T H E F I R S T C L A S S M A T H E M A T I C S 일등급 수학·고등 수학 (상) [해설편] Ⅰ 다항식 01 다항식의 연산 02 나머지정리 03 인수분해 6 13 23 32 41 52 63 74 84 92 102 116 Ⅱ 방정식과 부등식 04 복소수 05 이차방정식 06 이차방정식과 이차함수 07 여러 가지 방정식 08 여러 가지 부등식 Ⅲ 도형의 방정식 09 평면좌표 10 직선의 방정식 11 원의 방정식 12 도형의 이동 일등급_고등(상)빠답_ok.indd 1 2017-09-20 오후 4:11:04 빠른 정답 찾기 Ⅰ 다항식 01 다항식의 연산 01 ② 02 ⑤ 03 ② 04 100 05 ② 06 ④ 07 ④ 08 ④ 09 ① 10 ④ 11 36 12 ③ 13 22 14 ③ 15 ⑤ 16 ① 17 192 18 ② 19 ② 20 7 21 ⑤ 22 ④ 23 ① 24 81 25 2 26 12 27 ⑤ 28 64 29 ③ 30 ① 31 6 32 ④ 33 ④ 34 ② 35 ⑤ 36 ② 37 348 38 ① 39 ⑤ 40 ① 41 ② 42 ③ 43 ⑤ 44 ⑤ 45 8 49 1 53 ④ 46 38 47 ③ 48 8 50 8 54 8 51 ⑤ 52 25 55 ② 56 ⑤ 57 ⑤ 58 3 02 나머지정리 01 ③ 02 ③ 03 ② 04 8 05 8 06 ① 07 ③ 08 ③ 09 ① 13 ② 10 6 14 5 11 ② 12 ⑤ 15 ⑤ 16 26 17 ① 18 23 19 ③ 20 24 21 ③ 22 ① 23 3 24 13 25 ① 26 10 27 ① 28 ③ 29 31 30 ① 31 ② 32 14 2 일등급 수학•고등 수학 (상) 33 ④ 34 ② 35 ① 36 ① 37 ② 38 ① 39 ③ 40 ② 41 ③ 42 ④ 43 ⑤ 44 ① 45 ⑤ 46 ④ 47 10 48 ⑤ 49 ② 50 495 51 12 52 1 53 26 54 40 55 ③ 56 ③ 57 ③ 58 ⑤ 59 ⑤ 60 ③ 61 15 62 ⑤ 03 인수분해 01 ③ 02 ⑤ 03 ③ 04 ④ 05 ③ 06 ③ 07 ② 09 297 10 ② 11 64 08 6 12 8 13 ② 14 ③ 15 ① 16 ① 17 ⑤ 18 3 19 ⑤ 20 ② 21 ⑤ 22 ① 23 100 24 ④ 25 99 26 ⑤ 27 7 28 ⑤ 29 46 30 ② 31 191 32 ⑤ 33 ④ 34 4 35 119 36 ④ 37 ② 38 10 39 4 40 10 41 244 42 100 43 ④ 44 111 45 3 46 6 47 230 48 3 49 ① 50 ② 51 ③ 52 ② 53 ⑤ 54 ③ 55 8 56 6 57 2 58 ② 59 17 일등급_고등(상)빠답_ok.indd 2 2017-09-20 오후 4:11:06 Ⅱ 방정식과 부등식 04 복소수 01 ② 02 ④ 03 9 04 29 05 3 06 ④ 07 ② 08 ④ 09 ① 10 ④ 11 4 12 ③ 13 1 14 ② 15 ③ 16 ③ 17 44 18 ⑤ 19 ② 20 25 21 ② 22 ⑤ 23 ④ 24 ① 25 ① 26 52 27 ② 28 ② 29 ④ 30 5 33 ② 34 ② 31 3 35 5 32 ⑤ 36 10 37 ④ 38 ② 39 ① 40 ⑤ 25 ⑤ 26 3 27 25 28 ④ 29 ⑤ 30 ② 33 1 34 ④ 31 4 35 3 32 ③ 36 ⑤ 37 21 38 ① 39 ③ 40 ④ 41 ③ 42 2 43 ③ 44 12 45 ② 46 ③ 49 ③ 50 ② 47 4 51 4 48 ① 52 13 53 9 54 4 55 34 56 3 57 27 58 ② 59 ② 60 ⑤ 61 ③ 62 240 63 24 64 9 65 11 66 1 67 ② 68 6 06 이차방정식과 이차함수 41 ④ 42 8 43 3 44 ① 01 ④ 02 ⑤ 03 ④ 04 ③ 45 ④ 46 ④ 47 ③ 48 ① 05 ③ 06 ② 07 ③ 08 ③ 49 ③ 50 12 51 ① 52 ① 09 10 10 3 11 ① 12 ⑤ 53 20 54 4 55 14 56 1 13 ④ 14 ② 15 ② 16 ⑤ 57 ③ 58 38 59 ⑤ 60 ① 17 ④ 18 ④ 19 ⑤ 20 ③ 61 27 62 ② 63 ④ 64 ⑤ 21 ① 22 ① 23 ② 24 ④ 65 1 66 ① 67 ④ 68 ② 25 14 26 ② 27 ⑤ 28 ④ 05 이차방정식 29 6 30 ① 31 ① 32 ④ 33 ① 34 1 35 12 36 ④ 37 ② 38 ③ 39 ① 40 22 43 ④ 44 11 47 ⑤ 48 2 52 4 01 1 02 ⑤ 03 ③ 04 16 05 ④ 06 2 07 4 08 ① 41 ④ 45 ③ 42 3 46 1 09 ① 10 16 11 ② 12 ④ 49 ④ 50 300 51 9 13 ④ 14 45 17 ④ 18 3 15 5 19 8 16 ⑤ 20 ② 53 2 54 ⑤ 55 39 56 ⑤ 57 750 58 ④ 59 2 60 22 21 ③ 22 ③ 23 ④ 24 4 61 4 62 ① 빠른 정답 찾기 3 일등급_고등(상)빠답_ok.indd 3 2017-09-20 오후 4:11:08 빠른 정답 찾기 07 여러 가지 방정식 01 ② 02 ④ 03 ② 04 10 05 ⑤ 06 ① 07 4 08 2 09 ④ 10 ③ 11 ⑤ 12 ③ 13 ⑤ 14 13 15 ② 16 ⑤ 17 ① 18 ② 19 ① 20 4 21 ③ 22 ② 23 ⑤ 24 ③ 25 ⑤ 26 ② 27 ④ 28 15 29 ② 30 ③ 31 ④ 33 ④ 34 ② 35 ④ 32 3 36 7 37 ⑤ 41 ③ 38 1 42 8 39 ① 40 ① 43 ④ 44 ① 45 ⑤ 46 ① 47 53 48 ⑤ 49 ④ 50 ④ 51 ② 52 ① 53 ③ 54 84 55 4 56 3 61 ③ 62 ⑤ 63 18 64 ① 65 ⑤ 66 2 08 여러 가지 부등식 01 ④ 02 ② 03 6 04 6 05 ② 06 27 07 ③ 08 60 09 ② 10 ⑤ 11 ① 12 12 13 5 17 4 14 2 15 ⑤ 16 ② 18 ② 19 ① 20 ③ 21 ③ 22 ③ 23 ⑤ 24 ④ 25 ④ 26 7 27 ④ 28 5 29 ⑤ 30 ② 31 20 32 200 4 일등급 수학•고등 수학 (상) 33 ④ 34 ④ 35 21 36 65 37 ① 38 10 41 ④ 42 42 39 2 43 9 40 ② 44 ① 45 ⑤ 46 ② 47 ④ 48 46 49 ⑤ 50 14 51 325 52 25 53 ④ 54 2 55 4 56 13 57 ③ 58 ③ 59 ② 60 ④ 61 ③ 62 ⑤ 64 27 65 5 66 27 63 5 67 ③ Ⅲ 도형의 방정식 09 평면좌표 05 5 09 ⑤ 06 4 10 4 07 ④ 08 ⑤ 11 ① 12 ③ 13 ⑤ 14 13 15 10 16 ③ 17 50 18 7 19 ① 20 97 21 20 22 672 23 17 24 ② 25 ④ 26 ④ 27 ① 28 ③ 29 5 30 125 31 ④ 32 ② 33 ③ 34 ⑤ 35 3 36 18 37 21 38 5 39 ④ 40 ③ 41 ② 42 16 43 ④ 44 ③ 45 ④ 46 ② 57 20 58 ① 59 ⑤ 60 25 01 ⑤ 02 234 03 ④ 04 ④ 일등급_고등(상)빠답_ok.indd 4 2017-09-20 오후 4:11:10 41 ⑤ 42 64 43 42 44 ② 45 7 49 ③ 53 4 57 ⑤ 46 5 50 7 54 1 58 5 61 ① 62 5 47 12 48 8 51 8 52 16 55 ⑤ 56 25 59 80 60 6 12 도형의 이동 01 2 02 ④ 03 1 04 2 05 ⑤ 06 ① 07 10 08 12 09 ⑤ 13 ② 10 5 14 5 11 ③ 12 4 15 ④ 16 75 17 ③ 18 ② 19 45 20 8 21 8 22 16 23 ⑤ 24 ⑤ 25 ③ 26 ② 27 ⑤ 28 ② 29 ② 30 ① 31 ⑤ 32 ② 33 ① 34 16 35 ③ 36 1 37 180 38 2 39 65 40 ① 41 23 42 ① 43 ② 44 ② 45 12 46 675 47 241 10 직선의 방정식 01 ② 02 8 03 2 04 ⑤ 05 ③ 06 28 07 ③ 08 ② 09 ② 13 2 10 7 14 2 11 50 12 ① 15 ④ 16 5 17 88 18 ③ 19 ② 20 ① 21 2 22 ① 23 ② 24 ② 25 ② 26 20 27 ② 28 ② 29 ② 30 ③ 31 ② 32 ② 33 ④ 34 ③ 35 5 36 ⑤ 37 ③ 38 ④ 39 ① 40 9 41 ③ 42 ② 43 ③ 44 ④ 45 ④ 46 12 47 ⑤ 48 11 49 2 50 9 51 ② 52 ⑤ 53 ③ 54 106 55 5 56 8 57 ② 58 17 59 12 11 원의 방정식 01 14 02 ⑤ 03 ③ 04 13 05 ③ 06 8 07 6 08 ⑤ 09 3 10 ⑤ 11 ② 12 ② 13 ③ 14 16 15 ④ 16 ④ 17 125 18 ⑤ 19 ① 20 ④ 21 8 22 ① 23 98 24 ④ 25 ② 26 5 27 ④ 28 2 29 ③ 30 ① 31 ③ 32 ① 33 100 34 96 35 ① 36 ③ 37 40 38 7 39 4 40 ② 빠른 정답 찾기 5 일등급_고등(상)빠답_ok.indd 5 2017-09-20 오후 4:11:11 Ⅰ 다항식 07 답 ④ 나눗셈의 원리에 의하여 01 다항식의 연산 문제편 9P 2xÜ`-3xÛ`+4x+6=A(xÛ`-2x+3)+3 좌변이 삼차식이므로 다항식 A는 일차식이다. 01 답 ② (가) 교환법칙 (나) 분배법칙 (다) 결합법칙 02 답 ⑤ A-2(X-B)=A+2B-2X=3A에서 -2X=2A-2B이므로 X =B-A =(2aÛ`+ab-bÛ`)-(aÛ`-3ab-2bÛ`) =aÛ`+4ab+bÛ` 03 답 ② (2x+a)Ü`+(x-3)Ü` =(8xÜ`+12axÛ`+6aÛ`x+aÜ`)+(xÜ`-9xÛ`+27x-27)` =9xÜ`+(12a-9)xÛ`+(6aÛ`+27)x+aÜ`-27` 이때, xÛ`의 계수가 15이므로 12a-9=15 ∴ a=2 =44+2_28 =100 05 답 ② x+y=3이므로 xÜ`+yÜ`=(x+y)Ü`-3xy(x+y)에서 18=3Ü`-3_xy_3=27-9xy ∴ xy=1 ∴ xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=3Û`-2=7 06 답 ④ x-y=2, xy=1이므로 [다른 풀이] xÜ`-yÜ`=(x-y)Ü`+3xy(x-y)=2Ü`+3_1_2=14 이때, A=ax+b ( a, b는 상수)라 하면 2xÜ`-3xÛ`+4x+6=(ax+b)(xÛ`-2x+3)+3 xÜ` 의 계수를 비교하면 2xÜ`=axÛ`에서 a=2 또한, 상수항을 비교하면 6=3b+3에서 b=1 ∴ A=2x+1 [다른 풀이] 나눗셈의 원리에 의하여 2xÜ`-3xÛ`+4x+6=A(xÛ`-2x+3)+3 우변의 3을 이항하여 정리하면 2xÜ`-3xÛ`+4x+3=A(xÛ`-2x+3) xÛ`-2x+3 2x +1 2xÜ`-3xÛ`+4x+3 2xÜ`-4xÛ`+6x <Ô xÛ`-2x+3 xÛ`-2x+3 0 ∴ A =(2xÜ`-3xÛ`+4x+3)Ö(xÛ`-2x+3) =2x+1 08 답 ④ f(x)= x- { ;2!;} 09 답 ① A=(1+2x+3xÛ`+4xÜ`+5xÝ`)(1+2x+3xÛ`+4xÜ`+5xÝ`)에서 xÝ` 항은 1_5xÝ`+2x_4xÜ`+3xÛ`_3xÛ`+4xÜ`_2x+5xÝ`_1이므로 a=1_5+2_4+3_3+4_2+5_1 B=(5+4x+3xÛ`+2xÜ`+xÝ`)(5+4x+3xÛ`+2xÜ`+xÝ`)에서 xÝ` 항은 5_xÝ`+4x_2xÜ`+3xÛ`_3xÛ`+2xÜ`_4x+xÝ`_5이므로 b=5_1+4_2+3_3+2_4+1_5` 따라서 a=b이므로 a-b=0 10 답 ④ (주어진 식) =(1+x+xÛ`+y+x10)(1+x+xÛ`+y+x10) =1+y+(1_x10+x_xá`+xÛ`_x¡`+y+x10_1)+y+x20 04 답 100 (a+b+2c)Û` =aÛ`+bÛ`+(2c)Û`+2ab+2b(2c)+2(2c)a =aÛ`+bÛ`+4cÛ`+2(ab+2bc+2ca) R이다. Q(x)+R=(4x-2) Q(x)+R ;4!; 따라서 f(x)를 4x-2로 나누었을 때의 몫은 Q(x), 나머지는 ;4!; xÜ`=( 2 +1)Ü`=2 ' 2 -1)Ü`=2 2 +3_2_1+3_ ' 2 -3_2_1+3_ 2 _1+1=5 ' 2 _1-1=5 2 +7 ' 2 -7 yÜ`=( ' ∴ xÜ`-yÜ`=(5 ' 2 +7)-(5 ' ' ' 2 -7)=14 ' =1+y+11x10+y+x20 따라서 x10의 계수는 11이다. 6 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 01-03강_ok.indd 6 2017-09-20 오후 4:12:38 11 답 36 (x-2y+z)Ü`=(x-2y+z)(x-2y+z)(x-2y+z)에서 16 답 ① aÜ`-bÜ`=(a-b)Ü`+3ab(a-b)에서 a-b=2, aÜ`-bÜ`=14이므로 xÛ`y항은 x_x_(-2y)+x_(-2y)_x+(-2y)_x_x 14=2Ü`+3ab_2 ∴ ab=1 즉, xÛ`y의 계수는 -2-2-2=-6이므로 ∴ aÛ`+bÛ`=(a-b)Û`+2ab=2Û`+2_1=6 I 01 다항식의 연산 a=-6 또, 모든 항의 계수의 총합은 주어진 식의 모든 문자에 1을 대입한 값과 같다, 즉, (1-2+1)Ü`=0이므로 b=0 ∴ aÛ`+bÛ`=(-6)Û`+0=36 17 답 192 OPÓ=x, ORÓ=y라 하자. ={(x+1)(xÛ`-x+1)}{(x-2)(xÛ`+2x+4)} =aÜ`-a_aÛ`+b_a-c=ab-c 12 답 ③ f(x) ={(1-x)(1+x+xÛ`)}(1+xÜ`+xß`)(1+xá`) =(1-xÜ`)(1+xÜ`+xß`)(1+xá`) =(1-xá`)(1+xá`)=1-x18 따라서 a¼=1, a18=-1이고 나머지 항의 계수는 모두 0이므로 a0+a6+a12+a18=1+0+0-1=0 13 답 22 P =(x+1)(x-2)(xÛ`-x+1)(xÛ`+2x+4) =(xÜ`+1)(xÜ`-8) =(10+1)(10-8)=22 14 답 ③ 주어진 조건에서 A=xÜ`+B이므로 AÜ`-BÜ` =(xÜ`+B)Ü`-BÜ` =xá`+3xß`B+3xÜ`BÛ`+BÜ`-BÜ` =xá`+3xß`B+3xÜ`BÛ` 이때, xÜ`항은 3xÜ`BÛ`에만 존재한다. 3_16=48이다. [다른 풀이] 3xÜ`BÛ`=3xÜ`(x+4)Û`=3xÜ`(xÛ`+8x+16)이므로 xÜ`의 계수는 AÜ`-BÜ`=(A-B)(AÛ`+AB+BÛ`)=xÜ`(AÛ`+AB+BÛ`)이므 로 AÜ`-BÜ`에서 xÜ`의 계수는 AÛ`+AB+BÛ`의 상수항과 같다. 따라서 AÛ`+AB+BÛ`에 x=0을 대입하여 상수항을 구하면 4Û`+4_4+4Û`=48 15 답 ⑤ (x+y)Û`=xÛ`+2xy+yÛ`에서 x+y=4, xÛ`+yÛ`=18이므로 APÓ=20-x, RBÓ=20-y, PRÓ= xÛ`+yÛ` "à 한편, PRÓ=OQÓ=20이므로 xÛ`+yÛ`=20Û` y ㉠ APÓ+PRÓ+RBÓ=(20-x)+20+(20-y)=32 (∵ ㉠) x+y=28 y ㉡ ∴ xy=192 (x+y)Û`-2xy=xÛ`+yÛ`에서 28Û`-2xy=400 (∵ ㉠, ㉡) 따라서 직사각형 OPQR의 넓이는 xy=192 18 답 ② (x+y)(y+z)(z+x)` =(a-z)(a-x)(a-y)` =aÜ`-(x+y+z)aÛ`+(xy+yz+zx)a-xyz` 19 답 ② aÛ`+bÛ`+cÛ`=21이므로 ∴ ab+bc+ca=2 a+b+c=5에서 2(ab+bc+ca)=(a+b+c)Û`-(aÛ`+bÛ`+cÛ`)=5Û`-21=4 a+b=5-c, b+c=5-a, c+a=5-b이므로 (주어진 식) =ab(5-c)+bc(5-a)+ca(5-b) =5(ab+bc+ca)-3abc =5(ab+bc+ca)+24 (∵ abc=-8) =5_2+24=34 [다른 풀이] 위의 풀이에서 ab+bc+ca=2이므로 (주어진 식) =(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc =5_2-3_(-8)=34 20 답 7 대각선의 길이가 '¶ ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=21 21 이므로 aÛ`+bÛ`+cÛ`= 21 "à '¶ 겉넓이가 28이므로 2(ab+bc+ca)=28 16=18+2xy ∴ xy=-1 ∴ ab+bc+ca=14 ∴ xÜ`+yÜ` =(x+y)Ü`-3xy(x+y) (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)이므로 =4Ü`-3_(-1)_4 =76 (a+b+c)Û`=21+2_14=49 ∴ a+b+c=7 (∵ a, b, c는 양수) 정답 및 해설 7 [해] 01-03강_ok.indd 7 2017-09-20 오후 4:12:39 21 답 ⑤ f(x)=(x+1)Q(x)+R이므로 x f(x) =x(x+1)Q(x)+Rx =x(x+1)Q(x)+(x+1)R-R =(x+1){xQ(x)+R}-R 이때, R는 상수항이므로 x f(x)를 x+1로 나눈 몫은 xQ(x)+R, 나머지는 -R이다. 22 답 ④ f(x)를 xÛ`-1로 나눈 몫이 x-2이고 나머지가 3x+1이므로 f(x) =(xÛ`-1)(x-2)+3x+1 ={(xÛ`+1)-2}(x-2)+3x+1 =(xÛ`+1)(x-2)-2(x-2)+3x+1 =(xÛ`+1)(x-2)+x+5 이때, x+5는 xÛ`+1보다 차수가 낮은 다항식이므로 f(x)를 xÛ`+1로 나누었을 때의 나머지는 x+5이다. 조립제법을 연이어 사용하면 1 1 1 1 1 a 1 a+1 1 -1 a+1 a a+2 b a a+b ⇦ r a+2 2a+2 ⇦ q q=2a+2=0에서 a=-1 r=a+b=0에서 b=1 ∴ b-a=2 26 답 12 조립제법의 셋째 줄의 안에 알맞은 수를 p, q, r라 하면 a b p q ;2!; ;3!; d 5 c r 2 6 12 23 답 ① f(x)를 xÛ`+1로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 f(x)=axÜ`+bxÛ`+cx+d` = x- (pxÛ`+qx+r)+5 ;2!;} x+1이므로 f(x)=(xÛ`+1)Q(x)+x+1 ∴ xÛ` f(x) =xÛ`{(xÛ`+1)Q(x)+x+1} =xÛ`(xÛ`+1)Q(x)+xÛ`(x+1) =xÛ`(xÛ`+1)Q(x)+(xÛ`+1)(x+1)-x-1 =(xÛ`+1){xÛ`Q(x)+x+1}-x-1 { { { = x- x- (6x+12)+2 +5 ;2!;}[{ ;3!;} ] = x- x- (6x+12)+2 x- +5 ;2!;}{ ;3!;} { ;2!;} =(2x-1)(3x-1)(x+2)+(2x-1)+5 =(2x-1)(3x-1)(x+2)+2x+4 이때, -x-1은 xÛ`+1보다 차수가 낮은 다항식이므로 xÛ` f(x)를 ∴ f(1)=1_2_3+2+4=12 xÛ`+1로 나누었을 때의 나머지는 -x-1이다. 24 답 81 조립제법을 연이어 사용하면 -2 -2 -2 1 1 2 -2 0 -2 1 -2 -2 2 3 0 -6 3 -4 4 7 ⇦ b ⇦ c 1 -4 ⇦ a 따라서 a=-4, b=7, c=`-4이므로 aÛ`+bÛ`+cÛ` =(-4)Û`+7Û`+(-4)Û` =81 25 답 2 f(x)=xÜ`+axÛ`-x+b를 (x-1)Ü`+p(x-1)Û`+q(x-1)+r 의 꼴로 나타냈을 때, q=r=0이 되어야 한다. b=(1+2_0-3_1)Ü`=-8 ∴ aÛ`+bÛ`=0+(-8)Û`=64 8 일등급 수학•고등 수학 (상) 27 답 ⑤ (주어진 식) ={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)} =(xÛ`+5x+4)(xÛ`+5x+6) =(2+4)(2+6) (∵ xÛ`+5x=2) =48 28 답 64 전개된 식에 x=1, y=1, z=1을 대입하면 계수만 남아 모든 계수 따라서 다항식 (x+2y-3z)Ü`에 x=1, y=1, z=1을 대입하면 의 총합을 구할 수 있다. a=(1+2_1-3_1)Ü`=0 한편, 전개된 식에 y=0을 대입하면 y가 있는 항은 없어지고 y가 없는 항만 남는다. 이 식에 다시 x=1, z=1을 대입하면 y가 없는 항의 계수의 총합을 구할 수 있다. 따라서 다항식 (x+2y-3z)Ü`에 x=1, y=0, z=1을 대입하면 [해] 01-03강_ok.indd 8 2017-09-20 오후 4:12:40 29 답 ③ A=(1+2x+3xÛ`+4xÜ`+5xÝ`)Û`, B=(1+2x+3xÛ`+4xÜ`)Û`이라 33 답 ④ x+0이므로 xÝ`-7xÛ`+1=0의 양변을 xÛ`으로 나누면 할 때, 두 식의 차이는 5xÝ`의 유무이므로 두 식에서 xÞ`의 계수의 차 는 A에서 5xÝ`을 이용하여 만들 수 있는 항의 계수이다. 즉, A= 1+y+2x_5xÝ`+3xÛ`_4xÜ`+4xÜ`_3xÛ`+5xÝ`_2x+ xÛ`-7+ =0, xÛ`+ +2=9 1 xÛ` x+ { Û` 1 x } 1 xÛ` 1 x =9 ∴ x+ =3 (∵ x>0 ) I 01 다항식의 연산 B=1+y+3xÛ`_4xÜ`+4xÜ`_3xÛ`+y+16xß` ∴ a-b= 2_5+5_2=20 [다른 풀이] 두 식 A, B에서 xÞ`의 계수의 차는 A-B에서 xÞ`의 계수와 같으므로 aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b)를 이용하면 y+25x¡` ∴ xÜ`+ 1 xÜ` = x+ { Ü` 1 x } -3 x+ { 1 x } =3Ü`-3_3=18 A-B =(1+2x+3xÛ`+4xÜ`+5xÝ`)Û`-(1+2x+3xÛ`+4xÜ`)Û` 즉, xÛ`+xy+yÛ`=(x-y)Û`+3xy=4+3xy=7 =5xÝ`(2+4x+6xÛ`+8xÜ`+5xÝ`) 따라서 xÞ`의 계수는 5_4=20 30 답 ① (2x+2y-3)Û`=89에서 4xÛ`+4yÛ`+9+8xy-12y-12x=89 4xÛ`+4yÛ`+8xy-12y-12x=80 4(xÛ`+yÛ`+2xy-3x-3y)=80 ∴ xÛ`+yÛ`+2xy-3x-3y=20 31 답 6 (A+B)(A-B)=AÛ`-BÛ`을 이용하면 (a+b-c+d)(a-b+c+d) ={(a+d)+(b-c)}{(a+d)-(b-c)} =(a+d)Û`-(b-c)Û` 에서 ab의 계수는 0이므로 p=0이다. =2{aÜ`+3a(b-c)Û`} =2{aÜ`+3a(bÛ`-2bc+cÛ`)} =2aÜ`+6abÛ`-12abc+6acÛ` 에서 abÛ`의 계수는 6이므로 q=6이다. ∴ p+q=0+6=6 32 답 ④ A=xÜ`-2x-1, B=2x+1에서 A+B=xÜ`이므로 AÜ`+BÜ` =(A+B)Ü`-3AB(A+B) =xá`-3ABxÜ` 34 답 ② xÜ`-yÜ`=(x-y)(xÛ`+xy+yÛ`)=14에서 x-y=2이므로 xÛ`+xy+yÛ`=7 ∴ xy=1 한편, (x+y)Û`=(x-y)Û`+4xy=2Û`+4=8에서 x+y=2 2 (∵ x, y는 양수) ' ∴ xÜ`+yÜ` =(x+y)Ü`-3xy(x+y) =(2 2 )Ü`-3_2 2 =10 2 ' ' ' 35 답 ⑤ (주어진 식) =xÜ`+(y+z)Ü`-3yz(y+z)+3xyz =xÜ`+xÜ`-3xyz+3xyz =2xÜ`=2_2Ü`=16 [다른 풀이] x=2, y+z=2이므로 (주어진 식) =2Ü`+yÜ`+zÜ`+3_2_yz=2Ü`+yÜ`+zÜ`+3(y+z)yz =8+(y+z)Ü`=8+2Ü`=16 36 답 ② (ax+by)(bx+ay)=0에서 aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=kÛ`-2k xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=kÛ`-2k 이것을 ㉠에 대입하면 (kÛ`-2k)k+k(kÛ`-2k)=0 2kÛ`(k-2)=0 ∴ k=2 (∵ k>0 ) 37 답 348 ACÓ=x, CBÓ=y라 하면 x+y=10이고, xÜ`+yÜ`=370이다. 두 정육면체의 겉넓이의 합은 6(xÛ`+yÛ`)이므로 먼저 xy의 값을 구 하면 (x+y)Ü`=xÜ`+yÜ`+3xy(x+y)에서 10Ü`=370+30xy ∴ xy=21 (A+B)Ü`+(A-B)Ü`=2(AÜ`+3ABÛ`)을 이용하면 abxÛ`+aÛ`xy+bÛ`xy+abyÛ`=(aÛ`+bÛ`)xy+ab(xÛ`+yÛ`)=0 y ㉠ (a-b+c)Ü`+(a+b-c)Ü` ={a-(b-c)}Ü`+{a+(b-c)}Ü` 이때, a+b=ab=k, x+y=xy=k이므로 즉, AÜ`+BÜ`의 전개식에서 xÜ`의 계수는 -3AB의 상수항과 같으므로 이때, xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=10Û`-2_21=58 -3_(-1)_1=3 이므로 두 정육면체의 겉넓이의 합은 6(xÛ`+yÛ`)=6_58=348 정답 및 해설 9 [해] 01-03강_ok.indd 9 2017-09-20 오후 4:12:42 [다른 풀이] ACÓ=x라 하면 CBÓ=10-x이고, 두 정육면체의 부피의 합이 370이므로 xÜ`+(10-x)Ü`=370 xÜ`+(1000-300x+30xÛ`-xÜ`)=370 30xÛ`-300x+630=0, xÛ`-10x+21=0 (x-3)(x-7)=0 ∴ x=3 또는 x=7 즉, 두 정육면체의 한 모서리의 길이는 각각 3, 7이다. 따라서 두 정육면체의 겉넓이는 6_3Û`+6_7Û`=348 38 답 ① aÛ`+bÛ`+cÛ`=ab-bc-ca에서 aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab+bc+ca=0 (2aÛ`+2bÛ`+2cÛ`-2ab+2bc+2ca)=0 ;2!; ;2!; ;2!; {(aÛ`-2ab+bÛ`)+(bÛ`+2bc+cÛ`)+(cÛ`+2ca+aÛ`)}=0 {(a-b)Û`+(b+c)Û`+(c+a)Û`}=0 ∴ a=b=-c 한편, a+b+c=2이므로 a=2, b=2, c=-2 ∴ abc=-8 39 답 ⑤ a+b+c=6, ab+bc+ca=11, abc=6이므로 (주어진 식) =abÛ`+acÛ`+bcÛ`+baÛ`+caÛ`+cbÛ` =ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) 40 답 ① a+b+c=1, aÛ`+bÛ`+cÛ`=3, aÜ`+bÜ`+cÜ`=10이므로 (주어진 식) =(b+c)aÛ`+(c+a)bÛ`+(a+b)cÛ` =(a+b+c)aÛ`+(a+b+c)bÛ`+(a+b+c)cÛ`-aÜ`-bÜ`-cÜ` =(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`)-(aÜ`+bÜ`+cÜ`) =1_3-10=-7 10 일등급 수학•고등 수학 (상) 41 답 ② f(x)-1을 2xÛ`+3x+1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 2x+1이므로 f(x)-1=(2xÛ`+3x+1)Q(x)+2x+1 ∴ f(x) =(2xÛ`+3x+1)Q(x)+(2x+1)+1 =(2x+1)(x+1)Q(x)+(2x+1)+1 =(2x+1){(x+1)Q(x)+1}+1 따라서 f(x)를 2x+1로 나눈 몫은 (x+1)Q(x)+1이다. 42 답 ③ f(x)+g(x)와 f(x)-g(x)를 h(x)로 나누었을 때의 몫을 각각 QÁ(x), Qª(x)라 하면 f(x)+g(x)=h(x)QÁ(x)+9 y ㉠ f(x)-g(x)=h(x)Qª(x)-3 y ㉡ ㉠+㉡을 하면 2 f(x)=h(x){QÁ(x)+Qª(x)}+6 ∴ f(x)=h(x)_ QÁ(x)+Qª(x) 2 +3 따라서 f(x)를 h(x)로 나눈 나머지는 3이다. 43 답 ⑤ f(x)=(x-1)Q(x)+R이므로 f(-x) =(-x-1)Q(-x)+R =-(x+1)Q(-x)+R =(x+1){-Q(-x)}+R 따라서 f(-x)를 x+1로 나눈 몫은 -Q(-x), 나머지는 R이다. 44 답 ⑤ f(x)를 xÛ`-x+1로 나눈 몫이 g(x), 나머지가 4x+2이므로 f(x)=(xÛ`-x+1)g(x)+4x+2 또, g(x)를 x+1로 나눈 몫을 Q(x)라 하면 나머지는 2이므로 g(x)=(x+1)Q(x)+2 ∴ f(x) =(xÛ`-x+1){(x+1)Q(x)+2}+4x+2 ∴ R(1)=2+2+4=8 45 답 8 xÝ`+2xÜ`-3xÛ`+4x+2를 x-1로 나누었을 때의 몫 Q(x)는 조립제법에 의하여 Q(x)=xÜ`+3xÛ`+4 이때, 조립제법을 연이어 1 1 1 1 1 2 -3 3 1 3 1 4 0 4 4 4 0 4 4 8 2 4 6 사용하면 Q(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 8이다. =ab(a+b+c-c)+bc(a+b+c-a)+ca(a+b+c-b) =(xÛ`-x+1)(x+1)Q(x)+2(xÛ`-x+1)+4x+2 =ab(a+b+c)+bc(a+b+c)+ca(a+b+c)-3abc =(xÜ`+1)Q(x)+2xÛ`+2x+4 =(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc 이때, 2xÛ`+2x+4는 xÜ`+1보다 차수가 낮으므로 f(x)를 xÜ`+1로 =6_11-3_6=48 나누었을 때의 나머지가 R(x)=2xÛ`+2x+4이다. [해] 01-03강_ok.indd 10 2017-09-20 오후 4:12:43 46 답 38 xÜ`+axÛ`+bx+c=(x+1)Ü`+2(x+1)Û`-4(x+1)+3 여기서 x+1=t라 하면 x=t-1 ∴ tÜ`+2tÛ`-4t+3=(t-1)Ü`+a(t-1)Û`+b(t-1)+c 좌변의 식에서 조립제법을 연이어 사용하면 -4 3 3 -1 -1 4 3 ⇦ b 2 ⇦ c 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 ⇦ a 따라서 a=5, b=3, c=2이므로 aÛ`+bÛ`+cÛ`=5Û`+3Û`+2Û`=38 ∴ a=b=c 따라서 a+b+c=6에서 a=b=c=2이므로 직육면체의 부피는 abc=8 ⓐ 두 조건을 식으로 나타낸다. ⓑ 곱셈 공식으로 a, b, c의 관계식을 유도한다. ⓒ 직육면체의 부피를 구한다. | 채점기준 | I 01 다항식의 연산 49 답 1 f(x)를 xÛ`+x+1로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 x+1이므로 f(x)=(xÛ`+x+1)Q(x)+x+1 y ㉠ ⓐ xÜ`f(x) =(xÜ`-1)f(x)+f(x) =(xÛ`+x+1)(x-1)f(x)+f(x) 47 답 ③ 다항식 xÞ`+xÛ`+1을 (x+1)Û`으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머 즉, xÜ`f(x)를 xÛ`+x+1로 나누었을 때의 나머지는 f(x)를 xÛ`+x+1로 나누었을 때의 나머지와 같으므로 ㉠에 의하여 나머지 지를 ax+b ( a, b는 상수)라 하면 xÞ`+xÛ`+1=(x+1)Û`Q(x)+ax+b 는 x+1이다. 우변의 나머지를 이항하면 xÞ`+xÛ`-ax+(1-b)=(x+1)Û`Q(x) 따라서 a=1, b=1이므로 ab=1 이므로 다항식 xÞ`+xÛ`-ax+(1-b)는 (x+1)Û`으로 나누어떨어 | 채점기준 | ⓐ 다항식 f(x)를 나눗셈 정리를 이용하여 나타낸다. ⓑ xÜ`f(x)를 f(x)가 포함된 식으로 나타낸다. ⓒ ab의 값을 구한다. -a 0 1-b a -a 1-b+a ⇦ 0 진다. 조립제법을 연이어 사용하면 -1 1 -1 0 -1 1 -1 -1 1 -2 1 0 1 -1 1 0 2 -3 3 -3 -a+3 ⇦ 0 -a+3=0에서 a=3, 1-b+a=0에서 b=4 따라서 나머지는 3x+4이다. 48 답 8 ABÓ=a, ADÓ=b, AEÓ=c라 하면 겉넓이가 24이므로 2(ab+bc+ca)=24 ∴ ab+bc+ca=12 또, 모든 모서리의 길이의 합이 24이므로 4(a+b+c)=24 ∴ a+b+c=6 =36-24=12` ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=ab+bc+ca 3 B c F 50 답 8 f(x), g(x)를 xÛ`+x+1로 나누었을 때의 몫을 각각 QÁ(x), Qª(x)라 하면 f(x)=(xÛ`+x+1)QÁ(x)+x+1 g(x)=(xÛ`+x+1)Qª(x)+x-1 ∴ f(x)g(x) A a b D H C G ={(xÛ`+x+1)QÁ(x)+x+1}{(xÛ`+x+1)Qª(x)+x-1} =(xÛ`+x+1){(xÛ`+x+1)QÁ(x)Qª(x)+(x-1)QÁ(x) E +(x+1)Qª(x)}+xÛ`-1 =(xÛ`+x+1){(xÛ`+x+1)QÁ(x)Qª(x)+(x-1)QÁ(x) +(x+1)Qª(x)}+(xÛ`+x+1)-x-2 =(xÛ`+x+1){(xÛ`+x+1)QÁ(x)Qª(x)+(x-1)QÁ(x) ⓐ +(x+1)Qª(x)+1}-x-2 aÛ`+bÛ`+cÛ` =(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca) 따라서 f(x)g(x)를 xÛ`+x+1로 나누었을 때의 나머지 R(x)는 R(x)=-x-2이다. ∴ R(-10) =-(-10)-2=8 즉, aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca=0에서 | 채점기준 | aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca = {(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}=0 ;2!; ⓐ 나눗셈 정리를 이용하여 f(x), g(x)를 각각 나타낸다. ⓑ f(x)g(x)의 몫이 xÛ`+x+1이 되도록 식을 정리한다. ⓒ R(-10)의 값을 구한다. 정답 및 해설 11 ⓑ ⓒ [30%] [40%] [30%] ⓑ ⓒ [30%] [60%] [1 0%] ⓐ ⓑ ⓒ [30%] [50%] [20%] [해] 01-03강_ok.indd 11 2017-09-20 오후 4:12:45 51 답 ⑤ + + = ;z!; ;]!; ;[!; xy+yz+zx xyz =0에서 ∴ xy+yz+zx=0 (x+y+z)Û`=xÛ`+yÛ`+zÛ`+2(xy+yz+zx)=xÛ`+yÛ`+zÛ`=2 ∴ (x+y+z)12={(x+y+z)Û`}ß`=2ß`=64 52 답 25 다항식 f(x)를 x-1로 나눈 몫은 Q(x), 나머지는 5이므로 f(x)=(x-1)Q(x)+5 Q(x)를 x-2로 나눈 몫을 QÁ(x)라 하면 나머지는 10이므로 Q(x)=(x-2)QÁ(x)+10 즉, f(x) =(x-1){(x-2)QÁ(x)+10}+5 대각선의 길이가 5 이므로 aÛ`+bÛ`= 5 , cÛ`+dÛ`= ' "à ' "à 5 ' 55 답 ② ∴ aÛ`+bÛ`=5, cÛ`+dÛ`=5 (aÛ`+bÛ`)(cÛ`+dÛ`) =aÛ`cÛ`+aÛ`dÛ`+bÛ`cÛ`+bÛ`dÛ`=(aÛ`dÛ`+bÛ`cÛ`)+(aÛ`cÛ`+bÛ`dÛ`) =(ad-bc)Û`+2abcd+(ac+bd)Û`-2abcd =(ad-bc)Û`+(ac+bd)Û` =16+(ac+bd)Û`=25 (ac+bd)Û`=9이므로 ac+bd=3 (∵ a, b, c, d는 양수) 56 답 ⑤ ㄱ. + + = ;z!; ;]!; ;[!; ;3!; 에서 xy+yz+zx xyz = ;3!; =(x-1)(x-2)QÁ(x)+10(x-1)+5 3(xy+yz+zx)=xyz y ㉠ =(x-1)(x-2)QÁ(x)+10x-5 이때, (x-1)(x-2)는 10x-5보다 차수가 낮으므로 f(x)를 이때, x+y+z=3이므로 ㉠에 대입하면 (x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz (참) MBÓ=`MNÓ-BNÓ= 1+aÛ` 2 - { a-1 2 } Û` = a+1 Û` 2 } { 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. (나) (x-1)(x-2)로 나눈 나머지는 10x-5이다. 따라서 a=10, b=-5이므로 3a+b=25 53 답 ④ PQÓ=1, ARÓ=aÛ`이므로 MNÓ= _(PQÓ+ARÓ)= ;2!; 1+aÛ` 2 또한, (가) 삼각형 PAB의 넓이를 S라 하면 S=2_△AMB=2_ _MBÓ_NRÓ ;2!; =2_ _ { ;2!; a+1 2 Û` _ a+1 2 } = (a+1)Ü` 8 따라서 f(a)= (다) 1+aÛ` 2 f(3)+g(5)+k=5+9+8=22 , g(a)= a+1 { 2 } Û`, k=8이므로 54 답 8 a+b+c=3 ' 2 , aÛ`+bÛ`+cÛ`=6이므로 ab+bc+ca= {(a+b+c)Û`-(aÛ`+bÛ`+cÛ`)} ;2!; = {(3 2 )Û`-6}=6 ;2!; ' aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca=6-6=0이므로 {(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}=0 ;2!; ∴ a=b=c= 2 (∵ a+b+c=3 2 ) ' ∴ abÛ`cÜ`=( ' 2 )ß`=8 ' 12 일등급 수학•고등 수학 (상) ㄴ. x+y+z=3이므로 (x+y)(y+z)(z+x) =(3-z)(3-x)(3-y) =27-9(x+y+z)+3(xy+yz+zx)-xyz =27-27+3(xy+yz+zx)-xyz=0 (∵ ㉠) (참) ㄷ. (x+y)(y+z)(z+x)=0에서 x+y, y+z, z+x 중 적어도 하나는 0이다. 이때, x+y+z=3이므로 x, y, z 중 적어도 하나는 3이다. (참) 57 답 ⑤ ㄱ. aÛ`+bÛ`=1의 양변에 dÛ`을 곱하면 aÛ`dÛ`+bÛ`dÛ`=dÛ` y ㉠ ac+bd=0으로부터 bÛ`dÛ`=aÛ`cÛ` 이것을 ㉠에 대입하면 aÛ`dÛ`+aÛ`cÛ`=dÛ` aÛ`(cÛ`+dÛ`)=dÛ` ∴ aÛ`=dÛ` (∵ cÛ`+dÛ`=1 ) 따라서 aÛ`+bÛ`=cÛ`+dÛ`에서 bÛ`=cÛ` (참) ㄴ. aÛ`+bÛ`=1이고 bÛ`=cÛ` 이므로 aÛ`+cÛ`=1 cÛ`+dÛ`=1이고 bÛ`=cÛ` 이므로 bÛ`+dÛ`=1 (참) ㄷ. ac+bd=0에서 (ac+bd)Û`=0이므로 aÛ`cÛ`+2abcd+bÛ`dÛ`=0 bÛ`=cÛ` 이므로 aÛ`bÛ`+2abcd+cÛ`dÛ`=0, (ab+cd)Û`=0 ∴ ab+cd=0 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 58 답 3 An-1 =(A-1)(An-1+An-2+y+A+1) y ㉠ f(x)=xÛ`+x+1이므로 f(x12)=x24+x12+1=(x24-1)+(x12-1)+3 [해] 01-03강_ok.indd 12 2017-09-20 오후 4:12:47 x12-1 =(xÜ`)Ý`-1 [다른 풀이] =(xÜ`-1){(xÜ`)Ü`+(xÜ`)Û`+xÜ`+1} (∵ ㉠) xÜ`+2xÛ`+ax+b=(xÛ`+2)(x+c)+2 y ㉠ =(xÜ`-1)(xá`+xß`+xÜ`+1) ㉠의 양변에 xÛ`+2=0, 즉 xÛ`=-2를 대입하면 =(xÛ`+x+1)(x-1)(xá`+xß`+xÜ`+1) -2x+2_(-2)+ax+b=0+2 x24-1 =(xÜ`)¡`-1=(xÜ`-1)(x21+x18+`y`+xÜ`+1) 정리하면 (a-2)x+b-4=2 =(xÛ`+x+1)(x-1)(x21+x18+`y`+xÜ`+1) ∴ a=2, b=6 이므로 x24-1과 x12-1은 xÛ`+x+1로 나누어떨어진다. ㉠의 양변의 상수항을 비교하면 따라서 f(x12)=(x24-1)+(x12-1)+3을 xÛ`+x+1로 나눈 나 2c+2=b=6 ∴ c=2 머지는 3이다. (이하 동일) I 02 나머지 정리 02 나머지정리 문제편 20P 01 답 ③ 등식 (k+2)x-(2k+5)y-2k-3=0을 k에 대하여 정리하면 (x-2y-2)k+(2x-5y-3)=0 이 등식은 k에 대한 항등식이므로 x-2y-2=0 y ㉠ 2x-5y-3=0 y ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=4, y=1 ∴ x+y=5 02 답 ③ 주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면 4=2b ∴ b=2 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면 5-7+4=-c ∴ c=-2 주어진 등식의 양변에 x=2를 대입하면 20-14+4=2a ∴ a=5 ∴ a+b+c=5 03 답 ② xÜ`+2xÛ`+ax+b =(xÛ`+2)(x+c)+2 =xÜ`+cxÛ`+2x+2c+2 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 c=2, a=2, b=2c+2 ∴ a=2, b=6, c=2 04 답 8 (x-1)(xÛ`+3)f(x)=xÝ`+axÛ`+b의 양변에 x=1을 대입하면 0=1+a+b y ㉠ xÛ`=-3을 대입하면 0=(-3)Û`-3a+b`y ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-3 즉, (x-1)(xÛ`+3)f(x)=xÝ`+2xÛ`-3 y ㉢ ㉢의 양변에 x=2를 대입하면 7f(2)=21 ∴ f(2)=3 ∴ a-b+f(2)=2-(-3)+3=8 f(x) =(xÝ`+2xÛ`-3)Ö(x-1)(xÛ`+3) =(xÛ`-1)(xÛ`+3)Ö(x-1)(xÛ`+3) [다른 풀이] =x+1 (이하 동일) 05 답 8 f(x)를 xÛ`-4x로 나눈 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 x+4이므로 f(x)=(xÛ`-4x)Q(x)+x+4=x(x-4)Q(x)+x+4 나머지정리에 의하여 f(x)를 x-4로 나눈 나머지는 f(4)=8 06 답 ① P(x)를 두 일차식 x-a, x-b로 나눈 나머지가 각각 b, a이므로 P(a)=b, P(b)=a P(x)를 (x-a)(x-b)로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 px+q ( p, q는 상수)라 하면 P(x)=(x-a)(x-b)Q(x)+px+q P(a)=b에서 pa+q=b y ㉠ P(b)=a에서 pb+q=a y ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 p=-1 (∵ a+b), q=a+b 따라서 a+b+c=10이고 f(x)=xÜ`+2xÛ`+2x+6이므로 따라서 R(x)=px+q=-x+a+b이므로 f(a+b+c)=f(10)=10Ü`+2_10Û`+2_10+6=1226 R(1)=-1+a+b=0 ∴ a+b=1 정답 및 해설 13 [해] 01-03강_ok.indd 13 2017-09-20 오후 4:12:48 07 답 ③ 나머지정리에 의하여 2 f(1)=6, f(3)=5 ∴ f(1)=3, f(3)=5 f(x)를 (x-1)(x-3)으로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b ( a, b는 상수)라 하면 f(x)=(x-1)(x-3)Q(x)+ax+b f(1)=a+b=3 y ㉠ f(3)=3a+b=5 y ㉡ ㉠, ㉡을 연립하면 a=1, b=2 따라서 구하는 나머지는 x+2이다. 08 답 ③ f(x)=xÝ`-2xÜ`-7xÛ`+8x+12라 하면 xÝ`=-1을 대입하면 0=1-a+b y ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=-4이므로 a+b=-7 12 답 ⑤ xÜ`+2xÛ`+5x+4를 f(x)로 나눈 몫을 QÁ(x)라 하면 조건 (가)에서 xÜ`+2xÛ`+5x+4=f(x)QÁ(x)+g(x) y ㉠ 이때, f(x)는 이차다항식이므로 g(x)는 일차 이하의 다항식이다. 또, xÜ`+2xÛ`+5x+4를 g(x)로 나눈 몫을 Qª(x)라 하면 조건 (나)에서 xÜ`+2xÛ`+5x+4=g(x)Qª(x)+f(x)-xÛ`-x y ㉡ 이때, 일차 이하의 다항식 g(x)로 나눈 나머지는 상수항이 되어야 ① f(-1)=1+2-7-8+12=0이므로 인수정리에 의하여 주어 진 식은 x+1을 인수로 갖는다. 하므로 f(x)-xÛ`-x=a`( a는 상수) ∴ f(x)=xÛ`+x+a ② f(-2)=16+16-28-16+12=0이므로 인수정리에 의하여 xÜ`+2xÛ`+5x+4를 f(x)로 직접 나누면 주어진 식은 x+2를 인수로 갖는다. xÜ`+2xÛ`+5x+4=(xÛ`+x+a)(x+1)+(4-a)x+4-a` ③ f(1)=1-2-7+8+12=12+0이므로 주어진 식은 x-1을 이므로 ㉠에서 g(x)=(4-a)(x+1)` ④ f(2)=16-16-28+16+12=0이므로 인수정리에 의하여 주 ⑤ f(3)=81-54-63+24+12=0이므로 인수정리에 의하여 주 ∴ g(1)=4_2=8` 이것을 ㉡에 대입하면 xÜ`+2xÛ`+5x+4=(4-a)(x+1)Qª(x)+a x=-1을 대입하면 a=0이므로 g(x)=4(x+1)` 13 답 ② f(x)=g(x)Q(x)+R(x)에서 ㄱ. R(x)의 차수는 g(x)의 차수보다 작으므로 (n-1)차 이하이다. (거짓) x=2를 대입하면 c+d=7 ∴ c=3 ㄴ. f(x)의 차수는 g(x)의 차수와 Q(x)의 차수의 합이므로 x=3을 대입하면 2b+2c+d=14 ∴ b=2 Q(x)의 차수는 m-n이다. (참) x=0을 대입하면 -6a+2b-c+d=-1 ∴ a=1 ㄷ. 【반례】` f(x)=2xÜ`+4xÛ`+3x+2, g(x)=xÛ`+x일 때, ∴ abcd=1_2_3_4=24 Q(x)=2x+2이고 R(x)=x+2 (거짓) 10 답 6 x+y=1에서 y=1-x를 axÛ`+byÛ`=cx+1에 대입하여 정리하면 인수로 갖지 않는다. 어진 식은 x-2를 인수로 갖는다. 어진 식은 x-3을 인수로 갖는다. 09 답 ① 주어진 등식에 x=1을 대입하면 d=4 따라서 옳은 것은 ㄴ이다. 14 답 5 axÜ`+bxÛ`+1이 xÛ`-x-1로 나누어떨어지므로 그 몫을 px+q ( p, q는 상수)라 하면 axÜ`+bxÛ`+1=(xÛ`-x-1)(px+q) 삼차항과 상수항의 계수를 비교하면 p=a, q=-1 따라서 axÜ`+bxÛ`+1=(xÛ`-x-1)(ax-1)에서 axÜ`+bxÛ`+1=axÜ`-(a+1)xÛ`-(a-1)x+1 이 식은 x에 대한 항등식이므로 b=-a-1, -a+1=0 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-2 axÛ`+b(1-x)Û`=cx+1 ∴ (a+b)xÛ`-(2b+c)x+(b-1)=0 이 식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 a+b=0, 2b+c=0, b-1=0 따라서 b=1, c=-2, a=-1이므로 aÛ`+bÛ`+cÛ`=(-1)Û`+1Û`+(-2)Û`=6` 11 답 ② 주어진 등식은 항등식이므로 14 일등급 수학•고등 수학 (상) xÛ`=2를 대입하면 0=16+4a+b y ㉠ ∴ aÛ`+bÛ`=5 [해] 01-03강_ok.indd 14 2017-09-20 오후 4:12:49 f(x+1) =(xÛ`-5x+6)Q(x)+mx+n ∴ axÛ`+bx+c=a(xÛ`+1)+x+1 y ㉠ 15 답 ⑤ (x+1)f(x)를 x-1로 나눈 나머지가 4이므로 2 f(1)=4 ∴ f(1)=2 (2x-1)f(2x+1)을 x+1로 나눈 나머지가 12이므로 -3 f(-1)=12 ∴ f(-1)=-4 f(x)를 (x+1)(x-1)로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=ax+b ( a, b는 상수)라 하면 f(x)=(x+1)(x-1)Q(x)+ax+b에서 f(1)=a+b=2, f(-1)=-a+b=-4 연립하여 풀면 a=3, b=-1 따라서 R(x)=3x-1이므로 R(2)=5 16 답 26 f(x)를 x-3, x-4로 나눈 나머지가 각각 3, 2이므로 나머지정리에 의하여 f(3)=3, f(4)=2 f(x+1)을 xÛ`-5x+6으로 나눈 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 mx+n이므로 =(x-3)(x-2)Q(x)+mx+n` 이 식의 양변에 x=2, x=3을 차례로 대입하면 f(3)=2m+n=3`, f(4)=3m+n=2 연립하여 풀면`m=-1`, n=5이므로 mÛ`+nÛ`=(-1)Û`+5Û`=26 17 답 ① f(x)를 x+2로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 R라 하면 f(x)=(x+2)Q(x)+R ( R는 상수) y ㉠ f(x)를 x-1로 나눈 나머지가 12이므로 나머지정리에 의하여 Q(x)를 x-1로 나눈 나머지가 3이므로 나머지정리에 의하여 f(1)=12 Q(1)=3 ㉠은 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=1을 대입하면 f(1)=3Q(1)+R에서 12=3_3+R ∴ R=3 따라서 f(x)를 x+2로 나눈 나머지 R=3이다. ㉡에서 나머지정리에 의하여 f(1)=6+k=3 ∴ k=-3 ∴ f(3)=18+k=15 나머지를 R(x)라 하자. R(x)는 이차 이하의 식이므로 이때, f(x)를 (x-1)(x-2)(x-3)으로 나눈 몫을 Q(x), R(x)=a(x-1)(x-2)+b(x-1)+c ( a, b, c는 상수)라 하면 f(1)=3=c, f(2)=5=b+c, f(3)=15=2a+2b+c 세 식을 연립하여 풀면 a=4, b=2, c=3이므로 R(x) =4(x-1)(x-2)+2(x-1)+3 ∴ R(-1)=23 I 02 나머지 정리 19 답 ③ f(x)를 (xÛ`+1)(x-1)로 나눈 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 axÛ`+bx+c이므로 f(x)=(xÛ`+1)(x-1)Q(x)+axÛ`+bx+c f(x)를 xÛ`+1로 나눈 나머지가 x+1이므로 axÛ`+bx+c를 xÛ`+1로 나눈 나머지도 x+1이다. ∴ f(x)=(xÛ`+1)(x-1)Q(x)+a(xÛ`+1)+x+1 y ㉡ 또한, f(x)를 x-1로 나눈 나머지가 4이므로 나머지정리에 의하여 f(1)=4 ㉡에 x=1을 대입하면 f(1)=2a+2=4 ∴ a=1 이것을 ㉠에 대입하면 axÛ`+bx+c=xÛ`+x+2이므로 a=1, b=1, c=2 ∴ abc=2 20 답 24 f(x)를 (x-1)Û`(x-2)로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=axÛ`+bx+c ( a, b, c는 상수)라 하면 f(x)=(x-1)Û`(x-2)Q(x)+axÛ`+bx+c f(x)를 (x-1)Û`으로 나눈 나머지가 5x+1이므로 axÛ`+bx+c를 (x-1)Û`으로 나눈 나머지도 5x+1이다. axÛ`+bx+c=a(x-1)Û`+5x+1이므로 f(x)=(x-1)Û`(x-2)Q(x)+a(x-1)Û`+5x+1 y ㉠ 한편, f(x)를 x-2로 나눈 나머지가 13이므로 18 답 23 f(x)를 두 다항식 (x-1)(x-2), (x-1)(x-3)으로 나눈 몫 을 각각 QÁ(x), Qª(x)라 하면 f(2)=13 ㉠에 x=2를 대입하면 f(x) =(x-1)(x-2)QÁ(x)+2x+1 y ㉠ f(2)=a+11=13 ∴ a=2` =(x-1)(x-3)Qª(x)+6x+k y ㉡ 따라서 f(x)를 (x-1)Û`(x-2)로 나눈 나머지는 ㉠에서 ㉠에서 나머지정리에 의하여 f(1)=3, f(2)=5 R(x)=2(x-1)Û`+5x+1 ∴ R(3)=24 정답 및 해설 15 [해] 01-03강_ok.indd 15 2017-09-20 오후 4:12:50 f(-1)=a-b-c-a=0 ∴ b+c=0 ③ f(1)=a+b+c-a=0이므로 인수정리에 의하여 x-1은 21 답 ③ f(x)=axÝ`+bxÜ`+cx-a라 하면 x+1이 f(x)의 인수이므로 반드시 f(x)의 인수이다. [다른 풀이] b+c=0에서 b=-c이므로 25 답 ① f(1)=1, f(2)= , f(3)= , f(4)= 에서 ;2!; ;3!; ;4!; f(1)=1, 2 f(2)=1`, 3 f(3)=1, 4 f(4)=1 y ㉠ 즉, g(x)=xf(x)-1은 ㉠에 의하여 g(1)=0, g(2)=0, g(3)=0, g(4)=0이므로 인수정리에 의하여 g(x)는 x-1, x-2, x-3, x-4의 인수를 갖는다. 이때, f(x)가 삼차다항식이므로 g(x)=xf(x)-1은 사차다항식이다. f(x) =axÝ`+bxÜ`+cx-a=axÝ`+bxÜ`-bx-a ∴ g(x)=k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ( k는 상수) y ㉡ =a(xÝ`-1)+b(xÜ`-x)=a(xÛ`-1)(xÛ`+1)+bx(xÛ`-1) ㉡의 양변에 x=0을 대입하면 =(xÛ`-1){a(xÛ`+1)+bx} 즉, a, b, c에 상관없이 다항식 f(x)는 xÛ`-1=(x+1)(x-1)을 인수로 갖는다. -1=k_(-1)_(-2)_(-3)_(-4) ∴ k=- ;2Á4; 즉, g(x)=- ;2Á4; (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)이므로 g(5)=- ;2Á4; _4_3_2_1=-1 22 답 ① f(x)-k, (x+1)f(x)-6이 일차식 x-k로 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여 f(k)-k=0 y ㉠ (k+1)f(k)-6=0 y ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 (k+1)k-6=0 kÛ`+k-6=0, (k+3)(k-2)=0 ∴ k=2 또는 k=-3 이때, k는 양수이므로 k=2 23 답 3 f(x)=xÜ`-2xÛ`+p라 하면 f(x)의 상수항 p가 소수이므로 계수가 정수인 일차식의 인수가 될 수 있는 것은 x+1, x-1, x+p, x-p이다. f(-1)=0일 때, -3+p=0에서 p=3 f(1)=0일 때, -1+p=0에서 p=1이 되어 소수가 아니다. f(-p)=0일 때, -pÜ`-2pÛ`+p=0, p=pÛ`(p+2) 양변을 p로 나누면 1=p(p+2)¾8이 되어 성립하지 않는다. f(p)=0일 때, pÜ`-2pÛ`+p=0 p=1이 되어 소수가 아니다. 따라서 소수 p의 값은 3이다. 24 답 13 조건 (나)에서 f(1)=f(2)=f(3)=k라 하자. g(x)=f(x)-k라 하면 g(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차다항 식이고 g(1)=g(2)=g(3)=0이므로 인수정리에 의하여 g(x)=f(x)-k=(x-1)(x-2)(x-3) ∴ f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+k 한편, 조건 (가)에서 f(0)=-6+k=1 ∴ k=7 따라서 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+7이므로 f(4)=3_2_1+7=13 16 일등급 수학•고등 수학 (상) 26 답 10 삼차다항식 f(x)가 f(1)=3=2_1+1 f(2)=5=2_2+1 f(3)=7=2_3+1 ⋮ f(x)=2_x+1 이므로 g(x)=f(x)-(2x+1)이라 하면 g(x)는 삼차다항식이고 g(1)=g(2)=g(3)=0이므로 g(x)=k(x-1)(x-2)(x-3) ( k는 상수) 따라서 f(x)=k(x-1)(x-2)(x-3)+2x+1이므로 f(4)+f(0)=(6k+9)+(-6k+1)=10` 27 답 ① 주어진 식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=a, x=b, x=c를 aÜ`+1=0, bÜ`+1=0, cÜ`+1=0 따라서 aÜ`=-1, bÜ`=-1, cÜ`=-1이므로 aÜ`+bÜ`+cÜ`=-3 28 답 ③ xÛ`+bx+a 2xÛ`+ax+1 =k`( k는 상수)라 하면 xÛ`+bx+a=2kxÛ`+akx+k 이 식은 x에 대한 항등식이므로 1=2k, b=ak, a=k ∴ k= , a= , b= ;2!; ;2!; ;4!; ∴ a+b= ;4#; 양변을 p로 나누면 pÛ`-2p+1=0, 즉 (p-1)Û`=0에서 차례로 대입하면 [해] 01-03강_ok.indd 16 2017-09-20 오후 4:12:52 =a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d 29 답 31 2xÜ`+1 가 x에 대한 항등식이므로 최고차항의 계수를 비교하면 a=2 d=3 등식의 양변에 x=1을 대입하면 등식의 양변에 x=2를 대입하면 c+d=17에서 c=14 등식의 양변에 x=3을 대입하면 2b+2c+d=55에서 b=12 ∴ a+b+c+d=31 I 02 나머지 정리 f(-2)=-2a+8=b-10 f(3)=3a+13=b+15 두 식을 연립하여 풀면 a=4, b=10 ∴ a+b=14 [다른 풀이] f(x)를 xÜ`-xÛ`-6x로 나눈 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 xÛ`+ax+4이므로 f(x)=(xÜ`-xÛ`-6x)Q(x)+xÛ`+ax+4 f(x) =x(xÛ`-x-6)Q(x)+(xÛ`-x-6)+(a+1)x+10 =(xÛ`-x-6){xQ(x)+1}+(a+1)x+10 이고 f(x)를 xÛ`-x-6으로 나눈 나머지가 5x+b이므로 (a+1)x+10=5x+b ∴ a=4, b=10 ∴ a+b=14 30 답 ① f(x)의 차수를 n이라 하면 f(xÛ`)=(x+2)f(x)+2 y ㉠ 33 답 ④ x에 대한 항등식이므로 양변에 x=0, x=-2를 차례로 대입하여 에서 좌변의 차수는 2n, 우변의 차수는 n+1이므로 정리하면 2n=n+1 ∴ n=1 0=a0+a1+a2+a3+y+a9+a10 y ㉠ f(x)=ax+b ( a, b는 상수)라 하면 f(xÛ`)=axÛ`+b이므로 ㉠에서 (-2)10=a0-a1+a2-a3+y-a9+a10 y ㉡ (x+2)f(x)+2 =(x+2)(ax+b)+2 ㉠+㉡을 하면 =axÛ`+(2a+b)x+2b+2 ∴ axÛ`+b=axÛ`+(2a+b)x+2b+2 x에 대한 항등식이므로 2a+b=0 , 2b+2=b 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-2 따라서 f(x)=x-2이므로 f(3)=1 31 답 ② 다항식 xÜ`+axÛ`+bx+c를 xÛ`+1로 나눈 나머지가 x+1이므로 xÜ`+axÛ`+bx+c=(xÛ`+1)(x+k)+x+1 ( k는 상수) y ㉠ 이라 하면 ㉠의 좌변을 x-2로 나눈 나머지가 3이므로 ㉠의 우변에 x=2를 대입하면 5(2+k)+3=3 ∴ k=-2 이것을 ㉠에 대입하면 xÜ`+axÛ`+bx+c=(xÛ`+1)(x-2)+x+1=xÜ`-2xÛ`+2x-1 따라서 a=-2, b=2, c=-1이므로 a+b+c=-1 32 답 14 f(x)를 xÜ`-xÛ`-6x와 xÛ`-x-6으로 나눈 나머지가 각각 xÛ`+ax+4, 5x+b이므로 몫을 각각 QÁ(x), Qª(x)라 하면 f(x)=x(x+2)(x-3)QÁ(x)+xÛ`+ax+4 f(x)=(x+2)(x-3)Qª(x)+5x+b 두 식에 x=-2와 x=3을 대입하면 210=2(a0+a2+a4+a6+a8+a10)` 210 2 =29 ∴ a0+a2+a4+a6+a8+a10= 34 답 ② 주어진 항등식의 양변에 x=1, x=-1을 차례로 대입하여 정리하면 (-2)Þ`=a0+a1+a2+y+a9+a10 y ㉠ 2Þ`=a0-a1+a2-y-a9+a10 y ㉡ ㉠-㉡을 하면 2_(-2Þ`)=2(a1+a3+a5+a7+a9) ∴ a1+a3+a5+a7+a9=-2Þ` 35 답 ① 주어진 항등식의 양변에 x= , x=- 을 차례로 대입하여 정리 ;2!; ;2!; 하면 50 50 =a0+ {;4%;} =a0- {;4!;} ㉠-㉡을 하면 aÁ 2 + aÁ 2 + aª 2Û` aª 2Û` +y+ -y- a99 299 + a99 299 + a100 2100 y ㉠ a100 2100 y ㉡ 50 - {;4%;} {;4!;} 50 =2 { aÁ 2 + a£ 2Ü` a° 2Þ` + +y+ a99 299 } ∴ aÁ 2 + a£ 2Ü` a° 2Þ` + +y+ a99 299 = 50 - 50 ;2!;[{;4%;} {;4!;} ] = 550-1 2101 정답 및 해설 17 [해] 01-03강_ok.indd 17 2017-09-20 오후 4:12:53 36 답 ① f(x)를 x-a로 나눈 나머지는 f(a)이므로 f(1)=3, f(2)=1, f(3)=2이다. 40 답 ② f(x)를 (x-1)(x-5)로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b ( a, b는 상수)라 하면 f(`f(x))=(x-1)(x-3)Q(x)+R(x)이고, f(x)=(x-1)(x-5)Q(x)+ax+b`y ㉠ R(x)=ax+b ( a, b는 상수)라 하면 f(x)를 x-5로 나눈 나머지가 4이므로 나머지정리에 의하여 f(`f(1))=f(3)=2=a+b f(`f(3))=f(2)=1=3a+b 연립하여 풀면 a=- , b= 이므로 R(x)=- x+ ;2!; ;2%; ;2!; ;2%; ∴ R(5)=- _5+ =0 ;2!; ;2%; f(5)=4 또한, f(3+x)=f(3-x)는 x에 대한 항등식이므로 x=2를 대입하면 f(5)=f(1)=4 즉, x=1, x=5를 ㉠에 차례로 대입하면 f(1)=a+b=4, f(5)=5a+b=4 ∴ a=0, b=4 37 답 ② f(x)=xÛ`+px+q를 x-a, x-b로 나눈 나머지가 각각 따라서 f(x)를 (x-1)(x-5)로 나눈 나머지는 R(x)=4이므로 R(3)=4` a+b이므로 양변을 a-b로 나누면 a+b+p=-1 =(x-1)Û`(x+1)Q(x)+a(x-1)Û`+3x+2` b, a이므로 f(a)=aÛ`+pa+q=b y ㉠ f(b)=bÛ`+pb+q=a y ㉡ ㉠-㉡을 하면 aÛ`-bÛ`+pa-pb=b-a (a-b)(a+b)+p(a-b)=-(a-b) 38 답 ① f(x)는 x-1로 나누어떨어지므로 나머지정리에 의하여 f(1)=a+b+3=0 ∴ a+b=-3 y ㉠ f(2x)-f(x+1)은 x+1로 나누어떨어지므로 나머지정리에 의하여 f(-2)-f(0)=(4a-2b+3)-3=0 ∴ 2a-b=0 y ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=-2 ∴ f(x)=axÛ`+bx+3=-xÛ`-2x+3 따라서 f(x)를 x-2로 나눈 나머지는 f(2)=-4-4+3=-5 39 답 ③ (x+1)f(x)를 x-1로 나눈 나머지가 10이므로 2 f(1)=10 또, (2x+1)f(2x-1)을 x-2로 나눈 나머지가 55이므로 f(1)=1+a+b=5이므로 a+b=4 y ㉠ 5 f(3)=55 f(3)=9+3a+b=11이므로 3a+b=2 y ㉡ 41 답 ③ f(x)를 (x-1)Û`(x+1)로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)라 하면 R(x)를 (x-1)Û`으로 나눈 나머지는 3x+2이다. ∴ f(x) =(x-1)Û`(x+1)Q(x)+R(x) f(-1)=3이므로 양변에 x=-1을 대입하면 f(-1)=4a-1=3 ∴ a=1` R(x)=(x-1)Û`+3x+2=xÛ`+x+3=axÛ`+bx+c이므로 a=1, b=1, c=3 ∴ abc=3 42 답 ④ x100+x10+x+10을 xÛ`-1로 나눈 나머지를 ax+b ( a, b는 상수)라 하면 x100+x10+x+10=(x-1)(x+1)Q(x)+ax+b x=1, x=-1을 차례로 대입하면 13=a+b, 11=-a+b 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=12 ∴ x100+x10+x+10=(x-1)(x+1)Q(x)+x+12 y ㉠ 한편, Q(x)를 x로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의하여 Q(0)이므로 ㉠의 양변에 x=0을 대입하면 10=-Q(0)+12 ∴ Q(0)=2 따라서 Q(x)를 x로 나눈 나머지는 2이다. 43 답 ⑤ 2999=(23)333=(7+1)333에서 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=5 f(0)=1이므로 f(x)를 x로 나눈 몫을 Q(x)라 하면 f(x)=xÛ`-x+5이므로 x f(x)=xÜ`-xÛ`+5x (x+1)333=xQ(x)+1 f(x)=(x+1)333을 x로 나눈 나머지는 나머지정리에 의하여 양변에 x=7을 대입하면 (7+1)333=7Q(7)+1 따라서 2999=(7+1)333을 7로 나눈 나머지는 1이다. 