p. 7
1 강
다항식의 덧셈, 뺄셈, 곱셈
p. 6
1
⑴ 3x @-2yx+y+1
⑵ 1+y-2yx+3x @
2 ⑴ 3x @-2x-3
⑵ {x @-5x+2}-{3x @-4x+1}
=x @-5x+2-3x @+4x-1
=-2x @-x+1
3 {3x-2}{x @+2x-1}
=3x #+6x @-3x-2x @-4x+2
=3x #+4x @-7x+2
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
1 ⑴ A+B ={x @-2xy+3y @}+{3x @+xy-2y @}
=4x @-xy+y @
⑵ A-B ={x @-2xy+3y @}-{3x @+xy-2y @}
=x @-2xy+3y @-3x @-xy+2y @
=-2x @-3xy+5y @
2 ⑴ A+B ={x #-2x @+3x+1}+{x$-x @+3x-5}
=x$+x #-3x @+6x-4
⑵ A-B ={x #-2x @+3x+1}-{x$-x @+3x-5}
=x #-2x @+3x+1-x$+x @-3x+5
=-x$+x #-x @+6
3 ⑴ {A-B}+{2C-A}
=-B+2C
=-{-2x #+5x @+3}+2{x @-4x+2}
=2x #-5x @-3+2x @-8x+4
=2x #-3x @-8x+1
⑵ {2A+C}-{B-2C}
=2A+C-B+2C
=2A-B+3C
=2{x #-2x @+3x-1}-{-2x #+5x @+3}
=2x #-4x @+6x-2+2x #-5x @-3+3x @-12x+6
=4x #-6x @-6x+1
+3{x @-4x+2}
4 ⑴ 2A-{B-C}
=2A-B+C
=2{2x@-4xy+y@}-{-x@-5xy+3y@}+{3x@-8xy}
=4x @-8xy+2y @+x @+5xy-3y @+3x @-8xy
=8x @-11xy-y @
⑵ {A-2B}+2{B-C}
=A-2B+2B-2C
=A-2C
={2x @-4xy+y @}-2{3x @-8xy}
=2x @-4xy+y @-6x @+16xy
=-4x @+12xy+y @
5 ⑴ {4x+y}{2x @-xy+3y @}
=8x #-4x @y+12xy @+2x @y-xy @+3y #
=8x #-2x @y+11xy @+3y #
⑵ {x @-2x+3}{x @+2x-1}
=x $+2x #-x @-2x #-4x @+2x+3x @+6x-3
=x $-2x @+8x-3
6 ⑴ {2a @-5a+6}{a @-3}
=2a $-6a @-5a #+15a+6a @-18
=2a $-5a #+15a-18
⑵ {x+2y-1}{3x-y+2}
=3x @-xy+2x+6xy-2y @+4y-3x+y-2
=3x @+5xy-2y @-x+5y-2
=x @+y @+{-z}@+2\x\y+2\y\{-z}
+2\{-z}\x
2 강
곱셈 공식
p. 8
1
⑴ {x+y-z}@
=x @+y @+z @+2xy-2yz-2zx
⑵ {a-2}# =a #-3\a @\2+3\a\2 @-2 #
=a #-6a @+12a-8
⑶ {x+2y}{x@-2xy+4y@}
={x+2y}9x@-x\2y+{2y}@0
=x#+{2y}#
=x#+8y#
⑷ {2a-b}{4a@+2ab+b@}
={2a-b}9{2a}@+2a\b+b@0
={2a}#-b#
=8a#-b#
2 ⑴ a@+b@ ={a+b}@-2ab
=2@-2\{-3}
=10
⑵ a#+b# ={a+b}#-3ab{a+b}
=2#-3\{-3}\2
=26
I. 다항식 1
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 1
2017-10-30 오후 5:16:06
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 9
1 ⑴ {2x-3y+z}@
={2x}@+{-3y}@+z @+2\2x\{-3y}
+2\{-3y}\z+2\z\2x
=4x @+9y @+z @-12xy-6yz+4zx
⑵ {3a-2b}{9a @+6ab+4b @}
={3a-2b}9{3a} @+3a\2b+{2b}@0
={3a}#-{2b}#
=27a #-8b #
3 강
다항식의 나눗셈
1
⑴
x+1
p. 10
x @-6x`+8
x #-5x @+2x+7
x #+ x @
-6x @+2x
-6x @-6x
8x+7
8x+8
-1
2 ⑴ {3a+2b}#
={3a}#+3\{3a}@\2b+3\3a\{2b}@+{2b}#
=27a #+54a @b+36ab @+8b #
따라서 몫은 x @-6x+8이고 나머지는 -1이다.
⑵
x@-5x+7
p. 11
x$-4x#+3x@-x-1
x@+x+1
x$+ x#+ x@
-5x#+2x@-x
-5x#-5x@-5x
7x@+4x-1
7x@+7x+7
-3x-8
따라서 몫은 x@-5x+7이고 나머지는 -3x-8이다.
2 ⑴ 1 1 -2
1 -1
3 -5
2
2 -3
1 -1
따라서 몫은 x @-x+2이고 나머지는 -3이다.
⑵ -1 1
2 -3 -2
-1 -1
1 -4
1
1
4 -2
2 -1
따라서 몫은 x#+x@-4x+2이고 나머지는 -1이다.
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
1
2x @+5x +20
x-3 2x #- x @+ 5x- 8
2x #-6x @
5x @+ 5x
5x @-15x
20x- 8
20x-60
52
따라서 Q=2x @+5x+20이고 R=52이므로
2x #-x @+5x-8={x-3}{2x @+5x+20}+52
⑵ {2x+y}{4x @-2xy+y @}
={2x+y}9{2x}@-2x\y+y @0
={2x}#+y #
=8x #+y #
3 ⑴ x+y=4, xy=1이므로
x #+y # ={x+y}#-3xy{x+y}
=4#-3\1\4
=52
⑵ x-y=-2j3, xy=1이므로
x #-y # ={x-y}#+3xy{x-y}
={-2j3}#+3\1\{-2j3}
=-30j3
4 ⑴ a @+b @+c @
={a+b+c}@-2{ab+bc+ca}
=2@-2\{-1}
=6
⑵ a#+b#+c#
={a+b+c}{a@+b@+c@-ab-bc-ca}+3abc
=2\96-{-1}0+3\{-2}
=8
5 ⑴ x@+
⑵ x#+
1
x@
1
x#
[
=
x+
1
x ]@-2
={-3}@-2=7
1
x ]#-3
=
[
x+
[
x+
1
x ]
={-3}#-3\{-3}=-18
6 ⑴ x@+
⑵ x#-
1
x@
1
x#
=
x-
[
1
x ]@+2
=2@+2=6
[
=
x-
1
x ]#+3
=2#+3\2=14
[
x-
1
x ]
2 정답과 해설
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 2
2017-10-30 오후 5:16:07
3 다항식 A를 4x @+2x+1로 나누었을 때의 몫이 2x-1이
2 ⑴ -2x@+4
2
x -3
x @+2x-5 x #- x @-4x+13
x #+2x @-5x
-3x @+ x+13
-3x @-6x+15
7x- 2
따라서 Q=x-3이고 R=7x-2이므로
x #-x @-4x+13={x @+2x-5}{x-3}+7x-2
고 나머지가 3x-4이므로
A ={4x @+2x+1}{2x-1}+3x-4
=8x #-4x @+4x @-2x+2x-1+3x-4
=8x #+3x-5
4 구하는 다항식을 P{x}라고 하면 P{x}를 2x+1로 나누
었을 때의 몫이 -2x @+x-1이고 나머지가 6이므로
P{x} ={2x+1}{-2x @+x-1}+6
=-4x #+2x @-2x-2x @+x-1+6
=-4x #-x+5
5 2x-1=2
[
x-
1
2 ]이므로 다항식 2x $-x #-8x+3을 x-
1
2
로 나누었을 때의 몫과 나머지를 조립제법을 이용하여 구
하면
2!
2 -1
1
2
0
0 -8
3
0
0 -4
0 -8 -1
1
2 ]
[
/ 2x $-x #-8x+3 =
x-
{2x #-8}-1
={2x-1}\
1
2 \{2x #-8}-1
={2x-1}{x #-4}-1
따라서 다항식 2x $-x #-8x+3을 2x-1로 나누었을 때의
몫은 x #-4이고 나머지는 -1이다.
6 3x+2=3
[
x+
2
3 ]이므로 다항식 3x #-4x @-x+3을 x+
2
3
로 나누었을 때의 몫과 나머지를 조립제법을 이용하여 구
하면
-
3@
3 -4 -1
-2
3 -6
3
4 -2
1
2
3 ]
x+
[
3
/ 3x #-4x @-x+3 =
{3x @-6x+3}+1
={3x+2}\
1
3 \{3x @-6x+3}+1
={3x+2}{x @-2x+1}+1
p. 12~13
계산력 다지기
1 ⑴ 4x@-4x-5
⑵ -3x@-3x-8
⑶ 3x@+10x-29
⑷ 2x#+2x@-5x+1
⑸ -3x$+x#+2x@-6x+8
⑹ -x$+5x#-x@+3x+1
⑵ 5x@-6x-13
⑶ x#-2x@-4x+4
⑷ x#-7x@+2x+17
⑸ {2A+3C}-{B+3A}
=2A+3C-B-3A
=-A-B+3C
=-{x@-2x-3}-{-3x@+2x+7}+3{x#-4x}
=-x@+2x+3+3x@-2x-7+3x#-12x
=3x#+2x@-12x-4
⑹ {4C+B}+2{2A-C}
=4C+B+4A-2C
=4A+B+2C
=4{x@-2x-3}+{-3x@+2x+7}+2{x#-4x}
=4x@-8x-12-3x@+2x+7+2x#-8x
=2x#+x@-14x-5
3 ⑴ x#-5x@+5x+2
⑵ 3a#-4a@b+b#
⑶ -6x#+11x@y-y#
⑷ a@-b@+a+7b-12
⑸ x@-4y@-4x+4y+3
⑹ 2a@-2b@-3ab+a-7b-3
4 ⑴ x@+4y@+4z@-4xy-8yz+4zx
⑵ 4a@+9b@+c@-12ab+6bc-4ca
⑶ x#+9x@y+27xy@+27y#
⑷ 8a#-12a@b+6ab@-b#
⑸ x#-8
⑹ 27a#+8b#
5 ⑴ a@+b@={a+b}@-2ab=6@-2\7=22
⑵ {a-b}@={a+b}@-4ab=6@-4\7=8
a>b이므로 a-b=2j2
⑶ a#+b#={a+b}#-3ab{a+b}=6#-3\7\6=90
⑷ a#-b# ={a-b}#+3ab{a-b}
={2j2}#+3\7\2j2=58j2
6 ⑴ x@-3x-1=0에서 x=0이므로 양변을 x로 나누면
I. 다항식 3
따라서 3x #-4x @-x+3을 3x+2로 나누었을 때의 몫은
x @-2x+1이고 나머지는 1이다.
x-3-
=0 / x-
=3
1
x
1
x
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 3
2017-10-30 오후 5:16:07
⑵ [
x+
⑶ x@+
⑷ x#-
1
x ]@=
[
1
x@
1
x#
=
=
[
[
x-
x-
x-
1
x ]@+4=3@+4=13
1
x ]@+2=3@+2=11
1
x ]#+3
1
x ]
x-
[
=3#+3\3=36
7 ⑴ 몫: x@-x-2, 나머지: -3
⑵ 몫: 2x@-4x+4, 나머지: -5
⑶ 몫: 2x@-2x+4, 나머지: 1
⑷ 몫: -2x@+1, 나머지: -3
⑸ 몫: x-3, 나머지: -x+2
⑹ 몫: -2x+1, 나머지: 2x+3
⑺ 몫: x@+5x+9, 나머지: 8x-19
⑻ 몫: -3x@-x-5, 나머지: 11x+17
8 ⑴ 몫: x@+2, 나머지: 3
⑵ 몫: x@-3, 나머지: 10
⑶ 몫: 2x@-5x+5, 나머지: -4
⑷ 몫: -x@+2x+3, 나머지: 9
⑸ 몫: 3x@-2x-2, 나머지: 8
⑹ 몫: 2x@-2x, 나머지: -3
족집게 기출문제
01~03강
p. 14~17
2 ③
1 ⑤
7 ④
6 ③
12 ①
11 ①
17 ②
16 ③
21 ③
22 4
26 ⑴ 6 ⑵ 232
3 ④
8 ⑤
13 ⑤
18 ①
23 ②
27 8
4 ④
9 ②
14 ②
19 ③
24 ①
28 2x @+5x-3
5 -3
10 ③
15 ④
20 ②
25 ⑤
1 3A-2{A-B} =3A-2A+2B=A+2B
={x @+2xy}+2{2x @-xy+y @}
=x @+2xy+4x @-2xy+2y @
=5x @+2y @
2 A+2X=B에서 2X=B-A
/ X =
{B-A}
1
2
1
2
1
2
1
2
=
9{3x @-5y @}-{x @-2xy+y @}0
=
{3x @-5y @-x @+2xy-y @}
=
{2x @+2xy-6y @}=x @+xy-3y @
4 정답과 해설
3 A+B=-x @-x+4
2A-B=4x @+4x-7
yy`㉠
yy`㉡
㉠+㉡을 하면 3A=3x @+3x-3
/ A=x @+x-1
yy`㉢
㉢을 ㉠에 대입하면
x @+x-1+B=-x @-x+4
/ B =-x @-x+4-x @-x+1
=-2x @-2x+5
4 주어진 다항식의 전개식에서 x @항은
2x @\3+{-3x}\{-x}=6x @+3x @=9x @
따라서 x @의 계수는 9
5 주어진 다항식의 전개식에서 x항은
3x\{-2a}+{-1}\{-ax}=-6ax+ax=-5ax
따라서 -5a=15이므로 a=-3
6 P{x} ={3x @-x+2}{4x #-5x @+x+1}
=ax %+bx $+cx #+dx @+ex+f
{a, b, c, d, e, f 는 상수}
라고 하면 P{x}의 모든 계수와 상수항의 합은
a+b+c+d+e+f =P{1}
={3-1+2}{4-5+1+1}
=4
7 ③ {a+b-c}{a-b+c} =9a+{b-c}09a-{b-c}0
=a @-{b-c}@
=a @-b @-c @+2bc
④ {x-y-z}@=x @+y @+z @-2xy+2yz-2zx
⑤ {x-1}{x+3}{x-5}
=x #+{-1+3-5}x @
+9{-1}\3+3\{-5}+{-5}\{-1}0x
+{-1}\3\{-5}
=x #-3x @-13x+15
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
8 ㄱ. {x-3y+2z}@=x @+9y @+4z @-6xy-12yz+4zx
ㄴ. {3x-1}{9x @+3x+1}={3x}#-1#=27x #-1
ㄷ. {a+b-1}{a @+b @-ab+a+b+1}
=9a+b+{-1}09a @+b @+{-1}@-a\b
=a #+b#+{-1}#-3\a\b\{-1}
=a #+b#+3ab-1
-b\{-1}-{-1}\a0
ㄹ. {4x @+2xy+y @}{4x @-2xy+y @}
=9{2x}@+2x\y+y @09{2x}@-2x\y+y @0
={2x}$+{2x}@\y @+y$=16x $+4x @y @+y$
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 4
2017-10-30 오후 5:16:07
9 {x-1}{x-2}{x+4}{x+5}
=9{x-1}{x+4}09{x-2}{x+5}0
={x @+3x-4}{x @+3x-10}
x @+3x=X로 놓으면
(주어진 식) ={X-4}{X-10}=X @-14X+40
={x @+3x}@-14{x @+3x}+40
=x $+6x #+9x @-14x @-42x+40
=x $+6x #-5x @-42x+40
10 {a-b}{a @+ab+b @}{a #+b #}{a ^+b ^}
={a #-b #}{a #+b #}{a ^+b ^}
={a ^-b ^}{a ^+b ^}=a !@-b !@
11 {1+2}{1+2@}{1+2$}{1+2*}
={2+1}{2@+1}{2$+1}{2*+1}
={2-1}{2+1}{2@+1}{2$+1}{2*+1}
={2@-1}{2@+1}{2$+1}{2*+1}
={2$-1}{2$+1}{2*+1}={2*-1}{2*+1}=2!^-1
12 x-y=-2, xy=1이므로
x #-y # ={x-y}#+3xy{x-y}
={-2}#+3\1\{-2}=-14
13 x @+y @={x+y}@-2xy에서
12=4@-2xy / xy=2
/
x @
y
+
y @
x =
x #+y #
xy
=
{x+y}#-3xy{x+y}
xy
=
4#-3\2\4
2
=
64-24
2
=20
14 a>0, b>0이므로 한 면의 넓이가 각각 a @, b @인 두 정육면
체의 한 모서리의 길이는 각각 a, b`이다.
두 정육면체의 모든 모서리의 길이의 합이 36이므로
12a+12b=36 / a+b=3
또 a @+b @={a+b}@-2ab에서
5=3@-2ab / ab=2
따라서 두 정육면체의 부피의 합은
a #+b # ={a+b}#-3ab{a+b}
=3 #-3\2\3=9
15 x>1이므로 x @-4x+1=0의 양변을 x로 나누면
x-4+
=0 / x+
=4
1
x
1
x
1
x-
x ]@=
[
[
그런데 x>1이므로
x+
1
x ]@-4=4@-4=12
x-
>0 / x-
1
x
1
x
=2j3
/ x #-
1
x #
x-
=
[
1
1
x ]#+3
[
x ]
={2j3}#+3\2j3=30j3
x-
16 {a+b+c}@=a @+b @+c @+2{ab+bc+ca}에서
ab+bc+ca =
9{a+b+c}@-{a @+b @+c @}0
1
2
1
2
=
{0-2}=-1
17 오른쪽 그림과 같이 직육면체의
가로의 길이, 세로의 길이, 높이
를 각각 x, y, z라고 하면 직육
면체의 모든 모서리의 길이의
합이 28이므로
4x+4y+4z=28
A
z
y
E
B
F
D
H
C
x
G
/ x+y+z=7
대각선 AG의 길이가 5이므로
1x @+y @+z @3=5 / x @+y @+z @=25
따라서 {x+y+z}@=x @+y @+z @+2{xy+yz+zx}에서
구하는 직육면체의 겉넓이는
2{xy+yz+zx} ={x+y+z}@-{x @+y @+z @}
=7@-25=24
18 a-b=2
b-c=3
yy`㉠
yy`㉡
㉠+㉡을 하면
a-c=5 / c-a=-5
/ a @+b @+c @-ab-bc-ca
=
{2a @+2b @+2c @-2ab-2bc-2ca}
=
9{a-b}@+{b-c}@+{c-a}@0
=
92@+3@+{-5}@0=19
1
2
1
2
1
2
19
x+2
2x @-3x`+3
2x #+ x @-3x- 5
2x #+4x @
-3x @-3x
-3x @-6x
3x- 5
3x+ 6
-11
20
x @+x+1
x`-1
x # -2x+1
x #+x @+ x
-x @-3x+1
-x @- x-1
-2x+2
따라서 몫은 2x @-3x+3이고 나머지는 -11이다.
따라서 Q{x}=x-1, R{x}=-2x+2이므로
Q{2}+R{1}=1+0=1
I. 다항식 5
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 5
2017-10-30 오후 5:16:08
21 3x #-4x @+4x+2=P{x}{3x @-x+3}+5이므로
3x #-4x @+4x-3=P{x}{3x @-x+3}
/ P{x}={3x #-4x @+4x-3}_{3x @-x+3}
3x @-x+3
x`-1
3x #-4x @+4x-3
3x #- x @+3x
-3x @+ x-3
-3x @+ x-3
0
/ P{x}=x-1
2 1
1
2 -5 -8
8
2
6
3 -2
4
따라서 a=2, b=4, c=-2이므로
a+b+c=4
22 다항식 x #+2x @-5x-8을 x-2로 나누었을 때의 몫과 나
머지를 조립제법을 이용하여 구하면
23 {3x @+2xy+y @}{x @-2xy+2y @}의 전개식에서 x @y @항은
3x @\2y @+2xy\{-2xy}+y @\x @ =6x @y @-4x @y @+x @y @
=3x @y @
/ a=3
{2x $-5x #+2x @+x-3}@, 즉
{2x$-5x #+2x @+x-3}{2x $-5x #+2x @+x-3}의 전개
식에서 x $항은
2x $\{-3}+{-5x #}\x+2x @\2x @+x\{-5x #}
+{-3}\2x $
=-6x $-5x $+4x $-5x $-6x $
=-18x $
/ b=-18 /
=-6
b
a
24 98{10004+200}-102{10004-200}
={100-2}{10000+200+4}-{100+2}{10000-200+4}
={100#-2#}-{100#+2#}
=-8-8=-16
28
2x @+x-1
25 {a+b+c}{a @+b @+c @-ab-bc-ca}
=a #+b #+c #-3abc=24-3\8=0
이때 a+b+c=0이므로
a @+b @+c @-ab-bc-ca=0
1
2 9{a-b}@+{b-c}@+{c-a}@0=0
/ a=b=c
abc=8이므로 a #=8
/ {a+b}{b+c}{c+a} =2a\2a\2a=8a #
=8\8=64
6 정답과 해설
1
26 ⑴
x
=
=3+2j2이므로
1
3-2j2
1
={3-2j2}+{3+2j2}=6
x
1
x@
1
x ]@-2
x+
=
[
x+
⑵ x@+
=6@-2=34
x#+
1
x#
=
x+
[
1
x ]#-3
[
x+
1
x ]
=6#-3\6=198
/ x#+x@+
+
=34+198=232
1
x@
1
x#
채점 기준
㈎ x+
x!의 값을 구한다.
㈏ x@+
의 값을 구한다.
㈐ x#+
의 값을 구한다.
1
x@
1
x#
㈑ x#+x@+
1
x@
+
1
x#
의 값을 구한다.
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
yy`㈑
배점
2점
1점
1점
2점
27 0이 아닌 세 수를 각각 a, b, c라고 하면
a+b+c=2, abc=-2, a @+b @+c @=6
{a+b+c}@=a @+b @+c @+2{ab+bc+ca}에서
2@=6+2{ab+bc+ca}
yy`㈎
yy`㈏
/ ab+bc+ca=-1
따라서 구하는 각각의 세제곱의 합은 a #+b #+c #이므로
a #+b #+c #`
={a+b+c}{a @+b @+c @-ab-bc-ca}+3abc
={a+b+c}9a @+b @+c @-{ab+bc+ca}0+3abc
=296-{-1}0+3\{-2}=8
yy`㈐
채점 기준
㈎ 세 수를 a, b, c로 놓고 각 조건을 식으로 나타낸다.
㈏ ab+bc+ca의 값을 구한다.
㈐ a #+b #+c #의 값을 구한다.
배점
2점
2점
3점
2x @- x`-2
4x $ -7x @+5x+1
4x $+2x #-2x @
-2x #-5x @+5x
-2x #- x @+ x
`-4x @+4x+1
`-4x @-2x+2
6x-1
따라서 몫은 2x @-x-2이고 나머지는 6x-1 yy`㈎
이므로 몫과 나머지의 합은
{2x @-x-2}+{6x-1}=2x @+5x-3
채점 기준
㈎ 몫과 나머지를 구한다.
㈏ 몫과 나머지의 합을 구한다.
yy`㈏
배점
3점
2점
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 6
2017-10-30 오후 5:16:08
4 강
나머지정리
p. 18
1
ㄱ, ㄹ, ㅂ
2 a-1=0, b+2=0, c=0이므로
a=1, b=-2, c=0
3 P{2}=2\2$-3\2#+2-1=9
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 19
1 주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=1,
x=0, x=-1을 각각 대입하면
c=0, a-b+c=-3, 4a-2b+c=-4
a-b=-3, 2a-b=-2이므로 두 식을 연립하여 풀면
a=1, b=4
/ a=1, b=4, c=0
주어진 등식을 정리하면
ax @+{-2a+b}x+a-b+c=x @+2x-3
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
a=1, -2a+b=2, a-b+c=-3
/ a=1, b=4, c=0
2 주어진 등식을 정리하면
2x @-ax+5=cx @+{1-bc}x-b+2
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
2=c, -a=1-bc, 5=-b+2
/ a=-7, b=-3, c=2
3 P
1
3 ]
[
=3\
1
3 ]#-
[
1
3 ]@-2\
1
3
[
+2=
4
3
4 P
-
[
1
2 ]
=2\
-
1
2 ]#-4\
[
-
1
2 ]@+3\
[
-
1
2 ]
+1
[
7
4
=-
5 다항식 P{x}를 x+1, x-3으로 나누었을 때의 나머지가
각각 3, -1이므로 나머지정리에 의하여
P{-1}=3, P{3}=-1
다항식 P{x}를 {x+1}{x-3}으로 나누었을 때의 몫을
Q{x}, 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라고 하면
P{x}={x+1}{x-3}Q{x}+ax+b
이 식의 양변에 x=-1, x=3을 각각 대입하면
P{-1}=-a+b, P{3}=3a+b
/ -a+b=3, 3a+b=-1
두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=2
따라서 구하는 나머지는 -x+2이다.
6 다항식 P{x}를 x+2, x-2로 나누었을 때의 나머지가 각
각 -3, 5이므로 나머지정리에 의하여
P{-2}=-3, P{2}=5
다항식 P{x}를 x @-4로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머
지를 ax+b (a, b는 상수)라고 하면
P{x} ={x @-4}Q{x}+ax+b
={x+2}{x-2}Q{x}+ax+b
이 식의 양변에 x=-2, x=2를 각각 대입하면
P{-2}=-2a+b, P{2}=2a+b
/ -2a+b=-3, 2a+b=5
두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=1
따라서 구하는 나머지는 2x+1이다.
7 P{x}=x #-4x @+3x+k가 x-2로 나누어떨어지므로 인
8 P{x}=x #-5x @-ax+7이 x+1로 나누어떨어지므로 인
수정리에 의하여
P{2}=0
즉, 8-16+6+k=0
k-2=0 / k=2
수정리에 의하여
P{-1}=0
즉, -1-5+a+7=0
a+1=0 / a=-1
5 강 인수분해
p. 20
1
⑴ a #+3a @+3a+1 =a #+3\a @\1+3\a\1@+1#
={a+1}#
⑵ 8x #-1 ={2x}#-1#
={2x-1}9{2x}@+2x\1+1@0
={2x-1}{4x @+2x+1}
2 a+b=X로 놓으면
{a+b}@-3{a+b}+2 =X @-3X+2
={X-2}{X-1}
={a+b-2}{a+b-1}
I. 다항식 7
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 7
2017-10-30 오후 5:16:09
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
1 ⑴ a #+64b# =a #+{4b}#
={a+4b}9a @-a\4b+{4b}@0
={a+4b}{a @-4ab+16b @}
⑵ 27x #-54x @y+36xy @-8y #
={3x}#-3\{3x}@\2y+3\3x\{2y}@-{2y}#
={3x-2y}#
⑶ a @+4b @+4c @-4ab-8bc+4ca
=a @+{-2b}@+{2c}@+2\a\{-2b}
={a-2b+2c}@
+2\{-2b}\2c+2\2c\a
2 ⑴ 27x #-8y # ={3x}#-{2y}#
={3x-2y}9{3x}@+3x\2y+{2y}@0
={3x-2y}{9x @+6xy+4y @}
⑵ a #+6a @b+12ab @+8b#
=a #+3\a @\2b+3\a\{2b}@+{2b}#
={a+2b}#
⑶ 9x @+y @+z @-6xy+2yz-6zx
={3x}@+{-y}@+{-z}@+2\3x\{-y}
+2\{-y}\{-z}+2\{-z}\3x
={3x-y-z}@
3 ⑴ x @-2x=X로 놓으면
{x @-2x}@-4{x @-2x}-5
=X @-4X-5={X-5}{X+1}
={x @-2x-5}{x @-2x+1}
={x @-2x-5}{x-1}@
⑵ {x @-x}@-3x @+3x+2={x @-x}@-3{x @-x}+2
x @-x=X로 놓으면
(주어진 식) =X @-3X+2={X-2}{X-1}
={x @-x-2}{x @-x-1}
={x-2}{x+1}{x @-x-1}
4 ⑴ x @-3x=X로 놓으면
{x @-3x}@-2{x @-3x}-8
=X @-2X-8={X-4}{X+2}
={x @-3x-4}{x @-3x+2}
={x-4}{x+1}{x-2}{x-1}
⑵ x-2y=X로 놓으면
{x-2y}{x-2y+3}-10
=X{X+3}-10=X @+3X-10
={X+5}{X-2}
={x-2y+5}{x-2y-2}
5 ⑴ x @=X로 놓으면
x$+3x @-28 =X @+3X-28={X-4}{X+7}
={x @-4}{x @+7}
={x-2}{x+2}{x @+7}
8 정답과 해설
p. 21
⑵ x$-8x @+4 ={x$-4x @+4}-4x @
={x @-2}@-{2x}@
={x @+2x-2}{x @-2x-2}
6 ⑴ x @=X로 놓으면
x$+4x @-5 =X @+4X-5
={X-1}{X+5}
={x @-1}{x @+5}
={x-1}{x+1}{x @+5}
⑵ 9x $+2x @y @+y $ ={9x $+6x @y @+y $}-4x @y @
={3x @+y @}@-{2xy}@
={3x @+2xy+y @}{3x @-2xy+y @}
7 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면
2x @+3xy+y @-x-1 =2x @+{3y-1}x+y @-1
=2x @+{3y-1}x+{y-1}{y+1}
x
2x
y-1
y+1
`{2y-2}x
` {y+1}x
`{3y-1}x
=9x+{y-1}092x+{y+1}0
={x+y-1}{2x+y+1}
8 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면
x @-xy-2y @-2x+7y-3
=x @+{-y-2}x-2y @+7y-3
=x @+{-y-2}x-{2y-1}{y-3}
x
x
-{2y-1}
` y-3
{-2y+1}x
{y-3}x
{-y-2}x
=9x-{2y-1}09x+{y-3}0
={x-2y+1}{x+y-3}
9
P{x}=x #+2x @-x-2라고 하면
P{1}=1+2-1-2=0
이므로 조립제법을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
1 1
2 -1 -2
2
3
1
0
2
3
1
x #+2x @-x-2 ={x-1}{x @+3x+2}
={x-1}{x+1}{x+2}
10
P{x}=x $-4x #-x @+16x-12라고 하면
P{1}=1-4-1+16-12=0
이므로 조립제법을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
16 -12
1 1 -4 -1
12
0
1 -3 -4
12
1 -3 -4
x $-4x #-x @+16x-12={x-1}{x #-3x @-4x+12}
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 8
2017-10-30 오후 5:16:09
이때 Q{x}=x #-3x @-4x+12라고 하면
Q{2}=8-12-8+12=0
이므로 조립제법을 이용하여 Q{x}를 인수분해하면
2 1 -3 -4
12
2 -2 -12
0
1 -1 -6
3 ⑴ 인수정리에 의하여 f{-1}=0
즉, -1-3-a+2=0 / a=-2
⑵ 인수정리에 의하여 f{2}=0
즉, -16-4a-4=0 / a=-5
⑶ 인수정리에 의하여 f{-2}=0
즉, 16+16-16-a=0 / a=16
x #-3x @-4x+12 ={x-2}{x @-x-6}
⑷ 인수정리에 의하여 f{-3}=0
={x-2}{x-3}{x+2}
즉, -81-54-9a+21+6=0 / a=-12
따라서 주어진 식을 인수분해하면
x $-4x #-x @+16x-12={x-1}{x-2}{x-3}{x+2}
P{x}=x $-4x #-x @+16x-12라고 하면 P{1}=0,
P{2}=0이므로 조립제법을 이용하여 P{x}를 인수분해하
면
16 -12
12
0
1 1 -4 -1
2 1 -3 -4
1 -3 -4
12
2 -2 -12
0
1 -1 -6
x $-4x #-x @+16x-12 ={x-1}{x-2}{x @-x-6}
={x-1}{x-2}{x-3}{x+2}
a+3=0 / a=7
⑸ 인수정리에 의하여 f [
1
4
즉,
1
4
1
2
-
+
⑹ 인수정리에 의하여 f [
1
4
즉,
a+
1
4
3
2
-
-
1
2 ]
=0
1
2 ]
=0
-1=0 / a=3
4 ⑴ {2a+b+3c}@
⑵ {x-2y-3z}@
⑶ {2a+b}#
⑷ {4x-y}#
⑸ {2a+3b}{4a@-6ab+9b@}
⑹ {3x-4y}{9x@+12xy+16y@}
⑺ {a+b+2c}{a@+b@+4c@-ab-2bc-2ca}
⑻ {3x-y+z}{9x@+y@+z@+3xy+yz-3zx}
계산력 다지기
p. 22~23
5 ⑴ x@-1=X로 놓으면
1 ⑴ a=0, b=
1
2 , c=-1
⑵ a=1, b=-1, c=0
⑶ a=-1, b=1, c=3
⑷ a=1, b=4, c=-1
⑸ a=2, b=-1, c=-2
⑹ a=2, b=5, c=-5
⑺ 양변에 x=1, x=0, x=-1을 각각 대입하면
2c=6, -a=5, 2b=10
/ a=-5, b=5, c=3
-4b=-8, 3c=-6, 6a=0
/ a=0, b=2, c=-2
2 ⑴ f{1}=1#-1@+1-2=-1
⑵ f{-1}=3\{-1}#-2\{-1}@-4\{-1}-5=-6
⑶ f{-2}=-2\{-2}#+{-2}@+7\{-2}-5=1
⑷ f{2}=2$-2\2#+2@-5\2+3=-3
⑸ f [
1
2 ]
=2\
[
⑹ f [
-
1
2 ]
=-4\
[
1
2
1
2 ]@+
1
2 ]#-7\
1
-
2 ]#-10\
[
-
[
+15=14
1
-
2 ]@+2\
[
1
2 ]
+1
{x@-1}@-2{x@-1}-3
=X@-2X-3={X+1}{X-3}
=x@{x@-4}=x@{x+2}{x-2}
⑵ a@-2a=X로 놓으면
{a@-2a-2}{a@-2a-1}-2
={X-2}{X-1}-2=X@-3X=X{X-3}
={a@-2a}{a@-2a-3}=a{a-2}{a+1}{a-3}
⑶ x@=X로 놓으면
x$-13x@+36 =X@-13X+36={X-4}{X-9}
={x@-4}{x@-9}
={x-3}{x-2}{x+2}{x+3}
={a@+b@}@-{3ab}@
={a@+3ab+b@}{a@-3ab+b@}
⑸ 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면
x@-xy-2y@-x-7y-6
=x@-{y+1}x-2y@-7y-6
=x@-{y+1}x-{2y+3}{y+2}
x
x
-{2y+3}
` y+2
-{2y+3}x
{y+2}x
-{y+1}x
⑻ 양변에 x=0, x=1, x=-2를 각각 대입하면
⑷ a$-7a@b@+b$ ={a$+2a@b@+b@}-9a@b@
=-2
=9x-{2y+3}09x+{y+2}0={x-2y-3}{x+y+2}
I. 다항식 9
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 9
2017-10-30 오후 5:16:09
⑹ 주어진 식을 a에 대하여 내림차순으로 정리하면
2a@-3ab+b@+a-1
=2a@-{3b-1}a+b@-1
=2a@-{3b-1}a+{b+1}{b-1}
2a
a
-{b+1}
-{b+1}a
-{b-1}
-{2b-2}a
-{3b-1}a
=92a-{b+1}09a-{b-1}0
={2a-b-1}{a-b+1}
⑺ P{x}=x#-4x@-x+4라고 하면
P{1}=1-4-1+4=0
이므로 조립제법을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
1 1 -4 -1
4
1 -3 -4
1 -3 -4
0
x#-4x@-x+4 ={x-1}{x@-3x-4}
={x-1}{x+1}{x-4}
⑻ P{x}=x$-x#-3x@+x+2라고 하면
P{1}=1-1-3+1+2=0,
P{-1}=1+1-3-1+2=0
이므로 조립제법을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
-1 1
1 1 -1 -3
2
1
0 -3 -2
0
1
0 -3 -2
2
-1
1
0
1 -1 -2
x$-x#-3x@+x+2 ={x-1}{x+1}{x@-x-2}
={x-1}{x-2}{x+1}@
족집게 기출문제
04~05강
p. 24~27
2 13
1 ③
7 -11
6 ②
12 ①
11 ②
17 ④
16 ①
21 ⑤
22 ⑤
26 ㄱ, ㄴ 27 ④
29 -2
31 a=c인 이등변삼각형
4 ③
9 ①
14 ④
19 2
24 ③
3 ⑤
8 0
13 ③
18 ②
23 ⑤
28 3{x-y}{y-z}{z-x}
5 ④
10 ③
15 ⑤
20 ⑤
25 ⑤
30 ⑴ P{1}=3, P{2}=3 ⑵ 3
1 주어진 등식을 정리하면
2x @+{1-2a}x-a+b=2x @-3x-4
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
1-2a=-3, -a+b=-4
10 정답과 해설
두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-2
/ a+b=0
2 주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-1,
x=1, x=2를 각각 대입하면
6=6a, 12=-2b, 18=3c
/ a=1, b=-6, c=6
/ a-b+c=13
3 x+y=1에서 y=1-x이므로 주어진 등식에 대입하면
2ax+a{1-x}-3={1-b}x+b{1-x}
/ {a+2b-1}x+a-b-3=0
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
a+2b-1=0, a-b-3=0
두 식을 연립하여 풀면 a=
7
3 , b=-
2
3
/ a @-b @=
-
=5
49
9
4
9
4 주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-2를
대입하면
0=16+4a-b / 4a-b=-16
양변에 x @=2를 대입하면
0=4+2a-b / 2a-b=-4
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-6, b=-8
/ a-b=2
yy`㉠
yy`㉡
5 다항식 x #-x @+ax+b를 x @-x+1로 나누었을 때의 몫
을 x+p ( p는 상수)라고 하면 나머지가 2x+3이므로
x #-x @+ax+b={x @-x+1}{x+p}+2x+3
이 식의 우변을 x에 대하여 정리하면
x #-x @+ax+b=x #+{p-1}x @+{3-p}x+p+3
이 등식은 x에 대한 항등식이므로
-1=p-1, a=3-p, b=p+3
/ p=0, a=3, b=3
/ ab=9
6 다항식 P{x}=x $+4x #-2x @+3x+7을 x+1로 나누었
을 때의 나머지는 나머지정리에 의하여 P{-1}이므로
P{-1}=1-4-2-3+7=-1
7 P{x}=x #+mx @+nx+1이라고 하면 나머지정리에 의하
여 P{-1}=5, P{2}=3
P{-1}=5에서 -1+m-n+1=5
/ m-n=5
P{2}=3에서 8+4m+2n+1=3
/ 2m+n=-3
yy`㉡
yy`㉠
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m=
2
3 , n=-
13
3
/ 3{m+n}=3
[
2
3
-
13
3 ]
=-11
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 10
2017-10-30 오후 5:16:10
8 나머지정리에 의하여
P{1}=3, P{-2}=6
다항식 P{x}를 x @+x-2로 나누었을 때의 몫을 Q{x},
나머지를 R{x}=ax+b`(a, b는 상수)라고 하면
P{x} ={x @+x-2}Q{x}+ax+b
={x-1}{x+2}Q{x}+ax+b
이 식의 양변에 x=1, x=-2를 각각 대입하면
P{1}=a+b, P{-2}=-2a+b`
/ a+b=3, -2a+b=6
두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=4
따라서 R{x}=-x+4이므로
R{4}=-4+4=0
9 P{x}=x !)이라고 하면 P{x}를 x-2로 나누었을 때의 나
머지는 나머지정리에 의하여 P{2}이므로
P{2}=2!)
x !)을 x-2로 나누었을 때의 몫이 Q{x}이고 나머지가 2!)
