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중3
정답과 해설
수 학
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책본
Ⅰ.
실수와 그 연산
1
제곱근과 실수
7-1
⑴ 3<'∂10<4이므로 '∂10의 정수 부분은 3, 소수 부분은
'∂10-3
⑵ 1<'2<2에서 2<'2+1<3이므로 '2+1의 정수 부분
은 2, 소수 부분은 ('2+1)-2='2-1
개념check
002~003P
1-1 ⑴ 7, -7 ⑵ 0 ⑶ ;8%;, -;8%; ⑷ 0.3, -0.3
1-2 ⑴ '7 ⑵ -'∂10 ⑶ '6
2-1 ⑴ 8 ⑵ ;2!; ⑶ 0.5 ⑷ 7 ⑸ -10 ⑹ -13
3-1 ⑴ < ⑵ > ⑶ > ⑷ <
4-1 ⑴ 유 ⑵ 유 ⑶ 무 ⑷ 유
5-1 P：2+'2, Q：2-'2
6-1 ⑴ < ⑵ >
7-1 ⑴ 3, '∂10-3 ⑵ 2, '2-1
1-1
⑴ 7¤ =(-7)¤ =49이므로 7, -7
⑵ 0¤ =0이므로 0의 제곱근은 0뿐이다.
={-;8%;}
⑶ {;8%;}
⑷ 0.3¤ =(-0.3)¤ =0.09이므로 0.3, -0.3
=;6@4%;이므로 ;8%;, -;8%;
2-1
⑸ "ç10¤ =10이므로
(cid:100) -"ç10¤ =-10
⑹ "√(-13)¤ =13이므로
(cid:100) -"√(-13)¤ =-13
3-1
⑵ ;3!;<;2!;이므로 Æ;3!; <Æ;2!;
(cid:100) ∴ -Æ;3!; >-Æ;2!;
⑶ 3='9이고 '9>'8이므로 3>'8
⑷ 0.2='ƒ0.04이고 'ƒ0.04<'∂0.2이므로
(cid:100) 0.2<'∂0.2
4-1
⑵ 순환소수이므로 유리수이다.
⑷ '∂100=10이므로 유리수이다.
5-1
색칠한 정사각형의 넓이는
2_2-{;2!;_1_1}_4=2
이므로 색칠한 정사각형의 한 변의 길이는 '2이다.
따라서 두 점 P, Q에 대응하는 수는 각각
2+'2, 2-'2
6-1
⑴ ('7-2)-1='7-3='7-'9<0
(cid:100) ∴ '7-2<1
⑵ ('∂10+'3 )-(3+'3 )='∂10 -3='∂10-'9>0
(cid:100) ∴ '∂10+'3>3+'3
02 수학❸- 1 _ 중간
004~006P
1-1 ④
2-2 ①
4-1 ②
6-1 3개
7-3 ⑤
9-2 1+2'5
1-2 ②
2-3 ④
4-2 5
6-2 3개
8-1 ⑤
1-3 ④
3-1 ④
5-1 ⑤
7-1 ④
8-2 ④
2-1 ③
3-2 ③
5-2 32개
7-2 ②
9-1 5+'3
1-1
① 0의 제곱근은 0이다.
② 제곱근 25는 '∂25=5이다.
③ '∂16=4의 양의 제곱근은 '4=2이다.
⑤ 9의 음의 제곱근은 -3이다.
1-2
② 제곱근 9는 '9=3이다.
(-6)¤ =36의 양의 제곱근은 6이므로 a=6
'∂81=9의 음의 제곱근은 -3이므로 b=-3
∴ a+b=6+(-3)=3
1-3
2-1
2-3
3-1
ㄱ. -"ç5¤ =-5
ㄷ. "√(-3)¤ =3
ㄹ. -"√(-6)¤ =-6
ㅁ. 'ƒ0.04=0.2
2-2
ㄱ. -"ç4¤ =-4
ㄴ. (-'8 )¤ =8
(주어진 식)=11-12+3=2
a-1>0, a-3<0이므로
(주어진 식)=(a-1)-{-(a-3)}
=a-1+a-3
=2a-4
3-2
a-3>0, a-5<0이므로
(주어진 식)=(a-3)-(a-5)
=a-3-a+5
=2
4-1
48x=2› _3_x이므로 x=3_(자연수)¤ 의 꼴이어야 한다.
따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 3이다.
¤
¤
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4-2
45x=3¤ _5_x이므로 x=5_(자연수)¤ 의 꼴이어야 한다.
따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 5이다.
8-2
5-1
'9<'x…'∂25에서 90
(cid:100) ∴ 'ß11-2>-2+'ß10
③ (2-'3 )-('5 -'3 )=2-'5='4-'5 <0
(cid:100) ∴ 2-'3 <'5-'3
④ ('7+3)-('7+'8 )=3-'8='9-'8 >0
(cid:100) ∴ '7+3>'7+'8
⑤ (5-'5 )-(5-'6 )=-'5+'6 >0
(cid:100) ∴ 5-'5>5-'6
① ('5-2)-1='5-3='5-'9 <0
(cid:100) ∴ '5-2<1
② (3-'5 )-(4-'5 )=-1<0
(cid:100) ∴ 3-'5<4-'5
③ ('6+2)-('6+'2 )=2-'2='4-'2 >0(cid:100)(cid:100)
④ (3-'2 )-('∂10-'2 )=3-'∂10='9-'∂10 <0
∴ '6+2>'6+'2
∴ 3-'2<'∂10-'2
∴ 2-'3>-'5+2
⑤ (2-'3 )-(-'5+2)=-'3+'5 >0(cid:100)(cid:100)
9-1
1<'3<2에서 3<2+'3<4이므로
a=3
b=(2+'3 )-3='3-1
∴ 2a+b=2_3+('3-1)
=5+'3
9-2
2<'5<3에서 5<3+'5<6이므로
a=5
b=(3+'5 )-5='5-2
∴ a+2b=5+2('5-2)
=5+2'5-4
=1+2'5
주제별
007~013P
18 6
6 ④, ⑤
2 ①, ② 3 7
4 '∂13 cm 5 ⑤
1 ②
10 ④ 11 a
7 ③
9 ①
8 ③
12 -a+3b
13 ④
14 ②
15 ⑤
20 ③ 21 38
19 ④
17 ②
23 ② 24 ③ 25 ④ 26 ③ 27 ⑤
29 ② 30 ① 31 P：3+'2, Q：3-'2
33 P：1+'5, Q：1-'5
37 ③
16 ③
22 5개
28 ②, ⑤
32 ③
34 ② 35 ③, ④ 36 ②
38 ⑤ 39 ① 40 ④ 41 ⑤
100점 따라잡기
42 '5 cm
2+'2
2
46
p
47 ④
43 3a
44 20 cm¤
45 ②
1
2
x는 3의 제곱근이다. 즉, x를 제곱하면 3이 된다.
⇨ x¤ =3
③ 양수의 제곱근은 2개, 0의 제곱근은 1개, 음수의 제곱근은
0개이다.
④ -25는 음수이므로 제곱근이 없다.
⑤ Æ…;1¡6;=;4!;의 음의 제곱근은 -;2!;이다.
정답과 해설 03
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'∂256=16의 양의 제곱근은 4이므로 a=4
(-3)¤ =9의 음의 제곱근은 -3이므로 b=-3
∴ a-b=4-(-3)=7
14
ab<0에서 a, b의 부호는 서로 다르고, a>0이므로 b<0
따라서 -a<0, b-2a<0, 2b<0이므로
(주어진 식)=-(-a)-{-(b-2a)}+(-2b)
3
4
5
6
7
8
9
새로 만든 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
x¤ =2¤ +3¤ =13(cid:100)(cid:100)∴ x='∂13 (∵ x>0)
①, ②, ③, ④ 5(cid:100)(cid:100)⑤ -5
① '∂36=6
② -Æ…;6ª4;=-;8#;
③ "√(-9)¤ =9
① 제곱근 4는 '4=2이다.
② (-7)¤ =49의 제곱근은 —7이다.
④ (-'3 )¤ =3의 제곱근은 —'3이다.
⑤ "√(-5)¤ =5의 음의 제곱근은 -'5이다.
(주어진 식)=5-3+2-5=-1
① '∂16+"√(-1)¤ =4+1=5
② "ç12¤ ÷"√(-4)¤ =12÷4=3
③ "ç3¤ +"√(-7)¤ =3+7=10
④ '∂25+"√(-2)¤ _(-'3 )¤ =5+2_3=11
⑤ Æ…;1ª6;-'ƒ0.25÷æ≠{-;3@;}
¤ =;4#;-0.5_;2#;=0
10
a>0일 때,
ㄱ. "ça¤ =a
ㄴ. -"ça¤ =-a
ㄷ. -a<0이므로 "√(-a)¤ =-(-a)=a
ㄹ. (-'a )¤ =a
ㅁ. -"√(-a)¤ =-{-(-a)}=-a
11
-3a>0, 5a<0이므로
(주어진 식)=-a+(-3a)-(-5a)
=-a-3a+5a=a
12
ab>0에서 a, b의 부호는 서로 같고, a+b<0이므로
a<0, b<0
따라서 -a>0, 3b<0이므로
(주어진 식)="√(-a)¤ -"√(3b)¤
=-a-(-3b)=-a+3b
13
5-a<0, 8-a>0이므로
(주어진 식)=-(5-a)-(8-a)
=-5+a-8+a
=2a-13
04 수학❸- 1 _ 중간
=a+b-2a-2b
=-a-b
15
16
17
(가)에서 b0, b-c<0
또, (가)에서 b-a<0이고 (나)에서 c(b-a)<0이므로 c>0
즉, a>c>0이므로 (다)에서 b=-ac<0
∴ (주어진 식)=(a-c)-(-b)-{-(b-c)}
=a-c+b+b-c
=a+2b-2c
56x=2‹ _7_x이므로 x=2_7_(자연수)¤ 의 꼴이어야 한다.
