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2018년 천재교육 짤강 고등 수학( 상 ).pdf Download | FlareBrick FDS
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개념에 강한
짧지만
짤강 고등수학 (상)
정답과 해설
01 다항식의 연산
02 항등식과 나머지정리
03 인수분해
04 복소수
05 이차방정식
06 이차방정식과 이차함수
07 여러 가지 방정식
08 여러 가지 부등식
09 평면좌표
10 직선의 방정식
11 원의 방정식
12 도형의 이동
02
06
09
13
17
22
26
32
39
43
47
52
01 다항식의 연산
&
기초 개념 피드백 TEST
1-1 ⑴ 2x
1-2 ⑴ (-2xÛ`-5x-1)+(-3xÛ`+x)
=-2xÛ`-5x-1-3xÛ`+x
⑵ +, -10xÛ`
=-5xÛ`-4x-1
⑵ (4xÛ`-3x-6)-(2xÛ`-8x)
=4xÛ`-3x-6-2xÛ`+8x
=2xÛ`+5x-6
2-1 ⑴ 5aÛ`
2-2 ⑴ 4x(x+y)-2x(3x-2y)
⑵ 4a, 2a
=4xÛ`+4xy-6xÛ`+4xy=-2xÛ`+8xy
⑵ (9xÜ`yÛ`-3xyÜ`)Ö
xy=27xÛ`y-9yÛ`
;3!;
3-1 ⑴ 4a ⑵ 4 ⑶ x ⑷ 2
3-2 ⑴ (2a-1)Û` =(2a)Û`-2_2a_1+1Û`
=4aÛ`-4a+1
=aÛ`-
2
=aÛ`-
;4!;
{;2!;}
a+
` ⑵
{
;2!;}
⑶ (x-2)(x-5)
;2!;}{
a-
=xÛ`-7x+10
⑷ (2x+5)(x+3)
=xÛ`+(-2-5)x+(-2)_(-5)
=(2_1)xÛ`+(2_3+5_1)x+5_3
=2xÛ`+11x+15
본문 | 009쪽
⑷ A-2B =(xÜ`-3xÛ`+1)-2(2xÜ`+xÛ`-x+4)
⑶ A+2B =(xÜ`-3xÛ`+1)+2(2xÜ`+xÛ`-x+4)
=xÜ`-3xÛ`+1+4xÜ`+2xÛ`-2x+8
=(1+4)xÜ`+(-3+2)xÛ`-2x+(1+8)
=5xÜ`-xÛ`-2x+9
=xÜ`-3xÛ`+1-4xÜ`-2xÛ`+2x-8
=(1-4)xÜ`+(-3-2)xÛ`+2x+(1-8)
=-3xÜ`-5xÛ`+2x-7
3-1 x
3-2 ⑴ (xÛ`+4x-1)(x-2)
=xÛ`(x-2)+4x(x-2)-(x-2)`
=xÜ`-2xÛ`+4xÛ`-8x-x+2
=xÜ`+2xÛ`-9x+2
⑵ (3x+2y)(xÛ`-xy+5yÛ`)
=3x(xÛ`-xy+5yÛ`)+2y(xÛ`-xy+5yÛ`)
=3xÜ`-3xÛ`y+15xyÛ`+2xÛ`y-2xyÛ`+10yÜ`
=3xÜ`-xÛ`y+13xyÛ`+10yÜ`
4-1 ⑴ 4, 6 ⑵ 6, 12 ⑶ 2x, 8xÜ`
4-2 ⑴ (x-2y-z)Û`
=xÛ`+(-2y)Û`+(-z)Û`+2x(-2y)+2(-2y)(-z)
+2(-z)x
=xÛ`+4yÛ`+zÛ`-4xy+4yz-2zx
⑵ (x-2)Ü`
=xÜ`-3xÛ`_2+3x_2Û`-2Ü`
=xÜ`-6xÛ`+12x-8
⑶ (2x+1)(4xÛ`-2x+1)=(2x)Ü`+1Ü`=8xÜ`+1
본문 | 010~015쪽
1-1 3xÛ`, 2
1-2 ⑴ 내림차순으로 정리하면 3xÜ`+2xÛ`+x-4
오름차순으로 정리하면 -4+x+2xÛ`+3xÜ`
⑵ 내림차순으로 정리하면 xÛ`-xyÛ`+y+3
오름차순으로 정리하면 y+3-xyÛ`+xÛ`
5-1 ⑴ 2, 6 ⑵ 4, 8 ⑶ 6, 14
5-2 ⑴ xÛ`+yÛ` =(x-y)Û`+2xy
=(-3)Û`+2_4=17
⑵ (x+y)Û` =(x-y)Û`+4xy
=(-3)Û`+4_4=25
⑶ xÜ`-yÜ` =(x-y)Ü`+3xy(x-y)
=(-3)Ü`+3_4_(-3)=-63
2-1 -3, 4
2-2 ⑴ A+B =(xÜ`-3xÛ`+1)+(2xÜ`+xÛ`-x+4)
⑵ A-B =(xÜ`-3xÛ`+1)-(2xÜ`+xÛ`-x+4)
=xÜ`-3xÛ`+1+2xÜ`+xÛ`-x+4
=(1+2)xÜ`+(-3+1)xÛ`-x+(1+4)
=3xÜ`-2xÛ`-x+5
=xÜ`-3xÛ`+1-2xÜ`-xÛ`+x-4
=(1-2)xÜ`+(-3-1)xÛ`+x+(1-4)
=-xÜ`-4xÛ`+x-3
02 ⦁ 정답과 해설
6-1 ⑴ 3, 7 ⑵ 3, 5 ⑶ 9, 18
6-2 ⑴ aÛ`+
=
a-
{
;a!;}
2
2
+2=2Û`+2=6
⑵
{
a+
;a!;}
=
a-
{
;a!;}
+4=2Û`+4=8
2
3
1
aÛ`
1
aÜ`
⑶ aÜ`-
=
a-
{
;a!;}
+3
a-
{
;a!;}
=2Ü`+3_2=14
7-1 -3, 2x, -4x
7-2 ⑴
x-1
2xÛ`-3x+5
2x-1 <Ò
2xÛ`-x
2xÛ`-2x+5
2xÛ`-2x+1
2xÛ`-2x+4
∴ 몫 : x-1, 나머지 : 4
⑵
xÛ`+x+1 <Ò
3x-4
3xÜ`-3xÛ`+5x+3
3xÜ`+3xÛ`+3x
2xÛ`-4xÛ`+2x+3
2xÛ`-4xÛ`-4x-4
2xÛ`-4xÛ`-6x+7
∴ 몫 : 3x-4, 나머지 : 6x+7
⑶ 2x-1
xÛ`-2x+2 <Ò 2xÜ`-5xÛ`+4x+3
2xÜ`-4xÛ`+4x
2xÛ`-4xÛ`-4x+3
2xÛ`-4xÛ`+2x-2
2xÛ`-xÛ` -6x+5
∴ 몫 : 2x-1, 나머지 : -6x+5
8-1 3x, 5xÛ`
8-2 ⑴ A =(xÛ`-x+2)(x-1)-x+3
=xÛ`(x-1)-x(x-1)+2(x-1)-x+3
=xÜ`-xÛ`-xÛ`+x+2x-2-x+3
⑵ A =(x-1)(xÛ`+x+1)+3
=xÜ`-2xÛ`+2x+1
=(xÜ`-1)+3
=xÜ`+2
9-1 -2, 2
9-2 ⑴
2 2
3 -1
2
4
7
14
13
1
26
27
∴ 몫 : 2xÛ`+7x+13, 나머지 : 27
⑵
-1 3 -1 -5 2
-3
4 1
3 -4 -1 3
∴ 몫 : 3xÛ`-4x-1, 나머지 : 3
10-1 1, xÛ`, 0
10-2 ⑴
2 2 -1 0 -10
2
4 6
3 6
12
2
∴ 몫 : 2xÛ`+3x+6, 나머지 : 2
⑵
-1 1
0 -1 3
-1
1 -1
1 0
0 3
∴ 몫 : xÛ`-x, 나머지 : 3
11-1 -
, x, 2
;2!;
11-2 ⑴
-
2
1 -5 -4
;2#;
-3
3
3
2 -2 -2 -1
2xÜ`+xÛ`-5x-4
=
x+
(2xÛ`-2x-2)-1
{
;2#;}
=2
x+
(xÛ`-x-1)-1
{
;2#;}
=(2x+3)(xÛ`-x-1)-1
∴ 몫 : xÛ`-x-1, 나머지 : -1
⑵
3
5 1 2
;3!;
3
1 2 1
6 3 3
3xÜ`+5xÛ`+x+2
=
x-
(3xÛ`+6x+3)+3
{
;3!;}
=3
x-
(xÛ`+2x+1)+3
{
;3!;}
=(3x-1)(xÛ`+2x+1)+3
∴ 몫 : xÛ`+2x+1, 나머지 : 3
⑶
-
3
4 -6
;3!;
4
3
-1 -1 -1
3
3 -7
3xÜ`+4xÛ`+4x-6
=
x+
(3xÛ`+3x+3)-7
{
;3!;}
=3
x+
(xÛ`+x+1)-7
{
;3!;}
=(3x+1)(xÛ`+x+1)-7
∴ 몫 : xÛ`+x+1, 나머지 : -7
⑷
3
1 -8
0
;3@;
3
2
2 -4
3 -6 -4
3xÜ`+xÛ`-8x
=
x-
(3xÛ`+3x-6)-4
{
;3@;}
=3
x-
(xÛ`+x-2)-4
{
;3@;}
=(3x-2)(xÛ`+x-2)-4
∴ 몫 : xÛ`+x-2, 나머지 : -4
01. 다항식의 연산 ⦁ 03
집중 연습
본문 | 016, 017쪽
기초 문제
가평
본문 | 020, 021쪽
1 ⑴ (2x+3)Û`=4xÛ`+12x+9
⑵
{
x+
y
;2!;
}
2
=xÛ`+xy+
yÛ`
;4!;
⑶ (3x-5)Û`=9xÛ`-30x+25
⑷ (2x-3y)Û`=4xÛ`-12xy+9yÛ`
⑸ (x+2y)(x-2y)=xÛ`-4yÛ`
⑹
{
3x+
y
2 }{
y
2 }
3x-
=9xÛ`-
yÛ`
4
⑺ (x+4)(x+8)=xÛ`+12x+32
⑻ (x+2)(x-6)=xÛ`-4x-12
⑼ (2x+1)(3x-7)=6xÛ`-11x-7
⑽ (x+y)(x-4y)=xÛ`-3xy-4yÛ`
⑾ (x-2y)(x-5y)=xÛ`-7xy+10yÛ`
⑿ (3x-2y)(4x+y)=12xÛ`-5xy-2yÛ`
2 ⑴ (a+2b+3c)Û`=aÛ`+4bÛ`+9cÛ`+4ab+12bc+6ca
⑵ (2a+b-3c)Û`=4aÛ`+bÛ`+9cÛ`+4ab-6bc-12ca
⑶ (3x-y+2z)Û`=9xÛ`+yÛ`+4zÛ`-6xy-4yz+12zx
⑷ (4x-3y-z)Û`=16xÛ`+9yÛ`+zÛ`-24xy+6yz-8zx
⑸ (2a+3)Ü`=8aÜ`+36aÛ`+54a+27
⑹ (3a+2b)Ü`=27aÜ`+54aÛ`b+36abÛ`+8bÜ`
⑺ (3x-2)Ü`=27xÜ`-54xÛ`+36x-8
⑻ (x-2y)Ü`=xÜ`-6xÛ`y+12xyÛ`-8yÜ`
⑼ (2x+1)(4xÛ`-2x+1)=8xÜ`+1
⑽ (3x+y)(9xÛ`-3xy+yÛ`)=27xÜ`+yÜ`
⑾ (3x-2)(9xÛ`+6x+4)=27xÜ`-8
⑿ (a-2b)(aÛ`+2ab+4bÛ`)=aÜ`-8bÜ`
기초 개념
가평
본문 | 018, 019쪽
01 교환
03 2ca
05 ab, -
07 3, -
09 R=0
11 계수
04 ⦁ 정답과 해설
02 결합
04 3abÛ`, -
06 2, 2
08 작다
10 일차식
12
Q(x), R
;a!;
1 ⑴ 2xÛ`-(5y+2)x+3yÛ`+y-4
⑵ 3yÛ`-(5x-1)y+2xÛ`-2x-4
2 ⑴ 3A+2(A-B) =3A+2A-2B
⑵ 2B-3(-A+2B) =2B+3A-6B
=5A-2B
=5(3xÛ`-2x-1)-2(2xÛ`+x-5)
=15xÛ`-10x-5-4xÛ`-2x+10
=11xÛ`-12x+5
=3A-4B
=3(3xÛ`-2x-1)-4(2xÛ`+x-5)
=9xÛ`-6x-3-8xÛ`-4x+20
=xÛ`-10x+17
3 ⑴ X =-A+B
=-(xÛ`+2xy-3yÛ`)+(2xÛ`-xy+yÛ`)
=-xÛ`-2xy+3yÛ`+2xÛ`-xy+yÛ`
=xÛ`-3xy+4yÛ`
⑵ X =3A+2B
=3(xÛ`+2xy-3yÛ`)+2(2xÛ`-xy+yÛ`)
=3xÛ`+6xy-9yÛ`+4xÛ`-2xy+2yÛ`
=7xÛ`+4xy-7yÛ`
4 ⑴ 주어진 식에서 xÛ` 항이 나오는 항들만 전개하면
x_3x+(-2)_xÛ`=3xÛ`-2xÛ`=xÛ`
따라서 xÛ`의 계수는 1이다.
⑵ 주어진 식에서 xÛ` 항이 나오는 항들만 전개하면
2xÛ`_4+(-x)_(-x)+1_xÛ`=8xÛ`+xÛ`+xÛ`=10xÛ`
따라서 xÛ`의 계수는 10이다.
⑶ 주어진 식에서 xÛ` 항이 나오는 항들만 전개하면
-3xÛ`_(-1)+8_2xÛ`=3xÛ`+16xÛ`=19xÛ`
따라서 xÛ`의 계수는 19이다.
5 ⑴
{
a+
3
;a!;}
=aÜ`+3aÛ`_
+3a_
2
{;a!;}
+
1
aÜ`
=aÜ`+3a+
+
;a!;
;a#;
1
aÜ`
3a-
⑵
{
3
=(3a)Ü`-3(3a)Û`_
;3!;}
;3!;
+3(3a)_
2
-
3
{;3!;}
{;3!;}
=27aÜ`-9aÛ`+a-
⑶ (x-y)(x+y)(xÛ`+yÛ`)
=(xÛ`-yÛ`)(xÛ`+yÛ`)
=xÝ`-yÝ`
;2Á7;
⑷ (x+1)(xÛ`-x+1)(x-1)(xÛ`+x+1)
=(xÜ`+1)(xÜ`-1)
=xß`-1
6 ⑴ a+b=
ab=(
2+1+
'
2+1)(
2-1=2
2,
'
2-1)=2-1=1이므로
'
'
'
aÜ`+bÜ` =(a+b)Ü`-3ab(a+b) `
2)Ü`-3_1_2
2=16
2-6
2
'
'
'
⑵ a-b=
2-1)=2, ab=1이므로
=(2
'
=10
2
'
2+1-(
'
'
aÜ`-bÜ` =(a-b)Ü`+3ab(a-b) `
=2Ü`+3_1_2=8+6
=14
7 xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy에서 x+y=3, xÛ`+yÛ`=7이므로
7=3Û`-2xy, 2xy=2
∴ xy=1
∴ A=xÛ`+x-1
⑵ 2xÜ`-7xÛ`-13x+3=A(2x+3)
10 ⑴ xÜ`-xÛ`-x+5=A(x-2)+2x+3이므로
xÜ`-xÛ`-3x+2=A(x-2)
xÛ`+2 x- 1
x-2 <Ò xÜ`-2xÛ`-3x+2
xÜ`-2xÛ`
2 -2xÛ`-3x+2
2 -2xÛ`-2x
2 -2xÛ`-2x+2
2 -x2Û`-2x+2
2 -3xÛ`-3x 0
2x+3 <Ò
xÛ`- 5x+ 1
2xÜ`-7xÛ`-13x+3
2xÜ`+3xÛ`
2`-10xÛ`-13x+3
2`-10xÛ`-15x
2`-10xÛ`-12x+3
2`-10xÛ`-12x+3
2`-10xÛ`-12x+0
∴ A=xÛ`-5x+1
11 ⑴
2 1 -2 1 -1
1
2 0
0 1
2
1
∴ 몫 : xÛ`+1, 나머지 : 1
⑵
-2 1
0 -1
3
-2
4 -6
1 -2
3 -3
∴ 몫 : xÛ`-2x+3, 나머지 : -3
⑶
-
-9
3
9 -2
;3@;
6 -6 -2
-9
9
3 -4
-9xÜ`+3xÛ`+9x-2
=
x+
(-9xÛ`+9x+3)-4
{
;3@;}
=(3x+2)(-3xÛ`+3x+1)-4
∴ 몫 : -3xÛ`+3x+1, 나머지 : -4
01. 다항식의 연산 ⦁ 05
∴ xÜ`+yÜ` =(x+y)Ü`-3xy(x+y)
=3Ü`-3_1_3=18
8 ⑴
xÛ`-3x+3
xÜ`-2xÛ`-3x+3
x+1 <Ò
xÜ`+2xÛ`
2 -3xÛ`-3x+3
2 -3xÛ`-3x
2 -3xÛ`-3x+3
2 -3xÛ`-3x+3
2 -3xÛ`-3x+0
∴ 몫 : xÛ`-3x+3, 나머지 : 0
⑵
3x
xÛ`-2 <Ò 3xÜ`+xÛ`+2x-1
3xÜ`+xÛ`-6x
3xÜ`+xÛ`-8x-1
⑶
∴ 몫 : 3x, 나머지 : 8x-1
x-2
2xÛ`+1 <Ò 2xÜ`-4xÛ`-2x+8
2xÜ`-4xÛ`+2x
2xÜ`-4xÛ`-3x+8
2xÜ`-4xÛ`-3x-2
2xÜ`-4xÛ`-3x+10
∴ 몫 : x-2, 나머지 : -3x+10
9 A =(x-3)(2x+1)+2
=(2xÛ`-5x-3)+2
=2xÛ`-5x-1
x-1
2x-3
2xÛ`-5x-1
<Ò
2xÛ`-2x
2xÛ`-3x-1
2xÛ`-3x+3
2xÛ`-3x-4
따라서 구하는 나머지는 -4이다.
02 항등식과 나머지정리
⑵ 주어진 등식의 양변에
x=0을 대입하면 -b=-2
∴ b=2
x=1을 대입하면 2a=2
∴ a=1
본문 | 022~025쪽
x=-1을 대입하면 2c=0
∴ c=0
1-1 3, 항등식
1-2 ⑴ 주어진 식의 우변을 전개하여 정리하면
2(x+2)-1=2x+3
문자 x에 어떤 값을 대입해도 항상 성립한다.
5-1 3, 1
5-2 ⑴ 나머지정리에 의하여 P(-1)=1
이때 P(-1)=-1+a-2-3=a-6이므로
따라서 2x+3=2(x+2)-1은 x에 대한 항등식이다.
a-6=1
∴ a=7
(○)
⑵ 나머지정리에 의하여 P(2)=-4
⑵ 3x-4=5x에서 -2x=4이므로 x=-2일 때만 성립
이때 P(2)=16-4a-2+2=-4a+16이므로
-4a+16=-4
∴ a=5
한다.
따라서 3(x-1)-1=5x는 x에 대한 항등식이 아니다.
(_)
6-1 -2, 1, -2x+1
6-2 P(x)를 xÛ`-x-6으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머
지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면
P(x) =(xÛ`-x-6)Q(x)+ax+b
=(x-3)(x+2)Q(x)+ax+b
이때 나머지정리에 의하여
P(3)=4, P(-2)=-1
P(3)=4에서 3a+b=4
P(-2)=-1에서 -2a+b=-1
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
yy㉠
yy㉡
a=1, b=1
x+1이다.
따라서 P(x)를 xÛ`-x-6으로 나누었을 때의 나머지는
참고 다항식을 이차식으로 나누었을 때의 나머지는 일차
식이거나 상수이므로 ax+b (a, b는 상수) 꼴로 나
7-1 0, -12, x-2
7-2 P(1)=1-2-5+6=0
P(-1)=-1-2+5+6=8
P(2)=8-8-10+6=-4
P(-2)=-8-8+10+6=0
P(3)=27-18-15+6=0
P(-3)=-27-18+15+6=-24
따라서 인수인 것은 x-1, x+2, x-3이다.
8-1 0, -2
8-2 ⑴ 인수정리에 의하여 P(1)=0
이때 P(1)=a-2+1-1=a-2이므로
a-2=0
∴ a=2
⑵ 인수정리에 의하여 P(-2)=0
이때 P(-2)=-24+4a+4-8=4a-28이므로
4a-28=0
∴ a=7
2-1 ⑴ 2, 1 ⑵ 4, 3, -2
2-2 ⑴ a=-1, -3=b-5
∴ a=-1, b=2
⑵ a+2=0, b=0, c=0
∴ a=-2, b=0, c=0
⑶ a-1=2, b+3=0, c-2=1
∴ a=3, b=-3, c=3
3-1 8, 3
3-2 ⑴ 주어진 등식의 좌변을 전개한 다음 x에 대한 내림차순으
로 정리하면
2xÛ`+3x+2ax+3a=bxÛ`+x+c
양변의 계수를 비교하면
2=b, 3+2a=1, 3a=c
∴ a=-1, b=2, c=-3
⑵ 주어진 등식의 좌변을 전개한 다음 x에 대한 내림차순으
로 정리하면
a(xÛ`+2x+1)+bx-b+c=xÛ`-x+2
즉, axÛ`+(2a+b)x+a-b+c=xÛ`-x+2가 항등식
이므로 양변의 계수를 비교하면
a=1, 2a+b=-1, a-b+c=2
∴ a=1, b=-3, c=-2
4-1 3, 9a
4-2 ⑴ 주어진 등식의 양변에
x=0을 대입하면
a+b-1=1
∴ a+b=2
x=-2를 대입하면
a-b-1=3
∴ a-b=4
㉠ , ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-1
yy㉠
yy㉡
06 ⦁ 정답과 해설
즉 , 2xÛ`+(3+2a)x+3a=bxÛ`+x+c가 항등식이므로
타낼 수 있다.
기초 개념
가평
본문 | 026, 027쪽
3+a-4=b-c
∴ -5=b-c
yy㉢
x=1을 대입하면
01 항등식
03 a=0
05 b=0
07 계수비교법
09 1, 0
11 P(a)
13 0,``x-a
02 방정식
04 b=b'
06 a=a'
08 수치대입법
10 1, -2
12 P
-
{
;aB;}
14 a
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=-4, b=3, c=8
다른 풀이 주어진 등식의 우변을 전개한 다음 x에 대한 내
림차순으로 정리하면
3xÛ`+ax-4=bxÛ`-4bx+4b+cx-2c
즉, 3xÛ`+ax-4=bxÛ`+(-4b+c)x+4b-2c가 항등식
이므로 양변의 계수를 비교하면
3=b, a=-4b+c, -4=4b-2c
∴ a=-4, b=3, c=8
3 주어진 등식이 x, y에 대한 항등식이므로
a+2b=2, 2a+b=1
본문 | 028, 029쪽
두 식을 연립하여 풀면 a=0, b=1
4 등식의 좌변을 k에 대하여 정리하면
(x-1)k+xy+y-4=0
이 등식이 k에 대한 항등식이므로
x-1=0, xy+y-4=0
두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=2
기초 문제
가평
1 ⑴ 주어진 식의 우변을 전개하여 정리하면
(x+1)Û`-(5x+1)=xÛ`-3x이므로 문자 x에 어떤 값을
대입해도 항상 성립한다.
따라서 xÛ`-3x=(x+1)Û`-(5x+1)은 x에 대한 항등식
(○)
⑵ 주어진 식의 좌변을 전개하면 xÜ`-1=xÜ`-x에서 x=1일
따라서 (x-1)(xÛ`+x+1)=xÜ`-x는 x에 대한 항등식
이다.
때만 성립한다.
이 아니다.
2 ⑴ a-2=0, b+1=0, c=0
∴ a=2, b=-1, c=0
⑵ 주어진 등식의 우변을 전개한 다음 x에 대한 내림차순으
(_)
5 ⑴ 다항식 2xÜ`+ax+b를 x-1로 나누었을 때의 몫이
2xÛ`+2x+1이고 나머지가 5이므로
2xÜ`+ax+b=(x-1)(2xÛ`+2x+1)+5
우변을 전개하여 정리하면
2xÜ`+ax+b=2xÜ`-x+4
로 정리하면
이 등식은 x에 대한 항등식이므로 양변의 계수를 비교하면
xÜ`+axÛ`+bx+3=xÜ`+2xÛ`+c가 항등식이므로
a=-1, b=4
양변의 계수를 비교하면
a=2, b=0, c=3
⑶ 주어진 등식의 양변에
x=0을 대입하면 2a=-4
∴ a=-2
x=-1을 대입하면 -c=-5
∴ c=5
x=-2를 대입하면 2b=-6
∴ b=-3
⑵ 두 다항식 xÜ`+axÛ`+b, xÛ`-x+1의 최고차항의 계수가
모두 1이므로 xÜ`+axÛ`+b를 xÛ`-x+1로 나누었을 때의
몫을 x+c (c는 상수)로 놓는다.
이때 나머지가 x+1이므로
xÜ`+axÛ`+b =(xÛ`-x+1)(x+c)+x+1
=xÜ`+(c-1)xÛ`+(-c+2)x+c+1
다른 풀이 주어진 등식의 좌변을 전개한 다음 x에 대한 내
이 등식은 x에 대한 항등식이므로 양변의 계수를 비교하면
림차순으로 정리하면
a(xÛ`+3x+2)+bxÛ`+bx+cxÛ`+2cx=x-4
a=c-1, 0=-c+2, b=c+1
c=2이므로 a=1, b=3
즉, (a+b+c)xÛ`+(3a+b+2c)x+2a=x-4가 항등
⑶ 두 다항식 3xÜ`+ax+b, 3xÛ`-6x+2의 최고차항의 계수
식이므로 양변의 계수를 비교하면
a+b+c=0, 3a+b+2c=1, 2a=-4
∴ a=-2, b=-3, c=5
⑷ 주어진 등식의 양변에
x=2를 대입하면
가 모두 3이므로 3xÜ`+ax+b를 3xÛ`-6x+2로 나누었을
때의 몫을 x+c (c는 상수)로 놓는다.
이때 나머지가 0이므로
3xÜ`+ax+b =(3xÛ`-6x+2)(x+c)
=3xÜ`+(3c-6)xÛ`+(-6c+2)x+2c
12+2a-4=0, 2a=-8
∴ a=-4
yy㉠
이 등식은 x에 대한 항등식이므로 양변의 계수를 비교하면
x=3을 대입하면
27+3a-4=b+c
∴ 11=b+c
yy㉡
0=3c-6, a=-6c+2, b=2c
c=2이므로 a=-10, b=4
02. 항등식과 나머지정리 ⦁ 07
6 ⑴ 나머지정리에 의하여 P(1)=-1, P(2)=-2
P(1)=-1에서
8 P(x)=3xÜ`-xÛ`+ax-2에서 나머지정리에 의하여
P(-1)=-10이므로
1+a+b=-1
∴ a+b=-2
yy㉠
-3-1-a-2=-10
∴ a=4
P(2)=-2에서
따라서 P(x)=3xÜ`-xÛ`+4x-2를 3x-1로 나누었을 때의
4+2a+b=-2
∴ 2a+b=-6
yy㉡
나머지는 나머지정리에 의하여
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, b=2
⑵ 나머지정리, 인수정리에 의하여 P(-1)=0, P(1)=4
P
{;3!;}
=
-
;9!;
;9!;
+
;3$;
-2=-
;3@;
9 P(x)=2xÜ`+ax-4에서 인수정리에 의하여
P(1)=0이므로
2+a-4=0
∴ a=2
따라서 P(x)=2xÜ`+2x-4를 x+2로 나누었을 때의 나머
지는 나머지정리에 의하여
P(-2)=-16-4-4=-24
10 P(x)=axÜ`-2xÛ`+x+10에서 인수정리에 의하여
P(-2)=0이므로
-8a-8-2+10=0
∴ a=0
따라서 P(x)=-2xÛ`+x+10을 x-1로 나누었을 때의
나머지는 나머지정리에 의하여
P(1)=-2+1+10=9
11 P(x)를 xÛ`-2x-3으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머
지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면
P(x) =(xÛ`-2x-3)Q(x)+ax+b
=(x-3)(x+1)Q(x)+ax+b
이때 나머지정리, 인수정리에 의하여
P(-1)=-2, P(3)=0
P(-1)=-2에서 -a+b=-2
P(3)=0에서 3a+b=0
yy㉠
yy㉡
㉠ , ㉡을 연립하여 풀면 a=
, b=-
;2!;
;2#;
따라서 P(x)를 xÛ`-2x-3으로 나누었을 때의 나머지는
-1+a-b-1=0
∴ a-b=2
yy㉠
1+a+b-1=4
∴ a+b=4
yy㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=1
⑶ 인수정리에 의하여 P(2)=0, P(-1)=0
P(-1)=0에서
P(1)=4에서
P(2)=0에서
P(-1)=0에서
8+4a-4+b=0
∴ 4a+b=-4
yy㉠
-1+a+2+b=0
∴ a+b=-1
yy㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=0
⑷ 몫을 Q(x)라 하면
xÜ`+axÛ`+bx-4 =(xÛ`+x-2)Q(x)
=(x+2)(x-1)Q(x)
이 식의 양변에 x=-2를 대입하면
-8+4a-2b-4=0
∴ 2a-b=6
yy㉠
이 식의 양변에 x=1을 대입하면
1+a+b-4=0
∴ a+b=3
yy㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=0
다른 풀이 두 다항식 xÜ`+axÛ`+bx-4, xÛ`+x-2의 최고차
항의 계수가 모두 1이므로
xÜ`+axÛ`+bx-4를 xÛ`+x-2로 나누었을 때의 몫을
x+c (c는 상수)로 놓는다.