이므로
x !)={x-2}Q{x}+2!)
yy`㉠
Q{x}를 x-4로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의
하여 Q{4}이므로 ㉠의 양변에 x=4를 대입하면
2@)=2Q{4}+2!), 2Q{4}=2@)-2!)
/ Q{4}=2!(-2(
10 나머지정리에 의하여
f{-1}=2, g{-1}=3, f{3}=1, g{3}=-2 yy`㉠
다항식 f{x}g{x}를 x@-2x-3으로 나누었을 때의 몫을
Q{x}, 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라고 하면
f{x}g{x} ={x @-2x-3}Q{x}+ax+b
={x+1}{x-3}Q{x}+ax+b
이 식의 양변에 x=-1, x=3을 각각 대입하면
f{-1}g{-1}=-a+b, f{3}g{3}=3a+b
그런데 ㉠에 의하여
f{-1}g{-1}=2\3=6
f{3}g{3}=1\{-2}=-2
/ -a+b=6, 3a+b=-2
두 식을 연립하여 풀면
a=-2, b=4
따라서 구하는 나머지는 -2x+4이다.
11 인수정리에 의하여
P{1}=0, P{-2}=0
P{1}=0에서 1-2+a+b=0
/ a+b=1
P{-2}=0에서 -8-8-2a+b=0
/ -2a+b=16
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-5, b=6
/ ab=-30
yy`㉠
yy`㉡
12 다항식 P{x}-1이 x @-4x+3, 즉 {x-1}{x-3}으로 나
누어떨어지므로 인수정리에 의하여
P{1}-1=0, P{3}-1=0
/ P{1}=1, P{3}=1
P{x+1}을 x @-2x로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지
를 ax+b (a, b는 상수)라고 하면
P{x+1} ={x @-2x}Q{x}+ax+b
=x{x-2}Q{x}+ax+b
이 식의 양변에 x=0, x=2를 각각 대입하면
P{1}=b, P{3}=2a+b이므로
b=1, 2a+b=1
/ a=0, b=1
따라서 구하는 나머지는 1이다.
13 주어진 등식을 변형하면
x #-2x @-4x+6={x-2}9a{x-2}@+b{x-2}+c0+d
이므로 x #-2x @-4x+6을 x-2로 나누었을 때의 나머지
d를 조립제법을 이용하여 구하면
2 1 -2 -4
6
2
0 -8
0 -4 -2
1
x #-2x @-4x+6={x-2}{x @-4}-2
yy`㉠
이므로 x @-4를 x-2로 나누었을 때의 나머지 c를 조립제
/ d=-2
㉠에서
x @-4 =a{x-2}@+b{x-2}+c
={x-2}9a{x-2}+b0+c
법을 이용하여 구하면
2 1
1
0 -4
4
2
0
2
x @-4={x-2}{x+2}
yy`㉡
㉡에서 x+2=a{x-2}+b이므로 x+2를 x-2로 나누었
을 때의 몫 a와 나머지 b를 조립제법을 이용하여 구하면
2 1
/ c=0
2
2
4
1
x+2={x-2}\1+4
/ a=1, b=4
/ a+b-c-d=7
2 1 -2 -4
참고
2 1
2 1
a
gS
1
d
SG
6
0 -8
-2
c
SG
2
0 -4
2
4
0
2
2
4
b
SG
I. 다항식 11
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 11
2017-10-30 오후 5:16:10
14 ① 8x #+12x @+6x+1
={2x}#+3\{2x}@\1+3\2x\1@+1#
={2x+1}#
② 10x @+31x+15={5x+3}{2x+5}
③ x #+8y # =x #+{2y}#
={x+2y}9x @-x\2y+{2y}@0
={x+2y}{x @-2xy+4y @}
④ x @+y @+z @-2xy+2yz-2zx
=x @+{-y}@+{-z}@+2\x\{-y}+2\{-y}\{-z}
+2\{-z}\x
={x-y-z}@
⑤ mx @-4my @ =m{x @-4y @}
=m{x-2y}{x+2y}
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
15 x @+5x=X로 놓으면
{x @+5x+4}{x @+5x+2}-24
={X+4}{X+2}-24
=X @+6X-16
={X+8}{X-2}
={x @+5x+8}{x @+5x-2}
/ a=5, b=8, c=-2 또는 a=5, b=-2, c=8
/ a+b+c=11
16 {x-1}{x+2}{x-3}{x+4}+24
={x @+x-2}{x @+x-12}+24
x @+x=X로 놓으면
(주어진 식) ={X-2}{X-12}+24
=X @-14X+48
={X-6}{X-8}
={x @+x-6}{x @+x-8}
={x-2}{x+3}{x @+x-8}
17 x $-13x @+4 ={x $-4x @+4}-9x @
`
={x @-2}@-{3x}@
={x @+3x-2}{x @-3x-2}
따라서 인수인 것은 ④이다.
18 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면
x @-2xy+y @+3x-3y+2
=x @+{-2y+3}x+y @-3y+2
=x @+{-2y+3}x+{y-1}{y-2}
x
x
-{y-1}
-{y-2}
{-y+1}x
{-y+2}x
{-2y+3}x
=9x-{y-1}09x-{y-2}0
={x-y+1}{x-y+2}
12 정답과 해설
19 P{x}=2x #-7x @+11x-4라고 하면
1
1
2 ]#-7\
2
1
2 ]@+11\
1
2 ]
=2\
P
[
[
[
이므로 조립제법을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
-4=0
2!
2 -7
11 -4
4
1 -3
2 -6
8
0
2x #-7x @+11x-4 =
x-
{2x @-6x+8}
1
2 ]
[
={2x-1}{x @-3x+4}
따라서 a=2, b=-1, c=-3, d=4이므로
a+b+c+d=2
20 P{x}=x $+2x #-9x @-2x+8이라고 하면
P{1}=1+2-9-2+8=0,
P{-1}=1-2-9+2+8=0
이므로 조립제법을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
1 1
-1 1
1
8
3 -6 -8
0
2 -9 -2
1
3 -6 -8
8
0
-1 -2
2 -8
x $+2x #-9x @-2x+8
={x-1}{x+1}{x @+2x-8}
={x-1}{x+1}{x-2}{x+4}
따라서 인수가 아닌 것은 ⑤이다.
21 주어진 식을 인수분해하면
x @y-3x @-xy @+3y @ =x @y-xy @-3x @+3y @
=xy{x-y}-3{x @-y @}
=xy{x-y}-3{x+y}{x-y}
={x-y}9xy-3{x+y}0 yy`㉠
x=1-j3, y=1+j3에서
x+y=2, x-y=-2j3, xy=-2
이것을 ㉠에 대입하면
(주어진 식)=-2j3\{-2-3\2}=16j3
22 a #+b#+c#-3abc
={a+b+c}{a @+b @+c @-ab-bc-ca}
에서 a+b+c=0이므로
a #+b#+c#-3abc=0 / a #+b#+c#=3abc
/
a #+b#+c#
abc
=
3abc
abc
=3
23 a=100으로 놓으면
j100\101\102\103l+1l
=1a{a+1}{a+2}{a+33}+13
=19a{a+3}09{a+1}{a+2}30+13
=1{a @+3a}{a @+3a+2}3+13
a @+3a=X로 놓으면
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 12
2017-10-30 오후 5:16:11
(주어진 식) =1X{X+2}3+13
=1X @+2X3+13=1{X+31}@3
=X+1=a @+3a+1
=100@+3\100+1=10301
24 주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=0을 대
입하면 a0=1
양변에 x=1을 대입하면
a0+a1+a2+a3+y+a39+a40=2@)
양변에 x=-1을 대입하면
a0-a1+a2-a3+y-a39+a40=2@)
㉠+㉡을 하면
2{a0+a2+a4+y+a40}=2\2@)
a0+a2+a4+y+a40=2@)
/ a2+a4+a6+y+a40 =2@)-a0=2@)-1
yy`㉠
yy`㉡
25 주어진 식을 변형하면
2 @))@+2 @))!+2 @)))={2 %}$))\2@+{2 %}$))\2+{2 %}$))
2 %=x로 놓으면
2 @))@+2 @))!+2 @)))=4x $))+2x $))+x $))
31=2%-1이므로 31=x-1
즉, P{x}=4x $))+2x $))+x $))이라고 하면
2@))@+2@))!+2@)))을 31로 나누었을 때의 나머지는 P{x}를
x-1로 나누었을 때의 나머지와 같다.
따라서 P{x}를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 나머지정
리에 의하여 P{1}이므로
P{1}=4+2+1=7
26 f{x}+g{x}가 x+2로 나누어떨어지므로
f{-2}+g{-2}=0
f{x}-g{x}를 x+2로 나누었을 때의 나머지가 4이므로
f{-2}-g{-2}=4
yy`㉠
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
f{-2}=2, g{-2}=-2
ㄱ. A{x}=x+f{x}라 하고 양변에 x=-2를 대입하면
A{-2}=-2+f{-2}=-2+2=0
이므로 A{x}는 x+2로 나누어떨어진다.
ㄴ. B{x}=x @+f{x}g{x}라 하고 양변에 x=-2를 대입
하면
B{-2} ={-2}@+f{-2}g{-2}
=4-4=0
이므로 B{x}는 x+2로 나누어떨어진다.
면
C{-2} =f{-2}-{-2}\g{-2}
=2-4=-2
ㄷ. C{x}=f{x}-xg{x}라 하고 양변에 x=-2를 대입하
이므로 C{x}는 x+2로 나누어떨어지지 않는다.
따라서 보기 중 x+2로 나누어떨어지는 것은 ㄱ, ㄴ이다.
27 x $-4x #+5x @-4x+1
=x @
[
x @-4x+5-
+
4
x
1
x@ ]
=x @
x @+
-
=x @
x+
- [
[
-4
1
x@
1
x ]@-4
x+
1
x ]
+5
=
x+
[
1
x ]
+3
=
x+
=X로 놓으면
1
x
x+
[
1
x ]@-4
[
1
x ]
x+
+3 =X@-4X+3
={X-1}{X-3}
1
x
x+
x+
-1
=
][
[
1
x
-3
]
/ (주어진 식) =x @
[
x+
-1
x+
][
-3
]
1
x
1
x
={x @-x+1}{x @-3x+1}
28 x-y=A, y-z=B, z-x=C로 놓으면
A+B+C={x-y}+{y-z}+{z-x}=0
/ {x-y}#+{y-z}#+{z-x}#
=A #+B #+C #
={A+B+C}{A @+B @+C @-AB-BC-CA}
=3ABC
=3{x-y}{y-z}{z-x}
+3ABC
주어진 식을 y에 대하여 내림차순으로 정리하면
{x-y}#+{y-z}#+{z-x}#
=x #-3x @y+3xy @-y #+y #-3y @z+3yz @-z #
=3{-x @y+xy @-y @z+yz @-z @x+zx @}
=39{x-z}y @-{x+z}{x-z}y+xz{x-z}0
+z #-3z @x+3zx @-x #
=3{x-z}9y @-{x+z}y+xz0
=3{x-z}{y-x}{y-z}
=3{x-y}{y-z}{z-x}
29 x #+{a-2}x @+bx+3을 {x-1}@으로 나누었을 때의 몫
yy`㈎
을 x+p`( p는 상수)라고 하면
x #+{a-2}x @+bx+3={x-1}@{x+p}
이 식의 우변을 x에 대하여 정리하면
x #+{a-2}x @+bx+3=x #+{p-2}x @+{1-2p}x+p
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
a-2=p-2, b=1-2p, 3=p
/ a=3, b=-5
/ a+b=-2
yy`㈏
yy`㈐
yy`㈑
채점 기준
㈎ 몫을 x+p로 놓고 등식을 세운다.
㈏ 항등식의 성질을 이용하여 식을 세운다.
㈐ a, b의 값을 구한다.
㈑ a+b의 값을 구한다.
배점
2점
2점
1점
1점
I. 다항식 13
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 13
2017-10-30 오후 5:16:11
30 ⑴ 다항식 P{x}를 x @-4x+3으로 나누었을 때의 몫을
Q1{x}라고 하면 나머지가 3x이므로
P{x} ={x @-4x+3}Q1{x}+3x
={x-1}{x-3}Q1{x}+3x
⑴ 이 식의 양변에 x=1을 대입하면
P{1}=3
다항식 P{x}를 x @-5x+6으로 나누었을 때의 몫을
Q2{x}라고 하면 나머지가 6x-9이므로
P{x} ={x @-5x+6}Q2{x}+6x-9
={x-2}{x-3}Q2{x}+6x-9
⑴ 이 식의 양변에 x=2를 대입하면
P{2}=3
yy`㈏
⑵ 다항식 P{x}를 x @-3x+2로 나누었을 때의 몫을
Q{x}, 나머지를 ax+b`(a, b는 상수)라고 하면
P{x} ={x @-3x+2}Q{x}+ax+b
={x-1}{x-2}Q{x}+ax+b
yy`㈐
⑴ 이 식의 양변에 x=1, x=2를 각각 대입하면
P{1}=a+b, P{2}=2a+b
/ a+b=3, 2a+b=3
두 식을 연립하여 풀면
a=0, b=3
따라서 구하는 나머지는 3이다.
채점 기준
㈎ P{1}의 값을 구한다.
㈏ P{2}의 값을 구한다.
㈐ 구하는 나머지를 ax+b로 놓고 식을 세운다.
㈑ P{1}, P{2}의 값을 이용하여 식을 세운다.
㈒ 나머지를 구한다.
yy`㈑
yy`㈒
배점
2점
2점
1점
1점
1점
31 주어진 식의 좌변을 a에 대하여 내림차순으로 정리하여 인
수분해하자.
ab{a+b}-bc{b+c}-ca{c-a}
=a @b+ab @-b @c-bc @-c @a+ca @
={b+c}a @+{b @-c @}a-b @c-bc @
={b+c}a @+{b+c}{b-c}a-bc{b+c}
={b+c}9a @+{b-c}a-bc0
={b+c}{a+b}{a-c}
=0
이때 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로
a+b>0, b+c>0
즉, a-c=0이므로
a=c
따라서 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 a=c인 이등변삼
yy`㈏
각형이다.
채점 기준
㈎ 주어진 식의 좌변을 인수분해한다.
㈏ 어떤 삼각형인지 말한다.
14 정답과 해설
6 강 복소수
p. 28
yy`㈎
1
⑴ 실수부분: 5, 허수부분: 2
⑵ 실수부분: 0, 허수부분: -j3
2 ⑴ {4-i}-{2i+5} =4-i-2i-5
={4-5}+{-1-2}i
=-1-3i
⑵
3+i
3-i =
{3+i}@
{3-i}{3+i}
=
9+6i+i @
3@-i @
=
8+6i
10
=
+
i
4
5
3
5
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 29
1 z={x-1}+{x @-4x-12}i가 실수가 되려면
(허수부분)=0이어야 하므로
x @-4x-12=0, {x+2}{x-6}=0
/ x=-2 또는 x=6
따라서 구하는 x의 값은 -2, 6이다.
2 z={x @-4}+{x @-7x+10}i가 순허수가 되려면
(실수부분)=0, (허수부분)=0이어야 하므로
x @-4=0, x @-7x+10=0
! x @-4=0에서
{x+2}{x-2}=0
/ x=-2 또는 x=2
@ x @-7x+10=0에서
{x-2}{x-5}=0
/ x=2이고 x=5
!, @에 의하여 x=-2
yy`㈎
3 ⑴ 복소수가 서로 같을 조건에 의하여
⑵ 복소수가 서로 같을 조건에 의하여
x+3=2, 2-y=-3
/ x=-1, y=5
2x-1=0, y+6=0
/ x=
1
2 , y=-6
배점
4점
2점
4 ⑴ 복소수가 서로 같을 조건에 의하여
x+4y=1, y-x=4
두 식을 연립하여 풀면 x=-3, y=1
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 14
2017-10-30 오후 5:16:11
⑵ 복소수가 서로 같을 조건에 의하여
2x-y=0, x+y-3=0
두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=2
5 ⑴ {1+j6i}{-1+j6i}+{2-3i}{1-i}
=-1+6i @+2-2i-3i+3i @
=-8-5i
1-3i
1+2i
-{-i+2}@
⑵
-{i @-4i+4}
-{3-4i}
=
{1-3i}{1-2i}
{1+2i}{1-2i}
=
1-2i-3i+6i @
1-4i @
=
-5-5i
5
-{3-4i}
=-1-i-3+4i
=-4+3i
6 ⑴ 4i{i-1}-{-3i-1}{3i-1}
=4i @-4i-{-9i @+1}
=-4-4i-10
=-14-4i
⑵
2
1-i
=
2{1+i}
{1-i}{1+i}
2{1+i}
1-i @
=1+i
=
2
/ {i-2}{1-2i}+
[
1-i ]@
={i-2}{1-2i}+{1+i}@
=i-2i @-2+4i+1+2i+i @
=7i
7 ⑴ {2-i}{-1+3i}{2+i}
=9{2-i}{2+i}0{-1+3i}
={4-i @}{-1+3i}
=5{-1+3i}
=-5+15i
⑵ {j5-2i}{-j5-i}+{j5-2i}{2j5+3i}
={j5-2i}9{-j5-i}+{2j5+3i}0
={j5-2i}{j5+2i}
=5-4i @=9
8 ⑴ {1-j2i}{-1+i}{1+j2i}{-1-i}
=9{1-j2i}{1+j2i}09{-1+i}{-1-i}0
={1-2i @}{1-i @}
=3\2=6
⑵ {3-i}{5+2i}+{-2+i}{i-3}
={3-i}{5+2i}-{-2+i}{3-i}
={3-i}9{5+2i}-{-2+i}0
={3-i}{7+i}
=21+3i-7i-i @
=22-4i
7 강 음수의 제곱근
p. 30
1
⑴ i @!={i$}%\i=i
⑵ {-i}!% =-i !%=-{i $}#\i #=-{-i}=i
⑶ i !)@+i !)$={i $}@%\i @+{i $}@^=-1+1=0
⑷ i ##={i $}*\i=i이므로
=
=
=-i
1
i ##
1
i
i
i @
2 ⑴ -j7i
⑵ -8i
3 ⑴ j-2k+j-8k=j2i+2j2i=3j2i
⑵ j-12l-j-27l=2j3i-3j3i=-j3i
⑶ j-3kj-5k =j3i\j5i=j15ki @=-j15k
2j5i
⑷ j20k
2i @
j-4k
=-j5i
2j5
2i
=
=
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 31
1 i+i @+i #+i $=i+{-1}+{-i}+1=0이므로
i+i@+i#+y+i @%
={i+i @+i #+i $}+i ${i+i @+i #+i $}
+y+i @){i+i @+i #+i $}+i @%
=i @%={i $}^\i=i
+
1
i $ ]
+
1
i (
+
1
i !)
1
2
i
+
+
=
-1-
+1=0이므로
1
i
1
i
1
i $
1
i #
1
i @
1
i
+
1
i #
1
i @
1
i
+
=1+
[
1+
+
+
+y+
1
i !)
+
=1+
1
i (
=1-i-1=-i
=1+
1
i @
1
i !)
+
+
1
i #
1
i $ [
1
i
+
1
i $ ]
1
{i $}@\i
+
+
+
1
i #
1
i @
1
{i $}@\i @
3
1+i
1-i
=
{1+i}@
{1-i}{1+i}
2i
2
=
=i이므로
1+i
1-i ]!))=i !))={i $}@%=1
[
=-i이므로
-2i
2
4 [
1-i
j2 ]@=
j2 ]%) =
1-i
[
1-i
j2 ]@=@%
-[
={-i}@%=-i @%=-{i $}^\i=-i
5
2-j-4k
2+j-4k
=
2-2i
2+2i
=
1-i
1+i
=
{1-i}@
{1+i}{1-i}
=
-2i
2
=-i
II. 방정식과 부등식 15
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 15
2017-10-30 오후 5:16:12
6
3-j-8k
1+j-2k
=
=
=
3-2j2i
1+j2i
3-5j2i+4i @
3
{3-2j2i}{1-j2i}
{1+j2i}{1-j2i}
1
i
-
3
5j2
3
=-
7 ⑴ j-3kjj-12l+j-27lj3 =-j36k+j-81l=-6+9i
⑵ j-16l
j-2k
-j-4kj9 =j8-j-36l=2j2-6i
8 ⑴ j-2k{j6-j-32l} =j-2kj6-j-2kj-32l
=j-12l+j64k=8+2j3i
= j-50l
j-5k
⑵ j-25lj2
j-5k
- j25k
j-5k
+j-5k=j10k+j5i
계산력 다지기
p. 32~33
1 ⑴ i{1+2i}-2{2i-1}=i-2-4i+2=-3i
⑵ {2-i}{1+2i}+4i{1-i}=4+3i+4i+4=8+7i
⑶ {j2-i}{j2+i}-{4-3i}{1+i} =3-{7+i}
=-4-i
⑷ {1+j3i}{j3i-1}+{1-2i}{2-i}=-4-5i
⑸ {1-2i}@-{2+3i}{1-i} ={-3-4i}-{5+i}
⑹ {1-2j2i}@-
[
⑺
1-2i
1+2i
+
1+2i
1-2i
=-8-5i
1+i
1-i ]@ ={-7-4j2i}-
=-6-4j2i
{1-2i}@+{1+2i}@
{1+2i}{1-2i}
=
2i
-2i
=
{-3-4i}+{-3+4i}
5
=-
6
5
⑻
2+3i
2-3i
+
3-2i
3+2i
=
{2+3i}@
{2-3i}{2+3i}
+
{3-2i}@
{3+2i}{3-2i}
2 z=2-3i이므로 zk=2+3i
⑵ -6i
⑴ 4
⑷ -10
⑸ -24i
3 ⑴ i ((={i$}@$\i #=-i
⑶ 13
⑹
-5-12i
13
⑵ {-i}!@!=-i!@!=-{i$}#)\i=-i
⑶ i%)+i!%)={i$}!@\i@+{i$}#&\i@=-1-1=-2
⑷ i@)+i@!+i@@={i$}%+{i$}%\i+{i$}%\i@=1+i-1=i
⑸ [
j2
1+i ]@=
j2
1+i ]!))=
[
1+i
1-i
=
⑹
2
2i
=
=-i이므로
1
i
j2
1+i ]@=%)={-i}%)=i%)=-1
-[
{1+i}@
{1-i}{1+i}
2i
2
=
=i이므로
1+i
1-i ]@)!=i@)!={i$}%)\i=i
[
16 정답과 해설
⑺ i+i@+i#+i$=i-1-i+1=0이므로
i!))+i!)!+i!)@+i!)#+y+i!@)
=i!))+i!)){i+i@+i#+i$}+i!)${i+i@+i#+i$}
+y+i!!^{i+i@+i#+i$}
-
+
-
=i!))={i$}@%=1
1
1
⑻
i
i$
1
i$
1
i#
1
i#
1
i#
1
i@
1
i@
1
i@
1
i
1
i
=
+
-
+
-
-
[
=0
=
+1-
-1=0이므로
1
i
+y+
-
+
-
1
i!*
1
i!(
-
1
i$ ]
+
-
+
-
1
i@
1
i
1
i!&
1
i$ [
1
i
1
i@)
1
i$ ]
1
i@
+
-
1
i#
1
i
+y+
1
i!^ [
1
i#
-
1
i$ ]
4 ⑴ 5j2i
2
⑷ -
i
5
⑺ -6-2i
⑶ -5j3
⑵ -2j5i
⑸ -2j6+16i ⑹ 6-3j2i
⑻ - j2
4
+4i
족집게 기출문제
06~07강
p. 34~37
3 ⑤
1 4개
2 ③
8 ④
6 ①
7 ①
13 ⑤
11 ④
12 10
18 ③
16 ③
17 ⑤
23 2i
22 ④
21 -4
26 x=-1, y=-2
27 -2
29 ⑴ a<0, b<0, c>0 ⑵ -2a
4 72
9 ②
14 ④
19 ⑤
24 ②
28 2-i
5 ③
10 315
15 ①
20 ③
25 ③
j3i+1의 4개이다.
2 ① {3-2i}+{1+5i} =4+3i
② {-4+3i}-{3-4i} =-4+3i-3+4i=-7+7i
③ {2+j5i}{2-j5i} =4-5i @=9
④ {4+7i}{3-5i} =12-20i+21i-35i @=47+i
=
7-7i+i-i @
1-i @
⑤
7+i
1+i =
{7+i}{1-i}
{1+i}{1-i}
8-6i
2
=4-3i
=
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
3
5+i
1-i
-2+3i-{5-7i} =
-2+3i-5+7i
{5+i}{1+i}
{1-i}{1+i}
4+6i
2
-7+10i
=
=2+3i-7+10i=-5+13i
따라서 a=-5, b=13이므로 a+b=8
=
-5+12i
13
+
5-12i
13
=0
1 허수는 실수가 아닌 복소수이므로 2+i, 3i @-5i, -4i,
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 16
2017-10-30 오후 5:16:12
4 (주어진 식) =9{-1+i}{-1-i}09{2+j2i}{2-j2i}0@
={1-i @}{4-2i @}@=2\6@=72
10 주어진 식의 좌변과 우변을 각각 정리하면
(좌변) =
x
1+3i
+
y
1-3i
=
x{1-3i}+y{1+3i}
{1+3i}{1-3i}
y
5
x
+
x
y =
1+i
1-i
+
1-i
1+i
=
{1+i}@+{1-i}@
{1-i}{1+i}
=
2i+{-2i}
2
=0
x=1-i, y=1+i이므로 x+y=2, xy=2
/
+
y
x
x
y =
x @+y @
xy
=
{x+y}@-2xy
xy
=
2@-2\2
2
=0
6 3x @+3x+4 =3
[
[
-1-j3i
2
-2+2j3i
4
3j3i
2
+
3
2
=3
=-
[
]@+3
3
2
-
]
-1-j3i
2
3j3i
2
-
+4
+4
]
-
-
3
2
3j3i
2
+4=1
-1-j3i
2
x=
를 변형하면 2x+1=-j3i
이 식의 양변을 제곱하면
4x @+4x+1=-3 / x @+x=-1
/ 3x @+3x+4 =3{x @+x}+4=3\{-1}+4=1
7 복소수 z를 (실수부분)+(허수부분)i의 꼴로 정리하면
z =i{x-i}@={x @-2xi+i @}i=2x+{x @-1}i
z가 실수가 되려면 (허수부분)=0이어야 하므로
x @-1=0, {x+1}{x-1}=0
/ x=-1 또는 x=1
따라서 실수 x의 값의 합은 -1+1=0
8 복소수 z를 (실수부분)+(허수부분)i의 꼴로 정리하면
z ={1+i}x @-{1+2i}x-2-3i
={x @-x-2}+{x @-2x-3}i
z @이 음의 실수가 되려면 z는 순허수이어야 하므로
(실수부분)=0, (허수부분)=0
즉, x @-x-2=0, x @-2x-3=0
! x @-x-2=0에서
{x+1}{x-2}=0 / x=-1 또는 x=2
@ x @-2x-3=0에서
{x+1}{x-3}=0 / x=-1이고 x=3
!, @에 의하여 x=2
9 주어진 식의 좌변을 정리하면
{2x+y}+{-x+2y}i=11-3i
복소수가 서로 같을 조건에 의하여
2x+y=11, -x+2y=-3
두 식을 연립하여 풀면 x=5, y=1
/ x+y=6
yy`㉠
yy`㉡
i
i
-
=
-
=
9
5
=
18
5
(우변) =
9
2+i
x+y
10
3{x-y}
10
9{2-i}
{2+i}{2-i}
㉠, ㉡에서 복소수가 서로 같을 조건에 의하여
x+y
10
18
5 ,
/ x+y=36, x-y=6
두 식을 연립하여 풀면 x=21, y=15
/ xy=315
3{x-y}
10
9
5
=
=
11 z=a+bi`(a, b는 실수)라고 하면 z
}6=a-bil=a+bi=z
=a-bi
={a+bi}+{a-bi}=2a
={a+bi}{a-bi}=a @+b @
SG
실수
실수`
SG
① {z
② z+z
③ zz
④ ②에서 z+z
=2a이므로 z+z
=0을 만족하려면
2a=0에서 a=0 / z=bi
이때 z는 0이 아닌 복소수이므로 b=0
따라서 z는 순허수이다.
1
1
⑤
a+bi
z
{a-bi}-{a+bi}
{a+bi}{a-bi}
-2b
i
a @+b @
1
a-bi
=
=
1
z
=
-
-
-2b
a @+b @ 는 0이 아닌 실수이다.
z가 허수이면 b=0이므로
즉,
-
은 순허수이다.
1
z
1
z
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
12 a=1+2i, b=2-i이므로 ak=1-2i, bk=2+i
/ aak+abk+akb+bbk =a{ak+bk}+b{ak+bk}
={a+b}{ak+bk}
={3+i}{3-i}=10
z
/
+1
z
z
z+1 =
13 z=1-i이므로 zk=1+i
1-i
2+i
+
+
2-i
1+i
{2+i}{1-i}
{1+i}{1-i}
3-i
2
3-i
5
=
=
+
=
21
10
-
7
10
i
+
{1-i}{2+i}
{2-i}{2+i}
14 z=a+bi (a, b는 실수)라고 하면 zk=a-bi
z, zk를 주어진 등식에 대입하면
3{a+bi}-2{a-bi}=2+15i
a+5bi=2+15i
복소수가 서로 같을 조건에 의하여
II. 방정식과 부등식 17
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 17
2017-10-30 오후 5:16:13
k
k
k
k
k
k
C
C
k
k
a=2, 5b=15 / a=2, b=3
따라서 z=2+3i, zk=2-3i이므로
zzk={2+3i}{2-3i}=13
15 z=a+bi (a, b는 실수)라고 하면 zk=a-bi
z, zk를 z+zk=6에 대입하면
{a+bi}+{a-bi}=6, 2a=6 / a=3
z, zk를 zzk=10에 대입하면
{a+bi}{a-bi}=10, a @+b @=10
a=3을 ㉠에 대입하면
9+b @=10, b @=1 / b=-1
/ z=3-i
yy`㉠
16
1
i
1
i
1
i @
1
i @
1
i #
2
i #
+
+
+
+
+
+
=
-1-
+1=0이므로
1
i $
2
i $
1
i
=
[
1
i
=
1
i #
1
i
1
i @
1
i $
1
i #
1
i
+
+
+
+
+
1
i $ ]
1
i #
1
i $
+
=-
+1=1+i
따라서 1+i=x+yi이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의
하여 x=1, y=1
/ xy=1
17 주어진 식의 좌변을 정리하면
i+2i @+3i #+y+2021i @)@!
={i+2i @+3i #+4i $}+i ${5i+6i @+7i #+8i $}
+y+i @)!^{2017i+2018i @+2019i#+2020i$}
+2021i\i@)@)
={i-2-3i+4}+{5i-6-7i+8}
+y+{2017i-2018-2019i+2020}+2021i
={2-2i}+{2-2i}+y+{2-2i}+2021i
505개
=505{2-2i}+2021i
=1010-1010i+2021i
=1010+1011i
18
1-i
1+i
1+i
1-i
/ [
=
=
=-i
-2i
2
{1-i}@
{1+i}{1-i}
{1+i}@
{1-i}{1+i}
1+i
1-i ]!)! ={-i}!))-i !)!=i !))-i !)!
=i
2i
2
=
1-i
1+i ]!))-
[
=
={i $}@%-{i $}@%\i=1-i
19 [
1-i
j2 ]@=
j2
1-i ]@=
-2i
2
2
-2i
[
=-i
=-
=-
=i
1
i
i
i @
18 정답과 해설
/ [
1-i
j2 ]*N+
[
j2
1-i ]*N =
-[
1-i
j2 ]@=$N+
-[
j2
1-i ]@=$N
={-i}$N+i $N
=9{-i}$0N+{i $}N
=1N+1N=1+1=2
따라서 -2+2i=a+bi이므로 복소수가 서로 같을 조건에
의하여 a=-2, b=2
/ ab=-4
20 ① j-2kj3=1{-2}\33=j-6k
3
2 e
② j-2kj-5k=-1{-2}\{-35}3=-j10k
3
③ j3
-2 e=-q-
j-2l
④ j-3k
j5
⑤ j-3k
j-2k
=-q
-3
5 e=q-
3
-3
-2 e=q
2
=q
=q
3
5 e
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
21 주어진 식의 좌변을 정리하면
j2j-8k+j-2kj-8k+ j8
j-2k
=j-16l-j16k-j-4l+j4
=4i-4-2i+2
=-2+2i
+ j-8k
j-2k
22 ① a<0, b<0이므로 a @>0, ab>0
/ 1a #b2 =1a @\ab3=1a @2jabk
=|a|jabk=-ajabk
② a<0, b<0이므로 jajb=-jabk
③ a<0, b<0이므로 ja
jb
=q
④ a<0, b<0이므로 a @>0
a
b
b
/ q
a @ e= jb
1a @2
⑤ a<0, b<0이므로
= jb
|a|
=- jb
a
23 jajb=-jabk이고 ab=0이므로
a<0, b<0
! a<0이므로 -a>0
/ ja
j-ak
=q
a
-a e=j-1k=i
@ a0
=-q
=-j-1k=-i
/ jb-al
ja-bl
b-a
a-b e=-r
-{a-b}
a-b
y
!, @에 의하여
- jb-al
ja
j-ak
ja-bl
=i-{-i}=2i
따라서 1010+1011i=a+bi이므로 복소수가 서로 같을 조
건에 의하여 a=1010, b=1011
/ a+b=2021
1a @21b @2 =|a|\|b|={-a}\{-b}=ab
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 18
2017-10-30 오후 5:16:13
e
l
l
l
l
1차
24 -z=
1
z 에서 z @=-1
yy`㉠
z=a+bi`(a, b는 실수)라 하고, ㉠에 대입하면
{a+bi}@=-1
{a @-b @}+2abi=-1
복소수가 서로 같을 조건에 의하여
a @-b @=-1, 2ab=0
2ab=0에서 ab=0
/ a=0 또는 b=0
! a=0일 때
a @-b @=-1에서 b @=1
/ b=-1 또는 b=1
/ z=-i 또는 z=i
@ b=0일 때
a @-b @=-1에서 a @=-1
모든 실수 a에 대하여 a @>0이므로 a @=-1을 만족하
는 실수 a의 값은 존재하지 않는다.
