1 강
집합의 뜻과 표현
p. 6
1
1, 2, 3, 6
2 ⑴ A=92, 4, 6, 80
⑵ A=9x|x는 10보다 작은 짝수0
⑶
A
2
6
4
8
3 ⑴ 유한집합
⑵ B=92, 3, 50: 유한집합
⑶ C=92, 4, 6, 8, y0: 무한집합
⑷ D=Z: 유한집합
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 7
1 ‘큰’, ‘아름다운’, ‘가까운’, ‘유명한’은 기준이 명확하지 않아
그 대상을 분명하게 정할 수 없으므로 집합이 아니다.
따라서 집합인 것은 ⑤이다.
2 ㄴ. ‘높은’은 기준이 명확하지 않아 그 대상을 분명하게 정
할 수 없으므로 집합이 아니다.
따라서 집합이 아닌 것은 ㄴ이다.
3 A=91, 2, 5, 10, 25, 500
④ 15:A
4 ① -
1
7
{Q ② 0{Q ④
25
4
{Q ⑤ j3:Q
따라서 옳은 것은 ③이다.
5 ⑴ 9x|x는 -33이어야 하므로
-41, 6-x>1
/ 19
a5>11이라고 하면 a5+a5@>132
이것은 ㉠을 만족하지 않으므로 a5=10
a5=10을 ㉠에 대입하면
a3+a3@+10+10@=130
a3@+a3-20=0
{a3+5}{a3-4}=0
/ a3=-5 또는 a3=4
그런데 a3은 양의 정수이므로 a3=4
/ A=91, 3, 4, 9, 100
10 정답과 해설
이때 a15
이때 2x-1>5에서 x>3
따라서 조건 ~q의 진리집합은
93, 4, 5, 60
5 ⑴ 두 조건 ‘x@-3x+2=0’, ‘x-2=0’의 진리집합을 각각
P, Q라고 하면
x@-3x+2=0에서
{x-1}{x-2}=0
/ x=1 또는 x=2
/ P=91, 20
x-2=0에서 x=2
/ Q=920
따라서 P;Q이므로 주어진 명제는 거짓이다.
각각 P, Q라고 하면
P=96, 12, 18, 24, y0
Q=93, 6, 9, 12, y0
따라서 P[Q이므로 주어진 명제는 참이다.
⑵ 두 조건 ‘6의 배수이다.’, ‘3의 배수이다.’의 진리집합을
3 ⑴ 어떤 실수 x에 대하여 |x|<0이다.
⑵ 모든 실수 x에 대하여 x+2=1이다.
6 ⑴ 두 조건 ‘x-1<0’, ‘x-2<0’의 진리집합을 각각 P, Q
라고 하면
IV. 집합과 명제 11
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P=9x|x<10
Q=9x|x<20
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 27
따라서 P[Q이므로 주어진 명제는 참이다.
⑵ [반례] x=j2, y=-j2이면 x+y는 유리수이지만 x, y
는 유리수가 아니다.
따라서 주어진 명제는 거짓이다.
1 역: x+y>0이면 x>0이고 y>0이다. (거짓)
[반례] x=-1, y=2이면 x+y>0이지만 x<0이고 y>0
이다.
대우: x+y<0이면 x<0 또는 y<0이다. (참)
2 역: x@>y@이면 x>y이다. (거짓)
[반례] x=-2, y=1이면 x@>y@이지만 xy이다.
3 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면
⑴ P=92, 4, 6, 8, y0, Q=94, 8, 12, 16, y0
P]Q이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.
⑵ P=
x
-
|
x<
3
2 =
, Q=9x|x<40
P[Q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.
⑶ x@=1에서 x=-1
/ P=9-1, 10
|x|=1에서 x=-1
/ Q=9-1, 10
P=Q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.
4 ⑴ 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면
P=91, 2, 3, 4, 6, 120, Q=91, 2, 3, 60
P]Q이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.
⑵ ab=0
a=0 또는 b=0
hjk
따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.
⑶ 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면
x@-4x+3=0에서
{x-1}{x-3}=0
/ x=1 또는 x=3
/ Q=91, 30
P[Q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.
5 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면
k
2 / P=
2x+k=0에서 x=-
k
2 =
-
-
x@-3x-4=0에서 {x+1}{x-4}=0
/ x=-1 또는 x=4
/ Q=9-1, 40
p가 q이기 위한 충분조건이 되려면 P[Q이어야 하므로
7 ⑴ ‘x@-1>0’의 진리집합을 P라고 하면
x@-1>0에서
{x+1}{x-1}>0
/ x<-1 또는 x>1
/ P=9x|x<-1 또는 x>10
따라서 P=U이므로 주어진 명제는 거짓이다.
⑵ ‘x@-3x-4=0’의 진리집합을 P라고 하면
x@-3x-4=0에서
{x+1}{x-4}=0
/ x=-1 또는 x=4
/ P=9-1, 40
따라서 P=Z이므로 주어진 명제는 참이다.
8 ⑴ ‘|x-2|>0’의 진리집합을 P라고 하면
P=U
따라서 주어진 명제는 참이다.
⑵ ‘x@<0’의 진리집합을 P라고 하면
P=Z
따라서 주어진 명제는 거짓이다.
6 강
p. 26
1
⑴ 역: x@=9이면 x=3이다.
대우: x@=9이면 x=3이다.
⑵ 역: x가 4의 약수이면 x는 8의 약수이다.
대우: x가 4의 약수가 아니면 x는 8의 약수가 아니다.
2 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면
P=9j30
x@=3에서 x=-j3
/ Q=9-j3, j30
/ P[Q
⑴ p
⑵ p
`jjk`
`jjk`
12 정답과 해설
명제의 역과 대우, 필요조건, 충분조건
P=930
q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.
q이므로 q는 p이기 위한 필요조건이다.
-
k
2
=-1 또는 -
k
2
/ k=2 또는 k=-8
=4
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6 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면
x@-4x-5<0에서 {x+1}{x-5}<0
/ -1-1이고 a+2<5 / 10에서 x>1
따라서 주어진 부등식은 x>1일 때 성립한다.
⑵ x=-1일 때, {x+1}@=0
따라서 주어진 부등식은 x=-1인 모든 실수 x에 대하
여 성립한다.
⑶ 부등식 |x-1|>0은 모든 실수 x에 대하여 성립한다.
⑷ x@-2x-{-1}=x@-2x+1={x-1}@>0
/ x@-2x>-1
따라서 부등식 x@-2x>-1은 모든 실수 x에 대하여
성립한다.
따라서 절대부등식은 ⑶, ⑷이다.
|ab|>ab이므로
2{|ab|-ab}> 0
따라서 {|a|+|b|}@>|a+b|@이므로
|a|+|b|>|a+b|
이때 등호는 |ab|=ab, 즉 ab >0일 때 성립한다.
/ ㈎ 0 ㈏ {|a|+|b|}@ ㈐ ab
>0, jabk>0이므로 [
a+b
2 ]@>{jabk}@임을 보이면
4
a+b
2
된다.
a+b
2 ]@-{jabk}@ =
a@+2ab+b@
4
[
-ab
=
a@+2ab+b@-4ab
4
=
a@-2ab+b@
4
=
{a-b}@
4
>0
a+b
2 ]@>{jabk}@이므로
따라서 [
a+b
2 >jabk
족집게 기출문제
05~07강
p. 30~33
1 ③
6 ⑤
11 ②
16 ④
18 ㈎ 2jb ㈏ b=0
22 ⑤
23 ㄴ
25 -2 0 , |a+b|> 0 이므로
{|a|+|b|}@ >|a+b|@임을 보이면 된다.
{|a|+|b|}@ -|a+b|@
=|a|@+2|a||b|+|b|@-{a+b}@
=a@+2|ab|+b@-a@-2ab-b@
=2{|ab|-ab}
p. 29
1 ㄴ. x@=x는 x의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기
도 하므로 명제가 아니고 조건이다.
ㅁ. ‘날씨가 좋다.’는 기준이 명확하지 않아 참, 거짓을 판별
할 수 없으므로 명제가 아니다.
따라서 보기 중 명제인 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
2 ‘적어도 하나는 ~이 아니다.’의 부정은 ‘모두 ~이다.’이므
로 주어진 조건의 부정은 ‘x, y는 모두 0이다.’
3 {a-b}@+{b-c}@+{c-a}@=0에서
a=b이고 b=c이고 c=a이므로 a=b=c
따라서 이것의 부정은
a=b 또는 b=c 또는 c=a
IV. 집합과 명제 13
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4 전체집합 U=91, 2, 3, 4, 50에 대하여 두 조건 p, q의 진
리집합을 각각 P, Q라고 하면
x@-x-12=0에서 {x+3}{x-4}=0
/ x=-3 또는 x=4
따라서 P=940이므로
PC=91, 2, 3, 50
또 16의 약수는 1, 2, 4, 8, 16이므로
Q=91, 2, 40
따라서 ‘~p이고 q’의 진리집합은
PC5Q=91, 20
5 ① [반례] x=-2이면 x@>1이지만 x<1이다. (거짓)
② ‘2x-1=3’의 진리집합을 P라고 하면
2x=4에서 x=2
/ P=920
‘x@-4=0’의 진리집합을 Q라고 하면
{x+2}{x-2}=0에서
x=-2 또는 x=2
/ Q=9-2, 20
P[Q이므로 주어진 명제는 참이다.
③ P6QC=QC
④ PC5Q=Q-P=Q
⑤ PC5QC={P6Q}C=∅ {? P6Q=U}
따라서 옳은 것은 ①이다.
8 ㄱ. [반례] 2는 소수이지만 짝수이다. (거짓)
ㄴ. x@=2x에서 x=0 또는 x=2
따라서 x=0 또는 x=2이면 x@=2x가 성립한다. (참)
ㄷ. [반례] x=0이면 2x+1<5이다. (거짓)
ㄹ. 주어진 부등식의 좌변을 변형하면
x@-x+1=
x-
[
1
2 ]@+
3
4
>0
이므로 모든 실수 x에 대하여 부등식 x@-x+1>0이
성립한다. (참)
따라서 보기 중 참인 명제는 ㄴ, ㄹ이다.
9 주어진 명제의 대우는
‘~{a=0 또는 b=0}이면 ~{ab=0}이다.’
즉, ‘a=0이고 b=0이면 ab=0이다.’
③ [반례] x=j2, y=-j2이면 x, y는 무리수이지만 x+y
10 ① 역: 마름모이면 정사각형이다. (거짓)
대우: 마름모가 아니면 정사각형이 아니다. (참)
④ [반례] x=2, y=-2이면 x+y=0이지만 x@+y@=0이
② 역: a=2 또는 b=3이면 ab=6이다. (거짓)
는 유리수이다. (거짓)
다. (거짓)
[반례] a=1, b=6이면 a=2 또는 b=3이지만 ab=6이
⑤ [반례] CA=40!, CB=70!, CC=70!이면 △ABC는
이등변삼각형이지만 CA=∠B이다. (거짓)
따라서 참인 명제는 ②이다.
다.
대우: a=2이고 b=3이면 ab=6이다. (참)
③ 역: ab가 정수이면 a+b는 정수이다. (거짓)
6 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면
P=9x|-12
따라서 실수 a의 최솟값은 2이다.
7 명제 p`
2!
`~q가 참이므로 P[QC
P-QC=Z / P5Q=∅
이것을 벤다이어그램으로 나타내면 다음 그림과 같다.
U
P
Q
① P5QC=P-Q=P
② PC]Q
14 정답과 해설
[반례] a=2, b=
1
2 이면 ab는 정수이지만 a+b는 정수
가 아니다.
대우: ab가 정수가 아니면 a+b는 정수가 아니다. (거짓)
1
2 , b=
1
2 이면 ab는 정수가 아니지만 a+b는
[반례] a=
정수이다.
④ 역: a=0이고 b=0이면 |a|+|b|=0이다. (참)
대우: a=0 또는 b=0이면 |a|+|b|=0이다. (참)
⑤ 역: x>10이면 x>5이다. (참)
대우: x<10이면 x<5이다. (거짓)
[반례] x=7이면 x<10이지만 x>5이다.
따라서 역과 대우가 모두 참인 명제는 ④이다.
11 Q[PC이므로 명제 q
`2!`
따라서 이 명제의 대우 p`
~p는 참이다.
`~q도 참이다.
2!
12 명제 p
~q
`2!`
q와 r
~p와 q
`2!`
`2!`
~q가 모두 참이므로 각각의 대우
~r도 모두 참이다.
`2!`
또 명제 p
p
`2!`
q와 q
~r가 모두 참이므로 명제
`2!`
`2!`
~r도 참이고, 이것의 대우 r
~p도 참이다.
`2!`
따라서 반드시 참이라고 할 수 없는 명제는 ④이다.
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p는 거짓이다.
16 주어진 세 조건을
따라서 p가 q이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌
a
1
b
3
5
7
x
13 ① p: x=1, q: x=0 또는 x=1
이므로 명제 p
q는 참이고, 명제 q
따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.
`2!`
`2!`
② p: x=y, q: x=y 또는 x=-y
이므로 명제 p
따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.
q는 참이고 명제 q
`2!`
`2!`
③ p: x=y, q: x=y 또는 z=0
이므로 명제 p
q는 참이고, 명제 q
따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.
`2!`
`2!`
p는 거짓이다.
p는 거짓이다.
2!`
`2!`
q는 참
p는 거짓
④ 명제 p`
명제 q
[반례] x=j2, y=-j2이면 x+y는 유리수이지만 x, y
는 무리수이다.
따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.
⑤ 명제 p
q는 거짓
`2!`
[반례] x= 1
2
p는 참
명제 q
따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.
`2!`
이면 x>0이지만 x<1이다.
것은 ⑤이다.
14 ① p: x=y 또는 x=-y, q: x=-y
이므로 명제 p
q는 거짓이고, 명제 q
따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.
`2!`
`2!`
p는 참이다.
② 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면 P[Q
이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.
③ p: x=0 또는 y=0, q: x=0이고 y=0
이므로 명제 p
q는 거짓이고, 명제 q
따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.
`2!`
`2!`
④ p: x>2, q: x<-2 또는 x>2
p는 참이다.
q는 참이고, 명제 q
이므로 명제 p
따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.
`2!`
`2!`
p는 거짓이다.
⑤ p: x>0, y>0, q: x>0, y>0
q와 q
이므로 명제 p
따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.
p가 모두 참이다.
`2!`
`2!`
따라서 p가 q이기 위한 필요충분조건인 것은 ⑤이다.
