개념과 유형이 하나로
확률과 통계
정답과 해설
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개 념 편
정답과 해설
I-1. 순열과 조합
01 여러 가지 순열
1
1. 120
{6-1}?=5?=120
유제 02 30
가운데 원을 색칠하는 경우의 수는 5
나머지 4개의 도형을 색칠하는 경우의 수는 가운데 원에
칠한 색을 제외한 나머지 4가지 색을 원형으로 배열하는
p.8
원순열의 수와 같으므로
{4-1}?=3?=6
따라서 구하는 경우의 수는
5\6=30
문제 02-1 12
주황과 파랑을 한 묶음으로 생각하여 4가지 색을 칠하는
경우의 수는 4가지 색을 원형으로 배열하는 원순열의 수
1
유제 & 문제
p.9~11
유제 01 ⑴ 144 ⑵ 144 ⑶ 24
⑴ A, B, C를 한 묶음으로 생각하여 5명이 원탁에 둘러
앉는 경우의 수는 {5-1}?=4?=24
묶음 안에서 3명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 3?=6
와 같으므로
{4-1}?=3?=6
2?=2
6\2=12
따라서 구하는 경우의 수는
주황과 파랑이 칠해진 위치를 서로 바꾸는 경우의 수는
따라서 구하는 경우의 수는
24\6=144
⑵ 선생님 4명이 원탁에 둘러앉는
경우의 수는 {4-1}?=3?=6
학생 4명은 선생님 사이사이의
선
4개의 자리에 앉아야 하므로 그
경우의 수는 4P4=4?=24
따라서 구하는 경우의 수는
6\24=144
⑶ 반장의 자리가 결정되면 부반장의
자리는 마주 보는 자리에 고정된다.
따라서 구하는 경우의 수는 5명이
원탁에 둘러앉는 경우의 수와 같으
므로 {5-1}?=4?=24
학
학
선
선
학
학
선
문제 01-1 48
부모님과 연우를 한 묶음으로 생각
하여 5명이 원탁에 둘러앉는 경우의
수는 {5-1}?=4?=24
부모님이 서로 자리를 바꾸어 앉는
경우의 수는 2?=2
따라서 구하는 경우의 수는
24\2=48
2 정답과 해설_개념편
문제 02-2 180
경우의 수는 6P2=30
서로 다른 6가지 색 중 크기가 다른 두 밑면을 색칠하는
옆면을 색칠하는 경우의 수는 두 밑면에 칠한 색을 제외
한 나머지 4가지 색을 원형으로 배열하는 원순열의 수와
같으므로
{4-1}?=3?=6
따라서 구하는 경우의 수는
30\6=180
유제 03 ③
9명이 원형으로 둘러앉는 경우의 수는
{9-1}?=8?
정삼각형 모양의 탁자에서는 원형으로 둘러앉는 1가지 경
우에 대하여 다음 그림과 같이 기준이 되는 자리에 따라 3
가지의 서로 다른 경우가 존재한다.
기준
기준
기준
따라서 구하는 경우의 수는
8?\3
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문제 03-1 2
10명이 원형으로 둘러앉는 경우의 수는
{10-1}?=9?
⑵ 구하는 문자열의 개수는 서로 다
른 3개에서 4개를 택하는 중복순
열의 수와 같으므로
3
3
3
3
정오각형 모양의 탁자에서는 원형으로 둘러앉는 1가지 경
3
4=3$=81
우에 대하여 다음 그림과 같이 기준이 되는 자리에 따라 2
T
가지의 서로 다른 경우가 존재한다.
기준
기준
따라서 구하는 경우의 수는
9?\2 ∴ a=2
문제 03-2 ③
10명이 원형으로 둘러앉는 경우의 수는
{10-1}?=9?
직사각형 모양의 탁자에서는 원형으로 둘러앉는 1가지 경
우에 대하여 다음 그림과 같이 기준이 되는 자리에 따라 5
가지의 서로 다른 경우가 존재한다.
기준
기준
기준
따라서 구하는 경우의 수는 9?\5
2
유제 & 문제
p.13~15
유제 04 ⑴ 729 ⑵ 64
⑴ 구하는 경우의 수는 중복이
가능한 서로 다른 3개의 우
체통에서 6개를 택하는 중복
순열의 수와 같으므로
3
6=3^=729
⑵ 구하는 경우의 수는 , \
T
의 2개에서 6개를 택하는 중
복순열의 수와 같으므로
2
6=2^=64
우체통의 종류
우 우 우
편 편 편 편 편 편
6번의 선택
정답의 종류
문 문 문 문 문 문
6번의 선택
문제 04-1 62
깃발을 1번 들어 올려서 만들 수 있는 신호의 개수는
T
1=2
2=2@=4
3=2#=8
4=2$=16
5=2%=32
2
2
2
2
2
깃발을 3번 들어 올려서 만들 수 있는 신호의 개수는
T
깃발을 4번 들어 올려서 만들 수 있는 신호의 개수는
T
깃발을 5번 들어 올려서 만들 수 있는 신호의 개수는
T
기준
기준
깃발을 2번 들어 올려서 만들 수 있는 신호의 개수는
T
2
p.12
따라서 깃발을 1번 이상 5번 이하로 들어 올려서 만들 수
T
있는 신호의 개수는
1. ⑴64 ⑵ 32 ⑶ 25 ⑷ 4
2+4+8+16+32=62
⑴ 4
⑶ 5
3=4#=64
2=5@=25
2. ⑴ 125 ⑵ 81
⑵ 2
⑷ 4
5=2%=32
1=4!=4
T
T
문제 04-2 8
수는 2
n=2N
두 기호 •와 -를 n개 사용하여 만들 수 있는 신호의 개
⑴ 구하는 자연수의 개수는 서로 다른 5
개에서 3개를 택하는 중복순열의 수
백 십 일
5
5
5
와 같으므로
5
3=5#=125
만들 수 있는 서로 다른 신호가 200개 이상이므로
T
2N>200 yy`㉠
이때 2&=128, 2*=256이므로 ㉠을 만족하는 자연수 n의
최솟값은 8이다.
T
T
T
Ⅰ-1. 순열과 조합 3
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개념편 유제 05 ⑴ 540 ⑵ 647
문제 06-1 81
⑴ 짝수는 일의 자리의 숫자가 0 또는
f{1}=0이므로 구하는 함수의 개수는 집합 X에서 원소
짝수인 수이므로 일의 자리에 올 수
있는 숫자의 개수는 0, 2, 4의 3
천 백 십 일
5
6
2
3
T
1을 제외한 집합 X'=92, 3, 4, 50에서 집합
Y=9-1, 0, 10로의 함수의 개수와 같다.
천의 자리에는 0이 올 수 없으므로 천의 자리에 올 수
따라서 집합 Y의 3개의 원소에서 4개를 뽑아 집합 X'의
있는 숫자의 개수는 1, 2, 3, 4, 5의 5
4개의 원소에 각각 대응시키는 중복순열의 수와 같으므로
백의 자리와 십의 자리에는 0, 1, 2, 3, 4, 5의 6개의
3
4=3$=81
숫자 중에서 중복을 허용하여 2개를 택하여 나열하면
T
문제 06-2 36
되므로 그 경우의 수는 6
2=6@=36
따라서 구하는 짝수의 개수는
T
3\5\36=540
치역과 공역이 같은 함수의 개수는 전체 함수의 개수에서
치역과 공역이 같지 않은 함수의 개수를 빼서 구한다.
⑵ 3000보다 큰 수는 3
, 4
,`5
의
X에서 Y로의 함수의 개수는
꼴이다. 각각의 경우에 대하여 백의 자리와 십의 자리
3
4=3$=81
이 중에서 치역과 공역이 같지 않은 함수는 치역의 원소가
T
1개인 함수와 치역의 원소가 2개인 함수이다.
! 치역의 원소가 1개인 함수
치역이 9a0, 9b0, 9c0인 함수의 개수는 3
@ 치역의 원소가 2개인 함수
치역이 9a, b0인 함수의 개수는 공역이 9a, b0인 함
수의 개수에서 치역이 9a0, 9b0인 함수의 개수를 빼
면 되므로
2
4-2=2$-2=14
함수의 개수는
3\14=42
같은 방법으로 치역이 9b, c0, 9c, a0인 함수의 개수
T
도 각각 14이므로 치역이 9a, b0, 9b, c0, 9c, a0인
!, @에 의해 치역과 공역이 같은 함수의 개수는
81-{3+42}=36
와 일의 자리에 6개의 숫자 중에서 중복을 허용하여 3
개를 택하여 나열하면 되므로 3\6
3=3\6#=648
이 중에는 3000이 포함되어 있으므로 3000은 제외해
T
야 한다.
648-1=647
따라서 구하는 자연수의 개수는
문제 05-1 61
2, 3, 4, 6, 9로 중복을 허용하여 만들 수 있는 세 자리의
자연수 중 숫자 2를 반드시 포함하는 자연수의 개수는 만
들 수 있는 모든 세 자리의 자연수의 개수에서 숫자 2를
포함하지 않는 세 자리의 자연수의 개수를 빼서 구하면
만들 수 있는 모든 세 자리의 자연수의 개수는 5개의 숫자
중에서 3개의 숫자를 택하는 중복순열의 수와 같으므로
된다.
5
3=5#=125
숫자 2를 포함하지 않는 세 자리의 자연수의 개수는 2를
T
제외한 4개의 숫자 중에서 3개의 숫자를 택하는 중복순열
의 수와 같으므로 4
3=4#=64
따라서 구하는 자연수의 개수는
T
125-64=61
유제 06 185
X에서 Y로의 함수의 개수는 집합 Y의 5개의 원소 a, b,
c, d, e에서 3개를 뽑아 집합 X의 3개의 원소 1, 2, 3에
각각 대응시키는 중복순열의 수와 같으므로
a=5
3=5#=125
X에서 Y로의 일대일함수의 개수는 집합 Y의 5개의 원소
T
a, b, c, d, e에서 서로 다른 3개를 뽑아 집합 X의 3개의
2. 60
원소 1, 2, 3에 각각 대응시키는 순열의 수와 같으므로
3
1. 30
개수는
5?
2?\2?
=30
는
6?
3?\2?
=60
b=5P3=60
∴ a+b=125+60=185
4 정답과 해설_개념편
p.16
5개의 숫자 중 1이 2개, 2가 2개이므로 구하는 자연수의
6개의 문자 중 a가 3개, n이 2개이므로 구하는 경우의 수
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3
유제 & 문제
p.17~19
문제 08-1 7560
유제 07 ⑴ 78 ⑵ 7
⑴ 0, 1, 1, 2, 2, 3을 모두 사용하여 만들 수 있는 여섯 자
리의 자연수 중 짝수는
0,
2
의 꼴이다.
!
0 꼴인 짝수의 개수
0을 뺀 나머지 5개의 숫자를 일렬로 배열하는 경우
3?=6
의 수와 같고, 이때 1이 2개, 2가 2개이므로
happiness에서 모음 a, i, e를 하나의 문자 X로 생각하
여 h, p, p, n, s, s, X의 7개의 문자를 일렬로 배열하는
경우의 수는 p와 s가 각각 2개씩이므로
=1260
7?
2?\2?
모음 a, i, e가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는
따라서 구하는 경우의 수는
1260\6=7560
5?
2?\2?
=30
@
2 꼴인 짝수의 개수
0, 1, 1, 2, 3의 5개의 숫자를 일렬로 배열하는 경
우의 수는 5개의 숫자 중 1이 2개이므로
=60
5?
2?
때 1이 2개이므로
=12
4?
2?
따라서 만들 수 있는 짝수의 개수는 60-12=48
!, @에 의해 구하는 짝수의 개수는
30+48=78
⑵ 2, 2, 2, 3, 3의 5개의 숫자에서 3개의 숫자를 택하는
0
2 꼴의 순열의 수는 1, 1, 2, 3의 4개
이고, 순서가 일정하므로 d, g, l, n, t를 모두 ◯로 놓고 i,
의 숫자를 일렬로 배열하는 경우의 수와 같고, 이
i, e, ◯, ◯, ◯, ◯, ◯의 8개의 문자를 일렬로 배열한 후
문제 08-2 168
diligent의 자음을 알파벳 순서로 배열하면 d, g, l, n, t
◯를 앞에서부터 순서대로 d, g, l, n, t로 바꾸면 된다.
이때 i가 2개, ◯가 5개이므로 구하는 경우의 수는
8?
2?\5?
=168
서로 다른 경우는 {2, 2, 2}, {2, 2, 3}, {2, 3, 3}이다.
! {2, 2, 2}로 만들 수 있는 자연수의 개수는 1
@ {2, 2, 3}으로 만들 수 있는 자연수의 개수는 2가 2
유제 09 132
b라 하자.
개이므로
=3
개이므로
=3
3?
2?
3?
2?
# {2, 3, 3}으로 만들 수 있는 자연수의 개수는 3이 2
!, @, #에 의해 구하는 자연수의 개수는
1+3+3=7
오른쪽으로 한 칸 가는 것을 a, 위쪽으로 한 칸 가는 것을
A 지점에서 Y 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는
오른쪽으로 5칸, 위쪽으로 4칸이므로 a, a, a, a, a, b, b,
b, b를 일렬로 배열하는 경우의 수와 같다.
∴
9?
5?\4?
=126
A 지점에서 X 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는
오른쪽으로 2칸, 위쪽으로 2칸이므로 a, a, b, b를 일렬
유제 08 ⑴ 2520 ⑵ 2520 ⑶ 15120
⑴ e e와 같이 양 끝에 e를 고정하고
로 배열하는 경우의 수와 같다.
