2018년 천재교육 고등 빅터 연산 다항식 답지

fds.flarebrick.com/1Ml23mxOKku31q3I8x4DHKkTga8ReMoJX

2018년 천재교육 고등 빅터 연산 다항식.pdf Download | FlareBrick FDS

정답과 풀이

빠른 정답   

01  다항식의 덧셈과 뺄셈   

02  다항식의 곱셈   

03  다항식의 나눗셈   

04  항등식   

05  나머지정리   

06  인수분해   

    002

    010

    017

    028

    036

    042

    050

1. 다항식의 덧셈과 뺄셈 

6쪽~19쪽 

1-2  ⑴ 4x-1  ⑵ 3x+2y  ⑶ 7x+2  ⑷ -12x+1

STEP 1

01-1  ⑴ 삼차식  ⑵ -1

01-2  ⑴ x: 이차식, y: 일차식  ⑵ 2y-1 

⑶ x2+2x-3 

 
02-1  ⑴ -2x2-3x+1 
02-2  ⑴ x: 2x2-x-y2+2y+1, y: -y2+2y+2x2-x+1 

⑷ -3y-5
⑵ 2+5x-x2 

 

 

⑵ x: x3+2x2+xy+y2+4y, y: y2+(x+4)y+x3+2x2

03-1  ⑴ 2, 8 

⑵ 7, 2

03-2  ⑴ 9x+3  ⑵ -3x+4  ⑶ 7x+8y  ⑷ x+4y

04-1  ⑴ 2, 2 

⑵ 3x, 3 

04-2  ⑴ -2x+7  ⑵ -13x+3y 

 

⑶ 2x+6

⑷ -4x-3y

05-1  ⑴ -, +  ⑵ -, 2  ⑶ 3x-5y  ⑷ -x+2y

⑸ 3x-2  ⑹ 6x-6  ⑺ 7x-3  ⑻ 8x+2

⑼ 7y   

⑽ 4x+y

06-1  ⑴ 2, 4 

⑵ 9, 1 

⑶ 

7x-1
6

  ⑷ 

⑸ 

-x+7
20

  ⑹ 

10x+2
3

  ⑺ 

x+1
6

  ⑻ 

11x-1
12

4x-29
15

⑼ 

-2x-5
24

 ⑽ 

-4x-19
5

07-1  ⑴ 3, x 

⑸ -x2+4x-5 

⑺ 2x+3y+3 
 
⑼ x3+2x2-6x-10 

 

⑵ 4, 5x2  ⑶ x, 3y  ⑷ 5x-1
⑹ -x2y-3xy+4xy2
⑻ 4x2-2x-2 
⑽ -x2-2xy+2y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⑾ -3y+1

08-1  ⑴ 4, 2 

⑵ 3, 8

 

 

08-2  ⑴ -11x+11 
⑶ 4x2+5x-9 

⑵ 2x2-14x+12
⑷ -17x2-2x+19
⑵ 6y2, -7x2
 
⑷ -11x2+10xy-9y2
⑶ 8x2-xy+17y2   
⑸ -12x2 +9xy-13y2  ⑹ -7x2-7xy-28y2

08-3  ⑴ 2A, 3xy   

 

 

⑵ 5x2-5xy-2y2
⑷ -4x2+6xy-8y2

 
09-1  ⑴ 6y2, 3xy  ⑵ 6x2, y2  ⑶ +, -2x2
09-2  ⑴ 3x2+2xy-4y2   
⑶ 7x2-5y2   
 
⑸ 12x2-10xy-6y2

 

 

 
09-3  ⑴ 6x2, 2x2  ⑵ 6x2, 3x2  ⑶ -2x2+xy+y2
⑸ -5x2+8xy-y2
⑺ 2x2-xy+3y2 
⑼ -2x2-3xy+y2

⑷ 4x2+3y2   
⑹ x2-xy+2y2 
⑻ x2-xy-2y2 

 

 

 

 

 

1-1  ⑴ 6x+5  ⑵ 5x+5y  ⑶ 6x+9  ⑷ 6x-4

STEP 2

 

  ⑸ 7x-4  ⑹ -12x+6

002  빅터 연산 - 다항식

  ⑸ -3x-5  ⑹ 3

2-1  ⑴ 14x-1  ⑵ 7x-9  ⑶ 

  ⑷ 

-2x+14y
15

 

⑸ 

  ⑹ 3x-1

2-2  ⑴ 2x-11  ⑵ -x+3  ⑶ 

  ⑷ 

x-13
10

8x+1
6

8x+7
3

7x+7
18

  ⑸ 

  ⑹ 

5x+1
3

x+6
4

3-1  ⑴ 2x2-x+1  
3-2  ⑴ -3x2+2x+3 
  ⑵ -x2+(3y+1)x+2y2-5
4-1  ⑴ 3+x-x2   
4-2  ⑴ 1+x-2x2+2x3
  ⑵ -y+3x+(2y+1)x2-x3

5-1  ⑴ 4x+2y-5  

  ⑶ -2x+8y-2 
5-2  ⑴ 4x2-x+1  
  ⑶ 3x2+4xy-4y2 
6-1  ⑴ x2+11  
  ⑶ 4x2-x+28
6-2  ⑴ 5x2+3x-5 
  ⑶ -3x2-x+3
7-1  ⑴ 2x2-x+2  
7-2  ⑴ 3x2-xy+y2 

STEP 3

01  x2+(-2y+1)x+y2 
03  6x-5y+6 
05  -x2+5xy+4y2 
07  -3x+3 

09 

-7x2+7x-5
6

 

11  3A, 2xy 

⑵ 3x3+x2-5x+2

⑵ 5-4x+4x2

⑵ 2x+3y-1
⑷ 3x2-3x-6
⑵ 5x3-3x2+3x+3
⑷ -x3+4x2+x-2
⑵ x2-2x-21

⑵ 3x2+x-3

⑵ x2+2xy+3y2
⑵ -3x2-2x+2

02  y+xy+2x2-x3
04  2x+3y-3
06  2x3-x2+4x-2
08  ㉤

10 

-2x2+3xy-7y2
6
12  -2x2-7y2

13  x3-16x2-5x+4 

14  -x2-8xy+y2

15  x2+6xy-10y2

2. 다항식의 곱셈 

22쪽~51쪽 

STEP 1

01-1  ⑴ 24   

⑵ x10  

⑶ 4x2y2, -108

 

⑷ 8x6y3  ⑸ -

;2Á7;

빠른 정답01-2  ⑴ x7   

⑵ 8x7  

⑶ 4x8  

⑷ 72x14

08-1  ⑴   t, 2y 

 

⑸ 144x16  ⑹ -16x9y11 ⑺ 2a7b12  ⑻ -

a7b11

;8(;

02-1  ⑴ 2x3y5  ⑵   3x4y3  ⑶   6xy, 2xy  ⑷   2x2, 7x

02-2  ⑴   -6x3y3-3x4y4   
⑶   6x2-7xy+2y2   
⑸ x3-4x2+7x-6  

 

 

03-1  ⑴ 3  

⑵ -8 

⑵   3x4y4-x5y3+2x5y4
⑷ 2x3+5x2-18x+9
⑹   6x3-7x2+11x-6

03-2  ⑴ -5 

⑵ 0  

⑶ 3

03-3  ⑴ -12  ⑵ 10   

⑶ -4

03-4  ⑴ -6 

⑵ -11  ⑶ 4

04-1  ⑴ 2, 9 

⑵ 2x, 4x2  ⑶ 4 

 

⑷ 4, 6x

 

⑸   15, x

 

04-2  ⑴ 4x2+4xy+y2 
⑶ 16x2-8x+1 
⑸ 4x2-9 
⑺ x2+2x-15 
⑼ 6x2-7xy+2y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

05-1  ⑴ x2, 12x  

⑵ 2x, 12x2

⑵ 9x2+12xy+4y2
⑷ 4x2-20xy+25y2
⑹ -9x2+y2
⑻ x2-xy-6y2

⑶ 8x3+36x2+54x+27
⑷ x3+9x2y+27xy2+27y3
⑸   64x3+48x2y+12xy2+y3

⑹ 8x3+4x2y+

xy2+

;3@;

⑺ 64x3+24x2y+3xy2+

y3

;2Á7;

y3

;8!;

05-2  ⑴ 23, 12x  

 

⑵ 3, 8x3

⑶   x3-9x2y+27xy2-27y3
⑷ 27x3-27x2y+9xy2-y3
⑸ 8x3-60x2y+150xy2-125y3
⑹ 27x3-108x2y+144xy2-64y3

⑺ 64x3-16x2y+

xy2-

;3$;

y3

;2Á7;

 

⑵   x2+2xy+y2-9

 
⑶ x2-2xy+y2-x+y-2 
⑸ x2+4x+4-y2  ⑹ -x2+2xy-y2-2x+2y+3
⑺ x2-y2-z2+2yz

⑷ x2-2xy+y2-z2

08-2  ⑴ 1, x2  

 
⑶ x4-2x3-x2+2x-3  

⑵ x4+4x3+x2-6x

⑷ x4+3x2+4

08-3  ⑴ 2x3, 13x2   

⑵ x4+2x3-5x2-6x

08-4  ⑴ x+2, 7x2  

⑵ x4-6x3+x2+24x-20

⑶ x4-4x3-34x2+76x+105
⑷ x4+4x3-52x2-112x+384

⑶ x4-2x3-17x2+18x+72
⑷ x4-4x3-14x2+36x+45

08-5  ⑴ x+4, 50x 

⑵ x4+6x3+11x2+6x
⑶ x4+12x3+44x2+48x  ⑷ x4-6x3+11x2-6x

 

 

09-1  ⑴ 2ab, 32  ⑵ a2+b2=14, (a-b)2=12

09-2  ⑴ -1, a-b 

⑶ a2+b2=8, (a-b)2=12
⑷ a2+b2=13, (a-b)2=25
⑸ a2+b2=5, (a-b)2=1

⑵ a2+b2=13, (a+b)2=25
⑶ a2+b2=10, (a+b)2=4
⑷ a2+b2=5, (a+b)2=9
⑸ a2+b2=8, (a+b)2=12

10-1  ⑴ 3, 18  ⑵ ab, 28  ⑶ 20   

⑷  40

⑸ 10

2  ⑹ 74

'
10-2  ⑴ 3  

⑸ 16

5  ⑹ 52

'

⑵ 3, 18  ⑶ 10   

⑷ 20

10-3  ⑴ 2xy, 14  ⑵ x+y, -9  

⑶ 37

⑷ -20  ⑸ 10

10-4  ⑴   2xy, 7  ⑵ x-y, -88 

⑶ 18 

⑷ -14  ⑸ -13

11-1  ⑴ 2  

⑵ 6  

⑶ 2  

⑷ 14

⑻ 27x3-;;°5¢;;x2y+;2#5^;xy2-';12*5;y3
⑵ 2, 8 

06-1  ⑴   1, 1 

⑶ 8x3+1  ⑷   x3+8y3

⑸ 27a3+b3  ⑹ 8a3+27b3

⑸ 27

06-2  ⑴   4, 64  ⑵   2, 8 

⑶ 8x3-1  ⑷ x3-27y3

11-2  ⑴ 4, 29  ⑵ a-

;a!;  ⑶ 20   

⑷ 8

⑸   27a3-b3  ⑹ 8a3-27b3

07-1  ⑴   4b2, 2ca  ⑵ x, y2

⑶ a2+b2+4c2+2ab-4bc-4ca
⑷ x2+9y2+z2-6xy-6yz+2zx
⑸ 4x2+y2+4z2-4xy-4yz+8zx
⑹ x2+25y2+4z2-10xy+20yz-4zx

07-2  ⑴ 3a, (3a)3  

 
⑶ a3-b3+c3+3abc 
⑸ 8x3-27y3+z3+18xyz

⑵ 23, 6xy
⑷ 8x3+y3+6xy-1

⑸ 13  

⑹ 40

11-3  ⑴ 4  

⑵ a+

⑷ 21  

⑸ 12   

;a!;, 5  ⑶ 32
⑹ 45

12-1  ⑴ 2  

⑵ a+

, -18  ⑶ -52

;a!;

⑷ -2 

⑸ 110

12-2  ⑴ 3  

⑵ -4, -76 

⑶ -36

⑷ 14  

⑸ -140

12-3  ⑴ 2, 3, 18  ⑵ 2  

⑶ 52   

⑷ 110

빠른 정답  | 003

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12-4  ⑴ -3, -3  ⑵ -14  ⑶ -76  ⑷ -140

1
x3 =110

1
x3 =14

1
x2 =23, x3+
1
x3 =-18 
1
x3 =-52
1
x2 =6, x3-
1
x3 =-140
1
x3 =-36
⑵ 5  

12-5  ⑴ 4, 52  ⑵ x2+

 

⑶ x2+

1
x2 =7, x3+
1
x2 =14, x3+
12-6  ⑴ -1, 3  ⑵ x2+

⑷ x2+

 

⑶ x2+

⑷ x2+

1
x2 =27, x3-
1
x2 =11, x3-
 

⑷ 12   

⑸ 7

⑷ 2  

⑸ -4

13-2  ⑴ ab+bc+ca, -1 

⑵ 7  

⑶ 7

13-1  ⑴ a+b+c, 7 

⑶ 12 

13-3  ⑴ 5, 5, 3  ⑵ -4 

⑶ 28   

⑷ 1

14-1  ⑴ 2, 10201  ⑵ -1 

14-2  ⑴ 24, 28, 255  

 

⑶ 1000001  ⑷ 999999
516-1
4

38-1
2

  ⑶ 

⑵ 

 

 

 

 

 

⑵ x2-4xy+4y2
⑷ x2-25y2
⑹ x2-xy-20y2
⑻ 6x2+xy-15y2

⑵ 9x2-12xy+4y2

⑷ -x2+9y2
⑹ x2-5xy+6y2
⑻   8x2-6xy-9y2

⑷ 

232-1
3

STEP 2

1-1  ⑴ 9x2+6x+1 
  ⑶ x2-4  
 
  ⑸ x2-4x-21 
  ⑺ 6x2+13xy+5y2 

1-2  ⑴ x2+xy+

y2 

;4!;

  ⑶ 16x2-y2 
 
  ⑸ x2+3x-10 
  ⑺ 6x2+11xy-10y2 
2-1  ⑴ a2+b2=28, (a-b)2=20
  ⑵ a2+b2=2, (a-b)2=0
  ⑶ a2+b2=12, (a+b)2=20
  ⑷ a2+b2=7, (a+b)2=13
1
  ⑸ a2+
a2 =34, 
{
1
a2 =18, 
{
2-2  ⑴ a2+b2=27, (a-b)2=29
  ⑵ a2+b2=10, (a-b)2=4
  ⑶ a2+b2=17, (a+b)2=25
  ⑷ a2+b2=19, (a+b)2=13
1
  ⑸ a2+
a2 =23, 
{
1
a2 =6, 
{

;a!;}
2
=8

  ⑹ a2+

  ⑹ a2+

a-

a-

a+

a+

;a!;}

;a!;}

2
=32

;a!;}
2
=20

2
=21

3-1  ⑴ -3 

3-2  ⑴ -4 

⑵ 3 

⑵ 11 

⑶ -7 

⑶ -7 

⑷ 7

⑷ -12

004  빅터 연산 - 다항식

4-1  ⑴ 27x3+27x2+9x+1  ⑵ 8x3+6x2y+
y3
  ⑶ x3-9x2+27x-27         ⑷ 64x3-48x2y+12xy2-y3
4-2  ⑴ x3+15x2+75x+125
  ⑵ 8x3+60x2y+150xy2+125y3

xy2+

;8!;

;2#;

  ⑶ 27x3-9x2+x-

⑷ 27x3-54x2y+36xy2-8y3

;2Á7 

⑵ x3+64y3
⑷ 64x3-y3

⑵ 27x3+8y3
⑷ 27x3-64y3

5-1  ⑴ x3+27  
  ⑶ x3-1  
 
  ⑸ x2+25y2+z2+10xy+10yz+2zx
  ⑹ 9x2+4y2-12xy+12x-8y+4
  ⑺ x3+y3-9xy+27
5-2  ⑴ 125x3+y3   
  ⑶ x3-8y3 
 
  ⑸ 9x2+y2+z2+6xy-2yz-6zx
  ⑹ 4x2+y2+4xy-12x-6y+9
  ⑺ x3-y3-6xy-8
6-1  ⑴ x4-4x3+8x2-8x 
  ⑶ x4+4x3-4x2-16x
  ⑷ x4+8x3-10x2-104x+105
6-2  ⑴ 4x4-4x3+17x2-8x+15
  ⑵ -x2-2xy-y2+4
  ⑶ x4-2x3-7x2+8x+12  ⑷ x4+8x3-x2-68x+60

⑵ x2+8x-y2+16

⑷ -15

⑷ 80

⑶ 9  

⑶ 28 

⑶ 52

⑶ -14

7-1  ⑴ -2 

7-2  ⑴ 3 

8-1  ⑴ 14 

8-2  ⑴ 6 

9-1  ⑴ 22 

⑵ 3 

⑵ 4 

⑵ 12 

⑵ 8 

⑵ 8

⑵ 20

9-2  ⑴ -5 
10-1 ⑴  39999  ⑵ 232-1
332-1
8

10-2 ⑴ 30301  ⑵ 

STEP 3

01  24a9b8 

02  3 

03  -

;2#;

04 ③

05  8x3+36x2y+54xy2+27y3
06  x3-12x2y+48xy2-64y3
07  64x3+27y3 
09  4x2+9y2+z2-12xy+6yz-4zx
10  x3+8y3-z3+6xyz
11  -4x2+4xy-y2+9 
13  15 

14  ① 

08  x3-125y3

12  x4+4x3-7x2-22x+24
15  ① 

16 ①

17  ③ 

21  ② 

25  ④ 

29  30 

18  ⑤ 

22  ① 

26  7

'§
30  ③ 

10 

19  ⑤ 

23 

13 

'§

27  ① 

31  ③ 

20  10

2

'

24 ②

28 ①
32  216-38

빠른 정답3. 다항식의 나눗셈 

54쪽~69쪽 

STEP 1

01-1  ⑴ 5a   

⑵ -4x2  ⑶ 3a3b3  ⑷ 

6y2
x

⑸ -18a5b5

 
02-1  ⑴ 2b2  

⑵ 2x3  
⑷ 10x2-6xy+4y2  
⑹ -8x3y4-6x2y6+4x3y5

⑶ -b2+2ab-3b
⑸ 6a4b2-9a3b3+12a3b2

03-1  ⑴ x-3, 2 

⑵ 몫 : 2x-1, 나머지 : -1

⑶ 몫 : 2x, 나머지 : -7

⑷ 몫 : 2x-2, 나머지 : 0
⑸ x2+x-4, -2 
⑺ 몫 : 3x2-7x+20, 나머지 : -62
⑻ 몫 : 2x2-2x-1, 나머지 : -4

⑹ 몫 : 2x2+3x+5, 나머지 : 13

⑼ x+1, -x+4 

⑽ 몫 : x+1, 나머지 : 5x-5

⑾ 몫 : 2x+1, 나머지 : 2x+6

⑿ 몫 : 3x+3, 나머지 : -8x-4

04-1  ⑴ 2x-7

⑵ x3-2x2-5x+2=(x-3)(x2+x-2)-4
⑶ 6x3-7x2-8x-9=(2x-5)(3x2+4x+6)+21
⑷ 4x3-x+5=(2x2+x-3)(2x-1)+6x+2

04-2  ⑴ 2x+1, 6x 

 
⑶ x3-3x2-3x+13 
 
04-3  ⑴ x-1, x2+2x-1 
⑶ x2+x-3  
 
05-1  ⑴ 2, x2-x-1, 3 

 

⑵ 10x2-19x+4
⑷ 3x3+x2-20x+23

⑵ 3x-4

⑷ 2x-3
⑵ -2, x2-4x+3, -3

 
05-2  ⑴ 0, x2-x-2, 4 

⑵ 0, x2+2x-1, 1

⑶ 몫 : x2+4x+11, 나머지 : 37
⑷ 몫 : 2x2-5x+1, 나머지 : 0
⑸ 몫 : 2x2-x+1, 나머지 : 3
⑹ 몫 : 3x2-5x+3, 나머지 : -10
⑺ 1, x3+3x2-x+1, 2
⑻ 몫 : x3-4x2+5x-6, 나머지 : 17
⑼ 몫 : 2x3-5x2+4x-1, 나머지 : -3
⑽ 몫 : 3x3+7x2+9x+11, 나머지 : 19

⑶ 몫 : x2, 나머지 : -4
⑷ 몫 : x2-x+2, 나머지 : 4
⑸ 몫 : 2x2-2x+6, 나머지 : -11
⑹ 몫 : x2-6x+12, 나머지 : -24
⑺ 몫 : 2x2-2x+1, 나머지 : -1
⑻ 몫 : 3x2+6x+12, 나머지 : 19
⑼ 0, x3-3x2+6x-11, 20
⑽ 몫 : x3+x2-2x+2, 나머지 : -5
⑾ 몫 : x3+x2+2x+4, 나머지 : 11
⑿ 몫 : x3+3x2+9x+22, 나머지 : 66

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

06-1  ⑴ R, 

Q(x), 

Q(x), R  ⑵ 

Q(x), 

Q(x), R

;2!;

;2!;

;3!;

;3!;

⑶ 몫 : 

Q(x), 나머지 : R  ⑷ 몫 : 

Q(x), 나머지 : R

;4!;

;4!;

;3!;

;5!;

⑸ 몫 : 

Q(x), 나머지 : R  ⑹ 몫 : 

Q(x), 나머지 : R

⑺ 몫 : 3Q(x), 나머지 : R  ⑻ 몫 : 4Q(x), 나머지 : R

⑼ 몫 : 2Q(x), 나머지 : R  ⑽ 몫 : 7Q(x), 나머지 : R

06-2  ⑴ 

, x2+2x-1, -6 

;2!;

⑵ 

;2!;, 

1, x2-x+2, 1

⑶ 몫 : 2x2-x-1, 나머지 : 3
⑷ 몫 : x2-x-2, 나머지 : -1
⑸ 몫 : 2x2-x+2, 나머지 : -3
⑹ 몫 : x2+x-1, 나머지 : -3
⑺ 몫 : x2+3x+2, 나머지 : 9
⑻ 몫 : 2x2+x-1, 나머지 : 1
⑼ 몫 : 2x2-x+1, 나머지 : -5
⑽ 몫 : x2-2x+3, 나머지 : -7
⑾ 몫 : x2-2x+3, 나머지 : -11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⑵ 

b3
2a2  

⑶ 

2x
y2  

2

⑵ -

3a2b5   ⑶ 9xy 

⑷ 8x4y5

⑷ -16x4y9

-

3b2
a
4x2z4
y

2a
b
2xz3
y2

-

   ⑶ 

a2
3bc

+

  ⑶ 

z+

;5@;

2ab
3c2
3xy2
5z

⑵ 2a2b-a+

b2

;2!;

STEP 2

 

1-1  ⑴ 

4b
a

 

1-2  ⑴ 

a2b 

;2!;

2-1  ⑴ 3b2+2a2b  ⑵ 

2-2  ⑴ 

+2xy ⑵ 

x2
2y

3-1  ⑴ 

  ⑶ 

3b
a2 +
b2c
3a

+

4b2
a3 -
c4
2a2 -

 

2
ab
2c2
3a2b

3-2  ⑴ 3y2+

x2y-6y 

;2(;

  ⑶ -

1
3xy

+

2x
3y2 +2x2y2

⑵ 

5y
2xz

-

+

3
2x

2y2
x2z2

4-1  ⑴ 3x2-8x-1=(x-2)(3x-2)-5
  ⑵ 3x3-2x2+x+1=(x-1)(3x2+x+2)+3
  ⑶ x4-3x3+2x-1=(x2+1)(x2-3x-1)+5x
4-2  ⑴ 8x2-6x-2=(2x-1)(4x-1)-3
  ⑵ 6x3-5x2+3x-2=(2x2-x+3)(3x-1)-7x+1
  ⑶ 2x4+3x2-2x-1=(x2+x-1)(2x2-2x+7)-11x+6

5-1  ⑴ 몫 : 3x-8, 나머지 : 19
  ⑵ 몫 : x2+4x+9, 나머지 : 32

  ⑶ 몫 : x-1, 나머지 : 3x

5-2  ⑴ 몫 : x-4, 나머지 : 7
  ⑵ 몫 : x2+2x-1, 나머지 : 1

  ⑶ 몫 : 3x-1, 나머지 : 8x+1

빠른 정답  | 005

14  몫 : 

Q(x), 나머지 : R 

15  몫 : 2Q(x), 나머지 : R

;3!;

STEP 2

 

⑵ x2+x+2

⑵ 2x-1

6-1  ⑴ x3+x2-x+4 
6-2  ⑴ 6x3+x2+4x 
7-1  ⑴ 몫 : x2-2x+3, 나머지 : -4
  ⑵ 몫 : x3+x2+4x+4, 나머지 : 5
  ⑶ 몫 : x2+2x-1, 나머지 : 2
7-2  ⑴ 몫 : x2-3x, 나머지 : 4
  ⑵ 몫 : x3-2x+7, 나머지 : -17
  ⑶ 몫 : x2-x-1, 나머지 : 2

8-1  ⑴ 몫 : 

Q(x), 나머지 : R  ⑵ 몫 : 4Q(x), 나머지 : R

8-2  ⑴ 몫 : 

Q(x), 나머지 : R  ⑵ 몫 : 5Q(x), 나머지 : R

;3!;

;5!;

STEP 3

01  ③ 

 

03  몫 : x-4, 나머지 : 6 

05  몫 : x+3, 나머지 : x+10

02  ④
04  몫 : x2+x-2, 나머지 : -4

06  10 
 
08  3x3-4x2-7x-1 
10  2x2+x-2 
12  16 

 

07  ②
09  2x3-7x2+17x-10 
11  x2+3x+3
13  -3

4. 항등식 

72쪽~85쪽

STEP 1

01-1  ⑴ 방정식  ⑵ 항등식

01-2  ⑴ 항   

⑵ 방   

02-1  ⑴ 0  

⑵ 1  

⑶ 방   

⑶ 6, 4 

⑷ 항

⑷ 2, 5

02-2  ⑴ a=0, b=3  

⑵ a=3, b=-1

⑶ a=1, b=4  

⑸ a=3, b=1  

⑺ a=3, b=3  

03-1  ⑴ 0, 3 

⑷ a=3, b=1

⑹ a=-2, b=1

⑻ a=-2, b=6

⑵ 5, 1

 

 

 

 

 

 

 

 

⑸ a=5, b=-2, c=-2

03-2  ⑴ 1, 4 

⑵ a=2, b=-5, c=-1

⑶ a=1, b=3, c=-9  ⑷ a=-2, b=1, c=-3

⑸ a=2, b=3, c=-1

03-3  ⑴ 2c, 1 

⑵ a=1, b=4, c=-4

⑶ a=2, b=-3, c=3  ⑷ a=1, b=-1, c=1

⑸ a=2, b=-3, c=5

04-1  ⑴ 7x, 6 

⑵ 12x2, 6

⑶ a=27, b=0, c=0, d=-8

⑷ a=1, b=4, c=-2, d=-12

006  빅터 연산 - 다항식

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⑸ a=-10, b=35, c=-50, d=24

05-1  ⑴ 2x+3, 9x, 12 

 

⑵ a=2, b=-9

⑶ a=6, b=11 

 
05-2  ⑴ x2+4x-2, 10x, -5  ⑵ a=-3, b=-2, c=-3

⑷ a=3, b=-8

 

⑶ a=-5, b=-1, c=-1 ⑷ a=2, b=-7, c=2

 
05-3  ⑴ x2+1, 3, -2 

⑵ a=-1, b=-2, c=-4

⑶ a=-1, b=-4, c=3  ⑷ a=6, b=-1, c=-5

06-1  ⑴ 0, 0, -1   

⑵ 0, 0, 2

⑶ x=1, y=-1 

⑷ x=2, y=2

⑸ x=5, y=3 

⑺ x=2, y=1 

⑹ x=1, y=-2

⑻ x=-2, y=5

07-1  ⑴ 0  

⑵ 1  

⑶ -1 

⑷ 50, 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⑸ 48, 24

07-2  ⑴ 27   

⑵ 216 

⑶ 8

07-3  ⑴ 1  

07-4  ⑴ 1, 1 

⑵ 1024  ⑶ 0
⑵ -1, 54  ⑶ 313

07-5  ⑴ 32   

⑵ 0  

⑶ 16

07-6  ⑴ 1, 16  ⑵ -1, 0  ⑶ 16, 8

07-7  ⑴ 0  

⑵ 1024  ⑶ -512

1-1  ⑴   방정식  ⑵   항등식

1-2  ⑴   방정식  ⑵   항등식

2-1  ⑴ a=-2, b=1 

  ⑶ a=6, b=3  

2-2  ⑴ a=1, b=0  

  ⑶ a=-1, b=-2 

3-1  ⑴ a=4, b=-3 

⑵ a=4, b=-2

⑷ a=3, b=-4

⑵ a=3, b=-3

⑷ a=5, b=4

⑵ a=2, b=3

  ⑶ a=2, b=5  

⑷ a=4, b=-2

3-2  ⑴ a=-1, b=3 

  ⑶ a=-3, b=1 

⑵ a=4, b=1

⑷ a=2, b=3

4-1  ⑴ a=1, b=7, c=12 

⑵ a=1, b=0, c=-4

  ⑶ a=6, b=1, c=-2

4-2  ⑴ a=1, b=4, c=-5 

⑵ a=9, b=0, c=-25

5-1  ⑴ a=3, b=-1, c=1 

⑵ a=2, b=5, c=-2

  ⑶ a=1, b=-1, c=-2  ⑷ a=2, b=1, c=0

  ⑸ a=1, b=-9, c=27, d=-27

  ⑹ a=4, b=4, c=-3, d=-2

5-2  ⑴ a=-2, b=3, c=-4  ⑵ a=9, b=-4, c=2

  ⑶ a=2, b=2, c=2 

⑷ a=3, b=1, c=-2

  ⑸ a=8, b=0, c=0, d=1  ⑹ a=1, b=-6, c=3, d=18

6-1  ⑴ a=3, b=-7 

⑵ a=-4, b=7, c=-17

6-2  ⑴ a=3, b=-7, c=14  ⑵ a=4, b=2, c=-5

7-1  ⑴ x=3, y=-3 

⑵ x=1, y=-2

⑶ a=1, b=0, c=2 

⑷ a=4, b=-4, c=-1

  ⑶ a=12, b=5, c=-2

빠른 정답7-2  ⑴   x=1, y=1  

⑵ x=1, y=3

⑶ 4x+1  ⑷ -2x+2  ⑸ 2x+1

8-1  ⑴ 25 

8-2  ⑴ 32 

⑵ -24

⑵ -32

STEP 3

01  ⑤ 

05  6 

02  6 

06  -6 

03  4



07  -4 

04  -3

08  7

10  24 

11  -3 

12  13

09  -

:ª4°: 

13  1, -1, 

310-1
2

 

14  7

5. 나머지정리 

88쪽~103쪽

STEP 1

01-1  ⑴ -1, -5, x+1   

⑵ 2, 1, x2-x-1

⑶ 1, 3, x3+3x2-x+2

01-2  ⑴ Q(x)=x-2, R=-2  ⑵ Q(x)=3x-2, R=-2

⑶ Q(x)=x2-1, R=5  ⑷ Q(x)=x2+2x+2, R=6
⑸ Q(x)=x3+2x+6, R=4
⑹ Q(x)=x3-2x2-4x-10, R=-19

02-1  ⑴ 1, 3 

⑵ -1, 1  ⑶ 28   

⑷ 0

⑸ -

;4%; 

⑹ -

;4#;

02-2  ⑴ 4 

 

⑵ -23  ⑶ ;2%7*;  

⑷ -

;2!7^;

02-3  ⑴ 4  

⑵ 1  

⑶ -

;2¥7;  ⑷ ;2^7@;

03-1  ⑴ 

, 

;2!;

:Á8£:

  ⑵ -

, -

  ⑶ ;2!7^;

:ª8Á:

;2!;

⑷ -

;2%7*;  ⑸ ;2&7&;  

⑹ -

:¢8¦:

⑶ ;6%4(;  
03-3  ⑴ :ª8£: 
04-1  ⑴ 1, -3  ⑵ 2, -4  ⑶ -3 

⑵ ;2&7!;  

⑷ ;1!2%5*;
⑷ -1

⑸ 1  

⑹ ;2!;   

⑺ 2  

⑻ 18

04-2  ⑴ -4, 2, -3  

⑵ 4, 1, 2

⑶ a=-2, b=4 

⑷ a=-1, b=-1

⑸ a=-3, b=1 

⑹ a=-4, b=3

⑺ a=-3, b=-2   

⑻ a=-1, b=4

 

 

⑼ a=-3, b=1

05-1  ⑴ 4x2-4x+4, -x-3  ⑵ 15x-10

⑶ -12x+2
 
05-2  ⑴ -x3-x2-2x, 5  

⑶ 11   

 

 

⑵ -4

⑷ -8

05-3  ⑴ ax+b, a+b, 1   

⑵ x-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

05-4  ⑴ x-2, 1, 4, x+4  

⑵ -3x+2

⑶ -2x+5  ⑷ x+5  ⑸ -x+3

06-1  ⑴ 0, 2 

⑵ 0, -

  ⑶ -6 

:Á2¦:

⑷ -

:°3¥:

⑸ 9  

⑹ 

130
9

06-2  ⑴ 0, -3  ⑵ 0, -

  ⑶ -

  ⑷ 

:Á4¦:

:£2£:

127
16

⑸ 

 

:°9£:
07-1  ⑴ 0, 3, -1, 2 

⑹ -

;1!2!;

 

⑵ a=-4, b=-4

⑶ a=4, b=1  

⑷ a=-1, b=3

⑸ a=-1, b=-8   

⑹ a=11, b=-6

⑺ a=1, b=15

07-2  ⑴ 0, -16, -6, 8   

⑵ a=-1, b=-4

⑶ a=-1, b=3 

 

⑷ a=1, b=-2

⑸ a=-9, b=-9   

⑹ a=-5, b=6

⑺ a=6, b=6

STEP 2

 

1-1  ⑴ -2 

⑵ -32 

⑶ -

;2%7@; 

⑷ -

;2!

