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2018년 천재교육 고등 빅터 연산 방정식과 부등식.pdf Download | FlareBrick FDS
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정답과 풀이
빠른 정답
01 복소수
02 이차방정식
03 이차방정식과 이차함수
04 여러 가지 방정식
05 연립일차부등식
06 이차부등식과 연립이차부등식
002
012
024
037
049
065
073
⑷ 85
10-3 ⑴ x+y, x+y, 2, -1
⑶ x=2, y=4
2+2i, 1-4i
10-4 ⑴ 2, 2, 4
⑶ x=10, y=-5
⑵ x=
;3$;, y=-
;3!;
⑷ x=2, y=1
⑵ x=1, y=5
⑷ x=5, y=1
1. 복소수
6쪽~30쪽
STEP 1
01-1 ⑴ 2i
⑵ -2
6i ⑶ 5i
⑷ 3
2i
'
⑸ -3
3i ⑹ -6
2i
'
'
'
01-2 ⑴ 3 ⑵ 5 ⑶ 실수부분 -3, 허수부분 7
5, 허수부분 -1
⑷ 실수부분 -3, 허수부분 -5 ⑸ 실수부분
'
3
3 ⑺ 실수부분 ;2!;, 허수부분 - '
4
⑹ 실수부분 3, 허수부분
'
⑻ 실수부분 -
;5$;, 허수부분
01-3 ⑴ 1 ⑵ 0
3
2
'
5
⑶ 실수부분 -2, 허수부분 3
⑷ 실수부분 -
2
;3$;, 허수부분 '
3
⑸ 실수부분 5, 허수부분 0
⑹ 실수부분 0, 허수부분 -3 ⑺ 실수부분 ;7%;, 허수부분 0
2
⑻ 실수부분 0, 허수부분 - '
3
2 ⑵ -2i,
02-1 ⑴ -5, 3-
'
'
(-2)2, 2+0i, 1+
02-2 Ú 실수 : 1,
¿¹
Û 순허수 :
8 i, 0-3i
Ü 순허수가 아닌 허수 : 1-2i,
4 i ⑶ 3-i,
'
2, i 2
3+i
'
'
'
03-1 ⑴ 2, 3
⑵ 5, -1 ⑶ x=3, y=-2
⑷ x=-1, y=2
⑸ x=4, y=-2
⑹ x=1, y=4
03-2 ⑴ 2, -3
⑵ 1, 3
⑶ x
=;2#;, y=-2
⑸ x=-2, y=-1
⑷ x=
;3$;, y=
;2!;
⑹ x=-1, y=1
⑸ 2
⑹ 4i
04-2 ⑴ 2-4i, 2-4i, -4, -1
⑵ x-2yi, x-2yi, -2y, -4
⑶ x=3, y=4
⑷ x=2, y=2
⑸ x=10, y=5
⑹ x=
;3!;, y=-
;3!;
05-1 ⑴ -3, 6 ⑵ 2i, -3 ⑶ 5+i
⑷ 4-3i
⑸ 5-8i ⑹ 17+3i
05-2 ⑴ 3i, 3
⑵ 4i, 4
⑶ 3+4i ⑷ 4+7i
⑸ 5-2i ⑹ 11+3i ⑺ -15+5i
06-1 ⑴ 3, -3 ⑵ 6, 6
⑶ 8+10i ⑷ -6-12i
⑸ -14+5i ⑹ 6-17i
06-2 ⑴ 3i, 12i, 12i
⑵ 2i, 4, 5 ⑶ 8+6i
⑷ 16+30i ⑸ 2+4
2i ⑹ -2i
⑺ 7-24i
'
⑻ 6-6
'
07-1 ⑴ i 2, 5
3i
⑵ i 2, 5, 1 ⑶ 2+i
⑷ ;1ª3;
+
i
;1£3;
⑸ -
+
i
;2#;
;2!;
⑻ -
-
i
:Á5Á:
;5@;
⑹ ;5#;
+
i ⑺ ;1¦0;
;5!;
+
i
;1Á0;
⑼ 1-i
⑽ ;1¦3;
-
i
;1»3;
002 빅터 연산 - 방정식과 부등식
08-1 ⑴ 0, 2
⑵ 0, 3
⑶ -3
⑷ -1, 6
08-2 ⑴ 0, 허수부분
⑵ 0, 허수부분
⑶ 3
⑷ 5
09-1 ⑴ 6, 10
⑶ z+zò=6, zzò=25
⑸ z+zò=-2, zzò=5
09-2 ⑴ 13, 13, 10, 13
⑶ z2+zò 2=-16,
+
=
1
zò
1
z
1
zò
1
z
+
=-
;1¥7;
⑸ z2+zò 2=30,
⑵ z+zò=4, zzò=5
⑷ z+zò=10, zzò=29
2 =6,
⑵ z2+zò
1
z
;5!; ⑷ z2+zò 2=-32,
1
z
+
=
;5$;
+
=
;1£7;
1
zò
1
zò
10-1 ⑴ 1-3i, 1-3i, 6-i
10-2 ⑴ a+bò, 3-i, 3-i
⑵ 17i
⑵ 8
⑶ -27-24i
⑶ 26
11-1 ⑴ 4a, 4a, 2, 2+i
⑵ 3a-2b, 3a-2b, 1, 1, 1+i
⑶ 2+3i ⑷ -4+i ⑸ 1
⑹ 3+i
⑺ 4-5i ⑻ 3+3i
12-1 ⑴ -1, -1 ⑵ -i
i
,
,
-i
12-2 ⑴ 0
⑷ 1
⑸ 0
⑸ i
⑵ 0
⑹ 0
⑹ -1
⑶ 0
⑶ i
⑺ -i
⑷ 0
12-3 ⑴ 2-2i ⑵ 0
⑶ 4-4i ⑷ 50-50i
12-4 ⑴ i, i
⑵ -i
-1 ⑶ -1
⑷ -i
,
⑸ i+1
⑹ -i-1
-2
⑵ Ñ2i
⑶ Ñ3i
13-1 ⑴ -2,
'¶
2
⑷ Ñ '
2
13-2 ⑴ 3i, 5i
i ⑸ Ñ 2
3
i ⑹ Ñ
i
;5$;
'
3
2 i, -2
⑷ 13 i
⑸ 4
3 i
⑵ 4
'
'
2 i
'
⑹ -2
⑶ 7i
2 i ⑺
3 i
'
'
⑻
3 i
'
14-1 ⑴
'
⑷ -2
6 i, = ⑵
2 i, -
6, +
'
'
6 ⑸ 9i
'
⑶ 2
6 i
'
⑺ 6
⑾ 2
2 i
'
5 i
'
⑹ -9
⑽ -6
⒁ -10
⑺
⑶ -2i, + ⑷ 2i
'7
⑿ -
⑻
'7i
⑾ ;2#;
⑵ ab
;2#; i
⑶ -a-b
⑻ -6
⑿ -2
2 ⑼ 6i
'
5 ⒀ 10i
'
15-1 ⑴ 2i, = ⑵ 2, =
⑸ 2
⑹ -2i
⑼ -
7i ⑽ ;2#; i
'
16-1 ⑴ -a, -b, -a-b
16-2 ㄴ, ㄹ
16-3 ⑴ a, -b, a-b ⑵ -ab ⑶ a-b ⑷ a-b
16-4 ㄴ, ㄹ
04-1 ⑴ 2+3i ⑵ -i
⑶ -2-3i ⑷ -2i-3
⑸ 0
⑹ 0
빠른 정답 STEP 2
1-1 ⑴ x=3, y=1
⑶ x=2, y=4
1-2 ⑴ x=5, y=3
⑶ x=1, y=3
⑵ x=-1, y=4
⑷ x=5, y=2
⑵ x=-2, y=3
⑷ x=
;5!;, y=
;5$;
2-1 ⑴ 10-7i ⑵ 8-17i ⑶ 13-19i ⑷ ;2%;
i
;2!;
2-2 ⑴ 5-12i ⑵ 14+12i ⑶ -21-20i ⑷ -1+i
+
1
z
+
=
;1¢3;
1
zò
+
=
;1°3;
1
zò
⑵ 1
⑵ -
;3!;
⑵ 20
⑵ 5
3-1 ⑴ -2, 4
3-2 ⑴ -1, -3
2
4-1 z2+zò
=-10,
2
4-2 z2+zò
=48,
5-1 ⑴ -10i
5-2 ⑴ -1-4i
1
z
⑶ x=-4, y=2
⑶ x=5, y=10
6-2 ⑴ x=-4, y=-1
⑵ x=-1, y=2
6-1 ⑴ x=1, y=1
⑵ x=3, y=-1
7-1 ⑴ 2-4i
⑵ ;2#;
+
;2!;
i ⑶ 1+4i
7-2 ⑴ -4+
i ⑵ 5+2i
⑶ -4+2i
;3!;
8-1 ⑴ i-1
⑵ -10-10i ⑶ 0
⑷ -i-1
⑸ 3
2i-4i ⑹ -2
'
8-2 ⑴ 0
2
'
⑵ -26+25i
⑷ -2i
⑸ -9+9i
9-1 -2a-2b
9-2 2a
⑶ -i-1
⑹ -18+
3 i
'
2, i 2+2
STEP 3
3
01 - '
3
03 0, 5i 2, 3-
05 2
07 -10
'
09 -
;2!;
11 -
;5*;
02 실수
04 14
06 12-11i
08 2, -5
10 ;5@;
12 -25-8i
14 -16
16 -1+2i
18 ②
13 34
15 -9
17 -3-i
19 1
20 i 68(69i+70i 2), 69i-70, 69i-70, -36, 35, -1
21 2+2i
23 -2a-2b
22 -2
3-5
3 i
'
'
2. 이차방정식
32쪽~58쪽
STEP 1
01-1 ⑴ 없다
⑵ a-2, 무수히 많다
⑶ a+2일 때 x=
, a=2일 때 해는 없다.
(a+1)(a+2)
a-2
⑷ a+-3일 때 x=a+2, a=-3일 때 해는 무수히 많다.
01-2 ⑴ ;a!;, 없다, 무수히 많다
⑵ a+-1, a+-2일 때 x =
1
a+1
a=-1일 때 해는 없고, a=-2일 때 해는 무수히 많다.
⑶ a+1, a+4일 때 x=
1
a-1
a=1일 때 해는 없고, a=4일 때 해는 무수히 많다.
⑷ a+-1, a+1일 때 x=
3
a-1
a=1일 때 해는 없고, a=-1일 때 해는 무수히 많다.
02-1 ⑴ 2,
;3$;, 없다, 2
⑵ x=0
⑶ x=3
02-2 ⑴ -1, 없다, 4, -1, 4 ⑵ x=-
;2#; 또는 x=
;2#;
⑶ x=-5 또는 x=1
⑷ x=1 또는 x=5
03-1 ⑴ 1, 2
⑵ x=2 또는 x=4
⑶ x=-4 또는 x=5
⑷ x=3 또는 x=-11
⑸ x=1 또는 x=-
;4!; ⑹ x=4 또는 x=-
;3!;
03-2 ⑴ -2
⑵ -
;3$;, ;3$;
⑶ x=
;2#; (중근)
⑸ x=6 (중근)
⑷ x=-
;2%; 또는 x=
⑹ x=-6 또는 x=6
;2%;
04-1 ⑴ -3, -3 ⑵ -1, -1 ⑶ x=
13
3Ñ
'¶
2
⑷ x=
41
-3Ñ
4
'¶
⑸ x=
-3Ñ
3
6
'
04-2 ⑴ -2, -2
9Ñ
'¶
8
⑶ x=
15 i
⑸ x=
2Ñ1
'
⑵
'
3,
'
3
⑷ x=1Ñ
2 i
'
⑹ x=
-
3 i
'
5Ñ
2
'
05-1 ⑴ -3, -10
⑵ 3, 1
⑶ -3
⑷ 3, -7
05-2 ⑴ -2, -3, -4
⑶ -
;2%;
⑸ 5, -
;2!;
⑵ 0
⑷ -
;3$;
06-1 ⑴ 5, -5, 5, -5
⑶ x=2 또는 x=-2
⑵ 2
3, 2
3, 2
3, 2
'
'
'
⑷ x=7 또는 x=-7
'
3
⑸ x=
13
3+
'¶
2
또는 x=
13
-3-
2
'¶
⑹ 해는 없다. ⑺ x=1 또는 x=2 또는 x=-4
빠른 정답 | 003
07-1 ⑴ >, 실근 ⑵ <, 허근 ⑶ 중근
11-1 ⑴ 3, 2
07-2 ⑴ >, <, <
⑵ 0, >, 0<k<2
12-1 ⑴ 1-
2, 1-
2, -2, 1-
⑷ 서로 다른 두 실근
⑸ 서로 다른 두 허근
⑹ 중근
⑺ 서로 다른 두 실근
⑻ 서로 다른 두 허근
⑼ 서로 다른 두 실근
⑽ 서로 다른 두 실근
⑾ 서로 다른 두 허근
⑶ k>-
'1@2%;
⑸ k<0 또는 0<k<1
⑷ k<
';1Á2;
⑹ -2<k<1 또는 k>1
07-3 ⑴ =, =, =
⑵ 0, =, -2
⑶ ;4%;
⑷ -2, 4 ⑸ 8
⑹ -2
07-4 ⑴ <, >, >
⑵ 0, <, >, >
⑶ x2-x-6=0
⑸ x2+3=0
11-2 ⑴ ;3%;, ;3!;
⑶ x2+x+4=0
'
⑵ a=-4, b=1
'
⑷ a=-10, b=7
'
⑵ a=4, b=-
'
;2!;
⑷ a=1, b=-2
⑵ 2, 2
⑷ x2-4x+1=0
⑹ x2-2
2 x+11=0
'
⑵ x2+2x+
=0
;2!;
⑷ x2+x+25=0
2, -1
'
⑶ a=2, b=-1
12-2 ⑴ 3+2
2, 3+2
2, -3, 3+2
2, 1
'
⑶ a=4, b=-1
⑶ k>
;2»0; ⑷ k>
;2@4%; ⑸ k>
;8(; ⑹ k<-3
⑵ a=-6, b=10
⑶ a=8, b=25
13-1 ⑴ 1-2i, 1-2i, -2, 1-2i, 5
07-5 ⑴ ¾, É, É
⑵ 0, ¾, É, É
⑷ a=-2, b=2
⑶ k¾-
;1$6(;
⑷ kÉ3
⑸ k<0 또는 0<kÉ
;1$2(; ⑹ ;2!;
Ék<1 또는 k>1
07-6 ⑴ =, =, 0, 2
⑵ a=3, b=-
⑶ a=2, b=-4
⑷ a=-
;4(;
;2#;, b=3
08-1 ⑴ 중근, =, =, =
⑵ 2
⑶ -1, 4
⑷ 4
⑸ 1, -4
09-1 ⑴ 4, 5
⑵ a+b=-3, ab=-3
13-2 ⑴ 1-4i, 1-4i, -1, 1-4i, 17
⑵ a=-6, b=
;:Á2£:
⑷ a=-2, b=-10
⑶ a=2, b=-3
STEP 2
1-1 ⑴ a+-2일 때 x=a-2, a=-2일 때 해는 무수히 많다.
(a+1)(a-2)
a-3
⑵ a+3일 때 x=
, a=3일 때 해는 없다.
⑶ a+b=-5, ab=2
⑷ a+b=
;2#;, ab=-2
⑶ a+-1, a+3일 때 x=
1
a+1
⑸ a+b=-
;3!;, ab=-
⑺ a+b=-3, ab=0
;3$; ⑹ a+b=-
:Á7ª:, ab=-
;7*;
⑻ a+b=0, ab=6
a=-1일 때 해는 없고, a=3일 때 해는 무수히 많다.
1-2 ⑴ a+1일 때 x=a-3, a=1일 때 해는 무수히 많다.
⑼ a+b=-
2, ab=-3 ⑽ a+b=4, ab=
2
⑵ a+2일 때 x=
, a=2일 때 해는 없다.
3
'
2
'
2
⑾ a+b=-
, ab=-
⒀ a+b=
3, ab=
2
'
'
;2!; ⑿ a+b=-
'
;3%;, ab=-
⒁ a+b=-2, ab=-
2
2
'
3
2
'
⑶
+
=;5!;, a2+b2=11 ⑷
=;2!;, a2+b2=-:Á4°:
⑸
+
=-
;3$;, a2+b2=7 ⑹
=
;2(;, a2+b2=
:£3Á:
1
a
1
a
1
b
1
b
1
b
1
a
1
a
1
a
+
+
1
b
1
b
09-3 ⑴ 3, 9, -
:Á5»:
⑵ -95
⑶ 72
⑷ -
;7!;
⑸ -
139
25
09-4 ⑴ 0, 1, 3 ⑵ -2, -1, -1, -2
⑷ 51
⑸ 16
10-1 ⑴ k, 8
⑵ 16
⑹ 2
⑶ 4
⑶ 31
⑺ 8
⑷ 3
⑸ -4
⑹ 5, -1 ⑺ -5, 11
10-2 ⑴ k+7, 1 ⑵ 5
⑶ 16
⑷ -1
⑸ 1, -1 ⑹ 5, -1 ⑺ 7, -5 ⑻ 3, 1
004 빅터 연산 - 방정식과 부등식
⑶ a+-2, a+-4일 때 x=
(a-1)(a+3)
a-2
1
a+4
a=-2일 때 해는 무수히 많고, a=-4일 때 해는 없다.
⑶ x=-3 또는 x=3
⑷ x=0 또는 x=4
2-2 ⑴ x=-1
⑵ x=1
⑶ x=-5 또는 x=5
⑷ x=-1 또는 x=7
3-1 ⑴ x=-1 또는 x=4
⑵ x=3 (중근)
⑶ x=-5 또는 x=5
⑷ x=6 (중근)
3-2 ⑴ x=-2 또는 x=
;2!;
⑵ x=-
;2%; (중근)
⑶ x=-
;4#; 또는 x=
;4#; ⑷ x=-4 또는 x=4
4-1 ⑴ x=2Ñi
⑶ x=-
3Ñ
'
7
'
4-2 ⑴ x=-1Ñ
'
2
⑶ x=
-
2i
'
2Ñ3
2
"
⑵ x=
31 i
1Ñ
'¶
4
⑵ x=
7
2Ñ
'
3
09-2 ⑴ 4, 4, 2, 16, 12
⑵
+
=1, a2+b2=15
2-1 ⑴ x=0
⑵ x=1
빠른 정답 5-1 ⑴ 1
5-2 ⑴ 2
⑵ -1, 3
⑵ 1, 5
6-1 ⑴ x=5 또는 x=-5
⑵ x=3 또는 x=-2
6-2 ⑴ x=4 또는 x=-4
⑵ x=1 또는 x=-3
7-1 ⑴ 서로 다른 두 실근
⑵ 서로 다른 두 허근
⑶ 중근
7-2 ⑴ 서로 다른 두 실근
⑵ 중근
⑶ 서로 다른 두 허근
8-1 ⑴ k>-
;3$; ⑵ -9
⑶ k>
;8#; ⑷ k¾-
;1@6%;
⑸ 4
8-2 ⑴ -4<k<0 또는 k>0 ⑵ 4
⑷ -
Ék<-1 또는 k>-1
;7*;
;3$;
9-1 ⑴ -
⑵ -48
9-2 ⑴ 1
10-1 ⑴ 6
⑵ 9
10-2 ⑴ 5, -7
11-1 ⑴ x2-2x-3=0
⑶ x2-10x+29=0
11-2 ⑴ x2+2x-15=0
⑶ x2+5=0
⑶ k>
;3&;
⑸ ;2!;, ;2(;
⑷ 21
⑷ 23
⑶ -
;3!;
⑶ ;1%6#;
⑵ 21
⑵ 4, -4
⑵ x2+4x+2=0
⑵ x2-2x-4=0
12-1 ⑴ a=-2, b=-11
⑵ a=-2, b=-2
12-2 ⑴ a=3, b=1
⑵ a=-2, b=-23
13-1 ⑴ a=-2, b=10
⑵ a=-10, b=29
13-2 ⑴ a=6, b=
:Á2Á:
⑵ a=4, b=4
STEP 3
01 -
;aB;
02
-2i+3
03 a+1, a+2일 때 x=
a+2
a-1
a=1일 때 해는 없고, a=2일 때 해는 무수히 많다.
05 x=4Ñ3
2
'
;3*; 또는 x=6
6
04 x=-
2-
06 '
'
08 ㄱ, ㄷ
10 -2, 6
12 ;8!;
14 x=-3 또는 x=9
16 ;2%;
18 10, -12
20 -
;2%;, 2
22 -9
24 -
;5@;
07 4
09 3
11 1
15 ④
17 -2
23 8
13 서로 다른 두 실근
19 다르다, -8, k-4, k-4, 2
21 6x2-3x+2=0
3. 이차방정식과 이차함수
60쪽~86쪽
STEP 1
01-1 풀이 참조
⑶ 풀이 참조
03-1 ⑴ (2, -2), x=2
02-1 ⑴ 1, 1, 풀이 참조
⑵ 풀이 참조
-
⑵ 꼭짓점의 좌표 :
{
;4#;, :£8Á:}
, 축의 방정식 : x=-
;4#;
⑶ 꼭짓점의 좌표 : (2, 6), 축의 방정식 : x=2
⑷ 꼭짓점의 좌표 :
{
3, ;2%;}
, 축의 방정식 : x=3
03-2 ⑴ -1, -2, 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
⑶ 풀이 참조
⑷ 풀이 참조
04-1 ⑴ 2, 2
⑵ 3, 3
⑶ 3, -
;2!; ⑷ 1, 5
⑸ ;2!;
⑹ -1, ;2#; ⑺
26
⑻ -2Ñ '¶
2
04-2 ⑴ 3, -2, -3
⑶ a=-1, b=3
21
-3Ñ
2
'¶
⑼
10
2Ñ
'¶
3
⑵ a=3, b=10
⑷ a=21, b=7
04-3 ⑴ -2, -2, -3, -10 ⑵ a=9, b=14
⑶ a=-4, b=1
⑷ a=2, b=-4
04-4 ⑴ 4ab, 4k, -3
⑵ 1, 1, -2 ⑶ 10
⑷ -2
⑸ -
;8&;
⑹ 2
⑺ -
;2%;
05-1 ⑴ 1, 3, 2, 서로 다른 두 점에서 만난다
⑵ 1, -7, 0, 만나지 않는다
⑶ 한 점에서 만난다.
⑷ 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑸ 만나지 않는다.
⑹ 한 점에서 만난다.
05-2 ⑴ >, ;4(; ⑵ 중근, =, Ñ2
6
'
⑷ k>-
;3!; ⑸ k>-
;2@4%;
⑶ <, >
⑹ Ñ
15
'¶
⑺ ;3$;
;8#;
06-1 ⑴ -2, 3, 서로 다른 두 점에서 만난다
⑻ k>
;8!; ⑼ k>
⑵ 한 점에서 만난다.
⑶ 만나지 않는다.
⑷ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⑸ 만나지 않는다.
⑹ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⑺ 한 점에서 만난다.
06-2 ⑴ >, > ⑵ 중근, =, =, 1
⑶ <, >
⑷ k<
:Á4£: ⑸ k<
;1Á2; ⑹ 2, 6
⑺ 1
⑻ k>4
06-3 ⑴ k, 1, -
;4!;
⑵ m=0, n=1
⑶ m=-2, n=-1
⑷ m=-1, n=-
;4%;
07-1 ⑴ 6, 6
⑵ 2, -3 ⑶ -3, ;3%; ⑷ -1, ;2&;
07-2 ⑴ -1, -6, -3, 7
⑵ m=2, n=-3
⑶ m=7, n=-16
⑷ m=-3, n=-2
빠른 정답 | 005
07-3 ⑴ 1+
3, 2, -2, -2, 3 ⑵ m=-1, n=2
'
⑶ m=9, n=0
⑷ m=6, n=9
08-1 ⑴ 양수, 1, 2
⑵ 음수, -1, -3
⑶ 최댓값 : 없다, 최솟값 : x=-2일 때 -1
⑷ 최댓값 : x=3일 때 -2, 최솟값 : 없다.
⑸ 2, 1
⑹ -3, 12
⑺ 최댓값 : 없다, 최솟값 : x=
;2%;일 때 -
:£4¦:
⑻ 최댓값 : 없다, 최솟값 : x=-
;4&;일 때 -
:¢8Á:
⑼ 최댓값 : 없다, 최솟값 : x=3일 때 -
;2%;
⑽ 최댓값 : x=-
;2&;일 때 :£4¦:, 최솟값 : 없다.
⑾ 최댓값 : x=
;3!;일 때 -
08-2 ⑴ -4, -3
;3@;, 최솟값 : 없다.
⑵ a=6, b=-6
⑶ a=-
⑸ 2b, -7
;4!;
:£8»:, b=
⑷ a=
:Á4Á:, b=-
⑹ a=-8, b=20
;2#;
⑺ a=3, b=
;4(;
⑻ a=-2, b=-3
11-1 ⑴ -1, -1 ⑵ 1
11-2 ⑴ -3, -3 ⑵ 2
⑶ 25
⑶ -2
⑷ 8
11-3 ⑴ 2, 10, 2, 10
⑵ 최댓값 : 60, 최솟값 : -4
⑶ 최댓값 : 18, 최솟값 : -6 ⑷ 최댓값 : 19, 최솟값 : -81
2-1 ⑴ a=3, b=2
⑵ a=0, b=2
STEP 2
1-1 ⑴ -4, 6 ⑵ 1
1-2 ⑴ 1, -7 ⑵
13
5Ñ
'¶
2
⑶ a=2, b=-3
2-2 ⑴ a=
;2!;, b=
;2!;
3-1 ⑴ k<16 ⑵ 4
3-2 ⑴ k>
;4#; ⑵ -1
4-1 ⑴ 4
⑵ -
;4#;
⑵ a=3, b=-1
⑶ k>
;1@2%;
⑶ k>
:Á2Á:
⑵ m=-1, n=-
;4(;
⑵ a=6, b=4
⑵ a=3, b=2
09-1 ⑴ 6, -3, -2, 6, -3
⑵ 4, 5, -4, 5, -4
4-2 ⑴ m=2, n=-1
⑶ 최댓값 : 5, 최솟값 : -4 ⑷ 최댓값 : :Á2»:, 최솟값 : -3
⑸ 최댓값 : 3, 최솟값 : -1 ⑹ 최댓값 : 5, 최솟값 : -4
5-1 ⑴ a=4, b=1
5-2 ⑴ a=-1, b=1
⑺ 최댓값 : -2, 최솟값 : -
:£4£:
⑻ 최댓값 : 2, 최솟값 : -
:¤8°:
6-1 ⑴ 최댓값 : 8, 최솟값 : 4 ⑵ 최댓값 : -2, 최솟값 : -17
⑶ 최댓값 : 7, 최솟값 : -2 ⑷ 최댓값 : 9, 최솟값 : -6
6-2 ⑴ 최댓값 : 2, 최솟값 : -23 ⑵ 최댓값 : 23, 최솟값 : -1
09-2 ⑴ 5, 1, 17, 17, 1
⑵ 최댓값 : 12, 최솟값 : -13
⑶ 최댓값 : 4, 최솟값 : -5 ⑷ 최댓값 : 19, 최솟값 : -1
⑶ 최댓값 : 27, 최솟값 : ;2%; ⑷ 최댓값 : :Á4¦:, 최솟값 : -26
⑸ 최댓값 : 1, 최솟값 : -
:ª2£:
09-3 ⑴ 1, k-1, 3 ⑵ -4
⑶ 5
⑷ -7
7-1 ⑴ -3
7-2 ⑴ 5
⑵ 14
⑵ -4
⑶ 10
⑶ 2
8-1 ⑴ -9
⑵ 최댓값 : -1, 최솟값 : -17
8-2 ⑴ 7
⑵ 최댓값 : 3, 최솟값 : -13
09-4 ⑴ 2k+8, 2k+8, -1
⑵ -10
⑶ 2
09-5 ⑴ k-4, k-4, 9, 9
⑶ -11
⑷ 1
⑵ 6
⑷ -6
10-1 ⑴ 5, -3, 5, -3
⑵ 1, -7, 1, -7
⑶ 최댓값 : 18, 최솟값 : 6 ⑷ 최댓값 : 12, 최솟값 : 0
⑸ 최댓값 : ;2&;, 최솟값 : ;2!; ⑹ 최댓값 : -4, 최솟값 : -24
⑺ 최댓값 : 4, 최솟값 : -8 ⑻ 최댓값 : 0, 최솟값 : -20
10-2 ⑴ -1, 7, 7, -1
⑵ 최댓값 : 12, 최솟값 : 4
⑶ 최댓값 : 27, 최솟값 : 3 ⑷ 최댓값 : -4, 최솟값 : -14
⑸ 최댓값 : :Á4¦:, 최솟값 : ;4!;
10-3 ⑴ k+3, k+15, k+3, -1
⑶ -15
⑷ -2
10-4 ⑴ k+16, k+16, -14, 13
⑶ -7
⑷ -8
006 빅터 연산 - 방정식과 부등식
⑵ 11
⑵ 23
STEP 3
01 1, 3
03 3, ;2!;
05 ;2%;
07 6
02 최댓값 -2
04 a=3, b=-1
06 ㄴ, ㄹ
08 8
09 k<
;8#;
11 m=3, n=-
;4%;
13 a=1, b=1
10 a=-
;2!;, b=
12 (-2, 12), (7, -24)
;4!;
14 m=3, n=-12
15 a=-3, b=-8
16 a=2, b=1
17 -2
19 1
21 a=1, b=-1
23 4
18 39
20 ;4#;
22 1
24 최댓값 : -3, 최솟값 : -7
빠른 정답 4. 여러 가지 방정식
88쪽~116쪽
STEP 1
01-1 ⑴ x, x
⑵ 2x-3 ⑶ 1, -2, -7, x-1, 7
01-2 ⑴ x(x-1)(x+2)
⑵ x(x+1)(x+5)
⑶ (x+4)(x2-4x+16) ⑷ (3x-5)(9x2+15x+25)
⑸ (x-1)(xÛ2-x-1) ⑹ (x-2)(x2-x+4)
02-1 ⑴ 4, 4, 4 ⑵ x=0 또는 x=2 또는 x=-3
⑶ x=0 또는 x=-2 또는 x=10
⑷ x=0 또는 x=2 또는 x=-8
02-2 ⑴ -1Ñ
'
2
3i
⑵ x=-1 또는 x=
⑶ x=2 또는 x=-1Ñ
'
3i ⑷ x=-3 또는 x=
⑸ x=
;2#; 또는 x=
3i
-3Ñ3
'
4
⑹ x=
;3@; 또는 x=
3 i
1Ñ
'
2
3Ñ3
'
2
-3Ñ3
'
9
3i
3 i
02-3 ⑴ 1, x-1, 2, 3
⑵ x=1 또는 x=-2 또는 x=4
⑶ x=-1 또는 x=2 또는 x=-3
⑷ x=-1 또는 x=-3 또는 x=-5
⑸ x=1 또는 x=
⑹ x=-1 또는 x=3Ñ
7
'
5
3Ñ
'
2
⑺ x=2 또는 x=3 또는 x=-4
⑻ x=-2 또는 x=
13
-1Ñ
'¶
2
⑼ x=
;2!; 또는 x=-1Ñ
'
2i
02-4 ⑴ 0, 0, -1 ⑵ 0
⑶ -5
⑷ -9
⑵ a=3, x=-1 또는 x=5 ⑶ a=-5, x=2Ñ
3i
'
⑸ -9
02-5 ⑴ 0, -2, 3Ñ
'¶
2
⑹ -5
17
17
, 3Ñ
'¶
2
03-1 ⑴ -1, -1, -2, x2+x-2, x+1
⑵ (x-1)(x+2)(x2+9)
⑶ (x+1)(x-3)(x2+2x+4)
⑷ (x-1)(x-3)(x2+x-1)
⑸ (x+1)(x+2)(x2+5x-3)
⑹ (x-2)(x+2)(x2+2x+4)
⑺ (x+2)(x-3)(x2-x+1)
04-1 ⑴ -2, -6, x2-x-6, 3, 3
⑵ x=1 또는 x=-1 또는 x=3 또는 x=-4
⑶ x=1 또는 x=2 또는 x=
⑷ x=-1 또는 x=2 또는 x=
⑸ x=-1 또는 x=3 또는 x=Ñ
⑹ x=2 또는 x=-3 또는 x=-1Ñ
5
-3Ñ
'
2
-3Ñ
'
2
3
'
5
3
'
05-1 ⑴ 3, 3
⑵ (x2-3x-1)(x2-3x-2)
⑶ (x+1)2(x2+2x+3) ⑷ (x2-5x+1)(x2-5x-4)
05-2 ⑴ 28, 7, 7
⑵ (x2+3x-2)(x2+3x+4)
⑶ (x2+5x+3)(x2+5x+7) ⑷ (x2-8x+10)(x2-8x+12)
06-1 ⑴ 2, 4, 2, 4
⑵ x=1 또는 x=-3 또는 x=2 또는 x=-4
⑶ x=2Ñ
'
3 또는 x=2Ñ2
3Ñ
'¶
2
15i
, 4,
2
'
15i
3Ñ
'¶
2
06-2 ⑴ x2-3x, 2, 4,
⑵ x=-2 또는 x=4 또는 x=1Ñ
11
'¶
⑶ x=
또는 x=
3i
3Ñ
'
2
29
3Ñ
'¶
2
07-1 ⑴ 4, 4, 2
⑵ (x+1)(x-1)(x+2)(x-2)
⑶ (x2+2)(x+3)(x-3) ⑷ (x+2)(x-2)(2x2-3)
⑸ (x+3)(x-3)(2x2+11)
07-2 ⑴ 2x, 2x, 2x
⑵ 2x, 2x, 2x
⑶ (x2+3x+5)(x2-3x+5) ⑷ (x2+3x+3)(x2-3x+3)
⑸ (x2+2x-2)(x2-2x-2) ⑹ (x2+2x-5)(x2-2x-5)
08-1 ⑴ Ñi, Ñ2
⑵ x=Ñ2 또는 x=Ñ3
⑶ x=Ñ
7i 또는 x=Ñ3 ⑷ x=Ñ2i 또는 x=Ñ4
08-2 ⑴ -1Ñ
'
11i, 1Ñ
'¶
-1Ñ
'
2
3i
11i
'¶
⑵ x=
또는 x=
3i
1Ñ
'
2
⑶ x=
11i
-3Ñ
'¶
2
또는 x=
11i
3Ñ
'¶
2
⑷ x=-1Ñ
2 또는 x=1Ñ
⑸ x=-1Ñ
5 또는 x=1Ñ
'
'
2
5
'
'
09-1 ⑴ 4, 3, -2
⑵ a+b+c=3, ab+bc+ca=6, abc=7
⑶ a+b+c=-2, ab+bc+ca=0, abc=
;3!;
⑷ a+b+c=2, ab+bc+ca=
;2%;, abc=
;2!;
⑶ -1
⑷ 6
09-2 ⑴ 2, -1, ;3!; ⑵ -
⑹ 13
10-1 ⑴ 3x2
⑸ 5
;3@;
⑵ x3-7x2+14x-8=0
⑶ x3-2x2-5x+6=0 ⑷ x3+3x2-13x-15=0
⑵ x3-6x2+11x-11=0
10-2 ⑴ -3, 2, -5, 3x2, 5
⑶ x3-
x2+
;5@;
x-
;5#;
;5!;
=0 ⑷ x3-2x2+15x-25=0
11-1 ⑴ 1-
2, 1-
2, 1-
2, 3, 2
'
⑵ a=5, b=-1
'
'
⑶ a=-3, b=2
11-2 ⑴ 1-i, 1-i, 1-i, 8, -6 ⑵ a=-15, b=25
⑶ a=-4, b=9
⑷ a=-2, b=26
12-1 ⑴ x3, 1
⑵ -1
⑶ 1
⑷ 0
⑸ -2
13-1 ⑴ -1, 1 ⑵ -1
⑶ 1
⑷ 0
⑸ 1
14-1 ⑴ -6, -2, 3
⑶ x=-3, y=1
⑵ x=5, y=2
⑷ x=3, y=4
빠른 정답 | 007
14-2 ⑴ 1, -2 ⑵ x=0, y=1 ⑶ x=-
⑸ x=-1, y=1
x=-3
⑷ x=-2, y=-3
;2!;, y=3
x=11
15-1 ⑴ -3, -3, 1, 1, -3 ⑵ [
y=4
또는 [
y=-24
x=1
⑶ [
y=2
x=5
⑸ [
y=3
x=-3
x=4
⑷ [
y=2
또는 [
y=-5
x=1
y=1 또는 [
⑹ [
y=8
x=-13
x=-1
⑺ [
y=4
또는 [
x=19
y=44
'
'
16-1 ⑴ -2y, Ñ
'
7
또는 [
⑵ [
x=2
y=
'
7
5, -2y, Ñ2
x=-2
y=-
'
7
5, -2
'
x=3
2,
'
'
7
또는 [
y=
'
2
2
'
2
또는 [
x=-3
y=-
'
2
'
2
'
x=2i
y=2i 또는 [
⑶ [
x=-2i
y=-2i
x=6
y=2 또는 [
x=-6
y=-2
또는 [
x=
⑷ [
y=
2i
'
2i 또는 [
y=-
x=-
2i
x=4
y=1 또는 [
x=-4
y=-1
또는 [
'
2i
'
⑸ [
6
x=
'
y=-
'
6 또는 [
x=-
y=
6
'
'
6
또는 [
x=4
y=-2
또는 [
x=-4
y=2
17-1 ⑴ 5, 6, 6, 5
x=-4
y=5 또는 [
x=5
y=-4 ⑷ [
⑶ [
17-2 ⑴ Ñ4, -3, 3, 1
⑵ [
x=3
y=7 또는 [
x=2
y=-6 또는 [
x=7
y=3
x=-6
y=2
x=1
y=5 또는 [
x=5
y=1 또는 [
x=-1
y=-5 또는 [
x=-5
y=-1
⑵ [
18-1 ⑴ 5, -5, -5, 5, -6, 10
⑵ (0, 0), (1, 1), (3, -3), (4, -2)
⑶ (-8, -8), (-2, -14), (0, 0), (6, -6)
⑷ (-5, 3), (-4, 4), (-2, 0), (-1, 1)
⑹ (-6, -4), (-4, -5), (-3, -7), (-1, 1), (0, -1), (2, -2)
⑺ (-1, -1), (0, 1), (1, -5), (2, -3)
19-1 ⑴ x-1, x-1, 1
⑵ x=-2, y=1
⑶ x=-4, y=5
⑷ x=3, y=2
⑸ y-3, y-3, -3
⑹ x=2, y=2
⑺ x=-
;3!;, y=
⑼ x=10, y=5
;3!;
⑻ x=
;2!;, y=
;2!;
1-1 ⑴ x(x+1)(x-1)
⑵ (2x+5)(4x2-10x+25)
⑵ (4x-3)(16x2+12x+9)
STEP 2
⑶ (x-1)(x+1)(x+4)
1-2 ⑴ x(x+2)2
⑶ (x-2)(x+2)(x-3)
008 빅터 연산 - 방정식과 부등식
2-1 ⑴ x=0 또는 x=2 또는 x=-5
⑵ x=-
;2!; 또는 x=
⑶ x=1 또는 x=-1 또는 x=-3
3 i
1Ñ
'
4
2-2 ⑴ x=0 또는 x=1 또는 x=2
⑵ x=5 또는 x=
⑶ x=-2 또는 x=
3 i
'
-5Ñ5
2
-1Ñ
'¶
2
17
3-1 ⑴ -3
⑵ ;2!;
3-2 ⑴ a=0, x=4 또는 x=-5
⑵ a=-10, x=-1 또는 x=4
4-1 ⑴ (x-1)(x-2)(x2-5) ⑵ (x2+x+1)(x-2)(x+3)
⑶ (x2-3)(x+3)(x-3) ⑷ (x2+x+4)(x2-x+4)
4-2 ⑴ (x+1)(x-3)(x2+x+2) ⑵ (x-1)2(x2-2x-12)
⑶ (x+2)(x-2)(3x2+4) ⑷ (x2+4x-2)(x2-4x-2)
5-1 ⑴ x=-1 (중근) 또는 x=1 또는 x=4
⑵ x=2Ñ
5 또는 x=1 또는 x=3
'
⑶ x=1Ñi 또는 x=1Ñ
11
'¶
⑷ x=Ñ1 또는 x=Ñ4i
⑸ x=
또는 x=
15 i
21
-3Ñ
'¶
2
-1Ñ
'¶
2
15 i
3Ñ
'¶
2
21
1Ñ
'¶
2
⑹ x=
또는 x=
5-2 ⑴ x=2 또는 x=-2 또는 x=-3Ñ
10
⑵ x=-1 또는 x=-2 또는 x=
⑶ x=
또는 x=
7i
-3Ñ
'
2
33
-3Ñ
'¶
2
2
⑷ x=Ñ2 또는 x=Ñ '
2
⑸ x=
또는 x=
7i
-1Ñ
'
2
-3Ñ
'¶
2
21
7i
1Ñ
'
2
3Ñ
'¶
2
21
'¶
-3Ñ
'¶
2
11i
6-1 ⑴ -
;2!;
⑵ 2
6-2 ⑴ -;2%;
7-1 ⑴ x3-5x2-x+5=0
⑵ 23
⑵ x3+3x2-2x-1=0
⑶ a=14, b=0
7-2 ⑴ 6x3-5x2-2x+1=0 ⑵ 4x3+5x2+x-1=0
⑶ a=-4, b=14
8-1 ⑴ a=4, b=10
8-2 ⑴ a=1, b=-15
9-1 ⑴ x=-2, y=1
9-2 ⑴ x=2, y=-3
⑵ 0
⑵ 0
⑶ 1
⑶ 0
⑵ x=1, y=3
⑵ x=3, y=5
10-1 ⑴ [
⑵ [
x=10
y=0 또는 [
x=3
y=-3 또는 [
x=-6
y=-8
x=-3
y=3
x=
3
'
3 또는 [
x=-
y=-
또는 [
y=
'
3
'
3
'
⑸ (-5, 0), (1, 2), (3, 8), (5, -10), (7, -4), (13, -2)
⑹ x=
또는 x=
빠른 정답 x=1
y=-4 또는 [
y=1
x=-4
⑷ a>3일 때 x>
, a<3일 때 x<
a=3일 때 해는 없다.
x=-1
⑶ [
y=4
또는 [
x=4
y=-1
⑷ [
x=2
y=5 또는 [
x=-2
y=-3 또는 [
x=5
y=2 또는 [
x=4
y=3
10-2 ⑴ [
⑵ [
⑶ [
x=1
y=3 또는 [
x=3
y=5 또는 [
x=-1
x=-1
y=-3 또는 [
x=5
y=3
x=4
y=-1 또는 [
또는 [
⑷ [
y=4
x=-2
y=-5 또는 [
x=-5
y=-2
x=1
y=-1 또는 [
x=-1
y=1
11-1 ⑴ (-2, 1), (0, 0), (1, -2), (3, 6), (4, 4), (6, 3)
11-2 ⑴ (0, -2), (4, -6), (6, 4), (10, 0)
⑵ x=-3, y=4
⑵ x=-
;4!;, y=
;2!;
STEP 3
01 -3
x=-2
y=4
02 [
5 04 -3
06 2
03 x=-1 또는 x=-2Ñ
05 a=6, b=-10
07 a=-4, b=-6
08 x=-1 또는 x=2 또는 x=-2 또는 x=3
'
09 x=-1 또는 x=6 또는 x=
39i
5Ñ
'¶
2
10 -15
11 x=-2Ñ2i 또는 x=2Ñ2i
12 x=
13
-1Ñ
'¶
2
또는 x=
13 -7
15 a=-1, b=-4
17 -1
19 29
13
1Ñ
'¶
2
14 2x3-4x2-x-1=0
16 -40
18 7
x=8
y=4 또는 [
x=-8
y=-4 또는 [
x=3
y=-1 또는 [
x=-3
y=1
20 [
21 6
x=-2
22 [
y=3
또는 [
x=3
y=-2 또는 [
x=2
y=-3 또는 [
y=2
x=-3
23 13
24 x=4, y=4
5. 연립일차부등식
118쪽~135쪽
STEP 1
01-1 ⑴ >
01-2 ㄴ
⑵ >
⑶ >
⑷ >
⑸ -1É-3x+2<5
⑹ 9<-2x+5É11
02-1 ⑴ >
⑵ x<2
⑶ xÉ-9 ⑷ x¾4
⑸ xÉ-1 ⑹ x>-5
02-2 ⑴ 2, -5 ⑵ 7
⑶ 6
⑷ -
;4#;
⑸ 2
03-1 ⑴ >, <, 없다
⑵ ¾, É, 모든 실수이다
⑶ a>1일 때 x<-
, a<1일 때 x>-
a=1일 때 해는 없다.
1
a-1
6
a-3
3
a-2
2
2a-1
1
a-1
6
a-3
3
a-2
2
2a-1
⑸ a>2일 때 x¾-
, a<2일 때 xÉ-
a=2일 때 해는 모든 실수
⑹ a>
;2!;일 때 xÉ
, a<
;2!;일 때 x¾
a=
;2!;일 때 해는 모든 실수
⑺ a>1일 때 x>a+1, a<1일 때 x<a+1
a=1일 때 해는 없다.
⑻ a>3일 때 xÉa-2, a<3일 때 x¾a-2
a=3일 때 해는 모든 실수
04-1 ⑴ -2<x<5
⑵ -5<xÉ-3
⑶ x<-1 ⑷ xÉ-4 ⑸ x>7
⑹ x¾-2
04-2 ⑴ -3<x<4
⑵ 1Éx<5
⑶ x>3
⑷ x¾4
⑸ x<-4 ⑹ x<-2
⑺ -3<xÉ-1
⑻ x>-2 ⑼ xÉ-2
05-1 ⑴ 3, -1, -1, 3
⑵ -1ÉxÉ1
⑶ xÉ1
05-2 ⑴ -1, 4, 4
⑶ xÉ-5
⑷ x>4
⑵ -5<xÉ6
⑷ x¾-3
05-3 ⑴ 3, ;2!;, ;2!; ⑵ 1Éx<5 ⑶ xÉ-6 ⑷ x¾4
05-4 ⑴ 2, 2
⑵ -1
⑶ 2
⑷ ;5!;
06-1 ⑴ -1, 3, -1<x<3
⑵ -2, -4, -4ÉxÉ-2
⑶ 1Éx<2 ⑷ -2Éx<2
⑹ 2Éx<5 ⑺ ;3@;
;2#;
Éx<
⑸ 5<x<8
⑻ -1<x<0
07-1 ⑴ 해는 없다. ⑵ 해는 없다. ⑶ x=2
⑷ 해는 없다.
