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2018년 천재교육 짤강 고등 수학( 하 ).pdf Download | FlareBrick FDS
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개념에 강한
짧지만
짤강 고등수학 (하)
정답과 해설
01 집합
02 집합의 연산
03 명제
04 명제의 증명
05 함수
07 유리함수
08 무리함수
09 경우의 수
10 순열
11 조합
06 합성함수와 역함수
02
05
09
12
14
16
20
24
28
31
34
01 집합
8-1 ⑴ ø, , ⑵ 2, ,
8-2 ⑴ 1²B이므로 AøB
3<A, 5<A이므로 B,A
1-1 ㄱ
1-2 ㄱ. 작은 유리수의 모임은 그 대상을 분명히 정할 수 없으므
⑵ A={1, 2, 3}, B={1, 2, 3, 4}
1<B, 2<B, 3<B이므로 A,B
본문 | 008~013쪽
∴ B,A
ㄴ. 10보다 큰 자연수의 모임은 11, 12, 13, …이므로 집합
로 집합이 아니다.
이다.
ㄷ. 아름다운 산의 모임은 그 대상을 분명히 정할 수 없으므
로 집합이 아니다.
따라서 집합인 것은 ㄴ이다.
2-1 ², <
2-2 30보다 작은 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29이므
로
2 < A, 4 ² A, 9 ² A, 11 < A
3-1 ⑴ 20 ⑵ 1
3-2 ⑴ {x|x는 5 이하의 자연수}={1, 2, 3, 4, 5}
⑵ {x|x는 12의 양의 약수}={1, 2, 3, 4, 6, 12}
4-1 ⑴ 8 ⑵ 3
4-2 ⑴ {5, 10, 15, 20, y}={x|x는 5의 배수}
⑵ {2, 3, 5, 7}={x|x는 10보다 작은 소수}
5-1 1, 16
5-2 18의 양의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18이므
로 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽
그림과 같다.
A
2
9
3
18
1
6
6-1 ⑴ 무한 ⑵ 유한
6-2 ⑴ {1, 3, 5, y, 99}는 원소가 50개인 유한집합이다.
⑵ {x|x는 20보다 큰 자연수}={21, 22, 23, y}은 원소
가 무수히 많은 무한집합이다.
⑶ {x|x<1, x는 자연수}=i
공집합은 원소가 0개인 유한집합이다.
7-1 ⑴ 5 ⑵ 4, 4
7-2 ⑴ A={0, 2, 4, 6, 8, 10}이므로
n(A)=6
⑵ B ={x|x는 30 이하의 4의 배수}
={4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}
이므로 n(B)=7
⑶ C={x|1<x<2, x는 자연수}=i이므로
n(C)=0
02 ⦁ 정답과 해설
4²A이므로 BøA
∴ A,B
9-1 i, 3, 2
9-2 ⑴ 원소가 0개인 부분집합은 i
원소가 1개인 부분집합은 {1}, {2}
원소가 2개인 부분집합은 {1, 2}
따라서 구하는 부분집합은
i, {1}, {2}, {1, 2}
⑵ B={1, 3, 9}이므로
원소가 0개인 부분집합은 i
원소가 1개인 부분집합은 {1}, {3}, {9}
원소가 2개인 부분집합은 {1, 3}, {1, 9}, {3, 9}
원소가 3개인 부분집합은 {1, 3, 9}
따라서 구하는 부분집합은
i, {1}, {3}, {9}, {1, 3}, {1, 9}, {3, 9}, {1, 3, 9}
10-1 1, A
10-2 A={x|xÛ`=1}={-1, 1}, B={-1, 1}
C={1}, D={x|xÉ2, x는 자연수}={1, 2}
따라서 서로 같은 집합은A와 B이다.
11-1 a, b
11-2 ⑴ 집합 A={1, 2, 3}의 진부분집합은 {1, 2, 3}의 부분집
합 중 자기 자신, 즉 {1, 2, 3}을 제외한 것이므로
i, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}
⑵ 집합 B={x|x는 5 이하의 짝수}={2, 4}의 진부분집
합은 {2, 4}의 부분집합 중 자기 자신, 즉 {2, 4}를 제
외한 것이므로
i, {2}, {4}
12-1 2, 4
12-2 ⑴ A={1, 3, 5, 7, 9}의 원소 1, 3, 5, 7, 9 각각에 대하여
부분집합에 속하는 경우와 속하지 않는 경우의 2가지
경우가 있으므로 부분집합의 개수는
2_2_2_2_2=2Þ`=32
⑵ B={1, 2, 3, y, 10}의 원소 1, 2, 3, y, 10 각각에 대
하여 부분집합에 속하는 경우와 속하지 않는 경우의 2
가지 경우가 있으므로 부분집합의 개수는
2_2_2_y_2=2Ú`â`=1024
⑶ C={x|x는 12 이하의 소수}={2, 3, 5, 7, 11}의 원소
2, 3, 5, 7, 11 각각에 대하여 부분집합에 속하는 경우와
속하지 않는 경우의 2가지 경우가 있으므로 부분집합
의 개수는
2_2_2_2_2=2Þ`=32
13-1 2, 1, 4
13-2 ⑴ 원소 1, 2를 포함하는 부분집합은 원소 1, 2를 제외한
집합 {3, 4, 5}의 부분집합에 원소 1, 2를 포함시키면
되므로 구하는 부분집합의 개수는
25-2=2Ü`=8
⑵ 원소 1을 포함하지 않는 부분집합은 원소 1을 제외한
집합 {2, 3, 4, 5}의 부분집합과 같으므로 구하는 부분
집합의 개수는
25-1=2Ý`=16
⑶ 짝수 2, 4를 포함하지 않는 부분집합은 원소 2, 4를 제
외한 집합 {1, 3, 5}의 부분집합과 같으므로 구하는 부
분집합의 개수는
25-2=23=8
3 ⑴ {1, 2, 3, 4, y, 50}={x|x는 50 이하의 자연수}
⑵ {1, 4, 9, 16, 25}={xÛ`|x는 5 이하의 자연수}
⑶ {2, 4, 8, 16}={x|x=2k, k=1, 2, 3, 4}
⑷ {4, 8, 12, 16, y}={x|x는 4의 배수}
⑸ {10, 20, 30, y, 90}={x|x는 90 이하의 10의 배수}
⑹ {1, 3, 9, 27}={x|x는 27의 양의 약수}
참고 ⑶ {2, 4, 8, 16} ={x|x=2k, k=1, 2, 3, 4}
={2x|x는 4 이하의 자연수}
조건제시법으로 나타낼 수 있는 방법은 한 가지로 정
해져 있는 것이 아니다.
4 ⑴ i
⑵ {1}, {5}
⑶ {1, 5}
5 ⑴ i
⑵ {a}, {b}, {c}, {d}
⑶ {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}
⑷ {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}
⑸ {a, b, c, d}
6 ⑴ A={1, 2, 3, 4, 5, 6}의 원소 각각에 대하여 부분집합에
속하는 경우와 속하지 않는 경우의 2가지 경우가 있으므로
부분집합의 개수는
2_2_2_2_2_2=2ß`=64
집중 연습
본문 | 014, 015쪽
⑵ 집합 A={1, 2, 3, 4, 5, 6}의 진부분집합은 부분집합 중
자기 자신, 즉 {1, 2, 3, 4, 5, 6}을 제외한 것이므로 그 개
1 ⑴ ‘재미있는’의 기준이 명확하지 않아 그 대상을 분명히 정할
수 없으므로 집합이 아니다. (_)
⑵ ‘잘하는’의 기준이 명확하지 않아 그 대상을 분명히 정할
수는
2ß`-1=63
수 없으므로 집합이 아니다. (_)
⑶ 우리나라 광역시의 모임은 {부산, 대구, 인천, 광주, 대전,
울산}이므로 집합이다. (○)
⑷ 10보다 큰 10의 양의 약수의 모임은 i이므로 집합이다.
⑶ 원소 1, 2를 포함하는 부분집합은 원소 1, 2를 제외한 집합
{3, 4, 5, 6}의 부분집합에 원소 1, 2를 포함시키면 되므로
구하는 부분집합의 개수는
26-2=2Ý`=16
(○)
⑷ 원소 1, 2를 포함하지 않는 부분집합은 원소 1, 2를 제외한
집합 {3, 4, 5, 6}의 부분집합과 같으므로 그 개수는
⑸ 2보다 큰 소수의 모임은 {3, 5, 7, 11, 13, y}이므로 집합
26-2=2Ý`=16
이다. (○)
⑸ 원소 1은 포함하고 원소 2는 포함하지 않는 부분집합은 원
소 1, 2를 제외한 집합 {3, 4, 5, 6}의 부분집합에 원소 1을
포함시키면 되므로 구하는 부분집합의 개수는
26-1-1=2Ý`=16
2 ⑴ 자연수를 3으로 나눈 나머지는 0, 1, 2이므로
{0, 1, 2}
⑵ xÛ`=4에서 x=-2 또는 x=2이므로 {-2, 2}
⑶ 10보다 작은 3의 배수는 3, 6, 9이므로 {3, 6, 9}
⑷ -2ÉxÉ2를 만족시키는 정수는 -2, -1, 0, 1, 2이므로
{-2, -1, 0, 1, 2}
⑸ 1ÉxÉ15를 만족시키는 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13이므로
{2, 3, 5, 7, 11, 13}
⑹ 30의 양의 약수 중 짝수는 2, 6, 10, 30이므로
{2, 6, 10, 30}
01. 집합 ⦁ 03
기초 문제
가평
본문 | 018, 019쪽
∴ n(A)=0
기초 개념
가평
본문 | 016, 017쪽
01 집합
03 a²A
05 조건제시법
07 유한
09 원소
11 A=B
13 A,B
15 2n-1
02 a<A
04 원소나열법
06 무한
08 유한
10 집합
12 A+B
14 2n
16 2n-1
1 ㄱ. ‘유명한’의 기준이 명확하지 않아 그 대상을 분명히 정할
ㄴ. ‘잘하는’의 기준이 명확하지 않아 그 대상을 분명히 정할
수 없으므로 집합이 아니다.
수 없으므로 집합이 아니다.
이다.
ㄷ. 0보다 큰 자연수의 모임은 {1, 2, 3, 4, 5, y}이므로 집합
ㄹ. ‘높은’의 기준이 명확하지 않아 그 대상을 분명히 정할 수
없으므로 집합이 아니다.
따라서 집합인 것은 ㄷ이다.
2 A ={x|10ÉxÉ30, x는 소수}
={11, 13, 17, 19, 23, 29}
⑴ 12 ² A
⑵ 13 < A
⑶ 24 ² A
⑷ 27 ² A
⑸ 29 < A
⑹ 30 ² A
3 a<A이므로 a=1, 2, 3
b<B이므로 b=4, 5
a+b를 구하면 다음과 같다.
b a
4
5
1
5
6
2
6
7
3
7
8
∴ C={5, 6, 7, 8}
6 ② {x|x는 0과 2 사이의 소수}=i
③ {x|x는 12의 배수}={12, 24, 36, 48, y}
④ {x|x는 30보다 작은 짝수}={2, 4, 6, y, 28}
⑤ {x|1ÉxÉ10, x는 5의 배수}={5, 10}
따라서 무한집합인 것은 ③이다.
7 ⑴ A={0, 1, {2, 3}}의 원소는 0, 1, {2, 3}이므로
⑵ A={i, 1, 2, 3}의 원소는 i, 1, 2, 3이므로
n(A)=3
n(A)=4
⑶ 소수의 약수는 2개이므로 약수가 3개인 소수는 없다.
즉, A={x|x는 약수가 3개인 소수}=i
∴ n(A)=0
⑷ A={x|x는 0과 1 사이의 정수}=i
8 ⑴ i은 원소가 없으므로 n(i)=0
⑵ {i}의 원소는 i이므로 n({i})=1
⑶ {0, i}의 원소는 0, i이므로 n({0, i})=2
9 A={i, 1, {1, 2}, 3}의 원소는 i, 1, {1, 2}, 3이다.
ㄱ. i<A (참)
ㄴ. {1, 2}<A (참)
ㄷ. {1, 3},A (참)
ㄹ. {1, 2, 3}øA, {{1, 2}, 3},A (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
10 A={x|x는 8의 양의 약수}={1, 2, 4, 8}
⑤ {1, 4, 8},A
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
11 A={2, 3, a}, B={2, 4, bÛ`-1}에 대하여
A=B이면 4<B에서 4<A이므로 a=4
3<A에서 3<B이므로 bÛ`-1=3
bÛ`=4
∴ b=2 (∵ b>0)
a=4, b=2일 때, A={2, 3, 4}, B={2, 4, 3}이 되어
A=B가 성립한다.
∴ a=4, b=2
4 ⑤ A ={x|x는 2로 나눈 나머지가 1인 자연수}
={1, 3, 5, 7, 9, 11, y}
따라서 나머지 넷과 다른 하나는 ⑤이다.
∴ n(A)=5
12 집합 A의 원소의 개수를 n이라 하면
집합 A의 진부분집합의 개수는 2n-1이므로
2n-1=31에서 2n=32=2Þ`
∴ n=5
5 A={x|x는 10보다 작은 짝수}={2, 4, 6, 8}
x<A에서 x=2, 4, 6, 8이므로
y=12-x=4, 6, 8, 10
∴ B={4, 6, 8, 10}
04 ⦁ 정답과 해설
13 집합 A={1, 3, 5, 15}의 부분집합의 개수는 a=2Ý`=16
3을 반드시 원소로 갖고 5를 원소로 갖지 않는 부분집합의
개수는 b=24-1-1=2Û`=4
∴ a+b=20
02 집합의 연산
본문 | 020~025쪽
1-1 ⑴ 5 ⑵ 2
1-2 A={x|x는 8의 양의 약수}={1, 2, 4, 8}
B={x|x는 6의 양의 약수}={1, 2, 3, 6}
⑴ 집합 A에도 속하고 집합 B에도 속하는 원소는 1, 2이므
⑵ 집합 A에 속하거나 집합 B에 속하는 원소는 1, 2, 3, 4,
로
A;B={1, 2}
6, 8이므로
A'B={1, 2, 3, 4, 6, 8}
2-1 2, B
2-2 A={3, 5, 7}, B={x|x는 4의 양의 약수}={1, 2, 4},
C={x|x는 소수}={2, 3, 5, 7, 11, y}
에서 A;B=i, A;C={3, 5, 7}, B;C={2}이므로
서로소인 집합은 A와 B이다.
3-1 ⑴ 10 ⑵ 8
3-2 ⑴ 집합 U의 원소 중 집합 A에 속하지 않는 원소는 a, e이
⑵ 집합 U의 원소 중 집합 B에 속하지 않는 원소는 b이므
므로 AC={a, e}
로 BC={b}
4-1 ⑴ 2 ⑵ 6, 6
4-2 ⑴ 집합 A에는 속하지만 집합 B에는 속하지 않는 원소는
1, 9이므로 A-B={1, 9}
⑵ 집합 B에는 속하지만 집합 A에는 속하지 않는 원소는 2
이므로 B-A={2}
5-1 U
5-2 (AC)C을 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.
U
A
U
A
➞
A
(A``)
따라서 (AC)C=A가 성립한다.
U
A B
U
A B
➞
A-B
(A-B)
또 AC'B를 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.
U
A B
U
A B
U
A B
➞
A
'
B
=
A``'B
따라서 (A-B)C=AC'B가 성립한다.
7-1 '
7-2 (A;B);C를 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.
A
A
A
C
A
B
C
B
C
B
C
(A;B)
;
=
(A;B);C
또 A;(B;C)를 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.
A
A
B
C
B
C
B
C
A
;
(B;C)
=
A;(B;C)
따라서 (A;B);C=A;(B;C)가 성립한다.
8-1 ', ;
8-2 A'(B;C)를 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.
A
A
A
B
C
B
C
B
C
A
'
(B;C)
=
A'(B;C)
또 (A'B);(A'C)를 벤다이어그램으로 나타내면 다
음과 같다.
A
A
A
B
C
B
C
B
C
(A'B)
;
(A'C)
=
(A'B);(A'C)
따라서 A'(B;C)=(A'B);(A'C)가 성립한다.
9-1 ;
9-2 (A;B)C을 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.
U
A B
U
A B
➞
A;B
(A;B)
A
'
B
A``'B
따라서 (A;B)C=AC'BC이 성립한다.
➞
=
02. 집합의 연산 ⦁ 05
6-1 BC
6-2 (A-B)C을 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.
또 AC'BC을 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.
U
A B
U
A B
U
A B
10-1 A
10-2 B;(A'B)를 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.
A
B
A
B
A
B
⑶ A={x|x는 6의 배수}={6, 12, 18, 24, 30, 36, y}
B={x|x는 9의 배수}={9, 18, 27, 36, 45, 54, y}
① 집합 A에도 속하고 집합 B에도 속하는 원소는
B
;
(A'B)
= B;(A'B)
② 집합 A에 속하거나 집합 B에 속하는 원소는
따라서 B;(A'B)=B가 성립한다.