∴
4?
2?\2?
=6
중간에 x, c, e, l, l, n, t의 7개의 문자를 일렬로 배
X 지점에서 Y 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는
열하면 되므로 구하는 경우의 수는
=2520
7?
2?
⑵ 3개의 문자 e를 하나의 문자 P로 생각하여 P, x, c, l,
l, n, t의 7개의 문자를 일렬로 배열하면 되므로 구하
는 경우의 수는
=2520
7?
2?
⑶ c, t를 모두 ◯로 놓고 e, x, ◯, e, l, l, e, n, ◯의 9
개의 문자를 일렬로 배열한 후 첫 번째 ◯는 c로, 두
번째 ◯는 t로 바꾸면 되므로 구하는 경우의 수는
9?
3?\2?\2?
=15120
오른쪽으로 3칸, 위쪽으로 2칸이므로 a, a, a, b, b를 일
렬로 배열하는 경우의 수와 같다.
∴
5?
3?\2?
=10
최단 거리로 가는 경우의 수는
126-6\10=66
따라서 A 지점에서 X 지점을 거치지 않고 Y 지점까지
이때 Y 지점에서 B 지점까지 최단 거리로 가는 경우의
수는 2이므로 구하는 최단 거리로 가는 경우의 수는
66\2=132
Ⅰ-1. 순열과 조합 5
19개뿔(개념-확통)해설1(001~014)OK.indd 5
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개념편 문제 09-1 66
1
각 부부를 한 묶음으로 생각하면 5쌍의 부부가 원탁에 둘
S
R
러앉는 경우의 수는 {5-1}?=4?=24
이때 남편과 아내가 교대로 앉으므로 모든 아내들은 다음
그림과 같이 자기 남편의 왼쪽 또는 오른쪽에만 앉을 수
있는 2가지 경우가 있다.
Q
B
!
B, A
!
S
!
!
B의 네 가지
오른쪽 그림과 같이 네 지점 P, Q, R, A
S를 잡으면 P, Q, R, S 중 어느 한
지점을 반드시 거치는 한편 P, Q, R,
S를 동시에 거쳐 최단 거리로 가는 경
P
우는 없으므로 A 지점에서 B 지점까
지 최단 거리로 가는 경우는 A
P
B,
A
Q
!
!
B, A
R
!
!
경우로 나누어 생각할 수 있다.
! A
1\
=5
!
!
P
5?
4?
B로 가는 경우의 수는
Q
B로 가는 경우의 수는
!
\
!
5?
3?\2?
!
\
R
5?
4?
!
=20
@ A
4?
3?
# A
4?
3?
$ A
S
!
1\1=1
!
=40
B로 가는 경우의 수는
B로 가는 경우의 수는
!~$에 의해 구하는 최단 거리로 가는 경우의 수는
5+40+20+1=66
다른 풀이
오른쪽 그림과 같이 지나갈 수 없는 A
길을 점선으로 연결하고 그 길이 만나
는 곳을 C 지점이라 하면 구하는 최단
거리로 가는 경우의 수는 A 지점에서
B 지점까지 최단 거리로 가는 경우의
수에서 C 지점을 거쳐 최단 거리로 가는 경우의 수를 뺀
것과 같으므로
9?
4?\5?
-
[
4?
2?\2?
\
5?
2?\3? ]
=126-60=66
C
가지의 서로 다른 경우가 존재한다.
B
기준
남1
아1
아5
남1
아2
아1
남2
아2
남5
아4
남2
아3
남5
아5
남3
남4
아3
남3
남4
아4
따라서 구하는 경우의 수는 24\2=48
2
정육면체의 모든 면은 합동이므로 특정한 색을 한 밑면에
칠하여 자리를 고정하면 다른 밑면을 칠하는 경우의 수는 5
이다.
이때 옆면을 칠하는 경우의 수는 두 밑면에 칠한 색을 제
외한 나머지 4가지 색을 원형으로 배열하는 원순열의 수
와 같으므로 {4-1}?=3?=6
따라서 구하는 경우의 수는 5\6=30
3 6명이 원형으로 둘러앉는 경우의 수는
{6-1}?=5?=120
직사각형 모양의 탁자에서는 원형으로 둘러앉는 1가지 경
우에 대하여 다음 그림과 같이 기준이 되는 자리에 따라 3
기준
기준
따라서 구하는 경우의 수는 120\3=360
4
서로 다른 지역의 3개의 숙소가 중복이 가능하므로 구하
는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복순
열의 수와 같다.
∴ 3
4=3$=81
T
5
2개의 숫자 1, 2로 중복을 허용하여 만들 수 있는 자연수
m 중에서 101, y>1, z>1, w>1
/ x-1>0, y-1>0, z-1>0, w-1>0
이때 x-1=a, y-1=b, z-1=c, w-1=d라 하면
x=a+1, y=b+1, z=c+1, w=d+1
이를 방정식 x+y+z+w=9에 대입하면
{a+1}+{b+1}+{c+1}+{d+1}=9
/ a+b+c+d=5`(단, a>0, b>0, c>0, d>0)
x, y, z, w를 미리 1개씩 택한 경우로 볼 수 있다.
yy ㉠
따라서 구하는 해의 개수는 방정식 ㉠의 음이 아닌 정
수해의 개수, 즉 서로 다른 4개의 문자 a, b, c, d에서
5개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
4H5=8C5=8C3=
8\7\6
3\2\1
=56
하여 일렬로 배열하는 순열의 수와 같으므로
7P4=7\6\5\4=840
⑵ 주어진 조건에 의해 정의역의 원소 1, 2, 3, 4에 대한
함숫값 f{1}, f{2}, f{3}, f{4}의 대소 관계는
f{1}< f{2}< f{3}< f{4}
yy ㉠
따라서 이를 만족하는 함수 f 의 개수는 정의역의 원
소 4개에 대응할 공역의 원소 7개 중 4개를 순서에 상
관없이 뽑은 후 ㉠을 만족하도록 크기순으로 배열하면
되는 조합의 수와 같으므로
7C4 =7C3
=
7\6\5
3\2\1
=35
⑶ 주어진 조건에 의해 정의역의 원소 1, 2, 3, 4에 대한
함숫값 f{1}, f{2}, f{3}, f{4}의 대소 관계는
f{1}< f{2}< f{3}< f{4}
yy ㉠
따라서 이를 만족하는 함수 f 의 개수는 정의역의 원소
4개에 대응할 공역의 원소 7개 중 4개를 순서에 상관
없이 중복을 허용하여 뽑은 후 ㉠을 만족하도록 크기
순으로 배열하면 되는 중복조합의 수와 같으므로
7H4 =10C4
=
10\9\8\7
4\3\2\1
=210
문제 03-1 63
f{3}=6이므로 주어진 조건에 의해 정의역의 원소 1, 2,
3, 4에 대한 함숫값 f{1}, f{2}, f{3}, f{4}의 대소 관
문제 02-1 91
계는
x, y, z가 x>-1, y>-1, z>-1인 정수이므로
f{1}< f{2}< f{3}=6< f{4}
x+1>0, y+1>0, z+1>0
이때 x+1=p, y+1=q, z+1=r라 하면
x=p-1, y=q-1, z=r-1
이를 방정식 x+y+z=9에 대입하면
{p-1}+{q-1}+{r-1}=9
/ p+q+r=12`(단, p>0, q>0, r>0)
yy ㉠
따라서 구하는 해의 개수는 방정식 ㉠의 음이 아닌 정수
해의 개수, 즉 서로 다른 3개의 문자 p, q, r에서 12개를
택하는 중복조합의 수와 같으므로
3H12=14C12=14C2=
14\13
2\1
=91
정의역의 원소 1, 2에 대응할 공역의 원소 1, 2, 3, 4, 5,
6 중 2개를 순서에 상관없이 중복을 허용하여 뽑은 후
f{1}< f{2}<6이 되도록 크기순으로 배열하면 되는 중
또 정의역의 원소 4에는 공역의 원소 6, 7, 8 중 1개를 뽑
아 대응시키면 되므로 f{4}의 값이 될 수 있는 것은 3개
복조합의 수는
6H2=7C2=
=21
7\6
2\1
이다.
21\3=63
따라서 구하는 함수의 개수는
Ⅰ-1. 순열과 조합 9
19개뿔(개념-확통)해설1(001~014)OK.indd 9
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개념편 2
p.28
문제 04-2 5
1. ⑴x#+6x@y+12xy@+8y#
⑵ x%-5x$+10x#-10x@+5x-1
⑴ {x+2y}# =3C0 x#+3C1 x@{2y}+3C2 x{2y}@+3C3 {2y}#
=x#+6x@y+12xy@+8y#
⑵ {x-1}%= 5C0 x%+5C1 x${-1}+5C2 x#{-1}@
+5C3 x@{-1}#+5C4 x {-1}$+5C5 {-1}%
=x%-5x$+10x#-10x@+5x-1
x+
[
1
xN ]
^
의 전개식의 일반항은
6Cr x^_R
R
1
xN ]
[
=6Cr
x^_R
xNR
상수항은 6-r-nr=0일 때이므로
r{1+n}=6
yy ㉠
이때 r는 00이어야 하므로
D
4
=a@-b>0 ∴ a@>b
a@>b를 만족하는 순서쌍 {a, b}는
{2, 1}, {2, 2}, {2, 3}
{3, 1}, {3, 2}, {3, 3}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}
{4, 1}, {4, 2}, {4, 3}, {4, 4}, {4, 5}, {4, 6}
{5, 1}, {5, 2}, {5, 3}, {5, 4}, {5, 5}, {5, 6}
{6, 1}, {6, 2}, {6, 3}, {6, 4}, {6, 5}, {6, 6}
의 27가지이다.
따라서 구하는 확률은
27
36
=
3
4
유제 03 ⑴
2
3
⑴ A, B, C, D, E, F의
1
10
⑵
6명을 일렬로 세우는
경우의 수는 6?
A, B를 이웃하지 않게
세우는 경우의 수는 이웃해도 좋은 C, D, E, F를 먼
저 배열하고 그 사이사이와 양 끝의 5개의 자리 중에서
2개를 택하여 A, B를 배열하면 되므로
4?\5P2=4?\20
따라서 구하는 확률은
2
3
⑵ 남자 3명과 여자 3명이 원탁에 둘러
4?\20
6?
=
남
앉는 경우의 수는 {6-1}?=5?
남자와 여자가 교대로 앉는 경우의
수는 남자 3명이 먼저 원탁에 둘러
앉은 후 여자 3명은 남자들 사이사
이의 3개의 자리에 앉으면 되므로
{3-1}?\3?=2?\3?
따라서 구하는 확률은
2?\3?
5?
=
1
10
문제 03-1
3
5
는 세 자리의 자연수의 개수는 5
3=5#
세 자리의 자연수가 홀수인 경우는 일의 자리의 숫자가
T
홀수, 즉 1, 3, 5의 꼴이어야 하므로 홀수
의 개수는 5
2\3=5@\3
T
따라서 구하는 확률은
5@\3
5#
=
3
5
16 정답과 해설_개념편
이때 3개의 점을 연결하여 삼각형이 되기 위해서는 세 점이
모두 직선 l 위에 있거나 직선 m 위에 있지 않아야 한다.
즉, 삼각형을 만들려면 3개의 점을 직선 l에서 2개, 직선
m에서 1개 또는 직선 l에서 1개, 직선 m에서 2개 택해야
한다.
! 직선 l에서 2개, 직선 m에서 1개의 점을 택하는 경우
@ 직선 l에서 1개, 직선 m에서 2개의 점을 택하는 경우
3C1\5C2=3\10=30
!, @에 의해 만들 수 있는 삼각형의 개수는
15+30=45
따라서 구하는 확률은
45
56
5개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5로 중복을 허용하여 만들 수 있
3C2\5C1=3\5=15
19개뿔(개념-확통)해설2-1(015~021)OK.indd 16
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3개의 주머니 A, B, C에 크기와 모양이 같은 구슬 15개
7시간 이상 9시간 미만인 학생 수가 24+20=44(명)이므
문제 04-2
55
136
를 나누어 담는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 15개를
택하는 중복조합의 수와 같으므로
3H15=17C15=17C2=136
3개의 주머니 모두에 적어도 2개 이상씩의 구슬을 담는
경우의 수는 각 주머니에 구슬을 2개씩 미리 담아 놓고 남
은 9개의 구슬을 3개의 주머니에 나누어 담는 경우의 수
와 같다. 즉, 서로 다른 3개에서 9개를 택하는 중복조합의
수와 같으므로
3H9=11C9=11C2=55
따라서 구하는 확률은
55
136
문제 05-2
11
50
로 구하는 확률은
11
44
50
200
=
3
1.
3
20
2.
1
12
3.
5
6
p.50
P{A5B} =P{A}+P{B}-P{A6B}
=
+
-1=
2
5
3
4
3
20
6개의 구슬 중에서 2개의 구슬을 꺼내는 경우의 수는
P{B}=P{A6B}-P{A}=
-
=
1
3
1
4
1
12
문제 04-3 4
6C2=15
빨간 구슬의 개수를 x라 하면 x개의 빨간 구슬 중에서 2개
를 꺼내는 경우의 수는 xC2이므로 2개 모두 빨간 구슬일
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 모든
확률은
xC2
2
5
15
=
,
x{x-1}
30
=
2
5
x@-x-12=0, {x-4}{x+3}=0
/ x=4 {? x>0}
따라서 빨간 구슬의 개수는 4이다.
경우의 수는 6\6=36
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 서로 같은
수의 눈이 나오는 경우는 {1, 1}, {2, 2}, {3, 3}, {4, 4},
{5, 5}, {6, 6}의 6가지이다.