이때 나머지가 0이므로
xÜ`+axÛ`+bx-4 =(xÛ`+x-2)(x+c)
a=c+1, b=c-2, -4=-2c
c=2이므로 a=3, b=0
참고 P(a)=0임을 나타내는 표현
•P(x)를 x-a로 나누었을 때의 나머지가 0이다.
•P(x)는 x-a로 나누어떨어진다.
•P(x)는 x-a를 인수로 가진다.
•P(x)=(x-a)Q(x)
7 P(x)=axÛ`+4x-2에서 나머지정리에 의하여
P(1)=4이므로
a+4-2=4
∴ a=2
따라서 P(x)=2xÛ`+4x-2를 x-2로 나누었을 때의 나머
지는 나머지정리에 의하여
P(2)=8+8-2=14
08 ⦁ 정답과 해설
이 등식은 x에 대한 항등식이므로 양변의 계수를 비교하면
=xÜ`+(c+1)xÛ`+(c-2)x-2c
x-
이다.
;2#;
;2!;
03 인수분해
기초 개념 피드백 TEST
&
⑵ aÛ`+4bÛ`+4ab-2a-4b+1
=aÛ`+(2b)Û`+(-1)Û`+2_a_2b
+2_2b_(-1)+2_(-1)_a
본문 | 031쪽
⑵ =(a+2b-1)Û`
1-1 ⑴ xy
1-2 ⑴ 3xÛ`+6x =3x_x+3x_2
⑵ 3b
⑶ x+y
=3x(x+2)
⑵ 2xÛ`y-6xy+2x
=2x_xy-2x_3y+2x_1
=2x(xy-3y+1)
⑶ (x+y)Û`+2(x+y)
=(x+y)_(x+y)+(x+y)_2
=(x+y)(x+y+2)
2-1 ⑴ 2a, 1
⑵ x,
;2!;
⑶ 3y, -
2-2 ⑴ xÛ`+8xy+16yÛ` =xÛ`+2_x_4y+(4y)Û`
⑵ 4xÛ`-20x+25 =(2x)Û`-2_2x_5+5Û`
=(x+4y)Û`
=(2x-5)Û`
⑶ 16xÛ`-yÛ`=(4x)Û`-yÛ`
=(4x+y)(4x-y)
▲
⑵ 2x, -2x
3-1 ⑴ x, 6x
3-2 ⑴ xÛ`-10x+21=(x-3)(x-7)
x -3 → -3x
111
x -7 → -7x
1
1
+
>²
-10x
1 1 Ú
Ú
1
`
⑵ xÛ`+xy-56yÛ`=(x-7y)(x+8y)
⑶ 4xÛ`+7x-2=(4x-1)(x+2)
▲
▲
▲
x -7y → -7xy
111
x 8y → 8xy
11
+
>²
1 1 Ú
Ú
1
xy
4x -1 → -x
111
11
1 1 Ú
Ú
1
x 2 → 8x
+
>²
7x
4x 9y → 9xy
1111
1 1
x y → 4xy
+
>²
1 1 Ú
13xy
Ú
⑷ 4xÛ`+13xy+9yÛ`=(4x+9y)(x+y)
2-1 aÛ`, 1
2-2 ⑴ 8aÜ`+36aÛ`b+54abÛ`+27bÜ`
=(2a+3b)Ü`
⑵ aÜ`-9aÛ`+27a-27
=(2a)Ü`+3_(2a)Û`_3b+3_2a_(3b)Û`+(3b)Ü`
=aÜ`-3_aÛ`_3+3_a_3Û`-3Ü`
=(a-3)Ü`
3-1 ⑴ 1, aÛ` ⑵ 2, 2
3-2 ⑴ aÜ`+64bÜ`=aÜ`+(4b)Ü`=(a+4b)(aÛ`-4ab+16bÛ`)
⑵ 8aÜ`-27bÜ` =(2a)Ü`-(3b)Ü`
=(2a-3b)(4aÛ`+6ab+9bÛ`)
4-1 6, 2, 2
4-2 ⑴ x+y=X로 치환하면
XÛ`-X-2 =(X-2)(X+1)
=(x+y-2)(x+y+1)
X=x+y 대입
⑵ xÛ`+x=X로 치환하면
(X-1)(X+3)-5 =XÛ`+2X-8
=(X-2)(X+4)
X=xÛ`+x 대입
=(xÛ`+x-2)(xÛ`+x+4)
=(x-1)(x+2)(xÛ`+x+4)
⑶ xÛ`+3x=X로 치환하면
XÛ`-3X-4 =(X-4)(X+1)
=(xÛ`+3x-4)(xÛ`+3x+1)
=(x-1)(x+4)(xÛ`+3x+1)
X=xÛ`+3x
대입
5-1 ⑴ 4X, 5, 1 ⑵ xÛ`, xÛ`, x, x
5-2 ⑴ xÛ`=X로 치환하면
XÛ`-2X-3 =(X-3)(X+1)
=(xÛ`-3)(xÛ`+1)
X=xÛ` 대입
⑵ xÛ`=X로 치환하면
2XÛ`+5X+2 =(2X+1)(X+2)
X=xÛ` 대입
=(2xÛ`+1)(xÛ`+2)
⑶ xÝ`+xÛ`+1 =(xÝ`+2xÛ`+1)-xÛ`
1-1 -1, x
1-2 ⑴ xÛ`+yÛ`+4zÛ`+2xy+4yz+4zx
=xÛ`+yÛ`+(2z)Û`+2_x_y+2_y_2z+2_2z_x
=(x+y+2z)Û`
본문 | 032~035쪽
⑷ xÝ`+4 =xÝ`+4xÛ`+4-4xÛ`
=(xÛ`+1)Û`-xÛ`
=(xÛ`+1+x)(xÛ`+1-x)
=(xÛ`+x+1)(xÛ`-x+1)
=(xÛ`+2)Û`-(2x)Û`
=(xÛ`+2+2x)(xÛ`+2-2x)
=(xÛ`+2x+2)(xÛ`-2x+2)
03. 인수분해 ⦁ 09
6-1 a, 2, 1, 2a
6-2 ⑴ 차수가 낮은 문자 c에 대하여 내림차순으로 정리하면
aÛ`+ac-bÛ`+bc
9-1 x+1, 2x, x+1, 2x
9-2 ⑴ P(x)=xÝ`+2xÜ`-2xÛ`-2x+1로 놓으면
P(1)=0, P(-1)=0이므로 x-1, x+1은 P(x)의
=(a-c)bÛ`-(a-c)(a+c)b+ca(a-c)
몫을 구하면 xÜ`+2xÛ`+x+2이고 다시 이 몫을 x+2로
조립제법을 이용하여 P(x)를 x-1로 나누었을 때의
=(a-c){bÛ`-(a+c)b+ca}
=(a-c)(b-c)(b-a)
=(a-b)(b-c)(c-a)
나누었을 때의 몫을 구하면 xÛ`+1이므로
xÝ`+xÜ`-xÛ`+x-2 =(x-1)(xÜ`+2xÛ`+x+2)
=(x-1)(x+2)(xÛ`+1)
인수이다.
-1 1
2 -2 -2
3
1 -1
1
3
-1 1
1 -1
-1 -2
1
2 -1
1
0
1
0
조립제법을 이용하여 P(x)를 x-1로 나누었을 때의
몫을 구하면 xÜ`+3xÛ`+x-1이고 다시 이 몫을 x+1로
나누었을 때의 몫을 구하면 xÛ`+2x-1이므로
xÝ`+2xÜ`-2xÛ`-2x+1 =(x-1)(xÜ`+3xÛ`+x-1)
=(x-1)(x+1)(xÛ`+2x-1)
⑵ P(x)=xÝ`+xÜ`-xÛ`+x-2로 놓으면
P(1)=0, P(-2)=0이므로 x-1, x+2는 P(x)의
인수이다.
-1 1
1 -1
1 -2
1
2
2
1
1
2
2
0
-2 1
-2
0 -2
1
0
1
0
집중 연습
본문 | 036, 037쪽
1 ⑴ 9xÛ`+30x+25=(3x+5)Û`
⑵ xÛ`-xy+
yÛ`=
x-
;4!;
{
2
y
}
;2!;
⑵ 차수가 낮은 문자 y에 대하여 내림차순으로 정리하면
xÛ`y+xy+x-2y+2
=ac+bc+aÛ`-bÛ`
=(a+b)c+(a+b)(a-b)`
=(a+b)(c+a-b)
=(a+b)(a-b+c)
=xÛ`y+xy-2y+x+2
=(xÛ`+x-2)y+x+2
=(x+2)(x-1)y+x+2
=(x+2)(xy-y+1)
7-1 2, 2, 2, 2
7-2 ⑴ 2xÛ`+(4y-1)x+2yÛ`-y-1
=2xÛ`+(4y-1)x+(2y+1)(y-1)
2x 2y+1 → (2y+1)x
▲
x y-1 → 2(y-1)x +
1 1 1 1 1 1 1 Ú
1111111Ú
>²
(4y-1)x
=(2x+2y+1)(x+y-1)
⑵ ab(b-a)+bc(c-b)+ca(a-c)
=abÛ`-aÛ`b+bcÛ`-bÛ`c+caÛ`-cÛ`a
=(a-c)bÛ`-(aÛ`-cÛ`)b+ca(a-c)
8-1 x-1, 3x, 3x
8-2 ⑴ P(x)=xÜ`-4xÛ`+5x-2로 놓으면
P(1)=1-4+5-2=0이므로 x-1은 P(x)의 인수
조립제법을 이용하여 P(x)
1 1 -4
5 -2
를 x-1로 나누었을 때의
1 -3
몫을 구하면 xÛ`-3x+2이
1 -3
2
2
0
이다.
므로
인수이다.
10 ⦁ 정답과 해설
xÜ`-4xÛ`+5x-2 =(x-1)(xÛ`-3x+2)
⑶ 4xÛ`-yÛ`=(2x)Û`-yÛ`=(2x+y)(2x-y)
=(x-1)Û`(x-2)
⑷ xÛ`-25yÛ`=xÛ`-(5y)Û`=(x+5y)(x-5y)
⑵ P(x)=2xÜ`+3xÛ`-9x-10으로 놓으면
⑸ xÛ`+4x-12=(x+6)(x-2)
P(-1)=-2+3+9-10=0이므로 x+1은 P(x)의
⑹ xÛ`-3xy-10yÛ`=(x-5y)(x+2y)
조립제법을 이용하여
-1 2
3 -9 -10
⑻ 12xÛ`+5xy-2yÛ`=(4x-y)(3x+2y)
⑺ 6xÛ`+17x+7=(2x+1)(3x+7)
P(x)를 x+1로 나누
-2 -1
었을 때의 몫을 구하면
2
1 -10
10
0
2xÛ`+x-10이므로
2xÜ`+3xÛ`-9x-10 =(x+1)(2xÛ`+x-10)
2 ⑴ 4aÛ`+bÛ`+9cÛ`+4ab+6bc+12ca
=(2a+b+3c)Û`
⑵ 4xÛ`+9yÛ`+zÛ`-12xy-6yz+4zx
=(x+1)(2x+5)(x-2)
=(2x-3y+z)Û`
⑶ xÜ`+9xÛ`+27x+27
⑻ xÛ`+x=X로 치환하면
=xÜ`+3_xÛ`_3+3_x_3Û`+3Ü`
(X+1)Û`+(X+2)Û`-5 =2XÛ`+6X
=(3a)Ü`-3_(3a)Û`_2b+3_3a_(2b)Û`-(2b)Ü`
⑵ xÛ`=X로 치환하면
=2X(X+3)
X=xÛ`+x 대입
=2(xÛ`+x)(xÛ`+x+3)
=2x(x+1)(xÛ`+x+3)
4 ⑴ xÛ`=X로 치환하면
XÛ`+2X-3 =(X+3)(X-1)
X=xÛ` 대입
=(xÛ`+3)(xÛ`-1)
=(xÛ`+3)(x+1)(x-1)
XÛ`-3X-4 =(X-4)(X+1)
X=xÛ` 대입
=(xÛ`-4)(xÛ`+1)
=(x+2)(x-2)(xÛ`+1)
⑶ aÛ`=X로 치환하면
3XÛ`+X-4 =(3X+4)(X-1)
X=aÛ` 대입
=(3aÛ`+4)(aÛ`-1)
=(3aÛ`+4)(a+1)(a-1)
⑷ aÛ`=X로 치환하면
4XÛ`-11X-3 =(4X+1)(X-3)
=(4aÛ`+1)(aÛ`-3)
X=aÛ` 대입
5 ⑴ aÝ`+aÛ`+25 =aÝ`+10aÛ`+25-9aÛ`
=(aÛ`+5)Û`-(3a)Û`
⑵ xÝ`-8xÛ`+4 =xÝ`-4xÛ`+4-4xÛ`
=(aÛ`+5+3a)(aÛ`+5-3a)
=(aÛ`+3a+5)(aÛ`-3a+5)
=(xÛ`-2)Û`-(2x)Û`
=(xÛ`-2+2x)(xÛ`-2-2x)
=(xÛ`+2x-2)(xÛ`-2x-2)
=(xÛ`-4)Û`-xÛ`
=(xÛ`-4+x)(xÛ`-4-x)
=(xÛ`+x-4)(xÛ`-x-4)
⑶ xÝ`-9xÛ`+16 =xÝ`-8xÛ`+16-xÛ`
⑷ aÝ`+aÛ`bÛ`+bÝ` =aÝ`+2aÛ`bÛ`+bÝ`-aÛ`bÛ`
=(aÛ`+bÛ`)Û`-(ab)Û`
=(aÛ`+bÛ`+ab)(aÛ`+bÛ`-ab)
=(aÛ`+ab+bÛ`)(aÛ`-ab+bÛ`)
=(x+3)Ü`
⑷ xÜ`+6xÛ`y+12xyÛ`+8yÜ`
=xÜ`+3_xÛ`_2y+3_x_(2y)Û`+(2y)Ü`
=(x+2y)Ü`
⑸ 8aÜ`-36aÛ`+54a-27
=(2a)Ü`-3_(2a)Û`_3+3_2a_3Û`-3Ü`
=(2a-3)Ü`
⑹ 27aÜ`-54aÛ`b+36abÛ`-8bÜ`
=(3a-2b)Ü`
⑺ aÜ`+8bÜ` =aÜ`+(2b)Ü`
=(a+2b)(aÛ`-2ab+4bÛ`)
⑻ 27xÜ`-yÜ` =(3x)Ü`-yÜ`
=(3x-y)(9xÛ`+3xy+yÛ`)
3 ⑴ a+b=X로 치환하면
XÛ`-2X+1 =(X-1)Û`
X=a+b 대입
=(a+b-1)Û`
⑵ x+y=X로 치환하면
XÛ`+X-20 =(X+5)(X-4)
=(x+y+5)(x+y-4)
X=x+y 대입
⑶ x-2=X로 치환하면
XÛ`-5X+4 =(X-1)(X-4)
=(x-2-1)(x-2-4)
=(x-3)(x-6)
X=x-2 대입
⑷ aÛ`-a=X로 치환하면
XÛ`-4X+4 =(X-2)Û`
X=aÛ`-a 대입
=(aÛ`-a-2)Û`
={(a-2)(a+1)}Û`
=(a-2)Û`(a+1)Û`
⑸ xÛ`-x=X로 치환하면
X(X-8)+12 =XÛ`-8X+12
=(X-2)(X-6)
X=xÛ`-x 대입
=(xÛ`-x-2)(xÛ`-x-6)
=(x-2)(x+1)(x+2)(x-3)
⑹ aÛ`+a=X로 치환하면
(X+1)(X-2)-4 =XÛ`-X-6
=(X-3)(X+2)
=(aÛ`+a-3)(aÛ`+a+2)
⑺ x-y=X로 치환하면
X=aÛ`+a 대입
기초 개념
가평
본문 | 038, 039쪽
01 곱
02 인수
03 (a+b-c)Û`
04 (a-1)Ü`
(X+1)Û`+(X-2)Û`-9 =2XÛ`-2X-4
05 (a-1)(aÛ`+a+1)
06 공통부분, 인수분해, X
=2(XÛ`-X-2)
=2(X-2)(X+1)
X=x-y 대입
=2(x-y-2)(x-y+1)
07 XÛ`+aX+b, axÛ`
08 3, 2, y
`
10 조립제법, 0, x-a
09 2, 2, 2
11 상수, 최고차
03. 인수분해 ⦁ 11
기초 문제
가평
본문 | 040, 041쪽
1 ⑴ (2a+b)Û`+4a+2b =(2a+b)Û`+2(2a+b)
=(2a+b)(2a+b+2)
⑵ (a-b)Û`-5(b-a) =(a-b)Û`+5(a-b)
⑸ x+y=A, x-y=B로 치환하면
(x+y)Ü`+(x-y)Ü`
=AÜ`+BÜ`
=(A+B)(AÛ`-AB+BÛ`)
= {(x+y)+(x-y)}
A=x+y, B=x-y 대입
⑶ xy+x+y+1 =x(y+1)+(y+1)
=2x{(xÛ`+2xy+yÛ`)-(xÛ`-yÛ`)+(xÛ`-2xy+yÛ`)}
=(a-b)(a-b+5)
´{(x+y)Û`-(x+y)(x-y)+(x-y)Û`}
=(x+1)(y+1)
=2x(xÛ`+3yÛ`)
⑷ xy-yÛ`-xz+yz =y(x-y)-z(x-y)
⑸ ab-ac-cd+bd =a(b-c)+d(b-c)
=(x-y)(y-z)
=(a+d)(b-c)
2 ⑴ xÜ`y-xyÜ` =xy(xÛ`-yÛ`)
=xy(x+y)(x-y)
⑵ xÝ`-yÝ` =(xÛ`)Û`-(yÛ`)Û`
=(xÛ`+yÛ`)(xÛ`-yÛ`)
=(xÛ`+yÛ`)(x+y)(x-y)
⑶ xÛ`-(y-z)Û` ={x+(y-z)}{x-(y-z)}
=(x+y-z)(x-y+z)
⑷ xÛ`+2xy+yÛ`-9 =(x+y)Û`-3Û`
⑸ xÛ`-4yÛ`+2x+1 =xÛ`+2x+1-4yÛ`
=(x+y+3)(x+y-3)
=(x+1)Û`-(2y)Û`
=(x+1+2y)(x+1-2y)
=(x+2y+1)(x-2y+1)
3 ⑴ xß`-yß` =(xÜ`)Û`-(yÜ`)Û`
=(xÜ`+yÜ`)(xÜ`-yÜ`)
=(x+y)(xÛ`-xy+yÛ`)(x-y)(xÛ`+xy+yÛ`)
⑵ 8xÝ`y+27xyÝ` =xy(8xÜ`+27yÜ`)
=xy{(2x)Ü`+(3y)Ü`}
=xy(2x+3y)(4xÛ`-6xy+9yÛ`)
⑶ xÝ`-8x =x(xÜ`-8)
=x(xÜ`-2Ü`)
=x(x-2)(xÛ`+2x+4)
⑷ 3x+4=X로 치환하면
(3x+4)Ü`-64
=XÜ`-64
=XÜ`-4Ü`
4 xÛ`-x=X로 치환하면
(xÛ`-x-5)(xÛ`-x-3)-3
=(X-5)(X-3)-3
=XÛ`-8X+15-3
=XÛ`-8X+12
=(X-2)(X-6)
=(xÛ`-x-2)(xÛ`-x-6)
=(x-2)(x+1)(x+2)(x-3)
X=xÛ`-x 대입
따라서 (xÛ`-x-5)(xÛ`-x-3)-3의 인수가 아닌 것은
① x-1이다.
5 xÛ`+x=X로 치환하면
(xÛ`+x)(xÛ`+x-2)+1 =X(X-2)+1
=XÛ`-2X+1
=(X-1)Û`
=(xÛ`+x-1)Û`
X=xÛ`+x 대입
∴ a=1, b=-1
6 공통부분이 생기도록 두 일차식의 상수항의 합이 같게 짝을
지어 전개하면
{(x-1)(x+5)}{(x+1)(x+3)}+16
=(xÛ`+4x-5)(xÛ`+4x+3)+16
xÛ`+4x=X로 치환하면
(X-5)(X+3)+16 =XÛ`-2X+1
=(X-1)Û`
=(xÛ`+4x-1)Û`
∴ a=4, b=1
7 xÛ`=X로 치환하면
2XÛ`-7X-4 =(2X+1)(X-4)
=(2xÛ`+1)(xÛ`-4)
=(2xÛ`+1)(x+2)(x-2)
X=xÛ` 대입
∴ a=2, b=1, c=2
=(X-4)(XÛ`+4X+16)
={(3x+4)-4}{(3x+4)Û`+4(3x+4)+16}
=3x(9xÛ`+24x+16+12x+16+16)
X=3x+4
대입
8 xÝ`+4yÝ` =xÝ`+4xÛ`yÛ`+4yÝ`-4xÛ`yÛ`
=(xÛ`+2yÛ`)Û`-(2xy)Û`
=(xÛ`+2yÛ`+2xy)(xÛ`+2yÛ`-2xy)
=(xÛ`+2xy+2yÛ`)(xÛ`-2xy+2yÛ`)
∴ a=2, b=-2, c=2
=3x(9xÛ`+36x+48)
=9x(3xÛ`+12x+16)
12 ⦁ 정답과 해설
9 xÛ`-xy-2yÛ`+5x-y+6
=xÛ`-xy+5x-2yÛ`-y+6
=xÛ`-(y-5)x-(2yÛ`+y-6)
=xÛ`-(y-5)x-(2y-3)(y+2)
={x+(y+2)}{x-(2y-3)}
=(x+y+2)(x-2y+3)
∴ a=1, b=-2, c=3
10 P(x)가 x-1을 인수로 가지므로
P(1)=2+a-8+3=0
∴ a=3
따라서 P(x)=2xÜ`+3xÛ`-8x+3이므로 조립제법을 이
용하여 P(x)를 인수분해하면 다음과 같다.
1 2
3 -8
2
2
5 -3
5 -3
3
0
P(x)=(x-1)(2xÛ`+5x-3)=(x-1)(x+3)(2x-1)
11 P(x)=xÝ`+2xÜ`-2xÛ`-2x+a라 하면
P(x)가 x-1, x+1을 인수로 가지므로
P(1)=0, P(-1)=0
P(1)=0에서 1+2-2-2+a=0
∴ a=1
따라서 P(x)=xÝ`+2xÜ`-2xÛ`-2x+1이므로 조립제법을
이용하여 P(x)를 인수분해하면 다음과 같다.
