일등급 고등 수학 (하) (15년 개정) 답지 (2018)

T H E F I R S T C L A S S M A T H E M A T I C S 일등급 수학·고등 수학 (하) [해설편] Ⅳ 집합과 명제 01 집합 02 명제 03 명제의 증명과 절대부등식 5 14 24 Ⅴ 함수 04 함수 05 유리식과 유리함수 06 무리식과 무리함수 Ⅵ 경우의 수 07 경우의 수 08 순열과 조합 34 47 58 69 81 일등급_고등(하)빠답_초.indd 1 2017-12-13 오전 12:12:47  빠른 정답 찾기 Ⅳ 집합과 명제 01 집합 01 7 05 7 02 ④ 03 32 04 ① 06 ③ 07 15 08 ② 09 ③ 10 3 11 5 12 9 13 ④ 14 ⑤ 15 ③ 16 ② 17 ③ 18 ⑤ 19 ② 20 ④ 21 ⑤ 22 24 23 4 24 40 25 14 26 115 27 ④ 28 ⑤ 29 ② 30 ③ 31 ③ 32 ② 33 ③ 34 ③ 35 ③ 36 ③ 37 64 38 ① 39 ④ 40 ② 41 ④ 42 2 43 ⑤ 44 27 45 10 46 ④ 47 ② 48 13 49 7 50 ③ 51 12 52 31 53 15 54 3 55 8 56 8 57 24 58 16 59 336 60 33 61 46 62 ② 63 ④ 64 7 65 14 66 70 02 명제 01 ⑤ 02 ③ 03 ⑤ 04 4 05 ④ 06 ⑤ 07 ② 08 ② 09 ② 10 ④ 11 ① 12 ③ 13 ④ 14 ⑤ 15 ⑤ 16 165 17 2 18 ③ 19 ② 20 ③ 2 일등급 수학•고등 수학 (하) 21 ③ 22 ③ 23 ③ 24 ③ 25 ② 26 ③ 27 ① 28 ④ 29 ① 30 ⑤ 31 ④ 32 ④ 33 ⑤ 34 ⑤ 35 2 36 ④ 37 ② 38 8 39 ⑤ 40 5 41 6 42 ② 43 ④ 44 ③ 45 ④ 46 ⑤ 47 ① 48 ② 49 ② 50 A 51 ④ 52 700원 53 1 54 16 55 1 56 ④ 57 ② 58 12 59 ② 60 ④ 61 ⑤ 62 ② 63 34 64 10 65 ② 66 3 03 명제의 증명과 절대부등식 01 ⑤ 02 ④ 03 ④ 04 15 05 ④ 06 ⑤ 07 ② 08 풀이 참조 09 ④ 10 풀이 참조 11 ③ 12 풀이 참조 13 ① 14 22 15 25 16 ③ 17 16 18 20 19 ⑤ 20 18 21 3 22 ③ 23 ④ 24 ④ 25 ③ 26 ⑤ 27 12 28 6 29 ② 30 8 31 ④ 32 ② 33 ① 34 80 35 9 36 ⑤ 37 6 41 7 38 51 39 ㄱ, ㄷ 40 4 42 5 43 6 44 ③ 45 ⑤ 46 ① 47 10 48 16 49 6 50 ③ 51 ⑤ 일등급_고등(하)빠답_초.indd 2 2017-12-11 오후 3:36:05 함수Ⅴ 04 함수 01 ③ 05 ③ 02 1 06 0 13 4 17 1 14 ③ 18 ⑤ 09 12 10 25 11 ② 12 ③ 03 7 07 6 15 2 19 3 04 10 08 42 16 ④ 20 8 21 12 22 ④ 23 ③ 24 ④ 25 ④ 26 72 27 16 28 48 29 ③ 30 ⑤ 31 9 32 ② 33 ① 34 ① 35 ① 36 ① 37 2 41 1 45 ② 49 ③ 38 ③ 39 ⑤ 40 1 42 ① 43 ③ 44 22 46 6 50 2 47 9 51 5 55 4 48 ② 52 50 56 8 53 ④ 54 ① 57 ③ 58 ② 59 22 60 ② 61 10 62 8 63 1 64 42 65 ④ 66 ③ 67 ② 68 ② 69 16 70 ③ 71 ⑤ 72 ⑤ 73 15 74 ⑤ 75 288 05 유리식과 유리함수 01 ① 02 8 03 ④ 05 2 06 ④ 07 ⑤ 09 ② 10 1 11 ⑤ 04 3 08 2 12 2 13 ③ 14 ⑤ 15 ④ 16 12 17 ④ 18 5 19 5 20 16 21 ④ 22 10 23 ③ 24 10 25 ③ 26 ④ 27 7 28 21 29 ① 33 ③ 37 ④ 30 4 34 9 38 4 31 ⑤ 32 4 35 12 36 ⑤ 39 1 40 11 41 12 42 ⑤ 43 ① 44 ③ 45 ④ 46 ② 47 20 48 6 49 1 50 5 51 ⑤ 52 16 06 무리식과 무리함수 01 ② 02 10 03 17 04 16 05 8 06 5 07 ④ 08 ⑤ 09 ② 10 ⑤ 11 ③ 12 6 13 ⑤ 14 ③ 15 ② 16 ① 17 4 18 40 21 ⑤ 22 ① 25 16 26 9 19 6 23 5 27 2 20 ④ 24 15 28 ④ 29 ② 30 ④ 31 ④ 32 ③ 33 15 34 2 35 ④ 36 755 37 ⑤ 38 ① 39 6 40 40 41 27 42 ③ 43 ④ 44 ② 45 16 46 6 47 10 49 ④ 50 120 51 85 48 2 52 3 53 4 빠른 정답 찾기 3 일등급_고등(하)빠답_초.indd 3 2017-12-13 오전 12:14:07  빠른 정답 찾기 Ⅵ 경우의 수 07 경우의 수 08 순열과 조합 01 27 02 24 03 6 04 67 01 ② 02 3 03 144 04 ④ 05 ④ 06 10 07 42 08 ④ 05 4 06 ③ 07 ⑤ 08 60 09 6 10 ④ 11 40 12 ② 09 ② 10 8 11 720 12 96 13 48 14 ⑤ 15 ⑤ 16 ④ 13 36 14 ④ 15 ② 16 12 17 ⑤ 18 12 19 ① 20 18 17 100 18 185 19 157 20 ⑤ 21 17 22 70 23 202 24 ② 21 288 22 ④ 23 48 24 54 25 42 26 ④ 27 ② 28 ⑤ 25 26 26 ③ 27 105 28 210 29 308 30 ② 31 ③ 32 ① 29 370 30 17 31 60 32 120 33 100 34 45 35 ② 36 ③ 33 48 34 19 35 171 36 70 37 30 38 ④ 39 46 40 ③ 37 343 38 315 39 ① 40 ⑤ 41 121 42 300 43 40 44 18 41 ④ 42 ⑤ 43 81 44 864 45 ② 46 20 47 ⑤ 48 64 45 7 46 88 47 ③ 48 ③ 49 ② 50 126 51 89 52 ③ 49 30 50 ② 51 ④ 52 ③ 53 ② 54 30 53 72 54 ⑤ 55 ③ 56 41 4 일등급 수학•고등 수학 (하) 일등급_고등(하)빠답_초.indd 4 2017-12-13 오전 12:14:55 Ⅳ 01 집합 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ∴ n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)=11+7-3=15 Ⅳ 집합과 명제 01 집합 문제편 8P 01 답 7 집합 A를 원소나열법으로 나타내면 A={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, y}이므로 B={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9} ∴ n(B)=7 02 답 ④ ㄱ. 【반례】 A={x|x는 유리수}, B={x|x는 무리수}이면 A'B=R이지만 두 집합 A, B는 모두 무한집합이다. (거짓) ㄴ. A,B이면 A'B=B이므로 B=R이다. (참) ㄷ. A-BC=A;(BC)C=A;B=á이고 A'B=R이므로 A=BC이다. (참) 03 답 32 U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A={2, 3, 5, 7} A,B이므로 B는 2, 3, 5, 7을 반드시 원소로 가지는 U의 부분집 합이다. 따라서 집합 B의 개수는 29-4=25=32 04 답 ① BC={2, 4, 6, 8, 10}, AC={4, 5, 7, 8, 9, 10}이므로 BC-AC={2, 6} 따라서 집합 BC-AC의 모든 원소의 합은 8이다. 05 답 7 A;BC=A-B={6, 7}이므로 39 합의 최댓값은 3+4=7, 최솟값은 1+2=3이다. ∴ -3Éa<-1 또는 60이므로 aa이므로 x>a-4에서 a-4É0 ∴ aÉ4 따라서 자연수 a는 1, 2, 3, 4의 4개이다. [다른 풀이] x는 양의 실수이므로 x>0 양변에 4를 더하면 x+4>4 따라서 aÉ4이므로 자연수 a는 1, 2, 3, 4의 4개이다. 따라서 부등식의 해는 1Éx<2 Û x<1일 때, x-1<0이므로 2|x-1|<4-x에서 -2(x-1)<4-x ∴ x>-2 따라서 부등식의 해는 -21이지만 a<1이고 b<1이다. (거짓) ‘~p이고 ~q’인 것이 있으면 된다. 조건 ‘~p이고 ~q’의 진리집합은 PC;QC이므로 반례가 속하는 집합은 PC;QC=(P'Q)C이다. 따라서 참인 명제는 ㄴ이다. 10 답 ④ p`:`abc=0 HjK a=0 또는 b=0 또는 c=0 06 답 ⑤ ㄱ. ‘a=b=c’의 부정은 ‘a+b이거나 b+c이거나 c+a’이므로 q : |a-b|+|b-c|+|c-a|=0 a=b=c r : (a-b)(b-c)(c-a)=0 a=b 또는 b=c 또는 c=a a+b, b+c, c+a가 부정과 같은 것은 아니다. 따라서 반드시 참인 명제는 q` HjK HjK `r이다. Ú 14 일등급 수학•고등 수학 (하) [해] 02강_육.indd 14 2017-12-11 오후 3:37:54 11 답 ① p : [x-a]=n에서 nÉx-a0에서 Q={x|x<-5 또는 x>3}이므로 QC={x|-5ÉxÉ3} P Ç Q k -5 3 k+10 x 즉, QC,P이려면 그림에서 kÉ-5이고 30이고 y>0 x+y>0이고 xy>0 ( 의 증명) (양수)+(양수)=(양수), Ú (양수)×(양수)=(양수) ( 의 증명) xy>0이면 x, y는 같은 부호이고, x+y>0이므로 x>0이고 y>0이다. ㄴ. 00이다. Û  ㄷ. p : a=b q : a3=b3 Ú a3=b3이다. ( 의 증명) a3=b3이면 Û  16 일등급 수학•고등 수학 (하) 키는 175 cm 미만이다’도 참이므로 ㄹ. 몸무게가 60 kg인 학생의 키가 175 cm 미만인지 확인해야 한다. 따라서 하림이의 결론이 참인지 알아보기 위해 반드시 확인해야 하 는 것은 ㄱ, ㄹ이다. 24 답 ③ x2-3|x|É0에서 |x|(|x|-3)É0 0É|x|É3이므로 -3ÉxÉ3 즉, {x|-3ÉxÉ3},{x|xÉa}에서 a¾3 또, {x|bÉxÉ0},{x|-3ÉxÉ3}에서 -3ÉbÉ0 ∴ |a-b|¾3 따라서 |a-b|의 최솟값은 3이다. 25 답 ② ㄱ. x+y=xy 1 x 1 y + =1 ∴ 필요조건 ( 의 【반례】) x=0, y=0일 때, x+y=xy이지만 =1은 성립하지 않는다. Ú 1 x + 1 y Û  1 x 1 y x+y=xy ㄴ. (A'B);(AC;BC)=á A=B ∴ 필요조건 ( 의 【반례】) A={1}, B=á일 때 (A'B);(AC;BC)=á이지만 A+B이다. ( 의 증명) A=B일 때, Ú Û  (A'B);(AC;BC) =(A'A);(A'A)C =A;AC=á A,(B'C) ( 의 증명) a0, b<0 또는 a<0, b>0이므로 ㄷ. A,B 또는 A,C ( 의 증명) a=b이면 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=0에서 따라서 A,B 또는 A,C이면 A,(B'C)이다. a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=0이므로 a=b이다. 따라서 p가 q이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것은 따라서 명제 p` `q는 참이지만 그 역은 거짓인 것은 ㄱ, ㄴ이다. ㄱ, ㄴ이다. Ú [해] 02강_육.indd 16 2017-12-11 오후 3:37:56 ㄴ. AC;BC=(A'B)C이므로 임의의 집합 A, B에 대하여 ㄱ. 대우 ‘ab=0이면 |a|+|b|É|a+b|’가 참임을 보이자. (A'B);(AC;BC)=(A'B);(A'B)C=á이 항상 ab=0이면 a=0 또는 b=0이므로 즉, (A'B);(AC;BC)=á이면 항상 A=B인 것은 아니다.` |a|+|b|=|b|, |a+b|=|b| Ⅳ02 명제 [다른 풀이] 성립한다. |xy|=xy ∴ xy¾0 [다른 풀이] 26 답 ③ ||x|-|y||=|x-y|의 양변을 제곱하면 (|x|-|y|)2=(x-y)2 |x|2+|y|2-2|x||y|=x2+y2-2xy ||x|-|y||=|x-y| y ㉠ Ú ㉠이 충분조건일 때 ||x|-|y||=|x-y|에서 |x|-|y|=Ñ(x-y) 1 |x|-|y|=x-y이면 x¾0, y¾0 또는 x=y 2 |x|-|y|=-x+y이면 xÉ0, yÉ0 또는 x=y 1, 2에 의하여 xy¾0 Û ㉠이 필요조건일 때 xy¾0에서 1 x¾0, y¾0이면 ||x|-|y||=|x-y| 2 xÉ0, yÉ0이면 ||x|-|y||=|-x+y|=|x-y| 3 x=y이면 (좌변)=0=(우변)이므로 주어진 식이 성립한다. 1~3에 의하여 ||x|-|y||=|x-y| ∴ ||x|-|y||=|x-y| xy¾0 JHjK 27 답 ① ㄱ. |a|+|b|>|a+b|의 양변을 제곱하면 ( |a|+|b|)2>|a+b|2 |a|2+2|ab|+|b|2>a2+2ab+b2 ∴ |ab|>ab [다른 풀이] Ú a=0일 때 ∴ |a|+|b|É|a+b| Û b=0일 때도 Ú과 마찬가지로 하면 |a|+|b|É|a+b| 따라서 대우가 참이므로 원래 명제도 참이다. (참) 28 답 ④ 조건 q : A;B=A;C에 조건 r를 적용하면 A-B=A-(A;B)=A-(A;C)=A-C ∴ q r jjK ①, ②의 【반례】 A={1, 2, 3}, B={2}, C={3} ③, ⑤의 【반례】 A={1, 2}, B={2, 3}, C={2, 4} 29 답 ① 세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R라 하면 문제의 조건에서 (`PC'QC),R,P 이때, U를 전체집합이라 하면 PC,P에서 P=U이므로 조건 p는 항상 참이다. 한편, Q, R는 전체집합이 아닐 수 있으므로 조건 q, r는 항상 참이 라 할 수 없다. 30 답 ⑤ ㄱ. a0, b-x>0이므로 b-a=(b-x)+(x-a)>0 ∴ a2, ab>1이지만 b<1이다. (거짓) ;2!; 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. 로 나타내면 그림과 같다. 즉, Q,PC, P,QC이므로 q ~p, p ~q이다. jjK jjK 따라서 옳은 것은 ④이다. 정답 및 해설 17 [해] 02강_육.indd 17 2017-12-11 오후 3:37:56  q가 성립하지 않는 예는 ~p이면서 q가 아닌 경우, 즉 어떤 명제를 부정할 때는 그 명제의 전체집합은 부정하지 않는다. 집합 PC;QC에 속하는 원소이다. 즉, 주어진 명제의 전체집합은 그대로 두고 결론을 부정한다. 한편, 주어진 벤다이어그램에서 d<(PC;QC)이므로 d는 명제 ‘x¾2인 실수 x에 대하여 모두 x-1>0이다.’ 37 답 ② `r, q` `p에서 각 명제의 대우 역시 참이므로 jjK jjK jjK `~p, ~r` `p, ~p` `~q이다. jjK `r에서 Q,PC,R jjK `~p에서 Q,P이고 Q,PC이므로 Q=á 부정이다. 명제의 부정 32 답 ④ 명제 ~p 2Ú ~p q의 반례이다. 2Ú 33 답 ⑤ `~q, ~p` p` jjK jjK jjK jjK q` q` q` `~p, ~p` p, q` jjK ㄱ. Q=á이므로 P;Q=á (참) ㄴ. PC,R이므로 R-P=R;PC=PC (참) ㄷ. QC=U이므로 QC;R=U;R=R (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 34 답 ⑤ P-Q=QC에서 P;QC=QC이므로 QC,P이다. 또, P;R=á에서 P,RC, R,PC이다. ㄱ. QC,P에서 PC,Q이므로 ~p` `q (참) jjK ㄴ. QC,P, P,RC에서 QC,RC이므로 ~q` `~r (참) jjK ㄷ. R,PC에서 r` `~p (참) jjK 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 전체집합 결론 부정: ‘x¾2인 실수 x에 대하여 어떤 것은 x-1É0이다.’ 전체집합 결론의 부정 즉, ‘x¾2인 어떤 실수 x에 대하여 x-1É0이다.’가 주어진 명제의 일등급 다음과 같이 그 명제의 전체집합까지 부정을 하는 경우가 많다. 부정 : ‘x<2인 어떤 실수 x에 대하여 x-1É0이다.’ 이 경우 x=1이면 성립하므로 명제의 부정이 참이 된다. 주어진 명제가 참이고, 참인 명제를 부정하면 거짓이어야 하는데 참인 명제의 부정 역시 참이 되는 것은 부정을 잘못한 것이다. 38 답 8 주어진 명제가 참이 되려면 조건 |x|<1의 진리집합이 조건 |x-2|b a2>b2 ( 의 【반례】) a=-1, b=-2 ( 의 【반례】) a=-2, b=1 Ú Û  Ú ( 의 【반례】) ABÓ=BCÓ, ABÓ+ACÓ 따라서 조건 p의 부정 ~p는 ‘집합 A의 원소 중 3보다 큰 원소가 2 ㄴ. 삼각형 ABC가 이등변삼각형이다. ABÓ=ACÓ [해] 02강_육.indd 18 2017-12-11 오후 3:37:57 ㄷ. 정수 n에 대하여 n2이 짝수이다. n이 짝수이다. ( 의 증명) 대우 ‘n이 홀수이면 n2도 홀수이다.’가 참이므로 원래 명제도 참이다. ( 의 증명) n=2k(k는 정수)라 하면 n2=4k2=2_(2k2)이므로 n이 짝수이면 n2도 짝수이다. 또한, x=- 를 ax2+bx+c=0에 대입하면 b 2a 2 b 2a } a - { { ∴ b2-4ac=0 +b - b 2a } 즉, 필요충분조건이다. +c=0에서 -bÛ`+4ac 4a =0 ㄹ. x, y가 실수일 때, x+y>0 x>-1`또는 y>1 ㄴ. a>0이고 D=b2-4ac=0이므로 ax2+bx+c>0의 해는 ( 의 증명) 대우 ‘xÉ-1이고 yÉ1이면 x+yÉ0이다.’가 x+- 인 모든 실수이다. Ⅳ02 명제 참이므로 원래 명제도 참이다. ( 의 【반례】) x=-5, y=2 Û  ㅁ. xy+6 x+2`또는`y+3` 원래 명제도 참이다. ( 의 【반례】) x=1, y=6 ( 의 증명) 대우 ‘x=2이고 y=3이면 xy=6이다.’가 참이므로 b 2a b 2a 또한, a>0일 때, ax2+bx+c>0의 해가 모든 실수이면 D=b2-4ac<0이다. ㄷ. a>0이고 D=b2-4ac=0이므로 ax2+bx+cÉ0의 해는 x=- 의 단 하나이다. 또한, a>0일 때, ax2+bx+cÉ0이 단 하나의 해를 가지려면 Ú Û  Ú Ú Û  ㅂ. x+y가 유리수이다. x,`y 중 적어도 하나는 유리수이다. D=b2-4ac=0이어야 한다. ( ( Ú 의 【반례】) x=1+ ' 의 【반례】) x=1+ 2, y=1- 2 ' 2, y=2 Û  ' 따라서 참인 명제는 ㄷ, ㄹ, ㅁ의 3개이므로 p=3이고 역이 참인 명제는 ㄴ, ㄷ의 2개이므로 q=2 ∴ p+q=3+2=5 41 답 6 명제의 역 ‘xy>3이면 x2+y2>k이다.’가 참이 될 조건을 찾아보자. x, y가 실수이므로 (x-y)2¾0에서 x2+y2¾2xy 이때, xy>3이면 x2+y2¾2xy에서 x2+y2>6 즉, x2+y2>6¾k이면 명제의 역이 참이 된다. 따라서 kÉ6에서 k의 최댓값은 6이다.` 42 답 ② A={x|(x-a)(x+a)É0}={x|-aÉxÉa} B ={x||x-1|Éb}={x|-bÉx-1Éb} ={x|-b+1ÉxÉb+1} A;B=á이기 위해서는 Ú 그림과 같이 B A B b+1<-a이어야 하는데 -b+1 b+1 -a 0 a x a, b는 양수이므로 b+1<-a일 수 없다. A Û 그림과 같이 a<-b+1에서 a+b<1 -a 0 a -b+1 b+1 x 이때, a, b는 양수이므로 a+b>0이고 Û에 의하여 A;B=á이기 위한 필요충분조건은 0x+y>4 x>2이고 y>2이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다. ( 의 【반례】) x=4, y= 이면 ;2#; xy>x+y>4이지만 x>2이고 y<2이다. ( 의 증명) x>2이고 y>2에서 x-1>1이고 y-1>1 Ú Û  (x-1)+(y-1)>2이고 (x-1)(y-1)>1 x+y>4이고 xy-x-y+1>1 x+y>4이고 xy>x+y ∴ xy>x+y>4 20 일등급 수학•고등 수학 (하) ㄷ. xy+1>x+y>2 x>1이고 y>1이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이다. (증명) x>1이고 y>1에서 x-1>0이고 y-1>0 (x-1)+(y-1)>0이고 (x-1)(y-1)>0 x+y>2이고 xy-x-y+1>0 x+y>2이고 xy+1>x+y ∴ xy+1>x+y>2 따라서 p가 q이기 위한 충분조건이지만 필요조건은 아닌 것은 ㄱ이 다. 48 답 ② a, b가 실수일 때 |a|+|b|=0 a=0, b=0 HjK ㄱ. a2+b2=0 HjK ㄴ. a2-ab+b2= a=0, b=0 a- 2 b 2 } b2 + ;4#; { { = a- 2 + b 2 } { 3 ' 2 2 b } 이므로 a- b 2 3 =0, ' 2 b=0 ∴ a=0, b=0 ㄷ. a2-2ab+b2=(a-b)2=0이므로 a=b 따라서 필요충분조건인 것은 ㄱ, ㄴ이다. 49 답 ② 주어진 조건을 s라 하면 s : (a-1)(b-1)(c-1)>0에서 a-1, b-1, c-1 모두 0보다 크거나 한 개만 0보다 크고 두 개    는 0보다 작다. 즉, a, b, c 모두 1보다 크거나 한 개만 1보다 크고 두 개는 1보 다 작다. 이때, [보기]의 ㄱ, ㄴ, ㄷ의 조건을 순서대로 p, q, r라 하면 ㄱ. p s에서 p는 s이기 위한 필요조건이다. 의 【반례】) a>1, b>1, c<1 s에서 q는 s이기 위한 필요조건이다. 