~;;

  ⑸ -2 

⑹ -

;3&2(;

1-2  ⑴ -1 

⑵ 55 

⑶ -1 

⑷ -

;2^7&;

  ⑸ -

;2%; 
2-1  ⑴ -2 

2-2  ⑴ 3 

⑹ -

;3@2%;

⑵ 6

⑵ 12

3-1  ⑴ a=2, b=-6 

3-2  ⑴ a=-2, b=4 

⑵ a=-3, b=1

⑵ a=1, b=-3

4-1  ⑴ 4x+2  ⑵ x+3 

⑶ x+1

4-2  ⑴ -x+2  ⑵ x-2 

⑶ -2x+1

5-2  ⑴ 7 

;3*; 
119
9

 

⑵ 

⑶ -

;6&;

⑶ -

:¢4Á:

6-1  ⑴ a=2, b=-13 

⑵ a=-6, b=-8

  ⑶ a=-9, b=-18 

⑷ a=0, b=-7

6-2  ⑴ a=3, b=-4 

  ⑶ a=-8, b=12 

⑵ a=8, b=0

⑷ a=1, b=0

STEP 3

01  f(1) 

02  3 

05  -14 

06  -9 

03  :ª8Á: 
07  22 

04  -5

08  ax+b, -1, -x+2 

09  4x+3 

10  3x+2

11  -

;9@; 

12  -1 

13  48

14  11, 11, -4, -4, 3x+5 

 

빠른 정답  | 007

03-2  ⑴ -

:Á8Á:  ⑵ :°8»: 

⑶ -4 

⑷ -

:Á6Á4£:

5-1  ⑴ -4 

⑵ -

6. 인수분해 

106쪽~133쪽

STEP 1

01-1  ⑴ xy(x+y+1) 

⑵ x+1

⑶ 4xy(x+2) 

⑷ (x+y)(x+y+3)

⑸ (x-y)(y+z) 

 
01-2  ⑴ x+1  ⑵ 3x-1  ⑶ (x+2)2  ⑷ (4x+y)2

⑹ (a+b)(x-y)

 

2

2x+
⑸ 
{

;3!;}

  ⑹ (x-5)2  ⑺ (2x-5)2 ⑻ 
{

x-

2
;[!;}

01-3  ⑴ x+2 

⑵ x-3y

⑶ (3x+y)(3x-y) 

⑷ 
{

x+

y

;5!;

}{

x-

y
}

;5!;

⑸ -(4x+1)(4x-1)  ⑹ (x+y-z)(x-y+z)
⑺ (x2+y2)(x+y)(x-y) ⑻ xy(x+y)(x-y)

 

 

01-4  ⑴ x+3 

⑵ x+2

⑶ (x-1)(x-3)   

⑷ (x-2)(x-4)

⑸ (x-3y)(x-7y) 

⑹ (x-4y)(x+5y)

⑺ (x+3y)(x-8y) 

⑻ (x-2y)(x-5y)

01-5  ⑴ 2x+3 

 

⑵ x-3

⑶ (2x+1)(2x+3) 

⑷ (x+3)(3x+2)

⑸ (x+5y)(2x+y) 

⑹ (2x-1)(2x-5)

⑺ (x-y)(5x-3y) 

⑻ (2x-1)(3x-2)

01-6  ⑴ 3x+7 

 

⑵ 3x-y

⑶ (x+3)(2x-3)  

⑷ (x-2)(5x+3)

⑸ (x-y)(2x+7y) 

⑹ (x+1)(2x-3)

⑺ (x-3y)(7x+y) 

 
02-1  ⑴ x2, x+2  ⑵ 32, x+3  ⑶ (2x+1)3 ⑷ (x+4)3

⑻ (2x+3)(2x-5)

⑸ (x+y)3  ⑹ (3x+y)3 ⑺ (x+5)3

02-2  ⑴ 32, x-3  ⑵ 2x, 2x-y ⑶ (x-1)3  ⑷ (x-4)3

⑸ (3x-y)3 ⑹ (x-5y)3 ⑺ (4x-y)3 ⑻ (3x-2y)3

02-3  ⑴   x+1, x2-x+1  

⑵   2y, x2-2xy+4y2

⑶ (x+3)(x2-3x+9)  ⑷ (2x+1)(4x2-2x+1)
⑸ 2(x+5)(x2-5x+25)  ⑹ (x+4y)(x2-4xy+16y2)
⑺ (3x+2y)(9x2-6xy+4y2)
⑻ x(4x+y)(16x2-4xy+y2)

02-4  ⑴ 2, x2+2x+4 

 

⑵ 4x2+6xy+9y2

⑶ (x-3)(x2+3x+9)  ⑷ (4x-1)(16x2+4x+1)
⑸ (3x-2)(9x2+6x+4)  ⑹ (x-5y)(x2+5xy+25y2)
⑺ (3x-y)(9x2+3xy+y2)
⑻ 2x2y(2x-y)(4x2+2xy+y2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

03-1  ⑴ 2z, x+y+2z 
⑶ (x+3y+z)2 
⑸ (x+y-z)2 

 

 

03-2  ⑴ 1, 1, x+y+1 
⑶ (5x+y+1)2 
⑸ (x-4y+1)2 

 

 

008  빅터 연산 - 다항식

⑵ -z, x-y-z
⑷ (2x+y+3z)2
⑹ (2x-2y+z)2

⑵ -3, x+y-3
⑷ (x+2y+2)2
⑹ (2x-y-5)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

03-3  ⑴ 2y, 3z 

 

 

⑵ 3, x, x+y-z

⑶ (x+2y+z)(x2+4y2+z2-2xy-2yz-zx)
⑷ (x+y+4z)(x2+y2+16z2-xy-4yz-4zx)
⑸ (x-y-z)(x2+y2+z2+xy-yz+zx)
⑹ (3x+y-z)(9x2+y2+z2-3xy+yz+3zx)

03-4  ⑴ 3, y2, x+y+1 

 

⑵ -2, xy, xy

⑶ (x+2y+1)(x2+4y2-2xy-x-2y+1)
⑷ (x+y-3)(x2+y2-xy+3x+3y+9)
⑸ (x-y+4)(x2+y2+xy-4x+4y+16)
⑹ (x-3y+2)(x2+9y2+3xy-2x+6y+4)

04-1  ⑴ t+1, 1  ⑵ 4, 4 

⑶ (x+y-1)(x+y-4)

⑷ (3x+y-2)(3x+y+4)  ⑸ (x-2y-3)(x-2y-5)

04-2  ⑴ 2, x2+5x  

 

⑵ x2-2x, x2-2x, x-3

⑶ (x2+8x-4)(x+1)(x+7) ⑷ (x+1)(x+2)(x-1)(x+4)
⑸ (x2+4x+1)(x-1)(x+5)

05-1  ⑴ t-6, x2+x, x+4  ⑵ x-5, t-3, x2-2x

⑶ x2+3x, t+6, x+4  ⑷ (x2-2x-5)(x2-2x-33)
⑸ (x-2)(x+3)(x2+x-8) ⑹ (x2-x+4)(x+3)(x-4)
⑺ (x2+6x+3)(x+1)(x+5)

06-1  ⑴ X+3, x+1 

 

⑵ 9X, x2, x-2

⑶ (x+1)(x-1)(x+2)(x-2)

⑷ (x+1)(x-1)(x+3)(x-3)
⑸ (x+1)(x-1)(x2+2)  ⑹ (x+3)(x-3)(2x2+1)
⑺ (x+2)(x-2)(3x2-2)  ⑻ (x2+4)(x+2)(x-2)

06-2  ⑴ 2x, 2x, 2x 

⑵ x2, x, x

⑶ (x2+4x+8)(x2-4x+8)  ⑷ (x2+3x+5)(x2-3x+5)
⑸ (x2+x+3)(x2-x+3)

 
06-3  ⑴ 9x2, x2-3, 3x 

⑵ 10x2, 5x, 5x

⑶ (x2+3x-1)(x2-3x-1)  ⑷ (x2+2x-4)(x2-2x-4)
⑸ (x2+2x-5)(x2-2x-5)

07-1  ⑴ 2x+y-1  
⑶ y3, x2-y2  

 

⑵ x+y, x-yz

⑷ (-3x+y+1)(y-2)

 

 

 

 

⑸ (3x-2)(x-4y+1)  ⑹ (x+y)(x-y+z)

⑺ (y+z)(2x+y-z)  ⑻ (x+2z)(x-3y-2z)

⑼ (y+z)(y-z)(x+y)  ⑽ (x+z)(x-z)(y+z)

07-2  ⑴ -2y+3, (-2y+3)x, x-2y+3

⑵ 3y+1, x+3y+1 

⑶ (x+2y+1)(x+2y-5)

⑷ (x+2y+3)(2x+y+4) ⑸ (x-3y-2)(x-4y+1)

⑹ (x-y+2)(x-3y-1) ⑺ (x-y-1)(x-2y-5)

⑻ (x-y-4)(3x-2y+1)

08-1  ⑴ x-1, 1, x2-2x+2  ⑵ x+1, -1, x-3

⑶ (x-1)(x+2)2   
⑷ (x+2)(x-3)(x-5)
⑸ (x-1)(x+2)(x-4)  ⑹ (2x-1)(x2+3x-2)

08-2  ⑴ -2, x+2, x-1

⑵ (x-1)(x+2)(x-2)(x+3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

빠른 정답 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⑶ (x+1)2(x+2)(x-3)
⑷ (x-1)(x+1)(2x2-2x+1)
⑸ (x+2)(x-3)(x2+3)
⑹ (x+1)(x-2)(3x2+2)  ⑺ (x-1)(x+2)(x+3)(x-4)

09-1  ⑴ a2-b2, b2, 직각삼각형  ⑵ b-c, c-a, 정삼각형

⑶ b=c인 이등변삼각형  ⑷ a=b인 이등변삼각형

⑸ b=c인 이등변삼각형

⑹ 빗변의 길이가 c인 직각삼각형   

⑺ 정삼각형

10-1  ⑴ 3ab, 9  ⑵ 91   

⑶ 21   

⑷ 10

⑸ b-c, a-c, 5, 30 

⑹ 6

⑺ 20   

⑻ -30

11-1  ⑴ a+1, 9800 

⑵ a2+ab+b2, a-b, 10

⑶ 49, 100, 800 

⑷ 80   

⑸ 10000

⑹ 1000  ⑺ 

;4Á0;

⑻ 

;6Á0;

 

 

  

STEP 2

 

1-1  ⑴ -2ab(a2b-6a-2)  ⑵ (a+b)(a+b-1)
  ⑶ (x+z)(x-y)
1-2  ⑴ -3ab(3ab2+2a-b-5)
  ⑵ (a+b)(a-b)2 

⑶ (b-c)(c+a)

2-1  ⑴ (x+3)2  ⑵ (a-10)2  ⑶ 
{

x+

;5!;}

  ⑷ 
{

x-

;4#;}

2

2

  ⑸ (3a+5b)(3a-5b)

2-2  ⑴ (3x+4y)2 ⑵ (2a-7b)2 ⑶ 

2

2

x+y

  ⑷ 
{

}

3x-

;3@;}

{;2!;

  ⑸   (2x+y+z)(2x-y-z)

3-1  ⑴ (x+2)(x+8) 

⑵ (x-y)(x+5y)

  ⑶ (a+3b)(5a+b) 

⑷ (3x-y)(4x+3y)

3-2  ⑴ (a-3b)(a-5b) 

⑵ (x+4)(x-8)

  ⑶ (a-6)(3a-5) 
4-1  ⑴ (x-2y-2)2 
  ⑶ (x-1)(x-2)(x+1)(x-4)
  ⑷ (x-1)(x+3)(x2+2x+6)

⑷ (2x-3y)(4x+5y)

⑵ (a+b-2)(a+b-3)

4-2  ⑴ (x-y-2)(x-y-7)  ⑵ (a-3b+2)(a-3b-6)
  ⑶ (x2-x-3)(x+3)(x-4)  ⑷ (x2+x+5)(x-2)(x+3)

5-1  ⑴ (5x+y)3  ⑵ 
{

x+

;3!;}

  ⑶ (x-2y)3  ⑷ 
{

a-

;4!;}

  ⑸ (2x+5)(4x2-10x+25)  ⑹ 3xy2(x+3y)(x2-3xy+9y2)
  ⑺ (2x-1)(4x2+2x+1)
  ⑻ 2xy(2x-3y)(4x2+6xy+9y2)

3

3

3

3

5-2  ⑴ (3a+2)3  ⑵ 
{

2x+

;2!;}

 ⑶ (2x-3y)3 ⑷ 
{

3x-

;2!;}

  ⑸ (4a+3b)(16a2-12ab+9b2)
  ⑹ 5abc3(a+2b)(a2-2ab+4b2)

  ⑺ 
{

a-

;3!;}{

a2+

a+

;3!;

;9!;}

  ⑻ 2c2(5a-2b)(25a2+10ab+4b2)

⑵ (2a+b-5c)2
⑷ (x-4y+3)2

⑵ (x-2y+3z)2
⑷ (3x+y+2)2

6-1  ⑴ (x-y+4z)2 
  ⑶ (x+y+6)2 
  ⑸ (x+y+3z)(x2+y2+9z2-xy-3yz-3zx)
  ⑹ (x-y+2z)(x2+y2+4z2+xy+2yz-2zx)
  ⑺ (x+y+3)(x2+y2-xy-3x-3y+9)
  ⑻ (2x-y-1)(4x2+y2+2xy+2x-y+1)
6-2  ⑴ (3x+y-z)2 
  ⑶ (a-b+2)2 
  ⑸ (2x+4y+z)(4x2+16y2+z2-8xy-4yz-2zx)
  ⑹ (2x-y-z)(4x2+y2+z2+2xy-yz+2zx)
  ⑺ (x+2y+4)(x2+4y2-2xy-4x-8y+16)
  ⑻ (x-2y+2)(x2+4y2+2xy-2x+4y+4)
7-1  ⑴ (x+2)(x-5)(x2-3x+12)
  ⑵ (x2+1)(2x+1)(2x-1)
  ⑶ (x2+4x+2)(x2-4x+2)  ⑷ (x2+5x+3)(x2-5x+3)
  ⑸ (x2+x-1)(x2-x-1)  ⑹ (x2+x-3)(x2-x-3)
7-2  ⑴ (x-1)2(x2-2x-12)  ⑵ (x2-2)(x+3)(x-3)
  ⑶ (x2+2x+5)(x2-2x+5)  ⑷ (x2+2x+4)(x2-2x+4)
  ⑸ (x2+3x-2)(x2-3x-2)  ⑹ (x2+3x-6)(x2-3x-6)

8-1  ⑴ (2x-1)(x+y-3) 

⑵ (x+2y)(x+y+z)

  ⑶ (x+2y+3)(x+3y+4)

8-2  ⑴ (y-3)(x+5y-1) 

⑵ (x+z)(x-z)(x+y)

  ⑶ (x+y-1)(2x-y+3)
9-1  ⑴ (x-2)(x-3)2 
9-2  ⑴ (2x-1)(2x2-x+2)  ⑵ (x-2)(x+3)(x2-x-1)

⑵ (x-1)(x-2)(x2-3)

STEP 3

01  x2+3x를 치환 
03  ③ 
05  (3x-5y)3 

02  x+2
04  (2x+3)3
06  5(a+2)(a2-2a+4)

07 

x-
{

;2};}{

x2+

xy
2

+

y2
4 }  08  (4x+y-2z)2

09  (a-b+4)2
10  (x+2y-2z)(x2+4y2+4z2-2xy+4yz+2zx)

11 

x+2y+

x2+4y2-2xy-

x-y+

{

;2!;

;2!;}{

;4!;}
13  (x-1)(x-4)(x-2)(x-3)
12  (x+y+1)(x+y+2) 
15  (x2+4x-3)(x2+4x-6)
14  x+4, t+2, x2+3x-6 
16  (3x+1)(3x-1)(x2+1)  17  (x2+3x+8)(x2-3x+8)
18  (x-1)(x+4)(x+1)(x-4)
19  0 
21  (x+y)(x-y)(x-z) 
23  (x-2)(x+3)(x+4) 
25  (x-1)2(x+1)(x+2)  26 ②
27  a=c인 이등변삼각형 

22  3b+1, b+2, a+b+2
24  (x-1)(x+2)(x-3)(2x-1) 

20  (a-b)(a+b+c)

28  21

29  6 

30  45

31  80

빠른 정답  | 009

1

다항식의 덧셈과 뺄셈

STEP 1

 

6쪽~13쪽 

01-1  ⑴ x에 대한 삼차식이다.

⑵ -x2이므로 x2의 계수는 -1이다.

04-2  ⑴ 2(2x+1)+(5-6x) =4x+2+5-6x 

⑵ (2x-3y)+3(2y-5x) =2x-3y+6y-15x  

=-2x+7

=-13x+3y

=2x+6

=-4x-3y

⑶ (4x+7)-;3!;

(6x+3) =4x+7-2x-1 

⑷ (2x+y)-2(3x+2y) =2x+y-6x-4y 

01-2  ⑴ x에 대한 이차식, y에 대한 일차식이다.

⑵  x에 대하여 정리하면 x2y+(2y-1)x-3y-5이므

⑶  y에 대하여 정리하면 (x2+2x-3)y-x-5이므로 

⑷  x에 대한 상수항은 x를 포함하지 않는 항이므로 

로 x의 계수는 2y-1

y의 계수는 x2+2x-3

-3y-5

05-1  ⑴  3x-{x+2(3x-1)} 
=3x-(x+6x - 2) 

=3x-(7x-2) 

=3x-7x+2 

=-4x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⑵ x-3[x-{2x-2(x+1)}]

=x-3{x-(2x-2x - 2)}

=x-3(x+ 2 )

=x-3x-6

=-2x-6

⑶   (2x-3y)-{x-2(x-y)} 

 

=2x-3y-(x-2x+2y)  

=2x-3y-(-x+2y) 

 

=2x-3y+x-2y 

 

=3x-5y

⑷ 2x-{3(x+y)-5y}  =2x-(3x+3y-5y)   

=2x-(3x-2y) 

=2x-3x+2y 

=-x+2y

=x+2(x-1)   

=x+2x-2 

 

=3x-2

=4x-(-2x+6) 

=4x+2x-6 

 

=6x-6

⑺ 2x-[x-{2x+4(x-1)+1}]

=2x-{x-(2x+4x-4+1)}

=2x-{x-(6x-3)}

=2x-(x-6x+3)

=2x-(-5x+3)

=2x+5x-3

=7x-3

 

 

 

 

  

  

  

  

 

 

 

 

 

  

  

  

  

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

02-1  ⑴ -2x2-3x+1
 

⑵ 2+5x-x2

02-2  ⑴   x : 2x2-x-y2+2y+1 
y : -y2+2y+2x2-x+1
⑵   x : x3+2x2+xy+y2+4y   
y : y2+(x+4)y+x3+2x2

 

 

03-1  ⑴ 3x+2+5x+4 =(3+5)x+ 2 +4   

= 8 x+6
⑵ 5x-3x+2y-7y =(5-3)x+(2- 7 )y 

= 2 x-5y

⑵ x-5-4x+9 =(1-4)x-5+9 

 

 

=9x+3

=-3x+4

=7x+8y

=x+4y

⑷ 3x-2x+6y-2y =(3-2)x+(6-2)y 

04-1  ⑴ (3x+1)+(2x-1) =3x+1+ 2 x-1 
=(3+ 2 )x+1-1 

=5x

⑵ (5x-1)-(5-3x) =5x-1-5+ 3x  

=(5+ 3 )x-1-5 

=8x-6

010  정답과 풀이

 

 

 

 

 

 

 

03-2  ⑴ 5x+2+4x+1 =(5+4)x+2+1 

⑸  x+2{2x-(x+1)}  =x+2(2x-x-1) 

⑶ 5x+2x+6y+2y =(5+2)x+(6+2)y 

⑹  4x-{x-3(x-2)}  =4x-(x-3x+6) 

06-1  ⑴ 

x+2
2

+

5-x
4

=

2 (x+2)+(5-x)
4

⑽ 

x-4
5

-(x+3)=

(x-4)-5(x+3)
5

 

  

  

  

  

  

 

  

  

  

  

  

 

  

  

  

  

  

  

  

  

 

  

  

  

 

 

 

  

  

 

  

  

⑻ 4x+3-[x+2-{3x+(2x+1)}]

=4x+3-{x+2-(5x+1)}

=4x+3-(x+2-5x-1)

=4x+3-(-4x+1)

=4x+3+4x-1

=8x+2

⑼ 3y-[2x-{(-x+2y)+(3x+2y)}]

=3y-{2x-(-x+2y+3x+2y)}

=3y-{2x-(2x+4y)}

=3y-(2x-2x-4y)

=3y+4y

=7y

⑽ 6x-[3x-2y-{2x-(x+y)}]

=6x-{3x-2y-(2x-x-y)}

=6x-{3x-2y-(x-y)}

=6x-(3x-2y-x+y)

=6x-(2x-y)

=6x-2x+y

=4x+y

⑵ 

2x+1
3

-

4x+2
9

=

=

2x+4+5-x
4

=

x+9
4
3(2x+1)-(4x+2)
9

=

6x+3-4x-2
9
= 2x+ 1

9

⑶ 

x-1
2

+

2x+1
3

=

3(x-1)+2(2x+1)
6

 

⑷ 

3x-1
4

+

x+1
6

=

3(3x-1)+2(x+1)
12

=

3x-3+4x+2
6

=

7x-1
6

=

9x-3+2x+2
12

=

11x-1
12

=

4x-8+15-5x
20

=

-x+7
20

⑸ 

x-2
5

+

3-x
4

=

4(x-2)+5(3-x)
20

 

  

  

 

  

  

 

  

  

 

  

  

 

 

  

 

 

 

 

 

⑹ 

4x+5
3

+2x-1=

(4x+5)+3(2x-1)
3

⑺ 

2x-1
3

-

x-1
2

=

2(2x-1)-3(x-1)
6

⑻ 

2x-4
3

-

2x+3
5

=

5(2x-4)-3(2x+3)
15

⑼ 

x+1
6

-

2x+3
8

=

4(x+1)-3(2x+3)
24

=

4x+5+6x-3
3

=

10x+2
3

=

4x-2-3x+3
6

=

x+1
6

=

10x-20-6x-9
15

=

4x-29
15

=

4x+4-6x-9
24

=

-2x-5
24

=

x-4-5x-15
5

=

-4x-19
5

 

07-1  ⑴   2x+y+5-3y-3x-6   

=(2-3)x+(1- 3 )y+5-6 

=- x -2y-1

⑵   2x2-x-3-5x+3x2+4   

 

 

 

=(2+3)x2+(-1-5)x+(-3+ 4 ) 
= 5x2 -6x+1

⑶   (3x+4y-2)-(y+x-1) 

=3x+4y-2-y- x +1  

=2x+ 3y -1

⑷ 3x+2x+3-4  =(3+2)x+3-4 

 

=5x-1

⑸   x2+7x+2-2x2-3x-7   
=x2-2x2+7x-3x+2-7 
=-x2+4x-5

⑹   x2y-2xy+3xy2-2x2y+xy2-xy   
=x2y-2x2y-2xy-xy+3xy2+xy2 
=-x2y-3xy+4xy2

 

 

1. 다항식의 덧셈과 뺄셈  | 011

 

 

 

 

 

 

 

 

⑺   (5x+y+1)+(2y-3x+2) 

=5x-3x+y+2y+1+2  

=2x+3y+3

⑻   (x2-3x+2)+(3x2+x-4) 
=x2+3x2-3x+x+2-4  
=4x2-2x-2

⑼   (x3-2x2+4)+2(2x2-3x-7) 
=x3-2x2+4x2-6x+4-14 
=x3+2x2-6x-10

⑽   (x2-xy+y2)-(2x2+xy-y2) 
=x2-xy+y2-2x2-xy+y2 
=-x2-2xy+2y2

⑾   (2x+y+3)-2(x+2y+1) 

=2x+y+3-2x-4y-2   

=-3y+1

 

 

 

 

 

 

 

08-1  A=3x2+4x-1, B=x2-x+2이므로
 

⑴ A+2B =(3x2+4x-1)+2(x2-x+2) 

 

⑵ 2A-3B =2(3x2+4x-1)-3(x2-x+2) 

=3x2+4x-1+2x2-2x+ 4  
=5x2+ 2 x+3

=6x2+8x-2-3x2+ 3 x-6 
=3x2+11x- 8

08-2  A=2x2-3x+1, B=3x2+x-4이므로
 

⑴ 3A-2B =3(2x2-3x+1)-2(3x2+x-4)   

⑵ 4A-2B =4(2x2-3x+1)-2(3x2+x-4)   

=6x2-9x+3-6x2-2x+8 

=-11x+11

=8x2-12x+4-6x2-2x+8 
=2x2-14x+12

=-2x2+3x-1+6x2+2x-8 
=4x2+5x-9

⑷ -A-5B =-(2x2-3x+1)-5(3x2+x-4) 
=-2x2+3x-1-15x2-5x+20   
=-17x2-2x+19

08-3  A=-x2+2xy+y2, B=2x2-xy+3y2이므로
 

⑴   (3A+B)-A 

 

 

= 2A +B 
=2(-x2+2xy+y2)+(2x2-xy+3y2) 
=-2x2+4xy+2y2+2x2-xy+3y2 
= 3xy +5y2

012  정답과 풀이

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⑵   2A+(A-2B)   

 

=3A-2B 
=3(-x2+2xy+y2)-2(2x2-xy+3y2) 
=-3x2+6xy+3y2-4x2+2xy- 6y2  
= -7x2 +8xy-3y2

⑶   B+2(A+2B) 

=B+2A+4B 

 

 

 

=2A+5B 
=2(-x2+2xy+y2)+5(2x2-xy+3y2) 
=-2x2+4xy+2y2+10x2-5xy+15y2 
=8x2-xy+17y2
⑷   3(A-2B)+2B 

 

=3A-6B+2B 

 

 

=3A-4B 
=3(-x2+2xy+y2)-4(2x2-xy+3y2) 
=-3x2+6xy+3y2-8x2+4xy-12y2 
=-11x2+10xy-9y2
⑸   -(2B+A)+3(A-B)   

=-2B-A+3A-3B 

 

 

=2A-5B 
=2(-x2+2xy+y2)-5(2x2-xy+3y2) 
=-2x2+4xy+2y2-10x2+5xy-15y2 
=-12x2+9xy-13y2
⑹   2(A-2B)-3(3A+B)   

=2A-4B-9A-3B  

=-7A-7B 
 
=-7(-x2+2xy+y2)-7(2x2-xy+3y2)   
=7x2-14xy-7y2-14x2+7xy-21y2 
=-7x2-7xy-28y2

 

09-1  A=x2+xy-3y2, B=3x2-5xy+y2이므로 
 

⑴    X-2A=B에서 

 

 

 

 

=2(x2+xy-3y2)+(3x2-5xy+y2) 
=2x2+2xy- 6y2 +3x2-5xy+y2 
=5x2- 3xy -5y2

⑵  X-2B=A에서

⑵  X  =A+2B 

=(x2+xy-3y2)+2(3x2-5xy+y2) 
=x2+xy-3y2+ 6x2 -10xy+2y2 
=7x2-9xy- y2

⑶  A+X=B+2X에서

⑵ X  =A-B 

=(x2+xy-3y2)-(3x2-5xy+y2) 
=x2+xy-3y2-3x2 + 5xy-y2   
= -2x2 +6xy-4y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⑶ -A+2B =-(2x2-3x+1)+2(3x2+x-4) 

X  =2A+B 

⑸  2A-X=2(B-X), 즉 2A-X=2B-2X에서 

    ∴ X=x2-xy+2y2

09-2  ⑴ X-A=2B에서

 

 

 

 

  X  =A+2B 

 
=(-x2+4xy+2y2)+2(2x2-xy-3y2)   
=-x2+4xy+2y2+4x2-2xy-6y2 
=3x2+2xy-4y2

 

⑵  X+A=3B에서 

X  =-A+3B 

=-(x2+2xy-y2)+3(2x2-xy-y2) 
=-x2-2xy+y2+6x2-3xy-3y2 
=5x2-5xy-2y2

⑶  2A-X=B에서 

X  =2A-B 

=2(3x2-xy-2y2)-(-x2-2xy+y2) 
=6x2-2xy-4y2+x2+2xy-y2   
=7x2-5y2

⑷  2X+A=3(X-B), 즉 2X+A=3X-3B에서 

X  =A+3B 

 
=(2x2+3xy+y2)+3(-2x2+xy-3y2) 
=2x2+3xy+y2-6x2+3xy-9y2  
=-4x2+6xy-8y2

 

 

 

X  =-2A+2B 

 
=-2(-5x2+2xy+y2)+2(x2-3xy-2y2) 
=10x2-4xy-2y2+2x2-6xy-4y2 
=12x2-10xy-6y2

 

09-3  ⑴ 3X+A=-2B에서

3X  =-A-2B 

 

=-(-2x2-xy+5y2)-2(-2x2-4xy-y2) 
=2x2+xy-5y2+4x2+8xy+2y2 
= 6x2 +9xy-3y2
    ∴ X= 2x2 +3xy-y2

 

⑵   2(X+2A)=B, 즉 2X+4A=B에서 

 

2X  =-4A+B 

 
=-4(-x2+xy+2y2)+(2x2-4xy+10y2)  
=4x2-4xy-8y2+2x2-4xy+10y2 
= 6x2 -8xy+2y2
    ∴ X= 3x2 -4xy+y2

 

⑶   B-2X=X-2A에서  

3X  =2A+B 

 

=2(-x2+2xy+2y2)+(-4x2-xy-y2) 
=-2x2+4xy+4y2-4x2-xy-y2 
=-6x2+3xy+3y2
    ∴ X=-2x2+xy+y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⑷   X+2A=3X+B에서  

2X  =2A-B 

 

=2(3x2-2xy+y2)-(-2x2-4xy-4y2) 
=6x2-4xy+2y2+2x2+4xy+4y2 
=8x2+6y2
    ∴ X=4x2+3y2

 

⑸   A-2(X+B)=B, 즉   

A-2X-2B=B에서   

2X  =A-3B 

 
=(-x2+xy+4y2)-3(3x2-5xy+2y2)  
=-x2+xy+4y2-9x2+15xy-6y2 
=-10x2+16xy-2y2

 

    ∴ X=-5x2+8xy-y2

⑹   X-A=2(B-2X), 즉 

 

X-A=2B-4X에서  

5X  =A+2B 

 
=(3x2-3xy+2y2)+2(x2-xy+4y2) 
=3x2-3xy+2y2+2x2-2xy+8y2 
=5x2-5xy+10y2

 

⑺   4A-X=3(A+B+X), 즉  

4A-X=3A+3B+3X에서 

4X  =A-3B 

=(5x2+2xy+3y2)-3(-x2+2xy-3y2) 
=5x2+2xy+3y2+3x2-6xy+9y2 
=8x2-4xy+12y2
    ∴ X=2x2-xy+3y2

 

⑻   A+4(X+2B)=3A+2B, 즉 

A+4X+8B=3A+2B에서 

2X  =A-3B 

=(-x2-5xy+2y2)-3(-x2-xy+2y2) 
=-x2-5xy+2y2+3x2+3xy-6y2 
=2x2-2xy-4y2
    ∴ X=x2-xy-2y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⑼   A+2(X-B)=4X+2A, 즉 

A+2X-2B=4X+2A에서 

2X  =-A-2B 

 

=-(-2x2+2xy+2y2)-2(3x2+2xy-2y2) 
=2x2-2xy-2y2-6x2-4xy+4y2 
=-4x2-6xy+2y2
    ∴ X=-2x2-3xy+y2

 

1. 다항식의 덧셈과 뺄셈  | 013

 

 

 

 

STEP 2

 

14쪽~17쪽

1-1 ⑴ 6x+5
  ⑵ 5x+5y

  ⑶ (2x+6)+(4x+3)=2x+6+4x+3=6x+9

  ⑷ (x-1)-(3-5x)=x-1-3+5x=6x-4

  ⑸   2x+{3x+2(x-2)}  =2x+(3x+2x-4) 

 

=2x+5x-4 

=7x-4

  ⑹   (5-3x)-{5x-(-4x+1)} 

=5-3x-(5x+4x-1) 

 

=5-3x-9x+1 

 

=-12x+6

1-2 ⑴ 4x-1
  ⑵ 3x+2y

  ⑶ (2x+3)+(5x-1)  =2x+3+5x-1  

  ⑷   2(-3x+2)-3(2x+1)  =-6x+4-6x-3 

 

=7x+2

=-12x+1

  ⑸  (x-3)+2{-3x+(x-1)}  

=x-3+2(-2x-1) 

=x-3-4x-2 

=-3x-5

 

 

  ⑹  3x-{4x-(x+3)}  =3x-(3x-3)   

=3x-3x+3 

 

=3

2-1 ⑴  3+2[2x+{x-(2-4x)}] 

 
=3+2{2x+(x-2+4x)}   

=3+2(7x-2)=14x-1

  ⑵   -2x-3[x-{4(x-1)+1}] 

=-2x-3{x-(4x-4+1)} 

=-2x-3{x-(4x-3)} 

 

=-2x-3(x-4x+3)  

=-2x-3(-3x+3)   

=-2x+9x-9=7x-9

  ⑶ 

2x-3
2

+

x+5
3

=

3(2x-3)+2(x+5)
6

  

  

  

  

014  정답과 풀이

=

6x-9+2x+10
6

=

8x+1
6

=

3x-6y-5x+20y
15

=

-2x+14y
15

  ⑸   2(x+2)+

2x-5
3

=

6(x+2)+(2x-5)
3

=

6x+12+2x-5
3

=

8x+7
3

  ⑹ 4(x-1)-

(2x-6)=4x-4-x+3

;2!;

  =3x-1

2-2 ⑴  3x-2+[2x-3{-x+2+(2x+1)}]  
=3x-2+{2x-3(x+3)}   

=3x-2+(2x-3x-9) 

 

=3x-2-x-9 

=2x-11

  ⑵   4x+1-[x-2{-4x+(2x+1)}] 

 

 

=4x+1-{x-2(-2x+1)} 

=4x+1-(x+4x-2)  

=4x+1-5x+2 

=-x+3

  ⑶ 

2x-1
9

+

x+3
6

=

2(2x-1)+3(x+3)
18

 

 

  ⑷ 

3x-4
5

-

x+1
2

=

2(3x-4)-5(x+1)
10

=

4x-2+3x+9
18

=

7x+7
18

=

6x-8-5x-5
10

=

x-13
10

=

6x+3-x-2
3

=

5x+1
3

=

5x-2-4x+8
4

=

x+6
4

  ⑸ 2x+1+

-x-2
3

=

3(2x+1)+(-x-2)
3

  ⑹ 

-(x-2)=

5x-2
4

(5x-2)-4(x-2)
4

 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

 

3-2 ⑴ -3x2+2x+3
  ⑵ -x2+(3y+1)x+2y2-5

  ⑷ 

x-2y
5

-

x-4y
3

=

3(x-2y)-5(x-4y)
15

3-1 ⑴ 2x2-x+1
  ⑵ 3x3+x2-5x+2

4-1 ⑴ 3+x-x2
  ⑵ 5-4x+4x2

4-2 ⑴ 1+x-2x2+2x3
  ⑵ -y+3x+(2y+1)x2-x3

5-1 ⑴   4x+2y-5
  ⑵   (4x+2y+1)+(-2x+y-2) 

=4x+2y+1-2x+y-2    

=2x+3y-1

  ⑶   2x+7y+3-(4x-y+5) 

=2x+7y+3-4x+y-5 

=-2x+8y-2

 

 

  ⑷   (4x2-x-2)-(x2+2x+4) 
=4x2-x-2-x2-2x-4   
=3x2-3x-6

5-2 ⑴   (2x2-3x)+(2x2+2x+1)  
 

=2x2-3x+2x2+2x+1 
=4x2-x+1

  ⑵   (x3-x2+1)+(4x3-2x2+3x+2) 

=x3-x2+1+4x3-2x2+3x+2 
=5x3-3x2+3x+3

  ⑶   (2x2+xy-3y2)-(-x2-3xy+y2)   
=2x2+xy-3y2+x2+3xy-y2 
=3x2+4xy-4y2

 

  ⑷   (2x3-x2+2)-(3x3-5x2-x+4) 

=2x3-x2+2-3x3+5x2+x-4 
=-x3+4x2+x-2

6-1 A=x2-x-5, B=2x2-x+6이므로
  ⑴   -A+B 

 

=-(x2-x-5)+(2x2-x+6) 
=-x2+x+5+2x2-x+6  
=x2+11

  ⑵   A+(2A-B) 

=A+2A-B 

 

 

 

=3A-B 
=3(x2-x-5)-(2x2-x+6) 
=3x2-3x-15-2x2+x-6 
=x2-2x-21

  ⑶   (A+2B)-(3A-B)   

=A+2B-3A+B 

 

 

=-2A+3B 
=-2(x2-x-5)+3(2x2-x+6) 
=-2x2+2x+10+6x2-3x+18 
=4x2-x+28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6-2 A=x2+3x-1, B=x2-x-1이므로
  ⑴   2A+3B 

 

=2(x2+3x-1)+3(x2-x-1) 
=2x2+6x-2+3x2-3x-3 
=5x2+3x-5

  ⑵   3A-2(A-B) 

=3A-2A+2B 

 

=A+2B 
=(x2+3x-1)+2(x2-x-1) 
=x2+3x-1+2x2-2x-2  
=3x2+x-3

  ⑶   (A-3B)-(2A-B)   

=A-3B-2A+B 

 

 

=-A-2B 
=-(x2+3x-1)-2(x2-x-1) 
=-x2-3x+1-2x2+2x+2 
=-3x2-x+3

 

 

 

 

 

 

 

 

7-1 ⑴   A-3X=2B에서 

3X  =A-2B 

=(2x2-x+8)-2(-2x2+x+1) 
=2x2-x+8+4x2-2x-2 
=6x2-3x+6
  ∴ X=2x2-x+2

 

  ⑵   3(X+A)=B, 즉 3X+3A=B에서  

3X  =-3A+B 

=-3(-2x2-3xy+y2)+(-3x2-3xy+12y2) 
=6x2+9xy-3y2-3x2-3xy+12y2 
=3x2+6xy+9y2
  ∴ X=x2+2xy+3y2

7-2 ⑴   2(X+3A)=A+B, 즉 2X+6A=A+B에서 

2X  =-5A+B 

 
=-5(-x2+xy-y2)+(x2+3xy-3y2) 
=5x2-5xy+5y2+x2+3xy-3y2  
=6x2-2xy+2y2
  ∴ X=3x2-xy+y2

  ⑵   A+2(X+B)=-2B, 즉 A+2X+2B=-2B에서 

2X  =-A-4B 

 

 

=-(2x2+12x-8)-4(x2-2x+1) 
=-2x2-12x+8-4x2+8x-4   
=-6x2-4x+4

 

  ∴ X=-3x2-2x+2

1. 다항식의 덧셈과 뺄셈  | 015

 

 

 

STEP 3

 

18쪽~19쪽

01  x2+(-2y+1)x+y2

02  y+xy+2x2-x3

03    2x-3y+1-2y+x+5+3x   

=2x+x+3x-3y-2y+1+5   

=6x-5y+6

04    (4x-y-1)-2(x-2y+1)   
=4x-y-1-2x+4y-2 
 

=2x+3y-3

05    (-2x2+xy+3y2)+(x2+4xy+y2) 
=-2x2+xy+3y2+x2+4xy+y2 
=-x2+5xy+4y2

06    (3x3-2x2+x)+(-x3+x2+3x-2) 
=3x3-2x2+x-x3+x2+3x-2 
=2x3-x2+4x-2

 

 

 

07    {x+2-3(2x-1)}-{x-3(x-2)-4}  
=(x+2-6x+3)-(x-3x+6-4) 
 

=(-5x+5)-(-2x+2) 

 

=-5x+5+2x-2 

 

=-3x+3

08    5x+2-[x-3+{x-3(x-2)-4}] 
=5x+2-{x-3+(x-3x+6-4)} 

 

 

=5x+2-{x-3+(-2x+2)}  

=5x+2-(x-3-2x+2) 

 

=5x+2-(-x-1) 

=5x+2+x+1 

=6x+3 

 

 

 

따라서 처음으로 틀린 부분은 ㉤이다.