따라서 xf(x)를 x+1로 나눈 나머지는 -f(-1)=-1-1-5=-7 18 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 01-03강_ok.indd 18 2017-09-20 오후 4:12:54 I 02 나머지 정리 44 답 ① f(x)+g(x)를 h(x)로 나눈 몫을 QÁ(x)라 하면 f(x)+g(x)=h(x)QÁ(x)+5 { f(x)}Û`+{ g(x)}Û`을 h(x)로 나눈 몫을 Qª(x)라 하면 { f(x)}Û`+{ g(x)}Û`=h(x)Qª(x)+15 47 답 10` f(1)=1에서 1_f(1)=2_1-1` 2 f(2)=3에서 2_f(2)=2_2-1 3 f(3)=5에서 3_f(3)=2_3-1` 4 f(4)=7에서 4_f(4)=2_4-1` { f(x)+g(x)}Û`={ f(x)}Û`+{ g(x)}Û`+2`f(x)g(x)에서 ⋮ f(x)g(x)= [{ f(x)+g(x)}Û`-{ f(x)}Û`-{ g(x)}Û`] ∴ xf(x)=2x-1 ;2!; ;2!; ;2!; = [{h(x)QÁ(x)+5}Û`-{`h(x)Qª(x)+15}] = h(x)[h(x){QÁ(x)}Û`+10QÁ(x)-Qª(x)]+5 따라서 f(x)g(x)를 h(x)로 나눈 나머지는 5이다. 45 답 ⑤ ㄱ. f(2)=16+4a+b=0이면 f(-2)=16+4a+b=0이므로 x+2도 f(x)의 인수이다. (참) ㄴ. f(x)가 x-1로 나누어떨어지면 f(1)=1+a+b=0 이때, f(-1)=1+a+b=0이므로 f(x)는 x+1로도 나누어 떨어진다. 따라서 f(x)는 (x-1)(x+1)=xÛ`-1로 나누어떨 어진다. (참) 이때, f(x)가 삼차다항식이므로 x f(x)는 사차다항식이다. g(x)=x f(x)-(2x-1)이라 하면 g(x)는 사차식이고 g(1)=g(2)=g(3)=g(4)=0이므로 인수정리에 의하여 g(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ( a는 상수) 즉, x f(x)-(2x-1)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) x f(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+2x-1 양변에 x=0을 대입하면 a= ;2Á4; ∴ x f(x)= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+2x-1 ;2Á4; 따라서 양변에 x=5를 대입하면 5 f(5)= _4_3_2_1+10-1=10` ;2Á4; ㄷ. f(x)가 (x-1)(x-2)로 나누어떨어지면 f(x)는 x-1, x-2를 인수로 갖는다. 또한, ㄱ과 ㄴ에 의하여 f(x)는 48 답 ⑤ h(x)=f(x)-g(x)라 하면 f(x), g(x)를 xÛ`-2로 나눈 나머지 x+1과 x+2도 인수로 갖는다. 가 같으므로 h(x)는 xÛ`-2로 나누어떨어진다. 즉, h(x)는 xÛ`-2를 이때, f(x)는 사차식이므로 인수정리에 의하여 인수로 갖는다. 또, f(1)=g(1)에 의하여 h(1)=0이므로 h(x)는 f(x) =k(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) x-1도 인수로 가지고, 삼차식이다. =k(xÛ`-1)(xÛ`-4) =k(xÝ`-5xÛ`+4)=xÝ`+axÛ`+b ∴ h(x)=f(x)-g(x)=k(xÛ`-2)(x-1) ( k는 상수) y ㉠ 그런데 h(0)=f(0)-g(0)=1-(-1)=2이므로 k=1, a=-5, b=4이므로 4a+5b=0 (참) ㉠에 x=0을 대입하면 2k=2 ∴ k=1 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 따라서 h(x)=(xÛ`-2)(x-1)이므로 46 답 ④ f(x)=xÝ`+axÜ`+xÛ`+bx-2가 x-p를 인수로 가지므로 정수 p 가 될 수 있는 값은 2의 약수인 Ñ1, Ñ2이고 f(p)=0이어야 한다. f(1)=a+b>0이므로 f(-1)=-a-b<0이므로 f(2)=18+8a+2b>0이므로 p+1 p+-1 p+2 p=-2 즉, 4a+b=9이고, a, b는 자연수이므로 a=1, b=5 또는 a=2, b=1 이때, a>b이므로 a=2, b=1 ∴ abp=2_1_(-2)=-4 f(-2)=18-8a-2b=0인 자연수 a, b가 존재하므로 f(-1)-g(-1)=h(-1)=(-1)_(-2)=2` 49 답 ② f(x)를 (x-a)(x-b)(x-c)로 나눈 몫을 Q(x)라 하면 나머지 가 R(x)이므로 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)+R(x) 이때, a+b+c=10이고, 나머지정리에 의하여 R(a) =aÛ`+b+c=aÛ`-a+10 R(b) =a+bÛ`+c=bÛ`-b+10 R(c) =a+b+cÛ`=cÛ`-c+10 이때, g(x)=R(x)-(xÛ`-x+10)이라 하면 g(a)=g(b)=g(c)=0이므로 인수정리에 의하여 g(x)=R(x)-(xÛ`-x+10)=k(x-a)(x-b)(x-c) ( k는 상수) ∴ R(x)=k(x-a)(x-b)(x-c)+xÛ`-x+10 그런데 R(x)는 이차 이하의 식이므로 k=0이다. 따라서 f(x)를 (x-a)(x-b)(x-c)로 나눈 나머지 R(x)는 R(x)=xÛ`-x+10 ∴ R(2)=4-2+10=12` 정답 및 해설 19 [해] 01-03강_ok.indd 19 2017-09-20 오후 4:12:56 50 답 495 a0 3 + xÞ`= a1 3Û` (2x-1)+ (2x-1)Û`+y+ (2x-1)Þ` a2 3Ü` a5 3ß` = a0 3 + a1 3 { 2x-1 3 a2 3 { 2x-1 3 Û` } + } +y+ a5 3 { 2x-1 3 Þ` } y ㉠ ㉠의 양변에 x=2를 대입하면 2Þ`= a0 3 + a1 3 + a2 3 +y+ a5 3 y ㉡ ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 (-1)Þ`= a0 3 - a1 3 + a2 3 -y- a5 3 y ㉢ ㉡-㉢을 하면 2Þ`-(-1)Þ`=2 a1 3 + a3 3 + a5 3 } { 33= (aÁ+a£+a°) ;3@; ∴ 10(aÁ+a£+a°)=495 | 채점기준 | ⓐ 항등식의 성질을 이용하도록 주어진 식을 변형한다. ⓑ 주어진 식과 변형한 식에 각각 x=2, x=-1을 대입한다. ⓒ 10(aÁ+a£+a°)의 값을 구한다. 51 답 12 f(x)를 (x-1)(x+1)로 나눈 몫을 Q(x)라 하면 f(x)=(x-1)(x+1)Q(x)+2x+5 나머지정리에 의하여 f(1)=7, f(-1)=3 (x+1)`f(x-1)을 xÛ`-2x로 나눈 몫을 P(x)라 하면 나머지가 ax+b이므로 (x+1)`f(x-1)=x(x-2)P(x)+ax+b 이 식의 양변에 x=0, x=2를 차례로 대입하면 | 채점기준 | ⓐ 나머지정리에 의하여 f(1), f(-1)의 값을 구한다. ⓐ ⓑ ⓒ [50%] [40%] [ 1 0%] ⓐ ⓑ ⓒ [40%] [50%] [10%] f(-1)=b=3 3 f(1)=2a+b=21 두 식을 연립하면 a=9, b=3 ∴ a+b=9+3=12 ⓑ a, b의 값을 각각 구한다. ⓒ a+b의 값을 구한다. 20 일등급 수학•고등 수학 (상) 52 답 1 f(x)를 (xÛ`+1)(xÛ`+2)로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)라 f(x)=(xÛ`+1)(xÛ`+2)Q(x)+R(x) ⓐ 이때, R(x)는 삼차 이하의 식이고 f(x)를 xÛ`+1로 나눈 나머지가 하면 4x+4이므로 R(x) =(xÛ`+1)(ax+b)+4x+4 ( a, b는 상수) =(xÛ`+2-1)(ax+b)+4x+4 =(xÛ`+2)(ax+b)-(ax+b)+4x+4 =(xÛ`+2)(ax+b)+(4-a)x+(4-b) ∴ f(x)=(xÛ`+1)(xÛ`+2)Q(x)+(xÛ`+2)(ax+b) +(4-a)x+(4-b) 이때, f(x)를 xÛ`+2로 나눈 나머지가 4x+8이므로 ⓑ ⓒ [20%] [60%] [20%] (4-a)x+(4-b)=4x+8` 4-a=4, 4-b=8 ∴ a=0, b=-4 R(x) =(xÛ`+2)(ax+b)+4x+8 =(xÛ`+2)_(-4)+4x+8 =-4xÛ`+4x ∴ R =-1+2=1 {;2!;} | 채점기준 | ⓐ f(x)를 (xÛ`+1)(xÛ`+2)로 나눈 식을 세운다. ⓑ f(x)를 xÛ`+1, xÛ`+2로 나눈 나머지를 이용하여 R(x)의 식을 구한다. ⓒ R {;2!;} 의 값을 구한다. 53 답 26 조건 (나)에 의하여 ax+b=a(x-1)+2 ㉠에 대입하면 f(x)=(x-1)Û`(ax+b)+(ax+b) ( a, b는 상수) y ㉠ 라 하면 조건 (가)에서 f(1)=2이므로 f(x) =(x-1)Û`{a(x-1)+2}+a(x-1)+2 =a(x-1)Ü`+2(x-1)Û`+a(x-1)+2` 이때, f(x)를 (x-1)Ü`으로 나눈 나머지는 R(x)=2(x-1)Û`+a(x-1)+2 y ㉡ R(0)=R(3)이므로 2-a+2=8+2a+2 ∴ a=-2` 따라서 ㉡에 의하여 R(x)=2(x-1)Û`-2(x-1)+2이므로 R(5)=26` [해] 01-03강_ok.indd 20 2017-09-20 오후 4:12:57 I 02 나머지 정리 54 답 40 나머지정리에 의하여 다항식 P(x)를 x-k로 나눈 나머지는 57 답 ③ f(x)를 xÛ`-3x+2로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 P(k)=kÜ`+kÛ`+k+1 ax+b ( a, b는 상수)라 하면 또한, 다항식 P(x)를 x+k로 나눈 나머지는 f(x) =(xÛ`-3x+2)Q(x)+ax+b P(-k)=-kÜ`+kÛ`-k+1 두 나머지의 합이 8이므로 =(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b y ㉠ 한편, 조건 (나)의 식 f(x+1)=f(x)+6xÛ`에 P(k)+P(-k) =kÜ`+kÛ`+k+1+(-kÜ`+kÛ`-k+1) x=2를 대입하면 f(3)=f(2)+24=36에서 f(2)=12 =2kÛ`+2=8 x=1을 대입하면 f(2)=f(1)+6=12에서 f(1)=6 ∴ kÛ`=3` ㉠에서 따라서 다항식 P(x)를 x-kÛ`으로 나눈 나머지는 f(1)=a+b=6, f(2)=2a+b=12 P(kÛ`) =(kÛ`)Ü`+(kÛ`)Û`+kÛ`+1=3Ü`+3Û`+3+1=40 두 식을 연립하여 풀면 a=6, b=0 55 답 ③ ㄱ. 다항식 f(x)를 (x-a)(x-b)로 나눈 몫을 Q(x)라 하면 f(x)=(x-a)(x-b)Q(x)+R(x) y ㉠ 따라서 f(x)를 xÛ`-3x+2로 나눈 나머지는 6x이다. 58 답 ⑤ ㄱ. f(1-x)=(1-x)Û`-(1-x)+b=xÛ`-x+b=f(x) (참) ㉠은 x에 대한 항등식이므로 x=a를 대입하면 ㄴ. xn을 f(x)로 나눈 몫이 Qn(x), 나머지가 pnx+qn이므로 f(a)=R(a)이므로 f(a)-R(a)=0 (참) xn=f(x)Qn(x)+pnx+qn ㄴ. 【반례】 f(x)=(x-a)(x-b)+x라 하면 이 식은 x에 대한 항등식이므로 x 대신 1-x를 대입해도 성립 R(x)=x이고 f(a)-R(b)=a-b, f(b)-R(a)=b-a 한다. ∴ (1-x)n =f(1-x)Qn(1-x)+pn(1-x)+qn y ㉠ 이때, a+b이므로 f(a)-R(b)+f(b)-R(a) (거짓) =f(x)Qn(1-x)+pn(1-x)+qn (∵ ㄱ) 따라서 (1-x)n을 f(x)로 나눈 몫은 Qn(1-x)이다. (참) ㄷ. ㉠에서 (1-x)n을 f(x)로 나눈 나머지는 pn(1-x)+qn이므 로 xn+(1-x)n을 f(x)로 나눈 나머지는 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 59 답 ⑤ f(x)를 (x+1)Ü`으로 나눈 몫을 QÁ(x)라 하면 나머지가 xÛ`+4x+2이므로 f(x) =(x+1)Ü`QÁ(x)+xÛ`+4x+2 =(x+1)Û`(x+1)QÁ(x)+(x+1)Û`+2x+1 따라서 f(x)를 (x+1)Û`으로 나눈 나머지는 2x+1 한편, f(x)를 (x+1)Û`(x-2)로 나눈 몫을 Qª(x)라 하면 f(x)를 (x+1)Û`으로 나눈 나머지가 2x+1이므로 f(x)=(x+1)Û`(x-2)Qª(x)+a(x+1)Û`+2x+1 ( a는 상수) y ㉠ 이때, f(x)를 (x-2)Û`으로 나눈 나머지가 4x+6이므로 f(2)=4_2+6=14 ㉠에 x=2를 대입하면 f(2)=9a+5=14 따라서 f(x)를 (x+1)Û`(x-2)로 나눈 나머지는 R(x)=(x+1)Û`+2x+1 ∴ R(1)=7 정답 및 해설 21 ㄷ. R(x)는 일차 이하의 다항식이므로 R(x)=px+q ( p, q는 상수)라 하면 f(a)=pa+q, f(b)=pb+q에서 이때, R(0)=q이므로 a f(b)-b f(a)=(a-b)R(0) (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 56 답 ③ p+q=1, pq=-1이므로 pÛ`+qÛ`=(p+q)Û`-2pq= 3 ` (가) pÝ`+qÝ`=(pÛ`+qÛ`)Û`-2pÛ`qÛ`= 7 (나) a= p8-q8 p-q =(pÝ`+qÝ`)(pÛ`+qÛ`)(p+q)=7_3_1= 21 (다) 따라서 r=3, s=7, t=21이므로 r+s+t=31 빈칸 채우기의 중간 과정도 알고 가자 일등급 x에 대한 다항식 axá`+bx¡`+1이 xÛ`-x-1로 나누어떨어지므로 몫을 Q(x)라 하면 axá`+bx¡`+1=(xÛ`-x-1)Q(x) 즉, axá`+bx¡`+1=(x-p)(x-q)Q(x) 꼴로 나타낼 수 있다. ㉠, ㉡의 양변에 각각 q¡`, p¡` 을 곱하면 ap(pq)8+b(pq)8=-q8이고 aq(pq)8+b(pq)8=-p8이므로 pq=-1을 대입하여 정리하면 문제의 ㉢, ㉣을 얻을 수 있다. 양변에 x=p, x=q를 각각 대입하면 문제의 ㉠, ㉡을 얻을 수 있다. ∴ a=1 a f(b)-b f(a)=abp+aq-abp-bq=(a-b)q pnx+qn+pn(1-x)+qn=pn+2qn이다. (참) [해] 01-03강_ok.indd 21 2017-09-20 오후 4:12:59 60 답 ③ f(x)를 x-1, (x-1)Û`으로 나눈 몫을 각각 QÁ(x), Qª(x), 나머지를 각각 RÁ, Rª(x)라 하면 f(x)=(x-1)QÁ(x)+RÁ f(x)=(x-1)Û`Qª(x)+Rª(x) 두 식을 변끼리 더하면 62 답 ⑤ f(xÛ`)=xÜ`f(x+1)-2xÝ`+2xÛ` y ㉠ ㄱ. ㉠의 양변에 x=0을 대입하면 f(0)=0 x=-1을 대입하면 f(1)=-f(0)-2+2=0 x=1을 대입하면 f(1)=f(2)-2+2=f(2) 2 f(x)=(x-1)QÁ(x)+(x-1)Û`Qª(x)+RÁ+Rª(x) ∴ f(2)=f(1)=0 (참) 여기서 RÁ+Rª(x)=0이므로 ㄴ. f(x)의 차수를 n이라 하면 f(x)= (x-1)QÁ(x)+ (x-1)Û`Qª(x) y ㉠ ;2!; ;2!; 한편, f(x)를 (x-1)Ü`으로 나눈 나머지가 axÛ`+bx+c이므로 몫 =(x-1)Ü`Q(x)+a(x-1)Û`+p(x-1)+q ( p, q는 상수) ㄷ. ㄱ에서 f(0)=f(1)=f(2)=0이고 ㄴ에서 f(x)는 삼차다항 라 하면 RÁ=q, Rª(x)=p(x-1)+q 식이므로 인수정리에 의하여 주어진 식의 좌변 f(xÛ`)의 차수는 2n이고 우변의 차수는 n+3 또는 4이다. Ú 2n=4, 즉 n=2일 때, ㉠의 좌변 f(xÛ`)은 사차다항식이고 우변 xÜ`f(x+1)은 오차다항식이므로 성립하지 않는다. Û 2n=n+3, 즉 n=3일 때, ㉠의 좌변 f(xÛ`)은 육차다항식이고 우변 xÜ`f(x+1)도 육차다항식이므로 성립한다. 따라서 f(x)는 삼차다항식이다. (참) f(x)=ax(x-1)(x-2) ( a+0인 상수) y ㉡ 또, ㉠에 x=2를 대입하면 f(4)=8f(3)-24이므로 ㉡에 x=4, x=3을 대입하여 정리하면 24a=48a-24 ∴ a=1 ∴ f(x)=x(x-1)(x-2) 따라서 (x-3)f(x)=(x-3)x(x-1)(x-2)이고 x f(x-1)=x(x-1)(x-2)(x-3)이므로 61 답 15 (x-2)f(x+1)=(x+4)f(x-1)의 양변에 (x-3)f(x)=x f(x-1) (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 을 Q(x)라 하면 f(x)=(x-1)Ü`Q(x)+axÛ`+bx+c y ㉡ ㉠, ㉡에 x=1을 대입하면 a+b+c=0 [다른 풀이] f(x) =(x-1)Ü`Q(x)+axÛ`+bx+c 두 식을 변끼리 더하여 정리하면 RÁ+Rª(x)=px-p+2q=0` ∴ p=q=0 따라서 axÛ`+bx+c=a(x-1)Û` 이므로 이 식의 양변에 x=1을 대입하면 a+b+c=0 x=2를 대입하면 0=6 f(1) ∴ f(1)=0 x=-4를 대입하면 -6 f(-3)=0 ∴ f(-3)=0 x=0을 대입하면 -2 f(1)=4 f(-1)=0 ∴ f(-1)=0 즉, 인수정리에 의하여 f(x)는 x-1, x+3, x+1의 인수를 갖는다. 이때, f(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차다항식이므로 f(x)=(x-1)(x+1)(x+3) ∴ f(2)=1_3_5=15 22 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 01-03강_ok.indd 22 2017-09-20 오후 4:13:01 03 인수분해 문제편 31P 06 답 ③ xÜ`+1=(x+1)(xÛ`-x+1)이고, 01 답 ③ aÜ`+bÜ` aÜ`-bÜ` = (a+b)(aÛ`-ab+bÛ`) (a-b)(aÛ`+ab+bÛ`) = a+b a-b 에서 =1 aÛ`-ab+bÛ` aÛ`+ab+bÛ` aÛ`-ab+bÛ`=aÛ`+ab+bÛ`, -2ab=0 ∴ ab=0 02 답 ⑤ (xÛ`-2x)Û`-2xÛ`+4x-3=(xÛ`-2x)Û`-2(xÛ`-2x)-3 이때, xÛ`-2x=A라 하면 AÛ`-2A-3 =(A+1)(A-3) =(xÛ`-2x+1)(xÛ`-2x-3) =(x-1)Û`(x+1)(x-3) 따라서 a=-1, b=1, c=-3 또는 a=-1, b=-3, c=1 이므로 aÛ`+bÛ`+cÛ`=(-1)Û`+1Û`+(-3)Û`=11 03 답 ③ xÝ`-3xÛ`+9 =(xÝ`+6xÛ`+9)-9xÛ` =(xÛ`+3)Û`-(3x)Û` =(xÛ`+3x+3)(xÛ`-3x+3) 따라서 ab=9, cd=-9 또는 ab=-9, cd=9이므로 ab+cd=9-9=0 04 답 ④ 주어진 식을 b에 대하여 내림차순으로 정리하면 aÝ`+aÛ`bÛ`-bÛ`cÛ`-cÝ` =(aÛ`-cÛ`)bÛ`+(aÝ`-cÝ`) =(aÛ`-cÛ`)bÛ`+(aÛ`+cÛ`)(aÛ`-cÛ`) =(aÛ`-cÛ`)(aÛ`+bÛ`+cÛ`) =(a+c)(a-c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`) 따라서 aÝ`+aÛ`bÛ`-bÛ`cÛ`-cÝ`의 인수인 것은 ㄴ, ㄷ이다. 05 답 ③ f(x)=xÜ`-7x-6이라 하면 f(-1)=0, f(-2)=0이므로 조립제법에 의하여 f(x) =xÜ`-7x-6 =(x+1)(x+2)(x-3) 따라서 세 일차식의 합 g(x)는 -1 1 0 -7 -6 6 1 -1 -2 1 -1 -6 6 -2 1 -3 0 0 I 03 인수 분해 이고, a, b는 서로 다른 양수이므로 xÝ`+xÛ`+1=(xÛ`+x+1)(xÛ`-x+1)이므로 공통인수 g(x)는 g(x)=xÛ`-x+1 ∴ g(2)=4-2+1=3 07 답 ② 주어진 식의 좌변을 정리하면 (a+b)Ü`+bÜ` aÜ`-bÜ` = (a+2b){(a+b)Û`-(a+b)b+bÛ`} (a-b)(aÛ`+ab+bÛ`) = (a+2b)(aÛ`+ab+bÛ`) (a-b)(aÛ`+ab+bÛ`) = a+2b a-b 따라서 a+2b a-b = a+2b b a-b=b ∴ a=2b ∴ =2 ;bA; 08 답 6 xÜ`+2xÛ`+4xy+8yÛ`-8yÜ` =(xÜ`-8yÜ`)+2xÛ`+4xy+8yÛ =(x-2y)(xÛ`+2xy+4yÛ`)+2(xÛ`+2xy+4yÛ`) =(x-2y+2)(xÛ`+2xy+4yÛ`) 따라서 a=-2, b=2, c=2, d=4이므로 a+b+c+d=(-2)+2+2+4=6 09 답 297 99=x라 하면 100=x+1이므로 99Ý`+99Û`+1 99Û`+99+1 = xÝ`+xÛ`+1 xÛ`+x+1 = (xÛ`+x+1)(xÛ`-x+1) xÛ`+x+1 =xÛ`-x+1 =(x+1)Û`-3x =100Û`-3_99 ∴ k=3_99=297 10 답 ② (x+y)Ü`+3(x+y)(xÛ`-yÛ`)+3(x-y)(xÛ`-yÛ`)+(x-y)Ü` =(x+y)Ü`+3(x+y)(x+y)(x-y) +3(x-y)(x+y)(x-y)+(x-y)Ü` =(x+y)Ü`+3(x+y)Û`(x-y)+3(x+y)(x-y)Û`+(x-y)Ü` 이때, x+y=A, x-y=B라 하면 g(x)=(x+1)+(x+2)+(x-3)=3x이므로 AÜ`+3AÛ`B+3ABÛ`+BÜ`=(A+B)Ü`=(x+y+x-y)Ü`=8xÜ` g(3)=3_3=9 따라서 주어진 다항식의 인수인 것은 xÛ` 이므로 ㄷ이다. 정답 및 해설 23 [해] 01-03강_ok.indd 23 2017-09-20 오후 4:13:02 \ 11 답 64 (x-1)(x-3)(x+5)(x+7)+k =(x-1)(x+5)(x-3)(x+7)+k 이때, xÛ`+4x-5=A라 하면 ㉠에서 A(A-16)+k=AÛ`-16A+k 14 답 ③ (xÛ`-yÛ`)Û`-2(xÛ`+yÛ`)+1 =(xÛ`-yÛ`)Û`-2(xÛ`-yÛ`)+1-4yÛ` =(xÛ`-yÛ`+2y-1)(xÛ`-yÛ`-2y-1) ={xÛ`-(y-1)Û`}{xÛ`-(y+1)Û`} =(xÛ`+4x-5)(xÛ`+4x-21)+k y ㉠ =(xÛ`-yÛ`-1)Û`-(2y)Û` 따라서 AÛ`-16A+k가 완전제곱식이 되면 주어진 식도 완전제곱식 =(x+y-1)(x-y+1)(x+y+1)(x-y-1) 이 되므로 k=8Û`=64 따라서 네 일차식을 모두 더하면 (x+y-1)+(x-y+1)+(x+y+1)+(x-y-1)=4x (xÛ`-x-1)(xÛ`-x-5)-5=(t+m)(t-m)-5에서 12 답 8 (나)에 알맞은 자연수가 m이므로 xÛ`-x-1=t+m y ㉠ xÛ`-x-5=t-m y ㉡ ㉠+㉡을 하면 2xÛ`-2x-6=2t ∴ t= xÛ`-x-3 (가) =f(x) (xÛ`-x-1)(xÛ`-x-5)-5 =(t+ 2 )(t- 2 )-5 (나) =tÛ`-9 =(t+3)(t-3) =(xÛ`-x)(xÛ`-x-6) =x(x-1)(x+2)(x- 3 이므로 n=3 ) (다) 이것을 ㉠에 대입하면 자연수 m의 값은 m=2 ∴ f(3)+m+n=(3Û`-3-3)+2+3=8 [다른 풀이] (나)에서부터 위쪽 과정으로 생각하면 (t+3)(t-3)=(t+m)(t-m)-5에서 tÛ`-9=tÛ`-mÛ`-5 (나) 즉, mÛ`+5=9이므로 자연수 m의 값은 m= 2 이다. (t+2)(t-2)-5=(xÛ`-x-1)(xÛ`-x-5)-5에서 t+2=xÛ`-x-1이므로 t= xÛ`-x-3 (이하 동일) =f(x) (가) 13 답 ② xÝ`+4를 두 이차식의 곱으로 인수분해하면 xÝ`+4 =(xÝ`+4xÛ`+4)-4xÛ` =(xÛ`+2)Û`-(2x)Û` =(xÛ`+2x+2)(xÛ`-2x+2) [다른 풀이 ①] (xÛ`-yÛ`)Û`-2(xÛ`+yÛ`)+1 =(xÛ`+yÛ`)Û`-2(xÛ`+yÛ`)+1-4xÛ`yÛ` =(xÛ`+yÛ`-1)Û`-4xÛ`yÛ` =(xÛ`+yÛ`+2xy-1)(xÛ`+yÛ`-2xy-1) ={(x+y)Û`-1}{(x-y)Û`-1} =(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1) 따라서 네 일차식을 모두 더하면 (x+y+1)+(x+y-1)+(x-y+1)+(x-y-1)=4x [다른 풀이 ②] (xÛ`-yÛ`)Û`-2(xÛ`+yÛ`)+1 =(x+y)Û`(x-y)Û`-2(xÛ`+yÛ`)+1` (x+y)Û` (x-y)Û` -1 -1 -2(xÛ`+yÛ`) ={(x+y)Û`-1}{(x-y)Û`-1} =(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1) 따라서 네 일차식을 모두 더하면 (x+y+1)+(x+y-1)+(x-y+1)+(x-y-1)=4x 15 답 ① aÛ`+bÛ`-3cÛ`+2ab+2bc+2ca =(aÛ`+bÛ`+cÛ`+2ab+2bc+2ca)-4cÛ` =(a+b+c)Û`-(2c)Û` =(a+b+c+2c)(a+b+c-2c) =(a+b+3c)(a+b-c) ∴ A+B=(a+b+3c)+(a+b-c)=2(a+b+c) 16 답 ① 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 2xÛ`-(y+4)x-(yÛ`-y-2) 따라서 f(x)=xÛ`+2x+2, g(x)=xÛ`-2x+2 또는 =2xÛ`-(y+4)x-(y-2)(y+1) f(x)=xÛ`-2x+2, g(x)=xÛ`+2x+2 ∴ f(1)+g(1) =(1+2+2)+(1-2+2) =(2x+y-2)(x-y-1) 따라서 a=1, b=-2, c=-1, d=-1이므로 =6 a+b+c+d=1-2-1-1=-3 24 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 01-03강_ok.indd 24 2017-09-20 오후 4:13:03 17 답 ⑤ 차수가 가장 낮은 c에 대하여 내림차순으로 정리한 후 인수분해하면 xÜ`+axÛ`+(2a+1)x+10 =(x+2){xÛ`+(a-2)x+5} 한편, xÛ`+(a-2)x+5=(x+p)(x+q) (p, q는 자연수)라 하면 xÛ`+(a-2)x+5=xÛ`+(p+q)x+pq에서 p+q=a-2 y ㉠, pq=5 이때, p, q가 자연수이므로 p=1, q=5 또는 p=5, q=1 따라서 p+q=6이므로 ㉠에서 a=8이다. I 03 인수 분해 (a-b)Ü`+(b-c)Ü`=(a-c)Ü`-3(a-b)(b-c)(a-c)이므로 f(a)=(a+1)(a+2)(aÛ`+a+1) (분자) =(a-b)Ü`+(b-c)Ü`+(c-a)Ü` 또, 분모를 g(a)=aÜ`+3aÛ`+3a+2라 하면 =(a-c)Ü`-3(a-b)(b-c)(a-c)+(c-a)Ü` g(-2)=0이므로 조립제법에 의하여 aÜ`+aÛ`b-acÛ`+abÛ`+bÜ`-bcÛ`=0에서 (-a-b)cÛ`+(aÜ`+aÛ`b+abÛ`+bÜ`)=0 -(a+b)cÛ`+(a+b)aÛ`+(a+b)bÛ`=0 (a+b)(-cÛ`+aÛ`+bÛ`)=0 ∴ cÛ`=aÛ`+bÛ` (∵ a+b>0 )` 따라서 이 삼각형은 빗변의 길이가 c인 직각삼각형이다. 18 답 3 (분모) =abÛ`-acÛ`+bcÛ`-aÛ`b+aÛ`c-bÛ`c =(-b+c)aÛ`+(bÛ`-cÛ`)a+(bcÛ`-bÛ`c) =-(b-c)aÛ`+(b-c)(b+c)a-bc(b-c) =-(b-c){aÛ`-(b+c)a+bc} =-(b-c)(a-b)(a-c)=(a-b)(b-c)(c-a) 한편, AÜ`+BÜ`=(A+B)Ü`-3AB(A+B)를 이용하면 =-(c-a)Ü`+3(a-b)(b-c)(c-a)+(c-a)Ü` =3(a-b)(b-c)(c-a) ∴ (주어진 식)= 3(a-b)(b-c)(c-a) (a-b)(b-c)(c-a) =3 [다른 풀이] a-b=A`, b-c=B, c-a=C라 하면 A+B+C=0, A+B=-C이므로 AÜ`+BÜ`+CÜ` =(A+B)Ü`-3AB(A+B)+CÜ` =(-C)Ü`-3AB(-C)+CÜ`=3ABC 따라서 분자는 (이하 동일) (a-b)Ü`+(b-c)Ü`+(c-a)Ü`=3(a-b)(b-c)(c-a) 21 답 ⑤ 분자를 f(a)=aÝ`+4aÜ`+6aÛ`+5a+2라 하면 f(-1)=0, f(-2)=0이므로 조립제법에 의하여 -1 -2 1 1 1 4 6 2 -1 -3 -3 -2 5 0 3 3 2 -2 -2 -2 1 1 0 -2 1 1 3 2 3 -2 -2 -2 1 1 0 g(a)=(a+2)(aÛ`+a+1) 즉, (주어진 식)= (a+1)(a+2)(aÛ`+a+1) (a+2)(aÛ`+a+1) =a+1=101 ∴ a=100 22 답 ① f(x)=xÝ`-7xÛ`+9, g(x)=xÝ`+2xÜ`+xÛ`-9라 하면 f(x), g(x) 모두 xÛ`+ax+b를 인수로 가지므로 g(x)-f(x)도 xÛ`+ax+b를 인수로 갖는다. 즉, g(x)-f(x) =2xÜ`+8xÛ`-18 =2(xÜ`+4xÛ`-9) =2(x+3)(xÛ`+x-3) 19 답 ⑤ f(x)=xÜ`+7xÛ`+16x+12라 -2 하면 f(-2)=0이므로 조립제법에 의하여 1 1 7 16 12 -2 -10 -12 5 6 0 이때, f(x), g(x) 모두 x+3을 인수로 갖지 않으므로 공통인수는 xÛ`+x-3이다. 따라서 a=1, b=-3이므로 aÛ`+bÛ`=1Û`+(-3)Û`=10 f(x) =xÜ`+7xÛ`+16x+12=(x+2)(xÛ`+5x+6) =(x+2)(x+2)(x+3)=(x+2)Û`(x+3) 따라서 a=3, b=2이므로 a+b=5 20 답 ② xÜ`+axÛ`+(2a+1)x+10을 -2 조립제법을 이용하여 인수분 해하면 1 a 10 2a+1 -2 -2a+4 -10 1 a-2 5 0 [다른 풀이] xÝ`-7xÛ`+9 =(xÝ`-6xÛ`+9)-xÛ`=(xÛ`-3)Û`-xÛ` =(xÛ`+x-3)(xÛ`-x-3) xÝ`+2xÜ`+xÛ`-9 =xÛ`(xÛ`+2x+1)-9 =xÛ`(x+1)Û`-9=(xÛ`+x)Û`-3Û` =(xÛ`+x+3)(xÛ`+x-3)` 따라서 두 다항식의 공통인수는 xÛ`+x-3이므로 a=1, b=-3 ∴ aÛ`+bÛ`=1Û`+(-3)Û`=10 정답 및 해설 25 [해] 01-03강_ok.indd 25 2017-09-20 오후 4:13:05 23 답 100 xÜ`+2xÛ`+2x+1 =(xÜ`+3xÛ`+3x+1)-(xÛ`+x) xÜ`+4xÛ`+4x+1 =(xÜ`+3xÛ`+3x+1)+(xÛ`+x) =(x+1)Ü`-x(x+1) =(x+1){(x+1)Û`-x} =(x+1)(xÛ`+x+1) =(x+1)Ü`+x(x+1) =(x+1){(x+1)Û`+x} =(x+1)(xÛ`+3x+1) 따라서 두 다항식의 공통인수 G(x)는 G(x)=x+1이므로 G(99)=100 27 답 7 aÜ`+bÜ`=(a+b)Ü`-3ab(a+b)에서 14=2Ü`-3ab_2 ∴ ab=-1 ∴ (aÛ`-a+1)(bÛ`-b+1)= (aÜ`+1)(bÜ`+1) (a+1)(b+1) = (ab)Ü`+(aÜ`+bÜ`)+1 ab+(a+b)+1 = (-1)Ü`+14+1 (-1)+2+1 =7 28 답 ⑤ (a+b)(a+1)(b+1)+ab=(a+b)(ab+a+b+1)+ab -1 1 -5 -1 2 8 6 -8 2 1 -6 0 8 2 -8 1 -4 0 이때, a+b=t라 하면 t(ab+1+t)+ab =tÛ`+(ab+1)t+ab =(t+1)(t+ab) =(a+b+1)(ab+a+b) 따라서 두 다항식 A, B의 합은 (a+b+1)+(ab+a+b)=ab+2a+2b+1 24 답 ④ g(x)=xÜ`-5xÛ`+2x+8에서 g(-1)=0, g(2)=0이므로 조립제법에 의하여 g(x)=(x+1)(x-2)(x-4) Ú x+1이 공통인수이면 f(-1)=2-n=0 ∴ n=2 Û x-2가 공통인수이면 f(2)=2-n=0 ∴ n=2 Ü x-4가 공통인수이면 f(4)=12-n=0 ∴ n=12 29 답 46 (xÛ`-4x+3)(xÛ`+12x+35)+15 =(x-1)(x-3)(x+5)(x+7)+15 =(x-1)(x+5)(x-3)(x+7)+15 =(xÛ`+4x- 5 )(xÛ`+4x- 21 (가) )+15 (나) 이때, xÛ`+4x=t라 하면 (t- 5 )(t- 21 )+15 =tÛ`-26t+120 =(t-6)(t-20) =(xÛ`+4x-6)(xÛ`+4x- 20 ) (다) 따라서 a, b, c의 값은 각각 5, 21, 20 또는 21, 5, 20이므로 따라서 공통인수를 가지도록 하는 서로 다른 상수 n의 값의 합은 2+12=14 25 답 99 1- 1- 1 2Û` }{ { 1 3Û` }{ 1- y 1 4Û` } Û` ][ { 1- 1 nÛ` } Û` {;4!;} y ] = 1- Û` 1- {;2!;} ][ {;3!;} 1- 1- [ {;n!;} ] Û` [ { = 1- ;2!;}{ 1+ ;2!;}{ 1- ;3!;}{ 1+ ;3!;}{ 1- 1+ ;4!;}{ ;4!;} _y a+b+c=5+21+20=46 _ 1- { ;n!;}{ 1+ ;n!;} = _ _ _ _ _ ;4#; ;4%; ;3$; ;3@; ;2#; ;2!; _y_ n-1 n _ n+1 n = _ ;2!; n+1 n = n+1 2n 따라서 = 이므로 n=99 n+1 2n 50 99 26 답 ⑤ N =3_33Ü`+3Û`_33Û`+3Û`_33+3 =3(33Ü`+3_33Û`+3_33+1) =3(33+1)Ü`=3_34Ü`=3_2Ü`_17Ü` 26 일등급 수학•고등 수학 (상) 30 답 ② (x-2)(x-3)(x-4)(x-6)-6xÛ` =(x-2)(x-6)(x-3)(x-4)-6xÛ` =(xÛ`-8x+12)(xÛ`-7x+12)-6xÛ` 이때, xÛ`+12=t라 하면 (t-8x)(t-7x)-6xÛ` =tÛ`-15xt+50xÛ` =(t-5x)(t-10x) =(xÛ`-5x+12)(xÛ`-10x+12) 따라서 a=12, b=10, c=12이므로 따라서 N의 양의 약수의 개수는 (1+1)_(3+1)_(3+1)=32 a+b+c=12+10+12=34 [해] 01-03강_ok.indd 26 2017-09-20 오후 4:13:06 31 답 191 연속한 네 홀수를 각각 n, n+2, n+4, n+6 ( n은 홀수)이라 하면 n(n+2)(n+4)(n+6)+16 =n(n+6)(n+2)(n+4)+16 ∴ f(x)=(x+p)(x+q)=xÛ`+(p+q)x+pq ㉠에서 p+q=2, pq=-1이므로 f(x)=xÛ`+2x-1 ∴ f(10)=10Û`+20-1=119 =(nÛ`+6n)(nÛ`+6n+8)+16 [다른 풀이] 이때, nÛ`+6n=t라 하면 xÝ`의 계수가 1이므로 f(x)=xÛ`+px+q ( p, q는 상수)라 하면 t(t+8)+16 =tÛ`+8t+16=(t+4)Û`=(nÛ`+6n+4)Û` xÝ`+axÛ`+b=(xÛ`-2x-1)(xÛ`+px+q) I 03 인수 분해 따라서 n=11일 때, ∴ N=191 11_13_15_17+16=(11Û`+6_11+4)Û`=191Û` 32 답 ⑤ f(x)=xÛ`-3x+2=(x-2)(x-1)이므로 f( f(x)) ={ f(x)-2}{ f(x)-1}=(xÛ`-3x)(xÛ`-3x+1) =x(x-3)(xÛ`-3x+1) 따라서 f( f(x))의 인수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 33 답 ④ nÝ`-11nÛ`+49 =(nÝ`+14nÛ`+49)-25nÛ` =(nÛ`+7)Û`-(5n)Û` =(nÛ`-5n+7)(nÛ`+5n+7) 이때, nÛ`-5n+7, nÛ`+5n+7은 모두 자연수이고 nÛ`-5n+7<nÛ`+5n+7이므로 nÝ`-11nÛ`+49가 소수가 되려면 nÛ`-5n+7=1이어야 한다. 즉, nÛ`-5n+6=0이므로 (n-2)(n-3)=0 ∴ n=2 또는 n=3 n=2이면 nÝ`-11nÛ`+49=21이 되어 소수가 아니다. n=3이면 nÝ`-11nÛ`+49=31이 되어 소수이다. 따라서 a=3, p=31이므로 a+p=3+31=34 34 답 4 aÝ`+bÝ`+cÝ`+2aÛ`bÛ`-2bÛ`cÛ`+2cÛ`aÛ` =(aÛ`+bÛ`+cÛ`)Û`-(2bc)Û` =(aÛ`+bÛ`+cÛ`+2bc)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-2bc) 따라서 M=bÛ`+cÛ`+2bc, N=bÛ`+cÛ`-2bc 또는 M=bÛ`+cÛ`-2bc, N=bÛ`+cÛ`+2bc 이므로 M, N의 모든 계수의 합은 4이다. 35 답 119 g(x)=xÝ`+axÛ`+b라 하면 g(x)는 짝수차수인 항만으로 이루어져 있으므로 g(x)가 x-a를 인수로 가지면 x+a도 인수로 갖는다. g(x)=xÝ`+axÛ`+b=(xÛ`-2x-1)f(x)에서 xÛ`-2x-1=(x-p)(x-q) (p, q는 상수) y ㉠ 라 하면 g(x)가 x-p, x-q의 인수를 가지므로 x+p, x+q도 인수로 갖는다. =xÛ`+(3y-1)x+2yÛ`-3y-2 =xÛ`+(3y-1)x+(2y+1)(y-2) xÜ`의 계수를 비교하면 0=p-2 ∴ p=2 x의 계수를 비교하면 0=-2q-p -2q-2=0 ∴ q=-1 따라서 f(x)=xÛ`+2x-1이므로 f(10)=10Û`+20-1=119 36 답 ④ x에 대한 내림차순으로 정리하면 xÛ`+3xy+2yÛ`-x-3y-2 =(x+2y+1)(x+y-2) 따라서 두 인수의 합은 a=2, b=3, c=-1 ∴ a+b+c=2+3-1=4 (x+2y+1)+(x+y-2)=2x+3y-1이므로 37 답 ② aÛ`(b+c)+bÛ`(a-c)-cÛ`(a+b)=0에서 (b+c)aÛ`+(bÛ`-cÛ`)a-bÛ`c-bcÛ`=0 (b+c)aÛ`+(b+c)(b-c)a-bc(b+c)=0 (b+c){aÛ`+(b-c)a-bc}=0 (b+c)(a+b)(a-c)=0 ∴ a-c=0 (∵ b+c>0, a+b>0 ) 38 답 10 조건 (가)에서 (a+c)Û`-(a-c)Û`=4ac=80 ∴ ac=20 조건 (나)의 좌변을 인수분해하면 aÜ`+aÛ`b-abÛ`+acÛ`+bcÛ`-bÜ` =aÛ`(a+b)-bÛ`(a+b)+cÛ`(a+b) =(a+b)(aÛ`-bÛ`+cÛ`)=0 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로 a+b+0이고 aÛ`-bÛ`+cÛ`=0 ∴ aÛ`+cÛ`=bÛ` 따라서 삼각형 ABC는 빗변의 길이가 b인 직각삼각형이므로 삼각형 ABC의 넓이는 ac= _20=10 ;2!; ;2!; 정답 및 해설 27 =(aÝ`+bÝ`+cÝ`+2aÛ`bÛ`+2bÛ`cÛ`+2cÛ`aÛ`)-4bÛ`cÛ` 따라서 이 삼각형은 a=c인 이등변삼각형이다. [해] 01-03강_ok.indd 27 2017-09-20 오후 4:13:08 이 식이 x, y에 대한 일차식으로 인수분해되기 위한 x의 계수는 39 답 4 주어진 식을 x에 대한 내림차순으로 정리하면 xÛ`+xy-2yÛ`+ax-y+3 =xÛ`+(y+a)x-(2yÛ`+y-3) =xÛ`+(y+a)x-(2y+3)(y-1) x x 2y+3 -(y-1) y+4 따라서 y+a=y+4이므로 a=4 40 답 10 f(x)=xÜ`-xÛ`y-5xyÛ`-3yÜ`이라 하면 f(-y)=-yÜ`-yÜ`+5yÜ`-3yÜ`=0이므로 f(x)는 x+y를 인수로 갖는다. 조립제법에 의하여 -y xÜ`-xÛ`y-5xyÛ`-3yÜ` =(x+y)(xÛ`-2xy-3yÛ`) =(x+y)(x+y)(x-3y) =(x+y)Û`(x-3y) 따라서 a=1, b=-3이므로 aÛ`+bÛ`=1Û`+(-3)Û`=10 41 답 244 t=16이라 하면 3859 =16Ü`-16Û`+16+3 =tÜ`-tÛ`+t+3 =(t+1)(tÛ`-2t+3) =(16+1)(16Û`-2_16+3)=17_227 ∴ a+b=17+227=244 1 -y -5yÛ` -3yÜ` 3yÜ` -y 2yÛ` 1 -2y -3yÛ` 0 -1 1 -1 -1 1 -2 1 3 2 -3 3 0 따라서 모든 모서리의 길이의 합 l(n)은 l(n)=4{(n+2)+(n+2)+(n+3)}=4(3n+7) ∴ l(6)=4_(18+7)=100 43 답 ④ xÛ`+x-2=(x-1)(x+2)에서 Ú x-1이 공통인수일 때, ∴ a=3 또는 a=-5 Û x+2가 공통인수일 때, 다항식 xÜ`+aÛ`xÛ`+2ax-16이 x-1을 인수로 가지므로 인수정 리에 의하여 aÛ`+2a-15=0, (a-3)(a+5)=0 다항식 xÜ`+aÛ`xÛ`+2ax-16이 x+2를 인수로 가지므로 인수정 리에 의하여 4aÛ`-4a-24=0, 4(a-3)(a+2)=0 ∴ a=3 또는 a=-2 Ú, Û에서 a=3 또는 a=-5 또는 a=-2 이때, a=3이면 다항식 xÜ`+aÛ`xÛ`+2ax-16이 x-1, x+2를 모 두 인수로 가지므로 이차식 (x-1)(x+2)가 공통인수가 되어 성 따라서 a=-5 또는 a=-2이므로 모든 상수 a의 값의 합은 립하지 않는다. (-5)+(-2)=-7 44 답 111 f(x), g(x) 모두 G(x)를 인수로 가지므로 두 다항식 A, B에 대 하여 f(x)=AG(x), g(x)=BG(x)라 하자, 이때, xf(x)-g(x)=(Ax-B)G(x)이므로 다항식 xf(x)-g(x)도 G(x)를 인수로 갖는다. xf(x)-g(x)=xÜ`-1=(x-1)(xÛ`+x+1) 그런데 f(x), g(x) 모두 x-1을 인수로 갖지 않으므로 G(x)=xÛ`+x+1이다. ∴ G(10)=10Û`+10+1=111 [다른 풀이] 다항식 f(x)는 조립제법에 의하여 42 답 100 밑면인 정사각형의 한 변의 길이를 n+a, 높이를 n+b라 하면 -1 1 1 2 2 1 -1 -1 -1 1 1 0 부피는 (n+a)Û`(n+b)이다. 한편, f(n)=nÜ`+7nÛ`+16n+12 ∴ f(x)=(x+1)(xÛ`+x+1) 이라 하면 f(-2)=(-8)+28-32+12=0이므로 f(n)은 g(x) =xÝ`+xÜ`+2xÛ`+x+1 n+2를 인수로 갖는다. 조립제법에 의하여 -2 1 1 7 16 12 -2 -10 -12 5 6 0 =xÝ`+xÜ`+(xÛ`+xÛ`)+x+1 =(xÝ`+xÜ`+xÛ`)+(xÛ`+x+1) =xÛ`(xÛ`+x+1)+(xÛ`+x+1) =(xÛ`+1)(xÛ`+x+1) 따라서 두 다항식 f(x), g(x)의 공통인수 G(x)는 ∴ G(10)=10Û`+10+1=111 즉, 이 직육면체는 밑면이 한 변의 길이가 n+2인 정사각형이고 높 G(x)=xÛ`+x+1 f(n) =(n+2)(nÛ`+5n+6) =(n+2)(n+2)(n+3) =(n+2)Û`(n+3) 이가 n+3인 직육면체이다. 28 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 01-03강_ok.indd 28 2017-09-20 오후 4:13:09 한편, 두 식 b-c=5+ 2 , c-a=5- 2 를 더하면 b-a=(5+ " 2 )=10 ' ' 2 )+(5- ' 따라서 인수분해한 식에 각각의 값을 대입하면 10_(5+ 2 )_(5- 2 )=230 ' ' | 채점기준 | ⓐ 주어진 식을 인수분해한다. ⓑ b-a의 값을 구한다. ⓒ 주어진 식의 값을 구한다. I 03 인수 분해 ⓑ ⓒ [50%] [30%] [20%] ⓐ ⓑ ⓒ [40%] [40%] [20%] 45 답 3 일차식의 공통인수를 G(x)라 하면 f(x)=AG(x), g(x)=BG(x) ( A, B는 일차식) 로 나타낼 수 있다. 이때, 2 f(x)-g(x)=(2A-B)G(x)이므로 2 f(x)-g(x)도 G(x)를 인수로 갖는다. 2 f(x)-g(x) =(2a+8)x-(4+a) =(a+4)(2x-1) ∴ G(x)=2x-1 따라서 f(x)가 2x-1의 인수를 가지므로 인수정리에 의하여 f {;2!;} = + ;2!; ;2!; a-2=0 ∴ a=3 공통인수를 구할 때 조건을 주의 a=3이면 f(x)=2xÛ`+3x-2=(2x-1)(x+2), g(x)=4xÛ`-8x+3=(2x-1)(2x-3) 으로 f(x)와 g(x)는 일차식인 2x-1을 공통인수로 갖는다. 한편, a=-4이면 f(x)=2xÛ`-4x-2=2(xÛ`-2x-1), g(x)=4xÛ`-8x-4=4(xÛ`-2x-1) 이 되어 이차식의 공통인수를 갖는다. 46 답 6 xß`을 x-2로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 R라 하면 xß`=(x-2)Q(x)+R ( R는 상수) 양변에 x=2를 대입하면 R=2ß`이므로 (x-2)Q(x) =xß`-2ß`=(xÜ`-2Ü`)(xÜ`+2Ü`) =(x-2)(xÛ`+2x+4)(xÜ`+2Ü`) ∴ Q(x)=(xÛ`+2x+4)(xÜ`+2Ü`) 따라서 나머지정리에 의하여 Q(x)를 x-2로 나눈 나머지는 Q(2)=(4+4+4)(2Ü`+2Ü`)=3_2Û`_2_2Ü`=3_2ß` ∴ k=6 | 채점기준 | ⓐ xß`을 x-2로 나눈 식을 세운다. ⓑ 몫 Q(x)의 식을 구한다. ⓒ 나머지정리를 이용하여 k의 값을 구한다. ⓐ ⓑ ⓒ [ 1 0%] [50%] [40%] 47 답 230 주어진 식을 a에 대하여 내림차순으로 정리하면 (주어진 식) =(b-c)aÛ`-(bÛ`-cÛ`)a+(bÛ`c-bcÛ`) =(b-c)aÛ`-(b-c)(b+c)a+bc(b-c) =(b-c){aÛ`-(b+c)a+bc} =(b-c)(a-b)(a-c) =(b-a)(b-c)(c-a) 48 답 3 xÝ`+kxÛ`+1=(xÛ`+mx+1)(xÛ`+nx+1) ( m, n은 정수)로 인수분해되므로 일등급 xÝ`+kxÛ`+1 =(xÛ`+mx+1)(xÛ`+nx+1) =xÝ`+(m+n)xÜ`+(mn+2)xÛ`+(m+n)x+1 이 식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 계수를 비교하면 m+n=0, mn+2=k n=-m을 mn+2=k에 대입하면 k=2-mÛ` y ㉠ 이때, k는 자연수이므로 k=2-mÛ`¾1에서 mÛ`É1 ∴ m=0, Ñ1 이것을 ㉠에 각각 대입하면 k=2 또는 k=1 따라서 모든 자연수 k의 값의 합은 2+1=3 | 채점기준 | ⓐ 주어진 식을 두 이차식으로 인수분해하여 관계식을 세운다. ⓑ 관계식의 미지수의 값을 구한다. ⓒ 구한 미지수의 값에 따른 k의 값을 구하여 그 합을 구한다. 49 답 ① 218=n이라 하면 218Ü`+1=nÜ`+1=(n+1)(nÛ`-n+1) 217Ü`-1 =(n-1)Ü`-1={(n-1)-1}{(n-1)Û`+(n-1)+1} 218Ü`+1 =(n+1)Ü`+1={(n+1)+1}{(n+1)Û`-(n+1)+1} =(n-2)(nÛ`-n+1) ∴ 218Ü`+1 217Ü`-1 = (n+1)(nÛ`-n+1) (n-2)(nÛ`-n+1) = n+1 n-2 = 218+1 218-2 = 219 216 = 73 72 [다른 풀이] 217=n이라 하면 =(n+2)(nÛ`+n+1) 217Ü`-1=nÜ`-1=(n-1)(nÛ`+n+1) ∴ 218Ü`+1 217Ü`-1 = (n+2)(nÛ`+n+1) (n-1)(nÛ`+n+1) = n+2 n-1 219 216 = = 217+2 217-1 = 73 72 ⓐ 정답 및 해설 29 [해] 01-03강_ok.indd 29 2017-09-20 오후 4:13:10 50 답 ② 주어진 식을 b에 대하여 내림차순으로 정리하면 54 답 ③ 좌변을 a에 대하여 내림차순으로 정리한 후 인수분해하면 (aÛ`+2a+1)b+aÛ`+2a+1 =(a+1)Û`b+(a+1)Û` (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc 이때, 이 식의 값이 245=7Û`_5이므로 =(b+c)aÛ`+(bÛ`+2bc+cÛ`)a+bc(b+c) =(a+1)Û`(b+1) =(b+c)aÛ`+(bÛ`+3bc+cÛ`)a+bc(b+c)-abc (a+1)Û`(b+1)=7Û`_5 한편, a, b는 자연수이므로 a+1=7, b+1=5 따라서 a=6, b=4이므로 a+b=10 51 답 ③ 다항식 xÝ`-2xÜ`+2xÛ`-x-6 =(x+1)(x+a)(xÛ`+bx+c) 로 인수분해되므로 조립제법에 의하여 xÝ`-2xÜ`+2xÛ`-x-6 =(x+1)(x-2)(xÛ`-x+3) 따라서 a=-2, b=-1, c=3이므로 -1 1 -2 -1 2 -1 -6 6 3 -5 2 1 -3 0 2 -2 5 -6 6 3 0 1 -1 a¾2, b¾3, c¾4이므로 5Éa+b<a+c<b+c 따라서 210을 5 이상의 세 자연수의 곱으로 나타내어야 한다. =(b+c)aÛ`+(b+c)Û`a+bc(b+c) =(b+c){aÛ`+(b+c)a+bc} =(b+c)(a+b)(a+c) 즉, (b+c)(a+b)(a+c)=210 이때, 1<a<b<c에서 210을 소인수분해하면 210=2_3_5_7이므로 가능한 경우는 a+b=5, a+c=6, b+c=7이다. 세 식을 모두 더하면 2(a+b+c)=18 ∴ a+b+c=9 55 답 8 상수 p, q, r, s에 대하여 xÛ`+ax-yÛ`+by-3=(x+py+q)(x+ry+s)라 할 때, a+b+c=0 52 답 ② ∴ a=-7 조립제법에 의하여 직육면체의 부피는 가로, 세로의 길이와 높이의 곱이므로 부피를 f(x)=xÜ`+ax-6이라 하면 f(x)는 x+2를 인수로 갖는다. 이때, 인수정리에 의하여 f(-2)=0이므로 (-2)Ü`-2a-6=0 -2 1 0 -7 -6 6 4 -2 1 -2 -3 0 xy의 계수와 yÛ` 의 계수를 비교하면 0=p+r, pr=-1 두 식을 연립하여 풀면 f(x) =(xÜ`-7x-6)=(x+2)(xÛ`-2x-3) =(x+2)(x+1)(x-3) 따라서 모든 모서리의 길이의 합은 4{(x+2)+(x+1)+(x-3)}=12x p=1, r=-1 또는 p=-1, r=1 ∴ xÛ`+ax-yÛ`+by-3=(x+y+q)(x-y+s) 또한, x의 계수와 y의 계수를 비교하면 53 답 ⑤ AÜ`+BÜ`=(A+B)(AÛ`-AB+BÛ`)을 이용하여 x에 대한 항등식을 정리하면 { f(x)}Ü`+{ g(x)}Ü` =(2xÛ`-x-1)h(x) ={ f(x)+g(x)}[{ f(x)}Û`-f(x)g(x)+{ g(x)}Û`] a=s+q, b=s-q 두 식을 연립하여 풀면 s= a+b 2 , q= a-b 2 한편, 상수항을 비교하면 qs=-3이므로 a-b 2 _ a+b 2 =-3 ∴ (b+a)(b-a)=12 f(x)+g(x)=(xÛ`+x)+(xÛ`-2x-1)=2xÛ`-x-1이므로 다 짝수이거나 둘 다 홀수이다. h(x)={ f(x)}Û`-f(x)g(x)+{ g(x)}Û` y ㉠ 따라서 b-a<b+a이므로 이때, 나머지정리에 의하여 h(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지 b-a=2, b+a=6 는 h(1)이다. 따라서 f(1)=2, g(1)=-2이므로 ㉠에 의하여 h(1)=2Û`-2_(-2)+(-2)Û`=12 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=4 ∴ ab=8 30 일등급 수학•고등 수학 (상) 이때, a, b는 자연수이므로 b-a, b+a는 12의 양의 약수이면서 둘 [해] 01-03강_ok.indd 30 2017-09-20 오후 4:13:11 [다른 풀이] [다른 풀이] xÛ`+ax-yÛ`+by-3=xÛ`+ax-(yÛ`-by+3)에서 xÝ`-2xÜ`+3xÛ`-2x+1 yÛ`-by+3은 (y-1)(y-3) 또는 (y+1)(y+3)으로 인수분해 =(xÝ`-xÜ`+xÛ`)-(xÜ`-xÛ`+x)+(xÛ`-x+1) 되므로 b=4 또는 b=-4` 그런데 b는 자연수이므로 b=4 이때, xÛ`+ax-(yÛ`-4y+3)=xÛ`+ax-(y-1)(y-3)에서 =xÛ`(xÛ`-x+1)-x(xÛ`-x+1)+(xÛ`-x+1) =(xÛ`-x+1)Û` 3xÝ`+2xÜ`+xÛ`+2x+3=xÛ` 3xÛ`+2x+1+ + { I 03 인수 분해 (3x-1)Ü`-(2x+1)Ü`=(x-2)Ü`+3(3x-1)(2x+1)(x-2) ∴ (3x-1)Ü`-(2x+1)Ü`-(x-2)Ü 이 계수가 대칭인 사차다항식의 인수분해는 ① 중간의 몇 개의 항을 적당히 쪼개거나, =(x-2)Ü`+3(3x-1)(2x+1)(x-2)-(x-2)Ü` ② xÛ`으로 묶어낸 후 x+ 의 이차식으로 나타내어 인수분해한다. ;[!; Ú (주어진 식) ={x-(y-1)}{x+(y-3)} =xÛ`-2x-(y-1)(y-3)` ∴ a=-2 그런데 a는 자연수이므로 성립하지 않는다. Û (주어진 식) ={x+(y-1)}{x-(y-3)} =xÛ`+2x-(y-1)(y-3) ∴ a=2 ∴ ab=8 56 답 6 AÜ`-BÜ`=(A-B)Ü`+3AB(A-B)를 이용하면 =3(3x-1)(2x+1)(x-2) 따라서 a=-1, b=1, c=-2이므로 aÛ`+bÛ`+cÛ`=6 57 답 2 xÛ`-yz=1 y ㉠ yÛ`-zx=1 y ㉡ zÛ`-xy=1 y ㉢ ㉠-㉡을 하면 xÛ`-yÛ`-yz+zx=0이므로 (x-y)(x+y+z)=0 ∴ x+y+z=0 (∵ x+y ) ㉠+㉡+㉢을 하면 xÛ`+yÛ`+zÛ`-(xy+yz+zx)=3이므로 (x+y+z)Û`-3(xy+yz+zx)=3 ∴ xy+yz+zx=-1 2 x { +1 ] -5 ] 3 xÛ` } 1 x } 1 x } 1 x } 1 x =xÛ` 3 xÛ`+ { [ +2 x+ =xÛ` 3 x+ { [ +2 x+ { 1 xÛ` } 1 Û` x } =xÛ` 3 x+ { [ 1 x } +5 x+ ][{ -1 ] =x { 3x+ +5 _x { } x+ -1 } 3 x =(3xÛ`+5x+3)(xÛ`-x+1) 따라서 두 다항식의 공통인수는 xÛ`-x+1이다. 좌우대칭인 사차다항식의 인수분해 일등급 주어진 두 사차다항식은 모두 계수가 좌우대칭인 꼴의 식이다. 이와 같 59 답 17 f(x)=xÜ`+5xÛ`+ax, g(x)=xÜ`+6xÛ`+bx+6이라 하면 f(x)=x(xÛ`+5x+a)에서 f(x)는 일차식 x를 인수로 갖지만 g(x)는 x를 인수로 갖지 않으므로 x는 공통인수가 아니다. 즉, 공통인수는 xÛ`+5x+a이다. 이때, 상수 p에 대하여 g(x)=xÜ`+6xÛ`+bx+6=(xÛ`+5x+a)(x+p)라 하면 xÜ`+6xÛ`+bx+6=xÜ`+(p+5)xÛ`+(5p+a)x+ap 양변의 계수를 비교하면 6=p+5, b=5p+a, 6=ap 따라서 p=1, a=6, b=11이므로 a+b=6+11=17 ∴ xÛ`+yÛ`+zÛ`=(x+y+z)Û`-2(xy+yz+zx)=0+2=2 [다른 풀이] 58 답 ② f(x)=xÝ`-2xÜ`+3xÛ`-2x+1, g(x)=3xÝ`+2xÜ`+xÛ`+2x+3 두 다항식 f(x), g(x)의 공통인수를 G(x)라 하면 두 다항식 A, B에 대하여 f(x)=AG(x), g(x)=BG(x) 로 나타낼 수 있다. 이때, g(x)-f(x)=(B-A)G(x)이므로 이라 하고 f(x), g(x)의 공통인수를 G(x)라 하면 두 다항식 A, 다항식 g(x)-f(x)도 G(x)를 인수로 갖는다. B에 대하여 f(x)=AG(x), g(x)=BG(x)로 나타낼 수 있다. g(x)-f(x)=xÛ`+(b-a)x+6 이때, g(x)-3 f(x)=(B-3A)G(x)이므로 다항식 g(x)-3 f(x)도 G(x)를 인수로 갖는다. g(x)-3 f(x)=8xÜ`-8xÛ`+8x=8x(xÛ`-x+1) 그런데 G(x)는 이차식이므로 G(x)=xÛ`+(b-a)x+6 즉, f(x)=x(xÛ`+5x+a)에서 xÛ`+5x+a=xÛ`+(b-a)x+6 따라서 양변의 계수를 비교하면 그런데 f(x), g(x) 모두 x를 인수로 갖지 않으므로 공통인수는 5=b-a, a=6이므로 a=6, b=11 xÛ`-x+1이다. ∴ a+b=6+11=17 정답 및 해설 31 [해] 01-03강_ok.indd 31 2017-09-20 오후 4:13:13 Ⅱ 방정식과 부등식 ( ' 3 +i)10 =( 3 +i)á`( ' =-2á`i_( 3 +i) ' 3 +i) 04 복소수 문제편 45P 따라서 x=2á`, y=-2á` 3 이므로 복소수 z의 실수부분과 허수부분이 같으므로 zÛ`-2z+1=-4, zÛ`-2z+5=0 ∴ 2zÜ`-4zÛ`+6z+8 =2z(zÛ`-2z+5)-4z+8 ' 3 i ' ' =2á`-2á` 3 ' =- 3 ' y x = -2á` 2á` Û` y x } ∴ { =(- 3 )Û`=3 ' 06 답 ④ z=1+2i에서 z-1=2i 양변을 제곱하여 정리하면 =0-4(1+2i)+8 =4-8i (x-1)(y-2) 이므로 07 답 ② x-1 'Ä 'Ä "à x-1É0, y-2É0 y-2 =- x+1 y+1 =- 'Ä 'Ä y+1<0, x+1¾0 ®É x+1 y+1 ∴ -1ÉxÉ1, y<-1 이므로 ∴ |x-2|+( x )Û`-|y-3|+ " =|x-2|+x-|y-3|+|y| ' yÛ` =2-x+x-(3-y)-y=-1 08 답 ④ ㄱ. 