의 【반례】) a=3, b=2, c=-1 s에서 r는 s이기 위한 충분조건이다. ( 의 증명) a, b, c의 최솟값이 1보다 크다. ( Ú ㄴ. q ( Ú ㄷ. r Ú a, b, c 모두 1보다 크다. a-1, b-1, c-1 모두 0보다 크다. (a-1)(b-1)(c-1)>0 ( 의 【반례】) a=0, b=0, c=2 Û  따라서 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것은 ㄱ, ㄴ이다. [해] 02강_육.indd 20 2017-12-11 오후 3:37:59 Ⅳ02 명제 50 답 A A의 말의 앞 진술이 참인 경우와 뒷 진술이 참인 경우로 나누어 보자. Ú A의 말의 앞 진술이 참인 경우 한편, 조건 (다)에서 R,S이므로 P,R,S ∴ P,S` A의 말에서 A가 3위이면 D가 2위가 아니고, D의 말에서 D는 3위가 아니므로(∵ A가 3위) E는 5위이다. 또한, E의 말에서 E 즉, 조건 s는 항상 참이다. 는 4위가 아니고(∵ E는 5위) A가 1위인데 이는 A의 말과 모순 [다른 풀이 ②] 또, 조건 (라)에서 PC,S이므로 P,S에 의하여 S=U 이다. 즉, A의 말의 앞 진술은 거짓이다. Û A의 말의 뒷 진술이 참인 경우 조건 (나)에서 a4}, Q={x|-3ÉxÉ3}, 한편, 명제 ‘p 또는 ~q이면 r이다.’가 참이기 위해서는 R={x|xÉ3} (P'QC),R y ㉠이어야 한다. 이때, QC={3, 6, 9}이므로 P'QC={2, 3, 5, 6, 7, 9}이고 ㉠에 의하여 {2, 3, 5, 6, 7, 9},R,U 따라서 집합 R의 개수는 210-6=24=16이다. ⓐ 두 조건 p, q의 진리집합을 구한다. ⓑ 집합 R의 조건을 찾는다. ⓒ 집합 R의 개수를 구한다. | 채점기준 | ㄱ. Q,R이므로 명제 q` `r는 참이다. 2Ú R Q -3 3 ⓑ ⓒ [30%] [40%] [ 30%] ㄴ. QC={x|x<-3 또는 x>3}이므로 P,QC이다. 즉, 명제 p` `~q는 참이다. 2Ú P Ç Q P Ç Q -4 -3 3 4 ㄷ. PC={x|-4ÉxÉ4}이므로 RøPC이다. 즉, 명제 r` `~p는 거짓이다. 2Ú 따라서 참인 명제는 ㄱ, ㄴ이다. 55 답 1 조건 x>a를 p, 조건 x>b를 q, 조건 -23을 r 라 하고 세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R라 하자. Ú p는 r이기 위한 필요조건이므로 R,P에서 {x|-23},{x|x>a} 58 답 12 명제 ‘집합 P의 어떤 원소 x에 대하여 x는 3의 배수이다.’가 참이 되 도록 하려면 집합 P는 적어도 하나의 3의 배수를 원소로 가져야 한 이때, Ü은 Ú과 Û에 동시에 포함되므로 구하는 집합 P의 개수는 P R R a -2 1 3 x ∴ aÉ-2 Û q는 r이기 위한 충분조건이므로 Q,R에서 {x|x>b},{x|-23} R R Q -2 1 3 b x 다. Ú {3},P,{1, 2, 3, 6}인 경우 ⓐ 집합 P의 개수는 2Ü`=8 Û {6},P,{1, 2, 3, 6}인 경우 집합 P의 개수는 2Ü`=8 Ü {3, 6},P,{1, 2, 3, 6}인 경우 집합 P의 개수는 2Û`=4 따라서 a의 최댓값은 -2, b의 최솟값은 3이므로 그 합은 1이다. 8+8-4=12이다. ∴ b¾3 ⓐ a의 값의 범위를 구한다. ⓑ b의 값의 범위를 구한다. | 채점기준 | ⓑ ⓒ [40%] [40%] [20%] 59 답 ② ㄱ. a=0이면 ⓒ a의 최댓값과 b의 최솟값의 합을 구한다. p : 0_(x-1)(x-2)<0이 되어 이 부등식을 만족시키는 실 56 답 ④ 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q는 P={x|(x+4)(x-5)É0}={x|-4ÉxÉ5} Q={x||x|>a}={x|x>a 또는 x<-a} 이때, ~p `q가 참이기 위해서는 PC,Q이고 2Ú PC={x|x<-4 또는 x>5}이므로 -4É-a이고 aÉ5 Q Ç P Q Ç P -4 -a a 5 수 x는 존재하지 않으므로 P=á이다. (참) ㄴ. a>0, b=0이면 조건 p의 진리집합은 P={x|10}이므로 P,Q이다. (참) ㄷ. a<0, b=3이면 조건 p의 진리집합은 P={x|x<1 또는 x>2}이므로 조건 ~p의 진리집합은 PC={x|1ÉxÉ2}이고 조건 q의 진리집합은 Q={x|x>3}이다. 즉, PCøQ이므로 명제 ‘~p이면 q이다.’는 거짓이다. (거짓) 따라서 aÉ4이므로 자연수 a의 개수는 1, 2, 3, 4의 4이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 22 일등급 수학•고등 수학 (하) [해] 02강_육.indd 22 2017-12-11 오후 3:38:01 Ⅳ02 명제 60 답 ④ 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P ={x||x-1|É3} ={x|-3Éx-1É3} ={x|-2ÉxÉ4} y ㉠ 또, a가 자연수이므로 Q ={x||x|Éa} ={-aÉxÉa} y ㉡ 한편, p가 q이기 위한 충분조건, 즉 p` `q이므로 jjK P,Q이어야 한다. ㉠, ㉡에 의하여 -aÉ-2이고 a¾4이므로 a¾2이고 a¾4 따라서 a¾4이므로 자연수 a의 최솟값은 4이다. 61 답 ⑤ p는 q이기 위한 충분조건이므로 P,Q에서 {3},{a2-1, b} y ㉠ r는 p이기 위한 필요조건이므로 P,R에서 {3},{a, ab} y ㉡ ㉠에서 a2-1=3 또는 b=3 Ú a2-1=3일 때, aÛ`=4 ∴ a=-2 또는 a=2 따라서 ㉡에 의하여 ab=3이어야 하므로 a=-2, b=- 또는 a=2, b= ;2#; ;2#; a=3, b=3 또는 a=1, b=3 Ú, Û에 의하여 a+b의 최솟값은 (-2)+ {-;2#;} =- ;2&; 62 답 ② ㄱ. 【반례】 a=1일 때 x=1이면 |1-1|<1이다. (거짓) ㄴ. 0a가 성립하려면 부등식 |x-1|>a를 만족시키는 x의 집합이 실수 전체의 집합 이어야 한다. 이 부등식을 풀면 x-1>a 또는 x-1<-a에서 x>1+a 또는 `x<1-a이므로 {x|x>1+a}'{x|x<1-a}=R이어야 한다. 즉, 1+a<1-a에서 a<0이어야 주어진 명제가 참이 된다. (거짓) ㄴ. 조건 |x-1|a의 진리집합이 {x|x<1-a 또는 x>1+a}이므로 주어진 명제가 참이 되려 면 {x|01+a}+á이어야 즉, 0<1-a 또는 1+a<1에서 a<1이어야 주어진 명제가 참 한다. 이 된다. (거짓) 63 답 34 두 조건 ‘x는 10의 약수’, ‘x는 6의 약수’의 진리집합을 각각 P, Q라 하자. 되어야 한다. 야 한다. 주어진 명제가 참이 되려면 집합 P의 원소는 모두 집합 Q의 원소가 이때, 집합 P는 10의 약수의 집합 {1, 2, 5, 10}의 부분집합이고, 집합 Q는 6의 약수의 집합 {1, 2, 3, 6}의 부분집합이다. 따라서 P,Q가 되려면 10의 약수 중 5와 10은 P의 원소가 아니어 한편, n은 10 이하의 자연수이고 1, 2, 3 역시 제외해야 하므로 n은 가 되어 P,Q가 성립한다. 4, 6, 7, 8, 9이다. 따라서 구하는 합은 4+6+7+8+9=34이다. 64 답 10 두 조건 (가), (나)에 의하여 관찰결과를 표로 나타내면 다음과 같다. 비가 옴 비가 오지 않음 합계 오전 오후 a-5`` a-7` 5 7 a a 한편, 조건 (다)에서 오후에 비가 온 날은 오전에는 비가 오지 않았으 므로 오전과 오후에 동시에 비가 온 날은 없다. 따라서 조건 (라)에 의하여 (a-5)+(a-7)=8` 2a-12=8, 2a=20 ∴ a=10` 정답 및 해설 23 Û b=3일 때, ㉡에서 a=3 또는 ab=3이어야 하므로 즉, U={1, 2, 3, n}에서 n이 5와 10을 제외한 수이면 P={1, 2} [해] 02강_육.indd 23 2017-12-13 오전 12:21:35  65 답 ② 실수의 집합을 R라 하자. ㄱ. ( 의 증명) a=a+bi, b=a-bi`(a, b는 실수, i= -1)라 '¶ Ú 하면 Û  a+b=(a+bi)+(a-bi)=2a0, b>0에서 5ab>0, 5a b >0이므로 의 【반례】) a=2i, b=3i이면 a, b의 실수부분은 0으로 같고, ( Û  ab=-60이므로 Ú에 의하여 a+0이다. 따라서 실수 +0이므로 성질 Ú 에 의하여 (가) >0 또는 <0이다. 1 a 1 a <0인 경우에는 성질 Û 와 가정에 의하여 (나) a_ - { =-1>0 { 1 a } ∵ a>0, - >0 이다. 1 a } 그런데 -1>0이라면 Û에 의하여 1 a 1 a 09 답 ④ 주어진 명제의 대우를 이용하여 증명하자. a, b를 모두 홀수 `라 하면 (가) ab =(2k+1)(2l+1)=4kl+2k+2l+1 =2( 2kl+k+l (나) )+1 그런데 2kl+k+l은 정수이므로 ab는 홀수이다. 따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 명제 ‘ab가 짝수이면 a 또는 b는 짝수이다.’도 참이다. Ⅳ03 명제의 증명과 절대부등식 10 답 풀이 참조 주어진 명제의 대우 ‘두 자연수 a, b에 대하여 ab가 홀수이면 aÛ`+bÛ`은 짝수이다.’가 참임을 보이자. ab가 홀수이면 a, b 둘 다 홀수이므로 a=2m-1, b=2n-1 (m, n은 자연수) 로 나타낼 수 있다. aÛ`+bÛ` =(2m-1)2+(2n-1)2 =2(2m2+2n2-2m-2n+1) 이때, 2m2+2n2-2m-2n+1은 자연수이므로 aÛ`+bÛ`은 짝수이다. 따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 명제 ‘두 자연수 a, b에 대하 여 a2+b2이 홀수이면 ab는 짝수이다.’도 참이다. 3이 무리수가 아니라고 하면 3은 유리수 ' (가) 이므로 3= (a, b는 서로소인 정수이고 b+0)로 나타낼 수 있다. 11 답 ③ ' ' a b 양변을 제곱하면 2 a b } 3)2= 에서 3b2=a2 y ㉠ ( ' 이때, a2은 3의 배수이고, 3은 소수 { (나) 이므로 a는 3의 배수이다. 따라서 a=3k (k는 정수)로 놓고 ㉠에 대입하면 3b2=(3k)2에서 b2=3k2 이때, b2은 3의 배수이므로 b는 3의 배수이다. (다) 그런데 a, b가 모두 3의 배수라는 것은 a, b가 서로소 라는 가정에 (-1)_(-1)=1>0 (∵ -1>0)이 되어 성질 Ú 에 모순이다. (다) 따라서 3은 유리수가 아니므로 무리수이다. 모순이다. ' 따라서 >0이다. 1 a 08 답 풀이 참조 a, b가 실수이므로 성질 Ú에 의하여 aÛ`¾0, bÛ`¾0 aÛ`¾0의 양변에 bÛ`을 더하면 aÛ`+bÛ`¾bÛ`¾0 이때, 가정에서 aÛ`+bÛ`=0이므로 0¾bÛ`¾0 따라서 성질 Û에 의하여 bÛ`=0 ∴ b=0 12 답 풀이 참조 주어진 명제의 결론을 부정하여 a2>bc, ac>b2일 때, a=b라 하면 a2>bc에서 a2>ac ac>b2에서 ac>a2 이 되어 모순이다. aÛ`+bÛ`=0에 b=0을 대입하면 aÛ`=0 ∴ a=0 따라서 세 실수 a, b, c에 대하여 a2>bc, ac>b2이면 a+b이다. 정답 및 해설 25 [해] 03강_육.indd 25 2017-12-11 오후 3:38:33 13 답 ① ㄱ. a2+b2¾2 " a2b2=2ab>ab (참) ㄴ. a+4b=12¾2 4ab=4 ab ∴ abÉ9 '¶ '¶ 여기서 등호가 성립할 때, 즉 a=4b=6일 때 최댓값을 가지게 된다. 그런데 b는 자연수이므로 b+ 이다. ;4^; 따라서 등호가 성립할 수 없으므로 ab의 최댓값은 9가 아니다. (거짓) ㄷ. aÛ`+ =aÛ`+1+ 9 aÛ`+1 9 aÛ`+1 -1 ¾2 (aÛ`+1)_ ¾¨ 9 aÛ`+1 -1=6-1=5 등호는 aÛ`+1= =3, 즉 a=- 2 또는 a= 2일 때 ' ' 9 aÛ`+1 성립한다. 그런데 a는 자연수이므로 a+- 2, a+ 2이다. ' ' 즉, aÛ`+ 의 최솟값은 5가 아니다. (거짓) 9 aÛ`+1 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. 14 답 22 a+b+ a+b 2 3 a+b 2 = 이므로 a+b 2 3 ={ } a+b+ a+b 2 3 { 3 `} 3 a+b 2 a+b 2 2 } { ¾ ab (나) ¾ { ܾ¨ab_ a+b 2  } =ab_ a+b 2 a, b가 양수이므로 양변을 로 나누면 양변이 모두 양수이므로 a+b 2 ¾ ab이다. '¶ 따라서 f(a, b)= , g(a, b)=ab이므로 f(4, 8)+g(2, 8)= +2_8=22 a+b 2 4+8 2 15 답 25 4`:`a=b`:`9에서 ab=36이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서 a+b¾2 ab=12 (단, 등호는 a=b=6일 때 성립) '¶ 이때, 직사각형 ABCD의 넓이는 4+a+b+9=a+b+13이므로 a+b+13¾12+13=25 따라서 직사각형 ABCD의 넓이의 최솟값은 25이다. 26 일등급 수학•고등 수학 (하) (단, 등호는 x=y일 때 성립) 2 1 x } '§ +{ 2 1 y } '§ ¾(1+1)2=4 ] (단, 등호는 x=y일 때 성립) 16 답 ③ ㄱ. 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여 1 xÛ` + 1 yÛ` } { (1+1)¾ 1 x + 1 y } { 2 =16 ∴ ¾8 (참) 1 xÛ` + 1 yÛ` ㄴ. 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여 4(x+y)=(x+y) 1 x + 1 y } { y)2} x)2+( ={( 'Œ 'Œ [{ ∴ x+y¾1 (참) ㄷ. 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여 ¾1 (∵ ㄴ) ∴ x2+y2¾ (거짓) ;2!; 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 17 답 16 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여 (1+1)(x2+y2)¾(x+y)2 (단, 등호는 x=y일 때 성립) (x+y) + 9 x { 1 y } y)2} ' ={( x)2+( ' ¾(3+1)2=16 2 3 x } + { 2 1 y } ] ' [{ ' 등호는 x2=9y2, 즉 x=3y일 때 성립하고 이때의 최솟값은 16이다. [다른 풀이] 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 (x+y) + =10+ + ¾10+2 _ =16 9 x { 1 y } 9y x x y { ¾¨ 9y x 9y x x y x y 단, 등호는 = 일 때 성립 } 18 답 20 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합을 l이라 하면 l=4(a+b+c) 한편, 대각선의 길이가 5이므로 a2+b2+c2=52 y ㉠ 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여 (12+12+12)(a2+b2+c2)¾(a+b+c)2 (단, 등호는 a=b=c일 때 성립) 3_25¾(a+b+c)2 (∵ ㉠) ∴ a+b+cÉ5 3 ' 길이의 합의 최댓값은 20 ∴ k=20 ' 3이다. ' 따라서 l=4(a+b+c)É20 3이므로 직육면체의 모든 모서리의 [해] 03강_육.indd 26 2017-12-11 오후 3:38:33 (가)두 실수 x, y에 대하여 xÛ`¾0, yÛ`¾0이므로 xÛ`+yÛ`¾0 (나) y ㉠ 한편, 가정에서 xÛ`+yÛ`É0 y ㉡이므로 ㉠, ㉡에 의하여 0ÉxÛ`+yÛ`É0, 즉 xÛ`+yÛ`=0 xÛ`+yÛ`=0이면 x=0, y=0이므로 x+y=0이다. (다) 이다. Ⅳ03 명제의 증명과 절대부등식 (단, 등호는 a=b=0일 때 성립) 따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 명제 ‘두 실수 x, y에 대하여 x+y>0이면 xÛ`+yÛ`>0이다.’가 참이다. 그러므로 위의 증명 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은 차례로 (단, 등호는 a=b=c일 때 성립) ㄴ, ㄱ, ㄷ이다. 23 답 ④ 문제에서 증명된 명제는 19 답 ⑤ ㄱ. a(a-b)-b(a-b)=(a-b)2¾0 ∴ a(a-b)¾b(a-b) (참) ㄴ. a2+b2-ab= a- { 2 b 2 } + 3 4 b2¾0 ∴ a2+b2¾ab (참) ㄷ. a2+b2+c2-(ab+bc+ca) = {(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}¾0 ;2!; ∴ a2+b2+c2¾ab+bc+ca (참) 따라서 항상 성립하는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 20 답 18 ab+bc+ca=12이므로 에서 (a+b+c)2¾36 ∴ a+b+c¾6 (∵ a+b+c>0) 따라서 a+b+c의 최솟값은 6이므로 p=6 에서 a2+b2+c2¾12 따라서 a2+b2+c2의 최솟값은 12이므로 q=12 ∴ p+q=6+12=18 (a+b+c)2¾3(ab+bc+ca) (단, 등호는 a=b=c일 때 성립) 21 답 3 명제 ‘모든 실수 x에 대하여 x2+ax+4>0이다.’가 참이므로 이차 방정식 x2+ax+4=0의 판별식을 DÁ이라 하면 DÁ=a2-16<0에서 (a+4)(a-4)<0 ∴ -40이다.’는 참 이다. 이차방정식 x2-ax+a=0의 판별식을 Dª라 하면 Dª=aÛ`-4a<0에서 a(a-4)<0 ∴ 00, - >0에서 2 m 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 △OAB=- - m 2 2 m + 2¾2 - ¾¨{ m 2 }_{ - 2 m }+ 2=4 즉, x와 y는 모두 소수 p를 약수로 갖는다. (단, 등호는 m=-2일 때 성립) 이것은 x, y가 서로소라는 사실에 모순이므로 y와 z는 서로소이다. 따라서 f(p)=p, g(p)=p2이므로 f(3)+g(3)=3+32=12 따라서 삼각형 OAB의 넓이의 최솟값은 4이다. 28 답 6 b+c c+a a + b + a+b c b a + c a + c b + a b + a c + b c = b a + a b }+{ c b + b c }+{ a c + c a } ={ ¾2 ¾¨ b a _ +2 _ +2 c b ¾¨ b c a b a c ¾¨ _ c a =2+2+2=6 [다른 풀이]   =6 ß ' 1=6 29 답 ② A(a, 0), B(0, b)라 하면 직선 AB의 방정식은 x a + =1 y b 28 일등급 수학•고등 수학 (하) (단, 등호는 a=b=c일 때 성립) b+c c+a a+b a + b + c = b a + c a + c b + a b + a c + b c ¾6 ß ¾¨ b a _ _ _ _ _ a b a c b c c a c b (단, 등호는 a=b=c일 때 성립) 31 답 ④ x=a, 4-x=b라 하면 a>0, b>0이고 30 답 8 A0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 ak+ 1 ak ¾2 ak_ ¾¨ 1 ak = 2 (나) A+B= a1+ { 1 a1 } + a2+ { 1 a2 } +y+ an+ { 1 an } ¾2+2+2+y+2=2n n개 [ 이것은 A+B<2n에 모순이므로 A, B 중 적어도 하나는 n보다 작지 않다. 따라서 f(n)=2n, p=2이므로 f(2p)=f(4)=8 a+b=4이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 ab=4+2 abÉ4+4=8 a+b=4¾2 ab (단, 등호는 a=b=2일 때 성립) 한편, ( ' 이므로 a+ ' a+ ' ' 따라서 f(x)= '¶ b)2 =a+b+2 '¶ 2 (∵ bÉ 8=2 ' x+ ' 4-x= ' x=2일 때 f(x)의 최댓값은 2 'Ä '¶ b>0) ' bÉ2 ' a+ ' a+ ' 2이다. ' ' 2이므로 [해] 03강_육.indd 28 2017-12-11 오후 3:38:35 32 답 ② 포장 상자의 밑면의 가로의 길이와 세로의 길 이를 각각 a, b라 하면 밑면의 넓이가 54이므로 ab=54 y ㉠ 4 b a 이때, 포장 상자를 묶은 네 개의 끈의 길이의 합을 l이라 하면 l=4a+6b+24 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 [다른 풀이 ③] ㉠에서 q=3- p이므로 3 4 pq=p 3- { p =- } 3 4 3 4 4 p 3 q 따라서 pq는 p=2일 때 최댓값 3을 가지므로 ㉡에 의하여 + 의 최솟값은 4이다. 3 4 12 3 = pÛ`+3p=- (p-2)Û`+3 Ⅳ03 명제의 증명과 절대부등식 l=4a+6b+24¾2 4a_6b+24=2 24_54+24=96 'Ä 'Ä 이때, 등호는 4a=6b일 때 성립하므로 ㉠과 연립하면 34 답 80 a=9, b=6 따라서 상자의 모든 모서리의 길이의 합은 4_(9+6+4)=76 A 6 y 5 4 y C 8 x 5 3 x B 10 그림과 같이 직사각형 S1의 두 변의 길이를 x, y라 하면 직사각형 S1 p 3 D A B E q 4 의 넓이는 xy이고, 닮음비에 의하여 BCÓ= x+ y=10 5 3 5 4 C ∴ 4x+3y=24`` 33 답 ① △ABC∽△ADE이므로 ABÓ : BCÓ=ADÓ : DEÓ`` 3 : 4=(3-q) : p`` 따라서 3p+4q=12 y ㉠이므로 4 p + = 3 q 4q+3p pq = 12 pq y ㉡ ㉡에 의하여 pq가 최대일 때, + 이 최소가 되므로 4 p 3 q 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 3p+4q=12¾2 3p_4q (단, 등호는 3p=4q일 때 성립) 'Ä 6¾ 12pq, 36¾12pq ∴ pqÉ3 'Ä 따라서 pq의 최댓값은 3이므로 + 의 최솟값은 =4이다. 4 p 3 q 12 3 [다른 풀이 ①] 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 4 p + 3 q = 1 12 (3p+4q) (∵ ㉠) 3 q } + 4 p 16q p } ¾ { + = ;1Á2;{ 24+ 9p q 이때, 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 24=4x+3y¾2 4x×3y (단, 등호는 4x=3y일 때 성립) 'Ä 3xyÉ6, 3xyÉ36 '¶ ∴ xyÉ12 따라서 4x=3y=12, 즉 x=3, y=4일 때 직사각형 S1의 최대 넓 이는 12이고 그때의 둘레의 길이 l1은 l1=2_(3+4)=14이다. A 6 a 8 a B 4 3 a b C 3 4 a 한편, 그림과 같이 직사각형 Sª의 두 변의 길이를 a, b라 하면 직사 각형 Sª의 넓이는 ab이고, 닮음비에 의하여 24+2 ;1Á2;{ _ 16q p } 9p q 16q p ¾¨ = 9p q 단, 등호는 { 일 때 성립 } BCÓ= a+b+ a=10 ;3$; ;4#; ∴ 25a+12b=120 (24+2_12)=4 이때, 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 따라서 + 의 최솟값은 4이다. 120=25a+12b¾2 25a×12b`(단, 등호는 25a=12b일 때 성립) 'Ä = ;1Á2; 4 p 3 q [다른 풀이 ②] 3abÉ6, 3abÉ36 '¶ ∴ abÉ12 따라서 25a=12b=60, 즉 a= , b=5일 때 직사각형 S2의 최대 ;;Á5ª;; 넓이는 12이고 그때의 둘레의 길이 l2는 l2=2_ +5 이다. {;;Á5ª;; }=;;¦5¢;; ∴ 100(l2-l1)=100_ {;;¦5¢;; -14 =80 } △ABE+△BCE=△ABC에서 + =6 3p 2 4q 2 ∴ 3p+4q=12 y ㉢ 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여 (3p+4q) 4 p { + 3 q } ¾( 12+ 12)2=48 '¶ '¶ 12 { 4 p 3 q } + ¾48 (∵ ㉢) ∴ + ¾4 4 p 3 q (단, 등호는 3p=4q일 때 성립) 정답 및 해설 29 [해] 03강_육.indd 29 2017-12-13 오전 10:25:37 35 답 9 R D S A C Q 3 B , P 6 3n m+n 3m m+n APÓ=CRÓ= , ASÓ=CQÓ= BPÓ=DRÓ= , BQÓ=DSÓ= 에서 6m m+n 6n m+n △APS= APÓ_ASÓ ;2!;_ = 6m m+n _ 3n m+n = 9mn (m+n)Û` ;2!;_ 나머지 세 삼각형 BQP, CRQ, DSR의 넓이도 모두 9mn (m+n)Û` 이므로 네 삼각형의 넓이의 합은 4_ 9mn (m+n)Û` = 36mn (m+n)Û` 이다. 