11-1 ⑴ 2, 7 ⑵ 12, 7 ⑶ 5, 3
11-2 ⑴ n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B)
=12+16-9=19
⑵ n(BC) =n(U)-n(B)
⑶ n(A-B) =n(A)-n(A;B)
=25-16=9
=12-9=3
12-1 A;B, 2
12-2 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서
40=33+16-n(A;B)
∴ n(A;B)=49-40=9
집중 연습
본문 | 026, 027쪽
1 ⑴ A={x|x는 8보다 작은 짝수}={2, 4, 6}
B={x|x는 8의 양의 약수}={1, 2, 4, 8}
2, 4이므로
A;B={2, 4}
② 집합 A에 속하거나 집합 B에 속하는 원소는
1, 2, 4, 6, 8이므로
A'B={1, 2, 4, 6, 8}
⑵ A={x|x는 24의 양의 약수}={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
B={x|x는 32의 양의 약수}={1, 2, 4, 8, 16, 32}
① 집합 A에도 속하고 집합 B에도 속하는 원소는
1, 2, 4, 8이므로
A;B={1, 2, 4, 8}
② 집합 A에 속하거나 집합 B에 속하는 원소는
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32이므로
A'B={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32}
06 ⦁ 정답과 해설
18, 36, 54, y이므로
A;B={18, 36, 54, y}
6, 9, 12, 18, 24, 27, y이므로
A'B={6, 9, 12, 18, 24, 27, y}
2 ⑴ 전체집합 U의 원소 중 집합 A에 속하지 않는 원소는
4, 5, 6, 7이므로 AC={4, 5, 6, 7}
⑵ 전체집합 U의 원소 중 집합 B에 속하지 않는 원소는
1, 5, 7이므로 BC={1, 5, 7}
⑶ AC;BC={4, 5, 6, 7};{1, 5, 7}={5, 7}
⑷ AC'BC={4, 5, 6, 7}'{1, 5, 7}={1, 4, 5, 6, 7}
다른 풀이 ⑶ AC;BC=(A'B)C
이때 A'B={1, 2, 3, 4, 6}이므로
AC;BC={5, 7}
⑷ AC'BC=(A;B)C
이때 A;B={2, 3}이므로
AC'BC={1, 4, 5, 6, 7}
3 ⑴ 집합 A에는 속하지만 집합 B에는 속하지 않는
원소는 4, 6이므로 A-B={4, 6}
⑵ 집합 B에는 속하지만 집합 A에는 속하지 않는
원소는 1, 7, 9이므로 B-A={1, 7, 9}
4 ⑴ n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B)
=16+9-5=20
⑵ n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서
20=12+16-n(A;B)
∴ n(A;B)=28-20=8
⑶ n(A-B) =n(A)-n(A;B)
=15-8=7
=12-5=7
=40-16=24
⑸ n(A;BC) =n(A-B)=n(A'B)-n(B)
다른 풀이 ⑸ n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B)에서
40=33+16-n(A;B)
∴ n(A;B)=49-40=9
∴ n(A;BC) =n(A-B)=n(A)-n(A;B)
=33-9=24
5 ⑴ n(A;B) =n(A)+n(B)-n(A'B)
=16+19-28=7
⑵ n(A-B) =n(A)-n(A;B)
=16-7=9
① 집합 A에도 속하고 집합 B에도 속하는 원소는
⑷ n(A-B) =n(A'B)-n(B)
⑶ n(B-A) =n(B)-n(A;B)
=19-7=12
⑷ n(AC) =n(U)-n(A)
=30-16=14
⑸ n(BC) =n(U)-n(B)
=30-19=11
⑹ n((A'B)C) =n(U)-n(A'B)
⑺ n((A;B)C) =n(U)-n(A;B)
=30-28=2
=30-7=23
다른 풀이 ⑵ n(A-B) =n(A'B)-n(B)
=28-19=9
⑶ n(B-A) =n(A'B)-n(A)
=28-16=12
기초 개념
가평
본문 | 028, 029쪽
01 교집합
03 여집합
05 i
07 B;C
09 BC
11 i
02 합집합
04 차집합
06 i, A
08 A;C
10 AC
12 A;B
기초 문제
가평
1 A={x|x는 홀수}={1, 3, 5, 7, 9}
B={x|x는 3의 배수}={3, 6, 9}
∴ A;B={3, 9}
2 A-B={2, 4, 6}, A;B={1}을 벤
다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림
과 같다.
∴ A={1, 2, 4, 6}
A
B
2
4
6
1
3 A'B={1, 2, 3, k}이므로
1+2+3+k=10
∴ k=4
4 두 집합 A와 B가 서로소이므로 A;B=i
A-B ={1, 5}
AC;BC=(A'B)C={3}
U
을 벤다이어그램으로 나타내면 오
A
1
5
3
B
2
4
른쪽 그림과 같다.
∴ B={2, 4}
5 A;B={1, 3}이므로 3<A
즉 , aÛ`+2=3에서 aÛ`=1
∴ a=Ñ1
Ú a=-1일 때, A={1, 2, 3}, B={-1, 2, 3}
이때 A;B={2, 3}이므로 조건을 만족시키지 않는다.
Û a=1일 때, A={1, 2, 3}, B={1, 3, 4}
이때 A;B={1, 3}이므로 조건을 만족시킨다.
Ú, Û에서 구하는 a의 값은 1이다.
6 U={x|x는 9 이하의 자연수}={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A;B={3, 5}, B-A={2, 6},
(A'B)C={7, 8, 9}
U
7
A
1
4
B
2
6
3
5
8
9
를 벤다이어그램으로 나타내면 오
른쪽 그림과 같다.
∴ A-B ={1, 4}
7 U={x|x는 6의 양의 약수}={1, 2, 3, 6}
① A;{2, 3}={2, 3}
② A;{4, 6}={6}
③ A;{1, 3, 5}={1, 3}
④ {x|x는 4의 배수}={4, 8, 12, 16, y}이므로
A;{4, 8, 12, 16, y}=i
⑤ {x|x는 7보다 작은 소수}={2, 3, 5}이므로
A;{2, 3, 5}={2, 3}
따라서 A와 서로소인 것은 ④ {x|x는 4의 배수}이다.
8 A;BC=i이므로 A-B=i
② BøAC
① A,B
③ A;B=A
⑤ B-A+i
④ A'B=B
참고 A,B이면
•A'B=B
•A-B=i
•BC,AC
•A;B=A
•A;BC=i
9 A;(AC'B) =(A;AC)'(A;B)
=i'(A;B)
=A;B
={1, 2, 3, 4};{3, 4, 5}
={3, 4}
따라서 구하는 모든 원소의 합은 3+4=7이다.
02. 집합의 연산 ⦁ 07
본문 | 030, 031쪽
따라서 항상 옳은 것은 ① A,B이다.
10 (A;B)'(A-B)=(A;B)'(A; BC )
이때 두 교육을 모두 받지 않은 사원의 집합은
(A'B)C이므로 n((A'B)C)=17
n((A'B)C) =n(U)-n(A'B)
=200-n(A'B)
=17
∴ n(A'B)=183
심폐소생술 교육만을 받은 사원의 집합은 B-A이므로
n(B-A) =n(A'B)-n(A)
=183-120=63
(A;B)'(A-B)=A;(B' BC )
(A;B)'(A-B)=A;( U )
(A;B)'(A-B)=( A )
∴ ㈎ : BC ㈏ : U ㈐ : A
11 ⑴ A;(B'AC) =(A;B)'(A;AC)
=(A;B)'i
=A;B
⑵ A'(B;AC) =(A'B);(A'AC)
=(A'B);U
=A'B
⑶ (A-B)C-B =(A;BC)C;BC
=(AC'B);BC
=(AC;BC)'(B;BC)
=(AC;BC)'i
=AC;BC
12 U ={x|x는 10 이하의 자연수}
={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A'B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}'{1, 3, 5, 7, 9}
={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
이므로
AC;BC=(A'B)C=U-(A'B)={8, 10}
∴ n(AC;BC)=2
다른 풀이 A;B={1, 3, 5, 7}이므로
n(U)=10, n(A)=7, n(B)=5, n(A;B)=4에서
n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B)
=7+5-4=8
∴ n(AC;BC) =n((A'B)C)
=n(U)-n(A'B)
=10-8=2
13 전체 학생의 집합을 U, 국내 체험활동에 참가한 학생의 집
합을 A, 해외 체험활동에 참가한 학생의 집합을 B라 하면
n(U)=n(A'B)=34, n(A)=31, n(B)=8
이때 국내 체험활동과 해외 체험활동에 모두 참가한 학생의
집합은 A;B이므로
n(A;B) =n(A)+n(B)-n(A'B)
=31+8-34
=5
14 회사의 전체 신입사원의 집합을 U, 소방안전 교육을 받은
사원의 집합을 A, 심폐소생술 교육을 받은 사원의 집합을
n(U)=200, n(A)=120, n(B)=115
B라 하면
08 ⦁ 정답과 해설
03 명제
가 아니므로 주어진 명제는 거짓이다.
1-1 참, 거짓
1-2 ㄱ. 서울은 대한민국의 수도이므로 참인 명제이다.
ㄴ. 2는 소수이지만 홀수가 아니므로 거짓인 명제이다.
ㄷ. 12는 6의 배수이므로 참인 명제이다.
ㄹ. i,{3, 4}이므로 참인 명제이다.
본문 | 032~037쪽
8-1 -1, 참
8-2 ⑴ 두 조건 ‘p`:`x는 3의 배수이다.’, ‘q`:`x는 9의 배수이다.’
의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
P={3, 6, 9, y}, Q={9, 18, 27, y}
이때 PøQ이므로 주어진 명제는 거짓이다.
⑵ 두 조건 ‘p`:`x>-1’, ‘q`:`x>1’의 진리집합을 각각
ㅁ. x의 값에 따라 참일 수도 거짓일 수도 있으므로 명제가
`P, Q라 하면
아니다.
따라서 명제는 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.
P={x|x>-1}, Q={x|x>1}
이때 PøQ이므로 주어진 명제는 거짓이다.
2-1 ⑴ 4 ⑵ -1, 2
2-2 ⑴ U={1, 3, 5, 7, 9}의 원소 중에서 소수인 것은 3, 5, 7이
므로 진리집합은 {3, 5, 7}이다.
⑵ x-2>6에서 x>8
U={1, 3, 5, 7, 9}의 원소 중에서 x>8을 만족시키는
x의 값은 9이므로 진리집합은 {9}이다.
3-1 ⑴ 거짓 ⑵ É
3-2 ⑴ 명제 ‘6은 2의 배수이다.’의 부정은 ‘6은 2의 배수가 아니
다.’이므로 거짓이다.
⑵ 명제 ‘5¾3’의 부정은 ‘5<3’이므로 거짓이다.
4-1 ⑴ 4 ⑵ É
4-2 ⑴ 주어진 조건의 부정은 ‘x는 9의 양의 약수가 아니다.’이
고 그 진리집합은 {5, 7, 11}이다.
⑵ 주어진 조건의 부정은 ‘3Éx<6’이고 그 진리집합은
{3, 5}이다.
5-1 ⑴ 참 ⑵ 참
5-2 ⑴ 1은 양수이지만 |1|=1이므로 주어진 명제는 거짓이다.
⑵ x=6이면 x는 짝수이지만 3과 6의 공약수는 1, 3이므로
x는 3과 서로소가 아니다.
따라서 주어진 명제는 거짓이다.
6-1 ⑴ 참 ⑵ >
6-2 ⑴ 명제의 부정은 ‘어떤 자연수 x에 대하여 xÛ`É1이다.’
x=1이면 xÛ`É1을 만족시키므로 주어진 명제의 부정은
⑵ 명제의 부정은 ‘모든 자연수 x에 대하여 xÛ`>0이다.’
참이다.
이므로 참이다.
7-1 2, 참
7-2 가정 : 정수 m, n에 대하여 m+n이 자연수이다.
결론 : m과 n은 모두 자연수이다.
9-1 xÛ`É4, 참
9-2 ⑴ 역: x가 6의 양의 약수이면 x는 12의 양의 약수이다.
두 조건 ‘p: x는 6의 양의 약수이다.’,
‘q: x는 12의 양의 약수이다.’의 진리집합을 각각
P, Q라 하면 P={1, 2, 3, 6}, Q={1, 2, 3, 4, 6, 12}
에서 P,Q이므로 주어진 명제의 역은 참이다.
대우: x가 6의 양의 약수가 아니면 x는 12의 양의 약수
가 아니다. (거짓)
의 약수이다.
[반례] x=4이면 x는 6의 양의 약수는 아니지만 12의 양
⑵ 역: 자연수 n에 대하여 n+1이 홀수이면 n은 짝수이다.
(참)
(참)
n+1=2k+1 (k는 자연수)로 놓으면 n=2k
따라서 n은 짝수이므로 주어진 명제의 역은 참이다.
대우: 자연수 n에 대하여 n+1이 짝수이면 n은 홀수이
다. (참)
n+1=2k+2 (k는 자연수)로 놓으면 n=2k+1
따라서 n은 홀수이므로 주어진 명제의 대우는 참이다.
10-1 ~r, q
10-2 명제 ~p
~q
1Ú
또 명제 r
1Ú
p, r
1Ú
~p가 참이다.
1Ú
~p와 ~p
1Ú
1Ú
에 의하여 r
q가 참이다.
1Ú
따라서 참인 명제는 ㄱ, ㅂ이다.
q와 p
~r가 참이므로 각각의 대우
q가 참이므로 삼단논법
11-1 충분
11-2 ⑴ 명제 p
명제 q
1Ú
1Ú
q : ‘a=b이면 ac=bc이다.’는 참
p : ‘ac=bc이면 a=b이다.’는 거짓
[반례] a=1, b=2, c=0이면 ac=bc=0이지만
a+b이다.
03. 명제 ⦁ 09
m=0, n=1이면 m+n=1은 자연수이지만 m은 자연수
따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.
⑵ 명제 p
q : ‘ab는 정수이면 a와 b는 정수이다.’는
⑶ x=0이면 xÛ`=0이다.
1Ú
거짓
[반례] a=2, b=
이면 ab=1은 정수이지만
;2!;
b는 정수가 아니다.
명제 q
p : ‘a와 b가 정수이면 ab는 정수이다.’는 참
1Ú
1Ú
1Ú
따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.
⑶ 명제 p
q : ‘2a-1=3이면 a=2이다.’는 참
명제 q
p : ‘a=2이면 2a-1=3이다.’는 참
따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.
12-1 충분
12-2 ⑴ 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
P={4, 8, 12, y}, Q={2, 4, 6, 8, y}
P,Q이고 QøP이므로 p
q
따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.
⑵ 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
P={x|x>-1}, Q={x|x>0}
PøQ이고 Q,P이므로 q
p
jjK
jjK
따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.
⑶ 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
P={0, 1}, Q={0, 1}
P=Q이므로 P
Q
HjK
따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.
집중 연습
본문 | 038, 039쪽
1 U={x|x는 10 이하의 자연수}
U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
⑴ U의 원소 중에서 소수인 것은 2, 3, 5, 7이므로 진리집합은
{2, 3, 5, 7}이다.
⑵ xÛ`-3x-4=0, (x+1)(x-4)=0
∴ x=-1 또는 x=4
은 {4}이다.
따라서 xÛ`É0이므로 주어진 명제는 참이다.
⑷ 자연수 3의 제곱인 9는 홀수이므로 주어진 명제는 참이다.
⑸ x+1<0, 즉 x<-1을 만족시키는 자연수 x는 존재하지
않으므로 주어진 명제는 거짓이다.
3 ⑴ 두 조건 ‘p`:`|x|=2’, ‘q`:`x=2’의 진리집합을 각각 P, Q
라 하면 P={-2, 2}, Q={2}
이때 PøQ이므로 주어진 명제는 거짓이다.
⑵ 두 조건 ‘p`:`x+3>0’, ‘q`:`x+2>0’의 진리집합을 각각
P, Q라 하면 P={x|x>-3}, Q={x|x>-2}
이때 PøQ이므로 주어진 명제는 거짓이다.
⑶ 두 조건 ‘p`:`-2ÉxÉ2’, ‘q`:`xÉ2’의 진리집합을 각각 P,
Q라 하면 P={x|-2ÉxÉ2}, Q={x|xÉ2}
이때 P,Q이므로 주어진 명제는 참이다.
⑷ 두 조건 ‘p`:`x는 3의 배수이다.’, ‘q`:`x는 6의 배수이다.’의
진리집합을 각각 P, Q라 하면
P={3, 6, 9, y}, Q={6, 12, 18, y}
이때 PøQ이므로 주어진 명제는 거짓이다.
⑸ 두 조건 ‘p`:`xÛ`-5x+6=0’, ‘q`:`0<x<4’의 진리집합을
각각 P, Q라 하면
xÛ`-5x+6=0에서 (x-2)(x-3)=0
∴ x=2 또는 x=3
P={2, 3}, Q={x|0<x<4}
이때 P,Q이므로 주어진 명제는 참이다.
4 ⑴ 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
P={1, 3, 5, 7, y}, Q={3, 5, 7, 11, y}
PøQ이고 Q,P이므로 q
p
jjK
따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.
⑵ 명제 p
q`:`‘a=2, b=3이면 ab=6이다.’는 참
명제 q
p : ‘ab=6이면 a=2, b=3이다.’는 거짓
[반례] a=1, b=6이면 ab=6이지만 a+2, b+3이다.
따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.
⑶ 명제 p
q`:` ‘a는 홀수, b는 짝수이면 ab는 짝수이다.’
1Ú
1Ú
1Ú
1Ú
는 참
는 거짓
그런데 x=-1은 전체집합의 원소가 아니므로 진리집합
명제 q
p`:` ‘ab가 짝수이면 a는 홀수, b는 짝수이다.’
⑶ U의 원소 중에서 3<x<9를 만족시키는 x의 값은 4, 5, 6,
[반례] a=2, b=4이면 ab=8이므로 짝수이지만 a는 홀
7, 8이므로 진리집합은 {4, 5, 6, 7, 8}이다.
수가 아니다.
⑷ U의 원소 중에서 7 이하의 수는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7이므로
따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.
진리집합은 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}이다.
⑷ 모든 정사각형은 직사각형이므로
⑸ U의 원소 중에서 18의 양의 약수는 1, 2, 3, 6, 9이므로 진
명제 p
q`:` ‘☐ABCD가 정사각형이면 ☐ABCD는
리집합은 {1, 2, 3, 6, 9}이다.
2 ⑴ 모든 실수 x에 대하여 |x|¾0이므로 주어진 명제는 참이다.
⑵ 모든 자연수 x에 대하여 |x|¾1이므로 주어진 명제는 참
이다.
10 ⦁ 정답과 해설
명제 q
p`:` ‘☐ABCD가 직사각형이면 ☐ABCD는
직사각형이다.’는 참
정사각형이다.’는 거짓
[반례] 가로와 세로의 길이가 다른 직사각형은 정사각형이
1Ú
1Ú
아니다.
따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.
⑸ 정삼각형의 모든 내각의 크기는 같으므로
4 ① aÛ`>1이면 a>1이다. (거짓)
[반례] a=-2이면 aÛ`=4>1이지만 a<1이다.