-1 1
2 -2 -2
3
1 -1
1
3
-1 1
1 -1
-1 -2
1
2 -1
1
0
1
0
P(x)=(x-1)(x+1)(xÛ`+2x-1)이므로
f(x)=xÛ`+2x-1
∴ f(-1)=1-2-1=-2
12 129=x로 치환하면
129Ü`-1
129_130+1
=
xÜ`-1
x(x+1)+1
(x-1)(xÛ`+x+1)
xÛ`+x+1
=
=x-1
=129-1=128
04 복소수
본문 | 044~049쪽
2 ⑵ 0 ⑶ 0
1-1 ⑴
'
1-2 ⑴ 5i-1=-1+5i이므로 실수부분은 -1, 허수부분은 5
⑵
'
2-3i의 실수부분은
'
2, 허수부분은 -3
⑶ 2i=0+2i이므로 실수부분은 0, 허수부분은 2
⑷ -8=-8+0i이므로 실수부분은 -8, 허수부분은 0
2-1 ⑴ -5 ⑵ -8i ⑶
'
2-2 ⑴ 허수단위 i가 없는 것을 찾으면
0, -8i Û`=8, i Û`-1=-1-1=-2
3+i
⑵ 허수단위 i가 있는 것을 찾으면
i-
5,
3i, -10i, 3+2i
'
'
⑶ 실수부분이 0이고 허수부분이 0이 아닌 것을 찾으면
3i, -10i
'
⑷ a+bi (a+0, b+0) 꼴을 찾으면 i-
5, 3+2i
'
참고 복소수가 실수 또는 순허수가 되기 위한 조건
❶ 복소수 a+bi (a, b는 실수)에 대하여
① a+bi가 실수 ⇨ b=0
② a+bi가 순허수 ⇨ a=0, b+0
❷ 복소수 z=a+bi (a, b는 실수)에 대하여
① zÛ`이 실수 ⇨ z가 실수 또는 순허수
② zÛ`이 음의 실수 ⇨ z가 순허수
3-1 1, -1
3-2 ⑴ (x+y)-2i=-3+(y-1)i에서
x+y=-3, -2=y-1
∴ x=-2, y=-1
⑵ (x-5)+(4y-1)i=0에서
x-5=0, 4y-1=0
∴ x=5, y=
;4!;
4-1 ⑴ -9 ⑵ 2i
4-2 ⑴ 허수부분의 부호를 바꾸면 1+4i
⑵ 3=3+0i이므로 허수부분의 부호를 바꾸면 3
⑶ -
2i=0-
2i이므로
'
'
허수부분의 부호를 바꾸면
'
2i
⑷ -2i+8=8-2i이므로
허수부분의 부호를 바꾸면 8+2i
5-1 5, 3, 1
5-2 ⑴ 2+3iÓ=2-3i이므로
x+(x-y)i=2-3i
x=2, x-y=-3에서
x=2, y=5
04. 복소수 ⦁ 13
⑵ 3-5iÓ=3+5i이므로
(x+y)+(2x+y)i=3+5i
x+y=3, 2x+y=5를 연립하여 풀면
x=2, y=1
6-1 ⑴ 2, 6-i ⑵ 3, 6i ⑶ 3i, 8+i ⑷ 10i, -1+2i
6-2 ⑴ 2(1-2i)+(3+2i) =2-4i+3+2i
⑵ (3+4i)-2(1-i) =3+4i-2+2i
=(2+3)+(-4+2)i
=5-2i
=(3-2)+(4+2)i
=1+6i
⑶ (2+i)(1-3i)=2-6i+i-3i Û`=5-5i
⑷
1+3i
1+i
=
(1+3i)(1-i)
(1+i)(1-i)
=
1-i+3i-3i Û`
1-i Û`
⑷
=
4+2i
2
=2+i
7-1 ⑴ 0, -2 ⑵ 1
7-2 z =(1+i)xÛ`+(1+2i)x-6-3i
=(xÛ`+x-6)+(xÛ`+2x-3)i
=(x+3)(x-2)+(x+3)(x-1)i
⑴ (허수부분)=0이므로 (x+3)(x-1)=0
∴ x=-3 또는 x=1
⑵ (실수부분)=0, (허수부분)+0
(x+3)(x-2)=0, (x+3)(x-1)+0
∴ x=2
8-1 ⑴ 5, 2, 1 ⑵ 2, 7, 3
8-2 ⑴ 주어진 등식의 좌변을 정리하면
(x+2y)+(2x-y)i=5+5i
x+2y=5, 2x-y=5를 연립하여 풀면
x=3, y=1
⑵ 주어진 등식의 좌변을 정리하면
(2x+2)-(x-4)i=y-3i
2x+2=y, x-4=3을 연립하여 풀면
x=7, y=16
⑶ 주어진 등식의 좌변을 정리하면
x
2-i
+
y
2+i
=
=
=
x(2+i)+y(2-i)
(2-i)(2+i)
(2x+2y)+(x-y)i
5
x-y
5
2x+2y
5
+
i
+
즉,
i=2+i이므로
2x+2y
5
2x+2y
5
x-y
5
x-y
5
x+y=5, x-y=5를 연립하여 풀면
=2,
=1
x=5, y=0
14 ⦁ 정답과 해설
9-1 -1, -3, -3+2i
9-2 ⑴ z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 zÓ=a-bi
이므로 주어진 등식의 좌변은
(2-i)(a-bi)+3i(a+bi)
=2a-2bi-ai+bi Û`+3ai+3bi Û`
=2a-2bi-ai-b+3ai-3b
=(2a-4b)+(2a-2b)i
즉 , (2a-4b)+(2a-2b)i=1-2i이므로
2a-4b=1, 2a-2b=-2를 연립하여 풀면
a=-
, b=-
;2%;
;2#;
∴ z=-
-
i
;2#;
;2%;
⑵ z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 zÓ=a-bi
이므로 z+zÓ=6, zzÓ=13에서
(a+bi)+(a-bi)=2a=6
(a+bi)(a-bi)=aÛ`-bÛ`i Û`=aÛ`+bÛ`=13
따라서 a=3, b=Ñ2이므로 z=3Ñ2i
10-1 ⑴ i ⑵ 1 ⑶ i ⑷ -1
10-2 ⑴ i Ú`Ú`=(i Ý`)Û`_i Ü`=i Ü`=-i
⑵ i 88=(i Ý`)22=1
⑶ (-2i)7=-27_i Ý`_i Ü`=-128i Ü`=128i
⑷
{-
61
1
i }
=i 61=(i Ý`)15_i=i
11-1 2, i
11-2 ⑴ i+i 2+i 3+i 4=0이므로
i+i 2+i 3+i 4+y+i 20
=(i+i 2+i 3+i 4)+y+(i 17+i 18+i 19+i 20)
=(i+i 2+i 3+i 4)+y+i 16(i+i 2+i 3+i 4)
=0
+
+
1
i
1
i Û`
1
1
i 5=
i 3+
=
1
i 4+
⑵
1
i
{
1
i
=-i
-1-
+1
1
i
+
}
1
i
12-1 3i, -4+3i
12-2 ⑴
'¶
-2
'¶
18+ '¶
'¶
=
2i_3
2+
'
'
2
i
=6i+
=6i+
=6i-2i=4i
12
-3
2
3
'
3i
'
2i
i Û`
⑵
'¶
-3
'¶
-12+ '¶
'¶
=
3i_2
3i+
'
'
32
-2
2
4
'
2i
'
-45
+ '¶
-5
'¶
5i
3
'
5i
'
+
=6i Û`+
+3=-3-4i
4
i
13-1 ⑴ b, -2a ⑵ b, 2a
13-2 ⑴ a<0, b<0이므로
|a|+|b|-
"Ã
(a+b)Û`=|a|+|b|-|a+b|
⑸ 주어진 등식의 좌변을 정리하면
x
1-2i
+
y
1+2i
=
x(1+2i)+y(1-2i)
(1-2i)(1+2i)
a<0, b<0이므로 a+b<0
=
x+2xi+y-2yi
1-4i Û`
=-a-b+a+b=0
⑵ a>0, b<0이므로
-
aÛ`+
bÛ`+|b-a|=-|a|+|b|+|b-a|
"
"
=-a-b-b+a=-2b
a>0, b<0이므로 b-a<0
=
(x+y)+(2x-2y)i
5
2x-2y
5
주어진 등식의 우변을 정리하면
x+y
5
=
+
i
2
1-3i
즉,
x+y
5
=
2+6i
1-9i Û`
=
i
;5!;+;5#;
=
=
2(1+3i)
(1-3i)(1+3i)
2+6i
10
2x-2y
5
1+3i
5
i=
=
+
i이므로
;5!;+;5#;
x+y=1, 2x-2y=3을 연립하여 풀면
집중 연습
1 ⑴ 2(3-2i)+(1-4i)=6-4i+1-4i=7-8i
⑵ 2+3i-3(1+i)=2+3i-3-3i=-1
⑶ 5-(1-4i)+4(3-i)=5-1+4i+12-4i=16
본문 | 050, 051쪽
x=
, y=-
;4%;
;4!;
⑵
1+3i
1-i
2 ⑴ (2-i)(3+2i)=6+4i-3i-2i Û`=8+i
(1+3i)(1+i)
(1-i)(1+i)
-2+4i
2
1+i+3i+3i Û`
1-i Û`
=-1+2i
⑵
=
=
=
⑶
2
1+i
+
2
1-i
=
2(1-i)+2(1+i)
(1+i)(1-i)
=
2-2i+2+2i
1-i Û`
=
=2
;2$;
3 ⑴ (1+3i)x+(2-i)y=3+2i에서
(x+2y)+(3x-y)i=3+2i
x+2y=3, 3x-y=2를 연립하여 풀면
x=1, y=1
⑵ (2+3i)x-(1-i)y=5-5iÓ에서
(2x-y)+(3x+y)i=5+5i
2x-y=5, 3x+y=5를 연립하여 풀면
x=2, y=-1
⑶ (3+2i)(x+yi)=13에서
3x+3yi+2xi+2yiÛ`=13
(3x-2y)+(2x+3y)i=13
3x-2y=13, 2x+3y=0을 연립하여 풀면
x=3, y=-2
⑷ (x-2i)(1+i)=-1+yi에서
x+xi-2i-2iÛ`=-1+yi
(x+2)+(x-2)i=-1+yi
x+2=-1, x-2=y를 연립하여 풀면
x=-3, y=-5
4 ⑴ i 20=(i 4)5=1
⑵ i 25=(i 4)6_i=i
⑶ i 99=(i 4)24_i 3=i 3=-i
⑷ (-i)6=i 6=i 4_i 2=i 2=-1
⑸ (-i)13=-i 13=-(i 4)3_i=-i
⑹ i 100+i 102=(i 4)25+(i 4)25_i 2=1+i 2=0
⑺
-
=
+1=-i+1=1-i
1
i
1
i Û`
i
i Û`
=(-i)3=-i 3=i
⑻
{
⑼
{
3
1
i }
1
i }
5
+
15
1
i }
{
=(-i)5+(-i)15=-i Þ`-i 15
=-i 4_i-(i 4)3_i 3=-i-i Ü`
=-i+i=0
⑽
+i 3+
1
i
1
i 3 -i 4=
1
i
1
i
-i-
-1=-1-i
5 ⑴ i+i Û`+i 3+i 4=0이므로
i+i Û`+i 3+i 4+y+i 15
=(i+i Û`+i 3+i 4)+i 4(i+i Û`+i 3+i 4)
+i 8(i+i Û`+i 3+i 4)+i 13+i 14+i 15
=i 13+i 14+i 15=(i Ý`)Ü`_i+(i Ý`)Ü`_i Û`+(i Ý`)Ü`_i Ü`
=i+i Û`+iÜ `=i-1-i
=-1
⑵ 1+i+i Û`+i 3=0이므로
1+i+i Û`+i 3+y+i 100
=(1+i+i Û`+i 3)+y+(i 96+i 97+i 98+i 99)+i 100
=(1+i+i Û`+i 3)+y+i 96(1+i+i Û`+i 3)+(i 4)25
=(i 4)25=1
04. 복소수 ⦁ 15
+y+
1
i 9 +
1
i 10+
1
i 11+
1
i 12}
{
+
1
i 13
⑶
+
-1-
+1=0이므로
1
i
=
=
1
i
1
i
1
i
1
i
+
{
+
1
i
1
i 13
1
i 3 +
1
i 3 +
1
i 3 +
1
i 4 =
1
i 4 +y+
1
i 4 }
1
i
1
i 2 +
1
i 2 +
1
1
i 2 +
i
1
1
i 13=
(i 4)Ü`_i
1
1
1
i 4 =0이므로
i 3 +
i 2 +
1
1
1
1
i 4 +y+
i 3 +
i 2 +
i 26
1
1
1
1
i 3 +
i 2 +
i 4 }
i
=-i
+
=
{
+
=
⑷
+
=
=
1
i 25+
1
i
+
1
1
i 26=
(i 4)ß`_i
1
1
i 2 =
i
-1=-1-i
+
1
(i 4)ß`_i Û `
+y+
1
i 21+
1
i 22+
1
i 23+
{
1
i 24}
1
i 25+
+
1
i 26
기초 개념
가평
본문 | 052, 053쪽
01 -1, 허수단위
02 실수부분, 허수부분
03 b=0
05 실수
07 c,``d
09 허수
11 b-d
13 ac+bd
15 i
17 a>0,``b<0
04 허수
06 b+0
08 0,``0
10 a+c
12 bc
14 -1,``1
16 a<0,``b<0
기초 문제
가평
본문 | 054, 055쪽
-16=
1 '¶
허수단위 i가 있는 것을 찾으면
16i=4i, 2i Û`=-2이므로
'¶
-16, i-1,
3-2i, -
3i, 1+3i
'
'
'¶
2 ⑴ 2(3-2i)+(3+
2i)(3-
'
=6-4i+9-2i Û`=17-4i
'
2i)
⑵ (1-
5i)Û` =1Û`-2_1_
5i+(
5i)Û`
'
'
'
=1-2
5i+5i Û`=-4-2
5i
'
'
16 ⦁ 정답과 해설
⑶ (1+i)Û`-(1-i)Û`=1+2i+i Û`-(1-2i+i Û`)=4i
x=-1, y=3
⑷
1+2i
1-i
-
2-i
1+i
=
=
=
(1+2i)(1+i)-(2-i)(1-i)
(1-i)(1+i)
1+i+2i+2i Û`-(2-2i-i+i Û`)
1-i Û`
-1+3i-(1-3i)
2
-2+6i
2
=
=-1+3i
3 (1+ai)(1+3i) =1+3i+ai+3ai Û`
=(1-3a)+(3+a)i
이 복소수가 실수가 되려면 (허수부분)=0이므로
3+a=0에서 a=-3
∴ x=-3
이 복소수가 순허수가 되려면
(실수부분)=0, (허수부분)+0이므로
1-3a=0, 3+a+0에서 a=
∴ y=
;3!;
;3!;
4 (1+i)(4-3i)-i(2-i)Û`
=4-3i+4i-3i Û`-i(4-4i+i Û`)
=7+i-i(3-4i)
=7+i-3i+4i Û`=3-2i
∴ a=3, b=-2
5 z-3+2i=zi에서 (1-i)z=3-2i
∴ z=
3-2i
1-i
∴ z=
∴ z=
=
=
=
(3-2i)(1+i)
(1-i)(1+i)
3+3i-2i-2iÛ `
1-i Û`
5+i
2
=
i
;2%;+;2!;
6 제곱하여 음의 실수가 되려면 순허수이어야 하므로
z=(xÛ`-4x+3)+(xÛ`+2x-3)i에서
(실수부분)=0, (허수부분)+0
xÛ`-4x+3=0, 즉 (x-1)(x-3)=0에서 x=1 또는 x=3
xÛ`+2x-3+0, 즉 (x+3)(x-1)+0에서
x+-3 그리고 x+1
∴ x=3
7 주어진 등식의 좌변을 정리하면
x
1+i
+
y
1-i
=
x(1-i)+y(1+i)
(1+i)(1-i)
=
x-xi+y+yi
1-i Û`
=
(x+y)+(-x+y)i
2
=
x+y
2
+
-x+y
i
2
또 1-2iÓ=1+2i이므로
x+y
2
+
-x+y
2
i=1+2i에서
=1,
x+y
2
-x+y
2
=2
즉, x+y=2, -x+y=4를 연립하여 풀면
8 z-zÓ=(1-i)-(1+i)=-2i
zzÓ=(1-i)(1+i)=1-i Û`=1+1=2
⑴
⑵
zzÓ
z-zÓ
z-1
z
=
-
2
-2i
zÓ-1
zÓ
=-
=
1
i
=i
=-
i
i Û`
(z-1)zÓ-z(zÓ-1)
zzÓ
=
zzÓ-zÓ-zzÓ+z
zzÓ
=
z-zÓ
zzÓ
=
=-i
-2i
2
9 z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 zÓ=a-bi이므로
주어진 등식의 좌변은
2(a+bi)-i(a-bi) =2a+2bi-ai+bi Û`
=(2a-b)-(a-2b)i
즉, (2a-b)-(a-2b)i=4-5i이므로
2a-b=4, a-2b=5를 연립하여 풀면
a=1, b=-2
∴ z=1-2i
10 ⑴ i+2i 2+3i 3+4i 4=i-2-3i+4=2-2i
⑵ i+i 2+i 3+i 4=0이므로
i+i 2+i 3+i 4+y+i 26
=(i+i 2+i 3+i 4)+y+(i 21+i 22+i 23+i 24)+i 25+i 26
=i 25+i 26=i+i Û`=i-1
+1=0이므로
⑶
+
1
i
1
i
+
=
{
1
i
1
i
-1-
1
1
1
i 4 =
i 3 +
i 2 +
1
1
1
1
i 4 +y+
i 3 +
i 2 +
i 15
1
1
1
1
1
i 3 +
i 2 +
i 5 +
i 4 }
i
1
1
1
i 11+
i 10+
i 9+
1
1
1
i 3 =
i 2 +
i
1
i 14+
1
i 15=
1
i
+
+
+
+
{
{
=
1
i 13+
1
i 6 +
1
i 12}
1
1
i 7 +
i 8 }
1
i 13+
1
i
+
-1-
=-1
1
i 14+
1
i 15
11 ⑴
'¶
-3
'¶
20
-12+ '¶-
5
'
2
5i
'
5
'
=
3i_2
3i+
'
'
=6i Û`+2i=-6+2i
⑵ (3+
-2)(3-
-2)+
'¶
=(3+
'¶
2i)(3-
'
2i)+
'
'
-3
'¶
'¶
3i_3
-27
3i
'
=9-2i Û`+9i Û`=9+2-9=2
27
-3
-13)Û`+
-20
'¶
'¶
'
⑶ (
=(
13i)Û`+2
5i
5+
'
'
'¶
=13i Û`+10i+
=-13+10i-3i
5+ '¶
'¶
3
3
'
3i
'
3
i
=-13+7i
본문 | 057쪽
05 이차방정식
&
기초 개념 피드백 TEST
1-1 ⑴ 2, -2
;3$;
1-2 ⑴ 좌변을 인수분해하면 x(x+2)=0
x=0 또는 x+2=0
⑵ 4, -
∴ x=0 또는 x=-2
⑵ 좌변을 인수분해하면 (x-3)Û`=0
x-3=0
∴ x=3 (중근)
⑶ 좌변을 인수분해하면 (2x+5)(2x-5)=0
⑷ 좌변을 인수분해하면 (2x+1)(x-2)=0
2x+5=0 또는 2x-5=0
∴ x=-
또는 x=
;2%;
;2%;
2x+1=0 또는 x-2=0
∴ x=-
또는 x=2
;2!;
2-1 ⑴ -7, 2
2-2 ⑴ x=Ñ
⑵ -10을 우변으로 이항하면 9xÛ`=10
∴ x=Ñ2
⑵ 5, 1
8
'
'
2
양변을 9로 나누면 xÛ`=
:Á9¼:
x=Ñ
®Æ
É:Á9¼:
10
∴ x=Ñ '¶
3
⑶ x+2=Ñ
12
∴ x=-2Ñ2
3
'
⑷ -25를 우변으로 이항하면 5(x-3)Û`=25
양변을 5로 나누면 (x-3)Û`=5
x-3=Ñ
5
∴ x=3Ñ
5
'
'¶
'
3-1 ⑴ -2,
2
'¶
3-2 ⑴ 근의 공식에 a=1, b=-3, c=1을 대입하면
17 ⑵ -2, 2,
'
3Ñ
(-3)Û`-4_1_1
x=
"Ã
2_1
=
5
3Ñ
'
2
⑵ 근의 공식에 a=2, b=-1, c=-5를 대입하면
1Ñ
(-1)Û`-4_2_(-5)
x=
"Ã
2_2
⑶ 근의 공식에 a=1, b'=-1, c=-4를 대입하면
=
41
1Ñ
'¶
4
1Ñ
(-1)Û`-1_(-4)
x=
"Ã
1
=1Ñ
5
'
⑷ 근의 공식에 a=2, b'=1, c=-3을 대입하면
-1Ñ
1Û`-2_(-3)
x=
"Ã
2
=
-1Ñ
2
7
'
05. 이차방정식 ⦁ 17
Æ
13, 실근 ⑵ -1, 9, 2
1-1 ⑴ 3,
'¶
1-2 ⑴ 근의 공식에 a=3, b=-5, c=1을 대입하면
2, 허근
'
5Ñ
(-5)Û`-4_3_1
x=
"Ã
2_3
=
13
5Ñ
'¶
6
따라서 주어진 이차방정식의 근은 실근이다.
⑵ 근의 공식에 a=1, b'=5, c=5를 대입하면
x=
-5Ñ
"Ã
5Û`-1_5
1
=-5Ñ2
5
'
따라서 주어진 이차방정식의 근은 실근이다.
⑶ 근의 공식에 a=1, b=-3, c=4를 대입하면
3Ñ
(-3)Û`-4_1_4
x=
"Ã
2_1
=
7i
3Ñ
'
2
따라서 주어진 이차방정식의 근은 허근이다.
⑷ 근의 공식에 a=2, b'=1, c=3을 대입하면
x=
-1Ñ
"Ã
1Û`-2_3
2
=
-1Ñ
2
5i
'
따라서 주어진 이차방정식의 근은 허근이다.
2-1 1, 3, 3
2-2 ⑴ 이차방정식 xÛ`-(m+2)x+3m+2=0에 x=-2를
⑵ 이차방정식 xÛ`-ax-aÛ`-5=0에 x=-3을 대입하면
4+2m+4+3m+2=0, 5m=-10
대입하면
∴ m=-2
m=-2를 주어진 방정식에 대입하면
xÛ`-4=0, (x+2)(x-2)=0
∴ x=-2 또는 x=2
따라서 나머지 한 근은 2이다.
9+3a-aÛ`-5=0, aÛ`-3a-4=0
(a+1)(a-4)=0
∴ a=4 (∵ a>0)
a=4를 주어진 방정식에 대입하면
xÛ`-4x-21=0, (x+3)(x-7)=0
∴ x=-3 또는 x=7
따라서 나머지 한 근은 7이다.
3-1 ⑴ >, 실근 ⑵ <, 허근
3-2 주어진 이차방정식의 판별식을 D라 하면
⑴ D=(-1)Û`-4_2_(-4)=33>0이므로
서로 다른 두 실근을 갖는다.
⑵
=(-5)Û`-1_25=0이므로
중근을 갖는다.
⑶
=2Û`-3_2=-2<0이므로
D
4
D
4
18 ⦁ 정답과 해설
본문 | 058~062쪽
4-1 ⑴ >, 2 ⑵ <, 2
4-2 주어진 이차방정식의 판별식을 D라 하면
=(k+1)Û`-(kÛ`-3)=2k+4
D
4
D
4
D
4
D
4
⑴
¾0이어야 하므로 2k+4¾0
∴ k¾-2
⑵
=0이어야 하므로 2k+4=0
∴ k=-2
⑶
<0이어야 하므로 2k+4<0
∴ k<-2
5-1 ⑴ 5, -6 ⑵ 5, -16
5-2 a+b=-
=-6, ab=
=2이므로
;1@;
;1^;
1
b
1
a
⑴
+
=
a+b
ab
=
-6
2
=-3
⑵ aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab
=(-6)Û`-2_2=32
⑶ (a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab
=(-6)Û`-4_2=28
⑷ aÜ`+bÜ` =(a+b)Ü`-3ab(a+b)
=(-6)Ü`-3_2_(-6)=-180
6-1 ⑴ 3, 18 ⑵ 4, 20
6-2 ⑴ 두 근의 비가 1`:`2이므로 두 근을 a, 2a(a+0)로 놓으면
……㉠
(두 근의 합)=a+2a=k
(두 근의 곱)=a_2a=6, aÛ`=3
∴ a=Ñ
3
'
이것을 ㉠에 대입하면
k=3a=3_(Ñ
3)=Ñ3
'
3
'
⑵ 두 근의 차가 2이므로 두 근을 a, a+2로 놓으면
(두 근의 합)=a+(a+2)=-k
∴ k=-2a-2
……㉠
(두 근의 곱)=a(a+2)=3, aÛ`+2a-3=0
(a+3)(a-1)=0
∴ a=-3 또는 a=1
이것을 ㉠에 대입하면 k=4 또는 k=-4
7-1 ⑴ 3, 4 ⑵ 2, 5
7-2 ⑴ (두 근의 합)=2+5=7,
(두 근의 곱)=2_5=10이므로
xÛ`-7x+10=0
⑵ (두 근의 합)=(1+
3)+(1-
3)=2,
(두 근의 곱)=(1+
3)(1-
'
'
'
3)=-2이므로
'
xÛ`-2x-2=0
⑶ (두 근의 합)=(-2+i)+(-2-i)=-4,
(두 근의 곱)=(-2+i)(-2-i)=5이므로
서로 다른 두 허근을 갖는다.
xÛ`+4x+5=0
(두 근의 곱) =(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1
⑶ 좌변을 인수분해하면 (2x+3)(x-1)=0
⑵ 계수가 유리수이고 한 근이 2
2-1, 즉 -1+2
2이므
좌변을 인수분해하면 (3x-2)(2x-3)=0
'
8-1 5, 6
8-2 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-5, ab=2
⑴ (두 근의 합) =aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab
=(-5)Û`-2_2=21
(두 근의 곱)=aÛ`bÛ`=(ab)Û`=2Û`=4
따라서 구하는 이차방정식은 xÛ`-21x+4=0
⑵ (두 근의 합) =(a-1)+(b-1)=a+b-2
=-5-2=-7
=2-(-5)+1=8
따라서 구하는 이차방정식은 xÛ`+7x+8=0
2, -2, -1
9-1 1-
9-2 ⑴ 계수가 유리수이고 한 근이 2+
'
2-
3이다.
'
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
3이므로 다른 한 근은
'
(두 근의 합)=-a에서
(2+
3)+(2-
3)=-a
'
(두 근의 곱)=b에서
(2+
3)(2-
3)=b
'
∴ a=-4, b=1
'
'
'
2이다.
'
로 다른 한 근은 -1-2
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
(두 근의 합)=-a에서
(-1+2
2)+(-1-2
'
(두 근의 곱)=b에서
'
2)=-a
(-1+2
2)(-1-2
2)=b
'
'
∴ a=2, b=-7
(두 근의 합)=-a에서
(1+
2i)+(1-
2i)=-a
'
'
(두 근의 곱)=b에서
(1+
2i)(1-
2i)=b
'
'
∴ a=-2, b=3
른 한 근은 -3-2i이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
(두 근의 합)=-a에서
(-3+2i)+(-3-2i)=-a
(두 근의 곱)=b에서
(-3+2i)(-3-2i)=b
∴ a=6, b=13
10-1 -6, 10
10-2 ⑴ 계수가 실수이고 한 근이 1+
1-
2i이다.
'
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
2i이므로 다른 한 근은
'
⑵ 계수가 실수이고 한 근이 2i-3, 즉 -3+2i이므로 다
집중 연습
본문 | 063~065쪽
1 ⑴ 좌변을 인수분해하면 (x+2)(x-1)=0
x+2=0 또는 x-1=0
∴ x=-2 또는 x=1
⑵ 좌변을 인수분해하면 (x+3)(3x-2)=0
x+3=0 또는 3x-2=0
∴ x=-3 또는 x=
;3@;
2x+3=0 또는 x-1=0
∴ x=-
또는 x=1
;2#;
⑷ 괄호를 풀고 정리하면 xÛ`+x-20=0
좌변을 인수분해하면 (x+5)(x-4)=0
x+5=0 또는 x-4=0
∴ x=-5 또는 x=4
⑸ 괄호를 풀고 정리하면 6xÛ`-7x-3=0
좌변을 인수분해하면 (3x+1)(2x-3)=0
3x+1=0 또는 2x-3=0
∴ x=-
또는 x=
;3!;
;2#;
⑹ 괄호를 풀고 정리하면 6xÛ`-13x+6=0
3x-2=0 또는 2x-3=0
∴ x=
또는 x=
;3@;
;2#;
2 ⑴ 근의 공식에 a=1, b=-1, c=-1을 대입하면
1Ñ
'
2
(-1)Û`-4_1_(-1)
-(-1)Ñ
x=
2_1
=
"Ã
5
⑵ 근의 공식에 a=1, b'=1, c=-1을 대입하면
-1Ñ
1Û`-1_(-1)
x=
"Ã
1
=-1Ñ
2
'
⑶ 근의 공식에 a=2, b=-3, c=-1을 대입하면
-(-3)Ñ
(-3)Û`-4_2_(-1)
x=
"Ã
2_2
=
17
3Ñ
'¶
4
⑷ 근의 공식에 a=3, b'=-1, c=1을 대입하면
x=
-(-1)Ñ
"Ã
(-1)Û`-3_1
3
=
2i
1Ñ
'
3
⑸ 근의 공식에 a=1, b=-3, c=-3을 대입하면
-(-3)Ñ
(-3)Û`-4_1_(-3)
x=
"Ã
2_1
=
21
3Ñ
'¶
2
⑹ 근의 공식에 a=3, b'=2, c=2를 대입하면
x=
-2Ñ
"Ã
2Û`-3_2
3
=
-2Ñ
3
2i
'
05. 이차방정식 ⦁ 19
⑸ (a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab
∴ xÛ`-5x+5=0
3 ⑴ a+b=-
=-2
;1@;
⑵ ab=
=-1
-1
1
⑶
+
=
1
a
1
b
a+b
ab
=
-2
-1
=2
⑷ aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab
=(-2)Û`-2_(-1)=6
⑸ (a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab
=(-2)Û`-4_(-1)=8
⑹ aÜ`+bÜ` =(a+b)Ü`-3ab(a+b)
=(-2)Ü`-3_(-1)_(-2)=-14
⑺
+
=
bÛ`
a
aÛ`
b
aÜ`+bÜ`
ab
=
-14
-1
=14
4 ⑴ a+b=-
-5
1
=5
⑵ ab=
=3
3
1
⑶ aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab
=5Û`-2_3=19
⑷
+
=
b
a
a
b
aÛ`+bÛ`
ab
=
19
3
=5Û`-4_3=13
∴ a-b=
13 (∵ a>b)
'¶
⑹ aÜ`+bÜ` =(a+b)Ü`-3ab(a+b)
=5Ü`-3_3_5=80
⑺
+
=
bÛ`
a
aÛ`
b
aÜ`+bÜ`
ab
=
80
3
5 ⑴ (두 근의 합)=9, (두 근의 곱)=18
∴ xÛ`-9x+18=0
⑵ (두 근의 합)=2, (두 근의 곱)=-1
∴ xÛ`-2x-1=0
⑶ (두 근의 합)=2, (두 근의 곱)=1-i Û`=2
∴ xÛ`-2x+2=0
6 ⑴ (두 근의 합)=-3, (두 근의 곱)=2
xÛ`의 계수가 2이므로 구하는 이차방정식은
2{xÛ`-(-3)x+2}=0
∴ 2xÛ`+6x+4=0
⑵ (두 근의 합)=4, (두 근의 곱)=1
xÛ`의 계수가 2이므로 구하는 이차방정식은
2(xÛ`-4x+1)=0
∴ 2xÛ`-8x+2=0
⑶ (두 근의 합)=-4, (두 근의 곱)=4-9i Û`=13
xÛ`의 계수가 2이므로 구하는 이차방정식은
2{xÛ`-(-4)x+13}=0
∴ 2xÛ`+8x+26=0
20 ⦁ 정답과 해설
7 ⑴ 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=2, ab=-1
(두 근의 합)=a+b+ab=1
(두 근의 곱)=(a+b)ab=-2
∴ xÛ`-x-2=0
⑵ 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-1, ab=-4
(두 근의 합)=a+b+ab=-5
(두 근의 곱)=(a+b)ab=4
∴ xÛ`+5x+4=0
⑶ 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-2, ab=-5
(두 근의 합)=a+b+ab=-7
(두 근의 곱)=(a+b)ab=10
∴ xÛ`+7x+10=0
8 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=3, ab=1
⑴ (두 근의 합)=a+1+b+1=5
(두 근의 곱) =(a+1)(b+1)
=ab+a+b+1=5
⑵ (두 근의 합) =aÛ`-1+bÛ`-1=aÛ`+bÛ`-2
=(a+b)Û`-2ab-2=5
(두 근의 곱) =(aÛ`-1)(bÛ`-1)
=aÛ`bÛ`-(aÛ`+bÛ`)+1
=(ab)Û`-{(a+b)Û`-2ab}+1=-5
∴ xÛ`-5x-5=0
⑶ (두 근의 합)=
1
a
1
ab
∴ xÛ`-3x+1=0
(두 근의 곱) =
+
=
1
b
a+b
ab
=3
=1
기초 개념
가평
본문 | 066, 067쪽
01 실수, 실수
03 복소수
05 부호, 허근
07 D>0
09 D<0
11 2,
-;2!;
13 -, +
15 실수
02 허수, 허수
04 실근, 허근
06 판별식, D
08 D=0
10 3, 4
12 -, +
14 유리수
기초 문제
가평
본문 | 068, 069쪽
5 이차방정식 xÛ`-(k+2)x+4=0의 판별식을 D라 하면
중근을 가지려면 D=0이어야 하므로
1 ⑴ 좌변을 인수분해하면 (x-1)(x-2)=0
x-1=0 또는 x-2=0
∴ x=1 또는 x=2
⑵ 좌변을 인수분해하면 (4x+3)(x-1)=0
4x+3=0 또는 x-1=0
∴ x=-
또는 x=1
;4#;
⑶ 근의 공식에 a=1, b=3, c=1을 대입하면
x=
-3Ñ
"Ã
3Û`-4_1_1
2_1
=
-3Ñ
2
5
'
⑷ 근의 공식에 a=1, b'=-1, c=-2를 대입하면
x=
"Ã
-(-1)Ñ
(-1)Û`-1_(-2)
1
⑸ 근의 공식에 a=3, b'=-2, c=3을 대입하면
=1Ñ
3
'
x=
-(-2)Ñ
"Ã
(-2)Û`-3_3
3
=
5i
2Ñ
'
3
⑹ 근의 공식에 a=1, b'=-
2, c=6을 대입하면
x=
-(-
2)Ñ
'
"Ã
(-
1
'
'
2)Û`-1_6
=
2Ñ2i
'
2 이차방정식 xÛ`-kx+k-1=0에 x=4를 대입하면
16-4k+k-1=0, 3k=15
∴ k=5
k=5를 주어진 방정식에 대입하면
xÛ`-5x+4=0, (x-1)(x-4)=0
∴ x=1 또는 x=4
따라서 a=1이므로
k+a=5+1=6
4a=4+a-1에서 3a=3
∴ a=1
a=1을 k=4+a에 대입하면 k=5
∴ k+a=5+1=6
3 이차방정식 xÛ`+2x+k-3=0의 판별식을 D라 하면
실근을 가지려면 D¾0이어야 하므로
=1Û`-(k-3)=4-k¾0
D
4
∴ kÉ4
4 이차방정식 xÛ`-3x+1-k=0의 판별식을 D라 하면
서로 다른 두 허근을 가지려면 D<0이어야 하므로
D=(-3)Û`-4_1_(1-k)=4k+5<0
∴ k<-
;4%;
D=(k+2)Û`-4_1_4=kÛ`+4k-12=0
(k+6)(k-2)=0
∴ k=2 (∵ k>0)
k=2이므로 주어진 이차방정식은
xÛ`-4x+4=0, (x-2)Û`=0
즉, x=2이므로 m=2
∴ k+m=2+2=4
6 이차방정식 xÛ`+(2k+1)x+kÛ`-1=0의 판별식을 D라 하
면 이차식이 완전제곱식이 되려면 D=0이어야 하므로
D=(2k+1)Û`-4_1_(kÛ`-1)=4k+5=0
∴ k=-
;4%;
7 a+b=-
=-3, ab=
=-5이므로
-5
1
;1#;
1
b }{
⑴
{
a+
b+
=ab+a_
_b+
1
ab
=ab+2+
=-5+2-
=-
;5!;
:Á5¤:
1
a }
1
b
+
1
a
1
ab
⑵ (aÛ`+4a)(bÛ`+4b)
=aÛ`bÛ`+4aÛ`b+4abÛ`+16ab
=(ab)Û`+4ab(a+b)+16ab
=(-5)Û`+4_(-5)_(-3)+16_(-5)=5
다른 풀이 xÛ`+3x-5=0의 두 근이 a, b이므로
aÛ`+3a-5=0에서 aÛ`+3a=5
∴ aÛ`+4a=a+5
같은 방법으로 bÛ`+4b=b+5
=ab+5(a+b)+25
=-5+5_(-3)+25
⑶
1
1+a
+
1
1+b
=
=
=5
1+b+1+a
(1+a)(1+b)
-3+2
1-3-5
=
;7!;
=
(a+b)+2
1+(a+b)+ab
8 이차방정식 xÛ`-ax-2=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수
의 관계에 의하여
a+b=a, ab=-2
또, 이차방정식 xÛ`+4x+b=0의 두 근이
,
이므로
1
a
1
b
근과 계수의 관계에 의하여
1
a
1
a
+
=
_
=
1
b
1
b
=
a+b
ab
1
ab
=
a
-2
1
-2
=-4
∴ a=8
=b
∴ b=-
;2!;
05. 이차방정식 ⦁ 21
다른 풀이 근과 계수의 관계에 의하여 4+a=k, 4a=k-1
∴ (aÛ`+4a)(bÛ`+4b) =(a+5)(b+5)
9 이차방정식 xÛ`-(k-2)x+k=0의 한 근이 다른 한 근
의 2배이므로 두 근을 a, 2a (a+0)로 놓으면
(두 근의 합)=a+2a=k-2
∴ k=3a+2
(두 근의 곱)=a_2a=k
∴ k=2aÛ`
이때 3a+2=2aÛ`이므로 2aÛ`-3a-2=0
(2a+1)(a-2)=0
∴ a=-
또는 a=2
;2!;
a=-
일 때, k=3a+2=3_
;2!;
{-;2!;}
+2=
;2!;
a=2일 때, k=3a+2=3_2+2=8
따라서 구하는 실수 k의 값은
또는 8이다.