이때 서로 같은 수의 눈이 나오는 사건을 A라 하면
P{A}=
=
6
36
1
6
따라서 구하는 확률은
유제 05 6개
주머니에 들어 있는 당첨 제비의 개수를 n이라 하면 10개
P{AC}=1-P{A}=1-
=
1
6
5
6
중 2개의 제비를 꺼낼 때, 모두 당첨 제비일 확률은
nC2
10C2
n{n-1}
90
=
yy ㉠
이 시행에서 3번에 1번꼴로 2개 모두 당첨 제비를 꺼냈으
므로 통계적 확률은
1
3
㉠, ㉡에서
n{n-1}
90
1
3
=
, n@-n-30=0
{n-6}{n+5}=0 ∴ n=6 (∵ n>0)
따라서 주머니에 들어 있는 당첨 제비는 6개이다.
문제 05-1
21
80
3
유제 & 문제
p.51~53
yy ㉡
유제 06
5
6
6의 약수의 눈이 나오는 사건을 A, 짝수의 눈이 나오는
사건을 B라 하면
P{A}=
4
6 , P{B}=
3
6
P{A5B}=
A5B는 나오는 눈의 수가 2, 6인 사건이므로
따라서 두 사건 A, B는 서로 배반사건이 아니므로 구하
조사한 전체 학생 수는 130+105+85+80=400(명)이
는 확률은
므로 임의로 택한 한 학생이 B 통신사를 이용할 확률은
105
400
21
80
=
P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B}
=
+
-
=
3
6
2
6
5
6
2
6
4
6
Ⅱ-1. 확률의 뜻과 활용 17
19개뿔(개념-확통)해설2-1(015~021)OK.indd 17
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개념편 문제 06-1
7
9
유제 07
4
9
4개의 숫자 0, 1, 4, 5를 모두 한 번씩 사용하여 만들 수
꺼낸 공에 적힌 수의 합이 짝수이려면 두 공에 적힌 숫자
있는 네 자리의 자연수의 개수는 3\3?=18
가 (짝수, 짝수) 또는 (홀수, 홀수)이어야 한다.
네 자리의 자연수가 홀수인 사건을 A, 5의 배수인 사건을
두 공에 적힌 숫자가 (짝수, 짝수)인 사건을 A, (홀수, 홀수)
B라 하자.
! 홀수인 경우는 일의 자리의 숫자가 1 또는 5일 때이
다.
일의 자리의 숫자가 1인 자연수의 개수는 2\2?=4
인 사건을 B라 하면
5C2
10
10C2
45
P{A}=
=
P{B}=
5C2
10C2
=
10
45
일의 자리의 숫자가 5인 자연수의 개수는 2\2?=4
두 사건 A, B는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은
@ 5의 배수인 경우는 일의 자리의 숫자가 0 또는 5일 때
이다.
일의 자리의 숫자가 0인 자연수의 개수는 3?=6
일의 자리의 숫자가 5인 자연수의 개수는 2\2?=4
∴ P{A}=
8
18
∴ P{B}=
10
18
# 홀수이면서 5의 배수인 경우는 일의 자리의 숫자가 5
일 때이다.
일의 자리의 숫자가 5인 자연수의 개수는 2\2?=4
∴ P{A5B}=
4
18
!, @, #에 의해 구하는 확률은
P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B}
10
18
4
18
8
18
=
-
+
=
7
9
문제 06-2
7
15
이차방정식 15x@-8nx+n@=0을 풀면
{5x-n}{3x-n}=0
∴ x=
또는 x=
n
5
n
3
이때 이차방정식이 정수해를 가지려면 자연수 n이 5의 배
수 또는 3의 배수이어야 한다.
n이 5의 배수인 사건을 A, 3의 배수인 사건을 B라 하면
A5B는 15의 배수인 사건이므로
P{A}=
, P{B}=
, P{A5B}=
6
30
10
30
2
30
따라서 구하는 확률은
P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B}
10
30
6
30
2
30
=
+
-
=
7
15
18 정답과 해설_개념편
P{A6B} =P{A}+P{B}
10
45
10
45
+
=
=
4
9
11
36
문제 07-1
두 눈의 수의 합이 6인 사건을 A, 차가 3인 사건을 B라
할 때, 나오는 두 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면
! 사건 A가 일어나는 경우는 {1, 5}, {2, 4}, {3, 3},
{4, 2}, {5, 1}의 5가지이므로
@ 사건 B가 일어나는 경우는 {1, 4}, {2, 5}, {3, 6},
{4, 1}, {5, 2}, {6, 3}의 6가지이므로
P{A}=
5
36
P{B}=
6
36
두 사건 A, B는 배반사건이므로 구하는 확률은
P{A6B} =P{A}+P{B}
5
36
6
36
=
+
=
11
36
문제 07-2
13
66
P{A}=
5C3\6C1
11C4
=
60
330
P{B}=
5C4
11C4
=
5
330
P{A6B} =P{A}+P{B}
60
330
5
330
=
+
=
13
66
1학년 학생이 2학년 학생보다 많으려면 뽑은 4명의 배우
중에서 1학년 학생이 3명 또는 4명이어야 한다.
1학년 학생이 3명인 사건을 A, 4명인 사건을 B라 하면
두 사건 A, B는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은
19개뿔(개념-확통)해설2-1(015~021)OK.indd 18
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유제 08
8
15
적어도 하나의 당첨 제비를 뽑을 확률은
1-(당첨 제비를 하나도 뽑지 못할 확률)
적어도 하나의 당첨 제비를 뽑는 사건을 A라 하면 당첨
제비를 하나도 뽑지 못하는 사건은 AC이므로
P{AC}=
7C2
10C2
=
=
21
45
7
15
따라서 구하는 확률은
P{A} =1-P{AC}
=1-
=
7
15
8
15
문제 08-1
5
7
t와 s가 이웃하지 않을 확률은
1-(t와 s가 이웃할 확률)
t와 s가 이웃하지 않는 사건을 A라 하면 t와 s가 이웃하
는 사건은 AC이다.
7개의 문자를 일렬로 배열하는 경우의 수는
=2520
7?
2?
t와 s를 하나로 생각하여 6개의 문자를 일렬로 배열하는
경우의 수는
=360
6?
2?
t와 s의 자리를 바꾸는 경우의 수는 2?
∴ P{AC}=
360\2
2520
=
2
7
따라서 구하는 확률은
P{A} =1-P{AC}
=1-
=
2
7
5
7
문제 08-2
4
5
네 자리의 자연수가 2100 이상일 확률은
1-{2100 미만일 확률}
네 자리의 자연수가 2100 이상인 사건을 A라 하면 2100
미만인 사건은 AC이다.
5개의 숫자 중에서 4개를 택하여 만들 수 있는 네 자리의
자연수의 개수는 5P4=120
2100 미만인 네 자리의 자연수의 개수
는 천의 자리의 숫자가 1인 네 자리의
자연수의 개수와 같으므로 4P3=24
1
백 십 일
4P3
∴ P{AC}=
4P3
5P4
=
24
120
=
1
5
따라서 구하는 확률은
P{A} =1-P{AC}
=1-
=
1
5
4
5
문제 08-3 6
여학생이 1명 이하로 뽑힐 확률은
1-{2명의 대표가 모두 여학생일 확률}
여학생이 1명 이하로 뽑히는 사건을 A라 하면 2명의 대
표가 모두 여학생인 사건은 AC이므로
P{AC}=
10C2
n'10C2
=
90
{n+10}{n+9}
이때 P{A}=
이므로
5
8
P{A} =1-P{AC}
=1-
90
{n+10}{n+9}
=
5
8
90
{n+10}{n+9}
{n-6}{n+25}=0 ∴ n=6 (∵ n은 자연수)
, n@+19n-150=0
3
8
=
기본 연습문제
p.54~55
1 ④
6
11
12
2
7
1
9
7
15
3
8
2
5
1
2
4
9
2
5
7
9
5
59
256
10
11
21
1
두 눈의 수의 합이 9 이하인 사건 A의 여사건 AC은 두 눈
의 수의 합이 10 이상인 사건이므로
AC=9{4, 6}, {5, 5}, {6, 4}, {5, 6}, {6, 5}, {6, 6}0
합이 12
합이 11
합이 10
사건 A와 배반인 사건은 여사건 AC의 부분집합이므로 구
하는 사건의 개수는
2^=64
2
한 개의 주사위를 두 번 던져서 나올 수 있는 모든 경우의
수는 6\6=36
이때 두 직선 ax+6y-1=0, x+by-3=0이 평행하기
위한 조건은
b
1
6
a
=
=
-3
-1
,
=
1
a
b
6
∴ ab=6
[단, a=
, b=18
]
1
3
{3, 2}, {6, 1}의 4가지이다.
따라서 구하는 확률은
4
36
1
9
=
ab=6을 만족하는 순서쌍 {a, b}는 {1, 6}, {2, 3},
Ⅱ-1. 확률의 뜻과 활용 19
19개뿔(개념-확통)해설2-1(015~021)OK.indd 19
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개념편 3 6명이 원형으로 둘러앉는 경우의 수는
{6-1}?=5?=120
정삼각형 모양의 탁자에서는 원형으로 둘러앉는 1가지 경
우에 대하여 다음 그림과 같이 기준이 되는 자리에 따라 2
가지의 서로 다른 경우가 존재한다.
기준
기준
따라서 6명이 정삼각형 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의
수는 120\2=240
이때 남자와 여자가 탁자의 같은 변에 이웃하여 앉는 경
우의 수는 남자 3명을 탁자의 세 변에 각각 앉힌 후 여자
3명을 남은 세 자리에 앉히고 각 변에서 남녀가 서로 자리
7 A5B=Z이므로 P{A5B}=0
4
5
P{A6B}=
, P{A5B}=0이므로
P{B} =P{A6B}-P{A}
=
-P{A}
4
5
이때
P{A}, P{A6B}>P{B},
1
3 , P{A6B}<1
1
12
13
12
<
1
3
P{A6B}<1이므로
P{A6B}>
3
4 , P{A6B}>
3
4
1
12
/
2} =P{X=2}+P{X=3}
8#
8!
=
+
=
=
+
=
8#
8%
4!
1
유제 & 문제
p.78~79
유제 01 ⑴ 10 ⑵
3
10
⑴ 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
P{X=x}
1
k!
2
k@
3
k#
4
k$
합계
1
확률의 총합은 1이므로
k!
+
k@
+
k#
+
k$
=1 / k=10
⑵ P{x<2} =P{x=1}+P{x=2}=
1
10
+
=
2
10
3
10
{a+1}{2a-1}=0 / a=
2! (? ㉠)
X@-X-2<0을 풀면
{X+1}{X-2}<0 / -19} =P{X=9}+P{X=10}
1
10 ]([
9
10 ]!+10C10
=10C9
[
[
1
10 ]!)[
9
10 ])
=
=
90+1
10!)
91
10!)
/ a=91
4번의 각각의 타석에서 안타를 치는 것이므로 4회의 독립
시행이고, 각 타석에서 안타를 칠 확률은
5!이다.
따라서 안타를 친 횟수를 확률변수 X라 하면 X는 이항
=
2
10
[
분포 B
4, 5!]을 따른다.
이때 X의 확률질량함수는
P{X=x}=4Cx
[5!]X[5$]$_X` {x=0, 1, 2, 3, 4}
이므로 4번의 타석에서 안타를 적어도 2번 칠 확률은
P{X>2} =1-P{X<2}
=1-9P{X=0}+P{X=1}0
[5!])[5$]$+4C1
[5!]![5$]# =
- 4C0
4$+4$
5$
512
625
=1-
=1-
=1-
=
113
625
Ⅲ-1. 확률분포 33
19개뿔(개념-확통)해설3-1(029~043).indd 33
18. 10. 17. 오전 11:16
개념편 유제 08 ⑴평균: 6, 표준편차: 2
⑵ 평균: 1000, 표준편차: 30
⑴ 18번 전화를 거는 것이므로 18회의 독립시행이고, 전화
를 걸면 3번에 1번꼴로 통화 연결이 되지 않으므로 1번
전화를 걸었을 때 통화가 연결되지
따라서 확률변수
X는 이항분포 B
않을 확률은 3!이다.
18, 3!]을 따르므로
[
1 4#
6 37
2 6
7 10
10 n=16, p=
4!
기본 연습문제
p.92~93
3 -
5!
4 6
5 7
8 평균: 50점, 분산: 100, 표준편차: 10점
9
1013
1024
E{X}=18\
=6
3!
r{X}=q18\
e=j4=2
⑵ 씨앗 10000개를 뿌리는 것이므로 10000회의 독립시행
e\
3!
3@
이고, 씨앗의 발아율이 10 %이므로 하나의 씨앗이 발
아할 확률은
이다.
1
10
따라서 확률변수 X는 이항분포 B
10000,
[
르므로
E{X}=10000\
=1000
1
10
r{X}=q10000\
1
10
\
9
10 e=j900k=30
1
10 ]을 따
1
확률의 총합은 1이므로
+
4!
2!
+k=1 / k=
4!
/ P{X=0}=
4!
X@+X-2<0을 풀면
{X+2}{X-1}<0 / -26}=
8# / a=6
3 확률의 총합은 1이므로 a+b+c=1 yy ㉠
0\a+1\b+2\c=1 / b+2c=1 yy ㉡
E{X}=1이므로
V{X}=
5@이므로
{0@\a+1@\b+2@\c}-1@=
5@
b+4c-1=
5@ / b+4c=
5&
㉢-㉡을 하면 2c=
5@ / c=
5!
c=
5!을 ㉡에 대입하면
b+
=1 / b=
5@
5#
b=
5#, c=
a+
+
5#
5!