!, @에 의하여 구하는 복소수 z는 -i, i의 2개이다.
25 ㄱ. z1=1, z2=i이면 z1k=1, z2k=-i이므로
@=1@+{-i}@=1-1=0
@+z2k
z1k
그런데 z1=0, z2=0이다.
ㄴ. z1=a+bi (a, b는 실수)라 하고, 이것을 z2=iz1에 대입
하면
z2=i{a+bi}=-b+ai
/ z2@={-b+ai}@=b @-a @-2abi
z1k=a-bi이므로
@={a-bi}@=a @-b @-2abi
z1k
㉠, ㉡에서 z1k
@=z2@`
ㄷ. z2=a+bi (a, b는 실수)라고 하면
z1=z2k=a-bi
/ z1+z2={a-bi}+{a+bi}=2a
실수
SG
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄷ이다.
26 x=0, y=0이므로 jxjy=-jxyk를 만족하려면
x<0, y<0
복소수 z를 (실수부분)+(허수부분)i의 꼴로 정리하면
z =x @+yi-2x-3-i
={x @-2x-3}+{y-1}i
z @=-9에서 (실수부분)=0이어야 하므로
x @-2x-3=0, {x+1}{x-3}=0
/ x=-1 또는 x=3
그런데 x<0이므로 x=-1
따라서 복소수 z={y-1}i이고, 이것을 z @=-9에 대입하면
9{y-1}i0@=-9, {y-1}@=9
y-1=-3 / y=-2 또는 y=4
그런데 y<0이므로 y=-2
/ x=-1, y=-2
+
1-3j3i+9i @-3j3i #
8
yy`㈎
27 x #+y #
=
=
1-j3i
2
1+j3i
2
[
]#+
[
1+3j3i+9i @+3j3i #
8
]#
=-1-1=-2
채점 기준
㈎ x, y의 값을 대입하여 전개한다.
㈏ x #+y #의 값을 구한다.
+
=1
x+y=
1+j3i
2
1+j3i
2
1-j3i
2
1-j3i
2
/ x #+y # ={x+y}#-3xy{x+y}
xy=
=1
\
=1#-3\1\1=-2
채점 기준
㈎ x+y, xy의 값을 구한다.
㈏ x #+y #의 식을 변형한다.
㈐ x #+y #의 값을 구한다.
28 z=a+bi (a, b는 실수)라고 하면 zk=a-bi
z, zk를 주어진 등식에 대입하면
{2-i}{a+bi}+4i{a-bi}=-1+4i
{2a+b}+{-a+2b}i+4ai+4b=-1+4i
/ {2a+5b}+{3a+2b}i=-1+4i
yy`㈎
yy`㉠
yy`㉡
복소수가 서로 같을 조건에 의하여
2a+5b=-1, 3a+2b=4
두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-1
/ z=2-i
채점 기준
㈎ z=a+bi로 놓고 z, z
k를 주어진 등식에 대입하여 정리
한다.
㈏ a, b의 값을 구한다.
㈐ 복소수 z를 구한다.
29 ⑴ ja jb=-jabk에서 a<0, b<0
c
에서 b<0, c>0
b
=-q
jc
jb
⑵ a<0, b<0이므로 a+b<0
b<0, c>0이므로 b-c<0
a<0, c>0이므로 c-a>0
/ 1{a+b}@3-1{b-c}@3+1{c-a}@3
=-{a+b}+{b-c}+{c-a}
=-a-b+b-c+c-a=-2a
채점 기준
㈎ a, b의 부호를 정한다.
㈏ c의 부호를 정한다.
㈐ a+b, b-c, c-a의 부호를 정한다.
㈑ 1{a+b}@3-1{b-c}@3+1{c-a}@3을 간단히 한다.
II. 방정식과 부등식 19
yy`㈏
배점
3점
2점
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
배점
2점
2점
1점
yy`㈏
yy`㈐
배점
3점
2점
1점
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
yy`㈑
배점
2점
1점
3점
2점
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 19
2017-10-31 오후 5:44:25
1차
8 강 이차방정식의 판별식
p. 38
1
⑴ 2x @+5x-3=0에서
{x+3}{2x-1}=0
/ x=-3 또는 x=
1
2
⑵ x @-4x+1=0에서 근의 공식을 이용하면
x=
-{-2}-1{-2}@-31\13
1
=2-j3
2 ⑴ 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면
D=3@-4\1\{-1}=13>0
따라서 서로 다른 두 실근을 갖는다.
⑵ 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면
D
4
={-2}@-3\5=-11<0
따라서 서로 다른 두 허근을 갖는다.
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 39
1 ⑴ 3x @-5x+2=0에서
{3x-2}{x-1}=0
/ x=
2
3 또는 x=1
따라서 실근이다.
⑵ x @+3x+6=0에서 근의 공식을 이용하면
x=
-3-13@-34\1\63
2\1
=
-3-j15ki
2
따라서 허근이다.
⑶ 2x @-4x+1=0에서 근의 공식을 이용하면
x=
-{-2}-1{-2}@3-2\13
2
=
2-j2
2
따라서 실근이다.
⑷ 2x @+x+3=0에서 근의 공식을 이용하면
x=
-1-11@-4\23\33
2\2
=
-1-j23ki
4
따라서 허근이다.
2 ⑴ 4x @+12x+9=0에서
{2x+3}@=0
/ x=-
3
2 (중근)
따라서 실근이다.
⑵ x @-7x-1=0에서 근의 공식을 이용하면
x=
-{-7}-1{-7}@-4\1\{-31}3
2\1
=
7-j53k
2
따라서 실근이다.
20 정답과 해설
⑶ 3x @-4x+7=0에서 근의 공식을 이용하면
ki
-{-2}-1{-2}@3-3\73
3
2-j17k
3
x=
=
따라서 허근이다.
⑷ x @+3x+3=0에서 근의 공식을 이용하면
x=
-3-13@-4\13\33
2\1
=
-3-j3i
2
따라서 허근이다.
3 이차방정식 x@-{2k-1}x+k@=0의 판별식을 D라고 하면
D=9-{2k-1}0@-4\1\k@=-4k+1
⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 D>0이어야 하므로
1
4
-4k+1>0 / k<
⑵ 중근을 가지려면 D=0이어야 하므로
-4k+1=0 / k=
1
4
⑶ 서로 다른 두 허근을 가지려면 D<0이어야 하므로
-4k+1<0 / k>
1
4
4 이차방정식 x @+2x+a+2=0의 판별식을 D라고 하면
=1@-1\{a+2}=-a-1
D
4
⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 D>0이어야 하므로
-a-1>0 / a<-1
⑵ 중근을 가지려면 D=0이어야 하므로
-a-1=0 / a=-1
⑶ 서로 다른 두 허근을 가지려면 D<0이어야 하므로
-a-1<0 / a>-1
5 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면
D=k @-4\1\{-k-1}=0
k@+4k+4=0
{k+2}@=0 / k=-2
따라서 이차방정식 x @-2x+1=0을 풀면
{x-1}@=0 / x=1
6 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면
=9-{m+1}0@-1\{m+3}=0
D
4
m@+m-2=0
{m+2}{m-1}=0
/ m=-2 또는 m=1
그런데 m>0이므로 m=1
따라서 이차방정식 x @-4x+4=0을 풀면
{x-2}@=0 / x=2
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 20
2017-10-31 오후 5:45:48
9 강 이차방정식의 근과 계수의 관계
3 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=3, ab=1이므로
{a+b}+ab=3+1=4
{a+b}\ab=3\1=3
따라서 구하는 이차방정식은
x @-4x+3=0
⑵ 이차방정식 2x @-3x+8=0의 두 근을 a, b라고 하면
이므로
4 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-
=-3, ab=-
6
2
3
2
1
⑴ 이차방정식 x @+2x-5=0의 두 근을 a, b라고 하면 근
p. 40
과 계수의 관계에 의하여
a+b=-
=-2, ab=
=-5
2
1
-5
1
근과 계수의 관계에 의하여
8
2
3
2 , ab=
a+b=-
-3
2
=
=4
2 ⑴ 두 근의 합과 곱을 구하면
{-1+j2}+{-1-j2}=-2
{-1+j2}{-1-j2}={-1}@-{j2}@=-1
따라서 구하는 이차방정식은
x @+2x-1=0
⑵ 두 근의 합과 곱을 구하면
{1+3i}+{1-3i}=2
{1+3i}{1-3i}=1@-{3i}@=1+9=10
따라서 구하는 이차방정식은
x @-2x+10=0
3 ⑴ 합이 4이고 곱이 -3인 두 수를 근으로 하고 x@의 계수
가 1인 이차방정식은 x@-4x-3=0이므로
x=2-j7
따라서 구하는 두 수는 2-j7, 2+j7이다.
⑵ 합이 -2이고 곱이 3인 두 수를 근으로 하고 x@의 계수
가 1인 이차방정식은 x@+2x+3=0이므로
x=-1-j2i
따라서 구하는 두 수는 -1-j2i, -1+j2i이다.
p. 41
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
⑴ a @+b @ ={a+b}@-2ab
=2@-2\3=-2
⑵
+
=
1
a
1
b
a+b
ab
=
2
3
2 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=4, ab=-4
⑴
+
b
a
a
b =
a @+b @
ab
=
{a+b}@-2ab
ab
=
4@-2\{-4}
-4
=-6
⑵ {a-b}@ ={a+b}@-4ab
=4@-4\{-4}=32
{a+1}+{b+1}=a+b+2=-3+2=-1
{a+1}{b+1} =ab+a+b+1
=-
-3+1=-
3
2
7
2
따라서 구하는 이차방정식은
x @+x-
=0
7
2
5 이차방정식 x @+2x+5=0의 근은 x=-1-2i이므로
x @+2x+5 =9x-{-1+2i}09x-{-1-2i}0
={x+1-2i}{x+1+2i}
6 이차방정식 x @-2x-2=0의 근은 x=1-j3이므로
x @-2x-2 =9x-{1+j3}09x-{1-j3}0
={x-1-j3}{x-1+j3}
7 계수가 실수인 이차방정식의 한 근이 2-i이므로 다른 한
근은 2+i이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
{2-i}+{2+i}=-a, {2-i}{2+i}=b
/ a=-4, b=5
x=2-i를 x @+ax+b=0에 대입하면
{2-i}@+a{2-i}+b=0
/ {2a+b+3}-{a+4}i=0
복소수가 서로 같을 조건에 의하여
2a+b+3=0, a+4=0 / a=-4, b=5
한 근은 1-j3i이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
{1+j3i}+{1-j3i}=-a
{1+j3i}{1-j3i}=-ab
/ a=-2, b=2
x=1+j3i를 x @+ax-ab=0에 대입하면
{1+j3i}@+a{1+j3i}-ab=0
/ {a-ab-2}+{a+2}j3i=0
복소수가 서로 같을 조건에 의하여
a-ab-2=0, a+2=0 / a=-2, b=2
II. 방정식과 부등식 21
1 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=2, ab=3
8 계수가 실수인 이차방정식의 한 근이 1+j3i이므로 다른
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 21
2017-10-30 오후 5:16:15
족집게 기출문제
08~09강
p. 42~45
@ -10일 때
x+1+x=2x@-3이므로
2x@-2x-4=0, 2{x+1}{x-2}=0
/ x=-1 또는 x=2
이때 x>0이므로 x=2
!, @, #에 의하여 주어진 이차방정식의 근은
x=
또는 x=2
-1-j5
2
4 ① 이차방정식 x @+2x+2=0의 판별식을 D라고 하면
=1@-1\2=-1<0
이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.
② 이차방정식 x @+3x+1=0의 판별식을 D라고 하면
D=3@-4\1\1=5>0
이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
③ 이차방정식 x @-6x+3=0의 판별식을 D라고 하면
={-3}@-1\3=6>0
이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
D={-5}@-4\2\1=17>0
이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
④ 이차방정식 2x @-5x+1=0의 판별식을 D라고 하면
⑤ 이차방정식 3x @-2x-2=0의 판별식을 D라고 하면
D
4
D
4
D
4
={-1}@-3\{-2}=7>0
이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
따라서 허근을 갖는 이차방정식은 ①이다.
5 이차방정식 ax @+bx+c=0의 판별식을 D라고 하면
D=b @-4ac={a+c}@-4ac={a-c}@>0
따라서 주어진 이차방정식은 실근을 갖는다.
6 이차방정식 x @-2{k-1}x+k@-k=0의 판별식을 D라고
하면
D
4
=9-{k-1}0@-{k@-k}>0, -k+1>0 / k<1
7 이차방정식 3x @-6x-a=0의 판별식을 D1이라고 하면
={-3}@-3\{-a}>0, 9+3a>0 / a>-3
D1
4
이차방정식 x @+2bx+b@+b+1=0의 판별식을 D2라고
=b@-{b@+b+1}<0, -b-1<0 / b>-1
하면
D2
4
이때 a, b는 정수이므로 a+b의 최솟값은
-3+0=-3
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 22
2017-10-30 오후 5:16:15
8 이차방정식 x @-2{k+a}x+k@+4k-2b=0의 판별식을
13 두 근을 a, 2a{a=0}라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여
이 등식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 k에 대하여
D라고 하면
D
4
2ak+a @-4k+2b=0
=9-{k+a}0@-{k@+4k-2b}=0
정리하면
2{a-2}k+a @+2b=0
따라서 a-2=0, a @+2b=0이므로
a=2, b=-2
/ a-b=4
9 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=2, ab=
4
3
/ a #+b# ={a+b}#-3ab{a+b}
4
3 \2
=2#-3\
=8-8=0
10 이차방정식 x @-3x+1=0의 판별식을 D라고 하면
D={-3}@-4\1\1=5>0
또 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=3, ab=1
즉, D>0, a+b>0, ab>0이므로
a>0, b>0
/ jak>0, jbk>0
{jak+jbk}@=a+b+2jabk=3+2\1=5
/ jak+jbk=-j5
그런데 jak+jbk>0이므로
jak+jbk=j5
11 이차방정식 x @+5x+1=0의 두 근이 a, b이므로
a @+5a+1=0, b @+5b+1=0
또 근과 계수의 관계에 의하여
ab=1
/ {a @+7a+1}{b @+7b+1}
=9{a @+5a+1}+2a09{b @+5b+1}+2b0
=2a\2b=4ab
=4\1=4
12 두 근을 a, a+2라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여
a+{a+2}=12, a{a+2}=k
/ a=5, k=35
두 근을 a, b라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=12, ab=k
{a-b}@={a+b}@-4ab에서
2@=12@-4k
/ k=35
yy`㉠
a+2a=m, 즉 3a=m
a\2a=16, 즉 a @=8
㉡에서 a=-2j2
그런데 m>0이므로 a>0 / a=2j2
이것을 ㉠에 대입하면 m=6j2
yy`㉡
14 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-k, ab=k+3
a @+b @={a+b}@-2ab에서
2={-k}@-2{k+3}
k@-2k-8=0, {k+2}{k-4}=0
/ k=-2 또는 k=4
그런데 k>0이므로 k=4
15 이차방정식 2x @-ax-1=0에서 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=
ab=-
a
2
1
2
yy`㉠
yy`㉡
또 이차방정식 x @+2x+b=0에서 근과 계수의 관계에 의하여
1
a
yy`㉢
=-2
1
b
+
1
a
\
=b
1
b
yy`㉣
㉢에서
=-2 / a+b=-2ab
a+b
ab
이 식에 ㉠, ㉡을 대입하면
a
2
㉣에서 b\ab=1
1
2 ] / a=2
=-2\
-
[
이 식에 ㉡을 대입하면
=1 / b=-2
-
b\
1
2 ]
/ a+b=0
[
16 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=4, ab=1이므로
a+1
a
+
b+1
b
=
b{a+1}+a{b+1}
ab
=
=
2ab+{a+b}
ab
ab+{a+b}+1
ab
2\1+4
1
=6
=
1+4+1
1
=6
a+1
a
\
b+1
b
=
따라서 구하는 이차방정식은 x @-6x+6=0
17 규리는 q의 값을 바르게 보고 풀었으므로 근과 계수의 관계
에 의하여 두 근의 곱은
q={-5}\{-1}=5
은지는 p의 값을 바르게 보고 풀었으므로 근과 계수의 관계
에 의하여 두 근의 합은
-p={3+2i}+{3-2i} / p=-6
/ p+q=-1
II. 방정식과 부등식 23
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 23
2017-10-30 오후 5:16:15
18 이차항의 계수가 1인 이차방정식 `f{x}=0의 두 근의 합이
이 이차방정식의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에
4이므로 두 근의 곱을 c (c는 상수)라고 하면
f{x}=x @-4x+c
/ f{2x+1} ={2x+1}@-4{2x+1}+c
=4x @-4x-3+c
따라서 이차방정식 f{2x+1}=0에서 근과 계수의 관계에
의하여
a+b=2, ab=-5
/ a #+b# ={a+b}#-3ab{a+b}
=2#-3\{-5}\2
=38
의하여 두 근의 합은
-
-4
4
=1
f{a}=0, f{b}=0이므로 이차방정식 f{2x+1}=0의 두
근은 2x+1=a 또는 2x+1=b에서
a-1
b-1
x=
2 또는 x=
2
따라서 이차방정식 f{2x+1}=0의 두 근의 합은
a-1
b-1
2 +
2 =
a+b-2
2
=
4-2
2
=1
19 계수가 실수인 이차방정식의 한 근이 3+i이므로 다른 한
근은 3-i이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
{3+i}+{3-i}=-p
{3+i}{3-i}=q
/ p=-6, q=10
/ p+q=4
한 근은 b+j3이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
{b-j3}+{b+j3}=4
{b-j3}{b+j3}=a
/ a=1, b=2
/ b-a=1
20 계수가 유리수인 이차방정식의 한 근이 b-j3이므로 다른
21 이차방정식 x@-4x+6=0에서 근의 공식을 이용하면
x=-{-2}-1{-2}@-63=2-j2i
/ x@-4x+6 =9x-{2+j2i}09x-{2-j2i}0
={x-2-j2i}{x-2+j2i}
따라서 두 일차식의 합은
{x-2-j2i}+{x-2+j2i}=2x-4
22 f{a}=3에서 f{a}-3=0
f{b}=3에서 f{b}-3=0
따라서 a, b는 이차방정식 f{x}-3=0의 두 근이다.
f{x}-3=0에서
{x @-2x-2}-3=0
/ x @-2x-5=0
24 정답과 해설
23 이차방정식 x @+ax+b=0의 두 근이 p, q이므로 근과 계
수의 관계에 의하여
p+q=-a, pq=b
이차방정식 bx @-ax+1=0의 두 근이 r, s이므로 근과 계
수의 관계에 의하여
r+s =-
=-
-a
b
p+q
pq
=
-
[
1
p ]
+
-
[
1
q ]
rs =
=
1
b
1
pq
=
-
[
1
p ]
\
-
[
1
q ]
/ r=-
1
p , s=-
-11
1
q , s=-
1
p
1
q <-1
01이고, -10
따라서 이차함수 y=x @+x-2의 그래프는 x축과 서로
yy`㈐
⑵ 이차방정식 x @-3x+1=3x-8, 즉 x @-6x+9=0의
다른 두 점에서 만난다.
⑵ 이차방정식 x @-2x+1=0의 판별식을 D라고 하면
={-1}@-1\1=0
D
4
따라서 이차함수 y=x @-2x+1의 그래프는 x축과 한
점에서 만난다(접한다).
⑶ 이차방정식 x @-4x+5=0의 판별식을 D라고 하면
={-2}@-1\5=-1<0
D
4
따라서 이차함수 y=x @-4x+5의 그래프는 x축과 만
나지 않는다.
2 ⑴ 이차방정식 x @-3x+1=x+2, 즉 x @-4x-1=0의
={-2}@-1\{-1}=5>0
판별식을 D라고 하면
D
4
따라서 이차함수 y=x @-3x+1의 그래프와 직선
y=x+2는 서로 다른 두 점에서 만난다.
={-3}@-1\9=0
판별식을 D라고 하면
D
4
따라서 이차함수 y=x @-3x+1의 그래프와 직선
y=3x-8은 한 점에서 만난다(접한다).
⑶ 이차방정식 x @-3x+1=2x-7, 즉 x @-5x+8=0의
판별식을 D라고 하면
D={-5}@-4\1\8=-7<0
따라서 이차함수 y=x @-3x+1의 그래프와 직선
y=2x-7은 만나지 않는다.
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 47
1 이차방정식 -x @+2x+k=0, 즉 x @-2x-k=0의 판별식을
D라고 하면
D
4
⑴ 이차함수 y=-x @+2x+k의 그래프가 x축과 서로 다
={-1}@-1\{-k}=1+k
른 두 점에서 만나려면 D>0이어야 하므로
1+k>0 / k>-1
⑵ 이차함수 y=-x @+2x+k의 그래프가 x축과 한 점에
서 만나려면 D=0이어야 하므로
1+k=0 / k=-1
II. 방정식과 부등식 25
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 25
2017-10-30 오후 5:16:16
가 만나지 않으려면 D<0이어야 하므로
⑵ 20이어야 하므로
4k+5>0 / k>-
5
4
⑵ 이차함수 y=x @-4x+1의 그래프와 직선 y=-x+k
가 한 점에서 만나려면 D=0이어야 하므로
4k+5=0 / k=-
5
4
⑶ 이차함수 y=x @-4x+1의 그래프와 직선 y=-x+k
4k+5<0 / k<-
5
4
4 이차함수 y=x @-3x+2k의 그래프가 직선 y=x-5와 만
나지 않으려면 이차방정식 x @-3x+2k=x-5, 즉
x @-4x+2k+5=0의 판별식을 D라고 할 때
D
4
-2k-1<0
={-2}@-1\{2k+5}<0
/ k>-
1
2
5 이차함수 y=x@+ax+b의 그래프와 x축의 교점의 x좌표
가 1, 3이므로 이차방정식 x@+ax+b=0의 두 근이 1, 3
이다.
(두 근의 합)=-a=1+3=4
(두 근의 곱)=b=1\3=3
따라서 a=-4, b=3이므로
a-b=-4-3=-7
6 이차함수 y=-x@+5의 그래프와 직선 y=ax+b의 교점
의 x좌표가 -4, 2이므로 이차방정식 -x@+5=ax+b,
즉 x@+ax+b-5=0의 두 근이 -4, 2이다.
(두 근의 합)=-a=-4+2=-2
(두 근의 곱)=b-5={-4}\2=-8
따라서 a=2, b=-3이므로
a+b=2-3=-1
26 정답과 해설
1 강
이차함수의 최대 · 최소
p. 48
1
⑴ y=x @+2의 그래프는 오른쪽 그
림과 같다.
따라서 x=0일 때 최솟값은 2이
고, 최댓값은 없다.
⑵ y=-x @+5의 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
따라서 x = 0일 때 최댓값은 5
이고, 최솟값은 없다.
x
x
y
2
O
y
5
O
-2
-3
y
1
y
1
-2
-3
2 ⑴ -10, 12-2x>0이므로
00, 20-2x>0이므로
00이므로 k=4
3 이차방정식 x @+{2k-1}x+k @=0의 판별식을 D라고 하
면
D={2k-1}@-4k @>0, -4k+1>0
/ k<
1
4
4 이차방정식 x @-2{a+k}x+k @+2k+b=0의 판별식을
D라고 하면
D
4
a @+2ak-2k-b=0
=9-{a+k}0@-{k @+2k+b}=0
이 식이 k에 대한 항등식이므로 k에 대하여 정리하면
{2a-2}k+a @-b=0
따라서 2a-2=0, a @-b=0이므로 a=1, b=1
/ a+b=2
5 이차방정식 -x @+2x+k-1=-2x+1, 즉
x @-4x-k+2=0의 판별식을 D라고 하면
D
4
={-2}@-1\{-k+2}>0
28 정답과 해설
k+2>0 / k>-2
따라서 실수 k의 값이 될 수 없는 것은 ①이다.
6 이차방정식 x @+5=2x+a, 즉 x @-2x-a+5=0의 판별식
={-1}@-1\{-a+5}<0
을 D라고 하면
D
4
a-4<0 / a<4
따라서 자연수 a는 1, 2, 3의 3개이다.
7 구하는 직선의 기울기는 -2이므로 직선의 방정식을
y=-2x+k (k는 상수)라고 하자.
이 직선이 이차함수 y=-x @+2x-3의 그래프와 접하므
로 이차방정식 -x @+2x-3=-2x+k, 즉
x @-4x+k+3=0의 판별식을 D라고 하면
D
4
-k+1=0 / k=1
={-2}@-1\{k+3}=0
8 주어진 그림에서 이차함수 y=x @+mx+1의 그래프와 직
선 y=-x+n의 교점의 x좌표가 -3, 1이므로 -3, 1은
이차방정식 x @+mx+1=-x+n, 즉
x @+{m+1}x+1-n=0의 두 근이다.
근과 계수의 관계에 의하여
-3+1=-{m+1}, {-3}\1=1-n
따라서 m=1, n=4이므로
m+n=5
9 직선이 두 이차함수의 그래프의 두 교점을 지나므로
ax@-bx+9=-x+3에서 ax@-{b-1}x+6=0
2x@-5x-3=-x+3에서 2x@-4x-6=0
위 두 이차방정식의 근이 같다.
/ a=-2, b-1=-4
따라서 a=-2, b=-3이므로
a-b=-2-{-3}=1
10 y =2x@-4kx-2k+3
=2{x-k}@-2k@-2k+3
이므로 주어진 이차함수는 x=k에서
최솟값 -2k@-2k+3을 갖는다.
즉, f{k}=-2k@-2k+3이므로
f{k}=-2k@-2k+3=-2
[
k+
따라서 f{k}의 최댓값은 k=-
7
2
1
2 ]@+
7
2 이다.
1
2 일 때
11 x의 값의 범위가 실수 전체인 이차함수 f{x}=ax @+bx+c
가 x=1에서 최솟값 2를 가지므로 꼭짓점의 좌표는 {1, 2}
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 28
2017-10-30 오후 5:16:18
이다.
/ f{x}=a{x-1}@+2
주어진 조건에서 f{2}=4이므로
a+2=4 / a=2
/ f{x} =2{x-1}@+2
=2x @-4x+4
따라서 a=2, b=-4, c=4이므로
2a+b+c=4
12 y =x @-2x-2
={x-1}@-3
이므로 -20이므로
2-x>0 / x<2
그런데 x>0이므로
00이므로
2-4x>0
/ x<
1
2
이 식의 양변의 계수를 비교하면
2a+b=b+2, a+b+1=1
/ a=1, b=-1
따라서 구하는 이차함수의 식은
f{x} =x @-x+1
x-
=
[
1
2 ]@+
이므로 00이므로
f{a}<0
yy`㉠
f{b}=-{b-c}@에서 {b-c}@>0이므로
f{b}<0
f{c}=2{c-a}{c-b}에서 c-a>0, c-b>0이므로
f{c}>0
따라서 ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 y=f{x}
yy`㉡
yy`㉢
의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므
로
a0이므로 100-x>0
/ x<100
그런데 x>0이므로 0
125
3 이므로 자연수 h의 최솟값은 42이다.
따라서 구하는 최솟값은
3-13=-10
채점 기준
㈎ 최댓값을 갖는 x의 값을 구한다.
㈏ k의 값을 구한다.
㈐ 최솟값을 갖는 x의 값을 구한다.
㈑ 최솟값을 구한다.
yy`㈑
배점
2점
1점
2점
1점
25 튀김 1인분의 가격을 50x원 올리면 튀김 1인분의 가격은
{3000+50x}원, 하루 판매량은 {100-x}인분이 되므로
하루 판매 금액을 y원이라고 하면
y ={3000+50x}{100-x}
=-50x@+2000x+300000
=-50{x-20}@+320000
yy`㈎
즉, x=20일 때 하루 판매 금액이 최대가 된다. yy`㈏
이때의 튀김 1인분의 가격은
3000+50x=4000(원)
yy`㈐
채점 기준
㈎ 하루 판매 금액에 대한 이차함수의 식을 세운다.
㈏ 하루 판매 금액이 최대가 되는 x의 값을 구한다.
㈐ 하루 판매 금액이 최대가 되는 튀김 1인분의 가격을 구한
다.
배점
3점
2점
2점
23 이차함수 y=x @+x+a+b의 그래프가 점 {-1, 3}을 지
나므로
3=1-1+a+b
yy`㉠
yy`㈎
/ a+b=3
이차함수 y=x @+x+a+b의 그래프와 직선 y=-x+2b
가 접하므로 이차방정식 x @+x+a+b=-x+2b, 즉
x @+2x+a-b=0의 판별식을 D라고 하면
D
4
/ a-b=1
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=1
/ a-2b=0
yy`㈏
yy`㈐
yy`㈑
=1@-1\{a-b}=0
yy`㉡
채점 기준
㈎ 그래프가 지나는 점을 이용하여 식을 세운다.
㈏ 직선과의 위치 관계를 이용하여 식을 세운다.
㈐ a, b의 값을 구한다.
㈑ a-2b의 값을 구한다.
배점
2점
2점
1점
1점
2 강
삼차방정식과 사차방정식
p. 54
1
⑴ x #-8=0에서 {x-2}{x @+2x+4}=0
/ x=2 또는 x=-1-j3i
⑵ x$+27x=0에서 x{x #+27}=0
x{x+3}{x @-3x+9}=0
/ x=0 또는 x=-3 또는 x=
3-3j3i
2
24 ⑴ y=3x @+6x+k
=3{x+1}@+k-3
이므로 0y이므로 x=2, y=1
6 방정식 2xy-2x-y=-4에서
2xy-2x-y+1=-3, {2x-1}{y-1}=-3
이때 x, y가 정수이므로 2x-1, y-1도 정수이다.
이다.
x+1
y+1
▼
1
x
y
2
3
2
1
2
1
3
2
2
1
4
4
2x-1 -3
y-1
-1
3
▼
0
-1
x
y
x+y
1
-3
1
-2
-1
3
-1
2
0
2
따라서 x+y의 최댓값은 4이다.
7 방정식 x@+y@-4x+2y+5=0에서
{x@-4x+4}+{y@+2y+1}=0
{x-2}@+{y+1}@=0
이때 x, y가 실수이므로
x=2, y=-1
8 방정식 x@+5y@-4xy-2y+1=0에서
{x@-4xy+4y@}+{y@-2y+1}=0
{x-2y}@+{y-1}@=0
이때 x, y가 실수이므로
x=2y, y=1 / x=2, y=1
계산력 다지기
p. 58~59
1 ⑴ x=1(중근) 또는 x=2
⑵ x=-1 또는 x=1-j3
⑶ x=-3 또는 x=
1
2 또는 x=1
⑷ x=-5 또는 x=-1 또는 x=1{중근}
-5-j17k
2
⑸ x=-1 또는 x=2 또는 x=
⑹ x=-1(중근) 또는 x=
3-j17k
2
⑺ x=-3 또는 x=1 또는 x=-1-j2
⑻ x=-2 또는 x=- j6
2
2 x#=1에서 x#-1=0, {x-1}{x@+x+1}=0
따라서 x, xk는 x@+x+1=0의 근이므로
x#=1, xk
x+xk=-1, xxk=1
⑵ -1
⑴ -1
⑹ 1
⑸ -1
#=1, x@+x+1=0, xk @+xk+1=0
⑶ 1
⑺ -1
⑷ -1
⑻ 1
3 ⑴ -
x+y=1
x@-2y@=1
yy`㉠
yy`㉡
㉠에서 y=-x+1을 ㉡에 대입하면
x@-2{-x+1}@=1, x@-4x+3=0
{x-1}{x-3}=0
x=3
또는 -
y=-2
x=1
/ -
y=0
2x-y=3
2x@-y@=7
⑵ -
yy`㉠
yy`㉡
㉠에서 y=2x-3을 ㉡에 대입하면
2x@-{2x-3}@=7, x@-6x+8=0
{x-2}{x-4}=0
x=4
y=5
x=2
또는 -
/ -
y=1
3x-y=0
16x@-2xy-y@=1
⑶ -
yy`㉠
yy`㉡
㉠에서 y=3x를 ㉡에 대입하면
16x@-6x@-9x@=1, x@=1
/ -
x=-1
y=-3
(복부호 동순)
II. 방정식과 부등식 35
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 35
2017-10-30 오후 5:16:21
⑴ -
x=1
y=0
x=3
또는 -
y=-2
⑵
⑶ -
x=-1
y=-3
(복부호 동순)
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑽
⑷ -
x-2y=1
x@-xy-y@=5
yy`㉠
yy`㉡
㉠에서 x=2y+1을 ㉡에 대입하면
{2y+1}@-{2y+1}y-y@=5, y@+3y-4=0
{y+4}{y-1} =0
x=-7
y=-4
또는 -
/ -
x@-3xy+2y@=0
x=3
y=1
⑸ -
2x@-y@=49
yy`㉠
yy`㉡
㉠의 좌변을 인수분해하면 {x-y}{x-2y}=0
/ x=y 또는 x=2y
! x=y를 ㉡에 대입하면
2y@-y@=49, y@=49
/ y=-7, x=-7 (복부호 동순)
@ x=2y를 ㉡에 대입하면
8y@-y@=49, y@=7
/ y=-j7, x=-2j7 (복부호 동순)
!, @에 의하여 주어진 연립방정식의 해는
x=-2j7
x=-7
-
y=-7
y=-j7
x@-2xy-3y@=0
(복부호 동순)
또는 -
⑹ -
x@-xy-y@=5
yy`㉠
yy`㉡
㉠의 좌변을 인수분해하면 {x+y}{x-3y}=0
/ x=-y 또는 x=3y
! x=-y를 ㉡에 대입하면
y@+y@-y@=5, y@=5
/ y=-j5, x=_j5 (복부호 동순)
@ x=3y를 ㉡에 대입하면
9y@-3y@-y@=5, y@=1
/ y=-1, x=-3 (복부호 동순)
!, @에 의하여 주어진 연립방정식의 해는
x=-3
x=-j5
-
y=_j5
x@-y@=0
2x@-y@+2x-3=0
yy`㉠
yy`㉡
(복부호 동순)
또는 -
y=-1
⑺ -
㉠의 좌변을 인수분해하면
{x+y}{x-y}=0
/ x=-y 또는 x=y
! x=-y를 ㉡에 대입하면
2y@-y@-2y-3=0, y@-2y-3=0
{y+1}{y-3}=0 / y=-1 또는 y=3
/ y=-1일 때 x=1, y=3일 때 x=-3
@ x=y를 ㉡에 대입하면
2y@-y@+2y-3=0, y@+2y-3=0
{y+3}{y-1}=0 / y=-3 또는 y=1
/ y=-3일 때 x=-3, y=1일 때 x=1
!, @에 의하여 주어진 연립방정식의 해는
x=-3
x=1
-
y=-1
또는 -
또는 -
x=-3
y=-3
y=3
x=1
또는 -
y=1
36 정답과 해설
⑻ -
x@-xy-2y@=0
x@-3y@-2y+4=0
yy`㉠
yy`㉡
㉠의 좌변을 인수분해하면
{x+y}{x-2y}=0
/ x=-y 또는 x=2y
! x=-y를 ㉡에 대입하면
y@-3y@-2y+4=0, y@+y-2=0
{y+2}{y-1}=0
/ y=-2 또는 y=1
/ y=-2일 때 x=2, y=1일 때 x=-1
@ x=2y를 ㉡에 대입하면
4y@-3y@-2y+4=0, y@-2y+4=0
/ y=1-j3i, x=2-2j3i (복부호 동순)
!, @에 의하여 주어진 연립방정식의 해는
x=-1
x=2
-
y=-2
또는 -
y=1
(복부호 동순)
또는 -
x=2-2j3i
y=1-j3i
x+y=xy+1
⑼ -
x+y-1=4xy
에서
{x+y}-xy=1
-
{x+y}-4xy=1
x+y=1
xy=0
/ -
이때 x, y는 이차방정식 t@-t=0의 두 근이므로
t{t-1}=0
/ t=0 또는 t=1
x=0
y=1
또는 -
/ -
xy-x-y=-1
x=1
y=0
⑽ -
x@+y@=10
에서
xy-{x+y}=-1
-
{x+y}@-2xy=10
x+y=u, xy=v라고 하면
yy`㉠
yy`㉡
v-u=-1
-
u@-2v=10
㉠에서 v=u-1을 ㉡에 대입하면
u@-2{u-1}=10, u@-2u-8=0
{u+2}{u-4}=0
/ u=-2 또는 u=4
/ -
u=-2
v=-3
또는 -
u=4
v=3
이므로 x, y를 두 근
x+y=-2
x+y=4
xy=-3
즉, -
또는 -
으로 하는 t에 대한 이차방정식을 만들면
! x+y=-2, xy=-3일 때
xy=3
t@+2t-3=0, {t+3}{t-1}=0
/ t=-3 또는 t=1
/ x=-3일 때 y=1, x=1일 때 y=-3
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 36
2017-10-30 오후 5:16:21
@ x+y=4, xy=3일 때
t@-4t+3=0, {t-1}{t-3}=0
/ t=1 또는 t=3
/ x=1일 때 y=3, x=3일 때 y=1
!, @에 의하여 주어진 연립방정식의 해는
x=-3
-
y=1
또는 -
또는 -
y=-3
x=1
x=1
y=3
또는 -
x=3
y=1
4 ⑴ {3, 7}, {7, 3}
⑵ {-4, -2}, {-2, -4}, {0, 2}, {2, 0}
⑶ {1, -3}
⑷ {1, -1}
족집게 기출문제
12~13강
p. 60~63
1 ⑤
2 x=-6 또는 x=1 또는 x=
4 ①
9 ③
14 3`cm
19 ①
24 -2
3 ③
8 9
13 ②
18 4j2
23 ④
27 ⑴ a=-1, b=-6 ⑵ x=-1-j2i
28 38 또는 83
5 ④
10 ②
15 3
20 ③
25 ①
6 ⑤
11 ③
16 ④
21 5
26 -6
-5-j39ki
2
7 ②
12 ④
17 ⑤
22 ③
1 P{x}=2x #-4x @-3x+6이라고 하면 P{2}=0이므로 조
립제법을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
2 2 -4 -3
6
0 -6
0
4
0 -3
2
P{x}={x-2}{2x @-3}
따라서 주어진 방정식은
{x-2}{2x @-3}=0
/ x=2 또는 x=- j6
2
따라서 주어진 삼차방정식의 근 중 가장 큰 근은 2이다.
