&개념과 유형이 하나로
미적분
정답과 해설
19 미적분_개념편-해설I(01-21)-OK.indd 1
2018-10-17 오전 11:08:35
⑷ 수렴, 2 ⑸ 발산
⑹ 수렴, 0
⑹ 오른쪽 그림과 같이 n의
개 념 편
I-1. 수열의 극한
01 수열의 극한
an
O
-2
-5
-8
-11
an
2#
1
an
4
2
O
-1
-3
1
유제 & 문제
p.10
유제 01 ⑴ 발산
⑵ 수렴, 1 ⑶ 발산
일반항을 an이라 하고 n=1, 2, 3, 4, y를 차례로 대입
하여 an의 값의 변화를 그래프로 나타낸다.
⑴ 오른쪽 그림과 같이 n의 값
1 2 3 4
n
이 한없이 커질 때, -3n+1
의 값은 음수이면서 그 절댓
값이 한없이 커지므로 수열
9-3n+10은 음의 무한대로
발산한다.
⑵ 오른쪽 그림과 같이 n의 값이
한없이 커질 때, 1+
1
2 ]N의
값은 1에 한없이 가까워지므
[
1+
로 수열 -
하고, 그 극한값은 1이다.
[
1
2 ]N=은 수렴
⑶ 오른쪽 그림과 같이 n의 값
이 한없이 커질 때,
{-1}N\n의 절댓값은 한
없이 커지고 그 부호는 양과
음이 교대로 나타나므로 수
열 9{-1}N\n0은 발산(진동)
한다.
an={-1}N\n
1
3
2
n
4
⑷ 오른쪽 그림과 같이 n의 값
an
이 한없이 커질 때,
2+
{-1}N
n
의 값은 2에 한
없이 가까워지므로 수열
{-1}N
- 2+
n
그 극한값은 2이다.
=은 수렴하고,
2%
2
1
O
an=2+
{-1}N
n
1
2
3
4
n
2 정답과 해설_개념편
정답과 해설
⑸ 오른쪽 그림과 같이 n의
an=12n@3+12
값이 한없이 커질 때,
12n@+13의 값도 한없이 커
지므로 수열 912n@+130은
양의 무한대로 발산한다.
1
2
3
4
n
an=
1
j3nk+1l+1
1
2
3
4
n
값이 한없이 커질 때,
1
j3n+1l+1
한없이 가까워지므로 수
의 값은 0에
열 -
1
j3n+1l+1
=은 수렴하고, 그 극한값은 0이다.
an
j33k
j19k
3
j3
O
an
3!
O
an=-3n+1
2
p.12
N
an=1+
[2!]
1. ⑴ 6 ⑵ -1 ⑶ -30 ⑷ -1
⑴ lim
E
n`
{-an+3} =-lim
E
n`
an+lim
n`
E
3
!
!
=-{-3}+3=6
⑵ lim
E
n`
{3an+4bn} =3 lim
E
n`
an+4 lim
E
n`
bn
!
!
O
1
2
3
4
n
=3\{-3}+4\2=-1
!
!
!
⑶ lim
E
n`
5anbn =5 lim
E
n`
an\lim
n`
E
bn
!
!
=5\{-3}\2=-30
2an
⑷ lim
3bn
E
n`
!
=
2 lim
n`
E
!
3 lim
n`
E
!
an
bn
=
2\{-3}
3\2
=-1
2. ⑴ 0 ⑵ 2 ⑶ -3 ⑷
1
2
⑴ lim
E
n`
[
!
3
n
+
1
n@ ]
1
n
=3 lim
n`
E
!
=0+0=0
1
+lim
n@
n`
E
!
⑵ lim
E
n`
[
2-
!
3
n@ ]
=lim
n`
E
!
1
2-3 lim
n@
E
n`
!
=2-0=2
⑶ lim
E
n`
[
!
2
n
-3
1+
][
1
n@ ]
=lim
n`
E
!
[
-3
]lim
n`
E
[
!
1+
2
n
1
n@ ]
[
=
1
2 lim
n
n`
E
!
={0-3}{1+0)=-3
-lim
n`
E
!
3
][lim
n`
E
!
1
1+lim
n@ ]
n`
E
!
19 미적분_개념편-해설I(01-21)-OK.indd 2
2018-10-17 오전 11:08:36
3
2
유제 & 문제
p.13~20
다른 풀이
⑷ lim
E
n`
!
1-
2+
1
n
1
n
=
1-
lim
n`
E
!
[
2+
lim
n`
E
!
[
1
n ]
1
n ]
1
1-lim
n
n`
E
1
2+lim
n
n`
E
!
!
lim
n`
E
!
lim
n`
E
!
1-0
2+0
=
=
=
1
2
유제 02 ⑴ E ⑵
⑶ 0 ⑷
3
2
1
2
⑴ 분모, 분자를 분모의 최고차항인 n@으로 각각 나누면
2n+
1
n
3-
=E
3
n
+
1
n@
3n@+n-10
2n@-3n-2
2n#+n
lim
3n@-3n+1
n`
E
!
=lim
n`
E
!
⑵ lim
E
n`
{n+2}{3n-5}
{2n+1}{n-2}
= lim
n`
E
!
!
모, 분자를 분모의 최고차항인 n@으로 각각 나누면
이므로 분
3n@+n-10
lim
2n@-3n-2
n`
E
!
=lim
n`
E
!
3+
-
2-
-
1
n
3
n
10
n@
2
n@
=
3+0-0
2-0-0
=
3
2
⑶ 분모, 분자를 분모의 최고차항인 n으로 각각 나누면
jn k
2n+1
lim
n`
E
!
=lim
n`
E
!
=
0
2+0
=0
q
2+
1
n w
1
n
lim
n`
E
!
jn k
jn+1l+jn-1l
⑷ 분모, 분자를 분모의 최고차항인 jn k으로 각각 나누면
=lim
n`
E
!
q1+
1
j1+0l+j1-0l
1
n e+q1-
1
2
1
n e
=
=
1
`
문제 02-1 ⑴
⑵
1
2
1
3
⑴ 1+2+3+y+n=
n{n+1}
2
이므로
1+2+3+y+n
lim
n@
n`
E
!
=lim
n`
E
!
n{n+1}
2
n@
=lim
n`
E
!
n@+n
2n@
⑵ 1@+2@+3@+y+n@=
n{n+1}{2n+1}
6
이므로
1@+2@+3@+y+n@
lim
n#
n`
E
!
=lim
n`
E
!
n{n+1}{2n+1}
6
n#
=lim
n`
E
!
2n#+3n@+n
6n#
분모, 분자를 분모의 최고차항인 n#으로 각각 나누면
2n#+3n@+n
lim
6n#
n`
E
!
2+
+
1
n@
3
n
6
=
1
3
=lim
n`
E
!
2+0+0
6
=
1@+2@+3@+y+n@
lim
n#
n`
E
!
n{n+1}{2n+1}
=lim
6n#
n`
E
!
1
n ]
[
1
n ][
6
2+
1+
1
=lim
n`
E
!
1\{1+0}\{2+0}
6
=
=
1
3
문제 02-2
1
2
1-
lim
n`
E
!
[
=lim
E
n`
-
!
1
2@ ][
2@-1
2@
1-
1-
1-
1
3@ ][
3@-1
3@
1
4@ ] y -
4@-1
4@
\
\
\y\
=lim
E
n`
!
1\3
2\2
\
2\4
3\3
\
3\5
4\4
\y\
=
1
{n+1}@
{n+1}@-1
{n+1}@
n{n+2}
{n+1}{n+1} =
=
-
1
2
n+2
n+1 ]
n`
!
\
=lim
E
[
n+2
=lim
2n+2
E
n`
!
=lim
E
n`
!
1+
2+
2
n
2
n
=
1+0
2+0
=
1
2
문제 02-3 1
주어진 수열의 일반항을 an이라 하면
2k
n
?k=1
n@
=
an =
2+4+6+y+2n
n@
n{n+1}
2
2\
=
n@
n+1
n
=
Ⅰ-1. 수열의 극한 3
분모, 분자를 분모의 최고차항인 n@으로 각각 나누면
1
n
1+
n@+n
lim
2n@
n`
E
!
=lim
n`
E
!
2
=
1+0
2
=
1
2
/ lim
E
n`
!
n+1
an=lim
n
n`
E
!
1
n
1+
=lim
n`
E
!
1
=
1+0
1
=1
19 미적분_개념편-해설I(01-21)-OK.indd 3
2018-10-17 오전 11:08:37
개념편 문제 02-4 1
문제 03-1 -1
an@+bn+1
n+1
lim
n`
E
!
최고차항인 n으로 각각 나누면
E
E
은
꼴이므로 분모, 분자를 분모의
an@+bn+1
lim
n+1
n`
E
!
=lim
n`
E
!
=1
yy`㉠
an+b+
1
n
1+
1
n
이때 a=0이면 lim
E
n`
[
an+b+
!
1
n ]은 E 또는 -E이고
=1이므로 극한값이 1이 될 수 없다.
lim
n`
E
!
=lim
E
2+4+6+y+2n=2\
n{n+1}
2
9j2+4+6+y+l2nl-12+4+6+y+2{n+31}30
=n{n+1}이므로
n`
!
=lim
E
91n{n+1}3-1{n+1}{n+32}30
{1n@+n3-1n@+3n3+23}
{1n@+n3-1n@+3n3+23}{1n@+n3+1n@+3n3+23}
=lim
1n@+n3+1n@+3n3+23
E
!
!
n`
n`
1
n ]
1+
[
lim
n`
E
!
/ a=0
이를 ㉠에 대입하면
lim
n`
E
!
=
b+0
1+0
=b
b+
1+
1
n
1
n
/ b=1
/ a+b=1
유제 03 ⑴
⑵
3
2
1
2
⑴ 분모를 1로 보고 분자를 유리화하면
{1n@+3n3-1n@+13}
lim
n`
E
!
{1n@+3n3-1n@+13}{1n@+3n3+1n@+13}
=lim
E
1n@+3n3+1n@+13
!
n`
n`
3n-1
=lim
E
1n@+3n3+1n@+13
3-
!
1
n
=lim
E
n`
3
n e+q1+
1
n@ e
!
q1+
3-0
j1+0l+j1+0l
3
2
=
=
⑵ 분모를 유리화하면
lim
n`
E
!
1
1n@+4n3-n
n`
!
1n@+4n3+n
=lim
{1n@+4n3-n}{1n@+4n3+n}
E
1n@+4n3+n
4n
=lim
E
n`
!
4
q1+
n e+1
=lim
4
E
= j1+0l+1
!
n`
4
=
1
2
4 정답과 해설_개념편
n`
-2n-2
=lim
1n@+n3+1n@+3n3+23
E
-2-
!
2
n
=lim
E
n`
!
1
n e+q1+
q1+
-2-0
j1+0l+j1+0l+0l
3
n
+
2
n@ e
=-1
=
문제 03-2
1
2
주어진 수열은
j1\2l-1, j2\3l-2, j3\4l-3, j4\5l-4, y
이므로 일반항을 an이라 하면
/ lim
E
n`
!
!
an =lim
n`
E
an=1n{n+1}3-n=1n@+n3-n
{1n@+n3-n}
{1n@+n3-n}{1n@+n3+n}
=lim
1n@+n3+n
n`
E
!
n
=lim
1n@+n3+n
n`
E
!
1
=lim
1
n`
E
!
n e+1
q1+
1
1
2
j1+0l+1
=
=
문제 03-3 4
lim
n`
E
!
{1n@+an3-1n@+33}
{1n@+an3-1n@+33}{1n@+an3+1n@+33}
=lim
1n@+an3+1n@+33
E
!
n`
n`
an-3
=lim
1n@+an3+1n@+33
E
a-
!
3
n
n`
!
=lim
E
q1+
a-0
11+03+j1+0l
a
n e+q1+
a
2
=
=
3
n@ e
따라서
=2이므로 a=4
a
2
19 미적분_개념편-해설I(01-21)-OK.indd 4
2018-10-17 오전 11:08:38
문제 03-4 -2
유제 05 5
이차방정식 x@-x+n-1n@+n3=0의 두 근이 an, bn이
므로 근과 계수의 관계에 의해
an+bn=1, anbn=n-1n@+n3
1
bn ]
1
an +
[
/ lim
E
n`
!
an+bn
=lim
anbn
n`
E
!
1
=lim
n-1n@+n3
n`
E
!
n+1n@+n3
=lim
{n-1n@+n3}{n+1n@+n3}
n`
E
!
n+1n@+n3
=lim
-n
n`
E
!
1+q1+
-1
1
n e
=lim
n`
E
!
=
1+j1+0l
-1
=-2
유제 04 ⑴ 3 ⑵ 1
3an-2
2an+1
⑴
=bn이라 하면
3an-2=bn{2an+1}
an{3-2bn}=bn+2
/ an=
이때 lim
E
n`
!
bn+2
3-2bn
bn=1이므로
lim
n`
E
!
bn+2
an =lim
3-2bn
n`
E
!
bn+lim
lim
n`
n`
E
E
!
!
bn
3-2 lim
lim
n`
n`
E
E
!
1+2
3-2\1
=3
=
=
2
!
⑵ {2n@+n+1}an=bn이라 하면
bn
2n@+n+1
an=
이때 lim
E
n`
!
bn=2이므로
lim
n`
E
!
n@an =lim
E
n`
!
[
n@\
bn
2n@+n+1 ]
n@
2n@+n+1
\lim
n`
E
!
bn
=lim
n`
E
!
1
2
=
\2=1
다른 풀이
5n@+2n-31이므로
lim
n`
E
!
{j2}N=E (발산)
1
4 ]N=의 공비는 -
-
1
4
⑵ 수열 -[
1
4
이고, -1<-
<1이
므로
-
lim
n`
E
!
[
1
4 ]N=0 (수렴)
{-3}N은 발산 (진동)한다.
lim
n`
E
!
⑶ 수열 9{-3}N0의 공비는 -3이고, -3<-1이므로
6 정답과 해설_개념편
⑵ 주어진 등비수열의 공비는
이므로 이 등비수열이 수
r
2
수렴하려면
-1<-2r<1
1
1
2
2
/ -
-1을 풀면
x@+2x+1>0, {x+1}@>0
따라서 x=-1인 모든 실수 x에 대하여 성립한다.
@ x@+2x<1을 풀면
x@+2x-1<0
/ -1-j21일 때, 0
r=1일 때, -2
|r|<1일 때, -
1
2
(
\
유제 10
-
\
9
! |r|>1일 때
r=-1일 때, 극한값이 없다.
1
|rN|=E이므로 lim
rN
E
n`
!
lim
n`
E
!
=0
n`
1
/ lim
r @N
E
1
=lim
rN
n`
E
!
rN+1
이때 lim
r @N-2
E
!
n`
!
1
\lim
rN
n`
E
!
=0
rN+1
lim
r@N-2
n`
E
!
=lim
n`
E
!
=
0+0
1-2\0
=0
1
rN
+
1-
1
r@N
2
r@N
@ r=1일 때
lim
n`
E
!
rN=lim
n`
E
!
rN+1
lim
r@N-2
n`
E
!
# |r|<1일 때
rN=lim
lim
n`
n`
E
E
!
!
rN+1
lim
r@N-2
n`
E
!
$ r=-1일 때
r @N=1이므로
=
1+1
1-2
=-2
r@N=0이므로
=
0+1
0-2
=-
1
2
!
1+1
1-2
rN+1
lim
r@N-2
n`
E
!
n이 홀수이면 lim
E
=
n`
!
=-2
rN+1
lim
r@N-2
n`
E
!
=
!
-1+1
1-2
=0
rN+1
따라서 lim
r@N-2
E
n`
!
!~$에 의해
|r|>1일 때, 0
r=1일 때, -2
|r|<1일 때, -
1
2
r=-1일 때, 극한값이 없다.
n이 짝수이면 lim
E
n`
rN=1, lim
E
n`
r@N=1이므로
rN=-1, lim
E
n`
!
r@N=1이므로
은 진동하므로 극한값이 없다.
Ⅰ-1. 수열의 극한 7
19 미적분_개념편-해설I(01-21)-OK.indd 7
2018-10-17 오전 11:08:39
개념편 문제 10-1
9
2
! |x|>1일 때
lim
n`
E
!
1
|xN|=E이므로 lim
xN
E
n`
=0
!
1+2xN
1+xN 의 분모, 분자를 xN으로 각각 나누면
이때 lim
E
n`
!
f{x} =lim
E
n`
!
2 1\2+2\3+3\4+y+n{n+1}
n
{k@+k}
+
n{n+1}
2
n
=
=
k{k+1}=
?k=1
?k=1
n{n+1}{2n+1}
6
=
n{n+1}{n+2}
3
=
n#+3n@+2n
3
n#+1
/ lim
1\2+2\3+3\4+y+n{n+1}
E
n`
!
1+2xN
1+xN
1
xN
1
xN
+2
+1
=lim
n`
E
!
=
0+2
0+1
=2
@ x=1일 때
lim
n`
E
!
xN=1이므로
f{x} =lim
E
n`
1+2xN
1+xN
3
2
!
1+2\1
1+1
=
=
# |x|<1일 때
lim
n`
E
!
xN=0이므로
1+2xN
1+xN
=1
f{x} =lim
E
n`
=
!
1+2\0
1+0
!, @, #에 의해
f{-2}+f [
1
2 ]
+f{1}=2+1+
=
3
2
9
2
=lim
n`
E
!
n#+1
n#+3n@+2n
3
3{n#+1}
=lim
n#+3n@+2n
n`
E
!
3
n#
3+
=lim
n`
E
!
1+
3
n
+
2
n@
=3
f{n}=an+b ( a=0, a, b는 상수)라 하면
3
f{n}
lim
2n-1
n`
E
!
=lim
n`
E
!
an+b
2n-1
=lim
n`
E
!
a+
2-
b
n
1
n
=
a
2
따라서
=-3에서 a=-6
a
2
또 f{1}=2에서 a+b=2
-6+b=2 / b=8
따라서 f{n}=-6n+8이므로
f{2}=-4
기본 연습문제
p.25~27
1 수렴, 0 2 3
3 -4
4
165
2
5 5
6
1
2
7 ㄹ
8 ③
9 -
10 1
11 4
12
13 ②
14
3
2
1
2
8
3
cos np
3N
1 수열 -
1
9
-
1
3
,
, -
1
27
,
1
81
, y
=에 n=1, 2, 3, 4, y를 차례로 대입하면
따라서 n의 값이 한없이 커질 때,
3N 의 값은 0에 한
없이 가까워지므로 주어진 수열은 수렴하고, 그 극한값은
cos np
0이다.
8 정답과 해설_개념편
4
lim
n`
E
!
=lim
E
n`
!
{1n@+3n3+1n@+6n3+y+1n@+30n3-10n}
9{1n@+3n3-n}+{1n@+6n3-n}
=lim
E
n`
[
!
3n
1n@+3n3+n
+
+y+{1n@+30n3-n}0
6n
1n@+6n3+n
+y+
30n
1n@+30n3+n ]
=lim
E
n`
!
q1+
3
3
n e+1`
+lim
n`
E
!
q1+
6
6
n e+1`
+y+lim
E
q1+
!
n`
30
30
n e+1`
=
+
+y+
=
{1+2+y+10}
6
2
30
2
3
2
3
2
3
2
=
\
10\11
2
=
165
2
19 미적분_개념편-해설I(01-21)-OK.indd 8
2018-10-17 오전 11:08:40
5
an@+bn@={an+bn}@-2anbn이고, 두 수열 9an+bn0,
ㄴ. 분모, 분자를 2N으로 각각 나누면
9anbn0은 수렴하므로
lim
n`
E
!
{an@+bn@} =lim
E
n`
9{an+bn}@-2anbn0
!
=lim
n`
E
!
=9lim
n`
E
!
{an+bn}@-2 lim
E
n`
anbn
!
{an+bn}0@-2 lim
E
n`
anbn
!
=3@-2\2=5
6 n-10이므로 4N"!+3N_!<{3N+4N}an<4N"!+3N"!
14 r>0이므로 r의 값의 범위를
의 각 변을 3N+4N으로 나누면
4N"!+3N"!
4N"!+3N_!
3N+4N
3N+4N
2일 때, an=Sn-Sn-1이므로
an =Sn-Sn-1
=9{n-1}3N_!0-9{n-2}3N_@0
=93{n-1}3N_@0-9{n-2}3N_@0
=9{3n-3}-{n-2}03N_@
={2n-1}3N_@
Sn
an =lim
/ lim
E
n`
n`
!
!
{n-1}3N_!
{2n-1}3N_@
E
3{n-1}
3
2
2n-1
=
=lim
n`
E
!
13 등비수열 9rN0의 공비는 r이고, 이 수열이 수렴하므로
-11
따라서 등비수열 -[
1
r ]N=은
1
r
=1일 때만 수렴한다.
ㄷ. 등비수열 9{-r}N0의 공비는 -r이므로 ㉠에서
따라서 등비수열 9{-r}N0은 r=-1일 때는 수렴하
ㄹ. 등비수열 -[
-1<-r<1, 0<1-r<2
1-r
2 ]N=의 공비는
1-r
2
이므로 ㉠에서
-1<-r<1
지 않는다.
/ 0<
1-r
2
<1
따라서 등비수열 -[
1-r
2 ]N=은 반드시 수렴한다.
따라서 반드시 수렴하는 것은 ㄱ, ㄹ이다.
10 정답과 해설_개념편
01
인 경우로 나누어 구한다.
! 01일 때
lim
n`
E
!
rN=E이므로
rN"!+r+2
lim
rN+1
n`
E
!
=lim
n`
E
!
1
rN_!
+
2
rN
r+
1+
1
rN
=r=
7
3
!, @, #에 의해 조건을 만족하는 모든 r의 값의 합은
=
+
1
3
7
3
8
3
실전 연습문제
1 -2
2
3
4
p.28
3 ⑤
4 ③
1 anbn=cn이라 하면
cn
an
cn=3, bn=
lim
n`
E
!
이때 lim
E
n`
!
an=E이므로
cn
an
=0
bn=lim
n`
E
!
lim
n`
E
!
/ lim
E
n`
{anbn@-anbn-bn+1}
9anbn{bn-1}-{bn-1}0
{anbn-1}{bn-1}
{anbn-1}\lim
E
n`
{bn-1}
!
={3-1}\{0-1}
!
=lim
n`
E
!
=lim
n`
E
!
=lim
n`
E
!
=-2
19 미적분_개념편-해설I(01-21)-OK.indd 10
2018-10-17 오전 11:08:41
선분이 3개이므로
따라서 주어진 식의 분모, 분자를 aN으로 각각 나누면
an=E이므로
다른 풀이
lim
n`
E
!
n`
anbn=3, lim
E
!
anbn
bn=lim
an
n`
E
!
=0
lim
n`
E
!
/ lim
E
n`
{anbn@-anbn-bn+1}
{anbn-1}{bn-1}
!
=lim
n`
E
!
=lim
n`
E
!
{anbn-1}\lim
E
n`
{bn-1}
!
={3-1}\{0-1}=-2
2 ! n=2일 때
다음 삼각형에서 길이가 1인 선분이 3개, 길이가
인
므로
b2=1+2+3
@ n=3일 때
1
2!
1
2
+1
a2 =3
2
2 ]
꼭짓점의 개수는 위에서부터 차례로 1개, 2개, 3개이
=3
1
2
+
[
]
[
다음 삼각형에서 길이가 1인 선분이 3개, 길이가
인
선분이 3개, 길이가
인 선분이 3개이므로
1
3
1
3@
3!
a3 =3
+
+1
=3
+
+
1
3
[
2
3
3
3 ]
]
1
3
[
2
3
꼭짓점의 개수는 위에서부터 차례로 1개, 2개, 3개, 4개
이므로
b3=1+2+3+4
같은 방법으로 an, bn을 구하면
2
n
+y+
an =3
n
n ]
3
n
1
n
+
+
[
n{n+1}
2
n
=3\
=
3{n+1}
2
=
{n+1}{n+2}
2
bn =1+2+3+y+n+{n+1}
1
2
2
3
anbn
/ lim
n#
E
n`
!
=lim
n`
E
!
3{n+1}
2
\
{n+1}{n+2}
2
n#
3{n#+4n@+5n+2}
4n#
=lim
n`
E
!
3
4
=
3 이차방정식 x@-6x+4=0을 풀면 x=3-j5
이때 a=3+j5, b=3-j5라 하면
<1
0<
b
a
/ lim
E
n`
[
!
b
a ]N=0
aN"!+bN"!
lim
aN+bN
n`
E
!
a+b\
=lim
n`
E
!
1+
[
b
a ]N
[
b
a ]N
=a=3+j5
참고 a=3-j5, b=3+j5라 하면
0<
<1
a
b
/ lim
E
n`
[
!
a
b ]N=0
aN"!+bN"!
lim
aN+bN
n`
E
!
a\
=lim
n`
E
!
b
a ]N+b
[
b
a ]N+1
[
=b=3+j5
따라서 주어진 식의 분모, 분자를 bN으로 각각 나누면
4
=a ( a=0)로 놓고
3Nan
lim
2N+5
n`
E
!
3Nan
2N+5
lim
n`
E
!
=bn이라 하면
bn=a ( a=0) / lim
E
n`
bn'1=a
!
이때 an=
bn이므로
2N+5
3N
an
lim
an'1
n`
E
!
=lim
n`
E
!
bn
bn'1
2N+5
3N
2N"!+5
3N"!
3{2N+5}bn
{2N"!+5}bn'1
5
2N ]
5
2N ]
[
bn'1
1+
2+
bn
3
[
=lim
n`
E
!
=lim
n`
E
!
=
3a
2a
=
{? a=0}
3
2
Ⅰ-1. 수열의 극한 11
19 미적분_개념편-해설I(01-21)-OK.indd 11
2018-10-17 오전 11:08:43
개념편 1
유제 & 문제
유제 01 ⑴ 발산 ⑵ 수렴, 1 ⑶ 발산
주어진 급수의 제n항을 an, 제n항까지의 부분합을 Sn이라
p.33~34
⑴ an =
1
1+2+3+y+n
=
1
n{n+1}
2
I-2. 급수
01 급수
1
1. ⑴
2
3 ⑵ 5
⑴
E
?n=1
an =lim
n`
E
Sn
!
=lim
n`
E
!
2n-1
3n+1
=
2
3
⑵
E
?n=1
an =lim
n`
E
Sn
!
=lim
n`
E
!
-
5-
1
3 ]N =
[
=5
하면
⑴ an=3n-8이므로
Sn =
ak
n
?k=1
n
?k=1
=
{3k-8}
=3\
n{n+1}
2
-8n
=
3n@-13n
2
/ lim
E
n`
Sn=lim
E
n`
3n@-13n
2
=E
!
!
따라서 주어진 급수는 발산한다.
⑵ an=
1
n{n+1}
n
=
-
1
n
1
n+1
이므로
Sn =
ak
?k=1
n
=
[
?k=1
1
k
-
=
1-
[
1
2 ]
+
1
k+1 ]
1
1
3 ]
2
-
[
+
[
1
3
-
1
4 ]
12 정답과 해설_개념편
⑶ an =
1
jn+1l+jn k
=
jn+1l-jn k
{jn+1l+jn k}{jn+1l-jn k}
=jn+1l-jn k
이므로
n
Sn =
ak=
?k=1
n
?k=1
{jk+1l-jk k}
p.31
={j2-j1}+{j3-j2}+{j4-j3}
=jn+1l-1
Sn=lim
E
{jn+1l-1}=E
n`
n`
+y+{jn+1l-jn k}
/ lim
E
!
!
따라서 주어진 급수는 발산한다.
문제 01-1 ⑴ 2 ⑵
3
4
하면
주어진 급수의 제n항을 an, 제n항까지의 부분합을 Sn이라
=
2
n{n+1}
n
=2
[
n
1
n
-
1
n+1 ]
/ Sn =
ak=2
?k=1
[
?k=1
1
k
-
1
k+1 ]
1
3 ]
+
[
1
3
-
1
4 ]
1
n
-
[
+y+
1
n+1 ]=
=2
1-
-[
1
2 ]
+
[
1
2
-
=2
1-
[
1
n+1 ]
/
E
?n=1
an =lim
n`
E
Sn=lim
E
n`
2
[
1-
!
1
n+1 ]
=2
⑵ an=
!
=
1
n@+2n
n
1
n{n+2}
n
1
2
[
?k=1
1
k
-
=
1
2 -[
1-
1
3 ]
+
[
1
2
-
/ Sn =
ak=
?k=1
=
1
2 [
1
n
-
1
n+2 ]
1
k+2 ]
1
1
4 ]
3
+
[
-
+y+
1
n-1
[
-
1
n+1 ]
+
[
1
n+2 ]=
1
5 ]
1
n
-
=1-
1
n+1
+y+
1
n
[
-
1
n+1 ]
/
E
?n=1
an =lim
n`
E
Sn
!
/ lim
E
n`
Sn=lim
E
n`
[
1-
!
!
1
n+1 ]
=1
따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 1이다.
=
1
2 [
1+
-
1
2
1
n+1
-
1
n+2 ]
=
1
2 [
3
2
-
1
n+1
-
1
n+2 ]
1
n+1
-
1
n+2 ]
1
=lim
2 [
n`
E
!
1
2
=
3
2
\
3
2 -
3
4
=
19 미적분_개념편-해설I(01-21)-OK.indd 12
2018-10-17 오전 11:08:43
주어진 급수의 제n항을 an, 제n항까지의 부분합을 Sn이라
문제 01-2 1
하면
an = j2n+1l-j2n-1l
14n@-13
= j2n+1l-j2n-1l
j2n-1lj2n+1l
1
-
j2n+1l
1
j2n-1l
=
/ Sn =
ak=
n
?k=1
n
[
?k=1
=
1-
[
1
j3 ]
+
[
=1-
1
j2n+1l
1
문제 01-3
4
Sn=
ak=n@+n
n
?k=1
! n>2일 때
an =Sn-Sn-1
-
1
j2k-1l
1
1
-
j5 ]
j3
+y+
1
j2k+1l
1
+
j5
[
]
-
1
j7 ]
-
1
j2n-1l
[
1
j2n+1l
]
/
E
?n=1
an=lim
n`
E
Sn=lim
E
n`
[
1-
!
!
1
j2n+1l
=1
]
=n@+n-9{n-1}@+{n-1}0=2n yy`㉠
@ n=1일 때
a1=S1=1@+1=2
yy`㉡
이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 일반항 an은
/
an=2n
E
1
?n=1
an an'1
E
?n=1
=
1
2n\2{n+1}
E
[
?n=1
-
1
n
n
lim
[
?k=1
n`
E
!
lim
n`
E
!
-[
1-
1
n+1 ]
1
1
k+1 ]
k
1
2
1
2 ]
-
+
[
-
1-
lim
n`
E
!
[
1
n+1 ]
=
=
=
=
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
=
\1=
1
4
1
3 ]
+y+
1
n
[
-
1
n+1 ]=
⑴ ! n=2k일 때
S2k ={1-1}+
1
2
[
-
1
2 ]
+
[
1
3
-
1
3 ]
+y+
-
=0
1
k
[
1
k ]
/ lim
E
k`
!
S2k =0
@ n=2k-1일 때
S2k-1 =1+
-1+
[
1
2 ]
+
-
[
1
2
+
1
3 ]
+y+
-
[
1
k-1
+
1
k ]
=
1
k
/ lim
E
k`
!
!, @에 의해 lim
=0
1
S2k-1=lim
k
E
!
S2k=lim
E
E
k`
k`
k`
!
!
급수는 수렴하고, 그 합은 0이다.
S2k-1=0이므로 주어진
⑵ ! n=2k일 때
1
S2k =
2
-
[
+
2
3 ]
+
-
[
2
3
+
3
4 ]
+
-
[
3
4
+
4
5 ]
+y+
-
[
k
k+1
+
k+1
k+2 ]
=-
+
1
2
k+1
k+2
/ lim
E
k`
S2k =lim
E
k`
[
-
!
!
1
2
+
k+1
k+2 ]
1
2
=-
+1=
1
2
@ n=2k-1일 때
S2k-1 =-
+
2
3
[
-
2
3 ]
+
[
3
4
-
3
4 ]
+y+
k
k+1
[
-
k
k+1 ]
/ lim
E
k`
!
S2k-1=-
1
2
!, @에 의해 lim
는 발산한다.
!
k`
E
S2k=lim
E
k`
!
S2k-1이므로 주어진 급수
=-
1
2
1
2
1
6
문제 02-1 수렴,
주어진 급수의 제n항까지의 부분합을 Sn이라 하면
Sn =
-
+
[
1
3
2
5 ]
+
-
[
2
5
+
3
7 ]
+
-
[
3
7
+
4
9 ]
n
2n+1
+y+
-
[
+
n+1
2n+3 ]
=-
+
1
3
n+1
2n+3
유제 02 ⑴ 수렴, 0 ⑵ 발산
주어진 급수의 제n항까지의 부분합을 Sn이라 하면 자연
수 k에 대하여
/ lim
E
n`
Sn =lim
E
n`
[
-
!
!
1
3
+
n+1
2n+3 ]
=-
+
=
1
2
1
6
1
3
1
따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은
6
이다.
Ⅰ-2. 급수 13
19 미적분_개념편-해설I(01-21)-OK.indd 13
2018-10-17 오전 11:08:44
개념편 2
1. ⑴ 5 ⑵ 4
E
?n=1
⑴
{3an+bn} =3
an+
bn
⑵
{an-2bn} =
an-2
bn
E
?n=1
=3\2+{-1}=5
E
?n=1
E
?n=1
E
?n=1
E
?n=1
=2-2\{-1}=4
2
유제 & 문제
p.36~39
유제 03 ⑴ 발산 ⑵ 발산
n
n+1
⑴ an=
이라 하면
n
an =lim
n+1
n`
E
!
lim
n`
E
!
=1=0
따라서 주어진 급수는 발산한다.
⑵ an=1n@+2n3-n이라 하면
an =lim
n`
E
lim
n`
E
!
!
{1n@+2n3-n}
{1n@+2n3-n}{1n@+2n3+n}
=lim
n`
E
1n@+2n3+n
!
2n
=lim
n`
E
1n@+2n3+n
!
2
2
n e+1
=lim
n`
E
!
q1+
=1=0
따라서 주어진 급수는 발산한다.
문제 03-1 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
⑴ 주어진 급수는 첫째항이 1, 공차가 3인 등차수열의 합
이므로 일반항 an은
an =1+{n-1}\3=3n-2
/ lim
E
n`
an=lim
n`
E
{3n-2}=E=0
!
!
따라서 주어진 급수는 발산한다.
⑵ 주어진 급수의 제n항인 an은
an=
n
2n-1
/ lim
E
n`
n
an=lim
2n-1
n`
E
=
=0
1
2
!
!
따라서 주어진 급수는 발산한다.
유제 04 2
=bn이라 하면
an-
1
1n@+3n3-1n@+2n3
an=bn+
1
1n@+3n3-1n@+2n3
14 정답과 해설_개념편
p.35
E
?n=1
급수
이때
bn이 수렴하므로 lim
E
n`
bn=0
!
1
lim
1n@+3n3-1n@+2n3
n`
E
!
=lim
n`
E
!
1n@+3n3+1n@+2n3
`
n
q1+
=lim
n`
E
!
3
n e+q1+
1
2
n e
=2
이므로
lim
n`
E
!
an =lim
n`
E
[
!
bn+
1
1n@+3n3-1n@+2n3
]
=lim
n`
E
!
1
bn+lim
1n@+3n3-1n@+2n3
n`
E
!
=0+2=2
문제 04-1 1
an+3
an
급수
E
?n=1
-4=bn이라 하면 an=
3
bn+3
bn이 5로 수렴하므로 lim
E
n`
bn=0
!
/ lim
E
n`
!
3
an=lim
bn+3
n`
E
!
=
3
0+3
=1
문제 04-2 -
30
23
-3=bn이라 하면 an=n{bn+3}
an
n
E
?n=1
급수
bn이 2020으로 수렴하므로 lim
E
n`
bn=0
!
3n#+an#
/ lim
4n#-an#
E
n`
!
3n#+n#{bn+3}#
=lim
4n#-n#{bn+3}#
n`
E
!
3+{bn+3}#
=lim
4-{bn+3}#
n`
E
!
=
=
3+{0+3}#
4-{0+3}#
3+27
4-27
=-
30
23
an=a,
bn=b ( a, b는 실수)라 하면
{an-3bn}=11에서
E
?n=1
유제 05 3
E
?n=1
E
?n=1
E
?n=1
E
?n=1
E
?n=1
an-3
an+
2
E
?n=1
E
?n=1
{2an+bn}=8에서
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, b=-2
/
{an+bn} =
an+
bn
E
?n=1
E
?n=1
E
?n=1
=a+b=5+{-2}=3
bn=11 / a-3b=11
yy`㉠
bn=8 / 2a+b=8
yy`㉡
19 미적분_개념편-해설I(01-21)-OK.indd 14
2018-10-17 오전 11:08:44
문제 05-1 8
3an-2bn=cn이라 하면
cn=20
E
?n=1
또 3an-2bn=cn을 an에 대하여 풀면
an=
bn+
2
3
E
?n=1
cn
1
3
E
[
?n=1
2
3
/
an =
bn+
cn
]
1
3
=
E
?n=1
bn+
1
3
E
?n=1
cn
=
\2+
\20
1
3
2
3
2
3
=8
{an-1}이 수렴하므로
ㄱ.
유제 06 ㄱ, ㄴ
E
?n=1
lim
n`
E
!
/ lim
E
n`
!
{an-1}=0
an=1=0
ㄴ.
an은 발산한다.
따라서
E
?n=1
E
?n=1
an=0, lim
E
{an+bn}=lim
E
bn=0
!
n`
n`
an,
E
?n=1
lim
n`
E
!
/ lim
E
n`
bn이 수렴하므로
!
an+lim
n`
E
!
!
bn=0
ㄷ. [반례] an=
, bn=n@이라 하면
1
n{n+1}
E
?n=1
an은 1로 수렴하고 lim
E
n`
bn=E이지만
!
n@
anbn=lim
n{n+1}
E
n`
!
lim
n`
E
!
=1=0
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
3
유제 & 문제
p.42~49
유제 07 ⑴ 발산 ⑵ 수렴, -
⑶ 발산
1
4
⑷ 수렴, j2
2
⑸ 수렴, 4+2j2
⑴ 주어진 등비급수의 공비는 -2이고, |-2|>1이므로
이 등비급수는 발산한다.
⑵ 주어진 등비급수의 공비는 -
1
3
이고, |
-
1
3 |
<1이므
로 이 등비급수는 수렴한다.
따라서 첫째항이 -
, 공비가 -
인 등비급수의 합은
1
3
1
3
-
1
3
1-
-
[
1
3 ]
=-
1
4
⑶ 주어진 등비급수의 공비는 -
3
2
이고, |
-
3
2 |
>1이므
로 이 등비급수는 발산한다.
⑷ 주어진 등비급수의 공비는 j2-1이고, |j2-1|<1이
므로 이 등비급수는 수렴한다.
따라서 첫째항이 j2-1, 공비가 j2-1인 등비급수의
합은
j2-1
1-{j2-1}
= j2-1
2-j2
=
{j2-1}{2+j2}
{2-j2}{2+j2}
= j2
2
⑸ 주어진 등비급수의 공비는
j2
2{j2+1}
=
1
j2{j2+1}
이
<1이므로 이 등비급수는 수렴한다.
고, |
1
j2{j2+1} |
따라서 첫째항이 2{j2+1}, 공비가
비급수의 합은
2{j2+1}
1-
1
j2{j2+1}
=
2{j2+1}
1
j2
=4+2j2
1
j2{j2+1}
인 등
=2j2{j2+1}
3
p.41
1. ⑴ -
0}, 공비를 r {r>0}라
1
문제 10-2
3
하면
9an0: a, ar, ar@, y
9a2n0: ar, ar#, ar%, y ➡ 첫째항 ar, 공비 r@
9a3n-10: ar, ar$, ar&, y ➡ 첫째항 ar, 공비 r#
a2n=13에서
a3n-1=12에서
E
?n=1
ar
1-r@
E
?n=1
ar
1-r#
㉠, ㉡에서
13{1-r@}=12{1-r#}
13{1-r}{1+r}=12{1-r}{1+r+r@}
13{1+r}=12{1+r+r@} {? -10}
1
3
유제 11 ⑴
⑵
104
333
23
90
⑴ 0.3^12^ =0.312312312y
=0.312+0.000312+0.000000312+y
=
312
1000
+
312
1000000
+
312
1000000000
+y
312
1000
1
1000
⑵ 0.25^ =0.2555y
1-
=
=
312
999
=
104
333
=0.2+0.05+0.005+0.0005+y
5
1000
5
10000
5
100
+y
2
10
=
+
+
+
=
2
10
+
=
+
=
5
90
23
90
2
10
5
100
1
10
1-
8
문제 11-1
9
첫째항을 a {a>0}, 공비를 r {r>0}라 하면
제2항이 0.2^이므로 ar=
제4항이 0.05^이므로 ar#=
2
9
5
90
yy ㉠
yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
5
90
, r@=
r@=
2
9
1
4
/ r=
{? r>0}
1
2
이를 ㉠에 대입하면
2
9
/ a=
a=
1
2
4
9
4
9
1-
1
2
=
8
9
따라서 구하는 등비급수의 합은
Ⅰ-2. 급수 17
19 미적분_개념편-해설I(01-21)-OK.indd 17
2018-10-17 오전 11:08:46
개념편 유제 12 2
A1A2
를 3`:`1로 외분하는 점이 A3이므로
/ b =lim
E
n`
yn=
1
2
+
[
1
2 ]@+
[
1
2 ]#+y
따라서 수열 9AnAn'1
0은 첫째항이 1, 공비가
인 등비
1
2
유제 14 10
오른쪽 그림에서 정사
A2A3
=
A1A2
=
같은 방법으로 하면
A3A4
=
A2A3
=
A4A5
=
A3A4
=
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 ]@
1
2 ]#
[
[
⋮
수열이므로
E
?n=1
AnAn'1
=
=2
1
1-
1
2
문제 12-1 27 m
4
5
24
5
1-
4
5
=3+
=27 {m}
유제 13 j3
3
공이 정지할 때까지 움직인 거리는
3+2\3\
+2\3\
4
5 ]@+2\3\
[
4
5 ]#+y
[
점 Pn의 x좌표를 xn이라 하면
x1=OP1
cos 30!= j3
2
cos 30!= j3
2
cos 30!= j3
2
x2=x1-P1P2
x3=x2+P2P3
-
-
1
2
1
2
\ j3
2
\ j3
2
+
[
1
2 ]@\ j3
2
⋮
/ a =lim
E
n`
xn
!
= j3
2
-
1
2
j3
2
=
1-
-
1
2 ]
= j3
3
[
점 Pn의 y좌표를 yn이라 하면
y1=OP1
sin 30!=
1
2
y2=y1+P1P2
sin 30!=
y3=y2+P2P3
sin 30!=
⋮
1
2
1
2
+
[
+
[
1
2 ]@
1
2 ]@+
1
2 ]#
[
18 정답과 해설_개념편
B2
A3
a3
B3
A2
a2
B1
45!
A1
a1
2
!
1
2
1-
=
=1
1
2
\1= j3
3
/ ab= j3
3
각형 An의 한 변의 길
이를 an이라 하면 직각
이등변삼각형 Bn의 빗
변이 아닌 한 변의 길이
는 an'1이므로
a2 =a1 cos 45!=2\ j2
2
j2
2 ]@
j2
2 ]#
a4=a3 cos 45!=2\
a3=a2 cos 45!=2\
[
[
⋮
an=2\
j2
2 ]N_!
[
이때 정사각형 An의 넓이를 Sn이라 하면
Sn=
2\
j2
2 ]N_!=@=4\
[
1
2 ]N_!
[
/
Sn=
=8
-
E
?n=1
1
2
E
?n=1
4
1-
1
2
1
1-
1
2
한편 직각이등변삼각형 Bn의 넓이를 Tn이라 하면
Tn =
\an'1@=
1
2
\
2\
-
[
j2
2 ]N =@=
[
1
2 ]N_!
/
Tn =
=2
따라서 구하는 사각형과 삼각형의 넓이의 총합은
기본 연습문제
p.50~51
1 ④
6
1
2
2 1
3 발산
7 48
8 2
5
4
1
2
37
99
9 300 kg 10 j3
3
\ j3
2
1
2 ]@\ j3
2
+
[
-y
Sn+
Tn=8+2=10
E
?n=1
E
?n=1
19 미적분_개념편-해설I(01-21)-OK.indd 18
2018-10-17 오전 11:08:46
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
=3=0이므로
은 발산한다.
E
?n=1
3n#
n#+2
n`
3n#
1 ㄱ. lim
n#+2
E
!
E
n
[
?n=1
n+1
n
ㄴ.
=lim
E
n`
?k=1
!
[
1
2
-
n+2
n+3 ]
k
k+1
-
k+2
k+3 ]
=lim
E
n`
- [
!
-
3
4 ]
+
[
2
3
-
4
5 ]
+
[
3
4
+y+
n-1
n
[
-
n+1
n+2 ]
+
[
-
n+2
n+3 ] =
-
5
6 ]
n
n+1
=lim
E
n`
+
-
2
3
n+1
n+2
-
n+2
n+3 ]
1
2
[
2
3
!
1
2
=
+
-1-1
=-
5
6
ㄷ.
log
E
?n=2
n@
n@-1
=
log
E
?n=2
n\n
{n-1}{n+1}
n
=lim
?k=2
E
n`
log
k\k
{k-1}{k+1}
=lim
E
n`
-
log
2\2
1\3
+log
+log
3\3
2\4
4\4
3\5
!
!
=lim
E
n`
log -
!
2\2
1\3
\
3\3
2\4
\
4\4
3\5
+y+log
n\n
{n-1}{n+1}
=
\y\
n\n
{n-1}{n+1}
=
2n
n+1
=lim
E
n`
log
!
=log 2
따라서 수렴하는 급수인 것은 ㄴ, ㄷ이다.
2
첫째항이 2, 공차가 2인 등차수열 9an0의 첫째항부터 제n
항까지의 합 Sn은
Sn=
n92\2+{n-1}\20
2
=n{n+1}
/
/
=
1
n{n+1}
n
1
Sn
E
1
Sn =lim
?n=1
E
n`
!
=
-
1
n
1
n+1
1
Sk
1
k
[
?k=1
n
?k=1
=lim
n`
E
!
=lim
n`
E
!
-[
1-
1
k+1 ]
1
2
+
[
-
-
1
2 ]
=1
1
=lim
n`
E
!
[
1-
n+1 ]
1
3 ]
+
[
1
3
-
1
4 ]
1
+y+
1
n
[
-
n+1 ]=
3 자연수 k에 대하여
! n=2k일 때
1
S2k =
-
2 ]
1
2
[
+
[
2
3
-
2
3 ]
+
[
3
4
-
3
4 ]
+y+
k
k+1
[
-
k
k+1 ]
=0
/ lim
E
k`
!
S2k=0
@ n=2k-1일 때
S2k-1 =
-
+
=
k
k+1
1
2
1
2
+
2
3 ]
+
-
[
2
3
+
3
4 ]
[
+y+
-
[
k-1
k
+
k
k+1 ]
k
S2k-1=lim
k+1
E
!
S2k=lim
E
E
k`
k`
!
=1
/ lim
E
k`
!
!, @에 의해 lim
발산한다.
!
k`
S2k-1이므로 주어진 급수는
-a=bn이라 하면 급수
bn이 82로 수렴하므로
E
?n=1
4
an
n
bn=0
lim
n`
E
!
또 an=n{bn+a}이므로
3n
2an-5
lim
n`
E
!
=lim
n`
E
!
3n
2n{bn+a}-5
3
2{bn+a}-
5
n
=lim
n`
E
!
=
3
2{0+a}-0
1
2
3
2a
=
3
2a
따라서
=3이므로 a=
5 4N의 일의 자리의 숫자는 차례로 4, 6, 4, 6, y
9N의 일의 자리의 숫자는 차례로 9, 1, 9, 1, y
이때 4N의 일의 자리의 숫자는 4, 6이 반복되고 9N의 일의
자리의 숫자는 9, 1이 반복되므로 4N+9N의 일의 자리의
숫자는 3, 7이 반복된다.
즉, 9an0: 3, 7, 3, 7, y이므로
a4
a1
10
10$
an
10N =
E
?n=1
a3
10#
a2
10@
+
+
+
+y
=
3
10
+
7
10@
+
3
10#
+
7
10$
+y
=
[
3
10
+
3
10#
+
3
10%
+y
=
3
10
1-
1
100
+
7
100
1
100
1-
=
37
99
]
7
10@
+
[
+
7
10$
+
7
10^
+y
]
Ⅰ-2. 급수 19
19 미적분_개념편-해설I(01-21)-OK.indd 19
2018-10-17 오전 11:08:48
개념편 6
주어진 등비급수는 첫째항이 x, 공비가 x{1-2x}이고,
따라서 첫째항이
, 공비가
인 등비급수의 합이
a
9
1
11
x=
1
2
a
1-r
그 합이
이므로
1
2
=
1
2
x
1-x{1-2x}
1-x+2x@=2x, 2x@-3x+1=0
1
2
{2x-1}{x-1}=0 / x=
한편 주어진 등비급수가 수렴하려면 x=0 또는
또는 x=1 yy ㉠
-10, 2
1
4 ]@+
7
8
>0
[
따라서 모든 실수 x에 대하여 성립한다.
따라서 주어진 등비급수가 수렴하기 위한 x의 값의 범위는
yy ㉡
2}
an=Sn-Sn-1 {n>2}이므로
Sn-an=Sn-1
/ Sn-1=
{n>2}
6n+5
2n+1
㉠에 n 대신 n+1을 대입하면
6{n+1}+5
2{n+1}+1
Sn =
=
6n+11
2n+3
/
E
?n=1
an =lim
n`
E
Sn
!
6n+11
=lim
2n+3
n`
E
!