【반례】 a=1, b=2이면 a+b, ab는 모두 실수이지만 b+aÕ이다. (거짓) ㄴ. aÕ+bÕ=a+bÓ=0Õ=0 (참) ㄷ. abÕ=1이면 abÕ Ó=aÕb=1 ∴ aÕ+ =bÕ+ (참) ;!; ;º!; 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. aÕ+ - bÕ+ ;!; { = + - ;!; ;º!; {;!; + ;º!;} ;º!;} =0 09 답 ① 1-i 1+i = (1-i)Û` (1+i)(1-i) = -2i 2 =-i이고 1+i 1-i = (1+i)Û` (1-i)(1+i) 2i 2 = =i이므로 f { 1-i 1+i } +f { 1+i 1-i } =f(-i)+f(i)= 1-i 1+i + 1+i 1-i =-i+i=0 01 답 ② a+2i 1-2i z= = (a+2i)(1+2i) (1-2i)(1+2i) = = (a-4)+(2+2a)i 5 2+2a 5 a-4 5 + i a-4 5 = 2+2a 5 ∴ a=-6 , a-4=2+2a 02 답 ④ (1+i)Û`=1+2i+i Û`=2i (1-i)Û`=1-2i+i Û`=-2i 1+i 1-i = (1+i)Û` (1-i)(1+i) = =i 2i 2 ∴ (1+i)Û`+(1-i)Û`+ =2i+(-2i)+i=i 1+i 1-i 03 답 9 (2+i)x+ y+i 1+2i =4-2i의 양변에 1+2i를 곱하면 (2+i)(1+2i)x+y+i=(4-2i)(1+2i) 5xi+y+i=8+6i y+(5x+1)i=8+6i 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 y=8, 5x+1=6 따라서 x=1 , y=8이므로 x+y=1+8=9 04 답 29 bi=(1-2i)i=2+i이므로 a+bi =(3+i)+(2+i)=5+2i aÕ-bÕi =aÕ+biÕ=a+biÓ=5-2i ∴ (a+bi)(aÕ-bÕi) =(5+2i)(5-2i) =25+4=29 05 답 3 3 +i)Û`=2+2 ' 3 +i)Ü`=(2+2 3 i ' 3 +i)á`=(8i)Ü`=-2á`i ' ( ( ( ' ' ' 3 i)( 3 +i)=8i 32 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 04강_ok.indd 32 2017-09-20 오후 4:15:28 10 답 ④ i+2i Û`+3i Ü`+4i Ý`+y+100i 100 =(i+2i Û`+3i Ü`+4i Ý`)+(5i Þ`+6i ß`+7i à`+8i ¡`)+ y+(97i 97+98i 98+99i 99+100i 100) =(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+ y+(97i-98-99i+100) =(2-2i)+(2-2i)+y+(2-2i) (\\\\\\ {\\\\\\\9 =25_(2-2i)=50-50i 25개 11 답 4 b+ai b-ai = (b+ai)i (b-ai)i = -a+bi a+bi =- a-bi a+bi 이므로 a+bi a-bi + b+ai b-ai = a+bi a-bi - a-bi a+bi = (a+bi)Û`-(a-bi)Û` (a-bi)(a+bi) = 4abi aÛ`+bÛ` =i 에서 aÛ`+bÛ`=4ab ∴ + = b a aÛ`+bÛ` ab =4 a b 12 답 ③ 주어진 등식의 양변에 (1+i)(1-i)를 곱하면 x(1-i)+y(1+i)=2(2-i) (x+y)+(-x+y)i=4-2i 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 x+y=4, -x+y=-2 두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=1 ∴ xy=3 13 답 1 zÛ`=(a+bi)Û`=(aÛ`-bÛ`)+2abi=i에서 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 aÛ`-bÛ`=0, 2ab=1 aÛ`-bÛ`=0에서 a=b 또는 a=-b Ú a=b이면 2ab=1에서 2aÛ`=1 ∴ aÛ`+bÛ`=2aÛ`=1 재하지 않는다. Ú, Û에 의하여 aÛ`+bÛ`=1 Û a=-b이면 2ab=1에서 -2aÛ`=1을 만족시키는 실수 a는 존 14 ` 답 ② a⊙b=ab+(a+b)i이므로 z=x+yi (x, y는 실수)라 하면 (1-i)⊙(x+yi) =(1-i)(x+yi)+(1-i+x+yi)i =x+y+(y-x)i+(1-y)+(x+1)i =(x+1)+(y+1)i=1-i 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 x+1=1, y+1=-1 따라서 x=0, y=-2이므로 z=-2i 15 답 ③ aÛ`-aÕ+3=0에서 aÛ`-aÕ=-3 aÛ`-aÕ Ó=-3Ó에서 aÛ`Õ-a=-3이므로 (aÕ)Û`-a=-3 ∴ (aÕ)Û`-a+9=-3+9=6 II 04 복소수 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 x+y=2, x-y=1 16 답 ③ z=x+yi ( x, y는 실수)이므로 z-ziÓ =x+yiÓ-(xÓ+yi)iÓ =x+yiÓ-(x+yi)Ó_iÕ =x-yi-(x-yi)_(-i) =x-yi+xi+y =x+y+(x-y)i=2+i 연립하여 풀면 x= , y= ;2#; ;2!; ∴ xÛ`+yÛ`= + = ;4!; ;4(; ;;Á4¼;; = ;2%; [다른 풀이] z-ziÓ=2+i에서 z-ziÓ Ó=2+iÓ z-zi=2-i ∴ z= 2-i 1-i = (2-i)(1+i) (1-i)(1+i) = 3+i 2 따라서 x= , y= 이므로 xÛ`+yÛ`= ;2#; ;2!; ;2%; 17 답 44 z=a+bi라 하면 (a+bi)Û`Ó=zÛ`Õ=(zÕ)Û`이므로 (zÕ)Û`=3+i 이때, (a-bi)Ý`=(zÕ)Ý`=(3+i)Û`=8+6i이므로 8+6i= c+di 3+i c+di=(8+6i)(3+i)=18+26i ∴ c+d=18+26=44 18 답 ⑤ i Ú`=i, i Û`=-1, i Ü`=-i, i Ý`=1, i Þ`=i, y이므로 i+i Û`+i Ü`+i Ý`=0 따라서 i n+i n+1+i n+2+i n+3=i n-1(i+i Û`+i Ü`+i Ý`)=0이다. ∴ f(1)+f(2)+f(3)+y+f(99) =i+i Û`+i Û`+i Ü`+i Ü`+i Ý`+y+i 99+i 100 =2(i+i Û`+i Ü`+y+i 100)-i-i100 =-i-(i Ý`)25=-1-i 정답 및 해설 33 [해] 04강_ok.indd 33 2017-09-20 오후 4:15:29 따라서 z50=(1-i)49(1+i)임을 알 수 있다. 19 답 ② zÁ=1+i zª=(1-i)zÁ=(1-i)(1+i) z£=(1-i)zª=(1-i)Û`(1+i) z¢=(1-i)z£=(1-i)Ü`(1+i) ⋮ (1-i)Û`=1-2i+i Û`=-2i이므로 z50 =(1-i)49(1+i) =(1-i)48(1-i)(1+i) ={(1-i)Û`}24_(1-i Û`) =(-2i)24_2 =224_2=225 20 답 25 (1+i)Û`=1+2i-1=2i에서 (1+i)2n=(2i)n=2ni n 즉, 2ni n=2ni이므로 i n=i ∴ n=4k+1 ( k는 음이 아닌 정수) 1ÉnÉ100에서 1É4k+1É100 0ÉkÉ =24.75 ;;»4»;; ∴ k=0, 1, 2, y, 24 21 답 ② xy<0에서 x와 y는 서로 다른 부호이고, x-y<0에서 x<y이므로 x<0, y>0 y =- ' x ① xy= '¶ x y ' ' = ' y |x| y xÛ` x y y = ' xÛ` " x = ' y ' xÛ`yÛ`=|xy|=-xy ② ®Â ③ ®Â ④ "à ⑤ ®Â y x y x =- ' ' -2=- (-2)(-2)=- 4 =-2 =- ®É =- -4=- 4i=-2i 'Ä ' ' 22 답 ⑤ -2 ① 'Ä 'Ä 8 -2 ② ' 'Ä ③ (- ④ ( 'Ä "à 8 -2 -3 )Û`=( -3 )Û`=-3 'Ä -5 )Ü` = 'Ä -5 -5 'Ä 'Ä 5i Ü`=-5 'Ä =5 ' 5i ' ⑤ -3 -9=- (-3)(-9)=- 27=-3 3 'Ä 'Ä "à '¶ ' 34 일등급 수학•고등 수학 (상) -5 = 5i 5i 5i ' ' ' `에서 a>0, b<0 (∵ a+0 ) 23 답 ④ a b ®;bA; =- ' ' ㄱ. -a<0, b<0이므로 ㄴ. a>0, -b>0이므로 ' ㄷ. -a<0, -b>0이므로 '¶ 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. a '¶ -a b =- ab (거짓) ' -b = '¶- ab (참) '¶ -a '¶- -b = '¶ ab (참) '¶ 24 답 ① ㄱ. zzÕ=0이면 z=0 또는 zÕ=0이다. 이때, 0의 켤레복소수는 0이므로 z=zÕ=0 (참) ㄴ. z+zÕ=0이면 z는 순허수 또는 z=0이다. ∴ zÛ`É0 (거짓) ㄷ. zÛ`+zÛ`Õ=0이면 zÛ`은 순허수 또는 zÛ`=0이다. 이때, zÛ`이 순허수이면 z+0 (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. 25 답 ① z=(xÛ`-x-2)+(xÛ`-3x+2)i의 제곱이 음의 실수이므로 z는 순허수이다. 즉, xÛ`-x-2=0이고 xÛ`-3x+2+0이므로 xÛ`-x-2=0에서 (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 이때, x=2이면 xÛ`-3x+2=0이므로 z=0이 되어 모순이 된다. 26 답 52 조건 (가)에서 zzÕ=(x-y+2)Û`+(x+y-8)Û`=4 y ㉠ 조건 (나)에서 zÛ`이 실수이려면 z는 실수이거나 순허수이다. 즉, x-y+2=0 또는 x+y-8=0 Ú x-y+2=0 y ㉡ 일 때, y=x+2를 ㉠에 대입하면 0+(2x-6)Û`=4, 4{(x-3)Û`-1}=0 4(x-2)(x-4)=0 ∴ x=2 또는 x=4 이 값을 ㉡에 대입하면 y=4 또는 y=6 Û x+y-8=0일 때, -y=x-8을 ㉠에 대입하면 (2x-6)Û`+0=4가 되어 Ú과 같아진다. 따라서 xÛ`+yÛ`의 최댓값은 x=4, y=6일 때, 4Û`+6Û`=52이다. 복소수의 제곱이 실수이기 위한 조건 복소수 z=a+bi ( a, b는 실수)에 대하여 zÛ`=(a+bi)Û`=aÛ`-bÛ`+2abi이므로 zÛ`이 실수이기 위한 조건은 일등급 2ab=0, 즉 a=0 또는 b=0 ① a=0, b+0이면 zÛ`은 음수 ② a+0, b=0이면 zÛ`은 양수 ③ a=0, b=0이면 zÛ`=0 따라서 자연수 n의 개수는 25이다. ∴ x=-1 [해] 04강_ok.indd 34 2017-09-20 오후 4:15:31 27 답 ② 2i i+1 x= = y= 2i i-1 = 2i(-i+1) (i+1)(-i+1) 2i(-i-1) (i-1)(-i-1) = = 2(1+i) 2 2(1-i) 2 =1+i =1-i ㄱ. x+y=(1+i)+(1-i)=2 (참) ㄴ. xy=(1+i)(1-i)=2이므로 xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=2Û`-2_2=0 (참) 31 답 3 z=a+bi에 대하여 iz=i(a+bi)=-b+ai=-z이므로 z=-iz y ㉠ 한편, (m-2i)z=(n+i)z에 ㉠을 대입하면 (m-2i)z=-i(n+i)z=(1-ni)z 이때, z+0이므로 양변을 z로 나누면 ㄷ. xÜ`+yÜ` =(x+y)Ü`-3xy(x+y)=2Ü`-3_2_2=-4 (거짓) m-2i=1-ni 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. m, n은 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 28 답 ② f(a, b)= b-ai a+bi = (b-ai)(a-bi) (a+bi)(a-bi) = -(aÛ`+bÛ`)i aÛ`+bÛ` =-i m=1, n=2 ∴ m+n=3 32 답 ⑤ 실수 a, b에 대하여 z=a+bi라 하면 따라서 f(1, 2)=f(3, 4)=y=f(9, 10)=-i이므로 조건 (가)에서 (z-zÕ)i={a+bi-(a-bi)}i=-2b=-2 f(1, 2)+f(3, 4)+f(5, 6)+f(7, 8)+f(9, 10) =5_(-i) =-5i ∴ b=1 조건 (나)에서 zzÕ=(a+bi)(a-bi)=aÛ`+bÛ`=aÛ`+1Û`=5 ∴ aÛ`=4 ∴ (z-2i)(z-2iÓ) ={a+(b-2)i}{a-(b-2)i} =aÛ`+(b-2)Û`=4+1=5 II 04 복소수 (-1+2i)(1+i) (1-i)(1+i) = -3+i 2 에서 29 답 ④ -1+2i 1-i z= = 2z+3=i 양변을 제곱하여 정리하면 2zÛ`+6z+5=0 ∴ 2zÜ`+6zÛ`+7z+3 =z(2zÛ`+6z+5)+2z+3 =0+(2z+3)=i 30 답 5 1 x+yi =a+bi에서 x+yi= 1 a+bi = a-bi aÛ`+bÛ` = a-bi 5 = - a 5 b i 5 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 x= , y=- ;5A; ;5B; xÛ`+yÛ`= aÛ`+(-b)Û` 5Û` = = 5 5Û` 1 5 ∴ 1 xÛ`+yÛ` =5 [다른 풀이] 1 x+yi =5(xÛ`+yÛ`) ∴ 1 xÛ`+yÛ` =5 =a+bi에서 1=(a+bi)(x+yi) y ㉠ 또한, 1Õ=(a+bi)Ó(x+yi)Ó이므로 1=(a-bi)(x-yi) y ㉡ ㉠, ㉡을 변끼리 곱하면 1 =(a+bi)(x+yi)(a-bi)(x-yi) =(aÛ`+bÛ`)(xÛ`+yÛ`) zÕ z zÕ z 33 답 ② z=a+bi ( a, b는 실수)라 하면 zÕ=a-bi이다. z-zÕ=2i에서 2bi=2i ∴ b=1 y ㉠ =-i에서 zÕ=-iz a-bi=-i(a+bi)=b-ai 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 a=b y ㉡ ㉠, ㉡에서 a=b=1 ∴ z=1+i ∴ zzÕ=(1+i)(1-i)=1+1=2 [다른 풀이] =-i에서 zÕ=-iz z-zÕ=2i에 대입하면 z+iz=2i z(1+i)=2i ∴ z= 2i 1+i = 2i(1-i) (1+i)(1-i) =1+i ∴ zzÕ=(1+i)(1-i)=2 34 답 ② z=1+i라 하면 f(z)=azÛ`+bz+c=p-4i 이때, zÕ=1+iÓ=1-i이므로 f(1-i) =f(zÕ)=a(zÕ)Û`+bzÕ+c=azÛ`+ÓbzÓ+cÓ =p-4iÓ=p+4i=3+qi 따라서 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 p=3, q=4 ∴ p+q=7 정답 및 해설 35 [해] 04강_ok.indd 35 2017-09-20 오후 4:15:32 zÛ`zÛ`Õ=(3+4i)(3-4i)=9+16=25이므로 ∴ aÕ+bÕ=1-i y ㉡ 35 답 5 zÛ`=3+4i에서 zÛ`Õ=3+4iÓ=3-4i (zzÕ)Û`=25 ∴ zzÕ=5 또는 zzÕ=-5 이때, zzÕ¾0이므로 zzÕ=5 36 답 10 a+b=3+i이므로 aaÕ+aÕb+abÕ+bbÕ =a(aÕ+bÕ)+b(aÕ+bÕ) =(a+b)(aÕ+bÕ) =(a+b)(a+bÓ) =(3+i)(3-i) =9+1=10 37 답 ④ 조건 (가)에서 (2-3i)zÕ=(2+3i)zÓ이므로 (2+3i)z+(2+3i)zÓ=2 즉, (2+3i)z의 실수부분이 1이다. (1+2i)z-(1+2i)zÓ=10i 즉, (1+2i)z의 허수부분이 5이다. z=a+bi ( a, b는 실수)라 하면 (2+3i)(a+bi)의 실수부분은 2a-3b=1 (1+2i)(a+bi)의 허수부분은 2a+b=5 따라서 a=2, b=1이므로 z=2+i [다른 풀이] 조건 (가)에서 z=a+bi ( a, b는 실수)라 하면 zÕ=a-bi (2+3i)(a+bi)+(2-3i)(a-bi)=2 2a+2bi+3ai-3b+2a-2bi-3ai-3b=2 4a-6b=2 ∴ 2a-3b=1 y ㉠ 조건 (나)에서 (4a+2b)i=10i ∴ 2a+b=5 y ㉡ (1+2i)(a+bi)+(-1+2i)(a-bi)=10i a+bi+2ai-2b-a+bi+2ai+2b=10i 조건 (나)에서 (-1+2i)zÕ=-(1-2i)zÕ=-(1+2i)zÓ이므로 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=1 ∴ z=2+i 켤레복소수의 계산 z=a+bi ( a, b는 실수)에 대하여 zÕ=a-bi이므로 z+zÕ=2a 실수부분의 2배 z-zÕ=2bi 허수부분의 2배 Hj Hj 일등급 36 일등급 수학•고등 수학 (상) 38 답 ② a+b=1+i y ㉠에서 a+bÓ=1+iÓ=1-i 한편, aaÕ=1, bbÕ=1에서 aÕ= , bÕ= y ㉢ ;!; ;º!; ㉢을 ㉡에 대입하면 + ;!; ;º!; =1-i 이므로 a+b ab = 1+i ab =1-i ∴ ab= 1+i 1-i = (1+i)Û` (1-i)(1+i) =i y ㉣ 따라서 ㉠, ㉣에 의하여 aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=(1+i)Û`-2i=0 39 답 ① (1+i)Û`=1+2i+i Û`=2i이므로 (1+i)12=(2i)6=-2ß` y ㉠ ' ( ( 3 -i)Û`=3-2 ' 3 -i)Ü`=(2-2 3 i+i Û`=2-2 3 i ' 3 -i)=-8i 3 i)( ' ' ∴ ( ' ' 3 -i)12=(-8i)4=212 y ㉡ 212 -2ß` 3 -i ' 1+i } = 12 ㉠, ㉡에 의하여 { =-2ß` 따라서 x=-2ß`, y=0이므로 x+y=-2ß` 40 답 ⑤ 1-i 1+i = (1-i)Û` (1+i)(1-i) n = -2i 2 f(n)= 1-i 1+i } { =(-i)n ㄱ. f(2)=(-i)Û`=-1 (참) =-i이므로 ㄴ. f(n+2) =(-i)n+2=(-i)Û`(-i)n =-(-i)n=-f(n) (참) ㄷ. (-i)n은 n=4k, n=4k+1, n=4k+2, n=4k+3 ( k는 음 이 아닌 정수)인 경우에 각각 1, -i, -1, i이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 41 답 ④ 2 i zÛ`= ' 1+i } 2 = { zÝ`=(zÛ`)Û`=-1 z¡`=(zÝ`)Û`=1 -2 2i =i 따라서 zn=1을 만족시키는 자연수 n의 최솟값은 8이다. 42 답 8 ( ' { { ' 3 +i 2 } n 3 3 +i)n=-2n의 양변을 2n으로 나누면 =-1이므로 { ' 3 +i 2 } 2 = 1+ ' 2 3 i ' 3 +i 2 } = 3 i 1+ ' 2 _ ' 3 +i 2 =i [해] 04강_ok.indd 36 2017-09-20 오후 4:15:33 6 ' 3 +i 2 } =-1 12 ' 3 +i 2 } =1 { { ⋮ ' 3 +i 2 { } n =-1 즉, n=12k+6 ( k=0, 1, 2, y)일 때 따라서 1É12k+6É100을 만족시키는 음이 아닌 정수 k의 개수는 0, 1, 2, y, 7의 8이다. 48 답 ① 실수 a, b에 대하여 z=a+bi라 하면 zÕ=a-bi ㄱ. z+zÕ=(a+bi)+(a-bi)=2a 이므로 z+zÕ는 항상 실수이다. (참) ㄴ. z-zÕ=(a+bi)-(a-bi)=2bi 이때, b=0, 즉 z가 실수이면 z-zÕ=0이 되어 실수이다. (거짓) ㄷ. = ;z!; 1 a+bi = 1 와 zÕ = 1 a-bi = a+bi 로 aÛ`+bÛ` b+0이면 과 의 허수부분은 서로 다르다. (거짓) a-bi aÛ`+bÛ` 1 zÕ ;z!; 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. II 04 복소수 43 답 3 x+y=-3<0, xy=1>0에서 x<0, y<0 x<0, y<0이면 x y=- xy 이므로 y x ® + ® x y '¶ = ' '§ y = ' x '\ x+y xy - = + ' ' '\ x y = '\ -3 -1 =3 ( ' y )Û`+( '§ y x x )Û` ' 44 답 ① =- 1 a ® 1 a '\ 에 의하여 a<0 - ®É 1 b = ®É 1 -b = 1 -b '¶ 에 의하여 -b>0, 즉 b<0 따라서 >0, >0이므로 ;aB; ;bA; ®;aB; ®;bA; = ®É;aB; _ ;bA; =1 45 답 ④ ㉢ 이후의 '§ '¶ x -y ∴ -y+ yi '¶ ' i에서 y<0이므로 -y>0이다. 따라서 등식이 처음으로 성립하지 않는 곳은 ㉣이다. 49 답 ③ ㄱ. 【반례】 zÁ=1+i, zª=i이면 zÁ-zª=1>0이지만 허수는 대소 관계를 갖지 않으므로 zÁ과 zª의 대소 관계를 비교할 수 없다. (거짓) ㄴ. 【반례】 zÁ>zª이면 zÁ, zª 모두 실수이다. 그러나 zÁ=-1, zª=-2이면 zÁ>zª이지만 zÁÛ`<zªÛ` 이다. (거짓) ㄷ. zÁ>zª이면 zÁ, zª 모두 실수이므로 zÁ=zÁÕ, zª=zªÕ이다. ∴ zÁÕ>zªÕ (참) 따라서 옳은 것은 ㄷ이다. 50 답 12 zÛ`(z-1)-z(z-1)(2z-1) =z(z-1){z-(2z-1)} =-z(z-1)Û` 그런데 z=1+2i에서 z-1=2i이므로 -z(z-1)Û` =-z(2i)Û`=4z=4(1+2i) =4+8i=a+bi 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 46 답 ④ (n+i)Ý`이 실수이므로 (n+i)Û`=(nÛ`-1)+2ni가 실수이거나 a=4, b=8 ∴ a+b=12 순허수이어야 한다. 즉, nÛ`-1=0 또는 n=0이므로 n=-1 또는 n=0 또는 n=1 따라서 (n+i)Ý`이 실수가 되도록 하는 정수 n의 개수는 3이다. 47 답 ③ ㄱ. f(1+i)=(1+i)(1-i)=1-i Û`=2 (참) ㄴ. 【반례】 zÁ=1, zª=i이면 f(zÁ)=f(zª)=1이지만 zÁ+zª (거짓) ㄷ. z=a+bi ( a, b는 실수)라 하면 zÕ=a-bi이므로 f(z)=(a+bi)(a-bi)=aÛ`+bÛ` f(zÕ)=(a-bi)(a+bi)=aÛ`+bÛ` ∴ f(z)=f(zÕ) (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 51 답 ① a-b=2i y ㉠에서 (a-b)Û`=aÛ`+bÛ`-2ab=-4 이때, aÛ`+bÛ`=0이므로 ab=2 또, (a+b)Û`=aÛ`+bÛ`+2ab=0+4=4이므로 a+b=2 또는 a+b=-2 한편, aÜ`+bÜ`=(a+b)Ü`-3ab(a+b)=-4에서 (a+b)Ü`-6(a+b)=-4이지만 a+b=-2이면 위 식이 성립하지 않는다. ∴ a+b=2 y ㉡ ㉠, ㉡에서 a=1+i, b=1-i이므로 a b = 1+i 1-i = (1+i)Û` (1-i)(1+i) =i 정답 및 해설 37 [해] 04강_ok.indd 37 2017-09-20 오후 4:15:34 § § § ¶ § 이때, 자연수 n에 대하여 f(xn)+f(xn+1)+f(xn+2)=0 -4b=4, 4-bÛ`=c ∴ b=-1, c=3 52 답 ① xÛ`+x+1=0에서 xÜ`=1, xÛ`+x=-1 또, xÛ`+1=-x이므로 양변을 x로 나누면 x+ =-1 1 x f(x)=x+ =-1 1 x 1 xÛ` 1 xÜ` x xÜ` ;1!; f(xÛ`)=xÛ`+ =xÛ`+ =xÛ`+x=-1 f(xÜ`)=xÜ`+ =1+ =2 ∴ f(xn)= g 2 ( n이 3의 배수일 때) -1 ( n이 3의 배수가 아닐때) 이고, 20=2+3_6이므로 f(x)+f(xÛ`)+f(xÜ`)+y+f(x20) =f(x)+f(xÛ`)+0+0+y+0 =(-1)+(-1)=-2 53 답 20 1+ ' 2 x= 3i 에서 xÛ`-x+1=0 이 식의 양변에 x+1을 곱하면 (x+1)(xÛ`-x+1)=0이므로 xÜ`+1=0 ∴ xÜ`=-1 f(x) =xÜ`+axÛ`+bx+c 55 답 14 조건 (가)에서 z+2-i는 순허수이다. 이때, 복소수 z=a+bi이므로 z+2-i=a+bi+2-i=(a+2)+(b-1)i 에서 a+2=0, b-1+0 ∴ a=-2, b+1 ∴ z=-2+bi 또한, 조건 (나)에서 (-2+bi)Û`=c+4i 이므로 4-4bi-bÛ`=c+4i ∴ (4-bÛ`)-4bi=c+4i 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=14 | 채점기준 | ⓐ 조건 (가)를 이용하여 a의 값을 구한다. ⓑ 조건 (나)를 이용하여 zÛ` 의 식을 정리한다. ⓒ 복소수가 서로 같을 조건을 이용하여 b, c의 값을 각각 구한 후 aÛ`+bÛ`+cÛ` 의 값을 구한다. 56 답 1 3i -1+ 2 x= ' 에서 2x+1= 3i ' 양변을 제곱하여 정리하면 xÛ`+x+1=0 y ㉠ 또한, x+xÕ= -1+ 3 i ' 2 + -1- 3 i 2 =-1 ' ⓐ ⓑ ⓒ [40%] [30%] [30%] ⓐ ⓑ ⓒ [30%] [50%] [20%] =-1+a(x-1)+bx+c (∵ xÜ`=-1, xÛ`=x-1 ) ㉠에서 xÛ`+1=-x, x+1=-xÛ`이므로 =(a+b)x+(-a+c-1)=15x-7 이때, a, b, c는 실수이고 x는 허수이므로 복소수가 서로 같을 조건 z= x+2 xÛ`+2 = 1-xÛ` 1-x =1+x ∴ z+zÕ=1+x+1+xÓ=2+(x+xÕ)=1 | 채점기준 | 에 의하여 a+b=15 y ㉠, -a+c-1=-7 y ㉡ 한편, f(-1)=-1+a-b+c=8 y ㉢ ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=10, b=5, c=4 ∴ f(1)=1+a+b+c=1+10+5+4=20 Û`=4iÕ=-4i이므로 =-1 54 답 4 zÛ`=4i에서 zÕ -4i Û` 4i zÕ z } = { Ý` zÕ z } { =1 n zÕ z } 따라서 { 4이다. 이 양의 실수가 되게 하는 자연수 n의 최솟값은 | 채점기준 | ⓐ zÛ`의 켤레복소수를 찾는다. ⓑ { Û` zÕ z } , { Ý` zÕ z } 을 구한다. ⓒ 조건을 만족시키는 자연수 n의 최솟값을 구한다. 38 일등급 수학•고등 수학 (상) ⓐ x의 식을 정리한다. ⓑ 주어진 z의 식을 간단히 한다. ⓒ z+zÕ의 값을 구한다. 57 답 ③ z=a+bi에 대하여 iz z-6 ∴ aÛ`+bÛ`-6a=0 58 답 38 (a-bi)Û`=8i 에서 aÛ`-bÛ`-2abi=8i이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 aÛ`-bÛ`=0 y ㉠, -2ab=8 y ㉡ ⓐ ⓑ ⓒ [40%] [40%] [20%] iz z-6 = -b+ai (a-6)+bi i(a+bi) a+bi-6 = 6b+(bÛ`+aÛ`-6a)i (a-6)Û`+bÛ` y ㉠ = = (-b+ai)(a-6-bi) (a-6)Û`+bÛ` 가 실수이므로 ㉠에서 분자의 허수부분이 0이 되어야 한다. [해] 04강_ok.indd 38 2017-09-20 오후 4:15:35 ㉠에서 a=b 또는 a=-b Ú (a-b)(a+b)=0일 때, Ú a=b일 때, ㉡에서 aÛ`=-4를 만족시키는 실수 a의 값은 존재 a+b=0 또는 a-b=0 ∴ a=-b 또는 a=b Û a=-b일 때, ㉡에서 aÛ`=4이므로 ! a=-b이면 -bÛ`=1을 만족시키는 실수 b의 값은 존재하지 하지 않는다. a=2, b=-2 (∵ a>0 ) Û ab=1일 때 않는다. Ú, Û에 의하여 20a+b=40-2=38 @ a=b이면 bÛ`=1 ∴ b=1 또는 b=-1 II 04 복소수 59 답 ⑤ ㄱ. zÛ`-z가 실수이므로 zÛ`-zÓ도 실수이다. (참) ㄴ. z=a+bi (b+0)에 대하여 zÛ`-z=aÛ`+2abi-bÛ`-a-bi =(aÛ`-a-bÛ`)+(2a-1)bi 이때, zÛ`-z가 실수이고, b+0이므로 2a-1=0 ∴ a= ;2!; 따라서 z= +bi 이고 zÕ= -bi이므로 ;2!; ;2!; z+zÕ=1이다. (참) ㄷ. z= +bi이고 zÕ= -bi 이므로 ;2!; zzÕ= +bÛ`이고 b+0이므로 zzÕ> 이다. (참) ;4!; 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ;2!; ;4!; [다른 풀이] ㄴ. zÛ`-zÓ가 실수이고, zÛ`-zÓ=(zÕ)Û`-zÕ이므로 zÛ`-z=(zÕ)Û`-zÕ가 성립한다. zÛ`-z-{(zÕ)Û`-zÕ}=0에서 (z-zÕ)(z+zÕ-1)=0 이때, z는 실수가 아니므로 z+zÕ이다. ∴ z+zÕ=1 (참) 60 답 ① ㄱ. (ab)Û`=aÛ`bÛ`=(2i)(-2i)=4이므로 ab=2 또는 ab=-2 y ㉠ (거짓) ㄴ. aÛ`+bÛ`=0 y ㉡이므로 (a+b)Û`=aÛ`+bÛ`+2ab=2ab ㉠에 의하여 (a+b)Ý`=(2ab)Û`=16 (참) ㄷ. ㉡에 의하여 Û` a-b a+b } { = (a-b)Û` (a+b)Û` = 따라서 옳은 것은 ㄴ이다. [다른 풀이] =-1 aÛ`+bÛ`-2ab aÛ`+bÛ`+2ab a-b a+b 한편, 제곱한 수가 음수이므로 는 실수가 아니다. (거짓) a=a+bi ( a, b는 실수)라 하고 aÛ`=2i 에 대입하여 정리하면 aÛ`=(a+bi)Û`=(aÛ`-bÛ`)+2abi=2i 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 aÛ`-bÛ`=0, 2ab=2 Ú, Û에 의하여 a=1+i 또는 a=-1-i 마찬가지로 b=c+di ( c, d는 실수)라 하고 bÛ`=-2i에 대입하여 b를 구하면 b=1-i 또는 b=-1+i ㄱ. 【반례】 a=1+i, b=-1+i이면 ab=-2 (거짓) ㄴ. a+b의 값은 2, -2, 2i, -2i이므로 (a+b)Ý`=16 (참) ㄷ. a-b a+b 1 i 의 값은 i, 이므로 실수가 아니다. (거짓) 61 답 27 3 +i 2 a= ' 에서 aÛ`= aÜ`= ' 3 +i 2 ' 3 +i 2 Û` Ü` } } { { 1+ 3 i = 2 =b y ㉠ ' =i y ㉡ a12=(aÜ`)Ý`=i Ý`=1 y ㉢ ㉠에서 ambn=am(aÛ`)n=am+2n 수는 ㉡에 의하여 3이다. m+2n=3, 15, 27, 39, y m+2n의 최댓값은 27이다. 이때, ambn=am+2n=i 를 만족시키는 m+2n의 값 중 최소인 자연 또한, ㉢에서 m+2n=12k+3 ( k=0, 1, 2, y)이므로 따라서 10 이하의 자연수 m, n에 대하여 m+2nÉ30이므로 62 답 ② 조건 (나)에서 ab+bc+ca abc =0이므로 ab+bc+ca=0 ∴ a(b+c)+bc=0 y ㉠ 조건 (가)에서 b+c=-a, b=-a-c이므로 ㉠에 대입하면 -aÛ`-(a+c)c=0 ∴ aÛ`+ac+cÛ`=0 y ㉡ ㉡의 양변을 aÛ`으로 나누면 { Û` c a } + c a +1=0 ∴ = c a 3 i -1+ 2 ' 또는 = c a 3 i -1- 2 ' 한편, ㉠에 b+c=-a를 대입하면 -aÛ`+bc=0이므로 bc=aÛ` 따라서 = 이므로 a b c a c a + { a b } = c a + { c a } 이다. ∴ c a + { a b } =-1 정답 및 해설 39 [해] 04강_ok.indd 39 2017-09-20 오후 4:15:37 Ó Ó Ó 63 답 ④ 실수가 아닌 복소수를 z=x+yi ( y+0, x, y는 실수)라 하면 zÕ=x-yi이므로 zzÕ=(x+yi)(x-yi)=xÛ`+yÛ` zÕ z = x-yi x+yi = xÛ`-yÛ`-2xyi xÛ`+yÛ` ∴ zzÕ+ =xÛ`+yÛ`+ zÕ z xÛ`-yÛ` xÛ`+yÛ` - 2xy xÛ`+yÛ` i=1 이때, 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 xÛ`+yÛ`+ =1 y ㉠ xÛ`-yÛ` xÛ`+yÛ` 2xy xÛ`+yÛ` =0 y ㉡ 한편, y+0이므로 ㉡에서 x=0이다. ㉠에서 yÛ`-1=1 ∴ y=Ñ 2 ' 2 i 이므로 zÛ`=(Ñ 따라서 z=Ñ ' 2 i)Û`=-2 ' c<0이고 b= ab= -c 이므로 =- -c c ®É =-i c>0이고 b= ab= -c 이므로 64 답 ⑤ ab c =-1, 즉 ab=-c에서 Ú a>0, b>0일 때, ' a ' ab c = '¶ ' '¶ -c c = '¶ ' ' b a ' c ' Û a>0, b<0일 때, ' a " ab c = '¶ ' '¶ -c c = '¶ ' ' b a ' c ' Ü a<0, b>0일 때, ' a " ab c = '¶ ' '¶ -c c = '¶ ' ' b a ' c ' Ý a<0, b<0일 때, '¶ '¶ '¶ = ®É -c c =i = ®É -c c =i c>0이고 b= ab= -c 이므로 c<0이고 b=- ab=- -c 이므로 '¶ '¶ a ' " ' b a ' c ' =- '¶ ' ab c -c c =- '¶ ' =- - { ®É -c c } =i 따라서 ' 의 값은 -i 또는 i 이다. b a ' c ' z+ 이 실수이면 z+ = z+ =zÕ+ 이므로 ;z!; { ;z!;} ;z!; 1 zÕ 65 답 1 z-zÕ+ - {;z!; 1 zÕ } =0 z-zÕ- =0 ∴ (z-zÕ) 1- =0 1 zzÕ } { z-zÕ zzÕ 이때, z가 실수가 아닌 복소수이므로 z+zÕ ∴ zzÕ=1 40 일등급 수학•고등 수학 (상) 66 답 ① 복소수 z에 대하여 zÕ=z이면 z는 실수 y ㉠ z+zÕ=0, 즉 zÕ=-z이면 z=0 또는 z는 순허수 y ㉡ 실수, 순허수도 아닌 a, x에 대하여 a-aÕ+0, a+aÕ+0 y ㉢ ㄱ. aÛ`-(aÕ)Û`Ó=aÛ`Õ-(aÕ)Û`Ó =(aÕ)Û`-aÛ` =-{aÛ`-(aÕ)Û`}+0 (∵ ㉢) 이므로 ㉡에 의하여 aÛ`-(aÕ)Û`은 순허수이다. ㄴ. axÕ+aÕxÓ=aÕx+axÕ이므로 ㉠에 의하여 axÕ+aÕx는 실수이다. ㄷ. 【반례】 a=x이면 axÕ-aÕx=aaÕ-aÕa=0이 되어 실수가 된다. 따라서 순허수인 것은 ㄱ이다. 67 답 ④ { { b 1+ai } ' b 1+ai } ' Ý` = [{ b 1+ai } ' Û` ] Û` =-1 y ㉠에서 Û`은 순허수이므로 그 실수부분이 0이다. 즉, { b Û` 1+ai } ' = [ ' b (1-ai) 1+aÛ` Û` = ] b(1-aÛ`) (1+aÛ`)Û` - 2abi (1+aÛ`)Û` 에서 b(1-aÛ`) (1+aÛ`)Û` =0 이때, 자연수 a, b에 대하여 1-aÛ`=0이므로 a=1 ㉠에 대입하면 { Ý` b ' 1+i } =-1이므로 bÛ`=-(1+i)Ý`=-(2i)Û`=4 ∴ b=2 (∵ b는 자연수) ∴ { 10 - b ' 1-ai } = { 10 2 - ' 1-i } - ' 2 2 (1+i) 10 ] = [ 5 2i 2 } = { =i Þ`=i 68 답 ② -1+ 3i 2 x= ' 에서 xÛ`+x+1=0, xÜ`=1 자연수 k에 대하여 Ú n=3k일 때, xn=x3k=(xÜ`)k=1 x2n=x6k=(xÜ`)2k=1 ∴ f(n)= x2n xn+1 = ;2!; [해] 04강_ok.indd 40 2017-09-20 오후 4:15:38 Ó = x2 x+1 =-1 (∵ xÛ`+x+1=0 ) Û n=3k+1일 때, xn=x3k+1=(xÜ`)k_x=x x2n=x6k+2=(xÜ`)2k_xÛ`=xÛ` ∴ f(n)= x2n xn+1 Ü n=3k+2일 때, xn=x3k+2=(xÜ`)k_xÛ`=xÛ` x2n=x6k+4=(xÜ`)2k+1_x=x x2n xn+1 ∴ f(n)= x xÛ`+1 = Ú ~ Ü에 의하여 =-1 (∵ xÛ`+x+1=0 ) f(1)+f(2)+f(3)+y+f(10)= _3+(-1)_7 ;2!; =- ;;Á2Á;; 05 이차방정식 문제편 57P 01 답 1 이차방정식 xÛ`+x-5=0의 두 근이 a, b이므로 aÛ`+a=5, bÛ`+b=5 또한, 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-1, ab=-5 ∴ aÛ`+a b + bÛ`+b a = + = 5 b 5 a 5(a+b) ab = -5 -5 =1 02 답 ⑤ xÛ`-|x-3|-9=0에서 Ú x¾3일 때, xÛ`-(x-3)-9=0이므로 xÛ`-x-6=0, (x-3)(x+2)=0 ∴ x=3 또는 x=-2 그런데 x¾3이므로 x=3 Û x<3일 때, xÛ`-{-(x-3)}-9=0이므로 xÛ`+x-12=0, (x+4)(x-3)=0 ∴ x=-4 또는 x=3 그런데 x<3이므로 x=-4 Ú, Û에 의하여 주어진 방정식의 모든 근은 x=3 또는 x=-4이므로 그 합은 3+(-4)=-1 II 05 이차 방정식 03 답 ③ 이차방정식 xÛ`-kx+k-1=0이 중근을 가지므로 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D =kÛ`-4(k-1)=0, kÛ`-4k+4=0, (k-2)Û`=0 이때, k=2를 xÛ`-kx+k-1=0에 대입하면 xÛ`-2x+1=0, (x-1)Û`=0 ∴ x=1 따라서 구하는 중근은 a=1이므로 k+a=2+1=3 ∴ k=2 [다른 풀이] 문자를 여러 개 포함한 식은 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 정리한 후 인수분해하면 편리하다. xÛ`-kx+k-1=0을 k에 대하여 정리하면 -k(x-1)+xÛ`-1=0 -k(x-1)+(x+1)(x-1)=0 (x-1){-k+(x+1)}=0 ∴ (x-1)(x+1-k)=0 이 방정식은 중근을 갖고 근이 x=1, x=k-1이므로 1=k-1 ∴ k=2 따라서 k=2, a=1이므로 k+a=2+1=3 04 답 16 이차방정식 3xÛ`-16x+1=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b= , ab= ;;Á3¤;; ;3!; ∴ + = ;º!; ;!; a+b ab = ;;Á3¤;; =16 ;3!; 05 답 ④ xÛ`-(k+1)x+8=0의 두 근을 a, a+2라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 a+(a+2)=k+1 y ㉠, a(a+2)=8 y ㉡ ㉡에서 aÛ`+2a-8=0, (a-2)(a+4)=0 ∴ a=2 또는 a=-4 y ㉢ ㉢을 ㉠에 대입하면 k=5 또는 k=-7 그런데 k>0이므로 k=5 06 답 2 이차방정식 f(x)=0의 두 근을 a, b라 하면 a+b=6 이때, f(a)=0, f(b)=0이므로 f(4x-1)=0이기 위해서는 4x-1=a 또는 4x-1=b ∴ x= 또는 x= a+1 4 b+1 4 따라서 이차방정식 f(4x-1)=0의 두 근의 합은 a+1 4 + b+1 4 = (a+b)+2 4 = 6+2 4 =2 정답 및 해설 41 [해] 04강_ok.indd 41 2017-09-20 오후 4:15:39 07 답 4 a, b가 실수이므로 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 한 근이 i-2이면 즉, aÛ`+5=2a, bÛ`+5=2b이므로 (aÛ`+2b+5)(bÛ`+2a+5) =(2b+2a)(2a+2b) 따라서 이차방정식 xÛ`+5x+4=0의 두 근의 곱은 근과 계수의 관 주어진 이차방정식의 두 근을 a, b라 하면 두 근이 모두 양수이므로 따라서 a=-1이므로 이차방정식 xÛ`-(1-2a)x+5a+1=0에 다른 한 근은 -i-2이다. 근과 계수의 관계에 의하여 (i-2)+(-i-2)=-a (i-2)(-i-2)=b ∴ a=4, b=5 계에 의하여 4이다. 08 답 ① Ú 판별식을 D라 하면 =(k-3)Û`-(kÛ`+3)¾0 D 4 -6k+6¾0 ∴ kÉ1 Û a+b=-2(k-3)>0 ∴ k<3 Ü ab=kÛ`+3>0이므로 k는 모든 정수이다. Ú ~ Ü에 의하여 kÉ1 따라서 정수 k의 최댓값은 1이다. 09 답 ① (x+999)Û`-3(x+999)+2=0에서 x+999=X라 하면 XÛ`-3X+2=0, (X-1)(X-2)=0 ∴ X=1 또는 X=2 x+999=X에서 x=X-999이므로 x=-998 또는 x=-997 ∴ (a+998)(b+998)=0 [다른 풀이] 로 나타낼 수 있다. 양변에 x=-998을 대입하면 (-998+999)Û`-3(-998+999)+2 =(-998-a)(-998-b) ∴ (a+998)(b+998)=1-3+2=0 10 답 16 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=2, ab=5 또한, a, b가 근이므로 aÛ`-2a+5=0, bÛ`-2b+5=0 42 일등급 수학•고등 수학 (상) =4(a+b)Û` =4_2Û`=16 11 답 ② 일차방정식 a(ax-1)-(x-1)=0에서 (aÛ`-1)x=a-1이므로 (a+1)(a-1)x=a-1 이 일차방정식은 a=-1일 때 근을 갖지 않으며 a=1일 때 무수히 많은 근을 갖는다. a=-1을 대입하면 xÛ`-3x-4=0 (x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4 ∴ |a|+|b|=|-1|+|4|=5 12 답 ④ 이차방정식 (a-1)xÛ`-2(a-3)x+a-3=0이 실근을 가지므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =(a-3)Û`-(a-1)(a-3)¾0 또한, (a-1)xÛ`-2(a-3)x+a-3=0이 이차방정식이므로 -2(a-3)¾0 a-3É0 ∴ aÉ3 y ㉠ a+1 y ㉡ 이때, a는 자연수이므로 ㉠, ㉡에 의하여 a=2 또는 a=3 따라서 모든 자연수 a의 값의 합은 2+3=5 한편, 이차방정식 xÛ`+5x-k=0이 실근을 가지므로 이 이차방정식 별식을 DÁ이라 하면 DÁ 4 =(-1)Û`-1_(-k)<0 ∴ k<-1 y ㉠ 의 판별식을 Dª라 하면 Dª=5Û`-4_1_(-k)¾0 ∴ k¾- y ㉡ ;;ª4°;; ㉠, ㉡에서 - Ék<-1 ;;ª4°;; 따라서 정수 k의 개수는 -6, -5, -4, -3, -2의 5이다. 방정식 (x+999)Û`-3(x+999)+2=0의 두 근이 a, b이므로 인수정리에 의하여 (x+999)Û`-3(x+999)+2=(x-a)(x-b) 13 답 ④ 이차방정식 xÛ`-2x-k=0이 허근을 가지므로 이 이차방정식의 판 [해] 05강_ok.indd 42 2017-09-20 오후 4:16:20 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관 수의 관계에 의하여 [다른 풀이] 계에 의하여 14 답 45 이차방정식 4xÛ`+2(2k-m)x+kÛ`-k+2n=0이 중근을 가지므 로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =(2k-m)Û`-4(kÛ`-k+2n)=0 (-4m+4)k+mÛ`-8n=0 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 -4m+4=0이고, mÛ`-8n=0 ∴ m=1, n= ;8!; ∴ 40(m+n)=40+5=45 15 답 5 f(x)=axÛ`+bx+c라 하면 f(-x)=axÛ`-bx+c이므로 f(x)=0의 두 근이 a, b이면 f(-x)=0의 두 근은 -a, -b 따라서 a+b=-a, ab=-b이므로 ab=-b에서 a=-1 (∵ ac+0이므로 ab+0 ) 이 값을 a+b=-a에 대입하면 b=2 ∴ aÛ`+bÛ`=(-1)Û`+2Û`=5 a+b=- y ㉠, ab= y ㉡ b a c a 이차방정식 axÛ`-bx+c=0의 두 근이 a+b, ab이므로 a+b+ab= y ㉢, ab(a+b)= y ㉣ ;aB; ;aC; ㉠+㉢을 하면 2(a+b)+ab=0 y ㉤ ㉣-㉡을 하면 ab(a+b-1)=0이므로 a+b-1=0 (∵ ac+0이므로 ab+0 ) ∴ a+b=1 이 값을 ㉤에 대입하면 ab=-2 ∴ aÛ`+bÛ`=( a+b)Û`-2ab=1-2_(-2)=5 대칭식인 근의 성질 a+b와 ab는 a와 b의 대칭식이므로 풀이에서 a+b=-b, ab=-a라 하면 a=2, b=-1이므로 aÛ`+bÛ`=5이다. 16 답 ⑤ xÛ`+2x-4=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-2, ab=-4 또한, a는 xÛ`+2x-4=0의 근이므로 aÛ`+2a-4=0, 즉 aÛ`+2a=4 ∴ aÜ`+2aÛ`+3ab+4b =a(aÛ`+2a)+3ab+4b =4a+3ab+4b =4(a+b)+3ab =-8-12=-20 17 답 ④ 이차방정식 xÛ`-4x+kÛ`-2k+4=0의 두 근의 차가 2이므로 두 근 을 a, a+2라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 II 05 이차 방정식 a+(a+2)=4 ∴ a=1 이때, 다른 한 근은 a+2=3 kÛ`-2k+1=0 (k-1)Û`=0 ∴ k=1 또한, a(a+2)=3에서 kÛ`-2k+4=3이므로 18 답 3 계수가 실수인 이차방정식 xÛ`+mx+n=0의 한 근이 -1+2i이 므로 다른 한 근은 -1-2i이다. 근과 계수의 관계에 의하여 -m=(-1+2i)+(-1-2i)=-2 ∴ m=2 n=(-1+2i)(-1-2i)=5 따라서 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 근은 2와 5이므로 근과 계 -a=2+5=7에서 a=-7이고, b=2_5=10 ∴ a+b=-7+10=3 19 답 8 조건 (가)에서 f(-1)=1+p+q=1이므로 조건 (나)에서 a- 3 도 이차방정식 xÛ`-px+q=0의 근이므로 p+q=0 y ㉠ ' 근과 계수의 관계에 의하여 p=2a, q=aÛ`-3 y ㉡ ∴ a=-3 또는 a=1 이때, a는 자연수이므로 a=1 ㉠, ㉡에서 p+q=2a+aÛ`-3=0, (a+3)(a-1)=0 일등급 a=1을 ㉡에 대입하면 p=2, q=-2 ∴ pÛ`+qÛ`=2Û`+(-2)Û`=8 20 답 ② f(1+i)-2=0에서 f(x)-2=0 즉, xÛ`+ax+b-2=0의 한 근이 1+i이고 a, b는 실수이므로 다른 한 근은 1-i이다. 근과 계수의 관계에 의하여 -a=(1+i)+(1-i)=2 ∴ a=-2 b-2=(1+i)(1-i)=2 ∴ b=4 따라서 f(x)=xÛ`-2x+4이므로 f(2)=4-4+4=4 정답 및 해설 43 [해] 05강_ok.indd 43 2017-09-20 오후 4:16:21 21 답 ③ 이차방정식 xÛ`+2x-6=0의 두 근이 a, b이므로 (x-a)(x-b)=xÛ`+2x-6 이때, f(a)=3, f(b)=3에서 f(a)-3=0, f(b)-3=0 즉, 이차방정식 f(x)-3=0의 두 근은 a, b이므로 24 답 4 주어진 이차방정식의 두 근을 a, b라 하면 a+b=0, ab<0 이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=aÛ`-3a-4=0 (a-4)(a+1)=0 f(x)-3=(x-a)(x-b)=xÛ`+2x-6 ∴ a=4 또는 a=-1 y ㉠ ∴ f(x)=xÛ`+2x-3 ab=-a+2<0 ∴ a>2 y ㉡ 따라서 이차방정식 f(x)=xÛ`+2x-3=0의 두 근의 곱은 근과 계 ㉠, ㉡에 의하여 a=4 수의 관계에 의하여 -3이다. 22 답 ③ 이차방정식 f(x)=0의 두 근을 a, b라 하고, 이차방정식 f(2x-1)=0의 두 근을 c, d라 하면 a=2c-1, b=2d-1 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=1이므로 c+d= a+1 2 + b+1 2 = a+b 2 +1= 3 2 [다른 풀이] 따라서 c= , d= 이고, 이차방정식 4xÛ`-4x+k=0의 a+1 2 b+1 2 두 양수이므로 두 근의 부호에 따른 판별식의 조사 유무 결정 일등급 문제에서 두 실근의 절댓값은 같고 부호는 서로 다르므로 두 근의 곱은 음수이다. 즉, 판별식은 항상 0보다 크므로 판별식을 조사할 필요가 없다. 25 답 ⑤ 이차방정식 2xÛ`-3x+3-k=0의 두 근을 a, b라 하면 두 근이 모 Ú 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=(-3)Û`-4_2_(3-k)¾æ0에서 -15+8kæ¾0 f(2x-1)=4(2x-1)Û`-4(2x-1)+k=16xÛ`-24x+8+k Û a+b= >0이므로 항상 만족시킨다. 따라서 방정식 f(2x-1)=0의 두 근의 합은 근과 계수의 관계에 Ü ab= >0 ∴ k<3 의하여 = ;1@6$; ;2#; 이다. Ú ~ Ü에 의하여 k의 값의 범위는 Ék<3이므로 정수 k의 ;;Á8°;; ∴ k¾ ;;Á8°;; ;2#; 3-k 2 값은 2이다. 23 답 ④ 이차방정식 xÛ`-ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=a, ab=b 따라서 , 을 두 근으로 하는 이차방정식은 ;!; ;º!; xÛ`- + x+ _ ;!; ;º!; ;º!;} {;!; =0 xÛ`- a+b ab x+ =0 1 ab xÛ`- x+ =0 ;bA; ;b!; ∴ bxÛ`-ax+1=0 [다른 풀이] f(x)=xÛ`-ax+b라 하면 f(x)=0의 두 근이 a, b이므로 f {;[!;} =0의 두 근은 , ;!; ;º!; 이다. f = {;[!;} {;[!;} Û` -a {;[!;} bxÛ`-ax+1=0 44 일등급 수학•고등 수학 (상) +b=0의 양변에 xÛ` 을 곱하면 26 답 3 이차방정식 xÛ`+px+2p-8=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-p, ab=2p-8 Ú a+b<|a+b|에서 a+b<0이므로 Û |a+b|<|a|+|b|에서 ab<0이므로 a+b=-p<0 ∴ p>0 y ㉠ ab=2p-8<0 ∴ p<4 y ㉡ ㉠, ㉡에서 0<p<4 따라서 정수 p의 개수는 1, 2, 3의 3이다. 27 답 25 이차방정식 (x-2)(x+k)=5의 두 근이 a, b이므로 (a-2)(a+k)=5, (b-2)(b+k)=5 ∴ (a-2)(b-2)(a+k)(b+k)=25 [해] 05강_ok.indd 44 2017-09-20 오후 4:16:22 æ II 05 이차 방정식 28 답 ④ |x-2|Û`+2|x-2|-8=0에서 |x-2|=t (t¾0)라 하면 tÛ`+2t-8=0 (t+4)(t-2)=0 ∴ t=-4 또는 t=2 이때, t¾0이므로 t=2 즉, |x-2|=2이므로 x-2=2 또는 x-2=-2 ∴ x=0 또는 x=4 ∴ |a-2|+|b-2|=|0-2|+|4-2|=4 29 답 ⑤ 이차방정식 xÛ`-2x-2=0의 두 근을 a, b라 하면 aÛ`-2a-2=0에서 aÛ`=2(a+1), 마찬가지로 bÛ`-2b-2=0에서 1 a+1 2 aÛ` = 2 bÛ` 1 b+1 = 또, 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=2이므로 aÜ` a+1 + bÜ` b+1 = 2aÜ` aÛ` + 2bÜ` bÛ` =2(a+b)=4 30 답 ② |xÛ`+(a-2)x-2|=1에서 xÛ`+(a-2)x-2=1 또는 xÛ`+(a-2)x-2=-1 Ú xÛ`+(a-2)x-2=1일 때, xÛ`+(a-2)x-3=0이므로 두 근의 합은 -(a-2)이다. Û xÛ`+(a-2)x-2=-1일 때, 31 답 4 이차방정식 xÛ`-2ax+(10-bÛ`)=0이 허근을 가지므로 이 이차방 정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =aÛ`-(10-bÛ`)<0 ∴ aÛ`+bÛ`<10 이때, a, b는 자연수이므로 순서쌍 (a, b)의 개수는 (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)의 4이다. 32 답 ③ xÛ`+(2y+3)x+(3yÛ`+3y+k)=0에서 x가 실수이므로 이 이차 방정식은 실근을 갖는다. 즉, 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=(2y+3)Û`-4(3yÛ`+3y+k)¾0 -8yÛ`+9-4k¾0 ∴ 8yÛ`-9+4kÉ0 y ㉠ 한편, 실수 y에 대하여 8yÛ`¾0이므로 ㉠을 만족시키는 y가 존재할 조건은 -9+4kÉ0 ∴ kÉ ;4(; 따라서 정수 k의 최댓값은 2이다. 33 답 1 x에 대한 이차방정식 xÛ`-2(a-1)x+aÛ`+2a-3=0의 실근을 t 라 하면 tÛ`-2(a-1)t+aÛ`+2a-3=0 즉, aÛ`-2(t-1)a+tÛ`+2t-3=0 y ㉠ 이때, a는 실수이므로 a에 대한 이차방정식 ㉠이 실근을 가져야 한다. 따라서 주어진 x에 대한 이차방정식의 실근 t의 최댓값은 1이다. 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면 D 4 =(t-1)Û`-(tÛ`+2t-3)¾0 -4t+4¾0, 즉 tÉ1 34 답 ④ 주어진 식을 x의 식으로 정리하면 xÛ`-(y+a)x-2yÛ`-3y+1 이차방정식 xÛ`-(y+a)x-2yÛ`-3y+1=0의 판별식을 D라 하면 이 이차방정식의 두 근은 x= y+aÑ D '¶ 2 이므로 주어진 식은 x- { y+a+ D '¶ 2 x- }{ y+a- D '¶ 2 } 로 인수분해된다. 이때, 인수가 x, y의 일차식이 되려면 D=9yÛ`+2(a+6)y+aÛ`-4가 완전제곱식이 되어야 하므로 방정식 9yÛ`+2(a+6)y+aÛ`-4=0의 판별식을 D'이라 하면 D'=0이 되어야 한다. D' 4 =(a+6)Û`-9(aÛ`-4)=0이므로 따라서 모든 상수 a의 값의 합은 근과 계수의 관계에 의하여 이다. ;2#; 일등급 두 근의 합은 근과 계수의 관계 이용 이차방정식 ㉠이 세워졌으므로 실제 시험에서는 인수분해하여 a의 값 의 합을 구하기보다는 근과 계수의 관계를 이용하여 답을 구하는 것이 더 빠르다. 정확하고 빠르게 접근하는 방법도 수능 일등급을 위해 중요하다. 35 답 3 xÛ`+ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-a, ab=b y ㉠ 마찬가지로 xÛ`+bx+a=0의 두 근이 a+1, b+1이므로 (a+1)+(b+1)=-b에서 (a+b)+2=-b (a+1)(b+1)=a에서 ab+(a+b)+1=a ㉠에 의하여 -a+2=-b, b-a+1=a이므로 a-b=2, 2a-b=1 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=-3 ∴ ab=3 정답 및 해설 45 xÛ`+(a-2)x-1=0이므로 두 근의 합은 -(a-2)이다. Ú, Û에 의하여 주어진 방정식의 모든 근의 합은 -2(a-2)이므로 -8aÛ`+12a+72=0 2aÛ`-3a-18=0 y ㉠ -2(a-2)=0 ∴ a=2 [해] 05강_ok.indd 45 2017-09-20 오후 4:16:23 36 답 ⑤ 이차방정식 xÛ`+(p-3)x+1=0의 두 근이 a, b이므로 aÛ`+(p-3)a+1=0에서 aÛ`+pa+1=3a bÛ`+(p-3)b+1=0에서 bÛ`+pb+1=3b 또한, 근과 계수의 관계에 의하여 ab=1 (3x+1)(x-1)=0 ∴ x=- 또는 x=1 ;3!; ∴ 3(|a|+|b|)=3_ +1 =4 } {;3!; ∴ (1+pa+aÛ`)(1+pb+bÛ`)=3a_3b=9ab=9 계수가 실수인 이차방정식의 한 허근이 a이므로 aÕ도 근이다. 37 답 21 xÛ`+2(m-5)x-12=0에서 두 근의 곱이 -12이므로 두 근은 서 bÛ` a 이 실수이므로 bÛ` a = { bÛ` a } = bÛ`Õ aÕ aÕbÛ`=abÛ`Õ이므로 bbÛ`=aaÛ` (∵ ㉠) ∴ bÜ`=aÜ` 41 답 ③ ∴ b=aÕ y ㉠ ∴ { Ü` b a } = bÜ` aÜ` = =1 aÜ` aÜ` 42 답 2 로 다른 부호이다. 즉, 두 근을 a, -3a라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 a-3a=-2(m-5) y ㉠ a_(-3a)=-12 y ㉡ ㉡에서 aÛ`=4 ∴ a=-2 또는 a=2 이것을 ㉠에 각각 대입하면 a=-2일 때, m=3 a=2일 때, m=7 따라서 모든 실수 m의 값의 곱은 21이다. 계수가 실수인 이차방정식의 한 허근을 a라 하면 aÛ`-pa+2p=0을 만족시키므로 aÛ`=pa-2p에서 aÜ`=paÛ`-2pa=p(pa-2p)-2pa=(pÛ`-2p)a-2pÛ` 이때, a가 허수이고, aÜ`이 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의 하여 pÛ`-2p=0에서 p(p-2)=0 ∴ p=0 또는 p=2 한편, p=0이면 aÜ`=0에서 a=0이므로 a가 허근이라는 사실에 모 계수가 실수인 이차방정식의 한 허근을 a라 하면 다른 한 근은 aÕ이 38 답 ① xÛ`+4x+1=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-4, ab=1 따라서 a<0, b<0이므로 ∴ ( a+ b )Û` =( ' '§ ' ' a)Û`+( a b =- '§ b )Û`+2 '¶ a ab ' '§ '§ =-4-2=-6 b =a+b-2 ab '¶ 39 답 ③ 이차방정식 xÛ`-ax+1=0이 서로 다른 두 실근을 가지므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=aÛ`-4>0 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=a, ab=1 순이다. ∴ p=2 [다른 풀이] 므로 aÛ`-pa+2p=0 aÛ`=pa-2p, aÜ`=paÛ`-2pa 이때, 실수 aÜ`에 대하여 aÜ`=aÜ`Õ이므로 paÛ`-2pa=paÛ`-2paÓ=paÛ`Õ-2paÕ p+0이므로 aÛ`-2a=aÛ`Õ-2aÕ aÛ`-aÛ`Õ=2a-2aÕ (a+aÕ)(a-aÕ)=2(a-aÕ) ㄱ. ab=1>0이므로 a와 b는 서로 같은 부호이다. 한편, 허수 a에 대하여 a+aÕ이므로 a+aÕ=2 ∴ |a+b|=|a|+|b| (참) 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 ㄴ. a+b=a, ab=1이므로 aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=aÛ`-2 a+aÕ=p이므로 p=2 이때, D=aÛ`-4>0에서 aÛ`>4이므로 aÛ`+bÛ`=aÛ`-2>2 (참) ㄷ. ab=1에서 a= 이므로 a>1이면 0<b<1 (거짓) ;º!; 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 40 답 ④ a, b, c가 실수이므로 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 한 근이 1+ 2i이면 다른 한 근은 1- 2i이다. 근과 계수의 관계에 의하여 ' ' - ;aB; =2, =3 ∴ b=-2a, c=3a ;aC; cxÛ`+bx-a=0에서 3axÛ`-2ax-a=0 3xÛ`-2x-1=0 (∵ a+0 ) 43 답 ③ f(x)+x-2=0의 두 근이 a, b이고 a+b=2, ab=-4이므로 0이 아닌 상수 k에 대하여 f(x)+x-2=k(xÛ`-2x-4) y ㉠ 또한, f(1)=6이므로 x=1을 ㉠에 대입하면 f(1)+1-2=k(1Û`-2-4)=5 -5k=5 ∴ k=-1 이것을 ㉠에 대입하여 정리하면 f(x)+x-2=-(xÛ`-2x-4) ∴ f(x)=-xÛ`+x+6 ∴ f(2)=4 46 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 05강_ok.indd 46 2017-09-20 오후 4:16:24 Ó f(x)-2x-1 =(x-a)(x-b) 두 실근이 모두 0 이하가 되는 경우를 찾아 제외하면 된다. 