15 주어진 네 조건을
p: x<-4 또는 -3b, s: x>0
이라 하고, 네 조건 p, q, r, s의 진리집합을 각각 P, Q, R,
S라고 하면
P=9x|x<-4 또는 -3b0, S=9x|x>00
이때 p는 q이기 위한 필요조건이므로 Q[P
r는 s이기 위한 충분조건이므로 R[S
따라서 Q[P, R[S를 만족하도록 집합 P와 Q, R와 S
를 수직선 위에 각각 나타내면 다음 그림과 같다.
P
Q
P
S
R
a
-4 -3
-1
x
0
b
x
/ a<-4, b>0
따라서 a의 최댓값은 -4, b의 최솟값은 0이므로 그 합은
-4+0=-4
p: 10, jak-jb>0이므로
{ja-bl}@>{ja-jb}@임을 보이면 된다.
{ja-bl}@-{ja-jb}@ =a-b-{a-2jabk+b}
=2jabk-2b
= 2jb {ja-jb}
이때 jb>0, ja-jb>0이므로
2jb{ja-jb}>0
따라서 {ja-bl}@>{ja-jb}@이므로
ja-bl>ja-jb
이때 ja=jb이므로 등호는 jb=0, 즉 b=0 일 때 성립한다.
/ ㈎ 2jb ㈏ b=0
19 a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
a+
[
1
b ][
b+
4
a ] =ab+4+1+
4
ab
=ab+
+5
4
ab
4
ab e+5
>2qab\
=9
따라서 [
a+
[단, 등호는 ab=
4
a ]의 최솟값은 9이다.
b+
1
b ][
4
ab , 즉 ab=2일 때 성립]
IV. 집합과 명제 15
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20 a, b, x, y가 실수이므로 코시- 슈바르츠의 부등식에 의하
@ 현지의 주장이 참인 경우
여
{a@+b@}{x@+y@}>{ax+by}@
24\54>{ax+by}@, 36@>{ax+by}@
/ -36{3x+4y}@
25a>{3x+4y}@
/ -5ja<3x+4y<5ja (단, 등호는 3y=4x일 때 성립)
3x+4y의 최댓값과 최솟값의 차가 20j2이므로
10ja=20j2, ja=2j2
/ a=8
22 ㄱ. [반례] x=j2이면 x@=2이므로 x@{Q이지만 x#=2j2
이므로 x#:Q이다. (거짓)
ㄴ. (유리수)_(0이 아닌 유리수)=(유리수)이므로
x{Q이고 x#{Q이면
=x@{Q
/ { p이고 r}`
`q
jjk
ㄷ. (유리수)_(0이 아닌 유리수)=(유리수)이므로
x#
x
x#
x@
x@{Q이고 x#{Q이면
=x{Q
/ {q이고 r}`
`p
jjk
따라서 보기 중 참인 명제는 ㄴ, ㄷ이다.
23 ~q는 p이기 위한 필요조건이므로
P[QC / Q[PC
ㄱ. x가 집합 Q의 원소가 아니면 x는 집합 P의 원소이다.
ㄴ. x가 집합 Q의 원소이면 x는 집합 P의 원소가 아니다.
`x{QC이면 x{P이다.
`QC[P (거짓)
`x{Q이면 x{PC이다.
`Q[PC (참)
`x{PC이면 x{Q이다.
`PC[Q (거짓)
hjk
hjk
hjk
hjk
hjk
hjk
따라서 보기 중 항상 옳은 것은 ㄴ이다.
ㄷ. x가 집합 P의 원소가 아니면 x는 집합 Q의 원소이다.
수연이는 도서관에 갔다.
현지는 서점에 가지 않았다.
혜수는 서점에 가지 않았다.
수연
현지
혜수
수연
현지
혜수
F
T
F
F
F
T
수연이가 도서관에 갔으므로 현지와 혜수 둘 중 한 명
은 서점에 갔어야 하는데 둘 다 서점에 가지 않은 것이
되므로 모순이다.
# 혜수의 주장이 참인 경우
수연이는 도서관에 갔다.
현지는 서점에 갔다.
혜수는 서점에 갔다.
현지와 혜수 둘 다 서점에 간 것이 되므로 모순이다.
!, @, #에 의하여 도서관, 서점, 체육관에 간 사람은
차례로 혜수, 현지, 수연이다.
25 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면
P=9x|a+1-1, a+4<3
/ -20}
-
-x {x<0}
따라서 서로 같은 함수이다.
⑵ 두 함수 f{x}, g{x}의 정의역과 공역은 각각 실수 전체
의 집합이고 x<0일 때, f{x}=g{x}이므로 f=g
따라서 서로 같은 함수가 아니다.
5 주어진 그래프 위에 직선 x=a (a는 정의역의 임의의 원소)
를 그어 교점이 항상 1개인 것을 찾는다.
y
ㄱ.
ㄴ.
y
O a
x
O a
x
ㄷ.
y
ㄹ.
y
O a
x
O a
x
따라서 보기 중 함수의 그래프인 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
6 주어진 그래프 위에 직선 x=a (a는 정의역의 임의의 원소)
를 그어 교점이 항상 1개인 것을 찾는다.
y
ㄱ.
ㄴ.
y
p. 34
y
4
3
2
1
1
⑶ 정의역: 91, 2, 30, 공역: 9a, b, c, d0, 치역: 9a, c0
2 ⑴
⑵
ㄷ.
y
ㄹ.
y
2
O
a
x
O
a
x
O a
x
y
O
a
x
따라서 보기 중 함수의 그래프인 것은 ㄴ, ㄹ이다.
-1
O 1 2
x
-2
O
x
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 35
1 ⑴ 정의역: 9x|x는 실수0, 치역: 9y|y는 실수0
⑵ 정의역: 9x|x는 실수0, 치역: 9y|y<8인 실수0
2 ⑴ 정의역: 9x|x=0인 실수0, 치역: 9y|y=0인 실수0
⑵ 정의역: 9x|x는 실수0, 치역: 9y|y>-3인 실수0
9 강
여러 가지 함수와 합성함수
3 ㄱ. f{-1}=-1, g{-1}=1이므로 f=g
ㄴ. f{-1}=-2, g{-1}=0이므로 f=g
ㄷ. f{-1}=g{-1}=1, f{0}=g{0}=0,
f{1}=g{1}=1이므로 f=g
따라서 보기 중 f=g인 것은 ㄷ이다.
p. 36
1
⑴ 정의역에 속하는 임의의 서로 다른 두 원소에 대하여 함
숫값이 항상 다르므로 일대일함수이지만 치역과 공역이
서로 같지 않으므로 일대일대응이 아니다.
V. 함수 17
18고등수학(하)_내공의힘_해설(001~056)OK.indd 17
2017-11-06 오후 3:20:26
⑵ 정의역에 속하는 임의의 서로 다른 두 원소에 대하여 함
숫값이 항상 다르므로 일대일함수이고, 치역과 공역이
서로 같으므로 일대일대응이다.
⑶ 2=3이지만 f{2}=f{3}이므로 일대일함수가 아니다.
따라서 일대일함수인 것은 ⑴, ⑵, 일대일대응인 것은 ⑵
이다.
2 `⑴ { f`J`g}{-1}=f{ g{-1}}=f{1}=1
⑵ { g`J`f }{-1}=g{ f{-1}}=g{-3}=9
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 37
1 주어진 함수의 그래프를 각각 좌표평면 위에 나타낸 후 직
선 y=a (a는 상수)와의 교점을 나타내면 다음 그림과 같다.
ㄱ.
ㄴ.
y
y
2
x
y=-
x+1
2!
a
1
O
y
a
O
x
a
1
O
y
a
2
O
y=1
x
x
ㄷ.
y=x
ㄹ.
y=x@+2
⑴ 일대일대응의 그래프는 공역의 임의의 원소 a에 대하여
직선 y=a와 항상 한 점에서 만나는 그래프이므로 ㄱ,
ㄷ이다.
⑵ 항등함수의 그래프는 직선 y=x이므로 ㄷ이다.
⑶ 상수함수의 그래프는 x축에 평행한 직선이므로 ㄴ이다.
2 주어진 함수의 그래프를 각각 좌표평면 위에 나타낸 후 직
선 y=a (a는 치역의 임의의 원소)와의 교점이 항상 1개인
것을 찾는다.
ㄱ.
y
y=x@
ㄴ.
y=2x-1
a
O
a
y
1
O
y
a
O
-1
y
O
-3
a
x
x
x
2!
ㄷ.
y=|x-1|
ㄹ.
1
x
y=-3
따라서 일대일함수인 것은 ㄴ이다.
18 정답과 해설
-2
O 2
x
3
x
y
O
a
-6
3 함수 f 가 일대일대응이 되려면 치역
y
4
과 공역이 같아야 한다.
따라서 함수 f{x}=ax+b {a>0}
에 대하여 y=f{x}의 그래프는 오른
쪽 그림과 같이 두 점 {-2, 0},
{2, 4}를 지나야 하므로
-2a+b=0
yy`㉠
2a+b=4
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=1, b=2
4 함수 f 가 일대일대응이 되려면 치
역과 공역이 같아야 한다.
따라서 함수 f{x}=-x+b에 대
하여 y=f{x}의 그래프는 오른쪽
그림과 같이 두 점 {a, 0},
{3, -6}을 지나야 하므로
-a+b=0
yy`㉠
-3+b=-6
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-3, b=-3
5 ⑴ { g`J`f }{x} =g{ f{x}}
⑵ { g`J`g}{x} =g{ g{x}}
6 ⑴ { g`J`h}{x} =g{h{x}}
=g{x@-1}
=3{x@-1}+1
=3x@-3+1
=3x@-2
=g{3x+1}
=3{3x+1}+1
=9x+3+1
=9x+4
=g{x@+2}
=
{x@+2}+1
1
2
=
=
1
2 x@+1+1
1
2 x@+2
⑵ {{ f`J`g}`J`h}{x}=f{ g{h{x}}}이고, ⑴에서
g{h{x}}=
1
2 x@+2이므로
{{ f`J`g}`J`h}{x} =f
[
]
1
2 x@+2
1
2
x@+2
]
-4
=2
[
=x@
=x@+4-4
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교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 39
⑵ {{ g`J`f }_!`J`g}{2} ={ f _!`J`g_!`J`g}{2}
0 강
역함수
p. 38
1
⑴ 3
⑵ { f`J`f _!}{c}=f{ f _!{c}}=f{2}=c
⑶ { f _!`J`f }{1}=f _!{ f{1}}=f _!{b}=1
2
y=x
y
4
2
O
2
x
4
y=-
x+2
2!
1 ⑴ f{a}=1이므로 2a-3=1 / a=2
⑵ f{b}=7이므로 2b-3=7 / b=5
2 f{3}=5이므로 3a-2=5 / a=
7
3
g{4}=-2이므로
\4-b=-2 / b=4
1
2
3 ⑴ 함수 y=3x-2는 실수 전체의 집합 R에서 R로의 일대
일대응이므로 역함수가 존재한다.
y=3x-2를 x에 대하여 풀면
3x=y+2 / x=
1
3 y+
2
3
x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는
y=
1
3 x+
2
3
⑵ 함수 y=-
1
2 x+2는 실수 전체의 집합 R에서 R로의
일대일대응이므로 역함수가 존재한다.
y=-
1
2 x+2를 x에 대하여 풀면
1
2 x=-y+2 / x=-2y+4
x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는
y=-2x+4
4 ⑴ 함수 y=
3
2 x+4는 실수 전체의 집합 R에서 R로의 일
대일대응이므로 역함수가 존재한다.
y=
3
2 x+4를 x에 대하여 풀면
3
2 x=y-4 / x=
x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는
2
3 y-
8
3
y=
2
3 x-
8
3
⑵ 함수 y=-2x-
1
3 은 실수 전체의 집합 R에서 R로의
일대일대응이므로 역함수가 존재한다.
y=-2x-
2x=-y-
1
3 을 x에 대하여 풀면
1
3
/ x=-
1
2 y-
1
6
x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는
y=-
1
2 x-
1
6
5 ⑴ { g_!`J`f }{-3} =g_!{ f{-3}}
=g_!{-3}
g_!{-3}=k (k는 상수)라고 하면 g{k}=-3이므로
1
2 k-4=-3에서 k=2 / g_!{-3}=2
/ { g_!`J`f }{-3}=2
=f _!{2}
f _!{2}=k (k는 상수)라고 하면 f{k}=2이므로
1
1
2
2
2k+3=2에서 k=-
/ f _!{2}=-
/ {{ g`J`f }_!`J`g}{2}=-
1
2
6 ⑴ { f _!`J`g}{2} =f _!{ g{2}}
=f _!{4}
f _!{4}=k (k는 상수)라고 하면 f{k}=4이므로
k+1=4에서 k=3 / f _!{4}=3
/ { f _!`J`g}{2}=3
⑵ { f`J`{ g`J`f }_!`J`f }{-2} ={ f`J`f _!`J`g_!`J`f }{-2}
={ g_!`J`f }{-2}
=g_!{ f{-2}}
=g_!{-1}
g_!{-1}=k (k는 상수)라고 하면 g{k}=-1이므로
3k-2=-1에서 k=
/ g_!{-1}=
1
3
/ { f`J`{ g`J`f }_!`J`f }{-2}=
1
3
7 함수 y=
1
2 x+1의 역함수는 y=2x-2이므로 두 함수의
그래프를 그리면 다음 그림과 같다.
1
3
y
1
y=x
y=
x+1
2!
-2
O 1
x
y=2x-2
-2
V. 함수 19
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2017-11-06 오후 3:20:27
8 함수 y=-2x+3의 역함수는 y=-
1
2 x+
3
2 이므로 두 함
수의 그래프를 그리면 다음 그림과 같다.
y=x
y
3
y=-
x+
2!
2#
2#
O
3
x
2#
y=-2x+3
족집게 기출문제
08~10강
2 3
1 ④
4 9-1, 0, 1, 5, 7, 90
8 ③
12 ③
17 ③
22 2
9 03일 때, f{x}=2x-3이므로
f{4}=2\4-3=5
f{5}=2\5-3=7
f{6}=2\6-3=9
따라서 구하는 치역은 9-1, 0, 1, 5, 7, 90
5 주어진 네 함수
f{x}=x@, g{x}=x#-2x, h{x}=-x, k{x}=2|x|-1
에 정의역의 원소 -1, 0, 1을 각각 대입하면
ㄱ. f{-1}=1, f{0}=0, f{1}=1
ㄴ. g{-1}=1, g{0}=0, g{1}=-1
ㄷ. h{-1}=1, h{0}=0, h{1}=-1
ㄹ. k{-1}=1, k{0}=-1, k{1}=1
이때 g{-1}=h{-1}=1, g{0}=h{0}=0,
g{1}=h{1}=-1이므로 g=h
따라서 보기 중 서로 같은 함수는 ㄴ, ㄷ이다.