⑸ 해는 없다. ⑹ x=3
⑺ 없다
⑻ x=2
⑼ 해는 없다. ⑽ x=5
⑾ x=2
07-2 ⑴ >, > ⑵ aÉ8
⑶ a<16 ⑷ a>8
07-3 ⑴ <, < ⑵ a¾-1 ⑶ a¾1
⑷ a¾2
08-1 ⑴ -2, 8
⑵ -4, 2
⑶ -6ÉxÉ2
⑷ xÉ3 또는 x¾7
⑸ 1ÉxÉ4
⑹ xÉ-2 또는 x¾
;3@;
빠른 정답 | 009
01-3 ⑴ -1, 5
⑵ 4É5x-1É9
08-2 ⑴ a+1, 3, 4
⑵ a-2, 5, 3
⑶ -3É2x-5<1
⑷ 1<-2x+3<7
⑶ a=3, b=1
⑷ a=-3, b=4
6. 이차부등식과 연립이차부등식
138쪽~157쪽
⑶ -4
STEP 1
2-2 ⑴ -6<4x-2<6
⑵ -8É-x-5<-6
⑷ 5
⑷ 3
01-1 ⑴ f(x)>0 : x<-2 또는 x>3
f(x)<0 : -2<x<3
f(x)¾0 : xÉ-2 또는 x¾3
f(x)É0 : -2ÉxÉ3
09-1 ⑴ 2x-1, -(2x-1) ⑵ 0<x<1
⑶ x>8 또는 x<-
;3@; ⑷ -4ÉxÉ-
;3@;
⑸ xÉ0
⑹ x>-1 ⑺ x¾5 또는 xÉ-
;5!;
09-2 ⑴ x>-2, x<3, -2<x<3
⑵ -6ÉxÉ3
⑷ 모든 실수
⑹ -3<x<1
STEP 2
⑶ x<-4 또는 x>3
⑸ -2ÉxÉ4
⑺ -
<x<0
;2#;
1-1 ⑴ x¾-2 ⑵ x>-3 ⑶ xÉ-11
1-2 ⑴ x>-3 ⑵ x¾5
⑶ x<4
2-1 ⑴ -5É3x+1É4
⑵ 4<-2x+4É10
⑶ 3
3-1 ⑴ a>2일 때 x< 3
a-2
, a<2일 때 x> 3
a-2
a=2일 때 해는 모든 실수
⑵ a>1일 때 x> 3
a-1
a=1일 때 해는 없다.
⑶ a>1일 때 x>a+4, a<1일 때 x<a+4
, a<1일 때 x< 3
a-1
a=1일 때 해는 없다.
3-2 ⑴ a>-1일 때 x>2, a<-1일 때 x<2
a=-1일 때 해는 없다.
⑵ a>3일 때 xÉ1, a<3일 때 x¾1
a=3일 때 해는 모든 실수
⑶ a>2일 때 x¾a+1, a<2일 때 xÉa+1
a=2일 때 해는 모든 실수
4-1 ⑴ 1ÉxÉ3 ⑵ -2<xÉ0
4-2 ⑴ x<-6 ⑵ 3<xÉ4
⑶ x>4
⑶ -2ÉxÉ2
5-1 ⑴ -2<xÉ
;4!; ⑵ x<-7 ⑶ 해는 없다. ⑷ x=-3
5-2 ⑴ -1<x<3 ⑵ -11<x<1 ⑶ 해는 없다. ⑷ x=1
6-1 ⑴ 4
6-2 ⑴ 1
⑵ 4
⑵ -2
7-1 ⑴ a<3
⑵ a¾2
7-2 ⑴ a¾-22 ⑵ a<3
8-1 ⑴ -3<x<2 ⑵ xÉ0
⑶ -4<x<2
⑷ -4<x<4
8-2 ⑴ xÉ3 또는 x¾5
⑵ x<4
⑶ x<1 또는 x>
:Á3£:
⑷ -1<x<
:Á3£:
STEP 3
01 x<9
02 3
03 a>3일 때 xÉ
, a<3일 때 x¾
1
a-3
1
a-3
a=3일 때 해는 모든 실수
010 빅터 연산 - 방정식과 부등식
04 -2
06 -7Éx<3
08 x=-2
10 a=-1, b=3
12 a>3
14 8
16 -
ÉxÉ3
;3%;
05 x>8
07 해는 없다.
09 2
11 7
13 2
15 -10
17 x<-
;2&; 또는 x>
:Á2Á:
⑵ f(x)>0 : -5<x<1
f(x)<0 : x<-5 또는 x>1
f(x)¾0 : -5ÉxÉ1
f(x)É0 : xÉ-5 또는 x¾1
⑶ f(x)>0 : x+3인 모든 실수 f(x)¾0 : 모든 실수
f(x)<0 : 해는 없다.
f(x)É0 : x=3
f(x)<0 : x+-2인 모든 실수 f(x)É0 : 모든 실수
⑷ f(x)>0 : 해는 없다.
⑸ f(x)>0 : 모든 실수
f(x)<0 : 해는 없다.
⑹ f(x)>0 : 해는 없다.
f(x)<0 : 모든 실수
f(x)¾0 : x=-2
f(x)¾0 : 모든 실수
f(x)É0 : 해는 없다.
f(x)¾0 : 해는 없다.
f(x)É0 : 모든 실수
01-2 ⑴ f(x)>0 : x<-1 또는 x>4
f(x)¾0 : xÉ-1 또는 x¾4
f(x)<0 : -1<x<4
⑵ f(x)>0 : 해는 없다.
⑶ f(x)>0 : 모든 실수
f(x)<0 : 해는 없다.
f(x)É0 : -1ÉxÉ4
f(x)¾0 : x=2
f(x)¾0 : 모든 실수
f(x)É0 : 해는 없다.
f(x)<0 : x+2인 모든 실수 f(x)É0 : 모든 실수
02-1 ⑴ x<1 또는 x>4
⑵ xÉ1 또는 x¾4
⑶ 1<x<4
02-2 f(x)>g(x) : -5<x<6 f(x)¾g(x) : -5ÉxÉ6
⑷ 1ÉxÉ4
f(x)<g(x) : x<-5 또는 x>6
f(x)Ég(x) : xÉ-5 또는 x¾6
02-3 ⑴ x<-1 또는 x>3
⑵ xÉ-1 또는 x¾3
⑶ -1<x<3
02-4 f(x)>g(x) : -1<x<3
f(x)<g(x) : x<-1 또는 x>3
f(x)Ég(x) : xÉ-1 또는 x¾3
⑷ -1ÉxÉ3
f(x)¾g(x) : -1ÉxÉ3
03-1 ⑴ 2, 3 ⑵ -4, 3
⑶ x<-3 또는 x>0
⑷ x<3 또는 x>4
⑸ xÉ-7 또는 x¾8
⑹ xÉ-7 또는 x¾1
⑺ 1<x<4
⑻ -7<x<3
⑼ -4ÉxÉ-2
빠른 정답
⑽ -3ÉxÉ9
3<x<
⑿ -
'
3
'
⑵ 없다
⑾ x<-
2 또는 x>
'
2
'
04-1 ⑴ 3
⑶ x+1인 모든 실수
⑷ x+-2인 모든 실수 ⑸ 모든 실수 ⑹ 모든 실수
⑺ 해는 없다. ⑻ 해는 없다. ⑼ x=
⑾ x+-
2인 모든 실수 ⑿ x=
'
;2!; ⑽ x=-
3
;4!;
'
⑺ -6ÉxÉ-4
⑻ -2ÉxÉ2 또는 3ÉxÉ5
⑼ 3ÉxÉ4
⑾ -5Éx<2
⒀ 2Éx<3
⒂ xÉ-4 또는 x¾8
⑽ -2<xÉ0
⑿ -4<x<-3 또는 -1<x<5
⒁ x<-3 또는 x>4
⒃ xÉ-4 또는 x¾7
10-4 ⑴ 1, 3, 3<x<5
⑵ -1, 4, 2<x<4
⑶ 3<xÉ6
⑷ -3<x<0 또는 2<x<5
05-1 ⑴ 모든 실수 ⑵ 없다
⑶ 모든 실수 ⑷ 모든 실수
⑸ -4ÉxÉ-3 또는 2ÉxÉ3
⑸ 모든 실수 ⑹ 모든 실수 ⑺ 해는 없다. ⑻ 해는 없다.
⑼ 해는 없다. ⑽ 해는 없다. ⑾ 모든 실수 ⑿ 해는 없다.
⑹ 1Éx<2
⑺ x=-3 또는 5ÉxÉ6
08-1 ⑴ É, ¾ ⑵ É, -2ÉkÉ2
⑶ k¾8
6-1 ⑴ -5ÉxÉ5
⑵ x<-4 또는 x>4
06-1 ⑴ x2-5x+6
⑶ x2+x-12<0
⑸ x2+x-6É0
06-2 ⑴ x2+2x-3
⑶ x2-7x+10>0
⑸ x2+2x-15>0
⑺ x2+11x+28¾0
⑵ x2-3x-4
⑷ x2+7x+10<0
⑵ x2+7x+10
⑷ x2+7x+12>0
⑹ x2-7x-8¾0
06-3 ⑴ x2-5x+6, >, ax2-5ax+6a, 2, -10
⑵ a=2, b=-2
⑶ a=2, b=8
⑷ a=3, b=6
06-4 ⑴ x2-x-2, <, ax2-ax-2a, -2, 2
⑵ a=-1, b=-9
⑶ a=-2, b=-24
⑷ a=-4, b=12
07-1 ⑴ <, > ⑵ <, -4<k<4
⑶ k>
;4(;
⑷ k¾
;1@2%; ⑸ k<-
;5(; ⑹ kÉ-
;3!;
⑺ -2<k<2
⑻ -3ÉkÉ3
⑼ -
<k<
;3!;
;3!;
⑽ 0ÉkÉ2
⑷ k>4
⑸ kÉ-9 ⑹ k<-16
2ÉkÉ
⑺ -
'
⑼ 1<k<4
2
'
⑻ -
ÉkÉ
;3$;
;3$;
09-1 ⑴ 3, 0, 3
⑶ -1ÉxÉ1
⑵ x<-4 또는 x>4
⑷ x<-4 또는 x>4
⑸ -2<x<-1 또는 1<x<2
⑹ xÉ-5 또는 x¾3
⑺ -6ÉxÉ4
10-1 ⑴ -1<x<3 ⑵ -1ÉxÉ5 ⑶ 3<xÉ5 ⑷ 해는 없다.
⑸ xÉ-7 또는 x¾1 ⑹ x<-4 또는 x>2
⑺ -2<xÉ1 또는 3Éx<8
10-2 ⑴ -1<x<3 ⑵ 해는 없다. ⑶ -1Éx<2 ⑷ -7<x<-1
⑸ -2<xÉ6
⑹ -3ÉxÉ-2
⑺ x<-4 또는 x¾5
⑻ x<-1 또는 x>8
⑼ xÉ-3 또는 x>-1
10-3 ⑴ 3, -1, -1, 3
⑶ 3<x<6
⑵ -1, 3, 3, 5
⑷ 1<x<3
⑸ -3<xÉ0 또는 5Éx<6 ⑹ 7<xÉ8
STEP 2
1-1 ⑴ x<-4 또는 x>2
⑵ xÉ-4 또는 x¾2
⑶ -4<x<2
⑷ -4ÉxÉ2
1-2 ⑴ x<0 또는 x>5
⑵ xÉ0 또는 x¾5
⑶ 0<x<5
⑷ 0ÉxÉ5
2-1 ⑴ x<-5 또는 x>2
⑵ xÉ2 또는 x¾4
⑶ -5<x<5
⑷ -6ÉxÉ-2
2-2 ⑴ x<-3 또는 x>7
⑵ xÉ1 또는 x¾2
⑶ -3<x<10
⑷ -2ÉxÉ3
3-1 ⑴ x+10인 모든 실수
⑵ 해는 없다. ⑶ x=2
⑷ 모든 실수 ⑸ 모든 실수 ⑹ 해는 없다. ⑺ 해는 없다.
3-2 ⑴ x+4인 모든 실수
⑵ 모든 실수 ⑶ 해는 없다.
⑷ 모든 실수 ⑸ 모든 실수 ⑹ 해는 없다. ⑺ 해는 없다.
4-1 ⑴ a=3, b=3
⑵ a=-
;2!;, b=2
4-2 ⑴ a=2, b=12
⑵ a=-5, b=-30
5-1 ⑴ k>2
⑵ kÉ-9 ⑶ kÉ-8 ⑷ k<-
;3@;
5-2 ⑴ -1ÉkÉ1 ⑵ -3<k<3 ⑶ -6<k<6 ⑷ -2ÉkÉ2
6-2 ⑴ -3<x<-1 또는 1<x<3
⑵ xÉ-1 또는 x¾2
7-1 ⑴ -3ÉxÉ-2
⑵ -2Éx<-1
⑶ -7<x<-5 또는 -1<x<1
⑷ -4ÉxÉ-2 또는 7ÉxÉ9
7-2 ⑴ -3Éx<1
⑶ 5<xÉ10
⑵ -7<xÉ-2 또는 0Éx<3
⑷ -5Éx<-4
STEP 3
01 a<x<b
03 2ÉxÉ7
05 4
07 모든 실수
09 26
11 k<-
;1Á2;
13 -3ÉxÉ3
15 2
02 a(x-a)(x-b)>0
04 x<
;2!; 또는 x>4
06 x=a
08 3
10 32
12 5
14 4<x<5
16 6<x<8
빠른 정답 | 011
1
복소수
STEP 1
6쪽~23쪽
01-1 ⑴
'¶
⑵ -
-4 =
4 i= 2i
'
-24 =-
'¶
-25 =
'¶
25 i=5i
'¶
24 i= -2
6i
'
⑶
'¶
⑷
'¶
⑸ -
'¶
'¶
-18 =
18 i=3
2i
'
'¶
-27 =-
27 i=-3
⑹ -
-72 =-
72 i=-6
'¶
'¶
3i
2i
'
'
01-2 ⑴ 2+3i의 실수부분은 2, 허수부분은 3
⑵ 5-9i의 실수부분은 5 , 허수부분은 -9
⑶ -3+7i의 실수부분은 -3, 허수부분은 7
⑷ -3-5i의 실수부분은 -3, 허수부분은 -5
⑸
'
⑹ 3+
5-i의 실수부분은
5, 허수부분은 -1
'
3i의 실수부분은 3, 허수부분은
3
'
'
2-
'
4
⑺
3 i
=
;2!;
3
- '
4
i의
3
실수부분은 ;2!;, 허수부분은 - '
4
⑻
-4+3
2i
'
5
=-
+
;5$;
3
2
'
5
i의
실수부분은 -
;5$;, 허수부분은
3
2
'
5
01-3 ⑴ i-4=-4+i의
실수부분은 -4, 허수부분은 1
⑵ -2i=0-2i의
실수부분은 0 , 허수부분은 -2
⑶ 3i-2=-2+3i의
실수부분은 -2, 허수부분은 3
⑷ '
2i-4
3
=-
2
+ '
3
;3$;
i의
실수부분은 -
2
;3$;, 허수부분은 '
3
⑸ 5=5+0´i의 실수부분은 5, 허수부분은 0
⑹ -3i=0-3i의 실수부분은 0, 허수부분은 -3
⑺ ;7%;
=
+0´i의 실수부분은 ;7%;, 허수부분은 0
;7%;
2
⑻ - '
3
2
i=0- '
3
i의
2
실수부분은 0, 허수부분은 - '
3
02-1 ⑴ 5i 2= -5 , i 2+2=-1+2=1이므로
주어진 보기 중 실수는 0, 5i 2, 3-
2 , i 2+2
'
012 정답과 풀이
⑵
4i=2i이므로
'
주어진 보기 중 순허수는 -2i,
4 i
'
⑶ 주어진 보기 중 순허수가 아닌 허수는
3-i,
2+2i, 1-4i
'
(-2)2=2, 0-3i=-3i, 2+0i=2,
'
2i,
8i=2
02-2
'
¿¹
i 2=-1이므로 주어진 보기 중
Ú 실수는 1,
(-2)2, 2+0i, 1+
¿¹
8 i, 0-3i
'
2, i 2
Û 순허수는
'
Ü 순허수가 아닌 허수는 1-2i,
3+i
'
03-1 ⑴ 복소수가 서로 같을 조건에 의해
x= 2 , y= 3
⑵ 복소수가 서로 같을 조건에 의해
x-3=2, 2y+1=-1
∴ x= 5 , y= -1
⑶ x=3, -2y=4
∴ x=3, y=-2
⑷ x-1=-2, 3y-2=4
∴ x=-1, y=2
⑸ 2x-3=5, 3y+2=-4
∴ x=4, y=-2
⑹ x+y=5, x-y=-3
두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=4
03-2 ⑴ 복소수가 서로 같을 조건에 의해
x-2=0, 2y+6=0
∴ x= 2 , y= -3
⑵ 복소수가 서로 같을 조건에 의해
x+y-4=0, x-y+2=0
두 식을 연립하여 풀면 x= 1 , y= 3
⑶ 2x-3=0, y+2=0
∴ x
=;2#;, y=-2
⑷ 4-3x=0, 2y-1=0
∴ x=
;3$;, y=
;2!;
⑸ x-3y-1=0, x+2y+4=0
두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=-1
⑹ x+2y-1=0, 2x-y+3=0
두 식을 연립하여 풀면 x=-1, y=1
04-1 ⑴ 실수부분이 2, 허수부분이 -3이므로
2-3i의 켤레복소수는 2+3i
⑵ 실수부분이 0, 허수부분이 1이므로
i의 켤레복소수는 -i
⑶ 실수부분이 -2, 허수부분이 3이므로
-2+3i의 켤레복소수는 -2-3i
⑷ 실수부분이 -3, 허수부분이 2이므로
2i-3의 켤레복소수는 -2i-3
⑸ 실수부분이 2, 허수부분이 0이므로
2의 켤레복소수는 2
⑹ 실수부분이 0, 허수부분이 -4이므로
-4i의 켤레복소수는 4i
04-2 ⑴ 2+4iò= 2-4i 이므로
05-2 ⑴ (2+5i)-(-1+3i) =(2+5i)+(1- 3i )
(x+y)+(x-y)i= 2-4i
복소수가 서로 같을 조건에 의해
x+y=2, x-y= -4
두 식을 연립하여 풀면 x= -1 , y=3
⑵ x+2yiò= x-2yi 이므로
x-2yi =4+(x-y)i
복소수가 서로 같을 조건에 의해
x=4, -2y =x-y
∴ x=4, y= -4
⑶ 2-iò=2+i이므로
(2x-y)+(-x+y)i=2+i
복소수가 서로 같을 조건에 의해
2x-y=2, -x+y=1
두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=4
⑷ 6-2iò=6+2i이므로
(x+2y)+(3x-2y)i=6+2i
복소수가 서로 같을 조건에 의해
x+2y=6, 3x-2y=2
두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=2
⑸ 2x-yiò=2x+yi이므로
2x+yi=(x+2y)+5i
복소수가 서로 같을 조건에 의해
2x=x+2y, y=5
∴ x=10, y=5
⑹ (2x-1)+3yiò=(2x-1)-3yi이므로
(2x-1)-3yi=y+(2x-y)i
복소수가 서로 같을 조건에 의해
2x-1=y, -3y=2x-y
두 식을 연립하여 풀면 x=
;3!;, y=-
;3!;
05-1 ⑴ (4-3i)+(2+i) =(4+2)+( -3 +1)i
⑵ (-2-3i)+2(4-i) =(-2-3i)+(8- 2i )
=(-2+8)+( -3 -2)i
⑶ (2+3i)+(3-2i) =(2+3)+(3-2)i
⑷ (7+2i)+(-3-5i) =(7-3)+(2-5)i
= 6 -2i
=6-5i
=5+i
=4-3i
⑹ 3(3-i)+2(4+3i) =(9-3i)+(8+6i)
=(3+2)+(-2-6)i
=5-8i
=(9+8)+(-3+6)i
=17+3i
⑵ (2-5i)-2(1-2i) =(2-5i)+(-2+ 4i )
⑶ (1+i)-(-2-3i) =(1+i)+(2+3i)
⑷ (5+4i)-(1-3i) =(5+4i)+(-1+3i)
⑸ (3+2i)-2(-1+2i) =(3+2i)+(2-4i)
⑹ (5-3i)-3(-2-2i) =(5-3i)+(6+6i)
=(2+1)+(5- 3 )i
=3+2i
=(2-2)+(-5+ 4 )i
=-i
=(1+2)+(1+3)i
=3+4i
=(5-1)+(4+3)i
=4+7i
=(3+2)+(2-4)i
=5-2i
=(5+6)+(-3+6)i
=11+3i
=(-6-9)+(2+3)i
=-15+5i
⑺ 2(-3+i)-3(3-i) =(-6+2i)+(-9+3i)
06-1 ⑴ 3i(2+i) =6i+3i 2
=6i- 3
= -3 +6i
⑵ (1+2i)(2-3i) =2-3i+4i- 6 i 2
=2-3i+4i+ 6
=8+i
⑶ 2i(5-4i) =10i-8i 2
=8+10i
⑷ -3i(4-2i) =-12i+6i 2
=-6-12i
⑸ (2+3i)(-1+4i) =-2+8i-3i+12i 2
⑹ (3-2i)(4-3i) =12-9i-8i+6i 2
=-2+8i-3i-12
=-14+5i
=12-9i-8i-6
=6-17i
=4+ 12i -9
=-5+ 12i
⑵ (3-2i)2 =32-2´3´ 2i +(2i)2
=9-12i- 4
= 5 -12i
1. 복소수 | 013
⑸ (3-2i)+2(1-3i) =(3-2i)+(2-6i)
06-2 ⑴ (2+3i)2 =22+2´2´ 3i +(3i)2
⑶ (3+i)2 =32+2´3´i+i 2
=9+6i-1
=8+6i
=25+30i-9
=16+30i
⑷ (5+3i)2 =52+2´5´3i+(3i)2
⑸ (2+
2 i)2 =22+2´2´
2 i+(
2 i)2
'
'
2 i-2
'
=4+4
=2+4
2 i
'
'
⑹ (1-i)2 =12-2´1´i+i 2
=1-2i-1
=-2i
=16-24i-9
=7-24i
⑺ (4-3i)2 =42-2´4´3i+(3i)2
⑻ (3-
3 i)2 =32-2´3´
3 i+(
3 i)2
'
'
3 i-3
'
=9-6
=6-6
3 i
'
'
⑹
1-i
1-2i
=
⑺
1-2i
1-3i
=
⑻
4-3i
1+2i
=
⑼
2-4i
3-i
=
⑽
3-i
3+2i
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(1-i)(1+2i)
(1-2i)(1+2i)
1+2i-i-2i 2
1-(2i)2
3+i
5
=
+
i
;5!;
;5#;
(1-2i)(1+3i)
(1-3i)(1+3i)
1+3i-2i-6i 2
1-(3i)2
7+i
10
=
+
i
;1Á0;
;1¦0;
(4-3i)(1-2i)
(1+2i)(1-2i)
4-8i-3i+6i 2
1-(2i)2
(2-4i)(3+i)
(3-i)(3+i)
6+2i-12i-4i 2
32-i 2
10-10i
10
=1-i
(3-i)(3-2i)
(3+2i)(3-2i)
9-6i-3i+2i 2
32-(2i)2
7-9i
13
=
-
i
;1»3;
;1¦3;
-2-11i
5
=-
-
i
:Á5Á:
;5@;
07-1 ⑴
5i
3+i
=
5i(3-i)
(3+i)(3-i)
=
15i-5i 2
32- i 2
5 +15i
10
=
+
i
;2#;
;2!;
(3+i)(2+i)
(2-i)(2+i)
6+3i+2i+i 2
22- i 2
5 +5i
5
= 1 +
i
=
⑵
3+i
2-i
=
=
=
⑶
5
2-i
=
5(2+i)
(2-i)(2+i)
=
10+5i
22-i 2
10+5i
5
=
=2+i
⑷
i
3+2i
=
i(3-2i)
(3+2i)(3-2i)
3i-2i 2
32-(2i)2
=
=
2+3i
13
=
+
i
;1£3;
;1ª3;
⑸
1+2i
1-i
=
(1+2i)(1+i)
(1-i)(1+i)
1+i+2i+2i 2
1-i 2
-1+3i
2
=-
=
=
+
i
;2#;
;2!;
014 정답과 풀이
08-1 복소수 z를 a+bi (a, b는 실수) 꼴로 정리하면
⑴ z=(3x-8)+(-x+2)i
이때, z가 실수가 되려면 (허수부분)= 0 이어야 하
므로 -x+2=0에서 x= 2
⑵ z=(2x2+x-4)+(x2-2x-3)i
이때, z가 실수가 되려면 (허수부분)= 0 이어야 하
므로 x2-2x-3=0에서
(x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x= 3
⑶ z=(3x-10)+(2x+6)i이므로
2x+6=0에서 x=-3
⑷ z=(x2-3x+2)+(-x2+5x+6)i이므로
-x2+5x+6=0에서 -(x+1)(x-6)=0
∴ x=-1 또는 x=6
08-2 복소수 z를 a+bi (a, b는 실수) 꼴로 정리하면
⑴ z=(x-4)+(-x+2)i
이때, z가 순허수가 되려면
(실수부분)= 0 에서 x-4=0
∴ x=4
( 허수부분 )+0에서 -x+2+0
∴ x+2
따라서 구하는 x의 값은 4
⑵ z=(x2-x-12)+(x2+2x-3)i
이때, z가 순허수가 되려면
(실수부분)= 0 에서
x2-x-12=0, (x+3)(x-4)=0
∴ x=-3 또는 x=4
( 허수부분 )+0에서
x2+2x-3+0, (x-1)(x+3)+0
∴ x+1, x+-3
따라서 구하는 x의 값은 4
⑶ z=(4x-12)+(-x+2)i이므로
4x-12=0에서 x=3
-x+2+0에서 x+2
따라서 구하는 x의 값은 3
⑷ z=(x2-4x-5)+(-x2+x+2)i이므로
x2-4x-5=0에서
(x+1)(x-5)=0
-x2+x+2+0에서
-(x+1)(x-2)+0
따라서 구하는 x의 값은 5
∴ x=-1 또는 x=5
∴ x+-1, x+2
09-1 ⑴ zò=3+i이므로
z+zò=(3-i)+(3+i)= 6
zzò=(3-i)(3+i)= 10
⑵ zò=2-i이므로
z+zò=(2+i)+(2-i)=4
zzò=(2+i)(2-i)=5
⑶ zò=3+4i이므로
z+zò=(3-4i)+(3+4i)=6
zzò=(3-4i)(3+4i)=25
⑷ zò=5-2i이므로
z+zò=(5+2i)+(5-2i)=10
zzò=(5+2i)(5-2i)=29
⑸ zò=-2i-1이므로
z+zò=(2i-1)+(-2i-1)=-2
zzò=(2i-1)(-2i-1)=5
09-2 ⑴ zò=3-2i에서 z+zò=6, zzò= 13 이므로
2 =(z+zò)2-2zzò
=62-2´ 13 = 10
z2+zò
+
=
z+zò
zzò
=
6
13
⑵ zò=2-i에서 z+zò=4, zzò=5이므로
2 =(z+zò)2-2zzò
=42-2´5=6
z2+zò
1
z
1
z
1
zò
1
zò
+
=
z+zò
zzò
=
;5$;
⑶ zò=1-3i에서 z+zò=2, zzò=10이므로
⑷ zò=3+5i에서 z+zò=6, zzò=34이므로
z2+zò
2 =(z+zò)2-2zzò
=22-2´10=-16
+
=
z+zò
zzò
=
=
;5!;
;1ª0;
z2+zò
2 =(z+zò)2-2zzò
=62-2´34=-32
+
=
z+zò
zzò
=
=
;3¤4;
;1£7;
z2+zò
2 =(z+zò)2-2zzò
=(-8)2-2´17=30
+
=
z+zò
zzò
=-
;1¥7;
1
zò
1
zò
1
zò
1
z
1
z
1
z
⑸ zò=-i-4에서 z+zò=-8, zzò=17이므로
10-1 ⑴ z1+z2=(z1+z2ò)ò= 1-3i ,
z1z2=z1z2ò=4-7i이므로
(z1-2)(z2-2) =z1z2-2(z1+z2)+4
=(4-7i)-2( 1-3i )+4
= 6-i
⑵ z1+z2=(z1+z2ò)ò=1+3i,
z1z2=z1z2ò=-2+14i이므로
(z1+1)(z2+1) =z1z2+(z1+z2)+1
=(-2+14i)+(1+3i)+1
=17i
⑶ z1-z2=(z1-z2ò)ò=-3-2i,
z1z2=z1z2ò=-5-5i이므로
(2z1-1)(2z2+1) =4z1z2+2(z1-z2)-1
=4(-5-5i)+2(-3-2i)-1
=-27-24i
10-2 ⑴ aaò+abò+baò+bbò=a(aò+bò)+b(aò+bò)
=(a+b)(aò+bò)
=(a+b)( a+bò )
이때, a+b=3+i, a+bò= 3-i 이므로
(주어진 식) =(3+i)( 3-i )=10
⑵ aaò+abò+baò+bbò=a(aò+bò)+b(aò+bò)
=(a+b)(aò+bò)
=(a+b)(a+bò)
이때, a+bò=2-2i이므로
(주어진 식) =(2+2i)(2-2i)=8
⑶ aaò-abò-baò+bbò=a(aò-bò)-b(aò-bò)
=(a-b)(aò-bò)
=(a-b)(a-bò)
이때, a-b=1-5i, a-bò=1+5i이므로
(주어진 식) =(1-5i)(1+5i)=26
1. 복소수 | 015
ò
ò
ò
⑷ aaò+2abò+2baò+4bbò=a(aò+2bò)+2b(aò+2bò)
=(a+2b)(aò+2bò)
=(a+2b)(a+2bò)
이때, a+2b=6-7i, a+2bò=6+7i이므로
(주어진 식) =(6-7i)(6+7i)
=85
10-3 ⑴ (2+i)x+(1+i)y=3-iò에서
(2x+y)+( x+y )i=3+i이므로
복소수가 서로 같을 조건에 의해
2x+y=3, x+y =1
두 식을 연립하여 풀면 x= 2 , y= -1
⑵ (1+2i)x+(1-i)y=1-3iò에서
(x+y)+(2x-y)i=1+3i이므로
x+y=1, 2x-y=3
두 식을 연립하여 풀면 x=
;3$;, y=-
;3!;
⑶ (x+2i)(3-i)=8-yiò에서
3x-xi+6i-2i 2=8+yi,
(3x+2)+(-x+6)i=8+yi이므로
3x+2=8, -x+6=y
두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=4
⑷ (1-2i)(x+yi)=4+3iò에서
x+yi-2xi-2yi 2=4-3i,
(x+2y)+(-2x+y)i=4-3i이므로
x+2y=4, -2x+y=-3
두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=1
10-4 ⑴
x
1+i
+
y
1-i
=
x(1-i)
(1+i)(1-i)
+
y(1+i)
(1-i)(1+i)
=
x+y
2
+
-x+y
2
i
즉,
x+y
2
+
-x+y
2
i=1+2i이므로
복소수가 서로 같을 조건에 의해
x+y= 2 , -x+y= 4
두 식을 연립하여 풀면 x=-1, y=3
⑵
x
1-i
+
y
1+i
=
x(1+i)
(1-i)(1+i)
+
y(1-i)
(1+i)(1-i)
=
x+y
2
+
x-y
2
i
즉,
x+y
2
+
x-y
2
i=3-2i이므로
x+y=6, x-y=-4
두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=5
016 정답과 풀이
⑶
x
2+i
+
y
2-i
=
x(2-i)
(2+i)(2-i)
+
y(2+i)
(2-i)(2+i)
=
2x+2y
5
+
-x+y
5
i
즉,
2x+2y
5
+
-x+y
5
i=2-3i이므로
x+y=5, -x+y=-15
두 식을 연립하여 풀면 x=10, y=-5
⑷
x
1-2i
+
y
1+2i
=
x(1+2i)
(1-2i)(1+2i)
+
y(1-2i)
(1+2i)(1-2i)
=
x+y
5
+
2x-2y
5
i
10
3-4i
=
10(3+4i)
(3-4i)(3+4i)
=
30+40i
25
=
+
i
;5*;
;5^;
즉,
x+y
5
+
2x-2y
5
i=
+
;5^;
;5*;
i이므로
x+y=6, x-y=4
두 식을 연립하여 풀면 x=5, y=1
11-1 z=a+bi로 놓으면 zò=a-bi이므로
⑴ 3z+zò=8+2i에서
3(a+bi)+(a-bi)=8+2i
4a +2bi=8+2i
복소수가 서로 같을 조건에 의해
4a =8, 2b=2
∴ a= 2 , b=1
∴ z= 2+i
⑵ 3z-2i zò=1+i에서
3(a+bi)-2i(a-bi)=1+i
즉, ( 3a-2b )+(-2a+3b)i=1+i이므로
3a-2b =1, -2a+3b=1
두 식을 연립하여 풀면 a= 1 , b= 1
∴ z= 1+i
⑶ 2z+3zò=10-3i에서
2(a+bi)+3(a-bi)=10-3i
즉, 5a-bi=10-3i이므로 a=2, b=3
∴ z=2+3i
⑷ 2z-3zò=4-5iò에서
2(a+bi)-3(a-bi)=4+5i
즉, -a+5bi=4+5i이므로 a=-4, b=1
∴ z=-4+i
⑸ 2z+i zò=2+i에서
2(a+bi)+i(a-bi)=2+i
즉, (2a+b)+(a+2b)i=2+i이므로
2a+b=2, a+2b=1
두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=0
∴ z=1
⑹ iz+2zò=5+i에서
i(a+bi)+2(a-bi)=5+i
즉, (2a-b)+(a-2b)i=5+i이므로
2a-b=5, a-2b=1
두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=1
∴ z=3+i
⑺ (1+i)z+i zò=4+3i에서
(1+i)(a+bi)+i(a-bi)=4+3i
즉, a+(2a+b)i=4+3i이므로
a=4, 2a+b=3
∴ a=4, b=-5
∴ z=4-5i
⑻ iz+(3-i)zò=3+9iò에서
i(a+bi)+(3-i)(a-bi)=3-9i
즉, (3a-2b)-3bi=3-9i이므로
3a-2b=3, -3b=-9
∴ a=3, b=3
∴ z=3+3i
12-1 ⑴ i 10=i 4_2+2=(i 4)2´i 2
=12´( -1 )= -1
13
1
i }
=
{
i
i´i }
13
=( -i )13=- i 13
=-(i 4_3+1)=-(i 4)3´i= -i
⑵
{
⑶ i 21=i 4_5+1=(i 4)5´i=1´i=i
⑷ i 100=i 4_25=(i 4)25=1
⑸ (-i)11 =-i 11=-i 4_2+3=-(i 4)2´i 3
=-1´(-i)=i
42
1
i }
25
1
i }
⑹
{
⑺
{
=(-i)42=i 42=i 4_10+2
=(i 4)10´i 2=1´(-1)=-1
=(-i)25=-i 25=-i 4_6+1
=-(i 4)6´i=-1´i=-i
12-2 ⑴ i+i 2+i 3+i 4 =i-1-i+1= 0
⑵ i-i 2+i 3-i 4 =i+1-i-1= 0
⑶ i+i 2+i 3+i 4+i 5+i 6+i 7+i 8
=(i+i 2+i 3+i 4)+i 4(i+i 2+i 3+i 4)
=(i-1-i+1)+(i-1-i+1)
⑷ i+i 2+i 3+i 4+y+i 100
=(i+i 2+i 3+i 4)+i 4(i+i 2+i 3+i 4)
+ y+i 96(i+i 2+i 3+i 4)
=0
=0
⑸ i-i 2+i 3-i 4+i 5-i 6+i 7-i 8
=(i-i 2+i 3-i 4)+i 4(i -i 2+i 3-i 4)
=(i+1-i-1)+(i+1-i-1)
⑹ i-i 2+i 3-i 4+y-i 100
=(i-i 2+i 3-i 4)+i 4(i -i 2+i 3-i 4)
=(i+1-i-1)+(i+1-i-1)
+y+i 96(i -i 2+i 3-i 4)
+y+(i+1-i-1)
=0
=0
12-3 ⑴ i+2i 2+3i 3+4i 4 =i-2-3i+4
= 2-2i
⑵
+
1
i
1
i 2 +
1
i 3 +
1
i 4 =
1
i
+
2
1
i }
+
3
+
1
i }
4
1
i }
{
{
=(-i)+(-i)2+(-i)3+(-i)4
{
=-i-1+i+1= 0
⑶ i+2i 2+3i 3+4i 4+5i 5+6i 6+7i 7+8i 8
=(i+2i 2+3i 3+4i 4)+(5i 5+6i 6+7i 7+8i 8)
=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)
=2(2-2i)=4-4i
⑷ i+2i 2+3i 3+4i 4+y+100i 100
=(i+2i 2+3i 3+4i 4)+(5i 5+6i 6+7i 7+8i 8)
+y+(97i 97+98i 98+99i 99+100i 100)
=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)
+y+(97i-98-99i+100)
=25(2-2i)=50-50i
⑸
+
1
i
1
1
1
1
i 5 +
i 4 +
i 3 +
i 2 +
1
1
1
1
i 3 +
i 2 +
i 4 }
i
1
1
i }
i }
1
i
+
+
+
+
{
{
2
3
+
{
=
{
=
[
4
1
i }
]
1
i 8
1
1
i 7 +
i 6 +
1
1
1
i 2 +
i 4 {
i
+
1
i 3 +
1
i 4 }
+
+
1
i
2
+
1
i }
3
1
i }
+
{
4
1
i }
]
{
={(-i)+(-i)2+(-i)3+(-i)4}
{
[
+{(-i)+(-i)2+(-i)3+(-i)4}
=(-i-1+i+1)+(-i-1+i+1)
=0
⑹
+
1
i
1
1
1
i 4 +y+
i 3 +
i 2 +
1
1
1
1
i 3 +
i 2 +
i 4 }
i
+
+
1
i 100
1
i 4 {
1
i
+
=
{
1
i 4 }
1
i 2 +
1
i 2 +
1
i 3 +
1
i 3 +
+
1
i 4 }
+y+
1
i 96 {
1
i
=0
1. 복소수 | 017
=(i-1-i+1)+(i-1-i+1)
=(-i-1+i+1)+(-i-1+i+1)
+ y+(i-1-i+1)
+y+(-i-1+i+1)
12-4
=
(1+i)2
(1-i)(1+i)
1+2i+i 2
1-i 2 =i,
=
(1-i)2
(1+i)(1-i)
1-2i+i 2
1-i 2 =-i이므로
1+i
1-i
1-i
1+i
=
=
⑴
{
1+i
1-i }
5
= i 5=i 4´i= i
⑵
{
⑶
{
⑷
{
10
1-i
1+i }
30
1+i
1-i }
49
1-i
1+i }
=( -i )10=(i 4)2´i 2= -1
=i 30=(i 4)7´i 2=-1
=(-i)49=-(i 4)12´i=-i
⑸
{
1+i
1-i }
9
-
{
1-i
1+i }
10
=i 9-(-i)10
⑹
{
99
1+i
1-i }
-
{
1-i
1+i }
100
=i 99-(-i)100
=(i 4)2´i-(i 4)2´i 2
=i+1
=(i 4)24´i 3-(i 4)25
=-i-1
13-1 ⑴ -2의 제곱근을 x라 하면 x2= -2 에서
-2 =Ñ
x=Ñ
2 i
'
i
'¶
-4=Ñ2i
⑵ Ñ
⑶ Ñ
-9=Ñ3i
'¶
'¶
⑷ Ñ
-
®É
;2!;
⑸ Ñ
-
®É
;3$;
2
=Ñ '
2
=Ñ 2
3
'
3
i
⑹ Ñ
-
®É
=Ñ
i
;5$;
;2!5^;
13-2 ⑴
'¶
-4+
-9 =
4 i+
9 i
'
'
'¶
'¶
'¶
'¶
'¶
'¶
'¶
'¶
'¶
'¶
'¶
'¶
⑵
-8-
-32 =
8 i-
32 i
2 i = -2
2 i
⑶
-9+
-16 =
=2i+ 3i = 5i
'
=2
'¶
2 i- 4
'
9 i+
'
16 i
'¶
'
=3i+4i=7i
⑷
-25+
-64 =
25 i+
64 i
'¶
'¶
'¶
=5i+8i=13 i
'
3 i+
'¶
3 i+3
'
18 i-
'¶
2 i-5
'
48 i-
'¶
3 i-3
'¶
=3
'¶
=4
50 i
'
27 i
⑸
-3+
-27 =
27 i
⑹
-18-
=
'
-50 =
3 i=4
3 i
'
2 i=-2
2 i
⑺
-48-
-27 =
⑻ 3
-12-
'¶
'¶
'
-75 =3
'
12 i-
3 i
3 i=
'
75 i
'¶
'
'¶
'
=6
3 i-5
3 i=
3 i
'
'
'
018 정답과 풀이
14-1 ⑴
'¶
-2
3 =
2 i´
3=
'
'
6 i
'
'
참고
(-2)´3=
-2
3 =
'
"Ã
-6=
'¶
'
(-2)´3
6 i이므로
"Ã
'¶
"Ã
'¶
⑵
-2
-3 =
'¶
'¶
참고
2 i ´
3 i=
6 i 2= -
'
'
6
'
'
(-2)´(-3)=
6 이므로
'
-2
-3 +
(-2)´(-3)
'¶
"Ã
'¶
'¶
'¶
'¶
'
'¶
'¶
⑺
⑻
⑼
⑽
⑾
'
'¶
'¶
⑶
-4
⑷
-4
6=2i´
'
-6=2i´
6=2
6 i
'
6 i=2
'
3 i´3
'
3=9i
⑸
-3
⑹
-3
27=
'
-27=
'
3 i´3
'¶
-9=2
'
'
2´3i=6
2 i
'
6 i 2=-2
6
'
3 i=9i 2=-9
'
-9=2
'¶
-3=2
8
'¶
-8
12
'¶
-12
2 i´3i=6
2 i 2=-6
'
3 i=6i
'
3´
2
'
3 i=6i 2=-6
'¶
2
'
'
-3=2
'
3 i´
'¶
-10=
'
'
10 i=2
2´
'¶
-2
5
'¶
-5
'
-10=
'¶
2 i´
'¶
-20=
'
5´2
'
-20=
'
5 i´2
'
'
⑿
⒀
⒁
'¶
'
'¶
5 i
'
10 i=2
'¶
5 i=10i
'
5 i=10i 2=-10
5 i 2=-2
5
'
15-1 ⑴ '¶-
2
'
참고
8 i
2
= '
'
=
2
2 i
'
2
'
= 2i
8
-
2
'¶
¾¨
=
-4=2i이므로
8
'¶-
2
'
8
= ¾¨ -
2
⑵ '¶-
'¶-
8
2
8 i
2 i
= '
'
=
2
2 i
'
2 i
'
= 2
8
2
⑶ '
'¶-
=
=
2
2
'
2 i
'
2
2 i
'
2 i 2 =
'
2 i
2
2
'
-
'
= -2i
=
4=2이므로
'
8
= ¾¨ -
-2
=
-4=2i이므로
'¶
+ ¾¨
8
-2
=2i
=2
12
⑷ '¶-
3
'
12
3
⑸ '¶-
'¶-
12
3
⑹ '¶
'¶-
=
=
=
2
3 i
'
3
'
2
3 i
'
3 i
'
2
3
'
3 i
'
=
2
3 i
'
3 i 2 =
'
3 i
3
2
'
-
'
=-2i
'¶
8
참고
8
-
-2
¾¨
8
'¶-
-2
'¶
참고
8
-2
¾¨
8
'
-2
'¶
16-1
a
b=-
ab, a+0, b+0에서 a<0, b<0이므로
1-2 ⑴ x+y=8, x-y=2
⑴ |a|+|b|=(-a)+(-b)= -a-b
⑵ x+y-1=0, x-y+5=0
ab, a+0, b+0에서 a<0, b<0
⑷ (x+1)+2yi=(2x+y)+(3x+1)i이므로
=
'7i
=
'7
=
;2#; i
=
;2#;
49
⑺ '¶-
7
'
49
7
⑻ '¶-
'¶-
49
7
⑼ '¶
'¶-
27
⑽ '¶-
12
'¶
27
-12
⑾ '¶-
'¶
27
-12
⑿ '¶
'¶
=
=
=
=
=
7i
7
'
7i
7i
'
7
7i
3 i
3
'
3
'
2
'
3 i
3 i
3
'
2
'
3
2
3
'
3 i
'
'
'
'¶
|a|= -a , |b|= -b
=
=
7i
7i 2 =
'
7i
-
'
7
=-
7i
'
=
3
2
3 i
'
3 i 2 =
'
3
'
-2
3 i
3
'
=-
;2#; i
⑵ |a||b|=(-a)´(-b)=ab
⑶ a+b<0이므로
|a+b|=-(a+b)=-a-b
16-2
a
b=-
'
'
ㄱ. ab>0
'¶
ㄴ. a+b<0이므로
(a+b)2=|a+b|=-(a+b)=-a-b
"Ã
a
ㄷ. '
b
'
a2
ㄹ.
"Ã
"Ã
=
®É
a
b
b2=|a||b|=(-a)´(-b)=ab
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.
=-
a
16-3 '
b
'
|a|= a , |b|= -b
a
b
®É
, a+0, b+0에서 a>0, b<0이므로
⑴ |a|+|b|=a+(-b)= a-b
⑵
a2
b2=|a||b|=a´(-b)=-ab
"Ã
"Ã
⑶ a-b>0이므로
|a-b|=a-b
⑷ b-a<0이므로
|b-a|=-(b-a)=a-b
a
b
=-
16-4 '
'
ㄱ. ab<0
®É
a
b
, a+0, b+0에서 a>0, b<0
ㄴ. a-b>0이므로
(a-b)2=|a-b|=a-b
ㄷ. |a||b|=a´(-b)=-ab
"Ã
ㄹ.
a
'
'
b=
ab
'¶
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.