명제 p
q`:` ‘△ABC가 정삼각형이면
② aÛ`=4이면 a=2이다. (거짓)
∠A=∠B=∠C이다.’는 참
[반례] a=-2이면 aÛ`=4이지만 a+2이다.
세 내각의 크기가 모두 같은 삼각형은 정삼각형이므로
③ a가 9의 배수일 때, a=9k (k는 자연수)로 놓으면
명제 q
p`:` ‘∠A=∠B=∠C이면 △ABC는 정삼각
a=3(3k)이고 3k는 자연수이므로 a는 3의 배수이다.
형이다.’는 참
④ a+bÉ2이면 aÉ1이고 bÉ1이다. (거짓)
따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.
[반례] a=3, b=-1이면 a+b=2É2이지만 a>1이다.
1Ú
1Ú
기초 개념
가평
본문 | 040, 041쪽
5 명제 p
① P;Q=P
1Ú
q가 참이면 P,Q이다.
② P;QC=P-Q=i
01 명제
03 PC
05 P;Q
07 모든, ~p
09 가정, 결론
11 ~q
13 필요
1Ú
p
02 조건
04 P'Q
06 어떤, ~p
08 가정, 결론 `
10 ~q
~p
1Ú
12 충분
14 필요충분
⑤ a+b가 짝수이면 a, b는 모두 짝수이다. (거짓)
[반례] a=3, b=1이면 a+b는 짝수이지만 a, b는 모두 홀
수이다.
따라서 참인 명제는 ③이다.
③ P'Q=Q
⑤ P'QC+U
항상 옳은 것은 ② P;QC=i이다.
④ Q-P+U
6 세 조건 p, q, r의 진리집합 P, Q, R
U
에 대하여 두 명제 p
q,
1Ú
r가 참이므로 P,Q, Q,R
q
1Ú
즉, P,Q,R를 벤다이어그램으로
나타내면 오른쪽 그림과 같다.
R
Q
P
따라서 거짓이다.
ㄴ. P'Q=Q이고 Q,R이므로 (P'Q)øRC
ㄷ. PC;RC=(P'R)C=RC이고 Q,R이므로 RC,QC
따라서 (PC;RC),QC이므로 참이다.
~q가 참이므로 그 대우인 q
~p도 참이다.
1Ú
q가 참이므로 삼단논법에 의하여 참인 것은
7 명제 p
1Ú
이때 명제 r
1Ú
~p이다.
① r
1Ú
8 ㄱ. 역 : ‘자연수 n에 대하여 nÛ`이 홀수이면 n이 홀수이다.’의
대우는 ‘자연수 n에 대하여 n이 짝수이면 nÛ`은 짝수이다.’
n=2k (k는 자연수)로 놓으면 nÛ`=4kÛ`=2(2 kÛ`)이고
2kÛ`은 자연수이므로 nÛ`은 짝수이다.
기초 문제
가평
본문 | 042, 043쪽
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
1 U={1, 2, 3, 6}의 원소 중에서 조건 p를 만족시키는 x는
xÛ`-3x+2=0, (x-1)(x-2)=0
∴ x=1 또는 x=2
조건 p의 진리집합은 {1, 2}이므로 조건 ~p의 진리집합은
PC={3, 6}이다.
2 두 실수 a, b에 대하여 |a|¾0, |b|¾0이므로
|a|+|b|=0에서 |a|=0이고 |b|=0
∴ a=b=0
따라서 조건 ‘|a|+|b|=0’은 ‘a=0이고 b=0’이므로
대우가 참이므로 주어진 명제의 역은 참이다.
그 부정은 ② ‘a+0 또는 b+0’이다.
ㄴ. 역 : ‘자연수 n에 대하여 n이 4의 배수이면 n은 2의 배수
3 ㄱ. x=5이면 x<5를 만족시키지 않으므로 주어진 명제는
두 조건 ‘p`:`n이 4의 배수’, ‘q`:`n이 2의 배수’의 진리집
ㄴ. x=5이면 x-2=3이므로 주어진 명제는 참이다.
ㄷ. x=4이면 xÛ`=16이므로 주어진 명제는 참이다.
ㄷ. 역 : ‘실수 x, y에 대하여 xÛ`+yÛ`>0이면 xy<0이다.’
ㄹ x=1이면 xÛ`>3을 만족시키지 않으므로 주어진 명제는 거
합을 각각 P, Q라 하면 P,Q이므로 명제 p
q는 참
1Ú
거짓이다.
짓이다.
[반례] x=1, y=2이면 xÛ`+yÛ`=5>0이지만 xy=2>0
따라서 참인 명제는 ㄴ, ㄷ이다.
따라서 역이 참인 것은 ㄱ, ㄴ이다.
이다.’
이다.
(거짓)
03. 명제 ⦁ 11
9 ABÓ=ACÓ이면 삼각형 ABC는 이등변삼각형이므로
∠B=∠C이다.
명제 p가 참이므로 명제 p의 대우도 참이다.
역: ‘∠B=∠C이면 ABÓ=ACÓ이다.’는 참이므로 명제 p의 역
도 참이다.
따라서 참인 명제는 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
10 주어진 명제가 참이므로 명제의 대우 ‘xÛ`+ax+b=0이면
x-2=0이다.’도 참이다.
xÛ`+ax+b=(x-2)Û`=xÛ`-4x+4
따라서 a=-4, b=4이므로 a+b=0
11 ⑴ 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
P={2, 3, 5, 7}, Q={1, 2, 3, 5, 7}
이때, P,Q, QøP이므로 p
q
jjK
따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.
⑵ |x|É1에서 -1ÉxÉ1이므로 p
q
HjjK
따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.
⑶ 명제 p
q`: ‘xy=0이면 xÛ`+yÛ`=0이다.’는 거짓
[반례] x=1, y=0이면 xy=0이지만 xÛ`+yÛ`=1+0
xÛ`+yÛ`=0이면 xÛ`¾0, yÛ`¾0에서 xÛ`=yÛ`=0
∴ x=y=0
1Ú
1Ú
jjK
명제 q
p`: ‘xÛ`+yÛ`=0이면 xy=0이다.’는 참
따라서 q
p이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.
12 ㄱ. 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
조건 p에서 x+3=Ñ2
∴ x=-1 또는 x=-5
P={-5, -1}, Q={-1}이므로 PøQ, Q,P
즉, q
p이므로 조건 p는 조건 q이기 위한 필요조건
jjK
이다.
ㄴ. 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
q이므로 조건 p는 조건 q이기 위한 충분조건
ㄷ. 명제 p
q`:`‘xÛ`>yÛ`이면 x>y>0이다.’는 거짓
[반례] x=-2, y=-1이면 xÛ`>yÛ`이지만 x<y<0이
P,Q, QøP
즉, p
이다.
jjK
1Ú
다.
1Ú
jjK
이다.
다.
12 ⦁ 정답과 해설
04 명제의 증명
본문 | 044, 045쪽
1-1 홀수, 1, 홀수
1-2 짝수, (2b-1)Û`, 짝수
2-1
a+
{
;2B;}
2
, ¾
2-2 aÛ`+2bÛ`-2ab =aÛ`-2ab+bÛ`+bÛ`
=(a-b)Û`+bÛ`
그런데 (a-b)Û`¾0, bÛ`¾0
∴ aÛ`+2bÛ`-2ab¾0
∴ aÛ`+2bÛ`¾2ab (단, 등호는 a=b=0일 때 성립)
3-1 ('a-'b)Û`, b
3-2 a>0이므로
a+
-2=(
;a!;
a+
-2=
;a!;
1
a)Û`
2
¾0
'a)Û`+
(
1
a }
{'a-
'
'
-2
'a_
1
a
'
∴ a+
¾2
{
;a!;
단, 등호는 a=
, 즉 a=1일 때 성립
}
;a!;
기초 개념
가평
본문 | 046, 047쪽
01 대우
03 정의
05 정리
09 1
11 2
02 결론
04 증명
06 a=b=0
08 aÛ`¾bÛ`
10 1
12 4
본문 | 048, 049쪽
1 주어진 명제의 대우 ‘자연수 a에 대하여 a가 3의 배수가 아니
면 aÛ`도 3의 배수가 아니다.’가 참임을 증명하면 된다.
a가 3의 배수가 아니므로 a=3k+1 또는 a=3k+2 (k는 음
이 아닌 정수)로 나타낼 수 있다.
Ú a=3k+1일 때
aÛ`=(3k+1)Û`=9kÛ`+6k+1=3(3kÛ`+2k)+1
즉, aÛ`은 3 의 배수가 아니다.
P={x|-1<x<1}, Q={x|x<1}이므로
07 a-b>0
명제 q
p`:`‘x>y>0이면 xÛ`>yÛ`이다.’는 참
즉, q
p이므로 조건 p는 조건 q이기 위한 필요조건
기초 문제
가평
따라서 조건 p가 조건 q이기 위한 필요조건인 것은 ㄱ, ㄷ이
Û a=3k+2일 때
aÛ`=(3k+2)Û`=9kÛ`+12k+4=3(3kÛ`+4k+1)+ 1
즉, aÛ`은 3의 배수가 아니다.
따라서 주어진 명제의 대우 가 참이므로 명제 ‘자연수 a에
6 a>0, b>0에서 2a>0, 3b>0이므로
산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
2a+3b¾2
36¾6ab
2a_3b, 12¾2
'Ä
∴ abÉ6 (단, 등호는 2a=3b일 때 성립)
6ab, 6¾
'¶
'¶
6ab
대하여 aÛ`이 3의 배수이면 a는 3의 배수이다.’도 참이다.
따라서 구하는 ab의 최댓값은 6이다.
4x+
7 {
1
y }{
1
x
+16y
=4+64xy+
+16
}
}
1
xy
1
xy
4x+
{
}{
+16y
=64xy+
+20
x>0, y>0에서 64xy>0,
>0이므로
1
xy
산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
64xy+
¾2
64xy_
=2_8=16
1
xy
¾¨
1
xy
단, 등호는 64xy=
{
1
x
=64xy+
+16y
}
1
y }{
1
xy
1
xy
, 즉 xy=
일 때 성립
}
;8!;
+20¾16+20=36
∴
{
4x+
따라서 구하는 최솟값은 36이다.
2=
이므로 qÛ`=2pÛ`
yy㉠
따라서 옳은 것은 ④ ㈎ 3, ㈏ 1, ㈐ 대우이다.
2 '
'
2가 유리수 라 가정하면
2=
(단, p, q는 서로소인 자연수)
로 나타낼 수 있다.
2=
의 양변을 제곱하면
'
;pQ;
;pQ;
qÛ`
pÛ`
즉, qÛ`은 짝수 이므로 q도 짝수이다.
q=2k (k는 자연수)로 놓고 ㉠에 대입하면
4kÛ`=2pÛ`
∴ pÛ`=2kÛ`
즉 , pÛ`은 짝수이므로 p도 짝수이다.
이것은 p, q가 서로소 라는 사실에 모순이다.
따라서
2는 무리수이다.
'
따라서 옳은 것은 ③ ㈎ 유리수, ㈏ 짝수, ㈐ 서로소이다.
;2!;
;2!;
3 xÛ`+yÛ`+zÛ`-xy-yz-zx
=
(2xÛ`+2yÛ`+2zÛ`-2xy-2yz-2zx)
=
{(x-y)Û`+ (y-z)Û` +(z-x)Û`}
이때 x, y, z가 실수이므로
(x-y)Û` ¾ 0, (y-z)Û`¾0, (z-x)Û`¾0
∴ xÛ`+yÛ`+zÛ`-xy-yz-zx¾0
따라서 옳은 것은 ② ㈎ (y-z)Û`, ㈏ ¾, ㈐ x=y=z이다.
(단, 등호는 x=y=z 일 때 성립)
4 (|a|+|b|)Û`-|a+b|Û`
=|a|Û`+2|a||b|+|b|Û`-(a+b)Û`
=aÛ`+2|ab|+bÛ`-(aÛ`+2ab+bÛ`)
=2(|ab|-ab)
그런데 |ab|¾ab이므로 2(|ab|-ab) ¾ 0
따라서 (|a|+|b|)Û`¾|a+b|Û`
이때 |a|+|b|¾0, |a+b|¾0
∴ |a|+|b|¾|a+b|
(단, 등호는 |ab|=ab, 즉 ab¾0 일 때 성립)
∴ ㈎ ¾, ㈏ ab¾0
5 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
16
x
=2_4=8
¾¨x_
x+
16
x
¾2
따라서 x+
의 최솟값은 8이다.
16
x
단, 등호는 x=
{
, 즉 x=4일 때 성립
}
16
x
04. 명제의 증명 ⦁ 13
4-1 1, 0, 0
4-2 f(x)=(x의 양의 약수의 개수)의 함숫값을 구하면
f(1)=1, f(2)=2, f(3)=2, f(4)=3, f(5)=2
본문 | 053쪽
따라서 함수 f의 치역은 {1, 2, 3}
05 함수
&
기초 개념 피드백 TEST
1-1 2, 함수, 48
1-2 ㄱ. 자연수 x를 2로 나눈 나머지는 0 또는 1 중의 어느
하나에 대응하므로 함수이다.
ㄴ. 예를 들어 자연수 2의 배수는 2, 4, 6, y의 무수히
많은 수가 대응하므로 함수가 아니다.
ㄷ. y=2px이므로 함수이다.
ㄹ. y=
이므로 함수이다.
500
x
따라서 y가 x의 함수인 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
2-1 -5, 0, -1, -3
2-2 A(2, 3), B(3, 2), C(-2, 3),
D(2, -3), E(-2, -3), F(-3, 0)
1-1 ⑴ 3 ⑵ 대응
1-2 ⑴ X의 원소 2에 대응하는 Y의 원소가 b, c의 2개이므로
본문 | 054~059쪽
⑵ X의 각 원소에 Y의 원소가 오직 하나씩 대응하므로 함
함수가 아니다.
수이다.
2-1 ⑴ Y ⑵ -1
2-2 ⑴ 주어진 대응을 그림으로 나타내
면 오른쪽과 같다.
이때 X의 원소 -1에 대응하는
Y의 원소가 없으므로 함수가 아
⑵ 주어진 대응을 그림으로 나타내
면 오른쪽과 같다.
이때 X의 각 원소에 Y의 원소가
오직 하나씩 대응하므로 함수이
니다.
다.
X
-1
0
1
0
1
X
-1
Y
-1
0
1
2
0
1
2
Y
-1
3-1 ⑴ c ⑵ 1, d
3-2 ⑴ 정의역 : X={a, b, c, d}
공역 : Y={1, 2, 3}
치역 : {1, 3}
⑵ 정의역 : X={a, b, c, d}
공역 : Y={1, 2, 3}
치역 : {1, 2, 3}
14 ⦁ 정답과 해설
5-1 1, 1, g
5-2 f(-1)=-1, f(0)=0, f(1)=1
g(-1)=-1, g(0)=0, g(1)=1
h(-1)=1, h(0)=0, h(1)=-1
따라서 서로 같은 함수는 f와 g이다.
참고 세 함수 f(x), g(x), h(x)의 공역을 따로 언급하지
않았으므로 공역은 모두 실수 전체의 집합으로 생각한다.
6-1 1, 1, 3
6-2 f(2)=2a+b, g(2)=2
f(4)=4a+b, g(4)=1
이때 f=g이므로
f(2)=g(2)에서 2a+b=2
f(4)=g(4)에서 4a+b=1
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-
, b=3
;2!;
…… ㉠
…… ㉡
7-1 3, 2
7-2 g(0)=2, g(1)=1, g(2)=0, g(3)=1, g(4)=2
함수의 그래프는
{(0, 2), (1, 1), (2, 0), (3, 1),
(4, 2)}
y=g(x)
이므로 좌표평면 위에 나타내면 오
른쪽 그림과 같다.
O
1
2
3
4
x
y
2
1
8-1 ㄱ
8-2 정의역의 임의의 원소 a에 대하여 y축에 평행한 직선 x=a
를 주어진 그래프에 그어 교점이 1개인 것을 찾는다.
ㄱ.
y
ㄴ.
y
x=a
x=a
ㄷ.
ㄹ.
O
y
O
x
x
O
y
O
x
x
x=a
x=a
따라서 함수의 그래프는 ㄴ, ㄹ이다.
9-1 ㄱ
9-2 치역과 공역이 같고, 치역의 한 원소 b에 대하여 x축에 평
행한 직선 y=b와 한 점에서만 만나는 함수의 그래프를 찾
기초 문제
가평
본문 | 062, 063쪽
1 ㄱ. X의 각 원소에 Y의 원소가 오직 하나씩 대응하므로 함수
ㄴ.
정의역 : X={a, b, c}, 공역 : Y={1, 2, 3},
는다.
ㄱ.
y
2
O
y
O
y=b
2
x
y=-x+2
y=b
x
y=7
y=b
x
y=xÛ`-1
y=b
y
O
y
-1
-1
O
1
x
ㄷ.
ㄹ.
y=|x|
따라서 일대일대응인 것은 ㄱ이다.
10-1 -1, 1, 0
10-2 f(x)=ax+b에서 a<0이므로 함수 f가 일대일대응이려
면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그
림과 같아야 한다. 즉,
f(-1)=2에서
-a+b=2
…… ㉠
-1
O
f(3)=0에서 3a+b=0 …… ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-
, b=
;2!;
;2#;
y
2
y=f(x)
x
3
11-1 ⑴ 치역 ⑵ ㄱ ⑶ ㄹ
11-2 ⑴ 일대일대응의 그래프는 ㄴ, ㄹ이다.
⑵ 항등함수의 그래프는 ㄹ이다.
⑶ 상수함수의 그래프는 ㄷ이다.
기초 개념
가평
01 대응
03 f`:`X
Y
1Ú
05 치역
07 =
09 한
13 상수
11 일대일대응
12 항등
본문 | 060, 061쪽
02 함수
04 정의역, 공역
06 정의역
08 그래프
10 일대일함수
이다.
치역 : {1, 2}
수가 아니다.
니다.
이다.