6 f{1}=g{1}에서 a+b=-5
f{2}=g{2}에서 2a+b=-6
yy`㉠
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-1, b=-4
/ a-b=3
7 주어진 함수의 대응을 그림으로 나타내면 다음과 같다.
f
h
ㄱ.
X
-1
ㄷ.
X
-1
0
1
0
1
Y
0
1
2
Y
0
1
2
ㄴ.
ㄹ.
X
-1
0
1
0
1
X
-1
g
k
Y
0
1
2
Y
0
1
2
ㄱ. f{-1}=f{1}=1이므로 일대일함수가 아니다.
ㄹ. k{-1}=k{1}=2이므로 일대일함수가 아니다.
따라서 보기 중 일대일함수인 것은 ㄴ, ㄷ이다.
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2017-11-06 오후 3:20:27
8 주어진 그래프에 직선 y=a (a는 공역의 임의의 원소)를 그
12 {g`J`f }{x}와 { f`J`g}{x}를 각각 구하면
y
O
a
y
a
O
x
x
어 교점이 항상 1개인 것을 찾는다.
①
②
y
O
a
③
y
④
x
x
O
a
x
⑤
y
a
O
따라서 일대일대응의 그래프인 것은 ③이다.
9 함수 f 가 일대일대응이 되려면 x의 값이 증가할 때, y의 값
은 항상 증가하거나 항상 감소해야 한다.
x<0일 때, f{x}=-x의 그래프는 기울기가 음수이므로
다음 그림과 같이 x>0일 때도 f{x}={a@-2a}x의 그래
프의 기울기가 음수이어야 한다.
y=-x
y
O
x
y={a@-2a}x
즉, a@-2a<0에서 a{a-2}<0 / 0k0이므로 k>
yy`㉠
1
2
또 일대일대응이 되려면 함수 f 의 치역과 공역이 같아야 하
므로 정의역 9x|x>k0에 대하여 치역도 9y|y>k0이어야
한다.
즉, f{k}=k이므로
k@-k=k, k@-2k=0, k{k-2}=0
/ k=0 또는 k=2
㉠, ㉡에 의하여 k=2
yy`㉡
22 정답과 해설
18 { f`J`f }{3} =f{ f{3}}=f{6}=12
f -1{-5}=k (k는 상수)라고 하면 `
f{k}=-5
! k>2일 때
f{k}=2k이므로 2k=-5
/ k=-
5
2
그런데 k>2이므로 이는 모순이다.
@ k<2일 때
f{k}=-k@+4k이므로
-k@+4k=-5, k@-4k-5=0
{k+1}{k-5}=0
/ k=-1 또는 k=5
그런데 k<2이므로 k=-1
!, @에 의하여
k=-1
/ f -1{-5}=-1
/ { f`J`f }{3}+f -1{-5} =12+{-1}=11
19 { f`J`g`J`h}{x}={ f`J`g}{h{x}}=h{x}
이므로 f`J`g 는 항등함수이다.
이때 f 가 일대일대응이므로 g 는 f 의 역함수이다.
따라서 g{2}=k (k는 상수)라고 하면
f{k}=2이므로
1
2 k+3=2에서 k=-2
/ g{2}=-2
20 { f`J`f }-1{c} ={ f -1`J`f -1}{c}
=f -1{ f -1{c}}
yy`㉠
이때 f -1{c}=k (k는 상수)라고 하면
f{k}=c
y=x
y=f{x}
y
e
d
c
b
a
O
a b c d e
x
직선 y=x를 이용하여 y축과 점선이 만나는 점의 y좌표를
구하여 표시하면 위의 그림과 같다.
위의 그래프에서 f{k}=c를 만족하는 k의 값은
k=d / f -1{c}=d
이를 ㉠에 대입하면
{ f`J`f }-1{c}=f -1{d}
f -1{d}=l (l은 상수)라고 하면
f{l}=d
위의 그래프에서 f{l}=d를 만족하는 l의 값은
l=e / f -1{d}=e
/ { f`J`f }-1{c}=e
18고등수학(하)_내공의힘_해설(001~056)OK.indd 22
2017-11-06 오후 3:20:28
21 2에서 100까지의 짝수 중 2의 배수는 50개, 2@의 배수는 25
개, 2#의 배수는 12개, 2$의 배수는 6개, 2%의 배수는 3개,
2^의 배수는 1개이다.
2와 서로소인 자연수 m에 대하여
2\4\6\y\98\100을 2Y\m 꼴로 나타내면
2\4\6\y\98\100 =2%)\2@%\2!@\2^\2#\2!\m
/ f{2\4\6\y\98\100} =f{2(&\m}
=2(&\m
=97
22 f{2}는 2!@!을 10으로 나누었을 때의 나머지이므로 2!@!의
일의 자리의 숫자와 같다.
이때 2!=2, 2@=4, 2#=8, 2$=16, 2%=32, 2^=64, y
이므로 2N (n은 자연수)의 일의 자리의 숫자는 2, 4, 8, 6이
이 순서대로 반복된다.
따라서 121=4\30+1에서 2!@!의 일의 자리의 숫자는 2!
의 일의 자리의 숫자와 같으므로 2이다.
/ f{2}=2
/ { f`J`f`J`f }{2} =f{ f{ f{2}}}
=f{ f{2}}
=f{2}
=2
23 함수 g{x}의 함수식을 구하면 다음과 같다.
! 00이므로 x+
1
x
=j5
x
x+1
1
x+1
+
+
1
x-1
1
x-1
=
x{x-1}+x+1
{x+1}{x-1}
x-1+x+1
{x+1}{x-1}
=
{x@+1}{x+1}{x-1}
2x{x+1}{x-1}
=
x@+1
2x
x@+x+1=0에서 x@+1=-x이므로
(주어진 식)=
x@+1
2x
=
-x
2x
=-
1
2
9 모든 실수 x, y에 대하여
-3x+ay+b
2x-3y-1
가 항상 일정한 값
k (k는 상수)를 가진다고 하면
-3x+ay+b
2x-3y-1
=k
2x-3y=1이므로 2x-3y-1=0
양변에 2x-3y-1을 곱하면
-3x+ay+b=k{2x-3y-1}
{2k+3}x-{3k+a}y-k-b=0
이 등식은 x, y에 대한 항등식이므로
2k+3=0, 3k+a=0, -k-b=0
k=-
세 식을 연립하여 풀면
3
2
9
2 , b=
3
2 , a=
/ a+b=6
10 y=
2x+1
x+1
=
2{x+1}-1
x+1
1
=-
x+1 +2
이므로 y=
1
x 의 그래프를 x축의
방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.
의 그래프는 y=-
2x+1
x+1
y
2
1
O-1
x
-
2!
따라서 주어진 유리함수의 그래프는 위의 그림과 같으므로
제4사분면을 지나지 않는다.
11 y=
3x
x-2 =
3{x-2}+6
x-2
6
=
x-2 +3
V. 함수 27
18고등수학(하)_내공의힘_해설(001~056)OK.indd 27
2017-11-06 오후 3:20:30
이므로 y=
3x
x-2 의 그래프는 y=
6
x 의 그래프를 x축의 방
향으로 2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.
y
이때 주어진 유리함수의 그래프는 다음 그림과 같다.
-3 -2
y
O
-1
x
-
2#
-4
O
2
x
3
2
1
-3
따라서 -40이어야 하므로
a>-4
yy`㉠
x=0일 때, y<0이어야 하므로
-
<0 / a>0
yy`㉡
y=0일 때, x<0이어야 하므로
-
<0 / a>0
yy`㉢
a
2
a
2
㉠, ㉡, ㉢에서 a>0
따라서 정수 a의 최솟값은 1이다.
13 y=
-x-3
x+2
=
-{x+2}-1
x+2
=-
1
x+2
-1
이므로 y=
1
x 의 그래프를 x축
의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한
-x-3
x+2 의 그래프는 y=-
것이다.
28 정답과 해설
y=1이므로 유리함수의 식은
+1 {k<0}
yy`㉠
㉠의 그래프는 점 {0, 2}를 지나므로
y=
k
x-2
2=
k
0-2
+1 / k=-2
k=-2를 ㉠에 대입하여 정리하면
y=
-2
x-2
+1=
x-4
x-2
이 식을 y=
ax+b
x+c 와 비교하면
a=1, b=-4, c=-2
/ abc=8
17 f !{-1}=f{-1}=
1
2
f @{-1}={ f`J`f }{-1}=f{ f{-1}}=f
[
1
2 ]
=2
f #{-1}={ f`J`f @}{-1}=f{ f @{-1}}=f{2}=-1
1
2
f ${-1}={ f`J`f #}{-1}=f{ f #{-1}}=f{-1}=
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2017-11-06 오후 3:20:30
f %{-1}={ f`J`f $}{-1}=f{ f ${-1}}=f
[
1
2 ]
=2
따라서 f N{-1}의 함숫값은
1
2 , 2, -1이 이 순서대로 반
f #K"!{-1}=
, f #K"@{-1}=2, f #K"#{-1}=-1
(k는 음이 아닌 정수)
⋮
복되므로
1
2
x@-{m+2}x+3m+1=0
이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면
D<0이어야 하므로
D={m+2}@-4{3m+1}<0
m@-8m<0, m{m-8}<0
/ 01
@ 직선 y=mx+1이 점 {3, 2}를 지날 때
2=3m+1 / m=
1
3
1
3
따라서 직선 y=mx+1이 점 {3, 2}를 지나거나 아래
쪽에 있으려면 m<
!, @에 의하여 상수 m의 최댓값은
1
3 , 상수 n의 최솟값
은 1이므로 구하는 m의 최댓값과 n의 최솟값의 곱은
1
3 이다.
22 주어진 유리함수의 그래프에서 점근선의 방정식이 x=m,
y=n이므로 유리함수의 식은
y=
k
x-m
L=
k
0-m
+n {k>0}
yy`㉠
㉠의 그래프는 점 {0, L}을 지나므로
+n / k=-m{L-n}
이를 ㉠에 대입하면
-m{L-n}
x-m
y=
+n
이 식을 y=
b
x-a
a=m, b=-m{L-n}, c=n
+c와 비교하면
V. 함수 29
18고등수학(하)_내공의힘_해설(001~056)OK.indd 29
2017-11-06 오후 3:20:31
2와 -1의 위치와 부호를 바꿈b와 a의 위치와 부호를 바꿈
yy`㉠
yy`㈎
이므로 점근선의 방정식은
y =
x=-1, y=1
bx+1
x-a
b{x-a}+ab+1
x-a
=
=
ab+1
x-a
+b
이므로 점근선의 방정식은
x=a, y=b
yy`㉡
따라서 ㉠, ㉡으로 둘러싸인 도형은
오른쪽 그림과 같이 가로의 길이와
세로의 길이가 각각
a+1, b-1 (? a, b는 자연수)
인 직사각형이다.
이 직사각형의 넓이가 11이므로
{a+1}{b-1}=11
yy`㈐
음이 아닌 정수이다.
따라서 a+1=11, b-1=1이므로
a=10, b=2
/ a+b=12
채점 기준
㈎ y=
㈏ y=
x-1
x+1 의 그래프의 점근선의 방정식을 구한다.
bx+1
x-a
의 그래프의 점근선의 방정식을 구한다.
㈐ 점근선으로 둘러싸인 도형이 어떤 모양인지 안다.
㈑ a, b의 값을 구한다.
㈒ a+b의 값을 구한다.
yy`㈏
y=b
y=1
y
b
1
O-1
a
x
x=-1
x=a
yy`㈑
yy`㈒
배점
2점
2점
1점
2점
1점
이때 a, b는 자연수이므로 a+1은 2 이상의 정수, b-1은
ㄱ. m>n이므로 a-c=m-n>0
ㄴ. a=m>0, c=n>0
또 주어진 그래프에서 b>0
/ a+b+c>0
ㄷ. ac=mn, b=-m{L-n}=mn-Lm
이때 m>0, L<0에서 Lm<0이므로
mn0이어야 하므로
x>-1
⑵ 1-x>0이어야 하므로
x<1
2 ⑵, ⑷
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1
6 ⑴
1
x-1x@-13
p. 53
=
=
x+1x@-13
{x-1x@-13}{x+1x@-13}
x+1x@-13
x@-{x@-1)
=x+1x@-13
⑵
j2xk
j2x+1l+j2xk
=
j2xk{j2x+1l-j2xk}
{j2x+1l+j2xk}{j2x+1l-j2xk}
= 14x@+2x3-2x
2x+1-2x
=14x@+2x3-2x
따라서 주어진 함수의 정의역은
7 ⑴ 2x-1>0에서
1
2
x>
x
-
|
x>
1
2 =
⑵ 5-x>0에서
x<5
따라서 주어진 함수의 정의역은
9x|x<50
8 ⑴ 3x-6>0에서
x>2
따라서 주어진 함수의 정의역은
9x|x>20
⑵ 1-x@>0에서
{x+1}{x-1}<0
/ -10
yy`㉠
/ x>2
j3-xl에서 3-x>0
/ x<3
따라서 ㉠, ㉡에서 20 / x<3
jxk에서 x>0
jxk-1=0에서 x=1
㉠, ㉡, ㉢에서
020, 치역은 9y|y>-20이다.
⑵ y=-j-x+1l+1=-1-{x-1}3+1
따라서 y=-j-x+1l+1의 그
래프는 y=-j-xk의 그래프를
x축의 방향으로 1만큼, y축의 방
향으로 1만큼 평행이동한 것이므
y
1
O
1
x
로 오른쪽 그림과 같다.
이때 정의역은 9x|x<10, 치역은 9y|y<10이다.
2 ⑴ y=2-jx-3l의 그래프는
y=-jxk의 그래프를 x축의 방향
으로 3만큼, y축의 방향으로 2만
큼 평행이동한 것이므로 오른쪽
y
2
O
3
7
x
그림과 같다.
이때 정의역은 9x|x>30, 치역은 9y|y<20이다.
⑵ y=j6-3xl+1=1-3{x-2}3+1
따라서 y=j6-3xl+1의 그래프
는 y=j-3xk의 그래프를 x축의
방향으로 2만큼, y축의 방향으로
1만큼 평행이동한 것이므로 오른
y
1+16
1
쪽 그림과 같다.
이때 정의역은 9x|x<20, 치역은 9y|y>10이다.
