}
/ a=-9
6 주어진 삼차방정식의 세 실근을 a-d, a, a+d라고 하면
삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
{a-d}+a+{a+d}=3, 3a=3 / a=1
따라서 삼차방정식의 한 근이 1이므로 방정식에 x=1을 대
입하면
1-3+k+3=0 / k=-1
7 첫째항을 a, 공차를 d, 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이
라고 하면
S10=
=110
yy`㉠
1092a+{10-1}d0
2
/ 2a+9d=22
또 제11항부터 제20항까지의 합이 310이므로
S20-S10=310, S20-110=310
/ S20=420
2092a+{20-1}d0
2
=420
/ 2a+19d=42
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=2, d=2
따라서 제21항부터 제30항까지의 합은
S30-S20 =
3092\2+{30-1}\20
2
-420
=930-420=510
8 n각형의 내각의 크기의 합은
180!{n-2}
n92\120!+{n-1}\5!0
2
첫째항이 120!, 공차가 5!, 항의 개수가 n인 등차수열의 합은
따라서
=180!{n-2}이므로
n92\120!+{n-1}\5!0
2
n@-25n+144=0, {n-9}{n-16}=0
/ n=9 또는 n=16
그런데 n=16이면 가장 큰 내각의 크기는
120!+{16-1}\5!=195!이므로 주어진 조건을 만족하지
않는다.
/ n=9
9 3으로 나누었을 때의 나머지가 2이고 4로 나누었을 때의
나머지가 3인 수는 3의 배수보다 1이 작고 4의 배수보다 1
이 작은 수이다. 즉, 이 수에 1을 더한 수는 3의 배수이면서
동시에 4의 배수인 수이어야 하므로 주어진 조건을 만족하
는 수는 12의 배수보다 1이 작은 수이다.
두 자리의 자연수 중에서 12의 배수보다 1이 작은 수를 작
은 것부터 차례로 나열하면
11, 23, 35, 47, y, 95
이므로 첫째항이 11, 공차가 12인 등차수열이다.
이 수열의 일반항을 an이라고 하면
an=11+{n-1}\12=12n-1
제n항을 95라고 하면
12n-1=95 / n=8
따라서 이 수열의 첫째항부터 제8항까지의 합은
8{11+95}
2
=424
10 두 곡선에 의하여 잘려진 선분의 길이를 h{x}라고 하면
12일 때,
an =Sn-Sn-1
=4n@+2n-94{n-1}@+2{n-1}0
=8n-2
yy`㉠
이때 a1=6은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
an=8n-2
/ a1+a3+a5=6+22+38=66
12 수열 9an0의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라고 하면
Sn=2n@
! n=1일 때,
a1=S1=2
@ n>2일 때,
an =Sn-Sn-1
=2n@-2{n-1}@
=4n-2
yy`㉠
이때 a1=2는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
an=4n-2
/ a2n=4\2n-2=8n-2
따라서 구하는 값은 첫째항이 6, 공차가 8인 등차수열의 첫
째항부터 제10항까지의 합과 같으므로
a2+a4+a6+y+a20
=
1092\6+{10-1}\80
2
=420
yy`㉠
13 a2=2에서 ar=2
a3`:`a5=1`:`4에서
ar@`:`ar$=1`:`4, 4ar@=ar$
/ r@=4
그런데 r>0이므로 r=2
r=2를 ㉠에 대입하면
2a=2 / a=1
/ a+r=3
14 a4=4에서 ar#=4
a1+a4+a7+a10
a2+a5+a8+a11
yy`㉠
=
=
a+ar#+ar^+ar(
ar+ar$+ar&+ar!)
a{1+r#+r^+r(}
ar{1+r#+r^+r(}
1
1
r
2
/ r=2
r=2를 ㉠에 대입하면
=
=
8a=4 / a=
1
2
1
2
/ a12=ar!!=
\2!!=2!)
44 정답과 해설
15 첫째항이 1000, 공비가
1
3 인 등비수열이므로
an=1000\
1
3 ]N_!
[
주어진 수열은 1000부터 시작하여 항의 값이 감소하므로 1
보다 크거나 같은 값이 나오는 마지막 항까지의 곱이 최대
이다.
따라서 제n항까지 1보다 크거나 같은 수가 나온다고 하면
1000\
N_!
1
3 ]
[
>1에서
>1
1000
3N_!
/ 3N_!<1000
이때 3^=729, 3&=2187이므로
n-1<6 / n<7
따라서 제7항까지 1보다 큰 수이므로 구하는 n의 값은 7이다.
16 4, a, b가 이 순서대로 등차수열이므로
2a=4+b
yy`㉠
a, b, 4가 이 순서대로 등비수열이므로
b@=4a
yy`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
b@=2{4+b}, b@-2b-8=0
{b+2}{b-4}=0
/ b=-2 또는 b=4
! b=-2일 때, a=1
@ b=4일 때, a=4
그런데 4, a, b는 서로 다른 수이므로
a=1, b=-2
/ ab=-2
17 세 수를 a, ar, ar@ {ar=0}이라고 하면
yy`㉠
a+ar+ar@=7
/ a{1+r+r@}=7
a\ar\ar@=-27, {ar}#=-27
/ ar=-3
㉠_㉡을 하면
7
1+r+r@
3
r
yy`㉡
=-
3r@+10r+3=0
{r+3}{3r+1}=0
/ r=-3 또는 r=-
1
3
! r=-3일 때,
㉡에서 a=1이므로 세 수는
1, -3, 9
@ r=-
1
3 일 때,
㉡에서 a=9이므로 세 수는
9, -3, 1
따라서 !, @에 의하여 가장 큰 수는 9이다.
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18 한 변의 길이가 2인 정삼각형의 넓이는
\2@=j3
j3
4
n회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이를 an이라고 하면
따라서 수열 9an0이 첫째항부터 등비수열이 되려면 ㉡에
n=1을 대입하여 얻은 값이 ㉠과 같아야 하므로
3\2=12+k / k=-6
a1=j3\
3
4
a2=j3\
[
a3=j3\
⋮
[
3
4 ]@
3
4 ]#
/ an=j3\
[
3
4 ]N
따라서 a=j3, r=
r
a
= j3
4
3
4 이므로
19 주어진 등비수열을 9an0이라고 하면 첫째항이 -3, 공비가
-2이므로
an=-3\{-2}N_!
이 수열의 제n항을 384라고 하면
an=-3\{-2}N_!=384
{-2}N_!=-128={-2}&
n-1=7 / n=8
따라서 등비수열 9an0의 첫째항부터 제8항까지의 합은
-391-{-2}*0
1-{-2}
=-{1-2*}
=-1+256=255
20 등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
a1+a2+a3+y+a20=
a{1-r@)}
1-r
=15
수열 a1, a3, a5, y의 공비는 r@이므로
yy`㉠
a1+a3+a5+y+a19 =
a91-{r@}!)0
1-r@
a{1-r@)}
1-r@
=
=
a{1-r@)}
{1+r}{1-r}
=12
yy`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
5
4
=12, 1+r=
15
1+r
/ r=
1
4
21 ! n=1일 때,
a1=S1=3\2!"!+k=12+k
yy`㉠
@ n>2일 때,
an =Sn-Sn-1
={3\2N"!+k}-{3\2N+k}
=3\2N{2-1}=3\2N
yy`㉡
22 ! n=1일 때,
a1=S1=2!"!-2=2
@ n>2일 때,
an =Sn-Sn-1
={2N"!-2}-{2N-2}
=2N{2-1}=2N
yy`㉠
이때 a1=2는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
an=2N
/ a1+a3+a5+a7 =2+2#+2%+2&
=
=
29{2@}$-10
2@-1
2{256-1}
3
=170
23 매월 초에 2만 원씩 12개월 동안 저금할 때, 12월 말까지
저금액의 원리합계는
2\1.01+2\1.01@+2\1.01#+y+2\1.01!@
=
2\1.01\{1.01!@-1}
1.01-1
=
2.02\{1.13-1}
0.01
=26.26(만 원)
따라서 구하는 원리합계는 262600원이다.
24 등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a2`:`a3=5`:`2에서 {a+d}`:`{a+2d}=5`:`2
5{a+2d}=2{a+d} / 3a+8d=0
a5=-8에서 a+4d=-8
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=16, d=-6
/ an=16+{n-1}\{-6}=-6n+22
yy`㉠
yy`㉡
-6n+22<0에서 n>
11
3 =3.6^
따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제4항이다.
/ |a1|+|a2|+y+|a20|
=a1+a2+a3-{a4+a5+y+a20}
=16+10+4+{2+8+y+98}
=30+
17{2+98}
2
=30+850=880
25 m번째 가로줄은 첫째항이 1, 공차가 2{m-1}인 등차수열
을 이루므로 m번째 가로줄의 n번째 수는
1+{n-1}92{m-1}0
1+2{m-1}{n-1}=51에서 {m-1}{n-1}=25=5@
m, n은 자연수이므로 이 식
을 만족하는 m-1, n-1의
m-1
n-1
1
5@
5@
1
5
5
값을 표로 나타내면 오른쪽
과 같다.
따라서 순서쌍 {m, n}은 {2, 26}, {6, 6}, {26, 2}의 3개
이므로 51은 3번 나타난다.
III. 수열 45
19고등(수학1)_내공_해설(037~056)OK.indd 45
2018-04-26 오후 1:28:09
26 g{x}의 상수항은 g{0}이고 p{0}=-2이므로
g{0}=p{p{0}}=p{-2}
따라서 구하는 상수항은
p{-2} ={-2}!))+{-2}((+y+{-2}-2
=9{-2}+{-2}@+y+{-2}((+{-2}!))0-2
채점 기준
㈎ 각 조가 받는 사탕의 개수를 a, a+d, a+2d, a+3d
로 나타낸다.
㈏ a, d의 값을 구한다.
㈐ 2등을 한 조가 받는 사탕의 개수를 구한다.
배점
2점
4점
1점
=
{-2}91-{-2}!))0
1-{-2}
-2
=
-2+2!)!
3
-2
=
{2!)!-8}
1
3
28 ⑴ 등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
a1+a3+a5 =a+ar@+ar$
=a{1+r@+r$}=21
yy`㉠
a2+a4+a6 =ar+ar#+ar%
=ar{1+r@+r$}=42
yy`㉡
27 각 조에 나누어 준 사탕의 개수가 등차수열을 이루므로 4
등, 3등, 2등, 1등을 한 조가 받는 사탕의 개수를 각각
a-3d, a-d, a+d, a+3d {d>0}
라고 하면 사탕은 모두 60개이므로
{a-3d}+{a-d}+{a+d}+{a+3d}=60
yy`㈎
4a=60
yy`㈏
/ a=15
또 1등을 한 조가 받는 사탕의 개수는 4등을 한 조가 받는
사탕의 개수의 4배이므로
a+3d=4{a-3d}
/ a=5d
이때 a=15이므로
15=5d
/ d=3
따라서 2등을 한 조가 받는 사탕의 개수는
a+d=15+3=18
yy`㈐
yy`㈑
채점 기준
㈎ 각 조가 받는 사탕의 개수를 a-3d, a-d, a+d,
a+3d로 나타낸다.
㈏ a의 값을 구한다.
㈐ d의 값을 구한다.
㈑ 2등을 한 조가 받는 사탕의 개수를 구한다.
배점
2점
2점
2점
1점
라고 하면
a+{a+d}+{a+2d}+{a+3d}=60
yy`㉠
4a+6d=60
/ 2a+3d=30
또 1등을 한 조가 받는 사탕의 개수는 4등을 한 조가 받는
사탕의 개수의 4배이므로
a+3d=4a
/ a=d
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=6, d=6
따라서 2등을 한 조가 받는 사탕의 개수는
a+2d=6+2\6=18
yy`㈏
yy`㈐
46 정답과 해설
따라서 주어진 등비수열의 일반항은
an=2N_!
yy`㈐
⑵ 수열 9an0은 첫째항이 1, 공비가 2인 등비수열이므로
㉡_㉠을 하면
r=2
r=2를 ㉠에 대입하면
a{1+2@+2$}=21
21a=21
/ a=1
S8 =
1\{2*-1}
2-1
=2*-1=255
채점 기준
㈎ 공비를 구한다.