두 실근을 a, b라 하면 두 실근이 모두 0 이하가 되는 경우는 II 05 이차 방정식 44 답 12 이차방정식 xÛ`-x-1=0의 두 근이 a, b이므로 xÛ`-x-1=(x-a)(x-b) y ㉠ 조건 (나)에 의하여 a, b는 이차방정식 f(x)=2x+1, 즉 f(x)-2x-1=0의 두 근이다. 조건 (가)에서 f(x)의 이차항의 계수가 1이므로 =xÛ`-x-1 (∵ ㉠) 따라서 f(x)=xÛ`+x이므로 f(3)=9+3=12 45 답 ② 농도 2x`%의 소금물 100`g에 녹아 있는 소금의 양은 2x`g y ㉠ 덜어낸 소금물 x`g에 녹아 있는 소금의 양은 2x 100 xÛ` 50 _x= (g) y ㉡ 또, 다시 넣은 소금의 양은 x`g y ㉢ ㉠-㉡+㉢=28에서 2x- +x=28 xÛ` 50 xÛ`-150x+1400=0 (x-140)(x-10)=0 ∴ x=10 (∵ 0<x<50 ) 46 답 ③ BPÓ=x라 하면 CPÓ=9-x이다. 이때, 섞은 후 28`%의 소금물에 녹아 있는 소금의 양은 28`g이므로 Û 두 근의 합이 음수이므로 - p<0 ∴ p>0 ' Ü 두 근의 곱이 양수이므로 p-3>0 ∴ p>3 Ú ~ Ü에 의하여 3<pÉ4이므로 정수 p의 값은 4이다. 48 답 ① Ú a+b=2mÉ0 ∴ mÉ0 Û ab=-2m-6¾0 ∴ mÉ-3 Ü 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 =mÛ`+2m+6=(m+1)Û`+5>0 D 4 이므로 항상 서로 다른 두 실근을 갖는다. Ú ~ Ü에 의하여 두 실근이 모두 0 이하가 되도록 하는 m의 값의 범위는 mÉ-3이다. 정수 m의 최솟값은 -2이다. 따라서 두 근 중 적어도 하나가 양의 실수가 되려면 m>-3이므로 49 답 ③ 이차방정식 axÛ`+bx-(a-b)=0의 판별식을 D라 하면 D=bÛ`+4a(a-b)=bÛ`-4ab+4aÛ`=(b-2a)Û`¾0 이므로 항상 실근을 갖는다. 한편, 근과 계수의 관계에 의하여 △ABC»△RBP»△QPC( AA 닮음)이고, 세 삼각형의 닮음비는 9`:`x`:`(9-x)이므로 넓이의 비는 9Û``:`xÛ``:`(9-x)Û`=81`:`xÛ``:`(xÛ`-18x+81) 두 근의 합은 - ;aB; y ㉠ 두 근의 곱은 이때, 평행사변형 ARPQ의 넓이와 삼각형 ABC의 넓이의 비가 4`:`9이므로 두 삼각형 RBP와 QPC의 넓이의 합과 삼각형 ABC의 - a-b a b a = -1 y ㉡ 넓이의 비는 (9-4)`:`9=5`:`9 즉, (xÛ`+xÛ`-18x+81)`:`81=5`:`9이므로 9(2xÛ`-18x+81)=405 xÛ`-9x+18=0 (x-3)(x-6)=0 ∴ x=3 또는 x=6 그런데 BPÓ<CPÓ이므로 x=3 ∴ BPÓ=3 47 답 4 이차방정식 xÛ`+ ' Ú 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=( p )Û`-4(p-3)¾0 ' -3p+12¾0 ∴ pÉ4 ㄱ. a, b가 모두 양수이면 ㉠에 의하여 - <0에서 두 근의 합이 ;aB; 음수이므로 적어도 하나의 음의 실근을 갖는다. (거짓) ㄴ. 【반례】 a=-4, b=-2이면 a, b가 모두 음수이지만 -4xÛ`-2x+2=0에서 2xÛ`+x-1=0이므로 (x+1)(2x-1)=0 즉, x=-1 또는 x= 이므로 ;2!; 음의 두 실근을 갖지 않는다.(거짓) -1<0이 되어 서로 다른 부호의 실근을 갖는다. (참) ;aB; 따라서 옳은 것은 ㄷ이다. 정답 및 해설 47 px+p-3=0의 두 근이 모두 음수이기 위해서는 ㄷ. a, b가 서로 다른 부호이면 <0이므로 ㉡에서 두 근의 곱은 ;aB; [해] 05강_ok.indd 47 2017-09-20 오후 4:16:25 Ý a+1=-1, b+1=5일 때, a=-2, b=4 | 채점기준 | 서로 다른 두 정수인 근을 a, b라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=p y ㉠, ab=q y ㉡ a+b=-m, ab=m-6 이차방정식 xÛ`-3px+4(q-1)=0의 두 근이 aÛ`, bÛ`이므로 두 식을 연립하면 a+b=-(ab+6)이므로 이 이차방정식의 근과 계수의 관계와 ㉠, ㉡에 의하여 50 답 ② 두 이차방정식 xÛ`+3ax+8=0, xÛ`+(2a+1)x+2a+6=0 의 공통인 해를 x=p라 하면 pÛ`+3ap+8=0 y ㉠ pÛ`+(2a+1)p+2a+6=0 y ㉡ ㉠－㉡을 하면 (a-1)p-2a+2=0이므로 (a-1)(p-2)=0 ∴ a=1 또는 p=2 Ú a=1이면 두 이차방정식은 xÛ`+3x+8=0으로 같게 되어 공통 인 해가 2개이므로 성립하지 않는다. Û p=2이면 ㉠에서 6a+12=0 ∴ a=-2 51 답 4 ab+a+b+6=0 ∴ (a+1)(b+1)=-5 이때, a+1, b+1은 정수이므로 Ú a+1=1, b+1=-5일 때, a=0, b=-6 Û a+1=-5, b+1=1일 때, a=-6, b=0 Ü a+1=5, b+1=-1일 때, a=4, b=-2 Ú, Û에서 m=-(a+b)=-(0-6)=6 Ü, Ý에서 m=-(a+b)=-(4-2)=-2 따라서 모든 상수 m의 값의 합은 6+(-2)=4 52 답 13 a+b=p y ㉠ ab=q y ㉡ 두 정수인 근을 a, b(aÉb)라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 p, q가 소수이므로 a+b>0, ab>0 즉, a, b는 자연수이다. 또, q가 소수이므로 ㉡에서 a=1, b=q이다. ㉠에 대입하면 1+q=p 따라서 p, q는 연속하는 두 자연수인 소수이므로 q=2, p=3 ∴ pÛ`+qÛ`=3Û`+2Û`=13 53 답 9 근의 공식에 의하여 이차방정식의 두 근은 x= 이때, -3Ñ 9-mn` 'Ä m 의 값이 유리수가 되려면 -3Ñ 9-mn` 'Ä m 자연수 m, n에 대하여 0É9-mn<9이므로 Ú 9-mn=0이면 mn=9 ∴ (m, n)=(1, 9), (3, 3), (9, 1) Û 9-mn=1이면 mn=8 ∴ (m, n)=(1, 8), (2, 4), (4, 2), (8, 1) Ü 9-mn=4이면 mn=5 ∴ (m, n)=(1, 5), (5, 1) 따라서 순서쌍 (m, n)의 개수는 9이다. 54 답 4 이차방정식 xÛ`-px+q=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관 계에 의하여 aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=3p에서 pÛ`-3p-2q=0 y ㉢ (ab)Û`=4(q-1)에서 qÛ`-4q+4=(q-2)Û`=0 ∴ q=2 q=2를 ㉢에 대입하면 pÛ`-3p-4=0이므로 (p+1)(p-4)=0 ∴ p=-1 또는 p=4 그런데 p는 양수이므로 p=4이다. ⓐ xÛ`-px+q=0에서 근과 계수의 관계를 이용한다. ⓑ xÛ`-3px+4(q-1)=0에서 근과 계수의 관계를 이용하여 q의 값을 구한다. ⓒ 이차방정식 pÛ`-3p-4=0을 풀어 양수 p의 값을 구한다. [20%] [50%] [30%] 55 답 34 a, b가 이차방정식 xÛ`-x-5=0의 두 근이므로 xÛ`-x-5=(x-a)(x-b) y ㉠ 또, 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=1 즉, 1-a=b, 1-b=a이므로 f(1-a)=4b에서 f(b)=4b f(1-b)=4a에서 f(a)=4a 따라서 a, b는 이차방정식 f(x)=4x, 즉 f(x)-4x=0의 두 근이므로 f(x)-4x=(x-a)(x-b) ㉠에 의하여 f(x)-4x=xÛ`-x-5 ∴ f(x)=xÛ`+px+q=xÛ`+3x-5 양변의 계수를 비교하면 p=3, q=-5 ∴ pÛ`+qÛ`=3Û`+(-5)Û`=34 ⓐ ⓑ ⓒ ⓐ ⓑ ⓒ [30%] [40%] [30%] 9-mn 이 유리수가 되어야 하므로 9-mn이 제곱수이어야 한다. ⓒ 이차함수 f(x)를 찾아 pÛ`+qÛ`의 값을 구한다. 'Ä 48 일등급 수학•고등 수학 (상) | 채점기준 | ⓐ xÛ`-x-5=0에서 근과 계수의 관계를 이용한다. ⓑ a, b가 f(x)-4x=0의 두 근임을 안다. [해] 05강_ok.indd 48 2017-09-20 오후 4:16:26 Ú a=2이면 두 식은 같은 이차방정식이 되어 2개의 공통근을 갖 ⓐ a= , bÛ`=-aÛ`+p+3=- +p+3 y ㉠ ;2P; pÛ` 4 II 05 이차 방정식 56 답 3 공통근을 b라 하면 bÛ`-ab+2a=0 y ㉠ bÛ`-2b+aÛ`=0 y ㉡ ㉡-㉠을 하면 (a-2)b+aÛ`-2a=0이므로 (a-2)(b+a)=0 는다. Û b=-a를 ㉠에 대입하면 (-a)Û`-a(-a)+2a=0에서 aÛ`+a=0 ∴ a=0 또는 a=-1 Ú, Û에 의하여 실수 a의 개수는 2, 0, -1의 3이다. | 채점기준 | ⓐ 공통근을 정하여 식을 세운다. ⓑ 세운 식에 따라 실수 a의 값을 구한다. ⓒ 실수 a의 개수를 구한다. ⓑ ⓒ [40%] [50%] [ 1 0%] 57 답 27 a는 이차방정식 xÛ`+5x-2=0의 한 근이므로 aÛ`+5a-2=0에서 aÛ`=-5a+2 이때, 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-5이므로 aÛ`-5b =(-5a+2)-5b =-5(a+b)+2=27 f(x-1)=(x-1)Û`-k(x-1)+k=xÛ`-(k+2)x+2k+1 58 답 ② a+b=ab=k( k는 실수)라 하자. 이때, f(x)=xÛ`-kx+k이므로 방정식 f(x-1)=0의 두 근이 c, d이므로 근과 계수의 관계에 의하여 c+d=k+2, cd=2k+1 ∴ cÛ`+dÛ`=(k+2)Û`-4k-2=kÛ`+2 따라서 cÛ`+dÛ Û`의 최솟값은 2이다. [다른 풀이] 이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이면 이차방정식 f(x-1)=0의 두 근은 a+1, b+1이므로 cÛ`+dÛ` =(a+1)Û`+(b+1)Û` =aÛ`+bÛ`+2(a+b)+2 =(a+b)Û`+2(a+b-ab)+2 =(a+b)Û`+2¾2 따라서 cÛ`+dÛ Û`의 최솟값은 2이다. 59 답 ② 복소수 a가 이차방정식 xÛ`-px+p+3=0의 한 근이면 aÕ도 근이므로 a=a+bi ( a, b는 실수, b+0 )라 하면 aÕ=a-bi이고, 근과 계수의 관계에 의하여 a+aÕ=2a=p, aaÕ=aÛ`+bÛ`=p+3 aÜ` =(a+bi)Ü`=aÜ`+3aÛ`bi-3abÛ`-bÜ`i =(aÜ`-3abÛ`)+(3aÛ`b-bÜ`)i 이때, aÜ`이 실수이므로 허수부분인 3aÛ`b-bÜ`=0이다. b+0이므로 bÛ`=3aÛ` y ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 pÛ` 4 - +p+3=3_ ` ∴ pÛ`-p-3=0 {;2P;} 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실수 p의 값의 곱은 -3이다. 이차방정식 xÛ`-px+p+3=0이 허근을 가지므로 이 이차방정식 [다른 풀이 ①] 의 판별식을 D라 하면 D=pÛ`-4(p+3)<0 ∴ -2<p<6 y ㉢ 이차방정식 xÛ`-px+p+3=0의 한 허근이 a이므로 aÛ`-pa+p+3=0이 성립한다. 즉, aÛ`=pa-p-3 aÜ` =aÛ`_a=paÛ`-(p+3)a =p(pa-p-3)-(p+3)a =(pÛ`-p-3)a-p(p+3) 이때, aÜ`은 실수, p(p+3)은 실수, a는 허수이므로 pÛ`-p-3=0이다. f(p)=pÛ`-p-3이라 하면 f(p)= p- { `- ;2!;} ;;Á4£;; 이고, 실수 p는 ㉢을 만족시켜야 하므로 함수 y=f(p)의 그래프는 그림과 같다. y=f{p} 1 2 -2 6 p Ú 축 p= 은 p축 위의 -2와 6 사이에 존재하고, ;2!; Û f(-2)>0, f(6)>0 Ü f <0이므로 실근이 존재한다. {;2!;} Ú ~ Ü에 의하여 pÛ`-p-3=0의 두 실근은 -2와 6 사이에 존재 따라서 aÜ`이 실수가 되는 모든 실수 p의 값의 곱은 근과 계수의 관계 한다. 에 의하여 -3이다. 정답 및 해설 49 [해] 05강_ok.indd 49 2017-09-20 오후 4:16:28 Û Û 이차방정식 xÛ`-px+p+3=0이 허근을 가지므로 이 이차방정식 3 =2이고 양변을 제곱하여 정리하면 이차방정식 xÛ`-px+p+3=0의 한 허근이 a이므로 근과 계수의 관계에 의하여 aÛ`-pa+p+3=0이고, aÛ`-pa+pÛ`=pÛ`-p-3이다. [다른 풀이 ②] 의 판별식을 D라 하면 D=pÛ`-4(p+3)<0 ∴ -2<p<6 식의 양변에 a+p를 각각 곱하면 aÜ`+pÜ`=(a+p)(pÛ`-p-3)이므로 aÜ`=(pÛ`-p-3)a-p(p+3)이다. 이때, aÜ`이 실수이므로 pÛ`-p-3=0이다. (이하 동일) 60 답 ⑤ 함수 f(x)는 이차항의 계수가 1이고 조건 (가)에서 이차방정식 f(x)=0의 두 근의 곱이 7이므로 f(x)=xÛ`+ax+7 ( a는 상수)이라 하자. 조건 (나)에서 xÛ`-3x+1=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=3, ab=1 ∴ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=7 조건 (나)에 의하여 f(a)+f(b) =(aÛ`+bÛ`)+a(a+b)+14=7+3a+14=3 따라서 f(x)=xÛ`-6x+7이므로 f(7)=14 ∴ a=-6 61 답 ③ 2+ ' a(2+ 3 은 이차방정식 axÛ`+ 3bx+c=0 y ㉠의 한 근이므로 ' 3 )Û`+ 3b(2+ ' ' ∴ (7a+3b+c)+(4a+2b) ' 3 )+c=0 3 =0 ' 이때, a, b, c가 유리수이므로 ㉠에 대입하면 a(xÛ`-2 3x-1)=0 이 이차방정식의 두 근은 x= 3Ñ2이다. ' ' 따라서 b=-2+ 3 이므로 a+ =2+ 3 + ' ;º!; ' 1 -2+ 3 ' =0 [다른 풀이 ①] t= 3x라 하면 주어진 방정식은 tÛ`+bt+c=0, ;3A; ' 즉 atÛ`+3bt+3c=0이다. 이 이차방정식은 한 근이 t= 3 (2+ 3 )=3+2 3 ' ' ' 이고 계수가 모두 유리수이므로 다른 한 근은 t=3-2 3 ' 따라서 주어진 방정식의 다른 한 근 b= = =-2+ 3 이므로 t 3 ' 3 3-2 ' 3 ' 3 ' + 1 -2+ 3 ' ' =0 a+ =2+ ;º!; 50 일등급 수학•고등 수학 (상) [다른 풀이 ②] a=2+ aÛ`-2 ' 3 에서 a- ' 3a-1=0 ' 즉, a는 이차방정식 a(xÛ`-2 3x-1)=0의 근이므로 ' 2+ 3 +b=2 3 ∴ b=-2+ 3 ' ' ∴ a+ =2+ 3 + ;º!; ' ' 1 -2+ 3 ' =0 일등급 켤레근의 성질을 이용하여 다른 한 근 구하기 AÕ를 A의 켤레근이라 하자. 즉, 유리수 p, q에 대하여 p+q 3 Ó=p-q 3 ' f(x)=axÛ`+ ' 한 근을 a=2+ ' ' 3bx+c ( a, b, c는 유리수)라 하고 3 이라 하면 f(a)=0이다. 즉, aaÛ`+ 3ba+c=0에서 ' ' aaÛ`+ 3ba+cÓ =aaÛ`Ó+ ' =aaÕ Û`- ' 이므로 f(-aÕ)=0이다. ∴ -aÕ=-(2- ' 3 )=-2+ 3 =b ' 3baÓ+cÕ=aÕ aÕ 3baÕ+c=a(-aÕ)Û`+ Û`+ ' 3 ÓbÕaÕ+cÕ 3b(-aÕ)+c=0 ' 62 답 240 점 P에서 직육면체의 겉면을 따라 점 Q에 도달하는 최단거리를 구 하기 위해 고려해야 할 경로를 다음과 같이 나누자. Ú 다음과 같은 경로로 이동하는 경우 H 1 D 1 P A E H H D1 P E H ´2 D A P H E a H E jK 4 C 4 Q G B 1 F ´2 [그림 1] G 3C a+4 G 2 F B Q 1 a@+8a+20 F G ' 길이가 1인 정사각형의 대각선으로 보면 PQÓ= (a+4)Û`+2Û`= aÛ`+8a+20 "à "Ã Û 다음과 같은 경로로 이동하는 경우 ´2 D A P H E a H A E jK 6 4 C 4 Q G B 1 F ´2 a+2 [그림 2] G C B Q F 1 G a@+4a+40 C G 그림의 전개도는 [그림 2]와 같으므로 DPÓ=FQÓ= 2 를 한 변의 길 ' 이가 1인 정사각형의 대각선으로 보면 PQÓ= (a+2)Û`+6Û`= aÛ`+4a+40 "à "à 7a+3b+c=0, 4a+2b=0 ∴ b=-2a, c=-a 그림의 전개도는 [그림 1]과 같으므로 DPÓ=FQÓ= 2 를 한 변의 [해] 05강_ok.indd 50 2017-09-20 오후 4:16:31 주어진 방정식의 근이 서로 다른 정수가 된다는 조건은 서로 다른 실 f(3)=9+2=11 근을 갖는다는 것이므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D>0 [다른 풀이] 한편, a>5이므로 Ú, Û에 의하여 (aÛ`+4a+40)-(aÛ`+8a+20)=-4a+20<0 즉, aÛ`+4a+40 이 최단거리이므로 "à aÛ`+4a+40 =2 '¶ "à aÛ`+4a+40=136 34 에서 aÛ`+4a-96=0 (a-8)(a+12)=0 ∴ a=8 ∴ 30a=240 63 답 24 근의 공식에 의하여 x= 5Ñ 'Ä 25-4m 2 y ㉠ 이어야 한다. 즉, D=25-4m>0 ∴ m< ;;ª4°;; 이때, m은 자연수이므로 가능한 값은 m=1, 2, 3, 4, 5, 6 y ㉡ 한편, 근이 정수가 되려면 25-4m이 유리수가 되어야 하므로 'Ä 25-4m y ㉢ 은 완전제곱수이다. m=4, m=6이다. ㉢에 ㉡을 대입하여 완전제곱수가 되게 하는 m을 찾아보면 ㉠에 m=4를 대입하면 x=1 또는 x=4 ㉠에 m=6을 대입하면 x=2 또는 x=3 ∴ m=4 또는 m=6 따라서 모든 자연수 m의 값의 곱은 4_6=24이다. 64 답 9 주어진 이차방정식이 중근을 가지므로 판별식을 D라 하면 D 4 =aÛ`(b-2)Û`-aÛ`(ab-2a-3)=0 aÛ`{(b-2)Û`-a(b-2)+3}=0 이때, a+0이므로 (b-2)Û`-a(b-2)+3=0 (b-2)(b-2-a)=-3 (b-2)(a-b+2)=3 한편, a, b는 자연수이므로 b-2=1 a-b+2=3 Ú g b-2=3 a-b+2=1 Û g 일 때, a=4, b=3 일 때, a=4, b=5 65 답 11 이차방정식 xÛ`+x+3=0의 두 근이 a, b이므로 xÛ`+x+3=(x-a)(x-b) y ㉠ 또한, 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-1, ab=3 한편, b=-a-1, a=-b-1이고 조건 (나)에 의하여 f(a)=b=-a-1, f(b)=a=-b-1 즉, 이차방정식 f(x)+x+1=0의 두 근이 a, b이므로 f(x)+x+1 =k(x-a)(x-b) =k(xÛ`+x+3) ( k는 상수) (∵ ㉠) f(x)=k(xÛ`+x+3)-x-1 y ㉡ 이때, 조건 (가)에서 f(1)=3이므로 ㉡의 양변에 x=1을 대입하면 f(1)=3=5k-2 ∴ k=1 따라서 f(x)=xÛ`+2이므로 II 05 이차 방정식 이차방정식 xÛ`+x+3=0의 두 근이 a, b이므로 xÛ`+x+3=(x-a)(x-b) 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-1, ab=3 조건 (나)에 의하여 f(a)=b의 양변에 a를 곱하면 a f(a)=ab=3 f(b)=a의 양변에 b를 곱하면 b f(b)=ab=3 조건 (가)에서 f(1)=3이므로 1_f(1)=3 이때, g(x)=x f(x)-3이라 하면 g(1)=g(a)=g(b)=0이므로 인수정리에 의하여 g(x) =k(x-1)(x-a)(x-b) =k(x-1)(xÛ`+x+3) =k(xÜ`+2x-3) ( k는 상수) ∴ x f(x)-3=k(xÜ`+2x-3) y ㉠ ㉠의 양변에 x=0을 대입하면 -3=-3k ∴ k=1 ㉠에 대입하여 정리하면 f(x)=xÛ`+2 ∴ f(3)=9+2=11 66 답 1 a가 이차방정식 xÛ`- 3x+1=0의 근이므로 ' aÛ`- 3a+1=0, 즉 aÛ`+1= 3a ' ' 양변을 제곱한 후 정리하면 aÝ`-aÛ`+1=0 (aÛ`+1)(aÝ`-aÛ`+1)=0 ∴ aß`=-1 이때, 1+a+aÛ`+y+a10 =1+a+y+aÞ`+aß`(1+a+y+aÝ`) =1+a+y+aÞ`-(1+a+y+aÝ`)=aÞ` 마찬가지로 b도 이차방정식 xÛ`- 3x+1=0의 근이므로 ' 1+b+bÛ`+y+b10=b5 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 ab=1이므로 구하는 식의 값은 정답 및 해설 51 Ú, Û에 의하여 a+b의 최댓값은 4+5=9 aÞ`bÞ`=(ab)Þ`=1Þ`=1 [해] 05강_ok.indd 51 2017-09-20 오후 4:16:32 67 답 ② 두 이차방정식 xÛ`+ax+b=0, axÛ`+bx+1=0의 공통인 실수해 06 이차방정식과 이차함수 문제편 69P 를 x=p라 하면 pÛ`+ap+b=0 y ㉠ apÛ`+bp+1=0 y ㉡ ㉠_p-㉡을 하면 pÜ`-1=0이므로 (p-1)(pÛ`+p+1)=0 이때, p는 실수이므로 p=1 이것을 ㉠에 대입하면 1+a+b=0 ∴ a+b=-1 68 답 6 주어진 이차방정식의 소수인 두 근을 p, q (pÉq)라 하면 근과 계수 의 관계에 의하여 p+q= , pq= 20 m n m 소수 p, q에 대하여 p+q는 4 이상의 자연수이므로 m=1, 2, 4, 5 Ú m=1이면 p+q=20이므로 p=3, q=17 ∴ pq=n=51 p=7, q=13 ∴ pq=n=91 Û m=2이면 p+q=10이므로 p=3, q=7에서 pq= =21 ∴ n=42 p=5, q=5에서 pq= =25 ∴ n=50 Ü m=4이면 p+q=5이므로 p=2, q=3에서 pq= =6 ∴ n=24 Ý m=5이면 p+q=4이므로 p=2, q=2에서 pq= =4 ∴ n=20 ;2N; ;2N; ;4N; ;5N; 따라서 순서쌍 (m, n)의 개수는 (1, 51), (1, 91), (2, 42), (2, 50), (4, 24), (5, 20) 의 6이다. 01 답 ④ 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프는 아래로 볼록하므로 a>0 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0에서 b<0 y절편이 x축의 아래쪽에 있으므로 c<0 이때, 이차함수 y=cxÛ`+bx+a의 그래프는 c<0이므로 위로 볼록하다. b<0에서 bc>0이므로 축이 y축의 왼쪽에 있다. a>0이므로 y절편이 x축의 위쪽에 있다. 따라서 y=cxÛ`+bx+a의 그래프의 개형은 ④와 같다. 02 답 ⑤ 이차함수 y=xÛ`-kx+k의 그래프가 x축과 한 점에서 만나므로 이 차방정식 xÛ`-kx+k=0이 중근을 갖는다. 이 이차방정식의 판별 식을 D라 하면 D=kÛ`-4k=0 k(k-4)=0 ∴ k=0 또는 k=4 따라서 모든 상수 k의 값의 합은 4이다. 03 답 ④ 이차함수 y=xÛ`-3x+4의 그래프와 직선 y=3x-a가 서로 다른 두 점에서 만나므로 이차방정식 xÛ`-3x+4=3x-a가 서로 다른 두 실근을 갖는다. 즉, xÛ`-6x+4+a=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =(-3)Û`-(4+a)>0 5-a>0 ∴ a<5 04 답 ③ 이차함수 y=(x-a)(ax-1)의 그래프와 직선 y=2x-2a가 접 하므로 이차방정식 (x-a)(ax-1)=2x-2a가 중근을 갖는다. 즉, (x-a)(ax-1)=2x-2a에서 (x-a)(ax-1)-2(x-a)=0 (x-a)(ax-3)=0 a= ∴ aÛ`=3 ;a#; 05 답 ③ 이차함수 f(x)=xÛ`-4x+a=(x-2)Û`+a-4는 이차항의 계수 가 양수이므로 x=2일 때 최솟값이 a-4이다. 즉, a-4=1에서 a=5 52 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 06강_OK.indd 52 2017-09-20 오후 4:18:01 06 답 ② 이차함수 f(x)=-xÛ`+2x=-(x-1)Û`+1은 이차항의 계수가 음수이므로 -1ÉxÉ1일 때 x=1에서 최댓값이 1이고, x=-2 ㉠을 ㉡에 대입하면 tÛ`=3(t-1)Û`이므로 ;4#; 3tÛ`-8t+4=0, (3t-2)(t-2)=0 07 답 ③ BFÓ=x (0<x<3)라 하면 FCÓ=3-x이고 삼각형의 닮음에 의하 일 때 최솟값이 -8이다. ∴ M-m=1-(-8)=9 여 DFÓ`:`FCÓ=4`:`3 ∴ DFÓ= FCÓ= (3-x) ;3$; ;3$; 이때, 사각형 EBFD의 넓이는 BFÓ_DFÓ= x(3-x)=- x- ;3$;{ ;2#;} Û`+3 (0<x<3) 따라서 x= 일 때, 사각형 EBFD의 넓이의 최댓값은 3이다. ;3$; ;2#; ∴ t= 또는 t=2 ;3@; ㉠에 의하여 a= 또는 a=3 ;3!; a> 이므로 a=3 ;2!; [다른 풀이] 그림과 같이 함수 II 06 이차 방정식과 이차함수 y=-(x-1)Û`+a의 그래프의 꼭짓점 을 A, 두 함수의 그래프의 교점을 C, 점 C에서 x축에 내린 수선의 발을 H, 점 A 에서 함수 y=-(x-1)Û`+a에 접하는 y a a 2 3 y= x@ 1 2 A B C O H1 x 직선과 직선 CH의 교점을 B라 하자. y=-{x-1}@+a 이때, 점 A의 y좌표가 a이고 점 C의 y좌표가 a이므로 ;3@; 08 답 ③ Ú a>0이면 y=axÛ`+bx+c의 그래프는 아래로 볼록하고, CHÓ=2BCÓ y ㉠ ABÓ=k(k>0)라 하면 OHÓ=1+k이고 y=ax+b의 그래프는 오른쪽 위를 향한다. 이를 만족시키는 한 BCÓ=kÛ`, CHÓ= (1+k)Û` y ㉡ 쌍의 그래프는 없다. Û a<0이면 y=axÛ`+bx+c의 그래프는 위로 볼록하고, ㉡을 ㉠에 대입하면 (1+k)Û`=2kÛ`이므로 3kÛ`-2k-1=0 y=ax+b의 그래프는 오른쪽 아래를 향한다. 이를 만족시키는 (3k+1)(k-1)=0 ∴ k=1 (∵ k>0 ) ;2!; ;2!; 한 쌍의 그래프는 ③이다. 09 답 10 x축과의 두 교점을 (-1, 0), (b, 0)이라 하면 함수 f(x)의 그래 따라서 점 C의 좌표가 (2, 2)이므로 y좌표는 a=2 ;3@; ∴ a=3 프의 축이 직선 x=2이므로 -1+b 2 =2 ∴ b=5 이차방정식 f(x)=0의 두 실근이 -1, 5이므로 f(x)=axÛ`+bx+c=a(x+1)(x-5) y ㉠ 또한, a+b+c=16에서 f(1)=a+b+c=16 ㉠에 x=1을 대입하면 f(1)=a(1+1)(1-5)=-8a=16 ∴ a=-2 따라서 f(x)=-2(x+1)(x-5)이므로 f(4)=-2(4+1)(4-5)=10 10 답 3 11 답 ① y=axÛ`+bx+c의 그래프의 꼭짓점이 (1, 8) 이고 x축이 그래프에 의하여 잘린 선분의 길이 가 4이므로 그림과 같이 y=axÛ`+bx+c의 그 래프는 x축과 두 점 (3, 0), (-1, 0)에서 만 난다. 즉, y=axÛ`+bx+c=a(x-3)(x+1) 꼭짓점이 (1, 8)이므로 8=a(1-3)(1+1)=-4a ∴ a=-2 y {1, 8} -1 2 O 4 3 2 x 따라서 y=axÛ`+bx+c=-2(x-3)(x+1)=-2xÛ`+4x+6이 므로 a=-2, b=4, c=6 ∴ abc=-48 12 답 ⑤ 이차함수 y=xÛ`-2ax+3a+1의 그래프의 축이 x=a이고 제 1 사분면에서 만나는 점의 좌표를 { t, a ;3@; } 라 하면 ABÓ=6이므로 이차방정식 xÛ`-2ax+3a+1=0의 실근은 a+3, a= tÛ`, a=-(t-1)Û`+a이므로 ;3@; ;2!; ;3@; a= tÛ` y ㉠, a=3(t-1)Û` y ㉡ ;4#; a-3이다. 근과 계수의 관계에 의하여 (a+3)(a-3)=3a+1이므로 aÛ`-3a-10=0 (a+2)(a-5)=0 ∴ a=5 (∵ a>0 ) 정답 및 해설 53 [해] 06강_OK.indd 53 2017-09-20 오후 4:18:04 [다른 풀이] 이차함수 y=xÛ`-2ax+3a+1의 그래프가 x축과 만나는 두 점을 A(a, 0), B(b, 0)이라 하면 이차방정식 xÛ`-2ax+3a+1=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=2a, ab=3a+1 y ㉠ 이때, ABÓ=6이 되려면 |a-b|=6이어야 하므로 양변을 제곱하면 (a-b)Û`=36에서 (a+b)Û`-4ab=36 ㉠을 대입하면 4aÛ`-12a-4=36이므로 aÛ`-3a-10=0 (a+2)(a-5)=0 ∴ a=5 (∵ a>0 ) 13 답 ④ 이차함수 y=xÛ`-2ax+b의 그래프의 축이 x=a이므로 x축과 점 (a+3, 0)에서 만나면 x축과 만나는 다른 한 점의 좌표는 이때, 이차방정식 xÛ`-2ax+b=0의 두 실근이 -2, 4이므로 (a-3, 0)이다. 즉, a-3=-2이므로 a=1 y ㉠ 근과 계수의 관계에 의하여 b=-2_4=-8 y ㉡ ㉠, ㉡에서 a-b=1-(-8)=9 [다른 풀이] -2와 a+3이 이차방정식 xÛ`-2ax+b=0의 두 근이므로 x=-2를 대입하면 (-2)Û`-2a_(-2)+b=0 ∴ b=-4a-4 y ㉠ x=a+3을 대입하면 (a+3)Û`-2a(a+3)+b=0 ∴ b=aÛ`-9 y ㉡ ㉠, ㉡을 연립하면 aÛ`+4a-5=0 ( a-1)(a+5)=0 이때, 서로 다른 두 실근이 -2, a+3이고 a+3+-2이므로 a+-5 ∴ a=1, b=-8 (∵ ㉠) ∴ a-b=1-(-8)=9 14 답 ② 이차방정식 2x+k=xÛ`, 즉 xÛ`-2x-k=0의 두 근을 a, b라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=2, ab=-k 10 이므로 a-2b)Û`=2 10 '¶ 이의 거리가 2 '¶ (a-b)Û`+(2 "à 5(a-b)Û`=2 "à ∴ |a-b|=2 10 '¶ 2 ' 이때, (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab이므로 (2 2 )Û`=2Û`-4_(-k), 8=4+4k ∴ k=1 ' 54 일등급 수학•고등 수학 (상) 15 답 ② 곡선 y=xÛ`-x-1과 직선 y=2x+1의 교점의 x좌표는 이차방정식 xÛ`-x-1=2x+1, 즉 xÛ`-3x-2=0의 두 근이 a, c 이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+c=3, ac=-2 또, P(a, b), Q(c, d)가 직선 y=2x+1 위의 점이므로 b=2a+1, d=2c+1 ∴ bd =(2a+1)(2c+1)=4ac+2(a+c)+1 =4_(-2)+2_3+1=-1 16 답 ⑤ 이차방정식 xÛ`+b=ax, 즉 xÛ`-ax+b=0의 한 근이 2+ 3 이다. ' 이때, a, b가 유리수이므로 방정식 xÛ`-ax+b=0의 다른 한 근은 3 이다. 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 3 )+(2- 3 )=4, b=(2+ 3 )_(2- 3 )=1 ' ' ' 2- ' a=(2+ ' ∴ a+b=5 17 답 ④ 이차함수 y=xÛ`-2ax+aÛ`+2a-1의 그래프가 직선 y=mx+n 과 접하므로 이차방정식 xÛ`-2ax+aÛ`+2a-1=mx+n, 즉 xÛ`-(2a+m)x+aÛ`+2a-n-1=0의 판별식을 D라 하면 D =(2a+m)Û`-4(aÛ`+2a-n-1) =4am+mÛ`-8a+4n+4 =(4m-8)a+mÛ`+4n+4=0 이 식이 a의 값에 관계없이 성립하므로 4m-8=0이고, mÛ`+4n+4=0 두 식을 연립하여 풀면 m=2, n=-2 ∴ m+n=0 18 답 ④ 이차함수 y=f(x)의 그래프가 일차함수 y=h(x)의 그래프와 x=p에서 접하므로 이차방정식 f(x)-h(x)=0은 x=p인 중근 을 갖는다. 이때, 조건 (가)에서 이차함수 y=f(x)의 이차항의 계수 는 1이므로 f(x)-h(x)=(x-p)Û` ∴ f(x)=(x-p)Û`+h(x) y ㉠ 같은 방법으로 g(x)=4(x-4p)Û`+h(x) y ㉡ f(x)-g(x) =(x-p)Û`-4(x-4p)Û`=(x-p)Û`-(2x-8p)Û` =(3x-9p)(-x+7p)=-3(x-3p)(x-7p) =0 따라서 a, b의 값은 a=3p, b=7p 또는 a=7p, b=3p이므로 |a-b| p = |Ñ4p| p 4p p = (∵ p>0 )=4 두 그래프의 교점의 좌표는 (a, 2a+k), (b, 2b+k)이고 두 점 사 ㉠, ㉡에서 한편, 조건 (나)에서 방정식 f(x)=g(x)의 두 근이 a, b이므로 [해] 06강_OK.indd 54 2017-09-20 오후 4:18:05 à 19 답 ⑤ 주어진 조건을 만족시키려면 f(x)=xÛ`-mx+1이라 할 때, 21 답 ① 이차방정식 ax(x-4)=13의 근은 이차함수 함수 f(x)의 그래프가 그림과 같아야 한다. f(x)=ax(x-4)-13의 그래프와 x축의 교점의 x좌표이다. f{x}=x@-mx+1 이차함수 f(x)는 축이 x=2이고 a의 값에 관계없이 두 점 -1 -2 x f(-2)=4+2m+1>0에서 m>- ;2%; m<-2 f(-1)=1+m+1<0에서 ∴ - <m<-2 ;2%; 20 답 ③ f(x)=xÛ`-2x+a=(x-1)Û`+a-1이라 하면 y=f(x)의 그래 프의 꼭짓점의 좌표가 (1, a-1)이다. 따라서 a의 값에 따라 y=(x-1)Û`+a-1의 그래프는 다음과 같다. y={x-1}@ y y={x-1}@+a-1 y={x-1}@-9 2 -2 O 1 x y=f(x)의 그래프와 x축의 교점의 x좌표가 -2와 2 사이에 적어 도 하나 존재하려면 f(1)É0이고, f(-2)>0이어야 한다. f(1)=a-1É0에서 aÉ1 a>-8 f(-2)=8+a>0에서 따라서 -8<aÉ1이므로 a=-8, b=1 ∴ b-a=9 [다른 풀이] 즉, -1É-a<8에서 -8<aÉ1 ∴ b-a=9 y y=x@-2x 8 y=-a -2 O 1 2 x y=-a -1 (0, -13), (4, -13)을 지나므로 서로 다른 두 근이 모두 3보다 작으려면 그림과 같이 a<0이고, f(2)>0, f(3)<0 을 만족시키면 된다. y 3 4 O 2 x II 06 이차 방정식과 이차함수 -13 f{x}=ax{x-4}-13 f(2)=-4a-13>0 ∴ a<- y ㉠ f(3)=-3a-13<0 ∴ a>- y ㉡ ;;Á4£;; ;;Á3£;; ㉠, ㉡에서 - ;;Á3£;; <a<- ;;Á4£;; 따라서 정수 a의 값은 -4이다. 22 답 ① f(x)=xÛ`-2ax+2a=(x-a)Û`-aÛ`+2a이므로 x=a일 때, f(x)의 최솟값은 -aÛ`+2a이다. ∴ g(a)=-aÛ`+2a=-(a-1)Û`+1 따라서 g(a)의 최댓값은 g(1)=1이다. 23 답 ② 이차함수 y=xÛ`-3ax+4a와 직선 y=ax+b가 접하므로 이차방정식 xÛ`-3ax+4a=ax+b가 중근을 갖는다. 이차방정식 xÛ`-4ax+4a-b=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =4aÛ`-4a+b=0이므로 b=-4aÛ`+4a=-4 a- Û` +1 { ;2!;} 따라서 실수 b는 이차항의 계수가 음수이고 축이 a= 인 이차함수 ;2!; 이므로 a= 일 때, b의 최댓값은 1이다. ;2!; 24 답 ④ 두 점 A(a, b), B(b, a)를 지나는 직선의 방정식이 y=-x+a+b이므로 이차함수 y=xÛ`-5x+p의 그래프가 서로 다른 두 점 A(a, b), B(b, a)를 지난다는 것은 이차방정식 xÛ`-5x+p=-x+a+b, 즉 xÛ`-4x+p-a-b=0 이 서로 다른 두 실근 a, b를 가진다는 것이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=4 xÛ`-4x+p-4=0에서 p=-xÛ`+4x+4 이차함수 y=-xÛ`+4x+4=-(x-2)Û`+8은 x=2에서 최댓값 8을 가지므로 p<8 따라서 정수 p의 최댓값은 7이다. 정답 및 해설 55 xÛ`-2x=-a라 하면 그림과 같이 -2ÉxÉ2에서 즉, 함수 y=-xÛ`+4x+4의 그래프와 직선 y=p가 서로 다른 두 y=xÛ`-2x, y=-a의 교점 중 적어도 하나가 존재하면 된다. 교점을 갖는다는 것이다. [해] 06강_OK.indd 55 2017-09-20 오후 4:18:08 A H R C 10 Q B r 8-r P aÛ`-5a+p=b, bÛ`-5b+p=a에서 두 식을 변끼리 빼면 [다른 풀이] aÛ`-bÛ`-5(a-b)=b-a (a-b)(a+b-4)=0 이때, a+b이므로 a+b=4 ∴ p =b-aÛ`+5a=4-a-aÛ`+5a =-(a-2)Û`+8<8 (∵ a=2이면 b=2 ) 따라서 정수 p의 최댓값은 7이다. 25 답 14 조건 (가)에서 f(x)=a(x+3)(x-5)이고 축이 x=1인 이차함 수임을 알 수 있다. 조건 (나)에서 -3<2ÉxÉ4<5인 구간에서의 함숫값이 양수이므 로 그래프가 위로 볼록한 이차함수이다. 즉, a<0이므로 이차함수 f(x)의 최댓값은 f(2)=a(2+3)(2-5)=-15a=30 ∴ a=-2 ∴ f(-2)=-2(-2+3)(-2-5)=14 29 답 6 BPÓ=r (0<r<8)라 하고 점 Q에서 선분 AC에 내린 수선의 발을 H라 하면 PCÓ=RCÓ=8-r HCÓ= BQÓ= ;5#; r` ;5#; HRÓ=HCÓ-RCÓ= r-8 y ㉠ ;5*; AQÓ=10-r` QHÓ= AQÓ= (10-r) y ㉡ ;5$; ;5$; ㉠, ㉡에 의하여 Û`=HRÓ QRÓ Û`+QHÓ Û` = ;2^5$; = ;2!5^; = ;2!5^; = ;;Á5¤;; (r-5)Û`+ (10-r)Û` ;2!5^; {4(r-5)Û`+(10-r)Û`} (5rÛ`-60r+200) (rÛ`-12r+40) 26 답 ② (x-1)Û`+yÛ`=4에서 yÛ`=4-(x-1)Û` 이때, x, y가 실수이므로 yÛ`=4-(x-1)Û`¾0 (x-1)Û`É4 -2Éx-1É2 ∴ -1ÉxÉ3 한편, xÛ`+2yÛ`=xÛ`+2{4-(x-1)Û`}=-xÛ`+4x+6에서 f(x)=-xÛ`+4x+6=-(x-2)Û`+10 (-1ÉxÉ3)이라 하면 이차함수 f(x)는 이차항의 계수가 음수이므로 x=2일 때 최댓값을 ∴ |a|>|b| 이차함수 따라서 r=6, 즉 BPÓ=6일 때 QRÓ Û`의 값은 최소이다. 30 답 ① 주어진 일차함수 y=ax+b의 그래프에서 기울기 a와 y절편 b를 보 면 a>0, b<0 y ㉠ 또, x=1일 때, y의 값이 양수이므로 a+b>0 y ㉡ y=xÛ`-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b) 이므로 ㉠, ㉡을 만족시키는 그래프는 그림과 같다. y b O a x 31 답 ① 모든 실수 x에 대하여 f(4-x)=f(2+x)를 만족시키므로 x=0을 대입하면 f(4)=f(2) 함수 f(x)는 축이 x=3이고 아래로 볼록한 이차함수이므로 축과의 거리가 멀수록 함숫값은 커진다. 따라서 f(3)< f(2)=f(4)< f(1)< f(0)이므로 함숫값이 가장 큰 것은 f(0)이다. 32 답 ④ y=xÛ`-2ax+aÛ`+a-1=(x-a)Û`+a-1 이 그래프의 꼭짓점 (a, a-1)이 제 4 사분면 위에 있으므로 갖는다. M=f(2)=10, m=f(-1)=1 ∴ M+m=11 27 답 ⑤ f(x)=xÛ`-4x+2=(x-2)Û`-2 0ÉxÉ3에서 -2Éf(x)É2이므로 f(x)=t라 하면 f( f(x))=f(t)=tÛ`-4t+2=(t-2)Û`-2 (-2ÉtÉ2) 따라서 t=2일 때, f( f(x))의 최솟값은 -2이다. 28 답 ④ OAÓ=1, OBÓ=2에서 y=axÛ`+bx+c의 그래프는 두 점 A(1, 0), B(0, 2)를 지나므로 a+b+c=0, c=2 ∴ b=-a-2 ab=a(-a-2)=-aÛ`-2a=-(a+1)Û`+1 따라서 a=-1일 때, ab의 최댓값은 1이다. a>0, a-1<0 ∴ 0<a<1 56 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 06강_OK.indd 56 2017-09-20 오후 4:18:10 Ó 33 답 ① 이차함수 y=xÛ`+ax-2a를 a에 대하여 정리하면 (x-2)a+xÛ`-y=0 이 식이 a의 값에 관계없이 항상 성립하므로 x-2=0, xÛ`-y=0 ∴ x=2, y=4 즉, 점 P(2, 4)가 주어진 이차함수의 그래프의 꼭짓점이므로 y=xÛ`+ax-2a=(x-2)Û`+4=xÛ`-4x+8 ∴ a=-4 34 답 1 각각의 주어진 거리가 이차함수 y=f(x)와 x축, 즉 y=0과 y=6, y=16과의 교점의 x좌표의 차이므로 이차함수 y=f(x)의 축에는 무관함을 알 수 있다. 즉, 이 이차함수의 축을 x=0이라 해도 문제 의 답을 구하는 데에는 무관하다. 36 답 ④ 방정식 f(x)+g(x)=0에서 f(x)=-g(x)이므로 두 함수 y=f(x), y=-g(x)의 그래프를 그려 y=f{x} 보면 그림과 같다. 따라서 f(x)+g(x)=0의 해 는 `y=f(x)와 y=-g(x)의 그래프의 교점의 x좌표이다. ∴ xÁ<a<xª0이므로 하면 이차방정식 axÛ`+bx+c=mx, 즉 axÛ`+(b-m)x+c=0 따라서 ㉠, ㉡에 의하여 -3<aÉ1 의 두 근이 2, 5이므로 두 근의 곱은 =10이다. ;aC; 또, 원점을 지나는 다른 직선을 y=nx라 하면 이차방정식 axÛ`+bx+c=nx, 즉 axÛ`+(b-n)x+c=0이 중근 44 답 11 f(x)=xÛ`+ax+b=0의 한 근은 -3과 0사이에 있고, 다른 한 근 은 0과 2 사이에 있으므로 함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같아야 을 가지므로 두 근의 곱은 =10으로 항상 일정하다. ;aC; 한다. 즉, a-1É0에서 aÉ1 y ㉠ f(3)>0에서 a>-3 y ㉡ 따라서 aÛ`=10, bÛ`=10이므로 aÛ`+bÛ`=20 42 답 3 두 점 B, C의 x좌표를 각각 a, b라 하고 점 B에서 함수 y=xÛ`에 접 하는 직선의 방정식을 y=ax+b라 하자. 이차방정식 xÛ`=ax+b 는 x=a를 중근으로 가지므로 xÛ`-ax-b=(x-a)Û`에서 ax+b=xÛ`-(x-a)Û` 점 B에서 함수 y=xÛ`에 접하는 직선의 방정식은 y=xÛ`-(x-a)Û` y ㉠ 마찬가지로 점 C에서 함수 y=xÛ`에 접하는 직선의 방정식은 y=xÛ`-(x-b)Û` y ㉡ ㉠과 ㉡의 두 직선이 모두 점 A , -2 를 지나므로 {;2!; } -2= {;2!;} `- -a } {;2!; ` y ㉢ -2= {;2!;} `- -b } {;2!; ` y ㉣ 즉, 이차방정식 -2= `- {;2!;} {;2!; } -x `의 두 실근이 a, b이다. y y=f{x} -3 O 2 x f(-3)=9-3a+b>0 y ㉠ f(0)=b<0 y ㉡ f(2)=4+2a+b>0 y ㉢ ㉠, ㉡에서 3a-9<b<0이므로 a<3 ㉡, ㉢에서 -2a-4<b<0이므로 a>-2 ∴ -2<a<3 Ú a=-1일 때, (-1, -1)이다. Û a=0일 때, ㉡, ㉢에서 -2<b<0이므로 순서쌍 (a, b)는 ㉡, ㉢에서 -4<b<0이므로 순서쌍 (a, b)는 (0, -3), (0, -2), (0, -1)이다. Ü a=1일 때, ㉡, ㉢에서 -6<b<0이므로 순서쌍 (a, b)는 (1, -5), (1, -4), (1, -3), (1, -2), (1, -1)이다. (2, -2), (2, -1)이다. 따라서 Ú ~ Ý에 의하여 순서쌍 (a, b)의 개수는 11이다. -2= {;2!;} `- -x } {;2!; `, 즉 xÛ`=x+2이므로 이차함수 y=xÛ` 의 Ý a=2일 때, 그래프와 직선 y=x+2의 교점의 x좌표가 a, b이다. ㉠, ㉡에서 -3<b<0이므로 순서쌍 (a, b)는 따라서 mx+n=x+2이므로 m+n=1+2=3 58 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 06강_OK.indd 58 2017-09-20 오후 4:18:14 Û Û Û Û Û Û Û Û 3 x ∴ a= ;2#; 그런데 a>2이므로 모순이다. Ú ~ Ý에 의하여 모든 상수 a의 값의 합은 (2- 2 )+ 2=2이다. ' ' II 06 이차 방정식과 이차함수 y=x@ y 4 A P O 2 x y=2x+k 45 답 ③ 이차함수 f(x)=xÛ`+ax+b의 이차항의 계수가 양수이고 x의 값 의 범위가 0Éx<3이므로 x=0에서 최댓값을 가지고 0<x<3에 서 최솟값을 가져야 함을 알 수 있다. 이때, 최솟값이 이차함수의 꼭짓점의 y좌표 y=f{x} 이어야 하므로 그림과 같은 이차함수 y=f(x)의 그래프를 생각해 보면 f(x)=(x- ' ∴ a+b=2-2 3 ' 3 )Û`-1=xÛ`-2 3x+2 ' y 2 3 -1 O ´3 46 답 1 임의의 실수 xÁ, xª에 대하여 f(xÁ)æ¾g(xª)를 만족시키려면 f(x) 의 최솟값이 g(x)의 최댓값보다 크거나 같으면 된다. 즉, f(x) =(x-1)Û`+1¾1 g(x)=-(x+a)Û`+aÛ`-2a+2ÉaÛ`-2a+2 에서 aÛ`-2a+2É1이므로 (a-1)Û`É0 ∴ a=1 47 답 ⑤ f(x)=xÛ`-2x+a=(x-1)Û`+a-1은 x=1일 때 최솟값 a-1 을 갖는다. ∴ f(x)¾æa-1 f(x)=t라 하면 f( f(x))=f(t)=tÛ`-2t+a (t¾æa-1)의 꼭짓점의 t좌표 1이 Ú 1¾a-1일 때, f(t)의 최솟값이 f(1)=a-1이 되어 f(x)의 최솟값과 같아지므로 1¾æa-1 ∴ aÉ2 Ü 1<aÉ2일 때, 최댓값은 f(0), 최솟값은 f(a)이므로 f(0)-f(a)=aÛ`-0=2 ∴ a= 2 (∵ a>1 ) ' Ý a>2일 때, 최댓값은 f(0), 최솟값은 f(2)이므로 f(0)-f(2)=aÛ`-(4-4a+aÛ`)=2 49 답 ④ 직선 OA의 방정식은 y=2x 직선 OA와 평행하면서 y=xÛ`의 그래프 에 접하는 직선의 방정식을 y=2x+k라 하면 xÛ`=2x+k에서 xÛ`-2x-k=0 y ㉠ 직선과 이차함수의 그래프가 접하므로 ㉠의 판별식을 D라 하면 D 4 =1+k=0 ∴ k=-1 k=-1을 ㉠에 대입하면 xÛ`-2x+1=0 (x-1)Û`=0 ∴ x=1 따라서 점 P의 좌표는 (1, 1)이므로 t=1 50 답 300 삼각형 ABC가 직각삼각형이고 ABÓ=4, ACÓ=3이므로 Û a-1>1일 때, f(a-1)=a-1이면 최솟값이 같아지므로 BCÓ=5이다. f(a-1)=(a-2)Û`+a-1=a-1에서 a=2 세 삼각형 ABC, APR, QBP가 모두 닮음이므로 a=2는 a>2를 만족시키지 않으므로 모순이다. 삼각형 APR의 세 변의 길이를 Ú, Û에 의하여 aÉ2 48 답 2 f(x)=xÛ`-2ax+aÛ`=(x-a)Û`이므로 꼭짓점의 좌표가 (a, 0)이 다. a의 값의 범위를 나누어서 조건에 맞는 a의 값을 구하자. Ú a<0일 때, 최댓값은 f(2), 최솟값은 f(0)이므로 f(2)-f(0)=4-4a+aÛ`-aÛ`=2 ∴ a= ;2!; 그런데 a<0이므로 모순이다. Û 0ÉaÉ1일 때, 최댓값은 f(2), 최솟값은 f(a)이므로 f(2)-f(a)=4-4a+aÛ`-0=2 ∴ a=2- 2 (∵ aÉ1 ) ' APÓ=4a, ARÓ=3a, PRÓ=5a (a>0) 삼각형 QBP의 세 변의 길이를 QBÓ=4b, QPÓ=3b, BPÓ=5b (b>0) 라 하자. APÓ+BPÓ=ABÓ이므로 4a+5b=4 y ㉠ S= {5a+( 5-4b)}_3b ;2!; = 5 1- ;2!;[ { b } ;4%; +(5-4b) _3b (∵ ㉠) ] = b { ;2#; 10- b { } ;;¢4Á;; 0<b< ;4%;} QCÓ=5-QBÓ=5-4b이므로 사다리꼴 PQCR의 넓이를 S라 하면 따라서 사각형 PQCR의 넓이는 b= 일 때, 최댓값 을 가지 ;4@1); ;;Á4°1¼;; 므로 82M=300 정답 및 해설 59 [해] 06강_OK.indd 59 2017-09-20 오후 4:18:16 51 답 9 이차방정식 xÛ`+2(a-2)x+aÛ`-a+10=0 y ㉠ [다른 풀이] AEÓ=x (0<x<6)라 하면 이 두 실근을 가져야 하므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 EDÓ=12-x이고, AFÓ Û` AEÓ = DCÓ Û` EDÓ 이므로 3 xÛ` = 12 (12-x)Û` (12-x)Û`=4xÛ` xÛ`+8x-48=0 (x-4)(x+12)=0 ∴ x=4 (∵ 0<x<6) =(a-2)Û`-(aÛ`-a+10)=-3a-6¾0 D 4 ∴ aÉ-2 이차방정식 ㉠에서 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-2a+4, ab=aÛ`-a+10 ∴ (a-1)(b-1) =ab-(a+b)+1=aÛ`-a+10+2a-4+1 =aÛ`+a+7 따라서 y=aÛ`+a+7의 이차항의 계수가 양수이고 a=- 이 ;2!; 축이므로 aÉ-2에서 a=-2일 때 (a-1)(b-1)의 최솟값은 9이다. | 채점기준 | ⓐ 이차방정식이 실근을 가질 조건을 이용한다. ⓑ 근과 계수의 관계를 이용하여 a의 이차식을 세운다. ⓒ (a-1)(b-1)의 최솟값을 구한다. ⓐ ⓑ ⓒ [40%] [50%] [ 1 0 %] 53 답 2 직선 y=kx-ka+aÛ`이 이차함수 y=xÛ`+2x-4의 그래프와 만나 므로 방정식 xÛ`+2x-4=kx-ka+aÛ`이 실근을 갖는다. 즉, xÛ`+(2-k)x+ka-aÛ`-4=0의 판별식을 D라 하면 D=(k-2)Û`+4(aÛ`-ka+4)¾0이므로 kÛ`-4(a+1)k+4aÛ`+20¾0 이 부등식이 실수 k의 값에 관계없이 성립한다는 것은 이차함수 y=kÛ`-4(a+1)k+4aÛ`+20의 최솟값이 0 이상이어야 ⓐ ⓑ ⓒ [40%] [30%] 52 답 4 정사각형 ABCD를 좌표평면 위에 x축, y축의 양의 방향으로 나타 한다. 내면 그림과 같다. 이차항의 계수가 양수이고 축이 k=2(a+1)이므로 y A{0,12} F{0,9} E{k,12} D{12,12} B{O} k C{12,0} x k=2(a+1)일 때 최솟값은 4(a+1)Û`-8(a+1)Û`+4aÛ`+20¾0 -8a+16¾0 ∴ aÉ2 따라서 실수 a의 최댓값은 2이다. B(0, 0), C(12, 0), F(0, 9), E(k, 12)라 하면 주어진 이차함수 는 꼭짓점이 E이므로 y=a(x-k)Û`+12 이때, 점 F(0, 9)를 지나므로 9=a(0-k)Û`+12 akÛ`=`-3 ∴ a=- y ㉠ 3 kÛ` 0=a(12-k)Û`+12 y ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면 kÛ`+8k-48=0 또, 이차함수의 그래프가 점 C(12, 0)을 지나므로 | 채점기준 | ⓐ 일차식과 이차식을 연립한 이차방정식이 실근을 가질 조건을 찾는다. [30%] ⓑ 이차함수의 최솟값이 0 이상일 조건을 구한다. ⓐ ⓒ 실수 a의 최댓값을 구한다. [다른 풀이] 직선 y=kx-ka+aÛ`=k(x-a)+aÛ`은 실수 k의 값에 관계없이 점 (a, aÛ`)을 지나고 기울기가 k인 직선이다. 이때, 점 (a, aÛ`)은 이차함수 y=xÛ` 위의 y=x@ y 점이므로 기울기 k의 값에 관계없이 이차 함수 y=xÛ`+2x-4의 그래프와 만나려면 그림의 색칠한 부분에 점 (a, aÛ`)이 있어야 한다. (경계선 포함) O x y=x@+2x-4 즉, 점 (a, aÛ`)의 x좌표인 a의 최댓값은 두 이차함수 y=xÛ`과 y=xÛ`+2x-4의 그래프의 교점의 x좌표이므로 (k+12)(k-4)=0 ∴ k=4 (∵ k>0 ) ∴ AEÓ=k=4 ⓑ ⓒ | 채점기준 | ⓐ 도형을 좌표평면 위에 나타내어 이차함수의 식을 세운다. [40%] ⓑ 이차함수가 점 F와 점 C를 지남을 이용하여 이차방정식을 세운다. [50%] xÛ`=xÛ`+2x-4 ∴ x=2 ⓒ 선분 AE의 길이를 구한다. [ 1 0 %] 따라서 실수 a의 최댓값은 2이다. 60 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 06강_OK.indd 60 2017-09-20 오후 4:18:18 54 답 ⑤ ㄱ. a=b이면 f(x)=(x-a)Û`이므로 모든 실수 x에 대하여 56 답 ⑤ ㄱ. 임의의 실수 x에 대하여 f(x)>g(x)이므로 f(x)¾0이다. (참) xÛ`-ax+b>ax+2b ∴ xÛ`-2ax-b>0 (참) ㄴ. 이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이고 이차함수 f(x)는 아 ㄴ. xÛ`-2ax-b>0이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 래로 볼록하므로 x= 일 때 최솟값을 갖는다. (참) xÛ`-2ax-b=0의 판별식을 D라 하면 =aÛ`+b<0 a+b 2 ㄷ. 이차함수 f(x)는 아래로 볼록하고, f { a+b 2 } 를 최솟값으로 가지고, 0<a<b에서 a-b 2 < b-a 2 < a+b 2 이므로 a-b 2 f { >f { } b-a 2 >f { } a+b 2 } ∴ f { b-a 2 - +aÛ` (∵ b<-aÛ`)= aÛ`¾0 ;4#; aÛ` 4 { ∴ - +b>2b aÛ` 4 즉, 함수 y=f(x)의 그래프의 꼭짓점의 y좌표는 직선 y=g(x) II 06 이차 방정식과 이차함수 의 y절편보다 크다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 57 답 750 벽면 135æ A x X y x 45æ Y B 150-2x-y C 그림과 같이 직사각형의 세로와 가로의 길이를 각각 x, y라 하면 X의 넓이는 xy이다. 철망의 길이가 150이므로 사다리꼴의 아랫변의 길이는 점 A에서 사다리꼴 Y의 아랫변에 내린 수선의 발을 B라 하면 150-2x-y ABÓ=x ∠CAB=45ù이므로 BCÓ=x` 사다리꼴 Y의 윗변의 길이는 (150-2x-y)-x=150-3x-y 이때, Y의 넓이는 x{(150-3x-y)+(150-2x-y)}= x(300-5x-2y) ;2!; ;2!; 한편, X의 넓이는 Y의 넓이의 2배이므로 xy=x(300-5x-2y)에서 y=100- x ;3%; xy= x 100- ;2!; { x =- ;3%; } ;6%; ;2!; xÛ`+50x =- (x-30)Û`+750 ;6%; 따라서 x=30일 때, Y의 넓이의 최댓값 S는 750이다. 정답 및 해설 61 ㉠에 의하여 aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=-2k+6이므로 즉, Y의 넓이는 [해] 06강_OK.indd 61 2017-09-20 오후 4:18:21 Û Û Û Û Û 58 답 ④ ㄱ. 이차함수 y=-xÛ`+ax+b의 그래프가 x축과 만나지 않으므로 60 답 22 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프의 교점의 x좌표를 a, b라 하 이차방정식 -xÛ`+ax+b=0은 실근을 갖지 않는다. 따라서 이 면 방정식 f(x)-g(x)=0의 해는 x=a 또는 x=b이다. 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=aÛ`+4b<0 (거짓) 즉, f(x)-g(x)=xÛ`+(a-b)x+2(b-a)이므로 b-a=t (t>0)라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 ㄴ. 이차항의 계수가 음수인 이차함수의 그래프가 x축과 만나지 않 a+b=b-a=t, ab=2(b-a)=2t y ㉠ 는다는 것은 함수 y=-xÛ`+ax+b<0을 항상 만족시키는 것 한편, 직선 y=g(x)의 기울기가 b이므로 이므로 임의의 실수 k에 대하여 -kÛ`+ak+b<0 ∴ kÛ`>ak+b (참) ABÓ=|a-b| bÛ`+1 이때, ABÓ=3 "à "à bÛ`+1이므로 |a-b|=3 y ㉡ ㄷ. ㄱ의 aÛ`<-4b의 양변에서 (b-1)Û`을 빼면 |a-b|Û`=(a+b)Û`-4ab이므로 ㉠, ㉡을 대입하면 aÛ`-(b-1)Û` <-4b-(b-1)Û`=-bÛ`-2b-1 =`-(b+1)Û`É0 9=tÛ`-8t에서 tÛ`-8t-9=0 따라서 aÛ`-(b-1)Û`<0이므로 aÛ`<(b-1)Û`에서 (t+1)(t-9)=0 ∴ t=9 (∵ t>0 ) ∴ f(-2)=4-2a+2b=4+2t=22 k=1일 때, -1+a+b<0 ∴ a+b-1<0 k=-1일 때, -1-a+b<0 ∴ a-b+1>0 ∴ (a+b-1)(a-b+1)<0 (참) a+2=b+1- 3 y ㉠ ' a-5=b- 3b y ㉡ ' ㄷ. |a|<|b-1|이면 aÛ`<(b-1)Û`, 즉 aÛ`-(b-1)Û`<0이어야 |a|<|b-1|이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. [다른 풀이] 하므로 인수분해하면 (a+b-1)(a-b+1)<0 ㄴ에서 임의의 실수 k에 대하여 -kÛ`+ak+b<0이 성립하므로 59 답 2 Ú a+0일 때, 0이 아닌 임의의 실수 a에 대하여 정리하면 a(xÛ`-3x+2)+(x-y)=0이므로 xÛ`-3x+2=0, x-y=0 ∴ (x-1)(x-2)=0, y=x 따라서 이 이차함수의 그래프는 a의 값에 관계없이 항상 두 점 (1, 1), (2, 2)를 지나므로 점 (2, 2Û`)을 지날 수는 없다. ∴ m=2 Û a=0일 때, 이 함수는 일차함수 y=x가 되고 이 위의 점 중 (m, mÛ`)은 mÛ`=m을 만족시켜야 하므로 m(m-1)=0 ∴ m=0 또는 m=1 61 답 4 f(x)=xÛ`-2x-5와 g(x)=ax-a의 그래프의 교점의 x좌표는 이차방정식 xÛ`-2x-5=ax-a의 근이다. 조건 (가)에서 xÛ`-(a+2)x+a-5=0의 두 근이 1- 3 , ' b이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 b=1+2 3 , a= 3 ' ' 이때, 일차함수 g(x)= ' 의 그래프가 x축과 이루는 예각의 크기가 60ù이다. 3 (x-1)의 기울기가 3 이므로 y=g(x) ' 이차함수 y=f(x)의 그래프 위의 점 C(p, f(p))에 대하여 삼각형 DAC가 정삼각형이 되려면 그림과 같이 점 A를 지나며 x축에 평행 한 직선이 이차함수 y=f(x)와 만나는 점이 C인 경우이다. f{x}=x@-2x-5 y g{x}=´3{x-1} B 1-´3 O 60æ C' D ∫ x A C{p, f{p}} 즉, 이 함수의 그래프는 점 (0, 0) 또는 점 (1, 1)을 지난다. 그런데 점 (1, 1)은 Ú에서 이차함수가 항상 지나는 점이므로 이차함수 y=axÛ`+(1-3a)x+2a의 그래프는 점 (0, 0)을 지 일차함수 g(x)= ' 내린 수선의 발을 C'이라 하면 DC'Ó= 3 , CC'Ó=3 ' 3 (x-1)의 x절편이 1이므로 점 C에서 x축에 날 수는 없다. ∴ m=0 62 일등급 수학•고등 수학 (상) Ú, Û에 의하여 조건을 만족시키는 모든 m의 값의 합은 2이다. 