STEP 2
24쪽~27쪽
1-1 ⑴ x-4=-1, 5y-2=3
∴ x=3, y=1
⑵ x+1=0, 3y-12=0
∴ x=-1, y=4
⑶ 3x+2yi=6+(2x+y)i이므로
3x=6, 2y=2x+y
∴ x=2, y=4
⑷ x-(2y+1)i=(3y-1)-xi이므로
x=3y-1, 2y+1=x
두 식을 연립하여 풀면 x=5, y=2
두 식을 연립하여 풀면 x=5, y=3
두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=3
⑶ (2x+y)+(x-2y)i=5-5i이므로
2x+y=5, x-2y=-5
두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=3
x+1=2x+y, 2y=3x+1
두 식을 연립하여 풀면 x=
;5!;, y=
;5$;
2-1 ⑴ -(2+i)+3(4-2i) =(-2-i)+(12-6i)
=10-7i
=8-17i
⑵ 3(2-5i)-2(-1+i) =(6-15i)+(2-2i)
⑶ (3+i)(2-7i) =6-21i+2i-7i 2
=13-19i
⑷
2+3i
1+i
=
(2+3i)(1-i)
(1+i)(1-i)
=
2-2i+3i-3i 2
12-i 2
=
5+i
2
=
+
i
;2!;
;2%;
2-2 ⑴ 3(1-2i)+2(1-3i) =(3-6i)+(2-6i)
⑵ 2(4+i)-2(-3-5i) =(8+2i)+(6+10i)
=5-12i
=14+12i
⑶ (2-5i)2 =22-2´2´5i+(5i)2
=4-20i-25
=-21-20i
⑷
-1+3i
2-i
=
(-1+3i)(2+i)
(2-i)(2+i)
=
-2-i+6i+3i2
22-i2
=
-5+5i
5
=-1+i
1. 복소수 | 019
3-1 ⑴ z=(3x2+x+5)+(x2-2x-8)i가 실수가 되려면
x2-2x-8=0, (x+2)(x-4)=0
5-2 ⑴ a-b=(a-bò)ò=4-i, ab=abò=-5-2i이므로
(a-2)(b+2) =ab+2(a-b)-4
∴ x=-2 또는 x=4
⑵ z=(x2-4x+3)+(x2-x-6)i가 순허수가 되려면
x2-4x+3=0, x2-x-6+0
x2-4x+3=0에서
(x-1)(x-3)=0
x2-x-6+0에서
(x+2)(x-3)+0
따라서 구하는 x의 값은 1
∴ x=1 또는 x=3
∴ x+-2, x+3
=(-5-2i)+2(4-i)-4
=-1-4i
⑵ aaò+abò+baò+bbò =a(aò+bò)+b(aò+bò)
=(a+b)(a+bò)
이때, a+b=-1-2i, a+bò=-1+2i이므로
(주어진 식) =(-1-2i)(-1+2i)
=5
3-2 ⑴ z=(-2x2+x-2)+(x2+4x+3)i가 실수가 되려면
x2+4x+3=0, (x+1)(x+3)=0
∴ x=-1 또는 x=-3
⑵ z=(3x2-2x-1)+(x2-3x+2)i가 순허수가 되려면
3x2-2x-1=0, x2-3x+2+0
3x2-2x-1=0에서
(x-1)(3x+1)=0
∴ x=1 또는 x=-
;3!;
x2-3x+2+0에서
(x-1)(x-2)+0
∴ x+1, x+2
따라서 구하는 x의 값은 -
;3!;
4-1 zò=2+3i에서 z+zò=4, zzò=13이므로
2
=(z+zò)2-2zzò
z2+zò
=42-2´13=-10
1
z
+
=
1
zò
z+zò
zzò
=
;1¢3;
4-2 zò=5-i에서 z+zò=10, zzò=26이므로
2
=(z+zò)2-2zzò
z2+zò
=102-2´26=48
1
z
+
=
1
zò
z+zò
zzò
=
=
;2!6);
;1°3;
⑵ aaò+abò+baò+bbò=a(aò+bò)+b(aò+bò)
=(6-i)-3(5+3i)+9
=-10i
=(a+b)(aò+bò)
=(a+b)(a+bò)
이때, a+b=2+4i, a+bò=2-4i이므로
(주어진 식) =(2+4i)(2-4i)
=20
020 정답과 풀이
6-1 ⑴ (3-i)x+(2+3i)y=5-2iò에서
(3x+2y)+(-x+3y)i=5+2i이므로
3x+2y=5, -x+3y=2
두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=1
⑵ (2+i)(x+yi)=7-iò에서
(2x-y)+(x+2y)i=7+i이므로
2x-y=7, x+2y=1
두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=-1
⑶
x
1+i
+
y
1-i
=
x(1-i)
(1+i)(1-i)
+
y(1+i)
(1-i)(1+i)
=
x+y
2
+
-x+y
2
i
즉,
x+y
2
+
-x+y
2
i=-1+3i이므로
x+y=-2, -x+y=6
두 식을 연립하여 풀면 x=-4, y=2
6-2 ⑴ (1-2i)x+(-3+2i)y=-1-6iò에서
(x-3y)+(-2x+2y)i=-1+6i이므로
x-3y=-1, -x+y=3
두 식을 연립하여 풀면 x=-4, y=-1
⑵ (3-i)(2x+yi)=-4-8iò에서
(6x+y)+(-2x+3y)i=-4+8i이므로
6x+y=-4, -2x+3y=8
두 식을 연립하여 풀면 x=-1, y=2
=
x(1+3i)
(1-3i)(1+3i)
+
y(1-3i)
(1+3i)(1-3i)
=
x+y
10
+
3x-3y
10
i
즉,
x+y
10
+
3x-3y
10
i=
-
;2#;
;2#;
i이므로
x+y=15, x-y=-5
두 식을 연립하여 풀면 x=5, y=10
5-1 ⑴ a+b=(a+bò)ò=5+3i, ab=abò=6-i이므로
(a-3)(b-3) =ab-3(a+b)+9
⑶
x
1-3i
+
y
1+3i
ò
ò
즉, 3a-bi=6+4i이므로 a=2, b=-4
=(i+2-3i-4)+(5i+6-7i-8)
7-1 z=a+bi로 놓으면 zò=a-bi이므로
⑴ z+2zò=6+4i에서
(a+bi)+2(a-bi)=6+4i
∴ z=2-4i
⑵ 3z-i zò=4에서
3(a+bi)-i(a-bi)=4
즉, (3a-b)+(-a+3b)i=4이므로
3a-b=4, -a+3b=0
두 식을 연립하여 풀면 a=
;2#;, b=
;2!;
∴ z=
+
i
;2!;
;2#;
⑶ (2+i)z+3zò=1-3i에서
(2+i)(a+bi)+3(a-bi)=1-3i
즉, (5a-b)+(a-b)i=1-3i이므로
5a-b=1, a-b=-3
두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=4
∴ z=1+4i
7-2 z=a+bi로 놓으면 zò=a-bi이므로
⑴ 4z-2zò=-8+2i에서
4(a+bi)-2(a-bi)=-8+2i
즉, 2a+6bi=-8+2i이므로 a=-4, b=
;3!;
∴ z=-4+
i
;3!;
⑵ 2iz+zò=1+8i에서
2i(a+bi)+(a-bi)=1+8i
즉, (a-2b)+(2a-b)i=1+8i이므로
a-2b=1, 2a-b=8
두 식을 연립하여 풀면 a=5, b=2
∴ z=5+2i
⑶ -iz+(1+2i)zò=2-6i에서
-i(a+bi)+(1+2i)(a-bi)=2-6i
즉, (a+3b)+(a-b)i=2-6i이므로
a+3b=2, a-b=-6
두 식을 연립하여 풀면 a=-4, b=2
∴ z=-4+2i
⑵ i-2i 2+3i 3-4i 4+y-20i 20
=(i-2i 2+3i 3-4i 4)+i 4(5i-6i 2+7i 3-8i 4)
+y+i 16(17i-18i 2+19i 3-20i 4)
+y+(17i+18-19i-20)
=5(-2-2i)=-10-10i
⑶
+
1
i
1
i 2 +
1
1
i 2 +
i
1
i 3 +
1
i 3 +
1
i 4 +y+
1
i 4 }
+
+
1
i 40
1
i 4 {
1
i
+
=
{
1
i 4 }
1
i 2 +
1
i
+
1
i 3 +
1
i 2 +
1
i 3 +
1
i 4 }
+y+
1
i 36 {
+y+(-i-1+i+1)
=(-i-1+i+1)+(-i-1+i+1)
=0
'¶
'¶
⑷
{
11
1+i
1-i }
-
{
12
1-i
1+i }
=i 11-(-i)12
=(i 4)2´i 3-(i 4)3
=-i-1
⑸
-2+
-8-
'¶
2
'
'¶
-8 =
2i+2
'
2i-4i
'
=3
'
2 i-
2´2
2i
'
'
⑹
-2
-4+ '¶
+
-9=
2i´2i+
+3i
'¶
'¶
'
18
2
'¶-
3
2
'
2i
'
2-3i+3i
=-2
=-2
2
'
'
8-2 ⑴ i-i 2+i 3-i 4+y-i 200
=(i-i 2+i 3-i 4)+i 4(i-i 2+i 3-i 4)
+y+i 196(i-i 2+i 3-i 4)
=(i+1-i-1)+(i+1-i-1)+y+(i+1-i-1)
=0
⑵ i+2i 2+3i 3+4i 4+y+50i 50
= (i+2i 2+3i 3+4i 4)+i 4(5i+6i 2+7i 3+8i 4)
+y+i 44(45i+46i 2+47i 3+48i 4)+i 48(49i+50i 2)
=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)
+y+(45i-46-47i+48)+49i-50
=12(2-2i)+49i-50
=-26+25i
⑶
+
1
i
1
i 70
1
i 4 +y+
1
i 4 }
+
1
1
i 3 +
i 2 +
1
1
1
i 3 +
i 2 +
i
1
1
i 64 {
i
+y+
+
1
i
=
1
i 4 {
1
i 2 +
1
i 4 }
=(-i-1+i+1)+(-i-1+i+1)
1
i 2 +
1
i 3 +
+
+
+
{
1
i 4 }
1
i 3 +
1
i 68 {
1
i
+
1
i 2 }
1. 복소수 | 021
8-1 ⑴ i+i 2+i 3+i 4+y+i50
=(i+i 2+i 3+i 4)+i 4(i+i 2+i 3+i 4)
+y+i 44(i+i 2+i 3+i 4)+i 48(i+i 2)
=(i-1-i+1)+(i-1-i+1)
=i-1
=-i-1
+y+(i-1-i+1)+i-1
+y+(-i-1+i+1)+-i-1
⑷
{
99
1+i
1-i }
-
{
99
1-i
1+i }
=i 99-(-i)99
06
1-3i
1-i
=
(1-3i)(1+i)
(1-i)(1+i)
=
1+i-3i-3i 2
12-i 2
∴ |a|+|b|+|a+b| =(-a)+(-b)+{-(a+b)}
=-2a-2b
∴ x=2 또는 x=-5
08 z=(x2-3x+2)+(x2+3x-10)i가 실수가 되려면
x2+3x-10=0, (x-2)(x+5)=0
=(i 4)24´i3+(i 4)24´i 3
=-i+(-i)
=-2i
18
27+ '¶-
2
'
2i
'
2
'
3+
3
'
+ '¶
18
2
3
'¶-
2
'
2i
'
+
⑸
-3
-27+
-3
'¶
'¶
'¶
'¶
=
3i´3
3i+
3i´3
'
'
'
=-9+9i+3i-3i
=-9+9i
⑹
-12+
-27
-12+ '¶
'¶
'¶
'¶
15
5
'¶-
15
5 i
3i=-18+
3i+ '¶
'
'
3i
'
=2
3i+3
3i´2
'
=2
3i-18-
'
'
'
9-1 '
a
b=-
ab, a+0, b+0에서
'
'¶
a<0, b<0이므로 a+b<0
=-
a
9-2 '
b
'
a>0, b<0이므로 a-b>0
, a+0, b+0에서
a
b
®É
∴ |a|-|b|+|a-b| =a-(-b)+(a-b)
=2a
STEP 3
28쪽~30쪽
01 복소수
3 i
6-
'
3
3
=2- '
3
3
i의 허수부분은 - '
3
이다.
02 실수
4i=2i, 5i 2=-5, i 2+2=-1+2=1,
4i 4-3i 3=4+3i이므로
03 '
주어진 보기 중 실수는 0, 5i 2, 3-
2, i 2+2
'
04 x-y=-5, x+y-4=5에서
x-y=-5, x+y=9
두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=7이므로
xy=14
=1+i
따라서 a=1, b=1이므로 a+b=2
022 정답과 풀이
=
=2-i
4-2i
2
∴ (5-i)
{
1-3i
1-i }
+(2-i)
{
1-3i
1-i }
=(7-2i)
{
1-3i
1-i }
=(7-2i)(2-i)
=14-7i-4i+2i2
=12-11i
2i)+(1+
07 x+y=(1-
xy=(1-
'
2i)(1+
'
∴ x3+y3 =(x+y)3-3xy(x+y)
2i)=12-(
2i)=2,
'
'
'
2i)2=3
=23-3´3´2=-10
09 z=(2x2-5x-3)+(x2-2x-3)i가 순허수가 되려면
2x2-5x-3=0, x2-2x-3+0
2x2-5x-3=0에서
(x-3)(2x+1)=0
∴ x=3 또는 x=-
;2!;
x2-2x-3+0에서
(x+1)(x-3)+0
∴ x+-1, x+3
따라서 구하는 x의 값은 -
;2!;
10 zò=4+2i에서 z+zò=8, zzò=20
∴
+
=
1
z
1
zò
z+zò
zzò
=
=
;5@;
;2¥0;
11 zò=-2-6i에서 z+zò=-4, zzò=40
z2+zò
zzò
∴
z
zò
zò
z
+
=
2
=
=
(z+zò)2-2zzò
zzò
(-4)2-2´40
40
=-
;5*;
12 a+b=(a+bò)ò=7+2i,
ab=abò=-3-i이므로
=4(-3-i)-2(7+2i)+1
=-25-8i
05 (2+4i)-(1-3i)ò=(2+4i)-(1+3i)
(2a-1)(2b-1) =4ab-2(a+b)+1
ò
13 aaò-abò-baò+bbò =a(aò-bò)-b(aò-bò)
=(a-b)(aò-bò)
=(a-b)(a-bò)
19 1-i+i 2-i 3+i 4-y+i40
=(1-i+i 2-i 3)+i 4(1-i+i 2-i 3)
이때, a-b=5+3i, a-bò=5-3i이므로
=(1-i-1+i)+(1-i-1+i)
(주어진 식) =(5+3i)(5-3i)
=34
=1
+y+i 36(1-i+i 2-i 3)+i 40
+y+(1-i-1+i)+(i 4)10
14 (2x-i)(1-3i)=3+yi에서
(2x-3)+(-6x-1)i=3+yi이므로
2x-3=3, -6x-1=y
따라서 x=3, y=-19이므로
x+y=-16
15
x
1-2i
+
y
2+i
=
x(1+2i)
(1-2i)(1+2i)
+
y(2-i)
(2+i)(2-i)
=
x+2y
5
+
2x-y
5
i
즉,
x+2y
5
+
2x-y
5
i=-4+3i이므로
x+2y=-20, 2x-y=15
두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=-11이므로
x+y=-9
16 z=a+bi로 놓으면 zò=a-bi이므로
(2+i)z+zò=-5+i에서
(2+i)(a+bi)+(a-bi)=-5+i
즉, (3a-b)+(a+b)i=-5+i이므로
3a-b=-5, a+b=1
두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=2
∴ z=-1+2i
17 z=a+bi로 놓으면 zò=a-bi이므로
2z+(1-4i)zò=-5-11iò에서
2(a+bi)+(1-4i)(a-bi)=-5+11i
즉, (3a-4b)+(-4a+b)i=-5+11i이므로
3a-4b=-5, -4a+b=11
두 식을 연립하여 풀면 a=-3, b=-1
∴ z=-3-i
18 ① i 7=i 4´i 3=-i
② i 21=(i 4)5´i=i
③ i 99=(i 4)24´i 3=-i
④
⑤
=
1
i
1-i
1+i
i
i´i
=
=
i
i 2 =-i
(1-i)2
(1+i)(1-i)
따라서 값이 다른 것은 i 21이다.
=
-2i
2
=-i
20 i+2i 2+3i 3+4i 4+y+70i 70
=(i+2i 2+3i 3+4i 4)+i 4(5i +6i 2+7i 3+8i 4)
+y+i 64(65i+66i 2+67i 3+68i 4)+ i 68(69i+70i 2)
=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)
+y+(65i-66-67i+68)+ 69i-70
=17(2-2i)+ 69i-70
=-36+35i
따라서 a= -36 , b= 35 이므로
a+b= -1
21
=
(1+i)2
(1-i)(1+i)
=i,
1+i
1-i
1-i
1+i
=
(1-i)2
(1+i)(1-i)
=-i이므로
4
1+i
1-i }
-
{
1-i
1+i }
5
+
{
5
1+i
1-i }
-
{
6
1-i
1+i }
{
=i 4-(-i)5+i 5-(-i)6
=i 4+2i 5-i 6
=1+2i 4´i-i 4´i 2
=2+2i
22
-2
'¶
'¶
-6+ '¶
'¶
81
-27
-
-2
24
'¶
'¶
=
2i´
6i+
'
'
-
2i´2
'
6
'
9
3i
3
'
3i
i 2 -4
3i-4
3i
'
3i
'
=2
3i 2+ '
'
=-2
=-2
3-
'
3-5
'
'
3i
'
=-
, a+0, b+0, c+0에서
23
a
'
'
b=-
'¶
c
ab, '
b
'
a<0, b<0, c>0이므로
c
b
®É
a+b-c<0
∴ |a|+|b|-|c|+|a+b-c|
=(-a)+(-b)-c-(a+b-c)
=-2a-2b
1. 복소수 | 023
2
이차방정식
STEP 1
32쪽~49쪽
01-1 ⑴ (a+1)x=(a-2)(a-3)에서
Û a=1일 때, 0´x=0이므로 해는 무수히 많다 .
Ú a+-1일 때, x=
(a-2)(a-3)
a+1
Û a=-1일 때, 0´x=12이므로 해는 없다 .
⑵ (a-1)x=(a-1)(a-2)에서
Ú a+1일 때, x=
(a-1)(a-2)
a-1
= a-2
⑶ (a-2)x=(a+1)(a+2)에서
Ú a+2일 때, x=
(a+1)(a+2)
a-2
Û a=2일 때, 0´x=12이므로 해는 없다.
⑷ (a+3)x=(a+2)(a+3)에서
Ú a+-3일 때, x =
(a+2)(a+3)
a+3
=a+2
Û a=-3일 때, 0´x=0이므로 해는 무수히 많다.
01-2 ⑴ a(a-1)x=a-1에서
Ú a+0, a+1일 때, x =
a-1
a(a-1)
= ;a!;
Û a=0일 때, 0´x=-1이므로 해는 없다 .
Ü a=1일 때, 0´x=0이므로 해는 무수히 많다 .
⑵ (a+1)(a+2)x=a+2에서
Ú a+-1, a+-2일 때,
x =
a+2
(a+1)(a+2)
=
1
a+1
Û a=-1일 때, 0´x=1이므로 해는 없다.
Ü a=-2일 때, 0´x=0이므로 해는 무수히 많다.
⑶ (a-1)(a-4)x=a-4에서
Ú a+1, a+4일 때, x =
a-4
(a-1)(a-4)
=
1
a-1
Û a=1일 때, 0´x=-3이므로 해는 없다.
Ü a=4일 때, 0´x=0이므로 해는 무수히 많다.
⑷ a2x-3a=x+3에서
(a2-1)x=3a+3
∴ (a+1)(a-1)x=3(a+1)
Ú a+-1, a+1일 때,
x =
3(a+1)
(a+1)(a-1)
=
3
a-1
Û a=1일 때, 0´x=6이므로 해는 없다.
Ü a=-1일 때, 0´x=0이므로 해는 무수히 많다.
024 정답과 풀이
02-1 ⑴ |x-1|=2x-3에서
Ú x¾1일 때,
x-1=2x-3
∴ x= 2
Û x<1일 때,
-(x-1)=2x-3
∴ x= ;3$;
그런데 x<1이어야 하므로 해는 없다 .
Ú, Û에서 x= 2
⑵ |x-2|=3x+2에서
Ú x¾2일 때,
x-2=3x+2
그런데 x¾2이어야 하므로 해는 없다.
∴ x=-2
Û x<2일 때,
Ú, Û에서 x=0
-(x-2)=3x+2
∴ x=0
⑶ |2x-1|=3x-4에서
Ú x¾
;2!;일 때,
2x-1=3x-4
∴ x=3
Û x<
;2!;일 때,
-(2x-1)=3x-4
∴ x=1
그런데 x<
;2!;이어야 하므로 해는 없다.
Ú, Û에서 x=3
02-2 ⑴ |x-1|+|x-2|=5에서
Ú x<1일 때,
-(x-1)-(x-2)=5
∴ x= -1
Û 1Éx<2일 때,
(x-1)-(x-2)=5에서
0´x=4이므로 해는 없다 .
Ü x¾2일 때,
(x-1)+(x-2)=5
∴ x= 4
Ú, Û, Ü에서 x= -1 또는 x= 4
⑵ |x-1|+|x+1|=3에서
Ú x<-1일 때,
-(x-1)-(x+1)=3
∴ x=-
;2#;
Û -1Éx<1일 때,
-(x-1)+(x+1)=3에서
0´x=1이므로 해는 없다.
Ü x¾1일 때,
(x-1)+(x+1)=3
∴ x=
;2#;
Ú, Û, Ü에서 x=-
;2#; 또는 x=
;2#;
⑶ |x+1|+|x+3|=6에서
Ú x<-3일 때,
-(x+1)-(x+3)=6
∴ x=-5
04-2 ⑴ 양변에 4를 곱하면 2x2-4x-3=0이므로
-( -2 )Ñ
"Ã
( -2 )2-2´(-3)
x=
2
=
10
2Ñ
'¶
2
Û -3Éx<-1일 때,
-(x+1)+(x+3)=6에서
0´x=4이므로 해는 없다.
Ü x¾-1일 때,
(x+1)+(x+3)=6
∴ x=1
Ú, Û, Ü에서 x=-5 또는 x=1
⑷ |x-1|+|x-3|=x+1에서
Ú x<1일 때,
-(x-1)-(x-3)=x+1
그런데 x<1이어야 하므로 해는 없다.
∴ x=1
Û 1Éx<3일 때,
Ü x¾3일 때,
(x-1)-(x-3)=x+1
∴ x=1
(x-1)+(x-3)=x+1
∴ x=5
Ú, Û, Ü에서 x=1 또는 x=5
-
(
3 Ñ
"Ã
'
⑵ x=
3 )2-4´1´(-2)
'
2´1
-
=
11
'
3Ñ
2
'¶
⑶ 양변에 6을 곱하면 4x2-9x+6=0이므로
-(-9)Ñ
x=
(-9)2-4´4´6
"Ã
2´4
=
15 i
9Ñ
'¶
8
⑷ 양변에 10을 곱하면 x2-2x+3=0이므로
-(-1)Ñ
x=
(-1)2-1´3
"Ã
1
=1Ñ
2 i
'
⑸ x=
-(-
2)Ñ
'
2)2-1´1
(-
"Ã
1
'
=
2Ñ1
'
⑹ x=
-
5Ñ
'
(
'
"Ã
2´1
5)2-4´1´2
=
-
3 i
'
5Ñ
2
'
03-1 ⑴ (x-1)(x-2)=0
⑵ (x-2)(x-4)=0
∴ x= 1 또는 x= 2
∴ x=2 또는 x=4
⑶ (x+4)(x-5)=0
∴ x=-4 또는 x=5
⑶ 주어진 식에 x=5를 대입하면
⑷ (x-3)(x+11)=0
∴ x=3 또는 x=-11
25+10k-3k-4=0
∴ k=-3
05-1 ⑴ 주어진 식에 x= -3 을 대입하면
9+3k-2k+1=0
∴ k= -10
⑵ 주어진 식에 x=2를 대입하여 정리하면
k2-4k+ 3 =0, (k-1)(k-3)=0
∴ k= 1 또는 k=3
⑸ (x-1)(4x+1)=0
∴ x=1 또는 x=-
⑹ (x-4)(3x+1)=0
∴ x=4 또는 x=-
;4!;
;3!;
03-2 ⑴ (x+2)2=0
∴ x= -2 (중근)
⑵ (3x+4)(3x-4)=0 ∴ x= -
;3$; 또는 x= ;3$;
⑶ (2x-3)2=0
∴ x=
⑷ (2x+5)(2x-5)=0
;2#; (중근)
∴ x=-
(x-6)2=0
∴ x=6 (중근)
;2%; 또는 x=
;2%;
(x+6)(x-6)=0
∴ x=-6 또는 x=6
04-1 ⑴ x=
( -3 )2-4´1´(-5)
-( -3 )Ñ
"Ã
=
29
3Ñ
'¶
2
2´1
1
( -1 )2-1´(-2)
-( -1 )Ñ
"Ã
-(-3)Ñ
(-3)2-4´1´(-1)
"Ã
2´1
=1Ñ
3
'
=
13
3Ñ
'¶
2
⑷ x=
-3Ñ
"Ã
32-4´2´(-4)
2´2
=
41
-3Ñ
4
'¶
⑸ x=
32-3´1
-3Ñ
"Ã
3
=
-3Ñ
3
6
'
⑸ ;2!;
⑹ ;3!;
⑵ x=
⑶ x=
⑷ 주어진 식에 x=4를 대입하여 정리하면
k2+4k-21=0, (k-3)(k+7)=0
∴ k=3 또는 k=-7
⑸ 주어진 식에 x=-3을 대입하여 정리하면
2k2-9k-5=0, (k-5)(2k+1)=0
∴ k=5 또는 k=-
;2!;
05-2 ⑴ 주어진 식에 x= -2 를 대입하면
4+4k-3k-1=0
즉, x2+6x+8=0이므로
(x+2)(x+4)=0
∴ k= -3
∴ x=-2 또는 x=-4
따라서 구하는 다른 한 근은 -4
⑵ 주어진 식에 x=3을 대입하면
9-3(k+1)-2k+4=0
∴ k=2
즉, x2-3x=0이므로
x(x-3)=0
∴ x=0 또는 x=3
따라서 구하는 다른 한 근은 0
⑶ 주어진 식에 x=-2를 대입하면
8+6k-3k+1=0
∴ k=-3
즉, 2x2+9x+10=0이므로
(x+2)(2x+5)=0
∴ x=-2 또는 x=-
;2%;
따라서 구하는 다른 한 근은 -
;2%;
2. 이차방정식 | 025
⑷ 주어진 식에 x=5를 대입하면
75-5(2k-1)-3k-2=0
즉, 3x2-11x-20=0이므로
∴ k=6
(x-5)(3x+4)=0
∴ x=5 또는 x=-
;3$;
Û x<0일 때,
따라서 구하는 다른 한 근은 -
;3$;
06-1 ⑴ x2-4|x|-5=0에서
Ú x¾0일 때,
x2-4x-5=0, (x+1)(x-5)=0
∴ x= 5 (∵ x¾0)
Û x<0일 때,
x2+4x-5=0, (x-1)(x+5)=0
∴ x= -5 (∵ x<0)
Ú, Û에서 x= 5 또는 x= -5
다른 풀이
x2=|x|2이므로 주어진 방정식은
|x|2-4|x|-5=0, (|x|+1)(|x|-5)=0
이때, |x|¾0이므로 |x|=5
∴ x=5 또는 x=-5
⑵ x2+6|x|-3=0에서
Ú x¾0일 때,
x2+6x-3=0 ∴ x=-3+ 2
Û x<0일 때,
x2-6x-3=0 ∴ x=3- 2
Ú, Û에서
'
x=-3+ 2
3 또는 x=3- 2
'
3
'
⑶ x2+2|x|-8=0에서
Ú x¾0일 때,
3 (∵ x¾0)
'
3 (∵ x<0)
Û x<0일 때,
x2+2x-8=0, (x-2)(x+4)=0
∴ x=2 (∵ x¾0)
x2-2x-8=0, (x+2)(x-4)=0
∴ x=-2 (∵ x<0)
Ú, Û에서 x=2 또는 x=-2
⑷ x2-5|x|-14=0에서
Ú x¾0일 때,
x2-5x-14=0, (x+2)(x-7)=0
∴ x=7 (∵ x¾0)
Û x<0일 때,
x2+5x-14=0, (x-2)(x+7)=0
∴ x=-7 (∵ x<0)
026 정답과 풀이
⑸ x2-3|x|-1=0에서
Ú x¾0일 때,
x2-3x-1=0
∴ x=
(∵ x¾0)
13
3+
'¶
2
x2+3x-1=0 ∴ x=
13
-3-
2
'¶
(∵ x<0)
Ú, Û에서 x=
3+
'¶
2
⑹ x2+6|x|+3=0에서
13
또는 x=
13
-3-
2
'¶
Ú x¾0일 때,
x2+6x+3=0
그런데 x¾0이어야 하므로 해는 없다.
∴ x=-3Ñ
'
6
Û x<0일 때,
x2-6x+3=0
그런데 x<0이어야 하므로 해는 없다.
∴ x=3Ñ
'
6
Ú, Û에서 해는 없다.
⑺ x2-3|x-1|-1=0에서
Ú x¾1일 때,
x2-3(x-1)-1=0
x2-3x+2=0, (x-1)(x-2)=0
∴ x=1 또는 x=2 (∵x¾1)
Û x<1일 때,
x2+3(x-1)-1=0
x2+3x-4=0, (x-1)(x+4)=0
∴ x=-4 (∵x<1)
Ú, Û에서 x=1 또는 x=2 또는 x=-4
07-1 ⑴ 판별식 D=72-4´1·5=29 > 0
∴ 서로 다른 두 실근
⑵ 판별식
=22-1´5=-1 < 0
D
4
D
4
D
4
∴ 서로 다른 두 허근
⑶ 판별식
=22-1´4=0
∴ 중근(서로 같은 두 실근)
⑷ 판별식
=32-1´3=6>0
∴ 서로 다른 두 실근
⑸ 판별식 D=12-4´1´1=-3<0
∴ 서로 다른 두 허근
D
4
⑹ 판별식
=(-4)2-1´16=0
∴ 중근(서로 같은 두 실근)
⑺ 판별식 D=(-5)2-4´2´3=1>0
∴ 서로 다른 두 실근
⑻ 판별식 D=(-7)2-4´3´5=-11<0
Ú, Û에서 x=7 또는 x=-7
∴ 서로 다른 두 허근
07-2 ⑴ 판별식 D=(-3)2-4´1´2k > 0이므로
07-4 ⑴ 판별식 D=(-1)2-4·1´k < 0이므로
⑹ Ú x에 대한 이차방정식이므로 k2-1+0
(k+1)(k-1)+0
∴ k+1, k+-1
Û 판별식
={-(k-1)}2-(k2-1)´3=0이므로
D
4
k2+k-2=0, (k-1)(k+2)=0
∴ k=1 또는 k=-2
Ú, Û에서 k=-2
4k > 1
∴ k >
;4!
~;
⑵ Ú x에 대한 이차방정식이므로 k+ 0
Û 판별식
=32-k·3 < 0이므로
D
4
3k > 9
Ú, Û에서 k>3
∴ k > 3
⑶ 판별식 D=(-3)2-4´1´5k<0이므로
20k>9
∴ k>
;2»0;
⑷ 판별식 D=(-5)2-4´2´3k<0이므로
24k>25
∴ k>
;2@4%;
⑸ Ú x에 대한 이차방정식이므로 k+0
Û 판별식 D=(-3)2-4´k´2<0이므로
8k>9
∴ k>
;8(;
Ú, Û에서 k>
;8(;
⑹ Ú x에 대한 이차방정식이므로 k+-1
Û 판별식
=(-2)2-(k+1)´(-2)<0이므로
2k<-6
∴ k<-3
Ú, Û에서 k<-3
D
4
D
4
⑼ 판별식 D=
-
{
;2%;}
´
;3@;
;4!;
=
;1^2&;
>0
2
-4´
∴ 서로 다른 두 실근
⑽ 판별식
=(-
10 )2-1´8=2>0
D
4
∴ 서로 다른 두 실근
⑾ 판별식 D=(-
5)2-4´2´1=-3<0
'¶
'
∴ 서로 다른 두 허근
8k < 9
∴ k <
;8(;
⑵ Ú x에 대한 이차방정식이므로 k+ 0
Û 판별식
=22-k·2 > 0이므로
D
4
2k<4
∴ k<2
Ú, Û에서 k<0 또는 0<k<2
⑶ 판별식 D=(-5)2-4´1´(-3k)>0이므로
12k>-25
∴ k>-
'1@2%;
⑷ 판별식 D=(-1)2-4´3´k>0이므로
12k<1
∴ k<
';1Á2;
⑸ Ú x에 대한 이차방정식이므로 k+0
Û 판별식
=(-1)2-k´1>0이므로 k<1
Ú, Û에서 k<0 또는 0<k<1
⑹ Ú x에 대한 이차방정식이므로 k+1
Û 판별식
=(-3)2-(k-1)´(-3)>0이므로
3k+6>0
∴ k>-2
Ú, Û에서 -2<k<1 또는 k>1
07-3 ⑴ 판별식 D=52-4´1´(-2k) = 0이므로
8k = -25
∴ k = -
:ª8°:
⑵ Ú x에 대한 이차방정식이므로 k+ 0
D
4
D
4
D
4
Û 판별식
=k2-k´(-2) = 0이므로 k2+2k=0
07-5 ⑴ 판별식 D=(-5)2-4´1·3k ¾ 0이므로
k(k+2)=0
∴ k=0 또는 k=-2
Ú, Û에서 k= -2
⑶ 판별식 D=(-1)2-4´1´(k-1)=0이므로
4k=5
∴ k=
;4%;
⑷ 판별식
={-(k-1)}2-3´3=0이므로
D
4
k2-2k-8=0, (k+2)(k-4)=0
∴ k=-2 또는 k=4
⑸ Ú x에 대한 이차방정식이므로 k+0
Û 판별식 D=k2-4´k´2=0이므로 k2-8k=0
k(k-8)=0
∴ k=0 또는 k=8
Ú, Û에서 k=8
12k É 25
∴ k É
;1@2%;
⑵ Ú x에 대한 이차방정식이므로 k+ 0
Û 판별식
=32-k·5 ¾ 0이므로
5k É 9
∴ k É
;5(;
Ú, Û에서 k<0 또는 0<kÉ
;5(;
⑶ 판별식 D=72-4´1´(-4k)¾0이므로
16k¾-49
∴ k¾-
;1$6(;
⑷ 판별식
=(-6)2-4´3k¾0이므로
D
4
12kÉ36
∴ kÉ3
2. 이차방정식 | 027
⑸ Ú x에 대한 이차방정식이므로 k+0
Û 판별식 D=(-7)2-4´k´3¾0이므로
12kÉ49
∴ kÉ
;1$2(;
Ú, Û에서 k<0 또는 0<kÉ
;1$2(;
⑹ Ú x에 대한 이차방정식이므로 k+1
Û 판별식
=(-k)2-(k-1)2¾0이므로
D
4
2k¾1
∴ k¾
;2!;
Ú, Û에서 ;2!;
Ék<1 또는 k>1
D
4
D
4
D
4
D
4
D
4
D
4
07-6 ⑴ 판별식
=(k-a)2-(k2-b+2) = 0이므로
-2ak+a2+b-2 = 0
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
-2a=0, a2+b-2=0
∴ a= 0 , b= 2
⑵ 판별식 D=(2k-3)2-4´1´(k2-ak-b)=0이므로
(4a-12)k+4b+9=0에서
4a-12=0, 4b+9=0
∴ a=3, b=-
;4(;
⑶ 판별식
=(k+a)2-(k2+4k-b)=0이므로
(2a-4)k+a2+b=0에서
2a-4=0, a2+b=0
∴ a=2, b=-4
⑷ 판별식
=(k+2a)2-(k2-6k+3b)=0이므로
(4a+6)k+4a2-3b=0에서
4a+6=0, 4a2-3b=0
∴ a=-
;2#;, b=3
08-1 ⑴ 이차방정식 x2+6x-2k=0이 중근 을 가져야 하
므로 판별식
=32-1´(-2k)= 0에서
D
4
2k = -9
∴ k = -
;2(;
⑵ 이차방정식 kx2+4x+2=0의
판별식
=22-k´2=0에서 2k=4
∴ k=2
⑶ 이차방정식 x2-2kx+3k+4=0의
판별식
=(-k)2-1´(3k+4)=0에서
k2-3k-4=0, (k+1)(k-4)=0
∴ k=-1 또는 k=4
⑷ 이차방정식 x2+kx+k2-3k=0의
판별식 D=k2-4´1´(k2-3k)=0에서
k2-4k=0, k(k-4)=0
⑸ 이차방정식 kx2+4x+k+3=0의
∴ k=4 (∵k+0)
판별식
=22-k´(k+3)=0에서
k2+3k-4=0, (k-1)(k+4)=0
∴ k=1 또는 k=-4
028 정답과 풀이
09-1 ⑴ a+b=-
-4
1 }
{
= 4 , ab=
= 5
;1%;
⑵ a+b=-3, ab=-3
⑶ a+b=-5, ab=2
⑷ a+b=-
-3
2
=
;2#;, ab=
-4
2
=-2
⑸ a+b=-
;3!;, ab=-
;3$;
⑹ a+b=-
:Á7ª:, ab=-
;7*;
⑺ a+b=-3, ab=0
⑻ a+b=0, ab=6
⑼ a+b=-
2, ab=-3
'
⑽ a+b=4, ab=
2
'
⑾ a+b=-
3
2
'
2
, ab=-
;2!;
⑿ a+b=-
;3%;, ab=-
2
2
'
3
⒀ a+b=
3, ab=
'
2
'
⒁ a+b=-
=-2, ab=
2
2
'
2
'
-2
2
'
=-
2
'
09-2 ⑴ a+b= 4 , ab=2이므로
+
=
1
a
1
b
4
2
a2+b2=(a+b)2-2ab= 16 -2´2= 12
a+b
ab
= 2
=
⑵ a+b=-3, ab=-3이므로
+
=
1
b
a+b
ab
1
a
a2+b2=(a+b)2-2ab=(-3)2-2´(-3)=15
-3
-3
=1
=
⑶ a+b=-1, ab=-5이므로
+
=
1
b
a+b
ab
1
a
a2+b2=(a+b)2-2ab=(-1)2-2´(-5)=11
-1
-5
=
=
;5!;
⑷ a+b=
;2#;, ab=3이므로
1
a
+
1
b
=
´
;2#;
;3!;
=
;2!;
a2+b2=
-2´3=-
:Á4°:
2
{;2#;}
⑸ a+b=2, ab=-
;2#;이므로
1
a
1
b
+
=2´
-
{
;3@;}
=-
;3$;
a2+b2=22-2´
-
=7
{
;2#;}
⑹ a+b=-3, ab=-
;3@;이므로
1
a
1
b
+
=-3´
-
=
;2(;
;2#;}
{
a2+b2=(-3)2-2´
-
=
{
;3@;}
:£3Á:
09-3 a+b= 3 , ab=-5이므로
⑴
+
=
b
a
a
b
a2+b2
ab
=
(a+b)2-2ab
ab
=
9 -2´(-5)
-5
= -
:Á5»:
⑵ a3b+ab3 =ab(a2+b2)
=ab{(a+b)2-2ab}
=-5{32-2´(-5)}=-95
⑶ a3+b3 =(a+b)3-3ab(a+b)
=33-3´(-5)´3=72
⑷
1
a-1
+
1
b-1
=
(b-1)+(a-1)
(a-1)(b-1)
=
a+b-2
ab-(a+b)+1
=
3-2
-5-3+1
=-
;7!;
a+
⑸
{
1
b2 }{
b+
1
a2 }
=ab+
+
+
1
a
1
b
1
a2b2
=ab+
a+b
ab
+
1
(ab)2
=-5-
+
=-
;5#;
;2Á5;
139
25
09-4 ⑴ a2-3a+1=0, b2-3b+1= 0 이므로
a2-2a+2=(a2-3a+1)+a+1=a+1
b2-2b+2=(b2-3b+1)+b+1=b+1
∴ (a2-2a+2)(b2-2b+2)
=(a+1)(b+1)=ab+(a+b)+1
이때, a+b=3, ab=1이므로
(주어진 식)= 1 + 3 +1=5
⑵ a2+3a+1=(a2+2a-1)+a+2=a+2
b2+3b+1=(b2+2b-1)+b+2=b+2
∴ (a2+3a+1)(b2+3b+1)
=(a+2)(b+2)=ab+2(a+b)+4
이때, a+b= -2 , ab= -1 이므로
(주어진 식)= -1 +2´( -2 )+4=-1
⑶ a2-a+1=(a2-2a-4)+a+5=a+5
b2-b+1=(b2-2b-4)+b+5=b+5
∴ (a2-a+1)(b2-b+1)
=(a+5)(b+5)=ab+5(a+b)+25
이때, a+b=2, ab=-4이므로
(주어진 식)=-4+5´2+25=31
⑷ a2-3a+6=(a2-5a+3)+2a+3=2a+3
b2-3b+6=(b2-5b+3)+2b+3=2b+3
∴ (a2-3a+6)(b2-3b+6)
⑸ a2+a+2=(a2+4a+4)-3a-2=-3a-2
b2+b+2=(b2+4b+4)-3b-2=-3b-2
∴ (a2+a+2)(b2+b+2)
=(-3a-2)(-3b-2)=9ab+6(a+b)+4
이때, a+b=-4, ab=4이므로
(주어진 식)=9´4+6´(-4)+4=16
⑹ 2a2-3a+2=(2a2-a+1)-2a+1=-2a+1
2b2-3b+2=(2b2-b+1)-2b+1=-2b+1
∴ (2a2-3a+2)(2b2-3b+2)
=(-2a+1)(-2b+1)=4ab-2(a+b)+1
이때, a+b=
;2!;, ab=
;2!;이므로
(주어진 식)=4´
-2´
+1=2
;2!;
;2!;
⑺ 3a2-2a+1=(3a2-4a-1)+2a+2=2a+2
3b2-2b+1=(3b2-4b-1)+2b+2=2b+2
∴ (3a2-2a+1)(3b2-2b+1)
=(2a+2)(2b+2)=4ab+4(a+b)+4
이때, a+b=
;3$;, ab=-
;3!;이므로
(주어진 식)=4´
-
+4´
+4=8
{
;3!;}
;3$;
10-1 ⑴ 두 근을 2a, a로 놓으면 근과 계수의 관계에 의해
2a+a=6이므로 a=2
즉, 두 근은 2, 4이므로
2´4= k
∴ k= 8
⑵ 두 근을 a, 2a로 놓으면
a+2a=-12
∴ a=-4
즉, 두 근은 -4, -8이므로
(-4)´(-8)=2k
∴ k=16
⑶ 두 근을 3a, a로 놓으면
3a+a=-8
∴ a=-2
즉, 두 근은 -6, -2이므로
(-6)´(-2)=3k
∴ k=4
⑷ 두 근을 a, 3a로 놓으면
a+3a=4
∴ a=1
즉, 두 근은 1, 3이므로
1´3=2k-3
∴ k=3
⑸ 두 근을 3a, 2a로 놓으면
3a+2a=-10
∴ a=-2
즉, 두 근은 -6, -4이므로
(-6)´(-4)=-5k+4
∴ k=-4
⑹ 두 근을 2a, a로 놓으면
2a´a=2
∴ a=Ñ1
=(2a+3)(2b+3)=4ab+6(a+b)+9
즉, 두 근은 2, 1 또는 -2, -1이므로
이때, a+b=5, ab=3이므로
(주어진 식)=4´3+6´5+9=51
2+1=k-2 또는 -2-1=k-2
∴ k=5 또는 k=-1
2. 이차방정식 | 029
⑺ 두 근을 3a, a로 놓으면
3a´a=12
∴ a=Ñ2
즉, 두 근은 6, 2 또는 -6, -2이므로
6+2=-(k-3) 또는 -6-2=-(k-3)
∴ k=-5 또는 k=11
10-2 ⑴ 두 근을 a, a+2로 놓으면 근과 계수의 관계에 의해
a+(a+2)=6
∴ a=2
즉, 두 근은 2, 4이므로
2´4= k+7
∴ k= 1
⑵ 두 근을 a, a+1로 놓으면
a+(a+1)=5
∴ a=2
즉, 두 근은 2, 3이므로
2´3=k+1
∴ k=5
⑶ 두 근을 a, a+2로 놓으면
a+(a+2)=-8
∴ a=-5
즉, 두 근은 -5, -3이므로
(-5)´(-3)=k-1
∴ k=16
⑷ 두 근을 a, a+3으로 놓으면
a+(a+3)=-1
∴ a=-2
즉, 두 근은 -2, 1이므로
(-2)´1=k-1
∴ k=-1
⑸ 두 근을 a, a+3으로 놓으면
a(a+3)=-2이므로 a2+3a+2=0
(a+1)(a+2)=0
∴ a=-1 또는 a=-2
즉, 두 근은 -1, 2 또는 -2, 1이므로
-1+2=k 또는 -2+1=k
∴ k=1 또는 k=-1
⑹ 두 근을 a, a+1로 놓으면
a(a+1)=2이므로 a2+a-2=0
(a+2)(a-1)=0
∴ a=-2 또는 a=1
즉, 두 근은 -2, -1 또는 1, 2이므로
-2-1=-(k-2) 또는 1+2=-(k-2)
∴ k=5 또는 k=-1
⑺ 두 근을 a, a+2로 놓으면
a(a+2)=8이므로 a2+2a-8=0
(a+4)(a-2)=0
∴ a=-4 또는 a=2
즉, 두 근은 -4, -2 또는 2, 4이므로
-4-2=-(k-1) 또는 2+4=-(k-1)
∴ k=7 또는 k=-5
⑻ 두 근을 a, a+4로 놓으면
a(a+4)=-3이므로 a2+4a+3=0
(a+1)(a+3)=0
∴ a=-1 또는 a=-3
즉, 두 근은 -1, 3 또는 -3, 1이므로
-1+3=2(k-2) 또는 -3+1=2(k-2)
∴ k=3 또는 k=1
030 정답과 풀이
11-1 ⑴ 1+2=3, 1´2=2이므로
x2- 3 x+ 2 =0
⑵ (1+i)+(1-i)=2, (1+i)(1-i)=2이므로
x2- 2 x+ 2 =0
⑶ -2+3=1, -2´3=-6이므로 x2-x-6=0
'
3)=1이므로 x2-4x+1=0
'
3 i)=0,
'
3 i)=3이므로
3 i(-
'
⑷ (2+
3)+(2-
3)=4,
'
(2+
3)(2-
'
3 i+(-
⑸
'
x2+3=0
'
⑹ (
2+3 i)+(
'
(
'
x2-2
2+3 i)(
'
2 x+11=0
'
2-3 i)=2
'
2-3 i)=11이므로
'
2,
11-2 ⑴ a+b=5, ab=3에서
1
a
+
=
1
b
a+b
ab
=
;3%;,
1
a
´
1
b
=
1
ab
=
;3!;이므로
x2- ;3%; x+ ;3!; =0
⑵ a+b=-4, ab=2에서
1
a
+
=
1
b
a+b
ab
=-2,
1
a
´
1
b
=
1
ab
=
;2!;이므로
x2+2x+
=0
;2!;
⑶ a+b=1, ab=4에서
(a-1)+(b-1)=a+b-2=-1,
(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=4이므로
x2+x+4=0
⑷ a+b=-3, ab=5에서
a2+b2=(a+b)2-2ab=-1,
a2b2=(ab)2=25이므로 x2+x+25=0
12-1 ⑴ 다른 한 근이 1-
2)+( 1-
(1+
2 이다.