따라서 평행사변형 PQRS의 넓이는 6_3- 36mn (m+n)Û` =18 1- [ 2mn (m+n)Û` ] 이고 평행사변형 PQRS의 넓이가 최소가 되려면 의 값이 2mn (m+n)Û` 최대가 되면 된다. 이때, 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 '¶ ¾ m+n 2 2mn (m+n)Û` mn에서 2mn (m+n)Û` 1 2 É 이므로 의 최댓값은 이다. 1 2 ∴ 18 1- [ 2mn (m+n)Û` ] ¾18 1- =9 { ;2!;} 따라서 평행사변형 PQRS의 넓이의 최솟값은 9이다. a 2 a 2 1+ > 1+a (참) 'Ä ㄴ. 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여 (12+12)(a2+b2)¾(a+b)2에서 2(a2+b2)¾(a+b)2 (a+b)Û` 4 ¾ aÛ`+bÛ` 2 aÛ`+bÛ` 2 ∴ a+b 2 2 } ¾ { (참) 30 일등급 수학•고등 수학 (하) ㄷ. 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여 (12+12){( 2(a+b)¾( '§ a )2+( '§ b )2, '§ b )2}¾( '§ a+b 2 a+ '§ a+ b )2에서 b ' a+ 2 2 } ¾ { '§ ' ∴ a+b 2 ¾¨ ¾ '§ b '§ a+ 2 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ㄱ. 1+ >0, 1+a >0이므로 -( 1+a )2= >0 a2 4 ∴ 1+ > 1+a (참) [다른 풀이] a 2 1+ { 2 a 2 } a 2 aÛ`+bÛ` 2 ㄴ. 'Ä 'Ä 'Ä     aÛ`-2ab+bÛ` 4 = a-b 2 2 } = { ¾0 ∴ aÛ`+bÛ` 2 a+b 2 2 } ¾ { (참) a+b 2 } 2 = aÛ`+bÛ` 2 - { - aÛ`+2ab+bÛ` 4 37 답 6 Ú 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여 {( 1)2+( ' 2)2+( ' 3)2}{x2+( ' 2y)2+( ' ' 3z)2} ¾(x+2y+3z)2 단, 등호는 x2 1 (1+2+3)(x2+2y2+3z2)¾(x+2y+3z)2 2y2 2 3z2 3 = = { , 즉 x2=y2=z2일 때 성립 } 6(x2+2y2+3z2)¾1 ∴ x2+2y2+3z2¾ ;6!; 1 x x = 2 y 2y = 3 z 3z , 즉 {단, 등호는 1 x2 = 1 y2 = 1 z2 일 때 성립} (x+2y+3z) + + ¾(1+2+3)2 1 x 2 y 3 z } ∴ + + ¾36 { 3 z 2 y 3 z 1 x 2 y 1 x Ú, Û에 의하여 m1m2=6이다. 따라서 + + 의 최솟값 m2는 m2=36 36 답 ⑤ ㄱ. 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 1+ = 1+(1+a) 2 ¾ _2 1_(1+a)= 1+a ;2!; 'Ä 'Ä 따라서 x2+2y2+3z2의 최솟값 m1은 m1= ;6!; Û 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여 {( x)2+( '¶ 2y)2+( '¶ '§ 3z)2} 2 + 1 x  } {¾ 2 2 y  } + {¾ 2 3 z  } ] [{¾ 이때, a>0에서 등호가 성립하지 않으므로 ¾(1+2+3)2 [해] 03강_육.indd 30 2017-12-11 오후 3:38:37 = + ¾ 1Û` a 2Û` b (1+2)Û` a+b 이므로 38 답 51 부등식 ㉠에 의하여 1 a 4 + b (가) 9 c + 9 a+b 또한, 부등식 ㉠에 의하여 + + ¾ 1 a 1 a 4 b 4 b 9 c 9 c 9 a+b + = 9 c 3Û` a+b + ¾ 3Û` c (3+3)Û` a+b+c 이므로 (나) + + ¾ 9 a+b + ¾ 9 c 36 a+b+c = 6 (다) (∵ a+b+c=6) 따라서 구하는 최솟값은 6이다. 즉, (가), (나), (다)에 알맞은 수를 모두 더한 값은 9+36+6=51 일등급 부등식 pÛ` x + qÛ` y ¾ (p+q)Û` x+y 의 증명 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여 (x+y) pÛ` x + qÛ` y } { ¾(p+q)2 x, y가 모두 양수이므로 양변을 x+y로 나누면 pÛ` x + qÛ` y ¾ (p+q)Û` x+y 39 답 ㄱ, ㄷ ㄱ. (a+b+c)2-3(ab+bc+ca) =a2+b2+c2-ab-bc-ca = {(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}¾0 (참) ;2!; ㄴ. 【반례】 a=-1, b=-3이면 (좌변)=-2<- =(우변) (거짓) ;2#; ㄷ. Ú |a|¾|b|일 때 |a|-|b|¾0, |a-b|¾0이므로 (|a|-|b|)2-|a-b|2 =a2-2|ab|+b2-(a2-2ab+b2) =2(ab-|ab|)É0 ∴ |a|-|b|É|a-b| Û |a|<|b|일 때 (좌변)<0, (우변)>0이므로 |a|-|b|<|a-b| 40 답 4 양의 실수 a, b, c에 대하여 (a+b)2-4ab=(a-b)2¾0이므로 4abÉ(a+b)2이고, 같은 방법으로 4bcÉ(b+c)2, 4caÉ(c+a)2이므로 Ⅳ03 명제의 증명과 절대부등식 = 2 (ab+bc+ca) y ㉠ (단, 등호는 a=b=c일 때 성립) 4abc 1 1 a+b + b+c + 1 c+a } 4ca c+a b 4bc b+c a+ c+ { 4ab a+b (a+b)Û` a+b = É c+ (b+c)Û` b+c a+ (c+a)Û` c+a b =(a+b)c+(b+c)a+(c+a)b (가) 한편, a2+b2+c2-ab-bc-ca¾0에서 (a+b+c)2-3(ab+bc+ca)¾0 (a+b+c)2 3 (나) ㉠, ㉡으로부터 ab+bc+caÉ y ㉡ (단, 등호는 a=b=c일 때 성립) 4abc 1 1 { a+b + b+c + 1 c+a } É ;3@; 따라서 ㉢의 양변을 4abc로 나누면 (a+b+c)2 y ㉢ (다) 1 1 a+b + b+c + 1 c+a É (a+b+c)2 6abc 이다. 따라서 p=2, q=3, r= 이므로 pqr=2_3_ =4이다. ;3@; ;3@; 41 답 7 주어진 명제의 결론을 부정하면 a+ b+ c>3 y ㉠ ' ' 양변을 제곱하면 a+b+c+2( ' ab+ bc+ ca)>9 '¶ '¶ '¶ 위 식에 a+b+c=3을 대입하여 정리하면 ab+ bc+ ca> 3 '¶ '¶ 한편, 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 '¶ (가) y ㉡ a+b 2 ¾ ab, '¶ b+c 2 ¾ bc, '¶ c+a 2 ¾ ca이므로 '¶ 변끼리 더하여 정리하면 ab+ bc+ caÉ '¶ '¶ '¶ a+b b+c c+a 2 2 + 2 + (나) =a+b+c ab+ bc+ caÉ 1 _(a+b+c)=3 '¶ ∴ '¶ ab+ '¶ bc+ '¶ '¶ caÉ 3 '¶ (다) y ㉢ 이때, ㉡과 ㉢은 서로 모순이므로 ㉠은 성립할 수 없다. 따라서 a+ b+ cÉ3이다. ' ' ' 따라서 (가), (나), (다)에 알맞은 수는 각각 3, 1, 3이므로 그 합은 3+1+3=7 | 채점기준 | ⓐ (가)에 알맞은 수를 찾는다. 일등급 코시-슈바르츠의 부등식을 이용한 증명 a+ b+ ' c )2 ' (1+1+1)( a2+ "Å 3(a+b+c)¾( c2 )¾( c )2 "Å b+ ' ' b2+ "Å a+ ' c )2 ' 9¾( ' ∴ 0< a+ b+ ' a+ ' b+ ' ' cÉ3 ' 정답 및 해설 31 ⓐ ⓑ ⓒ [40%] [40%] [20%] Ú, Û에 의하여 |a|-|b|É|a-b|는 항상 성립한다. (참) ⓑ (나), (다)에 알맞은 수를 찾는다. 따라서 항상 성립하는 것은 ㄱ, ㄷ이다. ⓒ (가), (나), (다)에 알맞은 수의 합을 구한다. [해] 03강_육.indd 31 2017-12-13 오전 12:25:25  ⓐ ⓑ ⓒ ⓓ [40%] [30%] [1 0%] ⓐ ⓑ ⓒ [40%] [40%] [20%] 42 답 5 f(x)=x+ 1 x + 4x xÛ`+1 = xÛ`+1 x + 4x xÛ`+1 x>0일 때 xÛ`+1 x >0, 4x xÛ`+1 >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 f(x)¾2 xÛ`+1 x ¾¨ _ 이때, 등호는 xÛ`+1 x = =4 4x xÛ`+1 4x xÛ`+1 , 즉 x=1일 때 성립한다. 따라서 f(x)는 x=a=1일 때 최솟값 4를 갖는다. ∴ a+m=1+4=5 | 채점기준 | ⓐ f(x)를 산술평균과 기하평균의 관계를 이용할 수 있도록 변형한다. [20%] ⓑ f(x)의 최솟값을 구한다. ⓒ f(x)가 최솟값을 가질 때의 x의 값을 구한다. ⓓ a+m의 값을 구한다. 43 답 6 모든 실수 x에 대하여 x2+nx+9>0이 성립할 조건은 x2+nx+9= x+ +9- 에서 2 n 2 } { nÛ` 4 9- >0, n2-36<0, (n+6)(n-6)<0 nÛ` 4 ∴ -60이다.’의 부정은 ‘어떤 실수 x에 대하여 x2+nx+9É0이다.’이다. 즉, 주어진 명제의 부정이 참이 되려면 x에 대한 이차방정식 x2+nx+9=0이 실근을 가져야 하므로 판별식을 D라 하면 D=n2-36¾0, (n+6)(n-6)¾0 ∴ nÉ-6 또는 n¾6 이때, n은 자연수이므로 n의 최솟값은 6이다. 이때, n2-1은 자연수이므로 p는 qÛ`의 약수이어야 하는데 p, q는 서 로소인 자연수이므로 p=1이 되어야 한다. (가) ∴ nÛ`= q2+1 자연수 k에 대하여 Ú q=2k일 때, n2=(2k)2+1이므로 (2k)20) 1 a 1 a 1 a 1 a x=2a+ , y=2+ ∴ A 2a+ , 2+ { 1 aÛ` 1 aÛ` } 또, 이차함수 f(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2의 그래프의 꼭짓점 B의 좌표는 (a, -a2)이므로 선분 AB의 중점 C의 좌표는 a+ {;2#; 1 2a , 1+ 1 2aÛ` - a2 2 } 이다. CHÓ= a+ 이다. ;2#; 1 2a 이때, a>0에서 선분 CH의 길이는 점 C의 x좌표와 같으므로 따라서 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 a+ ;2#; 1 2a ¾2 a_ ¾¨;2#; 1 2a = 3 { ' 3 단, 등호는 a= ' 3 일 때 성립 } 이므로 선분 CH의 길이의 최솟값은 3이다. ' 47 답 10 a2+b+ 16 2a+b =a2-2a+(2a+b)+ 16 2a+b ¾a2-2a+2 (2a+b)_ ¾¨ 16 2a+b 단, 등호는 2a+b= { y ㉠일 때 성립 } 16 2a+b =a2-2a+8 =(a-1)2+7¾7 48 답 16 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 x>0, y>0일 때 k=7, m=1, n=2이다. ∴ k+m+n=10 xy가 성립하므로 x+y¾2 '¶ a+4b¾2 '¶ '¶ ab+a+4b=32에서 ab+a+4b=32¾ab+4 ab '¶ ab-32É0 ab-4)É0 ab)2+4 '¶ ab+8)( ( '¶ ( '¶ 0< '¶ '¶ abÉ4 (∵ ∴ 00) '¶ 따라서 a=8, b=2일 때, ab의 최댓값은 16이다. 49 답 6 x+y+z=12에서 x+y=12-z y ㉠ x2+y2+z2=54에서 x2+y2=54-z2 y ㉡ 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여 (12+12)(x2+y2)¾(x+y)2이고 ㉠, ㉡을 대입하면 2(54-z2)¾(12-z)2, z2-8z+12É0, (z-2)(z-6)É0 Ⅳ03 명제의 증명과 절대부등식 ∴ 2ÉzÉ6 따라서 z의 최댓값은 6이다. 50 답 ③ 정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 l이 라 하면 △ABC=△PAB+△PBC+△PCA 이므로 l= la+ lb+ lc에서 ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; A 1 P a+b+c=1 B l C 이때, (a+b+c)2¾3(ab+bc+ca)이므로 1¾3(ab+bc+ca) ∴ ab+bc+caÉ ;3!; 따라서 ab+bc+ca의 최댓값은 이다. ;3!; 51 답 ⑤ 그림과 같이 사다리꼴 ABCD와 내 접원 O의 접점을 H1, H2, H3, H4 라 하고 AHÓ1=AHÓ4=a, BHÓ1=BHÓ2=b, CHÓ2=CHÓ3=c, A a H¡ b H¢ a d D d H£ c O DHÓ3=DHÓ4=d라 하자. B b H™ c C ㄱ. ADÓ+BCÓ=ABÓ+CDÓ이고, ABÓ¾H2H4Ó=2, ㄴ. x+y=4이면 ABÓ=CDÓ=H2H4Ó=2이고 ADÓ`//`BCÓ이므로 ABÓ`//`CDÓ`//`H2H4Ó 한편, ADÓ⊥H2H4Ó이므로 ADÓ⊥ABÓ, ADÓ⊥CDÓ이고, ADÓ+BCÓ=ABÓ+CDÓ이므로 사각형 ABCD는 정사각형이다. (참) ㄷ. ∠OAH1=∠OAH4, ∠OBH1=∠OBH2이므로 ∠ AOB=90ù ∠ COD=90ù ∴ ab=1 ∴ cd=1 2 직각삼각형 OAB에서 OH1Ó =AH1Ó_BH1Ó 2 또, 직각삼각형 OCD에서 OH3Ó =CH3Ó_DH3Ó ∴ xy=(a+d)(b+c)¾2 '¶ 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ad_2 bc=4 abcd=4 (참) '¶ 'Ä 정답 및 해설 33 ㉠, ㉡에서 a=1, b=2일 때, a2+b+ 의 최솟값은 7이므로 x+y=ADÓ+BCÓ=ABÓ+CDÓ¾4 (참) 16 2a+b (단, 등호는 a=1 y ㉡일 때 성립) CDÓ¾H2H4Ó=2이므로 4ab=4 ab (단, 등호는 a=4b일 때 성립) 또, ∠OCH2=∠OCH3, ∠ODH3=∠ODH4이므로 [해] 03강_육.indd 33 2017-12-11 오후 3:38:40 함수Ⅴ 06 답 0 함수  f의 치역은 { f(x)|x¾0}={y|y¾-1}이므로 역함수 f -1 04 함수 의 정의역은 {x|x¾-1}이다.   문제편 46P ∴ a=-1 이때,  f 와 f -1의 그래프의 교점은 직선 y=x 위에 있으므로 방정식  01 답 ③  f   f  {;2%;}=;2!; {;2#;}=;2!;_;2!; {;2!;}=;2!;_;2!;_;4!;=;1Á6;  f  02 답 1  f=g이면 정의역의 각 원소에 대한 함숫값이 서로 같으므로  f(-1)=g(-1)에서 1-a+2=-2+3   ∴  a=2  f(k)=g(k)에서 k2+ak+2=2k+3 이때, a=2를 대입하여 정리하면 k2-1=0 (k-1)(k+1)=0   ∴  k=1 또는 k=-1 그런데 k>0이므로 k=1 03 답 7 함수  f 는 일대일대응이므로 함수  f 의 치역은  X={1, 2, 3, 4} 이때, 조건 (가)의  f(1)+ f(4)=6에 의하여  f(1)=2, f(4)=4 또는  f(1)=4,  f(4)=2 그런데 조건 (나)에 의하여  f(1)=4,  f(4)=2이고  f(2)=3,  f(3)=1이다. ∴  f(1)+f(2)=4+3=7` 04 답 10 함수 g는 항등함수이므로 g(4)=4 조건 (가)에서 h(6)=g(4)=4 이때, h는 상수함수이므로 h(x)=4 또,  f(2)=g(4)=4이고 함수  f가 일대일대응이므로  f(4)=2,  f(6)=6 또는  f(4)=6,  f(6)=2이다. 그런데 조건 (나)에서  f(4)> f(6)이므로  f(4)=6,  f(6)=2 따라서 (g½f )(4)=g( f(4))=g(6)=6, (h½g)(4)=h(g(4))=h(4)=4이므로 (g½f)(4)+(h½g)(4)=6+4=10 05 답 ③ ( f½g)(3)=f(g(3))=f(4)=-2_4+5=-3 2x-1=x의 해가 x=b이다.  즉, 2b-1=b에서 b=1 ∴ a+b=(-1)+1=0 [다른 풀이] y=2x-1이라 하면 2x=y+1에서 x= y+1 2 여기서 x, y를 서로 바꾸면 y= x+1 2 즉, 함수  f(x)의 역함수는  f -1(x)= x+1 2 이다. f(x)= f -1(x)에서 2x-1= x+1 2     ∴ x=1 따라서 b=1이므로 a+b=0 07 답 6 ( f½(g½f)-1½g     g -1(g g(g(a))=0이므로 -1)(0)=(  f½f -1½g =`(g -1`)(0) -1½g -1)(0) -1½g -1(g -1`(0))=a라 하면 g(a)=g =`g -1(0))` -1(0)에서  g(g(a))=g{;2!; a-1 = } ;2!;{;2!; a-1 -1=0` } a- =0,  a=    ∴  a=6 ;4!; ;2#; ;4!; ;2#; 08 답 42 { f(1)-1}{ f(2)-2}=0에서  f(1)=1 또는  f(2)=2 Ú  f(1)=1일 때,     f(2)는 2, 3, 4, 5의 4가지    f(3)은  f(2)의 값을 제외한 3가지    f(4)는  f(2),  f(3)의 값을 제외한 2가지    f(5)는 나머지 1가지   ∴ 4_3_2_1=24(개) Û  f(2)=2일 때, 마찬가지 방법으로 24(개) Ü  f(1)=1,  f(2)=2일 때,     f(3)은 3, 4, 5의 3가지    f(4)는  f(3)의 값을 제외한 2가지    f(5)는 나머지 1가지   ∴ 3_2_1=6(개) (g½f)(3)=g( f(3))=g(-1)=|-1-2|+3=6 Ú~Ü에 의하여 구하는 함수  f 의 개수는 ∴ ( f½g)(3)+(g½f)(3)=-3+6=3 24+24-6=42 34 일등급 수학•고등 수학 (하) [해] 04강_육.indd 34 2017-12-11 오후 3:39:40 09 답 12  f(6)= f(2_3)={ f(2)}3=64    ∴  f(2)=4  f(6)`=f(3_2)={ f(3)}2=64   ∴   f(3)=8 (∵ f(x)>0) ∴ f(2)+f(3)=4+8=12 y= x@+3 4 y=x y b a O a b x Ⅴ04 함수 10 답 25 조건 (나)에 의하여  f(999)=f  { 2_ 999 2 } =2f  { 999 2 } =22 f  { 999 22 } =y=28 f  { 999 28 }   이다. 이때,  999 28 = 999 256 의 범위는 3< 999 256 <4이므로  조건 (가)에 의하여 f  { 999 28 } =4- ∴  f(999)=28f  { 999 28 } =28 4- {     =210-999=25 999 28 이다. 999 28 } 11 답 ② 2 f(5)+3 f(6) =2{ f(5)+f(6)}+ f(6)      =2 f(7)+f(6)  =f(7)+{ f(7)+f(6)}      = f(7)+f(8)  = f(9) =x에서 x2-4x+3=0, (x-1)(x-3)=0 x2+3 4 ∴ x=1 또는 x=3 따라서 a=1, b=3이므로 a+b=4이다. 14 답 ③ ㄱ.    f(a1, b1)=f(a2, b2)이면 2aÁ_3bÁ=`2aª_3bª에서 2와 3은 서로 소이므로 a1=a2, b1=b2이어야 한다. 즉, 함수 f 는 일대일함수 이다.  ㄴ.    f(a1, b1)=f(a2, b2)이면 2aÁ_6bÁ=`2aª_6bª에서 2aÁ+bÁ_3bÁ=2aª+bª_3bª     수  f 는 일대일함수이다.    이때, 2와 3은 서로소이므로 aÁ=aª, bÁ=bª이어야 한다. 즉, 함 ㄷ. 