따라서 점 C의 좌표는 (1+ 3 , -3)이므로 p=1+ 3 ' ∴ pÛ`-2a=(1+ 3 )Û`-2 3 =4 ' ' ' [해] 06강_OK.indd 62 2017-09-20 오후 4:18:23 x D c E A A' B C [그림 1] 62 답 ① ABÓ=c, ADÓ=x, 겹치는 부분의 넓이를 y라 하면 Ú [그림 1]과 같이 점 A'이 삼각형 ABC의 내부 또는 경계에 있을 때 0ÉxÉ ;2C; △ ABC`:`△ADE=cÛ``:`xÛ`이고 삼각형 ABC의 넓이가 6이므로 △ ADE= xÛ` 6 cÛ` ;2C; 이때, △A'DE=△ADE이므로 y= xÛ` 6 cÛ` 따라서 x= 일 때 y의 최댓값은 이다. ;2#; Û [그림 2]와 같이 점 A'이 삼각형 ABC의 외부에 있을 때 <xÉc ;2C; 삼각형 DBF는 이등변삼각형이므로 D BDÓ=DFÓ=c-x ∴ A'FÓ =A'DÓ-DFÓ=ADÓ-DFÓ A' =x-(c-x)=2x-c A x c F B 2x-c G △ ABC`:`△ADE`:`△A'FG=cÛ``:`xÛ``:`(2x-c)Û`이므로 6`:`△ADE=cÛ``:`xÛ`에서 △ADE= xÛ` 6`:`△A'FG=cÛ``:`(2x-c)Û`에서 △A'FG= (2x-c)Û` △ ADE=△A'DE이므로 6 cÛ` 6 cÛ` 6 cÛ` 6 cÛ` y=FGED=△A'DE-△A'FG= xÛ`- (2x-c)Û` = 6 cÛ` [ -3 x- { c ;3@; } `+ cÛ` 3 ] 따라서 x= c일 때 y의 최댓값은 2이다. ;3@; Ú, Û에 의하여 구하는 최대 넓이는 2이다. E C 02 답 ④ xÝ`-4xÛ`+3=0에서 (xÛ`-1)(xÛ`-3)=0 [그림 2] 즉, xÛ`=1, 또는 xÛ`=3이므로 07 여러 가지 방정식 문제편 81P 01 답 ② xÜ`+xÛ`+x-3=0에서 조립제법에 의하여 1 1 1 1 1 2 1 -3 3 2 3 0 (x-1)(xÛ`+2x+3)=0 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-2, ab=3 ∴ (a+1)(b+1) =ab+(a+b)+1 =3+(-2)+1=2 주어진 삼차방정식의 두 허근 a, b는 이차방정식 xÛ`+2x+3=0의 II 07 여러 가지 방정식 x=Ñ1 또는 x=Ñ 3 ' 따라서 M= 3, m=- 3이므로 ' 3-(- ' 3) ' M-m = ' =2 3 ' 03 답 ② 삼차방정식 xÜ`+x-2=0의 세 근이 a, b, c이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b+c=0 abc=2 이때, b+c=-a, c+a=-b, a+b=-c이므로 (a+b)(b+c)(c+a) =(-c)(-a)(-b) =-abc=-2 04 답 10 계수가 실수인 삼차방정식 xÜ`+px+q=0의 한 근이 1+2i이면 1-2i도 근이다. 다른 한 근을 a라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 (1+2i)+(1-2i)+a=0 (1+2i)(1-2i)+(1-2i)a+a(1+2i)=p (1+2i)(1-2i)a=-q ∴ a=-2 ∴ p=1 ∴ q=10 ∴ pq=10 정답 및 해설 63 [해] 07강_OK.indd 63 2017-09-21 오후 1:56:33 Û xÛ`â`+xÚ`á`=(xÜ`)ß`_xÛ`+(xÜ`)ß`_x=xÛ`+x=-1 (거짓) (x+1)(x-2)Û`=0 ∴ x=2 (∵ x>0) 05 답 ⑤ xÜ`-1=0에서 (x-1)(xÛ`+x+1)=0 08 답 2 한편, 이차방정식 xÛ`+x+1의 켤레근이 x®이므로 근과 계수의 관계 ① ㉡의 양변을 x로 나누면 x+ =-1 (거짓) 1 x ② ㉡-㉢을 하면 x®=xÛ` ∴ (x®)Û`=xÝ`=x (거짓) xÝ`+xÜ`+xÛ`+x+1 =x+1+(xÛ`+x+1) =x+1=-xÛ` (거짓) ⑤ ㉠과 ①의 결과에 의하여 x100+ 1 x100 =(xÜ`)Ü`Ü`_x+ 1 (xÜ`)Ü`Ü`_x =x+ =-1 (참) 1 x 이때, 한 허근을 x라 하면 xÜ`=1 y ㉠ [ xÛ`+x+1=0 y ㉡ 에 의하여 x+x®=-1 y ㉢ ③ ㉠, ㉡에 의하여 ④ ㉠, ㉡에 의하여 따라서 옳은 것은 ⑤이다. 06 답 ① 연립방정식 [ 시키므로 4x-y=10 x+ky=-1 4a-b=10 y ㉠ a+kb=-1 y ㉡ ( { 의 해 x=a, y=b가 a-b=1을 만족 2x (cid:49)(cid:29) x x x+2 x-1 x+2 그림에서 처음 찰흙덩이의 부피는 2xÜ` 다시 만든 찰흙덩이의 부피는 (x+2)Û`(x-1) 이때, 두 찰흙덩이의 부피가 같으므로 2xÜ`=(x+2)Û`(x-1) 2xÜ`-(x+2)Û`(x-1)=0 xÜ`-3xÛ`+4=0 (x+1)(xÛ`-4x+4)=0 09 답 ④ 방정식 xÜ`+2xÛ`-5x-6=0에서 (x+3)(x+1)(x-2)=0 ∴ x=-3 또는 x=-1 또는 x=2 y ㉠ 또, 방정식 xÝ`+4xÛ`-5=0에서 (xÛ`+5)(xÛ`-1)=0 (xÛ`+5)(x+1)(x-1)=0 ∴ x=-1 또는 x=1 y ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 두 방정식을 모두 만족시키는 x의 값은 -1이다. 10 답 ③ x(x+1)(x+2)(x+3)=24에서 {x(x+3)}{(x+1)(x+2)}=24 (xÛ`+3x)(xÛ`+3x+2)=24이므로 xÛ`+3x=t라 하면 tÛ`+2t-24=0 (t-4)(t+6)=0 즉, (xÛ`+3x-4)(xÛ`+3x+6)=0이므로 (x-1)(x+4)(xÛ`+3x+6)=0 따라서 허근은 이차방정식 xÛ`+3x+6=0의 두 근이므로 근과 계수 의 관계에 의하여 모든 허근의 곱은 6이다. 11 답 ⑤ 주어진 식에 x=k를 대입하면 kÜ`+(4-k)kÛ`-3kÛ`-kÛ`=0이므로 (x-k)(xÛ`+4x+k)=0 이때, 삼차방정식이 중근을 가지기 위해서는 Ú xÛ`+4x+k=0이 중근을 가질 때, 이차방정식 xÛ`+4x+k=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =4-k=0 ∴ k=4 그런데 문제의 조건에서 k<0이므로 모순이다. Û xÛ`+4x+k=0이 x=k를 근으로 가질 때, kÛ`+5k=0 ∴ k=-5 (∵ k<0 ) 따라서 중근은 a=k=-5이므로 a+k=-10 a-b=1 y ㉢ 9 ㉠-㉢을 하면 3a=9 ∴ a=3 ㉢에 의하여 3-b=1 ∴ b=2 ㉡에 의하여 3+2k=-1 ∴ k=-2 07 답 4 xÛ`-2xy-yÛ`=2 y ㉠ [ x-y=2 y ㉡ ㉡에서 y=x-2를 ㉠에 대입하면 xÛ`-2x(x-2)-(x-2)Û`=2 -2xÛ`+8x-4=2 xÛ`-4x+3=0 (x-1)(x-3)=0 ∴ x=1 또는 x=3 ㉡에 의하여 [ x=1 y=-1 또는 [ x=3 y=1 이때, x, y가 양수이므로 x=3, y=1 ∴ x+y=4 64 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 07강_OK.indd 64 2017-09-21 오후 1:56:34 II 07 여러 가지 방정식 12 답 ③ xÝ`-3xÛ`+1=0에서 xÝ`-2xÛ`+1-xÛ`=0 (xÛ`-1)Û`-xÛ`=0 (xÛ`+x-1)(xÛ`-x-1)=0 xÛ`+x-1=0 또는 xÛ`-x-1=0 ∴ x= 5 -1Ñ 2 ' 또는 x= 5 1Ñ ' 2 따라서 양수인 모든 근의 합은 -1+ 5 ' 2 + 1+ 5 ' 2 = 5 ' [다른 풀이] 주어진 식의 양변을 xÛ`으로 나누면 xÛ`-3+ 1 xÛ` =0에서 { x+ 1 x } =5 ∴ x+ = 5, x+ =- 1 x ' 2` 5 ' 1 x ' x가 양수이면 도 양수이므로 x+ = 5이다. 1 x ' 1 x x+ = 5에서 xÛ`- 5x+1=0이므로 양수인 모든 근의 합은 1 x ' 5 이다. ' 13 답 ⑤ xÛ`=t라 하면 주어진 방정식은 tÛ`-4t+a-1=0 y ㉠ 이때, 사차방정식이 서로 다른 네 실근을 가지려면 이차방정식 ㉠이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 하므로 ㉠의 판별식을 D라 하면 Ú D 4 =(-2)Û` -(a-1)>0 ∴ a<5 Û 이차방정식 ㉠의 두 근의 합은 -(-4)>0 Ü 이차방정식 ㉠의 두 근의 곱은 a-1>0 ∴ a>1 Ú ~ Ü에 의하여 1<a<5 14 답 13 x+0이므로 주어진 식의 양변을 xÛ`으로 나누면 9xÛ`+24x-2+ + =0 24 x { { 9 xÛ` 1 x } 1 x } +24 x+ -2=0 +24 x+ -20=0 9 xÛ`+ { x+ 9 { 1 xÛ` } 1 x } 2` 1 x x+ =t라 하면 실근을 가질 조건은 |t|>2이므로 9tÛ`+24t-20=0에서 (3t-2)(3t+10)=0 ∴ t=- (∵ |t|>2 ) ;;Á3¼;; 따라서 a+ =- 에서 10 3 1 a 10 3 - =- 이므로 q p p+q=3+10=13 15 답 ② 삼차방정식 xÜ`-xÛ`+3x-2=0의 세 근이 a, b, c이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b+c=1, ab+bc+ca=3, abc=2 이때, b+c=1-a, c+a=1-b, a+b=1-c이므로 1-a a + 1-b b + 1-c c 1 a 1 b = -1+ -1+ -1 1 c 주어진 식은 = ab+bc+ca abc -3 = -3=- ;2#; ;2#; 16 답 ⑤ 삼차방정식 xÜ`-2xÛ`-4=0의 세 근이 a, b, c이므로 xÜ`-2xÛ`-4=(x-a)(x-b)(x-c) 이 식의 양변에 x=-1을 대입하면 따라서 자연수 a의 값은 2, 3, 4이므로 그 합은 9이다. (-1-a)(-1-b)(-1-c) =(-1)Ü`-2_(-1)Û`-4 [다른 풀이] 이차방정식 tÛ`-4t+a-1=0이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 하므로 이차함수 y=tÛ`-4t+a-1에 대하여 최고차항의 계수가 양 =-7 -(a+1)(b+1)(c+1)=-7 ∴ (a+1)(b+1)(c+1)=7 수이고 축이 t=2이므로 그림과 같이 t=0일 때, a-1>0 ∴ a>1 y ㉡ t=2일 때, a-5<0 ∴ a<5 y ㉢ ㉡, ㉢에 의하여 1<a<5 (이하 동일) a-1 y O a-5 y=t@-4t+a-1 17 답 ① 삼차방정식 xÜ`-2x+3=0의 세 근이 a, b, c이므로 근과 계수의 2 관계에 의하여 t a+b+c=0 이때, aÜ`-2a+3=0, bÜ`-2b+3=0, cÜ`-2c+3=0이므로 aÜ`+bÜ`+cÜ` =(2a-3)+(2b-3)+(2c-3) =2(a+b+c)-9=-9 정답 및 해설 65 [해] 07강_OK.indd 65 2017-09-21 오후 1:56:35 18 답 ② z가 실수라 하면 x=(3-z)+3i= 5 z i가 되어 모순이다. 따라서 z는 허수이고, 마찬가지로 x도 허수이다. 두 허수 z, x의 켤레복소수 z®, xÕ에 대하여 zx=5i이므로 z®+x (∵ 두 켤레복소수의 곱은 실수) 즉, 계수가 실수인 사차방정식의 네 근은 z, x, z®, xÕ이다. 근과 계수의 관계에 의하여 -a =z+x+z®+xÕ=(z+x)+(z+x)Ó =(3+3i)+(3+3i)Ó=(3+3i)+(3-3i)=6 ∴ a=-6 d =z_x_z®_xÕ=(z_x)_(z_x)Ó =(5i)_(5i)Ó=(5i)_(-5i)=25 ∴ ad=-150 19 답 ① 두 방정식의 공통인 실근을 a라 하면 a, b, c가 실수이므로 삼차방정식 xÜ`+axÛ`+bx+c=0의 세 근은 1+ 2 i, 1- 2i, a이 ' ' 다. 근과 계수의 관계에 의하여 ' 2i)+(1- ' (1+ 2i)(1- 2a-b=-3 y ㉡ ' ' ' ' ' ㉡을 ㉣에 대입하면 (1+ 2i)+(1- 2i)+a=-a에서 a+a=-2 y ㉠ 2i)a+a(1+ 2i)=b에서 ' (1+ 2i)(1- 2i)a=-c에서 3a+c=0 y ㉢ 또한, a는 이차방정식의 근이므로 2aÛ`-ba+12=0 y ㉣ 2aÛ`-(2a+3)a+12=0, -3a+12=0 ∴ a=4 이것을 ㉠, ㉡, ㉢에 각각 대입하면 a=-6, b=11, c=-12 ∴ a+b+c=-7 20 답 4 계수가 실수인 삼차방정식 xÜ`+pxÛ`+qx+p=0의 실근을 a라 하 면 세 근은 a, 2+i, 2-i이다. 근과 계수의 관계에 의하여 a+(2+i)+(2-i)=-p이므로 a+4=-p y ㉠ a(2+i)+(2+i)(2-i)+(2-i)a=q이므로 4a+5=q y ㉡ a(2+i)(2-i)=-p이므로 5a=-p y ㉢ ㉠, ㉢에서 a=1, p=-5 ㉡에 a=1을 대입하면 q=9 ∴ p+q=4 21 답 ③ xÜ`+1=0에서 (x+1)(xÛ`-x+1)=0 22 답 ② xÛ` f(1)= x+1 = xÝ` xÛ`+1 xß` xÜ`+1 f(3)= f(2)= = = ⋮ =-1 xÛ` -xÛ` x xÛ`+1 1 1+1 = 1 2 = x -x =-1 따라서 n이 3의 배수일 때 f(n)= , 1 2 n이 3의 배수가 아닐 때 f(n)=-1이다. ∴ f(1)+f(2)+f(3)+y+f(10) =3_ -1-1+ -1=- ;2!;} ;;Á2Á;; { 23 답 ⑤ x+ =-1의 한 허근이 x이므로 1 x 1 x x+ =-1의 양변에 x를 곱하면 xÛ`+x+1=0 y ㉠ 이 식의 양변에 x-1을 곱하면 (x-1)(xÛ`+x+1)=0 xÜ`-1=0 ∴ xÜ`=1 y ㉡ (주어진 식) =1+2x+3xÛ`+4+5x+6xÛ`+7 (∵ ㉡) =12+7x+9xÛ` =12+7x+9(-x-1) (∵ ㉠) =3-2x 따라서 a=3, b=-2이므로 2(aÛ`+bÛ`)=26 24 답 ③ 연립방정식 [ aÛ`x+(2a-1)y=a 2x+(a+1)y=2 의 해가 무수히 많을 때 2a-1 a+1 = aÛ` 2 = 를 만족시키고, 해가 없을 때 y ㉠ a 2 aÛ` 2 = 2a-1 a+1 a 2 + y ㉡ 를 만족시킨다. 즉, 을 만족시키는 a의 값 중에서 aÛ` 2 = 2a-1 a+1 를 만족시키면 a, 만족시키지 않으면 b, c이다. a 2 2a-1 a+1 = aÛ` 2 = ㉠에서 2a-1 a+1 이므로 aÛ`(a+1)=2(2a-1) aÜ`+aÛ`-4a+2=0, (a-1)(aÛ`+2a-2)=0 y ㉢ 또, ㉠에서 2a-1 a+1 = a 2 이므로 2(2a-1)=a(a+1) aÛ`-3a+2=0, (a-1)(a-2)=0 y ㉣ xÜ`=-1, xÛ`-x+1=0 ∴ xÛ`-x=-1 ㉢, ㉣을 동시에 만족시키는 a의 값은 a이므로 a=1 계수가 실수인 방정식의 한 근이 허수이면 반드시 켤레복소수도 근 한편, ㉡과 같이 ㉢을 만족시키지만 ㉣을 만족시키지 않는 a의 값은 으로 갖는다. aÛ`+2a-2=0의 해이므로 b, c는 이 이차방정식의 두 근이다. 따라서 xÛ`-x+1=0의 근과 계수의 관계에 의하여 xx®=1 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 b+c=-2이므로 ∴ xÛ`-x+xx®=(xÛ`-x)+(xx®)=(-1)+1=0 a-b-c=a-(b+c)=1-(-2)=3 66 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 07강_OK.indd 66 2017-09-21 오후 1:56:36 한편, a, b가 2a+b=3(k+1)을 만족시키므로 uÛ`-2v+u=2 y ㉢ ㉠-㉡_a를 하면 (4-aÛ`)x=16-aÝ`=(4+aÛ`)(4-aÛ`) ∴ x=Ñ1, y=Ð1 (복호동순) Ú (u, v)=(0, -1)일 때, x, y는 tÛ`-1=0의 해이다. 25 답 ⑤ x+y=k+6 y ㉠ [ x-y=-k-4 y ㉡ ㉠+㉡을 하면 2x=2 ∴ x=1 이것을 ㉠에 대입하면 y=k+5 a=1 jK b=k+5 jK 2+k+5=3(k+1) 2k=4 ∴ k=2 26 답 ② 연립방정식 [ 4x-ay=16 y ㉠ ax-y=aÜ` y ㉡ ∴ x=4+aÛ` (∵ 0<a<2) a=4+aÛ` jK ㉡에서 y=ax-aÜ`=a(4+aÛ`)-aÜ`=4a b=4a jK ∴ [ a+b=aÛ`+4a+4=(a+2)Û` a-b=aÛ`-4a+4=(a-2)Û` ∴ a+b+ a-b = (a+2)Û`+ (a-2)Û` 'Ä 'Ä "à "à =|a+2|+|a-2| =(a+2)-(a-2) (∵ 0<a<2 ) =4 27 답 ④ 연립방정식 [ xÛ`-3xy+2yÛ`=0 y ㉠ xÛ`+2yÛ`=12 y ㉡ Ú y=x를 ㉡에 대입하면 xÛ`+2xÛ`=12, xÛ`=4 ∴ x=Ñ2, y=Ñ2 (복호동순) Û y= x를 ㉡에 대입하면 ;2!; ;2!; xÛ`+ xÛ`=12, xÛ`=8 ∴ x=Ñ2 2, y=Ñ 2 (복호동순) ' ' 따라서 x, y는 양의 무리수이므로 Ú, Û에 의하여 x+y=3 2 ' 28 답 15 x-y=2 y ㉠ [ xÛ`-3yÛ`=-2 y ㉡ yÛ`-2y-3=0 ㉠에서 x=y+2를 ㉡에 대입하면 (y+2)Û`-3yÛ`=-2이므로 (y+1)(y-3)=0 ∴ y=-1 또는 y=3 ㉠에서 y=-1일 때, x=1 y=3일 때, x=5 29 답 ② 연립방정식 [ xÛ`+yÛ`+x+y=2 y ㉠ xÛ`+xy+yÛ`=1 y ㉡ 에서 x+y=u, xy=v라 하면 ㉠에서 (x+y)Û`-2xy+(x+y)=2이므로 ㉡에서 (x+y)Û`-xy=1이므로 uÛ`-v=1 y ㉣ ㉣에서 v=uÛ`-1이므로 ㉢에 대입하면 uÛ`-u=0 ∴ u=0 또는 u=1 ∴ (u, v)=(0, -1), (1, 0) II 07 여러 가지 방정식 Û (u, v)=(1, 0)일 때, x, y는 tÛ`-t=0의 해이다. ∴ x=1, y=0 또는 x=0, y=1 Ú, Û에서 구한 네 꼭짓점의 좌표는 (1, 0), (0, 1), (1, -1), (-1, 1) 이것을 좌표평면에 나타내면 그림과 같다. -1 O 1 x y 1 -1 따라서 구하는 사각형의 넓이는 3_ _1_1= ;2!; ;2#; 30 답 ③ 원래의 세 구의 반지름의 길이를 각각 r-1, r, r+1이라 하면 새로 만들어진 구의 반지름의 길이는 r+2이고, 원래의 세 구의 부피의 p(r-1)Ü`+ prÜ`+ p(r+1)Ü`= p(r+2)Ü` ;3$; ;3$; ;3$; ;3$; (r-1)Ü`+rÜ`+(r+1)Ü`=(r+2)Ü` rÜ`-3rÛ`-3r-4=0 (r-4)(rÛ`+r+1)=0 ∴ r=4 따라서 새로 만들어진 구의 반지름의 길이는 r+2=6이다. 31 답 ④ 의영이가 맞힌 2점, 3점, 4점짜리 문항의 개수를 각각 x개, 3y개, y 개라 하면 x+3y+y=20에서 x+4y=20 y ㉠ 2x+3(3y)+4y=55에서 2x+13y=55 y ㉡ ㉡-2_㉠을 하면 5y=15 ∴ y=3, x=8 ㉠의 좌변을 인수분해하면 (x-y)(x-2y)=0 합이 새로 만들어진 구의 부피와 같으므로 따라서 a>0, b>0이므로 a=5, b=3 따라서 2점짜리 문항 8개, 3점짜리 문항 9개, 4점짜리 문항 3개를 ∴ ab=15 맞혔으므로 의영이가 맞춘 2점짜리 문항의 개수는 8이다. 정답 및 해설 67 [해] 07강_OK.indd 67 2017-09-21 오후 1:56:37 A 6 C E r B D2 r O r 36 답 7 삼차방정식 axÜ`-5axÛ`+4(a+6)x-24=0에 x=1을 대입하면 a-5a+4(a+6)-24=0을 만족시키므로 이 삼차방정식은 (x-1)(axÛ`-4ax+24)=0 또한, 이 삼차방정식이 1 이상의 서로 다른 세 실근을 가지도록 하려 면 이차방정식 axÛ`-4ax+24=0이 1보다 큰 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 32 답 3 반원의 중심을 O라 하고 반지름의 길이를 r라 하면 BEÓ Û` =OBÓ Û`-OEÓ Û` =(r+2)Û`-rÛ` =4r+4 삼각형 OBE와 삼각형 ABC는 닮음이므로 Û``:`BCÓ Û``:`BEÓ Û`=ACÓ OEÓ Û` 즉, rÛ``:`(4r+4)=6Û``:`(2r+2)Û`이므로 4rÛ`(r+1)Û`=144(r+1) rÛ`(r+1)=36 rÜ`+rÛ`-36=0 (r-3)(rÛ`+4r+12)=0 ∴ r=3 여기서 xÛ`+2x+3=0이 허근을 가지므로 두 허근의 합은 -2이다. 33 답 ④ f(x)=xÝ`+xÜ`-xÛ`-7x-6이라 하자. 이때, f(-1)=0, f(2)=0이므로 조립제법에 의하여 -1 2 1 1 1 1 -1 -7 -6 6 1 0 -1 0 -1 -6 6 4 2 2 3 0 0 f(x) =(x+1)(xÜ`-x-6) =(x+1)(x-2)(xÛ`+2x+3) 따라서 주어진 방정식의 좌변을 인수분해하면 (x+1)(x-2)(xÛ`+2x+3)=0 (xÛ`+x)Û`=(xÛ`+x)+6이므로 xÛ`+x=t라 하면 34 답 ② xÛ`(x+1)Û`=xÛ`+x+6에서 tÛ`-t-6=0 (t-3)(t+2)=0 ∴ t-3=0 또는 t+2=0 이때, t=xÛ`+x이므로 xÛ`+x-3=0 또는 xÛ`+x+2=0 두 이차방정식 중 실근을 갖는 것은 xÛ`+x-3=0이므로 모든 실근의 곱은 -3이다. 35 답 ④ ④ 삼차방정식 axÜ`+bxÛ`+cx+d=0의 세 근은 ( d의 약수) ( a의 약수) 의 약수 중 하나이다. 68 일등급 수학•고등 수학 (상) y y=ax@-4ax+24 2 O 1 x -3a+24 -4a+24 이차함수 y=axÛ`-4ax+24에 대하여 a가 자연수이고 축이 x=2 이므로 그림과 같이 x=1일 때, -3a+24>0 ∴ a<8 y ㉠ x=2일 때, -4a+24<0 ∴ a>6 y ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 6<a<8 따라서 자연수 a의 값은 7이다. 37 답 ⑤ xÝ`-13xÛ`+36=0에서 (xÛ`-4)(xÛ`-9)=0 (x+2)(x-2)(x+3)(x-3)=0 ∴ x=-3 또는 x=-2 또는 x=2 또는 x=3 이 중 자연수는 2와 3이므로 구하는 합은 5이다. [다른 풀이] xÝ`-13xÛ`+36=0에서 (xÝ`-12xÛ`+36)-xÛ`=0 (xÛ`-6)Û`-xÛ`=0 (xÛ`+x-6)(xÛ`-x-6)=0 (x+3)(x-2)(x-3)(x+2)=0 ∴ x=-3 또는 x=-2 또는 x=2 또는 x=3 (이하 동일) 38 답 1 xÝ`+3xÛ`+4=0에서 (xÝ`+4xÛ`+4)-xÛ`=0 (xÛ`+2)Û`-xÛ`=0 (xÛ`+x+2)(xÛ`-x+2)=0 ∴ x= 7 i -1Ñ 2 ' 또는 x= 7i 1Ñ ' 2 따라서 이 중 실수 부분이 양수인 켤레복소수는 이므로 7i 1Ñ ' 2 두 근의 합은 1이다. [해] 07강_OK.indd 68 2017-09-21 오후 1:56:38 39 답 ① x+0이므로 xÝ`-3xÜ`-6xÛ`+3x+1=0의 양변을 xÛ`으로 나누면 삼차방정식은 tÜ`-(x+y+z)tÛ`+(xy+yz+zx)t-xyz=0 II 07 여러 가지 방정식 일등급 42 답 8 조건 (가), (나)에서 켤레근의 합 (xÛ`+x+2)(xÛ`-x+2)=0에서 두 이차방정식 xÛ`+x+2=0, xÛ`-x+2=0은 각각 한 쌍의 켤레복소수를 근으로 갖는다. 이 중 실수분분이 양수인 켤레복소수는 두 근의 합도 양수이므로 구하 는 두 근의 합은 방정식 xÛ`-x+2=0의 두 근의 합이다. 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 1이다. (x+y+z)Û`=xÛ`+yÛ`+zÛ`+2(xy+yz+zx) 2Û`=54+2(xy+yz+zx) ∴ xy+yz+zx=-25 이때, 이것과 조건 (가), (다)에서 x+y+z=2, xy+yz+zx=-25, xyz=-50 이므로 최고차항의 계수가 1이고 x, y, z를 세 근으로 하는 ∴ tÜ`-2tÛ`-25t+50=0 따라서 위의 식을 변끼리 더하면 xÜ`=2xÛ`+25x-50, yÜ`=2yÛ`+25y-50, zÜ`=2zÛ`+25z-50 xÜ`+yÜ`+zÜ` =2(xÛ`+yÛ`+zÛ`)+25(x+y+z)-150 =2_54+25_2-150=8 43 답 ④ a, b, c, d가 실수이므로 계수가 실수인 사차방정식 xÝ`+axÜ`+bxÛ`+cx+d=0 은 허수를 근으로 가지면 반드시 그 켤레복소수도 근으로 갖는다. 그 런데 두 허수 i+1과 i-1은 켤레복소수의 관계가 아니므로 나머지 두 근은 -i+1과 -i-1이다. ∴ xÝ`+axÜ`+bxÛ`+cx+d =(x-i-1)(x+i-1)(x-i+1)(x+i+1) 이 식은 x의 항등식이므로 x=1을 대입하면 1+a+b+c+d=(-i)_i_(2-i)_(2+i)=5 ∴ a+b+c+d=4 44 답 ① xÜ`-5x+2=0에 x=2를 대입하면 2Ü`-5_2+2=8-10+2=0이므로 xÜ`-5x+2=0에서 (x-2)(xÛ`+2x-1)=0 이고 방정식 xÛ`+2x-1=0의 두 무리수 근을 a, b라 하면 방정식 xÜ`-5x+2=0의 세 근은 2, a, b이다. 한편, xÜ`+(a-1)xÛ`-(a-b)x-b=0에 x=1을 대입하면 1Ü`+(a-1)-(a-b)-b=0이므로 xÜ`+(a-1)xÛ`-(a-b)x-b=0에서 (x-1)(xÛ`+ax+b)=0이고, 방정식 xÛ`+ax+b=0이 2, a, b 중 2개를 근으로 가져야 한다. 그런데 a, b가 유리수이므로 2와 a 또 xÛ`-3x-6+ + =0 x- { 1 x } -3 x- { -4=0 3 x 1 xÛ` 1 x } x- =t라 하면 tÛ`-3t-4=0이므로 (t+1)(t-4)=0 ∴ x- =-1 또는 x- =4 2` 1 x 1 x 즉, xÛ`+x-1=0 또는 xÛ`-4x-1=0의 근이 각각 x= 5 -1Ñ 2 ' 또는 x=2Ñ 5 따라서 M=2+ 5, m= 5 -1- 2 ' 이므로 M+2m=2+ 5+(-1- 5 )=1 ' ' 1 x ' ' 40 답 ① 삼차방정식 xÜ`-3xÛ`-1=0의 세 근이 a, b, c이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b+c=3 ∴ aÛ`(b+c)+bÛ`(c+a)+cÛ`(a+b) =aÛ`(3-a)+bÛ`(3-b)+cÛ`(3-c) =-(aÜ`-3aÛ`)-(bÜ`-3bÛ`)-(cÜ`-3cÛ`) y ㉠ 한편, a, b, c는 방정식 xÜ`-3xÛ`-1=0의 근이므로 aÜ`-3aÛ`=1, bÜ`-3bÛ`=1, cÜ`-3cÛ`=1 따라서 ㉠에 대입하면 -1-1-1=-3 41 답 ③ bÜ`-3b aÜ`-3a b+1 = a+1 = aÜ`-3a a+1 =k에서 aÜ`-3a=ka+k이므로 aÜ`-(3+k)a-k=0 cÜ`-3c c+1 =k ( k+0인 상수)라 하면 마찬가지로 는 2와 b를 근으로 가질 수는 없다. bÜ`-(3+k)b-k=0, cÜ`-(3+k)c-k=0 따라서 a, b를 근으로 가지고 xÛ`+ax+b=xÛ`+2x-1이 x에 대한 따라서 삼차방정식 xÜ`-(3+k)x-k=0의 세 근이 a, b, c이므로 항등식이므로 a=2, b=-1 근과 계수의 관계에 의하여 a+b+c=0 ∴ a+b=1 정답 및 해설 69 [해] 07강_OK.indd 69 2017-09-21 오후 1:56:40 45 답 ⑤ 계수가 실수인 사차방정식 xÝ`+2xÜ`+mxÛ`+(n-3)x-2=0 에서 aÛ`=a®이므로 aÝ`=(a®)Û`=(aÛ`)Ó=(a®)Ó=a ∴ aÜ`=1 (∵ a+0) 즉, aÜ`-1=0에서 (a-1)(aÛ`+a+1)=0 a는 허근이므로 a, aÛ`은 xÛ`+x+1=0의 두 허근이다. ∴ xÝ`+2xÜ`+mxÛ`+(n-3)x-2 =(xÛ`+x+1)(xÛ`+ax-2) ( a는 상수) xÜ`의 계수를 비교하면 2=a+1 ∴ a=1 xÛ`의 계수를 비교하면 m=-2+1+a=0 x의 계수를 비교하면 n-3=a-2 ∴ n=2 ∴ m+n=2 46 답 ① xÛ`+x+1=0에서 (x-1)(xÛ`+x+1)=0이므로 xÜ`=1 ∴ aÜ`=1, bÜ`=1 방정식 xÛ`+x+1=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 an(1+an) an+1 a+b=-1, ab=1 y ㉠ 1+an 1+bn 의 분자와 분모에 an을 곱하면 an(1+an) an+(ab)n = 1+bn 1+an 의 분자와 분모에 bn을 곱하면 bn(1+bn) bn+(ab)n = 또한, an+bn은 n=3k+1일 때, bn(1+bn) bn+1 (∵ ㉠)=an (∵ ㉠)=bn a3k+1+b3k+1=a+b=-1 n=3k+2일 때, a3k+2+b3k+2 =aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab =(-1)Û`-2=-1 즉, n이 3의 배수가 아니면 an+bn=-1 조건 (가), (나)에서 P(1)-1Ü`=0, P(2)-2Ü`=0, P(x)-xÜ`=0, P(x®)-x® Ü`=0 이므로 사차방정식 P(x)-xÜ`=0은 사차항의 계수가 1이고 1, 2, x, x® 를 네 근으로 갖는다. ∴ P(x)-xÜ`=(x-1)(x-2)(x-x)(x-x®) y ㉠ 한편, 이차방정식 xÛ`+x+1=0의 두 근이 x, x®이므로 xÛ`+x+1=(x-x)(x-x®) y ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 P(x)-xÜ`=(x-1)(x-2)(xÛ`+x+1) ∴ P(x)=(x-1)(x-2)(xÛ`+x+1)+xÜ` 따라서 다항식 P(x)를 x-3으로 나눈 나머지는 P(3)=(3-1)(3-2)(3Û`+3+1)+3Ü`=53 48 답 ⑤ xÚ`â`=1에서 xÚ`â`-1=0이므로 (x-1)(xá`+x¡`+y+x+1)=0 즉, xá`+x¡`+y+x+1=0의 근이 xÁ, xª, x£, y, x»이므로 xá`+x¡`+y+x+1=(x-xÁ)(x-xª)y(x-x») 이 식의 양변에 x=1을 대입하면 (1-xÁ)(1-xª)y(1-x»)=1+1+y+1+1=10 ( M { M 9 10개 49 답 ④ x-2y+a=2 y ㉠ ( { 2x+y-3a=4 y ㉡ 3x-y-2a=k y ㉢ 9 ㉠+㉡_2를 하면 5x-5a=10 ∴ x-a=2 y ㉣ ㉡+㉢을 하면 5x-5a=4+k ∴ x-a= y ㉤ 4+k 5 해가 무수히 많기 위해서는 ㉣=㉤이어야 하므로 2= 4+k 5 ∴ k=6 50 답 ④ (x-1)(x-4)=y y ㉠ [ (x-y-2)(x-y-3)=2 y ㉡ ㉡을 정리하면 (x-y-2)(x-y-3)=2, (x-y)Û`-5(x-y)+4=0, (x-y-1)(x-y-4)=0 따라서 anbn=(ab)n=1이므로 1+an 1+bn , 1+bn 1+an 을 두 근으로 하는 이차방정식은 xÛ`-(an+bn)x+anbn=0이므로 xÛ`+x+1=0 ∴ x-y-1=0 또는 x-y-4=0 이것을 ㉠에 대입하면 Ú y=x-1일 때, 47 답 53 조건 (나)에서 계수가 실수인 이차방정식 xÛ`+x+1=0의 한 허근이 x이므로 다른 한 근은 x®이다. 또한, xÛ`+x+1=0의 양변에 (x-1)을 곱하면 (x-1)(xÛ`+x+1)=0에서 xÜ`-1=0이므로 두 허수 x, x®는 xÜ`=1을 만족시킨다. ∴ xÜ`=1, x® Ü`=1 70 일등급 수학•고등 수학 (상) (x-1)(x-4)=(x-1)에서 (x-1)(x-5)=0 ∴ x=1 [ y=0 또는 [ x=5 y=4 Û y=x-4일 때, (x-1)(x-4)=(x-4)에서 (x-2)(x-4)=0 ∴ x=2 [ y=-2 또는 [ x=4 y=0 Ú, Û에 의하여 x+y의 최댓값은 9이다. [해] 07강_OK.indd 70 2017-09-21 오후 1:56:41 51 답 ② 삼차방정식 (x-1)(x-4)Û`=a, 즉 xÜ`-9xÛ`+24x-16-a=0 54 답 84 BHÓ=x, CHÓ=y라 하면 AHÓ, ACÓ, BCÓ, ABÓ의 길이가 각각 다음 의 세 근을 a, a, b라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 과 같다. 두 삼각형 ABH, ACH가 선분 AH를 공유하는 직각삼각형이므로 II 07 여러 가지 방정식 AHÓ=x+y-2, ACÓ=x+y-1, BCÓ=x+y, ABÓ=x+y+1 ABÓ Û`-BHÓ Û`=ACÓ Û`-CHÓ Û`에서 (x+y+1)Û`-xÛ`=(x+y-1)Û`-yÛ` (x+y+1)Û`-(x+y-1)Û`=xÛ`-yÛ` (2x+2y)_2=(x+y)(x-y) 4(x+y)=(x+y)(x-y) 이때, x>0, y>0이므로 4=x-y ∴ y=x-4 y ㉠ 또한, 직각삼각형 ABH에서 Û`이므로 Û`=AHÓ Û`-BHÓ ABÓ (x+y+1)Û`-xÛ`=(x+y-2)Û` (x+y+1)Û`-(x+y-2)Û`=xÛ` (2x+2y-1)_3=xÛ` ㉠을 대입하면 3(4x-9)=xÛ` xÛ`-12x+27=0 (x-3)(x-9)=0 ∴ x=9, y=5 (∵ x>0, y>0) 따라서 AHÓ, BCÓ 의 길이는 각각 AHÓ=x+y-2=12, BCÓ=x+y=14 이므로 삼각형 ABC의 넓이는 _BCÓ_AHÓ= _14_12=84 ;2!; ;2!; ㉠에서 b=9-2a를 ㉡에 대입하면 2a+b=9 y ㉠ aÛ`+2ab=24 y ㉡ aÛ`b=16+a y ㉢ aÛ`+2a(9-2a)=24 aÛ`-6a+8=0 (a-2)(a-4)=0 ∴ a=2 또는 a=4 Ú a=2일 때, ㉠에서 b=5이고 ㉢에서 a=4 Û a=4일 때, ㉠에서 b=1이고 ㉢에서 a=0 Ú, Û에 의하여 a+0인 실수 a의 값은 4이다. 52 답 ① a-b=3 y ㉠ 직선 AB의 기울기가 b-(-3) a-0 = b+3 a =1이므로 직선 BC의 기울기가 -b-(-3) 2a-0 = -b+3 2a =1이므로 2a+b=3 y ㉡ ∴ a+b=1 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-1 53 답 ③ 수도꼭지 A, B로 1 시간 동안 물통을 채우는 비율을 각각 a, b라 하자. 조건 (가)에서 수도꼭지 3개를 모두 틀어 물통을 가득 채우면 1시간 이 걸리므로 C로 1시간 동안 물통을 채우는 비율은 (1-a-b) 조건 (나)에서 A를 잠그고 B와 C를 틀면 2시간이 걸리므로 B와 C 조건 (다)에서 B를 잠그고 A와 C를 틀면 1시간 30분이 걸리므로 A 로 1시간 동안 물통을 채우는 비율은 b+(1-a-b)= ;2!; ∴ a= ;2!; 와 C로 1시간 동안 물통을 채우는 비율은 a+(1-a-b)= ∴ b= ;3@; ;3!; 따라서 수도꼭지 C를 잠그고 수도꼭지 A와 B로 1시간 동안 물통을 채우는 비율은 a+b= ;6%; 시간은 = ;5^; (시간) 1 5 6 55 답 4 xÝ`-5xÜ`+8xÛ`-7x+3=0에서 조립제법에 의하여 1 3 1 -5 8 -7 1 -4 3 4 -3 1 -4 4 -3 3 3 -3 1 -1 1 0 0 (x-1)(xÜ`-4xÛ`+4x-3)=0 (x-1)(x-3)(xÛ`-x+1)=0 ∴ x=1 또는 x=3 또는 x= 3i 1Ñ ' 2 따라서 모든 실근의 합은 1+3=4 ⓐ 주어진 식을 인수분해한다. ⓑ 근을 구한다. ⓒ 모든 실근의 합을 구한다. ⓐ ⓑ ⓒ [50%] [30%] [20%] 정답 및 해설 71 이므로 수도꼭지 C를 잠그고 A와 B를 틀어 물통을 채울 때 걸리는 | 채점기준 | [해] 07강_OK.indd 71 2017-09-21 오후 1:56:42 | 채점기준 | 56 답 3 사차방정식 xÝ`-7xÛ`+9=0에서 (xÛ`-3)Û`-xÛ`=0 (xÛ`+x-3)(xÛ`-x-3)=0 xÛ`+x-3=0 또는 xÛ`-x-3=0 ∴ x= 13 -1Ñ 2 '¶ 또는 x= 13 1Ñ '¶ 2 이 중 양수인 근은 13 -1+ 2 '¶ , 1+ '¶ 2 13 이므로 양수인 모든 근의 곱은 13 -1+ 2 '¶ _ 1+ 13 '¶ 2 = -1+13 4 =3 ⓐ 사차방정식의 해를 구한다. ⓑ 양수인 모든 근의 곱을 구한다. 57 답 20 조건 (나)에서 (4-2x+xÛ`)(3+2x-xÛ`)=10이므로 (xÛ`-2x+4)(xÛ`-2x-3)=-10 xÛ`-2x=t라 하면 즉, (xÛ`-2x-1)(xÛ`-2x+2)=0 2 또는 x=1Ñi ∴ x=1Ñ ' 조건 (가)에서 a=1+ 2 ' (t+4)(t-3)=-10, tÛ`+t-2=0, (t-1)(t+2)=0 또한, 조건 (가)에서 b, c는 유리수이므로 조건 (다)에서 a+b=b+1+ 2가 계수가 유리수인 방정식 xÛ`-6x+c=0의 근 이면 b+1- ' ' 2도 이 방정식의 근이다. 이차방정식 xÛ`-6x+c=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 (b+1+ 2 )+(b+1- ' [ (b+1+ 2 )(b+1- ' 따라서 a+b+c=10+ ' ' 2 )=6 ∴ b=2 ' 2 )=c ∴ c=7 2이고, p, q는 유리수이므로 p=10, q=2 ∴ pq=20 | 채점기준 | ⓐ 조건 (가), (나)를 만족시키는 a의 값을 구한다 ⓑ 조건 (가), (다)를 만족시키는 b, c의 값을 각각 구한다. ⓒ p, q의 값을 각각 찾아 pq의 값을 구한다. ⓐ ⓑ [50%] [50%] ⓑ ⓒ [40%] [50%] [10%] 58 답 ① a가 삼차방정식 xÜ`+2xÛ`+3x+1=0의 한 근이므로 aÜ`+2aÛ`+3a+1=0이다. a는 0이 아니므로 양변을 aÜ`으로 나누면 1 aÜ` 2 a 3 aÛ` + + (가) + 3 _ 1+ 1 a } { 3` 2` =0이므로 식을 정리하면 1 a } { +2 1 a } { +1=0이다. 72 일등급 수학•고등 수학 (상) 그러므로 은 최고차항의 계수가 1인 삼차방정식 1 a (나) xÜ`+3xÛ`+2x+1 =0의 한 근이다. 따라서 p=3, f(2)=25이므로 p+f(2)=28 일등급 역수를 근으로 갖는 삼차방정식 같은 방법으로 b와 c에 적용해 보자. b, c도 삼차방정식 xÜ`+2xÛ`+3x+1=0의 근이므로 bÜ`+2bÛ`+3b+1=0 y ㉠ cÜ`+2cÛ`+3c+1=0 y ㉡ b, c는 0이 아니므로 ㉠, ㉡의 양변을 각각 bÜ`, cÜ`으로 나누면 1+ 2 b + 3 bÛ` 1 bÜ` + =0, 1+ 2 c + 3 cÛ` + =0 1 cÜ` 이므로 식을 정리하면 1 b } 1 c } { { +3 { 1 b } +2 { 1 b } +1=0 3` +3 1 c } 2` +2 1 c } { +1=0 3` 그러므로 { 1 b 2` 1 c xÜ`+3xÛ`+2x+1=0의 근이다. , 은 최고차항의 계수가 1인 삼차방정식 따라서 1 a , 1 b , 1 c 을 세 근으로 갖는 최고차항의 계수가 1인 삼차방정식은 xÜ`+3xÛ`+2x+1=0이다. 59 답 ⑤ (xÛ`+x-1)(xÛ`+x+3)-5=0에서 t=xÛ`+x라 하면 이때, t=xÛ`+x이므로 xÛ`+x+4=0 또는 xÛ`+x-2=0 한편, 허근인 a, b는 xÛ`+x+4=0의 서로 다른 두 허근이므로 근과 계수의 관계에 의하여 ab=4 a®=b, b®=a이므로 aa®+bb®=2ab=8 60 답 25 xÛ`-yÛ`=6 y ㉠ [ (x+y)Û`-2(x+y)=3 y ㉡ ㉡에서 x+y=t라 하면 tÛ`-2t-3=0이므로 (t+1)(t-3)=0 ∴ t=-1 또는 t=3 즉, x+y=-1 또는 x+y=3인데 x, y는 양수이므로 x+y=3 y ㉢ ㉠을 인수분해하면 (x+y)(x-y)=6이므로 ㉢에 의하여 3(x-y)=6 ∴ x-y=2 y ㉣ ㉢+㉣을 하면 2x=5 ∴ x= ;2%; 이것을 ㉢에 대입하면 y= ∴ 20xy=25 ;2!; ⓐ (t-1)(t+3)-5=0 tÛ`+2t-8=0 (t+4)(t-2)=0 ∴ t+4=0 또는 t-2=0 [해] 07강_OK.indd 72 2017-09-21 오후 1:56:43 [다른 풀이] 즉, a(-a)Ü`-baÛ`+c(-a)-d=0에서 x+y=a, xy=b라 하면 (x-y)Û`=(x+y)Û`-4xy이므로 -a가 삼차방정식 axÜ`-bxÛ`+cx-d=0의 한 근이므로 방정식 (x-y)Û`=aÛ`-4b y ㉤ axÜ`-bxÛ`+cx-d=0의 세 근은 -a, -b, -c이다. ㉡에 의하여 aÛ`-2a-3=0이므로 (a-3)(a+1)=0 ③ aaÜ`+baÛ`+ca+d=0에서 ∴ a=3 또는 a=-1 a(a-1+1)Ü`+b(a-1+1)Û`+c(a-1+1)+d=0 한편, x, y는 양수이므로 a=3, 즉 x+y=3이다. 따라서 a-1이 삼차방정식 ㉤에서 (x-y)Û`=9-4b a(x+1)Ü`+b(x+1)Û`+c(x+1)+d=0의 한 근이므로 또한, ㉠을 제곱하면 (xÛ`-yÛ`)Û`=6Û`이고, 이것을 정리하면 방정식 a(x+1)Ü`+b(x+1)Û`+c(x+1)+d=0의 세 근은 (x+y)Û`(x-y)Û`=6Û` y ㉥ ㉥에 ㉢, ㉤을 대입하면 3Û`(9-4b)=6Û`이므로 9-4b=4 ∴ b= ;4%; 따라서 xy= 이므로 20xy=25 ;4%; 61 답 ③ 그림과 같이 ABÓ=x, BCÓ=a, CAÓ=b라 하자. A 1 b C x D B a △ABC= ab= x ;2!; ;2!; ∴ ab=x y ㉠ a+b+x=5 ∴ a+b=5-x y ㉡ 삼각형 ABC의 세 변의 길이의 합은 5이므로 한편, 직각삼각형 ABC에서 피타고라스 정리에 의하여 aÛ`+bÛ`=xÛ`이고 xÛ`=(a+b)Û`-2ab에 ㉠과 ㉡을 대입하면 xÛ`=(5-x)Û`-2x, xÛ`=5Û`-10x+xÛ`-2x 25-12x=0 ∴ x= ;1@2%; 62 답 ⑤ 삼차방정식 axÜ`+bxÛ`+cx+d=0의 한 근이 a이므로 aaÜ`+baÛ`+ca+d=0 ① aaÜ`+baÛ`+ca+d=0의 양변을 aÜ`으로 나누면 a+ + + =0 b a c aÛ` 즉, d 1 a } { +c +b 1 a } { +a=0 d aÜ` 1 a } { 2` 따라서 방정식 dxÜ`+cxÛ`+bx+a=0의 세 근은 3` 1 c 1 a 1 b , , 이다. II 07 여러 가지 방정식 ④ aaÜ`+baÛ`+ca+d=0의 양변을 -aÜ`으로 나누면 a-1, b-1, c-1이다. -a- - - =0 b a c aÛ` d aÜ` 1 a 1 b 즉, d - { 1 a } -c - { 1 a } +b - { 1 a } -a=0 따라서 - 3` 이 삼차방정식 dxÜ`-cxÛ`+bx-a=0의 2` 한 근이므로 방정식 dxÜ`-cxÛ`+bx-a=0의 세 근은 - , - , - 이다. 1 a 1 c ⑤ aaÜ`+baÛ`+ca+d=0의 양변에 8을 곱하면 8aaÜ`+8baÛ`+8ca+8d=0 즉, a(2a)Ü`+2b(2a)Û`+4c(2a)+8d=0에서 2a가 삼차방정식 axÜ`+2bxÛ`+4cx+8d=0의 한 근이므로 방정식 axÜ`+2bxÛ`+4cx+8d=0의 세 근은 2a, 2b, 2c이다. 63 답 18 x+0이므로 주어진 방정식의 양변을 xÛ`으로 나누면 4 x 4 xÛ` 2 x } xÛ`-2x-12+ + =0 xÛ`+ 2 x } { -2 x- { -12=0 2` -2 2 x } x- { 2 x } -8=0 2` +2 2 x }{ x- -4 =0 } 2 x x- x- { { (xÛ`+2x-2)(xÛ`-4x-2)=0 ∴ x=-1Ñ 3 또는 x=2Ñ 6 ' 이 중 양수는 -1+ 3 과 2+ ' 따라서 p, q, r는 자연수이므로 pqr=18 ' ' 6 이므로 그 합은 1+ 3 + 6 ' ' 64 답 ① 주어진 사차방정식이 x에 대한 복이차식이므로 방정식의 네 근을 따라서 X=xÛ`이라 하면 이차방정식 XÛ`-3X+k=0의 두 근은 Ña, Ñb라 할 수 있다. aÛ`, bÛ`이다. 근과 계수의 관계에 의하여 aÛ`+bÛ`=3, aÛ`bÛ`=k 또한, 두 근의 합이 1이므로 a+b=1이라 해도 일반성을 잃지 않는다. ② aaÜ`+baÛ`+ca+d=0의 양변에 -1을 곱하면 (a+b)Û`=aÛ`+bÛ`+2ab이므로 1Û`=3+2ab -aaÜ`-baÛ`-ca-d=0 ab=-1이므로 k=(ab)Û`=1 정답 및 해설 73 [해] 07강_OK.indd 73 2017-09-21 오후 1:56:44 65 답 ⑤ ㄱ. 실수 a, b, c를 근으로 하고 최고차항의 계수가 1인 삼차방정식 08 여러 가지 부등식 문제편 93P 은 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 xÜ`-(a+b+c)xÛ`+(ab+bc+ca)x-abc=0 이때, a+b+c=0이므로 xÜ`+(ab+bc+ca)x-abc=0 (참) ㄴ. 실수 a가 삼차방정식 xÜ`+(ab+bc+ca)x-abc=0의 한 근 이므로 aÜ`+(ab+bc+ca)a-abc=0 ∴ aÜ`=abc-(ab+bc+ca)a (참) ㄷ. 마찬가지로 두 실수 b, c도 삼차방정식 xÜ`+(ab+bc+ca)x-abc=0의 근이므로 aÜ`=abc-(ab+bc+ca)a y ㉠ bÜ`=abc-(ab+bc+ca)b y ㉡ cÜ`=abc-(ab+bc+ca)c y ㉢ ㉠+㉡+㉢을 하면 aÜ`+bÜ`+cÜ`=3abc-(ab+bc+ca)(a+b+c) 그런데 a+b+c=0이므로 aÜ`+bÜ`+cÜ`=3abc (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 66 답 2 (x+y+z)Û`=xÛ`+yÛ`+zÛ`+2(xy+yz+zx)에서 xy+yz+zx= ;3!; xÛ`+yÛ`+zÛ`=xy+yz+zx이므로 xÛ`+yÛ`+zÛ`-xy-yz-zx=0 {(x-y)Û`+(y-z)Û`+(z-x)Û`}=0 ;2!; x, y, z가 실수이므로 x=y=z이고 x+y+z=1에서 x=y=z= ;3!; ∴ x+2y+3z= + ;3!; ;3@; +1=2 [다른 풀이]` x+y+z=1에서 z=1-x-y이므로 xÛ`+yÛ`+zÛ`=xÛ`+yÛ`+(1-x-y)Û`= ;3!; 2xÛ`+2yÛ`+1+2xy-2x-2y= 2xÛ`+2(y-1)x+2yÛ`-2y+ =0 y ㉠ ;3!; ;3@; 01 답 ④ 부등식 f(x)É0의 해가 -2ÉxÉ1이므로 이차함수 f(x)는 f(x)=a(x+2)(x-1) (a>0) 이때, f(2)=8이므로 f(2)=4a=8 ∴ a=2 따라서 f(x)=2(x+2)(x-1)이므로 f(3)=20 02 답 ② 2|x-1|+3|x+1|<9에서 Ú x<-1일 때, -2(x-1)-3(x+1)<9이므로 x>-2 ∴ -2<x<-1 Û -1Éx<1일 때, ∴ -1Éx<1 Ü x¾1일 때, -2(x-1)+3(x+1)<9이므로 x<4 2(x-1)+3(x+1)<9이므로 x< ;5*; ∴ 1Éx< ;5*; Ú~Ü에 의하여 -2<x< ;5*; 따라서 정수인 해의 개수는 -1, 0, 1의 3이다. 03 답 6 xÛ`-(a+2)x+2a<0에서 (x-a)(x-2)<0 Ú a<2이면 해는 a<x<2 이때, a<x<2인 정수 x가 3개가 되도록 하는 자연수 a는 존재 Û a=2이면 (x-2)Û`<0이 되어 해가 없으므로 성립하지 않는다. 하지 않는다. Ü a>2이면 해는 2<x0이므로 a=-6, b=-1 ∴ ab=6 [해] 07강_OK.indd 74 2017-09-21 오후 1:56:45 (100+x)(200-x)¾21600 xÛ`-100x+1600É0 (x-20)(x-80)É0 ∴ 20ÉxÉ80 따라서 p=20, q=80이므로 q-p=80-20=60 인상 전후의 관계를 표로 나타내기 일등급 이런 유형은 인상 전후의 관계를 표로 나타내면 좀더 쉽게 이해가 된다. x`% 인상 후 가격, 판매량, 판매액을 정리해 보자 . 현재 a원 b개 가격 판매량 x`% 인상 후 a 1+ { x 100 } 원 b 1- { x 200 } 개 판매액 ab원 ab 1+ { x 100 }{ 1- x 200 } 원 II 08 여러 가지 부등식 05 답 ② x-10É-xÛ`+4x<-2x+9에서 Ú x-10É-xÛ`+4x에서 xÛ`-3x-10É0이므로 (x+2)(x-5)É0 ∴ -2ÉxÉ5 y ㉠ Û -xÛ`+4x<-2x+9에서 xÛ`-6x+9>0이므로 (x-3)Û`>0 즉, x+3인 모든 실수이다. y ㉡ ㉠, ㉡에서 주어진 부등식을 만족시키는 해는 -2Éx<3, 3<xÉ5 따라서 정수 x는 -2, -1, 0, 1, 2, 4, 5이므로 그 합은 9이다. 06 답 27 조건 (나)에서 이차부등식 f(x)>0 의 해가 x+2인 모든 실수이므로 그림과 같이 이차함수 f(x)의 이차항의 계수는 양수이고 y=f(x)의 그래프는 x축과 점 (2, 0)에서 접한다. 이때, f(x)=a(x-2)Û` (a>0) 이라 하면 조건 (가)에서 f(1)=a(1-2)Û`=3에서 a=3 y y=f{x} O 2 x 09 답 ② ㄱ. 1< 1 b 에서 0<b<1이다. 1 a a<b에 맞지 않는다. ∴ a<0 (거짓) 이때, a>0이면 <1에서 a>1, 즉 b<1<a가 되어 조건 따라서 f(x)=3(x-2)Û`이므로 f(5)=27 ㄴ. 【반례】 a=-1, b= 이면 a<b이고 <1< 이지만 ;2!; 1 a 1 b 07 답 ③ 이차함수 y=xÛ`-2(k-1)x+kÛ`-3k+4의 그래프는 아래로 볼 록하므로 모든 실수 x에 대하여 y¾0이 되려면 이차함수의 그래프 가 x축에 접하거나 만나지 않아야 한다. 즉, 방정식 xÛ`-2(k-1)x+kÛ`-3k+4=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =(k-1)Û`-(kÛ`-3k+4)É0이므로 k-3É0 ∴ kÉ3 이때, 자연수 k는 1, 2, 3이므로 그 합은 6이다. 08 답 60 현재 커피의 가격을 a원, 판매량을 b개라 하면 8`% 증가한 판매액은 ab 1+ 원이다. y ㉠ { ;10*0;} 가격을 x`% 인상하면 판매량이 0.5x`% 감소할 때의 판매액이 8`% 이상 증가하여야 하므로 a 1+ { x 100 } _b 1- { x 200 } ¾ab 1+ { 8 100 } 양변에 을 곱하면 20000 ab aÛ`>bÛ`이다. (거짓) ㄷ. a<0, b>0, a-b<0이므로 aÛ`b-abÛ`=ab(a-b)>0 (참) 따라서 옳은 것은 ㄷ이다. 10 답 ⑤ ㄱ. a>b>1이므로 양변을 ab로 나누면 1 b > 1 a ∴ < (참) 1 a 1 b ㄴ. a>b>1이므로 aÜ`>bÜ`이다. 이 식의 양변을 aÛ`bÛ`으로 나누면 a bÛ` > b aÛ` < ∴ b aÛ` a bÛ` ㄷ. a-1>0, b-1>0이므로 (참) ab-(a+b-1)=(a-1)(b-1)>0 ∴ ab>a+b-1 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 정답 및 해설 75 [해] 08강_OK.indd 75 2017-09-21 오후 1:57:07 11 답 ① ㄱ. (b-a)(b-c)<0에서 a<b0이면 a<c이므로 ㉠에 의하여 0<a<bc이므로 ㉠에 의하여 c<b<a<0 즉, 세 수 a, b, c의 부호는 항상 같다. (거짓) -b<ax-1<b, -b+1<ax<b+1 ∴ -b+1 a <x< (∵ a>0) b+1 a 이때, 해가 -1<x<2이므로 -b+1 a =-1, b+1 a =2 ㄷ. 【반례】 ㄴ에서 c<b<a<0인 경우 c가 가장 작은 수이다. (거짓) 즉, -b+1=-a, b+1=2a이므로 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=3 ∴ ab=6 12 답 12 4x-1¾2x+a ∴ x¾ a+1 2 x+1>2x+b ∴ x<-b+1 á { » 즉, 연립부등식의 해는 Éx<-b+1이고 이 해가 a+1 2 16 답 ② 0É|2x-1|<k+2이므로 k+2>0이면 주어진 부등식의 실수해 가 존재한다. ∴ k>-2 따라서 정수 k의 최솟값은 -1이다. 의 해인 -1Éx<5의 양 끝값에 -1Éx<5와 같으므로 a+1 2 =-1 ∴ a=-3 -b+1=5 ∴ b=-4 ∴ ab=(-3)_(-4)=12 [다른 풀이] 연립부등식 [ 4x-1¾2x+a x+1>2x+b 대하여 x=-1은 방정식 4x-1=2x+a의 근이므로 4_(-1)-1=2_(-1)+a ∴ a=-3 또, x=5는 방정식 x+1=2x+b의 근이므로 5+1=2_5+b ∴ b=-4 ∴ ab=(-3)_(-4)=12 13 답 5 2x-a<bx-3에서 (2-b)x- 이므로 ;4#; a+b<0 y ㉠ x> 3b-2a a+b , 즉 x>- 에서 ;4#; 3b-2a a+b ;4#; =- 이므로 -12b+8a=3a+3b 5a=15b ∴ a=3b y ㉡ ㉡을 부등식 |bx-a|<b-a에 대입하면 |bx-3b|<-2b이고, ㉠, ㉡에서 b<0이므로 2b<bx-3b<-2b 5b<bx0)이라 하자. x-1=t라 하면 tÛ`-at+b=0, 즉 (-t)Û`+a(-t)+b=0에서 4ax(x-1)É0 ∴ 0ÉxÉ1 이때, f(3-2x)É0에서 a(3-2x-1)(3-2x-3)É0이므로 x=a 또는 x=b (a<b)이다. (x-1)Û`-a(x-1)+b>0에서 t=-a 또는 t=-b ∴ x=1-a 또는 x=1-b 즉, (x-1+a)(x-1+b)>0에서 a<b이므로 1-a>1-b ∴ x<1-b 또는 x>1-a =a(x-202)(x-199) f(200-x)É0에서 a(x-199)(x-202)É0 a<0이므로 (x-199)(x-202)¾æ0 xÉ199 또는 x¾æ202 이다. [다른 풀이] 200-x=t라 하면 200-xÉ-2 또는 200-x¾æ1 ∴ x¾æ202 또는 xÉ199 20 답 ③ 이차부등식 f(x)>0의 해가 -2<x<1이므로 f(x)=a(x+2)(x-1)(a<0)이라 하면 f(200-x) =a(200-x+2)(200-x-1) 따라서 f(200-x)É0을 만족시키는 x의 값이 아닌 것은 ③ 200 23 답 ⑤ -2ÉxÉ2에서 f(x)=xÛ`-6x=(x-3)Û`-9라 하면 함수 f(x)는 x=2에서 최솟값 f(2)=-8을 갖는다. 주어진 조건을 만족시키기 위해서는 aÛ`-6aÉ-8이어야 하므로 II 08 여러 가지 부등식 aÛ`-6a+8É0 (a-2)(a-4)É0 ∴ 2ÉaÉ4 따라서 정수 a는 2, 3, 4이므로 그 합은 2+3+4=9 24 답 ④ f(x)>g(x)에서 f(x)-g(x)>0 f(x)-g(x) =axÛ`+2ax+1-2xÛ`-4x+5 =(a-2)xÛ`+2(a-2)x+6 Ú a=2일 때, f(x)-g(x)=6>0이므로 성립한다. Û a-2>0이고 방정식 f(x)-g(x)=0에서 판별식을 D라 할 때, D<0이어야 하므로 D 4 =(a-2)Û`-6(a-2)<0 (a-2)(a-8)<0 ∴ 2<a<8 부등식 f(t)É0의 해는 tÉ-2 또는 tæ¾1이다. Ú, Û에서 2Éa<8 따라서 부등식 f(200-x)É0을 만족시키는 x의 값의 범위는 따라서 정수 a의 개수는 2, 3, 4, 5, 6, 7의 6이다. 21 답 ③ 그림에서 이차함수 y=axÛ`+bx의 그래프와 x축의 교점의 x좌표가 0, 2이므로 axÛ`+bx=0에서 ax(x-2)=0 ∴ b=-2a y ㉠ 25 답 ④ axÛ`+bx+c=a x+ { { =a x+ - bÛ`-4ac 4a - D 4a b 2a } b 2a } 2` 2` ㄱ. D>0이면 방정식 axÛ`+bx+c=0은 서로 다른 두 실근을 갖 는다. 이때, 두 실근을 a, b (a<b)라 하면 axÛ`+bx+c<0의 해는 한편, 이차함수 y=axÛ`+bx의 그래프와 직선 y=cx의 교점의 x좌 a<x<b이다. (거짓) 표가 0, 3이므로 ∴ b-c=-3a axÛ`+(b-c)x=0에서 ax(x-3)=0 ㉠을 대입하여 정리하면 c=a y ㉡ ㉠, ㉡을 axÛ`+cx+b<0에 대입하면 axÛ`+ax-2a<0 a(xÛ`+x-2)<0 ∴ -2<x<1 ㄴ. D<0이면 - >0이므로 모든 실수 x에 대하여 D 4a 항상 axÛ`+bx+c=a x+ b 2a } - D 4a >0이다. { 따라서 axÛ`+bx+c¾0의 해는 모든 실수이다. (참) ㄷ. D=0이면 axÛ`+bx+c=a x+ ¾0이 되어 { 2` b 2a b 2a } 2` 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 이때, a>0이므로 xÛ`+x-2<0에서 (x+2)(x-1)<0 axÛ`+bx+cÉ0의 해는 x=- 뿐이다. (참) 정답 및 해설 77 [해] 08강_OK.indd 77 2017-09-21 오후 1:57:08 26 답 7 이차함수 f(x)=xÛ`+3의 그래프가 직선 g(x)=k(x-1)보다 항 30 답 ② 승합차가 x대라 하면 한 대에 7명씩 타면 2명이 남으므로 사람 수는 상 위쪽에 있으므로 모든 실수 x에 대하여 부등식 xÛ`+3>k(x-1) (7x+2)명이다. 이 성립한다. 9명씩 타면 승합차가 1대 남으므로 그림과 같이 9명씩 탄 승합차가 이 부등식을 정리하면 xÛ`-kx+k+3>0 (x-2)대이고, 승합차 A에는 최소 1명에서 최대 9명까지 탈 수 이 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 있다. 의 해가 -1<xÉ4이므로 따라서 승합차는 최소 6대이다. 이차방정식 xÛ`-kx+k+3=0의 판별식을 D라 하면 D=kÛ`-4(k+3)<0, kÛ`-4k-12<0, (k+2)(k-6)<0 ∴ -2<k<6 따라서 정수 k의 개수는 -1, 0, 1, y, 5의 7이다. 27 답 ④ 연립부등식 [ xÛ`-2x+aÉ0 xÛ`-4x+b<0 x=4는 방정식 xÛ`-2x+a=0의 근이고, y ㉠ x=-1은 방정식 xÛ`-4x+b=0의 근이다. y ㉡ ㉠에서 16-8+a=0 ∴ a=-8 ㉡에서 1+4+b=0 ∴ b=-5 ∴ ab=40 28 답 5 부등식 xÛ`-2x-3<0에서 (x+1)(x-3)<0 ∴ -1<x<3 x대 9명 9명 ... 9명 빈 차 {x-2}대 A 9(x-2)+1É7x+2É9(x-2)+9 ∴ ;;Á2Á;; ÉxÉ ;;Á2»;; 31 답 20 A 영양제를 30일 중 x일 선택하여 복용한다고 하면 B 영양제를 선 택하여 복용한 날은 (30-x)일이다. 30일 동안 섭취한 비타민의 양은 6x+16(30-x)`mg, 칼슘의 양은 20x+10(30-x)`mg이다. 6x+16(30-x)¾230 y ㉠ [ 20x+10(30-x)¾500 y ㉡ ㉠에서 10xÉ250 ∴ xÉ25 y ㉢ ㉡에서 10x¾200 ∴ x¾20 y ㉣ 부등식 (x-a)(x-a-2)<0에서 a<x<a+2 연립부등식의 해가 존재하려면 a<3, -1<a+2이어야 하므로 -3<a<3 따라서 정수 a의 개수는 -2,-1, 0, 1, 2의 5이다. ∴ a=20 ㉢, ㉣의 공통 범위는 20ÉxÉ25 따라서 A 영양제를 적어도 20일은 선택하여 복용해야 한다. 29 답 ⑤ xÛ`+14x+48É0에서 (x+8)(x+6)É0 ∴-8ÉxÉ-6 y ㉠ xÛ`-ax-2aÛ`>0에서 (x+a)(x-2a)>0 Ú a¾0일 때, x<-a 또는 x>2a y ㉡ Û a<0일 때, x<2a 또는 x>-a y ㉢ 32 답 200 운송거리가 100x`km일 때 트럭, 철도, 선박의 운송 비용이 각각 xÛ`-x+4(만 원), 3x+16(만 원), x+32(만 원)이므로 Ú (철도 운송 비용)<(트럭 운송 비용)일 때, 3x+16<xÛ`-x+4에서 xÛ`-4x-12>0, (x+2)(x-6)>0 ∴ x>6 (∵ x>0 ) y ㉠ Û (철도 운송 비용)<(선박 운송 비용)일 때, 주어진 연립부등식의 해가 부등식 xÛ`+14x+48É0의 해 ㉠과 같 3x+16<x+32에서 으려면 다음과 같은 두 가지 경우가 있다. ㉡ ㉠ ㉡ 또는 ㉢ ㉠ ㉢ -8 -6 -a 2a -8 -6 2a -a 2x<16 ∴ 0<x<8 (∵ x>0 ) y ㉡ ㉠, ㉡에서 6<x<8 따라서 철도로 운송하는 것이 다른 교통수단으로 운송하는 것보다 즉, -6<-aÉ0 또는 -6<2a<0 비용이 적게 드는 운송 거리는 600`km에서 800`km 사이이다. ∴ -3<a<6 ∴ l=800-600=200 78 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 08강_OK.indd 78 2017-09-21 오후 1:57:10 II 08 여러 가지 부등식 5x<8-2x에서 7x<8 b a <1은 만족시키지만 ∴ x< y ㉠ ;7*; 33 답 ④ ㄱ. 【반례】 a=-2, b=-1인 경우 0< b>a이므로 성립하지 않는다. (거짓) ㄴ. 0< <1에서 각 변에 를 곱하면 0<1< a b a b ∴ <1< (참) a b b a b a b a ㄷ. 0< <1의 각 변에 aÛ`을 곱하면 0<ab<aÛ` (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 34 답 ④ x=a+b-2c, y=b+c-2a, z=c+a-2b라 하면 x+y+z=0이고 x>y>z이다. 8-2x<22+2x에서 -4x<14 ∴ x>- y ㉡ ;2&; ㉠, ㉡의 공통 범위는 - <x< ;2&; ;7*; 따라서 a=- , b= 이므로 ;2&; ;7*; 14(b-a)=14 _ + {;7*; ;2&;} =65 37 답 ① |x-2|<|x-4|의 양변을 제곱하면 (x-2)Û`<(x-4)Û` 정리하면 4x<12 ∴ x<3 y ㉠ ㄱ. xÉ0이면 0¾x>y>z이므로 x+y+z+0이 되어 성립하지 않는다. 즉, x>0이므로 a+b>2c (참) ㄴ. 