'
2 )=-a
∴ a= -2
'
2 )=b
∴ b= -1
3이므로
'
3)=-a
'
3)=b
∴ b=1
∴ a=-4
2-1이므로
'
2-1)=-a
'
2-1)=b
∴ a=2
∴ b=-1
'
'
(1+
2)( 1-
'
'
⑵ 다른 한 근이 2+
(2-
3)+(2+
(2-
3)(2+
'
'
⑶ 다른 한 근이 -
(
(
'
'
2-1)+(-
2-1)(-
'
주의
다른 한 근을
'
2+1로 생각하지 않도록 하자.
⑷ 다른 한 근이 3
2+5이므로
(-3
2+5)+(3
2+5)=-a
∴ a=-10
(-3
2+5)(3
'
2+5)=b
∴ b=7
'
'
'
'
12-2 ⑴ 다른 한 근이 3+2
'
2)+( 3+2
(3-2
'
2 이므로
2 )=-2a
∴ a= -3
STEP 2
50쪽~55쪽
∴ b= 1
1-1 ⑴ (a+2)x=(a-2)(a+2)에서
13-1 ⑴ 다른 한 근이 1-2i 이므로
(1+2i)+( 1-2i )=-a
∴ a= -2
1-2 ⑴ (a-1)x=(a-1)(a-3)에서
Ú a+1일 때, x=a-3
(3-2
2)( 3+2
'
⑵ 다른 한 근이 2+
'
2 )=b
'
5이므로
'
5)=a
'
5)=2b
'
(2-
5)+(2+
∴ a=4
(2-
5)(2+
∴ b=-
;2!;
⑶ 다른 한 근이 -
(
(
'
'
3-2)+(-
3-2)(-
'
3-2이므로
'
3-2)=-a
'
3-2)=-b
∴ a=4
∴ b=-1
⑷ 다른 한 근이 1+
3이므로
(1-
3)+(1+
∴ a=1
'
3)=
'
;a@;
'
'
'
'
(1-
3)(1+
3)=
'
;aB;
이때, a=1이므로 b=-2
(1+2i)( 1-2i )=b
∴ b= 5
⑵ 다른 한 근이 3+i이므로
(3-i)+(3+i)=-a
∴ a=-6
(3-i)(3+i)=b
∴ b=10
⑶ 다른 한 근이 -3i-4이므로
(3i-4)+(-3i-4)=-a
∴ a=8
(3i-4)(-3i-4)=b
∴ b=25
⑷
2
1-i
=
2(1+i)
(1-i)(1+i)
=1+i
따라서 다른 한 근이 1-i이므로
(1+i)+(1-i)=-a
∴ a=-2
(1+i)(1-i)=b
∴ b=2
13-2 ⑴ 다른 한 근이 1-4i 이므로
(1+4i)+( 1-4i )=-2a
∴ a= -1
(1+4i)( 1-4i )=b
∴ b= 17
⑵ 다른 한 근이 3+2i이므로
(3-2i)(3+2i)=2b
∴ b=
;:Á2£:
⑶ 다른 한 근이 -
2 i-1이므로
'
2i-1)+(-
2i-1)(-
2 i-1)=-a
'
2i-1)=-b
∴ a=2
∴ b=-3
⑷
=
=1+2i
'
5i(2-i)
(2+i)(2-i)
'
(
(
'
5i
2+i
따라서 다른 한 근이 1-2i이므로
(1+2i)+(1-2i)=-
∴ a=-2
;a$;
(1+2i)(1-2i)=
;aB;
이때, a=-2이므로 b=-10
Ú a+-2일 때, x=a-2
Û a=-2일 때, 0´x=0이므로 해는 무수히 많다.
⑵ (a-3)x=(a+1)(a-2)에서
Ú a+3일 때, x=
(a+1)(a-2)
a-3
Û a=3일 때, 0´x=4이므로 해는 없다.
⑶ (a+1)(a-3)x=a-3에서
Ú a+-1, a+3일 때, x=
1
a+1
Û a=-1일 때, 0´x=-4이므로 해는 없다.
Ü a=3일 때, 0´x=0이므로 해는 무수히 많다.
Û a=1일 때, 0´x=0이므로 해는 무수히 많다.
⑵ (a-2)x=(a-1)(a+3)에서
Ú a+2일 때, x=
(a-1)(a+3)
a-2
Û a=2일 때, 0´x=5이므로 해는 없다.
⑶ (a+2)(a+4)x=a+2에서
Ú a+-2, a+-4일 때, x=
1
a+4
Û a=-2일 때, 0´x=0이므로 해는 무수히 많다.
Ü a=-4일 때, 0´x=-2이므로 해는 없다.
2-1 ⑴ |x+1|=-x+1에서
Ú x¾-1일 때, x+1=-x+1
∴ x=0
-(x+1)=-x+1, 즉 0´x=2이므로 해는 없다.
Û x<-1일 때,
Ú, Û에서 x=0
Ú x¾2일 때, x-2=2x-1
∴ x=-1
그런데 x¾2이어야 하므로 해는 없다.
Û x<2일 때, -(x-2)=2x-1
∴ x=1
Ú, Û에서 x=1
⑶ |x+1|+|x-1|=6에서
Ú x<-1일 때,
-(x+1)-(x-1)=6
∴ x=-3
Û -1Éx<1일 때,
x+1-(x-1)=6, 즉 0´x=4이므로 해는 없다.
Ü x¾1일 때, (x+1)+(x-1)=6
∴ x=3
Ú, Û, Ü에서 x=-3 또는 x=3
2. 이차방정식 | 031
(3-2i)+(3+2i)=-a
∴ a=-6
⑵ |x-2|=2x-1에서
⑷ |x-2|+|x+3|=x+5에서
⑶ (x+5)(x-5)=0
∴ x=-5 또는 x=5
Ú x<-3일 때,
-(x-2)-(x+3)=x+5
∴ x=-2
그런데 x<-3이어야 하므로 해는 없다.
Û -3Éx<2일 때,
-(x-2)+(x+3)=x+5
∴ x=0
Ü x¾2일 때,
(x-2)+(x+3)=x+5
∴ x=4
Ú, Û, Ü에서 x=0 또는 x=4
2-2 ⑴ |x-1|=2x+4에서
Ú x¾1일 때,
x-1=2x+4
∴ x=-5
그런데 x¾1이어야 하므로 해는 없다.
Û x<1일 때,
-(x-1)=2x+4
∴ x=-1
Ú, Û에서 x=-1
⑵ |2x+1|=-3x+6에서
Ú x¾-
;2!;일 때,
2x+1=-3x+6
∴ x=1
Û x<-
;2!;일 때,
-(2x+1)=-3x+6
∴ x=7
그런데 x<-
;2!;이어야 하므로 해는 없다.
Ú, Û에서 x=1
⑶ |x-2|+|x+2|=10에서
Ú x<-2일 때,
-(x-2)-(x+2)=10
∴ x=-5
Û -2Éx<2일 때,
-(x-2)+(x+2)=10, 즉 0´x=6이므로 해는
없다.
Ü x¾2일 때,
(x-2)+(x+2)=10
∴ x=5
Ú, Û, Ü에서 x=-5 또는 x=5
⑷ |x|+|x-2|=x+5에서
Ú x<0일 때,
-x-(x-2)=x+5
∴ x=-1
Û 0Éx<2일 때,
x-(x-2)=x+5
∴ x=-3
그런데 0Éx<2이어야 하므로 해는 없다.
Ü x¾2일 때,
x+(x-2)=x+5
∴ x=7
Ú, Û, Ü에서 x=-1 또는 x=7
3-1 ⑴ (x+1)(x-4)=0
⑵ (x-3)2=0
∴ x=3 (중근)
∴ x=-1 또는 x=4
032 정답과 풀이
⑷ ;3!;
(x-6)2=0
∴ x=6 (중근)
3-2 ⑴ (x+2)(2x-1)=0
∴ x=-2 또는 x=
;2!;
⑵ (2x+5)2=0
∴ x=-
;2%; (중근)
⑶ (4x+3)(4x-3)=0
∴ x=-
;4#; 또는 x=
;4#;
⑷ ;2!;
(x+4)(x-4)=0
∴ x=-4 또는 x=4
4-1 ⑴ x=
-(-2)Ñ
(-2)2-1´5
"Ã
1
=2Ñi
⑵ x=
-(-1)Ñ
(-1)2-4´2´4
"Ã
2´2
=
31 i
1Ñ
'¶
4
⑶ x=
-
3Ñ
'
(
'
"Ã
3)2-1´(-4)
1
=-
3Ñ
'
7
'
4-2 ⑴ x=
-1Ñ
"Ã
12-1´(-1)
1
=-1Ñ
2
'
-(-2)Ñ
(-2)2-3´(-1)
⑵ x=
"Ã
3
=
7
2Ñ
'
3
⑶ x=
-
2Ñ
'
(
'
"Ã
2´1
2)2-4´1´5
=
-
2i
'
2Ñ3
2
"
5-1 ⑴ 주어진 식에 x=-2를 대입하면
4-2k-4k+2=0
∴ k=1
⑵ 주어진 식에 x=1을 대입하여 정리하면
k2-2k-3=0, (k+1)(k-3)=0
∴ k=-1 또는 k=3
5-2 ⑴ 주어진 식에 x=-1을 대입하면
1+2k-3k+1=0
∴ k=2
⑵ 주어진 식에 x=2를 대입하여 정리하면
k2-6k+5=0, (k-1)(k-5)=0
∴ k=1 또는 k=5
6-1 ⑴ x2-|x|-20=0에서
Ú x¾0일 때, x2-x-20=0, (x+4)(x-5)=0
∴ x=5 (∵ x¾0)
Û x<0일 때, x2+x-20=0, (x-4)(x+5)=0
∴ x=-5 (∵ x<0)
Ú, Û에서 x=5 또는 x=-5
다른 풀이
x2=|x|2이므로 주어진 방정식은
|x|2-|x|-20=0, (|x|+4)(|x|-5)=0
이때, |x|¾0이므로 |x|=5
∴ x=5 또는 x=-5
⑵ x2+|x-3|-9=0에서
Ú x¾3일 때,
x2+(x-3)-9=0, x2+x-12=0
(x-3)(x+4)=0
∴ x=3 (∵ x¾3)
Û x<3일 때,
x2-(x-3)-9=0, x2-x-6=0
(x+2)(x-3)=0
∴ x=-2 (∵ x<3)
Ú, Û에서 x=3 또는 x=-2
6-2 ⑴ x2+3|x|-28=0에서
Ú x¾0일 때,
x2+3x-28=0, (x-4)(x+7)=0
∴ x=4 (∵ x¾0)
Û x<0일 때,
x2-3x-28=0, (x+4)(x-7)=0
∴ x=-4 (∵ x<0)
Ú, Û에서 x=4 또는 x=-4
⑵ x2-2|x-1|-1=0에서
Ú x¾1일 때,
x2-2(x-1)-1=0, x2-2x+1=0
(x-1)2=0
Û x<1일 때,
∴ x=1
x2+2(x-1)-1=0, x2+2x-3=0
(x-1)(x+3)=0
∴ x=-3 (∵ x<1)
Ú, Û에서 x=1 또는 x=-3
7-1 ⑴ 판별식
=22-1´(-7)=11>0
D
4
∴ 서로 다른 두 실근
⑵ 판별식 D=32-4´1´3=-3<0
∴ 서로 다른 두 허근
D
4
=12-1´1=0
⑶ 판별식
∴ 중근(서로 같은 두 실근)
7-2 ⑴ 판별식 D=(-3)2-4´2´(-5)=49>0
∴ 서로 다른 두 실근
⑵ 판별식
=(-1)2-
´2=0
;2!;
D
4
∴ 중근(서로 같은 두 실근)
⑶ 판별식 D=(
7)2-4´1´5=-13<0
'
∴ 서로 다른 두 허근
8-1 ⑴ 판별식
=22-1´(-3k)>0이므로
3k>-4
∴ k>-
;3$;
⑵ 판별식
=(-3)2-1´(-k)=0이므로 k=-9
D
4
D
4
⑶ 판별식 D=32-4´6´k<0이므로
24k>9
∴ k>
;8#;
⑷ 판별식 D=52-4´2´(-2k)¾0이므로
16k¾-25
∴ k¾-
;1@6%;
⑸ 이차방정식 x2-8x+4k=0의
판별식
=(-4)2-1´4k=0이므로
D
4
4k=16
∴ k=4
D
4
D
4
D
4
D
4
8-2 ⑴ Ú x에 대한 이차방정식이므로 k+0
Û 판별식
=(-2)2-k´(-1)>0이므로 k>-4
Ú, Û에서 -4<k<0 또는 k>0
⑵ Ú x에 대한 이차방정식이므로 k+0
Û 판별식
=k2-4k´1=0이므로
k2-4k=0, k(k-4)=0
∴ k=0 또는 k=4
Ú, Û에서 k=4
⑶ Ú x에 대한 이차방정식이므로 k+1
Û 판별식
=22-(k-1)´3<0이므로 k>
;3&;
Ú, Û에서 k>
;3&;
⑷ Ú x에 대한 이차방정식이므로 k+-1
Û 판별식
=12-(k+1)´(-7)¾0이므로 k¾-
;7*;
Ú, Û에서 -
Ék<-1 또는 k>-1
;7*;
⑸ 이차방정식 kx2-3x-k+5=0의
판별식 D=(-3)2-4´k´(-k+5)=0이므로
4k2-20k+9=0, (2k-1)(2k-9)=0
∴ k=
;2!; 또는 k=
;2(;
9-1 a+b=2, ab=6이므로
a
b
a2+b2
ab
⑴
b
a
=
+
=
=
(a+b)2-2ab
ab
22-2´6
6
=-
;3$;
⑵ a3b+ab3 =ab(a2+b2)
=ab{(a+b)2-2ab}
=6(22-2´6)=-48
⑶
1
a-2
+
1
b-2
=
(b-2)+(a-2)
(a-2)(b-2)
=
a+b-4
ab-2(a+b)+4
=
2-4
6-2´2+4
=-
;3!;
2. 이차방정식 | 033
⑷ a2-3a+3=(a2-2a+6)-a-3=-a-3
b2-3b+3=(b2-2b+6)-b-3=-b-3
∴ (a2-3a+3)(b2-3b+3) =(-a-3)(-b-3)
=ab+3(a+b)+9
=6+3´2+9=21
9-2 a+b=-3, ab=4이므로
⑴ a2+b2 =(a+b)2-2ab
=(-3)2-2´4=1
⑵ a3+b3 =(a+b)3-3ab(a+b)
=(-3)3-3´4´(-3)=9
⑶
{
a+
1
b2 }{
b+
1
a2 }
=ab+
+
+
1
a
1
b
1
a2b2
=ab+
a+b
ab
+
1
(ab)2
=4-
+
;4#;
1
42 =
;1%6#;
⑷ a2+a+5=(a2+3a+4)-2a+1=-2a+1
b2+b+5=(b2+3b+4)-2b+1=-2b+1
∴ (a2+a+5)(b2+b+5)
=(-2a+1)(-2b+1)
=4ab-2(a+b)+1
=4´4-2´(-3)+1=23
10-1 ⑴ 두 근을 a, 2a로 놓으면
∴ a=3
a+2a=9
즉, 두 근이 3, 6이므로
3´6=3k
∴ k=6
⑵ 두 근을 a, a+1로 놓으면
a+(a+1)=13
∴ a=6
즉, 두 근이 6, 7이므로
6´7=2k
∴ k=21
10-2 ⑴ 두 근을 3a, a로 놓으면
3a´a=27
∴ a=Ñ3
즉, 두 근이 9, 3 또는 -9, -3이므로
9+3=2(k+1) 또는 -9-3=2(k+1)
∴ k=5 또는 k=-7
⑵ 두 근을 a, a+2로 놓으면
a(a+2)=15이므로 a2+2a-15=0
(a+5)(a-3)=0
∴ a=-5 또는 a=3
즉, 두 근이 -5, -3 또는 3, 5이므로
-5-3=-2k 또는 3+5=-2k
∴ k=4 또는 k=-4
034 정답과 풀이
11-1 ⑴ -1+3=2, -1´3=-3이므로
x2-2x-3=0
⑵ (-2+
2)+(-2-
2)(-2-
'
(-2+
x2+4x+2=0
⑶ (5+2i)+(5-2i)=10,
'
'
2)=-4,
'
2)=2이므로
(5+2i)(5-2i)=29이므로
x2-10x+29=0
11-2 ⑴ 3+(-5)=-2, 3´(-5)=-15이므로
5)=2,
'
5)=-4이므로
x2+2x-15=0
5)+(1-
⑵ (1+
'
(1+
5)(1-
'
'
x2-2x-4=0
5i+(-
⑶
'
x2+5=0
'
5i)=0,
5i´(-
5i)=5이므로
'
'
'
'
'
12-1 ⑴ 다른 한 근이 1-2
'
3)+(1-2
(1+2
3이므로
3)=-a
∴ a=-2
(1+2
3)(1-2
∴ b=-11
'
3)=b
'
3+1이므로
'
3+1)=-a
⑵ 다른 한 근이 -
(
3+1)+(-
(
3+1)(-
'
'
'
3+1)=b
'
∴ a=-2
∴ b=-2
12-2 ⑴ 다른 한 근이 3-2
'
2)+(3-2
(3+2
2이므로
2)=2a
∴ a=3
'
2)=b
∴ b=1
3-2이므로
2)(3-2
(3+2
'
'
⑵ 다른 한 근이 -3
'
3-2)+(-3
(3
(3
3-2)(-3
∴ b=-23
'
'
'
3-2)=b
'
3-2)=2a
∴ a=-2
13-1 ⑴ 다른 한 근이 1+3i이므로
(1-3i)+(1+3i)=-a
∴ a=-2
(1-3i)(1+3i)=b
∴ b=10
⑵ 다른 한 근이 2i+5이므로
(-2i+5)+(2i+5)=-a
∴ a=-10
(-2i+5)(2i+5)=b
∴ b=29
13-2 ⑴ 다른 한 근이 3+
'
2 i)+(3+
(3-
2 i이므로
2 i)=a
'
2 i)=2b
∴ a=6
∴ b=
:Á2Á:
'
'
(3-
2 i)(3+
⑵
4
1+i
=
'
4(1-i)
(1+i)(1-i)
=2-2i
따라서 다른 한 근이 2+2i이므로
(2-2i)+(2+2i)=a
∴ a=4
(2-2i)(2+2i)=2b
∴ b=4
그런데-2Éx<1이어야하므로해는없다.
따라서조건을만족시키는정수k의최댓값은3
STEP 3
56쪽~58쪽
01 -
;aB;
02 -2i+3
03 (a-1)(a-2)x=(a+2)(a-2)에서
Úa+1,a+2일때,x=
a+2
a-1
Ûa=1일때,0´x=-3이므로해는없다.
Üa=2일때,0´x=0이므로해는무수히많다.
04 |x+2|+|x-1|=x+7에서
Úx<-2일때,
-(x+2)-(x-1)=x+7
∴ x=-
;3*;
Û-2Éx<1일때,
(x+2)-(x-1)=x+7
∴ x=-4
Üx¾1일때,
(x+2)+(x-1)=x+7
∴ x=6
Ú,Û,Ü에서x=-;3*;또는x=6
05 x(x+2)=10x+2에서
x2+2x=10x+2,x2-8x-2=0
-(-4)Ñ
(-4)2-1´(-2)
∴x=
"Ã
1
=4Ñ3
2
'
06 |2x-2|=x2-3에서
Úx¾1일때,
2x-2=x2-3,x2-2x-1=0
근의공식에의해x=1+
2(∵x¾1)
'
Ûx<1일때,
-(2x-2)=x2-3,x2+2x-5=0
근의공식에의해x=-1-
6(∵ x<1)
'
Ú,Û에서x=1+
2또는x=-1-
6이므로
'
'
구하는모든근의합은
2-
6
'
'
07 주어진식에x=-3을대입하면
9-3(k-1)+6=0
즉,x2+5x+6=0이므로
(x+2)(x+3)=0
∴ k=6
따라서다른한근은-2이므로a=-2
∴ k+a=4
08 ㄱ.2x2+3x-2=0은
판별식D1=32-4´2´(-2)=25>0이므로
서로다른두실근을갖는다.
ㄴ.25x2-10x+1=0은
판별식
=(-5)2-25´1=0이므로
중근(서로같은두실근)을갖는다.
ㄷ.x2-
2x-2=0은
'
판별식D3=(-
서로다른두실근을갖는다.
'
ㄹ.4x2-2x+3=0은
2)2-4´1´(-2)=10>0이므로
판별식
=(-1)2-4´3=-11<0이므로
서로다른두허근을갖는다.
따라서서로다른두실근을갖는것은ㄱ,ㄷ이다.
D2
4
D4
4
09 판별식D=52-4´1´2k>0이므로
8k<25
∴ k<
:ª8°:
10 판별식D=k2-4´1´(k+3)=0이므로
k2-4k-12=0,(k+2)(k-6)=0
∴k=-2또는k=6
11 Úx에대한이차방정식이므로k+0
Û판별식D=(2k-1)2-4´k´k<0이므로
4k>1
∴ k>
;4!;
Ú,Û에서k>
;4!;이므로
조건을만족시키는정수k의최솟값은1
12 판별식
=(2k+a)2-(4k2-2k-b)=0이므로
D
4
이식이k의값에관계없이항상성립하므로
(4a+2)k+a2+b=0
4a+2=0,a2+b=0
따라서a=-
;2!;,b=-
;4!;이므로ab=
;8!;
a2-4b¾0
13 x2+ax+b=0의판별식D1=a2-4´1´b¾0이므로
yy㉠
이때,x2+(a-2)x-a+b=0의판별식
D2=(a-2)2-4´1´(-a+b)
따라서이차방정식x2+(a-2)x-a+b=0은서로다른
두실근을갖는다.
2. 이차방정식 | 035
∴ x=-2또는x=-3
=a2-4b+4>0(∵㉠)
14 이차방정식 x2+ax+2(a-2)=0이 중근을 가져야 하므
20 두 근을 a, a+1로 놓으면
로 판별식 D=a2-4´1´(2a-4)=0에서
a2-8a+16=0, (a-4)2=0
a=4를 x2-(a+2)x-3(a+5)=0에 대입하면
x2-6x-27=0이므로
(x+3)(x-9)=0
∴ x=-3 또는 x=9
∴ a=4
15 x2+4x-1=0에서 근과 계수의 관계에 의해
① a+b=-4
② ab=-1
③ a2+b2=(a+b)2-2ab=(-4)2-2´(-1)=18
④
+
=
1
a
b
a
1
b
a
b
a+b
ab
a2+b2
ab
⑤
+
=
=
-4
-1
=4
=
18
-1
=-18
16 2a2-3a+3=0, 2b2-3b+3=0이므로
1-2a+2a2=(2a2-3a+3)+a-2=a-2
1-2b+2b2=(2b2-3b+3)+b-2=b-2
∴ (1-2a+2a2)(1-2b+2b2) =(a-2)(b-2)
=ab-2(a+b)+4
이때, a+b=
;2#;, ab=
;2#;이므로
(주어진 식)=
-2´
+4=
;2#;
;2#;
;2%;
17 두 근을 a, 2a로 놓으면
a+2a=-6
∴ a=-2
즉, 두 근이 -2, -4이므로
(-2)´(-4)=-3k+2
∴ k=-2
18 두 근을 a, a+3으로 놓으면
a(a+3)=28, a2+3a-28=0
(a-4)(a+7)=0
∴ a=4 또는 a=-7
즉, 두 근이 4, 7 또는 -7, -4이므로
4+7=k+1 또는 -7-4=k+1
∴ k=10 또는 k=-12
19 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 곱이 -8이므로 두 근의
부호는 서로 다르다 .
따라서 두 근을 a, -2a로 놓으면 근과 계수의 관계에 의해
a´(-2a)= -8 , a2-4=0
(a+2)(a-2)=0
∴ a=-2 또는 a=2
즉, 두 근이 -2, 4 또는 2, -4이므로
-2+4= k-4 또는 2+(-4)= k-4
∴ k=6 또는 k= 2
036 정답과 풀이
a(a+1)=20, a2+a-20=0
(a+5)(a-4)=0
∴ a=-5 또는 a=4
즉, 두 근이 -5, -4 또는 4, 5이므로
-5+(-4)=4k+1 또는 4+5=4k+1
∴ k=-
;2%; 또는 k=2
참고
연속인 두 정수의 차는 1이다.
21 2x2-3x+6=0에서 근과 계수의 관계에 의해
a+b=
;2#;, ab=3이므로
1
a
1
b
+
=
(두 근의 합)=
a+b
ab
=
;2!;
(두 근의 곱)=
1
a
´
1
b
=
1
ab
=
;3!;
따라서 구하는 이차방정식은
x2-
6
{
;2!;
x+
;3!;}
=0
∴ 6x2-3x+2=0
22 x2+2ax-8=0에서 근과 계수의 관계에 의해
a+b=-2a
yy ㉠
yy ㉡
ab=-8
x2-bx+16=0에서 근과 계수의 관계에 의해
ab+(a+b)=b yy ㉢
ab(a+b)=16
yy ㉣
㉠, ㉡을 ㉣에 대입하면 -8´(-2a)=16
∴ a=1
㉠, ㉡을 ㉢에 대입하면 -8+(-2a)=b
이때, a=1이므로 b=-10
∴ a+b=1+(-10)=-9
23 다른 한 근이 1-
5)+(1-
(1+
5이므로
'
5)=-a
(1+
5)(1-
∴ b=-4
'
'
'
5)=b
'
∴ a=-2
∴ ab=-2´(-4)=8
24
5
1-2i
=
5(1+2i)
(1-2i)(1+2i)
=1+2i
따라서 다른 한 근이 1-2i이므로
(1+2i)+(1-2i)=-a
∴ a=-2
(1+2i)(1-2i)=b
∴ b=5
∴ ;bA;
=-
;5@;
3
이차방정식과 이차함수
STEP 1
60쪽~79쪽
01-1 ⑴
y
y=2xÛ`
⑵
y=xÛ`
y
y=;2!;xÛ`
2
1
O
y
O
1
1
x
x
⑶
-3
y=-3xÛ`
O
1
x
;2!;
02-1 ⑴ y=x2의 그래프를 x축의
방향으로 1 만큼, y축의
y=xÛ`
y
y=(x-1)Û`-1
방향으로 1 만큼 평행
이동한 것이다.
2
1
O 1
x
y
y=
(x+1)Û`-2
;3@;
⑵
⑶
2
x
y
O
-1
-3
y=-
(x-2)Û`-1
;2!;
-1
O
x
-
;3$;
-2
03-1 ⑴ y =(x-2)2-2의 그래프의
꼭짓점의 좌표 : (2, -2) , 축의 방정식 : x=2
⑵ y=2
x+
{
;4#;}
:£8Á:의 그래프의
2
+
-
꼭짓점의 좌표 :
{
;4#;, :£8Á:}
, 축의 방정식 : x=-
;4#;
⑶ y=-(x-2)2+6의 그래프의
꼭짓점의 좌표 : (2, 6), 축의 방정식 : x=2
⑷ y=-
(x-3)2+
;2!;
;2%;의 그래프의
꼭짓점의 좌표 :
{
3, ;2%;}
, 축의 방정식 : x=3
03-2 ⑴ y=(x+1)2-2의 그래
프는 y=x2의 그래프를
x축의 방향으로 -1
만큼, y축의 방향으로
y
y=xÛ`
-1
O
x
-1
-2
-2 만큼 평행이동한
y=(x+1)Û`-2
것이다.
⑵ y=-
x+
{
;2#;}
2
+
:ª4°: ⑶ y=2(x+2)2-5
y
y=2(x+2)Û`-5
y
-
;2#;
;;ª4°;;
4
O
x
-2
3
O
x
-5
y=-
x+;2#;}
{
Û`+;;ª4°;;
⑷ y=-
(x-3)2+4
;3!;
y
4
1
y=-
(x-3)Û`+4
;3~
!;
O 3
x
04-1 ⑴ 이차방정식 x2-3x+2=0에서
(x-1)(x-2)=0
∴ x=1 또는 x= 2
따라서 구하는 교점의 x좌표는 1, 2 이다.
⑵ 이차방정식 x2-6x+9=0에서
(x-3)2=0
∴ x= 3 (중근)
따라서 구하는 교점의 x좌표는 3 이다.
⑶ 이차방정식 2x2-5x-3=0에서
(x-3)(2x+1)=0
∴ x=3 또는 x=-
;2!;
따라서 구하는 교점의 x좌표는 3, -
;2!;이다.
⑷ 이차방정식 -x2+6x-5=0에서
-(x-1)(x-5)=0
∴ x=1 또는 x=5
따라서 구하는 교점의 x좌표는 1, 5이다.
⑸ 이차방정식 -4x2+4x-1=0에서
∴ x=
-(2x-1)2=0
;2!; (중근)
따라서 구하는 교점의 x좌표는 ;2!;이다.
⑹ 이차방정식 -2x2+x+3=0에서
-(x+1)(2x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=
;2#;
따라서 구하는 교점의 x좌표는 -1, ;2#;이다.
⑺ 이차방정식 x2+3x-3=0에서
-3Ñ
32-4´1´(-3)
x=
"
2´1
따라서 구하는 교점의 x좌표는
=
21
'¶
-3Ñ
2
-3Ñ
2
21
'¶
이다.
⑻ 이차방정식 2x2+8x-5=0에서
-4Ñ
42-2´(-5)
x=
"
2
26
=-2Ñ '¶
2
26
따라서 구하는 교점의 x좌표는 -2Ñ '¶
2
이다.
⑼ 이차방정식 -3x2+4x+2=0에서
-2Ñ
x=
"
22-(-3)´2
-3
=
따라서 구하는 교점의 x좌표는
10
2Ñ
'¶
3
2Ñ
'¶
3
10
이다.
3. 이차방정식과 이차함수 | 037
04-2 ⑴ 이차방정식 x2+ax+b=0의 두 근이 -1, 3 이므로
근과 계수의 관계에 의해
-1+3=-a, -1´3=b ∴ a= -2 , b= -3
⑵ 이차방정식 x2-ax-b=0의 두 근이 -2, 5이므로
-2+5=a, -2´5=-b
∴ a=3, b=10
⑶ 이차방정식 x2+ax-6=0의 두 근이 -2, b이므로
-2+b=-a, -2´b=-6
∴ a=-1, b=3
⑷ 이차방정식 -x2+4x+a=0의 두 근이 -3, b이므로
-3+b=4, -3´b=-a
∴ a=21, b=7
04-3 ⑴ 이차함수 y=x2+ax+b의 그래프가 x축과 만나
는 두 점의 x좌표가 -2 , 5이므로 이차방정식
x2+ax+b=0의 두 근이 -2 , 5이다.
근과 계수의 관계에 의해
-2+5=-a, -2´5=b ∴ a= -3 , b= -10
⑵ 이차방정식 x2+ax+b=0의 두 근이 -7, -2이므로
-7+(-2)=-a, -7´(-2)=b
∴ a=9, b=14
⑶ 이차방정식 x2+ax+b=0의 두 근이
2-
'
(2-
3, 2+
3이므로
'
3)+(2+
'
'
'
3)=b
'
(2-
3)(2+
∴ b=1
3)=-a
∴ a=-4
⑷ 이차방정식 x2+ax+b=0의 두 근이
5, -1+
5이므로
'
5)+(-1+
5)=-a
∴ a=2
(-1-
5)(-1+
∴ b=-4
'
5)=b
'
-1-
'
(-1-
'
'
04-4 주어진 이차함수의 그래프가 x축과 만나는 두 교점의
좌표를 (a, 0), (b, 0)이라 하자.
⑴ 이차방정식 x2+2x+k=0의 두 근이 a, b이므로
a+b=-2, ab=k
두 교점 사이의 거리가 4이므로
|a-b|=4에서 (a-b)2=16이고,
(a-b)2=(a+b)2- 4ab 이므로
16=4- 4k
∴ k= -3
⑵ 이차방정식 x2-x+k=0의 두 근이 a, b이므로
⑶ 이차방정식 x2-3x-k=0의 두 근이 a, b이므로
a+b= 1 , ab=k
두 교점 사이의 거리가 3이므로
|a-b|=3에서 (a-b)2=9이고,
(a-b)2=(a+b)2-4ab이므로
9= 1 -4k
∴ k= -2
a+b=3, ab=-k
두 교점 사이의 거리가 7이므로
|a-b|=7에서 (a-b)2=49이고,
(a-b)2=(a+b)2-4ab이므로
49=9+4k
∴ k=10
038 정답과 풀이
⑷ 이차방정식 x2-6x-3k=0의 두 근이 a, b이므로
⑸ 이차방정식 x2-5x+2k=0의 두 근이 a, b이므로
a+b=6, ab=-3k
3에서 (a-b)2=12이고,
'
|a-b|=2
(a-b)2=(a+b)2-4ab이므로
12=62-4´(-3k)
∴ k=-2
a+b=5, ab=2k
|a-b|=4
(a-b)2=(a+b)2-4ab이므로
2에서 (a-b)2=32이고,
'
32=52-4´2k
∴ k=-
;8&;
a+b=-2, ab=-2k
5에서 (a-b)2=20이고,
'
|a-b|=2
(a-b)2=(a+b)2-4ab이므로
20=(-2)2-4´(-2k)
∴ k=2
a+b=-6, ab=2k
|a-b|=2
(a-b)2=(a+b)2-4ab이므로
14에서 (a-b)2=56이고,
'¶
56=(-6)2-4´2k
∴ k=-
;2%;
⑹ 이차방정식 x2+2x-2k=0의 두 근이 a, b이므로
⑺ 이차방정식 x2+6x+2k=0의 두 근이 a, b이므로
05-1 ⑴ 이차방정식 x2+2x-2=0의 판별식을 D라 하면
=( 1 )2-1´(-2)= 3 >0
D
4
즉, 이차방정식 x2+2x-2=0의 실근의 개수가 2
이므로 이차함수 y=x2+2x-2의 그래프와 x축은
서로 다른 두 점에서 만난다 .
⑵ 이차방정식 -x2+x-2=0의 판별식을 D라 하면
D=( 1 )2-4´(-1)´(-2)= -7 <0
즉, 이차방정식 -x2+x-2=0의 실근의 개수가
0 이므로 이차함수 y=-x2+x-2의 그래프와 x
축은 만나지 않는다 .
⑶ 이차방정식 -x2+4x-4=0의 판별식을 D라 하면
=22-(-1)´(-4)=0
D
4
즉, 이차방정식 -x2+4x-4=0의 실근의 개수가 1
이므로 이차함수 y=-x2+4x-4의 그래프와 x축
은 한 점에서 만난다.(접한다.)
⑷ 이차방정식 -3x2+5x-1=0의 판별식을 D라 하면
D=52-4´(-3)´(-1)=13>0
따라서 이차함수 y=-3x2+5x-1의 그래프와 x
축은 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑸ 이차방정식 2x2-6x+5=0의 판별식을 D라 하면
=(-3)2-2´5=-1<0
D
4
따라서 이차함수 y=2x2-6x+5의 그래프와 x축은
만나지 않는다.
x2-2x+3=0의 판별식을 D라 하면
⑶ 이차방정식 x2-4x+3=x-4,
⑵ 이차방정식 2x2+kx+3=0이 중근 을 가져야 한다.
즉 2x2-6x+7=0의 판별식을 D라 하면
⑹ 이차방정식 ;3!;
D
4
=(-1)2-
´3=0
;3!;
따라서 이차함수 y=
x2-2x+3의 그래프와 x축
;3!;
은 한 점에서 만난다.(접한다.)
05-2 ⑴ 이차방정식 x2-3x+k=0이 서로 다른 두 실근을
가져야 한다.
x2-3x+k=0의 판별식을 D라 하면
D=(-3)2-4´1´k > 0
∴ k< ;4(;
2x2+kx+3=0의 판별식을 D라 하면
D=k2-4´2´3 = 0
∴ k= Ñ2
6
'
⑶ 이차방정식 x2+4x+2k=0이 서로 다른 두 허근을
가져야 한다.
x2+4x+2k=0의 판별식을 D라 하면
=22-1´2k < 0
∴ k > 2
D
4
D
4
D
4
D
4
⑷ 이차방정식 x2+2x-3k=0의 판별식을 D라 하면
=12 -1´(-3k)>0
∴ k>-
;3!;
⑸ 이차방정식 2x2-5x-3k=0의 판별식을 D라 하면
D=(-5)2-4´2´(-3k)>0
∴ k>-
;2@4%;
⑹ 이차방정식 3x2-2kx+5=0의 판별식을 D라 하면
=(-k)2-3´5=0
∴ k=Ñ
15
'¶
⑺ 이차방정식 x2+4x+3k=0의 판별식을 D라 하면
=22-1´3k=0
∴ k=
;3$;
⑻ 이차방정식 2x2-x+k=0의 판별식을 D라 하면
D=(-1)2-4´2´k<0
∴ k>
;8!;
⑼ 이차방정식 3x2+3x+2k=0의 판별식을 D라 하면
D=32-4´3´2k<0
∴ k>
;8#;
06-1 ⑴ 이차방정식 x2-3x-1=x-2,
즉 x2-4x+1=0의 판별식을 D라 하면
=( -2 )2-1´1= 3 >0
D
4
따라서 이차함수 y=x2-3x-1의 그래프와
직선 y=x-2는 서로 다른 두 점에서 만난다 .
⑵ 이차방정식 x2-x+5=3x+1,
즉 x2-4x+4=0의 판별식을 D라 하면
=(-2)2-1´4=0
D
4
따라서 이차함수 y=x2-x+5의 그래프와
직선 y=3x+1은 한 점에서 만난다.(접한다.)
즉 x2-5x+7=0의 판별식을 D라 하면
D=(-5)2-4´1´7=-3<0
따라서 이차함수 y=x2-4x+3의 그래프와
직선 y=x-4는 만나지 않는다.
⑷ 이차방정식 2x2-3x+4=2x+1,
즉 2x2-5x+3=0의 판별식을 D라 하면
D=(-5)2-4´2´3=1>0
따라서 이차함수 y=2x2-3x+4의 그래프와
직선 y=2x+1은 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑸ 이차방정식 2x2-7x+5=-x-2,
D
4
=(-3)2-2´7=-5<0
따라서 이차함수 y=2x2-7x+5의 그래프와
직선 y=-x-2는 만나지 않는다.
⑹ 이차방정식 3x2-4x+2=3x-2,
즉 3x2-7x+4=0의 판별식을 D라 하면
D=(-7)2-4´3´4=1>0
따라서 이차함수 y=3x2-4x+2의 그래프와
직선 y=3x-2는 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑺
이차방정식 3x2-2x+2=4x-1,
즉 x2-2x+1=0의 판별식을 D라 하면
D
4
=(-1)2-1´1=0
따라서 이차함수 y=3x2-2x+2의 그래프와 직선
y=4x-1은 한 점에서 만난다.(접한다.)
06-2 ⑴ 이차방정식 x2+x+1=2x+k,
즉 x2-x+1-k=0이 서로 다른 두 실근을 가져야
한다. 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D=(-1)2-4´1´(1-k) > 0
⑵ 이차방정식 x2+kx+3=-x+2,
∴ k >
;4#;
즉 x2+(k+1)x+1=0이 중근 을 가져야 한다.
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D=(k+1)2-4´1´1 = 0, k2+2k-3=0
(k-1)(k+3) = 0 ∴ k= 1 또는 k=-3
⑶ 이차방정식 x2+3x+2k=x-1,
즉 x2+2x+2k+1=0의 판별식을 D라 하면
D
4
=12-1´(2k+1) < 0
∴ k > 0
⑷ 이차방정식 x2+x+k=2x+3,
즉 x2-x+k-3=0의 판별식을 D라 하면
D=(-1)2-4´1´(k-3)>0
∴ k<
:Á4£:
⑸ 이차방정식 x2+3x+2k=2x-k,
즉 x2+x+3k=0의 판별식을 D라 하면
D=12-4´1´3k>0
∴ k<
;1Á2;
3. 이차방정식과 이차함수 | 039
⑹ 이차방정식 x2+kx-2=2x-k,
즉 x2+(k-2)x+k-2=0의 판별식을 D라 하면
D=(k-2)2-4´1´(k-2)=0
(k-2)(k-6)=0
∴ k=2 또는 k=6
⑺ 이차방정식 x2+3x-k=x-2k,
즉 x2+2x+k=0의 판별식을 D라 하면
07-1 ⑴ x2-2x-1=3x+5, 즉 x2-5x-6=0에서
(x+1)(x-6)=0
∴ x=-1 또는 x= 6
따라서 구하는 교점의 x좌표는 -1, 6 이다.
⑵ x2+3x-3=2x+3, 즉 x2+x-6=0에서
(x-2)(x+3)=0
∴ x=2 또는 x=-3
따라서 구하는 교점의 x좌표는 2, -3이다.
=12-1´k=0
∴ k=1
⑶ 3x2+2x-6=-2x+9, 즉 3x2+4x-15=0에서
D
4
D
4
⑻ 이차방정식 2x2+3x+k=-x+2,
즉 2x2+4x+k-2=0의 판별식을 D라 하면
=22-2´(k-2)<0
∴ k>4
06-3 ⑴ 이차방정식 x2-2kx+k2+k=mx+n,
즉 x2-(2k+m)x+k2+k-n=0의 판별식을 D
라 하면
D={-(2k+m)}2-4´1´(k2+k-n)=0
4(m-1)k+m2+4n=0
이 식이 k 에 대한 항등식이므로
4(m-1)=0, m2+4n=0
∴ m= 1 , n= -
;4!;
⑵ 이차방정식 x2+2kx+k2+1=mx+n,
즉 x2+(2k-m)x+k2-n+1=0의 판별식을 D
라 하면
D=(2k-m)2-4´1´(k2-n+1)=0
-4mk+m2+4n-4=0
이 식이 k에 대한 항등식이므로
-4m=0, m2+4n-4=0
∴ m=0, n=1
⑶ 이차방정식 x2-2kx+k2-2k=mx+n,
즉 x2-(2k+m)x+k2-2k-n=0의 판별식을 D
라 하면
D={-(2k+m)}2-4´1´(k2-2k-n)=0
4(m+2)k+m2+4n=0
이 식이 k에 대한 항등식이므로
4(m+2)=0, m2+4n=0
∴ m=-2, n=-1
⑷ 이차방정식 x2+2kx+k2+k-1=mx+n,
즉 x2+(2k-m)x+k2+k-n-1=0의 판별식을
D라 하면
D=(2k-m)2-4´1´(k2+k-n-1)=0
-4(m+1)k+m2+4n+4=0
이 식이 k에 대한 항등식이므로
-4(m+1)=0, m2+4n+4=0
∴ m=-1, n=-
;4%;
040 정답과 풀이
(x+3)(3x-5)=0
∴ x=-3 또는 x=
따라서 구하는 교점의 x좌표는 -3, ;3%;이다.
⑷ -2x2+2x+5=-3x-2, 즉 2x2-5x-7=0에서
(x+1)(2x-7)=0
∴ x=-1 또는 x=
따라서 구하는 교점의 x좌표는 -1, ;2&;이다.
;3%;
;2&;
07-2 ⑴ 이차방정식 x2-2x+1=mx+n, 즉
x2-(m+2)x-n+1=0의 두 근이 -3, 2이므로
m+2= -1 , -n+1= -6
∴ m= -3 , n= 7
⑵ 이차방정식 x2+5x-1=mx+n, 즉
x2-(m-5)x-n-1=0의 두 근이 -2, -1이므로
m-5=-3, -n-1=2
∴ m=2, n=-3
⑶ 이차방정식 x2-3x+5=mx+n, 즉
x2-(m+3)x-n+5=0의 두 근이 3, 7이므로
m+3=10, -n+5=21
∴ m=7, n=-16
⑷ 이차방정식 x2-6=mx+n, 즉
x2-mx-n-6=0의 두 근이 -4, 1이므로
m=-3, -n-6=-4
∴ m=-3, n=-2
07-3 ⑴ 계수가 모두 유리수인 이차방정식
x2-4x+1=mx+n, 즉 x2-(m+4)x-n+1=0
의 한 근이 1-
3이므로 다른 한 근은 1+
3 이다.
'
'
m+4= 2 , -n+1= -2
∴ m= -2 , n= 3
⑵ 이차방정식 x2-5x+3=mx+n, 즉
x2-(m+5)x-n+3=0의
두 근이 2-
3, 2+
3이므로
'
m+5=4, -n+3=1
'
∴ m=-1, n=2
⑶ 이차방정식 x2+3x+1=mx+n, 즉
x2-(m-3)x-n+1=0의
두 근이 3-2
2, 3+2
2이므로
'
m-3=6, -n+1=1
'
∴ m=9, n=0
⑷ 이차방정식 x2+2x-5=mx+n, 즉
x2-(m-2)x-n-5=0의
두 근이 2-3
2, 2+3
2이므로
'
m-2=4, -n-5=-14
'
∴ m=6, n=9
08-1 ⑴ y=(x-1)2+2는 이차항의 계수가 양수이므로
최댓값은 없고, 최솟값은 x= 1 일 때 2 이다.
