2018년 천재교육 수학 입문 수학 (상) 답지

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수학 (상)

정답과 풀이

빠른 정답

1  다항식

01  다항식의 연산 

021 ⑴ 2x‹, x€, 2x‹, 4x€ 

⑵ a€+b€-c€-2ab

  ⑶ -x€-2xy-y€+9

023 ⑴ 10, 25, 10, 35 

⑵ x›-2x‹-11x€+12x

  ⑶ x›+2x‹-13x€-14x+24

022 ⑤

024 ④

6쪽~25쪽

025 ⑴ a€+b€=6, (a-b)€=8 

⑵ a€+b€=5, (a-b)€=1

  ⑶ a€+b€=29, (a+b)€=33  ⑷ a€+b€=10, (a+b)€=16

001 ⑴ 2x€-x+1 

 

⑵ 3x‹+x€-5x+2

  ⑶ -x€+(3y+1)x+2y€-5
002 ⑴ 2+x-3x€ 

 

  ⑶ -2y-yx+3x€+x‹
003 ⑴ -2x-5 

 

  ⑶ -2x+3y+3 

  ⑸ 6x+3 
 
004 ⑴ 3x€+2x+6   

  ⑶ x€+2x+8 
005 ⑴ -3x€+4x-5 

 

  ⑶ 5x€-1 
006 ⑴ -7x€-11xy+y€ 

 

  ⑶ 5x€+8xy-y€
007 ⑴ -x€-4x+8 

⑵ 4-5x+2x€+x‹

⑵ 3x-y+1

⑷ -x+5y

⑹ -3a+5

⑵ 5x‹-3x€+3x+3

⑷ 4x‹+2x€-x+2

⑵ -x€+8x-11

⑷ -4x€-3x+5

⑵ 7x€+12xy-3y€

⑵ 4x€+19x-26

  ⑶ -8x€-11x-2
008 ①
009 ⑴ -2x€+2xy-4y€, -x€+xy-2y€

⑶ -5xy+7y€

  ⑵ x€-xy+3y€  
010 x€-xy-3y€
011 ⑴ x⁄› 

⑵ 18xfiy⁄‚ 

⑶ -24x›y›  ⑷ 20x‹yfi

  ⑸ 2a⁄⁄bfl 

⑹ -72a‡b⁄›  ⑺ ;9*;a⁄€bfi

012 ⑴ a€b€-2a€b‹+ab› 

⑵ 2a€+3ab-2b€

  ⑶ 3a€-9a€b+8ab-6ab€+4b€  ⑷ 6x‹-5x€+4x-1

  ⑸ 2x‹-3x€y-3xy€+2y‹ 
013 ⑴ 1 
014 a='3, b=-'3
015 ⑴ 4x€+12x+9 

⑵ -10 

  ⑶ 4x€-12xy+9y€ 

  ⑸ x€-4y€ 

 

  ⑺ x€+2xy-8y€ 
016 ⑴ x‹+6x€+12x+8 

⑹ x›-2x‹-x€-6x-12

⑶ 13 

⑷ 5

⑵ 4x€+xy+;1¡6;y€

⑷ x€-x+;4!;
⑹ -9x€+y€

⑻ 4x€+5xy-6y€

⑵ 27x‹+27x€+9x+1

  ⑶ 8x‹+36x€y+54xy€+27y‹  ⑷ 27x‹+9x€y+xy€+;2¡7;y‹
  ⑸ x‹-12x€+48x-64 

⑹ 27x‹-54x€+36x-8

  ⑺ x‹-6x€y+12xy€-8y‹ 
017 ⑴ 1, 1, 1 

⑵ 27x‹+1 

⑻ 27x‹-27x€y+9xy€-y‹

⑶ 8a‹+27b‹  ⑷ 2, 2, 8

⑹ 8a‹-b‹

  ⑸ 8x‹-1 
018 ④
019 ⑴ 2, 2ab, 2, 2 

 

  ⑶ a€+b€+c€+2ab-2bc-2ca

  ⑷ x€+y€+4z€+2xy-4yz-4zx

  ⑸ 9x€+4y€+z€-12xy-4yz+6zx

  ⑹ x€+9y€+4z€-6xy+12yz-4zx
020 ⑴ abc, ab€, b€c, abc, bc€ 

⑵ 2c, 2c, 2c, 6abc

  ⑶ a‹+b‹-c‹+3abc 

⑷ x‹+y‹-6xy+8

  ⑸ x‹+y‹+3xy-1

002    정답과 풀이

035 ⑴ 3, 3, 18 

⑵ -2 

⑶ :§8∞: 

⑷ 3, 3, 76

030 ⑴ 2, 2, 1, x-y, -3, -36 

⑵ -14 

040 ⑴ ab+bc+ca, 2, 5 

⑵ 11 

⑶ 6

026 ⑴ a+b, 4, 40 

 

027 ⑴ 2, 2, 2, x+y, 3, 9 

028 -7

029 ⑴ a-b, 3, 36 

 

031 20

032 ⑴ 1, x+y, 1, 52 
  ⑷ 10'2
033 12'3
034 ⑴ 2 

  ⑸ 5 

⑵ 5 

⑹ 20

⑹ -140

  ⑸ 36 
036 7+8'5
037 ⑴ ① 3, 3, 7  ② 18 

  ⑶ ① 23  ② 110

038 ⑴ ① 1, 1, 3  ② 4 

  ⑶ ① 6   ② 14

039 -1

  ⑷ 8 

⑸ 2

041 ⑴ ① -1  ② -1, 8 

  ⑶ ① 5   ② 0  

042 26

043 ⑴ 200, 39951   

  ⑶ 2›, 2°, 255 

044 18

045 ⑴ 4b€+2b 

 

 

  ⑸ 6x-3y-12  

046 ⑴ 2x-7, 10

⑵ 80 

⑵ 14 

⑵ 14 

⑶ 7

⑶ 95

⑶ -100

⑶ -52

⑵ 28'2 

⑶ 20

⑶ 21 

⑷ 11

⑵ ① 14  ② 52

⑵ ① 11  ② 36

⑵ ① 7   ② 32

⑷ ① 14  ② 34

⑵ 999902

⑷ ;1@2%8%;

⑵ 2xy-5

⑹ 

4a€
b

-12

  ⑶ -b€+2ab-3 

⑷ 4ac-3b+8c€

  ⑵ -x€+2x+5=(x+2)(-x+4)-3

  ⑶ x‹+3x€-x+2=(x-1)(x€+4x+3)+5

  ⑷ 2x‹-3x€+x-3=(x-2)(2x€+x+3)+3

047 ⑴ 1, -2x€-x-2, -4x+4, 2x-1, -4x+4

  ⑵ x‹-3x€+x-3=(x€-2x-1)(x-1)-4

  ⑶ 2x‹+x€-x+1=(x€+1)(2x+1)-3x

049 ⑴ x+2, 3x-1, 3x-1, 2x, 1  ⑵ 2x‹+4x€-1

  ⑶ 2x‹+x€-x-1

050 x€+4x+4

051 ⑴ 2, 3, 4, -3, -2, x€-3x-3, -2

  ⑵ 몫: 2x€-3x+7, 나머지: -16

  ⑶ 몫: 5x‹+9x€+8x+6, 나머지: 7

⑵ 3c, 3c, 3c, 9c€, 12bc, 6ca

048 5

⑵ 몫: x€+x, 나머지: 1

110  ⑴ ;2!;, -;4(; 

⑵ ;4!; 

⑶ -;3%2%; 

⑷ -;3ª2;

052 ⑴ 1, 4, 1, 5, 2x€+2x+1, 5

  ⑵ 몫: 4x€-5x+5, 나머지: -3

  ⑶ 몫: 3x€-6x+10, 나머지: -20

  ⑷ 몫: x‹-x€-2x+1, 나머지: 2
053 10
054 ⑴ x€-2, 3, x€-2, -3 

  ⑶ 몫: ;2!;x€-x+1, 나머지: -3

055 ⑴ ;2!;, ;2!;, ;2!;Q(x), R 

⑵ 몫: ;3!;Q(x), 나머지: R

 

 

 

 

  ⑶ 몫: ;2!;Q(x), 나머지: R
056 ④ 
058 8x‹-16x€+6x+7 
060 x‹+6x€-3x+2 
062 -2x‹+7x€-5x+10 
064 a°-1 
066 x‹-27 
068 x‹+y‹+8z‹-6xyz 
070 3 
072 3 
074 -15 
076 76 
078 3 
080 -4 
082 -14 
084 38  
086 m=3, n=16 
088 5 
090 몫: -2x+1, 나머지: x 
092 몫: x€-7x+7, 나머지: -4 
094 몫: 4Q(x), 나머지: R

 

 

 

 

 

 

 

 

057 14x‹-25x€+9x+13
059 x‹+11x€-6x+5
061 -2x€-7xy-2y€
063 -x‹+5x€+2x-1
065 27x‹-108x€y+144xy€-64y‹
067 x€+4y€-4xy+2x-4y+1
069 3
071 -5
073 9
075 12'3
077 52
079 '5
081 7
083 -4
085 8
087 m=8, n=32 
089 몫: 2x+5, 나머지: x-14
091 몫: 2x€-x-5, 나머지: -8
093 몫: x€-3x+1, 나머지: 0

107  ⑴ ① 1  ② 31  ③ 528 
108  1023
109  ⑴ 4 

⑵ -10 

  ⑸ -;3@; 

⑹ -:£9™:

⑵ ① 1  ② 1023  ③ 512

⑶ 26 

⑷ -38

⑹ -:¡4£:

  ⑸ ;4%; 
111  8
112  ⑴ 4, 4, 1 

⑵ 4 
  ⑸ -2 
⑹ ;2!;
113  ⑴ 1, 1, 2, 2, 1, -2, 2 

 

  ⑶ a=3, b=2 
114  25
115  ⑴ 3, 1, 3, 1, -1, 2, -x+2 
116  ⑴ 2x-1 
117  5x+1

⑵ 4x+1 

⑶ -3 

⑷ 3

⑵ a=-4, b=-3

⑷ a=-1, b=0

⑵ 2x-1 

⑶ x+3

⑶ 8x+9

118  ⑴ 0, 0, 2 

⑵ -10 

⑶ -:¡2¶: 

⑷ :¡2∞:

119  12
120  ⑴ 0, 0, 0, 3, 0, 1, -1, 2 

  ⑶ a=-1, b=2 

 

  ⑸ a=-8, b=0
121  4 
123  a=3, b=-1, c=-2 
125  a=1, b=3, c=1 
127  a=5, b=5, c=-8 
129  x=-6, y=-3  
131  -6 
133  5 
135  5 
137  2x-3 

 

 

 

 

139  -36 

 

141  a=-2, b=-1

⑵ a=-11, b=12

⑷ a=-5, b=6

122  a=1, b=-3, c=-2
124  a=-1, b=3, c=1
126  a=0, b=-3, c=-2
128  a=3, b=0, c=4
130  x=2, y=2
132  -4
134  a=-1, b=4
136  -8x-11
138  -1

140  a=-;3&;, b=;3$;

02  항등식과 나머지정리 

26쪽~35쪽

⑵ ◯ 

095  ⑴ _ 
096  ③ 
098  0, 0, 0
099  ⑴ a=1, b=5, c=1 

 

⑶ ◯ 
097  0, 0, 0

⑷ _

⑵ a=1, b=0, c=-3

  ⑶ a=2, b=-5, c=-3 

⑷ a=2, b=-3, c=2

  ⑸ a=3, b=-2, c=-3
100  ⑴ a=2, b=3 

 

  ⑶ a=1, b=3, c=3 
101  2
102  ⑴ 2c, 2a, -1, 6 

  ⑶ a=-1, b=-6, c=2 
103  2
104  ⑴ x+3, 3, 4, 7, 3, 4, 7 

  ⑶ a=0, b=-5, c=3 
105  ⑴ 0, 0, 1, 1 

 

  ⑶ x=-13, y=-7 
106  10

⑵ a=5, b=2

⑷ a=-7, b=2, c=-3

⑵ a=-1, b=1, c=0

⑷ a=6, b=2, c=1

⑵ a=4, b=2, c=-6

⑷ a=-1, b=3, c=4

⑵ x=1, y=-2

⑷ x=-3, y=0

03  인수분해 

36쪽~48쪽

142  ⑴ 3ab(1-2a+5ab) 

⑵ (a+b)(a+b+2)

  ⑶ y(x+1)(y+1) 

  ⑸ (a+1)(b+1) 

  ⑺ -(a-b)(b-c) 
143  ⑴ (x+3)€ 

⑵ (x-4)€ 

⑷ (a-b)(x-y)

⑹ (a-1)(b-1)

⑻ (x-y)(x+2y)

  ⑸ (5x-3y)€  ⑹ (2a+7b)€  ⑺ {x+;3!;}
  ⑼ ab(2x-by)€
144  ⑴ (x+3)(x-3) 

⑵ (a+2b)(a-2b)

  ⑶ (3a+4b)(3a-4b) 

⑷ xy(x+y)(x-y)

  ⑸ (a+b-c)(a-b+c) 

⑹ (a+b+c)(a+b-c)

  ⑺ (a-b)(a+b)(a€+b€) 

⑻ (x-y)(x+y+z)

  ⑼ (x+y)(x-y)(y-z)

⑶ (5a-1)€  ⑷ (2x+3y)€
€  ⑻ {x-;2%;y}

€

빠른 정답    003

⑶ (2x-1)‹  ⑷ (3x-1)‹

  ⑸ a=c인 이등변삼각형 

⑹ 빗변의 길이가 c인 직각삼각형

145  ⑴ (x+1)(x+3) 

⑵ (x-2)(x-4)

  ⑶ (a+3b)(a+7b) 

⑷ (x-2y)(x-4y)

  ⑸ (a+4b)(a-5b) 

⑹ (4x-1)(x+1)

  ⑺ (3x-y)(x+4y) 
146  ⑴ 1, 1, 1, 1  ⑵ (a+3)‹ 

  ⑸ (x+4y)‹  ⑹ (3x+y)‹
147  6
148  ⑴ 3, 3, 3, 3  ⑵ (x-5)‹ 

⑻ (5a+2b)(a-2b)

⑶ (2a+1)‹  ⑷ (x+2y)‹

  ⑸ (2x-3y)‹  ⑹ (4x-y)‹  ⑺ (3x-4y)‹
149  -4
150  ⑴ 2, 2, a€-2a+4 

⑵ (a+3)(a€-3a+9)

  ⑶ 2(a+5)(a€-5a+25) 

⑷ (x+2y)(x€-2xy+4y€)

  ⑸ (x+4y)(x€-4xy+16y€)  ⑹ (3x+y)(9x€-3xy+y€)

  ⑺ (2x+3y)(4x€-6xy+9y€)  ⑻ (4x+3y)(16x€-12xy+9y€)

  ⑼ a(2a+1)(4a€-2a+1) 
151  ⑴ 1, 1, a€+a+1 

⑽ x€y(3x+2y)(9x€-6xy+4y€)

⑵ (a-2)(a€+2a+4)

  ⑶ (a-4)(a€+4a+16) 

⑷ (x-3y)(x€+3xy+9y€)

  ⑸ (3x-2y)(9x€+6xy+4y€)  ⑹ (2x-5y)(4x€+10xy+25y€)

  ⑺ x€(x-2y)(x€+2xy+4y€)  ⑻ x€y(2x-3y)(4x€+6xy+9y€)
152  ⑤
153  ⑴ -2y, x, 2y   

⑵ (x+y+3z)€

  ⑶ (x-y-z)€   

  ⑸ -1, -1, 1 

 

  ⑺ (a+2b-1)€
154  ⑴ 2b, c, 2ab, 2bc, ca

⑷ (2x-2y+z)€

⑹ (a+b-3)€

  ⑵ (a+b-c)(a€+b€+c€-ab+bc+ca)

  ⑶ (a-b-3c)(a€+b€+9c€+ab-3bc+3ca)

  ⑷ (a+2b-3c)(a€+4b€+9c€-2ab+6bc+3ca)

  ⑸ 1, xy, y

  ⑹ (x+2y+2)(x€+4y€-2xy-2x-4y+4)

  ⑺ (x+y-3)(x€+y€-xy+3x+3y+9)

  ⑻ (x-3y+4)(x€+9y€+3xy-4x+12y+16)
155  ⑴ 2, 2 

 

⑵ (2x-y+1)(2x-y-5)

  ⑶ (x-1)(x+2)(x€+x+4)  ⑷ (x€+x-3)(x€+x-4)
156  3
157  ⑴ 12, 12, 12, x-1, 12 

⑵ (x-1)(x+2)(x€+x-4)

  ⑶ (x€+5x+2)(x€+5x+8)  ⑷ (x€+4x-1)€ 
158  -3
159  ⑴ 4, 4, 2 

⑵ (x€-2)(x€-3)

 

  ⑶ (x+2)(x-2)(x+3)(x-3)

  ⑷ (x+1)(x-1)(3x€+4) 
160  ⑴ 2x, 2x, 2x, 2x, 2x 

⑸ (x+2)(x-2)(2x€+9)

⑵ (x€+4x+8)(x€-4x+8)

  ⑶ 2x, 2x, 2x, 2x, 2x 

⑷ (x€+3x-5)(x€-3x-5)

  ⑸ (x€+3x-1)(x€-3x-1)
161  18
162  ⑴ a-c, a+b-c 

⑵ (a-2c)(a-b+2c)

  ⑶ (a+b)(a-b)(a+c) 

⑷ (a-b)(a+b-c)

  ⑸ (a+b)(a-b)(b-c) 
163  ⑴ y-3, y+1, (y+1)x, 2x+y+1

⑹ (x-y)(x-y+2z)

  ⑵ (x+y+2)(2x-y-3) 

⑶ (x+y-4)(2x-y-3)

  ⑷ (x-2y+2)(x+y-1) 
164  2
165  ⑴ x-1, x-1, x-1, x-1, 3  ⑵ (x+1)€(x-3)

⑸ (x+y+2)(x-2y+3)

  ⑶ (x-1)(x-2)(x+3) 

⑷ (x-2)(x+2)(x-3)

166  -3
167  ⑴ x+1, -1, -2, x+1, x-2, x+1, x-2, x+1, 2, x+1

  ⑵ (x-1)(x+1)(x-2)(x-3)

  ⑶ (x-1)(x+2)(x+3)(x-4)
168  -6
169  ⑴ 0, 0, 이등변 

 

  ⑶ 빗변의 길이가 a인 직각삼각형  ⑷ 빗변의 길이가 b인 직각삼각형

⑵ a=b인 이등변삼각형

  ⑺ b=c인 이등변삼각형
170  빗변의 길이가 a인 직각삼각형
171  ⑴ x€-x+1, x+1, 1, 1000  ⑵ 499

  ⑶ ;15!0; 

 

⑷ 26

173  (4x+y)(4x-y)

175  (4a+b)‹
177  (2x+5y)(4x€-10xy+25y€)
179  (x+2y-z)€

 

 

€ 
172  {x-;5!;}
174  (x+2)(5x-9)  
176  (a-3b)‹ 
178  (4x-y)(16x€+4xy+y€) 
180  (2x+3y-1)(4x€+9y€-6xy+2x+3y+1)
181  (x-2y-1)(x-2y+5) 
183  (x€+3x-3)(x€+3x+5) 
185  (x€-x+2)(x€+x+2) 
187  (3a-c)(3a+b+c) 
189  (x-2y+1)(x+3y+1) 
191  (x+1)(x-2)(x-5) 
193  (x-1)€(x+2)  
195  b=c인 이등변삼각형 
197  80 

 

182  (x€-2x-2)(x€-2x+4)
184  (x-1)(x+1)(x€+5)
186  (x€-2xy-y€)(x€+2xy-y€)
188  (a-2)(3a+b+1)
190  (x-y+2)(x+2y-1)
192  (x+1)(x-3)(2x-1)
194  (x-1)(x+2)(x-2)(x+3)
196  정삼각형
198  8

2  방정식과 부등식

01  복소수 

001  ⑴ '2 i 
  ⑸ 'ß-1, i 
002  ⑴ a=3, b=4 

 

⑵ i 

⑹ -5i 

  ⑶ a=4, b=1 
 
  ⑸ a='5, b=-2 
  ⑺ a=0, b=-9 
003  ②
004  ⑴ 3i€, 0, 3-'2, i€-1 
  ⑶ 3+2i, '2+2i, 1-4i
005  ③
006  ⑴ 7, 1, 11, -1   

  ⑶ x=3, y=1   

  ⑸ x=4, y=1   
007  0
008  ⑴ 3+4i 

  ⑸ -2 
009  ⑴ x=-1, y=3 

⑹ 5i

50쪽~62쪽

⑷ 3'3 i
⑻ -11i

⑶ 3i 
⑺ -6'2 i 
⑵ a=2, b='3
⑷ a=2, b=-3

⑹ a=7, b=0
⑻ a=1+'7, b=0

⑵ -i, '4i

⑵ x=-1, y=-1

⑷ x=2, y=-3

⑹ x=-2, y=1

⑵ -2-3i 

⑶ -1-2i 

⑷ i

⑵ x=1, y=4

  ⑸ (x-1)(x+3)(2x-1) 

⑹ (x+1)(x-4)(2x+1)

  ⑶ x=3, y=-1

004    정답과 풀이

010  ⑴ 4-2i 

⑵ 3+i 

⑶ 25+14i 

⑷ 6

⑹ 4-4i 

  ⑸ 1-2i 
011  -4
012  ⑴ -12+15i  ⑵ -1+5i 
  ⑸ 1+4'3i
013  25

⑺ 3+4i

⑶ 4+7i 

⑷ 61

014  ⑴ 2, i, ;5!;, ;5#;  ⑵ 2-i 

⑶ -1+2i 

⑷ ;5#;+;5!;i

024  -;5*;
025  ⑴ 2a-b, 2a-b, 3, 3, 3+3i  ⑵ 1-2i 

⑶ 1-2i

  ⑷ i 

⑸ -2+2i 

⑹ -;5@;+2i  ⑺ 2+i

  ⑸ ;2!;+;2#;i 
015  5

⑹ '2+i

⑵ 6 

⑹ -11

016  ⑴ ;5$; 
  ⑸ 4 
017  -5
018  ⑴ x=-2 또는 x=2 
019  ⑴ 0, 허수부분, -2 
020  ⑴ 2x+y, 2x+y, 2, -1 

  ⑶ x=3, y=2   

  ⑸ x=1, y=3 
021  4
022  ⑴ 6 

023  ⑴ 20 

⑵ 13 

⑵ 10 

026  11
027  ⑴ 2, -1, -1  ⑵ -1 

  ⑸ -1 
028  ⑴ 0 

  ⑸ 0 
029  -100
030  ⑴ -1 

  ⑸ i-1 
031  0

⑹ -i 

⑵ -1+i 

⑹ 2-2i

⑵ -1 

⑹ 1-i

;3!;i

⑵ +2i 

 i 

⑹ +

032  ⑴ +

'3i 
  ⑸ + '3
2
033  x=+3i
034  ⑴ 2'2, 1+'2  ⑵ 7i 
  ⑸ 2'2i 
⑹ '2i 
035  ④
036  ⑴ '3, '6i 
  ⑸ 2i 
037  ③

⑵ 9i 

⑹ -2i 

038  ⑴ -4'3i 

⑵ -2'2i 

⑶ ;5^; 

⑷ 8i

⑵ x=-2 또는 x=1

⑵ x=1 

⑶ x=1

⑵ x=2, y=-3

⑷ x=-1, y=-1

⑶ 10

⑶ ;5$;

⑶ 1 

⑺ i

⑶ 1 

⑷ -i

⑷ 0

⑶ +2'2i 

⑷ + '2
2

 i

⑶ 4'3i 
⑺ 2'3i

⑶ -6'2 
⑺ 2 

⑷ 4i

⑷ '5i
⑻ -'6i

⑶ -;2(;+;2(;i  ⑷ ;5!;-;5#;i
5'3 
 i
7 

⑹ -;7$;-

5'2 
 i  
  ⑸ -;3!;-
6  
039  x=-4, y=-2
040  ⑴ -a+b 
041  ⑴ a+b 
042  ③, ⑤
043  -1+13i 

 

045  5+14i 

 

⑵ ab 

⑵ -ab 

⑶ -a-b

⑶ a-b

044  13-12i

046  -;2!;+;2#;i

047  x=2 

 

 

049  x=2 
051  x=2, y=-1 
 
053  x=-1, y=-2  
055  i  
057  -4+3i  
059  50-50i 
061  11'2 i 
063  ;3@;+ '2
3 i 
065  -2b

 

 

 

048  x=-;2#; 또는 x=1
050  x=1
052  x=2, y=4
054  x=1, y=5
056  1+2i 
058  i-1
060  0
062  4+'3 i
064  -2a

02  이차방정식 

63쪽~77쪽

066 ⑴ a+1, 무수히 많다 
  ⑵ a+-2, a+2일 때, x= 1

 
a-2   

 a=-2일 때, 해는 무수히 많다.

 a=2일 때, 해는 없다.

  ⑶ a+2일 때, x=a+2

   a=2일 때, 해는 무수히 많다.

 

 

 

  ⑷ a+0, a+-1일 때, x=;a!;
 a=0일 때, 해는 없다.
 

 

 a=-1일 때, 해는 무수히 많다.

 

 
067 ⑴ x=0 

⑵ x=1 

⑶ x=-1 또는 x=3

  ⑷ x=-4 또는 x=1 

⑸ x=;3!; 또는 x=7

⑷ x=4 또는 x=6 

⑵ x=1\'3

⑷ x=-'2\'3
⑹ x=1\2'2 i

  ⑶ x=-;2!; 또는 x=;3$; 
  ⑸ x=-2 또는 x=1

069 ⑴ x=

-5+'ß41
4   

 

 

 

  ⑶ x= 2\'6
2 

 

  ⑸ x=-1\i 
  ⑺ x=1\'2 i
070 x= -5\'3 i

2
071 ⑴ x=-6 또는 x=6 

  ⑶ x=-3 또는 x=1 
072 -4 
073 ⑴ k=-1 

   ⑷ k=;2#; 또는 k=-1
074 5
075 ⑴ a="ƒ
  ⑶ -1+'3
076 (8-4'2 ) cm
077 ⑴ x-6 
  ⑶ 3+3'5

 

⑵ x=-1 또는 x=1
⑷ x=1-'2 또는 x=1

⑵ k=-2 

⑶ k=-1 또는 k=4

∂x€-2x+2 , b='2x  ⑵ x=-1\'3

⑵ x：6=6：(x-6)

빠른 정답    005

⑶ -i 

⑷ -1

068 ⑴ x=-1 또는 x=2 

⑵ x=-1 또는 x=;2!; 

078 1+'5
079 서로 다른 두 실근, 중근, 서로 다른 두 허근
080 b'€-ac 
081 ⑴ 서로 다른 두 실근 

  ⑶ 중근 

⑷ 중근

⑵ 서로 다른 두 실근

  ⑸ 서로 다른 두 허근   

⑹ 서로 다른 두 허근

082 ②

083 ⑴ k<;4(; 
084 ⑴ k=-9 

085 ⑴ k<-4 

086 ⑴ k<-1 
087 -12 

  ⑶ k=1 또는 k=5

⑵ k<4 

⑶ k<2

⑵ k=3 또는 k=-5

⑵ k>;4!; 
⑵ k<-4

⑶ k<2

088 ⑴ \2, 2, 2 

 

  ⑶ k=-2 

⑷ k=3 

⑵ -;8!;<k<1 또는 k>1
⑸ k<-1

089 -1
090 ⑴ k-a, k€+b+1, 0, -2a, a€-b-1, 0, -1 

  ⑵ a=1, b=-;4!; 

⑶ a=3, b=9

091 ;4!; 
092 ⑴ 0, -4 

  ⑶ a=5 

⑷ a=2 

⑸ a=4

⑵ a=-2 또는 a=2

 

 

 

 

093 x=-3
094 ⑴ a+b=4, ab=7 

  ⑶ a+b=;2#;, ab=;2%; 
  ⑸ a+b=-2'2, ab=1 
  ⑺ a+b=0, ab=4 

095 ⑴ ;5!; 
096 ⑴ -5 

⑵ 21 

⑵ 0 

097 :¡3º: 
098  ⑴ 0, 0, 3, 2, 2  ⑵ 11 
099  26

⑵ a+b=-3, ab=1

⑷ a+b=-1, ab=-;3!;
⑹ a+b=2'3, ab=-6
⑻ a+b=;2#;, ab=0

⑷ -55

⑶ -:¡5¡: 
⑶ 11

⑶ 34

100 ⑴ 3, -6, 3, -6, 3, ;2(;, -27  ⑵ a=5, b=12
  ⑶ a=-3, b=0

101 -6 

102 ⑴ ;3!;, 1, ;3!;, 3 
  ⑶ k=4 또는 k=9 

 

103 ⑴ -5, 1, -8, 4 

⑵ k=1 또는 k=4

⑷ k=25

⑵ k=-3 또는 k=7

  ⑶ k=2 또는 k=4 

⑷ k=-2 또는 k=12

104 ⑴ x€+x-6=0 

⑵ x€-x-20=0

  ⑶ x€-;6%;x+;6!;=0 
  ⑸ x€-2'3 x+2=0 
  ⑺ x€-2x+2=0 

⑷ x€-2x-1=0

⑹ x€+4x+1=0

⑻ x€+5=0

105 ⑴ x€-4x+12=0 

⑵ x€-5x+6=0

⑷ x€+2=0

⑹ x€+8=0

  ⑶ x€-;3@;x+;3!;=0 
  ⑸ x€+2x+9=0 

106 4x€+2x+1=0

006    정답과 풀이

⑵ (x-1-2i)(x-1+2i)

107 ⑴ '3 i, '3 i, '3 i, '3 i, '3 i 
  ⑶ (x-2-'2 i)(x-2+'2 i)  ⑷ 3{x+ 1-'ß13
108 ③
109 ⑴ 1-'3, 1-'3, -2, 1-'3, -2
  ⑵ a=-3, b=7 

⑶ a=2, b=1

6

} {x+ 1+'ß13
6  }

  ⑷ a=-;4!;, b=-;2!;
110 ⑴ a=-2, b=5 

  ⑶ a=-2, b=2 

  ⑸ a=-;4!;, b=-;2#;

 

 

111 ;5$; 
113 x=1\2'2 i 
115 k=1 
 
117 서로 다른 두 실근 
119 서로 다른 두 허근 
121 k=1 또는 k=5  
123 a=3, b=9 
125 24  
127 -18 
129 76  

 

 

131 x€-5x+10=0  

⑵ a=3, b=10

⑷ a=1, b=;2!;

112 x=2 또는 x=4 

114 x=1-2'2 또는 x=1   
116 k=0 또는 k=-1
118 중근
120 k>-1
122 k>2
124 a=1, b=-1
126 a=1 또는 a=-3
128 20
130 44

132 x€-;2!;x+;6!;=0
134 x€+5x+40=0 

133 x€+3x+36=0  
135 (x-2-3i)(x-2+3i)
136 2{x- 3+'ß15 i
137 a=-2, b=-4  

4

} {x- 3-'ß15 i

4

}

138 a=-4, b=5

03  이차방정식과 이차함수 

78쪽~97쪽

139  ⑴ (-1, -4), x=-1 

  ⑶ (1, 3), x=1   
140  풀이 참조

141  ⑴ y=;9!;x€+2   
  ⑶ y=-2(x+1)€-3 

  ⑸ y=-;3@;(x-3)€+7

142  ⑴ y=x€-x-2 

  ⑶ y=-;2!;x€+;2(; 
  ⑸ y=2x€-5x+3 
143   ⑴ a>0, b<0, c>0 

  ⑶ a<0, b>0, c>0 
144  ⑴ _ 

⑵ ◯ 

⑹ _

  ⑸ ◯ 
145  ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅂ
146  ⑴ 0, 5 

⑵ (2, 3), x=2

⑷ (2, 3), x=2

⑵ y=(x-1)€+4

⑷ y=-(x+2)€+1

⑵ y=;2!;x€-2x+;2#;

⑷ y=x€-4x

⑹ y=-x€+3x+5

⑵ a>0, b>0, c<0

⑷ a<0, b<0, c<0

⑶ _ 

⑷ _

⑵ 1, 4 

⑶ -3 

⑷ 1, 7

⑹ -2, 3 

  ⑸ ;2!; 
147  ⑴ -a, b, -4, 3 

  ⑶ a=2, b=-3

⑺ 1-'2, 1+'2
⑵ a=-2, b=-8

148  -3
149  ⑴ 4ab, 4k, -3  

  ⑷ -5

⑵ -6 

⑶ -4

150  ;2!;  
151  ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다.  ⑵ 서로 다른 두 점에서 만난다. 

  ⑶ 한 점에서 만난다. 

⑷ 만나지 않는다.

  ⑸ 만나지 않는다.

152  ⑴ 4k, < 

⑵ k<1 

⑶ k>;4&; 

⑷ k<1

153  14
154  ⑴ k=+2'6  ⑵ k=-1 또는 k=3 
155  ⑴ k>9 

⑵ k>;;¡4£;; 

⑶ k>-3

⑶ k=4

156  1 
157  ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다.  ⑵ 한 점에서 만난다. 

  ⑶ 만나지 않는다.

158  ⑴ k>;4&; 
159  ⑴ k=-2 

⑵ k<;8!; 
⑵ k=-1 

⑶ k>-3

⑶ k=1 또는 k=9

160  ⑴ k<;8&; 
161  ⑴ k>1 
162  ⑴ 0, 0, 0, -1 

 

⑵ k>1 

⑶ k<1

⑵ k<1 

⑶ k>1

⑵ m=2, n=-1

  ⑶ m=-1, n=-;4!;
163  a=-1, b=2
164  ⑴ m+3, -n-1, -7, 4 

  ⑶ m=-2, n=4 
165  ⑴ a=-1, b=5 

  ⑶ a=3, b=-2
166  a=6, 나머지 한 교점의 x좌표: 2
167  ⑴ 최댓값: 2, 최솟값: 없다. 

⑵ m=1, n=5

⑷ m=2, n=1

⑵ a=1, b=3

⑵ 최댓값: 없다., 최솟값: -3

  ⑶ 최댓값: 없다., 최솟값: -1  ⑷ 최댓값: 2, 최솟값: 없다.
168  ⑴ 1, 1, 1, -1 

⑵ x=2일 때 최솟값은 5

 

  ⑶ x=3일 때 최댓값은 9 

⑷ x=2일 때 최댓값은 -1

  ⑸ x=2일 때 최댓값은 3
169  -3
170  ⑴ 2a€, 2a€, a€, 1, 1 

  ⑶ 3 

 

171  ⑴ -4, 4+b, 2, -2 

  ⑶ a=;2#;, b=1   
172  20
173  ⑴ 5, -4, -3, 5, -4 

  ⑶ 최댓값: 4, 최솟값: ;4&; 
  ⑸ 최댓값: 5, 최솟값: -1 
174  -4 
175  ⑴ 1, 3, 1 
176  1
177  ⑴ 2, 5, 1, 0 

⑵ 13 

 

 

⑵ 3

⑷ ;3@;
⑵ a=7, b=-3

⑷ a=3, b=6

⑵ 최댓값: 6, 최솟값: -3

⑷ -2, 6, 6, -2

⑹ 최댓값:4, 최솟값: 1

⑶ 2 

⑷ 1

⑵ a=5, b=-3

⑷ a=1, b=11

 

  ⑶ a=2, b=3 
178  5
179  ⑴ 1, 3, 4, 4, 3, 3, 7 
180  5
181  ⑴ 3, 5, -4, 4, -1, -1, -11  ⑵ 2

⑵ 10 

  ⑶ -;4%; 

 

⑷ 2

 

 

 

 

 

⑵ 3 

⑵ -7

 

⑵ 최댓값: 5, 최솟값: -4

182  ⑴ >, 2 
183  ⑴ -4 
184  ⑴ 3, 8, 8 

  2 225 m€
187  32 m€
188  1 0, 4 

  ⑶ 최댓값: 33, 최솟값: -3
185  80
186  1 세로의 길이: (30-x) m, 0<x<30

2 AB’=4-2a, AD’=-a€+4a

  3 10 
189  20
190  1 입장료: 10(100+x), 하루 입장객 수: 10(200-x)

  2 225만 원
191  4,000원 

192  ⑴ :£4¡: m 
193  45 m
194  ⑴ a>0 

  ⑸ a-b+c=0
195  ⑴ a<0 

  ⑸ b€-4ac>0
196  a=-1, b=-2  
198  k=-2 

 

⑵ :¡4ª: m 

⑵ b<0 

⑶ c<0 

⑷ a+b+c<0

⑵ b<0 

⑶ c=0 

⑷ a-b+c>0

197  a=-3, b=10
199  k=+2

 

⑵ k=;2(; 
⑵ k=-2 

200  ⑴ k<;2(; 
201  ⑴ k<-2 
202  m=0, n=-2  
204  a=-1, b=2 
206  x=1일 때 최댓값은 3 
208  3 
210  최댓값: 6, 최솟값: -3 
212  최댓값: 4, 최솟값: -4 
214  16 
216  -3 
218  최댓값: 18, 최솟값: 2 
220  최댓값: 750만 원, 최솟값: 270만 원

 

 

 

⑶ k>;2(;
⑶ k>-2
203  m=6, n=-9
205  a=-1, b=3
207  x=2일 때 최솟값은 1
209  a=-2, b=-3
211  최댓값: 4, 최솟값: -5
213  3
215  9
217  a=1, b=-1
219  52

04  삼차방정식과 사차방정식 

98쪽~109쪽

221  ⑴ x=1 또는 x=

-1+
2
  ⑶ x=0 또는 x=+2i 

'3 i

  ⑵ x=-3 또는 x=

3+3'3 i
2

 

⑷ x=0 또는 x=-3 또는 x=3

  ⑸ x=0 또는 x=-2 또는 x=1

  ⑹ x=-4 또는 x=-1 또는 x=1

222  ⑴ 1, 1, 1, 1, 1, 1  

⑵ x=1 또는 x=

1+
'5
2

 

  ⑶ x=2 또는 x=-1+i 
-3+
2

  ⑸ x=1 또는 x=

'7 i

⑷ x=1 또는 x=4 또는 x=-2

  ⑹ x=1 또는 x=2 또는 x=3

⑶ -1

  ⑺ x=-1 또는 x=2 또는 x=3

  ⑻ x=-1 또는 x=-;2!; 또는 x=3 

  ⑼ x=-1 또는 x=;3!; 또는 x=2 

빠른 정답    007

223  -1
224  ⑴ 0, 0, 8 
225  a=-3, b=0
226  ⑴ 0, 0, 3, 3, x€+2x-3, 1, 3, 1, 3, 1, -3, 1, -3

⑵ 4 

⑶ 3 

⑷ -8

⑶ -1, 3 

  ⑵ -3, 4 
227  ⑴ -1, 2, -1, 2, 1, 2, 1, 2, -1, 2
  ⑵ x=+1 또는 x=2 또는 x=-3

⑷ -1, 5

  ⑶ x=1 또는 x=2 또는 x=3 또는 x=4

  ⑷ x=+1 또는 x=

5+
'ß37
2

  ⑸ x=-1 또는 x=2 또는 x=

  ⑹ x=+2 또는 x=-1+
228  0
229  ⑴ a=-2, b=-8 

'3 i

  ⑶ a=0, b=10
230  -2
231  ⑴ x€-4x, 3, 5, 3, 5

-1+
2

'3 i

⑵ a=2, b=-2

  ⑵ x=-2 또는 x=1 또는 x=-4 또는 x=3

 또는 x=-2 또는 x=1

'3 i

  ⑶ x=

-1+
2
'2 또는 x=-2+2'2
  ⑷ x=-2+
232  ⑴ x€+x, 2, 6, 6, 6, 6, 6, -3, -3
  ⑵ x=-4+

'6 또는 x=-6 또는 x=-2
5+
'3 i
2

 또는 x=

5+
'ß13
2

  ⑶ x=

233  -3
234  ⑴ +1, +2 
  ⑶ x=+
235  -3

 
'3 i 또는 x=+

'5 

⑵ x=+2 또는 x=+
⑷ x=+i 또는 x=+3

'6 i

-1+
2

'3 i 

 또는 x=

1+
'3 i
2

 

⑵ x=

236  ⑴ '7 i, '7 i 
  ⑶ x=-1+
'2 또는 x=1+
'2
  ⑷ x=-2+2i 또는 x=2+2i
237  2'3  
238  a+b+c, ab+bc+ca, abc, -;aB;, ;aC;, -;;aD;
239  ⑴ a+b+c=3, ab+bc+ca=3, abc=-1

  ⑵ a+b+c=2, ab+bc+ca=;2%;, abc=1

  ⑶ a+b+c=0, ab+bc+ca=2, abc=;3!;

⑶ 1 

⑷ -2

⑵ -;5@; 
⑹ 29

240  ⑴ -;5#; 
  ⑸ -25 
241  -1
242  ⑴ 14, 24 

 

⑵ x‹-5x€+2x+8=0

  ⑶ x‹+2x€-3x=0 

⑷ x‹+8x€+19x+12=0

  ⑸ x‹-6x€-;4!;x+;2#;=0
243  ⑴ x‹-2x€+4x+2=0 

⑵ x‹-x€+3x-5=0

⑷ x‹-4x€-4x-4=0

  ⑶ x‹-2x€-x-;2!;=0 
  ⑸ x‹+7x€+27x+5=0
244  x‹-2x+1=0
245  ⑴ 1-'2 , 1-'2 , 1-'2 , 1-'2 , 1-'2 , 5, 1-'2 , 3
  ⑵ a=-3, b=0 
246  ⑴ a=4, b=-2 

⑵ a=-3, b=5

⑶ a=-5, b=4

  ⑶ a=-4, b=4

008    정답과 풀이

247  6
248  ⑴ 1 

  ⑸ 1 
249  0
250  ⑴ 1 

⑵ 0 

⑹ -1

⑶ 1 

⑷ -1

⑵ 0 

⑶ 1 

⑷ -1

 

'5

⑹ 1

252  x=-2 또는 x=1\'3 i
254  x=-2 또는 x=1+2i

  ⑸ 0 
251  -2 
253  x=+2 또는 x=3 
255  x=+1 또는 x=1+
256  x=1 또는 x=-2 또는 x=+
257  x=+1 또는 x=2 또는 x=4
258  x=-2+
259  x=+i 또는 x=+2 
261  a=-5, 나머지 두 근은 -2, 3  262  a=6, 나머지 두 근은 2, 3
263  a=0, 나머지 두 근은 1+2i 
265  9 

264  -2
266  x‹-x€-2x-1=0

'2 또는 x=-2\'ß15

260  x=-1+

'2 i  

 

'2 i 또는 x=1+

'2 i

267  x‹+;3!;x€-;3@;x-;3!;=0 
269  a=-15, b=-25 
271  0 
273  1 
275  0 
277  1

 

 

 

268  a=0, b=2

270  a=-1, b=2
272  0
274  -1
276  -1

05  여러 가지 방정식 

110쪽~118쪽

278 ⑴ x=4, y=-1 

  ⑶ x=5, y=2

279 ⑴ x=3, y=1   

  ⑶ x=3, y=4

280 ⑴ 1, 1, 2, 1, 2 

 

⑵ x=3, y=1

⑵ x=3, y=4

x=-5
y=3      또는 [

⑵ [

x=-3

y=1  

 

  ⑶ [

x=-1

y=-3

 또는 [

x=5

  
y=9     

x=-5

y=-7

⑷ [

 또는 [

x=-1

  ⑸ [

y=1

 또는 [

x=-2      
 

y=0

x=-3

y=-2

⑹ [

 또는 [

x=3

y=1     

x=3      

y=1

  ⑺ [

x=-7

y=-3

 또는 [

x=1      

y=1

281 10
282 ⑴ \4, _'5     i, 4, -4, -'5     i, '5     i

x='3
y='3
x=3'ß10
y='ß10
x=1

x=2'2 i
y=2'2 i
x=2

  ⑵ [

 또는 [

x=-'3
y=-'3

x=3

x=-3

 또는 [

y=-3 

y=3 

 또는 [

  

  ⑶ [

 또는 [

x=-3'ß10
y=-'ß10

 또는 [

x=5'2
y=-5'2

 또는 [

x=-5'2
y=5'2

 

  ⑷ [

 또는 [

y=1

x=-1

y=-1

 또는 [

x=2

y=4

 또는 [

x=-2

y=-4

 

  ⑸ [

 또는 [

x=-2'2 i
y=-2'2 i

 또는 [

x=1

y=-2

x=-1

 또는 [

y=2

 

  ⑹ [

 또는 [

y=3

x=-2

y=-3  

 또는 [

x=1

y=-2 

 또는 [

x=-1

y=2  

 

283 8

284 ⑴ 3x, 3x, \3, \2, 3, -3, 2, -2

308 [

x=4

y=0  

 또는 [

y=0

x=-4

x=1

x=-1

 또는 [

y=-5

 또는 [

y=5

x=3

y=1 

⑵ [

 또는 [

x=-3

y=-1 

 또는 [

x=1

y=2 

 또는 [

x=-1

y=-2

309 [

x=2

y=1

 또는 [

x=-2

y=-1

  

x=-1  

310 [

y=0

 또는 [

x=;2!;

y=;4#;

x=3

y=1 

⑶ [

 또는 [

x=-3

y=-1 

285 ⑴ 2, 5, 2, 5 

 

x=-3

y=-5

⑵ [

 또는 [

x=2

y=0 

x=-1

⑶ [

y=1

 또는 [

x=-2

y=0 

 

x=2

y=-1

⑷ [

 또는 [

x=3

y=1

286 ⑴ 2, 4, 4, 2 

 

x=-1  

y=-3

 또는 [

x=-3

y=-1

⑵ [

x=-3

x=5

⑶ [

y=5

 또는 [

 
y=-3 

x=-6  

x=1

⑷   [

y=1

 또는 [

y=-6

287 ⑴ 3, -2, -3, 2, 3, -2, -3, 2

x=-2  

x=4

x=2

x=-4

⑵ [

y=4

 또는 [

y=-2

 또는 [

y=-4

 또는 [

y=2

x=-2  

y=-1

 또는 [

y=-1

x=-2

⑶ [

x=-1

 또는 [

y=2

 또는 [

x=2

y=-1

288 5 

290 192 (cm€) 

292 9 cm 

 

 

 

294 ⑴ 3, 3, -1, 3, 3, 0, 6, 4

289 14, 100, 8, 8, 8

291 2500, xy, -20, 14, 48, 48

293 x=50, y=20

x=0  

y=-5

⑵ [

 또는 [

x=1

y=-6

 또는 [

x=3

y=-2

 또는 [

x=4

y=-3

x=-2 

x=2

⑶ [

y=1

 또는 [

y=-3

 또는 [

x=4

y=7

 또는 [

x=8

y=3

295 15

297 36

299 0

296 ⑴ 3y, 3y, 1  ⑵ x=2, y=3  ⑶ x=;2!;, y=1

298 ⑴ 2, -1 

⑵ x=3, y=1  ⑶ x=;3!;, y=;2!;

x=1

x=2

300 [

y=-2 

y=-1

 또는 [

 

301 [

x=1  

y=-1

 또는 [

x=3

 

y=-5

x=-6   

302 [

y=10

 또는 [

x=2

y=2

  

303 [

x=3  

y=-1

x=-7

 또는 [

y=4

304 [

x='7   
y=-'7

  또는 [

x=-'7
y='7

 또는 [

x=1   

y=2 

 또는 [

x=-1

y=-2

 

305 [

x=2'2
y=-'2 

 또는 [

x=-2'2
y='2 

 또는 [

x=2'2
y=2'2 

 또는 [

x=-2'2
y=-2'2

x=1

x=-1

306 [

y=-2 

 또는 [

y=2

 또는 [

x=2

y=3 

 또는 [

x=-2

y=-3

307 [

x='5
y=-'5 

  또는 [

x=-'5
y='5 

 또는 [

x=2'2
y='2

 또는 [

x=-2'2
y=-'2

x=;2!;

y=;2!;
x='5  
y=-'5
x=-1  

311

[

 또는 [

x=2   

y=-1

  

x=-3  

x=6

312 [

y=6

 또는 [

 
y=-3  

313 [

 또는 [

x=-3  

x=1

 또는 [

y=1

 또는 [

y=-3

314 [

y=2

 또는 [

y=-1

 또는 [

y=1

 또는 [

y=-2

x=-2  

x=1

x=-'5
y='5
x=2

315 가로의 길이: 8 cm, 세로의 길이: 6 cm

316 9 cm, 12 cm 

 

318 [

x=-2  

y=-1

 또는 [

x=1

y=1

 

320 x=3, y=2

317 [

x=4  

y=6

 또는 [

x=5

y=2  

319 x=3, y=-1

06  연립일차부등식 

119쪽~127쪽

⑵ ◯ 

⑶ _ 

⑷ _

⑵ x<2 

⑶ x>-1 

⑷ x>-7

321  ⑴ _ 
322  ②
323  ⑴ x>-3 

  ⑸ x>-2
324  ⑴ >, <, 없다 

  ⑵ 1 a>1일 때, x<a+1

 2 a<1일 때, x>a+1

 3 a=1일 때, 해는 없다.

  ⑶ >, <, 모든 실수

  ⑷ 1 a>-1일 때, x<2(a-1)

 2 a<-1일 때, x>2(a-1)

 3 a=-1일 때, 해는 모든 실수이다.

 

 

 

 
325  1

⑶ 8<x<12  ⑷ x>-1

326  ⑴ -3, -3, 3 

 

 

  ⑶ x<;2%; 
327  2
328  ⑴ 1<x<3  ⑵ x>1 
329  12
330  ⑴ 4, -6<x<4 

  ⑶ 0<x<1 

331  6
332  ⑴ 1, 2 
333  ⑴ 해는 없다. 

  ⑶ 해는 없다. 

  ⑸ x=0

 

 

 

⑵ -;2%;<x<4

⑷ x>-1

⑵ x>5

⑷ -;3@;<x<3

⑵ 해는 없다.

⑷ x=2

⑵ 9 

⑶ -14 

⑷ -5

빠른 정답    009

⑵ x<-1 또는 x>2

  ⑷ 해는 없다.  ⑸ 모든 실수  ⑹ 모든 실수  ⑺ 해는 없다.

⑵ a>1 

⑶ a<7 

⑷ a>6

334  ⑴ a+4, 1, -3   

  ⑶ a<-;;¡3º;; 
335  ⑴ 4, 6 

 

336  ⑴ -1, 0, -4, -3 

  ⑶ 1<a<2 
337  ⑴ -2<x<8 

 

 

⑵ a<-10

⑷ a>13

⑵ ;3@;<a<1
⑷ 4<a<7

  ⑶ x<5 또는 x>7 

⑷ 1<x<4

  ⑸ x<-4 또는 x>2
338  4
339  ⑴ 1 x<-2  2 -2<x<3  3 x<3

  ⑵ -1<x<5   

⑶ x>2 

⑷ x<-;3@;

340  ⑴ 1 -4<x<-3  2 -3<x<0  3 0<x<1  4 -4<x<1

  ⑵ x<-;2%; 또는 x>;2&; 
341  14 
343  _ 

 

 

⑶ -4<x<3 

342  _
344  ◯ 

345  1 a>3일 때, x>

2 a<3일 때, x<

a+2
a-3

 

a+2
a-3

 

  3 a=3일 때, 해는 없다.
346  1 a>2일 때, x>a+2 

2 a<2일 때, x<a+2

  3 a=2일 때, 해는 모든 실수이다.
347  해는 없다. 
349  -4<x<13 

 

 

348  x=3
350  x>5

351  a=4  

353  a<10 
355  3<a<5 

 

 

 

357  x<-;3@; 또는 x>2 
359  2 

 

361  -1<x<3  

352  a=;2!;
354  a<7
356  2<x<8

358  1

360  -1<x<1 

362  x>;2!; 

363  ⑴ 1, 2, -, -, +, +, +, +, 1, 2, -1, 2

  ⑵ x<-4 또는 x>2
364  ⑴ x<-1 또는 x>2 
365  ⑴ x<1 또는 x>4 
366  ⑴ ① 1, 6  ② x<1 또는 x>6

⑵ -1<x<2

⑵ 1<x<4

  ⑵ ① -1<x<3  ② x<-1 또는 x>3
367  ⑴ ① x<b 또는 x>d  ② b<x<d 

  ⑵ ① x<0 또는 x>b  ② 0<x<b
368  x<-1 또는 -1<x<5
369  ⑴ 3, 3 

 

  ⑶ x<0 또는 x>1 

  ⑸ 1<x<2 

 

⑹ -6<x<3

  ⑺ x<-2 또는 x>

;3!; 

  ⑼ -2<x<1   
370  5

010    정답과 풀이

⑵ -3<x<1
⑷ x<-5 또는 x>-3

⑻ x<-'6  또는 x>'6 
⑽ x<-2 또는 x>6

371  ⑴ 3, 3 

⑵ 해는 없다.  ⑶ x+'2 인 모든 실수

  ⑷ 해는 없다.  ⑸ 모든 실수  ⑹ 모든 실수  ⑺ x=;2!;

  ⑻ x+-8인 모든 실수 

⑼ 해는 없다.  ⑽ x=;2#;

372  ②
373  ⑴ 2, 1, 모든 실수 

⑵ 모든 실수  ⑶ 해는 없다.

  ⑻ 모든 실수  ⑼ 해는 없다.  ⑽ 해는 없다.
374  ③
375  ⑴ 5, 6 

 

⑵ x€-x-2<0

  ⑶ x€+6x+8<0 

  ⑸ x€-6x+5>0 

  ⑺ x€+7x+12>0 
376  ⑴ <, <, <, -2, 4 

  ⑶ a=1, b=-8 
377  x<2 또는 x>3

⑷ x€+2x-3<0

⑹ x€-5x-14>0
⑻ x€+3x-10>0

⑵ a=2, b=-12

⑷ a=-1, b=5

378  ⑴ <, > 

⑵ k>-;4#; 

⑶ -1<k<2  ⑷ -2<k<6

379  9
380  ⑴ 1 항상 성립한다.  2 -3<k<0  3 -3<k<0

  ⑵ ;3!;<k<2  ⑶ 1<k<2  ⑷ -1<k<2
381  -3
382  ⑴ 1 x<-1 또는 x>2  2 1<x<4  3 2<x<4 

  ⑵ 1<x<3 
383  5
384  ⑴ 4<x<5 

 

 

  ⑶ -4<x<-3 

⑶ x<-3 또는 x>4 

⑵ -3<x<1 또는 2<x<6

⑷ 0<x<;2!;

⑵ k>3 

385  2
386  ⑴ > 
387  5
388  ⑴ <, < 
389  -2
390  ⑴ 1 -1<x<4  2 x<k-3 또는 x>k+3  3 1<k<2

⑵ 6<a<7  ⑶ 5<a<6

⑶ -1<k<4 

 

  ⑵ 0<k<1 
391  2
392  ⑴ -2, 2, 0, 3, 2, 3 

  ⑵ -2<x<2   

  ⑷ -4<x<4
394  ⑴ 0<x<3 

 

 

 

  ⑶ 2<x<6 
395  3
396  ⑴ 2<x<6 또는 x>8 
397  ⑴ a<x<c 
398  x<-1 또는 x>5 
400  x='3 
 
402  a=-11, b=12  
404  a=2, b=-15   
406  -4<k<2 
408  -4<k<-1 
410  4<x<5 
412  4<a<5 
414  -2<x<1 또는 1<x<2 

 

 

 

 

⑶ 1<k<3

⑵ -1<k<2

⑶ -3<x<3

⑵ -1<x<4

⑷ -2<x<3

⑵ x<2 또는 6<x<8 

⑵ x<a 또는 c<x<d 또는 x>d
399  -1<x<4
401  해는 없다.
403  a=-2, b=-2
405  1<k<3
407  0<k<4
409  3<x<5
411  a>5
413  0<a<1
415  -5<x<-4 또는 8<x<9

07  이차부등식과 연립이차부등식 

128쪽~140쪽

  ⑶ 1<k<2 
393  ⑴ 1 -4<x<0  2 0<x<4  3 -4<x<4

⑷ 0<k<1

 

142쪽~156쪽

⑶ 5'2 

⑷ 3'2-1

⑵ 7 또는 -3  ⑶ 1 또는 -13

040  ⑴ ;8%; 
⑵ ;3!; 
041  ⑴ a=1, b=4 
 
042  ⑴ a=1, b=-2 
043  3

044  ⑴ 내분, 6, -2, 8, 4 

⑶ ;7$;
⑵ a=1, b=0

⑵ a=3, b=6

⑵ {:¡2£:, ;2&;}

⑵ {0, ;3%;} 

⑶ {3, ;3@;}

⑷ 4'2
⑻ 6'2
⑷ 8

⑶ (-1, 0)

, x¡, x¡+x™+x£, 

, y¡, y¡+y™+y£, x¡+x™+x£, 

y™+y£
2

⑵ (2, -2) 

⑶ (2, -2) 

⑷ (1, 2)

⑵ (2, -7) 

3  도형의 방정식
01  평면좌표 

⑵ 3 

⑵ 10

001  ⑴ 5 
002  ⑴ 5 또는 1 
003  x™, y¡, y™-y¡, y™-y¡, y™-y¡, y™-y¡
004  ⑴ 'ß10 
005  ⑴ 11 
  ⑸ 5'2 
006  ⑴ 12, 6, 6 
007  -1
008  ⑴ 0, -1, -5, 2, 34, 8, 8, 0 
009  ⑴ (0, 3) 

⑵ 8 
⑹ 'ß10 
⑵ 3 

⑵ (0, 2) 

⑶ 5 
⑺ 'ß13 
⑶ 4 

⑵ (5, 0) 

⑶ (0, 2)

010  ⑴ a+1, a+1, a+1, 2, 6, ;2#;, ;2#;, ;2%;
  ⑵ (-3, 5) 
 
3'5
2

011  

⑶ (6, 12)

045  ⑴ {:¡5¶:, 5} 
046  -3

047  

x™+x£
2

y¡+y™+y£

 
048  ⑴ (1, 3) 

  ⑸ (-1, 3)
049  ⑴ (3, -2) 
050  a=3, b=2 
052  5'2 
054  6 

056  (-2, 0) 

064  ;4!;<t<;2!; 

066  ;2!;  

068  {-;3&;, ;3*;} 

070  a=2, b=1 

072  {-;3@;, 3}

 

 

 

 

 

 

 

⑶ (6, -8)
051  4
053  13
055  5

057  {0, -;2#;}

065  ;4!;

067  ;3!;

069  {;2&;, ;2&;}

071  a=;3&;, b=5

058  {;3@;, 0} 
060  AB’=CA’인 이등변삼각형 

 

059  3A=90^인 직각이등변삼각형

061  P(1, 4), Q(5, 8)

062  P{;4%;, :¡4∞:}, Q{;2&;, ;2#;} 

063  P{1, -;4&;}, Q(-14, -13)

 

 

⑵ 9

012  ⑴ ① 5  ② 2'5  ③ 5  ④ AB’=CA’인 이등변삼각형
  ⑵ ① 3'2  ② 5'2  ③ 4'2  ④ 3A=90^인 직각삼각형
  ⑶ ① 5  ② 5'2  ③ 5  ④ 3A=90^인 직각이등변삼각형
013  ⑴ 5 
014  ⑴ -5 
015  a='3, b='3
016  ⑴ 2'ß13 
017  ⑴ 4'2 
018  ⑴ -1, 5, 5 
019  ⑴ 5'2 
 
020  ⑴ 3, 3, 3, 3, 3, 3  

⑶ 5'2
⑶ 5
⑵ 3'5
⑵ 2'5
⑵ 최솟값: 16, P의 좌표: (2, 1)

⑵ 4'5 
⑵ 6'2 
 

⑵ 1

⑵ (4, 0) 

  ⑶ (1, 0)

⑸ (8, 0) 

⑹ (1, 2)

  ⑶ 최솟값: 10, P의 좌표: (1, 3)
021  7
022  ⑴ 3 
023  ⑴ 4 
⑶ 2
024  x-x¡, x-x¡, mx™+nx¡, my™+ny¡
025  ⑴ 4, 1, 3, 9, 3, 7, 3, 7 

⑵ 3 

⑵ 3 

⑶ 1

  ⑷ {-;2&;, -2}   
  ⑺ (7, 2) 

⑻ (-2, -2)

026  -;2#;

027  ⑴ 5 

⑵ ;2!; 

⑶ -;2%;

028  ⑴ {;2#;, :¡2£:}  ⑵ {-;2%;, ;2!;}  ⑶ {;2%;, -;2(;}
029  ⑴ 3 
⑵ 2 
030  ⑴ 11 
031  x-x¡, x-x¡, mx™-nx¡, my™-ny¡
032  ⑴ 4, 1, 7, 10, 3, 17, 7, 17 

⑵ (10, 3)

⑶ -4

⑵ 8 

⑶ 3

  ⑶ (-7, -16)  ⑷ (-8, -8) 

 ⑸ (32, 24)

 

 ⑺ (31, 26) 

  ⑹ (13, -34) 
033  8 
035  3'2 
037  7'5
038  ⑴ 1, -2, ;3@;, -1, 4, ;5$;, ;3@;, ;5$;  ⑵ ;9$;<t<;4#;  ⑶ ;1£0;<t<;3!;

⑻ (-26, 46)
034  (-13, -6)
036  4'2

 

039  ⑴ ;7%; 

⑵ ;5@; 

⑶ ;2!;

02  직선의 방정식 

157쪽~175쪽

073  풀이 참조

074  ⑴ y=3x-3 

  ⑶ y=2x-4 

  ⑸ y=x-3 
075  y=-2x-1

 

 

 

⑵ y=;2!;x-1
⑷ y=-2x-7
⑹ y='3x+2+'3

076  ⑴ 1 ;3!;  2 y=;3!;x+;3&; 

⑵ y=2x-7

  ⑶ y=;4!;x-;2(;   

⑷ y=;2#;x

  ⑸ y=-;2!;x-1  
077  ⑴ 4 

  ⑸ y=3 

⑵ x=3 

⑹ y=-4

⑹ y=-3x-11

⑶ x=-2 

⑷ y=1

078  ;2#;  

079  b, a, b

080  ⑴ ;2X;+;4Y;=1  ⑵ ;3X;-;2Y;=1  ⑶ ;3X;-;6Y;=-1

빠른 정답    011

081  3

k
k+3

  3 6 

082  ⑴ 1 ;3@;  2 
083  3
084  ⑴ 1 (3, -1)  2 y=-2x+5 

⑵ 8 

⑶ 4

  ⑵ y=x+2  ⑶ y=;3@;x+;3*;  ⑷ y=;3&;x-4

085  ⑴ 3, 3, ;2#; 

⑵ ;3@; 

⑶ 2

087  풀이 참조

089  ②

⑶ 6 

⑵ y=-3x-5

⑷ y=2x+5

⑷ -2

 

 

 

⑵ ;3$; 

086  -;6!; 
088  풀이 참조 

090  ⑴ 2 

091  ⑴ y=2x+1 

  ⑶ y=;3@;x-;;¡3£;;  
092  0

  ⑸ 1
094  9

093  ⑴ -2 

⑵ -3 

⑶ ;4!; 

⑷ 6

095  ⑴ y=-;4!;x+;4!; 

⑵ y=2x+3

  ⑶ y=;3!;x+1  ⑷ y=-2x  ⑸ y=-3x+5
096  H(2, 1)
097  ⑴ ① -1  ② 3  ③ 0 또는 -2

  ⑵ ① -1  ② 2  ③ 0 또는 -3

  ⑶ ① 3   ② -5  ③ ;4%;

098  ⑴ 1 -2  2 -2 

⑵ a=;3!;, b=-1

  ⑶ a=4, b=-2
099  10
100  ⑴ 1 (4, 3)  2 -1  3 y=-x+7

  ⑵ y=-;2!;x+;2#; 

⑶ y=;2#;x+;2%;

  ⑷ y=;3!;x-1  ⑸ y=3x+3  ⑹ y=-3x 
101  0
102  ⑴ 1, -1, 1, -1  

⑵ (-5, 2)

  ⑶ (1, -2) 

 

⑷ (-7, 12)

⑵ x-y+1=0

103  ⑴ ;4#;, ;4#;, 3 
  ⑶ 4x+y-7=0

 

104  -;2&;
105  ⑴ 1, 1, 3, 1 
106  ⑴ 2x+y=0 
107  ⑴ 1 

 

 

  ⑸ 

3'2
2

 

⑵ 4 

⑹ 2'ß10

⑵ 'ß13

108  ⑴ ;5(; 
109  ⑴ 5 또는 -7  ⑵ 4 또는 -9  110  7
111  ⑴ -1, 5'2, 5'2, 5'2
  ⑵ y=-;4#;x+1 또는 y=-;4#;x-4
  ⑶ y=-x+'2 또는 y=-x-'2
  ⑷ y=;4#;x-;2!; 또는 y=;4#;x-3

012    정답과 풀이

⑵ 13x-26y-12=0

⑵ 3x+4y-14=0
⑶ 3'5 

⑷ 2

  ⑺ y=;3!;x

112  ⑴ -2, 2, 최소, 0, '2 
113  -6'2
114  ⑴ 2 

⑵ '5 

115  ⑴ -8, -8, 4, 4, 1, 1, ;5@; 
  ⑶ k=-2, d= '5
5

⑵ 2'2 

⑶ 

4'5
5

 

⑶ '5

⑷ 1

⑵ k=2, d='5

116  4
117  ⑴ 1 3'2  2 x+y-10=0  3 5'2  4 15
  ⑵ ;;¡2£;; 
118  ⑴ 8, 16, 2 

⑶ 18

 

 

⑵ x+y-1=0

⑵ x=;2!; 또는 y=;2#; 

  ⑶ 2x-y+5=0

119  ⑴ 2x-y+1, 2, y 

  ⑶ x-y+4=0 또는 x+y=0
120  x+y=0
121  ⑴ 2x-y, 2x-y, 2x-y, x-y=0

  ⑵ x+3y-1=0 또는 3x-y+3=0

  ⑶ x-2y+1=0 또는 2x+y+2=0

  ⑷ x-y+2=0 또는 x+y=0

  ⑸ x-7y-1=0 또는 7x+y+3=0

  ⑹ x+7y-20=0 또는 7x-y+10=0
122  10 
124  y='3x+2 
126  x=-3 

 

 

 

123  y=2x+4
125  y=-2x+8

127  ;2X;+;3Y;=1

129  2

131  y=x-1

133  y=-;2#;x+8
135  17
137  y=-2x-3
139  (-2, -6)
141  2x+y-3=0

143  ;3%; 또는 3

147  17 또는 -9

149  8

128  ;2%;  

130  y=;2!;x+;2!;  

132  y=-2x+2  

134  a=3, b=-6 
136  12 
138  y=-x+4 
140  5x-y=0 

 

 

 

 

 

142  'ß10 
144  y=-2x-3 또는 y=-2x+7
145  y=3x+6 또는 y=3x-14
146  'ß17 
148  ;2#;  
150  3x-y+2=0
151  x-y+7=0 또는 x+y-1=0
152  x+y+1=0 또는 2x-2y+3=0

 

03  원의 방정식 

153  ⑴ C(0, 0), r=4 

  ⑶ C(0, -2), r=2 

  ⑸ C(3, 4), r=5 
  ⑺ C(-2, -3), r=2'3

176쪽~194쪽

⑵ C(-1, 0), r=1

⑷ C(-1, 2), r=3
⑹ C(1, -1), r='5

154  ⑴ x€+y€=25   

  ⑶ (x+2)€+y€=3 

⑵ (x-1)€+y€=4

⑷ x€+(y+1)€=2

  ⑸ (x-1)€+(y-2)€=9 

⑹ (x+2)€+(y-3)€=16

  ⑶ (x-1)€+(y-3)€=5 

⑷ (x+1)€+(y-3)€=10

⑵ x€+(y+3)€=5

  ⑺ (x+1)€+(y+2)€=25
155  -4
156  ⑴ (x-1)€+y€=2 

  ⑸ (x-2)€+(y+4)€=10
157  ⑴ (x-2)€+(y-1)€=2 

  ⑶ (x-2)€+(y-4)€=9 
158  17
159  ⑴ C(-3, 0), r=4 

  ⑶ C(-2, 1), r=1 
160  '5
161  ⑴ >, < 
162  4
163  ⑴ x€+y€-5x+4y=0 

  ⑶ x€+y€-x-y-2=0 
164  6
165  ⑴ (x-2)€+(y-3)€=9 

  ⑶ (x+4)€+(y+2)€=4
166  ⑴ '3 
167  ⑴ (x-1)€+(y+1)€=1 

⑵ '2 

⑵ a>-3 

⑶ a<5 

⑷ a<6

⑵ (x-2)€+(y+1)€=10

⑷ (x+1)€+y€=20

⑵ C(0, -2), r=2

⑷ C(-2, 3), r=4

⑵ x€+y€-3x-y=0

⑷ x€+y€-8x-8y+7=0

⑵ (x+3)€+(y-2)€=4

⑶ 6

⑵ (x-3)€+(y+2)€=9

⑵ 1 

⑶ '2

  ⑶ (x+2)€+(y-1)€=4
168  ⑴ '5 
169  8 
170  ⑴ (x+3)€+(y-3)€=9 
171  ⑴ 4a€+b-8, 1, 8 
172  ⑴ 1 (x-r)€+(y-r)€=r€  2 (1, 1), (5, 5)  3 4'2
  ⑵ 8'2 
173  10p

⑶ 12'2

⑵ (x+1)€+(y+1)€=1

 

⑵ a=3, b=1  ⑶ a=2, b=7

174  ⑴ -;3!;, -;3!;, 3, 4 
  ⑶ x€+y€-6x-12y+32=0  ⑷ x€+y€-y-20=0
175  ⑴ 2x+2y-1=0 

⑵ 4x-4y-1=0

⑵ x€+y€-9x-12y-10=0

  ⑶ 8x-y=0

176  ⑴ y=-4x+2  

177  ⑴ 1 4x+3y-10=0 

  ⑵ 2'3 
178  ⑴ k=-6 또는 k=-14 

 

  ⑶ k=-11 또는 k=5
179  4
180  ⑴ >, 서로 다른 두 점에서 

⑵ y=-;3!;x+:¡3¡:

 2 2  3 2'6
6'5
5   

⑶ 

⑵ k=-4 또는 k=4

⑵ 만나지 않는다. 

⑷ 서로 다른 두 점에서 만난다. 

  ⑶ 한 점에서 만난다.  
181  ⑴ 1 5x€+4kx+k€-5=0  2 -5<k<5
  ⑵ -3'2<k<3'2 
182  m<;4#;
183  ⑴ k=\'2  ⑵ k=\2'ß10  ⑶ k=1 또는 k=5
184  ⑴ k<-2 또는 k>2 

⑶ 0<k<10

⑵ k<-2'5  또는 k>2'5

  ⑶ k<0 또는 k>4

|k|
5

185  ⑴ 1 

  2 -10<k<10  ⑵ 0<k<4  ⑶ -9<k<1

186  5
187  ⑴ k=\2'2  ⑵ k=\10  ⑶ k=2 또는 k=-8

188  ⑴ k<-2 또는 k>2 

⑵ k<-15 또는 k>15

⑵ 

2'ß55
5

 

⑵ ;4#; 

⑵ 5 

⑶ 2'ß15

⑶ 1

⑶ 'ß13

⑵ 최댓값： '2+1, 최솟값： '2-1 

  ⑶ k<-3 또는 k>1

189  ⑴ 1 '5 

 2 2'5  3 4'5 

190  ⑴ 1 '2  2 '2  3 2 
191 11 
192 ⑴ 1 5  2 4 
193 2'ß14
194 ⑴ 1, 1, 1 

 

  ⑶ 최댓값： :¡5¡:, 최솟값： ;5!;
195 1
196 r, r, \r"ƒm€+1, mx\r"ƒm€+1
197 ⑴ '5, 5 
 
  ⑶ y=-x\3'2 
198 ⑴ '2, 2, -1, -x-1 
  ⑶ y=-2x+9 또는 y=-2x-1
199 y=2x-2'5
200 ⑴ 1, 3, 3 

 

  ⑶ x=-2 

 

  ⑸ 2x+y-5=0
201 7

202 ⑴ ;2!;, ;2!;, ;2!;, -1, ;2!;, 1 
203 25

⑵ y=3x\2'ß10
⑷ y='3 x\2
⑵ y=x+3 또는 y=x-5 

⑵ x-y-4=0

⑷ x+y-2=0

⑵ y=3x+8  ⑶ y=-2x+5

 

204 ⑴ 1 mx-y-3m-1=0  2 m=0 또는 m=-;4#; 
 3 y=-1 또는 3x+4y-5=0 
 
  ⑵ 1 x¡x+y¡y=4  2 x¡=-'3, y¡=1
 3 '3x+y-4=0 또는 '3x-y+4=0
 

 

  ⑶ x+7y+10=0 또는 x-y+2=0

  ⑷ y=-2 또는 4x-3y-10=0 

  ⑸ y=5 또는 12x-5y+1=0 

  ⑹ x-2y-2=0 또는 2x+y+1=0
205 4

206 ⑴ 2, 4, 2, 4, 1, 2, 2 

⑵ {x+;2#;}

€+(y-1)€=3 

  ⑶ (x-3)€+y€=;4(;
207 (x-3)€+(y-2)€=1
208 ⑴ 2, 4, 4, 6, 27   

⑵ x€+y€-8y=0

 

 

210 C(2, -3), r=3
212 C(-3, 1), r=4
214 -3<a<3
216 (x-3)€+(y-2)€=8
218 (x-3)€+(y-2)€=4

  ⑶ x€+y€-10x-10y+30=0
209 8p 
211 C(1, 0), r=2 
213 a<-2 또는 a>2 
215 (x-1)€+(y+1)€=29 
217 x€+y€+3x-y=0 
219 (x-1)€+(y-1)€=1 또는 (x-5)€+(y-5)€=25
220 3 
222 a=3, b=4 
224 'ß14
2

221 2
223 x€+y€-8x+26y-44=0

 

 

 

 

225 -9-2'3
227 k<0
229 k<0 또는 k>8

226 -'ß10<k<'ß10  
228 -5'5 
 
230 8'5
 
5
232 2 
234 최댓값： 6'2+6, 최솟값： 6'2-6

 

 

231 3'2
233 5

빠른 정답    013

236 y='2x-2'3
238 x-'2y-3=0

235 최댓값： :¡5•:, 최솟값： ;5*; 
237 y=2x-4-3'5 
239 y=-;3!;x+3
240 2x-11y+25=0 또는 2x-y-5=0
241 y=2 또는 4x-3y+6=0 
243 x€+y€-10x+21=0

242 x€+(y+1)€=1

 ⑤ x=-(y+2)€+2

  ⑶ ① (x+2)€+(y+1)€=1  ② (x-2)€+(y-1)€=1 

 ③ (x-2)€+(y+1)€=1  ④ (x-1)€+(y+2)€=1 

 ⑤ (x+1)€+(y-2)€=1

  ⑷ ① y=-(x-2)€+2 

② y=(x+2)€-2

 ③ y=-(x+2)€+2 

④ x=(y-2)€-2

264 ⑴ x-2y-3=0 

⑵ x+2y-3=0 

  ⑶ (x-1)€+(y-2)€=1 

⑷ (x-3)€+(y-2)€=4

 

 

 

 

 

 

 

 

265 ;8!;

266 ⑴ x-3y-9=0 

⑵ x-3y-5=0

  ⑶ 다르다.