5!을 ㉠에 대입하면
=1 / a=
5!
/ a-b+c=
-
+
5#
5!
5!
=-
5!
X=5:` {1, 6}, {2, 7}, {3, 8}
P{X=4}=
7!
SG
SG
SG
SG
P{X=5}=
X=6:` {1, 7}, {2, 8}
P{X=6}=
X=7:` {1, 8}
P{X=7}=
3
28
1
14
1
28
확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
P{X=x}
1
1
4
2
3
14
3
5
28
4
1
7
5
3
28
6
1
14
7 합계
1
28
1
+5\
+6\
+7\
7!
1
14
7!
1
14
3
28
5
28
3
28
1
28
1
28
+5@\
+6@\
+7@\
E{X@} =1@\
+2@\
+3@\
+4@\
4!
3
14
=3
=12
/ V{X} =E{X@}-9E{X}0@
=12-3@=3
/ E{X}+V{X}=3+3=6
yy ㉢
확률변수 X에 대하여
E{X} =1\
+2\
+3\
+4\
4!
3
14
5
28
4
1부터 8까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 8장의 카드 중
에서 동시에 선택한 2장의 카드에 적힌 숫자의 차가 확률
변수 X이므로 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7이다.
8장의 카드 중에서 동시에 2장의 카드를 뽑을 때 나올 수
있는 모든 경우의 수는 8C2=28이므로 X가 가질 수 있는
각 값에 대한 확률을 구하면
X=1:` {1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {5, 6}, {6, 7},
{7, 8}
P{X=1}=
4!
SG
SG
SG
P{X=2}=
P{X=3}=
3
14
5
28
X=2:` {1, 3}, {2, 4}, {3, 5}, {4, 6}, {5, 7}, {6, 8}
X=3:` {1, 4}, {2, 5}, {3, 6}, {4, 7}, {5, 8}
5
받을 수 있는 상금을 확률변수 X라 하면 X가 가질 수 있
는 값은 10000, -5000이므로
P{X=10000}=
P{X=-5000}=
8
8+a
a
8+a
확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
10000
-5000
합계
P{X=x}
8
8+a
a
8+a
1
이때 E{X}=3000이므로
8
8+a
10000\
+{-5000}\
a
8+a
=3000
80-5a
8+a
=3, 80-5a=24+3a
8a=56 / a=7
따라서 파란색 제비의 개수는 7이다.
Ⅲ-1. 확률분포 35
19개뿔(개념-확통)해설3-1(029~043).indd 35
18. 10. 17. 오전 11:16
개념편 7
확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
-2
-1
P{X=x}
1
10
5!
0
3
10
1
5@
합계
1
10 E{X}=4, V{X}=3이므로
E{X}=np=4
V{X}=np{1-p}=3
6
r{-2-j3X}=6이므로
r{-2-j3X}=|-j3|r{X}=6
/ r{X}=2j3
/ V{X}=9r{X}0@={2j3}@=12
이때 V{X}=E{X@}-9E{X}0@에서
E{X@} =V{X}+9E{X}0@
=12+5@=37
확률변수 X에 대하여
E{X}={-2}\
+{-1}\
+0\
+1\
=0
5!
5@
E{X@} ={-2}@\
+{-1}@\
+0@\
+1@\
5!
5@
3
10
3
10
1
10
1
10
=1
/ V{X}=E{X@}-9E{X}0@=1-0@=1
E{Y}=E{aX+b}=aE{X}+b=b=2
V{Y}=V{aX+b}=a@V{X}=a@=6
/ a@+b@=6+2@=10
8
E{X}=m, r{X}=r이므로 표준점수 T의 평균, 분산,
표준편차는
E{T} =E
10\
X-m
r
+50
]
=
E{X}-
+50
10m
r
=
10m
r
-
10m
r
+50=50(점)
V{T} =V
10\
[
X-m
r
+50
=
]
10
r ]@V{X}
[
r{T} =r
10\
X-m
r
+50
=
]
10
r |
|
r{X}
=
100
r@
\r@=100
=
\r=10(점)
[
10
r
[
10
r
이때 X의 확률질량함수는
P{X=x}=10Cx
[2!]X[2!]!)_X` {x=0, 1, 2, y, 10}
이므로 2문제 이상을 맞힐 확률은
P{X>2} =1-P{X<2}
=1-9P{X=0}+P{X=1}0
[2!])[2!]!)+10C1
[2!]해설3-1(029~043).indd 36
18. 10. 17. 오전 11:16
+
[
1
10
2
10
+
+y+
5
10 ]
함수 y=f{x}의 그래프는 오
y=f{x}
2
P{X=k}=pk{k=1, 2, 3, 4, 5}라 하면
E{X}=p1+2p2+y+5p5=4
/ E{Y} =
p1+
[2!
1
10 ]
+2
p2+
[2!
1
10 ]
+y+5
p5+
[2!
1
10 ]
=
{p1+2p2+y+5p5}
2!
=
E{X}+
2!
2#
2#
=
\4+
2!
=
2&
3
40명의 사람이 각각 비행기에 탑승하는 것이므로 40회의
독립시행이고, 예약 취소율이 0.1이므로 비행기에 탑승할
확률은 0.9이다.
비행기에 탑승하는 사람 수를 확률변수 X라 하면 X는
이항분포 B{40, 0.9}를 따른다.
이때 X의 확률질량함수는
P{X=x}=40Cx 0.9X 0.1$)_X {x=0, 1, 2, y, 40}
따라서 좌석이 부족할 확률은
P{X>38} =P{X=39}+P{X=40}
=40C39 0.9#( 0.1!+40C40 0.9$) 0.1)
=40\0.0164\0.1+0.0148
=0.0656+0.0148
=0.0804
4
한 개의 동전을 120번 던지는 것은 120회의 독립시행이
고, 뒷면이 나올 확률은 2!이다.
즉, 확률변수 X는 이항분포 B
120, 2!]을 따르므로
[
E{X}=120\
=60
2!
V{X}=120\
\
2!
이때 V{X}=E{X@}-9E{X}0@이므로
2!
=30
E{X@} =V{X}+9E{X}0@
=30+60@=3630
/ f{a} =E{{X-a}@}=E{X@-2aX+a@}
=E{X@}-2aE{X}+a@
=a@-120a+3630
={a-60}@+30
따라서 f{a}의 최솟값은 30이다.
02 연속확률변수와 정규분포
1
유제 & 문제
p.96
유제 01 ⑴
⑵
4!
8%
⑴ f{x}>0이어야 하므로 a>0
른쪽 그림과 같고, 이 그래프와
x축, y축 및 직선 x=2로 둘러
싸인 도형의 넓이가 1이어야
하므로
2!
\{a+3a}\2=1 / a=
4!
⑵ 구하는 확률은 오른쪽 그림에서 y
y=f{x}의 그래프와 x축 및
직선 x=1, x=2로 둘러싸인
y
3a
a
O
4#
4!
O
2
x
y=f{x}
2!
도형의 넓이와 같으므로
1
2
x
P{x>1} =
\
+
2!
[2!
4#]
\1
=
8%
문제 01-1
4#
함수 y=f{x}의 그래프와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이
가 1이어야 하므로 2!
\4\a=1 / a=
2!
00이어야 하므로 a>0
함수 y=f{x}의 그래프는 오른쪽 y
a
그림과 같고, 이 그래프와 x축, y
축 및 직선 x=2로 둘러싸인 도형
의 넓이가 1이어야 하므로
2\
[2!
\1\a
=1 / a=1
]
y=f{x}
O
1
2 x
Ⅲ-1. 확률분포 37
19개뿔(개념-확통)해설3-1(029~043).indd 37
18. 10. 17. 오전 11:16
개념편 / f{x}=|x-1|{01.5}
=0.5-P{0a}=0.9772를 그림으로
f{z}
나타내면 오른쪽 그림의 색칠한
부분의 넓이와 같으므로
P{Z>a}
=P{ak}=P
Z>
[
k-10
3
]
또 Z=
로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포
Y-5
2
N{0, 1}을 따르므로
P{Y<-k}=P
Z<
[
-k-5
2
]
yy ㉠
yy ㉡
-P{0173} =P
Z>
[
173-165
4
]
=P{Z>2}
=0.5-P{0a}=0.025
X-160
X를 Z=
P{X>a} =P
10 으로 표준화하면
a-160
10
Z>
[
]
a-160
10
=0.5-P
0
170-a
10
]
=0.5-P
099} =P
Z>
[
99-90
6
]
=P{Z>1.5}
=0.5-P{0-
[
a-40
6
=0.5-P
028800} =P{1800X-21600>28800}
=P{X>28}
28-24
4
[
=P
Z>
]
=P{Z>1}=0.5-P{050}=P
Z>
50-40
a
]
=P
Z>
[
q=P{Y>50}=P
Z>
=P
Z>
[
[
[
50-40
b
]
30-40
a
]
이때 00.5}
]
=0.5-P{0a}=0.023에서
P{X>a} =P
Z>
[
a-278
41
=0.5-P
028
일 확률이므로
Z2=
X2-70
20
, Z3=
X3-63
16
으로 놓으면 Z1, Z2, Z3은
P{X>28} =P
Z>
[
28-40
6
]
=P{Z>-2}
따라서 비상이의 성적이 상대적으로 가장 좋은 과목은 영
근사적으로 정규분포 N{20, 4@}을 따른다.
어이다.
모두 표준정규분포 N{0, 1}을 따른다.
비상이가 다른 학생들보다 영어, 수학, 과학 시험 성적이
높을 확률은 각각
P{X1<82}=P
Z1<
=P{Z1<1.1}
82-60
20
]
90-70
20
]
[
[
P{X2<90}=P
Z2<
=P{Z2<1}
P{X3<75}=P
75-63
16
이때 P{Z1<1.1}>P{Z2<1}>P{Z3<0.75}이므로
=P{Z3<0.75}
Z3<
]
[
P{X1<82}>P{X2<90}>P{X3<75}
7
한 개의 주사위를 720번 던져서 1의 눈이 나오는 횟수 X
에 대하여 1회의 시행에서 1의 눈이 나올 확률은
6!이고,
B
720, 6!]
[
720회의 독립시행을 하므로 X는 이항분포
을 따른다.
/ E{X}=720\
=120, V{X}=720\
6!
\
=100
6!
6%
42 정답과 해설_개념편
=0.5+P{0
[
20-k
4
]
=0.5-P
0k}=1에서
P{X<2k}=P
Z<
2k-m1
r
],
[
[
k-m2
r
P{Y>k}=P
Z>
P
Z<
[
2k-m1
r
]
+P
Z>
[
2k-m1
r
=
k-m2
r
]이므로
k-m2
r
]
=1
/ k=m1-m2=m (? ㄱ)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
수 Z는 표준정규분포 N{0, 1}을 따른다.
이때 제품이 불량품으로 판정받을 확률은
P{X>40} =P
Z>
[
40-30
5
]
=P{Z>2}
=0.5-P{01}
P{Y>57} =P
Z>
[
]
=0.5-P{012300} =P{500X-19200>12300}
=P{X>63}
=P
Z>
[
63-48
6
]
=0.5-P{02.5}
Ⅲ-1. 확률분포 43
19개뿔(개념-확통)해설3-1(029~043).indd 43
18. 10. 17. 오전 11:16
개념편 III-2. 통계적 추정
01 통계적 추정
1
유제 & 문제
유제 01 ㄷ
ㄱ. 모든 건전지의 수명을 조사하면 사용할 수 있는 건전지
가 없게 되므로 전수조사보다는 표본조사가 적합하다.
ㄴ. 자동차 충돌 안정성 조사는 표본조사가 적합하다.
ㄷ. 전국에 등록된 자동차 대수 조사는 전수조사이다.
2. ⑴ E{X
}=7, V{X
}=1, r{X
}=1
⑵ 정규분포 N{7, 1@}을 따른다.
⑴ 모평균 m=7, 모분산 r@=36, 모표준편차 r=6이고,
p.113
표본의 크기 n=36이므로
E{X
V{X
r{X
}=
}=m=7
r@
n =
r
jnk
=
}=
36
36
6
j36k
=1
=1
ㄹ. 투표 후 유권자에 대한 출구 조사는 모든 유권자를 조
사하는 것은 시간이 오래 걸리므로 전수조사보다는
2
유제 & 문제
p.117~118
표본조사가 적합하다.
따라서 전수조사가 적합한 것은 ㄷ이다.
유제 02 E{X
}=2, V{X
}=
카드에 적힌 숫자를 확률변수 X라 할 때, X의 확률분포
문제 01-1 ⑴ 216 ⑵ 120 ⑶ 20
를 표로 나타내면 다음과 같다.
⑴ 한 개씩 복원추출하는 경우의 수는 6개의 공에서 중복
을 허용하여 3개를 꺼내는 경우의 수와 같으므로
6
3=6#=216
X
1
P{X=x} 4!
2
2!
합계
1
⑵ 한 개씩 비복원추출하는 경우의 수는 6개의 공에서 3
T
개를 꺼내어 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
/ m=E{X}=1\
+2\
+3\
4!
2!
=2,
4!
6P3=6\5\4=120
⑶ 동시에 추출하는 경우의 수는 6개의 공에서 3개를 꺼
r@=V{X}=1@\
+2@\
+3@\
-2@=
4!
2!
4!
이때 표본의 크기 n=3이므로
2!
1
6
3
4!
내는 경우의 수와 같으므로
6C3=
6\5\4
3\2\1
=20
E{X
}=m=2, V{X
}=
r@
n =
2!
3
=
6!