따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 14이다.
720x=2› _3¤ _5_x이므로 x=5_(자연수)¤ 의 꼴이어야
한다.
① 5=5_1¤
② 15=5_3
③ 20=5_2¤
④ 45=5_3¤
⑤ 80=5_4¤
18
2_3‹
x
=
54
x
2_3=6
이므로 가장 작은 자연수 x의 값은
19
⁄ Æ…
180
n
=Æ…
2¤ _3¤ _5
n
가 자연수가 되도록 하는 자연수
⁄ n의 값은 5, 5_2¤ , 5_3¤ , 5_2¤ _3¤ 이다.
∴ n=5, 20, 45, 180
¤ '∂500n ="ç2¤ _5‹ _n 이 자연수가 되려면 n=5_(자연수)¤
의 꼴이어야 하므로 n의 값은
5, 20, 45, 80, 125, 180, y
⁄, ¤를 모두 만족하는 자연수 n은 5, 20, 45, 180의 4개이다.
20
21
'ƒ40+x가 자연수가 되려면 40+x의 값이 40보다 큰 자연수
의 제곱인 수이어야 한다. 이때, x가 100 이하의 자연수이므로
40+x=49, 64, 81, 100, 121
따라서 구하는 x는 9, 24, 41, 60, 81의 5개이다.
'ƒ17-x가 자연수가 되려면 17-x의 값이 17보다 작은 자연
수의 제곱인 수이어야 한다.
즉, 17-x=1, 4, 9, 16
∴ x=16, 13, 8, 1
따라서 모든 자연수 x의 값의 합은
16+13+8+1=38
22
'ƒ20-x가 정수가 되려면 20-x의 값이 0 또는 20보다 작은
자연수의 제곱인 수이어야 한다.
즉, 20-x=0, 1, 4, 9, 16
따라서 x는 20, 19, 16, 11, 4의 5개이다.
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23
두 색종이의 한 변의 길이는 각각 'ƒ56-x, 'ƒ20x이므로 이
두 값이 각각 자연수가 되어야 한다.
⁄ 'ƒ56-x가 자연수가 되려면 56-x의 값이 56보다 작은
자연수의 제곱인 수이어야 한다.
즉, 56-x=1, 4, 9, 16, 25, 36, 49
∴ x=55, 52, 47, 40, 31, 20, 7
¤ 'ƒ20x="√2¤ _5_x가 자연수가 되려면 x=5_(자연수)¤
의 꼴이어야 하므로 x의 값은
5, 20, 45, 80, y
⁄, ¤를 모두 만족하는 자연수 x의 값은 20이다.
24
① 15>13이므로 '∂15 >'∂13
② 5<7이므로 '5<'7
(cid:100) ∴ -'5>-'7
③ ;3@;<;4#;이므로 Æ;3@; <Æ;4#;
(cid:100) ∴ -Æ;3@; >-Æ;4#;
④ 6='∂36이고 '∂36>'∂35이므로 6>'∂35
⑤ 0.1='∂0.01이고 '∂0.01<'∂0.1이므로 0.1<'∂0.1
25
'∂16…'x<'∂49에서 16…x<49
따라서 자연수 x는 16, 17, 18, y, 48의 33개이다.
26
'∂25<'∂2x<'∂36에서 25<2x<36
∴ :™2∞:0
⑤ (4-'∂10 )-('∂20-'∂10 )=4-'∂20='∂16-'∂20 <0
∴ '3+'7>1+'7
∴ 4-'∂10<'∂20-'∂10
④ '4=2와 같이 근호 안의 수가 유리수의 제곱인 수는 유리
⑤ '2+(-'2 )=0과 같이 무리수와 무리수의 합은 유리수
소수는 무리수이다.
수이다.
가 될 수도 있다.
37
A-B=(2+'3 )-(2+'2 )='3-'2>0
∴ A>B
A-C=(2+'3 )-(3+'3 )=-1<0
∴ A0
(1+'3 )-2=-1+'3=-'1+'3 >0
∴ 1+'3 >2
2-(-1+'3 )=3-'3='9-'3 >0
∴ 2>-1+'3
(1+'3 )-('2+'3 )=1-'2='1-'2 <0
∴ 1+'3<'2+'3
따라서 0<-1+'3<2<1+'3<'2+'3이므로 수직선
위에 나타낼 때, 가장 오른쪽에 있는 수는 가장 큰 수인
'2+'3이다.
39
1<'2<2에서 -2<-'2<-1
∴ 2<4-'2<3
따라서 a=2, b=(4-'2 )-2=2-'2이므로
2a-b=2_2-(2-'2 )=2+'2
40
'ßx의 정수 부분이 5가 되려면 5…'ßx<6에서
'∂25…'ßx<'∂36
∴ 25…x<36
따라서 구하는 자연수 x는 25, 26, 27, y, 35의 11개이다.
41
4<'∂20<5에서 14<10+'∂20<15이므로
a=14
즉, 6-'a=6-'∂14이고 3<'∂14<4에서
-4<-'∂14<-3
∴ 2<6-'∂14<3
따라서 6-'a의 정수 부분은 2이므로
b=2
∴ a+b=14+2=16
100점 따라잡기
42
정사각형을 한 번 접으면 그 넓이는 전 단계의 ;2!;이 된다.
처음 정사각형의 넓이는 ('∂80 )¤ =80(cm¤ )이므로
[1단계]에서 생기는 정사각형의 넓이는
80_;2!;=40(cm¤ )
[2단계]에서 생기는 정사각형의 넓이는
40_;2!;=20(cm¤ )
[3단계]에서 생기는 정사각형의 넓이는
20_;2!;=10(cm¤ )
[4단계]에서 생기는 정사각형의 넓이는
10_;2!;=5(cm¤ )
따라서 [4단계]에서 생기는 정사각형의 한 변의 길이는
'5 cm이다.
06 수학❸- 1 _ 중간
43
01이므로 00, a-
<0, -a<0이므로
;a!;
;a!;
(주어진 식)={a+
;a!;}-[-{a-
;a!;}]+{-(-a)}
=a+
+a-
+a
;a!;
;a!;
=3a
44
(가), (나)의 사진의 한 변의 길이는 각각 '∂3n cm, 'ƒ43-n cm
이므로 이 두 값이 각각 자연수가 되어야 한다.
⁄ '∂3n이 자연수가 되려면 n=3_(자연수)¤ 의 꼴이어야 하
므로 n의 값은 3, 12, 27, 48, y
¤ 'ƒ43-n이 자연수가 되려면 43-n의 값이 43보다 작은
자연수의 제곱인 수이어야 한다.
즉, 43-n=1, 4, 9, 16, 25, 36
∴ n=42, 39, 34, 27, 18, 7
⁄, ¤를 모두 만족하는 자연수 n의 값은 27이므로
(가)의 한 변의 길이는 '∂3n='ƒ3_27='∂81=9(cm)
(나)의 한 변의 길이는 'ƒ43-n='ƒ43-27='∂16=4(cm)
따라서 (다)의 세로의 길이는 9-4=5(cm)이므로 (다)에 들
어갈 사진의 넓이는
4_5=20(cm¤ )
45
'9=3, '∂16=4, '∂25=5, '∂36=6이므로
f(11)=f(12)=f(13)=y=f(16)=3
f(17)=f(18)=f(19)=y=f(25)=4
f(26)=f(27)=f(28)=f(29)=f(30)=5
∴ (주어진 식)=3_6+4_9+5_5=79
46
점 A는 다음 그림과 같이 움직인다.