【반례】  f(4, 1)=3Ý`_9Ú`=3ß`,  f(2, 2)=3Û`_9Û`=3ß`   즉, (4, 1)+(2, 2)이지만  f(4, 1)=f(2, 2)이므로   함수  f(m, n)=3m_9n은 일대일함수가 아니다. 따라서 일대일함수인 것은 ㄱ, ㄴ이다. 15 답 2  f(g(x))=f(2x-1)=a(2x-1)+b=2ax-a+b g( f(x))=g(ax+b)=2(ax+b)-1=2ax+2b-1  f½g=g½ f에서 -a+b=2b-1   ∴  b=1-a 이것을  f(x)에 대입하면  f(x)=ax+1-a=a(x-1)+1 12 답 ③ ㄱ.   함수  f 가 일대일대응이므로 모든 함숫값의 합은 집합 X의 원소 의 합 15이다.   이때, f(1)+f(2)=3이므로 나머지 함숫값의 합은  따라서 함수  y= f(x)의 그래프는 a의 값에 관계없이  f(3)+f(4)+f(5)=15-{ f(1)+f(2)}=12이다. (참) 항상 점 (1, 1)을 지난다. ㄴ.  f(1)_f(2)=3에 의하여  f(1)=1,  f(2)=3 또는  ∴ p+q=1+1=2  f(1)=3,  f(2)=1이다.   이때, 함수  f 가 일대일대응이므로  f(3)+f(4)+f(5)=2+4+5=11이다. (참) 16 답 ④  f(h(3))=g(3)이므로 h(3)=k라 하면  f(k)=15` ㄷ. 【반례】  f(1)-f(2)=3에서  f(1)=5,  f(2)=2이면 즉,  f(x)=2x+1에서  f(k)=2k+1=15, 2k=14   ∴  k=7         f(3)+f(4)+f(5)=1+3+4=8이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ∴ h(3)=7 [다른 풀이] 13 답 4 그림과 같이  f(x)= x2+3 4 은  x>0에서 x의 값이 증가하면  f(x) 의 값도 증가하므로  f(a)=a,  f(b)=b인 a, b를 정하면 된다. ∴ h(3)=7 h=( f -1½f)½h   =f -1½( f½h)=f -1½g 이므로 h(3)=f -1(g(3))=f -1(15)=k라 하면 역함수의 성질에 의하여  f(k)=2k+1=15이므로 k=7 정답 및 해설 35 [해] 04강_육.indd 35 2017-12-11 오후 3:39:41 17 답 1 g(x)=ax+b (a+0)라 하면 ( f½g)(x)=x2+3x에서  ( f½g)(x) = f(g(x))= f(ax+b)=(ax+b)2-(ax+b)-2  =a2x2+(2ab-a)x+b2-b-2=x2+3x    ∴ a2=1, 2ab-a=3, b2-b-2=0 이때, a2=1에서 a=1 또는 a=-1이므로 Ú a=1일 때, 2ab-a=3, b2-b-2=0에서 b=2 Û a=-1일 때, 2ab-a=3, b2-b-2=0에서 b=-1 따라서 g1(x)=x+2, g2(x)=-x-1이므로 g1(3)+g2(3)=5+(-4)=1` 18 답 ⑤  f(x)=x|x|+k= [ x2+k  (x¾0) -x2+k  (x<0) 이고   f -1(1)=2에서  f(2)=1이므로 22+k=1   ∴  k=-3 ∴  f(x)= [ x2-3  (x¾0) -x2-3  (x<0) 이때, ( f -1½f -1)(-2)=t라 하면   f( f(t))=-2에서  f(t)=1, 즉 t2-3=1   ∴  t=2 (∵ t¾0) ∴ ( f -1½f -1)(-2)=2 19 답 3 h(x)= 2 f(x)+5 f(x)+1 에서 h(g(x))= 2 f(g(x))+5 f(g(x))+1 = 2x+5 x+1 이므로 (h½g)(2)=h(g(2))= 4+5 2+1 =3 [다른 풀이] g(2)=k라 하면 g -1(k)=f(k)=2 ∴ (h½g)(2)=h(g(2))=h(k)   = 2 f(k)+5 f(k)+1 = 2_2+5 2+1 =3 20 답 8 P y=g{x} Q 따라서 P(1, n+1)이고 점 Q는 점 P와 직선 y=x에 대하여 대칭 인 점이므로 Q(n+1, 1)이다.  따라서 삼각형 POQ의 넓이는 n+1 1 ;2!;| 1 n+1 |=;2!; {(n+1)Û`-1}= n(n+2) ;2!; 이때,  n(n+2)=40에서 n=8 ;2!; [다른 풀이] y B O y=f{x} P Q y=g{x} A x (삼각형 POQ의 넓이) =(삼각형 OAB의 넓이)-2_(삼각형 OAQ의 넓이) = (n+2)Û`-2_ (n+2)_1 = ;2!; [;2!;_ n(n+2) 2 ] (이하 동일) 21 답 12 함수 y=f(x)의 그래프가 직선 x=3에 대하여 대칭이므로  f(0)=f(6)=-4이다. 즉,  f( f(x))=-4를 만족시키는  f(x)의 값은   f(x)=0 또는  f(x)=6이다. y=f{x} x=3 6 O 3 x£ x¡ x¢ x x™ y 6 -4  f(x)=0을 만족시키는 x의 값을 x1, x2라 하고   f(x)=6을 만족시키는 x의 값을 x3, x4라 하면  는 각각 직선 x=3에 대하여 대칭이므로 x1+x2=6, x3+x4=6 ∴ x1+x2+x3+x4=6+6=12 [다른 풀이] y y=f{x} 두 점 (x1,  f(xÁ))과 (x2,  f(x2)), 두 점 (x3,  f(x3))과 (x4,  f(x4)) O x  f(x)=a(x-3)2-7`(a>0)이라 하면  f(0)=-4이므로 점 P는 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=-x+n+2의 교점이 므로 x2+nx=-x+n+2에서 x2+(n+1)x-(n+2)=0` (x-1)(x+n+2)=0   ∴  x=1 (∵ x¾0)` 9a-7=-4에서 9a=3   ∴  a= ;3!; ∴ f(x)= (x-3)2-7 ;3!; 36 일등급 수학•고등 수학 (하) [해] 04강_육.indd 36 2017-12-11 오후 3:39:42 이때,  f( f(x))=-4를 만족시키는  f(x)를 t라 하면  f(t)=-4에서  (t-3)2-7=-4, (t-3)2=9 ;3!; t-3=3 또는 t-3=-3 따라서 t=6 또는 t=0이므로  f(x)=6 또는  f(x)=0 Ú  f(x)=6에서  (x-3)2-7=6    ∴ xÛ`-6x-30=0   따라서 이 이차방정식의 두 실근을 x1, x2라 하면   x1+x2=6 Û  f(x)=0에서  (x-3)2-7=0   ∴ xÛ`-6x-12=0   따라서 이 이차방정식의 두 실근을 x3, x4라 하면   x3+x4=6 따라서 방정식  f( f(x))=-4의 모든 실근의 합은 x1+x2+x3+x4=6+6=12 ;3!; ;3!; 22 답 ④  f(x)=x2-x-2=(x-2)(x+1), g(x)=x2-ax+3에서 ( f½g)(x)=f(g(x))={g(x)-2}{g(x)+1}¾0 ∴ g(x)¾2 또는 g(x)É-1 Ú g(x)¾2에서 x2-ax+3¾2, 즉 x2-ax+1¾0    이것이 모든 실수 x에 대하여 성립하여야 하므로  Ⅴ04 함수 24 답 ④ 함수  f`:`A  2Ú  B가 역함수를 가지려면 함수  f 는 일대일대응이어 야 하므로 두 집합 A, B의 원소의 개수가 같아야 한다. 따라서 두  집합 A, B의 원소의 개수는 2이다. 이때, 가능한 집합 A의 개수는  4_3 2 =6이고 집합 A가 정해지면 집합 B는 자동으로 정해지므로  가능한 집합 A, B의 개수는 6이다. 또한, 각 경우에 대하여 함수  f 를 정하는 방법은 2가지이다. 예를 들어  f`:`{1, 2} → {3, 4}는  f(1)=3, f(2)=4인 경우 와  f(1)=4, f(2)=3인 경우의 2가지이다. 따라서 구하는 함수  f의 개수는 6_2=12이다. 25 답 ④ 집합 A의 원소는 일대일함수이므로 n(A)=3_2_1=6 집합 B의 원소는  f(1)+1인 함수이므로  f(1)은 2, 3 중 하나이 고,  f(2), f(3)은 각각 1, 2, 3 중 하나이다. 즉, n(B)=2_3_3=18 ∴ n(A)+n(B)=6+18=24 26 답 72 합성함수 g½f 가 항등함수가 되려면 함수  f 는 일대일함수이어야  한다. 일대일함수  f 의 개수는 4_3_2=24이다.   a2-4É0에서 -2ÉaÉ2 Û g(x)É-1에서 x2-ax+3É-1, 즉 x2-ax+4É0    이때, h(x)=x2-ax+4라 하면 y=h(x)의 그래프는 아래로  함수 g는 B의 원소  f(1),  f(2),  f(3)에 대응하는 A의 원소는 각 각 1, 2, 3으로 결정되고, 나머지 B의 원소에 대응하는 A의 원소는  1, 2, 3의 3가지가 가능하므로 각 일대일함수  f 에 대하여 함수 g의  볼록인 포물선이므로 모든 실수 x에 대하여 h(x)É0을 만족시 개수는 3가지이다. 키는 a는 존재하지 않는다. Ú, Û에서 구하는 a의 값의 범위는 -2ÉaÉ2 23 답 ③ 주어진 그림에서  f(x)= x+1  (0Éx<1) -2x+4 (1ÉxÉ2) [ 따라서 순서쌍 ( f, g)의 개수는 24_3=72이다. 27 답 16 h(x)={1-f(x)}{1-g(x)}에서  f(x)=0이고 g(x)=0, 즉 x가 6의 배수일 때만  h(x)=1이고, 그 외에는 모두 h(x)=0이다. Ú  0Éf(x)<1일 때,  f( f(x))= f(x)+1=1   ∴  f(x)=0 1부터 100까지의 자연수 중 6의 배수는 16개이므로   1 0Éx<1일 때,  f(x)=x+1=0   ∴  x=-1 h(1)+h(2)+h(3)+y+h(100)=16     이때, x=-1은  0Éx<1이라는 조건에 모순이다.   2 1ÉxÉ2일 때,  f(x)=-2x+4=0   ∴  x=2 Û 1É f(x)É2일 때,  f( f(x))=-2 f(x)+4=1   ∴  f(x)= ;2#;   1 0Éx<1일 때, f(x)=x+1=    ∴  x= ;2#; ;2!;   2 1ÉxÉ2일 때, f(x)=-2x+4=    ∴  x= ;2#; ;4%; Ú, Û에서 ( f½f)(x)=1을 만족시키는 x의 개수는 3이다. 28 답 48 (x+y) f(x, y)=y f(x, x+y)에서   f(x, x+y)= x+y y f(x, y)이므로    f(12, 16)=  f(12, 4)=  f(4, 12) ;;Á4¤;; ;;Á4¤;; = _ ;;Á4¤;; ;;Á8ª;;  f(4, 8)= _ _  f(4, 4) ;;Á4¤;; ;;Á8ª;; ;4*; = _ _ ;;Á8ª;; ;4*; ;;Á4¤;; _4=48         정답 및 해설 37 [해] 04강_육.indd 37 2017-12-11 오후 3:39:43 29 답 ③ ㄱ. x가 유리수일 때  f(x)=0이므로  f( f(x))= f(0)=0 33 답 ① Ú    f(2)=1이면  f(1)=f( f(2))=1이 되어 함수  f 가 일대일대   x가 무리수일 때  f(x)=1이므로  f( f(x))= f(1)=0 응이라는 것에 모순이다. (∵  f(1)=2)   따라서 모든 실수 x에 대하여  f( f(x))=0이다. (참) Û    f(2)=4이면  f(4)= f( f(2))=1이 되어 함수  f 가 일대일대 ㄴ. x가 유리수일 때 xÛ`도 유리수이므로  응이라는 것에 모순이다. (∵  f(4)=5) f(x)=0이고  f(xÛ`)=0이다.  ∴  f(x)¾f(xÛ`)` 함수  f 가 일대일대응이므로 Ú, Û에 의하여    x가 무리수일 때 xÛ`은 유리수 또는 무리수이므로  f(2)=3이다. f(x)=1이고  f(xÛ`)=0 또는  f(xÛ`)=1   ∴   f(x)¾f(xÛ`) ∴ `f(3)=f( f(2))=1       따라서 모든 실수 x에 대하여  f(x)¾f(xÛ`)이다. (참) ㄷ. 【반례】 x= 2일 때  f(xÛ`)=0이고  '    f(xÜ`)=1이므로  f(xÛ`)< f(xÜ`) (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 30 답 ⑤ ㄱ. 10의 양의 약수는 1, 2, 5, 10이므로  f(10)=18 (참) ㄴ. n이 소수가 아니면   Ú n=1일 때  f(1)=1+1+1`   Û   n+1일 때 n은 1과 자기 자신 n 이외의 다른 양의 약수를 가 지므로  f(n)+n+1``   따라서  f(n)=n+1이면 n은 소수이다. (참) 34 답 ①  f(x)=a|x-1|+(2-a)x+1= [ 2x-a+1  (x¾1) (2-2a)x+a+1 (x<1) 이고 함수  f(x)가 일대일대응이려면 x¾1에서 함수  f(x)의 기울 기가 2>0이므로 x<1에서도 함수  f(x)의 기울기 2-2a>0이어 야 한다. 따라서 2-2a>0에서 a<1이다. 35 답 ① A에서 B로의 함수 y=xÛ`-3x= x- { ;2#;} 2 - ;4(; 가 일대일대응이 되려면 대칭축인 직선 x= 에 대하여 kÉ 을 만족시키는  ;2#; ;2#; ㄷ. m, n이 모두 소수이면 mn의 모든 약수는 1, m, n, mn이므로 점 (k, k+12)가 이차함수 y=x2-3x  y y=x@-3x   f(mn) =1+m+n+mn   의 그래프 위에 있어야 한다.  k+12 =(m+1)(n+1)=f(m)f(n) (참) 즉, k+12=k2-3k에서 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. k2-4k-12=0, (k+2)(x-6)=0 k O x 또, 함수 g가 일대일대응이므로 n(A-B)=n(A;B) ⋯ ㉠  f(0)=0,  f(1)=3,  f(2)=1,  f(3)=4,  f(4)=2이다. 31 답 9 함수  f 가 일대일대응이므로 n(A)=n(B-A) ∴ n(B-A)=6 이때, 그림과 같은 벤 다이어그램에서  A B n(A)=n(A-B)+n(A;B)=6 이므로 ㉠에 의해  n(A-B)=n(A;B)=3 ∴ n(B)=n(B-A)+n(A;B)=6+3=9 32 답 ②  f(3)-f(2)=f(1)에서  f(3)>f(2),  f(3)>f(1)  f(3)+f(2)=f(4)에서  f(4)>f(3),  f(4)>f(2) 즉,  f(4)>f(3)>f(2)>f(1) 또는   f(4)>f(3)>f(1)>f(2)이므로  f(4)=4, f(3)=3 ∴ k=-2  { ∵ kÉ ;2#;} 36 답 ①  f(x)는 ‘3x를 5로 나눈 나머지’이므로 함수 g`:`X  2Ú  X는 집합 X의 모든 원소 x에 대하여 (`f½g)(x)=(g½f)(x)를 만족시키므로 (`f½g)(1)=(g½f)(1)에서  f(3)=g(3)=4 (`f½g)(3)=(g½f)(3)에서  f(4)=g(4)=2 (`f½g)(4)=(g½f)(4)에서  f(2)=g(2)=1 (`f½g)(2)=(g½f)(2)에서  f(1)=g(1)=3 (`f½g)(0)=(g½f)(0)에서  f(g(0))=g(0)  f(0)=0이고  f 는 일대일대응이므로 g(0)=0이어야 한다. ∴ g(0)+g(2)=0+1=1 37 답 2 합성함수 (g½f)(x)= xÛ`+2ax+4 (x<0) x+4  (x¾0) [ 이다. 한편, f(3)+f(2)=f(4)에서  f(2)=1이고  f(1)=2 aÉ0이면 함수 (g½f)(x)의 치역이 {y|y¾4}이므로 성립하지 않 ∴  f(1)+f(3)=2+3=5 는다. 따라서 a>0이어야 한다. 38 일등급 수학•고등 수학 (하) [해] 04강_육.indd 38 2017-12-11 오후 3:39:44 이때, y=xÛ`+2ax+4=(x+a)Û`+4-aÛ`의 그래프의 꼭짓점의 x 좌표가 음수이므로 합성함수 (g½f)(x)의 치역이 {y|y¾0}이기  위해서는 꼭짓점의 y좌표가 0이어야 한다. 41 답 1 합성함수 g½f가 정의되려면 함수  f 의 치역이 함수 g의 정의역에  포함되어야 한다. y 4 함수 g의 정의역은 Y={2x-3|x¾k}={y|y¾2k-3} 함수  f(x)=x2-4x+2=(x-2)2-2의 그래프의 축이 직선  x=2이고, 함수  f 의 정의역이 xÉk이므로   Ú k<2일 때, 함수  f 의 치역은 {y|y¾k2-4k+2}이므로   k2-4k+2¾2k-3, (k-1)(k-5)¾0 Ⅴ04 함수 -a O x 즉, 4-aÛ`=0에서 aÛ`=4   ∴  a=Ñ2 이때, a>0이므로 a=2 38 답 ③ 자연수 n에 대하여   f(n)= n-2  (n¾100) f( f(n+4)) (n<100) [ 이므로  f(96)= f( f(100))= f(98)= f( f(102))= f(100)=98 39 답 ⑤ y=x와 y=2x의 그래프를 이용하여 함숫값을 표시하면 다음 그림 과 같다.  y=f{x} y=2x y=x y d c b a O 2p 40 답 1 a+2b=2 a+b =2 f 100 } {;2!;} {;2!; 이므로  x= ;2!; 을  f(x), f 2(x), f 3(x), y에 차례로 대입하면  f {;2!;} =3_ -1= ;2!; ;2!;  f 2 {;2!;} =f  {  f  {;2!;}} =f  = {;2!;} ;2!;  f 3 =f  {  f 2 {;2!;} {;2!;}} =f  = {;2!;} ;2!; ⋮               f 100 =f  { {;2!;}  f 99 {;2!;}} =f  = {;2!;} ;2!; ∴ a+2b=2 f 100 {;2!;} =2_ =1 ;2!;   ∴ kÉ1 또는 k¾5   이때, k<2이므로 kÉ1 Û k¾2일 때, 함수  f 의 치역은 {y|y¾-2}이므로   -2¾2k-3   ∴  kÉ ;2!;   이때, k¾2이므로 만족시키는 k의 값은 존재하지 않는다. Ú, Û에 의해 k의 최댓값은 1이다. 42 답 ①  f= 1 2 3 4 1 3 4 2 } { 는 1   1, 2   3, 3`   4, 4   2인  Ú Ú Ú Ú 대응관계를 의미하므로  f Û`=f½f= 1 2 3 4 1 4 2 3 } { 이다. ∴  f Ü`=f½f½f= { 1 2 3 4 1 2 3 4 } 43 답 ③ -2x+1  { 0Éx< ;2!;} -2x+2  ÉxÉ1 {;2!; }  f(x)= [ 이므로       { {;2!; {;4!; { -2f(x)+1  -1, x¾2일 때  f(x)É-1이므로 t<2 조건 (가)에서 점 B와 점 A는 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 점  B(4, 2)이고 조건 (나)에 의하여 점 D와 점 B는 y좌표가 같으므로  점 D의 좌표는 ( f -1(2), 2) 즉 D(-6, 2)이다.  또한, 조건 (가)에서 점 C와 점 D는 직선 y=x에 대하여 대칭이므 로 점 C(2, -6)이다. 이때, 점 A와 점 C의 x좌표가 같으므로 선분 AC는 y축에 평행하 고 선분 BD와 수직이다. 따라서 사다리꼴 ABCD의 넓이는  _ACÓ_BDÓ= _10_10=50 ;2!; ;2!; 54 답 ① ㄱ. (g½f)(a)=(g½f)(b), 즉 g( f(a))=g( f(b))이면   함수 g가 일대일함수이므로  f(a)=f(b)이다.     또한, 함수  f가 일대일함수이므로 a=b이다.    따라서 g½f는 일대일함수이다. (참) ㄴ. 【반례】 집합 {1, 2}에서 정의된 함수  f 가      f(1)=1,``f(2)=1이고 집합 {1}에서 정의된 함수 g가   g(1)=1이면  f(g(x))=x이지만 g가  f 의 역함수는 아니다.  (거짓) ㄷ.   【반례】 정의역과 공역이 모두 집합 {1, 2}인 함수  f 가      f(1)=2, f(2)=1이면  f(1)=f -1(1),  f(2)=f -1(2)이지만  f(1)+1,  f(2)+2이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. 55 답 4 조건 (가)에 의해 이차함수  f(x)를  f(x)=ax(x-4) (a+0)라  (ax-4)(x-4)=0이다. 이때, 이 이차방정식의 실근의 개수가 1이므로  ax-4=0의 근이 x=4   ∴  a=1 y=x{x-4} 4 x y 2 O -4  f(x)=x(x-4)=(x-2)2-4에서 이차함수 y= f(x)의 그래프 의 꼭짓점의 좌표는 (2, -4)이므로  f( f(x))=-4를 만족시키기  위해서는  f(x)=2가 되어야 한다. 즉, x2-4x=2에서 x2-4x-2=0이다. 따라서 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 합은 이차방정식의 근과  계수의 관계에 의하여 4이다. 정답 및 해설 41 ㉠에서  f(k)=-4이므로 k¾2이고  f(k)=-k+1=-4 하고 조건 (나)에 대입하면 ax(x-4)-4(x-4)=0에서   [해] 04강_육.indd 41 2017-12-11 오후 3:39:47 56 답 8 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x가 서로 다른 세 점에서 만나 므로 직선 y=x는 점 (a, a)에서 접하는 직선이다. 58 답 ②  f(1-x)+f(1-x2)<0에서  f(1-x)<-f(1-x2) 두 그래프의 교점의 x좌표가 a, b, c이므로 방정식 f(x)=x의 세   f(1-x)-1+x2 (∵ 조건 (나) )  x2+x-2<0, (x+2)(x-1)<0  f(t)=t에서 t=a 또는 t=b 또는 t=c ∴ -20이므로  f(2)>f(3),  f(4)>f(1)이고 조건 (나)에서  f(1)0이다. 5 x-p y 2 O p x Ⅴ05 유리식과 유리함수 01 답 ① a x + b x-2 = 4 x(x-2) 의 양변에 x(x-2)를 곱하여 정리하면 a(x-2)+bx=4, (a+b)x-2a=4 위 식은 x에 대한 항등식이므로 a+b=0, 2a=-4 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=2 ∴ ab=-4 02 답 8 유리함수 y= 3 x 의 그래프를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동한 그래프는 유리함수 y= 3 x-4 +5의 그래프이다. 이때, 유리함수 y= +5의 그래프가 점 (5,``a)를 지나므로 3 x-4 a= 3 5-4 +5에서 a=8 03 답 ④ 주어진 그림에서 점근선이 x=-1, y=2이므로 y= k x+1 0= k -2+1 +2 ∴ k=2 따라서 y= +2= 이고 이 식이 2 x+1 2x+4 x+1 와 같으므로 a=2, b=1, c=1 y= ax+4 bx+c ∴ a+b+c=4 [다른 풀이] y= ax+4 bx+c 의 그래프의 점근선은 x=- , y= 인데 c b a b 주어진 그래프의 점근선이 x=-1, y=2이므로 c b - =-1, =2 ∴ b=c, b= a y ㉠ ;2!; 이때, y= 의 그래프가 점 (-2, 0)을 지나므로 a b ax+4 bx+c 0= -2a+4 -2b+c 에서 -2a+4=0 ∴ a=2 ㉠에 의하여 b=c=1이므로 `a+b+c=4 04 답 3 주어진 함수의 그래프는 함수 y= 5 x p만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프이므로 점근선의 방정식은 x=p, y=2이다. 