267 ⑴ (x+2)€+(y+4)€=2 

⑵ (x-1)€+(y-4)€=6

268 ⑴ a=3, b=-6 

  ⑶ a=-4, b=6 

⑵ a=1, b=-2

⑷ a=3, b=2

270 ⑴ 1 y=mx-2m  2 y=-mx+2m-2  3 y=-4x+8

  ⑵ y=-x+2   

271 -4 

273 풀이 참조 

 

 

275 ⑴ 6 

276 1

⑶ y=x-5

272 풀이 참조

274 풀이 참조

⑵ 3 

⑶ 2

277 ⑴ k=1 또는 k=-3 

⑵ k=3 또는 k=-7

  ⑶ k=:™4∞: 또는 k=-;4!;

278 ;5*;

279 ⑴ 3, -2, 4, -9, 4, -9 

⑵ (5, 2) 

⑶ (2, -5)

280 (x-3)€+(y+8)€=4

281 ⑴ 1 2a-b=-4  2 a+2b=3  3 (-1, 2) 

  ⑵ (0, -1) 

 

⑶ (2, -5)

282 ⑴   1 중심의 좌표: (2, -3), 반지름의 길이：2  2 (-1, 0) 

 

3 (x+1)€+y€=4 
€+{y+;5@;}

  ⑵ {x+;5!;}

€=4 

283 2
284 ⑴ 1 (1, -2)  2 2'ß10 
285 ⑴ 4'2 
⑵ 2'ß10 

286 {-;4!;, 0}

⑶ (x-5)€+(y+3)€=6

⑵ 2'5 
⑶ 2'ß17

⑶ 'ß10

287 ⑴ 1 A'(3, -2), B'(-1, 4)  2 2'ß13
⑶ 10
  ⑵ 10 
 

288 20  

290 a=5, b=-5 

 

292 a=-3, b=-2  
294 4'5 
296 1 

 

 

298 y=2x+6 

300 4 

302 a=2, b=-1 

304 a=2, b=5 
306 'ß58

 

 

 

 

289 a=-3, b=-2

291 a=3, b=-2 

293 (-3, -2)

295 11

299 8

297 (x+3)€+(y-3)€=1

301 a=3 또는 a=-1

303 a=2, b=0
305 'ß26

04  도형의 이동 

195쪽~208쪽

269 2

⑵ (1, -3) 

244 ⑴ (6, 0) 
245 ⑴ (1, 4) 
246 ⑴ 1 m=-4, n=-2  2 (-3, -2)

⑵ (-2, 8) 

⑶ (5, 1) 

⑶ (4, -5) 

⑷ (-1, -4)

⑷ (-5, 2)

⑶ (5, 0) 

⑷ (-4, 5) 

  ⑵ (0, -1) 
247 (1, 6) 
248 ⑴ 3x+y-1=0 

  ⑶ 2x-y+9=0 
249 ⑴ x+2y-7=0 

⑵ x+y-5=0

⑷ y=3x+5

⑵ x-2y+7=0

  ⑶ 3x+4y-8=0 
250 ⑴ 1 m=3, n=-2  2 4x-3y-36=0 

⑷ y=3x+10

  ⑵ 2x+5y-8=0 

⑶ 3x-y+7=0

  ⑷ y=2x-3 
251 25
252 ⑴ (x+2)€+(y-2)€=2 

  ⑶ x€+(y-1)€=5 
253 ⑴ (x-5)€+(y+3)€=6 

⑵ x€+y€=4 

⑷ y=x€+1

⑵ (x-2)€+(y+2)€=9 

  ⑶ (x-3)€+(y+8)€=4 
⑷ y=2x€-10
254 ⑴ a=1, b=2  ⑵ a=1, b=1  ⑶ a=5, b=5 
255 ⑴ a=3, b=-8 
256 -1
257 ⑴ x축: (4, -1), y축: (-4, 1), 원점: (-4, -1)

⑵ a=-2, b=-5

 

 

 직선 y=x: (1, 4), 직선 y=-x: (-1, -4)  

  ⑵ x축: (2, 5), y축: (-2, -5), 원점: (-2, 5)

 

 직선 y=x: (-5, 2), 직선 y=-x: (5, -2) 

 
258 ⑴ (-2, 3) 
259 ⑴ 2'ß13 
260 4
261 ⑴ ① x+2y+1=0  ② x+2y-1=0  ③ x-2y-1=0 

⑵ (-6, -7)  ⑶ (2, 1)
⑵ 2'5 

⑷ 7'2

⑶ 4 

  

 ④ 2x-y-1=0  ⑤ 2x-y+1=0

  ⑵ ① 2x-y-5=0  ② 2x-y+5=0  ③ 2x+y+5=0 

 ④ x+2y-5=0  ⑤ x+2y+5=0

 
262 10
263 ⑴ ① (x+3)€+(y-1)€=9  ② (x-3)€+(y+1)€=9 

 ③ (x-3)€+(y-1)€=9  ④ (x+1)€+(y+3)€=9

 ⑤ (x-1)€+(y-3)€=9

  ⑵ ① (x-1)€+(y+1)€=1  ② (x+1)€+(y-1)€=1 

 ③ (x+1)€+(y+1)€=1  ④ (x-1)€+(y-1)€=1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 ⑤ (x+1)€+(y+1)€=1

014    정답과 풀이

  ⑶ x+4y+1-(y+3x-2) =x+4y+1-y-3x+2

 ⑵ 2(A-2B)-3(A-2B)

=-2x+3y+3

 =-A+2B

 ⑷ (2x-y+3)-3(x-2y+1) =2x-y+3-3x+6y-3

 =-(-x€-2xy+y€)+2(3x€+5xy-y€)

=-x+5y

 =x€+2xy-y€+6x€+10xy-2y€

1
다항식

01 다항식의 연산 

6쪽~22쪽

001  ⑴ 2x€-x+1
 ⑵ 3x‹+x€-5x+2

 ⑶ -x€+(3y+1)x+2y€-5

002  ⑴ 2+x-3x€
 ⑵ 4-5x+2x€+x‹

 ⑶ -2y-yx+3x€+x‹

003  ⑴ -2x-5
 ⑵ 3x-y+1























 ⑸ 4x+5-{x-3(x-2)-4}

 =4x+5-(x-3x+6-4)

 =4x+5-(-2x+2)

 =4x+5+2x-2

 =6x+3

 ⑹ 3-a+2“a-4-;2!;{a-4+3(a-2)}‘

 =3-a+2[a-4-;2!;(a-4+3a-6)]

 =3-a+2[a-4-;2!;(4a-10)]
 =3-a+2(a-4-2a+5)

 =3-a+2(-a+1)

 =3-a-2a+2=-3a+5

004  ⑴ 3x€+2x+6
 ⑵ 5x‹-3x€+3x+3

 ⑶ (2x€+x+6)-(x€-x-2) =2x€+x+6-x€+x+2

=x€+2x+8

 ⑷ (x‹-2x€-5)-(-3x‹-4x€+x-7)

 =x‹-2x€-5+3x‹+4x€-x+7

 =4x‹+2x€-x+2

005  ⑴ A-2B =(x€+2x-3)-2(2x€-x+1)


=x€+2x-3-4x€+2x-2



=-3x€+4x-5

 ⑵ A+2(A-B) =3A-2B

 ⑶ 3A+2(B-A) =A+2B





=3(x€+2x-3)-2(2x€-x+1)  

=3x€+6x-9-4x€+2x-2

=-x€+8x-11

=(x€+2x-3)+2(2x€-x+1)  

=x€+2x-3+4x€-2x+2

=5x€-1





 ⑷ (A+2B)-(3A+3B) =-2A-B



=-2(x€+2x-3)-(2x€-x+1)

=-2x€-4x+6-2x€+x-1

=-4x€-3x+5

006  ⑴ B-(2A+4B)
=-2A-3B





=-2(-x€-2xy+y€)-3(3x€+5xy-y€)



=2x€+4xy-2y€-9x€-15xy+3y€



=-7x€-11xy+y€



































 =7x€+12xy-3y€

 ⑶ -(4B+A)+2(A+3B)

 =A+2B

 =(-x€-2xy+y€)+2(3x€+5xy-y€)

 =-x€-2xy+y€+6x€+10xy-2y€

 =5x€+8xy-y€

 =(x€+3x-1)+(-3x€-5x+2)-(-x€+2x-7)

 =(x€+3x-1)+(-3x€-5x+2)+(x€-2x+7)

 =(x€+3x-1)-2(-3x€-5x+2)+3(-x€+2x-7)

 =(x€+3x-1)+(6x€+10x-4)+(-3x€+6x-21)

007  ⑴ A+B-C


 =-x€-4x+8

 ⑵ A-2B+3C

 =4x€+19x-26

 ⑶ 2B-(A-C)

 =-A+2B+C

 =-(x€+3x-1)+2(-3x€-5x+2)+(-x€+2x-7)

 =(-x€-3x+1)+(-6x€-10x+4)+(-x€+2x-7)

 =-8x€-11x-2

008  4A-3(A+B) =A-3B  

=(2x€-xy+y€)-3(x€-xy-y€)  

=2x€-xy+y€-3x€+3xy+3y€

=-x€+2xy+4y€

1. 다항식    015

=(-x€+2xy+6y€)+(4x€-5xy+3y€)

 ⑷ (x‹+6x€y+12xy€+8y‹)(x-y)의 전개식에서

009  ⑴ -2x€+2xy-4y€, -x€+xy-2y€
 ⑵ A-3X=-B에서

 3X=A+B





=3x€-3xy+9y€

 ∴ X=;3!;(3x€-3xy+9y€)=x€-xy+3y€

 ⑶ X+3(A-B)=2A에서

 X=2A-3(A-B)

 =-A+3B

 =-(3x€+2xy-4y€)+3(x€-xy+y€)

 =-3x€-2xy+4y€+3x€-3xy+3y€

 =-5xy+7y€

010  A-2(X+B)=-3A에서


A-2X-2B=-3A, 2X=4A-2B

 ∴ X =2A-B



=2(x€-xy-2y€)-(x€-xy-y€)

=2x€-2xy-4y€-x€+xy+y€





=x€-xy-3y€

011  ⑴ (x€)›_(x€)‹=x°_xfl=x⁄›
 ⑵ 18xfiy⁄‚

 ⑶ (-3xy)_(2xy)‹=(-3xy)_8x‹y‹=-24x›y›

 ⑷ 5xy‹_(-2xy)€=5xy‹_4x€y€=20x‹yfi

 ⑸ (-a€b)›_2a‹b€=a°b›_2a‹b€=2a⁄⁄bfl

 ⑹ (-2ab€)‹_(3a€b›)€=(-8a‹bfl)_9a›b°=-72a‡b⁄›

€
 ⑺ (2a€b)‹_{-;3!;a‹b}

=8aflb‹_{;9!;aflb€}=;9*;a⁄€bfi

012  ⑴ a€b€-2a€b‹+ab›
 ⑵ (a+2b)(2a-b) =2a€-ab+4ab-2b€

=2a€+3ab-2b€

 ⑶ (3a+2b)(a-3ab+2b)

 =3a€-9a€b+6ab+2ab-6ab€+4b€

 =3a€-9a€b+8ab-6ab€+4b€

 ⑶ (3x€-x+2)€=(3x€-x+2)(3x€-x+2)의 전개식에서

 x€항은 6x€+x€+6x€=13x€

 따라서 x€의 계수는 13

 x‹y항은 -x‹y+6x‹y=5x‹y

 따라서 x‹y의 계수는 5

014  (x‹+ax€+3)(x€+x+b)의 전개식에서


x€항은 abx€+3x€=(ab+3)x€

 이때, x€의 계수가 0이므로 ab+3=0

 …… ㉠

 또, x‹항은 bx‹+ax‹=(a+b)x‹

x‹의 계수가 0이므로 a+b=0

∴  b=-a

 이를 ㉠에 대입하여 정리하면

a€=3

∴  a='3 (∵ a>0)

b=-a에서 b=-'3

015  ⑴ 4x€+12x+9

 ⑵ 4x€+xy+;1¡6;y€
 ⑶ 4x€-12xy+9y€

 ⑷ x€-x+;4!;
 ⑸ x€-4y€

 ⑹ (3x+y)(-3x+y) =-(3x+y)(3x-y)





=-(9x€-y€)



=-9x€+y€

=x€+2xy-8y€

=4x€+5xy-6y€

 ⑺ (x-2y)(x+4y) =x€+(-2+4)xy-8y€

 ⑻ (4x-3y)(x+2y) =4x€+{4*2+(-3)*1}xy-6y€

016  ⑴ (x+2)‹ =x‹+3*x€*2+3*x*2€+2‹



=x‹+6x€+12x+8

 ⑵ (3x+1)‹ =(3x)‹+3*(3x)€*1+3*3x*1€+1‹



=27x‹+27x€+9x+1

 ⑷ (2x€-x+1)(3x-1) =6x‹-2x€-3x€+x+3x-1

 ⑶ (2x+3y)‹ =(2x)‹+3*(2x)€*3y+3*2x*(3y)€+(3y)‹

=6x‹-5x€+4x-1

=8x‹+36x€y+54xy€+27y‹

 ⑸ (2x€+xy-y€)(x-2y)

 =2x‹-4x€y+x€y-2xy€-xy€+2y‹

 =2x‹-3x€y-3xy€+2y‹

 ⑷ {3x+;3!;y}

‹

 =(3x)‹+3*(3x)€*;3!;y+3*3x*{;3!;y}

+{;3!;y}

€

‹

 ⑹ (x€+3)(x€-2x-4) =x›-2x‹-4x€+3x€-6x-12

=x›-2x‹-x€-6x-12

 =27x‹+9x€y+xy€+;2¡7;y‹

013  ⑴ 1
 ⑵ (x-2y)(3x€-4xy+y€)의 전개식에서

 x€y항은 -4x€y-6x€y=-10x€y

 따라서 x€y의 계수는 -10

016    정답과 풀이

 ⑸ (x-4)‹ =x‹+3*x€*(-4)+3*x*(-4)€+(-4)‹

=x‹-12x€+48x-64

 ⑹ (3x-2)‹

 =(3x)‹+3*(3x)€*(-2)+3*3x*(-2)€+(-2)‹

 =27x‹-54x€+36x-8





















































  ⑺ (x-2y)‹ =x‹+3*x€*(-2y)+3*x*(-2y)€+(-2y)‹

=x‹-6x€y+12xy€-8y‹

 ⑻ (3x-y)‹

 =(3x)‹+3*(3x)€*(-y)+3*3x*(-y)€+(-y)‹

 =27x‹-27x€y+9xy€-y‹

017  ⑴ 1, 1, 1
 ⑵ (3x+1)(9x€-3x+1) =(3x+1){(3x)€-3x*1+1€}

=(3x)‹+1‹



=27x‹+1

 ⑶ (2a+3b)(4a€-6ab+9b€)

 =(2a+3b){(2a)€-2a*3b+(3b)€}

 =(2a)‹+(3b)‹=8a‹+27b‹

 ⑷ 2, 2, 8

 ⑸ (2x-1)(4x€+2x+1)=(2x)‹-1‹=8x‹-1

 ⑹ (2a-b)(4a€+2ab+b€)=(2a)‹-b‹=8a‹-b‹

018  ③ (2x-3y)‹


 =(2x)‹+3*(2x)€*(-3y)+3*2x*(-3y)€+(-3y)‹



 =8x‹-36x€y+54xy€-27y‹

 ④ (x+4y)(x€-4xy+16y€)=x‹+(4y)‹=x‹+64y‹

 ⑤ (x-2y)(x€+2xy+4y€)=x‹-(2y)‹=x‹-8y‹

 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

019  ⑴ 2, 2ab, 2, 2
 ⑵ 3c, 3c, 3c, 9c€, 12bc, 6ca

 ⑶ (a+b-c)€ ={a+b+(-c)}€

=a€+b€+c€+2ab-2bc-2ca

 ⑷ (x+y-2z)€ ={x+y+(-2z)}€

=x€+y€+4z€+2xy-4yz-4zx

 ⑸ (3x-2y+z)€ ={3x+(-2y)+z}€





=9x€+4y€+z€-12xy-4yz+6zx

 ⑹ (x-3y-2z)€ ={x+(-3y)+(-2z)}€

=x€+9y€+4z€-6xy+12yz-4zx

020  ⑴ abc, ab€, b€c, abc, bc€
 ⑵ 2c, 2c, 2c, 6abc

 ⑶ (a+b-c)(a€+b€+c€-ab+bc+ca)

 =a‹+b‹+(-c)‹-3*a*b*(-c)

 =a‹+b‹-c‹+3abc

 ⑷ (x+y+2)(x€+y€-xy-2x-2y+4)

 =(x+y+2)(x€+y€+2€-xy-2y-2x)

 =x‹+y‹+2‹-3*x*y*2

 =x‹+y‹-6xy+8

 ⑸ (x+y-1)(x€+y€-xy+x+y+1)

 =x‹+y‹+(-1)‹-3*x*y*(-1)

 =x‹+y‹+3xy-1























021  ⑴ 2x‹, x€, 2x‹, 4x€
 ⑵ (a-b+c)(a-b-c)에서 a-b=t로 치환하면



 (a-b+c)(a-b-c) =(t+c)(t-c)





=t€-c€

=(a-b)€-c€

=a€+b€-c€-2ab

 ⑶ (-x-y+3)(x+y+3)=-(x+y-3)(x+y+3)에서

x+y=t로 치환하면



 -(x+y-3)(x+y+3) =-(t-3)(t+3)

022  (x€+2x+4)(x€-2x+4)에서 x€+4=t로 치환하면

(x€+2x+4)(x€-2x+4) =(t+2x)(t-2x)

=-t€+9



=-(x+y)€+9

=-(x€+2xy+y€)+9  

=-x€-2xy-y€+9

=t€-4x€



=(x€+4)€-4x€

=(x›+8x€+16)-4x€

=x›+4x€+16



































023  ⑴ 10, 25, 10, 35
 ⑵ x(x-1)(x+3)(x-4)

 =(x€-x)(x€-x-12)

 =t(t-12) ← x€-x=t로 치환

 =t€-12t

 =(x€-x)€-12(x€-x) ← t=x€-x를 대입

 =x›-2x‹+x€-12x€+12x

 =x›-2x‹-11x€+12x

 ⑶ (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)

 =(x€+x-2)(x€+x-12)

 =(t-2)(t-12) ← x€+x=t로 치환

 =t€-14t+24

 =(x€+x)€-14(x€+x)+24 ← t=x€+x를 대입

 =x›+2x‹+x€-14x€-14x+24

 =x›+2x‹-13x€-14x+24

024  (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
 ={(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-3)}

 =(x€-5x+4)(x€-5x+6)

 이때, x€-5x+1=0에서 x€-5x=-1이므로



(주어진 식) =(-1+4)(-1+6)

=15

1. 다항식    017

025  ⑴ a€+b€ =(a+b)€-2ab=2€-2*(-1)=6
 (a-b)€ =(a+b)€-4ab=2€-4*(-1)=8


031  (a+b)€=(a-b)€+4ab이므로


12=2€+4ab

∴  ab=2

 ⑵ a€+b€ =(a+b)€-2ab=(-3)€-2*2=5

 ∴ a‹-b‹ =(a-b)‹+3ab(a-b)=2‹+3*2*2=20























 (a-b)€ =(a+b)€-4ab=(-3)€-4*2=1

 ⑶ a€+b€ =(a-b)€+2ab=5€+2*2=29

 (a+b)€ =(a-b)€+4ab=5€+4*2=33

 ⑷ a€+b€ =(a-b)€+2ab=(-2)€+2*3=10

 (a+b)€ =(a-b)€+4ab=(-2)€+4*3=16

026  ⑴ a+b, 4, 40
 ⑵ a‹+b‹ =(a+b)‹-3ab(a+b)

=5‹-3*3*5=80

 ⑶ a‹+b‹ =(a+b)‹-3ab(a+b)

=1‹-3*(-2)*1=7

027  ⑴ 2, 2, 2, x+y, 3, 9
 ⑵ x€+y€=(x+y)€-2xy이므로

 6=2€-2xy

∴  xy=-1

 ∴ x‹+y‹ =(x+y)‹-3xy(x+y)

=2‹-3*(-1)*2=14

 ⑶ x€+y€=(x+y)€-2xy이므로

 21=5€-2xy

∴  xy=2

 ∴ x‹+y‹ =(x+y)‹-3xy(x+y)

=5‹-3*2*5=95

028  (x-y)€=(x+y)€-4xy이므로

∴  xy=-2

9=(-1)€-4xy

 ∴ x‹+y‹ =(x+y)‹-3xy(x+y)

=(-1)‹-3*(-2)*(-1)=-7

029  ⑴ a-b, 3, 36
 ⑵ a‹-b‹ =(a-b)‹+3ab(a-b)

=(-1)‹+3*(-5)*(-1)=14

 ⑶ a‹-b‹ =(a-b)‹+3ab(a-b)

=(-4)‹+3*3*(-4)  

=-100

030  ⑴ 2, 2, 1, x-y, -3, -36
 ⑵ x€+y€=(x-y)€+2xy이므로

 6=(-2)€+2xy

∴  xy=1

 ∴ x‹-y‹ =(x-y)‹+3xy(x-y)

=(-2)‹+3*1*(-2)=-14

 ⑶ x€+y€=(x-y)€+2xy이므로

 14=(-4)€+2xy

∴  xy=-1

 ∴ x‹-y‹ =(x-y)‹+3xy(x-y)

=(-4)‹+3*(-1)*(-4)=-52

018    정답과 풀이











032  ⑴ 1, x+y, 1, 52
 ⑵ x+y=2'2, xy=-2이므로


 x‹+y‹ =(x+y)‹-3xy(x+y)

=(2'2 )‹-3*(-2)*2'2=28'2

 ⑶ x-y=2, xy=2이므로



 x‹-y‹ =(x-y)‹+3xy(x-y)

=2‹+3*2*2=20

 ⑷ x-y=2'2, xy=-1이므로


 x‹-y‹ =(x-y)‹+3xy(x-y)







=(2'2 )‹+3*(-1)*2'2=10'2

033  a€b€=4에서 ab=2 (∵ a>0, b>0)
 이때, a€+b€=8이고 a€+b€=(a+b)€-2ab이므로

8=(a+b)€-2*2, (a+b)€=12

 ∴ a+b=2'3 (∵ a>0, b>0)
 ∴ a‹+b‹ =(a+b)‹-3ab(a+b)

=(2'3 )‹-3*2*2'3=12'3

034  ⑴ a€+

1
a€

€

={a+;a!;}

-2=2€-2=2

 ⑵ {a-;a!;}

={a+;a!;}

-4=3€-4=5

 ⑶ {a-;a!;}

={a+;a!;}

-4=(-5)€-4=21

 ⑷ a€+

+2=(-3)€+2=11

1
a€

€

={a-;a!;}

 ⑸ {a+;a!;}

={a-;a!;}

+4=1€+4=5

 ⑹ {a+;a!;}

={a-;a!;}

+4=4€+4=20

€

€

€

€

035  ⑴ 3, 3, 18
1
a‹

 ⑵ a‹+

 

 

={a+;a!;}

-3{a+;a!;}

=(-2)‹-3*(-2)=-2

 ⑶ a‹+

={a+;a!;}

-3{a+;a!;}

‹

={;2%;}

-3*;2%;=:§8∞:

 

 

 ⑷ 3, 3, 76

 ⑸ a‹-

={a-;a!;}

+3{a-;a!;}

 

 

 ⑹ a‹-

 

 

=3‹+3*3=36

1
a‹

‹
+3{a-;a!;}
={a-;a!;}
=(-5)‹+3*(-5)=-140

1
a‹

1
a‹

€

€

€

€

‹

‹

‹

036  a=x€+

={x-;x!;}

+2=('5 )€+2=7

1
x€

1
x‹

€

‹



b=x‹-

={x-;x!;}

+3{x-;x!;}

=('5 )‹+3*'5=8'5

 
 ∴ a+b=7+8'5

037  ⑴ ① 3, 3, 7

 ② x+;x!;=3이므로





x‹+

={x+;x!;}

-3{x+;x!;}

‹

1
x‹

 

 

=3‹-3*3=18

 ⑵ x+0이므로 x€-4x+1=0의 양변을 x로 나누면

 x-4+;x!;=0

∴  x+;x!;=4

 ① x€+

-2=4€-2=14

={x+;x!;}

€

 ② x‹+

‹
={x+;x!;}

-3{x+;x!;}

 

 

=4‹-3*4=52

 ⑶ x+0이므로 x€-5x+1=0의 양변을 x로 나누면

 x-5+;x!;=0

∴  x+;x!;=5

 ① x€+

-2=5€-2=23

={x+;x!;}

€

 ② x‹+

‹
={x+;x!;}

-3{x+;x!;}

 

 

=5‹-3*5=110

038  ⑴ ① 1, 1, 3

 ② x-;x!;=1이므로





x‹-

1
x‹

‹
={x-;x!;}

+3{x-;x!;}

 

 

=1‹+3*1=4

 x-3-;x!;=0

∴  x-;x!;=3

 ① x€+

+2=3€+2=11

={x-;x!;}

€

 ② x‹-

‹
={x-;x!;}

+3{x-;x!;}

 

 

=3‹+3*3=36

 ⑶ x+0이므로 x€-2x-1=0의 양변을 x로 나누면

 x-2-;x!;=0

∴  x-;x!;=2

 ① x€+

={x-;x!;}

€

+2=2€+2=6

 ② x‹-

 

 

‹
={x-;x!;}
=2‹+3*2=14

+3{x-;x!;}

1
x€

1
x‹

1
x€

1
x‹

1
x€

1
x‹

1
x€

1
x‹

































039  x+0이므로 x€+x-1=0의 양변을 x로 나누면

x+1-;x!;=0

∴  x-;x!;=-1

 ∴ x‹+2x€+3x-;x#;+

2
x€

-

1
x‹

={x‹-

1
x‹ }+2{x€+

1
x€ }+3{x-;x!;}

=[{x-;x!;}

+3{x-;x!;}]+2[{x-;x!;}

+2]+3{x-;x!;}

‹

€

={(-1)‹+3*(-1)}+2{(-1)€+2}+3*(-1)

=-4+6-3=-1

040  ⑴ ab+bc+ca, 2, 5
 ⑵ a€+b€+c€ =(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)

 ⑶ a€+b€+c€ =(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)

=3€-2*(-1)=11

=(-2)€-2*(-1)=6

 ⑷ a€+b€+c€ =(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)

 ⑸ a€+b€+c€ =(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)

=2€-2*(-2)=8

=('6 )€-2*2=2









041  ⑴ ① a€+b€+c€=(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)에서


6=2€-2(ab+bc+ca)

∴  ab+bc+ca=-1





 ⑵ ① a€+b€+c€=(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)에서



11=5€-2(ab+bc+ca)

∴  ab+bc+ca=7

 ② -1, 8

 ② a‹+b‹+c‹

=(a+b+c)(a€+b€+c€-ab-bc-ca)+3abc

=5(11-7)+3*4=32

 ⑶ ① a€+b€+c€ =(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)



=3€-2*2=5

=(a+b+c)(a€+b€+c€-ab-bc-ca)+3abc

=3(5-2)+3*(-3)=0

 ⑷ ① a€+b€+c€ =(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)



=4€-2*1=14

 ② a‹+b‹+c‹

=(a+b+c)(a€+b€+c€-ab-bc-ca)+3abc

=4(14-1)+3*(-6)=34



































































042  a€+b€+c€ =(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)
=2€-2*(-3)=10

 ∴ a‹+b‹+c‹-3abc =(a+b+c)(a€+b€+c€-ab-bc-ca)

=2{10-(-3)}=26

1. 다항식    019

 ⑵ x+0이므로 x€-3x-1=0의 양변을 x로 나누면

 ② a‹+b‹+c‹

  ⑶

x€+4x +3
x-1œ∑x‹+3x€- x+2
† x‹- x€

4x€- x+2
4x€-4x

3x+2
3x-3
5

 ⑷

2x€+ x +3
x-2œ∑2x‹-3x€+ x-3
† 2x‹-4x€

x€+ x-3
x€-2x

3x-3
3x-6
3



 ∴ x‹+3x€-x+2=(x-1)(x€+4x+3)+5



 ∴ 2x‹-3x€+x-3=(x-2)(2x€+x+3)+3

047  ⑴ 1, -2x€-x-2, -4x+4, 2x-1, -4x+4
 ⑵

x -1
x€-2x-1 œ∑x‹-3x€+ x-3

† x‹-2x€- x

-x€+2x-3
† -x€+2x+1
-4



 ∴ x‹-3x€+x-3=(x€-2x-1)(x-1)-4

 ⑶

2x +1
x€+1œ∑2x‹+x€- x+1
† 2x‹ +2x

x€-3x+1
+1
x€

-3x



 ∴ 2x‹+x€-x+1=(x€+1)(2x+1)-3x

043  ⑴ 200, 39951
 ⑵ 100=a로 놓으면

 101_(10000-100+1)-99

 =(a+1)(a€-a+1)-(a-1)

 =(a‹+1)-(a-1)=a‹-a+2

 =100‹-100+2=999902

 ⑶ 2›, 2°, 255



 ⑷ 주어진 식에 2{1-;2!;}=1을 곱하면
1
2› }

 2{1-;2!;} {1+;2!;} {1+
1
2€ } {1+
1
2› } {1+

1
2€ } {1+
1
2› }
1
2° }

1
2€ } {1+
1
2› } =2{1-

 =2{1-

 =2{1-







 =2*

2°-1
2°

=;1@2%8%;

044  주어진 식에 ;2!;(3-1)을 곱하면



;2!;(3-1)(3+1)(3€+1)(3›+1)(3°+1)

;2!;(3-1)=1

 =;2!;(3€-1)(3€+1)(3›+1)(3°+1)

 =;2!;(3›-1)(3›+1)(3°+1)
3⁄fl-1
2

 =;2!;(3°-1)(3°+1)=

 따라서 a=2, b=16이므로 a+b=18

045  ⑴ 4b€+2b
 ⑵ 2xy-5

 ⑶ -b€+2ab-3

 ⑷ 4ac-3b+8c€















046  ⑴ 2x-7, 10
 ⑵

-x +4
x+2œ∑-x€+2x+5
† -x€-2x

4x+5
4x+8
-3

020    정답과 풀이

 ⑸ (4xy+xy€-2x€y)/{-;3!;xy}

 =(4xy+xy€-2x€y)_{-;x£y;}=6x-3y-12

 ⑹ (a›b‹-3a€b›)/{-;2!;ab€}

€=(a›b‹-3a€b›)/{;4!;a€b›}

048

4x +5
x€-x+1œ∑4x‹+ x€-3x+3

† 4x‹-4x€+4x

5x€-7x+3
5x€-5x+5
-2x-2





=(a›b‹-3a€b›)_

4
a€b›

=

4a€
b

-12

 따라서 Q(x)=4x+5, R(x)=-2x-2이므로



Q(1)+R(1)=9-4=5

049  ⑴ x+2, 3x-1, 3x-1, 2x, 1
 ⑵ A =(x€+x-2)(2x+2)+2x+3



=2x‹+2x€+2x€+2x-4x-4+2x+3



=2x‹+4x€-1

 ⑶ A =(x€+1)(2x+1)-3x-2

=2x‹+x€+2x+1-3x-2



 ∴ -x€+2x+5=(x+2)(-x+4)-3

=2x‹+x€-x-1

†
†
†
†
†
†
†
050  x‹+3x€-8=A(x-1)-4에서

A(x-1)=x‹+3x€-4

 ∴ A =(x‹+3x€-4)/(x-1)



=x€+4x+4

x€+4x +4

x-1œ∑x‹+3x€
† x‹- x€
4x€
4x€-4x

-4

-4

4x-4
4x-4
0

051  ⑴ 2, 3, 4, -3, -2


 ∴ 몫：x€-3x-3, 나머지：-2

 ⑵  -3  2

3  -2

 -6
2  -3

5
9  -21
7  -16



 ∴ 몫：2x€-3x+7, 나머지：-16

 ⑶  1  5

5

4  -1  -2
8
9
5
6
8
9

1
6
7



 ∴ 몫：5x‹+9x€+8x+6, 나머지：7

052  ⑴ 1, 4, 1, 5


 ∴ 몫：2x€+2x+1, 나머지：5

 ⑵  -1  4  -1
 -4
4  -5

0
2
5  -5
5  -3



 ∴ 몫：4x€-5x+5, 나머지：-3

 ⑶  -2  3

0  -2

 -6
3  -6

0
12  -20
10  -20



 ∴ 몫：3x€-6x+10, 나머지：-20

 ⑷  2  1  -3

1  -1  -2

5
0
2  -2  -4
1

0
2
2



 ∴ 몫：x‹-x€-2x+1, 나머지：2

053  1  4

4

0
4
4

3  -6
4
7
7
1

 ∴ a+b+c+d=1+4+4+1=10

054  ⑴ x€-2, 3


 ∴ 몫：x€-2, 나머지：-3

 ⑵

;3!;  3

3

2  -1

1
3

1
0

1

0
1

 3x‹+2x€-x+1={x-;3!;}(3x€+3x)+1

=3{x-;3!;}(x€+x)+1
=(3x-1)(x€+x)+1

 ∴ 몫：x€+x, 나머지：1

 ⑶  -2  1

0  -2

 -2
1  -2

1
4  -4
2  -3

 x‹-2x+1=(x+2)(x€-2x+2)-3

=2(x+2){;2!;x€-x+1}-3

=(2x+4){;2!;x€-x+1}-3

 ∴ 몫：;2!;x€-x+1, 나머지：-3

055  ⑴ ;2!;, ;2!;

 ∴ 몫：;2!;Q(x), 나머지：R

 ⑵ f(x)={x+;3@;}Q(x)+R=;3!;(3x+2)Q(x)+R

 ⑶ f(x)={x-;2#;}Q(x)+R=;2!;(2x-3)Q(x)+R

=(3x+2)*;3!;Q(x)+R

 ∴ 몫：;3!;Q(x), 나머지：R

=(2x-3)*;2!;Q(x)+R

 ∴ 몫：;2!;Q(x), 나머지：R

056  f(x)=(5x-2)Q(x)+R=5{x-;5@;}Q(x)+R

={x-;5@;}*5Q(x)+R

 ∴ 몫：5Q(x), 나머지：R







































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23쪽~25쪽

057  2A+3B =2(4x‹-2x€+5)+3(2x‹-7x€+3x+1)


=8x‹-4x€+10+6x‹-21x€+9x+3

=14x‹-25x€+9x+13


058  3A-2(A-B) =3A-2A+2B

=A+2B  

=(4x‹-2x€+5)+2(2x‹-7x€+3x+1)

=4x‹-2x€+5+4x‹-14x€+6x+2

=8x‹-16x€+6x+7

1. 다항식    021

†
†
059  A-2B+C
 =(4x‹-2x€+5)-2(2x‹-7x€+3x+1)+(x‹-x€+2)

069  (x‹+3x€-x+4)(-2x€+2x-5)의 전개식에서


x‹항은 -5x‹+6x‹+2x‹=3x‹

 =4x‹-2x€+5-4x‹+14x€-6x-2+x‹-x€+2

 따라서 x‹의 계수는 3

070   (1+x+x€+x‹)€=(1+x+x€+x‹)(1+x+x€+x‹)의 전개

식에서 x€항은 x€+x€+x€=3x€

 따라서 x€의 계수는 3

071   (x-2y)‹(x+y)=(x‹-6x€y+12xy€-8y‹)(x+y)의 전개

 =x‹+11x€-6x+5

060  (A+C)-(B+2C)
 =A+C-B-2C

 =A-B-C

 =(4x‹-2x€+5)-(2x‹-7x€+3x+1)-(x‹-x€+2)

 =4x‹-2x€+5-2x‹+7x€-3x-1-x‹+x€-2

 =x‹+6x€-3x+2

061  3A+X=B에서
 X =-3A+B



=-3(x€+2xy-y€)+(x€-xy-5y€)  

=-3x€-6xy+3y€+x€-xy-5y€



=-2x€-7xy-2y€

062  3(X+2A)=B에서 3X+6A=B이므로


3X =-6A+B



=-6(x‹-3x€+x-4)+(3x€-9x+6)

=-6x‹+18x€-6x+24+3x€-9x+6





=-6x‹+21x€-15x+30

 ∴ X=-2x‹+7x€-5x+10

063  A+4(X+C)=2B에서 A+4X+4C=2B이므로


4X=-A+2B-4C

=-(2x‹-4x€+6)+2(5x‹-2x+1)-4(3x‹-4x€-3x)

=-2x‹+4x€-6+10x‹-4x+2-12x‹+16x€+12x







=-4x‹+20x€+8x-4

 ∴ X=-x‹+5x€+2x-1

065  27x‹-108x€y+144xy€-64y‹

066  (x-3)(x€+3x+9)=x‹-3‹=x‹-27

067  x€+4y€-4xy+2x-4y+1

068  (x+y+2z)(x€+y€+4z€-xy-2yz-2zx)
 =x‹+y‹+(2z)‹-3*x*y*2z

 =x‹+y‹+8z‹-6xyz

022    정답과 풀이









식에서 x‹y항은 x‹y-6x‹y=-5x‹y

 따라서 x‹y의 계수는 -5

072  a€+b€=(a+b)€-2ab에서


5=(-1)€-2ab

∴  ab=-2

a€+b€=(a-b)€+2ab에서

5=(a-b)€+2*(-2), (a-b)€=9

 ∴ a-b=3 (∵ a>b)

073  a-b=3, ab=-2이므로


a‹-b‹ =(a-b)‹+3ab(a-b)



=3‹+3*(-2)*3=9

074  a+b=-1, a-b=3, a€+b€=5이므로


a›-b› =(a€-b€)(a€+b€)  

=(a-b)(a+b)(a€+b€)  

=3*(-1)*5=-15

075  a+b=2'3, ab=2이므로


a‹+b‹ =(a+b)‹-3ab(a+b)

=(2'3 )‹-3*2*2'3=12'3

076  a-b=4, ab=1이므로


a‹-b‹ =(a-b)‹+3ab(a-b)





077  a+b=4, ab=1이므로

b€
a

+

=

a€
b

a‹+b‹
ab

=

(a+b)‹-3ab(a+b)
ab

=

4‹-3*1*4
1

=52

078  x€+

1
x€

={x-;x!;}

€+2=(-1)€+2=3

079  {x+;x!;}

€={x-;x!;}

€+4=(-1)€+4=5

 ∴ x+;x!;='5 (∵ 0<x<1)

064  (a-1)(a+1)(a€+1)(a›+1) =(a€-1)(a€+1)(a›+1)

=4‹+3*1*4=76

=(a›-1)(a›+1)



=a°-1







080  x‹-

1
x‹

={x-;x!;}

‹+3{x-;x!;}

=(-1)‹+3*(-1)=-4

081  x+0이므로 x€+3x+1=0의 양변을 x로 나누면

x+3+;x!;=0

∴  x+;x!;=-3

 ∴ x€+

1
x€

={x+;x!;}

€-2=(-3)€-2=7

082  x+;x!;=-3이므로

x‹+x€+x+;x!;+

1
x€

+

1
x‹

 ={x‹+

 =[{x+;x!;}

1
x‹ }+{x€+

1
x€ }+{x+;x!;}
‹-3{x+;x!;}]+[{x+;x!;}

€-2]+{x+;x!;}

 ={(-3)‹-3*(-3)}+{(-3)€-2}+(-3)

 =-18+7-3=-14

083  a€+b€+c€=(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)에서


12=2€-2(ab+bc+ca)

∴  ab+bc+ca=-4

084  a‹+b‹+c‹ =(a+b+c)(a€+b€+c€-ab-bc-ca)+3abc

=2{12-(-4)}+3*2=38

085  (ab+bc+ca)€=a€b€+b€c€+c€a€+2abc(a+b+c)에서


(-4)€=a€b€+b€c€+c€a€+2*2*2

 ∴ a€b€+b€c€+c€a€=8

086  주어진 식의 좌변에 ;3!;(2€-1)을 곱하면



;3!;(2€-1)(2€+1)(2›+1)(2°+1)

 =;3!;(2›-1)(2›+1)(2°+1)
2⁄fl-1
3

 =;3!;(2°-1)(2°+1)=
 ∴ m=3, n=16

087  주어진 식의 좌변에 ;8!;(9-1)을 곱하면



;8!;(9-1)(9+1)(9€+1)(9›+1)(9°+1)

 =;8!;(9€-1)(9€+1)(9›+1)(9°+1)

 =;8!;(9›-1)(9›+1)(9°+1)

 =;8!;(9°-1)(9°+1)

 =;8!;(9⁄fl-1)=
 ∴ m=8, n=32

3‹€-1
8

088  (모든 모서리의 길이의 합)=4(a+b+c)=40에서


a+b+c=10

 또, (겉넓이)=2(ab+bc+ca)=75이므로



a€+b€+c€ =(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)

=10€-75=25

 ∴ (대각선의 길이)="ƒa€+b€+c€='ß25=5

089

2x +5
x€-2x+3 œ∑2x‹+ x€- 3x+1

† 2x‹-4x€+ 6x

5x€- 9x+1
5x€-10x+15
x-14

 ∴ 몫：2x+5, 나머지：x-14

090

-2x +1
x€+1œ∑-2x‹+x€- x+1
† -2x‹ -2x

x€+ x+1
+1
x€

x

 ∴ 몫：-2x+1, 나머지：x

091  2  2  -5  -3

2
4  -2  -10

2  -1  -5  -8

 ∴ 몫：2x€-x-5, 나머지：-8

092  -1  1  -6
 -1
1  -7

0
3
7  -7
7  -4

 ∴ 몫：x€-7x+7, 나머지：-4

093

;2!;  2  -7

5  -1


2  -6

1  -3
2

1
0

2x‹-7x€+5x-1={x-;2!;}(2x€-6x+2)

=(2x-1)(x€-3x+1)

 ∴ 몫：x€-3x+1, 나머지：0









094  f(x)=(4x+3)Q(x)+R

=4{x+;4#;}Q(x)+R

={x+;4#;}*4Q(x)+R

 ∴ 몫：4Q(x), 나머지：R

1. 다항식    023

†
†
  ⑷ x‹+ax+6=x‹+(b-2)x€+(-2b+c)x-2c이므로

 ㉢을 ㉠에 대입하면 y=-2

 ⑶ a=2, b+1=-4, c=-3

∴  a=2, b=-5, c=-3

 ⑷ a=2, b-3=-6, c=2

∴  a=2, b=-3, c=2

 ⑸ a=1-b, 2=-b, c=-3

∴  a=3, b=-2, c=-3

02 항등식과 나머지정리 

095  ⑴ _  ⑵ ◯  ⑶ ◯  ⑷ _

096  ③ 2x-1=2(x-2)+3

097  0, 0, 0

098  0, 0, 0

099  ⑴ a=1, b=5, c=1
 ⑵ a=1, b=0, c=-3





























100  ⑴ a-2=0, b=3
 ⑵ a-b=3, a+b=7

∴  a=2, b=3

 두 식을 연립하여 풀면 a=5, b=2

 ⑶ x€+2x+3=ax€-(a-b)x+c이므로

 a=1, a-b=-2, c=3

 ∴ a=1, b=3, c=3

 b-2=0, -2b+c=a, -2c=6

 ∴ a=-7, b=2, c=-3

101  3x+7=ax+2a-b이므로


a=3, 2a-b=7

 따라서 a=3, b=-1이므로 a+b=2

102  ⑴ 2c, 2a, -1, 6
 ⑵ 양변에 x=0을 대입하면 2=-2a

 양변에 x=1을 대입하면 3=3b

 양변에 x=-2를 대입하면 0=6c

 ∴ a=-1, b=1, c=0

 ⑶ 양변에 x=0을 대입하면 -6=b

 양변에 x=-1을 대입하면 -4=-2c

 양변에 x=-3을 대입하면 6=6a-2b

 ∴ a=-1, b=-6, c=2

 ⑷ 양변에 x=0을 대입하면 1=c

 양변에 x=1을 대입하면 4-a=-b

 양변에 x=2를 대입하면 13-2a=c

 ∴ a=6, b=2, c=1

103  양변에 x=1을 대입하면 0=1-a+b
 양변에 x=2를 대입하면 1=b

 따라서 a=2, b=1이므로 ab=2

024    정답과 풀이

26쪽~33쪽

104  ⑴ x+3, 3, 4, 7, 3, 4, 7
 ⑵ x‹+ax€+bx+c =(x€+3x-4)(x+1)+3x-2  

 ⑶ 2x‹+ax€+bx+c =(x-2)(2x€+4x+3)+9



=x‹+4x€+2x-6

 이 식이 x에 대한 항등식이므로

 a=4, b=2, c=-6

=2x‹-5x+3

 이 식이 x에 대한 항등식이므로

 a=0, b=-5, c=3

 ⑷ 2x‹+ax€+bx+c =(x€-x+1)(2x+1)+2x+3

=2x‹-x€+3x+4

 이 식이 x에 대한 항등식이므로

 a=-1, b=3, c=4





























































105  ⑴ 0, 0, 1, 1
 ⑵ 주어진 등식을 k에 대하여 정리하면

 (x+3y+5)k+(3x-y-5)=0

 이 식이 k에 대한 항등식이므로

 x+3y+5=0

 3x-y-5=0

…… ㉠

…… ㉡

 ㉠+3_㉡을 하면 x=1

…… ㉢

 ⑶ 주어진 등식을 k에 대하여 정리하면

 (x-2y-1)k+(2x-3y+5)=0

 이 식이 k에 대한 항등식이므로

 x-2y-1=0

 2x-3y+5=0

…… ㉠

…… ㉡

 ㉡-2_㉠을 하면 y=-7  …… ㉢

 ㉢을 ㉠에 대입하면 x=-13

 ⑷ 주어진 등식을 k에 대하여 정리하면

 (2x+3y+6)k+(3x-y+9)=0

 이 식이 k에 대한 항등식이므로

 2x+3y+6=0

 …… ㉠

 3x-y+9=0



…… ㉡

 ㉠+3_㉡을 하면 x=-3

…… ㉢

 ㉢을 ㉠에 대입하면 y=0

106  주어진 등식을 k에 대하여 정리하면

(x-y+2)k+(-2x+3y-3)=0

 이 식이 k에 대한 항등식이므로

x-y+2=0

 -2x+3y-3=0

3_㉠+㉡을 하면 x=-3

 ㉢을 ㉠에 대입하면 y=-1

 ∴ x€+y€=10







…… ㉠

…… ㉡

…… ㉢

107  ⑴ ① 양변에 x=0을 대입하면 aº=1
 ② 양변에 x=1을 대입하면


 ① 2fi=aº+a¡+a™+…+a¡º

 ① ∴ aº+a¡+a™+…+a¡º=32

 …… ㉠

 ① 이때, aº=1이므로 a¡+a™+a£+…+a¡º=31

 ③ 양변에 x=-1을 대입하면





4fi=aº-a¡+a™-…+a¡º

 ① ∴ aº-a¡+a™-…+a¡º=2⁄‚

 …… ㉡

 ① ㉠과 ㉡을 변끼리 더하면





2aº+2a™+…+2a¡º=1056

 ① ∴ aº+a™+a¢+…+a¡º=528

 ⑵ ① 양변에 x=0을 대입하면 aº=1

 ② 양변에 x=1을 대입하면

 ① 2⁄‚=aº+a¡+a™+…+a¡º

 ① ∴ aº+a¡+a™+…+a¡º=1024

 …… ㉠

 ① 이때, aº=1이므로 a¡+a™+a£+…+a¡º=1023

 ③ 양변에 x=-1을 대입하면





0=aº-a¡+a™-…+a¡º

 ① ∴ aº-a¡+a™-…+a¡º=0



 …… ㉡

 ① ㉠과 ㉡을 변끼리 빼면





2a¡+2a£+…+2aª=1024

 ① ∴ a¡+a£+…+aª=512

108  양변에 x=1을 대입하면 aº=2
 양변에 x=2를 대입하면

2⁄‚+1=aº+a¡+a™+…+a¡º

 ∴ aº+a¡+a™+…+a¡º=1025









































 이때, aº=2이므로 a¡+a™+a£+…+a¡º=1023

109  ⑴ f(1)=3-1+4-2=4
 ⑵ f(-1)=3*(-1)‹-(-1)€+4*(-1)-2=-10

 ⑶ f(2)=3*2‹-2€+4*2-2=26

 ⑷ f(-2)=3*(-2)‹-(-2)€+4*(-2)-2=-38

 ⑸ f {;3!;}=3*{;3!;}

‹-{;3!;}

€+4*;3!; -2=-;3@;

 ⑹ f {-;3!;}=3*{-;3!;}

‹-{-;3!;}

€+4*{-;3!;}-2=-:£9™:

110  ⑴ ;2!;, -;4(;

 ⑵ f {-;2!;}=2*{-;2!;}

‹-3*{-;2!;}-1=;4!;

 ⑶ f {;4!;}=2*{;4!;}

‹-3*;4!;-1=-;3%2%;

 ⑷ f {-;4!;}=2*{-;4!;}

‹-3*{-;4!;}-1=-;3ª2;

 ⑸ f {;2#;}=2*{;2#;}

‹-3*;2#;-1=;4%;

 ⑹ f {-;2#;}=2*{-;2#;}

‹-3*{-;2#;}-1=-:¡4£:

111  다항식 f(x)=x‹+2x€-3x+1을 x-1로 나누었을 때의 나머

 지는 f(1)이고, 2x-1로 나누었을 때의 나머지는 f {;2!;}이므로


a=f(1)=1+2-3+1=1
‹+2*{;2!;}

b=f {;2!;}={;2!;}

€-3*;2!;+1=;8!;

 ∴

=8

a
b

112  ⑴ 4, 4, 1
 ⑵ f(-1)=-3에서

 (-1)‹+a*(-1)€+4*(-1)-2=-3

∴  a=4

 ⑶ f(2)=2에서

 2‹+a*2€+4*2-2=2

∴  a=-3

 ⑷ f(-2)=-6에서

 (-2)‹+a*(-2)€+4*(-2)-2=-6

∴  a=3

 ⑸ f {;2!;}=-;8#;에서

 {;2!;}

‹+a*{;2!;}

€+4*;2!;-2=-;8#;

∴  a=-2

 ⑹ f {-;2!;}=-4에서

 {-;2!;}

‹+a*{-;2!;}

€+4*{-;2!;}-2=-4

∴  a=;2!;

113  ⑴ 1, 1, 2, 2, 1, -2, 2
 ⑵ 다항식 f(x)=x€+ax-b를



x+1로 나누었을 때의 나머지가 8이므로

 f(-1)=1-a-b=8에서 a+b=-7

 …… ㉠

 또, x-4로 나누었을 때의 나머지가 3이므로

 f(4)=16+4a-b=3에서 4a-b=-13  …… ㉡

 ㉠+㉡을 하면 5a=-20

∴  a=-4

 이것을 ㉠에 대입하면 b=-3

 ⑶ 다항식 f(x)=x‹+ax€+bx-1을

x-1로 나누었을 때의 나머지가 5이므로

 f(1)=1+a+b-1=5에서 a+b=5  …… ㉠

 또, x+3으로 나누었을 때의 나머지가 -7이므로

 f(-3)=-27+9a-3b-1=-7에서

 3a-b=7













…… ㉡

 ㉠+㉡을 하면 4a=12

∴  a=3

 이것을 ㉠에 대입하면 b=2

 ⑷ 다항식 f(x)=x‹-ax€+bx-1을



x+2로 나누었을 때의 나머지가 -5이므로

 f(-2)=-8-4a-2b-1=-5에서

 2a+b=-2



…… ㉠

 또, x-2로 나누었을 때의 나머지가 11이므로

 f(2)=8-4a+2b-1=11에서 2a-b=-2

 …… ㉡

 ㉠+㉡을 하면 4a=-4

∴  a=-1

 이것을 ㉠에 대입하면 b=0

1. 다항식    025















































114   다항식 f(x)=x‹-(a+3)x+5를 x-2로 나누었을 때의 나머

지와 x-4로 나누었을 때의 나머지가 같으므로

117  f(x)를 x€-x-2로 나누었을 때의 몫을 Q¡(x)라 하면


f(x) =(x€-x-2)Q¡(x)+x+9

f(2)=f(4)에서 8-2(a+3)+5=64-4(a+3)+5

=(x+1)(x-2)Q¡(x)+x+9

2a=50

∴  a=25

 ∴ f(2)=2+9=11

 또, f(x)를 x€+5x+6으로 나누었을 때의 몫을 Q™(x)라 하면

115  ⑴ 3, 1, 3, 1, -1, 2, -x+2
 ⑵ 다항식 f(x)를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x),

f(x) =(x€+5x+6)Q™(x)+2x-5

=(x+2)(x+3)Q™(x)+2x-5

 ∴ f(-2)=2*(-2)-5=-9

f(x)를 x€-4로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b

 ⑶ 다항식 f(x)를 (x+2)(x-4)로 나누었을 때의 몫을 Q(x),

116  ⑴ 다항식 f(x)를 x€-x-2로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머

나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면

 f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b

 f(1)=1에서 a+b=1 

 f(2)=3에서 2a+b=3













…… ㉠

…… ㉡

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-1

 따라서 구하는 나머지는 2x-1이다.

나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면

 f(x)=(x+2)(x-4)Q(x)+ax+b

 f(-2)=1에서 -2a+b=1

…… ㉠

 f(4)=7에서 4a+b=7





…… ㉡





 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=3

 따라서 구하는 나머지는 x+3이다.

지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면

 f(x) =(x€-x-2)Q(x)+ax+b

=(x+1)(x-2)Q(x)+ax+b

 f(-1)=-3에서 -a+b=-3



…… ㉠

 f(2)=3에서 2a+b=3









 …… ㉡

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-1

 따라서 구하는 나머지는 2x-1이다.

나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면

 f(x) =(x€-4x+3)Q(x)+ax+b

=(x-1)(x-3)Q(x)+ax+b

 f(1)=5에서 a+b=5









…… ㉠

 f(3)=13에서 3a+b=13







…… ㉡

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=1

 따라서 구하는 나머지는 4x+1이다.

 ⑵ 다항식 f(x)를 x€-4x+3으로 나누었을 때의 몫을 Q(x),























































(a, b는 상수)라 하면

f(x) =(x€-4)Q(x)+ax+b

=(x-2)(x+2)Q(x)+ax+b

 이때, f(2)=11, f(-2)=-9이므로

f(2)=2a+b=11









…… ㉠

f(-2)=-2a+b=-9





…… ㉡

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, b=1

 따라서 구하는 나머지는 5x+1이다.

118  ⑴ 0, 0, 2
 ⑵ f(-2)=0이므로

 ⑶ f {-;2!;}=0이므로

 2*(-2)‹+a*(-2)-4=0

∴  a=-10

 2*{-;2!;}

‹+a*{-;2!;}-4=0

∴  a=-:¡2¶:

 ⑷ f {;2!;}=0이므로

 2*{;2!;}

‹+a*{;2!;}-4=0

∴  a=:¡2∞:

119   다항식 f(x)=x‹+ax€+bx+9가

x-3으로 나누어떨어지므로

f(3)=0에서 9a+3b+36=0

 ∴ 3a+b=-12



…… ㉠

x+2로 나누면 나머지가 5이므로

f(-2)=5에서 4a-2b+1=5

 ∴ 2a-b=2 



…… ㉡

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=-6

∴  ab=12

120  ⑴ 0, 0, 0, 3, 0, 1, -1, 2
 ⑵ f(1)=0, f(4)=0이므로

 f(1)=1-2+a+b=0에서 a+b=1

 f(4)=64-32+4a+b=0에서 4a+b=-32

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-11, b=12



































 ⑶ 다항식 f(x)를 x€+3x+2로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나

머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면

 f(x) =(x€+3x+2)Q(x)+ax+b

=(x+1)(x+2)Q(x)+ax+b

 f(-1)=1에서 -a+b=1 





…… ㉠

 ⑶ f(-1)=0, f(2)=0이므로

 f(-2)=-7에서 -2a+b=-7

 …… ㉡

 f(-1)=-1-2-a+b=0에서 -a+b=3

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=8, b=9

 따라서 구하는 나머지는 8x+9이다.

 f(2)=8-8+2a+b=0에서 2a+b=0

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=2

026    정답과 풀이

…… ㉠

…… ㉡

…… ㉠

…… ㉡

  ⑷ f(1)=0, f(3)=0이므로

 f(1)=1-2+a+b=0에서 a+b=1

 f(3)=27-18+3a+b=0에서 3a+b=-9

…… ㉠

…… ㉡

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-5, b=6

127  x‹+ax€+bx+c=(x+1)(x€+4x+1)-9
 이 등식의 우변을 전개하여 정리하면

x‹+ax€+bx+c=x‹+5x€+5x-8

 이 식이 x에 대한 항등식이므로

 ⑸ f(-2)=0, f(4)=0이므로

a=5, b=5, c=-8

 f(-2)=-8-8-2a+b=0에서 -2a+b=16  …… ㉠

 f(4)=64-32+4a+b=0에서 4a+b=-32

…… ㉡

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-8, b=0

128  2x‹+ax€+bx+c=(x€+x+2)(2x+1)-5x+2
 이 등식의 우변을 전개하여 정리하면

2x‹+ax€+bx+c=2x‹+3x€+4

121   f(x)=x‹-3x€+ax+b가 x€-x-2=(x+1)(x-2)로 나

 이 식이 x에 대한 항등식이므로

a=3, b=0, c=4

누어떨어지므로

f(-1)=0, f(2)=0

f(-1)=-1-3-a+b=0에서 -a+b=4

f(2)=8-12+2a+b=0에서 2a+b=4

…… ㉠

…… ㉡

129  주어진 등식을 k에 대하여 정리하면

(x-2y)k+(-x+3y+3)=0

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=4

 ∴ a+b=4

더블클릭 

34쪽~35쪽

x=-6, y=-3



























122  주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면


2x€-5x-3=(a+1)x€+(b-2)x+c-1

 이 식이 x에 대한 항등식이므로



a+1=2, b-2=-5, c-1=-3

 ∴ a=1, b=-3, c=-2

123  주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면

ax€+(2-a)x-2=3x€+bx+c

 이 식이 x에 대한 항등식이므로



a=3, 2-a=b, -2=c

 ∴ a=3, b=-1, c=-2

124  양변에 x=0을 대입하면 1=-a
 양변에 x=1을 대입하면 6=2b

 양변에 x=-1을 대입하면 2=2c

 ∴ a=-1, b=3, c=1

125  양변에 x=1을 대입하면 c=1
 양변에 x=2를 대입하면

b+c=4

∴  b=3

 양변에 x=0을 대입하면

2a-b+c=0

∴  a=1

126  2x‹+ax€+bx+c=(x€-2x-1)(2x+4)+7x+2
 이 등식의 우변을 전개하여 정리하면

2x‹+ax€+bx+c=2x‹-3x-2

 이 식이 x에 대한 항등식이므로

a=0, b=-3, c=-2





























 이 식이 k에 대한 항등식이므로

x-2y=0





 -x+3y+3=0





 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면

…… ㉠

…… ㉡

130  주어진 등식을 k에 대하여 정리하면

(x+2y-6)k+(-2x+3y-2)=0

 이 식이 k에 대한 항등식이므로

x+2y-6=0









… … ㉠

 -2x+3y-2=0







…… ㉡

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면

x=2, y=2

131   다항식 f(x)=x‹-4x€-3x+8을 x-2로 나누었을 때의 나머

지는 f(2)이므로

f(2)=2‹-4*2€-3*2+8=-6

132   다항식 f(x)=-2x‹-x€+4x-2를 2x+1로 나누었을 때의
 나머지는 f {-;2!;}이므로

f {-;2!;}=-2*{-;2!;}

‹-{-;2!;}

€+4*{-;2!;}-2=-4

133   다항식 f(x)=x‹+2x€-4x-a를 x-2로 나누었을 때의 나머

지가 3이므로 f(2)=3에서

2‹+2*2€-4*2-a=3

∴  a=5

134   다항식 f(x)=4x‹+ax+b를


x+1로 나누었을 때의 나머지가 1이므로

f(-1)=1에서 -4-a+b=1

∴  -a+b=5

 …… ㉠

 또, 2x-1로 나누었을 때의 나머지가 4이므로

f {;2!;}=4에서 ;2!;+;2!;a+b=4

∴  a+2b=7



 …… ㉡

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면

a=-1, b=4

1. 다항식    027

135   다항식 f(x)=x‹+ax€+2x+1을 x+2로 나누었을 때의 나머

03 인수분해 

지와 x-1로 나누었을 때의 나머지가 같으므로

36쪽~46쪽

f(-2)=f(1)에서

3a=15

∴  a=5

(-2)‹+a*(-2)€+2*(-2)+1=1+a+2+1

142  ⑴ 3ab(1-2a+5ab)
 ⑶ y(x+1)(y+1)

⑵ (a+b)(a+b+2)

⑷ (a-b)(x-y)

 ⑸ (a+1)(b+1)

⑹ (a-1)(b-1)

 ⑺ (a-b)c+b(b-a) =(a-b)(c-b)



136   다항식 f(x)를 (x+1)(x+2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나

 ⑻ (x-y)€-3y(y-x) =(x-y){(x-y)+3y}































머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면

f(x)=(x+1)(x+2)Q(x)+ax+b

f(-1)=-3에서 -a+b=-3

 …… ㉠

f(-2)=5에서 -2a+b=5 



…… ㉡

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-8, b=-11

 따라서 구하는 나머지는 -8x-11

지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면

f(x) =(x€-5x+6)Q(x)+ax+b

=(x-2)(x-3)Q(x)+ax+b

f(2)=1에서 2a+b=1

 …… ㉠

f(3)=3에서 3a+b=3

 …… ㉡

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-3

 따라서 구하는 나머지는 2x-3

137   다항식 f(x)를 x€-5x+6으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머

138  f(x)=ax‹-2x€+x+2가 x-1로 나누어떨어지려면


f(1)=0이어야 하므로



a-2+1+2=0

∴  a=-1

139  f(x)=x‹+5x€+ax-a가 x-3으로 나누어떨어지려면


f(3)=0이어야 하므로



3‹+5*3€+3a-a=0

∴  a=-36

140  f(x)=x‹+ax€+b가 x-1, x-2로 각각 나누어떨어지려면


f(1)=0, f(2)=0이어야 하므로

f(1)=1+a+b=0에서 a+b=-1



 …… ㉠

f(2)=8+4a+b=0에서 4a+b=-8

 …… ㉡

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-;3&;, b=;3$;

141  f(x)=-x‹+ax€-bx+2가


x€+3x+2=(x+1)(x+2)로 나누어떨어지려면

f(-1)=0, f(-2)=0이어야 한다.

=-(a-b)(b-c)

=(x-y)(x+2y)

⑵ (x-4)€

⑷ (2x+3y)€

⑹ (2a+7b)€

€

=ab(2x-by)€

143  ⑴ (x+3)€
 ⑶ (5a-1)€

 ⑸ (5x-3y)€

€

 ⑺ {x+;3!;}
 ⑼ 4abx€-4ab€xy+ab‹y€ =ab(4x€-4bxy+b€y€)  

⑻ {x-;2%;y}

144  ⑴ (x+3)(x-3)
 ⑵ (a+2b)(a-2b)

 ⑶ (3a+4b)(3a-4b)

 ⑷ xy(x+y)(x-y)

 ⑸ (a+b-c)(a-b+c)

 ⑹ (a+b+c)(a+b-c)

 ⑺ a›-b› =(a€-b€)(a€+b€)



=(a-b)(a+b)(a€+b€)

 ⑻ x€-y€+xz-yz =(x+y)(x-y)+z(x-y)

=(x-y)(x+y+z)

 ⑼ x€y+y€z-y‹-x€z =x€(y-z)-y€(y-z)





=(y-z)(x€-y€)



=(x+y)(x-y)(y-z)

145  ⑴ (x+1)(x+3)
 ⑶ (a+3b)(a+7b)

⑵ (x-2)(x-4)

⑷ (x-2y)(x-4y)

 ⑸ (a+4b)(a-5b)

⑹ (4x-1)(x+1)

 ⑺ (3x-y)(x+4y)

⑻ (5a+2b)(a-2b)

146  ⑴ 1, 1, 1, 1
 ⑵ a‹+9a€+27a+27

 =a‹+3*a€*3+3*a*3€+3‹=(a+3)‹

 ⑶ 8a‹+12a€+6a+1

 =(2a)‹+3*(2a)€*1+3*2a*1€+1‹=(2a+1)‹

 ⑷ x‹+6x€y+12xy€+8y‹

 =x‹+3*x€*2y+3*x*(2y)€+(2y)‹=(x+2y)‹

 ⑸ x‹+12x€y+48xy€+64y‹











f(-1)=1+a+b+2=0에서 a+b=-3





…… ㉠

 =x‹+3*x€*4y+3*x*(4y)€+(4y)‹=(x+4y)‹

f(-2)=8+4a+2b+2=0에서 2a+b=-5

 …… ㉡

 ⑹ 27x‹+27x€y+9xy€+y‹

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=-1

 =(3x)‹+3*(3x)€*y+3*3x*y€+y‹=(3x+y)‹

028    정답과 풀이

147  8x‹+36x€+54x+27
 =(2x)‹+3*(2x)€*3+3*2x*3€+3‹

 =(2x+3)‹

 따라서 a=2, b=3이므로 ab=6

148  ⑴ 3, 3, 3, 3
 ⑵ x‹-15x€+75x-125

 =x‹-3*x€*5+3*x*5€-5‹=(x-5)‹

 ⑶ 8x‹-12x€+6x-1

 ⑷ x‹-27y‹ =x‹-(3y)‹



=(x-3y)(x€+3xy+9y€)

 ⑸ 27x‹-8y‹ =(3x)‹-(2y)‹

=(3x-2y)(9x€+6xy+4y€)

 ⑹ 8x‹-125y‹ =(2x)‹-(5y)‹





=(2x-5y)(4x€+10xy+25y€)

 ⑺ xfi-8x€y‹ =x€(x‹-8y‹)

=x€(x-2y)(x€+2xy+4y€)

 ⑻ 8xfiy-27x€y› =x€y(8x‹-27y‹)



 =(2x)‹-3*(2x)€*1+3*2x*1€-1‹=(2x-1)‹

=x€y(2x-3y)(4x€+6xy+9y€)

 ⑷ 27x‹-27x€+9x-1

 =(3x)‹-3*(3x)€*1+3*3x*1€-1‹=(3x-1)‹

 ⑸ 8x‹-36x€y+54xy€-27y‹

152  ① a€-4=(a+2)(a-2)
 ② a‹+b‹=(a+b)(a€-ab+b€)

 =(2x)‹-3*(2x)€*3y+3*2x*(3y)€-(3y)‹

 ③ 27x‹-1=(3x-1)(9x€+3x+1)

 ④ a‹+3a€b+3ab€+b‹=(a+b)‹

 =(2x-3y)‹

 ⑹ 64x‹-48x€y+12xy€-y‹

 =(4x)‹-3*(4x)€*y+3*4x*y€-y‹=(4x-y)‹

 ⑺ 27x‹-108x€y+144xy€-64y‹

153  ⑴ -2y, x, 2y
 ⑵ x€+y€+9z€+2xy+6yz+6zx

 =(3x)‹-3*(3x)€*4y+3*3x*(4y)€-(4y)‹

 =x€+y€+(3z)€+2*x*y+2*y*3z+2*3z*x

















 =(3x-4y)‹

149  x‹-12x€+48x-64
 =x‹-3*x€*4+3*x*4€-4‹=(x-4)‹

 따라서 a=1, b=-4이므로 ;aB;=-4

150  ⑴ 2, 2, a€-2a+4
 ⑵ a‹+27 =a‹+3‹









=(a+3)(a€-3a+9)

 ⑶ 2a‹+250 =2(a‹+125)  

=2(a+5)(a€-5a+25)

 ⑷ x‹+8y‹ =x‹+(2y)‹

=(x+2y)(x€-2xy+4y€)

 ⑸ x‹+64y‹ =x‹+(4y)‹

=(x+4y)(x€-4xy+16y€)

 ⑹ 27x‹+y‹ =(3x)‹+y‹

=(3x+y)(9x€-3xy+y€)

 ⑺ 8x‹+27y‹ =(2x)‹+(3y)‹





=(2x+3y)(4x€-6xy+9y€)

 ⑻ 64x‹+27y‹ =(4x)‹+(3y)‹

=(4x+3y)(16x€-12xy+9y€)

 ⑼ 8a›+a =a(8a‹+1)



=a(2a+1)(4a€-2a+1)

 ⑽ 27xfiy+8x€y› =x€y(27x‹+8y‹)



=x€y(3x+2y)(9x€-6xy+4y€)

151  ⑴ 1, 1, a€+a+1
 ⑵ a‹-8 =a‹-2‹=(a-2)(a€+2a+4)

 ⑶ a‹-64 =a‹-4‹=(a-4)(a€+4a+16)

 =a€+b€+(-3)€+2*a*b+2*b*(-3)+2*(-3)*a





































+2*x*(-y)+2*(-y)*(-z)+2*(-z)*x

+2*2x*(-2y)+2*(-2y)*z+2*z*2x

 =(x+y+3z)€

 ⑶ x€+y€+z€-2xy+2yz-2zx

 = x€+(-y)€+(-z)€



 =(x-y-z)€

 ⑷ 4x€+4y€+z€-8xy-4yz+4zx

 = (2x)€+(-2y)€+z€



 =(2x-2y+z)€

 ⑸ -1, -1, 1

 ⑹ a€+b€+2ab-6a-6b+9

 =a€+b€+9+2ab-6b-6a

 =(a+b-3)€

 ⑺ a€+4b€+4ab-2a-4b+1

 =a€+4b€+1+4ab-4b-2a

 =(a+2b-1)€

154  ⑴ 2b, c, 2ab, 2bc, ca
 ⑵ a‹+b‹-c‹+3abc

 =a‹+b‹+(-c)‹-3*a*b*(-c)

 =(a+b-c)(a€+b€+c€-ab+bc+ca)

 ⑶ a‹-b‹-27c‹-9abc

 =a‹+(-b)‹+(-3c)‹-3*a*(-b)*(-3c)

 =(a-b-3c)(a€+b€+9c€+ab-3bc+3ca)

 ⑷ a‹+8b‹-27c‹+18abc

 =a‹+(2b)‹+(-3c)‹-3*a*2b*(-3c)

 =(a+2b-3c)(a€+4b€+9c€-2ab+6bc+3ca)

 =a€+(2b)€+(-1)€+2*a*2b+2*2b*(-1)+2*(-1)*a

1. 다항식    029

  ⑸ 1, xy, y

 ⑹ x‹+8y‹-12xy+8

 =x‹+(2y)‹+2‹-3*x*2y*2

 ⑶ (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-8

 ={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}-8

 =(x€+5x+4)(x€+5x+6)-8

 =(x+2y+2)(x€+4y€-2xy-2x-4y+4)

 =(t+4)(t+6)-8 ← x€+5x=t로 치환

 ⑺ x‹+y‹+9xy-27

 =x‹+y‹+(-3)‹-3*x*y*(-3)

 =t€+10t+16

 =(t+2)(t+8)

 =(x+y-3)(x€+y€-xy+3x+3y+9)

 =(x€+5x+2)(x€+5x+8) ← t=x€+5x 대입

 ⑻ x‹-27y‹+36xy+64

 ⑷ (x-1)(x+1)(x+3)(x+5)+16

 =x‹+(-3y)‹+4‹-3*x*(-3y)*4

 ={(x-1)(x+5)}{(x+1)(x+3)}+16

 =(x-3y+4)(x€+9y€+3xy-4x+12y+16)

 =(x€+4x-5)(x€+4x+3)+16

155  ⑴ 2, 2
 ⑵ (2x-y)(2x-y-4)-5

 =t(t-4)-5 ← 2x-y=t로 치환

 =t€-4t-5

 =(t+1)(t-5)

 =(2x-y+1)(2x-y-5) ← t=2x-y 대입

 =(t-5)(t+3)+16 ← x€+4x=t로 치환

 =t€-2t+1

 =(t-1)€

 =(x€+4x-1)€ ← t=x€+4x 대입

158  (x-1)(x-3)(x+2)(x+4)+21
 ={(x-1)(x+2)}{(x-3)(x+4)}+21

























 ⑶ (x€+x-1)(x€+x+3)-5

 =(x€+x-2)(x€+x-12)+21

 =(t-1)(t+3)-5 ← x€+x=t로 치환

 =(t-2)(t-12)+21 ← x€+x=t로 치환

 =t€+2t-8

 =(t-2)(t+4)

 =t€-14t+45

 =(t-5)(t-9)

 =(x€+x-2)(x€+x+4) ← t=x€+x 대입

 =(x€+x-5)(x€+x-9) ← t=x€+x 대입

 =(x-1)(x+2)(x€+x+4)

 ⑷ (x€+x)€-7x€-7x+12

 =(x€+x)€-7(x€+x)+12

 =t€-7t+12 ← x€+x=t로 치환

 =(t-3)(t-4)

 따라서 a=1, b=-5, c=1이므로



a+b+c=-3

159  ⑴ 4, 4, 2
 ⑵ x›-5x€+6 =X€-5X+6 ← x€=X로 치환  

 =(x€+x-3)(x€+x-4) ← t=x€+x 대입

=(X-2)(X-3)

 주의   치환된 문자로 인수분해한 후에는 치환하기 전의 문자

=(x€-2)(x€-3) ← X=x€ 대입

로 되돌려 놓았을 때, 각각의 인수가 다시 인수분해되는지 꼭 확

 ⑶ x›-13x€+36 =X€-13X+36 ← x€=X로 치환

인하도록 한다.

156  (x€-3x)€-2x€+6x-3
 =(x€-3x)€-2(x€-3x)-3

 =t€-2t-3 ← x€-3x=t로 치환

 =(t+1)(t-3)

 =(x€-3x+1)(x€-3x-3) ← t=x€-3x 대입

157  ⑴ 12, 12, 12, x-1, 12
 ⑵ x(x+1)(x-2)(x+3)+8

 =(x€+x)(x€+x-6)+8

 =t(t-6)+8 ← x€+x=t로 치환

 =t€-6t+8

 =(t-2)(t-4)

 =(x€+x-2)(x€+x-4) ← t=x€+x 대입

 =(x-1)(x+2)(x€+x-4)

030    정답과 풀이

 ⑷ 3x›+x€-4 =3X€+X-4 ← x€=X로 치환  

=(X-4)(X-9)

=(x€-4)(x€-9) ← X=x€ 대입

=(x+2)(x-2)(x+3)(x-3)

=(X-1)(3X+4)

=(x€-1)(3x€+4) ← X=x€ 대입

=(x+1)(x-1)(3x€+4)

=(X-4)(2X+9)

=(x€-4)(2x€+9) ← X=x€ 대입

=(x+2)(x-2)(2x€+9)







리수의 범위까지 인수분해한다.