【반례】 a=4, b=5, c=2이면 주어진 부등식은 성립하지만 b+c<2a (거짓) ㄷ. z¾0이면 x>y>z¾0이므로 역시 x+y+z+0이 되어 같은 방법으로 |x-4|<|x-8|에서 x<6 y ㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 x<3 성립하지 않는다. 즉, z<0이므로 c+a<2b (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 35 답 21 x+3<y<25-2x에서 x+3<25-2x이므로 3x<22 ∴ x< ;;ª3ª;; 38 답 10 |x-n|æ¾0이므로 x-9É0 또는 x=n 자연수 x가 10개이려면 n은 9보다 큰 자연수이어야 한다. 따라서 n의 최솟값은 10이다. 39 답 2 이차방정식 xÛ`+2(k-1)x+2kÛ`-14=0이 서로 다른 두 실근을 이때, x는 소수이므로 2, 3, 5, 7이 가능하다. 갖기 위해서는 이 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, D>0이어야 x=7일 때, x+3<y<25-2x에서 10<y<11이므로 이를 만족 한다. 시키는 소수 y는 존재하지 않는다. x=5일 때, 8<y<15이므로 소수 y는 11, 13 x=3일 때, 6<y<19이므로 소수 y는 7, 11, 13, 17 x=2일 때, 5<y<21이므로 소수 y는 7, 11, 13, 17, 19 따라서 x=2, y=19일 때 x+y는 최댓값 21을 갖는다. 즉, D 4 =(k-1)Û`-(2kÛ`-14)>0에서 kÛ`+2k-15<0 (k+5)(k-3)<0 ∴ -5<k<3 따라서 자연수 k의 개수는 1, 2의 2이다. 36 답 65 x의 범위를 구해야 하므로 조건 (가)를 이용하여 y와 z를 소거한다. 40 답 ② xÛ`+ax-2É0의 해가 -1ÉxÉb이므로 우선 z를 소거하기 위하여 3z=6-2y를 부등식에 대입하면 방정식 xÛ`+ax-2=0의 두 근이 -1, b이다. x<2y<6-2y 다음으로 y를 소거하기 위하여 y= 를 부등식에 대입하면 4-x 5 x<2_ 4-x 5 <6-2_ 4-x 5 근과 계수의 관계에 의하여 -1+b=-a, (-1)_b=-2 ∴ b=2, a=-1 따라서 부등식 xÛ`-ax-2É0은 xÛ`+x-2É0이므로 즉, 5x<8-2x<30-8+2x에서 [ 5x<8-2x 8-2x<22+2x (x+2)(x-1)É0 ∴ -2ÉxÉ1 정답 및 해설 79 [해] 08강_OK.indd 79 2017-09-21 오후 1:57:10 41 답 ④ 이차부등식 (a+b)xÛ`+(b+c)x+(c+a)>0의 해가 45 답 ⑤ a<b이고 (a-1)(a-2)=(b-1)(b-2)에서 1<x<2이므로 a+b<0이고 y=(x-1)(x-2)의 그래프는 y y={x-1}{x-2} 방정식 f(x)=(a+b)xÛ`+(b+c)x+(c+a)=0의 두 근이 그림과 같다. axÛ`+bx+c>0에 a=-3c, b=2c를 대입하면 범위는 a<x0 -3cxÛ`+2cx+c>0 3xÛ`-2x-1<0 (∵ c>0 ) (3x+1)(x-1)<0 ∴ - <x<1 ;3!; 따라서 해가 a<x<b이므로 a=- , b=1 ;3!; ∴ a+b= ;3@; 42 답 42 부등식 xÛ`-ax+12É0의 해가 aÉxÉb이므로 (x-a)(x-b)É0에서 xÛ`-(a+b)x+abÉ0 이것이 xÛ`-ax+12É0과 같으므로 a+b=a, ab=12 y ㉠ 또, 해가 xÉa-1 또는 xæ¾b-1이고, xÛ`-(a+b-2)x+(a-1)(b-1)æ¾0 이것이 xÛ`-5x+b¾0과 같으므로 a+b-2=5, (a-1)(b-1)=b y ㉡ ㉠, ㉡에서 a=7, b=6 ∴ ab=42 43 답 9 부등식 f(x)g(x)>0에서 f(x)<0 g(x)<0 또는 [ g(x)>0 f(x)>0 [ xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은 (x-a+1)(x-b+1)æ¾0에서 x축보다 아래에 있어야 한다. ∴ -5<x<2 또는 9<x<13 따라서 정수 x의 개수는 -4, -3, -2, -1, 0, 1, 10, 11, 12의 9이다. 44 답 ① 부등식 { f(x)}Û`<f(x)g(x)를 정리하면 f(x){ f(x)-g(x)}<0 Ú f(x)>0이고 f(x)<g(x)일 때, a<xg(x)일 때, d<x0이어야 하므로 xÛ`-2ax+2am-2m+b=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =aÛ`-2am+2m-b<0 이 부등식이 실수 m의 값에 관계없이 성립해야 하므로 (2-2a)m+aÛ`-b<0에서 2-2a=0이고, aÛ`-b<0 a=1이고, b>aÛ`이므로 b>1 ∴ ab>1 이때, a, b가 자연수이므로 ab의 최솟값은 2이다. 47 답 ④ 부등식 (a-1)xÛ`+2(a-1)x-5>0을 만족시키는 실수 x가 없 으므로 모든 실수 x에 대하여 (a-1)xÛ`+2(a-1)x-5É0 y ㉠ 이 성립할 조건을 구하면 된다. Ú a=1일 때, 부등식 ㉠은 항상 성립한다. Û a+1일 때, a-1<0이고, (a-1)xÛ`+2(a-1)x-5=0의 판 별식을 D라 하면 D 4 =(a-1)Û`+5(a-1)É0 (a-1)(a+4)É0 ∴ -4ÉaÉ1 그런데 a<1이므로 -4Éa<1 48 답 46 주어진 식을 x에 대하여 정리하면 xÛ`+2(2y+5)x+(4yÛ`+ay+b)>0 이것이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 D라 하면 D 4 =(2y+5)Û`-(4yÛ`+ay+b)<0 ∴ (20-a)y+25-b<0 이차방정식 xÛ`+2(2y+5)x+(4yÛ`+ay+b)=0의 판별식을 즉, y=f(x), y=g(x)의 그래프가 모두 x축보다 위에 있거나 모두 a의 개수는 -4, -3, -2, -1, 0, 1의 6이다. Ú, Û에 의하여 -4ÉaÉ1이므로 주어진 조건을 만족시키는 정수 [해] 08강_OK.indd 80 2017-09-21 오후 1:57:12 y=f(x)의 그래프는 y절편이 -2이므로 -2 y y=f{x} O 2 1 3 4 x 인상 후의 판매량은 b 1- x ;5$; 100 =b 1- { x 125 } (개) ¦ 이때, 인상 후에도 매출액이 줄지 않으려면 ¥ a 1+ { x 100 } _b 1- { x 125 } ¾ab이므로 II 08 여러 가지 부등식 그런데 모든 실수 y에 대하여 이 부등식이 성립하므로 20-a=0이고` 25-b<0 ∴ a=20, b>25 따라서 정수 a, b에 대하여 a=20, b=26일 때 a+b의 최솟값은 따라서 1Ék< 이므로 a=1, b= ∴ a+b= ;3&; ;;Á3¼;; ;3&; 20+26=46이다. 49 답 ⑤ 이차부등식 xÛ`-5x+4<0에서 1<x<4 이때, f(x)=xÛ`-kx-2라 하면 그림과 같이 2Éx<3에서 x축과 만나야 한다. f(2)=2-2kÉ0에서 kæ¾1 f(3)=7-3k>0에서 k< ;3&; 50 답 14 Ú 2x-1¾a에서 x¾ a+1 2 y ㉠ Û (x-3)(x-b)É0에서 bÉxÉ3 또는 3ÉxÉb ㉠과의 공통 범위가 4ÉxÉ7이므로 bÉxÉ3이면 성립하지 않는다. 즉, 3ÉxÉb y ㉡ 이때, ㉠, ㉡의 공통 범위는 ÉxÉb이고 a+1 2 4ÉxÉ7과 같아야 하므로 a+1 2 =4, b=7에서 a=7, b=7 ∴ a+b=7+7=14 2a+3a<260 y ㉠ [ 5a+3x>320 y ㉡ 한편, 5월 말 남녀의 비가 5`:`8이므로 (2a+x)`:`(3a+2x)=5`:`8 ∴ a=2x y ㉢ ㉢을 ㉠, ㉡에 대입하면 4x+6x<260 ∴ x<26 10x+3x>320 ∴ x>24.6 y ∴ 24.6 y<x<26 이때, x는 자연수이므로 x=25 52 답 25 (매출액)=(가격)_(판매량)이므로 현재의 가격을 a원, 판매량을 b개라 하면 현재의 매출액은 ab원 인상 후의 가격은 a 1+ x 100 } 원 { 1+ { x 100 }{ 1- x 125 } ¾æ1 (x+100)(x-125)+12500É0 xÛ`-25xÉ0 x(x-25)É0 ∴ 0ÉxÉ25 따라서 가격인상률 x의 최댓값은 25이다. 53 답 ④ 차량을 구입한 후 주행거리를 x`km라 하고 차의 구입 가격과 휘발 유의 가격을 비교하면 x 12 >5000000+1200_ 4000000+1200_ x 15 1200 { 1200_ x>1000000 1 15 } 1 12 - 1 60 x>1000000 ∴ x>50000 따라서 최소 5만 km를 넘게 타야 한다. 54 답 2 이차방정식 xÛ`+(m-4)x+3-mk=0이 서로 다른 두 실근을 가 이 이차부등식이 실수 m의 값에 관계없이 항상 성립해야 하므로 이차방정식 mÛ`+4(k-2)m+4=0의 판별식을 D'이라 하면 D' 4 =4(k-2)Û`-4<0 4(k-1)(k-3)<0 ∴ 1<k<3 따라서 자연수 k의 값은 2이다. | 채점기준 | ⓐ x의 이차방정식으로 m의 이차부등식을 세운다. ⓑ m의 이차부등식이 항상 성립하는 조건을 찾는다. 정답 및 해설 81 ⓐ ⓑ ⓒ [40%] [50%] [10%] 51 답 325 4월 회원의 남녀의 비가 2`:`3이므로 회원 수를 각각 2a, 3a라 하자. 5월에 더 가입한 남녀 회원 수를 각각 x, 2x라 하면 지므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=(m-4)Û`-4(3-mk)>0 ∴ mÛ`+4(k-2)m+4>0 따라서 5월 말 현재 전체 회원 수는 5a+3x=13x (∵ ㉢)=325(명) ⓒ 자연수 k의 값을 구한다. [해] 08강_OK.indd 81 2017-09-21 오후 1:57:13 55 답 4 xÛ`+x-6<0에서 (x+3)(x-2)<0 ∴ -3<x<2 ⓐ 한편, xÛ`-(a+4)x+4aæ¾0에서 (x-4)(x-a)¾æ0 이때, a¾æ4이면 xÉ4 또는 x¾æa이므로 주어진 연립부등식의 해가 -3<x<2가 되어 연립 부등식을 만족시키는 정수 x가 -2뿐이라는 조건에 모순이다. 즉, a<4이고, 이때 xÉa 또는 -3 -2 -1 2 4 x x¾æ4이다. ∴ pÛ`=4 따라서 주어진 연립부등식을 만족시키는 정수 x가 -2뿐이려면 -2Éa<-1이어야 하므로 정수 a는 p=-2이다. | 채점기준 | ⓐ 부등식 xÛ`+x-6<0의 해를 구한다. ⓑ 부등식 xÛ`-(a+4)x+4aæ¾0의 해를 구한다. ⓒ 정수 a의 값을 찾아 pÛ`의 값을 구한다. ⓑ ⓒ [30%] [50%] [20%] 56 답 13 x+aÉxÛ`É2x+b, 즉 [ xÛ`-xæ¾a y ㉠ xÛ`-2xÉb y ㉡ 이므로 Ú f(x)=xÛ`-x라 하면 f(x)= x- { ;2!;} - ;4!; -1ÉxÉ1일 때, y=f(x)의 2` y y=f{x} 그래프에서 - Éf(x)É2이므로 ;4!; - ÉxÛ`-xÉ2 ;4!; ㉠에서 aÉ- ;4!; 2 O 1 2 1 ⓐ -1 - 1 4 한편, 함수 y=f(x-1)의 그래프는 함수 y=f(x)의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼 평행이동시킨 그래프이다. 이때, f(x-1)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는 -2<x<5이므로 정수 x는 -1, 0, 1, 2, 3, 4이다. 따라서 모든 정수 x의 값의 합은 9이다. 58 답 ③ xÛ`+4x-21É0에서 (x+7)(x-3)É0 ∴ -7ÉxÉ3 y ㉠ xÛ`-5kx-6kÛ`>0에서 (x-6k)(x+k)>0 k>0이므로 x<-k 또는 x>6k y ㉡ ㉠, ㉡에서 해가 존재하기 위한 그림과 같이 -k>-7 또는 6k<3이므로 0<k<7 따라서 양의 정수 k의 개수는 6이다. 양의 정수 k의 값의 범위는 -7 -k 6k 3 x 59 답 ② 모든 실수 x에 대하여 -xÛ`+3x+2Émx+n이므로 xÛ`+(m-3)x+n-2¾0이다. 이차방정식 xÛ`+(m-3)x+n-2=0의 판별식을 D라 하면 D=(m-3)Û`-4n+8É0이므로 4n¾mÛ`-6m+17 y ㉠ x 또한, 모든 실수 x에 대하여 mx+nÉxÛ`-x+4이므로 xÛ`-(m+1)x+4-n¾0이다. Û g(x)=xÛ`-2x라 하면 g(x)=(x-1)Û`-1 이차방정식 xÛ`-(m+1)x+4-n=0의 판별식을 D'이라 하면 -1ÉxÉ1일 때, y=g(x)의 그래프에서 -1Ég(x)É3이므로 -1ÉxÛ`-2xÉ3 ㉡에서 b¾æ3 ⓑ Ú, Û에 의하여 b-a¾ æ 이므로 ;;Á4£;; b-a의 최솟값 p= ∴ 4p=13 ;;Á4£;; y=f{x} y 3 D'=(m+1)Û`-16+4nÉ0이므로 4nÉ-mÛ`-2m+15 y ㉡ 따라서 ㉠, ㉡에 의하여 1 2 x -1 O -1 mÛ`-6m+17É4nÉ-mÛ`-2m+15 y ㉢ 즉, mÛ`-6m+17É-mÛ`-2m+15이므로 | 채점기준 | ⓐ x+aÉxÛ`이 성립하는 a의 값의 범위를 구한다. ⓑ xÛ`É2x+b가 성립하는 b의 값의 범위를 구한다. ⓒ b-a의 최솟값을 구하여 4p의 값을 계산한다. ⓒ [40%] [40%] [20%] 2mÛ`-4m+2É0 2(m-1)Û`É0 ∴ m=1 ㉢에서 12É4nÉ12이므로 n=3 ∴ mÛ`+nÛ`=10 [다른 풀이] 57 답 ③ xÛ`-x-12=(x+3)(x-4)이므로 이차함수 f(x)=xÛ`-x-12의 그래프는 그림과 같다. f(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는 O-3 4 x f(x)=xÛ`-x+4, g(x)=-xÛ`+3x+2, h(x)=mx+n이라 하면 모든 실수 x에 대하여 g(x)Éh(x)Éf(x)가 성립한다. y y=f{x} f(x)-g(x)=2xÛ`-4x+2=2(x-1)Û`이므로 y=f(x)의 그래프와 y=g(x)의 그래프는 서로 접한다. 따라서 g(x)Éh(x)Éf(x)가 성립하기 위해서는 그림과 같이 y=h(x)의 그래프가 y=g(x)와 y=f(x)의 그래프에 동시에 접 해야 한다. -3<x<4 82 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 08강_OK.indd 82 2017-09-21 오후 1:57:14 y=f{x} y y=h{x} 62 답 ⑤ ㄱ. ab+1-(a+b) =a(b-1)-(b-1) y=g{x} x O =(a-1)(b-1)>0 (∵ |a|<1, |b|<1 ) (참) ㄴ. |b|<1, |c|<1에서 |bc|<1이고, |a|<1이므로 f(x)=h(x)에서 이차방정식 xÛ`-(m+1)x+4-n=0의 판별식을 D라 하면 D=(m+1)Û`-4(4-n)=0 y ㉣ 또한, g(x)=h(x)에서 이차방정식 xÛ`+(m-3)x+n-2=0의 판별식을 D'이라 하면 D'=(m-3)Û`-4(n-2)=0 y ㉤ ㉣, ㉤을 연립하여 풀면 m=1, n=3이므로 mÛ`+nÛ`=10 60 답 ④ 이차함수 f(x)=xÛ`+px+p= { 점 A의 좌표는 { - p 2 pÛ` 4 } x+ +p- 에서 pÛ` 4 p 2 } 2` , p- , 점 B의 좌표는 (0, p)이므로 직선 l의 방정식은 y= 부등식 f(x)-g(x)=xÛ`+ É0에 대하여 p 2 x+p, 즉 g(x)= p 2 xÉ0, 즉 x { p 2 x+p이다. p 2 } x+ Ú p>0인 경우 p 2 - ÉxÉ0을 만족시키는 정수 x의 개수가 10이 되도록 하는 p의 값의 범위는 -10<- É-9에서 18Ép<20 이므로 p 2 정수 p의 값은 18, 19이다. Û p<0인 경우 0ÉxÉ- 를 만족시키는 정수 x의 개수가 10이 되도록 하는 p 2 p의 값의 범위는 9É- p 2 <10에서 -20<pÉ-18이므로 정수 p의 값은 -18, -19이다. Ú, Û에 의하여 정수 p의 최댓값 M=19, 최솟값 m=-19이므 로 M-m=38 61 답 ③ 라면 한 그릇의 가격을 100x(원)만큼 내린다 하면 라면 한 그릇의 가격은 2000-100x(원) y ㉠ 라면 판매량은 20x(그릇)이 늘어나므로 하루 라면 판매량은 200+20x(그릇) 하루 라면 판매액의 합계가 442000원 이상이 되려면 (2000-100x)(200+20x)¾442000이므로 2000xÛ`-20000x+42000É0 xÛ`-10x+21É0 (x-3)(x-7)É0 ∴ 3ÉxÉ7 y ㉠ 따라서 라면 한 그릇의 가격의 최댓값은 ㉠에서 x의 값이 최소일 때이므로 x=3일 때, 1700원이다. II 08 여러 가지 부등식 ㄱ에 의하여 abc+1>a+bc (참) ㄷ. abc+1>a+bc (∵ ㄴ) ㄱ에 의하여 bc+1>b+c ∴ abc+2>a+bc+1>a+b+c (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 63 답 5 1+4x=m (m은 정수)이라 하면 x= m-1 4 y ㉠ m- É(x+1)(x-2)<m+ 이므로 ;2!; ;2!; m- É { ;2!; m-1 4 +1 }{ m-1 4 -2 } <m+ ;2!; 각 변에 16을 곱하면 16m-8É(m+3)(m-9)<16m+8` 16m-8ÉmÛ`-6m-27<16m+8 각 변에 -16m+148을 더하면 140ÉmÛ`-22m+121<156 11Û`<140É(m-11)Û`<156<13Û` 즉, (m-11)Û`=12Û`이므로 m=-1 또는 m=23 ∴ x=- 또는 x= (∵ ㉠) ;2!; ;;Á2Á;; 따라서 모든 실수 x의 값의 합은 5이다. 64 답 27 주어진 부등식을 m에 대하여 정리하면 (x-2)mÛ`-2(x-2)m+5¾0 이 식이 실수 m의 값에 관계없이 항상 성립할 조건은 Ú x-2>0일 때, 이차방정식 (x-2)mÛ`-2(x-2)m+5=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =(x-2)Û`-5(x-2)É0이므로 (x-2)(x-7)É0 ∴ 2ÉxÉ7 이때, x>2이므로 2<xÉ7 Û x=2일 때, 5¾0으로 항상 성립하므로 x=2 Ú, Û에 의하여 2ÉxÉ7 따라서 모든 정수 x의 값의 합은 2+3+4+5+6+7=27 정답 및 해설 83 [해] 08강_OK.indd 83 2017-09-21 오후 1:57:15 이때, 이고, 0É =m이다. 또, y축 위의 점을 Q(0, b)라 하면 QAÓ=QBÓ에서 65 답 5 임의의 실수 x에 대하여 axÛ`+2bx+c¾0이 성립하려면 마찬가지 방법으로 bxÛ`+2cx+a¾0, cxÛ`+2ax+b¾0에서 a>0, bÛ`-acÉ0 y ㉠ b>0, cÛ`-abÉ0 y ㉡ c>0, aÛ`-bcÉ0 y ㉢ ㉠+㉡+㉢을 하면 (bÛ`-ac)+(cÛ`-ab)+(aÛ`-bc)É0에서 {(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}É0이므로 a=b=c ;2!; ∴ a>0, b>0, c>0, a=b=c 즉, 주어진 부등식 axÛ`-2cx-3bÉ0은 a(xÛ`-2x-3)É0이므로 (x+1)(x-3)É0 ∴ -1ÉxÉ3 따라서 정수인 해의 개수는 -1, 0, 1, 2, 3의 5이다. 66 답 27 두 자리 자연수 n의 십의 자리의 수를 m, 일의 자리의 수를 k라 하면 n=10m+k (1ÉmÉ9, 0ÉkÉ9) k 10 <1이므로 [ n 10 ] ∴ n-10 =(10m+k)-10m=k<3 따라서 n-10 은 자연수 n의 일의 자리의 수를 나타내므로 일의 자리의 수가 0, 1, 2인 두 자리 자연수의 개수는 10, 11, 12, 20, 21, 22, y, 92의 3_9=27이다. k 10 n 10 =m+ n 10 [ ] n 10 [ ] 67 답 ③ 2점, 3점, 4점짜리 문항의 개수를 각각 x, y, z라 하면 x+y+z=30 y ㉠ 2x+3y+4z=100 y ㉡ x¾1, y¾1, z¾1 y ㉢ ㉡-㉠_3을 하면 -x+z=10 ∴ z=x+10 이것을 ㉠에 대입하면 2x+y=20 ∴ y=20-2x ㉢에서 z=x+10¾1, y=20-2x¾1 ∴ -9ÉxÉ ;;Á2»;; 따라서 x는 자연수이므로 2점 문항은 최소 1문항, 최대 9문항 들어 갈 수 있으므로 구하는 최솟값과 최댓값의 합은 10이다. 84 일등급 수학•고등 수학 (상) Ⅲ 도형의 방정식 09 평면좌표 문제편 107P 01 답 ⑤ 직선 y=x 위에 있는 점의 좌표를 (a, a)라 하면 점 A(2, 4)로부터의 거리가 10 이므로 '¶ (a-2)Û`+(a-4)Û` = "à 양변을 제곱하여 정리하면 aÛ`-6a+5=0 '¶ 10 (a-1)(a-5)=0 ∴ a=1 또는 a=5 따라서 두 점 P, Q의 좌표를 P(1, 1), Q(5, 5)라 하면 PQÓ= (5-1)Û`+(5-1)Û` =4 2 "à ' 02 답 234 x축 위의 점을 P(a, 0)이라 하면 PAÓ=PBÓ에서 PAÓ Û`=PBÓ Û`이므로 aÛ`+2Û`=(a-5)Û`+3Û` a=3이므로 P(3, 0) QAÓ Û`=QBÓ Û`이므로 (b-2)Û`=5Û`+(b-3)Û` b=15이므로 Q(0, 15) ∴ PQÓ Û`=(0-3)Û`+(15-0)Û`=234 03 답 ④ 두 점 A(-2, -4), B(7, a)를 잇는 선분 AB를 2`:`1로 내분하 는 점 P의 좌표는 2_7+1_(-2) 2+1 , 2_a+1_(-4) 2+1 } { 즉, { 4, 2a-4 3 } =(b, 0)이므로 2a-4 b=4, 3 =0 ∴ a=2, b=4 ∴ a+b=6 04 답 ④ P(xÁ, yÁ)이라 하면 즉, P(3, 6) Q(xª, yª)라 하면 즉, Q(11, 14) xÁ= 2_5+1_(-1) 2+1 =3, yÁ= 2_8+1_2 2+1 =6 xª= 2_5-1_(-1) 2-1 =11, yª= 2_8-1_2 2-1 =14 따라서 선분 PQ의 중점 M(a, b)의 x좌표, y좌표는 각각 3+11 6+14 a= 2 =7, b= 2 =10이므로 a+b=17 [해] 08강_OK.indd 84 2017-09-21 오후 1:57:16 05 답 5 삼각형 ABC의 무게중심 G는 중선 CM을 2`:`1로 내분하므로 꼭짓 09 답 ⑤ Ú ABÓ=ACÓ인 경우 ABÓ Û`=ACÓ Û`에서 점 C의 좌표를 (a, b)라 하면 두 점 M(2, -1), G(3, 1)에 대하여 (4-2)Û`+(8-2)Û`=(a-2)Û`+(0-2)Û` 2_2+1_a 2+1 , 2_(-1)+1_b 2+1 } { =(3, 1) ∴ a=5, b=5 따라서 꼭짓점 C의 좌표는 C(5, 5)이고 점 A(1, 2)이므로 ACÓ= (5-1)Û`+(5-2)Û` =5 "à 06 답 4 AÕMÓ Û`=(4-2)Û`+(5-3)Û`=8 삼각형 PAB에서 중선정리에 의하여 PAÓ Û`+PBÓ Û`=2(AMÓ Û`+PÕMÓ Û`)=2(8+PÕMÓ Û`) (a-2)Û`=6Û` ∴ a=8 또는 a=-4 Û BAÓ=BCÓ인 경우 BAÓ Û`=BCÓ Û`에서 (4-2)Û`+(8-2)Û`=(a-4)Û`+(0-8)Û` Ü CAÓ=CBÓ인 경우 CAÓ Û`=CBÓ Û`에서 (a-2)Û`+(0-2)Û`=(a-4)Û`+(0-8)Û` 4a=72 ∴ a=18 이때, (a-4)Û`=-24가 되어 정수 a가 존재하지 않는다. 10 답 4 점 A를 원점, 직선 AB를 x축으로 하는 좌표평면에서 III 09 평면좌표 선분 AB의 중점을 M이라 하면 중점 M의 좌표는 M(4, 5)이므로 따라서 모든 정수 a의 값의 합은 8+(-4)+18=22 이므로 PMÓ의 길이가 최소일 때 PAÓ Û`+PBÓ Û`의 값이 최소가 된다. A(0, 0), B(b, 0)이라 하면 점 P가 중점 M에서 x축에 내린 수선의 발일 때 PMÓ의 길이는 최소 Û`의 값 가 되므로 점 P의 좌표가 P(4, 0), 즉 a=4일 때 PAÓ Û`+PBÓ 이 최소가 된다. 중선정리의 활용 일등급 PAÓ Û`+PBÓ Û` 꼴의 식이 주어지면 먼저 중선정리를 생각하자. 또한, 한 점과 선분 사이의 최단거리는 그 점에서 선분에 내린 수선의 발까지의 거리임을 기억한다. 점 P의 좌표는 { 2b 2+1 , 0 2+1 } = { 2b 3 , 0 } 점 Q의 좌표는 { 2b 2-1 , 0 2-1 } =(2b, 0) 따라서 선분 PQ의 중점 R의 좌표는 2b 3 +2b 2 , 0 = 4b 3 { , 0 = } { 4b-0 4-1 , 0 4-1 } ¦ 이므로 점 R는 선분 AB를 4`:`1로 외분하는 점이다. ∴ k=4 ¥ 07 답 ④ 점 A를 x축에 대하여 대칭이동시킨 점을 A'이라 하면 A'(3, -8) APÓ+BPÓ=A'PÓ+BPÓ¾æA'BÓ y A{3,8} B{10,2} x P H 따라서 그림과 같이 점 P가 O K A'BÓ와 x축의 교점에 위치할 때 APÓ+BPÓ의 값이 최소가 된다. A'{3,-8} 이때, △A'PK»△BPH이므로 A'PÓ`:`BPÓ=A'KÓ`:`BHÓ=8`:`2=4`:`1 ∴ APÓ`:`BPÓ=4`:`1 08 답 ⑤ 직선 y=2x+1 위의 점 P의 x좌표를 a라 하면 P(a, 2a+1) PAÓ=PBÓ에서 (a+1)Û`+(2a-1)Û` = "à 양변을 제곱하여 정리하면 2a=2 "à (a-2)Û`+(2a)Û` ∴ a=1 따라서 점 P의 좌표는 P(1, 3)이므로 PÕAÓ= (1+1)Û`+(3-2)Û` = 5 "à ' 11 답 ① 선분 AB를 k`:`1로 내분하는 점을 P라 하면 4k+1 k+1 P { , -3k+8 k+1 } 점 P가 제 1 사분면에 존재하려면 4k+1 k+1 >0, 이때, k는 자연수이므로 k+1>0 -3k+8 k+1 >0이어야 한다. 4k+1>0 y ㉠, -3k+8>0 y ㉡ ㉠, ㉡을 연립하면 - <k< ;4!; ;3*; 따라서 자연수 k는 1, 2이므로 그 합은 1+2=3이다. 12 답 ③ ABÓ`:`APÓ=2`:`3이 되는 점은 그림과 같이 선분 AB를 3`:`1로 외분하는 점 PÁ과 3`:`5로 외분하는 점 Pª가 있다. 즉, PÁ { 3_2-1_1 3-1 , 3_2-1_1 3-1 } 이고, A P™ 3 Pª { 3_2-5_1 3-5 , 3_2-5_1 3-5 } 이므로 PÁ , {;2%; ;2%;} , Pª - , - { ;2!; ;2!;} ∴ PÕÁPªÓ= - - ;2!; ¾¨{ + - { ;2!; - ;2%;} =3 2 ' ;2%;} 2` 2` 3 2 P¡ B B A 2 정답 및 해설 85 [해] 09강_OK.indd 85 2017-09-21 오후 1:57:34 =(3, 4)이므로 =3{(-c-a)Û`+(-b)Û`}+(3c-a)Û`+(-b)Û` 13 답 ⑤ 두 꼭짓점 B, C를 B(a, b), C(c, d)라 하면 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는 6+a+c 3 , 6+b+d 3 } { =(5, 3)이므로 6+a+c 3 =5, 6+b+d 3 =3 y ㉠ 한편, 변 CA의 중점 M의 좌표는 6+c 2 , 6+d 2 } { =(7, 4)이므로 6+c 2 =7, 6+d 2 =4 ∴ c=8, d=2 y ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 a=1, b=1 따라서 두 점 B(1, 1), C(8, 2)이므로 BCÓ= (8-1)Û`+(2-1)Û` =5 2 ' "à 14 답 13 두 점 A { a, ;2!; a } , B(b, 3b)라 하면 삼각형 OAB의 무게중심 G의 좌표는 a+b 3 , 1 2 a+3b 3 ¦ ¥ a+b=9, a+6b=24 두 식을 연립하여 풀면 a=6, b=3 ∴ A(6, 3), B(3, 9) 이때, 두 점 A, B는 직선 y=mx+n 위의 점이므로 3=6m+n, 9=3m+n 두 식을 연립하여 풀면 m=-2, n=15 ∴ m+n=-2+15=13 15 답 10 삼각형 ABC의 무게중심을 G(a, b)라 하면 삼각형 ABC와 세 변의 중점을 연결한 삼각형 LMN의 무게중심은 일치하므로 무게중심 G(a, b)에 대하여 1+5+3 a= 3 =3, b= ∴ aÛ`+bÛ`=3Û`+1Û`=10 -2+3+2 3 =1 16 답 ③ 처음에 A와 B의 위치를 각각 A(-5, 0), B(0, -4)라 하면 t시간 후의 A와 B의 위치는 각각 A(4t-5, 0), B(0, 2t-4) ABÓ= (4t-5)Û`+(2t-4)Û` = 20tÛ`-56t+41 "à 이므로 = 2 0 t- ¾ { ;5&;} + ;5(; 2` "à ;5&; 86 일등급 수학•고등 수학 (상) 따라서 시간 후에 A와 B 사이의 거리는 최소가 된다. y B k C -k P p A k x O y A B c D{O} C 3c x 17 답 50 그림과 같이 좌표평면 위에 A(k, 0), B(0, k), C(-k, 0), P(p, 0)이라 하자. APÓ_CPÓ=(k-p)(k+p) =kÛ`-pÛ` Û`=kÛ`+pÛ`이므로 BPÓ APÓ_CPÓ+BPÓ Û`=2kÛ`=100 ∴ kÛ`=50 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 _ACÓ_OBÓ= _2kÛ`=kÛ`=50 ;2!; ;2!; 18 답 7 그림과 같이 변 BC를 x축으로, 점 D를 지나고 직선 BC에 수직인 직선을 y축으로 하는 좌표축을 잡고 A(a, b), B(-c, 0), C(3c, 0) 이라 하면 3ABÓ Û`+ACÓ Û` =4(aÛ`+bÛ`+3cÛ`) y ㉠ Û`+qBDÓ p(ADÓ Û`)=p(aÛ`+bÛ`+qcÛ`) y ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 p=4, q=3이므로 p+q=7 19 답 ① 점 P가 삼각형 ABC의 외심이므로 PAÓ=PBÓ=PCÓ, 즉 PAÓ Û`=PBÓ Û`에서 Ú PAÓ Û`=PBÓ Û`=PCÓ Û`이다. (a-4)Û`+(b+2)Û`=aÛ`+(b-6)Û` ∴ a-2b=-2 y ㉠ Û PBÓ Û`=PCÓ Û`에서 aÛ`+(b-6)Û`=(a+4)Û`+(b-4)Û` ∴ 2a+b=1 y ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=1 ∴ a+b=0+1=1 20 답 97 빛이 이동한 거리를 대칭이동하면 그림과 같이 두 점 (0, 7)과 (4, -2) 사이의 거리임을 알 수 있다. 따라서 빛이 이동한 거리 d는 (4-0)Û`+{7-(-2)}Û` = 97 '¶ d= "à ∴ dÛ`=97 y 7 4 2 1 O -2 4 x [해] 09강_OK.indd 86 2017-09-25 오전 11:36:23 Ð 21 답 20 이차함수 f(x)=xÛ`-ax의 그래프와 직선 y=2x+1의 서로 다른 24 답 ② ABÓ=a라 하면 두 교점의 좌표를 P(a, 2a+1), Q(b, 2b+1)이라 하면 a, b는 이차방정식 xÛ`-(a+2)x-1=0의 서로 다른 두 실근이다. 즉, 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=a+2, ab=-1이므로 PQÓ= (b-a)Û`+(2b+1-2a-1)Û` = 5(b-a)Û` "à "à = 5{(a+b)Û`-4ab}= 5(a+2)Û`+20 ¾ "à "à 따라서 a=-2일 때, 두 교점 사이의 거리의 최솟값이 m이므로 '¶ 20 mÛ`=20 22 답 672 삼각형 ABC의 세 변 AB, BC, CA의 길이를 각각 구하면 26 ABÓ= BCÓ= "à CAÓ= "à (5-0)Û`+(1-2)Û` = "à (2-5)Û`+(a-1)Û` = "à (2-0)Û`+(a-2)Û` = '¶ Ú ABÓ가 빗변일 때, ABÓ 9+(a-1)Û` "à Û`=BCÓ 4+(a-2)Û` Û`+CAÓ Û`이어야 하므로 26=9+(a-1)Û`+4+(a-2)Û`에서 aÛ`-3a-4=0 (a-4)(a+1)=0 ∴ a=4 또는 a=-1 y ㉠ Û`=ABÓ Û BCÓ가 빗변일 때, BCÓ Û`+CÕAÓ Û`이어야 하므로 9+(a-1)Û`=26+4+(a-2)Û`에서 2a=24 ∴ a=12 y ㉡ Û`=ABÓ Ü CAÓ가 빗변일 때, CÕAÓ Û`+BCÓ Û`이어야 하므로 4+(a-2)Û`=26+9+(a-1)Û`에서 -2a=28 ∴ a=-14 y ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 모든 실수 a의 값의 곱은 4_(-1)_12_(-14)=672 23 답 17 1`:`3으로 내분하는 점이다. 선분 AP를 4`:`3으로 외분하는 점이 Q이므로 점 P는 선분 AQ를 4k 3k A k P Q 점 P의 좌표는 { 1_17+3_1 1+3 , 1_18+3_2 1+3 } =(5, 6) 또한, 선분 AB를 4`:`3으로 내분하는 점이 P(5, 6)이므로 점 B는 선분 AP를 7`:`3으로 외분하는 점이다. 7k A 4k P 3k B 따라서 점 B의 좌표는 7_5-3_1 7-3 { , 7_6-3_2 7-3 } =(8, 9) ∴ a+b=8+9=17 점 P는 선분 AB를 x`:`1로 내분하는 점이므로 BPÓ= 점 Q는 선분 AB를 y`:`1로 외분하는 점이므로 BQÓ= 점 B는 PQÓ의 중점이므로 BPÓ=BQÓ에서 a x+1 = a y-1 x+1=y-1 (∵ a>0) ∴ y=x+2 a x+1 a y-1 25 답 ④ ADÓ가 ∠A의 이등분선이므로 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`DCÓ 이때, ABÓ= (-3-1)Û`+(1-4)Û` =5, ACÓ=4이므로 "à 점 D(a, b)는 BCÓ를 5`:`4로 내분하는 점이다. III 09 평면좌표 a= 5_1+4_(-3) 5+4 =- 7 9 b= 5_0+4_1 4 9 5+4 = 4 7 9 =- 9 + 1 3 ∴ a+b=- 26 답 ④ 두 마을 주민 전체의 평균 나이 m은 m= 45mÁ+55mª 45+55 = 45mÁ+55mª 100 이므로 그림과 같이 수직선에서 mª와 mÁ이 각각 나타내는 두 점을 잇는 선분을 45`:`55로 내분하는 점의 좌표와 같다. 한편, mÁ+mª 2 는 두 점 mÁ과 mª의 중점을 나타낸다. 45 55 m™ m m¡+m™ m¡ 55 45 2 [그림 1] m¡+m™ 2 m [그림 2] m¡ m™ ㄱ. mÁ>mª이면 [그림 1]과 같이 m= 45mÁ+55mª 100 < mÁ+mª 2 ∴ 2m<mÁ+mª (참) ㄴ. mÁ=mª이면 m= mÁ+mª 2 ∴ m=mÁ=mª (참) ㄷ. mÁ<mª이면 [그림 2]와 같이 m= 45mÁ+55mª 100 > mÁ+mª 2 이므로 2m>mÁ+mª ∴ m-mÁ>mª-m (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 정답 및 해설 87 [해] 09강_OK.indd 87 2017-09-21 오후 1:57:36 27 답 ① ABÓ의 중점을 M(a, b), 삼각형 OAB의 무게중심을 G라 하면 점 G는 OMÓ을 2`:`1로 내분하므로 2a+0 2+1 , 2b+0 2+1 } G { =(4, 2) a=6, b=3이므로 M(6, 3) y O A G M B x 따라서 한 변 AB는 ABÓ의 중점인 M(6, 3)을 반드시 지난다. [다른 풀이] 28 답 ③ P(x, 0), Q(0, y)라 하면 0+x+0 3 =-1, 0+0+y 3 =1에서 x=-3, y=3 ∴ P(-3, 0), Q(0, 3) PAÓ Û`=PBÓ Û`에서 (a+3)Û`+4Û`=(1+3)Û`+bÛ`이므로 QAÓ Û`=QBÓ Û`에서 aÛ`+(4-3)Û`=1Û`+(b-3)Û`이므로 (a+3)Û`=bÛ` y ㉠ aÛ`=(b-3)Û` y ㉡ ㉠-㉡을 하면 (a+3)Û`-aÛ`=bÛ`-(b-3)Û` 6a-6b=-18 ∴ a-b=-3 29 답 5 삼각형 PAB의 무게중심 GÁ의 좌표는 0+6+a 3 , 0+0+b 3 { = } { 6+a 3 , b 3 } 삼각형 PBC의 무게중심 Gª의 좌표는 6+3+a 3 , 0+6+b 3 } = { 9+a 3 { , 6+b 3 } 삼각형 PCA의 무게중심 G£의 좌표는 3+0+a 3 , 6+0+b 3 } = { 3+a 3 { , 6+b 3 } 이므로 삼각형 GÁGªG£의 무게중심은 6+a 3 + 9+a 3 3 + 3+a 3 b 3 + 6+b 3 + 6+b 3 , 3 ¦ = 6+a 3 { , 4+b 3 } y ㉠ ¥ 0+6+3 3 , 0+0+6 3 } { =(3, 2) y ㉡ ㉠과 ㉡이 서로 같으므로 3= , 2= 에서 6+a 3 4+b 3 a=3, b=2 ∴ a+b=5 30 답 125 삼각형 ABC는 변 BC가 빗변인 직각삼각형이므로 BCÓ Û`=ABÓ Û`+ACÓ Û`=12Û`+9Û`=15Û` ∴ BCÓ=15 A 12 a 9 b B D M E 따라서 삼각형 ADE에서 중선정리에 의하여 aÛ`+bÛ`=2(AMÓ Û`+DMÓ Û`)=2 [{;;Á2°;;} {;2%;} ] =125 C 2` + 2` BCÓ=15이므로 BDÓ=DEÓ=ECÓ=5 삼각형 ABE에서 점 D는 선분 BE의 중점이므로 12Û`+bÛ`=2(aÛ`+5Û`) y ㉠ 또, 삼각형 ADC에서 점 E는 선분 DC의 중점이므로 aÛ`+9Û`=2(bÛ`+5Û`) y ㉡ ㉠+㉡을 하면 aÛ`+bÛ`+12Û`+9Û`=2aÛ`+2bÛ`+4_5Û` ∴ aÛ`+bÛ`=12Û`+9Û`-4_5Û`=125 31 답 ④ 변 BC의 중점을 M이라 하면 삼각형 PBC에서 중선정리에 의하여 BPÓ Û`+CPÓ Û` =2(BMÓ Û`+PMÓ Û`)=2(2Û`+PMÓ Û`) y C M A O P B x 이때, PMÓ Û`의 값은 점 M에서 ABÓ 위의 점 P까지의 거리가 최소일 때 최솟값을 갖는다. 즉, 점 M에서 ABÓ 위에 내린 수선의 발이 P일 때, PMÓ의 길이는 최솟값 3 을 가지므로 ' Û`+CPÓ BPÓ Û`=2(2Û`+PMÓ Û`)¾2_{4+( ' 3)Û`}=14 [다른 풀이] 을 y축으로 잡으면 A(-2, 0), B(2, 0), C(0, 2 3)이고, ' 점 P의 좌표를 (x, 0)이라 하면 -2ÉxÉ2이고 y C{0,2´3} A{-2,0} O P{x,0} B{2,0} x 한편, 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는 그림과 같이 변 AB를 포함하는 직선을 x축, 이 변의 수직이등분선 이때, 빗변 BC의 중점을 M이라 하면 점 M은 삼각형 ABC의 외심 BPÓ Û`+CPÓ Û` =(x-2)Û`+{xÛ`+(2 3)Û`} ' =2xÛ`-4x+16=2(x-1)Û`+14 이므로 BMÓ=AMÓ= BCÓ= 이고, DMÓ=EMÓ= BMÓ= ;2!; ;;Á2°;; ;3!; ;2%; 따라서 x=1일 때, BPÓ Û`+CPÓ Û`의 최솟값은 14이다. 88 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 09강_OK.indd 88 2017-09-21 오후 1:57:38 32 답 ② 그림과 같이 직선 l을 x축으로 잡으면 세 꼭짓점의 좌표를 A(a, 22), B(b, 11), C(c, 9)라 할 수 있다. y A{a,22} G B{b,11} 이때, 삼각형 ABC의 무게중심 G의 O H y좌표는 22+11+9 3 = 42 3 =14이므로 GHÓ=14 33 답 ③ 그림과 같이 꼭짓점 O를 원점, 변 OA를 x축의 양의 방향으로 하는 좌표축을 y B 6 잡고 점 P의 좌표를 P(a, b)라 하면 △POA`:`△POB=1`:`3에서 _4_b`:` _6_a=1`:`3 ;2!; ;2!; ∴ a=2b y ㉠ △PAB =△OAB-△POA-△POB =12-(3a+2b) 이므로 △POB`:`△PAB=3`:`2에서 _6_a`:`{12-(3a+2b)}=3`:`2 ;2!; ∴ 5a+2b=12 y ㉡ 이때, ㉠을 ㉡에 대입하면 12b=12 ∴ b=1 b=1를 ㉠에 대입하면 a=2 따라서 점 P의 좌표는 P(2, 1)이므로 OPÓ= 2Û`+1Û` = 5 "à ' 34 답 ⑤ 처음에 A와 B의 위치를 각각 A(-10, 0), B(0, -5)라 하면 t시간 후의 A와 B의 위치는 각각 A(3t-10, 0), B(0, 4t-5) 이므로 "à "à = 25(t-2)Û`+25 의 거리는 5`km이다. 35 답 3 그림과 같이 변 BC의 중점을 원점으로 하고 변 BC의 수직이등분선을 y축으로 하는 좌표축을 잡고 A(3a, 3b), B(-c, 0), C(c, 0)이라 하면 무게중심의 좌표는 G(a, b)가 된다. C{c,9} x ABÓ Û`+BCÓ Û`+CAÓ Û` =(-c-3a)Û`+9bÛ`+(2c)Û`+(c-3a)Û`+9bÛ` =3(6aÛ`+6bÛ`+2cÛ`) y ㉠ Û`+GCÓ Û`+GBÓ GAÓ Û` =(3a-a)Û`+(3b-b)Û`+(a+c)Û`+bÛ`+(c-a)Û`+bÛ` =6aÛ`+6bÛ`+2cÛ` y ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 Û`+BCÓ ABÓ Û`+CAÓ ∴ k=3 Û`=3(GAÓ Û`+GBÓ Û`+GCÓ Û`) 36 답 18 APÓ CPÓ APÓ Û`=(a-1)Û`+(b-5)Û`, BPÓ Û`=(a-9)Û`+(b-4)Û`이므로 Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û`=(a-5)Û`+(b-3)Û`, III 09 평면좌표 P a b O A 4 x Û` =3aÛ`-30a+3bÛ`-24b+157 =3(a-5)Û`+3(b-4)Û`+34 즉, a=5, b=4일 때, APÓ Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û`의 최솟값은 34이므로 P(5, 4) 삼각형 ABC의 무게중심 G(c, d)의 좌표를 구하면 c= 1+5+9 3 =5, d= 5+3+4 3 =4 이므로 G(5, 4) ∴ a+b+c+d=5+4+5+4=18 ⓐ 점 P(a, b)의 좌표를 구한다. ⓑ 점 G(c, d)의 좌표를 구한다. ⓒ a+b+c+d의 값을 구한다. | 채점기준 | 37 답 21 A(0, 1), B(2, 3), P(x, 0)이라 하면 APÓ= xÛ`+1 , BPÓ= (x-2)Û`+9 "à "à (x-2)Û`+9 =APÓ+BPÓ ∴ f(x)= xÛ`+1+ "à "à 즉, APÓ+BPÓ의 최솟값이 f(x)의 최솟값이다. ⓐ 이동한 점을 A'(0, -1)이라 하면 2Û`+(3+1)Û` =2 5 ' æAÕ'BÓ= "à ∴ a=2 5 ' 이때, 직선 A'B의 방정식은 A{0,1} O A'{0, -1} P{x,0} x ⓐ ⓑ ⓒ [40%] [40%] [20%] ⓑ ⓒ [40%] [40%] [20%] y 3b A y+1= 3-(-1) 2-0 x ∴ y=2x-1 따라서 y=2x-1=0에서 x= 이므로 b= ;2!; ;2!; ∴ aÛ`+2b=20+1=21 B -c O 3a C c x | 채점기준 | ⓐ f(x)를 좌표평면 위의 선분의 길이로 나타낸다. ⓑ a, b의 값을 각각 구한다. ⓒ aÛ`+2b의 값을 구한다. 정답 및 해설 89 ABÓ = (3t-10)Û`+(4t-5)Û` = 25tÛ`-100t+125 점 A(0, 1)을 x축에 대하여 대칭 y "à B{2,3} 따라서 t=2일 때 최솟값은 5이므로 두 사람이 가장 가까이 있을 때 f(x)의 최솟값은 [해] 09강_OK.indd 89 2017-09-21 오후 1:57:39 38 답 5 점 A를 원점으로 하는 좌표축을 도입하여 A(0, 0), B(6, 0), C(6, 4) y 4 라 하자. F 이때, 점 D는 변 AB를 5`:`1로 내분 하는 점이므로 D(5, 0)이다. A{O} C E 5 D 6 B x 삼각형 OAQ의 넓이가 16, 삼각형 OAB의 넓이는 4이므로 삼각형 [다른 풀이] OBQ의 넓이는 12이다. 삼각형 OAB와 삼각형 OBQ는 각각 선분 AB와 선분 BQ를 밑변 으로 할 때 높이가 같으므로 두 삼각형의 밑변의 길이의 비는 두 삼 여기서 E(6, b)라 하고, 점 F의 x좌표를 a라 하면 직선 AC의 방정식이 y= x이므로 F a, a } ;3@; { ;3@; 삼각형 DEF의 무게중심 G'의 좌표는 5+6+a 3 , 0+b+ 2 3 a 3 a+11 3 , 2a+3b 9 } = { ¦ 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는 ¥ 0+6+6 3 , 0+0+4 3 { = 4, { } 4 3 } 삼각형 DEF의 무게중심과 삼각형 ABC의 무게중심이 서로 같으 므로 a+11 3 =4, 2a+3b 9 = 4 3 E 6, { 10 3 } ∴ BEÓ CEÓ = 10 3 4- 10 3 =5 좌표를 구한다. ⓒ BEÓ CEÓ 의 값을 구한다. 39 답 ④ | 채점기준 | ⓐ 삼각형 ABC와 삼각형 DEF를 좌표평면 위에 나타낸다. [40%] ⓑ 삼각형 ABC와 삼각형 DEF의 무게중심이 서로 같음을 이용하여 점 E의 각형의 넓이의 비와 같다. 따라서 ABÓ`:`BQÓ=4`:`12=1`:`3이므로 AQÓ`:`BQÓ=4`:`3=m`:`n ⓐ ∴ n m = ;4#; 40 ` 답 ③ 점 P의 좌표를 P(a, b)라 하면 직선 AB의 방정식은 y=-x+1이므로 b=-a+1 y ㉠ △OAG= △OAB에서 두 삼각형 모두 선분 OA를 한 변으로 하 ;4!; 므로 무게중심 G의 y좌표와 꼭짓점 B의 y좌표의 비는 1`:`4이다. 즉, 무게중심 G의 y좌표는 이다. ;4!; ;4!; 이 값을 ㉠에 대입하면 a= 따라서 점 P의 x좌표는 이다. ;4!; 41 답 ② 정삼각형의 한 변의 길이를 a라 하자. 좌표평면에서 꼭짓점 B를 원점 O의 위치에 놓고 변 BC가 x축의 양의 방향이 되도록 하면 두 점 C, A의 좌표는 각각 (a, 0), { a 2 , ' 3 2 a } 이다. ⓑ ⓒ [40%] [20%] 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b= 이므로 10 3 또, △OAP=3△OAG이므로 점 P의 y좌표 b는 b= ;4#; 삼각형 OAQ의 넓이가 16이고, y 삼각형 OAB의 넓이가 Q _4_2=4이므로 ;2!; 삼각형 OBQ의 넓이는 12이다. 삼각형 OBQ의 밑변을 선분 OB라 하면 OBÓ=4이므로 높이는 6이다. 점 Q의 x좌표는 -2n m-n 이므로 | -2n m-n | =6 ∴ -2n m-n =-6 (∵ m>n>0 ) 따라서 4n=3m이므로 n m = ;4#; 90 일등급 수학•고등 수학 (상) -2n m-n O 2 x B 4 3 A B{O} C{a,0} x y a A , 2 { } ´3 2 a P{x,y} 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 PAÓ=2 3 , PBÓ=2, PCÓ=4이므로 ' a 2 } x- { + y- ' { 3 2 a } =12 y ㉠ 2` xÛ`+yÛ`=4 y ㉡ 2` (x-a)Û`+yÛ`=16 y ㉢ ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 x, y를 a로 나타내면 x= a 2 - 6 a , y= 1 3 { a 2 - 2 a } ' [해] 09강_OK.indd 90 2017-09-21 오후 1:57:40 그림과 같이 삼각형 PAB를 점 B를 중심으로 시계방향으로 60ù만 큼 회전한 삼각형을 △P'CB라 하자. III 09 평면좌표 이것을 ㉡에 대입하면 { [ 1 3 { + 6 a } a 2 - 2` aÛ` 32 3 + 3 - aÝ`-32aÛ`+112=0 ' 112 3aÛ` a 2 - 2 a }] =4이므로 2` =0의 양변에 3aÛ`을 곱하면 (aÛ`-4)(aÛ`-28)=0 ∴ aÛ`=4 또는 aÛ`=28 그런데 a는 4보다 커야 하므로 aÛ`=28 ∴ a= 28 =2 7 '¶ ' [다른 풀이] A 2´3 P 2 60æ B 2 P' 4 2´3 C 이때, 삼각형 PBP'은 정삼각형이므로 PÕP'Ó=2, P'CÓ=PAÓ=2 3, PCÓ=4 삼각형 PP'C는 ∠P'=90ù, ∠CPP'=60ù인 직각삼각형이다. 이때, ∠APB=∠CP'B=90ù+60ù=150ù이고 ∠BPC=60ù+60ù=120ù이므로 ∠APC=90ù 즉, 삼각형 APC는 변 AC가 빗변인 직각삼각형이므로 ACÓ Û`=APÓ Û`+CPÓ Û`=(2 3)Û`+4Û`=28 ∴ ACÓ=2 7 " 따라서 정삼각형 ABC의 한 변의 길이는 2 7 이다. ' ' ' 점 E는 선분 BC를 2`:`3으로 외분하므로 점 F는 선분 AB를 1`:`2로 외분하므로 42 답 16 BDÓ`:`DCÓ=1`:`3 EBÓ=2BCÓ BFÓ=2ABÓ 넓이의 8배이다. 이의 16배이다. ∴ k=16 BDÓ`:`EBÓ=1`:`8이므로 삼각형 AEB의 넓이는 삼각형 ABD의 또한, BFÓ=2ABÓ이므로 삼각형 FEB의 넓이는 삼각형 ABD의 넓 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비 일등급 양수 t에 대하여 BDÓ=t라 하면 조건에 의하여 그림과 같이 DCÓ=3t, EBÓ=8t이다. 이때, 삼각형 ABD의 넓이를 S라 하면 삼각형 AEB의 넓이는 △AEB=8△ABD=8S이고, △AEB=△FEA=8S이므로 △FEB=16S 따라서 △FEB=16△ABD이므로 k=16 F A E 8t B D t 3t C 43 답 ④ O(0, 0), A(2, 4), P(x, y)라 하면 y 4 A P{x,y} O 2 x OPÓ= xÛ`+yÛ` , APÓ= (x-2)Û`+(y-4)Û` "à ∴ "à "à xÛ`+yÛ` + (x-2)Û`+(y-4)Û` =OPÓ+APÓ¾æOAÓ 따라서 구하는 최솟값은 OAÓ= 2Û`+4Û` =2 5 ' "à "à x¢ 2 xÁ 2 44 답 ③ 세 점 Pª, P£, P¢의 좌표를 각각 (xª, yª), (x£, y£), (x¢, y¢)라 하면 네 점 PÁ, Pª, P£, P¢는 각각 AÕ¢P¢Ó, AÕÁPÁÓ, AÕªPªÓ, AÕ£P£Ó의 중점이므로 xÁ= , yÁ= y¢+2 2 xª= , yª= yÁ 2 ∴ xÁ=2xª, yÁ=2yª y ㉡ x£= xª+2 2 , y£= yª 2 ∴ xª=2x£-2, yª=2y£ y ㉢ x¢= x£+2 2 , y¢= y£+2 2 ∴ x£=2x¢-2, y£=2y¢-2 y ㉣ ㉠ ~ ㉣을 연립하여 풀면 xÁ= , yÁ= ;5$; ;5*; ∴ xÁ+yÁ= + = ;5*; ;5$; ;;Á5ª;; 정답 및 해설 91 삼각형 ABC에서 점 D는 선분 BC를 1`:`3으로 내분하므로 ∴ x¢=2xÁ, y¢=2yÁ-2 y ㉠ [해] 09강_OK.indd 91 2017-09-21 오후 1:57:42 y 2 D E{x, y} 45 답 ④ 그림과 같이 ABÓ, ADÓ를 각각 x축, y축의 양의 방향이 되도록 좌표축을 잡고, E(x, y)라 하자. AEÓ= xÛ`+yÛ` =2 ∴ xÛ`+yÛ`=4 y ㉠ "à 한편, 사각형 ABCD의 넓이가 4이고 △ABM=△AEM=1이므로 A{O} △AED+△ECD+△EMC=2 C M B 2 x _2_x+ _2_(2-y)+ _1_(2-x)=2 ;2!; ;2!; ;2!; ∴ x-2y+2=0 y ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x= , y= (∵ x>0, y>0 ) ;5^; ;5*; 따라서 E , {;5^; ;5*;} 이므로 CEÓ= 2- + 2- { ;5*;} =æ ;5^;} ¾{Ð + ¾{Ð;5$;} 2` {;5@;} 2` 2` = 2 5 ' 5 2` 46 답 ② 여객선의 진행로를 y축, 화물선의 진행로를 x축이라 하고, 화물선의 속도를 시속 v`km라 하자. 여객선이 화물선을 처음 발견하였을 때 의 여객선의 위치를 P(0, -a)(a>0)이라 하고, 이때의 화물선의 위치를 원점 O라 하자. 또한, 여객선의 속도는 시속 12`km, 화물선의 속도는 시속 v`km이 므로 15분 동안 여객선은 3`km, 화물선은 v 4 `km 진행한다. 첫 15분 후 여객선과 화물선의 위치를 각각 PÁ, QÁ이라 하면 y O 3 3 PÕÁQÁÓ Û`= v } {;4!; +(a-3)Û` =10Û` y ㉠ 2` 다음 15분 후 두 배의 위치를 각각 Pª, Qª라 하면 Pª(0, -a+6), Qª v, 0 이고 PÕªQªÓ=13이므로 {;2!; } PÕªQªÓ Û`= v } {;2!; +(a-6)Û`=13Û` y ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=11 (∵ a>0 ), v=24 2` 따라서 좌표평면에서 여객선의 처음 위치 P는 점 P(0, -11)이고, 여객선이 처음 위치 P에서 원점 O까지 이동한 시간은 시간이므로 ;1!2!; 화물선이 이동한 거리는 _24=22(km)이다. ;1!2!; 여객선의 정동쪽에 화물선이 있을 때 두 배 사이의 거리는 22`km 이다. 92 일등급 수학•고등 수학 (상) 10 직선의 방정식 문제편 117P y b B O G{2,1} A a x 01 답 ② 그림과 같이 직선 + =1이 x a y b x축, y축과 만나는 점을 각각 A, B라 하면 두 점 A, B의 좌표는 A(a, 0), B(0, b)이다. 0+a+0 3 , 0+0+b 3 } { =(2, 1) ∴ a=6, b=3 삼각형 OAB의 무게중심 G의 좌표가 (2, 1)이므로 따라서 삼각형 OAB의 넓이는 _a_b=9 ;2!; 02 답 8 직선 l의 기울기가 이므로 ;4#; [그림 1]과 같이 직선 l 위의 두 점을 꼭짓점으로 가지고 두 변이 좌표축과 평행한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비는 4`:`3`:`5이다. 따라서 [그림 2]의 삼각형 AHB에서 ABÓ=10이므로 ABÓ`:`AHÓ=5`:`4 l 3 5 4 [그림 1] l B{c,d} 기울기가 m이므로 기울기는 m-1-(m+1) 1-m-(m-2) = 즉, 2mÛ`-3m-2=0에서 (2m+1)(m-2)=0 -2m+3 =m -2 ∴ m=2 (∵ m>0) 04 답 ⑤ 두 직선 (a-1)x+ay=1, 4x+(a+3)y=2에 대하여 ㄱ. a=3이면 이므로 일치한다. (참) a-1 4 = a-1 4 = 1 2 a a+3 = a a+3 1 2 ㄷ. a=6이면 a-1 4 + a a+3 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 이므로 한 점에서 만난다. (참) PÁ(0, -a+3), QÁ v, 0 이고 {;4!; } PÕÁQÁÓ=10이므로 P™{0,-a+6} v 4 , 0} }Q¡ v 4 v 4 }Q™ v 2 , 0} x ∴ c-a=AHÓ= _ABÓ ;5$; = _10=8 ;5$; A{a,b} c-a H [그림 2] P¡{0,-a+3} P{0,-a} 03 답 2 두 점 A( m-2, m+1), B( 1-m, m-1)을 지나는 직선의 즉, 여객선이 원점에 위치할 때 화물선은 점(22, 0)에 위치하므로 ㄴ. a=-1이면 + 이므로 평행하다. (참) [해] 09강_OK.indd 92 2017-09-21 오후 1:57:43 즉, (3m+4)x-(m+1)y+(2m-1)=0이므로 <a<5이므로 자연수 a는 3, 4이고 그 합은 7이다. ;2%; III 10 직선의 방정식 05 답 ③ 세 직선을 lÁ`:`x+ay+1=0, lª`:`2x+by-5=0, l£`:`x-(b-2)y+4=0이라 하면 lÁ⊥lª이므로 1_2+a_b=0에서 ab=-2 lÁ // l£이므로 1 1 = -(b-2) a + 에서 a+b=2 ;1$; ∴ aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab=2Û`-2_(-2)=8 06 답 28 두 직선 y=3x+2, y=4x-1의 교점을 지나는 직선은 (3x-y+2)m+(4x-y-1)=0 (m은 상수) 로 나타낼 수 있다. y= 3m+4 m+1 x+ 2m-1 m+1 이 직선이 직선 y=x와 수직이므로 직선의 기울기는 -1이다. 즉, 3m+4 m+1 =-1이므로 m=- ;4%; 따라서 구하는 직선의 방정식은 x+y-14=0이므로 x절편은 a=14, y절편은 b=14 ∴ a+b=28 07 답 ③ 두 직선이 평행하므로 직선 x 3 + y 4 =3 위의 한 점 (9, 0)과 직선 x 3 + y 4 =4, 즉 4x+3y-48=0 사이의 거리를 구하면 된다. 따라서 구하는 거리는 |36+0-48| 4Û`+3Û` "à = ;;Á5ª;; 08 답 ② 직선 l의 기울기를 m이라 하면 직선 l은 점 A(-1, 0)을 지나므로 직선의 방정식은 y-0=m(x+1) ∴ mx-y+m=0 점 B(0, 2)와 직선 l 사이의 거리가 5 이므로 |-2+m| mÛ`+1 "à ' = 5 에서 |-2+m|= 5(mÛ`+1) 양변을 제곱하여 정리하면 4mÛ`+4m+1=0 ' "à (2m+1)Û`=0 ∴ m=- ;2!; 09 ` 답 ② OBÓ의 중점을 D라 하면 D 4 2 { , 6 2 } =(2, 3) 10 ` 답 7 두 직선을 lÁ`:` x a + y 2 =1, y 3 =1이라 하자. lª`:` x 2a-5 + 직선 lÁ의 y절편은 2, 직선 lª의 y절편은 3이므로 l™ l¡ y 3 2 O 2a-5 a x 두 직선이 제 1 사분면에서 만나려면 그림과 같이 원점과 직선 lÁ의 x절편 사이에 직선 lª의 x절편이 있어야 한다. 직선 lÁ의 x절편은 a, 직선 lª의 x절편은 2a-5이므로 0<2a-50 ) "à |2m| mÛ`+1 "à 즉, |2m|= = 2 ' 23 답 ② 2 P y C O 1 B 3 A x 25 답 ② 점 P의 좌표를 P(x, y) (x>0, y>0)라 하면 △PAB= _2_y=y △PCO= _2_x=x ;2!; ;2!; 이때, △PAB+△PCO=3이므로 y+x=3 ∴ y=-x+3 (0<x<3) (∵ x>0, y>0) 26 답 20 두 점 P, Q의 좌표를 P(a, b), Q(x, y)라 하면 x= a+2 2 , y= b+1 2 ∴ a=2x-2, b=2y-1 y ㉠ 2a-b-5=0 y ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 2(2x-2)-(2y-1)-5=0 ∴ y=2x-4 따라서 m=2, n=-4이므로 mÛ`+nÛ`=2Û`+(-4)Û`=20 그런데 점 P(a, b)가 직선 2x-y-5=0 위의 점이므로 III 10 직선의 방정식 그림과 같이 각의 이등분선 위의 2x-y-1=0 직선 lÁ`:`y=- x- 임의의 점을 P(x, y)라 하면 이 점과 두 직선에 이르는 거리는 P{x, y} 27 답 ② ax+by+c=0에서 ax+cy+b=0에서 직선 lª`:`y=- x- a b a c b a c b , b c , c a , x+2y-1=0 bx+ay+c=0에서 ` 직선 l£`:`y=- x- 같으므로 |2x-y-1| 2Û`+(-1)Û` |x+2y-1| 1Û`+2Û` "à |2x-y-1|=|x+2y-1| = "à 에서 즉, 2x-y-1=Ñ(x+2y-1)이므로 x-3y=0 또는 3x+y-2=0 이때, 두 직선의 y절편은 각각 0, 2이므로 y절편의 합은 2이다. 24 답 ② 점 A(a, b)가 직선 x+2y=1 위에 있으므로 a+2b=1 y ㉠ 이라 하고 세 직선 lÁ, lª, l£의 기울기와 y절편을 조사하자. 직선 기울기 y절편 lÁ lª l£ -;bA; - ;cA; - ;aB; , 즉 -ab , 즉 -ac , 즉 -ab -;bC; - ;cB; - ;aC; , 즉 -bc , 즉 -bc , 즉 -ac 점 P(a+b, a-b)를 P(x, y)라 하면 문제에 주어진 그래프에서 세 직선 중 두 직선의 기울기는 양수이고, a+b=x, a-b=y 두 식을 연립하여 풀면 a= ㉡을 ㉠에 대입하면 x+y 2 , b= x-y 2 y ㉡ x+y 2 +(x-y)=1에서 3x-y=2 ∴ y=3x-2 두 직선의 y절편은 양수이므로 -ab>0, -bc>0이다. ∴ ab<0, ac>0, bc<0 한편, 직선 bx+cy+a=0, 즉 y=- x- 에서 b c a c 기울기는 - >0, y절편은 - <0이므로 b c a c 직선 bx+cy+a=0의 그래프로 가장 알맞은 것은 ②이다. 정답 및 해설 95 [해] 10강_OK.indd 95 2017-09-21 오후 1:58:02 이때, y가 정수이려면 x-3이 15의 배수이어야 한다. 세 점 O, B, D는 일직선 위에 있으므로 28 답 ② 선분 AB의 방정식은 y-17= 281-17 48-3 (x-3) ∴ y= (x-3)+17 (3ÉxÉ48) 88 15 즉, x=3, 18, 33, 48로 모두 4개이다. 