즉, p>0일 때 y= +2의 그래프는 x>p인 범위에서 5 x-p 제 1 사분면만을 지나고 x1인 두 가지 경우로 나누어 그려보면 다음과 같다. y a O a 1 x 1O a x Ú k-3>0, 즉 k>3일 때 주어진 함수의 그래프는 제 1, 2, 3`사 Û k-3<0, 즉 k<3일 때 주어진 함수의 그래프가 모든 사분면을 지나려면 그래프는 그림과 같아야 한다. x=-3 y 09 답 ② x=-3, y=1이다. 분면만 지난다. 07 답 ⑤ 유리함수 y= ax x-1 1-3x x-a y a -3 Ú 01일 경우 (a-1)(a+3)=21에서 a2+2a-24=0 (a-4)(a+6)=0 ∴ a=4 (∵ a>1) -3 Û a>1 Ú, Û에 의하여 양수 a의 값은 4이다. 00이므로 산술평균과 기하평균의 08 답 2 2x 함수 y= x-1 = 2 x-1 2 x 과 같다. ®É 4 aÛ` 관계에 의하여 aÛ`+ ¾2 aÛ`_ =4에서 4 aÛ` ®É 4 aÛ` aÛ`+ OP'Ó= 4 aÛ` 따라서 구하는 최솟값은 2이다. 4=2 ¾ ®É ' 48 일등급 수학•고등 수학 (하) 1 O -3 y=1 x y= x+k x+3 k 3 즉, x=0일 때, y<0이어야 하므로 <0에서 k<0 Ú, Û에 의하여 정수 k의 최댓값은 -1이다. 10 답 1 y= x x+1 = (x+1)-1 x+1 =- 1 x+1 +1의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동하면 y=- 1 x-m+1 +1+n의 그래프가 된다. 이 그래프가 y= -x+1 x-2 = -(x-2)-1 x-2 =- 1 x-2 -1의 그래 프와 일치하므로 -m+1=-2, 1+n=-1에서 m=3, n=-2 ∴ m+n=1 11 답 ⑤ 2x+1 x-1 y= = 2(x-1)+3 x-1 = 3 x-1 +2 12 답 2 f(x)= x+b x+a 2+b 2+a 3+b 3+a 의 그래프가 점 (2, 3)을 지나므로 f(2)= =3 ∴ 3a-b=-4 ⋯㉠ 또, 함수 f(x)의 역함수의 그래프가 점 (2, 3)을 지나므로 함수 f(x)의 그래프는 점 (3, 2)를 지난다. f(3)= =2 ∴ 2a-b=-3 ⋯ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=1 ∴ a2+b2=2 +2의 그래프의 두 점근선의 교점이 따라서 주어진 함수의 그래프는 두 점근선 x=1, y=2의 교점 (1, 2) 점 A(1, 2)이므로 점 A가 원점에 오도록 함수 y= 2x x-1 의 를 지나고 기울기가 Ñ1인 직선에 대하여 대칭이다. 즉, 두 직선 y=x+m, y=-x+n은 점 (1, 2)를 지나므로 그래프와 점 A(1, 2)를 평행이동하면 구하는 최솟값은 2=1+m, 2=-1+n에서 m=1, n=3 ∴ m+n=4 [해] 05강_육.indd 48 2017-12-11 오후 3:40:42 13 답 ③ f(h(x))=g(x)에 x=3을 대입하면 f(h(3))=g(3)이다. f(h(3))= 2h(3)+1 h(3)-1 , g(3)= 3-1 3+1 1 2 = 이므로 2h(3)+1 h(3)-1 1 2 = 에서 h(3)=-1 17 답 ④ x+1 x-1 y= = (x-1)+2 x-1 = 2 x-1 +1 따라서 y= 의 그래프는 y= 의 그래프를 x축의 방향으로 x+1 x-1 2 x 1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. 14 답 ⑤ 2x-3 f(x)= x-2 = 1 x-2 +2이고 ( f ç f )(x)=f( f(x))= =x이므로 2 { -3 2x-3 x-2 } 2x-3 x-2 -2 y 3 2 1 y=1 y= x y=ax 3 2 2 y= x 3 y= x+1 x-1 O 1 2 3 x x=1 Ⅴ05 유리식과 유리함수 y=( f ç f ç f )(x)=f(( f ç f )(x))= f(x)= 두 그래프가 만나기 위한 a의 값의 범위는 ÉaÉ 1 x-2 +2 따라서 y= f(x)의 두 점근선은 x=2, y=2이고, 두 점근선의 교 점은 (2, 2)이므로 a=2, b=2 ∴ a+b=4 따라서 M= , m= 이므로 M-m= 3 2 2 3 3 2 2 3 5 6 y=ax의 그래프는 원점을 지나는 직선이므로 그림에서 의 그래프는 y= 의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, (x>2)의 그래프는 그림 (x-2)+1 x-2 = 1 x-2 +1 (x>2)이므로 18 답 5 x-1 x-2 y= = y= x-1 x-2 과 같다. 즉, PAÓ=b= +1, 1 a-2 PBÓ=a이므로 PAÓ+PBÓ=a+ 1 a-2 +1 =a-2+ 1 a-2 +3 1 a-2 y= x-1 x-2 P{a, b} O 1 2 A x y B 1 1 2 이때, a>2에서 a-2>0, >0이므로 산술평균과 기하평균의 -2 O 1 x 관계에 의하여 a-2+ +3¾2 (a-2)_ +3=5 1 a-2 ®É 1 a-2 단, 등호는 a-2= { 1 a-2 일 때 성립 } 15 답 ④ x+2 x-1 y= = y= x+2 x-1 (x-1)+3 x-1 = 3 x-1 +1이므로 3 x y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. 이때, 직선 y=mx+1은 m의 값에 관계없이 점 (0, 1)을 지나므로 함수 y= 의 그래프가 직선 y=mx+1과 만나지 않으려면 x+2 x-1 Ú 직선이 y=1일 때, m=0 Û y= 와 y=mx+1에서 x+2 x-1 {ii} y y= x+2 x-1 =mx+1 x+2 x-1 즉, mx2-mx-3=0의 판별식 {i} 1 -2 을 D라 할 때, D=m2+12m<0, m(m+12)<0 ∴ -120, b>0) 3 a 의 그래프 위의 점이므로 또, 점 P(a, b)와 직선 x+y=0 사이의 거리가 3이므로 |a+b| 1Û`+1Û` =3에서 a+b=3 2` ' "à ∴ a2+b2=(a+b)2-2ab=(3 2)2-2_3=12` ' 19 답 5 APÓ // BCÓ이므로 △APD ∽ △CBD ∴ PDÓ`:`BDÓ=x : 2 이때, △PBC=△ABC이므로 △PCD= _△ABC에서 x x+2 y= 3x x+2 ` (x¾0) x A P D y B C 2 따라서 a=3, b=0, c=2이므로 a+b+c=3+0+2=5 정답 및 해설 49 Ú, Û에서 구하는 실수 m의 값의 범위는 -120, k>0)의 그래프 위의 점 P(p, q), 점 P에서 -(x-1)+2 x-1 = 2 x-1 -1의 그래프와 평행이동하여 x축에 내린 수선의 발 Q에 대하여 삼각형 OPQ의 넓이는 △OPQ= pq= 로 일정하다. k 2 ;2!; 겹쳐지는 함수의 그래프는 y= +q의 꼴이어야 한다. 2 x-p ㄱ. y= x+3 x+1 = x+1+2 x+1 = 2 x+1 +1 (○) y k y= x A C M O B D x x+ x- x- x+ ;2!; ;2#; ;3!; ;3%; = = x- { ;2#;} +2 2 = +1 (○) x- ;2#; x- ;2#; x+ { ;3%;} -2 x+ ;3%; =- +1 (×) 2 x+ ;3%; 함수 y= 의 그래프에서 △OAB=△OCD= 이고 따라서 y= 의 그래프와 평행이동하여 겹쳐지는 함수의 그래 k x k 2 23 답 ③ 3-x x-1 y= = ㄴ. y= 2x+1 2x-3 = ㄷ. y= 3x-1 3x+5 = 3-x x-1 프는 ㄱ, ㄴ이다. △OAB=△OMB+△OAM y ㉠ △OCD=△OMB+BDCM y ㉡ ㉠-㉡을 하면 0=△OAM-BDCM이므로 BDCM=△OAM= △OAB (∵ AMÓ=BMÓ) ;2!; = =4 k 4 ∴ k=16 21 답 ④ =2x+1 a+b a-b a+b a-b 22 답 10 = (a-b)+2b a-b =1+ 이므로 2b a-b ∴ a+b a-b - a-b a+b =2x+1- 1 2x+1 = 4xÛ`+4x+1-1 2x+1 = 4x(x+1) 2x+1 + = 3 b 16 a+b 3 16 a a+b 3(a+b)2=16ab, 3a2-10ab+3b2=0 3(a+b) ab 에서 = (3a-b)(a-3b)=0 ∴ 3a=b 또는 a=3b 따라서 { b a , a b } 의 값은 { 3, 1 3 } 또는 { 1 3 , 3 이므로 } b a a b + =3+ = ∴ 3 1 3 10 3 b a { + a b } =3_ =10 ;;Á3¼;; [다른 풀이] = + 3 3 a b (a+b)2 ab (이하 동일) 16 a+b 에서 3(a+b) ab = 16 a+b = 16 3 , a2+b2 ab +2= 16 3 ∴ + = b a a b 10 3 50 일등급 수학•고등 수학 (하) 24 답 10 x+1 함수 y= x-2 = 3 x-2 +1의 그래프의 두 점근선의 교점 (2, 1)이 원의 중심이므로 원과 함수의 그래프를 모두 x축의 방향으로 -2만 큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동하여 두 점근선의 교점과 원의 중심이 원점이 되도록 하자. 원 (x-2)2+(y-1)2=r2을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방 향으로 -1만큼 평행이동하면 x2+y2=r2이고 함수 y= x+1 x-2 의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행 이동하면 y= -1= 이다. x+3 x 3 x y r x@+y@=r@ -r 3 A{ }a a, M 3 , B{ } a a xr O -r 이때, 평행이동한 원과 함수의 그래프의 교점 중 제 1 사분면에 있는 두 점을 각각 A, B이라 하고 점 A의 좌표를 A a, { 3 a }`{ a< 3 a } 이라 하면 점 B의 좌표는 B 3 a { ,a 이다. } 선분 AB의 중점을 M이라 하면 점 M의 좌표는 a+ {;2!;{ 3 a } , ;2!;{ a+ 3 a }} 이므로 OMÓ= 2_ ' ;2!;{ a+ 3 a } = ' a+ 2 2 { 3 a } 이고 AMÓ= a- ;2!;¾¨{ 2 3 a } + { 3 a -a 2 } = ' 2 2 ¾¨{ a- 3 a } 2 =- ' 2 2 { a- 3 a }`{ ∵ a< 3 a } [해] 05강_육.indd 50 2017-12-11 오후 3:40:44 한편, 삼각형 OAM의 넓이는 16_ =2이므로 _OMÓ_AMÓ= _ ' a+ 2 2 { ;2!; ;2!; _ - ' [ 2 2 { a- 3 a }] =- aÛ`- (a2)2+8a2-9=0, (a2+9)(a2-1)=0 ∴ aÛ`=1 ;4!;{ 9 aÛ` } =2 ;8!; 3 a } ∴ rÛ`=aÛ`+ =1+ =10 9 aÛ` 9 1 25 답 ③ g(x+5)= f(x+4) f(x+4)-1 = g(x) g(x)-1 g(x) g(x)-1 f(4) f(4)-1 -1 =g(x)이므로 = 4 4-1 = ;3$; g(100)=g(95)=y=g(5)= 26 답 ④ 함수 y=f(x)의 그래프는 다음과 같다. y=f{x} 27 답 7 조건 (나)에서 f(f(x))=x이므로 f(x)= f` -1(x)이다. 즉, 함수 y=f(x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이다. 또한, 조건 (가)에서 함수 y=f(x)의 그 y y=f{x} y=x 래프가 두 점 (1, 1), (5, 5)를 지나므로 그림과 같이 두 점근선의 교점이 (3, 3) 임을 알 수 있다. 따라서 f(x)= 3x+b x-3 이고 {5, 5} {1, 1} O x Ⅴ05 유리식과 유리함수 f(1)= =1에서 b=-5이므로 f(x)= 3+b -2 3x-5 x-3 ∴ f(4)= 3_4-5 4-3 =7 28 답 21 6x+b f(x)= x-a = 6(x-a)+6a+b x-a = 6a+b x-a +6에서 함수 y=f(x)의 그래프의 두 점근선의 교점은 (a, 6)이다. 한편, y=f -1(x)의 그래프의 두 점근선의 교점은 점 (a, 6)을 y 6 2 y 6 2 y 6 2 -10 -6 O-2 2 6 10 x 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점이므로 (6, a)이고, 또, y= =a- 이므로 y= 의 그래프의 ax x+2 2a x+2 ax x+2 함수 y=f(x-a)+b의 그래프는 함수 y=f(x)의 그래프를 x축 의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 그래프와 일 점근선의 방정식은 x=-2, y=a이다. 치하므로 함수 y=f(x-a)+b의 그래프의 두 점근선의 교점은 Ú a<0일 때 y=f{x} 이다. Û a>0일 때 y=f{x} -10 -6 O-2 2 6 10 x 따라서 두 함수 y=f(x), y= 의 그래프의 교점은 유한개 ax x+2 -10 -6 -2 O 2 6 10 x (2a, 6+b)이다. 로 a=3, b=-3 이때, 주어진 조건에 의하여 점 (6, a)와 점 (2a, 6+b)가 같으므 따라서 f(x)= 이므로 f(4)= 6x-3 x-3 6_4-3 4-3 =21 29 답 ① f(x)= 2x 1+|x-1| 는 다음과 같다. 2 2x 2-x (x¾1) (x<1) = [ 에서 y=f(x)의 그래프 f{x}= 2x 1+|x-1| -2 21 x y 2 O -1 -2 그림과 같이 두 함수 y=f(x), y= 의 그래프의 교점의 개 ax x+2 이때, 함수 y=( f½f )(x)=f( f(x))에서 f(x)=t라 하면 수가 무수히 많게 되는 a의 값의 범위는 2ÉaÉ6 -2< f(x)É2이므로 y=f(t)`(-22) -1 (0Éx<2) x+2 x-2 (x<0) [ 그래프는 다음과 같다. 이므로 함수 y= |x|-2 |x-2| 의 a=b=-2 ∴ ab=4 [다른 풀이] h(x)=g(x+a)+2에서 x=g(h-1(x)+a)+2 g(h-1(x)+a)=x-2 h-1(x)+a=f(x-2) h-1(x)=f(x-2)-a=f(x+b)+2` 따라서 a=b=-2이므로 ab=4 y= |x|-2 |x-2| -2 1 2 3 x y 2 1 O -1 y=mx-3m+2 이때 직선 y=mx-3m+2=m(x-3)+2는 점 (3, 2)를 지나 고 기울기가 m인 직선이므로 함수 y= 의 그래프와 서로 |x|-2 |x-2| 다른 두 점에서 만나기 위한 직선의 기울기 m의 범위는 10이므로 양변에 x1x2를 곱하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 x1+x2=6, x1x2=4이다. ㄷ. 00일 때 y=-x y y=f{x} O R P xa Q P a, { 2 a } , Q(a, -a), R , -a 이므로 8 a {- }  PQÓ=a+ , QRÓ=a+ 2 a 8 a ∴ △PQR= PQÓ_QRÓ ;2!;_ = ;2!;{ a+ 2 a }{ a+ 8 a } = ;2!;{ aÛ`+ 16 aÛ` +10 } ¾ 2 aÛ`_ ;2!;{ ¾¨ +10 } =9 16 aÛ` (단, 등호는 a=2일 때 성립) 따라서 a=2일 때, 삼각형 PQR의 넓이의 최솟값은 9이다. Û a<0일 때 P { a, , Q(a, -a), R { - 8 a } 2 a , -a 이므로 Ú과 같은 방법 } 으로 하면 a=-2일 때, 삼각형 PQR의 넓이의 최솟값은 9이     다. Ú, Û에 의하여 삼각형 PQR의 넓이의 최솟값은 9이다. 35 답 12 직사각형의 각 사분면에 속한 부분의 넓이가 제 1 사분면부터 차례로 3, a, 4, b이고 직사각형의 성질에 의해 a_b=3_4=12 2 t } 4 t } { 4 t 36 답 ⑤ 곡선 y= 2 x 위의 점 P의 좌표를 { t, 라 하면 OPÓ=PQÓ에서 점 Q의 좌표는 Q 2t, 이므로 0, B { 4 t } , D(2t, 0)이다. ㄱ. 곡선 위의 점 A의 y좌표가 이므로 4 t = 2 x 에서 x= , 즉 A t 2 t 2 , 4 t } { t 2  이때, BAÓ= , AQÓ=2t- t이므로 t 2 = 3 2 BAÓ : AQÓ=1 : 3 ⋯ ㉠ (참) ㄴ. 곡선 위의 점 C의 x좌표가 2t이므로 y= = 2 2t 1 t 즉, C 2t, { 1 t } 1 t 이때 DCÓ= , CQÓ= - = 이므로 4 t 1 t 3 t DCÓ : CQÓ=1 : 3 ⋯ ㉡ ㉠, ㉡에서 △QAC∽△QBD이므로 선분 AC와 선분 BD는 평 행하다. (참) ㄷ. Ú 점 P는 직사각형 OBQD의 대각선 OQ의 중점이므로 대각 선 BD의 중점이다. 따라서 점 P는 직선 BD 위의 점이다. Û B 0, , D(2t, 0)에서 직선 BD의 방정식은 Ⅴ05 유리식과 유리함수 =1, 즉 x 2t + ty 4 =1 { x 2t + 4 t } y 4 t x 2t + ty 4 직선 =1과 곡선 y= 를 연립하여 y를 소거하면 2 x x 2t + t 2x =1에서 x2-2tx+t2=0 이때, 방정식 x2-2tx+t2=(x-t)2=0은 중근을 가지므로 직선 =1은 곡선 y= 와 접한다. 2 x Ú, Û에서 직선 BD는 곡선 y= 와 점 P에서 접한다. (참) x 2t + ty 4 2 x 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 37 답 ④ C D y k a 2 a 1 a O A B P a 2a ka C£ C¡ C™ x 그림과 같이 점 P의 좌표를 P 이라 하면 네 점 A, B, C, D a, { 1 a } 의 좌표는 A { 2a, 1 a } , B ka, { 1 a } , C a, { k a } , D a, { 2 a } 이다. =- 1 aÛ` - 2 1 a a 2a-a - 1 k a a ka-a ㄱ. (선분 DA의 기울기)= (선분 CB의 기울기)= = 1-k (k-1)aÛ` =- 1 aÛ` 이므로 선분 DA와 선분 CB는 평행하다. (참) ㄴ. DAÓ`//`CBÓ이므로 CBÓ DAÓ = PBÓ PAÓ = ka-a 2a-a =k-1 k=3이면 =3-1=2에서 CBÓ=2DAÓ (거짓) ㄷ. △PAD= PAÓ_PDÓ= a_ ;2!;_ 1 a =;2!; (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. CBÓ DAÓ ;2!;_ 정답 및 해설 53 [해] 05강_육.indd 53 2017-12-11 오후 3:40:48 38 답 4 점 A의 좌표를 A t, 이라 하면 점 B의 좌표는 B 1 t } { 1 t { , t 이다. } 삼각형 OAB가 정삼각형이므로 OAÓ 2 2 =ABÓ 에서 tÛ`+ 1 tÛ` = t- { Û` 1 t } +{ 1 t -t Û` } tÛ`+ =2tÛ`+ -4 ∴ tÛ`+ =4 1 tÛ` 2 2 tÛ` 1 tÛ` 즉, OAÓ =4에서 OAÓ=2이므로 원의 반지름의 길이는 2이다. 따라서 원의 넓이는 4p이므로 a=4 f -1(1)= 에서 f =1이므로 ;4&; {;4&;} 1= b+c ;4&; a- ;4&; = 7b+4c 4a-7 4a-7=7b+4c ∴ a-c=7 y ㉢ ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=5, c=-2, d=5 ∴ a+b+c+d=11 ⓑ ⓒ [30%] [40%] [30%] ⓐ ⓑ [60%] [40%] 일등급 | 채점기준 | ⓐ a, d 사이의 관계식과 b의 값을 구한다. ⓑ a, c 사이의 관계식을 구한다. ⓒ 연립방정식을 풀고 a+b+c+d의 값을 구한다. |x-1| x+1 의 그래프와 직선 ⓐ 41 답 12 이므로 그래프는 다음과 점 P의 좌표를 P a, +1 (a>0), 선분 OA의 중점을 2 a { }` 39 답 1 주어진 방정식의 실근의 개수는 함수 y= y=k의 교점의 개수와 같다. x-1 x+1 -x+1 x+1 |x-1| x+1 이때, y= = [ (x¾1) (x<1) 같다. y y= |x-1| x+1 y=k 1 y=1 -1 O 1 -1 x y=-1 M(1, 0)이라 하면 삼각형의 중선정리에 의해 2 2 2 OPÓ +APÓ =2(PMÓ +OMÓ 2 ) 2 a { =2 (a-1)2+ +1 +12 2 } ] =2 a2+ 2 2 a } { -2 a- { 2 a } +3 ] [ [ =2 a- [{ =2 a- [{ 2 a } 2 a } 2 +4-2 a- { 2 a } +3 ] 2 -2 a- { 2 a } +7 ] 이때, a- 2 OPÓ +APÓ =A라 하면 2 a 2 =2(A2-2A+7)=2{(A-1)2+6} x=-1 ⓑ 따라서 함수 y= 의 그래프와 직선 y=k의 교점의 개수가 2 |x-1| x+1 이려면 00) Û`+APÓ 따라서 점 P의 좌표가 (2, 2)일 때 OPÓ Û`의 최솟값은 12이다. 2 OPÓ 2 +APÓ 의 최솟값 A=1에서 a- =1, 즉 a2-a-2=0 2 a 그래프의 점근선의 방정식이 x=a, y=-b이므로 a=d y ㉠이고 -b=-3에서 b=3이다. ⓐ 또, y=f(x)의 그래프가 점 { 1, ;4!;} 을 지나므로 f(1)= 에서 ;4!; = ;4!; b+c a-1 ∴ a-4c=13 y ㉡ , a-1=4b+4c 54 일등급 수학•고등 수학 (하) 42 답 ⑤ 유리함수 y= 3 x-5 +k의 두 점근선은 x=5, y=k이다. 즉, 유리함수 y= +k의 그래프는 두 점근선의 교점 (5, k)를 3 x-5 지나고 기울기가 1인 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 k=5 [해] 05강_육.indd 54 2017-12-11 오후 3:40:49 43 답 ① 방정식 (g½f)(x)=g( f(x))=1이므로 g(x)의 정의에 의해 f(x)는 정수가 되어야 한다. 이때, f(x)= 6x+12 2x-1 = 15 2x-1 15의 약수이어야 한다. +3이 정수가 되려면 2x-1은 그런데 x가 자연수이므로 2x-1도 자연수이고, 2x-1은 15의 양의 약수이어야 한다. 