160  ⑴ 2x, 2x, 2x, 2x, 2x
 ⑵ x›+64 =(x›+16x€+64)-16x€ ← 16x€ 더하고 빼기

=(x€+8)€-(4x)€ ← A€-B€ 꼴로 변형

=(x€+4x+8)(x€-4x+8)















 따라서 a=1, b=3이므로 ab=3

 ⑸ 2x›+x€-36 =2X€+X-36 ← x€=X로 치환

 ={x(x+1)}{(x-2)(x+3)}+8



 참고

 인수분해에서 특별한 조건이 없으면 인수분해는 유























































  ⑶ 2x, 2x, 2x, 2x, 2x

 ⑷ x›-19x€+25

 ⑶ 2x€+xy-y€-11x+y+12

 =2x€+(y-11)x-(y€-y-12)





=(x›-10x€+25)-9x€ ← -19x€을 -10x€과 -9x€으로 분리하기

 =2x€+(y-11)x-(y+3)(y-4)

=(x€-5)€-(3x)€ ← A€-B€ 꼴로 변형



=(x€-5+3x)(x€-5-3x)  

=(x€+3x-5)(x€-3x-5)

 ⑸ x›-11x€+1





=(x›-2x€+1)-9x€ ← -11x€을 -2x€과 -9x€으로 분리하기

=(x€-1)€-(3x)€ ← A€-B€ 꼴로 변형



=(x€-1+3x)(x€-1-3x)  

=(x€+3x-1)(x€-3x-1)

161  x›-3x€+9 =(x›+6x€+9)-9x€ ← 9x€ 더하고 빼기
=(x€+3)€-(3x)€ ← A€-B€ 꼴로 변형

=(x€+3x+3)(x€-3x+3)

 따라서 a=3, b=3, c=-3, d=3이므로



ad-bc=18

162  ⑴ a-c, a+b-c
 ⑵ a€-ab+2bc-4c€ =-(a-2c)b+a€-4c€

=-(a-2c)b+(a+2c)(a-2c)

=(a-2c)(a-b+2c)

 ⑶ a‹-ab€-b€c+a€c =(a€-b€)c+a‹-ab€

 ⑷ a€-ac-b€+bc =-(a-b)c+(a€-b€)

 ⑸ a€b+b€c-b‹-a€c =-(a€-b€)c+b(a€-b€)

=(a€-b€)c+a(a€-b€)

=(a€-b€)(c+a)



=(a+b)(a-b)(a+c)

=-(a-b)c+(a+b)(a-b)

=(a-b)(a+b-c)

=(a€-b€)(b-c)



=(a+b)(a-b)(b-c)

















x

333¡4 4 4 4 ¡

2x

y-4

d 2(y-4)x

-(y+3) d -(y+3)x ®† +

(y-11)x

 =(x+y-4){2x-(y+3)}

 =(x+y-4)(2x-y-3)

 ⑷ x€-xy-2y€+x+4y-2

 =x€-(y-1)x-2(y€-2y+1)

 =x€-(y-1)x-2(y-1)€

x

x

333¡4 4 4 4 ¡

-2(y-1) d -2(y-1)x
d

y-1

(y-1)x ®† +
-(y-1)x

 ={x-2(y-1)}(x+y-1)

 =(x-2y+2)(x+y-1)

 ⑸ x€-xy-2y€+5x-y+6

 =x€-(y-5)x-(2y€+y-6)

 =x€-(y-5)x-(y+2)(2y-3)

x
x

333¡4 4 4 4 ¡

y+2

d

(y+2)x

-(2y-3) d -(2y-3)x ®† +

-(y-5)x







 =(x+y+2){x-(2y-3)}

 =(x+y+2)(x-2y+3)

164  x€+4xy+3y€-x-5y-2
 =x€+(4y-1)x+3y€-5y-2

 =x€+(4y-1)x+(y-2)(3y+1)

 ⑹ x€+y€-2yz+2zx-2xy =2(x-y)z+x€-2xy+y€

=2(x-y)z+(x-y)€  



=(x-y)(x-y+2z)

x

x

333¡4 4 4 4 ¡

y-2 d (y-2)x
3y+1 d (3y+1)x ®† +

(4y-1)x

163  ⑴ y-3, y+1, (y+1)x, 2x+y+1
 ⑵ 2x€+xy-y€+x-5y-6

 =2x€+(y+1)x-(y€+5y+6)

 =2x€+(y+1)x-(y+2)(y+3)



x

333¡4 4 4 4 ¡

2x

y+2

d 2(y+2)x

-(y+3) d -(y+3)x ®† +

(y+1)x

 =(x+y+2){2x-(y+3)}

 =(x+y+2)(2x-y-3)











 =(x+y-2)(x+3y+1)

 따라서 a=1, b=-2, c=3이므로



a+b+c=2

165  ⑴ x-1, x-1, x-1, x-1, 3
 ⑵ f(x)=x‹-x€-5x-3으로

 놓으면 f(-1)=0이므로

 f(x) =(x+1)(x€-2x-3)



=(x+1)(x+1)(x-3)  

=(x+1)€(x-3)

-1

1 -1 -5 -3
3

-1

2

1 -2 -3

0

1. 다항식    031



































  ⑶ f(x)=x‹-7x+6으로

 놓으면 f(1)=0이므로

 f(x) =(x-1)(x€+x-6)



=(x-1)(x-2)(x+3)

 ⑷ f(x)=x‹-3x€-4x+12로

 놓으면 f(2)=0이므로

 f(x) =(x-2)(x€-x-6)



=(x-2)(x+2)(x-3)

 ⑸ f(x)=2x‹+3x€-8x+3으로

 놓으면 f(1)=0이므로

 f(x) =(x-1)(2x€+5x-3)  

=(x-1)(x+3)(2x-1)

1

1

1

0 -7
1

6
1 -6

1 -6

0

2

1 -3 -4

12
2 -2 -12

1 -1 -6

0

168  2x›-5x‹-5x€+ax+3=(x-1)(x+1)f(x)
 ㉠의 양변에 x=1을 대입하면

 …… ㉠

2-5-5+a+3=0

∴  a=5

P(x)=2x›-5x‹-5x€+5x+3으로 놓으면

P(1)=0, P(-1)=0이므로

1

2 -5 -5

3
2 -3 -8 -3

5

-1

2 -3 -8 -3
3

-2

5

2 -5 -3

0

0

1

2

2

3 -8
2

3
5 -3

5 -3

0

P(x)=(x-1)(x+1)(2x€-5x-3)

 따라서 f(x)=2x€-5x-3이므로 f(1)=-6

 ⑹ f(x)=2x‹-5x€-11x-4로

-1

 놓으면 f(-1)=0이므로

 f(x) =(x+1)(2x€-7x-4)  

=(x+1)(x-4)(2x+1)

2 -5 -11 -4
4

-2

7

2 -7 -4

0

166  f(x)=2x‹-3x€-x+1로

 놓으면 f {;2!;}=0이므로

2 -3 -1

;2!;

1 -1 -1

2 -2 -2

1

0

f(x)={x-;2!;} (2x€-2x-2)

=(2x-1)(x€-x-1)

 따라서 a=-1, b=-1, c=-1이므로 a+b+c=-3

167  ⑴ x+1, -1, -2, x+1, x-2, x+1, x-2, x+1, 2, x+1

 ⑵ f(x)=x›-5x‹+5x€+5x-6으로 놓으면

 f(1)=0, f(-1)=0이므로

1

1 -5

5
1 -4

-1

1 -4
-1

1 -5

1
6
5 -6

6

0

5 -6
6
1

0

 f(x)=(x-1)(x+1)(x€-5x+6)

=(x-1)(x+1)(x-2)(x-3)

 ⑶ f(x)=x›-15x€-10x+24로 놓으면

 f(1)=0, f(-2)=0이므로

1

-2

1

1

0 -15 -10
1

24
1 -14 -24

1 -14 -24
24
2

-2

0

1 -1 -12

0







169  ⑴ 0, 0, 이등변

 ⑵ a€-2ab-ac+bc+b€ =-(a-b)c+a€-2ab+b€

=-(a-b)c+(a-b)€



=(a-b)(a-b-c)

 즉, (a-b)(a-b-c)=0

 이때, a<b+c이므로

 a-b=0

∴  a=b

a-b-c+0

 따라서 a=b인 이등변삼각형이다.

 ⑶ a€b+a€c-b‹-c‹-b€c-bc€

 =(b+c)a€-(b‹+c‹)-bc(b+c)

 =(b+c)a€-(b+c)(b€-bc+c€)-bc(b+c)

 =(b+c){a€-(b€-bc+c€)-bc}

 =(b+c)(a€-b€-c€)

 즉, (b+c)(a€-b€-c€)=0

 이때, b+c>0이므로

 a€-b€-c€=0

∴  b€+c€=a€

 따라서 빗변의 길이가 a인 직각삼각형이다.

 ⑷ a›+a€c€+b€c€-b› =(a€+b€)c€+a›-b›



=(a€+b€)c€+(a€+b€)(a€-b€)

=(a€+b€)(c€+a€-b€)

 즉, (a€+b€)(c€+a€-b€)=0

 이때, a€+b€>0이므로

 c€+a€-b€=0

∴  a€+c€=b€

 따라서 빗변의 길이가 b인 직각삼각형이다.

 ⑸ ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c-a)

 =a€b+ab€-b€c-bc€-c€a+ca€

 =(b+c)a€+(b€-c€)a-b€c-bc€

 =(b+c)a€+(b+c)(b-c)a-bc(b+c)

 =(b+c){a€+(b-c)a-bc}

 =(b+c)(a+b)(a-c)

 즉, (b+c)(a+b)(a-c)=0

 이때, b+c>0, a+b>0이므로

 a-c=0

∴  a=c



































 f(x) =(x-1)(x+2)(x€-x-12)



=(x-1)(x+2)(x+3)(x-4)

 따라서 a=c인 이등변삼각형이다.

032    정답과 풀이





























































  ⑹ b€(a€+b€)-c€(c€-a€) =a€b€+b›-c›+c€a€





=a€(b€+c€)+b›-c›

=a€(b€+c€)+(b€+c€)(b€-c€)

=(b€+c€)(a€+b€-c€)

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172  {x-;5!;}

€

174  (x+2)(5x-9)

47쪽~48쪽

173  (4x+y)(4x-y)

 즉, (b€+c€)(a€+b€-c€)=0

 이때, b€+c€>0이므로 a€+b€-c€=0

∴  a€+b€=c€

 따라서 빗변의 길이가 c인 직각삼각형이다.

 ⑺ (b-c)a€+(c+a)b€-(a+b)c€

 =a€b-ca€+b€c+ab€-c€a-bc€

 =(b-c)a€+(b€-c€)a+b€c-bc€

 =(b-c)a€+(b+c)(b-c)a+bc(b-c)

 =(b-c){a€+(b+c)a+bc}

 =(b-c)(a+b)(a+c)

 즉, (b-c)(a+b)(a+c)=0

 이때, a+b>0, a+c>0이므로 b-c=0

∴  b=c

 따라서 b=c인 이등변삼각형이다.

170  a€(a+b)-a(b€+c€)-bc€-b‹
 =a‹+a€b-ab€-ac€-bc€-b‹

 =-c€(a+b)+a€(a+b)-b€(a+b)

 =(a+b)(a€-b€-c€)

 즉, (a+b)(a€-b€-c€)=0

 이때, a+b>0이므로 a€-b€-c€=0

∴  a€=b€+c€

 따라서 빗변의 길이가 a인 직각삼각형이다.

175  64a‹+48a€b+12ab€+b‹
 =(4a)‹+3*(4a)€*b+3*4a*b€+b‹=(4a+b)‹

176  a‹-9a€b+27ab€-27b‹
 =a‹-3*a€*3b+3*a*(3b)€-(3b)‹=(a-3b)‹

177  8x‹+125y‹ =(2x)‹+(5y)‹=(2x+5y)(4x€-10xy+25y€)

178  64x‹-y‹ =(4x)‹-y‹=(4x-y)(16x€+4xy+y€)

179  x€+4y€+z€+4xy-4yz-2zx
 =x€+(2y)€+(-z)€+2*x*2y+2*2y*(-z)+2*(-z)*x

 =(x+2y-z)€

180  8x‹+27y‹+18xy-1
 =8x‹+27y‹-1+18xy

 =(2x)‹+(3y)‹+(-1)‹-3*2x*3y*(-1)

 =(2x+3y-1)(4x€+9y€-6xy+2x+3y+1)















171  ⑴ x€-x+1, x+1, 1, 1000
 ⑵ 500=x로 놓으면

500‹-1
501_500+1

=

x‹-1
(x+1)x+1

500‹-1
501_500+1
500‹-1
501_500+1

= (x-1)(x€+x+1)
x€+x+1
=x-1=500-1=499

 ⑶ 151=x로 놓으면

152_151+1
151‹-1

=

(x+1)x+1
x‹-1



=

x€+x+1
(x-1)(x€+x+1) 

=

1
x-1

=

1
151-1

=;15!0;

 ⑷ 29=x로 놓으면

27€-1
29€-1

_

29‹+1
29€-29+1

 =

(x-2)€-1
x€-1

_

x‹+1
x€-x+1 

 =

x€-4x+3
x€-1

_

(x+1)(x€-x+1)
x€-x+1

 =

(x-1)(x-3)
(x-1)(x+1)

_(x+1)

 =x-3=29-3=26

181  (x-2y+3)(x-2y+1)-8
 =(t+3)(t+1)-8 ← x-2y=t로 치환

 =t€+4t-5

 =(t-1)(t+5)

 =(x-2y-1)(x-2y+5) ← t=x-2y 대입

182  (x€-2x-1)(x€-2x+3)-5
 =(t-1)(t+3)-5 ← x€-2x=t로 치환

 =t€+2t-8

 =(t-2)(t+4)

 =(x€-2x-2)(x€-2x+4) ← t=x€-2x 대입

183  x(x+1)(x+2)(x+3)-15
 ={x(x+3)}{(x+1)(x+2)}-15

 =(x€+3x)(x€+3x+2)-15



=t(t+2)-15 ← x€+3x=t로 치환



=t€+2t-15

=(t-3)(t+5)





=(x€+3x-3)(x€+3x+5) ← t=x€+3x 대입

184  x›+4x€-5 =X€+4X-5 ← x€=X로 치환



=(X-1)(X+5)



=(x€-1)(x€+5) ← X=x€ 대입  

=(x-1)(x+1)(x€+5)

1. 다항식    033













































185  x›+3x€+4 =(x›+4x€+4)-x€ ← x€ 더하고 빼기



=(x€+2)€-x€ ← A€-B€ 꼴로 변형

=(x€-x+2)(x€+x+2)

193  f(x)=x‹-3x+2로 놓으면


f(1)=0이므로



f(x) =(x-1)(x€+x-2)  

1

1

1

0 -3
1

2
1 -2

1 -2

0

186  x›-6x€y€+y› =(x›-2x€y€+y›)-4x€y€  


=(x€-y€)€-(2xy)€

=(x€-2xy-y€)(x€+2xy-y€)

187  9a€+3ab-bc-c€ =(3a-c)b+9a€-c€



=(3a-c)b+(3a-c)(3a+c)



=(3a-c)(3a+b+c)

188  3a€+ab-5a-2b-2 =(a-2)b+3a€-5a-2



=(a-2)b+(a-2)(3a+1)  

=(a-2)(3a+b+1)

189  x€-6y€+xy+2x+y+1
 =x€+(y+2)x-(6y€-y-1)

 =x€+(y+2)x-(2y-1)(3y+1)

x

x

333¡4 4 4 4 ¡

-(2y-1) d -(2y-1)x
d

3y+1

(3y+1)x ®† +
(y+2)x





 ={x-(2y-1)}(x+3y+1)

 =(x-2y+1)(x+3y+1)

190  x€+xy-2y€+x+5y-2
 =x€+(y+1)x-(2y€-5y+2)

 =x€+(y+1)x-(y-2)(2y-1)

-(y-2) d -(y-2)x

x

x

333¡4 4 4 4 ¡

2y-1

d (2y-1)x ®† +
(y+1)x

 ={x-(y-2)}(x+2y-1)

 =(x-y+2)(x+2y-1)

191  f(x)=x‹-6x€+3x+10으로
 놓으면 f(-1)=0이므로

-1



f(x) =(x+1)(x€-7x+10)



1 -6
-1

3
10
7 -10

1 -7

10

0

=(x+1)(x-2)(x-5)

192  f(x)=2x‹-5x€-4x+3으로
 놓으면 f(-1)=0이므로



f(x) =(x+1)(2x€-7x+3)



-1

2 -5 -4
-2

3
7 -3

2 -7

3

0

=(x+1)(x-3)(2x-1)

034    정답과 풀이

=(x-1)(x-1)(x+2)



=(x-1)€(x+2)

194  f(x)=x›+2x‹-7x€-8x+12로 놓으면


f(1)=0, f(-2)=0이므로

1

-2

1

1

1

2 -7 -8
1

12
3 -4 -12

3 -4 -12
12

-2 -2

1 -6

0

0

f(x) =(x-1)(x+2)(x€+x-6)

=(x-1)(x+2)(x-2)(x+3)





195  b€-ab-c€+ac =-(b-c)a+b€-c€

=-(b-c)a+(b-c)(b+c)



=(b-c)(b+c-a)

 즉, (b-c)(b+c-a)=0

 이때, b+c>a이므로 b-c=0

∴  b=c

 따라서 b=c인 이등변삼각형이다.

196  a‹+b‹+c‹-3abc
 =(a+b+c)(a€+b€+c€-ab-bc-ca)

 =(a+b+c)[;2!;(2a€+2b€+2c€-2ab-2bc-2ca)]

 =;2!;(a+b+c){(a€-2ab+b€)+(b€-2bc+c€)+(c€-2ca+a€)}

 =;2!;(a+b+c){(a-b)€+(b-c)€+(c-a)€}

 즉, ;2!;(a+b+c){(a-b)€+(b-c)€+(c-a)€}=0

 이때, a+b+c>0이므로



(a-b)€+(b-c)€+(c-a)€=0

∴  a=b=c

 따라서 정삼각형이다.

197  81=x로 놓으면
81‹-1
82_81+1 

=



x‹-1
(x+1)x+1 

=

x‹-1
x€+x+1

=

(x-1)(x€+x+1)
x€+x+1

=x-1=81-1=80

198  45=x, 37=y로 놓으면

45‹-37‹
45€+37_82 

=

x‹-y‹

x€+y(x+y) 

=

(x-y)(x€+xy+y€)
x€+xy+y€ 

=x-y=45-37=8















2
방정식과 부등식

010  ⑴ (2-3i)+(2+i) =(2+2)+(-3+1)i

 ⑵ (-1+3i)+(4-2i) =(-1+4)+(3-2)i

 ⑶ (5+2i)+4(5+3i) =5+2i+20+12i

50쪽~60쪽

 ⑷ (3+4i)+(3-4i) =(3+3)+(4-4)i

=(5+20)+(2+12)i

=25+14i

01 복소수





001  ⑴ '2 i
 ⑶ 3i
 ⑸ 'ß-1, i
 ⑺ -6'2 i





⑵ i
⑷ 3'3 i
⑹ -5i

⑻ -11i



002  ⑴ a=3, b=4
 ⑶ a=4, b=1

 ⑸ a='5, b=-2
 ⑺ a=0, b=-9





⑵ a=2, b='3
⑷ a=2, b=-3

⑹ a=7, b=0
⑻ a=1+'7, b=0

003  3-'2 i

4

=;4#;- '2
4

i이므로 a=;4#;, b=- '2
4

004  ⑴ 3i€, 0, 3-'2, i€-1
 ⑵ -i, '4 i
 ⑶ 3+2i, '2+2i, 1-4i

005  ③

006  ⑴ 7, 1, 11, -1
 ⑵ x+y=-2, 2y=-2

∴  x=-1, y=-1

 ⑶ x+2y=5, -2x+y=-5

∴  x=3, y=1

 ⑷ x-2=0, 2y+6=0

∴  x=2, y=-3 

 ⑸ 4-x=0, y-1=0

∴  x=4, y=1

 ⑹ x+y+1=0, x-y+3=0

∴  x=-2, y=1

007  x+y=-1, x-y+2=3에서
x=0, y=-1이므로 xy=0


008  ⑴ 3+4i
 ⑶ -1-2i





 ⑸ -2



⑵ -2-3i

⑷ i

⑹ 5i

009  ⑴ 2+4i ’=2-4i이므로 (x+y)+(x-y)i=2-4i에서


 x+y=2, x-y=-4

∴  x=-1, y=3

 ⑵ 6-3i ’=6+3i이므로 (2x+y)+(-x+y)i=6+3i에서





 2x+y=6, -x+y=3

∴  x=1, y=4

 ⑶ x+yi ’=x-yi이므로 x-yi=3+(x+2y)i에서

 x=3, -y=x+2y

∴  x=3, y=-1















=4-2i

=3+i

=6

=1-2i

=4-4i

=3+4i

 ⑸ (2+i)-(1+3i) =(2-1)+(1-3)i

 ⑹ (3-2i)-(-1+2i) ={3-(-1)}+(-2-2)i



 ⑺ (1+i)-(-2-3i) ={1-(-2)}+{1-(-3)}i  

011  (1+3i)-(2+i’) =(1+3i)-(2-i)

=(1-2)+{3-(-1)}i



=-1+4i

 따라서 a=-1, b=4이므로 ab=-4

012  ⑴ 3i(5+4i) =15i+12i€
=-12+15i

 ⑵ (1+i)(2+3i) =2+3i+2i+3i€

=2+5i-3=-1+5i

 ⑶ (2-3i)(-1+2i) =-2+4i+3i-6i€

=-2+7i-(-6)=4+7i

 ⑷ (5+6i)(5-6i) =5€-(6i)€=25-36i€

=25-(-36)=61

 ⑸ (2+'3i)€ =2€+2*2*'3 i+('3 i)€=4+4'3 i+3i€
=4+4'3 i-3=1+4'3 i







013  (1+2i)(2-i) =2-i+4i-2i €

=2+3i-(-2)=4+3i

 따라서 a=4, b=3이므로 a€+b€=25

014  ⑴ 2, i, ;5!;, ;5#;

 ⑵  4+3i
1+2i

=

(4+3i)(1-2i)
(1+2i)(1-2i)







=

4-8i+3i-6i€
1-4i€

=

10-5i
5

=2-i

 ⑶  1+3i
1-i

=

(1+3i)(1+i)
(1-i)(1+i)

=

1+i+3i+3i€
1-i€

=

-2+4i
2

=-1+2i

 ⑷  1-i
1-2i

=

(1-i)(1+2i)
(1-2i)(1+2i)

=

1+2i-i-2i€
1-4i€

=

3+i
5

=;5#;+;5!;i

2. 방정식과 부등식    035

  ⑸  5i
3+i

=

5i(3-i)
(3+i)(3-i) 



=

15i-5i€
9-i€

=

5+15i
10

=;2!;+;2#;i

 ⑹

3
=
'2-i  
=

3('2+i)
('2-i)('2+i)
3'2+3i
2-i€  

=

3'2+3i
3  

='2+i

015  3+i
1+i 

= (3+i)(1-i)
(1+i)(1-i) 

=

3-3i+i-i€
1-i€

=

4-2i
2

=2-i

 이므로

(3+4i){

3+i
1+i }+(-1-3i){

3+i
1+i }

 =(3+4i)(2-i)+(-1-3i)(2-i)

 =(2-i){(3+4i)+(-1-3i)}

 =(2-i)(2+i)

 =4-i€=5

016  x+y=(2+i)+(2-i)=4,
x-y=(2+i)-(2-i)=2i,


xy=(2+i)(2-i)=4-i€=5이므로

 ⑴ ;x!;+;y!;=

x+y
xy

=;5$;

 ⑵ x€+y€=(x+y)€-2xy=4€-2*5=6

 ⑶ ;yX;+;xY;=

x€+y€
xy

=;5^;

 ⑷ x€-y€=(x+y)(x-y)=4*2i=8i

 ⑸ x‹+y‹=(x+y)‹-3xy(x+y)=4‹-3*5*4=4

 ⑹ x‹+y‹-3xy=4-3*5=-11

017  x+y= 1-'7 i

2

+ 1+'7 i
2

=;2@;=1,

xy=

1-'7 i
2

*

1+'7 i
2

=

1-7i €
4

=;4*;=2이므로

x‹+y‹ =(x+y)‹-3xy(x+y)



=1‹-3*2*1=-5

018  ⑴ z=(1-i)x€-3x+2+4i


 =(x€-3x+2)-(x€-4)i

 z가 실수가 되려면

 x€-4=0, (x+2)(x-2)=0

 ∴ x=-2 또는 x=2

 ⑵ z=(1+i)x€-(4-i)x+3-2i

 =(x€-4x+3)+(x€+x-2)i

 z가 실수가 되려면

 x€+x-2=0, (x+2)(x-1)=0

 ∴ x=-2 또는 x=1

036    정답과 풀이





































019  ⑴ 0, 허수부분, -2
 ⑵ z=(1+i)x€-(3+i)x+2(1-i)

 =(x€-3x+2)+(x€-x-2)i

 z가 순허수가 되려면

 x€-3x+2=0  …… ㉠

 x€-x-2+0

…… ㉡

 ㉠에서 (x-1)(x-2)=0

∴  x=1 또는 x=2

 ㉡에서 (x+1)(x-2)+0

∴  x+-1, x+2

 따라서 구하는 x의 값은 x=1

 ⑶ z=(1+2i)x€+2(1+3i)x-3

 =(x€+2x-3)+(2x€+6x)i

 z가 순허수가 되려면

 x€+2x-3=0  …… ㉠

 2x€+6x+0

 …… ㉡

 ㉠에서 (x-1)(x+3)=0

∴  x=1 또는 x=-3

 ㉡에서 2x(x+3)+0

∴  x+0, x+-3



 따라서 구하는 x의 값은 x=1

020  ⑴ 2x+y, 2x+y, 2, -1
 ⑵ (5+3i)x+(1-i)y =7+9i에서

 (5x+y)+(3x-y)i=7+9i

 복소수가 서로 같을 조건에 의해

 5x+y=7, 3x-y=9

 위의 두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=-3

 ⑶ (3-2i)(x+yi) =13에서

 (3x+2y)+(-2x+3y)i=13

 복소수가 서로 같을 조건에 의해

 3x+2y=13, -2x+3y=0

 위의 두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=2

 ⑷ (2+i)(x-yi) =-3+i에서

 (2x+y)+(x-2y)i=-3+i

 복소수가 서로 같을 조건에 의해

 2x+y=-3, x-2y=1

 위의 두 식을 연립하여 풀면 x=-1, y=-1

 ⑸  x

+

1-i 

y
1+i

=2-i에서



x
1-i 

+

y
1+i

=

x(1+i)+y(1-i) 
(1-i)(1+i)

=

(x+y)+(x-y)i
2

 이므로  x+y
2 

+

x-y
2 

 에 의해

 x+y
2 

=2,  x-y
2 

=-1

 ∴ x+y=4, x-y=-2

 위의 두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=3

































































i=2-i에서 복소수가 서로 같을 조건

021  (x+2i)(1-i) =5+yi에서

(x+2)+(-x+2)i=5+yi

 복소수가 서로 같을 조건에 의해



x+2=5, -x+2=y



 따라서 x=3, y=-1이므로 x-y=4

022  z=3+2i, z”=3-2i이므로
 ⑴ z+z”=(3+2i)+(3-2i)=6
 ⑵ zz”=(3+2i)(3-2i)=9-4i€=13
 ⑶ z€+z” €=(z+z”)€-2zz”=6€-2*13=10

023  z=2-i, z”=2+i이므로


z+z”=(2-i)+(2+i)=4



zz”=(2-i)(2+i)=4-i€=5

 ⑴ zz”(z+z”)=5*4=20
 ⑵ (z+1)(z”+1) =zz”+z+z”+1=5+4+1=10

 ⑶ ;z!;+

1
z”

=

z+z”
z z”

=;5$;

024  z=1+3i, z”=1-3i이므로


z+z”=(1+3i)+(1-3i)=2

zz”=(1+3i)(1-3i)=1-9i€=10
z€+z”€=(z+z”)€-2zz”=2€-2*10=-16

 ∴  z”
z

+

=

z
z”

z€+z” €
z z”

=

-16
10

=-;5*;

025  ⑴ 2a-b, 2a-b, 3, 3, 3+3i
 ⑵ z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi이므로


 5(a+bi)+2(a-bi)=7-6i

 7a+3bi=7-6i

 복소수가 서로 같을 조건에 의해

 7a=7, 3b=-6이므로 a=1, b=-2

 ∴ z=1-2i

 ⑶ z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi이므로


 3i(a+bi)+2(a-bi)=8+7i

 ⑷ z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi이므로


 (1+i)(a+bi)+3i(a-bi)=2+i

 (2a-3b)+(3a-2b)i=8+7i

 복소수가 서로 같을 조건에 의해

 2a-3b=8, 3a-2b=7

 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-2

 ∴ z=1-2i

 (a+2b)+(4a+b)i=2+i

 복소수가 서로 같을 조건에 의해

 a+2b=2, 4a+b=1

 두 식을 연립하여 풀면 a=0, b=1

 ∴ z=i

































 ⑸ z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi이므로


 (1-i)(a+bi)+3i(a-bi)=6-2i

 ⑹ z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi이므로


 (2-i)(a+bi)+(3+i)(a-bi)=2-2i

 (a+4b)+(2a+b)i=6-2i

 복소수가 서로 같을 조건에 의해

 a+4b=6, 2a+b=-2

 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=2

 ∴ z=-2+2i

 (5a+2b)-bi=2-2i

 복소수가 서로 같을 조건에 의해

 5a+2b=2, -b=-2

 두 식을 연립하여 풀면 a=-;5@;, b=2

 ∴ z=-;5@;+2i

 (3a-3b)+(-a-b)i=3-3i

 복소수가 서로 같을 조건에 의해

 3a-3b=3, -a-b=-3

 즉, a-b=1, a+b=3

 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=1

 ∴ z=2+i

 ⑺ z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi이므로


 (1+i)(a+bi)+2(1-i)(a-bi)=3-3i

026  z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi이므로


(2+i)(a-bi)+2i(a+bi)=1-2i

(2a-b)+(3a-2b)i=1-2i

 복소수가 서로 같을 조건에 의해

2a-b=1, 3a-2b=-2

 두 식을 연립하여 풀면 a=4, b=7

 따라서 복소수 z의 실수부분과 허수부분의 합은 a+b=11

027  ⑴ 2, -1, -1
 ⑵ i€€ =i 4*5+2=(i›)fi*i€=1*(-1)=-1
 ⑶ i⁄‚‚=i 4*25=(i›)€fi=1
 ⑷ (-i)· =-i·=-i 4*2+1=-(i›)€*i

=-1*i=-i
 ⑸ (-i)fi‚ =ifi‚=i 4*12+2=(i›)⁄€*i€

=1*(-1)=-1

 ⑹  1
i

=

1*i
i€

=

i
-1 

=-i이므로

13

1
i }

{

=(-i)⁄‹=-i⁄‹=-i 4*3+1=-(i›)‹*i



=-1*i=-i

 ⑺ {

19

1
i }

=(-i)⁄·=-i⁄·=-i›*4+3=-(i›)›*i‹

=-1*(-i)=i

2. 방정식과 부등식    037

























































 












028  ⑴ i+i€+i‹+i› =i+(-1)+(-i)+1  
=0

 ⑵ i+i€+i‹+i›+…+ifi‚

 =(i+i€+i‹+i›)+…+(i›fi+i›fl+i›‡+i›°)+i›·+ifi‚

 =(i-1-i+1)+…+(i-1-i+1)+i-1

 =-1+i

 ⑶ 1+i+i€+i‹+…+i⁄‚‚

 =(1+i+i€+i‹)+…+(i·fl+i·‡+i·°+i··)+i⁄‚‚

 =(1+i-1-i)+…+(1+i-1-i)+1

 =1

 ⑷  1
i

 ⑸  1
i

+

+

+

=

-1-

+1=0

1
i

1
i

1
i‹

1
i‹

1
i›

1
i›

+

+

+

+…+

1
i⁄‚‚

 ={

+

+

+

1
i€

1
i·‡

+

+

+

1
i·°

1
i··

1
i⁄‚‚ }

1
i‹

1
i› }+…+{
1
i

+1}+…+{

1
i

-1-

1
i

+1}

-1-

  ={

  =0

 
 ⑹ i+2i€+3i ‹+4i › =i-2-3i+4



=2-2i

1
i€

1
i€

1
i

1
i

029  i+2i€+3i‹+4i›+…+20i€‚
 =(i+2i€+3i‹+4i›)+…+(17i⁄‡+18i⁄°+19i⁄·+20i€‚)

 =(i-2-3i+4)+…+(17i-18-19i+20)

 =(2-2i)+…+(2-2i)

 =5(2-2i)=10-10i

 따라서 a=10, b=-10이므로

ab=-100

030  1+i
1-i

= (1+i)€

(1-i)(1+i) 

= 2i
2 

=i,

1-i
1+i

=

(1-i)€
(1+i)(1-i) 

=

-2i
2 

=-i이므로

 ⑴ {

 ⑵ {

 ⑶ {

 ⑷ {

1+i
1-i }

1+i
1-i }

1-i
1+i }

1-i
1+i }

fl=ifl=i›*i€=-1

⁄‚€=i⁄‚€=(i›)€fi*i€=-1

fi=(-i)fi=-ifi=-i›*i=-i

⁄‚fl=(-i)⁄‚fl=i⁄‚fl=(i›)€fl*i€=-1

 ⑸ {

1+i
1-i }

€fi+{

1-i
1+i }

‹‚=i €fi+(-i)‹‚=(i›)fl*i+(i ›)‡*i €

 ⑹ {

1+i
1-i }

›‚-{

1-i
1+i }

fi⁄=i ›‚-(-i)fi⁄=(i›)⁄‚+(i ›)⁄€*i ‹

=i+i €=i-1

=1+(-i)=1-i

참고


 •n이 짝수이면 (-i)n=i n
 •n이 홀수이면 (-i)n=-i n

038    정답과 풀이

031  1+i
1-i
1-i
1+i



=

= (1+i)€

(1-i)(1+i) 
(1-i)€
(1+i)(1-i) 
⁄‚€°+{

1-i
1+i }

1+i
1-i }

{

=i,

= 2i
2 
-2i
2  

=

⁄‚€·=i⁄‚€°+(-i)⁄‚€·

=-i이므로

=i⁄‚€°-i⁄‚€·

=(i›)€fi‡-(i›)€fi‡*i

=1-i





















 따라서 a=1, b=-1이므로 a+b=0

032  ⑴ \'3 i
 ⑶ \'8 i=\2'2 i
 ⑸ \Æ;4#; i=\ '3
2

i

⑵ \'4 i=\2i
⑷ \Æ;2!; i=\ '2
2

i

⑹ \Æ;9!; i=\;3!;i

033  -9의 제곱근은 +


x€=-9의 해는 x=\3i

'9 i=+3i이므로

034  ⑴ 2'2, 1+'2
 ⑵ 'ß-9+'ß-16=3i+4i=7i
 ⑶ 'ß-3+'ß-27='3 i+3'3 i=4'3 i
 ⑷ 'ß-25-'ß-1=5i-i=4i
 ⑸ 'ß-32-'ß-8=4'2 i-2'2 i=2'2 i
 ⑹ 3'ß-2-'ß-8=3'2 i-2'2 i='2 i
 ⑺ 4'ß-12-2'ß-27 =4*2'3 i-2*3'3 i
=8'3 i-6'3 i=2'3 i

035  ① 'ß-2+'ß-8='2 i+2'2 i=3'2 i
 ② 'ß-4-'ß-25=2i-5i=-3i
 ③ 'ß-7-'ß-49='7 i-7i=('7-7)i
 ④ "ƒ(-2)€+('ß-3 )€ =|-2|+('3 i)€  

=2+(-3)=-1

 ⑤ 2'ß-25-3'ß-9+5'ß-36 =2*5i-3*3i+5*6i  

=10i-9i+30i=31i

 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

036  ⑴ '3, '6 i
 ⑵ 'ß-3'ß27='3 i*3'3=9i
 ⑶ 'ß-8'ß-9=2'2 i*3i=-6'2
= 'ß10 i
 ⑷  'ß-10
'2
2'2 i
'2

'2
 ⑸  'ß-8
'2
 ⑹ -2i

='5 i

=2i

=

=2

=

 ⑺  'ß-8
'ß-2
 ⑻  'ß18
=
'ß-3  

2'2 i
'2   i
3'2
'3     i

=

3'2*'3 i
3i€

=-'6 i

037  ㄱ. 'ß-4'ß-4=2i*2i=-4
 ㄴ. '3'ß-2='3*'2 i='6 i
= '2
 ㄷ.  '2
'5i
= 'ß15 i
'3

'ß-5 
 ㄹ.  'ß-15

= '2i
'5 i€ 
='5 i

'3

 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.

=-Æ;5@; i

038  ⑴ 3'ß-12-'ß-48-6'ß-3 =3*2'3 i-4'3 i-6'3 i

=-4'3 i

 ⑵ 'ß-2-'ß-8-'ß-3'6- 'ß16
'ß-2
4
'2 i 

 ='2 i-2'2 i-'3 i*'6-





='2 i-2'2 i-3'2 i+2'2 i
=-2'2 i


 ⑶ '4'ß-9+'ß-4'ß-9+ '9
'ß-4  
3i
2i 

 =2*3i+2i*3i+

3
2i 

+





 =6i-6-;2#;i+;2#;=-;2(;+;2(;i

+ 'ß-9
'ß-4  

1-i 
2+i

=

(1-i)(2-i)
(2+i)(2-i)

2-i-2i+i € 
4-i €

=;5!;-;5#;i

1-3i 
5 
1-2'2 i 
2+'2i 
(1-2'2 i)(2-'2 i)  
(2+'2  i)(2-'2  i)
2-'2 i-4'2 i+4i€  
4-2i€

 ⑷  1-'ß-1 
=
2+'ß-1 
=









=

 ⑸  1-'ß-8 
=
2+'ß-2 
=









=

=

 ⑹  1-'ß-12
2+'ß-3 
=

=





5'2 
i
6 
(1-2'3 i)(2-'3 i)   
(2+'3  i)(2-'3  i) 

=-;3!;-

-2-5'2 i
6 
1-2'3 i   
=
2+'3  i 
2-'3 i-4'3 i+6i€
4-3i€ 





=

-4-5'3 i
7

=-;7$;-

5'3 
i
7  

039  10-'ß-16   
'ß-4

= 10-4i   
2i

= (5-2i)*i  
i€









=-(5i-2i€)

=-2-5i

 즉, (x-y)+(x+y+1)i=-2-5i이므로

 복소수가 서로 같을 조건에 의해

x-y=-2, x+y+1=-5

 ∴ x=-4, y=-2











040  'a'b=-'ßab일 때, a<0, b<0이므로
 ⑴ |a|-|b|=(-a)-(-b)=-a+b
 ⑵ "∂a€"∂b€=(-a)*(-b)=ab
 ⑶ |a+b|=-(a+b)=-a-b

041  'a
'b

=-æ;bA;일 때, a>0, b<0이므로

 ⑴ |a|-|b|=a-(-b)=a+b
 ⑵ "∂a€"∂b€=a*(-b)=-ab
 ⑶ |b-a|=-(b-a)=a-b

042  'a
'b

=-æ;bA;일 때, a>0, b<0이므로

 ① a+b의 부호를 알 수 없다.

 ② a-b>0

 ③ -b>0이므로



 |a-b|=|a+(-b)|=|a|+|-b|=|a|+|b|

 ④ ab<0이므로 |ab|=-ab

 따라서 주어진 보기 중 옳은 것은 ③, ⑤이다.

더블클릭

61쪽~62쪽

043  (-3+8i)+(2+5i) =(-3+2)+(8+5)i=-1+13i

044  (2-7i)-(5i-11) ={2-(-11)}+(-7-5)i=13-12i

045  (3-2i)(-1+4i) =-3+12i+2i-8i€=5+14i

046  1+2i
1-i

= (1+2i)(1+i)
(1-i)(1+i)

= 1+i+2i+2i€
1-i€



=

-1+3i
2

=-;2!;+;2#;i


047  x(1-i)+2(-4+i) =(x-8)+(-x+2)i
 실수가 되려면

 -x+2=0

∴  x=2

048  (1-2i)x€-(3+i)x-4+3i


=(x€-3x-4)-(2x€+x-3)i

 실수가 되려면



2x€+x-3=0, (2x+3)(x-1)=0

 ∴ x=-;2#; 또는 x=1

049  x(3-i)+2(-3+2i)=(3x-6)+(-x+4)i
 순허수가 되려면



3x-6=0, -x+4+0

∴  x=2, x+4

 따라서 구하는 x의 값은 x=2

2. 방정식과 부등식    039

050  (1-i)x€+(2-i)x-3+6i =(x€+2x-3)-(x€+x-6)i
 순허수가 되려면

(a+4b)+(2a+b)i=8-5i

 복소수가 서로 같을 조건에 의해



x€+2x-3=0

 ……㉠, x€+x-6+0

 ……㉡

 ㉠에서 (x+3)(x-1)=0

∴  x=-3 또는 x=1

 ㉡에서 (x+3)(x-2)+0

∴  x+-3, x+2

 따라서 구하는 x의 값은 x=1

051  (1+2i)x+(1-i)y =1+5i에서

(x+y)+(2x-y)i=1+5i

 복소수가 서로 같을 조건에 의해



x+y=1, 2x-y=5이므로 x=2, y=-1

052  (x+2i)(3-i) =8+yi에서


(3x+2)+(-x+6)i=8+yi

 복소수가 서로 같을 조건에 의해



3x+2=8, -x+6=y이므로 x=2, y=4



















053  (1-2i)(x-yi) =3-4i’에서


(x-2y)+(-2x-y)i=3+4i

 복소수가 서로 같을 조건에 의해

x-2y=3, -2x-y=4이므로 x=-1, y=-2

054

x
1-2i

+ y

1+2i

= 10
3+4i

에서

x
1-2i

+

y
1+2i 

=

x(1+2i)+y(1-2i)
(1-2i)(1+2i)

= (x+y)+(2x-2y)i
5

10
3+4i

=

10(3-4i)
(3+4i)(3-4i)

=

10(3-4i)
25

=

6-8i
5



 복소수가 서로 같을 조건에 의해

x+y=6, 2x-2y=-8이므로 x=1, y=5

055  z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi이므로


2i(a-bi)+(a+bi)=2+i

(a+2b)+(2a+b)i=2+i

 복소수가 서로 같을 조건에 의해

a+2b=2, 2a+b=1이므로 a=0, b=1

 ∴ z=i

056  z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi이므로


(1+i)(a-bi)+3i(a+bi)=-3+2i

(a-2b)+(4a-b)i=-3+2i

 복소수가 서로 같을 조건에 의해

a-2b=-3, 4a-b=2이므로 a=1, b=2

 ∴ z=1+2i

057  z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi이므로


(1-i)(a+bi)+3i(a-bi)=8-5i

040    정답과 풀이

















a+4b=8, 2a+b=-5이므로 a=-4, b=3

 ∴ z=-4+3i

058  i+i€+i‹+…+i‹‚
 =(i+i€+i‹+i›)+…+(i€fi+i€fl+i€‡+i€°)+i€·+i‹‚

 =(i-1-i+1)+…+(i-1-i+1)+i-1

 =i-1

059  i+2i€+3i‹+…+100i⁄‚‚
 =(i+2i€+3i‹+4i›)+…+(97i·‡+98i·°+99i··+100i⁄‚‚)

 =(i-2-3i+4)+…+(97i-98-99i+100)

 =(2-2i)+…+(2-2i)

 =25(2-2i)=50-50i

060  1-i
1+i

= (1-i)€

(1+i)(1-i) 

= -2i
2

=-i,

(1+i)€
(1-i)(1+i) 
€‚-{

1+i
1-i }

1+i
1-i

=

1-i
1+i }

{





=

=i이므로

2i
2

›‚=(-i)€‚-i›‚=i€‚-i›‚

=(i›)fi-(i›)⁄‚=1-1=0

061  2'ß-8-'ß-18+2'ß-50 =2*2'2 i-3'2 i+2*5'2 i

062  'ß-12-'ß-8'ß-2+ 'ß15
'ß-5

=4'2 i-3'2 i+10'2 i
=11'2 i

=2'3 i-2'2 i*'2 i+ 'ß15
'5  i
=2'3 i+4+ '3 i
i€
=2'3 i+4-'3 i
=4+'3 i

063

 =

 =

+

3+'ß-2
2-'ß-2
3+'2 i
2-'2 i

1-'ß-2
2+'ß-2
1-'2 i
2+'2 i
(1-'2 i)(2-'2 i)+(3+'2 i)(2+'2 i)
(2+'2 i)(2-'2 i)

+

 =

-3'2 i+(4+5'2 i)
4-2i€

 =

4+2'2 i
6

=;3@;+ '2

3

i

064  'a'b=-'ßab일 때, a<0, b<0이므로


|a|-|b|+"ƒ(a+b)€=-a-(-b)-(a+b)=-2a

=-æ;bA;일 때, a>0, b<0이므로

065  'a
'b
|a-b|-|a|+|b| =a-b-a+(-b)=-2b


63쪽 ~75쪽

 2 1<x<3일 때, -1+x+3-x=x+3

∴  x=-1



 그런데 1<x<3이므로 해는 없다.

 3 x>3일 때, -1+x-3+x=x+3

∴  x=7

 1, 2, 3에서 x=;3!; 또는 x=7

02 이차방정식

066  ⑴ a+1, 무수히 많다

 ⑵ (a€-4)x=a+2에서 (a+2)(a-2)x=a+2

 

  1 a+-2, a+2일 때, x=

a+2
(a+2)(a-2)

=

1
a-2

 2 a=-2일 때, 0*x=0이므로 해는 무수히 많다.

 3 a=2일 때, 0*x=4이므로 해는 없다.

 ⑶ a(x-a)=2(x-2)에서

 (a-2)x=a€-4

∴  (a-2)x=(a+2)(a-2)

 1 a+2일 때, x=

(a+2)(a-2)
a-2

=a+2

 2 a=2일 때, 0*x=0이므로 해는 무수히 많다.

 ⑷ a(ax-1)=-ax+1에서

 (a€+a)x=a+1

∴  a(a+1)x=a+1

 1 a+0, a+-1일 때, x=

a+1
a(a+1)

=;a!;

 2 a=0일 때, 0*x=1이므로 해는 없다.

 3 a=-1일 때, 0*x=0이므로 해는 무수히 많다.

067  ⑴ |x-1|=2x+1에서


 1 x<1일 때, -x+1=2x+1, 3x=0

∴  x=0

 2 x>1일 때, x-1=2x+1

∴  x=-2



 그런데 x>1이므로 해는 없다.

 1, 2에서 x=0

 ⑵ |x+1|=3x-1에서

 1 x<-1일 때, -x-1=3x-1, 4x=0

∴  x=0



 그런데 x<-1이므로 해는 없다.

 2 x>-1일 때, x+1=3x-1, 2x=2

∴  x=1

 1, 2에서 x=1

  ⑶ |x|+|x-2|=4에서


 1 x<0일 때, -x-x+2=4, -2x=2

∴  x=-1

 2 0<x<2일 때, x-x+2=4



 따라서 0*x=2이므로 해는 없다.

 3 x>2일 때, x+x-2=4, 2x=6

∴  x=3

 1, 2, 3에서 x=-1 또는 x=3

  ⑷ |x+1|+|x+2|=5에서


 1 x<-2일 때,





 2 -2<x<-1일 때, -x-1+x+2=5

 따라서 0*x=4이므로 해는 없다.

 1, 2, 3에서 x=-4 또는 x=1

 ⑸ |1-x|+|3-x|=x+3에서

























































































068  ⑴ (x+1)(x-2)=0

∴  x=-1 또는 x=2

 ⑵ (x+1)(2x-1)=0

∴  x=-1 또는 x=;2!;

 ⑶ (2x+1)(3x-4)=0

∴  x=-;2!; 또는 x=;3$;

 ⑷ ;2!;x€-5x+12=0에서 x€-10x+24=0

 (x-4)(x-6)=0

∴  x=4 또는 x=6

 ⑸ x(x+3)=2(x-3)+8에서

 x€+3x=2x+2, x€+x-2=0

 (x-1)(x+2)=0

∴  x=-2 또는 x=1

069  ⑴ x=

-5\"ƒ5€-4*2*(-2)
2*2
 ⑵ x=-(-1)\"ƒ(-1)€-1*(-2)=1\'3

-5\'ß41
4

=

 ⑶ ;2!;x€-x-;4!;=0에서 2x€-4x-1=0



 ∴ x=

-(-2)\"ƒ(-2)€-2*(-1)
2

=

2\'6
2

 ⑷ x=-'2-"ƒ('2 )€-1*(-1)=-'2-'3
 ⑸ x=-1-"ƒ1€-1*2=-1-'ß-1=-1\i
 ⑹ x =-(-1)\"ƒ(-1)€-1*9=1-'ß-8=1\2'2 i
 ⑺ 0.1x€-0.2x+0.3=0에서 x€-2x+3=0


 ∴ x=1\"ƒ(-1)€-1*3=1\'ß-2=1\'2 i



070  (x+3)€-5=x-3에서 x€+5x+7=0
-5\'ß-3
-5\"ƒ5€-4*1*7
2
2*1

 ∴ x=

=

=

-5\'3   i
2

071  ⑴ 1 x<0일 때, x€+5x-6=0


(x-1)(x+6)=0





∴  x=-6 (∵ x<0)

 2 x>0일 때, x€-5x-6=0





(x+1)(x-6)=0

∴  x=6 (∵ x>0)

 1, 2에서 x=-6 또는 x=6

 다른풀이

 (|x|+1)(|x|-6)=0

∴  |x|=6 (∵ |x|>0)

 ∴ x=-6 또는 x=6









(x+1)(x-3)=0

∴  x=-1 (∵ x<0)

 2 x>0일 때, x€+2x-3=0

(x-1)(x+3)=0

∴  x=1 (∵ x>0)

 -x-1-x-2=5, 2x=-8

∴  x=-4

 x€=|x|€이므로 |x|€-5|x|-6=0

 3 x>-1일 때, x+1+x+2=5, 2x=2

∴  x=1

 ⑵ 1 x<0일 때, x€-2x-3=0

 1 x<1일 때, 1-x+3-x=x+3, 3x=1

∴  x=;3!;

 1, 2에서 x=-1 또는 x=1

2. 방정식과 부등식    041

  ⑶ 1 x<1일 때, x€-2(-x+1)-1=0, x€+2x-3=0

(x-1)(x+3)=0

∴  x=-3 (∵ x<1)

 2 x>1일 때, x€-2(x-1)-1=0, x€-2x+1=0









(x-1)€=0

∴  x=1

 1, 2에서 x=-3 또는 x=1

 ⑷ 1 x<;2!;일 때, x€-(2x-1)=2, x€-2x-1=0
 ∴ x=-(-1)\"ƒ(-1)€-1*(-1)=1\'2






 그런데 x<;2!;이므로 x=1-'2

 2 x>;2!;일 때, x€+(2x-1)=2, x€+2x-3=0





(x-1)(x+3)=0

∴  x=1 {∵ x>;2!;}

 1, 2에서 x=1-'2 또는 x=1

072  1 x<-2일 때, x€+x-2=-x-2, x€+2x=0
 1 x(x+2)=0

∴  x=0 또는 x=-2

 1 그런데 x<-2이므로 해는 없다.

  2 -2<x<0일 때, x€+x-2=x+2, x€-4=0

 1 (x+2)(x-2)=0

∴  x=-2 (∵ -2<x<0)

  3 x>0일 때, x€-x-2=x+2, x€-2x-4=0
 1 ∴ x=-(-1)\"ƒ(-1)€-1*(-4)=1\'5
 1 그런데 x>0이므로 x=1+'5
  1, 2, 3에서 x=-2 또는 x=1+'5
 따라서 A=-2+1+'5=-1+'5이므로
 -A(1+'5 ) =-(-1+'5 )(1+'5 )

=(1-'5 )(1+'5 )=1-5=-4

073  ⑴ 이차방정식 x€+kx-3k-3=0의 한 근이 1이므로


 1+k-3k-3=0

 -2k=2

∴  k=-1

 ⑵ 이차방정식 x€-(k+2)x+3k+2=0의 한 근이 -2이므로

 (-2)€-(k+2)*(-2)+3k+2=0

 5k=-10

∴  k=-2

 ⑶ 이차방정식 x€-kx-k€-5=0의 한 근이 -3이므로

 (-3)€-k*(-3)-k€-5=0, k€-3k-4=0

 (k+1)(k-4)=0

∴  k=-1 또는 k=4

 ⑷ 이차방정식 x€-kx+4k€-10=0의 한 근이 2이므로

 4-2k+4k€-10=0, 2k€-k-3=0

 (2k-3)(k+1)=0

∴  k=;2#; 또는 k=-1

074  이차방정식 x€-mx-10m-2=0의 한 근이 -3이므로


(-3)€-m*(-3)-10m-2=0



































7m=7

∴  m=1

 m=1을 주어진 방정식에 대입하면

x€-x-12=0, (x-4)(x+3)=0

 ∴ x=4 또는 x=-3

 따라서 다른 한 근인 a=4이다.

 ∴ m+a=1+4=5

042    정답과 풀이













075  ⑴ 직각삼각형 ABP에서


 1€+(1-x)€=a€, a€=x€-2x+2
 ∴ a="ƒx€-2x+2 (∵ a>0)
 직각삼각형 PQD에서



 x€+x€=b€, b€=2x€

 ∴ b="ƒ2x€='2x (∵ b>0)
 ⑵ a=b이므로 "ƒx€-2x+2='2x


 x€-2x+2=2x€, x€+2x-2=0
 ∴ x=-1-"ƒ1€-1*(-2)=-1-'3


 ⑶ 0<x<1이므로 x=-1+'3

076  큰 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
 작은 정사각형의 한 변의 길이는

16-4x
4

=4-x (cm)



 두 정사각형의 넓이의 비가 1 : 2이므로
(4-x)€ : x€=1 : 2에서 x€=2(x-4)€

x€=2x€-16x+32, x€-16x+32=0
 ∴ x=-(-8)\"ƒ(-8)€-32=8\4'2
 이때, 0<x<4이므로 큰 정사각형의 한 변의 길이는

(8-4'2 ) cm이다.



077  ⑴ DE’=x-6
 ⑵ AD’ : AB’=DC’ : DE’이므로


 x : 6=6 : ( x-6)

 ⑶ x(x-6)=36, x€-6x-36=0

 ∴ x=-(-3)\"ƒ(-3)€-1*(-36)=3\3'5
 그런데 x>6이므로 x=3+3'5

078  AB’=CD’=CG’=x+2,


AE’ =AB’-EB’=AB’-BG’=(x+2)-x=2





AB’ : BC’=AE’ : EF’이므로
(x+2) : (2x+2)=2 : x

2(2x+2)=x(x+2), x€-2x-4=0
 ∴ x=-(-1)-"ƒ(-1)€-1*(-4)=1-'5
 그런데 x>0이므로 x=1+'5

079   서로 다른 두 실근, 중근, 서로 다른 두 허근

080  b'€-ac

081  각 이차방정식의 판별식을 D라 하자.

 ⑴ ;;4Î;;=3€-1*6=3>0

 ∴ 서로 다른 두 실근

 ⑵ D=(-5)€-4*2*3=1>0

 ∴ 서로 다른 두 실근

 ⑶ ;;4Î;;=6€-9*4=0

 ∴ 중근

 ⑷ ;;4Î;;=(-'ß10 )€-2*5=0

 ∴ 중근

 ⑸ D=1€-4*1*4=-15<0

 ∴ 서로 다른 두 허근

 ⑹ D=(-5)€-4*3*4=-23<0

 ∴ 서로 다른 두 허근

082  각 이차방정식의 판별식을 D라 하자.
 ㄱ. D=5€-4*2*6=-23<0

 ∴ 서로 다른 두 허근

 ㄴ. D=(-5)€-4*1*(-2)=33>0

 ∴ 서로 다른 두 실근

 ㄷ. D=(-3)€-4*2*4=-23<0

 ∴ 서로 다른 두 허근

 ㄹ. ;;4Î;;=(-2)€-4*1=0

 ∴ 중근

 따라서 서로 다른 두 허근을 갖는 이차방정식은 ㄱ, ㄷ이다.

083  각 이차방정식의 판별식을 D라 하자.

 ⑴ D=(-3)€-4*1*k=-4k+9>0

∴  k<;4(;

 ⑵ ;;4Î;;=2€-1*k=-k+4>0

∴  k<4

 ⑶ ;;4Î;;=(-3)€-3(k+1)=-3k+6>0

∴  k<2

084  각 이차방정식의 판별식을 D라 하자.

 ⑴ ;;4Î;;=3€-1*(-k)=9+k=0

∴  k=-9

 ⑵ D=(k+1)€-4*4*1=0

 ∴ k=3 또는 k=-5

 ⑶ D=(k-1)€-4*1*(k-1)=0

 k€-6k+5=0, (k-1)(k-5)=0

 ∴ k=1 또는 k=5

 ⑵ 1 (1-k)x€+3x+2=0이 이차방정식이므로



1-k+0

∴  k+1

 2 서로 다른 두 실근을 가지므로



D=3€-4*(1-k)*2=8k+1>0

∴  k>-;8!;

 1, 2에서 -;8!;<k<1 또는 k>1

 ⑶ 1 kx€+2kx-2=0이 이차방정식이므로 k+0

 2 중근을 가지므로



;;4Î;;=k€-k*(-2)=0, k€+2k=0, k(k+2)=0

 ∴ k=0 또는 k=-2

 1, 2에서 k=-2

 ⑷ 1 (k€-1)x€+2(k+1)x+2=0이 이차방정식이므로

 k€-1+0, (k+1)(k-1)+0

∴  k+-1

 2 중근을 가지므로





;;4Î;;=(k+1)€-(k€-1)*2=0, k€-2k-3=0

(k+1)(k-3)=0

∴  k=-1 또는 k=3

 1, 2에서 k=3















 2 서로 다른 두 허근을 가지므로





;;4Î;;=(k-1)€-k(k-3)=k+1<0

∴  k<-1

 1, 2에서 k<-1

 k€+2k-15=0, (k-3)(k+5)=0

 ⑸ 1 kx€-2(k-1)x+k-3=0이 이차방정식이므로 k+0

085  각 이차방정식의 판별식을 D라 하자.

 ⑴ ;;4Î;;=2€-1*(-k)=k+4<0

∴  k<-4

 ⑵ D=(2k-1)€-4*1*k€=-4k+1<0

∴  k>;4!;

089  1 kx€-2(k-1)x+k+3=0이 이차방정식이므로 k+0
  2 서로 다른 두 실근을 가지므로 판별식을 D라 하면



;;4Î;;=(k-1)€-k(k+3)=-5k+1>0

∴  k<;5!;;

 ⑶ ;;4Î;;=(k+1)€-1*(k€+5)=2k-4<0

∴  k<2

  1, 2에서 k<0 또는 0<k<;5!;

086  각 이차방정식의 판별식을 D라 하자.

 ⑴ ;;4Î;;=(-2)€-1*(k+5)=-k-1>0

∴  k<-1

 ⑵ ;;4Î;;=k€-1*(k€+k+4)=-k-4>0

∴  k<-4

087  x€+kx+k+3=0의 판별식을 D라 하면


D=k€-4*1*(k+3)=0

k€-4k-12=0, (k+2)(k-6)=0

 ∴ k=-2 또는 k=6

따라서 주어진 이차방정식이 중근을 갖도록 하는 실수 k의 값들

의 곱은 -12이다.

088  각 이차방정식의 판별식을 D라 하자.
 ⑴ \2, 2, 2

따라서 주어진 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는

정수 k의 최댓값은 -1이다.

090  ⑴ k-a, k€+b+1, 0, -2a, a€-b-1, 0, -1
 ⑵ x€+(2k-1)x+k€-ak-b=0의 판별식을 D라 하면

 D=(2k-1)€-4*1*(k€-ak-b)=0

 (4a-4)k+4b+1=0

 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로

 4a-4=0, 4b+1=0

∴  a=1, b=-;4!;

 ⑶ x€+2(k+a)x+k€+6k+b=0의 판별식을 D라 하면



;;4Î;;=(k+a)€-1*(k€+6k+b)=0

 (2a-6)k+a€-b=0

 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로

 2a-6=0, a€-b=0

∴  a=3, b=9

2. 방정식과 부등식    043

































































091  x€+(2k+m)x+k€+k+n=0의 판별식을 D라 하면


D=(2k+m)€-4*1*(k€+k+n)=0

(4m-4)k+m€-4n=0

 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로

4m-4=0, m€-4n=0



 따라서 m=1, n=;4!;이므로 mn=;4!;

092  ⑴ 0, -4
 ⑵ 이차방정식 ax€+4x+a=0의 판별식을 D라 하면



;;4Î;;=2€-a*a=0

 a€-4=0, (a+2)(a-2)=0

∴  a=-2 또는 a=2

 ⑶ a€+b€=(a+b)€-2ab=(-1)€-2*(-5)=11이므로

095  근과 계수의 관계에 의해 a+b=-1, ab=-5

 ⑴

+

=

1
a

1
b

a+b
ab

=

-1
-5

=;5!;

 ⑵ (a-b)€ =(a+b)€-4ab 

=(-1)€-4*(-5)=21





+

=

b
a

a
b

a€+b€
ab

=

11
-5

=-:¡5¡:

 ⑷ a‹b+ab‹ =ab(a€+b€)

=(-5)*11=-55

096  근과 계수의 관계에 의해 a+b=2, ab=-;2!;
 ⑴ (2a-1)(2b-1)=4ab-2(a+b)+1

 ⑶ 이차방정식 ax€-4ax+3a+5=0의 판별식을 D라 하면

 ⑴ (2a-1)(2b-1)=4*{-;2!;}-2*2+1=-5



;;4Î;;=(-2a)€-a(3a+5)=0

 a€-5a=0, a(a-5)=0

∴  a=0 또는 a=5

 그런데 a+0이므로 a=5

 ⑷ 이차방정식 x€+4ax+a€+6a=0의 판별식을 D라 하면



;;4Î;;=(2a)€-1*(a€+6a)=0

 3a€-6a=0, 3a(a-2)=0

∴  a=0 또는 a=2

 그런데 a+0이므로 a=2

 ⑸ 이차방정식 x€-(a+2)x+(2a+1)=0의 판별식을 D라 하면

 D={-(a+2)}€-4*1*(2a+1)=0

 a€-4a=0, a(a-4)=0

∴  a=0 또는 a=4

 그런데 a+0이므로 a=4

093  이차방정식 x€+(a-6)x-2(a-4)=0의 판별식을 D라 하면


D=(a-6)€-4*1*{-2(a-4)}=0

a€-4a+4=0, (a-2)€=0

∴  a=2



a=2를 x€+(a+4)x+3(a+1)=0에 대입하면

x€+6x+9=0, (x+3)€=0

∴  x=-3

 ⑵

1
a-1

+

1
b-1

=

a+b-2
ab-(a+b)+1

+

 ⑵

1
b-1

1
b-1

2-2
-;2!;-2+1
 ⑶ a‹+b‹=(a+b)‹-3ab(a+b)

=

=0

 ⑹ a‹+b‹ =2‹-3*{-;2!;}*2=11

097  근과 계수의 관계에 의해 a+b=-2, ab=;3!;

 ∴ {a+

1
b€ }{b+

1
a€ }=ab+

1
a

+

+

1
b

1
a€b€

 ∴ {a+ }{b+ }=ab+

 ∴ {a+ }{b+ }=;3!;+

a+b
ab

+

1
(ab)€

-2

+

1

€
{;3!;}

;3!;

 ∴ {a+ }{b+ }=;3!;-6+9=:¡3º:

참고

-2

;3!;

=-2/;3!;=-2_3=-6

































094  ⑴ a+b=-

-4
1

=4, ab=;1&;=7

 ⑵ a+b=-;1#;=-3, ab=;1!;=1

 ⑶ a+b=-

-3
2

=;2#;, ab=;2%;

 ⑷ a+b=-;3#;=-1, ab=

-1
3

=-;3!;

 ⑸ a+b=-

2'2
1

=-2'2, ab=;1!;=1

 ⑹ a+b=-

-2'3
1

=2'3, ab=

-6
1

=-6

 ⑺ a+b=-;1);=0, ab=;1$;=4

 ⑻ a+b=-

-3
2

=;2#;, ab=;2);=0

044    정답과 풀이













098  이차방정식 x€-2x+3=0의 두 근이 a, b이므로


a€-2a+3=0, b€-2b+3=0

 한편, 근과 계수의 관계에 의해 a+b=2, ab=3

 ⑴ 0, 0, 3, 2, 2

 ⑵ a€-3a+1=(a€-2a+3)-a-2=-a-2

 b€-3b+1=(b€-2b+3)-b-2=-b-2



 ∴ (a€-3a+1)(b€-3b+1) =(-a-2)(-b-2)

=ab+2(a+b)+4

=3+2*2+4=11

 ⑶ a€+a+4=(a€-2a+3)+3a+1=3a+1

 b€+b+4=(b€-2b+3)+3b+1=3b+1

 ∴ (a€+a+4)(b€+b+4) =(3a+1)(3b+1)

=9ab+3(a+b)+1

=9*3+3*2+1=34

099  이차방정식 x€-x+6=0의 두 근이 a, b이므로


a€-a+6=0, b€-b+6=0에서

2-2a+a€=(a€-a+6)-a-4=-a-4

2-2b+b€=(b€-b+6)-b-4=-b-4

 한편, 근과 계수의 관계에 의해

a+b=1, ab=6

 ∴ (2-2a+a€)(2-2b+b€) =(-a-4)(-b-4)

=ab+4(a+b)+16

=6+4*1+16

=26

100  ⑴ 3, -6, 3, -6, 3, ;2(;, -27
 ⑵ 이차방정식 x€-ax+6=0의 두 근이 a, b이므로

 a+b=a, ab=6

…… ㉠



또, 이차방정식 x€-7x+b=0의 두 근이 a+1, b+1이므로

 (a+1)+(b+1)=7, (a+1)(b+1)=b

 ∴ a+b+2=7, ab+a+b+1=b  …… ㉡

 ㉠을 ㉡에 대입하면

 a+2=7, 6+a+1=b

 ∴ a=5, b=12



 ⑶ 이차방정식 x€-2x+a=0의 두 근이 a, b이므로

 a+b=2, ab=a



…… ㉠



또, 이차방정식 x€+bx-4=0의 두 근이 a-1, b-1이므로

 (a-1)+(b-1)=-b, (a-1)(b-1)=-4

 ∴ a+b-2=-b, ab-(a+b)+1=-4



…… ㉡

 ㉠을 ㉡에 대입하면

 2-2=-b, a-2+1=-4

 ∴ a=-3, b=0

101  이차방정식 x€+ax+12=0의 두 근이 a, b이므로
…… ㉠


a+b=-a, ab=12

 또, 이차방정식 x€+bx-36=0의 두 근이 a+b, ab이므로



(a+b)+ab=-b, (a+b)*ab=-36  …… ㉡

 ㉠을 ㉡에 대입하면

 -a+12=-b, (-a)*12=-36

 따라서 a=3, b=-9이므로 a+b=-6

102  ⑴ ;3!;, 1, ;3!;, 3
 ⑵ 두 근의 비가 2 : 1이므로 두 근을 2a, a(a+0)로 놓으면

 2a+a=k+2

∴  k=3a-2

 2a*a=2k

∴  a€=k

…… ㉠

…… ㉡

 ㉠을 ㉡에 대입하면 a€=3a-2이므로

 a€-3a+2=0, (a-1)(a-2)=0

 ∴ a=1 또는 a=2

 이것을 ㉠에 대입하면 k=1 또는 k=4

















































































































 ⑶ 두 근의 비가 1 : 4이므로 두 근을 a, 4a(a+0)로 놓으면

 a+4a=-(k+6)

∴  k=-5a-6

 a*4a=4k

∴  a€=k



 ㉠을 ㉡에 대입하면 a€=-5a-6이므로

 a€+5a+6=0, (a+2)(a+3)=0

 ∴ a=-2 또는 a=-3

 이것을 ㉠에 대입하면 k=4 또는 k=9

…… ㉠

…… ㉡

 ⑷ 두 근의 비가 2 : 3이므로 두 근을 2a, 3a(a+0)로 놓으면

 2a+3a=k

∴  k=5a

 2a*3a=6k

∴  a€=k

…… ㉠

…… ㉡

 ㉠을 ㉡에 대입하면 a€=5a이므로

 a€-5a=0, a(a-5)=0

∴  a=5 (∵ a+0)

 이것을 ㉠에 대입하면 k=25

103  ⑴ -5, 1, -8, 4
 ⑵ 두 근의 차가 1이므로 두 근을 a, a+1로 놓으면



a+(a+1)=k

∴  k=2a+1

 a(a+1)=k+5





…… ㉠

…… ㉡

 ㉠을 ㉡에 대입하면 a(a+1)=(2a+1)+5이므로

 a€-a-6=0, (a+2)(a-3)=0

 ∴ a=-2 또는 a=3

 이것을 ㉠에 대입하면 k=-3 또는 k=7

 ⑶ 두 근의 차가 3이므로 두 근을 a, a+3으로 놓으면

 a+(a+3)=-(k-1)

∴  k=-2a-2  …… ㉠

 a(a+3)=k-4







…… ㉡

 ㉠을 ㉡에 대입하면 a(a+3)=(-2a-2)-4이므로

 a€+5a+6=0, (a+2)(a+3)=0

 ∴ a=-2 또는 a=-3

 이것을 ㉠에 대입하면 k=2 또는 k=4

 ⑷ 두 근의 차가 5이므로 두 근을 a, a+5로 놓으면

 a+(a+5)=k-1

∴  k=2a+6

 …… ㉠

 a(a+5)=2k





…… ㉡

 ㉠을 ㉡에 대입하면 a(a+5)=2(2a+6)이므로

 a€+a-12=0, (a+4)(a-3)=0

 ∴ a=-4 또는 a=3

 이것을 ㉠에 대입하면 k=-2 또는 k=12

104  ⑴ (두 근의 합)=2+(-3)=-1
 (두 근의 곱)=2*(-3)=-6


 ∴ x€+x-6=0

 ⑵ (두 근의 합)=-4+5=1

 (두 근의 곱)=(-4)*5=-20

 ∴ x€-x-20=0

 ⑶ (두 근의 합)=;2!;+;3!;=;6%;

 (두 근의 곱)=;2!;*;3!;=;6!;

 ∴ x€-;6%;x+;6!;=0

2. 방정식과 부등식    045

  ⑷ (두 근의 합)=(1+'2 )+(1-'2 )=2
 (두 근의 곱)=(1+'2 )(1-'2 )=-1

 ∴ x€-2x-1=0



 ⑸ (두 근의 합)=('3+1)+('3-1)=2'3
 (두 근의 곱)=('3+1)('3-1)=2

 ∴ x€-2'3 x+2=0



 ⑹ (두 근의 합)=(-2+'3 )+(-2-'3 )=-4
 (두 근의 곱)=(-2+'3 )(-2-'3 )=1

 ∴ x€+4x+1=0



 ⑺ (두 근의 합)=(1+i)+(1-i)=2

 (두 근의 곱)=(1+i)(1-i)=2

 ∴ x€-2x+2=0

 ⑻ (두 근의 합)='5 i+(-'5 i)=0
 (두 근의 곱)='5 i*(-'5 i)=5

 ∴ x€+5=0



105  이차방정식 x€-2x+3=0의 두 근이 a, b이므로


a+b=2, ab=3

 ⑴ (두 근의 합)=2a+2b=2(a+b)=2*2=4

 (두 근의 곱)=2a*2b=4ab=4*3=12

 ∴ x€-4x+12=0

 ⑵ (두 근의 합)=(a+b)+ab=2+3=5

 (두 근의 곱)=(a+b)*ab=2*3=6

 ∴ x€-5x+6=0

 ⑶ (두 근의 합)=

+

=

1
a

1
a

1
b

1
b

a+b
ab

=;3@;

1
ab

=;3!;

 (두 근의 곱)=

*

=

 ∴ x€-;3@;x+;3!;=0

 ⑷ (두 근의 합) =(a-1)+(b-1)=a+b-2

 (두 근의 곱) =(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1

=2-2=0

=3-2+1=2

 ∴ x€+2=0

 ⑸ (두 근의 합) =a€+b€=(a+b)€-2ab 

=2€-2*3=-2

 (두 근의 곱)=a€b€=(ab)€=3€=9

 ∴ x€+2x+9=0

 ⑹ (두 근의 합) =(a€+1)+(b€+1)=a€+b€+2

 (두 근의 곱) =(a€+1)(b€+1)=a€b€+a€+b€+1

=-2+2=0

=9+(-2)+1=8

 ∴ x€+8=0

046    정답과 풀이



























































106  근과 계수의 관계에 의해 a+b=-2, ab=4이므로
1
b

(두 근의 합)=

a+b
ab

=-;2!;

-2
4

1
a

=

=

+



(두 근의 곱)=

*

=

1
a

1
b

1
ab

=;4!;

 따라서 구하는 이차방정식은

4{x€+;2!;x+;4!;}=0

∴  4x€+2x+1=0

107  ⑴ '3 i, '3 i, '3 i, '3 i, '3 i
 ⑵ 이차방정식 x€-2x+5=0의 근은

 x=-(-1)-"ƒ(-1)€-1*5=1-2i
 ∴ x€-2x+5={x-(1+2i)}{x-(1-2i)}

 ∴ x€-2x+5=(x-1-2i)(x-1+2i)

 ⑶ 이차방정식 x€-4x+6=0의 근은

 x=-(-2)-"ƒ(-2)€-1*6=2-'2 i
 ∴ x€-4x+6 ={x-(2+'2 i)}{x-(2-'2 i)}



=(x-2-'2 i)(x-2+'2 i)

 ⑷ 이차방정식 3x€+x-1=0의 근은

 x=

-1\"ƒ1€-4*3*(-1)
2*3

=

-1\'1å3
6

 ∴ 3x€+x-1=3{x-

-1+'1å3
6
1-'1å3
6

} {x-

}

-1-'1å3
6
1+'1å3
6

}

=3{x+

} {x+



108  이차방정식 3x€-6x+6=0, 즉 x€-2x+2=0의 근은


x=-(-1)\"ƒ(-1)€-1*2=1-i

 ∴ 3x€-6x+6 =3(x€-2x+2)



=3{x-(1+i)}{x-(1-i)}

=3(x-1-i)(x-1+i)

109  ⑴ 1-'3, 1-'3, -2, 1-'3, -2


 다른풀이
 이차방정식 x€+ax+b=0의 한 근이 1+'3이므로
 (1+'3 )€+a(1+'3 )+b=0
 1+2'3+3+a+a'3+b=0
 (a+2)'3+a+b+4=0
 따라서 a+2=0, a+b+4=0이므로 a=-2, b=-2

 ⑵ 계수가 유리수이고 한 근이 3+'2이므로


 다른 한 근은 3-'2이다. 근과 계수의 관계에 의해
 (3+'2 )+(3-'2 )=-2a
 (3+'2 )(3-'2 )=b

∴  a=-3

∴  b=7





 ⑶ 계수가 유리수이고 한 근이 '2-1, 즉 -1+'2이므로
 다른 한 근은 -1-'2이다. 근과 계수의 관계에 의해

 (-1+'2 )+(-1-'2 )=-a
 (-1+'2 )(-1-'2 )=-b

∴  a=2

∴  b=1





  ⑵ 계수가 실수이고 한 근이 3-i이므로 다른 한 근은 3+i이다.