2 주어진 방정식을 변형하면
9{x+1}{x+4}09{x+2}{x+3}0-120=0
{x @+5x+4}{x @+5x+6}-120=0
x @+5x=X로 놓으면
{X+4}{X+6}-120=0, X @+10X-96=0
{X-6}{X+16}=0
X=x @+5x를 다시 대입하면
{x @+5x-6}{x @+5x+16}=0
{x+6}{x-1}{x @+5x+16}=0
/ x=-6 또는 x=1 또는 x=
-5-j39ki
2
3 x$+3x @+4=0에서
{x$+4x @+4}-x @=0
{x @+2}@-x @=0, {x @+x+2}{x @-x+2}=0
/ x=
-1-j7i
2
또는 x=
1-j7i
2
따라서 서로 다른 네 근의 합은 0이다.
4 주어진 방정식에 x=0을 대입하면 등호가 성립하지 않는
다. 즉, x=0이므로 주어진 방정식의 양변을 x @으로 나누
x @+2x-1+
+
2
x
1
x @
x @+
1
x @ ]
+2
x+
[
1
x ]
-1=0
x+
1
x ]@+2
[
x+
-3=0
=0, [
1
x ]
면
/ [
1
x
x+
=X로 놓으면
X @+2X-3=0, {X+3}{X-1}=0
/ X=-3 또는 X=1
! X=-3일 때
1
x
=-3에서 x @+3x+1=0
x+
이 이차방정식의 판별식을 D1이라고 하면
D1=3@-4\1\1=5>0
이므로 이 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
@ X=1일 때
1
x
x+
=1에서 x @-x+1=0
이 이차방정식의 판별식을 D2라고 하면
D2={-1}@-4\1\1=-3<0
이므로 이 이차방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다.
!, @에 의하여 a+
=-3
1
a
5 사차방정식 x$-ax#-{3a+1}x@+8x+6a=0에 x=-1
을 대입하면
1+a-{3a+1}-8+6a=0, 4a=8
/ a=2
사차방정식 x$-2x#-7x@+8x+12=0에서
P{x}=x$-2x#-7x@+8x+12라고 하면 P{-1}=0,
P{2}=0이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면
8
-1 1 -2 -7
12
4 -12
3
0
2 1 -3 -4
12
2 -2 -12
0
1 -1 -6
-1
P{x} ={x+1}{x-2}{x@-x-6}
={x+1}{x-2}{x+2}{x-3}
따라서 주어진 방정식은
{x+1}{x-2}{x+2}{x-3}=0
/ x=-2 또는 x=-1 또는 x=2 또는 x=3
따라서 가장 큰 근과 가장 작은 근의 합은
3+{-2}=1
II. 방정식과 부등식 37
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 37
2017-10-30 오후 5:16:21
6 P{x}=x #+{a-1}x-a라고 하면 P{1}=0이므로 조립
제법을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
9 삼차방정식 2x #-7x @+ax+b=0의 세 근을 k, 2k,
4k{k>0}라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여
1 1
1
0 a-1 -a
a
1
1
0
a
1
P{x}={x-1}{x @+x+a}
따라서 주어진 방정식은
{x-1}{x @+x+a}=0
/ x=1 또는 x @+x+a=0
이때 주어진 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 갖기 위해
서는 이차방정식 x @+x+a=0이 x=1인 서로 다른 두 실
근을 가져야 한다.
! x=1은 이차방정식 x @+x+a=0의 근이 아니어야 하
므로
1+1+a=0 / a=-2
@ 이차방정식 x @+x+a=0의 판별식을 D라고 하면
D=1-4a>0 / a<
1
4
!, @에 의하여
a<-2 또는 -22이므로 x=3
따라서 처음 정육면체의 한 모서리의 길이는 3`cm이다.
15 상자의 밑면의 가로의 길이와 세로의 길이는 각각
{20-2x}`cm, {16-2x}`cm이므로
x{20-2x}{16-2x}=420
4x{x-10}{x-8}=420
x#-18x@+80x-105=0
P{x}=x#-18x@+80x-105라고 하면
P{3}=0이므로 조립제법을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
3 1 -18
80 -105
105
0
3 -45
35
1 -15
P{x}={x-3}{x@-15x+35}
P{x}=0에서 {x-3}{x@-15x+35}=0
15-j85k
2
/ x=3 또는 x=
따라서 자연수 x의 값은 3이다.
16 -
x+y=2
x @+xy+y @=7
yy`㉠
yy`㉡
㉠에서 y=2-x를 ㉡에 대입하면
x @+x{2-x}+{2-x}@=7, x @-2x-3=0
{x+1}{x-3}=0 / x=-1 또는 x=3
이것을 y=2-x에 각각 대입하면
x=-1일 때 y=3, x=3일 때 y=-1
따라서 a=-1, b=3 또는 a=3, b=-1이므로
ab=-3
17 -
2x+y=k
x @+y @=5
yy`㉠
yy`㉡
㉠에서 y=k-2x를 ㉡에 대입하면
x @+{k-2x}@=5 / 5x @-4kx+k@-5=0
주어진 연립방정식이 한 쌍의 해를 가지므로 이차방정식
5x @-4kx+k@-5=0의 판별식을 D라고 하면
D
4
/ k=-5 또는 k=5
={-2k}@-5{k@-5}=0, k@=25
18 -
x @-4xy+3y @=0
x @-3xy+4y @=8
yy`㉠
yy`㉡
㉠의 좌변을 인수분해하면
{x-y}{x-3y}=0
/ x=y 또는 x=3y
! x=y를 ㉡에 대입하면
y @-3y @+4y @=8, y @=4 / y=-2
/ y=2일 때 x=2, y=-2일 때 x=-2
@ x=3y를 ㉡에 대입하면
9y @-9y @+4y @=8, y @=2 / y=-j2
/ y=j2일 때 x=3j2, y=-j2일 때 x=-3j2
!, @에 의하여 x+y=-4 또는 x+y=-4j2
따라서 x+y의 최댓값은 4j2
19 처음 꽃밭의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 x`m, y`m
yy`㉠
yy`㉡
라고 하면
x @+y @=100
{x+3}{y+3}=xy+51 / y=14-x
㉡을 ㉠에 대입하면
x @+{14-x}@=100, x @-14x+48=0
{x-6}{x-8}=0 / x=6 또는 x=8
이것을 ㉡에 각각 대입하면
x=6일 때 y=8, x=8일 때 y=6
따라서 가로의 길이와 세로의 길이의 차는 2`m이다.
II. 방정식과 부등식 39
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 39
2017-10-30 오후 5:16:22
20 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 x`cm, y`cm라고 하면
xy=30 / xy=60
x @+y @=169
1
2
/ {x+y}@=x @+y @+2xy=169+2\60=289
이때 x>0, y>0이므로 x+y=17
x+y=17, xy=60이므로 x, y는 t에 대한 이차방정식
t@-17t+60=0의 두 근이다.
{t-5}{t-12}=0
/ t=5 또는 t=12
x=5
x=12
y=12
또는 -
/ -
따라서 짧은 변의 길이는 5`cm이다.
y=5
21 주어진 식의 좌변을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면
2x @-2{y+1}x+y @-2y+5=0
yy`㉠
x가 실수이므로 x에 대한 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라
=9-{y+1}0@-2{y @-2y+5}>0
고 하면
D
4
y @-6y+9<0, {y-3}@<0
이때 y도 실수이므로
y-3=0 / y=3
y=3을 ㉠에 대입하면
2x @-8x+9-6+5=0
x @-4x+4=0, {x-2}@=0
/ x=2 (중근)
따라서 x=2, y=3이므로
x+y=5
22 두 사람이 모은 장난감의 개수를 각각 x, y{x>y}라고 하면
xy=2{x-y}+13
xy-2x+2y-4=9
/ {x+2}{y-2}=9
이때 x, y가 자연수이므로 x + 2는 3 이상의 자연수이고
y-2는 -1 이상의 정수이다.
x+2
y-2
3
3
9
1
▶
x
y
1
5
7
3
따라서 x, y는 x>y인 자연수이므로
x-y=7-3=4
23 P{x}=x #-10x @+{a+16}x-2a라고 하면 P{2}=0이
므로 조립제법을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
2 1 -10 a+16 -2a
2a
0
2 -16
a
1 -8
P{x}={x-2}{x @-8x+a}
따라서 주어진 방정식은
40 정답과 해설
{x-2}{x @-8x+a}=0
/ x=2 또는 x @-8x+a=0
이때 주어진 삼차방정식의 세 근이 이등변삼각형의 세 변
의 길이이므로 이차방정식 x @-8x+a=0이 x=2를 근으
로 가지거나 중근을 가져야 한다.
! x=2를 근으로 가질 때
2@-8\2+a=0 / a=12
이때 x @-8x+12=0에서
{x-2}{x-6}=0 / x=2 또는 x=6
따라서 삼차방정식의 세 근은 2, 2, 6
그런데 2+2<6이므로 삼각형의 세 변의 길이가 될 수
@ 중근을 가질 때
={-4}@-a=0 / a=16
이차방정식 x @-8x+a=0의 판별식을 D라고 하면
D
4
이때 x @-8x+16=0에서
{x-4}@=0 / x=4`(중근)
따라서 삼차방정식의 세 근은 2, 4, 4
이때 2+4>4이므로 삼각형의 세 변의 길이가 될 수 있
없다.
다.
!, @에 의하여 구하는 세 변의 길이는 2, 4, 4이다.
24 x는 삼차방정식 x#=1, 즉 {x-1}{x@+x+1}=0의 한
허근이므로
x#=1, x@+x+1=0
! n=3k+1 (k는 음이 아닌 정수)일 때
xN=x#K"!={x#}K\x=x
x@N=x^K"@={x#}@K\x@=x@
1+xN
x@N
1+x
x@
/ f{n}=
=
=
-x@
x@
=-1
@ n=3k+2 (k는 음이 아닌 정수)일 때
xN=x#K"@={x#}K\x@=x@
x@N=x^K"$={x#}@K"!\x=x
1+xN
x@N
1+x@
x
/ f{n}=
=
=
-x
x
=-1
# n=3k+3 (k는 음이 아닌 정수)일 때
xN=x#K"#={x#}K"!=1
x@N=x^K"^={x#}@K"@=1
1+xN
1+1
1
x@N
/ f{n}=
=
=2
!, @, #에 의하여
f{1}+f{2}+f{3}+y+f{50}
=9 f{1}+f{4}+y+f{49}0
+9 f{2}+f{5}+y+f{50}0
+9 f{3}+f{6}+y+f{48}0
={-1}\17+{-1}\17+2\16=-2
25 주어진 이차방정식의 정수인 두 근을 a, b라고 하면 근과
계수의 관계에 의하여
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 40
2017-10-30 오후 5:16:23
a+b=k
ab=k+2
yy`㉠
yy`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
ab=a+b+2
ab-a-b=2
a{b-1}-{b-1}-1=2
/ {a-1}{b-1}=3
이때 a, b가 정수이므로 a-1, b-1도 정수이다.
a-1 -1 -3
b-1 -3 -1
1
3
3
1
▶
a
0 -2
b -2
0
2
4
4
2
㉠에서 k=a+b이므로
k=-2 또는 k=6
따라서 모든 상수 k의 값의 곱은
{-2}\6=-12
26 삼차방정식 x #-6x @+7x-3=0의 세 근이 a+1, b+1,
yy`㉠
yy`㉡
c+1이므로 근과 계수의 관계에 의하여
{a+1}+{b+1}+{c+1}=6
{a+1}{b+1}+{b+1}{c+1}+{c+1}{a+1}=7
{a+1}{b+1}{c+1}=3
㉠에서 a+b+c=3
㉡에서 {ab+bc+ca}+2{a+b+c}+3=7
/ ab+bc+ca=-2
㉢에서 abc+{ab+bc+ca}+{a+b+c}+1=3
yy`㈐
/ abc=1
삼차방정식 x #+ax @+bx+c=0의 세 근이 a, b, c이므로
yy`㉢
yy`㈎
yy`㈏
근과 계수의 관계에 의하여
a+b+c=-a, ab+bc+ca=b, abc=-c
따라서 a=-3, b=-2, c=-1이므로
abc=-6
27 ⑴ 주어진 방정식에 x=-1, x=2를 각각 대입하면
채점 기준
㈎ a+b+c의 값을 구한다.
㈏ ab+bc+ca의 값을 구한다.
㈐ abc의 값을 구한다.
㈑ a, b, c의 값을 구한다.
㈒ abc의 값을 구한다.
1-1+a+7+b=0에서
a+b=-7
yy`㉠
16+8+4a-14+b=0에서
4a+b=-10
yy`㉡
㉠-㉡을 하면
-3a=3
/ a=-1
yy`㈑
yy`㈒
배점
1점
2점
2점
2점
1점
a=-1을 ㉠에 대입하면
-1+b=-7
/ b=-6
yy`㈎
⑵ x $+x #-x @-7x-6=0에서
P{x}=x$+x #-x @-7x-6이라고 하면 P{-1}=0,
P{2}=0이므로 조립제법을 이용하여 P{x}를 인수분
해하면
-1 1
2 1
1
-1
1 -1 -7 -6
6
0
1
0
0 -1 -6
6
4
2
0
3
2
P{x}={x+1}{x-2}{x @+2x+3}
yy`㈏
따라서 주어진 사차방정식은
{x+1}{x-2}{x @+2x+3}=0
/ x=-1 또는 x=2 또는 x=-1-j2i
따라서 나머지 두 근은
x=-1-j2i
채점 기준
㈎ a, b의 값을 구한다.
㈏ 사차방정식의 좌변을 인수분해한다.
㈐ 나머지 두 근을 구한다.
yy`㈐
배점
2점
3점
2점
28 처음 자연수의 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자를
y라고 하면
x @+y @=73
{10y+x}+{10x+y}=121
/ x+y=11
따라서 주어진 조건을 연립방정식으로 나타내면
x @+y @=73 yy`㉠
yy`㉡
x+y=11
-
㉡에서 y=11-x를 ㉠에 대입하면
x @+{11-x}@=73
x @-11x+24=0
{x-3}{x-8}=0
/ x=3 또는 x=8
이것을 y=11-x에 각각 대입하면
x=3일 때 y=8, x=8일 때 y=3
따라서 처음 자연수는 38 또는 83이다.
채점 기준
㈎ 주어진 조건을 이용하여 연립방정식을 세운다.
㈏ 연립방정식의 해를 구한다.
㈐ 처음 자연수를 구한다.
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
배점
2점
3점
1점
II. 방정식과 부등식 41
18고등수학(상)_내공의힘_해설(001~041)4교.indd 41
2017-10-30 오후 5:16:23
1
⑴ 해설내용-
1
2
2 해설내용-
1
2
1
2
해설내용-
해설
4 강
연립일차부등식
p. 64
1
x<3
x>-4
⑴
-
yy ㉠
yy ㉡
따라서 ㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같으므로 구
하는 연립부등식의 해는
㉠
㉡
-4
3
x
-43
x<7
⑵
-
yy ㉠
yy ㉡
따라서 ㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같으므로 구
하는 연립부등식의 해는
3-6에서 x>-2
-2x>2에서 x<-1
yy ㉠
yy ㉡
따라서 ㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같으므로 구
하는 연립부등식의 해는
㉡
㉠
-2
-1
x
-2-2에서 x>-
1
2
-2x<4에서 x>-2
yy ㉠
yy ㉡
따라서 ㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같으므로 구
하는 연립부등식의 해는
x>-
1
2
㉡
㉠
x
-2
-
2!
2 ⑴ |x-1|<6에서 -63에서 x+2<-3 또는 x+2>3
⑶ |3x-7|>2에서 3x-7<-2 또는 3x-7>2
/ x<-5 또는 x>1
/ x<
5
3 또는 x>3
⑷ |5-2x|<9에서 -9<5-2x<9
/ -25-x에서 x>2
2-3x<7-4x에서 x<5
yy ㉠
yy ㉡
따라서 ㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같으므로 구
㉡
㉠
2-2의 양변에 6을 곱하면
3{x-1}+2{2-x}>-12
/ x>-13
3
2
yy ㉠
0.2-
2-15x<7-20x
/ x<1
yy ㉡
x<0.7-2x의 양변에 10을 곱하면
따라서 ㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같으므로 구
하는 연립부등식의 해는
-137-x에서
㉡
㉠
-13
1
x
2x-5>7-x / x>4
x-2<13-4x에서 x<3
yy ㉠
yy ㉡
따라서 ㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같으므로 구하
㉡
㉠
는 연립부등식의 해는 없다.
3
4
x
2 ⑴ 2{x-2}-3x<5-{1-x}에서
-x-4<4+x / x>-4
1.6-0.2x>3-0.4x의 양변에 10을 곱하면
16-2x>30-4x / x>7
yy ㉠
yy ㉡
따라서 ㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같으므로 구
하는 연립부등식의 해는
㉡
㉠
-4
7
x
x>7
2x+1
3
⑵
2+3x
-1>
2 의 양변에 6을 곱하면
2{2x+1}-6>3{2+3x}, 4x-4>6+9x
/ x<-2
3x+2
5
2-x
2
20+2{3x+2}>5{2-x}+10x
/ x>-14
yy ㉡
yy ㉠
+x의 양변에 10을 곱하면
2+
>
따라서 ㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같으므로 구
하는 연립부등식의 해는
㉡
㉠
-14
-2
x
-143-2x의 양변에 2를 곱하면
yy ㉠
3x-1>2{3-2x}, 3x-1>6-4x
/ x>1
1.2-0.3x<1.4-0.5x의 양변에 10을 곱하면
12-3x<14-5x
/ x<1
yy ㉡
따라서 ㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같으므로
㉡
x=1
㉠
1
x
하는 연립부등식의 해는
2
5
x
구하는 연립부등식의 해는
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 42
2017-10-30 오후 5:01:11
3 ⑴ 주어진 부등식을 연립부등식으로 변형하면
5 ⑴ 부등식 x+2<|6-3x|에서
㉣
㉢
-1
0
x
! x>3일 때
! x<2일 때
x+2<6-3x / x<1
그런데 x<2이므로 x<1
@ x>2일 때
x+2<-{6-3x} / x>4
그런데 x>2이므로 x>4
!, @에 의하여 x<1 또는 x>4
⑵ 부등식 |2x-6|<3x-4에서
2x-6<3x-4 / x>-2
그런데 x>3이므로 x>3
@ x<3일 때
-{2x-6}<3x-4 / x>2
그런데 x<3이므로 22
6 ⑴ 부등식 |3x-1|<4+x에서
1
3 일 때
! x>
3x-1<4+x / x<
5
2
그런데 x>
1
3 이므로
1
3
-
그런데 x<
1
3 이므로 -
5
3
4 |3-x|에서
!, @에 의하여 -
3
4
! x<3일 때
2{3x+1}>3-x / x>
1
7
-2<-3{x+1}+1
-3{x+1}+1<1
-
부등식 ㉠에서 -2<-3x-2
/ x<0
부등식 ㉡에서 -3x-2<1
/ x>-1
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
yy ㉣
따라서 ㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같으므로 구
하는 연립부등식의 해는
-11
6-x<2x+3
yy ㉣
따라서 ㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내면
⑵ 주어진 부등식을 연립부등식으로 변형하면
오른쪽 그림과 같으므로 구
하는 연립부등식의 해는
1-
3
4
부등식 ㉡에서 4x-1<2x+3
/ x<2
yy ㉣
따라서 ㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같으므로 구
하는 연립부등식의 해는
-
-2
부등식 ㉡에서 5x+2<4x+2
/ x<0
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
yy ㉣
따라서 ㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같으므로 구
하는 연립부등식의 해는
-23일 때
2{3x+1}>-{3-x} / x>-1
그런데 x>3이므로 x>3
!, @에 의하여 x>
1
7
7 ⑴ 부등식 |x+1|>9-|2x-4|에서
! x<-1일 때
-{x+1}>9+{2x-4} / x<-2
그런데 x<-1이므로 x<-2
@ -19+{2x-4} / x<-4
그런데 -12일 때
x+1>9-{2x-4} / x>4
그런데 x>2이므로 x>4
!, @, #에 의하여
x<-2 또는 x>4
⑵ 부등식 3|2-x|<5|x+4|+10에서
! x<-4일 때
3{2-x}<-5{x+4}+10 / x<-8
그런데 x<-4이므로 x<-8
@ -4-3
그런데 -42일 때
-3{2-x}<5{x+4}+10 / x>-18
그런데 x>2이므로 x>2
!, @, #에 의하여
x<-8 또는 x>-3
8 ⑴ 부등식 |2x+1|+|x-3|<8에서
1
2 일 때
! x<-
-{2x+1}-{x-3}<8 ∴ x>-2
그런데 x<-
1
2 이므로 -23일 때
2x+1+x-3<8 ∴ x<
그런데 x>3이므로 311에서
-2{x-1}+3{4-x}>11 ∴ x<
3
5
그런데 x<1이므로 x<
3
5
@ 111 ∴ x<-1
그런데 14일 때
2{x-1}-3{4-x}>11 ∴ x>5
그런데 x>4이므로 x>5
!, @, #에 의하여
3
5 또는 x>5
x<
44 정답과 해설
5 강
이차부등식
p. 66
1
이차함수 y=f{x}의 그래프는 x축과 두 점 {1, 0}, {4, 0}
에서 만난다.
따라서 이 그래프에서 y<0인 x의 값의 범위는 13인 이차부등
식은
{x+1}{x-3}>0 / x@-2x-3>0
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
1 ⑴ f{x}=x @-3x-10이라고 하면
f{x}={x+2}{x-5}
이므로 y=f{x}의 그래프는 오른쪽
그림과 같이 x축과 두 점 {-2, 0},
{5, 0}에서 만난다.
따라서 구하는 부등식의 해는
f{x}<0인 x의 값의 범위와 같으므로
-20
f{x}=2x @-7x+5라고 하면
f{x} ={x-1}{2x-5}
이므로 y=f{x}의 그래프는 오른
쪽 그림과 같이 x축과 두 점
{1, 0},
[
5
2 , 0
]
에서 만난다.
y=f{x}
y
5
O 1
x
2%
따라서 구하는 부등식의 해는 f{x}>0인 x의 값의 범
위와 같으므로
x<1 또는 x>
5
2
⑶ 주어진 부등식을 정리하면 x @-10x+25<0
f{x}=x @-10x+25라고 하면
f{x} ={x-5}@
이므로 y=f{x}의 그래프는 오른쪽
그림과 같이 x축과 한 점 {5, 0}에
서 만난다.
따라서 구하는 부등식의 해는 f{x}<0
인 x의 값의 범위와 같으므로
x=5
y=f{x}
y
25
O 5
x
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 44
2017-10-30 오후 5:01:12
2 ⑴ f{x}=x @-9x+14라고 하면
f{x}={x-2}{x-7}
y
14
y=f{x}
-20인 x의 값의 범
O 2
x
7
위와 같으므로
x<2 또는 x>7
⑵ 주어진 부등식의 양변에 -1을 곱하면
3x @+4x-4<0
f{x}=3x @+4x-4라고 하면
f{x}={x+2}{3x-2}
y
y=f{x}
{-2, 0},
이므로 y=f{x}의 그래프는 오른
쪽 그림과 같이 x축과 두 점
2
3 , 0
따라서 구하는 부등식의 해는
f{x}<0인 x의 값의 범위와 같으므로
에서 만난다.
]
[
O-2
x
3@
-4
-20
f{x}=x @+6x+9라고 하면
f{x}={x+3}@
y=f{x} y
9
이므로 y=f{x}의 그래프는 오른쪽
그림과 같이 x축과 한 점 {-3, 0}에
서 만난다.
따라서 구하는 부등식의 해는 f{x}>0인 x의 값의 범
위와 같으므로 x=-3인 모든 실수이다.
-3
O
x
⑷ 주어진 부등식을 정리하면
x @+5x+7>0
f{x}=x @+5x+7이라고 하면 이차
방정식 x @+5x+7=0의 판별식 D
y=f{x} y
는
D=5@-4\1\7=-3<0
7
xO
이므로 y=f{x}의 그래프는 오른쪽
그림과 같이 x축과 만나지 않는다.
따라서 이 그래프에서 f{x}>0인 x의 값의 범위는 모
3 ⑴ 부등식 f{x}>g{x}의 해는
y
y=f{x}
이차함수 y = f { x }의 그래프가
직선 y=g{x}보다 위쪽에 있는
부분의 x의 값의 범위와 같으므로
x<-2 또는 x>0
⑵ 부등식 f{x}g{x}의 해는 이차
함수 y=f{x}의 그래프가 직선
y=g{x}보다 위쪽에 있거나 만
나는 부분의 x의 값의 범위와 같
y
y=g{x}
-2
3O
x
으므로
-23
y
y=f{x}
y=g{x}
-2
3O
x
y=f{x}
5 해가 -16이고 x@의 계수가 1인 이차부등식은
{x+2}{x-6}>0 / x@-4x-12>0
주어진 이차부등식과 부등호의 방향이 다르므로 a<0
위 부등식의 양변에 a를 곱하면
ax@-4ax-12a<0
이 부등식은 이차부등식 ax@+bx+12<0과 일치하므로
-4a=b, -12a=12
/ a=-1, b=4
7 f{x}=x @+ax+a+8이라고 하면 y=f{x}의 그래프는
아래로 볼록하다.
따라서 모든 실수 x에 대하여 부등식 x @+ax+a+8>0이
성립하려면 이차방정식 x @+ax+a+8=0의 판별식 D는
D=a @-4\1\{a+8}<0, a @-4a-32<0
{a+4}{a-8}<0
II. 방정식과 부등식 45
든 실수이므로 구하는 부등식의 해는 모든 실수이다.
/ -40
{3a+1}{a-1}>0 / a<- 1
3
또는 a>1
6 강
연립이차부등식
p. 68
이차함수 y=f{x}의 그래프에서 y>0인 x의 값의 범위는
x<-1 또는 x>2이므로 부등식 f{x}>0의 해는
x<-1 또는 x>2
yy`㉠
이차함수 y=g{x}의 그래프에서 y>0인 x의 값의 범위는
-30의 해는
-30 / k<-1 yy ㉠
고 판별식을 D라고 하면 두 근이 모두 양수이므로
D
4
a+b=2>0
ab=k+2>0 / k>-2
yy ㉡
따라서 ㉠, ㉡을 수직선 위
에 나타내면 오른쪽 그림과
같으므로 구하는 실수 k의
값의 범위는 -20 / k>-1
=1@-{k+1}>0 / k<0
yy ㉠
yy ㉡
따라서 ㉠, ㉡을 수직선 위
에 나타내면 오른쪽 그림과
같으므로 구하는 실수 k의
값의 범위는 -1x-6에서 x>1
yy`㉠
4x @-5x-21<0에서 {4x+7}{x-3}<0
∴ -
0, {x+3}{x-5}>0
∴ x<-3 또는 x>5
3x @+7<4x @-5x+1에서
x @-5x-6>0, {x+1}{x-6}>0
yy`㉠
∴ x<-1 또는 x>6
yy`㉡
㉡
㉠
-3 -1
따라서 ㉠, ㉡을 수직선
위에 나타내면 오른쪽 그
림과 같으므로 구하는 연
립부등식의 해는
x<-3 또는 x>6
㉡
㉠
65
x
⑶ 주어진 부등식을 연립부등식으로 변형하면
2x+30, {x+1}{x-3}>0
∴ x<-1 또는 x>3
부등식 ㉡에서 x @-4x-12<0, {x+2}{x-6}<0
∴ -20, {x+5}{x-1}>0
∴ x<-5 또는 x>1
부등식 ㉡에서 x @-x-6<0, {x+2}{x-3}<0
∴ -27에서 3x-5<-7 또는 3x-5>7
∴ x<-
2
3 또는 x>4
2x @-5x-7<3{x+1}에서 x @-4x-5<0
{x+1}{x-5}<0 ∴ -14x @-5에서
3x @+x-10<0, {x+2}{3x-5}<0
yy`㉠
∴ -20, {2x-1}{x-4}>0
yy`㉢
⑷ 주어진 부등식을 연립부등식으로 변형하면
∴ x<
1
2 또는 x>4
yy`㉣
따라서 ㉢, ㉣을 수직선
㉣
위에 나타내면 오른쪽 그
림과 같으므로 구하는 연
2!
립부등식의 해는 -10, {x+1}{x-2}>0
∴ x<-1 또는 x>2
부등식 ㉡에서 x @-x-6>0, {x+2}{x-3}>0
∴ x<-2 또는 x>3
yy`㉣
yy`㉢
따라서 ㉢, ㉣을 수직선
㉣
위에 나타내면 오른쪽 그
㉢
-2-1
림과 같으므로 구하는 연
립부등식의 해는 x<-2 또는 x>3
㉣
㉢
32
x
3 직사각형의 한 변의 길이를 x`cm라고 하면 다른 한 변의
길이는 {14-x} cm이므로 240, {x-4}{x-10}>0
∴ x<4 또는 x>10
yy`㉢
yy`㉣
㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내
㉣
면 오른쪽 그림과 같으므로
㉣
㉢
2
4
10
12
x
연립부등식의 해는
20, x>0, 3x+1>0 ∴ x>
yy`㉠
1
3
이때 세 변 중 가장 긴 변의 길이는 3x+1이다.
삼각형이 만들어질 조건에 의하여
3x+12
둔각삼각형이 되려면
{3x+1}@>x @+{3x-1}@, x @-12x<0
yy`㉡
x{x-12}<0 ∴ 00, k@+4k-5>0
하고 판별식을 D라고 하면 두 근이 모두 양수이므로
D
4
{k+5}{k-1}>0
/ k<-5 또는 k>1
a+b=2k>0 / k>0
yy`㉠
yy`㉡
ab=-4k+5>0 / k<
yy`㉢
따라서 ㉠, ㉡, ㉢을 수직
㉢
5
4
㉠
-5
㉡
㉠
10
k
4%
선 위에 나타내면 오른쪽
그림과 같으므로 구하는
실수 k의 값의 범위는
10, k@+4k-5>0
하고 판별식을 D라고 하면 두 근이 모두 음수이므로
D
4
{k+5}{k-1}>0
/ k<-5 또는 k>1
a+b=2k<0 / k<0
yy`㉡
yy`㉠
ab=-4k+5>0 / k<
yy`㉢
따라서 ㉠, ㉡, ㉢을 수직
선 위에 나타내면 오른쪽
그림과 같으므로 구하는
실수 k의 값의 범위는 k<-5
5
4
㉠
-5
㉢
㉡
㉠
10
k
4%
II. 방정식과 부등식 47
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 47
2017-10-30 오후 5:01:14
㉡
㉠
0
2 3
k
y=f{x}
2k
x
6 ⑴ 이차방정식 x@+kx-k+3=0의 두 실근을 a, b라 하
고 판별식을 D라고 하면 두 근이 모두 양수이므로
D=k@-4{-k+3}>0, k@+4k-12>0
{k+6}{k-2}>0
/ k<-6 또는 k>2
a+b=-k>0 / k<0
ab=-k+3>0 / k<3
yy`㉠
yy`㉢
yy`㉡
따라서 ㉠, ㉡, ㉢을 수직
선 위에 나타내면 오른쪽
그림과 같으므로 구하는
실수 k의 값의 범위는 k<-6
㉢
㉡
㉠
-6
㉠
0
2 3
k
⑵ 이차방정식 x@+kx-k+3=0의 두 실근을 a, b라 하
고 판별식을 D라고 하면 두 근이 모두 음수이므로
D=k@-4{-k+3}>0, k@+4k-12>0
{k+6}{k-2}>0
/ k<-6 또는 k>2
a+b=-k<0 / k>0
ab=-k+3>0 / k<3
yy`㉠
yy`㉢
yy`㉡
따라서 ㉠, ㉡, ㉢을 수직
㉢
선 위에 나타내면 오른쪽
그림과 같으므로 구하는
실수 k의 값의 범위는 20에서 1-4k+3k+1>0
/ k<2
yy`㉠
2k>1에서 k>
yy`㉡
1
2
이차방정식 f{x}=0의 판별식을 D라고 하면
D
4
={-2k}@-{3k+1}>0, 4k@-3k-1>0
{4k+1}{k-1}>0
/ k<- 1
4
또는 k>1
yy`㉢
따라서 ㉠, ㉡, ㉢을 수직선
㉢
위에 나타내면 오른쪽 그림
과 같으므로 구하는 실수 k의
값의 범위는 10에서 1+2k-3k+4>0
/ k<5
yy`㉠
48 정답과 해설
㉢
㉡
㉠
-
4!
2!
1
2
k
y=f{x}
-k
1
x
-k<1에서 k>-1
이차방정식 f{x}=0의 판별식을 D라고 하면
D
4
=k@-{-3k+4}>0, k@+3k-4>0
yy`㉡
{k+4}{k-1}>0
/ k<-4 또는 k>1
yy`㉢
따라서 ㉠, ㉡, ㉢을 수직선
㉢
위에 나타내면 오른쪽 그림
과 같으므로 구하는 실수 k의
값의 범위는 10
⑸ ! x<1일 때
⑵ 11
⑷ -10
그런데 x<1이므로 02일 때
{x-1}+{x-2}<3 / x<3
그런데 x>2이므로 27 / x<-3
그런데 x<-2이므로 x<-3
@ -23일 때
{3-x}+{x+2}>7, 0\x>2 / 해는 없다.