09 

x2+2x-1
3

-

3x2-x+1
2

  =

2(x2+2x-1)-3(3x2-x+1)
6

  =

  =

2x2+4x-2-9x2+3x-3
6
-7x2+7x-5
6

016  정답과 풀이

10 

2x2+xy-y2
6

-

2x2-xy+3y2
3

  =

(2x2+xy-y2)-2(2x2-xy+3y2)
6

  =

2x2+xy-y2-4x2+2xy-6y2
6

  =

-2x2+3xy-7y2
6

11  A=x2-2xy+y2, B=3x2-xy-y2이므로
 

5A-2(A+B)

  =5A-2A-2B

  = 3A -2B
  =3(x2-2xy+y2)-2(3x2-xy-y2)
  =3x2-6xy+3y2-6x2+ 2xy +2y2
  =-3x2-4xy+5y2

12  A=x2-xy+2y2, B=x2-3xy-y2이므로
  -2A-(A-B)

  =-2A-A+B

  =-3A+B
  =-3(x2-xy+2y2)+(x2-3xy-y2)
  =-3x2+3xy-6y2+x2-3xy-y2
  =-2x2-7y2

13  A=2x3-4x2+6, B=5x3-2x+1, 
  C=3x3-4x2-3x이므로

  A-2B+3C
  =(2x3-4x2+6)-2(5x3-2x+1)+3(3x3-4x2-3x)
  =2x3-4x2+6-10x3+4x-2+9x3-12x2-9x
  =x3-16x2-5x+4

14  A=x2-2xy-y2, B=2x2+xy-2y2이므로
3A-(X+B)=B, 즉 3A-X-B=B에서
 

  X  =3A-2B 

 

=3(x2-2xy-y2)-2(2x2+xy-2y2)  
=3x2-6xy-3y2-4x2-2xy+4y2 
=-x2-8xy+y2

 

15  A=2x2-6xy+8y2, B=2x2+3xy-6y2이므로
 

2A-2(X-B)=3A, 즉 2A-2X+2B=3A에서

 

2X  =-A+2B 

 
=-(2x2-6xy+8y2)+2(2x2+3xy-6y2) 
=-2x2+6xy-8y2+4x2+6xy-12y2 
=2x2+12xy-20y2
  ∴ X=x2+6xy-10y2

 

 

= -108 x5y5

03-1  (x+2y-5)(2x-y+2)의 전개식에서

2

다항식의 곱셈

STEP 1

 

22쪽~41쪽 

01-1  ⑴ 3x2_8x7= 24 x2+7=24x9
⑵ (x3)4_(x5)2 =x12_ x10    
 
=x12+10=x22
⑶ (-3xy)3_(2xy)2  =-27x3y3_ 4x2y2   

 

 

 

⑷ (2x2y)3_(-2xy)2  = 8x6y3 _4x2y2 

=32x8y5

⑸ (2a3b)2_

-

a2b3

{

;3!;

}

3
=4a6b2_

-

;2Á7; a6b9
}

{

 

 

=-

;2¢7;

a12b11

01-2  ⑴ x7
⑵ 8x7
 
⑶ (2x)2_(x3)2  =4x2_x6=4x8
⑷ (2x2)3_(3x4)2  =8x6_9x8=72x14
⑸ (-3x2)2_(2x3)4  =9x4_16x12 

 

 

 

 

=144x16

⑹ (-4x3y)2_(-xy3)3  =16x6y2_(-x3y9) 

 

-

⑺ 
{

;2!;

a2b3

}

2
_(2ab2)3=

a4b6_8a3b6

⑻ (3a2b)2_

-

ab3

}

;2!;

{

3
=9a4b2_

-

a3b9
}

;8!;

{

=-16x9y11

;4!;
=2a7b12

=-

a7b11

;8(;

02-1  ⑴   x2y3(x3y-2xy2)=x5y4- 2x3y5
⑵   x2y(2x3y+3x2y2-xy2) 
 
=2x5y2+ 3x4y3 -x3y3

 

⑶   (x+2y)(3x-4y) 

 

=3x2-4xy+ 6xy -8y2   
=3x2+ 2xy -8y2
⑷   (x-2)(x2-2x+3) 

 

=x3-2x2+3x- 2x2 +4x-6 
=x3-4x2+ 7x -6

 

02-2  ⑴   -6x3y3-3x4y4
 

⑵   3x4y4-x5y3+2x5y4
⑶   (2x-y)(3x-2y) 

 

 
=6x2-4xy-3xy+2y2 
=6x2-7xy+2y2

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⑷   (2x-3)(x2+4x-3)   

=2x3+8x2-6x-3x2-12x+9 
=2x3+5x2-18x+9
⑸   (x2-2x+3)(x-2) 

 

=x3-2x2-2x2+4x+3x-6 
=x3-4x2+7x-6
⑹   (2x2-x+3)(3x-2)   

=6x3-4x2-3x2+2x+9x-6 
=6x3-7x2+11x-6

⑴ -xy+4xy=3xy이므로 xy의 계수는 3

⑵ 2x-10x=-8x이므로 x의 계수는 -8 

03-2  (x2+x-3)(x2+2x+1)의 전개식에서
⑴ x-6x=-5x이므로 x의 계수는 -5
 
⑵ x2+2x2-3x2=0이므로 x2의 계수는 0
⑶ 2x3+x3=3x3이므로 x3의 계수는 3

 

 

03-3    (x2-2x+3)2=(x2-2x+3)(x2-2x+3)에서
 

⑴ -6x-6x=-12x이므로 x의 계수는 -12
⑵ 3x2+4x2+3x2=10x2이므로 x2의 계수는 10
⑶ -2x3-2x3=-4x3이므로 x3의 계수는 -4

 

 

03-4    (2x2+x-3)2=(2x2+x-3)(2x2+x-3)에서
⑴ -3x-3x=-6x이므로 x의 계수는 -6
 
⑵ -6x2+x2-6x2=-11x2이므로 x2의 계수는 -11
⑶ 2x3+2x3=4x3이므로 x3의 계수는 4

 

 

04-1  ⑴ (x+3)2  =x2+ 2 ´x´3+32 

=x2+6x+ 9
⑵ (2x-y)2  =(2x)2-2´ 2x ´y+y2 

= 4x2 -4xy+y2
⑶ (x+4)(x-4)  =x2- 4  2   

=x2-16

⑷ (x+2)(x+4)  =x2+(2+4)x+2´ 4  

 

=x2+ 6x +8
⑸   (2x+3)(3x-5)  =6x2+(-10+9)x- 15   

=6x2- x -15

04-2  ⑴ 4x2+4xy+y2
 

⑵ 9x2+12xy+4y2
⑶ 16x2-8x+1
⑷ 4x2-20xy+25y2
⑸ 4x2-9

2. 다항식의 곱셈  | 017

⑹ (3x+y)(-3x+y)  =-(3x+y)(3x-y) 

 

=-(9x2-y2)   
=-9x2+y2

⑺ x2+2x-15
⑻ x2-xy-6y2
⑼ 6x2-7xy+2y2

 

⑸   (3a+b)(9a2-3ab+b2) 
=(3a)3+b3=27a3+b3
⑹   (2a+3b)(4a2-6ab+9b2) 
=(2a)3+(3b)3=8a3+27b3

06-2  ⑴   (x-4)(x2+4x+16)   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

05-1  ⑴ (x+2)3 =x3+3´ x2 ´2+3´x´22+23 

 

=x3+6x2+ 12x +8

⑵ (2x+1)3 =( 2x )3+3´(2x)2´1+3´2x´12+13 
=8x3+ 12x2 +6x+1
⑶ (2x+3)3 =(2x)3+3´(2x)2´3+3´2x´32+33 
=8x3+36x2+54x+27

⑷ x3+9x2y+27xy2+27y3
⑸   64x3+48x2y+12xy2+y3

⑹ 8x3+4x2y+

xy2+

;3@;

⑺ 64x3+24x2y+3xy2+

y3

;2Á7;

y3

;8!;

05-2  ⑴   (x-2)3 =x3-3´x2´2+3´x´22- 23  

 

=x3-6x2+ 12x -8

⑵   (2x-3)3 =(2x)3-3´(2x)2´3+ 3 ´2x´32-33 
= 8x3 -36x2+54x-27
⑶   (x-3y)3 =x3-3´x2´3y+3´x´(3y)2-(3y)3 
=x3-9x2y+27xy2-27y3
⑷   (3x-y)3 =(3x)3-3´(3x)2´y+3´3x´y2-y3 
=27x3-27x2y+9xy2-y3

⑸ 8x3-60x2y+150xy2-125y3
⑹ 27x3-108x2y+144xy2-64y3

⑺ 64x3-16x2y+

xy2-

;3$;

y3

;2Á7;

⑻ 27x3-

x2y+

xy2-

;2#5^;

y3

';12*5;

;;°5¢;;

06-1  ⑴   (x+1)(x2-x+1) 

 

=(x+1)(x2-x´ 1 +12)  
=x3+13=x3+ 1
⑵   (x+2)(x2-2x+4) 

 

=(x+2)(x2-x´2+ 2 2) 
=x3+23=x3+ 8

⑶   (2x+1)(4x2-2x+1)  

=(2x+1){(2x)2-2x´1+12} 
=(2x)3+13=8x3+1
⑷   (x+2y)(x2-2xy+4y2)   

=(x+2y){x2-x´2y+(2y)2} 
=x3+(2y)3=x3+8y3

 

 

 

018  정답과 풀이

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

  

 

 

  

  

 

 

 

 

 

 

=(x-4)(x2+x´4+ 4 2) 
=x3-43=x3- 64
⑵   (x-2)(x2+2x+4) 

 

=(x-2)(x2+x´ 2 +22) 
=x3-23=x3- 8

⑶   (2x-1)(4x2+2x+1)  

=(2x-1){(2x)2+2x´1+12} 
=(2x)3-13=8x3-1
⑷   (x-3y)(x2+3xy+9y2)   
=x3-(3y)3=x3-27y3
⑸   (3a-b)(9a2+3ab+b2) 
=(3a)3-b3=27a3-b3
⑹   (2a-3b)(4a2+6ab+9b2) 
=(2a)3-(3b)3=8a3-27b3

 

07-1  ⑴   (a+2b+c)2 

 

 

 

=a2+(2b)2+c2+2´a´2b+2´2b´c+2´c´a  
=a2+ 4b2 +c2+4ab+4bc+ 2ca

⑵   (x+y-1)2 

 
=x2+y2+(-1)2+2´x´y+2´y´(-1)+2´(-1)´ x
=x2+ y2 +2xy-2x-2y+1

⑶   (a+b-2c)2 

 
=a2+b2+(-2c)2+2´a´b+2´b´(-2c)+2´(-2c)´a 
=a2+b2+4c2+2ab-4bc-4ca

⑷   (x-3y+z)2 

=x2 +(-3y)2+z2 

+2´x´(-3y)+2´(-3y)´z+2´z´x

=x2+9y2+z2-6xy-6yz+2zx
⑸ 4x2+y2+4z2-4xy-4yz+8zx
⑹   x2+25y2+4z2-10xy+20yz-4zx

07-2  ⑴   (3a+b+c)(9a2+b2+c2-3ab-bc-3ca)   

=(3a+b+c){(3a)2+b2+c2-3a´b-b´c-c´ 3a }
= (3a)3 +b3+c3-3´3a´b´c
=27a3+b3+c3-9abc

⑵   (x+y+2)(x2+y2-xy-2x-2y+4) 

 

=(x+y+2)(x2+y2+4-xy-2y-2x) 
 
=(x+y+2)(x2+y2+22-x´y-y´2-2´x) 
=x3+y3+ 23 -3´x´y´2   
=x3+y3+8-6xy 
=x3+y3- 6xy +8

 

⑶ (a-b+c)(a2+b2+c2+ab+bc-ca)



⑺ (x+y-z)(x-y+z)  

=(a-b+c){a2+(-b)2+c2-a´(-b)

={x+(y-z)}{x-(y-z)}

















































-(-b)´c-c´a}



=a3+(-b)3+c3-3´a´(-b)´c
=a3-b3+c3+3abc



⑷ (2x+y-1)(4x2+y2-2xy+2x+y+1)


=(2x+y-1)(4x2+y2+1-2xy+y+2x)  
=(2x)3+y3+(-1)3-3´2x´y´(-1)
=8x3+y3-1+6xy
=8x3+y3+6xy-1





⑸ (2x-3y+z)(4x2+9y2+z2+6xy+3yz-2zx)

=(2x)3+(-3y)3+z3-3´2x´(-3y)´z
=8x3-27y3+z3+18xyz

08-1  ⑴ (x+y)(x+y-2)



← x+y=t로 치환 

=t( t -2)
=t2-2t
=(x+y)2-2(x+y)  ← t=x+y 대입
=x2+2xy+y2-2x- 2y

⑵ (x+y-3)(x+y+3)  

=(t-3)(t+3)  ← x+y=t로 치환 
=t2-9
=(x+y)2-9
=x2+2xy+y2-9

← t=x+y 대입



⑶ (x-y+1)(x-y-2)



← x-y=t로 치환

=(t+1)(t-2)
=t2-t-2
=(x-y)2-(x-y)-2  ← t=x-y 대입
=x2-2xy+y2-x+y-2



⑷ (x-y+z)(x-y-z)



=(t+z)(t-z)  ← x-y=t로 치환
=t2-z2
=(x-y)2-z2  ← t=x-y 대입
=x2-2xy+y2-z2



⑸ (x-y+2)(x+y+2)



=(t-y)(t+y)  ← x+2=t로 치환
=t2-y2
=(x+2)2-y2  ← t=x+2 대입
=x2+4x+4-y2



⑹ (-x+y+1)(x-y+3)

=-(x-y-1)(x-y+3)





← x-y=t로 치환

=-(t-1)(t+3)
=-t2-2t+3

=-(x-y)2-2(x-y)+3  ← t=x-y 대입
=-x2+2xy-y2-2x+2y+3































































































=(x+t)(x-t)  ← y-z=t로 치환
=x2-t2
=x2-(y-z)2  ← t=y-z 대입
=x2-(y2-2yz+z2)
=x2-y2-z2+2yz

08-2  ⑴ (x2+x-2)(x2+x+1)


=(t-2)(t+ 1 )
=t2-t-2
=(x2+x)2-(x2+x)-2  ← t=x2+x 대입 

← x2+x=t로 치환 

 =x4+2x3+ x2 -x2-x-2

=x4+2x3-x-2
⑵ (x2+2x)(x2+2x-3)

← x2+2x=t로 치환

=t(t-3)
=t2-3t
=(x2+2x)2-3(x2+2x)  ← t=x2+2x 대입
=x4+4x3+4x2-3x2-6x
=x4+4x3+x2-6x
⑶ (x2-x+1)(x2-x-3)

← x2-x=t로 치환

=(t+1)(t-3)
=t2-2t-3
=(x2-x)2-2(x2-x)-3  ← t=x2-x 대입
=x4-2x3+x2-2x2+2x-3
=x4-2x3-x2+2x-3
⑷ (x2-x+2)(x2+x+2)

={(x2+2)-x}{(x2+2)+x}

=(t-x)(t+x)  ← x2+2=t로 치환
=t2-x2
=(x2+2)2-x2  ← t=x2+2 대입
=x4+4x2+4-x2

 =x4+3x2+4

08-3  ⑴ (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)

=(x2+x-2)(x2+x-12)

=(t-2)(t-12)

← x2+x=t로 치환

=(x2+x)2-14(x2+x)+24  ← t=x2+x 대입
=x4+ 2x3 +x2-14x2-14x+24
=x4+2x3- 13x2 -14x+24

⑵ x(x+1)(x-2)(x+3)
=(x2+x)(x2+x-6)

← x2+x=t로 치환

=t(t-6)
=t2-6t
=(x2+x)2-6(x2+x)  ← t=x2+x 대입
=x4+2x3+x2-6x2-6x
=x4+2x3-5x2-6x

2. 다항식의 곱셈  | 019

={(x+2)-y}{(x+2)+y}



 =t2-14t+24

08-4  ⑴ (x+1)(x+2)(x-3)(x-4)



























































































⑶ (x+1)(x-3)(x+5)(x-7)
=(x2-2x-3)(x2-2x-35)

← x2-2x=t로 치환

=(t-3)(t-35)
=t2-38t+105
=(x2-2x)2-38(x2-2x)+105 ← t=x2-2x 대입
=x4-4x3+4x2-38x2+76x+105
=x4-4x3-34x2+76x+105

⑷ (x-2)(x+4)(x-6)(x+8)
=(x2+2x-8)(x2+2x-48)

← x2+2x=t로 치환

=(t-8)(t-48)
=t2-56t+384
=(x2+2x)2-56(x2+2x)+384 ← t=x2+2x 대입
=x4+4x3+4x2-56x2-112x+384
=x4+4x3-52x2-112x+384

={(x+1)(x-3)}{( x+2 )(x-4)}
=(x2-2x-3)(x2-2x-8)

← x2-2x=t로 치환

=(t-3)(t-8)
=t2-11t+24
=(x2-2x)2-11(x2-2x)+24 ← t=x2-2x 대입 
=x4-4x3+4x2-11x2+22x+24
=x4-4x3- 7x2 +22x+24
⑵ (x-1)(x+2)(x-2)(x-5)

={(x-1)(x-2)}{(x+2)(x-5)}
=(x2-3x+2)(x2-3x-10)

← x2-3x=t로 치환

=(t+2)(t-10)
=t2-8t-20
=(x2-3x)2-8(x2-3x)-20  ← t=x2-3x 대입
=x4-6x3+9x2-8x2+24x-20
=x4-6x3+x2+24x-20

⑶ (x+2)(x+3)(x-3)(x-4)

={(x+2)(x-3)}{(x+3)(x-4)}
=(x2-x-6)(x2-x-12)

← x2-x=t로 치환

=(t-6)(t-12)
=t2-18t+72
=(x2-x)2-18(x2-x)+72  ← t=x2-x 대입
=x4-2x3+x2-18x2+18x+72
=x4-2x3-17x2+18x+72

⑷ (x+1)(x+3)(x-3)(x-5)

={(x+1)(x-3)}{(x+3)(x-5)}
=(x2-2x-3)(x2-2x-15)

=(t-3)(t-15)
=t2-18t+45
=(x2-2x)2-18(x2-2x)+45  ← t=x2-2x 대입

← x2-2x=t로 치환

 =x4-4x3+4x2-18x2+36x+45
 =x4-4x3-14x2+36x+45

020  정답과 풀이

08-5  ⑴ (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

={(x+1)( x+4 )}{(x+2)(x+3)}
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)

← x2+5x=t로 치환

=(t+4)(t+6)
=t2+10t+24
=(x2+5x)2+10(x2+5x)+24  ← t=x2+5x 대입
=x4+10x3+25x2+10x2+50x+24
=x4+10x3+35x2+ 50x +24

⑵ x(x+1)(x+2)(x+3)

={x(x+3)}{(x+1)(x+2)}
=(x2+3x)(x2+3x+2)

← x2+3x=t로 치환

=t(t+2)
=t2+2t
=(x2+3x)2+2(x2+3x)  ← t=x2+3x 대입
=x4+6x3+9x2+2x2+6x
=x4+6x3+11x2+6x

⑶ x(x+2)(x+4)(x+6)

={x(x+6)}{(x+2)(x+4)}
=(x2+6x)(x2+6x+8)

← x2+6x=t로 치환

=t(t+8)
=t2+8t
=(x2+6x)2+8(x2+6x)  ← t=x2+6x 대입
=x4+12x3+36x2+8x2+48x
=x4+12x3+44x2+48x

⑷ x(x-1)(x-2)(x-3)

={x(x-3)}{(x-1)(x-2)}
=(x2-3x)(x2-3x+2)

← x2-3x=t로 치환

=t(t+2)
=t2+2t
=(x2-3x)2+2(x2-3x)  ← t=x2-3x 대입
=x4-6x3+9x2+2x2-6x
=x4-6x3+11x2-6x

09-1  ⑴ a2+b2 =(a+b)2- 2ab   
=32-2´(-2)=13
 (a-b)2 =(a+b)2-4ab





= 32 -4´(-2)=17

⑵ a2+b2 =(a+b)2-2ab

=(-4)2-2´1=14
(a-b)2 =(a+b)2-4ab


=(-4)2-4´1=12

⑶ a2+b2=22-2´(-2)=8

(a-b)2 =22-4´(-2)=12

⑷ a2+b2 =12-2´(-6)=13

(a-b)2=12-4´(-6)=25

⑸ a2+b2 =32-2´2=5

(a-b)2=32-4´2=1















































































09-2  ⑴ a2+b2  =(a-b)2+2ab  

=22+2´( -1 )=2
(a+b)2  =( a-b )2+4ab  
=22+4´(-1)=0

⑵ a2+b2  =(a-b)2+2ab  

=12+2´6=13
(a+b)2  =(a-b)2+4ab   

=12+4´6=25

⑶ a2+b2 =(-4)2+2´(-3)=10
(a+b)2 =(-4)2+4´(-3)=4

⑷ a2+b2 =12+2´2=5

(a+b)2 =12+4´2=9

⑸ a2+b2 =22+2´2=8

(a+b)2  =22+4´2=12

10-1  ⑴ a3+b3  =(a+b)3-3ab(a+b) 

=33-3´1´ 3 = 18
⑵ a3+b3  =(a+b)3-3´ ab ´(a+b)   
=43-3´3´4= 28

⑶ a3+b3  =(a+b)3-3ab(a+b) 

=23-3´(-2)´2=20

⑷   a+b=4, ab=2이므로  
a3+b3=43-3´2´4=40

⑸   a+b=2

'
a3+b3=(2

2, ab=1이므로   
2)3-3´1´2

'
⑹   a+b=2, ab=-11이므로  

'

2=10

2

'

a3+b3  =23-3´(-11)´2=74

10-2  ⑴ a3-b3  =(a-b)3+3ab(a-b) 

=23+ 3 ´4´2=32

⑵ a3-b3  =(a-b)3+3ab(a-b) 

=( 3 )3+3´(-1)´3= 18

⑶ a3-b3  =(a-b)3+3ab(a-b) 
=13+3´3´1=10

⑷   a-b=2, ab=2이므로  
a3-b3=23+3´2´2=20

⑸   a-b=2

'
a3-b3=(2

5, ab=-4이므로 
5)3+3´(-4)´2

'
⑹   a-b=4, ab=-1이므로   
a3-b3=43+3´(-1)´4=52

5=16

5

'

'

10-3  ⑴   x2+y2=(x+y)2- 2xy 에서 

6=22-2xy 
∴ x3+y3=23-3´(-1)´2= 14

 ∴  xy=-1 

⑵   x2+y2=( x+y )2-2xy에서 

5=(-3)2-2xy 
∴ x3+y3=(-3)3-3´2´(-3)= -9

 ∴  xy=2 

 

  

 

  

 

 

  

  

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⑶   25=12-2xy 

 ∴  xy=-12 

∴ x3+y3=13-3´(-12)´1=37

⑷   8=(-2)2-2xy 

 ∴  xy=-2 

∴ x3+y3=(-2)3-3´(-2)´(-2)=-20

⑸  7=12-2xy 

 ∴  xy=-3 

∴ x3+y3=13-3´(-3)´1=10

10-4  ⑴   x2+y2=(x-y)2+ 2xy 에서 

5=12+2xy 
 ∴  xy=2   
∴ x3-y3=13+3´2´1= 7
⑵   x2+y2=( x-y )2+2xy에서 

20=(-4)2+2xy 
∴ x3-y3=(-4)3+3´2´(-4)= -88

 ∴  xy=2 

 

⑶   7=32+2xy 

 ∴  xy=-1 

∴ x3-y3=33+3´(-1)´3=18

⑷   6=(-2)2+2xy 

 ∴  xy=1 

∴ x3-y3=(-2)3+3´1´(-2)=-14

⑸   9=(-1)2+2xy 

 ∴  xy=4 

∴ x3-y3=(-1)3+3´4´(-1)=-13

11-1  ⑴ a2+

1
a2 =
1
a2 =
1
a2 =
1
a2 =
1
a2 =

{

{

{

{

{

⑵ a2+

⑶ a2+

⑷ a2+

⑸ a2+

a+

2
- 2 =32-2=7
;a!;}

a-

2
+2=22+2= 6
;a!;}

a+

2
-2=(-2)2-2=2
;a!;}

a+

2
-2=(-4)2-2=14
;a!;}

a-

2
+2=(-5)2+2=27
;a!;}

11-2  ⑴ 
{

a+

2
=
;a!;}

{

a-

2
;a!;}

+ 4 =52+4= 29

2
+4=(-1)2+4=5

;a!; }
2
+4=(-4)2+4=20
;a!;}

a+

⑵ 
{

a+

⑶ 
{

a+

⑷ 
{

a+

⑸ 
{

a+

⑹ 
{

{

{

a-

a-

2
=
;a!;}
2
=
;a!;}
2
=(-2)2+4=8
;a!;}
2
=32+4=13
;a!;}
2
=62+4=40
;a!;}

11-3  ⑴ 
{

a-

2
=
;a!;}

{

a+

2
;a!;}

- 4 =22-4=0

a-

⑵ 
{

a-

⑶ 
{

a-

⑷ 
{

{

a+

2
=
;a!;}
2
=
;a!;}
2
=(-5)2-4=21
;a!;}

;a!; }
2
;a!;}

a+

{

2
-4=(-3)2-4= 5

-4=62-4=32

2. 다항식의 곱셈  | 021

 

 







 



 

 



 



 



 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

  

  

 

a-

⑸ 
{

a-

⑹ 
{

2
;a!;}
2
;a!;}

=42-4=12

=72-4=45

12-1  ⑴ a3+

1
a3 =

{

a+

3
-3
;a!;}

{

a+

;a!;}

 

=23-3´ 2 =2

⑵ a3+

1
a3 =

{

a+

3
-3
;a!;}

{

a+

;a!; }

 

=(-3)3-3´(-3)= -18

⑶ a3+

1
a3 =

{

a+

3
-3
;a!;}

{

a+

;a!;}

 

=(-4)3-3´(-4)=-52

⑷ a3+

⑸ a3+

1
a3 =13-3´1=-2
1
a3 =53-3´5=110

12-2  ⑴ a3-

1
a3 =
   =13+3´1=4

3
+ 3 ´
;a!;}

a-

{

a-

{

;a!;}

⑵ a3-

1
a3 =

{

a-

3
+3
;a!;}

{

a-

;a!;}

 

=(-4)3+3´( -4 )= -76

⑶ a3-

1
a3 =

{

a-

3
+3
;a!;}

{

a-

;a!;}

 

=(-3)3+3´(-3)=-36

⑷ a3-

⑸ a3-

1
a3 =23+3´2=14
1
a3 =(-5)3+3´(-5)=-140

12-3  ⑴ 
{

a+

2
;a!;}

=a2+

1
a2 + 2 =9에서

a+

= 3  (∵ a>0)

;a!;

  ∴ a3+

1
a+
a3 =
{

3
-3
;a!;}

a+
{

;a!;}

=33-3´3= 18

a+

⑵ 
{

2
;a!;}

=a2+

1
a2 +2=4에서

a+

=2 (∵ a>0)

;a!;

  ∴ a3+

a+

⑶ 
{

1
a3 =23-3´2=2
1
a2 +2=16에서

2
=a2+
;a!;}

a+

=4 (∵ a>0)

;a!;

  ∴ a3+

a+

⑷ 
{

1
a3 =43-3´4=52
1
a2 +2=25에서

2
=a2+
;a!;}

a+

=5 (∵ a>0)

;a!;

  ∴ a3+

1
a3 =53-3´5=110

022  정답과 풀이

12-4  ⑴ 
{

a-

2
=a2+
;a!;}

1
a2 -2=9에서

a-

= -3  
{

;a!;

∵ 0<a<1이면 a<

;a!;}

  ∴ a3-

1
a3 =

{

a-

3
;a!;}

+3

a-

{

;a!;}

 

=(-3)3+3´( -3 )=-36

a-

⑵ 
{

2
=a2+
;a!;}

1
a2 -2=4에서

a-

=-2 (∵ 0<a<1)

;a!;

  ∴ a3-

1
a3 =(-2)3+3´(-2)=-14

a-

⑶ 
{

2
=a2+
;a!;}

1
a2 -2=16에서

  

a-

=-4 (∵ 0<a<1)

;a!;

  ∴ a3-

1
a3 =(-4)3+3´(-4)=-76

a-

⑷ 
{

2
=a2+
;a!;}

1
a2 -2=25에서

  

a-

=-5 (∵ 0<a<1)

;a!;

  ∴ a3-

1
a3 =(-5)3+3´(-5)=-140

12-5  ⑴ x+0이므로 x2-4x+1=0의 양변을 x로 나누면

x-4+

=0 

 ∴  x+

;[!;

= 4

;[!;

  ∴ x2+

1
x2 =

{

x+

2
-2
;[!;}

 

 

=42-2=14

 x3+

1
x3 =

x+

3
-3
;[!;}
{
=43-3´4= 52

{

 

x+

;[!;}

x-5+

=0 

 ∴  x+

=5

;[!;

;[!;

  ∴ x2+

1
x2 =52-2=23
1
x3 =53-3´5=110

 x3+

⑵ x+0이므로 x2-5x+1=0의 양변을 x로 나누면

⑶ x+0이므로 x2+3x+1=0의 양변을 x로 나누면

x+3+

=0 

 ∴  x+

=-3

  ∴ x2+

;[!;
;[!;
1
x2 =(-3)2-2=7
1
x3 =(-3)3-3´(-3)=-18
⑷ x+0이므로 x2+4x+1=0의 양변을 x로 나누면

 x3+

x+4+

  ∴ x2+

 x3+

=-4

=0 

 ∴  x+

;[!;
;[!;
1
x2 =(-4)2-2=14
1
x3 =(-4)3-3´(-4)=-52

  

 



 

  

 

 

 

 

 

  

 

 

  



 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

12-6  ⑴ x+0이므로 x2+x-1=0의 양변을 x로 나누면

13-3  ⑴ a2+b2+c2  =(a+b+c)2-2(ab+bc+ca) 
=32-2´2= 5

 

x+1-

=0 

 ∴  x-

= -1

;[!;

;[!;
1
x2 =

  ∴ x2+

 

 

{

x-

2
+2
;[!;}
=(-1)2+2= 3

 x3-

1
x3 =

{

x-

3
+3
;[!;}

{

x-

;[!;}

=(-1)3+3´(-1)=-4
 
⑵ x+0이므로 x2-2x-1=0의 양변을 x로 나누면

=2

;[!;

x-2-

  ∴ x2+

 x3-

=0 

 ∴  x-

;[!;
1
x2 =22+2=6
1
x3 =23+3´2=14

⑶ x+0이므로 x2+5x-1=0의 양변을 x로 나누면

x+5-

=0 

 ∴  x-

=-5

;[!;

  ∴ x2+

;[!;
1
x2 =(-5)2+2=27
1
x3 =(-5)3+3´(-5)=-140
⑷ x+0이므로 x2+3x-1=0의 양변을 x로 나누면

 x3-

x+3-

  ∴ x2+

 x3-

=-3

=0 

 ∴  x-

;[!;