=3
2 급수
an이 1로 수렴하므로
E
?n=1
an=0
lim
n`
E
!
/ lim
E
nan=0이므로
!
또 lim
E
an'1=0
n`
n`
!
{n+1}an'1=0
lim
n`
E
!
실전 연습문제
p.52
3 ㄱ. 등비수열 9an0의 공비를 r라 하면 등비수열 9an#0의
1 3
2 -1
3 ㄱ, ㄴ
4 7
공비는 r#이다.
이때 등비급수
an#이 수렴하므로
-11이므로
<1이므로 등비급수
E
1
aN ,
?n=1
/
n{an'1-an}
n
?k=1
E
?n=1
=lim
n`
E
!
Sn
=lim
n`
E
!
-
-
n
?k=1
n
=-lim
?k=1
n`
E
!
=-1+0-0
=-1
ak+{n+1}an'1-an'1
ak+lim
n`
E
{n+1}an'1-lim
E
n`
an'1
!
=
!
=
E
1
aN +
?n=1
E
1
bN =
?n=1
1
a
1
b
1-
1
a
+
1
b
1-
=
1
a-1
+
1
b-1
=
{a+b}-2
ab-{a+b}+1
-
-2
3
2
=
-3-
-
[
3
2 ]
+1
=7
Ⅰ-2. 급수 21
19 미적분_개념편-해설I(01-21)-OK.indd 21
2018-10-17 오전 11:08:50
개념편 II-1. 여러 가지 함수의 미분
01 지수함수와 로그함수의 극한
문제 01-1
5
9
주어진 식의 좌변의 분모, 분자를 9X으로 각각 나누면
a\32x+1+2x-1
9x-1-2X
lim
x`
E
!
3a+
=lim
x`
E
!
1
2
\
2
9 ]X
[
2
9 ]X
1
9
-
[
3a
1
9
=
=27a
따라서 27a=15이므로 a=
5
9
1
p.55
1. ⑴ E ⑵ 0 ⑶ 0 ⑷ E ⑸ 9 ⑹ 4
2. ⑴ E ⑵ -E ⑶ -E ⑷ E ⑸ -1 ⑹ -2
1
유제 & 문제
p.56~57
유제 01 ⑴ 0 ⑵ 5 ⑶ E ⑷ 4 ⑸ -2 ⑹ -1
⑴ 분모, 분자를 4X으로 각각 나누면
3X
lim
4X-1
x`
E
!
=lim
x`
E
!
1-
=
0
1-0
=0
[
3
4 ]X
1
4 ]X
[
⑵ 분모, 분자를 5X으로 각각 나누면
3X+5X"!
lim
5X-3X"!
x`
E
!
=lim
x`
E
!
[
3
5 ]X+5
3
5 ]X
[
1-3\
0+5
1-3\0
⑶ 주어진 식을 5X으로 묶으면
=
=5
lim
x`
E
!
{5X-4x+1} =lim
E
!
-
⑷ 주어진 식을 4X으로 묶으면
5X
x`
1-4\
4
5 ]X =
[
=E
lim
x`
E
!
{22x+1-3X}x! =lim
E
x`
{
4X
- 2-
[
!
3
4 ]X =}
x!
3
4 ]X =
x!
=lim
x`
E
!
4
- 2-
[
=4\1=4
⑸ -x=t로 놓으면 x=-t이고, x`
-E일 때
!`
t`
!`
E이므로
4_T+2
4X+2
lim
3X-1 =lim
3_T-1
-E
x`
!
t`
!
E
[
=lim
t`
E
!
[
1
4 ]T+2
1
3 ]T-1
=
0+2
0-1
=-2
⑹ -x=t로 놓으면 x=-t이고, x`
-E일 때
!`
t`
!`
E이므로
2_T+2T
2X+2_X
lim
2X-2_X =lim
2_T-2T
-E
x`
!
1
4 ]T+1
1
4 ]T-1
[
=lim
t`
E
!
[
t`
!
E
=lim
t`
E
!
2_@T+1
2_@T-1
=
0+1
0-1
=-1
22 정답과 해설_개념편
유제 02 ⑴ 2 ⑵ 1 ⑶ 1 ⑷ -1
1
x-1 =
⑴ lim
x`
E
!
- log 3 {9x+2}+log 3
9x+2
x-1
9x+2
=log 3`lim
x-1
E
=lim
x`
E
!
log 3
x`
!
=log 3 9=2
⑵ lim
x`
E
!
9log {10x@+1}-log x@0
10x@+1
x@
10x@+1
x@
=lim
x`
E
!
log
=log lim
E
x`
!
=log 10=1
⑶ lim
1+
x`
!
9log 2 {x@-1}-log 2 {x-1}0
x@-1
x-1
{x+1}{x-1}
x-1
= lim
1+
x`
!
log 2
log 2
= lim
1+
x`
!
= lim
1+
x`
!
=log 2 lim
1+
x`
!
=log 2 2=1
log 2 {x+1}
{x+1}
⑷ lim
2
x`
!
{log 3 |x@-4|-log 3 |x#-8|}
{x+2}{x-2}
{x-2}{x@+2x+4} |
=lim
2
x`
!
log 3 |
x@-4
x#-8 |
=lim
2
x`
!
log 3 |
=lim
2
x`
!
log3 |
x`
=log3 lim
|
2
!
1
3
=log3
=-1
x+2
x@+2x+4 |
x+2
x@+2x+4 |
문제 02 -1 100
lim
x`
E
!
9log {ax+1}-log {x-1}0 =lim
E
x`
!
log
ax+1
x-1
ax+1
=log lim
x-1
E
x`
!
=log a
따라서 log a=2이므로 a=100
19 미적분_개념편-해설II-1(022~037)OK.indd 22
2018-10-17 오전 11:18:09
p.59
⑹ x-1=t로 놓으면 x=1+t이고, x`
1일 때
!`
유제 03 ⑴ 1e ⑵
⑶ e$ ⑷ e@ ⑸
⑹
⑶ x+1=t로 놓으면 x=-1+t이고, x`
-1일 때
!`
2
1. ⑴ e@ ⑵ e$
⑴
=
\2로 바꾸면
1
x
1
2x
lim
0
x`
!
{1+2x}x!=lim
0
!
x`
9{1+2x}
1
2x 0@=e@
⑵ lim
x`
E
[
!
1+
1
x ]$X=lim
x`
E
!
1+
-[
1
x ]X =$=e$
2. ⑴
1
2 ⑵ 3 ⑶
ln {1+x}
⑴ lim
2x
0
x`
!
1
ln 3 ⑷ ln 5
ln {1+x}
=lim
x
0
x`
!
\
1
2
=1\
=
1
2
1
2
e#X-1
⑵ lim
0
x`
!
e#X-1
x =lim
3x
x`
0
\3
!
=1\3=3
2
유제 & 문제
p.60~64
1
eje
1
e
⑴ lim
0
x`
!
{1+2x}
1
4x =lim
x`
!
0
9{1+2x}
1
2x 02!
⑵ lim
[
0
x`
!
1+
-
x
3 ]
1+
x
3 ]
x# =_@
1
e@
=e2!=1e
x^ =lim
- [
0
x`
!
1
e@
=e_@=
⑶ lim
x`
E
[
!
3x
3x+2 ]_^X =lim
x`
E
[
!
3x+2
3x ]^X
2
3x ]^X
=lim
x`
E
!
[
1+
1+
-[
2
3x ]
3x
2 =$
=lim
x`
E
!
=e$
⑷ lim
x`
E
[
!
x
x-2 ]X =lim
x`
E
[
!
x-2
x ]_X
=lim
x`
E
!
[
1-
=lim
x`
E
!
-[
1-
2
x ]_X
2
x ]
-
2X
=@=e@
⑸ -x=t로 놓으면 x=-t이고, x`
-E일 때
!`
t`
!`
lim
-E
x`
!
E이므로
1
2x ]#X =lim
[
1-
[
E
t`
!
1+
1
2t ]_#T
1
2t ]@T =
-
2#
=lim
t`
E
!
-[
1+
=e-
2#=
1
eje
0이므로
1
t`
!`
lim
`x
1
x`
!
1-x =lim
{1+t}-
t!
9{1+t}t!0_!
t`
0
!
=lim
0
t`
!
=e_!=
1
e
유제 04 ⑴
⑵ 1 ⑶ 1 ⑷ 1
1
2
ln {1+x}
⑴ lim
ln {1+2x}
0
x`
!
=lim
-
0
x`
!
ln {1+x}
x
\
2x
ln {1+2x}
\
1
2 =
=1\1\
1
2 =
1
2
e#X-e@X
⑵ lim
x
0
x`
!
=lim
0
x`
!
e#X-1-e@X+1
x
e#X-1
=lim
x
0
x`
!
e#X-1
=lim
3x
0
x`
!
-lim
0
x`
!
\3-lim
0
!
e@X-1
x
e@X-1
2x
x`
\2
=1\3-1\2=1
t`
!`
0이므로
ln {x+2}
lim
x+1
-1
x`
!
ln {1+t}
t
=1
=lim
0
t`
!
이므로
{t+1}@-eT
x@-eX_!
lim
x-1 =lim
t
1
x`
!
t`
!
0
⑷ x-1=t로 놓으면 x=t+1이고, x`
1일 때 t`
!`
0
!`
t@+2t+1-eT
=lim
t
0
t`
!
t@+2t-{eT-1}
=lim
t
0
t`
!
t@+2t
=lim
t
0
t`
!
-lim
0
t`
!
eT-1
t
=lim
0
t`
!
eT-1
{t+2}-lim
t
0
t`
!
=2-1=1
문제 04-1
1
2
x9ln {2x+1}-ln 2x0
lim
x`
E
!
=lim
x`
E
!
ln [
2x+1
2x ]X
=lim
x`
E
!
ln [
1+
1
2x ]X
1
2x ]@X =
2!
=ln lim
x`
E- [
1+
!
=ln e2!=
1
2
Ⅱ-1. 여러 가지 함수의 미분 23
19 미적분_개념편-해설II-1(022~037)OK.indd 23
2018-10-17 오전 11:18:10
개념편 유제 05 ⑴ ln 6 ⑵
ln 5
ln 3
2X-3_X
⑴ lim
x
0
x`
!
2X-1-3_X+1
=lim
x
0
x`
!
2X-1
=lim
x
0
x`
!
3_X-1
-lim
x
0
x`
!
=ln 2+ln 3=ln 6
1
=ln 2-ln
3
{5X-1} log 3 {1+2x}
⑵ lim
2x@
0
x`
!
=lim
0
x`
!
-
5X-1
x
\
log 3 {1+2x}
2x
=
=ln 5\
1
ln 3
=
ln 5
ln 3
문제 05-1 ⑴
⑵ ln a+2
1
ln 2
⑴ x-3=t로 놓으면 x=3+t이고, x`
3일 때 t`
!`
0
!`
이므로
log 2 {x-2}
lim
x-3
3
x`
!
=lim
0
t`
!
log 2 {1+t}
t
=
⑵ x+1=t로 놓으면 x=t-1이고, x`
1
ln 2
-1일 때
!`
t`
!`
lim
-1
x`
!
0이므로
aT-{t-1}@
aX"!-x@
x+1 =lim
t
0
t`
!
aT-{t@-2t+1}
=lim
t
0
t`
!
aT-1
=lim
t
0
t`
!
t@-2t
-lim
t
0
t`
!
aT-1
=lim
t
0
t`
!
=ln a+2
-lim
0
t`
!
{t-2}
유제 06 1
lim
x`
0
!
lim
0
x`
!
{x@+bx}=0이고 극한값이 존재하므로
ln {a+5x}=0 / a=1
이를 주어진 식의 좌변에 대입하면
ln {1+5x}
lim
x@+bx
0
x`
!
=lim
0
x`
!
ln {1+5x}
5x
\
5
x+b =
-
5
b
=1\
=
5
b
=5이므로 b=1
따라서
5
b
/ ab=1\1=1
문제 06-1 4
따라서
=4이므로 a=4b
a
b
/
a
b+c
=
4b
b+0
=4
{x@-1}=0이고 극한값이 존재하므로
문제 06-2 2
lim
x`
-1
!
lim
-1
x`
!
이를 주어진 식의 좌변에 대입하면
9a ln {x+2}+b0=0 / b=0
a ln {x+2}
x@-1
lim
-1
x`
!
이때 x+1=t로 놓으면 x=t-1이고, x`
=-1
-1일 때
!`
t`
!`
lim
-1
x`
!
0이므로
a ln {x+2}
x@-1
a ln {1+t}
=lim
{t-1}@-1
0
t`
!
a ln {1+t}
=lim
t{t-2}
0
t`
!
ln {1+t}
t
=lim
0
t`
!
-
=1\
-
[
a
2 ]
=-
a
2
\
a
t-2 =
따라서 -
a
2
/ a+b=2+0=2
=-1이므로 a=2
유제 07 50
A{1, 0}, P{x, ln x}이고 점 Q의 좌표가 {x, 0}이므로
AQ
=|x-1|, PQ
1
2
\AQ
/ S{x} =
=|ln x|
\PQ
따라서 x`
!`
100S{x}
{x-1}@
lim
1+
x`
!
=
\|x-1|\|ln x|
1
2
1+일 때 x-1>0, ln x>0이므로
50{x-1} ln x
= lim
{x-1}@
1+
x`
!
ln x
=50 lim
x-1
1+
x
!
이때 x-1=t로 놓으면 x=1+t이고, x`
1+일 때
!`
t`
0+이므로
!`
ln x
x-1 =50 lim
50 lim
1+
x`
!
t`
!
0+
ln {1+t}
t
=50\1=50
ln {ax+1}=0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로
{ebx+c-1}=0, eC-1=0 / c=0
lim
x`
0
!
lim
0
x`
!
이를 주어진 식의 좌변에 대입하면
ln {ax+1}
eBX-1
lim
0
x`
!
=lim
0
x`
!
-
ln {1+ax}
ax
\
bx
eBX-1
\
a
b =
=1\1\
=
a
b
a
b
문제 07-1 je
직선 OP의 기울기가 f{t}이므로
f{t}=
log a {t+1}
t
log a {t+1}
따라서 lim
t
0
t`
!
=2, ln a=
1
ln a
/ a=e2!=jek
1
2
=2이므로
24 정답과 해설_개념편
19 미적분_개념편-해설II-1(022~037)OK.indd 24
2018-10-17 오전 11:18:11
Z
Z
Z
Z
3
유제 & 문제
p.66~69
⑴ y' ={3x+2}' ln x+{3x+2}{ln x}'
유제 08 ⑴ y'=5eX
⑵ y'={x#+3x@+4}eX-9x@
⑶ y'=2\32x+1`ln 3
⑷ y'=6X ln 6+ex+2
⑴ y' ={eX\eln 5}'={5eX}'
=5{eX}'=5eX
⑵ y' ={eX-3}'{x#+4}+{eX-3}{x#+4}'
=eX{x#+4}+{eX-3}3x@
={x#+3x@+4}eX-9x@
⑶ y' ={3\9X}'=3{9X}'
=3\9X ln 9
=3\3@X ln 3@
=2\3@X"! ln 3
⑷ y' ={6X+eX\e@}'
={6X}'+e@{eX}'
=6X ln 6+e@eX
=6X ln 6+eX"@
문제 08-1 2e+
ln 3
3
f{x}=2eX"@+3X=2e@\eX+3X이므로
f '{x} =2e@{eX}'+{3X}'
=2e@\eX+3X ln 3
=2eX"@+3X ln 3
ln 3
3
/ f '{-1}=2e+
문제 08-2 a=-1, b=1
f{x}={x+a}eX"B=eB{x+a}eX이므로
f '{x} =eB9{x+a}'eX+{x+a}{eX}'0
=eB9eX+{x+a}eX0
=eB"X{x+a+1}
f '{0}=0에서
eB{a+1}=0 / a=-1`{? eB>0}
f '{-1}=-1에서
eB_!\a=-1, -eB_!=-1
eB_!=1, b-1=0 / b=1
유제 09 ⑴ y'=3 ln x+
+3
2
x
1
ln 2
1
x`ln 2
⑵ y'=eX
ln 2x+
[
1
x ]
⑶ y'=log2 x+
+1
⑷ y'=ex+1+
=3 ln x+{3x+2}\
1
x
=3 ln x+
+3
2
x
⑵ y' =9eX{ln 2+ln x}0'
={eX}'{ln 2+ln x}+eX{ln 2+ln x}'
=eX{ln 2+ln x}+eX\
1
x
=eX
ln 2x+
[
1
x ]
⑶ y' =9x{log 2 x+1}0'
={x}'{log2 x+1}+x{log 2 x+1}'
=1\{log 2 x+1}+x\
1
x ln 2
=log 2 x+
+1
1
ln 2
⑷ y' ={e\eX+log 2 3+log2 x}'
=e{eX}'+{log 2 3}'+{log 2 x}'
=e\eX+
=eX"!+
1
x ln 2
1
x ln 2
문제 09-1 4e@
f{x}=x# ln x라 하면
f '{x} ={x#}' ln x+x#{ln x}'
=3x@ ln x+x#\
1
x
=x@{3 ln x+1}
따라서 점 {e, e#}에서의 접선의 기울기는
f '{e}=e@{3 ln e+1)=4e@
유제 10 2e#
[
1+
3 ln 3 ]
1
f{3+h}-f{3-h}
h
lim
0
h`
!
f{3+h}-f{3}+f{3}-f{3-h}
=lim
h
0
h`
!
f{3+h}-f{3}
=lim
h
0
h`
!
=f '{3}+f '{3}
=2 f '{3}
f{3-h}-f{3}
+lim
-h
0
h`
!
함수 f{x}=eX`log 3 x를 미분하면
f '{x} ={eX}' log 3 x+eX {log 3 x}'
=eX log 3 x+
=eX [
log 3 x+
eX
x ln 3
1
x ln 3 ]
1
/ 2 f '{3}=2e#
1+
[
3 ln 3 ]
Ⅱ-1. 여러 가지 함수의 미분 25
19 미적분_개념편-해설II-1(022~037)OK.indd 25
2018-10-17 오전 11:18:12
개념편 f{x}=log 2 4x-3x+1에서 f{1}=0이므로
f{x}
lim
x-1
1
x`
!
이때 f{x}=log2 4x-3x+1=3+log2 x-3x이므로
f{x}-f{1}
x-1
=lim
1
x`
!
=f '{1}
1 ㄴ, ㄷ 2 je
3
3
4
4 2
5 1
7 ③
8 eE_!
9 15e@+3ee@+1
6 ③
10 3
기본 연습문제
p.70~71
문제 10-1
-3
1
ln 2
f '{x}=
-3
/ f '{1}=
-3
1
x ln 2
1
ln 2
문제 10-2 3
f{x}+2
x-1
lim
1
x`
!
재하므로
=b에서 lim
1
!
x`
{x-1}=0이고 극한값이 존
9 f{x}+20=0 / f{1}=-2
lim
x`
1
!
f{1}=-2에서 1-a=-2 / a=3
f{x}-f{1}
f{x}+2
x-1 =lim
/ lim
x-1
1
x`
!
!
x`
1
=f '{1}=b
함수 f{x}=x ln x+x@-ax를 미분하면
1
x
f '{x} =ln x+x\
+2x-a=ln x+2x+1-a
f '{1}=b에서 3-a=b / b=0 (? a=3)
/ a-b=3
유제 11 6 ln 3-3
f{x}가 x=1에서 미분가능하면 x=1에서 연속이므로
3X= lim
1-
x`
lim
x`
1+
!
!
/ a+b=3
{ax+b}=f{1}
또 f '{1}이 존재하므로 f '{x}=
-
a
a / a=3 ln 3
3X ln 3= lim
lim
x`
1+
1-
!
이를 ㉠에 대입하여 풀면 b=3-3 ln 3
!
x`
/ a-b=3 ln 3-{3-3 ln 3}=6 ln 3-3
yy`㉠
3X ln 3 {x>1}
에서
{x<1}
문제 11-1 -e
f{x}가 x=1에서 미분가능하면 x=1에서 연속이므로
yy`㉠
x! {x>1}
eX"B {x<1}
에서
ln ax= lim
1-
lim
x`
1+
x`
!
!
/ ln a=e1+b
ex+b=f{1}
또 f '{1}이 존재하므로 f '{x}=
ex+b / 1=e!"B
[
1
x
lim
= lim
1+
x`
1-
x`
!
!
1+b=0 / b=-1
이를 ㉠에 대입하면 ln a=1 / a=e
/ ab=e\{-1}=-e
26 정답과 해설_개념편
1 ㄱ. 분모, 분자를 3X으로 각각 나누면
1+2X
1-3X
lim
x`
E
!
[
=lim
x`
E
!
2
3 ]X
[
1
3 ]X+
1
3 ]X-1
[
=
0+0
0-1
=0
ㄴ. 주어진 식을 8X으로 묶으면
{8X+3X}
lim
x`
E
!
1
3x =lim
x`
!
E
{
8X
- 1+
[
3
8 ]X =}
1
3x
1
3x
3
8 ]X =
=lim
x`
E
!
2
- 1+
[
=2\1=2
ㄷ. lim
x`
E
!
log 3
6x
2x+5 =log 3 lim
=log 3 3=1
!
E
x`
6x
2x+5
ㄹ. lim
3
x`
!
{log 2|x#-27|-log 2|x@-9|}
x#-27
x@-9 |
{x-3}{x@+3x+9}
{x+3}{x-3}
|
=lim
3
x`
!
log 2
|
=lim
3
x`
!
log 2
|
x`
=log 2 lim
|
3
!
9
=log 2
2
x@+3x+9
x+3
|
=2 log 2 3-1
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
2
1
E-
2 [
lim
n`
!
1+
1
n ][
1+
1
n+1 ][
1+
n+2 ] y [
1+
1
1
2n ]=N
1
2
\
n+1
n
\
n+2
n+1
\
n+3
n+2
\y\
2n+1
2n ]N
=lim
n`
!
E[
=lim
n`
E
!
[
2n+1
2n ]N
1
2n ]N
1
2n ]@N=
2!
=lim
n`
E
!
[
1+
=lim
n`
E
!
-[
1+
=e2!=je
3
ln {ax+1}
lim
x#+2x
0
x`
!
=lim
0
x`
!
ln {1+ax}
ax
\
a
x@+2
=
-
a
2
=1\
=
a
2
따라서
=2이므로 a=4
a
2
19 미적분_개념편-해설II-1(022~037)OK.indd 26
2018-10-17 오전 11:18:12
ln {3x+1}
/ lim
ax
0
x`
!
=lim
0
x`
!
ln {3x+1}
4x
ln {1+3x}
3x
\
3
4
=lim
0
x`
!
=1\
=
3
4
3
4
4 y=log 2`{x+1}의 역함수를 구하면
x+1=2Y, x=2Y-1
/ g{x}=2X-1
f{x}9 g{2x}-g{0}0
/ lim
x@
0
x`
!
log 2 {x+1}\{2@X-1-0}
=lim
x@
0
x`
!
log 2 {1+x}
x
\
4X-1
x =
=
=lim
0-
x`
!
1
ln 2
1
ln 2
=
\ln 4
\2 ln 2=2
5
lim
0
x`
!
하므로
lim
0
x`
!
{ax@+b}=0 / b=0
이를 주어진 식에 대입하면
{eX-1) ln {1+x}
1
a lim
lim
ax@
0
x`
!
1
a
=
=
!
x`
0
\1\1=
1
a
따라서
=2이므로 a=
1
a
1
2
/ 2a+b=2\
+0=1
1
2
{eX-1} ln {1+x}=0이고 0이 아닌 극한값이 존재
eX-1
x
-
\
ln {1+x}
x
=
6
점 P의 좌표를 {t, eT}이라
y
y=eX
하면 AP
의 중점의 좌표는
P
eT+1
2 ]
t
[
2 ,
이때 AP
eT-1
t 이므로
eT+1
점 [
y-
t
2 ,
eT+1
2
의 기울기는
1
A
O
x
Q
에 수직인 직선의 방정식은
2 ]을 지나고 AP
t
2 ]
t
eT-1 [
x-
=-
이 직선과 x축의 교점 Q의 x좌표를 구하면
-
eT+1
2
=-
t
eT-1 [
x-
t
2 ]
e@T-1
2t
=x-
/ x=
e@T-1
2t
t
2
t
2
+
이때 점 P가 점 A에 한없이 가까워지므로 t`
0이고,
!`
점 Q는 x축 위의 점이므로 점 Q의 x좌표의 극한값을 구
e@T-1
2t
t
2 ]
+
lim
[
0
t`
!
따라서 점 Q가 한없이 가까워지는 점의 좌표는 {1, 0}이
=1+0=1
하면
다.
7 ① {eX"#}' =e#{eX}'
=e#\eX=eX"#
② {x@eX}' ={x@}'eX+x@{eX}'
=2xeX+x@eX={x@+2x}eX
③ {ln 5x}' ={ln 5+ln x}'
1
x
=
④ {log 2 x}'=
1
x ln 2
⑤ {x log x} ={x}'{log x}+x{log x}'
=log x+x\
1
x ln 10
1
ln 10
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
=log x+
8
f{x}=eX ln x에서
f '{x} ={eX}' ln x+eX{ln x}'
=eX ln x+
eX
x
/ f '{e}-f{e} =eE+
-eE
eE
e
=
eE
e
=eE_!
9
f{e@+2h}-f{e@-h}
lim
h
0
h`
!
f{e@+2h}-f{e@}+f{e@}-f{e@-h}
=lim
h
0
h`
!
f{e@+2h}-f{e@}
=2 lim
2h
0
h`
!
+lim
0
h`
!
f{e@-h}-f{e@}
-h
함수 f{x}=x@ ln x+eX"!=x@ ln x+e\eX을 미분하면
=2f '{e@}+f '{e@}
=3f '{e@}
f '{x} =2x ln x+x@\
+e\eX
1
x
=2x ln x+x+eX"!
/ 3f '{e@} =3{4e@+e@+ee@+1}
=15e@+3ee@+1
Ⅱ-1. 여러 가지 함수의 미분 27
19 미적분_개념편-해설II-1(022~037)OK.indd 27
2018-10-17 오전 11:18:13
개념편Z
Z
Z
10 f{x}가 x=1에서 미분가능하면 x=1에서 연속이므로
3
곡선 y=
e@X을 y축의 방향으로 m만큼 평행이동하면
{a ln x+b}= lim
1-
x`
!
{2X-1}=f{1}
lim
x`
1+
!
/ b=1
또 f '{1}이 존재하므로
f '{x}=
에서 a=2 ln 2=ln 4
a
x {x>1}
2X ln 2 {x<1}
/ eA-b=eln 4-1=4-1=3
[
실전 연습문제
p.72
1 10
2 ㄱ, ㄴ 3 6
4 10
eNX-1
+y+n lim
nx
0
!
x`
1
eX+e@X+e#X+y+eNX-n
lim
x
0
x`
!
eX-1+e@X-1+e#X-1+y+eNX-1
=lim
x
0
x`
!
eX-1
=lim
x
0
x`
!
e@X-1
+2 lim
2x
0
x`
!
e#X-1
+3 lim
3x
0
x`
!
=1+2+3+y+n=
n{n+1}
2
따라서
n{n+1}
2
=55이므로
n{n+1}=110 / n=10
f{x}
2 ㄱ. lim
x
0
!
x`
eX-1
lim
g{x}
0
x`
!
x`
x
=1에서 lim
f{x}
0
!
eX-1
x
-
=1\1\2=2
=lim
0
x`
!
\
=1이므로
x
f{x}
\
f{x}
g{x}
=
f{x}
ㄴ. lim
2X-1 =lim
0
x`
!
!
1
ln 2
=
x`
0
f{x}g{x}
x@
ㄷ. lim
0
x`
!
재하므로
x
2X-1
-
\
g{x}
x
\
f{x}
g{x}
=
\ln 3\2=2 log 2 3
=1에서 lim
0
!
x`
x@=0이고 극한값이 존
`f{x}g{x}=0
lim
x`
0
!
/ lim
0
x`
!
`f{x}=0 또는 lim
0
!
x`
g{x}=0
f{x}
이때 lim
g{x}
0
!
x`
=2에서 0이 아닌 극한값이 존재하므로
`g{x}=0
lim
0
x`
!
`f{x}=0, lim
0
!
x`
ln 91+f{x}0
/ lim
g{x}
0
x`
!
=lim
0{
x`
!
ln 91+f{x}0
f{x}
\
f{x}
g{x} }
=1\2=2
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
28 정답과 해설_개념편
1
4
y=
e@X+m
1
4
이 곡선이 원점을 지나므로
1
4
+m / m=-
0=
1
4
/ f{x}=
e@X-1
4
y=-ln 3{x-n}
이 곡선이 원점을 지나므로
또 곡선 y=-ln 3x를 x축의 방향으로 n만큼 평행이동하면
0=-ln {-3n}, -3n=1 / n=-
1
3
/ g{x}=-ln {3x+1}
직선 y=k와 곡선 y=g{x}의 교점 P의 좌표를 구하면
-ln {3x+1}=k에서 3x+1=e_K
/ x=
/ P
e_K-1
3
e_K-1
3
[
, k
]
직선 y=k와 곡선 y=f{x}의 교점 R의 좌표를 구하면
e@X-1
4
=k에서 e@X=4k+1
/ x=
ln {4k+1}
2
/ R
ln {4k+1}
2
[
, k
]
이때 Q{0, k}이므로
1-e_K
3
, QR
PQ
=
=
QR
/ lim
PQ
0+
k`
!
= lim
0+
k`
!
ln {4k+1}
2
ln {4k+1}
2
1-e_K
3
3
-
2
\
ln {1+4k}
4k
\
-k
e_K-1
\4 =
= lim
0+
k`
!
3
2
=
\1\1\4=6
4
x-1=t로 놓으면 x=1+t이고, x`
1일 때 t`
0이므
!`
!`
로
f{x}-x@f{1}
lim
ln x
1
x`
!
f{1+t}-{1+t}@f{1}
=lim
ln {1+t}
0
t`
!
f{1+t}-f{1}+f{1}-{1+t}@f{1}
=lim
ln {1+t}
0
t`
!
f{1+t}-f{1}
=lim
ln {1+t}
0
t`
!
-f{1}\lim
0
t`
!
t@+2t
ln {1+t}
=lim
0
t`
!
-
f{1+t}-f{1}
t
\
t
ln {1+t}
=
=f '{1}-2f{1}
=20-2\5=10
-f{1}\lim
0
t`
!
t+2
ln {1+t}
t
19 미적분_개념편-해설II-1(022~037)OK.indd 28
2018-10-17 오전 11:18:14
Z
Z
Z
Z
02 삼각함수의 미분
1
p.75
1. ⑴ j6 k-j2 k
⑵ j6 k+j2 k
4
4
⑶ -2-j3 k
⑴ sin 15! =sin {45!-30!}
=sin 45! cos 30!-cos 45! sin 30!
j2
2
j6-j2
4
1
2
=
-
\
\
=
j2
2
⑵ cos 15! =cos {45!-30!}
j3
2
=cos 45! cos 30!+sin 45! sin 30!
j2
2
j6+j2
4
j2
2
⑶ tan 105! =tan {60!+45!}
j3
2
=
1
2
\
+
=
\
=
=
tan 60!+tan 45!
1-tan 60! tan 45!
j3+1
1-j3\1
=-2-j3
2. ⑴ j2 k
2 ⑵ j3 k
2 ⑶ j3 k
⑴ sin 100! cos 55!-cos 100! sin 55!
=sin {100!-55!}
=sin 45!=
j2
2
⑵ cos 40! cos 70!+sin 40! sin 70!
=cos {40!-70!}
=cos {-30!}=cos 30!=
j3
2
⑶
tan 80!-tan 20!
1+tan 80! tan 20!
=tan {80!-20!}
=tan 60!=j3
1
유제 & 문제
유제 01 2 sec h
cot h
1+csc h
+
p.76~81
1+csc h
cot h
=
cot@ h+{1+csc h}@
{1+csc h}cot h
=
cot@ h+1+2`csc h+csc@ h
{1+csc h}cot h
=
=
2 csc@ h+2`csc h
{1+csc h}cot h
2 csc h{csc h+1}
{1+csc h}cot h
=
2 csc h
cot h
=2\
1
sin h
\
sin h
cos h
=
2
cos h
=2 sec h
문제 01-1 1
{1+csc h}{1+sec h}{1-csc h}{1-sec h}
={1-csc@ h}{1-sec@ h}
={-cot@ h}\{-tan@ h}
=1
문제 01-2 -
8
3
sin h+cos h=
1
2 의 양변을 제곱하면
sin@ h+cos@ h+2 sin h cos h=
1
4
1+2 sin h cos h=
/ tan h+cot`h =tan h+
3
8
1
4 / sin h cos h=-
1
tan h
cos h
sin h
cos h
sin h
sin@`h+cos@`h
sin h cos h
1
+
=-
8
3
=
=
=
-
3
8
유제 02 ⑴ -
5j3
9
⑵ - j6
3
⑶ -
5j2
2
00, sin b>0이므로
p
2 ,
p
2
cos a=11-sin@ a3=r1-
sin b=11-cos@ b3=r1-
j3
3 ]@y=
1
3 ]@y=
j6
3
2j2
3
-
[
[
tan a=
sin a
cos a
=
= j2
2
j3
3
j6
3
2j2
3
-
1
3
tan b=
sin b
cos b
=
=-2j2
⑴ sin {a-b} =sin a cos b-cos a sin b
2j2
3
1
3 ]
j6
3
j3
3
=
-
\
-
\
[
=-
5j3
9
⑵ cos {a+b} =cos a cos b-sin a sin b
2j2
3
j3
3
=
\
=-
j6
3
[
-
-
\
1
3 ]
j6
3
tan a-tan b
1+tan a tan b
⑶ tan {a-b} =
=
j2
2
1+
-{-2j2}
j2
2
\{-2j2}
=-
5j2
2
Ⅱ-1. 여러 가지 함수의 미분 29
19 미적분_개념편-해설II-1(022~037)OK.indd 29
2018-10-17 오전 11:18:15
개념편 문제 02-1 -
5
8
sin a-sin b=
1
j2
sin@ a+sin@ b-2 sin a sin b=
의 양변을 제곱하면
1
2
cos a+cos b=
1
2 의 양변을 제곱하면
문제 03-1 -
2j14k
9
sin h-cos h=
2
3 의 양변을 제곱하면
yy ㉠
sin@`h+cos@`h-2 sin h cos h=
4
9
cos@ a+cos@ b+2 cos a cos b=
yy ㉡
/ 2 sin h cos h=
1
4
1-2 sin h cos h=
4
9
5
9
/ sin 2h=2 sin h cos h=
5
9
이때
0
/ sin
⑵ cos@`
h
2
j30k
6
5
6
=
=q
1+cos h
2
h
2 =
p
4
=q
h
2 =
cos
h
2
⑶ tan@`
1+
-
[
2
=
2
3 ]
=
1
6
h
2
1
6
h
p
2 에서 cos
2
j6
6
=
1-cos h
1+cos h
2
3 ]
2
3 ]
1-
1+
-
-
[
[
=
=5
이때
<
<
>0이므로
이때
<
<
p
4
h
2
h
p
2 에서 tan
2
>0이므로 tan
h
2
=j5
㉠+㉡을 하면
{sin@ a+cos@ a}+{sin@ b+cos@ b}
+2{cos a cos b-sin a sin b}=
3
4
2+2`cos {a+b}=
/ cos {a+b}=-
3
4
5
8
유제 03 ⑴
⑵
⑶
4
5
3
5
4
3
sec@ h=1+tan@ h=1+
1
2 ]@=
5
4 이므로
[
cos@ h=
이때 00이므로
2j5
5
4
5 w=
p
2 에서 sin h>0이므로
sin h =11-cos@ h3
2j5
5 ]@y
[
=r1-
j5
5
=
⑴ sin 2h =2 sin h cos h
2j5
5
=2\
j5
5
\
=
4
5
⑵ cos 2h =1-2 sin@ h
j5
5 ]@
=1-2\
[
⑶ tan 2h =
=
3
5
2 tan h
1-tan@ h
2\
1-
[
1
2
1
2 ]@
=
=
4
3
30 정답과 해설_개념편
19 미적분_개념편-해설II-1(022~037)OK.indd 30
2018-10-17 오전 11:18:16
문제 04-1 -
4j2
7
1
3 에서
1
3
sin@`
=
h
2
/ cos h=
1-cos h
2
=
1
3
이때 00이므로
1
3 ]@y=
2j2
3
[
sin h=11-cos@`h3=r1-
2j2
3
1
3
/ tan h=
sin h
cos h
=
=2j2
/ tan 2h =
2 tan h
1-tan@ h
2\2j2
1-{2j2}@
=
=-
4j2
7
유제 05 60!
두 직선 j3x+2y=0, 3j3x-y+1=0, 즉 y=-
y=3j3x+1이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를
각각 a, b라 하면
x,
j3
2
tan a=-
j3
2 , tan b=3j3
따라서 두 직선이 이루는 예각의 크기를 h라 하면
tan h =|tan {a-b}|=
tan a-tan b
1+tan a tan b |
|
-
j3
2
=
|
1+
-
[
-3j3
j3
2 ]
\3j3 |
=j3
/ h=60!
문제 05-1 3
각각 a, b라 하면
tan a=2, tan b=-a
이때 두 직선이 이루는 예각의 크기가
p
4 이므로
tan
p
4 =|tan {a-b}|
tan a-tan b
1+tan a tan b |
=
|
=1
2-{-a}
1+2\{-a}
2+a=1-2a 또는 2+a=-1+2a
=-1
/ a=-
1
3 또는 a=3
그런데 a>0이므로 a=3
유제 06 45!
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점
B
D를 잡고 CBAD=a,
CCAD=b라 하면 정사각
형의 한 변의 길이가 1이므로
tan a=2, tan b=
1
3
이때 h=a-b이므로
a
h
1
A
b
tan h =tan {a-b}=
tan a-tan b
1+tan a tan b
=
2-
1
3
1+2\
1
3
=1
/ h=45!
문제 06-1 50
AC
=AE
=15@+12@3=13
이므로 CCAB=a,
C
sin a=
CEAD=b라 하면
12
13 , cos a=
5
13 , cos b=
이때 h=a-b이므로
sin b=
5
13
12
13
13
a
h
b
5
A
12
13
B
12
E
5
D
sin h =sin {a-b}=sin a cos b-cos a sin b
\
=
12
13
12
13
따라서 p=169, q=119이므로
5
13
5
13
\
-
=
119
169
p-q=169-119=50
유제 07 ⑴ 1 ⑵
⑶ 2j2 ⑷ 0
1
2
tan x
⑴ lim
sin x
0
x`
!
\
1
sin x ]
=lim
[
0
x`
!
sin x
cos x
1
=lim
cos x
0
x`
!
=1
1-cos x
⑵ lim
sin@ x
0
x`
!
=lim
0
x`
!
1-cos x
1-cos@ x
1-cos x
=lim
{1+cos x}{1-cos x}
0
x`
!
=lim
0
x`
!
1
1+1
=
1
1+cos x
1
2
=
Ⅱ-1. 여러 가지 함수의 미분 31
C
D
두 직선 2x-y+1=0, ax+y-4=0, 즉 y=2x+1,
y=-ax+4가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를
2
유제 & 문제
p.8 4~88
19 미적분_개념편-해설II-1(022~037)OK.indd 31
2018-10-17 오전 11:18:17
개념편Z
Z
tan@ x-1
⑶ lim
sin x-cos x =lim
x`
!4"
x`
cos x
!4"
tan@ x-1
sin x
cos x
{tan x+1}{tan x-1}
=lim
cos x{tan x-1}
x`
!4"
-1
]
[
1-cos 2x
⑷ lim
x`
p
!
=
=2j2
tan x+1
=lim
cos x
x`
!4"
1+1
j2
2
1-{1-2 sin@ x}
sin 2x =lim
2 sin x cos x
2 sin@ x
=lim
2 sin x cos x
x`
p
!
sin x
=lim
cos x
x`
p
!
=lim
tan x=0
x`
p
!
!
x`
p
⑶ x`
!`
lim
0
x`
!
=lim
0
!
x`
\
!`
-
0일 때, sin 2x`
sin{sin 2x}
tan 3x
sin{sin 2x}
sin 2x
2
3
0일 때, {1-cos x}`
sin{1-cos x}
x@
2
3
=
=1\1\1\
⑷ x`
!`
lim
0
x`
!
=lim
0
!
x`
-
=lim
0
!
x`
-
=lim
0
!
x`
-
=1\1@\
sin {1-cos x}
1-cos x
sin {1-cos x}
1-cos x
sin {1-cos x}
1-cos x
1
1
2
2
=
0이므로
3x
tan 3x
\
sin 2x
2x
\
2
3 =
0이므로
!`
\
\
\
=
1-cos x
x@
sin@ x
x@{1+cos x}
sin x
x ]@\
[
=
1
1+cos x
=
문제 07-1 0
lim
x`
!2"
{sec x-tan x} =lim
!2"
x`
[
1
cos x
-
sin x
cos x ]
유제 09 ⑴ -
1
p ⑵ -
⑴ x-3=t로 놓으면 x=3+t이고, x`
⑶ 1 ⑷ 1
p
2
3일 때
!`
1-sin x
=lim
x`
!2"
cos x
{1-sin x}{1+sin x}
=lim
cos x{1+sin x}
x`
!2"
cos@ x
=lim
cos x{1+sin x}
x`
!2"
cos x
=lim
1+sin x
x`
!2"
0
1+1
=0
=
유제 08 ⑴ 8 ⑵ 2 ⑶
⑷
2
3
1
2
5x+sin 3x
⑴ lim
sin x
0
x`
!
5x
sin x
x
=5 lim
sin x
0
!
=lim
[
0
!
+lim
0
x`
!
=5\1+1\1\3
+
x`
x`
sin 3x
sin x ]
=8
⑵ x`
!`
0일 때, {3x@+2x}`
tan{3x@+2x}
lim
2x@+x
0
x`
!
tan{3x@+2x}
3x@+2x
tan{3x@+2x}
3x@+2x
-
x`
=lim
0
!
x`
=lim
0
!
-
=1\2
=2
sin 3x
3x
[
\
x
sin x
\3
]
0이므로
!`
\
3x@+2x
2x@+x
=
\
3x+2
2x+1 =
32 정답과 해설_개념편
t`
!`
lim
3
x`
!
0이므로
t
x-3
sin px =lim
sin p{3+t}
t
=lim
sin {3p+pt}
0
t`
!
t`
!
0
⑵ x-1=t로 놓으면 x=1+t이고, x`
1일 때
t`
!`
0이므로
x
cos
p
2
x-1
lim
1
x`
!
\
1
p
t
=lim
-sin pt
0
t`
!
pt
=-lim
sin pt
0
t`
!
1
p
=-1\
=-
1
p
!`
p
cos
2
{1+t}
cos [
+
p
2
t
]
t
p
2
t
=lim
0
t`
!
=lim
0
t`
!
-sin
p
2
t
t
=lim
0
t`
!
sin
p
2
t
p
2
t
\
p
2
=-lim
0
t`
!
=-1\
p
2
=-
p
2
19 미적분_개념편-해설II-1(022~037)OK.indd 32
2018-10-17 오전 11:18:18
⑶ x-p=t로 놓으면 x=p+t이고, x`
p일 때
!`
0이므로
t`
!`
lim
x`
p
!
{x-p} cot x =lim
0
t`
!
t cot {p+t}
=lim
0
t`
!
t
tan {p+t}
=1
t
=lim
tan t
0
t`
!
1
t 이고, x`
=t로 놓으면 x=
E일 때 t`
0이므
!`
!`
x sin
lim
x`
E
!
sin t
1
x =lim
t
0
t`
!
=1
문제 09-1 -
p
2
1
⑷
x
로
1
2
므로
x-
=t로 놓으면 x=
+t이고, x`
1
2
1
2 일 때 t`
0이
!`
!`
tan {cos px}
lim
2x-1
x`
!2!
tan -
=lim
0
t`
!
cos p
+t
1
2
[
1
2
2
[
+t
-1
]=
tan -
=lim
0
t`
!
cos [
2t
+pt
]=
]
p
2
tan {-sin pt}
2t
=lim
0
t`
!
sin pt
=lim
0
t`
!
-
tan {-sin pt}
-sin pt
\
pt \
[
-
p
2 ]=
=1\1\
-
=-
p
2 ]
p
2
[
1
2
유제 10
lim
x`
0
!
lim
x`
0
!
/ b=0
{1-cos x}=0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로
{ax sin x+b}=0
이를 주어진 식의 좌변에 대입하면
1-cos x
lim
ax sin x =lim
0
x`
!
!
x`
0
1-cos@`x
ax sin x {1+cos x}
sin@`x
ax sin x {1+cos x}
sin x
ax{1+cos x}
sin x
1
x
a
\
\
1
1+cos x ]
=lim
0
x`
!
=lim
0
x`
!
=lim
[
0
x`
!
1
a
=
\1\
=
1
2a
1
2
1
2
따라서
=1이므로 a=
/ a+b=
+0=
1
2
1
2a
1
2
문제 10-1 ⑴ a=-1, b=3 ⑵ a=
, b=1
1
3
tan 3x=0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로
⑴ lim
x`
0
!
lim
0
x`
!
{eX+a}=0
1+a=0 / a=-1
이를 주어진 식의 좌변에 대입하면
x
eX-1
tan 3x
lim
eX-1 =lim
[
0
x`
!
=1\1\3=3
tan 3x
3x
\
!
x`
0
\3
]
sin ax=0이고 극한값이 존재하므로
/ b=3
⑵ lim
x`
0
!
lim
x`
0
!
ln b=0 / b=1
ln {x+b}=0
이를 주어진 식의 좌변에 대입하면
ln {1+x}
x
ln {x+1}
lim
sin ax =lim
0
x`
!
-
!
x`
0
\
ax
sin ax
\
1
a =
=1\1\
=
1
a
1
a
1
3
따라서
=3이므로 a=
1
a
p
2
문제 10-2
lim
x`
!2"
lim
x`
!2"
p
2
`cos x=0이고 극한값이 존재하므로
{ax-b}=0
a-b=0 / b=
a
yy`㉠
p
2
이를 주어진 식에 대입하면
a
ax-
p
2
cos x
=1
lim
x`
!2"
이때 x-
=t로 놓으면 x=
+t이고, x`
p
2
p
2 일 때
!`
p
2
t`
!`
lim
x`
!2"
0이므로
p
2
cos x
ax-
a
=lim
x`
!2"
=lim
0
t`
!
p
2 ]
a
x-
[
cos x
at
p
2
+t
]
cos [
at
=lim
-sin t
0
t`
!
t
=-a lim
sin t
0
t`
!
따라서 -a=1이므로 a=-1
이를 ㉠에 대입하면 b=-
p
2
/ ab={-1}\
-
p
2 ]
=
p
2
[
=-a
Ⅱ-1. 여러 가지 함수의 미분 33
19 미적분_개념편-해설II-1(022~037)OK.indd 33
2018-10-17 오전 11:18:19
개념편 ⑶ y' ={sin x sin x}'
={sin x}'sin x+sin x {sin x}'
=cos x sin x+sin x cos x
=2 sin x cos x
⑷ y' ={2 sin x cos x}'
=2{sin x}'cos x+2 sin x {cos x}'
=2 cos x cos x-2 sin x sin x
=2{cos@ x-sin@ x}
문제 12-1 0
f '{x} ={x# sin x}'+{3x@ cos x}'
={3x@ sin x+x# cos x}+{6x cos x-3x@ sin x}
={x#+6x} cos x
p
2 ]
=0
[
/ f '
문제 12-2 -2 ln p
f{p+h}-f{p-h}
lim
h
0
h`
!
1
1+cos h
=
f{p+h}-f{p}+f{p}-f{p-h}
=lim
h
0
h`
!
f{p+h}-f{p}
=lim
h
0
h`
!
+lim
0
h`
!
f{p-h}-f{p}
-h
=f '{p}+f '{p}
=2 f '{p}
함수 f{x}=ln x sin x를 미분하면
f '{x} ={ln x}'sin x+ln x {sin x}'
=
1
x sin x+ln x cos x
1
-
p
/ 2 f '{p} =2
\0+ln p\{-1}
=
=-2 ln p
유제 11 1
BCH에서 BH
=3 sin h
ABH에서
CABH=CBCH=h이므로
s
AH
tan h=3 sin h tan h
s
=BH
AH
/ lim
3h@
0+
h`
!
= lim
0+
h`
!
3 sin h tan h
3h@
sin h
h
\
tan h
h ]
= lim
0+
h`
!
[
=1\1=1
문제 11-1
1
4
OHB에서 OH
=cos h, BH
=sin h
AH
s
=OA
-OH
=1-cos h이므로
S{h} =
\AH
\BH
1
2
{1-cos h} sin h
=
1
2
S{h}
/ lim
h#
0+
h`
!
{1-cos h} sin h
= lim
2h#
0+
h`
!
sin@`h sin h
= lim
2h#{1+cos h}
0+
h`
!
1
-
2
\
[
= lim
0+
h`
!