문제 02-1 110
모평균 m=10, 모분산 r@=64이므로
E{X
}=m=10
=
64
16
n
25
/ E{X
에서 n=100
}+n=110
문제 02-2 400
=
}=
r{X
<0.5
10
jnk
r
jnk
jnk >20 / n>400
따라서 n의 최솟값은 400이다.
유제 03 0.2857
모표준편차 r=10이고 표본의 크기가 n일 때, 표본평균
X
의 표준편차가 0.5 이하가 되어야 하므로
모집단이 정규분포 N{71, 16@}을 따르고, 표본의 크기
n=64이므로 표본평균 X
는 정규분포 N
71,
16@
64 ], 즉
[
N{71, 2@}을 따른다.
2
p.116
1. E{X
}=10, V{X
}=
1
25 , r{X
}=
5!
모평균 m=10, 모분산 r@=4, 모표준편차 r=2이고, 표
본의 크기 n=100이므로
E{X
V{X
r{X
}=
}=m=10
r@
n =
r
jnk
=
}=
4
100
=
1
25
2
10
=
5!
44 정답과 해설_개념편
19개뿔(개념-확통)해설3-2(044~047).indd 44
18. 10. 17. 오전 11:17
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
따라서 Z=
로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분
X
-71
2
2. ⑴ 1.47 ⑵ 1.935
⑴ 모평균 m의 신뢰도 95 %의 신뢰구간의 길이는
⑵ 모평균 m의 신뢰도 99 %의 신뢰구간의 길이는
2\1.96\
=1.47
2\2.58\
=1.935
3
j64k
3
j64k
포 N{0, 1}을 따르므로 구하는 확률은
P{72a}<0.8413에서
P{X
>a} =P
Z>
a-300
4
]
[
[
[
=P
a-300
4
296
따라서 상수 a의 최솟값은 296이다.
3
p.120
1. ⑴ 7.02
n은 자연수이므로 구하는 n의 최솟값은 16이다.
=4 / n>16
Ⅱ-2. 통계적 추정 45
표본의 크기는 16, 표본평균은 8, 모표준편차는 2이므로
⑴ 모평균 m의 신뢰도 95 %의 신뢰구간은
유제 05 16
표본의 크기가 n, 모표준편차 r=5이므로 신뢰도 95 %
19개뿔(개념-확통)해설3-2(044~047).indd 45
18. 10. 17. 오전 11:17
개념편X
X
X
X
X
X
C
C
1
문제 05-1 144
표본의 크기가 n, 모표준편차 r=4이므로 신뢰도 99 %
따라서 Z=
으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정
X
-120
5*
로 추정할 때 모평균 m과 표본평균 x
의 차의 범위는
규분포 N{0, 1}을 따르므로 구하는 확률은
이때 두 값의 차가 0.86분 이하가 되어야 하므로
|m-x
|<2.58\
4
jnk
2.58\
<0.86
4
jnk
2.58\4
0.86
=12 / n>144
jnk>
n은 자연수이므로 구하는 n의 최솟값은 144이다.
기본 연습문제
p.123~124
1 E{X
}=
5&, V{X
}=
13
25
2 0.7745 3 0.0062
4 48.042.5}
=0.5-P{0
/ n>400
=20
n은 자연수이므로 구하는 n의 최솟값은 400이다.
실전 연습문제
p.125
1 13
2 98
3 100
4 14000
1
모집단이 정규분포 N{1500, 100@}을 따르고, 표본의 크
기가 n이므로 표본평균 X
는 정규분포 N
1500,
[
100@
n ]
을 따른다.
X
Z=
-1500
100
jnk
N{0, 1}을 따르므로
P{14500.92
>0.46
1.75, jnk>3.5 / n>12.25
n은 자연수이므로 구하는 n의 최솟값은 13이다.
2
표본의 크기 n=25, 표본평균 x
=122.6, 모표준편차
r=10이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 a %의 신뢰구간은
122.6-k\
0.95
yy ㉠
이때 주어진 표에서 P{01.96
1.96\5
0.98
=10 / n>100
jnk>
n은 자연수이므로 구하는 n의 최솟값은 100이다.
4
표본의 크기가 100일 때, 신뢰도 95 %의 신뢰구간의 길
표본의 크기가 f{k}일 때, 신뢰도 95 %의 신뢰구간의 길
이 l은
l=2\1.96\
r
j100l
이가 kL이므로
=2\1.96\
kL
㉠_㉡을 하면
k= jf{k}l
r
jf{k}l
yy ㉠
yy ㉡
10 / f{k}=100k@
/ f{1}+f{2}+f{3}+y+f{7}
=100+400+900+1600+2500+3600+4900
Ⅱ-2. 통계적 추정 47
/ 122.6-2k1000
T
T
따라서 n의 최솟값은 6이다.
T
T
T
15 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 3, 5, 7의 3가지이다.
천의 자리, 백의 자리, 십의 자리에는 3, 4, 5, 6, 7, 8의
6개의 숫자 중에서 중복을 허용하여 3개를 택하여 나열하
면 되므로 그 경우의 수는
6
3=6#=216
따라서 구하는 홀수의 개수는
T
3\216=648
Ⅰ-1. 순열과 조합 49
19개뿔(유형-확통)해설1(048~055)OK.indd 49
2018-10-17 오전 11:22:33
유형편 16 4개의 숫자에서 3개를 택하는 중복순열의 수는
다른 풀이
6을 제외한 나머지 3개의 숫자에서 3개를 택하는 중복순
T
열의 수는 3
3=3#=27
따라서 구하는 세 자리의 자연수의 개수는
5\4\5=100
f{a}의 값이 될 수 있는 것은 5개, f{b}의 값이 될 수 있
는 것은 h를 제외한 4개, f{c}의 값이 될 수 있는 것은 5
개이므로 구하는 함수의 개수는
4
3=4#=64
T
64-27=37
17 한 자리의 자연수의 개수는 4
21 f{x1}=f{x2}인 서로 다른 x1, x2가 존재하면 함수 f 는
T
T
T
두 자리의 자연수의 개수는 4\5
1=4\5=20
세 자리의 자연수의 개수는 4\5
2=4\5@=100
네 자리의 자연수의 개수는 4\5
3=4\5#=500
다섯 자리의 자연수 중에서 만의 자리의 숫자가 1 또는 2
인 자연수의 개수는 2\5
4=2\5$=1250
∴ 4+20+100+500+1250=1874
T
따라서 30000보다 작은 자연수의 개수는 1874이므로
30000은 1875번째 수이다.
18 0부터 9까지의 10개의 숫자 중 3개의 숫자 3, 6, 9를 제
외한 나머지 숫자 7개에서 중복을 허용하여 만들 수 있는
200 이하의 자연수의 개수는 다음과 같다.
한 자리의 자연수의 개수는 6
두 자리의 자연수의 개수는 6\7
1=6\7=42
백의 자리의 숫자가 1인 세 자리의 자연수의 개수는
T
7
2=7@=49
백의 자리의 숫자가 2인 세 자리의 자연수는 200뿐이므로
T
그 개수는 1
즉, 1부터 200까지의 자연수 중에서 3 또는 6 또는 9의
숫자가 들어가지 않은 수의 개수는
6+42+49+1=98
따라서 박수를 친 횟수는 200-98=102
에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로
a=4
3=4#=64
X에서 Y로의 일대일함수의 개수는 Y의 원소 a, b, c, d
T
의 4개에서 서로 다른 3개를 택하여 X의 원소 2, 4, 6에
각각 대응시키는 순열의 수와 같으므로
b=4P3=24
∴ a+b=88
20 f{b}=h인 함수의 개수는 전체 함수의 개수에서 f{b}=h
인 함수의 개수를 뺀 것과 같다.
X에서 Y로의 함수의 개수는 5
3=5#=125
X에서 Y로의 함수 중에서 f{b}=h인 함수의 개수는
T
5
2=5@=25
따라서 구하는 함수의 개수는 125-25=100
T
50 정답과 해설_유형편
일대일함수가 아니다.
X에서 X로의 함수의 개수는 4
4=4$=256
X에서 X로의 일대일함수의 개수는 4P4=24
T
따라서 구하는 함수의 개수는
256-24=232
22 치역과 공역이 같은 함수의 개수는 전체 함수의 개수에서
치역과 공역이 다른 함수의 개수를 빼면 된다.
X에서 Y로의 함수의 개수는 3
! 치역의 원소가 1개인 함수
T
5=3%=243
치역이 910, 930, 950인 함수의 개수는 3
@ 치역의 원소가 2개인 함수
치역이 91, 30인 함수의 개수는 공역이 91, 30인 함수
의 개수에서 치역이 910, 930인 함수의 개수를 빼면 되
므로
2
5-2=2%-2=30
같은 방법으로 치역이 91, 50, 93, 50인 함수의 개수
T
도 각각 30이므로 치역의 원소가 2개인 함수의 개수
는 3\30=90
!, @에 의해 구하는 함수의 개수는
243-{3+90}=150
수는
7?
3?\2?
이때 맨 앞자리에 0이 오는 경우의 수는 6개의 숫자 1, 1,
=420
1, 2, 2, 3을 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로
6?
3?\2?
=60
420-60=360
따라서 구하는 자연수의 개수는
24 가운데를 기준으로 한쪽에 빨간 공 1개, 파란 공 2개, 흰
공 3개를 일렬로 배열하면 반대쪽은 그 반대의 순서로 공
의 배열이 정해지므로 구하는 경우의 수는
6?
2?\3?
=60
19 X에서 Y로의 함수의 개수는 Y의 원소 a, b, c, d의 4개
23 7개의 숫자 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3을 일렬로 배열하는 경우의
19개뿔(유형-확통)해설1(048~055)OK.indd 50
2018-10-17 오전 11:22:34
25 p와 i를 제외한 5개의 문자 a, s, s, o, n을 일렬로 배열
30 3의 배수이려면 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수이어야
26 모음 i, u, i, o를 한 문자 X로 생각하여 7개의 문자 X, d,
@ {4, 4, 5, 5}로 만들 수 있는 네 자리의 자연수의 개수
하는 경우의 수는
5?
2?
양 끝에 p와 i를 배열하는 경우의 수는
=60
2?=2
따라서 구하는 경우의 수는
60\2=120
s, c, s, s, n을 일렬로 배열하는 경우의 수는
7?
3?
=840
이때 모음끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는
4?
2?
=12
따라서 구하는 경우의 수는
840\12=10080
27 3, 4, 5, 6의 순서가 정해져 있으므로 3, 4, 5, 6을 모두 x
로 놓으면 1, 1, 2, 2, x, x, x, x의 8개의 숫자를 일렬로
배열한 후 나열된 4개의 x를 앞에서부터 순서대로 6, 5,
4, 3으로 바꾸면 된다.
따라서 구하는 자연수의 개수는
8?
2?\2?\4?
=420
28 b, d와 a, e, f 의 순서가 각각 정해져 있으므로 b, d를 모
두 x로 놓고 a, e, f 를 모두 y로 놓으면 6개의 문자 y, x,
c, x, y, y를 일렬로 배열하는 경우의 수는
=60
6?
2?\3?
이때 두 개의 x 중 첫 번째 x는 b, 두 번째 x는 d로 바꾸고,
세 개의 y 중 맨 뒤에 있는 y는 f , 첫 번째, 두 번째 y는 a
와 e 또는 e와 a로 바꾸면 되므로 그 경우의 수는 2이다.
따라서 구하는 경우의 수는
60\2=120
29 5개의 함숫값의 곱이 9이므로 함숫값에 따라 다음 두 가
지 경우로 나눌 수 있다.
! 함숫값이 1, 1, 1, 1, 9인 경우
함수 f 의 개수는
=5
5?
4?
@ 함숫값이 1, 1, 1, 3, 3인 경우
=10
함수 f 의 개수는
5?
3?\2?
!, @에 의해 구하는 함수의 개수는
5+10=15
한다.
6개의 숫자 4, 4, 4, 5, 5, 6에서 4개를 택하여 그 합이 3
의 배수가 되는 것은 {4, 4, 4, 6}, {4, 4, 5, 5}의 2가지
가 있다.
! {4, 4, 4, 6}으로 만들 수 있는 네 자리의 자연수의 개
수는
=4
4?
3?
는
4?
2?\2?
=6
5?
2?\3?
=10
따라서 구하는 자연수의 개수는 4+6=10
31 A 지점에서 P 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는
P 지점에서 B 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는
4?
3?
따라서 구하는 경우의 수는 10\4=40
=4
32 ! A 지점에서 Q 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는
=20
6?
3?\3?
A 지점에서 P 지점을 거쳐 Q 지점까지 최단 거리로
가는 경우의 수는
3?
2?
따라서 A 지점에서 P 지점을 거치지 않고 Q 지점까
3?
2?
=9
\
지 최단 거리로 가는 경우의 수는 20-9=11
@ Q 지점에서 B 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는
4?
3?
=4
!, @에 의해 구하는 경우의 수는
11\4=44
33 오른쪽 그림과 같이 세 지점 P, Q,
R를 잡으면 A 지점에서 B 지점까
지 최단 거리로 갈 때, 반드시 P, Q,
R 중 어느 한 지점을 지나고 P, Q,
R를 동시에 지나는 경우는 없다.
! A
B로 가는 경우의 수는
P
!
!
4?
2?\2?
\
4?
2?\2?
=36
A
B로 가는 경우의 수는
!
\
Q
4?
3?
!
=16
@ A
4?
3?
# A
R
!
1\1=1
!