⑷ 이차항의 계수가 ;3!;이고, x=b에서 최솟값 2를 가지
는 이차함수의 식은
⑵ y=-2(x+1)2-3은 이차항의 계수가 음수이므로
최댓값은 x= -1 일 때 -3 이고, 최솟값은 없다.
최댓값은 없고, 최솟값은 x=-2일 때 -1이다.
⑶ y=3(x+2)2-1의
⑷ y=-5(x-3)2-2의
최댓값은 x=3일 때 -2이고, 최솟값은 없다.
⑸ y=(x-2)2+1이므로
최댓값은 없고, 최솟값은 x= 2 일 때 1 이다.
⑹ y=-(x+3)2+12이므로
최댓값은 x= -3 일 때 12 이고, 최솟값은 없다.
⑺ y=
x-
{
;2%;}
:£4¦:이므로
2
-
최댓값은 없고, 최솟값은 x=
;2%;일 때 -
:£4¦:이다.
⑻ y=2
x+
{
;4&;}
:¢8Á:이므로
2
-
최댓값은 없고, 최솟값은 x=-
;4&;일 때 -
:¢8Á:이다.
⑼ y=
(x-3)2-
;2!;
;2%;이므로
최댓값은 없고, 최솟값은 x=3일 때 -
;2%;이다.
⑽ y=-
x+
{
;2&;}
:£4¦:이므로
2
+
최댓값은 x=-
;2&;일 때 :£4¦:이고, 최솟값은 없다.
⑾ y=-3
x-
{
;3!;}
;3@;이므로
2
-
최댓값은 x=
;3!;일 때 -
;3@;이고, 최솟값은 없다.
08-2 ⑴ 이차항의 계수가 1이고, x=2에서 최솟값 b를 가지
는 이차함수의 식은
y=(x-2)2+b=x2-4x+b+4
따라서 -a= -4 , 1=b+4이므로
a=4, b= -3
지는 이차함수의 식은
y=(x+3)2+b=x2+6x+b+9
따라서 a=6, 3=b+9이므로
a=6, b=-6
⑵ 이차항의 계수가 1이고, x=-3에서 최솟값 b를 가
⑶ 이차항의 계수가 2이고, x=b에서 최솟값 -5를 가
지는 이차함수의 식은
y=2(x-b)2-5=2x2-4bx+2b2-5
따라서 -1=-4b, a=2b2-5이므로
a=-
:£8»:, b=
;4!;
y=
;3!;
(x-b)2+2=
x2-
bx+
b2+2
;3!;
;3@;
;3!;
따라서 1=-
b, a=
b2+2이므로
;3@;
;3!;
a=
:Á4Á:, b=-
;2#;
⑸ 이차항의 계수가 -1이고, x=b에서 최댓값 2를 가
지는 이차함수의 식은
y=-(x-b)2+2=-x2+2bx-b2+2
따라서 6= 2b , a=-b2+2이므로 a= -7 , b=3
⑹ 이차항의 계수가 -1이고, x=-4에서 최댓값 b를
가지는 이차함수의 식은
y=-(x+4)2+b=-x2-8x+b-16
따라서 a=-8, 4=b-16이므로 a=-8, b=20
⑺ 이차항의 계수가 -3이고, x=-
;2!;에서 최댓값 3을
가지는 이차함수의 식은
y=-3
x+
{
;2!;}
2
+3=-3x2-3x+
;4(;
따라서 -a=-3, b=
;4(;이므로 a=3, b=
;4(;
⑻ 이차항의 계수가 -
;2!;이고, x=2에서 최댓값 ;4%;를
가지는 이차함수의 식은
y=-
(x-2)2+
=-
x2+2x-
;4%;
;2!;
;2!;
;4#;
따라서 -a=2, ;4B;
=-
;4#;이므로 a=-2, b=-3
y=f(x)
y
6
O 1
2
x
-2
-2
-3
y
5
4
2
y=f(x)
-4
y
5
에 포함되고
⑴ f(-2)= 6 , f(1)= -3 ,
f(2)= -2 이므로
-2ÉxÉ2에서 y=f(x)의
최댓값은 6 , 최솟값은 -3
⑵ f(-2)= 4 , f(-1)= 5 ,
f(2)= -4 이므로
-2ÉxÉ2에서 y=f(x)의
이다.
이다.
최댓값은 5 , 최솟값은 -4
-2
-1
O
x
⑶ f(-2)=-3, f(-1)=-4,
y=f(x)
f(2)=5이므로
-2ÉxÉ2에서 y=f(x)의
최댓값은 5, 최솟값은 -4이다.
-1
-2
O
2
x
-3
-4
3. 이차방정식과 이차함수 | 041
09-1 꼭짓점의 x좌표가 주어진 x의 값의 범위 (-2ÉxÉ2)
최댓값은 5, 최솟값은 -4이다.
-1
O
2
x
차항의 계수가 양이므로 주어진 이차함수는 x= 1
⑷ f(-2)=
:Á2»:, f
{;2!;}
=-3,
f(2)=
;2#;이므로
-2ÉxÉ2에서 y=f(x)의
최댓값은 :Á2»:, 최솟값은 -3이다.
-2
y=f(x)
y
;;Á2»;;
;2#;
O
2
x
-3
;2!;
⑸ f(-2)=3, f
=-1,
{;3@;}
f(2)=0이므로
-2ÉxÉ2에서 y=f(x)의
최댓값은 3, 최솟값은 -1이다.
y=f(x)
y
3
O
;3@;
-2
-1
2
x
⑹ f(-2)=4, f(-1)=5,
f(2)=-4이므로
-2ÉxÉ2에서 y=f(x)의
y
5
4
-2
-4
y=f(x)
y
-
;2!;
-2
-
;;Á4¦;
-
;;£4£;
2
O
x
-2
y=f(x)
⑺ f(-2)=-
:Á4¦:,
-
f
{
;2!;}
=-2,
f(2)=-
:£4£:이므로
-2ÉxÉ2에서 y=f(x)의
최댓값은 -2,
최솟값은 -
:£4£:이다.
⑻ f(-2)=-
:¤8°:, f
{;4!;}
=2,
f(2)=-
:£8£:이므로
-2ÉxÉ2에서 y=f(x)의
-
;;£8£;;
최댓값은 2, 최솟값은 -
:¤8°:이다.
y
2
O
-2
2
x
;4!;
-
;;¤8°;;
y=f(x)
09-2 꼭짓점의 x좌표가 주어진 x의 값의 범위 (-3ÉxÉ3)
에 포함되고
⑴ f(x)=x2+2x+2=(x+1)2+1
f(-3)= 5 , f(-1)= 1 , f(3)= 17 이므로
-3ÉxÉ3에서 y=f(x)의
최댓값은 17 , 최솟값은 1 이다.
⑵ f(x)=-x2+4x+8=-(x-2)2+12에서
f(-3)=-13, f(2)=12, f(3)=11
따라서 최댓값은 12, 최솟값은 -13이다.
042 정답과 풀이
⑶ f(x)=2x2+2x+3=2
x+
2
+
;2%;에서
{
;2!;}
f(-3)=15, f
-
=
;2%;, f(3)=27
;2!;}
{
따라서 최댓값은 27, 최솟값은 ;2%;이다.
⑷ f(x)=-x2-5x-2=-
x+
2
+
:Á4¦:에서
{
;2%;}
f(-3)=4, f
-
{
;2%;}
=
:Á4¦:, f(3)=-26
따라서 최댓값은 :Á4¦:, 최솟값은 -26이다.
⑸ f(x)=-
x2+2x-1=-
(x-2)2+1에서
;2!;
;2!;
f(-3)=-
:ª2£:, f(2)=1, f(3)=
;2!;
따라서 최댓값은 1, 최솟값은 -
:ª2£:이다.
09-3 ⑴ y=x2-2x+k=(x-1)2+k-1
꼭짓점의 x좌표 1이 x의 값의 범위에 포함되고, 이
일 때 최솟값을 갖는다.
따라서 k-1 =2이므로 k= 3
⑵ y=-x2-2x+k=-(x+1)2+k+1
꼭짓점의 x좌표 -1이 x의 값의 범위에 포함되고,
이차항의 계수가 음이므로 주어진 이차함수는
x=-1일 때 최댓값을 갖는다.
따라서 k+1=-3이므로 k=-4
⑶ y=2x2+8x+k=2(x+2)2+k-8
꼭짓점의 x좌표 -2가 x의 값의 범위에 포함되고,
이차항의 계수가 양이므로 주어진 이차함수는
x=-2일 때 최솟값을 갖는다.
따라서 k-8=-3이므로 k=5
⑷ y=-x2+6x+k=-(x-3)2+k+9
꼭짓점의 x좌표 3이 x의 값의 범위에 포함되고, 이
차항의 계수가 음이므로 주어진 이차함수는 x=3일
때 최댓값을 갖는다.
따라서 k+9=2이므로 k=-7
09-4 ⑴ f(x)=x2-2x+2k=(x-1)2+2k-1
꼭짓점의 x좌표 1이 x의 값의 범위에 포함되고,
f(0)=2k, f(1)=2k-1, f(4)=2k+8이므로
0ÉxÉ4에서 y=f(x)의 최댓값은 2k+8 이다.
따라서 2k+8 =6이므로 k= -1
2
⑵ f(x)=2x2-3x+k=2
x-
{
;4#;}
+k-
;8(;
꼭짓점의 x좌표 ;4#;이 x의 값의 범위에 포함되고,
f(-2)=k+14, f
{;4#;}
=k-
;8(;, f(2)=k+2이므로
-2ÉxÉ2에서 y=f(x)의 최댓값은 k+14이다.
따라서 k+14=4이므로 k=-10
⑶ f(x)=-x2+4x+k=-(x-2)2+k+4
꼭짓점의 x좌표 2가 x의 값의 범위에 포함되고,
f(-1)=k-5, f(2)=k+4, f(3)=k+3이므로
⑵ f(-1)= 1 ,
f(1)= -7 이므로
-1ÉxÉ1에서
-1ÉxÉ3에서 y=f(x)의 최솟값은 k-5이다.
y=f(x)의 최댓값은 1 ,
따라서 k-5=-3이므로 k=2
최솟값은 -7 이다.
⑷ f(x)=-
x2+2x+k=-
(x-2)2+k+2
;2!;
;2!;
꼭짓점의 x좌표 2가 x의 값의 범위에 포함되고,
f(0)=k, f(2)=k+2, f(3)=k+
;2#;이므로
0ÉxÉ3에서 y=f(x)의 최솟값은 k이다.
∴ k=1
09-5 ⑴ f(x)=x2-4x+k=(x-2)2+k-4
꼭짓점의 x좌표 2가 x의 값의 범위에 포함되고,
f(1)=k-3, f(2)=k-4, f(4)=k이므로
y=f(x)의 최댓값은 k, 최솟값은 k-4 이다.
따라서 k-4 =5에서 k= 9 이므로
구하는 최댓값은 9
⑵ f(x)=x2+2x+k=(x+1)2+k-1
꼭짓점의 x좌표 -1이 x의 값의 범위에 포함되고,
f(-2)=k, f(-1)=k-1, f(2)=k+8이므로
y=f(x)의 최댓값은 k+8, 최솟값은 k-1이다.
따라서 k-1=-3에서 k=-2이므로
구하는 최댓값은 6
⑶ f(x)=-x2-2x+k=-(x+1)2+k+1
꼭짓점의 x좌표 -1이 x의 값의 범위에 포함되고,
f(-2)=k, f(-1)=k+1, f(2)=k-8이므로
y=f(x)의 최댓값은 k+1, 최솟값은 k-8이다.
따라서 k+1=-2에서 k=-3이므로
구하는 최솟값은 -11
⑷ f(x)=-
x2-3x+k=-
(x+3)2+k+
;2!;
;2(;
;2!;
꼭짓점의 x좌표 -3이 x의 값의 범위에 포함되고,
f(-4)=k+4, f(-3)=k+
;2(;, f(1)=k-
;2&;이므로
y=f(x)의 최댓값은 k+
;2(;, 최솟값은 k-
;2&;이다.
따라서 k+
=2에서 k=-
;2(;
;2%;이므로
구하는 최솟값은 -6
10-1 꼭짓점의 x좌표가 주어진 x의 값의 범위 (-1ÉxÉ1)에
포함되지 않고,
⑴ f(-1)= 5 ,
f(1)= -3 이므로
-1ÉxÉ1에서
y=f(x)의 최댓값은 5 ,
최솟값은 -3 이다.
y=f(x)
y
5
1 2
x
-1
O
-3
-4
y
2
11
O
-2-1
x
y=f(x)
y=f(x)
-7
y
18
6
2
-1
O-3
1
x
y=f(x)
y
12
-1
1
O
;2#;
x
-;2!;
y
;2&;
;2!; ;8#;
-1
O 1
x
-;2#;
y
12
y
8
4
-1
1
O
-1
5
x
-24
y=f(x)
-8
y=f(x)
y
1
;4!;
O-1
x
;4%;
20
y=f(x)
⑶ f(-1)=6,
f(1)=18이므로
-1ÉxÉ1에서
y=f(x)의 최댓값은 18,
최솟값은 6이다.
⑷ f(-1)=12,
f(1)=0이므로
-1ÉxÉ1에서
y=f(x)의 최댓값은 12,
최솟값은 0이다.
⑸ f(-1)=
;2!;, f(1)=
;2&;이므로
y=f(x)
-1ÉxÉ1에서
y= f(x)의 최댓값은 ;2&;,
최솟값은 ;2!;이다.
⑹ f(-1)=-24,
f(1)=-4이므로
-1ÉxÉ1에서
y=f(x)의 최댓값은 -4,
-4
최솟값은 -24이다.
⑺ f(-1)=-8,
f(1)=4이므로
-1ÉxÉ1에서
최솟값은 -8이다.
⑻ f(-1)=-20,
f(1)=0이므로
-1ÉxÉ1에서 y=f(x)의
최댓값은 0,
최솟값은 -20이다.
y=f(x)의 최댓값은 4,
O 1
3
x
3. 이차방정식과 이차함수 | 043
10-2 꼭짓점의 x좌표가 주어진 x의 값의 범위 (0ÉxÉ2)에
y=f(x)의 최댓값은 k+27, 최솟값은 k+16 이다.
포함되지 않고
⑴ f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2
f(0)= -1 , f(2)= 7 이므로
0ÉxÉ2에서 y=f(x)의
최댓값은 7 , 최솟값은 -1 이다.
⑵ f(x)=-x2+6x+4=-(x-3)2+13에서
f(0)=4, f(2)=12
따라서 최댓값은 12, 최솟값은 4이다.
⑶ f(x)=2x2+8x+3=2(x+2)2-5에서
f(0)=3, f(2)=27
따라서 최댓값은 27, 최솟값은 3이다.
2
-
⑷ f(x)=-x2-3x-4=-
x+
{
;2#;}
;4&;에서
f(0)=-4, f(2)=-14
따라서 k+16 =2에서 k= -14 이므로
구하는 최댓값은 13
⑵ f(x)=x2+6x+k=(x+3)2+k-9
꼭짓점의 x좌표 -3이 x의 값의 범위에 포함되지 않고,
f(-2)=k-8, f(2)=k+16이므로
y=f(x)의 최댓값은 k+16, 최솟값은 k-8이다.
따라서 k-8=-1에서 k=7이므로
구하는 최댓값은 23
⑶ f(x)=-x2-3x+k=-
x+
{
;2#;}
+k+
;4(;
2
꼭짓점의 x좌표 -
;2#;이 x의 값의 범위에 포함되지
않고, f(0)=k, f(2)=k-10이므로
y=f(x)의 최댓값은 k, 최솟값은 k-10이다.
따라서 최댓값은 -4, 최솟값은 -14이다.
따라서 k=3이므로 구하는 최솟값은 -7
⑸ f(x)=-
x2+3x+
=-
(x-3)2+
;2!;
;4!;
;2!;
:Á4»:에서
f(0)=
;4!;, f(2)=
:Á4¦:
따라서 최댓값은 :Á4¦:, 최솟값은 ;4!;이다.
10-3 ⑴ f(x)=x2+2x+k=(x+1)2+k-1
꼭짓점의 x좌표 -1이 x의 값의 범위에 포함되지 않
고, f(1)= k+3 , f(3)= k+15 이므로
1ÉxÉ3에서 y=f(x)의 최솟값은 k+3이다.
따라서 k+3 =2이므로 k= -1
⑵ f(x)=-x2+x+k=-
x-
2
+k+
;4!;
{
;2!;}
꼭짓점의 x좌표 ;2!;이 x의 값의 범위에 포함되지 않고,
⑷ f(x)=-
x2-2x+k=-
(x+3)2+k+3
;3!;
;3!;
꼭짓점의 x좌표 -3이 x의 값의 범위에 포함되지 않고,
f(-1)=k+
;3%;, f(2)=k-
:Á3¤:이므로
y=f(x)의 최댓값은 k+
;3%;, 최솟값은 k-
:Á3¤:이다.
따라서 k+
=-1에서 k=-
;3%;
;3*;이므로
구하는 최솟값은 -8
11-1 ⑴ y=-(x2+2x-2)2-2(x2+2x-2)-2에서
x2+2x-2=t로 놓으면
t=(x+1)2-3이므로 t¾-3
이때, y=-t2-2t-2=-(t+1)2-1이므로
f(-2)=k-6, f(-1)=k-2이므로
yÉ -1 (∵ t¾-3)
-2ÉxÉ-1에서 y=f(x)의 최솟값은 k-6이다.
따라서 구하는 최댓값은 -1
따라서 k-6=5이므로 k=11
⑶ f(x)=x2-4x+k=(x-2)2+k-4
꼭짓점의 x좌표 2가 x의 값의 범위에 포함되지 않고,
f(-2)=k+12, f(1)=k-3이므로
-2ÉxÉ1에서 y=f(x)의 최댓값은 k+12이다.
따라서 k+12=-3이므로 k=-15
⑷ f(x)=-
x2+5x+k=-
(x-5)2+k+
;2!;
:ª2°:
;2!;
꼭짓점의 x좌표 5가 x의 값의 범위에 포함되지 않고,
f(-2)=k-12, f(4)=k+12이므로
-2ÉxÉ4에서 y= f(x)의 최댓값은 k+12이다.
따라서 k+12=10이므로 k=-2
10-4 ⑴ f(x)=x2-6x+k=(x-3)2+k-9
꼭짓점의 x좌표 3이 x의 값의 범위에 포함되지 않고,
f(-3)=k+27, f(-2)=k+16이므로
044 정답과 풀이
⑵ y=-(x2-4x+7)2+4(x2-4x+7)-2에서
x2-4x+7=t로 놓으면
t=(x-2)2+3이므로 t¾3
yÉ1 (∵ t¾3)
따라서 구하는 최댓값은 1
이때, y=-t2+4t-2=-(t-2)2+2이므로
⑶ y=-(-x2-6x+3)2-6(-x2-6x)-2에서
-x2-6x+3=t로 놓으면
t=-(x+3)2+12이므로 tÉ12
이때, y=-t2-6(t-3)-2=-(t+3)2+25이므로
yÉ25 (∵ tÉ12)
따라서 구하는 최댓값은 25
11-2 ⑴ y=(-x2-2x+3)2-4(-x2-2x+3)+1에서
-x2-2x+3=t로 놓으면
t=-(x+1)2+4이므로 tÉ4
이때, y=t2-4t+1=(t-2)2-3이므로
y¾ -3 (∵ tÉ4)
따라서 구하는 최솟값은 -3
⑵ y=(x2-6x+8)2+4(x2-6x+8)+5에서
x2-6x+8=t로 놓으면
t=(x-3)2-1이므로 t¾-1
이때, y=t2+4t+5=(t+2)2+1이므로
y¾2 (∵ t¾-1)
따라서 구하는 최솟값은 2
⑶ y=(x2+4x+1)2-4(x2+4x)-2에서
x2+4x+1=t로 놓으면 t=(x+2)2-3이므로 t¾-3
이때, y=t2-4(t-1)-2=(t-2)2-2이므로
y¾-2 (∵ t¾-3)
따라서 구하는 최솟값은 -2
⑷ y=(-x2-2x+1)2-6(-x2-2x-2)-2에서
-x2-2x+1=t로 놓으면
t=-(x+1)2+2이므로 tÉ2
이때, y=t2-6(t-3)-2=(t-3)2+7이므로
y¾8 (∵ tÉ2)
따라서 구하는 최솟값은 8
11-3 ⑴ y=(x2-2x-1)2-2(x2-2x-1)+2에서
x2-2x-1=t로 놓으면 t=(x-1)2-2이므로
-2ÉtÉ 2 (∵ -1ÉxÉ2)
이때, y=t2-2t+2=(t-1)2+1이므로
1ÉyÉ 10 (∵ -2ÉtÉ 2 )
따라서 구하는 최댓값은 10 , 최솟값은 1
⑵ y=(x2+4x-10)2+12(x2+4x-10)+32에서
x2+4x-10=t로 놓으면 t=(x+2)2-14이므로
-13ÉtÉ2 (∵ -1ÉxÉ2)
이때, y=t2+12t+32=(t+6)2-4이므로
-4ÉyÉ60 (∵ -13ÉtÉ2)
따라서 구하는 최댓값은 60, 최솟값은 -4
⑶ y=(-x2+2x+2)2+4(-x2+2x)+5에서
-x2+2x+2=t로 놓으면 t=-(x-1)2+3이므로
-1ÉtÉ3 (∵ -1ÉxÉ2)
이때, y=t2+4(t-2)+5=(t+2)2-7이므로
-6ÉyÉ18 (∵ -1ÉtÉ3)
따라서 구하는 최댓값은 18, 최솟값은 -6
⑷ y=-(-x2-4x+5)2+6(-x2-4x)+40에서
-x2-4x+5=t로 놓으면 t=-(x+2)2+9이므로
-7ÉtÉ8 (∵ -1ÉxÉ2)
이때, y=-t2+6(t-5)+40=-(t-3)2+19이므로
-81ÉyÉ19 (∵ -7ÉtÉ8)
따라서 구하는 최댓값은 19, 최솟값은 -81
STEP 2
80쪽~83쪽
1-1 ⑴ 이차방정식 x2-2x-24=0에서
(x+4)(x-6)=0
∴ x=-4 또는 x=6
따라서 구하는 교점의 x좌표는 -4, 6
⑵ 이차방정식 x2-2x+1=0에서
(x-1)2=0
∴ x=1 (중근)
따라서 구하는 교점의 x좌표는 1
1-2 ⑴ x2+4x-2=-2x+5, 즉 x2+6x-7=0에서
∴ x=1 또는 x=-7
(x-1)(x+7)=0
따라서 구하는 교점의 x좌표는 1, -7
⑵ x2-3x+2=2x-1, 즉 x2-5x+3=0에서
-(-5)Ñ
x=
(-5)2-4´1´3
"Ã
2´1
=
13
5Ñ
'¶
2
따라서 구하는 교점의 x좌표는
13
5Ñ
'¶
2
2-1 ⑴ x2+ax+b=0의 두 근이 -1, -2이므로
⑵ x2-ax-4=0의 두 근이 -2, b이므로
-a=-3, b=2
∴ a=3, b=2
a=-2+b, -4=-2b
⑶ x2+ax+b=0의 두 근이 -3, 1이므로
∴ a=0, b=2
-a=-2, b=-3
∴ a=2, b=-3
2-2 ⑴ ax2-x-1=bx+1, 즉 ax2-(b+1)x-2=0의
두 근이 -1, 4이므로
=3, -
=-4
∴ a=
;a@;
;2!;, b=
;2!;
⑵ -x2+ax-2=-x+b, 즉
x2-(a+1)x+b+2=0의 두 근이 2-
3, 2+
3이
'
'
b+1
a
므로
D
4
D
4
a+1=4, b+2=1
∴ a=3, b=-1
3-1 ⑴ x2+8x+k=0의 판별식을 D라 하면
=42-1´k>0
∴ k<16
⑵ x2-4x+k=0의 판별식을 D라 하면
=(-2)2-1´k=0
∴ k=4
⑶ x2-5x+3k=0의 판별식을 D라 하면
D=(-5)2-4´1´3k<0
∴ k>
;1@2%;
3-2 ⑴ x2-2x+1=-x+k, 즉 x2-x-k+1=0의 판별식
을 D라 하면
D=(-1)2-4´1´(-k+1)>0
∴ k>
;4#;
3. 이차방정식과 이차함수 | 045
⑵ x2+x-k=3x, 즉 x2-2x-k=0의 판별식을 D라
5-2 ⑴ 이차항의 계수가 1이고, x=-1에서 최솟값 b를 가지
4-1 이차함수의 그래프가 x축과 만나는 두 교점의 좌표를
a=3, b=2
하면
D
4
=(-1)2-1´(-k)=0
∴ k=-1
⑶ 2x2-3x-1=3x-k, 즉 2x2-6x+k-1=0의 판
별식을 D라 하면
D
4
=(-3)2-2´(k-1)<0
∴ k>
:Á2Á:
(a, 0), (b, 0)이라 하자.
⑴ x2+3x-k=0의 두 근이 a, b이므로
a+b=-3, ab=-k
|a-b|=5에서 (a-b)2=25이고,
(a-b)2=(a+b)2-4ab이므로
25=(-3)2-4´(-k)
∴ k=4
⑵ x2-x+2k=0의 두 근이 a, b이므로
a+b=1, ab=2k
|a-b|=
(a-b)2=(a+b)2-4ab이므로
7에서 (a-b)2=7이고,
'
7=12-4´2k
∴ k=-
;4#;
4-2 ⑴ x2+2kx+k2-2k=mx+n, 즉
x2+(2k-m)x+k2-2k-n=0의 판별식을 D라
D=(2k-m)2-4´1´(k2-2k-n)=0에서
-4(m-2)k+m2+4n=0이므로
-4(m-2)=0, m2+4n=0
∴ m=2, n=-1
⑵ x2+2kx+k2+k-2=mx+n, 즉
x2+(2k-m)x+k2+k-n-2=0의 판별식을 D라
하면
하면
D=(2k-m)2-4´1´(k2+k-n-2)=0에서
-4(m+1)k+m2+4n+8=0이므로
-4(m+1)=0, m2+4n+8=0
∴ m=-1, n=-
;4(;
5-1 ⑴ 이차항의 계수가 1이고, x=b에서 최솟값 3을 가지는
이차함수의 식은
y=(x-b)2+3=x2-2bx+b2+3
따라서 -2=-2b, a=b2+3이므로 a=4, b=1
⑵ 이차항의 계수가 -1이고, x=3에서 최댓값 b를 가지
는 이차함수의 식은
y=(x+1)2+b=x2+2x+b+1
따라서 -2a=2, 2=b+1이므로
a=-1, b=1
⑵ 이차항의 계수가 -2이고, x=b에서 최댓값 5를 가지
는 이차함수의 식은
y=-2(x-b)2+5=-2x2+4bx-2b2+5
따라서 8=4b, -a=-2b2+5이므로
6-1 -1ÉxÉ2이므로
⑴ 꼭짓점의 x좌표 1이 x의 값의 범위에 포함되고,
f(-1)=8, f(1)=4, f(2)=5이므로
y=f(x)의 최댓값은 8, 최솟값은 4
⑵ 꼭짓점의 x좌표 -2가 x의 값의 범위에 포함되지 않고,
f(-1)=-2, f(2)=-17이므로
y=f(x)의 최댓값은 -2, 최솟값은 -17
⑶ f(x)=-x2+4x+3=-(x-2)2+7
꼭짓점의 x좌표 2가 x의 값의 범위에 포함되고,
f(-1)=-2, f(2)=7이므로
y=f(x)의 최댓값은 7, 최솟값은 -2
⑷ f(x)=x2-6x+2=(x-3)2-7
꼭짓점의 x좌표 3이 x의 값의 범위에 포함되지 않고,
f(-1)=9, f(2)=-6이므로
y=f(x)의 최댓값은 9, 최솟값은 -6
6-2 -3ÉxÉ1이므로
⑴ 꼭짓점의 x좌표 -
;2!;이 x의 값의 범위에 포함되고,
f(-3)=-23, f
-
{
y=f(x)의 최댓값은 2, 최솟값은 -23
;2!;}
=2, f(1)=-7이므로
⑵ 꼭짓점의 x좌표 -4가 x의 값의 범위에 포함되지 않고,
f(-3)=-1, f(1)=23이므로
y=f(x)의 최댓값은 23, 최솟값은 -1
⑶ f(x)=x2+4x-1=(x+2)2-5
꼭짓점의 x좌표 -2가 x의 값의 범위에 포함되고,
f(-3)=-4, f(-2)=-5, f(1)=4이므로
y=f(x)의 최댓값은 4, 최솟값은 -5
⑷ f(x)=x2-3x+1=
x-
2
-
{
;2#;}
;4%;
꼭짓점의 x좌표 ;2#;이 x의 값의 범위에 포함되지 않고,
f(-3)=19, f(1)=-1이므로
y=f(x)의 최댓값은 19, 최솟값은 -1
는 이차함수의 식은
y=-(x-3)2+b=-x2+6x+b-9
7-1 ⑴ f(x)=x2+2x+k=(x+1)2+k-1이므로
-2ÉxÉ0에서 y=f(x)의 최솟값은 k-1이다.
따라서 a=6, -5=b-9이므로 a=6, b=4
즉, k-1=-4이므로 k=-3
046 정답과 풀이
⑵ f(x)=-2x2+12x-k=-2(x-3)2-k+18이므로
-1ÉxÉ4에서 y=f(x)의 최댓값은 -k+18이다.
즉, -k+18=4이므로 k=14
⑶ f(x)=x2+4x-2k=(x+2)2-2k-4이므로
STEP 3
84쪽~86쪽
01 1, 3
02 최댓값 -2
-2ÉxÉ2에서 y=f(x)의
최댓값은 f(2)=-2k+12,
최솟값은 f(-2)=-2k-4이다.
즉, -2k-4=-6에서 k=1이므로
구하는 최댓값은 10
7-2 ⑴ f(x)=x2-2x-k=(x-1)2-k-1이므로
-3ÉxÉ-1에서 y=f(x)의
최솟값은 f(-1)=-k+3이다.
즉, -k+3=-2이므로 k=5
⑵ f(x)=-x2+6x+k=-(x-3)2+k+9이므로
-1ÉxÉ2에서 y=f(x)의
최댓값은 f(2)=k+8이다.
즉, k+8=4이므로 k=-4
⑶ f(x)=x2+4x+3k=(x+2)2+3k-4이므로
1ÉxÉ2에서 y=f(x)의 최댓값은 f(2)=3k+12,
최솟값은 f(1)=3k+5이다.
즉, 3k+12=9에서 k=-1이므로
구하는 최솟값은 2
8-1 ⑴ y=-(x2+4)2+2(x2+4)-1에서
x2+4=t로 놓으면 t¾4
이때, y=-t2+2t-1=-(t-1)2이므로
yÉ-9 (∵ t¾4)
따라서 구하는 최댓값은 -9
⑵ y=-(x2+4x+2)2+6(x2+4x+2)-10에서
x2+4x+2=t로 놓으면 t=(x+2)2-2이므로
-1ÉtÉ7 (∵ -1ÉxÉ1)
이때, y=-t2+6t-10=-(t-3)2-1이므로
-17ÉyÉ-1 (∵ -1ÉtÉ7)
따라서 구하는 최댓값은 -1, 최솟값은 -17
8-2 ⑴ y=(x2+10x+20)2-2(x2+10x+10)-12에서
x2+10x+20=t로 놓으면
t=(x+5)2-5이므로 t¾-5
이때, y=t2-2(t-10)-12=(t-1)2+7이므로
y¾7 (∵ t¾-5)
따라서 구하는 최솟값은 7
⑵ y=(-x2+8x-9)2+2(-x2+8x)-30에서
-x2+8x-9=t로 놓으면 t=-(x-4)2+7이므로
-2ÉtÉ3 (∵ 1ÉxÉ2)
이때, y=t2+2(t+9)-30=(t+1)2-13이므로
-13ÉyÉ3 (∵ -2ÉtÉ3)
따라서 구하는 최댓값은 3, 최솟값은 -13
03 이차방정식 2x2-7x+3=0에서
(x-3)(2x-1)=0
∴ x=3 또는 x=
;2!;
따라서 구하는 교점의 x좌표는 3, ;2!;
04 x2+4x+a=0의 두 근이 -3, b이므로
-4=-3+b, a=-3b
∴ a=3, b=-1
05 2x2-6x+k=0의 두 근을 a, b라 하면
a+b=3, ab=
;2K;
|a-b|=2에서 (a-b)2=4이고,
(a-b)2=(a+b)2-4ab이므로
4=32-4´
;2K;
∴ k=
;2%;
06 ㄱ. -x2+2x-1=0의 판별식을 D1이라 하면
=12-(-1)´(-1)=0
ㄴ. 3x2+4x-4=0의 판별식을 D2라 하면
=22-3´(-4)=16>0
ㄷ. 2x2+6x+5=0의 판별식을 D3이라 하면
=32-2´5=-1<0
D1
4
D2
4
D3
4
ㄹ. -x2+3x+4=0의 판별식을 D4라 하면
D4=32-4´(-1)´4=25>0
따라서 보기의 이차함수의 그래프와 x축이 서로 다른 두
점에서 만나는 것은 ㄴ, ㄹ이다.
07 이차방정식 x2+5x+k=0의 판별식을 D라 하면
D=52-4´1´k>0
∴ k<
:ª4°:
따라서 조건을 만족시키는 자연수 k의 최댓값은 6
08 x2-kx+2k-1=0의 판별식을 D라 하면
D=(-k)2-4´1´(2k-1)=0
이때, k2-8k+4=0을 만족시키는 모든 실수 k의 값의 합
은 근과 계수의 관계에 의해 8
09 x2-4x-2k=-3x-1, 즉 x2-x-2k+1=0의 판별식
을 D라 하면
D=(-1)2-4´1´(-2k+1)<0
∴ k<
;8#;
3. 이차방정식과 이차함수 | 047
10 x2+2(k+a)x+k2-k+b=0의 판별식을 D라 하면
18 f(x)=
;2!;
x2-2x-3=
(x-2)2-5이므로
;2!;
=(k+a)2-(k2-k+b)=0에서
D
4
(2a+1)k+a2-b=0
이 식이 k에 대한 항등식이므로
2a+1=0, a2-b=0
∴ a=-
;2!;, b=
;4!;
11 x2-2kx+k2+3k+1=mx+n, 즉
D={-(2k+m)}2-4´1´(k2+3k-n+1)=0에서
x2-(2k+m)x+k2+3k-n+1=0의 판별식을 D라 하면
4(m-3)k+m2+4n-4=0
이 식이 k에 대한 항등식이므로
4(m-3)=0, m2+4n-4=0
∴ m=3, n=-
;4%;
12 x2-9x-10=-4x+4, 즉 x2-5x-14=0에서
∴ x=-2 또는 x=7
(x+2)(x-7)=0
따라서 교점의 x좌표가 -2, 7이므로
구하는 교점의 좌표는 (-2, 12), (7, -24)이다.
13 x2+ax-3=x+b, 즉 x2+(a-1)x-b-3=0의
두 근이 -2, 2이므로 근과 계수의 관계에 의해
-(a-1)=0, -b-3=-4
∴ a=1, b=1
14 x2-3x-5=mx+n, 즉 x2-(m+3)x-n-5=0의
2이므로 다른 한 근은 3-
한 근이 3+
2이다.
'
'
근과 계수의 관계에 의해
m+3=6, -n-5=7
∴ m=3, n=-12
15 y=
;3!;
x2+2x-5=
(x+3)2-8
;3!;
따라서 주어진 함수는 x=-3에서 최솟값 -8을 가지므
로 a=-3, b=-8
16 이차항의 계수가 -1이고, x=2에서 최댓값 b를 가지는
이차함수의 식은
y=-(x-2)2+b=-x2+4x+b-4
따라서 2a=4, -3=b-4이므로 a=2, b=1
17 f(x)=-2x2+4x+1=-2(x-1)2+3이므로
0ÉxÉ3에서 y=f(x)의 최댓값은 f(1)=3, 최솟값은
f(3)=-5이다.
따라서 M=3, m=-5이므로
M+m=-2
048 정답과 풀이
-4ÉxÉ-2에서 y=f(x)의 최댓값은 f(-4)=13, 최
솟값은 f(-2)=3이다.
따라서 M=13, m=3이므로
Mm=39
19 f(x)=x2+4x+k+1=(x+2)2+k-3이므로
0ÉxÉ3에서 y=f(x)의 최솟값은 f(0)=k+1이다.
따라서 k+1=2이므로 k=1
20 f(x)=x2-x+k-2=
x-
{
;2!;}
+k-
;4(;이므로
2
-1ÉxÉ2에서 y=f(x)의 최댓값은 f(-1)=f(2)=k,
최솟값은 f
{;2!;}
=k-
;4(;이다.
따라서 k=3이므로 구하는 최솟값은 ;4#;
21 f(x)=ax2-4ax+b=a(x-2)2-4a+b
a>0이므로 -1ÉxÉ3에서 y= f(x)의
최댓값은 f(-1)=5a+b, 최솟값은 f(2)=-4a+b이다.