1
2
=
\1#\
=
1
2
sin h
h ]#\
1
4
3
p.89
1. ⑴ y'=cos x-j3 sin x
⑵ y'=sin x+x cos x
⑴ y' ={sin x}'+j3{cos x}'
=cos x-j3 sin x
⑵ y' ={x}' sin x+x{sin x}'
=sin x+x cos x
3
유제 & 문제
p.90
유제 12 ⑴ y'=3X ln 3-2 sin x
⑵ y'=4x cos x-{2x@-1} sin x
⑶ y'=2 sin x cos x
⑷ y'=2{cos@ x-sin@ x}
⑴ y' ={3X}'+2{cos x}'
=3X ln 3-2 sin x
⑵ y' ={2x@-1}' cos x+{2x@-1}{cos x}'
=4x cos x-{2x@-1}sin x
34 정답과 해설_개념편
기본 연습문제
p.91~93
1 -5
2 ④
3
7-4j2
9
5 12
6 1-j2 7 4
8 -
1
2
10 4
11
p 12 8
13 8
3
2
4
9
8
15
3
2
19 미적분_개념편-해설II-1(022~037)OK.indd 34
2018-10-17 오전 11:18:20
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
1
{tan h+cot h}@-{sin h+csc h}@-{cos h+sec h}@
5
점 D는 AB
를 2`:`1로 내분하
=tan@ h+2+cot@ h-{sin@ h+2+csc@ h}
는 점이므로
={tan@ h-sec@ h}+{cot@ h-csc@ h}
-{sin@ h+cos@ h}-2
-{cos@ h+2+sec@ h}
AD
=4, BD
=2
C
h
a
B
=-1-1-1-2=-5
2
sin [
p
3
+h
=sin
]
p
p
3 sin h
3 cos h+cos
j3
1
2 cos h+
2 sin h
p
p
3 sin h
3 cos h-cos
1
2 sin h
j3
2 cos h-
=
=
yy ㉠
yy ㉡
sin [
p
3
-h
=sin
]
㉠, ㉡을 주어진 식에 대입하면
p
sin@ h+sin@ [
3
j3
2 cos h+
+sin@ [
1
2 sin h
=sin@ h+
+h
]
[
p
3
]@
-h
]
=sin@ h+
3
2 cos@ h+
1
2 sin@ h
3
2 cos@ h
=
=
3
2 sin@ h+
3
2
+
[
j3
2 cos h-
1
2 sin h
]@
3
0}
-
-sin x+b {x<0}
에서
a+2=b / b=-2
/ ab={-4}\{-2}=8
실전 연습문제
1
1
2
2 ㄱ, ㄴ, ㄷ
3 6
4 0
p.94
1+cos {p+t}
=lim
t sin {p+t}
0
t`
!
1-cos t
-t sin t
=lim
0
t`
!
1-cos@ t
=lim
-t sin t {1+cos t}
0
t`
!
sin@ t
=lim
-t sin t {1+cos t}
0
t`
!
sin t
t
\
1
1+cos t ]
=-lim
[
0
t`
!
=-
1\
[
1
2
=-
1
2 ]
9
x tan x=0이고 극한값이 존재하므로
lim
x`
0
!
lim
0
x`
!
a-3=0 / a=3
{a-3 cos x}=0
3-3 cos x
lim
x tan x
0
x`
!
3{1-cos x}
=lim
x tan x
0
x`
!
3{1-cos@ x}
=lim
x tan x {1+cos x}
0
x`
!
3`sin@`x
=lim
x tan x {1+cos x}
0
x`
!
x
sin x
x ]@\
tan x
1
2
=3\1@\1\
=lim
0
x`
!
- 3\
[
=
3
2
/ b=
3
2
/ a-b=3-
=
3
2
3
2
36 정답과 해설_개념편
\
1
1+cos x =
이를 주어진 식의 좌변에 대입하면
13 f{x}가 x=0에서 미분가능하면 x=0에서 연속이므로
19 미적분_개념편-해설II-1(022~037)OK.indd 36
2018-10-17 오전 11:18:22
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
1
이차방정식 x@+7x+8=0의 두 근이 tan a, tan b이므
3
BC
, AC
는 각각 원의 지
ㄴ. x`
1
0일 때 f1{x}=sin
2
!`
x`
!`
0이므로
t`
!`
0+이므로
로 근과 계수의 관계에 의해
tan a+tan b=-7, tan a tan b=8
/ tan {a+b} =
/ cos@ {a+b} =
tan a+tan b
1-tan a tan b
1
sec@ {a+b}
=
-7
1-8
=1
=
=
1
1+tan@ {a+b}
1
2
1
1+1@
=
2 ㄱ. a1 =lim
0
!
x`
f1{x}
sin x
1
2 x
sin
sin x
1
sin
2
x
1
2
x
9
=lim
0
x`
!
=lim
0
x`
!
=1\1\
=
1
2
1
2
\
x
sin x
\
1
2
0
1
sin
2
x
`
]=
!`
0
1
sin
2 [
1
sin
2
x
`
0
]]=
!`
1
- f2{x}=sin
2 [
1
f3{x}=sin
2 [
-
⋮
fn{x}`
0
!`
x`
f{ fn-1{x}}
/ an =lim
sin x
0
!
1
sin
2
{ fn-1{x}}
=lim
0
x`
!
=lim
0
x`
!
{ fn-1{x}}
sin x
1
sin
2
1
2 fn-1{x}
0
x`
[
fn-1{x}
1
2 lim
sin x
1
2
an-1
!
=
=
/
an
an-1
=
1
2
1
2 fn-1{x}
sin x
\
]
ㄷ. ㄱ, ㄴ에서 수열 9an0은 첫째항이
1
2 , 공비가
1
2 인 등
비수열이므로
E
?n=1
an=
1
2
1-
1
2
=1
6
-h
2"
A
D
B
h
C
름이므로
CBAC=
CADC=
p
2 ,
p
2
이때 CACB=h이므로
p
2
CABC=
-h
따라서
ABD에서
AD
s
=AB
sin [
-h
=6 sin [
]
-h
]
p
2
BD
=AB
cos [
ABC에서 AD
p
2
-h
[
]
s
36`sin@`
-h
p
]
2
@=BD
=6 cos [
\CD
=CD
\6 cos [
-h
]
이므로
p
2
-h
]
p
2
p
2
/ CD
=
6`sin@`
-h
]
cos [
-h
]
p
[
2
p
2
이때
-h=t로 놓으면 h=
-t이고, h`
-일 때
p
2
p
2
!`
p
2
lim
-
h`
!2"
CD
p
2
[
-h
]@
= lim
-
h`
!2"
6`sin@`
cos [
p
2
[
p
[
2
p
2
-h
]
-h
]
-h
]@
\
1
t@
sin t
t ]@\
6`sin@ t
cos t ]
6
cos t =
= lim
0+
t`
!
[
= lim
0+
t`
!
-[
=1@\6=6
4
f{x}=sin x+cos x에서
f1{x}=f '{x}=cos x-sin x
f2{x}=f1'{x}=-sin x-cos x
f3{x}=f2'{x}=-cos x+sin x
f4{x}=f3'{x}=sin x+cos x
/ f1{x}+f2{x}+f3{x}+f4{x}=0
이때 음이 아닌 정수 k에 대하여
f5{x}=f9{x}=y= f4k'1{x}=f1{x}
f6{x}=f10{x}=y= f4k'2{x}=f2{x}
f7{x}=f11{x}=y= f4k'3{x}=f3{x}
f8{x}=f12{x}=y= f4k'4{x}=f4{x}
따라서 2020=4\505이므로
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
=505\0=0
f1{x}+f2{x}+f3{x}+y+f2020{x}
Ⅱ-1. 여러 가지 함수의 미분 37
19 미적분_개념편-해설II-1(022~037)OK.indd 37
2018-10-17 오전 11:18:25
개념편Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
1
II-2. 여러 가지 미분법
01 여러 가지 미분법
1
p.97
1. ⑴ y'=-
⑵ y'=
1
{x-3}@
1
{2x+1}@
⑴ y'=-
{x-3}'
{x-3}@
=-
1
{x-3}@
⑵ y' =
{x}'{2x+1}-x{2x+1}'
{2x+1}@
=
2x+1-x\2
{2x+1}@
=
1
{2x+1}@
2. ⑴ y'=-2x_# ⑵ y'=-
-
2
x#
1
x@
⑴ y'=-2x_@_!=-2x_#
⑵ y' ={x_@+x_!+5}'=-2x_@_!-x_!_!
=-2x_#-x_@=-
-
2
x#
1
x@
3. ⑴ y'=sec x tan x-csc x cot x
⑵ y'=tan x+x sec@ x
⑴ y'={sec x}'+{csc x}'=sec x tan x-csc x cot x
⑵ y'={x}' tan x+x{tan x}'=tan x+x sec@ x
1
유제 & 문제
유제 01 ⑴ y'=-
4
x%
-
-
15
x^
6
x&
⑵ y'=-
eX
{eX-1}@
⑶ y'=
1
log2 x
-
1
{log2 x}@ ln 2
⑷ y'=-
2 sin x
{1-cos x}@
⑴ y' =
{x@+3x+1}'x^-{x@+3x+1}{x^}'
{x^}@
{2x+3}\x^-{x@+3x+1}\6x%
x!@
=
=
-4x&-15x^-6x%
x!@
=-
-
-
4
x%
15
x^
6
x&
다른 풀이
y=
+
+
=x_$+3x_%+x_^이므로
1
x$
3
x%
1
x^
y' =-4x_%-15x_^-6x_&
=-
-
-
4
x%
15
x^
6
x&
38 정답과 해설_개념편
⑵ y'=-
{eX-1}'
{eX-1}@
=-
eX
{eX-1}@
{x}' log2 x-x{log2 x}'
{log2 x}@
1
x ln 2
log2 x-x\
{log2 x}@
⑶ y' =
=
=
-
1
{log2 x}@ ln 2
1
log2 x
{1+cos x}'{1-cos x}-{1+cos x}{1-cos x}'
{1-cos x}@
⑷ y' =
=
-sin x {1-cos x}-{1+cos x}sin x
{1-cos x}@
=-
2 sin x
{1-cos x}@
문제 01-1 -2
f '{x} =
{2x+k}'{x@+x-1}-{2x+k}{x@+x-1}'
{x@+x-1}@
=
2{x@+x-1}-{2x+k}{2x+1}
{x@+x-1}@
=-
2x@+2kx+k+2
{x@+x-1}@
이때 f '{1}=2이므로
2+2k+k+2
{1+1-1}@
=2
-
-3k-4=2 / k=-2
⑶ y'=5 sin x {1+sec@ x}
⑷ y'=-
csc x cot x
{1+csc x}@
⑴ y' ={x#-2}' sec x+{x#-2}{sec x}'
=3x@ sec x+{x#-2} sec x tan x
=sec x {3x@+x# tan x-2 tan x}
⑵ y' ={eX}' cot x+eX{cot x}'
=eX cot x-eX`csc@ x
=eX{cot x-csc@ x}
⑶ y' =59{sin x}' tan x+sin x {tan x}'0
sin x
cos x
+sin x sec@ x
cos x\
=5
]
[
=5{sin x+sin x sec@ x}
=5 sin x {1+sec@ x}
⑷ y' =
{csc x}'{1+csc x}-csc x {1+csc x}'
{1+csc x}@
=
-csc x cot x {1+csc x}-csc x {-csc x cot x}
{1+csc x}@
=-
csc x cot x
{1+csc x}@
p.98~99
유제 02 ⑴ y'=sec x {3x@+x# tan x-2 tan x}
⑵ y'=eX{cot x-csc@ x}
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 38
2018-10-18 오후 5:48:13
문제 02-1 2-j2 k
f '{x} =
{tan x}'{1+sec x}-tan x {1+sec x}'
{1+sec x}@
sec@ x {1+sec x}-tan x\sec x tan x
{1+sec x}@
sec@ x {1+sec x}-sec x {sec@ x-1}
{1+sec x}@
=
=
=
=
=
sec x {sec x+1}
{1+sec x}@
sec x
1+sec x
1
cos x+1
/ f '
p
4 ]
[
=
1
j2
2
+1
=
2
j2+2
=2-j2
2
p.101
1. ⑴ y'=12{3x+1}# ⑵ y'=2e@X_!
⑴ y' =4{3x+1}#{3x+1}'
⑶ y' ={e@X}' sin x+e@X{sin x}'
=e@X{2x}' sin x+e@X cos x
=e@X{2 sin x+cos x}
⑷ y' =3x@-x+1 ln 3{x@-x+1}'
={2x-1}3x@-x+1 ln 3
문제 03-1 -
3
25
h'{x}=f '{g{x}}g '{x}이므로
h'{1}=f '{g{1}}g '{1}
이때 g{1}=1+4-2=3이고
f '{x} =
1\{x@+1}-{x-1}\2x
{x@+1}@
=
-x@+2x+1
{x@+1}@
/ f '{g{1}}= f '{3}=-
또 g '{x}=2x+4이므로
g '{1}=6
/ h'{1}=-
\6=-
1
50
1
50
3
25
2. ⑴ y'=
2x+3
x@+3x+1
⑵ y'=
5
{5x-1} ln 2
=12{3x+1}#
⑵ y' =e@X_!{2x-1}'
=2e@X_!
⑴ y' =
{x@+3x+1}'
x@+3x+1
⑵ y' =
=
=
2x+3
x@+3x+1
{5x-1}'
{5x-1} ln 2
5
{5x-1} ln 2
2
유제 & 문제
p.102~106
유제 03 ⑴ y'=5
x+
[
1
x ]$[
1-
1
x@ ]
⑵ y'=-sec@ x csc@ {tan x}
⑶ y'=e@X{2 sin x+cos x}
⑷ y'={2x-1}3x@-x+1 ln 3
1
x ]
[
'
x+
x+
⑴ y' =5
1
x ]$[
1
x ][
⑵ y' =-csc@ {tan x}{tan x}'
1
x@ ]
x+
=5
1-
[
=-sec@ x csc@ {tan x}
=3에서 lim
1
!
x`
{x-1}=0이고 극한값이 존
유제 04 12
f{x}+2
x-1
lim
1
x`
!
재하므로
9 f{x}+20=0
lim
x`
1
!
/ f{1}=-2
{x-1}=0이고 극한값이
f{x}- f{1}
f{x}+2
x-1 =lim
/ lim
x-1
1
x`
!
!
x`
1
=f '{1}=3
=4에서 lim
1
!
x`
g{x}-1
x-1
또 lim
1
x`
!
존재하므로
9 g{x}-10=0
lim
x`
1
!
/ g{1}=1
g{x}-1
/ lim
1
x`
!
g{x}-g{1}
x-1 =lim
x-1
!
x`
1
=g '{1}=4
이때 h{x}= f{g{x}}라 하면
h{1} = f{g{1}}= f{1}=-2
또 h'{x}=f '{g{x}}g '{x}이므로
h'{1} =f '{g{1}}g '{1}
= f '{1}\4
=3\4=12
f{g{x}}+2
/ lim
x-1
1
x`
!
h{x}-h{1}
=lim
x-1
1
x`
!
=h'{1}=12
Ⅱ-2. 여러 가지 미분법 39
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 39
2018-10-17 오전 11:19:35
개념편 문제 04-1 27
F{x}={ f`J`f`J`f }{x}를 미분하면
F'{x}=f '{ f{ f{x}}}\ f '{ f{x}}\ f '{x}
이때 f{1}=1, f '{1}=3이므로 함수 F{x}의 x=1에서
의 미분계수는
F'{1} =f '{ f{ f{1}}}\ f '{ f{1}}\ f '{1}
=f '{ f{1}}\ f '{1}\3
=f '{1}\3\3
=3\3\3=27
유제 05 ⑴ y'=
9
3x+1
유제 06 ⑴ y'=xsin x
[
ln x cos x+
sin x
x ]
1
ln x
=
⑵ y'={ln x}X
ln {ln x}+
-
{x-1}{5x-1}
{x+1}$
⑶ y'=
⑷ y'=
4
|x+1|{x+1}1{x-1}{x3+3}3
⑴ 주어진 식의 양변에 자연로그를 취하면
ln y=sin x ln x
양변을 x에 대하여 미분하면
y'
y ={sin x}' ln x+sin x {ln x}'
=cos x\ln x+sin x\
1
x
=ln x cos x+
sin x
x
/ y' =y
ln x cos x+
[
sin x
x ]
sin x
=xsin x
ln x cos x+
[
x ]
⑵ 주어진 식의 양변에 자연로그를 취하면
ln y=x ln {ln x}
양변을 x에 대하여 미분하면
y'
y ={x}' ln {ln x}+x9ln {ln x}0'
{ln x}'
ln x
1
x
ln x
=ln {ln x}+x\
=ln {ln x}+x\
=ln {ln x}+
1
ln x
/ y' =y
- ln {ln x}+
1
ln x =
={ln x}X
- ln {ln x}+
1
ln x =
⑶ 주어진 식의 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면
ln |y| =ln |x|+2 ln |x-1|-3 ln |x+1|
양변을 x에 대하여 미분하면
2
y'
y =
x-1
3
x+1
1
x
+
-
=
5x-1
x{x-1}{x+1}
/ y' =y
5x-1
x{x-1}{x+1} =
-
x{x-1}@
{x+1}#
{x-1}{5x-1}
{x+1}$
\
=
=
5x-1
x{x-1}{x+1}
⑵ y'=
⑶ y'=-
⑷ y'=
1
x ln |x| ln 5
2 tan 2x
ln 3
3{1-2 ln |x|}
x#
⑴ y=3 ln |3x+1|이므로
9
3x+1
{3x+1}'
3x+1
y' =3\
=
1
x ln |x| ln 5
⑵ y' =
⑶ y' =
=
{ln |x|}'
ln |x| ln 5
{cos 2x}'
cos 2x ln 3
-sin 2x {2x}'
cos 2x ln 3
-2 sin 2x
cos 2x ln 3
2 tan 2x
ln 3
3 ln |x|
x@
이므로
=
=
=-
⑷ y=
y' =
{3 ln |x|}'x@-3 ln |x|{x@}'
{x@}@
3
x
\x@-3 ln |x|\2x
x$
=
=
=
=
3x-6x ln |x|
x$
3x{1-2 ln |x|}
x$
3{1-2 ln |x|}
x#
문제 05-1 6
f{x}=ln |ax-3|에서
f '{x}=
{ax-3}'
ax-3
=
a
ax-3
이때 f '{1}=2이므로
=2, 2a-6=a
a
a-3
/ a=6
40 정답과 해설_개념편
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 40
2018-10-17 오전 11:19:36
⑷ 주어진 식의 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면
ln |y| =
{ln |x-1|+ln |x+3|-2 ln |x+1|}
1
2
양변을 x에 대하여 미분하면
y'
y =
1
x-1
1
x+3
1
2 [
+
-
2
x+1 ]
=
4
{x-1}{x+1}{x+3}
/ y' =y
4
{x-1}{x+1}{x+3}
-
=
=r
{x-1}{x+3}
{x+1}@
4
{x-1}{x+1}{x+3}
y\
=
4
|x+1|{x+1}1{x-1}{x+3}3
문제 06-1 2
주어진 식의 양변에 자연로그를 취하면
ln`f{x}={ln x}@
양변을 x에 대하여 미분하면
f '{x}
2 ln x
x
f{x}
=2 ln x\
1
x
=
/ f '{x} =f{x}\
2 ln x
x
=xln x\
2 ln x
x
/ f '{e} =e\
=2
2
e
유제 07 ⑴ y'=-
⑵ y'=
⑷ y'=
5
8x#j2xk
4x@-x+2
1x@+13
cos x
2j1+sin xl
2%0'=-
5
2
=-
\
5
2
1
8x#j2xk
\2
=-
5
8x#j2xk
⑵ y' ={2x-1}'1x@+13+{2x-1}{1x@+13}'
=21x@+13+{2x-1}\
2x
21x@+13
x{2x-1}
1x@+13
=21x@+13+
4x@-x+2
1x@+13
=
⑶ y' ={x@p}'cos x+x2p{cos x}'
=2px2p-1 cos x-x2p sin x
=x2p-1{2p cos x-x sin x}
⑷ y' =
{1+sin x}'
2j1+sin xl
cos x
2j1+sin xl
=
문제 07-1 j2
f{x}=ln {x-1x@-13}에서
f '{x} =
{x-1x@-13}'
x-1x@-13
2x
1-
21x@-13
x-1x@-13
1x@-13-x
1x@-13
x-1x@-13
=
=
=
=-
1
1x@-13
1x@-13-x
1x@-13{x-1x@-13}
이때 f '{a}+1=0이므로
-
1
1a@-13
+1=0, 1a@-13=1
a@=2 / a=j2 (? a>0)
1. ⑴
dy
dx
1
t
⑴ x, y를 각각 t에 대하여 미분하면
⑵
dy
dx
=-
=-
3t@
2t+1
=6t@,
=-6t
dx
dt
dy
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
dx
dt
∴
dy
dx
=
=
-6t
6t@
=-
1
t
⑵ x, y를 각각 t에 대하여 미분하면
dy
dt
=2t+1,
=-3t@
dx
dt
∴
dy
dx
=
=-
3t@
2t+1
Ⅱ-2. 여러 가지 미분법 41
⑶ y'=x2p-1 {2p cos x-x sin x}
⑴ y' =9{2x}-
{2x}-
2&{2x}'
3
p.107
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 41
2018-10-17 오전 11:19:36
개념편 3
유제 & 문제
유제 08 ⑴
=
t@+1
2t
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
⑵
=24jt{3t-1}#
⑶
=-
cot t
2
3
⑷
=2 sin t
⑴ x, y를 각각 t에 대하여 미분하면
dx
dt =
2t{1-t@}-{1+t@}\{-2t}
{1-t@}@
=
4t
{1-t@}@
2{1-t@}-2t\{-2t}
{1-t@}@
dy
dt =
=
2{t@+1}
{1-t@}@
∴
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
=
2{t@+1}
{1-t@}@
4t
{1-t@}@
=
t@+1
2t
⑵ x, y를 각각 t에 대하여 미분하면
=
1
2jt
dx
dt
dy
dt
=4{3t-1}#\3=12{3t-1}#
∴
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
=
12{3t-1}#
1
2jt
⑶ x, y를 각각 t에 대하여 미분하면
dx
dt
dy
dt
=-3 sin t
=2 cos t
∴
dy
dx =
=
2 cos t
-3 sin t
=-
2
3 cot t
dy
dt
dx
dt
dy
dt
dx
dt
⑷ x, y를 각각 t에 대하여 미분하면
dx
dt
dy
dt
=2 sec@`t
=4 sec t tan t
∴
dy
dx =
=
4 sec t tan t
2`sec@`t
=
2 tan t
sec t =2 sin t
=24jt{3t-1}#
42 정답과 해설_개념편
p.108
문제 08-1
1
4
x, y를 각각 t에 대하여 미분하면
dx
dt
=
=
1
t@
t-{t-1}
t@
{t+1}-t
{t+1}@
dy
dt
=
=
1
{t+1}@
∴
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
=
1
{t+1}@
1
t@
=
t@
{t+1}@
따라서 t=1일 때,
dy
dx 의 값은
1@
{1+1}@
=
1
4
4
유제 & 문제
p.110~112
유제 09 ⑴
=
3x@+1
6y@
(단, y=0)
=
-x+1
2y{y@+1}
=
x#+3x@
y#
(단, y=0)
(단, y=0)
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
⑵
⑶
⑷
=
y
x
dy
dx
⑴ 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
3x@+1-6y@
=0
∴
dy
dx
=
3x@+1
6y@
(단, y=0)
⑵ 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
2{x-1}+2{y@+1}\2y
=0
dy
dx
dy
dx
2{x-1}+4y{y@+1}
=0
∴
dy
dx
=
-x+1
2y{y@+1}
(단, y=0)
⑶ 주어진 식의 양변을 제곱하면
y$=x$+4x#
양변을 x에 대하여 미분하면
4y#
=4x#+12x@
dy
dx
∴
dy
dx
=
x#+3x@
y#
(단, y=0)
⑷ 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
-
\
=0
1
x
1
y
dy
dx
/
dy
dx
=
y
x
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 42
2018-10-17 오전 11:19:37
문제 09-1 -
5
7
2x#+3y#-xy@=4의 양변을 x에 대하여 미분하면
6x@+9y@
-y@-2xy
=0
dy
dx
{2xy-9y@}
=6x@-y@
dy
dx
dy
dx
/
dy
dx
=
6x@-y@
2xy-9y@
(단, 2xy=9y@}
따라서 점 {1, 1}에서의 접선의 기울기는
6\1@-1@
2\1\1-9\1@
=-
5
7
유제 10 ⑴
1
3y@+6y+4
{y+1}#
2y
=
=
=
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
⑵
⑶
⑷
2
3 #1{2x-1}@3
단, x= 1
[
2 ]
=
1
2e@Y+5
⑴ 주어진 식의 양변을 y에 대하여 미분하면
dx
dy
=3y@+6y+4
/
dy
dx
=
=
1
3y@+6y+4
1
dx
dy
⑵ 주어진 식의 양변을 y에 대하여 미분하면
[
'
y
y+1 ]
{y+1}-y
{y+1}@
dx
dy =2\
y
y+1
\
=2\
y
y+1
\
=
2y
{y+1}#
/
dy
dx
=
=
{y+1}#
2y
1
dx
dy
⑶ 주어진 식의 양변을 세제곱하면
양변을 y에 대하여 미분하면
y#=2x-1
y#+1
2
/ x=
dx
dy
=
3y@
2
/
dy
dx
=
=
2
3y@
=
2
3 #1{2x-1}@3
[단, x=
1
2 ]
1
dx
dy
1
dx
dy
⑷ 주어진 식의 양변을 y에 대하여 미분하면
dx
dy
=2e@Y+5
/
dy
dx
=
=
1
2e@Y+5
문제 10-1 1
x=ln {sec y}의 양변을 y에 대하여 미분하면
dx
dy
sec y tan y
sec y
{sec y}'
sec y
=tan y
=
=
/
dy
dx
=
=
1
tan y
1
dx
dy
따라서 y=
p
4 에서의
dy
dx 의 값은
=1
1
tan
p
4
유제 11 3
g{-2}=a라 하면 f{a}=-2이므로
a-2
a+1
=-2
a-2=-2{a+1} / a=0
/ g{-2}=0
이때 f '{x}=
f '{0}=3
1
g '{-2}
/
{x+1}-{x-2}
{x+1}@
=
3
{x+1}@
이므로
=f '{g{-2}}=f '{0}=3
문제 11-1 1
g{0}=a라 하면 f{a}=0이므로
ln {ln a}=0
ln a=1 / a=e
/ g{0}=e
이때 f '{x}=
f '{e}=
1
e ln e
{ln x}'
ln x
1
e
=
1
=
x ln x 이므로
/ g'{0}=
1
f '{g{0}}
=
1
f '{e}
=e
/
g'{0}
g{0}
=
=1
e
e
문제 11-2 1
f{x}-2
x-1
lim
1
x`
!
재하므로
=1에서 lim
1
!
x`
{x-1}=0이고 극한값이 존
9 f{x}-20=0
lim
x`
1
!
따라서 f{1}=2이므로 g{2}=1
f{x}-2
f{x}- f{1}
x-1 =lim
/ lim
x-1
1
x`
!
!
x`
1
/ g '{2}=
= f '{1}=1
1
1
f '{1}
f '{g{2}}
=
=1
Ⅱ-2. 여러 가지 미분법 43
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 43
2018-10-17 오전 11:19:37
개념편 5
p.113
1. ⑴ y"=12x@+12x ⑵ y"=
2
x#
⑶ y"=-
1
4xjx k
⑸ y"=-cos x ⑹ y"=-
⑷ y"=4e@X"!
1
x@ ln 2
⑶ y' =
{x}' ln x-x{ln x}'
{ln x}@
1
x
ln x-x\
=
{ln x}@
=
ln x-1
{ln x}@
/ y" =
{ln x-1}'{ln x}@-{ln x-1}9{ln x}@0'
9{ln x}@0@
\{ln x}@-{ln x-1}\2 ln x\
1
x
{ln x}$
1
x
=
=
-ln x {ln x-2}
x{ln x}$
ln x-2
x{ln x}#
=-
⑷ y'=
/ y" =
{x@+1}'
21x@+13
=
=
2x
x
21x@+13
1x@+13
{x}'1x@+13-x{1x@+13}'
{1x@+13}@
2x
21x@+13
1x@+13-x\
x@+1
=
=
1
{x@+1}1x@+13
문제 12-1 -
4
3
{sin x}'
sin x
f '{x}=
=
cos x
sin x
=cot x이므로
f "{x}=-csc@ x
p
3 ]
/ f "
[
=-csc@`
p
3
=-
1
sin@`
p
3
=-
4
3
문제 12-2 a=-1, b=-1
f '{x} ={x+a}'eBX+{x+a}{eBX}'
=eBX+{x+a}\beBX
=eBX{1+bx+ab}
/ f "{x} ={eBX}'{1+bx+ab}+eBX{1+bx+ab}'
=beBX{1+bx+ab}+eBX\b
=beBX{2+bx+ab}
1+ab=2 / ab=1
yy ㉠
f '{0}=2에서
f "{0}=-3에서
b{2+ab}=-3
위의 식에 ㉠을 대입하면
3b=-3 / b=-1
이를 ㉠에 대입하면
-a=1 / a=-1
⑴ y'=4x#+6x@-3
/ y"=12x@+12x
⑵ y'=-x_@
/ y"=2x_#=
2
x#
⑶ y'=
2!
1
2 x-
/ y"=-
x-
2#=-
1
4
1
4xjx k
⑷ y'=2e@X"!
/ y"=4e@X"!
⑸ y'=-sin x
⑹ y'=
/ y"=-cos x
1
x ln 2
1
x@ ln 2
/ y"=-
5
유제 & 문제
p.114
유제 12 ⑴ y"=xeX{x@+6x+6}
⑵ y"=-4 sin x cos x
⑶ y"=-
⑷ y"=
ln x-2
x{ln x}#
1
{x@+1}1x@+13
⑴ y' ={x#}'eX+x#{eX}'
=3x@eX+x#eX
=eX{x#+3x@}
/ y" ={eX}'{x#+3x@}+eX{x#+3x@}'
=eX{x#+3x@}+eX{3x@+6x}
=xeX{x@+6x+6}
⑵ y' ={sin x}' cos x+sin x {cos x}'
=cos x\cos x+sin x\{-sin x}
=cos@ x-sin@ x
=1-2 sin@ x
/ y" =-4 sin x {sin x}'
=-4 sin x cos x
44 정답과 해설_개념편
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 44
2018-10-17 오전 11:19:38
기본 연습문제
p.115~117
4
f{sin 2px}-f{tan px}
lim
x
0
x`
!
1 ①
6
3
2
11 4
2
8
3
7 4
12 3
3 ③
4 -2p@ 5 -6
8 ②
9 ④
10 ⑤
1
f '{x} =
{ax+b}'{x@+1}-{ax+b}{x@+1}'
{x@+1}@
=
a{x@+1}-{ax+b}\2x
{x@+1}@
=
-ax@-2bx+a
{x@+1}@
=2, -
=2
b
2
f '{1}=2에서
-a-2b+a
{1+1}@
/ b=-4
또 f '{2}=1에서
-4a-4b+a
{4+1}@
/ 3a+4b=-25
=1,
-3a-4b
25
=1
㉠을 ㉡에 대입하여 풀면 a=-3
따라서 f{x}=
-3x-4
x@+1
이므로
f{1}=-
7
2
p
3
f
[
+h
- f
[
]
2h
p
3
-h
]
2
lim
0
h`
!
=lim
0
h`
!
f
[
1
2 lim
h`
0
!
=
p
3
+h
- f
[
]
h
2h
p
3 ]
p
3
f
[
+h
- f
[
]
p
3 ]
+ f
[
p
3 ]
- f
[
p
3
-h
]
p
3 ]
+
f
[
1
2 lim
h`
0
!
p
3
-h
- f
[
]
-h
=
1
f '
2
[
p
3 ]
+
1
2 f '
[
p
3 ]
= f '
p
3 ]
[
이때 f '{x}=sec@ x-csc@ x이므로
4
3
p
3 ]
=sec@`
-csc@`
=4-
p
3
p
3
f '
[
=
8
3
3
f '{x} =9{x@+1}@0'ex@+{x@+1}@{ex@}'
=2{x@+1}\2xex@+{x@+1}@\ex@\2x
=2x{x@+1}{x@+3}ex@
/ f '{1}=2\2\4\e=16e
yy ㉠
yy ㉡
=lim
0
x`
!
f{sin 2px}-f{0}+f{0}-f{tan px}
x
f{sin 2px}-f{0}
=lim
x
0
x`
!
=lim
0
x`
!
-
f{sin 2px}-f{0}
sin 2px-0
-lim
0
x`
!
sin 2px
2px
\
\2p =
f{tan px}-f{0}
x
-lim
0
x`
!
=f '{0}\1\2p-f '{0}\1\p
-
f{tan px}-f{0}
tan px-0
\
tan px
px \p =
=pf '{0}
이때 f{x}=sin {2px+p}+cos {px@+p}에서
f '{x} =cos {2px+p}\2p-sin {px@+p}\2px
=2p9cos {2px+p}-x sin {px@+p}0
/ pf '{0}=p\2p cos p=-2p@
5 곡선 y=f{x} 위의 점 {3, -2}에서의 접선의 방정식이
또 곡선 y=g{x} 위의 점 {1, 3}에서의 접선의 방정식이
yy ㉠
yy ㉡
y=3x-11이므로
f{3}=-2, f '{3}=3
y=-2x+5이므로
g{1}=3, g '{1}=-2
㉠, ㉡에서 f{g{1}}= f{3}=-2
f{g{x}}+2
/ lim
x-1
1
x`
!
f{g{x}}- f{g{1}}
=lim
x-1
1
x`
!
=lim
1
x`
!
f{g{x}}- f{g{1}}
g{x}-g{1}
-
f{g{x}}- f{g{1}}
=lim
g{x}-g{1}
1
x`
!
\
g{x}-g{1}
x-1
=
g{x}-g{1}
x-1
\lim
1
x`
!
= f '{g{1}}\g '{1}
= f '{3}\{-2}
=3\{-2}=-6
6
f '{x}=
{x@+2x}'
x@+2x
=
2{x+1}
x@+2x
/
f '{n}
E
n+1
?n=1
E
?n=1
-
=
2{n+1}
n@+2n
\
1
n+1 =
=
n
2
=lim
?k=1
k{k+2}
n`
E
!
n
=lim
[
?k=1
n`
E
!
=lim
n`
E
!
-[
1-
1
3 ]
+
[
1
2
-
1
4 ]
+
[
1
3
-
2
E
?n=1
n{n+2}
1
k
-
1
k+2 ]
1
5 ]
+y+
1
n-1
[
-
1
n+1 ]
+
[
1
n
-
1
n+2 ]=
=lim
n`
E
!
[
1+
-
1
2
1
n+1
-
1
n+2 ]
=
3
2
Ⅱ-2. 여러 가지 미분법 45
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 45
2018-10-17 오전 11:19:39
개념편 7 h'{x}=g '{ f{x}}f '{x}이고 f{1}=1이므로
h'{1}=g '{ f{1}} f '{1}=g '{1}f '{1}
/ g '{1}f '{1}=12
이때 f{x}={2x-1}j2x-1l={2x-1}2#이므로
f '{x} =
{2x-1}2!\{2x-1}'
yy`㉠
11 lim
2
x`
!
x-2
f{x}-3
=4에서 lim
2
!
x`
한값이 존재하므로
{x-2}=0이고 0이 아닌 극
3
2
3
2
=
{2x-1}2!\2
=3j2x-1l
/ f '{1}=3
이를 ㉠에 대입하면
3g '{1}=12 / g '{1}=4
8 x, y를 각각 t에 대하여 미분하면
dx
dt
=t@+t-2,
=t#-2t+1
dy
dt
∴
dy
dx
=
=
t#-2t+1
t@+t-2
dy
dt
dx
dt
t#-2t+1
dy
∴ lim
dx =lim
t@+t-2
1
t`
!
{t-1}{t@+t-1}
=lim
{t-1}{t+2}
1
t`
!
t`
!
1
t@+t-1
=lim
t+2
1
t`
!
1
3
=
3y@+2x@=x@y@
양변을 x에 대하여 미분하면
6y
dy
dx
+4x=2xy@+x@\2y
dy
dx
{6y-2x@y}
=2xy@-4x
dy
dx
∴
dy
dx
=
x{y@-2}
y{3-x@}
(단, y{3-x@}=0)
따라서 a=2, b=3이므로
a+b=5
x=tan y
양변을 y에 대하여 미분하면
dx
dy
=sec@ y
/
dy
dx =
=
1
sec@ y
1
dx
dy
=
1
1+tan@ y
1
=
1+x@ (? ㉠)
46 정답과 해설_개념편
9 f{x}-30=0
lim
x`
2
!
따라서 f{2}=3이므로 g{3}=2
/ lim
2
x`
!
x-2
f{x}-3
x-2
=lim
f{x}-f{2}
2
x`
!
=lim
2
x`
!
1
f{x}-f{2}
x-2
=
1
f '{2}
=4
/ g '{3}=
1
f '{ g{3}}
=
1
f '{2}
=4
12 f{x}=x@ ln x에서
f '{x} =2x ln x+x@\
=2x ln x+x
1
x
1
x
/ f "{x} =2 ln x+2x\
+1
=2 ln x+3
방정식 f{x}+f '{x}-4 f "{x}=x-12에 f{x}, f '{x},
f "{x}를 대입하면
x@ ln x+2x ln x+x-4{2 ln x+3}=x-12
{x@+2x-8} ln x=0
{x+4}{x-2} ln x=0
그런데 x>0이므로
x=1 또는 x=2
1+2=3
따라서 방정식을 만족하는 모든 x의 값의 합은
10 y= f _!{x}에서 x= f{y}이므로
실전 연습문제
p.118
yy ㉠
1
9
e
2 1
3
p
2
4 -8
1 g{x}=eX이라 하면 g '{x}=eX이므로
g{x}-g{a}
eX-eA
lim
x-a =lim
x-a
a
x`
!
x`
a
!
=g '{a}
=eA
9 주어진 식의 양변에 xy를 곱하면
/ x=-4 또는 x=1 또는 x=2
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 46
2018-10-17 오전 11:19:39
x`
x#-a#
/ f{a} =lim
eX-eA
a
!
{x-a}{x@+ax+a@}
=lim
eX-eA
a
x`
!
x@+ax+a@
=lim
eX-eA
a
x`
!
x-a
=
3a@
eA
f{a}=
f '{a}=
/ lim
0
h`
!
3a@
eA 의 양변을 a에 대하여 미분하면
6aeA-3a@eA
e@A
6a-3a@
eA
f{1+h}- f{1-2h}
h
=
=lim
0
h`
!
f{1+h}- f{1}+ f{1}- f{1-2h}
h
=lim
0
h`
!
f{1+h}- f{1}
h
f{1-2h}- f{1}
+2 lim
-2h
0
h`
!
=f '{1}+2 f '{1}
=3 f '{1}
=3\
3
e
=
9
e
2
f{x}=xX {x>0}이라 하면 f{2}=2@=4이므로
f{x}-f{2}
xX-4
x-2 =lim
x-2
x`
2
lim
2
x`
!
!
=f '{2}
=a
이때 함수 f{x}의 양변에 자연로그를 취하면
yy ㉠
3 x, y를 각각 h에 대하여 미분하면
dx
dh
dy
dh
=1-cos h
=-sin h
∴
dy
dx
=
=
-sin h
1-cos h
dy
dh
dx
dh
이때 접선의 기울기가 -1이므로
-sin h
1-cos h
=-1
-sin h=-1+cos h
sin h+cos h=1
㉠의 양변을 제곱하면
sin@`h+2 sin h cos h+cos@`h=1
1+2 sin h cos h=1
sin h cos h=0
∴ sin h=0 또는 cos h=0
이때 ㉠을 만족하는 h의 값은
h=
p
2
a=
따라서 점 P의 x좌표와 y좌표는
p
2 -1
b=1+cos
p
p
2 =
2 -sin
p
2 =1
p
2
-1
[
∴ a+b=
+1=
]
p
2
yy ㉠
/ h=
p
2 또는 h=p 또는 h=
3
2
p {? 00}
따라서 g{1}=-1이므로
1
f '{g{1}}
g '{1}=
=
1
f '{-1}
=
1
7
/ h'{1}=
7\{-1}-7\
{-1}@
1
7
=-8
Ⅱ-2. 여러 가지 미분법 47
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 47
2018-10-17 오전 11:19:40
개념편 II-3. 도함수의 활용
01 접선의 방정식과 함수의 그래프
1
p.120
1. ⑴ 1 ⑵ -j2 k
⑴ f{x}=eX이라 하면 f '{x}=eX
f '{0}=1
⑵ f{x}=cos x-sin x라 하면
f '{x}=-sin x-cos x
p
4 , 0
j2
2
따라서 점 [
p
4 ]
=-
-
f '
[
]에서의 접선의 기울기는
j2
2
=-j2
이때 점 {e, 2e}에서의 접선에 수직인 직선의 기울기는
-
1
f '{e}
=-
1
3
따라서 구하는 직선의 방정식은
y-2e=-
{x-e} / y=-
1
3 x+
7
3 e
1
3
1
4e@
문제 01-2
f{x}=eX이라 하면 f '{x}=eX
{1, e}에서의 접선의 방정식은
y-e=e{x-1} / y=ex
이때 직선 y=ex가 곡선 y=jx-kl에 접하므로 방정식
ex=jx-kl는 중근을 갖는다.
따라서 이차방정식 e@x@-x+k=0의 판별식을 D라 하면
따라서 점 {0, 1}에서의 접선의 기울기는
점 {1, e}에서의 접선의 기울기는 f '{1}=e이므로 점
D=1-4e@k=0 / k=
1
4e@
유제 02 ⑴ y=
x-1+ln 6
1
2
⑵ y=-x+
⑶ y=
x+
j3
3
j3
2
+
p
3
4j3
3
⑴ f{x}=ln 3x라 하면 f '{x}=
3
3x
=
1
x
접점의 좌표를 {t, ln 3t}라 하면 직선 x-2y+3=0,
3
2 에 평행한 접선의 기울기는
1
2 이므로
즉 y=
f '{t}=
1
2 x+
1
2 에서
=
1
2 / t=2
1
t
따라서 접점의 좌표는 {2, ln 6}이므로 구하는 접선의
방정식은
1
2
y-ln 6=
{x-2} / y=
x-1+ln 6
⑵ f{x}=sin 2x라 하면
f '{x}=cos 2x\2=2 cos 2x
접점의 좌표를 {t, sin 2t}라 하면 접선의 기울기가
1
2
1
2
-1이므로 f '{t}=-1에서
2 cos 2t=-1 / cos 2t=-
00}로 놓으면
A-2A_!=1, A@-A-2=0
{A+1}{A-2}=0
∴ A=2 {? A>0}
즉, eT=2이므로 t=ln 2
접점을 지나므로
3=ln 2+a
/ a=3-ln 2
문제 02-2
9
2
따라서 접점의 좌표가 {ln 2, 3}이고 직선 y=x+a가 이
! cos t=0에서 t=
? 00}
과 계수의 관계에 의해
a+b=1, ab=-1
이때 이차방정식 t@-t-1=0의 두 근을 a, b라 하면 근
Ⅱ-3. 도함수의 활용 49
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 49
2018-10-17 오전 11:19:41
개념편 따라서 x=a, x=b에서의 접선의 기울기를 각각 m1, m2
2
p.125
라 하면
m1=f '{a}=ea{1+a}
m2=f '{b}=eb{1+b}
/ m1m2 =ea{1+a}eb{1+b}
=ea+b{1+a+b+ab}
=e!{1+1-1}=e
1. 극댓값: 0, 극솟값: -1
f{x}=2x#-3x@에서
f '{x}=6x@-6x=6x{x-1}
f '{x}=0인 x의 값은
x=0 또는 x=1
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
0
0
0
극대
y
-
↘
1
0
-1
극소
y
+
↗
따라서 함수 f{x}는 x=0에서 극대이고 극댓값은 0,
x=1에서 극소이고 극솟값은 -1이다.
유제 04 -4
f{x}={x-a}e_X이라 하면
f '{x} =e_X-{x-a}e_X={1+a-x}e_X
접점의 좌표를 {t, {t-a}e_T}이라 하면 이 점에서의 접
선의 기울기는 f '{t}={1+a-t}e_T이므로 접선의 방정
식은
y-{t-a}e_T={1+a-t}e_T{x-t}
이 직선이 점 {0, 0}을 지나므로
-{t-a}e_T={1+a-t}e_T{-t}
e_T>0이므로 양변을 e_T으로 나누면
-{t-a}={1+a-t}{-t}
/ t@-at-a=0
yy ㉠
곡선 y={x-a}e_X에 오직 하나의 접선을 그을 수 있으
려면 방정식 ㉠이 중근을 가져야 하므로 ㉠의 판별식을 D
라 하면
D={-a}@-4\{-a}=0
a@+4a=0, a{a+4}=0
/ a=-4 {? a=0}
문제 04-1 1
x+1
x
f{x}=
f '{x}=-
1
x@
=1+
1
x 이라 하면
접점의 좌표를 [
t, 1+
1
t ]이라 하면 이 점에서의 접선의
기울기는 f '{t}=-
이므로 접선의 방정식은
1
t@
1
t@
1
t@
y-
1+
[
=-
{x-t}
이 직선이 점 {2, 1}을 지나므로
1-
1+
[
=-
{2-t}
-
=-
+
1
t
1
t
1
t ]
1
t ]
2
t@
t=0이므로 양변에 t@을 곱하여 정리하면
2t=2 / t=1
50 정답과 해설_개념편
2
유제 & 문제
p.126~128
유제 05 ⑴ 구간 {-1, 0]에서 감소,
구간 [0, E}에서 증가
⑵ 구간 {0, 2j2]에서 증가,
구간 [2j2, 4}에서 감소
⑶ 구간 {-E, 0]에서 감소,
구간 [0, E}에서 증가
7
6
11
6
,
{
0,
⑷ 구간
[
p
}
구간
{
7
6
p,
11
6
p
}
에서 감소
p, 2p
에서 증가,
]
1
⑴ f{x}=x+
x+1 에서
1
{x+1}@
f '{x}=0인 x의 값은
f '{x}=1-
x=0 (? x>-1)
=
x{x+2}
{x+1}@
x>-1에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면
다음과 같다.
x
-1
f '{x}
f{x}
y
-
↘
0
0
1
y
+
↗
따라서 점 {1, 2}에서 접하므로 점 {2, 1}에서 그을 수 있
따라서 함수 f{x}는 구간 {-1, 0]에서 감소하고, 구
는 접선의 개수는 1이다.
간 [0, E}에서 증가한다.
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 50
2018-10-17 오전 11:19:41
⑵ f{x}=x+116-x@3에서
f '{x} =1+
-2x
2116-x@3
116-x@3-x
116-x@3
=
f '{x}=0인 x의 값은
116-x@3=x
16-x@=x@
x@=8 / x=2j2 {? x>0}
00이므로
ax@+2ax-1<0
! a=0일 때
-1<0이므로 성립한다.
@ a=0일 때
yy ㉠
따라서 함수 f{x}는 구간 {0, 2j2]에서 증가하고, 구
간 [2j2, 4}에서 감소한다.
하므로
a<0
이차부등식 ㉠이 모든 실수 x에 대하여 성립해야
또 이차방정식 ax@+2ax-1=0의 판별식을 D라
⑶ f{x}=eX-x에서
f '{x}=eX-1
f '{x}=0인 x의 값은
eX=1 / x=0
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
0
0
1
y
+
↗
따라서 함수 f{x}는 구간 {-E, 0]에서 감소하고,
구간 [0, E}에서 증가한다.
⑷ f{x}=
x-cos x에서
+sin x
f '{x}=
1
2
f '{x}=0인 x의 값은
1
2
sin x=-
1
2
7
6
/ x=
p 또는 x=
p {? 00이므로
ax@+2ax-1<0
따라서 g{1}<0에서
a+2a-1<0
1
3
/ a<
그런데 a>0이므로
1
3
00}이라 하면
g{x}=a{x+1}@-a-1
g{x}<0이어야 하므로 함수 y=g{x}의 그래프는 다
음 그림과 같아야 한다.
y=g{x}
-1
1
x
Ⅱ-3. 도함수의 활용 51
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 51
2018-10-17 오전 11:19:42
개념편
유제 06 ⑴ 극댓값: 1, 극솟값: -1
⑵ 극댓값: 없다., 극솟값: e
⑶ 극댓값: 4e_@, 극솟값: 0
3j3
2
⑷ 극댓값:
, 극솟값: -
3j3
2
⑴ f{x}=
2x
x@+1
에서
f '{x} =
2{x@+1}-2x\2x
{x@+1}@
=
-2{x+1}{x-1}
{x@+1}@
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=1
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
-1
0
-1
극소
y
+
↗
1
0
1
극대
y
-
↘
따라서 함수 f{x}는 x=1에서 극대이고 극댓값은 1,
x=-1에서 극소이고 극솟값은 -1이다.
⑵ f{x}=
f '{x}=
eX
x 에서
eX\x-eX
x@
=
eX{x-1}
x@
f '{x}=0인 x의 값은 x=1 (? eX>0)
x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다
음과 같다.
0
x
f '{x}
f{x}
극댓값은 없다.
y
-
↘
1
0
e
극소
y
+
↗
따라서 함수 f{x}는 x=1에서 극소이고 극솟값은 e,
⑶ f{x}=x{ln x}@에서 x>0이고
1
x
f '{x} ={ln x}@+x\2 ln x\
=ln x {ln x+2}
f '{x}=0인 x의 값은
ln x=0 또는 ln x=-2
/ x=1 또는 x=e_@
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
0
f '{x}
f{x}
y
+
↗
e_@
0
4e_@
극대
y
-
↘
1
0
0
극소
y
+
↗
따라서 함수 f{x}는 x=e_@에서 극대이고 극댓값은
4e_@, x=1에서 극소이고 극솟값은 0이다.