ㄴ. X의 원소 3에 대응하는 Y의 원소가 c, d로 2개이므로 함
ㄷ. X의 원소 c에 대응하는 Y의 원소가 없으므로 함수가 아
ㄹ. X의 각 원소에 Y의 원소가 오직 하나씩 대응하므로 함수
정의역 : X={1, 2, 3, 4}, 공역 : Y={a, b, c, d}
치역 : {b, c}
2 ㄱ. 주어진 대응을 그림으로 나타내면
X
오른쪽과 같다.
이때 X의 원소에 Y의 원소가 오
직 하나씩 대응하므로 함수이다.
ㄴ. 주어진 대응을 그림으로 나타내면
X
오른쪽과 같다.
이때 X의 원소 2에 대응하는 Y의
원소가 없으므로 함수가 아니다.
ㄷ. 주어진 대응을 그림으로 나타내면
X
오른쪽과 같다.
이때 X의 원소에 Y의 원소가 오
직 하나씩 대응하므로 함수이다.
따라서 함수인 것은 ㄱ, ㄷ이다.
0
1
2
0
1
2
0
1
2
Y
-1
Y
-1
0
1
2
0
1
2
0
1
2
Y
-1
3 f(x)=
1
[
(x¾0)
x+1 (x<0)
함숫값을 구하면 다음과 같다.
에 x=-2, -1, 1, 2를 대입하여
f(-2)=-1, f(-1)=0, f(1)=1, f(2)=1
따라서 함수 f의 치역은 {-1, 0, 1}이다.
4 x=-1, 1을 f(x), g(x), h(x)에 각각 대입하면
f(-1)=-2, f(1)=0
g(-1)=0, g(1)=0
h(-1)=0, h(1)=0
즉, g(-1)=h(-1), g(1)=h(1)이므로 서로 같은 함수는
g와 h이다.
05. 함수 ⦁ 15
5 f(1)=a+b, g(1)=1
f(2)=2a+b, g(2)=-2
이때 f=g이므로
f(1)=g(1)에서 a+b=1
f(2)=g(2)에서 2a+b=-2
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=4
…… ㉠
…… ㉡
6 정의역의 임의의 원소 a에 대하여 y축에 평행한 직선 x=a를
주어진 그래프에 그어 교점이 1개인 것을 찾는다.
ㄴ, ㄹ의 그래프는 직선 x=a와 두 점에서 만나는 경우가 있
으므로 함수의 그래프가 아니다.
따라서 함수의 그래프인 것은 ㄱ, ㄷ, ㅁ, ㅂ이다.
7 ⑴ 일대일함수 : ㄱ, ㄴ, ㄷ
⑵ 일대일대응 : ㄱ, ㄴ
⑶ 항등함수 : ㄴ
⑷ 상수함수 : ㄹ
8 치역과 공역이 같고, 치역의 한 원소 b에 대하여 x축에 평행
한 직선 y=b와 한 점에서만 만나는 함수의 그래프를 찾는다.
따라서 일대일대응인 것은 ㄱ, ㄴ이다.
9 정의역 X={-1, 0, 1}에서 함숫값은
f(-1)=-1, f(0)=0, f(1)=1
이므로 치역은 {-1, 0, 1}
이때 일대일대응은 치역과 공역이 같아야 하므로
{-1, 0, 1}={-1, 0, a}
∴ a=1
10 함수 f(x)=xÛ`이 항등함수이어야 하므로
f(x)=x에서 xÛ`=x, x(x-1)=0
∴ x=0 또는 x=1
따라서 구하는 집합 X는 {0}, {1}, {0, 1}이다.
11 함수 f 는 상수함수이므로
f(1)=f(2)=f(3)=y=f(10)=2
∴ f(1)+f(2)+f(3)+y+f(10)=2_10=20
12 함수 f 는 항등함수이므로 f(1)=1, f(2)=2
∴ f(1)=g(1)=1
함수 g는 상수함수이므로 g(2)=g(1)=1
∴ f(2)+g(2)=2+1=3
16 ⦁ 정답과 해설
06 합성함수와 역함수
본문 | 064~069쪽
1-1 ⑴ 2 ⑵ 3 ⑶ 2
1-2 ⑴ (g ç f)(0)=g( f(0))=g(1)=0
⑵ (g ç f)(1)=g( f(1))=g(2)=1
⑶ (g ç f)(2)=g( f(2))=g(3)=4
2-1 ⑴ 0 ⑵ 0 ⑶ 1 ⑷ 3
2-2 ⑴ (g ç f)(1)=g( f(1))=g(2)=3
⑵ (g ç f)(2)=g( f(2))=g(-1)=-3
⑶ ( f ç g)(1)=f(g(1))=f(1)=2
⑷ ( f ç g)(2)=f(g(2))=f(3)=-6
3-1 ⑴ 2x-1 ⑵ 2
3-2 ⑴ ( f ç g)(x) =f(g(x))=f(x+2)
⑵ (g ç f)(x) =g( f(x))=g(-xÛ`)
=-(x+2)Û`
=-xÛ`+2
4-1 ⑴ 3x-1 ⑵ -6
4-2 ⑴ ( f ç g)(x) =f(g(x))=f(-x)=(-x)Û`=xÛ`
이므로
(( f ç y
hg) ç h)(x) =( f ç g)(h(x))=( f ç g)(x+2)
=(x+2)Û`
⑵ (g ç h)(x) =g(h(x))=g(x+2)
=-(x+2)=-x-2
이므로
( f ç (g ç h))(x) =f((g ç h)(x))=f(-x-2)
=(-x-2)Û`=(x+2)Û`
5-1 ⑴ 3 ⑵ 1 ⑶ 15
5-2 함수 f(x)와 그 역함수 f -1(x)에 대하여
f(a)=b이면 f -1(b)=a이다.
⑴ f(3)=1이므로 f -1(1)=3
⑵ f(2)=2이므로 f -1(2)=2
⑶ f(4)=3이므로 f -1(3)=4
⑷ f(1)=4이므로 f -1(4)=1
6-1 ⑴ a ⑵ -2
6-2 ⑴ f -1(a)=2에서 f(2)=a이므로
⑵ f -1(2)=a에서 f(a)=2이므로
-3a+5=2, -3a=-3
-6+5=a
∴ a=-1
∴ a=1
h
7-1 ⑴ 2 ⑵ -3
7-2 ⑴ 함수 y=-4x+3은 일대일대응이므로 역함수가 존재
한다.
y=-4x+3을 x에 대하여 풀면
x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는
x=-
y+
;4!;
;4#;
y=-
x+
;4!;
;4#;
;2!;
y=
;2!;
x=2y+10
y=2x+10
x-5를 x에 대하여 풀면
x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는
⑵ 함수 y=
x-5는 일대일대응이므로 역함수가 존재한다.
8-1
,
;2!;
;2!;
8-2 f(x)=ax-3에서 y=ax-3으로 놓고
x에 대하여 풀면 x=
y+
;a!;
;a#;
x와 y를 서로 바꾸면 역함수는
y=
x+
;a!;
;a#;
따라서
x+
=-2x+b이므로
;a!;
;a#;
=-2,
=b
;a!;
∴ a=-
, b=-6
;a#;
;2!;
9-1 ⑴ 1 ⑵ 1 ⑶ 2 ⑷ 3
9-2 ⑴ ( f -1)-1(1)=f(1)=4
⑵ ( f ç f -1)(1)=1
⑶ (g ç f)-1(2) =( f -1 ç g -1)(2)
=f -1(g -1(2))
=f -1(3)=4
⑷ ( f ç g)-1(2) =(g -1 ç f -1)(2)
=g -1( f -1(2))
=g -1(2)=3
10-1 ⑴ 2 ⑵ 1 ⑶ 1
10-2 f(3)=5, g(1)=3에서 f -1(5)=3, g -1(3)=1
⑴ (g -1)-1(1)=g(1)=3
⑵ (g ç g -1)(3)=3
⑶ ( f ç g) -1(5) =(g -1 ç f -1)(5)
=g -1( f -1(5))
=g -1(3)=1
11-1 ⑴ 2 ⑵ -4
11-2 ⑴ 함수 y=f(x)의 그래프가 점 (-6, 0)을 지나므로
f(-6)=0, 즉 f -1(0)=-6
따라서 y=f -1(x)의 그래프는 점 (0, -6)을 지난다.
⑵ 함수 y=f(x)의 그래프가 점 (2, -7)을 지나므로
f(2)=-7, 즉 f -1(-7)=2
따라서 y=f -1(x)의 그래프는 점 (-7, 2)를 지난다.
12-1 ⑴ x ⑵ 3
12-2 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점이 존재하면
그 교점은 함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f -1(x)
의 그래프의 교점이다.
⑴ 교점의 x좌표는 -3x+8=x에서 x=2
따라서 구하는 교점의 좌표는 (2, 2)이다.
⑵ 교점의 x좌표는
x-3=x에서 x=-6
;2!;
따라서 구하는 교점의 좌표는 (-6, -6)이다.
기초 개념
가평
본문 | 070, 071쪽
01 합성함수
03 +
05 역함수
07 일대일대응
09 f
11 g -1, f -1
13 y=x
02 정의역
04 =
06 일대일대응
08 치역, 정의역
10 x, y
12 f -1çg -1, g -1çf -1
14 y=x
기초 문제
가평
본문 | 072, 073쪽
1 ⑴ ( f ç g)(1)=f(g(1))=f(0)=-2
⑵ (g ç f)(1)=g( f(1))=g(-1)=0
⑶ ( f ç f)(2)=f( f(2))=f(0)=-2
⑷ (g ç g)(2)=g(g(2))=g(-3)=-8
2 ⑴ ( f ç g)(x) =f(g(x))=f(3x-1)
=-2(3x-1)+3=-6x+5
⑵ (g ç f)(x) =g( f(x))=g(-2x+3)
=3(-2x+3)-1=-6x+8
⑶ ( f ç f)(x) =f( f(x))=f(-2x+3)
=-2(-2x+3)+3=4x-3
⑷ (g ç g)(x) =g(g(x))=g(3x-1)
=3(3x-1)-1=9x-4
06. 합성함수와 역함수 ⦁ 17
7 f -1(2)=a라 하면 f(a)=2이므로
∴ a=-1
3a+5=2, 3a=-3
g -1(2)=b라 하면 g(b)=2이므로
-4b+10=2, -4b=-8
∴ f -1(2)+g -1(2)=-1+2=1
다른 풀이 f(x)=3x+5에서 y=3x+5로 놓고 x에 대하여
∴ b=2
풀면 x=
y-
;3!;
;3%;
x와 y를 서로 바꾸면 함수 f(x)의 역함수는
y=
x-
;3!;
;3%;
∴ f -1(x)=
x-
;3!;
;3%;
g(x)=-4x+10에서 y=-4x+10으로 놓고 x에 대하여
풀면 x=-
y+
;2%;
x와 y를 서로 바꾸면 함수 g(x)의 역함수는
;4!;
y=-
x+
;4!;
;2%;
∴ g -1(x)=-
x+
;4!;
;2%;
∴ f -1(2)+g -1(2)=
{;3@;-;3%;}+{-;2!;+;2%;}
=-1+2=1
8 f -1(3)=1에서 f(1)=3이므로
∴ a=1
2+a=3
∴ f(x)=2x+1
이때 f -1(-1)=k라 하면 f(k)=-1이므로
2k+1=-1
∴ k=-1
∴ f -1(-1)=-1
다른 풀이 f(x)=2x+a에서 y=2x+a로 놓고
x에 대하여 풀면 x=
y-
;2!;
;'2A;
x와 y를 서로 바꾸면 함수 f(x)의 역함수는
y=
x-
;'2A;
;2!;
∴ f -1(x)=
x-
;'2A;
;2!;
f -1(3)=1이므로 f -1(3)=
-
=1
;'2A;
;2#;
;'2A;=;2!;
∴ a=1
따라서 f -1(x)=
x-
이므로
;2!;
;2!;
f -1(-1)=-
-
;2!
;2!=
-1
3 두 함수 f(x)=ax+b, g(x)=x+2에 대하여
(g ç f)(x)=g( f(x))=g(ax+b)=ax+b+2
(g ç f)(x)=-2x+5이므로
ax+b+2=-2x+5
∴ a=-2, b=3
4 ⑴ (g ç h)(x) =g (h(x))=g(xÛ`+2)
=3(xÛ`+2)+1=3xÛ`+7
이므로
( f ç (g ç h))(1) =f((g ç h)(1))
=f(10)=9
⑵ ( f ç g)(x) =f(g(x))=f(3x+1)=(3x+1)-1=3x
이므로
(( f ç g) ç h)(1) =( f ç g)(h(1))
=( f ç g)(3)=9
다른 풀이 f ç (g ç h) =( f ç g) ç h=f ç g ç h이므로
( f ç (g ç h))(1) =(( f ç g) ç h)(1)=( f ç g ç h)(1)
=f(g(h(1)))=f(g(3))
=f(10)=9
⑶ ( f ç (g ç h))(2) =f((g ç h)(2))=f(g(h(2)))
⑷ (( f ç g) ç h)(2) =( f ç g)(h(2))=( f ç g)(6)
=f(g(6))=f(19)
=18
=f(g(6))=f(19)
=18
5 ⑴ ( f ç g)(x) =f(g(x))=f(2x-3)
=a(2x-3)+1=2ax-3a+1
(g ç f)(x) =g( f(x))=g(ax+1)
=2(ax+1)-3=2ax-1
이때 ( f ç g)(x)=(g ç f)(x)이므로
2ax-3a+1=2ax-1에서
-3a+1=-1
∴ a=
;3@;
⑵ ( f ç g)(x) =f(g(x))=f(-4x+a)
=2(-4x+a)-3=-8x+2a-3
(g ç f)(x) =g( f(x))=g(2x-3)
=-4(2x-3)+a=-8x+a+12
이때 ( f ç g)(x)=(g ç f)(x)이므로
-8x+2a-3=-8x+a+12에서
2a-3=a+12
∴ a=15
=f(-x+1)=(-x+1)Û`-1
=xÛ`-2x
18 ⦁ 정답과 해설
6 (( f ç g) ç h)(x) =( f ç (g ç h))(x)=f((g ç h)(x))
x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는
9 ⑴ 함수 y=3x-5는 일대일대응이므로 역함수가 존재한다.
y=3x-5를 x에 대하여 풀면
x=
y+
;3!;
;3%;
y=
x+
;3!;
;3%;
⑵ 함수 y=-
x+1은 일대일대응이므로 역함수가 존재한다.
;4!;
y=-
x+1을 x에 대하여 풀면
;4!;
x=-4y+4
x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는
y=-4x+4
참고 역함수의 성질
❶ f ç f -1=f -1 ç f=I(항등함수)
❷ ( f -1)-1 =f ⇨ f의 역함수의 역함수는 f이다.
❸ ( f ç g) -1=g -1 ç f -1, (g ç f) -1=f -1 ç g -1
❹ f(x)=y이면 f -1(y)=x
12 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점이 존재하면
그 교점은 함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f -1(x)
의 그래프의 교점이므로
x-9=x에서
x=-9
∴ x=-12
;4!;
따라서 구하는 교점의 좌표는 (-12, -12)이다.
;4#;
참고 함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수의 그래프에서 교
점을 구할 때, 역함수를 직접 구해 교점을 구하는 대신 함수
y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점을 구하면 간편하다.
13 y=f -1(x)의 그래프가 두 점 (5, 2), (9, 4)를 지나므로
f -1(5)=2`, f -1(9)=4, 즉 f(2)=5, f(4)=9
f(2)=5에서 2a+b=5
…… ㉠
…… ㉡
f(4)=9에서 4a+b=9
㉠ , ㉡을 연립하여 풀면
a=2, b=1
10 f(x)=ax+2에서 y=ax+2로 놓고
x에 대하여 풀면 x=
y-
;a!;
;a@;
x와 y를 서로 바꾸면 함수 f(x)의 역함수는
y=
x-
;a!;
;a@;
따라서
x-
=-
x+b이므로
;a!;
;a@;
;4!;
;a!;=-;4!;
;a@;
, -
=b
∴ a=-4, b=
;2!;
11 ⑴ ( f -1 ç g) -1(-1) =(g -1 ç f)(-1)
=g -1( f(-1))
=g -1(-5)
∴ k=3
이때 g -1(-5)=k라 하면
g(k)=-5이므로
-2k+1=-5, -2k=-6
∴ ( f -1 ç g) -1(-1)=3
⑵ (g -1 ç f) -1(0) =( f -1 ç g)(0)
=f -1(g(0))
=f -1(1)
이때 f -1(1)=k라 하면
f(k)=1이므로
∴ k=1
3k-2=1, 3k=3
∴ (g.-1.ç f).-1(0)=1
⑶ ( f ç (g ç f) -1)(1) =( f ç f -1 ç g -1)(1)
=(I ç g -1)(1)
=g -1(1)
이때 g -1(1)=k라 하면
g(k)=1이므로
-2k+1=1, -2k=0
∴ ( f ç (g ç f) -1)(1)=0
⑷ ( f ç ( f ç g) -1 ç f)(1) =( f ç g -1 ç f -1 ç f)(1)
∴ k=0
=( f ç g -1)(1)
=f(g -1(1))
이때 g -1(1)=k라 하면
g(k)=1이므로
-2k+1=1, -2k=0
∴ ( f ç (f ç g) -1 ç f)(1)=f(0)=-2
∴ k=0
06. 합성함수와 역함수 ⦁ 19
07 유리함수
5-1 3, ㄹ
5-2 ㄱ. 정의역은 0을 제외한 실수 전체의 집합이다.
ㄷ. 그래프는 제2, 4사분면을 지난다.
본문 | 074~077쪽
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.