;[!;
1
x2 =(-3)2+2=11
1
x3 =(-3)3+3´(-3)=-36

13-1  ⑴ a2+b2+c2  =( a+b+c )2-2(ab+bc+ca)   

=12-2´(-3)= 7
⑵ a2+b2+c2  =(a+b+c)2-2(ab+bc+ca) 

=(-1)2-2´(-2)=5

⑶ a2+b2+c2  =(a+b+c)2-2(ab+bc+ca) 
=22-2´(-4)=12

 

 

⑷ a2+b2+c2=42-2´2=12
⑸ a2+b2+c2  =32-2´1=7

13-2  ⑴ a2+b2+c2=(a+b+c)2-2( ab+bc+ca )에서
  

6=22-2(ab+bc+ca)

  ∴ ab+bc+ca= -1
⑵ a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)에서

11=52-2(ab+bc+ca)

  ∴ ab+bc+ca=7
⑶ a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)에서

2=42-2(ab+bc+ca)

  ∴ ab+bc+ca=7
⑷ 5=32-2(ab+bc+ca)

  ∴ ab+bc+ca=2
⑸ 9=(-1)2-2(ab+bc+ca)

  ∴ ab+bc+ca=-4

  

 

 

  



 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  

  

  

  

  

 

  

  

  

 

  

 

 

  

 

  

 

  

  

 

 

 

 

 

 

  

 

  

  

  

 

  

  

  

이므로 
a3+b3+c3
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)+3abc

=3( 5 -2)+3´(-2)= 3

⑵ a2+b2+c2=22-2´(-1)=6이므로

a3+b3+c3
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)+3abc

=2{6-(-1)}+3´(-6)=-4

⑶ a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)에서

8=42-2(ab+bc+ca) 

 ∴  ab+bc+ca=4

  ∴   a3+b3+c3 

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)+3abc 
=4(8-4)+3´4=28
⑷ 7=12-2(ab+bc+ca)에서

ab+bc+ca=-3

  ∴   a3+b3+c3 

 

 

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)+3abc 
=1{7-(-3)}+3´(-3)=1

14-1  ⑴ 100=a로 놓으면

1012  =(a+1)2=a2+ 2 a+1 
=1002+200+1= 10201

 

⑵ 26=a로 놓으면

27_25-262  =(a+1)(a-1)-a2   

=a2-1-a2=-1

⑶ 100=a로 놓으면

101_(10000-100+1)=(a+1)(a2-a+1)

=a3+1
=1003+1=1000001

⑷ 100=a로 놓으면

99_(10000+100+1)=(a-1)(a2+a+1)

=a3-1
=1003-1=999999

 

 

 

 

 

 

 

 

14-2  ⑴ 주어진 식에 (2-1)=1을 곱하면

  (2-1)(2+1)(22+1)(24+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)
=( 24 -1)(24+1)
= 28 -1= 255

⑵ 주어진 식에 ;2!;

(3-1)=1을 곱하면

(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)

;2!;

=

;2!;

=

;2!;

(32-1)(32+1)(34+1)

(34-1)(34+1)=

38-1
2

2. 다항식의 곱셈  | 023

 

  

  

  

  

  

 

  

  

  

  

  

⑶ 주어진 식에 -

(1-5)=1을 곱하면

;4!;

-

;4!;

(1-5)(1+5)(1+52)(1+54)(1+58)

=-

(1-52)(1+52)(1+54)(1+58)

=-

(1-54)(1+54)(1+58)

=-

(1-58)(1+58)

;4!;
1-516
4

=-

=

516-1
4

⑷ 주어진 식에 -

(1-4)=1을 곱하면

;3!;

-

;3!;

(1-4)(1+4)(1+42)(1+44)(1+48)

=-

(1-42)(1+42)(1+44)(1+48)

;4!;

;4!;

;3!;

;3!;

=-

(1-44)(1+44)(1+48)

=-

(1-48)(1+48)

;3!;
1-416
3

=-

=

416-1
3

=

232-1
3

STEP 2

 

42쪽~47쪽 

1-1 ⑴ 9x2+6x+1
  ⑵ x2-4xy+4y2
  ⑶ x2-4
  ⑷ x2-25y2
  ⑸ (x-7)(x+3)  =x2+(3-7)x-21 

 

  ⑹ (x+4y)(x-5y)  =x2+(-5+4)xy-20y2 

  ⑺ (3x+5y)(2x+y)  =6x2+(3+10)xy+5y2 

 

 

=x2-4x-21

=x2-xy-20y2

=6x2+13xy+5y2

=6x2+xy-15y2

  ⑻ (2x-3y)(3x+5y)  =6x2+(10-9)xy-15y2   

1-2 ⑴ x2+xy+

y2

;4!;

  ⑵ 9x2-12xy+4y2
  ⑶ 16x2-y2
  ⑷ -x2+9y2
  ⑸ (x-2)(x+5)  =x2+(5-2)x-10 

 

  ⑻   (4x+3y)(2x-3y) =8x2+(-12+6)xy-9y2 

=8x2-6xy-9y2

2-1 ⑴ a2+b2 =(a+b)2-2ab=62-2´4=28
 
  ⑵ a2+b2 =(-2)2-2´1=2

  (a-b)2 =(a+b)2-4ab=62-4´4=20

  (a-b)2 =(-2)2-4´1=0

 
  ⑶ a2+b2 =(a-b)2+2ab 

=(-2)2+2´4=12
  (a+b)2 =(a-b)2+4ab 

=(-2)2+4´4=20

 

 

  ⑷ a2+b2  =12+2´3=7

  (a+b)2=12+4´3=13

  ⑸ a2+

1
a2 =

{

a+

2
;a!;}

-2=(-6)2-2=34

a-

{

2
=
;a!;}

{

a+

2
;a!;}

-4=(-6)2-4=32

  ⑹ a2+

1
a2 =

{

a-

2
;a!;}

+2=42+2=18

a+

{

2
=
;a!;}

{

a-

2
;a!;}

+4=42+4=20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  (a-b)2  =52-4´(-1)=29

2-2 ⑴ a2+b2=52-2´(-1)=27
 
  ⑵ a2+b2  =42-2´3=10
  (a-b)2  =42-4´3=4
 
  ⑶ a2+b2  =(-3)2+2´4=17

  (a+b)2=(-3)2+4´4=25

 
  ⑷ a2+b2  =52+2´(-3)=19

  (a+b)2=52+4´(-3)=13

  ⑸ a2+

1
a2 =52-2=23

a-

{

2
=52-4=21
;a!;}

  ⑹ a2+

1
a2 =(-2)2+2=6

a+

{

2
=(-2)2+4=8
;a!;}

3-1 ⑴   -x2-2x2=-3x2이므로 x2의 계수는 -3
  ⑵   x2+2x2=3x2이므로 x2의 계수는 3
  ⑶   -4x2-3x2=-7x2이므로 x2의 계수는 -7
  ⑷   (x2+3x-1)2=(x2+3x-1)(x2+3x-1)에서 
-x2+9x2-x2=7x2이므로 x2의 계수는 7

=x2+3x-10

3-2 ⑴   -xy-3xy=-4xy이므로 xy의 계수는 -4

  ⑹   (x-3y)(x-2y) =x2+(-2-3)xy+6y2 

 

  ⑵ -xy+12xy=11xy이므로 xy의 계수는 11

  ⑺ (3x-2y)(2x+5y)  =6x2+(15-4)xy-10y2   

=x2-5xy+6y2

  ⑶   -6xy-xy=-7xy이므로 xy의 계수는 -7
  ⑷   (2x-3y+4)2=(2x-3y+4)(2x-3y+4)에서 

=6x2+11xy-10y2

-6xy-6xy=-12xy이므로 xy의 계수는 -12

024  정답과 풀이

4-1 ⑴ 27x3+27x2+9x+1

  ⑵ 8x3+6x2y+

xy2+

;2#;

y3

;8!;

  ⑶ x3-9x2+27x-27
  ⑷ 64x3-48x2y+12xy2-y3

4-2 ⑴ x3+15x2+75x+125
  ⑵ 8x3+60x2y+150xy2+125y3

  ⑶ 27x3-9x2+x-

;2Á7

  ⑷ 27x3-54x2y+36xy2-8y3

 

 

 

 

5-1 ⑴ (x+3)(x2-3x+9) =x3+33 
=x3+27

 

  ⑵ (x+4y)(x2-4xy+16y2) =x3+(4y)3 

=x3+64y3

  ⑶ (x-1)(x2+x+1) =x3-13  
=x3-1

  ⑷ (4x-y)(16x2+4xy+y2) =(4x)3-y3 

=64x3-y3

  ⑸ x2+25y2+z2+10xy+10yz+2zx
  ⑹ (3x-2y+2)2

 

  =9x2+4y2+4-12xy-8y+12x
  =9x2+4y2-12xy+12x-8y+4
 
  ⑺ (x+y+3)(x2+y2-xy-3x-3y+9)

  =(x+y+3)(x2+y2+32-xy-3y-3x)
  =x3+y3+33-3´x´y´3
  =x3+y3-9xy+27

5-2 ⑴ (5x+y)(25x2-5xy+y2) =(5x)3+y3 
=125x3+y3

  ⑵ (3x+2y)(9x2-6xy+4y2) =(3x)3+(2y)3 

  ⑶ (x-2y)(x2+2xy+4y2) =x3-(2y)3  

  ⑷ (3x-4y)(9x2+12xy+16y2) =(3x)3-(4y)3   

=x3-8y3

=27x3-64y3

  ⑸ 9x2+y2+z2+6xy-2yz-6zx
  ⑹ (2x+y-3)2

 

  =4x2+y2+9+4xy-6y-12x
  =4x2+y2+4xy-12x-6y+9
 
  ⑺ (x-y-2)(x2+y2+xy+2x-2y+4)

  =(x-y-2)(x2+y2+4+xy+2x-2y)
  =x3-y3-8-6xy
  =x3-y3-6xy-8

 

 

 

 

 

 

6-1 ⑴ (x2-2x)(x2-2x+4)
 

 

 

← x2-2x=t로 치환

  =t(t+4) 
  =t2+4t
  =(x2-2x)2+4(x2-2x)  ← t=x2-2x 대입
  =x4-4x3+4x2+4x2-8x
  =x4-4x3+8x2-8x
  ⑵ (x-y+4)(x+y+4)

 

 

 

  ={(x+4)-y}{(x+4)+y}

 

 

  =(t-y)(t+y)  ← x+4=t로 치환
  =t2-y2
  =(x+4)2-y2  ← t=x+4 대입
  =x2+8x-y2+16
  ⑶ x(x+2)(x-2)(x+4)

 

 

← x2+2x=t로 치환

 

 

 

  =(x2+2x)(x2+2x-8)
  =t(t-8) 
  =t2-8t
  =(x2+2x)2-8(x2+2x)  ← t=x2+2x 대입
  =x4+4x3+4x2-8x2-16x
  =x4+4x3-4x2-16x
  ⑷ (x-1)(x-3)(x+5)(x+7)

 

 

 

  ={(x-1)(x+5)}{(x-3)(x+7)}
  =(x2+4x-5)(x2+4x-21)
  =(t-5)(t-21) 
  =t2-26t+105
  =(x2+4x)2-26(x2+4x)+105  ← t=x2+4x 대입
  =x4+8x3+16x2-26x2-104x+105
  =x4+8x3-10x2-104x+105

← x2+4x=t로 치환

6-2 ⑴ (2x2-x+3)(2x2-x+5)
 

← 2x2-x=t로 치환

  =(t+3)(t+5) 
  =t2+8t+15
  =(2x2-x)2+8(2x2-x)+15  ← t=2x2-x 대입
  =4x4-4x3+x2+16x2-8x+15
  =4x4-4x3+17x2-8x+15

  =-(x+y-2)(x+y+2)

  =-(t-2)(t+2)  ← x+y=t로 치환
  =-(t2-4)=-t2+4
  =-(x+y)2+4 
  =-x2-2xy-y2+4

← t=x+y 대입

 

 

  ⑶ (x+1)(x-2)(x+2)(x-3)
  =(x2-x-2)(x2-x-6)
  =(t-2)(t-6)  ← x2-x=t로 치환
  =t2-8t+12
  =(x2-x)2-8(x2-x)+12  ← t=x2-x 대입
  =x4-2x3+x2-8x2+8x+12
  =x4-2x3-7x2+8x+12

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. 다항식의 곱셈  | 025

=27x3+8y3

  ⑵ (-x-y+2)(x+y+2)

  ⑷ (x-1)(x-2)(x+5)(x+6)

 ⑵ a3+b3+c3





















 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)+3abc
 =2{22-(-9)}+3´(-18)=8

9-2 ⑴ a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)에서


 14=22-2(ab+bc+ca)

 ∴ ab+bc+ca=-5


 ⑵ a3+b3+c3

 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)+3abc
 =2{14-(-5)}+3´(-6)=20

10-1  ⑴ 200=a로 놓으면

199_201 =(a-1)(a+1)=a2-1
=2002-1=39999



 ⑵ 주어진 식에 (2-1)=1을 곱하면



(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)  
=(28-1)(28+1)(216+1)
=(216-1)(216+1)
=232-1





10-2  ⑴ 100=a로 놓으면

1013-1003 =(a+1)3-a3

=a3+3a2+3a+1-a3  
=3a2+3a+1  
=3´1002+3´100+1



=30301

 ⑵ 주어진 식에 ;8!;

(9-1)=1을 곱하면

 

;8!;

(9-1)(9+1)(92+1)(94+1)(98+1)

   =

(92-1)(92+1)(94+1)(98+1)

;8!;

;8!;

   =

(98-1)(98+1)

;8!;
916-1
8

=

332-1
8

   =















 ={(x-1)(x+5)}{(x-2)(x+6)}
 =(x2+4x-5)(x2+4x-12)
 =(t-5)(t-12)
 =t2-17t+60
 =(x2+4x)2-17(x2+4x)+60  ← t=x2+4x 대입
 =x4+8x3+16x2-17x2-68x+60
 =x4+8x3-x2-68x+60

← x2+4x=t로 치환

7-1 ⑴ a2+b2=(a+b)2-2ab에서

 ⑵ (a-b)2 =(a+b)2-4ab=(-1)2-4´(-2)=9

 5=(-1)2-2ab

∴  ab=-2









 ∴ a-b=3 (∵ a>b)


 ⑶ a3-b3 =(a-b)3+3ab(a-b)

=33+3´(-2)´3=9
 ⑷ a4-b4 =(a2+b2)(a2-b2)



=(a2+b2)(a+b)(a-b)
=5´(-1)´3=-15

7-2 ⑴ a2+b2=(a-b)2+2ab에서
∴  ab=3

 ⑵ (a+b)2 =(a-b)2+4ab=22+4´3=16

 10=22+2ab

 ∴ a+b=4 (∵ a+b>0)

 ⑶ a3+b3 =(a+b)3-3ab(a+b)

=43-3´3´4=28

 ⑷ a4-b4 =(a2+b2)(a2-b2)



=(a2+b2)(a+b)(a-b)
=10´4´2=80

8-1 ⑴ x2+

1
x2 =

{

x+

2
-2=42-2=14
;[!;}

 ⑵
{

x-

2
=
;[!;}

{

x+

2
;[!;}

-4=42-4=12

8-2 x+0이므로 x2+2x-1=0의 양변을 x로 나누면



x+2-

=0

∴  x-

=-2

;[!;

;[!;

 ⑴ x2+

1
x2 =

{

x-

2
;[!;}

+2=(-2)2+2=6

 ⑵
{

x+

2
=
;[!;}

{

x-

2
+4=(-2)2+4=8
;[!;}

 ⑶ x3-

1
x3 =

3

x-;[!;}

{

+3

x-;[!;}

{



 

=(-2)3+3´(-2)=-14

9-1 ⑴ a2+b2+c2 =(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)



026  정답과 풀이

STEP 3

 

48쪽~51쪽

01  (6ab2)3_

-

{

;3!;

a3b

}

2
=216a3b6_

a6b2=24a9b8

;9!;

=22-2´(-9)=22

02   -2x2+2x2+3x2=3x2이므로 x2의 계수는 3

 ⑶ x3+

1
x3 =

{

x+

3
-3
;[!;}

{

x+

;[!;}

=43-3´4=52

   =

(94-1)(94+1)(98+1)

03  ‌‌3x3+2ax3=(3+2a)x3이므로‌

‌

3+2a=0‌

‌∴ ‌a=-

;2#;

04  (5x+y)(-5x+y)‌=-(5x+y)(5x-y)‌

‌

=-(25x2-y2)‌
=-25x2+y2

‌

05  8x3+36x2y+54xy2+27y3

06  x3-12x2y+48xy2-64y3

‌

‌

14‌ a2+b2‌‌=(a+b)2-2ab‌
=22-2´(-1)=6

15‌ (a+b)2‌‌=(a-b)2+4ab‌

=(-3)2+4´(-2)=1

16‌‌x2+y2=(x+y)2-2xy에서‌ ‌

45=92-2xy‌

‌∴ ‌xy=18

‌ ∴‌;[};

+

;]{;

=

x2+y2
xy

=

=

;2%;

;1$8%;

07  (4x+3y)(16x2-12xy+9y2)‌=(4x)3+(3y)3‌

‌

17‌ a3+b3‌‌=(a+b)3-3ab(a+b)‌

‌

=64x3+27y3

=43-3´2´4=40

08  (x-5y)(x2+5xy+25y2)‌=x3-(5y)3‌
=x3-125y3

‌

09  4x2+9y2+z2-12xy+6yz-4zx

10‌ (x+2y-z)(x2+4y2+z2-2xy+2yz+zx)
‌ =x3+(2y)3+(-z)3-3´x´2y´(-z)
‌ =x3+8y3-z3+6xyz

11‌ (2x-y+3)(-2x+y+3)
‌ =-(2x-y+3)(2x-y-3)

‌ =-(t+3)(t-3)‌ ← 2x-y=t로 치환
‌ =-(t2-9)
‌ =-t2+9
‌ =-(2x-y)2+9‌ ← t=2x-y 대입
‌ =-(4x2-4xy+y2)+9
‌ =-4x2+4xy-y2+9

12‌ (x-1)(x-2)(x+3)(x+4)
‌ ={(x-1)(x+3)}{(x-2)(x+4)}
‌ =(x2+2x-3)(x2+2x-8)
‌ =(t-3)(t-8)‌
‌ =t2-11t+24
‌ =(x2+2x)2-11(x2+2x)+24‌ ← t=x2+2x 대입
‌ =x4+4x3+4x2-11x2-22x+24
‌ =x4+4x3-7x2-22x+24

‌

← x2+2x=t로 치환

13‌ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
‌ ={(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-3)}
‌ =(x2-5x+4)(x2-5x+6)
‌ ={(x2-5x+1)+3}{(x2-5x+1)+5}
‌ =3´5=15

18‌ a3-b3‌‌=(a-b)3+3ab(a-b)‌

‌

=(-3)3+3´2´(-3)=-45

19‌ x2+y2=(x+y)2-2xy에서
‌∴ ‌xy=-3
‌

10=22-2xy‌
x3+y3‌‌=(x+y)3-3xy(x+y)‌ ‌
=23-3´(-3)´2=26

‌

20‌ a2+b2=(3+2
a2b2=(3+2
‌

'
2)(3-2

'

'
2)=1에서

'

2)+(3-2

2)=6이고,‌

‌

‌

ab=1‌(∵‌a,‌b는‌양수)이므로
(a+b)2‌‌=a2+b2+2ab‌

‌

=6+2´1=8

‌ ∴‌a+b=2
‌ ∴‌a3+b3‌‌=(a+b)3-3ab(a+b)‌

2‌(∵ a,‌b는‌양수)

'

‌

=(2

2)3-3´1´2

2=10

2

'

'

'

21‌ ㉠‌1,‌㉡‌-36

22‌

a-

{

2
=
;a!;}

{

a+

2
-4=32-4=5
;a!;}

‌ ∴‌a-

=

5‌(∵‌a>1)

;a!;

'

23‌

a+

{

2
=
;a!;}

{

a-

2
+4=32+4=13
;a!;}

‌ ∴‌a+;a!;=
'§

13‌(∵ a>0)

24‌ a3+

1
a3 =

{

a+

3
;a!;}

-3

a+

{

;a!;}





=(-2)3-3´(-2)=-2

2. 다항식의 곱셈  | 027

25  a2+

1
a2 =

{

a-

2
+2에서
;a!;}

 

6=

a-

{

2
;a!;}

+2, 
{

a-

2
;a!;}

=4

  ∴ a-

=2 (∵ a>1)

;a!;

  ∴ a3-

 

 

1
a3 =

{

+3

a-

3
;a!;}
{
=23+3´2=14

a-

;a!;}

26  a2+

1
a2 =

{

a+

2
-2에서
;a!;}

8=

a+

{

2
;a!;}

-2, 
{

a+

2
;a!;}

=10

  ∴ a+

=

10 (∵ a>0)

;a!;

'§

  ∴ a3+

 

1
a3 =
=(

{

a+

3
-3
;a!;}
10)3-3

'§

a+

{

;a!;}

10=7

10

'§

'§

 

 

 

 

27  x+0이므로 x2-3x+1=0의 양변을 x로 나누면

x-3+

=0 

 ∴  x+

=3

;[!;

;[!;

  ∴ x3+

1
x3 =

{

x+

3
-3
;[!;}

{

x+

;[!;}

  

=33-3´3=18

28  a2+b2+c2  =(a+b+c)2-2(ab+bc+ca) 

 

=(-2)2-2´(-1)=6

29  a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)에서
 

13=32-2(ab+bc+ca)

  즉, ab+bc+ca=-2이므로
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2

 
  =a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ca+a2
  =2(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
  =2{13-(-2)}=30

30  a2+b2+c2  =(a+b+c)2-2(ab+bc+ca) 
=42-2´1=14

 

  ∴   a3+b3+c3 

 

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)+3abc  
=4(14-1)+3´(-6)=34

31  32, 34, 316

32  주어진 식에 -(3-4)=1을 곱하면
  -(3-4)(3+4)(32+42)(34+44)
  =-(32-42)(32+42)(34+44)
  =-(34-44)(34+44)
  =-(38-48)
  =48-38=216-38

028  정답과 풀이

3 

다항식의 나눗셈

STEP 1

 

54쪽~63쪽 

01-1  ⑴ 10a3Ö2a2=

10a3
2a2 = 5a
12x3
-3x
12a4b5
4ab2 =3a3b3

= -4x2

⑵ 12x3Ö(-3x)=

⑶ 12a4b5Ö4ab2=

⑷ 3x2y5Ö

x3y3=3x2y5_

;2!;

2
x3y3 =

6y2
x

⑸ 6ab2Ö

-

{

1
3a4b3 }

=6ab2_(-3a4b3)=-18a5b5

 

 

 

 

 

  

  

 

  

  

 

  

  

 

  

  

  

+ 4ab2
2a

02-1  ⑴ (6a2b+4ab2)Ö2a= 6a2b
2a
=3ab+ 2b2
6x3y
3y
= 2x3 -5xy

⑵ (6x3y-15xy2)Ö3y=

-

 

  

15xy2
3y

⑶ (3ab2-6a2b+9ab)Ö(-3a)
6a2b
-3a

3ab2
-3a

9ab
-3a

+

=

-

=-b2+2ab-3b

⑷ (5x3y-3x2y2+2xy3)Ö

xy

=5x3y_

-3x2y2_

+2xy3_

2
xy

2
xy

=10x2-6xy+4y2

⑸ (2a2b-3ab2+4ab)Ö

;2!;

2
xy

1
3a2b

=(2a2b-3ab2+4ab)_3a2b
=6a4b2-9a3b3+12a3b2

⑹ (4x2y+3xy3-2x2y2)Ö

1
2xy3 }
=(4x2y+3xy3-2x2y2)_(-2xy3)
=-8x3y4-6x2y6+4x3y5

-

{

03-1  ⑴ 

x -3
x-1 x2-4x+5

x2- x

← x_(x-1)

-3x+5
-3x+3 ← -3_(x-1)

2

 

  ∴ 몫 :  x-3 , 나머지 :  2

-6x2-4x

← 2x_(-3x-2)

6x+4
6x+4 ← -2_(-3x-2)

0

 ∴ 몫 : x+1 , 나머지 : -x+4

⑽

x +1
x2-3x+2 x3-2x2+4x-3



























2x -1
x+2 2x2+3x-3

2x2+4x

← 2x_(x+2)

- x-3
- x-2 ← -1_(x+2)

 ∴ 몫 : 2x-1, 나머지 : -1

2x
2x+1 4x2+2x-7

4x2+2x

← 2x_(2x+1)

-1

-7

 ∴ 몫 : 2x, 나머지 : -7

2x -2

-3x-2 -6x2+2x+4

⑵

⑶

⑷

⑸

 ∴ 몫 : 2x-2, 나머지 : 0

x2+ x -4
x+1 x3+2x2-3x-6
x3+ x2

← x2_(x+1)

x2-3x
x2+ x

← x_(x+1)

-4x-6
-4x-4 ← -4_(x+1)

-2

 ∴ 몫 : x2+x-4 , 나머지 : -2

⑹

2x2+3x +5
x-2 2x3- x2- x+ 3

2x3-4x2

← 2x2_(x-2)

3x2- x
3x2-6x

← 3x_(x-2)

5x+ 3
5x-10 ← 5_(x-2)

13

 ∴ 몫 : 2x2+3x+5, 나머지 : 13

⑺

3x2-7x +20
x+3 3x3+2x2- x- 2

3x3+9x2

← 3x2_(x+3)

-7x2- x
-7x2-21x

← -7x_(x+3)

20x- 2
20x+60 ← 20_(x+3)

-62

 ∴ 몫 : 3x2-7x+20, 나머지 : -62





















⑻

2x2-2x-1

-3

2x-1 4x3-6x2
4x3-2x2
-4x2
-4x2+2x

← 2x2_(2x-1)

← -2x_(2x-1)

-2x-3
-2x+1 ← -1_(2x-1)

-4

 ∴ 몫 : 2x2-2x-1, 나머지 : -4

⑼

x +1
x2+2x-2 x3+3x2- x+2

x3+2x2-2x

← x_(x2+2x-2)

x2+ x+2
x2+2x-2 ← 1_(x2+2x-2)

- x+4

x3-3x2+2x

← x_(x2-3x+2)

x2+2x-3
x2-3x+2 ← 1_(x2-3x+2)

5x-5

 ∴ 몫 : x+1, 나머지 : 5x-5

⑾

2x +1
x2-3 2x3+x2-4x+3

2x3 -6x

← 2x_(x2-3)

x2+2x+3
x2

2x+6

-3 ← 1_(x2-3)

 ∴ 몫 : 2x+1, 나머지 : 2x+6

⑿

3x +3

x2-x+2 3x3

- 5x+2

3x3-3x2+ 6x

← 3x_(x2-x+2)

3x2-11x+2
3x2- 3x+6 ← 3_(x2-x+2)

- 8x-4

 ∴ 몫 : 3x+3, 나머지 : -8x-4

04-1  ⑴ 2x2-5x+3=(x+1)( 2x-7 )+10


⑵ x3-2x2-5x+2=(x-3)(x2+x-2)-4
⑶ 6x3-7x2-8x-9=(2x-5)(3x2+4x+6)+21
⑷ 4x3-x+5=(2x2+x-3)(2x-1)+6x+2





04-2  ⑴ A =(x2-x+2)( 2x+1 )+3x-1  

=(2x3+x2-2x2-x+4x+2)+3x-1
=2x3-x2+ 6x +1



3. 다항식의 나눗셈  | 029

 

 

 

  

 

 

  
  

  

 

 

  
  

  

 

 

  

  

⑵ A  =(2x-3)(5x-2)-2   

=(10x2-4x-15x+6)-2 
=10x2-19x+4

⑶ A  =(x-2)(x2-x-5)+3 

 

 

=(x3-x2-5x-2x2+2x+10)+3 
=x3-3x2-3x+13

 

⑷ A  =(x2+2x-4)(3x-5)+2x+3  

=(3x3-5x2+6x2-10x-12x+20)+2x+3 
=3x3+x2-20x+23
04-3  ⑴ x3+x2-3x-3=B( x-1 )-4에서
  
  

B  ={(x3+x2-3x-3)+4}Ö(x-1)

  ∴ B= x2+2x-1
⑵ 6x2+x-16=B(2x+3)-4에서

B  ={(6x2+x-16)+4}Ö(2x+3)

  ∴ B=3x-4
⑶ x3+3x2+2x-4=B(x+2)+3x+2에서

B={(x3+3x2+2x-4)-3x-2}Ö(x+2)

x2+2x -1
x-1 x3+ x2-3x+1
x3- x2

2x2-3x
2x2-2x

- x+1
- x+1

0

3x -4
2x+3 6x2+ x-12

6x2+9x

-8x-12
-8x-12

0

x2+ x -3
x+2 x3+3x2- x-6
x3+2x2

x2- x
x2+2x

-3x-6
-3x-6

0

  ∴ B=x2+x-3
⑷ 2x3-7x2+4x+5=B(x2-2x-1)+2에서

B={(2x3-7x2+4x+5)-2}Ö(x2-2x-1)

2x -3
x2-2x-1 2x3-7x2+4x+3

2x3-4x2-2x

-3x2+6x+3
-3x2+6x+3
0

 

  ∴ B=2x-3

030  정답과 풀이

05-1  ⑴ 

2

1 -3

1

2 -2 -2

1 -1 -1

5

3

1

0

5

3

  ∴ 몫 :  x2-x-1 , 나머지 :  3

-2

1 -2 -5

3

-2

1 -4

8 -6
3 -3

  ∴ 몫 :  x2-4x+3 , 나머지 :  -3
⑶ 

3

1 -1

1

1

3

4

12

11

4

33

37

  ∴ 몫 : x2+4x+11, 나머지 : 37

-1

2 -3 -4

-2

5 -1

2 -5

1

  ∴ 몫: 2x2-5x+1, 나머지 : 0

-2

2

3 -1

-4

2 -2

2 -1

1

  ∴ 몫 : 2x2-x+1, 나머지 : 3

-3

3

4 -12 -1

-9

3 -5

15 -9
3 -10

  ∴ 몫 : 3x2-5x+3, 나머지 : -10

1

2 -4

1

1

1

3 -1

3 -1

2

1

1

1

2

  ∴ 몫 :  x3+3x2-x+1 , 나머지 :  2
⑻ 

-2

1 -2 -3

4

-2

1 -4

8 -10

5 -6

5

12

17

  ∴ 몫 : x3-4x2+5x-6, 나머지 : 17

-1

2 -3 -1

3 -4

-2

2 -5

5 -4
1
4 -1 -3

  ∴ 몫 : 2x3-5x2+4x-1, 나머지 : -3

2

1 -5 -7 -3

6

7

14

9

18

11

22

19

3

3

  ∴ 몫 : 3x3+7x2+9x+11, 나머지 : 19

⑵ 

⑷ 

⑸ 

⑹ 

⑺ 

⑼ 

⑽ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  ∴ 몫 :  x2-x-2 , 나머지:  4

  ∴ 몫 : x3+x2+2x+4, 나머지 : 11

∴ 몫 :  x2+2x-1 , 나머지 :  1

  ∴ 몫 : x3+3x2+9x+22, 나머지 : 66

05-2  ⑴ 

-1

1

0 -3

-1

1

1 -1 -2

2

2

4

3

1

2

0 -5

2

4 -2

2 -1

1

1

1

1

⑵ 

⑶ 

⑷ 

⑸ 

⑹ 

⑺ 

⑻ 

⑼ 

⑽ 

-2

-2

2

0

0 -4

0
0
0 -4

  ∴ 몫 : x2, 나머지 : -4

2

1 -3

2 -2

4

2

0

4

4

1 -1

  ∴ 몫 : x2-x+2, 나머지 : 4

-3

2

4

0

7

-6

2 -2

6 -18
6 -11

  ∴ 몫 : 2x2-2x+6, 나머지 : -11

-2

1 -4

0

0

-2

1 -6

12 -24
12 -24

  ∴ 몫 : x2-6x+12, 나머지 : -24

-1

2

0 -1

0

-2

2 -2

2 -1
1 -1

  ∴ 몫 : 2x2-2x+1, 나머지 : -1

2

3

3

0

6

6

0 -5

12

12

24

19

  ∴ 몫 : 3x2+6x+12, 나머지 : 19

-2

1 -1

0

1 -2

-2

6 -12

1 -3

6 -11

22

20

  ∴ 몫 :  x3-3x2+6x-11 , 나머지 :  20

-1

2 -1

0 -3

-1 -1

1 -2

2 -2
2 -5

1

1

  ∴ 몫 : x3+x2-2x+2, 나머지 : -5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⑾ 

⑿ 

2

1 -1

0

2

2

0

4

4

3

8

11

2

1

1

1

1

3

0

3

3

0 -5

9

9

27

22

0

66

66

06-1  ⑴ f(x)=

x-

{

;2!;}

Q(x)+ R

 

  =(2x-1)´

Q(x) +R

;2!;

  ∴ 몫 : 

Q(x) , 나머지 :  R

;2!;

⑵ f(x)=

x+

Q(x)+R

{

;3!;}

 

  =(3x+1)´

Q(x) +R

;3!;

  ∴ 몫 : 

Q(x) , 나머지 :  R

;3!;

⑶ f(x)=

x-

Q(x)+R

{

;4!;}

 

  =(4x-1)´

Q(x)+R

;4!;

  ∴ 몫 : 

Q(x), 나머지 : R

;4!;

⑷ f(x)=

x-

Q(x)+R

{

;3%;}

 

  =(3x-5)´

Q(x)+R

;3!;

  ∴ 몫 : 

Q(x), 나머지 : R

;3!;

⑸ f(x)=

x-

Q(x)+R

{

;4#;}

 

  =(4x-3)´

Q(x)+R

;4!;

  ∴ 몫 : 

Q(x), 나머지 : R

;4!;

⑹ f(x)=

x+

Q(x)+R

{

;5#;}

 

  =(5x+3)´

Q(x)+R

;5!;

  ∴ 몫 : 

Q(x), 나머지 : R

;5!;

⑺ f(x)=(3x-1)Q(x)+R

 

  =

x-

{

;3!;}

´3Q(x)+R

  ∴ 몫 : 3Q(x), 나머지 : R

⑻ f(x)=(4x+1)Q(x)+R

 

  =

x+

{

;4!;}

´4Q(x)+R

  ∴ 몫 : 4Q(x), 나머지 : R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. 다항식의 나눗셈  | 031

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

⑵ 

⑶ 

⑷ 

⑸ 

⑼ f(x)=(2x-5)Q(x)+R

 

⑹ 

 

  =

x-

{

;2%;}

´2Q(x)+R

  ∴ 몫 : 2Q(x), 나머지 : R

⑽ f(x)=(7x+4)Q(x)+R

 

  =

x+

{

;7$;}

´7Q(x)+R

  ∴ 몫 : 7Q(x), 나머지 : R

06-2  ⑴ 

;2!;

2

2

3 -4 -5

1
2 -1
4 -2 -6

 

 

  2x3+3x2-4x-5=

x-

(2x2+4x-2)-6

{

;2!;}

 

 
  ∴ 몫 :  x2+2x-1 , 나머지 :  -6

  =(2x-1)(x2+2x-1)-6

;2!;