㈏ 첫째항을 구한다.
㈐ 일반항 an을 구한다.
㈑ S8의 값을 구한다.
이 4이므로
2r!!=4
/ r!!=2
x1x2x3`y`x10
29 주어진 등비수열의 공비를 r라고 하면 첫째항이 2, 제12항
이때 1+2+3+y+10은 첫째항이 1, 공차가 1인 등차수
열의 첫째항부터 제10항까지의 합이므로
1+2+3+y+10=
10{1+10}
2
/ x1x2x3`y`x10 =2!)\r%%
=55
=2!)\{r!!}%
=2!)\2%=2!%
/ A=15
채점 기준
㈎ r!!의 값을 구한다.
㈏ x1x2x3`y`x10의 값을 구한다.
㈐ A의 값을 구한다.
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈑
배점
2점
2점
1점
2점
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
배점
2점
3점
1점
4등, 3등, 2등, 1등을 한 조가 받는 사탕의 개수를 각각
a, a+d, a+2d, a+3d {d>0}
yy`㈎
=2r\2r@\2r#\y\2r!)
=2!)\r1+2+3+y+10
19고등(수학1)_내공_해설(037~056)OK.indd 46
2018-04-26 오후 1:28:09
6 강 수열의 합
p. 68
1
⑴
5
?k=1
k@
⑵
10
?k=1
2K
⑶
6
?k=1
3
2 ⑴ 4+8+12+y+40
⑵ 3@+3#+3$+y+3&
3 ⑴
{ak+bk}=
ak+
bk=a+b
⑵
{ak-bk}=
ak-
bk=a-b
n
?k=1
n
?k=1
n
?k=1
n
?k=1
⑶
3ak=3
ak=3a
n
?k=1
⑷
4=4n
n
?k=1
n
?k=1
n
?k=1
n
?k=1
{a2k-1+a2k}
n
3
?k=1
={a1+a2}+{a3+a4}+{a5+a6}+y+{a2n-1+a2n}
=
2n
?k=1
ak=n@
이므로
ak=
ak=5@=25
10
?k=1
2\5
?k=1
{a3k-2+a3k-1+a3k}
n
4
?k=1
={a1+a2+a3}+{a4+a5+a6}+y+{a3n-2+a3n-1+a3n}
ak=5n
3n
=
?k=1
이므로
30
?k=1
ak=
3\10
?k=1
ak=5\10=50
5 ⑴
10
?k=1
{2ak+1} =2
ak+
10
?k=1
10
?k=1
1
=2\5+1\10=20
⑵
10
?k=1
{3ak-4bk} =3
ak-4
bk
10
?k=1
10
?k=1
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
1 ⑴ 수열 -1, 1, 3, y, 19는 첫째항이 -1, 공차가 2인 등
차수열이므로 일반항을 an이라고 하면
an=-1+{n-1}\2=2n-3
2n-3=19에서 n=11
/ -1+1+3+y+19=
⑵ 수열 -
1
2 ,
1
4 , -
1
8 , y,
{2k-3}
11
?k=1
1
1024 은 첫째항이 -
1
2 , 공비
가 -
an=-
1
2 인 등비수열이므로 일반항을 an이라고 하면
1
1
2 ]N
2
1
2 ]N_!=
-
-
\
[
[
-
[
/ -
1
2 ]N=
1
2
+
1
1024 에서 n=10
1
4
1
1024
+y+
1
8
-
=
10
?k=1[
-
1
2 ]K
2 ⑴ 수열 3, 6, 9, y, 27은 첫째항이 3, 공차가 3인 등차수
p. 69
6 ⑴
20
?k=1[
ak
2
-
bk
3 ] =
20
?k=1
ak-
1
3
20
?k=1
bk
=3\5-4\{-2}=23
=
\20-
\30=0
1
2
1
2
1
3
20
?k=1
⑵
20
?k=1
{-3ak+bk-2} =-3
ak+
20
?k=1
=-3\20+30-2\20=-70
20
?k=1
bk-
2
7 ⑴
5
?k=1
{2K+3K} =
2K+
5
?k=1
5
?k=1
={2+2@+2#+2$+2%}
3K
+{3+3@+3#+3$+3%}
=
2{2%-1}
2-1
+
3{3%-1}
3-1
⑵
8
?k=1[
1
2K
+
=62+363=425
1
2K
1
=
2!! ]
8
?k=1
+
8
?k=1
1
2
[
1
2@
1
2!!
1
2#
=
+
+
+y+
1
2* ]
+
1
2!!
\8
열이므로 일반항을 an이라고 하면
an=3+{n-1}\3=3n
3n=27에서 n=9
1
6
+y+
1
3k
1
27
9
?k=1
/
1
3
1
9
+
=
+
열이므로 일반항을 an이라고 하면
an=2+{n-1}\3=3n-1
3n-1=20에서 n=7
/ 2@+5@+8@+y+20@=
{3k-1}@
7
?k=1
⑵ 수열 2, 5, 8, y, 20은 첫째항이 2, 공차가 3인 등차수
8 ⑴
4
?k=1
{5K+4} =
5K+
4
?k=1
4
?k=1
4
+
\2#
1
2!!
=
1
2 [
1-
1-
1
2* ]
1
2
=1-
+
=1
1
2*
1
2*
={5+5@+5#+5$}+4\4
=
5{5$-1}
5-1
+16
=780+16=796
III. 수열 47
19고등(수학1)_내공_해설(037~056)OK.indd 47
2018-04-26 오후 1:28:10
⑵
10
?k=1
3K-2K"!
6K
=
1
3 ]K
10
?k=1[
1
2
[
10
1
2 ]K-2
?k=1[
1
1
2#
2@
+
+
+y+
-2
+
1
3
[
+y+
1
3!) ]
=
=
+
1
2!) ]
1
1
3#
3@
1
1
3!) ]
3 [
1
3
1-
1-
1
2 [
1-
1-
1
2!) ]
1
2
-2\
=
1-
[
1
2!) ]
-
1-
[
1
3!) ]
=
1
3!)
-
1
2!)
5
2 ⑴
?k=1
{2k+1}{3k-2} =
{6k@-k-2}
6
⑵
?k=1
{k+1}{k@-k+1} =
{k#+1}
=6
k@-
k-
5
?k=1
5
?k=1
2
=6\
5\6\11
6
-
5\6
2
-2\5
5
?k=1
5
?k=1
=305
6
?k=1
6
?k=1
=
k#+
6
?k=1
1
=
[
6\7
2 ]@+1\6
=447
3 ⑴ 1\2+2\3+3\4+y+n{n+1}
=
=
=
=
k
k@+
n
?k=1
k{k+1}=
n
?k=1
n
n
?k=1
?k=1
n{n+1}{2n+1}
6
n{n+1}{n+2}
3
{k@+k}
+
n{n+1}
2
⑵ 주어진 수열의 일반항을 an이라고 하면
an=n@{n+2}
n@{n+2}=20@\22에서 n=20
/ 1\3+2@\4+3@\5+y+20@\22
ak=
k@{k+2}
20
?k=1
{k#+2k@}
=
=
20
?k=1
20
?k=1
20
?k=1
=49840
=
k#+2
k@=
20
?k=1
20\21
2
[
]@+2\
20\21\41
6
4 ⑴ 1+3@+5@+y+{2n-1}@
{2k-1}@=
=
{4k@-4k+1}
n
?k=1
n
?k=1
n
?k=1
n
?k=1
n
?k=1
=4
k@-4
k+
1
=4\
n{n+1}{2n+1}
6
-4\
n{n+1}
2
+1\n
=
n{2n+1}{2n-1}
3
⑵ 주어진 수열의 일반항을 an이라고 하면
an=n{n+1}@
n{n+1}@=10\11@에서 n=10
/ 1\2@+2\3@+3\4@+y+10\11@
=
ak=
k{k+1}@
10
?k=1
=
{k#+2k@+k}=
10
?k=1
10
?k=1
=
[
10\11
2
]@+2\
=3850
k#+2
10
?k=1
10
?k=1
10\11\21
6
k@+
k
10
?k=1
10\11
2
+
7 강 자연수의 거듭제곱의 합
p. 70
1
⑴ 1+2+3+y+8=
k=
=36
8
?k=1
8\9
2
⑵ 1@+2@+3@+y+10@=
k@=
⑶ 1#+2#+3#+y+7#=
k#=
10
?k=1
7
?k=1
10\11\21
6
=385
7\8
2 ]@=784
[
2 ⑴
12
?k=1[
1
3
=
[
1
k+2
-
-
1
4 ]
+
1
k+3 ]
1
1
5 ]
4
-
[
=
-
1
3
1
15
=
4
15
+
[
1
5
1
6 ]
-
+y+
1
14
[
-
1
15 ]
⑵
{jk+4l-jk+3l}
21
?k=1
={j5-2}+{j6-j5}+{j7-j6}+y+{5-2j6}
=5-2=3
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 71
1 ⑴
10
?k=1
{3k+2} =3
k+
10
?k=1
10
?k=1
2
=3\
+2\10=185
10\11
2
8
?k=1
⑵
{k-2}{k+2} =
{k@-4}=
k@-
8
?k=1
8
?k=1
4
8
?k=1
=
8\9\17
6
-4\8=172
48 정답과 해설
19고등(수학1)_내공_해설(037~056)OK.indd 48
2018-04-26 오후 1:28:11
5 ⑴
+y+
1
1\2
n
?k=1
=
+
1
2\3
+
1
k{k+1}
=
=
1-
[
1
2 ]
+
[
1
2
1
3\4
n
?k=1[
1
3 ]
-
1
k
-
+
[
1
3
1
n{n+1}
1
k+1 ]
-
+y+
1
4 ]
1
n
[
-
1
n+1 ]
7 ⑴
=1-
1
n+1
n
n+1
⑵ 주어진 수열의 일반항을 an이라고 하면
=
an=
1
{n+1}{n+2}
/
+
1
{n+1}{n+2}
1
3\4
20
?k=1
1
k+1
1
2\3
20
?k=1
20
?k=1[
1
2
1
3 ]
ak=
=
=
=
-
[
1
=
21\22 에서 n=20
+
1
4\5
+y+
1
21\22
1
{k+1}{k+2}
-
+
[
1
k+2 ]
1
1
4 ]
3
-
+
[
1
4
-
1
5 ]