따라서 5a+b=4, -4a+b=-5이므로
두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-1
22 y=-(x2-4x+5)2-2(x2-4x+5)+4에서
x2-4x+5=t로 놓으면
t=(x-2)2+1이므로 t¾1
이때, y=-t2-2t+4=-(t+1)2+5이므로
yÉ1 (∵ t¾1)
따라서 구하는 최댓값은 1
23 y=(x2+x-1)2-2(x2+x-1)+5에서
x2+x-1=t로 놓으면
t=
x+
{
;2!;}
;4%;이므로 t¾-
;4%;
2
-
이때, y=t2-2t+5=(t-1)2+4이므로
y¾4
{
∵ t¾-
;4%;}
따라서 구하는 최솟값은 4
24 y=
;4!;
(-x2+2x+5)2+(-x2+2x)-1에서
-x2+2x+5=t로 놓으면 t=-(x-1)2+6이므로
-3ÉtÉ2 (∵ -2ÉxÉ-1)
이때, y=
t2+(t-5)-1=
(t+2)2-7이므로
;4!;
;4!;
-7ÉyÉ-3 (∵ -3ÉtÉ2)
따라서 구하는 최댓값은 -3, 최솟값은 -7
4
여러 가지 방정식
STEP 1
88쪽~107쪽
01-1 ⑴ x3-4x = x (x2-4)= x (x+2)(x-2)
⑵ 8x3-27 =(2x)3-33=( 2x-3 )(4x2+6x+9)
⑶ f(x)=x3-3x2-5x+7로 놓으면 f(1)=0이므로
1
1 -3 -5
7
1 -2 -7
1 -2 -7
0
x3-3x2-5x+7=( x-1 )(x2-2x- 7 )
01-2 ⑴ x3+x2-2x =x(x2+x-2)=x(x-1)(x+2)
⑵ x3+6x2+5x =x(x2+6x+5)=x(x+1)(x+5)
⑶ x3+64=x3+43=(x+4)(x2-4x+16)
⑷ 27x3-125 =(3x)3-53
=(3x-5)(9x2+15x+25)
⑸ f(x)=x3-2x2+1로 놓으면 f(1)=0이므로
1
1 -2
0
1 -1 -1
1 -1 -1
x3-2x2+1=(x-1)(x2-x-1)
⑹ f(x)=x3-3x2+6x-8로 놓으면 f(2)=0이므로
2
1 -3
6 -8
2 -2
1 -1
4
x3-3x2+6x-8=(x-2)(x2-x+4)
1
0
8
0
02-1 ⑴ x3-7x2+12x =x(x2-7x+12)
=x(x-3)(x- 4 )
즉, x(x-3)(x- 4 )=0이므로
x=0 또는 x=3 또는 x= 4
⑵ x3+x2-6x =x(x2+x-6)=x(x-2)(x+3)
즉, x(x-2)(x+3)=0이므로
x=0 또는 x=2 또는 x=-3
⑶ x3-8x2-20x =x(x2-8x-20)
=x(x+2)(x-10)
즉, x(x+2)(x-10)=0이므로
x=0 또는 x=-2 또는 x=10
⑷ x3+6x2-16x =x(x2+6x-16)
=x(x-2)(x+8)
즉, x(x-2)(x+8)=0이므로
x=0 또는 x=2 또는 x=-8
02-2 ⑴ (x-1)(x2+x+1)=0이므로
x=1 또는 x=
3i
-1Ñ
'
2
⑵ (x+1)(x2-x+1)=0이므로
x=-1 또는 x=
3i
1Ñ
'
2
⑶ (x-2)(x2+2x+4)=0이므로
x=2 또는 x=-1Ñ
3i
'
⑷ (x+3)(x2-3x+9)=0이므로
x=-3 또는 x=
3i
3Ñ3
2
'
⑸ (2x-3)(4x2+6x+9)=0이므로
x=
;2#; 또는 x=
-3Ñ3
3i
'
4
⑹ (3x-2)(9x2+6x+4)=0이므로
x=
;3@; 또는 x=
-3Ñ3
3i
'
9
02-3 ⑴ f(x)=x3-6x2+11x-6이라 하면 f(1)=0이므로
1
1 -6 -11 -6
1
1-5
1-6
1 -5
6
0
f(x) =( x-1 )(x2-5x+6)
즉, (x-1)(x-2)(x-3)=0이므로
x=1 또는 x= 2 또는 x= 3
⑵ f(x)=x3-3x2-6x+8이라 하면 f(1)=0이므로
1
1 -3 -6
1 -2 -8
1 -2 -8
8
0
f(x) =(x-1)(x2-2x-8)
즉, (x-1)(x+2)(x-4)=0이므로
x=1 또는 x=-2 또는 x=4
⑶ f(x)=x3+2x2-5x-6이라 하면 f(-1)=0이므로
-1
2 -5 -6
1
1
-1 -1
1 -6
6
0
f(x) =(x+1)(x2+x-6)
즉, (x+1)(x-2)(x+3)=0이므로
x=-1 또는 x=2 또는 x=-3
⑷ f(x)=x3+9x2+23x+15라 하면 f(-1)=0이므로
-1
1
1
-1
9
8
23
15
-8 -15
0
15
f(x) =(x+1)(x2+8x+15)
즉, (x+1)(x+3)(x+5)=0이므로
x=-1 또는 x=-3 또는 x=-5
4. 여러 가지 방정식 | 049
⑸ f(x)=x3-4x2+4x-1이라 하면 f(1)=0이므로
⑵ f(x)=x3+ax2+x+2라 하면 f(-1)=0이므로
⑹ f(x)=x3-5x2-4x+2라 하면 f(-1)=0이므로
⑹ f(x)=2x3-4x2+ax-3이라 하면 f(3)=0이므로
54-36+3a-3=0
∴ a=-5
1
1 -4
4 -1
1 -3
1 -3
1
1
0
f(x)=(x-1)(x2-3x+1)
즉, (x-1)(x2-3x+1)=0이므로
x=1 또는 x=
5
3Ñ
'
2
-1
1 -5 -4
-1
6 -2
1 -6
2
2
0
f(x)=(x+1)(x2-6x+2)
즉, (x+1)(x2-6x+2)=0이므로
x=-1 또는 x=3Ñ
7
'
⑺ f(x)=x3-x2-14x+24라 하면 f(2)=0이므로
2
1 -1 -14
24
2
1-2 -24
1
1 -12
0
f(x)=(x-2)(x2+x-12)
즉, (x-2)(x-3)(x+4)=0이므로
x=2 또는 x=3 또는 x=-4
⑻ f(x)=x3+3x2-x-6이라 하면 f(-2)=0이므로
⑼ f(x)=2x3+3x2+4x-3이라 하면 f
=0이므로
{;2!;}
1
1
2
2
-2
3 -1 -6
-2 -2
1 -3
6
0
f(x)=(x+2)(x2+x-3)
즉, (x+2)(x2+x-3)=0이므로
x=-2 또는 x=
13
-1Ñ
'¶
2
;2!;
3
1
4
4 -3
2
6
3
0
f(x)=
x-
{
;2!;}
(2x2+4x+6)
즉, (2x-1)(x2+2x+3)=0이므로
x=
;2!; 또는 x=-1Ñ
'
2i
02-4 ⑴ f(x)=x3-ax2-5x+3이라 하면 f(1)= 0 이므로
1-a-5+3= 0
∴ a= -1
050 정답과 풀이
-1+a-1+2=0
∴ a=0
⑶ f(x)=x3-x2+ax+6이라 하면 f(2)=0이므로
8-4+2a+6=0
∴ a=-5
⑷ f(x)=x3-3x2+ax+2라 하면 f(-2)=0이므로
-8-12-2a+2=0
∴ a=-9
⑸ f(x)=2x3-x2+ax-6이라 하면 f(-1)=0이므로
-2-1-a-6=0
∴ a=-9
02-5 ⑴ f(x)=x3+ax2-5x-2라 하면 f(-1)= 0 이므로
∴ a= -2
-1+a+5-2=0
따라서 f(x)=x3-2x2-5x-2이므로
-1
1 -2 -5 -2
-1
3
1 -3 -2
2
0
f(x)=(x+1)(x2-3x-2)
즉, (x+1)(x2-3x-2)=0이므로
x=-1 또는 x=
17
3Ñ
'¶
2
따라서 구하는 나머지 두 근은 x=
17
3Ñ
'¶
2
⑵ f(x)=x3-6x2+ax+10이라 하면 f(2)=0이므로
8-24+2a+10=0
따라서 f(x)=x3-6x2+3x+10이므로
∴ a=3
2
1 -6
3
10
2 -8 -10
1 -4 -5
0
f(x) =(x-2)(x2-4x-5)
즉, (x-2)(x+1)(x-5)=0이므로
x=2 또는 x=-1 또는 x=5
따라서 구하는 나머지 두 근은 x=-1 또는 x=5
⑶ f(x)=x3-x2+ax+21이라 하면 f(-3)=0이므로
∴ a=-5
-27-9-3a+21=0
따라서 f(x)=x3-x2-5x+21이므로
-3
1 -1
-5
21
-3
1 -4
12 -21
0
7
f(x)=(x+3)(x2-4x+7)
즉, (x+3)(x2-4x+7)=0이므로
x=-3 또는 x=2Ñ
3i
'
따라서 구하는 나머지 두 근은 x=2Ñ
3i
'
03-1 ⑴ f(x)=x4+x3-3x2-x+2라 하면
f(1)=0, f(-1)=0이므로
⑹ f(x)=x4+2x3-8x-16이라 하면
f(2)=0, f(-2)=0이므로
1
1 -1 -3 -1
-1 -2 -1 -2
-1
1 -2 -1 -2
-1 -1 -2
1 -1 -2 -0
x4+x3-3x2-x+2 =(x-1)(x+1)(x2+x-2 )
=(x-1)2( x+1 )(x+2)
⑵ f(x)=x4+x3+7x2+9x-18이라 하면
f(1)=0, f(-2)=0이므로
-2
1
1 -1 -7 -19 -18
-1 -2 -19
1 -2 -9 -18
-2 -0 -18
1 -0 -9 -0
x4+x3+7x2+9x-18=(x-1)(x+2)(x2+9)
⑶ f(x)=x4-3x2-14x-12라 하면
f(-1)=0, f(3)=0이므로
3
-1
1 -0 -3 -14 -12
-1 -1 -12
1 -1 -2 -12
-3 -6 -12
1 -2 -4 -0
2
0
18
0
12
0
⑷ f(x)=x4-3x3-2x2+7x-3이라 하면
f(1)=0, f(3)=0이므로
1
3
1 -3 -2
7 -3
-1 -2 -4
1 -2 -4 -3
-3 -3 -3
1 -1 -1 -0
3
0
⑸ f(x)=x4+8x3+14x2+x-6이라 하면
f(-1)=0, f(-2)=0이므로
-1
1 -8 -14 -1 -6
-2
1 -7
-1
1-7 -7
1-7 -6
-2 -10 -6
1-3 -0
1 -5
6
0
2
1 -2 -0
1-8 -16
-2
-2 -8
1 -4 -8
-2 -4
1 -2 -4
16
1-8
1-8
1-0
x4+2x3-8x-16=(x-2)(x+2)(x2+2x+4)
⑺ f(x)=x4-2x3-4x2+5x-6이라 하면
f(-2)=0, f(3)=0이므로
-2
1 -2 -4 -5 -6
-2 -8 -8
3
1 -4 -4 -3
-3 -3 -3
1 -1 -1 -0
16
0
6
0
x4-2x3-4x2+5x-6=(x+2)(x-3)(x2-x+1)
04-1 ⑴ f(x)=x4-2x3-7x2+8x+12라 하면
f(-1)=0, f(2)=0이므로
-1
1 -2 -7
1-8
12
-1 -3
1-4 -12
2
1 -3 -4 -12
0
-2 -2 -12
1 -1 -6 -0
f(x) =(x+1)(x-2)( x2-x-6 )
x=-1 또는 x=2 또는 x=-2 또는 x= 3
⑵ f(x)=x4+x3-13x2-x+12라 하면
f(1)=0, f(-1)=0이므로
-1
1
1 -1 -13
1-1
12
-1
1-2 -11 -12
1 -2 -11 -12
1-1 -12
1 -1 -12 -10
-1
0
즉, (x-1)(x+1)(x-3)(x+4)=0이므로
x=1 또는 x=-1 또는 x=3 또는 x=-4
⑶ f(x)=x4-6x2+3x+2라 하면
f(1)=0, f(2)=0이므로
1
2
1 -0 -6 -3
-1 -1 -5 -2
2
0
1 -1 -5 -2
-2 -6 -2
1 -3 -1 -0
x4-3x2-14x-12=(x+1)(x-3)(x2+2x+4)
즉, (x+1)(x-2)(x+2)(x- 3 )=0이므로
x4-3x3-2x2+7x-3=(x-1)(x-3)(x2+x-1)
f(x) =(x-1)(x+1)(x2+x-12)
x4+8x3+14x2+x-6=(x+1)(x+2)(x2+5x-3)
4. 여러 가지 방정식 | 051
f(x)=(x-1)(x-2)(x2+3x+1)
즉, (x-1)(x-2)(x2+3x+1)=0이므로
x=1 또는 x=2 또는 x=
5
-3Ñ
'
2
⑷ f(x)=x4+2x3-4x2-7x-2라 하면
f(-1)=0, f(2)=0이므로
-1
1 -2 -4 -7 -2
-1 -1 -5
2
1 -1 -5 -2
-2 -6 -2
1 -3 -1 -0
f(x)=(x+1)(x-2)(x2+3x+1)
즉, (x+1)(x-2)(x2+3x+1)=0이므로
x=-1 또는 x=2 또는 x=
5
-3Ñ
'
2
⑸ f(x)=x4-2x3-6x2+6x+9라 하면
f(-1)=0, f(3)=0이므로
-1
1 -2 -6
6
-1 -3 -3 -9
3
1 -3 -3 -9
-3 -0 -9
1 -0 -3 -0
2
0
9
0
f(x)=(x+1)(x-3)(x2-3)
즉, (x+1)(x-3)(x2-3)=0이므로
x=-1 또는 x=3 또는 x=Ñ
3
'
⑹ f(x)=x4+3x3-6x2-14x+12라 하면
f(2)=0, f(-3)=0이므로
-3
2
1 -3
1-6 -14
12
-2 -10
1-8 -12
1 -5
-3
1 -2
1-4
1-6
1-6
1-6
1-2 -10
0
f(x)=(x-2)(x+3)(x2+2x-2)
즉, (x-2)(x+3)(x2+2x-2)=0이므로
x=2 또는 x=-3 또는 x=-1Ñ
3
'
05-1 ⑴ (x2-x)2-2x2+2x-3
=(x2-x)2-2(x2-x)-3
=t2-2t-3
=(t+1)(t- 3 )
=(x2-x+1)(x2-x- 3 ) ← t=x2-x 대입
← x2-x=t로 치환
⑵ (x2-3x)2-3x2+9x+2
=(x2-3x)2-3(x2-3x)+2
=t2-3t+2
=(t-1)(t-2)
=(x2-3x-1)(x2-3x-2) ← t=x2-3x 대입
← x2-3x=t로 치환
052 정답과 풀이
⑶ (x2+2x)2+4x2+8x+3
=t2+4t+3
← x2+2x=t로 치환
=(t+1)(t+3)
=(x2+2x+1)(x2+2x+3) ← t=x2+2x 대입
=(x+1)2(x2+2x+3)
⑷ (x2-5x)2-3x2+15x-4
=t2-3t-4 ← x2-5x=t로 치환
=(t+1)(t-4)
=(x2-5x+1)(x2-5x-4) ← t=x2-5x 대입
05-2 ⑴ (x+1)(x+2)(x-3)(x-4)+4
={(x+1)(x-3)}{(x+2)(x-4)}+4
=(x2-2x-3)(x2-2x-8)+4
=(t-3)(t-8)+4
=t2-11t+ 28 =(t-4)(t- 7 )
=(x2-2x-4)(x2-2x- 7 ) ← t=x2-2x 대입
← x2-2x=t로 치환
⑵ x(x+1)(x+2)(x+3)-8
={x(x+3)}{(x+1)(x+2)}-8
=(x2+3x)(x2+3x+2)-8
=t(t+2)-8 ← x2+3x=t로 치환
=t2+2t-8=(t-2)(t+4)
=(x2+3x-2)(x2+3x+4) ← t=x2+3x 대입
⑶ (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3
={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}-3
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-3
=(t+4)(t+6)-3 ← x2+5x=t로 치환
=t2+10t+21=(t+3)(t+7)
=(x2+5x+3)(x2+5x+7) ← t=x2+5x 대입
⑷ (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15
={(x-1)(x-7)}{(x-3)(x-5)}+15
=(x2-8x+7)(x2-8x+15)+15
=(t+7)(t+15)+15 ← x2-8x=t로 치환
=t2+22t+120=(t+10)(t+12)
=(x2-8x+10)(x2-8x+12) ← t=x2-8x 대입
∴ t=-2 또는 t=4
06-1 ⑴ (x2-3x)2-2(x2-3x)-8=0에서
x2-3x=t로 놓으면 t2-2t-8=0
(t+2)(t-4)=0
Ú t=-2, 즉 x2-3x=-2일 때,
x2-3x+2=0, (x-1)(x-2)=0
∴ x=1 또는 x= 2
Û t=4, 즉 x2-3x=4일 때,
x2-3x-4=0, (x+1)(x-4)=0
∴ x=-1 또는 x= 4
Ú, Û에서
x=1 또는 x= 2 또는 x=-1 또는 x= 4
⑵ (x2+2x)2-11(x2+2x)+24=0에서
x2+2x=t로 놓으면 t2-11t+24=0
(t-3)(t-8)=0
Ú t=3일 때, x2+2x-3=0에서
(x-1)(x+3)=0
Û t=8일 때, x2+2x-8=0에서
(x-2)(x+4)=0
∴ t=3 또는 t=8
∴ x=1 또는 x=-3
∴ x=2 또는 x=-4
Ú, Û에서
x=1 또는 x=-3 또는 x=2 또는 x=-4
⑶ (x2-4x)2-3(x2-4x+1)-1=0에서
x2-4x=t로 놓으면 t2-3(t+1)-1=0
(t+1)(t-4)=0
∴ t=-1 또는 t=4
Ú t=-1일 때, x2-4x+1=0에서 x=2Ñ
Û t=4일 때, x2-4x-4=0에서 x=2Ñ2
Ú, Û에서 x=2Ñ
3 또는 x=2Ñ2
2
'
'
'
3
'
2
06-2 ⑴ {x(x-3)}{(x-1)(x-2)}-24=0에서
(x2-3x)(x2-3x+2)-24=0
x2-3x =t로 놓으면
t(t+ 2 )-24=0, t2+2t-24=0
(t-4)(t+6)=0
Ú t=4일 때, x2-3x-4=0에서
(x+1)(x-4)=0
∴ t=4 또는 t=-6
∴ x=-1 또는 x= 4
Û t=-6일 때, x2-3x+6=0에서 x=
15i
3Ñ
'¶
2
Ú, Û에서
x=-1 또는 x= 4 또는 x=
15i
3Ñ
'¶
2
⑵ {(x+1)(x-3)}{(x+3)(x-5)}+35=0에서
(x2-2x-3)(x2-2x-15)+35=0
x2-2x=t로 놓으면
(t-3)(t-15)+35=0, t2-18t+80=0
(t-8)(t-10)=0
Ú t=8일 때, x2-2x-8=0에서
(x+2)(x-4)=0
Û t=10일 때, x2-2x-10=0에서 x=1Ñ
Ú, Û에서 x=-2 또는 x=4 또는 x=1Ñ
∴ t=8 또는 t=10
∴ x=-2 또는 x=4
11
'¶
11
'¶
⑶ {(x+1)(x-4)}{(x-1)(x-2)}-7=0에서
(x2-3x-4)(x2-3x+2)-7=0
x2-3x=t로 놓으면
(t-4)(t+2)-7=0, t2-2t-15=0
(t+3)(t-5)=0
∴ t=-3 또는 t=5
Ú t=-3일 때, x2-3x+3=0에서 x=
Û t=5일 때, x2-3x-5=0에서 x=
Ú, Û에서 x=
또는 x=
3i
3Ñ
'
2
29
3Ñ
'¶
2
3i
3Ñ
'
2
29
3Ñ
'¶
2
07-1 ⑴ x4-2x2-8 =X2-2X-8 ← x2=X로 치환
=(X+2)(X- 4 )
=(x2+2)(x2- 4 ) ← X=x2 대입
=(x2+2)(x+2)(x- 2 )
⑵ x4-5x2+4 =X2-5X+4 ← x2=X로 치환
=(X-1)(X-4)
=(x2-1)(x2-4) ← X=x2 대입
=(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)
⑶ x4-7x2-18 =X2-7X-18 ← x2=X로 치환
=(X+2)(X-9)
=(x2+2)(x2-9) ← X=x2 대입
=(x2+2)(x+3)(x-3)
⑷ 2x4-11x2+12 =2X2-11X+12 ← x2=X로 치환
⑸ 2x4-7x2-99 =2X2-7X-99
← x2=X로 치환
=(X-4)(2X-3)
=(x2-4)(2x2-3) ← X=x2 대입
=(x+2)(x-2)(2x2-3)
=(X-9)(2X+11)
=(x2-9)(2x2+11) ← X=x2 대입
=(x+3)(x-3)(2x2+11)
07-2 ⑴ x4+4 =(x4+4x2+4)-4x2 ← 4x2 더하고 빼기
=(x2+2)2-( 2x )2
=(x2+2+ 2x )(x2+2-2x)
=(x2+ 2x +2)(x2-2x+2)
⑵ x4-6x2+1 =(x4-2x2+1)-4x2 ← -6x2 분리하기
=(x2-1)2-( 2x )2
=(x2-1+2x)(x2-1- 2x )
=(x2+2x-1)(x2- 2x -1)
⑶ x4+x2+25 =(x4+10x2+25)-9x2
← 9x2 더하고 빼기
⑷ x4-3x2+9 =(x4+6x2+9)-9x2
← 9x2 더하고 빼기
=(x2+5)2-(3x)2
=(x2+3x+5)(x2-3x+5)
=(x2+3)2-(3x)2
=(x2+3x+3)(x2-3x+3)
⑸ x4-8x2+4 =(x4-4x2+4)-4x2
← -8x2 분리하기
=(x2-2)2-(2x)2
=(x2+2x-2)(x2-2x-2)
⑹ x4-14x2+25 =(x4-10x2+25)-4x2
← -14x2 분리하기
=(x2-5)2-(2x)2
=(x2+2x-5)(x2-2x-5)
08-1 x2=t로 놓으면
⑴ t2-3t-4=0, (t+1)(t-4)=0
∴ t=-1 또는 t=4
즉, x2=-1 또는 x2=4이므로
x= Ñi 또는 x= Ñ2
4. 여러 가지 방정식 | 053
⑵ t2-13t+36=0, (t-4)(t-9)=0
⑶ (1+a)(1+b)(1+c)
∴ t=4 또는 t=9
즉, x2=4 또는 x2=9이므로
x=Ñ2 또는 x=Ñ3
⑶ t2-2t-63=0, (t+7)(t-9)=0
∴ t=-7 또는 t=9
즉, x2=-7 또는 x2=9이므로
x=Ñ
7i 또는 x=Ñ3
⑷ t2-12t-64=0, (t+4)(t-16)=0
'
∴ t=-4 또는 t=16
즉, x2=-4 또는 x2=16이므로
x=Ñ2i 또는 x=Ñ4
08-2 ⑴ (x4+6x2+9)-x2=0, (x2+3)2-x2=0
∴ (x2+x+3)(x2-x+3)=0
즉, x2+x+3=0 또는 x2-x+3=0이므로
x=
11i
-1Ñ
2
'¶
또는 x=
11i
1Ñ
'¶
2
⑵ (x4+2x2+1)-x2=0, (x2+1)2-x2=0
∴ (x2+x+1)(x2-x+1)=0
즉, x2+x+1=0 또는 x2-x+1=0이므로
x=
3i
-1Ñ
'
2
또는 x=
3i
1Ñ
'
2
⑶ (x4+10x2+25)-9x2=0, (x2+5)2-(3x)2=0
∴ (x2+3x+5)(x2-3x+5)=0
즉, x2+3x+5=0 또는 x2-3x+5=0이므로
x=
11i
-3Ñ
'¶
2
또는 x=
11i
3Ñ
'¶
2
⑷ (x4-2x2+1)-4x2=0, (x2-1)2-(2x)2=0
∴ (x2+2x-1)(x2-2x-1)=0
즉, x2+2x-1=0 또는 x2-2x-1=0이므로
x=-1Ñ
2 또는 x=1Ñ
⑸ (x4-8x2+16)-4x2=0, (x2-4)2-(2x)2=0
∴ (x2+2x-4)(x2-2x-4)=0
즉, x2+2x-4=0 또는 x2-2x-4=0이므로
x=-1Ñ
5 또는 x=1Ñ
2
'
5
'
'
'
09-1 ⑴ a+b+c= 4 , ab+bc+ca= 3 , abc= -2
⑵ a+b+c=3, ab+bc+ca=6, abc=7
⑶ a+b+c=-2, ab+bc+ca=0, abc=
;3!;
⑷ a+b+c=2, ab+bc+ca=
;2%;, abc=
;2!;
09-2 a+b+c= 2 , ab+bc+ca= -1 , abc=-3이므로
⑴
+
+
=
1
a
1
b
1
c
ab+bc+ca
abc
=
-1
-3
= ;3!;
⑵
1
ab
+
1
bc
+
1
ca
=
a+b+c
abc
=-
;3@;
054 정답과 풀이
=1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc
=1+2-1-3=-1
⑷ a2+b2+c2 =(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)
=22-2´(-1)=6
⑸ a3+b3+c3
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)+3abc
⑸ =2(6+1)+3´(-3)=5
⑹ a2b2+b2c2+c2a2
= (ab+bc+ca)2-2abc(a+b+c)
= (-1)2-2´(-3)´2=13
10-1 ⑴ 2+4+(-3)=3, 2´4+4´(-3)+(-3)´2=-10,
2´4´(-3)=-24이므로
x3- 3x2 -10x+24=0
⑵ 1+2+4=7, 1´2+2´4+4´1=14, 1´2´4=8이므로
x3-7x2+14x-8=0
⑶ -2+1+3=2, -2´1+1´3+3´(-2)=-5,
-2´1´3=-6이므로
x3-2x2-5x+6=0
⑷ -5+(-1)+3=-3,
-5´(-1)+(-1)´3+3´(-5)=-13,
-5´(-1)´3=15이므로
x3+3x2-13x-15=0
10-2 a+b+c=3, ab+bc+ca=2, abc=5이므로
⑴ (-a)+(-b)+(-c)=-(a+b+c)= -3 ,
(-a)(-b)+(-b)(-c)+(-c)(-a)
=ab+bc+ca= 2 ,
(-a)(-b)(-c)=-abc= -5 이므로
x3+ 3x2 +2x+ 5 =0
⑵ (a+1)+(b+1)+(c+1)=a+b+c+3=6,
(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)
=(ab+bc+ca)+2(a+b+c)+3=11
(a+1)(b+1)(c+1)
=1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc=11이므로
x3-6x2+11x-11=0
⑶
+
+
=
1
b
1
c
ab+bc+ca
abc
=
;5@;,
´
+
1
b
´
1
c
+
1
c
´
1
a
=
a+b+c
abc
=
;5#;,
´
´
=
1
c
1
abc
=
;5!;이므로
1
a
1
a
1
a
1
b
1
b
x3-;5@;x2+;5#;x-;5!;=0
⑷ ab+bc+ca=2,
ab´bc+bc´ca+ca´ab=abc(a+b+c)=15,
ab´bc´ca=(abc)2=25이므로
x3-2x2+15x-25=0
11-1 ⑴ 계수가 모두 유리수이고 한 근이 1+
2이므로 다른
'
2 이다. 나머지 한 근을 a라 하면
2)+( 1-
2 )=4
∴ a=2
'
2)(1-
'
2, 1-
2 이므로
'
2)+2(1-
2)=a
'
한 근은 1-
a+(1+
'
'
'
따라서 세 근이 2, 1+
2(1+
'
∴ a= 3
2)+(1+
'
2(1+
2)(1-
'
'
⑵ 다른 한 근은 2-
'
a+(2+
3)+(2-
'
'
따라서 세 근이 1, 2+
'
3)(2-
'
3)=-b
'
2+
'
(2+
3)(2-
'
⑶ 다른 한 근은 2+
'
'
2)+(2-
a(2-
'
4a+2=-2
2)(2+
'
'
∴ a=-1
2)=-b
∴ b= 2
3이다. 나머지 한 근을 a라 하면
3)=5
∴ a=1
3, 2-
3이므로
'
'
∴ b=-1
2이다. 나머지 한 근을 a라 하면
2)+a(2+
2)=-2
'
3+(2+
3)+2-
3=a
∴ a=5
따라서 세 근이 -1, 2-
2이므로
2, 2+
'
'
2)=-a
∴ a=-3
-1+(2-
2)+(2+
-(2-
'
'
2)(2+
'
2)=-b
'
∴ b=2
11-2 ⑴ 계수가 모두 실수이고 한 근이 1+i이므로 다른 한
근은 1-i 이다. 나머지 한 근을 a라 하면
a+(1+i)+( 1-i )=5
∴ a=3
따라서 세 근이 3, 1+i, 1-i 이므로
3(1+i)+(1+i)(1-i)+3(1-i)=a ∴ a= 8
3(1+i)(1-i)=-b
∴ b= -6
⑵ 다른 한 근은 2+i이다. 나머지 한 근을 a라 하면
a+(2-i)+(2+i)=-1
∴ a=-5
따라서 세 근이 -5, 2-i, 2+i이므로
-5(2-i)(2+i)=-b
∴ b=25
⑶ 다른 한 근은 1-2i이다. 나머지 한 근을 a라 하면
a(1+2i)(1-2i)=10
∴ a=2
따라서 세 근이 2, 1+2i, 1-2i이므로
⑷ x+x3+xÞ`=x+x3+x3´x2=x+1+x2=0
⑸
xÓ+1
x
+
x+1
xÓ
=
Ó``+xÓ+x2+x
xÛ
xxÓ
=
-1-1
1
=-2
13-1 ⑴ xÚ`¡`=(x3)ß`=( -1 )ß`= 1
1
x
=-x+x2=-1
⑵ -x-
⑶ (1-x)(1+x2) =1+x2-x-x3=0-(-1)=1
⑷ x3-(x2-x)=-1-(-1)=0
⑸
1
1-x
+
1
1-xÓ
=
(1-xÓ)+(1-x)
(1-x)(1-xÓ)
=
2-(x+xÓ)
1-(x+xÓ)+xxÓ
=
2-1
1-1+1
=1
14-1 ⑴ [
x-y=-5
2x+y=-1
yy ㉠
yy ㉡
㉠+㉡을 하면 3x= -6
이것을 ㉠에 대입하면 y= 3
∴ x= -2
x-2y=1
⑵ [
3x+2y=19
yy ㉠
yy ㉡
㉠+㉡을 하면 4x=20
∴ x=5
이것을 ㉠에 대입하면 y=2
2x+3y=-3
4x+5y=-7
⑶ [
yy ㉠
yy ㉡
2_㉠-㉡을 하면 y=1
이것을 ㉠에 대입하면 x=-3
2x+y=10
yy ㉠
3x-5y=-11 yy ㉡
⑷ [
5_㉠+㉡을 하면 13x=39
∴ x=3
14-2 ⑴ [
4x+y=2
yy ㉠
y=-x-1 yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 3x-1=2
∴ x= 1
-5(2-i)+(2-i)(2+i)-5(2+i)=a ∴ a=-15
이것을 ㉠에 대입하면 y=4
2+(1+2i)+(1-2i)=-a
∴ a=-4
이것을 ㉡에 대입하면 y= -2
2(1+2i)+(1+2i)(1-2i)+2(1-2i)=b ∴ b=9
⑷ 다른 한 근은 2+3i이다. 나머지 한 근을 a라 하면
x=y-1
yy ㉠
3x-2y=-2 yy ㉡
⑵ [
a(2-3i)+(2-3i)(2+3i)+a(2+3i)=5
㉠을 ㉡에 대입하면 y-3=-2
∴ y=1
4a+13=5
∴ a=-2
이것을 ㉠에 대입하면 x=0
따라서 세 근이 -2, 2-3i, 2+3i이므로
-2+(2-3i)+(2+3i)=-a
∴ a=-2
-2(2-3i)(2+3i)=-b
∴ b=26
12-1 ⑴ xß`=( x3 )2=12= 1
1
x
=x+xÓ=-1
⑵ x+
⑶ (1+x)(1+x2) =1+x2+x+x3
=(x2+x+1)+x3=0+1=1
4x+y=1 yy ㉠
⇨ y=-4x+1 yy ㉢
⑶ [
6x+2y=3 yy ㉡
㉢을 ㉡에 대입하면 -2x+2=3
∴ x=-
;2!;
이것을 ㉢에 대입하면 y=3
yy ㉠
⇨ x=2y+4 yy ㉢
-2x+3y=-5 yy ㉡
x-2y=4
⑷ [
㉢을 ㉡에 대입하면 -y-8=-5
∴ y=-3
이것을 ㉢에 대입하면 x=-2
4. 여러 가지 방정식 | 055
3x-2y=-5 yy ㉠
⑸ [
x-y=-2 yy ㉡
⇨ x=y-2 yy ㉢
㉢을 ㉠에 대입하면 y-6=-5
∴ y=1
이것을 ㉢에 대입하면 x=-1
15-1 ⑴ [
yy ㉠
x-y=4
x2+y2=10 yy ㉡
⇨ x=y+4 yy ㉢
㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면 y2+4y+3=0
(y+1)(y+3)=0
∴ y=-1 또는 y= -3
y=-1이면 x=3, y= -3 이면 x= 1 이므로
x=3
y=-1 또는 [
[
x= 1
y= -3
yy ㉠
2x-y=-6
3x2+xy-y2=-17 yy ㉡
⑺ [
㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면 x2-18x-19=0
⇨ y=2x+6 y ㉢
(x+1)(x-19)=0
∴ x=-1 또는 x=19
x=-1이면 y=4, x=19이면 y=44이므로
x=-1
x=19
[
y=4
또는 [
y=44
16-1 ⑴ [
x2+xy-2y2=0 yy ㉠
x2+y2=10
yy ㉡
㉠에서 (x-y)(x+2y)=0
∴ x=y 또는 x= -2y
2x+y=-2 yy ㉠
5x2-y2=29 yy ㉡
⑵ [
㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면 x2-8x-33=0
⇨ y=-2x-2 yy ㉢
(x+3)(x-11)=0
∴ x=-3 또는 x=11
x=-3이면 y=4, x=11이면 y=-24이므로
x=-3
x=11
[
y=4
또는 [
y=-24
x-y=-1 yy ㉠
2x2-y2=-2 yy ㉡
⑶ [
㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면 x2-2x+1=0
⇨ y=x+1 yy ㉢
(x-1)2=0
∴ x=1
x=1이면 y=2이므로 [
x=1
y=2
yy ㉠
x+y=-1
x2-xy-y2=11 yy ㉡
⑷ [
㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면 x2-x-12=0
⇨ y=-x-1 y ㉢
(x+3)(x-4)=0
∴ x=-3 또는 x=4
x=-3이면 y=2, x=4이면 y=-5이므로
x=-3
x=4
[
y=2
또는 [
y=-5
yy ㉠
x-y=2
x2+xy-3y2=13 yy ㉡
⑸ [
㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면 x2-10x+25=0
⇨ y=x-2 yy ㉢
(x-5)2=0
∴ x=5
x=5이면 y=3이므로 [
x=5
y=3
yy ㉠
x+2y=3
x2+xy-y2=1 yy ㉡
⑹ [
㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면 y2-9y+8=0
⇨ x=-2y+3 yy ㉢
(y-1)(y-8)=0
∴ y=1 또는 y=8
y=1이면 x=1, y=8이면 x=-13이므로
x=1
[
y=1
x=-13
또는 [
y=8
056 정답과 풀이
Ú x=y를 ㉡에 대입하면
y2+y2=10, y2=5
∴ y=Ñ
5
x=y이므로 x= Ñ
5 , y=Ñ
'
Û x= -2y 를 ㉡에 대입하면
(-2y)2+y2=10, y2=2
'
5 (복호동순)
'
∴ y=Ñ
2
'
2 (복호동순)
2 , y=Ð
x=-2y이므로 x= Ñ2
'
Ú, Û에서 구하는 연립방정식의 해는
'
x=
5
[
y=
'
5
'
또는 [
x=-
y=-
5
'
5
'
2
2 또는 [
또는 [
x=2
'
y=-
'
x= -2
2
'
y=
2
'
x2-5xy+6y2=0 yy ㉠
x2-2y2=14
yy ㉡
⑵ [
㉠에서 (x-2y)(x-3y)=0
∴ x=2y 또는 x=3y
Ú x=2y를 ㉡에 대입하면
4y2-2y2=14, y2=7
x=2y이므로 x=Ñ2
Û x=3y를 ㉡에 대입하면
9y2-2y2=14, y2=2
x=3y이므로 x=Ñ3
'
'
x=2
Ú, Û에서 [
y=
∴ y=Ñ
7
'
7, y=Ñ
7 (복호동순)
'
'
∴ y=Ñ
2
'
2, y=Ñ
2 (복호동순)
x=-2
7
'
7 또는 [
'
2
x=3
'
2 또는 [
y=
y=-
7
'
7
x=-3
'
y=-
'
2
'
2
'
또는 [
x2-4xy+3y2=0 yy ㉠
x2-3xy+y2=4 yy ㉡
⑶ [
㉠에서 (x-y)(x-3y)=0 ∴ x=y 또는 x=3y
Ú x=y를 ㉡에 대입하면
y2-3y2+y2=4, y2=-4
x=y이므로 x=Ñ2i, y=Ñ2i (복호동순)
∴ y=Ñ2i
Û x=3y를 ㉡에 대입하면
9y2-9y2+y2=4, y2=4
x=3y이므로 x=Ñ6, y=Ñ2 (복호동순)
∴ y=Ñ2
Ú, Û에서
x=-2i
x=2i
y=2i 또는 [
[
x2-5xy+4y2=0 yy ㉠
x2-6y2=10
yy ㉡
y=-2i
또는 [
⑷ [
x=6
y=2 또는 [
x=-6
y=-2
㉠에서 (x-y)(x-4y)=0 ∴ x=y 또는 x=4y
Ú x=y를 ㉡에 대입하면
y2-6y2=10, y2=-2
x=y이므로 x=Ñ
∴ y=Ñ
2i
'
2i, y=Ñ
2i (복호동순)
'
'
Û x=4y를 ㉡에 대입하면
16y2-6y2=10, y2=1
x=4y이므로 x=Ñ4, y=Ñ1 (복호동순)
∴ y=Ñ1
Ú, Û에서
x=
[
y=
2i
'
2i 또는 [
y=-
x=-
2i
또는 [
x=4
y=1 또는 [
x=-4
y=-1
'
2i
'
'
x2+3xy+2y2=0 yy ㉠
x2+2xy+3y2=12 yy ㉡
⑸ [
㉠에서 (x+y)(x+2y)=0
∴ x=-y 또는 x=-2y
Ú x=-y를 ㉡에 대입하면
y2-2y2+3y2=12, y2=6
x=-y이므로 x=Ñ
∴ y=Ñ
6
'
6 (복호동순)
6, y=Ð
'
'
Û x=-2y를 ㉡에 대입하면
4y2-4y2+3y2=12, y2=4
x=-2y이므로 x=Ñ4, y=Ð2 (복호동순)
∴ y=Ñ2
Ú, Û에서 [
6
x=
'
y=-
x=-
6
'
6 또는 [
y=
'
x=4
y=-2 또는 [
6
'
x=-4
y=2
또는 [
17-1 ⑴ x, y는 이차방정식 t2-11t+30=0의 두 근이다.
∴ t= 5 또는 t= 6
(t-5)(t-6)=0
x=5
y=6 또는 [
x= 6
∴ [
⑵ x, y는 이차방정식 t2-10t+21=0의 두 근이다.
y= 5
(t-3)(t-7)=0
∴ t=3 또는 t=7
x=3
y=7 또는 [
x=7
∴ [
y=3
⑶ x, y는 이차방정식 t2-t-20=0의 두 근이다.
(t+4)(t-5)=0
∴ t=-4 또는 t=5
x=-4
x=5
∴ [
⑷ x, y는 이차방정식 t2+4t-12=0의 두 근이다.
또는 [
y=-4
y=5
(t-2)(t+6)=0
∴ t=2 또는 t=-6
∴ [
x=2
y=-6 또는 [
y=2
x=-6
17-2 x+y=p, xy=q라 하면 주어진 식은
p2-2q=10 yy ㉠
⑴ [
yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 p2=16
q=3
∴ p= Ñ4
Ú p=4, q=3일 때,
x, y는 t2-4t+3=0의 두 근이다.
(t-1)(t-3)=0
∴ t=1 또는 t=3
y=1
x=3
∴ [
x=1
y=3 또는 [
Û p=-4, q=3일 때,
x, y는 t2+4t+3=0의 두 근이다.
(t+1)(t+3)=0
∴ [
x=-1
y=-3 또는 [
x=-3
y=-1
∴ t=-1 또는 t= -3
Ú, Û에서
또는 [
y= 1
x= 3
x=1
y=3 또는 [
[
p2-2q=26 yy ㉠
yy ㉡
⑵ [
㉡을 ㉠에 대입하면 p2=36
Ú p=6, q=5일 때,
q=5
x=-1
y=-3 또는 [
x=-3
y=-1
∴ p=Ñ6
x, y는 t2-6t+5=0의 두 근이다.
(t-1)(t-5)=0
∴ t=1 또는 t=5
∴ [
x=1
y=5 또는 [
Û p=-6, q=5일 때,
x=5
y=1
x, y는 t2+6t+5=0의 두 근이다.
(t+1)(t+5)=0
∴ t=-1 또는 t=-5
∴ [
x=-1
y=-5 또는 [
x=-5
y=-1
Ú, Û에서
x=1
y=5 또는 [
[
x=5
y=1
또는 [
x=-1
y=-5 또는 [
x=-5
y=-1
18-1 ⑴ x(y-5)+(y-5)+ 5 =0이므로
(x+1)(y-5)= -5
x+1
y-5
-5
1
-1
5
1
-5
5
-1
따라서 구하는 순서쌍 (x, y)는
( -6 , 6), (-2, 10 ), (0, 0), (4, 4)
⑵ x(y+1)-2(y+1)+2=0이므로
(x-2)(y+1)=-2
x-2
y+1
-2
1
-1
2
1
-2
2
-1
따라서 구하는 순서쌍 (x, y)는
(0, 0), (1, 1), (3, -3), (4, -2)
4. 여러 가지 방정식 | 057
⑶ x(y+7)+(y+7)-7=0이므로
(x+1)(y+7)=7
x+1
y+7
-7
-1
-1
-7
1
7
7
1
따라서 구하는 순서쌍 (x, y)는
(-8, -8), (-2, -14), (0, 0), (6, -6)
⑷ x(y-2)+3(y-2)+2=0이므로
(x+3)(y-2)=-2
x+3
y-2
-2
1
-1
2
1
-2
2
-1
따라서 구하는 순서쌍 (x, y)는
(-5, 3), (-4, 4), (-2, 0), (-1, 1)
⑸ x(y+1)-4(y+1)+9=0이므로
(x-4)(y+1)=-9
x-4 -9 -3 -1
1
3
9
y+1
1
3
9 -9 -3 -1
따라서 구하는 순서쌍 (x, y)는
(-5, 0), (1, 2), (3, 8), (5, -10), (7, -4),
(13, -2)
⑹ x(y+3)+2(y+3)-4=0이므로
(x+2)(y+3)=4
x+2 -4 -2 -1
y+3 -1 -2 -4
1
4
2
2
4
1
따라서 구하는 순서쌍 (x, y)는
(0, -1), (2, -2)
⑺ 2x(y+2)-(y+2)+3=0이므로
(2x-1)(y+2)=-3
2x-1
y+2
-3
1
-1
3
1
-3
3
-1
따라서 구하는 순서쌍 (x, y)는
(-1, -1), (0, 1), (1, -5), (2, -3)
19-1 ⑴ (x2-2x+1)+(y2-6y+9)=0
∴ ( x-1 )2+(y-3)2=0
따라서 x-1 =0, y-3=0이므로 x= 1 , y=3
⑵ (x2+4x+4)+(y2-2y+1)=0
∴ (x+2)2+(y-1)2=0
따라서 x+2=0, y-1=0이므로 x=-2, y=1
⑶ (x2+8x+16)+(y2-10y+25)=0
∴ (x+4)2+(y-5)2=0
따라서 x+4=0, y-5=0이므로 x=-4, y=5
⑷ (x2-6x+9)+(y2-4y+4)=0
∴ (x-3)2+(y-2)2=0
058 정답과 풀이
따라서 x-3=0, y-2=0이므로 x=3, y=2
⑸ (x2+2xy+y2)+(y2-6y+9)=0
∴ (x+y)2+( y-3 )2=0
따라서 x+y=0, y-3 =0이므로 x= -3 , y=3
⑹ (x2-2xy+y2)+(x2-4x+4)=0
∴ (x-y)2+(x-2)2=0
따라서 x-y=0, x-2=0이므로 x=2, y=2
⑺ (x2+2xy+y2)+(9y2-6y+1)=0
∴ (x+y)2+(3y-1)2=0
따라서 x+y=0, 3y-1=0이므로 x=-
;3!;, y=
;3!;
⑻ (x2-2xy+y2)+(4x2-4x+1)=0
∴ (x-y)2+(2x-1)2=0
따라서 x-y=0, 2x-1=0이므로 x=
;2!;, y=
;2!;
⑼ (x2-4xy+4y2)+(y2-10y+25)=0
∴ (x-2y)2+(y-5)2=0
따라서 x-2y=0, y-5=0이므로 x=10, y=5
STEP 2
108쪽~113쪽
1-1 ⑴ x3-x =x(x2-1)=x(x+1)(x-1)
⑵ 8x3+125 =(2x)3+53
=(2x+5)(4x2-10x+25)
1
4 -1 -4
1
5
5
4
4
0
1
1
x3+4x2-x-4 =(x-1)(x2+5x+4)
=(x-1)(x+1)(x+4)
다른 풀이
x 3+4x2-x-4 =x2(x+4)-(x+4)
=(x2-1)(x+4)
=(x-1)(x+1)(x+4)
1-2 ⑴ x3+4x2+4x =x(x2+4x+4)=x(x+2)2
⑵ 64x3-27 =(4x)3-33
=(4x-3)(16x2+12x+9)
⑶ f(x)=x3-3x2-4x+12로 놓으면 f(2)=0이므로
2
1 -3 -4
12
2 -2 -12
1 -1 -6
0
x3-3x2-4x+12 =(x-2)(x2-x-6)
=(x-2)(x+2)(x-3)
(-6, -4), (-4, -5), (-3, -7), (-1, 1),
⑶ f(x)=x3+4x2-x-4로 놓으면 f(1)=0이므로
⑵ f(x)=x3-x2+ax-8이라 하면 f(-2)=0이므로
⑶ f(x)=x3+3x2-x-3이라 하면 f(1)=0이므로
f(x) =(x+2)(x2-3x-4)
2-1 ⑴ x3+3x2-10x =x(x2+3x-10)
=x(x-2)(x+5)
즉, x(x-2)(x+5)=0이므로
x=0 또는 x=2 또는 x=-5
⑵ (2x+1)(4x2-2x+1)=0이므로
x=-
;2!; 또는 x=
3i
1Ñ
'
4
1
3 -1 -3
1
4
4
3
3
0
1
1
f(x) =(x-1)(x2+4x+3)
즉, (x-1)(x+1)(x+3)=0이므로
x=1 또는 x=-1 또는 x=-3
2-2 ⑴ x3-3x2+2x =x(x2-3x+2)
=x(x-1)(x-2)
즉, x(x-1)(x-2)=0이므로
x=0 또는 x=1 또는 x=2
⑵ (x-5)(x2+5x+25)=0이므로
x=5 또는 x=
-5Ñ5
3i
'
2
⑶ f(x)=x3+3x2-2x-8이라 하면 f(-2)=0이므로
-2
3 -2 -8
1
1
-2 -2
1 -4
8
0
f(x) =(x+2)(x2+x-4)
즉, (x+2)(x2+x-4)=0이므로
x=-2 또는 x=
17
-1Ñ
'¶
2
3-1 ⑴ f(x)=x3+2x2+ax-4라 하면 f(-1)=0이므로
⑵ f(x)=2x3-4x2+ax-1이라 하면 f(2)=0이므로
-1+2-a-4=0
∴ a=-3
16-16+2a-1=0
∴ a=
;2!;
3-2 ⑴ f(x)=x3+ax2-21x+20이라 하면 f(1)=0이므로
1+a-21+20=0
∴ a=0
즉, f(x)=x3-21x+20이므로
1
0 -21
20
1
1 -20
1 -20
0
1
1
f(x) =(x-1)(x2+x-20)
즉, (x-1)(x-4)(x+5)=0이므로
x=1 또는 x=4 또는 x=-5
따라서 구하는 나머지 두 근은 x=4 또는 x=-5
-8-4-2a-8=0
∴ a=-10
즉, f(x)=x3-x2-10x-8이므로
-2
1 -1 -10 -8
-2
6
1 -3 -4
8
0
즉, (x+2)(x+1)(x-4)=0이므로
x=-2 또는 x=-1 또는 x=4
따라서 구하는 나머지 두 근은 x=-1 또는 x=4
4-1 ⑴ f(x)=x4-3x3-3x2+15x-10이라 하면
f(1)=0, f(2)=0이므로
1
2
1 -3 -3 -15 -10
-1 -2
1-5
1 -2 -5 -10
-2 -0 -10
1 -0 -5
1-0
10
0
x4-3x3-3x2+15x-10=(x-1)(x-2)(x2-5)
⑵ (x2+x)2-5(x2+x)-6
← x2+x=t로 치환
=t2-5t-6
=(t+1)(t-6)
=(x2+x+1)(x2+x-6) ← t=x2+x 대입
=(x2+x+1)(x-2)(x+3)
⑶ x4-12x2+27 =X2-12X+27 ← x2=X로 치환
⑷ x4+7x2+16 =(x4+8x2+16)-x2
← x2 더하고 빼기
=(X-3)(X-9)
=(x2-3)(x2-9) ← X=x2 대입
=(x2-3)(x+3)(x-3)
=(x2+4)2-x2
=(x2+x+4)(x2-x+4)
4-2 ⑴ f(x)=x4-x3-3x2-7x-6이라 하면
f(-1)=0, f(3)=0이므로
-1
1 -1 -3 -7 -6
-1 -2 -1
3
1 -2 -1 -6
-3 -3 -6
1 -1 -2 -0
6
0
x4-x3-3x2-7x-6=(x+1)(x-3)(x2+x+2)
⑵ {(x+1)(x-3)}{(x+2)(x-4)}-36
=(x2-2x-3)(x2-2x-8)-36
=(t-3)(t-8)-36 ← x2-2x=t로 치환
=t2-11t-12=(t+1)(t-12)
=(x2-2x+1)(x2-2x-12) ← t=x2-2x 대입
=(x-1)2(x2-2x-12)
4. 여러 가지 방정식 | 059
⑶ 3x4-8x2-16 =3X2-8X-16
← x2=X로 치환
5-2 ⑴ f(x)=x4+6x3-5x2-24x+4라 하면
f(2)=0, f(-2)=0이므로
⑷ x4-20x2+4 =(x4-4x2+4)-16x2
← -20x2 분리하기
-2
=(X-4)(3X+4)
=(x2-4)(3x2+4) ← X=x2 대입
=(x+2)(x-2)(3x2+4)
=(x2-2)2-(4x)2
=(x2+4x-2)(x2-4x-2)
2
1 -6
1-5 -24
-2 -16 -22 -4
4
0
1 -8 -11
-2 -12
1 -6
1-1
1-2
1-2
1-0
f(x)=(x-2)(x+2)(x2+6x-1)
즉, (x-2)(x+2)(x2+6x-1)=0이므로
x=2 또는 x=-2 또는 x=-3Ñ
10
'¶
⑵ (x2+3x)2+7(x2+3x)+10=0에서
x2+3x=t로 놓으면 t2+7t+10=0
(t+2)(t+5)=0
Ú t=-2일 때, x2+3x+2=0에서
∴ t=-2 또는 t=-5
(x+1)(x+2)=0
∴ x=-1 또는 x=-2
Û t=-5일 때, x2+3x+5=0에서 x=
Ú, Û에서 x=-1 또는 x=-2 또는 x=
⑶ {(x-1)(x+4)}{(x+1)(x+2)}-16=0에서
11i
-3Ñ
'¶
2
11i
-3Ñ
'¶
2
(x2+3x-4)(x2+3x+2)-16=0
x2+3x=t로 놓으면
(t-4)(t+2)-16=0, t2-2t-24=0
(t+4)(t-6)=0
∴ t=-4 또는 t=6
Ú t=-4일 때, x2+3x+4=0에서 x=
7i
-3Ñ
'
2
33
-3Ñ
'¶
2
Û t=6일 때, x2+3x-6=0에서 x=
Ú, Û에서 x=
또는 x=
7i
-3Ñ
'
2
33
-3Ñ
'¶
2
⑷ 2x4-9x2+4=0에서 x2=t로 놓으면
2t2-9t+4=0, (t-4)(2t-1)=0
∴ t=4 또는 t=
;2!;
즉, x2=4 또는 x2=
2
;2!;이므로 x=Ñ2 또는 x=Ñ '
2
⑸ (x4+4x2+4)-x2=0, (x2+2)2-x2=0
(x2+x+2)(x2-x+2)=0
∴ x=
또는 x=
7i
-1Ñ
'
2
7i
1Ñ
'
2
⑹ (x4-6x2+9)-9x2=0, (x2-3)2-(3x)2=0
(x2+3x-3)(x2-3x-3)=0
∴ x=
또는 x=
21
-3Ñ
'¶
2
21
3Ñ
'¶
2
6-1 a+b+c=-1, ab+bc+ca=-2, abc=4이므로
ab+bc+ca
abc
⑴
=-
1
b
1
a
1
c
+
+
=
;2!;
⑵ (1+a)(1+b)(1+c)
=1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc
=1-1-2+4=2
5-1 ⑴ f(x)=x4-3x3-5x2+3x+4라 하면
f(1)=0, f(-1)=0이므로
-1
1
1 -3 -5 -3
-1 -2 -7 -4
4
0
1 -2 -7 -4
-1 -3 -4
1 -3 -4 -0
f(x) =(x-1)(x+1)(x2-3x-4)
즉, (x+1)2(x-1)(x-4)=0이므로
x=-1 (중근) 또는 x=1 또는 x=4
⑵ (x2-4x)2+2(x2-4x)-3=0에서
x2-4x=t로 놓으면 t2+2t-3=0
(t-1)(t+3)=0
∴ t=1 또는 t=-3
Ú t=1일 때, x2-4x-1=0에서 x=2Ñ
Û t=-3일 때, x2-4x+3=0에서
'
5
(x-1)(x-3)=0
∴ x=1 또는 x=3
Ú, Û에서 x=2Ñ
5 또는 x=1 또는 x=3
'
⑶ {x(x-2)}{(x+2)(x-4)}-20=0에서
(x2-2x)(x2-2x-8)-20=0
x2-2x=t로 놓으면
t(t-8)-20=0, t2-8t-20=0
(t+2)(t-10)=0
∴ t=-2 또는 t=10
Ú t=-2일 때, x2-2x+2=0에서 x=1Ñi
Û t=10일 때, x2-2x-10=0에서 x=1Ñ
Ú, Û에서 x=1Ñi 또는 x=1Ñ
11
'¶
11
'¶
⑷ x4+15x2-16=0에서 x2=t로 놓으면
t2+15t-16=0, (t-1)(t+16)=0
∴ t=1 또는 t=-16
즉, x2=1 또는 x2=-16이므로
x=Ñ1 또는 x=Ñ4i
⑸ (x4+12x2+36)-9x2=0, (x2+6)2-(3x)2=0
(x2+3x+6)(x2-3x+6)=0
∴ x=
15 i
-3Ñ
'¶
2
또는 x=
15 i
3Ñ
'¶
2
⑹ (x4-10x2+25)-x2=0, (x2-5)2-x2=0
(x2+x-5)(x2-x-5)=0
∴ x=
또는 x=
21
-1Ñ
'¶
2
21
1Ñ
'¶
2
060 정답과 풀이
6-2 a+b+c=5, ab+bc+ca=1, abc=-2이므로
⑵ x3=1의 한 허근이 x이므로 x3=1, x2+x+1=0
∴ x+x2+x3+x4+y+xá`
=(x+x2+1)+(x+x2+1)+(x+x2+1)
=0
⑶ x3=-1의 한 허근이 x이므로 x3=-1, x2-x+1=0
∴ 1-x+x2-x3+x4-xÞ`+xß`
=(1-x+x2)+(1-x+x2)+1=1
8-2 ⑴ 다른 한 근은 -2+i이다. 나머지 한 근을 a라 하면
a(-2-i)+(-2-i)(-2+i)+a(-2+i)=-7
-4a+5=-7
∴ a=3
따라서 세 근이 3, -2-i, -2+i이므로
3+(-2-i)+(-2+i)=-a
∴ a=1
3(-2-i)(-2+i)=-b
⑵ x3=1의 한 허근이 x이므로 x3=1, x2+x+1=0
∴ b=-15
∴ 1+
+
1
x
1
x2 +
1
x3 +
1
x4 +y+
1
x¡`
=(1+x2+x)+(1+x2+x)+(1+x2+x)
=0
⑶ x3=-1의 한 허근이 x이므로 x3=-1, x2-x+1=0
∴
1-x
x2 +
1+x2
x
=
x-x2+x2+x4
x3
=
x-x
x3 =0
9-1 ⑴ [
-2x-3y=1
4x+3y=-5
yy ㉠
yy ㉡
㉠+㉡을 하면 2x=-4
∴ x=-2
이것을 ㉠에 대입하면 y=1
⑵ [
y=2x+1
5x-y=2
yy ㉠
yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 3x-1=2
∴ x=1
이것을 ㉠에 대입하면 y=3
9-2 ⑴ [
x+2y=-4 yy ㉠
2x+y=1
yy ㉡
2_㉠-㉡을 하면 3y=-9
이것을 ㉠에 대입하면 x=2
∴ y=-3
⑴
1
ab
+
1
bc
+
1
ca
=
a+b+c
abc
=-
;2%;
⑵ a2+b2+c2 =(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)
=25-2=23
7-1 ⑴ -1+1+5=5, -1´1+1´`5+5´(-1)=-1,
-1´1´5=-5이므로 x3-5x2-x+5=0
⑵ a+b+c=3, ab+bc+ca=-2, abc=-1에서
(-a)+(-b)+(-c)=-(a+b+c)=-3,
(-a)(-b)+(-b)(-c)+(-c)(-a)
⑶ 다른 한 근은 4+
2이다. 나머지 한 근을 a라 하면
=ab+bc+ca=-2,
(-a)(-b)(-c)=-abc=1이므로
x3+3x2-2x-1=0
'
a+(4-
'
'
따라서 세 근이 0, 4-
2)+(4+
(4-
2)(4+
'
0=-b
'
∴ b=0
2)=8
∴ a=0
'
2)=a
2, 4+
2이므로
'
∴ a=14
7-2 ⑴ -
+
+1=
;2!;
;3!;
;6%;
-
´
;3!;
;2!;
+
´1+1´
{
;3!;
-
;2!;}
=-
;3!;
-
´
;3!;
;2!;
´1=-
;6!;이므로
x3-
6
{
x2-
x+
=0 ∴ 6x3-5x2-2x+1=0
;6!;}
⑵ a+b+c=1, ab+bc+ca=-5, abc=4에서
;6%;
;3!;
1
a
1
a
1
a
1
b
1
b
+
+
=
1
b
1
c
ab+bc+ca
abc
=-
;4%;
´
+
1
b
´
1
c
+
1
c
´
1
a
=
a+b+c
abc
=
;4!;,
´
´
=
1
c
1
abc
=
;4!;이므로
x3+
4
{
;4%;
x2+
;4!;
x-
;4!;}
=0 ∴ 4x3+5x2+x-1=0
⑶ 다른 한 근은 3-
2이다. 나머지 한 근을 a라 하면
'
2)+(3+
a(3+
'
6a+7=-5
2)(3-
'
'
∴ a=-2
따라서 세 근이 -2, 3+
2이므로
-2+(3+
2)+(3-
-2(3+
'
'
2)(3-
'
2)=-b
'
∴ a=-4
∴ b=14
2, 3-
'
'
2)=-a
2)+a(3-
2)=-5
'
⑵ [
4x-3y=-3 yy ㉡
x-y=-2
yy ㉠
⇨ x=y-2 y ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면 y-8=-3
∴ y=5
이것을 ㉢에 대입하면 x=3
10-1 ⑴ [
yy ㉠
x-2y=10
x2+y2=100 yy ㉡
⇨ x=2y+10 yy ㉢
8-1 ⑴ 다른 한 근은 3-i이다. 나머지 한 근을 a라 하면
a+(3+i)+(3-i)=5
∴ a=-1
㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면 y2+8y=0
y(y+8)=0
∴ y=0 또는 y=-8
따라서 세 근이 -1, 3+i, 3-i이므로
y=0이면 x=10, y=-8이면 x=-6이므로
-(3+i)+(3+i)(3-i)-(3-i)=a
∴ a=4
-(3+i)(3-i)=-b
∴ b=10
[
x=10
y=0 또는 [
x=-6
y=-8
4. 여러 가지 방정식 | 061
⑵ [
x2-y2=0
yy ㉠
3x2+xy-y2=9 yy ㉡
㉠에서 (x+y)(x-y)=0 ∴ x=-y 또는 x=y
Ú x=-y를 ㉡에 대입하면
3y2-y2-y2=9, y2=9
x=-y이므로 x=Ñ3, y=Ð3 (복호동순)
∴ y=Ñ3
Û x=y를 ㉡에 대입하면
3y2+y2-y2=9, y2=3
x=y이므로 x=Ñ
∴ y=Ñ
3
'
3 (복호동순)
3, y=Ñ
'
Ú, Û에서
[
x=3
y=-3 또는 [
y=3
x=-3
x=
3
'
3 또는 [
x=-
y=-
또는 [
y=
3
'
3
'
⑶ x, y는 이차방정식 t2-3t-4=0의 두 근이다.