2 -3

5 -1

1 -1

2 -2

4

2

1

2x3-3x2+5x-1=
{

x-

;2!;}

(2x2-2x+4)+ 1

 

 

 
  ∴ 몫 :  x2-x+2 , 나머지 :  1

=(2x-1)(x2-x+2)+1

-

;2!;

4

0 -3

-2

1

4 -2 -2

2

1

3

4x3-3x+2=

x+

(4x2-2x-2)+3

{

;2!;}

 

 
  ∴ 몫 : 2x2-x-1, 나머지 : 3

=(2x+1)(2x2-x-1)+3

;5!;

5

5

4 -6 -2

1
1 -1
5 -5 -3

5x3+4x2-6x-2=

x-

(5x2+5x-5)-3

{

;5!;}

 

 
  ∴ 몫 : x2+x-1, 나머지 : -3

=(5x-1)(x2+x-1)-3

;2#;

2

2

3 -5

3

6

9

4

3

6

9

2x3+3x2-5x+3=

x-

(2x2+6x+4)+9

{

;2#;}

 

 
  ∴ 몫 : x2+3x+2, 나머지 : 9

=(2x-3)(x2+3x+2)+9

6 -1 -5

;3@;

4

2 -2

6

3 -3

3

1

6x3-x2-5x+3=

x-

(6x2+3x-3)+1

{

;3@;}

 

 
  ∴ 몫 : 2x2+x-1, 나머지 : 1

=(3x-2)(2x2+x-1)+1

-

;4#;

8

2

1 -2

-6

8 -4

3 -3
4 -5

  8x3+2x2+x-2=

x+

(8x2-4x+4)-5

{

;4#;}


  ∴ 몫 : 2x2-x+1, 나머지 : -5

=(4x+3)(2x2-x+1)-5

;3!;

3 -4 -5

1

1 -1 -2
3 -3 -6 -1

-

;3$;

3 -2

1

5

-4

3 -6

8 -12
9 -7

3x3-4x2-5x+1=
{

x-

;3!;}

(3x2-3x-6)-1

 

 
  ∴ 몫 : x2-x-2, 나머지 : -1

=(3x-1)(x2-x-2)-1

3x3-2x2+x+5=

x+

(3x2-6x+9)-7

{

;3$;}

 

 
  ∴ 몫 : x2-2x+3, 나머지 : -7

=(3x+4)(x2-2x+3)-7

-

;3!;

6 -1

5 -1

-2

6 -3

1 -2
6 -3

-

;3%;

3 -1 -1

4

-5

3 -6

10 -15
9 -11

6x3-x2+5x-1=
{

x+

;3!;}

(6x2-3x+6)-3

 

 
  ∴ 몫 : 2x2-x+2, 나머지 : -3

=(3x+1)(2x2-x+2)-3

3x3-x2-x+4=

x+

(3x2-6x+9)-11

{

;3%;}

 
  ∴ 몫 : x2-2x+3, 나머지 : -11

=(3x+5)(x2-2x+3)-11

032  정답과 풀이

⑺ 

⑻ 

⑼ 

⑽ 

⑾ 

  

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

 



 

 

  

 

 

 

  



 

STEP 2

 

64쪽~67쪽

1-1 ⑴ 12a2b3Ö3a3b2= 12a2b3

  ⑵ 2ab5Ö4a3b2=

a

3a3b2 = 4b
b3
2ab5
4a3b2 =
2a2

  ⑶ 3x2yÖ

xy3=3x2y_

;2#;

2
3xy3 =

2x
y2

  ⑷ 4x3y2Ö

=4x3y2_2xy3=8x4y5

1
2xy3 }

{

1-2 ⑴ 3a4b2Ö6a2b=

3a4b2
6a2b

a2b

=

;2!;

  ⑵ 6a3b2Ö(-9a5b7)=

6a3b2
-9a5b7 =-

2
3a2b5

  ⑶ x3y5Ö

xy2
}

{;3!;

2

=x3y5Ö

=x3y5_

x2y4
}

{;9!;
9
x2y4 =9xy
1
8x3y6 }

-

{

  ⑷ 2xy3Ö

-

{

3

1
2xy2 }

=2xy3Ö

 

 

2-1 ⑴ (9ab2+6a3b)Ö3a
9ab2
3a

6a3b
3a

  =

+

 

=3b2+2a2b

 

  =

  ⑵ (12ab4-8a3b)Ö4a2b2
12ab4
3b2
4a2b2 -
a
  ⑶ (a3bc2+2a2b3c)Ö3ab2c3
a2
3bc

a3bc2
3ab2c3 +

2a2b3c
3ab2c3 =

8a3b
4a2b2 =

  =

 

-

2a
b

+

2ab
3c2

 

2-2 ⑴ (x3y2+4x2y4)Ö2xy3
x3y2
x2
2xy3 +
2y
  ⑵ (12x3yz4-6x2z3)Ö3xy2

4x2y4
2xy3 =

  =

+2xy

 

  =

12x3yz4
4x2z4
3xy2 -
y
  ⑶ (2xyz3+3x2y3z)Ö5xyz2

6x2z3
3xy2 =

-

2xz3
y2

  =

2xyz3
5xyz2 +

3x2y3z
5xyz2 =

;5@;

z+

3xy2
5z

  =2xy3_(-8x3y6)=-16x4y9

3-1 ⑴ (6a2b3+8ab4-4a3b)Ö2a4b2

  =

6a2b3
2a4b2 +

8ab4
2a4b2 -

4a3b
2a4b2 =

3b
a2 +

4b2
a3 -

2
ab

  ⑵ (8a3b2-4a2b+2ab3)Ö4ab

  =

8a3b2
4ab

-

4a2b
4ab

+

2ab3
4ab

=2a2b-a+

b2

;2!;

  ⑶ (2a2b3c+3abc4-4ac2)Ö6a3b

  =

2a2b3c
6a3b

+

3abc4
6a3b

-

4ac2
6a3b

=

+

b2c
3a

c4
2a2 -

2c2
3a2b

 

 

 

 

 

 

3-2 ⑴ (6xy3+9x3y2-12xy2)Ö2xy

  =

6xy3
2xy

+

9x3y2
2xy

-

12xy2
2xy

  =3y2+

x2y-6y

;2(;
  ⑵ (5xyz2-3xz3+4y2z)Ö2x2z3

 

  =

4y2z
2x2z3

3xz3
5xyz2
2x2z3 +
2x2z3 -
2y2
3
5y
x2z2
2x
2xz
  ⑶ (2xy2-4x3y-12x4y5)Ö(-6x2y3)

  =

-

+

 

  =

  =-

2xy2
-6x2y3 -
1
3xy

+

4x3y
-6x2y3 -
2x
3y2 +2x2y2

12x4y5
-6x2y3

 

 

 

 

4-1 ⑴ 3x2-8x-1=(x-2)(3x-2)-5
  ⑵ 3x3-2x2+x+1=(x-1)(3x2+x+2)+3
  ⑶ x4-3x3+2x-1=(x2+1)(x2-3x-1)+5x

4-2 ⑴ 8x2-6x-2=(2x-1)(4x-1)-3
  ⑵ 6x3-5x2+3x-2=(2x2-x+3)(3x-1)-7x+1
  ⑶ 2x4+3x2-2x-1

 

  =(x2+x-1)(2x2-2x+7)-11x+6

5-1 ⑴ 

3x -8
x+2 3x2-2x+ 3
3x2+6x

또는

-2

3 -2

-6

3 -8

3

16

19

-8x+ 3
-8x-16

19

 

  ∴ 몫 : 3x-8, 나머지 : 19

  ⑵ 

x2+4x + 9
x-3 x3+ x2- 3x+ 5

x3-3x2

4x2- 3x
4x2-12x

또는

3

1 1 -3

5

3

1 4

12 27
9 32

9x+ 5
9x-27

32

 

  ∴ 몫 : x2+4x+9, 나머지 : 32

  ⑶ 

x -1
x2+x-3 x3 - x+3

x3+x2-3x

-x2+2x+3
-x2- x+3

3x

 

  ∴ 몫 : x-1, 나머지 : 3x

참고

않는다.

나누는 식이 일차식이 아니므로 조립제법을 이용하지 

3. 다항식의 나눗셈  | 033

5-2 ⑴ 

2x+1 2x2-7x+3

x -4

2x2+ x

-

;2!;

2 -7

-1

2 -8

3

4

7

7-1 ⑴ 

1

1 -3

1 -2

5 -7

3
3 -4

1 -2

또는

2x2-7x+3

-8x+3
-8x-4

7

=

x+

{

;2!;}

(2x-8)+7

=(2x+1)(x-4)+7

  ⑵ 

  ∴ 몫 : x2-2x+3, 나머지 : -4

 

  ∴ 몫 : x-4, 나머지 : 7

  ⑵ 

x2+2x -1

2x-1 2x3+3x2-4x+2
2x3- x2

2 3 -4

;2!;

1

2 -1

2 4 -2

2

1

또는

2x3+3x2-4x+2

x-
=
{

;2!;}

(2x2+4x-2)+1

=(2x-1)(x2+2x-1)+1

4x2-4x
4x2-2x

-2x+2
-2x+1

1

  

  ∴ 몫 : x2+2x-1, 나머지 : 1

  ⑶ 

3x -1

2x2+3x-2 6x3+7x2- x+3

6x3+9x2-6x

-2x2+5x+3
-2x2-3x+2
8x+1

  

  ∴ 몫 : 3x-1, 나머지 : 8x+1

  ⑵ 

 

6-1 ⑴ A=(x2-2x+3)(x+3)+2x-5
 

  =(x3+3x2-2x2-6x+3x+9)+2x-5
  =x3+x2-x+4

 
  ⑵ x3+2x2+4x+8=B(x+1)+x+6에서

 

  B={(x3+2x2+4x+8)-x-6}Ö(x+1)

-1

1

1

-1 -1 -2

2

1

3

2

2

0

  ∴ B=x2+x+2

 

6-2 ⑴ A=(2x2-x+1)(3x+2)+3x-2
 

  =(6x3+4x2-3x2-2x+3x+2)+3x-2
  =6x3+x2+4x

 
  ⑵ 2x3-3x2+5x+1=B(x2-x+2)+3에서

 

  B={(2x3-3x2+5x+1)-3}Ö(x2-x+2)

 

 

 

 

 

 

 

2x -1
x2-x+2 2x3-3x2+5x-2

2x3-2x2+4x

- x2+ x-2
- x2+ x-2
0

 

  ∴ B=2x-1

034  정답과 풀이

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

2

1

1

2

1 -1

2 -4 -3

2

1

2

4

8

5

  ∴ 몫 : x3+x2+4x+4, 나머지 : 5

  ⑶ 

;2!;

3 -4

1

2 -1

4 -2

8

4

3

2

  2x3+3x2-4x+3=

x-

(2x2+4x-2)+2

{

;2!;}

 

 
  ∴ 몫 : x2+2x-1, 나머지 : 2

=(2x-1)(x2+2x-1)+2

7-2 ⑴ 

-1

1 -2 -3

-1

1 -3

3

0

4

0

4

  ∴ 몫 : x2-3x, 나머지 : 4

-2

2 -2

3 - 3

-2

0

0 -2

4 -14
7 -17

  ∴ 몫 : x3-2x+7, 나머지 : -17

  ⑶ 

-

;3!;

3 -2 -4

-1

1

3 -3 -3

1

1

2

  3x3-2x2-4x+1=

x+

(3x2-3x-3)+2

{

;3!;}

 

 
  ∴ 몫 : x2-x-1, 나머지 : 2

=(3x+1)(x2-x-1)+2

8-1 ⑴ f(x)=

x-

{

;3%;}

Q(x)+R=(3x-5)´

Q(x)+R

;3!;

  ∴ 몫 : 

Q(x), 나머지 : R

;3!;

  ⑵ f(x)=(4x-3)Q(x)+R=

x-

´4Q(x)+R

{

;4#;}

  ∴ 몫 : 4Q(x), 나머지 : R

8-2 ⑴ f(x)=

x-

{

;5!;}

Q(x)+R=(5x-1)´

Q(x)+R

;5!;

  ∴ 몫 : 

Q(x), 나머지 : R

;5!;

  ⑵ f(x)=(5x-3)Q(x)+R=

x-

´5Q(x)+R

{

;5#;}

  ∴ 몫 : 5Q(x), 나머지 : R

  

  

 

  

03 

04 

05   

06 

07 

STEP 3

 

68쪽~69쪽

01  (6x2y-9x3y2)Ö3xy3=

9x3y2
3xy3

6x2y
3xy3 -
2x
y2 -

3x2
y

=

02  (6a2bc2-8ab3c)Ö

1
2ac3 =(6a2bc2-8ab3c)_2ac3
=12a3bc5-16a2b3c4

-

;2!;

2 -7

-1

2 -8

2

4

6

2x2-7x+2=
{

x+

;2!;}

(2x-8)+6

=(2x+1)(x-4)+6

  ∴ 몫 : x-4, 나머지 : 6

3

1 -2 -5

2

3
3 -6
1 -2 -4

1

  ∴ 몫 : x2+x-2, 나머지 : -4

  ∴ 몫 : x+3, 나머지 : x+10

x +3
x2+2x-3 x3+5x2+4x+1

x3+2x2-3x

3x2+7x+1
3x2+6x-9
x+10

-

;3!;

3 -5 -5

-1

2

3 -6 -3

2

1

3

 

3x3-5x2-5x+2=

x+

(3x2-6x-3)+3

{

;3!;}

=(3x+1)(x2-2x-1)+3

  
  따라서 몫 Q(x)=x2-2x-1, 나머지 R=3이므로
  Q(-2)+R=7+3=10

2x +1
x2-2x+5 2x3-3x2+7x+2

2x3-4x2+10x

x2-3x+2
x2-2x+5
- x-3

08  A =(3x2+5x+2)(x-3)+6x+5 

=(3x3-9x2+5x2-15x+2x-6)+6x+5 
=3x3-4x2-7x-1

09  A =(x2-2x+4)(2x-3)+3x+2 

=(2x3-3x2-4x2+6x+8x-12)+3x+2 
=2x3-7x2+17x-10

 

 

 

 

10  2x3-5x2-6x+4=B(x-3)-x-2에서
  B={(2x3-5x2-6x+4)+x+2}Ö(x-3)

3

2 -5 -5

6

3 -6

2

1 -2

6

0

  ∴ B=2x2+x-2

11  2x3+5x2-x-2=B(2x-1)-4x+1에서
  B={(2x3+5x2-x-2)+4x-1}Ö(2x-1)

;2!;

2

2

5

1

6

3 -3

3

6

3

0

2x3+5x2+3x-3=

x-

(2x2+6x+6)

{

;2!;}

=(2x-1)(x2+3x+3)

  
  ∴ B=x2+3x+3

2

3 -2

0 -5

6

4

8

8

16

11

3

  따라서 a=2, b=6, c=0, d=8이므로

 

a+b+c+d=16

 

 

 

12 

13 

-

;2!;

4

0

5

2

-2

4 -2

1 -3
6 -1

  따라서 a=-

, b=-2, c=1, d=-3이므로

;2!;

 

abcd=-3

14  f(x)=

x+

{

;3@;}

Q(x)+R=(3x+2)´

Q(x)+R

;3!;

  ∴ 몫 : 

Q(x), 나머지 : R

;3!;

  따라서 몫 Q(x)=2x+1, 나머지 R (x)=-x-3이므로

  Q(1)+R(1)=3-4=-1

15  f(x)=(2x-7)Q(x)+R=

x-

´2Q(x)+R

{

;2&;}

  ∴ 몫 : 2Q(x), 나머지 : R

3. 다항식의 나눗셈  | 035

4 

항등식

STEP 1

 

72쪽~79쪽 

⑻ 양변에 x=0을 대입하면 a=-2

  양변에 x=-1을 대입하면 -b=-6 

 ∴  b=6

다른 풀이

a(x+1)+bx=4x-2의 좌변을 정리하면

(a+b)x+a=4x-2이므로

a+b=4, a=-2 

 ∴  a=-2, b=6

01-1  ⑴   등식 4x-2=x+1은 x=1일 때만 성립하므로 이 

등식은 x에 대한 방정식이다. 

03-1  ⑴ a-2= 0 , b-3=0, c+5=0

⑵   등식 (x+2)2=x2+4x+4는 x에 어떤 값을 대입

  ∴ a=2, b= 3 , c=-5

해도 성립하므로 이 등식은 x에 대한 항등식이다.

⑵ a+1=2, b-2=-6, c-3= 5

01-2  ⑴ 항

⑷ 항

⑵ 방  x=1일 때만 성립한다.

⑶ 방  x=0 또는 x=3일 때만 성립한다.

02-1  ⑴ a+1=0, b-2= 0

  ∴ a=-1, b=2

⑵ a-2= 1 , b+2=5

  ∴ a=3, b=3

⑶ a-b=2, a+b= 6

  두 식을 연립하여 풀면 a= 4 , b=2

⑷ 양변에 x=0을 대입하면 b= 2

  양변에 x=1을 대입하면 a= 5

다른 풀이

ax-b(x-1)=3x+2의 좌변을 정리하면

(a-b)x+b=3x+2이므로

a-b=3, b=2 

 ∴  a=5, b=2

02-2  ⑴ a=0, b-3=0

  ∴ a=0, b=3

⑵ a-3=0, b+1=0

  ∴ a=3, b=-1

⑶ a-1=0, b=4

  ∴ a=1, b=4

⑷ a+2=5, b-3=-2

  ∴ a=3, b=1

⑸ a+b=4, a-b=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  ∴ a= 1 , b=-4, c=8

⑶ a-1=0, b=0, c-2=0

  ∴ a=1, b=0, c=2

⑷ a=4, b+1=-3, -c=1

  ∴ a=4, b=-4, c=-1

⑸ a-4=1, b-2=-4, c+3=1

  ∴ a=5, b=-2, c=-2

03-2  ⑴ 우변을 정리하면

x2+2x+3=ax2+bx-a+c이므로 

a= 1 , b=2, -a+c=3

  ∴ a=1, b=2, c= 4

⑵ 우변을 정리하면

2x2-x+1=ax2+(2a+b)x+a+c이므로

a=2, 2a+b=-1, a+c=1

  ∴ a=2, b=-5, c=-1

⑶ 우변을 정리하면

x2+3x-4=ax2+bx-a+2b+c이므로

  a=1, b=3, -a+2b+c=-4

  ∴ a=1, b=3, c=-9

⑷ 우변을 정리하면

x2+ax-3=bx2+(b+c)x+c이므로

b=1, b+c=a, c=-3

  ∴ a=-2, b=1, c=-3

⑸ 우변을 정리하면

ax2-5x+b=2x2+(2c-3)x-3c이므로

a=2, -5=2c-3, b=-3c

  ∴ a=2, b=3, c=-1

  두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=1

⑹ 2a-b=-5, a+b=-1

  두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=1

⑺ 양변에 x=0을 대입하면 -b=-3 

 ∴  b=3

  양변에 x=1을 대입하면 a=3

다른 풀이

ax+b(x-1)=6x-3의 좌변을 정리하면 

(a+b)x-b=6x-3이므로

03-3  ⑴ 양변에 x=0을 대입하면 -3=-b

  양변에 x=-1을 대입하면 -6= 2c

  양변에 x=1을 대입하면 2=2a

  ∴ a= 1 , b=3, c=-3

⑵ 양변에 x=0을 대입하면 -4=-b

  양변에 x=1을 대입하면 2=2a

  양변에 x=-1을 대입하면 -8=2c

a+b=6, -b=-3 

 ∴  a=3, b=3

  ∴ a=1, b=4, c=-4

036  정답과 풀이

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  

 

 

  

  

  

 

 

 

 

 

  

  

 

 

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

⑶ 양변에 x=0을 대입하면 3=-b

 양변에 x=1을 대입하면 6=2c

 양변에 x=-1을 대입하면 4=2a

 ∴ a=2, b=-3, c=3

⑷ 양변에 x=0을 대입하면 2=-b+c

 양변에 x=1을 대입하면 1=c

 양변에 x=2를 대입하면 2=2a+b+c

 ∴ a=1, b=-1, c=1

⑸ 양변에 x=0을 대입하면 -3=b

 양변에 x=-1을 대입하면 -5=-c

 양변에 x=1을 대입하면 3=2a+2b+c

 ∴ a=2, b=-3, c=5

04-1  ⑴ 좌변을 전개하면

6x2+ 7x -3=ax2+bx+c이므로
a= 6 , b=7, c=-3

⑵ 좌변을 전개하면

8x3+ 12x2 +6x+1=ax3+bx2+cx+d이므로
a=8, b=12, c= 6 , d=1

⑶ 좌변을 전개하면

27x3-8=ax3+bx2+cx+d이므로

a=27, b=0, c=0, d=-8

⑷ 좌변을 전개하면



x4+4x3-2x2-12x+9=ax4+bx3+cx2+dx+9

이므로 a=1, b=4, c=-2, d=-12

⑸ 좌변을 전개하면



x4-10x3+35x2-50x+24
=x4+ax3+bx2+cx+d이므로

a=-10, b=35, c=-50, d=24

참고

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

={(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-3)}
={(x2-5x)+4}{(x2-5x)+6}

05-1  ⑴ 2x2+ax+b =(x+3)( 2x+3 )+3

=2x2+ 9x +12

 ∴ a=9, b= 12
⑵ x2+ax+b =(x-2)(x+4)-1

=x2+2x-9

 ∴ a=2, b=-9
⑶ x2+ax+b =(x+1)(x+5)+6

=x2+6x+11

 ∴ a=6, b=11

















































































































⑷ ax2+8x+b =(3x-1)(x+3)-5  

=3x2+8x-8

 ∴ a=3, b=-8

05-2  ⑴ x3+ax2+bx+c =(x+3)( x2+4x-2 )+1

=x3+7x2+ 10x -5

 ∴ a=7, b=10, c= -5
⑵ x3+ax2+bx+c =(x-4)(x2+x+2)+5



=x3-3x2-2x-3

 ∴ a=-3, b=-2, c=-3
⑶ 2x3+ax2+bx+c =(2x+1)(x2-3x+1)-2

=2x3-5x2-x-1

 ∴ a=-5, b=-1, c=-1
⑷ ax3+bx2+7x+c =(x-2)(2x2-3x+1)+4

=2x3-7x2+7x+2

 ∴ a=2, b=-7, c=2

05-3  ⑴ x3+ax2+bx+c =( x2+1 )(x-2)+3x-1

=x3-2x2+4x- 3

 ∴ a= -2 , b=4, c=-3
⑵ x3+ax2+bx+c =(x2-2x)(x+1)-4



=x3-x2-2x-4

 ∴ a=-1, b=-2, c=-4
⑶ 2x3+ax2+bx+c =(2x2+3x-1)(x-2)+3x+1

=2x3-x2-4x+3

 ∴ a=-1, b=-4, c=3
⑷ ax3+bx2+cx+4 =(3x2+x-2)(2x-1)+2

=6x3-x2-5x+4

 ∴ a=6, b=-1, c=-5

06-1  ⑴ (3k-2)x+(k-1)y-2k+1=0을 k에 대하여 정
리하면 (3x+y-2)k+(-2x-y+1)=0

⑵ (-2k+1)x+(k-1)y+k+1=0을 k에 대하여

정리하면 (-2x+y+1)k+(x-y+1)=0

 이 식이 k에 대한 항등식이므로



-2x+y+1= 0 , x-y+1= 0

 두 식을 연립하여 풀면 x= 2 , y=3

⑶ (k+2)x+(-2k+1)y-3k-1=0을 k에 대하여

정리하면 (x-2y-3)k+(2x+y-1)=0

 이 식이 k에 대한 항등식이므로

x-2y-3=0, 2x+y-1=0

 두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=-1





4. 항등식  | 037

← x2-5x=t로 치환하여 전개해도 된다.

=(x2-5x)2+10(x2-5x)+24
=x4-10x3+(25+10)x2-50x+24

 이 식이 k에 대한 항등식이므로



3x+y-2= 0 , -2x-y+1= 0

 두 식을 연립하여 풀면 x=1, y= -1

⑷   (2k+1)x+(-3k+2)y+2k-6=0을 k에 대하

07-2  (x2+2x+3)3 =a0+a1x+a2x2+ y +a6x6의 
 

⑴ 양변에 x=0을 대입하면

 

  

 

  

 

 

  

 

  

 

 

  

 

  

 

 

  

 

  

 

 

  

 

  

 

  

 

  

 

 

 

 

 

 

  

  

  

 

⑹   (-k+2)x+(2k-1)y+5k-4=0을 k에 대하여 

⑸   (k+2)x+(-3k-2)y+4k-4=0을 k에 대하여 

여 정리하면

(2x-3y+2)k+(x+2y-6)=0

  이 식이 k에 대한 항등식이므로

2x-3y+2=0, x+2y-6=0

  두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=2

정리하면

(x-3y+4)k+(2x-2y-4)=0

  이 식이 k에 대한 항등식이므로

x-3y+4=0, 2x-2y-4=0

  두 식을 연립하여 풀면 x=5, y=3

정리하면

(-x+2y+5)k+(2x-y-4)=0

  이 식이 k에 대한 항등식이므로

-x+2y+5=0, 2x-y-4=0

  두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=-2

여 정리하면

(4x-3y-5)k+(2x+3y-7)=0

  이 식이 k에 대한 항등식이므로

4x-3y-5=0, 2x+3y-7=0

  두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=1

리하면

(3x+y+1)k+(x-2y+12)=0

  이 식이 k에 대한 항등식이므로

3x+y+1=0, x-2y+12=0

  두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=5

⑺   (4k+2)x+(-3k+3)y-5k-7=0을 k에 대하

⑻   (3k+1)x+(k-2)y+k+12=0을 k에 대하여 정

07-1  (3x3+2x2+x+1)2 =a0+a1x+a2x2+ y +a6x6의 
 

⑴ 양변에 x= 0 을 대입하면

12=a0 

 ∴  a0=1

⑵ 양변에 x= 1 을 대입하면

72=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6

  ∴ a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=49  yy ㉠
⑶ 양변에 x= -1 을 대입하면

(-1)2=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6

  ∴ a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=1 
⑷ ㉠+㉡을 하면

yy ㉡

2(a0+a2+a4+a6)= 50
  ∴ a0+a2+a4+a6= 25
⑸ ㉠-㉡을 하면

2(a1+a3+a5)= 48
  ∴ a1+a3+a5= 24

038  정답과 풀이

33=a0 

 ∴  a0=27

⑵ 양변에 x=1을 대입하면

63=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6
  ∴ a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=216
⑶ 양변에 x=-1을 대입하면

23=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6
  ∴ a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=8

07-3  (x+1)10=a0+a1x+a2x2+ y +a10x10의 
 

⑴ 양변에 x=0을 대입하면

110=a0 

 ∴  a0=1

⑵ 양변에 x=1을 대입하면

210=a0+a1+a2+ y +a10
  ∴ a0+a1+a2+ y +a10=1024
⑶ 양변에 x=-1을 대입하면

a0-a1+a2- y +a10=0

07-4  (x2-3x+1)4=a0+a1x+a2x2+ y +a8x8의 
 

⑴ 양변에 x= 1 을 대입하면

(-1)4=a0+a1+a2+ y +a8
  ∴ a0+a1+a2+ y +a8= 1  
⑵ 양변에 x= -1 을 대입하면
54 =a0-a1+a2- y +a8
  ∴ a0-a1+a2- y +a8=625 
⑶ ㉠+㉡을 하면

2(a0+a2+a4+a6+a8)=626
  ∴ a0+a2+a4+a6+a8= 313

yy ㉠

yy ㉡

07-5  (3x2+x-2)5=a0+a1x+a2x2+ y +a10x10의 
 

⑴ 양변에 x=1을 대입하면

25=a0+a1+a2+a3+ y +a10
  ∴ a0+a1+a2+a3+ y +a10=32 
⑵ 양변에 x=-1을 대입하면

yy ㉠

a0-a1+a2-a3+ y +a10=0 

yy ㉡

⑶ ㉠+㉡을 하면

2(a0+a2+a4+a6+a8+a10)=32
  ∴ a0+a2+a4+a6+a8+a10=16

07-6  (x3+x2+x+1)2=a0+a1x+a2x2+ y +a6x6의 
 

⑴ 양변에 x= 1 을 대입하면

42=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6

  ∴ a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6= 16   yy ㉠
⑵ 양변에 x= -1 을 대입하면

a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6= 0  

yy ㉡

  

  

 

 

 

  

 

  

  

 

 

 

  

  

 

 

 

 

  

  

 

  

 

 

  

 

  

 

  

 

 

  

 

  

 

  

 

  

 

 

  

 

 

 

 

 

 

⑶ ㉠-㉡을 하면

2(a1+a3+a5)= 16

  ∴ a1+a3+a5= 8

07-7  (x-1)10=a0+a1x+a2x2+ y +a10x10의 
 

⑴ 양변에 x=1을 대입하면

a0+a1+a2+a3+ y +a10=0 

yy ㉠

⑵ 주어진 식의 양변에 x=-1을 대입하면
(-2)10=a0-a1+a2-a3+ y +a10

  ∴ a0-a1+a2-a3+ y +a10=1024  yy ㉡
⑶ ㉠-㉡을 하면

2(a1+a3+a5+a7+a9)=-1024

  ∴ a1+a3+a5+a7+a9=-512

STEP 2

 

80쪽~83쪽

1-1 ⑴   방정식

  ⑵   항등식

1-2 ⑴   방정식

  ⑵   항등식

  ⑵ a-2b=2, 2a-b=7

  두 식을 연립하여 풀면 a=4, b=1

  ⑶ 양변에 x=1을 대입하면 2a=-6 

 ∴  a=-3

  양변에 x=-1을 대입하면 -2b=-2 

 ∴  b=1

  ⑷ 양변에 x=-3을 대입하면 -5a=-10 

 ∴  a=2

  양변에 x=2를 대입하면 5b=15 

 ∴  b=3

4-1 ⑴ 좌변을 전개하면

  x2+7x+12=ax2+bx+c이므로

  a=1, b=7, c=12

  ⑵ 좌변을 전개하면

  x2-4=ax2+bx+c이므로

  a=1, b=0, c=-4

  ⑶ 좌변을 전개하면

  6x2+x-2=ax2+bx+c이므로

  a=6, b=1, c=-2

4-2 ⑴ 좌변을 전개하면

  x2+4x-5=ax2+bx+c므로

  a=1, b=4, c=-5

  ⑵ 좌변을 전개하면

  9x2-25=ax2+bx+c이므로

  a=9, b=0, c=-25

  ⑶ 좌변을 전개하면

  12x2+5x-2=ax2+bx+c이므로

  a=12, b=5, c=-2

5-1 ⑴ a-3=0, b+1=0, c-1=0

  ⑵ a+2=4, b-3=2, c-1=-3

  ∴ a=2, b=5, c=-2

2-1 ⑴ a+2=0, b-1=0 

 ∴  a=-2, b=1

  ⑵ a-4=0, b+2=0 

 ∴  a=4, b=-2

  ⑶ a-3=3, b-2=1 

 ∴  a=6, b=3

  ⑷ a+1=4, b+3=-1 

 ∴  a=3, b=-4

  ∴ a=3, b=-1, c=1

2-2 ⑴ a-1=0, b=0 

 ∴  a=1, b=0

  ⑵ 2a-6=0, b+3=0 

 ∴  a=3, b=-3

  ⑶ 우변을 전개하면

  ⑶ a+2=1, b+4=2 

 ∴  a=-1, b=-2

  x2-3x-1=ax2+(-2a+b)x+a+c이므로

  ⑷ a-5=0, b+2=6 

 ∴  a=5, b=4

  a=1, -2a+b=-3, a+c=-1

3-1 ⑴ a+b=1, a-b=7

  두 식을 연립하여 풀면 a=4, b=-3

  ⑵ a-b=-1, a+b=5

  ∴ a=1, b=-1, c=-2

  ⑷ 양변에 x=0을 대입하면 -1=-b

  양변에 x=1을 대입하면 4=2a

  양변에 x=-1을 대입하면 0=2c

  두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=3

  ∴ a=2, b=1, c=0

  ⑶ 양변에 x=0을 대입하면 2a=4 

 ∴  a=2

  ⑸ 좌변을 전개하면

  양변에 x=-2를 대입하면 -2b=-10 

 ∴  b=5

  x3-9x2+27x-27=ax3+bx2+cx+d이므로

  ⑷ 양변에 x=0을 대입하면 -3b=6 

 ∴  b=-2

  a=1, b=-9, c=27, d=-27

  양변에 x=3을 대입하면 3a=12 

 ∴  a=4

  ⑹ 좌변을 전개하면

  4x4+4x3-3x2-2x+1=ax4+bx3+cx2+dx+1

3-2 ⑴ a+3b=8, a-2b=-7

  이므로

  두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=3

  a=4, b=4, c=-3, d=-2

4. 항등식  | 039

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  4x2+ax-2=2bx2+(-b+2c)x-c이므로

5-2 ⑴ a+2=0, b-3=0, c+4=0

  ∴ a=-2, b=3, c=-4

  ⑵ a-4=5, b+1=-3, c-2=0

  ∴ a=9, b=-4, c=2

  ⑶ 우변을 전개하면

  4=2b, a=-b+2c, -2=-c

  ∴ a=2, b=2, c=2

  ⑷ 양변에 x=0을 대입하면 2=2b

  양변에 x=1을 대입하면 -3=-a

  양변에 x=2를 대입하면 -4=2c

  ∴ a=3, b=1, c=-2

  ⑸ 좌변을 전개하면

  8x3+1=ax3+bx2+cx+d이므로

  a=8, b=0, c=0, d=1

  ⑹ 좌변을 전개하면

  x4-6x3+3x2+18x+9=ax4+bx3+cx2+dx+9

  이므로

  a=1, b=-6, c=3, d=18

6-1 ⑴ x2+ax+b  =(x-2)(x+5)+3 

 

=x2+3x-7

  ∴ a=3, b=-7

 
  ⑵ x3+ax2+bx+c  =(x-3)(x2-x+4)-5 

 

 

  ∴ a=-4, b=7, c=-17

=x3-4x2+7x-17

6-2 ⑴ ax3+bx2+cx-1  =(x2-2x+4)(3x-1)+3   

=3x3-7x2+14x-1

  ∴ a=3, b=-7, c=14

 
  ⑵ x3+ax2+bx+c  =(x2+x-3)(x+3)+2x+4 

=x3+4x2+2x-5

  ∴ a=4, b=2, c=-5

7-1 ⑴   (2k-1)x+(k-2)y-3k-3=0 을 k에 대하여 정

  ⑵   (-3k+2)x+(-k+3)y+k+4=0을 k에 대하여 

리하면

  (2x+y-3)k+(-x-2y-3)=0

  이 식이 k에 대한 항등식이므로

  2x+y-3=0, -x-2y-3=0

  두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=-3

정리하면

  (-3x-y+1)k+(2x+3y+4)=0

  이 식이 k에 대한 항등식이므로

  -3x-y+1=0, 2x+3y+4=0

  두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=-2

040  정답과 풀이

7-2 ⑴   (-k+3)x+(-2k-1)y+3k-2=0을 k에 대하여 

  ⑵   (2k+3)x+(k-2)y-5k+3=0을 k에 대하여 정

정리하면

  (-x-2y+3)k+(3x-y-2)=0

  이 식이 k에 대한 항등식이므로

  -x-2y+3=0, 3x-y-2=0

  두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=1

리하면

  (2x+y-5)k+(3x-2y+3)=0

  이 식이 k에 대한 항등식이므로

  2x+y-5=0, 3x-2y+3=0

  두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=3

8-1 (3x3-2x2+x-1)2=a0+a1+a2x2+ y +a6x6의
  양변에 x=1을 대입하면

 