=
-
1
2
1
22
=
5
11
+y+
1
21
[
-
1
22 ]
+y+
1
{2n-1}{2n+1}
6 ⑴
=
+
+
1
3\5
1
5\7
1
1\3
n
1
?k=1
{2k-1}{2k+1}
n
1
1
?k=1[
2
1
2k-1
-
=
2k+1 ]
=
1
2 -[
1-
1
3 ]
+
[
1
3
-
1
5 ]
+
[
1
5
-
1
7 ]
+y+
1
2n-1
[
-
1
2n+1 ]=
=
1
2 [
1-
=
n
2n+1
1
2n+1 ]
⑵ 주어진 수열의 일반항을 an이라고 하면
an=
1
{3n-2}{3n+1}
1
{3n-2}{3n+1}
/
+
1
1\4
30
?k=1
1
3
=
=
+
1
4\7
30
?k=1
1
3k-2
ak=
20
?k=1[
=
1
3 -[
1-
1
4 ]
1
=
88\91 에서 n=30
1
7\10
1
88\91
+y+
1
{3k-2}{3k+1}
1
3k+1 ]
1
1
7 ]
4
-
-
+
+
1
7
[
[
-
1
10 ]
=
1
3 [
1-
1
91 ]
=
30
91
+y+
1
88
[
-
1
91 ]=
1
1+j2
=
n
?k=1
n
?k=1
+
+
1
j2+j3
1
=
jkk+jk+1l
{jk+1l-jkk}
=
1
j3+2
+y+
1
jnk+jn+1l
n
?k=1
jkk-jk+1l
{jkk+jk+1l}{jkk-jk+1l}
={j2-1}+{j3-j2}+{2-j3}+y+{jn+1l-jnk}
=jn+1l-1
⑵ 주어진 수열의 일반항을 an이라고 하면
an=
1
j2n-1l+j2n+1l
=
1
j2n-1l+j2n+1l
1
/
j3+j5
+
1
1+j3
=
ak=
24
?k=1
1
j47k+7
1
+
j5+j7
1
j2k-1l+j2k+1l
에서 n=24
+y+
1
j47k+7
j2k-1l-j2k+1l
{j2k-1l+j2k+1l}{j2k-1l-j2k+1l}
{j2k+1l-j2k-1l}
24
?k=1
9{j3-1}+{j5-j3}+{j7-j5}
24
?k=1
24
?k=1
1
2
1
2
1
2
=
=
=
=
{7-1}=3
+y+{7-j47k}0
8 ⑴
+
+
1
j2+j3
=
n
?k=1
1
j3+2
1
jk+1l+jk+2l
1
2+j5
+y+
1
jn+1l+jn+2l
+y+{jn+2l-jn+1l}
=
=
n
?k=1
n
?k=1
jk+1l-jk+2l
{jk+1l+jk+2l}{jk+1l-jk+2l}
{jk+2l-jk+1l}
={j3-j2}+{2-j3}+{j5-2}
=jn+2l-j2
⑵ 주어진 수열의 일반항을 an이라고 하면
an=
1
j4n-3l+j4n+1l
에서 n=20
1
j4n-3l+j4n+1l
1
/
j5+3
+
1
1+j5
=
ak=
+
=
1
j77k+9
1
3+j13k
1
j4k-3l+j4k+1l
20
?k=1
+y+
1
j77k+9
j4k-3l-j4k+1l
{j4k-3l+j4k+1l}{j4k-3l-j4k+1l}
{j4k+1l-j4k-3l}
20
?k=1
9{j5-1}+{3-j5}+{j13k-3}
20
?k=1
20
?k=1
1
4
1
4
1
4
=
=
=
=
{9-1}=2
+y+{9-j77k}0
III. 수열 49
19고등(수학1)_내공_해설(037~056)OK.indd 49
2018-04-26 오후 1:28:12
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 73
1 ⑴ a1=2이고, an'1=an+2n-1에서
4 ⑴ an'1=an-3에서 주어진 수열은 공차가 -3인 등차수열
8 강 수학적 귀납법
p. 72
1
a1=1이고, an'1=3an에서
a2=3a1=3\1=3
a3=3a2=3\3=9
a4=3a3=3\9=27
a5=3a4=3\27=81
따라서 첫째항부터 제5항까지는
1, 3, 9, 27, 81
2 ㈎ 2 ㈏ 2k+1 ㈐ 2k+2 ㈑ k+1
a2 =a1+2\1-1
=2+2-1=3
a3 =a2+2\2-1
=3+4-1=6
a4 =a3+2\3-1
=6+6-1=11
a5 =a4+2\4-1
=11+8-1=18
⑵ a1=1이고, an'1=
a2=
a1
3a1+1
=
1
3+1
an
3an+1 에서
1
4
=
a3=
a2
3a2+1
=
=
=
1
7
3\
+1
a4=
a3
3a3+1
=
=
=
1
10
3\
+1
a5=
a4
3a4+1
=
=
=
1
13
3\
+1
1
4
7
4
1
7
10
7
1
10
13
10
1
4
1
4
1
7
1
7
1
10
1
10
2 ⑴ a1=-3이고, an'1=2an+1에서
a2 =2a1+1=2\{-3}+1
=-6+1=-5
a3 =2a2+1=2\{-5}+1
=-10+1=-9
a4 =2a3+1=2\{-9}+1
=-18+1=-17
50 정답과 해설
⑵ a1=2이고, an'1=
an
n+1 에서
a2=
=
=1
a1
1+1
a2
2+1
a3=
=
a4=
a3
3+1
=
=
1
12
2
2
1
3
1
3
4
3 ⑴ an'1=an+6에서 주어진 수열은 공차가 6인 등차수열이다.
이때 a1=-2이므로
an=-2+{n-1}\6=6n-8
/ a20=6\20-8=112
⑵ an'1=
1
5
1
an에서 주어진 수열은 공비가
5 인 등비수열이다.
이때 a1=1이므로
an=
[
/ a20=
1
5 ]N_!
1
5!(
이다.
이때 a1=4이므로
an =4+{n-1}\{-3}=-3n+7
/ a30=-3\30+7=-83
이때 a1=-2이므로
an=-2\2N_!=-2N
/ a30=-2#)
⑵ an'1=2an에서 주어진 수열은 공비가 2인 등비수열이다.
5 ⑴ a1은 처음 수조에 들어 있는 물의 양 100 L의 절반을 버
리고 30 L의 물을 새로 넣었을 때, 수조에 남아 있는 물
의 양이므로
100
2
a1=
+30=80
⑵ 시행을 n번 반복한 후 수조에 남아 있는 물의 양 an L
의 절반을 버리고 30 L의 물을 새로 넣었을 때, 수조에
남아 있는 물의 양이 an'1 L이므로
an'1=
an+30 {n=1, 2, 3, y}
6 ⑴ a1은 지상 10 m 높이에서 떨어뜨린 공이 떨어진 거리의
4
5 배만큼 수직 방향으로 튀어 올랐을 때의 공의 높이이
므로
a1=10\
=8
4
5
⑵ n번째 튀어 올랐을 때의 공의 높이 a n m에서 떨어진
공이 떨어진 거리의
4
5 배만큼 튀어 올랐을 때의 공의
높이가 an'1 m이므로
an'1=
an {n=1, 2, 3, y}
1
2
4
5
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7 ! n=1일 때,
(좌변)=1@=1
(우변)=
1\2\3
6
=1
따라서 n=1일 때 등식 ㉠이 성립한다.
@ n=k일 때, 등식 ㉠이 성립한다고 가정하면
1@+2@+3@+y+k@=
k{k+1}{2k+1}
6
위의 식의 양변에 {k+1}@을 더하면
1@+2@+3@+y+k@+{k+1}@
=
k{k+1}{2k+1}
6
+{k+1}@
=
{k+1}9k{2k+1}+6{k+1}0
6
=
=
{k+1}{2k@+7k+6}
6
{k+1}{k+2}{2k+3}
6
=
{k+1}9{k+1}+1092{k+1}+10
6
따라서 n=k+1일 때도 등식 ㉠이 성립한다.
!, @에 의하여 등식 ㉠은 모든 자연수 n에 대하여 성립
한다.
8 ! n=4일 때,
(좌변)=1\2\3\4=24
(우변)=2$=16
따라서 24>16이므로 n=4일 때 부등식 ㉠이 성립한다.
@ n=k {k>4}일 때, 부등식 ㉠이 성립한다고 가정하면
1\2\3\y\k>2K
위의 부등식의 양변에 k+1을 곱하면
1\2\3\y\k\{k+1}>2K{k+1}
그런데 k+1>5이므로
2K{k+1}>2K\2=2K"!
/ 1\2\3\y\{k+1}>2K"!
따라서 n=k+1일 때도 부등식 ㉠이 성립한다.
!, @에 의하여 부등식 ㉠은 n>4인 모든 자연수 n에 대
하여 성립한다.
⑶
10
?k=1
⑷
10
?k=1
{2ak-5bk+3} =2
{-3ak+6bk+4} =-3
bk+
ak-5
10
?k=1
10
?k=1
10
?k=1
=2\6-5\{-4}+3\10
=62
3
bk+
ak+6
10
?k=1
10
?k=1
=-3\6+6\{-4}+4\10
=-2
10
?k=1
4
2 ⑴
4
?k=1
{7K-5} =
7K-
4
?k=1
4
?k=1
5
⑵
9
?k=1[
2
3K
+
1
3!! ] =2
+
9
?k=1
={7+7@+7#+7$}-5\4
=
-20=2780
7{7$-1}
7-1
9
?k=1
1
3
=2
1
3K
[
+
=2\
1
3!!
1
3#
1
3( ]
1
3
1
3@
1
3 [
1-
1-
=1-
+
=1
1
3(
1
3(
+
+y+
1
3( ]
+
1
3!!
\9
+
\3@
1
3!!
⑶
{5K+2K} =
5
?k=1
5K+
5
?k=1
5
?k=1
={5+5@+5#+5$+5%}
2K
+{2+2@+2#+2$+2%}
⑷
10
?k=1
2K"@-5K
10K
-
[
1
2
+
+y+
1
2!) ]
1
2@
1
2 [
+
1
5!) ]
1
2#
1
2!) ]
1
2
1-
1-
=
5{5%-1}
5-1
+
2{2%-1}
2-1
=4
=3967
10
?k=1[
1
5
=4
[
1
5 ]K-
1
5@
+
10
?k=1[
1
5#
+
1
2 ]K
+y+
=4\
1
5 [
1-
1-
1
5!) ]
1
5
-
-
1-
[
1
2!) ]
=
1-
[
=
1
2!)
-
1
5!) ]
1
5!)