1-1 ⑴ 2x ⑵ xÛ` ⑶ 1 ⑷ 1
2(x+1)
x+1
+
1
x+1
1+2(x+1)
x+1
1
x-1
=
-
=
2x+3
x+1
1
(x+1)(x-1)
1-2 ⑴
+2=
1
x+1
=
⑵
1
x-1
-
1
xÛ`-1
=
=
(x+1)-1
(x+1)(x-1)
x
(x+1)(x-1)
⑶
xÛ`-4
xÛ`-3x
_
x-3
x-2
=
(x+2)(x-2)
x(x-3)
_
x-3
x-2
=
x+2
x
⑷
x+3
xÛ`-2x
Ö
xÛ`-9
xÛ`-5x+6
=
_
xÛ`-5x+6
xÛ`-9
=
=
x+3
xÛ`-2x
x+3
x(x-2)
1
x
_
(x-2)(x-3)
(x+3)(x-3)
2-1 ㄴ
2-2 다항함수가 아닌 유리함수는 y=f(x)에서 f(x)가 x에 대
한 다항식이 아닌 유리식이므로 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
3-1 ⑵ 1 ⑶ -2
3-2 ⑴ 정의역은 {x|x+0인 실수}
⑵ 2x+3=0에서 x=-
이므로
;2#;
정의역은
[
x
|
x+-
인 실수
]
;2#;
⑶ -x+5=0에서 x=5이므로
정의역은 {x|x+5인 실수}
⑷ 2xÛ`+3+0이므로
정의역은 {x|x는 모든 실수}
4-1 ⑴ 0 ⑵ 0
4-2 ⑴ 정의역 : {x|x+0인 실수}
치역 : {y|y+0인 실수}
점근선의 방정식 : x=0, y=0
2
4
x
y
2
1
y=-
;[$;
-4-2
O
-2-1
y
2
;4!;
O
y=
;2Á[;
2
x
;4!;
-;4!;
-2
⑵ 정의역 : {x|x+0인 실수}
치역 : {y|y+0인 실수}
점근선의 방정식 : x=0, y=0
-;4!;
-2
20 ⦁ 정답과 해설
6-1 1, 2, 2
6-2 ⑴ 함수 y=
의 그래프는 함수 y=
의 그래프를 x축
2
x+1
2
x
의 방향으로 -1만큼 평행이동한
것이므로 그래프는 오른쪽 그림과
같다.
정의역 : {x|x+-1인 실수}
치역 : {y|y+0인 실수}
점근선의 방정식 : x=-1, y=0
y
2
y=
2
::::;
x+1
`
-1
O
x
⑵ 함수 y=-
+4의 그래프는 함수 y=-
의 그래
1
x+3
1
y=-;::::+4
x+3
1
x
y
4
-3
O
x
프를 x축의 방향으로 -3만
큼, y축의 방향으로 4만큼 평
행이동한 것이므로 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
정의역 : {x|x+-3인 실수}
치역 : {y|y+4인 실수}
점근선의 방정식 : x=-3, y=4
7-1 1, -1
7-2 ⑴ y=
=
2(x+1)-1
x+1
2x+1
x+1
1
x+1
y=-
+2
1
x
y
2
1
2
x
이므로 함수 y=
의 그래프는 함수 y=-
의 그
2x+1
x+1
래프를 x축의 방향으로 -1만큼,
y축의 방향으로 2만큼 평행이동
한 것이므로 그래프는 오른쪽 그
y=
2x+1
:::::;
x+1
`
-;2!;
-1
O
x
림과 같다.
점근선의 방정식 :
x=-1, y=2
⑵ y=
-2(x-1)-2
x-1
=
2x
1-x
2
x-1
=-
-2
이므로 함수 y=
의 그래프는 함수 y=-
의 그
2x
1-x
래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -2만큼
평행이동한 것이므로 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
점근선의 방정식 :
x=1, y=-2
y
O
-2
1
x
y=
2x
::::;
1-x
집중 연습
1 ⑴
2
xÛ`-1
+
1
x-1
1
x-1
+
2
(x-1)(x+1)
=
=
=
+
x+1
(x-1)(x+1)
x+3
(x-1)(x+1)
x-1
x+2
(x+2)Û`-(x-1)Û`
(x-1)(x+2)
-
⑵
x+2
x-1
=
2
(x-1)(x+1)
=
(xÛ`+4x+4)-(xÛ`-2x+1)
(x-1)(x+2)
=
6x+3
(x-1)(x+2)
다른 풀이
x+2
x-1
x-1
x+2
=
=
(x-1)+3
x-1
(x+2)-3
x+2
=1+
=1-
3
x-1
3
x+2
∴ (준식)=
∴ (준식)=
∴ (준식)=
∴ (준식)=
{
{
-
1-
1+
3
x-1 }
3
3
x-1
x+2
3(x+2)+3(x-1)
(x-1)(x+2)
+
6x+3
(x-1)(x+2)
3
x+2 }
⑶
x+1
1-x
-
x+2
2-x
=
=
(x+1)(2-x)-(x+2)(1-x)
(1-x)(2-x)
(-xÛ`+x+2)-(-xÛ`-x+2)
(x-1)(x-2)
=
2x
(x-1)(x-2)
다른 풀이
x+1
1-x
x+2
2-x
=
-(1-x)+2
1-x
-(2-x)+4
2-x
=
=-1+
=-1+
2
1-x
4
2-x
∴ (준식)=
∴ (준식)=
∴ (준식)=
∴ (준식)=
{-
-
{-
1+
2
1-x }
4
2
1-x
2-x
2(2-x)-4(1-x)
(1-x)(2-x)
-
2x
(x-1)(x-2)
1+
4
2-x }
본문 | 078, 079쪽
⑷
x-3
xÛ`-1
=
=
=
=
=
+
+
2x+1
xÛ`+x-2
2x+1
x-3
(x+1)(x-1)
(x+2)(x-1)
(x-3)(x+2)+(2x+1)(x+1)
(x-1)(x+1)(x+2)
3xÛ`+2x-5
(x-1)(x+1)(x+2)
(x-1)(3x+5)
(x-1)(x+1)(x+2)
3x+5
(x+1)(x+2)
1
x+1
1
1-x+xÛ`
+
-
1+xÛ`
1+xÜ`
⑸
=
(1-x+xÛ`)+(x+1)-(1+xÛ`)
1+xÜ`
=
1
1+xÜ`
2 ⑴
x+2
xÛ`+3x
_
x+3
x
⑴
_
_
x+3
x
=
=
x+2
x(x+3)
x+2
xÛ`
x+2
x(x+3)
x+2
(x+3)Û`
⑵
x+2
xÛ`+3x
Ö
x+3
x
=
_
x
x+3
⑴
_
=
⑶
⑶
⑷
⑷
⑷
⑸
x-2
x+4
Ö
xÛ`-5x+6
xÛ`-16
Ö
Ö
xÜ`+xÛ`
xÜ`-1
_
Ö
2xÛ`+x
xÛ`-1
xÛ`(x+1)
(x-1)(xÛ`+x+1)
⑷ =
⑷ =
3x
xÛ`+x+1
=x-2
=
=
_
_
x-2
x+4
x-2
x+4
x-4
x-3
6x+3
xÛ`+2x+1
=
xÛ`-3x+2
x-3
x-1
x-3
=
(x-1)(x-2)
x-3
_
x-3
x-1
Ö
Ö
xÛ`-16
xÛ`-5x+6
(x+4)(x-4)
(x-2)(x-3)
3 y=
2x
-x+1
=
-2(x-1)-2
x-1
=-
2
x-1
-2
⑴ 정의역 : {x|x+1인 실수}
⑵ 치역 : {y|y+-2인 실수}
⑶ 점근선의 방정식 : x=1,`y=-2
4 y=
-x+1
x-4
=
-(x-4)-3
x-4
=-
3
x-4
-1
⑴ 정의역 : {x|x+4인 실수}
⑵ 치역 : {y|y+-1인 실수}
⑶ 점근선의 방정식 : x=4,`y=-1
_
(x+1)(x-1)
x(2x+1)
_
3(2x+1)
(x+1)Û`
07. 유리함수 ⦁ 21
5 ⑴ 점근선의 방정식은 x=-2,`y=-1이므로 점 (-2,`-1)
⑵ 점근선의 방정식은 x=3,`y=2이므로 점 (3,`2)에 대하여
⑶ y=
x+3
x+1
=
(x+1)+2
x+1
=
2
x+1
+1
점근선의 방정식은 x=-1,`y=1이므로 점 (-1,`1)에 대
⑷ y=
4x-5
x-2
=
4(x-2)+3
x-2
=
3
x-2
+4
점근선의 방정식은 x=2,`y=4이므로 점 (2,`4)에 대하여
에 대하여 대칭이다.
∴ a=-2,`b=-1
대칭이다.
∴ a=3,`b=2
하여 대칭이다.
∴ a=-1,`b=1
대칭이다.
∴ a=2,`b=4
⑸ y=
-3x+7
x+1
=
-3(x+1)+10
x+1
=
10
x+1
-3
점근선의 방정식은 x=-1,`y=-3이므로 점 (-1,`-3)
에 대하여 대칭이다.
∴ a=-1,`b=-3
기초 개념
가평
본문 | 080, 081쪽
01 유리식
03 C, C
05 유리함수
07 0
09 k>0, k<0
11 멀어진다
13 x=p, y=q
02 C, C
04 D, C
06 다항함수
08 0
10 x=0, y=0
12 정의역, 치역
14 y=
k
x-p
+q
⑵
x+2
xÛ`-1
1
xÛ`+x
=
-
-
-
1
x(x+1)
-
x+2
(x+1)(x-1)
x(x+2)-(x-1)
x(x+1)(x-1)
xÛ`+x+1
x(x+1)(x-1)
=
=
⑴
⑴
⑶
xÛ`+x-2
xÛ`-2x-3
_
x-3
xÛ`-1
=
(x+2)(x-1)
(x+1)(x-3)
_
x-3
(x+1)(x-1)
xÛ`-5x-6
xÛ`-16
xÛ`-16
xÛ`-5x-6
⑷
=
Ö
x+2
(x+1)Û`
x-6
xÛ`+3x-4
x-6
xÛ`+3x-4
x-6
(x+4)(x-1)
x-4
(x-1)(x+1)
_
=
=
=
_
(x+4)(x-4)
(x+1)(x-6)
2 ⑴
1
x(x+1)
1
x
-
{
=
=
-
1
x
+
1
(x+1)(x+2)
1
x+1 }
1
x+2
=
+
-
{
1
x+1
(x+2)-x
x(x+2)
1
x+2 }
1
(x+3)(x+5)
1
x+3
-
1
x+5 }
;2!;{
=
+
-
;2!;{
2
x(x+2)
1
(x+1)(x+3)
1
x+1
1
x+1
(x+5)-(x+1)
(x+1)(x+5)
2
(x+1)(x+5)
1
x+3 }
1
x+5 }
;2!;_
;2!;{
-
+
⑵
=
=
=
=
3 ㄱ. 함수 y=-
의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의
1
x
방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
ㄴ. 정의역은 {x|x+2인 실수}이다.
ㄷ. 치역은 {y|y+1인 실수}이다.
ㄹ. 점 (2, 1)에 대하여 대칭이다.
ㅁ. 점근선은 직선 x=2, y=1이
y
;2#;
1
O
ㅂ. 그래프는 오른쪽 그림과 같으
므로 제1, 2, 4사분면을 지난다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㅂ이다.
본문 | 082, 083쪽
다.
2
3
x
y=-
1
::::;
x-2
+1
기초 문제
가평
1 ⑴
x
x-3
+
2
x+3
⑴
⑴
+
+
22 ⦁ 정답과 해설
=
=
=
x(x+3)+2(x-3)
(x-3)(x+3)
xÛ`+5x-6
(x-3)(x+3)
(x-1)(x+6)
(x-3)(x+3)
2
x
2
x-p
4 함수 y=
의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향
으로 q만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=
+q이다.
2
x-p
이 그래프의 점근선 중 하나가 y=1이므로 q=1
함수 y=
+1의 그래프가 점 (-1, 2)를 지나므로
2=
+1,
=-1
∴ p=-3
2
-1-p
2
1+p
∴ p=-3, q=1
5 y=
2x-3
x+1
=
2(x+1)-5
x+1
5
x+1
=-
+2이므로
함수 y=
의 그래프는 함수 y=-
의 그래프를
2x-3
x+1
5
x
x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동
한 것이다.
따라서 k=-5, p=-1, q=2이므로
k+p+q=(-5)+(-1)+2=-4
6 y=
4x
x-1
=
4(x-1)+4
x-1
=
4
x-1
+4
ㄱ. 함수 y=
의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의
4
x
방향으로 4만큼 평행이동하여 겹쳐질 수 있다.
ㄴ. 정의역은 {x|x+1인 실수}이다.
ㄷ. 치역은 {y|y+4인 실수}이다.
ㄹ. 점 (1, 4)에 대하여 대칭이다.
ㅁ. 점근선은 직선 x=1, y=4이다.
ㅂ. 그래프는 오른쪽 그림과 같으므
로 제1, 2, 4사분면을 지난다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
y=
4x
::::;
x-1
`
y
4
O 1
x
=
-(x+1)-1
x+1
=-
=
-5(x-1)-1
x-1
-1
1
x+1
1
x-1
=-
-5
7 y=
y=
-x-2
x+1
-5x+4
x-1
-x-2
x+1
y=
의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방
향으로 q만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-
-1+q
1
x+1-p
이 그래프가 y=-
-5의 그래프와 일치해야 하므로
1
x-1
1-p=-1, -1+q=-5
∴ p=2, q=-4
8 f -1(1)=k라 하면 f(k)=1
5x-2
x+2
에서 f(k)=
f(x)=
5k-2
k+2
=1이므로 5k-2=k+2, 4k=4
∴ k=1
5k-2
k+2
∴ f -1(1)=1
9 y=
-x+3
x-1
∴ x=
y+3
y+1
을 x에 대하여 정리하면
xy-y=-x+3, (y+1)x=y+3
x와 y를 서로 바꾸어 역함수를 구하면 y=
x+3
x+1
∴ a=3, b=1
2
x-p
2
x+1
10 ⑴ 함수 y=
+q의 그래프의 점근선의 방정식은
x=p, y=q이다.
주어진 그래프에서 점근선의 방정식이
x=-1, y=3이므로
p=-1, q=3
⑵ 함수 y=
+3의 그래프가 점 (0, k)를 지나므로
k=
+3
∴ k=5
2
0+1
11 주어진 그래프의 점근선의 방정식이 x=2, y=3이다.
y=
+3으로 놓으면 이 그래프가 점 (3, 0)을 지나므로
k
x-2
k
3-2
0=
+3
∴ k=-3
따라서 그래프의 식은 y=
+3=
-3
x-2
3x-9
x-2
이 식이 y=
와 일치해야 하므로
ax+b
x+c
a=3, b=-9,`c=-2
07. 유리함수 ⦁ 23
08 무리함수
본문 | 084~087쪽
>
1-1 ⑴ 0 ⑵
1-2 ⑴ 근호 안의 식의 값이 0 이상이어야 하므로
-2x+8¾0에서 xÉ4
⑵
근호 안의 식의 값이 0 이상이고, (분모)+0이어야 하므
로
-x+4¾0, x+2>0
∴ -2<xÉ4
5-1 ⑴ É ⑵ É
5-2
y=
-2x
(2)
15
y=
2x
14
(1)
y
2
1
-1
O
1
x
-
2
1
-2x
(4)
y=-
15
(3)
y=-
2x
14
⑴ 정의역 : {x|x¾0}, 치역 : {y|y¾0}
⑵ 정의역 : {x|xÉ0}, 치역 : {y|y¾0}
⑶ 정의역 : {x|x¾0}, 치역 : {y|yÉ0}
⑷ 정의역 : {x|xÉ0}, 치역 : {y|yÉ0}
x, x
2-1 '
2-2 ⑴
2
x+1-
'Ä
=
=
'Ä
x-1
x+1+
2(
'Ä
x-1)(
x+1-
(
'Ä
'Ä
2(
x-1)
x+1+
(x+1)-(x-1)
'Ä
'Ä
x-1)
'Ä
x+1+
'Ä
'Ä
x-1)
=
x+1+
x-1
⑵ '
'
=
⑵ =
'Ä
x+2
x-2
'Ä
x-2
x+2
(
+ '
'
x+2)Û`+(
'
(
x-2)(
'
x+4
x-2)Û`
'
x+2)
'
x+4+x-4
x-4
'
'
x+4
⑵ =
2x+8
x-4
3-1 ㄷ
3-2 무리함수는 y=f(x)에서 f(x)가 x에 대한 무리식이다.
ㄱ. y=
-5는 근호 안에 문자가 없으므로 무리함수가
x
3
'
아니다.
y=
수가 아니다.
ㄷ.
"xÛ`=|x|에서 근호 안에 문자가 없으므로 무리함
따라서 무리함수는 ㄴ, ㄹ이다.
4-1 ⑴ 2 ⑵ É ⑶ 6, 6
4-2 ⑴ 2x+1¾0에서 x¾-
이므로
;2!;
정의역은
[
⑵ 4-x¾0에서 xÉ4이므로
x¾-
;2!;]
x
|
정의역은 {x|xÉ4}
⑶
x-2¾0에서 x¾6이므로
;3!;
정의역은 {x|x¾6}
⑷ 모든 실수 x에 대하여 xÛ`+1>0이므로
정의역은 {x|x는 모든 실수}
24 ⦁ 정답과 해설
6-1 y, É
6-2
함수 y=-
함수 y=
-5x의 그래프는
'¶
5x의 그래프와 원점
'¶
에 대하여 대칭이므로 오른쪽 그
림과 같다.
정의역 : {x|xÉ0}
치역 : {y|yÉ0}
y
O
-1
x
-
5
1
y=-
-5x
15
7-1 -3x, ¾, ㄷ
7-2 ⑴
-2x
함수 y=
의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -3
-2(x-1)-3의 그래프는 함수 y=
"Ã
'Ä
만큼 평행이동한 것이다.
따라서 그래프는 오른쪽 그
림과 같다.
정의역 : {x|xÉ1}
치역 : {y|y¾-3}
y=
-2(
15
x-1)
6
1
x
y
-3
O
-3
⑵
함수 y=-
의 그래프를 x축의 방향으로 -4만큼, y축의 방향으로
3(x+4)+3의 그래프는 함수 y=-
3x
'¶
"Ã
3만큼 평행이동한 것이다.