따라서 문제의 조건을 만족시키는 점의 좌표는 (3, 17), (18, 105), (33, 193), (48, 281)로 모두 4개이다. 29 답 ② lÁ`:`y= ;3$; x, lª`:`y= x이므로 ;2!; CDÓ ABÓ = = (lÁ의 기울기) (lª의 기울기) = = 8 3 4 3 1 2 BCÓ ABÓ BCÓ CDÓ 30 답 ③ 두 점 A, B의 좌표를 A(k, 0), B(2k, 0)이라 하면 직선 AD의 기울기가 -4이므로 D(0, 4k) 한편, 색칠한 두 부분의 넓이가 서로 같으므로 △OAD=△OBC (∵ OAPC는 공통) _OAÓ_ODÓ= _OBÓ_OCÓ ;2!; ;2!; ;2!; _k_4k= _2k_OCÓ ∴ OCÓ=2k ;2!; 즉, C(0, 2k)이므로 직선 BC의 기울기는 =-1 2k-0 0-2k 31 답 ② 그림과 같이 이차함수 y=xÛ`+ax+b의 그래프와 직선 y= x+c ;3$; 가 만나는 두 점을 A, B라 하고, 두 점 A, B의 x좌표를 각각 a, b 라 하자. y=x@+ax+b y= x+c 4 3 B H 10 A a b x ∴ y=2x-3 그림에서 방정식 xÛ`+ax+b= x+c의 두 근은 a, b이므로 ;3$; b-a=AHÓ y ㉠ 이때, 직선 y= x+c의 기울기가 이므로 ;3$; ;3$; 삼각형 AHB에서 AHÓ`:`BHÓ`:`ABÓ=3`:`4`:`5 따라서 AHÓ`:`10=3`:`5이므로 ㉠에서 b-a=AHÓ= _10=6 ;5#; 96 일등급 수학•고등 수학 (상) 32 ` 답 ② 양수 a, c에 대하여 A(a, 3a), C c, c } ;3@; { 라 하면 B a, { c } ;3@; , D(c, 3a) 2 3 c a = 3a c 에서 =3_ = ;2#; ;2(; ∴ a c 2 = ' 3 ∵ { >0 } cÛ` aÛ` a c 따라서 직선 BD의 기울기는 =3_ ' 3a c 2 3 = 2 ' 33 답 ④ 두 직선 ax+y+1=0, x+by+c=0이 모두 점 (1, 3)을 지나므로 a+3+1=0 ∴ a=-4 y ㉠ 1+3b+c=0 ∴ c=-3b-1 y ㉡ 또, 두 직선이 서로 수직이므로 a_1+1_b=0 ∴ b=4 (∵ ㉠) ㉡에서 c=-3_4-1=-13 ∴ a+b+c=(-4)+4+(-13)=-13 34 답 ③ 점 B를 지나고 직선 AC와 평행한 직선이 선분 OC와 만나는 점 D의 좌표를 D( a, 0) 이라 하자. 삼각형 ABC의 넓이와 삼각형 ADC의 넓이가 같으므로 직선 BD의 기울기는 직선 AC의 기울기와 같으므로 3-0 3-a = 6-0 7-3 ∴ a=1 y O A B D C x 따라서 점 D( 1, 0)이므로 직선 AD의 기울기는 6-0 7-1 =1 35 답 5 종이가 접힌 자국은 두 점 P(0, 2)와 Q(4, 0)을 잇는 선분의 수직 이등분선이다. PQÓ의 중점의 좌표는 (2, 1)이고 PQÓ의 기울기는 1 2 2-0 0-4 =- 직선이다. 즉, y-1=2(x-2) 이므로 접힌 선은 점 (2, 1)을 지나고 기울기가 2인 이때, 두 점 R(0, 7)과 S(p, q)를 지나는 직선의 기울기는 - 이므로 직선 RS의 방정식은 y=- x+7이다. ;2!; ;2!; 두 직선 y=2x-3과 y=- x+7의 교점의 좌표를 구하면 ;2!; (4, 5)이므로 RSÓ의 중점의 좌표는 (4, 5)이다. 따라서 p+0 2 =4, q+7 2 =5이므로 p=8, q=3 ∴ p-q=5 [해] 10강_OK.indd 96 2017-09-21 오후 1:58:02 36 답 ⑤ ㄱ. 점 P(2, 0)에서 직선 AP의 기울기는 Û a+2일 때, 직선 ㉠이 제 2 사분면을 지나지 않을 조건은 2-0 0-2 =-1이므로 Ú a=2일 때, ㉠은 x= 로 제 2 사분면을 지나지 않는다. ;5!; (y절편)=- É0 1 a-2 ㄴ. 직선 AP의 기울기는 - 이므로 직선 l의 기울기는 t이다. ∴ a>2 선분 AP의 중점의 좌표는 (t, 1)이므로 직선 l의 방정식은 Ú, Û에 의하여 구하는 상수 a의 값의 범위는 aæ¾2이다. 즉, y=tx-tÛ`+1 y ㉠이고 이 직선이 점 (3, 3)을 지나므로 직선 l의 기울기는 1이다. (참) 1 t y-1=t(x-t) tÛ`-3t+2=0에서 (t-1)(t-2)=0 ∴ t=1 또는 t=2 따라서 직선 l의 개수는 2이다. (참) ㄷ. 주어진 부등식에 ㉠을 대입하면 tx-tÛ`+1ÉxÛ`+k 즉, xÛ`-tx+tÛ`+k-1¾0 y ㉡ ㉡이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 이차방정식 xÛ`-tx+tÛ`+k-1=0의 판별식을 D라 하면 D=tÛ`-4(tÛ`+k-1)É0에서 3tÛ`+4(k-1)¾0 즉, tÛ`>0이므로 4(k-1)¾0 ∴ k¾1 따라서 실수 k의 최솟값은 1이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 37 답 ③ ㄱ. 2x-y+1=0, x+y+2=0을 연립하여 풀면 따라서 직선 l은 m의 값에 관계없이 항상 점`(-1, -1)을 x=-1, y=-1 지난다. (참) ㄴ. 【반례】 m=0이면 직선 l은 직선 2x-y+1=0이 되어 직선 2x-y=0과 평행하다. 따라서 만나지 않는 경우도 존재한다. (거짓) 나타낼 수 없다. 왜냐하면 어떤 실수 t에 대하여 (2x-y+1)+m(x+y+2)=t(x+y+2) 가 되어야 하는데 이를 만족시키는 m의 값은 존재하지 않는다. 그러므로 직선 l은 m의 값에 관계없이 직선 x+y=0과 평행이 될 수 없다. 따라서 직선 x+y=0과 항상 한 점에서 만난다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 38 답 ④ (a-2)y=(3a-1)x-1 y ㉠을 a에 대하여 정리하면 (y-3x)a+x-2y+1=0 따라서 이 직선은 a의 값에 관계없이 두 직선 y-3x=0, x-2y+1=0의 교점 , {;5!; ;5#;} 을 지난다. 39 답 ① 선분 x+y=1 (0ÉxÉ1)을 그리면 그림과 같다. mx-y-2m+1=0에서 y=m(x-2)+1 y ㉠ 직선 ㉠은 m의 값에 관계없이 점 P(2, 1)을 지난다. y 1 P O 1 2 x -1 III 10 직선의 방정식 Ú 직선 ㉠이 점 (0, 1)을 지날 때, m=0 Û 직선 ㉠이 점 (1, 0)을 지날 때, m=1 따라서 한 점에서 만나도록 하는 상수 m의 값의 범위는 0ÉmÉ1 이므로 a=0, b=1 ∴ a+b=1 40 답 9 점 P(a, b)가 직선 x+y=6 위의 점이므로 a+b=6 y ㉠ y 2x-y=0 A O l P{a,b} x-2y=0 B x 수선의 발을 각각 A, B라 하면 PAÓ= PBÓ= |2a-b| 2Û`+(-1)Û` |a-2b| 1Û`+(-2)Û` = = |2a-b| 5 ' |a-2b| 5 ' "à "à 이때, PAÓ=PBÓ에서 |2a-b| 5 ' = |a-2b| 5 ' , 즉 |2a-b|=|a-2b| 2a-b=a-2b 또는 2a-b=-(a-2b) ∴ b=-a 또는 b=a Ú b=-a이면 ㉠에서 0=6이 되어 성립하지 않는다. Û b=a이면 ㉠에서 2a=6 ∴ a=3, b=3 Ú, Û에 의하여 ab=9 정답 및 해설 97 ㄷ. 직선 l은 점`(-1, -1)을 지나는 직선 중 직선 x+y+2=0은 그림과 같이 점 P에서 두 직선 2x-y=0, x-2y=0에 내린 [해] 10강_OK.indd 97 2017-09-21 오후 1:58:03 이등변삼각형의 두 밑각의 크기가 서로 같으므로 ∠POA=∠POQ 즉, 직선 y=mx는 두 직선 y=2x, y=- x이 이루는 각을 이등 ;2!; {1,3} 분하는 직선이다. y b O a x l 이때, 각의 이등분선의 성질에 의하여 점 P(1, m)에서 두 직선 y=2x, y=- x, 즉 2x-y=0, x+2y=0에 이르는 거리가 같 ;2!; 으므로 |2-m| 2Û`+(-1)Û` = |1+2m| 1Û`+2Û` "à "à 양변을 제곱하여 정리하면 3mÛ`+8m-3=0 ∴ |2-m|=|1+2m| 직선 l과 x축, y축의 양의 방향으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 S라 b= 를 ㉠에 대입하면 +3a=12이므로 3aÛ`-12a+12=0 (3m-1)(m+1)=0 41 답 ③ 직선 l의 x절편을 a, y절편을 b라 하면 직선 l의 방정식은 + =1 x a y b 이 직선이 점 (1, 3)을 지나므로 1 a 3 b + =1 ∴ b+3a=ab y ㉠ 하면 S= ab=6 ∴ ab=12 y ㉡ ;2!; 12 a 12 a 3(a-2)Û`=0 ∴ a=2 이것을 ㉡에 대입하면 b=6 원점과 직선 l 사이의 거리는 |-6| 3Û`+1Û` "à = '¶ 6 10 = 3 10 '¶ 5 42 답 ② 따라서 직선 l의 방정식은 x 2 + y 6 =1, 즉, 3x+y-6=0이므로 그림과 같이 건물의 모서리를 원점 O로 하는 좌표축을 설정하면 A(0, -10), B(20, 20)이다. y O B{20,20} x A{0, -10} ∴ m= 또는 m=-3 ;3!; 따라서 m>0이므로 m= ;3!; 44 답 ④ 점 (a, b)가 직선 3x+2y=1 위의 점이므로 3a+2b=1 y ㉠ 이때, 점 (b+2, a-b)를 (x, y)라 하면 b+2=x에서 b=x-2 y ㉡, a-b=y y ㉢ ㉡+㉢을 하면 a=x+y-2 y ㉣ ㉡, ㉣을 ㉠에 대입하면 3(x+y-2)+2(x-2)=1 ∴ 5x+3y=11 이때, 직선 OB의 방정식은 y=x이므로 점 A에서 직선 y=x에 내 를 2`:`1로 내분하는 점을 Q(x, y)라 하면 린 수선의 길이가 움직여야 할 거리의 최솟값이다. 따라서 점 A(0, -10)과 직선 y=x, 즉 x-y=0 사이의 거리는 45 답 ④ 직선 x+2y-1=0 위의 점 P의 좌표를 (a, b)라 하고, 선분 AP |0+10| 1Û`+1Û` "à =5 2`(m) ' 43 답 ③ y A y=mx+6 P y=mx y=2x O Q x 1 y=- x 2 B ;2!; 두 직선 y=2x, y=- x의 기울기의 곱이 -1이므로 두 직선은 서로 수직이다. 즉, 삼각형 OAB는 OAÓ=OBÓ인 직각이등변삼각형이다. 그림과 같이 원점을 지나고 직선 y=mx+6 (m>0)에 평행한 직선 x= 2a+2 2+1 , y= 2b+3 2+1 ∴ a= x-1, b= y- y ㉠ ;2#; ;2#; ;2#; 한편, 점 P(a, b)는 직선 x+2y-1=0 위의 점이므로 a+2b-1=0 y ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 x-1+2 ;2#; y- {;2#; ;2#; } -1=0 ∴ 3x+6y-10=0 따라서 m=3, n=6이므로 m+n=9 46 답 12 점 P(x, y)가 움직이는 직선을 ax+by+c=0 y ㉠ 이라 하면 점 Q(X, Y)도 이 식을 만족시키므로 a(x+y+4)+b(3x-y+1)+c=0 (a+3b)x+(a-b)y+4a+b+c=0 y ㉡ 여기서 a=0이면 b=c=0이 되어 모순이므로 a+0 y=mx 위의 한 점 P(1, m)과 직선 y=- x 위의 점 Q에 대하여 ;2!; b=0이면 a=c=0이 되어 모순이므로 b+0 ∠POA=∠OAB (엇각), ∠POQ=∠ABO (동위각) c=0이면 c=4a+b+c에서 b=-4a 98 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 10강_OK.indd 98 2017-09-21 오후 1:58:04 ㉠에서 x-4y=0, ㉡에서 -11x+5y=0이 되어 모순이므로 c+0 따라서 구하는 도형의 방정식은 즉, ㉠과 ㉡이 일치하기 위하여 y= 2 xÛ`+2이다. = a-b b = 4a+b+c c y ㉢ a+3b a a+3b a = a-b b 에서 ab+3bÛ`=aÛ`-ab aÛ`-2ab-3bÛ`=0 (a-3b)(a+b)=0 ∴ a=3b 또는 a=-b Ú a=3b이면 ㉢에서 c=13b 이것을 ㉠에 대입하여 정리하면 3x+y+13=0 Û a=-b이면 ㉢에서 c=b 이것을 ㉠에 대입하여 정리하면 x-y-1=0 Ú ~ Û에 의하여 구하는 직선의 방정식은 x-y-1=0 또는 3x+y+13=0이므로 두 식을 연립하여 풀면 x=-3, y=-4 따라서 두 직선의 교점의 좌표는 (-3, -4)이므로 ab=(-3)_(-4)=12 즉, f(m)= , g(m)= , k=2이므로 m 2 mÛ` 2 f(k)+g(k)=1+2=3 48 답 11 y B 3 P2 D O y=ax+2 C{3,3a+2} A 3 x C(3, 3a+2), D(0, 2) 이때, △PAC»△PBD에서 APÓ`:`BPÓ=ACÓ`:`BDÓ이고 ACÓ=3a+2, BDÓ=1이므로 = 3a+2 ACÓ BDÓ APÓ BPÓ 따라서 f(a)=3a+2이므로 1 =3a+2 = f(3)=11 그림과 같이 두 점 A, B를 각각 지나고 x축에 수직인 직선이 직선 y=ax+2와 만나는 점을 각각 C, D라 하면 III 10 직선의 방정식 47 답 ⑤ 임의의 실수 m에 대하여 점 P(0, 2)를 지나고 기울기가 m인 직선 ⓐ 두 점 C, D를 잡아 닮은 두 삼각형을 찾는다. ⓑ 두 삼각형의 닮음비를 이용하여 APÓ BPÓ 를 구한다. ⓒ f(3)의 값을 구한다. | 채점기준 | 의 방정식은 y=mx+2 y ㉠ y y=mx+2 A P 2 B x¡ O x™ x 직선 ㉠이 이차함수 y=xÛ`의 그래프와 만나는 두 점 A, B의 좌표를 각각 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª), 선분 AB의 중점 M의 좌표를 M(X, Y)라 하면 xÁ, xª는 이차방정식 xÛ`-mx-2=0의 두 근이 49 답 2 주어진 식을 y에 대하여 정리하면 yÛ`+2axy+xÛ`+2(aÛ`-1)x-1=0 근의 공식으로 y의 값을 구하면 y=-axÑ (aÛ`-1)xÛ`-2(aÛ`-1)x+1 ⓐ "à 이 식이 두 직선을 나타내려면 근호 안의 식 (aÛ`-1)xÛ`-2(aÛ`-1)x+1이 x에 대한 완전제곱식이 되어야 한다. 이차방정식 (aÛ`-1)xÛ`-2(aÛ`-1)x+1=0의 판별식을 D라 하면 므로 근과 계수의 관계에 의하여 xÁ+xª=m, xÁxª=-2 X= xÁ+xª 2 = m 2 (가) y ㉡ Y= yÁ+yª 2 = xÁÛ`+xªÛ` 2 = (xÁ+xª)Û`-2xÁxª 2 = mÛ`+4 2 = mÛ` (나) 2 +2 y ㉢ (다) ㉡, ㉢에 의하여 Y= 2 XÛ`+2 D 4 =(aÛ`-1)Û`-(aÛ`-1)=0이므로 (aÛ`-1)(aÛ`-2)=0 Ú aÛ`-1=0이면 a=-1 또는 a=1 Û aÛ`-2=0이면 a=- 2 또는 a= 2 ' ' 따라서 모든 상수 a의 값의 곱은 2이다. ⓐ 근의 공식을 이용하여 두 직선을 나타낸다. ⓑ 판별식을 이용하여 a의 값을 구한다. ⓒ 모든 상수 a의 값의 곱을 구한다. | 채점기준 | 정답 및 해설 99 ⓐ ⓑ ⓒ [40%] [50%] [10%] ⓑ ⓒ [30%] [50%] [20%] [해] 10강_OK.indd 99 2017-09-21 오후 1:58:05 50 답 9 직선 GA와 직선 GB의 교점이 B{b, -b-4} y 점 G이므로 x-2y+1=0과 x+y+4=0을 연립하여 풀면 x=-3, y=-1 A{2a-1, a} x-2y+1=0 OG x x+y+4=0 ∴ G(-3, -1) ⓐ C{-3, -7} 두 점 A, B는 각각 직선 x-2y+1=0, x+y+4=0 위의 점이므 로 A(2a-1, a), B(b, -b-4)라 하면 점 S(5, 5)에서 직선 x-3y=0에 내린 수선의 발을 H라 하면 SHÓ= |5-15| 1Û`+3Û` = 10 10 = 10 '¶ "à ∴ QHÓ=¿¹SQÓ 따라서 QRÓ=2QHÓ이므로 QRÓ=2 '¶ Û`-SHÓ Û` = "à 5Û`-10= '¶ 15 15 '¶ 53 답 ③ ㄱ. a=0일 때, l`:`y=2, m`:`x=-2이므로 두 직선 l과 m은 삼각형 ABC의 무게중심이 G(-3, -1)이므로 서로 수직이다. (참) (2a-1)+b+(-3) 3 =-3, a+(-b-4)+(-7) 3 =-1 ∴ 2a+b=-5, a-b=8 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-7 ∴ A(1, 1), B(-7, 3) ⓑ ㄴ. a에 대하여 정리하면 a(x+1)-y+2=0이므로 직선 l은 a의 값에 관계없이 항상 점 (-1, 2)를 지난다. (거짓) ㄷ. a=0일 때, ㄱ에서 두 직선은 서로 수직이다. a+0일 때, 두 직선 l, m의 기울기는 각각 a, - 이지만 4 a 즉, 직선 AB의 방정식은 y-1= (x-1) a=- 를 만족시키는 실수 a의 값은 존재하지 않는다. 3-1 -7-1 4 a ∴ x+4y-5=0 즉, 두 직선 l과 m이 평행이 되기 위한 실수 a의 값은 존재하지 따라서 p=4, q=5이므로 p+q=9 ⓒ 않는다. (참) | 채점기준 | 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ⓐ 무게중심 G의 좌표를 구한다. ⓑ 두 점 A, B의 좌표를 각각 구한다. ⓒ 직선 AB의 방정식을 구하여 p+q의 값을 구한다. [30%] [40%] [30%] 세 점 A(0, 2), B(5, 2), P(4, 4)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 OGF와 삼각형 OEF의 넓이의 합과 같으므로 직선 AP와 직선 BP가 서로 수직이므로 기울기의 곱은 -1이다. 51 답 ② 직선 AP의 기울기는 직선 BP의 기울기는 4-2 4-0 = 4-2 4-n = ;2!; 2 4-n 즉, _ ;2!; 2 4-n =-1에서 n=5 삼각형 ABP의 무게중심의 좌표는 0+5+4 3 , 2+2+4 3 { 이므로 { } 3, ;3*;} 이다. 따라서 a=3, b= 이므로 a+b=3+ ;3*; = ;3*; ;;Á3¦;; 52 답 ⑤ 그림과 같이 두 직선 AB, AD를 각각 x축, y축의 양의 방향으로 y D C 좌표평면을 잡자. ABÓ`:`BPÓ=3`:`1에서 직선 AP는 기울기가 이고 원점을 ;3!; S PR 1 y= x 3 Q A{O} H B x 지나므로 직선 AP의 방정식은 y= x이다. ;3!; 원의 중심을 S라 하면 정사각형 ABCD의 한 변의 길이가 10이므로 S(5, 5)이고, SQÓ=5 100 일등급 수학•고등 수학 (상) 54 답 106 두 직선 m, n이 y축과 만나는 점을 각각 D, E라 하고 점 (9, 9)를 F라 하자. 정사각형 OABC의 넓이가 18Û`=324이므로 m l n B y C D 9 E O F G a 9 A x 삼각형 DEF의 넓이는 _324=54 ∴ DEÓ=12 ;6!; 직선 l이 x축과 만나는 점을 G라 하면 사각형 OGFE의 넓이 54는 OEÓ+OGÓ=12이다. OGÓ=a이므로 OEÓ=12-a, ODÓ=24-a ∴ D(0, 24-a), E(0, 12-a) a-15 9 a-3 9 직선 m은 두 점 D, F를 지나므로 직선 m의 기울기는 직선 n은 두 점 E, F를 지나므로 직선 n의 기울기는 한편, 두 직선 m과 n의 기울기의 곱은 a-15 9 _ a-3 9 이므로 1 81 (aÛ`-18a+45)= (a-9)Û`- 1 81 4 9 이때, 6ÉaÉ10이므로 a=6일 때 최댓값 - , ;3!; a=9일 때 최솟값 - 를 갖는다. ∴ a=- , b=- ;3!; ;9$; ;9$; 따라서 aÛ`+bÛ`= 이므로 p+q=81+25=106 ;8@1%; [해] 10강_OK.indd 100 2017-09-21 오후 1:58:06 55 답 5 직선 x+my-4=0에서 (x-4)+my=0 즉, 이 직선은 m의 값에 관계없이 지나는 점을 점 M(4, 0)이라 하자. 정사각형 OABC의 한 변의 길이를 a라 하면 삼각형 OAM에서 58 답 17 y O A 4 M B a C x+my-4=0 좌표평면 위의 점 O, A, B, C, D의 좌표는 각각 (0, 0), (12, 0), (12, 12), (0, 12), (5, 0)이다. x 점 O'은 선분 BC의 중점이므로 O'(6, 12) 이때, 직선 OO'과 직선 DD'은 모두 y C P O O' B D' D 5 Q A x 직선 PQ와 수직이므로 직선 OO'과 직선 DD'은 서로 평행하다. 따라서 두 직선의 기울기가 같으므로 b-0 a-5 12-0 6-0 = OÕ'D'Ó=ODÓ=5이므로 ∴ b=2a-10 y ㉠ (a-6)Û`+(b-12)Û` =5 "à 양변을 제곱하면 (a-6)Û`+(b-12)Û`=25 y ㉡ 0<a<12, 0<b<12이므로 ㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면 a=9, b=8 ∴ a+b=9+8=17 59 답 12 BPÓ`:`PAÓ=1`:`2이므로 △BOP`:`△POA=1`:`2 △PQA= △OAB이려면 점 Q는 선분 OA를 1`:`3로 내분하는 ;2!; III 10 직선의 방정식 점이어야 하므로 Q , {;2#; ;2!;} 이어야 한다. 따라서 직선 PQ의 기울기는 = ;5&; 이므로 4- 4- 1 2 3 2 m+n=5+7=12 [다른 풀이] 직선 OA의 방정식이 y= x이므로 점 Q의 좌표를 ;3!; Q(3a, a) (0ÉaÉ2)라 하면 △OAB= _|6_5-2_3|=12 이때, △OAB=2△PQA이므로 12=2_ _|8a-16| ;2!; |16-8a|=12 ∴ a= (∵ 0ÉaÉ2 ) ;2!; (이하 동일) OAÓ=a, AÕMÓ= , OÕMÓ=4이고, ∠OAM=90ù이므로 a 2 aÛ`+ { a 2 } 2` =4Û`, 5 4 aÛ`=16 ∴ a= (∵ a>0) 8 5 ' 따라서 원점 O와 직선 x+my-4=0 사이의 거리가 이므로 8 5 ' ∴ m= (∵m>0) ;2!; 8 5 = |-4| 1Û`+mÛ` ' ∴ 10m=5 "à 56 답 8 그림과 같이 세 직선의 교점을 A, B, C라 하고 직선 AC와 y축의 교점을 D라 하자. ∠CAB의 이등분선이 y축과 만나는 점을 P라 하면 AOÓ`:`ADÓ=OPÓ`:`PDÓ=4`:`5이므로 y 12 D 3 C I P -4 A O 5 B x OPÓ= ODÓ= ∴ P 0, ;9$; ;3$; { ;3$;} 즉, 직선 AP의 방정식은 x-3y=-4 y ㉠ 마찬가지로 ∠CBA의 이등분선의 방정식은 2x+3y=10 y ㉡ ㉠, ㉡의 교점이 내심 I이므로 연립하여 풀면 x=2, y=2 따라서 a=2, b=2이므로 aÛ`+bÛ`=8 C(150, -100)이다. t시간 후의 배의 위치를 P, {북}y 태풍의 중심의 위치를 Q라 하면 P(10t, 0), Q(150, 20t-100) 배가 폭풍우권 내에 있을 조건은 PQÓÉ100이므로 (150-10t)Û`+(20t-100)Û` É100 "à 양변을 제곱하여 정리하면 tÛ`-14t+45É0 (t-5)(t-9)É0 ∴ 5ÉtÉ9 10t Q O P 150 {동}x -100 20t C 즉, 배는 최초로 5시간 후에 폭풍우권 내에 들어가서 9시간 후에 폭 풍우권 내에서 벗어난다. 따라서 배가 폭풍우권 내에서 항해하는 시간은 4시간이다. 57 답 ② 배의 현재 위치를 원점, 동쪽을 x축의 양의 방향, 북쪽을 y축의 양의 △APQ= _|(6-4)_a+(4-3a)_2+(3a-6)_4| 방향으로 잡으면 태풍의 중심의 현재 위치를 C라 할 때, = _|8a-16| ;2!; ;2!; ;2!; 정답 및 해설 101 [해] 10강_OK.indd 101 2017-09-21 오후 1:58:07 11 원의 방정식 01 답 14 원의 중심이 직선 y=2x+1 위에 있으므로 중심을 (a, 2a+1)이라 하자. 점 (1, 1)을 지나며 x축에 접하는 원의 중심의 y좌표는 양수이고 반지름의 길이는 2a+1이므로 구하는 원의 방정식은 (x-a)Û`+(y-2a-1)Û`=(2a+1)Û` 이 원이 점 (1, 1)을 지나므로 (1-a)Û`+(1-2a-1)Û`=(2a+1)Û`에서 aÛ`-6a=0 a(a-6)=0 ∴ a=0 또는 a=6 따라서 두 원의 반지름의 길이가 1, 13이므로 그 합은 14이다. 02 답 ⑤ APÓ`:`BPÓ=2`:`1이므로 APÓ=2BPÓ ∴ APÓ Û`=4BPÓ Û` 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 APÓ= (x+1)Û`+(y-5)Û`, BPÓ= (x-2)Û`+(y+1)Û`이므로 "à "à (x+1)Û`+(y-5)Û`=4{(x-2)Û`+(y+1)Û`} xÛ`+yÛ`-6x+6y-2=0 ∴ (x-3)Û`+(y+3)Û`=20 따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심이 점 (3, -3)이고 반지름 의 길이가 2 5 인 원이므로 이 도형의 길이는 원의 둘레의 길이인 ' 4 5p이다. ' 03 답 ③ 원 (x-2)Û`+(y-1)Û`=9가 직선 y=x와 만나는 두 점의 x좌표는 방정식 (x-2)Û`+(x-1)Û`=9의 두 근이므로 (x-2)Û`+(x-1)Û`=9, 즉 2xÛ`-6x-4=0의 두 근이 a, b이다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=3 04 답 13 원 (x-2)Û`+(y+3)Û`=5 위의 점 (1, -1)에서의 접선의 방정식 -x+2y=-3 ∴ y= x- ;2!; ;2#; 즉, 이 직선과 평행한 직선은 기울기가 인 직선이므로 ;2!; 원 (x-2)Û`+(y+3)Û`=5에 접하는 기울기가 인 직선의 방정식은 ;2!; y+3= (x-2)Ñ 5_ +1 ;2!; ' ¾¨{;2!;} 2` 102 일등급 수학•고등 수학 (상) 문제편 129P y= x-4Ñ ;2!; ;2%; ∴ y= x- 또는 y= x- ;2!; ;2#; ;2!; ;;Á2£;; 한편, 이 중 점 (1, -1)을 지나지 않는 접선은 y= x- 이므 ;2!; ;;Á2£;; y y=2x+1 로 이 접선의 x절편은 13이다. 05 답 ③ {a,2a+1} 그림과 같이 직선 AP가 원에 접할 때 ∠PAO의 크기가 최대가 된다. {1,1} O x y 1 P -1 O 1 A 2 x x@+y@=1 -1 이때, ∠OPA=90ù이고 OPÓ=1, OAÓ=2이므로 PAÓ= 3 ' ∴ △POA= _OPÓ_PAÓ= _1_ ;2!; ;2!; 3 3= ' 2 ' 06 답 8 APÓ=BPÓ이므로 점 P(a, b)는 공통현인 ABÓ의 수직이등분선 위에 있다. 공통현의 수직이등분선은 두 원의 중심 (0, 0), (3, 4)를 연결하는 직선이므로 y= x에서 b= ;3$; a ;3$; 따라서 = 이므로 =8 b a 4 3 6b a y A P O x B 07 답 6 x축과 만나는 두 점의 좌표가 (-2, 0), (3, 0)이고, y축과 만나는 두 점의 좌표가 (0, a), (0, -b)이므로 원의 중심의 좌표는 { -2+3 2 , a-b 2 = } {;2!; , a-b 2 } 이때, 원의 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은 x- { ;2!;} + y- { a-b 2 } =rÛ` 2` 점 (-2, 0)을 지나므로 =rÛ` y ㉠ 2` ;;ª4°;; + { a-b 2 + { ;4!; a+b 2 } 2` } 2` ㉠-㉡을 하면 6-ab=0 ∴ ab=6 [다른 풀이] x축과 만나는 두 점을 A(-2, 0), B(3, 0) y축과 만나는 두 점을 C(0, a), D(0, -b) 원점을 O라 할 때, 원과 비례에 의하여 OAÓ_OBÓ=OCÓ_ODÓ이므로 2_3=a_b ∴ ab=6 은 (1-2)(x-2)+(-1+3)(y+3)=5이므로 또, 점 (0, a)를 지나므로 =rÛ` y ㉡ [해] 11강_OK.indd 102 2017-09-21 오후 1:58:24 08 답 ⑤ 원의 중심을 (a, b)라 하면 원이 직선 x=-1에 접하므로 원의 반지름의 길이는 |a+1|이다. 11 답 ② 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 PAÓ Û`+PBÓ Û`=32이므로 즉, 구하는 원의 방정식은 (x-a)Û`+(y-b)Û`=(a+1)Û`이고, (x+3)Û`+yÛ`+(x-1)Û`+yÛ`=32 점 (1, 0)을 지나므로 (1-a)Û`+bÛ`=(a+1)Û` ∴ bÛ`=4a y ㉠ xÛ`+yÛ`+2x-11=0 ∴ (x+1)Û`+yÛ`=12 중심 (a, b)가 직선 2x-3y+4=0 위에 있으므로 즉, 구하는 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 (-1, 0)이고 반 2a-3b+4=0 y ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [ a=1 b=2 또는 [ a=4 b=4 따라서 두 원의 중심 (1, 2), (4, 4) 사이의 거리는 (4-1)Û`+(4-2)Û`= 13 '¶ "à 09 답 3 주어진 원의 방정식을 정리하면 {x-2(k-1)}Û`+(y+k)Û`=-4kÛ`-8k+5 이 방정식에서 원의 반지름의 길이를 r라 하면 rÛ`=-4kÛ`-8k+5=-4(k+1)Û`+9 지름의 길이가 2 3인 원이다. ' 따라서 a=-1, b=0이므로 a+b=-1 [다른 풀이] 의 중선정리에 의하여 Û`=2(AMÓ Û`+PBÓ PAÓ AMÓ=2이므로 Û`+PBÓ PAÓ 2_(2Û`+PMÓ ∴ PMÓ =2 3 ' Û`=32에서 Û`)=32 지름의 길이가 2 3인 원이다. ' Û`+PMÓ Û`)이고 두 점 A(-3, 0), B(1, 0)의 중점을 M(-1, 0)이라 하면 삼각형 III 11 원의 방정식 따라서 rÛ`의 최댓값은 k=-1일 때 9이므로 반지름의 길이의 최댓 따라서 점 P가 나타내는 도형은 점 M(-1, 0)을 중심으로 하고 반 값은 3이다. Û 원의 중심이 (a, -a), 반지름의 길이가 |a|일 때, ㉡은 점 B(2, 3)을 지나며 기울기가 - 인 직선이다. 10 답 ⑤ 구하는 원이 x축 및 y축에 동시에 접하므로 원의 중심의 좌표가 (a, a)일 때와 (a, -a)일 때로 나누어 생각한다. Ú 원의 중심이 (a, a), 반지름의 길이가 |a|일 때, 중심이 y=(x-1)Û`+1의 그래프 위에 있으므로 a=(a-1)Û`+1, aÛ`-3a+2=0 ∴ a=1 또는 a=2 중심이 y=(x-1)Û`+1의 그래프 위에 있으므로 -a=(a-1)Û`+1, aÛ`-a+2=0 이것을 만족시키는 실수 a는 존재하지 않는다. Ú, Û에 의하여 구하는 원의 반지름의 길이는 1 또는 2이므로 두 원의 넓이의 합은 p+4p=5p 축에 접하는 원의 특징 원이 x축 및 y축에 동시에 접할 때, 그 원의 중심은 직선 y=x 또는 직선 y=-x 위에 있다. 따라서 이차함수 y=(x-1)Û`+1의 그래프와 두 직선 y=Ñx의 교점에서 원의 중심을 생각해야 한다. 일등급 y y={x-1}@+1 y=x y=-x O x 한편, 그림과 같이 주어진 이차함수의 그래프와 직선 y=-x의 교점이 존재하지 않음을 알 수 있다. 12 답 ② 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 다음 두 식을 모두 만족시킨다. y=mx y ㉠ y=- ( { 9 ㉠은 점 A(0, 0)을 지나며 기울기가 m인 직선이고 (x-2)+3 y ㉡ 1 m 두 직선의 기울기의 곱이 m_ - =-1이므로 수직이다. 1 m 1 m } { y=- {x-2}+3 1 m y 3 y=mx P{x,y} B A O 2 x 따라서 두 직선의 교점 P에 대하여 삼각형 APB는 직각삼각형이므 로 점 P는 선분 AB를 지름으로 하는 원 위의 점이다. 이때, ㉠, ㉡은 x축에 수직이거나 평행한 직선을 나타내지 못하므로 두 점 (0, 3), (2, 0)을 제외한 도형이다. 그런데 두 점의 포함 유무 는 도형의 길이에 영향을 미치지 않으므로 점 P가 나타내는 도형의 길이는 13 p이다. '¶ 정답 및 해설 103 [해] 11강_OK.indd 103 2017-09-21 오후 1:58:25 13 답 ③ 두 점 A(a, 0), B(0, b) (a>0, b>0)라 하면 ABÓ=6에서 aÛ`+bÛ`=36 y ㉠ 이때, 선분 AB의 중점 M의 좌표를 (x, y)라 하면 x= , y= a 2 b 2 ∴ a=2x, b=2y (단, x>0, y>0) y ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 (2x)Û`+(2y)Û`=36이므로 xÛ`+yÛ`=9 (x>0, y>0) 15 답 ④ 직선 y= ;4#; x+a가 두 원 사이에 있으려면 그림과 같은 영역에 위치해 있으면 된다. Ú 원 xÛ`+yÛ`=4의 중심이 (0, 0)이고 반지름의 길이가 2이다. 즉, 직선 3x-4y+4a=0에 접할 때는 y 10 =2이므로 |4a|=10 O x x@+y@=9 3 M{x,y} Û 원 xÛ`+(y-10)Û`=16의 중심이 (0, 10)이고 반지름의 길이가 4이다. 즉, 직선 3x-4y+4a=0에 접할 때는 =4이므로 |a-10|=5 ∴ a=5 또는 a=15 -3 A a 3 x 따라서 구하는 a의 값의 범위는 <a<5이므로 정수 a의 최댓값은 ;2%; |4a| 3Û`+(-4)Û` "à ∴ a=Ñ ;2%; |-40+4a| 3Û`+(-4)Û` "à 4이다. y b B O 3 따라서 선분 AB의 중점 M이 나타내는 도형은 그림과 같이 중심이 원점이고 반지름의 길이가 3인 사분원이므로 그 길이는 _2p_3= p ;2#; ;4!; 14 답 16 원의 중심 (1, 1)과 직선 x-2y+2k=0 사이의 거리가 원의 반지 y 1 y= x+2 2 B H A A, B라 하고, 원의 중심 C(1, 1)에서 1 C 름의 길이 5보다 작아야 하므로 < 5에서 ' ' |1-2+2k| 1Û`+(-2)Û` "à |2k-1|<5 -5<2k-1<5 ∴ -2<k<3 따라서 정수 k의 최댓값 M=2이다. 또, 원 (x-1)Û`+(y-1)Û`=5와 직선 y= x+2가 만나는 두 점을 ;2!; 직선에 내린 수선의 발을 H라 하면 점 H는 ABÓ의 중점이고 CHÓ= |1-2+4| 1Û`+(-2)Û` "à 3 5 ' = 이므로 직각삼각형 CBH에서 BHÓ=¿¹ CBÓ Û`-CHÓ Û`= æ( ¾¨ ' 5)Û`- d=ABÓ=2BHÓ= 8 5 ' 5 ∴ 5Md= 5_2_ ' ' 8 5 5 =16 ' 104 일등급 수학•고등 수학 (상) 3 5 } = 4 5 ' 5 { ' 2` 16 답 ④ 원의 중심 O에서 직선 3x+4y-5=0에 내린 수선의 발을 H라 하면 원점과 직선 3x+4y-5=0 사이의 거리는 OHÓ= |5| 3Û`+4Û` "à =1 삼각형 OHA는 직각삼각형이므로 Û`-OHÓ 2Û`-1Û`= Û` = HAÓ=¿¹OAÓ "à 3 ' △OHA= _ ;2!; 3 3_1= ' 2 ' ∴ ABCD=8△OHA=8_ ' 3 2 =4 3 ' 3x+4y=5 y A 2 O B x@+y@=4 H 1 C x D 17 답 125 구하는 접선의 기울기를 m이라 하면 원과 접선이 점 (-1, 2)에서 접하므로 원의 중심 (3, -1)과 접점 (-1, 2)를 잇는 선분은 직선 과 수직이다. 즉, m_ 구하는 접선의 방정식은 y= 2-(-1) -1-3 =-1 ∴ m= 4 3 x+ (x+1)+2, 즉 y= 4 3 4 3 10 3 이므로 S= _ _ ;2%; ;2!; ;;Á3¼;; = ;;ª6°;; ∴ 30S=125 [다른 풀이] 원 (x-3)Û`+(y+1)Û`=25 위의 점 (-1, 2)에서의 접선을 공식 을 이용하여 구해 보면 (-1-3)(x-3)+(2+1)(y+1)=25 ∴ 4x-3y+10=0 (이하 동일) O 1 x {x-1}@+{y-1}@=5 x절편은 - , y절편은 이다. 5 2 10 3 따라서 이 접선과 x축, y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이 S는 [해] 11강_OK.indd 104 2017-09-21 오후 1:58:26 18 답 ⑤ 직선 x-y+1=0, 즉 y=x+1의 기울기가 1이므로 20 답 ④ [그림 1]에서 삼각형 APB의 구하는 접선의 기울기는 -1이다. 접선의 방정식을 y=-x+b라 밑변을 ABÓ라 하면 원 위의 하면 원 xÛ`+yÛ`-4y-12=0, 즉 xÛ`+(y-2)Û`=16의 중심 (0, 2) 점 P와 직선 AB 사이의 거리 와 직선 x+y-b=0 사이의 거리가 원의 반지름의 길이 4와 같으 d가 높이가 된다. 따라서 두 접선의 y절편의 차는 (2+4 2)-(2-4 2)=8 2이다. ' ' ' 므로 |0+2-b| 1Û`+1Û` ∴ b=2Ñ4 "à 2 ' =4, |-b+2|=4 2 ' [다른 풀이] y=-x+b에서 x=b-y 이것을 xÛ`+yÛ`-4y-12=0에 대입하면 (b-y)Û`+yÛ`-4y-12=0 2yÛ`-2(b+2)y+bÛ`-12=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =(b+2)Û`-2(bÛ`-12)=0이어야 하므로 -bÛ`+4b+28=0 ∴ b=2Ñ4 ' 따라서 두 접선의 y절편의 차는 (2+4 2 2)-(2-4 2)=8 2이다. ' ' ' 19 답 ① 점 (-1, 3)을 지나는 접선의 기울기를 m이라 하면 접선의 방정식 은 y-3=m(x+1) 이때, 원의 중심 (1, -2)와 직선 mx-y+m+3=0 사이의 거리 10과 같아야 하므로 가 원의 반지름의 길이 '¶ |m-(-2)+m+3| mÛ`+1 10 |2m+5|= "à '¶ "à ∴ 6mÛ`-20m-15=0 = 10 '¶ mÛ`+1 수의 관계에 의하여 mÁmª= -15 6 =- 5 2 [다른 풀이] 이 이차방정식의 두 근이 두 접선의 기울기 mÁ, mª이므로 근과 계 점 (-1, 3)을 지나는 직선의 기울기를 m이라 하면 직선의 방정식은 y-3=m(x+1) (x-1)Û`+(y+2)Û`=10에 y=m(x+1)+3을 대입하면 (x-1)Û`+(mx+m+5)Û`=10 ∴ (mÛ`+1)xÛ`+2(mÛ`+5m-1)x+(mÛ`+10m+16)=0 원과 직선이 접하므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =(mÛ`+5m-1)Û`-(mÛ`+1)(mÛ`+10m+16)=0 ∴ 6mÛ`-20m-15=0 이 이차방정식의 두 근이 두 접선의 기울기 mÁ, mª이므로 근과 계수의 관계에 의하여 mÁmª=- ;2%; 이므로 d의 최댓값과 d의 최솟값 2x-y+4=0 B III 11 원의 방정식 y 4 A 2Â5 O x P d C{-4,3} B -2 [그림 1] y 4 A O x C{-4,3} P™ H 2´5 -2 [그림 2] 3 C P A x B y=x ∴ △APB= _ABÓ_d= 5d ;2!; ' 이때, d가 최대일 때 삼각형 APB 의 넓이는 최대이고, d가 최소일 때 삼각형 ABP의 넓이는 최소이다. [그림 2]와 같이 원의 중심 C(-4, 3)에서 직선 AB에 내린 P¡ 수선의 발을 H라 하면 d의 최댓값은 PÕÁHÓ의 길이, d의 최솟값은 PÕªHÓ의 길이 의 차는 PÕÁHÓ-PÕªHÓ=PÕÁPªÓ=(지름의 길이)=4 ∴ M-m= 5_4=4 5 ' ' 21 답 8 원점 O와 원 (x-3)Û`+(y+3)Û`=2 y O 위의 점 P( x, y)에 대하여 xÛ`+yÛ`=OPÓ Û`이다. 그림과 같이 원 (x-3)Û`+(y+3)Û`=2 -3 의 중심을 C(3, -3), 이 원과 직선 OC의 교점을 A, B라 하자. OPÓ Û`의 값은 점 P가 A일 때 최소, B일 때 최대가 된다. 즉, 최소와 최대일 때의 x좌표 a, b는 원 (x-3)Û`+(y+3)Û`=2와 직선 y=-x의 교점의 x좌표이므로 (x-3)Û`+(-x+3)Û`=2, 즉 xÛ`-6x+8=0의 두 근이다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱은 ab=8 22 답 ① 점 P(x, y)에 대하여 y x+3 =k (k는 상수)라 하면 kx-y+3k=0 이고 점 P(x, y)는 원 (x+1)Û`+yÛ`=1 위의 점이므로 직선 kx-y+3k=0은 원 (x+1)Û`+yÛ`=1과 만나야 한다. 즉, 원의 중심 (-1, 0)과 직선 kx-y+3k=0 사이의 거리가 원 의 반지름의 길이 1보다 작거나 같아야 하므로 |k_(-1)-0+3k| kÛ`+(-1)Û` É1 "à 3 양변을 제곱하여 부등식을 풀면 - ' 3 3 ÉkÉ ' 3 3 따라서 구하는 최댓값은 ' 3 이다. 정답 및 해설 105 [해] 11강_OK.indd 105 2017-09-21 오후 1:58:27 [다른 풀이] [그림 1]과 같이 두 점 A(-3, 0), P(x, y)라 하면 y x+3 = y-0 x-(-3) 은 APÓ의 기울기이다. 즉, [그림 2]과 같이 직선 AP의 기울기가 양수이고 원 (x+1)Û`+yÛ`=1에 접할 때 기울기가 최대이다. 이때, 원의 중심을 C(-1, 0)이라 하고, 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하면 직각삼각형 PAC에서 Û`-CPÓ ACÓ APÓ=¿¹ △PAC»△HAP ( AA 닮음) 3이고 Û`= ' P -3 A -2 -1 C x O y y [그림 1] P [그림 2] -3 A -1 -2 H C x O 이므로 직선 AP의 기울기는 PHÓ AHÓ = PCÓ APÓ = 3 = ' 3 1 3 ' 23 답 98 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식을 (xÛ`+yÛ`-4x-6y+10)+m(xÛ`+yÛ`-8x-2y+8)=0 (m+-1) y ㉠ 이라 하자. ㉠에 x축의 방정식 y=0을 대입하면 (m+1)xÛ`-4(2m+1)x+2(4m+5)=0 원이 x축에 접하므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =4(2m+1)Û`-2(m+1)(4m+5)=0 4mÛ`-m-3=0, (4m+3)(m-1)=0 ∴ m=- 또는 m=1 ;4#; 이 값을 각각 ㉠에 대입하여 정리하면 xÛ`+yÛ`+8x-18y+16=0, xÛ`+yÛ`-6x-4y+9=0 따라서 두 원의 중심의 좌표가 (-4, 9), (3, 2)이므로 dÛ`=(-4-3)Û`+(9-2)Û`=98 [다른 풀이] 외접하는 두 원 xÛ`+yÛ`=1, (x-a)Û`+(y-b)Û`=9의 공통접선의 방정식은 (xÛ`+yÛ`-1)-{(x-a)Û`+(y-b)Û`-9}=0 ∴ 2ax+2by=aÛ`+bÛ`-8 이것이 x+ 3y=2와 같으므로 ' = 2b 3 2a 1 = ' 연립하여 풀면 aÛ`+bÛ`-8 2 a=2, b=2 3 (∵ a>0, b>0) ∴ ab=4 ' 3 ' 25 답 ② ㄱ. 방정식 (x-y+1)+m(xÛ`+yÛ`-1)=0은 m의 값에 관계없 이 x-y+1=0과 xÛ`+yÛ`-1=0을 만족시키는 해를 갖는다. 즉, m의 값에 관계없이 두 도형 x-y+1=0과 xÛ`+yÛ`-1=0 의 교점인 (0, 1)과 (-1, 0)을 지난다. (참) ㄴ. 도형 (x-y+1)+m(xÛ`+yÛ`-1)=0은 m=0일 때에는 직선 x-y+1=0을 나타내고, m+0일 때에는 원을 나타내며 원 xÛ`+yÛ`-1=0이 될 수 없다. 왜냐 하면 실수 x, y의 값에 관계없이 (x-y+1)+m(xÛ`+yÛ`-1)=t(xÛ`+yÛ`-1)을 만족시키는 실수 t가 존재하지 않기 때문이다. 따라서 도형 C와 원 xÛ`+yÛ`=1의 교점은 (0, 1), (-1, 0)뿐이 다. (참) ㄷ. m=0이면 도형 (x-y+1)+m(xÛ`+yÛ`-1)=0은 x-y+1=0이 되어 직선 x-y+1=0과 일치한다. 이때, 교점 은 무수히 많다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 26 답 5 구하는 원은 중심이 직선 y=2x 위에 있으므로 중심을 C(a, 2a)라 하자. 그림과 같이 OPÓ의 길이를 최대가 되게 하는 점은 직선 OC와 원의 교점 중 O에서 멀리 떨어진 점이다. y y=2x P' C{a, 2a} A{4, 3} O x 24 답 ④ 두 원의 중심을 O(0, 0), C(a, b)라 하자. 공통접선 x+ 3y=2의 기울기는 ' - 이고 외접하는 두 원의 1 3 ' 공통접선은 OCÓ에 수직이므로 OCÓ의 기울기는 3이다. ' C{a, b} 이 점을 P'(b, 2b)라 하면 3 1 O OÕP'Ó= 5 b=3 5이므로 b=3 ' ' ∴ P'(3, 6) 원 위에 두 점 P'(3, 6)과 A(4, 3)이 있으므로 3 ∴ b= b-0 a-0 = 또, 두 원이 외접하면 중심 사이의 거리는 두 원의 반지름의 길이의 3a y ㉠ x+Â3y=2 ' ' (a-3)Û`+(2a-6)Û`=(a-4)Û`+(2a-3)Û` ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=2 3 (∵ a>0, b>0) 따라서 원의 반지름의 길이는 CAÓ= 5이므로 ' ' CÕP'Ó Û`=CAÓ Û` a=2 ∴ C(2, 4) rÛ`=5 합과 같으므로 aÛ`+bÛ`=1+3 "à ∴ aÛ`+bÛ`=16 y ㉡ ∴ ab=4 3 ' 106 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 11강_OK.indd 106 2017-09-21 오후 1:58:29 27 답 ④ 점 (-3, 2)가 제 2 사분면 위의 점이므로 x축 및 y축에 동시에 접하 30 답 ① 그림과 같이 바퀴의 중심을 원점으로 하고 반지름의 길이가 3인 원 는 원의 반지름의 길이를 r라 하면 중심이 (-r, r)이다. 위의 점 P(p, q)를 손잡이라 하면 pÛ`+qÛ`=9 y ㉠ 이때, 두 점 (-r, r), (-3, 2) 사이의 거리가 r와 같으므로 (-r+3)Û`+(r-2)Û`=rÛ` ∴ rÛ`-10r+13=0 이 이차방정식의 두 근이 점 (-3, 2)를 지나고 x축 및 y축에 동시 에 접하는 두 원의 반지름의 길이이다. 이차방정식의 두 근을 a, b라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=10, ab=13 따라서 두 원의 넓이의 합은 paÛ`+pbÛ` =p(aÛ`+bÛ`)=p{(a+b)Û`-2ab} =p(10Û`-2_13)=74p y 3 O -3 P{p,q} -3 3 Q{x,y} A{3a,0} x x축 위의 한 점 A(3a, 0)을 고정핀이라 하고. 표식의 좌표를 Q(x, y)라 하면 점 Q는 PAÓ를 2`:`1로 내분하는 점이므로 28 답 2 x축 및 y축에 동시에 접하는 원의 중심은 직선 y=x 또는 직선 x= 6a+p 3 , y= q 3 y=-x 위에 있고, 그림에서 네 원 CÁ, Cª, C£, C¢의 반지름의 길 즉, p=3x-6a, q=3y를 ㉠에 대입하면 이가 각각 6, 3, 1, r이므로 AOÓ=6 2, BOÓ=3 2, COÓ= 2, DOÓ= 2r ' ' ' ' y (3x-6a)Û`+(3y)Û`=9 ∴ (x-2a)Û`+yÛ`=1 따라서 표식의 잔상이 나타내는 원의 반지름의 길이는 1이다. III 11 원의 방정식 C¡ y=x [다른 풀이] 따라서 원과 비례의 관계에서 AOÓ_COÓ=BOÓ_DOÓ이므로 그림과 같이 바퀴의 중심, 고정핀, 손잡이, 표식을 각각 O, A, P, Q y=-x Cº C™ A B C£ O D C C¢ x 6 2_ 2=3 2_ 2r ∴ r=2 ' ' ' ' 29 답 ③ 원이 점 (-1, 5)를 지나므로 x=-1, y=5를 대입하여 정리하면 a-b=6 y ㉠ 한편, 원이 y축과 만나는 두 점의 y좌표를 yÁ, yª라 하면 yÁ, yª는 xÛ`+yÛ`+ax-4y+b=0에 x=0을 대입한 이차방정식 yÛ`-4y+b=0의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여 yÁ+yª=4, yÁyª=b ' 16-4b=48 ∴ b=-8 y ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 a=-2 P 3 O O' Q A 라 하자. OAÓ를 2`:`1로 내분하는 점 O'에 대하여 PAÓ`:`QAÓ=OAÓ`:`OÕ'AÓ=3`:`1 두 삼각형 POA와 QO'A는 ∠QAO'을 공유하므로 △POA»△QO'A ( SAS 닮음) 따라서 OÕ'QÓ=1을 만족시키므로 점 Q는 중심이 O'이고 반지름의 길이가 1인 원 위에 있음을 알 수 있다. 31 답 ③ 선분 AB의 중점 M에 대하여 ABÓ⊥OÕMÓ이므로 점 M은 원점 O를 지나며 직선 y=2x+k Â5 y A M O -Â5 B Â5 x -Â5 x@+y@=5 정답 및 해설 107 |yÁ-yª|=4 3에서 (yÁ-yª)Û`=(yÁ+yª)Û`-4yÁyª=(4 3)Û` 원과 직선의 두 교점을 연결한 선분 AB는 원의 현이다. ' 즉, 원의 방정식은 xÛ`+yÛ`-2x-4y-8=0 y ㉢이므로 이 원이 x축과 만나는 두 점의 x좌표를 xÁ, xª라 하면 xÁ, xª는 y=2x+k에 수직인 직선 y=0을 ㉢에 대입한 xÛ`-2x-8=0의 두 근이므로 근과 계수의 관 위에 있다. 계에 의하여 xÁ+xª=2, xÁxª=-8 |xÁ-xª|= (xÁ+xª)Û`-4xÁxª= 2Û`-4_(-8)=6 "à "à 따라서 원이 x축과 만나는 두 점 사이의 거리는 6이다. 따라서 그림과 같이 선분 AB의 중점 M이 나타내는 도형은 원의 지름이고 그 길이는 2 5 이다. ' [해] 11강_OK.indd 107 2017-09-21 오후 1:58:30 [다른 풀이] 원과 직선이 두 점에서 만나려면 원의 중심 (0, 0)과 직선 2x-y+k=0 사이의 거리가 원의 반지름의 길이 5보다 작아야 ' 하므로 |k| 2Û`+(-1)Û` < 5 ' "à |k|<5 ∴ -5<k<5 두 점 A, B는 직선 y=2x+k 위의 점이므로 A(a, 2a+k), B(b, 2b+k)(-5<k<5)라 하고 선분 AB의 중점을 M(x, y)라 하면 직선 2x-yÑ5=0의 x절편, y절편은 각각 Ð , Ñ5(복호동순) ;2%; 이므로 이 직선과 x축, y축으로 둘러싸인 부분의 넓이 S는 S= _ ;2!; ;2%; _5= ;;ª4°;; ∴ 16S=100 34 답 96 직선 y=a(x+2)+4는 a의 값에 관계없이 점 A(-2, 4)를 지나 x= a+b 2 , y=a+b+k (-5<k<5) y ㉠ 는 직선이다. 이 직선이 원 xÛ`+yÛ`=36의 중심 O(0, 0)을 지날 때, 한편, 두 점 A, B는 원과 직선의 교점이므로 a, b는 y=2x+k를 즉 a=-2일 때 PQÓ의 길이의 최댓값은 원의 지름의 길이와 같다. xÛ`+yÛ`=5에 대입한 xÛ`+(2x+k)Û`=5, 즉 5xÛ`+4kx+(kÛ`-5)=0의 두 근이다. 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=- (-5<k<5) y ㉡ ∴ M=12 P 6 O H Q 이때, -5<k<5에서 -2<- k<2이므로 -2<x<2 한편, 그림과 같이 직선 y=a(x+2)+4가 원점을 지나지 않을 때 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=- , y= ∴ y=- 1 2 x 2k 5 ;5@; 4k 5 k 5 ;2!; 따라서 구하는 도형의 방정식은 y=- x (-2<x<2)이므로 선분 AB의 중점 M이 나타내는 도형의 길이는 두 점 (-2, 1), (2, -1)을 잇는 선분의 길이와 같으므로 2 5이다. ' 32 답 ① 직선이 원의 둘레를 이등분하기 위해서는 직선 my= x-1 m-1 이 원의 중심 (3, 2)를 지나야 한다. 즉, 2m= 에서 m(m-1)=1이므로 mÛ`-m-1=0 3-1 m-1 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 상수 m의 값의 합은 1이다. 원의 중심 O에서 이 직선에 내린 수선의 발을 H라 하면 PQÓ=2¿¹6Û`-OHÓ 즉, OHÓ의 길이가 최대일 때, PQÓ의 길이는 최소이다. Û` 그런데 직선 y=a(x+2)+4는 a의 값에 관계없이 점 A(-2, 4) 를 지나는 직선이므로 점 H가 점 A일 때 OHÓ의 길이가 2 5로 최대 ' 이고, 이때 PQÓ=8로 최소이다. ∴ m=8 ∴ Mm=12_8=96 35 답 ① 직선의 방정식을 y= 1 m 에서 만나게 된다. (x+1)이라 하면 중심이 (1, 0)인 반원과 서로 다른 두 점에서 만날 때 직선이 태극문양과 서로 다른 5개의 점 y=2x+a 즉, m>0이고 점 (1, 0)과 직선 x-my+1=0 사이의 거리가 반 33 답 100 두 점 P, Q는 원 위의 점이므로 OPÓ=OQÓ= 10이다. '¶ 또, OPÓ⊥OQÓ이므로 삼각형 OPQ는 ∠POQ가 직각인 직각이등변삼각형이다. 원의 중심 O에서 현 PQ에 내린 수선의 발을 H라 하면 HPÓ=HQÓ이므로 OHÓ= OPÓ 2 ' = 5 ' OHÓ= |a| 2Û`+(-1)Û` "à |a|=5 ∴ a=Ñ5 = 5이므로 ' 108 일등급 수학•고등 수학 (상) P H 10 Â5 O Q 10 지름의 길이인 1보다 작다. 즉, |1-0+1| 1Û``+(-m)Û` <1이므로 "à 1+mÛ` 2< "à 3<mÛ` ' ;2~ !; 따라서 삼각형 AHP의 넓이는 _2_1=1 ;2!; 또한, 원점 O와 직선 y=2x+a 사이의 거리는 울기가 이므로 두 점 P, H의 좌표는 P(1, 1), H(1, 0)이다. x@+y@=10 ∴ m> 3 (∵ m>0) 이때, 이를 만족시키는 최소의 자연수 m은 2이고 그때의 직선의 기 [해] 11강_OK.indd 108 2017-09-21 오후 1:58:30 ~ 36 답 ③ 원 xÛ`+yÛ`=1과 직선 x+y=1에 의하여 좌표평면이 4개의 영역으 38 답 7 접선의 기울기를 m이라 하면 점 (k, 1)을 지나므로 로 나누어져 있는 상태에서 직선을 1개 추가하여 3개의 영역이 더 구하는 접선의 방정식은 y-1=m(x-k) 생기도록 하려면 추가되는 직선 y=2x+k가 두 도형 xÛ`+yÛ`=1, ∴ mx-y-mk+1=0 x+y=1과 2개의 점에서 만나도록 하면 된다. 원의 중심 (0, 0)과 이 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이 2와 직선 y=2x+k는 기울기가 2이고 k의 값에 따라 평행이동하는 직선 같으므로 이다. 이 직선 l이라 하면 직선 l : y=2x+k가 두 도형 xÛ`+yÛ`=1, x+y=1과 2개의 점에서 만나도록 평행이동시켜 보면 그림과 같이 4개의 직선을 만들 수 있고, 각각 좌표평면을 7개의 영역으로 나누 고 있다. |-mk+1| mÛ`+(-1)Û` =2 "à 양변을 제곱하여 정리하면 (kÛ`-4)mÛ`-2km-3=0 이차방정식의 두 근을 mÁ, mª라 하면 두 접선이 서로 수직이므로 근과 계수의 관계에 의하여 mÁmª= =-1 ∴ kÛ`=7 -3 kÛ`-4 [다른 풀이] 일반적으로 원 밖의 점에서 원에 그은 두 접선이 수직일 때, 이 점이 나타내는 도형은 원이다. III 11 원의 방정식 y 2 O A{k,`1} 2 2Â2 x 그림과 같이 점 A(k, 1)은 원점 O가 중심이고 반지름의 길이가 2 2 ' 인 원 위에 있다. 즉, kÛ`+1Û`=2 2 ' OAÓ= "à ∴ kÛ`=7 39 답 4 그림과 같이 원 xÛ`+yÛ`+6x-2y+5=0, 즉 (x+3)Û`+(y-1)Û`=5 의 중심 C(-3, 1)과 A(1, 4) 사이의 거리는 ACÓ= (-3-1)Û`+(1-4)Û`=5 "à 점 A에서 원에 그은 접선의 길이는 Û`-CPÓ 25-5 = Û` = ACÓ APÓ=¿¹ '¶ '¶ 20=2 5 ' A{1,`4} 2Â5 P Â5 C{-3,`1} 5 Q l l l l 37 답 40 점 A(-2, 0)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 y=m(x+2)라 하면 원 xÛ`+yÛ`=1과의 교점인 두 점 P, Q의 이 이차방정식의 두 근을 a, b라 하면 두 점 P, Q의 좌표는 x좌표는 [ y=m(x+2) y ㉠ xÛ`+yÛ`=1 y ㉡ 의 해이다. ㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면 (가) (나) ( 1+mÛ` )xÛ`+4mÛ`x+( 4mÛ`-1 )=0 P(a, m(a+2)), Q(b, m(b+2))이고 APÓ=(a+2) ¿¹ AQÓ=(b+2) ¿¹ 1+mÛ` (∵ a>-2) 1+mÛ` (∵ b>-2) 한편, 이차방정식의 두 근이 a, b이므로 ( 1+mÛ` )xÛ`+4mÛ`x+( 4mÛ`-1 ) =( 1+mÛ` )(x-a)(x-b) 이 식이 x에 대한 항등식이므로 x= -2 를 대입하면 (다) ( 1+mÛ` )(a+2)(b+2)= 3 (라) ∴ APÓ_AQÓ=( 1+mÛ` )(a+2)(b+2)= 3 (일정) 따라서 f(m)=1+mÛ`, g(m)=4mÛ`-1, t=-2, s=3이므로 f(t)+g(s) =f(-2)+g(3)=1+(-2)Û`+4_3Û`-1=40 일등급 y 1 H Q 것이다. 다음 그림과 같이 도형을 P 이용하여도 같은 결과를 얻는다. A -2 -1 O 1 x 원과 비례의 관계의 활용 위 과정은 중학교에서 배운 원과 비례를 좌표를 이용하여 증명한 APÓ_AQÓ =AHÓ =(AHÓ-PHÓ)_(AHÓ+HQÓ) Û` (∵ PHÓ=HQÓ) Û`-OHÓ Û`) Û`-1=AOÓ Û`-PHÓ Û`-(OPÓ Û`+OHÓ =AHÓ =AHÓ Û`-1 =2Û`-1=3 -1 한편, △APCª△AQC ( RHS 합동)이고, ACÓ⊥PQÓ이므로 APCQ=2△APC _ACÓ_PQÓ=2_ _CPÓ_APÓ {;2!; } ;2!; ∴ PQÓ=4 정답 및 해설 109 [해] 11강_OK.indd 109 2017-09-25 오후 1:36:06 40 답 ② 원 xÛ`+yÛ`=4 위의 점 P(a, b)에서의 접선의 방정식은 ax+by=4이다. 42 답 64 두 원의 중심을 O(0, 0), O'(6, 8)이라 y 하고 두 중심을 지나는 직선을 그리면, 이 직선이 원 (x-6)Û`+yÛ`=1과 서로 다른 두 점에서 만나려면 원 그림과 같다. 직선과 두 원의 교점을 의 중심 (6, 0)과 직선 ax+by=4 사이의 거리가 반지름의 길이 1 x좌표가 작은 것부터 차례로 A, B, C, 보다 작아야 하므로 |6a-4| aÛ`+bÛ` <1 y ㉠ "à 또, 점 P(a, b)는 원 xÛ`+yÛ`=4 위의 점이므로 aÛ`+bÛ`=4 이것을 ㉠에 대입하면 -2<6a-4<2 ∴ |6a-4| 4 <1 ' <a<1 ;3!; 41 답 ⑤ 그림과 같이 조건을 만족시키는 원을 원의 중심의 x좌표와 y좌표가 같은 부호일 때와 다른 부호일 때로 경우를 나누어서 생각한다. y 4x+3y=12 {a,a} |a| {-a, a} |a| |a| O {a,a} |a| x {a, -a} Ú x좌표와 y좌표의 부호가 같을 때, =|a|에서 |4a+3a-12| 4Û`+3Û` |7a-12|=|5a| "à 7a-12=Ñ5a ∴ a=1 또는 a=6 Û x좌표와 y좌표의 부호가 다를 때, |4a-3a-12| 4Û`+3Û` |a-12|=|5a| "à =|a|에서 a-12=Ñ5a ∴ a=-3 또는 a=2 D 4 O'{6, 8} Q x B C P O2 A D라 하면 PQÓ의 길이는 점 P가 점 B의 위치에, 점 Q가 점 C의 위치에 있을 때 최소이고, 점 P가 점 A의 위치에, 점 Q가 점 D의 위치에 있을 때 최대이므로 PQÓ의 길이의 최솟값은 BCÓ=OÕO'Ó-2-4=10-6=4 PQÓ의 길이의 최댓값은 ADÓ=OÕO'Ó+2+4=10+6=16 따라서 PQÓ의 길이의 최댓값과 최솟값의 곱은 16_4=64 43 답 42 두 점 A(2, 6), B(4, 2)의 중점을 y A{2,`6} M(3, 4)라 하고, 원 xÛ`+yÛ`=1과 OÕMÓ의 교점을 Q라 하면 중선정리에 의하여 PAÓ Û`+PBÓ Û`=2(PMÓ Û`) Û`+AMÓ Û`+5) Û`+5) =2(PMÓ ¾2(QMÓ QÕMÓ=OÕMÓ-OQÓ=5-1=4이므로 PAÓ Û`+PBÓ Û`의 최솟값은 2_(4Û`+5)=42 M{3,`4} B{4,`2} Q P O x@+y@=1 44 ` 답 ② 네 점 A(-1, 0), B(1, 0), xÛ`+yÛ`=1이다. 