즉, 2x-1=1 또는 2x-1=3 또는 2x-1=5 또는 2x-1=15이므로 x=1 또는 x=2 또는 x=3 또는 x=8이다. 따라서 서로 다른 자연수 x의 개수는 4이다. 44 답 ③ 함수 y=f(x)의 그래프는 두 점근선의 교점인 (-a, b)에 대하여 대칭이므로 역함수 y=f -1(x)의 그래프는 점 (b,``-a)에 대하여 46 답 ② 두 양수 a, b에 대하여 두 점 P, Q의 좌표를 각각 P a, { 4 a }, Q -b, - { 4 b } 라 하면 점 A, B, C, D의 좌표는 A(a, 0), B 0, , C(-b, 0), D 0, - 4 a } { 4 b } { 이때, 육각형 APBCQD의 넓이를 S라 하면 S=OAPB+OCQD+△OBC+△ODA =a_ +b_ + _b_ + _a_ 4 b 1 2 4 a 1 2 4 a 4 b a>0, b>0이므로 >0, >0에서 산술평균과 기하평균의 관계 =8+2 b a + a b } { 에 의하여 b a a b a b b a a b b a b a ¾¨ { + a b } + ¾2 _ =2` (단, 등호는 a=b일 때 성립) ∴ S=8+2 ¾8+2_2=12 따라서 육각형 APBCQD의 넓이의 최솟값은 12이다. Ⅴ05 유리식과 유리함수 대칭이다. 즉, (b, -a)=(2, 1)에서 b=2, a=-1 ∴ a+b=(-1)+2=1 45 답 ④ y=-x+3 y y=f{x} P x 2 O 1 47 답 20 y y=f{x} k Q{a, b} B C H O A P H' 1 l x 직선 l과 함수 y=f(x)의 그래프가 만나는 점 중 B가 아닌 점을 Q(a, b)라 하자. PBÓ=QPÓ=CQÓ y ㉠ 두 삼각형 APB, OPQ는 서로 합동이고, S2=2S1이므로 함수 y= +2의 그래프의 두 점근선은 x=1, y=2이고 2 x-1 한편, 두 점 Q, P에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 H, H'이라 하 면 두 삼각형 CQH, CPH'은 닮음비가 1`:`2인 닮은 삼각형이고, 직선 x+y-3=0은 점 (1, 2)를 지나므로 이 유리함수의 그래프는 직선 x+y-3=0에 대하여 대칭이다. 따라서 x>1인 경우만 생각 P(1, k)이므로 b= =f(a) k 2 +2 라 하면 점 P와 직선 x+y-3=0 사이의 거리는 } 또한, ㉠에 의하여 C(-3, 0)이고 두 점 C, Q를 지나는 직선 l의 방정식은 kx-4y+3k=0이고 원점과 직선 l 사이의 이고 t>1이므로 거리가 1이므로 유리함수 f(x)= +2의 그래프 위를 움직이는 점을 2 x-1 해도 된다. P t, { 2 t-1 t+ | 2 t-1 2 ' +2-3 t-1+ | | = 2 t-1 | 2 ' 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 (t-1)+ ¾2 (t-1)_ 2 t-1 ¾¨ =2 2 이다. ' 따라서 구하는 거리의 최솟값은 =2이다. 2 t-1 |2 2| ' 2 ' +k이므로 a=-1 즉, k 2 = k a-1 -1, k 2 } ∴ Q { =1에서 kÛ`=2 |3k| kÛ`+16 "à ∴ 10kÛ`=20 정답 및 해설 55 [해] 05강_육.indd 55 2017-12-13 오전 12:27:55 -p+a=6, b+q=1, a-bp+q(-p+a)=b에서 이 중 가장 작은 값 -2에 대하여 -2=-k이므로 k=2 +b의 그래프를 평행이동하면 부분을 직선 y=-k에 대하여 대칭이동한 곡선이다. 즉, y= +k -k의 그래프는 y= 의 그래프에서 y<-k인 2 x | | 2 x y O -k x 48 답 6 y= bx+a x+a = a-ab x+a y= x+b x+6 = b-6 x+6 k x-p ∴ a+b=4+2=6 [다른 풀이] y= bx+a x+a 만큼 평행이동하면 +1의 그래프가 된다. 이때, y= +q의 그래프는 평행이동하여도 k의 값은 같으므로 a-ab=b-6 ∴ (a+1)(b-1)=5 a, b가 자연수이므로 a+1, b-1은 정수이고 a+1>1이므로 a+1=5, b-1=1에서 a=4, b=2 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q y= b(x-p)+a (x-p)+a +q= (b+q)x+(a-bp-pq+aq) x-p+a 의 그래 프가 된다. 이 그래프가 y= 의 그래프와 일치하므로 x+b x+6 a-bp+6q=b y ㉠ p=a-6, q=1-b를 ㉠에 대입하면 a-b(a-6)+6(1-b)=b ab-a+b=6 ∴ (a+1)(b-1)=5 a, b가 자연수이므로 a=4, b=2 ∴ a+b=4+2=6 49 답 1 함수 f(x)= 2 x | y= +k 2 x y= | +k | 2 x ú j j k ú j j k y= | +k -k | 2 x 56 일등급 수학•고등 수학 (하) y k O y O y k x x O x -k +k -k의 그래프를 다음 순서로 그려보자. | 이 l1, l2이다. 2 x 2 y 한편, 함수 y= 의 그래프와 원 x2+y2=5가 만나는 점 중에서 y좌표가 가장 작은 점의 y좌표가 -k일 때, 함수 y=f(x)의 그래 프와 원 x2+y2=5가 5개의 점에서 만남을 알 수 있다. y= 에서 x= 를 x2+y2=5에 대입하면 2 x +y2=5에서 (y2)2-5y2+4=0 4 yÛ` (y2-1)(y2-4)=0, (y-1)(y+1)(y-2)(y+2)=0 ∴ y=Ñ1 또는 y=Ñ2 ∴ f(2)= +2 -2=1 2 2 | | 50 답 5 함수 y= nx x-m = mn x-m +n의 두 점근선 x=m, y=n의 교점을 P라 하면 P(m, n)이므로 점 P를 지나고 기울기가 1, -1인 직선 l¡ P y D n B OA m C x l™ 그림과 같이 직선 l1이 x축, y축과 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 직선 l2가 x축, y축과 만나는 점을 각각 C, D라 하면 삼각형 PAC 와 삼각형 PBD는 닮은 삼각형이고 그 닯음비가 n : m이므로 Sx : Sy=n2 : m2 즉, 4 : 1=n2 : m2 ∴ n=2m 이때, m, n은 집합 A의 원소이므로 순서쌍 (m, n)은 (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)의 5개이다. [해] 05강_육.indd 56 2017-12-15 오후 3:17:37 4 ab + 1 a 1 b 이고 Ⅴ05 유리식과 유리함수 ∴ f { a+b 2 } =1- 2 a+b 따라서 2f { a+b 2 } =f(a)에서 2f { a+b 2 } =2- 4 a+b =2- f(a)= -1이므로 ㉠에서 =2- 을 대입하면 1 a = -1 1 a 1 a 1 b 4 a { 2- 2- + 1 a 1 a } 1 a 1 a } 2- 2 2 1 a } { -5 +3=0 1 a { -1 }{ -3 =0 } { 2 a ∴ a=1 또는 a= 2 3 a=1을 ㉠에 대입하면 1+ =2 ∴ b=1 1 b 즉, a=b=1이므로 01) Ú 00) y ㉠ 따라서 옳은 것은 ㄴ이다. 09 답 ② ㄱ. a=-1이면 주어진 함수는 y=- 의 그래프는 y=- -x의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으 -(x-1)+1이고 이 함수 'Ä y 1 y= 2x-1 x-1 의 그래프는 점 , -1 을 지나므로 y= 2 3 { } 2x-1 x-1 의 그래프와 y= 2x-a-1의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나려면 그림과 같이 É 이어야 한다. 'Ä a 2 2 3 로 1만큼 평행이동한 것이므로 그래프 O 1 x ∴ aÉ ;3$; '¶ 'Ä y 1 O 는 그림과 같다. 따라서 그래프는 제`2 사분면을 지나지 않는다. (거짓) ㄴ. a의 값에 관계없이 a(x-1)¾0이므로 - a(x-1)É0이다. 즉, 함수 y=- a(x-1)+1의 치역은 'Ä 'Ä {y|yÉ1}이다. (참) ㄷ. 함수 y=- a(x-1)+1의 그래프는 다음과 같다. 'Ä y= x+1 a<0 1 a>0 x y=- a{x-1}+1 '§ 'Ä 10 답 ⑤ f(x)= 'Ä f(-1)= 'Ä ax+b+c가 x=-1에서 최솟값 1을 가지므로 -a+b+c=1 ⋯ ㉠ 또, f(1)=3이므로 f(1)= a+b+c=3 ⋯ ㉡ 한편, f(x)= ax+b+c에서 ax+b¾0이므로 'Ä 'Ä f(x)의 최솟값은 c이다. ∴ c=1 c=1을 ㉠, ㉡에 대입하면 -a+b=0, a+b=4이고 두 식을 연립 하여 풀면 a=2, b=2이므로 a+b+c=5 11 답 ③ y= 2x-1 x-1 y= 2x-a-1 y 2 2 3 O 1 x y=-1 -1 a { } , -1 2 Ⅴ06 무리식과 무리함수 12 답 6 y= ax+b+c에서 ax+b=y-c 'Ä 1 a ∴ x= (y-c)2- 'Ä b a 따라서 y= ax+b+c의 역함수는 'Ä (x-c)2- 1 a y= b a y=ax2+bx+c이므로 계수를 비교하면 x2- x+ 2c a 1 a = c2-b a a= , - =b, 2c a c2-b a =c 이고 이 함수가 1 a 1 a 2c a 이것을 다른 두 식에 대입하면 - =b에서 b=-2c, =c에서 b=c2-c c2-b a 이 두 식을 연립하면 c2-c=-2c에서 c2+c=0, c(c+1)=0 ∴ c=-1 (∵ c+0), b=2 y ㉡ ㉠, ㉡에서 a2+b2+c2=6 13 답 ⑤ ( f½(g½f)-1½f)(3) =( f½f -1½g -1½f)(3) =(g -1½f)(3)=g -1( f(3)) -1( f(3))=g -1(2) 한편, f(3)= 3+1 3-1 -1(2)=a라 하면 g(a)=2에서 =2이므로 g g g(a)= 'Ä 2a-1=2, 2a-1=4, 2a=5 ∴ a= ;2%; ∴ ( f½(g½f)-1½f)(3)=g -1(2)= ;2%; 분수함수 y= 2x-1 x-1 = 2(x-1)+1 x-1 = 1 x-1 +2의 그래프는 점근선이 x=1, y=2이고 점 (0, 1)을 지난다. 또, 무리함수 y= 2x-a-1= 2 ¾¨ { x- a 2 } -1은 정의역이 x [ | x¾ 이고, 치역이 {y|y¾-1}이다. 'Ä a 2 ] 14 답 ③ f -1( 'Ä x+a-1)=x+b에서 f(x+b)= 'Ä 이때, f(1)=0이므로 x=1-b를 대입하면 x+a-1 f(1)= 1-b+a-1에서 0= 1-b+a-1 'Ä a-b+1=1, a-b+1=1 'Ä 'Ä ∴ a-b=0 정답 및 해설 59 [해] 06강_육.indd 59 2017-12-11 오후 3:43:12 3 x ABÓ=BCÓ에서 tÛ`=3t ∴ t=2`(∵ t>0) ;2#; 15 답 ② 함수 y=f(x)의 그래프는 다음과 같다. y 2 3 y=2 3-x y=2 x-3 O 3 x 17 답 4 두 함수 y= 'Ä |x|-1+1, y=a-|x|는 y축에 대하여 대칭인 함 수이다. 따라서 두 함수의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나고 두 교점 사이의 거리가 4이므로 두 점의 좌표를 (-2, k), (2, k)라 할 수 있다. 즉, x=2일 때 두 함수의 함숫값이 같으므로 |2|-1+1=a-|2|에서 2=a-2 ∴ a=4 'Ä 이때, 함수 g(x)=mx+2의 그래프는 점 (0, 2)를 지나고 기울기 가 m인 직선이므로 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=g(x)가 서 로 다른 두 점에서 만나기 위해서는 다음과 같이 세 가지 경우이다. 18 답 40 함수 y= ∴ n=3 y=2 3-x y 2 O 2 3 y=2 x-3 {iii} {ii} {i} Ú 직선 y=g(x)가 점 (3, 0)을 지나는 경우 0=3m+2에서 m=- ;3@; Û 직선 y=g(x)가 x축에 평행인 경우 m=0 Ü 직선 y=g(x)가 곡선 y=2 x-3에 접하는 경우 'Ä 2 x-3=mx+2에서 4(x-3)=(mx+2)2 'Ä m2x2+4(m-1)x+16=0 D 4 =4(m-1)2-16m2=0에서 3m2+2m-1=0 (3m-1)(m+1)=0 ∴ m= 또는 m=-1 ;3!; 그런데 접하려면 m>0이어야 하므로 m= ;3!; Ú~Ü에 의하여 S=- +0+ =- ;3@; ;3!; ;3!; ∴ n_S=3_ =-1 {-;3!;} 16 답 ① 무리함수 y= '§ x의 그래프와 직선 y= (x+2)를 좌표평면 ;2!; 위에 나타내면 그림과 같다. 점 P의 y좌표를 k라 하면 -2 Ú 점 P의 x좌표는 y k O 1 y= {x+2} 1 2 y= x P Q x k= (x+2)에서 x=2k-2 ;2!; Û 점 Q의 x좌표는 k= x 에서 x=k2 '§ 그림에서 점 Q의 x좌표가 점 P의 x좌표보다 크므로 Ú, Û에서 PQÓ=k2-(2k-2)=(k-1)2+1 따라서 선분 PQ의 길이의 최솟값은 k=1일 때 1이다. 60 일등급 수학•고등 수학 (하) x의 그래프 위의 점 A의 좌표를 A(t2, t) (t>0)라 하면 '§ 점 B, C, D의 좌표는 각각 B tÛ` 2 {- , C , t } {- , D(tÛ`, -2t) , -2t } tÛ` 2 이다. 점 D의 좌표를 y=- kx에 대입하면 -2t=- kt2 ∴ k=4 '¶ " 또한, 사각형 ABCD가 정사각형이므로 따라서 정사각형의 한 변의 길이는 ABÓ= _2Û`=6이므로 ;2#; 정사각형의 넓이는 S=36 ∴ k+S=40 19 답 6 주어진 도형을 직선 y=x에 대하여 대칭이동시켜 넓이를 구해도 마 두 함수 y= 3x, y=2x-3의 역함수를 구하면 '¶ y= 3x에서 x= yÛ`이므로 y= xÛ` (x¾0) '¶ ;3!; ;3!; y=2x-3에서 x= (y+3)이므로 y= x+ ;2!; ;2!; ;2#; 두 역함수의 그래프의 교점의 좌표를 구하기 위해 연립하면 , 2x2-3x-9=0, (2x+3)(x-3)=0 x2= x+ ;2#; ;2!; ;3!; ∴ x=3 (∵ x¾0) 즉, 교점의 좌표는 (3, 3)이다. 두 역함수의 그래프의 교점을 P, 점 P에서 x축과 y축에 내린 수선 의 발을 각각 H, T라 하고 직선 y= x+ 이 x축과 만나는 점을 ;2!; ;2#; Q라 하여 좌표평면에 나타내면 다음과 같다. y= x@{x 0} 1 3 y T 3 P{3, 3} H 3 x 1 y= x+ 2 3 2 Q -3 O 따라서 구하는 영역의 넓이를 S라 하면 S=△PQH-  PTOH= _6_3- ;3!; ;2!; _32=6 ;3!; 이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 판별식을 D라 하면 찬가지이다. [해] 06강_육.indd 60 2017-12-11 오후 3:43:13 24 답 15 함수 f(x)가 일대일대응이 되기 위해서는 곡선 y=-(x-a)2+b`(x¾4)가 점 (4, 3)을 지나야 하고, 곡선 y=-(x-a)2+b가 직선 x=a에 대하여 대칭이므로 aÉ4이 (∵ x= 5) ' 어야 한다. 20 답 ④ x-2 x+2+ x-2 x+2- 'Ä 'Ä 'Ä 'Ä = = = = 'Ä xÛ`-4 x+2+ x-2)Û` ( 'Ä (x+2)-(x-2) 2x+2 "à 4 5+2 4 5+2 4 5+1 2 5-4 = ' 'Ä ' ' 2 2 21 답 ⑤ x2-4= a2+2+ =a2-2+ { { y2-4= b2+2+ -4 -4 a- { 2 1 a } =b2-2+ b- { 2 1 b } 1 a2 } 1 a2 = 1 b2 } 1 b2 = 1 b ` y2-4 "à , b< xy- "à = a+ b+ 1 a x2-4 1 a }{ 1 a }{ 1 a }{ { { { =2 ab+ { 1 ab } 1 b } 1 b } 1 b } = a+ b+ - a- b- = a+ b+ + a- b- - ¾¨{ a- 2 1 a } b- ¾¨{ 2 1 b } 1 a || 1 a }{ 1 b | 1 b } | { 이때, a> (∵ a>1, 00) ' Ú, Û에 의하여 두 함수의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 k의 범위는 4Ék<4 2이므로 ' 16Ék2<32에서 a=16, b=32 ∴ b-a=32-16=16` [다른 풀이] Û y=-2 4-x+k에서 k-y=2 4-x 'Ä 'Ä 이것은 함수 y=2 x의 x에 4-x를, y에 k-y를 대입한 것이므 로 함수 y=2 에 대하여 대칭이동한 것이다. '§ x를 점 { '§ 2, k 2 } 가 직선 x=2 위에 있으므로 두 곡선이 접할 때의 2, 점 { k 2 } 접점의 x좌표도 2이다. 즉, -2 4-2+k=2 2에서 k=4 2 ' ' 'Ä 26 답 9 주어진 그래프는 꼭짓점이 (-3, 5)인 이차함수의 일부이므로 y=k(x+3)2+5 (x¾-3)이고 점 (0, 2)를 지나므로 2=k(0+3)2+5에서 9k=-3 ∴ k=- ;3!; 즉, 주어진 그래프의 함수식은 y=- (x+3)2+5 (x¾-3)이고 이 함수의 역함수는 ;3!; (x+3)2=-3(y-5)에서 x+3= -3y+15 (∵ x¾-3) 'Ä -3y+15-3 ∴ x= 'Ä y= -3x+15-3이다. 'Ä 따라서 a=-3, b=15, c=-3이므로 a+b+c=9 'Ä 27 답 2 함수 y=f(x)와 y=g(x)는 역함수 관계이므로 두 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이다. xÛ` 2 xÛ` 2 른 두 점에서 만나도록 하는 정수 k의 개수를 구하는 것과 같다. x¾0이므로 x에 대한 방정식 f(x)=2x가 음이 아닌 서로 다른 두 실근을 가지면 된다. f(x)=2x에서 +k=2x ∴ x2-4x+2k=0 y ㉠ 62 일등급 수학•고등 수학 (하) a+b=4¾0, ab=2k¾0 ∴ k¾0 Û ㉠의 판별식을 D라 할 때 D 4 =4-2k>0 ∴ k<2 Ú, Û에 의하여 0Ék<2 따라서 정수 k는 0, 1의 2개이다. 28 답 ④ 무리함수 y= 'Ä 다. 2x-5+k는 x의 값이 증가할 때, y의 값도 증가하 는 함수이므로 함수 y= 프의 교점은 함수 y= 'Ä 2x-5+k의 그래프와 그 역함수의 그래 'Ä 2x-5+k의 그래프와 직선 y=x의 교점이 한편, 함수 y= 2x-5+k의 그래프는 함수 y= 2x-5의 그래프 'Ä 를 y축의 방향으로 k만큼 평행이동한 것이므로 두 교점 A, B에 대 하여 선분 AB의 길이가 최대일 때는 그림과 같이 y= 2x-5+k 'Ä 'Ä 의 그래프의 시작점이 직선 y=x 위의 점일 때이다. y k A 5 2 'Ä O ;2%; y=x B y= 2x-5+k y= 2x-5 x ;2%; 'Ä ;2%; 2 2x-5=2x-5 'Ä 여기서 'Ä 2x-5=t라 하면 2t=t2, t(t-2)=0 ∴ t=0 또는 t=2 즉, 2x-5=0 또는 2x-5=2에서 'Ä 'Ä ;2%; x= 또는 x= ;2(; 따라서 선분 AB의 길이가 최대일 때 두 점 A, B의 좌표는 29 답 ② 함수 f(x)의 역함수가 존재하므로 함수 f(x)는 일대일대응이다. x¾1에서 함수 y= 의 그래프는 점근선이 -3x+1 x+1 직선 y= x를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선은 y=2x이므 ;2!; 로 함수 f(x)= +k`(x¾0)의 그래프와 직선 y=2x가 서로 다 이므로 선분 AB의 길이의 최댓값은 A {;2%;, ;2%;} {;2(;, ;2(;} , B 2 ¾¨{;2(;-;2%;} +{;2(;-;2%;} 'Ä 2 = 4+4=2 2 ' 즉, 주어진 그래프가 나타내는 함수의 역함수 y= ax+b+c는 직선 y=x의 또 다른 교점은 2x-5+ =x에서 따라서 이때의 k의 값은 이고 함수 y= 2x-5+ 의 그래프와 [해] 06강_육.indd 62 2017-12-11 오후 3:43:15 x=-1, y=-3이고 점 (1, -1)을 지나는 그래프로 x의 값이 증 가하면 y의 값은 감소하는 함수이고, x<1에서 무리함수 y= 1-x+k도 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하는 'Ä 함수이므로 f(x)는 실수 전체의 범위에서 감소하는 함수이다. y 2 1 ´3 ´2 y=g{x} y=f{x} y=f{x-2} 따라서 함수 f(x)가 일대일대응이려면 무리함수 1-x+k의 그래프가 점 (1, -1)을 지나야 한다. y= 'Ä 즉, -1= 'Ä 1-1+k에서 k=-1 따라서 f(x)= 1-x-1 (x<1) 'Ä -3x+1 x+1 f -1( f -1(a))=3이면 f( f(3))=a이므로   (x¾1) 이고 [ a=f( f(3))=f(-2)= 3-1 ' -2 O 1 2 x Ú y=g(x)의 그래프가 두 점 (1, 1), (2, 2)를 지날 때, g(1)+g(2)=1+2=3 Û y=g(x)의 그래프가 두 점 (1, '§ 3 ), (2, 2 )를 지날 때, '§ g(1)+g(2)= 3+ 2 '§ '§ Ü y=g(x)의 그래프가 두 점 (1, '§ 3 ), (2, 2)를 지날 때, g(1)+g(2)= 3+2 '§ 이때, 3+2>3이고 3+2> 3+ 2이므로 '§ '§ '§ '§ 3+2이다. g(1)+g(2)의 최댓값은 '§ Ⅴ06 무리식과 무리함수 30 답 ④ 9- 함수 y= [ - 'Ä (x¾1) 9 x 8-8x (x<1) 의 그래프와 기울기가 1이고 y절편이 k인 직선 y=x+k가 서로 다른 세 점에서 만나는 경우는 다음 그림 2x이고, x<0일 때 y=0이므로 과 같이 직선 y=x+k가 두 접선 Ú, Û 사이에 있을 때이다. 32 답 ③ x¾0일 때 y= '¶ y= x+|x|의 그래프는 그림과 같다. 'Ä y y 9 {ii} y=9- 9 x {i} x 1 O y=- 8-8x Ú - 8-8x=x+k에서 8-8x=x2+2kx+k2 'Ä x2+2(k+4)x+k2-8=0 이 이차방정식의 판별식을 DÁ이라 하면 =(k+4)2-(k2-8)=8k+24=0에서 k=-3 DÁ 4 9 x Û 9- =x+k에서 9x-9=xÛ`+kx ` xÛ`+(k-9)x+9=0 이 이차방정식의 판별식을 Dª라 하면 Dª =(k-9)2-36=k2-18k+45` =(k-15)(k-3)=0 에서 k=3 (∵ 그래프에서 00 Û 직선 y=k(x+2)가 점 (1, 1)을 지날 때, 1=3k에서 k= ;3!; Ú, Û에서 구하는 k의 값의 범위는 00이므로 a=2이다. 