B로 가는 경우의 수는
!~#에 의해 구하는 경우의 수는
36+16+1=53
P
Q
B
R
Ⅰ-1. 순열과 조합 51
19개뿔(유형-확통)해설1(048~055)OK.indd 51
2018-10-17 오전 11:22:34
유형편 34 오른쪽 그림과 같이 네 지점 P, A
Q, R, S를 잡으면 A 지점에서
02 중복조합과 이항정리
R
Q
S
B
B 지점까지 최단 거리로 갈 때,
반드시 P, Q, R, S 중 어느 한
지점을 지나고 P, Q, R, S를 동
P
시에 지나는 경우는 없다.
! A
P
!
!
1\1=1
B로 가는 경우의 수는
@ A
Q
B로 가는 경우의 수는
!
6?
3?\3?
!
\
4?
2?\2?
=120
# A
R
!
6?
4?\2?
!
\
B로 가는 경우의 수는
4?
3?
=60
$ A
S
!
1\1=1
!
B로 가는 경우의 수는
!~$에 의해 구하는 경우의 수는
1+120+60+1=182
35 오른쪽 그림과 같이 네 지점 A
P, Q, R, S를 잡으면 A 지
점에서 B 지점까지 최단 거
리로 갈 때, 반드시 P, Q, R,
S 중 어느 한 지점을 지나고
Q
P
S
7
R
호수호수
B
1
1
2
1
3
1
3
1
4
6
1
4
1
1
1
5
10
10
5
1
기초 문제 Training
p.10
1 ⑴ 35
⑵ 56
⑶ 1
2 ⑴ 9
⑵ 6
⑶ 3
⑷ 3
⑷ 6
3 84
4 28
5 ⑴ x^+6x%y+15x$y@+20x#y#+15x@y$+6xy%+y^
⑵ a%-10a$+40a#-80a@+80a-32
⑶ 16x$+32x#y+24x@y@+8xy#+y$
1
x#
⑷ x#+3x+
3
x
+
6 ⑴ 135
⑵ 90
⑶ 24
a%+5a$b+10a#b@+10a@b#+5ab$+b%
8 ⑴ 6
⑵ 8
9 ⑴ 64
⑵ 0
⑶ 128
⑷ 256
핵심 유형 Training
p.11~14
1 165
2 264
3 220
4 25
5 94
6 20
11 17
16 35
7 78
12 1
17 2
8 34
13 5
9 126
10 ⑤
14 ②
15 176
18 -31 19 ③
21 216
22 330 23 ①
24 ①
26 1024 27 ③
28 ③
29 30
20 ④
25 ④
30 ④
B로 가는 경우의 수는 1\1=1
!
!
!
\
!
P
=24
Q
6?
5?
B로 가는 경우의 수는
P, Q, R, S를 동시에 지나는 경우는 없다.
! A
@ A
4?
3?
# A
6?
5?
$ A
!~$에 의해 구하는 경우의 수는
1+24+24+1=50
B로 가는 경우의 수는
R
4?
3?
=24
S
!
!
\
!
!
B로 가는 경우의 수는 1\1=1
36 ! 꼭짓점 A에서 꼭짓점 B까지 최단 거리로 가려면 가
로, 세로, 높이의 방향으로 각각 3번, 3번, 3번 이동해
야 하므로 그 경우의 수는
9?
3?\3?\3?
=1680
@ 꼭짓점 A에서 모서리 CD를 거쳐 꼭짓점 B까지 최단
\1\
거리로 가는 경우의 수는
5?
3?
3?\2?
2?
!, @에 의해 구하는 경우의 수는
1680-30=1650
=30
52 정답과 해설_유형편
19개뿔(유형-확통)해설1(048~055)OK.indd 52
2018-10-17 오전 11:22:35
1 4명의 학생들에게 같은 종류의 과자 8개를 나누어 주는
경우의 수는 서로 다른 4개에서 8개를 택하는 중복조합의
수와 같으므로
4H8=11C8=11C3=165
2 무기명으로 투표하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 5개
를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
3H5=7C5=7C2=21 ∴ a=21
기명으로 투표하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 5개를
택하는 중복순열의 수와 같으므로
3
5=3%=243 ∴ b=243
∴ a+b=264
T
3 먼저 4명의 학생에게 연필을 한 자루씩 나누어 주고 남은
9자루의 연필을 나누어 주면 된다.
이때 4명의 학생에게 9자루의 연필을 나누어 주는 경우의
수는 서로 다른 4개에서 9개를 택하는 중복조합의 수와
같으므로
4H9=12C9=12C3=220
4 파란색 카드가 1장이므로 파란색 카드를 선택하지 않는
경우와 선택하는 경우로 나누어 생각한다.
! 파란색 카드를 선택하지 않는 경우
수와 같으므로
3H4=6C4=6C2=15
@ 파란색 카드를 선택하는 경우
빨간색, 노란색, 초록색 카드에서 3장을 택하는 경우
의 수는 서로 다른 3개에서 3개를 택하는 중복조합의
수와 같으므로
3H3=5C3=5C2=10
!, @에 의해 구하는 경우의 수는
15+10=25
5 방정식 x+y+z+w=6의 음이 아닌 정수해의 개수는
서로 다른 4개의 문자 x, y, z, w에서 6개를 택하는 중복
조합의 수와 같으므로
a=4H6=9C6=9C3=84
한편 x, y, z, w가 모두 양의 정수이면 x-1, y-1,
z-1, w-1은 모두 음이 아닌 정수이다.
x-1=x ', y-1=y ', z-1=z ', w-1=w '이라 하면
x=x '+1, y=y '+1, z=z '+1, w=w '+1
이를 x+y+z+w=6에 대입하면
{x '+1}+{y '+1}+{z '+1}+{w '+1}=6
∴ x'+y'+z'+w'=2
(단, x ', y ', z ', w '은 음이 아닌 정수)
즉, b의 값은 서로 다른 4개의 문자 x ', y ', z ', w '에서 2
개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
b=4H2=5C2=10
∴ a+b=94
6 x, y, z가 음이 아닌 정수이므로 x+y+z=0 또는
x+y+z=1 또는 x+y+z=2 또는 x+y+z=3
! x+y+z=0의 음이 아닌 정수해의 개수는
@ x+y+z=1의 음이 아닌 정수해의 개수는
# x+y+z=2의 음이 아닌 정수해의 개수는
3H0=2C0=1
3H1=3C1=3
3H2=4C2=6
$ x+y+z=3의 음이 아닌 정수해의 개수는
3H3=5C3=5C2=10
!~$에 의해 구하는 순서쌍 {x, y, z}의 개수는
1+3+6+10=20
x=a+2, y=b+3, z=c+4를 x+y+z=20에 대입하면
{a+2}+{b+3}+{c+4}=20
∴ a+b+c=11
yy ㉠
따라서 구하는 순서쌍 {x, y, z}의 개수는 방정식 ㉠의
음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로
3H11=13C11=13C2=78
8 x의 값에 따라 두 가지 경우로 나누어 생각한다.
y+z+w=6의 음이 아닌 정수해의 개수는
! x=0인 경우
3H6=8C6=8C2=28
@ x=1인 경우
y+z+w=2의 음이 아닌 정수해의 개수는
3H2=4C2=6
!, @에 의해 구하는 정수해의 수는
28+6=34
Ⅰ-1. 순열과 조합 53
빨간색, 노란색, 초록색 카드에서 4장을 택하는 경우
7 x-2=a, y-3=b, z-4=c라 하면
의 수는 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복조합의
a>0, b>0, c>0
19개뿔(유형-확통)해설1(048~055)OK.indd 53
2018-10-17 오전 11:22:35
유형편 10 조건 ㈎, ㈏에 의해 f{1}의 값이 될
nCr 1N_R{x#}R=nCr x#R
9 주어진 조건에 의해
f{1}600에서
x{50-x}>600, x@-50x+600<0
{x-20}{x-30}<0 ∴ 200, 4a@-5a>0
a{4a-5}>0 ∴ a<0 또는 a>
yy ㉠
이때 -40이므로
P{A5B}<
, P{A5B}<
, P{A5B}>0
1
4
1
3
=
+
-
=
2
5
2
15
2
3
2
5
44 f{1}=2인 사건을 A, f{3}=1인 사건을 B라 하면
1
4
7
12
7
12
즉, 02} =P{X=2}+P{X=3}
=
+
=
1
35
13
35
12
35
P{X<3} =P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}
1
2
3
10
1
30
5
6
+
+
=
=
∴ k=3
70 정답과 해설_유형편
19개뿔(유형-확통)해설3(069~088)OK.indd 70
2018-10-17 오전 11:25:17
11 확률의 총합은 1이므로
5
12
1
12
확률변수 X에 대하여
+a+
1
12
+
=1 ∴ a=
5
12
즉, X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
P{X=x}
0
1
15
1
8
15
2
2
5
합계
1
E{X} ={-1}\
+0\
+1\
+2\
=
1
12
1
12
5
12
5
12
5
12
5
12
1
12
1
2
1
12
E{X@} ={-1}@\
+0@\
+1@\
+2@\
따라서 확률변수 X에 대하여
1
15
E{X}=0\
+1\
8
15
+2\
2
5
=
4
3
=
5
6
∴ V{X} =E{X@}-9E{X}0@=
5
6
-
[
1
2 ]@=
7
12
따라서 X의 평균은
, 분산은
이다.
1
2
7
12
12 확률의 총합은 1이므로
1
3
a+b+
1
6
+
=1 ∴ a+b=
yy ㉠
1
2
E{X}=
5
2 이므로
1
3
a+2b+3\
+4\
=
1
6
5
2
∴ a+2b=
5
6
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=
, b=
1
6
1
3
E{X@} =1@\
+2@\
+3@\
+4@\
=
1
6
1
3
1
3
1
6
43
6
-
[
5
2 ]@=
43
6 이므로
11
12
V{X} =E{X@}-9E{X}0@=
∴ r{X}=4V{X} 6= j33 k
6
+a+b=1 ∴ a+b=
yy ㉠
1\
+2a+3b=2 ∴ 2a+3b=
yy ㉡
13 확률의 총합은 1이므로
1
4
1
4
E{X}=2이므로
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=
, b=
∴ V{X}+9E{X}0@ =E{X@}
3
4
1
2
1
4
1
4
7
4
1
2
14 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이고, 그 확률은
각각
P{X=0}=
P{X=1}=
P{X=2}=
2C2\4C0
6C2
=
1
15
2C1\4C1
6C2
=
8
15
2C0\4C2
6C2
=
2
5
15 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이고, 그 확률
은 각각
P{X=0}=
=
P{X=2)=
1
2#
3C2
2#
=
1
8 , P{X=1}=
3
8 , P{X=3}=
3C1
2#
=
3
8
3C3
2#
=
1
8
즉, X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
P{X=x}
0
1
8
1
3
8
2
3
8
합계
1
따라서 확률변수 X에 대하여
1
8
E{X}=0\
+1\
+2\
3
8
3
8
+3\
=
1
8
E{X@}=0@\
+1@\
+2@\
+3@\
=3
1
8
3
8
3
8
∴ V{X}=E{X@}-9E(X)0@=3-
3
2 ]@=
3
4
[
3
1
8
3
2
1
8
16 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이고 한 개의
주사위를 던질 때 3의 배수의 눈이 나올 확률이
1
3 이므로
확률변수 X의 확률은 각각
P{X=0}=3C0 [
P{X=1}=3C1 [
P{X=2}=3C2 [
1
3 ])[
1
3 ]![
1
3 ]@[
1
3 ]#[
2
3 ]#=
2
3 ]@=
2
3 ]!=
2
3 ])=
8
27
4
9
2
9
1
27
P{X=3}=3C3 [
즉, X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
1
4
9
4
9
2
2
9
2
9
5
3
따라서 확률변수 X에 대하여
8
27
E{X}=0\
+1\
4
9
+2\
2
9
+3\
=1
1
27
E{X@}=0@\
+1@\
+2@\
+3@\
=
8
27
∴ V{X}=E{X@}-9E{X}0@=
-1@=
5
3
1
27
2
3
∴ r{X}=4V{X} 6= j6 k
3
Ⅲ-1. 확률분포 71
=1@\
+2@\
+3@\
=
1
4
9
2
X
P{X=x}
0
8
27
3
1
27
합계
1
19개뿔(유형-확통)해설3(069~088)OK.indd 71
2018-10-17 오전 11:25:18
유형편 17 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3, 4이므로 다음
과 같은 경우로 나누어 생각한다.
! X=1인 경우
1이 적힌 카드 1장과 2, 3, 4, 5, 6이 적힌 카드 중 2
2가 적힌 카드 1장과 3, 4, 5, 6이 적힌 카드 중 2장을
3이 적힌 카드 1장과 4, 5, 6이 적힌 카드 중 2장을 뽑
장을 뽑아야 하므로
1\5C2
6C3
P{X=1}=
=
1
2
@ X=2인 경우
뽑아야 하므로
P{X=2}=
1\4C2
6C3
=
3
10
# X=3인 경우
아야 하므로
P{X=3}=
1\3C2
6C3
=
3
20
$ X=4인 경우
하므로
4가 적힌 카드 1장과 5, 6이 적힌 카드 2장을 뽑아야
=
P{X=4}=
1\2C2
6C3
1
20
!~$에 의해 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과
같다.