10
?k=1
5
k-
10
?k=1
10\11
2
=2\
=60
-5\10
⑵
8
?k=1
{3-k}{3+k} =
{9-k@}=
9-
8
?k=1
k@
8
?k=1
8\9\17
6
8
?k=1
=9\8-
=-132
III. 수열 51
계산력 다지기
p. 74~75
3 ⑴
10
?k=1
{2k-5} =2
1 ⑴
10
?k=1
{4ak-3} =4
ak-
10
?k=1
10
?k=1
3
=4\6-3\10=-6
⑵
10
?k=1[
ak
3
+
bk
=
2 ]
10
?k=1
ak+
1
2
10
?k=1
bk
1
3
1
3
=
\6+
\{-4}=0
1
2
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⑶
6
?k=1
{3k+2}{2k-1} =
{6k@+k-2}
k-
6
?k=1
2
k@+
6
?k=1
6\7\13
6
+
6\7
2
-2\6
6
?k=1
6
?k=1
=6
=6\
=555
6
?k=1
⑷
6
?k=1
{k-1}{k@+k+1} =
{k#-1}=
k#-
6
?k=1
6
?k=1
1
=
[
6\7
2 ]@-1\6=435
4 ⑴ 1\4+2\5+3\6+y+n{n+3}
{k@+3k}
k
=
=
k@+3
n
?k=1
k{k+3}=
n
?k=1
n
n
?k=1
?k=1
n{n+1}{2n+1}
6
n{n+1}{n+5}
3
⑵ 1@+4@+7@+y+{3n-2}@
+3\
=
=
n{n+1}
2
=
{3k-2}@=
{9k@-12k+4}
n
?k=1
n
?k=1
n
?k=1
=9
=9\
4
k+
k@-12
n
n
?k=1
?k=1
n{n+1}{2n+1}
6
-12\
n{n+1}
2
+4n
=
n{6n@-3n-1}
2
⑶ 1\1+2@\3+3@\5+y+10@\19
=
k@{2k-1}=
{2k#-k@}
10
?k=1
k@
k#-
10
?k=1
10\11
2
[
]@-
10\11\21
6
⑷ 1\3@+2\5@+3\7@+y+10\21@
=
k{2k+1}@=
{4k#+4k@+k}
10
?k=1
10
?k=1
k@+
k
k#+4
10
?k=1
10\11
2
[
]@+4\
10\11\21
6
+
10\11
2
5 ⑴
+
1
5\6
+
1
6\7
+y+
1
{n+3}{n+4}
1
k+3
1
k+4 ]
-
=
1
{k+3}{k+4}
1
6 ]
1
5 ]
1
5
+
-
-
[
n
?k=1[
1
6
[
+
-
1
7 ]
+y+
1
n+3
[
-
1
n+4 ]
=
-
1
4
1
n+4
=
n
4n+16
52 정답과 해설
10
?k=1
10
?k=1
=2
=2\
=5665
10
?k=1
10
?k=1
=4
=4\
=13695
1
4\5
n
?k=1
1
4
[
=
=
1
1\4
n
?k=1
1
3 -[
=
=
1
1\3
15
?k=1
1
2
=
=
1
1\5
9
?k=1
1
4 -[
=
=
n
?k=1
n
?k=1
n
?k=1
=
=
n
?k=1
n
?k=1
=
=
=
1
2
1
2
⑵
+
1
4\7
+
1
7\10
+y+
1
{3n-2}{3n+1}
=
1
{3k-2}{3k+1}
1
7 ]
1
4 ]
1-
1
4
+
-
[
1
3
n
?k=1[
1
7
[
+
-
1
10 ]
1
3k-2
-
1
3k+1 ]
+y+
1
3n-2
[
-
1
3n+1 ]=
=
1
3 [
1-
1
3n+1 ]
=
n
3n+1
⑶
+
1
3\5
+
1
5\7
+y+
1
29\31
1
{2k-1}{2k+1}
15
1
?k=1[
1
2k-1
-
2k+1 ]
=
1
2 -[
1-
1
3 ]
+
[
1
3
-
1
5 ]
+
[
1
5
-
1
7 ]
+y+
1
29
[
-
1
31 ]=
=
1
2 [
1-
1
31 ]
=
15
31
⑷
+
1
5\9
+
1
9\13
+y+
=
1
{4k-3}{4k+1}
1
9 ]
1
5 ]
1-
1
5
+
-
[
1
4
9
?k=1[
1
9
[
+
-
1
33\37
1
4k-3
1
13 ]
1
-
4k+1 ]
+y+
1
33
[
-
1
37 ]=
=
1
4 [
1-
1
37 ]
=
9
37
6 ⑴
1
j3+2
=
+
+
1
2+j5
1
jk+2l+jk+3l
1
j5+j6
+y+
1
jn+2l+jn+3l
jk+2l-jk+3l
{jk+2l+jk+3l}{jk+2l-jk+3l}
{jk+3l-jk+2l}
={2-j3}+{j5-2}+{j6-j5}
=jn+3l-j3
+y+{jn+3l-jn+2l}
+y+
1
j2n+1l+j2n+3l
⑵
1
j3+j5
=
+
+
1
j5+j7
1
j2k+1l+j2k+3l
1
j7+3
j2k+1l-j2k+3l
{j2k+1l+j2k+3l}{j2k+1l-j2k+3l}
{j2k+3l-j2k+1l}
n
?k=1
9{j5-j3}+{j7-j5}+{3-j7}
= j2n+3l-j3
2
+y+{j2n+3l-j2n+1l}0
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⑶
1
1+j6
=
+
+
1
j6+j11k
1
j5k-4l+j5k+1l
1
j11k+4
+y+
1
2j29k+11
j5k-4l-j5k+1l
{j5k-4l+j5k+1l}{j5k-4l-j5k+1l}
{j5k+1l-j5k-4l}
24
?k=1
9{j6-1}+{j11k-j6}+{4-j11k}
+y+{11-2j29k}0
+y+
1
j141l+7j3
=
{11-1}=2
⑷
1
j3+3
=
+
+
1
3+j15k
1
j6k-3l+j6k+3l
1
j15k+j21k
j6k-3l-j6k+3l
{j6k-3l+j6k+3l}{j6k-3l-j6k+3l}
{j6k+3l-j6k-3l}
24
?k=1
9{3-j3}+{j15k-3}+{j21k-j15k}
+y+{7j3-j141l}0
24
?k=1
24
?k=1
=
=
=
1
5
1
5
1
5
24
?k=1
24
?k=1
=
=
=
=
1
6
1
6
1
6
{7j3-j3}=j3
7 ⑴ a2=a1+3\1=2+3=5
a3=a2+3\2=5+6=11
/ a4=a3+3\3=11+9=20
⑵ a2=3a1+2=3\{-3}+2=-7
a3=3a2+2=3\{-7}+2=-19
/ a4=3a3+2=3\{-19}+2=-55
⑶ a2=
a1
1-5
=-
1
4
1
4
-3
-
a3=
a2
2-5
=
=
1
12
/ a4=
a3
3-5
=
=-
1
24
1
12
-2
⑷ a2=
a1
2a1-1
=
2
2\2-1
=
2
3
2
3
2
3
a3=
a2
2a2-1
=
=2
2\
-1
/ a4=
a3
2a3-1
=
2
2\2-1
=
2
3
⑶ 주어진 수열은 첫째항이 3, 공비가 3인 등비수열이므로
an=3\3N_!=3N / a20=3@)
⑷ 주어진 수열은 첫째항이 -5, 공비가
1
5 인 등비수열이
므로
an=-5\
1
5 ]N_!=-
1
5N_@ / a20=-
[
1
5!*
족집게 기출문제
16~18강
1 ③
6 ④
11 ②
16 ②
2 47
7 ③
12 ④
17 ⑤
3 ⑤
8 ③
13 ③
20 ㈎ {k+1}{k+2} ㈏
4 ①
9 ②
11
6
19 ②
14
18 ④
{k+1}{k+2}{k+3}
3
21 ㈎
5
4 ㈏
1
{k+1}@
㈐ 2-
1
k+1
23 120
24 ⑤
27 ⑴ ln={n-2}p ⑵ 36p
25 -4
26 896
p. 76~79
5 ④
10 ③
15 ①
㈐ k+1
22 ③
1 ㄱ.
ak=a1+a2+a3+y+a2n
2n
?k=1
n
?k=1
={a1+a2}+{a3+a4}+y+{a2n-1+a2n}
{a2k-1+a2k}
/
ak=
{a2k-1+a2k}
2n
?k=1
n
?k=1
ㄴ.
ak=am+am'1+y+an
ak-
ak ={a1+a2+y+am+am'1+y+an}
-{a1+a2+y+am}
m
?k=1
=am'1+am'2+y+an
n
?k=1
ak-
ak
?k=1
m
n
?k=m
ak=
ㄷ.
k{k-1}=1\0+2\1+3\2+y+n{n-1}
k{k+1}=0\1+1\2+2\3+y+{n-1}n
n
?k=m
n
?k=1
/
n
?k=1
n-1
?k=0
/
III. 수열 53
8 ⑴ 주어진 수열은 첫째항이 -1, 공차가 4인 등차수열이므로
an=-1+{n-1}\4=4n-5
/ a20=4\20-5=75
⑵ 주어진 수열은 첫째항이 2, 공차가 -7인 등차수열이므로
an=2+{n-1}\{-7}=-7n+9
/ a20=-7\20+9=-131
n
?k=1
k{k-1}=
k{k+1}
n-1
?k=0
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
ak'1-
9
2
?k=1
={a2+a3+y+a10}-{a1+a2+y+a9}
10
?k=2
ak-1
=a10-a1=50-3=47
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3 a1, a2, a3, y, an 중 0, 1, 2의 개수를 각각 x, y, z
ak =0\x+1\y+2\z=16
{x+y+z=n}라고 하면
n
?k=1
/ y+2z=16
n
?k=1
/ y+4z=26
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 y=6, z=5
ak@ =0\x+1@\y+2@\z=26
yy`㉡
yy`㉠
/
ak$ =0\x+1$\y+2$\z
n
?k=1
=y+16z=6+16\5=86
4
10
?k=1
{2ak-1}@ =
{4ak@-4ak+1}
10
?k=1
10
?k=1
=4
ak@-4
ak+
10
?k=1
10
?k=1
1
=4\9-4\3+10=34
5
n
?k=1
{2ak-3bk+4} =2
ak-3
n
?k=1
n
?k=1
=2\10n-3\5n+4n=9n
n
?k=1
bk+
4
/
{2ak-3bk+4}=9\10=90
10
?k=1
a2k=a2+a4+a6+y+a30=20
yy`㉠
a2k-1=a1+a3+a5+y+a29=30
yy`㉡
6
15
?k=1
15
?k=1
㉠+㉡을 하면
a1+a2+a3+y+a30=50 /
ak=50
30
?k=1
/
30
?k=1
{2ak+1} =2
ak+
1=2\50+30=130
30
?k=1
30
?k=1
7 주어진 수열의 일반항을 an이라고 하면 an=1+2N
따라서 주어진 수열의 모든 항의 합은
10
?k=1
{1+2K} =
2K=10+
10
?k=1
10
?k=1
1+
2{2!)-1}
2-1
=2056
n-1
8
n-1
n-1
3
{4k-3} =4
k-
?k=1
?k=1
?k=1
n{n-1}
2
2n@-5n+3=153에서 2n@-5n-150=0
=4\
-3{n-1}=2n@-5n+3
{2n+15}{n-10}=0 / n=-
그런데 n은 자연수이므로 n=10
15
2 또는 n=10
9
10
?k=5
k#-
15
?k=10
k@
k#-
10
?k=1
10\11
2
=
[
=
[
=1970
54 정답과 해설
4
?k=1
k#
-
]
15
?k=1
[
k@-
]@-
[
4\5
2 ]@-
k@
9
]
?k=1
15\16\31
6
+
9\10\19
6
10 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
an+bn=-n, anbn=-2n이므로
{an@-1}{bn@-1} ={anbn}@-{an@+bn@}+1
={anbn}@-9{an+bn}@-2anbn0+1
={-2n}@-9{-n}@-2\{-2n}0+1
=3n@-4n+1
/
6
?k=1
=
6
?k=1
{ak@-1}{bk@-1}
{3k@-4k+1}=3
k@-4
k+
6
?k=1
6
?k=1
1
=3\
6\7\13
6
-4\
+6=195
6
?k=1
6\7
2
11 위에서 n번째 줄에 있는 n개의 수의 합을 an이라고 하면
an=1+2+3+y+n=
k=
n
?k=1
n{n+1}
2
ak =
따라서 구하는 합은
k{k+1}
10
10
?k=1
?k=1
2
1
2 [
10\11\21
6
=
=
1
2 [
+
k@+
10
?k=1
10\11
2
10
?k=1
k
]
=220
]
12
8
?k=1
{k+n} =
k+
n=
+8n=36+8n
8
?k=1
8
?k=1
8\9
2
/
5
?n=1-
8
?k=1
{k+n}
=
=
5
?n=1
{36+8n}=
36+8
5
?n=1
n
5
?n=1
5\6
2
=36\5+8\
=300
13 수열 9an0의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라고 하면
Sn=
ak=n@-n
n
?k=1
! n=1일 때, a1=S1=0
@ n>2일 때,
an =Sn-Sn-1={n@-n}-9{n-1}@-{n-1}0
=2n-2
yy`㉠
이때 a1=0은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
an=2n-2
따라서 a2k'1=2{2k+1}-2=4k이므로
10
10
?k=1
?k=1
10\11
2
k=4\
a2k'1 =
10
?k=1
4k=4
=220
14 수열 1,
1
1
1+2 ,
1
1+2+3+y+n
an=
1+2+3 , y의 일반항을 an이라고 하면
=
1
n{n+1}
2
=
2
n{n+1}
/ (주어진 식) =
ak=
11
?k=1
=2
11
?k=1
1
2 ]
2
k{k+1}
1
1
3 ]
2
-
[
+
11
1
?k=1[
k
1
3
[
-
+
1
-
k+1 ]
1
4 ]
+y+
1
11
[
-
1
12 ]=
=2
1-
-[
=2
1-
[
1
12 ]
=
11
6
19고등(수학1)_내공_해설(037~056)OK.indd 54
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15
19
?k=1
5
j5k-1l+j5k+4l
=
=
19
?k=1
19
?k=1
5{j5k-1l-j5k+4l}
l}{j5k-1l-j5k+4l}
{j5k-1l+j5k+4l
{j5k+4l-j5k-1l}
={3-2}+{j14k-3}+{j19k-j14k}+y+{3j11k-j94k}
=3j11k-2
따라서 a=11, b=2이므로 a+b=13
16 a1=1이고, an'2=an+an'1에서
a3=a1+a2=1+a2
a4=a2+a3=a2+{1+a2}=2a2+1
a5=a3+a4={1+a2}+{2a2+1}=3a2+2
이때 3a2+2=5이므로
a2=1 / a4=3
/ a6=a4+a5=3+5=8
@ n=k일 때, 등식 ㉠이 성립한다고 가정하면
1\2+2\3+3\4+y+k{k+1}
=
k{k+1}{k+2}
3
위의 식의 양변에 {k+1}{k+2} 를 더하면
1\2+2\3+3\4+y+k{k+1}+ {k+1}{k+2}
=
k{k+1}{k+2}
3
+ {k+1}{k+2}
=
k{k+1}{k+2}+3{k+1}{k+2}
3
=
{k+1}{k+2}{k+3}
3
따라서 n= k+1 일 때도 등식 ㉠이 성립한다.