그래프와 무연근 =(99-1Û`)+(99-2Û`)+y+(99-9Û`) =99_9-(1Û`+2Û`+y+9Û`)= 606 (나) 따라서 p=99, q=606, f(7)=99-7Û`=50이므로 일등급 p+q+f(7)=99+606+50=755` 방정식 ㉠에서 실근은 하나 더 있지만 필요로 하는 근을 구했기에 더 이 상 찾는 것은 무의미하다. 이전 교육과정에서는 이런 근을 방정식을 변 형하면서 생긴 원래의 방정식과는 관계가 없는 근(무연근)이라 했다. 37 답 ⑤ 조건 (가)에서 -1ÉxÉ1일 때 함수 y=f(x)의 그래프는 [그림 1] 과 같다. 조건 (나)에서 y=f(x)가 주기가 2인 주기함수이므로 그래 프는 [그림 2]와 같다. 35 답 ④ y=1- "à 양변을 제곱하면 (y-1)Û`=1-xÛ` 1-xÛ`에서 y-1=- 1-xÛ` "à ∴ xÛ`+(y-1)Û`=1 (yÉ1) 따라서 y=1- 1-xÛ`의 그래프는 원 xÛ`+(y-1)Û`=1에서 "à yÉ1인 부분이므로 다음 그림과 같다. y=1- 1-x@ y 2 1 -3 -1 O 1 3 5 x y=k{x+2} -2 -1 O 1 x 이때, 직선 x-ny+2=0, 즉 y= (x+2)는 y=k(x+2)는 k의 값에 관계없이 점 (-2, 0)을 지나는 직선이 점 (-2, 0)을 지나고 기울기가 인 직선이므로 고, 주어진 곡선과 서로 다른 두 점에서 만나려면 n=1, 2, 3 y일 때의 그래프는 다음 그림과 같다. 64 일등급 수학•고등 수학 (하) y 1 -1 O 1 x [그림 1] y 1 [그림 2] 1 n 1 n [해] 06강_육.indd 64 2017-12-11 오후 3:43:17 y 1 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 -3 -1-2 O 1 3 5 x | 채점기준 | ⓐ 두 함수 f(x), g(x)가 역함수 관계임을 파악한다. ⓑ 두 함수의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나는 조건을 구한다. ⓒ k의 값의 범위를 구하고 모든 정수 k의 값의 합을 구한다. [30%] [40%] [30%] ㄱ. g(1)=1, g(2)=2, g(3)=3, y에서 g(n)=n y ㉠이다. ∴ g(3)=3 (참) ㄴ. f(2)=1, f(3)=0, f(4)=1, f(5)=0, y이고, g(2)=2, g(3)=3, g(4)=4, g(5)=5, y이므로 n¾2일 때, f(n)0) 243 25 따라서 정삼각형 ABC의 한 변의 길이는 ABÓ=2 k=2 ' 243 25 ¾¨ =2_ 9 3 ' 5 = 3 18 ' 5 xÛ`+ k`(x¾0)의 역함수는 ;4!; ;4!; 39 답 6 함수 f(x)= g(`x)= 4x-k이다. 'Ä 에 있다. 즉, 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프의 교점은 직선 y=x 위 즉, 두 함수의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나려면 xÛ`+ k=x에서 xÛ`-4x+k=0이 음이 아닌 서로 다른 두 실근 ;4!; ;4!; k¾0, =(-2)Û`-k>0이어야 한다. D 4 즉, 0Ék<4이므로 모든 정수 k는 0, 1, 2, 3으로 구하는 합은 0+1+2+3=6이다. ⓐ ⓑ ⓒ 40 답 40 y C y=2 x B y=m{x+2} A -2 O D E x Ⅴ06 무리식과 무리함수 두 점 B, C에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 D, E라 하면 ABÓ=BCÓ에서 ACÓ=2ABÓ이고 두 삼각형 ABD, ACE가 닮음이 므로 CEÓ=2BDÓ이다. 두 점 B, C의 y좌표를 각각 k, 2k`(k>0)라 하고 y=m(x+2)와 y=2 x, 즉 yÛ`=x를 연립하면 '§ ;4!; y=m yÛ`+2 에서 이차방정식 myÛ`-4y+8m=0의 두 근이 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 k+2k= , k_2k=8이므로 k=2`(∵ k>0)이고 {;4!; } k, 2k이다. 4 m m= 이다. ;3@; ∴ 60m=60_ =40 ;3@; | 채점기준 | ⓐ 두 선분 CE, BD의 길이 사이의 관계식을 구한다. ⓑ k의 값을 구하기 위하여 방정식을 세운다. ⓒ 근과 계수의 관계를 이용하여 k, m의 값을 각각 구하고 60m의 값을 구한 ⓐ ⓑ ⓒ [30%] [40%] [30%] 다. [다른 풀이] ABÓ=BCÓ이므로 ADÓ=DEÓ이고 직선 l은 m의 값에 관계없이 점 A(-2, 0)을 지나므로 점 B의 x좌표를 k`(k>0)라 하면 ADÓ=k+2에서 DEÓ=k+2이다. 즉, 점 E의 x좌표는 k+(k+2)=2k+2이므로 두 점 B, C의 y좌표는 각각` 2 k, 2 2k+2이다. 이때, 2BDÓ=CEÓ이므로 4 4k=2k+2, 2k=2 ' k=2 'Ä 2k+2에서 ' 'Ä ∴ k=1 울기는 m= 2-0 1-(-2) = ;3@; ∴ 60m=40 정답 및 해설 65 을 가져야 하므로 xÛ`-4x+k=0의 판별식을 D라 하면 즉, 점 B의 좌표는 (1, 2)이므로 두 점 A, B를 지나는 직선 l의 기 [해] 06강_육.indd 65 2017-12-11 오후 3:43:17 B ' 41 답 27 y A y= 2x y= 2{x-4} C O 4 x 43 답 ④ a, d= b= ' ' c에서 a=bÛ`, c=dÛ` 또, 주어진 조건에서 =1이므로 b+d 2 (직선 PQ의 기울기)= d-b c-a = d-b dÛ`-bÛ` = 1 d+b = ;2!; 곡선 y= 2x 위의 점 A의 좌표는 A(4, 2 2)이고 점 B의 좌표를 ' 2(x-4) 위의 점 C의 좌표를 '¶ B(2bÛ`, 2b), 곡선 y= 'Ä C(2cÛ`+4, 2c)(c>0)라 하자. 44 답 ② 함수 y=f(x)의 그래프가 점 B를 지날 때의 k의 값은 1= 7-k에서 k=6이다. 즉, k>6이면 함수 y=f(x)의 그래프 'Ä 이때, 두 점 A, C의 중점의 좌표는 (cÛ`+4, c+ 2)이고 는 삼각형 ABC와 만나지 않는다. 두 점 O, B의 중점의 좌표는 (bÛ`, b)인데 사각형 OABC가 평행사 변형이므로 두 선분 OB, AC의 중점이 일치한다. ⓐ 또, f(x)= x-k의 역함수는 f -1(x)=xÛ`+k (x¾0)이고 'Ä 역함수 y=f -1(x)의 그래프가 점 A를 지날 때의 k의 값은 bÛ`=cÛ`+4에서 bÛ`-cÛ`=4이고 b=c+ 2에서 6=1Û`+k에서 k=5이다. 즉, k>5이면 y=f -1(x)의 그래프는 삼 b-c= 2 y ㉠이다. ' 각형 ABC와 만나지 않는다. bÛ`-cÛ`=(b-c)(b+c)=4에 b-c= 2를 대입하면 따라서 함수 y=f(x)의 그래프와 역함수 y=f -1(x)의 그래프가 ' ' 삼각형 ABC와 동시에 만나도록 하는 실수 k의 최댓값은 5이다. ⓑ ⓒ [40%] [30%] [30%] 2(b+c)=4 ∴ b+c=2 2 y ㉡ ' ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 b= 이므로 점 B의 좌표는 ' 2 3 ' 2 B(9, 3 2)이다. ' Û`=(9-4)Û`+(3 ∴ ABÓ 2-2 2)Û`=25+2=27 ' ' | 채점기준 | ⓐ 두 선분 AC, OB의 중점이 일치함을 파악한다. ⓑ 두 선분의 중점이 일치함을 이용하여 관계식을 세운다. ⓒ ABÓ Û`의 값을 구한다. 무리함수의 그래프 위의 점의 표현 일등급 ㉠, ㉡에서 두 점 B, C의 좌표를 B(b, '¶ 2b), C(c, 'Ä 2(c-4))라 하면 계산 과정이 복잡해진다. 무리함수에서 문자를 이용해 좌표를 설정할 때는 근호 안이 완전제곱이 되도록 하는 문자를 좌표로 설정하면 계산 과정이 간단해진다. 42 답 ③ 별 A, B의 표면 온도를 각각 TA, TB, 반지름의 길이를 각각 RA, RB, 광도를 각각 LA, LB라 하면 TA= TB이고 RA=36RB이다. ;2!; TAÛ`= 1 RA ¾¨ LA 4pr 에서 TB} {;2!; 2 = 1 36RB ¾¨ LA 4pr ∴ TBÛ`= ;4!; 36RB ¾¨ 1 LA 4pr y ㉠ 또, TBÛ`= 1 RB ¾¨ LB 4pr y ㉡이므로 ㉠z㉡을 하면 LA LB 에서 LA LB ¾¨ =9 ;4!;=;3Á6;¾¨ ∴ LA LB =81 LA LB 66 일등급 수학•고등 수학 (하) 45 답 16 두 점 A, B의 좌표는 각각 A(`a, 점 C의 y좌표는 점 B의 y좌표와 같으므로 x= 3a에서 x=3a '¶ ' 따라서 두 점 C, D의 좌표는 각각 C(`3a, a), B(`a, 3a )이고 '¶ ' 이때, 두 점 A, D를 지나는 직선의 기울기가 이므로 ;4!; 3 a a- ' ' 3a-a = a 에서 ' a ;4!; = , ;4!; = , a=4 ;4!; ' 1 a ' 3a ), D(`3a, 3 a)이다. ' '¶ ∴ a=16 46 답 6 y= ax+b+c의 그래프를 x축의 방향으로 -4만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프의 식은 y-3= a(x+4)+b+c에서 y= a(x+4)+b+c+3 'Ä 이 그래프를 다시 y축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 y= a(-x+4)+b+c+3에서 y= -ax+4a+b+c+3 'Ä 'Ä 'Ä 'Ä 이 함수가 y= -2x+9+6과 같으므로 'Ä -a=-2에서 a=2, 4a+b=8+b=9에서 b=1, c+3=6에서 c=3이다. ∴ a+b+c=6 47 답 10 함수 y= ' x의 그래프는 함수 y=xÛ` (xÉ0)의 그래프를 y축에 대 하여 대칭이동한 후 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 그래프와 일치 따라서 그림과 같이 S'의 부분과 S"의 부분의 넓이는 서로 같다. 이때, LA=kLB에서 =k이므로 k=81 하고 점 A는 같은 방법의 대칭이동으로 점 B로 이동한다. [해] 06강_육.indd 66 2017-12-11 오후 3:43:18 A S' y O B S'' x 따라서 구하는 부분의 넓이를 S라 하면 S의 값은 삼각형 OBA의 넓이와 같다. 이때, 삼각형 OBA에서 밑변을 선분 AB라 하면 높이는 원점과 직 선 x+3y-10=0 사이의 거리이다. ABÓ= (4+2)Û`+(2-4)Û`=2 10`이고 높이는 "à |0+3_0-10| 1Û`+3Û` "à '¶ = 10`이므로 '¶ S= _ 10_2 10=10 ;2!; '¶ '¶ [다른 풀이] y=f{x} y A C x>3일 때, =k에서 b가 정수이므로 k는 유리수이다. xÉ3일 때, 3-a+2=k에서 a가 정수이고 k가 유리수이므로 2b b-2 'Ä 그래프에서 k는 20이므로 M= 3+2 5 6 ' 따라서 M+m= 3+2 5 6 ' + = + ;5$; ;5!; ;5@;' 6이므로 p= , q= 이다. ;5$; ;5@; ∴ 100(p+q)=100_ =120 ;5^; 51 답 85 함수 y= 'Ä x+16의 그래프는 함수 y= x의 그래프를 x축의 방향 으로 -16만큼 평행이동한 것이고, 함수 y=- x+4의 그래프는 함수 y=- x의 그래프를 y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 것이 ' 므로 두 함수의 그래프와 x축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경 ' ' 계는 [그림 1]과 같다. y 4 O y 4 O x 16 y=- x+4 [그림 1] y= x+16 ㉠ ㉡ ㉢ [그림 2] x 16 y=- x+4 -16 -16 이때, 함수 y=- x+4의 그래프는 함수 y= x+16의 그래프를 ' 'Ä x축에 대하여 대칭이동한 후 x축의 방향으로 16만큼, y축의 방향으 로 4만큼 평행이동한 것이므로 [그림 2]와 같이 함수 y= x+16의 'Ä 그래프와 x축, y축으로 둘러싸인 영역 ㉠의 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점의 개수는 함수 y=- x+4의 그래프와 두 직선 x=16, ' y=4로 둘러싸인 영역 ㉢의 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점의 개 수와 같다. 와 같다. 따라서 영역 ㉠과 영역 ㉡의 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점의 개 수는 영역 ㉡과 영역 ㉢의 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점의 개수 Û y=1일 때, x의 값은 -15, -14, -13, y, 9의 25개 Ü y=2일 때, x의 값은 -12, -11, -10, y, 4의 17개 Ý y=3일 때, x의 값은 -7, -6, -5, y, 1의 9개 Þ y=4일 때, x의 값은 0의 1개 Ú~Þ에 의하여 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점의 개수는 33+25+17+9+1=85이다. 52 답 3 함수 y=g(x)의 그래프는 [그림 1]과 같다. y=g{x} y 2 1 -1 O 1 x [그림 1] y 1 y 1 -1 y={ f©g}{x} -1 O 1 x [그림 2] 또, 함수 y=( f½f½g)(x)=|( f½g)(x)-1|의 그래프는 [그림 3]과 같이 함수 y=( f½g)(x)의 그래프를 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 후 x축의 아래쪽 부분을 x축에 대하여 대칭이 동한 그래프이다. y={ f©f©g}{x} -2 -1 O 1 2 x [그림 3] 따라서 구하는 두 영역의 넓이의 합은 평행한 두 변의 길이가 각각 2, 4이고 높이가 1인 사다리꼴의 넓이이다. x축 위의 정수인 점은 0, 1, y, 16으로 17개, y축 위의 정수인 점은 0, 1, y, 4로 5개이므로 구하는 점의 개수는 17_5=85이다. ∴ A+B= _(2+4)_1=3 ;2!; 68 일등급 수학•고등 수학 (하) [해] 06강_육.indd 68 2017-12-11 오후 3:43:20 53 답 4 y=x+|x-n|= 2x-n (x¾n) (x0이므로 n<0 ∴ n=-12 Ý y=2x-n과 y= x+6 의 그래프가 접할 때, 2x-n= x+6에서 4xÛ`-4nx+nÛ`=x+6 'Ä 'Ä 4xÛ`-(4n+1)x+nÛ`-6=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=(4n+1)Û`-16(nÛ`-6)=0에서 8n+97=0 ∴ n=- ;;»8¦;; 따라서 합의 법칙에 의하여 9+9=18(가지) Û ab가 홀수인 경우 a도 홀수이고 b도 홀수이어야 하므로 3_3=9(가지) 이때, a+b와 ab가 모두 홀수인 경우는 존재하지 않으므로 구하는 순서쌍 (a, b)의 개수는 합의 법칙에 의하여 18+9=27 02 답 24 1, 2의 2가지 Ú 백의 자리의 수를 정하는 방법 Û 십의 자리의 수를 정하는 방법 1, 2, 3, 4 중 백의 자리의 수를 제외한 3가지 Ü 일의 자리의 수를 정하는 방법 1, 2, 3, 4, 5, 6 중 백의 자리와 십의 자리의 수를 제외한 4가지 따라서 곱의 법칙에 의하여 구하는 세 자리의 수의 개수는 Ü, Ý에서 구하는 n의 값의 범위는 - 0이어야 한다. [해] 07~08강-육.indd 72 2017-12-11 오후 3:43:47 즉, D=a2-4b>0에서 a2>4b` Ü {5, 52}, {6, 62}, {7, 72}, {10, 102}에서 서로 다른 두 수 a, b 위 식을 만족시키는 a, b의 순서쌍 (a, b)를 구하면 를 정하는 경우의 수는 각각 2이므로 2_4=8 Ú a=3일 때, b=1, 2 Û a=4일 때, b=1, 2, 3 Ü a=5일 때, b=1, 2, 3, 4, 5, 6 Ý a=6일 때, b=1, 2, 3, 4, 5, 6 Ú~Ý에 의하여 구하는 순서쌍 (a, b)의 개수는 2+3+6+6=17 22 답 70 f(x)=a7x7+a6x6+y+a1x+a0 (ai=1 또는 ai=-1이고, i=0, 1, 2, y, 7)이라 하면 f(-1)=a0-a1+a2-a3+y-a7=0이므로 a0+a2+a4+a6=a1+a3+a5+a7 즉, (짝수차항의 계수의 합)=(홀수차항의 계수의 합)이어야 한다. Ú 4=4일 때, 1_1=1 Û 2=2일 때, 4_4=16 Ü 0=0일 때, 6_6=36 Ý -2=-2일 때, 4_4=16 Þ -4=-4일 때, 1_1=1 23 답 202 그림과 같다. Ú~Þ에 의하여 구하는 경우의 수는 1+16+36+16+1=70 모든 사분원의 길이는 같으므로 주어진 그림을 단순화시키면 다음 1 21 A 4 40 1 1 10 101 B 202 10 101 1 21 1 1 Ú~Ü에 의하여 순서쌍 (a, b)의 개수는 30+12+8=50 25 답 42 처음에 1단을 오르고 남은 (n-1)개의 계단을 오르는 방법은 f(n-1)가지이고, 처음에 2단을 오르고 남은 (n-2)개의 계단을 오르는 방법은 f(n-2)가지이다. 이때, 이 두 경우는 동시에 일어날 수 없으므로 f(n)=f(n-1)+f(n-2) 1단의 계단을 오르는 방법은 1가지 2단의 계단을 오르는 방법은 (1단, 1단), (2단)의 2가지이므로 Ⅵ 07 경우의 수 (가) (나) f(1)=1, f(2)=2 f(3)=f(2)+f(1)= 3 f(4)=f(3)+f(2)= 5 f(5)=f(4)+f(3)=8 f(6)=f(5)+f(4)=13 f(7)=f(6)+f(5)=21 ∴ f(8)=f(7)+f(6)= 34 (다) 즉, a=3, b=5, c=34이므로 a+b+c=3+5+34=42 26 답 ④ 다음과 같이 갑의 경로를 기준으로 경우를 나누어 생각하자. Ú 갑이 A` C` B로 가는 경우 Ú 갑의 경로의 방법의 수는 4_2=8 Ú 을의 경로의 방법의 수는 (3_1)+(2_3)=9 갑과 을이 동시에 진행하므로 곱의 법칙에 의하여 구하는 방법의 수는 8_9=72 Û 갑이 A` D` B로 가는 경우 Ú 갑의 경로의 방법의 수는 2_3=6 Ú 을의 경로의 방법의 수는 (4_2)+(1_2)=10 갑과 을이 동시에 진행하므로 곱의 법칙에 의하여 구하는 방법의 수는 6_10=60 Ú, Û는 동시에 일어날 수 없으므로 합의 법칙에 의하여 변이 1개인 것은 그대로, 변이 2개인 것은 2배로 하여 경우의 수를 더해 가면 된다. 따라서 최단거리로 가는 전체 경우의 수는 202이다. 24 답 ② am=bn이므로 a와 b의 소인수는 서로 같아야 한다. 수가 2개 이상인 집합을 모두 구하면 {2, 22, 23, 24, 25, 26}, {3, 32, 33, 34}, {5, 52}, {6, 62}, {7, 72}, {10, 102} 2부터 100까지의 자연수에서 소인수가 같은 수의 집합 중 원소의 개 72+60=132 27 답 ② 420=22_3_5_7이므로 420=a_b`(a, b는 서로소)라 하면 소 Ú {2, 22, 23, 24, 25, 26}에서 서로 다른 두 수 a, b를 정하는 경우 인수 2, 3, 5, 7은 a나 b 중 한 군데에만 들어가야 한다. 이때, 2Û`이 들어간 수를 a라 하면 3이 들어갈 곳을 정하는 경우의 수 Û {3, 32, 33, 34}에서 서로 다른 두 수 a, b를 정하는 경우의 수는 는 a 또는 b의 2가지이고, 마찬가지로 5와 7이 들어갈 곳을 정하는 의 수는 6_5=30 4_3=12 경우의 수는 각각 2가지이므로 구하는 경우의 수는 2_2_2=8 정답 및 해설 73 [해] 07~08강-육.indd 73 2017-12-11 오후 3:43:48 28 답 ⑤ 만의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, y, 9의 9개이고, 천의 자리 와 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0, 1, 2, 3, y, 9의 10개이다. 한 편, 십의 자리와 일의 자리의 숫자는 각각 천의 자리, 만의 자리의 숫 자와 서로 같으므로 구하는 자연수의 개수는 9_10_10=900이다. 29 답 308 그림과 같이 A지점에서 P지점까지의 경로의 수와 P지점에서 B지점까지의 경로의 수를 각각 구해 보자. 14P P 5 5 3 1 9 4 1 2 2 1 1 A 1 1 2 1 4 6 1 6 16 22 B Ú 일의 자리의 수가 0인 경우 R0에서 나머지 2개를 택하여 배열하는 경우의 수는 2 R1, R2에서 하나씩 택하여 배열하는 경우의 수는 2_2_2=8 ∴ 8+2=10 Û 일의 자리의 수가 2인 경우 R0, R1에서 하나씩 택하여 배열하는 경우의 수는 3_2_2=12 이때, 백의 자리의 수가 0인 경우의 수가 2이므로 구하는 경우의 수는 12-2=10 Ü 일의 자리의 수가 4인 경우 일의 자리의 수가 2인 경우의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 10 Ý 일의 자리의 수가 6인 경우 따라서 A지점에서 출발하여 B지점에 도착하는 경로의 수는 곱의 법 칙에 의하여 14_22=308이다. R0에서 나머지 2개를 택하여 배열하는 경우의 수는 1 R1, R2에서 하나씩 택하여 배열하는 경우의 수는 30 답 ② 각 자리의 숫자를 a, b, c, d라 하면 a b c d 에서 10+10+10+9=39 Ú~Ý에 의하여 구하는 세 자리 자연수의 개수는 2_2_2=8 ∴ 8+1=9 a는 2, 3, 4, 5 중에서, d는 0, 2, 4, 6, 8 중에서 택할 수 있다. {2, 3, 4, 5};{0, 2, 4, 6, 8}={2, 4}이므로 Ú a<{2, 4}일 때, a를 정하는 방법의 수는 2 d를 정하는 방법의 수는 a를 제외한 4 b, c를 정하는 경우의 수는 0~9 중 a, d를 제외한 나머지 8개의 수에서 서로 다른 두 수를 배열하면 되므로 방법의 수는 8_7=56 ∴ 2_4_56=448 Û a<{3, 5}일 때, a를 정하는 방법의 수는 2 d를 정하는 방법의 수는 5 8_7=56 ∴ 2_5_56=560 b, c를 정하는 경우의 수는 0~9 중 a, d를 제외한 나머지 8개의 수에서 서로 다른 두 수를 배열하면 되므로 방법의 수는 Ú, Û에 의하여 구하는 수의 개수는 448+560=1008이다. 31 답 ③ 6=2_3이므로 3의 배수인 짝수의 개수를 구하면 된다. 3으로 나눈 나머지가 i인 집합을 Ri라 하면 R0={0, 3, 6}, R1={1, 4}, R2={2, 5} 자릿수의 합이 3의 배수이면 그 수는 3의 배수이므로 32 답 ① a=b로 놓으면 2a+c=24에서 c는 짝수이다. c=2일 때, a=b=11 c=4일 때, a=b=10 c=6일 때, a=b=9 c=8일 때, a=b=8 c=10일 때, a=b=7 c¾12이면 a=bÉ6이 되어 삼각형이 만들어지지 않는다. 