52 정답과 해설_개념편
다른 풀이 이계도함수를 이용
f '{x}=ln x {ln x+2}에서
f "{x} =
1
x {ln x+2}+ln x\
f '{x}=0인 x의 값은 x=1 또는 x=e_@
1
x
=
2
x {ln x+1}
/ f "{1}=2{ln 1+1}=2>0,
2
e_@
f "{e_@}=
{ln e_@+1}=-2e@<0
따라서 함수 f{x}는 x=e_@에서 극대이고 극댓값은
f{e_@}=e_@{ln e_@}@=4e_@
또 x=1에서 극소이고 극솟값은 f{1}=1\{ln 1}@=0
⑷ f{x}=2 cos x+sin 2x에서
f '{x} =-2 sin x+2 cos 2x
=-2 sin x+2{1-2 sin@ x}
=-2{2 sin@ x+sin x-1}
=-2{2 sin x-1}{sin x+1}
f '{x}=0인 x의 값은
sin x=
/ x=
1
2 또는 sin x=-1
p
6 또는 x=
5
6
p {? 00
따라서 함수 f{x}는 x=
p
6 ]
f
[
=2 cos
+sin
p
6
p
6 에서 극대이고 극댓값은
p
3
3j3
2
=
또 x=
p에서 극소이고 극솟값은
5
6
5
6
p
5
=2 cos
6
5
p+sin
3
]
f
[
p=-
3j3
2
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 52
2018-10-17 오전 11:19:42
문제 06-1 1
3
유제 & 문제
p.130~131
f{x}=a cos x-b cos 2x에서
f '{x}=-a sin x+2b sin 2x
x=
f '
[
p
3 에서 극댓값
p
3 ]
=0, f [
p
3 ]
=
3
2
3
2 을 가지므로
f '
-
=0에서
p
[
3 ]
j3
2 a+j3b=0 / a-2b=0
p
3 ]
3
2 에서
3
2 / a+b=3
f [
1
2
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=1
a+
b=
1
2
=
/ a-b=1
문제 06-2 -
-2 ln 2
9
8
f{x}=ax@-bx+ln x에서 x>0이고
1
x
f '{x}=2ax-b+
yy`㉠
yy`㉡
유제 07 ⑴ x<2에서 위로 볼록, x>2에서 아래로 볼록,
변곡점의 좌표: {2, 2}
, x> j3
3
⑵ x<- j3
3
에서 아래로 볼록,
1
2
1
2
변곡점의 좌표:
[
1
2
1
2
,
-ln 2
]
⑷ 위로 볼록, 변곡점은 없다.
⑴ f{x}=x#-6x@+9x라 하면
f '{x}=3x@-12x+9
f "{x}=6x-12=6{x-2}
f "{x}=0인 x의 값은 x=2
따라서 곡선 y=f{x}는 x<2에서 f "{x}<0이므로
위로 볼록하고, x>2에서 f "{x}>0이므로 아래로 볼
x=1에서 극솟값 -3을 가지므로 f '{1}=0, f{1}=-3
f '{1}=0에서 2a-b+1=0 / 2a-b=-1 yy ㉠
f{1}=-3에서 a-b=-3
yy ㉡
록하다.
이때 변곡점의 좌표는 {2, 2}이다.
⑵ f{x}=
x@+1 이라 하면
1
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=5
/ f{x}=2x@-5x+ln x
/ f '{x}=4x-5+
1
x
f '{x}=0인 x의 값은
=
4x@-5x+1
x
4x@-5x+1=0, {4x-1}{x-1}=0
/ x=
1
4 또는 x=1
따라서 함수 f{x}는 x=
1
4 에서 극대이고 극댓값은
1
4 ]
f [
9
8
=-
-2 ln 2
문제 06-3 10
f{x}={x@-6x+k}eX에서
f '{x} ={2x-6}eX+{x@-6x+k}eX
={x@-4x+k-6}eX
이때 eX>0이므로 함수 f{x}가 극값을 갖지 않으려면
x@-4x+k-6>0
따라서 이차방정식 x@-4x+k-6=0이 중근 또는 허근
을 가져야 하므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
4
따라서 구하는 상수 k의 최솟값은 10이다.
=4-k+6<0 / k>10
f '{x}=
f "{x} =
-2x
{x@+1}@
-2{x@+1}@-{-2x}\2{x@+1}\2x
{x@+1}$
=
6x@-2
{x@+1}#
f "{x}=0인 x의 값은
6x@-2=0, x@=
1
3
/ x=-
j3
3 또는 x=
j3
3
따라서 곡선 y=f{x}는 x<-
j3
3 , x>
j3
3
j3
3 에서
j3
3 에
f "{x}>0이므로 아래로 볼록하고, -
0이고
1
x
f '{x}=4x+
f "{x}=4-
1
x@
f "{x}=0인 x의 값은
4-
=0 / x=
1
x@
1
2 {? x>0}
Ⅱ-3. 도함수의 활용 53
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 53
2018-10-17 오전 11:19:43
개념편 따라서 곡선 y=f{x}는 0
1
2 에서 f "{x}>0이므로 아래
유제 08 -80
f{x}=x@+ax+b ln x에서 x>0이고
b
x
f '{x}=2x+a+
로 볼록하다.
1
1
이때 변곡점의 좌표는 [
2 ,
2
⑷ f{x}=sin x+cos x라 하면
-ln 2
]이다.
f '{x}=cos x-sin x
f "{x}=-sin x-cos x
00, cos x>0이므로
f "{x}=-{sin x+cos x}<0
따라서 곡선 y=f{x}는 00
이때 곡선 y=f{x}가 구간 {-E, E}에서 아래로 볼록
따라서 3x@+2ax-a>0이어야 하므로 이차방정식
3x@+2ax-a=0의 판별식을 D라 하면
D
4
=a@+3a<0
a{a+3}<0 / -30)
의 좌표는 [
2,
2
e@ ]
로 구하는 접선의 방정식은
1
e@
{x-2}
=-
2
e@
y-
/ y=-
x+
1
e@
4
e@
54 정답과 해설_개념편
f "{x}=2-
b
x@
2+a+b=0
x=1에서 극대이므로 f '{1}=0에서
변곡점의 x좌표가 2이므로 f "{2}=0에서
2-
=0 / b=8
b
4
이를 ㉠에 대입하여 풀면 a=-10
/ ab=-80
문제 08-1 2e
f{x}={ln ax}@이라 하면 x>0이고
f '{x} =2 ln ax\
a
ax
=
2 ln ax
x
f "{x} =
2
x
\x-2 ln ax
x@
=
2{1-ln ax}
x@
f "{x}=0인 x의 값은
1-ln ax=0, ln ax=1
ax=e / x=
e
a
yy ㉠
이때 x=
e
a 의 좌우에서 f "{x}의 부호가 바뀌므로 변곡점
e
a , 1
의 좌표는 [
이 점이 직선 y=2x 위에 있으므로
]
1=2\
e
a / a=2e
문제 08-2 2
f{x}=3x$-4x#+ax@이라 하면
f '{x}=12x#-12x@+2ax
f "{x}=36x@-24x+2a
가 바뀌지 않아야 하므로
f "{x}=36x@-24x+2a>0
하면
D
4
=12@-36\2a<0
144-72a<0 / a>2
따라서 구하는 상수 a의 최솟값은 2이다.
이때 x=2의 좌우에서 f "{x}의 부호가 바뀌므로 변곡점
곡선 y=f{x}가 변곡점을 갖지 않으려면 f "{x}의 부호
따라서 변곡점에서의 접선의 기울기는 f '{2}=-
이므
따라서 이차방정식 36x@-24x+2a=0의 판별식을 D라
1
e@
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 54
2018-10-17 오전 11:19:43
4
1. 풀이 참조
p.133
f '{x}=0인 x의 값은 x=
4
3
f "{x}=0인 x의 값은 x=2
함수 f{x}의 증가와 감소, 오목과 볼록을 표로 나타내면
f{x}=x$-4x#+10이라 하면
f '{x}=4x#-12x@=4x@{x-3}
f "{x}=12x@-24x=12x{x-2}
f '{x}=0인 x의 값은
x=0 또는 x=3
f "{x}=0인 x의 값은
x=0 또는 x=2
다음과 같다.
x
f '{x}
y
-
f "{x} +
f{x}
0
0
0
y
-
-
2
-
0
y
-
+
10
변곡점
-6
변곡점
따라서 함수 y=f{x}의 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
3
0
+
-17
극소
y
10
O
2
3
y
+
+
x
-6
-17
4
유제 & 문제
유제 09 풀이 참조
p.134~138
⑴ f{x}=
x@-3x+2
x@
=1-
+
라 하면
3
x
2
x@
! 정의역은 x=0인 실수 전체의 집합이다.
@ x=0이므로 그래프와 y축과의 교점은 없다.
f{x}=0에서 x@-3x+2=0
{x-1}{x-2}=0
/ x=1 또는 x=2
따라서 그래프는 점 {1, 0}, {2, 0}을 지난다.
3x-4
x#
3
x@
4
x#
=
-
# f '{x}=
f "{x} =
3x#-{3x-4}\3x@
x^
=
-6{x-2}
x$
x=0에서 함수 f{x}의 증가와 감소, 오목과 볼록
을 표로 나타내면 다음과 같다.
x
y 0 y
y
f '{x} +
f "{x} +
f{x}
4
3
0
-
1
8
극소
-
+ + +
+ + +
2
0
0
y
-
변곡점
$ lim
x`
!
x@-3x+2
x@
0+
x@-3x+2
=E, lim
x@
0-
x`
!
=E,
x@-3x+2
lim
x@
x`
E
!
!
이므로 그래프의 점근선은 직선 x=0, y=1이다.
x@-3x+2
=1, lim
x@
-E
x`
=1
따라서 함수 y=f{x}의 그래프는 다음 그림과 같다.
y
1
O
-
8!
1
1
3$
2
x
⑵ f{x}=
x@-x+1
x-1
=x+
x-1 이라 하면
! 정의역은 x=1인 실수 전체의 집합이다.
@ f{0}=-1이므로 그래프는 점 {0, -1}을 지난다.
# f '{x} =1-
1
{x-1}@
=
=
x@-2x
{x-1}@
x{x-2}
{x-1}@
f "{x}
=
2
{x-1}#
f '{x}=0인 x의 값은
x=0 또는 x=2
=
{2x-2}{x-1}@-{x@-2x}\2{x-1}
{x-1}$
x=1에서 함수 f{x}의 증가와 감소, 오목과 볼록
을 표로 나타내면 다음과 같다.
x
y 0 y 1 y 2 y
f '{x} + 0 -
- 0 +
f "{x} - - -
f{x}
-1
극대
+ + +
3
극소
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개념편 $ lim
x`
1+[
x+
!
=E,
1
x-1 ]
1
x-1 ]
lim
x`
!
1-[
x+
=-E,
x+
lim
x`
!
E[
1
x-1
-x
=0,
]
1
x-1
x+
-E[
lim
x`
!
이므로 그래프의 점근선은 직선 x=1, y=x이다.
=0
-x
]
따라서 함수 y=f{x}의
그래프는 오른쪽 그림과
같다.
y
3
O
-1
y=x
1 2
x
⑶ f{x}=#1x@2=x3@이라 하면
! 정의역은 실수 전체의 집합이다.
@ f{-x}=#1x@2= f{x}이므로 그래프는 y축에 대하
여 대칭이다.
# f{0}=0이므로 그래프는 원점을 지난다.
$ f '{x}=
2
3
x-
3!=
f "{x}=-
2
9
x-
2
3 #jx k
3$=-
2
9x #jx k
함수 f{x}의 증가와 감소, 오목과 볼록을 표로 나
타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f "{x}
f{x}
y
-
-
0
0
y
+
-
% lim
!
x`
E
같다.
#1x@2=E, lim
x`
-E
#1x@2=E
!
따라서 함수 y= f{x}의
그래프는 오른쪽 그림과
y
O
x
⑷ f{x}=2x-jx k라 하면
! 정의역은 x>0인 실수 전체의 집합이다.
@ f{x}=0에서
2x-jx k=0, 2x=jx k
양변을 제곱하면 4x@=x
x{4x-1}=0 / x=0 또는 x=
1
4
따라서 그래프는 점 {0, 0}, [
1
4 , 0
]을 지난다.
56 정답과 해설_개념편
# f '{x}=2-
, f "{x}=
1
2jx k
1
4xjx k
f '{x}=0인 x의 값은
2-
1
=0, 4jx k=1
2jx k
1
16
/ x=
x>0에서 함수 f{x}의 증가와 감소, 오목과 볼록
을 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f "{x}
f{x}
0
0
y
-
+
1
16
0
+
-
1
8
극소
y
+
+
$ lim
{2x-jx k}=lim
따라서 함수 y= f{x}의
E
E
!
!
x`
x`
2-
x
[
=E
1
]
jx k
y
그래프는 오른쪽 그림과
같다.
1
16
4!
O
-
8!
x
유제 10 풀이 참조
⑴ f{x}=xe_X이라 하면
! 정의역은 실수 전체의 집합이다.
@ f{0}=0이므로 그래프는 원점을 지난다.
# f '{x} =e_X-xe_X={1-x}e_X
f "{x} =-e_X-{1-x}e_X={x-2}e_X
f '{x}=0인 x의 값은
x=1 {? e_X>0}
f "{x}=0인 x의 값은
x=2 {? e_X>0}
타내면 다음과 같다.
함수 f{x}의 증가와 감소, 오목과 볼록을 표로 나
x
f '{x}
f "{x}
f{x}
y
+
-
1
0
-
1
e
극대
y
-
-
2
-
0
2
e@
변곡점
y
-
+
$ lim
x`
E
xe_X=0, lim
-E
x`
!
!
x축이다.
xe_X=-E이므로 점근선은
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 56
2018-10-17 오전 11:19:44
따라서 함수 y= f{x}의 그래프는 다음 그림과 같다.
y
e!
2
e@
O
1
2
x
⑵ f{x}=ln {x@+1}이라 하면
! x@+1>0이므로 정의역은 실수 전체의 집합이다.
@ f{-x}=ln {x@+1}=f{x}이므로 그래프는 y축
에 대하여 대칭이다.
# f{0}=0이므로 그래프는 원점을 지난다.
$ f '{x}=
2x
x@+1
f "{x} =
2{x@+1}-2x\2x
{x@+1}@
-2{x+1}{x-1}
{x@+1}@
=
f '{x}=0인 x의 값은
x=0
f "{x}=0인 x의 값은
x=-1 또는 x=1
타내면 다음과 같다.
함수 f{x}의 증가와 감소, 오목과 볼록을 표로 나
x
y -1 y 0 y
f '{x} - - - 0 + + +
f "{x} -
0
+ + +
f{x}
ln 2
변곡점
0
극소
ln 2
변곡점
1
0
y
-
% lim
!
ln {x@+1}=E, lim
-E
ln {x@+1}=E
x`
E
x`
따라서 함수 y=f{x}의 그래프는 다음 그림과 같다.
y
!
ln 2
-1
O
1
x
⑶ f{x}=x-2 sin x라 하면
f '{x}=1-2 cos x, f "{x}=2 sin x
f '{x}=0인 x의 값은
1-2 cos x=0, cos x=
1
2
/ x=-
p
3 또는 x=
f "{x}=0인 x의 값은
p
3 [
sin x=0
/ x=0 [
? -
0
6 2
4 ②
5 -
7 j2p 8 ㄱ, ㄷ
1
e@
9 ③
10 21
11
2
3
12
p
3
다음과 같다.
h
0
S'{h}
S{h}
p
2
y
+
↗
p
3
0
3j3
극대
y
-
↘
1
f{x}=1ax+b3라 하면
f '{x}=
a
2jax+bl
x=2에서의 접선의 방정식 x-3y+4=0의 기울기가
1
3
이므로 f '{2}=
1
3 에서
=
a
2j2a+bl
양변을 제곱하면 9a@=4{2a+b}
1
3 , 3a=2j2a+bl
yy ㉠
/ 9a@-8a-4b=0
한편 접점의 좌표는 {2, j2a+bl}이고 이 점은 접선
x-3y+4=0 위의 점이므로
2-3j2a+bl+4=0, j2a+bl=2
양변을 제곱하면 2a+b=4
/ b=4-2a
yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 9a@-8a-4{4-2a}=0
a@=
16
9 / a=
4
3 {? a>0}
따라서 넓이 S{h}는 h=
p
3 일 때 최댓값은 3j3이다.
문제 13-1 j6
3
원기둥의 밑면의 반지름의 길이를
r {00이고
f '{x}=1+ln x+x\
=2+ln x
1
g '{b}=
b-1 이므로
=1 / b=2
1
b-1
/ B{2, 0}
로 구하는 최솟값은
1{2-0}@+3{0-2}@3=2j2
따라서 A{0, 2}, B{2, 0}일 때, AB
의 길이는 최소이므
3
f{x}=x@eX이라 하면
f '{x}=2xeX+x@eX={x@+2x}eX
접점의 좌표를 {t, t@eT}이라 하면 이 점에서의 접선의 기
울기는 f '{t}={t@+2t}eT이므로 접선의 방정식은
-
이다.
1
e@
f '{x}=0인 x의 값은 ln x=-2 / x=
1
e@
x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음
과 같다.
x
0
f '{x}
f{x}
1
e@
0
-
1
e@
극소
y
+
↗
따라서 함수 f{x}는 x=
에서 극소이고 극솟값은
1
x
y
-
↘
1
e@
6
f{x}=x-a ln x-
1
x 에서 x>0이고
x@-ax+1
x@
f '{x}=0에서 x@-ax+1=0
f '{x}=1-
1
x@
a
x
=
+
함수 f{x}가 x>0에서 극댓값과 극솟값을 모두 가지려
면 이차방정식 x@-ax+1=0이 서로 다른 두 양의 실근
을 가져야 한다.
! 이차방정식 x@-ax+1=0의 판별식을 D라 하면
D=a@-4>0, {a+2}{a-2}>0
/ a<-2 또는 a>2
@ 두 근의 합이 양수이어야 하므로 근과 계수의 관계에
의해 a>0
!, @에 의해 a>2 / k=2
이때 x=
p의 좌우에서 f "{x}의 부호가 바뀌므
7
f{x}=x+2 cos x에서
f '{x}=1-2 sin x, f "{x}=-2 cos x
f "{x}=0인 x의 값은 cos x=0
/ x=
p {? 00이므로 양변을 eT으로 나누면
-t@={t@+2t}{a-t}
t9t@+{1-a}t-2a0=0
/ t=0 또는 t@+{1-a}t-2a=0
yy ㉠
점 {a, 0}에서 곡선 y=x@eX에 서로 다른 세 개의 접선을
그을 수 있으려면 방정식 ㉠이 서로 다른 세 실근을 가져
야 한다.
라 하면
즉, 이차방정식 t@+{1-a}t-2a=0이 0이 아닌 서로 다
른 두 실근을 가져야 하므로 이 이차방정식의 판별식을 D
D={1-a}@-4\{-2a}>0
a@+6a+1>0
/ a<-3-2j2 또는 a>-3+2j2
이때 이차방정식 t@+{1-a}t-2a=0의 해가 0이 아니
어야 하므로
0+{1-a}\0-2a=0 / a=0
따라서 구하는 a의 값의 범위는
a<-3-2j2 또는 -3+2j20
4
f{x}=eX-ax에서 f '{x}=eX-a
x>0에서 f '{x}>0이어야 하므로
eX-a>0 / eX>a
그런데 x>0인 모든 실수 x에서 eX>1이므로
60 정답과 해설_개념편
a<1
8 ㄱ. f '{a}=0이고 x=a의 좌우에서 f '{x}의 부호가 음
따라서 실수 a의 최댓값은 1이다.
에서 양으로 바뀌므로 x=a에서 극소이다.
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 60
2018-10-17 오전 11:19:47
Z
ㄴ. f '{b}=0이지만 x=b의 좌우에서 f '{x}의 부호가
바뀌지 않으므로 x=b에서 극값을 갖지 않는다.
11 f{x}=
ㄷ. f "{0}=0, f "{b}=0이고 x=0, x=b의 좌우에서
f '{x} =
f "{x}의 부호가 바뀌므로 x=0, x=b인 점이 변곡
점이다. 따라서 그래프의 변곡점은 2개이다.
ㄹ. 구간 {0, b}에서 f "{x}<0이므로 그래프는 위로 볼
x@+kx
x{x+k}
eX
=
eX 에서
{2x+k}eX-{x@+kx}eX
e@X
=
-x@-{k-2}x+k
eX
록하다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
9
f{x}=xeX에서
f '{x}=eX+xeX={x+1}eX
f "{x}=eX+{x+1}eX={x+2}eX
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 {? eX>0}
f "{x}=0인 x의 값은 x=-2 {? eX>0}
함수 f{x}의 증가와 감소, 오목과 볼록을 표로 나타내면
다음과 같다.
x
f '{x}
f "{x}
f{x}
y
-
-
-2
-
0
변곡점
y
-
+
-1
0
+
극소
y
+
+
ㄱ. x=-1에서 극솟값을 갖는다.
ㄴ. x=-t로 놓으면 x`
`-E일 때 t`
`E이므로
lim
-E
x`
!
f{x}= lim
-E
x`
t`
!
ㄷ. x<-2에서 f "{x}<0이므로 그래프는 위로 볼록하다.
!
!
xeX=lim
E
!
{-te_T}=0
xeX=0이므로 그래프의 점근선은 x축이
ㄹ. ㄴ에서 lim
-E
x`
!
다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.
10 f{x}=
f '{x} =
에서
x-1
x@+x+2
{x@+x+2}-{x-1}{2x+1}
{x@+x+2}@
=
-{x+1}{x-3}
{x@+x+2}@
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=3
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
-1
0
-1
극소
y
+
↗
3
0
1
7
극대
y
-
↘
한편 lim
-E
x`
f{x}=lim
E
x`
!
!
그래프의 점근선은 x축이다.
f{x}=0이므로 함수 y=f{x}의
따라서 함수 f{x}는 x=3일 때 최댓값이
1
7 이므로
a=3, M=
1
7 /
a
M
=21
함수 f{x}가 x=4에서 극댓값을 가지므로
f '{4}=0
-16-{k-2}\4+k
e$
=0 / k=-
8
3
이를 f{x}, f '{x}에 각각 대입하면
x@-
x
8
3
eX
=
3x@-8x
3eX
f{x}=
f '{x} =
-x@+
x-
8
3
14
3
eX
=
-{3x-2}{x-4}
3eX
f '{x}=0인 x의 값은 x=
2
3 또는 x=4
구간 [0, 4]에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내
y
-
↘
2
3
0
극소
y
+
↗
4
0
16
3e$
따라서 함수 f{x}는 x=
2
3 일 때 최솟값을 가지므로
면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
0
0
a=
2
3
12 OA
00이므
로 f "{x}=0인 x의 값은
n cos@ x-1=0 / cos@ x=
yy`㉠
1
n
1 곡선 위의 점 {2, 1}이 되는 t의 값을 구하면
3-2t-3t@=2에서 {t+1}{3t-1}=0
1
3
/ t=-1 또는 t=
2-t-2t@=1에서 {t+1}{2t-1}=0
/ t=-1 또는 t=
1
2
㉠, ㉡에 의해 t=-1
한편 x, y를 각각 t에 대하여 미분하면
dy
dx
dt
dt
=-2-6t,
=-1-4t
/
dy
dx
=
=
-1-4t
-2-6t
=
4t+1
6t+2
dy
dt
dx
dt
이때 t=-1에서의 접선의 기울기는
3
4 이므로 구하는 접
선의 방정식은
y-1=
{x-2} / y=
x-
3
4
1
2
3
4
2
f{b}0
ㄷ. f '{x}=e_X-xe_X={1-x}e_X,
` f "{x}=-e_X-{1-x}e_X={x-2}e_X이므로
0
일 때 0, k<0 또는 k=
일 때 1,
1
유제 & 문제
p.14 4~14 6
x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다
f '{x}=0인 x의 값은
=2 / x=
x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면
=-E이므로 그래프의 점근
1
1. ⑴
⑵ 2
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
-1
0
4
y
-
↘
1
0
0
p.143
y
+
↗
유제 01 ⑴ 0 ⑵ 1
⑴ f{x}=2x-ln x라 하면 x>0이고
f '{x}=2-
1
x
다음과 같다.
x
0
f '{x}
f{x}
lim
0+
x`
!
이다.
1
x
y
-
↘
1
2
y
+
↗
1
2
0
1+ln 2
극소
함수 y= f{x}의 그래프와
y
y=f{x}
직선 y=1을 그리면 오른
쪽 그림과 같다.
1+ln 2
따라서 함수 y=f{x}의 그
래프와 직선 y=1이 만나
지 않으므로 방정식
O
2!
2x-ln x=1의 실근의 개수는 0이다.
⑵ f{x}=x-cos x라 하면
f '{x}=1+sin x>0 {? -10이므로 k=
ln x
x
f{x}=
f '{x} =
ln x
x 라 하면
1
x
\x-ln x
x@
f '{x}=0인 x의 값은
ln x=1 / x=e
=
1-ln x
x@
음과 같다.
0
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
e
0
1
e
극대
y
-
↘
ln x
x
=0, lim
0+
lim
x`
E
!
선은 x축, y축이다.
!
x`
ln x
x
함수 y=f{x}의 그래프와
직선 y=k를 그리면 오른쪽
그림과 같다.
따라서 방정식 ln x=kx의
y
e!
O
y=f{x}
e
y=k
x
k<0 또는 k=
1
e 일 때 1, 00이므로
x@
eX =a
f{x}=
=x@e_X이라 하면
x@
eX
f '{x} =2xe_X-x@e_X
=-xe_X{x-2}
f '{x}=0인 x의 값은
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
0
0
0
극소
y
+
↗
2
0
4
e@
극대
y
-
↘
x@
lim
eX
x`
E
!
=0이므로 그래프의 점근선은 x축이다.
Ⅱ-3. 도함수의 활용 63
{2x-ln x}=E이므로 그래프의 점근선은 y축
실근의 개수는 k>
1
e 일 때 0,
따라서 함수 f{x}는 실수 전체의 구간에서 증가한다.
x=0 또는 x=2 {? e_X>0}
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 63
2018-10-18 오후 5:49:16
개념편 함수 y= f{x}의 그래프는 다음 그림과 같으므로 교점이
이때 00
따라서 주어진 방정식이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하
따라서 01-
y
4
e@
O
y=f{x}
2
y=a
x
는 실수 a의 값의 범위는 01-x에서 e_X+x-1>0
f{x}=e_X+x-1이라 하면
f '{x}=-e_X+1
f '{x}=0인 x의 값은 e_X=1 / x=0
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
0
0
0
극소
y
+
↗
함수 f{x}는 x=0일 때 최솟값 0을 가지므로
따라서 모든 실수 x에 대하여 부등식 e_X>1-x가 성립
e_X+x-1>0
한다.
문제 03-1 풀이 참조
cos x>1-
x@
2 에서 cos x+
x@
2 -1>0
-1이라 하면
f{x}=cos x+
x@
2
f '{x}=x-sin x
f "{x}=1-cos x
64 정답과 해설_개념편
즉, 00
따라서 00 / cos x+
-1>0
x@
2
x@
2 이 성립한다.
문제 03-2 0a ln x에서 jx k-a ln x>0
f{x}=jx k-a ln x라 하면
-
f '{x}=
=
jx k-2a
2x
a
x
1
2jx k
f '{x}=0인 x의 값은 jx k=2a / x=4a@
x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음
과 같다.
x
f '{x}
f{x}
0
y
-
↘
4a@
0
2a{1-ln 2a}
극소
y
+
↗
따라서 함수 f{x}는 x=4a@일 때 최솟값 2a{1-ln 2a}
를 가지므로 x>0일 때, f{x}>0이 성립하려면
2a{1-ln 2a}>0, 1-ln 2a>0 {? a>0}
ln 2a<1, 2a
1
e@
5 e
[
-1
]
e
2
9 {4, 0}
6
p
3
7 20
8 ⑤
1
2 sin x=x+k에서 2 sin x-x=k
f{x}=2 sin x-x라 하면
f '{x}=2 cos x-1
f '{x}=0인 x의 값은
cos x=
/ x=
1
2
p
3 {? 00이고
00에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음
점 P의 가속도의 크기는
1{-cos t}@+3{2 sin t}@3 =1cos@ t+43 sin@ t3
따라서 점 P의 속력이 최대일 때 sin t=
=11+3 sin@ t3
◀ cos@ t=1-sin@ t
1
3 이므로 구하는
x
0
y
-
↘
1
3
0
1+ln 3
극소
y
+
↗
{3x-ln x}=E이므로 그래프의 점근선은 y축
점 P의 가속도의 크기는
r1+3\
[
1
3 ]@y=
2j3
3
값의 범위는
01+ln 3
따라서 구하는 k의 최솟값은
1+ln 3이다.
O
3!
y=k
x
다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
1
0
e
y
+
↗
2
e@
2
3 x@+cos x>k에서 x@+cos x-k>0
f{x}=x@+cos x-k라 하면
f '{x}=2x-sin x, f "{x}=2-cos x
이때 x>0에서 -10
즉, x>0에서 함수 f '{x}는 증가하고, f '{0}=0이므로
x>0에서 f '{x}>0
따라서 x>0에서 함수 f{x}는 증가하므로 f{x}>0이
성립하려면 f{0}>0이어야 한다.
1-k>0 / k<1
즉, 구하는 k의 최댓값은 1이다.
4
x>0에서 함수 y= f{x}의 그래프가 함수 y=g{x}의 그
래프보다 위쪽에 있으려면
f{x}>g{x} / f{x}-g{x}>0
F{x}=f{x}-g{x}라 하면
F{x} =x+k-{-x ln x}=x{1+ln x}+k이므로
F'{x}=1+ln x+x\
1
x =2+ln x
F'{x}=0인 x의 값은 ln x=-2 / x=
1
e@
x>0에서 함수 F{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다
음과 같다.
x
0
F '{x}
F{x}
y
-
↘
1
e@
0
k-
1
e@
극소
y
+
↗
1
e@
1
e@
1
e@
eX
x
따라서 x>0일 때, 함수 F{x}는 x=
에서 최솟값
k-
을 가지므로 F{x}>0이 성립하려면
k-
>0 / k>
1
e@
5 10}
eX
x 이라 하면 f '{x}=
yy ㉠
=
{x-1}eX
x@
66 정답과 해설_개념편
따라서 함수 f{x}는 1
e@
2
yy ㉡
따라서 b-a의 최솟값은 b가 최소이고 a가 최대일 때이
-e=e
e
2
[
-1
]
므로
e@
2
dxp
dt
6 시각 t에서의 두 점 P, Q의 속도는 각각
=-sin t,
=-2 sin t cos t
dxq
dt
00}
따라서 t=2j2에서 야구공의 속력은
101{2j2}@-2j23\2j2+43=20
8
dx
dt
=eT cos t-eT sin t=eT{cos t-sin t},
=eT sin t+eT cos t=eT{sin t+cos t}
dy
dt
이므로 시각 t에서의 점 P의 속력은
19eT{cos t3-sin t}0@+39eT{sin t+3cos t}0@3=j2eT
점 P의 속력이 j2e이므로
j2eT=j2e / t=1
d@x
dt@
=eT{cos t-sin t}+eT{-sin t-cos t}=-2eT sin t
=eT{sin t+cos t}+eT{cos t-sin t}=2eT cos t
d@y
dt@
따라서 시각 t에서의 점 P의 가속도의 크기는
1{-2eT sin t}@+3{2eT cos t}@3=2eT
이므로 t=1에서 점 P의 가속도의 크기는 2e이다.
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 66
2018-10-17 오전 11:19:52
9
dx
dt
dy
dt
=2{1-cos t},
=2 sin t이므로 시각 t에서의 점
2 cos x-k1
즉, 구하는 k의 최솟값은 1이다.
00}
따라서 점 P가 t=2에서 처음으로 직선 l과 만나므로 그
때의 속도는 {j3, -7}이다.
4
점 P가 점 {0, 3}을 출발하여
{x, y}라 하면
-3
x
O
3
x
y
3
P
y
2t
-3
t초 후에 2t라디안만큼 회전하
므로 점 P의 t초 후의 좌표를
x=-3 sin 2t, y=3 cos 2t
이때
=-6 cos 2t,
dx
dt
dy
dt
=-6 sin 2t이므로
d@y
dt@
=12 sin 2t,
=-12 cos 2t
d@x
dt@
따라서 시각 t에서의 점 P의 가속도의 크기는
1{12 sin 2t}@+{-312 cos 2t}@3=12
Ⅱ-3. 도함수의 활용 67
+
f '{x}
g '{x}
1
g '{x}
f '{x}
리하면
=2의 양변에 f '{x}g '{x}를 곱하여 정
9 f '{x}0@-2f '{x}g '{x}+9g '{x}0@=0
9 f '{x}-g '{x}0@=0
/ f '{x}-g '{x}=0
f{x}-g{x}=sin x-
1
20 x@의 양변을 x에 대하여 미분
하면
f '{x}-g '{x}=cos x-
1
10 x
따라서 주어진 방정식은 cos x-
1
10 x=0이고, 이 방정
식의 양수인 근의 개수는 x>0에서 곡선 y=cos x와 직
선 y=
1
10 x의 교점의 개수이다.
이때 곡선 y=cos x와 직선 y=
1
10 x는 다음 그림과 같다.
y
1
O
1
y=` x
10
2p
3p
`10
x
y=cos`x
따라서 x>0에서 두 그래프는 세 점에서 만나므로 주어
진 방정식의 양수인 근의 개수는 3이다.
19 미적분_개념편-해설II-2,3(038~067)OK.indd 67
2018-10-17 오전 11:19:53
개념편 III-1. 여러 가지 적분법
01 여러 가지 함수의 부정적분
1
p.154
⑷ ?
{jx k-1}@
x
`dx =?
x-2jx k+1
x
`dx
=?`dx-2?`x-
1
2! dx+?
x
`dx
=x-4x2!+ln |x|+C
=x-4jx k+ln |x|+C
1. ⑴ 2 ln |x|+C ⑵ -
+C
문제 01-1 1
⑶
3
4
x #jxk+C ⑷
x@ jxk+C
2
⑴ ?
x
1
`dx=2?
x
`dx=2 ln |x|+C
f{x} =?` f '{x} dx=?
`dx
x-4
jx k+2
=?
{jx k+2}{jx k-2}
jx k+2
`dx
⑵ ?
`dx =?`x_@ dx=
1
x@
x_@"!+C=-
+C
1
x
=?{jx k-2} dx=?`x2! dx-2? dx
1
x
2
5
1
-2+1
1
+1
1
3
1
+1
3
2
=
3
4
x #jx k+C
=
2
5
x@ jx k+C
⑶ ?`#jx k`dx =?`x3! dx=
x3!
+1+C
⑷ ?`xjx k`dx =?`x2# dx=
x2#
+1+C
1
유제 & 문제
p.155
유제 01 ⑴
xjxk+4jxk+C
2
3
3
4
1
2
x+2
jxk
x+4
#1x@2
⑵
⑶
x #jxk+12 #jxk+C
2
x
x@+3x-ln |x|-
⑷ x-4jxk+ln |x|+C
+C
⑴ ?
`dx =?`x2! dx+2?`x-
2! dx
=
x2#+4x2!+C=
2
3
xjx k+4jx k+C
⑵ ?
`dx =?`x3! dx+4?`x-
3@ dx
2
3
3
4
3
4
=
x3$+12x3!+C
=
x #jx k+12 #jx k+C
⑶ ?
x#+3x@-x+2
x@
`dx
1
=?`x dx+3?`dx-?
x
`dx+2?`x_@ dx
=
x@+3x-ln |x|-2x_!+C
=
x@+3x-ln |x|-
+C
2
x
1
2
1
2
68 정답과 해설_개념편
=
2
3
f{1}=-
2
3
-2+C=-
xjx k-2x+C
1
3 에서
1
3 / C=1
2
3
f{9}=
\9\3-2\9+1=1
2
3
따라서 f{x}=
xjx k-2x+1이므로
2
p.156
1. ⑴ 2eX+C
⑵
3X"@
ln 3
+C
⑶ -cos x+sin x+C ⑷ tan x+3 cot x+C
⑴ ?`2eX dx=2?`eX dx=2eX+C
⑵ ?`3X"@ dx =?`9\3X dx=9?`3X dx
=9\
+C=
+C
3X
ln 3
3X"@
ln 3
⑶ ?{1+cot x} sin x dx
=?~[
sin x+
cos x
sin x
\sin x
] dx
=?{sin x+cos x} dx
=/ sin x dx+?`cos x dx
=-cos x+sin x+C
⑷ ?~{sec@ x-3 csc@ x} dx
=?`sec@ x dx-3?`csc@ x dx
=tan x+3 cot x+C
19 미적분_개념편-해설Ⅲ(068~097) OK.indd 68
2018-10-17 오전 11:11:11
2
유제 & 문제
p.157~158
따라서 f{x}=eX-ln |x|이므로
유제 02 ⑴
+C
⑵
-
+x+C
eX"!
2
-
2X"!
ln 2
2\3X
ln 3
9X
ln 9
1
2
9X
ln 9
⑶
x@+eX+C
⑷
-
3X
ln 3
+C
⑴ ?
eX"!-2X"@
2
`dx =?~[
eX-2\2X
] dx
e
2
⑵ ?{3X-1}@ dx =?{3@X-2\3X+1} dx
+C
=
eX-
e
2
=
eX"!
2
-
2\2X
ln 2
2X"!
ln 2
+C
=?{9X-2\3X+1} dx
2\3X
ln 3
9X
ln 9
+x+C
=
-
⑶ ?
x@-e@X
x-eX
`dx =?
{x+eX}{x-eX}
x-eX
`dx
=?{x+eX} dx
=
x@+eX+C
1
2
⑷ ?
27X-3X
3X+1
`dx =?
3#X-3X
3X+1
`dx
=?`3X{3X-1} dx
=?{9X-3X} dx
=
9X
ln 9
-
3X
ln 3
+C
f{e}=eE-1
유제 03 ⑴ x-cos x+C
⑵ -3 cot x+x+C
⑶ tan x-ln |x|+C
⑷
tan x+C
1
2
⑸ -cos x-
x-
sin x+C
1
2
1
2
⑹ x-cos x+C
⑴ ?
cos@ x
1-sin x
`dx =?
`dx
1-sin@ x
1-sin x
{1+sin x}{1-sin x}
1-sin x
=?
`dx
=?{1+sin x} dx
=x-cos x+C
⑵ ?
3+sin@ x
sin@ x
`dx =?~[
3
sin@ x
+1
] dx
⑶ ?
x-cos@ x
x cos@ x
`dx =?~[
1
cos@ x
-
=?{3 csc@ x+1} dx
=-3 cot x+x+C
1
x ] dx
1
x ] dx
sec@ x-
=?~[
=tan x-ln |x|+C
=
=
1
2 ?`sec@ x dx
1
2 tan x+C
⑸ cos@
=
x
2
1+cos x
2
이므로
?~[
sin x-cos@
x
2 ] dx
1+cos x
2
=?~[
sin x-
] dx
=?~[
sin x-
-
`cos x
] dx
1
2
=-cos x-
x-
1
2 sin x+C
1
2
1
2
=?
3X{3@X-1}
3X+1
`dx
=?
3X{3X+1}{3X-1}
3X+1
`dx
⑷ cos 2x=2 cos@ x-1이므로
?
1
1+cos 2x
`dx =?
1
2 cos@ x
`dx
곡선 y=f{x} 위의 임의의 점 {x, y}에서의 접선의 기울
문제 02-1 eE-1
기가 eX-
f '{x}=eX-
1
x 이므로
1
x
/ f{x} =?` f '{x} dx=?~[
eX-
1
x ] dx
=eX-ln |x|+C
곡선 y=f{x}가 점 {1, e}를 지나므로 f{1}=e에서
e-0+C=e / C=0
⑹ ?~[
sin
+cos
x
2
x
2 ]@ dx
x
2
=?~[
sin@
+cos@
+2 sin
`cos
x
2
x
2 ] dx
x
2
=?{1+sin x} dx
=x-cos x+C
◀ sin 2x=2 sin x cos x
Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 69
19 미적분_개념편-해설Ⅲ(068~097) OK.indd 69
2018-10-17 오전 11:11:12
개념편 문제 03-1 -1
f{x} =?
1
1+sin x `
dx
=?
1-sin x
{1+sin x}{1-sin x}
`dx
=?
1-sin x
1-sin@ x
`dx
=?
1-sin x
cos@ x
`dx
=?~[
1
cos@ x
-
1
cos x
\
sin x
cos x ] dx
=?{sec@ x-sec x tan x} dx
=tan x-sec x+C
p
4 ]
f
[
=1에서 1-j2+C=1 / C=j2
따라서 f{x}=tan x-sec x+j2이므로
f
-
[
p
4 ]
=-1-j2+j2=-1
3
1. ⑴
1
10 {2x-5}%+C ⑵ -
1
3
e!_#X+C
⑴ 2x-5=t로 놓으면
=2이고 dx=
`dt이므로
dt
dx
1
2
?{2x-5}$`dx =?`t $\
`dt=
1
2
1
2 ?`t $`dt
=
1
10
dt
dx
1
3
1
3 ?`e T dt
⑵ 1-3x=t로 놓으면
=-3이고 dx=-
`dt이므로
?`e!_#X dx =?`e T\
-
[
1
3 ] dt=-
1
3
=-
e T+C=-
e!_#X+C
1
3
2. ⑴
{2x@+7}%+C ⑵
{x#+2x}^+C
1
5
⑴ 2x@+7=t로 놓으면
={2x@+7}'=4x이므로
1
6
dt
dx
?`4x{2x@+7}$`dx =?{2x@+7}${2x@+7}' dx
=?`t $`dt=
t %+C
1
5
=
{2x@+7}%+C
1
5
70 정답과 해설_개념편
⑵ x#+2x=t로 놓으면
={x#+2x}'=3x@+2이므로
dt
dx
?{3x@+2}{x#+2x}% dx
=?{x#+2x}%{x#+2x}' dx
=?`t % dt=
t ^+C
1
6
=
{x#+2x}^+C
1
6
3
유제 & 문제
p.161~164
유제 04 ⑴ j2x+3l+C ⑵
ln |4x-5|+C
1
4
⑶ -
`cos {3x-1}+C
1
3
⑷ -x{1-x}^+C
⑴ 2x+3=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
=2 / dx=
`dt
/ ?
1
j2x+3l
`dx =?
\
`dt=
1
jt
1
2
1
2 ?`t_2! dt
⑵ 4x-5=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
=jt +C=j2x+3l+C
dt
dx
dt
dx
/ ?
1
4x-5
1
`dx =?
t
1
4
\
`dt=
1
4 ln |t|+C
=
1
4 ln |4x-5|+C
⑶ 3x-1=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
dt
dx
=3 / dx=
`dt
1
2
1
4
1
3
=-
`cos t+C
1
3
`cos {3x-1}+C
1
3
⑷ 1-x=t로 놓으면 x=1-t
=-
1-x=t의 양변을 x에 대하여 미분하면
dt
dx
=-1 / dx=-dt
/ ?{7x-1}{1-x}% dx
=?97{1-t}-10t %\{-1} dt
=?{7t ^-6t %} dt=t &-t ^+C
={1-x}&-{1-x}^+C
=-x{1-x}^+C
t %+C=
{2x-5}%+C
1
10
/ ?`sin {3x-1} dx =?`sin t\
`dt
1
3
p.160
=4 / dx=
`dt
19 미적분_개념편-해설Ⅲ(068~097) OK.indd 70
2018-10-17 오전 11:11:12
문제 04-1
+1
⑵ e@X+1=t로 놓으면
={e@X+1}'=2e@X이므로
f{x} =?
`dx-?
1
e@X+1
`dx
?`e@X{e@X+1}# dx =
?`e@X dx에서 2x=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
1
2e@
e$X
e@X+1
e$X-1
e@X+1
=?
`dx
=?
{e@X+1}{e@X-1}
e@X+1
`dx
=?{e@X-1} dx
=?`e@X dx-?`dx
=2 / dx=
`dt
dt
dx
1
2
/ f{x} =?e@X dx-?`dx
1
2
`dt-x
=?e T\
1
2
=
e T-x+C
f{0}=
1
2
+C=
=
e@X-x+C
1
2
1
2 에서
1
2 / C=0
1
2
f{-1}=
+1
1
2e@
따라서 f{x}=
e@X-x이므로
유제 05 ⑴
{x$-4x}1x$-4x3+C
⑵
{e@X+1}$+C
⑶
+C
5x@+3
2 ln 5
1
2
1
6
1
8
1
4
1
3
⑹
`cos# x-cos x+C
dt
dx
?{x#-1}1x$-4x3 dx
=
=
=
=
1
4 ?{x$-4x}2!{4x#-4} dx
1
4 ?{x$-4x}2!{x$-4x}' dx
1
1
6 tjt +C
4 ?`t 2! dt=
1
6
{x$-4x}1x$-4x3+C
1
2 ?{e@X+1}#\2e@X dx
1
2 ?{e@X+1}#{e@X+1}' dx
1
1
8 t $+C
2 ?`t # dt=
1
8
{e@X+1}$+C
=
=
=
dt
dx
dt
dx
⑶ x@+3=t로 놓으면
={x@+3}'=2x이므로
=
?`x\5x@+3 dx =
1
2 ?`5x@+3\2x dx
1
2 ?`5x@+3{x@+3}' dx
1
2 ?`5T dt=
5x@+3
2 ln 5
⑷ ln {x@+2}=t로 놓으면
5T
2 ln 5
+C
+C
=
=
=9ln {x@+2}0'=
이므로
2x
x@+2
dt
dx
?
=
=
=
2x
x@+2
ln {x@+2} dx
x
x@+2
1
2 ?`ln {x@+2}\
1
2 ?`ln {x@+2}9ln {x@+2}0' dx
1
2 ?`t dt=
`dx
1
4
1
4 t @+C=
dt
dx
9ln {x@+2}0@+C
⑸ tan x=t로 놓으면
={tan x}'=sec@ x이므로
?`tan x sec@ x dx =?`tan x {tan x}' dx
=?`t dt=
1
2 t@+C
=
`tan@ x+C
1
2
=?`sin x {1-cos@ x} dx
dt
dx
?`sin# x dx =?`sin x {1-cos@ x} dx
=-?{1-cos@ x}{-sin x} dx
=-?{1-cos@ x}{cos x}' dx
=?{t @-1} dt=
1
3 t #-t+C
=
`cos# x-cos x+C
1
3
Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 71
⑷
9ln {x@+2}0@+C ⑸
`tan@ x+C
⑹ ?`sin# x dx =?`sin x sin@ x dx
⑴ x$-4x=t로 놓으면
={x$-4x}'=4x#-4이므로
cos x=t로 놓으면
={cos x}'=-sin x이므로
19 미적분_개념편-해설Ⅲ(068~097) OK.indd 71
2018-10-17 오전 11:11:13
개념편 문제 05-1 f{x}=1x@+13
x@+1=t로 놓으면
dt
dx
f{x} =?
`dx
={x@+1}'=2x이므로
=
x
1x@+13
1
2 ?{x@+1}-
1
2 ?{x@+1}-
1
2 ?`t-
=1x@+13+C
=
=
2!\2x dx
2!{x@+1}' dx
2! dt=jt +C
f{0}=1에서 1+C=1 / C=0
/ f{x}=1x@+13
문제 05-2 7
1+sin x=t로 놓으면
={1+sin x}'=cos x이므로
dt
dx
f{x} =?{1+sin x}$`cos x dx
=?{1+sin x}${1+sin x}' dx
=?`t $`dt=
1
5 t %+C
=
{1+sin x}%+C
1
5
-
f
[
p
2 ]
=
3
5 에서 C=
3
5
따라서 f{x}=
{1+sin x}%+
3
5 이므로
1
5
3
5
p
2 ]
=
32
5
f
[
+
=7
문제 05-3 f{x}=-cos {ln x}+2
곡선 y=f{x} 위의 임의의 점 {x, y}에서의 접선의 기울
기가
이므로
sin {ln x}
x
sin {ln x}
x
f '{x}=
/ f{x}=?`f '{x} dx=?
ln x=t로 놓으면
={ln x}'=
sin {ln x}
x
`dx
1
x 이므로
dt
dx
sin {ln x}
x
f{x} =?
`dx
1
x
=?9sin {ln x}0\
`dx
=?9sin {ln x}0{ln x}' dx
=?`sin t dt=-cos t+C
=-cos {ln x}+C
72 정답과 해설_개념편
곡선 y=f{x}가 점 {1, 1}을 지나므로 f{1}=1에서
-cos 0+C=1, -1+C=1 / C=2
/ f{x}=-cos {ln x}+2
유제 06 ⑴ ln |x#+3x+1|+C
⑵ ln |2X-x@|+C
⑶ -
ln |1+2 cos x|+C
1
2
⑷ ln |sin x|+C
⑴ {x#+3x+1}'=3x@+3이므로
?
3x@+3
x#+3x+1
`dx =?
{x#+3x+1}'
x#+3x+1
`dx
=ln |x#+3x+1|+C
⑵ {2X-x@}'=2X ln 2-2x이므로
?
2X ln 2-2x
2X-x@
`dx =?
{2X-x@}'
2X-x@
`dx
=ln |2X-x@|+C
⑶ {1+2 cos x}'=-2 sin x이므로
?
sin x
1+2 cos x
`dx =-
1
2 ?
-2 sin x
1+2 cos x
`dx
=-
=-
{1+2 cos x}'
1+2 cos x
1
2 ?
1
2 ln |1+2 cos x|+C
`dx
⑷ cot x=
cos x
sin x 이고 {sin x}'=cos x이므로
?`cot x dx =?
cos x
sin x
`dx
=?
{sin x}'
sin x
`dx
=ln |sin x|+C
문제 06-1
1
8
{4e@X-1}'=8e@X이므로
ln {12e-3}
f{x} =?
e@X
4e@X-1
`dx
=
1
8 ?
8e@X
4e@X-1
`dx
=
=
`dx
{4e@X-1}'
4e@X-1
1
8 ?
1
8 ln |4e@X-1|+C
1
4 ln 3에서
1
4 ln 3 / C=
1
8 ln |4e@X-1|+
f{0}=
1
8 ln 3+C=
1
=
2 ]
1
8 ln{4e-1}+
1
8 ln 3=
f
[
따라서 f{x}=
1
8 ln 3
1
8 ln 3이므로
1
8 ln{12e-3}
19 미적분_개념편-해설Ⅲ(068~097) OK.indd 72
2018-10-17 오전 11:11:13
4
유제 & 문제
p.166
5
유제 & 문제
p.169~170
유제 07 ⑴
x#+
x@+3x+2 ln |x-1|+C
유제 08 ⑴ {x@-x} ln x-
x@+x+C
⑵ -xe#X+
e#X+C
1
2
2
3
1
2
1
3
1
2
⑵
ln
|
x-3
x-1 |
+C
⑶ ln
|
{x+1}@
x-3 |
+C
⑴ (분자의 차수)>(분모의 차수)이므로 분자를 분모로 나
누면
x#+2x-1={x-1}{x@+x+3}+2
/ ?
x#+2x-1
x-1
`dx
=?