따라서 그래프는 오른쪽 그림
과 같다.
y
3
O
정의역 : {x|x¾-4}
-4
x
치역 : {y|yÉ3}
함수 y=-
y=-
"Ã
'Ä
⑶
-3(x-2)-1의 그래프는 함수
-3x의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의
방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.
y=-
3(
x+4)
6
+3
15
따라서 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
정의역 : {x|xÉ2}
치역 : {y|yÉ-1}
y
O
-1
2
x
y=-
-3(
15
x-2)
6
-1
5
5
5
7-3 ㄱ. y=-
함수 y=-
'Ä
'Ä
3x-9+3의 그
'Ä
3x-9+3=-
3(x-3)+3이므로
래프는 함수 y=-
3x의 그
'¶
래프를 x축의 방향으로 3만
y=-
3
x-9+3
1
큼, y축의 방향으로 3만큼 평
3
x
행이동한 것이므로 그래프는
y
3
O
오른쪽 그림과 같다.
ㄴ. 정의역 : {x|x¾3}
ㄷ. 치역 : {y|yÉ3}
ㄹ. 그래프는 제1, 4사분면을 지난다.
따라서 옳은 것은 ㄱ이다.
본문 | 088, 089쪽
⑶ '§
'§
=
x+1
x-1
x-1
x+1
- '§
'§
x+1)Û`-(
'§
x-1)(
(
(
x-1)Û`
'§
x+1)
'§
'§
x+1)-(x-2
x-1
'§
x+1)
'§
(x+2
=
=
4
x
'¶
x-1
⑷
"Ã
=
1
xÛ`-1+x
-
1
xÛ`-1-x
"Ã
(
"Ã
(
"Ã
xÛ`-1-x)-(
xÛ`-1+x)(
xÛ`-1+x)
"Ã
xÛ`-1-x)
"Ã
=
-2x
(xÛ`-1)-xÛ`
=2x
집중 연습
1 ⑴ '
'
3
5
= '
'
3
5
5
'
5
'
15
= '¶
5
⑵
1
3+
'
2
'
=
(
= '
'
'
2
3+
'
3-
'
3-2
3-
2)(
'
'
2
3-
2)
'
=
3-
'
2
'
⑶
1
3-2
=
2
'
(3-2
'
3+2
'
3Û`-(2
'
=3+2'2
=
3+2
2
'
2)(3+2
2)
'
3+2
'
9-8
2
2
2)Û`
=
x-
2)(
2
'
x-
'
2)
'
2 ⑴
1
x+
'
2
'
=
(
= '
'
x+
'
2
'
x-
'
x-2
⑵
4
x+2-
'Ä
x-2
'Ä
3 ⑴
⑵
=
=
(
4(
x+2-
x+2+
'Ä
x-2)(
'Ä
x+2+
x-2)
'Ä
x+2+
'Ä
'Ä
4(
x-2)
(x+2)-(x-2)
4(
=
'Ä
'Ä
'Ä
x-2)
'Ä
x+2+
4
'Ä
x-2)
=
x+2+
x-2
'Ä
'Ä
2
1+
x
'
+
2
1-
x
'
=
2(1-
'
(1+
'
x)+2(1+
x)(1-
'
x)
x)
=
4
1-x
'
1
x+2+
+
x
1
x+2-
x
'
'Ä
(
=
'
x+2-
'
x+2+
'
'Ä
x)+(
x)(
=
x+2
2
=
(x+2)-x
'Ä
(
'Ä
2
'Ä
x)
'
x)
'
x+2+
'Ä
x+2-
'Ä
x+2
2
'Ä
=
x+2
'Ä
;2!;
;2!;]
"Ã
4 ⑴ y=
'Ä
2x+1=
2
¾±
{
x+
;2!;}
의 그래프는 y=
2x의 그래프
'¶
를 x축의 방향으로 -
만큼 평행이동한 것이다.
정의역 :
[
x
|
x¾-
, 치역 : {y|y¾0}
⑵ y=-
-2x+2=-
-2(x-1)의 그래프는
-2x의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼 평행이동
'Ä
y=-
'Ä
한 것이다.
정의역 : {x|xÉ1}, 치역 : {y|yÉ0}
⑶ y=
6-x=
-(x-6)의 그래프는 y=
-x의 그래프
"Ã
'Ä
를 x축의 방향으로 6만큼 평행이동한 것이다.
정의역 : {x|xÉ6}, 치역 : {y|y¾0}
⑷ y=
1-3x=
-3
x-
의 그래프는 y=
-3x의 그
¾±
{
;3!;}
'Ä
래프를 x축의 방향으로
만큼 평행이동한 것이다.
;3!;
정의역 :
[
x
|
xÉ
;3!;]
, 치역 : {y|y¾0}
⑸ y=-
3x+2=-
의 그래프는 y=-
3x의
3
¾±
{
x+
;3@;}
'¶
그래프를 x축의 방향으로 -
만큼 평행이동한 것이다.
;3@;
정의역 :
[
x
|
x¾-
;3@;]
, 치역 : {y|yÉ0}
⑹ y=-
4-x=-
-(x-4)의 그래프는 y=-
-x의
"Ã
'Ä
그래프를 x축의 방향으로 4만큼 평행이동한 것이다.
정의역 : {x|xÉ4}, 치역 : {y|yÉ0}
참고 y=
x ⇨ 정의역 : {x|x¾0}, 치역 : {y|y¾0}
'
x ⇨ 정의역 : {x|x¾0}, 치역 : {y|yÉ0}
'
-x ⇨ 정의역 : {x|xÉ0}, 치역 : {y|y¾0}
-x ⇨ 정의역 : {x|xÉ0}, 치역 : {y|yÉ0}
y=-
y=
'Ä
y=-
'¶
'Ä
'Ä
'Ä
'Ä
08. 무리함수 ⦁ 25
5
5 ⑴ y=
'Ä
2x-3-1=
2
¾±
{
x-
;2#;}
-1의 그래프는 y=
2x의
'¶
기초 문제
가평
본문 | 092, 093쪽
그래프를 x축의 방향으로
만큼, y축의 방향으로 -1만큼
;2#;
평행이동한 것이다.
정의역 :
[
x
|
x¾
;2#;]
, 치역 : {y|y¾-1}
⑵ y=
-x+2의 그래프는 y=
-x의 그래프를 y축의 방
'¶
'¶
향으로 2만큼 평행이동한 것이다.
정의역 : {x|xÉ0}, 치역 : {y|y¾2}
⑶ y=-
3x-3-2=-
3(x-1)-2의 그래프는
"Ã
y=-
3x의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향
으로 -2만큼 평행이동한 것이다.
정의역 : {x|x¾1}, 치역 : {y|yÉ-2}
⑷ y=
2-x+2=
-(x-2)+2의 그래프는 y=
-x의
'Ä
"Ã
'Ä
그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평
행이동한 것이다.
정의역 : {x|xÉ2}, 치역 : {y|y¾2}
⑸ y=-
1-2x-3=-
-2
x-
-3의 그래프는
¾±
{
;2!;}
y=-
-2x의 그래프를 x축의 방향으로
만큼, y축의 방
;2!;
향으로 -3만큼 평행이동한 것이다.
정의역 :
[
x
|
xÉ
;2!;]
, 치역 : {y|yÉ-3}
⑹ y=1-
y=-
'Ä
2-x=-
-(x-2)+1의 그래프는
'Ä
-x의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방
"Ã
향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
정의역 : {x|xÉ2}, 치역 : {y|yÉ1}
'Ä
'¶
'Ä
'¶
기초 개념
가평
본문 | 090, 091쪽
02 0
04 a-b
06 무리함수
08 a>0
10 멀어진다
12 a<0
14 a>0
01 무리식
03 b
05 a-b
07 0
09 a<0
11 a>0
13 p, q
15 a<0
26 ⦁ 정답과 해설
1 ⑴ 근호 안의 식의 값이 0 이상이어야 하므로
4-2x¾0에서 xÉ2
⑵ 근호 안의 식의 값이 0 이상이고, (분모)+0이어야 하므로
2x+1¾0, x+0에서 -
Éx<0 또는 x>0
;2!;
⑶ 근호 안의 식의 값이 0 이상이고, (분모)+0이어야 하므로
8-2x¾0, x-1>0에서 1<xÉ4
⑷ 근호 안의 식의 값이 0 이상이어야 하므로
5-2x¾0, 3x+3¾0에서 -1ÉxÉ
;2%;
+
x-
'Ä
'§
x-1)+(
x-1)(
x-1
x+
'§
x-
1
'§
x-1)
'Ä
x-1)
'Ä
2 ⑴
1
=
'§
x-1
'Ä
x-
'Ä
x+
'Ä
x+
(
'§
(
'§
2
x
=
'§
x-(x-1)
=2
x
'§
⑵
x
x+1+1
-
x
x+1-1
'Ä
'Ä
=
=
x(
'Ä
(
'Ä
-2x
(x+1)-1
=-2
'Ä
-2x
x
=
x+1-1)-x(
x+1+1)(
'Ä
x+1-1)
x+1+1)
⑶
1
x+
'§
+
y
1
x-
y
(
'
x-
'
x+
'
'§
y)+(
y)(
'
x+
'§
x-
'§
'§
(
'§
y)
'
y)
'
=
=
2
x
'§
x-y
3 ⑴ y=-
2x+
3은 근호 안에 문자가 없으므로 무리함수가
⑵ y=
2-x-3에서
2-x-3은 무리식이므로 무리함수
'
아니다.
'
'Ä
이다.
'Ä
(근호 안의 식의 값)¾0에서 2-x¾0
∴ xÉ2
따라서 정의역은 {x|xÉ2}
⑶ y=
1
xÛ`+4x+4
=
1
(x+2)Û`
=
1
|x+2|
"Ã
"Ã
문자가 없으므로 무리함수가 아니다.
에서 근호 안에
⑷ y=-
2x+4+1에서 -
2x+4+1은 무리식이므로 무
'Ä
리함수이다.
'Ä
(근호 안의 식의 값)¾0에서 2x+4¾0
∴ x¾-2
따라서 정의역은 {x|x¾-2}
§
§
4 (근호 안의 식의 값)¾0에서 x+a¾0
즉 , 정의역은 {x|x¾-a}이므로 a=-3
∴ x¾-a
양변을 제곱하면 yÛ`-2y+1=x+2
x에 대하여 풀면 x=yÛ`-2y-1
또한
x+a¾0이므로
'Ä
'Ä
x+a+b¾b
즉 , 치역은 {y|y¾b}이므로 b=-2
∴ a=-3, b=-2
x와 y를 서로 바꾸어 역함수를 구하면 y=xÛ`-2x-1
따라서 a=1, b=-2, c=-1, d=1이므로
a+b+c+d=-1
5 함수 y=
'Ä
x+1-1의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축
의 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프의 식은
10 주어진 함수의 그래프는 함수 y=
-2x의 그래프를 x축의
방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이
'¶
y=
x-p+1-1+q
'Ä
이 식이 y=
'Ä
-p+1=-3, -1+q=2
∴ p=4, q=3
x-3+2와 일치해야 하므로
6 ㄱ. y=
'Ä
함수 y=
-2x+4-1=
-2(x-2)-1이므로
-2x의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의
"Ã
'Ä
방향으로 -1만큼 평행이동하면 겹쳐질 수 있다.
므로
y=
-2(x-2)-1=
2x+4-1
'Ä-
2x+a+b와 일치해야 하므로
"Ã
이 식이 y=
'Ä-
a=4, b=-1
함수 y=
-2x+4-1의 그래프가 점 (0, c)를 지나므로
'Ä
4-1=1
c=
'
∴ a=4, b=-1, c=1
ㄴ. 그래프는 오른쪽과 같으므
로 제1, 2, 4사분면을 지난
y
x+4-1
y=
-2
15
11 주어진 함수의 그래프는 함수 y=
ax의 그래프를 x축의
방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이
'¶
다.
ㄷ. 정의역은 {x|xÉ2}이다.
ㄹ. 치역은 {y|y¾-1}이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.
1
O
-1
2
x
므로
"Ã
'¶
y=
a(x+2)+2
이 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로
3=
2a+2에서
2a=1, 2a=1
∴ a=
'¶
;2!;
7 y=-
'Ä
함수 y=-
'¶
3x+9+1=-
3(x+3)+1이므로
"Ã
3x의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의
방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
따라서 a=3, b=-3, c=1이므로 a+b+c=1
y=
(x+2)+2, 즉 y=
x+1+2
¾±;2!;
¾±;2!;
이 식이 y=
ax+b+c와 일치해야 하므로 b=1, c=2
'Ä
∴ a=
, b=1, c=2
;2!;
8 (근호 안의 식의 값)¾0에서 ax+4¾0
∴ x¾-
;a$;
즉 , 정의역은
[
x
x¾-
|
;a$;]
이므로
-
=-1
∴ a=4
;a$;
∴ y=
4x+4+b
'Ä
이 함수의 그래프가 점 (3, 3)을 지나므로
3=
12+4+b, 3=4+b
따라서 주어진 함수는 y=
'Ä
∴ b=-1
4x+4-1이므로
'Ä
구하는 치역은 {y|y¾-1}이다.
참고 ax+4¾0에서 ax¾-4
뀌지 않아야 한다.
따라서 a>0이므로 x¾-
9 함수 y=
역함수의 정의역은 {x|x¾1}이다.
x+2+1의 치역은 {y|y¾1}이므로
'Ä
y=
x+2+1에서 y-1=
x+2
'Ä
;a$;
'Ä
이때 정의역이 {x|x¾-1}이므로 ㉠의 부등호의 방향이 바
yy㉠
08. 무리함수 ⦁ 27
5
09 경우의 수
기초 개념 피드백 TEST
&
1-1 18, 6
1-2 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이므로 구하는 경우의 수
는 6이다.
3-1 홀수, 9
3-2 ⑴ 소설책을 택하는 경우의 수는 3이고 각각의 경우에 대하
여 시집을 택하는 경우의 수는 2이다.
본문 | 097쪽
따라서 구하는 경우의 수는
3_2=6
⑵ 두 수의 곱이 홀수이려면 두 수 모두 홀수이어야 한다.
9 이하의 자연수 중에서 홀수는 1, 3, 5, 7, 9의 5개이므
로 구하는 경우의 수는
5_5=25
4-1 3, 4, 12
4-2 ⑴ 36을 소인수분해하면 2Û`_3Û`
2Û`의 양의 약수는 1, 2, 2Û`의 3가지
3Û`의 양의 약수는 1, 3, 3Û`의 3가지
따라서 곱의 법칙에 의하여 36의 양의 약수의 개수는
3_3=9
참고 자연수를 소인수분해하여
am_bn_cl (a, b, c는 서로 다른 소수)
로 나타내었을 때, 양의 약수의 개수는
am의 양의 약수는 1, a, aÛ`, y, am의 m+1(개)
bn의 양의 약수는 1, b, bÛ` , y, bn의 n+1(개)
cl의 양의 약수는 1, c, cÛ`, y, cl의 l+1(개)
즉 , 구하는 양의 약수의 개수는
(m+1)(n+1)(l+1)
⑵ 48을 소인수분해하면 2Ý`_3이므로 양의 약수의 개수는
(4+1)(1+1)=10
2-1 3, 6, 7
2-2 Ú 두 눈의 수의 차가 1인 경우는
(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)
(6, 5), (5, 4), (4, 3), (3, 2), (2, 1)
⇨ 10가지
Û 두 눈의 수의 차가 2인 경우는
(1, 3), (2, 4), (3, 5) (4, 6),
(6, 4), (5, 3), (4, 2), (3, 1)
Ü 두 눈의 수의 차가 4인 경우는
(1, 5), (2, 6), (6, 2), (5, 1)
⇨ 8가지
⇨ 4가지
Ú, Û, Ü은 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우
의 수는 10+8+4=22
3-1 아몬드, 포도맛, 2, 6
3-2 집에서 마트까지 가는 3가지의 길을 각각 A, B, C라
하고, 마트에서 서점까지 가는 4가지의 길을 각각 a, b,
c, d라 하면 집에서 마트를 지나 서점까지 가는 경우
는
(A, a), (A, b), (A, c), (A, d),
(B, a), (B, b), (B, c), (B, d),
(C, a), (C, b), (C, c), (C, d)
따라서 구하는 경우의 수는 3_4=12
1-1 4, 6
1-2 Ú 6의 배수가 나오는 경우는 6, 12, 18의 3가지
Û 7의 배수가 나오는 경우는 7, 14의 2가지
본문 | 098, 099쪽
집중 연습
본문 | 100, 101쪽
1 ⑴ 4보다 작은 수는 1, 2, 3이므로 구하는 경우의 수는 3이다.
⑵ 12보다 큰 수는 13, 14, 15이므로 구하는 경우의 수는 3
⑶ 4보다 작은 수가 적힌 공이 나오는 경우의 수는 3이고 12
보다 큰 수가 적힌 공이 나오는 경우의 수는 3이다.
Ú, Û 는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는
두 사건은 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는
2-1 12, 3, 7
2-2 소수의 눈이 나오는 경우는 2, 3, 5의 3가지
2의 배수의 눈이 나오는 경우는 2, 4, 6의 3가지
2 ⑴ 소수는 2, 3, 5이므로 구하는 경우의 수는 3이다.
⑵ 4의 배수는 4이므로 구하는 경우의 수는 1이다.
⑶ 소수의 눈이 나오는 경우의 수는 3이고, 4의 배수의 눈이
소수이면서 2의 배수의 눈이 나오는 경우는 2의 1가지
나오는 경우의 수는 1이다.
따라서 구하는 경우의 수는
두 사건은 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는
3+2=5
3+3-1=5
28 ⦁ 정답과 해설
이다.