이 원 위의 점을 P(x, y) (yæ+0)라 하자. (다각형 ABDPC의 넓이) C A -1 =(사다리꼴 ABDC의 넓이)-(삼각형 DCP의 넓이) 이므로 다각형 ABDPC의 넓이는 삼각형 DPC의 넓이가 최소일 x D B 1 x y 3 1 P O -1 = _(ACÓ+BDÓ)_ABÓ= _(1+3)_2=4 y ㉠ ;2!; ;2!; 직선 CD의 방정식은 x-y+2=0 점 P와 직선 x-y+2=0 사이의 거리의 최솟값은 (원의 중심 O와 직선 x-y+2=0 사이의 거리) 이므로 삼각형 DPC의 넓이의 최솟값은 -(원의 반지름의 길이)= 2-1 ' _CDÓ_( 2 -1)= _2 2_( 2-1)=2- 2 y ㉡ ' ;2!; ' ' ' ;2!; 4-(2- 2)=2+ 2 ' ' Ú, Û에 의하여 구하는 원의 반지름의 길이는 |a|이므로 반지름의 길이가 가장 클 때는 a=6, 반지름의 길이가 가장 작을 때는 a=1이다. (6-1)Û`+(6-1)Û`=5 2 ' "à 110 일등급 수학•고등 수학 (상) 따라서 두 원의 중심 (6, 6)과 (1, 1) 사이의 거리는 ㉠, ㉡에 의하여 다각형 ABDPC의 넓이의 최댓값은 원의 중심이 (a, -a)이고 원의 반지름의 길이가 |a|이다. 점 (a, -a)와 직선 4x+3y=12 사이의 거리가 |a|이므로 때 최대가 된다. (사다리꼴 ABDC의 넓이) 원의 중심이 (a, a)이고 원의 반지름의 길이가 |a|이다. C(-1, 1), D(1, 3)이라 하면 점 (a, a)와 직선 4x+3y=12 사이의 거리가 |a|이므로 ABÓ를 지름으로 하는 원의 방정식은 [해] 11강_OK.indd 110 2017-09-21 오후 1:58:32 45 답 7 세 원 CÁ, Cª, C£의 중심을 각각 OÁ(0, 0), Oª(3, 0), O£(a, b)라 ㉠, ㉡에서 mn=2 n= 를 ㉠에 대입하면 하면 세 원은 모두 외접하므로 중심 사이의 거리는 각각 반지름의 길 이의 합과 같다. OÕÁOªÓ=2+1=3, OÕªO£Ó=1+3=4, y -2mÛ`=2에서 mÝ`+mÛ`-2=0 (mÛ`-1)(mÛ`+2)=0 ∴ mÛ`=1 (∵ m은 실수) C£ 이것을 ㉠에 대입하면 nÛ`=4 O£{a,`b} ∴ mÛ`+nÛ`=5 2 m 4 mÛ` 두 원의 중심 C, C'에 대하여 직선 CC'과 공통접선의 교점을 P라 하자. 두 원의 공통접선 Ú 점 P는 선분 CC'을 m`:`n으로 내분하는 점이다. 일등급 R C l n C' r m P d P Û 점 P는 선분 CC'을 m`:`n 으로 외분하는 점이다. l d m r C' n R C III 11 원의 방정식 OÕ£OÁÓ Õ=3+2=5 즉, 삼각형 OÁOªO£은 OÕ£OÁÓ이 빗변인 직각삼각형이다. 또한, 원 C£의 중심 O£(a, b)에 대하여 ab>0이므로 세 원은 그림과 같다. C¡ 따라서 a=3, b=4이므로 a+b=7 3 3 2 O¡ 1 O™ C™ x 46 답 5 두 원 xÛ`+yÛ`=2, (x-4)Û`+yÛ`=18의 중심을 각각 O(0, 0), C(4, 0) 공통접선의 접점을 각각 A, B라 하고 구하는 직선이 두 원 의 중심이 지나는 x축과 만나는 점을 P라 하자. y=mx+n B A P 18 O 4 C x △PAO»△PBC ( AA 닮음)이므로 POÓ`:`PCÓ=AOÓ`:`BÕCÓ=1`:`3 즉, 점 P는 OÕCÓ를 1`:`3으로 외분하는 점이다. 따라서 점 P의 좌표는 (-2, 0)이다. 구하는 직선의 기울기가 m이 므로 직선의 방정식은 y=m(x+2)라 할 수 있다. 원 xÛ`+yÛ`=2의 중심 (0, 0)과 직선 mx-y+2m=0 사이의 거리 가 반지름의 길이 2와 같으므로 ' |2m| mÛ`+1` ' = 2에서 4mÛ`=2mÛ`+2 ∴ mÛ`=1 "à 이때, n=2m이므로 nÛ`=4mÛ`=4 ∴ mÛ`+nÛ`=5 47 답 12 그림과 같이 x축 위에 중심이 있고 점 A(6, 0), P(0, t)를 지나는 원의 중심을 C(a, 0), x축 위에 중심이 있고 점 B(-4, 0), P(0, t)를 지나는 원의 중심을 C'(b, 0)이라 하면 직교하는 두 원 의 접선은 각각 다른 원의 중심을 지나므로 삼각형 PCC'은 직각삼 각형이다. 이때, a<0, b>0이다. y t P C a -4 O B 6 A C' b x CAÓ Û`=CPÓ Û`에서 (a-6)Û`=aÛ`+tÛ` ∴ tÛ`=-12a+36 y ㉠ CÕ'BÓ Û`=CÕ'PÓ Û`에서 (b+4)Û`=bÛ`+tÛ` ∴ tÛ`=-ab y ㉢ ㉠, ㉡에서 -12a+36=8b+16 ∴ a= 5-2b 3 y ㉣ 8b+16=- b, 2bÛ`-29b-48=0 5-2b 3 { } (2b+3)(b-16)=0 ∴ b=16 (∵ b>0) ㉣에서 a=-9이므로 ㉢에서 tÛ`=144 ∴ t=12 (∵ t>0) 정답 및 해설 111 직선 y=mx+n이 원 xÛ`+yÛ`=2과 접하므로 원의 중심 (0, 0)과 ∴ tÛ`=8b+16 y ㉡ 직선 mx-y+n=0 사이의 거리가 반지름의 길이 2 와 같다. CÕC'Ó Û`=CPÓ Û`+CÕ'PÓ Û`에서 (a-b)Û`=aÛ`+tÛ`+bÛ`+tÛ` ' 또, 직선 y=mx+n이 원 (x-4)Û`+yÛ`=18과 접하므로 원의 ㉡, ㉢에서 8b+16=-ab이므로 ㉣을 대입하면 중심 (4, 0)과 직선 mx-y+n=0 사이의 거리가 반지름의 길이 [다른 풀이] 즉, |n| mÛ`+1` "à = 2 ' ∴ nÛ`-2mÛ`=2 y ㉠ 3 ' 2와 같다. 즉, |4m+n| mÛ`+1` (4m+n)Û`=18mÛ`+18 "à =3 2 ' ∴ nÛ`-2mÛ`=-8mn+18 y ㉡ [해] 11강_OK.indd 111 2017-09-21 오후 1:58:33 x 길이도 2이다. 48 답 8 y O {-1, 1} {x+1}@+{y-1}@=16 {1, -1} {x-1}@+{y+1}@=a 원 (x+1)Û`+(y-1)Û`=16이 원 (x-1)Û`+(y+1)Û`=a의 둘레의 길이를 이등분하기 위해서는 두 원의 공통현이 원 (x-1)Û`+(y+1)Û`=a의 지름이 되어야 한다. 즉, 원의 중심 (1, -1)이 공통현 위에 있어야 한다. 두 원 xÛ`+yÛ`+2x-2y-14=0, xÛ`+yÛ`-2x+2y+2-a=0의 공통현의 방정식은 4x-4y-16+a=0 따라서 이 직선이 점 (1, -1)을 지나므로 a=8 2 {1,`2} -2 O 1 B 2 x y A -2 50 답 7 점 (1, 0)에서 x축에 접하는 호 AB를 원의 일부로 갖는 원의 방정식을 구하자. 이 호는 반지름의 길이가 2인 원의 일부이므로 구하는 원의 반지름의 또, 이 원은 점 (1, 0)에서 x축에 접하므로 이 원의 중심은 (1, 2)이다. 따라서 이 원의 방정식은 (x-1)Û`+(y-2)Û`=4 이때, 접힌 선분 AB는 원 xÛ`+yÛ`=4 y ㉠와 원 (x-1)Û`+(y-2)Û`=4 y ㉡의 공통현이므로 ㉠-㉡을 하면 직선 AB의 방정식은 2x+4y-5=0 따라서 직선 AB의 x절편은 이므로 ;2%; p+q=7 O R 49 답 ③ ㄱ. OQÓ⊥PQÓ, ORÓ⊥PRÓ에서 ∠OQP+∠ORP=180ù이므로 Q 네 점 O, P, Q, R는 OPÓ가 지름인 원 x(x-a)+y(y-b)=0 위에 있다. (참) ㄴ. ㄱ에서 네 점 O, P, Q, R를 지나는 원의 방정식은 xÛ`+yÛ`-ax-by=0이므로 두 점 Q, R는 두 원 xÛ`+yÛ`=rÛ` y ㉠ [ 의 교점이다. (거짓) xÛ`+yÛ`-ax-by=0 y ㉡ 포함하는 직선이므로 xÛ`+yÛ`-rÛ`-(xÛ`+yÛ`-ax-by)=0 ax+by-rÛ`=0 ∴ ax+by=rÛ` (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ㄷ. 두 점 Q, R를 지나는 직선의 방정식은 두 원 ㉠, ㉡의 공통현을 51 답 8 원 CÁ은 y축과 평행하고 원점으로 부터 1만큼 떨어진 두 직선 P x=1 및 x=-1과 접하면서 그 사이를 움직인다. 원 Cª는 기울기가 1이고 원점으로 y 부터 2 만큼 떨어진 두 직선 ' y=x+2 및 y=x-2와 접하면서 그 사이를 움직인다. 따라서 두 원이 움직이는 영역의 공통부분은 네 직선 x=1, C™ y=x+2 C¡ y=x-2 O x x=-1, y=x+2, y=x-2로 x=-1 x=1 둘러싸인 영역이므로 구하는 넓이는 2_4=8 52 답 16 x축 및 y축에 접하는 원의 중심은 직선 y=x 또는 직선 y=-x 위 에 있다. 그림과 같이 원 (x-1)Û`+(y-2)Û`=8과 두 직선 y=x, y=-x 의 교점이 4개이므로 x축 및 y축에 동시에 접하는 원도 4개이고 그 교점이 각 원의 중심이고 교점의 x좌표 또는 y좌표의 절댓값이 반지 원 xÛ`+yÛ`=rÛ` 밖의 한 점 P(a, b)에서 원에 그은 두 접선의 접점을 름의 길이이다. ⓐ 원에 그은 두 접선의 접점을 지나는 직선의 방정식 일등급 각각 Q(xÁ, yÁ), R(xª, yª)라 하면 두 접선 PQ, PR의 방정식은 xÁx+yÁy=rÛ`, xªx+yªy=rÛ` 이다. 이때, 점 P(a, b)는 두 접선 위의 점이므로 axÁ+byÁ=rÛ`, axª+byª=rÛ` 그런데 이 식은 직선 ax+by=rÛ`이 두 점 Q(xÁ, yÁ), R(xª, yª)를 지 남을 의미한다. 두 점을 지나는 직선은 유일하므로 직선 QR의 방정식 은 ax+by=rÛ`이다. 112 일등급 수학•고등 수학 (상) y y=x y=-x O {x-1}@+{y-2}@=8 x [해] 11강_OK.indd 112 2017-09-21 오후 1:58:34 | 채점기준 | | 채점기준 | Ú 원 (x-1)Û`+(y-2)Û`=8과 직선 y=x의 교점의 x좌표를 a, b 라 하면 (x-1)Û`+(x-2)Û`=8, 즉 2xÛ`-6x-3=0의 두 근이 a, b이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=3, ab=- ;2#; 두 원의 넓이의 합은 paÛ`+pbÛ`이므로 paÛ`+pbÛ`=p(aÛ`+bÛ`)=p{(a+b)Û`-2ab} =p [ 3Û`-2_ - =12p { ;2#;}] ⓑ Û 원 (x-1)Û`+(y-2)Û`=8과 직선 y=-x의 교점의 x좌표를 c, d라 하면 (x-1)Û`+(-x-2)Û`=8, 즉 2xÛ`+2x-3=0의 두 54 답 1 PQÓ는 두 원의 공통현이다. 한 원의 현의 길이는 지름의 길이보다 작거나 같으므로 공통현의 길이는 두 원의 지름의 길이보다 작거나 같다. 따라서 PQÓ의 길이가 최대일 때는 PQÓ가 두 원 중 작은 원인 (x-a)Û`+(y-1)Û`=1의 지름일 근이 c, d이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 지난다. 공통현 PQ의 방정식은 {x-a}@+{y-1}@=1 P C{a,`1} Q III 11 원의 방정식 때이다. ⓐ x@+{y+a}@=6 이때, 공통현 PQ는 원 (x-a)Û`+(y-1)Û`=1의 중심 C(a, 1)을 {(x-a)Û`+(y-1)Û`-1}-{xÛ`+(y+a)Û`-6}=0 ∴ ax+(a+1)y=3 이 방정식이 점 C(a, 1)을 지나므로 aÛ`+a-2=0 (a+2)(a-1)=0 ∴ a=-2 또는 a=1 따라서 양수 a의 값은 1이다. ⓐ 선분 PQ의 길이가 최대가 되는 조건을 찾는다. ⓑ 공통현 PQ의 방정식을 구한다. ⓒ 양수 a의 값을 구한다. ⓑ ⓒ [40%] [30%] [30%] 3x이고 직선 m의 방정식은 y= - 3 x이 (가) ' 다. 원 위의 제 1 사분면에 있는 점을 P(a, b)라 하면 a>0, b>0이 55 답 ⑤ 직선 l의 방정식은 y= ' 고 aÛ`+bÛ`=rÛ` y ㉠이다. 점 P에서 x축과 두 직선 l, m에 내린 수선의 발이 각각 A, B, C이 므로 PAÓ=b, PBÓ= ' | 3a-b| | 3a+b| , PCÓ= ' y ㉡ 2 (나) 2 ㉡을 대입하여 정리하면 PAÓ Û`+PBÓ Û`+PCÓ Û`= 3aÛ`+3bÛ` 2 = (aÛ`+bÛ`)= ;2#; (다) 3 2 rÛ` (∵ ㉠) 따라서 s=- 3, t=2, f(r)= rÛ`이므로 ' ;2#; f(s_t)=f(-2 3)=18 ' 56 답 25 f(x)=ax+b라 하자. 직선 f(x)=ax+b와 원 xÛ`+yÛ`=25가 접 하므로 이차방정식 xÛ`+(ax+b)Û`=25는 중근을 갖는다. 즉, 이차 방정식 (aÛ`+1)xÛ`+2abx+bÛ`-25=0의 판별식을 D라 하면 c+d=-1, cd=- ;2#; 두 원의 넓이의 합은 pcÛ`+pdÛ`이므로 pcÛ`+pdÛ`=p(cÛ`+dÛ`)=p{(c+d)Û`-2cd} =p [ (-1)Û`-2_ { - ;2#;}] =4p Ú, Û에 의하여 구하는 네 원의 넓이의 합은 16p이므로 S=16 ⓐ 원이 x축, y축에 접하는 조건을 찾는다. ⓑ 원과 직선 y=x가 만날 경우 원의 넓이를 구한다. ⓒ 원과 직선 y=-x가 만날 경우 원의 넓이를 구한다. ⓓ 구하는 모든 원의 넓이의 합을 계산하여 S의 값을 구한다. 53 답 4 중심이 (a, b)인 원과 두 직선 2x+y=0, x-2y=0이 접하므로 |2a+b| 2Û`+1Û` = |a-2b| 1Û`+(-2)Û` "à 2a+b=Ñ(a-2b) "à ∴ b=3a 또는 b=- a ;3!; 이 원이 점 (3, 2)를 지나므로 중심은 제 1 사분면에 있다. 따라서 b=3a (a>0)이고, 이때 반지름의 길이는 |2a+b| 2Û`+1Û` = |2a+3a| 2Û`+1Û` = 5a ' "à 구하는 원의 방정식을 (x-a)Û`+(y-3a)Û`=5aÛ`이라 하면 "à 점 (3, 2)를 지나므로 (3-a)Û`+(2-3a)Û`=5aÛ`에서 5aÛ`-18a+13=0 (a-1)(5a-13)=0 ∴ a=1 또는 a= ;;Á5£;; a+b=1+3=4 따라서 작은 원의 중심은 a=1일 때, 점 (1, 3)이므로 ⓒ ⓓ [30%] [30%] [30%] [10%] ⓐ ⓑ ⓒ ⓓ [30%] [30%] [30%] [10%] | 채점기준 | ⓐ a와 b의 관계식을 구한다. ⓑ 반지름의 길이를 a 또는 b에 대한 식으로 나타낸다. ⓒ 원의 방정식을 세우고, a, b의 값을 각각 구한다. ⓓ a+b의 값을 구한다. D 4 =aÛ`bÛ`-(aÛ`+1)(bÛ`-25) =25aÛ`-bÛ`+25=0 y ㉠ ∴ f(-5)f(5)=(-5a+b)(5a+b)=bÛ`-25aÛ`=25 (∵ ㉠) 정답 및 해설 113 [해] 11강_OK.indd 113 2017-09-21 오후 1:58:35 [다른 풀이] y y=f{x} B b Q P 5 A a A' -5 O 5 B' x -5 두 점 (-5, 0), (5, 0)을 각각 A', B'이라 하고 두 직선 x=-5, x=5와 직선 y=f(x)의 교점을 각각 A, B라 하면 두 점 A, B의 좌표는 각각 A(-5, f(-5)), B(5, f(5))이고 AÕA'Ó=f(-5)=a, BÕB'Ó=f(5)=b라 하고 점 A를 지나고 x축에 평행한 직선이 선분 BB'과 만나는 점을 Q라 하면 ABÓ=a+b, BQÓ=b-a 이때, AQÓ=10이므로 직각삼각형 AQB에서 (a+b)Û`=(b-a)Û`+10Û` 4ab=100 ∴ ab=25 ∴ f(-5)f(5)=ab=25 58 답 5 PBÓ=3POÓ에서 PBÓ`:`POÓ=3`:`1을 만족시키는 점 P는 BOÓ를 3`:`1로 내분하는 점과 외분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원이 다. 이 원을 CÁ이라 하면 내분점은 { 3_0+1_(-3) 3+1 , 0 = - , 0 이고, { ;4#; } 외분점은 { 3_0-1_(-3) 3-1 , 0 = , 0 이므로 {;2#; } } } 원 CÁ의 중심은 , 0 , 반지름의 길이는 이다. {;8#; } ;8(; 또한, 3POÓ=9PÕAÓ에서 POÓ`:`PÕAÓ=3`:`1을 만족시키는 점 P는 OAÓ를 3`:`1로 내분하는 점과 외분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하 는 원이다. 이 원을 Cª라 하면 내분점은 { 3_a+1_0 3+1 외분점은 { 3_a-1_0 3-1 3a 4 3a 2 { { } } } } , 0 = , 0 이고, , 0 = , 0 이므로 원 Cª의 중심은 { 9a 8 } , 0 , 반지름의 길이는 이다. 3a 8 두 원 CÁ, Cª가 교점을 가지는 조건이다. 두 원의 중심 사이의 거리가 (a>0)이므로 9a-3 8 |9-3a| 8 É 9a-3 8 É 9+3a 8 이어야 한다. 즉, PBÓ=3POÓ=9PAÓ를 만족시키는 점 P가 존재하기 위한 조건은 57 답 ⑤ 관람지점 P를 좌표평면 위의 원점이라 하면 전시물 A의 밑면은 중 즉, |3-a|É3a-1É3+a 심이 (0, 2)이고 반지름의 길이가 1인 원 CÁ이다. Ú |3-a|Û`É(3a-1)Û`일 때, 또한, 전시물 B의 밑면은 중심이 (2, 0)이고 반지름의 길이가 1인 (3-a)Û`-(3a-1)Û`É0 원 Cª이다. 두 전시물 사이로 전시물 C가 보여야 하므로 원점에서 그은 두 원의 접선 사이에 전시물 C의 밑면이 존재해야 한다. (a+1)(a-1)¾0 ∴ a¾1 (∵ a는 양수) 이때, 원점에서 전시물 C의 밑면의 중심까지의 거리가 최소가 되려 Û 3a-1É3+a일 때, 면 그림과 같이 전시물 C의 밑면이 두 접선에 모두 접해야 한다. y C¡ 2 1 {a,`a} P{O} C™ x 1 2 aÉ2 Ú, Û에 의하여 1ÉaÉ2 [다른 풀이] 따라서 a=1, b=2이므로 aÛ`+bÛ`=5이다. 수직선을 이용하면 조금 더 직관적으로 해결할 수 있다. 위 풀이에서 정한 두 원 CÁ, Cª가 교점 P를 가지는 조건은 따라서 전시물 C의 밑면은 중심이 직선 y=x 위에 있고 두 접선 Ú a가 최소일 때는 y= x, y= 3x에 모두 접하는 반지름의 길이가 1인 원이다. 1 3 ' ' 중심의 좌표를 (a, a)라 할 때, 중심에서 두 접선까지의 거리는 각 에서 a=1 (BOÓ를 3`:`1로 외분하는 점)=(OAÓ를 3`:`1로 외분하는 점) y O a A C™ -3 B C¡ P 3 - 2 { `````} ,`0 = 3a - 2 { ```````} ,`0 x 각 반지름의 길이 1과 같으므로 |a- 3 a| '¶ a= ' 1+3 2 3-1 ' | 3 a-a| 3+1 ' '¶ 3+1 = = ' =1 d의 최솟값은 6+ 2이다. ' ' 114 일등급 수학•고등 수학 (상) 원점에서 전시물 C의 밑면의 중심까지의 거리는 2a이므로 ' [해] 11강_OK.indd 114 2017-09-21 오후 1:58:36 (BOÓ를 3`:`1로 외분하는 점)=(OAÓ를 3`:`1로 내분하는 점) 면 된다. 두 도형이 만나려면 다음 그림과 같이 두 접하는 상황 사이를 움직이 Û a가 최대일 때는 에서 a=2 -3 B y O C™ a A x C¡ P 3 - 2 { `````} ,`0 = 3a - 4 { ```````} ,`0 Ú, Û에 의하여 1ÉaÉ2 따라서 a=1, b=2이므로 aÛ`+bÛ`=5이다. 59 답 80 먼저 ABÓ의 길이를 구한다. 점 P(1, -2)와 원점을 지나는 직선이 원과 만나는 두 점을 C, D라 하자. OCÓ=ODÓ= 13이고 '¶ OPÓ= 1Û`+(-2)Û`= 5 "à ' 원의 성질에 의하여 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 C 13 O ´5 P{1, -2} D B 2PBÓ_PBÓ=(OCÓ+OPÓ)(ODÓ-OPÓ) (∵ PAÓ=2PBÓ) 13+ 5)( 13- 5) ∴ PBÓ=2, PAÓ=4 2PBÓ Û`=( '¶ '¶ ∴ ABÓ=PAÓ+PBÓ=6 ' ' 직선 AB의 기울기를 m이고 이 직선은 점 P(1, -2)를 지나므로 y=m(x-1)-2 y ㉠, 즉 mx-y-m-2=0 원점과 직선 AB 사이의 거리를 d라 하면 ABÓ d=¾¨( '¶ 13)Û`- { 2 } =2이므로 "à (m+2)Û`=4(mÛ`+1), 3mÛ`-4m=0 2` |-m-2| mÛ`+(-1)Û` =2 ∴ m= (∵ m+0) y ㉡ ;3$; ㉡을 ㉠에 대입하면 직선 AB의 방정식은 y= x- ;3$; ;;Á3¼;; 따라서 m= , n= 이므로 18mn=80 ;3$; ;;Á3¼;; y {i} 1 -1 y=x {ii} -1 O 1 x Ú x>k인 직선 y=2x-k가 원에 접할 때 원점과 y=2x-k 사이의 거리가 1이므로 |k| 2Û`+(-1)Û` É1 "à ∴ - 5ÉkÉ 5 ' ' Û k=1인 경우 직선 y=1은 원이 접하므로 kÉ1 Ú, Û에 의하여 두 도형이 만나기 위한 k의 값의 범위가 A - 5ÉkÉ1이므로 상수 k의 최댓값 M=1, 최솟값 m=- 5 ' ' ∴ MÛ`+mÛ`=6 III 11 원의 방정식 61 답 ① 그림과 같이 접선 AP와 x축이 이루는 각을 이등분하는 직선 중에 서 기울기가 음수인 직선을 l이라 할 때, 삼각형 PQR가 PQÓ=PRÓ 인 이등변삼각형이 되려면 접선 QR가 직선 l에 수직이어야 한다. y O l A S{x, y} Q x R P B x@+y@=25 원 xÛ`+yÛ`=25 위의 점 A(3, 4)에서의 접선 3x+4y=25와 x축 이 이루는 각을 이등분하는 직선 l 위의 점을 S(x, y)라 하면 |3x+4y-25| 3Û`+4Û` "à =|y| 따라서 직선 l의 방정식은 3x-y=25 또는 3x+9y=25 이때, 기울기가 음수인 직선은 3x+9y=25이다. y ㉠ 한편, 원 위의 점 B(a, b)에서 원 xÛ`+yÛ`=25에 그은 접선의 방정 60 답 6 도형 y=x+|x-k| = [ 2x-k (x>k) (xÉk) k 는 점 (k, k)에서 꺾이는 직선을 나타낸다. 따라서 두 도형의 그래프는 그림과 같다. y 1 -1 y=x+|x-k| {k,`k} ㉠, ㉡이 서로 수직이므로 3a+9b=0 y ㉢ y=x 식은 ax+by=25 y ㉡ 또, 점 B(a, b)는 원 xÛ`+yÛ`=25 위의 점이므로 aÛ`+bÛ`=25 y ㉣ x@+y@=1 x -1 O 1 ㉢, ㉣을 연립하면 aÛ`= ;;¢2°;; (∵ a>0 ), b=- ' ' 5 2 (∵ ㉢) 3 ∴ a= 5 ' 2 ' ∴ ab=- ;;Á2°;; 정답 및 해설 115 [해] 11강_OK.indd 115 2017-09-25 오전 11:37:57 62 답 5 조건 (나)에서 두 원의 교점을 지나며 x축에 접하는 원이 오직 한 개 12 도형의 이동 문제편 141P 존재하므로 다음과 같이 나누어 생각하자. Ú 두 원의 교점의 y좌표가 같을 때, y 6 4 2 O C™ {a,`6} C¡ x y 4 O C™ {a,`6} C¡ x 두 원의 중심의 x좌표가 같을 때이므로 a=0이고 그림에서 2<b<6이므로 정수 a, b의 순서쌍 (a, b)의 개수는 (0, 3), (0, 4), (0, 5)의 3이다. 이것은 모두 조건 (다)를 만족시킨다. Û 두 원의 교점 중 한 점이 x축 위에 있을 때, 그림과 같이 a+0이고 두 점 (0, 0), (a, 6) 사이의 거리가 원 Cª의 반지름의 길이 b와 같으므로 aÛ`+6Û`=bÛ`, |a|É10, b>0 을 만족시키는 정수 a, b의 순서쌍 (a, b)의 개수는 (8, 10), (-8, 10)의 2이다. Ú, Û에 의하여 정수 a, b의 순서쌍 (a, b)의 개수는 5이다. 01 답 2 이차함수 y=xÛ`의 그래프의 꼭짓점이 (0, 0)이므로 (0, 0)을 x축 의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동하면 (1, 2)이 고, 이것을 다시 직선 y=-x에 대하여 대칭이동하면 (-2, -1) 이다. ∴ ab=2 02 답 ④ 직선 l :`x+2y+4=0을 원점에 대하여 대칭이동한 직선 lÁ의 방정식은 -x-2y+4=0 즉, x+2y-4=0 y ㉠ 직선 l`:`x+2y+4=0을 y축의 방향으로 a만큼 평행이동한 직선 lª의 방정식은 x+2(y-a)+4=0 즉, x+2y-2a+4=0 y ㉡ ㉠, ㉡이 일치하므로 -4=-2a+4 ∴ a=4 03 답 1 원 (x-2)Û`+(y+4)Û`=9의 중심이 (2, -4)이고 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 점이 원 (x+12)Û`+(y-8)Û`=rÛ`의 중심인 (-12, 8)이므로 2+p=-12, -4+q=8 ∴ p=-14, q=12 이때, 반지름의 길이는 변하지 않으므로 rÛ`=9 ∴ r=3 (∵ r>0) ∴ p+q+r=1 04 답 2 직선 y=ax+b를 직선 y=-x에 대하여 대칭이동하였을 때, 원래 의 그래프와 일치하기 위해서는 a=1이거나 a=-1, b=0일 때이 다. 그런데 b+0이므로 a=1 y ㉠ 원 (x-a)Û`+(y-b)Û`=0을 직선 y=-x에 대하여 대칭이동하였 을 때, 원래의 그래프와 일치하기 위해서는 중심인 점 (a, b)가 직선 y=-x 위에 있어야 하므로 b=-a y ㉡ ㉠, ㉡에서 a=1, b=-1이므로 aÛ`+bÛ`=2 05 답 ⑤ f(2-x)=f(2+x)를 만족시키는 함수 f(x)의 그래프는 직선 x=2에 대하여 대칭이다. 즉, 이차함수 f(x)=xÛ`+ax+3 의 그래프의 축의 방정식이 x=- 이므로 a 2 - a 2 =2 ∴ a=-4 ∴ f(a) =f(-4)=(-4)Û`+(-4)_(-4)+3=35 116 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 11강_OK.indd 116 2017-09-21 오후 1:58:38 C¡ C 좌표가 x인 것을 의미한다. 06 답 ① 2|x-2|+|y+1|=2의 그래프는 2|x|+|y|=2의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로 그래프는 -1 O 그림과 같다. 10 답 5 두 사람이 던진 주사위에 의하여 점은 다음과 같이 움직인다. 언수 1회 2회 3회 4회 5회 주사위의 눈 1 2 5 4 3 1 x 말의 위치 (0, 0) (1, 0) (2, 0) (0, 2) (0, 3) (0, 4) y 2 -1 -2 y A™ 07 답 10 그림과 같이 점 A를 x축과 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점을 각각 AÁ, Aª라 하면 삼각형 ABC의 둘레의 길이는 AÕÁBÓ+BCÓ+CÕAªÓ와 같으므로 두 점 B와 C가 각각 점 BÁ과 점 CÁ에 있을 때, AÕÁBÓ+BCÓ+CÕAªÓ=AÕÁAªÓ로 최소가 된다. y=x A 7 A¡ 1 O B B¡ x 두 점 AÁ, Aª의 좌표가 AÁ(7, -1), Aª(1, 7)이므로 AÕÁAªÓ= (1-7)Û`+(7+1)Û`=10 "à 08 답 12 점 B(-2, 1) 점 (2, 1) 점 A(1, 1) x축의 방향으로 1만큼 평행이동 111125Ú y축에 대하여 대칭이동 1111Ú y축의 방향으로 2만큼 평행이동 111125Ú x축에 대하여 대칭이동 1111Ú 세 점 A, B, C를 좌표평면에 나타내면 점 (-2, 3) 점 C(-2, -3) B -2 {-2, 3} y 1 O 그림과 같고 둘레의 길이는 C -3 3+4+5=12 A 1 {2, 1} x 09 답 ⑤ 이차함수 y=2xÛ`-4x-4=2(x-1)Û`-6의 그래프의 꼭짓점은 (1, -6), 이차함수 y=2xÛ`+12x+20=2(x+3)Û`+2의 그래프 의 꼭짓점은 (-3, 2)이므로 x축의 방향으로 -4만큼, y축의 방향 으로 8만큼 평행이동한 것이다. 또한, 평행이동하기 전의 원의 중심을 (a, b)라 하면 원 (x+1)Û`+(y-2)Û`=1의 중심이 (-1, 2)이므로 a-4=-1, b+8=2 ∴ a=3, b=-6 은진 1회 2회 3회 4회 5회 주사위의 눈 2 6 3 4 5 말의 위치 (0, 0) (1, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 3) (3, 0) 따라서 두 사람의 말이 위치한 두 점 사이의 거리는 5이다. 11 답 ③ ㄱ. 점의 좌표는 위치를 나타낸다. 즉, 점 (y, x)는 x좌표가 y이고 y 따라서 점 (y, x)를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 -q만큼 평행이동하면 점 (y+p, x-q)로 이동한다. (참) ㄴ. ㄷ. 도형은 위치가 아닌 문자 자체가 좌표의 의미를 가진다. 즉, 문자 x가 x좌표, 문자 y가 y좌표를 의미한다. 따라서 도형 f(y, x)=0이나 함수 y=f(x)의 그래프 모두 x 축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 -q만큼 평행이동하면 문 자 x에 (x-p)를, 문자 y에 (y+q)를 대입한 도형 f(y+q, x-p)=0이나 함수 y=f(x-p)-q의 그래프로 이 동한다. (ㄴ: 거짓, ㄷ: 참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. III 12 도형의 이동 12 답 4 도형 f(x, y)=0의 그래프가 점 (a, b)를 지날 때, f(a, b)=0 y ㉠을 만족시킨다. 이때, 도형 f(y-1, 2-x)=0의 그래프가 지나는 점을 ㉠을 이용 하여 구하면 y-1=a, 2-x=b 즉, x= -b+2 , y= a+1 (가) (나) 에서 도형 f(y-1, 2-x)=0의 그래프는 점 ( -b+2 , a+1 )을 지남을 알 수 있다. 점의 이동을 살펴보면 도형의 이동을 알 수 있다. (a, b) (b, a) (-b, a) jK jK 직선 y=x에 대하여 대칭이동 y축에 대하여 대칭이동 (다) x축의 방향으로 2 만큼, y축의 방향으로 1 만큼 평행이동 따라서 평행이동에 의하여 원 (x+1)Û`+(y-2)Û`=1로 옮겨지는 원의 중심이 (3, -6)이고 반지름의 길이가 1이므로 (x-3)Û`+(y+6)Û`=1 ( -b+2 , a+1 ) jK 따라서 g(b)=-b+2, h(a)=a+1이고, p=2, q=1이므로 (라) g(q)+h(p)=g(1)+h(2)=1+3=4 정답 및 해설 117 [해] 12강_OK.indd 117 2017-09-21 오후 1:59:02 13 답 ② 이차함수 f(x)의 그래프는 직선 x=1에 대하여 대칭이고, 이차함수 16 답 75 그림과 같이 세 점 A(0, 5), B(6, 3), P(a, 0)이라 할 때, f(x)=axÛ`+bx+3의 축이 x=- 이므로 b 2a - b 2a =1 ∴ 2a+b=0 y ㉠ APÓ= aÛ`+25, BPÓ= (a-6)Û`+9이므로 "à "à aÛ`+25+ (a-6)Û`+9=APÓ+BPÓ "à 그림과 같이 점 B를 x축에 대하여 "à 또한, 이차함수 f(x)=axÛ`+bx+3의 최솟값이 2이므로 대칭이동한 점 B'에 대하여 APÓ+PBÓ의 최솟값은 a>0 y ㉡ f(1)=a+b+3=2 ∴ a+b=-1 y ㉢ AÕB'Ó의 길이와 같다. ∴ m= (0-6)Û`+(5+3)Û`=10 "à 두 점 A, B'을 지나는 직선의 방정식은 A{0, 5} ㉠, ㉢을 연립하여 풀면 a=1, b=-2이고 이것은 ㉡을 만족시킨다. ∴ f(3)=3Û`-2_3+3=6 14 답 5 조건 (가)의 x에 1-t를 대입하면 f(2-1+t)=2-f(1-t), 즉 f(1-t)+f(1+t)=2에서 함수 f(x)=ax+b의 그래프는 점 (1, 1)에 대칭이므로 점 (1, 1)을 지난다. ∴ f(1)=a+b=1 y ㉠ 조건 (나)에서 원 (x-3)Û`+(y-5)Û`=4의 넓이를 이등분하는 함수 f(x)의 그래프는 원의 중심 (3, 5)를 지나므로 f(3)=3a+b=5 y ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-1 ∴ aÛ`+bÛ`=5 15 답 ④ 함수 y= ;2!; xÛ`-2|x|+ 의 그래프는 함수 y= xÛ`-2x+ 의 ;2!; ;2#; ;2#; 그래프의 x¾0인 부분과 y축에 대하여 대칭이동한 y= xÛ`+2x+ 의 그래프의 x<0인 부분으로 그림과 같다. ;2!; ;2#; y= x@ +2x+ 1 2 3 2 x@ y= -2x+ 1 2 3 2 y= 5-(-3) 0-6 x+5 ∴ y=- x+5 ;3$; 이 직선은 점 P(a, 0)을 지나므로 0=- a+5 ∴ a= ;3$; ;;Á4°;; ∴ 2ma=75 B{6, 3} {(cid:61), 0} x P B'{6, -3} 일등급 점 B의 y좌표가 3이 아닌 -3인 경우 세 점을 A(0, 5), B'(6, -3), P(a, 0)으로 해석할 수도 있다. 이때, 선분 AB'과 x축의 교점이 P이므로 점 B'을 대칭이동하여 생각 하면 안 된다. 17 답 ③ 세 점 A, B, C를 좌표평면에 나타내면 그림과 같다. y B{3, 3} A{0, 1} O P Q x C{6, -1} y=x+k APÓ=AÕ'PÓ이므로 A-P-B-Q-C 순으로 연결하는 최단거리는 이때, 점 A를 x축에 대하여 대칭이동한 점 A'(0, -1)에 대하여 A'-B-C를 연결한 선분의 길이의 합과 같다. y 3 2 -3 -1 O x 1 3 ;2#; ;2#; Ú 직선 y=x+k가 점 { 0, ;2#;} 을 지날 때, k= Û 직선 y=x+k가 이차함수 y= xÛ`+2x+ 의 그래프에 접할 ;2!; 때, 즉 이차방정식 x+k= xÛ`+2x+ 이 중근을 가질 때, ;2!; ;2#; 이차방정식 xÛ`+2x+3-2k=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =1Û`-(3-2k)=2k-2=0 ∴ k=1 Ú, Û에 의하여 두 도형이 서로 다른 세 점에서 만나기 위한 k의 값은 1, 이므로 a+b= ;2#; ;2%; 118 일등급 수학•고등 수학 (상) B{3, 3} y A O A'{0, -1} P "à =5+5=10 "à Q x C{6, -1} ∴ AÕ'BÓ+BCÓ = 3Û`+(3+1)Û`+ (6-3)Û`+(-1-3)Û` 18 답 ② 다. (참) ㄱ. 원은 대칭이동을 해도 반지름의 길이가 변하지 않으므로 중심이 (3, 4)이고 반지름의 길이가 2인 원 Cª를 원점에 대하여 대칭 이동하면 중심이 (-3, -4)이고 반지름의 길이가 2인 원이 된 [해] 12강_OK.indd 118 2017-09-21 오후 1:59:03 ㄴ. 점 A는 중심이 (3, 4)이고 반지름의 길이가 1인 원 CÁ 위의 점이고 점 B'은 중심이 (-3, -4)이고 반지름의 길이가 2인 원 위의 점이다. 또한, 두 원의 중심 사이의 -3 B' 거리가 10이므로 선분 AB' P' 의 길이의 최솟값은 그림에 서 PÕP'Ó의 길이이다. ∴ PÕP'Ó=10-1-2=7 (참) Q' Q P C¡ C™ A B O 3 x y 4 -4 21 답 8 OAÓ // CDÓ, OAÓ=CDÓ이고, 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으므로 △AOBª△CDB ( ASA 합동) 따라서 두 점 A(-1, 5), C(p, q) 잇는 선분의 중점이 B(2, 4)이므로 -1+p 2 =2, 5+q 2 =4 p=5, q=3 ∴ p+q=8 [다른 풀이] y D A B C O E x ㄷ. 두 점 A(xÁ, yÁ), B'(-xª, -yª)에 대하여 삼각형 AOB를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행 AÕB'Ó= (xÁ+xª)Û`+(yÁ+yª)Û` 이고 그림에서 QÕQ'Ó의 길이가 이동한 삼각형 DCE의 꼭짓점의 좌표는 C(p, q), D(-1+p, 5+q), B(2+p, 4+q) 직선 OB의 방정식이 y=2x이고 점 D를 지나므로 5+q=2(-1+p) ∴ 2p-q=7 y ㉠ 또, 직선 AB의 방정식이 y=- x+ 이고 ;3!; ;;Á3¢;; 점 C를 지나므로 q=- p+ ;3!; ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 p=5, q=3 ∴ p+q=8 ;;Á3¢;; ∴ p+3q=14 y ㉡ III 12 도형의 이동 "à "à (xÁ+xª)Û`+(yÁ+yª)Û` 의 최댓값이다. (xÁ+xª)Û`+(yÁ+yª)Û`ÉQÕQ'Ó=10+1+2=13 "à (xÁ+xª)Û`+(yÁ+yª)Û`É13Û`=169이므로 (xÁ+xª)Û`+(yÁ+yª)Û`의 최댓값은 169이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 19 답 45 A(3, 0) (0, 3) (4, 2) (2, 4) (가) 1Ú (나) 1Ú (나) 1Ú (가) 1Ú (가) 1Ú (나) 1Ú (5, 4) (4, 5) B(6, 6) ∴ lÛ`=(6-3)Û`+(6-0)Û`=45 20 답 8 다음과 같이 모든 전구에 불을 켤 수 있다. 22 답 16 도형 CÁ의 방정식을 정리하면 f(x, y)=xÛ`+yÛ`+4x=0, 즉 (x+2)Û`+yÛ`=4에서 중심이 (-2, 0)이고 반지름의 길이가 2인 원이다. 따라서 도형 Cª는 도형 CÁ을 x축의 방향으로 2a만큼 평행이동한 원 이고, 도형 C£은 도형 CÁ을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 원이다. 이 세 원 CÁ, Cª, C£이 서로 외접하므로 다음 그림에서 세 원의 중심 을 연결한 삼각형이 한 변의 길이가 2a인 정삼각형임을 알 수 있다. y C£ b a O 2a 2 -2 x C™ C¡ " 따라서 a=2, b=2 3 이므로 aÛ`+bÛ`=16 23 답 ⑤ 직선은 평행이동을 하여도 기울기가 바뀌지 않으므로 k= ;2#; 즉, x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동하면 원래의 직선이 되므로 직선의 기울기와 같은 비율로 평행이동한 것 이다. ∴ n m = ;2#; 정답 및 해설 119 따라서 불이 켜지는 전구는 8개이다. [해] 12강_OK.indd 119 2017-09-21 오후 1:59:04 [다른 풀이] ;2#; 직선 y= x+k를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동하면 y= (x-m)+k+n= x- m+k+n ;2#; ;2#; ;2#; 이 직선이 직선 y=kx+ 과 일치하므로 ;2#; 26 답 ② 3xÛ`-yÛ`+12x-6y+11=0에서 xÛ`- yÛ`+4x-2y+ =0 ;;Á3Á;; ;3!; ∴ (x+2)Û`- (y+3)Û`=- ;3*; 이 곡선을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동 ;3!; k= , ;2#; ;2#; =- m+k+n ;2#; 0=- m+n, m=n ;2#; ;2#; ∴ n m = ;2#; 하면 xÛ`- yÛ`=- 이므로 a=- , b=- ;3!; ;3*; ;3!; ;3*; ∴ a+b=-3 27 답 ⑤ f(1-x)=f(1+x)에서 X= 1-x 라 하면 (가) f(X)=f(2-X) y ㉠ 24 답 ⑤ ㄱ. 도형 f(x+2, y)=0은 도형 f(x, y)=0을 x축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다. 그런데 곡선 y=f(x)가 직선 x=1에 대하여 대칭이라는 것은 곡선 y=f(x) 위의 임의의 점 (a, c)를 직선 x=1에 대하여 대칭이동한 점 (b, c)가 곡선 y=f(x) 위의 점임을 보이면 된다. 즉, ㄴ. 도형 f(y, x+2)=0은 도형 f(x, y)=0을 직선 y=x에 대하 여 대칭이동한 후 x축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다. ㄷ. 도형 f(-x, 2-y)=0은 도형 f(x, y)=0을 원점에 대하여 두 점 (a, c)와 (b, c)의 중점이 ( 1 , c)이므로 a+b 2 =1 ∴ b= 2-a (다) (나) 대칭이동한 후 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. ㉠에 X=b를 대입하면 ㄹ. 도형 f(2-y, -x)=0은 도형 f(x, y)=0을 직선 y=-x에 f(b)=f(2-b)=f(2-(2-a))=f(a)=c 대하여 대칭이동한 후 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. 에서 점 (b, c)도 곡선 y=f(x) 위의 점임을 알 수 있다. 따라서 그래프가 [그림 2]와 같은 도형은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ이다. 따라서 곡선 y=f(x)는 직선 x=1에 대하여 대칭이다. 25 답 ③ f(x, y)=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 f(y, x)=0 O 1 2 x O 1 2 x f(y, x)=0을 y축에 대하여 대칭이동하면 f(y, -x)=0 y 2 1 y 2 1 y 2 1 (cid:49)(cid:29) (cid:49)(cid:29) (cid:49)(cid:29) y 2 1 y 3 2 y 2 1 120 일등급 수학•고등 수학 (상) O 1 2 x -2 O-1 x ∴ k=3 f(y, -x)=0을 y축의 방향으로 1만큼 평행이동하면 f(y-1, -x)=0으로 이 그래프 ③과 같다. 즉, g(x)=1-x, h(a)=2-a, k=1이므로 g(-k)_h(-k) =g(-1)_h(-1)=2_3=6 28 답 ② 도형 f(x, y)=0을 점 (a, b)에 대하여 대칭이동한 도형은 f(2a-x, 2b-y)=0이다. 따라서 직선 x+2y-3=0을 점 (2, 3)에 대하여 대칭이동한 직선 은 (2_2-x)+2_(2_3-y)-3=0 ∴ x+2y-13=0 29 답 ② 직선 x-y+5=0을 점 (a, b)에 대하여 대칭이동하면 (2a-x)-(2b-y)+5=0 ∴ x-y-2a+2b-5=0 이 직선의 방정식이 x-y-11=0이므로 -2a+2b-5=-11 ∴ a-b=3 대칭점이 나타내는 도형 그림과 같이 평행한 두 직선은 두 직선까지 의 거리가 같은 한 점에 대하여 대칭이므로 점 (a, b)는 두 직선의 가운데를 통과하는 한 직선 위의 점이다. 따라서 점 (a, b)를 지나고 문제에서 주어진 두 직선과 평행한 직선의 방정식은 일등급 {a, b} -2 O-1 x -2 O-1 x (x-y+5)+(x-y-11) 2 =0, 즉 x-y-3=0이 된다. [해] 12강_OK.indd 120 2017-09-21 오후 1:59:06 30 답 ① 방정식 3|x+k|=(|x|-1)(|x|-3)의 해의 개수는 두 도형 |y|= (|x|-1)(|x|-3), y=x+k의 교점의 개수이다. ;3!; ;3!; 도형 |y|= (|x|-1)(|x|-3)의 그래프와 직선 y=x+k의 그래프가 서로 다른 네 점에서 만나는 경우는 그림과 같으므로 상수 k의 최댓값은 1이다. y 1 y=x+k -3 -1 O 1 -1 3 x |y|= {|x|-1}{|x|-3} 1 3 32 답 ② 점 (4, 1)과 대칭인 점의 좌표를 (a, b)라 하면 두 점 (a, b)와 (4, 1)을 연결한 직선은 2x-y+3=0에 수직이므로 b-1 a-4 =- 2b-2=-a+4 ;2!; ∴ a+2b=6 y ㉠ 위에 있으므로 2_ a+4 2 - b+1 2 +3=0 ∴ 2a-b=-13 y ㉡ 좌표는 (-4, 5)이다. [다른 풀이] 두 점 (a, b)와 (4, 1)을 잇는 선분의 중점이 직선 2x-y+3=0 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, b=5 따라서 점 (4, 1)을 직선 2x-y+3=0에 대하여 대칭이동한 점의 방정식 f(x)=g(x)의 해 y=f(x), y=g(x)의 그래프의 교점의 x좌표는 방정식 f(x)=g(x) 의 해와 같다. 한편, 문제에서 두 도형으로 나눌 때 |y|= (|x|-1)(|x|-3)과 y=x+k ;3!; 또는 y=(|x|-1)(|x|-3)과 y=3|x+k| 로 나누어도 같은 결과를 얻는다. 일등급 =2 5이고 2x-y+3=0에 수직인 기울기가 점 (4, 1)과 직선 2x-y+3=0 사이의 거리가 |2_4-1+3| 2Û`+1Û` ' "à 이므로 그림에서 양수 k에 대하여 - ;2!; kÛ`+(2k)Û`=(4 5)Û` ∴ k=4 ' 따라서 점 (4, 1)과 대칭인 점의 좌표는 k 2x-y+3=0 4´5 (4-8, 1+4), 즉 (-4, 5)이다. 2k {4, 1} III 12 도형의 이동 33 답 ① 점 (5, 3)과 대칭인 점의 좌표를 (a, b)라 하면 두 점 (a, b), (5, 3)을 지나는 직선은 x+y-3=0과 수직이므로 31 답 ⑤ 두 함수 f(x)=|x-1|-|x-3|과 g(x)=2|x-3|의 그래프를 b-3 a-5 =1 ∴ a-b=2 y ㉠ 각각 그려보면 그림과 같다. 두 점 (a, b), (5, 3)을 잇는 선분의 중점 { a+5 2 , b+3 2 } 이 직선 y=g{x} 1 2 3 4 5 2 x y 2 1 O y=f{x} -2 f(a-x)=-f(a+x)에서 함수 f(x)가 점 (a, 0)에 대하여 대칭이므로 a=2 g(b-x)=g(b+x)에서 함수 g(x)가 직선 x=b에 대하여 대칭이므로 b=3 또한, 둘러싸인 도형은 두 개의 삼각형으로 이루어지고 직선의 기울 기가 2 또는 -2임을 이용하면 넓이 S는 S= _2_ +1 = {;2!; } ;2#; ;2!; ∴ abS=2_3_ =9 ;2#; x+y-3=0 위에 있으므로 a+5 2 + b+3 2 -3=0 ∴ a+b=-2 y ㉡ 좌표는 (0, -2)이다. [다른 풀이] ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=-2 따라서 점 (5, 3)을 직선 x+y-3=0에 대하여 대칭이동한 점의 점 (5, 3)을 직선 y=-x+3에 대하여 대칭이동하면 (-3+3, -5+3), 즉 (0, -2)이다. 직선과 대칭인 두 점을 잇는 직선의 기울기 일등급 기울기가 -1인 직선에 대하여 대칭이동한 경우 대칭인 두 점의 기울 기가 1임을 알고 있으면 좀 더 빠르게 문제를 해결할 수 있다. 정답 및 해설 121 [해] 12강_OK.indd 121 2017-09-25 오전 11:38:31 34 답 16 원을 직선에 대하여 대칭이동하여도 반지름의 길이는 변하지 않으므 로 원 xÛ`+yÛ`-4x-8y+c=0의 반지름의 길이는 1이다. 즉, (x-2)Û`+(y-4)Û`=20-c이므로 20-c=1 ∴ c=19 또한, 두 원의 중심 (0, 0), (2, 4)가 직선 x+ay+b=0에 대하여 대칭이므로 0+2 4-0 2-0 =a, ∴ a+b+c=16 2 +a_ 0+4 2 +b=0 ∴ a=2, b=-5 35 답 ③ 개울과 숲이 만나는 점을 원점 O, 개울의 경계를 x축, 숲의 경계를 이때, 점 (-xª, -yª)는 점 (xª, yª)를 원점에 대하여 대칭이동한 점이므로 원 (x-4)Û`+(y-3)Û`=4를 원점에 대하여 대칭이동한 원 (x+4)Û`+(y+3)Û`=4 위의 점이다. 한편, 그림과 같이 두 원 위의 점을 연결한 직선의 기울기의 최대, 최 소는 공통접선의 기울기이다. 두 공통접선은 두 원의 중심 (-4, -3) 과 (2, 3)을 반지름의 길이의 비율인 2`:`1로 내분하는 점인 2_2+1_(-4) 2+1 { , 2_3+1_(-3) 2+1 } =(0, 1) 을 지나는 직선이다. 따라서 접선을 y=ax+1(a는 상수)이라 하면 점 (2, 3)과 직선 ax-y+1=0 사이의 거리가 반지름의 길이 1이므로 =1에서 (2a-2)Û`=aÛ`+1 ∴ 3aÛ`-8a+3=0 |2a-3+1| aÛ`+1 "à Mm=1 y=2x, 캠핑 장소를 점 P라 하자. 이때, 점 P의 좌표를 P(7, 4)라 이 이차방정식의 두 근이 M, m이므로 근과 계수의 관계에 의하여 하고 x축과 직선 y=2x에 대하여 대칭이동한 점을 각각 P', P"이 라 하자. 한편, 최단거리는 두 점 P', P"을 P"{a, b} y y=2x 잇는 선분 위의 두 점 A, B를 지나는 것이고, 이 거리는 PÕ'P"Ó의 길이와 같다. B 좌표평면 위의 원은 중심으로부터 접근하자. 일등급 P{7, 4} 두 원의 중심 (-4, -3)과 (2, 3)을 연결한 직선의 기울기가 1이므로 두 접선의 기울기의 곱은 1이라는 것을 알면 계산 과정을 줄일 수 있다. 점 P'은 P에 대하여 x축에 대하여 대칭 이므로 P'(7, -4), P"(a, b)라 하자. b-4 a-7 =- ∴ a=-1, b=8 ;2!; , b+4 2 =2_ a+7 2 ∴ P"(-1, 8) O A x P'{7, -4} 37 답 180 원 (x-2)Û`+(y-2)Û`=13Û`의 중심을 (2, 2)라 하면 점 (2, 2)를 15 13 x축의 방향으로 a만큼 평행이동한 O™ O¡ 따라서 PÕ'P"Ó= {7-(-1)}Û`+(-4-8)Û`=4 13 이므로 후 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 "à 움직이는 최단거리는 10PÕ'P"Ó=40 '¶ 13`(m) '¶ 도형을 좌표평면에 간단히 나타내기 일등급 점은 (2, 2+a)이므로 이동한 원의 중심을 OÁ(2, 2+a)라 하고, 이때의 반지름의 길이가 13이다. 실제 거리 70`m, 40`m를 점 P의 x좌표, y좌표로 나타내도 좋지만 계 그림과 같이 이동한 원이 중심이 Oª(-2, 2)이고 반지름의 길이가 산을 간편하게 하는 것이 실수를 줄이는 방법이므로 점 P의 좌표를 실 15인 원과 서로 다른 두 점 A, B에서 만나므로 선분 AB의 중점을 제 거리의 의 값으로 나타내었다. 이와 같이 수를 단순화시키는 것 M이라 하면 AÕMÓ=BÕMÓ=12에 의하여 ;1Á0; 이 실수를 줄이고 풀이 시간을 단축할 수 있는 방법이다. OÕÁOªÓ=OÕÁMÓ+OÕªMÓ=5+9=14 OÕÁOªÓ Û`=aÛ`+4Û`=14Û` ∴ aÛ`=180 36 답 1 yÁ+yª xÁ+xª = yÁ-(-yª) xÁ-(-xª) (-xª, -yª)를 연결한 직선의 기울기이다. 이므로 구하는 식의 값은 두 점 (xÁ, yÁ), 나는 조건을 찾는다. ⓒ aÛ`의 값을 구한다. | 채점기준 | ⓐ 중심이 (2, 2)인 원을 이동시킨다. ⓑ 이동한 원과 원 (x+2)Û`+(y-2)Û`=15Û`이 서로 다른 두 점 A, B에서 만 ⓐ ⓑ ⓒ [30%] [50%] [20%] 12 M A B {x-2}@+{y-3}@=1 {x¡, y¡} 도형의 위치 관계를 대략적으로 접근하기 일등급 문제를 풀기 위해 일반적인 접 근법의 그림을 그려서 풀어도 된다. 준다. 즉, 두 점에서 만나는 두 원의 위치 관계를 대략적으로 그려 A12 15 13 B O™{-2, 2} M O¡{2, 2+a} {-x™, -y™} {x+4}@+{y+3}@=4 122 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 12강_OK.indd 122 2017-09-25 오전 11:39:12 III 12 도형의 이동 38 답 2 직선 y=ax+b를 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 41 답 23 이 직선이 원래의 직선 y=ax+b와 일치할 조건은 x=ay+b ∴ y= x- 1 a b a 1 a b a =a, - =b이므로 aÛ`=1, (a+1)b=0 따라서 a=1, b=0 또는 a=-1, b는 모든 실수이므로 aÛ`+bÛ`=1Û`+(-1)Û`=2 | 채점기준 | ⓐ 직선 y=ax+b를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한다. ⓑ 원래의 직선과 대칭이동한 직선이 일치할 조건을 찾는다. ⓒ aÛ`+bÛ`의 값을 구한다. ⓐ ⓑ ⓒ [20%] [50%] [30%] 39 답 65 2aÛ`-2a+1+ "à = "à 2aÛ`-14a+29 "à aÛ`+(a-1)Û`+ (a-2)Û`+(a-5)Û` "à 에서 세 점 A(0, 1), B(2, 5), P(a, a)라 할 때, 주어진 식은 APÓ+PBÓ의 값과 같다. ⓐ 점 P는 직선 y=x 위의 점이므로 점 A를 직선 y=x에 대하여 대칭 이동한 점 A'(1, 0)에 대하여 APÓ+PBÓ의 최솟값은 선분 A'B의 길이와 같다. ∴ m= (2-1)Û`+(5-0)Û`= 26 "à '¶ 이때, 점 P의 좌표는 두 점 A', B를 지나는 직선과 직선 y=x가 만 ⓑ 나는 점이므로 직선 A'B의 방정식은 y= 5-0 2-1 (x-1) ∴ y=5x-5 이 직선과 직선 y=x가 만나는 점은 , {;4%; ;4%;} 이므로 | 채점기준 | a= ;4%; ∴ 2mÛ`a=2_26_ =65 ;4%; ⓐ 주어진 식이 의미하는 것을 파악한다. ⓑ 최솟값 m을 구한다. ⓒ a의 값을 구하여 2mÛ`a의 값을 계산한다. ⓒ [30%] [30%] [40%] 40 답 ① 직선 x-2y=9를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선 y-2x=9 가 원 (x-3)Û`+(y+5)Û`=k에 접하므로 |-2_3+(-5)-9| (-2)Û`+1Û` = k ' "à ∴ k=80 주어진 규칙에 따라 점 Pª, P£, P¢, y를 구하면 PÁ(3, 2) Pª(2, 3) P£(2, -3) P¢(-2, -3) Ú P°(-3, -2) Ú P¤(-3, 2) Ú Ú 자연수 n에 대하여 점 Pn의 좌표와 점 Pn+6의 좌표가 같다. 따라서 P»(2, -3) P¥(2, 3) y Ú Ú Ú Ú Ú P¦(3, 2) 50=6_8+2로 점 P°¼의 좌표는 점 Pª의 좌표와 같으므로 점 P°¼ 의 좌표는 (2, 3)이다. ∴ 10x°¼+y°¼=23 42 답 ① 점 C(-8, 1)을 x축에 대하여 대칭이동한 점은 C'(-8, -1)이고, 점 D(4, 7)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점은 D'(7, 4)이다. A C C' CEÓ=CÕ'EÓ, FDÓ=FÕD'Ó이므로 E O CEÓ+EFÓ+FDÓ Ó=CÕ'EÓ+EFÓ+FÕD'Ó¾CÕ'D'Ó 그림과 같이 CEÓ+EFÓ+FDÓ의 값이 최소일 때는 y D F D' B x 두 점 E, F가 두 점 C', D'을 지나는 직선 위에 있을 때이다. 두 점 C'(-8, -1), D'(7, 4)를 지나는 직선의 방정식은 y-4= (x-7) ∴ y= x+ ;3!; ;3%; ;3!; 따라서 CEÓ+EFÓ+FDÓ의 값이 최소가 되도록 하는 점 E의 x좌표 는 -5이다. 43 답 ② 좌표평면에서 점 A의 위치를 원점으로 잡고 B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1)이라 하자. 두 점 G, H의 좌표를 각각 G(1, a), H(0, b)라 하면 사다리꼴 y D H EHGF는 사다리꼴 AHGH와 합동이므로 이 넓이를 S라 하면 A{O} S= (a+b) y ㉠ ;2!; E1 C F G 1 B x 점 E는 점 A(0, 0)과 직선 GH에 대하여 대칭이므로 점 E의 위치 를 E(t, 1) (0ÉtÉ1)이라 하면 직선 GH와 직선 AE는 서로 수직 이다. 직선 GH의 기울기는 -t이고 두 점 A, E의 중점 { t 2 , 1 2 } 을 지나는 직선이므로 직선의 방정식은 y=-t x- { t 2 } + 1 2 이 직선이 두 점 H(0, b)와 G(1, a)를 지나므로 b= tÛ` 2 + 1 2 , a= tÛ` 2 -t+ 1 2 y ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 S= (tÛ`-t+1) (0ÉtÉ1) ;2!; 따라서 t= 일 때 넓이, S의 최솟값은 이다. ;2!; ;8#; 정답 및 해설 123 [해] 12강_OK.indd 123 2017-09-21 오후 1:59:09 따라서 최대가 될 때는 두 점 y (a, b), (c, d)가 모두 점 A일 때이고 A C{8, 6} 44 답 ② 원점 O와 점 R가 선분 BP에 대하여 대칭이므로 선분 BP는 선분 OR를 수직이등분한다. 즉, 삼각형 BOR가 이등변삼각형이므로 BRÓ=BOÓ=2 즉, 점 R는 점 B를 중심으로 하고 반지름의 길이가 2인 원의 일부이다. y 2 B S Q O R A 2 x P 또한, 점 P가 점 (0, 0)에서 점 (2, 0)까지 움직일 때, 점 R는 점 (0, 0)에서 점 (2, 2)까지 움직이므로 중심각의 크기가 90ù인 부채 꼴의 호가 점 R가 움직이며 나타내는 도형이다. 최소가 될 때는 두 점 (a, b), (c, d)가 모두 점 B일 때이다. 원의 중심을 C라 하면 OCÓ=10, CBÓ=5, OBÓ⊥BCÓ 이므로 ∠COB=30ù이고 ∠AOB=60ù이다. 따라서 삼각형 OAB는 한 변의 길이가 5 3 인 ' 정삼각형이므로 둘레의 길이 l은 l=15 3 ∴ lÛ`=675 ' 마찬가지로 점 S가 움직이며 나타내는 도형은 점 A를 중심으로 하 고 반지름의 길이가 2이며 중심각의 크기가 90ù인 부채꼴의 호이다. 47 답 241 따라서 두 점 R, S가 움직이며 나타내는 도형으로 둘러싸인 도형의 y {x-12}@+{y-6}@=16 O B x [그림 2] 둘레의 길이는 2p_2_ _2=2p이다. ;4!; 45 답 12 g(x)=f(x-3)+2에서 함수 y=g(x)의 그래프는 함수 y=f(x) 의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이 동한 것이다. 또한, g(3-x)+g(3+x)=4에서 함수 y=g(x)의 그래프는 점 (3, 2)에 대하여 대칭인 함수이므로 그래프는 그림과 같다. y 3 2 1 O y=g{x} {3, 2} 2 3 4 x x=6 싸인 부분의 넓이는 12이다. 46 답 675 b+d a+c = b-(-d) a-(-c) 에서 b+d a+c 는 [그림 1]과 같이 두 점 (a, b), (-c, -d)를 연결한 직선의 기울기이다. {-c, -d} 이때, 점 (-c, -d)는 점 (c, d)를 원점에 대하여 대칭이동한 점이다. {x+8}@+{y+6}@=25 [그림 1] y {x-8}@+{y-6}@=25 {a, b} {c, d} x@+{y-3}@=4 O¡ O A P O™ H O£ B B' x 두 원 xÛ`+(y-3)Û`=4, (x-12)Û`+(y-6)Û`=16의 중심을 각각 OÁ, Oª라 하고 점 Oª와 점 B를 x축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 O£, B'이라 하자. BPÓ=BÕ'PÓ이므로 APÓ+BPÓ의 값이 최소일 때는 APÓ+BÕ'PÓ의 값이 최소일 때이고 선분 OÁO£이 두 원 및 x축과 만나 는 점이 A, B', P일 때이다. 점 O£에서 x축에 내린 수선의 발 H에 선분 OÁO£을 OÕÁOÓ`:`OÕªHÓ=1`:`2로 내분하는 점이므로 OPÓ=4, PHÓ=8 ∴ OÕÁPÓ=5, OÕªPÓ=10, APÓ=3, BPÓ=6 즉, OÕÁPÓ`:`OÕªPÓ=APÓ`:`BPÓ=1`:`2이므로 삼각형 APB와 삼각형 OÁPOª는 SAS 닮음이고 길이의 비는 APÓ`:`OÕÁPÓ=3`:`5이므로 넓 이의 비는 9`:`25이다. 한편, 삼각형 OÁPOª의 넓이는 = ;2!; (OÕÁOÓ+OÕªHÓ)_OHÓ - (OÕÁOÓ_OPÓ+OÕªHÓ_PHÓ) ;2!; ;2!; = _(3+6)_12- _(3_4+6_8) ;2!; 따라서 함수 y=g(x)의 그래프와 x축, y축 및 직선 x=6으로 둘러 대하여 각 선분의 길이는 OÕÁOÓ=3, OÕªHÓ=6, OHÓ=12이고 점 P는 O x △OÁPOª=OÁOHOª-(△OÁOP+△OªPH) 즉, 점 (-c, -d)는 원 (x-8)Û`+(y-6)Û`=25를 원점에 대하여 =54-30=24 대칭이동한 원 (x+8)Û`+(y+6)Û`=25 위에 있다. 이므로 삼각형 ABP의 넓이는 [그림 2]와 같이 기울기인 의 최대, 최소는 원점에서 b+d a+c △ABP= △OÁPOª= _24= ;2»5; ;;ª2Á5¤;; ;2»5; 원 (x-8)Û`+(y-6)Û`=25에 그은 두 접선의 기울기이다. 따라서 p=25, q=216이므로 p+q=241 124 일등급 수학•고등 수학 (상) [해] 12강_OK.indd 124 2017-09-21 오후 1:59:11
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