;2!;
10 이차방정식 xÛ`+3x+kÛ`-2k=0의 두 근의 차가 3이므
로 두 근을 a, a+3으로 놓으면
(두 근의 합)=a+(a+3)=-3에서 a=-3
(두 근의 곱)=a(a+3)=kÛ`-2k에서
kÛ`-2k=0, k(k-2)=0
∴ k=0 또는 k=2
따라서 모든 실수 k의 값의 합은 2이다.
11 이차방정식 xÛ`-2x-4=0의 두 근이 a, b이므로 근과
계수의 관계에 의하여 a+b=2, ab=-4
a
b
(두 근의 합)=
b
a
=
+
aÛ`+bÛ`
ab
(a+b)Û`-2ab
ab
a
b
b
a _
=1
=
(두 근의 곱)=
따라서 구하는 이차방정식은 xÛ`+3x+1=0
=
2Û`-2_(-4)
-4
=-3
12 계수가 유리수인 이차방정식 xÛ`-4x+a=0의 한 근이
2이므로 다른 한 근은 b-
2+b=b+
2이다.
'
'
'
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
'
∴ b=2
(두 근의 합)=(b+
2b=4
(두 근의 곱)=(b+
'
a=bÛ`-2=2Û`-2=2
2)+(b-
2)=4에서
'
2)(b-
2)=a에서
'
∴ a=2, b=2
13 계수가 실수인 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 한 근이
2
1+i
=
2(1-i)
(1+i)(1-i)
=1-i이므로 다른 한 근은 1+i
이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
(두 근의 합)=(1-i)+(1+i)=-a에서
a=-2
(두 근의 곱)=(1-i)(1+i)=b에서
b=2
22 ⦁ 정답과 해설
06 이차방정식과 이차함수
기초 개념 피드백 TEST
&
본문 | 071쪽
⑵ 절댓값
1-1 ⑴ >
1-2 ⑴ y=axÛ`에서 a<0인 것을 찾으면 ㄱ, ㄷ, ㅁ
⑵ y=axÛ`에서 a의 절댓값이 가장 작은 것을 찾으면
⑶ ㄱ. y=-4xÛ`, ㄴ. y=4xÛ`의 그래프는 x축에 대하
ㄷ
여 대칭이다.
2-1 1, -2
2-2 ⑴ 이차함수 y=-xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 3만
큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 그래프의
식은 y=-(x-3)Û`-2이므로
꼭짓점의 좌표는 (3, -2),
축의 방정식은 x=3
⑵ 이차함수 y=
xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 -1
⑵ 만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 그래프
;2!;
;2!;
⑵ 의 식은 y=
(x+1)Û`-5이므로
⑵ 꼭짓점의 좌표는 (-1, -5),
⑵ 축의 방정식은 x=-1
3-1 1, 2
3-2 ⑴ y=a(x-p)Û`+q 꼴로 고치면
y =-xÛ`+6x-1
=-(xÛ`-6x+9-9)-1
=-(x-3)Û`+8
y
8
따라서 이차함수
y=-xÛ`+6x-1
y=-xÛ`+6x-1의 그래프
는 오른쪽 그림과 같고
꼭짓점의 좌표는 (3, 8),
점 (0, -1)을 지나므로
O
-1
3
x
y절편은 -1이다.
⑵ y=a(x-p)Û`+q 꼴로 고치면
y =2xÛ`+8x+9
=2(xÛ`+4x+4-4)+9
=2(x+2)Û`+1
따라서 이차함수
y=2xÛ`+8x+9의 그래프는
오른쪽 그림과 같고
꼭짓점의 좌표는 (-2, 1),
점 (0, 9)를 지나므로
y절편은 9이다.
y=2xÛ`+8x+9
y
9
1
O
x
-2
본문 | 072~075쪽
1-1 2, 2
1-2 ⑴ 이차방정식 xÛ`-6x+8=0에서
(x-2)(x-4)=0
∴ x=2 또는 x=4
따라서 교점의 x좌표는 2, 4이다.
⑵ 이차방정식 2xÛ`+5x-3=0에서
(x+3)(2x-1)=0
∴ x=-3 또는 x=
;2!;
따라서 교점의 x좌표는 -3,
이다.
;2!;
2-1 2, -12
2-2 이차방정식 -xÛ`+ax+b=0의 두 근이 -1, 2이므로
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
-1+2=-
, -1_2=
a
-1
b
-1
∴ a=1, b=2
3-1 ⑴ >, 2 ⑵ <, 0
3-2 ⑴ 이차방정식 2xÛ`-x-2=0의 판별식을 D라 하면
D=(-1)Û`-4_2_(-2)=17>0이므로 교점의 개
수는 2이다.
⑵ 이차방정식 4xÛ`+4x+1=0의 판별식을 D라 하면
⑶ 이차방정식 -xÛ`+x+3=3x+5, 즉
xÛ`+2x+2=0의 판별식을 D라 하면
=1Û`-1_2=-1<0이므로
D
4
만나지 않는다.
6-1 =, 0, 3
6-2 이차방정식 xÛ`+3x-2=x+k, 즉
xÛ`+2x-2-k=0의 판별식을 D라 하면
D
4
=1Û`-1_(-2-k)=k+3
⑴ D>0이어야 하므로 k+3>0
∴ k>-3
⑵ D=0이어야 하므로 k+3=0
∴ k=-3
⑶ D<0이어야 하므로 k+3<0
∴ k<-3
7-1 -1, 3
7-2 ⑴ y =3xÛ`-6x-5
=3(x-1)Û`-8
따라서 최솟값은 x=1일 때
-8이고, 최댓값은 없다.
y
y=3xÛ`-6x-5
1
O
x
=2Û`-4_1=0이므로 교점의 개수는 1이다.
⑵ y =-xÛ`+8x-12
⑶ 이차방정식 xÛ`+2x+9=0의 판별식을 D라 하면
=1Û`-1_9=-8<0이므로 교점의 개수는 0이다.
=-(x-4)Û`+4
y=-xÛ`+8x-12
따라서 최댓값은 x=4일 때
4이고, 최솟값은 없다.
4
x
4-1 >, 1
4-2 이차방정식 xÛ`+2ax+aÛ`-2a+3=0의 판별식을 D라 하
-5
-8
y
4
O
D
4
D
4
면
D
4
=aÛ`-1_(aÛ`-2a+3)=2a-3
⑴ D>0이어야 하므로 2a-3>0
⑵ D=0이어야 하므로 2a-3=0
⑶ D<0이어야 하므로 2a-3<0
∴ a>;2#;
∴ a=;2#;
∴ a<;2#;
5-1 >
5-2 ⑴ 이차방정식 -xÛ`+x+3=2x+1, 즉
xÛ`+x-2=0의 판별식을 D라 하면
D=1Û`-4_1_(-2)=9>0이므로
서로 다른 두 점에서 만난다.
⑵ 이차방정식 -xÛ`+x+3=-x+4, 즉
xÛ`-2x+1=0의 판별식을 D라 하면
=(-1)Û`-1_1=0이므로
D
4
한 점에서 만난다. (접한다.)
8-1 0, -2
8-2 ⑴ y =-xÛ`-2x+3
=-(x+1)Û`+4
이때 꼭짓점의 좌표는
y=-xÛ`-2x+3
y
4
3
(-1, 4)이고, 꼭짓점의 x좌
표는 주어진 x의 값의 범위에
포함된다. 따라서
최댓값은 x=-1일 때 4이고,
최솟값은 x=1일 때 0이다.
-1-2
O
1
x
⑵ y=xÛ`-2x+5=(x-1)Û`+4
y
y=xÛ`-2x+5
이때 꼭짓점의 좌표는 (1, 4)이
13
고, 꼭짓점의 x좌표는 주어진 x
의 값의 범위에 포함되지 않는
다. 따라서
최댓값은 x=-2일 때 13이고,
최솟값은 x=0일 때 5이다.
5
4
O-2
1
x
06. 이차방정식과 이차함수 ⦁ 23
D
4
D
4
집중 연습
본문 | 076, 077쪽
1 이차방정식 xÛ`+4x+k-1=0의 판별식을 D라 하면
=2Û`-1_(k-1)=-k+5
⑴ D>0이어야 하므로 -k+5>0
∴ k<5
⑵ D=0이어야 하므로 -k+5=0
∴ k=5
⑶ D<0이어야 하므로 -k+5<0
∴ k>5
2 이차방정식 xÛ`+2(k-1)x+kÛ`=0의 판별식을 D라 하면
=(k-1)Û`-1_kÛ`=-2k+1
⑴ D>0이어야 하므로 -2k+1>0
∴ k<
⑵ D=0이어야 하므로 -2k+1=0
∴ k=
⑶ D<0이어야 하므로 -2k+1<0
∴ k>
3 이차방정식 xÛ`+k=x+1, 즉 xÛ`-x+k-1=0의 판별식을
D라 하면 D=(-1)Û`-4_1_(k-1)=-4k+5
⑴ D>0이어야 하므로 -4k+5>0
∴ k<
⑵ D=0이어야 하므로 -4k+5=0
∴ k=
⑶ D<0이어야 하므로 -4k+5<0
∴ k>
4 이차방정식 xÛ`+x+k=2x, 즉 xÛ`-x+k=0의 판별식을 D
라 하면 D=(-1)Û`-4_1_k=-4k+1
⑴ D>0이어야 하므로 -4k+1>0
∴ k<
⑵ D=0이어야 하므로 -4k+1=0
∴ k=
⑶ D<0이어야 하므로 -4k+1<0
∴ k>
;2!;
;2!;
;2!;
;4%;
;4%;
;4%;
;4!;
;4!;
;4!;
5 ⑴ y=xÛ`+6x+6=(x+3)Û`-3
최솟값 : x=-3일 때 -3, 최댓값 : 없다.
⑵ y=xÛ`-2x-2=(x-1)Û`-3
최솟값 : x=1일 때 -3, 최댓값 : 없다.
⑶ y=2xÛ`+8x+3=2(x+2)Û`-5
최솟값 : x=-2일 때 -5, 최댓값 : 없다.
⑷ y=-xÛ`-6x+1=-(x+3)Û`+10
최댓값 : x=-3일 때 10, 최솟값 : 없다.
⑸ y=-
xÛ`+x+1=-
(x-1)Û`+
;2!;
;2#;
최댓값 : x=1일 때
, 최솟값 : 없다.
;2#;
⑹ y=-
xÛ`-2x+1=-
(x+3)Û`+4
;3!;
최댓값 : x=-3일 때 4, 최솟값 : 없다.
;2!;
;3!;
24 ⦁ 정답과 해설
6 ⑴ y=xÛ`-1의 꼭짓점의 좌표는
y=xÛ`-1
(0, -1)이고, 꼭짓점의 x좌표
는 주어진 x의 값의 범위에 포함
된다.
최댓값 : x=2일 때 3,
최솟값 : x=0일 때 -1
y
3
-1
O-1
1
2
x
⑵ y=xÛ`-4x+3=(x-2)Û`-1
y
y=xÛ`-4x+3
이때 꼭짓점의 좌표는 (2, -1)이
3
고, 꼭짓점의 x좌표는 주어진 x의
값의 범위에 포함된다.
최댓값 : x=4일 때 3,
최솟값 : x=2일 때 -1
2
4
x
1
O
-1
⑶ y=xÛ`+6x+5=(x+3)Û`-4
y=xÛ`+6x+5
이때 꼭짓점의 좌표는 (-3, -4)이
고, 꼭짓점의 x좌표는 주어진 x의 값
y
5
O
x
-3
-4
-3
-1
-4
y=-xÛ`+2
O
1
2
x
y
2
1
-2
y
7
2
-3
-1
O 1
-2
x
-1
-2
y
1
y=-xÛ`-2x
-3
-2
-1
O
x
의 범위에 포함된다.
최댓값 : x=-1일 때 0,
최솟값 : x=-3일 때 -4
⑷ y=-xÛ`+2의 꼭짓점의 좌표는
(0, 2)이고, 꼭짓점의 x좌표는 주
어진 x의 값의 범위에 포함되지
않는다.
최댓값 : x=1일 때 1,
최솟값 : x=2일 때 -2
이때 꼭짓점의 좌표는 (-2, -2)
이고, 꼭짓점의 x좌표는 주어진 x
의 값의 범위에 포함되지 않는다.
최댓값 : x=1일 때 7,
최솟값 : x=-1일 때 -1
⑹ y=-xÛ`-2x=-(x+1)Û`+1
이때 꼭짓점의 좌표는 (-1, 1)이
고, 꼭짓점의 x좌표는 주어진 x의
값의 범위에 포함되지 않는다.
최댓값 : x=-2일 때 0,
최솟값 : x=-3일 때 -3
⑸ y=xÛ`+4x+2=(x+2)Û`-2
y=xÛ`+4x+2
기초 개념
가평
본문 | 078, 079쪽
01 x축, x좌표
03 실근
05 D>0
07 D<0
02 y=0, 0
04 부호
06 D=0
08 x, 실근
09 D>0
11 D<0
13 f(b)
10 D=0
12 f(p)
7 이차방정식 xÛ`+3x+k=x+5, 즉 xÛ`+2x+k-5=0의 판
별식을 D라 할 때, 이차함수 y=xÛ`+3x+k의 그래프가 직선
y=x+5에 접하면
D
4
∴ k=6
=1Û`-1_(k-5)=-k+6=0
8 이차방정식 xÛ`+5x+k=2x, 즉 xÛ`+3x+k=0의 판별식
을 D라 할 때, 이차함수 y=xÛ`+5x+k의 그래프와 직선
기초 문제
가평
본문 | 080, 081쪽
y=2x가 만나면
D=3Û`-4_1_k=-4k+9¾0
1 이차함수 y=xÛ`-2x-8의 그래프와 x축이 만나는 점의 x
좌표는 이차방정식 xÛ`-2x-8=0의 실근과 같다.
이때 교점의 x좌표가 a, b이므로 이차방정식의 근과 계수의
∴ kÉ
;4(;
관계에 의하여
a+b=-
=2
-2
1
2 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 근은 -2, 1이므로
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
-2+1=-
, -2_1=
;1A;
;1B;
∴ a=1, b=-2
9 이차함수 y=xÛ`-4x+m=(x-2)Û`+m-4는 x=2일 때
최솟값은 m-4이다.
이때 최솟값이 1이므로
m-4=1
∴ m=5
10 이차함수 y=-2xÛ`+4x+k=-2(x-1)Û`+k+2는
x=1일 때 최댓값은 k+2이다.
이때 최댓값이 8이므로
k+2=8
∴ k=6
3 이차방정식 xÛ`-2x+a=0의 두 근은 -1, b이므로
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
11 y=2xÛ`+4x-1=2(x+1)Û`-3
이때 꼭짓점의 좌표는
y=2xÛ`+4x-1
y
5
-1+b=-
, -1_b=
;1A;
-2
1
∴ a=-3, b=3
4 이차방정식 kxÛ`+12x+9=0 (k+0)의 판별식을 D라 할 때,
x축과 적어도 한 점에서 만나려면 D¾0이어야 하므로
=6Û`-k_9=-9k+36¾0
∴ kÉ4
k+0이므로 k<0 또는 0<kÉ4
5 이차방정식 xÛ`+4x+a-1=0의 판별식을 D라 할 때,
x축과 한 점에서 만나려면 D=0이어야 하므로
=2Û`-1_(a-1)=-a+5=0
∴ a=5
D
4
D
4
6 이차함수 y=xÛ`+ax+b의 그래프와 직선 y=x+2의 교점
의 x좌표는 이차방정식 xÛ`+ax+b=x+2, 즉
xÛ`+(a-1)x+b-2=0의 실근과 같다.
이때 교점의 x좌표가 -1, 3이므로
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
-1+3=-
, -1_3=
a-1
1
b-2
1
∴ a=-1, b=-1
(-1, -3)이고, 꼭짓점의 x좌표
는 주어진 x의 값의 범위에 포함
된다.
따라서 최댓값은 x=1일 때
-2`
-1`
O
1`
x
-1`
-3
M=5이고, 최솟값은 x=-1일 때 m=-3이다.
∴ M-m=5-(-3)=8
12 y=2xÛ`-x+k=2
x-
{
;4!;}
+k-
;8!;
2
이때 꼭짓점의 좌표는
, k-
이고, 꼭짓점의 x좌표
{;4!;
;8!;}
는 주어진 x의 값의 범위에 포함되므로
최솟값은 x=
일 때 k-
이다.
;4!;
;8!;
최솟값이 0이므로 k-
=0
∴ k=
;8!;
;8!;
13 y=-xÛ`+4x+a=-(x-2)Û`+a+4
이때 꼭짓점의 좌표는 (2, a+4)이고 꼭짓점의 x좌표가
주어진 x의 값의 범위에 포함되므로 최댓값은 x=2일 때,
a+4이다.
최댓값이 -1이므로 a+4=-1
∴ a=-5
06. 이차방정식과 이차함수 ⦁ 25
07 여러 가지 방정식
&
기초 개념 피드백 TEST
본문 | 083쪽
1-1 1, 2
1-2 ⑴ ㉠+㉡에서 3x=9
∴ x=3
x=3을 ㉡에 대입하면 6+y=8
∴ y=2
⑵ ㉠+㉡_3에서 7x=7
∴ x=1
x=1을 ㉡에 대입하면 2-y=1
∴ y=1
2-1 1, 2
2-2 ⑴ ㉠을 ㉡에 대입하면 x+2(3x-3)=1
7x-6=1, 7x=7
∴ x=1
x=1을 ㉠에 대입하면 y=0
⑵ ㉡을 ㉠에 대입하면 2x-3(3-x)=-4
5x-9=-4, 5x=5
∴ x=1
x=1을 ㉡에 대입하면 y=2
3-1 4, 5
3-2 ⑴ ㉠의 양변에 분모의 최소공배수 6을 곱하고, ㉡의
양변에 10을 곱하여 정리하면
[
2x+3y=7
2x-3y=13
㉢ +㉣에서 4x=20
yy㉢
yy㉣
∴ x=5
x=5를 ㉢에 대입하면 10+3y=7
3y=-3
∴ y=-1
양변에 10을 곱하여 정리하면
[
3x+2y=12
3x-2y=12
㉢ +㉣에서 6x=24
yy㉢
yy㉣
∴ x=4
⑵ ㉠의 양변에 분모의 최소공배수 6을 곱하고, ㉡의
x=4를 ㉢에 대입하면 12+2y=12
∴ y=0
3i
1-1 2,
'
1-2 ⑴ xÜ`+1=0의 좌변을 인수분해하면
xÜ`+1Ü`=0에서 (x+1)(xÛ`-x+1)=0이므로
본문 | 084~087쪽
x+1=0 또는 xÛ`-x+1=0
따라서 주어진 방정식의 근은
x=-1 또는 x=
3 i
1Ñ
'
2
⑵ xÜ`-xÛ`-2x=0의 좌변을 인수분해하면
x(xÛ`-x-2)=0, x(x+1)(x-2)=0
x=0 또는 x+1=0 또는 x-2=0
따라서 주어진 방정식의 근은
x=0 또는 x=-1 또는 x=2
26 ⦁ 정답과 해설
2-1 Ñ2i
2-2 ⑴ xÝ`-81=0의 좌변을 인수분해하면
(xÛ`+9)(xÛ`-9)=0, (xÛ`+9)(x+3)(x-3)=0이므로
xÛ`+9=0 또는 x+3=0 또는 x-3=0
따라서 주어진 방정식의 근은
x=Ñ3i 또는 x=-3 또는 x=3
⑵ xÝ`+xÜ`-2xÛ`=0의 좌변을 인수분해하면
xÛ`(xÛ`+x-2)=0, xÛ`(x+2)(x-1)=0
따라서 주어진 방정식의 근은
x=0(중근) 또는 x=-2 또는 x=1
'
2i
3-1 Ñ1, Ñ
3-2 ⑴ (xÛ`-x)Û`-8(xÛ`-x)+12=0에서
xÛ`-x=X로 놓으면
XÛ`-8X+12=0, (X-2)(X-6)=0
∴ X=2 또는 X=6
Ú X=2일 때, xÛ`-x=2
xÛ`-x-2=0, (x+1)(x-2)=0
∴ x=-1 또는 x=2
Û X=6일 때, xÛ`-x=6
xÛ`-x-6=0, (x+2)(x-3)=0
∴ x=-2 또는 x=3
Ú, Û에서
x=-2 또는 x=-1 또는 x=2 또는 x=3
⑵ 공통부분이 생기도록 좌변을 전개하면
{(x+1)(x-3)}{(x+2)(x-4)}-36=0에서
(xÛ`-2x-3)(xÛ`-2x-8)-36=0
xÛ`-2x=X로 놓으면
(X-3)(X-8)-36=0, XÛ`-11X-12=0
(X+1)(X-12)=0
∴ X=-1 또는 X=12
Ú X=-1일 때, xÛ`-2x=-1
xÛ`-2x+1=0, (x-1)Û`=0
∴ x=1(중근)
Û X=12일 때, xÛ`-2x=12
xÛ`-2x-12=0
∴ x=1Ñ
13
'¶
Ú, Û에서
x=1(중근) 또는 x=1Ñ
13
'¶
3
'
4-1 3, Ñ
4-2 ⑴ xÝ`-4xÛ`-12=0에서 xÛ`=X로 놓으면
XÛ`-4X-12=0, (X+2)(X-6)=0
∴ X=-2 또는 X=6
Ú X=-2일 때 xÛ`=-2
∴ x=Ñ
2i
Û X=6일 때 xÛ`=6
∴ x=Ñ
6
'
'
Ú, Û에서
x=Ñ
2i 또는 x=Ñ
'
6
'
⑵ xÝ`-8xÛ`+4=0을 AÛ`-BÛ`=0 꼴로 변형하면
(xÝ`-4xÛ`+4)-4xÛ`=0, (xÛ`-2)Û`-(2x)Û`=0
(xÛ`-2+2x)(xÛ`-2-2x)=0
xÛ`+2x-2=0 또는 xÛ`-2x-2=0
∴ x=-1Ñ
3 또는 x=1Ñ
'
3
'
5-1 2, 2
5-2 ⑴ P(x)=xÜ`-4xÛ`+2x+1로 놓으면 P(1)=0
P(x)는 x-1을 인수로 가
1 1 -4
2
지므로 조립제법을 이용하
1 -3 -1
여 인수분해하면
1 -3 -1
P(x)=(x-1)(xÛ`-3x-1)
따라서 방정식 (x-1)(xÛ`-3x-1)=0의 근은
1
0
x=1 또는 x=
13
3Ñ
'¶
2
⑵ P(x)=xÝ`-4x+3으로 놓으면 P(1)=0
P(x)는 x-1을 인수로
1 1 0 0 -4 3
가지므로 조립제법을 이용
1 1
1 -3
하여 인수분해하면
1 1 1 1 -3 0
P(x)
1 2
3
=(x-1)Û`(xÛ`+2x+3)
0
따라서 방정식 (x-1)Û`(xÛ`+2x+3)=0의 근은
1 2 3
x=1(중근) 또는 x=-1Ñ
2i
'
6-1 -1, x-1, -2
6-2 주어진 방정식에 x=-1을 대입하면
-2-3-a-3=0
∴ a=-8
P(x)=2xÜ`-3xÛ`-8x-3
-1 2 -3 -8 -3
으로 놓으면 P(x)는 x+1
을 인수로 가지므로 조립제
-2
5
2 -5 -3
3
0
법을 이용하여 인수분해하면
P(x) =(x+1)(2xÛ`-5x-3)
=(x+1)(2x+1)(x-3)
따라서 방정식 (x+1)(2x+1)(x-3)=0의 근은
x=-1 또는 x=-
또는 x=3이므로 나머지 두 근은
;2!;
x=-
또는 x=3
;2!;
7-1 3, -1
x+y=-1
7-2 ⑴
[
xÛ`-yÛ`=3
yy㉠
yy㉡
에서
x-2y=0
⑵
[
xÛ`+2xy-3yÛ`=20 yy㉡
㉠을 x에 대하여 정리하면 x=2y
yy㉠
에서
㉢을 ㉡에 대입하면 4yÛ`+4yÛ`-3yÛ`=20
5yÛ`=20, yÛ`=4
∴ y=Ñ2
㉣을 ㉢에 대입하여 해를 구하면
y=2일 때 x=4, y=-2일 때 x=-4
x=4
∴
[
y=2
x=-4
또는
[
y=-2
yy㉢
yy㉣
8-1 3y, -3,
'
3
xÛ`-xy-2yÛ`=0
8-2 ⑴
[
xÛ`+yÛ`=5
yy㉠
yy㉡
에서
㉠의 좌변을 인수분해하면 (x+y)(x-2y)=0
∴ x=-y 또는 x=2y
Ú x=-y를 ㉡에 대입하면
yÛ`+yÛ`=5, 2yÛ`=5, yÛ`=
;2%;
10
일 때 x=- '¶
2
,
10
y= '¶
2
10
y=- '¶
2
10
일 때 x= '¶
2
Û x=2y를 ㉡에 대입하면
10
∴ y=Ñ '¶
2
4yÛ`+yÛ`=5, 5yÛ`=5, yÛ`=1
∴ y=Ñ1
y=1일 때 x=2, y=-1일 때 x=-2
Ú, Û에서 구하는 연립방정식의 해는
10
x= '¶
2
10
[
y=- '¶
2
10
x=- '¶
2
또는
10
[
y= '¶
2
x=2
또는
[
y=1
x=-2
또는
[
y=-1
4xÛ`+4xy-3yÛ`=0 yy㉠
⑵
[
xÛ`+xy+yÛ`=7
yy㉡
에서
㉠의 좌변을 인수분해하면 (2x+3y)(2x-y)=0
∴ y=-
x 또는 y=2x
Ú y=-
x를 ㉡에 대입하면
;3@;
;3@;
xÛ`-
xÛ`+
xÛ`=7,
xÛ`=7, xÛ`=9
;3@;
;9$;
;9&;
∴ x=Ñ3
x=3일 때 y=-2, x=-3일 때 y=2
Û y=2x를 ㉡에 대입하면
xÛ`+2xÛ`+4xÛ`=7, 7xÛ`=7, xÛ`=1
㉠을 y에 대하여 정리하면 y=-x-1
yy㉢
∴ x=Ñ1
㉢을 ㉡에 대입하면 xÛ`-(-x-1)Û`=3
x=1일 때 y=2, x=-1일 때 y=-2
-2x-1=3
∴ x=-2
yy㉣
Ú, Û에서 구하는 연립방정식의 해는
㉣을 ㉢에 대입하여 해를 구하면
x=-2, y=1
x=3
[
y=-2
x=-3
또는
[
y=2
x=1
또는
[
y=2
x=-1
또는
[
y=-2
07. 여러 가지 방정식 ⦁ 27
(xÛ`+8)(xÛ`-8)=0이므로 xÛ`+8=0 또는 xÛ`-8=0
P(x)는 x-1, x+2를 인수로 가지므로 조립제법을 이용
집중 연습
본문 | 088, 089쪽
P(1)=0, P(-2)=0
⑷ P(x)=xÝ`+xÜ`-3xÛ`-x+2로 놓으면
P(x)는 x-1, x+2를 인수로 가지므로 조립제법을 이용
1 ⑴ xÜ`-1=0의 좌변을 인수분해하면
(x-1)(xÛ`+x+1)=0
∴ x=1 또는 x=
-1Ñ
2
3i
'
⑵ xÜ`+27=0의 좌변을 인수분해하면
(x+3)(xÛ`-3x+9)=0
∴ x=-3 또는 x=
3i
'
3Ñ3
2
⑶ xÜ`-4x=0의 좌변을 인수분해하면
x(xÛ`-4)=0, x(x+2)(x-2)=0
∴ x=0 또는 x=-2 또는 x=2
⑷ xÜ`+xÛ`-2x=0의 좌변을 인수분해하면
x(xÛ`+x-2)=0, x(x+2)(x-1)=0
∴ x=0 또는 x=-2 또는 x=1
⑸ xÝ`-64=0의 좌변을 인수분해하면
∴ x=Ñ2
2i 또는 x=Ñ2
'
2
'
⑹ xÝ`+xÜ`-6xÛ`=0의 좌변을 인수분해하면
xÛ`(xÛ`+x-6)=0, xÛ`(x+3)(x-2)=0
∴ x=0(중근) 또는 x=-3 또는 x=2
6
0
3
0
x=1 또는 x=-2 또는 x=3
⑵ P(x)=xÜ`-4x+3으로 놓으면 P(1)=0
P(x)는 x-1을 인수로 가지므
1 1 0 -4
로 조립제법을 이용하여 인수분
1
1 -3
1 1 -3
해하면
P(x)=(x-1)(xÛ`+x-3)
따라서 주어진 방정식 (x-1)(xÛ`+x-3)=0의 근은
x=1 또는 x=
13
-1Ñ
2
'¶
⑶ P(x)=2xÜ`+5xÛ`-4로 놓으면 P(-2)=0
P(x)는 x+2를 인수로 가
-2 2
5
0 -4
지므로 조립제법을 이용하
여 인수분해하면
-4 -2
2
1 -2
4
0
P(x)=(x+2)(2xÛ`+x-2)
따라서 주어진 방정식 (x+2)(2xÛ`+x-2)=0의 근은
x=-2 또는 x=
17
-1Ñ
4
'¶
28 ⦁ 정답과 해설
하여 인수분해하면