3+3=6
3+1=4
2의 배수이면서 5의 배수인 10의 배수가 적힌 공이 나오는
3 ⑴ 2의 배수가 적힌 공이 나오는 경우는
2, 4, 6, y, 30의 15가지
5의 배수가 적힌 공이 나오는 경우는
5, 10, 15, y, 30의 6가지
경우는 10, 20, 30의 3가지
따라서 구하는 경우의 수는
15+6-3=18
⑵ 3의 배수가 적힌 공이 나오는 경우는
3, 6, 9, y, 30의 10가지
5의 배수가 적힌 공이 나오는 경우는
5, 10, 15, y, 30의 6가지
경우는 15, 30의 2가지
따라서 구하는 경우의 수는
10+6-2=14
3의 배수이면서 5의 배수인 15의 배수가 적힌 공이 나오는
4 ⑴ 눈의 수의 합이 5가 되는 경우의 수는
(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) ⇨ 4
⑵ 눈의 수의 곱이 4가 되는 경우의 수는
(1, 4), (2, 2), (4, 1) ⇨ 3
⑶ 눈의 수의 합이 5이면서 동시에 눈의 수의 곱이 4인 경우는
(1, 4), (4, 1)의 2가지이므로 구하는 경우의 수는
4+3-2=5
5 ⑴ 일의 자리에 올 수 있는 수는 2, 4의 2가지
십의 자리에 올 수 있는 수는 1, 2, 3, 4의 4가지
따라서 구하는 짝수의 개수는 2_4=8
⑵ 일의 자리에 올 수 있는 수는 1, 3의 2가지
십의 자리에 올 수 있는 수는 1, 2, 3, 4의 4가지
따라서 구하는 홀수의 개수는 2_4=8
⑶ 두 수의 합이 짝수가 되려면
(짝수)+(짝수) 또는 (홀수)+(홀수)가 되어야 한다.
Ú (짝수)+(짝수)인 경우의 수는
(2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) ⇨ 4
Û (홀수)+(홀수)인 경우의 수는
(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3) ⇨ 4
Ú, Û에서 구하는 자연수의 개수는 4+4=8
⑷ 십의 자리에 올 수 있는 수는 2, 4의 2가지
일의 자리에 올 수 있는 수는 1, 3의 2가지
따라서 구하는 자연수의 개수는 2_2=4
6 ⑴ 108=2Û`_3Ü`이므로 양의 약수의 개수는
(2+1)(3+1)=12
참고 108의 양의 약수는 다음과 같다.
_
1
3Ú`
3Û`
3Ü`
1
1
3
9
27
2Ú`
2
6
18
54
2Û`
4
12
36
108
⑵ 180=2Û`_3Û`_5이므로 양의 약수의 개수는
(2+1)(2+1)(1+1)=18
⑶ 210=2_3_5_7이므로 양의 약수의 개수는
(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=16
7 ⑴ 2_3=6
⑵ 3_3=9
⑶ 2_3_2=12
기초 개념
가평
본문 | 102, 103쪽
01 m+n
02 m+n-l
03 3
05 4
09 3
07 곱의 법칙
06 m_n
04 2
08 2
10 6
기초 문제
가평
본문 | 104, 105쪽
1 ① 3보다 큰 수의 눈이 나오는 경우는 4, 5, 6의 3가지
② (앞, 앞, 뒤), (앞, 뒤, 앞), (뒤, 앞, 앞)의 3가지
③ 소희가 은지를 이기는 경우를 순서쌍으로 나타내면
(가위, 보), (바위, 가위), (보, 바위)의 3가지
④ 두 눈의 수의 합이 5인 경우는
(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의 4가지
⑤ 민규와 진서가 서로 비기는 경우를 순서쌍으로 나타내면
(가위, 가위), (바위, 바위), (보, 보)의 3가지
따라서 경우의 수가 다른 하나는 ④이다.
참고 A, B 두 사람이 가위, 바위, 보를 할 때, 나올 수 있는 모
든 경우를 수형도로 나타내면 다음과 같다.
A B
A B
A B
가위
가위
바위
보
바위
보
가위
바위
보
가위
바위
보
09. 경우의 수 ⦁ 29
9 2Ü`_3Û`_5x의 양의 약수의 개수는
(3+1)(2+1)(x+1)=12(x+1)
12(x+1)=36에서 x+1=3
∴ x=2
10 집
공원
학교
2가지
11Ú
4가지
11Ú
따라서 구하는 경우의 수는 2_4=8
11 (a+b+c)(x+y)Û`=(a+b+c)(xÛ`+2xy+yÛ`)
이므로 서로 다른 항의 개수는 3_3=9
12 A에 칠할 수 있는 색은 5가지,
B는 A와 다른 색을 칠해야 하므로 4가지,
C는 A와 B에 칠한 색을 제외한 3가지,
D는 A와 C에 칠한 색을 제외한 3가지,
E는 A와 D에 칠한 색을 제외한 3가지
참고 인접한 부분이 가장 많은 A에 칠할 수 있는 경우의 수
를 먼저 구한 다음 B, C, D, E에 칠할 수 있는 색의 가짓수
를 구한다.
Ú, Û 는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는
따라서 구하는 방법의 수는
8+4=12
5_4_3_3_3=540
2 합의 법칙에 의하여 구하는 경우의 수는
5+3=8
3 ⑴ Ú 두 눈의 수의 차가 3인 경우는
(1, 4), (2, 5), (3, 6), (6, 3), (5, 2), (4, 1) ⇨ 6가지
Û 두 눈의 수의 차가 5인 경우는
(1, 6), (6, 1) ⇨ 2가지
Ú, Û 는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는
6+2=8
⑵ Ú 두 눈의 수의 곱이 4 이하인 경우는
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),
(2, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 1)
⇨ 8가지
Û 두 눈의 수의 곱이 25 이상인 경우는
(5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6) ⇨ 4가지
4 6의 배수가 나오는 경우는 6, 12, 18의 3가지
소수가 나오는 경우는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19의 8가지
두 사건은 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는
3+8=11
5 민수가 들어갈 때 사용할 수 있는 문은 a, b, c, d의 4가지이고,
그 각각에 대하여 나올 때 사용할 수 있는 문은 들어갈 때 사
용한 문을 제외한 3가지이므로 구하는 경우의 수는
4_3=12
6 2의 배수가 나오는 경우는 2, 4, 6, 8, 10, 12의 6가지
5의 배수가 나오는 경우는 5, 10의 2가지
따라서 구하는 경우의 수는 6_2=12
7 빵 또는 과자 중 한 가지를 택하는 경우의 수는
a=4+4=8
빵과 과자를 각각 한 가지씩 택하는 경우의 수는
b=4_4=16
∴ a+b=8+16=24
8 ⑴ 일의 자리에 올 수 있는 수는 3, 6, 9의 3가지
십의 자리와 백의 자리에 올 수 있는 수는 각각
1, 3, 5, 7, 9의 5가지
따라서 구하는 자연수의 개수는
3_5_5=75
⑵ 일의 자리에 올 수 있는 수는 1, 2, 4의 3가지
십의 자리에 올 수 있는 수는 2, 3, 5, 7의 4가지
백의 자리에 올 수 있는 수는 4, 8의 2가지
따라서 구하는 자연수의 개수는
3_4_2=24
30 ⦁ 정답과 해설
본문 | 106~109쪽
35
꼴인 자연수의 개수는 3!=6
7-1 31254, 31254
7-2 5
4
꼴인 자연수의 개수는 4!=24
꼴인 자연수의 개수는 4!=24
꼴인 자연수의 개수는 2!=2
꼴인 자연수의 개수는 2!=2
345
342
341
60번째로 큰 수는 34125
꼴인 자연수는 34152, 34125이므로
58
]
10 순열
1-1 ⑴ 4, 4 ⑵ 5, 5 ⑶ 3, 3 ⑷ 4, 4
1-2 ⑴ 9P3 ⑵ 7P4 ⑶ 5P5 ⑷ 3P3
2-1 ⑴ 120 ⑵ 1, 720
2-2 ⑴ 11P3=11_10_9=990
⑵ 8P4=8_7_6_5=1680
⑶ 4P4=4_3_2_1=24
⑷ 4P0=1
3-1 ⑴ 3, 5 ⑵ 2
3-2 ⑴ n(n-1)=90
이때 90=10_9이므로 n=10
⑵ n(n-1)(n-2)=720
이때 720=10_9_8이므로 n=10
⑶ 840=7_6_5_4이므로 r=4
⑷ 1320=12_11_10이므로 r=3
4-1 24, 48
4-2 여학생 3명을 한 묶음으로 생각하여 3명의 학생이 일렬로
서는 경우의 수는
3!=3_2_1=6
3!=3_2_1=6
여학생 3명이 자리를 바꾸는 경우의 수는
따라서 구하는 경우의 수는 6_6=36
5-1 4, 12, 72
5-2 자녀를 제외한 2명의 부모가 한 줄로 서는 경우의 수는
2!=2_1=2
양 끝과 부모 사이에 자녀 3명이 서는 경우의 수는
3P3=3_2_1=6
따라서 구하는 경우의 수는 2_6=12
6-1 ⑴ 3 ⑵ 5, 5, 4
6-2 ⑴ 서로 다른 6개의 숫자에서 4개를 택하여 일렬로 나열하
는 경우의 수와 같으므로
6P4=6_5_4_3=360
⑵ 짝수는 일의 자리의 숫자가 2, 4, 6 중 하
나이어야 한다.
일의 자리에 들어갈 짝수를 정하고 나머
↓
[
5P3 3
지 5개의 숫자에서 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리에
집중 연습
본문 | 110, 111쪽
1 ⑴ 2P0=1
⑵ 6P1=6
⑶ 3P2=3_2=6
⑷ 7P3=7_6_5=210
⑸ 5P5=5_4_3_2_1=120
⑹ 5P4=5_4_3_2=120
2 ⑴ nPn=n!
이때 24=4!이므로 n=4
⑵ 210=7_6_5이므로 r=3
⑶ nP3=n(n-1)(n-2)
이때 120=6_5_4이므로 n=6
⑷ 336=8_7_6이므로 r=3
⑸ nP3+n-1P2 =n(n-1)(n-2)+(n-1)(n-2)
=(n-1)(n-2)(n+1)
=(n+1)(n-1)(n-2)
이때 140=7_5_4이므로 n=6
다른 풀이 (n+1)(n-1)(n-2)=nÜ`-2nÛ`-n+2=140
에서 nÜ`-2nÛ`-n-138=0
(n-6)(nÛ`+4n+23)=0
n은 자연수이므로 n=6
⑹ n+1P3+2nP2 =(n+1)n(n-1)+2n(n-1)
=n(n-1)(n+1+2)
=(n+3)n(n-1)
이때 84=7_4_3이므로 n=4
들어갈 3개를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으
3 ⑴ 서로 다른 5개의 숫자에서 4개를 택하여 일렬로 나열하는
므로
3_5P3=3_5_4_3=180
경우의 수와 같으므로
5P4=5_4_3_2=120
10. 순열 ⦁ 31
⑵ 짝수는 일의 자리의 숫자가 2 또는 4이어야
일의 자리에 들어갈 짝수를 정하고 나머지
↓
[
4P3 2
⑵ 5
4
3
꼴인 자연수의 개수는 4!=24
꼴인 자연수의 개수는 4!=24
꼴인 자연수의 개수는 4!=24
4개의 숫자에서 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리에 들어갈
25
꼴인 자연수의 개수는 3!=6
3개를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
245
꼴인 자연수는 24531, 24513이므로 80번째로
2_4P3=2_4_3_2=48
큰 수는 24513이다.
⑶ 5의 배수는 일의 자리의 숫자가 5이어야 한
⑶ 1
꼴인 자연수의 개수는 4!=24
78
]
한다.
다.
5
4P3
[
21
23
24
꼴인 자연수의 개수는 3!=6
꼴인 자연수의 개수는 3!=6
꼴인 자연수의 개수는 3!=6
따라서 25000보다 작은 수의 개수는
24+6+6+6=42
참고 순열을 이용한 자연수의 개수
여 자연수를 만들 때
❶ 두 자리 자연수의 개수는 n_nP1
❷ 세 자리 자연수의 개수는 n_nP2
❸ 네 자리 자연수의 개수는 n_nP3
0, 1, 2, y, n (nÉ9)의 (n+1)개의 숫자를 한 번씩 사용하
꼴인 자연수의 개수는 4!=24
꼴인 자연수의 개수는 3!=6
꼴인 자연수의 개수는 3!=6
꼴인 자연수의 개수는 2!=2
6 ⑴ 1
20
21
230
231
작은 수는 23140이다.
⑵ 4
3
2
꼴인 자연수의 개수는 4!=24
꼴인 자연수의 개수는 4!=24
꼴인 자연수의 개수는 4!=24
14
꼴인 자연수의 개수는 3!=6
38
]
78
]
꼴인 자연수는 23104, 23140이므로 40번째로
134
꼴인 자연수는 13420, 13402이므로 80번째로
큰 수는 13402이다.
⑶ 1
2
꼴인 자연수의 개수는 4!=24
꼴인 자연수의 개수는 4!=24
따라서 25000보다 작은 수의 개수는
24+24=48
5를 제외한 나머지 4개의 숫자에서 천의 자
리, 백의 자리, 십의 자리에 들어갈 3개를 택하여 일렬로
나열하는 경우의 수와 같으므로
4P3=4_3_2=24
4 ⑴ 천의 자리의 숫자는 0이 될 수 없으므로 0
을 제외한 4개의 숫자에서 1개를 정하고 나
머지 4개의 숫자에서 3개를 택하여 일렬로
↓
4 4P3
[
⑵ 천의 자리의 숫자는 0이 될 수 없고 홀수는 일의 자리의 숫
나열하는 경우의 수와 같으므로
4_4P3=4_4_3_2=96
자가 1 또는 3이어야 한다.
Ú 일의 자리의 숫자가 1인 경우
천의 자리에는 0, 1을 제외한 3개의 숫
자에서 1개를 정하고 나머지 3개의 숫자
에서 백의 자리, 십의 자리에 들어갈 2개
1
↓
3 3P2
[
를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
3_3P2=3_3_2=18
Û 일의 자리의 숫자가 3인 경우
천의 자리에는 0, 3을 제외한 3개의 숫
자에서 1개를 정하고 나머지 3개의 숫자
에서 백의 자리, 십의 자리에 들어갈 2개
3
↓
3 3P2
[
를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
3_3P2=3_3_2=18
Ú, Û에서 홀수의 개수는 18+18=36
⑶ 5의 배수는 일의 자리의 숫자가 0이어야 한
다.
0을 제외한 나머지 4개의 숫자에서 3개를
택하여 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
4P3=4_3_2=24
0
4P3
[
꼴인 자연수의 개수는 3!=6
꼴인 자연수의 개수는 3!=6
꼴인 자연수의 개수는 2!=2
38
]
꼴인 자연수는 24315, 24351이므로 40번째로
5 ⑴ 1
21
23
241
243
32 ⦁ 정답과 해설
작은 수는 24351이다.
꼴인 자연수의 개수는 4!=24
01 곱의 법칙
02 순열
기초 개념
가평
본문 | 112, 113쪽
03 n!
05 1
07 이웃하는
09 3
11 4
04 (n-r)!
06 n!, 1
08 이웃하지 않는
10 5
12 2
본문 | 114, 115쪽
여학생 3명이 자리를 바꾸는 경우의 수는
n(n-1)+(n+1)n=18, 2nÛ`=18, nÛ`=9
남학생 3명이 자리를 바꾸는 경우의 수는
2 8명의 학생 중에서 3명을 뽑아 일렬로 세우는 경우의 수와 같
따라서 구하는 경우의 수는
기초 문제
가평
1 ⑴ nP3=2nP2에서
n(n-1)(n-2)=2n(n-1)
n¾3이므로 양변을 n(n-1)로 나누면
n-2=2
∴ n=4
⑵ nP2+n+1P2=18에서
∴ n=-3 또는 n=3
이때 n¾2이므로 n=3
으므로
8P3=8_7_6=336
3 ㄱ. (좌변)=3!_2!=3_2_1_2_1=12
(우변)=6!=6_5_4_3_2_1=720
∴ 3!_2!+6!
ㄴ. (좌변)=9_8!=9_8_7_y_1
(우변)=9!=9_8_7_y_1
∴ 9_8!=9!
(우변)=5!=5_4_3_2_1=120
∴ 2!+3!+5!
ㄹ. (좌변)=
=
=5!, (우변)=5!
5!
0!
5!
1
∴
=5!
5!
0!
따라서 옳지 않은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
ㄷ. (좌변)=2!+3!=2_1+3_2_1=2+6=8
Û 여자 2명이 이웃하지 않게 서는 경우
⑵ 남학생과 여학생이 번갈아 서는 경우는 ‘남여남여남여’, ‘여
3!=3_2_1=6
3!=3_2_1=6
따라서 구하는 경우의 수는
2_6_6=72
남여남여남’의 2가지이다.
여학생 3명이 자리를 바꾸는 경우의 수는
3!=3_2_1=6
3!=3_2_1=6
2_6_6=72
6 Ú 여자 2명이 이웃하게 서는 경우
여자 2명을 한 묶음으로 생각하여 4명을 일렬로 세우는 경
우의 수는
4!=4_3_2_1=24
여자 2명이 자리를 바꾸는 경우의 수는
2!=2_1=2
∴ a=24_2=48
여자 2명을 제외한 3명의 남자를 일렬로 세우는 경우의 수는
3!=3_2_1=6
양 끝과 남자 사이사이에 여자 2명을 세우는 경우의 수는
4P2=4_3=12
∴ b=6_12=72
Ú, Û에서 b-a=24
7 여학생 2명을 일렬로 세우는 경우의 수는 2!=2
남학생 3명을 일렬로 세우는 경우의 수는 3!=6
따라서 놀이공원에 입장하는 경우의 수는
2_6=12
8 2개의 문자 a, b를 양 끝에 정하고 나머지 3개의 문자 c, d, e
를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같다.