X
P{X=x}
1
1
2
2
3
10
3
3
20
4
1
20
합계
1
따라서 확률변수 X에 대하여
1
2
E{X}=1\
+2\
3
10
+3\
3
20
+4\
=
1
20
7
4
E{X@}=1@\
1
2
∴ V{X} =E{X@}-9E{X}0@
+2@\
3
10
+3@\
3
20
+4@\
=
1
20
77
20
=
77
20
-
[
7
4 ]@=
63
80
18 행운권 한 장으로 받을 수 있는 상금을 X원이라 하면 확
률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
0
10000
50000 100000 300000 합계
P{X=x}
9
10
2
25
3
250
3
500
1
500
1
확률변수 X에 대하여
E{X} =0\
+10000\
9
10
=2600
3
250
+50000\
2
25
+100000\ 3
500
+300000\ 1
500
따라서 구하는 기댓값은 2600원이다.
72 정답과 해설_유형편
19 강호의 학생증이 나올 때까지 시도한 횟수를 X회라 하면
확률변수 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3, 4, 5이고 그 확
률은 각각
P{X=1}=
1
5
4
5
4
5
4
5
4
5
1
4
3
4
3
4
3
4
P{X=2}=
\
=
P{X=3}=
\
\
=
P{X=4}=
\
\
\
=
P{X=5}=
\
\
\
\1=
1
5
1
2
1
2
1
5
1
5
1
5
1
3
2
3
2
3
2
1
5
즉, X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
P{X=x}
1
1
5
확률변수 X에 대하여
1
5
E{X}=1\
+2\
1
5
3
1
5
1
5
합계
1
4
1
5
1
5
5
1
5
1
5
+3\
+4\
+5\
=3
따라서 구하는 기댓값은 3회이다.
20 한 번 참여하여 받을 수 있는 상금을 X원이라 하면 확률
변수 X가 가질 수 있는 값은 7000, 10500, 14000이므로
그 확률은 각각
P{X=7000}=
P{X=10500}=
P{X=14000}=
3C0\4C2
7C2
=
2
7
3C1\4C1
7C2
=
3C2\4C0
7C2
=
4
7
1
7
즉, X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
7000
10500
14000
합계
P{X=x}
확률변수 X에 대하여
2
7
2
7
4
7
4
7
1
7
1
1
7
E{X}=7000\
+10500\
+14000\
=10000
따라서 구하는 기댓값은 10000원이다.
21 E{Y}=2에서 E{3X+1}=2
3E{X}+1=2 ∴ E{X}=
1
3
r{Y}=9에서 r{3X+1}=9
3r{X}=9 ∴ r{X}=3
∴ V{X}=r@{X}=3@=9
∴ E{X}V{X}=
\9=3
1
3
19개뿔(유형-확통)해설3(069~088)OK.indd 72
2018-10-17 오전 11:25:18
22 E{2X-10}=4에서
2E{X}-10=4 ∴ E{X}=7
V{2X}=12에서
2@ V{X}=12 ∴ V{X}=3
∴ E{X@}=V{X}+9E{X}0@=3+7@=52
23 E{X}=-2, V{X}=3이므로
E{Y}=2에서 E{aX-2}=2
aE{X}-2=2, -2a-2=2 ∴ a=-2
V{Y}=b에서 V{aX-2}=b
a@ V{X}=b, {-2}@\3=b ∴ b=12
∴ ab={-2}\12=-24
24 E{Y}=
에서 E
2
3
1
3
[
X-2
=
]
2
3
1
3
2
3
E{X}-2=
∴ E{X}=8
E{Y@}=
이므로
40
9
V{Y} =E{Y@}-9E{Y}0@=
40
9
-
[
2
3 ]@=4
1
3
[
V
X-2
=4, [
∴ E{X}+V{X}=8+36=44
]
1
3 ]@V{X}=4 ∴ V{X}=36
25 확률의 총합은 1이므로
a+2a+a=1 ∴ a=
1
4
따라서 확률변수 X에 대하여
1
2
E{X}={-4}\
+0\
1
4
+4\
=0
1
4
E{X@}={-4}@\
+0@\
+4@\
=8
1
4
1
2
1
4
∴ V{X} =E{X@}-9E{X}0@=8-0@=8
∴ V{2X-3}=2@ V{X}=4\8=32
26 확률의 총합은 1이므로
a+b+a@=1
1
4 에서
E{X}=-
{-1}\a+0\b+1\a@=-
1
4
a@-a=-
1
4 , 4a@-4a+1=0
{2a-1}@=0 ∴ a=
a=
1
2 을 ㉠에 대입하면
1
2
1
4
+b+
=1 ∴ b=
1
2
1
4
확률변수 X에 대하여
E{X@}={-1}@\
+0@\
+1@\
=
1
2
1
4
1
4
3
4 이므로
V{X} =E{X@}-9E{X}0@
=
3
4
-
-
[
1
4 ]@=
11
16
∴ r{X}=4V{X} 6= j11k
∴ r{-4X+10} =|-4|r{X}
4
=4\ j11k
4
=j11k
27 확률의 총합은 1이므로
1
6
+
2
3
+c=1 ∴ c=
1
6
확률변수 X에 대하여
2
3
E{X}=0\
+1\
1
6
+2\
=1
1
6
E{X@}=0@\
1
1
6
6
∴ V{X} =E{X@}-9E{X}0@
+1@\
+2@\
2
3
=
4
3
=
-1@=
4
3
1
3
4
3
4
3
V{Y}=
에서 V{aX+b}=
4
3
a@ V{X}=
, a@\
=
1
3
4
3
a@=4 ∴ a=2 (∵ a>0)
a=2를 ㉠에 대입하면
2+b=-2 ∴ b=-4
∴ 3abc=3\2\{-4}\
=-4
1
6
E{Y}=-2에서 E{aX+b}=-2
aE{X}+b=-2 ∴ a+b=-2
yy ㉠
28 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이고, 그 확률은
각각
P{X=0}=
P{X=1}=
2C0\4C3
6C3
=
2C1\4C2
6C3
=
1
5
3
5
yy ㉠
P{X=2}=
1
5
즉, X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
2C2\4C1
6C3
=
X
P{X=x}
0
1
5
1
3
5
2
1
5
합계
1
E{X}=0\
따라서 확률변수 X에 대하여
1
5
3
5
∴ E{4X+3}=4E{X}+3=4\1+3=7
+1\
+2\
=1
1
5
Ⅲ-1. 확률분포 73
19개뿔(유형-확통)해설3(069~088)OK.indd 73
2018-10-17 오전 11:25:19
유형편 29 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이고, 그 확률은
31 한 개의 주사위를 한 번 던질 때 5의 약수의 눈이 나올 확
각각
P{X=0}=
P{X=1}=
P{X=2}=
3C0\7C2
10C2
=
3C1\7C1
10C2
=
3C2\7C0
10C2
=
7
15
7
15
1
15
즉, X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
P{X=x}
0
7
15
1
7
15
2
1
15
합계
1
따라서 확률변수 X에 대하여
7
15
E{X}=0\
+1\
7
15
+2\
1
15
E{X@}=0@\
7
15
∴ V{X} =E{X@}-9E{X}0@
+1@\
7
15
+2@\
3
5
=
1
15
=
11
15
=
11
15
-
[
3
5 ]@=
28
75
∴ V{-5X} ={-5}@ V{X}
28
3
=25\
28
75
=
30 주사위를 3번 던져서 받을 수 있는 점수는
(짝, 짝, 짝)
2\3=6(점)
SG
(홀, 짝, 짝), (짝, 홀, 짝), (짝, 짝, 홀)
3\1+2\2=7(점)
SG
(홀, 홀, 짝), (홀, 짝, 홀), (짝, 홀, 홀)
3\2+2\1=8(점)
SG
(홀, 홀, 홀)
3\3=9(점)
SG
따라서 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 6, 7, 8, 9이고,
1
8 이므로 X의 확률분포를 표
그 확률은 각각
3
8 ,
로 나타내면 다음과 같다.
1
8 ,
3
8 ,
X
P{X=x}
6
1
8
7
3
8
8
3
8
9
1
8
합계
1
확률변수 X에 대하여
3
8
E{X}=6\
+7\
1
8
+8\
+9\
=
1
8
15
2
3
8
E{X@}=6@\
+7@\
+8@\
+9@\
=57
1
8
3
8
3
8
1
8
따라서 V{X}=E{X@}-9E{X}0@=57-
15
2 ]@=
3
4
[
이므로
3
4
w= j3 k
r{X}=q
2
∴ r{6X-3}=6r{X}=6\ j3 k
2
=3j3 k
74 정답과 해설_유형편
률은
이므로 확률변수 X는 이항분포 B
9,
1
3 ]을 따른
[
1
3
다.
1
3 ]X[
2
3 ](_X {x=0, 1, 2, y, 9}
X의 확률질량함수는
P{X=x}=9Cx [
따라서 구하는 확률은
P{X=6} =9C6 [
224
3*
=
∴ a=224
1
3 ]^[
2
3 ]#
32 불량품이 발생할 확률은
이므로 확률변수 X는 이항분
1
10
포 B
8,
[
1
10 ]을 따른다.
X의 확률질량함수는
1
10 ]X[
P{X=x}=8Cx [
따라서 구하는 확률은
P{X<7} =1-P{X=8}
9
10 ]*_X {x=0, 1, 2, y, 8}
=1-8C8 [
1
10 ]*[
9
10 ])
=1-
1
10*
33 화살이 4의 배수가 적힌 영역에 맞을 확률은
이므로 확
1
2
률변수 X는 이항분포 B
10,
1
2 ]을 따른다.
[
X의 확률질량함수는
1
2 ]X[
P{X=x}=10Cx [
따라서 구하는 확률은
1
2 ]!)_X {x=0, 1, 2, y, 10}
P{X>9} =P{X=9}+P{X=10}
1
1
2 ]!)[
2 ]([
1
2 ]!+10C10 [
1
2 ])
=10C9 [
11
1024
=
34 E{X}=25에서
125p=25 ∴ p=
1
5
따라서 확률변수 X는 이항분포 B
125,
[
1
5 ]을 따르므로
V{X}=125\
1
5
∴ E{X@} =V{X}+9E{X}0@
=20
4
5
\
=20+25@=645
19개뿔(유형-확통)해설3(069~088)OK.indd 74
2018-10-17 오전 11:25:19
35 P{X=x} =48Cx
3X
4$*
=48Cx [
3
4 ]X[
1
4 ]$*_X {x=0, 1, 2, y, 48}
3
4 ]을 따르므로
48,
[
따라서 확률변수 X는 이항분포 B
3
r{X}=q48\
4
∴ r{-4X+1} =|-4|r{X}
e=3
1
4
\
=12
36 X의 확률질량함수는
P{X=x}=16Cx pX{1-p}!^_X {x=0, 1, 2, y, 16}
p=0이므로 위 식의 양변을 p@{1-p}!#으로 나누면
이때 P{X=2}=
16C2 p@{1-p}!$=
6
7 P{X=3}에서
6
7
16C3 p#{1-p}!#
16C2 {1-p}=
16C3 p
6
7
120{1-p}=480p, 1-p=4p
∴ p=
1
5
따라서 확률변수 X는 이항분포 B
16,
1
5 ]을 따르므로
[
38 재현이와 성연이가 가위바위보를 한 번 할 때 재현이가
이길 확률은
이다.
18,
따라서 확률변수 X는 이항분포 B
[
1
3 ]을 따르므로
1
3
1
3
E{X}=18\
=6
V{X}=18\
1
3
∴ E{X@} =V{X}+9E{X}0@
=4
2
3
\
=4+6@=40
39 한 개의 윷가락을 던질 때 평평한 면이 나올 확률은
3
5
,
둥근 면이 나올 확률은
이므로 4개의 윷가락을 동시에
2
5
던져 개가 나올 확률은
2
5 ]@=
3
5 ]@[
216
625
4C2 [
125,
따라서 확률변수 X는 이항분포 B
[
216
625 ]을 따르므로
E{X}=125\
216
625
=
216
5
∴ E{5X-1} =5E{X}-1
=5\
-1=215
216
5
V{X}=16\
64
25
∴ V{5X+2} =5@ V{X}
1
5
4
5
\
=
=25\
=64
64
25
37 E{X}=3, V{X}=2이므로
E{X}=np=3
V{X}=np{1-p}=2
㉠을 ㉡에 대입하면 3{1-p}=2
1-p=
∴ p=
1
3
p=
을 ㉠에 대입하면
2
3
1
3
1
3
n=3 ∴ n=9
따라서 확률변수 X는 이항분포 B
9,
1
3 ]을 따르므로 X
[
2
3 ](_X {x=0, 1, 2, y, 9}
P{X=x}=9Cx [
의 확률질량함수는
1
3 ]X[
1
3 ]@[
1
3 ]#[
P{X=2}
P{X=3}
9C2 [
∴
=
9C3 [
9C2\2
9C3
=
=
2
3 ]&
2
3 ]^
6
7
40 주머니에서 한 개의 구슬을 꺼낼 때, 빨간 구슬이 나올 확
률은
이므로 확률변수 X는 이항분포 B
n,
3
8 ]을 따른
[
yy ㉠
yy ㉡
3
8
3
8
다.
E{X}=15에서
n\
=15 ∴ n=40
∴ V{X}=40\
\
=
3
8
5
8
75
8
41 동전을 20번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 Y
라 하면 뒷면이 나오는 횟수는 20-Y이므로
X=2Y-{20-Y}=3Y-20
한편 한 개의 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률은
이므
1
2
로 확률변수 Y는 이항분포 B
20,
1
2 ]을 따른다.