{x-1}{x@+x+3}+2
x-1
`dx
x@+x+3+
2
x-1 ] dx
x#+
x@+3x+2 ln |x-1|+C
=?~[
1
3
=
1
2
⑵ (분자의 차수)<(분모의 차수)이므로 식을 변형하면
1
{x-3}{x-1}
1
x@-4x+3
=
=
1
2 [
1
x-3
-
1
x-1 ]
/ ?
1
x@-4x+3
`dx
1
x-3
1
-
x-1 ] dx
=
1
2 ?~[
1
2
=
{ln |x-3|-ln |x-1|}+C
=
1
2 ln |
x-3
x-1 |
+C
⑶ (분자의 차수)<(분모의 차수)이고
x@-2x-3={x+1}{x-3}이므로
x-7
x@-2x-3
x-7
x@-2x-3
=
A
x+1
+
B
x-3 {A, B는 상수}라 하면
=
{A+B}x-3A+B
x@-2x-3
위의 식은 x에 대한 항등식이므로
A+B=1, -3A+B=-7
두 식을 연립하여 풀면
A=2, B=-1
x-7
x@-2x-3
따라서
=
2
x+1
-
1
?
x-7
x@-2x-3
`dx =?~[
2
x+1
x-3 이므로
1
-
x-3 ] dx
=2 ln |x+1|-ln |x-3|+C
=ln |
{x+1}@
x-3 |
+C
⑶ x sin x+cos x+C
1
1
2
2
x sin x-
x@-
⑷
1
4
`cos x+C
⑴ f{x}=ln x, g '{x}=2x-1이라 하면
f '{x}=
1
x , g{x}=x@-x
/ ?{2x-1} ln x dx
1
={x@-x} ln x-?
x
\{x@-x} dx
={x@-x} ln x-?{x-1} dx
={x@-x} ln x-
x@+x+C
⑵ f{x}=1-3x, g '{x}=e#X이라 하면
f '{x}=-3, g{x}=
e#X
/ ?{1-3x}e#X dx
1
2
1
3
e#X{1-3x}-?{-3}\
e#X dx
1
3
=
=
=
1
3
1
3
1
3
e#X{1-3x}+?`e#X dx
1
3
e#X-xe#X+
e#X+C
=-xe#X+
e#X+C
2
3
⑶ f{x}=x, g '{x}=cos x라 하면
f '{x}=1, g{x}=sin x
/ ?`x cos x dx
=x sin x-?`1\sin x dx
=x sin x+cos x+C
⑷ f{x}=x, g '{x}=sin@`
=
1-cos x
2 라 하면
x
2
1
2
1
2
f '{x}=1, g{x}=
x-
`sin x
/ ?`x sin@`
`dx
x
2
1
2
1
2
1
2
1
4
=x
[
1
2
1
2
x-
`sin x
-?`1\
[
]
x-
`sin x
] dx
1
2
1
2
=
x@-
x sin x-
x@-
`cos x+C
=
x@-
x sin x-
`cos x+C
1
2
1
4
1
2
Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 73
19 미적분_개념편-해설Ⅲ(068~097) OK.indd 73
2018-10-17 오전 11:11:14
개념편 다른 풀이
주어진 식을 정리하면
?`x sin@`
`dx =?`x\
x
2
1-cos x
2
`dx
유제 09 ⑴ x{ln x}@-2x ln x+2x+C
⑵
e_X{sin x-cos x}+C
1
2
⑴ f{x}={ln x}@, g '{x}=1이라 하면
=
=
1
2 ?`x cos x dx
1
2 ?`x dx-
1
1
2 ?`x cos x dx yy ㉠
4
x@-
f '{x}=
2
x ln x, g{x}=x
/ ?{ln x}@ dx
?`x cos x dx에서 f{x}=x, g '{x}=cos x라 하면
f '{x}=1, g{x}=sin x
/ ?`x cos x dx =x sin x-?`1\sin x dx
=x sin x+cos x+C1 yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
x
?`x sin@
2
`dx =
x@-
{x sin x+cos x+C1}
1
4
1
4
1
2
1
2
=
x@-
x sin x-
`cos x+C
1
2
문제 08-1 -1
! x>0일 때
f{x}=?`f '{x} dx=?`2xeX dx
u{x}=2x, v'{x}=eX이라 하면
u'{x}=2, v{x}=eX
/ f{x} =?`2xeX dx
=2xeX-?`2eX dx
=2xeX-2eX+C1
@ x<0일 때
f{x} =?`f '{x} dx=?`cos x dx
=sin x+C2
!, @에 의해
f{x}=
-
2xeX-2eX+C1 {x>0}
sin x+C2
{x<0}
f{1}=1에서
2e-2e+C1=1
/ C1=1
또 함수 f{x}가 x=0에서 연속이므로
{2xeX-2eX+1}= lim
0-
x
lim
0+
x
!
!
{sin x+C2}=`f{0}
/ C2=-2+1=-1
따라서 f{x}=
-
f{-p}=-1
2xeX-2eX+1 {x>0}
sin x-1
{x<0}
이므로
74 정답과 해설_개념편
=x{ln x}@-?~[
2
x ln x
\x dx
]
=x{ln x}@-2?`ln x dx
yy ㉠
/ ln x dx에서 u{x}=ln x, v'{x}=1이라 하면
u'{x}=
1
x , v{x}=x
/ ?`ln x dx
1
=x ln x-?
x
\x dx
=x ln x-?`dx
=x ln x-x+C1
㉡을 ㉠에 대입하면
yy ㉡
?{ln x}@ dx =x{ln x}@-2{x ln x-x+C1}
=x{ln x}@-2x ln x+2x+C
⑵ f{x}=cos x, g '{x}=e_X이라 하면
f '{x}=-sin x, g{x}=-e_X
/ ?`e_X cos x dx
=-e_X cos x-?{-sin x}{-e_X} dx
=-e_X cos x-?`e_X sin x dx
yy ㉠
?`e_X sin x dx에서 u{x}=sin x, v'{x}=e_X이라
하면
u'{x}=cos x, v{x}=-e_X
/ ?`e_X sin x dx
=-e_X sin x-?`{cos x}{-e_X} dx
=-e_X sin x+?`e_X cos x dx
yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
?`e_X cos x dx
=-e_X cos x-
-e_X sin x+?`e_X cos x dx
[
]
2?`e_X cos x dx=-e_X cos x+e_X sin x
/ ?`e_X cos x dx=
e_X{sin x-cos x}+C
1
2
19 미적분_개념편-해설Ⅲ(068~097) OK.indd 74
2018-10-17 오전 11:11:14
기본 연습문제
p.172~174
4 sin 2x=2 sin x cos x, sin@`
=
x
2
1-cos x
2 이므로
6
1 ②
7
5
9 ②
2 ④
7 ⑤
3 3
4 3-p 5 ③
8 -
`sin@ x+sin x+C
1
2
10 f{x}=eX
11 -ln 3
12 -
e@+
e
1
4
1
4
1
1
f '{x}=?`f "{x} dx=?
x@
`dx=?`x_@ dx=-
+C1
1
x
곡선 y= f{x} 위의 x=1인 점에서의 접선의 방정식이
y=-x+1이므로 f '{1}=-1에서
-1+C1=-1 / C1=0
따라서 f '{x}=-
1
x 이므로
f{x}=?`f '{x} dx=?~[
또 접점은 {1, 0}이므로 f{1}=0에서 C2=0
-
1
x ] dx=-ln |x|+C2
따라서 f{x}=-ln |x|이므로
f{e}=-ln e=-1
2 ?{2X-1}{4X+2X+1} dx =?{8X-1} dx
=
=
8X
ln 8
2#X
3 ln 2
-x+C
-x+C
3
d
dx
9 f{x}+g{x}0=sin x에서
f{x}+g{x}=?`sin x dx=-cos x+C1 yy ㉠
d
dx
9 f{x}-g{x}0=1-cos x에서
f{x}-g{x} =?{1-cos x} dx
=x-sin x+C2
yy ㉡
이때 f{0}=1, g{0}=-1이므로 ㉠, ㉡에서
f{0}+g{0}=-1+C1=0 / C1=1
yy ㉢
yy ㉣
f{0}-g{0}=C2=2
/ -
f{x}+g{x}=-cos x+1
f{x}-g{x}=x-sin x+2
㉢+㉣을 하면
2 f{x}=x-sin x-cos x+3
㉢-㉣을 하면
2 g{x}=-x+sin x-cos x-1
1
2
`sin x-
x+
1
2
1
2
/ g{x}=-
`cos x-
1
2
1
2
f '{x} =8`sin
`cos
-2 sin@`
x
2
x
2
=4`sin x-2\
1-cos x
2
=4`sin x+cos x-1
x
2
/ f{x} =?{4`sin x+cos x-1} dx
=-4`cos x+sin x-x+C
p
2 ]
f
[
=-
1-
+C=-
p
2
p
2 에서
p
2 / C=-1
따라서 f{x}=-4`cos x+sin x-x-1이므로
f{p}=4-p-1=3-p
5
f{x}=?`f '{x} dx=?`xj2x-3l`dx
2x-3=t로 놓으면 x=
t+3
2
2x-3=t의 양변을 x에 대하여 미분하면
dt
dx
=2 / dx=
`dt
1
2
/ f{x} =?`xj2x-3l`dx=?
=
=
1
4 ?{t 2#+3t 2!} dt=
1
10
{2x-3}@ j2x-3l+
1
2
1
2
t+3
2
`dt
\jt \
1
2 tjt +C
1
10 t @jt +
{2x-3}j2x-3l+C
3
2 ]
f
[
=1에서 C=1
/ f{x}=
/ f{2}=
1
10
1
10
{2x-3}@ j2x-3l+
8
5
+1=
1
2
+
1
2
{2x-3}j2x-3l+1
6 x@-x-1=t로 놓으면
={x@-x-1}'=2x-1이므로
dt
dx
f{x} =?{4x-2}{x@-x-1}$`dx
=2?{x@-x-1}${2x-1} dx
=2?{x@-x-1}${x@-x-1}' dx
=2?`t $`dt=
2
5 t %+C
`
=
{x@-x-1}%+C
2
5
f{0}=
+C=
3
5 / C=1
따라서 f{x}=
{x@-x-1}%+1이므로
2
5
3
5 에서 -
2
5
2
5
Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 75
/ 2 f{p}+g{2p} =p+1+3+
-p-
-
[
1
2 ]
=3
f{-1}=
{1+1-1}%+1=
7
5
19 미적분_개념편-해설Ⅲ(068~097) OK.indd 75
2018-10-17 오전 11:11:15
개념편 7
ln x=t로 놓으면
={ln x}'=
dt
dx
10 f '{x}=f{x}에서
=1이므로
f '{x}
f{x}
f{x} =?
1
x{ln x}@
`dx=?
1
{ln x}@
`dx
?
f '{x}
f{x}
`dx=?`dx
1
x 이므로
1
x
\
=?{ln x}_@{ln x}' dx
1
t
+C
=?`t_@ dt=-
1
ln x
=-
+C
f{e}=1에서 -1+C=1 / C=2
1
ln x
+2이므로
따라서 f{x}=-
1
e ]
f
[
=1+2=3
8 ?
cos# x
1+sin x
`dx =?
cos x cos@ x
1+sin x
`dx
=?
cos x {1-sin@ x}
1+sin x
`dx
=?
cos x {1+sin x}{1-sin x}
1+sin x
`dx
=?`cos x {1-sin x} dx
sin x=t로 놓으면
={sin x}'=cos x이므로
dt
dx
?`cos x {1-sin x} dx =?{1-sin x}{sin x}' dx
=?{1-t} dt=-
1
2 t @+t+C
=-
`sin@ x+sin x+C
1
2
9 {ex@+1}'=2xex@이므로
f{x} =?`f '{x} dx=?
xex@
ex@+1
`dx
=
1
2 ?
2xex@
ex@+1
`dx
=
=
`dx
{ex@+1}'
ex@+1
1
2 ?
1
2 ln {ex@+1}+C (? ex@+1>0}
j6
1
2 ln 3+C=ln
2
j6
2 에서
f{1ln 23}=ln
j6
2
/ C=ln
-ln j3=ln
j2
2
따라서 f{x}=
1
2 ln {ex@+1}+ln
j2
2 이므로
f{0} =
j2
2
1
2 ln 2+ln
j2
2
=ln j2+ln
=ln 1=0
76 정답과 해설_개념편
/ ln f{x}=x+C (? f{x}>0)
yy ㉠
이때 f{0}=1이므로 ㉠의 양변에 x=0을 대입하면
ln f{0}=0+C / C=0
따라서 ln f{x}=x이므로 f{x}=eX
11
1
4x@-1
=
1
{2x-1}{2x+1}
=
1
2 [
1
2x-1
-
1
2x+1 ]
/ f{x} =?
1
4x@-1
`dx
=
1
2 ?~[
1
2x-1
-
1
=
1
2 [
1
2 ln |2x-1|-
2x-1
2x+1 |
+C
2x+1 ] dx
1
2 ln |2x+1|
+C
]
=
`ln |
f{0}=0에서 C=0
/ f{x}=
1
4
1
4
2x-1
2x+1 |
`ln |
1
4 [
/
f{k} =
40
?k=1
1
ln
3
3
+ln
5
5
+ln
7
+y+ln
79
81 ]
=
=
1
4
1
4
1
3
`ln [
1
81
`ln
\
3
\
5
5
\y\
7
79
81 ]
=
`ln 3_$=-ln 3
1
4
12 곡선 y=f{x} 위의 임의의 점 {x, y}에서의 접선의 기울
기가 {x-1}e@X이므로
f '{x}={x-1}e@X
yy ㉠
/ f{x}=?{x-1}e@X dx
u{x}=x-1, v'{x}=e@X이라 하면
u'{x}=1, v{x}=
e@X
1
2
1
2
3
4
1
4
3
4
/ f{x} =?{x-1}e@X dx
1
2
e@X{x-1}-?`1\
=
1
2
e@X dx
=
xe@X-
e@X-
e@X+C
=
xe@X-
e@X+C
=-
e에서
1
2 ]
f
[
1
4
3
4
e-
e+C=-
e / C=
e
1
4
1
2
1
2
1
4
1
2
1
4
1
4
/ f{x}=
xe@X-
e@X+
e
19 미적분_개념편-해설Ⅲ(068~097) OK.indd 76
2018-10-17 오전 11:11:16
㉠에서 f '{x}=0인 x의 값은 x=1 (? e@X>0)
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
1
0
극소
y
+
↗
따라서 함수 f{x}는 x=1에서 최소이므로 최솟값은
f{1}=
e@-
e@+
e=-
e@+
e
1
2
3
4
1
4
1
4
y
-
↘
1
4
실전 연습문제
p.175
1 f{x}=2eX-2
2 -2p 3 ③
4 xNeX
1
f{x} =?{2aeX"@-eX} dx
=2aeX"@-eX+C
yy ㉠
x=0이고, 극한값이 존재하므로
f{x}
x
=2에서 lim
0
!
x
f{x}=0 / f{0}=0
lim
0
x
!
lim
0
x
!
이때 미분계수의 정의에 의해
f{x}
x =lim
x
0
f{x}-f{0}
x-0
lim
0
x
!
!
따라서 f '{x}=2aeX"@-eX에서
2ae@-1=2 / a=
3
2e@
이를 ㉠에 대입하면
= f '{0}=2
f{x}=2\
3
2e@
f{0}=0이므로
\eX"@-eX+C=2eX+C
2+C=0 / C=-2
/ f{x}=2eX-2
2
lim
0
h`
!
f {x+3h}-f{x-h}
h
3 cos x=t로 놓으면
={cos x}'=-sin x이므로
dt
dx
f{x} =-?~[
cos x
3
+
cos@ x
4
+
cos# x
5
+y+
cos@)!^ x
2018 ]
`sin x dx
=?~[
cos x
3
+
cos@ x
4
+
cos# x
5
+y+
cos@)!^ x
2018 ]
{-sin x} dx
=?~[
cos x
3
+
cos@ x
4
+
cos# x
5
+y+
cos@)!^ x
2018 ]
{cos x}' dx
+
+
+y+
t @
4
t @)!^
2018 ] dt
t
3
=?~[
t @
2\3
=
t #
5
+
+
t #
3\4
t $
4\5
+y+
t @)!&
2017\2018
+C
=
cos@ x
2\3
+
cos# x
3\4
+
cos$`x
4\5
+y+
cos@)!& x
2017\2018
+C
p
2 ]
f
[
=0에서 C=0
/ f{x}=
cos@ x
2\3
+
cos# x
3\4
+
cos$`x
4\5
/ f{0} =
1
2\3
+
1
3\4
+
1
4\5
+y+
=
[
1
2
-
1
3 ]
+
[
1
3
-
1
4 ]
+
[
1
4
-
=
-
1
2
1
2018
504
1009
1008
2018
따라서 a=504, b=1009이므로
=
=
b-a=505
+y+
cos@)!& x
2017\2018
1
2017\2018
1
5 ]
1
2017
1
2018 ]
-
+y+
[
=lim
0
!
h`
f {x+3h}-f{x}
3h
\3+lim
0
!
h`
f {x-h}-f{x}
-h
=3 f '{x}+ f '{x}=4 f '{x}
따라서 4 f '{x}=4`tan@ x이므로
f '{x}=tan@ x
4
f{x}=xN, g '{x}=eX이라 하면
f '{x}=nxN_!, g{x}=eX
부분적분법에 의해
In =?`xNeX dx=xNeX-?`nxN_!eX dx
/ f{x} =?`tan@ x dx=?{sec@ x-1} dx
=xNeX-n?`xN_!eX dx
=tan x-x+C
/ f
9
4
[
p
- f
]
[
p
4 ]
9
4
=1-
p+C-
1-
+C
p
4
[
]
=-2p
이때 In-1=?`xN_!eX dx이므로
In=xNeX-nIn-1
/ In+nIn-1=xNeX
Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 77
19 미적분_개념편-해설Ⅲ(068~097) OK.indd 77
2018-10-17 오전 11:11:17
개념편 02 여러 가지 함수의 정적분
⑸ /
3"
`
6"
sec$`x
1+tan@ x
`dx =/
3"
`
6"
sec$`x
sec@ x
`dx
1
유제 & 문제
p.17 7~180
문제 01-1 ⑴
⑵ 4 ⑶ 2 ⑷
56
3
21
2
⑹ /0
2"
`cos@
x
2
`dx =/0
2"
`
1+cos x
2
`dx
=/
`sec@ x dx
3"
6"
=
tan x
{
3"
}6"
=j3-
j3
3
=
2j3
3
=
2"
1
2 /0
{1+cos x} dx
=
1
2 {
x+sin x
2"
}0
+1
-0
]
=
=
1
2 -[
p
2
=
+
p
4
1
2
⑴ /2%`{jx-1l+1}@ dx-/2%`{jx-1l-1}@ dx
=/2%~9{jx-1l+1}@-{jx-1l-1}@0 dx
=/2%~9{x-1+2jx-1l+1}
-{x-1-2jx-1l+1}0 dx
=/2%`4jx-1l`dx
=4/2%`jx-1l`dx
2
3
=4
{
{x-1}jx-1l }2%
16
3
2
3 ]
56
3
-
=
=4
[
1
p.176
1. ⑴
⑶ e-1 ⑷ 1
16
3 ⑵
1
2
⑴ /0$ jx k`dx=/0$ x2! dx=
{
⑵ /1@
`dx=/1@ x_@ dx=
-
{
1
x@
2
3
xjx k }0$=
1
x }1@=-
16
3
1
2
+1=
1
2
⑶ /0! eX dx=
eX
}0!=e-1
{
2"
⑷ /0
sin x dx =
-cos x
=0+1=1
{
2"
}0
유제 01 ⑴ e#-e@+1 ⑵ 2j3-
j2
26
2
3 ln 3
2j3
3
-3 ⑷ 2-
p
4
⑹
⑸
⑶
1
2
+
4j2
3
+
10
3
⑴ /1E`
3x#-2x@+1
x
`dx =/1E`[
3x@-2x+
1
x ] dx
=
x#-x@+ln x
{
}1E
={e#-e@+1}-{1-1+0}
=e#-e@+1
⑵ /1# [
+jx+1l ] dx =
{
2jx k+
{x+1}jx+1l }1#
2
3
1
jxk
=
2j3+
[
16
3 ]
-
2+
[
4j2
3 ]
⑶ /-1@
9X-1
3X+1
`dx =/-1@
10
3
4j2
3
+
=2j3-
{3X+1}{3X-1}
3X+1
`dx
3X
ln 3
-x
}@-1
=/-1@ {3X-1} dx=
1
3 ln 3
-
]
-2
=
{
[
[
+1
]
9
ln 3
26
3 ln 3
=
-3
={0+2}-
-
[
j2
2
+j2
]
=2-
j2
2
⑵ /
|`{sin x+1}@ dx+/\
`{sin x-1}@ dx
2"
2"
=/
|`{sin x+1}@ dx-/
|`{sin x-1}@ dx
2"
=/
| 9{sin x+1}@-{sin x-1}@0`dx
=/
| 9{sin@ x+2 sin x+1}
-{sin@ x-2 sin x+1}0 dx
2"
2"
2"
2"
=/
| 4`sin x dx
=4/
| sin x dx
2"
=4
-cos x
{
|
}2"
=4{1+0}=4
⑷ /
`{sin x+2 cos x} dx =
{
-cos x+2 sin x
2"
4"
2"
}4"
78 정답과 해설_개념편
19 미적분_개념편-해설Ⅲ(068~097) OK.indd 78
2018-10-17 오전 11:11:17
⑶ /2$
`dx+/4^
`dx+/1@
=/1@
`dx+/2$
`dx+/4^
1
jx+3l
1
jx+3l
`dx
1
jx+3l
1
jx+3l
`dx
1
jx+3l
1
jx+3l
1
jx+3l
2jx+3l }1^
=/1^
`dx
=
{
=6-4=2
ln 4
⑷ /ln 2
`e@X dx+/ln 4
`e@Y dy-/ln 5
`e@Z dz
ln 6
ln 6
=/ln 2
`e@X dx+/ln 4
`e@X dx+/ln 6
`e@X dx
ln 6
ln 5
ln 4
ln 5
=/ln 2
1
2
=
{
`e@X dx
e@X
ln 5
}ln 2
=
e2 ln 5-
e2 ln 2
1
2
25
2
1
2
21
2
=
-2=
문제 01-2
4
3
1
x@+3x+2
=
1
{x+1}{x+2}
=
1
x+1
1
-
x+2 이므로
/0!
1
x@+3x+2
`dx
=/0! [
1
x+1 -
1
x+2 ] dx
=
{
ln {x+1}-ln {x+2}
}0!
={ln 2-ln 3}-{0-ln 2}
=ln 2-ln 3+ln 2
=2 ln 2-ln 3
4
=ln 4-ln 3=ln
3
/ k=
4
3
문제 01-3 2
/0K`
e@X-1
eX+1
`dx =/0K`
{eX+1}{eX-1}
eX+1
`dx
=/0K~{eX-1} dx
{
=
eX-x
}0K
={eK-k}-{1-0}
=eK-k-1
유제 02 ⑴ 2 ln
4
3
⑵ 3-j3
⑴ x-1=0에서 x=1
x-1
x+1 {x>1}
x-1
x+1 {x<1}
(
-
9
-
이므로
따라서
|x-1|
x+1
=
/0@
|x-1|
x+1
`dx
=/0! [
-
x-1
x+1 ] dx+/1@
x-1
x+1
`dx
=/0! [
-1+
x+1 ] dx+/1@ [
1-
x+1 ] dx
2
2
=
-x+2 ln {x+1}
x-2 ln {x+1}
}0!+
{
{
}1@
={-1+2 ln 2}+9{2-2 ln 3}-{1-2 ln 2}0
4
=4 ln 2-2 ln 3=2 ln
3
⑵ cos x-j3 sin x=0에서 cos x=j3 sin x
p
2 ]
j3
3 / x=
? 00)
7
f{x}=
이라 하면
1
2x@+1
1
2x@+1
f{-x} =
=f{x}
1
j2 `
/ /- 1
j2
1
2x@+1
`dx =2/0
1
j2 `
1
2x@+1
`dx
1
j2
1
j2
x=
`tan h [
-
p
2
1}
(
\
9
따라서 f{x}=
-
\
/-2# f{x} dx
=/-2_! 3eX"! dx+3/-1! dx+/1# [
2
x+1
+2
] dx
=
{
3eX"!
x
}-1! +
{
2 ln {x+1}+2x
}1#
=
3-
+3{1+1}+9{2 ln 4+6}-{2 ln 2+2}0
[
}-2_!+3
{
3
e ]
3
e
=13+2 ln 2-
/ c=13+2 ln 2-
3
e
/ a+b+c =3+3+13+2 ln 2-
3
e
2
f{x}=cos x이므로
p
2
=cos [
]
-x
p
2
[
f
-x
=sin x
]
/ /0
f
-x
2"
[ 2"
]
1+9 f{x}0@
`dx=/0
2"
sin x
1+cos@ x
`dx
cos x=t로 놓으면
=-sin x이고,
dt
dx
x=0일 때 t=1, x=
/0
sin x
2"
1+cos@ x
p
2 일 때 t=0이므로
1
1+t@
`dt
`dx =-/1)
=/0!
1
1+t@
`dt
t=tan h [
-
ln x, x>e에서 1e}
/ /1$~{11ln x} dx =/1E`dx+/e$`ln x dx
=
x
}1E+/e$`ln x dx
{
=e-1+/e$`ln x dx
yy ㉠
/e$`ln x dx에서 f{x}=ln x, g '{x}=1이라 하면
f '{x}=
1
x , g{x}=x
/ /e$`ln x dx =
{
x ln x
1
}e$-/e$
x
\x dx
=4 ln 4-e-
x
}e$
{
=8 ln 2-4
이를 ㉠에 대입하면
/1$~{11ln x} dx =e-1+8 ln 2-4
=e+8 ln 2-5
1-t
eT
1-x
eX
f '{x}=
f '{x}=0에서 x=1 (? eX>0)
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
1
0
극대
y
-
↘
따라서 함수 f{x}는 x=1에서 최대이므로 최댓값은
1-t
eT
f{1}=/0!
u{t}=1-t, v'{t}=e_T이라 하면
`dt=/0!~{1-t}e_T dt
u'{t}=-1, v{t}=-e_T
/ f{1} =/0!~{1-t}e_T dt
-{1-t}e_T
=
{
-e_T
=1-
{
}0!=
}0!-/0!`{-1}\{-e_T} dt
1
e
Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 85
=19+2 ln 2-
3
e
4
f{x}=/0X
`dt의 양변을 x에 대하여 미분하면
19 미적분_개념편-해설Ⅲ(068~097) OK.indd 85
2018-10-17 오전 11:11:26
개념편 III-2. 정적분의 활용
01 정적분의 활용
문제 01-1 ⑤
오른쪽 그림과 같이 구간
y
y=x#
[1, 3]을 n등분 하면 각 구간
의 오른쪽 끝점의 x좌표는 차
례로
2
n , 1+
1+
4
n , 1+
6
n ,
2n
n
y, 1+
{=3}
이에 대응하는 y의 값은 각각
1+
[
2
n ]#, [
1+
4
n ]#, [
1+
p.194
p.195~197
오른쪽 그림과 같이 구간
y
y=x@
의 합을 Sn이라 하면
y, 2+
{=3}
2+
n!
2+
nN
따라서 구하는 넓이를 S라 하면
O
2
3
x
이때 색칠한 직사각형의 가로의 길이는
⑴ 주어진 식을 변형하면
1. ⑴ x@,
x#,
⑵ 2, 2, 2, 4
1
3
7
3
유제 & 문제
유제 01
19
3
[2, 3]을 n등분 하면 각 구간
의 오른쪽 끝점의 x좌표는 차
례로
1
n , 2+
2+
2
n , 2+
3
n ,
n
n
1
1
◀ 구간 [2, 3]을 n등분 하면 각 구간의 간격은
3-2
n
=
1
n
이에 대응하는 y의 값은 각각
2+
[
1
n ]@, [
2+
2
n ]@, [
2+
2+
n
n ]@
3
n ]@, y, [
1
n 이므로 그 넓이
의 합을 Sn이라 하면
Sn =
\
2+
[
1
n
1
n ]@+
1
n
\
2+
[
2
n ]@+
1
n
\
[
2+
3
n ]@
n
n ]@
+y+
\
2+
1
n
[
=
1
n -[
4
n
4+
+
+
4+
+
8
n
2@
n@ ]
[
+
4+
[
+
3@
n@ ]
+y+
4+
[
4n
n
+
n@
n@ ]=
1@
n@ ]
12
n
=
1
n -
4n+
{1+2+3+y+n}
1
n@
+
{1@+2@+3@+y+n@}
=
=
1
n -
4n+
\
n{n+1}
2
4
n
4
n
n{n+1}{2n+1}
6
=
+
\
1
n@
1
n ][
1
n ]
+
1
6 [
1+
1
n ][
2+
1
n ]=
=4+2
1+
[
1
n ]
+
1
6 [
1+
2+
1
n ]
따라서 구하는 넓이를 S라 하면
S =lim
n`
E
!
Sn=lim
4+2
1+
[
E-
n`
!
1
3
19
3
=4+2+
=
86 정답과 해설_개념편
O
1
1+
n@
3
x
1+
2n
n
1+
2n
n ]#
6
n ]#, y, [
2
n 이므로 그 넓이
이때 색칠한 직사각형의 가로의 길이는
Sn =
\
1+
[
2
n
2
n ]#+
2
n
\
1+
[
4
n ]#+
2
n
\
1+
[
6
n ]#
2n
n ]#
+y+
2
n
\
[
1+
=
2
n
n
?k=1[
1+
2k
n ]#
S =lim
n`
E
!
2
Sn=lim
n
E
n
?k=1[
n`
!
1+
2k
n ]#
유제 02 ⑴
⑵ 1-
⑶ 4 ln 2 ⑷ 3 ln 2-1
15
4
2j2
3
n
lim
?k=1
n`
E
!
{n+k}#
n$
n
=lim
?k=1[
n`
E
!
f{x}=x, a=1, b=2로 놓고, 정적분으로 나타내어
k
n ]#\
1+
1
n
1
n =/1@ x# dx=
{
1
4
x$
}1@=
15
4
값을 계산하면
1+
n
lim
?k=1[
n`
E
!
k
n ]#\
⑵ 주어진 식을 변형하면
n
1
lim
?k=1
njn k
n`
E
!
{jn k-j2kk}
jn k-j2kk
n
=lim
?k=1
jn k
E
!
n`
\
1
n
=
1
2 lim
n
?k=1[
E
n`
!
1-r
2k
n t ]
\
2
n
=-
n
?k=1[
E
1
2 lim
2k
n t ]
f{x}=-1+jx k, a=0, b=2로 놓고, 정적분으로 나
-1+r
2
n
\
!
n`
타내어 값을 계산하면
-
\
2
n
n`
2k
n t ]
n
?k=1[
E
-1+r
1
2 lim
!
1
2 /0@~{-1+jx k} dx
2
1
2 {
3
-x+
xjx k }0@=1-
=-
=-
2j2
3
19 미적분_개념편-해설Ⅲ(068~097) OK.indd 86
2018-10-17 오전 11:11:27
⑶ 주어진 식을 변형하면
lim
n`
E
!
[
4
n+1
+
4
n+2
+y+
4
n+n ]
=lim
E
n`
4
[
!
1
n+1
+
1
n+2
+y+
1
n+n ]
1
+
+y+
1+
n@
\
1
n
1
1+
nN 0
1
1+
=lim
E
n`
4
!
9
n
=4 lim
?k=1
E
1+
!
n`
n!
1
\
1
n
nK
f{x}=
1
x , a=1, b=2로 놓고, 정적분으로 나타내어
값을 계산하면
n
1
4 lim
?k=1
n`
E
1+
!
nK
\
1
1
x dx
n =4/1@
=4
ln x
{
}1@
=4 ln 2
⑷ 주어진 식을 변형하면
1
n -
lim
n`
E
!
ln [
2+
2
n ]
+ln [
2+
4
n ]
+y+ln [
2+
2n
n ]=
n`
n
1
n ln [
=lim
?k=1
E
n
2
n ln [
?k=1
E
!
1
2 lim
=
2+
2k
n ]
2k
n ]
f{x}=ln x, a=2, b=4로 놓고, 정적분으로 나타내면
2+
!
n`
n`
n
2
n ln [
?k=1
E
1
2 lim
!
1
2 /2$ ln x dx
=
2+
2k
n ]
u'{x}=
1
x , v{x}=x
1
2 [{
1
2 /2$ ln x dx =
/
이때 u{x}=ln x, v'{x}=1이라 하면
x ln x
}2$-/2$ dx
]
=
1
2 [
6 ln 2-
x
}2$ ]
{
=3 ln 2-1
문제 02-1 4
n
lim
?k=1
n`
E
!
1+
f
[
2k
n ]
\
c
n
=
n`
!
[
f
1+
n
?k=1
E
c
2 lim
c
2 /0@ f{1+x} dx
=/aB f{1+x} dx
=
2-0
n
k
\
]
2-0
n
따라서 a=0, b=2, c=2이므로
a+b+c=4
주어진 그림에서 곡선 y= f{x}와 두 직선 x=2, x=5로
문제 02-2
A
2
3
둘러싸인 도형의 넓이 A는
A=/2%` f{x} dx
n
lim
?k=1
n`
E
!
2+
f
[
3k
n ]
\
2
n
=
n`
E
!
[
f
n
?k=1
2
3 lim
2
3 /2%` f{x} dx
2
3
A
=
=
문제 02-3
4
p
2+
5-2
n
k
\
]
5-2
n
사분원의 호의 길이를 n등분 하면
B
사분원의 중심각의 크기인
p
2 도
Pk
n등분 되므로
p
2
CAOPk=
\
=
k
n
k
2n
p
Sk
k
2n
p
2
O
A
따라서
1
2
Sk=
OAPk의 넓이 Sk는
k
2n
\sin
\O
Pk
A
s
\O
p=2 sin
k
2n
p
1
/ lim
n
E
n`
n-1
?k=1
1
Sk =lim
n
n`
E
n-1
?k=1
2 sin
p
2n
k
!
!
4
p
=
n-1
lim
?k=1
n`
E
!
p
2n sin
p
2n
k
f{x}=sin x, a=0, b=
p
2 로 놓고, 정적분으로 나타내어
값을 계산하면
p
4
2n sin
p
n-1
?k=1
lim
n`
E
!
p
2n
k =
2"`sin x dx
=
-cos x
2"
}0
=
4
p
4
p /0
4
p {
2
1. ⑴ e-1 ⑵ e-
⑶
1
e
1
6
⑴ 구간 [0, 1]에서 eX>0이므로
p.198
y=eX
구하는 넓이를 S라 하면
S =/0!~|eX| dx
=/0! eX dx=
=e-1
eX
{
}0!
y
e
1
O
1
x
Ⅲ-2. 정적분의 활용 87
19 미적분_개념편-해설Ⅲ(068~097) OK.indd 87
2018-10-17 오전 11:11:28
개념편X
Z
X
Z
⑵ y=ln x를 x에 대하여 풀면
⑶ 곡선 y=2 sin x-1과 x축의 교점의 x좌표를 구하면
x=eY
이때 구간 [-1, 1]에서 eY>0
이므로 구하는 넓이를 S라 하면
eY
{
}!-1
S =/-1! |eY| dy
=/-1! eY dy=
1
e
=e-
y
1
O
-1
y=ln x
1
x
⑶ 곡선 y=jx k와 직선 y=x의 교점의 x좌표를 구하면
jx k=x, x@-x=0, x{x-1}=0
/ x=0 또는 x=1
이때 구간 [0, 1]에서 jx k>x
이므로 구하는 넓이를 S라 하면
y
1
y=x
y=jx k
O
1
x
S =/0!~{jx k-x} dx
1
2
x@
}0!
=
{
2
3
=
-
2
3
xjx k-
1
1
6
2
=
2
유제 & 문제
p.199~203
p
3
y=
x
x-1
O 1
2
4
x
유제 03 ⑴ 2+ln 3 ⑵ -e+4 ⑶ 2j3+
⑴ 구간 [2, 4]에서
>0이
x
x-1
므로 구하는 넓이를 S라 하면
S =/2$`|
x
x-1 | dx
1
=/2$`[
1+
x-1 ] dx
x+ln {x-1}
=
{
}2$
=2+ln 3
y
1
⑵ 구간 [0, 1]에서 eX-3<0이
y
y=eX-3
므로 구하는 넓이를 S라 하면
S =/0!~|eX-3| dx
=/0!~{-eX+3} dx
=
{
-eX+3x
}0!
=-e+4
88 정답과 해설_개념편
p
6%
p
2#
x
2"
y=2sin x-1
2 sin x-1=0, sin x=
1
2
/ x=
5
6
?
p [
p
2
0이고, 구간
p
5
6
3
2
{
p
p,
}에서
2 sin x-1<0이므로 구하
는 넓이를 S라 하면
S =/
2#
p
|2 sin x-1| dx
y
1
O
-1
-3
p
2#
\
6
{2 sin x-1} dx+/ 5
~{-2 sin x+1} dx
-2 cos x-x
=
{
5
6
}2"
p
2 cos x+x
+
{
p
2#
~
\
}6%
=
[ j3-
p
3 ]
+
[j3+
2
3
p
]
2"
5
6
p
=/
2"
=2j3+
p
3
문제 03-1 ej2
구간 [1, e@]에서
ln x
x
각각 Sa, Sb라 하면
>0이므로 두 부분 A, B의 넓이를
ln x
x
@ ln x
x
`dx
Sa=/1K`
`dx, Sb=/kE
dt
dx
일 때 t=ln k, x=e@일 때 t=2이므로
ln x=t로 놓으면
=
Sa =/1K`
ln x
x
ln k`
`dx=/0
t dt
1
x 이고, x=1일 때 t=0, x=k
Sb =/kE
@ ln x
x
`dx=/ln k@ t dt
=
{
1
2
ln k
t @
}0
=
{ln k}@
1
2
=
{
1
2
t @
}@ln k
=2-
1
2 {ln k}@
O
-2
-3
1
ln 3
x
이때 두 부분 A, B의 넓이가 같으므로
Sa=Sb
1
2
{ln k}@=2-
1
2
그런데 10이므로 구하는 넓이
1-
1
y
를 S라 하면
S =/1E~|
1-
=/1E~[
1-
1
y | dy
1
y ] dy
=
{
y-ln y
}1E=e-2
y
e
y=
1
1-x
1
O
1
x
⑵ y=-ln {x-2}를 x에 대하여 풀면
ln {x-2}=-y, x-2=e_Y / x=e_Y+2
이때 구간 [0, 2]에서
e_Y+2>0이므로 구하는
y
2
넓이를 S라 하면
S =/0@~|e_Y+2| dy
=/0@~{e_Y+2} dy
-e_Y+2y
=
{
}0@=5-
1
e@
1
3
O
2 3
x
y=-ln {x-2}
유제 05 ⑴ 2 ⑵
⑶
⑷
e@-e+
3j3
2
1
2
3
2
⑴ 두 곡선 y=ln 2x, y=-ln
x
2 의 교점의 x좌표를 구하면
2
x
2 , ln 2x=ln
x
ln 2x=-ln
y=ln 2x
e2
1
y=-ln
x
2X
2x=
2
x , x@=1 / x=1 {? x>0}
y
이때 구간 [1, e]에서
ln 2x>-ln
x
2 이므로 구하
는 넓이를 S라 하면
ln 2e
ln 2
O
S
-ln
2E 2!
x
2 ] = dx
=/1E~-
ln 2x-
-ln
[
=/1E ln x@ dx=2/1E ln x dx
f{x}=ln x, g '{x}=1이라 하면
f '{x}=
1
x , g{x}=x
/ S =2/1E ln x dx =2
[{
x ln x
}1E-/1E`dx
]
=2
e-
x
=2
{
}1E ]
[
⑵ 두 곡선 y=cos x, y=cos 2x의 교점의 x좌표를 구하면
cos x=cos 2x, cos x=2 cos@ x-1
{2 cos x+1}{cos x-1}=0
/ cos x=-
1
2 또는 cos x=1
/ x=
p 또는 x=0 {? 0cos 2x이고,
p
2
3
y
1
O
p, p
구간 {
cos 2x>cos x이므로
}에서
-
2!
-1
구하는 넓이를 S라 하면
S =/0
|{cos x-cos 2x} dx
+/
3@
p
2"
3@
y=cos 2x
xp
y=cos x
\|`~{cos 2x-cos x} dx
=
{
sin x-
=
3j3
4
+
1
3@
2 sin 2x
}0
3j3
2
=
3j3
4
|+
{
1
2 sin 2x-sin x
\
}|
3@
⑶ y=jx-1l, y=
1
2
x=y@+1, x=2y
x를 각각 x에 대하여 풀면
곡선 x=y@+1과 직선 x=2y의 교점의 y좌표를 구하면
y@+1=2y, {y-1}@=0 / y=1
이때 구간 [0, 1]에서
y@+1> 2y이므로 구하는
넓이를 S라 하면
y=
x
2!
y=jxk-1l
S =/0!~9{y@+1}-2y0 dy
O
1
2
x
y
1
=/0!~{y@-2y+1} dy
=
{
1
3
y#-y@+y
}0!=
1
3
⑷ y=eX, y=-x+1을 각각 x에 대하여 풀면
x=ln y, x=-y+1
이때 구간 [1, e]에서
ln y>-y+1이므로 구하는
넓이를 S라 하면
S =/1E9ln y-{-y+1}0 dy
=/1E ln y`dy+/1E~{y-1} dy
y=eX
y
e
1
O
1-e
1
x
y=-x+1
/1E ln y`dy에서 f{y}=ln y, g '{y}=1이라 하면
f '{y}=
1
y , g{y}=y
Ⅲ-2. 정적분의 활용 89
19 미적분_개념편-해설Ⅲ(068~097) OK.indd 89
2018-10-17 오전 11:11:29
개념편
/ S =/1E ln y`dy+/1E~{y-1} dy
1
2
y@-y
}1E
}1E-/1E`dy+
{
1
2
e@-e+
[
1
2 ]
=
{
y ln y
=e-
{
y
}1E+
3
2
=
e@-e+
1
2
문제 05-1 j3
a>1이므로 두 곡선
y=a sin x, y=cos x와 두 직
p
3 로 둘러싸인
도형은 오른쪽 그림의 색칠한
선 x=0, x=
부분과 같다.
y
1
2!
O
이때 두 곡선과 두 직선으로
둘러싸인 두 도형의 넓이가 서로 같으므로
3"
/0
~{a sin x-cos x} dx=0
y=a sin x
2"
x
3"
y=cos`x
{
-
[
1
2
-a cos x-sin x
=0
3"
}0
a-
-{-a}=0
j3
2 ]
1
2
a-
j3
2
=0 / a=j3
유제 06
-1
e
2
f{x}=ln {x-1}이라 하면 f '{x}=
1
x-1
점 {e+1, 1}에서 그은 접선의 기울기는
f '{e+1}=
1
e
따라서 점 {e+1, 1}에서 그은 접선의 방정식은
y-1=
{x-e-1}
1
e
1
e
/ y=
x-
1
e
eY+1>ey+1이므로 구하는 넓
y=ln {x-1}
x-
1
e 을
y=ln {x-1}, y=
1
e
각각 x에 대하여 풀면
x=eY+1, x=ey+1
y
1
O
이때 구간 [0, 1]에서
이를 S라 하면
S =/0!~9{eY+1}-{ey+1}0 dy
=/0!~{eY-ey} dy
e
e
2
2
}0!=
=
{
eY-
y@
-1
90 정답과 해설_개념편
구간 [2, e+1]에서 ln {x-1}>0이므로 구하는 넓이를
다른 풀이
S라 하면
1
2
e
2
S =
\e\1-/2E"! ln {x-1} dx
=
-/2E"! ln {x-1} dx
/2E"! ln {x-1} dx에서 u{x}=ln {x-1}, v'{x}=1이
라 하면
u '{x}=
x-1 , v{x}=x
1
/ S =
-/2E"! ln {x-1} dx
e
2
e
2
e
2
=
=
-
{
x ln {x-1}
}2E"!+/2E"!
x
x-1
`dx
-{e+1}+
{
x+ln {x-1}
}2E"!
=-
-1+e=
-1
e
2
e
2
문제 06-1
e
2
3
2e
f{x}=e_X이라 하면 f '{x}=-e_X
-
점 {-1, e}에서 그은 접선의 기울기는 f '{-1}=-e
따라서 점 {-1, e}에서 그은 접선의 방정식은
y-e=-e{x+1} / y=-ex
또 이 접선과 수직인 직선의 기울기는
1
e 이고, 이 직선이
1,
점 [
1
e
y-
1
e ]을 지나므로
1
e
=
{x-1} / y=
x
1
e
직선 y=
x가 지나는 점
1,
1
e ]은 곡선 y=e_X 위의
[
점이므로 곡선 y=e_X과 직선
e!
y=
1
e x의 교점의 x좌표는
y
e
1
y=
x
e!
y=e_X
x
-1
O
1
y=-ex
1
e
1
e
S =/-1)``9e_X-{-ex}0 dx+/0! [
e_X-
x
] dx
=/-1)``{e_X+ex} dx+/0! [
e
2
-e_X+
-e_X-
+
{
=
{
})-1
x@
1
2e
e_X-
=
-1+
[
e
2 ]
+
-
[
3
2e
+1
=
-
]
e
2
1
e
x
] dx
1
e
x@
}0!
3
2e
y=
x-
e!
e!
x=1
1 2 e+1
x
이때 구간 [-1, 0]에서 e_X>-ex이고, 구간 [0, 1]에
서 e_X>
x이므로 구하는 넓이를 S라 하면
19 미적분_개념편-해설Ⅲ(068~097) OK.indd 90
2018-10-17 오전 11:11:29
y
y=f{x}
y=x
=
-2
8
p
다른 풀이
따라서 구하는 넓이를 S라 하
구간 [-1, 1]에서 e_X>0이므로 구하는 넓이를 S라 하면
면 S는 구간 [-1, 1]에서 곡
1\e+1\
1
2 [
S =/-1! e_X dx-
1
2 [
-e_X
=
{
}!-1
-
1
e ]
e
2
e+
1
2e
=-
+e-
-
=
-
1
e
e
2
3
2e
1
e ]
1
유제 07
[
4
-
j3
18
p
]
두 함수 f{x}, g{x}는 서로 역함수이므로
=1에서
f
[
=
p
6 ]
j3
3 ]
[
p
4 ]
j3
3 , f
p
6 , g{1}=
[
g
=
p
4
두 함수 y=f{x}, y=g{x}
의 그래프를 그리면 오른쪽
S1
그림과 같다. 이때
/
` f{x} dx=S1,
/ j3
! g{x} dx=S2
4"
1
j3
3
6"
y=g{x}
S2
x
O
6"
1
4"
j3
3
S
G
y
1
j3
3
S2
S1
O
4"6"
x
라 하고, S2에 해당하는 부분을 직
y=f{x}
선 y=x에 대하여 대칭이동하면 오
른쪽 그림과 같다.
따라서 구하는 값은 오른쪽 그림의
색칠한 부분의 넓이와 같으므로
/
` f{x} dx+/ j3
! g{x} dx
4"
6"
3
4"
6"
p
4
3
j3
3
=S1+S2
=
\1-
\
p
6
=
1
4
[
-
j3
18 ]
p
문제 07-1
8
p -2
y=f{x}
y=x
y
1
y=g{x}
O
1
x
-1
선 y=sin
x와 직선 y=x
-1
p
2
로 둘러싸인 부분의 넓이의 2
배와 같다.
이때 구간 [-1, 0]에서
x>sin
p
p
2 x이고, 구간 [0, 1]에서 sin
2 x>x이므로
S =2
x-sin
x
- /-1)``
[
1
2
-{
2
p
=2
x@+
cos
p
2
] dx+/0! [
2
p
+
{
})-1
-
x
p
2
sin
x-x
p
2
cos
x-
p
2
] dx
1
2
x@
=
}0! =
=2
-[
2
p
-
1
2 ]
+
-
[
1
2
+
2
p ]=
3
1. 2
구하는 입체도형의 부피를 V라 하면
V =/0! S{x} dx=/0! {2x+1} dx=
x@+x
}0!=2
{
p.204
3
유제 & 문제
p.205~207
유제 08
{e*+31} cm#
1
2
물의 깊이가 x cm인 수면의 넓이 S{x}는
S{x}=e@X+x+2 {cm@}
물의 깊이가 4 cm일 때, 물의 부피를 V라 하면
V =/0$~S{x} dx=/0$~{e@X+x+2} dx
=
{
1
2
1
2
}0$=
1
2
e@X+
x@+2x
{e*+31}{cm#}
두 함수 f{x}, g{x}는 서로 역함수이므로 두 함수의 그
래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이다.
문제 08-1 10
따라서 두 곡선의 교점은 곡선 y=sin
x와 직선 y=x
p
2
의 교점과 같다.
p
2
곡선 y=sin
x가 세 점 {-1, -1}, {0, 0}, {1, 1}을
지나므로 곡선 y=sin
x와 직선 y=x의 교점의 x좌
p
2
표는
x=-1 또는 x=0 또는 x=1
수심이 t일 때의 수면의 넓이를 S{t}라 하면 수심이 x일
때의 물의 부피 V는 V=18jx k+7x이므로
/0X S{t} dt=18jx k+7x
양변을 x에 대하여 미분하면
S{x}=
+7
9
jx k
S{9}=3+7=10
따라서 수심이 9일 때, 즉 x=9일 때 수면의 넓이는
Ⅲ-2. 정적분의 활용 91
19 미적분_개념편-해설Ⅲ(068~097) OK.indd 91
2018-10-17 오전 11:11:30
개념편 문제 08-2 10초
x축 위의 임의의 점 x{00)
이때 t=0에서 점 P의 위치가 0이므로 t=1에서 점 P의
따라서 시각 t=0에서 t=2까지 점 P가 움직인 거리는
/0@ r[
dx
dt ]@+
[
dy
dt ]@y dt =/0@ 13@+4@3 dt
위치는
/0!~{t-1}e_T dt
=/0@ 5`dt=
{
5t
}0@=10
f{t}=t-1, g '{t}=e_T이라 하면
f '{t}=1, g{t}=-e_T
2.