O
2
x
3 y=j2-4xl-3=q-4
x-
[
1
2 ]e-3
따라서 y=j2-4xl-3의 그래프는 y=j-4xl의 그래프를
1
2 만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동
x축의 방향으로
한 것이므로
a=
1
2 , b=-3
4 y=-jkxk의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향
으로 b만큼 평행이동하면
y=-1k{x-a}3+b=-jkx-akl+b
이 그래프가 y=-j2x-6l+1의 그래프와 일치해야 하므로
k=2, -ak=-6, b=1
/ a=3, b=1, k=2
5 주어진 무리함수의 그래프는 y=jaxk {a>0}의 그래프를
x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동
한 것이므로 무리함수의 식은
32 정답과 해설
yy`㉠
y=1a{x+1}3+2
㉠의 그래프가 점 {0, 3}을 지나므로
3=ja+2, ja=1
/ a=1
a=1을 ㉠에 대입하면
y=jx+1l+2`
/ a=1, b=1, c=2
한 것이므로 무리함수의 식은
y=-1a{x-2}3+2
yy`㉠
㉠의 그래프가 점 {3, 0}을 지나므로
0=-ja+2, ja=2 / a=4
a=4를 ㉠에 대입하여 정리하면
y=-14{x-2}3+2=-j4x-8l+2
/ a=4, b=-8, c=2
6 주어진 무리함수의 그래프는 y=-jaxk {a>0}의 그래프
를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동
족집게 기출문제
13~14강
1 ③
6 ④
11 ③
15 ②
3 ⑤
8 ⑤
2 ④
7 ①
12 제4사분면
16 ①
0, x+2>0, 3-x=0에서
-20, 2-x>0에서 -10, x-3<0이므로
1x@+4x+43+14x@-24x+363
=1{x+2}@3+14{x-3}@3
=|x+2|+2|x-3|
=x+2-2{x-3}
=-x+8
3 jx+2l
- jxk
jx+2l+jxk
jx+2l-jxk
= jx+2l{jx+2l+jxk}-jxk{jx+2l-jxk}
{jx+2l-jxk}{jx+2l+jxk}
=
x+2+1x@+2x3-1x@+2x3+x
x+2-x
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=
2x+2
2
=x+1
4 x= j2+1
j2-1
/ jxk-1
jxk+1
=
{j2+1}@
{j2-1}{j2+1}
=
+ jxk+1
jxk-1
=3+2j2
{jxk-1}@+{jxk+1}@
{jxk+1}{jxk-1}
2x+2
x-1
2{3+2j2}+2
3+2j2-1
8+4j2
2+2j2
4j2{j2+1}
2{1+j2}
=
=
=
=
=2j2
5 y=-jax-3l+4의 그래프가 점 {2, 3}을 지나므로
3=-j2a-3l+4, j2a-3l=1
/ a=2
a=2를 주어진 식에 대입하여 정리하면
y=-j2x-3l+4=-r2
따라서 주어진 함수의 정의역은
x-
[
3
2 ]y+4
x
-
|
x>
3
2
=
6 y=2j2x+1l+3=2r2
x+
[
1
2 ]y+3
이므로 y=2j2x+1l+3의 그래프는 y=2j2xk의 그래프를
1
2 만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동
x축의 방향으로 -
한 것이다.
따라서 010이므로 이를 만족하
도록 주어진 함수의 그래프를 그
리면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 주어진 함수의 정의역은
y
b
O
3
-
a
x
3
a
|
x<
=, 치역은 9y|y>b0이므로
x
-
3
a =-1, b=1 / a=-3, b=1
/ ab=-3
8 y=j-2xl의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향
으로 3만큼 평행이동하면
y=1-2{x-2}3+3
/ y=j-2x+4l+3
이 그래프가 y=j-2x+al+b의 그래프와 일치해야 하므
로
a=4, b=3 / ab=12
9 ④ y=j2-xl=1-{x-2}3
이므로 y=j2-xl의 그래프는 y=j-xl의 그래프를
x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.
10 y=-jax+al-1=-1a{x+1}3-1 {a=0}
이므로 주어진 함수의 그래프는 다음 그림과 같다.
a>0
y
a<0
-1
O
-1
x
y
-1
O
x
-1
① a>0일 때, 정의역은 9x|x>-10
a<0일 때, 정의역은 9x|x<-10
② a>0일 때와 a<0일 때 모두 치역은 9y|y<-10
③ 주어진 함수의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동하면
-y=-jax+al-1 / y=jax+al+1
④ 주어진 함수의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하면
y=-1a{-x}+a3-1 / y=-j-ax+al-1
⑤ 주어진 함수의 그래프는 y=-jaxk의 그래프를 x축의
방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한
4
x
것이다.
따라서 옳은 것은 ②이다.
11 주어진 무리함수의 그래프는 y=jaxk {a<0}의 그래프를
x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한
yy`㉠
것이므로 무리함수의 식은
y=1a{x-4}3+2 {a<0}
㉠의 그래프가 점 {0, 4}를 지나므로
4=j-4al+2, j-4al=2 / a=-1
a=-1을 ㉠에 대입하여 정리하면
y=1-{x-4}3+2=j-x+4l+2
이 식을 y=jax+bl+c와 비교하면
a=-1, b=4, c=2
/ abc=-8
V. 함수 33
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12 주어진 유리함수의 그래프에서 점근선의 방정식이 x=1,
y=2이므로 유리함수의 식은
y=
k
x-1
+2 {k>0}
yy`㉠
㉠의 그래프가 점 {0, 1}을 지나므로
1=
k
-1
+2 / k=1
k=1을 ㉠에 대입하여 정리하면
y=
1
x-1
+2=
2x-1
x-1
이 식을 y=
bx+c
ax-1 와 비교하면
a=1, b=2, c=-1
따라서 y=jax+bl+c=jx+2l-1
의 그래프는 y=jxk의 그래프를
x축의 방향으로 -2만큼, y축의
방향으로 -1만큼 평행이동한 것
이므로 오른쪽 그림과 같이 제4
사분면을 지나지 않는다.
y
12-1 y= x+2-1
x
O
-2
-1
13 주어진 이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프에서
! 아래로 볼록하므로 a>0
b
@ 축의 방정식은 x=-
2a
이때 축이 y축의 오른쪽에 위치하므로
-
b
2a
>0
그런데 !에서 a>0이므로 b<0
# y절편이 음수이므로 c<0
[
x+
b
c ]y+a
y=jcx+bl+a=rc
이므로 y=jcx+bl+a의 그래프는 y=jcxk의 그래프를 x축
b
c 만큼, y축의 방향으로 a만큼 평행이동한
의 방향으로 -
것이다.
따라서 c<0, -
<0, a>0이므로 y=jcx+bl+a의 그래
b
c
프의 개형으로 알맞은 것은 ⑤이다.
14 y=j2-xl-1을 x에 대하여 풀면
j2-xl=y+1, 2-x={y+1}@
/ x=-{y+1}@+2
x와 y를 서로 바꾸면
y=-{x+1}@+2
이때 주어진 무리함수의 정의역은 9x|x<20, 치역은
9y|y>-10이므로 주어진 무리함수의 역함수의 정의역은
9x|x>-10, 치역은 9y|y<20이다.
따라서 구하는 역함수는
y=-{x+1}@+2 {x>-1}
15 `f _!{4}=a에서 f{a}=4이므로
a+2
a-1
=4 / a=2
34 정답과 해설
{ f`J`{ g`J`f }_!}{2}=b에서
{ f`J`{ g`J`f }_!}{2} ={ f`J`f _!`J`g_!}{2}
=g_!{2}=b
따라서 `g{b}=2이므로 j2b-1l=2 / b=
/ ab=5
5
2
16 두 함수 f 와 f _!는 서로 역함수 관계에 있으므로 두 함수
y=f{x}, y=f _!{x}의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대
칭이다.
이때 무리함수 f{x}=jx-2l+2는 x의 값이 증가할 때, y
의 값도 증가하므로 두 함수 y=f{x}, y=f _!{x}의 그래프
의 교점은 y=f{x}의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같다.
y=jx-2l+2와 y=x에서 y를 소거하면
jx-2l+2=x, jx-2l=x-2
양변을 제곱하면
x-2=x@-4x+4, x@-5x+6=0
{x-2}{x-3}=0 / x=2 또는 x=3
따라서 두 교점 P, Q의 좌표는
P{2, 2}, Q{3, 3} 또는 P{3, 3}, Q{2, 2}
/ PQ
=1{3-2}@+{3-2}@3=j2
17 y=j2x+3l=r2
[
x+
3
2 ]y의 그래프는 y=j2xk의 그래프를
x축의 방향으로 -
3
2 만큼 평행이동한 것이다.
y=j2x+3l의 그래프와 직선 y=x+k가 서로 다른 두 점에
서 만나려면 다음 그림과 같이 직선 y=x+k가 두 직선 !
과 @ 사이를 지나거나 직선 @일 때이다.
y
@!
13
O
-
2#
y=x+k
y= 2x+3
x
! y=j2x+3l의 그래프와 직선 y=x+k가 접할 때
j2x+3l=x+k에서 양변을 제곱하여 정리하면
x@+2{k-1}x+k@-3=0
이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면
D
4
-2k+4=0 / k=2
3
2
={k-1}@-{k@-3}=0
]을 지날 때
, 0
-
@ 직선 y=x+k가 점 [
3
2
+k / k=
0=-
3
2
!, @에 의하여
3
2
1일 때
`f{x}=jxk+1+{jxk-1}=2jxk
!, @에 의하여 y=f{x}의 그래프의 개형으로 알맞은 것
은 ⑤이다.
h =
-
|
4!|
11@+{-1}@3
= j2
8
-4k+1=0 / k=
1
4
OAP의 높이 h는 직선 y=x+
1
4 위의 점
[
선 y=x, 즉 x-y=0 사이의 거리와 같으므로
s
0,
1
4 ]과 직
또 OA
1
2
\OA
=11@+1@3=12이므로
\j2\ j2
\h =
=
OAP의 넓이의 최댓값은
1
s
8
1
2
8
21 무리함수 y=jkxk의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축
의 방향으로 -1만큼 평행이동하면
y=1k{x-2}3-1
이 함수의 그래프가 점 {5, 2}를 지나므로
2=j3kk-1, j3kk=3
양변을 제곱하면 3k=9
/ k=3
채점 기준
㈎ 평행이동한 그래프를 나타내는 함수를 구한다.
㈏ k의 값을 구한다.
yy`㈎
yy`㈏
배점
3점
2점
22 ⑴ y =ja-2xl-1
a
2 ]y-1
x-
=r-2
[
이므로 y=ja-2xl-1의 그래프는 y=j-2xl의 그래프
a
2 만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평
를 x축의 방향으로
yy`㈎
행이동한 것이다.
따라서 -40}
j-x-3l {x<0}
이때 y=1|x|-33의 그래프와 직선 y=-x+a가 만나지
않으려면 다음 그림과 같이 직선 y=-x+a가 두 직선 !
과 @ 사이에 있어야 한다.
y
y= -x-3`
y= x-3`
-3
O
3
x
@
!
y=-x+a
! y=j-x-3l의 그래프와 직선 y=-x+a가 접할 때
j-x-3l=-x+a에서 양변을 제곱하여 정리하면
x@-{2a-1}x+a@+3=0
이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면
D=9-{2a-1}0@-4{a@+3}=0
-4a-11=0 / a=-
11
4
@ 직선 y=-x+a가 점 {3, 0}을 지날 때
0=-3+a / a=3
!, @에 의하여
-
2이므로 n=9
⑵ n'1P4=7nP3에서
{n+1}n{n-1}{n-2}=7n{n-1}{n-2}
이때 n>3이므로 양변을 n{n-1}{n-2}로 나누면
n+1=7 ∴ n=6
2 ⑴ 6Pn=120에서 120=6\5\4이므로
n=3
⑵ nP3 : n'1P3=2 : 3에서
2n'1P3=3nP3
2{n+1}n{n-1}=3n{n-1}{n-2}
이때 n>3이므로 양변을 n{n-1}로 나누면
2{n+1}=3{n-2} ∴ n=8
3 ⑴ 천의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 4개이다.
나머지 자리에 오는 숫자를 택하는 경우의 수는 천의 자
리에 온 숫자를 제외한 4개의 숫자 중에서 3개를 택하는
순열의 수와 같으므로
4P3=24
따라서 구하는 정수의 개수는
4\24=96
VI. 경우의 수 37
p. 63
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2017-11-06 오후 3:20:33
⑵ 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 3으로 2개이다.
⑶ 여학생 4명을 일렬로 세우는 경우의 수는
천의 자리에 올 수 있는 숫자는 일의 자리에 온 숫자와
0을 제외한 3개이다.
나머지 자리에 오는 숫자를 택하는 경우의 수는 천의 자
리와 일의 자리에 온 숫자를 제외한 3개 중에서 2개를
4?=24
그 각각에 대하여 여학생 사이사이의 3개의 자리에 남
학생 3명을 세우는 경우의 수는
3?=6
따라서 구하는 경우의 수는
24\6=144
6 ⑴ a와 d를 묶어 한 문자로 생각하면 4개의 문자를 일렬로
배열하는 경우의 수는
4?=24
그 각각에 대하여 a와 d가 서로 자리를 바꾸는 경우의
따라서 구하는 경우의 수는
수는
2?=2
24\2=48
3?=6
⑵ 세 문자 a, c, e를 일렬로 배열하는 경우의 수는
그 각각에 대하여 세 문자 사이사이와 양 끝의 4개의 자
리에 b, d를 배열하는 경우의 수는
4P2=12
따라서 구하는 경우의 수는
6\12=72
⑶ 양 끝에 b, c를 일렬로 배열하는 경우의 수는
2?=2
그 각각에 대하여 b, c를 제외한 3개의 문자를 일렬로
배열하는 경우의 수는
3?=6
따라서 구하는 경우의 수는
2\6=12
조합7 강
p. 64
1
⑴ 6C0\6C6=1\1=1
⑵ 5C0+4C1+3C3=1+4+1=6
⑶ 6C2=
6\5
2\1
=15
10\9\8
3\2\1
⑷ 10C3=
=120
2 구하는 방법의 수는 서로 다른 7개 중에서 3개를 택하는 조
합의 수와 같으므로
7\6\5
3\2\1
7C3=
=35
택하는 순열의 수와 같으므로
3P2=6
따라서 구하는 정수의 개수는
2\3\6=36
4 ⑴ 만의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 5개이다.
나머지 자리에 오는 숫자를 택하는 경우의 수는 만의 자
리에 온 숫자를 제외한 5개의 숫자 중에서 4개를 택하는
순열의 수와 같으므로
5P4=120
따라서 구하는 정수의 개수는
5\120=600
⑵ 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 0, 5이다.
! 일의 자리의 숫자가 0인 경우
나머지 자리에 오는 숫자를 택하는 경우의 수는 일
의 자리에 온 숫자를 제외한 5개의 숫자 중에서 4개
를 택하는 순열의 수와 같으므로 5P4=120
@ 일의 자리의 숫자가 5인 경우
만의 자리에 올 수 있는 숫자는 일의 자리에 온 숫자
와 0을 제외한 4개이다.