C
A'
D
1
D
C
A"
A
B
C'
A
B
l
한 변의 길이가 1인 정사각형 ABCD의 대각선의 길이는 '2
이므로 A'C'”='2이다. 또, ∠A'C'A"=90˘이므로
(점 A가 움직인 거리)
=(`μAA'의 길이)+(`μA'A"의 길이)+(`μA"A의 길이)
=;4!;_(2p_1)+;4!;_(2p_'2 )+;4!;_(2p_1)
p
2
= + p+
'2
p
2
2
2+'2
2
p
=
47
2015¤ <2015¤ +1에서 "√2015¤ <"√2015¤ +1
2015¤ +1<2016¤ 에서 "√2015¤ +1<"√2016¤
즉, "√2015¤ <"√2015¤ +1<"√2016¤ 이므로
2015<"√2015¤ +1<2016
∴ a="√2015¤ +1-2015
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∴ (a+2015)¤ ={("√2015¤ +1-2015)+2015}¤
=("√2015¤ +1)¤
=2015¤ +1
따라서 (a+2015)¤ 의 일의 자리의 숫자는 5+1=6
4
90을 소인수분해하면 90=2_3¤ _5
따라서 '∂90x가 자연수가 되려면
x=2_5_(자연수)¤ , 즉 x=10_(자연수)¤ 의 꼴이어야 한다.
yy ②
yy ①
유형별
1 ⑴ 12 ⑵ -;4%; ⑶ -15
014~015P
2 ⑴ ;3$;0
(cid:100) ∴ 7>2+'∂20
② 6-(4+'3)=2-'3
='4-'3>0
(cid:100) ∴ 6>4+'3
③ (4+'∂15 )-8='∂15-4
='∂15-'∂16<0
(cid:100) ∴ 4+'∂15<8
④ (5-'3)-4=1-'3='1-'3<0
∴ 5-'3<4
⑤ (-3+'7)-(-3+'5)='7-'5>0
∴ -3+'7>-3+'5
12
A-B=('3+'5 )-(1+'3 )
='5-1='5-'1 >0
∴ A>B
A-C=('3+'5 )-(2+'5 )
='3-2='3-'4 <0
∴ A0이므로
(주어진 식)=-(2-a)-(4-a)
=-2+a-4+a
=2a-6
(가)에서 c0
(나)에서 ab-ac>0, 즉 a(b-c)>0이므로
a>0(cid:100)(cid:100)∴ b>0
(다)에서 ab+c=0이므로 c=-ab<0
∴ (주어진 식)=-(a-b)+(-c)-(b-c)
=-a+b-c-b+c
=-a
순환하지 않는 무한소수는 무리수이다.
① '∂25=5 ⇨ 유리수
② Æ…:¡4º9º:=:¡7º: ⇨ 유리수
④ -
'∂36
3
=-;3^;=-2 ⇨ 유리수
5
ㄷ. '2_'2=2와 같이 무리수와 무리수의 곱은 유리수가 될
수도 있다.
ㅁ. '9=3과 같이 근호 안이 유리수의 제곱인 수는 근호를 없
앨 수 있으므로 유리수이다.
ㅂ. 수직선은 유리수와 무리수, 즉 실수에 대응하는 점으로
완전히 메울 수 있다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ의 3개이다.
한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2이므로
AP”=AB”='2
따라서 점 P에 대응하는 수는 a=-4+'2
(cid:8772)CDEF=4_4-{;2!;_3_1}_4=10이므로
정사각형 CDEF의 한 변의 길이는 '∂10이다.
따라서 CQ”=CF”='∂10이므로 점 Q에 대응하는 수는
b=2-'∂10
∴ (a+4)¤ +(b-2)¤ =('2 )¤ +(-'∂10 )¤ =12
정답과 해설 09
(01~19)151-3중간알찬수학답.ps 2015.1.15 06:43 PM 페이지10 MAC3
개념check
020~021P
5-1 ⑴ '∂15+'∂35 ⑵ '∂10-3'5` ⑶
'6-'2
2
⑷ 2'3-3'2
2
근호를 포함한 식의 계산
1-1 ⑴ '∂15 ⑵ 12'∂21 ⑶ '6 ⑷ 2'3
'3
4
1-2 ⑴ 2'6 ⑵
1-3 ⑴ '∂63 ⑵ Æ…;2£5;
2-1 ⑴
2'5
5
⑵ -
'∂42
7
⑶
'2
3
3-1 ⑴ 1.584 ⑵ 1.622
3-2 ⑴ 141.4 ⑵ 0.1414
4-1 ⑴ 10'5 ⑵ 3'6 ⑶ '3
6-1 ⑴ 4+2'3 ⑵ -6
3+'2
7
6-2 ⑴
⑵ '6-2
1-1
⑴ '3_'5='3'5='∂15
⑵ 4'3_3'7=4_3_'ƒ3_7=12'∂21
=Æ…:¡3•:='6
⑶ '∂18÷'3=
'∂18
'3
⑷ 4'∂15÷2'5=
4'∂15
2'5
=2Æ…:¡5∞:=2'3
1-2
⑴ '∂24="√2¤ _6=2'6
⑵ æ≠;1£6; =æ– = '3
4
3
4¤
1-3
⑴ 3'7="√3¤ _7='∂63
3
⑵ =æ– =Æ…;2£5;
5¤
'3
5
2-1
2
⑴ =
'5
2_'5
'5_'5
=
2'5
5
'6
⑵ - =-
'7
2
3'2
=
⑶
'6_'7
'7_'7
=
2_'2
3'2_'2
=-
2'2
6
'∂42
7
= '2
3
='∂10-3'5
4-1
⑴ 3'5+7'5=(3+7)'5=10'5
⑵ 2'6-3'6+4'6=(2-3+4)'6=3'6
12
⑶ '∂27+'∂12- =3'3+2'3-4'3
'3
=(3+2-4)'3='3
5-1
⑴ '5('3+'7 )='5'3+'5'7='∂15+'∂35
⑶
=
-
'3-1
'2
⑵ ('∂30-3'∂15 )÷'3=
3'∂15
'3
'6-'2
2
'∂30
'3
('3-1)_'2
'2_'2
⑷ 4'3-'2(3+'6 )=4'3-3'2-'∂12
=4'3-3'2-2'3
=2'3-3'2
=
6-1
⑴ ('3+1)¤ =('3 )¤ +2_'3_1+1¤
=3+2'3+1
=4+2'3
⑵ (1+'7 )(1-'7 )=1¤ -('7 )¤ =-6
6-2
⑴
1
3-'2
⑵
'2
'3+'2
1_(3+'2 )
(3-'2 )(3+'2 )
3+'2
3¤ -('2 )¤
3+'2
7
'2_('3-'2 )
('3+'2 )('3-'2 )
=
=
=
=
=
'6-2
('3 )¤ -('2 )¤
='6-2
022~024P
1-2 16
3-1 ①
2-1 ①
3-2 ③
1-1 51
2-2 ⑤
4-1 4'6-4
2-3 ②
4-2 6-4'2 5-1 18'3 cm 5-2 18'2 cm 5-3 2'2-1
6-1 ⑤
7-2 ②
7-1 ⑤
8-3 2'∂15
6-3 ⑤
8-2 4'6
6-2 ②
8-1 -4'2
5-'5
4
9-2
9-1
4+'2
2
10-1 6
10-2 5
3-1
⑴ 'ƒ2.51의 값은 제곱근표에서 2.5의 가로줄과 1의 세로줄이
만나는 곳의 수인 1.584이다.
⑵ 'ƒ2.63의 값은 제곱근표에서 2.6의 가로줄과 3의 세로줄이
만나는 곳의 수인 1.622이다.
3-2
⑴ 'ƒ20000='ƒ10000_2=100'2
=100_1.414=141.4
'2
10
⑵ 'ƒ0.02=Æ…;10@0;= =
1.414
10
=0.1414
10 수학❸- 1 _ 중간
1-1
1-2
'∂45="√3¤ _5=3'5(cid:100)(cid:100)∴ a=3
4'3="√4¤ _3='∂48(cid:100)(cid:100)∴ b=48
∴ a+b=3+48=51
'∂32="√4¤ _2=4'2(cid:100)(cid:100)∴ a=4
2'3="√2¤ _3='∂12(cid:100)(cid:100)∴ b=12
∴ a+b=4+12=16
(01~19)151-3중간알찬수학답.ps 2015.1.15 06:43 PM 페이지11 MAC3
2-1
① '∂30000='ƒ10000_3=100'3=100_1.732=173.2
② '∂3000='ƒ100_30=10'∂30=10_5.477=54.77
③ '∂300='ƒ100_3=10'3=10_1.732=17.32
④ '∂0.3=Æ…;1£0º0;=
=
5.477
10
=0.5477
⑤ '∂0.03=Æ…;10#0;= =
1.732
10
=0.1732
2-2
① '∂50000='ƒ10000_5=100'5=100_2.236=223.6
② '∂5000='ƒ100_50=10'∂50=10_7.071=70.71
③ '∂500='ƒ100_5=10'5=10_2.236=22.36
④ '∂0.5=Æ…;1∞0º0;=
=
7.071
10
=0.7071
⑤ '∂0.05=Æ…;10%0;= =
2.236
10
=0.2236
'∂30
10
'3
10
'∂50
10
'5
10
2-3
=0.1414
1.414
10
② '∂0.2=Æ…;1™0º0;=
① '∂0.02=Æ…;10@0;= =
'2
10
'∂20
10
(cid:100) ⇨ '2의 값을 이용하여 그 값을 구할 수 없다.