 -7k+7=0

∴  k=1

 ⑷ 계수가 유리수이고 한 근이 2-'2이므로


 다른 한 근은 2+'2이다. 근과 계수의 관계에 의해

 (2-'2 )+(2+'2 )=-;a!;

∴  a=-;4!;

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76쪽~77쪽

112  (x-2)(x-4)=0

∴  x=2 또는 x=4

 (2-'2 )(2+'2 )=;aB;, b=2a

∴  b=-;2!;

113  x =-(-1)\"ƒ(-1)€-1*9=1\'ß-8=1\2'2 i















































110  ⑴ 계수가 실수이고 한 근이 1+2i이므로 다른 한 근은 1-2i이

다. 근과 계수의 관계에 의해

 (1+2i)+(1-2i)=-a

∴  a=-2

 (1+2i)(1-2i)=b

∴  b=5

 다른풀이

 이차방정식 x€+ax+b=0의 한 근이 1+2i이므로

 (1+2i)€+a(1+2i)+b=0

 1+4i-4+a+2ai+b=0

 (a+b-3)+(2a+4)i=0

 따라서 a+b-3=0, 2a+4=0이므로 a=-2, b=5

 근과 계수의 관계에 의해

 (3-i)+(3+i)=2a

∴  a=3

 (3-i)(3+i)=b

∴  b=10

 ⑶ 계수가 실수이고 한 근이

2
1-i

=

2(1+i)
(1-i)(1+i)

=1+i이므

 로 다른 한 근은 1-i이다. 근과 계수의 관계에 의해

 (1+i)+(1-i)=-a

∴  a=-2

 (1+i)(1-i)=b

∴  b=2

 ⑷ 계수가 실수이고 한 근이

1
1+i

=

1-i
(1+i)(1-i)

=

1-i
2

이

 므로 다른 한 근은

이다. 근과 계수의 관계에 의해

1+i
2





1-i
2

+

1+i
2

=a

∴  a=1

1-i
2

*

1+i
2

=b

∴  b=;2!;

 ⑸ 계수가 실수이고 한 근이 2+'2 i이므로 다른 한 근은 2-'2 i

이다. 근과 계수의 관계에 의해

 (2+'2 i)+(2-'2 i)=-;a!;

∴  a=-;4!;

 (2+'2 i)(2-'2 i)=;aB;, b=6a

∴  b=-;2#;

111  계수가 실수이고 한 근이
5i(1+2i)
(1-2i)(1+2i) 

5i
1-2i

=



=i(1+2i)=-2+i

 이므로 다른 한 근은 -2-i이다. 근과 계수의 관계에 의해

114  1 x<-1일 때,


 x€-2(x+1)-5=0, x€-2x-7=0
 ∴ x =-(-1)\"ƒ(-1)€-1*(-7)=1\2'2
 그런데 x<-1이므로 x=1-2'2

  2 x>-1일 때,

 x€+2(x+1)-5=0, x€+2x-3=0

 (x-1)(x+3)=0


  1, 2에서 x=1-2'2 또는 x=1

∴  x=1 (∵ x>-1)

115  이차방정식 x€-kx-10k-2=0의 한 근이 -3이므로


(-3)€-k*(-3)-10k-2=0

116  이차방정식 x€-(k-1)x+k€=0의 한 근이 -1이므로


(-1)€-(k-1)*(-1)+k€=0

k€+k=0, k(k+1)=0

∴  k=0 또는 k=-1

117  이차방정식 x€-4x-1=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(-2)€-1*(-1)=5>0

 ∴ 서로 다른 두 실근

118  이차방정식 3x€+4'3x+4=0의 판별식을 D라 하면


 ∴ 중근

;;4Î;;=(2'3 )€-3*4=0

119  이차방정식 x€-x+2=0의 판별식을 D라 하면


D=(-1)€-4*1*2=-7<0

 ∴ 서로 다른 두 허근

120   이차방정식 x€-2(k+2)x+k€=0이 서로 다른 두 실근을 가지

므로 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(k+2)€-1*k€=4k+4>0

∴  k>-1

121   이차방정식 x€-(k-1)x+k-1=0이 중근을 가지므로 판별

식을 D라 하면

D=(k-1)€-4*1*(k-1)=0

k€-6k+5=0, (k-1)(k-5)=0

∴  k=1 또는 k=5



















(-2+i)+(-2-i)=-a

∴  a=4

(-2+i)(-2-i)=b

∴  b=5

122   이차방정식 x€+2(k-4)x+k€=0이 서로 다른 두 허근을 가지

므로 판별식을 D라 하면

 ∴ ;bA;=;5$;

;;4Î;;=(k-4)€-1*k€=-8k+16<0

∴  k>2

2. 방정식과 부등식    047















 

 









123  x€-2(a+k)x+k€+6k+b=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(a+k)€-1*(k€+6k+b)=0

(2a-6)k+a€-b=0

 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로

2a-6=0, a€-b=0

∴  a=3, b=9

124  x€+2(a-k)x+k€-2k-b=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(a-k)€-1*(k€-2k-b)=0

(-2a+2)k+a€+b=0

 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로

 -2a+2=0, a€+b=0

∴  a=1, b=-1

125  이차방정식 x€-8x+a-8=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(-4)€-1*(a-8)=0

 -a+24=0

∴  a=24

126  이차방정식 x€+(a+5)x+2a+7=0의 판별식을 D라 하면


D=(a+5)€-4*1*(2a+7)=0



a€+2a-3=0, (a-1)(a+3)=0

 ∴ a=1 또는 a=-3

127  a+b=4, ab=-1이므로

+

=

a€+b€
ab

=

(a+b)€-2ab
ab

b
a

b
a

a
b

b
a

+

=

4€-2*(-1) 
-1

+ =-18

128  a+b=4, ab=-1이므로
(a-b)€ =(a+b)€-4ab 


=4€-4*(-1)=20

129  a+b=4, ab=-1이므로


a‹+b‹=(a+b)‹-3ab(a+b)

a‹+b‹=4‹-3*(-1)*4=76

130  이차방정식 x€-4x-1=0의 두 근이 a, b이므로


a€-4a-1=0, b€-4b-1=0에서

a€-2a+3=(a€-4a-1)+2a+4=2a+4

b€-2b+3=(b€-4b-1)+2b+4=2b+4

 이때, a+b=4, ab=-1이므로

(a€-2a+3)(b€-2b+3) =(2a+4)(2b+4)

=4ab+8(a+b)+16

=4*(-1)+8*4+16

=44

048    정답과 풀이

131  a+b=3, ab=6이므로


(두 근의 합) =(a+1)+(b+1)=a+b+2



(두 근의 곱) =(a+1)(b+1)=ab+a+b+1

=3+2=5

=6+3+1=10

 따라서 구하는 이차방정식은 x€-5x+10=0

132  a+b=3, ab=6이므로

(두 근의 합)=

+

=

1
a

1
a

1
b

1
b

a+b
ab

=;6#;=;2!;

1
ab

=;6!;

(두 근의 곱)=

*

=

 따라서 구하는 이차방정식은 x€-;2!;x+;6!;=0

133  a+b=3, ab=6이므로




(두 근의 곱)=a€b€=6€=36

(두 근의 합)=a€+b€=(a+b)€-2ab=3€-2*6=-3

 따라서 구하는 이차방정식은 x€+3x+36=0

134  a+b=3, ab=6이므로


(두 근의 합)=(a€-1)+(b€-1)=a€+b€-2

(두 근의 합)=(-3)-2=-5

(두 근의 곱)=(a€-1)(b€-1)=a€b€-(a€+b€)+1

(두 근의 합)=6€-(-3)+1=40

 따라서 구하는 이차방정식은 x€+5x+40=0

135  이차방정식 x€-4x+13=0의 근은


x=-(-2)\"ƒ(-2)€-1*13=2\3i
 ∴ x€-4x+13 ={x-(2+3i)}{x-(2-3i)}

=(x-2-3i)(x-2+3i)

136  이차방정식 2x€-3x+3=0의 근은



x=

-(-3)\"ƒ(-3)€-4*2*3
2*2

=

 ∴ 2x€-3x+3=2{x-

3+'ß15 i
4

3\'ß15 i
4
3-'ß15 i
4

}{x-

} 

137  계수가 유리수이고 한 근이 1-'5이므로
 다른 한 근은 1+'5이다. 근과 계수의 관계에 의해


∴  a=-2

(1-'5 )+(1+'5 )=-a
(1-'5 )(1+'5 )=b

∴  b=-4

138  계수가 실수이고 한 근이

5
2+i

=

5(2-i)
(2+i)(2-i)

=2-i이므로

 다른 한 근은 2+i이다. 근과 계수의 관계에 의해

(2-i)+(2+i)=-a

∴  a=-4

(2-i)(2+i)=b

∴  b=5

















03 이차방정식과이차함수

78쪽~94쪽

141  ⑴ 꼭짓점의 좌표가 (0, 2)인 이차함수의 식은


 y=ax€+2



따라서 꼭짓점의 좌표는 (2, 3)이고, 축의 방정식은 x=2이다.



 4 y=-(x+2)€+1

-4

-2

O

4

x

2



 4 y=-;3@;(x-3)€+7





따라서 꼭짓점의 좌표는 (-1, -4)이고, 축의 방정식은



따라서 꼭짓점의 좌표는 (2, 3)이고, 축의 방정식은 x=2이다.



따라서 꼭짓점의 좌표는 (1, 3)이고, 축의 방정식은 x=1이다.

















139  ⑴ y =x€+2x-3

=(x€+2x+1-1)-3

=(x+1)€-4

x=-1이다.

 ⑵ y =-x€+4x-1

=-(x€-4x+4-4)-1

=-(x-2)€+3

 ⑶ y =2x€-4x+5

=2(x€-2x+1-1)+5

=2(x-1)€+3

 ⑷ y=-;2!;x€+2x+1

 =-;2!;(x€-4x+4-4)+1

 =-;2!;(x-2)€+3











140  ⑴ y =x€-2x-1

=(x€-2x+1-1)-1

=(x-1)€-2

 ⑵ y =2x€+8x+4

=2(x€+4x+4-4)+4

=2(x+2)€-4





 ⑶ y =-x€+4x-3

=-(x€-4x+4-4)-3

=-(x-2)€+1







y
4

2

-2

-4

-6

-4

-2

2

x

y

2

O
-2

-4



x

2

4

6

y



O
-2

-4

-6

2

2

y
4

O
-2

-4

-4

-2

4

x

 ⑷ y =-2x€-4x+1

=-2(x€+2x+1-1)+1



=-2(x+1)€+3

















































 그래프가 점 (3, 3)을 지나므로

 3=9a+2

 4 a=;9!;

 4 y=;9!;x€+2

 ⑵ 꼭짓점의 좌표가 (1, 4)인 이차함수의 식은

 y=a(x-1)€+4

 그래프가 점 (2, 5)를 지나므로

 5=a+4

 4 a=1



 4 y=(x-1)€+4

 ⑶ 꼭짓점의 좌표가 (-1, -3)인 이차함수의 식은

 y=a(x+1)€-3

 그래프가 점 (-2, -5)를 지나므로

 -5=a-3

 4 a=-2



 4 y=-2(x+1)€-3

 ⑷ 꼭짓점의 좌표가 (-2, 1)인 이차함수의 식은

 y=a(x+2)€+1

 그래프가 점 (0, -3)을 지나므로

 -3=4a+1

 4 a=-1

 ⑸ 꼭짓점의 좌표가 (3, 7)인 이차함수의 식은

 y=a(x-3)€+7

 그래프가 점 (6, 1)을 지나므로

 1=9a+7

 4 a=-;3@;

142  ⑴ x축과 두 점 (-1, 0), (2, 0)에서 만나는 이차함수의 식은


 y=a(x+1)(x-2)

 ⑵ x축과 두 점 (1, 0), (3, 0)에서 만나는 이차함수의 식은

 그래프가 점 (3, 4)를 지나므로

 4a=4

 4 a=1

 4 y=(x+1)(x-2)=x€-x-2

 y=a(x-1)(x-3)

 그래프가 점 (-1, 4)를 지나므로

 8a=4

 4 a=;2!;



 4 y=;2!;(x-1)(x-3)=;2!;x€-2x+;2#;

 ⑶ x축과 두 점 (-3, 0), (3, 0)에서 만나는 이차함수의 식은

 y=a(x+3)(x-3)

 그래프가 점 (5, -8)을 지나므로

 16a=-8

 4 a=-;2!;



 4 y=-;2!;(x+3)(x-3)=-;2!;x€+;2(;

2. 방정식과 부등식    049

















































 ⑷ 점 (0, 0)을 지나는 이차함수의 식은

 ㄷ. y절편이 x축의 위쪽에 있으므로 c>0

 y=ax€+bx

f(x)=ax€+bx+c로 놓으면

 그래프가 두 점 (1, -3), (2, -4)를 지나므로

 ㄹ. f(1)=a+b+c이고, f(1)=0이므로

 따라서 a+b=-3, 2a+b=-2이므로 a=1, b=-4

 ㅁ. f(-1)=a-b+c이고, f(-1)>0이므로

 ⑸ 점 (0, 3)을 지나는 이차함수의 식은

 ㅂ. f(2)=4a+2b+c이고, f(2)>0이므로

 a+b=-3, 4a+2b=-4



 4 y=x€-4x

 y=ax€+bx+3



a+b+c=0

 a-b+c>0

 4a+2b+c>0

 그래프가 두 점 (-1, 10), (2, 1)을 지나므로

 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅂ이다.

 a-b+3=10, 4a+2b+3=1

 따라서 a-b=7, 2a+b=-1이므로 a=2, b=-5



 4 y=2x€-5x+3

146  ⑴ 이차방정식 x€-5x=0에서


 x(x-5)=0

 4 x=0 또는 x=5

 ⑹ 점 (0, 5)를 지나는 이차함수의 식은

 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는

 y=ax€+bx+5

 0, 5이다.

 그래프가 두 점 (-1, 1), (2, 7)을 지나므로

 ⑵ 이차방정식 x€-5x+4=0에서

 a-b+5=1, 4a+2b+5=7

 (x-1)(x-4)=0

 4 x=1 또는 x=4

 a-b=-4, 2a+b=1이므로 a=-1, b=3

 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는



 4 y=-x€+3x+5

143  ⑴ 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0


 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0

 4 b<0

 1, 4이다.

 ⑶ 이차방정식 x€+6x+9=0에서

 (x+3)€=0

 4 x=-3

 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는

 y절편이 x축의 위쪽에 있으므로 c>0

 -3이다.

 ⑵ 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0

 ⑷ 이차방정식 x€-8x+7=0에서

 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0

 4 b>0

 (x-1)(x-7)=0

 4 x=1 또는 x=7

 y절편이 x축의 아래쪽에 있으므로 c<0

 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는

 ⑶ 그래프가 위로 볼록하므로 a<0

 1, 7이다.

 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0

 4 b>0

 ⑸ 이차방정식 -4x€+4x-1=0에서

 y절편이 x축의 위쪽에 있으므로 c>0

 ⑷ 그래프가 위로 볼록하므로 a<0

 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0

 4 b<0

 y절편이 x축의 아래쪽에 있으므로 c<0

144  ⑴ _  그래프가 아래로 볼록하므로 a>0


축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0



 4 b<0

 ⑵ ◯  y절편이 x축의 아래쪽에 있으므로 c<0

 4 ac<0

f(x)=ax€+bx+c로 놓으면

 ⑶ _  f(1)=a+b+c이고, f(1)<0이므로

 ⑷ _  f(-1)=a-b+c이고, f(-1)=0이므로

 ⑸ ◯  f(2)=4a+2b+c이고, f(2)=0이므로

a+b+c<0

a-b+c=0

4a+2b+c=0

 ⑹ _  f {-;2!;}=;4!;a-;2!;b+c이고, f {-;2!;}<0이므로

;4!;(a-2b+4c)<0

 4 a-2b+4c<0









145  ㄱ. 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
 ㄴ. 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0

 4 b<0

050    정답과 풀이

 4x€-4x+1=0, (2x-1)€=0

 4 x=;2!;

 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는



;2!;이다.

 ⑹ 이차방정식 -x€+x+6=0에서

 x€-x-6=0, (x+2)(x-3)=0

4 x=-2 또는 x=3

 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는

 -2, 3이다.

 ⑺ 이차방정식 -x€+2x+1=0에서
 4 x=1-'2

 x€-2x-1=0



 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는
 1-'2, 1+'2이다.

147  ⑴ -a, b, -4, 3
  다른풀이
 

 x축과 두 점 (1, 0), (3, 0)에서 만나고 x€의 계수가 1이므로

 y=(x-1)(x-3)=x€-4x+3

 4 a=-4, b=3

 ⑵ 이차함수 y=x€+ax+b의 그래프가 x축과 두 점 (-2, 0),

(4, 0)에서 만나므로 이차방정식 x€+ax+b=0의 두 근이

-2, 4이다.

 -2+4=-a, (-2)*4=b

 4 a=-2, b=-8













































































 

 

 

















 ⑶ 이차함수 y=-x€+ax-b의 그래프가 x축과 두 점

 ⑶ 이차방정식 ;2!;x€-2x+2=0의 판별식을 D라 하면

 (-1, 0), (3, 0)에서 만나므로 이차방정식 -x€+ax-b=0,

즉 x€-ax+b=0의 두 근이 -1, 3이다.

 -1+3=a, (-1)*3=b



 4 a=2, b=-3

148   이차함수 y=x€+ax-6의 그래프가 x축과 두 점 (-2, 0),
(b, 0)에서 만나므로 이차방정식 x€+ax-6=0의 두 근이

-2, b이다.

 -2+b=-a, (-2)*b=-6



 4 a=-1, b=3

 따라서 구하는 값은 ab=-3

149  ⑴ 4ab, 4k, -3
 ⑵ 이차방정식 x€+x+k=0의 두 근을 a, b라 하면

 

  a+b=-1, ab=k

 ⑶ 이차방정식 x€-2x+k=0의 두 근을 a, b라 하면

 |a-b|=5에서 (a-b)€=25이고,

 (a-b)€=(a+b)€-4ab이므로
 4 k=-6

 25=(-1)€-4k

  a+b=2, ab=k
 |a-b|=2'5에서 (a-b)€=20이고,
 (a-b)€=(a+b)€-4ab이므로

 20=2€-4k

 4 k=-4

  a+b=6, ab=k
 |a-b|=2'ß14 에서 (a-b)€=56이고,
 (a-b)€=(a+b)€-4ab이므로

 56=6€-4k

 4 k=-5

a+b=2k, ab=;2K;

|a-b|=2에서 (a-b)€=4이고,

(a-b)€=(a+b)€-4ab이므로

4=(2k)€-2k

 4 2k€-k-2=0

 ⑷ 이차방정식 x€-6x+k=0의 두 근을 a, b라 하면



;4Î;;=(-1)€-;2!;*2=0

 따라서 이차함수 y=;2!;x€-2x+2의 그래프는 x축과 한 점에
 서 만난다.

 ⑷ 이차방정식 x€-6x+10=0의 판별식을 D라 하면

;4Î;;=(-3)€-1*10=-1<0





않는다.

따라서 이차함수 y=x€-6x+10의 그래프는 x축과 만나지

 ⑸ 이차방정식 -2x€+x-1=0의 판별식을 D라 하면

 D=1€-4*(-2)*(-1)=-7<0



따라서 이차함수 y=-2x€+x-1의 그래프는 x축과 만나

지 않는다.

152  ⑴ 4k, <
 ⑵ x€+2x+k=0의 판별식을 D라 하면



;4Î;;=1€-1*k=1-k>0



 4 k<1

 ⑶ x€-3x+4-k=0의 판별식을 D라 하면

 D=(-3)€-4*1*(4-k)=-7+4k>0



 4 k>;4&;

 ⑷ x€+2(2-k)x+k€=0의 판별식을 D라 하면



;;4Î;;=(2-k)€-1*k€=-4k+4>0



 4 k<1

;;4Î;;=2€-1*(a-11)=-a+15>0



 4 a<15

 따라서 자연수 a의 최댓값은 14이다.

150  이차방정식 2x€-4kx+k=0의 두 근을 a, b라 하면

153 x€+4x+a-11=0의 판별식을 D라 하면

이때, 2k€-k-2=0을 만족하는 모든 k의 값의 합은

 근과 계수의 관계에 의해 ;2!;

154  ⑴ 이차함수 y=3x€+kx+2의 그래프가 x축과 한 점에서 만나
므로 이차방정식 3x€+kx+2=0이 중근을 갖는다.

151  ⑴ 이차방정식 x€+2x-1=0의 판별식을 D라 하면

;4Î;;=1€-1*(-1)=2>0





른 두 점에서 만난다.

따라서 이차함수 y=x€+2x-1의 그래프는 x축과 서로 다

 3x€+kx+2=0의 판별식을 D라 하면

 D=k€-4*3*2=k€-24=0
 (k-2'6 )(k+2'6 )=0

 4 k=+2'6

 ⑵ x€-2(k-1)x+4=0의 판별식을 D라 하면



;4Î;;=(k-1)€-1*4=k€-2k-3=0

 ⑵ 이차방정식 -x€+5x-3=0의 판별식을 D라 하면

 (k+1)(k-3)=0

 4 k=-1 또는 k=3

 D=5€-4*(-1)*(-3)=13>0

 ⑶ 2x€+kx+k-2=0의 판별식을 D라 하면



따라서 이차함수 y=-x€+5x-3의 그래프는 x축과 서로

 D=k€-4*2*(k-2)=k€-8k+16=0

다른 두 점에서 만난다.

 (k-4)€=0

 4 k=4

2. 방정식과 부등식    051











































155  ⑴ 이차함수 y=x€-6x+k의 그래프가 x축과 만나지 않으므로

이차방정식 x€-6x+k=0이 서로 다른 두 허근을 갖는다.

159  ⑴ x€-1=2x+k에서 x€-2x-k-1=0
 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면


 x€-6x+k=0의 판별식을 D라 하면



;4Î;;=(-3)€-1*k=9-k<0

 4 k>9



;;4Î;;=(-1)€-1*(-k-1)=k+2=0

 4 k=-2

 ⑵ -x€-2x+k=2x+3에서 x€+4x+3-k=0

 ⑵ -x€+x-k+3=0의 판별식을 D라 하면

 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면



 D=1€-4*(-1)*(-k+3)=-4k+13<0  4 k>;;¡4£;;



;;4Î;;=2€-1*(3-k)=k+1=0

 4 k=-1

 ⑶ x€+2kx+k€+k+3=0의 판별식을 D라 하면

 ⑶ 2x€+kx+1=5x-1에서 2x€+(k-5)x+2=0



;;4Î;;=k€-1*(k€+k+3)=-k-3<0

 4 k>-3

 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

 D=(k-5)€-4*2*2=k€-10k+9=0

 (k-1)(k-9)=0

 4 k=1 또는 k=9

156   이차함수 y=x€-2ax+a+3의 그래프가 x축과 접하려면
이차방정식 x€-2ax+a+3=0이 중근을 가져야 한다.

x€-2ax+a+3=0의 판별식을 D라 하면

160  ⑴ x€-2x+4=x+2k에서 x€-3x+4-2k=0


 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(-a)€-1*(a+3)=a€-a-3=0



 D=(-3)€-4*1*(4-2k)=8k-7<0

 4 k<;8&;

이때, a€-a-3=0을 만족시키는 모든 실수 a의 값의 합은

 ⑵ x€-3x+1=x-3k에서 x€-4x+3k+1=0

 근과 계수의 관계에 의해 1

 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

157  ⑴ 2x€-3x-1=x+2에서 2x€-4x-3=0
 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면










;4Î;;=(-2)€-2*(-3)=10>0

따라서 이차함수 y=2x€-3x-1의 그래프와 직선 y=x+2

는 서로 다른 두 점에서 만난다.

 ⑵ x€-4x+5=2x-4에서 x€-6x+9=0

 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(-3)€-1*9=0

는 한 점에서 만난다.

따라서 이차함수 y=x€-4x+5의 그래프와 직선 y=2x-4

 ⑶ 3x€-2x+1=-3x에서 3x€+x+1=0

 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

 D=1€-4*3*1=-11<0



따라서 이차함수 y=3x€-2x+1의 그래프와 직선 y=-3x

는 만나지 않는다.

158  ⑴ x€-2x+4=x+k에서 x€-3x+4-k=0
 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면


 D=(-3)€-4*1*(4-k)=4k-7>0

 4 k>;4&;

 ⑵ 2x€-x+1=2x-k에서 2x€-3x+k+1=0

 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

 D=(-3)€-4*2*(k+1)=1-8k>0

 4 k<;8!;

 ⑶ -x€+3x+5=x-2k에서 x€-2x-2k-5=0

 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

052    정답과 풀이



;;4Î;;=(-2)€-1*(3k+1)=-3k+3<0

 4 k>1

 ⑶ 4x€-3x+2=x+k에서 4x€-4x+2-k=0

 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면



;;4Î;;=(-2)€-4*(2-k)=4k-4<0   4  k<1

161  ⑴ x€-x+2=x+k에서

x€-2x+2-k=0

 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면



;;4Î;;=(-1)€-1*(2-k)=k-1>0

 4 k>1

 ⑵ x€+2kx+k€=2x+1에서

x€+2(k-1)x+k€-1=0

 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면



;;4Î;;=(k-1)€-1*(k€-1)=-2k+2>0

 4 k<1

 ⑶ x€+3kx-k=kx-k€-1에서

x€+2kx+k€-k+1=0

 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면



;;4Î;;=k€-1*(k€-k+1)=k-1>0

 4 k>1







162  ⑴ 0, 0, 0, -1
 ⑵ 이차방정식 x€-2kx+k€+2k=mx+n

 즉, x€-(2k+m)x+k€+2k-n=0의 판별식을 D라 하면

 D={-(2k+m)}€-4*1*(k€+2k-n)=0

 4k€+4mk+m€-4k€-8k+4n=0

 4 (4m-8)k+m€+4n=0

 위 식은 k에 대한 항등식이므로



;;4Î;;=(-1)€-1*(-2k-5)=2k+6>0

 4 k>-3

 4m-8=0, m€+4n=0

 4 m=2, n=-1



















































































  ⑶ 이차방정식 x€+2kx+k€+k=mx+n

 ⑶ 이차함수 y=-x€+a의 그래프와 직선 y=bx+1의 두 교점

 즉, x€+(2k-m)x+k€+k-n=0의 판별식을 D라 하면

 D=(2k-m)€-4*1*(k€+k-n)=0

 4k€-4mk+m€-4k€-4k+4n=0

 4 (-4m-4)k+m€+4n=0

 위 식은 k에 대한 항등식이므로



 -4m-4=0, m€+4n=0

 4 m=-1, n=-;4!;



의 x좌표가 1-'3, 1+'3 이므로 이차방정식
-x€+a=bx+1, 즉 x€+bx+1-a=0의 두 실근이
1-'3, 1+'3 이다.
 근과 계수의 관계에 의해
 (1-'3 )+(1+'3 )=-b, (1-'3 )(1+'3 )=1-a
 4 a=3, b=-2

166   이차함수 y=x€+2x의 그래프와 직선 y=x+a의 한 교점의 x

좌표가 -3이므로 이차방정식 x€+2x=x+a, 즉

163  이차방정식 x€+2(a+k)x+k€-2k+b=1
 즉, x€+2(a+k)x+k€-2k+b-1=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(a+k)€-1*(k€-2k+b-1)=0

a€+2ak+k€-k€+2k-b+1=0

 4 (2a+2)k+a€-b+1=0

 위 식은 k에 대한 항등식이므로

2a+2=0, a€-b+1=0

 4 a=-1, b=2

x€+x-a=0의 한 실근이 -3이다.

x=-3을 x€+x-a=0에 대입하면

(-3)€+(-3)-a=0

 4 a=6

a=6을 x€+x-a=0에 대입하면

x€+x-6=0, (x-2)(x+3)=0



 4 x=2 또는 x=-3

따라서 이차방정식 x€+x-6=0의 다른 실근이 2이므로 나머

지 한 교점의 x좌표는 2이다.

164  ⑴ m+3, -n-1, -7, 4
 ⑵ 이차방정식 x€-1=mx+n

 즉, x€-mx-n-1=0의 두 근이 -2, 3이므로

 근과 계수의 관계에 의해

 (-2)+3=m, (-2)*3=-n-1



 4 m=1, n=5

 ⑶ 이차방정식 x€-4x+2=mx+n

 즉, x€-(m+4)x-n+2=0의 두 근이 1-'3, 1+'3 이므로
 근과 계수의 관계에 의해
 (1-'3 )+(1+'3 )=m+4, (1-'3 )(1+'3 )=-n+2
 4 m=-2, n=4

 ⑷ 이차방정식 x€-2x+3=mx+n

 즉, x€-(m+2)x-n+3=0의 두 근이 2-'2, 2+'2 이므로
 근과 계수의 관계에 의해
 (2-'2 )+(2+'2 )=m+2, (2-'2 )(2+'2 )=-n+3
 4 m=2, n=1

165  ⑴ 이차함수 y=x€+ax+2의 그래프와 직선 y=x+b의 두 교
점의 x좌표가 -1, 3이므로 이차방정식 x€+ax+2=x+b,

즉 x€+(a-1)x+2-b=0의 두 실근이 -1, 3이다.

167  ⑴ y=-(x-1)€+2
y



 ⑵ y=2(x+2)€-3

y



O

1

x

-2

O

x

최댓값은 2이고,

최솟값은 없다.

-3

최솟값은 -3이고,

최댓값은 없다.

 ⑶ y =x€-4x+3

 ⑷ y =-x€-2x+1

=(x-2)€-1

=-(x+1)€+2

2

y

y

2

-1

O

x

2

x

O
-1

최솟값은 -1이고,

최댓값은 2이고,

최댓값은 없다.

최솟값은 없다.

 근과 계수의 관계에 의해

 (-1)+3=-(a-1), (-1)*3=2-b 

 4 a=-1, b=5

168  ⑴ 1, 1, 1, -1
 ⑵ y =2x€-8x+13=2(x-2)€+5

 따라서 x=2일 때, 최솟값은 5이다.

 ⑵ 이차함수 y=x€+ax-1의 그래프와 직선 y=x+b의 두 교

 ⑶ y =-x€+6x=-(x-3)€+9

점의 x좌표가 -2, 2이므로 이차방정식 x€+ax-1=x+b,

 따라서 x=3일 때, 최댓값은 9이다.

즉 x€+(a-1)x-1-b=0의 두 실근이 -2, 2이다.

 ⑷ y =-x€+4x-5=-(x-2)€-1

 근과 계수의 관계에 의해

 따라서 x=2일 때, 최댓값은 -1이다.

 (-2)+2=-(a-1), (-2)*2=-1-b

 ⑸ y =-2x€+8x-5=-2(x-2)€+3

 4 a=1, b=3

 따라서 x=2일 때, 최댓값은 3이다.

















































































2. 방정식과 부등식    053

169  y =3x€+6x+1=3(x+1)€-2
 따라서 x=-1일 때, 최솟값 -2를 가지므로



a=-1, b=-2



 4 a+b=-3

170  ⑴ 2a€, 2a€, a€, 1, 1

 ⑵ y =-x€+2ax+2a+2

=-(x-a)€+a€+2a+2

 이 이차함수의 최댓값이 17이므로

 a€+2a+2=17, a€+2a-15=0

 (a+5)(a-3)=0

 4 a=3 (5 a>0)





 ⑶ y =x€-2ax+2a€-a



=(x-a)€+a€-a

 이 이차함수의 최솟값이 6이므로

 a€-a=6, a€-a-6=0

 (a+2)(a-3)=0

 4 a=3 (5 a>0)

 ⑷ y=2x€-2ax-a€+a-1

 =2{x-;2!;a}

€-;2#;a€+a-1

 이 이차함수의 최솟값이 -1이므로

 -;2#;a€+a-1=-1, 3a€-2a=0

 a(3a-2)=0

 4 a=;3@; (5 a>0)

171  ⑴ -4, 4+b, 2, -2


 다른풀이

 y =x€-2ax+2=(x-a)€-a€+2

 이 이차함수는 x=a에서 최솟값 -a€+2를 가지므로

 a=2, -a€+2=b



 4 a=2, b=-2

 ⑵ 이차항의 계수가 1이고, x=b에서 최솟값 -2를 가지는 이차

함수의 식은

 y=(x-b)€-2=x€-2bx+b€-2

 즉, x€+6x+a=x€-2bx+b€-2이므로

 6=-2b, a=b€-2



 ∴ a=7, b=-3

 ⑶ 이차항의 계수가 -;2!;이고, x=b에서 최댓값 2를 가지는 이차

함수의 식은

 y=-;2!;(x-b)€+2=-;2!;x€+bx-;2!;b€+2

 즉, -;2!;x€+x+a=-;2!;x€+bx-;2!;b€+2이므로

 1=b, a=-;2!;b€+2



 ∴ a=;2#;, b=1

054    정답과 풀이













































 ⑷ 이차항의 계수가 a이고, x=1에서 최솟값 3을 가지는 이차함

수의 식은

 y=a(x-1)€+3=ax€-2ax+a+3

 즉, ax€-6x+b=ax€-2ax+a+3이므로

 -6=-2a, b=a+3

∴  a=3, b=6





































172  y =x€-6x+k=(x-3)€-9+k
 이 이차함수의 최솟값이 5이므로

 -9+k=5

 4 k=14

k=14를 y=x€+(k-4)x+a에 대입하면

y =x€+10x+a=(x+5)€-25+a

 이 이차함수의 최솟값이 -5이므로

 -25+a=-5

 4 a=20

173  ⑴ 5, -4, -3, 5, -4
 ⑵ f(x) =-x€+4x+2

=-(x-2)€+6

이때, 꼭짓점의 x좌표 2는 x의 값의

범위에 포함되고,

f(-1)=-3, f(2)=6,

f(3)=5이므로 -1<x<3에서

y=f(x)의 최댓값은 6, 최솟값은

-3이다.

 ⑶ f(x)=x€-x+2

€

={x-;2!;}

+;4&;



이때, 꼭짓점의 x좌표 ;2!;은

 x의 값의 범위에 포함되고,

 f(0)=2, f {;2!;}=;4&;,

 f(2)=4이므로 0<x<2에서



 y=f(x)의 최댓값은 4, 최솟값은 ;4&;이다.

 ⑷ -2, 6, 6, -2

 ⑸ f(x) =2x€+4x-1

=2(x+1)€-3

이때, 꼭짓점의 x좌표 -1은 x의

값의 범위에 포함되지 않고,

f(0)=-1, f(1)=5이므로

0<x<1에서 y=f(x)의 최댓값은

5, 최솟값은 -1이다.

 ⑹ f(x) =-x€-4x+1

=-(x+2)€+5

이때, 꼭짓점의 x좌표 -2는 x의

값의 범위에 포함되지 않고,

f(-1)=4, f(0)=1이므로

-1<x<0에서 y=f(x)의

최댓값은 4, 최솟값은 1이다.













y
6
5

-1

O

2

3

x

-3

y

4

7
4

2

1
2

O

2

x

y
5

-1

O

1
-1

-3





x

y

5
4

1

-2

O

-1

x

  ⑶ y=-x€+x+k=-{x-;2!;}

+k+;4!;

€

않으므로

 ⑶ y =-ax€+2ax+b=-a(x-1)€+a+b

이때, -a<0이고 꼭짓점의 x좌표 1은 x의 값의 범위에 속하





므로

-1

O

x

x=1에서 최댓값 a+b, x=3에서 최솟값 -3a+b를 갖는다.

174  f(x)=-2x€-4x+1

f(x)=-2(x+1)€+3

이때, 꼭짓점의 x좌표 -1은 x의 값

의 범위에 포함되지 않고,

f(0)=1, f(1)=-5이므로

y

3

1

1

0<x<1에서 y=f(x)의 최댓값은

-5

1, 최솟값은 -5이다.

따라서 M=1, m=-5이므로

 M+m=-4

175  ⑴ 1, 3, 1

 ⑵ y=;2!;x€-4x+k=;2!;(x-4)€+k-8

 이때, 꼭짓점의 x좌표 4는 x의 값의 범위에 속하므로

 x=4에서 최솟값 k-8을 갖는다.

 따라서 k-8=5이므로 k=13

 이때, 꼭짓점의 x좌표 ;2!;은 x의 값의 범위에 속하므로

 x=;2!;에서 최댓값 k+;4!;을 가지고, x=-2에서

 최솟값 -6+k를 갖는다.

 따라서 -6+k=-4이므로 k=2

 ⑷ y =2x€+8x+k=2(x+2)€-8+k

 이때, 꼭짓점의 x좌표 -2는 x의 값의 범위에 속하므로

 x=-2에서 최솟값 k-8을 가지고, x=1에서 최댓값

10+k를 갖는다.

 따라서 10+k=11이므로 k=1

176  y =x€-6ax+7=(x-3a)€-9a€+7

 이때, ;3!;<a<;3$;에서 1<3a<4이므로 꼭짓점의 x좌표 3a는

 주어진 범위에 속한다.

 즉, x=3a에서 최솟값 -9a€+7을 가지므로

 -9a€+7=-2, a€-1=0



(a+1)(a-1)=0

 4 a=1 {∵ ;3!;<a<;3$;}

















































 따라서 a+b=5, -3a+b=-3이므로

 a=2, b=3

 ⑷ y =-ax€+6ax-b

=-a(x-3)€+9a-b



이때, -a<0이고 꼭짓점의 x좌표 3은 x의 값의 범위에 속하

지 않으므로

 x=2에서 최댓값 8a-b, x=1에서 최솟값 5a-b를 갖는다.

 따라서 8a-b=-3, 5a-b=-6이므로

 a=1, b=11

178  y =-ax€+8ax-8a-2b
=-a(x-4)€+8a-2b

이때, -a<0이고 꼭짓점의 x좌표 4는 x의 값의 범위에 속하지

x=5에서 최댓값 7a-2b, x=6에서 최솟값 4a-2b를 갖는다.

 따라서 7a-2b=8, 4a-2b=2이므로

a=2, b=3

∴  a+b=5

179  ⑴ 1, 3, 4, 4, 3, 3, 7
 ⑵ f(x) =x€-4x+a=(x-2)€+a-4



이때, 꼭짓점의 x좌표 2는 x의 값의 범위에 속하므로

 x=2에서 최솟값 a-4를 갖는다.

 따라서 a-4=1이므로 a=5



 4 f(x)=x€-4x+5



한편, y=f(x)는 x=-1에서 최댓값을 가지므로 구하는 최

댓값은 f(-1)=10

 ⑶ f(x)=-;2!;x€+2x+2a+1=-;2!;(x-2)€+2a+3

 이때, 꼭짓점의 x좌표 2는 x의 값의 범위에 속하므로

 x=2에서 최댓값 2a+3, x=0에서 최솟값 2a+1을 갖는다.

 주어진 조건에서 최솟값이 -3이므로

 2a+1=-3

 4 a=-2

 따라서 구하는 y=f(x)의 최댓값은

 2a+3=2*(-2)+3=-1

177  ⑴ 2, 5, 1, 0
 ⑵ y =ax€-2ax+b

=a(x-1)€-a+b



180  f(x) =x€-4x+k-2=(x-2)€+k-6


이때, 꼭짓점의 x좌표 2는 x의 값의 범위에 속하므로



x=2에서 최솟값 k-6을 갖는다.



이때, a>0이고 꼭짓점의 x좌표 1은 x의 값의 범위에 속하지

 따라서 k-6=-5이므로 k=1

않으므로

 4 f(x)=x€-4x-1

 x=-1에서 최댓값 3a+b, x=0에서 최솟값 b를 갖는다.

 한편, y=f(x)는 x=-1에서 최댓값을 가지므로

 따라서 3a+b=12, b=-3이므로

 M=f(-1)=(-1)€-4*(-1)-1=4

 a=5, b=-3

 4 k+M=5

2. 방정식과 부등식    055



































181  ⑴ 3, 5, -4, 4, -1, -1, -11
 ⑵ f(x) =4x€+8x+a



=4(x+1)€+a-4

 ⑵ y=(x€-6x+7)€+2(x€-6x)+8에서

 x€-6x+7=t로 놓으면



t=(x-3)€-2이므로 t>-2

…… ㉠

 이때, 꼭짓점의 x좌표 -1은 x의 값의 범위에 속하므로

 이때, 주어진 함수는

 x=-1에서 최솟값 a-4, x=1에서 최댓값 a+12를 갖는다.

 y =t€+2(t-7)+8=t€+2t-6



 이때, 꼭짓점의 x좌표 -;2#;은 x의 값의 범위에 속하므로

 -1<x<2에서 1<t<5

…… ㉠

 주어진 조건에서 최댓값이 18이므로

 a+12=18

 4 a=6

 따라서 구하는 y=f(x)의 최솟값은

 a-4=6-4=2

 ⑶ f(x) =x€+3x+a

 ⑶ f(x)={x+;2#;}

€+a-;4(;



x=-;2#;에서 최솟값 a-;4(;, x=1에서 최댓값 a+4를 갖는다.

 주어진 조건에서 최댓값이 5이므로

 a+4=5

 4 a=1

 따라서 구하는 y=f(x)의 최솟값은

 a-;4(;=1-;4(;=-;4%;

 ⑷ f(x) =x€-2x+a-2



=(x-1)€+a-3

 이때, 꼭짓점의 x좌표 1은 x의 값의 범위에 속하므로

 x=1에서 최솟값 a-3, x=3에서 최댓값 a+1을 갖는다.

 주어진 조건에서 최댓값이 6이므로

 a+1=6

 4 a=5

 따라서 구하는 y=f(x)의 최솟값은

 a-3=5-3=2

182  ⑴ >, 2
 ⑵ y=-(x€-4x+5)€+6(x€-4x)+24에서

 x€-4x+5=t로 놓으면



t=(x-2)€+1이므로 t>1

…… ㉠

 이때, 주어진 함수는

=-(t-3)€+3

주의

 y =-t€+6(t-5)+24=-t€+6t-6



 따라서 ㉠의 범위에서 주어진 함수의 최댓값은 3이다.

주어진 함수식을 t에 대한 식으로 나타내었으므로 정의역은 t에

대한 범위로 나타내야 한다.

183  ⑴ y=(x€-2x+3)€-6(x€-2x+3)+5에서


 x€-2x+3=t로 놓으면

=(t+1)€-7

 따라서 ㉠의 범위에서 주어진 함수의 최솟값은 -7이다.

184  ⑴ 3, 8, 8
 ⑵ y=-(x€-2x+2)€+4(x€-2x+2)+1에서

 x€-2x+2=t로 놓으면



t=(x-1)€+1이므로

 이때, 주어진 함수는

 y=-t€+4t+1=-(t-2)€+5이므로

 ㉠의 범위에서 -4<y<5

 따라서 주어진 함수의 최댓값은 5, 최솟값은 -4이다.

 ⑶ y=(x€-2x)€-4(x€-2x)+1에서

 x€-2x=t로 놓으면



t=(x-1)€-1이므로

 -2<x<2에서 -1<t<8

…… ㉠

 이때, 주어진 함수는

 y=t€-4t+1=(t-2)€-3이므로

 ㉠의 범위에서 -3<y<33

 따라서 주어진 함수의 최댓값은 33, 최솟값은 -3이다.

185  y=(x€-2x-1)€+4(x€-2x-1)+3에서


x€-2x-1=t로 놓으면

t=(x-1)€-2이므로

2<x<4에서 -1<t<7

…… ㉠

 이때, 주어진 함수는

y=t€+4t+3=(t+2)€-1이므로

 ㉠의 범위에서 0<y<80

 따라서 M=80, m=0이므로

 M+m=80

186  1 오른쪽  그림에서  가로의  길
이를 x m라 하면 세로의 길

x m

이는 (30-x) m이다.

 이때, 길이는 양수이므로

 x>0, 30-x>0



 4 0<x<30

 2 울타리 안의 넓이를 y m€라 하면

y m€

(30-x) m



t=(x-1)€+2이므로 t>2

…… ㉠

 y =x(30-x)=-x€+30x



 이때, 주어진 함수는

 y=t€-6t+5=(t-3)€-4

=-(x-15)€+225 (0<x<30)



x=15일 때 y의 최댓값은 225이다.

 따라서 ㉠의 범위에서 주어진 함수의 최솟값은 -4이다.

 즉, 울타리 안의 넓이의 최댓값은 225 m€이다.

056    정답과 풀이



















































































































187  가로의 길이를 x m라 하면 세로의 길이는 ;2!;(16-x) m이다.
 이때, 길이는 양수이므로

190  1 현재 입장료가 1000원이므로 x % 인상한 입장료는

 1000 {1+;10X0;}=10(100+x)



















 



















x>0, ;2!;(16-x)>0

∴  0<x<16

 밧줄로 표시되는 꽃밭의 넓이를 y m€라 하면

y=x*;2!;(16-x)=;2!;(-x€+16x)

=-;2!;(x-8)€+32 (0<x<16)
따라서 x=8일 때 꽃밭의 넓이의 최댓값은 32 m€이다.

다른풀이

 세로의 길이를 x m라 하면 가로의 길이는 (16-2x) m이다.

 이때, 길이는 양수이므로

x>0, 16-2x>0

∴  0<x<8

 꽃밭의 넓이를 y m€라 하면

y=x(16-2x)=-2x€+16x

=-2(x-4)€+32 (0<x<8)

 입장료를 x % 인상했을 때 ;2X; % 감소한 하루 입장객 수는

 2000 {1-;20X0;}=10(200-x)

 2 이 공원의 하루 입장료 수입을 y라 하면

 y =100(100+x)(200-x)

=100(-x€+100x+20000)

=100{-(x-50)€+22500}





이때, 0<x<100이므로 x=50일 때 최댓값은 2250000이다.

따라서 이 공원의 하루 입장료 수입의 최댓값은 2,250,000원,

즉 225만 원이다.

191   현재 빵 한 개의 가격이 2000원이므로 x % 인상한 가격은

 빵 한 개의 가격을 x % 인상했을 때 ;3X; % 감소한 하루 판매량은









 따라서 x=4일 때 꽃밭의 넓이의 최댓값은 32 m€이다.

2000 {1+;10X0;}=20(100+x)

188 1 이차함수 y=-x€+4x의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는


 -x€+4x=0에서 -x(x-4)=0

y

y=-x2+4x

 4 x=0 또는 x=4

 2 점 A(a, 0) (0<a<2)이라

D

C

300 {1-;30X0;}=300-x

 이 빵집의 하루 매출액을 y라 하면

y =20(100+x)(300-x)

=20(-x€+200x+30000)

=20{-(x-100)€+40000}

  하면

 이므로

 B(4-a, 0), D(a, -a€+4a)

 AB’=4-2a, AD’=-a€+4a

 3 직사각형 ABCD의 둘레의 길이는

a

O

A

B2

a

4

x

 이때, 0<x<100이므로 x=100일 때 최댓값은 800000이다.

 

  따라서 이 빵집의 하루 매출액이 최대가 되게 하는 빵 한 개의 가

격은 20(100+100)=4,000원이다.

 2{(4-2a)+(-a€+4a)} =-2a€+4a+8



=-2(a-1)€+10

 이때, 0<a<2이므로 a=1일 때 최댓값 10을 갖는다.

 따라서 직사각형 ABCD의 둘레의 길이의 최댓값은 10이다.

192  y=-3t€+9t+1

=-3 {t-;2#;}

€+;;£4¡;;

 ⑴ t=;2#;일 때 y의 최댓값은 ;;£4¡;;이므로

 공이 가장 높은 곳에 있을 때의 높이는 ;;£4¡;; m이다.

189   이차함수 y=-x€+6x의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는
 -x€+6x=0에서 -x(x-6)=0

 ⑵ 1<t<2.5의 범위에서 t=2.5일 때 최솟값이 ;;¡4ª;;이므로 공을

 던진 후 1초부터 2.5초까지 공이 가장 낮은 곳에 있을 때의 높

y

y=-x2+6x

 이는 ;;¡4ª;; m이다.

B(6-a, 0), D(a, -a€+6a)

D

C

 4 x=0 또는 x=6

 점 A(a, 0) (0<a<3)이라 하면

 이므로

AB’=6-2a, AD’=-a€+6a

 직사각형 ABCD의 둘레의 길이는

2{(6-2a)+(-a€+6a)} =-2a€+8a+12

=-2(a-2)€+20

a

O

A

a

B

x

6

193  폭죽은 발사 후 2초가 지나면 터지므로 0<t<2


y=-20t€+60t

3



=-20 {t-;2#;}

€+45

 이때, 0<a<3이므로 a=2일 때 최댓값 20을 갖는다.

0<t<2의 범위에서 t=;2#;일 때 y의 최댓값은 45이므로

 따라서 직사각형 ABCD의 둘레의 길이의 최댓값은 20이다.

 폭죽은 최대 45 m까지 올라간다.

2. 방정식과 부등식    057































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95쪽~97쪽

201  x€+2kx+k€=2x-5에서

x€+2(k-1)x+k€+5=0

194  ⑴ 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
 ⑵ 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0

∴  b<0

 ⑶ y절편이 x축의 아래쪽에 있으므로 c<0



f(x)=ax€+bx+c로 놓으면

 ⑷ f(1)=a+b+c이고, f(1)<0이므로 a+b+c<0

 ⑸ f(-1)=a-b+c이고, f(-1)=0이므로 a-b+c=0

195  ⑴ 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
 ⑵ 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0

∴  b<0

 ⑶ y절편이 0이므로 c=0

f(x)=ax€+bx+c로 놓으면

 ⑷ f(-1)=a-b+c이고, f(-1)>0이므로 a-b+c>0

 ⑸ 이차방정식 ax€+bx+c=0의 판별식을 D라 하면 이차함수

 y=f(x)의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나므로

 D=b€-4ac>0

196  이차방정식 x€+ax+b=0의 두 근이 -1, 2이므로
 -1+2=-a, (-1)*2=b

 4 a=-1, b=-2

197   이차방정식 -x€-ax+b=0, 즉 x€+ax-b=0의 두 근이 -2,

5이므로

 -2+5=-a, (-2)*5=-b

 4 a=-3, b=10

198  이차방정식 x€+x+k=0의 두 근을 a, b라 하면
 

a+b=-1, ab=k

 두 교점 사이의 거리가 3이므로

|a-b|=3에서 (a-b)€=9이고,

(a-b)€=(a+b)€-4ab이므로

9=1-4k

 4 k=-2

a+b=k, ab=-2

199  이차방정식 x€-kx-2=0의 두 근을 a, b라 하면
 
 두 교점 사이의 거리가 2'3 이므로


|a-b|=2'3 에서 (a-b)€=12이고,
(a-b)€=(a+b)€-4ab이므로



12=k€+8, k€-4=0

 4 k=\2

200  2x€-6x+k=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(-3)€-2*k=9-2k

 ⑴ ;;4Î;;=9-2k>0   

4

 k<;2(;

 ⑵ ;;4Î;;=9-2k=0   

4

 k=;2(;

 ⑶ ;;4Î;;=9-2k<0    4

 k>;2(;

058    정답과 풀이

















 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면



;;4Î;;=(k-1)€-1*(k€+5)=-2k-4

 ⑴ ;;4Î;;=-2k-4>0

 4 k<-2

 ⑵ ;;4Î;;=-2k-4=0

 4 k=-2

 ⑶ ;;4Î;;=-2k-4<0

 4 k>-2











202  이차방정식 x€-2kx+k€-2=mx+n
 즉, x€-(2k+m)x+k€-n-2=0의 판별식을 D라 하면

D=(2k+m)€-4*1*(k€-n-2)=0

 4 4mk+m€+4n+8=0

 위 식은 k에 대한 항등식이므로

4m=0, m€+4n+8=0

 4 m=0, n=-2

203  이차방정식 x€-2kx+k€+6k=mx+n
 즉, x€-(2k+m)x+k€+6k-n=0의 판별식을 D라 하면

D=(2k+m)€-4*1*(k€+6k-n)=0

 4 (4m-24)k+m€+4n=0

 위 식은 k에 대한 항등식이므로

4m-24=0, m€+4n=0

 4 m=6, n=-9

204   이차방정식 x€-3x+1=ax+b, 즉 x€-(a+3)x-b+1=0

의 한 근이 1-'2 이므로 다른 한 근은 1+'2 이다.

a, b가 유리수이므로 켤레근의 성질을 이용!

 근과 계수의 관계에 의해

(1-'2 )+(1+'2 )=a+3, (1-'2 )(1+'2 )=-b+1

 4 a=-1, b=2

205   이차함수 y=x€+ax-3의 그래프와 직선 y=-2x+b의 두 교
점의 x좌표가 -3, 2이므로 이차방정식 x€+ax-3=-2x+b,

즉 x€+(a+2)x-3-b=0의 두 근이 -3, 2이다.

 근과 계수의 관계에 의해



(-3)+2=-(a+2), (-3)*2=-3-b

 4 a=-1, b=3

206  y =-2x€+4x+1
=-2(x-1)€+3

 따라서 x=1일 때 최댓값은 3이다.





207  y=;2!;x€-2x+3



=;2!;(x-2)€+1

 따라서 x=2일 때 최솟값은 1이다.

208  y =-x€+2ax+2a+1

=-(x-a)€+a€+2a+1



 이 이차함수의 최댓값이 16이므로

a€+2a+1=16, a€+2a-15=0

(a+5)(a-3)=0

 4 a=3 (5 a>0)

 최댓값이 12이므로 k+8=12

 4 k=4

꼭짓점의 x좌표 -3은 x의 값의 범위에 속하지 않으므로

x=-2에서 최댓값 k+8, x=1에서 최솟값 k-7을 갖는다.









209 y=;2!;x€+ax-1

=;2!;(x+a)€-;2!;a€-1

x=2에서 최솟값 b를 가지므로

 -a=2, -;2!;a€-1=b

 4 a=-2, b=-3

210  f(x)=x€-4x+1=(x-2)€-3


이때, 꼭짓점의 x좌표 2는 x의 값의 범위에 포함되고,



f(-1)=6, f(2)=-3, f(4)=1이므로 -1<x<4에서

y=f(x)의 최댓값은 6, 최솟값은 -3이다.

211  f(x)=-x€-2x+3=-(x+1)€+4


이때, 꼭짓점의 x좌표 -1은 x의 값의 범위에 포함되고,

4, 최솟값은 -4이다.

213  y =-x€+6x+k

=-(x-3)€+k+9



x=3에서 최댓값 k+9를 갖는다.

 따라서 k+9=12이므로 k=3

214  y =x€+8x+k

=(x+4)€+k-16

 꼭짓점의 x좌표 -4가 x의 값의 범위에 속하므로



x=-4에서 최솟값 k-16을 갖는다.

 따라서 k-16=0이므로 k=16

215  y =x€-4x+k=(x-2)€+k-4
 꼭짓점의 x좌표 2가 x의 값의 범위에 속하므로



x=2에서 최솟값 k-4를 갖는다.

 따라서 k-4=5이므로 k=9

































216  y =-x€-6x+k

=-(x+3)€+k+9

 따라서 구하는 최솟값은

k-7=4-7=-3

217  y =ax€-4ax+b

=a(x-2)€-4a+b

이때, a>0이고 꼭짓점의 x좌표 2가 x의 값의 범위에 속하므로

x=-1에서 최댓값 5a+b, x=2에서 최솟값 -4a+b를 갖는다.

 따라서 5a+b=4, -4a+b=-5이므로

a=1, b=-1

218  y =(x€+4x+1)€-2(x€+4x+1)+3에서


x€+4x+1=t로 놓으면

t=(x+2)€-3이므로

 -3<x<0에서 -3<t<1

 …… ㉠

 이때 주어진 함수는

219   이차함수 y=-x€+10x의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는
 -x€+10x=0에서 -x(x-10)=0

y

y=-x2+10x

 4 x=0 또는 x=10

 점 A(a, 0) (0<a<5)이라 하면

D

C

직사각형 ABCD의 둘레의 길이는

2{(10-2a)+(-a€+10a)} =-2a€+16a+20

=-2(a-4)€+52

 이때, 0<a<5이므로 a=4일 때 최댓값 52를 갖는다.

 따라서 직사각형 ABCD의 둘레의 길이의 최댓값은 52이다.

220  판매 가격이 4만 원 이상, 9만 원 이하이므로


4<x<9

y =-30x€+300x

=-30(x-5)€+750

 이때, 4<x<9이므로 x=5일 때 최댓값 750,

x=9일 때 최솟값 270을 갖는다.

따라서 판매 수익의 최댓값과 최솟값은 각각 750만 원, 270만 원

2. 방정식과 부등식    059



f(-2)=3,  f(-1)=4,  f(2)=-5이므로  -2<x<2에서

y=t€-2t+3=(t-1)€+2이므로

y=f(x)의 최댓값은 4, 최솟값은 -5이다.

 ㉠의 범위에서 2<y<18

 따라서 주어진 함수의 최댓값은 18, 최솟값은 2이다.

212  y=x€-2x-4=(x-1)€-5


이때, 꼭짓점의 x좌표 1은 x의 값의 범위에 포함되지 않고,



f(2)=-4, f(4)=4이므로 2<x<4에서 y=f(x)의 최댓값은

 꼭짓점의 x좌표 3이 x의 값의 범위에 속하므로

AB’=10-2a, AD’=-a€+10a

O

A

5

B

10

x





 

 B(10-a, 0), D(a, -a€+10a)

 이므로

a

a

 한편, x=0에서 최댓값 k를 가지므로 구하는 최댓값은 9

이다.

04 삼차방정식과사차방정식

98쪽~107쪽

 ⑺ f(x)=x‹-4x€+x+6으로

-1 1 -4
-1
1 -5





1
6
5 -6
0
6

 놓으면 f(-1)=0이므로

 f(x) =(x+1)(x€-5x+6)

=(x+1)(x-2)(x-3)

 즉, (x+1)(x-2)(x-3)=0이므로

 x=-1 또는 x=2 또는 x=3

 ⑻ f(x)=2x‹-3x€-8x-3으로  -1 2 -3 -8 -3
3

0

 놓으면 f(-1)=0이므로

-2   5
2 -5 -3

 f(x) =(x+1)(2x€-5x-3)





=(x+1)(2x+1)(x-3)

 즉, (x+1)(2x+1)(x-3)=0이므로

 x=-1 또는 x=-;2!; 또는 x=3

 ⑼ f(x)=3x‹-4x€-5x+2로

 놓으면 f(-1)=0이므로

-1 3 -4 -5

2
-3   7 -2
0

3 -7   2

 f(x) =(x+1)(3x€-7x+2)



=(x+1)(3x-1)(x-2)

 즉, (x+1)(3x-1)(x-2)=0이므로

 x=-1 또는 x=;3!; 또는 x=2


223  f(x)=2x‹+5x€-x-6으로 놓으면  1


f(1)=0이므로



f(x) =(x-1)(2x€+7x+6)

=(x-1)(2x+3)(x+2)

 즉, (x-1)(2x+3)(x+2)=0이므로



x=1 또는 x=-;2#; 또는 x=-2

2

2



5 -1 -6
2   7   6
7   6   0

 따라서 가장 큰 근과 가장 작은 근의 합은 1+(-2)=-1


224  ⑴ 0, 0, 8
 ⑵ f(x)=x‹-ax€+x+6으로 놓으면 f(-1)=0이므로

 -1-a-1+6=0

 4 a=4

 ⑶ f(x)=x‹+2x€+ax+6으로 놓으면 f(-2)=0이므로

 -8+8-2a+6=0

 4 a=3

 ⑷ f(x)=2x‹-3x€+ax-3으로 놓으면 f(-1)=0이므로

221  ⑴ x‹-1=0에서 (x-1)(x€+x+1)=0



 4 x=1 또는 x=

-1+
2

'3 i



 ⑵ x‹+27=0에서 (x+3)(x€-3x+9)=0

 4 x=-3 또는 x=

3+3'3 i
2

 ⑶ x‹+4x=0에서 x(x€+4)=0

 4 x=0 또는 x=+2i

 ⑷ x‹-9x=0에서 x(x€-9)=0

 x(x+3)(x-3)=0

 4 x=0 또는 x=-3 또는 x=3

 ⑸ x‹+x€-2x=0에서 x(x€+x-2)=0

 x(x+2)(x-1)=0

 4 x=0 또는 x=-2 또는 x=1

 ⑹ x‹+4x€-x-4=0에서 x€(x+4)-(x+4)=0

 (x+4)(x€-1)=0, (x+4)(x+1)(x-1)=0

 4 x=-4 또는 x=-1 또는 x=1

222  ⑴ 1, 1, 1, 1, 1, 1
 ⑵ f(x)=x‹-2x€+1로 놓으면

 f(1)=0이므로

 f(x)=(x-1)(x€-x-1)

 즉, (x-1)(x€-x-1)=0이므로

 x=1 또는 x=

1+
'5 
2

 ⑶ f(x)=x‹-2x-4로 놓으면

2

 f(2)=0이므로

 f(x)=(x-2)(x€+2x+2)

 즉, (x-2)(x€+2x+2)=0이므로

 x=2 또는 x=-1+i

1

1 -2   0   1
 1 -1 -1
1 -1 -1   0

1

1

0 -2 -4
2   4   4
2   2   0

 ⑷ f(x)=x‹-3x€-6x+8로 놓으면  1


 f(1)=0이므로

1 -3 -6   8
 1 -2 -8
1 -2 -8   0



1

 f(x) =(x-1)(x€-2x-8)

=(x-1)(x-4)(x+2)

 즉, (x-1)(x-4)(x+2)=0이므로

 x=1 또는 x=4 또는 x=-2

 ⑸ f(x)=x‹+2x€+x-4로 놓으면

 f(1)=0이므로

 f(x)=(x-1)(x€+3x+4)

 즉, (x-1)(x€+3x+4)=0이므로

 x=1 또는 x=

-3+
2

'7 i



 ⑹ f(x)=x‹-6x€+11x-6으로 놓으면





















































































1

1

2
1
3

1 -4
3   4
4   0

 -2-3-a-3=0

 4 a=-8


225  f(x)=x‹+ax€+2x+b로 놓으면


f(1)=0, f(2)=0이므로

1+a+2+b=0, 8+4a+4+b=0

 즉, a+b=-3, 4a+b=-12이므로

a=-3, b=0

 f(1)=0이므로

 f(x) =(x-1)(x€-5x+6)

=(x-1)(x-2)(x-3)

1


1 -6 111 -6
1  -5
6
6
0

1 -5

 즉, (x-1)(x-2)(x-3)=0이므로

 x=1 또는 x=2 또는 x=3


226  ⑴ 0, 0, 3, 3, x€+2x-3, 1, 3, 1, 3, 1, -3, 1, -3

 ⑵ f(x)=x‹+ax€-13x-12로 놓으면

 f(-1)=0이므로

 -1+a+13-12=0

 4 a=0

060    정답과 풀이

-1

0 -13 -12
12
1
1 -1 -12
0


 즉, f(x)=x‹-13x-12이고,  -1 1
 f(-1)=0이므로

 f(x) =(x+1)(x€-x-12)

=(x+1)(x-4)(x+3)

 즉, (x+1)(x-4)(x+3)=0이므로

 x=-1 또는 x=4 또는 x=-3

 따라서 나머지 두 근은 4, -3이다.

 ⑶ f(x)=x‹-4x€+ax+6으로 놓으면 f(2)=0이므로

 8-16+2a+6=0

 4 a=1



즉, f(x)=x‹-4x€+x+6이고,  2

1 -4

11
6
2 -4 -6
0

1 -2 -3

 ⑷ f(x)=x‹+ax€-x+5로 놓으면 f(1)=0이므로

 f(2)=0이므로

 f(x) =(x-2)(x€-2x-3)



=(x-2)(x+1)(x-3)

 즉, (x-2)(x+1)(x-3)=0이므로

 x=2 또는 x=-1 또는 x=3

 따라서 나머지 두 근은 -1, 3이다.

 1+a-1+5=0

 4 a=-5

 즉, f(x)=x‹-5x€-x+5이고,

 f(1)=0이므로

 f(x) =(x-1)(x€-4x-5)



=(x-1)(x+1)(x-5)

 즉, (x-1)(x+1)(x-5)=0이므로

 x=1 또는 x=-1 또는 x=5

 따라서 나머지 두 근은 -1, 5이다.

1

1 -5 -1

5
1 -4 -5
0

1 -4 -5

227  ⑴ -1, 2, -1, 2, 1, 2, 1, 2, -1, 2

 ⑵ f(x)=x›+x‹-7x€-x+6으로 놓으면

 f(1)=0, f(2)=0이므로

1

1

1



6
2 -5 -6
0

1 -7 -1
1
2 -5 -6
6
8
2
0
3
4

 f(x) =(x-1)(x-2)(x€+4x+3)  

=(x-1)(x-2)(x+1)(x+3)

 즉, (x-1)(x-2)(x+1)(x+3)=0이므로

 x=+1 또는 x=2 또는 x=-3

 f(1)=0, f(2)=0이므로



24
26 -24
0

1 -10

35 -50

1 -9

26 -24
24
0

2 -14
12

1 -9

1 -7

 f(x) =(x-1)(x-2)(x€-7x+12)  

=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)





1

2

1

2





























































 ⑷ f(x)=x›-5x‹-4x€+5x+3으로 놓으면

 f(-1)=0, f(1)=0이므로

 -1 1 -5 -4




-1
 1 1 -6

5
3
6 -2 -3
0
3
2
1 -5 -3
0

1 -5 -3

 f(x)=(x+1)(x-1)(x€-5x-3)

 즉, (x+1)(x-1)(x€-5x-3)=0이므로

 x=+1 또는 x=

5+
'ß37
2



 ⑸ f(x)=x›-2x€-3x-2로 놓으면

 f(-1)=0, f(2)=0이므로



0 -2 -3 -2
2
0

 -1 1

1
-1
 2 1 -1 -1 -2
2
2
0
1

2
1

1

1

 f(x)=(x+1)(x-2)(x€+x+1)

 즉, (x+1)(x-2)(x€+x+1)=0이므로

 x=-1 또는 x=2 또는 x=

-1+
2

'3 i



 ⑹ f(x)=x›+2x‹-8x-16으로 놓으면

 f(2)=0, f(-2)=0이므로



2 1


-2 1



2
2
4

0 -8 -16
16
16
8
0
8
8
-2 -4 -8
0
4

2

1

 f(x)=(x-2)(x+2)(x€+2x+4)

 즉, (x-2)(x+2)(x€+2x+4)=0이므로

 x=+2 또는 x=-1+

'3 i

228  f(x)=x›-2x‹+3x€+2x-4로 놓으면


f(-1)=0, f(1)=0이므로

-1 1 -2

-1
1 1 -3

1 -2
4

1 -2



2 -4
4
0

3
3 -6
6 -4
4
0

 즉, (x+1)(x-1)(x€-2x+4)=0이므로

x=+1 또는 x=1+

'3 i

 따라서 구하는 모든 실근의 합은 (-1)+1=0











































 ⑶ f(x)=x›-10x‹+35x€-50x+24로 놓으면

f(x)=(x+1)(x-1)(x€-2x+4)

 즉, (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=0이므로

 즉, a+b=-10, 4a+b=-16이므로

 x=1 또는 x=2 또는 x=3 또는 x=4

 a=-2, b=-8

229  ⑴ f(x)=x›-3x‹+ax€+12x+b로 놓으면


 f(1)=0, f(2)=0이므로

 1-3+a+12+b=0, 16-24+4a+24+b=0

2. 방정식과 부등식    061

  ⑵ f(x)=x›+ax‹+ax€+bx-3으로 놓으면

 ⑷ (x€+4x)€-2(x€+4x+3)-2=0에서

 f(1)=0, f(-1)=0이므로

 x€+4x=t로 놓으면

 1+a+a+b-3=0, 1-a+a-b-3=0



t€-2(t+3)-2=0, t€-2t-8=0































































 즉, 2a+b=2, -b=2이므로

 a=2, b=-2

 ⑶ f(x)=x›+ax‹-5x€+bx-6으로 놓으면

 f(1)=0, f(-3)=0이므로

 1+a-5+b-6=0, 81-27a-45-3b-6=0

 즉, a+b=10, 9a+b=10이므로

 a=0, b=10


230  f(x)=x›-x‹-2x€+6x+a로 놓으면 f(1)=0이므로


1-1-2+6+a=0

 4 a=-4

 즉, f(x)=x›-x‹-2x€+6x-4이고,

f(1)=0, f(-2)=0이므로

1 1 -1 -2


-2 1

1
0 -2



6 -4
4
0

0 -2
4
4 -4
0
2

-2
1 -2

f(x)=(x-1)(x+2)(x€-2x+2)

 즉, (x-1)(x+2)(x€-2x+2)=0이므로

x=1 또는 x=-2 또는 x=1+i

 따라서 a=1+i, b=1-i 또는 a=1-i, b=1+i이므로

a+a+b=(-4)+2=-2

231  ⑴ x€-4x, 3, 5, 3, 5
 ⑵ (x€+x)€-14(x€+x)+24=0에서

 x€+x=t로 놓으면 t€-14t+24=0

 (t-2)(t-12)=0

 4 t=2 또는 t=12

 1 t=2, 즉 x€+x=2일 때

 x€+x-2=0, (x+2)(x-1)=0

 4 x=-2 또는 x=1

 2 t=12, 즉 x€+x=12일 때

 x€+x-12=0, (x+4)(x-3)=0

 4 x=-4 또는 x=3

 따라서 방정식의 근은

 x=-2 또는 x=1 또는 x=-4 또는 x=3

 ⑶ (x€+x)€-(x€+x)-2=0에서

 x€+x=t로 놓으면 t€-t-2=0

 (t+1)(t-2)=0

 4 t=-1 또는 t=2

 1 t=-1, 즉 x€+x=-1일 때



x€+x+1=0

 4 x=

-1+
2

'3 i



 2 t=2, 즉 x€+x=2일 때













062    정답과 풀이

 (t+2)(t-4)=0

 4 t=-2 또는 t=4

 1 t=-2, 즉 x€+4x=-2일 때

 x€+4x+2=0

 4 x=-2+

'2

 2 t=4, 즉 x€+4x=4일 때

 x€+4x-4=0

 4 x=-2+2'2





 따라서 방정식의 근은

 x=-2+

'2 또는 x=-2+2'2

232  ⑴ x€+x, 2, 6, 6, 6, 6, 6, -3, -3
 ⑵ (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15=0에서

 {(x+1)(x+7)}{(x+3)(x+5)}+15=0

 (x€+8x+7)(x€+8x+15)+15=0

 …… ㉠

 x€+8x=t로 놓으면 ㉠은

 (t+7)(t+15)+15=0, t€+22t+120=0

 (t+10)(t+12)=0

 4 t=-10 또는 t=-12

 1 t=-10, 즉 x€+8x=-10일 때
 4 x=-4+

 x€+8x+10=0



'6

 2 t=-12, 즉 x€+8x=-12일 때



 x€+8x+12=0

 4 x=-6 또는 x=-2

 따라서 방정식의 근은

 x=-4+

'6 또는 x=-6 또는 x=-2

 ⑶ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-3=0에서

 {(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-3)}-3=0

 (x€-5x+4)(x€-5x+6)-3=0

…… ㉠

 x€-5x=t로 놓으면 ㉠은

 (t+4)(t+6)-3=0, t€+10t+21=0

 (t+3)(t+7)=0

 4 t=-3 또는 t=-7

 1 t=-3, 즉 x€-5x=-3일 때

5+
'ß13
2



5+
'3 i
2





x€-5x+3=0

 4 x=

 2 t=-7, 즉 x€-5x=-7일 때





x€-5x+7=0

 4 x=

 따라서 방정식의 근은

 x=

또는 x=

5+
'ß13
2

5+
'3 i
2

233  x(x+1)(x+2)(x+3)=3에서

{x(x+3)}{(x+1)(x+2)}=3

(x€+3x)(x€+3x+2)=3

 …… ㉠

x€+3x=t로 놓으면 ㉠은

t(t+2)=3, t€+2t-3=0









































































 x€+x-2=0, (x+2)(x-1)=0  4 x=-2 또는 x=1

(t-1)(t+3)=0

 4 t=1 또는 t=-3

 따라서 방정식의 근은

 x=

-1+
2

'3 i

또는 x=-2 또는 x=1

 1 t=1, 즉 x€+3x=1일 때



x€+3x-1=0

 4 x=

-3+
2

'ß13



  2 t=-3, 즉 x€+3x=-3일 때





x€+3x+3=0

 4 x=

-3+
2

'3 i



 이때, a=

-3+'3 i
2

, b=

-3-'3 i
2

라 하면

(a-b)€=[

(-3+'3 i)-(-3-'3 i)
2

€

]

=('3 i)€=-3

234  ⑴ +1, +2
 ⑵ x›+2x€-24=0에서 x€=t로 놓으면



t€+2t-24=0, (t-4)(t+6)=0  4 t=4 또는 t=-6

 즉, x€=4 또는 x€=-6이므로

 x=+2 또는 x=+

'6 i

 ⑶ x›-2x€-15=0에서 x€=t로 놓으면





 즉, x€=-3 또는 x€=5이므로
'3 i 또는 x=+
 ⑷ x›-8x€-9=0에서 x€=t로 놓으면

 x=+

'5



t €-2t-15=0, (t+3)(t-5)=0

 4 t=-3 또는 t=5



t €-8t-9=0, (t+1)(t-9)=0

 4 t=-1 또는 t=9

 즉, x€=-1 또는 x€=9이므로

 x=+i 또는 x=+3

235  x›-x€-6=0에서 x€=t로 놓으면
t €-t-6=0, (t+2)(t-3)=0


 4 t=-2 또는 t=3

 즉, x€=-2 또는 x€=3이므로
'2 i 또는 x=+
 따라서 구하는 모든 실근의 곱은

x=+

'3



'3 *(-'3 )=-3

236  ⑴ '7 i, '7 i
 ⑵ x›+x€+1=0에서

 (x›+2x€+1)-x€=0, (x€+1)€-x€=0

 (x€+x+1)(x€-x+1)=0

 즉, x€+x+1=0 또는 x€-x+1=0이므로

 x=

-1+
2

'3 i

또는 x=

1+
'3 i
2

 ⑶ x›-6x€+1=0에서

 (x›-2x€+1)-4x€=0, (x€-1)€-(2x)€=0

 (x€+2x-1)(x€-2x-1)=0

 즉, x€+2x-1=0 또는 x€-2x-1=0이므로

 x=-1+

'2 또는 x=1+

'2

 ⑷ x›+64=0에서













































237  x›-8x€+4=0에서


(x›-4x€+4)-4x€=0, (x€-2)€-(2x)€=0

(x€+2x-2)(x€-2x-2)=0

 즉, x€+2x-2=0 또는 x€-2x-2=0이므로

x=-1+

'3 또는 x=1+

'3

 따라서 양수인 근의 합은

(-1+'3 )+(1+'3 )=2'3

238  a+b+c, ab+bc+ca, abc, -;aB;, ;aC;, -;;aD;

239  ⑴ a+b+c=3, ab+bc+ca=3, abc=-1

 ⑵ a+b+c=2, ab+bc+ca=;2%;, abc=1

 ⑶ a+b+c=0, ab+bc+ca=2, abc=;3!;

240  x‹-2x€+3x+5=0의 세 근이 a, b, c이므로
 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해



a+b+c=2, ab+bc+ca=3, abc=-5

 ⑴  1
a

+

+

=

1
b

1
c

ab+bc+ca
abc

=-;5#;

 ⑵  1
ab

1
bc

+

+

=

1
ca

a+b+c
abc

=-;5@;

 ⑶ (1+a)(1+b)(1+c)

 =1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc

 =1+2+3+(-5)=1

 ⑷ a€+b€+c€ =(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)



=2€-2*3=-2

 ⑸ a‹+b‹+c‹

 =(a+b+c)(a€+b€+c€-ab-bc-ca)+3abc

 =2*(-2-3)+3*(-5)=-25

 ⑹ a€b€+b€c€+c€a€

 =(ab+bc+ca)€-2(ab€c+abc€+a€bc)

 =(ab+bc+ca)€-2abc(a+b+c)

 =3€-2*(-5)*2=29

241  x‹-x€-3x+2=0의 세 근이 a, b, c이므로
 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

a+b+c=1, ab+bc+ca=-3, abc=-2

 
 4 (a+b)(b+c)(c+a)

 =(1-c)(1-a)(1-b)

 =1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc

 =1-1+(-3)-(-2)=-1

다른풀이

x‹-x€-3x+2=0의 세 근이 a, b, c이므로



































 (x›+16x€+64)-16x€=0, (x€+8)€-(4x)€=0

x‹-x€-3x+2=(x-a)(x-b)(x-c)

 (x€+4x+8)(x€-4x+8)=0

 위 식의 양변에 x=1을 대입하면

 즉, x€+4x+8=0 또는 x€-4x+8=0이므로

1-1-3+2=(1-a)(1-b)(1-c)



 x=-2+2i 또는 x=2+2i

 ∴ (1-a)(1-b)(1-c)=-1

2. 방정식과 부등식    063

242  ⑴ 14, 24
 ⑵ (세 근의 합)=-1+2+4=5

 (두 근끼리의 곱의 합) =-1*2+2*4+4*(-1)=2

 (세 근의 곱)=-1*2*4=-8

 4 x‹-5x€+2x+8=0

 ⑷ ab+bc+ca=4

 ab*bc+bc*ca+ca*ab =abc(a+b+c)



=2*(-2)=-4

 ab*bc*ca=(abc)€=2€=4
 4 x‹-4x€-4x-4=0

 ⑶ (세 근의 합)=0+1-3=-2

 ⑸ (2a-1)+(2b-1)+(2c-1) =2(a+b+c)-3  

 (두 근끼리의 곱의 합) =0*1+1*(-3)-3*0=-3

=2*(-2)-3=-7

 (두 근끼리의 곱의 합) =-1*(-3)-3*(-4)-4*(-1)

 =4(ab+bc+ca)-4(a+b+c)+3

























































 (세 근의 곱)=0*1*(-3)=0

 4 x‹+2x€-3x=0

 ⑷ (세 근의 합)=-1-3-4=-8

=19

 (세 근의 곱)=-1*(-3)*(-4)=-12

 4 x‹+8x€+19x+12=0

 ⑸ (세 근의 합)=;2!;-;2!;+6=6

 (두 근끼리의 곱의 합)=;2!;*{-;2!;}-;2!;*6+6*;2!;=-;4!;

 (세 근의 곱)=;2!;*{-;2!;}*6=-;2#;

 4 x‹-6x€-;4!;x+;2#;=0

243  x‹+2x€+4x-2=0의 세 근이 a, b, c이므로
 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

a+b+c=-2, ab+bc+ca=4, abc=2

 ⑴ (-a)+(-b)+(-c)=-(a+b+c)=2

 (-a)*(-b)+(-b)*(-c)+(-c)*(-a)

 =ab+bc+ca=4

 (-a)*(-b)*(-c)=-abc=-2
 4 x‹-2x€+4x+2=0

 ⑵ (a+1)+(b+1)+(c+1) =a+b+c+3



=-2+3 =1

 (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)

 =(ab+a+b+1)+(bc+b+c+1)+(ca+c+a+1)

 =(ab+bc+ca)+2(a+b+c)+3

 =abc+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+1 

 =4+2*(-2)+3=3

 (a+1)(b+1)(c+1)

 =2+4+(-2)+1=5

 4 x‹-x€+3x-5=0

1
c

1
b

1
b

1
b

1
b





1
a

1
a

*

*

=

1
c

1
abc

=;2!;

 4 x‹-2x€-x-;2!;=0

064    정답과 풀이

 ⑶  1
a

+

+

=

ab+bc+ca
abc

=

=2

4
2

*

+

*

+

*

=

1
c

1
c

1
a

a+b+c
abc

=

-2
2

=-1





















































 (2a-1)(2b-1)+(2b-1)(2c-1)+(2c-1)(2a-1)

 =(4ab-2a-2b+1)+(4bc-2b-2c+1)

+(4ca-2c-2a+1)

 =4*4-4*(-2)+3=27

 (2a-1)(2b-1)(2c-1)

 =8abc-4(ab+bc+ca)+2(a+b+c)-1

 =8*2-4*4+2*(-2)-1=-5

 4 x‹+7x€+27x+5=0

244  x‹-2x-1=0의 세 근이 a, b, c이므로
 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

a+b+c=0, ab+bc+ca=-2, abc=1

 이때, a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b이므로

(a+b)+(b+c)+(c+a) =-c-a-b  

=-(a+b+c)=0

(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)

 =(-c)*(-a)+(-a)*(-b)+(-b)*(-c)

 =ab+bc+ca=-2

(a+b)(b+c)(c+a) =(-c)*(-a)*(-b)



 4 x‹-2x+1=0

=-abc=-1

245  ⑴ 1-'2 , 1-'2 , 1-'2 , 1-'2 , 1-'2 , 5, 1-'2 , 3
 ⑵ 계수가 모두 유리수이므로 1-'3 이 근이면 1+'3 도 근이다.