-{3-x}+{x+2}>7 / x>4
그런데 x>3이므로 x>4
!, @, #에 의하여 x<-3 또는 x>4
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 48
2017-10-30 오후 5:01:14
1차
4 ⑴ -1-2
⑷ x<-4 또는 x>2
⑸ 모든 실수
⑹ 해는 없다.
5 ⑴ 2x-3<15-4x에서 x<3
yy`㉠
x@-5x+4<0에서 {x-1}{x-4}<0
/ 1-3
2{3x-1}>8x+a에서
6x-2>8x+a, x<-
a+2
2
주어진 연립부등식의 해가 -32x-8에서 x@-5x+6>0
2x+5>-2 / x>-
yy`㉡
⑵ 2x@-x<15에서 2x@-x-15<0
{2x+5}{x-3}<0 / -
5
2 0에서 {x+2}{x-4}>0
/ x<-2 또는 x>4
㉠, ㉡에서 -
4x-6에서 x@-4x+3>0
{x-1}{x-3}>0
/ x<1 또는 x>3
㉠, ㉡에서 -62-x@에서 x@-3x+2>0
{x-1}{x-2}>0
/ x<1 또는 x>2
yy`㉡
㉠, ㉡에서 -10
/ x<2 또는 x>3
4-2x@>x@-4x에서 3x@-4x-4<0
{3x+2}{x-2}<0
yy`㉠
/ -
0일 때
x@-2x-3<0, {x+1}{x-3}<0
/ -10이므로 00에서 {x+2}{x-6}>0
/ x<-2 또는 x>6
㉠, ㉡에서 -34-3x에서 x>
3
2
㉠, ㉡에서
3
2
② 1.2x+1.7<-1.5-2x에서
-2에서
yy`㉠
7
2
1
2
1
2
㉠, ㉡에서 -
2x에서
2x-3>8x / x<-
yy`㉠
2-5x<3-3x에서 x>-
yy`㉡
㉠, ㉡에서 x=-
1
2
④ 2x-3<1-{x-2}에서
2x-3<-x+3 / x<2
yy`㉠
3-2x<
x-4에서
3
2
6-4x<3x-8 / x>2
yy`㉡
㉠, ㉡에서 해는 없다.
⑤ 3x-2<2{x-2}+3에서
3x-2<2x-1 / x<1
2{x-2}+3<5-x에서
2x-1<5-x / x<2
㉠, ㉡에서 x<1
yy`㉠
yy`㉡
따라서 해가 존재하지 않는 연립부등식은 ④이다.
II. 방정식과 부등식 49
18고등수학(상)_내공의힘 해설(042~079)오.indd 49
2017-10-31 오후 5:42:14
3 부등식 2|1-x|+3|x+1|<9에서
! x<-1일 때
2{1-x}-3{x+1}<9 ∴ x>-2
그런데 x<-1이므로 -21일 때
-2{1-x}+3{x+1}<9 ∴ x<
8
5
그런데 x>1이므로 1-3
그런데 x<-2이므로 -31일 때
2{x+2}+{x-1}<6 ∴ x<1
그런데 x>1이므로 x=1
!, @, #에 의하여 -3g{x}의 해는 이
차함수 y =f {x}의 그래프가
이차함수 y=g{x}의 그래프
보다 위쪽에 있는 x의 값의 범
위와 같으므로 -10일 때
x @-x-6<0, {x+2}{x-3}<0
∴ -20이므로 00이므로 |x|-3<0
|x|<3 ∴ -34이고 x @의 계수가 2인 이차부등식은
2{x-4}{x-b}>0
∴ 2x @-2{4+b}x+8b>0
이 이차부등식이 2x @-12x+4a>0과 같으므로
2{4+b}=12, 8b=4a ∴ a=4, b=2
∴ a+b=6
9 이차함수 y=x @-ax+b의 그래프가 직선 y=x+2보다
아래쪽에 있으려면
x @-ax+b2에서 f{x}<0이어야 하므로
y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림과
같아야 한다.
f{2}<0에서
-4+4+3a+1<0 ∴ a<-
따라서 실수 a의 최댓값은 -
1
3
1
3 이다.
11 x만 원 인상하면 스캐너 한 대의 가격은 {10+x}만 원이
고, 월 판매량은 {100-4x}대이다.
(총 판매액)=(스캐너 한 대의 가격)\(월 판매량)이므로
{10+x}{100-4x}>1200, x @-15x+50<0
{x-5}{x-10}<0 ∴ 50이 모든 실수 x
에 대하여 성립하므로
! a-1>0 ∴ a>1
@ 이차방정식 {a-1}x @-2{a-1}x+1=0의 판별식을
D라고 하면
D
4
∴ 10에서 {x+5}{x+1}>0
yy`㉠
∴ x<-5 또는 x>-1
x @+4x-21<0에서 {x+7}{x-3}<0
∴ -70에서 {x+2}{x-3}>0
yy`㉠
∴ x<-2 또는 x>3
2x @-{2a+3}x+3a<0에서
{2x-3}{x-a}<0
yy`㉡
이때 두 부등식을 동시에 만족하는 정수 x의 값이 4뿐이도
록 ㉠과 ㉡의 해를 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다.
㉡
㉠
3
a4
5
x
2#
즉, ㉡의 해는
0에서 {x-c}{x-d}>0
`∴ xd
㉠, ㉡의 공통부분이 30
{x+9}{x-4}>0
∴ x<-9 또는 x>4
그런데 x>0이므로 x>4
부등식 ㉡에서 x @+5x-66<0
{x+11}{x-6}<0
yy`㉠
yy`㉡
yy`㉢
∴ -110이므로 00
a @-4a>0, a{a-4}>0
yy`㉠
∴ a<0 또는 a>4
이차방정식 x @+2{3a+1}x+4a @+9=0이 허근을 가지
므로 이 이차방정식의 판별식을 D2라고 하면
D2
4
={3a+1}@-{4a @+9}<0
5a @+6a-8<0, {a+2}{5a-4}<0
∴ -20
즉, -{2a @+a-15}>0에서
2a @+a-15<0, {a+3}{2a-5}<0
∴ -30
이므로 서로 다른 두 실근을 가진다.
이때 a>0, b>0, c>0이므로
(두 근의 합)=-
<0
(두 근의 곱)=
>0
b
a
c
a
은 모두 음수이다.
가진다.
21 x @+5x+6=0에서 {x+3}{x+2}=0
∴ x=-3 또는 x=-2
즉, 이차방정식 x @-ax+2=0의 두 근 중에서 한 근만이
-3과 -2 사이에 있어야 하므로 f{x}=x @-ax+2라고
하면 y=f{x}의 그래프는 다음 그림과 같다.
y=f{x}
y=f{x}
-3
-2
-2
x
-3
x
f{-3}f{-2}<0이므로 {3a+11}{2a+6}<0
∴ -
yy`㉡
41
2
52 정답과 해설
㉠, ㉡에서
6
∴ 2|x+3|+|x-3|>6
@ -33일 때
=x+9
=3x+3
그런데 x>3이므로 3x+3>12
∴ 2|x+3|+|x-3|>12
!, @, #에 의하여
2|x+3|+|x-3|>6
따라서 주어진 부등식이 해를 가지려면
k>6
24 2x+y=k (k는 실수)라고 하면
y=-2x+k
이 식을 2x @+y @=1에 대입하면
2x @+{-2x+k}@=1
yy`㉠
∴ 6x @-4kx+k@-1=0
이 방정식을 만족하는 실수 x가 존재해야 하므로 x에 대
한 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라고 하면
D
4
∴ -j30, k@-3<0
25 n이 정수일 때, [x-n]=[x]-n이므로
[x-2]=[x]-2
즉, 부등식 [x-2]@-[x]-10<0에서
{[x]-2}@-[x]-10<0
[x]@-5[x]-6<0
{[x]+1}{[x]-6}<0
∴ -1<[x]<6
그런데 [x]는 정수이므로
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 52
2017-10-30 오후 5:01:16
1차
[x]=-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
[x]=-1일 때, -10의 해가 같으므로
a<0
yy`㉠
yy`㈎
부등식 ㉠의 양변에 a를 곱하면 ax @+ax-2a>0
이 부등식이 부등식 ax @-bx+c>0과 같으므로
a=-b, -2a=c
∴ b=-a, c=-2a
yy`㈏
⑵ b=-a, c=-2a를 부등식 2cx @+3bx+a<0에 대입
하면 -4ax @-3ax+a<0
이때 -a>0이므로 이 부등식의 양변을 -a로 나누면
4x @+3x-1<0
{x+1}{4x-1}<0
∴ -1g{x}에서 ax @-2ax+3>-3x @+6x+1
yy`㉠ yy`㈎
{a+3}x @-2{a+3}x+2>0
! a+3=0, 즉 a=-3일 때
부등식 ㉠에서 0\x @-0\x+2>0이므로 모든 실수
x에 대하여 성립한다.
∴ a=-3
yy`㈏
@ a+3=0, 즉 a=-3일 때
yy`㉡
부등식 ㉠이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면
a+3>0 ∴ a>-3
이차방정식
D라고 하면
D
4
a @+4a+3<0, {a+3}{a+1}<0
∴ -3g{x}를 x에 대한 이차부등식으로 나타낸다.
㈏ 부등식의 x @의 계수가 0일 때, a의 값을 구한다.
㈐ 부등식의 x @의 계수가 0이 아닐 때, a의 값의 범위를
구한다.
㈑ a의 값의 범위를 구한다.
yy`㈐
yy`㈑
배점
1점
2점
2점
1점
28 x @-2x-15<0에서 {x+3}{x-5}<0
yy`㉠ yy`㈎
yy`㉡
∴ -31, 즉 a>
1
2 일 때
부등식 ㉡의 해는 1
1
2 이므로 21일 때, a의 값의 범위를 구한다.
㈒ a의 값의 범위를 구한다.
yy`㈑
yy`㈒
배점
1점
2점
1점
2점
1점
II. 방정식과 부등식 53
{a+3}x @-2{a+3}x+2=0의 판별식을
채점 기준
18고등수학(상)_내공의힘 해설(042~079)오.indd 53
2017-10-31 오후 5:41:50
7 강
두 점 사이의 거리
p. 76
1
⑴ AB
⑵ AB
⑶ AB
⑷ AB
=|-2-7|=9
=|-8|=8
=|5-{-1}|=6
=|-4-{-3}|=1
2 ⑴ AB
⑵ AB
⑶ AB
⑷ AB
=1{5-1}@+{4-1}@3=5
=11@+{-36}@3=j37k
=1{3-3}@+92-{3-6}0@3=8
=190-{-5}0@+{-34-0}@3=j41k
3 점 C는 x축 위의 점이므로 점 C
의 좌표는 C{a, 0}
OB
=OC
이므로 점 B의 좌표는
y
A{-a, b}
D{a, b}
B{-a, 0}
=CD
AB
A{-a, b}
이므로 점 A의 좌표는
B{-a, 0} C{a, 0}
O
x
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 77
1 AB
=10이므로
194-{-2}0@+{a-33}@3=10
양변을 제곱하여 정리하면 a @-6a-55=0
{a+5}{a-11}=0 ∴ a=-5 또는 a=11
2 AB
=OB
@이므로
Z
{-1-a}@+{1-2}@={-1}@+1@
@=OB
에서 AB
Z
a @+2a=0, a{a+2}=0
∴ a=-2 또는 a=0
3 AB
BC
@=95-{-1}0@+{-1-1}@=40
Z
@={6-5}@+92-{-1}0@=10
Z
@={-1-6}@+{1-2}@=50
CA
Z
@=CA
@+BC
따라서 AB
Z
Z
CB=90!인 직각삼각형이다.
@이므로 삼각형 ABC는
Z
4 AB
BC
@=94-{-2}0@+{-4-0}@=52
Z
@={5-4}@+94-{-4}0@=65
Z
@={-2-5}@+{0-4}@=65
CA
Z
@이므로 BC
@=CA
Z
Z
=CA
BC
54 정답과 해설
5 점 P가 x축 위의 점이므로 점 P의 좌표를 P{a, 0}이라고
@이므로
@=BP
에서 AP
하면 AP
Z
Z
{a-2}@+{0-4}@={a-9}@+{0-3}@
=BP
a @-4a+20=a @-18a+90
14a=70 ∴ a=5
따라서 구하는 점 P의 좌표는
P{5, 0}
6 점 P가 y축 위의 점이므로 점 P의 좌표를 P{0, a}라고
@=BP
에서 AP
Z
하면 AP
{0-4}@+{a-1}@={0-2}@+9a-{-1}0@
@이므로
Z
=BP
a @-2a+17=a @+2a+5
-4a=-12 ∴ a=3
따라서 구하는 점 P의 좌표는
P{0, 3}
7 오른쪽 그림과 같이 △ABC
에서 점 A, B, C, M의 좌
표를 각각 A{a, b},
B {-c, 0}, C{c, 0},
y
A{a, b}
AC
이므로
AB
B{-c, 0} MO
C{c, 0}
x
M{0, 0}이라고 하면
AB
@=9a-{-c}0@+{b-0}@={a+c}@+b @,
@={a-c}@+{b-0}@={a-c}@+b @
@+AC
@ =9 {a+c}@ +b @0+9 {a-c}@ +b @0
=2{a @+b @+c @}
또 AM
2{AM
@=a @+b @, BM
@+BM
@=c @이므로
@}=2{a @+b @+c @}
@=2{AM
@+BM
@+AC
따라서 AB
∴ ㈎ {-c, 0} ㈏ {a+c}@ ㈐ {a-c}@
@}이 성립한다.
8 오른쪽 그림과 같이 사각형
A B C D에서 점 A, B, C,
D의 좌표를 각각 A {0, b} ,
B{0, 0}, C {a, 0} ,
D{a, b}라 하고, 임의의 점 P
의 좌표를 P{x, y}라고 하면
y
P{x, y}
A{0, b}
D{a, b}
O B
C{a, 0}
x
PA
PC
@={x-0}@+{y-b}@=x @+{y-b}@,
@={x-a}@+{y-0}@={x-a}@+y @
이므로
@+PC
PA
Z
또 PB
PB
@+PD
따라서 PA
@=9x @+ {y-b}@ 0+9 {x-a}@ +y @0
Z
@=x @+y @, PD
@={x-a}@+{y-b}@이므로
@ = x @+y @ +9{x-a}@+{y-b}@0
=9x @+{y-b}@0+9{x-a}@+y @0
@이 성립한다.
@+PD
@+PC
Z
@=PB
Z
/ ㈎ {0, b} ㈏ {a, 0} ㈐ {y-b}@ ㈑ {x-a}@
따라서 삼각형 ABC는 BC
=CA
인 이등변삼각형이다.
㈒ x @+y @
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 54
2017-10-30 오후 5:01:17
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
8 강
선분의 내분점과 외분점
1
를 2：1로 내분하는 점 P의 좌표를 구하면
p. 78
AB
2\4+1\{-2}
2+1
AB
2\4-1\{-2}
2-1
를 2：1로 외분하는 점 Q의 좌표를 구하면
=2 ∴ P{2}
=10 ∴ Q{10}
2 AB
를 2：3으로 내분하는 점 P의 좌표는
2\{-2}+3\3
2+3
,
2\1+3\{-4}
2+3
[
∴ P{1, -2}
AB
2\{-2}-3\3
2-3
[
∴ Q{13, -14}
를 2：3으로 외분하는 점 Q의 좌표는
,
2\1-3\{-4}
2-3
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 79
]
]
]
]
1 AB
를 5：1로 내분하는 점 P의 좌표는
5\{-9}+1\3
5+1
5\4+1\{-2}
5+1
,
[
∴ P{3, -7}
AB
를 3：1로 외분하는 점 Q의 좌표는
3\{-9}-1\3
3-1
3\4-1\{-2}
3-1
,
[
∴ Q{7, -15}
따라서 PQ
3+7
2 ,
-7-15
2
]
[
의 중점의 좌표는
∴ {5, -11}
2 AB
를 1：4로 내분하는 점 P의 좌표는
를 2：3으로 외분하는 점 Q의 좌표는
,
1\7+4\2
1+4
]
,
2\2-3\7
2-3
]
1\{-2}+4\3
1+4
[
∴ P{2, 3}
BA
2\3-3\{-2}
2-3
[
∴ Q{-12, 17}
따라서 PQ
2-12
2
,
[
의 중점의 좌표는
3+17
2
]
∴ {-5, 10}
3 AP
=3BP
에서 AP
：BP
=3：1
오른쪽 그림에서 점 P는 AB
를 3：1
로 외분하는 점이므로
3\1-1\{-5}
3-1
[
∴ P{4, 5}
,
3\3-1\{-1}
3-1
]
A
：BP
AP
=3：1이므로 오른쪽 그림
를 2：1로 내분하
에서 점 B는 AP
3
2
1
B
P
는 점이다.
점 P의 좌표를 P{a, b}라고 하면
2\a+1\{-5}
2+1
=1,
2\b+1\{-1}
2+1
A
=3
∴ a=4, b=5 ∴ P{4, 5}
4 5AP
AP
=3BP
에서
=3：5
：BP
5
3
A
B
오른쪽 그림에서 점 P는 AB
3：5로 외분하는 점이므로
를
P
3\3-5\{-1}
3-5
[
∴ P{-7, 1}
,
3\{-4}-5\{-2}
3-5
]
：BP
AP
=3：5이므로 오른쪽 그림
를 3：2로 내분하
에서 점 A는 PB
는 점이다.
점 P의 좌표를 P{a, b}라고 하면
3\3+2\a
3+2
3\{-4}+2\b
3+2
=-1,
P
=-2
∴ a=-7, b=1 ∴ P{-7, 1}
5
2
B
3
A
5 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.
따라서 두 대각선 AC, BD의 중점이 일치하므로
1-7
-2+b
2
2
-5+3
2
a+2
2
=
=
,
∴ a=-8, b=0
6 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.
따라서 두 대각선 AC, BD의 중점이 일치하므로 점 D의
좌표를 D{a, b}라고 하면
3+{-3}
2
-1+a
2
∴ a=1, b=-1 ∴ D{1, -1}
3+1
2
5+b
2
=
=
,
7 △ABC의 무게중심의 좌표가 {b, -3}이므로
-2+3+5
3
=b,
-1+a-4
3
=-3
∴ a=-4, b=2
3
1
B
P
8 점 C의 좌표를 C{a, b}라고 하면 △ABC의 무게중심의
좌표가 {2, 1}이므로
-2+3+a
3
=2,
-1+4+b
3
=1
∴ a=5, b=0 ∴ C{5, 0}
III. 도형의 방정식 55
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 55
2017-10-30 오후 5:01:17
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
5 AB
BC
CA
@={-3-1}@+{-2-1}@=25
@={4+3}@+{-3+2}@=50
@={1-4}@+{1+3}@=25
@이고, AB
@=CA
따라서 AB
는 AB
=AC
@+CA
이고 ∠A=90!인 직각이등변삼각형이다.
@이므로 △ABC
@=BC
6 OA
=OB
! OA
=AB
@=OB
@=OB
@
이므로 OA
@에서 1@+{j3}@={-1}@+a @
@=AB
4=a @+1, a @=3 ∴ a=-j3
@ OA
@=AB
@에서
1@+{j3}@={-1-1}@+{a-j3}@
4={a-j3}@+4, {a-j3}@=0 ∴ a=j3
!, @에 의하여 a=j3
7 점 P의 좌표를 P{a, b}라고 하면
PA
PB
PC
@ ={a+6}@+{b+5}@
=a @+b @+12a+10b+61
@ ={a-4}@+{b+1}@
=a @+b @-8a+2b+17
@ ={a-2}@+{b-3}@
=a @+b @-4a-6b+13
@+PC
@+PB
∴ PA
@ =3a @+3b @+6b+91
=3a @+3{b @+2b+1}+88
=3a @+3{b+1}@+88
족집게 기출문제
17~18강
p. 80~83
3 ④
12 ④
2 ⑤
7 P{0, -1}
11 ①
4 ④
1 ③
8 ③
6 j3
10 ③
13 2
14 P{22, 19} 또는 P{-10, -13} 15 ③
17 ③
19 ④
24 ⑴ P{-1, 3}, Q{-7, 0} ⑵ 3j5
25
-7, -
18 5
20 ②
21 ④
22 ③
75j3
21
2 ]
4
26
[
5 ⑤
9 ②
16 14
23 ①
A{2, 3}
3
B{7, 2}
2
7
x
1 오른쪽 그림과 같이 두 정사
각형의 한 변의 길이가 각
각 3, 2이므로 두 점 A, B
y
의 좌표는
A{2, 3}, B{7, 2}
∴ AB
=1{7-2}@+{2-33}@3=j26k
O
2
3
5
2
2 AC
=2BC
에서 AC
@=4BC
@이므로
{a-1}@+{3+1}@=49{a-2}@+{3-1}@0
a @-2a+17=4a @-16a+32, 3a @-14a+15=0
{3a-5}{a-3}=0 / a=
5
3 또는 a=3
따라서 모든 a의 값의 곱은
\3=5
5
3
3 AB
=CD
, AD
=BC
의 길이가 8j5이므로
AB
AB
BC
=4j5
+BC
yy`㉠
=1{1-3}@+{5-34}@3=j5
=1{4-1}@+{k-35}@3
Z
=1k @-10k+3343
이것을 ㉠에 대입하여 정리하면
1k @-10k+3343=3j5
양변을 제곱하여 정리하면
k @-10k-11=0, {k+1}{k-11}=0
∴ k=-1 또는 k=11
그런데 점 C는 제4사분면 위의 점이므로 k=-1
이고, 둘레
B{1, 5}
A{3, 4}
이때 모든 실수 a, b에 대하여 a @>0, {b+1}@>0이므로
@+PB
a=0, b=-1일 때 PA
따라서 구하는 점 P의 좌표는 P{0, -1}
@의 값은 최소이다.
@+PC
C{4, k}
D
8 오른쪽 그림과 같이 △ABC
에서 점 A, B, C, D, E
의 좌표를 각각
A{a, b}, B {-2c, 0} ,
C{c, 0}, D {-c, 0} ,
A{a, b}
y
O
B{-2c, 0}
E
C{c, 0}
x
D{-c, 0}
E{0, 0}이라고 하면
AB
@=9a-{-2c}0@+b @={a+2c}@+b @
@={a-c}@+b @
@+AC
@ =9 {a+2c}@ +b @0+9{a-c}@+b @0
AC
∴ AB
4 외심 P의 좌표를 P{a, b}라고 하면
@=PB
=PB
@=PC
이므로 PA
@에서 {a-2}@+{b-3}@={a-1}@+b@
@
PA
! PA
=PC
@=PB
∴ a+3b=6
@=PC
∴ a+b=5
@ PB
yy`㉠
yy`㉡
@에서 {a-1}@+b @={a-5}@+{b-4}@
=2a @+2ac+2b @+5c @
@=9a-{-c}0@+b @={a+c}@+b @
@=a @+b @
@=c @
AD
AE
DE
∴ AD
@+AE
@+4DE
@
Z
=9 {a+c}@ +b @0+{a @+b @}+4c @
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=
따라서 외심 P의 좌표는 P
1
2
9
2 , b=
1
9
2 ,
2
]
[
56 정답과 해설
=2a @+2ac+2b @+5c @
@=AD
@+AC
따라서 AB
@이 성립한다.
∴ ㈎ {-2c, 0} ㈏ {-c, 0} ㈐ {a+2c}@ ㈑ {a+c}@
@+4DE
@+AE
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 56
2017-10-30 오후 5:01:18
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
9 ㄱ. AB
를 1：2로 내분하는 점 P의 좌표는
1\{-2}+2\7
1+2
1\3+2\{-3}
1+2
,
[
∴ P{-1, 4}
ㄴ. AB
를 1：2로 외분하는 점 Q의 좌표는
1\{-2}-2\7
1-2
1\3-2\{-3}
1-2
,
[
∴ Q{-9, 16}
]
]
ㄷ. AB
의 중점 M의 좌표는
7-2
-3+3
2
,
[
2 ]
0,
∴ M
[
5
2 ]
ㄹ. ㄱ, ㄴ에서 P{-1, 4}, Q{-9, 16}이므로
=1{-9+1}@+{16-34}@3=4j13k
PQ
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
10 AB
를 1：2로 내분하는 점의 좌표가 {0, 1}이므로
=0,
1\{b+1}+2\2
1+2
∴ a=2, b=-5
따라서 B{-4, 3}, C{4, -5}이므로 BC
1\3+2\{-2+a}
1+2
=1
를 1：2로 외
분하는 점의 좌표는
1\4-2\{-4}
1-2
[
∴ {-12, 11}
,
1\{-5}-2\3
1-2
]
11 AB
를 m：n으로 내분하는 점의 좌표는
3m-n
m+n ,
-m+4n
m+n ]
=0, 3m-n=0 ∴ 3m=n
[
이 점이 y축 위에 있으므로
3m-n
m+n
∴ m：n=1：3
따라서 서로소인 자연수 m, n의 값은 m=1, n=3
∴ mn=3
12 t：{1-t}에서 t>0, 1-t>0이므로
00, -5t+4>0
4
5
yy`㉡
3이므로 a=5
a=5를 ㉠에 대입하면 b=9
∴ a+b=14
17 두 점 B, C의 좌표를 B{a, b}, C{c, d}라고 하면 BC
의 중점의 좌표가 {-1, 2}이므로
b+d
a+c
2
2
=-1,
=2
∴ a+c=-2, b+d=4
따라서 △ABC의 무게중심 G의 좌표를 구하면
2+a+c
3
2-2
3
=0
=
=
5+b+d
3
∴ G{0, 3}
5+4
3
=3
의 중점을 M이라
△ABC에서 BC
고 할 때, 무게중심 G는 AM
을
2：1로 내분하는 점이므로 점 G의
A{2, 5}
2
G
1
좌표는
2\{-1}+1\2
2+1
[
∴ G{0, 3}
,
2\2+1\5
2+1
]
B
M{-1, 2}
C
18 오른쪽 그림에서 두 점 A, B의
좌표를 A{a, a}, B{4b, -b}
라고 하면 △OAB의 무게중심
1
3 ]
이므로
2,
의 좌표가
[
0+a+4b
3
=2
0+a-b
3
=
1
3
y=-
x
4!
y=x
y
k
A
O
B
x
y=-
x+k
2#
∴ a+4b=6, a-b=1
두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=1
따라서 직선 y=-
x+k는 점 A{2, 2}를 지나므로
3
2
2=-3+k ∴ k=5
19 점 P{a, b}라고 하면
AP
@={a-1}@+{b+4}@=a@+b@-2a+8b+17
Z
@={a+2}@+{b-1}@=a@+b@+4a-2b+5
BP
Z
58 정답과 해설
CP
@={a-4}@+{b+3}@=a@+b@-8a+6b+25
Z
@ =3a@+3b@-6a+12b+47
@+CP
/ AP
Z
Z
=3{a-1}@+3{b+2}@+32
@+BP
Z
@+BP
Z
@+CP
Z
@은 a=1, b=-2일 때 최솟값이
Z
따라서 AP
32이므로
P{1, -2}
@의 값이 최소가 되도록 하는 점 P는
@+CP
Z
Z
AP
@+BP
Z
ABC의 무게중심이므로 점 P의 좌표는
1-2+4
s
3
[
/ P{1, -2}
-4+1-3
3
,
]
20 삼각형의 내각의 이등분선의 성질에 의하여
：DC
：AC
=BD
AB
선분 AB의 길이와 선분 AC의 길이를 각각 구하면
AB
AC
=1{1+3}@+{4+34}@3=j80k=4j5
Z
=1{1-5}@+{4-32}@3=j20k=2j5
Z
=AB
：AC
∴ BD
=4j5：2j5=2：1
：DC
a=
를 2：1로 내분하는 점이므로
따라서 점 D{a, b}는 BC
2\5+1\{-3}
7
2+1
3
2\2+1\{-4}
2+1
∴ 3{a+b}=7
=0
b=
=
21 오른쪽 그림과 같이 △ABP
와 △APC에서 각각의 밑변
BP
에 대한 높이가 같
으므로 그 높이를 h라고 하
면 △ABP：△APC=3：4
, PC
A{0, 3}
y
O
h
C{4, 0}
x
P{a, b}
B{-2, -3}
\PC
\h
=3：4
]
를 3：4로 내분하는 점이므로
\h
：
[
\BP
：PC
1
2
]
=3：4
에서
1
2
[
∴ BP
즉, 점 P{a, b}는 BC
3\4+4\{-2}
3+4
3\0+4\{-3}
3+4
a=
b=
∴ a-b=
16
7
=
4
7
=-
12
7
22 오른쪽 그림과 같이 A 쇼핑
몰을 원점으로 하고, 직선
AB를 x축으로 하여 A, B,
C, D 쇼핑몰을 좌표평면 위
y
D{1, 3}
C{3, 4}
P
A{0, 0}
O
에 놓을 때, 각 쇼핑몰이 있
는 점을 A, B, C, D라고 하면 네 점 A, B, C, D의 좌
B{5, 0}
x
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 58
2017-10-30 오후 5:01:19
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
1 ⑴ 해설내용-
1
2
해설
해설
yy`㉠
채점 기준
㈎ 주어진 조건을 연립방정식으로 나타낸다.
㈏ 주어진 연립방정식의 해를 구한다.
㈐ 두 자리의 정수를 구한다.
㈑ 두 자리의 정수를 구한다.
10 ⑴ 해설내용-
1
2
해설
yy`㈎
배점
2점
1점
2점
1점
23 세 점 A, B, C의 좌표를 A{x1, y1}, B{x2, y2},
25 BC
의 중점을 M이라 하고, 정삼각형 ABC의 한 변의 길
를 2：1로 내분하는 점이므로
=2：1이므로
표는 A{0, 0}, B{5, 0}, C{3, 4}, D{1, 3}
이때 물류창고가 있는 점을 P라고 하면 PA
점 P가 AC
P가 BD
즉, 점 P는 AC
+PB
이때 PA
위에 있을 때 최소이고, PB
위에 있을 때 최소이다.
의 교점이어야 한다.
의 최솟값은 AC
+PD
+PD
+PC
, BD
+PC
의 값은
의 값은 점
+BD
와 같으
므로
AC
+BD
=13@+4@3+1{1-5}@+{3-30}@3=10
따라서 각 쇼핑몰에서 물류창고까지의 직선 거리의 합은
10`km이다.
C{x3, y3}이라고 하자.
점 P{3, 1}은 AB
2x2+x1
2+1
2y2+y1
2+1
=3,
=1
∴ 2x2+x1=9, 2y2+y1=3
점 Q{-1, 6}은 BC
2x3+x2
2+1
2y3+y2
2+1
=-1,
=6
yy`㉠
를 2：1로 내분하는 점이므로
∴ 2x3+x2=-3, 2y3+y2=18
점 R{4, 5}는 CA
2x1+x3
2+1
2y1+y3
2+1
=4,
=5
yy`㉡
를 2：1로 내분하는 점이므로
yy`㉢
∴ 2x1+x3=12, 2y1+y3=15
㉠, ㉡, ㉢에서
3{x1+x2+x3}=18, 3{y1+y2+y3}=36
∴ x1+x2+x3=6, y1+y2+y3=12
따라서 △ABC의 무게중심의 좌표를 구하면
(x좌표)= x1+x2+x3
=2
3
y1+y2+y3
3
= 6
3
= 12
3
=4
(y좌표)=
∴ {2, 4}
△ABC의 무게중심과 △PQR의 무게중심은 일치하므로
구하는 무게중심의 좌표는
3-1+4
3
[
∴ {2, 4}
,
1+6+5
3
]
24 ⑴ 점 P는 직선 x+y=2, 즉 y=-x+2 위의 점이므로
점 P의 좌표를 P{a, -a+2}라고 하면
AP
@=BP
{a-0}@+9{-a+2}-60@={a-2}@+9{-a+2}-20@
이므로 AP
=BP
@
12a=-12 ∴ a=-1
∴ P{-1, 3}
yy`㈎
점 Q는 x축 위의 점이므로 점 Q의 좌표를 Q{b, 0}이
라고 하면
AQ
=BQ
이므로 AQ
@=BQ
@
{b-0}@+{0-6}@={b-2}@+{0-2}@
⑵ 두 점 P, Q의 좌표는 P{-1, 3}, Q{-7, 0}이므로
4b=-28 ∴ b=-7
∴ Q{-7, 0}
PQ
=19-7-{-1}0@+{30-3}@3
=3j5
채점 기준
㈎ 점 P의 좌표를 구한다.
㈏ 점 Q의 좌표를 구한다.
㈐ 선분 PQ의 길이를 구한다.
이를 a라고 하자.
：GM
AG
2
=
3
Z
= 2
3
Z
\ j3
2
AM
AG
a= j3
3
a
이때 AG
j3
a=5 ∴ a=5j3
3
따라서 △ABC의 넓이는
j3
4
\{5j3}@=
75j3
4
a에 관한 식으로 나타낸다.
㈏ 선분 AG의 길이를 구한다.
㈐ a의 값을 구한다.
㈑ △ABC의 넓이를 구한다.
=1{3+1}@+{23+1}@3=5이므로
채점 기준
㈎ 정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 a로 놓고, AG
를
yy`㈏
yy`㈐
배점
2점
2점
2점
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
yy`㈑
배점
2점
1점
2점
2점
26 두 점 B, C의 좌표를 B{a, b}, C{c, d}라고 하면
의 중점 M의 좌표가 M{2, 0}이므로
AB
7+a
2
=2,
5+b
2
=0
∴ a=-3, b=-5
∴ B{-3, -5}
또 △ABC의 무게중심 G의 좌표가 G{3, 2}이므로
7-3+c
3
5-5+d
3
=3,
=2
yy`㈎
∴ c=5, d=6
∴ C{5, 6}
따라서 BC
∴
-7, -
[
21
2 ]
를 1：3으로 외분하는 점의 좌표는
1\5-3\{-3}
1-3
,
1\6-3\{-5}
1-3
]
[
채점 기준
㈎ 점 B의 좌표를 구한다.
㈏ 점 C의 좌표를 구한다.