'∂50
10
③ '∂0.5=Æ…;1∞0º0;=
5'2
10
'2
2
=
=
=
1.414
2
=0.707
④ '8=2'2=2_1.414=2.828
⑤ '∂200='ƒ100_2=10'2=10_1.414=14.14
3-1
3-2
5'2+'∂12-'∂18-2'∂27
=5'2+2'3-3'2-6'3
=2'2-4'3
따라서 a=2, b=-4이므로
a+b=2+(-4)=-2
'∂75+2'5-'∂48-'∂80
=5'3+2'5-4'3-4'5
='3-2'5
따라서 a=1, b=-2이므로
a-b=1-(-2)=3
4-1
(주어진 식)=
12'6
6
-4+'∂24
=2'6-4+2'6
=4'6-4
4-2
(주어진 식)='∂36-'∂18-
6
3'2
=6-3'2-
2
'2
=6-3'2-'2
=6-4'2
5-1
넓이가 3 cm¤ , 12 cm¤ , 27 cm¤
인 정사각형의 한 변의 길이는
각각 '3 cm, '∂12=2'3(cm),
'∂27=3'3(cm)
∴ (구하는 둘레의 길이)
=2('3+2'3+3'3 )+2_3'3
=12'3+6'3
=18'3(cm)
5-2
넓이가 2 cm¤ , 8 cm¤ , 18 cm¤ 인
정사각형의 한 변의 길이는 각각
'2 cm, '8=2'2(cm),
'∂18=3'2(cm)
∴ (구하는 둘레의 길이)
=2('2+2'2+3'2 )+2_3'2
=12'2+6'2
=18'2(cm)
'3 cm 2'3 cm
3'3 cm
'2 cm
2'2 cm
3'2 cm
5-3
한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2이므로
AP”=AC”='2, BQ”=BD”='2
따라서 두 점 P, Q에 대응하는 수는 각각 3+'2, 4-'2이므로
PQ”=(3+'2 )-(4-'2 )
=3+'2-4+'2
=2'2-1
6-1
① 2'3='∂12, 4='∂16이고 '∂12<'∂16이므로
2'3<4
3'2<2'5
② 3'2='∂18, 2'5='∂20이고 '∂18<'∂20이므로
③ '∂27-(3+'3 )=3'3-3-'3
=2'3-3='∂12-'9>0
(cid:100) ∴ '∂27>3+'3
④ (3+'6 )-('∂10+'6 )=3-'∂10='9-'∂10<0
(cid:100) ∴ 3+'6<'∂10+'6
⑤ (3'2+2)-(5'2-1)=3-2'2='9-'8>0
(cid:100) ∴ 3'2+2>5'2-1
6-2
① 4'3='∂48, 7='∂49이고 '∂48<'∂49이므로
4'3<7
5'2>3'5
② 5'2='∂50, 3'5='∂45이고 '∂50>'∂45이므로
③ ('∂10+'2)-3'2='∂10-2'2='∂10-'8>0
(cid:100) ∴ '∂10+'2>3'2
④ (2+'5)-('7+'5)=2-'7='4-'7<0
(cid:100) ∴ 2+'5<'7+'5
⑤ (2'3+2)-(3'3+1)=1-'3='1-'3<0
(cid:100) ∴ 2'3+2<3'3+1
정답과 해설 11
(01~19)151-3중간알찬수학답.ps 2015.1.15 06:43 PM 페이지12 MAC3
6-3
A-B=(2'2-1)-(4-2'2 )
=4'2-5='∂32-'∂25>0
∴ A>B
B-C=(4-2'2 )-(4-'∂10 )
='∂10-2'2='∂10-'8>0
∴ B>C
∴ C0
(cid:100) ∴ '∂12>4-'3
③ (4'2-2)-(3'3-2)=4'2-2-3'3+2
=4'2-3'3='∂32-'∂27>0
(cid:100) ∴ 4'2-2>3'3-2
④ (6'6-4'5)-(2'5+3'6)
=6'6-4'5-2'5-3'6
=3'6-6'5='∂54-'ƒ180<0
∴ 6'6-4'5<2'5+3'6
⑤ (5'3+'6 )-(3'5+'6 )=5'3+'6-3'5-'6
=5'3-3'5='∂75-'∂45>0
(cid:100) ∴ 5'3+'6>3'5+'6
(01~19)151-3중간알찬수학답.ps 2015.1.15 06:43 PM 페이지15 MAC3
27
A-B=(4'3-1)-(3'5-1)
=4'3-3'5='∂48-'∂45>0
∴ A>B
A-C=(4'3-1)-(2'3+3)
=2'3-4='∂12-'∂16<0
∴ A0이므로
(주어진 식)="√(x-5)¤ +2"√(x+1)¤
=-(x-5)+2(x+1)
=-x+5+2x+2
=x+7
¤
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지23 MAC3
11
æ≠{x+
;[!;}
-4=æ≠x¤ -2+ =æ≠{x-
;[!;}
æ≠{x-
;[!;}
+4=æ≠x¤ +2+ =æ≠{x+
;[!;}
이때, 01이므로 x-
<0, x+
>0
;[!;
;[!;
1
x¤
1
x¤
20
① x¤ -4x+4=(x-2)¤
② x¤ +4x-12=(x+6)(x-2)
③ 2x¤ -8=2(x¤ -4)=2(x+2)(x-2)
④ x¤ y+xy-6y=y(x¤ +x-6)=y(x-2)(x+3)
⑤ 6x¤ -2x-4=2(3x¤ -x-2)=2(x-1)(3x+2)
∴ (주어진 식)=æ≠{x-
;[!;}
-æ≠{x+
;[!;}
∴ (주어진 식)=-{x-
;[!;}-{x+
;[!;}
∴ (주어진 식)=-x+
-x-
;[!;
;[!;
∴ (주어진 식)=-2x
21
3x¤ -4x+a의 다른 한 인수를 3x+A라 하면
3x¤ -4x+a=(x-2)(3x+A)=3x¤ +(A-6)x-2A
즉, -4=A-6, a=-2A이므로
A=2, a=-4
12
합이 -7이고, 곱이 12인 두 정수를 구하면 -3, -4이므로
x¤ -7x+12=(x-3)(x-4)
13
x¤ +Ax-24=(x+a)(x+b)에서 ab=-24를 만족하는
정수 a, b(a>b)는 다음과 같다.
a
b
1
2
3
4
6
8
12
24
-24 -12 -8 -6 -4 -3 -2 -1
이때, A=a+b이므로 A의 값이 될 수 있는 수는
-23, -10, -5, -2, 2, 5, 10, 23이다.
22
x¤ -4x+a의 다른 한 인수를 x+A라 하면
x¤ -4x+a=(x-3)(x+A)
=x¤ +(A-3)x-3A
즉, -4=A-3, a=-3A이므로
A=-1, a=3
또, 2x¤ +bx-9의 다른 한 인수를 2x+B라 하면
2x¤ +bx-9=(x-3)(2x+B)
=2x¤ +(B-6)x-3B
즉, b=B-6, -9=-3B이므로
B=3, b=-3
∴ a+b=3+(-3)=0
14
(x-1)(x+3)-12=x¤ +2x-3-12
23
=x¤ +2x-15
=(x-3)(x+5)
2x¤ +x-6=(x+2)(2x-3)이므로
a=2, b=-3
∴ a-b=2-(-3)=5
(2x+3)(3x+b)=6x¤ +(2b+9)x+3b이므로
6x¤ +ax-12=6x¤ +(2b+9)x+3b에서
a=2b+9, -12=3b(cid:100)(cid:100)
∴ a=1, b=-4
∴ a+b=1+(-4)=-3
17
4x¤ -8x-45=(2x+5)(2x-9)
따라서 두 일차식의 합은
(2x+5)+(2x-9)=4x-4
x¤ -6x+5=≥(x-1)(x-5)
5x¤ -3x-2=≥(x-1)(5x+2)
따라서 두 다항식의 공통인 인수는 x-1이다.
① ab¤ -a‹ b=ab(b-a¤ )
③ x¤ -16xy+64y¤ =(x-8y)¤
⑤ 2x¤ -3x+1=(x-1)(2x-1)
15
16
18
19
(x-1)(x+6)=x¤ +5x-6에서 미경이는 상수항을 바르
게 보았으므로 처음 이차식의 상수항은 -6이다.
또, (x-2)(x-3)=x¤ -5x+6에서 상현이는 x의 계수를
바르게 보았으므로 처음 이차식의 x의 계수는 -5이다.
따라서 처음 이차식은 x¤ -5x-6이므로 바르게 인수분해하면
x¤ -5x-6=(x+1)(x-6)
24
(x-12)(2x+1)=2x¤ -23x-12에서 승민이는 x의 계수
를 잘못 보았으므로 처음 이차식의 x¤ 의 계수는 2, 상수항은
-12이다.
또, (x+2)(2x-9)=2x¤ -5x-18에서 현주는 상수항을
잘못 보았으므로 처음 이차식의 x¤ 의 계수는 2, x의 계수는
-5이다.
따라서 처음 이차식은 2x¤ -5x-12이므로 바르게 인수분해
하면
2x¤ -5x-12=(x-4)(2x+3)
25
주어진 직사각형을 사용하여 오른쪽과
같은 큰 직사각형을 만들 수 있다. 큰
x
2
직사각형의 넓이를 식으로 나타내면
x¤ +3x+2=(x+1)(x+2)
따라서 큰 직사각형의 둘레의 길이는
2{(x+1)+(x+2)}=4x+6
x
1
26
6a¤ +19ab+10b¤ =(2a+5b)(3a+2b)
이므로 세로의 길이는 3a+2b이다.
정답과 해설 23
¤
¤
¤
¤
¤
¤
1
(20-48)151-3중간알찬수학_답수정 2015.1.16 03:5 PM 페이지24 MAC3
27
도형 A의 넓이는
(2x+5)¤ -2¤ =(2x+5+2)(2x+5-2)
=(2x+7)(2x+3)
36
① 34¤ -32¤ =(34+32)(34-32)=66_2=132
② 17_55-17_45=17(55-45)=17_10=170
③ 18¤ +4_18+4=18¤ +2_18_2+2¤
이때, 두 도형 A, B의 넓이가 같고, 도형 B의 가로의 길이가
2x+7이므로 도형 B의 세로의 길이는 2x+3이다.