-1 1
1 -3 -1
1
2 -1 -2
2
0
-2 1
2 -1 -2
-2
0
1
0 -1
2
0
P(x) =(x-1)(x+2)(xÛ`-1)
=(x-1)(x+2)(x+1)(x-1)
=(x-1)Û`(x+2)(x+1)
따라서 주어진 방정식 (x-1)Û`(x+2)(x+1)=0의 근은
x=1(중근) 또는 x=-2 또는 x=-1
⑸ P(x)=xÝ`-15xÛ`-10x+24로 놓으면
P(1)=0, P(-2)=0
하여 인수분해하면
-1 1
0 -15 -10
24
1
1 -14 -24
-2 1
1 -14 -24
0
-2
2
1 -1 -12
24
0
하여 인수분해하면
-1 2 -3 -12
7
2 -1 -13 -6
6
0
-2 2 -1 -13 -6
-4
10
2 -5 -3
6
0
P(x) =(x-1)(x+2)(2xÛ`-5x-3)
=(x-1)(x+2)(2x+1)(x-3)
따라서 주어진 방정식
(x-1)(x+2)(2x+1)(x-3)=0의 근은
x=1 또는 x=-2 또는 x=-
또는 x=3
2x+y=4
3 ⑴
[
(x-2)Û`+yÛ`=20
;2!;
yy㉠
yy㉡
㉠을 y에 대하여 정리하면 y=-2x+4
yy㉢
㉢을 ㉡에 대입하면 (x-2)Û`+(-2x+4)Û`=20
2 ⑴ P(x)=xÜ`-2xÛ`-5x+6으로 놓으면 P(1)=0
P(x)는 x-1을 인수로 가지
1 1 -2 -5
P(x) =(x-1)(x+2)(xÛ`-x-12)
=(x-1)(x+2)(x+3)(x-4)
따라서 주어진 방정식 (x-1)(x+2)(x+3)(x-4)=0
므로 조립제법을 이용하여 인
1 -1 -6
수분해하면
1 -1 -6
의 근은
P(x) =(x-1)(xÛ`-x-6)
=(x-1)(x+2)(x-3)
x=1 또는 x=-2 또는 x=-3 또는 x=4
⑹ P(x)=2xÝ`-3xÜ`-12xÛ`+7x+6으로 놓으면
따라서 주어진 방정식 (x-1)(x+2)(x-3)=0의 근은
P(1)=0, P(-2)=0
P(x)는 x-1, x+2를 인수로 가지므로 조립제법을 이용
5xÛ`-20x=0, 5x(x-4)=0
∴ x=0 또는 x=4
㉣을 ㉢에 대입하여 해를 구하면
x=0
[
y=4
x=4
또는
[
y=-4
x+y=1
⑵
[
xÛ`+xy-3yÛ`=-1 yy㉡
yy㉠
yy㉣
(x+2y)(x-y)=0 yy㉠
4 ⑴
[
xÛ`+xy+yÛ`=3
yy㉡
㉠에서 x=-2y 또는 x=y
Ú x=-2y를 ㉡에 대입하면
4yÛ`-2yÛ`+yÛ`=3, 3yÛ`=3, yÛ`=1
∴ y=Ñ1
y=1일 때 x=-2, y=-1일 때 x=2
㉠을 y에 대하여 정리하면 y=-x+1
yy㉢
Û x=y를 ㉡에 대입하면
㉢을 ㉡에 대입하면 xÛ`+x(-x+1)-3(-x+1)Û`=-1
yÛ`+yÛ`+yÛ`=3, 3yÛ`=3, yÛ`=1
3xÛ`-7x+2=0, (3x-1)(x-2)=0
∴ y=Ñ1
yy㉣
y=1일 때 x=1, y=-1일 때 x=-1
Ú, Û에서 구하는 연립방정식의 해는
∴ x=
또는 x=2
;3!;
㉣을 ㉢에 대입하여 해를 구하면
x=
;3!;
[
y=
;3@;
x=2
또는
[
y=-1
x+y=2
⑶
[
xÛ`-xy-yÛ`=-1
yy㉠
yy㉡
㉠을 y에 대하여 정리하면 y=-x+2
yy㉢
㉢을 ㉡에 대입하면 xÛ`-x(-x+2)-(-x+2)Û`=-1
xÛ`+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0
∴ x=-3 또는 x=1
yy㉣
㉠을 y에 대하여 정리하면 y=-2x+1
yy㉢
㉣을 ㉢에 대입하여 해를 구하면
x=-3
[
y=5
x=1
또는
[
y=1
2x+y=1
⑷
[
2xÛ`+xy+yÛ`=2
yy㉠
yy㉡
㉢을 ㉡에 대입하면
2xÛ`+x(-2x+1)+(-2x+1)Û`=2
4xÛ`-3x-1=0, (4x+1)(x-1)=0
∴ x=-
또는 x=1
;4!;
㉣을 ㉢에 대입하여 해를 구하면
x=
-;4!;
[
y=
;2#;
x=1
또는
[
y=-1
x+y=3
⑸
[
2xÛ`+3xy-yÛ`=4
yy㉠
yy㉡
㉢을 ㉡에 대입하면
2xÛ`+3x(-x+3)-(-x+3)Û`=4
2xÛ`-15x+13=0, (2x-13)(x-1)=0
∴ x=
또는 x=1
:Á2£:
㉣을 ㉢에 대입하여 해를 구하면
x=
:Á2£:
[
y=
-;2&;
x=1
또는
[
y=2
x=-2
[
y=1
x=2
또는
[
y=-1
x=1
또는
[
y=1
x=-1
또는
[
y=-1
xÛ`-xy=0
⑵
[
xÛ`+yÛ`=2
yy㉠
yy㉡
㉠의 좌변을 인수분해하면 x(x-y)=0
∴ x=0 또는 x=y
Ú x=0을 ㉡에 대입하면
yÛ`=2
∴ y=Ñ
2
x=0일 때 y=Ñ
'
2
'
Û x=y를 ㉡에 대입하면
yÛ`+yÛ`=2, 2yÛ`=2, yÛ`=1
∴ y=Ñ1
yy㉣
y=1일 때 x=1, y=-1일 때 x=-1
Ú, Û에서 구하는 연립방정식의 해는
x=0
[
y=
2
x=0
또는
[
y=-
x=1
또는
[
y=1
x=-1
또는
[
y=-1
'
xÛ`-yÛ`=0
⑶
[
2xÛ`-xy+yÛ`=4
2
'
yy㉠
yy㉡
㉠의 좌변을 인수분해하면 (x+y)(x-y)=0
∴ x=-y 또는 x=y
Ú x=-y를 ㉡에 대입하면
2yÛ`+yÛ`+yÛ`=4, 4yÛ`=4, yÛ`=1
∴ y=Ñ1
y=1일 때 x=-1, y=-1일 때 x=1
2yÛ`-yÛ`+yÛ`=4, 2yÛ`=4, yÛ`=2
∴ y=Ñ
2
y=
'
'
2일 때 x=
'
2, y=-
2일 때 x=-
2
'
'
yy㉣
Ú, Û에서 구하는 연립방정식의 해는
x=-1
[
y=1
x=1
또는
[
y=-1
x=
또는
[
y=
2
'
2
'
x=-
또는
[
y=-
2
'
2
'
07. 여러 가지 방정식 ⦁ 29
㉠을 y에 대하여 정리하면 y=-x+3
yy㉢
Û x=y를 ㉡에 대입하면
x=
2일 때 y=2
2, x=-
2일 때 y=-2
2
'
'
'
주어진 방정식은 (x+1)(xÛ`-3x-1)=0이고, 정수가 아닌
2xÛ`+xy-yÛ`=0
⑷
[
xÛ`+yÛ`=10
yy㉠
yy㉡
㉠의 좌변을 인수분해하면 (2x-y)(x+y)=0
∴ y=2x 또는 y=-x
Ú y=2x를 ㉡에 대입하면
xÛ`+4xÛ`=10, 5xÛ`=10, xÛ`=2
∴ x=Ñ
2
'
'
'
Û y=-x를 ㉡에 대입하면
xÛ`+xÛ`=10, 2xÛ`=10, xÛ`=5
∴ x=Ñ
5
'
x=
5일 때 y=-
5, x=-
5일 때 y=
5
'
'
'
Ú, Û에서 구하는 연립방정식의 해는
2
x=
'
[
y=2
x=-
'
또는
[
y=-2
2
2
'
x=
'
또는
[
y=-
5
2
'
x=-
또는
[
y=
'
5
5
5
'
2xÛ`+xy-yÛ`=0
⑸
[
xÛ`+xy+yÛ`=7
'
yy㉠
yy㉡
㉠의 좌변을 인수분해하면 (2x-y)(x+y)=0
∴ y=2x 또는 y=-x
Ú y=2x를 ㉡에 대입하면
xÛ`+2xÛ`+4xÛ`=7, 7xÛ`=7, xÛ`=1
∴ x=Ñ1
x=1일 때 y=2, x=-1일 때 y=-2
Û y=-x를 ㉡에 대입하면
xÛ`-xÛ`+xÛ`=7, xÛ`=7
∴ x=Ñ
7
'
x=
7일 때 y=-
7, x=-
7일 때 y=
7
'
'
'
'
Ú, Û에서 구하는 연립방정식의 해는
x=1
[
y=2
x=-1
또는
[
y=-2
x=
'
또는
[
y=-
7
x=-
또는
[
y=
'
7
7
7
'
'
1
0
3
0
기초 문제
가평
본문 | 092, 093쪽
1 P(x)=xÜ`-2xÛ`-4x-1로 놓으면 P(-1)=0
P(x)는 x+1을 인수로 가지
-1 1 -2 -4 -1
므로 조립제법을 이용하여 인
-1
3
수분해하면
1 -3 -1
P(x)=(x+1)(xÛ`-3x-1)
두 근은 이차방정식 xÛ`-3x-1=0의 두 근이므로
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
(두 근의 합)=3
2 P(x)=xÜ`+3xÛ`+5x+3으로 놓으면 P(-1)=0
P(x)는 x+1을 인수로 가지
-1 1
3
5
므로 조립제법을 이용하여 인
-1 -2 -3
수분해하면
1
2
3
P(x)=(x+1)(xÛ`+2x+3)
주어진 방정식은 (x+1)(xÛ`+2x+3)=0이고, 두 허근은
이차방정식 xÛ`+2x+3=0의 두 근이므로
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
(두 근의 곱)=3
3 P(x)=xÜ`-6xÛ`+11x-6으로 놓으면 P(1)=0
1 1 -6
P(x)는 x-1을 인수로 가지므
11 -6
로 조립제법을 이용하여 인수분
1 -5
1 -5
6
6
0
P(x) =(x-1)(xÛ`-5x+6)
=(x-1)(x-2)(x-3)
주어진 방정식은 (x-1)(x-2)(x-3)=0이므로 방정식
해하면
의 근은
x=1 또는 x=2 또는 x=3
따라서 가장 큰 근과 가장 작은 근의 합은 3+1=4
4 P(x)=xÜ`-2x-4로 놓으면 P(2)=0
P(x)는 x-2를 인수로 가지므로
조립제법을 이용하여 인수분해하
면
P(x)=(x-2)(xÛ`+2x+2)
2 1 0 -2 -4
2
1 2
4
2
4
0
주어진 방정식 (x-2)(xÛ`+2x+2)=0에서 실근은 a=2,
두 허근 b, c는 이차방정식 xÛ`+2x+2=0의 두 근이므로 이
기초 개념
가평
01 삼차방정식
03 B=0
05 xÛ`-1, X
07 xÛ`=X
09 x-a
30 ⦁ 정답과 해설
02 사차방정식
04 D=0
06 xÛ`+2x
08 axÛ`
10 상수항
본문 | 090, 091쪽
차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 bc=2
∴ a+bc=2+2=4
5 P(x)=xÝ`-2xÛ`-3x-2로 놓으면
P(-1)=0, P(2)=0
P(x)는 x+1, x-2를 인수로 가지므로 조립제법을 이용하
11 x
12 xÛ`-yÛ`=0, xÛ`+xy+2yÛ`=12
여 인수분해하면
-1 1
0 -2 -3 -2
-1
1
1
-2 1 -1 -1 -2
2
0
1
2
1
2
1
2
0
P(x)=(x+1)(x-2)(xÛ`+x+1)
주어진 방정식 (x+1)(x-2)(xÛ`+x+1)=0의 근은
x=-1 또는 x=2 또는 x=
-1Ñ
2
3i
'
따라서 모든 실근의 합은 -1+2=1
Ú X=2일 때, xÛ`+x=2
xÛ`+x-2=0, (x+2)(x-1)=0
∴ x=-2 또는 x=1
Û X=6일 때, xÛ`+x=6
xÛ`+x-6=0, (x+3)(x-2)=0
∴ x=-3 또는 x=2
Ú, Û에서 방정식의 해는
x=-3 또는 x=-2 또는 x=1 또는 x=2
따라서 양수인 두 근의 합은 1+2=3
6 사차방정식 xÝ`+2xÜ`+ax-16=0의 한 실근이 2이므로
기도록 좌변을 전개하면
9 (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15=0에서 공통부분이 생
주어진 방정식 (x-2)(x+2)(xÛ`+2x+4)=0에서 두 허
Ú, Û에서 방정식의 해는
근 a, b는 이차방정식 xÛ`+2x+4=0의 두 근이므로 이차방
x=-6 또는 x=-2 또는 x=-4Ñ
6
'
정식의 근과 계수의 관계에 의하여
따라서 정수인 두 근 a, b는 -6, -2이므로
P(2)=0, P(-2)=0이므로 조립제법을 이용하여 인수분
x=2를 대입하면
16+16+2a-16=0
∴ a=-8
P(x)=xÝ`+2xÜ`-8x-16으로 놓으면
해하면
-2 1
-2 1
2
2
4
0 -8 -16
8
8
16
8
16
0
-2 -4 -8
1
2
4
0
P(x)=(x-2)(x+2)(xÛ`+2x+4)
a+b=-2
∴ a+a+b=(-8)+(-2)=-10
7 (xÛ`+x)Û`-(xÛ`+x)-2=0에서
xÛ`+x=X로 놓으면
XÛ`-X-2=0, (X+1)(X-2)=0
∴ X=-1 또는 X=2
Ú X=-1일 때, xÛ`+x=-1
xÛ`+x+1=0
∴ x=
-1Ñ
2
3i
'
Û X=2일 때, xÛ`+x=2
xÛ`+x-2=0, (x+2)(x-1)=0
∴ x=-2 또는 x=1
Ú, Û에서 모든 허근의 합은
-1+
2
3i
'
+
-1-
2
3i
'
=-1
8 (xÛ`+x+2)Û`-12(xÛ`+x)+8=0에서
xÛ`+x=X로 놓고 인수분해하면
(X+2)Û`-12X+8=0, XÛ`-8X+12=0
(X-2)(X-6)=0
∴ X=2 또는 X=6
{(x+1)(x+7)}{(x+3)(x+5)}+15=0에서
(xÛ`+8x+7)(xÛ`+8x+15)+15=0
xÛ`+8x=X로 놓으면
(X+7)(X+15)+15=0, XÛ`+22X+120=0
(X+10)(X+12)=0
∴ X=-10 또는 X=-12
Ú X=-10일 때, xÛ`+8x=-10, xÛ`+8x+10=0
∴ x=-4Ñ
6
'
Û X=-12일 때, xÛ`+8x=-12
xÛ`+8x+12=0, (x+6)(x+2)=0
∴ x=-6 또는 x=-2
aÛ`+bÛ`=36+4=40
10 xÝ`-3xÛ`-4=0에서 xÛ`=X로 놓으면
XÛ`-3X-4=0, (X+1)(X-4)=0
∴ X=-1 또는 X=4
Ú X=-1일 때, xÛ`=-1
∴ x=Ñi
Û X=4일 때, xÛ`=4
∴ x=Ñ2
Ú, Û에서 방정식의 해는
x=Ñi 또는 x=Ñ2
따라서 두 실근의 차는 2-(-2)=4
11 xÝ`-4xÛ`-12=0에서 xÛ`=X로 놓으면
XÛ`-4X-12=0, (X+2)(X-6)=0
∴ X=-2 또는 X=6
Ú X=-2일 때, xÛ`=-2
∴ x=Ñ
2i
Û X=6일 때, xÛ`=6
∴ x=Ñ
6
'
'
Ú, Û에서 방정식의 해는
x=Ñ
2i 또는 x=Ñ
'
따라서 두 허근의 곱은
'
6
2i_(-
2i)=2
'
'
07. 여러 가지 방정식 ⦁ 31
yy㉢
부등호의 방향이 바뀌지 않으므로 2a < a+b
12 xÝ`-13xÛ`+36=0을 AÛ`-BÛ`=0 꼴로 변형하면
(xÝ`-12xÛ`+36)-xÛ`=0, (xÛ`-6)Û`-xÛ`=0
(xÛ`-6+x)(xÛ`-6-x)=0, (xÛ`+x-6)(xÛ`-x-6)=0
∴ xÛ`+x-6=0 또는 xÛ`-x-6=0
Ú xÛ`+x-6=0일 때, (x+3)(x-2)=0
∴ x=-3 또는 x=2
Û xÛ`-x-6=0일 때, (x+2)(x-3)=0
∴ x=-2 또는 x=3
Ú, Û에서 방정식의 해는
x=-3 또는 x=-2 또는 x=2 또는 x=3
따라서 가장 큰 근은 a=3, 가장 작은 근은 b=-3이므로
a-b=3-(-3)=6
yy㉣
x-y=-1
xÛ`+yÛ`=5
13 [
㉠을 y에 대하여 정리하면 y=x+1
yy㉡
yy㉠
㉢을 ㉡에 대입하면 xÛ`+(x+1)Û`=5
2xÛ`+2x-4=0, xÛ`+x-2=0
(x+2)(x-1)=0
∴ x=-2 또는 x=1
㉣을 ㉢에 대입하여 해를 구하면
x=-2
[
y=-1
x=1
또는
[
y=2
∴ aÛ`+bÛ`=4+1=1+4=5
2xÛ`-3xy+yÛ`=0
5xÛ`-yÛ`=4
14 [
㉠의 좌변을 인수분해하면 (2x-y)(x-y)=0
yy㉠
yy㉡
∴ y=2x 또는 y=x
Ú y=2x를 ㉡에 대입하면
5xÛ`-4xÛ`=4, xÛ`=4
∴ x=Ñ2
x=2일 때 y=4, x=-2일 때 y=-4
Û y=x를 ㉡에 대입하면
5xÛ`-xÛ`=4, 4xÛ`=4, xÛ`=1
∴ x=Ñ1
x=1일 때 y=1, x=-1일 때 y=-1
Ú, Û에서 연립방정식의 해는
x=-2
또는
[
y=-4
x=2
[
y=4
따라서 x+y의 최댓값은 6이다.
x=1
또는
[
y=1
x=-1
또는
[
y=-1
32 ⦁ 정답과 해설
08 여러 가지 부등식
&
기초 개념 피드백 TEST
본문 | 095쪽
1-1 ⑴
, <
;2!;
⑵ >, >
1-2 ⑴ a<b의 양변에 같은 음수 -5를 곱하면
부등호의 방향이 바뀌므로 -5a > -5b
⑵ a<b의 양변에 같은 양수
을 곱하면
;2#;
부등호의 방향이 바뀌지 않으므로
a<
b
;2#;
;2#;
또 , 양변에서 같은 수 2를 빼어도 부등호의 방향이
바뀌지 않으므로
a-2 <
b-2
;2#;
;2#;
⑶ a<b의 양변에 같은 음수 a를 더하면
⑷ a<b의 양변에 같은 음수 a를 곱하면
부등호의 방향이 바뀌므로 aÛ` > ab
⑶ 10, -3
⑵ -10
2-1 ⑴ 4
2-2 ⑴ 5x-8>2x+1에서 5x-2x>1+8
∴ x>3
3x>9
⑷ 6, 1
⑵ 2(x-4)É-3x-3에서 괄호를 풀면
2x-8É-3x-3, 2x+3xÉ-3+8
5xÉ5
∴ xÉ1
⑶ 0.1x-0.3(x+1)¾1의 양변에 10을 곱하면
x-3(x+1)¾10, x-3x-3¾10
-2x¾13
∴ xÉ-
:Á2£:
⑷
x+
<
-
;2{;
;6%;
;1°2;
;4#;
의 양변에 분모의 최소공배수
12를 곱하면 9x+5<6x-10
9x-6x<-10-5
3x<-15
∴ x<-5
본문 | 096~103쪽
yy㉢
yy㉣
㉣
-3
0
x
1-1 -3, -2
1-2 ⑴ 부등식 ㉠을 풀면 2x<-6
∴ x<-3
부등식 ㉡을 풀면 4x+4Éx+4
3xÉ0
∴ xÉ0
㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내
㉢
면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 구하는 해는 x<-3
⑵ -x-6<2x<x+3에서
-x-6<2x
[
2x<x+3
yy㉠
yy㉡
부등식 ㉠을 풀면 -3x<6
∴ x>-2 yy㉢
2-1 2, -1
2-2 ⑴ 부등식 ㉠을 풀면 3x>-6
부등식 ㉡을 풀면 2xÉ-4
∴ x>-2 yy㉢
∴ xÉ-2 yy㉣
따라서 구하는 해는 -3ÉxÉ5
⑵ Ú x<-1일 때
부등식 ㉡을 풀면 x<3
㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내
㉣
yy㉣
㉢
면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 구하는 해는 -2<x<3
-2
3
x
㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내
㉣
㉢
면 오른쪽 그림과 같다.
-2
x
따라서 주어진 연립부등식의 해는 없다.
⑵ xÉ6-xÉ2x-3에서
xÉ6-x
[
6-xÉ2x-3
yy㉠
yy㉡
부등식 ㉠을 풀면 2xÉ6
∴ xÉ3
yy㉢
부등식 ㉡을 풀면 -3xÉ-9
∴ x¾3 yy㉣
㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내
㉢
㉣
면 오른쪽 그림과 같다.
3
x
따라서 구하는 해는 x=3
3-1 -3, 2
3-2 ⑴ |2x-5|<1에서 -1<2x-5<1
부등식 -1<2x-5를 풀면 -2x<-4
∴ x>2
yy㉠
부등식 2x-5<1을 풀면 2x<6
∴ x<3 yy㉡
㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내
면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 구하는 해는
2<x<3
㉡
2
㉠
3
x
⑵ |6-x|¾2에서 6-xÉ-2 또는 6-x¾2
부등식 6-xÉ-2를 풀면 -xÉ-8
부등식 6-x¾2를 풀면 -x¾-4
∴ x¾8
∴ xÉ4
yy㉠
yy㉡
면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 구하는 해는
xÉ4 또는 x¾8
4-1 -1, 3, 3
4-2 ⑴ Ú x<0일 때
|x|+|x-2|=-x-x+2=-2x+2이므로
-2x+2É8에서 -2xÉ6
∴ x¾-3
그런데 x<0이므로 -3Éx<0
yy㉠
Û 0Éx<2일 때
|x|+|x-2|=x-x+2=2이므로
2É8은 항상 성립한다.
∴ 0Éx<2
Ü x¾2일 때
|x|+|x-2|=x+x-2=2x-2이므로
2x-2É8에서 2xÉ10
∴ xÉ5
그런데 x¾2이므로 2ÉxÉ5
yy㉢
㉠, ㉡, ㉢을 수직선 위에 나
㉠
㉡
㉢
타내면 오른쪽 그림과 같다.
-3
0
2
x
5
|x+1|+|x-2|=-x-1-x+2=-2x+1이
므로
-2x+1>5에서 -2x>4
∴ x<-2
그런데 x<-1이므로 x<-2
yy㉠
Û -1Éx<2일 때
|x+1|+|x-2|=x+1-x+2=3이므로
3>5는 항상 성립하지 않는다.
따라서 해는 없다.
Ü x¾2일 때
|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1이므로
2x-1>5에서 2x>6
∴ x>3
그런데 x¾2이므로 x>3
㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내
㉠
yy㉡
㉡
면 오른쪽 그림과 같다.
-2
3
x
따라서 구하는 해는 x<-2 또는 x>3
5-1 ⑴ 4 ⑵ 1 ⑶ 1 ⑷ 1
5-2 ⑴ 이차함수 y=-xÛ`-x+6의 그래프에서 x축보다 위쪽
에 있는 부분의 x의 값의 범위는
-3<x<2
⑵ 이차함수 y=-xÛ`-x+6의 그래프에서 x축보다 위쪽
에 있거나 x축과 만나는 부분의 x의 값의 범위는
-3ÉxÉ2
⑶ 이차함수 y=-xÛ`-x+6의 그래프에서 x축보다 아래
쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위는
x<-3 또는 x>2
xÉ-3 또는 x¾2
6-1 ⑴ -2, 2 ⑵ -2, 3
6-2 ⑴ y=xÛ`+2x-8이라 하면
y=xÛ`+2x-8=(x+4)(x-2)이므로
이차함수의 그래프는 오른쪽
y=xÛ`+2x-8
그림과 같이 x축과 두 점
(-4, 0), (2, 0)에서 만난다.
이때 주어진 부등식의 해는 이
차함수 y=xÛ`+2x-8의 그래
프에서 y>0인 x의 값의 범위이므로
-4
2
x
㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내
㉡
㉠
⑷ 이차함수 y=-xÛ`-x+6의 그래프에서 x축보다 아래
4
8
x
쪽에 있거나 x축과 만나는 부분의 x의 값의 범위는
yy㉡
x<-4 또는 x>2
08. 여러 가지 부등식 ⦁ 33
⑵ -xÛ`-x+12É0의 양변에 -1을 곱하면
⑷ 주어진 부등식의 해는 이차함수 y=4xÛ`+4x+1의 그래
y=xÛ`-5x+6
⑶ 주어진 부등식의 해는 이차함수 y=xÛ`-5x+7의 그래
xÛ`+x-12¾0
y=xÛ`+x-12라 하면
y=xÛ`+x-12=(x+4)(x-3)이므로
이차함수의 그래프는 오른쪽
y=xÛ`+x-12
그림과 같이 x축과 두 점
(-4, 0), (3, 0)에서 만난다.
이때 주어진 부등식의 해는
이차함수 y=xÛ`+x-12의 그
래프에서 y¾0인 x의 값의 범위이므로
xÉ-4 또는 x¾3
⑶ -xÛ`+5x-6>0의 양변에 -1을 곱하면
xÛ`-5x+6<0
y=xÛ`-5x+6이라 하면
y=xÛ`-5x+6=(x-2)(x-3)이므로
이차함수의 그래프는 오른쪽
그림과 같이 x축과 두 점
(2, 0), (3, 0)에서 만난다.
이때 주어진 부등식의 해는 이
차함수 y=xÛ`-5x+6의 그래
프에서 y<0인 x의 값의 범위이므로
2<x<3
⑷ y=2xÛ`-3x-9라 하면
-4
3
x
2
3
x
y=2xÛ`-3x-9=(2x+3)(x-3)이므로
이차함수의 그래프는 오른쪽
y=2xÛ`-3x-9
그림과 같이 x축과 두 점
-
{
;2#;
}
, 0
, (3, 0)에서 만난다.
이때 주어진 부등식의 해는 이
차함수 y=2xÛ`-3x-9의 그래프에서 yÉ0인 x의 값의
3
x
-;2#;
범위이므로
-
ÉxÉ3
;2#;
7-1 ⑴ 1 ⑵ 모든 ⑶ 없다 ⑷ 1
7-2 y=4xÛ`+4x+1이라 하면
y=4xÛ`+4x+1=(2x+1)Û`
이므로 이차함수의 그래프는 오른
쪽 그림과 같이 x축과 한 점
-
{
;2!;
}
, 0
에서 만난다.
y=4xÛ`+4x+1
x
-;2!;
⑴ 주어진 부등식의 해는 이차함수 y=4xÛ`+4x+1의 그래
프에서 y>0인 x의 값의 범위이므로 해는
x+-
인 모든 실수
;2!;
⑵ 주어진 부등식의 해는 이차함수 y=4xÛ`+4x+1의 그래
프에서 y¾0인 x의 값의 범위이므로 해는 모든 실수
⑶ 주어진 부등식의 해는 이차함수 y=4xÛ`+4x+1의 그래
34 ⦁ 정답과 해설
프에서 yÉ0인 x의 값의 범위이므로 해는 x=-
;2!;
8-1 ⑴ 모든 ⑵ 실수 ⑶ 없다 ⑷ 없다
8-2 y=xÛ`-5x+7이라 하면 이차방정
식 xÛ`-5x+7=0의 판별식 D는
D =(-5)Û`-4_1_7=-3<0
이므로 이차함수의 그래프는 오른쪽
그림과 같이 x축과 만나지 않는다.