13
12
f{x}=
x#+
1
12
따라서 곡선 y=
1
x 이라 하면 f '{x}=
1
1
x 의 x=1에서 x=2까지의 길
12
1
x@
x#+
x@-
1
4
이는
/1@ 11+9 f '{x}30@3 dx
/ /0!~{t-1}e_T dt =
{
-{t-1}e_T
}0!-/0!~{-e_T} dt
=-1-
e_T
{
}0!=-
1
e
유제 12 19
x, y를 각각 t에 대하여 미분하면
dx
dt
=6t,
dy
dt
=3t @
=/1@ r 1+
[
x@-
1
4
1
x@ ]@y dx=/1@ r
1
16
x$+
+
1
2
1
x$ y dx
1
4
x@+
1
x@ ]@y dx=/1@ [
1
4
x@+
1
x@ ] dx
=/1@ r [
1
12
=
{
x#-
1
x }1@=
13
12
따라서 시각 t=0에서 t=j5까지 점 P가 움직인 거리는
j5`
/0
j5`
3t1t@+43 dt
1{6t}@+{3t@}@3 dt=/0
t @+4=u로 놓으면
=2t이고, t=0일 때 u=4, t=j5
du
dt
4
유제 & 문제
p.210~212
유제 11 ⑴
⑵
-2 ⑶
7
2 ln 2
3
ln 2
5
2 ln 2
-1
⑴ 시각 t=0에서 점 P의 위치가 3이므로 시각 t=3에서
점 P의 위치는
3+/0#~{2 T_!-1} dt =3+
{
-t
}0#
7
2 ln 2
⑵ 시각 t=1에서 t=3까지 점 P의 위치의 변화량은
=3+
=
]
-3
[
2 T_!
ln 2
7
2 ln 2
/1#~{2 T_!-1} dt =
{
2 T_!
ln 2
⑶ 00이므로
3
ln 2
}1#=
-2
-t
시각 t=0에서 t=3까지 점 P가 움직인 거리는
/0#~|2 T_!-1| dt
=/0!~{-2 T_!+1} dt+/1#~{2 T_!-1} dt
일 때 u=9이므로
j5`
/0
3t1t@+43 dt =/4(`
3
2 ju k`du
=
{
uju k }4(=19
문제 12-1 j2
x, y를 각각 t에 대하여 미분하면
dx
dt =-e_T cos t-e_T sin t
=-e_T{cos t+sin t}
dy
dt =-e_T sin t+e_T cos t
=e_T{cos t-sin t}
이때 시각 t=0에서 t=a까지 점 P가 움직인 거리 s{a}는
s{a}
=/0A~19-e_T{cos t+sin t}0@3+9e_T{cos t-sin t}0@3 dt
=/0A`e_T12{sin@ t3+cos@ t}3 dt
=j2/0A`e_T dt=j2
-e_T
{
}0A
-
=
{
+t
}0!+
{
-t
}1#
2 T_!
ln 2
1
2 ln 2
2 T_!
ln 2
3
ln 2
[
=
-
[
+1
+
]
-2
] =
5
2 ln 2
-1
=j2
[
1-
1
eA ]
∴ lim
E
a`
s{a}=lim
E
a`
j2
[
1-
!
!
1
eA ]
=j2
Ⅲ-2. 정적분의 활용 93
19 미적분_개념편-해설Ⅲ(068~097) OK.indd 93
2018-10-17 오전 11:11:31
개념편 유제 13 ⑴
⑵
+ln 2
p@
32
15
4
⑴ x, y를 각각 t에 대하여 미분하면
dx
dt
dy
dt
=cos t-t sin t-cos t=-t sin t
=-sin t+sin t+t cos t=t cos t
따라서 00이고,
구간 {
2
3
p,
5
3
p
}에서
x+
p
2 sin [
3 ]
로 구하는 넓이를 S라 하면
<0이므
-2
p
3@
S =/0
~2 sin [
x+
p
3 ] dx
+/
p
`-
3%
p
3@
-2 sin [
x+
p
3 ]= dx
-2 cos [
=
{
x+
p
3@
3 ]}0
p
+
{
2 cos [
x+
3%
p
3 ]}3@
p
p
=7
19 미적분_개념편-해설Ⅲ(068~097) OK.indd 94
2018-10-17 오전 11:11:32
이므로 곡선과 y축의 교점의 y좌표를
5 y=
-
eX {y>0}
-eX {y<0}
구하면
y>0일 때, y=e)=1
y<0일 때, y=-e)=-1
또 y를 x에 대하여 풀면
y>0일 때, x=ln y
y<0일 때, x=ln {-y}
y
2
1
O
-1
-2
y=eX
x
y=-eX
이때 구간 [-2, -1]에서
ln {-y}>0이고, 구간 [1, 2]에서
ln y>0이므로 구하는 넓이를 S라 하면
S=/-2_! ln {-y} dy+/1@ ln y dy
/-2_! ln {-y} dy에서 -y=t로 놓으면
=-1이고,
dt
dy
y=-2일 때 t=2, y=-1일 때 t=1이므로
/-2_! ln {-y} dy=-/2! ln t dt=/1@ ln t dt
/ S=2/1@ ln y dy
8
곡선 y=
1
x 은 직선 y=x에 대하
여 대칭이다.
1
2 , 2
이때 이 곡선 위의 두 점 [
],
2,
[
1
2 ]도 직선 y=x에 대하여
서로 대칭이므로 두 점 [
1
2 , 2
],
y
2
2!
O
y=
x!
y=x
2
x
2!
1
2 ]에서 각각 그은 두 접선도 직선 y=x에 대하여 서
2,
[
로 대칭이다.
따라서 구하는 넓이는 곡선 y=
1
x 과 점 [
2,
1
2 ]에서 그은
접선 및 직선 y=x로 둘러싸인 도형의 넓이의 2배이다.
f{x}=
점 [
2,
1
x 이라 하면 f '{x}=-
1
2 ]에서 그은 접선의 기울기는 f '{2}=-
1
x@
1
4 이므
2,
로 점 [
1
2
y-
=-
1
2 ]에서 그은 접선의 방정식은
1
4
{x-2}
f{y}=ln y, g '{y}=1이라 하면 f '{y}=
1
y , g{y}=y
/ y=-
x+1
1
4
/ S =2/1@ ln y dy=2
y ln y
}1@-/1@ dy
]
[{
곡선 y=
1
x 과 직선 y=x의 교점의 x좌표를 구하면
=2
2 ln 2-
y
=4 ln 2-2
{
}1@ ]
[
=x, x@=1 / x=1 (? x>0)
1
x
1
4
또 두 직선 y=-
x+1, y=x의 교점의 x좌표를 구하면
1
4
-
x+1=x / x=
4
5
y=jx k
6
두 곡선 y=
1
x , y=jx k의 교점
y=
x!
의 x좌표를 구하면
1
x
=jx k, x#-1=0
{x-1}{x@+x+1}=0
y
1
O
1
x4
/ x=1 (? x@+x+1>0)
1
4 , 1
}에서
이때 구간 {
1
x 이므로 구하는 넓이를 S라 하면
jx k>
1
x
4!
>jx k이고, 구간 [1, 4]에서
S =/
! [
4!
1
x
-jx k ] dx+/1$~[ jx k-
1
x ] dx
=
{
ln x-
xjx k }!
+
{
4!
xjx k-ln x
}1$=
2
3
2
3
49
12
7 주어진 그림에서 두 부분 A, B의 넓이가 서로 같으므로
2"
/0
~{sin 2x-ax} dx=0, {
-
1
2 cos 2x-
1
2
ax@
=0
2"
}0
1
2
[
-
1
8
ap@
-
]
[
-
1
2 ]
1
8
=0,
ap@=1
/ a=
8
p@
y
1
2!
O
1
x
1
4
이때 구간 {
1
4
x>-
4
5 , 1
}에서
x+1이고, 구간
[1, 2]에서
>-
x+1이
1
x
1
4
므로 오른쪽 그림의 색칠한 부
분의 넓이를 S1이라 하면
S1 =/
!~-
5$
x-
-
x+1
[
]= dx
1
4
y=x
y=
x!
x
2
1
5$y=-
x+1
4!
+/1@-
1
x
+
-
-
[
x+1
]= dx
1
4
x-1
] dx
] dx+/1@~[
1
8
ln x+
+
{
x@-x
}1@
=/
5
4
x-1
! [
5$
5
8
3
5
=
{
x@-x
}!
5$
=-
+ln 2
따라서 구하는 도형의 넓이를 S라 하면
S=2S1=-
+2 ln 2
6
5
Ⅲ-2. 정적분의 활용 95
19 미적분_개념편-해설Ⅲ(068~097) OK.indd 95
2018-10-17 오전 11:11:34
개념편
9 두 함수 f{x}, g{x}는 서로 역함수이므로
f{1}=0, f{e@}=2에서
g{0}=1, g{2}=e@
따라서 두 함수 y=f{x},
y=g{x}의 그래프를 그리면 오
른쪽 그림과 같다.
이때
e@
/1
~ f{x} dx=S1,
/0@~ g{x} dx=S2
y=x에 대하여 대칭이동하면 오른쪽
그림과 같다.
따라서 구하는 값은 오른쪽 그림의
색칠한 부분의 넓이와 같으므로
e@
/1
~ f{x} dx+/0@~ g{x} dx
=S1+S2
=2\e@=2e@
11 점 P의 좌표를 {x, x@}이
라 하면 점 Q의 좌표는
{x, 0}이므로
PQ
=x@
y
y=x@
4
P
y
e@
2
1
O
y=g{x} y=x
S2
y=f{x}
S1
21
e@
x
S
G
S1
y
e@
PQ
를 한 변으로 하는 정
사각형의 넓이를 S{x}라
x@
O
하면
S{x} ={x@}@=x$
x
2
Q
S{x}
x
따라서 구하는 입체도형의 부피를 V라 하면
V =/0@ S{x} dx=/0@ x$`dx
=
{
1
5
x%
}0@=
32
5
1
O
S2
2
x
12 x, y를 각각 t에 대하여 미분하면
dy
dt
1
t ,
dx
dt
=t-
=2
따라서 시각 t=1부터 t=e까지 점 P가 움직인 거리는
/1E`r[
t-
1
t ]@+2@y`dt =/1E`r[
t+
1
t ]@y`dt
라 하고, S1에 해당하는 부분을 직선
y=g{x}
h에서
10 S{h}=he-
3!
1
3
S'{h}=e-
h-
3!
he-
3!
h=
1-
[
1
3
h
e-
]
h
3!
S'{h}=0인 h의 값은
1-
h>0)
h=0 (? e-
3!
1
3
/ h=3
다음과 같다.
0
1
n+1
또 0
p
2 에서 00}
1
a@
1
9
q16-
a
n
an+2-
1
+e
n@ e
1
n
=b
12 lim
n`
!
E
116n@-an3+13
an@+2n-1
=lim
n`
E
!
이때 a=0이면 b=0이므로 a=0
/ b=lim
E
n`
!
1
q16+e
n@ e
1
n
2-
=
=2
4
2
an@-4n+1
/ lim
1bn@+3n3
E
!
n`
-4n+1
=lim
12n@+3n3
n`
E
!
1
-4+
n
1
n e
=lim
n`
E
!
q2+
=
-4
j2
=-2j2
13 lim
n`
!
an@+bn+1
bn@+an+1
E
따라서 a=4b이므로
a+
=lim
n`
E
!
b+
b
n
a
n
+
+
1
n@
1
n@
=
=4
a
b
bn+a
lim
an-b
n`
E
!
=lim
n`
E
!
=
=
=
b
a
b
4b
1
4
b+
a-
a
n
b
n
14 lim
n`
!
E
jn+1l{jn+2l-jn k} =lim
n`
!
2jn+1l
jn+2l+jn k
E
2q1+
2
n e+1
q1+
1
n e
=1
=lim
n`
E
!
15 an=
an
/ lim
n
E
n`
!
=
1
1
1n{n+2}3-{n+1}
1n@+2n3-{n+1}
1
=lim
n`
n91n@+2n3-{n+1}0
E
!
1n@+2n3+{n+1}
-n
=lim
n`
E
!
q1+
1
n
2
n e+1+
-1
=lim
n`
E
!
=-2
Ⅰ-1. 수열의 극한 99
19 미적분_유형편-해설I-II(098~129)-OK.indd 99
2018-10-17 오전 11:15:26
유형편 16 첫째항이 0이고 공차가 2인 등차수열의 일반항을 an이라
따라서 1-b=2이므로 b=-1
하면 an=2{n-1}=2n-2
/ a+b=1+{-1}=0
/ Sn=
{2k-2}=2\
-2n=n@-n
n
?k=1
{jSn'2l-jSnk}
/ lim
E
n`
n{n+1}
2
!
=lim
n`
E
!
=lim
n`
E
!
=lim
n`
E
!
=lim
n`
E
!
91{n+2}@-{n+32}3-1n@-n30
{1n@+3n3+23-1n@-n3}
4n+2
1n@+3n3+23+1n@-n3
4+
2
n
=2
q1+
3
n e+
2
n@ e+q1-
1
n e
17 1{3n}@3<19n@+3n3+13<1{3n+1}@3 이므로
따라서 an=3n, bn=19n@+3n3+13-3n이므로
3n<19n@+3n3+13<3n+1
anbn
lim
n
n`
E
!
3n{19n@+3n3+13-3n}
=lim
n
n`
E
!
3{3n+1}
=lim
n`
E
19n@+3n3+13+3n
!
1
3+
n ]
1
n@ e+3
=lim
n`
E
!
q9+
[
3
n e+
3
=
3
2
18 lim
n`
!
E
{1n@+an3+13-n} =lim
n`
!
an+1
E
1n@+an3+13+n
a+
=lim
n`
E
!
q1+
a
n
+
1
n
1
n@ e+1
=
a
2
따라서
=
이므로 a=3
a
2
3
2
19 a<0이면 lim
n`
!
E
a>0
{1n@+2n3+33-an-b}=E이므로
/ lim
E
n`
{1n@+2n3+33-an-b}
!
{1-a@}n@+2{1-ab}n+3-b@
=lim
n`
E
1n@+2n3+33+an+b
!
{1-a@}n+2{1-ab}+
3-b@
n
=lim
n`
E
!
2
n
이때 1-a@=0이면 극한값이 존재하지 않으므로
3
n@ e+a+
q1+
b
n
+
1-a@=0 / a=1 {? a>0}
/ lim
E
n`
!
2{1-b}+
3-b@
n
q1+
2
n
+
3
n@ e+1+
b
n
=1-b
100 정답과 해설_유형편
20 lim
n`
!
an+1
E
14n@+bn3-2n
{an+1}{14n@+bn3+2n}
=lim
bn
n`
E
!
{an+1}
[q4+ b
n e+2
]
=lim
n`
E
!
b
이때 a=0이면 극한값이 존재하지 않으므로 a=0
q4+ b
n e+2
b
=
4
b
/ lim
E
n`
!
따라서
4
b
/ a+b=0+8=8
1
2
=
이므로 b=8
21 an=a+{n-1}a=an이므로
91{n+1}{n+33}3+an0=b
lim
n`
E
!
n`
!
/ lim
E
이때 a>0이면 극한값이 존재하지 않으므로 a<0
91{n+1}{n+33}3+an0
{1-a@}n@+4n+3
=lim
1n@+4n3+33-an
n`
E
!
3
{1-a@}n+4+
n
=lim
n`
E
!
q1+
4
n
+
3
n@ e-a
이때 1-a@=0이면 극한값이 존재하지 않으므로
1-a@=0 / a=-1 {? a<0}
/ b=lim
E
n`
!
4+
3
n
3
n@ e+1
q1+
4
n
+
=2
/ ab={-1}\2=-2
22
3an-5
an+1
=bn이라 하면
{an+1}bn=3an-5 / an=
-bn-5
bn-3
이때 lim
E
n`
!
bn=1이므로
-bn-5
an=lim
bn-3
n`
E
=
-1-5
1-3
=3
!
{an@-an+1}=3@-3+1=7
lim
n`
E
!
/ lim
E
n`
!
23
=cn,
an
bn
2n+1
3n+2
an={2n+1}cn, bn={3n+2}dn
=dn이라 하면
이때 lim
E
n`
cn=2, lim
E
n`
dn=3이므로
!
anbn
n@
lim
n`
E
!
!
{2n+1}cn\{3n+2}dn
=lim
n@
n`
E
!
6n@+7n+2
[
n@
=6\2\3=36
=lim
n`
E
!
\cn\dn
]
19 미적분_유형편-해설I-II(098~129)-OK.indd 100
2018-10-17 오전 11:15:27
24 lim
n`
!
E
an=a (a는 실수)라 하면 lim
E
n`
an'1=a
!
an'1=lim
E
lim
n`
E
!
a@-4a+4=0, {a-2}@=0 / a=2
1
an ]에서 a=4
1-
1-
4
[
[
!
n`
1
a ]
25 lim
n`
!
E
1
an=E이므로 lim
an
E
n`
!
=0
bn
an ]
=lim
n`
E
!
-
=-2이므로
/ lim
E
n`
[
2+
!
bn
따라서 lim
an
E
n`
!
4an@
bn
lim
n`
E
!
[
+
bn@
2an ]
8an#+bn#
=lim
2anbn
n`
E
!
{2an+bn}\
=1\0=0
1
an
=
{2an+bn}{4an@-2anbn+bn@}
=lim
2anbn
n`
E
!
=lim
n`
E
!
{2an+bn}
-1+
2an
bn
[
bn
2an ]
=1\{-1-1-1}=-3
2n@-n
n@
26 2n@-n2일 때
an =Sn-Sn-1
과 같으므로
an =1{n+1}@+{n+31}@3-12n@-4n3+43
=12n@+4n3+23-12n@-4n3+43
/ lim
E
n`
an =lim
n`
E
!
!
{12n@+4n3+23-12n@-4n3+43}
8n-2
=lim
n`
E
12n@+4n3+23+12n@-4n3+43
!
2
8-
n
=lim
n`
E
!
q2+
4
n e+
2
n@ e+q2-
4
n e+
4
n@ e
=
8
2j2
=2j2
33 가로로 놓인 막대의 개수는 2\n\{n+1}
세로로 놓인 막대의 개수는 {n+1}\{n+1}
높이로 놓인 막대의 개수는 2\n\{n+1}
따라서 입체도형 An을 만드는 데 필요한 막대의 개수는
an =2n{n+1}+{n+1}@+2n{n+1}=5n@+6n+1
an
/ lim
n@
E
n`
!
=lim
n`
E
!
5n@+6n+1
n@
=5
34 lim
n`
!
2#N"!+2@N_!
{2N+1}{4N-2N+1}
E
2\8N+
=lim
n`
E
!
1
2
8N+1
\4N
=lim
n`
E
!
2+
\
1
2
1
2 ]N
[
1
8 ]N
1+
[
=2
35 lim
n`
!
{a+2}\2@N+b\3N_!
2N_!+3N"!
E
=lim
n`
E
!
b
3
4
3 ]N+
{a+2}[
2
1
3 ]N+3
2 [
이때 a+2=0이면 극한값이 존재하지 않으므로
a+2=0 / a=-2
/ lim
E
n`
!
b
3
2
3 ]N+3
1
2 [
=
b
9
따라서
b
9
/ a+b=-2+9=7
=1이므로 b=9
36 an=2\3N_!이므로 a2n-1=2\3@N_@
또 Sn=
=3N-1이므로
2{3N-1}
3-1
3N\Sn
a2n-1 =lim
lim
n`
E
!
!
n`
3N{3N-1}
2\3@N_@
E
1
3 ]N
1
9
2\
1-
[
=
9
2
=lim
n`
E
!
102 정답과 해설_유형편
=2\3N-3-{2\3N_!-3}=4\3N_!
anan'1
/ lim
9N+3N
E
n`
!
4\3N_!\4\3N
=lim
9N+3N
n`
E
!
16
3
=lim
n`
E
!
1+
1
3 ]N
[
=
16
3
38 lim
n`
!
E
an=a ( a는 실수)라 하면
5N"!+3N\an
lim
3N_!+5N\an
n`
E
!
=lim
n`
E
!
따라서
=10이므로 a=
5
a
5+
1
3 [
1
2
3
5 ]N\an
[
3
5 ]N+an
=
5
a
/ lim
E
n`
an=
!
1
2
39
4N"!-3N_!+1
2N+1
<{2N+1}an<
4N"!+3N"!+1
2N-1
에서
4N"!-3N_!+1
{2N+1}@
0
/ x<1-j2 또는 x>1+j2
@ x@-2x-2<1에서 x@-2x-3<0
{x+1}{x-3}<0 / -11
따라서
=1일 때만 수렴한다.
1
r
ㄷ. 등비수열 -[
2r-1
3
-1<
2r-1
3
<
1
3
]N=의 공비는
2r-1
3
이므로
따라서 주어진 수열은 수렴한다.
따라서 수렴하는 수열은 ㄱ, ㄷ이다.
45 ㄱ. r>1이면 lim
=0이므로
1
rN
E
n`
!
r
rN"!
lim
1+rN
n`
E
!
=lim
n`
E
!
1
rN
rN=0이므로
ㄴ. -11일 때, lim
=0이므로
1+r@N
lim
2-r@N
n`
E
!
=
0+1
0-1
=-1
n`
!
1
r@N
E
1
r@N
=lim
2
n`
E
!
r@N
+1
-1
@ |r|=1일 때, lim
n`
E
r@N=1이므로
1+r@N
lim
2-r@N
n`
E
!
=
!
1+1
2-1
=2
# |r|<1일 때, lim
n`
r@N=0이므로
1+r@N
lim
2-r@N
n`
E
!
=
E
!
1+0
2-0
=
따라서 a=-1, b=2, c=
이므로
a+b-2c=-1+2-2\
=0
1
2
1
2
1
2
47 ! |r|>6일 때, lim
[
n`
!
E
6
r ]N=0이므로
r
6
+
[
=lim
n`
E
!
1+
[
6
r ]N
6
r ]N
=
r
6
[
lim
n`
E
!
r
6 ]N"!+1
r
6 ]N+1
[
이때 |r|>6이므로 극한값은 1이 될 수 없다.
@ r=6일 때, lim
n`
!
E
r
6 ]N=1이므로
[
[
lim
n`
E
!
r
6 ]N"!+1
r
6 ]N+1
[
=
1+1
1+1
=1
# |r|<6일 때, lim
n`
E
[
!
r
6 ]N=0이므로
[
lim
n`
E
!
r
6 ]N"!+1
r
6 ]N+1
[
=
0+1
0+1
=1
!, @, #에 의해 -61일 때
1-x@N"!
f{x} =lim
1+x@N
E
n`
!
=lim
n`
E
!
1
x@N
1
x@N
-x
+1
=-x
@ f{1}=lim
1-1@N"!
1+1@N
E
n`
!
=0
# |x|<1일 때, f{x}=lim
1-x@N"!
1+x@N
E
=1
n`
!
$ f{-1}=lim
1-{-1}@N"!
1+{-1}@N
E
!~$에 의해 함수 y=f{x}
의 그래프는 오른쪽 그림과 같
!
n`
=1
으므로 함수 y=ax@의 그래프
와 한 점에서 만나려면
01+
=E
따라서 주어진 급수는 발산이다.
5
4
+y=
4
3
3
2
7
6
6
5
+
-
-
+
E
?n=1
③ 2-
{-1}N"!
n+1
n
{-1}N"!
=0이므로 주어진 급수는
n+1
n
따라서 lim
E
n`
!
발산한다.
④
=
1
2\3
E
?n=1
+
1
3\4
+
1
4\5
+
1
5\6
+y
1
{n+1}{n+2}
n
=lim
[
?k=1
n`
E
!
1
2
=lim
n`
E
!
[
-
1
k+1
-
1
n+2 ]
1
k+2 ]
1
2
=
⑤
+
+
따라서 주어진 급수는 수렴한다.
1
1
j4+j2
j3+1
E
1
?n=1
jn+2l+jn k
1
=lim
2
E
1
j5+j3
1
=lim
?k=1
2
n`
E
!
=
+
n
n`
!
따라서 주어진 급수는 발산한다.
따라서 수렴하는 급수는 ④이다.
{jn+2l+jn+1l-j2-1}=E
+y
1
j6+j4
{jn+2l-jn k}
Ⅰ-2. 급수 107
17 ㄱ.
E
?n=1
2
n{n+2}
n
=lim
[
?k=1
n`
E
!
1
k
-
1
k+2 ]
1
n+1
-
1+
-
1
2
1
n+2 ]
[
=lim
n`
E
!
3
2
=
3
2
따라서 주어진 급수는
으로 수렴한다.
19
E
?n=1
bn =
E
an-{an-2bn}
?n=1
2
=
1
2 -
E
?n=1
an-
{an-2bn}
=
E
?n=1
=
{2-8}=-3
1
2
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2018-10-17 오전 11:15:34
유형편 20
bn=b ( a, b는 실수)라 하면
E
23 ㄱ.
?n=1
E
?n=1
{an+bn}=a,
{an-bn}=b (a, b는 실수)라
=a1+3a2+5a3+y+{2n-1}an-n@an'1
={a1-b1}+{a2-b2}+{a3-b3}+y<0
{an-bn}=1에서
E
?n=1
an =a,
E
?n=1
E
?n=1
a-b=1
E
?n=1
2a-3b=-2
{2an-3bn}=-2에서
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, b=4
/
{an+bn}=a+b=9
E
?n=1
21 lim
{n-1}@an=0이므로
n@an'1=0
n`
E
!
lim
n`
E
!
하면
E
?n=1
급수
n@{an-an'1}의 제n항까지의 부분합을 Sn이라
Sn ={a1-a2}+4{a2-a3}+9{a3-a4}
+y+{n-1}@{an-1-an}+n@{an-an'1}
{2k-1}ak-n@an'1
/
n@{an-an'1} =lim
E
n`
Sn
!
n
=
?k=1
E
?n=1
n
-
?k=1
{2k-1}ak-n@an'1
=
=
=lim
n`
E
!
E
?n=1
E
?n=1
=2
{2n-1}an-lim
E
n`
n@an'1
!
nan-
E
?n=1
an-lim
n`
E
!
n@an'1
=2\6-5-0=7
22 ㄱ.
bn=a,
{an-bn}=b ( a, b는 실수)라 하면
an =
9{an-bn}+bn0=b+a
E
?n=1
E
?n=1
E
?n=1
E
?n=1
E
?n=1
E
?n=1
an,
E
?n=1
lim
n`
E
!
/ lim
E
n`
!
따라서
an도 수렴한다.
ㄴ.
bn이 수렴하면
an=0, lim
E
n`
bn=0
!
anbn =lim
E
n`
!
an\lim
n`
E
bn
!
=0\0=0
ㄷ. [반례] 9an0: 1, 0, 1, 0, 1, 0, y
9bn0: 0, 1, 0, 1, 0, 1, y
E
?n=1
이라 하면 anbn=0이므로 급수
lim
n`
E
!
an=0이고 lim
E
n`
!
bn=0이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
108 정답과 해설_유형편
anbn은 수렴하지만
yy ㉠
yy ㉡
하면
E
?n=1
E
?n=1
an=
bn=
{an+bn}+{an-bn}
E
2
?n=1
{an+bn}-{an-bn}
E
2
?n=1
E
?n=1
E
?n=1
an,
=
a+b
2
=
a-b
2
따라서
bn도 모두 수렴한다.
ㄴ.
anbn이 수렴하므로
E
?n=1
lim
n`
E
!
anbn=0
/ lim
E
n`
!
anbn
bn =lim
an
n`
E
anbn
!
lim
n`
E
!
lim
n`
E
!
=
=
=0
0
1
an
ㄷ.
an-
bn
E
?n=1
E
?n=1
=
E
?n=1
{an-bn}
/
an<
E
?n=1
E
?n=1
bn
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
24
E
?n=1
{3N-1}
1
5 ]N_! =
E
?n=1
[
3\
[
1
5 ]N_! =
[
3
5 ]N_!-
1
1-
1
5
-
3
3
5
1-
=
-
-
5
4
=
=
15
2
25
4
-
-
=
an=f [
25 f{x}=xN{xN-1}이라 하면
1
2 ]
E
[
?n=1
E
?n=1
1
2 ]N-[
1
2 ]N-[
1
4 ]N-
/
E
?n=1
an =
=
-
[
[
-
-
-
1
2 ]N-1 =
1
2 ]N-1 =
1
2 ]N =
=
-
1-
1+
-
1
2
1
2
-[
1
4
1
4
1
3
=
+
1
3
2
3
=
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26 수열 9an0을 차례로 나열하면 0, 1, 0, 1, 0, 1, y이므로
-
+
-
+
-
+y
a1
2
30 등비급수
E
?n=1
-12일 때
an =Sn-Sn-1={2N-1}-{2N_!-1}
=2N_!
yy ㉠
이때 a1=1은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
an=2N_! / anan'1=2N_!\2N=2@N_!
/
E
9
anan'1 =
?n=1
=18
E
[
?n=1
1
4 ]N
E
9
?n=1
2@N_!
1
4
1-
1
4
=18\
=18\
=6
1
3
]N_!이 수렴하려면
28 급수
E
log2 x-3
[
?n=1
2
log2 x-3
2
/ 2-1을 풀면
x<-1 또는 x>0
x@+x-1<1을 풀면
-20}
1
2
35 등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
E
?n=1
an=2에서
a
1-r
/ a=2{1-r}
=2
E
?n=1
an#=
a#
1-r#
/ 7a#=8{1-r#}
에서
8
7
=
8
7
㉠을 ㉡에 대입하면
7\8{1-r}#=8{1-r#}
2r@-5r+2=0, {2r-1}{r-2}=0
/ r=
{? -10}
1
3
따라서 구하는 등비급수의 합은
1
3
1-
1
3
=
=0.5
1
2
38 등비수열 9an0의 첫째항과 공비를 모두 r라 하면
E
?n=1
an=0.6^=
=
에서
6
9
2
3
r
1-r
2
3
=
, 3r=2{1-r} / r=
2
5
/ a2=r@=
=0.16
4
25
39 등비수열 9an0의 첫째항이 0.a^=
, 공비가
a
9
yy ㉠
yy ㉡
0.3^a^=
이므로
30+a
99
E
?n=1
an=
1-
a
9
30+a
99
=
11a
69-a
따라서
11a
69-a
=
22
21
이므로
231a=22{69-a} / a=6
40
=0.4^2^이므로
+
+
+
+y
14
33
a1
5
=
42
99
a2
5@
4
5
2
5@
1
5
[
a3
5#
4
5#
a4
5$
2
5$
]
=
+
+
+
+y
=4
+
+y
+2
+
+y
1
5#
1
5
1-
1
25
1
5$
5
6
[
1
5@
1
25
1-
1
25
]
1
12
11
12
=4\
+2\
=
+
=
19 미적분_유형편-해설I-II(098~129)-OK.indd 110
2018-10-17 오전 11:15:37
3
4 ]@+2\20\
[
3
4 ]#+y
4`:`1이다.
/ Sn'1=
Sn
1
4
41 CXOY=30!이므로
PP1
=OP
sin 30!=1\
=
1
2
1
2
COPP1=60!이므로
P1P2
=PP1
1
2
CP2P1P3=60!이므로
sin 60!=
\ j3
2
P2P3
=P1P2
sin 60!=
1
2
\ j3
2
\ j3
2
=
1
2
\
[
j3
2 ]@
⋮
/ PP1
+P1P2
+P2P3
+y =
1
2 -
1+ j3
2
+
[
=
\
1
2
1
1- j3
2
j3
2 ]@+y
=
2
1
2
2-j3
\
=
=2+j3
42 공이 정지할 때까지 움직인 거리는
3
4
20+2\20\
+2\20\
[
=20+
=140 {m}
30
1-
3
4
=4이므로 l1=2p
43 A1A2
선분 AnAn'1을 1`:`3으로 내분하는 점이 An'2이므로
An'1
An'2
=
AnA
n'1
3
4
이때 반원의 호의 길이는 반지름의 길이에 비례하므로
따라서 수열 9ln0은 첫째항이 l1=2p, 공비가
인 등비수
3
4
ln'1=
ln
3
4
열이므로
E
?n=1
ln=
2p
3
4
1-
=8p
44 점 P가 한없이 가까워지는 점의 좌표를 {x, y}라 하면
x =OP1
-P6P7
-P2P3
+P4P5
+y
2
3 ]^+y
[
=1-
[
2
3 ]@+
1
[
2
3 ]$-
9
13
=
=
1-
-
[
4
9 ]
y =P1P2
-P3P4
+P5P6
-P7P8
+y
=
-
2
3
2
3 ]%-
[
2
3 ]&+y
[
[
2
3 ]#+
2
3
=
1-
-
[
4
9 ]
=
6
13
cos 45!+y
cos 45!+P2P3
1
+
[
2 ]@\6\ j2
2
+y
sin 45!-y
sin 45!+P2P3
1
+
[
2 ]@\6\ j2
2
-y
45 a =OP1
cos 45!+P1P2
\6\ j2
1
2
2
+
=
=6j2
=6\ j2
2
3j2
1
1-
2
sin 45!-P1P2
1
2
-
\6\ j2
2
b =OP1
=6\ j2
2
3j2
-
=
=2j2
1-
1
2 ]
/ a@+b@={6j2}@+{2j2}@=80
[
46 삼각형 AnBnDn과 삼각형 An'1Bn'1Dn'1은 닮은 도형이
고 대응하는 변의 길이의 비가 2`:`1이므로 넓이의 비는
따라서 수열 9Sn0은 첫째항이 S1=
\1\1=
, 공비
1
2
1
2
가
인 등비수열이므로
1
4
n
lim
?k=1
n`
E
!
Sk =
Sn=
E
?n=1
1
2
1-
1
4
=
2
3
47 첫 번째로 만들어진 도형의 넓이는 한 변의 길이가 4인 정
사각형의 넓이에서 반지름의 길이가 2인 원의 넓이를 뺀
것과 같으므로
4@-p\2@=16-4p
두 번째로 만들어진 도형 1개의 넓이는 한 변의 길이가
j2인 정사각형에서 반지름의 길이가 j2
2 인 원의 넓이를
뺀 것과 같으므로
4\
{j2}@-p\
-
[
j2
2 ]@ =
=8-2p
세 번째로 만들어진 도형 1개의 넓이는 한 변의 길이가
1
2
인 정사각형의 넓이에서 반지름의 길이가
인 원의 넓이
1
4
를 뺀 것과 같으므로
1
2 ]@-p\
4\4\
-[
1
4 ]@ =
[
=4-p
⋮
따라서 구하는 모든 도형의 넓이의 합은
{16-4p}+{8-2p}+{4-p}+y
따라서 점 P가 한없이 가까워지는 점의 좌표는 [
이다.
9
13
,
6
13 ]
=
=32-8p
16-4p
1-
1
2
Ⅰ-2. 급수 111
19 미적분_유형편-해설I-II(098~129)-OK.indd 111
2018-10-17 오전 11:15:39
유형편Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Ⅱ
기초 문제 Training
p.24
1 ⑴ E
⑵ 0
⑶ 2
⑷ 25
3 ㄱ. 주어진 식의 분모, 분자를 5X으로 각각 나누면
3 ⑴ e@
⑵ e#
⑶ e%
⑷ e$
ㄴ. -x=t로 놓으면 x=-t이고, x
-E일 때 t
E
!
!
II-1. 여러 가지 함수의 미분
01 지수함수와 로그함수의 미분
2 ⑴ E
⑵ -E
⑶ -E
⑷ -1
4 ⑴
2
5
⑵
3
2
⑶
1
ln 4
⑷ ln 3
5 ⑴ y'=2e@X
⑵ y'={x+3}eX
⑶ y'=3X ln 3
⑷ y'=2X ln 2+5X ln 5
6 ⑴ y'=
1
x
⑶ y'=ln x+1
⑵ y'=
4
x
⑷ y'=
1
x ln 3
p.25~30
4
15
2
1
e#
핵심 유형 Training
1 2
2 5
3 ㄱ, ㄴ, ㄷ
5 -1
6 ④
7 200
8 ③
9 e!)+
10 ②
15 je
20 ④
30 ②
35 ①
11 ③
12 e@
16 ③
17 4
21 2
3
2
22 9
4
ln 2
27
13 3
18 2
23 3
14 ④
19 ④
24 20
31 12
32 ②
33 4
34 ③
36 0
37 -10e@
39 3 ln 2 40 2
41 5 ln 5+1
38 4
42 ③
43 -2
44 ②
1 주어진 식을 4X으로 묶으면
{4X-2X}
lim
x`
E
!
1
2x
=lim
x`
E
!
4X
{
-
1-
[
1
2x
1
2 ]X =}
1
2x
1
2 ]X=
=lim
x`
E
!
2
1-
-
[
=2\1=2
112 정답과 해설_유형편
2 주어진 식의 좌변의 분모, 분자를 3X으로 각각 나누면
a\3X"!+12
lim
3X+4
x`
E
!
=lim
x`
E
!
따라서 3a=15이므로 a=5
3a+
1+
12
3X
4
3X
=3a
2X"!
lim
5X-1
x`
E
!
=lim
x`
E
!
=
2\0
1-0
=0
2\
1-
2
5 ]X
1
5 ]X
[
[
이므로
3X+1
lim
4X+2
-E
x`
!
3_T+1
=lim
4_T+2
t`
E
!
[
=lim
t`
E
!
[
0+1
0+2
=
1
3 ]T+1
1
4 ]T+2
1
2
=
1
x
t
ㄷ. -x=t로 놓으면 x=-t이고, x
-E일 때
!
t
!
E이므로
E
t`
!
2X
2_T
2X-2_X =lim
lim
2_T-2T
-E
x`
!
1
[
4 ]T
1
4 ]T-1
=lim
t`
E
!
[
=lim
t`
E
!
2_@T
2_@T-1
=
0
0-1
=0
ㄹ.
=t로 놓으면 x=
이고, x
-E일 때
1
t
!
!
0-이므로
1
lim
-E
x`
1-7x!
!
= lim
0-
t`
!
1
1-7T
=E
따라서 극한값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
2\
=lim
x`
E
!
[
2\0+5
0+1
=
2
5 ]X+5
[
n
5 ]X+1
=5
2X"!+5X"!
lim
nX+5X
x`
E
!
/ f{n}=5
@ n=5일 때
2X"!+5X"!
lim
nX+5X
x`
E
!
=lim
x`
E
!
5
2
=
2
5 ]X+
5
2
-[
5
2
=0+
=
/ f{n}=
5
2
25 -36 26
28 ln 2 29 3
누면
4 ! n<5일 때, 주어진 식의 분모, 분자를 5X으로 각각 나
19 미적분_유형편-해설I-II(098~129)-OK.indd 112
2018-10-17 오전 11:15:39
# n>5일 때, 주어진 식의 분모, 분자를 nX으로 각각 나
누면
2X"!+5X"!
lim
nX+5X
x`
E
!
2\
=lim
x`
E
!
[
5
n ]X
[
2
n ]X+5\
5
1+
n ]X
[
=
2\0+5\0
1+0
/ f{n}=0
=0
5
2
, 5
0,
!, @, #에 의해 S=
따라서 집합 S의 모든 원소의 합은
15
2
+5=
0+
5
2
=
-
5 lim
x`
E
!
=lim
E
x`
!
9log2 {3+x+2x@}-2 log2 {2x+1}0
9log2 {3+x+2x@}-log2 {2x+1}@0
x`
!
log2
=lim
E
3+x+2x@
{2x+1}@
3+x+2x@
4x@+4x+1
3+x+2x@
=log2 lim
4x@+4x+1
E
=lim
E
log2
!
x`
x`
!
1
=log2
2
=-1
6 lim
x`
!
-2
{log4 |x@-4|-log4 |x+2|}
= lim
-2
x`
log4
|
= lim
-2
x`
log4
|
!
!
x@-4
x+2 |
{x-2}{x+2}
x+2
|
log4 |x-2|
|x-2|
= lim
-2
x`
!
=log4 lim
-2
x`
!
=log4 4=1
7 lim
x`
!
E
9log {ax-1}-log {2x+1}0
ax-1
2x+1
ax-1
2x+1
=lim
E
x`
log
!
=log lim
E
x`
!
a
=log
2
a
따라서 log
2
/ a=200
=2이므로
=100
a
2
8 5X+9X=9X
5
9 ]X+1
-[
=이므로
1
lim
x
x`
E
!
log3 {5X+9X} =lim
E
x`
log3
9X
{
-[
!
5
9 ]X+1
1
x
=}
1
x
1
x
=lim
x`
E
!
log3 9
5
9 ]X+1
=
-[
5
9 ]X+1
=
=log3 lim
E
x`
9
!
=log3 {9\1}
-[
=log3 9=2
9 lim
{1+5x}
x`
!
0
2
x +lim
0
x`
!
{1-3x}
1
x
=lim
0
!
x`
9{1+5x}
1
5x 0!)+lim
0
!
x`
9{1-3x}_
1
3x 0_#
=e!)+e_#=e!)+
1
e#
10 lim
x`
!
E
1+
-[
1
4x ][
1-
1
2x ]=X
=lim
E
x`
-[
1+
1
4x ]X\
1-
1
2x ]X=
=lim
E
x`
{-[
1+
1
4x ]$X=
\
1-
-[
1
2x ]_@X=_
1
2
}
!
!
[
1
4
=e4!\e_2!=e_4!
/ a=-
1
4
11 lim
[
x`
0
!
1+
x
a ]
3
x
=lim
0
x`
!
a
x
3
a
=
x
a ]
1+
-[
=ea#
따라서 ea#=e4#이므로 a=4
12 x-1=t로 놓으면 x=1+t이고, x
1일 때 t
0이
!
!
므로
x
lim
1
x`
!
2
x-1
=lim
0
t`
!
{1+t}
2
t
=lim
0
t`
!
9{1+t}
1
t0@=e@
13 lim
x`
!
E
x-a
x+a ]X
[
=lim
x`
E
!
[
=lim
x`
E
!
[
1-
1+
a
x ]X
a
x ]X
1-
1+
9
1-
-[
X
a
x
a
x 0
a
x ]_
a
x ]
aX
aX
=_A
=A
=lim
x`
E
!
1+
-[
1
e@A
=
e_A
eA =
/ a=3
14 ㄱ. lim
x`
!
E
x-2
x ]X =lim
x`
E
[
[
!
1-
2
x ]X
1-
2X
2
x ]_
=_@
=lim
x`
E
!
=e_@=
-[
1
e@
Ⅱ-1. 여러 가지 함수의 미분 113
19 미적분_유형편-해설I-II(098~129)-OK.indd 113
2018-10-17 오전 11:15:40
유형편 ㄴ. -x=t로 놓으면 x=-t이고, x
-E일 때
!
=t로 놓으면 x=t_2!이고,
2일 때 t
0
!
!
t
!
E이므로
1
x ]_X=lim
[
1
t ]T=e
ㄷ. x-2=t로 놓으면 x=2+t이고, x
lim
-E
x`
!
1+
1-
[
t`
!
E
이므로
{x-1}
lim
2
x`
!
2
2-x
{1+t}
2
-t
=lim
0
t`
!
=lim
0
t`
!
=e_@=
1
e@
9{1+t}
1
t 0_@
이므로
lim
-E
x`
!
[
x
x-1 ]X =lim
E
[
-t
-t-1 ]_T
t`
!
=lim
[
t`
E
!
t
1+t ]_T
1+t
t ]T
1
t ]T=e
따라서 극한값이 e인 것은 ㄴ, ㄹ이다.
=lim
[
t`
E
!
=lim
[
t`
E
!
1+
ㄹ. -x=t로 놓으면 x=-t이고, x
-E일 때 t
E
!
!
15
1
2
=
1+
[
1
2
\
2
2
1+
2n-1 ][
2n+1 ][
1+
2
2n+3 ]
1+
y
[
2
4n-3 ]
2n+1
2n-1
\
2n+3
2n+1
\
2n+5
2n+3
\y\
4n-1
4n-3
=
\
1
2
4n-1
2n-1
=
4n-1
4n-2
/ lim
E
n`
!
1
-
2
=lim
E
n`
[
!
2
1+
[
4n-1
4n-2 ]@N
=lim
E
n`
[
1+
!
4n-2 ]@N
1
=lim
E
n`
[
1+
1
4n-2 ]
4n-2
2
"!
!
!
=e2!\1=je
=lim
E
n`
{-[
1+
4n-2 ]{$N_@}=
1
2!
\
1+
[
1
4n-2 ]}
ln {1+3x}
16 lim
e@X-1
x`
0
!
=lim
0
x`
!
-
ln {1+3x}
3x
\
2x
e@X-1
\
3
2
=
=1\1\
=
3
2
3
2
e^X-1
17 lim
x@+3x
x`
0
!
=lim
0
x`
!
e^X-1
6x
\
6
x+3
]
[
6
3
=1\
=2
/ a=2
114 정답과 해설_유형편
x@ ln
[
1+
2
x@ ]에서
1
x@
0+이므로
E일 때 t
!
2
x@ ] = lim
x@ ln
[
1+
0+
t`
!
lim
x`
E
!
x
!
lim
x`
E
!
ln {1+2t}
t
ln {1+2t}
2t
\2
= lim
0+
t`
!
=1\2=2
/ b=2
/ ab=4
18 y=e2X-1이라 하면 e2X=y+1
x
2
=ln {y+1}
/ x=2 ln {y+1}
따라서 g{x}=2 ln {x+1}이므로
g{x}
lim
x
0
x`
!
2 ln {x+1}
=lim
x
0
x`
!
=2\1=2
ln {1+10x}
19 lim
nx
x`
0
!
ln {1+10x}
=lim
10x
0
x`
!
\
=
10
n
10
n
이 자연수가 되려면 n은 10의 약수이어야 하므로
이때
10
n
n=1, 2, 5, 10
따라서 모든 n의 값의 합은
1+2+5+10=18
log2 {x-1}
lim
x-2
2
x`
!
log2 {1+t}
=lim
t
0
t`
!
=
1
ln 2
5X-3X
② lim
x
0
!
x`
5X-1-3X+1
=lim
x
0
x`
!
3X-1
x
5X-1
=lim
x
0
x`
!
-lim
0
x`
!
5
=ln 5-ln 3=ln
3
log3 {1+x}
③ lim
log9 {1-x}
0
!
x`
log3 {1+x}
x
-
\
-x
log9 {1-x}
\{-1}
=
=lim
0
x`
!
1
ln 3
=
\ln 9\{-1}
=-
=-
=-2
ln 9
ln 3
2 ln 3
ln 3
eX-2_X
④ lim
x
0
!
x`
eX-1-2_X+1
=lim
x
0
x`
!
eX-1
=lim
x
0
x`
!
=1+ln 2
2_X-1
+lim
-x
0
x`
!
2n-1 ][
1+
2
2n+1 ]
1+
y
[
2
4n-3 ]=@N
므로
20 ① x-2=t로 놓으면 x=2+t이고, x
2일 때 t
0 이
!
!
19 미적분_유형편-해설I-II(098~129)-OK.indd 114
2018-10-17 오전 11:15:40
{9X-1} log3 {1+x}
⑤ lim
x@
0
!
x`
=lim
0
x`
!
-
=ln 9\
9X-1
x
\
log3 {1+x}
x
=
1
ln 3
=
ln 9
ln 3
=
2 ln 3
ln 3
=2
{a+8}X-aX
21 lim
x
x`
0
!
=lim
0
x`
!
{a+8}X-1-aX+1
x
{a+8}X-1
=lim
x
0
x`
!
-lim
0
x`
!
aX-1
x
=ln {a+8}-ln a
=ln
a+8
a
따라서 ln
=ln 5이므로
a+8
a
a+8
a
=5, a+8=5a / a=2
x#H-1
22 f{x}=lim
h
!
f{1+3x}
/ lim
x
0
!
x`
h`
0
x#H-1
=lim
3h
0
h`
!
\3=3 ln x
3 ln {1+3x}
=lim
x
0
x`
!
3 ln {1+3x}
=lim
3x
0
x`
!
=3\1\3=9
\3
23 lim
x`
0
ln {x+1}=0이고 극한값이 존재하므로
{aX+b}=0
!
lim
0
x`
!
1+b=0 / b=-1
이를 주어진 식의 좌변에 대입하면
aX-1
lim
ln {x+1}
0
x`
!
aX-1
x
=lim
x`
!
0 -
=ln a\1=ln a
\
x
ln {1+x}
=
따라서 ln a=ln 2이므로 a=2
/ a-b=2-{-1}=3
0
x`
!
lim
0
x`
!
{1ax+b3-2}=0
jb-2=0 / b=4
jax+4l-2
eX-1
lim
0
x`
!
=lim
0
x`
!
이를 주어진 식의 좌변에 대입하면
{jax+4l-2}{jax+4l+2}
{eX-1}{jax+4l+2}
ax
{eX-1}{jax+4l+2}
jax+4l+2 ]
x
eX-1
\
a
=lim
0
x`
!
=lim
x`
!
0 [
=1\
a
2+2
=
a
4
따라서
a
4
/ a+b=16+4=20
=4이므로 a=16
25 lim
x`
1
{eX_!-1}=0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로
{ax+b}=0
!
lim
1
x`
!
a+b=0 / b=-a
yy ㉠
㉠을 주어진 식의 좌변에 대입하면
eX_!-1
lim
ax-a
1
x`
!
eX_!-1
=lim
a{x-1}
1
x`
!
이때 x-1=t로 놓으면 x=1+t이고, x
1일 때
!
t
!