=(18+2)¤ =20¤ =400
④ 70_2.5¤ -70_1.5¤ =70(2.5¤ -1.5¤ )
={(x+2)-(x-3)} {(x+2)-2(x-3)}
=5(-x+8)=-5(x-8)
=-55
28
x+2y=A로 놓으면
(주어진 식)=A¤ -2A-8
=(A+2)(A-4)
=(x+2y+2)(x+2y-4)
29
3x-y=A로 놓으면
(주어진 식)=A(A-1)-2
=A¤ -A-2
=(A+1)(A-2)
=(3x-y+1)(3x-y-2)
30
x+2=A, x-3=B로 놓으면
(주어진 식)=A¤ -3AB+2B¤
=(A-B)(A-2B)
따라서 a=-5, b=-8이므로
a+b=-5+(-8)=-13
31
(주어진 식)=x¤ (y¤ -1)-(y¤ -1)
=(x¤ -1)(y¤ -1)
=(x+1)(x-1)(y+1)(y-1)
32
(주어진 식)=x¤ -(y¤ -8y+16)
=x¤ -(y-4)¤
={x+(y-4)}{x-(y-4)}
=(x+y-4)(x-y+4)
33
(주어진 식)=(x¤ -4xy+4y¤ )-9
=(x-2y)¤ -3¤
=(x-2y+3)(x-2y-3)
따라서 a=-2, b=3이므로
a+b=-2+3=1
=70(2.5+1.5)(2.5-1.5)
=70_4_1=280
⑤ "√17¤ -8¤ ="√(17+8)(17-8)
='ƒ25_9="√5¤ _3¤ =15
37
(주어진 식)=
2015(2016+1)
(2016+1)(2016-1)
=
2015_2017
2017_2015
=1
38
(주어진 식)
=(1¤ -2¤ )+(3¤ -4¤ )+(5¤ -6¤ )+(7¤ -8¤ )+(9¤ -10¤ )
=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+(5+6)(5-6)
+(7+8)(7-8)+(9+10)(9-10)
=-(1+2)-(3+4)-(5+6)-(7+8)-(9+10)
=-(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)
39
x=
1
3-2'2
=
3+2'2
(3-2'2)(3+2'2 )
=3+2'2
∴ x¤ -6x+5=(x-1)(x-5)
=(3+2'2-1)(3+2'2-5)
=(2'2+2)(2'2-2)
=(2'2 )¤ -2¤ =8-4=4
40
x+2=A로 놓으면
(주어진 식)=A¤ -2A+1=(A-1)¤
=(x+2-1)¤ =(x+1)¤
=('3-1+1)¤ =('3 )¤ =3
41
x=
y=
1
'5-2
1
'5+2
=
=
'5+2
('5-2)('5+2)
'5-2
('5+2)('5-2)
='5+2,
='5-2이므로
x+y=2'5, x-y=4
∴ x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)=2'5_4=8'5
42
x-y=2'6이므로
(주어진 식)=(x-y)¤ -4=(x-y+2)(x-y-2)
=(2'6+2)(2'6-2)=(2'6)¤ -2¤ =20
34
x, y 중 차수가 낮은 y에 대하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)=(2x+1)y+(2x¤ -x-1)
=(2x+1)y+(2x+1)(x-1)
=(2x+1)(x+y-1)
35
101=x라 하면
(주어진 식)=2x¤ -5x+3=(2x-3)(x-1)
43
(주어진 식)=(x¤ -y¤ )-3(x+y)
=(x+y)(x-y)-3(x+y)
=(202-3)(101-1)=199_100=19900
이므로 가장 알맞은 인수분해 공식은
⑤ acx¤ +(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)이다.
=(x+y)(x-y-3)
='5 ('6-3)
='∂30-3'5
24 수학❸- 1 _ 중간
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지25 MAC3
44
(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=4¤ -4_2=8에서
a-b=—'8=—2'2이므로
(주어진 식)=(a¤ -b¤ )+2(a-b)
50
2⁄
fl -1=(2° +1)(2° -1)
=(2° +1)(2› +1)(2› -1)
=(2° +1)(2› +1)(2¤ +1)(2¤ -1)
=(a+b)(a-b)+2(a-b)
=(2° +1)(2› +1)(2¤ +1)(2+1)(2-1)
=(a-b)(a+b+2)
=—2'2(4+2)
=—12'2
45
x¤ -y¤ -2x+1=(x¤ -2x+1)-y¤
=(x-1)¤ -y¤
=(x+y-1)(x-y-1)
=(-3-1)(x-y-1)
=-4(x-y-1)=-12
에서 x-y-1=3(cid:100)(cid:100)∴ x-y=4
100점 따라잡기
46
x¤ +mx+18=(x+a)(x+b)에서 ab=18을 만족하는 정
수 a, b는 다음과 같다.
a
b
-18
-9 -6 -3 -2
-1
1
-1
-2 -3 -6 -9
-18
18
2
9
3
6
6
3
9
2
18
1
이때, m=a+b이므로 m의 값이 될 수 있는 수는
-19, -11, -9, 9, 11, 19
따라서 m의 최댓값은 19, 최솟값은 -19이다.
47
2015=x라 하면
(주어진 식)=(x-5)(x+5)+25
=x¤ -5¤ +25
=2015¤ =a¤
이때, a는 자연수이므로 a=2015
48
두 자연수 a, b의 제곱의 차가 33이고, a>b이므로
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)=33
따라서 가능한 순서쌍 (a+b, a-b)는 (11, 3), (33, 1)이다.
⁄ a+b=11, a-b=3일 때,
¤ a+b=33, a-b=1일 때,
a=7, b=4
a=17, b=16
⁄, ¤에서 구하는 순서쌍 (a, b)는
(7, 4), (17, 16)
=257_17_5_3_1
따라서 2⁄
fl -1은 10과 20 사이의 자연수인 15, 17로 나누어
떨어지므로 구하는 두 자연수의 합은
15+17=32
51
AC”+CD”=a+b이고, 점 B는 AD”의 중점이므로
AB”=
a+b
2
(cid:100)(cid:100)
∴ B’C’=AC”-AB”=a-
a+b
2
=
a-b
2
따라서 S¡={
a+b
2
, S™={
}
a-b
2
}
이므로
-{
}
a-b
2
}
S¡-S™={
S¡-S™={
a+b
2
a+b
2
+
a-b
2
}{
a+b
2
-
a-b
2
}
2a
S¡-S™= _ =ab
2
2b
2
유형별
050~051P
1 ⑴ -3 ⑵ -40 ⑶ (x+5)(x-8)
2 ⑴ x-1, x-5 ⑵ 2x-6
4 -32'2
6 70p cm¤
7
기본
4-1 39-52'6
6-1 60p cm¤
x-3
발전
3 350
5 —'5
(x+3)(11x-12)
심화
7개
3-1 15
5-1 —8'ß13
1
⑴ (x+2)(x-5)=x¤ -3x-10에서 미수는 x의 계수를 바
르게 보았으므로 처음 이차식의 x의 계수는 -3이다.
∴ a=-3
⑵ (x+4)(x-10)=x¤ -6x-40에서 현주는 상수항을 바
르게 보았으므로 처음 이차식의 상수항은 -40이다.
∴ b=-40
⑶ 처음 이차식은 x¤ -3x-40이므로 바르게 인수분해하면
x¤ -3x-40=(x+5)(x-8)
49
(주어진 식)
={1-;2!;}{1+;2!;}{1-;3!;}{1+;3!;}{1-;4!;} {1+;4!;}`_y
=_ {1-;8!;}{1+;8!;}{1-;9!;}{1+;9!;}
=;2!;_;2#;_;3@;_;3$;_;4#;_;4%;_y_;8&;_;8(;_;9*;_:¡9º:
=;2!;_:¡9º:=;9%;
2
⑴ x+2=A로 놓으면
(주어진 식)=A¤ -10A+21
=(A-3)(A-7)
=(x+2-3)(x+2-7)
=(x-1)(x-5)
따라서 구하는 두 일차식은 x-1, x-5이다.