⑴ 주어진 부등식의 해는 이차함수
y=xÛ`-5x+7
x
y=xÛ`-5x+7의 그래프에서 y>0인 x의 값의 범위이
므로 해는 모든 실수
⑵ 주어진 부등식의 해는 이차함수 y=xÛ`-5x+7의 그래
프에서 y¾0인 x의 값의 범위이므로 해는 모든 실수
프에서 y<0인 x의 값의 범위이므로 해는 없다.
⑷ 주어진 부등식의 해는 이차함수 y=xÛ`-5x+7의 그래
프에서 yÉ0인 x의 값의 범위이므로 해는 없다.
9-1 ⑴ 4 ⑵ x
9-2 ⑴ (x+4)(x-1)>0에서 xÛ`+3x-4>0
⑵ (x-2)(x-5)¾0에서 xÛ`-7x+10¾0
⑶ (x+5)(x+2)<0에서 xÛ`+7x+10<0
⑷ (x+3)(x-2)É0에서 xÛ`+x-6É0
10-1 <, <, 12
10-2 ⑴ 해가 1ÉxÉ3이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은
(x-1)(x-3)É0
∴ xÛ`-4x+3É0
이 부등식이 xÛ`+ax+bÉ0과 같으므로
a=-4, b=3
⑵ 해가 -2<x<3이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은
(x+2)(x-3)<0
∴ xÛ`-x-6<0 yy㉠
부등식 axÛ`+bx+6>0과 부등식 ㉠의 부등호의 방향
이 다르므로 a<0
㉠의 양변에 a를 곱하면 axÛ`-ax-6a>0
이 부등식이 axÛ`+bx+6>0과 같으므로
-a=b, -6a=6
∴ a=-1, b=1
11-1 ⑴ -4, 4 ⑵ -2, 2
11-2 ⑴ 이차방정식 xÛ`-2(k-2)x+k=0의 판별식을 D라
하면 DÉ0이어야 하므로
=(k-2)Û`-kÉ0, kÛ`-5k+4É0
D
4
프에서 y<0인 x의 값의 범위이므로 해는 없다.
(k-1)(k-4)É0
∴ 1ÉkÉ4
12-1 >, É
12-2 ⑴ Ú k=0일 때
Û k+0일 때
-4<0이므로 모든 실수 x에 대하여 성립한다.
⑵ 부등식 ㉠을 풀면 (x+3)(x-8)É0
부등식 kxÛ`+kx-4<0이 모든 실수 x에 대하여 성
부등식 ㉡을 풀면 (x+1)(x-4)<0
14-1 2, 3
14-2 ⑴ 부등식 ㉠을 풀면 (x+3)(x-2)É0
∴ -3ÉxÉ2
부등식 ㉡을 풀면 (x+1)(x-3)>0
∴ x<-1 또는 x>3
㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내
㉣
yy㉢
yy㉣
㉣
㉢
-3 -1
2 3
x
면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 구하는 해는
-3Éx<-1
∴ -3ÉxÉ8
∴ -1<x<4
㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내
면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 구하는 해는
-1<x<4
yy㉢
yy㉣
㉣
㉢
-3 -1
4
x
8
⑵ 이차방정식 -xÛ`+2kx+k-2=0의 판별식을 D라
하면 D<0이어야 하므로
=kÛ`+k-2<0, (k+2)(k-1)<0
D
4
∴ -2<k<1
립하려면 k<0이고 이차방정식 kxÛ`+kx-4=0의
판별식을 D라 하면 D<0이어야 하므로
D=kÛ`+16k<0, k(k+16)<0
∴ -16<k<0
Ú, Û에서 -16<kÉ0
⑵ Ú k=0일 때
Û k+0일 때
3¾0이므로 모든 실수 x에 대하여 성립한다.
부등식 kxÛ`-kx+3¾0이 모든 실수 x에 대하여 성
립하려면 k>0이고 이차방정식 kxÛ`-kx+3=0의
판별식을 D라 하면 DÉ0이어야 하므로
D=kÛ`-12kÉ0, k(k-12)É0
∴ 0<kÉ12
Ú, Û에서 0ÉkÉ12
집중 연습
1 ⑴ 부등식 ㉠을 풀면 x>2 yy㉢
부등식 ㉡을 풀면 xÉ5 yy㉣
따라서 구하는 해는 2<xÉ5
⑵ 부등식 ㉠을 풀면 x-4>4x+8
㉢
본문 | 104, 105쪽
㉣
2
㉢
x
∴ x<-4
yy㉢
부등식 ㉡을 풀면 7x-7<5x+3
-4
5
x
5
㉣
㉣
5
㉣
㉢
-5 -3
1
x
yy㉣
⑶ 부등식 ㉠을 풀면 2x-4É6
∴ xÉ5
㉢
yy㉢
x
부등식 ㉡을 풀면 11-3x-3<x
∴ x>2
yy㉣
따라서 구하는 해는 2<xÉ5
⑷ 부등식 ㉠을 풀면 2x>-6
∴ x>-3
yy㉢
부등식 ㉡을 풀면 -2x¾-8
2
㉣
㉢
-3
4
x
13-1 2, 1
13-2 ⑴ 부등식 ㉠을 풀면 3x<-9
∴ x<-3
∴ -5ÉxÉ1
㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내
면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 구하는 해는
-5Éx<-3
3(x-1)-xÛ`Éx-3 yy㉠
⑵
[
x-3<4x
yy㉡
부등식 ㉠을 풀면 xÛ`-2x¾0, x(x-2)¾0
부등식 ㉡을 풀면 (x+5)(x-1)É0
따라서 구하는 해는 x<-4
yy㉢
∴ x<5
yy㉣
∴ xÉ0 또는 x¾2
부등식 ㉡을 풀면 -3x<3
∴ x>-1
㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내
면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 구하는 해는
-1<xÉ0 또는 x¾2
yy㉢
∴ xÉ4
yy㉣
따라서 구하는 해는 -3<xÉ4
yy㉣
⑸ 부등식 ㉠의 양변에 10을 곱하면
㉢
㉣
㉢
-1
0
2
x
4x-2É5x, -xÉ2
∴ x¾-2
yy㉢
부등식 ㉡의 양변에 10을 곱하면
x+10¾-2x+7
㉣
㉢
-2 -1
x
08. 여러 가지 부등식 ⦁ 35
∴ x¾-1
따라서 구하는 해는 x¾-1
yy㉣
3 ⑴ 부등식 ㉠을 풀면
x>-3
부등식 ㉡을 풀면
㉣
㉢
yy㉢
-5 -3
1
x
yy㉠
yy㉡
yy㉢
xÉ2x-1
2 ⑴
[
2x-1<5-x
부등식 ㉠을 풀면 -xÉ-1
∴ x¾1
부등식 ㉡을 풀면 3x<6
∴ x<2
yy㉣
따라서 구하는 해는 1Éx<2
-2x+3Éx+9
⑵
[
x+9É-x+11
부등식 ㉠을 풀면 -3xÉ6
∴ x¾-2
yy㉠
yy㉡
yy㉢
부등식 ㉡을 풀면 2xÉ2
∴ xÉ1
yy㉣
따라서 구하는 해는 -2ÉxÉ1
2x-7<3x-1
⑶
[
3x-1Éx+7
yy㉠
yy㉡
부등식 ㉠을 풀면 -x<6
∴ x>-6
yy㉢
부등식 ㉡을 풀면 2xÉ8
∴ xÉ4
yy㉣
따라서 구하는 해는 -6<xÉ4
3x+1<x-1
⑷
[
x-1<2x
yy㉠
yy㉡
부등식 ㉡을 풀면 -x<1
∴ x>-1
yy㉣
따라서 구하는 해는 없다.
3x+1É2x+3
⑸
[
2x+3É4x-1
yy㉡
부등식 ㉠을 풀면 xÉ2 yy㉢
yy㉠
부등식 ㉡을 풀면 -2xÉ-4
∴ x¾2
yy㉣
따라서 구하는 해는 x=2
㉣
1
㉢
2
x
㉣
㉢
-1
3 4
x
㉣
㉢
-2
1
x
⑶ 부등식 ㉠을 풀면 2x<-6
∴ x<-3
yy㉢
㉣
㉢
㉣
-7
-3
1
x
(x+5)(x-1)<0
∴ -5<x<1
yy㉣
따라서 구하는 해는 -3<x<1
⑵ 부등식 ㉠을 풀면 -x<-3
∴ x>3
yy㉢
부등식 ㉡을 풀면
(x+1)(x-4)<0
∴ -1<x<4
yy㉣
따라서 구하는 해는 3<x<4
부등식 ㉡을 풀면
(x+7)(x-1)¾0
∴ xÉ-7 또는 x¾1 yy㉣
따라서 구하는 해는 xÉ-7
⑷ 부등식 ㉠을 풀면 2x¾-2
∴ x¾-1
yy㉢
부등식 ㉡을 풀면
(x-1)(x-5)É0
∴ 1ÉxÉ5
yy㉣
따라서 구하는 해는 1ÉxÉ5
⑸ 부등식 ㉠을 풀면 -x¾-3
∴ xÉ3
yy㉢
㉣
㉢
5
x
-1
1
㉣
㉢
2
;2#;
3
x
㉣
㉢
-6
4
x
㉢
㉣
2
x
부등식 ㉡을 풀면
(2x+1)(x-3)>0
∴
ÉxÉ2
;2#;
yy㉣
따라서 구하는 해는
ÉxÉ2
;2#;
⑹ 부등식 ㉠을 풀면 -xÉ-1
㉣
∴ x¾1
yy㉢
㉣
㉢
3
x
1
-
;2!;
∴ x<-
또는 x>3 yy㉣
;2!;
따라서 구하는 해는 x>3
4 ⑴ 부등식 ㉠을 풀면
(x+3)(x-3)¾0
㉣
㉢
㉣
㉢
-3-2
3
4
x
∴ xÉ-3 또는 x¾3 yy㉢
부등식 ㉡을 풀면 (x+2)(x-4)>0
∴ x<-2 또는 x>4 yy㉣
따라서 구하는 해는 xÉ-3 또는 x>4
⑵ 부등식 ㉠을 풀면 xÛ`-x-20É0
㉣
㉣
㉢
(x+4)(x-5)É0
∴ -4ÉxÉ5
yy㉢
-4 -3
2
5
x
㉢
3
x
;2!;
x+2<x+3
-
x+3<2(6-x)
yy㉠
yy㉡
⑹ [
부등식 ㉠의 양변에 2를 곱하면
㉣
yy㉢
-
;3@;
-x+4<2x+6, -3x<2
∴ x>-
;3@;
부등식 ㉡의 괄호를 풀면
x+3<12-2x, 3x<9
∴ x<3
yy㉣
따라서 구하는 해는 -
<x<3
;3@;
36 ⦁ 정답과 해설
부등식 ㉠을 풀면 2x<-2
㉢
㉣
∴ x<-1
yy㉢
-1
x
부등식 ㉡을 풀면
(2x-3)(x-2)É0
부등식 ㉡을 풀면 xÛ`+x-6>0
(x+3)(x-2)>0
∴ x<-3 또는 x>2 yy㉣
따라서 구하는 해는
-4Éx<-3 또는 2<xÉ5
⑶ 부등식 ㉠을 풀면
(x+2)(x-3)¾0
㉢
-2
㉣
㉢
2 3
x
-2이다.
∴ xÉ-2 또는 x¾3 yy㉢
부등식 ㉡을 풀면 (x+2)(x-2)É0
∴ -2ÉxÉ2
yy㉣
따라서 구하는 해는 x=-2
⑷ 부등식 ㉠을 풀면
(x+3)(x-4)É0
㉣
㉣
㉢
-3-5
2
4
x
∴ -3ÉxÉ4
yy㉢
부등식 ㉡을 풀면 (x+5)(x-2)>0
∴ x<-5 또는 x>2 yy㉣
따라서 구하는 해는 2<xÉ4
⑸ 부등식 ㉠을 풀면 (x+3)Û`É0
∴ x=-3
부등식 ㉡을 풀면 (x+3)(x-1)¾0
∴ xÉ-3 또는 x¾1
따라서 구하는 해는 x=-3
2x<15-xÛ`
⑹
[
15-xÛ`É2x+7
yy㉡
부등식 ㉠을 풀면 xÛ`+2x-15<0
yy㉠
(x+5)(x-3)<0
∴ -5<x<3
yy㉢
부등식 ㉡을 풀면 xÛ`+2x-8¾0
(x+4)(x-2)¾0
∴ xÉ-4 또는 x¾2 yy㉣
따라서 구하는 해는
-5<xÉ-4 또는 2Éx<3
㉣
㉣
㉢
-5 -4
2
3
x
기초 개념
가평
본문 | 106, 107쪽
02 B<C
04 -x
06 위쪽
01 연립부등식
03 x>a
05 이차식
07 아래쪽
13 a<0
15 공통부분
09 a<x<b
10 (x-a)(x-b)>0
11 (x-a)(x-b)<0
12 D<0
14 이차부등식
기초 문제
가평
본문 | 108, 109쪽
1 부등식 ㉠을 풀면 -5x<15
부등식 ㉡을 풀면 2x<-2
∴ x>-3
∴ x<-1
따라서 해는 -3<x<-1이므로 구하는 정수 x의 값은
2(x-3)<x-5
x-5É3x-5
yy㉡
부등식 ㉠을 풀면 2x-6<x-5
yy㉠
2 [
∴ x<1
부등식 ㉡을 풀면 -2xÉ0
∴ x¾0
따라서 해는 0Éx<1이므로 a=0, b=1
∴ a+b=1
3 ㄱ. 부등식 ㉠을 풀면 3x¾6
부등식 ㉡을 풀면 5xÉ5
∴ x¾2
∴ xÉ1
따라서 구하는 해는 없다.
ㄴ. 부등식 ㉠을 풀면 4x¾6-2x, 6x¾6
∴ x¾1
부등식 ㉡을 풀면 2xÉ2
∴ xÉ1
따라서 구하는 해는 x=1
ㄷ. 부등식 ㉠을 풀면 -5x>-10
∴ x<2
부등식 ㉡을 풀면 4x¾8
∴ x¾2
따라서 구하는 해는 없다.
ㄹ. 부등식 ㉠을 풀면 -2xÉ2
∴ x¾-1
부등식 ㉡을 풀면 -2x¾-4
∴ xÉ2
따라서 구하는 해는 -1ÉxÉ2
따라서 해가 존재하지 않는 것은 ㄱ, ㄷ이다.
4 |4x-a|>3에서 4x-a>3 또는 4x-a<-3
부등식 4x-a>3을 풀면 4x>a+3
∴ x>
부등식 4x-a<-3을 풀면 4x<a-3
∴ x<
이때 해가 x<2 또는 x>b이므로
=2,
a-3
4
a+3
4
=b
∴ a=11, b=
;2&;
a+3
4
a-3
4
5 Ú x<-3일 때
|x|+|x+3|=-x-x-3=-2x-3이므로
-2x-3<5에서 -2x<8
∴ x>-4
그런데 x<-3이므로 -4<x<-3
yy㉠
Û -3Éx<0일 때
립한다.
∴ -3Éx<0
Ü x¾0일 때
|x|+|x+3|=x+x+3=2x+3이므로
yy㉡
08. 여러 가지 부등식 ⦁ 37
08 x<a 또는 x>b
|x|+|x+3|=-x+x+3=3이므로 3<5는 항상 성
y=(x-1)(x-3)이므로 이 이
y=xÛ`-4x+3
따라서 구하는 정수 k의 최솟값은 2이다.
x
어야 하므로
=1-k<0에서 k>1
D
4
2x+3<5에서 2x<2
∴ x<1
8 이차방정식 xÛ`-(k+3)x+kÛ`=0의 판별식 D는
D=(k+3)Û`-4kÛ`=-3kÛ`+6k+9
그런데 x¾0이므로 0Éx<1
yy㉢
이때 서로 다른 두 허근을 가지므로 D<0에서
㉠, ㉡, ㉢을 수직선 위에 나타내
㉠
㉡
㉢
-3kÛ`+6k+9<0, kÛ`-2k-3>0
면 오른쪽 그림과 같다.
-4-3
0
x
1
(k+1)(k-3)>0
따라서 해는 -4<x<1이므로 정수 x의 개수는 -3, -2,
∴ k<-1 또는 k>3
-1, 0의 4이다.
6 ⑴ xÛ`+8xÉ-15에서 xÛ`+8x+15É0
(x+5)(x+3)É0
∴ -5ÉxÉ-3
⑵ -xÛ`+3x-2<0에서 xÛ`-3x+2>0
(x-1)(x-2)>0
∴ x<1 또는 x>2
⑶ x(x-3)É3x-9에서 xÛ`-6x+9É0
(x-3)Û`É0
∴ x=3
7 ㄱ. y=xÛ`+2x+2라 하면 이차방정식 xÛ`+2x+2=0의 판
이므로 이 이차함수의 그래프는
y=xÛ`+2x+2
별식 D는
D
4
=1Û`-1_2=-1<0
오른쪽 그림과 같이 x축과 만나
지 않는다.
따라서 y<0인 x의 값의 범위이
므로 해는 없다.
ㄴ. y=xÛ`-4x+3이라 하면
차함수의 그래프는 오른쪽 그림
과 같이 x축과 두 점에서 만난다.
이때 주어진 부등식의 해는 이차
함수 y=xÛ`-4x+3의 그래프에
별식 D는
D =(-3)Û`-4_1_4=-7<0
른쪽 그림과 같이 x축과 만나지
않는다.
따라서 y>0인 x의 값의 범위이
므로 해는 모든 실수
1
3
x
서 y¾0인 x의 값의 범위이므로 해는 xÉ1 또는 x¾3
ㄷ. y=xÛ`-3x+4라 하면 이차방정식 xÛ`-3x+4=0의 판
이므로 이차함수의 그래프는 오
y=xÛ`-3x+4
ㄹ. y=2xÛ`-2x+3이라 하면 이차방정식 2xÛ`-2x+3=0
의 판별식 D는
D
4
이므로 이차함수의 그래프는 오
y=2xÛ`-2x+3
른쪽 그림과 같이 x축과 만나지
따라서 yÉ0인 x의 값의 범위이
않는다.
므로 해는 없다.
따라서 해가 존재하지 않는 것은 ㄱ, ㄹ이다.
38 ⦁ 정답과 해설
x
x
9 해가 xÉ1 또는 x¾5이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은
(x-1)(x-5)¾0
∴ xÛ`-6x+5¾0
이 부등식이 xÛ`+ax+b¾0과 같으므로 a=-6, b=5
∴ b-a=5-(-6)=11
10 해가 -1<x<2이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은
(x+1)(x-2)<0
∴ xÛ`-x-2<0
이 부등식이 xÛ`-ax+b<0과 같으므로 a=1, b=-2
즉 , axÛ`+bx-8É0에서 xÛ`-2x-8É0
(x+2)(x-4)É0
∴ -2ÉxÉ4
11 주어진 이차부등식이 x의 값에 관계없이 항상 성립하려면
이차방정식 xÛ`+2x+k=0의 판별식을 D라 하면 D<0이
12 Ú k=0일 때
Û k+0일 때
-3<0이므로 모든 실수 x에 대하여 성립한다.
부등식 kxÛ`+2kx-3<0이 모든 실수 x에 대하여 성립
하려면 k<0이고 이차방정식 kxÛ`+2kx-3=0의 판별
식을 D라 하면 D<0이어야 하므로
=kÛ`+3k<0, k(k+3)<0
∴ -3<k<0
D
4
Ú, Û에서 -3<kÉ0
따라서 구하는 정수 k의 개수는 -2, -1, 0의 3이다.
2x+3<xÛ`
xÛ`<9x-20
13 [
부등식 ㉠을 풀면 xÛ`-2x-3>0
yy㉡
yy㉠
(x+1)(x-3)>0
∴ x<-1 또는 x>3
yy㉢
(x-4)(x-5)<0
∴ 4<x<5
yy㉣
㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같다.
따라서 연립부등식의 해는
4<x<5이므로 a=4, b=5
∴ a+b=9
㉢
㉣
㉢
-1
3
4
5
x
=(-1)Û`-2_3=-5<0
부등식 ㉡을 풀면 xÛ`-9x+20<0
09 평면좌표
1-1 ⑴ 5 ⑵ 169, 13
1-2 ⑴ ABÓ=|-8-3|=11
⑵ ABÓ=|-1-(-5)|=4
본문 | 112~116쪽
"Ã
"Ã
"Ã
⑶ ABÓ=
{1-(-2)}Û`+(5-1)Û`=
25=5
⑷ ABÓ=
(3-0)Û`+(2-0)Û`=
'¶
13
'¶
2-1 10, 100, 2
2-2 ⑴ 두 점 A(2), B(a) 사이의 거리는 ABÓ=|a-2|
|a-2|=3에서 a-2=3 또는 a-2=-3
∴ a=5 또는 a=-1
⑵ 두 점 A(-1, 2), B(3, a) 사이의 거리는
ABÓ=
{3-(-1)}Û`+(a-2)Û`=
16+(a-2)Û`
"Ã
ABÓ=5에서
"Ã
16+(a-2)Û`=5
양변을 제곱하여 정리하면
16+(a-2)Û`=25, aÛ`-4a-5=0, (a+1)(a-5)=0
∴ a=-1 또는 a=5
3-1 13, 1
3-2 ⑴ 점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하면
(a-1)Û`+(-2)Û`
APÓ =
BPÓ =
aÛ`-2a+5
"Ã
(a+1)Û`+(-3)Û`
"Ã
=
"Ã
B(-1, 3)
y
A(1, 2)
P(a, 0)
O
x
따라서 구하는 점 P의 좌표는 P
-
, 0
}
;4%;
{
⑵ 점 Q의 좌표를 (0, a)라 하면
=
aÛ`+2a+10
"Ã
APÓ=BPÓ에서
2
2
=BPÓ
APÓ
이므로
aÛ`-2a+5=aÛ`+2a+10
-4a=5
∴ a=-
;4%;
AQÓ =
(-1)Û`+(a-2)Û`
"Ã
=
aÛ`-4a+5
"Ã
(-4)Û`+(a+1)Û`
BQÓ =
"Ã
=
aÛ`+2a+17
"Ã
AQÓ=BQÓ에서
2
AQÓ
2
=BQÓ
이므로
aÛ`-4a+5=aÛ`+2a+17
-6a=12
∴ a=-2
따라서 구하는 점 Q의 좌표는 Q(0, -2)
4-1 5, CAÓ, A
4-2 ⑴ 세 변 AB, BC, CA의 길이를 각각 구하면
ABÓ=
BCÓ=
"Ã
{1-(-2)}Û`+(
"Ã
(1-1)Û`+(-
'
3-
3)Û`=2
3
'
3)Û`=2
'
'
3
'
A(1, 2)
y
O
Q(0, a)
x
B(4, -1)
CAÓ=
(-2-1)Û`+{0-(-
3)}Û`=2
3
'
'
"Ã
따라서 삼각형 ABC는 정삼각형이다.
⑵ 세 변 AB, BC, CA의 길이를 각각 구하면
ABÓ=
BCÓ=
"Ã
CAÓ=
"Ã
(-1-1)Û`+{2-(-2)}Û`=2
"Ã
{6-(-1)}Û`+(3-2)Û`=5
2
5
'
(1-6)Û`+(-2-3)Û`=5
'
2
'
따라서 삼각형 ABC는 BCÓ=CAÓ인 이등변삼각형이다.
5-1 ⑴ 1 ⑵ 2
5-2 ⑴ 점 P의 좌표를 P(x)라 하면
x=
1_5+2_(-1)
1+2
=1
∴ P(1)
⑵ 점 Q의 좌표를 Q(x)라 하면
x=
2_5-3_(-1)
2-3
=-13
∴ Q(-13)
⑶ 점 M의 좌표를 M(x)라 하면
x=
=2
∴ M(2)
-1+5
2
6-1 -5, -9
6-2 ⑴ 선분 AB를 2`:`3으로 내분하는 점 P의 좌표는
2_x+3_(-3)
2+3
=
2x-9
5
P(5)이므로
=5, 2x-9=25
2x-9
5
2x=34
∴ x=17
⑵ 선분 AB를 2`:`1로 외분하는 점 Q의 좌표는
2_x-1_(-3)
2-1
=2x+3
Q(-1)이므로 2x+3=-1
2x=-4
∴ x=-2
7-1 ⑴ 4, 7 ⑵ 2, 7
7-2 ⑴ 점 P의 좌표를 P(x, y)라 하면
=0,
x=
3_(-1)+1_3
3+1
3_6+1_(-2)
3+1
따라서 점 P의 좌표는 P(0, 4)
y=
=4
⑵ 점 Q의 좌표를 Q(x, y)라 하면
x=
y=
5_(-1)-3_3
5-3
5_6-3_(-2)
5-3
=-7,
=18
따라서 점 Q의 좌표는 Q(-7, 18)
⑶ 점 M의 좌표를 M(x, y)라 하면
x=
3+(-1)
2
=1, y=
(-2)+6
2
=2
따라서 점 M의 좌표는 M(1, 2)
09. 평면좌표 ⦁ 39
7-3 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점 P의 좌표는
2_5+1_2
2+1
,
2_8+1_2
2+1
}
P
{
, 즉 P(4, 6)
선분 AB를 2`:`1로 외분하는 점 Q의 좌표는
2_5-1_2
2-1
,
2_8-1_2
2-1
}
Q
{
, 즉 Q(8, 14)
따라서 선분 PQ의 중점 M의 좌표는
M
4+8
2
,
6+14
2
}
{
∴ M(6, 10)
8-1 4, -7
8-2 ⑴ 무게중심 G의 좌표는
G
5+(-3)+1
3
,
1+6+(-1)
3
}
{
∴ G(1, 2)
⑵ 무게중심 G의 좌표는
G
-2+4+(-5)
3
,
-3+2+7
3
}
{
∴ G(-1, 2)
9-1 1, -1
9-2 ⑴ 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는
-2+a+3
3
,
1+3+b
3
, 즉
{
}
a+1
3
,
b+4
3 }
{
무게중심의 좌표가 (1, 3)이므로
a+1
3
b+4
3
=1,
=3
∴ a=2, b=5
⑵ 꼭짓점 C의 좌표를 (a, b)라 하면 삼각형 ABC의 무게
중심의 좌표는
{
2+(-3)+a
3
,
0+2+b
3
, 즉
{
}
a-1
3
,
b+2
3 }
무게중심이 원점이므로
a-1
3
b+2
3
=0,
=0
∴ a=1, b=-2
따라서 꼭짓점 C의 좌표는 C(1, -2)
⑶ ABÓ=
(-1-6)Û`+(2-2)Û`=
49=7
⑷ ABÓ=
(3-5)Û`+{-1-(-4)}Û`=
13
⑸ ABÓ=
⑹ ABÓ=
(-2-1)Û`+(6-2)Û`=
'¶
(5-0)Û`+(-11-1)Û`=
'¶
'¶
25=5
169=13
'¶
"Ã
"Ã
"Ã
"Ã
3 ⑴ 점 P의 좌표를 P(x)라 하면
2_8+1_(-1)
2+1
x=
=5
⑵ 점 Q의 좌표를 Q(x)라 하면
x=
2_8-1_(-1)
2-1
⑶ 점 M의 좌표를 M(x)라 하면
=17
x=
-1+8
2
=
;2&;
∴ M
{;2&;}
∴ P(5)
∴ Q(17)
4 ⑴ 점 P의 좌표를 P(x)라 하면
2_5+3_0
2+3
⑵ 점 Q의 좌표를 Q(x)라 하면
x=
=2
∴ P(2)
x=
2_5-3_0
2-3
=-10
∴ Q(-10)
⑶ 점 M의 좌표를 M(x)라 하면
x=
0+5
2
=
;2%;
∴ M
{;2%;}
5 ⑴ 점 P의 좌표를 P(x)라 하면
x=
1_(-4)+2_6
1+2
=
;3*;
∴ P
{;3*;}
⑵ 점 Q의 좌표를 Q(x)라 하면
x=
1_(-4)-2_6
1-2
⑶ 점 M의 좌표를 M(x)라 하면
=16
x=
=1
∴ M(1)
6+(-4)
2
∴ Q(16)
본문 | 117~119쪽
=-18
∴ Q(-18)
=-6
∴ P(-6)
6 ⑴ 점 P의 좌표를 P(x)라 하면
3_(-8)+2_(-3)
3+2
x=
⑵ 점 Q의 좌표를 Q(x)라 하면
x=
3_(-8)-2_(-3)
3-2
⑶ 점 M의 좌표를 M(x)라 하면
x=
-3-8
2
=
-:Á2Á:
∴ M
{-:Á2Á:}
x=
7 ⑴ 점 P의 좌표를 P(x, y)라 하면
1_3+3_(-1)
1+3
1_6+3_(-2)
1+3
y=
=0,
=0
따라서 점 P의 좌표는 P(0, 0)
집중 연습
1 ⑴ ABÓ=|4-2|=2
⑵ ABÓ=|6-(-1)|=7
⑶ ABÓ=|-1-3|=4
⑷ ABÓ=|0-7|=7
⑸ ABÓ=|-3-(-6)|=3
⑹ ABÓ=|-2
2-
2|=3
'
'
2
'
(3-0)Û`+(0-4)Û`=
25=5
'¶
{-2-(-2)}Û`+(4-7)Û`=
9=3
'
2 ⑴ ABÓ=
⑵ ABÓ=
"Ã
"Ã
40 ⦁ 정답과 해설
⑵ 점 Q의 좌표를 Q(x, y)라 하면
x=
y=
1_3-3_(-1)
1-3
1_6-3_(-2)
1-3
=-3,
=-6
따라서 점 Q의 좌표는 Q(-3, -6)
⑶ 점 M의 좌표를 M(x, y)라 하면
x=
=1, y=
-1+3
2
-2+6
2
=2
따라서 점 M의 좌표는 M(1, 2)
8 ⑴ 점 P의 좌표를 P(x, y)라 하면
x=
2_1+1_2
2+1
=
,
;3$;
y=
2_(-4)+1_(-1)
2+1
=-3
따라서 점 P의 좌표는 P
, -3
}
{;3$;
⑵ 점 Q의 좌표를 Q(x, y)라 하면
x=
2_1-1_2
2-1
=0,
y=
2_(-4)-1_(-1)
2-1
=-7
따라서 점 Q의 좌표는 Q(0, -7)
⑶ 점 M의 좌표를 M(x, y)라 하면
x=
2+1
2
=
, y=
;2#;
-1-4
2
=-
;2%;
따라서 점 M의 좌표는 M
, -
{;2#;
;2%;}
x=
9 ⑴ 점 P의 좌표를 P(x, y)라 하면
2_8+3_(-2)
2+3
2_1+3_1
2+3
y=
=2,
=1
따라서 점 P의 좌표는 P(2, 1)
⑵ 점 Q의 좌표를 Q(x, y)라 하면
x=
y=
2_8-3_(-2)
2-3
2_1-3_1
2-3
=1
=-22,
따라서 점 Q의 좌표는 Q(-22, 1)
⑶ 점 M의 좌표를 M(x, y)라 하면
x=
=3, y=
-2+8
2
1+1
2
=1
따라서 점 M의 좌표는 M(3, 1)
10 ⑴ 점 P의 좌표를 P(x, y)라 하면
x=
y=
3_3+2_(-2)
3+2
3_2+2_1
3+2
=
;5*;
=1,
따라서 점 P의 좌표는 P
1,
{
;5*;}
⑵ 점 Q의 좌표를 Q(x, y)라 하면
x=
y=
3_3-2_(-2)
3-2
3_2-2_1
3-2
=4
=13,
따라서 점 Q의 좌표는 Q(13, 4)
⑶ 점 M의 좌표를 M(x, y)라 하면
x=
-2+3
2
=
, y=
;2!;
1+2
2
=
;2#;
따라서 점 M의 좌표는 M
,
;2#;}
{;2!;
기초 개념
가평
본문 | 120, 121쪽
05 m`:`n, 내분, 내분점
06 m`:`n, 외분, 외분점
01 |x2-x1|
03 y2-y1
07 nx1
09 m=n
11 3, 3
02 |x|
2
04 x1
08 my2, m+n
10 2`:`1
기초 문제
가평
본문 | 122, 123쪽
1 두 점 A(2, 0), B(a, -4) 사이의 거리는
ABÓ=
(a-2)Û`+(-4-0)Û`=
(a-2)Û`+16
"Ã
"Ã
ABÓ=5에서
(a-2)Û`+16=5
"Ã
양변을 제곱하여 정리하면
(a-2)Û`+16=25, aÛ`-4a-5=0
(a+1)(a-5)=0
∴ a=-1 또는 a=5
그런데 a는 양수이므로 a=5
2 점 P의 좌표를 P(a, 0)이라 하면
APÓ=
(a-4)Û`+(-2)Û`=
aÛ`-8a+20
"Ã
(a-1)Û`+1Û`=
"Ã
aÛ`-2a+2
BPÓ=
"Ã
2
APÓ=BPÓ에서 APÓ
"Ã
2
=BPÓ
이므로
aÛ`-8a+20=aÛ`-2a+2
-6a=-18
∴ a=3
따라서 점 P의 좌표는 P(3, 0)이다.