㈐ BC
를 1：3으로 외분하는 점의 좌표를 구한다.
yy`㈏
yy`㈐
배점
2점
2점
2점
III. 도형의 방정식 59
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 59
2017-10-30 오후 5:01:19
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
9 강
직선의 방정식
p. 84
1
구하는 직선의 방정식은
y-4=39x-{-2}0 ∴ y=3x+10
2 주어진 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면
x-3y-3=0, 3x-2y+5=0
두 식을 연립하여 풀면 x=-3, y=-2
따라서 구하는 점의 좌표는 {-3, -2}
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
1 ⑴ 구하는 직선의 방정식은
5-{-5}
-1-4
y-{-5}=
x=2
y=6
{x-4} ∴ y=-2x+3
⑵ 두 점의 x좌표가 2로 같으므로 구하는 직선의 방정식은
⑶ 점 {9, -3}을 지나고 x축에 평행하면 y좌표가 일정
하므로 구하는 직선의 방정식은 y=-3
⑷ 구하는 직선의 방정식은
x
5
+
y
-1
=1 ∴ y=
x-1
1
5
2 ⑴ 구하는 직선의 방정식은
5-{-3}
3-1
y-{-3}=
{x-1} ∴ y=4x-7
⑵ 두 점의 y좌표가 6으로 같으므로 구하는 직선의 방정식은
⑶ 점 {-7, 2}를 지나고 x축에 수직이면 x좌표가 일정
하므로 구하는 직선의 방정식은 x=-7
⑷ 구하는 직선의 방정식은
x
-2
+
y
-4
=1 ∴ y=-2x-4
3 세 점이 한 직선 위에 있으려면 직선 AB의 기울기와 직선
BC의 기울기가 같아야 하므로
2-{2k+5}
1-{-2}
-7-2
4-1
=
=-3 ∴ k=3
-2k-3
3
두 점 B{1, 2}, C{4, -7}을 지나는 직선의 방정식은
y-2=
-7-2
4-1
{x-1} ∴ y=-3x+5
yy`㉠
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 점 A가 직선 ㉠
위에 있어야 하므로
2k+5=-3\{-2}+5 ∴ k=3
60 정답과 해설
p. 85
6 주어진 식을 k에 대하여 정리하면
{2x-3y-1}+k{-x+5y-3}=0
4 세 점이 한 직선 위에 있으려면 직선 AB의 기울기와 직선
=
BC의 기울기가 같아야 하므로
11-7
7-k
4
{k+2}-3 ,
3-1
k-1
{7-k}{k-1}=8, k @-8k+15=0
{k-3}{k-5}=0 ∴ k=3 또는 k=5
7-k
2
=
5 주어진 식을 k에 대하여 정리하면
{x+2y-9}+k{3x+y-2}=0
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면
x+2y-9=0, 3x+y-2=0
두 식을 연립하여 풀면 x=-1, y=5
따라서 구하는 점의 좌표는 {-1, 5}
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면
2x-3y-1=0, -x+5y-3=0
두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=1
따라서 구하는 점의 좌표는 {2, 1}
7 주어진 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식은
{x-y+4}+k{3x-y+2}=0 (단, k는 실수)
이 직선이 원점을 지나므로
{0-0+4}+k{0-0+2}=0 ∴ k=-2
따라서 구하는 직선의 방정식은
{x-y+4}-2{3x-y+2}=0 ∴ 5x-y=0
주어진 두 직선의 방정식을 연립하여 풀면 x=1, y=5
따라서 두 직선의 교점의 좌표는 {1, 5}
원점과 점 {1, 5}를 지나는 직선의 방정식은
y=5x ∴ 5x-y=0
8 주어진 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식은
{x-2y-3}+k{3x+y+5}=0 (단, k는 실수)
이 직선이 점 {2, -3}을 지나므로
{2+6-3}+k{6-3+5}=0 ∴ k=-
5
8
{x-2y-3}-
따라서 구하는 직선의 방정식은
5
8
∴ x+3y+7=0
{3x+y+5}=0
주어진 두 직선의 방정식을 연립하여 풀면
x=-1, y=-2
따라서 두 직선의 교점의 좌표는 {-1, -2}
두 점 {-1, -2}, {2, -3}을 지나는 직선의 방정식은
y-{-2}=
9x-{-1}0
-3-{-2}
2-{-1}
∴ x+3y+7=0
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 60
2017-10-30 오후 5:01:20
0 강
두 직선의 위치 관계
p. 86
1
⑴
=
=
2
1
-5
-4 이므로 두 직선은 평행하다.
⑵ 4\1+1\{-4}=0이므로 두 직선은 수직이다.
⑶
3
-1
=
-3
1
=
-6
2 이므로 두 직선은 일치한다.
⑷
=
-1
-1 이므로 두 직선은 한 점에서 만난다.
2
1
2
1
2 ⑴
⑵
|1\{-1}+2\{-2}-5|
11@+2@3
|1\0+2\0-5|
11@+2@3
5
j5
=
=j5
=
10
j5
=2j5
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
1 ⑴ 두 직선이 평행하려면
=
=
2a-1
a
1
-1
1
3
2a-1
a
=
1
-1 에서 -{2a-1}=a
∴ a=
1
3
⑵ 두 직선이 수직이려면
{2a-1}\a+1\{-1}=0
2a @-a-1=0, {2a+1}{a-1}=0
∴ a=-
1
2 또는 a=1
2 ⑴ 두 직선이 평행하려면
1
a
=
-{a-3}
1
-4
4
-{a-3}
=
1
!
a
=
-4 에서 4=a{a-3}
∴ a=-1 또는 a=4
1
@
a
!, @에 의하여 a=-1
1
4 에서 a=4
=
⑵ 두 직선이 수직이려면
1\a+9-{a-3}0\{-4}=0
5a=12 ∴ a=
12
5
3 직선 2x-y+3=0, 즉 y=2x+3에 평행한 직선의 기울
기는 2이다.
따라서 구하는 직선은 기울기가 2이고 점 {1, 3}을 지나
므로 이 직선의 방정식은
y-3=2{x-1} ∴ y=2x+1
4 직선 x-3y+1=0, 즉 y=
1
3
x+
1
3 에 수직인 직선의 기
울기는 -3이다.
따라서 구하는 직선은 기울기가 -3이고 점 {6, -5}를
지나므로 이 직선의 방정식은
y-{-5}=-3{x-6} ∴ y=-3x+13
5 직선 AB의 기울기는
2-4
5-{-3}
=-
1
4 이므로 AB
를 수
직이등분하는 직선의 기울기는 4이다.
또 AB
의 중점의 좌표는
4+2
`2` ]
,
-3+5
`2`
∴ {1, 3}
[
따라서 구하는 직선은 기울기가 4이고 점 {1, 3}을 지나
므로 이 직선의 방정식은
y-3=4{x-1} ∴ y=4x-1
p. 87
6 직선 2x-y-4=0의 x절편은 2, y절편은 -4이므로
A{2, 0}, B{0, -4}
직선 AB, 즉 2x-y-4=0의 기울기는 2이므로 AB
를 수
1
2 이다.
직이등분하는 직선의 기울기는 -
의 중점의 좌표는
또 AB
2+0
2 ,
[
0-4
2 ]
∴ {1, -2}
따라서 구하는 직선은 기울기가 -
지나므로 이 직선의 방정식은
1
2
y-{-2}=-
{x-1} ∴ y=-
x-
1
2
3
2
1
2 이고 점 {1, -2}를
7 구하는 직선의 기울기를 m이라고 하면 이 직선의 방정식은
y=mx ∴ mx-y=0
점 {1, 2}와 직선 ㉠ 사이의 거리가 j5이므로
yy`㉠
|m-2|
1m @+{-1}@3
양변을 제곱하여 정리하면
=j5, |m-2|=15{m @+1}3
8 직선 3x-4y-2=0, 즉 y=
3
4
x-
1
2 에 수직인 직선의 기
울기는 -
4
3 이다.
이때 구하는 직선의 y절편을 b라고 하면 이 직선의 방정식은
4
3
y=-
x+b ∴ 4x+3y-3b=0
yy`㉠
=3, |-3b|=15 ∴ b=-5 또는 b=5
원점과 직선 ㉠ 사이의 거리가 3이므로
|-3b|
14@+3@3
따라서 구하는 직선의 방정식은
4x+3y+15=0 또는 4x+3y-15=0
III. 도형의 방정식 61
a @-3a-4=0, {a+1}{a-4}=0
4m @+4m+1=0, {2m+1}@=0 ∴ m=-
1
2
따라서 구하는 직선의 방정식은 x+2y=0
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 61
2017-10-30 오후 5:01:20
Z
Z
Z
Z
9 주어진 두 직선 사이의 거리는 직선 3x-2y+2=0 위의 한
점 {0, 1}과 직선 3x-2y+15=0 사이의 거리와 같으므로
|3\0-2\1+15|
13@+{3-2}@3
13
j13k
=j13k
=
3 세 점 A, B, C가 삼각형을 이루지 않으려면 세 점이 한
직선 위에 있어야 한다.
세 점이 한 직선 위에 있으려면 직선 AB의 기울기와 직선
BC의 기울기가 같아야 하므로
10 주어진 두 직선 사이의 거리는 직선 x+7y-5=0 위의 한
점 {5, 0}과 직선 x+7y+a=0 사이의 거리와 같으므로
|5+7\0+a|
11@+7@3
=2j2, |5+a|=20
∴ a=-25 또는 a=15
족집게 기출문제
19~20강
p. 88~91
4 ③
9 2
14 ④
3 ②
2 ④
8 ③
7 5
13 3
12 -8
17 ⑤
18 -1 또는 7
21 4x-y-3=0 또는 8x-7y-1=0
1 ㄴ, ㄷ
6 ①
11 ②
16 ⑤
20 ②
22 x-7y-1=0 또는 7x+y+3=0
24 ⑤
11
5
26 10x-3y-31=0
25 ②
22
5 ]
27
[
,
5 ④
10 ⑤
15 1
19 ①
23 ④
28 ⑴ {-2, -1}, {5, -2}, {3, 4} ⑵ 20
1 ㄱ. 두 점 {-1, 3}, {2, -3}을 지나는 직선의 방정식은
y-3=
-3-3
2-{-1}
∴ y=-2x+1
9x-{-1}0
ㄴ. 구하는 직선은 기울기가 tan 60!=j3이고,
점 {j3, -1}을 지나므로 직선의 방정식은
y-{-1}=j3{x-j3} ∴ y=j3x-4
ㄷ. 두 점 {4, 1}, {4, -5}의 x좌표가 4로 같으므로 구
하는 직선의 방정식은 x=4
ㄹ. 점 {-2, 7}을 지나고 y축에 수직이면 y좌표가 일정
하므로 구하는 직선의 방정식은 y=7
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
2 a=3b이므로 직선 L의 방정식은
x
3b
+
=1
y
b
이 직선이 점 {3, 1}을 지나므로
3
3b
=1 ∴ b=2
=1,
1
b
2
b
+
직선 L：
+
=1, 즉 y=-
x+2의 기울기는 -
x
6
y
2
1
3
1
3
따라서 구하는 직선은 기울기가 -
1
3 이고 점 {-7, 3}을
지나므로 이 직선의 방정식은
y-3=-
9x-{-7}0 ∴ x+3y-2=0
1
3
62 정답과 해설
2-k
-1-1
=
8-2
{k+1}-{-1}
,
2-k
-2
=
6
k+2
{2-k}{k+2}=-12, k @=16
∴ k=-4 또는 k=4
그런데 k>0이므로 k=4
4 두 직사각형의 넓이를 동시에
이등분하는 직선은 두 직사각
형의 대각선의 교점을 지난다.
M
y
5
3
2
6
x
M'
오른쪽 그림과 같이 두 직사각
형의 대각선의 교점을 각각
M, M '이라고 하면 점 M은
두 점 {0, 5}, {2, 3}을 이은 선분의 중점이므로
0+2
2
=4 ∴ M{1, 4}
5+3
2
=1,
O
2
또 점 M'은 두 점 {2, 2}, {6, 0}을 이은 선분의 중점이므로
2+6
2
=1 ∴ M'{4, 1}
2+0
2
=4,
두 점 M{1, 4}, M'{4, 1}을 지나는 직선의 방정식은
y-4=
{x-1} ∴ x+y-5=0
1-4
4-1
따라서 a=1, b=-5이므로 a-b=6
5 직선 ax+by+c=0의 기울기는 -
a
b , x절편은 -
c
a ,
y절편은 -
c
b 이다.
c
a
ㄱ. ac>0에서
>0이므로 -
<0
c
a
bc<0에서
c
b >0
주어진 직선은 x절편이 음수, y절
c
b <0이므로 -
편이 양수이므로 오른쪽 그림과 같
이 제1, 2, 3사분면을 지난다.
a
b
<0이므로 -
a
b
ㄴ. ab<0에서
>0
bc>0에서
c
b <0
주어진 직선은 기울기가 양수, y절
c
b >0이므로 -
편이 음수이므로 오른쪽 그림과 같
이 제1, 3, 4사분면을 지난다.
a
b
>0이므로 -
a
b
<0
ㄷ. ab>0에서
ab>0, bc=0에서 b=0, c=0이
므로 -
=0
c
b
y
O
y
O
y
O
x
x
x
주어진 직선은 기울기가 음수, y절
편이 0이므로 위의 그림과 같이 제 2, 4 사분면을 지난
다.
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 62
2017-10-30 오후 5:01:21
1차
6 주어진 직선의 방정식을 a에 대하여 정리하면
9 두 직선 x+ay-1=0, x-by+1=0이 서로 수직이므로
a{x+1}-y-1=0
yy`㉠
직선 ㉠은 a의 값에 관계없이 항상 점 {-1, -1}을 지난다.
직선 ㉠이 두 점 A{1, 2}, B{3, 0}
y
㉠
을 이은 선분과 한 점에서 만나
기 위해서는 오른쪽 그림과 같이
두 점 A, B를 지나거나 그 사
A{1, 2}
이를 지나야 한다.
! 직선 ㉠이 점 A{1, 2}를 지날 때
a{1+1}-2-1=0, 2a-3=0
O
B{3, 0}
x
{-1, -1}
@ 직선 ㉠이 점 B{3, 0}을 지날 때
a{3+1}-0-1=0, 4a-1=0
∴ a=
∴ a=
3
2
1
4
!, @에 의하여
3
2
1
4 0, {a+1}{a-4}>0
∴ a<-1 또는 a>4
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 93
6 주어진 원의 방정식을 변형하면
x @+9y+{a-1}0@=-a @-a+6
1 ⑴ {x-3}@+y @=1
⑵ x축에 접하므로 반지름의 길이는 |-5|=5
따라서 구하는 원의 방정식은
{x+2}@+{y+5}@=25
⑶ 반지름의 길이를 r라고 하면 원의 방정식은
x @+y @=r @
이 원이 점 {-1, 3}을 지나므로
{-1}@+3@=r @ ∴ r @=10
따라서 구하는 원의 방정식은
x @+y @=10
2 ⑴ x @+y @=5
⑵ y축에 접하므로 반지름의 길이는 2
따라서 구하는 원의 방정식은
{x-2}@+{y-1}@=4
⑶ 반지름의 길이를 r라고 하면 원의 방정식은
{x-4}@+{y+1}@=r @
이 원이 점 {0, -1}을 지나므로
{-4}@+{-1+1}@=r @ ∴ r @=16
따라서 구하는 원의 방정식은
{x-4}@+{y+1}@=16
의 중점이므로
3 원의 중심은 AB
0+4
-2-4
2
[
∴ {-3, 2}
,
2 ]
또 원의 반지름의 길이는
1
2
1
2 19-4-{-2}0@+{4-30}@3=j5
AB
=
따라서 구하는 원의 방정식은
{x+3}@+{y-2}@=5
이 방정식이 반지름의 길이가 2 이상인 원을 나타내려면
-a @-a+6>4, a @+a-2<0
{a+2}{a-1}<0
∴ -2r이므로 만나지 않는다.
⑵ y=-x+j2를 x @+y @=1에 대입하면
x @+{-x+j2}@=1, 2x @-2j2x+1=0
이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면
D
4
={-j2}@-2\1=0
따라서 한 점에서 만난다(접한다).
원의 중심 {0, 0}과 직선 y=-x+j2, 즉 x+y-j2=0
사이의 거리 d는
|0+0-j2|
11@+1@3
=1
d=
원의 반지름의 길이 r는 r=1
따라서 d=r이므로 한 점에서 만난다(접한다).
2 y=-2x-51{-2}@+13 ∴ y=-2x-5j5
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 95
1 y=-x+k를 x @+y @=3에 대입하면
x @+{-x+k}@=3, 2x @-2kx+k @-3=0
이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면
D
4
⑴ 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 D>0이어
={-k}@-2{k @-3}=6-k @
야 하므로
6-k @>0, k @-6<0 ∴ -j60 ∴ k<-j6 또는 k>j6
68 정답과 해설
2 y=kx+3을 x @+y @=1에 대입하면
원의 중심 {0, 0}과 직선 y=-x+k, 즉 x+y-k=0 사이
의 거리 d는 d=
|0+0-k|
11@+1@3
=
|k|
j2
원의 반지름의 길이 r는 r=j3
⑴ 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 dr이어야 하므로
|k|
=j3, |k|=j6
j2
∴ k=-j6 또는 k=j6
|k|
>j3, |k|>j6
j2
∴ k<-j6 또는 k>j6
x @+{kx+3}@=1, {k @+1}x @+6kx+8=0
이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면
D
4
⑴ 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 D>0이어
={3k}@-8{k @+1}=k @-8
야 하므로
k @-8>0 ∴ k<-2j2 또는 k>2j2
⑵ 원과 직선이 한 점에서 만나려면 D=0이어야 하므로
k @-8=0 ∴ k=-2j2 또는 k=2j2
⑶ 원과 직선이 만나지 않으려면 D<0이어야 하므로
k @-8<0 ∴ -2j23
야 하므로
3
1k @+13
양변을 제곱하여 정리하면 k @-8>0
∴ k<-2j2 또는 k>2j2
=1, 1k @+13=3
3
1k @+13
양변을 제곱하여 정리하면 k @-8=0
∴ k=-2j2 또는 k=2j2
>1, 1k @+13<3
3
1k @+13
양변을 제곱하여 정리하면 k @-8<0
∴ -2j2r이어야 하므로
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 68
2017-10-30 오후 5:01:23
3 오른쪽 그림과 같이 원과 직
선의 두 교점을 A, B라 하
고, 원의 중심 O에서 직선
x-y+4=0에 내린 수선의
발을 H라고 하면
|0-0+4|
11@+{-1}@3
=2j2
OH
=
OA
=5
y x-y+4=0
5
A
x@+y@=25
5
x
-5
B
H
5
O
-5
△OAH는 직각삼각형이므로
@=17 ∴ AH
@+{2j2}@=5@, AH
AH
Z
Z
그런데 AH
∴ AB
>0이므로 AH
=2j17k
=j17k
=2AH
=-j17k
4 주어진 원의 방정식을 변형하면 {x+2}@+{y-4}@=36
6
C{-2, 4}
A
H
B
3x+4y+10=0
오른쪽 그림과 같이 원과 직선
의 두 교점을 A, B라 하고,
원의 중심 C에서 직선
3x+4y+10=0에 내린 수선
의 발을 H라고 하면
=4, CA
=6
=
CH
|-6+16+10|
13@+4@3
△CAH는 직각삼각형이므로
AH
@=20 ∴ AH
@+4@=6@, AH
Z
Z
>0이므로 AH
그런데 AH
∴ AB
=2j5
=2\2j5=4j5
=2AH
=-2j5
5 원 x @+y @=20 위의 점 {a, -2}에서의 접선의 방정식은
ax-2y=20, 즉 ax-2y-20=0
이 직선이 직선 2x-y+5=0과 평행하므로
a
2
∴ a=4
-20
5
-2
-1
=
=
6 원 x @+y @=10 위의 점 {a, b}에서의 접선의 방정식은
ax+by=10
이 직선이 직선 x+3y+4=0과 서로 수직이므로
a\1+b\3=0 ∴ a=-3b
점 {a, b}는 원 x @+y @=10 위의 점이므로
a @+b @=10
yy`㉠
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-3, b=1 또는 a=3, b=-1 ∴ ab=-3
7 접점의 좌표를 {x1, y1}이라고 하면 접선의 방정식은
yy`㉠
x1x+y1y=8
직선 ㉠이 점 {0, -4}를 지나므로
-4y1=8
yy`㉡
한편 점 {x1, y1}은 원 x @+y @=8 위의 점이므로
x1@+y1@=8
yy`㉢
㉡, ㉢을 연립하여 풀면
x1=-2, y1=-2 또는 x1=2, y1=-2
이것을 ㉠에 각각 대입하면 구하는 접선의 방정식은
x+y+4=0 또는 x-y-4=0
접선의 기울기를 m이라고 하면 접선이 점 {0, -4}를 지
나므로 접선의 방정식은
y=mx-4
yy`㉠
㉠을 x @+y @=8에 대입하면
x @+{mx-4}@=8, {m@+1}x @-8mx+8=0
이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면
D
4
{m+1}{m-1}=0 ∴ m=-1 또는 m=1
={-4m}@-8{m @+1}=0, m @-1=0
이것을 ㉠에 각각 대입하면 구하는 접선의 방정식은
x+y+4=0 또는 x-y-4=0
접선의 기울기를 m이라고 하면 접선이 점 {0, -4}를 지
나므로 접선의 방정식은
y=mx-4 ∴ mx-y-4=0
원의 중심 {0, 0}과 직선 ㉠ 사이의 거리는 반지름의 길이
yy`㉠
와 같으므로
|-4|
1m @+{3-1}@3
양변을 제곱하여 정리하면 m @-1=0
{m+1}{m-1}=0 ∴ m=-1 또는 m=1
=2j2, 4=212{m @+1}3
이것을 ㉠에 각각 대입하면 구하는 접선의 방정식은
x+y+4=0 또는 x-y-4=0
8 접점의 좌표를 {x1, y1}이라고 하면 접선의 방정식은
yy`㉠
x1x+y1y=5
직선 ㉠이 점 {1, 3}을 지나므로
x1+3y1=5
yy`㉡
한편 점 {x1, y1}은 원 x @+y @=5 위의 점이므로
x1@+y1@=5
yy`㉢
㉡, ㉢을 연립하여 풀면
x1=-1, y1=2 또는 x1=2, y1=1
이것을 ㉠에 각각 대입하면 구하는 접선의 방정식은
x-2y+5=0 또는 2x+y-5=0
접선의 기울기를 m이라고 하면 접선이 점 {1, 3}을 지나
므로 접선의 방정식은
y-3=m{x-1}
∴ mx-y-m+3=0
원의 중심 {0, 0}과 직선 ㉠ 사이의 거리는 반지름의 길이
yy`㉠
와 같으므로
|-m+3|
1m @+{-1}@3`
양변을 제곱하여 정리하면
2m @+3m-2=0, {m+2}{2m-1}=0
=j5, |-m+3|=15{m @+1}3
III. 도형의 방정식 69
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 69
2017-10-30 오후 5:01:24
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
∴ m=-2 또는 m=
1
2
이것을 ㉠에 각각 대입하면 구하는 접선의 방정식은
2x+y-5=0 또는 x-2y+5=0
족집게 기출문제
21~22강
p. 96~99
3 8
8 ④
13 ③
2 ④
7 -4
12 ②
4 ⑤
1 ①
9 10
6 ③
11 ②
14 ④
16 x-y-6=0 또는 x-y-2=0 17 ③
22 ④
19 8
24 ③
20 ③
25 4
21 ⑤
26 {x-1}@+{y-2}@=16
5 -3
10 ②
15 ②
18 ①
23 ②
27 3
28 ⑴ y=3 또는 4x-3y+1=0 ⑵
32
5
1 주어진 원의 방정식을 변형하면 {x-2}@+{y+3}@=6이
므로 구하는 원의 중심은 {2, -3}
중심이 같은 원의 반지름의 길이를 r라고 하면 원의 방정
식은 {x-2}@+{y+3}@=r @
이 원이 점 {3, -1}을 지나므로
{3-2}@+{-1+3}@=r @ ∴ r @=5
따라서 구하는 원의 넓이는 pr @=5p
2 원의 중심의 좌표를 {a, a-1}이라고 하면 x축에 접하므
로 반지름의 길이는 |a-1|
즉, 원의 방정식은 {x-a}@+9y-{a-1}0@={a-1}@
이 원이 점 {1, 2}를 지나므로
{1-a}@+{3-a}@={a-1}@
{3-a}@=0 ∴ a=3`
따라서 중심이 점 {3, 2}이고 반지름의 길이가 2이므로 구
하는 원의 방정식은
{x-3}@+{y-2}@=4
3 점 {2, 2}는 제1사분면 위의 점이므로 점 {2, 2}를 지나
고 x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심은 제1사분면 위
에 있다.
이때 원의 반지름의 길이를 r라고 하면 원의 방정식은
{x-r}@+{y-r}@=r @
이 원이 점 {2, 2}를 지나므로
{2-r}@+{2-r}@=r @, r @-8r+8=0
∴ r=4-2j2
즉, 두 원의 중심의 좌표는
{4-2j2, 4-2j2}, {4+2j2, 4+2j2}
따라서 두 원의 중심 사이의 거리는
494+62j2-{4-2j2}0@+94+2j2-{4-62j2}0@6
=j32+32l=8
70 정답과 해설
4 두 점 A, B의 좌표를 A{a, b}, B{c, d}라고 하면 AB
=1
=-2,
2d+b
2+1
를 2：1로 내분하는 점의 좌표가 {-2, 1}이므로
2c+a
2+1
∴ a+2c=-6, b+2d=3
AB
c+2a
1+2
∴ 2a+c=6, 2b+d=15
를 1：2로 내분하는 점의 좌표가 {2, 5}이므로
d+2b
1+2
yy`㉡
yy`㉠
=2,
=5
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=6, b=9, c=-6, d=-3
따라서 두 점 A, B의 좌표는
A{6, 9}, B{-6, -3}
원의 중심은 AB
9-3
6-6
2
2
의 중점이므로
=0,
=3
∴ {0, 3}
원의 반지름의 길이는
1
1
2 1{6+6}@+{9+33}@3=6j2
2
AB
=
따라서 구하는 원의 방정식은
x @+{y-3}@=72
5 주어진 원의 방정식을 변형하면 {x-2}@+{y+3}@=25
직선 y=ax+3이 원의 넓이를 이등분하려면 원의 중심
{2, -3}을 지나야 하므로
-3=2a+3 ∴ a=-3
6 주어진 원의 방정식을 변형하면
{x-5}@+{y+4}@=-k @-4k+21
이 방정식이 원을 나타내려면
-k @-4k+21>0, k @+4k-21<0
{k+7}{k-3}<0
∴ -70
{k+5}{k-1}>0
∴ k<-5 또는 k>1
㉠, ㉡에서 -70
∴ -
0이므로 k=3j2
14 점 P와 AB
사이의 거리를 h라고 하면 △PAB의 넓이는
\h
1
2 \AB
이때 △PAB의 넓이가 최대가 되려면 h의 값이 최대이어
야 한다.
두 점 A{-3, 0}, B{0, 4}를 지나는 직선 AB의 방정식은
+
y
4
=1 ∴ 4x-3y+12=0
x
-3
원의 중심 {1, 2}와 직선 ㉠ 사이의 거리 d는
yy`㉠
d=
|4-6+12|
14@+{-33}@3
=2
원의 반지름의 길이 r는 r=1
오른쪽 그림에서 h의 최댓값은
d+r=2+1=3
이고
AB
=1{-3-0}@+{0-34}@3=5
이므로 △PAB의 넓이의 최댓값은
1
2
\5\3=
15
2
y
2
=k`(k는 상수)로 놓으면
y
15
x
y=kx
직선 y=kx는 k의 값에 관계
없이 항상 원점을 지나므로
오른쪽 그림과 같이 직선이 원
과 접할 때, k의 값이 최대 또
는 최소이다.
y
B
2
4
d
r
P
A
-3
O
1
x
y=kx
O
3
x
III. 도형의 방정식 71
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 71
2017-10-30 오후 5:01:25
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
이것을 ㉠에 각각 대입하면 구하는 직선의 방정식은
x-y-6=0 또는 x-y-2=0
이때 두 접선의 기울기는 이차방정식 ㉡의 두 근이므로 근
과 계수의 관계에 의하여 두 접선의 기울기의 합은
이때 원의 중심 {3, 2}와 직선 y=kx, 즉 kx-y=0 사이
의 거리는 원의 반지름의 길이와 같으므로
=1, |3k-2|=1k @+13
|3k-2|
1k @+{-31}@3
양변을 제곱하여 정리하면 8k @-12k+3=0 yy`㉠
이때 k의 최댓값 M과 최솟값 m은 이차방정식 ㉠의 두
근이므로 근과 계수의 관계에 의하여
Mm=
∴ 8Mm=3
3
8
16 주어진 원의 방정식을 변형하면
{x-3}@+{y+1}@=2
접선의 기울기는 tan`45!=1이고, y절편을 b라고 하면 접
선의 방정식은
y=x+b ∴ x-y+b=0
원의 중심 {3, -1}과 접선 ㉠ 사이의 거리는 원의 반지름
yy`㉠
의 길이와 같으므로
|3+1+b|
11@+{-1}@3
∴ b=-6 또는 b=-2
=j2, |4+b|=2
17 원 x @+y @=9에 접하고, 기울기가 -1인 직선의 방정식은
y =-x-31{-1}@+13 ∴ y=-x-3j2
원 x @+y @=9에 접하고, 기울기가 1인 직선의 방정식은
y =x-311@+13 ∴ y=x-3j2
따라서 원 x @+y @=9에 접하고, 기울기가 -1 또는 1인
직선은 다음 그림과 같다.
y=-x+
312
y=x+
312
y
y=-x-312
312
y=x-312
O
x
312
-312
-312
위의 네 직선으로 둘러싸인 사각형의 넓이는
1
2
2
[
\6j2\3j2
=36
]
18 주어진 원의 방정식을 변형하면 {x-3}@+{y-2}@=5
오른쪽 그림에서 원의 중심을 C라고
하면 직선 AC의 기울기는
1
2-3
2
3-1
구하는 접선은 직선 AC와 수직이므
로 접선의 기울기는 2
=-
이때 접선의 방정식은
y-3=2{x-1} ∴ 2x-y+1=0
따라서 a=2, b=-1이므로 ab=-2
A{1, 3}
C{3, 2}
72 정답과 해설
19 원 x @+y @=2 위의 점 {1, -1}에서의 접선의 방정식은
x-y=2 ∴ y=x-2
㉠을 {x-3}@+{y+1}@=10-k에 대입하면
{x-3}@+{x-1}@=10-k
yy`㉠
2x @-8x+k=0
이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면
D
4
∴ k=8
={-4}@-2k=0
20 점 {0, 6}을 지나고 기울기가 m인 접선의 방정식은
∴ mx-y+6=0
yy`㉠
원의 중심 {1, 3}과 직선 ㉠ 사이의 거리는 반지름의 길이
y=mx+6
와 같으므로
|m-3+6|
1m @+{-1}@3
양변을 제곱하면
-
-6
3
=2
=2, |m+3|=21m @+13
m @+6m+9=4m @+4
3m @-6m-5=0
yy`㉡
21 점 {5, 4}를 지나고 기울기가 m인 접선의 방정식은
y-4=m{x-5}
∴ mx-y-5m+4=0
원의 중심 {1, 2}와 직선 ㉠ 사이의 거리는 반지름의 길이
yy`㉠
와 같으므로
|m-2-5m+4|
1m @+{-1}@3
양변을 제곱하면
=r, |-4m+2|=r1m @+13
16m @-16m+4=r @m @+r @
{r @-16}m @+16m+r @-4=0
yy`㉡
이때 두 접선의 기울기는 이차방정식 ㉡의 두 근이므로 근
과 계수의 관계에 의하여 두 접선의 기울기의 곱은
r @-4
r @-16
두 접선이 서로 수직이므로
=-1, r @-4=-r @+16
r @-4
r @-16
r @=10 ∴ r=-j10k
그런데 r>0이므로 r=j10k
오른쪽 그림과 같이 점 P{5, 4}
라 하고, 원의 중심을 C, 점 P
에서 원에 그은 두 접선의 접점
을 각각 A, B라고 하면 사각형
PACB는 정사각형이므로
=r
=CA
PA
=CB
=PB
y
4
2
O
C
1
A
P
B
5
x
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 72
2017-10-30 오후 5:01:25
Z
Z
Z
Z
@={5-1}@+{4-2}@=20이고,
Z
이때 PC
△PAC는 직각삼각형이므로
r @+r @=20, r @=10 ∴ r=-j10k
그런데 r>0이므로 r=j10k
22 주어진 원의 방정식을 변형하면 {x-1}@+{y+2}@=25
P{-4, 4}
A
5
C{1, -2}
오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 C,
점 P에서 원에 그은 한 접선의 접점
을 A라고 하면
CA
=5
@ =91-{-4}0@+{-2-4}@=61
Z
PC
이때 △PAC는 직각삼각형이므로
PA
@=36 ∴ PA
@+5@=61, PA
Z
Z
=6
>0이므로 PA
그런데 PA
=-6
23 OA
AB
BO
=2
=4{1-2}@+{j3-60}@6=2
=4{0-1}@+{0-j63}@6=2
따라서 △OAB는 정삼각형이다.
정삼각형의 내심은 무게중심과 일치하므로 △OAB의 내심
의 좌표를 구하면
0+2+1
3
=1,
0+0+j3
3
= j3
3
∴
1, j3
3 ]
오른쪽 그림과 같이 △OAB의 내접
원은 중심이 점
이고, x축
1, j3
3 ]
[
에 접하는 원이므로 원의 반지름의
길이는 j3
3
B
[
y
13
3
O
24 직선 y=m{x+1}은 m의 값에 관계없이 항상
점 {-1, 0}을 지난다.
오른쪽 그림과 같이 직선
y=m{x+1}이 태극 문
양과 서로 다른 다섯 개
y
2
-2
-1
y=m{x+1}
2
x
O
1
-2
의 점에서 만나려면 직
선 y=m{x+1}은 반원
{x-1}@+y @=1 {y>0}
에 접하는 직선과 x축 사이에 있어야 한다.
! 직선 y=m{x+1}과 반원 {x-1}@+y @=1 {y>0}이
접할 때
원 {x-1}@+y @=1의 중심 {1, 0}과 직선
y=m{x+1}, 즉 mx-y+m=0 사이의 거리는 원의
반지름의 길이와 같으므로
=1, |2m|=1m @+13
|m+m|
1m @+{3-1}@3
양변을 제곱하면 4m @=m @+1
∴ m=- j3
3
m @=
1
3
그런데 m>0이므로 m= j3
3
@ 직선 y=m{x+1}이 x축일 때
직선의 기울기가 0이므로 m=0
!, @에 의하여 00이므로 AH
yy`㈐
따라서 넓이가 최소인 원의 반지름의 길이는 3이다. yy`㈑
=-3
채점 기준
㈎ 구하는 원이 두 교점을 지름의 양 끝점으로 하는 원임을 안다.
㈏ 주어진 원의 중심과 직선 사이의 거리를 구한다.
㈐ 선분 AH의 길이를 구한다.
㈑ 원의 반지름의 길이를 구한다.
배점
2점
1점
2점
1점
28 ⑴ 주어진 원의 방정식을 변형하면 {x+2}@+{y-1}@=4
점 P{2, 3}을 지나고 기울기가 m인 접선의 방정식은
y-3=m{x-2}
3 강 평행이동과 대칭이동
p. 100
1
5-2=3, -2+3=1
따라서 평행이동한 점의 좌표는 {3, 1}
2 {-5, -1}, {5, 1}, {5, -1}, {1, -5}
교/과/서/속
핵심
유형 닮은꼴 문제
p. 101
1 평행이동한 원의 방정식은
{x+1}@+9{y-5}+10@=4
∴ {x+1}@+{y-4}@=4
2 평행이동한 직선의 방정식은
2{x-3}-{y+1}+5=0
∴ 2x-y-2=0
∴ mx-y-2m+3=0
원의 중심 {-2, 1}과 직선 ㉠ 사이의 거리는 원의 반
yy`㉠
3 평행이동한 직선의 방정식은
a{x-m}+2{y+4}+a=0
지름의 길이와 같으므로
|-2m-1-2m+3|
1m @+{-1}@3
=2, |-4m+2|=21m @+13
양변을 제곱하여 정리하면 3m @-4m=0
4
3
m{3m-4}=0 ∴ m=0 또는 m=
이것을 ㉠에 각각 대입하면 구하는 접선의 방정식은
y=3 또는 4x-3y+1=0
⑵ 오른쪽 그림과 같이 원과 두
접선 y=3, 4x-3y+1=0
의 접점을 각각 A, B라고
yy`㈎
4x-3y+1=0
P3
y=3
A
y
1
하자.
점 A의 좌표는 A{-2, 3}
점 A에서 직선 4x-3y+1=0에 내린 수선의 발을 H
-2
O
B
x
2
H
라고 하면
AH
=
|-8-9+1|
14@+{-3}@3
=4
=PA
=
16
5
또 PB
따라서 구하는 △PAB의 넓이는
1
2
\AH
\4\
\PB
16
5
1
2
=
=
32
5
채점 기준
㈎ 접선의 방정식을 구한다.
㈏ 점 A와 직선 4x-3y+1=0 사이의 거리를 구한다.
㈐ 선분 PB의 길이를 구한다.