⑵ 두 일차식의 합은 (x-1)+(x-5)=2x-6
정답과 해설 25
¤
¤
¤
¤
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지26 MAC3
3
(주어진 식)=7(7.5¤ -2.5¤ )
=7(7.5+2.5)(7.5-2.5)
=7_10_5=350
채점 요소
공통인 수로 묶기
7_7.5¤ -7_2.5¤ 을 인수분해하기
7_7.5¤ -7_2.5¤ 의 값 구하기
3-1
(주어진 식)=1.5(5.5¤ -4.5¤ )
=1.5(5.5+4.5)(5.5-4.5)
=1.5_10_1=15
채점 요소
공통인 수로 묶기
1.5_5.5¤ -1.5_4.5¤ 을 인수분해하기
1.5_5.5¤ -1.5_4.5¤ 의 값 구하기
단계
①
②
③
단계
①
②
③
4
x=
1
3+2'2`
x=3-2'2
=
3-2'2`
(3+2'2)(3-2'2)
3+2'2`
(3-2'2)(3+2'2)
=
y=
1
3-2'2`
y=3+2'2
∴ x¤ -y¤ +2x-2y
∴ =(x¤ -y¤ )+2(x-y)
=(x+y)(x-y)+2(x-y)
yy ②
=(x-y)(x+y+2)
={(3-2'2)-(3+2'2)}{(3-2'2)+(3+2'2)+2}
=-4'2_8
=-32'2
yy ③
단계
①
②
③
채점 요소
x, y의 분모를 각각 유리화하기
x¤ -y¤ +2x-2y를 인수분해하기
x¤ -y¤ +2x-2y의 값 구하기
배점
3점
3점
2점
4-1
x=
1
5+2'6
x=5-2'6
=
5-2'6`
(5+2'6)(5-2'6)
5+2'6
(5-2'6)(5+2'6)
=
y=
1
5-2'6
y=5+2'6
∴ x¤ -y¤ +6x+9
∴ =(x¤ +6x+9)-y¤
=(x+3)¤ -y¤
=(x+y+3)(x-y+3)
={(5-2'6)+(5+2'6)+3}
=13(-4'6+3)
=39-52'6
단계
①
②
③
채점 요소
x, y의 분모를 각각 유리화하기
x¤ -y¤ +6x+9를 인수분해하기
x¤ -y¤ +6x+9의 값 구하기
26 수학❸- 1 _ 중간
_{(5-2'6)-(5+2'6)+3}
yy ①
yy ②
yy ③
5
(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=5¤ -4_5=5에서
a-b=—'5이므로
(주어진 식)=(a¤ -b¤ )-4(a-b)
=(a+b)(a-b)-4(a-b)
5-1
(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=3¤ -4_(-1)=13에서
a-b=—'∂13이므로
(주어진 식)=(a¤ -b¤ )+5(a-b)
yy ①
=(a+b)(a-b)+5(a-b)
=(a-b)(a+b-4)
=—'5(5-4)
=—'5
채점 요소
a-b의 값 구하기
a¤ -b¤ -4a+4b를 인수분해하기
a¤ -b¤ -4a+4b의 값 구하기
=(a-b)(a+b+5)
=—'∂13(3+5)
=—8'∂13
채점 요소
a-b의 값 구하기
a¤ -b¤ +5a-5b를 인수분해하기
a¤ -b¤ +5a-5b의 값 구하기
단계
①
②
③
단계
①
②
③
6
AC”=x cm라 하면
(색칠한 부분의 둘레의 길이)
=(작은 원의 둘레의 길이)+(큰 원의 둘레의 길이)
=xp+(x+10)p=28p
에서 2x+10=28(cid:100)(cid:100)∴ x=9(cm)
yy ①
∴ (색칠한 부분의 넓이)
=(큰 원의 넓이)-(작은 원의 넓이)
∴ =p {:¡2ª:}
¤ -p {;2(;}
∴ =p {:¡2ª:+;2(;}{:¡2ª:-;2(;}
∴ =p_14_5=70p(cm¤ )
단계
①
②
AC”의 길이 구하기
색칠한 부분의 넓이 구하기
채점 요소
∴ (색칠한 부분의 넓이)
∴ =(큰 원의 넓이)-(작은 원의 넓이)
¤ -p {:¡2¡:}
∴ =p {:¡2ª:}
∴ =p {:¡2ª:+:¡2¡:}{:¡2ª:-:¡2¡:}
∴ =p_15_4=60p(cm¤ )
단계
①
②
AC”의 길이 구하기
색칠한 부분의 넓이 구하기
채점 요소
6-1
AC”=x cm라 하면
(색칠한 부분의 둘레의 길이)
=(작은 원의 둘레의 길이)+(큰 원의 둘레의 길이)
=xp+(x+8)p=30p
에서 2x+8=30(cid:100)(cid:100)∴ x=11(cm)
yy ①
yy ①
yy ②
yy ③
배점
3점
3점
2점
yy ②
yy ③
배점
3점
3점
2점
yy ②
배점
4점
4점
yy ②
배점
4점
4점
배점
2점
3점
3점
배점
2점
3점
3점
yy ①
yy ②
yy ③
yy ①
yy ①
yy ②
yy ③
배점
3점
3점
2점
¤
¤
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지27 MAC3
7
x¤ -13x+30=≥(x-3)(x-10)
기본
4x¤ -11x-3=≥(x-3)(4x+1)
따라서 두 다항식의 일차 이상의 공통인 인수는 x-3이다.
yy ①
yy ②
다.
2a¤ b-6ab¤ =2ab(a-3b)이므로 인수가 아닌 것은 ③ a¤ 이
yy ③
② 4x¤ -20xy+25y¤ =(2x-5y)¤
단계
①
②
③
채점 요소
x¤ -13x+30을 인수분해하기
4x¤ -11x-3을 인수분해하기
두 다항식의 일차 이상의 공통인 인수 구하기
발전
2x+1=A, x-2=B로 놓으면
yy ①
(주어진 식)=2A¤ +5AB-7B¤
=(A-B)(2A+7B)
yy ②
={(2x+1)-(x-2)}{2(2x+1)+7(x-2)}
x¤ -10x+ 가 완전제곱식으로 인수분해되려면
={
-10
2
¤ =25
}
또, 9x¤ + x+16=(—3x)¤ + x+(—4)¤ 은 (3x—4)¤
으로 인수분해된다.
∴ =—(2_3_4)=—24
=(x+3)(11x-12)
yy ③
4
x¤ +2x-63=(x-7)(x+9)
1
2
3
5
6
배점
2점
2점
1점
배점
2점
3점
3점
배점
4점
3점
3점
단계
①
②
③
채점 요소
2x+1=A, x-2=B로 놓기
A, B에 대한 식을 인수분해하기
인수분해한 결과를 x에 대한 식으로 나타내기
심화
두 정수 a, b(a>b)에 대하여
x¤ -x-n=(x+a)(x+b)라 하면
a+b=-1, ab=-n
이때, 10…n…99이므로
-99…ab…-10
yy ①
즉, a와 b는 서로 다른 부호이고, a>b이므로
a>0, b<0
따라서 합이 -1이고 -99…ab…-10을 만족하는 a>0,
b<0인 두 정수 a, b의 순서쌍 (a, b)를 구하면
(3, -4), (4, -5), (5, -6), (6, -7), (7, -8),
yy ②
(8, -9), (9, -10)
따라서 두 자리의 자연수 n은 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90의
yy ③
7개이다.
채점 요소
단계
①
②
③
a, b의 조건 구하기
순서쌍 (a, b) 구하기
n의 개수 구하기
따라서 두 일차식의 합은
(x-7)+(x+9)=2x+2
ㄱ. -2xy+4y=-2y(x-2)
ㄷ. 36x¤ -4=4(9x¤ -1)=4(3x+1)(3x-1)
ㄹ. x¤ -2x-15=(x+3)(x-5)
2x¤ +ax-1의 다른 한 인수를 2x+A라 하면
2x¤ +ax-1=(x+1)(2x+A)=2x¤ +(A+2)x+A
즉, a=A+2, -1=A이므로 a=1
또, 3x¤ +5x+b의 다른 한 인수를 3x+B라 하면
3x¤ +5x+b=(x+1)(3x+B)=3x¤ +(B+3)x+B
즉, 5=B+3, b=B이므로 B=2, b=2
∴ a+b=1+2=3
7
확장된 거실의 넓이는
(3x¤ +x-2)+(13x-3)=3x¤ +14x-5
이므로 확장된 거실의 가로의 길이는 (x+5)m이다.
=(x+5)(3x-1)(m¤ )
8
x-1=A로 놓으면
(주어진 식)=6A¤ +7A-20
=(2A+5)(3A-4)
={2(x-1)+5} {3(x-1)-4}
=(2x+3)(3x-7)
9
ab+a-b-1=a(b+1)-(b+1)=≥(a-1)(b+1)
a¤ -a+ab-b=a(a-1)+b(a-1)=≥(a-1)(a+b)
따라서 두 다항식의 공통인 인수는 a-1이다.