0이므로
eX_!-1
lim
a{x-1}
1
x`
!
eT-1
=lim
at
0
t`
!
=lim
0
t`
!
eT-1
t
\
1
a
=1\
=
1
a
1
a
따라서
=
이므로 a=6
1
a
1
6
이를 ㉠에 대입하면 b=-6
/ ab=-36
26 f{x}가 x=0에서 연속이므로 lim
f{x}=f{0}
x`
!
0
ln {a+x}
/ lim
2x
0
!
2x=0이고 극한값이 존재하므로
=b
x`
lim
0
x`
!
lim
0
x`
!
ln a=0 / a=1
ln {a+x}=0
이를 주어진 식의 좌변에 대입하면
ln {1+x}
=lim
x
0
x`
!
ln {1+x}
lim
2x
0
x`
!
\
=
1
2
1
2
/ b=
1
2
/ a+b=
3
2
27 A{t, log2 {1+4t}} {t>0}라 하면
log2 {1+4t}
t
tan h=
lim
0+
t`
!
tan h = lim
0+
t`
!
log2 {1+4t}
t
= lim
0+
t`
!
log2 {1+4t}
4t
\4=
4
ln 2
28 A{t, 4T}, B{t, 2T}이므로
AB
=4T-2T
AB
/ lim
t
0+
t`
!
= lim
0+
t`
!
4T-2T
t
= lim
0+
t`
!
4T-1-2T+1
t
- lim
0+
t`
!
2T-1
t
= lim
0+
t`
!
4T-1
t
=ln 4-ln 2
4
=ln
2
=ln 2
24 lim
{eX-1}=0이고 극한값이 존재하므로
이때 점 A가 원점에 한없이 가까워지면 t
0+이므로
!
Ⅱ-1. 여러 가지 함수의 미분 115
19 미적분_유형편-해설I-II(098~129)-OK.indd 115
2018-10-17 오전 11:15:41
유형편Z
Z
29 A{t, ln {t-2}}, B{0, ln {t-2}}, C{3, 0}이므로
AB
=ln {t-2}
=3, BO
=t, OC
1
2
/ S{t} =
\{t+3}\ln {t-2}
=
t+3
2
ln {t-2}
36 f '{x} ={x@+2ax}'{ln x-1}+{x@+2ax}{ln x-1}'
={2x+2a}{ln x-1}+{x@+2ax}\
1
x
/ f '{e}=e+2a
따라서 e+2a=e이므로 a=0
S{t}
/ lim
t-3
3+
ln {t-2}
= lim
t-3
3+
t`
!
이때 t-3=s로 놓으면 t=3+s이고, t
t+3
2
-
\
t`
!
=
3+일 때
!
37 f '{x}=a-b ln x-b
f{1}=4에서 a=4
s
!
lim
3+
t`
!
0+이므로
t+3
2
-
\
ln {t-2}
t-3
f '{1}=-3에서 a-b=-3 / b=7
s+6
2
-
\
ln {1+s}
s
=
따라서 f{x}=4x-7x ln x이므로
f{e@}=4e@-14e@=-10e@
= lim
=
0+
s`
!
6
2
=
\1=3
f{e+h}-f{e-h}
38 lim
h
h`
0
!
f{e+h}-f{e}+f{e}-f{e-h}
=lim
h
0
!
h`
f{e+h}-f{e}
=lim
h
0
!
=f '{e}+f '{e}
h`
=2f '{e}
f{e-h}-f{e}
+lim
-h
0
h`
!
함수 f{x}=x ln x를 미분하면
f '{x}=ln x+x\
=ln x+1
1
x
/ 2f '{e}=2\{ln e+1}=2\2=4
f{1+h}-f{1-2h}
39 lim
h
h`
0
!
f{1+h}-f{1}+f{1}-f{1-2h}
=lim
h
0
!
h`
f{1+h}-f{1}
=lim
h
0
!
h`
f{1-2h}-f{1}
+2 lim
-2h
0
h`
!
함수 f{x}=2X_!=2_!\2X을 미분하면
f '{x}=2_!\2X ln 2=2X_! ln 2
/ 3 f '{1}=3 ln 2
f{x}
40 lim
x-1
x`
1
=2에서 lim
1
!
x`
!
므로
{x-1}=0이고 극한값이 존재하
`f{x}=0 / f{1}=0
lim
1
x`
!
f{1}=0에서 a=0
f{x}
/ lim
x-1
1
!
x`
f{x}-f{1}
=lim
x-1
1
x`
!
=f '{1}=2
f '{x}=
이므로 f '{1}=2에서 b=2
b
x
따라서 f{x}=2 ln x이므로
f{e}=2 ln e=2
30 f '{x} ={x-1}'{eX-1}+{x-1}{eX-1}'
=eX-1+{x-1}eX=xeX-1
/ f '{1}=e-1
31 f '{x}=4X ln 4+3X ln 3
점 {0, f{0}}에서의 접선의 기울기는
f '{0} =ln 4+ln 3=ln 12 / a=12
32 f{x}={x@+ax}eX"!=e{x@+ax}eX이므로
f '{x} =e9{x@+ax}'eX+{x@+ax}{eX}'0
=e9{2x+a}eX+{x@+ax}eX0
=9x@+{a+2}x+a0eX"!
/ f '{2}={8+3a}e#
따라서 {8+3a}e#=5e#이므로
8+3a=5, 3a=-3 / a=-1
/ f{x}=2x+2X
/ f{1}=2+2=4
34 f{x}=x{ln 2+ln x}이므로
f '{x} ={x}'{ln 2+ln x}+x{ln 2+ln x}'
={ln 2+ln x}+x\
=ln 2x+1
1
x
/ f '{1}=ln 2+1
35 f '{x}=
/ f '{4} =
+
1
x ln 2
1
4 ln 2
1
4 ln 2
=
+
1
x ln 4
1
4 ln 4
1
8 ln 2
+
/ k=3
=
3
8 ln 2
116 정답과 해설_유형편
33 f '{x}=2+aX ln a / f '{0}=2+ln a
따라서 2+ln a=2+ln 2이므로 a=2
=f '{1}+2f '{1}
=3f '{1}
19 미적분_유형편-해설I-II(098~129)-OK.indd 116
2018-10-17 오전 11:15:41
Z
Z
Z
41 h{x}=f{x}g{x}라 하면
f{1}=5-4=1, g{1}=ln 1+1=1이므로
h{1}=f{1}g{1}=1
f{x}g{x}-1
/ lim
x-1
1
!
x`
h{x}-h{1}
=lim
x-1
1
x`
!
=h'{1}
이때 h'{x}=f '{x}g{x}+f{x}g '{x}이고
f '{x}=5X ln 5, g '{x}=
이므로
1
x
h'{1} =f '{1}g{1}+f{1}g '{1}
=5 ln 5\1+1\1
=5 ln 5+1
42 f{x}가 x=0에서 미분가능하면 x=0에서 연속이므로
{ax+b}=f{0}
{eX+1}= lim
0-
x`
!
lim
0+
x`
!
/ b=2
또 f '{0}이 존재하므로 f '{x}=
lim
0+
x`
!
eX= lim
0-
x`
!
a / a=1
/ a-b=-1
eX {x>0}
-
a {x<0}
에서
43 f{x}가 모든 실수 x에서 미분가능하면 x=1에서도 미분가
능하므로 x=1에서 연속이다.
{ln x+2}= lim
1-
lim
1+
x`
!
2=1+a+b
!
x`
{x@+ax+b}=f{1}
/ a+b=1
yy ㉠
1
x
{x>1}
-
2x+a {x<1}
에서
또 f '{1}이 존재하므로 f '{x}=
1
x
{2x+a}
= lim
lim
1+
x`
1-
x`
!
!
1=2+a / a=-1
이를 ㉠에 대입하여 풀면 b=2
/ ab=-2
44 f{x}가 x=1에서 미분가능하면 x=1에서 연속이므로
{bx-2}=f{1}
lim
1+
x`
!
ae_X= lim
1-
x`
!
/
=b-2
a
e
yy ㉠
-ae_X {x>1}
-
b {x<1}
에서
또 f '{1}이 존재하므로 f '{x}=
lim
1+
x`
!
{-ae_X}= lim
1-
x`
b
!
/ b=-
a
e
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-e, b=1
/ ab=-e
02 삼각함수의 미분
기초 문제 Training
p.31
1 ⑴ j2+j6
⑵ j2-j6
4
4
⑶ 2+j3
2 ⑴ j2
2
3 ⑴ 2
4 ⑴ 2
5 ⑴
3
2
⑵
1
2
⑵
1
2
⑵
1
2
⑵ 5
⑶ j3
3
⑶ j2
2
⑶ -1
⑶
1
4
⑷ 1
⑷ 3
6 ⑴ y'=cos x-sin x
⑵ y'=cos@ x-sin@ x
⑶ y'=cos x-x sin x
⑷ y'=2 sin x+2x cos x
핵심 유형 Training
p.32~38
1 ③
2 2 sec h csc h
3 -
4 50
5 -
1+2j30k
12
6 -
3
8
7 -
8 -
10 -
11 -16 12
13
25
8
1
2
7j15k
15
15 4
16
17 ②
18 -1
3
4
3
4
1
8
5j34k
34
19 -2
20
21
22 11.5 m
23 ①
24 ⑤
25 ③
26 ⑤
27
28 ④
29 4
30 ㄱ, ㄷ 31 -1 32 2
34 -1 35 ③
36 ④
37 1
39 ②
40
41 p-2 42 2
1
3
1
2
2j10k
5
1
2
9 -
31
25
14 j6
4
33 1
1
4
38
1
2
48 ③
49 -
50 2
51
p
2
5
16
Ⅱ-1. 여러 가지 함수의 미분 117
yy ㉡
43
44 8
45 ③
46 ③
47 ①
19 미적분_유형편-해설I-II(098~129)-OK.indd 117
2018-10-17 오전 11:15:42
유형편 3 sin h+cos h=-
의 양변을 제곱하면
근과 계수의 관계에 의해
1
1
1+sin h
+
1
1-sin h
=
1-sin h+1+sin h
{1+sin h}{1-sin h}
6 sin a-sin b=
의 양변을 제곱하면
1
2
=
2
1-sin@ h
=
2
cos@ h
=2 sec@ h
2
sec h
csc h-cot h
+
sec h
csc h+cot h
=
sec h{csc h+cot h}+sec h{csc h-cot h}
{csc h-cot h}{csc h+cot h}
=
sec h csc h+sec h cot h+sec h csc h-sec h cot h
csc@ h-cot@ h
=
2 sec h csc h
{1+cot@ h}-cot@ h
=2 sec h csc h
sin@ h+cos@ h+2 sin h cos h=
9
25
1+2 sin h cos h=
/ sin h cos h=-
8
25
=
sin h
cos h
+
cos h
sin h
/ tan h+cot h =tan h+
3
5
9
25
1
tan h
sin@ h+cos@ h
sin h cos h
1
25
8
=-
-
8
25
=
=
4
2 sin h+cos h
sin h-2 cos h
2 sin h+cos h=3 sin h-6 cos h
=3에서
7 cos h=sin h
yy ㉠
이때 00, sin b>0
p
2
0
/ sin@
00
2 >0, cos
h
2 <
sin
p
2 이므로
1-cos h
2
=
1-
-
[
2
4
5 ]
=
9
10
sin@
h
2 =
h
2 =q
/ sin
9
10 w=
3j10k
10
4
5 ]
1+
-
[
2
=
1
10
cos@
/ cos
/ sin
=
1+cos h
2
h
2 =
h
2 =q
h
h
2 =
2 +cos
10 w= j10k
10
2j10k
5
1
14 sec@ h=1+tan@ h=1+{j15k}@=16이므로
? 00
sin h =sin {a+b}=sin a cos b+cos a sin b
=
\
+
\
1
j2
4
j17k
1
j2
=
5j34k
34
1
j17k
/ cos [
h-
p
6 ]
=q1-sin@ [
h-
p
6 ]e
4 ]@y= j15k
1
4
=r1-
[
120 정답과 해설_유형편
19 미적분_유형편-해설I-II(098~129)-OK.indd 120
2018-10-17 오전 11:15:44
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
25 y =4 sin x+3 cos x-1
=5
sin x\
+cos x\
-1
[
3
5 ]
4
5
=5{sin x cos a+cos x sin a}-1
3
5 , cos a=
=5 sin {x+a}-1 [단, sin a=
이때 -10} / tan a=1
/ a=
? 00}
-
b
9eX{cos x-sin x}0= lim
0-
x`
b
{x<0}
!
에서
lim
0+
x`
!
/ b=1
/ a+b=2
51 sin@ x=sin x sin x이므로 {sin@ x}'=2 cos x sin x
sin# x=sin x sin x sin x이므로 {sin# x}'=3 cos x sin@ x
⋮
{sinN x}'=n cos x sinN_!x
/ fn'{x}=cos x+2 cos x sin x+3 cos x sin@ x
/ f '10
p
4 ]
[
-f '9
p
4 ]
[
=10\cos
\sin(
p
4
p
4
=10\
j2
2 ]!)
[
=
5
16
124 정답과 해설_유형편
II-2. 여러 가지 미분법
01 여러 가지 미분법
기초 문제 Training
p.40
1 ⑴ y'=-
⑵ y'=
2
{x+2}@
1
{x-1}@
4
x%
⑶ y'=-
⑷ y'=sec x {sec x+tan x}
2 ⑴ y'=8{2x+1}#
⑵ y'=5 cos {5x+3}
3 ⑴ y'=
2x-1
x@-x-1
⑵ y'=
4
{4x-1} ln 3
4 ⑴ y'=pxp-1
5 ⑴
=-t
⑵ y'=
1
2jx-1l
⑵
dy
dx
=
t@-1
2t#
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
4
3
7
25
5j2
2
dy
dx
6 ⑴
=
(단, y=0)
⑵
=
(단, x=-3)
x@
y@
2x-y
x+3
7 ⑴
⑵
=
=
1
3y@+1
1
3 #1{x-2}@3
(단, x=2}
8 ⑴ y"=12x@+10
⑵ y"=-2 sin x-x cos x
핵심 유형 Training
p.41~4 6
1 ①
2 8
3 0
4 -2
5 ㄱ, ㄷ
6 2j3-
7 1
8 4p
9 1
10 ②
11 -
12 ③
13 ⑤
14 -8 15 ③
16 ④
17 -
18 -
1
2
19 -
9
ln 2
20 ②
21 ③
22 -
23 ③
2j3
3
1
p@
29
=-
(단, x+2y=0)
30 -
2x+y
x+2y
31 ②
32 -20 33 ②
34 ②
35
2
p
2j3
3
36
1
7
41 3
37
1
e+1
38
1
5
42 5
43 2
39 ⑤
40 2+ln 2
+y+n cos x sin N_! x
24
25 p
26 1
27 ①
28 1
19 미적분_유형편-해설I-II(098~129)-OK.indd 124
2018-10-17 오전 11:15:50
1 f '{x} =
{1+sin x}'cos x-{1+sin x}{cos x}'
{cos x}@
cos x\cos x-{1+sin x}{-sin x}
cos@ x
cos@ x+sin x+sin@ x
cos@ x
=
=
=
=
=
1+sin x
1-sin@ x
1+sin x
{1+sin x}{1-sin x}
1
1-sin x
1
/ f '
p
6 ]
[
=
=2
1-
1
2
2 f '{x} =
{ax+b}'{x@+x+1}-{ax+b}{x@+x+1}'
{x@+x+1}@
=
a{x@+x+1}-{ax+b}{2x+1}
{x@+x+1}@
=
-ax@-2bx+a-b
{x@+x+1}@
f '{-1}=3에서
-a+2b+a-b
{1-1+1}@
=3
/ b=3
f '{0}=2에서
a-b=2
㉠을 ㉡에 대입하면 a=5
/ a+b=8
yy ㉠
yy ㉡
0
h`
f{1+h}-f{1}
3 lim
h
x@+1
eX
이때 f{x}=
!
에서
=f '{1}
f '{x} =
{x@+1}'eX-{x@+1}{eX}'
{eX}@
=
=
2xeX-{x@+1}eX
e@X
-{x@-2x+1}eX
e@X
{x-1}@
eX
=-
/ f '{1}=0
4 g '{x} =-
=-
9xf{x}+10'
9xf{x}+10@
f{x}+xf '{x}
9xf{x}+10@
f{0}
{0+1}@
=-f{0}=-2
/ g '{0} =-
5 ㄱ. f '{x}=sec@ x에서 f '{0}=1이므로 x=0에서의 미
분계수가 존재한다.
ㄴ. g '{x}=csc x-x csc x cot x는 x=0에서 정의되지
않으므로 g '{0}이 존재하지 않는다.
ㄷ. h'{x}=sec x+x sec x tan x에서 h'{0}=1이므로
x=0에서의 미분계수가 존재한다.
따라서 x=0에서의 미분계수가 존재하는 것은 ㄱ, ㄷ이다.
6 f '{x} =sec x tan x-csc@ x
p
p
3 , f [
따라서 점 [
3 ]]에서의 접선의 기울기는
p
p
p
p
3 -csc@
3 tan
3 ] =sec
3
2
j3 ]@
f '
[
[
=2\j3-
4
3
=2j3-
f{h}-f{-h}
7 lim
2h
h`
0
!
h`
f{h}-f{0}+f{0}-f{-h}
=lim
2h
0
!
1
2
=
1
2
+
f{-h}-f{0}
lim
-h
0
h`
!
f{h}-f{0}
lim
h
0
h`
!
1
2
f '{0}+
f '{0}
1
2
=
=f '{0}
이때 f '{x}=
cos x {1+tan x}-sin x sec@ x
{1+tan x}@
이므로
f '{0} =
1\1-0\1@
{1+0}@
=1
8 f '{x} =sec x tan x csc x+sec x {-csc x cot x}
=sec@ x-csc@ x
f '{a}=0에서
sec@ a=csc@ a,
1
cos@ a
=
1
sin@ a
따라서 cos@ a=sin@ a에서
cos a=sin a 또는 cos a=-sin a
! cos a=sin a에서
p
5
4 또는 a=
4
a=
@ cos a=-sin a에서
7
3
4
4
p 또는 a=
a=
p {? 0
에서 아래로 볼록
2
3
⑵ 위로 볼록
6 ⑴ {0, -1}, {1, 0}
⑵
p
2
[
,
p
2 ]
7 ⑴
y
2!
j3
4
-1
-j3
j3
O
-
1
j3
4
-
2!
x
-1
O
x
130 정답과 해설_유형편
16 a>-1
17 2
18 ④
19 ①
20 p
25 a> j2
2
21 ln 2 22 3
2
3
26 ①
27
23 9
24 ⑤
28 ④
29 -2
30 1
31 ㄷ
32 -ep 33 2
34 10
35 -
36 ④
37 j3
38 00}
이를 ㉠에 대입하여 접선의 방정식을 구하면
eT=
f '{t}=g '{t}에서
1
j2t+al
㉠, ㉡에서
j2t+al=
, {j2t+al}@=1
1
j2t+al
이때 j2t+al>0이므로 j2t+al=1
㉢을 ㉠에 대입하면 eT=1 / t=0
이를 ㉢에 대입하여 풀면 a=1
yy ㉡
이 직선이 점 {-1, a}를 지나므로
y=e@x
a=-e@
yy ㉢
14 f{x}=x ln x라 하면
f '{x}=ln x+1
접점의 좌표를 {t, t ln t}라 하면 이 점에서의 접선의 기
울기는 f '{t}=ln t+1이므로 접선의 방정식은
y-t ln t={ln t+1}{x-t}
/ y={ln t+1}x-t
이 직선이 점 {0, -1}을 지나므로
yy ㉠
-1=-t
/ t=1
y=x-1
이를 ㉠에 대입하여 접선의 방정식을 구하면
이때 직선 y=x-1의 x절편은 1, y절편은 -1이므로 구
12 f{x}=1x@+13이라 하면
f '{x}=
x
1x@+13
접점의 좌표를 {t, 1t@+13}이라 하면 이 점에서의 접선의
기울기는 f '{t}=
이므로 접선의 방정식은
t
1t@+13
t
1t@+13
x-
y-1t@+13=
{x-t}
/ y=
t
1t@+13
t@
1t@+13
+1t@+13
yy ㉠
하는 삼각형의 넓이는
1
2
\1\1=
1
2
132 정답과 해설_유형편
19 미적분_유형편-해설Ⅱ-3(130~147)OK.indd 132
2018-10-17 오전 11:18:07
15 4x@+y@=4의 양변을 x에 대하여 미분하면
17 f{x}=xeX_!이라 하면
이때 점 {x1, y1}은 곡선 4x@+y@=4 위의 점이므로
는 접선의 개수는 2이다.
따라서 접점의 개수가 2이므로 점 {3, 0}에서 그을 수 있
yy ㉠
yy ㉡
접점의 좌표를 {x1, y1}이라 하면 점 {x1, y1}에서의 접선
의 기울기는
=-
4x1
y1 이므로 접선의 방정식은
8x+2y
/
dy
dx
=0
dy
dx
=- 4x
y
(단, y=0)
dy
dx
4x1
y1
y-y1=-
{x-x1}
이 직선이 점 {2, 0}을 지나므로
-y1=-
4x1
y1
/ 4x1@+y1@-8x1=0
{2-x1}
4x1@+y1@=4
㉡을 ㉠에 대입하면
4-8x1=0 / x1=
1
2
이를 ㉠에 대입하면
1+y1@-4=0 / y1=-j3
, 13
따라서 점 [
1
2
]에서의 접선의 기울기는
dy
dx
]에서의 접선의 기울기는
, -13
1
2
점 [
두 접선의 기울기의 곱은
2j3
3
2j3
3
=-
4
3
\
-
dy
dx
=-
2j3
3
,
=
2j3
3
이므로
f '{x}=eX_!+xeX_!={x+1}eX_!
접점의 좌표를 {t, teT_!}이라 하면 이 점에서의 접선의 기
울기는 f '{t}={t+1}eT_!이므로 접선의 방정식은
y-teT_!={t+1}eT_!{x-t}
이 직선이 점 {3, 0}을 지나므로
-teT_!={t+1}eT_!{3-t}
eT_!>0이므로 양변을 eT_!으로 나누면
-t={t+1}{3-t}, t@-3t-3=0
/ t= 3-j21k
2
18 f{x}={2x+a}e_X이라 하면
f '{x} =2e_X-{2x+a}e_X
={2-2x-a}e_X
접점의 좌표를 {t, {2t+a}e_T}이라 하면 이 점에서의 접
선의 기울기는 f '{t}={2-2t-a}e_T이므로 접선의 방
정식은
y-{2t+a}e_T={2-2t-a}e_T{x-t}
이 직선이 원점을 지나므로
-{2t+a}e_T={2-2t-a}e_T{-t}
e_T>0이므로 양변을 e_T으로 나누면
-{2t+a}={2-2t-a}{-t}
/ 2t@+at+a=0
yy ㉠
원점에서 곡선 y={2x+a}e_X에 오직 하나의 접선을 그
을 수 있으려면 이차방정식 ㉠이 중근을 가져야 하므로
16 f{x}=
=1-
이라 하면
1
x
x-1
x
1
x@
f '{x}=
[
=
y-
1-
1
t ]
{x-t}
1
t@
이 직선이 점 {a, 2}를 지나므로
1
t@
{a-t}
1
t ]
2-
1-
=
[
접점의 좌표를 [
t, 1-
1
t ]이라 하면 이 점에서의 접선의
기울기는 f '{t}=
이므로 접선의 방정식은
1
t@
㉠의 판별식을 D라 하면
D=a@-8a=0, a{a-8}=0
/ a=8 {? a=0}
19 f{x}=ln x-x에서 x>0이고
f '{x}=
-1
1
x
f '{x}=0인 x의 값은 x=1
t=0이므로 양변에 t@을 곱하여 정리하면
t@+2t-a=0
점 {a, 2}에서 곡선 y=
에 서로 다른 두 개의 접선
x-1
x
을 그을 수 있으려면 이차방정식 ㉠이 서로 다른 두 실근
yy ㉠
과 같다.
을 가져야 하므로 ㉠의 판별식을 D라 하면
D
4
/ a>-1
=1+a>0
x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음
x
0
f '{x}
f{x}
y
+
↗
1
0
-1
y
-
↘
따라서 함수 f{x}는 구간 {0, 1]에서 증가하고, 구간
[1, E}에서 감소한다.
Ⅱ-3. 도함수의 활용 133
19 미적분_유형편-해설Ⅱ-3(130~147)OK.indd 133
2018-10-17 오전 11:18:07
유형편 20 f{x}=cos x+x sin x에서
23 f{x}={x@+ax+5}e_X에서
f '{x}=-sin x+sin x+x cos x=x cos x
f '{x} ={2x+a}e_X-{x@+ax+5}e_X
=9-x@+{2-a}x+a-50e_X
함수 f{x}가 모든 실수 x에서 감소하려면 f '{x}<0이어
f '{x}=0인 x의 값은
x cos x=0
/ x=
p
2
또는 x= 3
2
p {? 00이므로
-x@+{2-a}x+a-5<0
하면
D={2-a}@+4{a-5}<0
a@-16<0
{a+4}{a-4}<0
/ -40이어야 한다.
이때 -12
따라서 a의 최솟값은 2이다.
즉, a-20이어야 하므로
25 f{x}={ax+1}ex@에서
f '{x} =aex@+{ax+1}ex@\2x
={2ax@+2x+a}ex@
함수 f{x}가 모든 실수 x에서 증가하려면 f '{x}>0이어
야 하므로
{2ax@+2x+a}eX>0
이때 eX>0이므로
2ax@+2x+a>0
모든 실수 x에서 위의 부등식을 만족하려면 a>0이어야
=1-2a@<0, a@>
하고 이차방정식 2ax@+2x+a=0의 판별식을 D라 하면
D
4
/ a<- j2
2
1
2
또는 a> j2
2
/ a> j2
2
{? a>0}
19 미적분_유형편-해설Ⅱ-3(130~147)OK.indd 134
2018-10-17 오전 11:18:08
26 f{x}=ax-ln x에서 f '{x}=a-
함수 f{x}가 구간 [3, E}에
서 증가하려면 x>3에서
f '{x}>0이어야 하므로 오른
a-
1
x
y
a
3!
O
쪽 그림에서 f '{3}>0
1
3
1
3 >0 / a>
a-
3
x
y=f '{x}
따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 ①이다.
27 f{x}=
x+1
x@+3
에서
f '{x} =
x@+3-{x+1}\2x
{x@+3}@
f '{x}=0인 x의 값은 x=-3 또는 x=1
=
-{x+3}{x-1}
{x@+3}@
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
-3
0
-
6!
극소
y
+
↗
1
0
2!
극대
y
-
↘
1
2
따라서 함수 f{x}는 x=1에서 극대이고 극댓값은
,
x=-3에서 극소이고 극솟값은 -
1
6 이므로 구하는 차는
1
2
-
-
[
1
6 ]
=
2
3
28 f{x}=x+j9-4xl에서 x<
f '{x}=1-
4
2j9-4xl
f '{x}=0인 x의 값은
이고
9
4
= j9-4xl-2
j9-4xl
j9-4xl=2, 9-4x=4 / x=
5
4
x<
9
4 에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다
음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
므로 a=
, b=
5
4
13
4
/ a+b=
+
5
4
13
4
=
9
2
y
-
↘
4(
4(
4%
0
13
4
극대
5
4
29 f{x}=x@eX에서
f '{x}=2xeX+x@eX={x@+2x}eX
f '{x}=0인 x의 값은
x@+2x=0, x{x+2}=0
/ x=-2 또는 x=0
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
-2
0
4
e@
극대
y
-
↘
0
0
0
극소
y
+
↗
따라서 함수 f{x}는 x=-2에서 극대이고, x=0에서 극
소이므로
a=-2, b=0
/ a-b=-2
다른 풀이
f '{x}={x@+2x}eX에서
f "{x} ={2x+2}eX+{x@+2x}eX
={x@+4x+2}eX
f '{x}=0인 x의 값은
x=-2 또는 x=0
2
e@
/ f "{-2}=-
소이다.
<0, f "{0}=2>0
따라서 함수 f{x}는 x=-2에서 극대이고, x=0에서 극
30 f{x}=
에서 x>0이고
ln x
x
1
x
f '{x} =
\x-ln x\1
x@
=
1-ln x
x@
f '{x}=0인 x의 값은
ln x=1 / x=e
x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음
과 같다.
x
0
f '{x}
f{x}
1
e
a=e, b=
/ ab=1
y
+
↗
e
0
e!
극대
y
-
↘
1
e
Ⅱ-3. 도함수의 활용 135
따라서 함수 f{x}는 x=
에서 극대이고 극댓값은
이
13
4
따라서 f{x}는 x=e에서 극대이고 극댓값은
이므로
19 미적분_유형편-해설Ⅱ-3(130~147)OK.indd 135
2018-10-17 오전 11:18:08
유형편 31 ㄱ. x>0이므로 정의역은 9x|x>00이다.
다른 풀이
ㄴ. f{x}=x ln x-2에서
f '{x} =ln x+x\
=ln x+1
1
x
f '{x}=0인 x의 값은
1
e
ln x=-1 / x=
f '{x}=-2eX sin x에서
f "{x}=-2eX{sin x+cos x}
f '{x}=0인 x의 값은 x=p
/ f "{p}=2ep>0
x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다
따라서 함수 f{x}는 x=p에서 극소이고 극솟값은
f{p}=-ep
음과 같다.
x
0
f '{x}
f{x}
e!
0
-
-2
e!
극소
y
+
↗
y
-
↘
1
e
따라서 함수 f{x}는 x=
에서 극소이고 극솟값은
-
-2이다.
1
e
ㄷ. 구간
1
7
e
, E
]에서 증가한다.
따라서 옳은 것은 ㄷ이다.
다른 풀이
ㄴ. f '{x}=ln x+1에서
1
x
f "{x}=
f '{x}=0인 x의 값은 x=
/ f "
=e>0
1
e ]
[
1
e
1
e
1
e ]
f [
=-
-2
1
e
따라서 함수 f{x}는 x=
에서 극소이고 극솟값은
32 f{x}=eX{cos x-sin x}에서
f '{x} =eX{cos x-sin x}+eX{-sin x-cos x}
=-2eXsin x
f '{x}=0인 x의 값은
sin x=0 / x=p {? 00,
5
6
3
2
f "
[
p
=0
]
따라서 함수 f{x}는 x=p에서 극소이고 극솟값은 -ep
따라서 함수 f{x}는 x=
에서 극댓값을 갖고, x=
p
p
6
5
6
에서 극솟값을 가지므로 2개의 극값을 갖는다.
19 미적분_유형편-해설Ⅱ-3(130~147)OK.indd 136
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34 f{x}=ax+
f '{x}=a-
b
x+1
에서
b
{x+1}@
x=1에서 극솟값 6을 가지므로
f '{1}=0, f{1}=6
f '{1}=0에서
a-
=0 / b=4a
b
4
b
2
f{1}=6에서
a+
=6
/ a+b=10
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=8
b=0 / a=j3b
yy ㉠
yy ㉡
=0에서
f '
[
-
p
2
]
3
a+ j3
2
1
2
2
3
]
p
1
2
a+
=2에서
f [
j3
2
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=j3, b=1
/ ab=j3
b=2 / j3a+b=4
38 f{x}=4 ln x+
-x에서 x>0이고
a
x
f '{x}=
-
-1=
4
x
a
x@
-x@+4x-a
x@
yy ㉠
yy ㉡
35 f{x}={ax@+b}eX에서
f '{x}=2axeX+{ax@+b}eX={ax@+2ax+b}eX
x=1에서 극댓값 4e를 가지므로
f '{1}=0, f{1}=4e
f '{1}=0에서
{3a+b}e=0 / 3a+b=0
yy ㉠
f{1}=4e에서
함수 f{x}가 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 x>0에
서 이차방정식 -x@+4x-a=0이 서로 다른 두 실근을
가져야 한다.
! 이차방정식 -x@+4x-a=0의 판별식을 D라 하면
D
4
=4-a>0 / a<4
@ (두 근의 곱)=a>0
!, @에 의해 00이므로 함수 f{x}가 극값을 갖지 않으려면
x@+{a+2}x+a+3>0
따라서 이차방정식 x@+{a+2}x+a+3=0이 중근 또는
={a+2}@-4{a+3}<0
허근을 가져야 하므로 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
4
a@-8<0 / -2j20이어야 한다.
따라서 a-3 sin x<0 또는 a-3 sin x>0
a
3
/ sin x>
또는 sin x<
a
3
그런데 -11 / a<-3 또는 a>3
Ⅱ-3. 도함수의 활용 137
19 미적분_유형편-해설Ⅱ-3(130~147)OK.indd 137
2018-10-17 오전 11:18:09
유형편 41 f{x}=a cos x+bx+2에서
45 f{x}={ax@+1}e_X이라 하면
f '{x}=-a sin x+b=-a
sin x-
f '{x}=0인 x의 값은 sin x=
b
a ]
[
b
a
f '{x}=2axe_X-{ax@+1}e_X={-ax@+2ax-1}e_X
f "{x} ={-2ax+2a}e_X-{-ax@+2ax-1}e_X
={ax@-4ax+2a+1}e_X
함수 f{x}가 극값을 가지려면 f '{x}=0을 만족하는 x의
이때 구간 {-E, E}에서 아래로 볼록하려면 모든 실수
값의 좌우에서 f '{x}의 부호가 바뀌어야 한다.
이때 -1b@이므로 항상 옳은 것은 ③이
-1<
<1
b
a
b@
a@
다.
42 f{x}=x$-2x#+3x+5라 하면
f '{x}=4x#-6x@+3
f "{x}=12x@-12x=12x{x-1}
f "{x}=0인 x의 값은
x=0 또는 x=1
위로 볼록하다.
43 f{x}=ln {x@+1}에서
f '{x}=
2x
x@+1
따라서 곡선 y=f{x}는 00이어야 하므로
{ax@-4ax+2a+1}e_X>0
/ ax@-4ax+2a+1>0 {? e_X>0}
! a=0일 때, 1>0이므로 부등식 ㉠이 성립한다.
@ a=0일 때
yy ㉠
㉠이 항상 성립해야하므로 a>0이어야 하고 이차방정
식 ax@-4ax+2a+1=0의 판별식을 D라 하면
D
4
={-2a}@-a{2a+1}<0
2a@-a<0, a{2a-1}<0
/ 00}
1
2
!, @에 의해 00이므
로 아래로 볼록하다.
따라서 이 구간에 속하는 정수 x는 0의 1개이다.
f "{x}=0인 x의 값은
x=-j3 또는 x=0 또는 x=j3
-j3j3일 때, f "{x}>0
x<-j3, 00이므
p
2
로 아래로 볼록하다.
p
2
따라서 a=0, b=
이므로 b-a=
p
2
47 f{x}={x@-2x}eX이라 하면
f '{x} ={2x-2}eX+{x@-2x}eX={x@-2}eX
f "{x} =2xeX+{x@-2}eX={x@+2x-2}eX
f "{x}=0인 x의 값은 x@+2x-2=0
/ x=-1-j3 또는 x=-1+j3
x<-1-j3, x>-1+j3일 때, f "{x}>0
-1-j31일 때, f "{x}>0
-10
p
4
3
x<
2
3
2
3
4
3
4
3
따라서 x=
p, x=
p의 좌우에서 f "{x}의 부호가 바
2
3
9
4 ], [
4
3
p,
9
4 ]이다.
p,
뀌므로 변곡점의 좌표는 [
따라서 두 변곡점 사이의 거리는
4
3
p=
p-
2
3
2
3
p
변곡점의 좌표가 {2, 8}이므로
f{2}=8, f "{2}=0
f{2}=8에서 8+4a+2b+c=8
/ 4a+2b+c=0
f "{2}=0에서 12+2a=0
/ a=-6
이를 ㉠에 대입하여 풀면
b=11
c=2
/ a+b+c=-6+11+2=7
51 f{x}=ax@+bx+ln x에서
f '{x}=2ax+b+
, f "{x}=2a-
1
x@
함수 f{x}가 x=1에서 극소이므로
f '{1}=0에서 2a+b+1=0
1
x
1
2
변곡점의 x좌표가
이므로
=0에서 2a-4=0
[
f "
1
2 ]
/ a=2
b=-5
이를 ㉠에 대입하여 풀면
/ a+b=2+{-5}=-3
52 f{x}=ax@+4 sin x+5라 하면
f '{x}=2ax+4 cos x
f "{x}=2a-4 sin x
f "{x}=0에서 2a-4 sin x=0
야 한다.
/ sin x=
a
2
이때 -10
50 f{x}=x#+ax@+bx+c에서
f '{x}=3x@+2ax+b
f "{x}=6x+2a
x=1인 점에서의 접선의 기울기가 2이므로 f '{1}=2에서
될 수 없다.
3+2a+b=2
/ 2a+b=-1
따라서 a의 값의 범위는 -20}
1
2
f "{x}=0인 x의 값은
x
a y a y b y 0 y c y d y b
f "{x}
+ 0 - 0 + 0 - 0 + 0 -
x=0 {? e@X>0}
x=a, x=b, x=0, x=c, x=d의 좌우에서 f "{x}의
부호가 바뀌므로 변곡점의 개수는 5이다.
54 f "{x}의 부호를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y a y b y c y d y e y
f "{x} + + + 0 - - - 0 + + +
함수 y=f{x}의 그래프의 모양이 위로 볼록하려면
f "{x}<0이어야 하므로 구하는 구간은 {b, d}이다.
55 A, B, C, D, E, F에서의 x좌표를 각각 a, b, c, d, e, f
라 하고 f '{x}, f "{x}의 부호를 표로 나타내면 다음과
같다.
x
a
f '{x} +
f "{x} -
b
0
-
c
-
-
d
-
0
e
0
+
f
+
+
x=0 (중근) 또는 x=a
f '{x}=kx@{x-a} {k>0}라 하면
f "{x}=kx{3x-2a}
f "{x}=0인 x의 값은
x=0 또는 x=
a
2
3
ㄱ. f '{0}=0이지만 x=0의 좌우에서 f '{x}의 부호가
바뀌지 않으므로 극값을 갖지 않는다.
ㄴ. f '{a}=0이고 x=a의 좌우에서 f '{x}의 부호가 음
에서 양으로 바뀌므로 x=a에서 극소이다.
ㄷ. ㉠에 의해 f "{0}=f "
=0이고 각 점의 좌우에
2
3
[
a
]
서 f "{x}의 부호가 바뀌므로 그래프의 변곡점은 2개
이다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
140 정답과 해설_유형편
함수 f{x}의 증가와 감소, 오목과 볼록을 표로 나타내면
다음과 같다.
x
f '{x}
f "{x}
f{x}
y
-
-
0
-
0
-1
변곡점
y
-
+
1
2
0
+
-
e
2
극소
y
+
+
f{x}=E,
또 lim
x`
E
!
lim
f{x}=0이므로 함수
-E
x`
!
y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그
림과 같다.
① 극솟값은 f [
1
2 ]
=-
이다.
e
2
y
y=f{x}
2!
1
x
O
-1
-
2E
y
y>-
② 치역은 -
③ y=f{x}의 그래프의 변곡점은 점 {0, -1}의 1개이다.
|
e
2 =이다.
⑤ 구간 {-E, 0}에서 f "{x}<0이므로 y=f{x}의 그
58 f{x}=
3x
x@+1
에서
yy ㉠
f '{x} =
3{x@+1}-3x\2x
{x@+1}@
f "{x} =
-6x{x@+1}@-{-3x@+3}\2{x@+1}\2x
{x@+1}$
=
-3x@+3
{x@+1}@
=
-3{x+1}{x-1}
{x@+1}@
=
=
6x{x@-3}
{x@+1}#
6x{x+j3}{x-j3}
{x@+1}#
따라서 f '{x} f "{x}>0인 점은 C, F이다.
④ y=f{x}의 그래프의 점근선의 방정식은 y=0이다.
56 주어진 y= f '{x}의 그래프에서 f '{x}=0인 x의 값은
래프는 이 구간에서 위로 볼록하다.
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
19 미적분_유형편-해설Ⅱ-3(130~147)OK.indd 140
2018-10-17 오전 11:18:10
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=1
f "{x}=0인 x의 값은 x=-j3 또는 x=0 또는 x=j3
함수 f{x}의 증가와 감소, 오목과 볼록을 표로 나타내면
다음과 같다.
x y -j3 y -1 y 0 y 1 y
j3 y
f '{x} - - - 0 + + + 0 - - -
f "{x} - 0 + + + 0 - - - 0 +
f{x}
-
3j3
4
변곡점
-
3
2
극소
0
변곡점
3j3
4
변곡점
3
2
극대
y
3j3
4
2#
y=f{x}
-j3
-1
x
O
-
j31
3j3
4
-
2#
f{x}=0,
또 lim
x`
E
!
lim
f{x}=0이므로 함수
-E
x`
!
y=f{x}의 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
ㄱ. 모든 실수 x에 대하여
f{-x} =
-3x
{-x}@+1
=-
=-f{x}
3x
x@+1
이므로 y=f{x}의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.
ㄴ. x=1에서 극대이다.
ㄷ. y=f{x}의 그래프의 변곡점은 점 [
-j3, -
3j3
4 ],
점 {0, 0}, 점 [j3,
3j3
4 ]의 3개이다.
ㄹ. 구간 {0, j3}에서 f "{x}<0이므로 y=f{x}의 그래
프는 이 구간에서 위로 볼록하다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
60 f{x}=jx k+j4-xl에서 00에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음
y
-
↘
1
0
e
극소
y
+
↗
따라서 함수 f{x}는 x=1일 때 최솟값은 e이므로
59 f{x}=
x+1
x@+3x+6
에서
f '{x} =
x@+3x+6-{x+1}{2x+3}
{x@+3x+6}@
62 f{x}=x ln x-2x에서
과 같다.
x
0
f '{x}
f{x}
a=1, m=e
/ am=e
면 다음과 같다.
1
x
f '{x}
f{x}
-2
/
=
=e
a
b
e@
e
-2=ln x-1
f '{x}=ln x+x\
1
x
f '{x}=0인 x의 값은
ln x=1 / x=e
구간 [1, e@]에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내
y
-
↘
e
0
-e
극소
y
+
↗
e@
0
따라서 함수 f{x}는 x=e@일 때 최댓값을 갖고, x=e일
때 최솟값을 가지므로 a=e@, b=e
Ⅱ-3. 도함수의 활용 141
=-
{x+3}{x-1}
{x@+3x+6}@
f '{x}=0인 x의 값은 x=1 {? 00}
65 f{x}=2a sin x-ax에서
f '{x}=2a cos x-a=a{2 cos x-1}
f '{x}=0인 x의 값은
cos x=
1
2
p
3
/ x=
{? 00}
256
a
/ f '{a} =4a-
256
a@
=
4{a#-64}
a@
=
4{a-4}{a@+4a+16}
a@
필요한 철판을 구입하는 데 드는 비용을 f{a}만 원이라
3 eX-1, 0, 0, -,+, ↘, 0, ↗, 0, 0
4 속도: 3, 가속도: -9
5 속도: {2, 2t+3}, 가속도: {0, 2}
f '{a}=0인 a의 값은 a=4 {? a는 실수}
a>0에서 함수 f{a}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음
과 같다.
a
f '{a}
f{a}
0
y
-
↘
4
0
96
극소
y
+
↗
따라서 함수 f{a}는 a=4일 때 최솟값은 96이므로 필요
한 철판을 구입하는 데 드는 최소 비용은 96만 원이다.
핵심 유형 Training
p.60~62
1 2
5 -
1
2
9 ②
13 0
18 [
j3
2
, -
2 3
6 6
10
1
2
14 4
1
4 ]
3 ㄱ, ㄴ, ㄷ
4 3
7 a<-6 또는 a>6 8 k>1
11 a<2-ln 4
12 ①
15 2j6e@ 16 ④
p@
19 j17k 20
2
17 j5
Ⅱ-3. 도함수의 활용 143
19 미적분_유형편-해설Ⅱ-3(130~147)OK.indd 143
2018-10-17 오전 11:18:12
유형편Z
1 f{x}=eX+e_X-4라 하면
f '{x}=eX-e_X
f '{x}=0인 x의 값은 x=0
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 함수 y=g{x}의 그래프와 직선 y=1이 서로 다
른 두 점에서 만나므로 방정식 jx+1l-x=1의 서로 다
른 실근의 개수는 2이다.
y=f{x}
x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음
/ b=2
/ a+b=3
3 f{x}=ln x-x라 하면 x>0이고
f '{x}=
-1
1
x
f '{x}=0인 x의 값은 x=1
과 같다.
x
0
f '{x}
f{x}
y
+
↗
f{x}=-E,
또 lim
0+
x`
!
f{x}=-E이므로
lim
x`
E
!
함수 y=f{x}의 그래프
는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 방정식
ln x-x=k의 실근의 개
y
-
↘
1
0
y
-1
극대
1
O
-1
y=1
x
y=-1
y=-3
y=f{x}
수는 k<-1일 때 2, k=-1일 때 1, k>-1일 때 0이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
4 keX_@=x@에서 eX_@>0이므로
x@
eX_@
=k
f{x}=
이라 하면
x@
eX_@
f '{x} =
2xeX_@-x@eX_@
{eX_@}@
=
2x-x@
eX_@
=
x{2-x}
eX_@
f '{x}=0인 x의 값은 x=0 또는 x=2
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
0
0
0
극소
y
+
↗
2
0
4
극대
y
-
↘
f{x}=E,
또 lim
-E
x`
!
f{x}=0이므로 함수
lim
x`
E
!
y=f{x}의 그래프는 오른쪽
y
4
y=f{x}
y=k
그림과 같다.
O
2
x
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
0
0
-2
극소
y
+
↗
또 lim
x`
E
f{x}=E, lim
-E
x`
f{x}=E
!
!
이므로 함수 y=f{x}의 그래프
는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 함수 y=f{x}의 그래프
와 x축이 서로 다른 두 점에서 만
나므로 방정식 eX+e_X-4=0
의 실근의 개수는 2이다.
y
O
-2
y
O
x
x
2 f{x}=sin x-x라 하면
f '{x}=cos x-1<0 {? -1-1이고
-1=
g '{x}=
1-2jx+1l
2jx+1l
1
2jx+1l
g '{x}=0인 x의 값은
1
4 / x=-
2jx+1l=1, x+1=
x>-1에서 함수 g{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다
3
4
음과 같다.
x
-1
g '{x}
g{x}
1
y
+
↗
`-
3
4
0
5
4
극대
또 lim
x`
E
!
g{x}=-E 이므로
함수 y=g{x}의 그래프와 직
선 y=1을 그리면 오른쪽 그
림과 같다.
y
-
↘
y
1
144 정답과 해설_유형편
4%
y=1
따라서 함수 y=f{x}의 그
-1
O
-
4#
x
y=g{x}
실수 k의 값의 범위는 00이고
1
2
7 |
ax
x@+1 |
f{x}=
=3에서 |
x
x@+1
라 하면
x
x@+1 |
=
3
|a|
f '{x}=
-x
1
x
과 같다.
x
0
f '{x}
f{x}
f '{x}=0인 x의 값은 x=1 {? x>0}
x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음
y
+
↗
1
0
-
1
2
극대
y
-
↘
f{x}=-E,
또 lim
0+
x`
!
f{x}=-E이므로 함수
lim
x`
E
!
y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그
y
O
1
-
2!
x
y=a
림과 같다.
따라서 함수 y=f{x}의 그래프
y=f{x}
와 직선 y=a가 오직 한 점에서
1
2 이다.
만나도록 하는 실수 a의 값은 -
6 x cos x-sin x+k=0에서
x cos x-sin x=-k
f{x}=x cos x-sin x라 하면
f '{x}=cos x-x sin x-cos x=-x sinx
f '{x}=0인 x의 값은 x=0 또는 sin x=0
/ x=0 또는 x=p 또는 x=2p {? 06
3
|a|
1
2
/ a<-6 또는 a>6
8 f{x}=x ln x-x+k라 하면
f '{x}=ln x+x\
-1=ln x
1
x
f '{x}=0인 x의 값은 x=1
x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음
과 같다.
x
0
f '{x}
f{x}
y
-
↘
1
0
-1+k
극소
y
+
↗
따라서 함수 f{x}는 x=1일 때 최솟값 -1+k를 가지므
로 f{x}>0이 성립하려면
-1+k>0 / k>1
Ⅱ-3. 도함수의 활용 145
19 미적분_유형편-해설Ⅱ-3(130~147)OK.indd 145
2018-10-17 오전 11:18:13
유형편 9 2eX-2x>a에서
2eX-2x-a>0
f{x}=2eX-2x-a라 하면
f '{x}=2eX-2
이때 x>0에서 eX>1이므로
f '{x}>0
따라서 x>0에서 함수 f{x}는 증가하므로 f{x}>0이
성립하려면 f{0}>0이어야 한다.
2-a>0 / a<2
따라서 상수 a의 최댓값은 2이다.
10 f{x}=
x-4
x@-8x+20
라 하면
f '{x} =
x@-8x+20-{x-4}\{2x-8}
{x@-8x+20}@
=
-x@+8x-12
{x@-8x+20}@
=
-{x-2}{x-6}
{x@-8x+20}@
f '{x}=0인 x의 값은 x=2 또는 x=6
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
2
0
-
1
4
극소
y
+
↗
6
0
1
4
극대
y
-
↘
f{x}=0, lim
E
lim
-E
x`
!
래프는 다음 그림과 같다.
!
x`
f{x}=0이므로 함수 y=f{x}의 그
y
4!