㈑ △PAB의 넓이를 구한다.
yy`㈏
yy`㈐
yy`㈑
배점
3점
2점
1점
1점
∴ ax+2y-am+a+8=0
이 직선이 직선 x+2y+3=0과 일치하므로
a=1, -am+a+8=3
∴ a=1, m=6
4 평행이동한 원의 방정식은
9{x+3}-20@+9{y-m}+10@=a
∴ {x+1}@+{y-m+1}@=a
x @+y @+2x-2y-3=0을 변형하면
{x+1}@+{y-1}@=5
yy`㉠
yy`㉡
㉠과 ㉡이 일치하므로
a=5, -m+1=-1
∴ a=5, m=2
5 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은
x+4\{-y}-1=0
∴ x-4y-1=0
y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은
-x+4y-1=0
∴ x-4y+1=0
원점에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은
-x+4\{-y}-1=0
∴ x+4y+1=0
직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은
4x+y-1=0
74 정답과 해설
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 74
2017-10-30 오후 5:01:26
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
6 x축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은
{x+5}@+{-y}@=6
∴ {x+5}@+y @=6
y축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은
{-x+5}@+y @=6
∴ {x-5}@+y @=6
원점에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은
{-x+5}@+{-y}@=6
∴ {x-5}@+y @=6
직선 y=x에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은
x @+{y+5}@=6
7 오른쪽 그림과 같이 점 A{3, 3}
을 x축에 대하여 대칭이동한 점을
A'이라고 하면 점 A'의 좌표는
A'{3, -3}
이때 AP
+BP
AP
=A'P
=A'P
이므로
>A'B
+BP
y
O
A{3, 3}
B{7, 1}
PP
x
A'{3, -3}
+BP
의 최솟값은 선분 A'B의 길이와 같으므로
따라서 AP
A'B
=1{7-3}@+91-{-33}0@3
Z
=4j2
y
P
O
A{2, 5}
B{3, 2}
x
P
B'{-3, 2}
8 오른쪽 그림과 같이 점 B{3, 2}
를 y축에 대하여 대칭이동한 점을
B'이라고 하면 점 B'의 좌표는
B'{-3, 2}
이때 BP
+BP
AP
이므로
=B'P
+B'P
=AP
>AB'
따라서 AP
AB'
=192-{-3}0@+{5-32}@3
Z
=j34k
+BP
의 최솟값은 선분 AB'의 길이와 같으므로
9 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은
3x+5\{-y}-1=0
큼 평행이동한 직선의 방정식은
3{x+1}-5{y-3}-1=0
∴ 3x-5y+17=0
10 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은
{x+3}@+{y-1}@=9
이 원을 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 -2만큼
평행이동한 원의 방정식은
9{x-4}+30@+9{y+2}-10@=9
∴ {x-1}@+{y+1}@=9
족집게 기출문제
23강
p. 102~105
1 -4
6 3
11 2x-y-10=0 또는 2x-y+10=0
3 ⑤
8 6
2 ③
7 ⑤
4 ①
9 ①
5 ④
10 -9
12 ④
13 ②
18 3j2
23 ③
28 -3 또는
14 ④
19 ④
24 3
9
2
3
4
15 11
16 a<
17 20
20 ②
21 ①
25 4p+8 26 3j2
29 ⑴ 10 ⑵ P{2, 0}
22 ④
27 28
1 점 {3, -1}을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로
-1만큼 평행이동한 점의 좌표는
{3+a, -2}
이 점이 직선 2x-y=0 위에 있으므로
2{3+a}-{-2}=0 ∴ a=-4
2 점 {4, 2}를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만
큼 평행이동한 점의 좌표가 {2, 3}이라고 하면
4+a=2, 2+b=3
∴ a=-2, b=1
이때 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평
행이동하여 점 {-1, -1}로 옮겨지는 점의 좌표를
{x, y}라고 하면
x-2=-1, y+1=-1
∴ x=1, y=-2
따라서 구하는 점의 좌표는 {1, -2}
3 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 옮기는 평
행이동에 의하여 직선 L이 직선 4x-3y-18=0으로 옮겨
지므로 직선 4x-3y-18=0을 x축의 방향으로 -2만큼,
y축의 방향으로 3만큼 평행이동하면 직선 L과 일치한다.
따라서 직선 L의 방정식은
4{x+2}-3{y-3}-18=0
∴ 4x-3y-1=0
로 2만큼 평행이동한 직선의 방정식은
y-2=a{x+1}+b
∴ y=ax+a+b+2
직선 ㉠이 직선 y=2x+3과 수직으로 만나므로
yy`㉠
a\2=-1 ∴ a=-
1
2
또 직선 ㉠이 직선 y=2x+3과 y축 위에서 만나므로 두 직
선의 y절편이 같아야 한다.
즉, a+b+2=3이므로 b= 3
2
∴ ab=-
3
4
III. 도형의 방정식 75
∴ 3x-5y-1=0
이 직선을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 3만
4 직선 y=ax+b를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 75
2017-10-30 오후 5:01:26
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
5 오른쪽 그림에서
=CD
=BC
AB
=j13k
이므로 사각형 ABCD는 마름
=DA
y
C{2, 6}
{2, 3}
B{4, 3}
D{0, 3}
모이고, 평행이동한 직선이 마
름모 ABCD의 넓이를 이등분
하려면 두 대각선 AC와 BD
의 교점 {2, 3}을 지나야 한다.
직선 y=3x+2를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으
로 b만큼 평행이동한 직선의 방정식은
y-b=3{x-a}+2
A{2, 0}
O
x
∴ y=3x-3a+b+2
이 직선이 점 {2, 3}을 지나므로
3=6-3a+b+2
∴ 3a-b=5
6 점 {2, 2}를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n
만큼 평행이동한 점의 좌표가 {5, -1}이라고 하면
2+m=5, 2+n=-1
∴ m=3, n=-3
따라서 원 {x-3}@+{y+3}@=a를 x축의 방향으로 3만
큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 원의 방정식은
9{x-3}-30@+9{y+3}+30@=a
∴ {x-6}@+{y+6}@=a
이 원이 원 {x+b}@+{y+6}@=9와 일치하므로
a=9, b=-6 ∴ a+b=3
점 {2, 2}를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n
만큼 평행이동한 점의 좌표가 {5, -1}이라고 하면
2+m=5, 2+n=-1
∴ m=3, n=-3
원 {x-3}@+{y+3}@=a의 중심 {3, -3}을 x축의 방향
으로 3만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 점은 원
{x+b}@+{y+6}@=9의 중심 {-b, -6}과 일치하므로
3+3=-b ∴ b=-6
또 평행이동을 하여도 원의 반지름의 길이는 변하지 않으
므로 a=9
∴ a+b=3
7 원 x @+{y-1}@=9를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향
으로 -3만큼 평행이동한 원의 방정식은
{x-2}@+9{y+3}-10@=9
∴ {x-2}@+{y+2}@=9
이 원이 직선 3x-4y+k=0과 만나려면 원의 중심
{2, -2}와 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이인 3보
<3, |14+k|<15
다 작거나 같아야 하므로
|6+8+k|
13@+{-34}@3
∴ -29A'B'
따라서 AQ
으므로 A'B'
+QP
+PB
의 최솟값은 선분 A'B'의 길이와 같
=192-{-1}0@+{-1-32}@3=3j2
19 오른쪽 그림과 같이 점 D를 원
점 O, 전선 L을 x축으로 하여
y
B{200, 100}
A{0, 60}
x
E
O D
C C
주어진 조건을 좌표평면 위에
나타내면 세 점 A , B , E의
좌표는 A{0, 60},
B{200, 100}, E{200, 0}
점 B를 x축에 대하여 대칭이동한 점을 B'이라고 하면 점
B'의 좌표는 B'{200, -100}
이때 BC
+BC
AC
B'{200, -100}
이므로
=B'C
+B'C
=AC
>AB'
즉, 점 C가 직선 AB' 위의 점일 때, AC
직선 AB'의 방정식은
+BC
가 최소이다.
y-60=
-100-60
200-0
{x-0} ∴ y=-
x+60
4
5
점 C는 직선 AB'과 x축의 교점이므로
0=-
x+60 ∴ x=75 ∴ C{75, 0}
4
5
따라서 C 지점은 D 지점에서 75`m만큼 떨어진 곳에 있어
20 점 {a, b}는 두 점 {-2, -3}, {4, 5}를 이은 선분의 중
점이므로
-2+4
2
=a,
-3+5
2
∴ a+b=2
=b ∴ a=1, b=1
III. 도형의 방정식 77
yy`㉠
야 한다.
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 77
2017-10-30 오후 5:01:27
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
1차
21 포물선 y=x @-6x+10, 즉 y={x-3}@+1의 꼭짓점의
좌표는 {3, 1}
포물선 y=-x @-14x-50, 즉 y=-{x+7}@-1의 꼭짓
점의 좌표는 {-7, -1}
두 포물선이 점 A에 대하여 대칭이므로 두 점 {3, 1},
{-7, -1}은 점 A에 대하여 대칭이다.
따라서 점 A는 두 점 {3, 1}, {-7, -1}을 이은 선분의
중점이므로 점 A의 좌표는
1-1
∴ A{-2, 0}
3-7
2 ,
[
2 ]
22 주어진 원의 방정식을 변형하면
{x-4}@+{y-1}@=1
이 원의 중심 {4, 1}을 직선 y=x+1에 대하여 대칭이동
한 점의 좌표를 {a, b}라고 하면 직선 y=x+1이 두 점
{4, 1}, {a, b}를 이은 선분의 중점
4+a
2
,
1+b
2
[
를
]
지나므로
1+b
2
=
4+a
2
수직이므로
b-1
a-4
1\
+1 ∴ a-b=-5
yy`㉠
직선 y=x+1이 두 점 {4, 1}, {a, b}를 지나는 직선과
=-1 ∴ a+b=5
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=5
따라서 대칭이동한 원은 중심이 점 {0, 5}이고 반지름의
길이가 1인 원이므로 구하는 원의 방정식은
x @+{y-5}@=1
23 직선 y=2x-1 위에 있는 두 점 {0, -1}, {1, 1}을 직
선 y=-x+3에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 각각
{a, b}, {c, d}라고 하자.
! 직선 y=-x+3이 두 점 {0, -1}, {a, b}를 이은
-1+b
2
0+a
2 ,
선분의 중점
를 지나므로
]
-1+b
2
[
a
2
직선 y=-x+3과 두 점 {0, -1}, {a, b}를 지나
는 직선이 서로 수직이므로
b-{-1}
a-0
{-1}\
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=3
=-1 ∴ a-b=1 yy`㉡
@ 직선 y=-x+3이 두 점 {1, 1}, {c, d}를 이은 선
분의 중점
[
1+c
2 ,
1+d
2
]
를 지나므로
1+d
2
1+c
2
=-
+3 ∴ c+d=4
yy`㉢
직선 y=-x+3과 두 점 {1, 1}, {c, d}를 지나는
직선이 서로 수직이므로
{-1}\
=-1 ∴ c-d=0
yy`㉣
d-1
c-1
㉢, ㉣을 연립하여 풀면 c=2, d=2
78 정답과 해설
!, @에 의하여 직선 mx-2y+n=0은 두 점 {4, 3},
{2, 2}를 지나는 직선이므로 직선의 방정식은
y-2=
{x-2} ∴ x-2y+2=0
3-2
4-2
따라서 m=1, n=2이므로 m-n=-1
24 두 정사각형 ABCD, PQRS에서 점 C와 점 P는 다음 그
림과 같이 각각 일직선으로 움직인다.
y
4x-3y+11=0
4x-3y-18=0
A D
B
C
O
P
Q
S
R
x
점 C가 움직이는 직선은 직선 4x-3y+11=0을 x축의
방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 직
선이므로 이 직선의 방정식은
4{x-1}-3{y+1}+11=0
∴ 4x-3y+4=0
점 P가 움직이는 직선은 직선 4x-3y-18=0을 x축의
방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 직
yy`㉠
선이므로 이 직선의 방정식은
4{x+1}-3{y-1}-18=0
∴ 4x-3y-11=0
이때 점 C와 점 P 사이의 거리의 최솟값은 평행한 두 직
yy`㉡
선 ㉠, ㉡ 사이의 거리와 같다.
따라서 직선 ㉠ 위의 한 점 {-1, 0}과 직선 ㉡ 사이의 거
리를 구하면
|-4-0-11|
14@+{-3}@3
=
=3
15
5
25 원 {x-1}@+{y-1}@=2의 x>0, y>0인 부분과 이 부
분을 각각 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동하여 생기는
y
2
1
B
2
O
1
A
x
위의 그림에서 원 {x-1}@+{y-1}@=2가 x축, y축과
만나고 원점이 아닌 점을 각각 A, B라고 하면
! 점 A는 원이 x축과 만나는 점이므로
{x-1}@+{0-1}@=2, x @-2x=0
x{x-2}=0 ∴ x=0 또는 x=2
따라서 점 A의 좌표는 A{2, 0}
=-
+3 ∴ a+b=7
yy`㉠
모든 곡선으로 둘러싸인 부분은 다음 그림과 같다.
18고등수학(상)_내공의힘 해설(042~079)오.indd 78
2017-10-31 오후 5:37:15
@ 점 B는 원이 y축과 만나는 점이므로
{0-1}@+{y-1}@=2, y @-2y=0
y{y-2}=0 ∴ y=0 또는 y=2
따라서 점 B의 좌표는 B{0, 2}
선분 AB의 중점이 원의 중심과 일치하고
AB
=1{0-2}@+{2-30}@3=2j2
이므로 이 원의 지름의 길이는 2j2이다.
모든 곡선으로 둘러싸인 부분 중 제1사분면에 있는 부분의
넓이는 반지름의 길이가 j2인 반원과 직각이등변삼각형의
넓이의 합과 같으므로
1
2
\p\{j2}@+
\2\2=p+2
1
2
따라서 모든 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이는
4{p+2}=4p+8
26 오른쪽 그림과 같이 점 R를 두 변
OA, OB에 대하여 각각 대칭이
동한 점을 R1, R2라고 하면
, QR
RP
+QR
=QR2
=R1P
이므로
+PQ
RP
A
R1¡
P
P
R
O
Q Q
B
+PQ
=R1P
+QR2
>R1R2
이때 ∠R1OA=∠ROA,
∠R2OB=∠ROB이므로
∠R1OA+∠R2OB =∠ROA+∠ROB=∠AOB=45!
∴ ∠R1OR2=45!+45!=90!
또 OR
OR1
=3이므로
이고, OR
=OR2
=OR2
=OR1
, OR
=3
R2™
이때 △R1OR2가 직각삼각형이므로
R1R2
@=18 ∴ R1R2
Z
>0이므로 R1R2
+QR
=3j2
@=3@+3@, R1R2
Z
그런데 R1R2
따라서 RP
+PQ
같으므로 3j2이다.
=-3j2
의 최솟값은 선분 R1R2의 길이와
27 원 {x+a}@+{y+b}@=16을 직선 y=x에 대하여 대칭이
동한 원의 방정식은
{x+b}@+{y+a}@=16
yy`㈎
이 원을 x축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 원의 방정식은
{x+b+3}@+{y+a}@=16
yy`㈏
이 원은 반지름의 길이가 4이고, x축과 y축에 동시에 접하므로
|-b-3|=4 ∴ b=-7 또는 b=1
|-a|=4 ∴ a=-4 또는 a=4
따라서 ab의 최댓값은 a=-4, b=-7일 때, 28이다.
yy`㈐
채점 기준
㈎ 대칭이동한 원의 방정식을 구한다.
㈏ 평행이동한 원의 방정식을 구한다.
㈐ a, b의 값을 구한다.
㈑ ab의 최댓값을 구한다.
yy`㈑
배점
1점
1점
2점
2점
28 원 x @+{y-2}@=9를 x축의 방향으로 a만큼 평행이동한
원의 방정식은
{x-a}@+{y-2}@=9
yy`㈎
원의 중심 {a, 2}와 직선 4x-3y+3=0 사이의 거리 d는
d=
|4a-6+3|
14@+{-33}@3
=
|4a-3|
5
원의 반지름의 길이 r는 r=3
원과 직선이 접하려면 d=r이어야 하므로
|4a-3|
5
=3, |4a-3|=15
∴ a=-3 또는 a= 9
2
채점 기준
㈎ 평행이동한 원의 방정식을 구한다.
㈏ 원의 중심과 직선 사이의 거리와 원의 반지름의 길이
를 구한다.
㈐ a의 값을 구한다.
yy`㈏
yy`㈐
배점
1점
2점
2점
29 ⑴ 점 B{7, 0}을 직선 x+y=2에 대하여 대칭이동한 점
의
의 좌표를 B'{a, b}라고 하면 직선 x+y=2가 BB'
중점
7+a
2
,
[
0+b
2 ]
를 지나므로
7+a
2
+
=2
b
2
∴ a+b=-3
yy`㉠
직선 x+y=2, 즉 y=-x+2와 직선 BB'이 서로 수직
yy`㉡
∴ a-b=7
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-5
따라서 점 B'의 좌표는 B'{2, -5}
yy`㈎
x+y=2
A{2, 5}
이므로
{-1}\
=-1
b-0
a-7
오른쪽 그림에서
BP
=B'P
이므로
AP
+BP
=AP
+B'P
Z
>AB'
따라서 AP
의 최
솟값은 선분 AB'의 길
+BP
이와 같으므로
AB'
=5-{-5}=10
y
2
O
P
2
P
B{7, 0}
x
B'{2, -5}
⑵ 직선 AB'의 방정식은 x=2
점 P는 두 직선 x+y=2, x=2의 교점이므로
2+y=2 ∴ y=0
㈎ 점 B를 직선 x+y=2에 대하여 대칭이동한 점의 좌
∴ P{2, 0}
채점 기준
표를 구한다.
+BP
의 최솟값을 구한다.
㈏ AP
㈐ 직선 AB'의 방정식을 구한다.
㈑ 점 P의 좌표를 구한다.
yy`㈏
yy`㈐
yy`㈑
배점
3점
2점
1점
1점
III. 도형의 방정식 79
18고등수학(상)_내공의힘 해설14~23강(042~079)오.indd 79
2017-10-30 오후 5:01:28
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
01~03강
내공 점검
p. 108~109
2 ④
2 ④
7 ④
7 ④
12 8
12 8
15 ②
20 ⑤
5 ②
4 ①
3 ③
5 ②
4 ①
3 ③
10 ①
9 ⑤
8 ⑤
8 ⑤
10 ①
9 ⑤
13 몫 : x@-2x+1, 나머지 : 2
13 몫: x@-2x+1, 나머지: 2
17 ②
18 ③
16 ④
1 X+2A=A-2{A-B}에서 X+2A=A-2A+2B
23 -24
22 8
21 2
1 ⑤
1 ⑤
6 ②
6 ②
11 2
11 2
14 ⑤
19 ①
24 ⑴ a=2, b=-8 ⑵ {x-1}{x+2}{x+4}
25 {x @+5x+2}{x @-x-4}
=-3{x @-3xy+y @}+2{2x @-xy-3y @}
∴ X =-3A+2B
=-3x @+9xy-3y @+4x @-2xy-6y @
=x @+7xy-9y @
2 P{x}={2x @+3x-1}{3x @-x-5}@이라고 하면
P{x}를 전개하였을 때, 모든 계수의 합은 x=1일 때의 값
과 같으므로
P{1} ={2+3-1}{3-1-5}@=4\9=36
3 ① {x-y}{3x+2y}=3x @-xy-2y @
② {x @+xy+y @}{x @-xy+y @}=x$+x @y @+y$
④ {x-y-z}@=x @+y @+z@-2xy+2yz-2zx
⑤ {x+y+z}{x @+y @+z@-xy-yz-zx}
=x #+y#+z#-3xyz
따라서 옳은 것은 ③이다.
4 {a-1}{a+1}{a @+1}{a $+1} ={a @-1}{a @+1}{a $+1}
={a $-1}{a $+1}
=a *-1
5 x+y=-2, xy=-8이므로
x @+y @ ={x+y}@-2xy
={-2}@-2\{-8}=20
∴ x$+y$ ={x @+y @}@-2x @y @={x @+y @}@-2\{xy}@
=20@-2\{-8}@=272
6 x @+
=
x+
1
x@
1
x#
[
[
∴ 3x #-x @+2x+
1
x ]@-2=3@-2=7
1
x ]#-3
2
x
1
x ]
3
x#
1
x@
x+
-
+
[
x #+
=
x+
=3#-3\·3=18
=3
x #+
1
x# ]
=3\18-7+2\3=53
x @+
-
[
[
1
x@ ]
+2
x+
[
1
x ]
7 ab+bc+ca =
9{a+b+c}@-{a @+b @+c @}0
=
{9-11}=-1
∴ a #+b #+c #-3abc
={a+b+c}{a @+b @+c @-ab-bc-ca}
=3\911-{-1}0=36
1
2
1
2
80 정답과 해설
내공 점검
8 f{x} ={x@-x+2}{2x-1}+3x+4
=2x#-3x@+8x+2
이므로
2x -5
x@+x+2 2x#-3x@+8x+2
2x#+2x@+4x
-5x@+4x+2
-5x@-5x-10
9x+12
따라서 구하는 나머지는 9x+12이다.
9 f{x}={3x-1}Q{x}+R이므로
3f{x} =3{3x-1}Q{x}+3R
1
3 ]
1
3 ]
\9Q{x}+3R
Q{x}+3R
x-
x-
=9
=
[
[
따라서 3f{x}를 x-
1
3 로 나눈 몫은 9Q{x}, 나머지는 3R
이다.
구하면
2
4
4
10 2x-4=2{x-2}이므로 다항식 4x #+ax @-3x+b를
x-2로 나누었을 때의 몫과 나머지를 조립제법을 이용하여
a
8
-3
b
2a+16
4a+26
a+8
2a+13
4a+b+26
즉, k=2, c=4, a+8=3, 2a+13=d, 4a+b+26=10
이므로
k=2, a=-5, b=4, c=4, d=3
∴ 4x #-5x @-3x+4
={x-2}{4x @+3x+3}+10
1
2
={2x-4}\
\{4x @+3x+3}+10
={2x-4}
2x @+
x+
[
따라서 Q{x}=2x @+
x+
3
2
3
2
+10
3
2 ]
3
2 이므로
Q{1}=5
∴ a+b+c+d+k+Q{1} =-5+4+4+3+2+5
=13
11 {2x #-x @+x-a}@, 즉 {2x #-x @+x-a}{2x #-x @+x-a}
의 전개식에서 x @항은
{-x @}\{-a}+x\x+{-a}\{-x @}={2a+1}x @
x $항은
2x #\x+{-x @}\{-x @}+x\2x #=5x $
x @의 계수와 x $의 계수가 같으므로
2a+1=5, 2a=4 ∴ a=2
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
18고등수학(상)_내공의힘 해설내공점검(080~096)오.indd 80
2017-10-30 오후 5:05:12
yy`㉠
yy`㈎
{2x+y-3}t+3x-y-2=0
yy`㈏
주어진 등식이 t에 대한 항등식이므로 양변에 t=-
3
2 ,
따라서 abc=1, ab+bc+ca=-8을 ㉠에 대입하면
t=1을 각각 대입하면
1
a+b
+
1
b+c
+
1
c+a
=-
=8
-8
1
yy`㈐
-
y+
=0, 5x-5=0 ∴ x=1, y=1
5
2
5
2
∴ x+y=2
배점
4점
4점
2점
배점
3점
3점
4점
채점 기준
㈎ x @항을 a에 관한 식으로 나타낸다.
㈏ x$항을 구한다.
㈐ a의 값을 구한다.
12 a+b+c=0이므로
1
a+b
+
1
b+c
+
1
c+a
=
1
-c
+
1
-a
+
1
-b
=- ab+bc+ca
abc
{a+b+c}@=a @+b @+c @+2{ab+bc+ca}에서
ab+bc+ca
=
9{a+b+c}@-{a @+b @+c @}0
1
2
=
1
2 {0-16}
=-8
13 2x-1=2
x-
[
1
2 ]
이므로 다항식 2x #-5x @+4x+1을
x-
1
2 로 나누었을 때의 몫과 나머지를 조립제법을 이용하
채점 기준
㈎ 주어진 식을 간단히 나타낸다.
㈏ ab+bc+ca의 값을 구한다.
㈐ 주어진 식의 값을 구한다.
여 구하면
2 -5 4 1
2!
1 -2 1
2 -4 2 2
2x #-5x @+4x+1을 x-
1
2 로 나누었을 때의 몫은
2x @-4x+2이고 나머지는 2이므로
2x #-5x @+4x+1
1
2 ]
{2x @-4x+2}+2
x-
=
[
={2x-1}\
1
2 \{2x @-4x+2}+2
yy`㈎
={2x-1}{x @-2x+1}+2
yy`㈏
따라서 주어진 다항식을 2x-1로 나누었을 때의 몫은
x @-2x+1이고 나머지는 2이다.
yy`㈐
채점 기준
㈎ 조립제법을 이용하여 주어진 다항식을 x-
로 나누
1
2
었을 때의 몫과 나머지를 구한다.
㈏ ㈎에서 구한 몫과 나머지를 이용하여 식을 세우고, 식
㈐ 주어진 다항식을 2x-1로 나누었을 때의 몫과 나머지를
을 변형한다.
구한다.
배점
4점
4점
2점
04~05강
내공 점검
p. 110~111
5 -3
5 ②
10 ③
10 ①
2 ③
1 ①
2 ④
1 ⑤
7 ④
6 13
7 ④
6 ②
12 ③
11 ①
11 2
12 8
14 ⑴ a=2, b=-8 ⑵ {x-1}{x+2}{x+4}
15 ②
14 ⑤
15 {x@+5x+2}{x@-x-4}
20 ⑤
19 ①
24 ⑴ a=2, b=-8 ⑵ {x-1}{x+2}{x+4}
25 {x @+5x+2}{x @-x-4}
4 ③
3 ④
4 ①
3 ③
9 ②
8 ⑤
8 ⑤
9 ⑤
13 -24
13 몫: x@-2x+1, 나머지: 2
16 ④
21 2
1 주어진 등식의 좌변을 t에 대하여 정리하면
17 ②
22 8
18 ③
23 -24
이 등식이 t에 대한 항등식이므로
2x+y-3=0, 3x-y-2=0
두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=1
∴ x+y=2
2 나머지정리에 의하여 P
1
2 ]$-3\
[
즉, 2\
[
∴ a=1
=2
1
2 ]
[
1
2 ]#+7\
1
2 ]@-a\ 1
2
[
+1=2
3 다항식 P{x}를 x+1로 나누었을 때의 몫이 Q{x}, 나머
지가 5이므로
P{x}={x+1}Q{x}+5
yy`㉠
Q{x}를 x+2로 나누었을 때의 나머지가 -2이므로 나머
지정리에 의하여
Q{-2}=-2
따라서 다항식 P{x}를 x+2로 나누었을 때의 나머지는`
P{-2}이므로 ㉠의 양변에 x=-2를 대입하면
P{-2} ={-2+1}\Q{-2}+5
={-1}\{-2}+5=7
4 다항식 P{x}를 x{x-1}로 나누었을 때의 몫을 Q1{x}라
고 하면 나머지가 2x-3이므로
P{x}=x{x-1}Q1{x}+2x-3
양변에 x=0, x=1을 각각 대입하면
P{0}=-3, P{1}=-1
또 다항식 P{x}를 {x-1}{x+1}로 나누었을 때의 몫을
Q2{x}라고 하면 나머지가 x-2이므로
P{x}={x-1}{x+1}Q2{x}+x-2
양변에 x=-1을 대입하면
P{-1}=-3
이때 다항식 P{x}를 x{x-1}{x+1}로 나누었을 때의 몫
내공 점검 81
18고등수학(상)_내공의힘 해설내공점검(080~096)오.indd 81
2017-10-30 오후 5:05:13
1차
을 Q{x}, 나머지를 ax @+bx+c`(a, b, c는 상수)라고 하면
P{x}=x{x-1}{x+1}Q{x}+ax @+bx+c
이 식의 양변에 x=0, x=1, x=-1을 각각 대입하면
P{0}=c, P{1}=a+b+c, P{-1}=a-b+c
∴ c=-3, a+b+c=-1, a-b+c=-3
세 식을 연립하여 풀면 a=1, b=1, c=-3
따라서 구하는 나머지는 x @+x-3이다.
9 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면
x @-4xy+3y @+x-5y-2
=x @+{-4y+1}x+3y @-5y-2
=x @+{-4y+1}x+{y-2}{3y+1}
=9x-{y-2}09x-{3y+1}0
={x-y+2}{x-3y-1}
∴ {x-y+2}+{x-3y-1}=2x-4y+1
5 인수정리에 의하여 P{2}=0
즉, 8-4+2k+2=0, 2k+6=0
∴ k=-3
6 P{x}=x #+ax+b라고 하면 P{x}가 x @-3x+2, 즉
{x-1}{x-2}로 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여
P{1}=0, P{2}=0
P{1}=0에서 1+a+b=0
∴ a+b=-1
P{2}=0에서 8+2a+b=0
∴ 2a+b=-8
yy`㉡
yy`㉠
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-7, b=6
∴ b-a=13
7 ① {a+b}#+b # =9{a+b}+b09{a+b}@-{a+b}\b+b @0
={a+2b}{a @+ab+b @}
② 2x $-3x @y @+y $ ={x @-y @}{2x @-y @}
={x+y}{x-y}{2x @-y @}
③ a #+2a @-5a-6 ={a+1}{a @+a-6}
={a+1}{a-2}{a+3}
④ x $-11x @y @+y $ ={x $-2x @y @+y $}-9x @y @
={x @-y @}@-{3xy}@
={x @+3xy-y @}{x @-3xy-y @}
⑤ a @c+bc @-a @b-c # ={c @-a @}b-c{c @-a @}
={c @-a @}{b-c}
={c+a}{c-a}{b-c}
=-{c+a}{c-a}{c-b}
따라서 옳은 것은 ④이다.
8 {x-2}{x-1}{x+4}{x+5}+k
=9{x-2}{x+5}09{x-1}{x+4}0+k
={x @+3x-10}{x @+3x-4}+k
x @+3x=X로 놓으면
(주어진 식) ={X-10}{X-4}+k
=X @-14X+40+k
={X-7}@+k-9={x@+3x-7}@+k-9
이 식이 완전제곱식이 되어야 하므로
k-9=0 ∴ k=9
82 정답과 해설
10 주어진 식의 좌변을 a에 대하여 내림차순으로 정리하면
b #-c #-b @c+bc @+a @b-a @c
={b-c}a @+b #-b @c+bc @-c #
={b-c}a @+b @{b-c}+c @{b-c}
={b-c}{a @+b @+c @}=0
이때 a @+b @+c @>0이므로
b-c=0 ∴ b=c
따라서 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 b=c인 이등변
삼각형이다.
11 x-2y=A, 2y-3z=B, -x+3z=C로 놓으면
A+B+C=0이므로
{x-2y}#+{2y-3z}#-{x-3z}#
={x-2y} #+{2y-3z} #+{-x+3z} #
={A+B+C}{A @+B @+C @-AB-BC-CA}+3ABC
=A#+B #+C #
=3ABC
=3{x-2y}{2y-3z}{-x+3z}
따라서 인수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.
12 a=2018로 놓으면
2018#+1
2017\2018+1
=
a #+1
{a-1}a+1
=
{a+1}{a @-a+1}
a @-a+1
=a+1=2018+1=2019
13 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면
0=2+a+b ∴ a+b=-2 yy`㉠ yy`㈎
주어진 등식의 양변에 x @=2를 대입하면
0=8+2a+b ∴ 2a+b=-8 yy`㉡ yy`㈏
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-6, b=4
∴ ab=-24
yy`㈑
yy`㈐
채점 기준
㈎ 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하여 a, b에 관
㈏ 주어진 등식의 양변에 x @=2를 대입하여 a, b에 관한
한 식을 구한다.
식을 구한다.
㈐ a, b의 값을 구한다.
㈑ ab의 값을 구한다.
배점
2점
2점
2점
2점
18고등수학(상)_내공의힘 해설(080~096)오.indd 82
2017-10-31 오후 6:19:05
14 ⑴ P{x}는 x-1로 나누어떨어지므로
yy`㉠
P{1}=0에서 1+5+a+b=0
∴ a+b=-6
P{x}를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 24이므로
P{2}=24에서 8+20+2a+b=24
∴ 2a+b=-4
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-8
yy`㉡
⑵ ⑴에서 P{x}=x #+5x @+2x-8
yy`㈏
yy`㈐
P{x}는 x-1로 나누어떨어지므로 x-1을 인수로 가
yy`㈎
진다.
따라서 조립제법을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
1 1 5 2 -8
1 6 8
1 6 8 0
P{x} ={x-1}{x @+6x+8}
={x-1}{x+2}{x+4}
yy`㈑
채점 기준
㈎ P{1}=0, P{2}=24임을 이용하여 식을 세운다.
㈏ a, b의 값을 구한다.
㈐ P{x}를 구한다.
㈑ P{x}를 인수분해한다.
배점
3점
3점
2점
4점
15 x+1=X로 놓으면
{x+1}$-13{x+1}@+4
=X $-13X @+4
={X $-4X @+4}-9X @={X @-2}@-{3X}@
={X @+3X-2}{X @-3X-2}
=9{x+1}@+3{x+1}-209{x+1}@-3{x+1}-20
={x @+5x+2}{x @-x-4}
채점 기준
㈎ x+1=X로 놓고, 주어진 식을 X에 대한 식으로 나타낸다.
㈏ 주어진 식을 X에 대한 두 이차식의 곱으로 인수분해
㈐ 주어진 식을 x에 대한 식으로 나타내고 인수분해를
한다.
완성한다.
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
배점
2점
3점
3점
06~07강
내공 점검
p. 112~113
5 ③
5 ②
10 ④
10 ①
4 ④
3 ①
2 ②
1 ⑤
4 ①
3 ③
2 ④
1 ⑤
9 ②
8 ⑤
7 ③
6 ③
9 ⑤
6 ②
8 ⑤
7 ④
13 2y+3
11 3+i 또는 -3+i 12 0
12 8
11 2
13 몫: x@-2x+1, 나머지: 2
18 ③
17 ②
16 ④
15 ②
14 ⑤
1 주어진 복소수 중 실수는 j13k-j2, p-3.14, 0이므로
19 ①
23 -24
22 8
21 2
20 ⑤
24 ⑴ a=2, b=-8 ⑵ {x-1}{x+2}{x+4}
a=3
25 {x @+5x+2}{x @-x-4}
순허수는 -36i, 16i이므로
b=2
순허수가 아닌 허수는 5-j5i, 3+i, -2+2i, -2i+2,
i
2
/ 2a+3b-2c=6+6-10=2
-1이므로 c=5
2 ㄱ. 1-3i는 복소수이면서 허수이다.
ㄴ. j3은 실수이므로 복소수이다.
ㄷ. 허수는 크기를 비교할 수 없다.
ㄹ. z=1+i일 때, z@={1+i}@=2i
허수
SG
=a-bi이므로
ㅁ. z=a+bi (a, b는 실수)라고 하면 z
실수
={a+bi}+{a-bi}=2a
z+z
zz
={a+bi}{a-bi}=a @+b @
실수
따라서 보기 중 옳은 것은 ㅁ이다.
SG
SG
3 z=a{a-i}-2a-2-{1+i}={a@-2a-3}-{a+1}i
가 순허수가 되려면 a@-2a-3=0이어야 하므로
{a+1}{a-3}=0
/ a=-1 또는 a=3
a+1=0이어야 하므로
a=-1
yy`㉠
yy`㉡
㉠, ㉡에서 a=3
/ z=-4i
따라서 a=3, b=-4i이므로
a@+b@=3@+{-4i}@=9-16=-7
4 {1-2i}
{2+i} ={1-2i}{2+i}+
1-2i
2+i
i
s
={1-2i}{2+i}+
{1-2i}{2-i}
{2+i}{2-i}
i
=4-3i+
i=5-3i
-5i
5
5
1-i
1+i
-2{i+2}+i @ =
-2i-4-1
{1-i}@
{1+i}{1-i}
=
-2i
2
-2i-5
=-5-3i=a+bi
따라서 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 a=-5, b=-3
이므로 a-b=-2
6 aa
-a
b-ab
+bb
{a-b}-b
=a
={a-b}{a
{a-b}
}
}
={a-b}{a-b
-b
a=2-3i, b=3+2i에서
a-b={2-3i}-{3+2i}=-1-5i이므로
a-b
=-1+5i
/ aa
-a
b-ab
+bb
}
={a-b}{a-b
={-1-5i}{-1+5i}
={-1}@-{5i}@=26
7 z+z
z+z
iZ=z+1+2i이므로
i=z+1+2i
=z
+1-2i
내공 점검 83
18고등수학(상)_내공의힘 해설내공점검(080~096)오.indd 83
2017-10-30 오후 5:05:13
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Z
Z
C
C
C
C
Z
C
C
Z
C
z=a+bi(a, b는 실수)라고 하면 z
{a+bi}+{a-bi}i={a-bi}+1-2i
=a-bi이므로
/
[
1+i
1-i ]@N
-
[
1-i
1+i ]@N =i @N-{-i}@N
a+bi+ai+b=a-bi+1-2i
{b-1}+{a+2b+2}i=0
복소수가 서로 같을 조건에 의하여
b-1=0, a+2b+2=0
/ a=-4, b=1
따라서 z=-4+i, z
z@+z
@ ={-4+i}@+{-4-i}@
C
={15-8i}+{15+8i}=30
=-4-i이므로
8 음이 아닌 정수 a에 대하여 f{4a+1}=i, f{4a+2}=i-1,
f{4a+3}=-1, f{4a+4}=0이므로 f{k}=i가 되려면
k=4a+1의 꼴이어야 한다.