 나머지 한 근을 a라 하면

 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
 a(1-'3 )(1+'3 )=-2, -2a=-2
 따라서 세 근이 1, 1-'3 , 1+'3 이므로
 -a=1+(1-'3 )+(1+'3 )에서 a=-3
 b=1*(1-'3 )+(1-'3 )(1+'3 )+1*(1+'3 )에서 b=0

 4 a=1

 ⑶ 계수가 모두 유리수이므로 3+'5 가 근이면 3-'5 도 근이다.


 나머지 한 근을 a라 하면

 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
 a(3+'5 )+(3+'5 )(3-'5 )+a(3-'5 )=-2
 4 a=-1
 6a+4=-2
 따라서 세 근이 -1, 3+'5 , 3-'5 이므로
 -a=-1+(3+'5 )+(3-'5 )에서 a=-5
 -b=-1*(3+'5 )(3-'5 )에서 b=4



































































246  ⑴ 계수가 모두 실수이므로 1+i 가 근이면 1-i 도 근이다.


 나머지 한 근을 a라 하면





x€+x+1=0의 두 근이 x, x” 이므로 근과 계수의 관계에 의해
x+x”=-1, xx” =1

 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

 a+(1+i)+(1-i)=3

 4 a=1

 따라서 세 근이 1, 1+i, 1-i이므로

 a=1*(1+i)+(1+i)(1-i)+1*(1-i)에서

 -b=1*(1+i)(1-i)에서

 a=4

 b=-2

=

2-(x+x”)
1-(x+x”)+xx”

 ⑸  1

1-x

+

1
1-x”

=

 ⑹  1

1-x

 ⑹  1
x€

+

=

1
1-x
= x€+x”€
x€x”€

+

1
x”€

1-x”+1-x
(1-x)(1-x”)
2-(-1)
1-(-1)+1

=1

=

(x+x”)€-2xx”
1€

 ⑸

=(-1)€-2=-1

 ⑵ 계수가 모두 실수이므로 1+'2 i 가 근이면 1-'2 i 도 근이다.


 나머지 한 근을 a라 하면

 4 a=1

 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
 a(1+'2 i)(1-'2 i)=3, 3a=3
 따라서 세 근이 1, 1+'2 i, 1-'2 i 이므로
 -a=1+(1+'2 i)+(1-'2 i)에서
 a=-3
 b=1*(1+'2 i)+(1+'2 i)(1-'2 i)+1*(1-'2 i)에서
 b=5

249  x‹-1=0에서 (x-1)(x€+x+1)=0
x는 x€+x+1=0의 한 허근이므로


x‹=1, x€+x+1=0

 이때, 1+

+

1
x€

= x€+x+1
x€

=0이므로

1
x

1
x€

1+

+

+

+y+

1
x‹

1
x°

1
x

 ={1+

1
x

+

1
x€ }+

1
x‹

{1+

1
x

+

1
x€ }+

1
xfl

{1+

1
x

+

1
x€ }

 ⑶ 계수가 모두 실수이므로 1-i 가 근이면 1+i 도 근이다.

 =0

=1+i 가 근이면 1-i 도 근이다.

 나머지 한 근을 a라 하면

 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

 a(1-i)+(1-i)(1+i)+a(1+i)=6
 4 a=2

 2a+2=6

 따라서 세 근이 2, 1-i, 1+i 이므로

 -a=2+(1-i)+(1+i)에서

 b=2(1-i)(1+i)에서

 a=-4

 b=4

247  계수가 모두 실수이므로  2
1-i

 또, 나머지 한 근이 a이므로

 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

a(1+i)(1-i)=6, 2a=6

 4 a=3

 따라서 세 근이 3, 1+i, 1-i 이므로

 -a=3+(1+i)+(1-i)에서 a=-5

b=3(1+i)+(1+i)(1-i)+3(1-i)에서 b=8

 4 a+b+a=-5+8+3=6

248  x‹=1에서 x‹-1=0, (x-1)(x€+x+1)=0


x는 x€+x+1=0의 한 허근이므로

x‹=1, x€+x+1=0

 ⑴ x·=(x‹)‹=1‹=1

 ⑵ x+x‹+xfi=x+x‹+x‹*x€=1+x+x€=0

 ⑶ 1+x+x€+x‹+y+x⁄€

 =(1+x+x€)+x‹(1+x+x€)+y+x⁄€

 =x⁄€=(x‹)›=1

 ⑷ x+

1
x

= x€+1
x

=

-x
x

=-1

250  x‹=-1에서 x‹+1=0, (x+1)(x€-x+1)=0


x는 x€-x+1=0의 한 허근이므로

x‹=-1, x€-x+1=0

 ⑴ x⁄°=(x‹)fl=(-1)fl=1

 ⑵ x‹-(x€-x)=x(x€-x+1)=0

 ⑶ 1-x+x€-x‹+x›-xfi+xfl

 =(1-x+x€)-x‹(1-x+x€)+xfl

 =xfl=(x‹)€=(-1)€=1

 ⑷ -x-

1
x

=- x€+1

x

=- x
x

=-1

 ⑸  1-x
x€

+

1+x€
x

=

-x€
x€

+ x
x

=(-1)+1=0

 ⑹ x€-x+1=0의 두 근이 x, x”이므로 근과 계수의 관계에 의해




x+x”=1, xx”=1
 1
1+x

+

=





 ⑹  1

+

1-x

1
1+x”
1
1-x

=

1+x+1+x” 
(1+x)(1+x”) 
2+(x+x”)
1+(x+x”)+xx”

251  x‹+1=0에서 (x+1)(x€-x+1)=0
x€-x+1=0의 두 허근이 x, x” 이므로

x€-x+1=0, x” €-x”+1=0
 또, 근과 계수의 관계에 의해



=

2+1
1+1+1

=1



x+x” =1, xx” =1
+ x-1
x”

x

 4  x”-1

= x” €-x”+x€-x
xx”

=

(-1)+(-1)
1

=-2



다른풀이


  ∴  x”-1
x

x+x”=1에서 x”-1=-x, x-1=-x”

+ x-1
x”

=

-x
x

+

-x”
x”

=-1-1=-2

2. 방정식과 부등식    065

108쪽~109쪽

258  (x+1)(x-2)(x+3)(x+6)+14=0에서

{(x+1)(x+3)}{(x-2)(x+6)}+14=0

1 -3 -4

12
2 -2 -12
0

1 -1 -6


0
-2
1 -2

10
1
4 -10
0
5

더블클릭

252  x‹+8=0에서 (x+2)(x€-2x+4)=0
 4 x=-2 또는 x=1+

253  f(x)=x‹-3x€-4x+12로 놓으면  2


f(2)=0이므로

'3 i



f(x) =(x-2)(x€-x-6)

=(x-2)(x+2)(x-3)

 즉, (x-2)(x+2)(x-3)=0이므로

x=+2 또는 x=3



254  f(x)=x‹+x+10으로 놓으면  -2 1


f(-2)=0이므로



f(x)=(x+2)(x€-2x+5)

 즉, (x+2)(x€-2x+5)=0이므로

x=-2 또는 x=1+2i



255  f(x)=x›-2x‹-5x€+2x+4로 놓으면


f(1)=0, f(-1)=0이므로



2

4
1 -1 -6 -4
0

  1 1 -2 -5

-1 1 -1 -6 -4
4
0

2
1 -2 -4

-1

f(x)=(x-1)(x+1)(x€-2x-4)

 즉, (x-1)(x+1)(x€-2x-4)=0이므로

'5

x=+1 또는 x=1+



256  f(x)=x›+x‹+2x-4로 놓으면
f(1)=0, f(-2)=0이므로


  1 1

-2 1

1

1
1
2
-2
0



2 -4
0
4
2
2
0
4
2
0 -4
0
2

f(x)=(x-1)(x+2)(x€+2)

 즉, (x-1)(x+2)(x€+2)=0이므로

x=1 또는 x=-2 또는 x=+



257  (x€-3x)€-2(x€-3x)-8=0에서 x€-3x=t로 놓으면


t€-2t-8=0, (t+2)(t-4)=0

'2 i

 4 t=-2 또는 t=4

 1 t=-2, 즉 x€-3x=-2일 때

 x€-3x+2=0, (x-1)(x-2)=0

 4 x=1 또는 x=2

 2 t=4, 즉 x€-3x=4일 때

 x€-3x-4=0, (x+1)(x-4)=0

 4 x=-1 또는 x=4

 따라서 방정식의 근은

x=+1 또는 x=2 또는 x=4

066    정답과 풀이













































(x€+4x+3)(x€+4x-12)+14=0

 …… ㉠

x€+4x=t로 놓으면 ㉠은

(t+3)(t-12)+14=0, t€-9t-22=0

(t+2)(t-11)=0

 4 t=-2 또는 t=11

 1 t=-2, 즉 x€+4x=-2일 때

 x€+4x+2=0

 4 x=-2+

 2 t=11, 즉 x€+4x=11일 때

 x€+4x-11=0

 4 x=-2+

'2

'ß15

 따라서 방정식의 근은

x=-2+

'2 또는 x=-2+

'ß15

259  x›-3x€-4=0에서 x€=t로 놓으면
t€-3t-4=0, (t+1)(t-4)=0


 4 t=-1 또는 t=4

 즉, x€=-1 또는 x€=4이므로

x=+i 또는 x=+2

260  x›+2x€+9=0에서


(x›+6x€+9)-4x€=0, (x€+3)€-(2x)€=0

(x€+2x+3)(x€-2x+3)=0

 즉, x€+2x+3=0 또는 x€-2x+3=0이므로
'2 i 또는 x=1+

x=-1+

'2 i



261  f(x)=x‹-2x€+ax+6으로 놓으면


f(1)=0이므로

1-2+a+6=0

 4 a=-5

 즉, f(x)=x‹-2x€-5x+6이고,

f(1)=0이므로

f(x) =(x-1)(x€-x-6)

=(x-1)(x+2)(x-3)

 즉, (x-1)(x+2)(x-3)=0이므로

x=1 또는 x=-2 또는 x=3

 따라서 나머지 두 근은 -2, 3이다.

262  f(x)=x‹-4x€+x+a로 놓으면


f(-1)=0이므로

 -1-4-1+a=0

 4 a=6

1 1 -2 -5

6
1 -1 -6
0

1 -1 -6



 즉, f(x)=x‹-4x€+x+6이고,  -1 1 -4
-1

1 -5

f(-1)=0이므로

f(x) =(x+1)(x€-5x+6)





1
6
5 -6
0
6

=(x+1)(x-2)(x-3)

 즉, (x+1)(x-2)(x-3)=0이므로



x=-1 또는 x=2 또는 x=3

 따라서 나머지 두 근은 2, 3이다.















-2 1

0
-2
1 -2

1
10
4 -10
0
5

263  f(x)=x‹+ax€+x+10으로 놓으면


f(-2)=0이므로

 -8+4a-2+10=0

 4 a=0

 즉, f(x)=x‹+x+10이고,

f(-2)=0이므로

f(x)=(x+2)(x€-2x+5)

 즉, (x+2)(x€-2x+5)=0이므로

x=-2 또는 x=1+2i

 따라서 나머지 두 근은 1+2i이다.


[ 264~265 ]
x‹+3x-2=0에서 세 근이 a, b, c이므로

삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

a+b+c=0, ab+bc+ca=3, abc=2
264  (a-1)(b-1)(c-1)
 =abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1 

 =2-3+0-1=-2


265  a€b€+b€c€+c€a€ =(ab+bc+ca)€-2abc(a+b+c)
=3€-2*2*0=9


[ 266~267 ]
x‹+2x€-x-3=0에서 세 근이 a, b, c이므로

삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

a+b+c=-2, ab+bc+ca=-1, abc=3
266  (a+1)+(b+1)+(c+1) =a+b+c+3



=-2+3=1

(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)

 =(ab+a+b+1)+(bc+b+c+1)+(ca+c+a+1)

 =(ab+bc+ca)+2(a+b+c)+3

 =-1+2*(-2)+3=-2

(a+1)(b+1)(c+1)

 =abc+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+1

 =3+(-1)+(-2)+1=1

 4 x‹-x€-2x-1=0


267  1
a

+

+

=

ab+bc+ca
abc

=

-1
3

=-;3!;

*

+

*

+

*

=

1
c

1
c

1
a

a+b+c
abc

=

-2
3

=-;3@;

1
c

1
b

1
b

1
b

1
b

1
a

1
a

*

*

=

1
c

1
abc

=;3!;

 4 x‹+;3!;x€-;3@;x-;3!;=0


268  계수가 모두 실수이므로 1+i가 근이면 1-i도 근이다.
 나머지 한 근을 a라 하면

 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

a+(1+i)+(1-i)=1

 4 a=-1

 따라서 세 근이 -1, 1+i, 1-i이므로

a=-1*(1+i)+(1+i)(1-i)-1*(1-i)에서 a=0

 -b=-1*(1+i)(1-i)에서 b=2

269  계수가 모두 실수이므로 2+i가 근이면 2-i도 근이다.
 나머지 한 근을 a라 하면

 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

a+(2+i)+(2-i)=-1

 4 a=-5

 따라서 세 근이 -5, 2+i, 2-i이므로

a=-5(2+i)+(2+i)(2-i)-5(2-i)에서 a=-15

b=-5(2+i)(2-i)에서 b=-25

270  계수가 모두 실수이므로 1+'3 i가 근이면 1-'3 i도 근이다.
 나머지 한 근을 a라 하면

 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

a(1+'3 i)(1-'3 i)=-4

 4 a=-1

 따라서 세 근이 -1, 1+'3 i, 1-'3 i이므로
 -a=-1+(1+'3 i)+(1-'3 i)에서 a=-1


b=-1*(1+'3 i)+(1+'3 i)(1-'3 i)-1*(1-'3 i)에서
b=2













[ 271~274 ]
x‹=1에서 x‹-1=0, (x-1)(x€+x+1)=0

x는 x€+x+1=0의 한 허근이므로

x‹=1, x€+x+1=0
271  x+x€+x‹=x(1+x+x€)=0

272  x›+x€+1=x‹*x+x€+1=x€+x+1=0

273  (1+x)(1+x€) =1+x€+x+x‹



=(1+x+x€)+x‹=1

274  x⁄‚+

=(x‹)‹*x+

1
x⁄‚
= x€+1



=

-x
x

x

=-1

1
(x‹)‹*x

=x+

1
x



[ 275~277 ]
x‹+1=0에서 (x+1)(x€-x+1)=0

x는 x€-x+1=0의 한 허근이므로

x‹=-1, x€-x+1=0
275  x⁄‚-xfi+1 =(x‹)‹*x-x‹*x€+1



=x€-x+1=0

276  x€+

1
x€

= x›+1
x€

=

-x+1
x€

=

-x€
x€

=-1

277  (1-x)(1+x€) =1+x€-x-x‹  

=(x€-x+1)-x‹=1

2. 방정식과 부등식    067

05 여러 가지 방정식 

110쪽~116쪽

 ⑶ [

2x-y=1
3x€-y€=-6  yy ㉡

yy ㉠

x+y=3  yy ㉠

2x-y=9  yy ㉡

278  ⑴ [


 ㉠+㉡을 하면 3x=12

∴  x=4

 이것을 ㉠에 대입하면 y=-1

  따라서 주어진 연립방정식의 해는 x=4, y=-1

 ⑵ [

x-2y=1  yy ㉠
2x+3y=9  yy ㉡

 2_㉠-㉡을 하면 -7y=-7



∴ y=1

 이것을 ㉠에 대입하면 x=3

  따라서 주어진 연립방정식의 해는 x=3, y=1

 ⑶ [

3x-4y=7  yy ㉠

5x-6y=13  yy ㉡

 3_㉠-2_㉡을 하면 -x=-5

∴  x=5

 이것을 ㉠에 대입하면 y=2

  따라서 주어진 연립방정식의 해는 x=5, y=2

3x-y=8  yy ㉠

y=-x+4  yy ㉡

279  ⑴ [


 ㉡을 ㉠에 대입하면 4x-4=8

∴  x=3

 이것을 ㉡에 대입하면 y=1

  따라서 주어진 연립방정식의 해는 x=3, y=1

 ⑵ [

x-y=-1  yy ㉠

5x+y=19  yy ㉡

 ㉠을 y에 대하여 정리하면 y=x+1

…… ㉢

 ㉢을 ㉡에 대입하면 6x+1=19

∴  x=3

 이것을 ㉢에 대입하면 y=4

  따라서 주어진 연립방정식의 해는 x=3, y=4

 ⑶ [

yy ㉠
2x+y=10
-3x+2y=-1  yy ㉡

 ㉠을 y에 대하여 정리하면 y=-2x+10  …… ㉢

 ㉢을 ㉡에 대입하면 -7x+20=-1

∴  x=3

 이것을 ㉢에 대입하면 y=4

  따라서 주어진 연립방정식의 해는 x=3, y=4

280  ⑴ 1, 1, 2, 1, 2

 ⑵ [

x+y=-2  yy ㉠
x€-2y€=7  yy ㉡

 ㉠을 y에 대하여 정리하면 y=-x-2  …… ㉢

 ㉢을 ㉡에 대입하면 x€-2(-x-2)€=7

 x€+8x+15=0, (x+5)(x+3)=0

 ∴ x=-5 또는 x=-3

 ㉢에서 x=-5이면 y=3, x=-3이면 y=1

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x=-5
y=3      또는 [

x=-3
y=1  

 [



 





 





 



 







 







 















068    정답과 풀이



















































 ㉠에서 y=2x-1, 이를 ㉡에 대입하면

 3x€-(2x-1)€=-6, x€-4x-5=0

 (x+1)(x-5)=0

∴  x=-1 또는 x=5

 ㉠에서 x=-1이면 y=-3, x=5이면 y=9

 따라서 주어진 연립방정식의 해는 [

x=-1
y=-3

또는 [

x=5

y=9     

 ⑷ [

yy ㉠
x-y=2
x€+xy-y€=11  yy ㉡

 ㉠에서 y=x-2, 이를 ㉡에 대입하면

 x€+x(x-2)-(x-2)€=11, x€+2x-15=0

 (x+5)(x-3)=0

∴  x=-5 또는 x=3

 ㉠에서 x=-5이면 y=-7, x=3이면 y=1

 따라서 주어진 연립방정식의 해는 [

x=-5
y=-7

또는 [

x=3
y=1     

 ⑸ [

x-y=-2
yy ㉠
x€-xy+2y€=4  yy ㉡

 ㉠에서 y=x+2, 이를 ㉡에 대입하면

 x€-x(x+2)+2(x+2)€=4, x€+3x+2=0

 (x+1)(x+2)=0

∴  x=-1 또는 x=-2

 ㉠에서 x=-1이면 y=1, x=-2이면 y=0

 따라서 주어진 연립방정식의 해는 [

x=-1
y=1

또는 [

x=-2      
y=0

 ⑹ [

x-2y=1
yy ㉠
x€-xy+y€=7  yy ㉡

 ㉠에서 x=2y+1, 이를 ㉡에 대입하면

 (2y+1)€-(2y+1)y+y€=7, y€+y-2=0

 (y+2)(y-1)=0

∴  y=-2 또는 y=1

 ㉠에서 y=-2이면 x=-3, y=1이면 x=3

 따라서 주어진 연립방정식의 해는 [

x=-3
y=-2

또는 [

x=3      
y=1

 ⑺ [

x-2y=-1
yy ㉠
x€-2xy-y€=-2  yy ㉡

 ㉠에서 x=2y-1, 이를 ㉡에 대입하면

 (2y-1)€-2(2y-1)y-y€=-2, y€+2y-3=0

 (y-1)(y+3)=0

∴  y=-3 또는 y=1

 ㉠에서 y=-3이면 x=-7, y=1이면 x=1

 따라서 주어진 연립방정식의 해는 [

x=-7
y=-3

또는 [

x=1      
y=1

yy ㉠
x-y+2=0

x€+3x-y-1=0  yy ㉡

281  [
 ㉠을 y에 대하여 정리하면 y=x+2

 …… ㉢

 ㉢을 ㉡에 대입하면 x€+3x-(x+2)-1=0



x€+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0

 ∴ x=-3 또는 x=1

 ㉢에서 x=-3이면 y=-1, x=1이면 y=3

 따라서 a=-3, b=-1 또는 a=1, b=3이므로 a€+b€=10

282  ⑴ \4, _'5 i, 4, -4, -'5 i, '5 i

 ⑵ [

yy ㉠
x€-y€=0

3x€+xy-y€=9  yy ㉡

 ㉠에서 (x-y)(x+y)=0

∴  x=y 또는 x=-y

 1 x=y를 ㉡에 대입하면

3y€+y€-y€=9, y€=3
x=y이므로 y=\'3, x=\'3 (복호동순)

∴  y=\'3

 2 x=-y를 ㉡에 대입하면

3y€-y€-y€=9, y€=9

∴  y=\3

x=-y이므로 y=\3, x=_3 (복호동순)

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

 [

또는 [

x=-'3
y=-'3

x='3
y='3
x€-2xy-3y€=0  yy ㉠
yy ㉡
x€+y€=100

또는 [

 ⑶ [

x=3
y=-3 

또는 [

x=-3
y=3 



 ㉠에서 (x-3y)(x+y)=0

∴  x=3y 또는 x=-y

 1 x=3y를 ㉡에 대입하면

9y€+y€=100, y€=10
x=3y이므로 y=\'ß10, x=\3'ß10 (복호동순)

∴  y=\'ß10

 2 x=-y를 ㉡에 대입하면

y€+y€=100, y€=50
x=-y이므로 y=\5'2, x=_5'2 (복호동순)

∴  y=\5'2

 따라서 주어진 연립방정식의 해는



[

또는 [

x=-3'ß10
y=-'ß10

x=3'ß10
y='ß10
2x€-3xy+y€=0  yy ㉠
yy ㉡
5x€-y€=4

또는 [

 ⑷ [

x=5'2
y=-5'2

또는 [

x=-5'2
y=5'2



 ㉠에서 (x-y)(2x-y)=0

∴  y=x 또는 y=2x

 1 y=x를 ㉡에 대입하면

5x€-x€=4, x€=1

∴  x=\1

y=x이므로 x=\1, y=\1 (복호동순)

 2 y=2x를 ㉡에 대입하면

5x€-4x€=4, x€=4



∴ x=\2

y=2x이므로 x=\2, y=\4 (복호동순)

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x=1
y=1

 [

또는 [

x=-1
y=-1

또는 [

x=2
y=4

또는 [

x=-2
y=-4



 ⑸ [

2x€-xy-y€=0  yy ㉠
2x€-5xy+y€=16  yy ㉡

 ㉠에서 (x-y)(2x+y)=0

∴  y=x 또는 y=-2x

 1 y=x를 ㉡에 대입하면

∴  x=\2'2 i
2x€-5x€+x€=16, x€=-8
y=x이므로 x=\2'2 i, y=\2'2 i (복호동순)









































































































 ⑹ [

6x€-xy-2y€=0  yy ㉠
x€-xy+y€=7  yy ㉡

 ㉠에서 (3x-2y)(2x+y)=0



 ∴ y=;2#;x 또는 y=-2x

 1 y=;2#;x를 ㉡에 대입하면

x€-;2#;x€+;4(;x€=7, x€=4

∴  x=\2

y=;2#;x이므로 x=\2, y=\3 (복호동순)

 2 y=-2x를 ㉡에 대입하면

x€+2x€+4x€=7, x€=1

∴  x=\1

y=-2x이므로 x=\1, y=_2 (복호동순)

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

 [

x=2
y=3

또는 [

x=-2
y=-3

또는 [

x=1
y=-2

또는 [

x=-1
y=2



x€-y€=0

yy ㉠

283  [
 ㉠에서 (x-y)(x+y)=0

x€-xy+y€=16  yy ㉡



 ∴ x=y 또는 x=-y

 1 x=y를 ㉡에 대입하면

 y€-y€+y€=16, y€=16

∴  y=\4

 x=y이므로 y=\4, x=\4 (복호동순)

 2 x=-y를 ㉡에 대입하면

 y€+y€+y€=16, y€=:¡3§:

∴  y=\

4'3
3

 x=-y이므로 y=\

, x=_

(복호동순)

4'3
3

4'3
3

주어진 연립방정식의 해 중 x, y가 모두 양의 실수인 것은 x=4,

y=4이므로

x+y=4+4=8

284  ⑴ 3x, 3x, \3, \2, 3, -3, 2, -2
yy ㉠
x€-2xy+2y€=5

 ⑵ [

4x€-11xy+7y€=10  yy ㉡
 2_㉠-㉡을 하면 -2x€+7xy-3y€=0

 2x€-7xy+3y€=0, (x-3y)(2x-y)=0

 ∴ y=;3!;x 또는 y=2x

 1 y=;3!;x를 ㉠에 대입하면

x€-;3@;x€+;9@;x€=5, x€=9

∴  x=\3

y=;3!;x이므로 x=\3, y=\1 (복호동순)







































































2. 방정식과 부등식    069

 2 y=-2x를 ㉡에 대입하면

 2 y=2x를 ㉠에 대입하면

2x€+10x€+4x€=16, x€=1

∴  x=\1

y=-2x이므로 x=\1, y=_2 (복호동순)

x€-4x€+8x€=5, x€=1

∴  x=\1

y=2x이므로 x=\1, y=\2 (복호동순)

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

 [

x=2'2 i
y=2'2 i

또는 [

x=-2'2 i
y=-2'2  i

또는 [

x=1
y=-2

또는 [

x=-1
y=2



x=3
y=1 

또는 [

x=-3
y=-1 

또는 [

x=1
y=2 

또는 [

x=-1
y=-2

 [

 9y€-3y€=6, y€=1

∴  y=\1

   (x-2)(x-4)=0

∴  x=2 또는 x=4

x=3y이므로 y=\1, x=\3 (복호동순)

   ㉢에서 x=2이면 y=4, x=4이면 y=2

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

   따라서 주어진 연립방정식의 해는

 ⑶ [

x€-xy=6  yy ㉠

y€-xy=-2  yy ㉡

 ㉠+3_㉡을 하면 x€-4xy+3y€=0

 (x-y)(x-3y)=0

∴  x=y 또는 x=3y

 1 x=y를 ㉠에 대입하면

y€-y€=6

이때, 0+6이므로 해가 없다.

 2 x=3y를 ㉠에 대입하면









 

  [

x=3
y=1 

또는 [

x=-3
y=-1 

285  ⑴ 2, 5, 2, 5

 ⑵ [

3x€+5y-2x=8  yy ㉠

x€+2y-x=2  yy ㉡

 ㉠-3_㉡을 하면 x-y=2

 ∴ y=x-2

…… ㉢

 ㉢을 ㉡에 대입하면 x€+2(x-2)-x=2

 x€+x-6=0, (x+3)(x-2)=0

 ∴ x=-3 또는 x=2

 ㉢에서 x=-3이면 y=-5, x=2이면 y=0

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

 

  [

x=-3
y=-5

또는 [

x=2
y=0 

 ⑶ [

x€+y€+2x=0  yy ㉠

x€+y€+x+y=2  yy ㉡

 ㉠-㉡을 하면 x-y=-2

 ∴ y=x+2

…… ㉢

 ㉢을 ㉠에 대입하면 x€+(x+2)€+2x=0

 x€+3x+2=0, (x+1)(x+2)=0

 ∴ x=-1 또는 x=-2

 ㉢에서 x=-1이면 y=1, x=-2이면 y=0

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

 

  [

x=-1
y=1

또는 [

x=-2
y=0 

 ⑷ [

x€+y€-7x+y=-10  yy ㉠
yy ㉡
x€+y€-x-2y=5

 ㉠-㉡을 하면 -6x+3y=-15

 ∴ y=2x-5

…… ㉢





























































 ㉢을 ㉠에 대입하면 x€+(2x-5)€-7x+(2x-5)=-10

 x€-5x+6=0, (x-2)(x-3)=0

 ∴ x=2 또는 x=3

 ㉢에서 x=2이면 y=-1, x=3이면 y=1

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

 

  [

x=2
y=-1

또는 [

x=3
y=1

070    정답과 풀이





















 





 





 

 







 





 



 

286  ⑴ 2, 4, 4, 2
   다른 풀이


   [

x+y=6  
xy=8

yy ㉠
yy ㉡

   ㉠을 y에 대하여 정리하면

   y=-x+6  yy ㉢

   ㉢을 ㉡에 대입하면

   x(-x+6)=8, x€-6x+8=0

 

  [

x=2
y=4

또는 [

x=4
y=2

 ⑵ [

x+y=-4
xy=3

에서 x, y는 t€+4t+3=0의 두 근이고,

 (t+1)(t+3)=0

∴  t=-1 또는 t=-3

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x=-1  
y=-3

또는 [

x=-3
y=-1

  [

 ⑶ [

x+y=2
xy=-15

에서 x, y는 t€-2t-15=0의 두 근이고,

 (t+3)(t-5)=0

∴  t=-3 또는 t=5

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x=-3  
y=5

또는 [

x=5
y=-3

  [

 ⑷ [

x+y=-5
xy=-6

에서 x, y는 t€+5t-6=0의 두 근이고,

 (t+6)(t-1)=0

∴  t=-6 또는 t=1

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x=-6  
y=1

또는 [

x=1
y=-6

  [

287  ⑴ 3, -2, -3, 2, 3, -2, -3, 2

 ⑵ [

x€+y€+xy=12
xy=-8
p€-q=12  yy ㉠   

q=-8   yy ㉡

  [

에서 x+y=p, xy=q라 하면



 



 

 ㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면 p€=4

∴  p=\2

 1 p=2, q=-8이면 x, y는 t€-2t-8=0의 두 근이다.

(t+2)(t-4)=0에서 t=-2 또는 t=4

x=-2  
y=4

또는 [

x=4
y=-2

∴ [

 2 p=-2, q=-8이면 x, y는 t€+2t-8=0의 두 근이다.

(t-2)(t+4)=0에서 t=2 또는 t=-4

x=2  
y=-4

∴ [

또는 [

x=-4
y=2

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x=-2  
y=4

또는 [

x=4
y=-2

  [

또는 [

x=2
y=-4

또는 [

x=-4
y=2

  1 p=-3, q=2이면 x, y는 t€+3t+2=0의 두 근이다.

(x+2)(y+2)=xy+46

에서 x+y=p, xy=q라 하면

291  2500, xy, -20, 14, 48, 48

 ⑶ [

x+y+xy=-1
x€+y€=5
p+q=-1
p€-2q=5

 [

…… ㉠

…… ㉡

 ㉠에서 q=-p-1  …… ㉢

 ㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면 p€+2p-3=0

 (p+3)(p-1)=0

∴  p=-3 또는 p=1

 ㉢에서 p=-3이면 q=2, p=1이면 q=-2





(t+2)(t+1)=0에서 t=-2 또는 t=-1

  

∴ [

x=-2  
y=-1

또는 [

x=-1
y=-2

 2 p=1, q=-2이면 x, y는 t€-t-2=0의 두 근이다.



(t+1)(t-2)=0에서 t=-1 또는 t=2

  

∴ [

x=-1  
y=2

또는 [

x=2
y=-1

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x=-2  
y=-1

또는 [

x=-1
y=-2

  [

또는 [

x=-1
y=2

또는 [

x=2
y=-1

에서 x+y=p, xy=q라 하면

288  [

x+y-xy=1
x€+xy+y€=13
p-q=1
p€-q=13

[

…… ㉠
…… ㉡

 ㉠에서 q=p-1  …… ㉢

 ㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면 p€-p-12=0

(p+3)(p-4)=0

∴  p=-3 또는 p=4

 ㉢에서 p=-3이면 q=-4, p=4이면 q=3

 1 p=-3, q=-4이면 x, y는 t€+3t-4=0의 두 근이다.

 (t+4)(t-1)=0에서 t=-4 또는 t=1

  ∴ [

x=-4  
y=1

또는 [

x=1
y=-4

 2 p=4, q=3이면 x, y는 t€-4t+3=0의 두 근이다.

 (t-1)(t-3)=0에서 t=1 또는 t=3

  ∴ [

x=1  
y=3

또는 [

x=3
y=1

 1, 2에서 |x-y|의 최댓값은 5이다.

289  14, 100, 8, 8, 8

290   직사각형의 가로의 길이를 x cm, 세로의 길이를 y cm라 하면

직사각형의 둘레의 길이가 56 cm이므로

2(x+y)=56

∴  x+y=28

…… ㉠

 대각선의 길이가 20 cm이므로

x€+y€=20€

∴  x€+y€=400



…… ㉡

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면

x=12, y=16 또는 x=16, y=12

 따라서 직사각형의 넓이는

12*16=192 (cm€)















 





 



 







 



 





































292   처음 직사각형의 가로의 길이를 x cm, 세로의 길이를 y cm라

하면 대각선의 길이가 15 cm이므로

x€+y€=15€

∴  x€+y€=225  …… ㉠

 직사각형의 가로와 세로의 길이를 각각 2 cm씩 늘렸더니

 직사각형의 넓이가 처음보다 46 cm€만큼 커졌으므로

 ∴ x+y=21

 …… ㉡

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면

x=12, y=9 (∵ x>y)

 따라서 처음 직사각형의 세로의 길이는 9 cm이다.

293  처음 철사의 길이가 280 cm이므로


4x+4y=280

∴  x+y=70  …… ㉠

 두 정사각형의 넓이의 합이 2900 cm€이므로

x€+y€=2900

 …… ㉡

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면

x=50, y=20 (∵ x>y)

294  ⑴ 3, 3, -1, 3, 3, 0, 6, 4
 ⑵ xy+4x-2y-10=0에서

 x(y+4)-2(y+4)-2=0

∴  (x-2)(y+4)=2

 이때, x, y가 정수이므로 x-2, y+4의 값은 다음 표와 같다.





x-2

y+4

-2

-1

-1

-2

1

2

1

5

2

1

5

1

 

  ∴ [

x=0  
y=-5

또는 [

x=1
y=-6

또는 [

x=3
y=-2

또는 [

x=4
y=-3

 ⑶ xy-2x-3y+1=0에서

 x(y-2)-3(y-2)-5=0

∴  (x-3)(y-2)=5

 이때, x, y가 정수이므로 x-3, y-2의 값은 다음 표와 같다.

x-3

y-2

-5

-1

-1

-5

 

  ∴ [

x=-2 
y=1

또는 [

x=2
y=-3

또는 [

x=4
y=7

또는 [

x=8
y=3

295  xy-4x-3y+5=0에서


x(y-4)-3(y-4)-7=0

∴  (x-3)(y-4)=7

 이때, x, y가 자연수이므로 x-3, y-4의 값은 다음 표와 같다.

x-3

y-4

1

7

7

1



∴  [

x=4 
y=11

또는 [

x=10
y=5



 따라서 x+y의 값은 15이다.

주의

x-3=-1, y-4=-7일 때와 x-3=-7, y-4=-1일 때

의 x, y의 값은 자연수가 아니다.

2. 방정식과 부등식    071



x-4y=0, y-3=0

∴  x=12, y=3

 ∴ x=1 또는 x=3

 ∴ xy=36

 ㉢에서 x=1이면 y=-1, x=3이면 y=-5



















































296  ⑴ 3y, 3y, 1
 ⑵ x€+y€-4x-6y+13=0에서

 (x€-4x+4)+(y€-6y+9)=0

 ∴ (x-2)€+(y-3)€=0

 이때, x, y가 실수이므로

 x-2=0, y-3=0

∴  x=2, y=3

 ⑶ 4x€-4xy+2y€-2y+1=0에서

 (4x€-4xy+y€)+(y€-2y+1)=0

 ∴ (2x-y)€+(y-1)€=0

 이때, x, y가 실수이므로

 2x-y=0, y-1=0

∴  x=;2!;, y=1

297  x€-8xy+17y€-6y+9=0에서


(x€-8xy+16y€)+(y€-6y+9)=0

 ∴ (x-4y)€+(y-3)€=0

 이때, x, y가 실수이므로

298  ⑴ 2, -1
 ⑵ 주어진 방정식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면

 x€-2(y+2)x+2y€+2y+5=0

 …… ㉠

 이때, x가 실수이므로 ㉠의 판별식을 D라 하면



;4Î;=(y+2)€-(2y€+2y+5)>0, -y€+2y-1>0
∴  (y-1)€<0

 y€-2y+1<0



 y는 실수이므로 y=1이고, 이것을 ㉠에 대입하면

 x€-6x+9=0, (x-3)€=0

∴  x=3

 ⑶ 주어진 방정식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면

 9x€-3(2y+1)x+4y€-2y+1=0  …… ㉠

 이때, x가 실수이므로 ㉠의 판별식을 D라 하면

 D=9(2y+1)€-4*9(4y€-2y+1)>0

 -12y€+12y-3>0, 4y€-4y+1<0



 ∴ (2y-1)€<0



 y는 실수이므로 y=;2!;이고, 이것을 ㉠에 대입하면

 9x€-6x+1=0, (3x-1)€=0

∴  x=;3!;

299  주어진 방정식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면
x€-2(y-2)x+2y€-6y+5=0  …… ㉠


 이때, x가 실수이므로 ㉠의 판별식을 D라 하면

;4Î;=(y-2)€-(2y€-6y+5)>0, -y€+2y-1>0,
∴  (y-1)€<0
y€-2y+1<0

y는 실수이므로 y=1이고, 이것을 ㉠에 대입하면

x€+2x+1=0, (x+1)€=0

∴  x=-1

 ∴ x+y=0

072    정답과 풀이

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117쪽~118쪽

x-y=3
 yy ㉠
x€+y€=5  yy ㉡

300  [
 ㉠을 y에 대하여 정리하면 y=x-3  …… ㉢

 ㉢을 ㉡에 대입하면 x€+(x-3)€=5



x€-3x+2=0, (x-1)(x-2)=0

 ∴ x=1 또는 x=2

 ㉢에서 x=1이면 y=-2, x=2이면 y=-1

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x=1
y=-2 

[

또는 [

x=2
y=-1

 

2x+y=1
 yy ㉠
3x€-y€=2  yy ㉡

301  [
 ㉠을 y에 대하여 정리하면 y=1-2x  …… ㉢

 ㉢을 ㉡에 대입하면 3x€-(1-2x)€=2



x€-4x+3=0, (x-1)(x-3)=0

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x=1  
y=-1

[

또는 [

x=3
y=-5



 

x+y=4
yy ㉠
x€-xy-y€=-4  yy ㉡

302  [
 ㉠을 y에 대하여 정리하면 y=4-x   …… ㉢

 ㉢을 ㉡에 대입하면 x€-x(4-x)-(4-x)€=-4



x€+4x-12=0, (x+6)(x-2)=0

 ∴ x=-6 또는 x=2

 ㉢에서 x=-6이면 y=10, x=2이면 y=2

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x=-6   
y=10

[

또는 [

x=2
y=2



 

yy ㉠
x+2y=1

x€+xy-y€=5  yy ㉡

303  [
 ㉠을 x에 대하여 정리하면 x=1-2y  …… ㉢

 ㉢을 ㉡에 대입하면 (1-2y)€+(1-2y)y-y€=5



y€-3y-4=0, (y+1)(y-4)=0

 ∴ y=-1 또는 y=4

 ㉢에서 y=-1이면 x=3, y=4이면 x=-7

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x=3  
y=-1

[

또는 [

x=-7
y=4

 

2x€+xy-y€=0  yy ㉠
x€+xy+y€=7  yy ㉡

304  [
 ㉠에서 (x+y)(2x-y)=0

 ∴ y=-x 또는 y=2x

  1 y=-x를 ㉡에 대입하면

 x€-x€+x€=7, x€=7
 y=-x이므로 x=\'7, y=_'7 (복호동순)

∴  x=\'7

 2 y=2x를 ㉡에 대입하면

 x€+2x€+4x€=7, x€=1

∴  x=\1

 y=2x이므로 x=\1, y=\2 (복호동순)

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x='7   
y=-'7

[

또는 [

x=-'7
y='7

또는 [

x=1   
y=2 

또는 [

x=-1
y=-2



x€+xy-2y€=0  yy ㉠
x€-xy+2y€=16  yy ㉡

305  [
 ㉠에서 (x+2y)(x-y)=0

 1 x=-2y를 ㉡에 대입하면

∴  x=-2y 또는 x=y

 4y€+2y€+2y€=16, y€=2
 x=-2y이므로 y=\'2, x=_2'2 (복호동순)

∴  y=\'2

 2 x=y를 ㉡에 대입하면

 y€-y€+2y€=16, y€=8
 x=y이므로 y=\2'2, x=\2'2 (복호동순)

∴  y=\2'2

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x=2'2
y=-'2 

[

또는 [

x=-2'2
y='2 

또는 [

x=2'2
y=2'2 

또는 [

x=-2'2
y=-2'2

306  [

6x€-xy-2y€=0
4x€+xy-4y€=-14  yy ㉡

yy ㉠

 ㉠에서 (2x+y)(3x-2y)=0

∴  y=-2x 또는 y=;2#;x

 1 y=-2x를 ㉡에 대입하면

 4x€-2x€-16x€=-14, x€=1

∴  x=\1

 y=-2x이므로 x=\1, y=_2 (복호동순)

 2 y=;2#;x를 ㉡에 대입하면

 4x€+;2#;x€-9x€=-14, x€=4

∴  x=\2

 y=;2#;x이므로 x=\2, y=\3 (복호동순)

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x=1
y=-2 

[

또는 [

x=-1
y=2

또는 [

x=2
y=3 

또는 [

x=-2
y=-3

x€-xy-2y€=0  yy ㉠


x€+y€=10

307  [
 ㉠에서 (x+y)(x-2y)=0



 yy ㉡

 1 x=-y를 ㉡에 대입하면

∴  x=-y 또는 x=2y

 y€+y€=10, y€=5
 x=-y이므로 y=\'5, x=_'5 (복호동순)

∴  y=\'5

 2 x=2y를 ㉡에 대입하면

 4y€+y€=10, y€=2
 x=2y이므로 y=\'2, x=\2'2 (복호동순)

∴  y=\'2

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x='5
y=-'5 

[

또는 [

x=-'5
y='5 

또는 [

x=2'2
y='2

또는 [

x=-2'2
y=-'2









 









 









 









 

3x€+xy+2y€=48  yy ㉠
x€+2xy+y€=16  yy ㉡

308  [
 ㉠-3_㉡을 하면 -5xy-y€=0

y(5x+y)=0

∴  y=0 또는 y=-5x

 1 y=0을 ㉠에 대입하면

 3x€=48, x€=16

∴  x=\4

 2 y=-5x를 ㉠에 대입하면

 3x€-5x€+50x€=48, x€=1

∴  x=\1

 y=-5x이므로 x=\1, y=_5 (복호동순)

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x=4
y=0  

[

또는 [

x=-4
y=0

또는 [

x=1
y=-5

또는 [

x=-1
y=5



 

x€+2xy-3y€=5  yy ㉠

2x€-3xy+y€=3  yy ㉡

309  [


3_㉠-5_㉡을 하면 -7x€+21xy-14y€=0

(x-y)(x-2y)=0

∴  x=y 또는 x=2y

 1 x=y를 ㉠에 대입하면 y€+2y€-3y€=5



 이때, 0+5이므로 해가 없다.

 2 x=2y를 ㉠에 대입하면

 4y€+4y€-3y€=5, y€=1

∴  y=\1

 x=2y이므로 y=\1, x=\2 (복호동순)

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x=2
y=1

[

또는 [

x=-2
y=-1



 















3x€+2x-y=1  yy ㉠
x€-x+3y=2

310  [
 ㉠-3_㉡을 하면 5x-10y=-5

yy ㉡



∴  x=2y-1

 …… ㉢

 ㉢을 ㉡에 대입하면 (2y-1)€-(2y-1)+3y=2



4y€-3y=0, y(4y-3)=0

∴  y=0 또는 y=;4#;

 ㉢에서 y=0이면 x=-1, y=;4#;이면 x=;2!;
 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x=-1  
y=0

[

또는
[

 

x=;2!;



y=;4#;

x€+y€-2x+y=0
2x€+2y€-5x+y=-1  yy ㉡

yy ㉠


311  [


2_㉠-㉡을 하면 x+y=1

∴  y=1-x

 …… ㉢

 ㉢을 ㉠에 대입하면 x€+(1-x)€-2x+(1-x)=0



2x€-5x+2=0, (2x-1)(x-2)=0

∴  x=;2!; 또는 x=2

 ㉢에서 x=;2!;이면 y=;2!;, x=2이면 y=-1
 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x=;2!;

[

y=;2!;

 

또는 [

x=2   

y=-1

2. 방정식과 부등식    073

에서 x, y는 t€-3t-18=0의 두 근이고,

x+y=3  
xy=-18

312  [


(t+3)(t-6)=0

∴  t=-3 또는 t=6

 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x=-3  
y=6

[

또는 [

x=6

y=-3  

313  [

x+y+xy=-5  
x€+y€=10

에서 x+y=p, xy=q라 하면

p+q=-5
p€-2q=10

[

이고, 이 연립방정식을 풀면

p=0  
q=-5

[

또는 [

p=-2

q=-3  

 1 p=0, q=-5이면 x, y는 t€-5=0의 두 근이다.



t€=5에서 t=-'5
x='5  
y=-'5

 

  ∴ [

x=-'5
y='5
 2 p=-2, q=-3이면 x, y는 t€+2t-3=0의 두 근이다.

또는 [



 (t+3)(t-1)=0에서 t=-3 또는 t=1

  ∴ [

x=-3  
y=1

또는 [

x=1
y=-3



 따라서 주어진 연립방정식의 해는

316  직각삼각형의 나머지 두 변의 길이를 각각 x cm, y cm라 하면
 빗변의 길이가 15 cm이므로

x€+y€=15€

∴  x€+y€=225

…… ㉠

 내접원의 반지름의 길이가 3 cm이므로

;2!;*15*3+;2!;*x*3+;2!;*y*3=;2!;xy

 ∴ 3x+3y-xy+45=0



…… ㉡

 이때, x+y=p, xy=q라 하면

 ㉠에서 p€-2q=225

 ㉡에서 3p-q+45=0



 두 식을 연립하면 p=21, q=108 (∵ p>0)

p=21, q=108이면 x, y는 t€-21t+108=0의 두 근이다.

(t-12)(t-9)=0에서 t=12 또는 t=9

  ∴ [

x=12  
y=9

또는 [

x=9

y=12  

따라서 직각삼각형의 빗변이 아닌 다른 두 변의 길이는 각각

12 cm, 9 cm이다.

317  xy+2x-3y-14=0에서
x(y+2)-3(y+2)-8=0


∴  (x-3)(y+2)=8

 이때, x, y가 자연수이므로 x-3, y+2의 값은 다음 표와 같다.

x='5  
y=-'5

[

또는 [

x=-'5
y='5

또는 [

x=-3  
y=1

또는 [

x=1
y=-3

x-3

y+2

1

8

2

4



∴  [

x=4  
y=6

또는 [

x=5

y=2  

 2 p=-1, q=-2이면 x, y는 t€+t-2=0의 두 근이다.

3y+2=-5, 3y+2=1일 때의 y의 값은 정수가 아니다.

314  [

x€+y€+xy=3  
x€+y€=5

에서 x+y=p, xy=q라 하면

p€-q=3
p€-2q=5

[

이고, 이 연립방정식을 풀면

p=1  
q=-2

[

또는 [

p=-1  

q=-2

 1 p=1, q=-2이면 x, y는 t€-t-2=0의 두 근이다.

 (t+1)(t-2)=0에서 t=-1 또는 t=2

  ∴ [

x=-1  
y=2

또는 [

x=2
y=-1



 (t+2)(t-1)=0에서 t=-2 또는 t=1

  ∴ [

x=-2  
y=1

또는 [

x=1
y=-2



 따라서 주어진 연립방정식의 해는

x=-1  
y=2

[

또는 [

x=2
y=-1

또는 [

x=-2  
y=1

또는 [

x=1
y=-2

315  처음 직사각형의 가로의 길이를 x cm, 세로의 길이를
y cm (x>y)라 하면 대각선의 길이가 10 cm이므로


x€+y€=10€

∴  x€+y€=100

…… ㉠

318  6xy+4x-3y-7=0에서


2x(3y+2)-(3y+2)-5=0

∴  (2x-1)(3y+2)=5

 이때, x, y가 정수이므로 2x-1, 3y+2의 값은 다음 표와 같다.

2x-1 -5

3y+2 -1

-1

-5

1

5

5

1

  ∴ [

x=-2  
y=-1

또는 [

x=1  
y=1

주의

319  x€+y€-6x+2y=-10에서


(x€-6x+9)+(y€+2y+1)=0

 ∴ (x-3)€+(y+1)€=0

 이때, x, y가 실수이므로



x-3=0, y+1=0

∴  x=3, y=-1

320  주어진 방정식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면
…… ㉠


x€-2(2y-1)x+5y€-8y+5=0

 이때, x가 실수이므로 ㉠의 판별식을 D라 하면

직사각형의 가로와 세로의 길이를 각각 2 cm씩 늘렸더니 직사

각형의 넓이가 처음보다 32 cm€ 만큼 커졌으므로

:4Î:=(2y-1)€-(5y€-8y+5)>0, -y€+4y-4>0

(x+2)(y+2)=xy+32

∴  x+y=14  …… ㉡

y€-4y+4<0

∴  (y-2)€<0

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=8, y=6 (∵ x>y)

y는 실수이므로 y=2

따라서 처음 직사각형의 가로의 길이는 8 cm, 세로의 길이는

 이것을 ㉠에 대입하면

x€-6x+9=0, (x-3)€=0

∴  x=3

6 cm이다.

074    정답과 풀이

 



 





 

 



 



 



 

 



































06 연립일차부등식 

119쪽~125쪽

327  4x>6x+2에서 -2x>2


2x-5<4x+1에서 -2x<6

 4 x<-1

 4 x>-3



따라서 주어진 연립부등식의 해는 -3<x<-1이므로

 정수 x는 -3, -2의 2개이다.

321  ⑴ _  ⑵ ◯  ⑶ _  ⑷ _

322  ㄱ. a<0이므로 a<b의 양변에 a를 곱하면 a€>ab

 ㄴ. ab>0이므로 a<b의 양변을 ab로 나누면 ;b!;<;a!;
 ㄷ. a=-2, b=-1이면 a€=4, b€=1이므로 a€>b€

 따라서 항상 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.


323  ⑴ 2x-1<5x+8
 ⑵ 4x-4<-2x+8

 4 x>-3

 4 x<2

 ⑶ 10-5x>-7x+8

 4 x>-1

 ⑷ x-1<2x+6

 4 x>-7

 ⑸ 2(x+2)-6<3x, 2x-2<3x

 4 x>-2


324  ⑴ >, <, 없다
 ⑵ ax+1<x+a€에서

 (a-1)x<a€-1

 4 (a-1)x<(a+1)(a-1)

  1 a>1일 때, x<a+1

  2 a<1일 때, x>a+1

  3 a=1일 때, 0*x<0이므로 해는 없다.

 ⑶ >, <, 모든 실수
 ⑷ ax+2<2a€-x에서

 (a+1)x<2a€-2



 4 (a+1)x<2(a+1)(a-1)
  1 a>-1일 때, x<2(a-1)

  2 a<-1일 때, x>2(a-1)
  3 a=-1일 때, 0*x<0이므로 해는 모든 실수이다.


325  ax+a>x+b에서

(a-1)x>b-a

 이때, 부등식의 해가 존재하지 않으려면



a-1=0, b-a>0이어야 하므로 a=1, b>1

 따라서 정수 b의 최솟값은 1이다.


326  ⑴ -3, -3, 3 

 ⑵ 2x+7>2에서 2x>-5

 4 x>-;2%;

 x-6>3x-14에서 -2x>-8

 4 x<4

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 -;2%;<x<4

 ⑶ 3x+2<x+8에서 2x<6

 4 x<3

 9-5x>-x-1에서 -4x>-10

 4 x<;2%;

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 x<;2%;

 ⑷ 1-2x<3x+16에서 -5x<15

 4 x>-3

 4x+5>2x+3에서 2x>-2

 4 x>-1

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 x>-1



 

 

 





 

 

 













328  ⑴ 2(x-1)<4에서
 2x-2<4, 2x<6


 4 x<3

 10-3(x+2)<x에서

 10-3x-6<x, -4x<-4

 4 x>1

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 1<x<3

 ⑵ 3-2(3x+1)<3x+10에서

 3-6x-2<3x+10, -9x<9

 4 x>-1

 x+3>4(2-x)에서

 x+3>8-4x, 5x>5

 4 x>1

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 x>1

 ⑶

1
3 x-1<;4!;x에서

 4x-12<3x

∴  x<12



x-1

7 <

x-5

3 에서

 3x-3<7x-35, -4x<-32

∴  x>8

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 8<x<12

 ⑷ 0.3x-0.4<0.5x에서

 3x-4<5x, -2x<4    4 x>-2

 0.2x+1>-0.1x+0.7에서
 2x+10>-x+7, 3x>-3

 4 x>-1

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 x>-1

329  0.3x+1.1>0.5x에서

3x+11>5x, -2x>-11

 4 x<;;¡2¡;;

x+1
2

-

x-3
4

>2에서

2(x+1)-(x-3)>8, 2x+2-x+3>8

 4 x>3

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 3<x<;;¡2¡;;이므로

구하는 정수 x의 합은 3+4+5=12

330  ⑴ 4, -6<x<4
2x<3x-5

 ⑵ [

3x-5<8x+5  yy ㉡

yy ㉠



 ㉠에서 -x<-5

 4 x>5

 ㉡에서 -5x<10

 4 x>-2

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 x>5

 ⑶ [

2(x-3)<x-5  yy ㉠

x-5<3x-5  yy ㉡

 ㉠에서 2x-6<x-5

 4 x<1

 ㉡에서 -2x<0

 4 x>0

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 0<x<1



















































2. 방정식과 부등식    075

-;2!;x<x+1  yy ㉠

x+1<2(5-x)  yy ㉡

 ⑷
[

 ㉠에서 -x<2x+2, -3x<2

 ㉡에서 x+1<10-2x, 3x<9

 4 x>-;3@;
 4 x<3

 ⑶ 2(3-x)<4x에서

 6-2x<4x, -6x<-6

 4 x>1

 1-4x<-3(2x-1)에서

 1-4x<-6x+3, 2x<2

 4 x<1

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 없다.

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 -;3@;

<x<3

 ⑷ -3(x-2)>2x-4에서

















































3x-(x+4)<3x+2  yy ㉠

331  [
 ㉠에서 3x-x-4<3x+2, -x<6

3x+2<3(2-x)-1  yy ㉡

 ㉡에서 3x+2<6-3x-1, 6x<3

 4 x>-6

 4 x<;2!;

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 -6<x<;2!;이므로
 4 a-b=6

a=0, b=-6



332  ⑴ 1, 2
 ⑵ 1-2x<3x+11에서

 -5x<10

 4 x>-2

 4x+3<2x+a에서

 2x<a-3

 4 x<

a-3
2



 주어진 연립부등식의 해가 -2<x<3이므로



a-3
2

=3, a-3=6

 4 a=9

 ⑶ 3x-a>5x+2에서

 -2x>a+2

 4 x<-

a+2
2



 2x+3<3x-1에서

 -x<-4

 4 x>4

 주어진 연립부등식의 해가 4<x<6이므로

 -

a+2
2

=6, a+2=-12

 4 a=-14

 ⑷ 4x<6x+2에서

 -2x<2

 4 x>-1

 2x-a>4x+1에서

 -2x>a+1

 4 x<-

a+1
2

 주어진 연립부등식의 해가 -1<x<2이므로

 -

a+1
2

=2, a+1=-4

 4 a=-5

333  ⑴ 6-2x<x에서
 -3x<-6


 4 x>2

 4x-3<5-(x+3)에서

 4x-3<5-x-3, 5x<5

 4 x<1

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 없다.

 ⑵ 3(1+x)<3-x에서

 3+3x<3-x, 4x<0

 x<5x에서 -4x<0

 4 x<0
 4 x>0

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 없다.

076    정답과 풀이































































 -3x+6>2x-4, -5x>-10

 4 x<2

 7-2x<2x-1에서

 -4x<-8

 4 x>2

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 x=2

 ⑸ 4(x-1)>-(x+4)에서

 4x-4>-x-4, 5x>0

 4 x>0

 - x-2

2

+2>0.5x+3에서

 -5x+10+20>5x+30, -10x>0

 4 x<0

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 x=0

334  ⑴ a+4, 1, -3

 ⑵ a-2<2x에서

 x>

a-2
2



 3x+4<2(x-1)에서

 3x+4<2x-2

 4 x<-6

 주어진 연립부등식이 해를 가지려

 면 오른쪽 그림에서



a-2
2

<-6

∴  a<-10

a-2
2

-6

x

 ⑶ 3(x+a)<2에서

 3x+3a<2, 3x<2-3a

 4 x< 2-3a

3

 2x+3<3x-1에서

 -x<-4

 4 x>4

 주어진 연립부등식이 해를 가지려

 면 오른쪽 그림에서



2-3a
3

>4, 2-3a>12,

 -3a>10

 4 a<-

10
3



 ⑷ x<3(x-2)에서

 x<3x-6, -2x<-6

 4 x>3

 4x+1<a에서

 4x<a-1

 4 x<

a-1
4



 주어진 연립부등식이 해를 가지려

 면 오른쪽 그림에서



a-1
4

>3, a-1>12

 4 a>13

4

2-3a x
3

3

a-1 x

4





















































335  ⑴ 4, 6
 ⑵ 5x+6>4x+2에서 x>-4

 2x-a>3(x+1)에서

337  ⑴ |x-3|<5에서
  -5<x-3<5
 

 ⑵ |2x-1|>3에서

 4 -2<x<8

 2x-a>3x+3, -x>a+3

 4 x<-a-3

 2x-1<-3 또는 2x-1>3

 4 x<-1 또는 x>2

 주어진 연립부등식이 해를 갖지 않으

 ⑶ |6-x|>1에서



려면 오른쪽 그림에서

-a-3 -4

x

 6-x<-1 또는 6-x>1

 4 x<5 또는 x>7

 -a-3<-4, -a<-1  4 a>1

 ⑷ |2x-5|<3에서

 ⑶ 6-2x<x+a에서

 -3x<a-6

 4 x>-

a-6
3



 4x-1<-(2x+3)에서

 4x-1<-2x-3, 6x<-2

 4 x<-;3!;

 주어진 연립부등식이 해를 갖지 않으



려면 오른쪽 그림에서

 -

a-6
3

>-;3!;, a-6<1

 4 a<7

1
- -
3

a-6
3

x

 ⑷ 2(x+1)>a에서

 2x+2>a, 2x>a-2

 4 x> a-2



2

 3x+2<2(x+2)에서

 3x+2<2x+4

 4 x<2

 주어진 연립부등식이 해를 갖지 않으

 려면 오른쪽 그림에서



a-2
2

>2, a-2>4

 4 a>6

336  ⑴ -1, 0, -4, -3
 ⑵ 4-3x<5-2x에서 -x<1

 4 x>-1

 x-3a<0에서 x<3a



주어진 연립부등식을 만족시키는 정

수 x의 개수가 4개이려면 오른쪽 그

림에서

 2<3a<3

 4 ;3@;

<a<1

 ⑶ 4(x-1)-3<1에서

 4x-4-3<1, 4x<8

 4 x<2

 x-a>0에서 x>a



주어진 연립부등식을 만족시키는 정

수 x의 개수가 1개이려면 오른쪽 그

림에서 1<a<2

 -3<2x-5<3

 4 1<x<4

 ⑸ |x+1|>3에서

 x+1<-3 또는 x+1>3

 4 x<-4 또는 x>2


338  |2x+3|<k+1에서

  -k-1<2x+3<k+1

 4  -k-4

<x< k-2



2

2

 이때, 주어진 부등식의 해가 -4<x<1이므로

 -k-4

=-4,  k-2

=1

 4 k=4

2

2


339  ⑴ |x+2|>3x-4에서

 1 x<-2일 때, -x-2>3x-4

 4 x<;2!;



그런데 x<-2이므로 x<-2

 2 x>-2일 때, x+2>3x-4

 4 x<3



그런데 x>-2이므로 -2<x<3

2

a-2 x

2

 3 1, 2에서 x<3

 ⑵ |2x-1|<x+4에서

0-1

1 2 3 x
3a





그런데 x>

;2!;이므로 ;2!;

<x<5

 1 x<;2!;일 때, -2x+1<x+4

 4 x>-1





그런데 x<;2!;이므로 -1<x<;2!;

 2 x>

;2!;일 때, 2x-1<x+4

 4 x<5

 1, 2에서 -1<x<5

 ⑶ |x+1|<2x-1에서

 1 x<-1일 때, -x-1<2x-1

 4 x>0



그런데 x<-1이므로 해는 없다.

 2 x>-1일 때, x+1<2x-1

 4 x>2



그런데 x>-1이므로 x>2

1

a 2

x

 1, 2에서 x>2

 ⑷ |x-1|>2x+3에서

 ⑷ x+7>2x+5에서 -x>-2

 4 x<2

 3x+a>4에서 3x>4-a

 4 x>

4-a
3





주어진 연립부등식을 만족시키는 정

수 x의 개수가 2개이려면 오른쪽 그

림에서
 -1< 4-a

3

<0

 4 4<a<7

1

2

x

0-1
4-a
3

 1 x<1일 때, -x+1>2x+3

∴  x<-;3@;





그런데 x<1이므로 x<-;3@;

 2 x>1일 때, x-1>2x+3

 4 x<-4





그런데 x>1이므로 해는 없다.

 1, 2에서 x<-;3@;

2. 방정식과 부등식    077





















































































































340  ⑴ |x|+|x+3|<5에서


 1 x<-3일 때, -x-x-3<5

 4 x>-4





그런데 x<-3이므로 -4<x<-3

 2 -3<x<0일 때, -x+x+3<5에서 3<5
이 부등식은 항상 성립하므로 -3<x<0





 3 x>0일 때, x+x+3<5

 4 x<1





그런데 x>0이므로 0<x<1

 4 1, 2, 3에서 -4<x<1

 ⑵ |x+2|+|x-3|>6에서

 1 x<-2일 때, -x-2-x+3>6

∴  x<-;2%;





그런데 x<-2이므로 x<-;2%;

 2 -2<x<3일 때, x+2-x+3>6에서 5>6





이 부등식은 항상 성립하지 않으므로 해는 없다.

 3 x>3일 때, x+2+x-3>6

∴  x>;2&;





그런데 x>3이므로 x>;2&;

 1, 2, 3에서 x<-;2%; 또는 x>;2&;

 ⑶ |x-1|+|x+2|<7에서

 1 x<-2일 때, -x+1-x-2<7

 4 x>-4





그런데 x<-2이므로 -4<x<-2

 2 -2<x<1일 때, -x+1+x+2<7에서 3<7





이 부등식은 항상 만족하므로 -2<x<1
 4 x<3

 3 x>1일 때, x-1+x+2<7
그런데 x>1이므로 1<x<3





 1, 2, 3에서 -4<x<3

341  3|x-2|-2|x+1|<6에서
 1 x<-1일 때,

 -3(x-2)+2(x+1)<6

 -3x+6+2x+2<6

 4 x>2

 그런데 x<-1이므로 해는 없다.

 2 -1<x<2일 때,

 -3(x-2)-2(x+1)<6

 -3x+6-2x-2<6

 4 x>-;5@;

 그런데 -1<x<2이므로 -;5@;<x<2

 3 x>2일 때,

 3(x-2)-2(x+1)<6

 3x-6-2x-2<6

 4 x<14

 그런데 x>2이므로 2<x<14

 1, 2, 3에서 -;5@;<x<14

개이다.

078    정답과 풀이

더블클릭 

126쪽~127쪽

342  _

343  _

344  ◯

345  ax-2>3x+a에서

(a-3)x>a+2

  1 a>3일 때, x>

  2 a<3일 때, x<

a+2
a-3

a+2
a-3





  3 a=3일 때, 0*x>5이므로 해는 없다.


346  ax+4>2x+a€에서
(a-2)x>a€-4

  1 a>2일 때, x>a+2
  2 a<2일 때, x<a+2
  3 a=2일 때, 0*x>0이므로 해는 모든 실수이다.

 4 (a-2)x>(a+2)(a-2)
















347  2x>4x-(3x-5)에서
2x>4x-3x+5


 4 x>5

x+1>2(x-1)에서

x+1>2x-2, -x>-3

 4 x<3

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 없다.


348 2(x+1)<x+5에서
2x+2<x+5


 4 x<3

x-2>

;3!;x에서

3x-6>x, 2x>6

 4 x>3

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 x=3


349  0.6x-1<0.4x+1.6에서
6x-10<4x+16, 2x<26


2x+1

2 >

x-2

4 -2에서

 4 x<13

4x+2>x-2-8, 3x>-12

 4 x>-4

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 -4<x<13


350  2(x+2)<3x-1<4(2x+1)+5에서

2(x+2)<3x-1

yy ㉠

[

3x-1<4(2x+1)+5  yy ㉡

 ㉠에서 2x+4<3x-1

 4 x>5

 따라서 주어진 연립부등식의 해는 x>5

따라서 주어진 부등식을 만족시키는 정수 x는 0, 1, …, 13의 14

 ㉡에서 3x-1<8x+4+5, -5x<10

 4 x>-2

357  |3x-2|>4에서



3x-2<-4 또는 3x-2>4

 4 x<-;3@; 또는 x>2

358  |x-a|<3에서
 -3<x-a<3

∴  a-3<x<a+3

 이때, 주어진 부등식의 해가 -2<x<4이므로



a-3=-2, a+3=4

 4 a=1

359  |;3!;x-1|>a에서



;3!;x-1<-a 또는 ;3!;x-1>a
  4 x<3-3a 또는 x>3a+3

  이때, 주어진 부등식의 해가 x<-3 또는 x>9이므로



3-3a=-3, 3a+3=9   4  a=2

360  |2x+1|<x+2에서

 1 x<-;2!;일 때, -2x-1<x+2

 4 x>-1

a-2
2

4

x

 그런데 x<-;2!;이므로 -1<x<-;2!;









 2 x>-;2!;일 때, 2x+1<x+2

 4 x<1

 그런데 x>-;2!;이므로 -;2!;

<x<1

 1, 2에서 -1<x<1

361  |x|+|x-2|<4에서
 1 x<0일 때, -x-x+2<4

 4 x>-1

 그런데 x<0이므로 -1<x<0

 2 0<x<2일 때, x-x+2<4에서 2<4



 이 부등식은 항상 성립하므로 0<x<2
 4 x<3

 3 x>2일 때, x+x-2<4

 그런데 x>2이므로 2<x<3

 1, 2, 3에서 -1<x<3

351  -2x+3<5x-4에서
 -7x<-7

 4 x>1



3a-x>2x+3에서

 -3x>3-3a

 4 x<a-1

 주어진 연립부등식의 해가 1<x<3이므로

a-1=3

 4 a=4

352  -5x+4>x-8에서
 -6x>-12

∴  x<2

3x-2a>2x+1에서 x>2a+1

 주어진 연립부등식의 해가 x=2이므로

2a+1=2

∴  a=;2!;

353  3x-a>x-2에서

2x>a-2

 4 x>

a-2
2

2x-4<16-3x에서

5x<20

 4 x<4

 주어진 연립부등식이 해를 가지려면

 오른쪽 그림에서

a-2
2

<4, a-2<8

 4 a<10

354  5-(x+a)<2x-1<-4x-3에서
5-(x+a)<2x-1  yy ㉠

2x-1<-4x-3  yy ㉡

[



 ㉠에서 5-x-a<2x-1, -3x<a-6

 4 x>

6-a
3



 ㉡에서 6x<-2

 4 x<-;3!;

 주어진 연립부등식이 해를 갖지 않으려

 면 오른쪽 그림에서

6-a
3

>-;3!;, 6-a>-1

 4 a<7

-

1
3

x

6-a
3

355  3x+5<2x+7에서 x<2


2x+a>5에서

2x>5-a

 4 x>

5-a
2



 주어진 연립부등식을 만족시키는 정수

x의 개수가 2개이려면 오른쪽 그림에서
0< 5-a

<1, 0<5-a<2

2

2

x

1
0
5-a
2

 -5<-a<-3

 4 3<a<5

356  |5-x|<3에서
 -3<5-x<3, -8<-x<-2

 4 2<x<8

































362  |x+1|-|x-2|>0에서
 1 x<-1일 때, -x-1+x-2>0에서 -3>0



 이 부등식은 항상 성립하지 않으므로 해는 없다.