!, @에 의하여 등식 ㉠은 모든 자연수 n에 대하여 성립
한다.
/ ㈎ {k+1}{k+2} `
㈏
{k+1}{k+2}{k+3}
3
`
an이므로 수열 9an0은
㈐ k+1
17 a1=
1
2
1
2 에서 an'1=
1
2 인 등비수열이다.
=
an'1
an
1
4 이고,
1
4 , 공비가
1
2 ]N_!=
[
1
4
\
[
첫째항이
따라서 an=
a24=
[
1
2 ]@%=
1
2@%
/ k=25
1
2 ]@\
[
1
2 ]N_!=
[
1
2 ]N"!이므로
18 an'2-2an'1+an=0에서 2an'1=an+an'2이므로 수열
21 ! n=2일 때,
1
(좌변)=1+
2@
=
,
5
4
(우변)=2-
=
1
2
3
2
9an0은 등차수열이다.
이때 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a2=2a1에서
a+d=2a / d=a
a10=50에서
a+9d=50
yy`㉠
yy`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
a+9a=50 / a=5
㉠에서 d=5
/ a6=a+5d=5+5\5=30
19 a1=4
a2=a1+6
a3=a2+8
a4=a3+10
첫째항이 6, 공차가 2인 등차수열이므로
6+{n-1}\2=2n+4
` ⋮
an'1=an+2n+4
따라서 f{n}=2n+4이므로
f{10}=2\10+4=24
20 ! n=1일 때,
(좌변)=1\2=2, (우변)=
1\2\3
3
=2
이므로 n=1일 때 등식 ㉠이 성립한다.
<
5
4
따라서
3
2 이므로 n=2일 때 부등식 ㉠이 성립한다.
@ n=k {k>2}일 때, 부등식 ㉠이 성립한다고 가정하면
<2-
+y+
+
1+
1
k@
1
k
위의 식의 양변에
을 더하면
1
{k+1}@
1+
+
+y+
+
1
k@
1
{k+1}@
<2-
+
1
k
1
{k+1}@
이때 2-
+
1
{k+1}@
<2-
+
1
k
1
k{k+1}
이고
2-
+
1
k
1
k{k+1}
=2-
1
k
+
[
1
k
-
1
k+1 ]
1
2@
1
2@
1
3@
1
3@
1
k
= 2-
1
k+1
/ 1+
+
+y+
1
2@
1
3@
1
{k+1}@
< 2-
1
k+1
따라서 n=k+1일 때도 부등식 ㉠이 성립한다.
!, @에 의하여 부등식 ㉠은 n>2인 모든 자연수 n에 대
하여 성립한다.
5
4
1
{k+1}@
/ ㈎
㈏
㈐ 2-
1
k+1
III. 수열 55
19고등(수학1)_내공_해설(037~056)OK.indd 55
2018-04-26 오후 1:28:16
채점 기준
㈎ 주어진 식을 ?를 사용하지 않은 합의 꼴로 나타낸다.
㈏ 로그의 성질을 이용하여 식을 간단히 한다.
㈐ 주어진 식의 값을 구한다.
배점
2점
2점
1점
26 근호 안의 식을 정리하면
k{k+1}{k+2}{k+3}+1
=9k{k+3}09{k+1}{k+2}0+1
={k@+3k}{k@+3k+2}+1
={k@+3k}@+2{k@+3k}+1
={k@+3k+1}@
12
/
?k=11k{k+1}{k+2}{k+3}+13
yy`㈎
{k@+3k+1} {? k@+3k+1>0}
k+
=
=
k@+3
12
?k=1
12
12
?k=1
?k=1
12\13\25
6
=650+234+12
=896
=
12
?k=1
1
+3\
12\13
2
+12
채점 기준
㈎ 근호 안의 식을 간단히 한다.
㈏ 주어진 식의 값을 구한다.
27 ⑴ 정n각형의 한 내각의 크기는
180!{n-2}
n
이므로 정n
각형의 내부에 그린 부채꼴의 호 1개의 길이는
1\
180{n-2}
n
-
\
p
180
=
=
n-2
n
p
yy`㈎
/ Ln =
p\n
n-2
n
={n-2}p
⑵
10
?k=3
Lk =L3+L4+L5+y+L10
=p+2p+3p+y+8p
={1+2+3+y+8}p
p
]
[
k
8
?k=1
8\9
=
=
2 p
=36p
채점 기준
㈎ 부채꼴의 호 1개의 길이를 n에 대한 식으로 나타낸다.
㈏ 수열 9Ln0의 일반항을 구한다.
㈐ /k=3!)``Lk의 값을 구한다.
yy`㈏
배점
3점
3점
yy`㈏
yy`㈐
배점
2점
2점
3점
22 1보다 큰 자연수 n으로 나누었을 때의 몫과 나머지가 서로
같은 자연수는
kn+k {k=1, 2, y, n-1}
이므로 모두 {n-1}개이다.
/ an =
{kn+k}=
k{n+1}={n+1}
k
n-1
n-1
n-1
?k=1
={n+1}\
?k=1
n{n-1}{n+1}
2
?k=1
n{n-1}
2
n{n-1}{n+1}
2
=
an<300에서
<300
n{n-1}{n+1}<600
이때 7\8\9=504, 8\9\10=720이므로
10, n>0이므로 n@0, x-2=1
yy`㉠
∴ 23
진수의 조건에서 -x@+7x-6>0
x@-7x+6<0, {x-1}{x-6}<0
∴ 1b이므로 a-b=j5
/ m=j5
/ logm a+logm b=logm ab=logj5 5=2
16 a =log 4310=log {4.31\10#}
=3+log 4.31=3.6345
log b =-1.3655=-2+0.6345=log 10_@+log 4.31
=log {4.31\10_@}=log 0.0431
/ b=0.0431
/ a+10b=3.6345+0.431=4.0655
17 log2 9log2 {log2 x}0=2에서 log2 {log2 x}=2@=4
따라서 log2 x=2$=16이므로 x=2!^
2!^에 상용로그를 취하면
log 2!^=16 log 2=16\0.3=4.8
따라서 log 2!^의 정수 부분이 4이므로 2!^은 5자리의 자연수
이다.
18 log x의 소수 부분과 log x@의 소수 부분의 합이 1이므로
log x+log x@=log x+2 log x=3 log x
에서 3 log x의 값은 정수이다.
이때 log x의 정수 부분이 1이므로 10이므로 x2!+x-
x@+x_@ ={x+x_!}@-2=49-2=47
2!=3
yy ㈎
yy ㈏
㈎ k의 값을 구한다.
㈏ 벽의 두께를 구한다.
배점
5점
5점
따라서 벽의 두께는 42.5 cm이다.
yy ㈏
58 정답과 해설
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2018-04-26 오후 1:29:22
04~06강
내공 점검
p. 85~87
4 ③
4 ①
9 ①
9 ⑤
2 ③
1 ④
2 ④
1 ⑤
7 ③
6 ③
7 ④
6 ②
12 8
11 2
12 ①
11 ①
14 ⑤
15 ②
16 {2, 1} 17 2
20 ⑤
19 ①
24 ⑴ a=2, b=-8 ⑵ {x-1}{x+2}{x+4}
25 {x @+5x+2}{x @-x-4}
3 ③
3 ③
8 ④
8 ⑤
13 몫: x@-2x+1, 나머지: 2
14 ①
13 x=
16 ④
17 ②
18 32
22 8
21 2
1
15
5 ②
5 ②
10 ①
10 ①
15 ④
18 ③
23 -24
1 ㄱ. ab>1이므로 함수 y={ab}X은 x의 값이 증가하면 y
의 값도 증가한다.
ㄴ. a>b>1이면
b
a
이 증가하면 y의 값은 감소한다.
<1이므로 함수 y=
b
a ]X은 x의 값
[
ㄷ. a+b>a+1>2이므로
a+b
a+1
>1
따라서 함수 y=
a+b
a+1 ]X은 x의 값이 증가하면 y의
[
따라서 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하는 함수는 ㄱ,
값도 증가한다.
ㄷ이다.
2 f{0}=2B=5이므로 f{3}=23a+b=135에서
23a\2B=135, 23a\5=135
23a=27=3# / 2A=3
/ f{1}=2a+b=2A\2B=3\5=15
3 A=21.5=22#
B=0.25-
3@=
-
3@
1
4 ]
[
=43@=23$
C=#j32k=23%
이때 세 수 A, B, C의 밑이 1보다 크므로
3
4
3 <
2 <
/ B0이고 x>0이므로
x>0
yy ㉠
]
이때 ㉠에서 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
9
x
x+
+10>2qx\
e+10=16이므로
9
x
log4 {x@+10x+9}-log4 x>log4 16=2
이때 등호는 x=3일 때 성립하므로
a=3, b=2
내공 점검 59
따라서 a=-2, b=6, c=1이므로 a+b+c=5
/ a-b=1
19고등(수학1)_내공_해설(057~072)OK.indd 59
2018-04-26 오후 1:29:23
10 2X=X {X>0}로 치환하면 주어진 방정식은
X+
-3=0, X@-3X+1=0
1
X
이 이차방정식의 두 근이 2a, 2b이므로 이차방정식의 근과
계수의 관계에 의하여
2a\2b=1, 2a+b=2)
/ a+b=0
11 x2x-4={2x+3}x-2에서 {x@}x-2={2x+3}x-2
이때 좌변과 우변의 지수가 같으므로 이 방정식이 성립하
려면 밑이 같거나, 지수가 0이어야 한다.