09. 평면좌표 ⦁ 41
점 Q의 좌표를 Q(0, b)라 하면
AQÓ=
(-4)Û`+(b-2)Û`=
BQÓ=
"Ã
(-1)Û`+(b+1)Û`=
2
2
AQÓ=BQÓ에서 AQÓ
=BQÓ
"Ã
"Ã
이므로
bÛ`-4b+20
"Ã
bÛ`+2b+2
bÛ`-4b+20=bÛ`+2b+2
-6b=-18
∴ b=3
따라서 점 Q의 좌표는 Q(0, 3)이다.
P(3, 0), Q(0, 3)에서
PQÓ=
(-3)Û`+3Û`=3
"Ã
2
'
3 점 P는 직선 y=2x 위의 점이므로 P(a, 2a)라 하면
APÓ=
(a-1)Û`+(2a+1)Û`=
BPÓ=
"Ã
(a-3)Û`+(2a-1)Û`=
2
2
=BPÓ
APÓ=BPÓ에서 APÓ
"Ã
이므로
"Ã
5aÛ`+2a+2
"Ã
5aÛ`-10a+10
5aÛ`+2a+2=5aÛ`-10a+10
12a=8
∴ a=
;3@;
따라서 점 P의 좌표는 P
,
{;3@;
;3$;}
4 ABÓ=
(3+2)Û`+(5-a)Û`=
"Ã
ACÓ=
"Ã
(3+2)Û`+(-1-a)Û`=
"Ã
2
2
=ACÓ
ABÓ=ACÓ에서 ABÓ
이므로
"Ã
aÛ`-10a+50
aÛ`+2a+26
aÛ`-10a+50=aÛ`+2a+26
-12a=-24
∴ a=2
5 점 P의 좌표를 P(a, 0)이라 하면
APÓ=
BPÓ=
(a-2)Û`+(-4)Û`=
"Ã
(a-4)Û`+(-2)Û`=
aÛ`-4a+20
"Ã
aÛ`-8a+20
"Ã
2
2
+BPÓ
"Ã
=(aÛ`-4a+20)+(aÛ`-8a+20)
APÓ
=2aÛ`-12a+40
=2(a-3)Û`+22
2
2
+BPÓ
따라서 a=3일 때, APÓ
의 최솟값은 22이다.
6 세 변 AB, BC, CA의 길이를 각각 구하면
ABÓ=
BCÓ=
"Ã
CAÓ=
(7-3)Û`+(1-5)Û`=
"Ã
(0-7)Û`+(2-1)Û`=
'¶
(3-0)Û`+(5-2)Û`=
2
+CAÓ
2
=BCÓ
"Ã
'¶
32=4
'¶
50=5
2
'
2
'
18=3
2
'
2
따라서 ABÓ
인 직각삼각형이다.
3_x-1_5
3-1
7 선분 AB를 3`:`1로 외분하는 점 Q의 좌표는
3x-5
2
3x-5
2
Q(4)이므로
=4
=
3x-5=8
∴ x=
:Á3£:
42 ⦁ 정답과 해설
8 점 P의 좌표를 P(x)라 하면
x=
1_8+2_2
1+2
=4
∴ P(4)
점 Q의 좌표를 Q(x)라 하면
x=
1_8-2_2
1-2
∴ PQÓ=|-4-4|=8
=-4
∴ Q(-4)
9
2+a
2
5+b
2
=4,
=-3에서
a=6, b=-11
∴ a+b=-5
10
2_b+1_3
2+1
2b+3=-9
=-3에서
∴ b=-6
2_(-2)+1_a
2+1
=1에서
a-4=3
∴ a=7
11 ACÓ=2BCÓ에서 ACÓ`:`BCÓ=2`:`1이므로 점 C는 선분 AB
를 2`:`1로 외분하는 점이다.
따라서 구하는 점 C의 좌표는
C
{
2_5-1_4
2-1
,
2_(-5)-1_1
2-1
}
∴ C(6, -11)
다른 풀이 ACÓ=2BCÓ에서 점 B는 선분 AC를 1`:`1로 내분
하는 점, 즉 선분 AC의 중점이다.
C(a, b)라 하면
=5에서 4+a=10
∴ a=6
4+a
2
1+b
2
∴ C(6, -11)
=-5에서 1+b=-10
∴ b=-11
12
-3+a+1
3
=0에서
a-2=0
∴ a=2
5+b+2
3
b+7=0
=0에서
∴ b=-7
13
a+b+5
3
=3에서
a+b+5=9
∴ a+b=4
3+1+ab
3
ab+4=6
=2에서
∴ ab=2
∴ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=4Û`-2_2=12
이므로 삼각형 ABC는 ∠A=90o
∴ a-b=9
14 변 AB를 2`:`1로 내분하는 점의 좌표는
2_5+1_(-1)
2+1
=3,
2_(-2)+1_1
2+1
=-1
변 BC를 2`:`1로 내분하는 점의 좌표는
2_2+1_5
2+1
=3,
2_5+1_(-2)
2+1
=
;3*;
변 CA를 2`:`1로 내분하는 점의 좌표는
2_(-1)+1_2
2+1
=0,
2_1+1_5
2+1
=
;3&;
∴ P(3, -1), Q
3,
, R
0,
{
;3&;}
;3*;}
{
따라서 삼각형 PQR의 무게중심의 좌표는
3+3+0
3
-1+
+
;3&;
;3*;
3
,
}, 즉
{
{
다른 풀이 삼각형 ABC의 세 변을 각각 m`:`n으로 내분하는
;3$;}
2,
점을 P, Q, R라 할 때, 삼각형 ABC의 무게중심과 삼각형
PQR의 무게중심은 일치하므로 삼각형 ABC의 세 변 AB,
BC, CA를 2`:`1로 내분하는 점을 각각 P, Q, R라 할 때,
삼각형 PQR의 무게중심의 좌표는 삼각형 ABC의 무게중
심의 좌표와 같다.
-1+5+2
3
,
1+(-2)+5
3
{
, 즉
{
}
2,
;3$;}
10 직선의 방정식
&
기초 개념 피드백 TEST
본문 | 125쪽
1-1 ⑴ 3, -3 ⑵ 1, 5
1-2 ⑴ y=-x-2에 y=0을 대입하면 x=-2
따라서 x절편은 -2
y=-x-2에 x=0을 대입하면 y=-2
따라서 y절편은 -2
⑵ y=2x+6에 y=0을 대입하면 x=-3
따라서 x절편은 -3
y=2x+6에 x=0을 대입하면 y=6
따라서 y절편은 6
⑶ y=
x-3에 y=0을 대입하면 x=6
;2!;
;2!;
따라서 x절편은 6
y=
x-3에 x=0을 대입하면 y=-3
따라서 y절편은 -3
2-1 ⑴ -3 ⑵ -
;2#;
2-2 ⑴ (기울기)=
⑵ (기울기)=
⑶ (기울기)=
=
-6
6
=-1
-2-4
1-(-5)
1-(-4)
10-8
=
;2%;
6-15
1-7
=
-9
-6
=
;2#;
3-1 ⑴
⑵
;2!;
;3*;
3-2 ⑴ 8x-2y+14=0을 y에 대하여 풀면
∴ y=4x+7
2y=8x+14
⑵ x+4y-6=0을 y에 대하여 풀면
4y=-x+6
∴ y=-
;2#;
⑶ 3x-2y-10=0을 y에 대하여 풀면
;4!;
x+
2y=3x-10
∴ y=
x-5
;2#;
본문 | 126~129쪽
1-1 ⑴ 1, 5 ⑵ 0, 15
1-2 ⑴ 점 (0, 2)를 지나고 기울기가 3인 직선의 방정식은
y-2=3(x-0)
∴ y=3x+2
⑵ 점 (2, -1)을 지나고 기울기가
인 직선의 방정식은
y-(-1)=
(x-2)
∴ y=
x-2
;2!;
⑶ x절편이 5이므로 점 (5, 0)을 지나고 기울기가 -2인 직
선의 방정식은
y-0=-2(x-5)
∴ y=-2x+10
;2!;
;2!;
10. 직선의 방정식 ⦁ 43
⑵ 두 점 (-1, -2), (2, 4)를 지나는 직선의 방정식은
이 직선이 점 (2, -3)을 지나므로
⑷ 두 점 (-1, -5), (-1, 8)을 지나는 직선의 방정식은
두 점의 x좌표가 같으므로 x=-1
7-1 -1,
, 2
;2!;
2-1 ⑴ 3, 4 ⑵ 3
2-2 ⑴ 두 점 (3, 8), (2, 5)를 지나는 직선의 방정식은
y-8=
(x-3)
∴ y=3x-1
5-8
2-3
4-(-2)
2-(-1)
y-4=
(x-2)
∴ y=2x
참고 y-(-2)=
{x-(-1)}로 구해도 된다.
4-(-2)
2-(-1)
⑶ 두 점 (2, 0), (0, 4)를 지나는 직선의 방정식은
y-0=
(x-2), y=-2(x-2)
4-0
0-2
∴ y=-2x+4
다른 풀이 x절편이 2, y절편이 4이므로 구하는 직선의 방
정식은
x
2
y
4
+
=1, 2x+y=4
∴ y=-2x+4
3-1 1, 4
3-2 ⑴ x절편이 5, y절편이 1인 직선의 방정식은
+
=1,
+y=1
x
5
∴ y=-
x+1
;5!;
x
5
x
1
y
1
y
2
+
=1, 2x+y=2
∴ y=-2x+2
⑵ x절편이 1, y절편이 2인 직선의 방정식은
⑶ x절편이 -3, y절편이 6인 직선의 방정식은
x
-3
y
6
+
=1, -2x+y=6
∴ y=2x+6
4-1 ⑴ 5 ⑵ x, 2
4-2 ⑴ y축에 평행하므로 구하는 직선의 방정식은
x=1
⑵ x축에 수직인 직선은 y축에 평행하므로
구하는 직선의 방정식은 x=-5
5-1 4, 4, 4
5-2 ⑴ 두 점 (1, 1), (-1, 3)을 지나는 직선의 방정식은
(x-1), y-1=-(x-1)
y-1=
3-1
-1-1
∴ y=-x+2
이 직선이 점 (k, 5)를 지나므로
5=-k+2
∴ k=-3
44 ⦁ 정답과 해설
⑵ x절편이 1, y절편이 k인 직선의 방정식은
=1, kx+y=k
+
x
1
y
k
∴ y=-kx+k
-3=-2k+k
∴ k=3
6-1 3, 3
6-2 ⑴ 직선 y=4x-2에 평행한 직선의 기울기는 4이고, 이 직
선이 점 (-1, -1)을 지나므로 구하는 직선의 방정식은
y-(-1)=4{x-(-1)}, y+1=4(x+1)
∴ y=4x+3
⑵ 직선 2x+y-1=0, 즉 y=-2x+1에 평행한 직선의
기울기는 -2이고, 이 직선이 점 (2, -1)을 지나므로
구하는 직선의 방정식은
y-(-1)=-2(x-2), y+1=-2(x-2)
∴ y=-2x+3
7-2 ⑴ 구하는 직선의 기울기를 m이라 하면
직선 y=
x+4의 기울기가
이므로
;3!;
;3!;
m=-1에서 m=-3
;3!;
따라서 원점을 지나고 기울기가 -3인 직선의 방정식은
y=-3x
⑵ 구하는 직선의 기울기를 m이라 하면
직선 3x-6y+1=0, 즉 y=
x+
의 기울기가
이
;2!;
;6!;
;2!;
므로
;2!;
정식은
m=-1에서 m=-2
따라서 점 (-1, 2)를 지나고 기울기가 -2인 직선의 방
y-2=-2{x-(-1)}
∴ y=-2x
8-1 1, 1
8-2 ⑴ 점 (-2, 1)과 직선 3x-4y+5=0 사이의 거리는
|3_(-2)-4_1+5|
3Û`+(-4)Û`
=
=1
5
25
'¶
⑵ 원점 (0, 0)과 직선 5x+12y-26=0 사이의 거리는
|5_0+12_0-26|
5Û`+12Û``
=
26
169
'¶
=
;1@3^;
=2
"Ã
"Ã
9-1 3, 10, 10
9-2 ⑴ 기울기가 -2인 직선의 방정식을 y=-2x+c, 즉
2x+y-c=0으로 놓으면 원점에서의 거리가
'
5이므로
|-c|
2Û`+1Û``
"Ã
'
=
5, |-c|=5
∴ c=Ñ5
따라서 구하는 직선의 방정식은
2x+y-5=0 또는 2x+y+5=0
⑵ 직선 x+2y+5=0, 즉 y=-
;2%;
구하는 직선의 기울기를 m이라 하면
;2!;
x-
-
m=-1에서 m=2
;2!;
구하는 직선의 방정식을 y=2x+c, 즉 2x-y+c=0으
에 수직이므로
⑷ y축에 수직인 직선은 x축에 평행하므로 구하는 직선의 방
정식은 y=5
⑸ 두 점 (2, -1), (1, -3)을 지나는 직선의 방정식은
y-(-1)=
(x-2), y+1=2(x-2)
-3-(-1)
1-2
∴ y=2x-5
로 놓을 수 있다.
|c|
2Û`+(-1)Û`
"Ã
원점과 직선 2x-y+c=0 사이의 거리가 2이므로
⑹ 두 점 (3, 2), (3, 6)을 지나는 직선의 방정식은 두 점의
=2, |c|=2
5
∴ c=Ñ2
5
'
'
x좌표가 같으므로 x=3
⑺ 두 점 (2, 0), (0, -6)을 지나는 직선의 방정식은
따라서 구하는 직선의 방정식은
2x-y+2
5=0 또는 2x-y-2
'
⑶ 원점을 지나는 직선의 방정식을
'
5=0
y=ax, 즉 ax-y=0으로 놓으면
점 (1, 2)에서의 거리가 1이므로
|a-2|
aÛ`+(-1)Û`
"Ã
=1, |a-2|=
aÛ`+1
"Ã
양변을 제곱하면 aÛ`-4a+4=aÛ`+1
-4a=-3
∴ a=
;4#;
따라서 구하는 직선의 방정식은
y=
x, 즉 3x-4y=0
;4#;
01 n
03 y2-y1
02 m
04 1
05 m=m', n+n'
06 평행하다
07 m=m', n=n'
08 mm'=-1
09 수직이다
11 |c|
13 l'
10 |ax1+by1+c|
12 수직인
기초 개념
가평
본문 | 130, 131쪽
① x=-2일 때, y=7
y-0=
(x-2), y=3(x-2)
-6-0
0-2
∴ y=3x-6
다른 풀이 x절편이 2, y절편이 -6이므로 구하는 직선의
방정식은
x
2
+
y
-6
=1, -3x+y=-6
∴ y=3x-6
2 두 점 (1, -3), (-3, 1)을 이은 선분의 중점의 좌표는
1+(-3)
2
,
{
-3+1
2 }
, 즉 (-1, -1)
따라서 점 (-1, -1)을 지나고 기울기가 3인 직선의 방정식은
y-(-1)=3{x-(-1)}, y+1=3(x+1)
∴ y=3x+2
3 점 (1, -2)를 지나고 기울기가 -3인 직선의 방정식은
y-(-2)=-3(x-1)
∴ y=-3x+1
② x=-1일 때, y=4
③ x=0일 때, y=1
④ x=3일 때, y=-8
⑤ x=4일 때, y=-11
따라서 직선 위의 점은 ④ (3, -8)
4 x절편이 -1, y절편이 k인 직선의 방정식은
+
=1, -kx+y=k
x
-1
y
k
∴ y=kx+k
이 직선이 점 (3, 8)을 지나므로
8=3k+k, 4k=8
∴ k=2
기초 문제
가평
본문 | 132, 133쪽
1 ⑴ 점 (-1, 5)를 지나고 기울기가 -1인 직선의 방정식은
y-5=-1_{x-(-1)}, y-5=-(x+1)
5 x-y+3=0
x+2y+6=0
yy㉠
yy㉡
⑵ x절편이 4이므로 점 (4, 0)을 지나고 기울기가 1인 직선
∴ y=-x+4
의 방정식은
y-0=1_(x-4)
∴ y=x-4
정식은 x=-4
⑶ x축에 수직인 직선은 y축에 평행하므로 구하는 직선의 방
㉠-㉡을 하면 -3y-3=0
∴ y=-1
y=-1을 ㉠에 대입하면
x+1+3=0
∴ x=-4
따라서 두 점 (-4, -1), (2, 1)을 지나는 직선의 방정식은
y-1=
(x-2), y-1=
(x-2)
;3!;
1-(-1)
2-(-4)
y=
x+
, 즉 x-3y+1=0
;3!;
;3!;
10. 직선의 방정식 ⦁ 45
-
m=-1에서 m=
;5^;
;6%;
Û 선분 AB의 중점의 좌표는
-4+6
2
,
{
3-9
2 }
, 즉 (1, -3)
Ú, Û에서 직선 l은 점 (1, -3)을 지나고 기울기가
인
;6%;
직선이므로 구하는 직선의 방정식은
y-(-3)=
(x-1), y+3=
x-
;6%;
;6%;
;6%;
y=
x-
;6%;
:ª6£:
, 즉 5x-6y-23=0
참고 선분 AB를 수직이등분하는
직선 l은 다음 두 조건을 모두 만
족시킨다.
Ú 수직 조건
(직선 l의 기울기)
_(직선 AB의 기울기)=-1
Û 이등분 조건
직선 l이 선분 AB의 중점 M을 지난다.
A
l
M
B
11 점 (2, a)와 직선 2x-y+2=0 사이의 거리가
'
5이므로
|2_2-a+2|
2Û`+(-1)Û`
"Ã
=
5, |6-a|=5
'
6-a=5 또는 6-a=-5
∴ a=1 또는 a=11
12 평행한 두 직선
x-2y+4=0, 2x-4y+3=0
사이의 거리는 직선
x-2y+4=0 위의 한 점
y
2
x-2y+4=0
-4
O
x
(0, 2)와 직선 2x-4y+3=0
2x-4y+3=0
사이의 거리와 같으므로
|2_0-4_2+3|
2Û`+(-4)Û`
=
"Ã
5
2
5
'
5
= '
2
참고 오른쪽 그림에서 두 직선
이 평행할 때, 두 직선 사이의
거리는 ㉠이다.
㉢
㉡
㉠
6 두 점 (-3, 1), (2, -1)을 지나는 직선의 기울기는
=-
이므로 점 (1, 0)을 지나고 기울기가 -
;5@;
-1-1
2-(-3)
;5@;
인 직선의 방정식은
y-0=-
(x-1)
;5@;
y=-
x+
, 즉 2x+5y-2=0
;5@;
;5@;
7 직선 y=2x에 수직인 직선의 기울기를 m이라 하면 직선
y=2x의 기울기가 2이므로
2m=-1에서 m=-
;2!;
점 (2, 4)를 지나고 기울기가 -
인 직선의 방정식은
;2!;
;2!;
y-4=-
(x-2)
∴ y=-
x+5
;2!;
y=0일 때, 0=-
x+5,
x=5
∴ x=10
;2!;
;2!;
따라서 구하는 x절편은 10이다.
참고 x절편 ⇨ y=f(x)에 y=0을 대입한 x의 값
y절편 ⇨ y=f(x)에 x=0을 대입한 y의 값
8 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으면 직선 AB와 직선 AC
의 기울기가 같으므로
a-1
1-(-1)
=
5-1
a-(-1)
aÛ`-1=8, aÛ`=9
∴ a=Ñ3
따라서 양수 a의 값은 3이다.
, (a-1)(a+1)=8
9 Ú 직선 x+ay+1=0과 직선 x+y+1=0이 수직일 때
직선 x+ay+1=0의 기울기는 -
,
;a!;
직선 x+y+1=0의 기울기는 -1이므로
-
_(-1)=-1
∴ a=-1
;a!;
Û 직선 x+ay+1=0과 직선 x+by-1=0이 평행할 때
직선 x+ay+1=0의 기울기는 -
직선 x+by-1=0의 기울기는 -
이므로
,
;a!;
;b!;
-
=-
;a!;
;b!;
∴ a=b
Ú, Û에서 a=-1, b=-1
10 Ú 두 점 A(-4, 3),
l
B(6, -9)를 지나는 직선
A(-4, 3)
의 기울기는
=-
-9-3
6-(-4)
선분 AB의 수직이등분선을 직선 l이라 하면 선분 AB
B(6, -9)
;5^;
와 직선 l은 서로 수직이므로 직선 l의 기울기를 m이라
하면
46 ⦁ 정답과 해설
본문 | 134~137쪽
세 점 (0, 0), (4, 0), (1, 1)을 지나므로
4-1 8, 32, 2
4-2 ⑴ 구하는 원의 방정식을
xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0이라 하면
C=0
16+4A+C=0
[
C=0을 ㉡에 대입하면
2+A+B+C=0
yy㉠
yy㉡
yy㉢
16+4A=0
∴ A=-4
A=-4, C=0을 ㉢에 대입하면
2-4+B=0
∴ B=2
따라서 구하는 원의 방정식은
xÛ`+yÛ`-4x+2y=0
⑵ 구하는 원의 방정식을
xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0이라 하면
세 점 (0, 0), (0, 4), (3, 3)을 지나므로
C=0
16+4B+C=0
[
C=0을 ㉡에 대입하면
18+3A+3B+C=0
yy㉠
yy㉡
yy㉢
16+4B=0
∴ B=-4
B=-4, C=0을 ㉢에 대입하면
18+3A-12=0
∴ A=-2
따라서 구하는 원의 방정식은
xÛ`+yÛ`-2x-4y=0
11 원의 방정식
1-1 ⑴ 2, 2 ⑵ 3, 25
1-2 ⑴ {x-(-2)}Û`+(y-3)Û`=2Û` 이므로
(x+2)Û`+(y-3)Û`=4
⑵ xÛ`+yÛ`=1
⑶ 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은 xÛ`+yÛ`=rÛ`
3)을 지나므로
이 원이 점 (1,
'
3)Û`=rÛ`
∴ rÛ`=4
1Û`+(
'
따라서 구하는 원의 방정식은 xÛ`+yÛ`=4
⑷ 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은
(x+3)Û`+(y-2)Û`=rÛ`
이 원이 점 (-2, 0)을 지나므로
(-2+3)Û`+(0-2)Û`=rÛ`
∴ rÛ`=5
따라서 구하는 원의 방정식은
(x+3)Û`+(y-2)Û`=5
'
5, 1
2-1
2-2 ⑴ 구하는 원의 중심을 C(a, b)라 하면 점 C는 선분 AB의
중점이므로 a=
=5, b=
1+9
2
-2+4
2
=1
따라서 원의 중심은 C(5, 1)이고 반지름의 길이는
ACÓ=
(5-1)Û`+{1-(-2)}Û`=5
이므로 구하는 원의 방정식은
(x-5)Û`+(y-1)Û`=25
⑵ 구하는 원의 중심을 C(a, b)라 하면 점 C는 선분 AB의
중점이므로 a=
=1, b=
5-3
2
3+7
2
=5
따라서 원의 중심은 C(1, 5)이고 반지름의 길이는
"Ã
"Ã
ACÓ=
(1-5)Û`+(5-3)Û`=2
5
'
이므로 구하는 원의 방정식은
(x-1)Û`+(y-5)Û`=20
3-1 4, 1
3-2 ⑴ 주어진 방정식을 변형하면
(xÛ`-4x+4)+(yÛ`+2y+1)=16
즉 , (x-2)Û`+(y+1)Û`=16
길이를 구하면
중심 : (2, -1), 반지름의 길이 : 4
⑵ 주어진 방정식을 변형하면
(xÛ`+8x+16)+(yÛ`-4y+4)=20
즉 , (x+4)Û`+(y-2)Û`=20
따라서 주어진 방정식이 나타내는 원의 중심과 반지름의
따라서 주어진 방정식이 나타내는 원의 중심과 반지름의
길이를 구하면
중심 : (-4, 2), 반지름의 길이 : 2
5
'
5-1 3, 7
5-2 ⑴ y=x+1을 xÛ`+yÛ`=1에 대입하면
xÛ`+(x+1)Û`=1, 2xÛ`+2x=0, xÛ`+x=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D=1Û`-4_1_0=1>0
따라서 원 xÛ`+yÛ`=1과 직선 y=x+1은 서로 다른 두
점에서 만난다.
⑵ y=x-
2를 xÛ`+yÛ`=1에 대입하면
'
xÛ`+(x-
'
2)Û`=1, 2xÛ`-2
2x+1=0
'
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
=(-
2)Û`-2_1=0
D
4
따라서 원 xÛ`+yÛ`=1과 직선 y=x-
'
난다. (접한다.)
⑶ y=x-4를 xÛ`+yÛ`=1에 대입하면
xÛ`+(x-4)Û`=1, 2xÛ`-8x+15=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
=(-4)Û`-2_15=-14<0
D
4
따라서 원 xÛ`+yÛ`=1과 직선 y=x-4는 만나지 않는다.