 2 -1<x<2일 때, x+1+x-2>0, 2x>1

 4 x>;2!;



 그런데 -1<x<2이므로 ;2!;<x<2
 3 x>2일 때, x+1-x+2>0에서 3>0
 이 부등식은 항상 성립하므로 x>2



 1, 2, 3에서 x>;2!;

2. 방정식과 부등식    079

07 이차부등식과 연립이차부등식 

128쪽~138쪽

  ② y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 아래쪽에 있

는 x의 값의 범위는



0<x<b

363  ⑴ 1, 2, -, -, +, +, +, +, 1, 2, -1, 2
 ⑵ x€+2x-8=(x+4)(x-2)





x의 값의 범위 x+4

x-2 (x+4)(x-2)

x<-4

x=-4

-4<x<2

x=2

x>2

-

0

+

+

+

-

-

-

0

+

+

0

-

0

+

 이차부등식 x€+2x-8>0의 해는



(x+4)(x-2)의 부호가 0보다 크거나 같은 x의 값의 범위

364  ⑴ y=x€-x-2의 그래프가 x축보다 위쪽에 있는 x의 값의 범

 ⑵ y=x€-x-2의 그래프가 x축보다 아래쪽에 있거나 x축과

365  ⑴ y=ax€+bx+c의 그래프가 x축보다 아래쪽에 있는 x의 값

이므로

 x<-4 또는 x>2

위는

 x<-1 또는 x>2

만나는 x의 값의 범위는

 -1<x<2

의 범위는

 x<1 또는 x>4

만나는 x의 값의 범위는

 1<x<4

366  ⑴ ① 1, 6
 

는 x의 값의 범위는







x<1 또는 x>6

  ⑵ ① y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 위쪽에 있거

나 y=g(x)의 그래프와 만나는 x의 값의 범위는





-1<x<3

  ② y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 아래쪽에 있

거나 y=g(x)의 그래프와 만나는 x의 값의 범위는





x<-1 또는 x>3

368   부등식 f(x)g(x)>0의 해는


f(x)>0, g(x)>0 또는 f(x)<0, g(x)<0

 1 f(x)>0, g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는

 f(x)>0에서 -1<x<5

 g(x)>0에서 x>-1

…… ㉠

…… ㉡

 ㉠, ㉡의 공통 범위는 -1<x<5

 2 f(x)<0, g(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는

 f(x)<0에서 x<-1 또는 x>5  …… ㉢

 g(x)<0에서 x<-1

…… ㉣

 ㉢, ㉣의 공통 범위는 x<-1

 1, 2에서 구하는 부등식의 해는

x<-1 또는 -1<x<5

참고

부등식 f(x)g(x)<0의 해는

f(x)>0, g(x)<0 또는 f(x)<0, g(x)>0

369  ⑴ 3, 3
 ⑵ x€+2x-3<0에서

 (x+3)(x-1)<0

 4 -3<x<1

 ⑶ x€-x>0에서

 ⑷ x€+8x+15>0에서
 (x+3)(x+5)>0



 ⑸ x€-3x+2<0에서

 4 x<-5 또는 x>-3

 (x-1)(x-2)<0

 4 1<x<2

 (x+6)(x-3)<0

 4 -6<x<3

 ⑺ -3x€-5x+2<0에서 3x€+5x-2>0

 

  (x+2)(3x-1)>0

 4 x<-2 또는 x>

;3!;

  ⑻ 6-x€<0에서 x€-6>0
 (x+'6 )(x-'6 )>0
 ⑼ 2-x€>x에서 -x€-x+2>0



 4 x<-'6 또는 x>'6

 x€+x-2<0, (x+2)(x-1)<0

 4 -2<x<1

 ⑽ x€-12>4x에서 x€-4x-12>0

  ② y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 아래쪽에 있

 ⑹ -x€-3x+18>0에서 x€+3x-18<0

 ⑵ y=ax€+bx+c의 그래프가 x축보다 위쪽에 있거나 x축과

 x(x-1)>0

 4 x<0 또는 x>1

367  ⑴ ① y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 위쪽에 있는

 (x+2)(x-6)>0

 4 x<-2 또는 x>6

x의 값의 범위는





x<b 또는 x>d 

  ② y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 아래쪽에 있

거나 y=g(x)의 그래프와 만나는 x의 값의 범위는





b<x<d

370  x€-4x<0에서
x(x-4)<0


 4 0<x<4

 …… ㉠

|x-a|<2b에서 -2b<x-a<2b

 4 a-2b<x<a+2b

 …… ㉡

  ⑵ ① y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 위쪽에 있거

 ㉠, ㉡이 서로 같으므로

나 y=g(x)의 그래프와 만나는 x의 값의 범위는

a-2b=0, a+2b=4

 4 a=2, b=1





x<0 또는 x>b

 4 a€+b€=5

080    정답과 풀이

















 





 





 







































371  ⑴ 3, 3
 ⑵ x€+2x+1<0에서 (x+1)€<0

 따라서 부등식의 해는 없다.


 ⑶ x€-2'2x+2>0에서 (x-'2 )€>0
 

  따라서 부등식의 해는 x+'2 인 모든 실수이다.

 ⑷ x€-8x+16<0에서 (x-4)€<0


 따라서 부등식의 해는 없다.
  ⑸ x€+2'5x+5>0에서 (x+'5 )€>0
  따라서 부등식의 해는 모든 실수이다.
 

 ⑹ -x€+10x-25<0에서

 x€-10x+25>0, (x-5)€>0
  따라서 부등식의 해는 모든 실수이다.

 ⑺ -4x€+4x-1>0에서

 4x€-4x+1<0, (2x-1)€<0



 따라서 부등식의 해는 x=;2!; 이다.

  ⑻ 16x+x€>-64에서

 x€+16x+64>0, (x+8)€>0
  따라서 부등식의 해는 x+-8인 모든 실수이다.

 ⑼ x(x-3)<3x-9에서 x€-3x<3x-9

  x€-6x+9<0, (x-3)€<0

  따라서 부등식의 해는 없다.

 ⑽ 4x€<3(4x-3)에서 4x€<12x-9
  4x€-12x+9<0, (2x-3)€<0

 

  따라서 부등식의 해는 x=;2#;이다.

372  이차함수 y=9x€-12x+4,
 즉 y=(3x-2)€의 그래프는

 오른쪽 그림과 같으므로



이차부등식 9x€-12x+4<0의



해는 없다.

373  ⑴ 2, 1, 모든 실수
 ⑵ x€+4x+7>0에서 (x+2)€+3>0



 따라서 부등식의 해는 모든 실수이다.
€+;4&;<0

 ⑶ x€-x+2<0에서 {x-;2!;}

 따라서 부등식의 해는 없다.

 ⑷ x€+3x+9<0에서 {x+;2#;}

€+;;™4¶;;<0

 따라서 부등식의 해는 없다.

 ⑸ x€-2x+8>0에서 (x-1)€+7>0

 따라서 부등식의 해는 모든 실수이다.

 ⑹ -x€+3x-4<0에서

 x€-3x+4>0, {x-;2#;}

€+;4&;>0

 따라서 부등식의 해는 모든 실수이다.



 







 

 

 

 





























 















 ⑺ -x€-2x-2>0에서

 x€+2x+2<0, (x+1)€+1<0

 따라서 부등식의 해는 없다.

 ⑻ 2x€-4x+3>0에서

 2(x€-2x+1)+1>0

∴  2(x-1)€+1>0

 따라서 부등식의 해는 모든 실수이다.

 ⑼ 4x€+12x+11<0에서

 4{x€+3x+;4(;}+2<0

∴  4 {x+;2#;}

€+2<0

 따라서 부등식의 해는 없다.

 ⑽ -2x€>3-2x에서



-2x€+2x-3>0, 2x€-2x+3<0

 2{x€-x+;4!;}+;2%;<0

∴  2 {x-;2!;}

€+;2%;<0

 따라서 부등식의 해는 없다.

374  ㄱ. 3x€-6x+4<0에서 3(x-1)€+1<0


따라서 부등식의 해는 없다.



 ㄴ. x€-4x+4<0에서
(x-2)€<0

 4 x=2



 ㄷ. x€-2x-3<0에서



(x+1)(x-3)<0   4  -1<x<3
€+;4#;<0

  ㄹ. x€-3x+3<0에서 {x-;2#;}
   따라서 부등식의 해는 없다.
 

375  ⑴ 5, 6
  ⑵ (x+1)(x-2)<0에서 x€-x-2<0

y=9x2-12x+4

  ⑶ (x+4)(x+2)<0에서 x€+6x+8<0

2
3

-

x

  ⑷ (x+3)(x-1)<0에서 x€+2x-3<0

  ⑸ (x-1)(x-5)>0에서 x€-6x+5>0

  ⑹ (x+2)(x-7)>0에서 x€-5x-14>0

  ⑺ (x+4)(x+3)>0에서 x€+7x+12>0

  ⑻ (x+5)(x-2)>0에서 x€+3x-10>0

376  ⑴ <, <, <, -2, 4
  ⑵ 해가 -2<x<3이고 x€의 계수가 2인 이차부등식은

 2(x+2)(x-3)<0
  ∴ 2x€-2x-12<0  …… ㉠

 ㉠이 2x€-ax+b<0과 일치하므로

 -2=-a, -12=b

 4 a=2, b=-12

  ⑶ 해가 x<-2 또는 x>4이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은

 (x+2)(x-4)>0

 ∴ x€-2x-8>0  …… ㉠

 ㉠과 주어진 이차부등식의 부등호의 방향이 같으므로 a>0

 

  ㉠의 양변에 a를 곱하면 ax€-2ax-8a>0

 이 부등식이 ax€-2x+b>0과 일치하므로

 -2a=-2, -8a=b

 4 a=1, b=-8

2. 방정식과 부등식    081

  ⑷ 해가 ;3!;

<x<

;2!;이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은

  ⑶ 1 k=1일 때, 1>0이므로 항상 성립한다.





 

 





 

 

























 2 k+1일 때, k-1>0, 즉 k>1이어야 한다.



이때, (k-1)x€-2(k-1)x+1=0의 판별식을 D라 하면





;;4Î;;=(k-1)€-(k-1)*1<0

    (k-1)(k-2)<0
  1, 2에서 1<k<2

 4 1<k<2 (∵ k+1)

  ⑷ 1 k=-1일 때, 3>0이므로 항상 성립한다.

 2 k+-1일 때, k+1>0, 즉 k>-1이어야 한다.

이때, (k+1)x€+2(k+1)x+3=0의 판별식을 D라 하면





;;4Î;;=(k+1)€-(k+1)*3<0

    (k+1)(k-2)<0
  1, 2에서 -1<k<2

 4 -1<k<2

381  1 a=-2일 때, 3>0이므로 항상 성립한다.
 2 a+-2일 때, a+2>0, 즉 a>-2이어야 한다.



이때, (a+2)x€-2(a+2)x+3=0의 판별식을 D라 하면



;;4Î;;=(a+2)€-(a+2)*3<0

 (a+2)(a-1)<0   4  -2<a<1

  1, 2에서 -2<a<1
  따라서 정수 a의 값의 합은 -2+(-1)+0=-3

382  ⑴ 1 (x+1)(x-2)>0에서 x<-1 또는 x>2


 2 (x-1)(x-4)<0에서 1<x<4

 3 1, 2에서 공통 범위를
구하면 2<x<4





 ⑵ x€-6x+5<0에서
 (x-1)(x-5)<0





2x€-5x-3<0에서

-1

1 2

4

x

 4 1<x<5



…… ㉠

 (x-3)(2x+1)<0

 4 -;2!;

<x<3



…… ㉡

 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

 1<x<3

 ⑶ x€+x-6>0에서

1

3

5

x

-;2!;

 (x+3)(x-2)>0

 4 x<-3 또는 x>2  …… ㉠

 x€-2x-8>0에서



(x+2)(x-4)>0

 4 x<-2 또는 x>4  …… ㉡

 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

 x<-3 또는 x>4

-3

-2

42

x

 
 {x-;3!;}
{x-;2!;}
  ∴ 6x€-5x+1<0  …… ㉠

<0, x€-;6%;x+;6!;<0

 ㉠과 주어진 이차부등식의 부등호의 방향이 다르므로 a<0

  ㉠의 양변에 a를 곱하면 6ax€-5ax+a>0

 이 부등식이 6ax€+bx-1>0과 일치하므로

 -5a=b, a=-1

 4 a=-1, b=5

377  해가 -2<x<3이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은
 …… ㉠


∴  x€-x-6<0

(x+2)(x-3)<0

 ㉠과 x€+ax+b<0이 일치하므로 a=-1, b=-6

  이것을 ax€+5x+b<0에 대입하면

 -x€+5x-6<0, x€-5x+6>0

 

(x-2)(x-3)>0

 4 x<2 또는 x>3

378  ⑴ <, >
  ⑵ x€-3x+k+3=0의 판별식을 D라 하면

 D=(-3)€-4*1*(k+3)<0

  -4k-3<0

 4 k>-;4#;

  ⑶ x€+2kx+k+2=0의 판별식을 D라 하면



;;4Î;;=k€-1*(k+2)<0, k€-k-2<0
 4 -1<k<2

 (k+1)(k-2)<0

  ⑷ x€+kx+k+3=0의 판별식을 D라 하면

 D=k€-4*(k+3)<0, k€-4k-12<0

 (k+2)(k-6)<0

 4 -2<k<6

379  x€+3ax+2a(a+1)=0의 판별식을 D라 하면


D=(3a)€-4*1*2a(a+1)<0

 

a€-8a<0, a(a-8)<0

 4 0<a<8

 따라서 정수 a의 개수는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8의 9개이다.

380  ⑴ 1 k=0일 때, -3<0이므로 항상 성립한다.


 2 k+0일 때, k<0이어야 한다.



이때, kx€+2kx-3=0의 판별식을 D라 하면





;;4Î;;=k€-k*(-3)<0, k€+3k<0

     k(k+3)<0
  3 1, 2에서 -3<k<0

 4 -3<k<0

  ⑵ 1 k=2일 때, -5<0이므로 항상 성립한다.

 2 k+2일 때, k-2<0, 즉 k<2이어야 한다.



이때, (k-2)x€+2(k-2)x-2k-1=0의 판별식을 D라



 



 







 











 

 





 

 

하면

383  3x€-8x-16<0에서





;;4Î;;=(k-2)€-(k-2)(-2k-1)<0

     (k-2)(3k-1)<0

 4 ;3!;<k<2 (∵ k+2)



(x-4)(3x+4)<0

 4 -;3$;<x<4
 -2x€+7x-6<0에서 2x€-7x+6>0



…… ㉠

  1, 2에서 ;3!;<k<2



(2x-3)(x-2)>0

 4 x<

;2#; 또는 x>2

…… ㉡

082    정답과 풀이

  ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

 -;3$;<x<

;2#; 또는 2<x<4



따라서 주어진 연립부등식을 만족시

 키는 정수 x의 값의 합은 -1+0+1+2+3=5

-;3$;

2

;2#;

4

x

384  ⑴ [

2x+3<x€  yy ㉠

x€<9x-20  yy ㉡

 ㉠에서 x€-2x-3>0, (x+1)(x-3)>0

 4 x<-1 또는 x>3

 ㉡에서 x€-9x+20<0, (x-4)(x-5)<0  4 4<x<5

 따라서 연립부등식의 해는 4<x<5

 ⑵ [ 

-1<x€-3x+1  yy ㉠

x€-3x+1<19  yy ㉡



 ㉠에서 x€-3x+2>0, (x-1)(x-2)>0

 4 x<1 또는 x>2

 ㉡에서 x€-3x-18<0, (x+3)(x-6)<0

 4 -3<x<6

 따라서 연립부등식의 해는 -3<x<1 또는 2<x<6

 ⑶ [ 

x-1<x€+3x-4  yy ㉠

x€+3x-4<0

yy ㉡



 ㉠에서 x€+2x-3>0, (x+3)(x-1)>0
 4 x<-3 또는 x>1

 ㉡에서 (x+4)(x-1)<0

 4 -4<x<1

 따라서 연립부등식의 해는 -4<x<-3

 ⑷ [ 

3x€-4x<x€  yy ㉠

x€<1-3x€  yy ㉡



 ㉠에서 2x€-4x<0, 2x(x-2)<0

 4 0<x<2

 ㉡에서 4x€-1<0, (2x+1)(2x-1)<0  4 -;2!;<x<;2!;
 따라서 연립부등식의 해는 0<x<;2!;

385  [

3x-4<3x€+x-5  yy ㉠

3x€+x-5<x€+1  yy ㉡

 ㉠에서 3x€-2x-1>0, (3x+1)(x-1)>0

 4 x<-;3!; 또는 x>1
 ㉡에서 2x€+x-6<0, (2x-3)(x+2)<0  4 -2<x<;2#;
 따라서 연립부등식의 해는 -2<x<-;3!; 또는 1<x<;2#; 이므로



구하는 정수 x의 개수는 -1, 1의 2개이다.









 ⑶ x€-3x-4>0에서

(x+1)(x-4)>0

 4 x<-1 또는 x>4  yy ㉠

 x€-(k+5)x+5k<0에서

 (x-5)(x-k)<0

 ㉠, ㉡의 공통 범위가 4<x<5



이므로 오른쪽 그림에서

 -1<k<4

 yy ㉡

㉠

㉠

㉡

-1

k

4

5

x

387 x€-2x>0에서
x(x-2)>0

 4 x<0 또는 x>2

yy ㉠

x€-4x+a<0의 해를 a<x<b (단, a<b)    yy ㉡

 라 하면 ㉠, ㉡의 공통 범위가

㉠

㉠

㉡

0

a

2

b

x

b<x<3이므로

 오른쪽 그림에서

b=2, b=3

 이차방정식 x€-4x+a=0의 근이 a, 3이므로

 근과 계수의 관계에 의하여

a+3=4, 3a=a

 4 a=1, a=3

 따라서 a=3, b=2이므로 a+b=5

388  ⑴ <, <
 ⑵ x€-4x-12>0에서

(x+2)(x-6)>0

 4 x<-2 또는 x>6

…… ㉠

 x€-(a+2)x+2a<0에서

 (x-2)(x-a)<0

 ㉠, ㉡의 공통 범위에 속하는

 정수가 6뿐이므로

 오른쪽 그림에서 6<a<7

…… ㉡

㉡

㉠

x

6 7
a

㉠

-2

2

 ⑶ 2x(x-3)>x€-2x에서

 x€-4x>0

 4 x<0 또는 x>4  …… ㉠

 x€-(a+1)x+a<0에서

 (x-1)(x-a)<0

…… ㉡

 ㉠, ㉡의 공통 범위에 속하는

㉠

 정수가 5뿐이므로

 오른쪽 그림에서 5<a<6

㉠

㉡

0

1

4 5

a

6

x

389  x€-x-2>0에서
(x+1)(x-2)>0


2x€+(5+2a)x+5a<0에서

 4 x<-1 또는 x>2  …… ㉠

(2x+5)(x+a)<0

…… ㉡













































386  ⑴ >
 ⑵ x€-2x-3<0에서



 ㉠, ㉡의 공통 범위에 속하는

(x+1)(x-3)<0

 4 -1<x<3







yy ㉠

 정수가 -2뿐이므로

 x€-(k+2)x+2k<0에서 (x-2)(x-k)<0  yy ㉡
 ㉠, ㉡의 공통 범위가 2<x<3이

㉡

㉠



므로 오른쪽 그림에서 k>3

 오른쪽 그림에서

 -2<-a<3

 4 -3<a<2

 따라서 M=1, m=-3이므로

-1

2 3

k

x

 M+m=-2

㉡

㉠

-;2%;

-1-2
-a

㉠

2

x

2

2. 방정식과 부등식    083







































390  ⑴ 1 x€-3x-4<0에서
(x+1)(x-4)<0

∴  -1<x<4  …… ㉠

 2 x<k-3 또는 x>k+3

…… ㉡

 3 ㉠, ㉡의 공통 범위에 속하는

㉡

㉠

㉡



 ⑶ 1 x€+2(2k-1)x+2k€-k=0의 판별식을 D¡이라 하면

=(2k-1)€-(2k€-k)=2k€-3k+1>0

k-3

-1

4

k+3

x

(2k-1)(k-1)>0

∴  k<;2!; 또는 k>1

 2 x€+2(k-1)x+k-1=0의 판별식을 D™라 하면

=(k-1)€-(k-1)=k€-3k+2<0

(k-1)(k-2)<0

 4 1<k<2

 1, 2에서 1<k<2

 ⑷ 1 x€+2kx-k+2=0의 판별식을 D¡이라 하면

=k€-(-k+2)=k€+k-2<0

k-2

-1

2

k+2

x

(k+2)(k-1)<0

∴  -2<k<1

 2 x€+2(k-1)x+1=0의 판별식을 D™라 하면



























































해가 없으므로 오른쪽 그림

에서 k-3<-1, k+3>4



k<2, k>1

 4 1<k<2

 ⑵ x€-x-2<0에서



(x+1)(x-2)<0

 4 -1<x<2  yy ㉠

 {x-(k-2)}{x-(k+2)}>0에서

 x<k-2 또는 x>k+2  

yy ㉡

 ㉠, ㉡의 공통 범위에 속하는 해

㉡

㉠

㉡



가 없으므로 오른쪽 그림에서

 k-2<-1, k+2>2

 k<1, k>0

 4 0<k<1

 ⑶ x€-4x-5<0에서

 (x+1)(x-5)<0

 4 -1<x<5  yy ㉠

 {x-(k+4)}{x-(k-4)}>0에서

 x<k-4 또는 x>k+4

yy ㉡

 ㉠, ㉡의 공통 범위에 속하는 해

㉡

㉠

㉡



가 없으므로 오른쪽 그림에서

 k-4<-1, k+4>5

 k<3, k>1

 4 1<k<3

k-4

-1

5

k+4

x

391 x€-9x+8>0에서
(x-1)(x-8)>0





(x-a)(x-a€)<0에서



a<x<a€ (∵ a+0)  yy ㉡

 4 x<1 또는 x>8

 yy ㉠

 ㉠, ㉡의 공통 범위에 속하는 해가

㉠

㉡

㉠

 없으므로 오른쪽 그림에서

1

a

a€

8

x

1<a, a€<8

a€<8에서 a€-8<0
(a+2'2 )(a-2'2 )<0

 4 -2'2<a<2'2

 따라서 연립부등식의 해가 존재하지 않을 a의 값의 범위는
1<a<2'2 이므로 정수 a의 개수는 1, 2의 2개이다.



392  ⑴ -2, 2, 0, 3, 2, 3
 ⑵ 1 x€+2kx+4=0의 판별식을 D¡이라 하면

D¡
4

D™
4















 ∴ -2<k<2

 2 x€-2kx+2k+3=0의 판별식을 D™라 하면

=k€-(2k+3)=k€-2k-3<0

(k+1)(k-3)<0

 4 -1<k<3

 1, 2에서 -1<k<2

084    정답과 풀이

D¡
4

D™
4

D¡
4

D™
4



























































































































































=(k-1)€-1=k€-2k<0

k(k-2)<0

 4 0<k<2

 1, 2에서 0<k<1

393  ⑴ 1 x€+x<12에서 x€+x-12<0
(x+4)(x-3)<0






 4 -4<x<3



이때, x<0이므로 -4<x<0

 2 x€-x<12에서 x€-x-12<0

(x+3)(x-4)<0

 4 -3<x<4

이때, x>0이므로 0<x<4

 3 -4<x<4

   다른 풀이

 x€-|x|<12에서 |x|€-|x|-12<0

 (|x|-4)(|x|+3)<0

 이때, |x|+3>0이므로 |x|-4<0

 |x|<4

 4 -4<x<4

 ⑵ 1 x<0일 때,

x€+x-1<1에서 x€+x-2<0

(x+2)(x-1)<0

 4 -2<x<1

이때, x<0이므로 -2<x<0

 2 x>0일 때,

x€-x-1<1에서 x€-x-2<0

(x+1)(x-2)<0

 4 -1<x<2

이때, x>0이므로 0<x<2

 1, 2에서 -2<x<2

=k€-4=(k+2)(k-2)<0

 ⑶ 1 x<0일 때,

x€+2x-3<0에서 (x+3)(x-1)<0  4 -3<x<1

이때, x<0이므로 -3<x<0

 2 x>0일 때,

이때, x>0이므로 0<x<3

 1, 2에서 -3<x<3

x€-2x-3<0에서 (x+1)(x-3)<0  4 -1<x<3

  ⑷ 1 x<0일 때,

x€-8<-2x에서 x€+2x-8<0

(x+4)(x-2)<0

 4 -4<x<2

이때, x<0이므로 -4<x<0

 2 x>0일 때,

x€-8<2x에서 x€-2x-8<0

(x+2)(x-4)<0

 4 -2<x<4

























이때, x>0이므로 0<x<4

 1, 2에서 -4<x<4

394  ⑴ |x+1|<4에서
-4<x+1<4

 4 -5<x<3

…… ㉠

 4 x<-5 또는 x>0

…… ㉡

 x€+2x>-3x에서

 x€+5x>0, x(x+5)>0



 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

 0<x<3

 ⑵ |x-1|<3에서

-3<x-1<3

 4 -2<x<4

…… ㉠

 -x€+4x+5>0에서

 x€-4x-5<0, (x+1)(x-5)<0

 4 -1<x<5

…… ㉡

 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

 -1<x<4

 ⑶ |x-4|<2에서

-2<x-4<2

 4 2<x<6

…… ㉠

 x€+15x>8x에서

 x€+7x>0, x(x+7)>0



 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

 2<x<6

 ⑷ |2x+1|<7에서

-7<2x+1<7

 4 -4<x<3  …… ㉠



x€-2x-8<0에서

(x+2)(x-4)<0

 4 -2<x<4  …… ㉡











 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

 -2<x<3

395  |x+1|>5에서


x+1<-5 또는 x+1>5

 4 x<-6 또는 x>4

x€-2ax<0에서

x(x-2a)<0

 ㉠, ㉡의 공통 범위가 4<x<6

 이므로 오른쪽 그림에서

2a=6

 4 a=3

…… ㉠

…… ㉡

㉠

㉡

㉠

-6

0

4

2a

x



























































 



 



 



 



 



 

 

 





 



 



 

 

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139쪽~140쪽

396  ⑴ f(x)g(x)>0에서


 f(x)>0, g(x)>0 또는 f(x)<0, g(x)<0
  1 f(x)>0, g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는

  2 f(x)<0, g(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는

  1, 2에서 2<x<6 또는 x>8

  ⑵ f(x)g(x)<0에서

 f(x)>0, g(x)<0 또는  f(x)<0, g(x)>0
  1 f(x)>0, g(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는

  2 f(x)<0, g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는



x>8



2<x<6



6<x<8



x<2

  1, 2에서 x<2 또는 6<x<8

397  ⑴ f(x)g(x)>0에서


 f(x)>0, g(x)>0 또는 f(x)<0, g(x)<0
  1 f(x)>0, g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는

a<x<c

  2 f(x)<0, g(x)<0을 만족시키는 x의 값은 없다.

 1, 2에서 a<x<c

  ⑵ f(x)g(x)<0에서

 f(x)>0, g(x)<0 또는 f(x)<0, g(x)>0
  1 f(x)>0, g(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는

  2 f(x)<0, g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는



x<a 또는 x>d



c<x<d

















398 x€-4x-5>0에서
(x+1)(x-5)>0

 4 x<-1 또는 x>5

399 x(6-x)>3x-4에서

6x-x€>3x-4, x€-3x-4<0
(x+1)(x-4)<0

 4 -1<x<4

400  x€-2'3x+3=(x-'3 )€<0

 4 x='3

401  -2x€+3x-6>0에서



2x€-3x+6<0, 2 {x-;4#;}
 따라서 부등식의 해는 없다.

€+:£8ª:<0

402  해가 ;2#;<x<4이고 x€의 계수가 2인 이차부등식은



2 
{x-;2#;}(x-4)<0

∴  2x€-11x+12<0  …… ㉠

 ㉠과 2x€+ax+b<0이 일치하므로 a=-11, b=12

2. 방정식과 부등식    085

 4 x<-7 또는 x>0

…… ㉡

  1, 2에서 x<a 또는 c<x<d 또는 x>d

403  해가 x<-2 또는 x>3이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은


∴  x€-x-6>0  …… ㉠

(x+2)(x-3)>0

410  [

3x+4<x€  yy ㉠

x€<6x-5
yy ㉡



 ㉠과 주어진 부등식의 부등호의 방향이 다르므로 a<0

 ㉠에서 x€-3x-4>0, (x+1)(x-4)>0

  ㉠의 양변에 a를 곱하면 ax€-ax-6a<0

 이 부등식이 ax€-bx+12<0과 일치하므로
 -a=-b, -6a=12   4  a=-2, b=-2

404  해가 -;2#;<x<5이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은



{x+;2#;}(x-5)<0

∴  x€-;2&;x-:¡2∞:<0  …… ㉠

 ㉠과 주어진 부등식의 부등호의 방향이 일치하므로 a>0

  ㉠의 양변에 a를 곱하면 ax€-;2&;ax-;;¡2∞;;a<0

 이 부등식이 ax€-7x+b<0과 일치하므로

 -;2&;a=-7, -;;¡2∞;;a=b

 4 a=2, b=-15

405  x€+2(k-2)x+1=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(k-2)€-1*1<0, k€-4x+3<0
(k-1)(k-3)<0   4  1<k<3

406  2x€+2kx-k+4=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=k€-2(-k+4)<0, k€+2k-8<0
(k+4)(k-2)<0   4  -4<k<2

407  1 k=0일 때,

1>0이므로 항상 성립한다.

 2 k+0일 때, k>0이어야 한다.

이때, kx€-kx+1=0의 판별식을 D라 하면

 D=(-k)€-4*k*1<0

  이때, k(k-4)<0

 4 0<k<4

  1, 2에서 0<k<4







 



 







 4 x<-1 또는 x>4

 ㉡에서 x€-6x+5<0, (x-1)(x-5)<0

 4 1<x<5

 따라서 연립부등식의 해는 4<x<5

yy ㉠

yy ㉡

㉡

㉠

0

1

5

a

x

411 x€-5x<0에서
x(x-5)<0

 4 0<x<5

x€-(a+1)x+a<0에서

(x-1)(x-a)<0

 ㉠, ㉡의 공통 범위가 1<x<5

 이므로 오른쪽 그림에서

a>5

412 x€-2x-3>0에서
(x+1)(x-3)>0

x€-(a+2)x+2a<0에서

(x-2)(x-a)<0

 4 x<-1 또는 x>3  …… ㉠

 ㉠, ㉡의 공통 범위에 속하는 정수

㉠

 가 4뿐이므로 오른쪽 그림에서

4<a<5

…… ㉡

㉠

㉡

-1

a32
54

x

413  x€+x-12<0에서
(x+4)(x-3)<0




x€+2ax+a€-16>0에서

∴  -4<x<3

…… ㉠

x€+2ax+(a+4)(a-4)>0, (x+a+4)(x+a-4)>0

x<-a-4 또는 x>-a+4

…… ㉡

 ㉠, ㉡의 공통 범위에 속하는 해가

㉡

㉠

㉡

 없으므로 오른쪽 그림에서

 -a-4<-4, -a+4>3

a>0, a<1

 4 0<a<1

-a-4

-4

x

-a+4
3

















408  1 k=-1일 때,

-3<0이므로 항상 성립한다.

 2 k+-1일 때, k+1<0, 즉 k<-1이어야 한다.



이때, (k+1)x€-2(k+1)x-3=0의 판별식을 D라 하면





;;4Î;;=(k+1)€-(k+1)*(-3)<0

 

  (k+1)(k+4)<0
  1, 2에서 -4<k<-1

 4 -4<k<-1

409 x€-7x+10<0에서
(x-2)(x-5)<0



x€-2x-3>0에서

 4 2<x<5

…… ㉠





414  1 x<1일 때, x€-x<-2(x-1)


 x€+x-2<0, (x+2)(x-1)<0

 2 x>1일 때, x€-x<2(x-1)

 4 -2<x<1



 x€-3x+2<0, (x-1)(x-2)<0

 4 1<x<2

 1, 2에서 -2<x<1 또는 1<x<2

415 |x-2|>6에서

x-2<-6 또는 x-2>6

 4 x<-4 또는 x>8



x€-4x-45<0에서

…… ㉠

(x+5)(x-9)<0

 4 -5<x<9

…… ㉡

(x+1)(x-3)>0

 4 x<-1 또는 x>3  …… ㉡

 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 3<x<5

 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

 -5<x<-4 또는 8<x<9

086    정답과 풀이











3
도형의 방정식

 ⑶ AB’=2'5 에서 AB’ €=20이므로
 (-3-1)€+(2-a)€=20


 a€-4a=0, a(a-4)=0

 ∴ a=4 (∵ a>0)

 ⑷ AB’=5'2 에서 AB’ €=50이므로
 (-2+3)€+(a-1)€=50


142쪽~154쪽

 a€-2a-48=0, (a+6)(a-8)=0

 ∴ a=8 (∵ a>0)

01 평면좌표

001  ⑴ AB’=|7-2|=5
 ⑵ AB’=|-2-(-5)|=3
 ⑶ AB’=|2'2-(-3'2 )|=5'2
 ⑷ AB’

’=|(2+'2 )-(3-2'2 )|=3'2-1

002  점 Q의 좌표를 x라 하면
 ⑴ |x-3|=2에서 x-3=\2

 ∴ x=5 또는 x=1

 따라서 점 Q의 좌표는 5 또는 1이다.

 ⑵ |x-2|=5에서 x-2=\5

 ∴ x=7 또는 x=-3

 따라서 점 Q의 좌표는 7 또는 -3이다.

 ⑶ |x-(-6)|=7에서 x+6=\7

 ∴ x=1 또는 x=-13

 따라서 점 Q의 좌표는 1 또는 -13이다.

003  x™, y¡, y™-y¡, y™-y¡, y™-y¡, y™-y¡

004  ⑴ OA’="ƒ3€+(-1)€='ß10
 ⑵ OA’="ƒ(-6)€+(-8)€='ß100=10

005  ⑴ AB’="ƒ(-5-6)€+{-3-(-3)}€=11
 ⑵ AB’="ƒ{-2-(-2)}€+(-3-5)€=8
 ⑶ AB’="ƒ(3-0)€+{0-(-4)}€=5
 ⑷ AB’="ƒ(-4-0)€+(-2-2)€=4'2
 ⑸ AB’="ƒ(-3-4)€+{0-(-1)}€=5'2
 ⑹ AB’="ƒ(5-2)€+(4-3)€='ß10
 ⑺ AB’="ƒ(5-3)€+{-4-(-1)}€='ß13
 ⑻ AB’="ƒ(-4-2)€+{3-(-3)}€=6'2

006  ⑴ 12, 6, 6
 ⑵ AB’=2'ß13에서 AB’ €=52이므로
 (a+1)€+(-4-2)€=52




































































007  AB’=AC’이므로


 양변을 제곱하면

"ƒ(a-2)€+(3+1)€="ƒ(-3-2)€+(a+1)€

(a-2)€+16=25+(a+1)€

a€-4a+20=a€+2a+26, -6a=6

 ∴ a=-1

008  ⑴ 0, -1, -5, 2, 34, 8, 8, 0

 ⑵ 점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하면

 AP’=BP’에서 AP’ €=BP’ €이므로

 (a+1)€+(-3)€=(a-2)€+(-6)€

 a€+2a+10=a€-4a+40, 6a=30

∴  a=5

 따라서 점 P의 좌표는 (5, 0)이다.

 ⑶ 점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하면

 AP’=BP’에서 AP’ €=BP’ €이므로

 (a-1)€+(-1)€=(a+2)€+(-2)€

 a€-2a+2=a€+4a+8, -6a=6

∴  a=-1

 따라서 점 P의 좌표는 (-1, 0)이다.

009  ⑴ 점 P의 좌표를 (0, a)라 하면


 AP’=BP’에서 AP’ €=BP’ €이므로

 (-2)€+a€=(-3)€+(a-5)€

 a€+4=a€-10a+34, 10a=30

∴  a=3

 따라서 점 P의 좌표는 (0, 3)이다.

 ⑵ 점 P의 좌표를 (0, a)라 하면

 AP’=BP’에서 AP’ €=BP’ €이므로

 (-2)€+(a-1)€=1€+(a-4)€

 a€-2a+5=a€-8a+17, 6a=12

∴  a=2

 따라서 점 P의 좌표는 (0, 2)이다.

 ⑶ 점 P의 좌표를 (0, a)라 하면

 AP’=BP’에서 AP’ €=BP’ €이므로

 3€+(a-1)€=(-1)€+(a+1)€

 a€+2a-15=0, (a+5)(a-3)=0

 a€-2a+10=a€+2a+2, -4a=-8

∴  a=2

 ∴ a=3 (∵ a>0)

 따라서 점 P의 좌표는 (0, 2)이다.

3. 도형의 방정식    087

  따라서 점 P의 좌표는 (-3, 5)이다.

 ⑵ AB’=AC’에서 AB’ €=AC’ €이므로

010  ⑴ a+1, a+1, a+1, 2, 6, ;2#;, ;2#;, ;2%;
 ⑵ 점 P의 좌표를 (a, -a+2)라 하면
 AP’=BP’에서 AP’ €=BP’ €이므로



 (a-2)€+(-a+2)€=(a-4)€+{(-a+2)-6}€

 2a€-8a+8=2a€+32, -8a=24

 ∴ a=-3

 ⑶ 점 P의 좌표를 (a, 2a)라 하면

 AP’=BP’에서 AP’ €=BP’ €이므로

 (a+1)€+(2a-1)€=(a-5)€+(2a+1)€

 5a€-2a+2=5a€-6a+26, 4a=24

 ∴ a=6

 따라서 점 P의 좌표는 (6, 12)이다.

011  P(a, 0)이라 하면


AP’=BP’에서 AP’ €=BP’ €이므로

(a-2)€+(-5)€=(a-4)€+(-1)€

a€-4a+29=a€-8a+17

4a=-12, a=-3

∴  P(-3, 0)

Q(0, b)라 하면
AQ’=BQ’에서 AQ’ €=BQ’ €이므로

(-2)€+(b-5)€=(-4)€+(b-1)€

b€-10b+29=b€-2b+17

 -8b=-12, b=;2#;

 ∴ PQ’=Ƙ3€+{;2#;}

∴  Q{0, ;2#;}
3'5
2

€=æç:¢4∞:=

































012  ⑴ ① AB’="ƒ(1+2)€+(3+1)€='ß25=5


 ② BC’="ƒ(3-1)€+(-1-3)€='ß20=2'5
 ③ CA’="ƒ(-2-3)€+(-1+1)€='ß25=5
 ④ AB’=CA’이므로 1ABC는





AB’=CA’인 이등변삼각형이다.

 ⑵ ① AB’="ƒ(-3)€+(2-5)€='ß18=3'2
 ② BC’="ƒ7€+(1-2)€='ß50=5'2

 ③ CA’="ƒ(3-7)€+(5-1)€='ß32=4'2
 ④ AB’ €+CA’ €=BC’ €이므로 1ABC는  





3A=90^인 직각삼각형이다.

 ⑶ ① AB’="ƒ(-1-2)€+(-1-3)€='ß25=5


 ② BC’="ƒ(6+1)€+1€='ß50=5'2
 ③ CA’="ƒ(2-6)€+3€='ß25=5
 ④ AB’ €+CA’ €=BC’ €이고 AB’=CA’이므로 1ABC는





3A=90^인 직각이등변삼각형이다.

088    정답과 풀이

013  1ABC가 3B=3C인 이등변삼각형이므로

 ⑴ AB’=AC’에서 AB’ €=AC’ €이므로

AB’=AC’

 (3+1)€+(4-1)€=(2+1)€+(k-1)€

 25=k€-2k+10, k€-2k-15=0

 (k+3)(k-5)=0

∴  k=5 (∵ k>0)

 (k-4)€+(1-2)€=(3-4)€+(7-2)€

 k€-8k+17=26, k€-8k-9=0

 (k+1)(k-9)=0

∴  k=9 (∵ k>0)

014  1ABC가 3A=90^인 직각삼각형이므로

 ⑴ AB’ €=3€+(2+2)€=25

AB’ €+CA’ €=BC’ €

 CA’ €=(-3-1)€+(-2-k)€=k€+4k+20
 BC’ €=1€+(k-2)€=k€-4k+5
 AB’ €+CA’ €=BC’ €이므로

 25+k€+4k+20=k€-4k+5, 8k=-40

∴  k=-5

 ⑵ AB’ €=(3+1)€+(3-1)€=20

 CA’ €=(-1-k)€+(1+3)€=k€+2k+17
 BC’ €=(k-3)€+(-3-3)€=k€-6k+45
 AB’ €+CA’ €=BC’ €이므로

 20+k€+2k+17=k€-6k+45, 8k=8

∴  k=1

 a€+2a+1+b€-2b+1=1-2a+a€+1+2b+b€

015  1ABC가 정삼각형이므로 AB’=BC’=CA’
 1 AB’=BC’에서 AB’ €=BC’ €이므로


 (-1-1)€+(1+1)€=(a+1)€+(b-1)€

 8=a€+2a+1+b€-2b+1

 ∴ a€+2a+b€-2b-6=0  …… ㉠


 2 BC’=CA’에서 BC’ €=CA’ €이므로


 (a+1)€+(b-1)€=(1-a)€+(-1-b)€

 4a-4b=0

∴  b=a  

…… ㉡

 ㉡을 ㉠에 대입하면 a€+2a+a€-2a-6=0
∴  a='3 (∵ a>0)

a€=3


 ∴ a='3, b='3

016  ⑴ AP’+PB’>AB’ ="ƒ(4+2)€+(-1-3)€

='ß52=2'ß13

 따라서 AP’+PB’의 최솟값은 2'ß13이다.

 ⑵ AP’+PB’>AB’ ="ƒ(-3-5)€+(-2-2)€



='ß80=4'5

 따라서 AP’+PB’의 최솟값은 4'5이다.

 ⑶ AP’+PB’>AB’ ="ƒ(-2-3)€+(1+4)€

='ß50=5'2

 따라서 AP’+PB’의 최솟값은 5'2이다.









































  ⑶ 점 P의 좌표를 (a, b)라 하면

 AP’ €+BP’ € ={(a+1)€+(b-2)€}+{(a-3)€+(b-4)€}

=2a€-4a+2b€-12b+30  

=2(a€-2a)+2(b€-6b)+30



=2(a-1)€+2(b-3)€+10

 따라서 a=1, b=3, 즉 점 P의 좌표가 (1, 3)일 때
 AP’ €+BP’ €은 최솟값 10을 갖는다.

021  점 P의 좌표가 (a, b)이므로


AP’ €+BP’ € ={a€+(b-1)€}+{(a-2)€+(b-3)€}  

=2a€-4a+2b€-8b+14



=2(a€-2a)+2(b€-4b)+14

=2(a-1)€+2(b-2)€+4

 따라서 a=1, b=2, 즉 점 P의 좌표가 (1, 2)일 때

x



AP’ €+BP’ €은 최솟값 4를 갖는다.

B(5, -2)

 ∴ a+b+c=1+2+4=7

017  ⑴ AP’+PB’>AB’ ="ƒ(1+3)€+(5-1)€



='ß32=4'2

 따라서 AP’+PB’의 최솟값은 4'2이다.

 ⑵ AP’+PB’>AB’ ="ƒ(3+3)€+(-4-2)€

='ß72=6'2

 따라서 AP’+PB’의 최솟값은 6'2이다.

 ⑶ AP’+PB’>AB’ ="ƒ(-1-3)€+(-4+1)€



='ß25=5

 따라서 AP’+PB’의 최솟값은 5이다.

018  ⑴ -1, 5, 5
 ⑵ 점 B의 x축에 대한 대칭점을 B'

이라 하면 B'(5, 2)

 이때, PB’=PB'’이므로

 AP’+PB’=AP’+PB'’





>AB'’
="ƒ(5-2)€+(2+4)€

='ß45=3'5
 따라서 AP’+PB’의 최솟값은 3'5이다.

B'

P

A(2, -4)

019  ⑴ 점 B의 y축에 대한 대칭점을 B'
이라 하면 B'(-1, 7)

B'

B(1, 7)

y

P

 ⑵ 점 B의 y축에 대한 대칭점을

y

 이때, PB’=PB'’이므로

 AP’+PB’=AP’+PB'’





>AB'’
="ƒ(-1-4)€+(7-2)€

='ß50=5'2
 따라서 AP’+PB’의 최솟값은 5'2이다.

B'이라 하면 B'(3, -5)

 이때, PB’=PB'’이므로

 AP’+PB’=AP’+PB'’





>AB'’
="ƒ(3+1)€+(-5+3)€

='ß20=2'5
 따라서 AP’+PB’의 최솟값은 2'5이다.

020  ⑴ 3, 3, 3, 3, 3, 3
 ⑵ 점 P의 좌표를 (a, b)라 하면

A(-1, -3)

P

B(-3, -5)

B'









































































A(4, 2)

024  x-x¡, x-x¡, mx™+nx¡, my™+ny¡

022  ⑴ 3

⑵  3

⑶  1

023  ⑴ P{

1_8+2_2
1+2

}, 즉 P(4)

 ⑵ P{

3_5+1_(-3)
3+1

}, 즉 P(3)

 ⑶ P{

3_(-2)+2_8
3+2

}, 즉 P(2)

025  ⑴ 4, 1, 3, 9, 3, 7, 3, 7
 ⑵ 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면

 x=

3_6+1_(-2)
3+1

=4

 y=

3_1+1_(-3)
3+1

=0

 따라서 점 P의 좌표는 (4, 0)이다.

 ⑶ 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면

 x=

1_5+2_(-1)
1+2

=1

 y=

1_8+2_(-4)
1+2

=0

 따라서 점 P의 좌표는 (1, 0)이다.

 AP’ €+BP’ € ={a€+(b-3)€}+{(a-4)€+(b+1)€}

 ⑷ 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면

=2a€-8a+2b€-4b+26



=2(a€-4a)+2(b€-2b)+26



=2(a-2)€+2(b-1)€+16

 따라서 a=2, b=1, 즉 점 P의 좌표가 (2, 1)일 때
 AP’ €+BP’ €은 최솟값 16을 갖는다.

 x=

1_1+3_(-5)
1+3

=-;2&;

 y=

1_4+3_(-4)
1+3

=-2

 따라서 점 P의 좌표는 {-;2&;, -2}이다.

3. 도형의 방정식    089

026  선분 AB를 4：3으로 내분하는 점 P의 y좌표가 0이므로

 따라서 점 Q의 좌표는 (-8, -8)이다.

 ⑸ 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면

 x=

3_12+2_2
3+2

=8

 y=

3_4+2_(-6)
3+2

=0

 따라서 점 P의 좌표는 (8, 0)이다.

 ⑹ 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면

 x=

2_(-2)+3_3
2+3

=1

 y=

2_11+3_(-4)
2+3

=2

 따라서 점 P의 좌표는 (1, 2)이다.

 ⑺ 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면

 x=

4_10+3_3
4+3

=7

 y=

4_5+3_(-2)
4+3

=2

 따라서 점 P의 좌표는 (7, 2)이다.

 ⑻ 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면

 x=

3_2+4_(-5)
3+4

=-2

 y=

3_(-10)+4_4
3+4

=-2



























 따라서 점 P의 좌표는 (-2, -2)이다.

4_a+3_2
4+3

=0, 4a+6=0

∴  a=-;2#;

027  ⑴ M{

2+8
2 }, 즉 M(5)

 ⑵ M{

}, 즉 M{;2!;}

-4+5
2

-3-2
2

 ⑶ M{

}, 즉 M{-;2%;}

028  ⑴ M{

2+1
2

,

5+8
2 }, 즉 M{;2#;, :¡2£:}

 ⑵ M{

2-7
2

,

-3+4
2

}, 즉 M{-;2%;, ;2!;}

 ⑶ M{

-4+9
2

,

-7-2
2

}, 즉 M{;2%;, -;2(;}

029  ⑴ 3

⑵  2

⑶  3

030  ⑴ Q{

2_7-1_3
2-1

}, 즉 Q(11)

 ⑵ Q{

3_5-1_(-1)
3-1

}, 즉 Q(8)

 ⑶ Q{

1_(-1)-3_(-3)
1-3

}, 즉 Q(-4)

090    정답과 풀이

031  x-x¡, x-x¡, mx™-nx¡, my™-ny¡

032  ⑴ 점 Q의 좌표를 (x, y)라 하면
2_ 4 -1_ 1
2-1

 x=

= 7



 y=

2_ 10 -1_ 3
2-1

= 17

 따라서 점 Q의 좌표는 ( 7 ,  17 )이다.

 ⑵ 점 Q의 좌표를 (x, y)라 하면

 x=

3_6-1_(-2)
3-1

=10

 y=

3_1-1_(-3)
3-1

=3

 따라서 점 Q의 좌표는 (10, 3)이다.

 ⑶ 점 Q의 좌표를 (x, y)라 하면

 x=

1_5-2_(-1)
1-2

=-7

 y=

1_8-2_(-4)
1-2

=-16

 따라서 점 Q의 좌표는 (-7, -16)이다.

 ⑷ 점 Q의 좌표를 (x, y)라 하면

 x=

1_1-3_(-5)
1-3

=-8

 y=

1_4-3_(-4)
1-3

=-8

 ⑸ 점 Q의 좌표를 (x, y)라 하면

 x=

3_12-2_2
3-2

=32

 y=

3_4-2_(-6)
3-2

=24

 따라서 점 Q의 좌표는 (32, 24)이다.

 ⑹ 점 Q의 좌표를 (x, y)라 하면

 x=

2_(-2)-3_3
2-3

=13

 y=

2_11-3_(-4)
2-3

=-34

 따라서 점 Q의 좌표는 (13, -34)이다.

 ⑺ 점 Q의 좌표를 (x, y)라 하면

 x=

4_10-3_3
4-3

=31

 y=

4_5-3_(-2)
4-3

=26

 따라서 점 Q의 좌표는 (31, 26)이다.

 ⑻ 점 Q의 좌표를 (x, y)라 하면

 x=

3_2-4_(-5)
3-4

=-26

 y=

3_(-10)-4_4
3-4

=46

 따라서 점 Q의 좌표는 (-26, 46)이다.















































033  선분 AB를 3：2로 외분하는 점의 좌표가 (2, 5)이므로

 ⑶ 점 P의 좌표를 (a, b)라 하면

3_4-2_a
3-2

3_b-2_2
3-2

 ∴ a+b=8

=2, 12-2a=2

 4 a=5

=5, 3b-4=5

 4 b=3

034  선분 AB를 2：3으로 내분하는 점은

2_5+3_(-5)
2+3

,

2_3+3_(-2)
2+3

P{

}, 즉 P(-1, 0)

 선분 AB를 2：3으로 외분하는 점은

Q{

2_5-3_(-5)
2-3

,

2_3-3_(-2)
2-3

}, 즉 Q(-25, -12)

 따라서 선분 PQ의 중점의 좌표는

-1-25
2

{

,

-12
2 }, 즉 (-13, -6)

035  선분 AB를 3：1로 내분하는 점은

3_3+1_(-1)
3+1

,

3_2+1_(-2)
3+1

P{

}, 즉 P(2, 1)

 선분 AB를 3：1로 외분하는 점은

Q{

3_3-1_(-1)
3-1

,

3_2-1_(-2)
3-1

}, 즉 Q(5, 4)

 따라서 선분 PQ의 길이는

"ƒ(5-2)€+(4-1)€='ß18=3'2

036  선분 AB를 1：2로 내분하는 점은

1_3+2_0
1+2

,

1_4+2_1
1+2

P{

}, 즉 P(1, 2)

 선분 AB를 1：2로 외분하는 점은

Q{

1_3-2_0
1-2

,

1_4-2_1
1-2

}, 즉 Q(-3, -2)

 따라서 두 점 P, Q 사이의 거리는

"ƒ(-3-1)€+(-2-2)€='ß32=4'2

037  선분 AB를 2：1로 내분하는 점은
2_(-3)+1_3
2+1

2_5+1_2
2+1

P{

,



 선분 AB를 3：2로 외분하는 점은

}, 즉 P(4, -1)

Q{

3_5-2_2
3-2

,

3_(-3)-2_3
3-2

}, 즉 Q(11, -15)

 따라서 선분 PQ의 길이는

"ƒ(11-4)€+(-15+1)€='ß245=7'5

038  ⑴ 1, -2, ;3@;, -1, 4, ;5$;, ;3@;, ;5$;
 ⑵ 점 P의 좌표를 (a, b)라 하면

 a=

t_(-5)+(1-t)_4
t+(1-t)

=4-9t<0

∴  t>;9$;

 b=

t_1+(1-t)_(-3)
t+(1-t)

=4t-3<0

∴  t<;4#;

 따라서 t의 값의 범위는 ;9$;<t<;4#;이다.

































 a=

t_2+(1-t)_(-1)
t+(1-t)

=3t-1<0

∴  t<;3!;

 b=

t_7+(1-t)_(-3)
t+(1-t)

=10t-3>0

∴  t>;1£0;

 따라서 t의 값의 범위는 ;1£0;<t<;3!;이다.



































039  점 P의 좌표를 (a, b)라 하면
t_3+(1-t)_(-2)
t+(1-t)

a=



=5t-2

b=

t_(-2)+(1-t)_5
t+(1-t)

=5-7t

 ∴ P(5t-2, 5-7t)

 ⑴ 점 P가 x축 위에 있으므로

 5-7t=0

∴  t=;7%;

 ⑵ 점 P가 y축 위에 있으므로

 5t-2=0

∴  t=;5@;

 ⑶ 점 P가 직선 y=x+1 위에 있으므로

 5-7t=(5t-2)+1, 6=12t

∴  t=;2!;

040  점 P의 좌표를 (a, b)라 하면
t_2+(1-t)_(-1)
t+(1-t)

a=



=3t-1

b=

t_(-3)+(1-t)_5
t+(1-t)

=5-8t

 ∴ P(3t-1, 5-8t)

 ⑴ 점 P가 x축 위에 있으므로

 5-8t=0

∴  t=;8%;

 ⑵ 점 P가 y축 위에 있으므로

 3t-1=0

∴  t=;3!;

 ⑶ 점 P가 직선 y=2x-1 위에 있으므로

 5-8t=2(3t-1)-1, 8=14t

∴  t=;7$;

041  ⑴ 두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로

-2+3
2

=

0+a
2

,

3+0
2

=

-1+b
2

 ∴ a=1, b=4

 ⑵ 두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로

4+2
2

=

a+5
2

,

2+b
2

=

5-3
2

 ∴ a=1, b=0

042  ⑴ 두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로

3+3
2

=

a+5
2

,

-1-3
2

=

b-2
2

 ∴ a=1, b=-2







3. 도형의 방정식    091

  ⑵ 두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로



-6+a
2

=

-1-2
2

,

1+2
2

=

-3+b
2

 ∴ a=3, b=6

 이때, AD’가 3A의 이등분선이므로

 BD’：CD’=AB’：AC’=2：1

 따라서 점 D는 BC’를 2：1로 내분하는 점이므로

 D{

2_6+1_(-3)
2+1

,

2_2+1_(-2)
2+1

}

∴  D{3, ;3@;}

043   두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로 두 중점의 y좌표가

같다.

3+b
2

=

a-6
2



∴  b=a-9

 또, AB’=AD’에서 AB’ €=AD’ €이므로

(-7-2)€+(a-3)€=(5-2)€+(-6-3)€

…… ㉠

046  세 점 A(-1, 5), B(-5, 2), C(4, -7)에 대하여


AB’="ƒ(-5+1)€+(2-5)€='ß25=5
AC’="ƒ(4+1)€+(-7-5)€='ß169=13



 이때, AD’가 3A의 이등분선이므로

BD’：CD’=AB’：AC’=5：13

a€-6a=0, a(a-6)=0

∴  a=6 (∵ a>0)

…… ㉡

 따라서 점 D는 BC’를 5：13으로 내분하는 점이므로

 ㉡을 ㉠에 대입하면 b=-3

 ∴ a+b=3

044  ⑴ 내분, 6, -2, 8, 4
 ⑵ 세 점 A(2, 5), B(5, 2), C(9, 6)에 대하여
 AB’="ƒ(5-2)€+(2-5)€='ß18=3'2
 AC’="ƒ(9-2)€+(6-5)€='ß50=5'2
 이때, AD’가 3A의 이등분선이므로







 BD’：CD’=AB’：AC’=3：5

 따라서 점 D는 BC’를 3：5로 내분하는 점이므로

 D{

3_9+5_5
3+5

,

3_6+5_2
3+5

}

∴  D{:¡2£:, ;2&;}

045  ⑴ AB’="ƒ(3-1)€+(7-5)€

='8=2'2


 AC’="ƒ(4-1)€+(2-5)€

='ß18=3'2





B(3, 7)

A(1, 5)

D

 이때, AD’가 3A의 이등분선이므로

C(4, 2)

 BD’：CD’=AB’：AC’=2：3



따라서 점 D는 BC’를 2：3으로 내분하는 점이므로

 D{

2_4+3_3
2+3

,

2_2+3_7
2+3

}

∴  D{:¡5¶:, 5}

 ⑵ AB’="ƒ(1-2)€+(3-1)€='5
 AC’="ƒ(-2-2)€+(-1-1)€





='ß20=2'5

 이때, AD’가 3A의 이등분선이

 므로

 BD’：CD’=AB’：AC’=1：2

B(1, 3)

D

A(2, 1)

C(-2, -1)

 따라서 점 D는 BC’를 1：2로 내분하는 점이므로

 D{

1_(-2)+2_1
1+2

,

1_(-1)+2_3
1+2

}

∴  D{0, ;3%;}

D{

5_4+13_(-5)
5+13

,

5_(-7)+13_2
5+13

}

 ∴ D{-;2%;, -;2!;}

∴  a+b=-;2%;-;2!;=-3

047

x™+x£
2

, x¡, x¡+x™+x£,

, y¡, y¡+y™+y£,

y™+y£
2



x¡+x™+x£, y¡+y™+y£

048  ⑴ G{

-2+2+3
3

,

1+3+5
3

}, 즉 G(1, 3)

 ⑵ G{

1+2+3
3

,

-1-4-1
3

}, 즉 G(2, -2)

 ⑶ G{

2+5-1
3

,

-1-6+1
3

}, 즉 G(2, -2)

 ⑷ G{

-1-2+6
3

,

5+2-1
3

}, 즉 G(1, 2)

 ⑸ G{

3-1-5
3

,

2-1+8
3

}, 즉 G(-1, 3)

049  ⑴ C(a, b)라 하면 1ABC의 무게중심의 좌표가 (0, 0)이므로

2-5+a
3

=0,

-2+4+b
3

=0

∴  a=3, b=-2

 따라서 점 C의 좌표는 (3, -2)이다.

 ⑵ C(a, b)라 하면 1ABC의 무게중심의 좌표가 (0, 0)이므로

1-3+a
3

=0,

2+5+b
3

=0

∴  a=2, b=-7

 따라서 점 C의 좌표는 (2, -7)이다.

 ⑶ C(a, b)라 하면 1ABC의 무게중심의 좌표가 (0, 0)이므로

-2-4+a
3

=0,

1+7+b
3

=0

∴  a=6, b=-8

 따라서 점 C의 좌표는 (6, -8)이다.









































 ⑶ AB’="ƒ(-3-3)€+(-2-6)€


='ß100=10
 AC’="ƒ(6-3)€+(2-6)€






='ß25=5

092    정답과 풀이

A(3, 6)

050  1ABC의 무게중심의 좌표가 (2, 3)이므로

D

B(-3, -2)

C(6, 2)

-2+a+5
3

=2,

3+4+b
3

=3

 ∴ a=3, b=2



























더블클릭

155쪽~156쪽

051  AB’="ƒ(-5+5)€+(-3-1)€=4

052  AB’="ƒ(-5-2)€+(-4+3)€='ß50=5'2

053  AB’="ƒ(-8+3)€+(-5-7)€='ß169=13

060  AB’="ƒ(1-4)€+(-1-1)€='ß13

BC’="ƒ(1-1)€+(3+1)€='ß16=4
CA’="ƒ(4-1)€+(1-3)€='ß13
AB’=CA’이므로 1ABC는 AB’=CA’인 이등변삼각형이다.





054  AB’=5'2에서 AB’ €=50이므로

(-3-2)€+(1-a)€=50



a€-2a-24=0, (a+4)(a-6)=0

 ∴ a=6 (∵ a>0)

055  AB’=2'ß13에서 AB’ €=52이므로


(a+1)€+(7-3)€=52



a€+2a-35=0, (a+7)(a-5)=0

 ∴ a=5 (∵ a>0)

056  점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하면


AP’=BP’에서 AP’ €=BP’ €이므로

(a-2)€+1€=(a+1)€+4€

a€-4a+5=a€+2a+17

 -6a=12

∴  a=-2

 따라서 점 P의 좌표는 (-2, 0)이다.

057  점 Q의 좌표를 (0, a)라 하면


AQ’=BQ’에서 AQ’ €=BQ’ €이므로

1€+(a-3)€=(-3)€+(a+5)€

a€-6a+10=a€+10a+34

 -16a=24

∴  a=-;2#;















058  점 R의 좌표를 (a, -3a+2)라 하면
AR’=BR’에서 AR’ €=BR’ €이므로


(a-1)€+(-3a+2-4)€=(a+2)€+(-3a+2+3)€

10a€+10a+5=10a€-26a+29

36a=24

∴  a=;3@;

 따라서 점 R의 좌표는 {;3@;, 0}이다.

059  AB’="ƒ(-1-1)€+(-2-2)€='ß20=2'5

BC’="ƒ(5+1)€+(0+2)€='ß40=2'ß10
CA’="ƒ(1-5)€+(2-0)€='ß20=2'5
AB’ €+CA’ €=BC’ €이고 AB’=CA’이므로
 1ABC는 3A=90^인 직각이등변삼각형이다.





061  선분 AB를 2：1로 내분하는 점은
2_5+1_2
2+1

2_2+1_(-1)
2+1

P{

,



}

 ∴ P(1, 4)

 선분 AB를 2：1로 외분하는 점은



Q{

2_2-1_(-1)
2-1

,

2_5-1_2
2-1

}

 ∴ Q(5, 8)

062  선분 AB를 1：3으로 내분하는 점은
1_6+3_3
1+3

1_(-1)+3_2
1+3

P{

,



}

 ∴ P{;4%;, :¡4∞:}
 선분 AB를 1：3으로 외분하는 점은

Q{

1_(-1)-3_2
1-3

,

1_6-3_3
1-3

}

 ∴ Q{;2&;, ;2#;}











063  선분 AB를 3：5로 내분하는 점은

3_6+5_(-2)
3+5

,

3_2+5_(-4)
3+5

}

P{

 ∴ P{1, -;4&;}
 선분 AB를 3：5로 외분하는 점은

Q{

3_6-5_(-2)
3-5

,

3_2-5_(-4)
3-5

}

[ 064~067 ] 점 P의 좌표를 (a, b)라 하면
t_2+(1-t)_(-2)
t+(1-t)

=4t-2

a=





b=

t_(-3)+(1-t)_1
t+(1-t)

=1-4t

 ∴ P(4t-2, 1-4t)

064  점 P(4t-2, 1-4t)가 제3사분면에 있으므로

4t-2<0에서 t<;2!;

1-4t<0에서 t>;4!;

 따라서 t의 값의 범위는 ;4!;<t<;2!;이다.

 따라서 점 Q의 좌표는 {0, -;2#;}이다.

 ∴ Q(-14, -13)

3. 도형의 방정식    093

02 직선의방정식

157쪽~172쪽

073  ⑴

⑵

-2

O

2


x

4



 ⑶



⑷

-2

y

2

y
4

2

-2

4

y

2

O

-2

2

x

4

y

2

O

x

2





-2

O

2

x

4

-4

-2

074  ⑴ y=3x-3

 ⑵ y-(-1)=;2!;(x-0)

 4 y=;2!;x-1

 ⑶ y-0=2(x-2)

 4 y=2x-4

 ⑷ y-(-3)=-2{x-(-2)}

 4 y=-2x-7

 ⑸ (기울기)=tan 45^=1이므로 y=x-3
 ⑹ (기울기)=tan 60^='3이므로
 y-2='3 {x-(-1)}


 4 y='3x+2+'3

075 2x+y-3=0에서 y=-2x+3이므로 직선의 기울기는 -2이다.
따라서 기울기가 -2이고 점 (-1, 1)을 지나는 직선의 방정식은


y-1=-2(x+1)

 4 y=-2x-1





076  ⑴ 1 (기울기)=

4-3
5-2

=;3!;

 2 y-3=;3!;(x-2)

 4 y=;3!;x+;3&;

 ⑵ y-(-1)=

(x-3)

 4 y=2x-7

 ⑶ y-(-4)=

(x-2)

 4 y=;4!;x-;2(;

3-(-1)
5-3

-3-(-4)
6-2

3-(-3)
2-(-2)

065  점 P(4t-2, 1-4t)가 x축 위에 있으므로

1-4t=0

∴  t=;4!;

066  점 P(4t-2, 1-4t)가 y축 위에 있으므로

4t-2=0

∴  t=;2!;

067  점 P(4t-2, 1-4t)가 직선 y=2x+1 위에 있으므로

1-4t=2(4t-2)+1, 4=12t

∴  t=;3!;

068  세 점 A(-6, 2), B(-3, -2), C(5, 4)에 대하여


BA’="ƒ(-6+3)€+(2+2)€='ß25=5
BC’="ƒ(5+3)€+(4+2)€='ß100=10



 이때, BD’가 3B의 이등분선이므로

AD’：DC’=BA’：BC’=1：2

 따라서 점 D는 AC’를 1：2로 내분하는 점이므로

D{

1_5+2_(-6)
1+2

,

1_4+2_2
1+2

}

∴  D{-;3&;, ;3*;}

069  세 점 A(2, 5), B(-1, 2), C(6, 1)에 대하여

BA’="ƒ(2+1)€+(5-2)€='ß18=3'2
BC’="ƒ(6+1)€+(1-2)€='ß50=5'2



 이때, BD’가 3B의 이등분선이므로

AD’：DC’=BA’：BC’=3：5

 따라서 점 D는 AC’를 3：5로 내분하는 점이므로

D{

3_6+5_2
3+5

,

3_1+5_5
3+5

}

∴  D{;2&;, ;2&;}

070  1ABC의 무게중심의 좌표가 (a, b)이므로
2+7-6
3

5-2+3
3

=a,

=b



 ∴ a=2, b=1

071  1ABC의 무게중심의 좌표가 (2, -1)이므로
b+2-2b
3

a-1+2a
3

=-1

=2,



 ∴ a=;3&;, b=5



















072  선분 AB의 중점의 좌표는 {

-2+4
2

,

3+5
2 }

 4 P(1, 4)

 ⑷ y-(-3)=

{x-(-2)}

 4 y=;2#;x

 선분 BC의 중점의 좌표는 {

 선분 CA의 중점의 좌표는 {

4-4
2

,

5+1
2 }

-2-4
2

,

3+1
2 }

 4 Q(0, 3)

 ⑸ y-0=

-2-0
2-(-2)

{x-(-2)}

 4 y=-;2!;x-1

 4 R(-3, 2)

 ⑹ y-(-2)=

4-(-2)
-5-(-3)

{x-(-3)}

 따라서 삼각형 PQR의 무게중심의 좌표는



 4 y=-3x-11

1+0-3
3

{

,

4+3+2
3

}, 즉 {-;3@;, 3} 

다른풀이

 삼각형 PQR의 무게중심은 삼각형 ABC의 무게중심과 같다.

 이때, 1ABC의 무게중심의 좌표가 {

-2+4-4
3

,

3+5+1
3

},

077  ⑴ 4
 ⑵ 두 점 A, B의 x좌표가 같으므로 직선의 방정식은 x=3

 ⑶ 두 점 A, B의 x좌표가 같으므로 직선의 방정식은 x=-2

 ⑷ 두 점 A, B의 y좌표가 같으므로 직선의 방정식은 y=1

 ⑸ 두 점 A, B의 y좌표가 같으므로 직선의 방정식은 y=3

 즉 {-;3@;, 3}이므로 1PQR의 무게중심의 좌표도 {-;3@;, 3}이다.

 ⑹ 두 점 A, B의 y좌표가 같으므로 직선의 방정식은 y=-4

094    정답과 풀이

078  두 점 (1, -1), (-1, 3)을 지나는 직선의 방정식은

 ⑶ (직선 AB의 기울기)=

x절편이 2, y절편이 4인 직선은 두 점 (2, 0), (0, 4)를 지나











y-(-1)=

(x-1)



3-(-1)
-1-1

 4 y=-2x+1

 따라서 x절편은 ;2!;, y절편은 1이므로 a+b=;2#;

080  ⑴ x절편이 2, y절편이 4인 직선의 방정식은

079  b, a, b

;2X;+;4Y;=1

 다른풀이

므로 직선의 방정식은

 y-0=

(x-2)

 4 y=-2x+4

4-0
0-2

 ⑵ x절편이 3, y절편이 -2인 직선의 방정식은

;3X;+

y
-2

=1

 4 ;3X;-;2Y;=1

 ⑶ x절편이 -3, y절편이 6인 직선의 방정식은

x
-3

+;6Y;=1

 4 ;3X;-;6Y;=-1

081  x절편이 2, y절편이 a인 직선의 방정식은

;2X;+;aY;=1

 이 직선이 점 (-2, 6)을 지나므로

-2
2

+;a^;=1

 4 a=3

다른풀이

두 점 (2, 0), (-2, 6)을 지나는 직선의 방정식은

y-0=

6-0
-2-2

(x-2)

 4 y=-;2#;x+3

 따라서 y절편은 3이므로 a=3

082  ⑴ 1 (직선 AB의 기울기)=

2-(-2)
3-(-3)

=;3@;

 2 (직선 AC의 기울기)=

k-2-(-2)
k-(-3)

=

k
k+3

 

 3 직선 AB의 기울기와 직선 AC의 기울기가 같으므로





;3@;=

k
k+3

, 2(k+3)=3k

 4 k=6

 ⑵ (직선 AB의 기울기)=

3-(k+3)
2-k

=

k
k-2

 

 (직선 BC의 기울기)=

7-3
5-2

=;3$; 

 직선 AB의 기울기와 직선 BC의 기울기가 같으므로



k
k-2

=;3$;, 3k=4(k-2)

 4 k=8













































































-1-3
k-1-2

=-

4
k-3

 

-5-(-1)
k-(k-1)

=-4  

 (직선 BC의 기울기)=

 직선 AB의 기울기와 직선 BC의 기울기가 같으므로

 -

4
k-3

=-4, k-3=1

 4 k=4

083  (직선 AB의 기울기)=

a-(-1)
1-(-1)

=

a+1
2

(직선 AC의 기울기)=

9-(-1)
a+1-(-1)

=

10
a+2

 

 직선 AB의 기울기와 직선 AC의 기울기가 같으므로

a+1
2

=

10
a+2

, (a+1)(a+2)=20

a€+3a-18=0, (a+6)(a-3)=0

 4 a=3 (5 a>0)


084   점 A를 지나면서 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하는 직선 l은

BC’의 중점을 지난다.

 ⑴ 1 BC’의 중점의 좌표는





-3+9
2

{

,

0-2
2 }=(3, -1)

 2 점 A(0, 5)와 BC’의 중점 (3, -1)을 지나는 직선 l의 방

정식은





y-5=

(x-0)

 4 y=-2x+5

-1-5
3-0

 ⑵ BC’의 중점의 좌표는

 {

4+0
2

,

3+5
2 }=(2, 4)

의 방정식은

 y-0=

4-0
2-(-2)

 ⑶ BC’의 중점의 좌표는

 {

-4+5
2

,

-2+8
2

}={;2!;, 3}



따라서 점 A(-2, 0)과 BC’의 중점 (2, 4)를 지나는 직선 l

{x-(-2)}

 4 y=x+2

 따라서 점 A(2, 4)와 BC’의 중점 {;2!;, 3}을 지나는 직선 l의

 방정식은

3-4
;2!;-2

 y-4=

(x-2)

 4 y=;3@;x+;3*;

 ⑷ BC’의 중점의 좌표는

 {

-1+4
2

,

2-3
2 }={;2#;, -;2!;}

 따라서 점 A(3, 3)과 BC’의 중점 {;2#;, -;2!;}을 지나는 직선



l의 방정식은

-;2!;-3

;2#;-3

 y-3=

(x-3)

 4 y=;3&;x-4

3. 도형의 방정식    095

  ⑷ ac>0, bc>0에서 ab>0이므로

 (기울기)=-;bA;<0

 bc>0이므로

 (y절편)=-;bC;<0



따라서 조건을 만족하는 직선의 개

형은 오른쪽 그림과 같다.  

088  ax+by+c=0에서 b+0이므로

 

y=-;bA;x-;bC;

주어진 직선의 기울기가 
0이 아니므로 b+0

 ⑴ 주어진 그림에서 직선의 기울기가 양수이고

 y절편이 음수이므로 -;bA;>0, -;bC;<0

 ab<0, bc>0

 4 ac<0

 cx+ay+b=0에서 a+0이므로

 y=-;aC;x-;aB;

 ac<0이므로 (기울기)=-;aC;>0

 ab<0이므로 (y절편)=-;aB;>0



따라서 직선 cx+ay+b=0의 개

형은 오른쪽 그림과 같다.

 y절편이 양수이므로 -;bA;<0, -;bC;>0

 ab>0, bc<0

 4 ac<0

 cx+ay+b=0에서 a+0이므로

 y=-;aC;x-;aB;

 ac<0이므로 (기울기)=-;aC;>0

 ab>0이므로 (y절편)=-;aB;<0



따라서 직선 cx+ay+b=0의 개

형은 오른쪽 그림과 같다.

 ⑵ 주어진 그림에서 직선의 기울기가 음수이고



































085  ⑴ 3, 3, ;2#;
 ⑵ 직선 l과 x축 및 y축으로 둘러싸인

 부분은 오른쪽 그림과 같다.



직선 y=mx가 삼각형 OAB의 넓

이를 이등분하므로 y=mx는 AB’

의 중점 M을 지난다.