따라서 주어진 조건을 만족시키는 이등변삼각형의 개수는 5이다. [다른 풀이] a¾b¾c라 하여도 문제의 일반성을 잃지 않는다. 삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 커야 하므로 b+c>a에서 2a0이므로 모든 실수 x에 대하여 ax2+bx+c>0이 항상 성립하려면 이차방정식 ax2+bx+c=0의 판별식을 D라 할 때, D=b2-4ac<0, 즉 b2<4ac이어야 한다. 이때, a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)의 전체 개수는 5_4_3=60이고, b2¾4ac를 만족시키는 a, b, c의 순서 쌍 (a, b, c)의 개수는 그림의 수형도 와 같이 14이다. 따라서 구하는 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 60-14=46이다. b 3 4 5 a 7 8 9 a 1 2 1 2 3 1 2 3 4 b 7 8 7 6 9 8 7 6 c 2 1 2 3 1 1 2 3 4 1 3 1 2 1 c 6 4 5 6 2 3 4 5 b2<4ac가 성립하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수를 구하면 b=1일 때, a, c를 정하는 방법의 수는 4_3=12 b=2일 때, b=1일 때와 마찬가지로 4_3=12 b=3일 때, (1, 4), (1, 5), (2, 4), (2,`5), (4, 1), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5,`4)의 10가지 b=5일 때, (2, 4), (3, 4), (4, 2), (4,``3)의 4가지 따라서 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 12+12+10+8+4=46 40 답 ③ 20Ö3=6.666y 20Ö2=10이므로 가장 긴 변의 길이 는 7 이상 10 미만이다. 이때, 삼각형의 세 변의 길이를 a, b, c 라 하고, a¾b¾c라고 해도 일반성을 잃지 않으므로 오른쪽 수형도와 같이 구하는 삼각형의 개수는 8가지이다. 상품 100개를 10개씩, 5개씩 포장하고 남은 것은 모두 낱개 포장하 면 되므로 포장단위가 큰 것부터 차례로 조사하자. ⓐ 10개씩 포장한 개수를 a개, 5개씩 포장한 개수를 b개라 하면 가능한 41 답 121 순서쌍 (a, b)는 (10, 0) ⇨ 1가지 (9, 0), (9, 1), (9, 2) ⇨ 3가지 (8, 0), (8, 1), (8, 2), (8, 3), (8, 4) ⇨ 5가지 ⋮ [해] 07~08강-육.indd 76 2017-12-11 오후 3:43:50 (1, 0), (1, 1), (1, 2), y, (1, 17), (1, 18) ⇨ 19가지 C 에는 A , B 에 사용된 수를 제외한 4가지이므로 경우의 수는 (0, 0), (0, 1), (0, 2), y, (0, 19), (0, 20) ⇨ 21가지 ⓑ 5_5_4=100 따라서 구하는 경우의 수는 1+3+5+y+17+19+21 =(1+19)+(3+17)+y+(9+11)+21 =20_5+21=121 ⓐ 무엇을 기준으로 경우를 나눌지 생각한다. ⓑ 모든 경우를 빠짐없이 나열한다. ⓒ 모든 경우의 수를 구한다. | 채점기준 | ⓒ [1 0%] [50%] [40%] 상품 100개를 10개씩, 5개씩 포장하고 남은 것은 모두 낱개 포장하 [다른 풀이] 면 된다. 이때, 10개씩 포장한 개수를 a개, 5개씩 포장한 개수를 b개라 하면 10a+5bÉ100, 0ÉaÉ10, b¾0에서 0ÉbÉ2(10-a)이므로 1 2 Ⅵ 07 경우의 수 Ú~Ü에 의하여 구하는 경우의 수는 3_100=300 | 채점기준 | ⓐ 천의 자리와 십의 자리의 수가 같은 경우의 수를 구한다. ⓑ 천의 자리와 일의 자리의 수가 같은 경우의 수를 구한다. ⓒ 백의 자리와 일의 자리의 수가 같은 경우의 수를 구한다. ⓓ 전체 경우의 수를 구한다. 43 답 40 Ú a1의 경우의 수 : 먼저 1에서 2로 가는 경우를 살펴보면 다음 수 형도와 같이 4가지이다. 3 5 6 4 5 9 7 4 8 8 7 5 7 9 8 4 4 6 9 7 5 3 a1=4_2=8 없으므로 a2=0 지이다. 또한, 1에서 4로 가는 경우도 마찬가지로 4가지이므로 Û a2의 경우의 수 : 2에서 시작하는 경우 모든 정사각형을 지날 수 Ü a5의 경우의 수 : 5에서 2로 가는 경우는 다음 수형도와 같이 2가 5 2 1 3 4 6 7 9 8 8 9 7 6 4 3 1 또한, 5에서 4, 6, 8로 가는 경우도 마찬가지로 각각 2가지씩이 므로 a5=2_4=8 한편, 대칭성에 의해 a1=a3=a7=a9이고 a2=a4=a6=a8이므로 a1+a2+y+a8+a9=4a1+4a2+a5=32+0+8=40 ⓓ | 채점기준 | ⓒ ⓓ [30%] [30%] [ 30%] [ 1 0%] ⓐ ⓑ ⓒ [25%] [25%] [ 25%] [ 25%] ⓐ a1의 값을 구한다. ⓑ a2의 값을 구한다. ⓒ a5의 값을 구한다. 44 답 18 만의 자리 숫자와 일의 자리 숫자가 1인 경우는 수형도와 같다. 1 2 3 1 3 1 2 2 3 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 따라서 만의 자리 숫자와 일의 자리 숫자가 1인 경우의 수는 6이고 만의 자리 숫자와 일의 자리 숫자가 2 또는 3인 경우의 수도 1인 경 우의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 6_3=18이다. 정답 및 해설 77 42 답 300 사용되는 숫자는 세 종류이므로 어느 한 숫자는 2번 사용되어야 한다. a=0일 때, b는 0, 1, 2, y, 20의 21가지 a=1일 때, b는 0, 1, 2, y, 18의 19가지 a=2일 때, b는 0, 1, 2, y, 16의 17가지 ⋮ a=9일 때, b는 0, 1, 2의 3가지 a=10일 때, b는 0의 1가지 따라서 구하는 경우의 수는 1+3+5+y+17+19+21 =(1+19)+(3+17)+y+(9+11)+21 =20_5+21=121 Ú 천의 자리와 십의 자리의 수가 같은, 즉 A B A C 꼴인 경우 A 에는 0이 올 수 없으므로 5가지, B 에는 A 에 사용된 수를 제외한 5가지, 5_5_4=100 Û 천의 자리와 일의 자리의 수가 같은, 즉 A B C A 꼴인 경우 A 에는 0이 올 수 없으므로 5가지, 5_5_4=100 Ü 백의 자리와 일의 자리의 수가 같은, 즉 A B C B 꼴인 경우 A 에는 0이 올 수 없으므로 5가지, B 에는 A 에 사용된 수를 제외한 5가지, B 에는 A 에 사용된 수를 제외한 5가지, C 에는 A , B 에 사용된 수를 제외한 4가지이므로 경우의 수는 ⓐ ⓑ C 에는 A , B 에 사용된 수를 제외한 4가지이므로 경우의 수는 ⓓ a1+a2+y+a8+a9의 값을 구한다. [해] 07~08강-육.indd 77 2017-12-11 오후 3:43:51 45 답 ② f(1)=a, f(2)=b라 하면 주어진 조건을 만족시키는 a, b의 순서 48 답 64 집합 X={-3, -2, -1, 1, 2, 3}에 대하여 함수 f(x)가 X에서 쌍 (a, b)의 개수는 Ú a+b=4일 때 (1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3개 Û a+b=8일 때 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)의 5개 X로의 함수이고 조건 (가)의 | f(x)+f(-x)|=1에서 f(x)+f(-x)=1 또는 f(x)+f(-x)=-1이므로 x>0인 X의 원소 x에 대하여 다음 이 성립한다. Ú f(x)=1일 때 Ü a+b=12일 때 (6, 6)의 1개 f(x)+f(-x)=-1에서 f(-x)=-2` Ú~Ü에 의하여 구하는 함수 f의 개수는 9이다. Û f(x)=2일 때 f(x)+f(-x)=-1에서 f(-x)=-3 또는 f(x)+f(-x)=1에서 f(-x)=-1` Ü f(x)=3일 때 f(x)+f(-x)=1에서 f(-x)=-2` 따라서 f(1)과 f(-1)을 대응시키는 경우의 수는 4이고, f(2)와 f(-2)를 대응시키는 경우의 수와 f(3)과 f(-3)을 대 응시키는 경우의 수도 각각 4이므로 조건을 만족시키는 함수 f(x) 46 답 20 Ú 꽃병 A에 장미를 꽂은 경우 꽃병 B에 꽂을 꽃 9송이 중 카네이션이 a송이, 백합이 b송이라 하면 0ÉaÉ6, 0ÉbÉ8이므로 (a, b)로 가능한 경우의 수는 (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)의 6이다. Û 꽃병 A에 카네이션을 꽂은 경우 꽃병 B에 꽂을 꽃 9송이 중 장미가 a송이, 백합이 b송이라 하면 0ÉaÉ8, 0ÉbÉ8이므로 (a, b)로 가능한 경우의 수는 (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1)의 8이다. Ü 꽃병 A에 백합을 꽂은 경우 의 개수는 4_4_4=64 49 답 ② 먼저 1000은 조건 (가)를 만족시키지 않으므로 제외한 후, 1부터 999까지의 자연수에서 생각하자. 꽃병 B에 꽂을 꽃 9송이 중 장미가 a송이, 카네이션이 b송이라 두 조건 (가)와 (다)에 의하여 일의 자리의 수는 1, 3, 7, 9 중 하나이 하면 0ÉaÉ8, 0ÉbÉ6이므로 다. (a, b)로 가능한 경우의 수는 (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), 이때, 두 조건 (가)와 (다)를 만족시키는 1부터 999까지의 자연수의 (7, 2), (8, 1)의 6이다. Ú~Ü에서 구하는 경우의 수는 6+8+6=20이다. 개수는 10_10_4=400 한편, 조건 (나)에서 각 자리의 수의 합이 3의 배수가 아니므로 전체 400개 중에서 각 자리 수의 합이 3의 배수인 수를 제외하면 된다. 47 답 ⑤ A, B, C 3명의 아이에게 나누어 준 사탕의 개수를 각각 a, b, c라 하 0~9까지의 수를 3으로 나눈 나머지가 0인 수는 0, 3, 6, 9의 4개, 1인 수는 1, 4, 7의 3개, 고 사탕 5개를 3명의 아이에게 1개 이상씩 나누어 주는 경우를 a, b, c 2인 수는 2, 5, 8의 3개이므로 백의 자리의 수, 십의 자리의 수를 3 의 순서쌍 (a, b, c)로 나타내면 다음과 같이 6가지 경우가 있다. 으로 나눈 나머지를 각각 a, b라 하면 Ú (1, 1, 3) Û (1, 3, 1) Ü (3, 1, 1) Ý (1, 2, 2) Þ (2, 1, 2) ß (2, 2, 1) Ú   1일 때 (a, b)가 (2, 0)인 경우의 수는 3×4=12 (1, 1)인 경우의 수는 3×3=9 (0, 2)인 경우의 수는 4×3=12 따라서 이때의 경우의 수는 12+9+12=33 Ú~Ü의 경우 1개의 사탕을 받은 2명의 아이에게 초콜릿 5개를 1 Û   3일 때 개 이상씩 나누어 주는 경우는 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의 4 (a, b)가 (0, 0)인 경우의 수는 4×4=16 가지이므로 이때의 경우의 수는 3_4=12 (1, 2)인 경우의 수는 3×3=9 Ý~ß의 경우 1개의 사탕을 받은 아이가 1명이므로 그 아이에게 (2, 1)인 경우의 수는 3×3=9 초콜릿 5개를 모두 주므로 이때의 경우의 수는 3_1=3 따라서 이때의 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 12+3=15이다. 16+9+9=34 78 일등급 수학•고등 수학 (하) [해] 07~08강-육.indd 78 2017-12-11 오후 3:43:52  Ú의 경우와 같으므로 이때의 경우의 수는 33 배열 방법은 1가지이고 1의 개수는 0이므로 Û의 경우와 같으므로 이때의 경우의 수는 34 Ú~Ý에 의하여 각 자리의 수의 합이 3의 배수인 수의 개수는 배열 방법은 2가지이고 1의 개수는 1이므로 33+34+33+34=134이므로 구하는 경우의 수는 이때의 경우의 수는 2_2=4이다. Ú (5)일 경우의 수 이때의 경우의 수는 1이다. Û (4+1)일 경우의 수 Ü   7일 때 Ý   9일 때 400-134=266 [다른 풀이] 배수도 아닌 수이다. Ⅵ 07 경우의 수 주어진 조건을 만족시키는 수는 홀수이면서 3의 배수가 아니고 5의 즉, 구하는 경우의 수는 1부터 1000까지의 자연수 1000개 중 홀수 의 개수에서 홀수인 3의 배수의 개수와 홀수인 5의 배수의 개수를 빼고 홀수인 15의 배수의 개수를 더하면 된다. 이때, 1에서 1000까지의 자연수 중 홀수의 개수는 500, 홀수인 3의 배수의 개수는 167, 홀수인 5의 배수의 개수는 100, 홀수인 15의 배 수의 개수는 33개이므로 구하는 경우의 수는 500-167-100+33=266 50 답 126 는 경우는 Ú 서로 다른 세 수로 이루어진 세 자리 자연수 중 조건을 만족시키 (1, 2, 3), (1, 3, 4), (1, 4, 5), (1, 5, 6), (1, 6, 7), (1, 7, 8), (1, 8, 9), (2, 3, 5), (2, 4, 6), (2, 5, 7), (2, 6, 8), (2, 7, 9), (3, 4, 7), (3, 5, 8), (3, 6, 9), (4, 5, 9)의 16가지이고, 각 경우에 자리를 바꾸는 경우의 수가 3_2_1=6이므로 구하는 자연수의 개수는 16×6=96 Û 두 수가 같은 세 자리 자연수 중 조건을 만족시키는 경우는 (1, 1, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 0), (4, 4, 0), (5, 5, 0), (6, 6, 0), (7, 7, 0), (8, 8, 0), (9, 9, 0), (1, 1, 2), (2, 2, 4), (3, 3, 6), (4, 4, 8)의 13가지이고, 각 경우에 자리를 바꾸는 경우의 수는 3가지이다. 이때, 0을 포함하는 경우에는 맨 첫 자리에 0이 올 수 없으므로 구하는 자연수의 개수는 13×3-9=30 Ú, Û에 의하여 구하는 자연수의 개수는 96+30=126이다. 51 답 89 Ü (3+2)일 경우의 수 배열 방법은 2가지이고 1의 개수는 0이므로 이때의 경우의 수는 2이다. Ý (3+1+1)일 경우의 수 배열 방법은 3가지이고 1의 개수는 2이므로 이때의 경우의 수는 3_2_2=12이다. Þ (2+2+1)일 경우의 수 배열 방법은 3가지이고 1의 개수는 1이므로 이때의 경우의 수는 3_2=6이다. ß (2+1+1+1)일 경우의 수 배열 방법은 4가지이고 1의 개수는 3이므로 이때의 경우의 수는 4_2_2_2=32이다. à (1+1+1+1+1)일 경우의 수 배열 방법은 1가지이고 1의 개수는 5이므로 이때의 경우의 수는 2_2_2_2_2=32이다. Ú~à에 의하여 구하는 경우의 수는 1+4+2+12+6+32+32=89 52 답 ③ a1이 최소이고, b4가 최대이므로 a1=1, b4=8로 결정된다. Ú 2=b1일 때 남은 수 중에서 3이 최소이므로 3=a2이어야 한다. 1 2 3 b2 a3 b3 a4 8 있으므로 2가지 여기서 4=b2이면 5=a3이어야 하고, a4에는 6 또는 7이 올 수 한편, 4=a3이면 a4에는 5 또는 6 또는 7이 올 수 있으므로 3가지 따라서 이때의 경우의 수는 2+3=5이다. Û 2=a2일 때 이웃하는 두 점 사이의 거리를 1이라 하면 전체 5의 거리를 날아가 거나 걸어가는 방법의 수를 구하는 것이다. 1 b1 2 b2 a3 b3 a4 8 이때, 5를 1개 이상의 자연수의 합으로 나타내는 방법은 3은 b1 또는 a3에 들어갈 수 있다. (5), (4+1), (3+2), (3+1+1), (2+2+1), 3=b1일 경우 Ú의 경우와 같으므로 5가지 (2+1+1+1), (1+1+1+1+1) 3=a3일 경우, a4에는 4, 5, 6, 7 중 하나가 올 수 있으므로 4가지 의 7가지이다. 따라서 이때의 경우의 수는 5+4=9이다. 각 경우에서 2 이상의 수는 날아서만 가는 한 가지 방법만 존재하고, Ú, Û에 의하여 구하는 경우의 수는 5+9=14이다. 1은 걸어가거나 날아가는 두 가지 방법이 존재하므로 정답 및 해설 79 [해] 07~08강-육.indd 79 2017-12-11 오후 3:43:53 오른쪽 그림과 같은 도로망에서 점 P에서 Q 처음 나온 숫자가 n일 때 탁자에 배열되는 카드의 모든 경우의 수를 [다른 풀이] an이라 하면 an+1=a1+a2+y+an이다. 이때, a1=1, a2=a1=1이므로 a3=a1+a2=1+1=2 a4=a1+a2+a3=1+1+2=4 a5=a1+a2+a3+a4=1+1+2+4=8 따라서 구하는 경우의 수는 a1+a2+a3+a4+a5=1+1+2+4+8=16 3 1 2 [그림 1] 54 답 30 갈림길에서 각각의 경로를 →, ↗, ↖라 하면 조건 (가)에 의하여 →, ↗, ↖를 각각 2개씩 배열해야 된다. 또한, 처음에 ↖는 나올 수 없고 각 갈림길까지 나온 →의 개수는 ↖의 개수보다 크거나 같아야 하므로 조건 (나)에 의하여 →, ↖을 각각 2개씩 배열하는 방법은 → → ↖ ↖, → ↖ → ↖의 2가지이다. 따라서 전체 경로의 수는  →  →  ↖  ↖ ,  →  ↖  →  ↖  에서 5개의 의 자리에 ↗을 1개 또는 2개 배열하면 된다. 이때, ↗를 에 2개 배열하는 방법이 5가지, 1개씩 두 군데 넣는 방 법이 10가지이므로 구하는 경우의 수는 2_(5+10)=30 [다른 풀이] 점 Q로 가는 최단 경로의 방법에서 → 방향 을 차례로 ai, ↑ 방향을 차례로 bi에 대응시 키면 구하고자 하는 배열의 수와 일대일대 응이 된다. 예를 들어 [그림 1]의 경로는 1 3 2 5 4 6 7 8 에 대응된다. P P 따라서 구하는 배열의 수는 [그림 2]에서 14가지이다. Q 8 7 Q 14 9 4 1 6 5 4 5 5 3 2 2 1 P 1 1 1 [그림 2] 53 답 ② Ú 처음 꺼낸 카드의 숫자가 1인 경우의 수 다. 따라서 이때의 경우의 수는 1이다. Û 처음 꺼낸 카드의 숫자가 2인 경우의 수 이후 꺼낸 카드는 모두 1보다 크므로 나머지 카드는 모두 버려진 수형도를 그리면 오른쪽과 같으므로 이때의 경우의 2 1 수는 1이다. Ü 처음 꺼낸 카드의 숫자가 3인 경우의 수 수형도를 그리면 오른쪽과 같으므로 이때의 경 우의 수는 2이다. Ý 처음 꺼낸 카드의 숫자가 4인 경우의 수 수형도를 그리면 오른쪽과 같으므로 이 때의 경우의 수는 4이다. Þ 처음 꺼낸 카드의 숫자가 5인 경우의 수 수형도를 그리면 오른쪽과 같으므 로 이때의 경우의 수는 8이다. 5 3 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 4 1 2 3 4 Ú~Þ에 의하여 구하는 경우의 수는 1+1+2+4+8=16 80 일등급 수학•고등 수학 (하) [해] 07~08강-육.indd 80 2017-12-11 오후 3:43:53 08 순열과 조합 문제편 92P 04 답 ④ 01 답 ② 백의 자리에는 0이 아닌 1, 2, 3, 4, 5의 다섯 개의 숫자를 사용할 수 있고, 십의 자리와 일의 자리에는 백의 자리에 사용하지 않은 다섯 개의 숫자 중 2개의 수를 나열하면 된다. 따라서 구하는 세 자리의 자연수의 개수는 5_5P2=100 02 답 3 n+1P3=nP3+knP2에서 (n+1)n(n-1)=n(n-1)(n-2)+kn(n-1) Ú n(n-1)=0일 때, (좌변)=(우변)=0이므로 항상 성립한다. Û n(n-1)+0일 때, 양변을 n(n-1)로 나누면 n+1=n-2+k ∴ k=3 Ú, Û에 의하여 k=3일 때, 주어진 등식은 n의 값에 관계없이 항 상 성립한다. [다른 풀이] n+1P3=nP3+knP2에서 먼저 남학생 5명을 일렬로 앉히는 방법의 수는 5! 다음과 같이 남학생의 사이사이와 양 끝에 여학생 3명을 일렬로 앉 히는 방법의 수는 6P3 1 2 3 4 5 6 곱의 법칙에 의하여 구하는 방법의 수는 5!_6P3=14400 05 답 4 10Cr+1=10C2r가 성립할 조건은 r+1=2r 또는 r+1+2r=10 Ú r+1=2r에서 r=1 Û r+1+2r=10에서 r=3 따라서 모든 r의 값의 합은 1+3=4 Ⅵ 08 순열과 조합 06 답 ③ 2부터 9까지의 8개의 자연수 중에서 3개의 수를 선택한 후 선택된 세 수를 작은 수부터 a, b, c라 하면 주어진 조건을 만족시키는 세 자리의 자연수를 구할 수 있다. 따라서 구하는 세 자리의 자연수의 개수는 8C3=56 (n+1)n(n-1)=n(n-1)(n-2)+kn(n-1) (n+1)n(n-1)-n(n-1)(n-2)-kn(n-1)=0 07 답 ⑤ n(n-1){(n+1)-(n-2)-k}=0 ∴ n(n-1)(3-k)=0 각 호텔에 배정된 인원이 다르기 때문에 10명을 2명, 5명, 3명으로 나누면 호텔 배정은 자동으로 결정된다. 따라서 임의의 자연수 n에 대하여 항상 성립하도록 하는 자연수 k의 따라서 배정하는 방법의 수는 값은 3이다. 순열의 수의 성질 nPr에서 n