12=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6
  ∴ a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=1 
  양변에 x=-1을 대입하면

 

(-7)2=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6
  ∴ a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=49 
  ⑴ ㉠+㉡을 하면

  2(a0+a2+a4+a6)=50
  ∴ a0+a2+a4+a6=25

참고

yy ㉠

yy ㉡

주어진 식의 양변에 x=0을 대입하면 a0=1이므로
a2+a4+a6=24

  ⑵ ㉠-㉡을 하면

  2(a1+a3+a5)=-48
  ∴ a1+a3+a5=-24

8-2 (x2-2x+1)3=a0+a1x+a2x2+ y +a6x6의
  양변에 x=1을 대입하면

a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0 

yy ㉠

  양변에 x=-1을 대입하면

 

43=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6
  ∴ a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=64 
  ⑴ ㉠+㉡을 하면

  2(a0+a2+a4+a6)=64
  ∴ a0+a2+a4+a6=32

참고

yy ㉡

주어진 식의 양변에 x=0을 대입하면 a0=1이므로
a2+a4+a6=31

  ⑵ ㉠-㉡을 하면

  2(a1+a3+a5)=-64
  ∴ a1+a3+a5=-32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  두 식을 연립하여 풀면 a=4, b=1이므로

  두 식을 연립하여 풀면 x=-4, y=1이므로

ab=4

x+y=-3

x2+2x+1=x2+(a+4)x+2a+b+4

12  (2k+1)x+(-k-3)y-k+7=0을 k에 대하여 정리하면

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

STEP 3

 

84쪽~85쪽

01  (x-1)2=x2-2x+1

02  주어진 식이 x에 대한 항등식이 되려면

 

a-2=3, b-3=-2

  따라서 a=5, b=1이므로 a+b=6

03  주어진 식이 x에 대한 항등식이므로

a-b=3, a+b=5

04  주어진 등식의 양변을 전개하면

  이 식이 x에 대한 항등식이므로

a+4=2, 2a+b+4=1

  따라서 a=-2, b=1이므로 a-b=-3

05  주어진 식이 x에 대한 항등식이므로

a+1=0, b-3=0, c-4=0

  따라서 a=-1, b=3, c=4이므로

a+b+c=6

06  주어진 식이 x에 대한 항등식이므로

a-2=1, b-1=-3, c+4=5

  따라서 a=3, b=-2, c=1이므로 

abc=-6

a=2, b=-3+c, 6=3c

  따라서 a=2, b=-1, c=2이므로 

abc=-4

08  양변에 x=0을 대입하면 -4=2b

  양변에 x=-1을 대입하면 -5=-c

  양변에 x=-2를 대입하면 0=2a

  따라서 a=0, b=-2, c=5이므로

 

a-b+c=7

09  양변에 x=0을 대입하면 -1=-a

  양변에 x=1을 대입하면 -5=2b

  양변에 x=-1을 대입하면 5=2c

  따라서 a=1, b=-

, c=

이므로

;2%;

;2%;

 

abc=-

:ª4°:

07  우변을 전개하면

x3+ax2+bx+6=x3+2x2+(-3+c)x+3c이므로

 

 

 

 

 

 

10  2x3+ax2+bx+c  =(x-1)(2x2+x-3)+3 

 

=2x3-x2-4x+6

  따라서 a=-1, b=-4, c=6이므로 

 

abc=24

11  (k+2)x+(3k+5)y+k+3=0을 k에 대하여 정리하면

(x+3y+1)k+(2x+5y+3)=0

  이 식이 k에 대한 항등식이므로

x+3y+1=0, 2x+5y+3=0

(2x-y-1)k+(x-3y+7)=0

  이 식이 k에 대한 항등식이므로

2x-y-1=0, x-3y+7=0

  두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=3이므로

x2+y2=13

13  (2x+1)10=a0+a1x+a2x2+ y +a10x10의
  양변에 x= 1 을 대입하면

 

a0+a1+a2+ y +a10=310 

yy ㉠

  주어진 식의 양변에 x= -1 을 대입하면
(-1)10=a0-a1+a2- y +a10

 

  ∴ a0-a1+a2- y +a10=1 
  ㉠-㉡을 하면

 

2(a1+a3+a5+a7+a9)=310-1

  ∴ a1+a3+a5+a7+a9=

310-1
2

14  (x3-x2+x-1)2=a0+a1x+a2x2+ y +a6x6의
  양변에 x=1을 대입하면

 

a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0 

yy ㉠

yy ㉡

yy ㉡

  양변에 x=-1을 대입하면

 

(-4)2=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6
  ∴ a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=16 
  ㉠+㉡을 하면

 

2(a0+a2+a4+a6)=16

  ∴ a0+a2+a4+a6=8
  이때, 주어진 식의 양변에 x=0을 대입하면

(-1)2=a0 

 ∴  a0=1
 
  ∴ a2+a4+a6  =(a0+a2+a4+a6)-a0 

 

=8-1=7

4. 항등식  | 041

  ∴ Q(x)= x+1 , R=-6

f(-2)  =2´(-2)3+4´(-2)2-(-2)-2 

 

  ∴ Q(x)= x3+3x2-x+2 , R=4

 

 

=-

;4#;

5 

나머지정리

STEP 1

 

88쪽~98쪽 

01-1  ⑴ 

-1

1

1

2 -5

-1 -1
1 -6

2

1 -3

1

2 -2 -2

1 -1 -1

5

3

  ∴ Q(x)= x2-x-1 , R=3

1

2 -4

1

1

3
3 -1
2

1

3 -1

2

2

4

01-2  ⑴ 

  ∴ Q(x)=x-2, R=-2

2

1 -4

2

2 -4
1 -2 -2

-1

3

1 -4

-3
2
3 -2 -2

  ∴ Q(x)=3x-2, R=-2

⑶ 

-2

  ∴ Q(x)=x2-1, R=5

2

0 -2

  ∴ Q(x)=x2+2x+2, R=6

1

1

1

1

1

2 -1

-2

0

0 -1

3

2

5

2

2

1

0

4

2

2

0

2

2

4

6

2

6

1

1 -1

4 -2

6

4

  ∴ Q(x)=x3+2x+6, R=4

2

1 -4

0 -2

1

2 -4 -8 -20
1 -2 -4 -10 -19

  ∴ Q(x)=x3-2x2-4x-10, R=-19

042  정답과 풀이

⑵ 

⑶ 

⑵ 

⑷ 

⑸ 

⑹ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

02-1  다항식 f(x)=2x3+4x2-x-2를 
 

⑴   일차식 x-1로 나눌 때의 나머지는
f( 1 )=2´13+4´12-1-2= 3

  

⑵ 일차식 x+1로 나눌 때의 나머지는

f( -1 )  =2´(-1) 3+4´(-1) 2-(-1) -2 

⑶ 일차식 x-2로 나눌 때의 나머지는
f(2)=2´23+4´22-2-2=28

⑷ 일차식 x+2로 나눌 때의 나머지는

= 1

=0

⑸ 일차식 x-

;2!;로 나눌 때의 나머지는

f

{;2!;}

=2´

3
+4´
{;2!;}

2
-

{;2!;}

;2!;

-2=-

;4%;

⑹ 일차식 x+

;2!;로 나눌 때의 나머지는

f

-

{

;2!;}

=2´
{

-

3
+4´
;2!;}
{

-

2
-
;2!;}

{

-

;2!;}

-2

02-2  다항식 f(x)=x3-2x2+4x+1을 
 

⑴   일차식 x-1로 나눌 때의 나머지는
f(1)=13-2´12+4´1+1=4

  

⑵ 일차식 x+2로 나눌 때의 나머지는

f(-2)  =(-2)3-2´(-2)2+4´(-2)+1 

 

=-23

⑶ 일차식 x-

;3!;로 나눌 때의 나머지는

f

{;3!;}

=

3
-2´
{;3!;}

{;3!;}

2
+4´

+1=

;3!;

;2%7*;

⑷ 일차식 x+

;3!;로 나눌 때의 나머지는

f

{-;3!;}

=

-

{

3
-2´
;3!;}
{

-

2
+4´
{

-

;3!;}

;3!;}

+1

 

 

=-

;2!7^;

 02-3  다항식 f(x)=x3-4x+1을 
 

⑴   일차식 x+1로 나눌 때의 나머지는
f(-1)=(-1)3-4´(-1)+1=4

  

⑵ 일차식 x-2로 나눌 때의 나머지는

f(2)=23-4´2+1=1

⑶ 일차식 x-

;3!;로 나눌 때의 나머지는

f

{;3!;}

=

3
-4´
{;3!;}

;3!;

+1=-

;2¥7;

⑷ 일차식 x+

;3!;로 나눌 때의 나머지는

f

-

{

;3!;}

=

-

{

3
-4´
;3!;}
{

-

;3!;}

+1=

;2^7@;

 

  

 

 

  

  

 

 

 

  

  

 

  

 

 

 

  

  

 

  

 

  

 

  

03-1  다항식 f(x)=x3+2x2+4x-1을
 

⑴   일차식 2x-1로 나눌 때의 나머지는

04-1  ⑴   f(1)= 1 이므로

1+a+3=1 

 ∴  a= -3

⑶ 일차식 3x-1로 나눌 때의 나머지는

4-2a-1=5 

 ∴  a=-1

f

=

{ ;2!; }

{;2!;}

3
+2´

2
{;2!;}

+4´

-1= :Á8£:

;2!;

⑵ 일차식 2x+1로 나눌 때의 나머지는

f

{

-

;2!; }

=

-

{

3
;2!;}

+2´
{

-

2
;2!;}

+4´
{

-

;2!;}

-1

 

 

= -

:ª8Á:

f

{;3!;}

=

3
+2´
{;3!;}

2
+4´
{;3!;}

;3!;

-1=

;2!7^;

⑷ 일차식 3x+1로 나눌 때의 나머지는

f

-

{

;3!;}

=

-

{

3
+2´
;3!;}
{

-

2
+4´
;3!;}
{

-

;3!;}

-1

 

 

=-

;2%7*;

⑸ 일차식 3x-2로 나눌 때의 나머지는

f

{;3@;}

=

3
+2´
{;3@;}

2
+4´
{;3@;}

;3@;

-1=

;2&7&;

⑵ f

{;2!;}

= 2 이므로

4´

2
{;2!;}

+a´

+3=2 

 ∴  a= -4

;2!;

⑶   f(-2)=3이므로

⑷   f(2)=5이므로

2´(-2)2+(-2)+a=3 

 ∴  a=-3

⑸ f

-

{

=

;9@;이므로

;3!;}

-1+a=

;9@; 

;9@;

 ∴  a=1

⑹  f

{;2#;}

=7이므로

+

;2#;

;4(;

a+4=7 

 ∴  a=

;2!;

⑺   f(1)=-2이므로

13+a´12-2´1-3=-2 

 ∴  a=2

⑹ 일차식 2x+3으로 나눌 때의 나머지는

⑻   f(-3)=12이므로

f

-

{

;2#;}

=

-

{

3
+2´
;2#;}
{

-

;2#;}

2
+4´
{

-

;2#;}

-1

-27-18+3a+3=12 

 ∴  a=18

 

 

=-

:¢8¦:

03-2  다항식 f(x)=3x3-x2+x-2를 
 

⑴   일차식 2x-1로 나눌 때의 나머지는
3
{;2!;}

2
+
{;2!;}

=3´

{;2!;}

-

;2!;

  

f

-2=-

:Á8Á:

⑵ 일차식 2x-3으로 나눌 때의 나머지는
3
-
{;2#;}

-2=

=3´

2
+

{;2#;}

{;2#;}

;2#;

f

:°8»:

⑶ 일차식 3x+2로 나눌 때의 나머지는

f

-

{

;3@;}

=3´

-

{

3
-
;3@;}

{

-

;3@;}

2
+

-

{

;3@;}

-2

 

 

=-4

⑷ 일차식 4x-1로 나눌 때의 나머지는
3
{;4!;}

2
+
{;4!;}

=3´

{;4!;}

-

;4!;

f

-2=-

:Á6Á4£:

03-3  다항식 f(x)=x3-2x+2를 
 

⑴   일차식 2x+1로 나눌 때의 나머지는

f

-

{

;2!;}

=

-

{

3
-2´
;2!;}
{

-

;2!;}

+2=

:ª8£:

⑵ 일차식 3x+1로 나눌 때의 나머지는

f

-

{

;3!;}

=

-

{

-2´
{

-

;3!;}

+2=

;2&7!;

3
;3!;}

⑶ 일차식 4x-3으로 나눌 때의 나머지는

=

3
{;4#;}

{;4#;}

-2´

+2=

;4#;

;6%4(;

⑷ 일차식 5x-2로 나눌 때의 나머지는

=

3
-2´
{;5@;}

;5@;

{;5@;}

+2=

;1!2%5*;

f

f

04-2  ⑴ f(-1)= -4 이므로

1-a+b=-4 

 ∴  -a+b=-5  yy ㉠

f(2)=5이므로

4+2a+b=5 

 ∴  2a+b=1 

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a= 2 , b= -3

⑵ f(1)= 4 이므로

f(-2)=4이므로

1+a+b=4 

 ∴  a+b=3 

yy ㉠

4-2a+b=4 

 ∴  -2a+b=0  yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a= 1 , b= 2

⑶ f(1)=3이므로

f(-1)=7이므로

1+a+b=3 

 ∴  a+b=2 

yy ㉠

1-a+b=7 

 ∴  -a+b=6 

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=4

⑷ f(2)=1이므로

4+2a+b=1 

 ∴  2a+b=-3  yy ㉠

f(-3)=11이므로

9-3a+b=11 

 ∴  -3a+b=2  yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=-1

⑸ f(1)=-1이므로

f(3)=1이므로

1+a+b=-1 

 ∴  a+b=-2  yy ㉠

9+3a+b=1 

 ∴  3a+b=-8  yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=1

5. 나머지정리  | 043

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

  

  

  

 

 

  

  

  

 

 

  

  

  

 

 

  

  

  

 

 

  

  

  

 

  

 

  

 

 

  

 

  

 

 

 

 

  

  

 

  

 

  

 

 

  

  

 

  

 

  

 

  

 

  

  

  

 

 

  

  

  

 

 

  

  

  

 

 

  

  

  

 

 

 

 

 

 

⑹ f(-2)=15이므로

05-2  ⑴ 

4-2a+b=15 

 ∴  -2a+b=11 

yy ㉠

f(4)=3이므로

16+4a+b=3 

 ∴  4a+b=-13 

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, b=3

9-3a+b=16 

 ∴  -3a+b=7 

yy ㉠

  ∴ R(x)= 5

⑺ f(-3)=16이므로

f(5)=8이므로

25+5a+b=8 

 ∴  5a+b=-17 

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=-2

⑻ f(1)=2이므로

f(2)=10이므로

1+a+b-2=2 

 ∴  a+b=3 

yy ㉠

8+4a+2b-2=10 

 ∴  2a+b=2  yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=4

⑼ f(-1)=-1이므로

f(3)=7이므로

-1+a-b+4=-1 

 ∴  a-b=-4  yy ㉠

27+9a+3b+4=7 

 ∴  3a+b=-8  yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=1

  ∴ R(x)=11

-x -1
x2+x+2 -x3-2x2-3x+3

-x3- x2-2x

- x2- x+3
- x2- x-2
5

x +1

2x2+2x-1 2x3+4x2+ x-5

2x3+2x2- x

2x2+2x-5
2x2+2x-1
-4

-2x +1
x2+2x-1 -2x3-3x2+4x+10

-2x3-4x2+2x

x2+2x+10
x2+2x- 1
11

x -3
x2-x+2 x3-4x2+5x-14

x3- x2+2x

-3x2+3x-14
-3x2+3x- 6
- 8

  ∴ R(x)=-4

⑵ 

⑶ 

⑷ 

 

 

 

  ∴ R(x)=-8

05-3  ⑴   f(x)를 (x+1)(x-1)로 나눌 때의 몫을 Q(x),

  나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면

f(x)=(x+1)(x-1)Q(x)+ ax+b

  이때, f(-1)=-2, f(1)=4이므로

f(-1)=-2에서 -a+b=-2  yy ㉠
f(1)=4에서  a+b =4 

yy ㉡

 

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b= 1

  따라서 구하는 나머지는 3x+1

나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면

f(x)=(x+2)(x-3)Q(x)+ax+b

  이때, f(-2)=-4, f(3)=1이므로

f(-2)=-4에서 -2a+b=-4  yy ㉠

f(3)=1에서 3a+b=1 

 

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-2

  따라서 구하는 나머지는 x-2

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

  

  

 

 

 

  

 

  

  

 

 

05-1  ⑴ 

⑵ 

⑶ 

  ∴ R(x)= -x-3

x +4
x2-x+1 x3+3x2-4x+1

x3- x2+ x

4x2-5x+1
4x2-4x+4
- x-3

x +6
x2-3x+2 x3+3x2- x+ 2

x3-3x2+ 2x

6x2- 3x+ 2
6x2-18x+12
15x-10

-x -3
x2-5x+2 -x3+2x2+ x-4

-x3+5x2- 2x

-3x2+ 3x-4
-3x2+15x-6
-12x+2

  ∴ R(x)=-12x+2

044  정답과 풀이

  ∴ R(x)=15x-10

⑵   f(x)를 (x+2)(x-3)으로 나눌 때의 몫을 Q(x),  

⑶   f(x)를 (x-1)(x-2)로 나눌 때의 몫을 Q(x), 

나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면

f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b

  이때, f(1)=5, f(2)=9이므로

f(1)=5에서 a+b=5 

f(2)=9에서 2a+b=9 

 

 

yy ㉠

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=1

  따라서 구하는 나머지는 4x+1

⑷   f(x)를 (x+2)(x-4)로 나눌 때의 몫을 Q(x),  

나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면

f(x)=(x+2)(x-4)Q(x)+ax+b

  이때, f(-2)=6, f(4)=-6이므로

f(-2)=6에서 -2a+b=6 

f(4)=-6에서 4a+b=-6 

yy ㉠

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=2

  따라서 구하는 나머지는 -2x+2

⑸   f(x)를 (x-1)(x-3)으로 나눌 때의 몫을 Q(x),  

나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면

f(x)=(x-1)(x-3)Q(x)+ax+b

  이때, f(1)=3, f(3)=7이므로

f(1)=3에서 a+b=3 

f(3)=7에서 3a+b=7 

 

 

yy ㉠

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=1

  따라서 구하는 나머지는 2x+1

05-4  ⑴   f(x)를 x2-x-2로 나눌 때의 몫을 Q(x),
  나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면
 
f(x)  =(x2-x-2)Q(x)+ax+b   

  

=(x+1)( x-2 )Q(x)+ax+b

  이때, f(-1)=3, f(2)=6이므로

f(-1)=3에서 -a+b=3 

f(2)=6에서 2a+b=6 

 

yy ㉠

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a= 1 , b= 4

  따라서 구하는 나머지는  x+4

⑵   f(x)를 x2-5x+6으로 나눌 때의 몫을 Q(x),
  나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면
f(x)  =(x2-5x+6)Q(x)+ax+b  

=(x-2)(x-3)Q(x)+ax+b

  이때, f(2)=-4, f(3)=-7이므로

f(2)=-4에서 2a+b=-4 

f(3)=-7에서 3a+b=-7 

yy ㉠

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=2

  따라서 구하는 나머지는 -3x+2

 

  

 

  

  

 

 

 

  

 

  

  

 

 

 

  

 

  

  

 

 

 

  

  

 

 

 

 

  

 

  

  

 

 

 

 

  

 

  

  

 

 

 

 

  

 

  

  

 

 

 

 

  

 

  

  

 

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

⑶   f(x)를 x2-6x+5로 나눌 때의 몫을 Q(x),
  나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면
f(x)  =(x2-6x+5)Q(x)+ax+b  

=(x-1)(x-5)Q(x)+ax+b

  이때, f(1)=3, f(5)=-5이므로

f(1)=3에서 a+b=3 

 

f(5)=-5에서 5a+b=-5 

yy ㉠

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=5

  따라서 구하는 나머지는 -2x+5

⑷   f(x)를 x2+6x+8로 나눌 때의 몫을 Q(x),
  나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면
f(x)  =(x2+6x+8)Q(x)+ax+b  

=(x+2)(x+4)Q(x)+ax+b

  이때, f(-2)=3, f(-4)=1이므로

f(-2)=3에서 -2a+b=3 

f(-4)=1에서 -4a+b=1 

yy ㉠

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=5

  따라서 구하는 나머지는 x+5

⑸   f(x)를 x2-x-12로 나눌 때의 몫을 Q(x),
  나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면
f(x)  =(x2-x-12)Q(x)+ax+b  

=(x+3)(x-4)Q(x)+ax+b

  이때, f(-3)=6, f(4)=-1이므로

f(-3)=6에서 -3a+b=6 

f(4)=-1에서 4a+b=-1 

yy ㉠

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=3

  따라서 구하는 나머지는 -x+3

06-1  f(x)=2x3+x2+ax-5에 대하여
 

⑴ f(1)= 0 이므로

2+1+a-5=0 

 ∴  a= 2

⑵ f(-2)= 0 이므로

-16+4-2a-5=0 

 ∴  a= -

:Á2¦:

⑶ f(-1)=0이므로

-2+1-a-5=0 

 ∴  a=-6

⑷ f(3)=0이므로

54+9+3a-5=0 

 ∴  a=-

:°3¥:

⑸ f

{;2!;}

=0이므로

+

+

;4!;

;2A;

;4!;

-5=0 

 ∴  a=9

⑹ f

{;3!;}

=0이므로

+

+

;9!;

;3A;

;2ª7;

-5=0 

 ∴  a=

130
9

5. 나머지정리  | 045

+

;3A;

;2Á7;

-2=0 

 ∴  a=

:°9£:

f(4)=0이므로

07-2  ⑴ x2-2x-8=(x+2)(x-4)에서 f(-2)= 0 이므로
  

-8-12-2a+b=0 

 ∴  -2a+b=20

06-2  f(x)=x3+ax-2에 대하여
⑴ f(2)= 0 이므로
 

8+2a-2=0 

 ∴  a= -3

⑵ f

{-;2!}

= 0 이므로

-;8!-;2A;

-2=0 

 ∴  a= -

:Á4¦:

⑶ f(-4)=0이므로

-64-4a-2=0 

 ∴  a=-

:£2£:

⑷ f

{;4!;}

=0이므로

+

;4A;

;6Á4;

-2=0 

 ∴  a=

127
16

⑸ f

{;3!;}

=0이므로

⑹ f

{;2#;}

=0이므로

:ª8¦:+;2#; a-2=0 

 ∴  a=-

;1!2!;

07-1  ⑴   f(x)=x3-2x2+ax+b에 대하여 

 

f(-1)= 0 이므로

-1-2-a+b=0 

 ∴  -a+b= 3

f(2)=0이므로

8-8+2a+b=0 

 ∴  2a+b=0

  두 식을 연립하여 풀면 a= -1 , b= 2

⑵ f(x)=x3+x2+ax+b에 대하여 f(2)=0이므로

8+4+2a+b=0 

 ∴  2a+b=-12

f(-2)=0이므로

-8+4-2a+b=0 

 ∴  -2a+b=4

  두 식을 연립하여 풀면 a=-4, b=-4

⑶ f(x)=x3+ax2+bx-6에 대하여 f(-2)=0이므로

-8+4a-2b-6=0 

 ∴  2a-b=7

f(-3)=0이므로

-27+9a-3b-6=0 

 ∴  3a-b=11

  두 식을 연립하여 풀면 a=4, b=1

⑷ f(x)=x3-3x2+ax+b에 대하여 f(1)=0이므로

1-3+a+b=0 

 ∴  a+b=2

f(3)=0이므로

27-27+3a+b=0 

 ∴  3a+b=0

  두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=3

⑸ f(x)=x3+ax2-10x+b에 대하여 f(-2)=0이므로

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

  

  

  

 

 

  

  

  

 

 

  

  

  

 

 

  

  

  

 

 

  

  

  

 

 

  

  

  

 

 

  

  

  

 

  

  

 

 

  

  

  

 

 

  

  

  

 

 

  

  

  

 

 

  

  

  

 

 

  

  

  

 

 

  

  

  

 

⑹ f(x)=x3-6x2+ax+b에 대하여 f(2)=0이므로

8-24+2a+b=0 

 ∴  2a+b=16

f(3)=0이므로

27-54+3a+b=0 

 ∴  3a+b=27

  두 식을 연립하여 풀면 a=11, b=-6
⑺ f(x)=x3+ax2-17x+b에 대하여 f(1)=0이므로

1+a-17+b=0 

 ∴  a+b=16

f(3)=0이므로

27+9a-51+b=0 

 ∴  9a+b=24

  두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=15

64-48+4a+b=0 

 ∴  4a+b= -16

  두 식을 연립하여 풀면 a= -6 , b= 8
⑵ x2+x-2=(x-1)(x+2)에서 f(1)=0이므로

1+a+b+4=0 

 ∴  a+b=-5

f(-2)=0이므로

-8+4a-2b+4=0 

 ∴  2a-b=2

  두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=-4
⑶   x2-2x-3=(x+1)(x-3)에서 f(-1)=0이므로

-1-3-a+b=0 

 ∴  -a+b=4

f(3)=0이므로

27-27+3a+b=0 

 ∴  3a+b=0

  두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=3
⑷ x2+2x-8=(x-2)(x+4)에서 f(2)=0이므로

8a+4b-32+32=0 

 ∴  2a+b=0

f(-4)=0이므로

-64a+16b+64+32=0 

 ∴  -4a+b=-6

  두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-2
⑸ x2+4x+3=(x+1)(x+3)에서 f(-1)=0이므로

-1+1-a+b=0 

 ∴  -a+b=0

f(-3)=0이므로

-27+9-3a+b=0 

 ∴  -3a+b=18

  두 식을 연립하여 풀면 a=-9, b=-9
⑹ x2-x-6=(x+2)(x-3)에서 f(-2)=0이므로

-8-8-2a+b=0 

 ∴  -2a+b=16

f(3)=0이므로

27-18+3a+b=0 

 ∴  3a+b=-9

  두 식을 연립하여 풀면 a=-5, b=6
⑺ x2+5x+6=(x+2)(x+3)에서 f(-2)=0이므로

-8+4a+20+b=0 

 ∴  4a+b=-12

-8+4a-22+b=0 

 ∴  4a+b=30

f(4)=0이므로

f(-3)=0이므로

64+16a-40+b=0 

 ∴  16a+b=-24

-27+9a-33+b=0 

 ∴  9a+b=60

  두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=-8

  두 식을 연립하여 풀면 a=6, b=6

046  정답과 풀이

  ⑵ f(-2)=-16-12-2-2=-32

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=4

  ⑹ f

{-;4!;}

=-

-

;3Á2;

;1£6;

-

-2=-

;4!;

;3&2(;

4-1 ⑴   f(x)를 (x+1)(x+3)으로 나눌 때의 몫을 Q(x),  

STEP 2

 

99쪽~101쪽

1-1  f(x)=2x3-3x2+x-2이므로
  ⑴   f(1)=2-3+1-2=-2

  ⑶ f

{;3!;}

=

-

+

-2=-

;2ª7;

;3!;

;3!;

;2%7@;

  ⑷ f

{;2#;}

=

-

:ª4¦:

:ª4¦:

+

-2=-

;2#;

;2!

~;;

  ⑸ f

{;2!;}

=

-

;4!;

;4#;

+

;2!;

-2=-2

1-2   f(x)=2x3+x2-2x-2이므로
  ⑴   f(-1)=-2+1+2-2=-1

  ⑵ f(3)=54+9-6-2=55

  ⑶ f

-

=-

+

+1-2=-1

{

;2!;}

;4!;

;4!;

  ⑷ f

{;3!;}

=

+

-

-2=-

;2ª7;

;9!;

;3@;

;2^7&;

  ⑸ f

{;6#;}

= f

{;2!;}

=

+

;4!;

;4!;

-1-2=-

;2%;

  ⑹ f

-

=-

+

;3@2&;

;1»6;

;4#;}

+

-2=-

;2#;

;3@2%;

{

2-1 ⑴ f(3)=-2이므로
  9+3a-5=-2 

 

  ⑵   f(1)=1이므로

 ∴  a=-2

  -3+a-2=1 

 ∴  a=6

2-2 ⑴ f

{;2!;}

=2이므로

+

;2A;

;2!;

=2 

 ∴  a=3

  ⑵ f

=-3이므로

{-;3!;}

 

 

-

;3!;

;9A;

-4=-3 

 ∴  a=12

3-1 ⑴ f(2)=2이므로
  4+2a+b=2 

 

 

f(-5)=9이므로

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  25-5a+b=9 

 ∴  -5a+b=-16  yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-6

  ⑵ f(1)=-1이므로

 

f(4)=5이므로

  1+a+b=-1 

 ∴  a+b=-2 

yy ㉠

  16+4a+b=5 

 ∴  4a+b=-11  yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=1

3-2 ⑴ f(1)=3이므로
  1+a+b=3 

 

 

f(3)=7이므로

 ∴  a+b=2 

yy ㉠

  9+3a+b=7 

 ∴  3a+b=-2 

yy ㉡

  ⑵ f(-2)=-1이므로

  4-2a+b=-1 

 ∴  -2a+b=-5  yy ㉠

 

f(2)=3이므로

  4+2a+b=3 

 ∴  2a+b=-1 

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-3

나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면

f(x)=(x+1)(x+3)Q(x)+ax+b

f(-1)=-2이므로

  -a+b=-2 

f(-3)=-10이므로

  -3a+b=-10 

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=2

  따라서 구하는 나머지는 4x+2

yy ㉠

yy ㉡

  ⑵   f(x)를 x2+x-12, 즉 (x-3)(x+4)로 나눌 때의 

몫을 Q(x), 나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면

f(x)=(x-3)(x+4)Q(x)+ax+b

f(3)=6이므로 3a+b=6 

yy ㉠

  

f(-4)=-1이므로 -4a+b=-1  yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=3

  따라서 구하는 나머지는 x+3

  ⑶   f(x)를 x2-4x-12, 즉 (x+2)(x-6)으로 나눌 때
의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면

f(x)=(x+2)(x-6)Q(x)+ax+b

f(-2)=-1이므로 

  -2a+b=-1 

f(6)=7이므로

  6a+b=7 

yy ㉠

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=1

  따라서 구하는 나머지는 x+1

  나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면

f(x)=(x+2)(x+3)Q(x)+ax+b

f(-2)=4이므로

 -2a+b=4 

yy ㉠

f(-3)=5이므로

  -3a+b=5 

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=2

  따라서 구하는 나머지는 -x+2

5. 나머지정리  | 047

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 ∴  2a+b=-2 

yy ㉠

4-2 ⑴   f(x)를 (x+2)(x+3)으로 나눌 때의 몫을 Q(x),

  ⑵   f(x)를 x2+x-2, 즉 (x-1)(x+2)로 나눌 때의 몫
을 Q(x), 나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면

  ⑶ x2+5x+6=(x+2)(x+3)에서

f(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b

  -8+8-2a+b=0 

 ∴  -2a+b=0

f(-2)=0이므로

f(-3)=0이므로

f(1)=-1이므로 

  a+b=-1 

yy ㉠ 

f(-2)=-4이므로 

  -2a+b=-4 

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-2

  따라서 구하는 나머지는 x-2

  -27+18-3a+b=0 

 ∴  -3a+b=9

  두 식을 연립하여 풀면 a=-9, b=-18

  ⑷ x2+3x+2=(x+1)(x+2)에서

f(-1)=0이므로

  -1+a-b-6=0 

 ∴  a-b=7

  ⑶   f(x)를 x2-7x+10, 즉 (x-2)(x-5)로 나눌 때의 

f(-2)=0이므로

몫을 Q(x), 나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면

  -8+4a-2b-6=0 

 ∴  2a-b=7

f(x)=(x-2)(x-5)Q(x)+ax+b

  두 식을 연립하여 풀면 a=0, b=-7

  2a+b=-3 

yy ㉠ 

6-2 ⑴ f(-2)=0이므로

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(2)=-3이므로 

f(5)=-9이므로 

  5a+b=-9 

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=1

  따라서 구하는 나머지는 -2x+1

5-1 ⑴ f(-1)=0이므로
  -1+a+2+3=0 

 

  ⑵ f(3)=0이므로

 ∴  a=-4

  27+9a-6+3=0 

 ∴  a=-

;3*;

  ⑶ f

-

=0이므로

{

;2#;}

  -

+

;4(;

;;ª8¦;

a+3+3=0 

 ∴  a=-

;6&;

5-2 ⑴ f(1)=0이므로
  1-4+a-4=0 

 

 ∴  a=7

  ⑵ f

=0이므로

{;3!;}

 

-

+

;9$;

;3A;

;2Á7

-4=0 

 ∴  a=

119
9

  ⑶ f

= f

{-;4@;}

{-;2!;}

=0 이므로

  -

-1-

-4=0 

 ∴  a=-

;8!;

;2A;

:¢4Á:

6-1 ⑴ f(1)=0이므로

  1+a+b+10=0 

 ∴  a+b=-11

 

f(2)=0이므로

  8+4a+2b+10=0 

 ∴  2a+b=-9

  두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-13

  ⑵ f(-1)=0이므로

  -1+3-a+b=0 

 ∴  -a+b=-2

 

f(-4)=0이므로

  -64+48-4a+b=0 

 ∴  -4a+b=16

  두 식을 연립하여 풀면 a=-6, b=-8

048  정답과 풀이

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  -8+4a-2b-12=0 

 ∴  2a-b=10

 

f(2)=0이므로

  8+4a+2b-12=0 

 ∴  2a+b=2

  두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=-4

  ⑵ f(2)=0이므로

  8-24+2a+b=0 

 ∴  2a+b=16

 

f(4)=0이므로

  64-96+4a+b=0 

 ∴  4a+b=32

  두 식을 연립하여 풀면 a=8, b=0

  ⑶ x2+x-6=(x-2)(x+3)에서

  8-4+2a+b=0 

 ∴  2a+b=-4

f(2)=0이므로

f(-3)=0이므로

  -27-9-3a+b=0 

 ∴  -3a+b=36

  두 식을 연립하여 풀면 a=-8, b=12

  ⑷ x2-3x-4=(x+1)(x-4)에서

  -a+b+13-12=0 

 ∴  -a+b=-1

f(-1)=0이므로

f(4)=0이므로

  64a+16b-52-12=0 

 ∴  4a+b=4

  두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=0

STEP 3

 

102쪽~103쪽

01   f(1)

02  다항식 f(x)를 3x-1로 나눌 때의 몫을 Q(x)라 하면

 

f(x)=

x-

Q(x)+3=(3x-1)´

Q(x)+3

{

;3!;}

;3!;

  따라서 f(x)를 x-

;3!;로 나눌 때의 나머지도 3이다.