 이때, M{

0+4

6+0
2

,

2 }   

4 M(3, 2)

y

4

O

B

M

y=mx

A
6

x
l

 점 M의 좌표 (3, 2)를 y=mx에 대입하면 m=;3@;

 ⑶ 직선 l과 x축 및 y축으로 둘러싸인

y=mx

 부분은 오른쪽 그림과 같다.



직선 y=mx가 삼각형 OAB의 넓이

를 이등분하므로 y=mx는 AB’의 중

점 M을 지난다.

 이때, M{

0+6

3+0
2

,

2 }   

4 M{;2#;, 3}

y

6

B

M

A

l

O

3

x

 점 M의 좌표 {;2#;, 3}을 y=mx에 대입하면 m=2

086   원점을  지나면서  삼각형  OAB의
넓이를 이등분하는 직선의 방정식

을 y=mx라 하면 이 직선은 AB’

O(0, 0)

의 중점을 지난다.

AB’의 중점의 좌표는

4+8
2

{

,

4-6
2

}=(6, -1)

 점 (6, -1)을 y=mx에 대입하면 m=-;6!;

A(4, 4)

y=mx

B(8, -6)

087  ax+by+c=0에서 b+0이므로 y=-;bA;x-;bC;

y

O

y

O

y

x

x

 ⑴ ab>0이므로 (기울기)=-;bA;<0

 bc>0이므로 (y절편)=-;bC;<0



따라서 조건을 만족하는 직선의 개

형은 오른쪽 그림과 같다.

 ⑵ ab>0이므로 (기울기)=-;bA;<0

 bc<0이므로 (y절편)=-;bC;>0



따라서 조건을 만족하는 직선의 개

형은 오른쪽 그림과 같다.

 ⑶ ab<0이므로 (기울기)=-;bA;>0

 bc=0, b+0에서 c=0이므로

 (y절편)=-;bC;=0



따라서 조건을 만족하는 직선의 개

형은 오른쪽 그림과 같다.

096    정답과 풀이

















































 ⑶ 주어진 그림에서 직선의 기울기가 양수이고 y절편이 0이므로

 -;bA;>0, -;bC;=0

 4 ab<0, c=0

 cx+ay+b=0에서 a+0, c=0이므로

 y=-;aB;

O

x

 ab<0이므로 -;aB;>0



따라서 직선 cx+ay+b=0의 개

형은 오른쪽 그림과 같다.

y

O

y

O

y

O

y

O

x

x

x

x

































089  ax+by-c=0에서 b+0이므로 y=-;bA;x+;bC;


ac>0, bc<0에서 ab<0이므로

093  ⑴ 두 직선이 수직이려면 기울기의 곱이 -1이어야 하므로



;2!;*k=-1

 4 k=-2

(기울기)=-;bA;>0

bc<0이므로 (y절편)=;bC;<0

따라서 조건을 만족하는 직선의 개형

은 오른쪽 그림과 같으므로 제 2사분

면을 지나지 않는다.

y

O

 ⑵ 두 직선이 수직이려면 기울기의 곱이 -1이어야 하므로

 1*(k+2)=-1

 4 k=-3

 ⑶ kx+y+1=0에서 y=-kx-1

x

 두 직선이 수직이려면 기울기의 곱이 -1이어야 하므로

 -k*4=-1

 4 k=;4!;

 다른풀이

 y=4x-5에서 4x-y-5=0이므로 두 직선이 수직이려면

090  ⑴ 두 직선이 평행하려면 기울기가 같아야 하므로


 3=k+1

 4 k=2

 ⑵ 두 직선이 평행하려면 기울기가 같아야 하므로

 2k-1=-k+3

 4 k=;3$;

 ⑶ 두 직선이 평행하려면

;k@;=;3!;+;6!;

 4 k=6

 ⑷ 두 직선이 평행하려면





;1K;=

6
-3

+;3^;

 4 k=-2

094   두 직선 4x+ay-7=0, bx+4y+c=0이 모두 점 (1, 1)을 지

 k*4+1*(-1)=0

 4 k=;4!;

 ⑷ 두 직선이 수직이려면

 2*k+(-3)*4=0

 4 k=6

 ⑸ 두 직선이 수직이려면

 3*(k-3)+k*6=0

 4 k=1

나므로

4+a-7=0

 4 a=3

b+4+c=0

 4 c=-b-4  …… ㉠

 또, 두 직선이 수직이므로

4*b+a*4=0, b=-a

 4 b=-3

b=-3을 ㉠에 대입하면 c=-1

 4 abc=9

091  ⑴ 직선 y=2x-1에 평행한 직선의 기울기는 2이므로


 구하는 직선의 방정식은

 y-3=2(x-1)

 4 y=2x+1

 ⑵ 직선 y=-3x+2에 평행한 직선의 기울기는 -3이므로

 구하는 직선의 방정식은

 y-1=-3{x-(-2)}

 4 y=-3x-5

095  ⑴ 직선 y=4x-2에 수직인 직선의 기울기는 -;4!;이므로


 구하는 직선의 방정식은

 y-0=-;4!;(x-1)

 4 y=-;4!;x+;4!;

 ⑶ 2x-3y-1=0에서 y=;3@;x-;3!;

 ⑵ 직선 y=-;2!;x+3에 수직인 직선의 기울기는 2이므로

 이 직선에 평행한 직선의 기울기는 ;3@;이므로 구하는 직선의

 방정식은

 y-(-3)=;3@;(x-2)

 4 y=;3@;x-

13
3

 

 ⑷ 4x-2y+3=0에서 y=2x+;2#;

 구하는 직선의 방정식은

 y-1=2{x-(-1)}

 4 y=2x+3

 ⑶ 3x+y=0에서 y=-3x

 이 직선에 수직인 직선의 기울기는 ;3!;이므로

 구하는 직선의 방정식은



이 직선에 평행한 직선의 기울기는 2이므로 구하는 직선의 방

 y-2=;3!;(x-3)

∴  y=;3!;x+1

정식은

 y-3=2{x-(-1)}

 4 y=2x+5

 ⑷ 2x-4y+3=0에서 y=;2!;x+;4#;

092  두 점 A(-1, 2), B(4, -3)을 지나는 직선의 기울기는

-3-2
4-(-1)

=-1

y=-x+1

 4 a+b=-1+1=0

 이 직선에 수직인 직선의 기울기는 -2이므로

 구하는 직선의 방정식은

 y-(-2)=-2(x-1)

 4 y=-2x

 ⑸ x-3y+1=0에서 y=;3!;x+;3!;

 구하는 직선의 방정식은

 y-(-1)=-3(x-2)

 4 y=-3x+5

 기울기가 -1이고 y절편이 1인 직선의 방정식은

 이 직선에 수직인 직선의 기울기는 -3이므로

3. 도형의 방정식    097



















































096  직선 x-2y=0, 즉 y=;2!;x에 수직인 직선의 기울기는 -2이므
 로 점 (0, 5)를 지나고 기울기가 -2인 직선의 방정식은

098  ⑴ 1 l¡과 l™가 서로 수직이므로
2*1+1*a=0


 4 a=-2





 2 l¡과 l£가 서로 평행하므로

y=-2x+5

 이때, 점 H는 두 직선 y=;2!;x,

y=-2x+5의 교점이므로

 두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=1

H

 ∴ H(2, 1)

(0, 5)

x-2y=0

;b@;=

1
a+1

+

1
-4











b=2a+2에 a=-2를 대입하면 b=-2









































































































































097  ⑴ ① 두 직선이 평행하려면

;a!;=

a
2a+3

+

-1
-3



 …… ㉠

a€-2a-3=0, (a+1)(a-3)=0

4 a=-1 또는 a=3

㉠에서 a+3이므로 a=-1

 ② 두 직선이 일치하려면





;a!;=

a
2a+3

=

-1
-3



 4 a=3

 ③ 두 직선이 수직이려면

1*a+a*(2a+3)=0, 2a€+4a=0

2a(a+2)=0

 4 a=0 또는 a=-2

 ⑵ ① 두 직선이 평행하려면

;a!;=

a
a+2

+;2!;

 …… ㉠

a€-a-2=0, (a+1)(a-2)=0

4 a=-1 또는 a=2

㉠에서 a+2이므로 a=-1

 ② 두 직선이 일치하려면





;a!;=

a
a+2

=;2!;

 4 a=2

 ③ 두 직선이 수직이려면

1*a+a*(a+2)=0

a€+3a=0, a(a+3)=0

4 a=0 또는 a=-3

 ⑶ ① 두 직선이 평행하려면



7
a-2

=

a+4
1

+

-2
2



 …… ㉠

a€+2a-15=0, (a+5)(a-3)=0

4 a=-5 또는 a=3

㉠에서 a+-5이므로 a=3

 ② 두 직선이 일치하려면







7
a-2

=

a+4
1

=

-2
2



 4 a=-5

 ③ 두 직선이 수직이려면

7*(a-2)+(a+4)*1=0

8a-10=0

 4 a=;4%;

098    정답과 풀이







































 ⑵ l¡과 l™가 서로 수직이므로

 1*1+(-3)*a=0

 4 a=;3!;

 또, l¡과 l£이 서로 평행하므로



;a!;=

-3
b

+

2
-5



 b=-3a에 a=;3!; 을 대입하면 b=-1

 ⑶ l¡과 l™가 서로 수직이므로

 2*2+(-1)*a=0

 4 a=4

 또, l¡과 l£이 서로 평행하므로



;a@;=

-1
b

+;1!;

 2b=-a에 a=4를 대입하면 b=-2

099  직선 y=mx+1, 즉 mx-y+1=0이 직선


nx+3y+8=0과 수직이므로

 mn+(-1)*3=0

 4 mn=3

 또, 직선 y=mx+1이 직선 y=(4-n)x-1과 평행하므로

 m=4-n

 4 m+n=4

 4 m€+n€ =(m+n)€-2mn



=4€-2*3=10

100  ⑴ 1 AB’의 중점의 좌표는 {

3+5
2

,

2+4
2 }, 즉 (4, 3)

 2 직선 AB의 기울기가

=1이므로

4-2
5-3





직선 AB와 수직인 직선의 기울기는 -1이다.

 3 AB’의 수직이등분선은 점 (4, 3)을 지나고 기울기가 -1

인 직선이므로 방정식은





y-3=-(x-4)

 4 y=-x+7

 ⑵ AB’의 중점의 좌표는 {

2+0
2

,

3-1
2 }, 즉 (1, 1)

 직선 AB의 기울기는

-1-3
0-2

=2

 따라서 AB’의 수직이등분선은 점 (1, 1)을 지나고 기울기가

 -;2!;인 직선이므로 방정식은

 y-1=-;2!;(x-1)

 4 y=-;2!;x+;2#;

  ⑶ AB’의 중점의 좌표는 {

-4+2
2

,

3-1
2 }, 즉 (-1, 1)

102  ⑴ 1, -1, 1, -1











































 직선 AB의 기울기는

-1-3
2-(-4)

=-;3@;

 따라서 AB’의 수직이등분선은 점 (-1, 1)을 지나고 기울기가



;2#;인 직선이므로 방정식은

 y-1=;2#;{x-(-1)}

 4 y=;2#;x+;2%;

 ⑷ AB’의 중점의 좌표는 {

-1+1
2

,

2-4
2 }, 즉 (0, -1)

 직선 AB의 기울기는

-4-2
1-(-1)

=-3

 따라서 AB’의 수직이등분선은 점 (0, -1)을 지나고 기울기가



;3!;인 직선이므로 방정식은

 y-(-1)=;3!;(x-0)

 4 y=;3!;x-1

 ⑸ AB’의 중점의 좌표는 {

3-3
2

,

2+4
2 }, 즉 (0, 3)

 직선 AB의 기울기는

4-2
-3-3

=-;3!;

3인 직선이므로 방정식은

 y-3=3(x-0)

 4 y=3x+3

 ⑹ AB’의 중점의 좌표는 {

-4+2
2

,

2+4
2 }, 즉 (-1, 3)

 직선 AB의 기울기는

4-2
2-(-4)

=;3!;

 ⑵ 주어진 식을 k에 대하여 정리하면

 (-x-y-3)+k(x+2y+1)=0

 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면

 -x-y-3=0, x+2y+1=0

 두 식을 연립하여 풀면

 x=-5, y=2

 따라서 구하는 점의 좌표는 (-5, 2)이다.

 ⑶ 주어진 식을 k에 대하여 정리하면

 (-3x+y+5)+k(x+3y+5)=0

 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면

 -3x+y+5=0, x+3y+5=0

 두 식을 연립하여 풀면

 x=1, y=-2

 따라서 구하는 점의 좌표는 (1, -2)이다.

 ⑷ 주어진 식을 k에 대하여 정리하면

 (3x+2y-3)+k(2x+y+2)=0

 3x+2y-3=0, 2x+y+2=0

 두 식을 연립하여 풀면

 x=-7, y=12

 따라서 구하는 점의 좌표는 (-7, 12)이다.



따라서 AB’의 수직이등분선은 점 (0, 3)을 지나고 기울기가

 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면



따라서 AB’의 수직이등분선은 점 (-1, 3)을 지나고 기울기

103  ⑴ ;4#;, ;4#;, 3

가 -3인 직선이므로 방정식은

 y-3=-3{x-(-1)}

 4 y=-3x

 ⑺ AB’의 중점의 좌표는 {

1-1
2

,

-3+3
2

}, 즉 (0, 0)

따라서 AB’의 수직이등분선은 점 (0, 0)을 지나고 기울기가

 직선 AB의 기울기는

3-(-3)
-1-1

=-3





;3!;인 직선이므로 방정식은

 y-0=;3!;(x-0)

 4 y=;3!;x

101  직선 AB와 직선 y=-3x+n이 수직이므로

m-0
2-(-4)

*(-3)=-1

 4 m=2

 두 점 A(-4, 0), B(2, 2)를 이은 AB’의 중점의 좌표는

-4+2
2

{

,

0+2
2 }, 즉 (-1, 1)

 직선 y=-3x+n이 이 점을 지나므로

1=-3*(-1)+n

 4 n=-2

 4 m+n=0

 ⑵ 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식은

 (2x+y-1)+k(x+2y-2)=0 (k는 실수)

 이 직선이 점 P(1, 2)를 지나므로

 (2+2-1)+k(1+4-2)=0

 4 k=-1

 따라서 구하는 직선의 방정식은

 (2x+y-1)-(x+2y-2)=0

 2x+y-1-x-2y+2=0



 4 x-y+1=0

 ⑶ 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식은

 (x+y-4)+k(2x-y+1)=0 (k는 실수)

 이 직선이 점 P(2, -1)을 지나므로

 (2-1-4)+k(4+1+1)=0

 4 k=;2!;

 따라서 구하는 직선의 방정식은

 (x+y-4)+;2!;(2x-y+1)=0

 2x+2y-8+2x-y+1=0



 4 4x+y-7=0





























































3. 도형의 방정식    099

104   직선 x-y+1+k(2x+3y+3)=0  yy ㉠은 k의 값에 관계
없이 직선 x-y+1=0과 직선 2x+3y+3=0의 교점을 지난다.

108  ⑴ 두 직선 l¡, l™의 방정식 2x-y=0, x+y-3=0을 연립하여
풀면 x=1, y=2이므로 두 직선의 교점은 (1, 2)이다.

 직선 ㉠이 점 (-4, 4)를 지나므로

 따라서 점 (1, 2)와 직선 m 사이의 거리는







































 -4-4+1+k(-8+12+3)=0

∴  k=1

 따라서 구하는 직선의 방정식은

x-y+1+(2x+3y+3)=0

3x+2y+4=0

∴  y=-;2#;x-2

a=-;2#;, b=-2이므로 a+b=-;2&;

105  ⑴ 1, 1, 3, 1
 ⑵ 두 직선 l¡, l™의 교점을 지나는 직선의 방정식은

 (3x+y+1)+k(x-4y-2)=0 (k는 실수)
 4 (k+3)x+(1-4k)y-2k+1=0  yy ㉠

 이 직선이 x-2y+5=0과 평행하므로



k+3
1

=

1-4k
-2

+

-2k+1
5



 -2k-6=1-4k

∴  k=;2&;

 k=;2&;을 ㉠에 대입하면 13x-26y-12=0

106  ⑴ 두 직선 l¡, l™의 교점을 지나는 직선의 방정식은
 (3x+2y-1)+k(x+y-1)=0 (k는 실수)

 4 (k+3)x+(k+2)y-k-1=0  yy ㉠



 이 직선이 x-2y+4=0과 수직이므로

 (k+3)*1+(k+2)*(-2)=0

 4 k=-1

 k=-1을 ㉠에 대입하면 2x+y=0

 ⑵ 두 직선 l¡, l™의 교점을 지나는 직선의 방정식은

 (x-2y+2)+k(2x+y-6)=0 (k는 실수)
 4 (2k+1)x+(k-2)y-6k+2=0  yy ㉠

 이 직선이 4x-3y=1과 수직이므로

 (2k+1)*4+(k-2)*(-3)=0

 4 k=-2

 k=-2를 ㉠에 대입하면 3x+4y-14=0

=4  

4'2
'2

107  ⑴

 ⑵

=;5%;=1

|-5|
"ƒ3€+4€
|-4'2 |
"ƒ1€+(-1)€
|2*7-1*3+4|
"ƒ2€+(-1)€

=

=

 ⑶

=3'5

15
'5
|4*3+3*(-1)+1|
"ƒ4€+3€
 ⑸ x-y=2에서 x-y-2=0이므로

=;;¡5º;;=2

 ⑷

|1*1-1*2-2|
"ƒ1€+(-1)€

=

=

3
'2

3'2
2

 

 ⑹ y=;3!;x+1에서 x-3y+3=0이므로

|1*2-3*(-5)+3|
"ƒ1€+(-3)€

=

20
'ß10

=2'ß10

100    정답과 풀이















































|4*1+3*2-1|
"ƒ4€+3€

=;5(;

 ⑵ 두 직선 l¡, l™의 방정식 x-2y-1=0, x-3y-3=0을 연립

하여 풀면 x=-3, y=-2이므로 두 직선의 교점은

 (-3, -2)이다.

 따라서 점 (-3, -2)와 직선 m 사이의 거리는

|2*(-3)+3*(-2)-1|
"ƒ2€+3€

=

13
'ß13

='ß13

109  ⑴ 점 P와 직선 l 사이의 거리가 3'2이므로

=3'2, |a+1|=6



|1*1+1*0+a|
"ƒ1€+1€
 a+1=\6

 4 a=5 또는 a=-7

 ⑵ 점 P와 직선 l 사이의 거리가 'ß13이므로



|2*a+3*2-1|
"ƒ2€+3€
 2a+5=\13

='ß13, |2a+5|=13
 4 a=4 또는 a=-9

110   점 (3, -6)과 직선 mx-y+3=0 사이의 거리가 3'2이므로

=3'2

|m*3-1*(-6)+3|
"ƒm€+(-1)€
|3m+9|=3"ƒ2(m€+1)
 양변을 제곱하여 정리하면



 m€-6m-7=0, (m+1)(m-7)=0

 4 m=7 (5 m>0)

111  ⑴ -1, 5'2, 5'2, 5'2 
 ⑵ 직선 3x+4y-2=0, 즉 y=-;4#;x+;2!;에 평행한 직선의 방

 정식을 y=-;4#;x+a로 놓으면 점 P(2, -3)에서 직선

 3x+4y-4a=0 사이의 거리가 2이므로

|3*2+4*(-3)-4a|
"ƒ3€+4€

=2, |-4a-6|=10

 2a+3=\5

 4 a=1 또는 a=-4

 따라서 구하는 직선의 방정식은

 y=-;4#;x+1 또는 y=-;4#;x-4

 ⑶ 직선 x-y+4=0, 즉 y=x+4에 수직인 직선의 방정식을

y=-x+a로 놓으면 원점에서 직선 x+y-a=0 사이의 거

리가 1이므로

|-a|
"ƒ1€+1€

=1

 4 a=\'2

 따라서 구하는 직선의 방정식은
 y=-x+'2 또는 y=-x-'2

  ⑷ 직선 4x+3y-5=0, 즉 y=-;3$;x+;3%;에 수직인 직선의 방

 ⑵ 두 직선이 평행하므로 두 직선 사이의 거리는











































 정식을 y=;4#;x+a로 놓으면 점 P(1, -1)에서 직선

 3x-4y+4a=0 사이의 거리가 1이므로



|3*1-4*(-1)+4a|
"ƒ3€+(-4)€

=1, |4a+7|=5

 4a+7=\5

 4 a=-;2!; 또는 a=-3

 따라서 구하는 직선의 방정식은

 y=;4#;x-;2!; 또는 y=;4#;x-3

112  ⑴ -2, 2, 최소, 0, '2
 ⑵ 점 (0, 0)과 직선 x+y-4+k(x-y)=0, 즉

 (k+1)x+(1-k)y-4=0 사이의 거리는

|-4|
"ƒ(k+1)€+(1-k)€

=

4
"ƒ2k€+2

 이 값이 최대가 되려면 "ƒ2k€+2가 최소이어야 하므로
 k=0일 때 거리의 최댓값은 2'2이다.

 ⑶ 점 (0, 0)과 직선 x+3y-5+k(x-2y)=0, 즉

 (k+1)x+(3-2k)y-5=0 사이의 거리는

|-5|
"ƒ(k+1)€+(3-2k)€
=

=

5
"ƒ5k€-10k+10
5
  
"ƒ5(k-1)€+5

 이 값이 최대가 되려면 "ƒ5(k-1)€+5가 최소이어야 하므로
 k=1일 때 거리의 최댓값은 '5이다.







113  원점과 직선 x+2y+4+k(x+y)=0, 즉
(k+1)x+(k+2)y+4=0 사이의 거리는


|4|
"ƒ(k+1)€+(k+2)€

=

=

4
"ƒ2k€+6k+5
4

Ƙ2{k+;2#;}

 이 값이 최대가 되려면 Ƙ2{k+;2#;}

k=-;2#;일 때 거리의 최댓값은 4'2이다.

 ∴ ab={-;2#;}*4'2=-6'2

€+;2!;
€+;2!;이 최소이어야 하므로

114  ⑴ 두 직선이 평행하므로 두 직선 사이의 거리는
 직선 3x+4y-4=0 위의 한 점 (0, 1)과


 직선 3x+4y+6=0 사이의 거리와 같다.

 따라서 구하는 거리는



|3*0+4*1+6|
"ƒ3€+4€

=;;¡5º;;=2

























































직선 2x-y-1=0 위의 한 점 (0, -1)과

직선 2x-y+4=0 사이의 거리와 같다.

 따라서 구하는 거리는

|2*0-1*(-1)+4|
"ƒ2€+(-1)€

=

5
'5

='5

 ⑶ 두 직선이 평행하므로 두 직선 사이의 거리는

 직선 x-2y+1=0 위의 한 점 (-1, 0)과

 직선 x-2y-3=0 사이의 거리와 같다.

 따라서 구하는 거리는

|1*(-1)-2*0-3|
"ƒ1€+(-2)€

=

=

4
'5

4'5
5



 ⑷ 두 직선이 평행하므로 두 직선 사이의 거리는

 직선 5x+12y-17=0 위의 한 점 (1, 1)과

 직선 5x+12y-4=0 사이의 거리와 같다.







 따라서 구하는 거리는

|5*1+12*1-4|
"ƒ5€+12€

=;1!3#;=1

115  ⑴ -8, -8, 4, 4, 1, 1, ;5@;
 ⑵ 두 직선이 평행하므로



;4@;=

1
k

+

4
-2

 

  ∴ k=2

 k=2를 4x+ky-2=0에 대입하여 정리하면

 2x+y-1=0

 따라서 평행한 두 직선 사이의 거리는

 직선 2x+y-1=0 위의 한 점 (0, 1)과

 직선 2x+y+4=0 사이의 거리와 같으므로

 d=

|2*0+1*1+4|
"ƒ2€+1€

=

5
'5

='5

 ⑶ 두 직선이 평행하므로



;k!;=

-2
-k+2

+

2
-6

 

  ∴ k=-2

 k=-2를 kx-(k-2)y-6=0에 대입하여 정리하면

 x-2y+3=0

 따라서 평행한 두 직선 사이의 거리는

 직선 x-2y+3=0 위의 한 점 (-3, 0)과

 직선 x-2y+2=0 사이의 거리와 같으므로

 d=

|1*(-3)-2*0+2|
"ƒ1€+(-2)€

=

= '5
5

1
'5

116  두 직선이 평행하므로


직선 2x+y-6=0 위의 한 점 (3, 0)과 직선 2x+y+k=0 사
이의 거리가 2'5이다.
|2*3+1*0+k|
"ƒ2€+1€
k+6=\10

=2'5, |k+6|=10

 4 k=4 (∵ k>0)

3. 도형의 방정식    101

117  ⑴ 1 AB’="ƒ(7-4)€+(3-6)€='ß18=3'2


 2 직선 AB의 방정식은





y-6=

(x-4)

 4 x+y-10=0

3-6
7-4

 3 점 O(0, 0)과 직선 AB 사이의 거리는







|-10|
"ƒ1€+1€

=

10
'2

=5'2

 4 1OAB=;2!;*3'2*5'2=15

 ⑵ AB’="ƒ{4-(-1)}€+(5-2)€='ß34


 직선 AB의 방정식은

 y-2=

{x-(-1)}

 4 3x-5y+13=0

5-2
4-(-1)

 점 O(0, 0)과 직선 AB 사이의 거리는





|13|
"ƒ3€+(-5)€

=

 

13
'ß34

 4 1OAB=;2!;*'ß34*

=

13
2

 

13
'ß34

 ⑶ AB’="ƒ(7-3)€+(2-6)€='ß32=4'2


 직선 AB의 방정식은

 y-6=

(x-3)

 4 x+y-9=0

2-6
7-3

 점 O(0, 0)과 직선 AB 사이의 거리는

|-9|
"ƒ1€+1€

=

  

9
'2



 4 1OAB=;2!;*4'2*

=18

9
'2

118  ⑴ 8, 16, 2
 ⑵ 점 P(x, y)로 놓으면 AP’=BP’이므로

 AP’ €=BP’ €에서

 (x+1)€+(y-0)€=(x-1)€+(y-2)€

 x€+2x+1+y€=x€-2x+1+y€-4y+4

 4x+4y-4=0

 4 x+y-1=0

 AP’ €=BP’ €에서

 (x-1)€+(y-2)€=(x+3)€+(y-4)€

 x€-2x+1+y€-4y+4=x€+6x+9+y€-8y+16

 8x-4y+20=0

 4 2x-y+5=0



|x-y+1|
"ƒ1€+(-1)€

|x+y-2|
"ƒ1€+1€
 |x-y+1|=|x+y-2|

=



 x-y+1=\(x+y-2)

 4 x=;2!; 또는 y=;2#;

102    정답과 풀이















































 ⑶ 점 P(x, y)로 놓으면 점 P에서 두 직선 2x+3y-2=0,

3x+2y+2=0에 이르는 거리가 같으므로



|2x+3y-2|
"ƒ2€+3€

|3x+2y+2|
"ƒ3€+2€
 |2x+3y-2|=|3x+2y+2|

=

 2x+3y-2=\(3x+2y+2)

 4 x-y+4=0 또는 x+y=0

120   점 P(x, y)로 놓으면 점 P에서 두 직선 x-2y-1=0,

2x-y-1=0에 이르는 거리가 같으므로

=

|x-2y-1|
"ƒ1€+(-2)€
|x-2y-1|=|2x-y-1|

|2x-y-1|
"ƒ2€+(-1)€



x-2y-1=\(2x-y-1)

 4 x+y=0 또는 3x-3y-2=0

 이 중 기울기가 음수인 직선의 방정식은 x+y=0이다.

121  ⑴ 2x-y, 2x-y, 2x-y, x-y=0
 ⑵ 두 직선 2x+y+1=0, x-2y+2=0이 이루는 각을 이등분

하는 직선 위의 한 점을 P(x, y)라 하면 점 P에서 두 직선에

이르는 거리가 같으므로

|2x+y+1|
"ƒ2€+1€

=

|x-2y+2|
"ƒ1€+(-2)€







 |2x+y+1|=|x-2y+2|, 2x+y+1=\(x-2y+2)

 4 x+3y-1=0 또는 3x-y+3=0

 ⑶ 두 직선 x+3y+1=0, 3x-y+3=0이 이루는 각을 이등분

하는 직선 위의 한 점을 P(x, y)라 하면 점 P에서 두 직선에

이르는 거리가 같으므로

|x+3y+1|
"ƒ1€+3€

=

|3x-y+3|
"ƒ3€+(-1)€



 |x+3y+1|=|3x-y+3|, x+3y+1=\(3x-y+3)

 4 x-2y+1=0 또는 2x+y+2=0

 ⑷ 두 직선 x+3y-2=0, 3x+y+2=0이 이루는 각을 이등분

이르는 거리가 같으므로



|x+3y-2|
"ƒ1€+3€

|3x+y+2|
"ƒ3€+1€
 |x+3y-2|=|3x+y+2|

=



 x+3y-2=\(3x+y+2)

 4 x-y+2=0 또는 x+y=0

에 이르는 거리가 같으므로



|3x+4y+2|
"ƒ3€+4€

|4x-3y+1|
"ƒ4€+(-3)€
 |3x+4y+2|=|4x-3y+1|

=



 3x+4y+2=\(4x-3y+1)

 4 x-7y-1=0 또는 7x+y+3=0











































119  ⑴ 2x-y+1, 2, y
 ⑵ 점 P(x, y)로 놓으면 점 P에서 두 직선 x-y+1=0,

x+y-2=0에 이르는 거리가 같으므로

 ⑸ 두 직선 3x+4y+2=0, 4x-3y+1=0이 이루는 각을 이등

분하는 직선 위의 한 점을 P(x, y)라 하면 점 P에서 두 직선

 ⑶ 점 P(x, y)로 놓으면 AP’=BP’이므로

하는 직선 위의 한 점을 P(x, y)라 하면 점 P에서 두 직선에

  ⑹ 두 직선 4x+3y-5=0, 3x-4y+15=0이 이루는 각을 이

등분하는 직선 위의 한 점을 P(x, y)라 하면 점 P에서 두 직

129  (직선 AB의 기울기)=

-1-(2k-1)
3-k

=

2k
k-3

122   두 직선 2x+3y+2=0, 3x+2y+4=0이 이루는 각을 이등분
하는 직선 위의 한 점을 P(x, y)라 하면 점 P에서 두 직선에 이

BC’의 중점을 지난다.

 

BC’의 중점의 좌표는

선에 이르는 거리가 같으므로



|4x+3y-5|
"ƒ4€+3€

|3x-4y+15|
"ƒ3€+(-4)€
 |4x+3y-5|=|3x-4y+15|

=

 4x+3y-5=\(3x-4y+15)

 4 x+7y-20=0 또는 7x-y+10=0

르는 거리가 같으므로

|2x+3y+2|
"ƒ2€+3€

|3x+2y+4|
"ƒ3€+2€
|2x+3y+2|=|3x+2y+4|

=



2x+3y+2=\(3x+2y+4)

 4 x-y+2=0 또는 5x+5y+6=0

 이 중 기울기가 음수인 직선의 방정식은 5x+5y+6=0

 따라서 a=5, b=5이므로

a+b=10

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123  y-2=2{x-(-1)}
 4 y=2x+4

124  (기울기)=tan 60^='3이므로


y-5='3(x-'3 )

 4 y='3x+2

125  y-4=

0-4
4-2

(x-2)

 4 y=-2x+8

126  두 점 A, B의 x좌표가 같으므로 직선의 방정식은


x=-3

127  x절편이 2, y절편이 3인 직선의 방정식은

;2X;+;3Y;=1

128  (직선 AB의 기울기)=

3k-2
k+1-(-2)

=

3k-2
k+3

(직선 AC의 기울기)=

8-2
4-(-2)

=1

 직선 AB의 기울기와 직선 AC의 기울기가 같으므로

3k-2
k+3

=1, 3k-2=k+3

 4 k=;2%;























따라서 점 A(5, 4)와 BC’의 중점 (2, 1)을 지나는 직선 l의 방정

식은

173쪽~175쪽

y-4=

(x-5)

 4 y=x-1

1-4
2-5

























(직선 BC의 기울기)=

-5-(-1)
4-3

=-4

 직선 AB의 기울기와 직선 BC의 기울기가 같으므로

2k
k-3

=-4, k=-2k+6

 4 k=2


130   점 A를 지나면서 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하는 직선 l은

4+2
2

{

,

-1+5
2

}=(3, 2)

따라서 점 A(1, 1)과 BC’의 중점 (3, 2)를 지나는 직선 l의 방정

식은

y-1=

(x-1)

2-1
3-1

 4 y=;2!;x+;2!;


131   점 A를 지나면서 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하는 직선 l은

BC’의 중점을 지난다.

 

BC’의 중점의 좌표는

-2+6
2

{

,

0+2
2

}=(2, 1)


132  2x+y+1=0에서 y=-2x-1
 이 직선에 평행한 직선의 기울기는 -2이므로

 구하는 직선의 방정식은

y-0=-2(x-1)

 4 y=-2x+2

133  2x-3y+2=0에서 y=;3@;x+;3@;

 이 직선에 수직인 직선의 기울기는 -;2#;이므로

 구하는 직선의 방정식은

y-2=-;2#;(x-4)

 4 y=-;2#;x+8


134  직선 ax+y+3=0이 직선 2x+by-1=0과 수직이므로
 4 2a+b=0


a*2+1*b=0

yy ㉠

 직선 ax+y+3=0이 직선 (b+3)x-y+2=0과 평행하므로

a
b+3

=

1
-1

+;2#;

 4 a+b=-3  yy ㉡

 ㉠과 ㉡을 연립하여 풀면

 4 a=3, b=-6

3. 도형의 방정식    103

135  직선 x-ay+3=0이 직선 4x+by+7=0과 수직이므로
 4 ab=4


1*4+(-a)*b=0

141  두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식은


(2x-y-1)+k(x-2y+1)=0 (k는 실수)

 직선 x-ay+3=0이 직선 2x-2(b-3)y+1=0과 평행하므로

 4 (k+2)x-(2k+1)y+k-1=0  yy ㉠



;2!;=

-a
-2(b-3)

 -2b+6=-2a



+;1#;
 4 a-b=-3

 4 a€+b€ =(a-b)€+2ab  

=(-3)€+2*4=17

136  직선 x+ay+2=0이 직선 2x-by+2=0과 수직이므로
 4 ab=2


1*2+a*(-b)=0

 직선 x+ay+2=0이 직선 x-(b-4)y-2=0과 평행하므로



;1!;=

a
-(b-4)

+

2
-2

 

 

 -b+4=a

 4 a+b=4

 4 a€+b€ =(a+b)€-2ab  

=4€-2*2=12

 이 직선이 x-2y+1=0과 수직이므로

(k+2)*1-(2k+1)*(-2)=0

k+2+4k+2=0    4 k=-;5$;

k=-;5$;를 ㉠에 대입하여 정리하면

2x+y-3=0

142

|3*2+1*1+3|
"ƒ3€+1€

=

10
'ß10

='ß10

143  점 (2, -3)과 직선 ax-4y+2=0 사이의 거리가 4이므로



|a*2-4*(-3)+2|
"ƒa€+(-4)€
|2a+14|=4"ƒa€+16
 양변을 제곱하여 정리하면



=4

137  AB’의 중점의 좌표는 {

-4+0
2

,

0+2
2

}, 즉 (-2, 1)



3a€-14a+15=0, (3a-5)(a-3)=0

 직선 AB의 기울기는

2-0
0-(-4)

=;2!;

 4 a=;3%; 또는 a=3













따라서 AB’의 수직이등분선은 점 (-2, 1)을 지나고 기울기가

-2이므로

y-1=-2{x-(-2)}

 4 y=-2x-3

138  AB’의 중점의 좌표는 {

-1+3
2

,

1+5
2

}, 즉 (1, 3)

 직선 AB의 기울기는

5-1
3-(-1)

=1

따라서 AB’의 수직이등분선은 점 (1, 3)을 지나고 기울기가 -1

이므로

y-3=-(x-1)

 4 y=-x+4

139  주어진 식을 k에 대하여 정리하면

(x+y+8)+k(3x-y)=0

 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면



x+y+8=0, 3x-y=0

 두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=-6

 따라서 구하는 점의 좌표는 (-2, -6)이다.

140  두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식은
(x+y+4)+k(2x-y-2)=0 (k는 실수)


 이 직선이 원점을 지나므로

4-2k=0

 4 k=2

 따라서 구하는 직선의 방정식은

(x+y+4)+2(2x-y-2)=0

 4 5x-y=0

104    정답과 풀이

144   직선 2x+y-6=0, 즉 y=-2x+6에 평행한 직선의 방정식을
y=-2x+a로 놓으면 점 (1, 0)과 직선 2x+y-a=0 사이의
거리가 '5이므로
|2*1+1*0-a|
"ƒ2€+1€
2-a=\5

='5, |2-a|=5

 4 a=-3 또는 a=7





 따라서 구하는 직선의 방정식은



y=-2x-3 또는 y=-2x+7

145  직선 x+3y-2=0, 즉 y=-;3!;x+;3@;에 수직인 직선의 방정식
을 y=3x+a로 놓으면 점 (1, -1)과 직선 3x-y+a=0 사이

의 거리가 'ß10이므로
|3*1-1*(-1)+a|
"ƒ3€+(-1)€

='ß10, |a+4|=10



a+4=+10

 4 a=6 또는 a=-14

 따라서 구하는 직선의 방정식은

y=3x+6 또는 y=3x-14

146  두 직선이 평행하므로 두 직선 사이의 거리는


직선 x+4y+2=0 위의 한 점 (-2, 0)과 직선 x+4y-15=0

사이의 거리와 같다.

 따라서 구하는 거리는

|1*(-2)+4*0-15|
"ƒ1€+4€

=

17
'ß17

='ß17















147  두 직선이 평행하므로
 직선 2x-3y+4=0 위의 한 점 (-2, 0)과
 직선 2x-3y+a=0 사이의 거리가 'ß13이다.

|2*(-2)-3*0+a|
"ƒ2€+(-3)€

='ß13, |a-4|=13

a-4=\13

 4 a=17 또는 a=-9

148  AB’="ƒ(6-3)€+(5-2)€='ß18=3'2
 직선 AB의 방정식은

y-2=

(x-3)

 4 x-y-1=0

5-2
6-3

 점 O(0, 0)과 직선 AB 사이의 거리는

|-1|
"ƒ1€+(-1)€

=

= '2
2

1
'2

 4 1OAB=;2!;*3'2* '2

2

=;2#;

149  BC’="ƒ{3-(-2)}€+(3ƒ-6)€='ß34
 직선 BC의 방정식은

03 원의 방정식 

176쪽~191쪽

153  ⑴ x€+y€=4€에서 C(0, 0), r=4


 ⑵ (x+1)€+y€=1€에서 C(-1, 0), r=1

 ⑶ x€+(y+2)€=2€에서 C(0, -2), r=2

 ⑷ (x+1)€+(y-2)€=3€에서 C(-1, 2), r=3

 ⑸ (x-3)€+(y-4)€=5€에서 C(3, 4), r=5
 ⑹ (x-1)€+(y+1)€=('5 )€에서 C(1,-1), r='5
 ⑺ (x+2)€+(y+3)€=(2'3 )€에서 C(-2,-3), r=2'3

154  ⑴ x€+y€=25


 ⑵ (x-1)€+y€=4

 ⑶ (x+2)€+y€=3

 ⑷ x€+(y+1)€=2

 ⑸ (x-1)€+(y-2)€=9

 ⑹ (x+2)€+(y-3)€=16

 ⑺ (x+1)€+(y+2)€=25

y-6=

3-6
3-(-2)

{x-(-2)}

 4 3x+5y-24=0

(x-3)€+(y-a)€=1

155   중심의 좌표가 (3, a)이고 반지름의 길이가 1인 원의 방정식은

 점 A(6, -2)와 직선 BC 사이의 거리는

|3*6+5*(-2)-24|
"ƒ3€+5€

=

 

16
'ß34

 4 1ABC=;2!;*'ß34*

=8

16
'ß34

150  점 P(x, y)로 놓으면 AP’=BP’이므로
  AP’€=BP’€에서

(x-2)€+(y-3)€=(x+1)€+(y-4)€

x€-4x+4+y€-6y+9=x€+2x+1+y€-8y+16

6x-2y+4=0

 4 3x-y+2=0

151  점 P(x, y)로 놓으면 점 P에서 두 직선 2x+y+2=0,


x+2y-5=0에 이르는 거리가 같으므로

=

|2x+y+2|
"ƒ2€+1€

|x+2y-5|
"ƒ1€+2€
|2x+y+2|=|x+2y-5|



2x+y+2=\(x+2y-5)

 4 x-y+7=0 또는 x+y-1=0

152   두 직선 x-3y+2=0, 3x-y+4=0이 이루는 각을 이등분하
는 직선 위의 한 점을 P(x, y)라 하면 점 P에서 두 직선에 이르

는 거리가 같으므로

=

|x-3y+2|
"ƒ1€+(-3)€
|x-3y+2|=|3x-y+4|

|3x-y+4|
"ƒ3€+(-1)€

x-3y+2=\(3x-y+4)

 4 x+y+1=0 또는 2x-2y+3=0

 이 방정식이 (x+b)€+(y+2)€=c와 같으므로

 a=-2, b=-3, c=1

∴  a+b+c=-4

156  ⑴ 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은


   (x-1)€+y€=r€

   원이 점 A(2, -1)을 지나므로

   1€+(-1)€=r€

∴  r€=2

   따라서 구하는 원의 방정식은 (x-1)€+y€=2

 ⑵ 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은

   x€+(y+3)€=r€

   원이 점 A(2, -4)를 지나므로

   2€+(-1)€=r€

∴  r€=5

   따라서 구하는 원의 방정식은 x€+(y+3)€=5

 ⑶ 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은

 

(x-1)€+(y-3)€=r€

   원이 점 A(3, 2)를 지나므로

   2€+(-1)€=r€

∴  r€=5

   따라서 구하는 원의 방정식은 (x-1)€+(y-3)€=5

 ⑷ 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은

 

(x+1)€+(y-3)€=r€

   원이 점 A(-2, 6)을 지나므로

   (-1)€+3€=r€

∴  r€=10

   따라서 구하는 원의 방정식은 (x+1)€+(y-3)€=10

 ⑸ 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은

 

(x-2)€+(y+4)€=r€

   원이 점 A(1, -1)을 지나므로

   (-1)€+3€=r€

∴  r€=10

   따라서 구하는 원의 방정식은 (x-2)€+(y+4)€=10

3. 도형의 방정식    105





































































































157  ⑴ 원의 중심의 좌표는 {

1+3
2

,

0+2
2 }, 즉 (2, 1)

   반지름의 길이는 ;2!;"ƒ(3-1)€+(2-0)€='2

161  ⑴ >, <


 ⑵ x€+y€-4x+2y-a+2=0에서

   (x-2)€+(y+1)€=a+3

   따라서 구하는 원의 방정식은 (x-2)€+(y-1)€=2

   이 방정식이 원을 나타내려면 a+3>0

∴  a>-3

 ⑵ 원의 중심의 좌표는 {

1+3
2

,

2+(-4)
2

}, 즉 (2, -1)

   반지름의 길이는 ;2!;"ƒ(3-1)€+(-4-2)€='ß10

   따라서 구하는 원의 방정식은 (x-2)€+(y+1)€=10

 ⑶ 원의 중심의 좌표는 {

-1+5
2

,

4+4
2 }, 즉 (2, 4)

 ⑶ x€+y€+8y+3a+1=0에서

   x€+(y+4)€=15-3a

   이 방정식이 원을 나타내려면 15-3a>0

∴  a<5

 ⑷ x€+y€-2x-4y+a-1=0에서

   (x-1)€+(y-2)€=6-a

   이 방정식이 원을 나타내려면 6-a>0

∴  a<6

   반지름의 길이는 ;2!;"ƒ(5+1)€+(4-4)€=3

   따라서 구하는 원의 방정식은 (x-2)€+(y-4)€=9

162  x€+y€-2x-4y+k=0에서
 (x-1)€+(y-2)€=5-k


 ⑷ 원의 중심의 좌표는 {

3+(-5)
2

,

-2+2
2

}, 즉 (-1, 0)

 이 방정식이 원을 나타내려면 5-k>0

∴  k<5

 따라서 구하는 자연수 k는 1, 2, 3, 4의 4개이다.



























































   반지름의 길이는 ;2!;"ƒ(-5-3)€+(2+2)€=2'5

   따라서 구하는 원의 방정식은 (x+1)€+y€=20

158  원의 중심의 좌표는 {

-2+4
2

,

1+5
2 }, 즉 (1, 3)

 반지름의 길이는 ;2!;"ƒ(4+2)€+(5-1)€='ß13

 따라서 a=1, b=3, r€=13이므로

 a+b+r€=17

159  ⑴ x€+y€+6x-7=0에서
   (x+3)€+y€=16


   ∴ C(-3, 0), r=4

 ⑵ x€+y€+4y=0에서

   x€+(y+2)€=4

   ∴ C(0, -2), r=2

 ⑶ x€+y€+4x-2y+4=0에서

   (x+2)€+(y-1)€=1

   ∴ C(-2, 1), r=1

 ⑷ x€+y€+4x-6y-3=0에서

   (x+2)€+(y-3)€=16

   ∴ C(-2, 3), r=4

160  x€+y€+6x-4y+12=0에서


 (x+3)€+(y-2)€=1

면 원의 방정식은

 (x+3)€+(y-2)€=r€

 이 원이 점 (-2, 0)을 지나므로

 1€+(-2)€=r€, r€=5
 따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 '5이다.

∴  r='5 (∵ r>0)

106    정답과 풀이





















































































163   원의 방정식을 x€+y€+Ax+By+C=0으로 놓고
 주어진 세 점의 좌표를 각각 대입하여 정리하면


 ⑴ (0, 0) ⇨ C=0

   (5, 0) ⇨ 5A+C=-25  

   (0, -4) ⇨ -4B+C=-16

   ㉠을 ㉡과 ㉢에 대입하여 정리하면 A=-5, B=4

   따라서 구하는 원의 방정식은 x€+y€-5x+4y=0

…… ㉠

…… ㉡

…… ㉢

…… ㉠

…… ㉡

…… ㉢

 ⑵ (0, 0) ⇨ C=0

   (1, -1) ⇨ A-B+C=-2

   (3, 1) ⇨ 3A+B+C=-10

   ㉠을 ㉡과 ㉢에 대입하면

   A-B=-2, 3A+B=-10

   위의 두 식을 연립하여 풀면 A=-3, B=-1

   따라서 구하는 원의 방정식은 x€+y€-3x-y=0

 ⑶ (-1, 0) ⇨ -A+C=-1

   (0, 2) ⇨ 2B+C=-4



   (2, 1) ⇨ 2A+B+C=-5

…… ㉠

…… ㉡

…… ㉢

   ㉠에서 C=A-1이고, 이를 ㉡과 ㉢에 대입하여 정리하면

   A+2B=-3, 3A+B=-4

   위의 두 식을 연립하여 풀면 A=-1, B=-1

   이때, C=A-1이므로 C=-2

   따라서 구하는 원의 방정식은 x€+y€-x-y-2=0

 ⑷ (0, 1) ⇨ B+C=-1

…… ㉠

   (-1, 4) ⇨ -A+4B+C=-17  …… ㉡

   ㉠에서 C=-B-1이고, 이를 ㉡과 ㉢에 대입하여 정리하면

   A-3B=16, A-B=0

   위의 두 식을 연립하여 풀면 A=-8, B=-8

   이때, C=-B-1이므로 C=7

   따라서 구하는 원의 방정식은 x€+y€-8x-8y+7=0

  즉, 원의 중심의 좌표는 (-3, 2)이므로 반지름의 길이를 r라 하

   (1, 0) ⇨ A+C=-1

…… ㉢

164  원의 방정식을 x€+y€+Ax+By+C=0으로 놓고
 주어진 세 점의 좌표를 각각 대입하여 정리하면


168  ⑴ x€+y€+2x+6y+14-k€=0에서


   (x+1)€+(y+3)€=k€-4

 (0, 0) ⇨ C=0



…… ㉠

 (2, 4) ⇨ 2A+4B+C=-20  …… ㉡

 (1, 1) ⇨ A+B+C=-2  

…… ㉢

 ㉠을 ㉡과 ㉢에 대입하면

 A+2B=-10, A+B=-2

 

이 원이 y축에 접하므로 반지름의 길이는 |-1|=1이다.

   즉, k€-4=1€이므로 k€=5
   ∴ k='5 (∵ k>0)
 ⑵ x€+y€-4x-2y+k€=0에서



   (x-2)€+(y-1)€=5-k€

 위의 두 식을 연립하여 풀면 A=6, B=-8

 

이 원이 y축에 접하므로 반지름의 길이는 2이다.

 따라서 구하는 원의 방정식은

   즉, 5-k€=2€이므로 k€=1



 x€+y€+6x-8y=0, 즉 (x+3)€+(y-4)€=25

   ∴ k=1 (∵ k>0)

165  ⑴ 중심이 점 (2, 3)인 원이 x축에 접하므로 반지름의 길이는 3

 

이 원이 y축에 접하므로 반지름의 길이는 2이다.

   ∴ (x-2)€+(y-3)€=9

 ⑵ 중심이 점 (-3, 2)인 원이 x축에 접하므로 반지름의 길이는

 ⑶ 중심이 점 (-4, -2)인 원이 x축에 접하므로 반지름의 길이

 즉, x€+y€-4x-8y+16=0이므로 a=-8, b=16

 ∴ a+b+r=-3+4+5=6

이다.

2이다.

   ∴ (x+3)€+(y-2)€=4

는 2이다.

   ∴ (x+4)€+(y+2)€=4



































































 ⑶ x€+y€-4x+4ky+8=0에서

   (x-2)€+(y+2k)€=4k€-4

   즉, 4k€-4=2€이므로 k€=2
   ∴ k='2 (∵ k>0)



169  중심이 점 (2, 4)인 원이 y축에 접하므로 반지름의 길이는 2이다.


 ∴ (x-2)€+(y-4)€=4

170  ⑴ 원의 중심이 제2사분면 위에 있고 반지름의 길이가 3이므로

 ⑵ 원의 중심이 제3사분면 위에 있고 반지름의 길이가 1이므로

 ∴ a+b=8

중심의 좌표는 (-3, 3)이다.

   ∴ (x+3)€+(y-3)€=9

중심의 좌표는 (-1, -1)이다.

   ∴ (x+1)€+(y+1)€=1

171  ⑴ 4a€+b-8, 1, 8


 ⑵ x€+y€-6x+2ay+10-b=0에서

   (x-3)€+(y+a)€=a€+b-1

 

이 원이 x축과 y축에 동시에 접하므로

   a€+b-1=|3|€=|-a|€

   ∴ a=3, b=1 (∵ a>0)

 ⑶ x€+y€+8x+4ay+23-b=0에서

   (x+4)€+(y+2a)€=4a€+b-7

 

이 원이 x축과 y축에 동시에 접하므로

   4a€+b-7=|-4|€=|-2a|€

   ∴ a=2, b=7 (∵ a>0)

길이를 r라 하면 원의 방정식은

 



(x-r)€+(y-r)€=r€

(1-r)€+(2-r)€=r€, r€-6r+5=0

(r-1)(r-5)=0

∴  r=1 또는 r=5

 

 

 







   3 두 원의 중심 사이의 거리는

"ƒ(5-1)€+(5-1)€=4'2

3. 도형의 방정식    107

166  ⑴ x€+y€-2x-4y+4-k€=0에서
   (x-1)€+(y-2)€=k€+1


 

이 원이 x축에 접하므로 반지름의 길이는 2이다.

   즉, k€+1=2€이므로 k€=3
   ∴ k='3 (∵ k>0)
 ⑵ x€+y€-6x+4y+11-k€=0에서



   (x-3)€+(y+2)€=k€+2

 

이 원이 x축에 접하므로 반지름의 길이는 |-2|=2이다.

   이 원이 x축에 접하므로 반지름의 길이는 |-2|=2이다.

   즉, k€+2=2€이므로 k€=2
   ∴ k='2 (∵ k>0)
 ⑶ x€+y€+kx+4y+9=0에서





 {x+

k
2 }

€+(y+2)€=

k€
4

-5

   즉,

-5=2€이므로 k€=36



k€
4

   ∴ k=6 (∵ k>0)

   ∴ (x-1)€+(y+1)€=1

1이다.

3이다.

   ∴ (x-3)€+(y+2)€=9

|-2|=2이다.

   ∴ (x+2)€+(y-1)€=4

167  ⑴ 중심이 점 (1, -1)인 원이 y축에 접하므로 반지름의 길이는

172  ⑴ 1 원의 중심이 제1사분면 위에 있어야 하므로 원의 반지름의

 ⑵ 중심이 점 (3, -2)인 원이 y축에 접하므로 반지름의 길이는

   2 이 원이 점 (1, 2)를 지나므로

 ⑶ 중심이 점 (-2, 1)인 원이 y축에 접하므로 반지름의 길이는

따라서 두 원의 중심의 좌표는 각각 (1, 1), (5, 5)이다.



































































































































 ⑵ 원의 중심이 제2사분면 위에 있어야 하므로 원의 반지름의 길

 ⑷ 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은

이를 r라 하면 원의 방정식은

   (x+r)€+(y-r)€=r€

   이 원이 점 (-4, 2)를 지나므로

   x€+y€-4x+6y-12+k(x€+y€+4x-8y-28)=0 y ㉠

   이 원이 점 A(0, 5)를 지나므로

   25+30-12+k(25-40-28)=0

∴  k=1

   (-4+r)€+(2-r)€=r€, r€-12r+20=0

   k=1을 ㉠에 대입하여 정리하면

   (r-2)(r-10)=0

∴  r=2 또는 r=10

   2x€+2y€-2y-40=0

   따라서 두 원의 중심의 좌표는 각각 (-2, 2), (-10, 10)이므로

   ∴ x€+y€-y-20=0

 ⑶ 원의 중심이 제4사분면 위에 있어야 하므로 원의 반지름의 길

   두 원의 중심 사이의 거리는

 

"ƒ(-10+2)€+(10-2)€=8'2

이를 r라 하면 원의 방정식은

   (x-r)€+(y+r)€=r€

   이 원이 점 (6, -3)을 지나므로

   (6-r)€+(-3+r)€=r€, r€-18r+45=0

   (r-3)(r-15)=0

∴  r=3 또는 r=15

 

따라서 두 원의 중심의 좌표는 각각 (3, -3), (15, -15)이

므로 두 원의 중심 사이의 거리는
   "ƒ(15-3)€+(-15+3)€=12'2

175  ⑴ x€+y€-1-(x€+y€-2x-2y)=0


   ∴ 2x+2y-1=0

 ⑵ x€+y€+2x-1-(x€+y€-2x+4y)=0

   ∴ 4x-4y-1=0

 ⑶ x€+y€+6x+2y-(x€+y€-2x+3y)=0

   ∴ 8x-y=0

176  ⑴ 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은
   x€+y€+2x-8y-(x€+y€-4)=0


   2x-8y+4=0

∴  y=;4!;x+;2!;

173   원의 중심이 제3사분면 위에 있으
므로 원의 반지름의 길이를 r라 하

면 원의 중심의 좌표는 (-r, -r)

이다.

  이때, 중심 (-r, -r)가 직선

4x-3y=-5 위의 점이므로

y



   이 직선에 수직인 직선의 기울기는 -4이므로

 

기울기가 -4이고 점 (1, -2)를 지나는 직선의 방정식은

O

x

   y-(-2)=-4(x-1)

∴  y=-4x+2

(-r, -r) 

 ⑵ 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은

   x€+y€+x-(x€+y€-2x+y)=0

   3x-y=0

∴  y=3x

 -4r+3r=-5

∴  r=5

4x-3y=-5

 따라서 원의 둘레의 길이는

 2p*5=10p

174  ⑴ -;3!;, -;3!;, 3, 4

 ⑵ 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은

   x€+y€-4+k(x€+y€-6x-8y-8)=0

yy ㉠

   이 원이 점 A(-1, 0)을 지나므로

   1-4+k(1+6-8)=0

∴  k=-3

   k=-3을 ㉠에 대입하여 정리하면

   -2x€-2y€+18x+24y+20=0

   ∴ x€+y€-9x-12y-10=0

 ⑶ 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은

   x€+y€-25+k{(x-1)€+(y-2)€-11}=0  yy ㉠

   이 원이 점 A(1, 3)을 지나므로





 k=-;2#;을 ㉠에 대입하여 정리하면

   -x€-y€+6x+12y-32=0

   ∴ x€+y€-6x-12y+32=0

108    정답과 풀이

   이 직선에 수직인 직선의 기울기는 -;3!;이므로

   기울기가 -;3!;이고 점 (2, 3)을 지나는 직선의 방정식은

   y-3=-;3!;(x-2)

∴  y=-;3!;x+:¡3¡:

177  ⑴ 1 두 원의 공통현 AB의 방정식은 '


x€+y€-10-(x€+y€-8x-6y+10)=0

 



 



8x+6y-20=0

∴  4x+3y-10=0

   2 원 O의 중심 (0, 0)과 공통현 AB 사이의 거리는

 



|-10|
"ƒ4€+3€

=2

   3 원 O의 반지름의 길이가 'ß10이므로
AB’=2"ƒ('ß10 )€-2€=2'6
 



 ⑵ 두 원의 공통현 AB의 방정식은

   x€+y€-4-(x€+y€-4x+3y+1)=0

   ∴ 4x-3y-5=0

 

|-5|
"ƒ4€+(-3)€

=1

   이때, 원 O의 반지름의 길이가 2이므로
   AB’=2"ƒ2€-1€=2'3

 1+9-25+k(1-11)=0

∴  k=-;2#;

   원 O의 중심 (0, 0)과 공통현 AB 사이의 거리는



































































  ⑶ 두 원의 공통현 AB의 방정식은



 

원 x€+y€-2x+4y+1=0의 중심 (1, -2)와 공통현 사이

   x€+y€-2-{(x-1)€+(y+2)€-5}=0

의 거리는













































































   2x-4y-2=0

∴  x-2y-1=0

   원 O의 중심 (0, 0)과 공통현 AB 사이의 거리는





|-1|
"ƒ1€+(-2)€

1
'5
   이때, 원 O의 반지름의 길이가 '2이므로

=



 AB’=2Ƙ('2 )€-{

€=

6'5
5

1
'5 }

178  ⑴ x€+y€+2x+2y-2=0에서


   (x+1)€+(y+1)€=4이므로 반지름의 길이는 2이다.

   한편, 두 원의 공통현 AB의 방정식은

   x€+y€+2x+2y-2-(x€+y€-2x-2y+k)=0

   원 x€+y€+2x+2y-2=0의 중심 (-1, -1)과 공통현

   ∴ 4x+4y-k-2=0

   사이의 거리는





|-k-10|
"ƒ4€+4€

=

|k+10|
4'2

   AB’의 길이가 'ß14이므로
|k+10|
4'2

 AB’=2Ƙ2€-{



   양변을 제곱하면

   4{4-

(k+10)€
32

}=14

€='ß14

}

(-1, -1)

2

A

14

B

   (k+10)€=16, k€+20k+84=0

   (k+6)(k+14)=0

   ∴ k=-6 또는 k=-14

 ⑵ x€+y€-2y-2=0에서
   x€+(y-1)€=3이므로 반지름의 길이는 '3이다.
   한편, 두 원의 공통현 AB의 방정식은

   x€+y€-2y-2-(x€+y€-2x-4y+k)=0

   ∴ 2x+2y-k-2=0





|2-k-2|
"ƒ2€+2€

=



|k|
2'2

   AB’의 길이가 2이므로



 AB’=2Ƙ('3 )€-{

€=2

|k|
2'2 }

   양변을 제곱하면

   4{3-

k€
8 }=4

   k€-16=0, (k+4)(k-4)=0

   ∴ k=-4 또는 k=4

 ⑶ x€+y€-2x+4y+1=0에서

(0, 1)

'3

A

B

2

   (x-1)€+(y+2)€=4이므로 반지름의 길이는 2이다.

   한편, 두 원의 공통현 AB의 방정식은

   x€+y€-2x+4y+1-(x€+y€-6x+k)=0

   ∴ 4x+4y-k+1=0





























































=

 

|k+3|
|4-8-k+1|
4'2
"ƒ4€+4€
   AB’의 길이가 2'2이므로
|k+3|
4'2 }

      AB’=2Ƙ2€-{

€=2'2

   양변을 제곱하면

   4{4-

(k+3)€ 
32

}=8, (k+3)€=64

   k€+6k-55=0, (k+11)(k-5)=0

   ∴ k=-11 또는 k=5

(1, -2)

2

A

B

2'2

179  x€+y€-2x-4y+4=0에서


 (x-1)€+(y-2)€=1이므로 반지름의 길이는 1이다.

 한편, 두 원의 공통현의 방정식은

 x€+y€-2x-4y+4-(x€+y€-6x-y+k)=0

 ∴ 4x-3y-k+4=0

  원 x€+y€-2x-4y+4=0의 중심 (1, 2)와 공통현

 4x-3y-k+4=0 사이의 거리는



|4-6-k+4|
"ƒ4€+(-3)€

=

|-k+2|
5

 공통현의 길이가 ;5*;이므로

 2Ƙ1€-{

|-k+2|
5

€=;5*;

}

 양변을 제곱하면

 4{1-

(k-2)€
25

}=;2^5$;

 (k-2)€=9, k€-4k-5=0

(1, 2)

1

A

B

8
5

  따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 k의 값의 합은 4이다.

 ⑵ y=2x+3을 x€+y€=1에 대입하여 정리하면

   5x€+12x+8=0

   이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

 

=6€-5*8=-4<0

D
4

   따라서 원과 직선은 만나지 않는다.

 ⑶ x+y-4=0, 즉 y=-x+4를

   x€+y€-3x+y-2=0에 대입하여 정리하면

   x€-6x+9=0

   이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

 

=3€-1*9=0

D
4

   따라서 원과 직선은 한 점에서 만난다.(접한다.)

3. 도형의 방정식    109

 

원 x€+y€-2y-2=0의 중심 (0, 1)과 공통현 사이의 거리는

180  ⑴ >, 서로 다른 두 점에서

























































   이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

 

=(2k)€-5(k€-8)=0, -k€+40=0

 ⑷ x-2y+2=0, 즉 y=;2!;x+1을

   x€+y€+2x-4y-4=0에 대입하여 정리하면

   5x€+4x-28=0





=2€-5*(-28)=144>0

D
4

   따라서 원과 직선은 서로 다른 두 점에서 만난다.

181  ⑴ 1 y=2x+k를 x€+y€=5에 대입하여 정리하면


5x€+4kx+k€-5=0

 



이 서로 다른 두 점에서 만나므로



   

=(2k)€-5(k€-5)>0, -k€+25>0

D
4

 



(k+5)(k-5)<0

∴  -5<k<5

 ⑵ y=-x+k를 x€+y€=9에 대입하여 정리하면

 ⑵ y=-2x+k를 x€+y€=8에 대입하여 정리하면

   5x€-4kx+k€-8=0

 

이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선이 접하므로

   k€=40

∴  k=-2'ß10

 ⑶ y=x+k를 (x+1)€+(y-2)€=2에 대입하여 정리하면

   2x€+2(k-1)x+k€-4k+3=0

 

이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선이 접하므로

   k€-6k+5=0, (k-1)(k-5)=0



   ∴ k=1 또는 k=5

184  ⑴ y=x+k를 x€+y€=2에 대입하여 정리하면


   2x€+2kx+k€-2=0

   2 1에서 구한 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선

 

=(k-1)€-2(k€-4k+3)=0, -k€+6k-5=0

   2x€-2kx+k€-9=0

 

이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선이 만나지 않

 

이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선이 서로 다른

으므로

두 점에서 만나므로





=k€-2(k€-9)>0, -k€+18>0

   k€-18<0

∴  -3'2<k<3'2

 

=k€-2(k€-2)<0, -k€+4<0

   k€-4>0, (k+2)(k-2)>0



   ∴ k<-2 또는 k>2

 ⑶ y=-2x-k를 x€+y€+6x-2y+5=0에 대입하여 정리하면

 ⑵ y=-2x+k를 x€+y€=4에 대입하여 정리하면

   5x€+2(2k+5)x+k€+2k+5=0

   5x€-4kx+k€-4=0

 

이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선이 서로 다른

 

이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선이 만나지 않

두 점에서 만나므로





=(2k+5)€-5(k€+2k+5)>0, -k€+10k>0

 

=(2k)€-5(k€-4)<0, -k€+20<0

   k(k-10)<0

∴  0<k<10

   k€-20>0

∴  k<-2'5 또는 k>2'5

D
4

D
4

182   중심의 좌표가 (4, 0)이고 반지름의 길이가 4인 원의 방정식은

(x-4)€+y€=16

 y=mx+2를 (x-4)€+y€=16에 대입하여 정리하면

 (m€+1)x€+2(2m-4)x+4=0

 ⑶ y=-x+k를 x€+y€-2x-2y=0에 대입하여 정리하면

   2x€-2kx+k€-2k=0

 

이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선이 만나지 않

  이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선이 서로 다른 두

 

=k€-2(k€-2k)<0, -k€+4k<0



=(2m-4)€-4(m€+1)>0, -16m+12>0

   ∴ k<0 또는 k>4

   k€-4k>0, k(k-4)>0



점에서 만나므로

D
4

 ∴ m<;4#;

D
4

D
4

D
4

으므로

D
4

으므로

D
4

   이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선이 접하므로

점에서 만나려면

183  ⑴ y=x+k를 x€+y€=1에 대입하여 정리하면


   2x€+2kx+k€-1=0





=k€-2(k€-1)=0, -k€+2=0

D
4

   k€=2

∴  k=-'2

110    정답과 풀이

185  ⑴ 1 원의 중심 (0, 0)과 직선 3x+4y+k=0 사이의 거리는

 



|k|
"ƒ3€+4€

=

|k|
5

   2 원의 반지름의 길이가 2이므로 원과 직선이 서로 다른 두

<2, |k|<10





|k|
5

 

 





∴ -10<k<10





























































  ⑶ x€+y€-6x-4y+8=0에서 (x-3)€+(y-2)€=5

   반지름의 길이가 3이므로 원과 직선이 만나지 않으려면

 ⑵ 원의 중심 (2, 0)과 직선 y=-x+k, 즉 x+y-k=0 사이

188  ⑴ 원의 중심 (0, 0)과 직선 x-y+k=0 사이의 거리는





 











 













































































의 거리는

=

|2-k|
'2

|2-k|
"ƒ1€+1€
원의 반지름의 길이가 '2이므로 원과 직선이 서로 다른 두 점
에서 만나려면

|2-k|
'2

<'2, |2-k|<2

 -2<2-k<2

∴  0<k<4

 

원의 중심 (3, 2)와 직선 y=2x+k, 즉 2x-y+k=0 사이

의 거리는

=

|4+k|
'5

|6-2+k|
"ƒ2€+(-1)€
원의 반지름의 길이가 '5이므로 원과 직선이 서로 다른 두 점
에서 만나려면

|4+k|
'5

<'5, |4+k|<5



 -5<4+k<5

∴  -9<k<1

186   원의 중심 (0, 0)과 직선 '3x-y+k=0 사이의 거리는


=



|k|
"ƒ('3 )€+(-1)€

|k|
2

  원의 반지름의 길이가 3이므로 원과 직선이 서로 다른 두 점에서

만나려면



|k|
2

<3, |k|<6

∴  -6<k<6

 따라서 정수 k의 최댓값은 5이다.

187  ⑴ 원의 중심 (0, 0)과 직선 x-y+k=0 사이의 거리는

|k|
"ƒ1€+(-1)€

=

|k|
'2

   원의 반지름의 길이가 2이므로 원과 직선이 접하려면

=2, |k|=2'2

∴  k=-2'2

|k|
'2

|k|
'ß10

 ⑵ 원의 중심 (0, 0)과 직선 3x-y+k=0 사이의 거리는

|k|
"ƒ3€+(-1)€

=

|k|
'ß10

   원의 반지름의 길이가 'ß10이므로 원과 직선이 접하려면

='ß10, |k|=10

∴  k=-10

 ⑶ x€+y€-4x+2y=0에서 (x-2)€+(y+1)€=5

 

원의 중심 (2, -1)과 직선 2x+y+k=0 사이의 거리는





|4-1+k|
"ƒ2€+1€

=

|3+k|
'5

   원의 반지름의 길이가 '5이므로 원과 직선이 접하려면



|3+k|
'5
 3+k=\5





='5, |3+k|=5



∴  k=2 또는 k=-8























































|k|
"ƒ1€+(-1)€

=

|k|
'2

   반지름의 길이가 '2이므로 원과 직선이 만나지 않으려면

>'2, |k|>2

∴  k<-2 또는 k>2

 ⑵ 원의 중심 (0, 0)과 직선 3x-4y+k=0 사이의 거리는

 

|k|
"ƒ3€+(-4)€

=

|k|
5

 

>3, |k|>15

∴  k<-15 또는 k>15

 ⑶ x€+y€-4x+6y+11=0에서 (x-2)€+(y+3)€=2

 

원의 중심 (2, -3)과 직선 x+y-k=0 사이의 거리는

|k|
'2

|k|
5

 

 

 

 

|2-3-k|
"ƒ1€+1€

=

|k+1|
'2

|k+1|
'2

>'2, |k+1|>2

   반지름의 길이가 '2이므로 원과 직선이 만나지 않으려면

   k+1<-2 또는 k+1>2

∴  k<-3 또는 k>1

189  ⑴ 1 원의 중심 (0, 0)과 직선 2x-y-5=0 사이의 거리는

x-2y+2=0에  내린  수선의

-1

O

3

x

x-2y+2=0
B

H
1
C



 

OH’=

|-5|
"ƒ2€+(-1)€
   2 직각삼각형 OAH에서 OA’=5이므로

='5

5
'5

=



AH’="ƒ5€-('5 )€=2'5

 
   3 AB’=2AH’=4'5

 ⑵ 오른쪽 그림과 같이 주어진 원

y

과  직선의 교점을  A,  B,  원의

중심 C(1, 0)에서 직선



A

발을 H라 하면

   CH’=

|1-0+2|
"ƒ1€+(-2)€

=

3
'5

   직각삼각형 CAH에서 CA’=2이므로

   AH’=Ƙ2€-{

3
'5 }
   따라서 구하는 현의 길이는 AB’=2AH’=

€=æç:¡5¡:= 'ß55

5

2'ß55
5

y

x+3y-2=0
A

x

B

O

-3

H
1

C

 ⑶ 오른쪽 그림과 같이 주어진 원

과 직선의 교점을 A, B, 원의

중심  C(1,  -3)에서  직선

x+3y-2=0에 내린 수선의

발을 H라 하면

   CH’=

|1-9-2|
"ƒ1€+3€

=

10
'ß10

='ß10

   직각삼각형 CAH에서 CA’=5이므로
   AH’="ƒ5€-('ß10 )€='ß15
   따라서 구하는 현의 길이는 AB’=2AH’=2'ß15

3. 도형의 방정식    111

190  ⑴ 1 AH’=;2!;AB’=


d
2

='2

   2 직각삼각형 OAH에서 OA’=2이므로

 

 

 





 OH’="ƒ2€-('2 )€='2
3 원의 중심 (0, 0)과 직선 x-y+k=0 사이의 거리는

 …… ㉠

OH’=

=

 …… ㉡

|k|
'2

|k|
"ƒ1€+(-1)€
|k|
'2

 

㉠, ㉡에서

='2, |k|=2

∴  k=2 (∵ k>0)

 ⑵ 오른쪽 그림과 같이 주어진 원과

직선의 교점을 A, B, 원의 중심

C(0, -1)에서 직선 y=kx+4,

즉 kx-y+4=0에 내린 수선의

발을 H라 하면



 AH’=;2!;AB’=

d
2

=3



x

y
AH

4
O
C-1

B

-6

   직각삼각형 CAH에서 CA’=5이므로
   CH’="ƒ5€-3€='ß16=4  
   점 C(0, -1)과 직선 kx-y+4=0 사이의 거리는

…… ㉠





 CH’=

…… ㉡

|0+1+4|
"ƒk€+(-1)€

=

5
"ƒk€+1

 

5
"ƒk€+1
∴  k=;4#; (∵ k>0)



 k€=;1ª6;

   ㉠, ㉡에서

=4, 16(k€+1)=25

 ⑶ 오른쪽 그림과 같이 주어진 원

과 직선의 교점을 A, B, 원의

중심 C(1, -2)에서 직선

y=kx-5, 즉 kx-y-5=0

에 내린 수선의 발을 H라 하면

y

O
-2

1

C

-5

A

y=kx-5

x

B

H



='6

 AH’=;2!;AB’=

d
2
   직각삼각형 CAH에서 CA’=2'2이므로
   CH’="ƒ(2'2 )€-('6 )€='2
   점 C(1, -2)와 직선 kx-y-5=0 사이의 거리는

…… ㉠



…… ㉡



=

 CH’=

|k-3|
"ƒk€+1

|k+2-5|
"ƒk€+(-1)€
|k-3|
"ƒk€+1
   2(k€+1)=(k-3)€, k€+6k-7=0

   ㉠, ㉡에서

='2



   (k-1)(k+7)=0

∴  k=1 (∵ k>0)

191  x€+y€+2x-6y+6=0에서 (x+1)€+(y-3)€=4


  오른쪽 그림과 같이 원의 중심

y

















































 직각삼각형 CAH에서 CA’=2이므로
 CH’="ƒ2€-('3 )€=1
 점 C(-1, 3)과 직선 x-2y+2k=0 사이의 거리는

…… ㉠





=

 CH’=

|-1-6+2k|
"ƒ1€+(-2)€
|2k-7|
'5
 4k€-28k+44=0, k€-7k+11=0

|2k-7|
'5
=1, (2k-7)€=5

 ㉠, ㉡에서



…… ㉡

 따라서 근과 계수의 관계에 의해 모든 실수 k의 값의 곱은 11이다.