! 밑이 같은 경우
x@=2x+3, x@-2x-3=0
{x+1}{x-3}=0 / x=3 {? x>0}
@ 지수가 0인 경우
x-2=0 / x=2
!, @에 의하여 주어진 방정식의 해는 x=2 또는 x=3이
므로 모든 근의 곱은 6이다.
y=4X_@
x+2
12 [
1
9 ]
<27<
2x-8
1
3 ]
[
에서
3-2{x+2}<3#<3-{2x-8} / 3-2x-4<3#<3-2x+8
밑이 1보다 크므로
-2x-4<3<-2x+8
-2x-4<3에서 x>-
yy ㉠
7
2
5
2
3<-2x+8에서 x<
yy ㉡
㉠, ㉡을 동시에 만족하는 x의 값의 범위는
-
0, 5x>0 / x>0
3log 3x=5log 5x의 양변에 상용로그를 취하면
log 3log 3x=log 5log 5x
log 3x\log 3=log 5x\log 5
{log 3+log x}\log 3={log 5+log x}\log 5
{log 5-log 3}\log x={log 3}@-{log 5}@
/ log x =
{log 3+log 5}{log 3-log 5}
log 5-log 3
=-{log 3+log 5}=-log 15=log
1
15
/ x=
1
15
14 loga {2x+4}-loga {x-1}3{x-1}
60 정답과 해설
/ x<7
진수의 조건에서 2x+4>0, x-1>0이므로
yy ㉠
x>1
yy ㉡
㉠, ㉡을 동시에 만족하는 x의 값의 범위는
10}로 치환하면 6{1+X@}=5{1+X}
/ X=
6X@-5X+1=0, {3X-1}{2X-1}=0
1
2
1
3 또는 X=
/ r=2%=32 {∵ 10}
4
3
r@\
1
2
부채꼴의 호의 길이를 L이라고 하면
L=3\
p=4p
4
3
따라서 부채꼴의 둘레의 길이는
2r+L=6+4p
6 음수의 제곱근의 성질에 의하여 실수 a, b에 대하여
cos h
sin h e이고 sin h cos h=0이므로
a
b 이면 a>0, b<0 또는 a=0, b=0
ja
=-q
jb
이때 jcos hl
=-q
jsin hl
cos h>0, sin h<0
즉, h는 제4사분면의 각이므로 tan h<0이고
cos h-tan h>0
/ |cos h|-1{cos h3-tan h}@3
=|cos h|-|cos h-tan h|
=cos h-{cos h-tan h}=tan h
7
{tan@ h+1}{1-cos@ h}
tan@ h
=
=
{tan@ h+1}\sin@ h
tan@ h
tan@ h sin@ h+sin@ h
tan@ h
sin@ h
tan@ h
sin@ h
sin@ h
cos@ h
=sin@ h+
=sin@ h+
=sin@ h+cos@ h=1
내공 점검 61
19고등(수학1)_내공_해설(057~072)OK.indd 61
2018-04-26 오후 1:29:24
10 이차방정식 8x@-4x+a=0에서 근과 계수의 관계에 의하여
12
sin h
1-cos h
-
1
tan h
=
8
tan h
cos h
+
tan@ h
sin@ h
=
sin@ h
cos@ h
sin@ h
1
cos@ h
+
+
sin h
cos h
cos h
sin h
cos@ h
1+sin h
1-sin@ h
1
1-sin h
=
=
=
1
=
=3
1-
3@
=
1+sin h
cos@ h
1+sin h
{1+sin h}{1-sin h}
=
9 cos h-tan@ h=1에서 cos h-
=1이므로 양변에
sin@ h
cos@ h
cos@ h를 곱하면
cos# h-sin@ h=cos@ h, cos# h=sin@ h+cos@ h
cos# h=1, cos# h-1=0
{cos h-1}{cos@ h+cos h+1}=0
그런데 cos h의 값은 실수이므로 cos h=1
/ cos h+cos@ h+y+cos!)) h
=1+1+y+1=100
sin h+cos h=
, sin h cos h=
1
2
a
8
sin h+cos h=
1
2 의 양변을 제곱하면
1+2 sin h cos h=
이때 sin h cos h=
a
8 이므로
1+2\
=
/ a=-3
a
8
1
4
/ sin h cos h=-
1
4
3
8
한편 이차방정식 3x@+bx+c=0에서 근과 계수의 관계에
의하여
{1-tan h}+
1-
[
1
tan h ]
=
1-
[
cos h
sin h ]
/ b=-14
{1-tan h}
1-
[
1
tan h ]
=1-
tan h+
[
1-
[
+
sin h
cos h ]
sin@ h+cos@ h
sin h cos h
1
sin h cos h
14
8
3
3
=
=-
b
3
=2-
=2-
=2+
+1
1
tan h ]
cos h
sin h ]
=2-
=2-
[
+
sin h
cos h
sin@ h+cos@ h
sin h cos h
=2-
=2+
1
sin h cos h
14
8
c
3
3
3
=
=
/ c=14 / a+b+c=-3-14+14=-3
62 정답과 해설
11 각 h가 제2사분면의 각이므로
0이고 최댓값이 9, 최솟값이 -3이므로
a+d=9, -a+d=-3
두 식을 연립하여 풀면 a=6, d=3
b>0이고 주어진 그래프에서 주기가 p이므로
2p
b
=p / b=2
따라서 ㉠의 그래프는 오른쪽 그
림과 같으므로
t=1일 때, 최댓값 M=
1
3
t=-1일 때, 최솟값 m=-1
2
3
/ M+m=-
y
13!
-1
-2
1
O
-1
t
6 sin
29
4
p+cos [
-
p
+tan [
]
-
17
4
7
4
p
]
-4p-
p
4 ]
+tan [
-2p+
p
4 ]
=sin [
5
4
=sin
=sin [
6p+
5
4
p
]
p+cos [
p
4 ]
p+
-
+cos [
p
4 ]
p
4
+cos
+tan
+tan
p
4
p
4
=- j2
2
p
4
=-sin
+cos
+tan
p
4
p
4
+ j2
2
+1=1
7 ㄱ. 함수 y=sin [
2x+
=sin 2
x+
[
p
3 ]
p
6 ]의 그래프는 함
p
6 만큼 평
수 y=sin 2x의 그래프를 x축의 방향으로 -
행이동한 것이다.
ㄴ. 함수 y=-sin [
-x
+1=sin [
]
x-
+1의 그래
p
4 ]
p
4
프는 함수 y=sin x의 그래프를 x축의 방향으로
p
4 만
큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
2
p
3
2
=sin [
=sin [
p
6 ]
p
6 ]
+x+
x+
x+
ㄷ. cos [
p
]이므
로 함수 y=cos [
래프는 함수 y=sin x의 그래프를 x축의 방향으로
-2=sin [
x+
x+
p
]
-2의 그
p
6 ]
2
3
-
p만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다.
2
3
따라서 함수 y=sin x의 그래프를 평행이동하여 겹쳐지는
것은 ㄴ, ㄷ이다.
함수 y=6 cos {2x+c}+3의 그래프가 점 [
지나므로
5
6
+3=-3, cos [
p+c
p+c
5
6
]
]
=-1
5
12
p, -3
]을
8 tan 89!=tan {90!-1!}=
tan 88!=tan {90!-2!}=
p+c=t로 놓으면 -p0이므로
=8p / p=4
yy ㈎
2p
p!
이때 f{x}=a sin
+b의 최댓값이 1이고, a>0이므로
x
4
a+b=1
또 f [
=-
p
]
2
3
yy ㉠
1
2 이므로
64 정답과 해설
p
+b=
a sin
+b=a sin
2
3
4
/ a+2b=-1
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-2
/ a-b+p=3-{-2}+4=9
p
6
yy ㉡
a
2
+b=-
1
2
채점 기준
㈎ p의 값을 구한다.
㈏ a, b의 값을 구한다.
㈐ a-b+p의 값을 구한다.
yy`㈏
yy`㈐
배점
3점
6점
1점
yy ㈎
y=1
3p
x
yy`㈏
yy`㈐
yy`㈑
배점
2점
3점
4점
1점
12 sin# x+cos$ x=1에서
sin# x+{1-sin@ x}@-1=0
sin$ x+sin# x-2 sin@ x=0
sin@ x{sin x+2}{sin x-1}=0
이때 sin x+2>0이므로
sin x=0 또는 sin x=1
! sin x=0일 때,
x=-p 또는 x=0
또는 x=p 또는 x=2p
또는 x=3p
@ sin x=1일 때,
p
2 또는 x=
x=
p
5
2
y
1
O
-p
2p
p
2"
p
2%
y=sin x
!, @에 의하여 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수
yy`㈐
는 7이다.
채점 기준
㈎ 주어진 방정식을 sin x에 대한 식으로 나타낸다.
㈏ 주어진 방정식의 해를 구한다.
㈐ 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수를 구한다.
배점
4점
5점
1점
13 2 sin@ x-3 sin x-2>0에서
{sin x-2}{2 sin x+1}>0
이때 sin x-2<0이므로
2 sin x+1<0
sin x<-
1
2
yy`㈎
/
x-
7
11
6 p yy`㈏
6 p0}라고 하면
a@+b@ ={3k}@+{4k}@=25k@, c@={5k}@=25k@
이므로 a@+b@=c@
따라서
ABC는 C=90!인 직각삼각형이다.
3
s
ABC에서 A=180!-{75!+45!}=60!
ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라고 하면 사인법칙
s
에서
s
a
sin`A
=2R이므로
=2R / R=80j3 {m}
240
sin`60!
따라서 구하는 호수의 넓이는
pR@=p\{80j3}@=19200p {m@}
4 코사인법칙에서 a@=b@+c@-2bc cos A이므로
7@=5@+c@-2\5\c\cos 60!
49=25+c@-5c, c@-5c-24=0
{c+3}{c-8}=0 ∴ c=8`(∵ c>0)
5
sin A
4
=
sin B
5
=
sin C
6
=k {k>0}라고 하면
sin A=4k, sin B=5k, sin C=6k
∴ sin A : sin B : sin C=4 : 5 : 6
ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라고 하면 사인법칙
에 의하여
s
sin`A=
a
2R , sin`B=
b
2R , sin`C=
c
2R
/ sin A : sin B : sin C
b
2R
c
2R
=a : b : c=4 : 5 : 6
a
2R
:
:
=
즉, a=4l, b=5l, c=6l {l>0}이라고 하면
a의 값이 가장 작으므로 그 대각인 A가 가장 작은 각이다.
코사인법칙에 의하여
b@+c@-a@
2bc
cos A =
=
{5l}@+{6l}@-{4l}@
2\5l\6l
=
3
4
/ sin A =11-cos@ A3 {? 0!0)
따라서
ABC는 C=90!인 직각삼각형이다.
s
7 트랙의 가장 안쪽 경계는
ABC의 외접원이므로 이 트랙
의 반지름의 길이를 R라고 하면 사인법칙에서
a
sin`A
=2R이므로
=2R
yy`㉠
s
130
sin`A
이때
ABC에서 코사인법칙에 의하여
cos`A =
s
b@+c@-a@
2bc
=
140@+150@-130@
2\140\150
=
3
5
sin A =11-cos@ A3 {? 0!0)
이때
CABC+CADC=180!
∴ CADC=180!-120!=60!
f
ACD에서 CDl=b로 놓으면 코사인법칙에 의하여
이때
a@=3@+b@-2\3\b\cos 60!
s
13=9+b@-6\b\
1
2
b@-3b-4=0
{b+1}{b-4}=0
∴ b=4`(∵ b>0)
66 정답과 해설
f
=
\3\1\sin 120!+
s
\3\4\sin 60!
ABCD의 넓이는
ABC+
ACD
ABCD =
f
1
2
1
s
2
=
=
\ j3
2
3
2
15j3
4
+6\ j3
2
11
ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라고 하면 사인법
, sin`C=
c
2R
yy`㈎
칙에 의하여
s
a
sin`A=
2R
, sin`B=
b
2R
/ sin`A : sin`B : sin`C
b
2R
c
2R
=a : b : c=2 : 3 : 4
a
2R
:
:
=
=3 : 6 : 4
채점 기준
㈎ 사인법칙을 변형한다.
㈏ a : b : c를 구한다.