-
4!
y=f{x}
2
O
4
6
x
일 때 최댓값은
-
따라서 M-m의 최솟값은
1
4
1
4
-
-
[
1
4 ]
=
1
2
146 정답과 해설_유형편
11 x>0에서 함수 y=f{x}의 그래프가 함수 y=g{x}의 그
래프보다 위쪽에 있으려면
f{x}>g{x} / f{x}-g{x}>0
F{x}=f{x}-g{x}라 하면
F{x}=jx k-{ln x+a}=jx k-ln x-a이므로
= jx k-2
F '{x}=
2x
1
2jx k
F '{x}=0인 x의 값은 x=4
1
x
-
x>0에서 함수 F{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다
음과 같다.
x
0
F '{x}
F{x}
y
-
↘
`4
0
2-ln 4-a
극소
y
+
↗
따라서 함수 F{x}는 x=4에서 최솟값 2-ln 4-a를 가
12 시각 t에서의 점 P의 속도를 v, 가속도를 a라 하면
지므로 F{x}>0이 성립하려면
2-ln 4-a>0
/ a<2-ln 4
v=
=cos t-2 sin 2t
a=
=-sin t-4 cos 2t
dx
dt
dv
dt
p
4
p
4
p
4
p
4
따라서 t=
에서 점 P의 속도는
a=cos
-2 sin
p
2
= j2
2
-2
또 t=
에서 점 P의 가속도는
b=-sin
-4 cos
/ a+b= j2
2
-2+
=- j2
2
p
2
- j2
2 ]
[
=-2
t=2p에서 점 P의 속도가 1이므로
k
2
2p
2
cos
=1
-
=1 / k=-2
k
2
시각 t에서의 점 P의 가속도를 a라 하면
t
sin
2
t
sin
2
dv
dt
=-
a=
k
4
1
2
=
따라서 t=2p에서 점 P의 가속도는
1
2
2p
2
sin
=0
따라서 함수 f{x}는 x=2일 때 최솟값은 -
1
4 이고 x=6
v=
dx
dt
=
k
2
t
cos
2
13 시각 t에서의 점 P의 속도를 v라 하면
19 미적분_유형편-해설Ⅱ-3(130~147)OK.indd 146
2018-10-17 오전 11:18:13
16
=eT+teT={1+t}eT이므로 시각 t에서의
=4이므로 시각 t에서의 점 P의 속력은
14 시각 t에서의 점 P의 속도를 v, 가속도를 a라 하면
v=
dx
dt
=
2t
t@+16
a=
dv
dt =
2{t@+16}-2t\2t
{t@+16}@
=
-2{t@-16}
{t@+16}@
가속도가 0이면 a=0이므로
-2{t@-16}
{t@+16}@
=0, t@-16=0
{t+4}{t-4}=0 / t=4
15
dx
dt
dy
dt
=2j3 eT cos t-2j3 eT sin t
=2j3 eT{cos t-sin t}
=2j3 eT sin t+2j3 eT cos t
=2j3 eT{sin t+cos t}
시각 t에서의 점 P의 속력은
492j3 eT{cos t-sin t}0@6+92j3 eT{sin t+cos t}0@6
=2j3 eT12{sin@ t+cos@ t}3
=2j6 eT
따라서 t=2에서 점 P의 속력은 2j6 e@이다.
=aeT,
dx
dy
dt
dt
점 P의 속력은
1{aeT}@+9{1+t}eT0@3
t=1에서 점 P의 속력은
1{ae}@+{2e}@3=e1a@+43
e1a@+43=4e이므로
1a@+43=4, a@+4=16
a@=12
/ a=2j3 {? a>0}
17
dx
dt
=2at+a sin t,
=1+a cos t이므로
dy
dt
d@y
dt@
=-a sin t
=2a+a cos t,
d@x
dt@
시각 t에서의 점 P의 가속도의 크기는
1{2a+a cos t}@+{-a sin t}@3
=14a@+4a@ cos t+a@ cos@ t+a@ sin@ t3
=15a@+4a@ cos t3
t=
p
2 에서 가속도의 크기는
p
2 e=15a@3
q5a@+4a@ cos
따라서 15a@3=5이므로
5a@=25, a@=5
/ a=j5 {? a>0}
18
dy
dt
=j3,
dx
dt
{j3}@+{2t-1}@
4
=2t-1이므로 시각 t에서의 점 P의 속력은
6 =14t@-4t+43
t-
=q4 [
1
2
1
2 ]@
+3e
따라서 점 P는 t=
일 때 속력이 최소이므로 이때의 점
P의 좌표는
1
j3
2 , -
4 ]
[
19 원점을 출발한 지 t초 후의 점 A, B의 좌표는 각각
이때 선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점 P의 좌표를 {x, y}
A{3t, 0}, B{0, 6t}
라 하면
x=
2\0+1\3t
2+1
=t
=4t
y=
2\6t+1\0
2+1
/ P{t, 4t}
dx
dt
11@+4@3=j17k
=1,
이때
dy
dt
20 점 P가 8초 동안 1회전하므로 매초
t만큼 회전한다.
p
4
P
x
16
x
8
t
4"
y
y
O
t초 후의 점 P의 좌표를 {x, y}라 하면
x=8+8 cos
t, y=8 sin
p
4
p
4
t
dx
dt
=-2p sin
t,
=2p cos
t이므로
p
4
dy
dt
p
4
p@
2
=-
d@x
dt@
따라서 시각 t에서의 점 P의 가속도의 크기는
d@y
dt@
cos
=-
sin
p
4
p
4
t,
p@
2
t
p
4
p@
2
p@
2
sin
p
4
t
-
cos
t
]@y+
-
r[
[
이므로 t=16에서 점 P의 가속도의 크기는
p@
2
cos 4p
sin 4p
]@y+
]@y=
p@
2
p@
2
r[
-
-
]@y
[
Ⅱ-3. 도함수의 활용 147
19 미적분_유형편-해설Ⅱ-3(130~147)OK.indd 147
2018-10-17 오전 11:18:14
유형편 III-1. 여러 가지 적분법
01 여러 가지 함수의 부정적분
기초 문제 Training
p.64
1 ⑴ 3 ln |x|+C
⑶
x %1x#2+C
5
8
2 ⑴ eX"#+C
⑵ -
+C
1
3x#
⑷
2
7
x# jx k+C
⑵
2#X
3 ln 2
+C
⑶ -2 cos x-5 sin x+C ⑷ tan x+sec x+C
3 ⑴
{2x+1}^+C
⑵
e#X_!+C
⑶
`sin {5x+2}+C ⑷ -
1
4{4x-3}
+C
4 ⑴
{x@+3}%+C
⑵ -
`cos# x+C
⑶ ln |x@+5x-6|+C ⑷ ln {eX+4}+C
1
12
1
5
1
5
5 ⑴ x+3 ln |x+2|+C ⑵
x@-x-ln |x+1|+C
⑶ ln
|
x
x+3 |
+C
⑷
`ln
|
x-2
x+2 |
+C
6 ⑴ -x cos x+sin x+C ⑵ xeX+C
1
3
1
3
1
2
1
4
1 ③
5 ②
2 2e#+9 3 ①
1
2 ln 3
6 3
7
4 f{x}=eX-4x+4
8 f{x}=2 tan x-x+
9 2
10 ②
11 ②
12 p
16 -
20 ②
9
20 17 ③
21 ②
24 f{x}=ex@-2x#+4
27 ①
31 7
28 ②
32 ④
p
4
13 ①
1
3e@
18
22 2
-
19 ⑤
14 p+1 15 ③
1
ln 2
23 ①
19
2
30 f{x}=e$X
26 ③
25
35 ①
29 ④
33 ln 3 34 2
1
2
39
36 ④
37 e+3 38 ②
e@ 40 ③
148 정답과 해설_유형편
1 F{x} =?
`dx=?
x-9
jxk+3
`dx
{jx k+3}{jx k-3}
jx
k+3
xjx k-3x+C
2
3
=?{jx k-3} dx=
7
3
/ F{1}- F{9}=-
+C-{-9+C}=
20
3
2 f '{x}=
4
x
+3jx k이므로
4
x
f{x}=?~[
+3jx k ] dx=4 ln |x|+2xjx k+C
곡선 y=f{x}가 점 {1, 3}을 지나므로 f{1}=3에서
2+C=3 / C=1
따라서 f{x}=4 ln |x|+2xjx k+1이므로
f{e@}=2e#+9
n+2
n+3
n+3
n+2 +C
x
1
n+2 `dx=
3 fn{x}=?`x
fn{0}=0에서 C=0
/ fn{x}=
n+2
n+3
n+3
n+2
x
/ f 1{1}\ f 2{1}\ f 3{1}\y\ f 12{1}
5
\y\
6
4
\
5
14
15
=
3
4
\
=
1
5
4 f{x} =?{1eX2+2}{1eX2-2} dx
=?{eX-4} dx=eX-4x+C
f{0}=5에서 1+C=5 / C=4
5 f{x} =?
8X+1
2X+1
`dx
=?
{2X+1}{4X-2X+1}
2X+1
`dx
=?{4X-2X+1} dx
2X
ln 2
4X
ln 4
+x+C
=
-
f{0}=-1에서
1
ln 4
-
1
ln 2
+C=-1 / C=
-1
따라서 f{x}=
+x+
-1이므로
-
2X
ln 2
4X
ln 4
2
ln 2
f{1} =
4
ln 4
-
+1+
-1=
1
ln 4
1
ln 4
1
ln 4
1
ln 4
핵심 유형 Training
p.65~70
/ f{x}=eX-4x+4
19 미적분_유형편-해설Ⅲ(148~168) OK.indd 148
2018-10-17 오전 11:06:44
6 x=0일 때, f{x}=?{2eX-3e_X} dx=2eX+3e_X+C
함수 f{x}가 모든 실수 x에서 연속이므로
f{x}= f{0}
lim
0
x`
!
5+C=1 / C=-4
따라서 f{x}=
-
2eX+3e_X-4 {x=0}
1
{x=0}
이므로
f{ln 3} =2eln 3+3e-ln 3-4
=2\3+3\
-4=3
1
3
7 9 f{x}+2 g{x}0'=3X, 9 f{x}-2 g{x}0'=3_X에서
f '{x}+2g '{x}=3X, f '{x}-2g '{x}=3_X
/ f '{x}=
, g '{x}=
3X+3_X
2
3X-3_X
4
f{x}=?
g{x}=?
3X+3_X
2
3X-3_X
4
`dx=
`dx=
1
2 [
1
4 [
3_X
ln 3 ]
3_X
ln 3 ]
+C1
+C2
-
+
3X
ln 3
3X
ln 3
1
2 ln 3
f{0}=0에서 C1=0, g{0}=
에서 C2=0
따라서 f{x}=
, g{x}=
이므로
3X-3_X
2 ln 3
4
3 ln 3
-
3X+3_X
4 ln 3
1
2 ln 3
5
6 ln 3
=
f{1}-g{1}=
8 f{x} =?{tan@ x+sec@ x} dx
=?{2 sec@ x-1} dx
=2 tan x-x+C
p
4 ]
f
[
=2에서 2-
+C=2 / C=
p
4
/ f{x}=2 tan x-x+
p
4
p
4
9 f{x} =?
2 cos@ x
sin x-1
`dx
=?
2{1-sin@ x}
sin x-1
`dx
=?
2{1-sin x}{1+sin x}
sin x-1
`dx
=-2?{1+sin x} dx
=-2x+2 cos x+C
p
2 ]
f
[
=3p에서 -p+C=3p / C=4p
따라서 f{x}=-2x+2 cos x+4p이므로
f{2p}=-4p+2+4p=2
10 ?
1
1-cos x `
dx =?
1+cos x
{1-cos x}{1+cos x} `
dx
=?
1+cos x
1-cos@ x `
dx
=?
1+cos x
sin@ x `
dx
=?{csc@ x+csc x cot x} dx
=-cot x-csc x+C
따라서 a=-1, b=-1이므로 a+b=-2
11 F{x} =?~[
x
2 ] dx
cos x-sin@
=?~[
cos x-
1-cos x
2
] dx
3
2
`cos x-
1
2 ] dx
=?~[
3
2
=
`sin x-
x+C
1
2
/ F
[
p
2 ]
-F{p} =
-
+C-
-
+C
p
2
[
]
3
2
3
2
p
4
p
4
=
+
12 f '{x} =
x
sin
2
[
x
+cos
2 ]@
x
+cos@
2
x
x
2 cos
+2 sin
2
x
=sin@
2
=1+sin x
p
2 ]
f
[
p
2
=0에서
+C=0 / C=-
p
2
따라서 f{x}=x-cos x-
p
2 이므로
3
2
f
[
p
=
]
3
2
p-0-
=p
p
2
13 x>0일 때, f{x}=?{1-cos x} dx=x-sin x+C1
x<0일 때, f{x}=?{2x+sin x} dx=x@-cos x+C2
함수 f{x}가 모든 실수 x에서 연속이므로
f{x}= lim
0-
lim
0+
x`
!
!
C1=-1+C2
x`
f{x}= f{0}
한편 f{-p}=p@에서
p@+1+C2=p@ / C2=-1
이를 ㉠에 대입하면 C1=-2
따라서 x>0일 때, f{x}=x-sin x-2이므로
p
2 ]
f
[
p
2
=
-1-2=
-3
p
2
yy ㉠
Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 149
=?9{sec@ x-1}+sec@ x0 dx
/ f{x}=?{1+sin x} dx=x-cos x+C
19 미적분_유형편-해설Ⅲ(148~168) OK.indd 149
2018-10-17 오전 11:06:45
유형편 14 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면
f{x}= f{x}+x f '{x}-2x+cos x-x sin x-cos x
x f '{x}=2x+x sin x
/ f '{x}=2+sin x
f{x}=?{2+sin x} dx=2x-cos x+C
p
2 ]
f
[
=0에서 p+C=0 / C=-p
따라서 f{x}=2x-cos x-p이므로
f{p}=2p+1-p=p+1
15 2x+
=t로 놓으면
=2이므로
1
3
dt
dx
?~[
2x+
1
3 ]& dx =?`t &\
1
2
`dt=
t *+C
1
16
=
1
16 [
2x+
1
3 ]*+C
따라서 a=16, b=8이므로 a-b=8
16 x@+1=t로 놓으면 x@=t-1이고,
=2x이므로
?`2x#{x@+1}# dx =?{t-1}t# dt=?{t $-t #} dt
=
t%-
t$+C
=
{x@+1}%-
{x@+1}$+C
1
5
1
5
f{1}=2에서
+C=2 / C=-
따라서 f{x}=
{x@+1}%-
{x@+1}$-
12
5
1
5
2
5
2
5 이므로
f{0}=
-
-
=-
1
5
1
4
2
5
9
20
dt
dx
1
4
1
4
1
4
17 jx+1l=t로 놓으면 x=t @-1이고,
=
=
1
2t 이므로
dt
dx
f{x} =?
`dx=?
t @-1
t
\2t dt
1
2jx+1l
x
jx+1l
=2?{t @-1} dt
=
t #-2t+C
2
3
{x+1}jx+1l-2jx+1l+C
=
2
3
f{0}=-1에서
2
3
-2+C=-1 / C=
1
3
f{-1}=
1
3
150 정답과 해설_유형편
18 f{x} =?{e#X_@+2!_X} dx
=?`e#X_@ dx+?`2!_X dx
! ?`e#X_@ dx에서 3x-2=t로 놓으면
=3이므로
dt
dx
?`e#X_@ dx =?`e T\
`dt
1
3
=
1
3 e T+C1=
1
3 e#X_@+C1
ds
dx
@ ?`2!_X dx에서 1-x=s로 놓으면
=-1이므로
?2!_X dx =-?2S ds
=-
+C2=-
+C2
2S
ln 2
2!_X
ln 2
/ f{x} =?`e#X_@ dx+?`2!_X dx
=
e#X_@-
+C
1
3
2!_X
ln 2
1
ln 2
f{1}=
e
3 에서
e
3
-
+C=
e
3 / C=
1
ln 2
따라서 f{x}=
e#X_@-
2!_X
ln 2
+
1
ln 2
이므로
1
3
1
ln 2
f{0}=
-
1
3e@
19 F{x} =?` f{x} dx=?{1-sin x}@ dx
=?{sin@ x-2 sin x+1} dx
=?~[
1-cos 2x
2
-2 sin x+1
] dx
=?~[
1
4
=-
-
`cos 2x-2 sin x+
3
2 ] dx
`sin 2x+2 cos x+
x+C
3
2
1
2
3
2
1
4
3
2
F{0}=4에서 2+C=4 / C=2
따라서 F{x}=-
`sin 2x+2 cos x+
x+2이므로
3
2
F{p}=-2+
p+2=
p
20 f{x} =?{sin 2x-cos 2x} dx
=-
1
2 cos 2x-
f '{x}=0인 x의 값은
1
2 sin 2x+C
sin 2x-cos 2x=0, tan 2x=1
3
4
p
p
4 또는 2x=
3
p
8 또는 x=
8
/ x=
p (? 0<2x<2p)
따라서 f{x}=
{x+1}jx+1l-2jx+1l+
2
3
1
3 이므로
/ 2x=
19 미적분_유형편-해설Ⅲ(148~168) OK.indd 150
2018-10-17 오전 11:06:46
00)
1
2
f{-2}=0에서 C=0
32 f{x} =?
2x@+3x+1
x-1
`dx
6
2x+5+
x-1 ] dx
=?~[
=x@+5x+6 ln |x-1|+C
f{2}=20에서 14+C=20 / C=6
따라서 f{x}=
`ln {x@+4x+5}이므로
따라서 f{x}=x@+5x+6 ln |x-1|+6이므로
f{-1}=2+6 ln 2
33 f{x} =?
x+4
2x@-5x-3
`dx
=?
x+4
{x-3}{2x+1}
`dx
=?~[
1
x-3
-
1
=ln |x-3|-
2x+1 ] dx
1
2
`ln |2x+1|+C
f{4}=-ln 3에서
-ln 3+C=-ln 3 / C=0
따라서 f{x}=ln |x-3|-
`ln |2x+1|이므로
1
2
f{0}=ln 3
34
x@+2
{x+1}{x@+x+1}
=
A
x+1
+
Bx+C
x@+x+1
{A, B, C는
상수}라 하면
x@+2
{x+1}{x@+x+1}
=
{A+B}x@+{A+B+C}x+A+C
{x+1}{x@+x+1}
위의 식은 x에 대한 항등식이므로
A+B=1, A+B+C=0, A+C=2
/ A=3, B=-2, C=-1
/ ?
{x+1}{x@+x+1} `dx
x@+2
3
x+1
=? [
=3 ln |x+1|-ln {x@+x+1}+C
2x+1
x@+x+1 ] dx
-
따라서 a=3, b=-1이므로 a+b=2
f{-1}=
ln 2
2
29 f{x} =?
e@X
e@X-sin x
`dx-
1
2 ?
cos x
e@X-sin x
`dx
1
2
1
2
=
1
2 ?
2e@X-cos x
e@X-sin x
`dx
{e@X-sin x}'=2e@X-cos x이므로
f{x} =
1
2 ?
2e@X-cos x
e@X-sin x
`dx
{e@X-sin x}'
e@X-sin x
`dx
`ln |e@X-sin x|+C
=
1
2 ?
1
2
f{0}=0에서 C=0
=
따라서 f{x}=
`ln |e@X-sin x|이므로
f{p}=
`ln e@p=p
1
2
30 f '{x}=4 f{x}에서
=4이므로
f '{x}
f{x}
?
f '{x}
f{x}
`dx=?`4 dx
ln f{x}=4x+C (? f{x}>0)
/ f{x}=e4x+C
이때 f '{0}=4이므로
4=4 f{0} / f{0}=1
따라서 f{0}=eC=1이므로 C=0
/ f{x}=e$X
31 f{x} =?
3-x
x+2
`dx
5
-1+
x+2 ] dx
=?~[
=-x+5 ln |x+2|+C
f{-1}=5에서 1+C=5 / C=4
따라서 f{x}=-x+5 ln |x+2|+4이므로
35 f{x}=3x+2, g '{x}=eX이라 하면
f '{x}=3, g{x}=eX이므로
?{3x+2}eX dx ={3x+2}eX-?`3eX dx
={3x+2}eX-3eX+C
={3x-1}eX+C
f{-3}=3+4=7
따라서 a=3, b=-1이므로 a+b=2
152 정답과 해설_유형편
19 미적분_유형편-해설Ⅲ(148~168) OK.indd 152
2018-10-17 오전 11:06:47
36 u{x}=x+1, v'{x}=cos 2x라 하면
따라서 p=1, q=-2, r=2이므로
u'{x}=1, v{x}=
`sin 2x이므로
1
2
f{x} =?{x+1} cos 2x dx
=
1
2 sin 2x dx
{x+1} sin 2x-?
=
{x+1} sin 2x+
`cos 2x+C
1
4
1
2
1
2
f{p}=
1
4 에서
1
4
+C=
1
4 / C=0
p-q+r=5
39 g{x}={ln x}@, h'{x}=2x라 하면
g '{x}=
`ln x, h{x}=x@이므로
2
x
?`2x{ln x}@ dx =x@{ln x}@-?`2x ln x dx yy ㉠
?`2x ln x dx에서 u{x}=ln x, v'{x}=2x라 하면
따라서 f{x}=
{x+1} sin 2x+
`cos 2x이므로
1
2
p
2 ]
f
[
=-
1
4
u'{x}=
1
x , v{x}=x@이므로
?`2x ln x dx =x@ ln x-?`x dx
1
4
37 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면
f{x}= f{x}+x f '{x}-2x ln x-x
x f '{x}=2x ln x+x
따라서 f '{x}=2 ln x+1이므로
f{x} =?{2 ln x+1} dx=2?ln x dx+?`dx
?`ln x dx에서 u{x}=ln x, v'{x}=1이라 하면
u'{x}=
1
x , v{x}=x이므로
?`ln x dx=x ln x-?`dx=x ln x-x+C1
/ f{x} =2?`ln x dx+?`dx
=2x ln x-2x+x+C
=2x ln x-x+C
f{1}=2에서 -1+C=2 / C=3
따라서 f{x}=2x ln x-x+3이므로
f{e}=2e-e+3=e+3
38 f{x}=x@, g '{x}=cos x라 하면
f '{x}=2x, g{x}=sin x이므로
=x@ ln x-
x@+C1
yy ㉡
1
2
㉡을 ㉠에 대입하면
?`2x{ln x}@ dx=x@{ln x}@-x@ ln x+
x@+C
1
2
f{1}=
1
2
+C=
1
2 에서
1
2 / C=0
따라서 f{x}=x@{ln x}@-x@ ln x+
x@이므로
1
2
f{e}=e@-e@+
e@=
e@
1
2
1
2
40 h{x}=?`5 f{x}g '{x} dx=5?`e@X sin x dx
?`e@X sin x dx에서 u{x}=e@X, v'{x}=sin x라 하면
u'{x}=2e@X, v{x}=-cos x이므로
?`e@X sin x dx =-e@X cos x+?`2e@X cos x dx yy ㉠
?`2e@X cos x dx에서 s{x}=2e@X, t'{x}=cos x라 하면
s'{x}=4e@X, t{x}=sin x이므로
?`2e@X cos x dx=2e@X sin x-?`4e@X sin x dx yy ㉡
?`x@ cos x dx=x@ sin x-?`2x sin x dx
yy ㉠
㉡을 ㉠에 대입하면
?`2x sin x dx에서 u{x}=2x, v'{x}=sin x라 하면
?~e@X sin x dx=-e@X cos x+2e@X sin x-4?~e@X sin x dx
u'{x}=2, v{x}=-cos x이므로
?`2x sin x dx =-2x cos x+?`2 cos x dx
=-2x cos x+2 sin x+C1
yy ㉡
h{0}=-1에서
㉡을 ㉠에 대입하면
?`x@ cos x dx =x@ sin x+2x cos x-2 sin x+C
={x@-2} sin x+2x cos x+C
p
2 ]
h
[
=2ep
5?`e@X sin x dx=-e@X cos x+2e@X sin x
/ h{x}=-e@X cos x+2e@X sin x+C
-1+C=-1 / C=0
따라서 h{x}=-e@X cos x+2e@X sin x이므로
Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 153
19 미적분_유형편-해설Ⅲ(148~168) OK.indd 153
2018-10-17 오전 11:06:47
유형편 02 여러 가지 함수의 정적분
기초 문제 Training
p.71
1 ⑴
⑷
52
3
24
ln 3
⑵ 1
⑸
j3
2
2 ⑴ 10j5-
⑵
6
5
4
ln 2
3 ⑴
45
4
⑵ 1+
p
4
4 ⑴ 0
⑵ 2
5 ⑴
11
5
⑷ ln 2
6 ⑴ -2
⑵
4j2
3
⑸
1
3
⑵
e@+1
4
⑶ e#-1
⑹
j2
2
⑶ -
1
e
⑷ 3
⑶
e%-e#
2
⑹ ln 10
핵심 유형 Training
p.72~78
1 ②
2 ③
3 5
4 ②
6 e+6
7 ③
8 4 ln 2+e-5
5 ①
4
3
9
10 8 ln
+
3
2
29
3
11 2-2p 12 ①
13 ④
14 ㄴ
15 ④
16 3 ln
-1
17 ③
18 3
19 ②
20
+ln 2
21 ④
22 ②
23
p
3
-
j3
2
24
25 1
26 ①
27 ②
28 ④
29
-
3
2
1
2
30 ④
31 ②
32 ⑤
33
e$+
34 ①
35 -
5
13 36 f{x}=2-p cos x
1
3 ln 3
1
2
p
4
2
3
1
2
7
6
42 2
43 ②
44
45 ③
p
3
-j3
46 ①
47 -2e@p
48 ④
154 정답과 해설_유형편
1 /1$
2jx k-4
x@
`dx =/1$~{2x-
2#-4x_@} dx
-
=
{
4
+
jx k
4
x }$1
=-1
2 /-1) 12@X+2X"@+43`dx =/-1) 1{2X+2}@3`dx
=/-1) {2X+2} dx
=
{
=
2X
ln 2
1
2 ln 2
+2x
})-1
+2
3 /0
3+4 cos# x
4"
cos@ x
4"
`dx =/0
~{3 sec@ x+4 cos x} dx
=
{
3 tan x+4 sin x
4"
}0
=3+2j2
따라서 a=3, b=2이므로 a+b=5
4 /0
1-cos 2x
2"
1+cos x
`dx =/0
1-{2 cos@ x-1}
2"
1+cos x
`dx
=/0
2{1+cos x}{1-cos x}
2"
1+cos x
`dx
5 /0A
1
x@+3x+2
`dx =/0A
1
{x+1}{x+2}
`dx
2"
=/0
2{1-cos x} dx
=
{
2x-2 sin x
2"
}0
=p-2
=/0A [
1
x+1
1
-
x+2 ] dx
=
{
ln {x+1}-ln {x+2}
}0A
=ln {a+1}-ln {a+2}+ln 2
=ln
2a+2
a+2
따라서 ln
2a+2
a+2
3
=ln
2 이므로
2a+2
a+2
=
3
2 , 4a+4=3a+6 / a=2
6 /-8$ ~{eX_#+2x} dx-/-8# ~{e T_#+2t} dt
=/3$~{eX_#+2x} dx
=
{
eX_#+x@
}3$=e+6
37 2
38
3
2
39 2
40
41 ⑤
=/-8$ ~{eX_#+2x} dx+/3_*{eX_#+2x} dx
19 미적분_유형편-해설Ⅲ(148~168) OK.indd 154
2018-10-17 오전 11:06:48
7 /0@
2x$+x
x+3
`dx+2/2)
x$
x+3
`dx
=/0@
2x$+x
x+3
`dx-/0@
2x$
x+3
`dx
=/0@
x
x+3
`dx
=/0@~[
1-
3
x+3 ] dx
=
{
x-3 ln {x+3}
}0@
3
=2+3 ln
5
11 함수 f{x}가 x=p에서 연속이므로
f{x}= lim
p-
lim
p+
x`
!
!
sin p+k=-2 / k=-2
f{x}= f{p}
x`
/ /0@|` f{x} dx =/0|{sin x-2} dx+/\@|`2 cos x dx
-cos x-2x
=
{
}0|+
{
2 sin x
}\@|
=2-2p
-/
)`{2 sin x-3 cos x+tan x} dx
=/-
) ~{2 sin x-3 cos x+tan x} dx
4"
4"
4"
+/0
~{2 sin x-3 cos x+tan x} dx
따라서 a=2, b=3이므로 ab=6
12 /-
) {2 sin x-3 cos x+tan x} dx
4"
8 eX-2=0에서 x=ln 2
따라서 |eX-2|=
-
``eX-2 {x>ln 2}
-eX+2 {x3}
j-x+3l {x<3}
이므로
/2${g J f }{x} dx
-
=
{
=/2#`j-x+3l dx+/3$`jx-3l dx
2
3
{-x+3}j-x+3l }2#+
{
2
3
=
4
3
2
3
2
3
+
=
10 !
<2, 즉 x<4일 때
@
>2, 즉 x>4일 때
x
2
x
2
x
2 ⁎2=jx k
x
2 ⁎2=
4
x
+1
/ /1(~[
x
2 ⁎2
] dx =/1$`jx k dx+/4(~[
+1
] dx
4
x
13 /-\| f{x}9 f '{x}+30 dx
{x-3}jx-3l }3$
=/-\| {x@+cos x}{2x-sin x+3} dx
=/-\| {2x#-x@ sin x+3x@+2x cos x
-sin x cos x+3 cos x} dx
이때 /-\| x# dx=0, /-\| x@ sin x dx=0,
/-\| x cos x dx=0, /-\| sin x cos x dx=0이므로
/-\| {2x#-x@ sin x+3x@+2x cos x
-sin x cos x+3 cos x} dx
=
{
2
3
=
14
3
xjx k }1$+
{
9
4 ln
4
+
[
3
=8 ln
2
+
29
3
4 ln x+x
+5
]
}4(
=/-\| {3x@+3 cos x} dx
=2/0|{3x@+3 cos x} dx
=2
{
x#+3 sin x
}0|=2p#
Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 155
19 미적분_유형편-해설Ⅲ(148~168) OK.indd 155
2018-10-17 오전 11:06:49
유형편 14 ㄱ. f{-x} =-x{e_X-eX}
=x{eX-e_X}= f{x}
/ /-aA```~ f{x} dx=2/0A~~ f{x} dx
ㄴ. g{x}=x f{x}라 하면
g{-x} =-x f{-x}
=-x f{x}=-g{x}
/ /-aA```x f{x} dx=0
ㄷ. f '{x}={eX-e_X}+x{eX+e_X}이므로
x f '{x}=x{eX-e_X}+x@{eX+e_X}
h{x}=x f '{x}라 하면
h{-x} =-x{e_X-eX}+x@{e_X+eX}
=x{eX-e_X}+x@{eX+e_X}
=h{x}
/ /-aA```x f '{x} dx=2/0A`x f '{x} dx
따라서 정적분의 값이 항상 0인 것은 ㄴ이다.
15 1-x=t로 놓으면
=-1이고, x=0일 때 t=1, x=1
dt
dx
일 때 t=0이므로
/0!`xj1-xl dx =-/1)~{1-t}jt dt
=/0!{jt -tjt } dt
tjt -
t@jt }0!
2
5
=
{
2
3
=
4
15
따라서 p=15, q=4이므로
p+q=19
16 2+ln x=t로 놓으면
dt
dx
=
1
x 이고, x=1일 때 t=2,
x=e일 때 t=3이므로
/1E
3 ln x
x{2+ln x}@
`dx =/2#
3{t-2}
t @
`dt
6
t @ ] dt
6
t }2#
=/2# [
3
t
-
=
{
3 ln t+
3
=3 ln
2
-1
17 /0
sin 2x
3"
3 cos x+cos@ x
`dx =/0
3"
2 sin x cos x
3 cos x+cos@ x
`dx
=/0
3"
2 sin x
3+cos x
`dx
156 정답과 해설_유형편
3+cos x=t로 놓으면
=-sin x이고, x=0일 때
dt
dx
t=4, x=
p
3 일 때 t=
7
2 이므로
/0
2 sin x
3"
3+cos x
`dx =-/4
`dt=/
2
2&
~
t
2
$` ~
t
2&
`dt
=
{
2 ln t
}$
2&
8
=2 ln
7
18 /-3)
eX
eX+1
`dx-/3)
eX
eX+1
`dx
=/-3)
eX+1 `dx+/0#
eX+1 `dx
eX
eX
eX
=/-3#
eX+1 `dx
eX+1=t로 놓으면
=eX이고, x=-3일 때
dt
dx
t=e_#+1, x=3일 때 t=e#+1이므로
/-3#
eX
eX+1
`dx =/e_#+1
e#+1`` 1
t
`dt=
ln t
{
e#+1
}e_#+1
=ln
e#+1
e_#+1
=ln
e#{e#+1}
1+e#
=ln e#=3
19 x@+x+4=t로 놓으면
=2x+1이고, x=0일 때
dt
dx
t=4, x=a일 때 t=a@+a+4이므로
/0A
2x+1
x@+x+4
`dx =/4
a@+a+4
1
t
a@+a+4
`dt
=
{
ln t
}4
=ln
a@+a+4
4
따라서 ln
=ln 6이므로
a@+a+4
4
a@+a+4=24, {a-4}{a+5}=0
/ a=4 (? a>0)
/ /0$
1
2x+1
`dx =
{
}0$
1
2 ln {2x+1}
1
2 ln 9=ln 3
=
20 f{1}+ f{3} =/0
cos x
2"
1+sin x
`dx+/0
cos# x
2"
1+sin x
`dx
=/0
cos x+cos# x
2"
1+sin x
`dx
=/0
=/0
cos x{1+cos@ x}
2"
1+sin x
cos x{2-sin@ x}
2"
1+sin x
`dx
`dx
19 미적분_유형편-해설Ⅲ(148~168) OK.indd 156
2018-10-17 오전 11:06:49
`dx=/3%`t dt
24 2x=tan h [
-
0,
p
2
0}
1
2
주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면
따라서 f{x}=
{ln x}@+ln x이므로
1
2
f{e}=
3
2
/0X~ f{t} dt+x f{x}-x f{x}=eX+xeX-cos x
/ /0X~ f{t} dt={x+1}eX-cos x
양변을 x에 대하여 미분하면
f{x} =eX+{x+1}eX+sin x={x+2}eX+sin x
/ f{0}=2
/0!` f{t} dt=a, /0!`t f{t} dt=b ( a, b는 상수)라 하면
0= f{1} / C=0
b =/0!`tf{t} dt=/0!~{te T+at @-bt} dt
양변을 x에 대하여 미분하면
39 /0X{x-t} f{t} dt=xeX-sin x에서
yy ㉠
x/0X~ f{t} dt-/0X`t f{t} dt=xeX-sin x
/ 2a-9b=-6
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=
18e-30
13
, b=
4e+2
13
즉, f{x}=eX+
18e-30
13
x-
4e+2
13 이므로
40 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '{x}=jx k-x
f '{x}=0인 x의 값은 x=1 {? x>0}
x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음
f{1}=
e-
27
13
32
13
따라서 p=
27
13 , q=-
32
13 이므로 p+q=-
5
13
36 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면
f{x}=2+a cos x
주어진 등식의 양변에 x=
p
2 를 대입하면
0=p+a / a=-p
/ f{x} =2-p cos x
과 같다.
x
f '{x}
f{x}
0
y
+
↗
1
0
극대
y
-
↘
따라서 함수 f{x}는 x=1에서 극대이므로 극댓값은
f{1} =/0!{jt -t} dt=
{
tjt -
2
3
따라서 a=1, M=
1
6 이므로 a+M=
1
2
t@
1
6
}0!=
7
6
Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 159
19 미적분_유형편-해설Ⅲ(148~168) OK.indd 159
2018-10-17 오전 11:06:52
유형편
41 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '{x}=sin x-cos 2x
f '{x}=0인 x의 값은
sin x-cos 2x=0, sin x-{1-2 sin@ x}=0
{2 sin x-1}{sin x+1}=0
/ sin x=
/ x=
1
2 (? 00)
19 미적분_유형편-해설Ⅲ(148~168) OK.indd 160
2018-10-17 오전 11:06:53
x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음
과 같다.
x
f '{x}
f{x}
0
y
-
↘
1
0
극소
y
+
↗
따라서 함수 f{x}는 x=1에서 극소이면서 최소이므로 함
III-2. 정적분의 활용
01 정적분의 활용
46 f{t}={t@+2}cos {t+p}라 하고, 함수 f{t}의 한 부정
수 f{x}의 최솟값은
f{1} =/1@~[
2t+
4
t ] dt
=
{
t @+4 ln t
}1@
=3+4 ln 2
따라서 a=1, b=3+4 ln 2이므로
b-3a=3+4 ln 2-3=4 ln 2
적분을 F{t}라 하면
1
x /0X{t@+2}cos {t+p} dt
lim
0
x`
!
1
x /0X~ f{t} dt
=lim
0
x`
!
F{x}-F{0}
=lim
x
0
x`
!
=F'{0}= f{0}
=-2
47 함수 f{x}의 한 부정적분을 F{x}라 하면
1
lim
h
0
h`
!
/\-h|"H` f{t} dt
F{p+h}-F{p-h}
=lim
h
0
h`
!
=lim
-
0
h`
!
F{p+h}-F{p}
h
+
F{p-h}-F{p}
-h
=
=2F'{p}=2 f{p}
=-2e@p
기초 문제 Training
p.80
,
,
,
, 1, 2, 9
3
n
3
n
1
2
3
n
2
n
3
n
8
3
,
2k
n
, 2,
3 ⑴ e-1
⑵ 1
⑶
1
6
4 ⑴ 10
⑵
4j2
3
+2
5 ⑴ -1-
⑵ e-
-2 ⑶ e+
-2
1
e@
1
e
1
e
핵심 유형 Training
p.81~88
1 ④
2 7
3 25
4
7
3
5 ②
6 4j2-2 7 ①
11 ⑤
16 30
21 ①
12 ②
17 ⑤
e
2
22
8
e@-1
2
9 ④
10 2
13 ③
14 ⑤
15 ③
18 ④
19 ②
-1 23 2-j3 24 0
20 ②
2j3
3
25
29 1
26
2
ln 3 27 ③
28
1
{e-1}@
30 4 ln 2-2
31 ④
33 {2+ln 5} cm#
34 56
p@+2p
m#
32 e+1
3
4
35 [
16
3 cm#
3
p
38
41
]
42 e-
1
e
46 ③
36
4
3
37
p-
j3
8
j3
4
39 ⑤
40 e@-2e+1
44 ④
45
e@+
1
4
1
4
43
8
3
47 ③
48 함수 f{x}의 한 부정적분을 F{x}라 하면
1
lim
x@-1
1
x`
!
F{x}-F{1}
/1X` f{t} dt =lim
x@-1
x`
1
!
1 구간 [1, 3]을 n등분 하면 각 구간의 오른쪽 끝점의 x좌
표는 차례로
2
n , 1+
1+
4
n , y, 1+
2n
n
{=3}
이때 직사각형의 가로의 길이는
2
n 이므로 구하는 도형의
F{x}-F{1}
x-1
\
1
x+1 =
=lim
-
1
x`
!
1
2
=
F'{1} =
1
2 f{1}
=
\16=8
1
2
넓이는
2
n
lim
n`
E
!
n
?k=1
ln [
1+
2k
n ]
Ⅲ-2. 정적분의 활용 161
19 미적분_유형편-해설Ⅲ(148~168) OK.indd 161
2018-10-17 오전 11:06:53
유형편 n
p
5 lim
n sin
?k=1
n`
E
!
kp
6n =6 lim
n
?k=1[
E
n`
!
sin
kp
6n ]
\
p
6n
6"
=6/0
sin x dx
=6
-cos x
{
6"
}0
=6-3j3
따라서 a=6, b=-3이므로
a+b=3
3
6 lim
n -
n`
E
!
1
n ]
f
[
+ f
2
n ]
[
+ f
3
n ]
[
+y+ f
n
n ]=
[
3
=lim
n
E
n`
n
?k=1
f
[
k
n ]
!
n
=3 lim
?k=1
E
n`
f
[
k
n ]
\
1
n
!
=3/0!` f {x} dx
=3/0!`j1+xl dx
2
3
=3
{
=4j2-2
{1+x}j1+xl }0!
{1+2+y+n}{1#+2#+y+n#}
7 lim
{n+1}%+{n+2}%+y+{n+n}%
n`
E
!
1
n@[n!
=/n\,
+
+y+
n@
nN]-[n!]#+
[n@]#+y+
[nN]#=
n!-[
1+
1+
n!]%+
[
1+
n@]%+y+
[
nN]%=
/n\, n![n!
+
n@
+y+
\/n\, n!-[n!]#+
[n@]#+y+
nN]
[nN]#=
/n\, n!-[
1+
1+
n!]%+
[
1+
n@]%+y+
[
nN]%=
=
=
2
1+
n ]@+
[
3
1+
n ]@+y+
[
n
n ]@=
[ /n\, n! /k=1N```nK]
\
- /n\, n! /k=1N``~[nK]# =
2
1+
n ]@+
[
3
1+
n ]@+y+
[
n
n ]@=
/n\, n! /k=1N``[
1+
nK]%
/0!`x`dx\/0!`x#`dx
=
/0!{1+x}% dx
1
2
}0!\
{
1
4
x$
x@
}0!
{
1
6
{
{1+x}^
}0!
=
=
1
4
1
2
\
21
2
=
1
84
따라서 p=84, q=1이므로
p+q=85
n
2 S =lim
?k=1[
E
!
n`
2k
n ]#\
2
n
16
=lim
n$
n`
E
!
16
=lim
n$
n`
E
!
n
?k=1
k#
n{n+1}
2
-
=@
=lim
n`
E
!
4
[
1+
1
n ]@=4
2
n , g{n}=
16
n$
f{1}+g{2}+a=2+1+4=7
따라서 f{n}=
, a=4이므로
3 lim
n`
E
!
1
n
n
?k=1
f
[
1+
2k
n ]
\
2
n
=
=
=
=
n`
!
[
f
1+
n
?k=1
E
2k
n ]
1
2 lim
1
2 /1#~ f{x} dx
1
2 /1#{3x@+6x} dx
1
2{
x#+3x@
}1#
=25
다른 풀이
1
n
n
?k=1
f
[
lim
n`
E
!
1+
2k
n ]
=
=
=
=
=
n`
E
!
[
f
\
1+
2
n
2k
n ]
1
2 lim
1
2 /0@~ f{1+x} dx
1
2 /0@93{1+x}@+6{1+x}0 dx
1
2 /0@{3x@+12x+9} dx
1
2{
x#+6x@+9x
}0@=25
1
4 lim
n -[
n`
E
!
1+
1
=lim
n
E
n`
n
?k=1[
!
1
1+
n ]@+
[
k
n ]@
1+
=/1@ x@ dx
=
{
x#
}1@=
1
3
7
3
다른 풀이
1
lim
n -[
n`
E
!
1+
1
=lim
n
E
n`
n
?k=1[
!
1
1+
n ]@+
[
k
n ]@
1+
=/0!~{1+x}@ dx
=
{
1
3
{1+x}#
}0!=
7
3
162 정답과 해설_유형편
19 미적분_유형편-해설Ⅲ(148~168) OK.indd 162
2018-10-17 오전 11:06:54
8 점 Ak의 좌표는 [
]이므로 점 Bk의 좌표는
2k
n , 0
2k
n , e
2k
n
]
[
따라서 A
kBk
=e
2k
n 이므로
1
lim
n
n`
E
!
n
?k=1
A
kBk
n`
e
=
n
?k=1
n
e
?k=1
E
1
=lim
n
Z
n`
E
!
1
2 lim
1
2 /0@`eX dx
1
2{
}0@=
=
=
eX
!
2k
n
2k
n \
2
n
e@-1
2
9 y=
x+1
x-1
2
=1+
x-1 이므로 구
하는 넓이를 S라 하면
S =/2#~[
1+
x-1 ] dx
2
=
{
x+2 ln {x-1}
}2#
=1+2 ln 2
10 곡선과 x축 및 y축으로 둘러싸인
도형의 넓이를 S라 하면
a$
S=/0
j4-axl dx
y
1
O
y
2
O
y=
x+1
x-1
1 2 3
x
y=j4-laxl
x
a$
4-ax=t로 놓으면
=-a이
dt
dx
고, x=0일 때 t=4, x=
4
a 일 때 t=0이므로
a$
S =/0
j4-axl dx=-
2
3
1
a /0$`jt dt=
1
a {
=
1
a /4)`jt dt
tjt }0$=
16
3a
따라서
16
3a
=
8
3 이므로 a=2
11 구간 [0, p]에서
[
1
2 ]N sin x>0이고,
3
2
}에서
p,
p
구간 {
1
2 ]N sin x<0이므로
1
2 ]N sin x dx+/\
Sn =/0|~[
[
y
N
N
[2!]
-
[2!]
N
sin x
y=
[2!]
p
O
2"
2#
p
x
2#
p
~-
-
[
1
2 ]N sin x
= dx
-
=
{
[
1
2 ]N cos x
}0|+
{[
2#
}\
p
=3\
1
2 ]N
[
/
Sn=
E
?n=1
E
?n=1
3\
[
1
2 ]N=
1
2 ]N cos x
3
2
=3
1-
1
2
2
12 y=
2-x 를 x에 대하여 풀면
2-x=
2
y / x=2-
2
y
따라서 구하는 넓이를 S라 하면
S =/1E~[
2-
2
y ] dy
=
{
2y-2 ln y
}1E
=2e-4
13 y>0일 때, y=ln x에서 x=e Y
y<0일 때, -y=ln x에서 x=e_Y
따라서 구하는 넓이를 S라 하면
S =/-ln 2) e_Y dy+/0!`eY dy
-e_Y
=
{
})-ln 2
+
{
e Y
}0!
=e
14 y=eX"A을 x에 대하여 풀면
x+a=ln y / x=ln y-a
따라서 곡선과 y축 및 두 직선
y=1, y=2로 둘러싸인 도형의 넓
이를 S라 하면
S =/1@~{ln y-a} dy
y ln y
=
{
-/1@ dy-
}@1
{
ay
}@1
-a
y
=2 ln 2-
{
}@1
=2 ln 2-1-a
따라서 2 ln 2-1-a=2 ln 2이므로
a=-1
y
e
1
O
y=
2
2-x
2
x
y
1
O
-ln 2
y
2
1
eA
O
|y|=ln x
x
x
y=eX"A
15
=-x+5에서 x@-5x+4=0
4
x
{x-1}{x-4}=0 / x=1 또는 x=4
y
따라서 구하는 넓이를 S라 하면
{-x+5}-
4
x = dx
S =/1$~-
1
2
=
{
-
=
15
2
-8 ln 2
x@+5x-4 ln x
}1$
y=
x$
4
1
O
1
x
4
y=-x+5
16 j3xk=x-6에서 {x-6}@=3x
x@-15x+36=0, {x-3}{x-12}=0
/ x=12 (? x>6)
Ⅲ-2. 정적분의 활용 163
19 미적분_유형편-해설Ⅲ(148~168) OK.indd 163
2018-10-17 오전 11:06:55
유형편X
Z
X
따라서 구하는 넓이를 S라 하면
y=x-6
20 y=eX_!-1을 x에 대하여 풀면
y
6
O
-6
y=j3xk
x
12
6
S =/0!@9j3xk-{x-6}0 dx
-
\6\6
1
2
x@+6x
}0!@-18
2
3
=
{
xj3xk-
=48-18=30
1
2
1
17 jx k=
x 에서 x#=1 / x=1
따라서 구하는 넓이를 S라 하면
1
x ] dx
S =/1$~[ jx k-
2
3
=
{
}1$
xjx k-ln x
14
3
-ln 4=
1
+ln
4
=
14
3
따라서 a=
14
3 , b=
1
4 이므로 ab=
7
6
y
1
O
y=
x!
y=jx k
1
4
x
18
=2x에서 x@=
1
2
/ x=
j2
2 (? x>0)
=
x에서 x@=2
1
2
1
x
1
x
/ x=j2 (? x>0)
따라서 구하는 넓이를 S라 하면
y
y=2x
y=
x!
y=
x
2!
O
j2
2
j2
x
j2
2
S =/0
2x-
~[
1
2
x
j2
`
] dx+/ j2
[
1
x
2
-
1
2
x
] dx
=
{
3
4
x@
j2
2
}0
+
ln x-
x@
{
1
4
j2
} j2
2
=
+
ln 2-
=ln 2
3
8
[
3
8 ]
19 j2 cos x=sin 2x에서
j2 cos x=2 sin x cos x
/ cos x=0 또는 sin x=
j2
2
/ x=
p
4 또는 x=
따라서 구하는 넓이를 S라 하면
p
2 [
? 00)
따라서 x=1에서 x=e까지의 곡선의 길이는
45
=
x-
dy
dx
1
2
1
2x
/1E`r 1+
[
1
2
x-
1
2
1
2x ]@y dx =/1E`r[
1
2
x+
1
2x ]@y dx
1
2x ] dx
x+
=/1E`[
1
4
=
{
=
e@+
1
4
1
4
x@+
1
2 ln x
}1E
2
3
=
14
3 이므로
따라서
{1+a}j1+al-
2
3
{1+a}j1+al=8
위 식의 양변을 제곱하면
{1+a}#=64
a#+3a@+3a-63=0
{a-3}{a@+6a+21}=0
/ a=3 (? a@+6a+21>0)
47
dx
dt =-sin t-2 sin t `cos t
=-sin t-sin 2t
dy
dt =cos t+cos@ t-sin@ t
=cos t+1-2 sin@ t
=cos t+cos 2t
따라서 t=0에서 t=p까지의 곡선의 길이는
/0|`1{-sin t-sin 2t}@+{cos t+cos 32t}@3 dt
=/0|`j2+2 sin t sin 2t+2 cos t cos l2tl dt
=/0|`12+2 sin t\2 sin t cos3 t3+2 cos t\{1-2 sin3@ t}3 dt
46
dy
dx
=-jx k
따라서 x=0에서 x=a까지의 곡선의 길이는
/0A~~11+{-jx k}@3`dx =/0A~j1+xl dx
=
{
2
3
=
2
3
{1+x}j1+xl }0A
{1+a}j1+al-
2
3
=/0|`j2+2 cos tl dt
=/0|~q 4 cos@
t
2 e`dt
t
=/0|`2 cos
2
`dt
=
{
4 sin
t
2 }0|
=4
168 정답과 해설_유형편
19 미적분_유형편-해설Ⅲ(148~168) OK.indd 168
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