03   a= f(1)=1-3-1+2=-1

10   f(x)를 x2+x-6, 즉 (x-2)(x+3)으로 나눌 때의 몫

 

b= f

-

{

=-

-

+

;4#;

;8!;

;2!;

;2!;}

+2=

:Á8£:

  ∴ b-a=

-(-1)=

:Á8£:

:ª8Á:

04   f(2)=1이므로
8-2+a=1 

 

 ∴  a=-5

05  f(1)=2+a-4=a-2, 

f(2)=16+2a-4=2a+12이고,

f(1)= f(2)이므로

a-2=2a+12 

 ∴  a=-14

06  f(-3)=-4이므로
9-3a+b=-4 

 

f(5)=20이므로

25+5a+b=20 

 ∴  5a+b=-5 

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-10이므로

a+b=-9

을 Q(x), 나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면

f(x)=(x-2)(x+3)Q(x)+ax+b

f(2)=8이므로 2a+b=8  

 

 

f(-3)=-7이므로 -3a+b=-7 

yy ㉠

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=2

  따라서 구하는 나머지는 3x+2

11  f(1)=0이므로 3+a+1=0 
  따라서 f(x)=3x3-4x+1이므로

 ∴  a=-4

f

{;3!;}

=

-

;9!;

;3$;

+1=-

;9@;

12  f(-1)=0이므로
1+a-b+2=0 

 

f(-2)=0이므로

 ∴  a-b=-3

  두 식을 연립하여 풀면

a=-2, b=1이므로 a+b=-1

 ∴  -3a+b=-13  yy ㉠

8+4a-2b+2=0 

 ∴  2a-b=-5

13   f(x)=x3-2x2+ax+b가 x2+2x-8, 즉 
(x-2)(x+4)로 나누어떨어지므로
f(2)=0에서

 

 

07  f(1)=6이므로
1+a+b=6 

 

f(-2)=-3이므로

 ∴  a+b=5   

 

yy ㉠

8-8+2a+b=0 

 ∴  2a+b=0 

yy ㉠

f(-4)=0에서 

4-2a+b=-3 

 ∴  -2a+b=-7  yy ㉡

  -64-32-4a+b=0 

 ∴  -4a+b=96  yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=1
 따라서 f(x)=x2+4x+1이므로
f(3)=9+12+1=22

 

 

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-16, b=32
  따라서 f(x)=x3-2x2-16x+32이므로
  구하는 나머지는 f(-2)=48

08   f(x)를 (x+1)(x-3)으로 나눌 때의 몫을 Q(x), 나머

지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면

f(x)=(x+1)(x-3)Q(x)+ ax+b

f(-1)=3이므로 -a+b=3  

 

f(3)=-1이므로 3a+b= -1    

yy ㉠

yy ㉡

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=2

  따라서 구하는 나머지는  -x+2

14  f(x)를 x2-x-2로 나눌 때의 몫을 Q1(x)라 하면
 

f(x)  =(x2-x-2)Q1(x)+x+9 

 

=(x+1)(x-2)Q1(x)+x+9 

yy ㉠
f(x)를 x2+2x-3으로 나눌 때의 몫을 Q2(x)라 하면
f(x)  =(x2+2x-3)Q2(x)+x-1 

 

=(x-1)(x+3)Q2(x)+x-1 

yy ㉡

  

f(x)를 x2+x-6으로 나눌 때의 몫을 Q(x), 나머지를 

ax+b(a, b는 상수)라 하면
f(x)  =(x2+x-6)Q(x)+ax+b 

 

09   f(x)를 (x+2)(x-2)로 나눌 때의 몫을 Q(x), 나머지

=(x-2)(x+3)Q(x)+ax+b

를 ax+b(a, b는 상수)라 하면

f(x)=(x+2)(x-2)Q(x)+ax+b

f(-2)=-5이므로 -2a+b=-5 

f(2)=11이므로 2a+b=11 

  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=3

  따라서 구하는 나머지는 4x+3

yy ㉠

yy ㉡

  이때, ㉠에서 f(2)= 11 이므로

2a+b= 11  

  또, ㉡에서 f(-3)= -4 이므로

  -3a+b= -4  

  ㉢, ㉣을 연립하여 풀면 a=3, b=5

  따라서 구하는 나머지는  3x+5

 

 

yy ㉢

yy ㉣

5. 나머지정리  | 049

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 

인수분해

STEP 1

 

106쪽~123쪽 

01-1  ⑴ x2y+xy2+xy= xy(x+y+1)
 

⑵ xy+x+y+1  =x(y+1)+(y+1)   

=( x+1 )(y+1)

⑶ 4xy(x+2)

⑷ (x+y)(x+y+3)
⑸ xy-y2+xz-yz  =(x-y)y+(x-y)z 

⑹ ax+bx-ay-by  =(a+b)x-(a+b)y 

=(x-y)(y+z)

=(a+b)(x-y)

 

 

01-2  ⑴ x2+2x+1  =x2+2´x´1+12 

 

=( x+1 )2
⑵ 9x2-6x+1  =(3x)2-2´3x´1+12   

=( 3x-1 )2

⑶ (x+2)2
⑷ (4x+y)2

⑸ 4x2+

x+

=(2x)2+2´2x´

;3$;

;9!;

2

+

;3!;

{;3!;}

 

 

2

=

2x+

{

;3!;}

⑹ (x-5)2
⑺ (2x-5)2
1
x2 =x2-2´x´

⑻ x2-2+

 

 

=

x-

{

2
;[!;}

+

;[!;

2
{;[!;}

01-3  ⑴ x2-4  =x2-22 

 

=( x+2 )(x-2)
⑵ x3-9xy2  =x(x2-9y2)  

=x{x2-(3y)2}   
=x(x+3y)( x-3y )

⑶ (3x+y)(3x-y)

⑷ 
{

x+

y

;5!;

}{

x-

y
;5!;

}

⑸ -16x2+1  =-(16x2-1)  

⑺ x4-y4  =(x2+y2)(x2-y2)  

=(x2+y2)(x+y)(x-y)

⑻ x3y-xy3  =xy(x2-y2)  

=xy(x+y)(x-y)

050  정답과 풀이

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

01-4  ⑴ x2+5x+6  =x2+(2+3)x+2´3 

 

⑵ x2-2x-8  =x2+(2-4)x+2´(-4) 

 

=(x+2)( x+3 )

=( x+2 )(x-4)

⑶ (x-1)(x-3)

⑷ (x-2)(x-4)

⑸ (x-3y)(x-7y)

⑹ (x-4y)(x+5y)

⑺ (x+3y)(x-8y)

⑻ (x-2y)(x-5y)

⑷ (x+3)(3x+2)

⑸ (x+5y)(2x+y)

⑹ (2x-1)(2x-5)

⑺ (x-y)(5x-3y)

⑻ (2x-1)(3x-2)

⑷ (x-2)(5x+3)

⑸ (x-y)(2x+7y)

⑹ (x+1)(2x-3)

⑺ (x-3y)(7x+y)

⑻ (2x+3)(2x-5)

01-5  ⑴ 2x2+5x+3=(x+1)( 2x+3 )
⑵ 2x2-7x+3=( x-3 )(2x-1)
 
⑶ (2x+1)(2x+3)

 

01-6  ⑴ 3x2+4x-7=(x-1)( 3x+7 )
 

⑵ 3x2+11xy-4y2=(x+4y)( 3x-y )
⑶ (x+3)(2x-3)

 

02-1  ⑴   x3+6x2+12x+8  =x3+3´ x2 ´2+3´x´22+23 

=( x+2 )3
⑵   x3+9x2+27x+27  =x3+3´x2´3+3´x´ 32 +33 

=( x+3 )3

⑶   8x3+12x2+6x+1 

 

=(2x)3+3´(2x)2´1+3´2x´12+13 
=(2x+1)3

⑷ (x+4)3
⑸ (x+y)3
⑹ (3x+y)3
⑺ (x+5)3

 

 

=( 2x )3-3´(2x)2´y+3´2x´y2-y3 
=( 2x-y )3

⑶   x3-3x2+3x-1  =x3-3´x2´1+3´x´12-13  
=(x-1)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=-(4x+1)(4x-1)

02-2  ⑴   x3-9x2+27x-27  =x3-3´x2´3+3´x´ 32 -33 

⑹ x2-(y-z)2  ={x+(y-z)}{x-(y-z)} 

 

=( x-3 )3

=(x+y-z)(x-y+z)

⑵   8x3-12x2y+6xy2-y3  

⑷ (x-4)3
⑸ (3x-y)3
⑹ (x-5y)3
⑺ (4x-y)3
⑻ (3x-2y)3

02-3  ⑴   x3+1 =x3+13 

 

=( x+1 )(x2-x´1+12) 
=(x+1)( x2-x+1 )

⑵   x3+8y3 =x3+( 2y )3   

=(x+2y){x2-x´2y+(2y)2} 
=(x+2y)( x2-2xy+4y2 )

 

⑶ x3+27  =x3+33   

=(x+3)(x2-x´3+32) 
=(x+3)(x2-3x+9)

⑷ 8x3+1  =(2x)3+13 

 

=(2x+1)(4x2-2x+1)

⑸ 2x3+250  =2(x3+53)   

=2(x+5)(x2-5x+25)

⑹ x3+64y3  =x3+(4y)3   

=(x+4y)(x2-4xy+16y2)

⑺ 27x3+8y3  =(3x)3+(2y)3  

=(3x+2y)(9x2-6xy+4y2)

⑻ 64x4+xy3  =x{(4x)3+y3}  

02-4  ⑴   x3-8 =x3-23 

 

=(x-2)(x2+x´ 2 +22) 
=(x-2)( x2+2x+4 )

⑵ 8x3-27y3 =(2x)3-(3y)3  

=(2x-3y){(2x)2+2x´3y+(3y)2}  
=(2x-3y)( 4x2+6xy+9y2 )

 

 

 

 

⑶ x3-27  =x3-33   

=(x-3)(x2+x´3+32) 
=(x-3)(x2+3x+9)

⑷ 64x3-1  =(4x)3-13 

=(4x-1)(16x2+4x+1)

⑸ 27x3-8  =(3x)3-23 

=(3x-2)(9x2+6x+4)

⑹ x3-125y3  =x3-(5y)3  

 

 

=(x-5y)(x2+5xy+25y2)

⑺   27x3-y3 =(3x)3-y3   

=(3x-y)(9x2+3xy+y2)

⑻ 16x5y-2x2y4  =2x2y{(2x)3-y3} 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

03-1  ⑴   x2+y2+4z2+2xy+4yz+4zx 

=x2+y2+( 2z )2+2´x´y+2´y´2z+2´2z´x 
=( x+y+2z )2

⑵   x2+y2+z2-2xy+2yz-2zx 

= x2+(-y)2+(-z)2  

+2´x´(-y)+2´(-y)´( -z )+2´(-z)´x

  ={x+(-y)+(-z)}2=( x-y-z )2

 
⑶   x2+9y2+z2+6xy+6yz+2zx 

 

=x2+(3y)2+z2+2´x´3y+2´3y´z+2´z´x  
=(x+3y+z)2

⑷   4x2+y2+9z2+4xy+6yz+12zx 

=(2x)2+y2+(3z)2+2´2x´y+2´y´3z+2´3z´2x 
=(2x+y+3z)2

⑸   x2+y2+z2+2xy-2yz-2zx 

=x2+y2+(-z)2+2´x´y+2´y´(-z)+2´(-z)´x 
=(x+y-z)2

⑹ 4x2+4y2+z2-8xy-4yz+4zx

= (2x)2+(-2y)2+z2  

+2´2x´(-2y)+2´(-2y)´z+2´z´2x

=(2x-2y+z)2

03-2  ⑴ x2+y2+2xy+2x+2y+1
  

=x2+y2+ 1 +2xy+2y+2x
=x2+y2+12+2´x´y+2´y´ 1 +2´1´x
=( x+y+1 )2

=x2+y2+9+2xy-6y-6x
=x2+y2+(-3)2+2´x´y+2´y´(-3)+2´ -3´x
=( x+y-3 )2

⑶ 25x2+y2+10xy+10x+2y+1

=25x2+y2+1+10xy+2y+10x
=(5x)2+y2+12+2´5x´y+2´y´1+2´1´5x
=(5x+y+1)2

⑷ x2+4y2+4xy+4x+8y+4

=x2+4y2+4+4xy+8y+4x
=x2+(2y)2+22+2´x´2y+2´2y´2+2´2´x
=(x+2y+2)2

⑸ x2+16y2-8xy+2x-8y+1

=x2+16y2+1-8xy-8y+2x
= x2+(-4y)2+12 

 

+2´x´(-4y)+2´(-4y)´1+2´1´x

  =(x-4y+1)2
⑹ 4x2+y2-4xy-20x+10y+25

=4x2+y2+25-4xy+10y-20x
= (2x)2+(-y)2+(-5)2  

+2´2x´(-y)+2´(-y)´(-5)+2´(-5)´2x

6. 인수분해  | 051

 

 

 

 

 

 

  

  

  

  

 

  

  

  

 

  

  

  

 

  

  

  

 

  

  

 

 

  

  

  

=x(4x+y)(16x2-4xy+y2)

⑵ x2+y2+2xy-6x-6y+9

=2x2y(2x-y)(4x2+2xy+y2)

=(2x-y-5)2

03-3  ⑴ x3+8y3+27z3-18xyz
  

=x3+(2y)3+(3z)3-3´x´ 2y ´3z
=(x+2y+3z){x2+(2y)2+( 3z )2

-x´2y-2y´3z-3z´x}
=(x+2y+3z)(x2+4y2+9z2-2xy-6yz-3zx)

⑵ x3+y3-z3+3xyz

=x3+y3+(-z)3- 3 ´x´y´(-z)
={x+y+(-z)}{x2+y2+(-z)2

-x´y-y´(-z)-(-z)´ x }

=( x+y-z )(x2+y2+z2-xy+yz+zx)

⑶ x3+8y3+z3-6xyz

=x3+(2y)3+z3-3´x´2y´z
=(x+2y+z){x2+(2y)2+z2-x´2y-2y´z-z´x}
=(x+2y+z)(x2+4y2+z2-2xy-2yz-zx)

⑷ x3+y3+64z3-12xyz

=x3+y3+(4z)3-3´x´y´4z
=(x+y+4z)(x2+y2+16z2-xy-4yz-4zx)

⑸ x3-y3-z3-3xyz

=x3+(-y)3+(-z)3-3´x´(-y)´(-z)
=(x-y-z)(x2+y2+z2+xy-yz+zx)

⑹ 27x3+y3-z3+9xyz

=(3x)3+y3+(-z)3-3´3x´y´(-z)
=(3x+y-z)(9x2+y2+z2-3xy+yz+3zx)

03-4  ⑴ x3+y3-3xy+1
  

=x3+y3+1-3xy
=x3+y3+13- 3 ´x´y´1
=(x+y+1)(x2+ y2 +12-x´y-y´1-1´x)
=( x+y+1 )(x2+y2-xy-x-y+1)

⑵ x3-y3-6xy-8

=x3-y3-8-6xy
=x3+(-y)3+(-2)3-3´x´(-y)´( -2 )
=(x-y-2)(x2+y2+4+ xy -2y+2x)
=(x-y-2)(x2+y2+ xy +2x-2y+4)

⑶ x3+8y3-6xy+1

=x3+8y3+1-6xy
=x3+(2y)3+13-3´x´2y´1
=(x+2y+1)(x2+4y2+1-x´2y-2y´1-1´x) 
=(x+2y+1)(x2+4y2-2xy-x-2y+1)

⑷ x3+y3+9xy-27

=x3+y3-27+9xy
=x3+y3+(-3)3-3´x´y´(-3)
=(x+y-3)(x2+y2+9-xy+3y+3x)
=(x+y-3)(x2+y2-xy+3x+3y+9)

052  정답과 풀이

  

  

 

  

  

  

 

  

  

  

 

  

  

 

  

  

 

  

  

  

  

  

 

  

  

  

  

 

  

  

  

  

 

  

  

  

  

⑸ x3-y3+12xy+64

=x3-y3+64+12xy
=x3+(-y)3+43-3´x´(-y)´4
=(x-y+4)(x2+y2+16+xy+4y-4x)
=(x-y+4)(x2+y2+xy-4x+4y+16)

⑹ x3-27y3+18xy+8

=x3-27y3+8+18xy
=x3+(-3y)3+23-3´x´(-3y)´2
=(x-3y+2)(x2+9y2+4+3xy+6y-2x)
=(x-3y+2)(x2+9y2+3xy-2x+6y+4)

04-1  ⑴ (x+y)2+2(x+y)+1
=t2+2t+1 
  
=( t+1 )2
  =(x+y+ 1 )2 
⑵ (x+y)(x+y-3)-4

  
 

 

=t(t-3)-4 
=t2-3t-4

=(t+1)(t- 4 )

← x+y=t로 치환 

← t=x+y 대입

← x+y=t로 치환

=(x+y+1)(x+y- 4 )  ← t=x+y 대입

⑶ (x+y)2-5(x+y)+4

=t2-5t+4 
=(t-1)(t-4)

← x+y=t로 치환

=(x+y-1)(x+y-4) 

← t=x+y 대입

⑷ (3x+y)(3x+y+2)-8

← 3x+y=t로 치환

=t(t+2)-8 
=t2+2t-8

=(t-2)(t+4)

=t(t-8)+15 
=t2-8t+15

=(t-3)(t-5)

=(3x+y-2)(3x+y+4)  ← t=3x+y 대입

⑸ (x-2y)(x-2y-8)+15

← x-2y=t로 치환

=(x-2y-3)(x-2y-5)  ← t=x-2y 대입

04-2  ⑴ (x2+5x+4)(x2+5x+2)-24
=(t+4)(t+2)-24 
  

← x2+5x=t로 치환

  =t2+6t-16

=(t- 2 )(t+8)
=(x2+5x-2)( x2+5x +8)  ← t=x2+5x 대입

⑵ (x2-2x)2-2x2+4x-3

=(x2-2x)2-2( x2-2x )-3
=t2-2t-3 
=(t+1)(t-3)
=( x2-2x +1)(x2-2x-3)  ← t=x2-2x 대입
=(x-1)2(x+1)( x-3 )

← x2-2x=t로 치환

 

  

  

  

  

 

  

  

  

  

  

  

  

  

 

  

  

  

 

  

  

  

  

 

  

  

  

  

 

  

  

 

  

  

  

  

  

⑷ (x2+3x)2-2x2-6x-8

 =t2-14t+48

05-1  ⑴ x(x+1)(x-2)(x+3)-72



























































































⑶ (x2+8x+1)(x2+8x+2)-30

=(t+1)(t+2)-30
=t2+3t-28

← x2+8x=t로 치환

=(t-4)(t+7)
=(x2+8x-4)(x2+8x+7)  ← t=x2+8x 대입
=(x2+8x-4)(x+1)(x+7)

=(x2+3x)2-2(x2+3x)-8
=t2-2t-8
=(t+2)(t-4)
=(x2+3x+2)(x2+3x-4) ← t=x2+3x 대입
=(x+1)(x+2)(x-1)(x+4)

← x2+3x=t로 치환

⑸(x2+4x)2-4x2-16x-5

=(x2+4x)2-4(x2+4x)-5
=t2-4t-5
=(t+1)(t-5)
=(x2+4x+1)(x2+4x-5)
=(x2+4x+1)(x-1)(x+5)

← x2+4x=t로 치환

← t=x2+4x 대입

={x(x+1)}{(x-2)(x+3)}-72
=(x2+x)(x2+x-6)-72
=t( t-6 )-72

← x2+x=t로 치환

 =t2-6t-72

=(t+6)(t-12)
=(x2+x+6)( x2+x -12)  ← t=x2+x 대입
=(x2+x+6)(x-3)( x+4 )

⑵(x-3)(x-5)(x+1)(x+3)+11

={(x-3)(x+1)}{( x-5 )(x+3)}+11
=(x2-2x-3)(x2-2x-15)+11
=( t-3 )(t-15)+11
=t2-18t+56

← x2-2x=t로 치환

=(t-4)(t-14)
=(x2-2x-4)( x2-2x -14)  ← t=x2-2x 대입

⑶ x(x+1)(x+2)(x+3)-24

={x(x+3)}{(x+1)(x+2)}-24
=( x2+3x )(x2+3x+2)-24

← x2+3x=t로 치환

=t(t+2)-24
=t2+2t-24
=(t-4)( t+6 )
=(x2+3x-4)(x2+3x+6)  ← t=x2+3x 대입
=(x-1)( x+4 )(x2+3x+6)

⑷ (x+1)(x-3)(x+5)(x-7)+60

={(x+1)(x-3)}{(x+5)(x-7)}+60
=(x2-2x-3)(x2-2x-35)+60

=(t-3)(t-35)+60
=t2-38t+165

← x2-2x=t로 치환

























































































=(t-5)(t-33)
=(x2-2x-5)(x2-2x-33)  ← t=x2-2x 대입

⑸ (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24

={(x-1)(x+2)}{(x-3)(x+4)}+24
=(x2+x-2)(x2+x-12)+24

=(t-2)(t-12)+24

← x2+x=t로 치환

=(t-6)(t-8)
=(x2+x-6)(x2+x-8)  ← t=x2+x 대입
=(x-2)(x+3)(x2+x-8)

⑹ (x+1)(x+2)(x-2)(x-3)-60

={(x+1)(x-2)}{(x+2)(x-3)}-60
=(x2-x-2)(x2-x-6)-60

=(t-2)(t-6)-60
=t2-8t-48

← x2-x=t로 치환

=(t+4)(t-12)
=(x2-x+4)(x2-x-12)  ← t=x2-x 대입
=(x2-x+4)(x+3)(x-4)

⑺ x(x+2)(x+4)(x+6)+15

={x(x+6)}{(x+2)(x+4)}+15
=(x2+6x)(x2+6x+8)+15

=t(t+8)+15
=t2+8t+15

← x2+6x=t로 치환

=(t+3)(t+5)
=(x2+6x+3)(x2+6x+5)  ← t=x2+6x 대입
=(x2+6x+3)(x+1)(x+5)

06-1  ⑴ x4+2x2-3


← x2=X로 치환

=X2+2X-3
=(X-1)( X+3)
=(x2-1)(x2+3)  ← X=x2 대입
=( x+1 )(x-1)(x2+3)

⑵ 2x4-9x2+4

← x2=X로 치환

=2X2- 9X +4
=(X-4)(2X-1)
=( x2 -4)(2x2-1)  ← X=x2 대입
=(x+2)( x-2 )(2x2-1)

⑶ x4-5x2+4

← x2=X로 치환

=X2-5X+4
=(X-1)(X-4)
=(x2-1)(x2-4)  ← X=x2 대입
=(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)

⑷ x4-10x2+9

← x2=X로 치환

=X2-10X+9
=(X-1)(X-9)
=(x2-1)(x2-9)  ← X=x2 대입
=(x+1)(x-1)(x+3)(x-3)

6. 인수분해  | 053























































































⑸ x4+x2-2

← x2=X로 치환

=X2+X-2
=(X-1)(X+2)
=(x2-1)(x2+2)  ← X=x2 대입
=(x+1)(x-1)(x2+2)

⑹ 2x4-17x2-9

← x2=X로 치환

=2X2-17X-9
=(X-9)(2X+1)
=(x2-9)(2x2+1)  ← X=x2 대입
=(x+3)(x-3)(2x2+1)

⑺ 3x4-14x2+8

← x2=X로 치환

=3X2-14X+8
=(X-4)(3X-2)
=(x2-4)(3x2-2)  ← X=x2 대입
=(x+2)(x-2)(3x2-2)

⑻ x4-16

← x2=X로 치환

=X2-16
=(X+4)(X-4)
=(x2+4)(x2-4)  ← X=x2 대입
=(x2+4)(x+2)(x-2)

06-2  ⑴ x4+4


=(x4+4x2+4)-4x2  ← 4x2 더하고 빼기
=(x2+2)2-( 2x )2  ← A2-B2 꼴로 변형
=(x2+2+2x)(x2+2- 2x )
=(x2+ 2x +2)(x2-2x+2)

⑵ x4+7x2+16

=(x4+8x2+16)- x2   ← x2 더하고 빼기
=(x2+4)2-x2
=(x2+4+ x )(x2+4-x)
=(x2+x+4)(x2- x +4)

← A2-B2 꼴로 변형

⑶ x4+64

=(x4+16x2+64)-16x2  ← 16x2 더하고 빼기
=(x2+8)2-(4x)2
← A2-B2 꼴로 변형
=(x2+8+4x)(x2+8-4x)
=(x2+4x+8)(x2-4x+8)

⑷ x4+x2+25

=(x4+10x2+25)-9x2  ← 9x2 더하고 빼기
=(x2+5)2-(3x)2
=(x2+5+3x)(x2+5-3x)
=(x2+3x+5)(x2-3x+5)

← A2-B2 꼴로 변형

⑸ x4+5x2+9

=(x4+6x2+9)-x2  ← x2 더하고 빼기
=(x2+3)2-x2
=(x2+3+x)(x2+3-x)
=(x2+x+3)(x2-x+3)

← A2-B2 꼴로 변형

054  정답과 풀이

06-3  ⑴ x4-15x2+9


=(x4-6x2+9)- 9x2   ← -15x2 분리하기
=(x2-3)2-(3x)2
← A2-B2 꼴로 변형
=(x2-3+3x)( x2-3 -3x)
=(x2+ 3x -3)(x2-3x-3)

⑵ x4-35x2+25

=(x4- 10x2 +25)-25x2  ← -35x2 분리하기
=(x2-5)2-(5x)2
← A2-B2 꼴로 변형
=(x2-5+ 5x )(x2-5-5x)
=(x2+ 5x -5)(x2-5x-5)

⑶ x4-11x2+1

=(x4-2x2+1)-9x2  ← -11x2 분리하기
=(x2-1)2-(3x)2
← A2-B2 꼴로 변형
=(x2+3x-1)(x2-3x-1)

⑷ x4-12x2+16

=(x4-8x2+16)-4x2  ← -12x2 분리하기
=(x2-4)2-(2x)2
← A2-B2 꼴로 변형
=(x2+2x-4)(x2-2x-4)

⑸ x4-14x2+25

=(x4-10x2+25)-4x2  ← -14x2 분리하기
=(x2-5)2-(2x)2
← A2-B2 꼴로 변형
=(x2+2x-5)(x2-2x-5)

07-1  ⑴ 2x2+xy+5x+3y-3  ← y의 차수가 가장 낮다.


=(x+3)y+2x2+5x-3

=(x+3)y+(x+3)(2x-1)
=(x+3)( 2x+y-1 )

⑵ x2+xy-xyz-y2z  ← z의 차수가 가장 낮다.

=(-xy-y2)z+x2+xy
=-(x+y)yz+( x+y )x
=(x+y)( x-yz )

⑶ x2y-zx2-y3+y2z  ← z의 차수가 가장 낮다.

=(-x2+y2)z+x2y- y3
=-(x2-y2)z+(x2-y2)y
=( x2-y2 )(y-z)=(x+y)(x-y)(y-z)

⑷ y2-3xy-y+6x-2  ← x의 차수가 가장 낮다.

=(-3y+6)x+y2-y-2

=-3(y-2)x+(y+1)(y-2)

=(-3x+y+1)(y-2)

⑸ 3x2-12xy+x+8y-2  ← y의 차수가 가장 낮다.

=(-12x+8)y+3x2+x-2

=-4(3x-2)y+(x+1)(3x-2)

=(3x-2)(x-4y+1)

⑹ x2+zx-y2+yz  ← z의 차수가 가장 낮다.

=(x+y)z+x2-y2

=(x+y)z+(x+y)(x-y)

=(x+y)(x-y+z)





















































































⑺ y2+2xy-z2+2zx  ← x의 차수가 가장 낮다.

⑸ x2+12y2-7xy-x+5y-2

 

  

  

  

 

  

  

  

 

  

  

  

  

 

  

  

  

  

  

 

  

 

  

  

 

  

 

  

  

 

  

 

  

  

 

  

=(2y+2z)x+y2-z2

=2x(y+z)+(y+z)(y-z)

=(y+z)(2x+y-z)

⑻ x2-3xy-4z2-6yz  ← y의 차수가 가장 낮다.

=(-3x-6z)y+x2-4z2

=-3(x+2z)y+(x+2z)(x-2z)

=(x+2z)(x-3y-2z)

⑼ y3+xy2-yz2-z2x  ← x의 차수가 가장 낮다.

⑽ x2y+zx2-z2y-z3  ← y의 차수가 가장 낮다.

=(y2-z2)x+y3-yz2
=(y2-z2)x+(y2-z2)y
=(y2-z2)(x+y)

=(y+z)(y-z)(x+y)

=(x2-z2)y+zx2-z3
=(x2-z2)y+(x2-z2)z
=(x2-z2)(y+z)

=(x+z)(x-z)(y+z)

07-2  ⑴ x2-2y2-xy+4x+y+3
  

=x2+(-y+4)x+(-2y2+y+3)
=x2+(-y+4)x+(y+1)(-2y+3)

x

x

x

x

 

 

 

 

 

 

y+1 → (

y+1)x

-2y+3 → (-2y+3)x +

(- y+4)x

=(x+y+1)( x-2y+3 )

⑵ x2-3y2+2xy-x-7y-2

=x2+(2y-1)x+(-3y2-7y-2)
=x2+(2y-1)x+(-y-2)( 3y+1 )

- y-2 → (- y-2)x

3y+1 → (

3y+1)x +

( 2y-1)x

=(x-y-2)( x+3y+1 )

⑶ x2+4y2+4xy-4x-8y-5

=x2+(4y-4)x+(4y2-8y-5)
=x2+(4y-4)x+(2y+1)(2y-5)

x

x

2y+1 → (2y+1)x
2y-5 → (2y-5)x +

(4y-4)x

=(x+2y+1)(x+2y-5)

⑷ 2x2+2y2+5xy+10x+11y+12

=2x2+(5y+10)x+(2y2+11y+12)
=2x2+(5y+10)x+(y+4)(2y+3)

 

 

x

2x

2y+3 → (4y+ 6)x
y+4 → ( y+ 4)x +

=(x+2y+3)(2x+y+4)

 

  

  

 

  

  

 

  

  

 

 

  

 

  

 

 

  

  

 

  

  

 

  

  

  

 

 

  

  

=x2+(-7y-1)x+(12y2+5y-2)
=x2+(-7y-1)x+(3y+2)(4y-1)

x

x

x

x

x

x

 

 

 

 

 

 

-(3y+2) → (-3y-2)x
-(4y-1) → (-4y+1)x +

(-7y-1)x

={x-(3y+2)}{x-(4y-1)}

=(x-3y-2)(x-4y+1)
⑹ x2+3y2-4xy+x-5y-2

=x2+(-4y+1)x+(3y2-5y-2)
=x2+(-4y+1)x+(y-2)(3y+1)

-( y-2) → (- y+2)x
-(3y+1) → (-3y-1)x +

(-4y+1)x

  ={x-(y-2)}{x-(3y+1)}

=(x-y+2)(x-3y-1)
⑺ x2+2y2-3xy-6x+7y+5

=x2+(-3y-6)x+(2y2+7y+5)
  =x2+(-3y-6)x+(y+1)(2y+5)

-( y+1) → (- y-1)x
-(2y+5) → (-2y-5)x +

(-3y-6)x

={x-(y+1)}{x-(2y+5)}

=(x-y-1)(x-2y-5)
⑻ 3x2+2y2-5xy-11x+7y-4

=3x2+(-5y-11)x+(2y2+7y-4)
=3x2+(-5y-11)x+(y+4)(2y-1)

 

 

x

3x

-( y+4) → (-3y-12)x
-(2y-1) → (-2y+ 1)x +

(-5y-11)x

={x-(y+4)}{3x-(2y-1)}

=(x-y-4)(3x-2y+1)

08-1  ⑴ f(x)=x3-3x2+4x-2로 놓으면 
  

f(1)=0이므로 일차식  x-1 은 f(x)의 인수이다. 

1

1 -3

4 -2
2

1 -2

1 -2

2

0

  ∴ x3-3x2+4x-2=(x-1)( x2-2x+2 )
⑵ f(x)=x3-x2-5x-3으로 놓으면

f(-1)=0이므로 일차식 x+1은 f(x)의 인수이다.

-1

1 -1 -5 -3
3

-1

2

1 -2 -3

0

=(x+1)2( x-3 )

6. 인수분해  | 055

(5y+10)x

 

  ∴ x3-x2-5x-3  =(x+1)(x2-2x-3) 

 

  ∴ x3-6x2-x+30  =(x+2)(x2-8x+15)   

  일차식 x+1, x+2는 f(x)의 인수이다.

⑷ f(x)=x3-6x2-x+30으로 놓으면

 

  ∴   x4+2x3-7x2-8x+12  

f(-2)=0이므로 일차식 x+2는 f(x)의 인수이다.

⑶ f(x)=x3+3x2-4로 놓으면

⑵ f(x)=x4+2x3-7x2-8x+12로 놓으면

f(1)=0이므로 일차식 x-1은 f(x)의 인수이다.

 

 f(1)=0, f(-2)=0이므로

  일차식 x-1, x+2는 f(x)의 인수이다.

 

  

  

 

 

  

  

 

 

  

  

 

 

  

  

 

 

 

  

1

1

1

3
1

4

0 -4
4
4

4

0

  ∴ x3+3x2-4  =(x-1)(x2+4x+4) 

 

=(x-1)(x+2)2

-2

1 -6 -1
-2

30
16 -30

1 -8

15

0

=(x+2)(x-3)(x-5)

⑸ f(x)=x3-3x2-6x+8로 놓으면

f(1)=0이므로 일차식 x-1은 f(x)의 인수이다.

1

1 -3 -6

8
1 -2 -8

1 -2 -8

0

  ∴ x3-3x2-6x+8  =(x-1)(x2-2x-8) 

 

=(x-1)(x+2)(x-4)

⑹ f(x)=2x3+5x2-7x+2로 놓으면

f

{;2!;}

=0이므로 일차식 x-

은 f(x)의 인수이다.

;2!;

;2!;

2

2

5 -7
1

2
3 -2

6 -4

0

  ∴ 2x3+5x2-7x+2=
{

x-

;2!;}

(2x2+6x-4)

 

 

=(2x-1)(x2+3x-2)

08-2  ⑴ f(x)=x4+3x3-2x2-6x+4로 놓으면 
f(1)=0, f( -2 )=0이므로 
  

  일차식 x-1,  x+2 는 f(x)의 인수이다. 

1

-2

1

1

1

3 -2 -6
4
1

4
2 -4

0

4

2 -4
4

-2 -4

2 -2

0

 

  ∴   x4+3x3-2x2-6x+4   

=( x-1 )(x+2)(x2+2x-2)

056  정답과 풀이

 

 

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

 

  

 

  

 

1

-2

1

1

1

2 -7 -8
1

12
3 -4 -12

3 -4 -12
12

-2 -2

1 -6

0

0

=(x-1)(x+2)(x2+x-6) 
=(x-1)(x+2)(x-2)(x+3)

 

⑶ f(x)=x4+x3-7x2-13x-6으로 놓으면

f(-1)=0, f(-2)=0이므로

-1

-2

1

1

1 -7 -13 -6
6
0 -7

-1

0 -7 -6
6
4

-2

0

1 -2 -3

0

 

  ∴   x4+x3-7x2-13x-6   

=(x+1)(x+2)(x2-2x-3) 
=(x+1)(x+2)(x+1)(x-3)  
=(x+1)2(x+2)(x-3)

 

⑷ f(x)=2x4-2x3-x2+2x-1로 놓으면

f(1)=0, f(-1)=0이므로

  일차식 x-1, x+1은 f(x)의 인수이다.