㈐ ab : bc : ca를 구한다.
a=2k, b=3k, c=4k {k>0}라고 하면
ab : bc : ca =6k@ : 12k@ : 8k@
12
ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R, 넓이를 S라고 하
면 사인법칙에 의하여 sin A=
s
a
2R 이므로
yy`㈏
yy`㈐
배점
2점
3점
5점
한편
ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라고 하면 r=3
yy`㉠ yy`㈎
{a+b+c} yy`㉡ yy`㈏
S =
1
2 bc sin A
1
2 bc\
그런데 R=6이므로
a
2R
=
=
abc
4R
S=
abc
4R
=
abc
4\6
=
abc
24
이므로
s
1
r{a+b+c}=
2
S=
3
2
㉠=㉡이므로
3
abc
2
24
=
{a+b+c}
∴
a+b+c
abc
=
\
=
2
3
1
36
1
24
1
ca
/
1
ab
1
bc
+
+
=
a+b+c
abc
=
1
36
yy`㈐
채점 기준
㈎ 외접원의 반지름의 길이를 이용하여 삼각형 ABC의
넓이를 구한다.
㈏ 내접원의 반지름의 길이를 이용하여 삼각형 ABC의
넓이를 구한다.
1
1
1
ca 의 값을 구한다.
bc
ab
+
+
㈐
배점
3점
3점
4점
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Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
13 호의 길이는 부채꼴의 중심각의
크기에 정비례하므로 오른쪽 그
림에서
AB
: BC
: CD
: DA
=CAOB : CBOC
: CCOD : CDOA
A
30!
120!
O
4
60!
150!
B
C
: BC
이때 AB
CAOB+CBOC+CCOD+CDOA=360!이므로
=1 : 2 : 5 : 4이고,
: DA
: CD
D
CAOB=360!\
CBOC=360!\
1
1+2+5+4
=30!
2
1+2+5+4
=60!
CCOD=360!\
=150!
5
1+2+5+4
4
1+2+5+4
OAl=OBl=OCl=ODl=4
f
∴
ABCD
CDOA=360!\
=120!
yy`㈎
ABCD의 외접원의 반지름의 길이는 4이므로
1
s
2
=
f
=
OAB+
OBC+
OCD+
ODA
\4\4\sin 30!+
s
\4\4\sin 60!
s
1
s
2
+
\4\4\sin 150!+
\4\4\sin 120!
1
2
1
2
=4+4j3+4+4j3
=8+8j3
yy`㈏
채점 기준
㈎ CAOB, CBOC, CCOD, CDOA의 크기를 구한다.
㈏
ABCD의 넓이를 구한다.
배점
4점
6점
f
13~15강
내공 점검
p. 94~96
4 -4
4 ①
9 ⑤
9 ⑤
2 ③
2 ④
7 ③
7 ④
12 8
12 ①
15 ②
17 ④
20 ⑤
3 ⑤
5 ③
3 ③
5 ②
8 ②
10 ①
8 ⑤
10 ①
63
13 몫: x@-2x+1, 나머지: 2
15
14 ④
13 12
2
18 ③
17 ②
16 ④
20 24
19 1717
18 ③
23 -24
22 8
21 2
1 ②
1 ⑤
6 ②
6 ②
11 2
11 ②
14 ⑤
1
16
16
19 ①
24 ⑴ a=2, b=-8 ⑵ {x-1}{x+2}{x+4}
21 ⑴ 1317000원 ⑵ 1313000원 ⑶ 상품 A
25 {x @+5x+2}{x @-x-4}
1 등차수열 9an0의 일반항은
an=a+2{n-1}
2a2+2a4+2a6
2a1+2a3+2a5 =
/
2a+2+2a+6+2a+10
2a+2a+4+2a+8
2a+2{1+2$+2*}
2A{1+2$+2*}
=
=2@=4
2 등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a3=11에서
a+2d=11
yy`㉠
a6`:`a10=5`:`8에서
{a+5d}`:`{a+9d}=5`:`8
5{a+9d}=8{a+5d}
/ 3a-5d=0
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=5, d=3
따라서 an=5+{n-1}\3=3n+2이므로
a20=3\20+2=62
3 a, 10, b가 이 순서대로 등차수열이므로
yy`㉠
a+b=20
1
1
1
b 이 이 순서대로 등차수열이므로
5 ,
a ,
2
1
1
5
b
a
2
5
a+b
ab
yy`㉡
/
=
+
=
=
㉠을 ㉡에 대입하면
2
20
5
ab
/ ab=50
/ a@+b@ ={a+b}@-2ab
=20@-2\50=300
4 네 수를 a-3d, a-d, a+d, a+3d라고 하면
{a-3d}+{a-d}+{a+d}+{a+3d}=8에서
4a=8 / a=2
{a-3d}{a+3d}=-32에서
a@-9d@=-32
4-9d@=-32
d@=4
/ d=-2
따라서 네 수는 -4, 0, 4, 8이므로 가장 작은 수는 -4이다.
5 주어진 등차수열의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a+3d=-3, a+9d=9
두 식을 연립하여 풀면 a=-9, d=2
따라서 첫째항부터 제20항까지의 합은
2092\{-9}+{20-1}\20
2
=200
6 등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
69a+{a+5d}0
2
=
69{a+6d}+{a+11d}0
2
+12
2a+5d=2a+17d+4 / d=-
1
3
/ a6-a3=3d=3\
-
=-1
1
3 ]
[
내공 점검 67
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i
i
i
i
i
i
i
i
7 첫째항이 -3, 마지막 항이 11, 항의 개수가 n+2인 등차
11 등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
8 선분 AnAn'1의 길이를 an이라고 하면 등차수열 9an0의 첫
수열의 모든 항의 합이 32이므로
{n+2}{-3+11}
2
=32
4{n+2}=32 / n=6
째항은 3이다. 공차를 d라고 하면
an=3+{n-1}\d
=a1+a2+a3+y+a10
A1A11
Z
1093+{3+9d}0
2
=
=30+45d
A1A6
=a1+a2+a3+a4+a5
593+{3+4d}0
2
=
=15+10d
이때 점 A6이 선분 A1A11을 2`:`1로 내분하므로
A1A6
`:`A1A11
=2`:`3
{15+10d}`:`{30+45d}=2`:`3
2{30+45d}=3{15+10d}
/ d=-
1
4
9 Sn =a1+2a2+3a3+y+nan
=n{n+1}{n+2}
라고 하면
! n=1일 때, a1=S1=1\2\3=6
@ n>2일 때,
nan =Sn-Sn-1
=n{n+1}{n+2}-n{n-1}{n+1}
=3n{n+1}
/ an=3{n+1}
yy`㉠
이때 a1=6은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
an=3{n+1}
/ a1+a10=6+33=39
10 등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
a1+a2+a3=5에서
a+ar+ar@=5
a4+a5+a6=-40에서
ar#+ar$+ar%=-40
yy`㉠
yy`㉡
㉡_㉠을 하면 r#=-8
그런데 r는 실수이므로 r=-2
r=-2를 ㉠에 대입하면
a-2a+4a=5 / a=
5
3
/ a2+a4+a6 =ar+ar#+ar%
=ar{1+r@+r$}
=
5
3 \{-2}\21=-70
68 정답과 해설
yy`㉠
yy`㉡
a2=2에서 ar=2
a6=8에서 ar%=8
㉡_㉠을 하면 r$=4
그런데 r>0이므로 r=j2
r=j2를 ㉠에 대입하면
j2a=2 / a=j2
따라서 an=j2\{j2}n-1={j2}N이므로
an@={j2}@N=2N
an@<1000에서 2N<1000
이때 2(=512, 2!)=1024이므로 구하는 n의 최댓값은 9이다.
12 주어진 등비수열의 공비를 r라고 하면 첫째항이 3, 제9항
이 48이므로
3r*=48에서 r*=16
그런데 r는 실수이므로 r@=2
이때 x4는 제5항이므로
jx4k=13r$2=13\2@3=2j3
13 30, a, b는 이 순서대로 등차수열이므로
2a=30+b
yy`㉠
a, b, 2는 이 순서대로 등비수열이므로
b@=2a
yy`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 b@=30+b
b@-b-30=0, {b+5}{b-6}=0
/ b=6 (? b는 자연수)
b=6을 ㉠에 대입하면
2a=36 / a=18
/ a-b=18-6=12
14 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라고 하면
S24 =
\24+91+{-3}+{-3}@+{-3}#+y+{-3}@#0
1
4
1
4
=6+
1\91-{-3}@$0
1-{-3}
1
4
=6+
{1-3@$}
=
{25-3@$}
15 등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
=24
Sn=
S2n =
a{1-rN}
1-r
a{1-r@N}
1-r
=
a{1-rN}{1+rN}
1-r
=30
㉠을 ㉡에 대입하면 24{1+rN}=30
1+rN=
/ rN=
yy`㉠
yy`㉡
1
4
a{1-rN}{1+rN+r@N}
1-r
=
/ S3n =
5
4
a{1-r#N}
1-r
a{1-rN}
1-r
=
\{1+rN+r@N}
=24\
1+
+
[
1
4
1
16 ]
=
63
2
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Z
Z
Z
16 주어진 정사각형의 넓이가 4이므로 한 변의 길이는
a2=a[
j4=2
n번째 그리는 정사각형의 한 변의 길이를 an이라고 하면
a1=11@+1@3=j2,
j2
j2
2 ]@d=1,
2 ]@+[
1
1
1
2 ]@y=
2 ]@+
[
j2
1
j2 ]N_!
/ an=j2\
따라서 10번째 그리는 정사각형의 한 변의 길이는
a3=r[
, y
[
a10=j2\
[
1
j2 ](=
1
16
17 등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
yy`㉠
yy`㉡
a3=6에서 ar@=6
a7=24에서 ar^=24
㉡_㉠을 하면
r$=4 / r@=2
r@=2를 ㉠에 대입하면
2a=6 / a=3
/ an@={arN_!}@=a@\{r@}N_!=9\2N_!
따라서 구하는 값은 첫째항이 9, 공비가 2인 등비수열의 첫
째항부터 제10항까지의 합과 같으므로
a1@+a2@+a3@+y+a10@=
9{2!)-1}
2-1 =9207
18 매년 인구의 증가율을 r라고 하면 n년 후의 인구는
100{1+r}N(만 명)
10년 후인 2010년 초의 인구가 130만 명이므로
100{1+r}!)=130 / {1+r}!)=
따라서 20년 후인 2020년 초의 인구는
100{1+r}@) =1009{1+r}1002=100
13
10
13
10 ]@
[
=100\
=169(만 명)
169
100
19 등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a18=a+17d=49
a20=a+19d=43
yy`㉠
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=100, d=-3
yy`㈎
/ an=100+{n-1}\{-3}=-3n+103
이때 등차수열 9an0이 제n항에서 처음으로 음수가 된다고
하면
-3n+103<0에서 n>34.3^
yy`㈏
즉, 처음으로 음수가 되는 항은 제35항이다.
따라서 등차수열 9an0은 제35항부터 음수이므로 Sn의 최댓
값은 첫째항부터 제34항까지의 합이다.
S34=
3492\100+{34-1}\{-3}0
2
=1717 yy`㈐
채점 기준
㈎ 일반항 an을 구한다.
㈏ 처음으로 음수가 되는 항을 구한다.
㈐ Sn의 최댓값을 구한다.
배점
3점
3점
3점
20 등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a3=11에서 a+2d=11
a7=3에서 a+6d=3
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=15, d=-2
yy`㉠
yy`㉡
/ Sn =
n92\15+{n-1}\{-2}0
2
=-n@+16n
Sn>60에서
-n@+16n>60, n@-16n+60<0
{n-6}{n-10}<0 / 660을 만족하는 n의 값의 범위를 구한다.
㈐ n의 값의 합을 구한다.