따라서 100 이하의 자연수 k는 1, 5, 9, y, 97의 25개이다.
9 j-3kj-27l+2j3j-9k+ j54k
j-2k
=-j81k+2j-27l-j-27l
=-9+6j3i-3j3i=-9+3j3i
10 jajb=-jabk이므로 a<0, b<0
① -a>0, b<0이므로 j-akjb=j-abl
② -a>0, -b>0이므로
j-akj-bk=1{-a}\{-b}3=jabk
③ a<0이므로 1a@2jb=|a|jb=-ajb
④ a<0, b<0이므로 ja k
jb
=q
⑤ -a>0, b<0이므로 j-ak
jb
=-q
a
b w
따라서 옳은 것은 ④이다.
-ak
b w
={i @}N-9{-i}@0N
={-1}N-{-1}N=0 yy`㈐
채점 기준
1-i 를 간단히 한다.
㈎ 1+i
㈏ 1-i
1+i 를 간단히 한다.
1+i
1-i ]@N
㈐
[
-
[
1-i
1+i ]@N의 값을 구한다.
=-q
x+1
y+2 w이므로
13 jx+1l
jy+2l
x+1>0, y+2<0 {? x=-1}
따라서 x>-1, y<-2, x-y>0이므로
1{x+1}@3-1{y+2}@3-1{x-y}@3
=|x+1|-|y+2|-|x-y|
=x+1+y+2-x+y=2y+3
채점 기준
㈎ x, y, x-y의 값의 범위를 구한다.
㈏ 1{x+1}@3-1{y+2}@3-1{x-y}@3을 간단히 한다.
배점
3점
3점
4점
yy`㈎
yy`㈏
배점
6점
4점
08~09강
내공 점검
p. 114~115
5 ④
5 ②
10 ③
10 ①
4 ⑤
3 ③
4 ①
3 ③
9 ①
8 ⑤
9 ⑤
8 ⑤
13 몫: x@-2x+1, 나머지: 2
12 5
16 ④
21 2
2 ②
1 ③
2 ④
1 ⑤
7 ①
6 ⑤
7 ④
6 ②
11 2
12 8
11 ⑴ -6 ⑵ x=
15 ②
14 ⑤
19 ①
20 ⑤
24 ⑴ a=2, b=-8 ⑵ {x-1}{x+2}{x+4}
25 {x @+5x+2}{x @-x-4}
={x@-x-x}+{4x-4-x}+3
13 x@+2x-4=0
17 ②
18 ③
23 -24
22 8
1 {x J x}+{4 J x}+3
1
4
=x@+x-1=0
11 z=a+bi (a, b는 실수)라고 하면 z
=a-bi
주어진 등식에 z=a+bi, z
39{a+bi}-{a-bi}0+10={a+bi}·{a-bi}+6i
=a-bi를 대입하면
10+6bi=a @+b @+6i
yy`㈎
이므로
복소수가 서로 같을 조건에 의하여 10=a @+b @, 6b=6
∴ a=3, b=1 또는 a=-3, b=1
/ z=3+i 또는 z=-3+i
yy`㈐
yy`㈏
채점 기준
㈎ z=a+bi, z
=a-bi를 주어진 등식에 대입하여 정리
한다.
㈏ a, b의 값을 구한다.
㈐ 복소수 z를 구한다.
x=
-1-11@-4\1\{-1}3
2
=
-1-j5
2
2 x@-2=1x@2+1{x+1}@3에서
x@-2=|x|+|x+1|
! x<-1일 때
x@-2=-x-{x+1}, x@+2x-1=0
/ x=-1-j2
그런데 x<-1이므로 x=-1-j2
@ -10일 때
x@-2=x+{x+1}, x@-2x-3=0
{x+1}{x-3}=0 / x=-1 또는 x=3
그런데 x>0이므로 x=3
!, @, #에 의하여 주어진 이차방정식의 해는
x=-1-j2 또는 x=3
8 이차방정식 x@-2{3-p}x+3=0의 두 근이 a, b이므로
근과 계수의 관계에 의하여 ab=3
a@-2{3-p}a+3=0에서 a@+2pa+3=6a
b@-2{3-p}b+3=0에서 b@+2pb+3=6b
/ {a@+2pa+3}{b@+2pb+3} =6a\6b
=36ab=108
x
28
7
+4=0에서
x
28
-1
[7
][7
x
28
-4
=0
]
9 a, b는 실수이고
5
1+2i
=
5{1-2i}
{1+2i}{1-2i}
=1-2i이므
3
7
-5
x
28@
x
28
7
/
!
7
x
28
x
28
=1 또는
x
28
=4
7
=1일 때, 1<
<2이므로 2
1
2
5 이차방정식 x @-2ax+b @=0의 판별식을 D1이라고 하면
D1
4
={-a}@-b @=0 ∴ a @=b @
이차방정식 x @+ax+b @+1=0의 판별식을 D2라고 하면
D2 =a@-4{b @+1}=a @-4b @-4
=a @-4a @-4=-3a @-4<0
따라서 이차방정식 x @+ax+b @+1=0은 서로 다른 두 허
근을 갖는다.
6 이차방정식 {a+c}x@-2bx+c-a=0의 판별식을 D라고
={-b}@-{a+c}{c-a}=b@-c@+a@=0
하면
D
4
/ c@=a@+b@
따라서 빗변의 길이가 c인 직각삼각형이다.
7 이차방정식 x@-2x+3=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계
수의 관계에 의하여 a+b=2, ab=3
/
b@
a-1
+
a@
b-1
=
=
=
b@{b-1}+a@{a-1}
{a-1}{b-1}
a#+b#-{a@+b@}
ab-{a+b}+1
{a+b}#-3ab{a+b}-{a+b}@+2ab
ab-{a+b}+1
=
2#-3\3\2-2@+2\3
3-2+1
=-4
로 이차방정식 x@-2{a+b}x+2ab-3=0의 다른 한 근
은 1+2i이다.
2{a+b}={1-2i}+{1+2i}=2에서 a+b=1
2ab-3={1-2i}{1+2i}=5에서 ab=4
/ a#+b# ={a+b}#-3ab{a+b}
=1#-3\4\1=-11
10 이차방정식 f{2x-1}=0의 두 근을 a, b라고 하면
a+b=-2, ab=3
이차방정식 f{x}=0의 두 근은
x=2a-1 또는 x=2b-1
따라서 이차방정식 f{x}=0의 두 근의 곱은
{2a-1} {2b-1} =4ab-2{a+b}+1
=4\3-2\{-2}+1=17
yy`㉠
11 ⑴ {m@-4}x@+2{m-2}x+2=0
㉠이 이차방정식이므로
m@-4=0 / m=-2
㉠의 판별식을 D라고 하면
D
4
m@+4m-12=0, {m+6}{m-2}=0
/ m=-6 {? m=2}
={m-2}@-2{m@-4}=-m@-4m+12=0
yy`㈏
⑵ m=-6을 {m@-4}x@+2{m-2}x+2=0에 대입하면
yy`㈐
32x@-16x+2=0
yy`㈎
16x@-8x+1=0, {4x-1}@=0
/ x=
1
4 (중근)
채점 기준
㈎ 주어진 방정식이 이차방정식이 되도록 하는 m의 조건
을 구한다.
㈏ 판별식을 이용하여 m의 값을 구한다.
㈐ m의 값을 대입하여 이차방정식을 세운다.
㈑ 중근을 구한다.
12 이차방정식 x@+{k+1}x+2k+5=0의 두 근을 a, b라고
하면 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-k-1, ab=2k+5
a@+b@=6이므로
a@+b@={a+b}@-2ab에서
yy`㈑
배점
2점
3점
2점
3점
yy`㈎
내공 점검 85
18고등수학(상)_내공의힘 해설내공점검(080~096)오.indd 85
2017-10-30 오후 5:05:14
yy`㈏
2 이차방정식 2x@-3ax+4b-1=0의 두 근이 1, b이므로
yy`㈏
따라서 구하는 이차방정식은 x@+2x-4=0 yy`㈐
=-1-4+1=-4
4 a, b는 유리수이므로 이차방정식 -x@+a=bx+1의 한
6={-k-1}@-2{2k+5}
k@-2k-15=0, {k+3}{k-5}=0
/ k=-3 또는 k=5
따라서 양수 k의 값은 5이다.
채점 기준
㈎ 두 근의 합과 곱을 k에 대한 식으로 나타낸다.
㈏ k에 대한 이차방정식을 세운다.
㈐ 양수 k의 값을 구한다.
13 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-4, ab=-1
{a+1}+{b+1} =a+b+2=-4+2=-2
{a+1}{b+1} =ab+a+b+1
yy`㈐
배점
4점
3점
3점
yy`㈎
채점 기준
㈎ a+b, ab의 값을 구한다.
㈏ 구하려는 이차방정식의 두 근의 합과 곱을 구한다.
㈐ 이차방정식을 구한다.
배점
4점
4점
2점
10~11강
내공 점검
p. 116~117
5 ②
5 ②
10 ②
10 ①
2 ⑤
2 ④
7 ⑤
7 ④
12 8
12 -11
15 ②
20 ⑤
1 ④
1 ⑤
6 ④
6 ②
11 2
11 5
14 ⑤
19 ①
24 ⑴ a=2, b=-8 ⑵ {x-1}{x+2}{x+4}
25 {x @+5x+2}{x @-x-4}
4 ④
3 ③
4 ①
3 ③
9 ④
8 ④
8 ⑤
9 ⑤
13 몫: x@-2x+1, 나머지: 2
13 ⑴ -
16 ④
21 2
1 ㄱ. 이차방정식 2x@+3x+1=0의 판별식을 D라고 하면
D=3@-4\2\1=1>0
이므로 이차함수 y=2x@+3x+1의 그래프는 x축과 서
18 ③
23 -24
17 ②
22 8
0
ㄷ. 이차방정식 -3x@+2j3x+1=0의 판별식을 D라고 하면
D
4
이므로 이차함수 y=-3x@+2j3x+1의 그래프는 x축
과 서로 다른 두 점에서 만난다.
={-2j2}@-1\8=0
ㄹ. 이차방정식 x@-4j2x+8=0의 판별식을 D라고 하면
D
4
이므로 이차함수 y=x@-4j2x+8의 그래프는 x축과
한 점에서 만난다.
86 정답과 해설
1+b=
1\b=
b+
2
3
3a
2 에서 a=
4b-1
2
3
2 에서 b=
1
2
1
2
따라서 a=1, `b=
이므로
a+4b=1+4\
=3
1
2
3 이차방정식 x @+3=2x-a, 즉 x @-2x+a+3=0의 판별
식을 D라고 하면
D
4
∴ a>-2
={-1}@-{a+3}<0, -a-2<0
근이 -1-j5이면 나머지 한 근은 -1+j5이다.
이차방정식 x@+bx-a+1=0에서
(두 근의 합)=-b={-1+j5}+{-1-j5}=-2
/ b=2
(두 근의 곱)=-a+1={-1+j5}{-1-j5}=-4
/ a=5
5 y=-2x@-8x+3=-2{x+2}@+11에서
x=-2일 때 최댓값이 11이므로 M=11
y ={2x+3}{2x-1}
=4x@+4x-3 =4
x+
1
2 ]@
-4
[
따라서 x=- 1
2
/ M+m=11+{-4}=7
일 때 최솟값이 -4이므로 m=-4
6 y=-x @+4x+a=-{x-2}@+a+4
따라서 -13
따라서 주어진 이차식은 x=1, y=-2, z=-1일 때 최솟
값이 3이다.
10 h{t}=-5t@+40t+10=-5{t-4}@+90
이므로 h{t}는 t=4일 때 최댓값이 90이다.
따라서 이 물체가 가장 높이 올라가는 것은 4초 후이고 이
때 지면으로부터의 높이는 90 m이므로
a=4, b=90
/ b-a=90-4=86
11 이차방정식 x@-2kx+4k-3=0의 두 근을 a, b라고 하면
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=2k, ab=4k-3
yy`㈎
이차함수 y=x@-2kx+4k-3의 그래프가 x축과 만나는
두 점 사이의 거리가 4j2이므로 |a-b|=4j2
{a-b}@={a+b}@-4ab에서
{4j2}@={2k}@-4{4k-3}
k@-4k-5=0, {k+1}{k-5}=0
/ k=-1 또는 k=5
따라서 양수 k의 값은 5이다.
yy`㈐
yy`㈏
채점 기준
㈎ 이차방정식의 두 근의 합과 곱을 k에 대한 식으로 나
타낸다.
㈏ k에 대한 이차방정식을 세운다.
㈐ 양수 k의 값을 구한다.
⑵ 이차방정식 x @-{a+3}x+a @-a-4=0의 서로 다른
두 실근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=a+3, ab=a @-a-4
yy`㈏
∴ a @+b @ ={a+b}@-2ab
={a+3}@-2{a @-a-4}
=-a @+8a+17
=-{a-4}@+33
f{a}=-{a-4}@+33이라고 하면 -
0
/ a>
11
12
배점
4점
3점
3점
배점
4점
2점
4점
13 ⑴ 이차방정식 x @-{a+3}x+a @-a-4=0의 판별식을
D라고 하면
D=9-{a+3}0@-4{a @-a-4}>0
3a @-10a-25<0, {3a+5}{a-5}<0
∴ -
0
이므로 실근이 존재한다.
!, @에 의하여 a+b=3, ab=-2이므로
a@+b@={a+b}@-2ab=3@-2\{-2}=13
10 주어진 방정식을 변형하면
2xy-2x-3y+3=6, 2x{y-1}-3{y-1}=6
∴ {2x-3}{y-1}=6
x, y가 자연수이므로 2x-3은 -1 이상의 정수이고 y-1
은 0 이상의 정수이다.
2x-3
y-1
x
y
1
6
2
7
2
3
▼
2%
4
3
2
3
3
6
1
2(
2
㉠의 값을 다음과 같이 구할 수도 있다.
x #-x @+2x-1={x-a}{x-b}{x-c}이므로 x=1을
대입하면 {1-a}{1-b}{1-c}=1-1+2-1=1
x, y는 자연수이고 x-
7
4
따라서 정수 k의 최솟값은 -1이다.
채점 기준
㈎ xy를 k에 관한 식으로 나타낸다.
㈏ k의 값의 범위를 구한다.
㈐ 정수 k의 최솟값을 구한다.
14~16강
내공 점검
p. 120~121
5 ①
5 ②
10 ②
10 ①
4 ④
3 ③
4 ①
3 ③
9 ②
8 ①
9 ⑤
8 ⑤
13 몫: x@-2x+1, 나머지: 2
16 ④
21 2
1 ②
1 ⑤
6 ③
6 ②
11 111명 12 x<-2 또는 x> -1
11 2
13 -3
x-1
2
3-2x
4
2{x-1}+12>3-2x, 4x>-7
에서
/ x>-
yy`㉡
7
4
㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같으므로 연립부
등식의 해는 -
7
4
따라서 정수 x의 최솟값은 -1이다.
4x+3에서 6-2x>4x+3, x<
1
2
2 ㄱ. 2x<2-x에서 x<
2
3
3+x>4x에서 x<1
/ x<
2
3
ㄴ. x-1>2x+3에서 x<-4
2x-1>-3에서 x>-1
/ 해는 없다.
ㄷ. 3x-1>2-3x에서 x>
1
2
/ 해는 없다.
ㄹ. 0.5x-1.5<0.3x+2에서
35
2
5x-15<3x+20, x<
x+1<
1
3
2
4
2x+4<3x-8, x>12
x-2에서
/ 12
3
8
/
a-2x에서 5x>a+7
/ x>
a+7
5
4x-511에서
! x<-1일 때
-3{x-1}-2{x+1}>11 ∴ x<-2
그런데 x<-1이므로 x<-2
@ -111 ∴ x<-6
그런데 -11일 때
3{x-1}+2{x+1}>11 ∴ x>
그런데 x>1이므로 x>
12
5
!, @, #에 의하여 x<-2 또는 x>
따라서 a=-2, b=
12
5 이므로 a+b=
12
5
12
5
2
5
yy`㉠
yy`㉡
5 주어진 부등식의 해가 20
이 부등식이 부등식 ax @+{-a+b}x-12>0과 같으므로
-a+b=-5a, -12=6a
∴ a=-2, b=8 ∴ ab=-16
6 부등식 f{x}-g{x}<0, 즉 f{x}0이어야 한다.
이차방정식 x @-4kx+4k+8=0의 판별식을 D라고 하면
D
4
={-2k}@-{4k+8}<0
k @-k-2<0, {k+1}{k-2}<0
∴ -10, {x+3}{x-2}>0
∴ x<-3 또는 x>2
㉢, ㉣에서 20, a @-5a+4>0
{a-1}{a-4}>0 ∴ a<1 또는 a>4
a+b=2{a-2}<0 ∴ a<2
ab=a>0
㉠, ㉡, ㉢에서 00, f{0}<0,
f{1}<0, f{2}>0
-2
a
0 1
x2
b
1
2
! f{-2}=4+2{t-1}+2t-4>0 ∴ t>
@ f{0}=2t-4<0 ∴ t<2
#
$ f{2}=4-2{t-1}+2t-4=2>0
1
!~$에 의하여
2
f{1}=1-{t-1}+2t-4<0 ∴ t<2
23
yy`㉠
yy`㉡
yy`㈎
㉠, ㉡에서 230에 a=2, b=-3을 대입하면
x@+3x+2>0, {x+2}{x+1}>0
yy`㈏
/ x<-2 또는 x>-1
yy`㈐
배점
4점
4점
2점
배점
4점
3점
3점
채점 기준
㈎ 해가 -10의 해를 구한다.
13 x @-2x-3<0에서
{x+1}{x-3}<0
∴ -1-1
∴ a>-3
그런데 a<-1이므로
-33일 때
yy`㈎
3 구하는 점의 좌표를 P{a, a-2}라고 하면
PA
=PB
이므로 PA
@=PB
@
{a-2}@+{a-5}@={a+3}@+a @ ∴ a=1
∴ P{1, -1}
yy`㉡
yy`㈏
㉡
㉠
a
-1
a+2
3 x
4 점 P{-1, 1}은 삼각형 ABC의 외심이므로
@
/ AP
=BP
=1{-1+2}@+{1+1}@3=j5이므로 AP
@=BP
@=CP
=CP
AP
CP
@=CP
@에서
{-1-a}@+{1-2}@=5
a@+2a-3=0, {a+3}{a-1}=0
/ a=1 {? a>0}
BP
@에서
{-1-1}@+{1-b}@=5
@=CP
b@-2b=0, b{b-2}=0
/ b=2 {? b>0}
/ a+b=1+2=3
㉡
㉠
-1
a
x
3
a+2
모든 a의 값에 대하여 ㉠, ㉡의
㉠
㉡
공통부분이 존재하지 않는다.
-1
3
a
!, @, #에 의하여
-30}이라고 하면 B{-a, 0}
yy`㈎
y
A{-9, 9}
P
Q
B{-a, 0}
O
C{a, 0}
x
따라서 삼각형 APQ의 무게중심의 좌표는
-9-a
3
-9+a
3
-9+
+
=-5
3
(x좌표)=
삼각형 ABO의 무게중심 P의 좌표는
-9-a+0
3
,
9+0+0
3
]
[
/ P
-9-a
3
, 3
[
]
삼각형 AOC의 무게중심 Q의 좌표는
-9+0+a
3
9+0+0
3
,
[
]
/ Q
-9+a
3
[
, 3
]
(y좌표)=
9+3+3
3
=5
/ {-5, 5}
채점 기준
㈎ 두 점 B, C의 좌표를 정한다.
㈏ 점 P의 좌표를 구한다.
㈐ 점 Q의 좌표를 구한다.
㈑ 삼각형 APQ의 무게중심의 좌표를 구한다.
yy`㈎
yy`㈏
yy`㈐
yy`㈑
배점
2점
3점
3점
2점
3\4-2\{-1}
3-2
]
의 중점의 좌표는 {7, b}이므로
=7 / a=-2
,
3\3-2\a
3-2
[
/ Q{-2a+9, 14}
PQ
2a+9
5
-2a+9
2
2+14
2
=b / b=8
/ b-a=8-{-2}=10
9 AB
의 연장선 위의 점 C에 대
A
=3BC
하여 2AC
점 C는 AB
AB
가 성립하므로
를 3`:`2로 외분하는 점이다.
를 3`:`2로 외분하는 점 C의 좌표는
3\{-3}-2\1
3-2
3\4-2\{-2}
3-2
,
]
[
/ C{16, -11}
10
4+x1+x2
3
=0,
6+y1+y2
3
=0이므로
x1+x2=-4, y1+y2=-6
따라서 BC
x1+x2
2
의 중점의 좌표는
y1+y2
2
=-2,
=-3에서
{-2, -3}
11 A{a, 0}, C{b, c}라고 하면
B{a+b, c}
C{b, c}
B{a+b, c}
y
O
A{a, 0}
x
OB
@+AC
Z
@ =9{a+b}@+c@0+9{b-a}@+c@0
Z
=2{a@+b@+c@}
@=a@+{b@+c@}=a@+b@+c@
Z
@}
@+OC
@+AC
Z
Z
Z
@=2{OA
Z
OA
@+OC
Z
/ OB
채점 기준
㈎ 세 점 A, B, C의 좌표를 정한다.
㈏ OB
㈐ OA
㈑ OB
@의 값을 구한다.
@의 값을 구한다.
@+OC
@=2{OA
@+AC
@+OC
@+AC
@}임을 설명한다.
92 정답과 해설
18고등수학(상)_내공의힘 해설내공점검(080~096)오.indd 92
2017-10-30 오후 5:05:17
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
19~20강
내공 점검
p. 124~125
5 ⑤
5 ②
10 ③
10 ①
2 ①
2 ④
7 ⑤
7 ④
12 -1 또는 4
12 8
15 ②
20 ⑤
y
-
4k
4 ④
3 ④
4 ①
3 ③
9 ④
8 ②
9 ⑤
8 ⑤
13 6
13 몫: x@-2x+1, 나머지: 2
17 ②
16 ④
22 8
21 2
1 ②
1 ⑤
6 ③
6 ②
11 -12
11 2
14 ⑤
19 ①
1 직선
24 ⑴ a=2, b=-8 ⑵ {x-1}{x+2}{x+4}
이 직선과 x축 및 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 24이므로
25 {x @+5x+2}{x @-x-4}
1
2 \|3k|\|-4k|=24
/ k@=4
=1의 x절편은 3k, y절편은 -4k이다.
18 ③
23 -24
x
3k
2 세 점 A{-2, 3}, B{1-a, a-3}, C{1, -1}이 한 직선
위에 있으므로 직선 CA와 직선 CB의 기울기는 서로 같다.
즉,
3-{-1}
-2-1
=
{a-3}-{-1}
{1-a}-1
, - 4
3
=- a-2
a
/ a=-6
3 두 직선 x=3, y=-2가 이루는 각의 크기는 90!이고, 이
각을 삼등분하는 두 직선의 기울기 a, c가 00이므로 a=2
따라서 두 직선 2x+y+1=0, 2x+y-5=0 사이의 거리
는 직선 2x+y+1=0 위의 한 점 {0, -1}과 직선
2x+y-5=0 사이의 거리와 같으므로
|-1-5|
12@+1@3
6j5
5
=
내공 점검 93
18고등수학(상)_내공의힘 해설내공점검(080~096)오.indd 93
2017-10-30 오후 5:05:18
Z
Z
10
x-y+2=0
!, @에 의하여 상수 a의 값은 -1 또는 4이다.
채점 기준
㈎ 교점이 2개일 조건을 말한다.
㈏ 두 직선 2x-y=3, 2x+ay=5가 서로 평행할 때, a
㈐ 두 직선 x+2y=-1, 2x+ay=5가 서로 평행할 때,
의 값을 구한다.
a의 값을 구한다.
배점
2점
4점
4점
13 기울기가 m이고 점 {-2, 2}를 지나는 직선의 방정식은
y-2=m{x+2}
∴ mx-y+2m+2=0
원점과 이 직선 사이의 거리가 k이므로
|2m+2|
1m @+13
양변을 제곱하여 정리하면
=k, |2m+2|=k1m @+13
4m @+8m+4=k @{m @+1}
{k @-4}m @-8m+k @-4=0
yy`㉠ yy`㈏
두 직선의 기울기는 이차방정식 ㉠의 두 근이므로 근과 계
수의 관계에 의하여
-
-8
k @-4
=4 ∴ k @=6
채점 기준
㈎ 기울기가 m이고 점 {-2, 2}를 지나는 직선의 방정
식을 구한다.
㈏ m에 대한 이차방정식을 구한다.
㈐ k @의 값을 구한다.
yy`㈎
yy`㈐
배점
4점
4점
2점
x+2y-4=0
C
d
y
A
2
O
B
4
x
2x+y-8=0
위의 그림과 같이 주어진 세 직선을 좌표평면 위에 나타내
고 교점을 A, B, C라고 하면
A{0, 2}, B{4, 0}
을 풀면 x=2, y=4이므로
점 C{2, 4}에서 직선 x+2y-4=0까지의 거리를 d라고
연립방정식
-
x-y+2=0
2x+y-8=0
C{2, 4}
AB
=14@+2@3=j20k=2j5
하면
d=
/
s
=
|2+2\4-4|
11@+2@3
1
2
6
j5
\2j5\
ABC=
=
6j5
5
6j5
5
=6
11 ax-2y=1에 y=0을 대입하면 x=
1
a 이므로 P
1
a , 0
]
[
2x-4y=1에 x=0을 대입하면 y=-
1
4 이므로
yy`㈎
1
a
, y절편이 - 1
4
인
Q
0, - 1
4 ]
[
두 점 P, Q를 지나는 직선은 x절편이
직선이므로 직선의 방정식은
x
y
=1, ax-4y=1
+
-
4!
a!
이 직선의 방정식이 3x+by=1과 일치하므로
a=3, b=-4
/ ab=-12
채점 기준
㈎ 두 점 P, Q의 좌표를 구한다.
㈏ a, b의 값을 구한다.
㈐ ab의 값을 구한다.
yy`㈏
yy`㈐
배점
4점
4점
2점
21~23강
내공 점검
p. 126~127
5 ③
5 ②
10 ④
10 ①
4 ④
3 ⑤
2 ④
1 ③
4 ①
3 ③
2 ④
1 ⑤
9 ②
8 ②
7 ⑤
6 ④
8 ⑤
7 ④
6 ②
9 ⑤
13 a=-2, b=2
12 j41k
11 8j3
11 2
13 몫: x@-2x+1, 나머지: 2
12 8
14 ⑤
16 ④
15 ②
1 중심의 좌표를 {a, 0}, 반지름의 길이를 r라고 하면 원의
21 2
20 ⑤
19 ①
24 ⑴ a=2, b=-8 ⑵ {x-1}{x+2}{x+4}
방정식은 {x-a}@+y@=r@
25 {x @+5x+2}{x @-x-4}
이 원은 두 점 {1, 0}, {-2, 3}을 지나므로
{1-a}@=r@, {-2-a}@+9=r@
18 ③
23 -24
17 ②
22 8
12 세 직선에 의해 생기는 교점이 2개이려면 세 직선 중 두 직
yy`㈎
선이 평행해야 한다.
두 직선 2x-y=3, x+2y=-1은 서로 평행하지 않으므
로
! 두 직선 2x-y=3, 2x+ay=5가 서로 평행할 때
3
5 / a=-1
-1
a
2
2
=
=
yy`㈏
@ 두 직선 x+2y=-1, 2x+ay=5가 서로 평행할 때
1
2
=
=
2
a
-1
5 / a=4
yy`㈐
94 정답과 해설
두 식을 연립하여 풀면
a=-2, r=3 {? r>0}
/ {x+2}@+y@=3@
① 중심의 좌표는 {-2, 0}이다.
② 지름의 길이는 2\3=6이다.
③ 점 {-5, 0}을 지난다.
④ 둘레의 길이는 2p\3=6p이다.
⑤ 넓이는 p\3@=9p이다.
따라서 옳은 것은 ③이다.
18고등수학(상)_내공의힘 해설내공점검(080~096)오.indd 94
2017-10-30 오후 5:05:18
Z
2 x@+y@+4x-2y-4=0에서
{x+2}@+{y-1}@=9
x@+y@-2x-2by+6=0에서
{x-1}@+{y-b}@=b@-5
직선 ax-3y+7=0이 두 원의 넓이를 각각 이등분하려면
두 원의 중심 {-2, 1}, {1, b}를 지나야 하므로
-2a-3+7=0에서 a=2
a-3b+7=0에서 b=3
/ a+b=2+3=5
3 구하는 원의 중심의 좌표를 {a, a+4}, 반지름의 길이를 r
라고 하면 구하는 원은 x축과 y축에 모두 접하므로
r=|a|=|a+4|
∴ a=-2, r=2
중심이 {-2, 2}, 반지름의 길이가 2인 원의 방정식은
{x+2}@+{y-2}@=4
∴ x @+y @+4x-4y+4=0
따라서 a=4, b=-4, c=4이므로
a+b+c=4
4 오른쪽 그림과 같이 주어진 직
선과 원의 두 교점을 A , B,
원의 중심 O에서 직선에 내린
수선의 발을 H라고 하면
|-5|
13@+{-4}@3
OH
=1
=
y
3
O
3x-4y-5=0
-3
3
H
A
3
x
B -3
x@+y@=9
이때 삼각형 OAH는 직각삼각형이므로
1@+AH
@=8
@=3@, AH
=-2j2
∴ AH
그런데 AH
>0이므로 AH
따라서 구하는 현의 길이는
AB
=4j2
=2AH
=2j2
따라서 사각형 OPRQ는 원의 반지름을 한 변으로 하는 정
사각형이므로 구하는 둘레의 길이는 4j13k이다.
6 점 A{3, 4}와 원의 중심 {0, 0} 사이의 거리 d는
d=13@+4@3=5
원의 반지름의 길이 r는 r=1
∴ (AP
따라서 반지름의 최대 길이는 3이므로 구하는 원의 넓이는
p\3@=9p
의 최댓값)=d+r=6
7 포물선 y=3x@-6x-1=3{x-1}@-4를 평행이동
{x+a, y-2a}에 의하여 이동하면
{x, y}
y+2a=3{x-a-1}@-4
1!
y=3{x-a-1}@-2a-4
이때 포물선의 꼭짓점 {a+1, -2a-4}가 직선
y=-3x+4 위의 점이므로
-2a-4=-3{a+1}+4
-2a-4=-3a+1
/ a=5
정식은
2{-x}+y+k=0
8 직선 2x+y+k=0을 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방
∴ 2x-y-k=0
이 직선을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -2만큼
평행이동한 직선 L의 방정식은
2{x-1}-{y+2}-k=0
∴ 2x-y-k-4=0
직선 L과 직선 2x+y+k=0의 교점의 좌표는
{1, -k-2}
y
O
1
2x+y+k=0
x
+2
2K
-
2K
-k
-k-2
-k-4
5 원 x @+y @=13 위의 점 P{2, 3}에서의 접선의 방정식은
yy`㉠
2x+3y=13
원 x @+y @=13 위의 점 Q{-3, 2}에서의 접선의 방정식은
-3x+2y=13
yy`㉡
㉠, ㉡에서 2\{-3}+3\2=0이므로 다음 그림과 같이
두 직선 ㉠, ㉡은 서로 수직이다.
2x-y-k-4=0
위의 그림에서 k>0이고 삼각형의 넓이는 18이므로
1
2
\{k+2}=18
+2+
k
2
\
k
2 ]
[
{k+2}@=36
∴ k=4 {? k>0}
2x+3y=13
R
Q{-3, 2}
y
-3x+2y=13
P{2, 3}
1132
O
x
x@+y@=13
9 주어진 원의 방정식을 변형하면
{x+2}@+{y-k}@=k @+9
이 원의 중심 {-2, k}를 점 {-1, 2}에 대하여 대칭이동
한 점의 좌표를 {a, b}라고 하면
-2+a
2
k+b
2
=-1,
=2
내공 점검 95
18고등수학(상)_내공의힘 해설내공점검(080~096)오.indd 95
2017-10-30 오후 5:05:18
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
1차
∴ a=0, b=-k+4
따라서 대칭이동한 원은 중심이 {0, -k+4}이고 반지름
의 길이가 1k @+93이므로 이 원의 방정식은
x @+{y+k-4}@=k @+9
이 원이 점 {3, 2}를 지나므로
3@+{2+k-4}@=k@+9, -4k+4=0
/ k=1
10 ④ 방정식 f{y-5, x-3}=0이 나
타내는 도형은 방정식 f{x, y}=0
이 나타내는 도형을 직선 y = x
에 대하여 대칭이동한 후 x축의
방향으로 3만큼, y축의 방향으로
5만큼 평행이동한 것으로 오른쪽
그림과 같다.
y
3
2
-2-3
P
O
1 2
x
-1
-2
따라서 도형 Q를 나타내는 방정식이 아닌 것은 ④이다.
11 원 x@+y@=3에 접하고 기울기가 tan 30!= j3
3 인 직선의
방정식은
y= j3
3
/ y= j3
3
x-j3r[
j3
3 ]@
+1y
x-2
/ AP
+PQ
+QB
=A'P
+PQ
+QB'
>A'B'
yy`㈏
=1{1+4}@+{3+1}@3=j41k yy`㈐
채점 기준
㈎ 두 점 A, B를 각각 x축, y축에 대하여 대칭이동한 점
의 좌표를 구한다.
㈏ AP
㈐ AP
+PQ
+QB
의 최솟값이 A'B'
임을 나타낸다.
+PQ
+QB
의 최솟값을 구한다.
배점
4점
3점
3점
13 주어진 원의 방정식을 변형하면
{x-2a}@+{y-a}@=5a @-20a+25
이 원의 중심의 좌표는
{2a, a}
yy`㈎
직선 2x+y=0은 두 점 {2a, a}, {4, b}를 이은 선분의
중점
a+2,
[
a+b
2 ]
2{a+2}+
=0
a+b
2
를 지나므로
∴ 5a+b=-8
yy`㈏
직선 2x+y=0은 두 점 {2a, a}, {4, b}를 지나는 직선과
yy`㉠
수직이므로
{-2}\
=-1
a-b
2a-4
yy`㈎
∴ b=2
b=2를 ㉠에 대입하면 a=-2
yy`㈐
yy`㈑
Q
y=
x+2
j3
3
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
y=
x-2
j3
3
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
S
x
y
P
O
R
채점 기준
㈎ 주어진 원의 중심의 좌표를 a에 관한 식으로 나타낸다.
㈏ 두 점 {2a, a}, {4, b}를 이은 선분의 중점이 직선
2x+y=0 위의 점임을 이용하여 a, b에 관한 식을 세
운다.
㈐ 두 점 {2a, a}, {4, b}를 지나는 직선이 직선 2x+y=0
과 수직임을 이용하여 b의 값을 구한다.
㈑ a의 값을 구한다.
배점
2점
3점
3점
2점
위의 그림과 같이 이 두 직선이 x축, y축과 만나는 점을 각
각 P, Q, R, S라고 하면
P{0, 2}, Q{-2j3, 0}, R{0, -2}, S{2j3, 0} yy`㈏
따라서 사각형 PQRS의 넓이는
1
2
\4\4j3=8j3
yy`㈐
\PR
\QS
1
2
=
채점 기준
㈎ 접선의 방정식을 구한다.
㈏ 네 점 P, Q, R, S의 좌표를 구한다.
㈐ 사각형 PQRS의 넓이를 구한다.
12 오른쪽 그림과 같이 점 A를 x축
에 대하여 대칭이동한 점을 A ',
점 B를 y축에 대하여 대칭이동한
점을 B'이라고 하면
A'{-4, -1}, B'{1, 3} yy`㈎
A
-4
A'
B
B'
P
-1
O 1
-1
x
96 정답과 해설
배점
4점
3점
3점
y
3
Q
1
18고등수학(상)_내공의힘 해설(080~096)오.indd 96
2017-10-31 오후 5:39:18
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