(t+1)(t-4)=0
∴ t=-1 또는 t=4
'
'
x=-1
x=4
∴ [
y=4
또는 [
y=-1
⑷ x+y=p, xy=q라 하면 [
㉡을 ㉠에 대입하면 p2=49
Ú p=7, q=10일 때,
p2-2q=29 yy ㉠
yy ㉡
q=10
∴ p=Ñ7
x, y는 t2-7t+10=0의 두 근이다.
(t-2)(t-5)=0
∴ t=2 또는 t=5
∴ [
x=2
y=5 또는 [
x=5
y=2
Û p=-7, q=10일 때,
x, y는 t2+7t+10=0의 두 근이다.
(t+2)(t+5)=0
∴ t=-2 또는 t=-5
∴ [
x=-2
y=-5 또는 [
x=-5
y=-2
Ú, Û에서
[
x=2
y=5 또는 [
x=5
y=2
또는 [
x=-2
y=-5 또는 [
x=-5
y=-2
10-2 ⑴ [
yy ㉠
x-y=1
x2-2xy=-8 yy ㉡
⇨ y=x-1 yy ㉢
㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면 x2-2x-8=0
(x+2)(x-4)=0
∴ x=-2 또는 x=4
x=-2이면 y=-3, x=4이면 y=3이므로
[
y=3
x=4
x=-2
y=-3 또는 [
3x2+2xy-y2=0 yy ㉠
x2-2xy+y2=4 yy ㉡
㉠에서 (3x-y)(x+y)=0
⑵ [
∴ y=3x 또는 y=-x
Ú y=3x를 ㉡에 대입하면
x2-6x2+9x2=4, x2=1
y=3x이므로 x=Ñ1, y=Ñ3 (복호동순)
∴ x=Ñ1
062 정답과 풀이
Û y=-x를 ㉡에 대입하면
x2+2x2+x2=4, x2=1
y=-x이므로 x=Ñ1, y=Ð1 (복호동순)
∴ x=Ñ1
Ú, Û에서
x=1
y=3 또는 [
x=-1
y=-3
[
y=1
⑶ x, y는 이차방정식 t2-8t+15=0의 두 근이다.
(t-3)(t-5)=0
∴ t=3 또는 t=5
또는 [
x=1
y=-1 또는 [
x=-1
∴ [
x=3
y=5 또는 [
x=5
y=3
⑷ x+y=p, xy=q라 하면 [
㉡을 ㉠에 대입하면 p2=9
Ú p=3, q=-4일 때,
p2-2q=17 yy ㉠
yy ㉡
q=-4
∴ p=Ñ3
x, y는 t2-3t-4=0의 두 근이다.
(t+1)(t-4)=0
∴ t=-1 또는 t=4
x=-1
x=4
∴ [
y=4
또는 [
y=-1
Û p=-3, q=-4일 때,
x, y는 t2+3t-4=0의 두 근이다.
(t-1)(t+4)=0
∴ t=1 또는 t=-4
∴ [
x=1
y=-4 또는 [
y=1
x=-4
Ú, Û에서
x=-1
x=4
[
y=4
또는 [
y=-1
또는 [
x=1
y=-4 또는 [
x=-4
y=1
11-1 ⑴ x(y-2)-2(y-2)-4=0이므로
(x-2)(y-2)=4
x-2 -4 -2 -1
y-2 -1 -2 -4
1
4
2
2
4
1
따라서 구하는 순서쌍 (x, y)는
(-2, 1), (0, 0), (1, -2), (3, 6), (4, 4), (6, 3)
⑵ (x2+6x+9)+(y2-8y+16)=0
∴ (x+3)2+(y-4)2=0
따라서 x+3=0, y-4=0이므로 x=-3, y=4
11-2 ⑴ x(y+1)-5(y+1)-5=0이므로
(x-5)(y+1)=5
x-5
y+1
-5
-1
-1
-5
1
5
5
1
따라서 구하는 순서쌍 (x, y)는
(0, -2), (4, -6), (6, 4), (10, 0)
⑵ (4x2+4xy+y2)+(4y2-4y+1)=0
∴ (2x+y)2+(2y-1)2=0
따라서 2x+y=0, 2y-1=0이므로 x=-
;4!;, y=
;2!;
STEP 3
114쪽~116쪽
f(3)=0에서
81+27a+9+24+b=0
∴ 27a+b=-114yy㉡
01 2x3+6x2+x-4=0의세근의합은-
=-3이다.
;2^;
㉠,㉡을연립하여풀면a=-4,b=-6
02 [
2x-y=-8
3x+y=-2
yy㉠
yy㉡
㉠+㉡을하면5x=-10
∴ x=-2
이것을㉠에대입하면y=4이므로해는[
x=-2
y=4
08 (x2-x)2-8(x2-x)+12=0에서x2-x=t로놓으면
t2-8t+12=0,(t-2)(t-6)=0
Út=2일때,x2-x-2=0에서
∴ t=2또는t=6
(x+1)(x-2)=0
Ût=6일때,x2-x-6=0에서
∴ x=-1또는x=2
(x+2)(x-3)=0
∴ x=-2또는x=3
03 f(x)=x3+5x2+3x-1이라하면f(-1)=0이므로
Ú,Û에서x=-1또는x=2또는x=-2또는x=3
-1
5
3 -1
1
1
-1 -4
4 -1
1
0
f(x)=(x+1)(x2+4x-1)
즉,(x+1)(x2+4x-1)=0이므로
x=-1또는x=-2Ñ
5
'
04 x3+5x2-4x-20=x2(x+5)-4(x+5)
=(x+5)(x2-4)
=(x+5)(x+2)(x-2)
즉,(x+5)(x+2)(x-2)=0이므로
x=-5또는x=-2또는x=2
따라서가장큰근과가장작은근의합은2+(-5)=-3
05 f(x)=x3+ax2+3x+b라하면
f(1)=0에서1+a+3+b=0
∴ a+b=-4yy㉠
f(-2)=0에서-8+4a-6+b=0 ∴4a+b=14 yy㉡
㉠,㉡을연립하여풀면a=6,b=-10
06 f(x)=x4-2x3-7x2+4x+4라하면
f(1)=0, f(-2)=0이므로
-2
1
1 -2 -7 -4
-1 -1 -8 -4
4
0
1 -1 -8 -4
-2 -6 -4
1 -3 -2 -0
f(x)=(x-1)(x+2)(x2-3x-2)
즉,(x-1)(x+2)(x2-3x-2)=0이므로
x=1또는x=-2또는x=
17
3Ñ
'¶
2
∴1+(-2)+
17
3+
'¶
2
+
17
3-
'¶
2
=2
09 {(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-3)}-120=0에서
(x2-5x+4)(x2-5x+6)-120=0
x2-5x=t로놓으면
(t+4)(t+6)-120=0,t2+10t-96=0
(t-6)(t+16)=0
∴ t=6또는t=-16
Út=6일때,x2-5x-6=0에서
(x+1)(x-6)=0
∴ x=-1또는x=6
Ût=-16일때,x2-5x+16=0에서x=
Ú,Û에서x=-1또는x=6또는x=
39i
5Ñ
'¶
2
39i
5Ñ
'¶
2
10 {x(x+3)}{(x+1)(x+2)}-24=0에서
(x2+3x)(x2+3x+2)-24=0
x2+3x=t로놓으면
t(t+2)-24=0,t2+2t-24=0
(t-4)(t+6)=0
Út=4일때,x2+3x-4=0에서
∴ t=4또는t=-6
(x-1)(x+4)=0
∴ x=1또는x=-4
Ût=-6일때,x2+3x+6=0에서x=
-3Ñ
'¶
2
Ú,Û에서a,b는x2+3x+6=0의두근이므로
15i
a+b=-3,ab=6
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=9-24=-15
11 (x4+16x2+64)-16x2=0,(x2+8)2-(4x)2=0
(x2+4x+8)(x2-4x+8)=0
∴x=-2Ñ2i또는x=2Ñ2i
12(x4-6x2+9)-x2=0,(x2-3)2-x2=0
(x2+x-3)(x2-x-3)=0
∴x=
또는x=
13
-1Ñ
'¶
2
13
1Ñ
'¶
2
07 f(x)=x4+ax3+x2+8x+b라하면
f(1)=0에서
13 a+b+c=0,ab+bc+ca=-4,abc=7이므로
(a+b)(b+c)(c+a)=(-c)(-a)(-b)
1+a+1+8+b=0
∴ a+b=-10
yy㉠
=-abc=-7
4. 여러 가지 방정식 | 063
14 a+b+c=-1,ab+bc+ca=4,abc=2에서
ab+bc+ca
abc
=2,
1
b
1
a
1
c
+
=
+
´
+
1
b
´
1
c
+
1
c
´
1
a
=
a+b+c
abc
=-
;2!;,
1
a
1
a
1
b
1
b
´
´
=
1
c
1
abc
=
;2!;이므로
x3-2x2-
2
{
x-
;2!;
;2!;}
=0
∴ 2x3-4x2-x-1=0
3이다.나머지한근을a라하면
15 다른한근은1+
3)(1+
a(1-
'
3)=2
'
'
따라서세근이-1,1-
-1+(1-
3)+(1+
'
-(1-
3)+(1-
'
∴b=-4
'
3)(1+
'
'
∴ a=-1
3이므로
3,1+
'
'
3)=-a
∴ a=-1
3)-(1+
3)=b
'
16 다른한근은1-i이다.나머지한근을a라하면
a(1+i)(1-i)=6
∴ a=3
따라서세근이3,1+i,1-i이므로
3+(1+i)+(1-i)=-a
∴ a=-5
3(1+i)+(1+i)(1-i)+3(1-i)=b
∴ b=8
∴ab=-40
17 x3-1=0의한허근이x이므로x3=1,x2+x+1=0
-x
x
xÚ`Þ`+xÛ
x
1+xÛ
x
∴
=-1
=
=
18 x3+1=(x+1)(x2-x+1)=0에서
x2-x+1=0의두근이x,xÓ이므로x+xÓ=1,xxÓ=1
∴(x+2)(xÓ+2)=xxÓ+2(x+xÓ)+4
=1+2+4=7
x-y-7=0
x2+xy=-6
19 [
㉢을㉡에대입하여정리하면2x2-7x+6=0
yy㉡
yy㉠
⇨ y=x-7 yy㉢
(x-2)(2x-3)=0
∴ x=2또는x=
;2#;
이때,x,y가정수이므로x=2이고,y=-5
∴x2+y2=29
20 [
x2+xy-6y2=0 yy㉠
x2-2xy+y2=16 yy㉡
㉠에서(x-2y)(x+3y)=0
∴x=2y또는x=-3y
Ûx=-3y를㉡에대입하면
9y2+6y2+y2=16,y2=1
x=-3y이므로x=Ñ3,y=Ð1(복호동순)
∴ y=Ñ1
Ú,Û에서
x=8
y=4 또는[
[
x=-8
y=-4
또는[
x=3
y=-1 또는[
x=-3
y=1
x2-4y2=0
yy㉠
x2+xy-3y2=12 yy㉡
21 [
㉠에서(x+2y)(x-2y)=0
Úx=-2y를㉡에대입하면
∴x=-2y또는x=2y
4y2-2y2-3y2=12,y2=-12
x=-2y이므로x=Ñ4
∴ y=Ñ2
3i
'
3i,y=Ð2
3i(복호동순)
'
Ûx=2y를㉡에대입하면
4y2+2y2-3y2=12,y2=4
x=2y이므로x=Ñ4,y=Ñ2(복호동순)
∴ y=Ñ2
'
이때,x,y가양의실수이므로x=4,y=2
∴x+y=6
22 x+y=p,xy=q라하면[
㉡을㉠에대입하면p2=1
Úp=1,q=-6일때,
p2-q=7 yy㉠
yy㉡
q=-6
∴ p=Ñ1
x,y는t2-t-6=0의두근이다.
(t+2)(t-3)=0
∴ t=-2또는t=3
x=-2
x=3
∴[
y=3
또는[
y=-2
Ûp=-1,q=-6일때,
x,y는t2+t-6=0의두근이다.
(t-2)(t+3)=0
∴ t=2또는t=-3
∴[
x=2
y=-3 또는[
y=2
x=-3
Ú,Û에서
x=-2
x=3
[
y=3
또는[
y=-2
또는[
x=2
y=-3 또는[
y=2
x=-3
23 x(y-4)-3(y-4)-5=0이므로
(x-3)(y-4)=5
x-3
y-4
-5
-1
-1
-5
1
5
5
1
따라서순서쌍(x,y)는(-2,3),(2,-1),(4,9),(8,5)
이중x,y가자연수인것은(4,9)또는(8,5)이므로
x+y=13
Úx=2y를㉡에대입하면
4y2-4y2+y2=16,y2=16
x=2y이므로x=Ñ8,y=Ñ4(복호동순)
∴ y=Ñ4
24 (x2-2xy+y2)+(x2-8x+16)=0
∴(x-y)2+(x-4)2=0
따라서x-y=0,x-4=0이므로x=4,y=4
064 정답과 풀이
5
연립일차부등식
STEP 1
118쪽~129쪽
01-1 ⑴ a>b일 때, a+2 > b+2
⑵ a<b일 때, -2a+3 > -2b+3
⑶ a<b, c<0일 때, ac > bc
⑷ a<b<0일 때, ;a!;
>
;b!;
01-2 ㄱ. a=-2, b=-3이면 a2=4, b2=9이므로 a2<b2
ㄴ. a>b이면 a-c>b-c
ㄷ. a=3, b=2, c=-1, d=-3이면
a-c=4, b-d=5이므로 a-c<b-d
따라서 옳은 것은 ㄴ이다.
01-3 ⑴ -2É2xÉ4이므로 -1 É2x+1É 5
⑵ 5É5xÉ10이므로 4É5x-1É9
⑶ 2É2x<6이므로 -3É2x-5<1
⑷ -2<-2x<4이므로 1<-2x+3<7
⑸ -3É-3x<3이므로 -1É-3x+2<5
⑹ 4<-2xÉ6이므로 9<-2x+5É11
02-1 ⑴ 5x-3x>7+1, 2x>8
⑵ 3x+2x<7+3, 5x<10
∴ x > 4
∴ x<2
⑶ 2x-5x¾25+2, -3x¾27
∴ xÉ-9
⑷ 양변에 10을 곱하면 10-3x¾-7x+26
-3x+7x¾26-10, 4x¾16
∴ x¾4
⑸ 양변에 6을 곱하면 3x-3É2x-4
3x-2xÉ-4+3
∴ xÉ-1
⑹ 양변에 15를 곱하면 5x-20<9x
5x-9x<20, -4x<20
∴ x>-5
-
a+1
2
= 2
∴ a= -5
⑵ 양변에 10을 곱하면 5x-10>6x-2a
-x>-2a+10에서 x<2a-10이므로
2a-10=4
∴ a=7
⑶ 양변에 20을 곱하면 12x+2<5x+5a
7x<5a-2에서 x<
이므로
5a-2
7
5a-2
7
=4
∴ a=6
⑷ 3(2x+1)>2(x+3)에서
3(x-a)>2x+3에서
3x-2x>3+3a
∴ x>3a+3
yy ㉡
㉠, ㉡이 서로 같으므로
3a+3=
;4#;
∴ a=-
;4#;
⑸ 3(x-2)>5(x-a)에서
-2x>-5a+6
∴ x<
yy ㉠
5a-6
2
3x-2<
5x-a
2
에서
6x-4<5x-a
∴ x<-a+4
yy ㉡
㉠, ㉡이 서로 같으므로
5a-6
2
=-a+4, 5a-6=-2a+8
∴ a=2
03-1 ⑴ (a-2)x>3이므로
Ú a>2일 때, x >
Û a<2일 때, x <
3
a-2
3
a-2
Ü a=2일 때, 0´x>3이므로 해는 없다 .
Ü a=1일 때, 0´x¾0이므로 해는 모든 실수이다 .
Ü a=1일 때, 0´x<-1이므로 해는 없다.
⑵ (a-1)x¾a-1이므로
Ú a>1일 때, x ¾ 1
Û a<1일 때, x É 1
⑶ (a-1)x<-1이므로
Ú a>1일 때, x<-
Û a<1일 때, x>-
1
a-1
1
a-1
⑷ (a-3)x>6이므로
Ú a>3일 때, x>
Û a<3일 때, x<
6
a-3
6
a-3
⑸ (a-2)x¾-3이므로
Ú a>2일 때, x¾-
Û a<2일 때, xÉ-
⑹ (2a-1)xÉ2이므로
Ú a>
;2!;일 때, xÉ
Û a<
;2!;일 때, x¾
3
a-2
3
a-2
2
2a-1
2
2a-1
Ü a=2일 때, 0´x¾-3이므로 해는 모든 실수이다.
02-2 ⑴ -2x<a+1에서 x>-
이므로
a+1
2
Ü a=3일 때, 0´x>6이므로 해는 없다.
6x-2x>6-3, 4x>3
∴ x>
yy ㉠
;4#;
Ü a=
;2!;일 때, 0´xÉ2이므로 해는 모든 실수이다.
5. 연립일차부등식 | 065
⑺ (a-1)x>a2-1
즉, (a-1)x>(a+1)(a-1)이므로
Ú a>1일 때, x>a+1
Û a<1일 때, x<a+1
Ü a=1일 때, 0´x>0이므로 해는 없다.
⑻ (a-3)xÉa2-5a+6
즉, (a-3)xÉ(a-2)(a-3)이므로
Ú a>3일 때, xÉa-2
Û a<3일 때, x¾a-2
Ü a=3일 때, 0´xÉ0이므로 해는 모든 실수이다.
04-1 ⑴ -2<x<5
⑶ x<-1
⑵ -5<xÉ-3
⑷ xÉ-4
⑸ x>7
⑹ x¾-2
04-2 ⑴ -3<x<4
⑶ x>3
⑸ x<-4
⑵ 1Éx<5
⑷ x¾4
⑹ x<-2
⑺ -3<xÉ-1 ⑻ x>-2
⑼ xÉ-2
05-1 ⑴ 2x-1>3x-4에서 x< 3
5x+4>2x+1에서 x> -1
따라서 연립부등식의 해는 -1 <x< 3
⑵ 7x+1É3x+5에서 xÉ1
4+2x¾-x+1에서 x¾-1
따라서 연립부등식의 해는 -1ÉxÉ1
⑶ 3x+1<2x+5에서 x<4
4-3x¾-x+2에서 xÉ1
따라서 연립부등식의 해는 xÉ1
⑷ 4x+1¾x-2에서 x¾-1
x+3<3x-5에서 x>4
따라서 연립부등식의 해는 x>4
05-2 ⑴ 2(x+2)>x+3에서 x> -1
4(x-1)¾2(x+2)에서 x¾ 4
따라서 연립부등식의 해는 x¾ 4
⑵ 5(x+2)>2x-5에서 x>-5
3x-2¾4(x-2)에서 xÉ6
따라서 연립부등식의 해는 -5<xÉ6
⑶ 4(x-2)<2(x-1)에서 x<3
-(x-1)É-3(x+3)에서 xÉ-5
따라서 연립부등식의 해는 xÉ-5
⑷ -3(x+1)¾-2(2x+3)에서 x¾-3
2(x-2)É4(x+3)에서 x¾-8
따라서 연립부등식의 해는 x¾-3
066 정답과 풀이
05-3 ⑴ ;3@;
x-1< x-1
2
에서 4x-6<3x-3
∴ x< 3
x-2
3
>
2x-3
4
에서
4x-8>6x-9
∴ x< ;2!;
따라서 연립부등식의 해는 x< ;2!;
⑵
x-1
2
>x-3에서 x-1>2x-6 ∴ x<5
x¾
x+
;6!;에서 3x¾2x+1
;3!;
;2!;
∴ x¾1
따라서 연립부등식의 해는 1Éx<5
⑶ 0.9x<0.5x-0.4에서 9x<5x-4
0.3x-0.9¾0.5x+0.3에서
∴ x<-1
3x-9¾5x+3
∴ xÉ-6
따라서 연립부등식의 해는 xÉ-6
⑷ 0.2(x-1)É0.4x-1에서
2x-2É4x-10
∴ x¾4
0.2x+0.5¾-0.1x+0.8에서
∴ x¾1
2x+5¾-x+8
따라서 연립부등식의 해는 x¾4
05-4 ⑴ x+4<2(a+1)에서 x<2a-2
2x-4<5x+8에서 x>-4
이때, 연립부등식의 해가 -4<x<2이므로
2a-2= 2
∴ a= 2
⑵ -2(x+1)<3x+13에서
-2x-2<3x+13
∴ x>-3
3(x+3)<-(x+a)에서
3x+9<-x-a
∴ x<
-a-9
4
이때, 연립부등식의 해가 -3<x<-2이므로
-a-9
4
=-2
∴ a=-1
⑶
x-2
3
<
x-a
2
에서
2x-4<3x-3a
∴ x>3a-4
-2<
+1에서
;5{;
;2{;
5x-20<2x+10
∴ x<10
이때, 연립부등식의 해가 2<x<10이므로
3a-4=2
∴ a=2
⑷ 0.3x-a<0.1x+0.4에서
∴ x<5a+2
3x-10a<x+4
1.2x-0.6>0.7x-1.1에서
12x-6>7x-11
∴ x>-1
이때, 연립부등식의 해가 -1<x<3이므로
5a+2=3
∴ a=
;5!;
3(x+2)<3(2x-3)에서 3x+6<6x-9
3
2a+1 x
06-1 ⑴ 2x-5<3x-4에서 -x<1
3x-4<x+2에서 2x<6
∴ x> -1
∴ x< 3
⑽ 2(2x-1)É3(x+1)에서 4x-2É3x+3 ∴ xÉ5
2x-3(7-2x)¾4+3x에서 8x-21¾4+3x
따라서 연립부등식의 해는 -1<x<3
∴ x¾5
⑵ 5x-1É3x-5에서 2xÉ-4
∴ xÉ -2
따라서 연립부등식의 해는 x=5
3x-5É4x-1에서 -xÉ4
∴ x¾ -4
따라서 연립부등식의 해는 -4ÉxÉ-2
⑶ 2x-1<5-x에서 3x<6
∴ x<2
5-xÉ3x+1에서 -4xÉ-4
∴ x¾1
따라서 연립부등식의 해는 1Éx<2
⑷ 4x-5É5x-3에서 -xÉ2
∴ x¾-2
5x-3<3x+1에서 2x<4
∴ x<2
따라서 연립부등식의 해는 -2Éx<2
⑸ 2(2x-1)<3(x+2)에서 4x-2<3x+6
∴ x<8
∴ x>5
∴ x¾2
∴ x<5
따라서 연립부등식의 해는 5<x<8
⑹ 3x-(x-4)É5x-2에서 2x+4É5x-2
5x-2<3(3+x)-1에서 5x-2<3x+8
따라서 연립부등식의 해는 2Éx<5
⑺ -
xÉx-1에서 x¾-2x+2
∴ x¾
;2!;
;3@;
x-1<
x에서 3x-3<x
∴ x<
;3!;
;2#;
Éx<
;2#;
⑻
따라서 연립부등식의 해는 ;3@;
x-1
2
2x-1
3
3x-2
4
x-1
2
<
<
따라서 연립부등식의 해는 -1<x<0
에서 3x-2<2x-2
∴ x<0
에서 3x-3<4x-2 ∴ x>-1
07-1 ⑴ 해는 없다.
⑵ 해는 없다.
⑶ x=2
⑷ 해는 없다.
⑸ 해는 없다.
⑹ x=3
⑺ 6-2x<3x+1에서 -5x<-5
∴ x>1
4x-3<2x-5에서 2x<-2
∴ x<-1
따라서 연립부등식의 해는 없다 .
⑻ 5x-3¾3x+1에서 2x¾4
∴ x¾2
4-2xÉ10-5x에서 3xÉ6
∴ xÉ2
따라서 연립부등식의 해는 x=2
⑼ 3x-1É2x-3에서 xÉ-2
2x+7¾2-3x에서 5x¾-5
∴ x¾-1
따라서 연립부등식의 해는 없다.
⑾
x-2
2
É
2-x
3
3x-2
4
¾
2x-1
3
에서 3x-6É4-2x
∴ xÉ2
에서 9x-6¾8x-4
∴ x¾2
따라서 연립부등식의 해는 x=2
07-2 ⑴ 2x-7>-1에서 x>3
x-2aÉ1에서 xÉ2a+1
따라서 2a+1 > 3이어야 하
므로 a > 1
⑵ 5x-7É3x-5에서 xÉ1
2x+5¾a-x에서 x¾
a-5
3
따라서
É1이어야
a-5
3
하므로 aÉ8
⑶ 2(x-1)É3x-1에서
2x-2É3x-1
∴ x¾-1
3(x-2)<5-(2x+a)에서
a-5
1123
1
x
-1 -a+11
5
11123
x
3x-6<-2x-a+5
∴ x<
-a+11
5
따라서
-a+11
5
>-1
이어야 하므로 a<16
⑷
x-a
3
<
x-4
2
에서
2x-2a<3x-12
∴ x>-2a+12
2x-1
3
>
4x+1
5
에서
10x-5>12x+3
∴ x<-4
따라서 -2a+12<-4
이어야 하므로 a>8
-2a+12
-4
x
07-3 ⑴ 3x-7¾5에서 x¾4
x-3aÉ2a-1에서 xÉ5a-1
따라서 5a-1 < 4이어야
하므로 a < 1
⑵ x-3<3x-7에서 x>2
x+5¾a+4x에서 xÉ
-a+5
3
따라서
É2이어야
-a+5
3
하므로 a¾-1
5a-1
4
x
-a+5
11223
2
x
5. 연립일차부등식 | 067
⑶ 5(2x-1)É3(3x-a)에서
10x-5É9x-3a
∴ xÉ-3a+5
09-1 ⑴ |2x-1|>x+3에서
4(x-2)>-2(x-2)에서
4x-8>-2x+4
∴ x>2
따라서 -3a+5É2이어야
하므로 a¾1
⑷
3x-2
5
<
3x+1
2
에서
6x-4<15x+5
∴ x>-1
2x-a
4
>
2x-1
3
에서
6x-3a>8x-4
∴ x<
-3a+4
2
따라서
É-1이어야
-3a+4
2
하므로 a¾2
08-1 ⑴ -5<x-3<5이므로 -2 <x< 8
⑵ x+1<-3 또는 x+1>3이므로
x< -4 또는 x> 2
⑶ -4Éx+2É4이므로 -6ÉxÉ2
⑷ x-5É-2 또는 x-5¾2이므로
xÉ3 또는 x¾7
⑸ -3É2x-5É3이므로 1ÉxÉ4
⑹ 3x+2É-4 또는 3x+2¾4이므로
xÉ-2 또는 x¾
;3@;
08-2 ⑴ |x-1|<a에서 -a<x-1<a
∴ -a+1<x< a+1
주어진 부등식의 해가 -2<x<b이므로
-a+1=-2, a+1=b
∴ a= 3 , b= 4
⑵ |x-a|¾2에서 x-aÉ-2 또는 x-a¾2
∴ xÉ a-2 또는 x¾a+2
주어진 부등식의 해가 xÉb 또는 x¾7이므로
a-2=b, a+2=7
∴ a= 5 , b= 3
⑶ |2x+1|Éa에서 -aÉ2x+1Éa
∴
-a-1
2
ÉxÉ
a-1
2
주어진 부등식의 해가 -2ÉxÉb이므로
-a-1
2
a-1
2
=-2,
=b
∴ a=3, b=1
-3a+5
2
x
⑵ |3x-1|<x+1에서
∴ 0<x<
;3!;
Ú, Û에서 0<x<1
⑶ |2x-3|>x+5에서
-3a+4
2
1112
-1
x
Ú x¾
;2!;일 때, 2x-1 >x+3이므로 x>4
Û x<
;2!;일 때, -(2x-1)>x+3이므로 x<-
;3@;
Ú, Û에서 x>4 또는 x<-
;3@;
Ú x¾
;3!;일 때, 3x-1<x+1이므로 x<1
∴ ;3!;
Éx<1
Û x<
;3!;일 때, -(3x-1)<x+1이므로 x>0
Ú x¾
;2#;일 때, 2x-3>x+5이므로 x>8
Û x<
;2#;일 때, -(2x-3)>x+5이므로 x<-
;3@;
Ú, Û에서 x>8 또는 x<-
;3@;
⑷ |2x+3|É-x+1에서
Ú x¾-
;2#;일 때, 2x+3É-x+1이므로 xÉ-
;3@;
∴ -
ÉxÉ-
;2#;
;3@;
Û x<-
;2#;일 때, -(2x+3)É-x+1이므로 x¾-4
∴ -4Éx<-
;2#;
Ú, Û에서 -4ÉxÉ-
;3@;
⑸ |x+1|¾2x+1에서
∴ x<-1
Ú, Û에서 xÉ0
⑹ |x-1|<3x+5에서
∴ x¾1
∴ -1<x<1
Ú, Û에서 x>-1
Ú x¾-1일 때, x+1¾2x+1이므로 xÉ0
∴ -1ÉxÉ0
Û x<-1일 때, -(x+1)¾2x+1이므로 xÉ-
;3@;
Ú x¾1일 때, x-1<3x+5이므로 x>-3
Û x<1일 때, -(x-1)<3x+5이므로 x>-1
⑷ |2x+a|>5에서 2x+a<-5 또는 2x+a>5
⑺ |3x-2|¾2x+3에서
∴ x<
또는 x>
-a-5
2
-a+5
2
주어진 부등식의 해가 x<-1 또는 x>b이므로
-a-5
2
-a+5
2
=-1,
=b
∴ a=-3, b=4
Ú x¾
;3@;일 때, 3x-2¾2x+3이므로 x¾5
Û x<
;3@;일 때, -(3x-2)¾2x+3이므로 xÉ-
;5!;
Ú, Û에서 x¾5 또는 xÉ-
;5!;
068 정답과 풀이
09-2 ⑴ |x+1|+|x-2|<5에서
Ú x<-1일 때,
-(x+1)-(x-2)<5이므로 x>-2
⑸ |x+1|+2|x-2|É9에서
Ú x<-1일 때,
-(x+1)-2(x-2)É9이므로 x¾-2
(x+1)-(x-2)<5, 즉 3<5이므로
(x+1)-2(x-2)É9이므로 x¾-4
∴ -2<x<-1
Û -1Éx<2일 때,
주어진 부등식은 이 범위에서 항상 성립한다.
∴ -1Éx<2
Ü x¾2일 때,
(x+1)+(x-2)<5이므로 x<3
∴ 2Éx<3
Ú, Û, Ü에서 -2<x<3
⑵ |x-1|+|x+4|É9에서
Ú x<-4일 때,
-(x-1)-(x+4)É9이므로 x¾-6
∴ -6Éx<-4
Û -4Éx<1일 때,
-(x-1)+(x+4)É9, 즉 5É9이므로
주어진 부등식은 이 범위에서 항상 성립한다.
∴ -4Éx<1
Ü x¾1일 때,
(x-1)+(x+4)É9이므로 xÉ3
1ÉxÉ3
Ú, Û, Ü에서 -6ÉxÉ3
⑶ |x+3|+|x-2|>7에서
Ú x<-3일 때,
-(x+3)-(x-2)>7이므로 x<-4
Û -3Éx<2일 때,
(x+3)-(x-2)>7, 즉 5>7이므로
주어진 부등식은 이 범위에서 해가 없다.
Ü x¾2일 때,
(x+3)+(x-2)>7이므로 x>3
Ú, Û, Ü에서 x<-4 또는 x>3
⑷ |x-4|+|x+2|¾6에서
Ú x<-2일 때,
-(x-4)-(x+2)¾6이므로 xÉ-2
∴ x<-2
Û -2Éx<4일 때,
-(x-4)+(x+2)¾6, 즉 6¾6이므로
주어진 부등식은 이 범위에서 항상 성립한다.
∴ -2Éx<4
Ü x¾4일 때,
(x-4)+(x+2)¾6이므로 x¾4
∴ -2Éx<-1
Û -1Éx<2일 때,
∴ -1Éx<2
Ü x¾2일 때,
(x+1)+2(x-2)É9이므로 xÉ4
∴ 2ÉxÉ4
Ú, Û, Ü에서 -2ÉxÉ4
⑹ |x-3|+2|x+2|<8에서
Ú x<-2일 때,
-(x-3)-2(x+2)<8이므로 x>-3
∴ -3<x<-2
Û -2Éx<3일 때,
∴ -2Éx<1
Ü x¾3일 때,
-(x-3)+2(x+2)<8이므로 x<1
(x-3)+2(x+2)<8이므로 x<
;3&;
그런데 x¾3이므로 해는 없다.
Ú, Û, Ü에서 -3<x<1
⑺ |x-2|+3|x+1|<5에서
Ú x<-1일 때,
-(x-2)-3(x+1)<5이므로 x>-
;2#;
∴ -
<x<-1
;2#;
Û -1Éx<2일 때,
∴ -1Éx<0
Ü x¾2일 때,
-(x-2)+3(x+1)<5이므로 x<0
(x-2)+3(x+1)<5이므로 x<1
그런데 x¾2이므로 해는 없다.
Ú, Û, Ü에서 -
<x<0
;2#;
STEP 2
130쪽~133쪽
1-1 ⑴ 4x+4¾3x+2
⑵ 3x-4<5x+2
∴ x¾-2
∴ x>-3
⑶ 4x+2É3x-9
∴ xÉ-11
1-2 ⑴ 2x-6>-3x-21
⑵ 3x-20¾-2x+5
∴ x>-3
∴ x¾5
Ú, Û, Ü에서 주어진 부등식의 해는 모든 실수이다.
⑶ 5x-10<4x-6
∴ x<4
5. 연립일차부등식 | 069
2-1 ⑴ -6É3xÉ3이므로 -5É3x+1É4
⑵ 0<-2xÉ6이므로 4<-2x+4É10
4-1 ⑴ 4x-2É5x-3에서 x¾1
3x-1Éx+5에서 xÉ3
⑶ x<a+3이므로 a+3=-1
∴ a=-4
따라서 연립부등식의 해는 1ÉxÉ3
⑷ 2(x+3)¾x+4에서 2x+6¾x+4
∴ x¾-2
⑵ 3(x+2)É2(x+3)에서 3x+6É2x+6 ∴ xÉ0
-a+1
2
x-4<2(x-1)에서 x-4<2x-2
∴ x>-2
따라서 연립부등식의 해는 -2<xÉ0
⑶
x+1
2
>
x-1
3
;2!;
x-1>
x+1
5
에서 3x+3>2x-2
∴ x>-5
에서 5x-10>2x+2
∴ x>4
에서 3x+3>2x-4
∴ x>-7
⑵ 4(x-1)>x+5에서 4x-4>x+5
∴ x>3
3x-1¾x-a에서 2x¾-a+1
∴ x¾
따라서
=-2이므로 a=5
-a+1
2
2-2 ⑴ -4<4x<8이므로 -6<4x-2<6
⑵ -3É-x<-1이므로 -8É-x-5<-6
⑶ 10x-5É3x+3a이므로 xÉ
3a+5
7
따라서
=2이므로 a=3
3a+5
7
⑷
x+1
2
> x-2
3
2(x+a)>x-1에서 x>-2a-1
따라서 -2a-1=-7이므로 a=3
3-1 ⑴ (a-2)x<3이므로
Ú a>2일 때, x< 3
a-2
Û a<2일 때, x> 3
a-2
⑵ (a-1)x>3이므로
Ú a>1일 때, x> 3
a-1
Û a<1일 때, x< 3
a-1
Ü a=2일 때, 0´x<3이므로 해는 모든 실수이다.
Ü a=1일 때, 0´x>3이므로 해는 없다.
⑶ (a-1)x>a2+3a-4
즉, (a-1)x>(a-1)(a+4)이므로
Ú a>1일 때, x>a+4
Û a<1일 때, x<a+4
Ü a=1일 때, 0´x>0이므로 해는 없다.
3-2 ⑴ (a+1)x>2(a+1)이므로
Ú a>-1일 때, x>2
Û a<-1일 때, x<2
⑵ (a-3)xÉa-3이므로
Ú a>3일 때, xÉ1
Û a<3일 때, x¾1
Ü a=-1일 때, 0´x>0이므로 해는 없다.
Ü a=3일 때, 0´xÉ0이므로 해는 모든 실수이다.
⑶ (a-2)x¾a2-a-2
070 정답과 풀이
따라서 연립부등식의 해는 x>4
4-2 ⑴ 4x+5<3x-1에서 x<-6
2x-4¾7x+6에서 xÉ-2
따라서 연립부등식의 해는 x<-6
3(x-2)É2(x-1)에서 3x-6É2x-2 ∴ xÉ4
따라서 연립부등식의 해는 3<xÉ4
⑶ 0.7x-0.2É0.5x+0.2에서 7x-2É5x+2 ∴ xÉ2
0.4x-0.6É0.7x에서 4x-6É7x
따라서 연립부등식의 해는 -2ÉxÉ2
∴ x¾-2
5-1 ⑴ 3x-2<5x+2에서 -2x<4
∴ x>-2
5x+2Éx+3에서 4xÉ1
∴ xÉ
따라서 연립부등식의 해는 -2<xÉ
;4!;
;4!;
⑵
x+1
2
x-2
3
<
<
x-2
3
x+2
4
에서 3x+3<2x-4
∴ x<-7
에서 4x-8<3x+6
∴ x<14
따라서 연립부등식의 해는 x<-7
⑶ 7-2xÉ2x-5에서 -4xÉ-12
∴ x¾3
2x-3<5-(x-1)에서 2x-3<-x+6
∴ x<3
따라서 연립부등식의 해는 없다.
⑷ 3x+1¾2(x-1)에서 3x+1¾2x-2
∴ x¾-3
7(x-1)¾4(2x-1)에서
7x-7¾8x-4
∴ xÉ-3
따라서 연립부등식의 해는 x=-3
5-2 ⑴ 2x-5<-x+4에서 3x<9
-x+4<3x+8에서 -4x<4
∴ x<3
∴ x>-1
따라서 연립부등식의 해는 -1<x<3
⑵
2x-3
5
<
x+1
2
x+1
2
<
x+3
4
에서 4x-6<5x+5 ∴ x>-11
에서 2x+2<x+3
∴ x<1
따라서 연립부등식의 해는 -11<x<1
즉, (a-2)x¾(a+1)(a-2)이므로
⑶ 3(3-x)<2(2x+1)에서 9-3x<4x+2 ∴ x>1
Ú a>2일 때, x¾a+1
Û a<2일 때, xÉa+1
Ü a=2일 때, 0´x¾0이므로 해는 모든 실수이다.
2(1-2x)<-2(3x-2)에서
2-4x<-6x+4
∴ x<1
따라서 연립부등식의 해는 없다.