나머지 자리에 오는 숫자를 택하는 경우의 수는 만
의 자리와 일의 자리에 온 숫자를 제외한 4개의 숫
자 중에서 3개를 택하는 순열의 수와 같으므로
4P3=24
즉, 일의 자리의 숫자가 5인 경우의 수는
4\24=96
!, @에 의하여 구하는 정수의 개수는
120+96=216
5 ⑴ 여학생 4명을 묶어 한 명으로 생각하면 4명을 일렬로 세
우는 경우의 수는
4?=24
그 각각에 대하여 여학생끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는
4?=24
따라서 구하는 경우의 수는
24\24=576
⑵ 여학생 4명을 일렬로 세우는 경우의 수는
4?=24
그 각각에 대하여 여학생 사이사이와 양 끝의 5개의 자
리에 남학생 3명을 세우는 경우의 수는
5P3=60
따라서 구하는 경우의 수는
24\60=1440
38 정답과 해설
18고등수학(하)_내공의힘_해설(001~056)OK.indd 38
2017-11-06 오후 3:20:34
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 65
=
3 ⑴ 7C5 =7C2
7\6
2\1
⑵ 8C6 =8C2
8\7
2\1
=
=21
=28
4 ⑴ nC8=nCn-8이므로
nCn-8=nC7
즉, n-8=7
∴ n=15
⑵ 12Cr=12C2r이므로
r+2r=12
/ r=4
1 ⑴ nC2=10에서
n{n-1}
2
=10
n{n-1}=20
n@-n-20=0
{n+4}{n-5}=0
∴ n=-4 또는 n=5
그런데 n>2이므로
n=5
⑵ n'2Cn=n'2C[n'2]-n=n'2C2이므로
n'2C2=28
{n+2}{n+1}
2
=28
{n+2}{n+1}=56
n@+3n-54=0
{n+9}{n-6}=0
∴ n=-9 또는 n=6
그런데 n은 자연수이므로
n=6
2 ⑴ nC3=84에서
n{n-1}{n-2}
6
=84
⑵ n'3Cn=n'3C[n'3]-n=n'3C3이므로
n'3C3=10
{n+3}{n+2}{n+1}
3\2\1
=10
{n+3}{n+2}{n+1}=60
이때 60=5\4\3이고 n은 자연수이므로
n=2
3 ⑴ 남학생 5명 중에서 3명을 뽑는 경우의 수는
5C3=5C2=10
여학생 6명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
6C2=15
따라서 구하는 경우의 수는
10\15=150
⑵ 구하는 경우의 수는 기태와 진희를 제외한 9명 중에서 3
명을 뽑는 조합의 수와 같으므로
9C3=84
4 ⑴ 1학년 학생 4명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
4C2=6
2학년 학생 6명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
6C2=15
따라서 구하는 경우의 수는
6\15=90
⑵ 학생 10명 중에서 4명을 뽑는 경우의 수는
10C4=210
뽑은 학생 4명이 모두 2학년 학생인 경우의 수는
6C4=6C2=15
따라서 구하는 경우의 수는
210-15=195
5 ⑴ 구하는 삼각형의 개수는 서로 다른 8개의 점 중에서 3개
를 택하는 조합의 수와 같으므로
8C3=56
⑵ 직각삼각형이 되는 경우는 삼각형의 한 변이 원의 지름
인 경우이다.
주어진 8개의 점 중에서 2개의 점을 이어서 만들 수 있
는 원의 지름의 개수는
4
그 각각에 대하여 나머지 6개의 점 중에서 1개의 점을
택하는 경우의 수는
6C1=6
따라서 구하는 직각삼각형의 개수는
4\6=24
4C2=6
의 수는
5C2=10
6\10=60
따라서 구하는 평행사변형의 개수는
VI. 경우의 수 39
n{n-1}{n-2}=504
이때 504=9\8\7이고 n은 3 이상의 자연수이므로
n=9
6 가로 방향의 4개의 평행한 직선 중에서 2개를 택하는 경우
의 수는
세로 방향의 5개의 평행한 직선 중에서 2개를 택하는 경우
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계산력 다지기
p. 66~67
1 ⑴ 20
⑵ 720
⑶ 6
⑷ 1
⑸ 720
8P5
5?
⑹
=
8\7\6\5\4
5\4\3\2\1
=56
2 ⑴ nP2=42에서 n{n-1}=42
n@-n-42=0
{n+6}{n-7}=0
/ n=-6 또는 n=7
그런데 n>2이므로 n=7
⑵ nP2=30에서 n{n-1}=30
n@-n-30=0
{n+5}{n-6}=0
/ n=-5 또는 n=6
그런데 n>2이므로 n=6
⑶ 5Pr=60=5\4\3이므로
r=3
⑷ 4Pr=12=4\3이므로
r=2
⑸ n?=6=3\2\1이므로
n=3
⑹ nP3=
=12\11\10이므로
⑺ n'1P3=
\10=10\9\8이므로
n=12
12?
9?
9?
7?
n+1=10
/ n=9
⑻ 6Pr\4?=720에서
6Pr\24=720
6Pr=30=6\5
/ r=2
3 ⑴ 5?=120
⑵ 5P2=20
⑶ 5P2=20
4 ⑴ 10
⑵ 6
⑶ 1
⑷ 15C14=15C1=15
⑸ 4C2\3C2=6\3=18
8C3
4C1
8C5
4C1
56
4
⑹
=14
=
=
40 정답과 해설
5 ⑴ nC4=nCn-4이므로
nC2=nCn-4
즉, 2=n-4 / n=6
⑵ 15C2r=15C3r이므로
2r+3r=15
5r=15 / r=3
⑶ nC2=15에서
n{n-1}
2
=15
n@-n-30=0, {n+5}{n-6}=0
/ n=-5 또는 n=6
그런데 n>2이므로 n=6
⑷ nC3=35에서
n{n-1}{n-2}
3\2\1
=35
n{n-1}{n-2}=210
이때 210=7\6\5이고 n은 3 이상의 자연수이므로
n=7
⑸ n'2Cn=66에서 n'2C2=66이므로
{n+2}{n+1}
2
n@+3n-130=0
=66
{n+13}{n-10}=0
/ n=-13 또는 n=10
그런데 n은 자연수이므로
n=10
⑹ n'1Cn-1=36에서 n'1C2=36이므로
{n+1}\n
2
n@+n-72=0
=36
{n+9}{n-8}=0
/ n=-9 또는 n=8
그런데 n은 자연수이므로 n=8
⑺ n'2Cn'1=n'2C1=1이므로
nC1+n-1C1=n'2C1
n+{n-1}=n+2
/ n=3
⑻ n-2C2+nC2=n'1C2에서
{n-2}{n-3}
2
+
n{n-1}
2
=
{n+1}\n
2
양변에 2를 곱하면 정리하면
n@-7n+6=0
{n-1}{n-6}=0
/ n=1 또는 n=6
그런데 n>4이므로
n=6
6 ⑴ 5C2=10
⑵ 6C3=20
⑶ 10C2\12C2=45\66=2970
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족집게 기출문제
15~17강
p. 68~71
2 4
7 ②
12 ①
17 ①
22 ①
3 ③
1 ③
8 10
6 ①
13 ④
11 ②
18 6
16 ④
21 ②
23 ⑤
26 ⑴ 0, 2, 4 또는 0, 4, 8 또는 2, 4, 6 또는 4, 6, 8 ⑵ 20
27 dbace 28 18
4 17
9 54
14 ②
19 ⑤
24 ③
5 ②
10 ④
15 ③
20 ②
25 ①
1 36을 소인수분해하면
36=2@\3@
즉, 36과 서로소가 아닌 자연수는 2 또는 3을 소인수로 갖
는 자연수이므로 2의 배수 또는 3의 배수이다.
1부터 100까지의 자연수 중에서 2의 배수는 50개, 3의 배
수는 33개이다.
이때 2의 배수이면서 3의 배수인 수, 즉 6의 배수는 16개이
다.
따라서 구하는 자연수의 개수는
50+33-16=67
2 한 개의 가격이 400원, 800원인 빵을 각각 x개, y개 산다
고 하면
400x+800y=3600
yy`㉠
∴ x+2y=9
이때 x, y는 자연수이므로 방정식 ㉠을 만족하는 x, y의 값
을 순서쌍 (x, y)로 나타내면
{1, 4}, {3, 3}, {5, 2}, {7, 1}
이므로 구하는 방법의 수는 4이다.
3 네 학생 A, B, C, D의 학생증을 각각 a, b, c, d라고 하
면 네 학생이 모두 자신의 것이 아닌 학생증을 받는 경우는
다음과 같다.
A - B - C - D
c
-
-
d
a
c
-
d
-
a
d
-
a
-
c
a
- d
-
b
b
c
b
a
-
b
-
a
a
-
b
-
a
a
- b
-
d
c
b
c
d
4 10000원짜리 지폐 1장으로 지불할 수 있는 금액과 5000원
짜리 지폐 2장으로 지불할 수 있는 금액은 같다.
즉, 10000원짜리 지폐 1장을 5000원짜리 지폐 2장으로 생
각하면 구하는 금액의 수는 1000원짜리 지폐 2장, 5000원
짜리 지폐 5장으로 지불할 수 있는 금액의 수와 같다.
1000원짜리 지폐 2장으로 지불할 수 있는 금액은 0원,
1000원, 2000원으로 그 금액의 수는 3
5000원짜리 지폐 5장으로 지불할 수 있는 금액은 0원,
5000원, 10000원, 15000원, 20000원, 25000원으로 그 금
액의 수는 6
이때 0원을 지불하는 경우는 제외하므로 구하는 금액의 수는
3\6-1=17
5 영역 C에 칠할 수 있는 색은 5가지, 영역 A에 칠할 수 있
는 색은 영역 C에 칠한 색을 제외한 4가지, 영역 B에 칠할
수 있는 색은 두 영역 A, C에 칠한 색을 제외한 3가지, 영
역 E에 칠할 수 있는 색은 두 영역 B, C에 칠한 색을 제외
한 3가지, 영역 D에 칠할 수 있는 색은 두 영역 C, E에 칠
한 색을 제외한 3가지이다.
따라서 구하는 방법의 수는
5\4\3\3\3=540
6 540을 소인수분해하면
540=2@\3#\5
즉, 540의 홀수인 약수는 3#\5의 양의 약수와 같다.
이때 3#의 양의 약수는 1, 3, 3@, 3#으로 4개, 5의 양의 약수
는 1, 5로 2개이다.
따라서 구하는 홀수인 약수의 개수는
4\2=8
7 {x+y}@{a+b+c}={x@+2xy+y@}{a+b+c} yy ㉠
두 다항식 x@+2xy+y@, a+b+c의 항의 개수는 각각 3
따라서 ㉠의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는
3\3=9
8 n명 중에서 3명을 택하는 순열의 수가 720이므로
nP3=720
n{n-1}{n-2}=720
이때 720=10\9\8이고 n은 3 이상의 자연수이므로
n=10
9 5`7
3?=6
6
7
4?=24
4?=24
꼴인 자연수의 개수는
꼴인 자연수의 개수는
꼴인 자연수의 개수는
따라서 구하는 경우의 수는 9이다.
따라서 구하는 자연수의 개수는
6+24+24=54
VI. 경우의 수 41
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10 ! 20대 참가자가 첫 번째와 마지막 무대에 오르는 경우
20대 참가자 3명 중에서 2명을 뽑아 첫 번째와 마지막
13 선수 9명의 순서를 정하는 방법의 수는 선수 9명을 일렬로
세우는 경우의 수와 같다.
무대에 세우는 경우의 수는
3P2=6
나머지 참가자 4명을 무대에 세우는 경우의 수는
4?=24
즉, 20대 참가자가 첫 번째와 마지막 무대에 오르는 경
우의 수는
6\24=144
@ 30대 참가자가 첫 번째와 마지막 무대에 오르는 경우
30대 참가자 2명을 첫 번째와 마지막 무대에 세우는 경
우의 수는
2?=2
나머지 참가자 4명을 무대에 세우는 경우의 수는
4?=24
즉, 30대 참가자가 첫 번째와 마지막 무대에 오르는 경
우의 수는
2\24=48
!, @에 의하여 구하는 방법의 수는
144+48=192
11 부부끼리 묶어 한 사람으로 생각하면 3명이 일렬로 앉는 방
법의 수는
부부끼리 서로 자리를 바꾸는 방법의 수는 각각
3?=6
2?=2
따라서 구하는 방법의 수는
6\2\2\2=48
12 ! 수학책 사이에 과학책 2권만 꽂는 경우
수학책 2권과 그 사이의 과학책 2권을 묶어 1권으로 생
각하면 2권을 일렬로 꽂는 방법의 수는
2?=2
수학책끼리, 과학책끼리 서로 자리를 바꾸는 방법의 수
는 각각
2?=2
즉, 수학책 사이에 과학책 2권만 꽂는 방법의 수는
2\2\2=8
수학책 2권을 양 끝에 꽂는 방법의 수는
2?=2
나머지 3권을 일렬로 꽂는 방법의 수는
3?=6
즉, 수학책 사이에 과학책 2권, 사회책 1권을 꽂는 방법
의 수는
2\6=12
!, @에 의하여 구하는 방법의 수는
8+12=20
42 정답과 해설
오른손 타자인 주장을 맨 앞에 세우는 방법의 수는
나머지 오른손 타자 5명을 주장 뒤로 일렬로 세우는 방법의
왼손 타자 3명을 오른손 타자 사이사이와 맨 뒤의 6개의 자
리에 세우는 방법의 수는
6P3=120
따라서 구하는 방법의 수는
1\120\120=14400
14 6개의 문자를 일렬로 배열하는 경우의 수는
4개의 자음 L, M, N, D 중에서 양 끝에 오는 2개의 자음
을 택하는 경우의 수는
그 각각에 대하여 나머지 4개를 일렬로 배열하는 경우의 수
1
수는
5?=120
6?=720
4P2=12
는
4?=24
즉, 양 끝에 모두 자음이 오는 경우의 수는
12\24=288
따라서 구하는 경우의 수는
720-288=432
15 ① nC0=1, nCn=1이므로
nC0=nCn
② nCr=
nPr
r? 이므로
nPr=nCr\r?
③, ④ nCr=nCn-r이므로
n'1Cr=n'1Cn'1-r
⑤ n\n-1Cr-1 =n\
{n-1}?
{r-1}?{n-r}?
=
n?
{r-1}?{n-r}?
r\nCr=r\
n?
r?{n-r}?
/ n\n-1Cr-1=r\nCr
=
n?
{r-1}?{n-r}?