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
배점
3점
4점
2점
21 ⑴ 월이율이 1.5 %이고 1개월마다 단리로 1월부터 매월 초
에 10만 원씩 12개월 동안 적립할 때, 그 해 12월 말의
적립금의 원리합계를 Sa라고 하면
Sa =10%\{1+0.015\1}+10%\{1+0.015\2}
+y+10%\{1+0.015\12}
=10%\12+91500+{1500\2}+y+{1500\12}0
=1200000+1500{1+2+y+12}
=1200000+1500\
12{1+12}
2
=1200000+117000
=1317000(원)
yy`㈎
⑵ 월이율이 1 %이고 1개월마다 복리로 1월부터 매월 초에
10만 원씩 12개월 동안 적립할 때, 그 해 12월 말의 적립
금의 원리합계를 Sb라고 하면
Sb =10%\1.01+10%\1.01@+y+10%\1.01!@
=
10%\1.01\{1.01!@-1}
1.01-1
=
10%\1.01\0.13
0.01
=1313000(원)
yy`㈏
⑶ ⑴, ⑵에 의하여 Sa>Sb이므로 상품 A에 가입해야 한다.
yy`㈐
채점 기준
㈎ A 상품의 원리합계를 구한다.
㈏ B 상품의 원리합계를 구한다.
㈐ 어느 상품에 가입해야 하는지 말한다.
배점
4점
4점
2점
내공 점검 69
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16~18강
내공 점검
p. 97~99
2 ⑤
2 ④
7 ③
7 ④
12 ②
12 8
17 5
15 ②
20 ⑤
1 ②
1 ⑤
6 ④
6 ②
11 ①
11 2
16 3
14 ⑤
19 ①
24 ⑴ a=2, b=-8 ⑵ {x-1}{x+2}{x+4}
1 ㄱ.
a2k=a2+a4+a6+y+a2n
25 {x @+5x+2}{x @-x-4}
4 ③
3 ⑤
4 ①
3 ③
9 ③
8 ②
9 ⑤
8 ⑤
14 ①
13 ②
13 몫: x@-2x+1, 나머지: 2
18 22
17 ②
16 ④
22 8
21 2
5 ④
5 ②
10 ③
10 ①
15 ⑤
18 ③
23 -24
ak=am+am'1+am'2+y+an
n
?k=1
n
?k=m
n
?k=1
={a1+a2+a3+y+an}-{a1+a2+a3+y+am-1}
=am+am'1+am'2+y+an
ak-1
ㄴ.
ak-
?k=2
m
n
?k=m
n
?k=1
ak=
ak-
ak-1
m
?k=2
ㄷ.
cak=ca1+ca2+ca3+y+can
ak+cn=a1+a2+a3+y+an+cn
/
n
?k=1
n
?k=1
/
n
?k=1
cak=
ak+cn
n
?k=1
따라서 옳은 것은 ㄴ이다.
k{ak'1-ak}
n
2
?k=1
={a2-a1}+2{a3-a2}+3{a4-a3}+y+n{an'1-an}
=nan'1-{a1+a2+a3+y+an}
=nan'1-
ak
n
?k=1
n
?k=1
/
10
?k=1
ak=5\10@=500
즉, nan'1-
ak=nan'1-5n@이므로
ak=5n@
n
?k=1
9{ak#+3ak@+3ak+1}-{ak#-3ak@+3ak-1}0
10
3
?k=1
{ak+1}#-
{ak-1}#
10
?k=1
9{ak+1}#-{ak-1}#0
=
=
10
?k=1
10
?k=1
10
?k=1
=
{6ak@+2}=6
10
?k=1
=6\40+2\10=260
ak@+
10
?k=1
2
4
100
?k=1
2K-5K
4K
=
100
?k=1[
1
2 -
100
?k=1[
1
2 ]K-
1
2 ]!)) =
1
2
1-
[
1-
5
4 ]K
5
4 - [
-
=
5
4 ]!))-1
5
4
-1
=
=
1-
-
1
2 ]!))
=
[
-5
[
-
5
4 ]!))-1
=
=6-
1
2 ]!))-5
[
5
4 ]!))
[
70 정답과 해설
따라서 a=6, b=-1, c=-5이므로 abc=30
5 주어진 수열의 일반항을 an이라고 하면
k{k+4}=
{k@+4k}
10
?k=1
/
ak =
10
?k=1
an=n{n+4}
10
?k=1
10
10
?k=1
?k=1
10\11\21
6
k@+4
=
=
k
=385+220=605
+4\
10\11
2
6
5
?n=1[
10
?k=1
n@k
=
]
5
?n=1
5
?n=1
k
10
]
?k=1
10\11
2
n@
[
n@
[
=
=55
]
5
?n=1
n@
=55\
5\6\11
6
=3025
7 an=1\2N_!=2N_!이므로
log2#`2N_!
log8`an =
12
?n=1
12
?n=1
1
3
12
?n=1
=
{n-1}=
1
3 [
12
?n=1
n-
12
?n=1
1
]
=
1
3 [
12\13
2
-12
=22
]
1
41@-1
=
1
4
20
?k=1
1
k{k+1}
8
=
+y+
+
+
1
7@-1
1
3@-1
20
?k=1
20
?k=1
1
4
1
5@-1
1
{2k+1}@-1
1
{2k+1-1}{2k+1+1}
20
?k=1[
1
k
-
=
=
1
k+1 ]
1
2
-
[
+
=
1
4 [
1-
1
21 ]
=
5
21
=
1
4 -[
1-
1
2 ]
1
3 ]
+
1
3
[
-
1
4 ]
+y+
[
1
20
-
1
21 ]=
9
1
1+j6
=
+
+
1
j6+j11k
1
j5k-4l+j5k+1l
1
j11k+4
+y+
1
j5n-4l+j5n+1l
j5k-4l-j5k+1l
{j5k-4l+j5k+1l}{j5k-4l-j5k+1l}
n
?k=1
{j5k+1l-j5k-4l}
9{j6-1}+{j11k-j6}+{4-j11k}
+y+{j5n+1l-j5n-4l}0
n
?k=1
n
?k=1
=
=
=
1
5
1
5
1
5
=
{j5n+1l-1}= j5n+1l-1
5
=3이므로
따라서 j5n+1l-1
5
j5n+1l=16, 5n+1=256
5n=255 / n=51
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10 탁자를 n개 사용한 구성을 만드는 데 필요한 의자의 개수
14 직선을 한 개씩 그을 때마다 나누어지는 평면의 개수는 다
를 an이라고 하면 a1=4, a2=6, a3=8, y
따라서 수열 9an0은 첫째항이 4, 공차가 2인 등차수열이므로
an=4+{n-1}\2=2n+2
음과 같다.
/
n
?k=1
n
?k=1
ak =
{2k+2}
=2\
n{n+1}
2
+2n
=n@+3n
의자는 최대 100개까지 사용할 수 있으므로
n@+3n<100에서 n{n+3}<100
이때 8\11=88, 9\12=108이므로 n의 최댓값은 8이다.
/ 1+2+3+y+8 =
k
8
?k=1
8\9
2
=
=36
따라서 필요한 탁자의 개수는 36이다.
11 ! n=1일 때, a1=S1=1+4=5
@ n>2일 때,
an =Sn-Sn-1
=n@+4n-9{n-1}@+4{n-1}0
=2n+3
yy`㉠
이때 a1=5는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
an=2n+3
10
1
?k=1
ak ak'1
/
=
10
?k=1
1
2
1
{2k+3}{2k+5}
10
1
?k=1[
1
5
1
2k+3
1
7 ]
1
7
-
-
+
-
[
1
2 -[
=
=
=
1
2 [
1
5
-
1
25 ]
=
2
25
2k+5 ]
1
9 ]
+
[
1
9
-
1
11 ]
+y+
1
23
[
-
1
25 ]=
12 2an'1-an'2=an에서 an'1=
an+an'2
2 이므로 수열 9an0은
등차수열이다.
이때 a1=-2, a2=3이므로 등차수열 9an0의 첫째항은 -2,
공차는 5이다.
따라서 an=-2+{n-1}\5=5n-7이므로
a100=5\100-7=493
=an'1@-an'2 an=0
13 이차방정식 an'2`x@-2an'1`x+an=0의 판별식을 D라고 하
면 이 이차방정식이 중근을 가지므로 D=0이어야 한다.
D
4
/ an'1@=an an'2
즉, 수열 9an0은 등비수열이고, a1=1, a2=2이므로 첫째
항은 1, 공비는 2이다.
an=1\2N_!=2N_! / a20=2!(
a1=2
a2=4
a3=7
따라서 n개의 직선이 그어져 있는 평면에 직선 1개를 더 그
으면 이 직선은 기존의 n개의 직선과 각각 한 점에서 만나므
로 기존의 평면의 개수에 {n+1}개의 평면이 추가된다.
/ an'1=an+n+1
15 @ n=k일 때, 3@N-1이 8로 나누어떨어진다고 가정하면
3@K-1=8m ( m은 자연수)
yy`㉠
으로 나타낼 수 있으므로
32{k+1}-1 = 9 \3@K-1
={8+1}\3@K-1
=8\3@K+3@K-1
=8\3@K+8m (? ㉠)
=8{3@K+ m }
따라서 n=k+1일 때도 3@N-1은 8로 나누어떨어진다.
/ ㈎ 9
㈏ m
16
m
n
?j=1
?i=1-
{i-j}
=
=
?i=1[
n
?j=1
i-
m
m
j
n
?j=1
]
n{n+1}
2
=
=
in-
?i=1-
m
?i=1
m
=
in-
=n
?i=1
=n\
m
?i=1
m
n{n+1}
2
n{n+1}
?i=1
2
m{m+1}
2
-
i-
n{n+1}
2
\m
yy`㉠
yy`㈎
=
mn{m-n}
2
m+n=5, mn=6이므로
{m-n}@ ={m+n}@-4mn
=5@-4\6=1
그런데 m>n이므로
m-n=1
mn=6, m-n=1을 ㉠에 대입하면
m
n
?j=1
?i=1-
{i-j}
=
=
mn{m-n}
2
=
6\1
2
=3
채점 기준
=를 간단히 한다.
{i-j}
㈎ /i=1M``- /j=1N``
㈏ m-n의 값을 구한다.
㈐ /i=1M``- /j=1N``
{i-j}
=의 값을 구한다.
yy`㈏
yy`㈐
배점
4점
3점
1점
내공 점검 71
19고등(수학1)_내공_해설(057~072)OK.indd 71
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1
=
=
=
=
1
2
1
2
1
2
7
2
17
47
?k=1
1
jk+1l+jk+3l
47
?k=1
jk+1l-jk+3l
{jk+1l+jk+3l}{jk+1l-jk+3l}
47
?k=1
{jk+3l-jk+1l}
yy`㈎
9{2-j2}+{j5-j3}+{j6-2}+{j7-j5}
+y+{7-j47k}+{5j2-4j3}0
{-j2-j3+7+5j2}
1
2 j3
=
+2j2-
7
2
a+b+c=5
따라서 a=
, b=2, c=-
이므로
1
2
채점 기준
을 유리화하여 간단히 한다.
의 값을 구한다.
㈎
1
jk+1l+jk+3l
1
jk+1l+jk+3l
㈏ /k=1$&``
㈐ a, b, c의 값을 구한다.
㈑ a+b+c의 값을 구한다.
yy`㈏
yy`㈐
yy`㈑
배점
3점
4점
1점
1점
18 an'2-an=n에서
an'2=an+n
! ㉠의 n에 1, 3, 5를 차례로 대입하면
yy`㉠
@ ㉠의 n에 2, 4, 6을 차례로 대입하면
a3=a1+1=0+1=1
a5=a3+3=1+3=4
a7=a5+5=4+5=9
a4=a2+2=1+2=3
a6=a4+4=3+4=7
a8=a6+6=7+6=13
!, @에 의하여
a7+a8=9+13=22
채점 기준
㈎ a7의 값을 구한다.
㈏ a8의 값을 구한다.
㈐ a7+a8의 값을 구한다.
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
배점
3점
3점
2점
72 정답과 해설
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2018-04-27 오후 3:48:55