11. 원의 방정식 ⦁ 47
2는 한 점에서 만
'
6-1 kÛ`, -4, 4
6-2 y=2x+k를 xÛ`+yÛ`=4에 대입하면
xÛ`+(2x+k)Û`=4, 5xÛ`+4kx+kÛ`-4=0
이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면
D
4
=(2k)Û`-5(kÛ`-4)=-kÛ`+20
yy㉠
⑴ 서로 다른 두 점에서 만나므로 D>0에서
-kÛ`+20>0, kÛ`-20<0, (k+2
5)(k-2
5)<0
∴ -2
5<k<2
5
'
'
⑵ 한 점에서 만나므로 D=0에서
∴ k=-2
5 또는 k=2
'
⑶ 만나지 않으므로 D<0에서
'
5
-kÛ`+20=0, kÛ`-20=0, (k+2
5)(k-2
5)=0
'
'
'
'
'
'
-kÛ`+20<0, kÛ`-20>0, (k+2
5)(k-2
5)>0
∴ k<-2
5 또는 k>2
'
5
'
7-1 ⑴ 3 ⑵ 13
7-2 ⑴ y=mxÑr
y=3xÑ
"Ã
10
'¶
"Ã
mÛ`+1에서 m=3, r=
10이므로
'¶
3Û`+1
∴ y=3xÑ10
⑵ x1x+y1y=rÛ`에서 x1=-2, y1=1, rÛ`=5이므로
-2x+y=5
∴ y=2x+5
8-1 1, Ñ1
8-2 ⑴ 접점을 P(x1, y1)이라 하면 점 P에서의 접선의 방정식은
x1x+y1y=3
이 접선이 점 (0, 3)을 지나므로 3y1=3
∴ y1=1
점 P(x1, y1)은 원 위의 점이므로
x1Û`+y1Û`=3
y1=1을 ㉠에 대입하면 x1Û`=2
∴ x1=Ñ
yy㉠
2
'
따라서 구하는 접선의 방정식은
'
∴
'
2x+y=3 또는 -
'
2x+y=3 또는
'
2x+y=3
2x-y=-3
x1x+y1y=1
이 접선이 점 (2, 1)을 지나므로
⑵ 접점을 P(x1, y1)이라 하면 점 P에서의 접선의 방정식은
2x1+y1=1
∴ y1=-2x1+1
yy㉠
집중 연습
본문 | 138, 139쪽
1 ⑴ {x-(-1)}Û`+(y-3)Û`=4Û`이므로
(x+1)Û`+(y-3)Û`=16
⑵ (x-1)Û`+(y-0)Û`=(
2)Û`이므로
'
(x-1)Û`+yÛ`=2
⑶ 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은
xÛ`+yÛ`=rÛ`
이 원이 점 (3, 1)을 지나므로
3Û`+1Û`=rÛ`
∴ rÛ`=10
따라서 구하는 원의 방정식은
xÛ`+yÛ`=10
⑷ 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은
(x+1)Û`+(y+2)Û`=rÛ`
이 원이 점 (2, 2)를 지나므로
(2+1)Û`+(2+2)Û`=rÛ`
∴ rÛ`=25
따라서 구하는 원의 방정식은
(x+1)Û`+(y+2)Û`=25
⑸ 구하는 원의 중심을 C(a, b)라 하면 점 C는 선분 AB의
중점이므로
a=
=1, b=
-2+4
2
5-1
2
=2
따라서 원의 중심은 C(1, 2)이고 반지름의 길이는
ACÓ=
{1-(-2)}Û`+(2-5)Û`=3
2
'
이므로 구하는 원의 방정식은
(x-1)Û`+(y-2)Û`=18
⑹ 구하는 원의 중심을 C(a, b)라 하면 점 C는 선분 AB의
따라서 원의 중심은 C(-1, 3)이고 반지름의 길이는
중점이므로
a=
=-1, b=
2-4
2
1+5
2
=3
ACÓ=
(-1-2)Û`+(3-1)Û`=
13
'¶
이므로 구하는 원의 방정식은
(x+1)Û`+(y-3)Û`=13
"Ã
"Ã
점 P(x1, y1)은 원 위의 점이므로
x1Û`+y1Û`=1
㉠을 ㉡에 대입하면
x1Û`+(-2x1+1)Û`=1, 5x1Û`-4x1=0
x1(5x1-4)=0
∴ x1=0 또는 x1=
x1=0일 때, y1=1, x1=
일 때, y1=-
;5$;
따라서 구하는 접선의 방정식은
;5$;
;5#;
y=1 또는
x-
y=1
;5$;
;5#;
∴ y=1 또는 4x-3y=5
yy㉡
2 ⑴ 주어진 방정식을 변형하면
(xÛ`-2x+1)+yÛ`=9
즉, (x-1)Û`+yÛ`=9
따라서 주어진 방정식이 나타내는 원의 중심과 반지름의
길이를 구하면
중심 : (1, 0), 반지름의 길이 : 3
⑵ 주어진 방정식을 변형하면
(xÛ`-2x+1)+(yÛ`-8y+16)=1
즉, (x-1)Û`+(y-4)Û`=1
길이를 구하면
중심 : (1, 4), 반지름의 길이 : 1
따라서 주어진 방정식이 나타내는 원의 중심과 반지름의
48 ⦁ 정답과 해설
따라서 주어진 방정식이 나타내는 원의 중심과 반지름의
y=-xÑ
∴ y=-xÑ2
⑶ 주어진 방정식을 변형하면
xÛ`+(yÛ`+4y+4)=1
즉, xÛ`+(y+2)Û`=1
길이를 구하면
중심 : (0, -2), 반지름의 길이 : 1
3 ⑴ 구하는 원의 방정식을
xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0이라 하면
세 점 (0, 0), (1, 0), (2, 1)을 지나므로
C=0
1+A+C=0
[
C=0을 ㉡에 대입하면
5+2A+B+C=0
yy㉠
yy㉡
yy㉢
1+A=0
∴ A=-1
A=-1, C=0을 ㉢에 대입하면
5-2+B=0
∴ B=-3
따라서 구하는 원의 방정식은
xÛ`+yÛ`-x-3y=0
⑵ 구하는 원의 방정식을
xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0이라 하면
세 점 (0, 0), (1, 1), (2, 4)를 지나므로
C=0
2+A+B+C=0
[
C=0을 ㉡, ㉢에 각각 대입하면
20+2A+4B+C=0
yy㉠
yy㉡
yy㉢
A+B=-2
A+2B=-10
yy㉣
yy㉤
㉣, ㉤을 연립하여 풀면 A=6, B=-8
따라서 구하는 원의 방정식은
xÛ`+yÛ`+6x-8y=0
⑶ 구하는 원의 방정식을
xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0이라 하면
세 점 (1, 0), (0, 1), (-1, 4)를 지나므로
yy㉠
1+A+C=0
1+B+C=0
[
㉠, ㉡에서 A=-C-1, B=-C-1을 ㉢에 대입하면
17-A+4B+C=0
yy㉢
yy㉡
17-(-C-1)+4(-C-1)+C=0
14-2C=0
∴ C=7
C=7에서 A=B=-8
따라서 구하는 원의 방정식은
xÛ`+yÛ`-8x-8y+7=0
4 y=mxÑr
⑴ m=1, r=1이므로
mÛ`+1에서
"Ã
y=xÑ1_
1Û`+1
∴ y=xÑ
"Ã
2
'
⑵ m=
3, r=2이므로
'
3xÑ2
y=
(
"Ã
'
⑶ m=-1, r=
3)Û`+1
'
2이므로
'
(-1)Û`+1
2
'
"Ã
⑷ m=-2, r=3이므로
∴ y=
3xÑ4
'
y=-2xÑ3
(-2)Û`+1
"Ã
⑸ 평행한 두 직선의 기울기는 같다.
∴ y=-2xÑ3
5
'
즉, m=2, r=1이므로
y=2xÑ1_
2Û`+1
∴ y=2xÑ
5
"Ã
⑹ y=-2
2x+5에서 m=-2
2, r=
y=-2
2xÑ
5_
(-2
2)Û`+1
'
5이므로
'
'
'
∴ y=-2
'
2xÑ3
"Ã
5
'
'
3y+1=0에서
'
'
⑺ x+
∴ y=-
x-
1
3
'
'
'
1
3
'
'
3y=-x-1
직선 x+
3y+1=0의 기울기는 -
이므로 이 직선과
'
수직인 직선의 기울기를 m이라 하면
1
3
-
m=-1
∴ m=
3
'
1
3
3, r=
3이므로
'
즉, m=
'
3xÑ
y=
'
∴ y=
3_
'
3xÑ2
'
'
(
"Ã
3
'
3)Û`+1
'
5 x1x+y1y=rÛ`에서
⑴ x1=1, y1=-1, rÛ`=2이므로 x-y=2
⑵ x1=
'
⑶ x1=-1, y1=
2, y1=1, rÛ`=3이므로
'
3, rÛ`=4이므로
2x+y=3
-x+
'
3y=4
'
∴ x-
3y=-4
'
⑷ x1=2, y1=1, rÛ`=5이므로 2x+y=5
⑸ x1=-2, y1=-
2, rÛ`=6이므로
-2x-
2y=6
'
2x+y=-3
2
'
⑹ x1=2, y1=-2, rÛ`=8이므로
'
∴
'
2x-2y=8
∴ x-y=4
⑺ x1=-3, y1=1, rÛ`=10이므로
-3x+y=10
∴ 3x-y=-10
기초 개념
가평
본문 | 140, 141쪽
01 (x-a)Û`+(y-b)Û`
02 xÛ`+yÛ`
03 ABÓ, ACÓ`
05 >, 2
07 D=0
09 D<0
11 d=r
13 d>r
15 rÛ`
04 4
06 D>0
08 D¾0
10 d<r
12 dÉr
14 mÛ`+1
11. 원의 방정식 ⦁ 49
기초 문제
가평
본문 | 142, 143쪽
1 중심이 (-1, a)이고 반지름의 길이가 2인 원의 방정식은
{x-(-1)}Û`+(y-a)Û`=2Û`, 즉 (x+1)Û`+(y-a)Û`=4
이 식이 (x+b)Û`+(y-3)Û`=c와 일치해야 하므로
a=3, b=1, c=4
∴ a+b+c=8
2 중심이 (1, 3)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식은
(x-1)Û`+(y-3)Û`=rÛ`
이 원이 점 (4, -1)을 지나므로
(4-1)Û`+(-1-3)Û`=rÛ`, rÛ`=25
원 (x-1)Û`+(y-3)Û`=25가 점 (a, 0)을 지나므로
(a-1)Û`+(0-3)Û`=25, (a-1)Û`=16
a-1=4 또는 a-1=-4
∴ a=5 또는 a=-3
3 구하는 원의 중심을 C(a, 0), 반지름의 길이를 r라 하면 원의
이 원이 두 점 A(2, -3), B(3, 4)를 지나므로
방정식은
(x-a)Û`+yÛ`=rÛ`
(2-a)Û`+(-3)Û`=rÛ`
∴ aÛ`-4a+13=rÛ`
(3-a)Û`+4Û`=rÛ`
∴ aÛ`-6a+25=rÛ`
㉠-㉡을 하면 2a-12=0
∴ a=6
a=6을 ㉠에 대입하면 36-24+13=rÛ`, rÛ`=25
따라서 구하는 원의 넓이는 p_rÛ`=25p
4 중심이 직선 y=x 위에 있으므로 구하는 원의 중심을
C(a, a), 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은
(x-a)Û`+(y-a)Û`=rÛ`
이 원이 두 점 (1, -1), (3, 1)을 지나므로
yy㉠
yy㉡
yy㉠
yy㉡
(1-a)Û`+(-1-a)Û`=rÛ`
∴ 2aÛ`+2=rÛ`
(3-a)Û`+(1-a)Û`=rÛ`
∴ 2aÛ`-8a+10=rÛ`
㉠-㉡을 하면 8a-8=0
∴ a=1
a=1을 ㉠에 대입하면 rÛ`=4
따라서 구하는 원의 방정식은
(x-1)Û`+(y-1)Û`=4
5 구하는 원의 중심을 C(a, b)라 하면 점 C는 선분 AB의 중점
이므로
a=
=2, b=
1+3
2
0+2
2
=1
원의 중심은 C(2, 1)이고 반지름의 길이 r는
r=ACÓ=
(2-1)Û`+(1-0)Û`=
2
"Ã
'
∴ a+b+rÛ`=2+1+2=5
50 ⦁ 정답과 해설
6 주어진 방정식을 변형하면
(xÛ`-6x+9)+(yÛ`+2y+1)=10
즉, (x-3)Û`+(y+1)Û`=10
이 원과 중심이 같으므로 중심이 (3, -1)이고 반지름의 길이
가 r인 원의 방정식은
(x-3)Û`+(y+1)Û`=rÛ`
이 원이 점 (2, 1)을 지나므로
(2-3)Û`+(1+1)Û`=rÛ`
∴ rÛ`=5
따라서 구하는 원의 방정식은
(x-3)Û`+(y+1)Û`=5
7 주어진 방정식을 변형하면
(xÛ`+4x+4)+(yÛ`-2y+1)=k+5
즉, (x+2)Û`+(y-1)Û`=k+5
주어진 방정식이 원을 나타내려면 k+5>0이어야 하므로
k>-5
8 xÛ`+yÛ`-6x+2y+2=0을 변형하면
(xÛ`-6x+9)+(yÛ`+2y+1)=8
즉, (x-3)Û`+(y+1)Û`=8
직선 y=3x+k가 원의 넓이를 이등분하려면 이 직선이
원의 중심 (3, -1)을 지나야 하므로
-1=9+k
∴ k=-10
9 구하는 원의 방정식을
xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0이라 하면
세 점 (-1, 0), (0, 2), (1, 2)를 지나므로
yy㉠
1-A+C=0
4+2B+C=0
[
5+A+2B+C=0
㉠, ㉡에서 A=C+1, 2B=-C-4를 ㉢에 대입하면
yy㉡
yy㉢
5+C+1-C-4+C=0
∴ C=-2
C=-2에서 A=-1, B=-1
원의 방정식은 xÛ`+yÛ`-x-y-2=0
이 방정식을 변형하면
xÛ`-x+
+
yÛ`-y+
{
=
;4!;}
;2%;
{
;4!;}
2
∴
{
x-
;2!;}
+
y-
{
;2!;}
2
=
;2%;
따라서 구하는 원의 중심은
{;2!;, ;2!;}
10 구하는 원의 방정식을
xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0이라
하면 세 점 (0, 0), (4, 0), (0, 4)를
지나므로
y
4
O
4
x
y=-x+4
C=0
16+4A+C=0
[
16+4B+C=0
yy㉠
yy㉡
yy㉢
C=0을 ㉡에 대입하면 16+4A=0
∴ A=-4
C=0을 ㉢에 대입하면 16+4B=0
∴ B=-4
14 x+4y-2=0에서 4y=-x+2
∴ y=-
x+
;4!;
;2!;
이 직선과 수직인 직선의 기울기를 m이라 하면
-
m=-1
∴ m=4
;4!;
따라서 구하는 원의 방정식은 xÛ`+yÛ`-4x-4y=0
원 xÛ`+yÛ`=4에 접하고 기울기가 4인 접선의 방정식은
다른 풀이 직각삼각형의 외접원의 중심은 빗변의 중점과 같
으므로 구하는 원의 중심은
4+0
2
,
{
0+4
2 }
, 즉 (2, 2)
원의 반지름의 길이는 두 점 (2, 2), (4, 0) 사이의 거리와
같으므로
(4-2)Û`+(0-2)Û`=2
2
'
"Ã
따라서 구하는 원의 방정식은
(x-2)Û`+(y-2)Û`=8
∴ xÛ`+yÛ`-4x-4y=0
11 y=x+k를 xÛ`+yÛ`=2에 대입하면
xÛ`+(x+k)Û`=2, 2xÛ`+2kx+kÛ`-2=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
=kÛ`-2(kÛ`-2)¾0이므로 -kÛ`+4¾0
D
4
kÛ`-4É0, (k+2)(k-2)É0
∴ -2ÉkÉ2
나 같아야 하므로
d=
|k|
1Û`+(-1)Û`
É
2, |k|É2
'
"Ã
∴ -2ÉkÉ2
12 원 (x+3)Û`+(y-1)Û`=5의 중심 (-3, 1)과 직선
2x+y+k=0 사이의 거리가 반지름의 길이
'
5와 같으므로
|2_(-3)+1_1+k|
2Û`+1Û`
k-5=5 또는 k-5=-5
"Ã
=
5, |k-5|=5
'
∴ k=10 또는 k=0
따라서 자연수 k의 값은 10이다.
13 두 점 (1, -5), (3, -2)를 지나는 직선의 방정식은
y-(-5)=
-2-(-5)
3-1
(x-1), y+5=
(x-1)
;2#;
∴ 3x-2y-13=0
원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나므로 원의 중심
(0, 0)과 직선 3x-2y-13=0 사이의 거리가 반지름의 길
이보다 작아야 한다.
|-13|
3Û`+(-2)Û``
"Ã
<r
∴ r>
13
'¶
y=4xÑ2
4Û`+1
∴ y=4xÑ2
17
"Ã
'¶
이 접선이 ax-y+b=0, 즉 y=ax+b와 일치하므로
a=4, b=Ñ2
17
'¶
∴ aÛ`+bÛ`=16+68=84
15 원 xÛ`+yÛ`=5 위의 점 (-2, 1)
y=2x+5
에서의 접선의 방정식은
-2x+y=5
∴ y=2x+5
오른쪽 그림에서 구하는 삼각형
-
;2%;
y
5
O
5
!
x
5
!
-
5
!
-
5
!
의 넓이는
;2!;\_;2%;_
=:ª4°:
5
16 원 xÛ`+yÛ`=13 위의 점 (3, -2)에서의 접선의 방정식은
∴ 3x-2y-13=0
3x-2y=13
yy㉠
이 직선이 원과 접하므로
xÛ`+yÛ`-12x+8y+k=0을 변형하면
(xÛ`-12x+36)+(yÛ`+8y+16)=52-k
이의 거리는 반지름의 길이와 같다.
|3_6-2_(-4)-13|
3Û`+(-2)Û`
"Ã
양변을 제곱하면
13=52-k
∴ k=39
=
52-k,
'¶
'Ä
13=
52-k
'Ä
11. 원의 방정식 ⦁ 51
다른 풀이 원 xÛ`+yÛ`=2의 중심 (0, 0)과 직선 y=x+k, 즉
(x-6)Û`+(y+4)Û`=52-k
yy㉡
x-y+k=0 사이의 거리 d가 반지름의 길이
2보다 작거
직선 ㉠이 원 ㉡에 접하므로 원의 중심 (6, -4)와 직선 사
'
12 도형의 이동
1-1 ⑴ 3, 3 ⑵ 2, 1
1-2 점 (x, y)를 점 (x+2, y-5)로 옮기는 평행이동은 점
(x, y)를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -5만큼
본문 | 144~147쪽
평행이동한 것이다.
⑴ (0+2, 0-5), 즉 (2, -5)
⑵ (1+2, 2-5), 즉 (3, -3)
⑶ (-2+2, 3-5), 즉 (0, -2)
⑷ (-1+2, -4-5), 즉 (1, -9)
2-1 1, -5
2-2 ⑴ 점 (-7, 2)를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b
만큼 평행이동한 점의 좌표는 (-7+a, 2+b)이다.
이때 평행이동한 점의 좌표가 (3, 1)이므로
-7+a=3, 2+b=1
∴ a=10, b=-1
⑵ 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 점 P를 x축의 방향으로 2
만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 점의 좌표는
(x+2, y-1)이다.
이때 평행이동한 점의 좌표가 (5, 2)이므로
x+2=5, y-1=2
∴ x=3, y=3
따라서 구하는 점 P의 좌표는 P(3, 3)
3-1 ⑴ x-2, 7 ⑵ 2, 5
3-2 x 대신 x-(-3)=x+3, y 대신 y-4를 대입한다.
⑴ x-y+1=0에서 (x+3)-(y-4)+1=0
∴ x-y+8=0
⑵ y=xÛ`+2x에서 y-4=(x+3)Û`+2(x+3)
∴ y=xÛ`+8x+19
⑶ xÛ`+yÛ`=3에서 (x+3)Û`+(y-4)Û`=3
⑷ xÛ`+yÛ`+4x-1=0을 변형하면
(xÛ`+4x+4)+yÛ`=5, 즉 (x+2)Û`+yÛ`=5에서
(x+3+2)Û`+(y-4)Û`=5
∴ (x+5)Û`+(y-4)Û`=5
4-1 7, 1
4-2 xÛ`+yÛ`-4x-2y+1=0을 변형하면
(xÛ`-4x+4)+(yÛ`-2y+1)=4
즉, (x-2)Û`+(y-1)Û`=4
x 대신 x-a, y 대신 y-b를 대입하면
(x-a-2)Û`+(y-b-1)Û`=4
yy㉠
한편 xÛ`+yÛ`+2x+2y-2=0을 변형하면
(xÛ`+2x+1)+(yÛ`+2y+1)=4
즉, (x+1)Û`+(y+1)Û`=4
yy㉡
52 ⦁ 정답과 해설
㉠, ㉡이 일치해야 하므로
-a-2=1, -b-1=1
∴ a=-3, b=-2
5-1 ⑴ -1 ⑵ -2 ⑶ -1 ⑷ 1
5-2
x축
y축
원점
y=x
⑴ (4, 2)
(4, -2)
(-4, 2) (-4, -2)
(2, 4)
⑵ (-2, 5)
(-2, -5)
(2, 5)
(2, -5) (5, -2)
⑶ (3, -1)
(3, 1)
(-3, -1) (-3, 1) (-1, 3)
⑷ (-3, -2) (-3, 2)
(3, -2)
(3, 2) (-2, -3)
참고 (x, y)
(x, y)
(x, y)
(x, y)
x축에 대한 대칭이동
11111111!Ú
y축에 대한 대칭이동
11111111!Ú
원점에 대한 대칭이동
11111111!Ú
(x, -y)
(-x, y)
(-x, -y)
직선 y=x에 대한 대칭이동
1111111111!Ú
(y, x)
6-1 3, 10
6-2 A(3, -2), B(-3, 2),
C(-3, -2)이므로 오른쪽 그
림에서 삼각형 ABC의 넓이는
_CAÓ_BCÓ
;2!;
=
_6_4=12
;2!;
y
2
O
-2
B
-3
C
(3, 2)
3
x
A
7-1 ⑴ 1 ⑵ -x ⑶ -y ⑷ 1
7-2 ⑴ x축 : -y=3x-1
y축 : y=3(-x)-1
∴ y=-3x+1
∴ y=-3x-1
원점 : -y=3(-x)-1
∴ y=3x+1
직선 y=x : x=3y-1
∴ y=
x+
;3!;
;3!;
⑵ x축 : 2x+3(-y)-4=0
∴ 2x-3y-4=0
y축 : 2(-x)+3y-4=0
∴ 2x-3y+4=0
원점 : 2(-x)+3(-y)-4=0
∴ 2x+3y+4=0
직선 y=x : 2y+3x-4=0
∴ 3x+2y-4=0
⑶ x축 : -y=xÛ`-2x-1
∴ y=-xÛ`+2x+1
y축 : y=(-x)Û`-2(-x)-1
∴ y=xÛ`+2x-1
원점 : -y=(-x)Û`-2(-x)-1
∴ y=-xÛ`-2x+1
직선 y=x : x=yÛ`-2y-1
⑷ x축 : (x+2)Û`+(-y-5)Û`=2
∴ (x+2)Û`+(y+5)Û`=2
y축 : (-x+2)Û`+(y-5)Û`=2
∴ (x-2)Û`+(y-5)Û`=2
원점 : (-x+2)Û`+(-y-5)Û`=2
∴ (x-2)Û`+(y+5)Û`=2
직선 y=x : (y+2)Û`+(x-5)Û`=2
∴ (x-5)Û`+(y+2)Û`=2
8-1 9, 9x
8-2 원 (x+1)Û`+(y-1)Û`=4를 y축에 대하여 대칭이동한 도
4 직선 y=2x+1에 x 대신 x-a, y 대신 y+2a를 대입하면
y+2a=2(x-a)+1
∴ y=2x-4a+1
형의 방정식은
이 직선이 직선 y=2x-3과 일치해야 하므로
(-x+1)Û`+(y-1)Û`=4, 즉 (x-1)Û`+(y-1)Û`=4
-4a+1=-3
∴ a=1
이 도형을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은
(y-1)Û`+(x-1)Û`=4
∴ (x-1)Û`+(y-1)Û`=4
5 포물선 y=(x+1)Û`-3에 x 대신 x-3, y 대신 y+2를 대입
하면
y+2=(x-3+1)Û`-3
∴ y=(x-2)Û`-5
f(x)=(x-2)Û`-5이므로 f(3)=(3-2)Û`-5=-4
6 점 (-1, 2)를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만
큼 평행이동한 점을 (0, 0)이라 하면
-1+a=0, 2+b=0
∴ a=1, b=-2
평행이동 f`:`(x, y)
(x+1, y-2)에 의하여 원
1Ú
xÛ`+yÛ`-4x+2y=0, 즉 (x-2)Û`+(y+1)Û`=5가 옮겨지는
도형의 방정식은 x 대신 x-1, y 대신 y+2를 대입하면
{(x-1)-2}Û`+{(y+2)+1}Û`=5
∴ (x-3)Û`+(y+3)Û`=5
다른 풀이 원 xÛ`+yÛ`-4x+2y=0을 변형하면
(x-2)Û`+(y+1)Û`=5
원의 중심 (2, -1)이 평행이동
f`:`(x, y)
(x+1, y-2)에 의하여 옮겨지는 점의 좌표
1Ú
는 (2+1, -1-2), 즉 (3, -3)
이때 원의 반지름의 길이는 변하지 않으므로 구하는 도형의
방정식은
(x-3)Û`+(y+3)Û`=5
7 평행이동에 의하여 원이 옮겨지는 도형의 반지름의 길이는
변하지 않는다.
(x+1)Û`+(y-3)Û`=9
이므로 반지름의 길이가 3인 원이다.
ㄱ. (x-1)Û`+(y-5)Û`=9
에서 반지름의 길이가 3인 원이다.
ㄴ. (x+1)Û`+(y-2)Û`=3
에서 반지름의 길이가
3인 원이다.
'
ㄷ. 원 xÛ`+yÛ`-2x-8=0을 변형하면
(x-1)Û`+yÛ`=9
에서 반지름의 길이가 3인 원이다.
있는 원은 ③ ㄱ, ㄷ이다.
8 점 (-1, 6)을 원점에 대하여 대칭이동한 점은 (1, -6)
이 점을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행
이동한 점은 (1+a, -6+b)
이 점이 (3, 0)과 일치하므로 1+a=3, -6+b=0에서
a=2, b=6
∴ a+b=8
12. 도형의 이동 ⦁ 53
기초 개념
가평
본문 | 148, 149쪽
01 평행이동
02 a, b
03 f(x'-a, y'-b), f(x-a, y-b)
04 f(x-a, y-b)
05 대칭이동
06 (x, -y)
08 (-x, -y)
10 x축
12 원점
07 (-x, y)
09 (y, x)
11 y축
13 직선 y=x
1 점 (1, 4)를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼
평행이동한 점을 (2, 2)라 하면
1+a=2, 4+b=2
∴ a=1, b=-2
따라서 점 (-1, 5)가 옮겨지는 점의 좌표는
(-1+1, 5-2), 즉 (0, 3)
2 점 (3, -1)을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 2
만큼 평행이동한 점의 좌표는
(3-2, -1+2), 즉 (1, 1)
(1+2)Û`+(1-5)Û`=rÛ`, rÛ`=25
∴ r=5 (∵ r>0)
3 x 대신 x+2, y 대신 y-1을 대입하면
구하는 도형의 방정식은
(x+2)-2(y-1)-3=0
∴ x-2y+1=0
기초 문제
가평
본문 | 150, 151쪽
원 xÛ`+yÛ`+2x-6y+1=0을 변형하면
이 점이 원 (x+2)Û`+(y-5)Û`=rÛ` 위에 있으므로
따라서 보기의 원 중 주어진 원을 평행이동하여 겹쳐질 수
9 점 B(3, 4)와 x축에 대하여 대칭
인 점을 B'이라 하면 B'(3, -4)
오른쪽 그림에서 x축 위의 점 P
에 대하여 BPÓ=B'PÓ이므로
APÓ+BPÓ
=APÓ+B'PÓ¾AB'Ó
=
(3+2)Û`+(-4-1)Û`
"Ã
'¶
=
50=5
2
'
y
4
B(3, 4)
다른 풀이 원 xÛ`+yÛ`+8x+2y+1=0의 중심은 (-4, -1)
이고 이 점을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는
A(-2, 1)
P
O
3
x
(-1, -4)이므로 두 점 사이의 거리는
(-1+4)Û`+(-4+1)Û`=
18=3
2
'¶
'
"Ã
-4
B'(3, -4)
12 원 (x+2)Û`+(y+1)Û`=2를 x축의 방향으로 2만큼, y축
의 방향으로 -3만큼 평행이동한 도형의 방정식은 x 대신
따라서 APÓ+BPÓ의 최솟값은 5
2이다.
'
참고 대칭이동을 이용한 길이의 최솟값
두 점 A, B와 직선 l 위의 점 P에 대하여 APÓ+BPÓ의 최솟
x-2, y 대신 y+3을 대입하면
(x-2+2)Û`+(y+3+1)Û`=2
∴ xÛ`+(y+4)Û`=2
yy㉠
따라서 원 ㉠을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 도형의 방
값 구하기
점 B를 직선 l에 대하여 대칭이동
한 점 B'의 좌표를 구한다.
A
B
정식은
yÛ`+(x+4)Û`=2
∴ (x+4)Û`+yÛ`=2
APÓ+BPÓ¾AB'Ó이므로 AB'Ó의 길
P
l
이가 최솟값이다.
의 방정식은
10 원 (x-1)Û`+(y+2)Û`=3을 원점에 대하여 대칭이동한 원
직선 ㉠이 원 (x+1)Û`+(y-5)Û`=1의 넓이를 이등분하므
13 직선 y=mx+3을 y축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정
B'
식은
y=-mx+3
yy㉠
로 직선이 원의 중심 (-1, 5)를 지나야 한다.
5=m+3
∴ m=2
다른 풀이 원 (x-1)Û`+(y+2)Û`=3의 중심 (1, -2)를 원
14 원 (x-2)Û`+(y+3)Û`=4를 직선 y=x에 대하여 대칭이동
(-x-1)Û`+(-y+2)Û`=3, 즉 (x+1)Û`+(y-2)Û`=3
이 원의 중심 (-1, 2)가 직선 y=4x+k 위에 있으므로
2=-4+k
∴ k=6
점에 대하여 대칭이동하면 (-1, 2)
이 점이 직선 y=4x+k 위에 있으므로
2=-4+k
∴ k=6
11 원 xÛ`+yÛ`+8x+2y+1=0을 변형하면
(x+4)Û`+(y+1)Û`=16
이므로 원의 중심은 (-4, -1)이다.
한편 원 (x+4)Û`+(y+1)Û`=16을 직선 y=x에 대하여 대
칭이동한 도형의 방정식은
(y+4)Û`+(x+1)Û`=16, 즉 (x+1)Û`+(y+4)Û`=16
이므로 원의 중심은 (-1, -4)이다.
따라서 두 점 (-4, -1), (-1, -4) 사이의 거리는
(-1+4)Û`+(-4+1)Û`=
18=3
2
'¶
'
"Ã
한 도형의 방정식은
(y-2)Û`+(x+3)Û`=4
∴ (x+3)Û`+(y-2)Û`=4
yy㉠
원 (x-2)Û`+(y+3)Û`=4를 x축의 방향으로 a만큼, y축
의 방향으로 b만큼 평행이동한 도형의 방정식은 x 대신
x-a, y 대신 y-b를 대입하면
(x-a-2)Û`+(y-b+3)Û`=4
yy㉡
㉠ , ㉡이 서로 일치하므로
3=-a-2, -2=-b+3
∴ a=-5, b=5
54 ⦁ 정답과 해설
memo
짧지만 개념에 강한 짤강!
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