192  ⑴ 1 CA’="ƒ(5-1)€+(4-1)€=5


   2 직각삼각형 CAP에서 CP’=3이므로

   직각삼각형 CAP에서 CP’=1

P

A(3, 1)

 ⑶ x€+y€+4x+2y+1=0에서 (x+2)€+(y+1)€=4

 



PA’="ƒ5€-3€=4

 ⑵ 오른쪽 그림에서
   CA’ ="ƒ(3+2)€+(1-2)€

='ß26

   이므로
   PA’="ƒ('ß26 )€-1€=5

   오른쪽 그림에서
   CA’ ="ƒ(2+2)€+(0+1)€

='ß17

   직각삼각형 CAP에서 CP’=2

   이므로
   PA’="ƒ('ß17 )€-2€='ß13



193   오른쪽 그림에서 삼각형 CPA가


 직각삼각형이고
 CP’ ="ƒ(5-2)€+(6-3)€=3'2
 CA’=2이므로
 AP’="ƒ(3'2 )€-2€='ß14
  이때, 1CPA71CPB









(RHS 합동)이므로



 2PACB=21CPA

   

=2*;2!;*2*'ß14=2'ß14

194  ⑴ 1, 1, 1


 ⑵ x€+y€-2x-2y+1=0에서

   (x-1)€+(y-1)€=1

 

원의 중심 (1, 1)과 직선

   x+y-4=0 사이의 거리는

C(-2, 2)





P

A(2, 0)

C(-2, -1)

y

3

A

P(5, 6)

C

B

O

2

x

x+y-4=0

(1, 1)

1



















































 C(-1, 3)에서 직선 y=;2!;x+k,

  즉 x-2y+2k=0에 내린 수선의

발을 H라 하면

 AH’=;2!;AB’='3

112    정답과 풀이

C

H

3

B

A

1
y= x+k
2

-1

O

x

 

|1+1-4|
"ƒ1€+1€

=

2
'2

='2

 

이때, 원의 반지름의 길이가 1이므로

원 위의 점과 직선 사이의 거리의
   최댓값은 '2+1, 최솟값은 '2-1























































 ⑶ x€+y€+2x-6y+9=0에서

   (x+1)€+(y-3)€=1

 

원의 중심 (-1, 3)과 직선

199  2x-y+1=0에서 y=2x+1


  이 직선에 평행하므로 구하는 직선의 방정식을 y=2x+n이라

하자. 원의 중심 (2, 4)와 직선 y=2x+n, 즉 2x-y+n=0 사

   3x-4y+9=0 사이의 거리는

(-1, 3)

이의 거리가 반지름의 길이와 같으므로





 

|-3-12+9|
"ƒ3€+(-4)€
이때, 원의 반지름의 길이가 1이므로

=;5^;

1

원 위의 점과 직선 사이의 거리의

3x-4y+9=0

   최댓값은 ;5^;+1=:¡5¡:, 최솟값은 ;5^;-1=;5!;

195  x€+y€-4x+6y+9=0에서
 (x-2)€+(y+3)€=4


 원의 중심 (2, -3)과

x-2y-3=0



=2,

|4-4+n|
"ƒ2€+(-1)€

|n|
'5
 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=2x-2'5

=2, |n|=2'5

∴  n=-2'5

200  ⑴ 1, 3, 3


 ⑵ 2*x+(-2)*y=8

∴  x-y-4=0

 ⑶ (-2)*x+0*y=4

∴  x=-2

 ⑷ 1*x+1*y=2

∴  x+y-2=0

 ⑸ 2*x+1*y=5

∴  2x+y-5=0

Mm

(2, -3)

201   원 x€+y€=25 위의 점 (-3, 4)에서의 접선의 방정식은


 (-3)*x+4*y=25

∴  3x-4y+25=0

 이 직선이 점 (1, a)를 지나므로

 3-4a+25=0, 4a=28

∴  a=7

  직선 x-2y-3=0 사이의 거리는



|2+6-3|
"ƒ1€+(-2)€

5
'5
  이때, 원의 반지름의 길이가 2이므로

='5

=

원 위의 점에서 직선 사이의 거리의
 최댓값 M은 '5+2, 최솟값 m은 '5-2
 ∴ Mm=1

196  r, r, -r"ƒm€+1, mx-r"ƒm€+1

197  ⑴ '5, 5


 ⑵ y=3x-2*"ƒ3€+1
∴ y=3x-2'ß10



 ⑶ y=-x-3*"ƒ(-1)€+1

∴ y=-x-3'2

 ⑷ y='3x-1*"ƒ('3 )€+1  

∴ y='3x-2

198  ⑴ '2, 2, -1, -x-1


 ⑵ 구하는 직선의 방정식을 y=x+n이라 하면





|-2+3+n|
"ƒ1€+(-1)€
   |n+1|=4

=2'2,

|n+1|
'2
∴  n=3 또는 n=-5

=2'2

   따라서 구하는 직선의 방정식은

   y=x+3 또는 y=x-5

202  ⑴ ;2!;, ;2!;, ;2!;, -1, ;2!;, 1


 ⑵ 원의 중심 (1, 1)과 접점 P(-2, 2)를 이은 직선의 기울기는

 

2-1
-2-1

=-;3!;이므로 이와 수직인 접선의 기울기는 3이다.

 

접선의 방정식을 y=3x+a라 하면 이 접선이 점 P(-2, 2)

를 지나므로

   2=3*(-2)+a

∴  a=8

   따라서 접선의 방정식은 y=3x+8이다.

 ⑶ 원의 중심 (-1, 2)와 접점 P(1, 3)을 이은 직선의 기울기는

 

3-2
1-(-1)

=;2!;이므로 이와 수직인 접선의 기울기는 -2이다.

 

접선의 방정식을 y=-2x+a라 하면 이 접선이 점 P(1, 3)

을 지나므로

203   원의 중심 (1, 2)와 접점 (2, 4)를 이은 직선의 기울기는



4-2
2-1

=2이므로 이와 수직인 접선의 기울기는 -;2!;이다.

 접선의 방정식을 y=-;2!;x+a라 하면 이 접선이 점 (2, 4)를

 

원의 중심 (-2, -3)과 직선 y=x+n, 즉 x-y+n=0

   3=-2*1+a

∴  a=5

   사이의 거리가 반지름의 길이와 같으므로

   따라서 접선의 방정식은 y=-2x+5이다.

 ⑶ 구하는 직선의 방정식을 y=-2x+n이라 하면

 

원의 중심 (1, 2)와 직선 y=-2x+n, 즉 2x+y-n=0 사

이의 거리가 반지름의 길이와 같으므로





|2+2-n|
"ƒ2€+1€

='5,

|n-4|
'5

='5

   |n-4|=5

∴  n=9 또는 n=-1

   따라서 구하는 직선의 방정식은

   y=-2x+9 또는 y=-2x-1

 지나므로

 4=-;2!;*2+a

∴  a=5

 따라서 접선의 방정식은

 y=-;2!;x+5이므로 오른쪽

 그림에서 구하는 넓이는

 ;2!;*10*5=25

5

y

2

O

1

y=-;2!;x+5

x

10

3. 도형의 방정식    113

















































204  ⑴ 1 접선의 기울기가 m이므로 접선의 방정식은


y-(-1)=m(x-3)

∴  mx-y-3m-1=0

 



   2 원의 중심 (0, 0)과 접선 mx-y-3m-1=0 사이의 거

 ⑷ 접선의 기울기를 m이라 하면 접선의 방정식은

   y-(-2)=m(x-1)



   ∴ mx-y-m-2=0

 

원의 중심 (0, 0)과 접선 mx-y-m-2=0 사이의 거리는

또, 접점 (x¡, y¡)은 원 x€+y€=4 위의 점이므로

 

원의 중심 (-1, 3)과 접선 mx-y-2m+5=0 사이의 거

리는 반지름의 길이 1과 같으므로



|-3m-1|
"ƒm€+(-1)€
양변을 제곱하여 정리하면

=1, |-3m-1|="ƒm€+1

4m€+3m=0, m(4m+3)=0

∴ m=0 또는 m=-;4#;

   3 접선의 방정식은

 



y=-1 또는 3x+4y-5=0

 ⑵ 1 접점이 (x¡, y¡)이므로 접선의 방정식은



x¡x+y¡y=4

   2 접선이 점 (0, 4)를 지나므로

4y¡=4

∴  y¡=1

 …… ㉠

x¡€+y¡€=4

 …… ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

x¡€+1€=4, x¡€=3

∴  x¡=-'3

   3 접선의 방정식은

'3x+y-4=0 또는 '3x-y+4=0

 ⑶ 접선의 기울기를 m이라 하면 접선의 방정식은

   y-(-1)=m{x-(-3)}

   ∴ mx-y+3m-1=0

원의 중심 (0, 0)과 접선 mx-y+3m-1=0 사이의 거리
는 반지름의 길이 '2와 같으므로

|3m-1|
"ƒm€+(-1)€

='2, |3m-1|="ƒ2m€+2

   양변을 제곱하여 정리하면

   7m€-6m-1=0, (7m+1)(m-1)=0

   ∴ m=-;7!; 또는 m=1

   따라서 접선의 방정식은

   x+7y+10=0 또는 x-y+2=0

 다른 풀이

반지름의 길이 2와 같으므로

 

|-m-2|
"ƒm€+(-1)€

=2, |-m-2|=2"ƒm€+1

   양변을 제곱하여 정리하면

   3m€-4m=0, m(3m-4)=0

   ∴ m=0 또는 m=;3$;

   따라서 접선의 방정식은

   y=-2 또는 4x-3y-10=0

 ⑸ 접선의 기울기를 m이라 하면 접선의 방정식은

   y-5=m(x-2)



   ∴ mx-y-2m+5=0

리는 반지름의 길이 2와 같으므로

 

|-m-3-2m+5|
"ƒm€+(-1)€ 
   양변을 제곱하여 정리하면

=2, |-3m+2|="ƒ4m€+4

   5m€-12m=0, m(5m-12)=0

   ∴ m=0 또는 m=:¡5™:

   따라서 접선의 방정식은

   y=5 또는 12x-5y+1=0

 ⑹ 접선의 기울기를 m이라 하면 접선의 방정식은

   y-(-1)=m(x-0)



   ∴ mx-y-1=0

 

 

원의 중심 (1, 2)와 접선 mx-y-1=0 사이의 거리는 반지
름의 길이 '5와 같으므로
|m-2-1|
"ƒm€+(-1)€

='5, |m-3|="ƒ5m€+5

   양변을 제곱하여 정리하면

   2m€+3m-2=0, (2m-1)(m+2)=0

 접점을 (x¡, y¡)으로 놓으면 접선의 방정식은 x¡x+y¡y=2

 접선이 점 (-3, -1)을 지나므로

   ∴ m=;2!; 또는 m=-2

 

따라서 접선의 방정식은

 -3x¡-y¡=2

∴  y¡=-3x¡-2

 …… ㉠

   x-2y-2=0 또는 2x+y+1=0

 또, 접점 (x¡, y¡)은 원 x€+y€=2 위의 점이므로

 x¡€+y¡€=2

 …… ㉡

 ㉠을 ㉡에 대입하면

205  접선의 기울기를 m이라 하면 접선의 방정식은


∴  mx-y+a=0

 y-a=mx

   x¡€+(-3x¡-2)€=2, 5x¡€+6x¡+1=0

  원의 중심 (0, 0)과 접선 mx-y+a=0 사이의 거리는 반지름

 (5x¡+1)(x¡+1)=0

∴  x¡=-;5!; 또는 x¡=-1

 x¡=-;5!;일 때 y¡=-;5&;이고, x¡=-1일 때 y¡=1이므로

   구하는 접선의 방정식은

   x+7y+10=0 또는 x-y+2=0

114    정답과 풀이

의 길이 2'2와 같으므로



|a|
"ƒm€+(-1)€

=2'2, |a|="ƒ8m€+8

 양변을 제곱하여 정리하면

 m€=

a€-8
8



∴  m=-Ƙ

a€-8
8

































































































 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 













































































∫
   이때, 두 접선의 기울기가 서로 수직이므로 두 직선의 기울기의

더블클릭 

192쪽~194쪽

207   원 위의 점을 P(a, b), 1ABP의 무게중심의 좌표를  

 이 방정식이 원을 나타내려면 9-a€>0이어야 하므로

 ⑶ 원 위의 점을 P(a, b), AP’의 중점의 좌표를 (x, y)라 하면

 이 방정식이 원을 나타내려면 2a€-8>0이어야 하므로

























































곱이 -1이다.

 즉, Ƙ

a€-8
8

*{-Ƙ

a€-8
8

}=-1에서



a€-8
8

=1, a€=16

∴  a=4 (∵ a>0)

206  ⑴ 2, 4, 2, 4, 1, 2, 2


 ⑵ 원 위의 점을 P(a, b), AP’의 중점의 좌표를 (x, y)라 하면



 x=

-3+a
2

, y=

2+b
2



∴  a=2x+3, b=2y-2

   점 P(a, b)는 원 x€+y€=12 위의 점이므로



 (2x+3)€+(2y-2)€=12

∴  {x+;2#;}

€+(y-1)€=3



 x=

, y=

∴  a=2x-6, b=2y

6+a
2

0+b
2



   점 P(a, b)는 원 x€+y€=9 위의 점이므로



 (2x-6)€+(2y)€=9

∴  (x-3)€+y€=;4(;

(x, y)라 하면

 x=

1+8+a
3

, y=

6+0+b
3



∴  a=3x-9, b=3y-6

 점 P(a, b)는 원 x€+y€=9 위의 점이므로

 (3x-9)€+(3y-6)€=9

∴  (x-3)€+(y-2)€=1

208  ⑴ 2, 4, 4, 6, 27


 ⑵ 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
   AP’="ƒx€+(y-2)€, BP’="ƒx€+(y+4)€
   AP’：BP’=1：2에서 2AP’=BP’이므로 4AP’€=BP’€

   4{x€+(y-2)€}=x€+(y+4)€



   ∴ x€+y€-8y=0

 ⑶ 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
   AP’="ƒ(x+3)€+(y-1)€, BP’="ƒ(x-3)€+(y-4)€
   AP’：BP’=2：1에서 AP’=2BP’이므로 AP’€=4BP’€

   (x+3)€+(y-1)€=4{(x-3)€+(y-4)€}

   ∴ x€+y€-10x-10y+30=0

209  점 P의 좌표를 (x, y)라 하면


 AP’="ƒ(x+1)€+y€, BP’="ƒ(x-2)€+(y-3)€
 AP’：BP’=2：1에서 AP’=2BP’이므로 AP’€=4BP’€

 (x+1)€+y€=4{(x-2)€+(y-3)€}

 x€+y€-6x-8y+17=0



 ∴ (x-3)€+(y-4)€=8

2'2인 원이므로 구하는 도형의 넓이는

 p*(2'2 )€=8p

  따라서 점 P의 자취는 중심이 점 (3, 4)이고 반지름의 길이가





































210  (x-2)€+(y+3)€=3€에서


 C(2, -3), r=3

211  x€+y€-2x-3=0에서 (x-1)€+y€=4


 ∴ C(1, 0), r=2

212  x€+y€+6x-2y-6=0에서
 (x+3)€+(y-1)€=16




 ∴ C(-3, 1), r=4

213  x€+y€-2ax+2ay+8=0에서
 (x-a)€+(y+a)€=2a€-8


 a€-4>0, (a+2)(a-2)>0

 ∴ a<-2 또는 a>2

214  x€+y€+2ay+2a€-9=0에서


 x€+(y+a)€=9-a€

 a€-9<0, (a+3)(a-3)<0



 ∴ -3<a<3

215  반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은


 (x-1)€+(y+1)€=r€

 원이 점 (3, 4)를 지나므로

 2€+5€=r€

∴  r€=29

 따라서 구하는 원의 방정식은 (x-1)€+(y+1)€=29

216  원의 중심의 좌표는 {

1+5
2

,

0+4
2 }, 즉 (3, 2)

 반지름의 길이는 ;2!;"ƒ(5-1)€+(4-0)€=2'2

 따라서 구하는 원의 방정식은 (x-3)€+(y-2)€=8

217   원의 방정식을 x€+y€+Ax+By+C=0으로 놓고
 주어진 세 점의 좌표를 각각 대입하여 정리하면


 C=0

 B+C=-1

 -A+2B+C=-5

 ㉠을 ㉡과 ㉢에 대입하면

 B=-1, -A+2B=-5

…… ㉠

…… ㉡

…… ㉢

 위의 두 식을 연립하여 풀면 A=3, B=-1

 따라서 구하는 원의 방정식은 x€+y€+3x-y=0

218   중심이 (3, 2)인 원이 x축에 접하므로 반지름의 길이가 2이다.


 따라서 구하는 원의 방정식은



 (x-3)€+(y-2)€=4

3. 도형의 방정식    115

∫
∫
219   원의 중심이 제1사분면 위에 있어야 하므로 원의 반지름의 길이

 원 x€+y€=9의 중심 (0, 0)과 x+y-k-9=0 사이의 거리는

















































를 r라 하면 원의 방정식은

 (x-r)€+(y-r)€=r€

 이 원이 점 (2, 1)을 지나므로

 (2-r)€+(1-r)€=r€, r€-6r+5=0

 (r-1)(r-5)=0

∴  r=1 또는 r=5

 따라서 구하는 원의 방정식은

 (x-1)€+(y-1)€=1 또는 (x-5)€+(y-5)€=25

220  x€+y€-8x-4y+k€+7=0에서
 (x-4)€+(y-2)€=13-k€


  이때, 원이 x축에 접하므로 반지름의 길이는 2이다.

 즉, 13-k€=2€, k€=9

∴  k=3 (∵ k>0)

221  x€+y€+6x-2y+5-k€=0에서


 (x+3)€+(y-1)€=k€+5

  이때, 원이 y축에 접하므로 반지름의 길이는 3이다.

 즉, k€+5=3€, k€=4

∴  k=2 (∵ k>0)

222  x€+y€+2ax-6y+13-b=0에서
 (x+a)€+(y-3)€=a€+b-4


 이 원이 x축과 y축에 동시에 접하므로

 a€+b-4=|-a|€=|3|€

 ∴ a=3, b=4 (∵ a>0)

 5+4k=0

∴  k=-;4%;

 k=-;4%;을 ㉠에 대입하면

 x€+y€+2x-4y+1-;4%;(x€+y€+2y-8)=0

 -x€-y€+8x-26y+44=0

 ∴ x€+y€-8x+26y-44=0

224  두 원의 공통현 AB의 방정식은


 x€+y€-1-(x€+y€-2x-2y)=0

 ∴ 2x+2y-1=0

 원 x€+y€=1의 중심 (0, 0)과 공통현 AB 사이의 거리는



|-1|
"ƒ2€+2€

=

1
'8

 이때, 원 x€+y€=1의 반지름의 길이가 1이므로

 AB’=2Ƙ1€-{

€=2æ;8&;= 'ß14

2

1
'8 }

225  두 원의 공통현의 방정식은


 x€+y€-9-(x€+y€-x-y+k)=0



 ∴ x+y-k-9=0

116    정답과 풀이



































D
4

D
4

D
4

D
4

  원 x€+y€=9의 반지름의 길이가 3이고 공통현의 길이는 2'3이



|-k-9|
"ƒ1€+1€

=

|k+9|
'2

므로

 2Ƙ3€-{

|k+9|
€=2'3
'2
 양변을 제곱하여 정리하면

}

 3€-

(k+9)€
2

=3, (k+9)€=12

∴  k=-9-2'3

226  y=2x+k를 x€+y€=2에 대입하여 정리하면


 5x€+4kx+k€-2=0

  이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선이 서로 다른 두

점에서 만나므로



=(2k)€-5(k€-2)>0, -k€+10>0

 k€-10<0

∴  -'ß10<k<'ß10

227  y=kx+1을 x€+y€-2x=0에 대입하여 정리하면


 (k€+1)x€+2(k-1)x+1=0



  이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선이 서로 다른 두

점에서 만나므로





=(k-1)€-(k€+1)>0, -2k>0

∴  k<0



=(2k-5)€-5(k€-4k-20)=0, -k€+125=0

 k€=125

∴  k=-5'5

229  y=-x+k를 x€+(y-4)€=8에 대입하여 정리하면


 2x€-2(k-4)x+k€-8k+8=0

  이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선이 만나지 않으므로



=(k-4)€-2(k€-8k+8)<0, -k€+8k<0

 k€-8k>0, k(k-8)>0

∴  k<0 또는 k>8

내린 수선의 발을 H라 하면

-2

O

2

x

y

y=2x+2

  2

A

H

B

-2

230   오른쪽 그림과 같이 주어진 원과


  직선의  교점을  A,  B,  원의  중심

O(0, 0)에서 직선 2x-y+2=0에

 OH’=

|2|
"ƒ2€+(-1)€

=

2
'5

 직각삼각형 OAH에서 OA’=2이므로

    AH’=Ƙ2€-{

€=æç:¡5§:=

4'5
5

2
'5 }



 따라서 구하는 현의 길이는 AB’=2AH’=

8'5
5

223  두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은


 x€+y€+2x-4y+1+k(x€+y€+2y-8)=0

…… ㉠

 이 원이 점 (2, 2)를 지나므로 대입하여 정리하면

228  y=2x+k를 x€+y€-2x-4y-20=0에 대입하여 정리하면


 5x€+2(2k-5)x+k€-4k-20=0

 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선이 접하므로


232  오른쪽 그림에서


 CA’ ="ƒ(-3-1)€+(0-0)€=4
 직각삼각형 CAP에서
 CP’='ß12이므로
 AP’="ƒ4€-('ß12 )€=2

233  오른쪽 그림에서








 CA’ ="ƒ(7-1)€+(3-1)€='ß40
 직각삼각형 CAP에서
 CP’='ß15이므로
 AP’="ƒ('ß40 )€-('ß15 )€=5
 


234  x€+y€-10x+8y+5=0에서
 (x-5)€+(y+4)€=36




|5+4+3|
"ƒ1€+(-1)€

=

12
'2

=6'2

235  x€+y€-2x-2y+1=0에서
 (x-1)€+(y-1)€=1




|3-4-12|
"ƒ3€+(-4)€

=

13
5

231   오른쪽  그림과  같이  주어진  원과
직선의  교점을  A,  B,  원의  중심

C(1, 2)에서 직선 x-y-2=0에

내린 수선의 발을 H라 하면

 CH’=

|1-2-2|
"ƒ1€+(-1)€

=

3
'2

 직각삼각형 CAH에서 CA’=3이므로

y

2

O

C

3

A

H

1

B

x

3
'2 }

 AH’=Ƙ3€-{

€=æ;2(;=
 따라서 구하는 현의 길이는 AB’=2AH’=3'2


3'2
2



y=x-2

238  원 x€+y€=3 위의 점 (1, -'2 )에서의 접선의 방정식은


 1*x+(-'2 )*y=3

∴  x-'2y-3=0

239  원의 중심 (2, -1)과 접점 (3, 2)를 이은 직선의 기울기는



2-(-1)
3-2

=3이므로 이와 수직인 접선의 기울기는 -;3!;이다.

 접선의 방정식을 y=-;3!;x+a라 하면 이 접선이 점 (3, 2)를

 지나므로 2=-;3!;*3+a

∴  a=3

 따라서 접선의 방정식은 y=-;3!;x+3이다.

240  접선의 기울기를 m이라 하면 접선의 방정식은
∴  mx-y-4m+3=0


 y-3=m(x-4)

  원의 중심 (0, 0)과 접선 mx-y-4m+3=0 사이의 거리는

반지름의 길이 '5와 같으므로
|-4m+3|
"ƒm€+(-1)€



 양변을 제곱하여 정리하면

='5, |-4m+3|="ƒ5m€+5

 11m€-24m+4=0, (11m-2)(m-2)=0

 ∴ m=;1™1; 또는 m=2

  따라서 접선의 방정식은

 2x-11y+25=0 또는 2x-y-5=0

P

12

A(-3, 0)

C(1, 0)

A(7, 3)

C(1, 1)

15

P

 원의 중심 (5, -4)와 직선 x-y+3=0 사이의 거리는

241  접선의 기울기를 m이라 하면 접선의 방정식은


∴  mx-y+2=0

 y-2=m(x-0)

  원의 중심 (1, 0)과 접선 mx-y+2=0 사이의 거리는 반지름

  이때, 원의 반지름의 길이가 6이므로 원 위의 점과 직선 사이의

의 길이 2와 같으므로

거리의 최댓값은 6'2+6, 최솟값은 6'2-6



|m+2|
"ƒm€+(-1)€

=2, |m+2|=2"ƒm€+1

 양변을 제곱하여 정리하면

 3m€-4m=0, m(3m-4)=0

 원의 중심 (1, 1)과 직선 3x-4y-12=0 사이의 거리는

 ∴ m=0 또는 m=;3$;

 따라서 접선의 방정식은 y=2 또는 4x-3y+6=0

  이때, 원의 반지름의 길이가 1이므로 원 위의 점과 직선 사이의

 거리의 최댓값은 :¡5£:+1=:¡5•:, 최솟값은 :¡5£:-1=;5*;

(x, y)라 하면

242   점 (-2, 0)과 원 위의 점 P(a, b)를 이은 선분의 중점의 좌표를

236  y='2x-2*"ƒ('2 )€+1


 ∴ y='2x-2'3

237  구하는 접선의 방정식을 y=2x+n이라 하면


  원의 중심 (1, -2)와 직선 2x-y+n=0 사이의 거리가 반지

름의 길이와 같으므로



=3, |n+4|=3'5

|2+2+n|
"ƒ2€+(-1)€
 n+4=\3'5
 따라서 구하는 접선의 방정식은 y=2x-4-3'5

∴  n=-4-3'5



 x=

-2+a
2

, y=

0+b
2



∴  a=2x+2, b=2y

 점 P(a, b)는 원 (x-2)€+(y+2)€=4 위의 점이므로

 (2x+2-2)€+(2y+2)€=4



 ∴ x€+(y+1)€=1

243  점 P의 좌표를 (x, y)라 하면


 AP’="ƒ(x-1)€+y€, BP’="ƒ(x-4)€+y€
 AP’：BP’=2：1에서 AP’=2BP’이므로 AP’€=4BP’€

 (x-1)€+y€=4{(x-4)€+y€}

 ∴ x€+y€-10x+21=0

3. 도형의 방정식    117



















































































04 도형의 이동 

244  ⑴ (4+2, 3-3), 즉 (6, 0)


 ⑵ (-1+2, 0-3), 즉 (1, -3)

 ⑶ (2+2, -2-3), 즉 (4, -5)

 ⑷ (-3+2, -1-3), 즉 (-1, -4)

245  ⑴ (2-1, 1+3), 즉 (1, 4)


 ⑵ (-1-1, 5+3), 즉 (-2, 8)

 ⑶ (6-1, -2+3), 즉 (5, 1)

 ⑷ (-4-1, -1+3), 즉 (-5, 2)

246  ⑴ 1 3+m=-1, 2+n=0


∴ m=-4, n=-2

 





195쪽~206쪽  

248  ⑴ 3(x+1)+(y-4)=0


 ⑵ (x+1)+(y-4)-2=0

∴  3x+y-1=0

∴  x+y-5=0

 ⑶ 2(x+1)-(y-4)+3=0

∴  2x-y+9=0

 ⑷ y-4=3(x+1)-2

∴  y=3x+5

249 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 도

형의 방정식은

 ⑴ (x+2)+2(y-3)-3=0

∴  x+2y-7=0

 ⑵ (x+2)-2(y-3)-1=0

∴  x-2y+7=0

 ⑶ 3(x+2)+4(y-3)-2=0

∴  3x+4y-8=0

 ⑷ y-3=3(x+2)+1

∴  y=3x+10

250  ⑴ 1 0+m=3, 0+n=-2


 ∴ m=3, n=-2

 



   2 평행이동 (x, y) bd (x-4, y-2)에 의하여





   2 즉, (x, y) bd (x+3, y-2)이므로  

점 P(1, 0)이 옮겨지는 점의 좌표는

 



(1-4, 0-2)

∴  (-3, -2)

직선 4x-3y-18=0을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방

향으로 -2만큼 평행이동한 직선의 방정식은

 ⑵ 점 A(3, -2)를 점 B(-1, -3)으로 옮기는 평행이동을

4(x-3)-3(y+2)-18=0

 

 





∴ 4x-3y-36=0

   (x, y) bd (x+m, y+n)이라 하면

   3+m=-1, -2+n=-3



   ∴ m=-4, n=-1

 

따라서 평행이동 (x, y) bd (x-4, y-1)에 의하여

점 P(4, 0)이 옮겨지는 점의 좌표는

   (4-4, 0-1)

∴  (0, -1)

 ⑶ 점 A(-4, 3)을 점 B(-1, 2)로 옮기는 평행이동을

(x, y) bd (x+m, y+n)이라 하면

   -4+m=-1, 3+n=2



   ∴ m=3, n=-1

 

따라서 평행이동 (x, y) bd (x+3, y-1)에 의하여

점 P(2, 1)이 옮겨지는 점의 좌표는

   (2+3, 1-1)

∴  (5, 0)

 ⑷ 점 A(4, -7)을 점 B(1, -3)으로 옮기는 평행이동을

(x, y) bd (x+m, y+n)이라 하면

   4+m=1, -7+n=-3



   ∴ m=-3, n=4

 

따라서 평행이동 (x, y) bd (x-3, y+4)에 의하여

   점 P(-1, 1)이 옮겨지는 점의 좌표는

   (-1-3, 1+4)

∴  (-4, 5)


247  점 (2, 5)를 점 (5, 2)로 옮기는 평행이동을
 (x, y) bd (x+m, y+n)이라 하면


 2+m=5, 5+n=2



 ∴ m=3, n=-3

  이때, 평행이동 (x, y) bd (x+3, y-3)에 의하여 점 (4, 3)으

로 옮겨지는 점의 좌표를 (a, b)라 하면

 a+3=4, b-3=3



 ∴ a=1, b=6

 따라서 구하는 점의 좌표는 (1, 6)이다.

118    정답과 풀이

 ⑵ 점 A(3, -2)를 점 B(1, 1)로 옮기는 평행이동을



(x, y) bd (x+m, y+n)이라 하면

   3+m=1, -2+n=1



   ∴ m=-2, n=3

   즉, (x, y) bd (x-2, y+3)이므로

 

직선 2x+5y+3=0을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향

으로 3만큼 평행이동한 직선의 방정식은

   2(x+2)+5(y-3)+3=0

   ∴ 2x+5y-8=0

 ⑶ 점 A(2, -1)을 점 B(0, 2)로 옮기는 평행이동을



(x, y) bd (x+m, y+n)이라 하면

   2+m=0, -1+n=2



   ∴ m=-2, n=3

   즉, (x, y) bd (x-2, y+3)이므로

 

직선 3x-y-2=0을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향

으로 3만큼 평행이동한 직선의 방정식은

   3(x+2)-(y-3)-2=0

   ∴ 3x-y+7=0

 ⑷ 점 A(2, 1)을 점 B(-1, 3)으로 옮기는 평행이동을

   (x, y) bd (x+m, y+n)이라 하면

   2+m=-1, 1+n=3



   ∴ m=-3, n=2

   즉, (x, y) bd (x-3, y+2)이므로

 

직선 y=2x-11을 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으

로 2만큼 평행이동한 직선의 방정식은

   y-2=2(x+3)-11

   ∴ y=2x-3























































































































251  점 (0, 0)을 점 (-1, 4)로 옮기는 평행이동을


 (x, y) bd (x+m, y+n)이라 하면



 0+m=-1, 0+n=4

∴  m=-1, n=4

 즉, (x, y) bd (x-1, y+4)이므로

 ⑶ x€+y€-2x+10y+22=0에서 (x-1)€+(y+5)€=4

   이 방정식에 x 대신 x-2, y 대신 y+3을 대입하면

   (x-2-1)€+(y+3+5)€=4

   ∴ (x-3)€+(y+8)€=4

  직선 2x-y+4=0을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으

 ⑷ y=2x€+8x+1에서 y=2(x+2)€-7

   이 방정식에 x 대신 x-2, y 대신 y+3을 대입하면

로 4만큼 평행이동한 직선 l의 방정식은

 2(x+1)-(y-4)+4=0

 ∴ 2x-y+10=0

  이 직선의 x절편은 -5, y절편은 10이므

  로 오른쪽 그림에서 x축, y축 및 직선 l

로 둘러싸인 삼각형의 넓이는

   y+3=2(x-2+2)€-7

   ∴ y=2x€-10

y

10

254  x€+y€+2x+4y+3=0에서


 (x+1)€+(y+2)€=2





;2!;*5*10=25

-5

O

x

2x-y+10=0

  원 (x+1)€+(y+2)€=2를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향

252  ⑴ (x+1)€+y€=2에 x 대신 x+1, y 대신 y-2를 대입하면


   (x+1+1)€+(y-2)€=2

   ∴ (x+2)€+(y-2)€=2

   다른 풀이

 

원의 중심 (-1, 0)을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향

으로  2만큼  평행이동한  점의  좌표는  (-1-1,  0+2),  즉

(-2, 2)이므로 구하는 도형의 방정식은

(x+2)€+(y-2)€=2

 ⑵ x€+y€-2x+4y+1=0에서 (x-1)€+(y+2)€=4

 

이 방정식에 x 대신 x+1, y 대신 y-2를 대입하면

   (x+1-1)€+(y-2+2)€=4

   ∴ x€+y€=4

 ⑶ x€+y€-2x+2y-3=0에서 (x-1)€+(y+1)€=5

   이 방정식에 x 대신 x+1, y 대신 y-2를 대입하면

   (x+1-1)€+(y-2+1)€=5

   ∴ x€+(y-1)€=5

 ⑷ y=x€-2x에서 y=(x-1)€-1



이 방정식에 x 대신 x+1, y 대신 y-2를 대입하면

   y-2=(x+1-1)€-1

   ∴ y=x€+1

   다른 풀이

 

포물선의 꼭짓점 (1, -1)을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의

방향으로 2만큼 평행이동한 점의 좌표는 (1-1, -1+2), 즉

(0, 1)이므로 구하는 도형의 방정식은



   y-1=(x-0)€

∴  y=x€+1

으로 b만큼 평행이동한 원의 방정식은

 (x-a+1)€+(y-b+2)€=2

 …… ㉠

 ⑴ x€+y€=2와 ㉠이 일치하므로

   -a+1=0, -b+2=0

∴  a=1, b=2

 ⑵ x€+y€+2y-1=0에서

   x€+(y+1)€=2



   이 방정식이 ㉠과 일치하므로

   -a+1=0, -b+2=1

∴  a=1, b=1

 ⑶ x€+y€-8x-6y+23=0에서

   (x-4)€+(y-3)€=2

   이 방정식이 ㉠과 일치하므로

   -a+1=-4, -b+2=-3

∴  a=5, b=5

큼 평행이동한 포물선의 방정식은

 y-b=(x-a)€-1



 ∴ y=(x-a)€+b-1

 …… ㉠

 ⑴ y=x€-6x에서 y=(x-3)€-9

   이 방정식이 ㉠과 일치하므로

   -a=-3, b-1=-9

∴  a=3, b=-8

 ⑵ y=x€+4x-2에서 y=(x+2)€-6

   이 방정식이 ㉠과 일치하므로

   -a=2, b-1=-6

∴  a=-2, b=-5

255   포물선 y=x€-1을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만

256   원 (x-1)€+y€=9를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로

n만큼 평행이동한 원의 방정식은

 (x-m-1)€+(y-n)€=9

253   주어진 평행이동은 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3

 이 방정식이 x€+(y-1)€=9와 일치하므로

만큼 평행이동하는 것이다.

 -m-1=0, -n=-1



 ⑴ (x-3)€+y€=6에 x 대신 x-2, y 대신 y+3을 대입하면

 ∴ m=-1, n=1

   (x-2-3)€+(y+3)€=6

   ∴ (x-5)€+(y+3)€=6

  따라서 직선 x+5y-2=0을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의

방향으로 1만큼 평행이동한 직선의 방정식은

 ⑵ x€+y€-2y-8=0에서 x€+(y-1)€=9

 (x+1)+5(y-1)-2=0



   이 방정식에 x 대신 x-2, y 대신 y+3을 대입하면

 ∴ x+5y-6=0

   (x-2)€+(y+3-1)€=9

   ∴ (x-2)€+(y+2)€=9

 따라서 a=5, b=-6이므로

 a+b=-1

3. 도형의 방정식    119







































































































































257  ⑴ ① x축：(4, -1)
   ② y축：(-4, 1)


   ③ 원점：(-4, -1)

   ④ 직선 y=x：(1, 4)

   ⑤ 직선 y=-x：(-1, -4)

 ⑵ ① x축：(2, 5)

   ② y축：(-2, -5)

   ③ 원점：(-2, 5)

   ④ 직선 y=x：(-5, 2)

   ⑤ 직선 y=-x：(5, -2)

258  ⑴ (2, 3)

x축에 대하여
aaaaad
대칭이동

(2, -3)

원점에 대하여
aaaaad
대칭이동

(-2, 3)

 ⑵ (-7, 6)

y축에 대하여
aaaaad
대칭이동

(7, 6)

y=-x에 대하여
aaaaad
대칭이동

(-6, -7)

 ⑶ (1, -2)

y=x에 대하여
aaaaad
대칭이동

(-2, 1)

y축에 대하여
aaaaad
대칭이동

(2, 1)

259  ⑴ 점 A(2, 3)을 x축에 대하여 대칭이동한 점은 P(2, -3),

y축에 대하여 대칭이동한 점은 Q(-2, 3)

   ∴ PQ’ ="ƒ(-2-2)€+(3+3)€

=2'ß13

   직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점은 Q(3, -1)
   ∴ PQ’ ="ƒ(3-1)€+(-1-3)€

 ⑶ 점 A(-2, 1)을 x축에 대하여 대칭이동한 점은

   P(-2, -1), 원점에 대하여 대칭이동한 점은 Q(2, -1)
   ∴ PQ’ ="ƒ(2+2)€+(-1+1)€

=2'5

=4

=7'2

















































261  ⑴ ①  x축： x-2(-y)+1=0, 즉 x+2y+1=0
   ② y축： (-x)-2y+1=0, 즉 x+2y-1=0


   ③ 원점： (-x)-2(-y)+1=0, 즉 x-2y-1=0

   ④ 직선 y=x： y-2x+1=0, 즉 2x-y-1=0

   ⑤ 직선 y=-x： (-y)-2(-x)+1=0

즉, 2x-y+1=0

 ⑵ ① x축： 2x+(-y)-5=0, 즉 2x-y-5=0

   ② y축： 2(-x)+y-5=0, 즉 2x-y+5=0

   ③ 원점： 2(-x)+(-y)-5=0, 즉 2x+y+5=0

   ④ 직선 y=x： 2y+x-5=0, 즉 x+2y-5=0

   ⑤ 직선 y=-x： 2(-y)+(-x)-5=0

즉, x+2y+5=0

262  직선 y=ax+b를 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은
∴  ax+y-b=0


 y=a(-x)+b

 이 방정식이 x+y+9=0과 일치하므로 a=1, -b=9



 따라서 a=1, b=-9이므로

 a-b=10

263  ⑴ ① x축： (x+3)€+{(-y)+1}€=9



즉, (x+3)€+(y-1)€=9

 다른 풀이

 

 

좌표는 (-3, 1)이므로 구하는 도형의 방정식은  

(x+3)€+(y-1)€=9

   ② y축： {(-x)+3}€+(y+1)€=9



즉, (x-3)€+(y+1)€=9

   ③ 원점： {(-x)+3}€+{(-y)+1}€=9



즉, (x-3)€+(y-1)€=9

   ④ 직선 y=x： (y+3)€+(x+1)€=9



즉, (x+1)€+(y+3)€=9

즉, (x-1)€+(y-3)€=9

 ⑵ x€+y€-2x-2y+1=0에서 (x-1)€+(y-1)€=1

   ① x축： (x-1)€+{(-y)-1}€=1

즉, (x-1)€+(y+1)€=1

   ② y축： {(-x)-1}€+(y-1)€=1





즉, (x+1)€+(y-1)€=1















































 ⑷ 점 A(3, -4)를 원점에 대하여 대칭이동한 점은 P(-3, 4),

   ⑤ 직선 y=-x： {(-y)+3}€+{(-x)+1}€=9  

   직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 점은 Q(4, -3)
   ∴ PQ’ ="ƒ(4+3)€+(-3-4)€

260   점 (2, 1)을 x축에 대하여 대칭이동한 점은 A(2, -1)


  y축에 대하여 대칭이동한 점은 B(-2, 1)

 원점에 대하여 대칭이동한 점은 C(-2, -1)

   ③ 원점： {(-x)-1}€+{(-y)-1}€=1



y

1

O

B

-2

C

-1

(2, 1)

x

2

A

즉, (x+1)€+(y+1)€=1

   ④ 직선 y=x： (y-1)€+(x-1)€=1



즉, (x-1)€+(y-1)€=1

   ⑤ 직선 y=-x： {(-y)-1}€+{(-x)-1}€=1  

즉, (x+1)€+(y+1)€=1

 따라서 오른쪽 그림에서

 삼각형 ABC의 넓이는



;2!;*4*2=4

120    정답과 풀이

 ⑵ 점 A(-1, 3)을 y축에 대하여 대칭이동한 점은 P(1, 3),



원의 중심 (-3, -1)을 x축에 대하여 대칭이동한 점의































































 ⑶ x€+y€+4x-2y+4=0에서

   (x+2)€+(y-1)€=1

 ⑷ x€+y€+4x-6y+9=0에서

   (x+2)€+(y-3)€=4

   ① x축： (x+2)€+{(-y)-1}€=1

 

원 (x+2)€+(y-3)€=4를 직선 y=-x에 대하여 대칭이

즉, (x+2)€+(y+1)€=1

동한 원의 방정식은

   ② y축： {(-x)+2}€+(y-1)€=1

   (-y+2)€+(-x-3)€=4, 즉 (x+3)€+(y-2)€=4

즉, (x-2)€+(y-1)€=1

   이 원을 y축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은





   ③ 원점： {(-x)+2}€+{(-y)-1}€=1



   (-x+3)€+(y-2)€=4



즉, (x-2)€+(y+1)€=1

   따라서 구하는 원의 방정식은

   ④ 직선 y=x： (y+2)€+(x-1)€=1



   (x-3)€+(y-2)€=4

즉, (x-1)€+(y+2)€=1

   ⑤ 직선 y=-x： {(-y)+2}€+{(-x)-1}€=1  

즉, (x+1)€+(y-2)€=1

 ⑷ y=x€-4x+2에서

   y=(x-2)€-2

   ① x축： -y=(x-2)€-2



즉, y=-(x-2)€+2

   ② y축： y={(-x)-2}€-2



즉, y=(x+2)€-2

   ③ 원점： -y={(-x)-2}€-2



즉, y=-(x+2)€+2

   ④ 직선 y=x：x=(y-2)€-2

   ⑤ 직선 y=-x： -x={(-y)-2}€-2

즉, x=-(y+2)€+2

265   직선 x-4y+1=0을 원점에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은


 -x+4y+1=0

  이 직선을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은

  따라서 오른쪽 그림에서 구하는 삼각형

4x-y+1=0

 -y+4x+1=0





 ∴ l : 4x-y+1=0

의 넓이는





;2!;*;4!;*1=;8!;

y

1

-;4!;

O

x

266  ⑴ 직선 x+3y-2=0을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향

으로 -3만큼 평행이동한 직선의 방정식은

   (x+2)+3(y+3)-2=0, 즉 x+3y+9=0

   이 직선을 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은

 ⑵ 직선 x+3y-2=0을 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정

식은

   -x+3y-2=0, 즉 x-3y+2=0

 

이 직선을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 -3만큼

264  ⑴ 직선 x+2y+3=0을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정

식은 x-2y+3=0

   이 직선을 원점에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은

   -x+3y+9=0

   ∴ x-3y-9=0

   -x+2y+3=0



   따라서 구하는 직선의 방정식은

   x-2y-3=0

   -2y-x+3=0

   따라서 구하는 직선의 방정식은

   x+2y-3=0

 ⑶ x€+y€+2x-4y+4=0에서

   (x+1)€+(y-2)€=1

   (x-1)€+(-y+2)€=1



   따라서 구하는 원의 방정식은

   (x-1)€+(y-2)€=1

 ⑵ 직선 2x-y+3=0을 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정

식은 -2x-y+3=0

   이 직선을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은

평행이동한 직선의 방정식은

   (x+2)-3(y+3)+2=0

   ∴ x-3y-5=0

 ⑶ 두 직선의 방정식이 다르다.

267  ⑴ x€+y€+2x-4y+3=0에서


   (x+1)€+(y-2)€=2

 

원 (x+1)€+(y-2)€=2를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의

 

원 (x+1)€+(y-2)€=1을 원점에 대하여 대칭이동한 원의

방향으로 2만큼 평행이동한 원의 방정식은

방정식은

   (-x+1)€+(-y-2)€=1, 즉 (x-1)€+(y+2)€=1

   이 원을 x축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은

   이 원을 x축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은

   (x+1+1)€+(y-2-2)€=2

   즉, (x+2)€+(y-4)€=2

   (x+2)€+(-y-4)€=2



   따라서 구하는 원의 방정식은

   (x+2)€+(y+4)€=2

3. 도형의 방정식    121

























































































































 ⑵ x€+y€+4x-6y+7=0에서

   (x+2)€+(y-3)€=6

   2 직선 l을 y축 방향으로 2만큼 평행이동한 직선의 방정식은

 y-2=mx-2m, 즉 y=mx-2m+2

 

원 (x+2)€+(y-3)€=6을 직선 y=x에 대하여 대칭이동

이 직선을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은

한 원의 방정식은

 -y=mx-2m+2

∴  y=-mx+2m-2

   (y+2)€+(x-3)€=6, 즉 (x-3)€+(y+2)€=6

   3 직선 y=-mx+2m-2가 점 (3, 2)를 지나므로

 

이 원을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 6만큼 평

 2=-3m+2m-2

∴  m=-4

 

 

 

 

 

행이동한 원의 방정식은

   (x+2-3)€+(y-6+2)€=6

   따라서 구하는 원의 방정식은

   (x-1)€+(y-4)€=6

268  ⑴ 점 (a, 2)를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 4만큼 평

행이동하면 (a+3, 6)

   이 점을 다시 x축에 대하여 대칭이동하면 (a+3, -6)

   이 점이 점 (6, b)와 일치하므로

   a+3=6, -6=b



   ∴ a=3, b=-6

 ⑵ 점 (1, a)를 원점에 대하여 대칭이동하면 (-1, -a)

 

이 점을 다시 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만

큼 평행이동하면 (-2, -a+2)

   이 점이 점 (b, 1)과 일치하므로

   -2=b, -a+2=1



   ∴ a=1, b=-2

 ⑶ 점 (a, b)를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -5만큼

평행이동하면 (a+2, b-5)

 

이 점을 다시 원점에 대하여 대칭이동하면 (-a-2, -b+5)

   이 점이 점 (2, -1)과 일치하므로

   -a-2=2, -b+5=-1



   ∴ a=-4, b=6

 ⑷ 점 (a, b)를 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 (b, a)

 

이 점을 다시 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 -3

만큼 평행이동하면 (b-2, a-3)

   이 점이 점 (0, 0)과 일치하므로

   b-2=0, a-3=0



   ∴ a=3, b=2

 따라서 직선 l의 방정식은 y=-4x+8이다.

 ⑵ 점 (0, 2)를 지나고 기울기가 m인 직선 l의 방정식은

   y-2=m(x-0)

∴  y=mx+2

 

직선 l을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평

행이동한 직선의 방정식은

   y+1=m(x-3)+2, 즉 y=mx-3m+1

   이 직선을 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은

   y=-mx-3m+1

   이때, 직선 y=-mx-3m+1이 점 (1, 5)를 지나므로

   5=-m-3m+1

∴  m=-1

   따라서 직선 l의 방정식은 y=-x+2이다.

 ⑶ 점 (3, -2)를 지나고 기울기가 m인 직선 l의 방정식은

   y+2=m(x-3)

∴  y=mx-3m-2

 

직선 l을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평

행이동한 직선의 방정식은

   y-2=m(x+2)-3m-2, 즉 y=mx-m

   이 직선을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은

   -y=mx-m

∴  y=-mx+m

   이때, 직선 y=-mx+m이 점 (3, -2)를 지나므로

   -2=-3m+m

∴  m=1

   따라서 직선의 방정식은 y=x-5이다.

271   직선 2x-5y+k=0을 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으

로 1만큼 평행이동한 직선의 방정식은

 2(x+3)-5(y-1)+k=0



 즉, 2x-5y+k+11=0

 이 직선을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은

 2y-5x+k+11=0

∴  5x-2y-k-11=0

 이때, 직선 5x-2y-k-11=0이 점 (1, -1)을 지나므로

 5+2-k-11=0

∴  k=-4































































269   점 (-4, a)를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -1만큼

평행이동하면 (-1, a-1)

 이 점을 다시 직선 y=-x에 대하여 대칭이동하면 (-a+1, 1)

272  ⑴ f(x-2, y)=0의 그래프는 f(x, y)=0의 그래프를 x축의

방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.

 이 점이 점 (-1, b)와 일치하므로

 -a+1=-1, 1=b

∴  a=2, b=1

 ∴ ab=2

y
3

1

O

y
3

1

O





 ⇨

1 2

x

3 4

x

270  ⑴ 1 점 (2, 0)을 지나고 기울기가 m인 직선 l의 방정식은


 y-0=m(x-2)

∴  y=mx-2m

 



 

f(x, y)=0

 ⇨

f(x-2, y)=0

122    정답과 풀이













y

O
-1

-3

y
6

4

y
3

1

O

y
3

1

O

이다.



 ⑵ f(x, y+4)=0의 그래프는 f(x, y)=0의 그래프를 y축의



 ⑶ f(-x, -y)=0의 그래프는 f(x, y)=0의 그래프를 원점에

방향으로 -4만큼 평행이동한 것이다.

대하여 대칭이동한 것이다.

1 2

x

 ⇨

1 2

x

y

y

1

 ⇨

O

-1

1

2

x

-2 -1

O x

 





f(x, y)=0

 ⇨

f(x, y+4)=0

 





f(x, y)=0

 ⇨

f(-x, -y)=0

 ⑶ f(x+1, y-3)=0의 그래프는 f(x, y)=0의 그래프를 x축

 ⑷ f(y, x)=0의 그래프는 f(x, y)=0의 그래프를 직선 y=x

의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것

에 대하여 대칭이동한 것이다.

 ⇨

1 2

x

O

1

x



 





f(x, y)=0

 ⇨  f(x+1, y-3)=0

y

1

O

y=x

 ⇨

-2 -1

x

y

y=x

1

O

x

-1

-2

 



f(x, y)=0

 ⇨

f(y, x)=0

 ⑸ f(-y, -x)=0의 그래프는 f(x, y)=0의 그래프를 직선

y=-x에 대하여 대칭이동한 것이다.

y

y=-x

y=-x

1

 ⇨

y

2

1



 



f(x, y)=0

 ⇨

f(-y, -x)=0

274  ⑴ f(x, y)=0이 나타내는 도형을 x축에 대하여 대칭이동하면
f(x, -y)=0이고, 이것을 다시 x축의 방향으로 -1만큼 평

행이동하면 f(x+1, -y)=0이다.

⇨

x2

2

⇨

x

-1

O

1

x

273  ⑴ f(x, -y)=0의 그래프는 f(x, y)=0의 그래프를 x축에 대

-2 -1

O

x

-1

O

x

하여 대칭이동한 것이다.

y

y

1

 ⇨

-2 -1

O x
-1

-1-2

O x

 





f(x, y)=0

 ⇨

f(x, -y)=0

   다른 풀이

 

원의 중심 (-2, 1)을 x축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는

(-2, -1)임을 이용할 수도 있다.

 

즉, f (x, -y)=0의 그래프는 중심이 (-2, -1)이고 반지

름의 길이가 1인 원이다.

   f(x, y)=0

⇨




f(x, -y)=0

⇨


 f(x+1, -y)=0



 ⑵ f(-x, y)=0의 그래프는 f(x, y)=0의 그래프를 y축에 대

 ⑵ f(x, y)=0이 나타내는 도형을 x축에 대하여 대칭이동하면

하여 대칭이동한 것이다.

y

y

1

1

 ⇨

-2 -1

O x

O

1

2

x

f(x, -y)=0이고, 이것을 다시 x축의 방향으로 2만큼 평행

이동하면 f(x-2, -y)=0이다.

⇨

x2

O

2

2

⇨

x

-1

4

x



 





f(x, y)=0

 ⇨

f(-x, y)=0



   f(x, y)=0




⇨

f(x, -y)=0


⇨

 f(x-2, -y)=0

y

1

O

y

1

O

y

-1

y

y

O

-1

y

O

-1

3. 도형의 방정식    123















 ⑶ f(x, y)=0이 나타내는 도형을 y축에 대하여 대칭이동하면

276   직선 y=2x+1을 y축의 방향으로 k만큼 평행이동한 직선의 방

f(-x, y)=0이고, 이것을 다시 y축의 방향으로 -1만큼 평

정식은 y-k=2x+1

행이동하면 f(-x, y+1)=0이다.

 이 직선을 다시 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은

y

1

y

⇨

x2

-2

O

-2

O

⇨

x

x

-1

 x-k=2y+1

∴  x-2y-k-1=0

 x€+y€-4x-5=0에서 (x-2)€+y€=9

  직선 x-2y-k-1=0이 원의 넓이를 이등분하려면 원의 중심

y

1

O

y

1









































 

f(x, y)=0


⇨

 f(-x, y)=0


⇨

 f(-x, y+1)=0

 ⑷ f(x, y)=0이 나타내는 도형을 직선 y=x에 대하여 대칭이

동하면 f(y, x)=0이고, 이것을 다시 y축의 방향으로 -2만

큼 평행이동하면 f(y+2, x)=0이다.

y=x

y=x

y

y
2

O

O

x2

⇨

⇨

x

1

1

x

O

-2



   f(x, y)=0



⇨


f(y, x)=0



⇨

 f(y+2, x)=0

275  ⑴ 직선 3x-4y+1=0을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으

로 -2만큼 평행이동한 직선의 방정식은

   3(x-1)-4(y+2)+1=0



   ∴ 3x-4y-10=0

원의 중심 (a, 2)를 지나야 하므로

   3a-8-10=0

∴  a=6

 

이 직선이 원 (x-a)€+(y-2)€=8의 넓이를 이등분하려면

 ⑵ 직선 y=ax+4를 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은

   y=-ax+4

   x€+y€-4x+4y+7=0에서

   (x-2)€+(y+2)€=1

(2, -2)를 지나야 하므로

   -2=-2a+4

∴  a=3

 ⑶ 직선 2x+y+a=0을 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 직

선의 방정식은

   2x+y-2+a=0

식은

   2y+x-2+a=0

∴  x+2y+a-2=0

   x€+y€-8x+4y+4=0에서

   (x-4)€+(y+2)€=16

심 (4, -2)를 지나야 하므로

   4-4+a-2=0

∴  a=2

124    정답과 풀이























































(2, 0)을 지나야 하므로

 2-k-1=0

∴  k=1

277  ⑴ 직선 x-y+k=0을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로

3만큼 평행이동한 직선의 방정식은

   x-2-(y-3)+k=0

∴  x-y+k+1=0

 

이 직선이 원 x€+y€=2와 접하려면 원의 중심 (0, 0)과 직선
사이의 거리가 원의 반지름의 길이 '2와 같아야 하므로

 

|k+1|
"ƒ1€+(-1)€
   ∴ k=1 또는 k=-3

='2, |k+1|=2, k+1=\2

 ⑵ 직선 2x-y+k=0을 원점에 대하여 대칭이동한 직선의 방

정식은

   -2x-(-y)+k=0

∴  2x-y-k=0

   x€+y€-2x-8y+12=0에서 (x-1)€+(y-4)€=5

 

직선 2x-y-k=0이 원 (x-1)€+(y-4)€=5와 접하려면

원의 중심 (1, 4)와 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이
'5와 같아야 하므로
|2-4-k|
"ƒ2€+(-1)€
   ∴ k=3 또는 k=-7

='5, |k+2|=5, k+2=-5

 



 ⑶ 직선 3x-2y+4k=0을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향

으로 -1만큼 평행이동하면

   3(x-2)-2(y+1)+4k=0

   즉, 3x-2y+4k-8=0

   이 직선을 다시 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은

   x€+y€-4x+10y+16=0에서 (x-2)€+(y+5)€=13

 

직선 3x+2y+4k-8=0이 원 (x-2)€+(y+5)€=13과

접하려면 원의 중심 (2, -5)와 직선 사이의 거리가 원의 반
지름의 길이 'ß13과 같아야 하므로
|6-10+4k-8|
"ƒ3€+2€

='ß13

 

   ∴ k=:™4∞: 또는 k=-;4!;

278   직선 x-3y+7=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면

  이 직선을 x축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 직선의 방정식은

 3(x+1)-y-7=0

∴  3x-y-4=0

 

이 직선을 다시 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선의 방정

   |4k-12|=13, 4k-12=-13

 

직선 x+2y+a-2=0이 원의 넓이를 이등분하려면 원의 중

y-3x+7=0, 즉 3x-y-7=0

 

직선 y=-ax+4가 원의 넓이를 이등분하려면 원의 중심

   3x+2y+4k-8=0



  이 직선이 원 x€+y€=a와 접하려면 원의 중심 (0, 0)과 직선 사

 ⑶ 점 Q의 좌표를 (a, b)라 하면 두 점 P(-1, 4), Q(a, b)에 대

이의 거리가 원의 반지름의 길이 'a와 같아야 하므로





|-4|
"ƒ3€+(-1)€

='a, 4='ß10a, 16=10a

∴  a=;5*;

   의 점이므로

   하여 PQ’의 중점 {

-1+a
2

,

4+b
2 }가 직선 x-3y-2=0 위

 ⑵ 점 Q(x, y)라 하면 점 M(3, 0)은 두 점 P(1, -2), Q(x, y)

279  ⑴ 3, -2, 4, -9, 4, -9


의 중점이므로





1+x
2

=3,

-2+y
2

=0

   따라서 x=5, y=2이므로 점 Q의 좌표는 (5, 2)이다.

 ⑶ 점 Q(x, y)라 하면 점 M(-1, -2)는 두 점 P(-4, 1),

Q(x, y)의 중점이므로





-4+x
2

=-1,

=-2

1+y
2

   따라서 x=2, y=-5이므로 점 Q의 좌표는 (2, -5)이다.

이다.











































280   원 (x-1)€+(y-2)€=4의 중심 (1, 2)를 점 (2, -3)에 대하
여 대칭이동한 점을 (x, y)라 하면 점 (2,  -3)은 두 점 (1, 2)

와 (x, y)의 중점이므로



1+x
2

2+y
2

=2,

=-3

∴  x=3, y=-8

  따라서 중심이 (3, -8)이고 반지름의 길이가 2인 원의 방정식은

 (x-3)€+(y+8)€=4

281  ⑴ 1 두 점 P(3, 0), Q(a, b)에 대하여 PQ’의

 

 중점 {

3+a
2

,

0+b
2 }가 직선 y=2x-1 위의 점이므로

 



=2*

-1

∴  2a-b=-4

…… ㉠

b
2

3+a
2

   2 직선 PQ와 직선 y=2x-1은 서로 수직이므로

 



*2=-1

∴  a+2b=3

…… ㉡

b-0
a-3

   3 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=2

 

 따라서 점 Q의 좌표는 (-1, 2)이다.

 

=-

+1

∴  a+b=-1

…… ㉠

1+b
2

2+a
2

   또, 직선 PQ와 직선 y=-x+1은 서로 수직이므로

 

*(-1)=-1

∴  a-b=1

…… ㉡

b-1
a-2

   ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=-1

   따라서 점 Q의 좌표는 (0, -1)이다.





























































 

-1+a
2

4+b
2

-3*

-2=0

∴  a-3b=17 …… ㉠

   또, 직선 PQ와 직선 x-3y-2=0, 즉 y=;3!;x-;3@;는 서로

   수직이므로

 

b-4
a+1

*;3!;=-1

   ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-5

   따라서 점 Q의 좌표는 (2, -5)이다.

∴  3a+b=1

…… ㉡

282  ⑴ 1 x€+y€-4x+6y+9=0에서



(x-2)€+(y+3)€=4

 



따라서 원의 중심의 좌표는 (2, -3), 반지름의 길이는 2

   2 원의 중심을 직선 l에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를

(a, b)라 하면 두 점 (2, -3), (a, b)의 중점

2+a
2

{

,

-3+b
2

-3+b
2

=

2+a
2

}가 직선 y=x-2 위의 점이므로

-2

∴  a-b=-1  …… ㉠

또, 두 점을 지나는 직선이 직선 y=x-2와 수직이므로

b-(-3)
a-2

*1=-1

∴  a+b=-1  …… ㉡

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=0

 따라서 구하는 점의 좌표는 (-1, 0)이다.

   3 중심이 (-1, 0)이고 반지름의 길이가 2인 원의 방정식은

 



(x+1)€+y€=4









 

 

 

 

 

 

 ⑵ x€+y€+2x-3=0에서

   (x+1)€+y€=4

 

원의 중심 (-1, 0)을 직선 l에 대하여 대칭이동한 점의 좌표

를 (a, b)라 하면 두 점 (-1, 0), (a, b)의 중점

   {

-1+a
2

,

0+b
2 }가 직선 2x-y+1=0 위의 점이므로

   2*

-

+1=0

∴  2a-b=0

…… ㉠

-1+a
2

b
2

 

또, 두 점을 지나는 직선과 직선 2x-y+1=0, 즉 y=2x+1

   ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-;5!;, b=-;5@;

   따라서 중심이 {-;5!;, -;5@;}이고 반지름의 길이가 2인 원의

   방정식은

   {x+;5!;}

€+{y+;5@;}

€=4

3. 도형의 방정식    125

 ⑵ 점 Q의 좌표를 (a, b)라 하면 두 점 P(2, 1), Q(a, b)에 대하여

   PQ’의 중점 {

2+a
2

,

1+b
2 }가 직선 y=-x+1 위의 점이므로

은 서로 수직이므로

 

b-0
a-(-1)

*2=-1

∴  a+2b=-1

…… ㉡



































































 ⑶ x€+y€+2x-10y+20=0에서 (x+1)€+(y-5)€=6

 ⑶ 점 A(1, 2)를 직선 y=x에 대하여

y

 

원의 중심 (-1, 5)를 직선 l에 대하여 대칭이동한 점의 좌표

   대칭이동한 점을 A'이라 하면

를 (a, b)라 하면 두 점 (-1, 5), (a, b)의 중점

   A'(2, 1)









 

 {

-1+a
2

,

5+b
2 }가 직선 3x-4y-2=0 위의 점이므로

 3*

-1+a
2

5+b
2

-4*

-2=0

∴  3a-4b=27 …… ㉠

   또, 두 점을 지나는 직선과 직선 3x-4y-2=0

   즉, y=;4#;x-;2!;은 서로 수직이므로

b-5
a-(-1)

*;4#;=-1

∴  4a+3b=11

 …… ㉡

   ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, b=-3

따라서 중심이 (5, -3)이고 반지름의 길이가 '6인 원의 방정
식은 (x-5)€+(y+3)€=6

   AP’=A'P’이므로

   AP’+BP’ =A'P’+BP’   



>A'B’
="ƒ(3-2)€+(4-1)€
='ß10

285  ⑴ 점 A(-1, 3)을 x축에 대하여


대칭이동한 점을 A'이라 하면

 

   A'(-1, -3)

   AP’=A'P’이므로

   AP’+BP’ =A'P’+BP’   

B(3, 4)

y=x

A(1, 2)

P

A'(2, 1)

x

O

y
A(-1, 3)

B(-5, 1)

P

O

x

A'(-1, -3)

283  x€+y€-6x-2y+9=0에서 (x-3)€+(y-1)€=1


  원의 중심 (3, 1)을 직선 4x-2y=5에 대하여 대칭이동한 점의

좌표를 (a, b)라 하면 두 점 (3, 1), (a, b)의 중점

 {

3+a
2

,

1+b
2 }가 직선 4x-2y=5 위의 점이므로

 4*

-2*

=5

∴  2a-b=0  …… ㉠

3+a
2

1+b
2

 또, 두 점을 지나는 직선이 직선 4x-2y=5

 즉, y=2x-;2%;와 수직이므로



b-1
a-3

*2=-1

∴  a+2b=5  …… ㉡

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=2

 따라서 중심이 (1, 2)이고 반지름의 길이가 1인 원의 방정식은

 (x-1)€+(y-2)€=1

 이 원이 점 (2, k)를 지나므로

 (2-1)€+(k-2)€=1

∴  k=2

284  ⑴ 1 점 A(1, 2)를 x축에 대하여
 대칭이동한 점은 A'(1, -2)


 

   2 AP’=A'P’이므로

 AP’+BP’ =A'P’+BP’

 

 

 





>A'B’
="ƒ(3-1)€+(4+2)€
=2'ß10

y

B(3, 4)

A(1, 2)

O

P

x

A'(1, -2)

 ⑵ 점 A(-1, 3)을 y축에 대하여

   대칭이동한 점을 A'이라 하면

A(-1, 3) A'(1, 3)

   A'(1, 3)

   AP’=A'P’이므로

   AP’+BP’ =A'P’+BP’  



B(-5, 1)

x

y

O

P



>A'B’
="ƒ(-5+1)€+(1+3)€
=4'2



>A'B’
="ƒ(-5-1)€+(1-3)€
=2'ß10

 ⑶ 점 A(-1, 3)을 직선 y=x

 

에 대하여 대칭이동한 점을 A'

y
A(-1, 3)

y=x

이라 하면 A'(3, -1)

   AP’=A'P’이므로

   AP’+BP’ =A'P’+BP’



B(-5, 1)

O

P

x

A'(3, -1)



>A'B’
="ƒ(-5-3)€+(1+1)€
=2'ß17

286  점 A(-1, 1)을 x축에 대하여
 대칭이동한 점을 A'이라 하면


 A'(-1, -1)

 AP’=A'P’이므로

 AP’+BP’=A'P’+BP’>A'B’

  즉, 점 P가 직선 A'B 위에 있을 때

AP’+BP’의 값이 최소가 된다.

y

B(2, 3)

A(-1, 1)

O

P

A'(-1, -1)

x

 ⑵ 점 A(1, 2)를 y축에 대하여

   대칭이동한 점을 A'이라 하면

   A'(-1, 2)

   AP’=A'P’이므로

B(3, 4)

 직선 A'B의 방정식은

A'(-1, 2)

A(1, 2)

 y-(-1)=

3-(-1)
2-(-1)

{x-(-1)}

∴  y=;3$;x+;3!;

 이때, 점 P는 x축 위에 있으므로 점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하면

   AP’+BP’ =A'P’+BP’



x

y

P

O



 0=;3$;a+;3!;

∴  a=-;4!;

 따라서 구하는 점 P의 좌표는 {-;4!;, 0}이다.



>A'B’
="ƒ(3+1)€+(4-2)€
=2'5

126    정답과 풀이































































































287  ⑴ 1 점 A(3, 2)를 x축에 대하여
대칭이동한 점은 A'(3, -2)


 



y
B'(-1, 4)

B(1, 4)

 



점 B(1, 4)를 y축에 대하여

Q

A(3, 2)

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207쪽~208쪽

289   평행이동 (x, y) bd (x+a, y-4)에 의하여


 점 (1, 2)가 점 (-2, b)로 옮겨지므로

O

P

x

 1+a=-2, 2-4=b



A'(3, -2)

 ∴ a=-3, b=-2

대칭이동한 점은 B'(-1, 4)

   2 AP’=A'P’, BQ’=B'Q’이므로

 

 AP’+PQ’+QB’

        =A'P’+PQ’+QB'’>A'B'’

 



="ƒ(-1-3)€+(4+2)€
=2'ß13



 ⑵ 점 A(4, 3)을 x축에 대하여

 

대칭이동한 점을 A', 점 B(2, 5)

y
B'(-2, 5) B(2, 5)

를 y축에 대하여 대칭이동한 점을

A(4, 3)

B'이라 하면

   A'(4, -3), B'(-2, 5)

   AP’=A'P’, BQ’=B'Q’이므로

O

P

x

 a-3=2, b+10=5



 ∴ a=5, b=-5

290   점 (4, -7)을 점 (1, 3)으로 옮기는 평행이동을



(x, y) bd (x+m, y+n)이라 하면

 4+m=1, -7+n=3



 ∴ m=-3, n=10

  이때, 평행이동 (x, y) bd (x-3, y+10)에 의하여



점 (a, b)가 점 (2, 5)로 옮겨지므로

   AP’+PQ’+QB’=A'P’+PQ’+QB'’

A'(4, -3)

 

 

>A'B'’
="ƒ(-2-4)€+(5+3)€  
=10

291   직선 x+3y+1=0을 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으

로 2만큼 평행이동한 직선의 방정식은

 (x+3)+3(y-2)+1=0

∴  x+3y-2=0

 이 방정식이 직선 x+ay+b=0과 일치하므로

B'(-2, 6)

B(2, 6)

 a=3, b=-2

 ⑶ 점 A(4, 2)를 x축에 대하여

 

대칭이동한 점을 A', 점



B(2, 6)을 y축에 대하여 대칭

이동한 점을 B'이라 하면

   A'(4, -2), B'(-2, 6)

   AP’=A'P’, BQ’=B'Q’이므로

      AP’+PQ’+QB’=A'P’+PQ’+QB'’

     



 

>A'B'’
="ƒ(-2-4)€+(6+2)€
=10

A(4, 2)

P

x

A'(4, -2)

292  x€+y€-6x-4y+12=0에서


 (x-3)€+(y-2)€=1

  이 원을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동

한 원의 방정식은

 (x-a-3)€+(y-b-2)€=1

 이 방정식이 원 x€+y€=1과 일치하므로

 -a-3=0, -b-2=0



 ∴ a=-3, b=-2





Q

y

Q

O

288   왼쪽 아래의 모퉁이를 원점으로 하는 좌표평면 위에 A, B, P, Q

293   점 (2, -3)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는

를 나타내면 다음 그림과 같다.

y
A'(-4, 9)

A(4, 9)

P

O

B(12, 3)

Q

x

B'(12, -3)



  이 점을 x축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는



(-3, 2)

(-3, -2)

294   점 (2, 4)를 x축에 대하여 대칭이동한 점은 P(2, -4),

y축에 대하여 대칭이동한 점은 Q(-2, 4)



 ∴ PQ’="ƒ(-2-2)€+(4+4)€=4'5

  점 A(4, 9)를 y축에 대하여 대칭이동한 점을 A', 점 B(12, 3)

을 x축에 대하여 대칭이동한 점을 B'이라 하면

295   직선 x+3y+k=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선의

 A'(-4, 9), B'(12, -3)

 AP’=A'P’, BQ’=B'Q’이므로

 AP’+PQ’+QB’=A'P’+PQ’+QB'’

   



>A'B'’
="ƒ(12+4)€+(-3-9)€
=20



방정식은

 y+3x+k=0

∴  3x+y+k=0

 이 직선을 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은

 -3x+y+k=0

∴  3x-y-k=0

 이 직선이 점 (4, 1)을 지나므로

 12-1-k=0

∴  k=11

3. 도형의 방정식    127









































298  점 (-2, 2)를 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식은


∴  y=mx+2m+2

 y-2=m(x+2)

  이 직선을 x축의 방향으로 1만큼 평행이동한 직선의 방정식은

y=m(x-1)+2m+2

∴  y=mx+m+2

므로



0-a
b-4

 이 직선을 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=0

296   원 (x-1)€+(y+2)€=4를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한

원의 방정식은

 (y-1)€+(x+2)€=4

∴  (x+2)€+(y-1)€=4

 이때, 이 원의 중심 (-2, 1)이 직선 y=ax+3 위에 있으므로

 1=-2a+3

∴  a=1

297   원 x€+y€=1을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -3만

큼 평행이동한 원의 방정식은

  (x-3)€+(y+3)€=1



 (-x-3)€+(-y+3)€=1

 ∴ (x+3)€+(y-3)€=1

이 원을 원점에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은

 -x=-my+m+2

∴  x-my+m+2=0

 이때, 직선 x-my+m+2=0이 점 (2, 3)을 지나므로

 2-3m+m+2=0

∴  m=2

 따라서 처음 직선의 방정식은 y=2x+6

299   직선 x-3y+14=0을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으

로 3만큼 평행이동한 직선의 방정식은

  이 직선이 원 (x+1)€+(y-a)€=4의 넓이를 이등분하려면 원

 (x+2)-3(y-3)+14=0

 ∴ x-3y+25=0

의 중심 (-1, a)를 지나야 하므로

 -1-3a+25=0

∴  a=8

300   직선 y=-2x+a를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선의 방

정식은 x=-2y+a

  이 직선을 다시 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 2만큼

평행이동한 직선의 방정식은

 x+2=-2(y-2)+a

∴  x+2y-a-2=0

  이 직선이 원 (x+2)€+(y-4)€=16의 넓이를 이등분하려면

원의 중심 (-2, 4)를 지나야 하므로

 -2+8-a-2=0

∴  a=4

301   직선 x-y+a=0을 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은


 -x-y+a=0

∴  x+y-a=0



  이 직선이 원 (x-2)€+(y+1)€=2와 접하려면 원의 중심

(2, -1)과 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이 '2 와 같아야
하므로



|2-1-a|
"ƒ1€+1€
 a-1=-2

='2, |a-1|=2

∴  a=3 또는 a=-1

128    정답과 풀이



















































































302  두 점 P(3, a), Q(b, 4)에 대하여 PQ’의 중점 {


 직선 y=2x+1 위의 점이므로

3+b
2

,

a+4
2 }가

=2*

+1

∴  a-2b=4

…… ㉠

3+b
2

 또, 직선 PQ와 직선 y=2x+1은 서로 수직이므로

*2=-1

∴  2a-b=5  

…… ㉡





a+4
2

4-a
b-3

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-1

303   두 점 P(4, a), Q(b, 0)에 대하여 PQ’의 중점 {


 직선 2x+y=5 위의 점이므로

4+b
2

,

a+0
2 }이

 2*

+

=5

∴  a+2b=2

…… ㉠

4+b
2

a 
2

  또, 직선 PQ와 직선 2x+y=5, 즉 y=-2x+5는 서로 수직이

*(-2)=-1

∴  2a+b=4

…… ㉡

304   두 원의 중심 (-4, 2), (0, 0)을 이은 선분의 중점

 {

-4+0
2

,

 1=-2a+b

2+0
2 }, 즉 (-2, 1)이 직선 y=ax+b 위의 점이므로
∴  2a-b=-1  

…… ㉠

 또, 두 점을 지나는 직선과 직선 y=ax+b는 서로 수직이므로



0-2
0-(-4)

*a=-1

∴  a=2  

…… ㉡

 ㉡을 ㉠에 대입하여 풀면 a=2, b=5

305  점 A(1, 2)를 y축에 대하여
 대칭이동한 점을 A'이라 하면


 A'(-1, 2)

 AP’=A'P’이므로

 AP’+BP’ =A'P’+BP’ 

 

y

P

O

B(4, 3)

x

A'(-1, 2)

A(1, 2)

>A'B’
="ƒ(4+1)€+(3-2)€
='ß26



306   점 A(3, 1)을 x축에 대하여


  대칭이동한 점을 A', 점 B(4, 2)

를 y축에 대하여 대칭이동한 점

을 B'이라 하면

 A'(3, -1), B'(-4, 2)

 AP’=A'P’, BQ’=B'Q’이므로

B'(-4, 2)

y

Q

O

P

B(4, 2)

A(3, 1)

x

A'(3, -1)

 AP’+PQ’+QB’ =A'P’+PQ’+QB'’ 

 

>A'B'’

="ƒ(-4-3)€+(2+1)€
='ß58