(주어진 식)
=x¤ +(-2y+2)x+(y¤ -2y-3)
=x¤ +(-2y+2)x+(y+1)(y-3)
⁄
5 1 1 2 1 1 1 5 ⁄
51121115⁄
1
1
5
5
5
=x
=x
=
-(y+1)
-(y-3)
3⁄
3⁄
(-y-1)x
(-y+3)x
(+
(-2y+2)x
=(x-y-1)(x-y+3)
정답과 해설 27
중단원
052~053P
10
x에 대하여 내림차순으로 정리하면
1 ③
7 ⑤
2 ②
8 ③
3 ③
9 ①
4 ④
5 ②
10 ① 11 ③
6 ③
12 ③
주관식 문제
14 -2'∂15
13 15
16 해설 참조
15 (x+y-5)(x-y+5)
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지28 MAC3
[다른 풀이]
(주어진 식)
=(x¤ -2xy+y¤ )+2(x-y)-3
=(x-y)¤ +2(x-y)-3
=A¤ +2A-3=(A-1)(A+3)
=(x-y-1)(x-y+3)
x-y=A
11
(주어진 식)
=(7¤ -3¤ )+(12¤ -8¤ )+(102¤ -98¤ )
=(7+3)(7-3)+(12+8)(12-8)+(102+98)(102-98)
=10_4+20_4+200_4
=920
12
x¤ -y¤ +4y-4=x¤ -(y¤ -4y+4)
=x¤ -(y-2)¤
=(x+y-2)(x-y+2)
=(4-2)(x-y+2)
=2(x-y+2)=12
에서 x-y+2=6(cid:100)(cid:100)
∴ x-y=4
주관식 문제
13
6x¤ +ax-20=(2x+b)(cx-4)
=2cx¤ +(bc-8)x-4b
즉, 6=2c, a=bc-8, -20=-4b이므로
a=7, b=5, c=3
∴ a+b+c=7+5+3=15
14
x=
y=
1
4+'∂15
1
4-'∂15
=
=
4-'∂15
(4+'∂15 )(4-'∂15)
4+'∂15
(4-'∂15)(4+'∂15)
=4-'∂15
=4+'∂15
∴ x¤ y-xy¤ =xy(x-y)
=(4-'∂15)(4+'∂15){(4-'∂15)-(4+'∂15)}
=1_(-2'∂15)
=-2'∂15
yy ①
yy ②
yy ③
배점률
30`%
30`%
40`%
15
(주어진 식)=x¤ -(y¤ -10y+25)
=x¤ -(y-5)¤
=(x+y-5)(x-y+5)
단계
①
②
③
채점 요소
주어진 식을 (1개의 항)+(3개의 항)으로 묶기
제곱의 차 형태로 나타내기
인수분해하기
16
2401=2500-100+1
=50¤ -2_50_1+1¤
=(50-1)¤ =49¤
가 아니다.
28 수학❸- 1 _ 중간
즉, 2401은 1과 자기 자신 이외의 약수 49를 가지므로 소수
중단원
054~055P
1 ④
2 ⑤
3 ②
4 ①
5 ⑤
6 ④
1
① x¤ +8x+16=(x+4)¤
② 5x¤ -30x+45=5(x¤ -6x+9)=5(x-3)¤
③ 3x¤ -6x+3=3(x¤ -2x+1)=3(x-1)¤
⑤ ;9!;x¤ -;3!;x+;4!;={;3!; x-;2!;}
2
x¤ +14x+a가 완전제곱식으로 인수분해되려면
¤ =49
a={:¡2¢:}
또, 25x¤ -bxy+4y¤ =(—5x)¤ -bxy+(—2y)¤ 은 (5x—2y)¤
으로 인수분해된다.
즉, -b=2_5_2=20 또는 -b=-2_5_2=-20
이때, b는 양수이므로 b=20
∴ a-b=49-20=29
3
"√a¤ +2ab+b¤ ="√(a+b)¤
"√a¤ -2ab+b¤ ="√(a-b)¤
이때, 00, a-b<0이므로
(주어진 식)="√(a+b)¤ -"√(a-b)¤
=(a+b)-{-(a-b)}
=a+b+a-b=2a
4
x¤ -6x+9=(x-3)¤
=(3+'5-3)¤
=('5)¤ =5
5
x¤ -y¤ -8x+16=(x¤ -8x+16)-y¤
=(x-4)¤ -y¤
=(x+y-4)(x-y-4)
=(8-4)(x-y-4)
=4(x-y-4)=12
에서 x-y-4=3(cid:100)(cid:100)
∴ x-y=7
6
2'3='∂12이므로 3<2'3<4
또, '9=3이므로 6<2'3+'9<7
∴ a=6, b=(2'3+'9 )-6=2'3-3
∴ (주어진 식)=a(b+1)+b(b+1)
=(a+b)(b+1)
=(6+2'3-3)(2'3-3+1)
=(2'3+3)(2'3-2)
=(2'3)¤ +2'3-6
=6+2'3
¤
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지29 MAC3
1-1 ⑴ (cid:8776) ⑵ ×
1-2 ⑴ 해이다. ⑵ 해가 아니다.
⑷ 2(x-4)¤ =6에서 (x-4)¤ =3
2
이차방정식
개념check
056~058P
2-1 ⑴ x=-2 또는 x=1 ⑵ x=-;2#; 또는 x=-;3@;
⑶ x=-4 또는 x=1 ⑷ x=;2!; 또는 x=2
⑶ x=-3—'2 ⑷ x=4—'3
3—'6
3
-5—'∂57
4
⑶ x=-1—'2
⑵ x=1 또는 x=2 ⑶ x=
1—'∂33
4
3-1 ⑴ 9 ⑵ —1
4-1 ⑴ x=—3 ⑵ x=—
'5
2
⑵ x=
5-1 ⑴ x=
4-2 ⑴ x=-3—'∂11 ⑵ x=
7—'∂37
2
4—'∂10
3
3—'3
3
6-1 ⑴ x=
⑷ x=
⑷ x=-6 또는 x=-1
7-1 ⑴ 2개 ⑵ 1개 ⑶ 없다.
8-1 ⑴ 5, 3 ⑵ ;2#;, ;2!;
9-1 ⑴ 3x¤ +5x-2=0 ⑵ x¤ -6x+9=0
10-1 ⑴ x+1 ⑵ 5, 6
1-1
1-2
⑵ x¤ -4x=x¤ 에서 -4x=0 (일차방정식)
⑴ x¤ -3x=0에 x=3을 대입하면
3¤ -3_3=0
따라서 x=3은 이차방정식 x¤ -3x=0의 해이다.
⑵ x¤ +x-2=0에 x=2를 대입하면
2¤ +2-2=4+0
따라서 x=2는 이차방정식 x¤ +x-2=0의 해가 아니다.
2-1
⑴ x+2=0 또는 x-1=0
∴ x=-2 또는 x=1
⑵ 2x+3=0 또는 3x+2=0
∴ x=-;2#; 또는 x=-;3@;
⑶ x¤ +3x-4=0에서
(x+4)(x-1)=0
∴ x=-4 또는 x=1
⑷ 2x¤ -5x+2=0에서
(2x-1)(x-2)=0
∴ x=;2!; 또는 x=2
3-1
⑴ k={
¤ =9
}
-6
2
k
2
, k¤ =1(cid:100)(cid:100)
⑵ ;4!;={
}
⑵ ∴ k=—1
4-1
'5
⑵ 4x¤ =5에서 x¤ =;4%;이므로 x=—
2
⑶ (x+3)¤ =2에서 x+3=—'2이므로
x=-3—'2
즉, x-4=—'3이므로 x=4—'3
4-2
⑴ x¤ +6x-2=0에서
x¤ +6x=2
x¤ +6x+9=2+9, (x+3)¤ =11
x+3=—'∂11(cid:100)(cid:100)
∴ x=-3—'∂11
⑵ 3x¤ -6x+1=0에서
x¤ -2x+;3!;=0, x¤ -2x=-;3!;
x¤ -2x+1=-;3!;+1, (x-1)¤ =;3@;
x-1=—æ;3@;, x-1=— (cid:100)(cid:100)
'6
3
∴ x=
3—'6
3
=
7—'∂37
2
-5—'∂57
4
5-1
⑴ x=
-(-7)—"√(-7)¤ -4_1_3
2_1
⑵ x=
-5—"√5¤ -4_2_(-4)
2_2
=
⑶ 일차항의 계수가 짝수이므로
x=-1—"√1¤ -1_(-1)=-1—'2
⑷ 일차항의 계수가 짝수이므로
x=
-(-4)—"√(-4)¤ -3_2
3
x=
4—'∂10
3
6-1
⑴ 주어진 이차방정식의 양변에 6을 곱하면
3x¤ -6x+2=0
일차항의 계수가 짝수이므로
x=
-(-3)—"√(-3)¤ -3_2
3
=
3—'3
3
⑵ 주어진 이차방정식의 양변에 10을 곱하면
x¤ -3x+2=0, (x-1)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=1 또는 x=2
⑶ 2x¤ -x-1=3, 2x¤ -x-4=0
∴ x=
-(-1)—"√(-1)¤ -4_2_√(-4)
2_2
=
1—'∂33
4
⑷ x+2=A로 놓으면 A¤ +3A-4=0
(A+4)(A-1)=0(cid:100)(cid:100)
∴ A=-4 또는 A=1
즉, x+2=-4 또는 x+2=1이므로
x=-6 또는 x=-1
정답과 해설 29
¤
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지30 MAC3
7-1
⑴ 5x¤ +x-2=0에서
1-1
① 일차방정식
b¤ -4ac=1¤ -4_5_(-2)=41>0
따라서 근의 개수는 2개이다.
⑵ x¤ +4x+4=0에서
b'¤ -ac=2¤ -1_4=0
따라서 근의 개수는 1개이다.
⑶ 3x¤ -2x+1=0에서
b'¤ -ac=(-1)¤ -3_1=-2<0
따라서 근이 없다.
8-1
⑴ x¤ -5x+3=0에서
(두 근의 합)=-
-5
1
=5
(두 근의 곱)=;1#;=3
⑵ 2x¤ -3x+1=0에서
-3
2
(두 근의 합)=-
=;2#;
(두 근의 곱)=;2!;
9-1
⑴ 3(x+2){x-;3!;}=0에서
(x+2)(3x-1)=0
∴ 3x¤ +5x-2=0
⑵ (x-3)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -6x+9=0
10-1
⑵ x(x+1)=30에서 x¤ +x-30=0
(x+6)(x-5)=0
∴ x=-6 또는 x=5
그런데 x는 자연수이므로 x=5
따라서 연속하는 두 자연수는 5, 6이다.