⑷ 3x-2(x-4)É2x+7에서
⑶ |x-1|+|x+3|<6에서
x+8É2x+7
∴ x¾1
5(x-2)+7É2(2x-1)에서
5x-3É4x-2
∴ xÉ1
따라서 연립부등식의 해는 x=1
6-1 ⑴ 2x+3<x+2에서 x<-1
3x+2>x-a에서 x>
-a-2
2
-a-2
2
해가 -3<x<-1이므로
=-3 ∴ a=4
⑵ 5x+1É2x+10에서 xÉ3
2x+4¾x+a에서 x¾a-4
해가 0ÉxÉ3이므로 a-4=0
∴ a=4
6-2 ⑴ 8x-5<10x+a에서 x> -a-5
2
6x+2<3x+8에서 x<2
해가 -3<x<2이므로
=-3
∴ a=1
⑵ -x+1É2x+a에서 x¾
3(2x+1)É4x+11에서 2xÉ8
∴ xÉ4
-a-5
2
-a+1
3
-a+1
3
7-1 ⑴ x+2>2x-1에서 x<3
a+3
2
2x-3¾a에서 x¾
따라서
<3이어야 하므로 a<3
a+3
2
⑵ 2x+5<7에서 x<1
3x+a>3a-1에서 x>
2a-1
3
따라서
¾1이어야 하므로 a¾2
2a-1
3
1
x
2a-1
11233
7-2 ⑴ x-1É2x+6에서 x¾-7
x+a¾4x-1에서 xÉ
a+1
3
-7
x
a+1
1133
따라서
¾-7이어야 하므로 a¾-22
a+1
3
⑵ 2x-1Éx-3에서 xÉ-2
x+a¾-a+4에서 x¾-2a+4
-2
-2a+4
x
따라서 -2a+4>-2이어야 하므로 a<3
8-1 ⑴ -5<2x+1<5이므로 -3<x<2
⑵ |x-1|¾2x+1에서
Ú x<-3일 때, -(x-1)-(x+3)<6이므로
x>-4
∴ -4<x<-3
Û -3Éx<1일 때,
-(x-1)+(x+3)<6, 즉 4<6이므로 주어진
부등식은 이 범위에서 항상 성립한다.
Ü x¾1일 때, (x-1)+(x+3)<6이므로 x<2
∴ -3Éx<1
∴ 1Éx<2
Ú, Û, Ü에서 -4<x<2
⑷ |x+1|+|x-1|<8에서
Ú x<-1일 때, -(x+1)-(x-1)<8이므로
x>-4
∴ -4<x<-1
Û -1Éx<1일 때,
(x+1)-(x-1)<8, 즉 2<8이므로 주어진 부
등식은 이 범위에서 항상 성립한다.
∴ -1Éx<1
Ü x¾1일 때, (x+1)+(x-1)<8이므로 x<4
∴ 1Éx<4
Ú, Û, Ü에서 -4<x<4
Û x<2일 때, -(x-2)<6-x, 즉 2<6이므로
주어진 부등식은 이 범위에서 항상 성립한다.
∴ x<2
Ú, Û에서 x<4
⑶ |x-2|+2|x-3|>5에서
Ú x<2일 때, -(x-2)-2(x-3)>5이므로 x<1
Û 2Éx<3일 때,
(x-2)-2(x-3)>5이므로 x<-1
그런데 2Éx<3이므로 해는 없다.
Ü x¾3일 때, (x-2)+2(x-3)>5이므로 x>
:Á3£:
Ú, Û, Ü에서 x<1 또는 x>
:Á3£:
⑷ 2|x-1|+|x-3|<8에서
Ú x<1일 때, -2(x-1)-(x-3)<8이므로
x>-1
∴ -1<x<1
Û 1Éx<3일 때, 2(x-1)-(x-3)<8이므로
x<7 ∴ 1Éx<3
해가 1ÉxÉ4이므로
=1
∴ a=-2
8-2 ⑴ x-4É-1 또는 x-4¾1이므로
xÉ3 또는 x¾5
⑵ |x-2|<6-x에서
Ú x¾2일 때, x-2<6-x이므로 x<4
a+3
1122
3
x
∴ 2Éx<4
Ú x¾1일 때, x-1¾2x+1이므로 xÉ-2
Ü x¾3일 때, 2(x-1)+(x-3)<8이므로
그런데 x¾1이므로 해는 없다.
Û x<1일 때, -(x-1)¾2x+1이므로 xÉ0
Ú, Û에서 xÉ0
x<
:Á3£:
∴ 3Éx<
Ú, Û, Ü에서 -1<x<
:Á3£:
:Á3£:
5. 연립일차부등식 | 071
STEP 3
134쪽~135쪽
01 2(x-1)<x+7에서 2x-2<x+7
∴ x<9
02 부등식 |x-1|+|x+3|>4는 x의 값을 x<-3,
-3Éx<1, x¾1의 3개의 구간으로 나누어 풀어야 한다.
03 (a-3)xÉ1이므로
Ú a>3일 때, xÉ
Û a<3일 때, x¾
1
a-3
1
a-3
Ü a=3일 때, 0´xÉ1이므로 해는 모든 실수이다.
04 ax-3>1에서 ax>4
해가 x<-2이므로 a<0
∴ x<
;a$;
따라서 ;a$;
=-2이므로 a=-2
05 3(x-2)>x+10에서 3x-6>x+10
2x+1<5(x-1)에서 2x+1<5x-5
∴ x>8
∴ x>2
따라서 연립부등식의 해는 x>8
06 0.1x+0.3>0.4x-0.6에서 x+3>4x-6
0.2(x-3)É0.3x+0.1에서 2x-6É3x+1 ∴ x¾-7
∴ x<3
따라서 연립부등식의 해는 -7Éx<3
07
3x+4
5
< x+3
2
5x-1
7
¾
2x+1
3
에서 6x+8<5x+15
∴ x<7
에서 15x-3¾14x+7
∴ x¾10
따라서 연립부등식의 해는 없다.
08 x+5É1-x에서 2xÉ-4
3(x-1)¾2x-5에서 3x-3¾2x-5
∴ xÉ-2
∴ x¾-2
따라서 연립부등식의 해는 x=-2
11 2(x-5)<x-3에서 2x-10<x-3
x-3É4x-6에서 -3xÉ-3
∴ x¾1
∴ x<7
따라서 연립부등식의 해는 1Éx<7이므로
M=6, m=1
∴ M+m=7
12 3x+1<2x+a에서 x<a-1
4x-1¾3x+1에서 x¾2
따라서 a-1>2이어야 하므로
a>3
2
a-1
x
13 2x+7É5x-3에서 -3xÉ-10
∴ x¾
:Á3¼:
x+4aÉ2(a+3)에서 x+4aÉ2a+6 ∴ xÉ-2a+6
따라서 -2a+6<
:Á3¼:이어야
하므로 a>
;3$;
-2a+6
x
10
133
따라서 조건을 만족시키는 정수 a의 최솟값은 2
14 -11É3x+2É11이므로 -
ÉxÉ3
:Á3£:
따라서 부등식을 만족시키는 정수는
-4, -3, y, 3의 8개이다.
15 |x+a|<3에서 -3<x+a<3
∴ -a-3<x<-a+3
이때, 부등식의 해가 -1<x<b이므로
-a-3=-1, -a+3=b
따라서 a=-2, b=5이므로 ab=-10
16 |2x+1|Éx+4에서
Ú x¾-
;2!;일 때, 2x+1Éx+4이므로 xÉ3
∴ -
ÉxÉ3
;2!;
Û x<-
;2!;일 때, -(2x+1)Éx+4이므로 x¾-
;3%;
∴ -
Éx<-
;3%;
;2!;
Ú, Û에서 -
ÉxÉ3
;3%;
09 4(x-a)¾x+1에서 4x-4a¾x+1
∴ x¾
4a+1
3
-(x-3)¾2(x-9)에서 -x+3¾2x-18
∴ xÉ7
이때, 연립부등식의 해가 3ÉxÉ7이므로
17 |x+1|+|x-3|>9에서
Ú x<-1일 때,
-(x+1)-(x-3)>9이므로 x<-
;2&;
Û -1Éx<3일 때,
(x+1)-(x-3)>9, 즉 4>9이므로
주어진 부등식은 이 범위에서 해가 없다.
3(x+1)<x+b에서 3x+3<x+b
∴ x<
Ü x¾3일 때,
b-3
2
이때, 연립부등식의 해가 -7Éx<0이므로
2a-5=-7,
=0
∴ a=-1, b=3
b-3
2
(x+1)+(x-3)>9이므로 x>
:Á2Á:
Ú, Û, Ü에서 x<-
;2&; 또는 x>
:Á2Á:
4a+1
3
=3
∴ a=2
10 x-2a¾-5에서 x¾2a-5
072 정답과 풀이
6
이차부등식과 연립이차부등식
STEP 1
138쪽~151쪽
01-1 ⑴ Ú f(x)>0의 해는 x<-2 또는 x>3
Û f(x)¾0의 해는 xÉ-2 또는 x¾3
Ü f(x)<0의 해는 -2<x<3
Ý f(x)É0의 해는 -2ÉxÉ3
⑵ Ú f(x)>0의 해는 -5<x<1
Û f(x)¾0의 해는 -5ÉxÉ1
Ü f(x)<0의 해는 x<-5 또는 x>1
Ý f(x)É0의 해는 xÉ-5 또는 x¾1
⑶ Ú f(x)>0의 해는 x+3인 모든 실수
Ü f(x)<0의 해는 x+-2인 모든 실수
Û f(x)¾0의 해는 모든 실수
Ü f(x)<0의 해는 없다.
Ý f(x)É0의 해는 x=3
⑷ Ú f(x)>0의 해는 없다.
Û f(x)¾0의 해는 x=-2
Ý f(x)É0의 해는 모든 실수
⑸ Ú f(x)>0의 해는 모든 실수
Û f(x)¾0의 해는 모든 실수
Ü f(x)<0의 해는 없다.
Ý f(x)É0의 해는 없다.
⑹ Ú f(x)>0의 해는 없다.
Û f(x)¾0의 해는 없다.
Ü f(x)<0의 해는 모든 실수
Ý f(x)É0의 해는 모든 실수
x<-1 또는 x>4
Û f(x)¾0의 해는
xÉ-1 또는 x¾4
Ü f(x)<0의 해는 -1<x<4
Ý f(x)É0의 해는 -1ÉxÉ4
⑵ Ú f(x)>0의 해는 없다.
Û f(x)¾0의 해는 x=2
Ü f(x)<0의 해는
x+2인 모든 실수
-4
y
O
-4
Ý f(x)É0의 해는 모든 실수
y=f(x)
⑶ Ú f(x)>0의 해는 모든 실수
y=f(x)
Û f(x)¾0의 해는 모든 실수
Ü f(x)<0의 해는 없다.
Ý f(x)É0의 해는 없다.
2
x
y
10
1
-3
O
x
02-1 ⑴ f(x)>g(x)의 해는 x<1 또는 x>4
⑵ f(x)¾g(x)의 해는 xÉ1 또는 x¾4
⑶ f(x)<g(x)의 해는 1<x<4
⑷ f(x)Ég(x)의 해는 1ÉxÉ4
02-2 Ú f(x)>g(x)의 해는 -5<x<6
Û f(x)¾g(x)의 해는 -5ÉxÉ6
Ü f(x)<g(x)의 해는 x<-5 또는 x>6
Ý f(x)Ég(x)의 해는 xÉ-5 또는 x¾6
02-3 ⑴ f(x)>g(x)의 해는 x<-1 또는 x>3
⑵ f(x)¾g(x)의 해는 xÉ-1 또는 x¾3
⑶ f(x)<g(x)의 해는 -1<x<3
⑷ f(x)Ég(x)의 해는 -1ÉxÉ3
02-4 Ú f(x)>g(x)의 해는 -1<x<3
Û f(x)¾g(x)의 해는 -1ÉxÉ3
Ü f(x)<g(x)의 해는 x<-1 또는 x>3
Ý f(x)Ég(x)의 해는 xÉ-1 또는 x¾3
03-1 ⑴ (x-2)(x-3)>0이므로 x< 2 또는 x> 3
⑵ (x+4)(x-3)<0이므로 -4 <x< 3
⑶ x(x+3)>0이므로 x<-3 또는 x>0
⑷ (x-3)(x-4)>0이므로 x<3 또는 x>4
⑸ (x+7)(x-8)¾0이므로 xÉ-7 또는 x¾8
⑹ (x-1)(x+7)¾0이므로 xÉ-7 또는 x¾1
⑺ (x-1)(x-4)<0이므로 1<x<4
⑻ (x-3)(x+7)<0이므로 -7<x<3
⑼ (x+2)(x+4)É0이므로 -4ÉxÉ-2
⑽ (x+3)(x-9)É0이므로 -3ÉxÉ9
04-1 ⑴ (x-3)2>0이므로 해는 x+ 3 인 모든 실수
⑵ (x+4)2<0이므로 해는 없다 .
⑶ (x-1)2>0이므로 해는 x+1인 모든 실수
⑷ (x+2)2>0이므로 해는 x+-2인 모든 실수
⑸ (x+3)2¾0이므로 해는 모든 실수
⑹ (x-6)2¾0이므로 해는 모든 실수
⑺ (x-5)2<0이므로 해는 없다.
⑻ (3x-1)2<0이므로 해는 없다.
⑼ (2x-1)2É0이므로 해는 x=;2!;
⑽ (4x+1)2É0이므로 해는 x=-
;4!;
⑾ (x+
⑿ (x-
2)2>0이므로 해는 x+-
3)2É0이므로 해는 x=
'
3
'
'
'
2인 모든 실수
6. 이차부등식과 연립이차부등식 | 073
01-2 ⑴ Ú f(x)>0의 해는
y
y=f(x)
-1 O
4
x
⑾ (x+
2)(x-
2)>0이므로 x<-
2 또는 x>
⑿ (x+
3)(x-
3)<0이므로 -
'
'
'
'
'
3<x<
'
3
'
2
'
05-1 ⑴ (x-2)2+2>0이므로 해는 모든 실수
⑵ (x+3)2+1<0이므로 해는 없다 .
⑶ (x-1)2+1>0이므로 해는 모든 실수
2
+
2
+
2
+
⑷ {
x-
;2!;}
;4#;
>0이므로 해는 모든 실수
;2#;}
x+
⑸ {
⑹ (x+5)2+75¾0이므로 해는 모든 실수
¾0이므로 해는 모든 실수
;4#;
⑺ (x-4)2+4<0이므로 해는 없다.
;4#;
;2!;}
x+
<0이므로 해는 없다.
⑻ {
⑼ (2x-1)2+2É0이므로 해는 없다.
⑽ (3x-1)2+1É0이므로 해는 없다.
⑾ (x-
2)2+1>0이므로 해는 모든 실수
'
5)2+5É0이므로 해는 없다.
'
⑿ (x-
06-1 ⑴ (x-2)(x-3)<0이므로 x2-5x+6 <0
⑵ (x+1)(x-4)É0이므로 x2-3x-4 É0
⑶ (x-3)(x+4)<0이므로 x2+x-12<0
⑷ (x+2)(x+5)<0이므로 x2+7x+10<0
⑸ (x-2)(x+3)É0이므로 x2+x-6É0
06-2 ⑴ (x-1)(x+3)>0이므로 x2+2x-3 >0
⑵ (x+2)(x+5)¾0이므로 x2+7x+10 ¾0
⑶ (x-2)(x-5)>0이므로 x2-7x+10>0
⑷ (x+3)(x+4)>0이므로 x2+7x+12>0
⑸ (x-3)(x+5)>0이므로 x2+2x-15>0
⑹ (x+1)(x-8)¾0이므로 x2-7x-8¾0
⑺ (x+4)(x+7)¾0이므로 x2+11x+28¾0
06-3 ⑴ 해가 2<x<3이고 x2의 계수가 1인 이차부등식은
(x-2)(x-3)<0
∴ x2-5x+6 <0 yy ㉠
㉠과 주어진 부등식의 부등호의 방향이 같으므로
a > 0
㉠의 양변에 a를 곱하면 ax2-5ax+6a <0
이 부등식이 ax2+bx+12<0과 같으므로
∴ a= 2 , b= -10
-5a=b, 6a=12
⑶ 해가 -4ÉxÉ-1이고 x2의 계수가 1인 이차부등
식은 (x+1)(x+4)É0
∴ x2+5x+4É0 yy ㉠
㉠과 주어진 부등식의 부등호의 방향이 같으므로 a>0
㉠의 양변에 a를 곱하면 ax2+5ax+4aÉ0
이 부등식이 ax2+10x+bÉ0과 같으므로
5a=10, 4a=b
∴ a=2, b=8
⑷ 해가 xÉ1 또는 x¾2이고 x2의 계수가 1인 이차부
등식은 (x-1)(x-2)¾0
∴ x2-3x+2¾0 yy ㉠
㉠과 주어진 부등식의 부등호의 방향이 같으므로 a>0
㉠의 양변에 a를 곱하면 ax2-3ax+2a¾0
이 부등식이 ax2-9x+b¾0과 같으므로
-3a=-9, 2a=b
∴ a=3, b=6
06-4 ⑴ 해가 -1<x<2이고 x2의 계수가 1인 이차부등식
은 (x+1)(x-2)<0
∴ x2-x-2 <0 yy ㉠
㉠과 주어진 부등식의 부등호의 방향이 다르므로
a < 0
㉠의 양변에 a를 곱하면 ax2-ax-2a >0
이 부등식이 ax2+bx+4>0과 같으므로
∴ a= -2 , b= 2
-a=b, -2a=4
⑵ 해가 x<-5 또는 x>-4이고 x2의 계수가 1인 이
차부등식은 (x+4)(x+5)>0
∴ x2+9x+20>0 yy ㉠
㉠과 주어진 부등식의 부등호의 방향이 다르므로
a<0
㉠의 양변에 a를 곱하면 ax2+9ax+20a<0
이 부등식이 ax2+bx-20<0과 같으므로
9a=b, 20a=-20
∴ a=-1, b=-9
⑶ 해가 2ÉxÉ6이고 x2의 계수가 1인 이차부등식은
(x-2)(x-6)É0
∴ x2-8x+12É0 yy ㉠
㉠과 주어진 부등식의 부등호의 방향이 다르므로 a<0
㉠의 양변에 a를 곱하면 ax2-8ax+12a¾0
이 부등식이 ax2+16x+b¾0과 같으므로
-8a=16, 12a=b
∴ a=-2, b=-24
⑵ 해가 x<-3 또는 x>4이고 x2의 계수가 1인 이차
⑷ 해가 xÉ-1 또는 x¾3이고 x2의 계수가 1인 이차
부등식은 (x+3)(x-4)>0
∴ x2-x-12>0 yy ㉠
㉠과 주어진 부등식의 부등호의 방향이 같으므로 a>0
㉠의 양변에 a를 곱하면 ax2-ax-12a>0
이 부등식이 ax2+bx-24>0과 같으므로
부등식은 (x+1)(x-3)¾0
∴ x2-2x-3¾0 yy ㉠
㉠과 주어진 부등식의 부등호의 방향이 다르므로 a<0
㉠의 양변에 a를 곱하면 ax2-2ax-3aÉ0
이 부등식이 ax2+8x+bÉ0과 같으므로
-a=b, -12a=-24
∴ a=2, b=-2
-2a=8, -3a=b
∴ a=-4, b=12
074 정답과 풀이
07-1 ⑴ x2+2x+k=0의 판별식을 D라 하면
이차항의 계수가 1이므로
D
4
=1-k < 0
∴ k > 1
⑵ -x2+kx-4=0의 판별식을 D라 하면
이차항의 계수가 -1이므로
D=k2-16 < 0
(k+4)(k-4)<0
∴ -4<k<4
⑶ x2-3x+k=0의 판별식을 D라 하면
D=9-4k<0
∴ k>
;4(;
⑷ 3x2-5x+k=0의 판별식을 D라 하면
D=25-12kÉ0
∴ k¾
;1@2%;
⑸ -5x2-6x+k=0의 판별식을 D라 하면
=9+5k<0
∴ k<-
⑹ -3x2+2x+k=0의 판별식을 D라 하면
=1+3kÉ0
∴ kÉ-
⑺ x2+2kx+4=0의 판별식을 D라 하면
;5(;
;3!;
(k+2)(k-2)<0
∴ -2<k<2
⑻ 3x2+2kx+3=0의 판별식을 D라 하면
(k+3)(k-3)É0
⑼ -x2+6kx-1=0의 판별식을 D라 하면
∴ -3ÉkÉ3
=k2-4<0
=k2-9É0
=9k2-1<0
(3k+1)(3k-1)<0
∴ -
<k<
;3!;
;3!;
⑽ -x2+2(k-1)x-1=0의 판별식을 D라 하면
=(k-1)2-1É0, k2-2kÉ0
k(k-2)É0
∴ 0ÉkÉ2
08-1 ⑴ x2+2x+k=0의 판별식을 D라 하면
=1-k É 0
∴ k ¾ 1
참고
이차방정식 ax2+bx+c=0의 판별식을 D라 할 때
① ax2+bx+c>0의 해는 없다. ⇨ a<0, DÉ0
② ax2+bx+c¾0의 해는 없다. ⇨ a<0, D<0
③ ax2+bx+c<0의 해는 없다. ⇨ a>0, DÉ0
④ ax2+bx+cÉ0의 해는 없다. ⇨ a>0, D<0
⑵ -x2+kx-1=0의 판별식을 D라 하면
D=k2-4 É 0
D
4
D
4
D
4
D
4
D
4
D
4
D
4
⑶ x2+8x+2k=0의 판별식을 D라 하면
=16-2kÉ0
∴ k¾8
⑷ x2+4x+k=0의 판별식을 D라 하면
=4-k<0
∴ k>4
⑸ -x2-6x+k=0의 판별식을 D라 하면
=9+kÉ0
∴ kÉ-9
⑹ -x2+8x+k=0의 판별식을 D라 하면
=16+k<0
∴ k<-16
⑺ x2+2kx+2=0의 판별식을 D라 하면
=k2-2É0
D
4
D
4
D
4
D
4
D
4
D
4
(k+
2)(k-
2)É0
2ÉkÉ
'
⑻ -2x2-3kx-2=0의 판별식을 D라 하면
∴ -
'
'
'
2
D=9k2-16É0
(3k+4)(3k-4)É0
∴ -
ÉkÉ
;3$;
;3$;
⑼ -3x2+2(k+2)x-3k=0의 판별식을 D라 하면
=(k+2)2-9k<0, k2-5k+4<0
(k-1)(k-4)<0
∴ 1<k<4
09-1 ⑴ x2-|x|-6<0에서
Ú x¾0일 때, x2-x-6<0
(x+2)(x-3)<0
∴ -2<x<3
그런데 x¾0이므로 0Éx< 3
Û x<0일 때, x2+x-6<0
(x+3)(x-2)<0
∴ -3<x<2
그런데 x<0이므로 -3<x< 0
∴ x<-4 또는 x>3
(x+3)(x-4)>0
∴ x<-3 또는 x>4
Ú, Û에서 -3<x< 3
⑵ x2-|x|-12>0에서
Ú x¾0일 때, x2-x-12>0
그런데 x¾0이므로 x>4
Û x<0일 때, x2+x-12>0
(x-3)(x+4)>0
그런데 x<0이므로 x<-4
Ú, Û에서 x<-4 또는 x>4
⑶ x2+|x|-2É0에서
Ú x¾0일 때, x2+x-2É0
(x-1)(x+2)É0
∴ -2ÉxÉ1
그런데 x¾0이므로 0ÉxÉ1
Û x<0일 때, x2-x-2É0
(x+1)(x-2)É0
∴ -1ÉxÉ2
그런데 x<0이므로 -1Éx<0
6. 이차부등식과 연립이차부등식 | 075
(k+2)(k-2)É0
∴ -2ÉkÉ2
Ú, Û에서 -1ÉxÉ1
∴ x<-4 또는 x>2
-1 <x< 3
(x+2)(x-4)>0
∴ x<-2 또는 x>4
⑷ x2-2|x|-8>0에서
Ú x¾0일 때, x2-2x-8>0
그런데 x¾0이므로 x>4
Û x<0일 때, x2+2x-8>0
(x-2)(x+4)>0
그런데 x<0이므로 x<-4
Ú, Û에서 x<-4 또는 x>4
⑸ x2-3|x|+2<0에서
Ú x¾0일 때, x2-3x+2<0
(x-1)(x-2)<0
Û x<0일 때, x2+3x+2<0
(x+1)(x+2)<0
∴ 1<x<2
∴ -2<x<-1
Ú, Û에서 -2<x<-1 또는 1<x<2
⑹ x2-2|x-3|-9¾0에서
Ú x¾3일 때,
x2-2(x-3)-9¾0, x2-2x-3¾0
(x+1)(x-3)¾0
∴ xÉ-1 또는 x¾3
그런데 x¾3이므로 x¾3
Û x<3일 때,
x2+2(x-3)-9¾0, x2+2x-15¾0
(x-3)(x+5)¾0
∴ xÉ-5 또는 x¾3
그런데 x<3이므로 xÉ-5
Ú, Û에서 xÉ-5 또는 x¾3
⑺ x2-|3x-7|-11É0에서
Ú x¾
;3&;일 때,
x2-(3x-7)-11É0, x2-3x-4É0
(x+1)(x-4)É0
∴ -1ÉxÉ4
그런데 x¾
;3&;이므로 ;3&;
ÉxÉ4
Û x<
;3&;일 때,
x2+(3x-7)-11É0, x2+3x-18É0
(x-3)(x+6)É0
∴ -6ÉxÉ3
그런데 x<
;3&;이므로 -6Éx<
;3&;
Ú, Û에서 -6ÉxÉ4
10-1 ⑴ -1<x<3
⑶ 3<xÉ5
⑵ -1ÉxÉ5
⑷ 해는 없다.
⑸ xÉ-7 또는 x¾1
⑹ x<-4 또는 x>2
⑺ -2<xÉ1 또는 3Éx<8
10-2 ⑴ -1<x<3
⑶ -1Éx<2
⑸ -2<xÉ6
⑵ 해는 없다.
⑷ -7<x<-1
⑹ -3ÉxÉ-2
⑺ x<-4 또는 x¾5
⑻ x<-1 또는 x>8
⑼ xÉ-3 또는 x>-1
076 정답과 풀이
10-3 ⑴ x2-9<0에서
(x+3)(x-3)<0
x2-4x-5<0에서
(x+1)(x-5)<0
∴ -3<x< 3 yy ㉠
∴ -1 <x<5 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위는
㉠
㉡
-3 -1
3
5
x
⑵ x2-2x-3>0에서
(x+1)(x-3)>0 ∴ x< -1 또는 x> 3 y ㉠
x2-6x+5É0에서
(x-1)(x-5)É0
∴ 1ÉxÉ5
yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위는
㉠
㉠
㉡
3 <xÉ 5
-1
1
3
5
x
∴ 1<x<6
yy ㉠
∴ 3<x<8
yy ㉡
㉡
㉠
1
3
6
8
x
∴ 1<x<3
yy ㉠
∴ -3<x<5 yy ㉡
㉠
㉡
-3
1
3
5
x
⑶ x2-7x+6<0에서
(x-1)(x-6)<0
x2-11x+24<0에서
(x-3)(x-8)<0
㉠, ㉡의 공통 범위는
3<x<6
⑷ x2-4x+3<0에서
(x-1)(x-3)<0
x2-2x-15<0에서
(x+3)(x-5)<0
㉠, ㉡의 공통 범위는
1<x<3
⑸ x2-5x¾0에서
x(x-5)¾0
x2-3x-18<0에서
(x+3)(x-6)<0
㉠, ㉡의 공통 범위는
⑹ x2-6x-7>0에서
(x+1)(x-7)>0
x2-10x+16É0에서
(x-2)(x-8)É0
7<xÉ8
⑺ x2-16¾0에서
(x+4)(x-4)¾0
x2+8x+12É0에서
(x+2)(x+6)É0
㉠, ㉡의 공통 범위는
-6ÉxÉ-4
∴ xÉ0 또는 x¾5
yy ㉠
∴ -3<x<6 yy ㉡
㉠
㉠
㉡
-3
0
65
x
∴ x<-1 또는 x>7 y ㉠
-3<xÉ0 또는 5Éx<6
∴ 2ÉxÉ8
yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위는
㉠
㉠
㉡
-1
2
87
x
∴ xÉ-4 또는 x¾4 y ㉠
∴ -6ÉxÉ-2 yy ㉡
㉠
㉡
㉠
-6-4-2
4
x
⑻ x2-5x+6¾0에서
(x-2)(x-3)¾0
x2-3x-10É0에서
(x+2)(x-5)É0
㉠, ㉡의 공통 범위는
-2ÉxÉ2 또는 3ÉxÉ5
⑼ x2-5x+4É0에서
(x-1)(x-4)É0
x2-10x+21É0에서
(x-3)(x-7)É0
㉠, ㉡의 공통 범위는
3ÉxÉ4
⑽ x2+6xÉ0에서
x(x+6)É0
x2-2x-8<0에서
(x+2)(x-4)<0
㉠, ㉡의 공통 범위는
-2<xÉ0
⑾ x2-25É0에서
(x+5)(x-5)É0
x2-11x+18>0에서
(x-2)(x-9)>0
㉠, ㉡의 공통 범위는
-5Éx<2
⑿ x2+4x+3>0에서
∴ xÉ2 또는 x¾3 yy ㉠
∴ -2ÉxÉ5 yy ㉡
㉠
㉡
㉠
-2
32
5
x
∴ 1ÉxÉ4
yy ㉠
∴ 3ÉxÉ7
yy ㉡
㉡
㉠
1
3 4
7
x
∴ -2<x<4 yy ㉡
㉡
㉠
-6 -2
0
4
x
∴ -5ÉxÉ5 yy ㉠
∴ x<2 또는 x>9 yy ㉡
㉠
㉡
㉡
-5
2
5
9
x
∴ -6ÉxÉ0
yy ㉠
(x+1)(x+3)>0 ∴ x<-3 또는 x>-1 y ㉠
x2-x-20<0에서
(x+4)(x-5)<0
∴ -4<x<5 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위는
㉠
㉠
㉡
-4<x<-3 또는
-1<x<5
⒀ x2-4x+3<0에서
(x-1)(x-3)<0
x2-x-2¾0에서
(x+1)(x-2)¾0
㉠, ㉡의 공통 범위는
2Éx<3
⒁ x2+x-6>0에서
-4
-1
-3
5
x
∴ 1<x<3
yy ㉠
∴ xÉ-1 또는 x¾2 y ㉡
㉡
㉠
㉡
-1
321
x
(x-2)(x+3)>0 ∴ x<-3 또는 x>2 yy ㉠
x2-5x+4>0에서
(x-1)(x-4)>0 ∴ x<1 또는 x>4 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위는
x<-3 또는 x>4
㉠
㉡
㉠
㉡
⒂ x2-6x+5¾0에서
(x-1)(x-5)¾0 ∴ xÉ1 또는 x¾5 yy ㉠
x2-4x-32¾0에서
(x+4)(x-8)¾0 ∴ xÉ-4 또는 x¾8 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위는
xÉ-4 또는 x¾8
⒃ x2-3x-18>0에서
㉡
㉠
㉡
㉠
-4
1
5
8
x
(x+3)(x-6)>0 ∴ x<-3 또는 x>6 yy ㉠
x2-3x-28¾0에서
(x+4)(x-7)¾0 ∴ xÉ-4 또는 x¾7 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위는
xÉ-4 또는 x¾7
㉡
㉠
㉡
㉠
-4-3
76
x
10-4 ⑴ 4x-3<x2, 즉 x2-4x+3>0에서
(x-1)(x-3)>0 ∴ x< 1 또는 x> 3 yy ㉠
x2<3x+10, 즉 x2-3x-10<0에서
(x+2)(x-5)<0 ∴ -2<x<5
yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위는
-2<x<1 또는 3<x<5
㉠
㉠
㉡
-2
1
3
5
x
⑵ -2<x2-3x, 즉 x2-3x+2>0에서
∴ x<1 또는 x>2 yy ㉠
(x-1)(x-2)>0
x2-3x<4, 즉 x2-3x-4<0에서
(x+1)(x-4)<0
∴ -1 <x< 4 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위는
-1<x<1 또는 2<x<4
-1
⑶ x<x2-6, 즉 x2-x-6>0에서
㉠
㉠
㉡
21
4
x
(x+2)(x-3)>0 ∴ x<-2 또는 x>3 yy ㉠
x2-6É5x, 즉 x2-5x-6É0에서
(x+1)(x-6)É0 ∴ -1ÉxÉ6
yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위는
3<xÉ6
㉠
㉠
㉡
-2-1
3
6
x
⑷ 0<x2-2x, 즉 x2-2x>0에서
x(x-2)>0
∴ x<0 또는 x>2
x2-2x<15, 즉 x2-2x-15<0에서
(x+3)(x-5)<0
∴ -3<x<5 yy ㉡
yy ㉠
㉠, ㉡의 공통 범위는
-3<x<0 또는 2<x<5
㉠
㉠
㉡
-3
⑸ 6Éx2+x, 즉 x2+x-6¾0에서
(x-2)(x+3)¾0 ∴ xÉ-3 또는 x¾2 yy ㉠
5
2
0
x
x2+xÉ12, 즉 x2+x-12É0에서
(x-3)(x+4)É0 ∴ -4ÉxÉ3
㉠, ㉡의 공통 범위는
-4ÉxÉ-3 또는
yy ㉡
㉠
㉠
㉡
-4 -3
32
x
6. 이차부등식과 연립이차부등식 | 077
-3
21
4
x
2ÉxÉ3
⑹ 7x-14<x2-2x, 즉 x2-9x+14>0에서
(x-2)(x-7)>0
∴ x<2 또는 x>7 yy ㉠
x2-2xÉx-2, 즉 x2-3x+2É0에서
(x-1)(x-2)É0
∴ 1ÉxÉ2
yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위는
1Éx<2
㉡
㉠
1 2
㉠
7
x
⑺ 2x+5Éx2-10, 즉 x2-2x-15¾0에서
∴ xÉ-3 또는 x¾5 y ㉠
(x+3)(x-5)¾0
x2-10É3x+8, 즉 x2-3x-18É0에서
(x+3)(x-6)É0
∴ -3ÉxÉ6 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위는
x=-3 또는 5ÉxÉ6
㉠
-3
㉠
㉡
65
x
STEP 2
152쪽~155쪽
1-1 ⑴ f(x)>g(x)의 해는 x<-4 또는 x>2
⑵ f(x)¾g(x)의 해는 xÉ-4 또는 x¾2
⑶ f(x)<g(x)의 해는 -4<x<2
⑷ f(x)Ég(x)의 해는 -4ÉxÉ2
1-2 ⑴ f(x)>g(x)의 해는 x<0 또는 x>5
⑵ f(x)¾g(x)의 해는 xÉ0 또는 x¾5
⑶ f(x)<g(x)의 해는 0<x<5
⑷ f(x)Ég(x)의 해는 0ÉxÉ5
2-1 ⑴ (x-2)(x+5)>0이므로 x<-5 또는 x>2
⑵ (x-2)(x-4)¾0이므로 xÉ2 또는 x¾4
⑶ (x+5)(x-5)<0이므로 -5<x<5
⑷ (x+2)(x+6)É0이므로 -6ÉxÉ-2
2-2 ⑴ (x+3)(x-7)>0이므로 x<-3 또는 x>7
⑵ (x-1)(x-2)¾0이므로 xÉ1 또는 x¾2
⑶ (x+3)(x-10)<0이므로 -3<x<10
⑷ (x+2)(x-3)É0이므로 -2ÉxÉ3
3-1 ⑴ (x-10)2>0이므로 해는 x+10인 모든 실수
⑵ (x+1)2<0이므로 해는 없다.
⑶ (x-2)2É0이므로 해는 x=2
⑷ (x+1)2+4>0이므로 해는 모든 실수
2
+
¾0이므로 해는 모든 실수
x+
;2!;}
⑸ {
;4&;
⑹ (x-3)2+2<0이므로 해는 없다.
⑺ (2x+1)2+6É0이므로 해는 없다.
078 정답과 풀이
3-2 ⑴ (x-4)2>0이므로 해는 x+4인 모든 실수
⑵ (5x-1)2¾0이므로 해는 모든 실수
⑶ (x+3)2<0이므로 해는 없다.
⑷ (x-3)2+6>0이므로 해는 모든 실수
3)2+3¾0이므로 해는 모든 실수
⑸ (x+
⑹ (x+2)2+6<0이므로 해는 없다.
'
⑺ {
2
x+ '
2 }
2
+
;2!;
É0이므로 해는 없다.
4-1 ⑴ 해가 -3ÉxÉ2이고 x2의 계수가 1인 이차부등식은
(x-2)(x+3)É0
∴ x2+x-6É0 yy ㉠
㉠과 주어진 부등식의 부등호의 방향이 같으므로 a>0
㉠의 양변에 a를 곱하면 ax2+ax-6aÉ0이므로
a=b, -6a=-18
⑵ 해가 -2<x<6이고 x2의 계수가 1인 이차부등식은
∴ a=3, b=3
(x+2)(x-6)<0
∴ x2-4x-12<0 yy ㉠
㉠과 주어진 부등식의 부등호의 방향이 다르므로 a<0
㉠의 양변에 a를 곱하면 ax2-4ax-12a>0이므로
-4a=b, -12a=6
∴ a=-
;2!;, b=2
4-2 ⑴ 해가 x<-5 또는 x>-1이고 x2의 계수가 1인 이차
부등식은 (x+1)(x+5)>0
∴ x2+6x+5>0 yy ㉠
㉠과 주어진 부등식의 부등호의 방향이 같으므로 a>0
㉠의 양변에 a를 곱하면 ax2+6ax+5a>0이므로
6a=b, 5a=10
⑵ 해가 xÉ2 또는 x¾3이고 x2의 계수가 1인 이차부등
∴ a=2, b=12
식은 (x-2)(x-3)¾0
∴ x2-5x+6¾0 yy ㉠
㉠과 주어진 부등식의 부등호의 방향이 다르므로 a<0
㉠의 양변에 a를 곱하면 ax2-5ax+6aÉ0이므로
-5a=25, 6a=b
∴ a=-5, b=-30
5-1 ⑴ 2x2-4x+k=0의 판별식을 D라 하면
=4-2k<0
∴ k>2
⑵ -x2+6x+k=0의 판별식을 D라 하면
=9+kÉ0
∴ kÉ-9
⑶ x2+8x-2k=0의 판별식을 D라 하면
=16+2kÉ0
∴ kÉ-8
⑷ -2x2-4x+3k=0의 판별식을 D라 하면
D
4
D
4
D
4
D
4
=4+6k<0
∴ k<-
;3@;
=k2-36<0, (k+6)(k-6)<0 ∴ -6<k<6
∴ -2ÉxÉ4
yy ㉠
5-2 ⑴ 4x2+4kx+1=0의 판별식을 D라 하면
=4k2-4É0, (k+1)(k-1)É0 ∴ -1ÉkÉ1
⑵ -x2+2kx-9=0의 판별식을 D라 하면
=k2-9<0, (k+3)(k-3)<0 ∴ -3<k<3
⑶ 3x2+2kx+12=0의 판별식을 D라 하면
D
4
D
4
D
4
⑷ -x2+kx-1=0의 판별식을 D라 하면
D=k2-4É0, (k+2)(k-2)É0 ∴ -2ÉkÉ2
6-1 ⑴ x2-2|x|-15É0에서
Ú x¾0일 때, x2-2x-15É0
(x+3)(x-5)É0
∴ -3ÉxÉ5
그런데 x¾0이므로 0ÉxÉ5
Û x<0일 때, x2+2x-15É0
(x-3)(x+5)É0
∴ -5ÉxÉ3
그런데 x<0이므로 -5Éx<0
Ú, Û에서 -5ÉxÉ5
⑵ x2+|x|-20>0에서
Ú x¾0일 때, x2+x-20>0
(x-4)(x+5)>0
∴ x<-5 또는 x>4
그런데 x¾0이므로 x>4
Û x<0일 때, x2-x-20>0
그런데 x<0이므로 x<-4
Ú, Û에서 x<-4 또는 x>4
(x+4)(x-5)>0
∴ x<-4 또는 x>5
6-2 ⑴ x2-4|x|+3<0에서
Ú x¾0일 때, x2-4x+3<0
(x-1)(x-3)<0
Û x<0일 때, x2+4x+3<0
∴ 1<x<3
(x+1)(x+3)<0
∴ -3<x<-1
Ú, Û에서 -3<x<-1 또는 1<x<3
⑵ x2+|x-2|-4¾0에서
Ú x¾2일 때, x2+x-6¾0
(x-2)(x+3)¾0
그런데 x¾2이므로 x¾2
Û x<2일 때, x2-x-2¾0
(x+1)(x-2)¾0
그런데 x<2이므로 xÉ-1
Ú, Û에서 xÉ-1 또는 x¾2
∴ xÉ-3 또는 x¾2
∴ xÉ-1 또는 x¾2
7-1 ⑴ x2-x-12É0에서
(x+3)(x-4)É0
x2+6x+8É0에서
(x+2)(x+4)É0
㉠, ㉡의 공통 범위는
-3ÉxÉ-2
⑵ x2-2x-8É0에서
(x+2)(x-4)É0
x2-7x-8>0에서
(x+1)(x-8)>0
㉠, ㉡의 공통 범위는
-2Éx<-1
∴ -3ÉxÉ4
yy ㉠
∴ -4ÉxÉ-2 yy ㉡
㉠
㉡
-4-3-2
4
x
∴ x<-1 또는 x>8 yy ㉡
㉠
㉡
㉡
-2 -1
⑶ -5<x2+6x, 즉 x2+6x+5>0에서
4
8
x
∴ x<-5 또는 x>-1 y ㉠
(x+1)(x+5)>0
x2+6x<7, 즉 x2+6x-7<0에서
(x-1)(x+7)<0
∴ -7<x<1
yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위는
-7<x<-5 또는
-1<x<1
㉠
㉠
㉡
-7 -5
-1
1
x
⑷ 14Éx2-5x, 즉 x2-5x-14¾0에서
(x+2)(x-7)¾0
x2-5xÉ36, 즉 x2-5x-36É0에서
(x+4)(x-9)É0
∴ -4ÉxÉ9
∴ xÉ-2 또는 x¾7 y ㉠
yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위는
-4ÉxÉ-2 또는 7ÉxÉ9
㉠
㉠
㉡
-4-2
97
x
7-2 ⑴ x2+x-6É0에서
(x-2)(x+3)É0
x2+4x-5<0에서
(x-1)(x+5)<0
㉠, ㉡의 공통 범위는
-3Éx<1
⑵ x2+2x¾0에서
x(x+2)¾0
x2+4x-21<0에서
(x-3)(x+7)<0
㉠, ㉡의 공통 범위는
-7<xÉ-2
또는 0Éx<3
∴ -3ÉxÉ2
yy ㉠
∴ -5<x<1
yy ㉡
㉠
㉡
-5 -3
21
x
∴ xÉ-2 또는 x¾0 yy ㉠
∴ -7<x<3
yy ㉡
㉠
㉠
㉡
-7 -2
0
3
x
⑶ 35<x2+2x, 즉 x2+2x-35>0에서
(x-5)(x+7)>0
x2+2xÉ6x+60, 즉 x2-4x-60É0에서
(x+6)(x-10)É0
∴ x<-7 또는 x>5 y ㉠
∴ -6ÉxÉ10 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위는
5<xÉ10
㉠
㉠
㉡
-7 -6
5
10
x
6. 이차부등식과 연립이차부등식 | 079
⑷-7x+3<x2+15,즉x2+7x+12>0에서
(x+3)(x+4)>0
∴x<-4또는x>-3
x2+15É-8x,즉x2+8x+15É0에서
(x+3)(x+5)É0
㉠,㉡의공통범위는
-5Éx<-4
㉠
㉡
10 해가-3<x<1이고x2의계수가1인이차부등식은
(x-1)(x+3)<0
∴ x2+2x-3<0
yy㉠
yy㉠
㉠과주어진부등식의부등호의방향이다르므로a<0
㉠의양변에a를곱하면ax2+2ax-3a>0이므로
∴ -5ÉxÉ-3 yy㉡
2a=b,-3a=12
㉠
따라서a=-4,b=-8이므로ab=32
-5 -4 -3
x
11 3x2+x-k=0의판별식을D라하면
D=1+12k<0
∴ k<-
;1Á2;
04 (x-4)(2x-1)>0이므로x<
;2!;또는x>4
∴ x<0또는x>4
yy㉠
2)(x-2
2)<0에서-
05 (x+
부등식을만족시키는정수x는-1,0,1,2의4개이다.
2<x<2
2이므로
'
'
'
'
(x-5)(3x-1)<0
∴ ;3!;
<x<5
yy㉡
12 -x2+2kx+5k=0의판별식을D라하면
=k2+5kÉ0,k(k+5)É0
∴ -5ÉkÉ0
D
4
따라서M=0,m=-5이므로M-m=5
13 x2+4|x|-21É0에서
Úx¾0일때,x2+4x-21É0
(x-3)(x+7)É0
∴ -7ÉxÉ3
그런데x¾0이므로0ÉxÉ3
Ûx<0일때,x2-4x-21É0
(x+3)(x-7)É0
∴ -3ÉxÉ7
그런데x<0이므로-3Éx<0
Ú,Û에서-3ÉxÉ3
14 x2-4x>0에서
x(x-4)>0
3x2-16x+5<0에서
㉠,㉡의공통범위는
4<x<5
15 x2-5x+4É0에서
(x-1)(x-4)É0
2x2-5x-3<0에서
㉠
㉠
㉡
0
;3!;
54
x
∴ 1ÉxÉ4
yy㉠
(x-3)(2x+1)<0
∴ -
<x<3
yy㉡
;2!;
㉠,㉡의공통범위는
1Éx<3
따라서부등식을만족하는
정수x는1,2의2개이다.
㉠
㉡
1
43
x
-;2!;
16 4x+7<x2-5,즉x2-4x-12>0에서
(x+2)(x-6)>0
x2-5<7x+3,즉x2-7x-8<0에서
∴ -1<x<8
(x+1)(x-8)<0
∴ x<-2또는x>6 yy㉠
㉠,㉡의공통범위는
6<x<8
yy㉡
㉠
㉠
㉡
-2 -1
6
8 x
STEP 3
156쪽~157쪽
01 a<x<b
02 a(x-a)(x-b)>0
03 ax2+bx+c¾mx+n의해는함수y=ax2+bx+c의그
래프가직선y=mx+n과만나거나y=mx+n보다위
쪽에있는부분의x의값의범위이므로2ÉxÉ7
06 ax2+bx+cÉ0의해는함수y=ax2+bx+c의그래프
가x축과만나거나x축보다아래쪽에있는부분의x의값
의범위이므로x=a
07 (x-
3)2+7¾0이므로해는모든실수이다.
'
08 해가2ÉxÉ5이고x2의계수가1인이차부등식은
∴ x2-7x+10É0
(x-2)(x-5)É0
따라서a=-7,b=10이므로a+b=3
09 해가xÉ-4또는x¾-3이고x2의계수가1인이차부등
식은
(x+3)(x+4)¾0
∴ x2+7x+12¾0
yy㉠
㉠과주어진부등식의부등호의방향이같으므로a>0
㉠의양변에a를곱하면ax2+7ax+12a¾0이므로
7a=14,12a=b
따라서a=2,b=24이므로a+b=26
080 정답과 풀이
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