16 n'3Cn'1=28에서
n'3Cn'1=n'3C[n'3]-[n'1]=n'3C2이므로
n'3C2=28
{n+3}{n+2}
2
=28
n@+5n-50=0
{n+10}{n-5}=0
∴ n=-10 또는 n=5
@ 수학책 사이에 과학책 2권, 사회책 1권을 꽂는 경우
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
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이때 n은 자연수이므로
n=5
등식 11Cr'2=11C3r-3에서 다음과 같이 두 가지 경우로 나누
개수는
8C2=28
21 8개의 꼭짓점 중에서 2개를 연결하여 만들 수 있는 선분의
@ 11Cr'2=11C11-[r'2]=11C9-r=11C3r-3이므로
어 생각할 수 있다.
! r+2=3r-3이면
r=
5
2
9-r=3r-3이면
4r=12
∴ r=3
그런데 r는 자연수이므로
r=3
/ n+r=5+3=8
17 A 음식점에서 주문하는 방법의 수는
3C2\2C1=3C1\2C1=3\2=6
B 음식점에서 주문하는 방법의 수는
4C2\4C1=6\4=24
C 음식점에서 주문하는 방법의 수는
2C2\5C1=1\5=5
따라서 구하는 방법의 수는
6+24+5=35
의 수와 같으므로
4C2=6
19 15명 중에서 4명을 뽑는 방법의 수는
15C4=1365
4명을 모두 여자로 뽑는 방법의 수는 `
6C4=6C2=15
4명을 모두 남자로 뽑는 방법의 수는
`9C4=126
따라서 구하는 방법의 수는
1365-{15+126}=1224
18 구하는 집합의 개수는 집합 A의 원소 중에서 6의 약수, 즉
1, 2, 3, 6을 제외한 원소 4, 5, 7, 8에서 2개를 뽑는 조합
이때 팔각형의 변의 개수는 8이다.
따라서 구하는 대각선의 개수는
28-8=20
22 7개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는
7C3=35
반원의 지름 위의 4개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는
4C3=4C1=4
따라서 구하는 삼각형의 개수는
35-4=31
23 같은 학년 학생이 앉는 자리를 같은 색으로 나타내어 좌석
6개를 3개의 영역으로 나누면 같은 학년 학생끼리 앞뒤로
앉거나 옆으로 나란히 앉는 방법은 다음과 같이 3가지 경우
가 있다.
! F1
F1
F1
F2
F2
F2
F3
F3
F3
G1
G1
G1
G2
G2
G2
G3
G3
G3
@
F1
F1
F1
F2
F2
F2
F3
F3
F3
G1
G1
G1
G2
G2
G2
G3
G3
G3
#
F1
F1
F1
F2
F2
F2
F3
F3
F3
G1
G1
G1
G2
G2
G2
G3
G3
G3
영역에 앉는 방법의 수는
3?=6
방법의 수는 각각
2?=2
따라서 구하는 방법의 수는
3\6\2\2\2=144
같은 학년 학생을 묶어 한 사람으로 생각하면 3명이 3개의
그 각각에 대하여 같은 학년 학생끼리 서로 자리를 바꾸는
성은이와 희근이를 한 사람으로 생각하면 4명을 일렬로 세
붙여야 한다.
20 성은이와 희근이를 포함하여 5명을 뽑는 방법의 수는 성은
이와 희근이를 제외한 7명 중에서 3명을 뽑는 방법의 수와
같으므로
7C3=35
4?=24
2?=2
우는 방법의 수는
따라서 구하는 방법의 수는
35\24\2=1680
성은이와 희근이가 서로 자리를 바꾸는 방법의 수는
24 조건 ㈎에 의하여 먼저 ♡ 모양이 그려진 타일 9장을 배열
한 다음 그 사이사이와 양 끝에 ♥ 모양이 그려진 타일을 배
열하면 된다.
! 맨 앞에 ♡ 모양이 그려진 타일을 붙이는 경우
조건 ㈏에 의하여 맨 뒤에는 ♥ 모양이 그려진 타일을
♡∨♡∨♡∨♡∨♡∨♡∨♡∨♡∨♡♥
위의 그림에서 ∨ 자리에 ♥ 모양이 그려진 타일을 붙
이면 되므로 ♥ 모양이 그려진 타일을 붙이는 방법의
수는 ♡ 모양이 그려진 타일 사이사이의 8개의 자리 중
에서 3개를 택하는 방법의 수와 같다.
/ 8C3=56
VI. 경우의 수 43
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27 a로 시작하는 문자열의 개수는 4?=24
b로 시작하는 문자열의 개수는 4?=24
c로 시작하는 문자열의 개수는 4?=24
da로 시작하는 문자열의 개수는 3?=6
즉, a로 시작하는 문자열부터 da로 시작하는 문자열까지의
yy`㈎
총 개수는
24+24+24+6=78
따라서 79번째에 오는 문자열은 dbace이다.
yy`㈏
yy`㈐
채점 기준
㈎ a, b, c로 시작하는 문자열의 개수를 각각 구한다.
㈏ da로 시작하는 문자열까지의 총 개수를 구한다.
㈐ 79번째에 오는 문자열을 구한다.
배점
3점
2점
2점
28 조건 ㈎를 만족하려면 집합 Y의 8개의 원소 중에서 5개를
뽑아 작은 수부터 집합 X의 원소에 차례로 대응시키면 된다.
f
X
-2
-1
0
1
2
Y
1
3
5
7
9
11
13
15
그런데 조건 ㈏에서 f{0}=7이므로 위의 그림과 같이 집합
Y의 원소 1, 3, 5 중에서 2개를 뽑아 작은 수부터 집합 X
의 원소 -2, -1에 차례로 대응시키고, 집합 Y의 원소 9,
11, 13, 15 중에서 2개를 뽑아 작은 수부터 집합 X의 원소
1, 2에 차례로 대응시키면 된다.
집합 Y의 원소 1, 3, 5 중에서 2개를 뽑는 방법의 수는
3C2=3C1=3
yy`㈎
집합 Y의 원소 9, 11, 13, 15 중에서 2개를 뽑는 방법의 수
는
4C2=6
따라서 구하는 함수 f의 개수는
3\6=18
채점 기준
㈎ 원소 -2, -1에 대응시키는 방법의 수를 구한다.
㈏ 원소 1, 2에 대응시키는 방법의 수를 구한다.
㈐ 함수 f 의 개수를 구한다.
yy`㈏
yy`㈐
배점
3점
3점
2점
@ 맨 앞에 ♥ 모양이 그려진 타일을 붙이는 경우
♥♡∨♡∨♡∨♡∨♡∨♡∨♡∨♡∨♡∨
위의 그림에서 ∨ 자리에 ♥ 모양의 타일을 붙이면 되
므로 ♥ 모양이 그려진 타일을 붙이는 방법의 수는 ♡
모양이 그려진 타일 사이사이와 맨 끝의 9개의 자리 중
에서 3개를 택하는 방법의 수와 같다.
/ 9C3=84
!, @에 의하여 구하는 방법의 수는
56+84=140
25 다음 그림과 같이 두 선분 L, m을 연장하여 큰 정사각형을
만들자.
m
L
이때 가로 방향의 선분 6개 중에서 2개, 세로 방향의 선분 6
개 중에서 2개를 택하면 한 개의 직사각형이 결정되므로 직
사각형의 개수는
6C2\6C2=225
이때 색칠한 정사각형을 포함하는 직사각형을 만드는 경우
의 수는 가로, 세로 방향의 선분을 2개씩 택할 때, 두 선분
L, m이 포함되는 경우의 수와 같으므로
5C1\5C1=25
따라서 구하는 직사각형의 개수는
225-25=200
26 ⑴ 3의 배수가 되려면 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수이어
야 한다.
5개의 숫자 0, 2, 4, 6, 8 중에서 서로 다른 3개를 택할
때, 그 합이 3의 배수인 경우는 다음과 같다.
0, 2, 4 또는 0, 4, 8 또는 2, 4, 6 또는 4, 6, 8 yy`㈎
⑵ ! 0, 2, 4로 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는
@ 0, 4, 8로 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는
# 2, 4, 6으로 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는
2\2?=4
2\2?=4
3?=6
3?=6
$ 4, 6, 8로 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는
yy`㈏
!~$에 의하여 3의 배수인 세 자리 자연수의 개수는
yy`㈐
4+4+6+6=20
채점 기준
㈎ 3의 배수가 되도록 3개의 숫자를 택하는 경우를 모두
㈏ 각 경우에서 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수를 구
구한다.
한다.
㈐ 3의 배수인 세 자리 자연수의 개수를 구한다.
배점
2점
4점
1점
44 정답과 해설
18고등수학(하)_내공의힘_해설(001~056)OK.indd 44
2017-11-06 오후 3:20:35
01~02강
내공 점검
1 ④
6 ④
11 0
2 ③
7 ⑤
12 37
3 ②
8 ③
13 9
4 ④
9 ⑤
p. 74~75
5 ②
10 ②
1 ① 91, 2, 3, y, 90
② 911, 12, 13, y0
③ Z
④ ‘조금 큰’은 기준이 명확하지 않아 그 대상을 분명하게
정할 수 없으므로 집합이 아니다.
⑤ 99, 110
따라서 집합이 아닌 것은 ④이다.
내공 점검
7 ⑤ 91, 2, 30;A
8 -1{A이므로 -1{B
/ a-1=-1 또는 2a+3=-1
! a-1=-1일 때, a=0이므로
A=9-1, 20, B=9-1, 2, 30
/ A[B
@ 2a+3=-1일 때, a=-2이므로
A=9-1, 00, B=9-3, -1, 20
/ A;B
!, @에 의하여 a=0
/ B=9-1, 2, 30
따라서 집합 B의 모든 원소의 합은
-1+2+3=4
2 ㄱ. 9x|x=2n-1, n은 정수0=9y, -3, -1, 1, 3, y0
ㄴ. 9x|x=2k+1, k는 음이 아닌 정수0=91, 3, 5, y0
ㄷ. 9x|x는 2의 배수보다 1이 큰 자연수0=93, 5, 7, y0
ㄹ. 9x|x는 홀수가 아닌 자연수0=92, 4, 6, y0
ㅁ. 9x|x는 2로 나누어떨어지지 않는 자연수0=91, 3, 5, y0
따라서 보기 중 서로 같은 집합은 ㄴ, ㅁ이다.
9 a=0이므로
a+1=1, 2a+1=1, 3-a=3
따라서 3-a=1이므로 a=2
이때 A=91, 3, 50, B=91, 3, 50이므로 A=B
/ a=2
3 X=92, 4, 5, 8, 100
/ n{X}=5
4 ③ A=92, 3, 5, 70이므로
n{A}=4
④ n{91, 20}-n{Z}=2-0=2
⑤ B=94, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 110이므로
n{B}=8
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
5 조건 ㈎에서 1{A이고,
조건 ㈏에서 x{A이면 2x+1{A이므로
2\1+1=3{A
3{A이면 2\3+1=7{A
7{A이면 2\7+1=15{A (ㄴ)
⋮
한편 x{A이면 2x+1{A이므로
2x+1{A이면 2{2x+1}+1=4x+3{A (ㄷ)
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
6 X[A이고 A;X인 집합 X는 집합 A의 진부분집합이다.
A=9x||x|<2, x는 정수0에서
A=9-2, -1, 0, 1, 20
따라서 집합 X의 개수는
2%-1=31
10 집합 A=9a, b, c, d, e, f 0의 부분집합 중 원소 f 는 반드
시 포함하고 원소 a, b는 포함하지 않는 집합은 집합 A에
서 원소 a, b, f 를 제외한 집합 9c, d, e0의 부분집합에 원
소 f를 넣은 것과 같으므로 구하는 부분집합의 개수는
2#=8
11 A=9-1, 0, 1, 20이므로
yy`㈎
n{A}=4
B=9x|x는 4의 양의 약수0=91, 2, 40이므로
yy`㈏
n{B}=3
C=9x+y|x{A, y{B0=90, 1, 2, 3, 4, 5, 60이므로
yy`㈐
n{C}=7
yy`㈑
/ n{A}+n{B}-n{C}=4+3-7=0
채점 기준
㈎ n{A}를 구한다.
㈏ n{B}를 구한다.
㈐ n{C}를 구한다.
㈑ n{A}+n{B}-n{C}의 값을 구한다.
배점
2점
3점
3점
2점
12 집합 A=91, 3, 5, 70의 부분집합 중 가장 작은 원소가 1인
부분집합의 개수는 집합 A의 부분집합 중 1을 반드시 포함
하는 집합의 개수와 같으므로
2$_!=8
yy`㈎
집합 A=91, 3, 5, 70의 부분집합 중 가장 작은 원소가 3인
부분집합의 개수는 집합 93, 5, 70의 부분집합 중 3을 반드
시 포함하는 집합의 개수와 같으므로
2#_!=4
yy`㈏
내공 점검 45
18고등수학(하)_내공의힘_해설(001~056)OK.indd 45
2017-11-06 오후 3:20:35
집합 A=91, 3, 5, 70의 부분집합 중 가장 작은 원소가 5인
부분집합의 개수는 집합 95, 70의 부분집합 중 5를 반드시
포함하는 집합의 개수와 같으므로
2@_!=2
집합 A=91, 3, 5, 70의 부분집합 중 가장 작은 원소가 7인
부분집합은 집합 970뿐이므로 개수는
1
yy`㈑
yy㈐
따라서 각 집합에서 가장 작은 원소를 모두 더한 값은
1\8+3\4+5\2+7\1=37
yy`㈒
채점 기준
㈎ 가장 작은 원소가 1인 부분집합의 개수를 구한다.
㈏ 가장 작은 원소가 3인 부분집합의 개수를 구한다.
㈐ 가장 작은 원소가 5인 부분집합의 개수를 구한다.
㈑ 가장 작은 원소가 7인 부분집합의 개수를 구한다.
㈒ 각 집합에서 가장 작은 원소를 모두 더한 값을 구한다.
배점
2점
2점
2점
2점
2점
13 A[X[B를 만족하는 집합 X는 집합 A의 원소를 모두
yy`㈎
포함하는 집합 B의 부분집합이다.
A=9x|x는 6의 양의 약수0=91, 2, 3, 60이므로
yy`㈏
n{A}=4
B=9x|0-a-2, 즉 a>-1일 때
B=9x|-a-2-5, a<9
/ a<3
그런데 a>-1이므로
-1-5, -a-2<9
/ a>-5
그런데 a<-1이므로
-53a-10
조건 ~q의 진리집합은 QC이므로
QC=9x|-3-3, 3a-1>3
/
0}이면 ~{x>0이고 y>0}이다.’이므로
‘x+y<0이면 x<0 또는 y<0이다.’