[
따라서 E{Y}=20\
=10이므로
1
2
E{X} =E{3Y-20}
=3E{Y}-20
=3\10-20=10
Ⅲ-1. 확률분포 75
19개뿔(유형-확통)해설3(069~088)OK.indd 75
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유형편 02 연속확률변수와 정규분포
기초 문제 Training
1 ㄱ, ㄴ, ㄷ
2 ⑴
1
4
⑵
1
8
3
1
2
4 ⑴ N{6, 3@} ⑵ N{-2, 5@}
5 ⑴ 0.1498 ⑵ 0.1359 ⑶ 0.8185
⑷ 0.0228 ⑸ 0.9332
6 ⑴ Z=
X-10
2
⑵ 0.1525
7 ⑴ N{30, 5@}
⑵ N{200, 10@}
8 ⑴ Z=
X-120
10
⑵ 0.1587
핵심 유형 Training
p.42~4 8
1
6
1
3
3
8
11 ③
15 ③
19 ①
2
7
1
4
1
3
3 ③
4
1
3
5
7
16
8 ③
9 ㄴ, ㄷ 10 12
12 0.8185
13 12
14 ④
16 8
17 ⑤
18 0.3446
20 24
21 1.5
22 2.58 23 5
24 국어, 수학, 영어 25 ②
26 C, A, B
27 13.6 % 28 0.21 29 4
30 ③
31 3
32 1954 33 72.2점
34 77.8점
35 21.4 kg 36 ②
37 ③
38 0.4772
39 0.1587 40 0.0228
41 0.9987
42 162
43 90
44 56
1 함수 y=f{x}의 그래프와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이
가 1이므로
1
2
\{2+4}\k=1, 3k=1 ∴ k=
1
3
76 정답과 해설_유형편
2 함수 y=f{x}의 그래프와 x축
및 두 직선 x=3, x=5로 둘
러싸인 도형의 넓이가 1이므로
1
2
\{k+3k}\2=1
y
3k
k
O
4k=1 ∴ k=
1
4
y=f{x}
3
5
x
p.41
3 ① -20이고 y=f{x}의 그래프와 x
축으로 둘러싸인 도형의 넓이는
1
2
\4\
=1
1
2
④ y=f{x}의 그래프와 x축 및 직선 x=2로 둘러싸인 도
형의 넓이가 1이 아니다.
⑤ -11}
은 오른쪽 그림의 색칠한 부분의
y
2!
넓이와 같으므로
P{X>1}=
\2\
=
1
2
1
3
1
3
3!
y=f{x}
O-1
1
3
x
5 함수 y=f{x}{-20이므로 k>0
함수 y=f{x}의 그래프와 x축으
로 둘러싸인 도형의 넓이가 1이
므로
1
2
\4\2k=1 ∴ k=
1
4
y
2k y=f{x}
8#
-2
-
O
2!
2!
2
x
19개뿔(유형-확통)해설3(069~088)OK.indd 76
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0,
1
2 ], {2, 0}
9 ㄱ. x1b}
ㄷ. 정규분포 곡선과 x축 사이의 넓이가 1이므로
P{Xa}=1
∴ P{Xa}
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
y=f{x}
10 정규분포 N{13, 3@}을 따르는 확률변수 X의 확률밀도
함수는 x=13에서 최댓값을 갖고, 정규분포 곡선은 직선
x=13에 대하여 대칭이다.
따라서 P{k-2a}=0.9772에서
P{am}=0.9772
③, ④ 확률변수 X1의 정규분포 곡선의 가운데 부분의 높
P{ax2}=0.5
따라서 옳은 것은 ③이다.
따라서 a=m-2r이므로
a=20-2\4=12
Ⅲ-1. 확률분포 77
19개뿔(유형-확통)해설3(069~088)OK.indd 77
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유형편 14 두 확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N{7, 2@}, N{16, 3@}
을 따르므로 Zx=
, Zy=
X-7
2
Y-16
3 으로 놓으면 Zx,
Zy는 모두 표준정규분포 N{0, 1}을 따른다.
P{X<11}=P{Yk}에서
80-100
5
Zx<
[
=P
Zy>
[
P
]
k-30
4
]
∴ P{Zx<-4}=P
[
Zy<
30-k
4
]
따라서
=-4이므로 30-k=-16 ∴ k=46
30-k
4
16 두 확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N{14, 2@}, N{m, 3@}
을 따르므로 Zx=
X-14
2
, Zy=
Y-m
3
Zx, Zy는 모두 표준정규분포 N{0, 1}을 따른다.
2P{1022} =P
Z>
[
22-20
5
]
=P{Z>0.4}
=0.5-P{055} =P
Z>
55-65
r
]
=P
Z>-
[
10
r ]
[
[
[
=P
-
91}=P
Z1>
=P{Z1>1.75}
91-70
12
]
79-58
14
]
[
[
P{X2>79}=P
Z2>
=P{Z2>1.5}
P{X3>81}=P
81-67
10
이때 P{Z1>1.75}1.5}1.4}이므로
=P{Z3>1.4}
Z3>
]
[
P{X1>91}79}81}
따라서 확률이 낮은 과목일수록 상대적으로 성적이 좋으
므로 주영이의 성적이 상대적으로 좋은 과목부터 순서대
로 나열하면 국어, 수학, 영어이다.
25 세 확률변수 W, X, Y가 각각 정규분포 N{45, 4@},
N{52, 3@}, N{48, 8@}을 따르므로 Zw=
W-45
4
,
Zx=
X-52
3
Y-48
8
, Zy=
로 놓으면 Zw, Zx, Zy는
모두 표준정규분포 N{0, 1}을 따른다.
p=P{W>46}=P
Zw>
=P{Zw>0.25}
[
46-45
4
]
Zx>
[
46-52
3
]
46-48
8
]
q=P{X>46}=P
=P{Zx>-2}
r=P{Y>46}=P{Zy>
=P{Zy>-0.25}
이때 P{Zw>0.25}-0.25}-2}
이므로
P{W>46}46}46}
26 1반, 2반, 3반 학생의 몸무게를 각각 확률변수 X1, X2,
X3이라 하면 X1, X2, X3은 각각 정규분포 N{52, 6@},
N{54.5, 5@}, N{55, 8@}을 따르므로 Z1=
X1-52
6
,
Z2=
X2-54.5
5
, Z3=
X3-55
8
로 놓으면 Z1, Z2, Z3은
모두 표준정규분포 N{0, 1}을 따른다.
1반, 2반, 3반 학생이 각각 A, B, C보다 몸무게가 무거
울 확률은
P{X1>55}=P
Z1>
=P{Z1>0.5}
55-52
6
]
56-54.5
5
]
60-55
8
]
[
[
[
P{X2>56}=P
Z2>
=P{Z2>0.3}
P{X3>60}=P
Z3>
=P{Z3>0.625}
이때 P{Z3>0.625}0.5}0.3}이므로
P{X3>60}55}56}
Ⅲ-1. 확률분포 79
로 놓으면 Z1, Z2, Z3은 모두 표준정규분포 N{0, 1}을
따라서 각자 자기 반에서 상대적으로 몸무게가 무거운 학
따른다.
생부터 순서대로 나열하면 C, A, B이다.
로 놓으면 Z는 표준정규분포 N{0, 1}을 따
∴ p40} =P
Z>
[
]
=P{12.5}
=0.5-P{024} =P
Z>
[
24-20
5
]
=P{Z>0.8}
=0.5-P{019800} =P
Z>
[
19800-20000
100
]
=P{Z>-2}
=0.5+P{0k}=0.2
P{X>k} =P
Z>
[
k-68
5
]
=0.5-P
0k}=
=0.1
100
1000
P{X>k} =P
Z>
[
k-65
10 ]
=0.5-P
0
a-24
5
]
24-a
5
]
=0.5-P
00.4}
=0.5-P{01}
=0.5-P{096
8X>480 ∴ X>60
따라서 구하는 확률은
P{X>60} =P
Z>
[
60-48
6
]
=P{Z>2}
=0.5-P{0k}=0.12에서
P{X>k} =P
Z>
[
k-150
]
10
k-150
10
0k}=0.023에서
P{X>k} =P
Z>
[
k-81
9
2
]
0k}=P
Z>
[
yy ㉠
또한 확률변수 Y는 이항분포 B
400,
1
2 ]을 따르므로
[
E{Y}=400\
=200
V{Y}=400\
\
=100
1
2
1
2
1
2
이때 400은 충분히 큰 수이므로 Y는 근사적으로 정규분
포 N{200, 10@}을 따르고 Z=
Y-200
10 으로 놓으면 Z
는 표준정규분포 N{0, 1}을 따른다.
230-200
10
∴ P{Y<230} =P
Z<
[
]
핵심 유형 Training
p.51~55
1 19
2 18
3 9
6 6
7 E{X
}=
, V{X
}=
5
2
4
9
8
5
8
5 40
8 4
9 0.9987 10 0.8185
11 25
12 ⑤
=P{Z<3}
yy ㉡
16 989.68k}=P{Y<230}이므로 ㉠, ㉡에 의해
P
Z>
[
k-80
8
]
=P{Z<3}
∴ P
Z>
[
k-80
8
]
=P{Z>-3}
따라서
=-3이므로
k-80
8
k=56
19 64
24 ①
29 18
20 98
21 ⑤
22 ①
23 ④
26 98
27 ③
28 16
25 ⑤
30 ⑤
31 3
1 E{X
}=18, V{X
}=
=1이므로
2@
4
E{X
}+V{X
}=18+1=19
Ⅲ-2. 통계적 추정 83
19개뿔(유형-확통)해설3(069~088)OK.indd 83
2018-10-17 오전 11:25:26
유형편X
X
X
X
X
X
2 E{X
r{X
}=54=m
}= 1V{X} 3
jn k
= j9 k
jn k
1
2
=
이므로
jn k=6 ∴ n=36
∴ m-n=54-36=18
이므로
3 표본평균의 표준편차가
9
jn k
<3, jn k>3 ∴ n>9
9
jn k
따라서 n의 최솟값은 9이다.
4 확률의 총합은 1이므로
+
1
2
+a=1 ∴ a=
1
4
따라서 확률변수 X에 대하여
1
4
E{X}={-1}\
+1\
+3\
=1
1
4
1
2
1
4
1
4
+3@\
-1@=2
V{X}={-1}@\
1
2
이때 표본의 크기가 16이므로
+1@\
1
4
E{X
}=E{X}=1
V{X
}=
∴ E{X
V{X}
16
@} =V{X
1
8
=
=
=
2
16
1
8
}0@
}+9E{X
9
8
+1@=
5 확률변수 X는 이항분포 B
100,
1
5 ]을 따르므로
[
E{X}=100\
=20
1
5
1
5
4
5
V{X}=100\
\
=16
이때 표본의 크기가 8이므로
E{X
}=20, V{X
}=
=2
16
8
∴ E{X
}V{X
}=40
6 확률변수 X에 대하여
E{X}=0\
+1\
+2\
+3\
+4\
=2
1
3
2
9
1
9
V{X} =0@\
+1@\
+2@\
+3@\
+4@\
-2@
2
9
1
9
1
9
1
9
2
9
2
9
1
3
2
9
표본의 크기가 n일 때, V{X
}=
이므로
=
4
3
4
3
n
2
9
=
∴ n=6
84 정답과 해설_유형편
7 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼낼 때 공에 적힌 숫자
를 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면
다음과 같다.
X
P{X=x}
1
1
4
2
1
4
3
1
4
합계
1
따라서 확률변수 X에 대하여
1
4
E{X}=1\
+2\
+3\
1
4
1
4
+4\
=
1
4
4
1
4
5
2
+3@\
+4@\
1
4
1
4
-
[
5
2 ]@=
5
4
V{X}=1@\
1
4
이때 표본의 크기가 2이므로
+2@\
1
4
E{X
}=
}=
=
5
2 , V{X
5
4
2
8 상자에서 임의로 카드 한 장을 꺼낼 때 카드에 적힌 숫자
를 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면
다음과 같다.
X
P{X=x}
3
2
7
7
2
7
합계
1
5
8
5
3
7
따라서 확률변수 X에 대하여
2
7
E{X}=3\
+5\
+7\
3
7
2
7
=5
V{X}=3@\
+5@\
+7@\
-5@=
2
7
3
7
16
7
표본의 크기가 n일 때, V{X
}=
이므로
2
7
4
7
16
7
n
4
7
=
∴ n=4
9 학생들이 등교하는 데 걸리는 시간을 확률변수 X라 하면
X는 정규분포 N{20, 4@}을 따르고 표본의 크기가 16이
므로 표본평균 X
20,
는 정규분포 N
[
4@
16 ], 즉 N{20, 1@}
을 따른다.
Z=X
-20으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N{0, 1}을 따
르므로 구하는 확률은
P{X
<23} =P{Z<23-20}
=P{Z<3}
=0.5+P{0a, 즉 X
>
이어야 한다.
a
16
경고음이 울릴 확률이 0.07이므로
P
X
>
[
a
16 ]
=0.07에서
P
X
>
[
a
16 ]
=P[Z>
a
16
-30
2
]
=P
Z>
-15
[
a
32
]
a
32
=0.5-P
027.04
<2, jn k>5.2
따라서 n의 최솟값은 28이다.
25 P{-k60.84
<10, jn k>7.8
따라서 n의 최솟값은 61이다.
의 차가 10 이하가 되려면
28 표본평균이 x
, 모표준편차가 r, 표본의 크기가 n일 때,
신뢰도 95 %로 추정한 모평균 m에 대한 신뢰구간은
r
jn k
x
-2\
4
<
2r
jn k
∴ n>16
따라서 n의 최솟값은 16이다.
29 신뢰도 96 %로 모평균을 추정하므로
P{017.64
<3, jn k>4.2
따라서 n의 최솟값은 18이다.
의 차가 3 이하가 되려면
30 정규분포 N{m, r@}을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표
본을 임의추출하여 신뢰도 a %로 추정한 모평균의 신뢰
구간의 길이는
2k
r
jn k
[단, P{|Z|