이때 양 끝에 a, b가 오는 경우는 a ◯ ◯ ◯ b, b ◯ ◯ ◯ a의
2가지가 있으므로 구하는 경우의 수는
2_3!=2_3_2_1=12
9 A와 B 사이에 C, D, E를 세우는 경우의 수와 같으므로
3!=3_2_1=6
10 5의 배수는 일의 자리의 숫자가 5이어야 한
5를 제외한 나머지 5개의 숫자에서 3개를 택
하여 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
5P3=5_4_3=60
5
5P3
[
10. 순열 ⦁ 33
4 ⑴ 시집 2권을 한 묶음으로 생각하여 5권의 책을 일렬로 꽂는
경우의 수는
5!=5_4_3_2_1=120
시집 2권이 자리를 바꾸는 경우의 수는
2!=2_1=2
따라서 구하는 경우의 수는
120_2=240
⑵ 시집을 제외한 4권의 소설책을 일렬로 꽂는 경우의 수는
양 끝과 소설책 사이사이에 시집 2권을 꽂는 경우의 수는
4!=4_3_2_1=24
5P2=5_4=20
따라서 구하는 경우의 수는
24_20=480
5 ⑴ 남학생 3명을 한 묶음, 여학생 3명을 한 묶음으로 생각하여
다.
2명을 일렬로 세우는 경우의 수는
2!=2_1=2
남학생 3명이 자리를 바꾸는 경우의 수는
11 ⑴ 1
2
꼴인 자연수의 개수는 5P2=5_4=20
꼴인 자연수의 개수는 5P2=5_4=20
따라서 300보다 작은 수의 개수는 20+20=40
꼴인 자연수의 개수는 5P2=5_4=20
⑵ 1
20
꼴인 자연수의 개수는 4
21
꼴인 자연수의 개수는 4
23
꼴인 자연수의 개수는 4
32
]
24
꼴인 자연수는 240, 241, 243, 245이므로
241은 작은 순서대로 34번째에 오는 수이다.
12 e
i
꼴인 단어의 개수는 4!=24
꼴인 단어의 개수는 4!=24
꼴인 단어의 개수는 4!=24
m
꼴인 단어의 개수는 4!=24
꼴인 단어의 개수는 3!=6
꼴인 단어의 개수는 3!=6
꼴인 단어의 개수는 3!=6
꼴인 단어의 개수는 2!=2
116
]
l
se
si
sl
sme
smi
꼴인 단어는 smiel, smile이므로
smile은 118번째 단어이다.
34 ⦁ 정답과 해설
11 조합
본문 | 116~119쪽
1-1 ⑴ 3, 3 ⑵ 7, 7 ⑶ 3, 3 ⑷ 3, 3
1-2 ⑴ n=10, r=4이므로 10C4
⑵ n=8, r=3이므로 8C3
⑶ 6종류의 과일 중에서 2종류를 고르는 방법의 수는 6C2
5종류의 과자 중에서 3종류를 고르는 방법의 수는 5C3
따라서 구하는 방법의 수는 6C2_5C3
⑷ 어른 10명 중에서 4명을 뽑는 방법의 수는 10C4
아이 5명 중에서 2명을 뽑는 방법의 수는 5C2
따라서 구하는 방법의 수는 10C4_5C2
=126
=
=
9_8_7_6
4_3_2_1
8_7
2_1
=28
2-1 ⑴ 5! ⑵ 10!, 45
2-2 ⑴ 9C4=
⑵ 8C2=
⑶ 5C5=
⑷ 4C0=
9!
4!_5!
8!
2!_6!
5!
5!_0!
4!
0!_4!
=1
=1
3-1 ⑴ 30, 6 ⑵ 7, 6
3-2 ⑴ nC3=
n(n-1)(n-2)
3!
=20에서
n(n-1)(n-2)=120
이때 120=6_5_4이므로 n=6
n(n-1)(n-2)(n-3)
4!
⑵ nC4=
n(n-1)(n-2)(n-3)=840
이때 840=7_6_5_4이므로 n=7
=35에서
⑶ nC3=nCn-3이므로 nCn-3=nC6
n-3=6
∴ n=9
⑷ r+r-2이므로
8Cr=8C8-r에서 8C8-r=8Cr-2
8-r=r-2
∴ r=5
4-1 ⑴ 2, 2, 10 ⑵ 3, 10
4-2 ⑴ A, B를 먼저 뽑고 남은 6명의 학생 중에서 2명을 뽑는
경우의 수는
6C2=
=15
6_5
2_1
⑵ A를 먼저 뽑고 남은 7명의 학생 중 B를 제외한 6명의 학
생 중에서 3명을 뽑는 경우의 수는
6C3=
6_5_4
3_2_1
=20
따라서 구하는 경우의 수는 10_6=60
8n=n(n-1)-36, nÛ`-9n-36=0
⑵ 5개의 홀수 1, 3, 5, 7, 9 중에서 두 개의 수를 뽑는 경우
∴ n=-3 또는 n=12
4개의 짝수 2, 4, 6, 8 중에서 한 개의 수를 뽑는 경우의
n(n-1)(n-2)(n-3)
24
5-1 10, 6, 1440
5-2 ⑴ 5개의 홀수 1, 3, 5, 7, 9 중에서 세 개의 수를 뽑는 경우
의 수는
5C3=5C2=
=10
5_4
2_1
3!=6
뽑은 세 개의 수를 일렬로 나열하는 경우의 수는
의 수는
5C2=
=10
5_4
2_1
수는 4C1=4
3!=6
뽑은 세 개의 수를 일렬로 나열하는 경우의 수는
따라서 구하는 경우의 수는 10_4_6=240
6-1 ⑴ 2, 2, 10 ⑵ 3, 3, 10
6-2 ⑴ 서로 다른 8개의 점에서 2개를 택하는 방법의 수는
⑵ 서로 다른 8개의 점에서 3개를 택하는 방법의 수는
8C2=
=28
8_7
2_1
8C3=
8_7_6
3_2_1
=56
7-1 3, 3, 30
7-2 가로로 그어진 3개의 평행선에서 2개를 택하는 방법의 수는
3C2=3C1=3
세로로 그어진 4개의 평행선에서 2개를 택하는 방법의 수는
4C2=
4_3
2_1
=6
3_6=18
따라서 구하는 평행사변형의 개수는
⑵ nC3-nC2=4(n-1)에서
n(n-1)(n-2)
6
-
n(n-1)
2
=4(n-1)
n(n-2)-3n=24, nÛ`-5n-24=0,
∴ n=-3 또는 n=8
(n+3)(n-8)=0
이때 n¾3이므로 n=8
⑶ 8´nC1=nP2-36에서
(n+3)(n-12)=0
이때 n¾2이므로 n=12
⑷ nC3+nC4=n+1C2에서
n(n-1)(n-2)
6
+
=
(n+1)n
2
4(n-1)(n-2)+(n-1)(n-2)(n-3)=12(n+1)
(n-1)(n-2)(n+1)=12(n+1)
(n-1)(n-2)=12
이때 12=4_3이므로 n-1=4
∴ n=5
다른 풀이 (n-1)(n-2)=12에서 nÛ`-3n-10=0
(n-5)(n+2)=0
∴ n=5 (∵ n¾4)
⑸ 6´nC2=5´n+1C2에서
6_
n(n-1)
2
=5_
(n+1)n
2
6(n-1)=5(n+1), 6n-6=5n+5
∴ n=11
2 ⑴ 전체 선수 15명 중에서 4명의 선수를 뽑는 경우의 수는
15C4=
15_14_13_12
4_3_2_1
=1365
⑵ 3학년 6명 중에서 4명을 뽑는 경우의 수는
6C4=6C2=
=15
6_5
2_1
⑶ 2학년과 3학년 총 11명 중에서 4명을 뽑는 경우의 수는
11C4=
11_10_9_8
4_3_2_1
=330
⑷ 1학년 4명 중에서 1명을 뽑는 경우의 수는
집중 연습
1 ⑴ nC2=nC5에서
nC2=nCn-2이므로 nCn-2=nC5
n-2=5
∴ n=7
본문 | 120, 121쪽
2학년 5명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
4C1=4
5C2=
=10
5_4
2_1
=
다른 풀이
n(n-1)
2
60=(n-2)(n-3)(n-4)
이때 60=5_4_3이므로 n-2=5
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)
120
∴ n=7
4_10_20=800
3학년 6명 중에서 3명을 뽑는 경우의 수는
6C3=
6_5_4
3_2_1
=20
따라서 구하는 경우의 수는
11. 조합 ⦁ 35
⑸ 3학년 6명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
⑶ 짝수 4개 중에서 3개를 뽑는 경우의 수는
여학생 5명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
홀수 5개 중에서 2개를 뽑는 경우의 수는
희진이를 먼저 뽑고 나머지 여학생 4명 중에서 1명을 뽑는
홀수 5개 중에서 3개를 뽑는 경우의 수는
따라서 구하는 경우의 수는 4_4=16
⑷ 준서를 먼저 뽑고 희진이를 제외한 8명 중에서 3명을 뽑는
홀수 3개를 한 묶음으로 생각하여 2개의 숫자를 일렬로 나
1학년과 2학년 총 9명 중에서 3명을 뽑는 경우의 수는
6C2=
=15
6_5
2_1
9C3=
9_8_7
3_2_1
=84
따라서 구하는 경우의 수는 15_84=1260
3 ⑴ 남학생 5명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
따라서 구하는 경우의 수는 10_10=100
⑵ 먼저 준서와 희진이를 뽑고 나머지 8명 중에서 2명을 뽑는
⑶ 준서를 먼저 뽑고 나머지 남학생 4명 중에서 1명을 뽑는 경
5C2=
=10
5C2=
=10
5_4
2_1
5_4
2_1
경우의 수는
8_7
2_1
8C2=
=28
우의 수는
4C1=4
경우의 수는
4C1=4
⑸ 준서와 희진이를 제외한 8명 중에서 4명을 뽑는 경우의 수
경우의 수는
8C3=
8_7_6
3_2_1
=56
는
8C4=
8_7_6_5
4_3_2_1
=70
4 ⑴ 짝수 4개 중에서 4개를 뽑아 일렬로 나열하는 방법의 수와
같으므로
4C4_4!=1_4!=1_4_3_2_1=24
⑵ 짝수 4개 중에서 2개를 뽑는 경우의 수는
4C2=
4_3
2_1
=6
5C2=
=10
5_4
2_1
홀수 5개 중에서 2개를 뽑는 경우의 수는
뽑힌 4개의 수를 일렬로 나열하는 방법의 수는
4!=4_3_2_1=24
따라서 구하는 경우의 수는
6_10_24=1440
36 ⦁ 정답과 해설
홀수 5개 중에서 1개를 뽑는 경우의 수는
4C3=4C1=4
5C1=5
뽑힌 4개의 수를 일렬로 나열하는 방법의 수는
4!=4_3_2_1=24
따라서 구하는 경우의 수는
4_5_24=480
⑷ 짝수 4개 중에서 2개를 뽑는 경우의 수는
4C2=
4_3
2_1
=6
5C2=
=10
5_4
2_1
2!=2_1=2
뽑힌 홀수 2개를 나열하는 경우의 수는
양 끝과 홀수 사이에 짝수 2개를 나열하는 경우의 수는
3P2=3_2=6
따라서 구하는 경우의 수는
6_10_2_6=720
⑸ 짝수 4개 중에서 1개를 뽑는 경우의 수는
4C1=4
5C3=5C2=
=10
5_4
2_1
열하는 경우의 수는
2!=2_1=2
홀수 3개를 일렬로 나열하는 경우의 수는
3!=3_2_1=6
따라서 구하는 경우의 수는
4_10_2_6=480
기초 개념
가평
본문 | 122, 123쪽
01 순열, 조합
03 (n-r)!
05 r
07 n-xCr
09 nC2
11 nC3
02 nCr
04 1
06 n-xCr-x
08 r!
10 1
12 mC2_nC2
기초 문제
가평
본문 | 124, 125쪽
관광지를 모두 골라야 한다.
5 선택한 세 관광지가 모두 같은 지역이 되려면 한 지역에서 세
1 ⑴ 2_nC3=3_nP2에서
n(n-1)(n-2)
6
2_
=3n(n-1)
n¾3이므로 양변을 n(n-1)로 나누면
=3, n-2=9
n-2
3
∴ n=11
⑵ nP2-7C2=21에서
7_6
2_1
n(n-1)-
=21, n(n-1)=42
이때 42=7_6이므로 n=7
참고 n(n-1)=42에서 nÛ`-n-42=0
(n-7)(n+6)=0
∴ n=7 (∵ n¾2)
2 마라톤 동호회의 회원 수를 n이라 하면
대표 3명을 뽑는 경우의 수는
nC3=
n(n-1)(n-2)
6
=220
n(n-1)(n-2)=1320
이때 1320=12_11_10이므로 n=12
3 대표 20명 중에서 악수를 하는 2명을 뽑는 것이므로
20C2=
=190(번)
20_19
2_1
4 대표 3명 중에서 남학생과 여학생이 각각 한 명 이상 포함되
어야 하므로 남학생 2명, 여학생 1명 또는 남학생 1명, 여학생
2명을 뽑아야 한다.
Ú 남학생 2명, 여학생 1명을 뽑는 경우
4명의 남학생 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
4C2=
4_3
2_1
=6
5명의 여학생 중에서 1명을 뽑는 경우의 수는
5C1=5
4C1=4
이므로 구하는 경우의 수는 6_5=30
Û 남학생 1명, 여학생 2명을 뽑는 경우
4명의 남학생 중에서 1명을 뽑는 경우의 수는
5명의 여학생 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
5C2=
=10
5_4
2_1
이므로 구하는 경우의 수는 4_10=40
Ú, Û에서 구하는 경우의 수는
30+40=70
다른 풀이 전체 경우의 수에서 대표 3명이 모두 남학생인 경우
또는 모두 여학생인 경우의 수를 뺀다.
A 지역에서 세 관광지를 모두 고르는 경우의 수는
B 지역에서 세 관광지를 모두 고르는 경우의 수는
C 지역에서 세 관광지를 모두 고르는 경우의 수는
3C3=3C0=1
4C3=4C1=4
5C3=5C2=
=10
5_4
2_1
6C3=
6_5_4
3_2_1
=20
D 지역에서 세 관광지를 모두 고르는 경우의 수는
따라서 구하는 경우의 수는 1+4+10+20=35
6 5권의 교과서 중에서 3권을 뽑는 경우의 수는
5C3=5C2=
=10
5_4
2_1
3권의 시집 중에서 1권을 뽑는 경우의 수는
3C1=3
뽑힌 4권의 책을 책꽂이에 일렬로 꽂는 경우의 수는 4!=24
따라서 구하는 방법의 수는
10_3_24=720
7 남녀 혼성으로 입학 사정관을 선정하므로 남자와 여자를 각각
한 명 이상 뽑아야 한다.
Ú 남자 3명, 여자 1명을 뽑는 경우
5명의 남자 중에서 3명을 뽑는 경우의 수는
5C3=5C2=
=10
5_4
2_1
3C1=3
3명의 여자 중에서 1명을 뽑는 경우의 수는
이므로 구하는 경우의 수는 10_3=30
Û 남자 2명, 여자 2명을 뽑는 경우
5명의 남자 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
5C2=
=10
5_4
2_1
3C2=3C1=3
3명의 여자 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
이므로 구하는 경우의 수는 10_3=30
Ü 남자 1명, 여자 3명을 뽑는 경우의 수는
5명의 남자 중에서 1명을 뽑는 경우의 수는
3명의 여자 중에서 3명을 뽑는 경우의 수는
5C1=5
3C3=1
9C3-(4C3+5C3)=
-(4+10)=84-14=70
30+30+5=65
9_8_7
3_2_1
이므로 구하는 경우의 수는 5_1=5
Ú, Û, Ü에서 입학 사정관을 선정하는 경우의 수는
11. 조합 ⦁ 37
이때 선정된 입학 사정관 4명에게 4가지 업무를 한 가지씩 배
정하는 경우의 수는
4!=4_3_2_1=24
따라서 구하는 경우의 수는 65_24=1560
다른 풀이 전체 경우의 수에서 남자만 4명을 뽑는 경우의 수를
뺀다.
8C4-5C4=70-5=65
따라서 구하는 경우의 수는
65_4!=65_24=1560
8 할아버지 댁을 방문한 다음 할아버지 댁을 방문하는 경우는
없으므로 할아버지 댁을 제외한 네 곳을 방문하는 경우의 수
는
4!=4_3_2_1=24
10 어느 세 점도 일직선 위에 있지 않으므로 8개의 점 중에서 3
개의 점을 택하는 경우의 수는
8C3=
8_7_6
3_2_1
=56
11 10개의 점 중에서 일직선 위에 있지 않은 점 3개를 택하여
10개의 점 중에서 3개의 점을 택하는 경우의 수는
연결하면 삼각형이 된다.
10C3=
10_9_8
3_2_1
=120
일직선 위에서 3개의 점을 택하는 경우의 수는
3_4C3+3_3C3=3_4+3_1=15
따라서 구하는 경우의 수는
120-15=105
할아버지 댁에 맨 처음으로 방문하는 것과 마지막에 방문하는
것을 포함하여 다른 곳을 방문하는 것 사이사이에 할아버지
12 가로로 그어진 4개의 평행선에서 2개를 택하는 경우의 수는
댁에 방문하는 경우의 수는
5C2=
=10
5_4
2_1
따라서 구하는 경우의 수는 24_10=240
세로로 그어진 5개의 평행선에서 2개를 택하는 경우의 수는
4C2=
4_3
2_1
=6
5C2=
=10
5_4
2_1
9 10개의 점 중에서 두 점을 택하여 만들 수 있는 직선의 개수는
6_10=60
이므로 이 도형의 선들로 이루어진 직사각형의 개수는
10C2=
=45
10_9
2_1
5C2=
=10
5_4
2_1
는
다.
일직선 위에 있는 5개의 점 중에서 두 점을 택하는 방법의 수
이때 일직선 위의 5개의 점으로 만들 수 있는 직선은 1개뿐이
따라서 두 점을 이어 만들 수 있는 직선의 개수는
45-10+1=36
이때 넓이가 1인 정사각형의 개수는 12
넓이가 4인 정사각형의 개수는 6
넓이가 9인 정사각형의 개수는 2
따라서 정사각형이 아닌 직사각형의 개수는
60-(12+6+2)=40
38 ⦁ 정답과 해설
memo
짧지만 개념에 강한 짤강!
memo
짧지만 개념에 강한 짤강!
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