4 ㄱ. 역: x+y가 정수이면 x, y는 정수이다. (거짓)
ㄴ. 역: ab=0이면 a=0이다. (거짓)
[반례] a=2, b=0이면 ab=0이지만 a=0이다.
ㄷ. 역: CB=CC이면 삼각형 ABC는 이등변삼각형이다.
(참)
따라서 보기의 명제 중 그 역이 참인 것은 ㄷ이다.
5 카드의 한쪽 면에 모음이 적혀 있으면 반대쪽 면에는 짝수
가 적혀 있다고 했으므로 모음이 적혀 있는 카드 e 의 반
대쪽 면을 확인해야 한다.
또 명제가 참이면 그 명제의 대우도 참이므로 카드의 한쪽
면에 홀수가 적혀 있으면 반대쪽 면에는 자음이 적혀 있어
즉, 홀수가 적혀 있는 카드 3 의 반대쪽 면을 확인해야 한다.
따라서 보기 중 반대쪽 면을 확인해야 하는 카드는 ㄴ,
야 한다.
ㄹ이다.
48 정답과 해설
6 ①, ② 명제 ~r
이다.
명제 p
명제 p
2!
2!
명제 ~p
2!
짓이다.
~q가 참이므로 그 대우 q
r도 참
2!
2!
r가 참이므로 삼단논법에 의해
q, q
r는 참이다.
2!
~r가 거짓이므로 그 대우 r
p는 거
2!
즉, p는 r이기 위한 충분조건이다.
③, ④ 명제 ~r
~q가 참이므로 그 대우 q
2!
r도 참이
2!
다.
명제 ~q
이다.
2!
~r가 거짓이므로 그 대우 r
q도 거짓
2!
즉, q는 r이기 위한 충분조건이다.
⑤ p는 r이기 위한 충분조건이므로 r는 p이기 위한 필요조
건이다.
따라서 옳은 것은 ①이다.
7 ① p: a=-1 또는 a=1, q: a=1
`q
hjj
이므로 p`
따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.
② p: a=0, b=0, q: a=0 또는 b=0
q
이므로 p
따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.
③ p: a=0 또는 b=0, q: a=0이고 b=0
`jjk`
이므로 p
따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.
`hjj`
q
q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.
④ p
⑤ p: ab>0, q: ab>0이므로 p
`hjk`
q
`hjj`
따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.
따라서 p가 q이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아닌
것은 ②이다.
U
P
Q
른쪽 그림과 같다.
① P5Q=Q
② P6Q=P
③ P5QC=P-Q=Z
④ P6QC=U
⑤ PC-Q=PC5QC={P6Q}C=PC
따라서 항상 옳은 것은 ④이다.
9 a@+b@-2{a-b-1} ={a@-2a+1}+{b@+2b+1}
={a-1}@+ {b+1}@
이때 {a-1}@>0, {b+1}@ >0이므로
a@+b@-2{a-b-1}>0
따라서 a@+b@>2{a-b-1}이다.
이때 등호는 a-1=0, b+1=0, 즉 a=1, b=-1 일 때
성립한다.
/ ㈎ {b+1}@ ㈏ a=1, b=-1
[반례] x=j2, y=-j2이면 x+y는 정수이지만 x, y
는 정수가 아니다.
8 p는 q이기 위한 필요조건이므로 P]Q
이것을 벤다이어그램으로 나타내면 오
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10 x, y는 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여
2@+
{x@+y@}>
2x+
[
1
2@ ]
y
2 ]@
[
17
4 {x@+y@}>{2j17k}@
/ x@+y@>16
따라서 x@+y@의 최솟값은 16이다.
[단, 등호는 2y=
x
2 일 때 성립]
11 ⑴ ‘자연수 n에 대하여 n이 짝수이면 n@도 짝수이다.’
⑵ 주어진 명제의 대우가 참임을 보이면 된다.
yy`㈎
n이 짝수이면 n=2k (k는 자연수)로 나타낼 수 있다.
yy`㈏
이때 n@={2k}@=4k@=2\2k@이므로 n@은 짝수이다.
yy`㈐
따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제 ‘자
연수 n에 대하여 n@이 홀수이면 n도 홀수이다.’는 참이
yy`㈑
다.
채점 기준
㈎ 주어진 명제의 대우를 말한다.
㈏ n을 짝수로 표현한다.
㈐ n@이 짝수임을 보인다.
㈑ 대우를 이용한 증명법을 이용하여 결론을 쓴다.
배점
2점
3점
3점
2점
12 세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R라고 하면
x@-x-2<0에서
{x+1}{x-2}<0
/ -12
따라서 a의 최댓값은 -1, b의 최솟값은 2이므로 yy`㈒
구하는 합은
-1+2=1
채점 기준
㈎ 집합 P를 구한다.
㈏ 두 집합 P, Q 사이의 포함 관계를 구한다.
㈐ 두 집합 P, R 사이의 포함 관계를 구한다.
㈑ a, b의 값의 범위를 구한다.
㈒ a의 최댓값과 b의 최솟값을 구한다.
㈓ a의 최댓값과 b의 최솟값의 합을 구한다.
yy`㈓
배점
2점
1점
1점
2점
2점
2점
13 x>0일 때,
x@+1
x
>0,
4x
x@+1
>0이므로
산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
y =
x@+1
x
/ b=4
+
4x
x@+1
>2r
x@+1
x
\
4x
x@+1 y=4 yy`㈎
yy`㈏
일 때 성립하므로
=
4x
x@+1
이때 등호는
x@+1
x
{x@+1}@=4x@, x$-2x@+1=0
{x@-1}@=0, x@=1
/ x=-1 또는 x=1
그런데 x>0이므로 x=1
/ a=1
/ a+b=5
채점 기준
㈎ 산술평균과 기하평균의 관계를 이용한다.
㈏ b의 값을 구한다.
㈐ a의 값을 구한다.
㈑ a+b의 값을 구한다.
yy`㈐
yy`㈑
배점
2점
3점
3점
2점
08~10강
내공 점검
4 ④
1 ⑤
6 ③
9 ③
11 ⑴ n{A}=24, n{B}=16 ⑵ 34 12 1
2 ③
7 ⑤
3 ④
8 ④
p. 80~81
5 ①
10 ①
13 12
1 ⑤ X의 각 원소 -1, 0, 1에 Y의 원소 3, 1, 2가 하나씩
대응되므로 함수이다.
+1, f{-1}=
+1, f{0}=1, f{1}=
+1,
1
a
1
a
2 f{-2}=
4
a
f{2}=
4
a +1
이고, 치역의 모든 원소의 합이 10이므로
10
a
\2+1=10,
\2+
+1
+1
1
a
4
a
[
]
=5
[
]
/ a=2
3 ㄱ. f{xy}=f{x}+f{y}에 x=1, y=1을 대입하면
f{1\1}=f{1}+f{1}
/ f{1}=0 (참)
ㄴ. f{2}=2이므로 f{xy}=f{x}+f{y}에 x=2, y=
1
2 을
대입하면
1
2 ]
2\
f [
/ f [
1
2 ]
=f{2}+f [
1
2 ], 0=2+f [
1
2 ]
=-2 (거짓)
내공 점검 49
18고등수학(하)_내공의힘_해설(001~056)OK.indd 49
2017-11-06 오후 3:20:37
1
a 을 대
9 g{x}=x+3이므로
ㄷ. a>0이므로 f{xy}=f{x}+f{y}에 x=a, y=
입하면
f [
a\
1
a ]
1
a ]
=f{a}+f [
1
a ] / f [
1
a ]
0=f{a}+f [
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
=-f{a} (참)
4 f{x}=
2x
-
-2{a-1}x+2a {x<1}
{x>1}
이때 함수 f 가 일대일대응이 되려면 x>1일 때 기울기가
양수이므로 x<1일 때도 기울기가 양수이어야 한다.
-2{a-1}>0에서 a-1<0
/ a<1
5 { f`J`g}{x}=2{-x+k}+1=-2x+2k+1
{ g`J`f }{x}=-{2x+1}+k=-2x-1+k
이때 { f`J`g}{x}={ g`J`f }{x}이므로
-2x+2k+1=-2x-1+k
/ k=-2
6 함수 f 를 그림으로 나타내면 다음과 같다.
f
f
f
f
X
1
2
3
4
X
1
2
3
4
X
1
2
3
4
X
1
2
3
4
X
1
2
3
4
y
따라서 f ${x}=x이므로
f 2021{1}=f $|%)%"!{1}=f{1}=4, f 2020{4}=f $|%)%{4}=4
/ f 2021{1}-f 2020{4}=0
7 f{x}=
1
3
x-1이고 { f J g}{x}=f{ g{x}}=x-
1
3 이므로
g{x}-1=x-
1
3
/ g{x}=3x+2
1
3
/ g [
1
3 ]
1
3
=3\
+2=3
8 f [
2 f _!{x}+
=x에서
x
x-1 ]
2 f _!{x}+
=f _!{x}
x
x-1
x
1-x
/ f _!{x}=
k
1-k
/ f{2}=
2
3
50 정답과 해설
f{2}=k ( k는 상수)라고 하면 f _!{k}=2이므로
=2, k=2-2k / k=
2
3
{ f _!`J`g}{3}=f _!{ g{3}}=f _!{6}
이때 f _!{6}=k ( k는 상수)라고 하면 f{k}=6
! k>0이면
f{k}=k@+k=6
k@+k-6=0, {k+3}{k-2}=0
/ k=-3 또는 k=2
그런데 k>0이므로 k=2
@ k<0이면
f{k}=2k=6 / k=3
그런데 이 값은 k<0을 만족하지 않는다.
!, @에 의하여 k=2
/ { f _!`J`g}{3}=2
10
y=x
y=f{x}
y
e
d
c
b
a
O
ba
c d
e
x
{ f _!`J`f _!}{c}=f _!{ f _!{c}}이므로
f _!{c}=m이라고 하면
f{m}=c이므로
m=b
f _!{b}=n이라고 하면
f{n}=b이므로
n=a
/ { f _!`J`f _!}{c} =f _!{ f _!{c}}
=f _!{b}=a
11 ⑴ 집합 A는 일대일함수의 집합이므로
yy`㈎
n{A}=4\3\2=24
집합 B의 원소의 개수는 집합 92, 30에서 집합
94, 5, 6, 70로의 함수의 개수와 같으므로
n{B}=4\4=16
yy`㈏
⑵ 집합 A5B는 f{1}=4를 만족하는 일대일함수의 집합
이므로 집합 A5B의 원소의 개수는 집합 92, 30에서
집합 95, 6, 70로의 일대일함수의 개수와 같다.
/ n{A5B}=3\2=6
/ n{A6B} =n{A}+n{B}-n{A5B}
yy`㈐
=24+16-6
=34
채점 기준
㈎ n{A}를 구한다.
㈏ n{B}를 구한다.
㈐ n{A5B}를 구한다.
㈑ n{A6B}를 구한다.
yy`㈑
배점
3점
3점
2점
2점
18고등수학(하)_내공의힘_해설(001~056)OK.indd 50
2017-11-06 오후 3:20:37
{ g_!`J`f }_!{-1}=2
/ { f _!`J`{ g J f _!}_!}{-1}+{ g_!`J`f }_!{-1}
yy`㈏
2 1-
1
1
1-
1-
1
1-x
=1-
1-
12 { f _!`J`{ g J f _!}_!}{-1}
={ f _!`J`f`J`g_!}{-1}
=g_!{-1}
g_!{-1}=a (a는 상수)라고 하면
g{a}=-1이므로
3a+2=-1
/ a=-1
즉, g_!{-1}=-1이므로
=f _!{ g{-1}}
=f _!{-1}
f _!{-1}=b (b는 상수)라고 하면
f{b}=-1이므로
-2b+3=-1
/ b=2
즉, f _!{-1}=2이므로
{ f _!`J`{ g J f _!}_!}{-1}=-1
{ g_!`J`f }_!{-1} ={ f _!`J`g}{-1}
yy`㈎
=-1+2
=1
채점 기준
㈎ { f _!`J`{ g`J`f _!}_!}{-1}의 값을 구한다.
㈏ { g_!`J`f }_!{-1}의 값을 구한다.
㈐ { f _!`J`{ g`J`f _!}_!}{-1}+{ g_! J`f }_!{-1}의 값
을 구한다.
yy`㈐
배점
4점
4점
2점
13
y=f{x}
y=x
y=f_!{x}
y
2
O
-4
-2
2
x
-2
-4
yy`㈎
함수 y=f{x}의 그래프와 그 역함수 y=f _!{x}의 그래프
는 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 구하는 도형의 넓이는
함수 y=f{x}의 그래프와 직선 y=x로 둘러싸인 도형의
yy`㈏
넓이의 2배이다.
위의 그림과 같이 함수 y=f{x}의 그래프는 직선 y=x와 두
점 {-4, -4}, {2, 2}에서 만나므로 구하는 도형의 넓이는
1
2
2
[
\2\4+
\2\2
=12
]
1
2
채점 기준
㈎ y=f{x}의 그래프를 그린다.
㈏ y=f{x}와 y=f _!{x}의 그래프가 직선 y=x에 대
하여 대칭임을 이용한다.
㈐ y=f{x}와 y=f _!{x}의 그래프로 둘러싸인 도형의
넓이를 구한다.
11~12강
내공 점검
1 ③
6 ②
11 -1 또는 2
2 ②
7 ①
p. 82~83
5 ②
10 ⑤
3 ⑤
8 ③
12 4
4 ④
9 ①
13 -10
1
x+2
x-3
+
x-5
x@-x-6
=
x+2
x-3
+
x-5
{x-3}{x+2}
=
{x+2}@+x-5
{x-3}{x+2}
=
x@+5x-1
{x-3}{x+2}
따라서
x@+5x-1
{x-3}{x+2}
=
x@+ax+b
{x-3}{x+2}
이므로
a=5, b=-1
/ a+b=4
1
1
-x
1-x
1
1-x
x
=1-
1+
=1-
1
1
x
=1-x
3
1
ab
+
+
=
1
ca
a+b+c
abc
1
bc
=0이므로
a+b+c=0
yy ㉠
a@+1
bc
+
b@+1
ca
+
c@+1
ab
=
{a@+1}a+{b@+1}b+{c@+1}c
abc
=
a#+b#+c#+a+b+c
abc
=
a#+b#+c#
abc
(? ㉠)
=
{a+b+c}{a@+b@+c@-ab-bc-ca}+3abc
abc
=
3abc
abc (? ㉠)
=3
4 2x=3y, 5y=4z에서
yy`㈐
배점
3점
3점
4점
x=
3
2 y, z=
3
2 y`:`y`:`
5
4 y이므로
5
4 y=6`:`4`:`5
x`:`y`:`z=
x=6k, y=4k, z=5k{k>0}라고 하면
3x-2y+4z
x+y+z =
18k-8k+20k
6k+4k+5k
30k
15k =2
=
내공 점검 51
18고등수학(하)_내공의힘_해설(001~056)OK.indd 51
2017-11-06 오후 3:20:37
x
2
3$
y
O
-2
-3
x
1-2x
x
1-2x
1-
=
x
1-3x
f #{x}={ f`J`f @}{x}=
⋮
/ f !)){x}=
x
1-100x
ax+b
cx+1 이므로
=
따라서
x
1-100x
a=1, b=0, c=-100
/ ab+c=-100
10 주어진 함수의 그래프가 점 {1, 1}을 지나므로
5 y=
-3x+4
x-2
=
-3{x-2}-2
x-2
=-
2
x-2
-3
이므로 y=
-3x+4
x-2 의 그래프는
y=-
2
x 의 그래프를 x축의 방향
으로 2만큼, y축의 방향으로 -3
만큼 평행이동한 것이다.