1

2 -2 -1
2

-1

2

0 -1

2 -1
1

0

0 -1

1
2 -1

-2

2 -2

1

0

  ∴   2x4-2x3-x2+2x-1   

=(x-1)(x+1)(2x2-2x+1)

⑸ f(x)=x4-x3-3x2-3x-18로 놓으면

f(-2)=0, f(3)=0이므로

  일차식 x+2, x-3은 f(x)의 인수이다.

-2

3

1 -1 -3 -3 -18
18

6 -6

-2

1 -3
3

3 -9
9
0

1

0

3

0

0

  ∴   x4-x3-3x2-3x-18   
=(x+2)(x-3)(x2+3)

⑹ f(x)=3x4-3x3-4x2-2x-4로 놓으면

참고

f(-1)=0, f(2)=0이므로

  일차식 x+1, x-2는 f(x)의 인수이다.

두 변의 길이의 합이 나머지 한 변의 길이보다 커야 

삼각형이 되므로
b+c>a 

 ∴  -a+b+c+0

 

  

 

  

 

 

  

 

  

  

  

  

 

 

 

 

  

  

  

 

  

 

 

 

 

 

  

-1

2

3 -3 -4 -2 -4
4

6 -2

-3

3 -6
6

2 -4
4
0

3

0

2

0

0

  ∴   3x4-3x3-4x2-2x-4  

=(x+1)(x-2)(3x2+2)
⑺ f(x)=x4-15x2-10x+24로 놓으면

f(1)=0, f(-2)=0이므로

  일차식 x-1, x+2는 f(x)의 인수이다.

1

-2

1

1

0 -15 -10
1

24
1 -14 -24

1 -14 -24
24
2

-2

0

1 -1 -12

0

 

  ∴   x4-15x2-10x+24  

=(x-1)(x+2)(x2-x-12) 
=(x-1)(x+2)(x+3)(x-4)

 

09-1  ⑴ a4+c2a2+b2c2-b4
  

=(a2+b2)c2+(a4-b4)
=(a2+b2)c2+(a2+b2)( a2-b2 )
=(a2+b2)(a2-b2+c2)
  즉, (a2+b2)(a2-b2+c2)=0
  이때, a2+b2>0이므로

a2-b2+c2=0 

 ∴  a2+c2= b2

 

  따라서 빗변의 길이가 b인  직각삼각형 이다.

⑵ a2+b2+c2-ab-bc-ca

(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca)

=

;2!;

=

;2!;

=

;2!;

{(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2)}

{(a-b)2+( b-c )2+(c-a)2}

  즉, (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0

a-b=0, b-c=0,  c-a =0 

 ∴  a=b=c

 

  따라서  정삼각형 이다.

⑶ b2-ab-c2+ac  =(-b+c)a+(b2-c2) 

 

=-a(b-c)+(b+c)(b-c) 

 

  즉, (-a+b+c)(b-c)=0

  이때, -a+b+c+0이므로

b-c=0 

 ∴  b=c

 

  따라서 b=c인 이등변삼각형이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  

  

  

  

  

  

 

 

  

  

 

⑷ a3+a2c-ab2-b2c  =(a2-b2)c+(a3-ab2)   
=(a2-b2)c+a(a2-b2)   
=(a2-b2)(c+a) 
=(a+b)(a-b)(a+c)

 

  즉, (a+b)(a-b)(a+c)=0

  이때, a+b>0, a+c>0이므로

  a-b=0 

 ∴  a=b

  따라서 a=b인 이등변삼각형이다.

⑸ ab-bc+b2-ac  =a(b-c)+(b2-bc) 

 

=a(b-c)+b(b-c) 

=(a+b)(b-c)

  즉, (a+b)(b-c)=0

  이때, a+b>0이므로

b-c=0 

 ∴  b=c

 

  따라서 b=c인 이등변삼각형이다.

⑹ a3+b3+a2b-ac2+ab2-bc2

=(-a-b)c2+(a3+a2b+ab2+b3)
=-c2(a+b)+a2(a+b)+b2(a+b)
=(a2+b2-c2)(a+b)
  즉, (a2+b2-c2)(a+b)=0
  이때, a+b>0이므로
a2+b2-c2=0 

 ∴  c2=a2+b2

 

 따라서 빗변의 길이가 c인 직각삼각형이다.

⑺ a3+b3+c3-3abc

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

(a+b+c){(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}

=

;2!;

 

 즉, (a+b+c){(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}=0

  이때, a+b+c>0이므로

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0

a-b=0, b-c=0, c-a=0 

 ∴  a=b=c

 

 따라서 정삼각형이다.

10-1  ⑴ a3+b3  =(a+b)(a2-ab+b2) 

 

=(a+b){(a+b)2- 3ab }   
=3(32-3´2)= 9

=(a2+b2)2-(ab)2 
=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab) 
={(a+b)2-ab}{(a+b)2-3ab} 
=(42-3)(42-3´3)=91

 

6. 인수분해  | 057

=(-a+b+c)(b-c)

 

⑵ a4+a2b2+b4 =(a4+2a2b2+b4)-a2b2 

 

 

  

  

  

  

  

 

  

  

 

  

  

  

 

  

  

  

  

 

 

  

 

  

  

  

  

 

 

  

 

  

  

  

  

 

 

  

 

  

  

  

  

 

 

  

⑶ a3-2a2b+2ab2-b3

=a3-b3-2a2b+2ab2
=(a-b)(a2+ab+b2)-2ab(a-b)
=(a-b)(a2-ab+b2)
=(a-b){(a-b)2+ab}
=3(32-2)=21

⑷ (1+b)a2+(1-a)b2-2ab
=a2+a2b+b2-ab2-2ab
=(1+b)a2+(-b2-2b)a+b2

a
(1+b)a

-b → (-b - b2)a
-b →

- ba +

(-b2-2b)a

=(a-b){(1+b)a-b}

=(a-b)(a-b+ab)

=2(2+3)=10

⑸ a2b-ab2+b2c-bc2+c2a-ca2

=(b-c)a2+(-b2+c2)a+b2c-bc2
=(b-c)a2-(b+c)(b-c)a+bc( b-c )
=(b-c){a2-(b+c)a+bc}

=(b-c)(a-b)( a-c )

  이때, a-b=3 yy ㉠, b-c=2 yy ㉡에서

  ㉠+㉡을 하면 a-c= 5 이므로

(주어진 식)=2´3´5= 30

⑹ -a2b+ab2-b2c+bc2+ca2-c2a

=(-b+c)a2+(b2-c2)a-b2c+bc2
=-(b-c)a2+(b+c)(b-c)a-bc(b-c)
=-(b-c){a2-(b+c)a+bc}

=-(b-c)(a-b)(a-c)

  이때, a-b=-1 yy ㉠, b-c=3 yy ㉡에서

  ㉠+㉡을 하면 a-c=2이므로

(주어진 식)=(-3)´(-1)´2=6

⑺ a2b-ab2-b2c-bc2+ca2+c2a

=(b+c)a2+(-b2+c2)a-b2c-bc2
=(b+c)a2-(b+c)(b-c)a-bc(b+c)
=(b+c){a2-(b-c)a-bc}

=(b+c)(a-b)(a+c)

  이때, a-b=4 yy ㉠, b+c=1 yy ㉡에서

  ㉠+㉡을 하면 c+a=5이므로

(주어진 식)=1´4´5=20

⑻ -a2b-ab2+b2c+bc2-ca2+c2a

=(-b-c)a2+(-b2+c2)a+b2c+bc2
=-(b+c)a2-(b+c)(b-c)a+bc(b+c)
=-(b+c){a2+(b-c)a-bc}

=-(b+c)(a+b)(a-c)

  이때, a+b=5 yy ㉠, c-a=-2 yy ㉡에서

  ㉠+㉡을 하면 b+c=3이므로

(주어진 식)=(-3)´5´2=-30

058  정답과 풀이

11-1  ⑴ 99=a로 놓으면

992-1  =a2-12   

=( a+1 )(a-1)   

=(99+1)(99-1)  

=100´98= 9800

⑵ 55=a, 45=b로 놓으면

553-453
55´100+452 =

a3-b3
a(a+b)+b2

 

 

 

 

 

 

=

(a-b)( a2+ab+b2 )
a2+ab+b2

= a-b

=55-45= 10

⑶ 532+512-492-472

=(532-472)+(512-492)

=(53+47)(53-47)+(51+ 49 )(51-49)

= 100 ´6+100´2= 800

⑷ 212-192 =(21+19)(21-19) 

=40´2=80

⑸ 101=a로 놓으면

1012-2´101+1 =a2-2a+1 

=(a-1)2 
=(101-1)2 

=10000

⑹ 998=a로 놓으면

9983+8
996´998+4

=

a3+8
(a-2)a+4

 

 

 

 

=

(a+2)(a2-2a+4)
a2-2a+4

=a+2=998+2=1000

⑺ 65=a, 25=b로 놓으면

652+25´90
653-253 =

a2+b(a+b)
a3-b3

=

a2+ab+b2
(a-b)(a2+ab+b2)

=

1
a-b

=

1
65-25

=

;4Á0;

 

 

 

 

 

 

 

 

⑻ 59=a로 놓으면

593-1
592+59+1

_

1
592-1

=

a3-1
a2+a+1

_

1
a2-1

=

(a-1)(a2+a+1)
a2+a+1

_

1
(a+1)(a-1)

=

1
a+1

=

1
59+1

=

;6Á0;

  

 

  

 

 

 

 

  

  

  

 

 

  

 

  

  

 

 

 

 

 

 

  

  

  

  

STEP 2

 

124쪽~129쪽

1-1 ⑴ 4ab+12a2b-2a3b2  =2ab(2+6a-a2b) 

=-2ab(a2b-6a-2)

  ⑵ (a+b)(a+b-1)
  ⑶ x2+zx-yz-xy  =(x+z)x-(x+z)y 

 

 

=(x+z)(x-y)

1-2 ⑴ 3ab2-9a2b3-6a2b+15ab
  =3ab(b-3ab2-2a+5)
 
  =-3ab(3ab2+2a-b-5)

 
  ⑵ (a+b)3-4ab(a+b) =(a+b){(a+b)2-4ab} 

=(a+b)(a2-2ab+b2) 
=(a+b)(a-b)2
  ⑶ ab-ca+bc-c2  =(b-c)a+(b-c)c 

 

=(b-c)(c+a)

2-1 ⑴ (x+3)2
  ⑵ (a-10)2

  ⑶ 
{

x+

2

;5!;}
2

x-

  ⑷ 
{

;4#;}
  ⑸ (3a+5b)(3a-5b)

2-2 ⑴ (3x+4y)2
  ⑵ (2a-7b)2

  ⑶ 

x+y

{;2!;

  ⑷ 
{

3x-

;3@;}

2

}
2

3-1 ⑴ (x+2)(x+8)
  ⑵ (x-y)(x+5y)

  ⑶ (a+3b)(5a+b)

  ⑷ (3x-y)(4x+3y)

3-2 ⑴ (a-3b)(a-5b)
  ⑵ (x+4)(x-8)

  ⑶ (a-6)(3a-5)

  ⑷ (2x-3y)(4x+5y)

  ⑸ 4x2-(y+z)2 ={2x+(y+z)}{2x-(y+z)}   

=(2x+y+z)(2x-y-z)

  ⑵ (a+b)(a+b-5)+6

  =t(t-5)+6 
  =t2-5t+6
  =(t-2)(t-3)

← a+b=t로 치환  

  =(a+b-2)(a+b-3) 
 
  ⑶ (x2-3x+3)(x2-3x-5)+7

← t=a+b 대입  

← x2-3x=t로 치환  

  =(t+3)(t-5)+7 
  =t2-2t-8
  =(t+2)(t-4)
  =(x2-3x+2)(x2-3x-4)  ← t=x2-3x 대입
  =(x-1)(x-2)(x+1)(x-4)

 
  ⑷ (x2+2x)2+3x2+6x-18

  =(x2+2x)2+3(x2+2x)-18
  =t2+3t-18 
  =(t-3)(t+6)
  =(x2+2x-3)(x2+2x+6)  ← t=x2+2x 대입
  =(x-1)(x+3)(x2+2x+6)

← x2+2x=t로 치환

 

4-2 ⑴ (x-y)(x-y-9)+14
  =t(t-9)+14 
  =t2-9t+14
  =(t-2)(t-7)

 

 

← x-y=t로 치환  

  =(x-y-2)(x-y-7)  ← t=x-y 대입  

  ⑵ (a-3b+1)(a-3b-5)-7

← a-3b=t로 치환

  =(t+1)(t-5)-7 
  =t2-4t-12
  =(t+2)(t-6)

 

  =(a-3b+2)(a-3b-6)  ← t=a-3b 대입

 
  ⑶ (x2-x-5)(x2-x-10)-14
  =(t-5)(t-10)-14 
  =t2-15t+36
  =(t-3)(t-12)
  =(x2-x-3)(x2-x-12)  ← t=x2-x 대입
  =(x2-x-3)(x+3)(x-4)

 

 

 

← x2-x=t로 치환

 
  ⑷ (x2+x)2-x2-x-30

  =(x2+x)2-(x2+x)-30
  =t2-t-30 
  =(t+5)(t-6)
  =(x2+x+5)(x2+x-6)  ← t=x2+x 대입
  =(x2+x+5)(x-2)(x+3)

← x2+x=t로 치환

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4-1 ⑴ (x-2y)2-4(x-2y)+4
 

  =t2-4t+4 
  =(t-2)2
  =(x-2y-2)2  ← t=x-2y 대입

← x-2y=t로 치환

 

 

5-1 ⑴ (5x+y)3

x+

  ⑵ 
;3!;}
{
  ⑶ (x-2y)3

3

3

  ⑷ 
{

a-

;4!;}

6. 인수분해  | 059

  ⑸ 8x3+125 =(2x)3+53 

  ⑹ x3-y3+8z3+6xyz

 

 

=(2x+5)(4x2-10x+25)

  ⑹ 3x4y2+81xy5 =3xy2(x3+27y3) 
=3xy2{x3+(3y)3} 
=3xy2(x+3y)(x2-3xy+9y2)

 

  ⑺ 8x3-1  =(2x)3-13 

=(2x-1)(4x2+2x+1)
  ⑻ 16x4y-54xy4  =2xy(8x3-27y3) 

 
=2xy{(2x)3-(3y)3}   
=2xy(2x-3y)(4x2+6xy+9y2)

5-2 ⑴ (3a+2)3

2x+

  ⑵ 
{
;2!;}
  ⑶ (2x-3y)3

  ⑷ 
{

3x-

;2!;}

3

3

  =x3+(-y)3+(2z)3-3´x´(-y)´2z
  =(x-y+2z)(x2+y2+4z2+xy+2yz-2zx)

 
  ⑺ x3+y3-9xy+27

  =x3+y3+27-9xy
  =x3+y3+33-3´x´y´3
  =(x+y+3)(x2+y2+9-xy-3y-3x)
  =(x+y+3)(x2+y2-xy-3x-3y+9)

 
  ⑻ 8x3-y3-6xy-1

  =8x3-y3-1-6xy
  =(2x)3+(-y)3+(-1)3-3´2x´(-y)´(-1)
  =(2x-y-1)(4x2+y2+1+2xy-y+2x)
  =(2x-y-1)(4x2+y2+2xy+2x-y+1)

6-2 ⑴ 9x2+y2+z2+6xy-2yz-6zx
 

  =  (3x)2+y2+(-z)2 

 

  ⑸ 64a3+27b3 =(4a)3+(3b)3   

+2´3x´y+2´y´(-z)+2´(-z)´3x

  ⑹ 5a4bc3+40ab4c3  =5abc3(a3+8b3) 

=(4a+3b)(16a2-12ab+9b2)

 
=5abc3{a3+(2b)3}   
=5abc3(a+2b)(a2-2ab+4b2)

  =(3x+y-z)2

 
  ⑵ x2+4y2+9z2-4xy-12yz+6zx

  =  x2+(-2y)2+(3z)2 

 

+2´x´(-2y)+2´(-2y)´3z+2´3z´x

  ⑺ a3-

=a3-

;2Á7;

3

{;3!;}

 

 

 

=

a-

{

;3!;}{

a2+

a+

;3!;

;9!;}

  ⑻ 250a3c2-16b3c2  =2c2(125a3-8b3) 

 
=2c2{(5a)3-(2b)3}  
=2c2(5a-2b)(25a2+10ab+4b2)

6-1 ⑴ x2+y2+16z2-2xy-8yz+8zx
 

  =  x2+(-y)2+(4z)2 

 

+2´x´(-y)+2´(-y)´4z+2´4z´x

  =(x-y+4z)2

 
  ⑵ 4a2+b2+25c2+4ab-10bc-20ca

 

  =  (2a)2+b2+(-5c)2 

 

+2´2a´b+2´b´(-5c)+2´(-5c)´2a

  =(2a+b-5c)2

 
  ⑶ x2+y2+2xy+12x+12y+36

 

 

  =x2+y2+36+2xy+12y+12x
  =x2+y2+62+2´x´y+2´y´6+2´6´x
  =(x+y+6)2

 
  ⑷ x2+16y2-8xy+6x-24y+9

 

 

  =x2+16y2+9-8xy-24y+6x
  =  x2+(-4y)2+32+2´x´(-4y)+2´(-4y)´3+2´3´x
  =(x-4y+3)2
 
  ⑸ x3+y3+27z3-9xyz

 

 

  =x3+y3+(3z)3-3´x´y´3z
  =(x+y+3z)(x2+y2+9z2-xy-3yz-3zx)

060  정답과 풀이

  =(x-2y+3z)2

 
  ⑶ a2+b2-2ab+4a-4b+4

  =a2+b2+4-2ab-4b+4a
  =  a2+(-b)2+22 

 

+2´a´(-b)+2´(-b)´2+2´2´a

  =(a-b+2)2

 
  ⑷ 9x2+y2+6xy+12x+4y+4

 

 

  =9x2+y2+4+6xy+4y+12x
  =(3x)2+y2+22+2´3x´y+2´y´2+2´2´3x
  =(3x+y+2)2
 
  ⑸ 8x3+64y3+z3-24xyz

  =(2x)3+(4y)3+z3-3´2x´4y´z
  =(2x+4y+z)(4x2+16y2+z2-8xy-4yz-2zx)

 
  ⑹ 8x3-y3-z3-6xyz

  =(2x)3+(-y)3+(-z)3-3´2x´(-y)´(-z)
  =(2x-y-z)(4x2+y2+z2+2xy-yz+2zx)

 
  ⑺ x3+8y3-24xy+64

  =x3+8y3+64-24xy
  =x3+(2y)3+43-3´x´2y´4
  =(x+2y+4)(x2+4y2+16-2xy-8y-4x)
  =(x+2y+4)(x2+4y2-2xy-4x-8y+16)

 
  ⑻ x3-8y3+12xy+8

  =x3-8y3+8+12xy
  =x3+(-2y)3+23-3´x´(-2y)´2
  =(x-2y+2)(x2+4y2+4+2xy+4y-2x)
  =(x-2y+2)(x2+4y2+2xy-2x+4y+4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7-1 ⑴ x(x-1)(x-2)(x-3)-120

  ⑶ x4+6x2+25

  ={x(x-3)}{(x-1)(x-2)} -120
  =(x2-3x)(x2-3x+2)-120
  =t(t+2)-120 
  =t2+2t-120
  =(t-10)(t+12)
  =(x2-3x-10)(x2-3x+12)  ← t=x2-3x 대입
  =(x+2)(x-5)(x2-3x+12)

← x2-3x=t로 치환

 
  ⑵ 4x4+3x2-1

← x2=X로 치환

  =4X2+3X-1 
  =(X+1)(4X-1)
  =(x2+1)(4x2-1)  ← X=x2 대입
  =(x2+1)(2x+1)(2x-1)

 
  ⑶ x4-12x2+4

  =(x4+4x2+4)-16x2  ← 16x2 더하고 빼기
  =(x2+2)2-(4x)2 
← A2-B2 꼴로 변형
  =(x2+2+4x)(x2+2-4x)
  =(x2+4x+2)(x2-4x+2)

 
  ⑷ x4-19x2+9

  =(x4+6x2+9)-25x2  ← 25x2 더하고 빼기
  =(x2+3)2-(5x)2 
← A2-B2 꼴로 변형
  =(x2+3+5x)(x2+3-5x)
  =(x2+5x+3)(x2-5x+3)

 
  ⑸ x4-3x2+1

  =(x4-2x2+1)-x2  ← -3x2 분리하기
  =(x2-1)2-x2 
  =(x2-1+x)(x2-1-x)
  =(x2+x-1)(x2-x-1)

← A2-B2 꼴로 변형

 
  ⑹ x4-7x2+9

  =(x4-6x2+9)-x2  ← -7x2 분리하기
  =(x2-3)2-x2 
  =(x2-3+x)(x2-3-x)
  =(x2+x-3)(x2-x-3)

← A2-B2 꼴로 변형

7-2 ⑴ (x+1)(x+2)(x-3)(x-4)-36

  ={(x+1)(x-3)}{(x+2)(x-4)}-36
  =(x2-2x-3)(x2-2x-8)-36
  =(t-3)(t-8)-36 
  =t2-11t-12
  =(t+1)(t-12)
  =(x2-2x+1)(x2-2x-12)  ← t=x2-2x 대입
  =(x-1)2(x2-2x-12)

← x2-2x=t로 치환

 
  ⑵ x4-11x2+18

  =X2-11X+18  ← x2=X로 치환
  =(X-2)(X-9)
  =(x2-2)(x2-9)  ← X=x2 대입
  =(x2-2)(x+3)(x-3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  =(x4+10x2+25)-4x2  ← 4x2 더하고 빼기
  =(x2+5)2-(2x)2 
  =(x2+5+2x)(x2+5-2x)
  =(x2+2x+5)(x2-2x+5)

← A2-B2 꼴로 변형

 
  ⑷ x4+4x2+16

  =(x4+8x2+16)-4x2  ← 4x2 더하고 빼기
  =(x2+4)2-(2x)2 
  =(x2+4+2x)(x2+4-2x)
  =(x2+2x+4)(x2-2x+4)

← A2-B2 꼴로 변형

 
  ⑸ x4-13x2+4

  =(x4-4x2+4)-9x2  ← -13x2 분리하기
  =(x2-2)2-(3x)2 
← A2-B2 꼴로 변형
  =(x2-2+3x)(x2-2-3x)
  =(x2+3x-2)(x2-3x-2)

 
  ⑹ x4-21x2+36

  =(x4-12x2+36)-9x2  ← -21x2 분리하기
  =(x2-6)2-(3x)2 
← A2-B2 꼴로 변형
  =(x2-6+3x)(x2-6-3x)
  =(x2+3x-6)(x2-3x-6)

8-1 ⑴ 2x2+2xy-7x-y+3 
 

  =(2x-1)y+2x2-7x+3
  =(2x-1)y+(x-3)(2x-1)

 

← y의 차수가 가장 낮다.

  =(2x-1)(x+y-3)

 
  ⑵ x2+3xy+zx+2y2+2yz  ← z의 차수가 가장 낮다.

  =(x+2y)z+x2+3xy+2y2
  =(x+2y)z+(x+y)(x+2y)

  =(x+2y)(x+y+z)
 
  ⑶ x2+6y2+5xy+7x+17y+12

  =x2+(5y+7)x+(6y2+17y+12)
  =x2+(5y+7)x+(2y+3)(3y+4)

x

x

2y+3 → (2y+3)x
3y+4 → (3y+4)x +

(5y+7)x

  =(x+2y+3)(x+3y+4)

8-2 ⑴ 5y2+xy-16y-3x+3  ← x의 차수가 가장 낮다.
 

  =(y-3)x+5y2-16y+3
  =(y-3)x+(y-3)(5y-1)

 

  =(y-3)(x+5y-1)

 
  ⑵ x3+x2y-z2x-z2y 

← y의 차수가 가장 낮다.

  =(x2-z2)y+x3-z2x
  =(x2-z2)y+(x2-z2)x
  =(x2-z2)(x+y)
  =(x+z)(x-z)(x+y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

6. 인수분해  | 061

  ⑶ 2x2-y2+xy+x+4y-3

  =2x2+(y+1)x-(y2-4y+3)
  =2x2+(y+1)x-(y-1)(y-3)

x

2x

y-1 → (

2y-2)x

-(y-3) → (- y+3)x +
(

y+1)x

  =(x+y-1){2x-(y-3)}

  =(x+y-1)(2x-y+3)

9-1 ⑴ f(x)=x3-8x2+21x-18로 놓으면
 

f(2)=0이므로 일차식 x-2는 f(x)의 인수이다.

 

2

1 -8

21 -18
18

2 -12

1 -6

9

0

  ∴ x3-8x2+21x-18 =(x-2)(x2-6x+9)   

=(x-2)(x-3)2

  ⑵ f(x)=x4-3x3-x2+9x-6으로 놓으면

f(1)=0, f(2)=0이므로

  일차식 x-1, x-2는 f(x)의 인수이다.

1

2

9 -6
6

0

1 -3 -1

1 -2 -3

1 -2 -3
2

6
0 -6

1

0 -3

0

  ∴   x4-3x3-x2+9x-6=(x-1)(x-2)(x2-3)

9-2 ⑴ f(x)=4x3-4x2+5x-2로 놓으면

f

{;2!;}

=0이므로 일차식 x-

은 f(x)의 인수이다.

;2!;

;2!;

4 -4

5 -2
2

2 -1

4 -2

4

0

  ∴ 4x3-4x2+5x-2=
{

x-

;2!;}

(4x2-2x+4)

 

 

=(2x-1)(2x2-x+2)

  ⑵ f(x)=x4-8x2+5x+6으로 놓으면
f(2)=0, f(-3)=0이므로

 

 

  일차식 x-2, x+3은 f(x)의 인수이다.

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

-3

1

1

0 -8
2

6
5
4 -8 -6

2 -4 -3
3
3

-3

0

1 -1 -1

0

 

  ∴  x4-8x2+5x+6 =(x-2)(x+3)(x2-x-1)

062  정답과 풀이

STEP 3

 

130쪽~133쪽

01   다항식 (x2+3x)2-2x2-6x+1을 인수분해할 때, 먼저 

공통부분인 x2+3x를 치환한다.

02   다항식  f(x)=x3-2x2-5x+6에 대하여  f(-2)=0이

므로 f(x)는 x+2를 인수로 가진다.

03  a2-4=(a+2)(a-2)

04  (2x+3)3

05  (3x-5y)3

06  5a3+40 =5(a3+8) 
=5(a3+23) 
=5(a+2)(a2-2a+4)

 

 

07  x3-

=x3-

3
{;2};}

y3
8

  

=

x-

{

;2};}{

x2+

xy
2

+

y2
4 }

08  16x2+y2+4z2+8xy-4yz-16zx
  =  (4x)2+y2+(-2z)2 

 

+2´4x´y+2´y´(-2z)+2´(-2z)´4x

  =(4x+y-2z)2

09  a2+b2-2ab+8a-8b+16
  =a2+b2+16-2ab-8b+8a
  =a2+(-b)2+42+2´a´(-b)+2´(-b)´4+2´4´a
  =(a-b+4)2

10  x3+8y3-8z3+12xyz
  =x3+(2y)3+(-2z)3-3´x´2y´(-2z)
  =(x+2y-2z)(x2+4y2+4z2-2xy+4yz+2zx)

11  x3+8y3-3xy+

;8!;

  =x3+8y3+

-3xy

;8!;

  =x3+(2y)3+

3

{;2!;}

-3´x´2y´

;2!;

  =

x+2y+

x2+4y2+

-2xy-y-

;4!;

;2{}

{

{

;2!;}{

;2!;}{

  =

x+2y+

x2+4y2-2xy-

x-y+

;2!;

;4!;}

12  (x+y)(x+y+3)+2
 =t(t+3)+2
 =t2+3t+2
 =(t+1)(t+2)

← x+y=t로 치환

 =(x+y+1)(x+y+2)

← t=x+y 대입

13  (x2-5x+3)(x2-5x+7)+3
 =(t+3)(t+7)+3
 =t2+10t+24
 =(t+4)(t+6)
 =(x2-5x+4)(x2-5x+6)  ← t=x2-5x 대입
 =(x-1)(x-4)(x-2)(x-3)

← x2-5x=t로 치환

14  (x-1)(x+1)(x+2)(x+4)-16
 ={(x-1)( x+4 )}{(x+1)(x+2)}-16
 =(x2+3x-4)(x2+3x+2)-16
 =(t-4)( t+2 )-16
 =t2-2t-24
 =(t+4)(t-6)
 =(x2+3x+4)( x2+3x-6 )  ← t=x2+3x 대입

← x2+3x=t로 치환

15  (x+1)(x-2)(x+3)(x+6)+54
 ={(x+1)(x+3)}{(x-2)(x+6)}+54
 =(x2+4x+3)(x2+4x-12)+54
 =(t+3)(t-12)+54
 =t2-9t+18
 =(t-3)(t-6)
 =(x2+4x-3)(x2+4x-6)  ← t=x2+4x 대입

← x2+4x=t로 치환

16  9x4+8x2-1
 =9X2+8X-1
 =(9X-1)(X+1)
 =(9x2-1)(x2+1)
 =(3x+1)(3x-1)(x2+1)

← x2=X로 치환

← X=x2 대입

17  x4+7x2+64


=(x4+16x2+64)-9x2
=(x2+8)2-(3x)2
=(x2+8+3x)(x2+8-3x)
=(x2+3x+8)(x2-3x+8)



18  x4-17x2+16
 =(x4-8x2+16)-9x2
 =(x2-4)2-(3x)2
 =(x2-4+3x)(x2-4-3x)
 =(x2+3x-4)(x2-3x-4)
 =(x-1)(x+4)(x+1)(x-4)

다른 풀이

x4-17x2+16
=x4+8x2+16-25x2
=(x2+4)2-(5x)2
=(x2+4+5x)(x2+4-5x)
=(x2+5x+4)(x2-5x+4)

=(x+1)(x+4)(x-1)(x-4)

← 25x2 더하고 빼기

← A2-B2 꼴로 변형

19  x4-6x2+1


=(x4-2x2+1)-4x2
=(x2-1)2-(2x)2
=(x2-1+2x)(x2-1-2x)
=(x2+2x-1)(x2-2x-1)



← -6x2 분리하기   

← A2-B2 꼴로 변형



 따라서 a=2, b=-1, c=-2, d=-1

 또는 a=-2, b=-1, c=2, d=-1이므로



ad+bc=0

← c의 차수가 가장 낮다.

 ← z의 차수가 가장 낮다.

20  a2+ca-b2-bc
 =(a-b)c+a2-b2
 =(a-b)c+(a+b)(a-b)

 =(a-b)(a+b+c)



21  x3-zx2-xy2+y2z
 =-(x2-y2)z+x3-xy2
 =-(x2-y2)z+x(x2-y2)
 =(x2-y2)(x-z)
 =(x+y)(x-y)(x-z)

22  2a2+b2+3ab+a-b-6
 =2a2+( 3b+1 )a+b2-b-6
 =2a2+(3b+1)a+( b+2 )(b-3)

a

2a

b+2 → (2b+4)a
b-3 → ( b-3)a +

(3b+1)a





← 9x2 더하고 빼기   

← A2-B2 꼴로 변형



 =( a+b+2 )(2a+b-3)

23  f(x)=x3+5x2-2x-24로 놓으면


f(2)=0이므로 일차식 x-2는 f(x)의 인수이다.

← -17x2 분리하기

← A2-B2 꼴로 변형

2

1

1

5 - 2 -24
24
14
2

7

12

0

 ∴ x3+5x2-2x-24 =(x-2)(x2+7x+12)



=(x-2)(x+3)(x+4)

6. 인수분해  | 063

24  f(x)=2x4-5x3-8x2+17x-6으로 놓으면
 

f(1)=0, f(-2)=0이므로

28  a-b=4 yy ㉠, b-c=1 yy ㉡
  ㉠+㉡을 하면 a-c=5 

 ∴  c-a=-5

  일차식 x-1, x+2는 f(x)의 인수이다.

 

a2+b2+c2-ab-bc-ca

  =

{(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}

  =

{42+12+(-5)2}=21

;2!;

;2!;

참고

=

;2!;

=

;2!;

=

;2!;

a2+b2+c2-ab-bc-ca

(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca)

{(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2)}

{(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}

29  a2b+ab2+b2c-bc2-c2a-ca2
  =(b-c)a2+(b2-c2)a+b2c-bc2
  =(b-c)a2+(b+c)(b-c)a+bc(b-c)
  =(b-c){a2+(b+c)a+bc}
  =(b-c)(a+b)(a+c)

  이때, a+b=3 yy ㉠, b-c=2 yy ㉡에서

  ㉠-㉡을 하면 a+c=1이므로

 

(주어진 식)=2´3´1=6

30  46=a로 놓으면
463-1
46´47+1

=

 

a3-1
a(a+1)+1
(a-1)(a2+a+1)
a2+a+1

=

=a-1

=46-1=45

a3+27
a(a-3)+9
a3+33
a2-3a+9
(a+3)(a2-3a+9)
a2-3a+9

=

=

=a+3

=77+3=80

  





  

  













0

 

0

 

1

2 -5 - 8

2 - 3 -11

17 -6
6

-2

2 -3 -11

-4

2 -7

6
14 - 6

3

0

  ∴  2x4-5x3-8x2+17x-6 

 

=(x-1)(x+2)(2x2-7x+3) 
=(x-1)(x+2)(x-3)(2x-1)

25  f(x)=x4+x3-3x2-x+2로 놓으면
 

f(1)=0, f(-1)=0이므로

  일차식 x-1, x+1은 f(x)의 인수이다.

1

-1

1

1

1

1 -3 -1
1

2
2 -1 -2

2 -1 -2
2

-1 -1

1 -2

0

  ∴  x4+x3-3x2-x+2 

 

=(x-1)(x+1)(x2+x-2)  
=(x-1)(x+1)(x-1)(x+2) 
=(x-1)2(x+1)(x+2)

26  a2+b2-2ab-bc+ca  ← c의 차수가 가장 낮다.
   =(a-b)c+a2-2ab+b2 
=(a-b)c+(a-b)2 
=(a-b)(a-b+c)

 

 

  즉, (a-b)(a-b+c)=0

  이때, a-b+c+0이므로

a-b=0 

 ∴  a=b

 

 

 

 

 

 

 

 따라서 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 a=b인 이등변

삼각형이다.

31  77=a로 놓으면
773+27
77´74+9

=

 

27  ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c-a)
  =a2b+ab2-b2c-bc2-c2a+ca2
  =(b+c)a2+(b2-c2)a-b2c-bc2
  =(b+c)a2+(b+c)(b-c)a-bc(b+c)
  =(b+c){a2+(b-c)a-bc}
  =(b+c)(a+b)(a-c)

 즉, (b+c)(a+b)(a-c)=0

  이때, b+c>0, a+b>0이므로

a-c=0 

 ∴  a=c

 따라서 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 a=c인 이등변

삼각형이다.

064  정답과 풀이