따라서 주어진 함수의 그래프는
오른쪽 그림과 같으므로 제2사
분면을 지나지 않는다.
6 x@-5x+4>0에서
{x-1}{x-4}>0
/ x<1 또는 x>4
따라서 주어진 함수의 정의역은
9x|x<1 또는 x>40
x-3+7
x-3
7
x-3
이므로 x<1 또는 x>4에서
x+4
x-3
y=
=
=
+1
y =
x+4
x-3 의 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
x=4일 때, M=8
x=1일 때, m=-
5
2
/ M+m=
11
2
7 ㄱ. y=
2{x-1}+1
x-1
=
ㄴ. y=
2{x-1}+2
x-1
=
1
x-1
2
x-1
+2
+2
ㄷ. y=
2x-1+1
2x-1
=
1
2x-1
+1
y
8
1
O
-
2%
-4
1 3 4
x
a+b
3 =1
/ a+b=3
yy`㉠
y=
ax+b
x+2 를 x에 대하여 풀면
y{x+2}=ax+b
{y-a}x=-2y+b
/ x=
-2y+b
y-a
x와 y를 서로 바꾸면
y=
-2x+b
x-a
/ f _!{x}=
-2x+b
x-a
이때 f _!{x}=f{x}이므로
=
ax+b
x+2
-2x+b
x-a
/ a=-2
a=-2를 ㉠에 대입하면
b=5
/ b-a=7
따라서 보기의 유리함수 중 그 그래프를 평행이동하여 유
리함수 y=
1
x 의 그래프와 겹쳐질 수 있는 것은 ㄱ이다.
8 y=
ax-1
x+2
=
a{x+2}-2a-1
x+2
=
-2a-1
x+2
+a
이므로 주어진 유리함수의 그래프는 점 {-2, a}에 대하여
대칭이다.
점 {-2, a}는 두 직선 y=x+b, y=-x+2의 교점이므로
a=-2+b, a=-{-2}+2
/ a=4, b=6
/ a+b=10
9 f !{x}=f{x}=
x
1-x
f @{x}={ f`J`f }{x}=
x
1-x
x
1-x
1-
=
x
1-2x
52 정답과 해설
11
=
a+2b
3c
2b+3c
a
3c+a
2b
에서 a+2b=3ck, 2b+3c=ak, 3c+a=2bk
yy ㉠
=k
=
yy`㈎
yy`㈏
위 세 식을 변끼리 더하면
2{a+2b+3c}={a+2b+3c}k
! a+2b+3c=0일 때
k=2
@ a+2b+3c=0일 때
에 대입하면
a+2b=-3c, 2b+3c=-a, 3c+a=-2b이므로 ㉠
k=-1
yy`㈐
!, @에 의하여 구하는 실수 k의 값은 -1 또는 2이다.
채점 기준
㈎ 주어진 식을 정리하여 k에 대한 등식을 만든다.
㈏ a+2b+3c=0일 때, k의 값을 구한다.
㈐ a+2b+3c=0일 때, k의 값을 구한다.
배점
2점
4점
4점
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2017-11-06 오후 3:20:38
y=
x+a
x-1 의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향
-1의 그래프와 일치해야 하므로
12 y =
=
{x-1}+a+1
x-1
x+a
x-1
a+1
x-1
1-x
x+1
2
x+1
=
+1
y =
=
-{x+1}+2
x+1
=
-1
으로 n만큼 평행이동하면
y=
a+1
x-m-1
+1+n
이 그래프가 y=
2
x+1
a+1=2, -m-1=1, 1+n=-1
/ a=1, m=-2, n=-2
/ amn=4
채점 기준
+q 꼴로 변형한다.
+q 꼴로 변형한다.
㈏ y=
㈎ y=
k
x-p
x+a
x-1 를 y=
k
1-x
x+1 를 y=
x-p
㈐ a, m, n의 값을 구한다.
㈑ amn의 값을 구한다.
-3{x-2}-1
x-2
13 y =
5-3x
x-2 =
1
x-2
=-
-3
이므로 점근선의 방정식은
y =
x=2, y=-3
ax-2
2x+b
a
2
=
{2x+b}-
-2
ab
2
2x+b
+2
ab
2
2x+b
+
a
2
=-
이므로 점근선의 방정식은
x=-
, y=
b
2
a
2
b
2
-
=2,
a
2
/ a=-6, b=-4
=-3
/ a+b=-10
두 유리함수의 그래프의 점근선이 서로 일치하므로
채점 기준
㈎ y=
㈏ y=
5-3x
x-2 의 그래프의 점근선의 방정식을 구한다.
ax-2
2x+b 의 그래프의 점근선의 방정식을 구한다.
㈐ a, b의 값을 구한다.
㈑ a+b의 값을 구한다.
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
yy`㈑
배점
2점
2점
4점
2점
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
yy`㈑
배점
3점
4점
2점
1점
13~14강
내공 점검
2 ④
1 ②
6 ⑤
7 ③
11 j5-2 12 21
3 ③
8 ③
13 6
p. 84~85
4 ②
9 ⑤
5 ①
10 ④
1 f{n}=j2n+1l+j2n-1l이므로
1
f{n}
=
1
j2n+1l+j2n-1l
= j2n+1l-j2n-1l
2
/
+
1
f{1}
= j3-j1
2
1
f{2}
+
1
f{3}
+ j5-j3
2
+y+
+ j7-j5
2
1
f{60}
+y+ j121l-j119l
2
=
-j1+j121l
2
=
-1+11
2
=
=5
10
2
2 ! 8+2x-x@>0에서 x@-2x-8<0
{x+2}{x-4}<0 / -20}의 그래프를 x
축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한
yy`㉠
것이므로 무리함수의 식은
y=1a{x+2}3+1 {a>0}
㉠의 그래프가 점 {0, 3}을 지나므로
3=j2ak+1, j2ak=2 / a=2
a=2를 ㉠에 대입하여 정리하면
y=12{x+2}3+1=j2x+4l+1
이 식을 y=jax+bl+c와 비교하면
a=2, b=4, c=1
/ abc=8
8 { f`J`{g`J`f }_!`J`f }{3} ={ f`J`f _!`J`g_!`J`f }{3}
={g_!`J`f }{3}
=g_!{ f{3}}
=g_!{3}
g_!{3}=k ( k는 상수)라고 하면 g{k}=3이므로
j3k-6l=3, 3k-6=9
/ k=5
/ { f`J`{g`J`f }_!`J`f }{3}=5
9 두 함수는 서로 역함수 관계에 있으므로 두 함수의 그래프
는 직선 y=x에 대하여 대칭이다.
이때 무리함수 y=2jx+1l-1은 x의 값이 증가할 때 y의 값
도 증가하므로 두 함수의 그래프의 교점은 y=2jx+1l-1의
그래프와 직선 y=x의 교점과 같다.
2jx+1l-1=x에서
2jx+1l=x+1
양변을 제곱하여 정리하면
x@-2x-3=0
{x+1}{x-3}=0
/ x=-1 또는 x=3
따라서 주어진 두 함수의 그래프는 두 점 {-1, -1},
{3, 3}에서 만나므로 두 교점 사이의 거리는
1{3+1}@+{3+1}@3=4j2
10 y=j9-3xl=1-3{x-3}3이므로 이 함수의 그래프는
y=j-3xl의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것
이고, y=-x+k는 기울기가 -1이고 y절편이 k인 직선
이다.
54 정답과 해설
!@
y
y= 9-3x
3
O
3
x
y=-x+k
! y=j9-3xl의 그래프와 직선 y=-x+k가 접할 때
j9-3xl=-x+k에서 양변을 제곱하여 정리하면
x@+{3-2k}x+k@-9=0
이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면
D={3-2k}@-4{k@-9}=0 / k=
15
4
@ 직선 y=-x+k가 점 {3, 0}을 지날 때
0=-3+k / k=3
따라서 함수 y=j9-3xl의 그래프와 직선 y=-x+k가 서
로 다른 두 점에서 만나기 위한 상수 k의 값의 범위는
3y>0}
/ jx k-jy k
jx k+jy k
=
{jx k-jy k}@
{jx k+jy k}{jx k-jy k}
x+y-2jxyk
x-y
2j5-2j4
2
=j5-2
=
=
채점 기준
㈎ x-y의 값을 구한다.
㈏ jx k-jy k
jx k+jy k
㈐ jx k-jy k
jx k+jy k
의 값을 구한다.
의 분모를 유리화한다.
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
배점
4점
4점
2점
12 y=-j6-xl-5=-1-{x-6}3-5
이므로 주어진 함수의 그래프는 y=-j-xk의 그래프를
x축의 방향으로 6만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이동
한 것이다.
a0이므로 x=2
따라서 점 P의 좌표는 P{2, 2}
/ △ABP =△AOB+△AOP+△BOP
=△AOB+2△AOP
=
1
2 \2\2+2\
[
1
2 \2\2
]
=6
채점 기준
㈎ 두 점 A, B의 좌표를 구한다.
㈏ 점 P의 좌표를 구한다.
㈐ △ABP의 넓이를 구한다.
yy`㈏
yy`㈐
배점
3점
4점
3점
15~17강
내공 점검
p. 86~87
1 ②
6 ①
11 17
2 ⑤
7 ②
12 33
3 ③
8 ③
13 5명
4 ②
9 ④
5 ③
10 ①
1 1부터 50까지의 자연수 중에서 2의 배수는 25개, 5의 배수
는 10개이다.
이때 2의 배수이면서 5의 배수, 즉 10의 배수는 5개이다.
따라서 구하는 자연수의 개수는
25+10-5=30
2 2a1=a2+a3일 때, a1의 값에 따른 a2, a3의 값을 순서쌍
{a2, a3}으로 나타내면
! a1=1, 즉 a2+a3=2인 경우
{1, 1}이므로 그 경우의 수는 1
@ a1=2, 즉 a2+a3=4인 경우
$ a1=4, 즉 a2+a3=8인 경우
{2, 6}, {3, 5}, {4, 4}, {5, 3}, {6, 2}이므로 그 경우
의 수는 5
% a1=5, 즉 a2+a3=10인 경우
{4, 6}, {5, 5}, {6, 4}이므로 그 경우의 수는 3
^ a1=6, 즉 a2+a3=12인 경우
{6, 6}이므로 그 경우의 수는 1
!~^에 의하여 구하는 경우의 수는
1+3+5+5+3+1=18
3 ! A`
`B`
`C`
!
!
!
2\2\1=4`
@ A`
!
`C`
!
`B`
!
3\2\3=18`
`D로 가는 방법의 수는
`D로 가는 방법의 수는
!, @에 의하여 구하는 방법의 수는
4+18=22
4 D 칸에 올 수 있는 수는 2, 4, 6이므로 3개이다.
그 각각에 대하여 D 칸에 적은 수를 제외한 나머지 5개의
수 중에서 3개를 택하여 3개의 칸 A, B, C에 적는 방법의
수는 5P3=60
따라서 구하는 방법의 수는
3\60=180
5 부모를 한 사람으로 생각하면 4명이 일렬로 버스에 타는 경
우의 수는 4?=24
그 각각에 대하여 부모가 서로 순서를 바꾸어 타는 경우의
수는 2?=2
따라서 구하는 경우의 수는
24\2=48
6 조건 ㈎, ㈏를 만족하는 f{1}, f{2}, f{3}의 값은
f{1}=2, f{2}=3, f{3}=6
또는 f{1}=3, f{2}=2, f{3}=6
이므로 그 개수는 2
그 각각에 대하여 일대일대응인 함수 f의 개수는
3?=6
따라서 구하는 함수 f의 개수는
2\6=12
7 서로 평행한 두 직선 위의 점을 하나씩 택하여 연결하면 하
나의 직선을 만들 수 있으므로
6C1\9C1=6\9=54
주어진 두 직선을 포함하면 구하는 직선의 개수는
54+2=56
내공 점검 55
{1, 3}, {2, 2}, {3, 1}이므로 그 경우의 수는 3
# a1=3, 즉 a2+a3=6인 경우
{1, 5}, {2, 4}, {3, 3}, {4, 2}, {5, 1}이므로 그 경우
의 수는 5
8 ! 10C2r=10Cr'4에서
2r=r+4 ∴ r=4
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2017-11-06 오후 3:20:39
@ 10Cr'4=10C10-[r'4]=10C6-r이므로
10C2r=10C6-r에서
2r=6-r ∴ r=2
!, @에 의하여 구하는 모든 정수 r의 값의 합은
4+2=6
9 생활 공예반 6개 중에서 2개를 택하는 방법의 수는
6C2=15
손뜨개반 4개 중에서 2개를 택하는 방법의 수는
4C2=6
따라서 구하는 방법의 수는
15\6=90
10 구하는 자연수의 개수는 8개의 1을 일렬로 배열한 후, 1 사
이사이와 맨 끝의 8개의 자리에 4개의 0을 배열하는 경우
의 수와 같으므로
8C4=70
11 첫 번째로 꺼낸 공에 적힌 수를 a, 두 번째로 꺼낸 공에 적
힌 수를 b라고 하면 ab가 4의 배수인 경우는 다음과 같이
나누어 생각할 수 있다.
! a가 짝수인 경우
a가 2 또는 6이면 그 각각에 대하여 b가 될 수 있는 수
는 2, 4, 6으로 3개이다.
또 a가 4이면 b가 될 수 있는 수는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
로 7개이다.
즉, 두 수 중 한 수가 짝수일 때, 두 수의 곱이 4의 배수
그런데 n>3이므로
yy`㈏
33이므로 부등식 ㉠의 양변을 n{n-1}로 나누면
n-2<6, 즉 n<8
56 정답과 해설
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