② 등식이 아니므로 이차방정식이 아니다.
③ x-2=0 (일차방정식)
④ x¤ -3x-3=0 (이차방정식)
⑤ x¤ -1+2x-x¤ =0에서 2x-1=0 (일차방정식)
1-2
① 2x-2=0 (일차방정식)
② 2x-1=0 (일차방정식)
③ 3x¤ -3x-x¤ +3=0에서 2x¤ -3x+3=0 (이차방정식)
④ 2x¤ -4x-2=0 (이차방정식)
⑤ 2x¤ -3x+1+4x-2x¤ =0에서 x+1=0 (일차방정식)
2-1
x¤ -18x+80=15에서 x¤ -18x+65=0
(x-5)(x-13)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=5 또는 x=13
2-2
3x¤ -5x+6=5x+3에서 3x¤ -10x+3=0
(3x-1)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=;3!; 또는 x=3
3-1
3-2
x¤ -ax-4a=0에 x=4를 대입하면
4¤ -a_4-4a=0, -8a=-16
∴ a=2
즉, 주어진 이차방정식이 x¤ -2x-8=0이므로
(x+2)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-2 또는 x=4
따라서 다른 한 근은 x=-2이다.
x¤ +ax-2a+1=0에 x=-3을 대입하면
(-3)¤ +a_(-3)-2a+1=0, -5a=-10
∴ a=2
즉, 주어진 이차방정식이 x¤ +2x-3=0이므로
(x+3)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-3 또는 x=1
따라서 다른 한 근은 x=1이다.
059~062P
4-1
x¤ +6x-3=0에서 x¤ +6x=3
x¤ +6x+9=3+9, (x+3)¤ =12
따라서 p=3, q=12이므로
p+q=3+12=15
4-2
x¤ -8x+3=0에서 x¤ -8x=-3
x¤ -8x+16=-3+16, (x-4)¤ =13
따라서 p=-4, q=13이므로
p+q=-4+13=9
5-1
3x¤ -4x-1=0에서 일차항의 계수가 짝수이므로
x=
-(-2)—"√(-2)¤ -3_(-1)
3
=
2—'7
3
따라서 a=2, b=7이므로
a+b=2+7=9
1-2 ③, ④
2-1 x=5 또는 x=13
3-1 ④
5-1 9
3-2 ①
5-2 14
1-1 ④
2-2 x=;3!; 또는 x=3
4-2 9
4-1 ③
5-3 13
6-1 x=
2—'∂10
3
6-2 x=-1 또는 x=;4!;
8-2 ⑤
8-1 ①
9-3 28
10-1 10살
11-1 2초 후 또는 5초 후
12-2 ④
12-1 ②
7-1 -2
7-2 ;2%;
9-2 21
9-1 15
10-2 15살
10-3 8명
11-2 2.5초 후 11-3 4초
12-3 ④
13-1 1+'5
13-2
1+'5
2
14-1 4 m
14-2 2 m
30 수학❸- 1 _ 중간
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지31 MAC3
5-2
2x¤ +3x-1=0에서
x=
-3—"√3¤ -4_2_(-1)
2_2
=
-3—'∂17
4
따라서 a=-3, b=17이므로
a+b=(-3)+17=14
5-3
x¤ +10x+2k-3=0에서 일차항의 계수가 짝수이므로
x=-5—"√5¤ -1_(2k-3)=-5—'ƒ28-2k
따라서 28-2k=2이므로 k=13
6-1
주어진 이차방정식의 양변에 12를 곱하면
3x¤ -4x-2=0
일차항의 계수가 짝수이므로
x=
-(-2)—"√(-2)¤ -3_(-2)
3
x=
2—'∂10
3
6-2
주어진 이차방정식의 양변에 6을 곱하면
4x¤ +3x-1=0, (x+1)(4x-1)=0
∴ x=-1 또는 x=;4!;
7-1
a+b=-6, ab=3이므로
1
-6
a
3
1
+ =
b
a+b
ab
=
=-2
7-2
a+b=5, ab=2이므로
1
a
1
+ =
b
a+b
ab
=;2%;
8-1
8-2
9-1
9-2
x¤ 의 계수가 1이고 두 근이 -2, 4인 이차방정식은
(x+2)(x-4)=0, x¤ -2x-8=0
따라서 a=-2, b=-8이므로
a+b=-2+(-8)=-10
x¤ 의 계수가 1이고 두 근이 2, 5인 이차방정식은
(x-2)(x-5)=0, x¤ -7x+10=0
따라서 a=-7, b=10이므로
a+b=-7+10=3
연속하는 두 자연수를 x, x+1(xæ1)이라 하면
x¤ +(x+1)¤ =113, 2x¤ +2x-112=0
x¤ +x-56=0, (x+8)(x-7)=0
∴ x=-8 또는 x=7
그런데 xæ1이므로 x=7
따라서 연속하는 두 자연수는 7, 8이므로 그 합은
7+8=15
연속하는 두 자연수를 x, x+1(xæ1)이라 하면
x¤ +(x+1)¤ =221, 2x¤ +2x-220=0
x¤ +x-110=0, (x+11)(x-10)=0
∴ x=-11 또는 x=10
그런데 xæ1이므로 x=10
따라서 연속하는 두 자연수는 10, 11이므로 그 합은
10+11=21
9-3
연속하는 두 홀수를 x, x+2(xæ1)라 하면
x(x+2)=195, x¤ +2x-195=0
(x+15)(x-13)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-15 또는 x=13
그런데 xæ1이므로 x=13
따라서 연속하는 두 홀수는 13, 15이므로 그 합은
13+15=28
[다른 풀이]
연속하는 두 홀수를 2x-1, 2x+1(xæ1)이라 하면
(2x-1)(2x+1)=195, 4x¤ -1=195
4x¤ =196, x¤ =49
∴ x=-7 또는 x=7
그런데 xæ1이므로 x=7
따라서 연속하는 두 홀수는 13, 15이므로 그 합은
13+15=28
10-1
동생의 나이를 x살이라 하면 형의 나이는 (x+4)살이므로
(x+4)¤ =2x¤ -4, x¤ -8x-20=0
(x+2)(x-10)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-2 또는 x=10
그런데 x는 자연수이므로 x=10
따라서 동생의 나이는 10살이다.
10-2
동생의 나이를 x살이라 하면 언니의 나이는 (x+6)살이므로
(x+6)¤ =2x¤ -9, x¤ -12x-45=0
(x+3)(x-15)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-3 또는 x=15
그런데 x는 자연수이므로 x=15
따라서 동생의 나이는 15살이다.
10-3
학생 수를 x명이라 하면 한 학생이 받는 연필 수는 (x+2)자루
이고, 전체 연필 수가 80자루이므로
x(x+2)=80, x¤ +2x-80=0
(x+10)(x-8)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-10 또는 x=8
그런데 x는 자연수이므로 x=8
따라서 학생 수는 8명이다.
11-1
물체를 던져 올린 지 t초 후의 높이가 50 m라 하면
35t-5t¤ =50에서 t¤ -7t+10=0
(t-2)(t-5)=0(cid:100)(cid:100)
∴ t=2 또는 t=5
따라서 물체가 지면으로부터 높이가 50 m인 지점을 지나는
것은 던져 올린 지 2초 후 또는 5초 후이다.
11-2
공을 던져 올린 지 x초 후의 높이가 20 m라 하면
-0.8x¤ +10x=20에서 8x¤ -100x=-200
2x¤ -25x+50=0, (2x-5)(x-10)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=;2%; 또는 x=10
정답과 해설 31
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지32 MAC3
따라서 공이 달 표면으로부터 높이가 처음으로 20 m인 지점
을 지나는 것은 던져 올린 지 2.5초 후이다.
11-3
쳐올린 야구공이 지면에 떨어질 때까지 걸린 시간을 t초라 하
면 지면에 떨어질 때의 높이는 0 m이므로
20t-5t¤ =0에서 t¤ -4t=0
t(t-4)=0(cid:100)(cid:100)
∴ t=0 또는 t=4
그런데 t>0이므로 t=4
따라서 야구공이 지면에 떨어질 때까지 걸리는 시간은 4초
이다.
12-1
처음 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
(x+1)(x-2)=28, x¤ -x-30=0
(x+5)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-5 또는 x=6
그런데 x>2이므로 x=6
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 6 cm이다.
처음 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
(x-5)(x+6)=60, x¤ +x-90=0
(x+10)(x-9)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-10 또는 x=9
그런데 x>5이므로 x=9
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 9 cm이다.
처음 직사각형과 넓이가 같아지는 데 걸리는 시간을 x초라
하면 x초 후에 직사각형의 가로의 길이는 (9+3x)cm, 세로
의 길이는 (15-x)cm이므로
(9+3x)(15-x)=9_15, x¤ -12x=0
x(x-12)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=0 또는 x=12
그런데 02이므로 x=1+'5
따라서 B’C’의 길이는 1+'5이다.
(cid:8772)ABCDª(cid:8772)FCDE이므로
AB” : B’C’=F’C’ : CD”
x¤ -x-1=0(cid:100)(cid:100)∴ x=
이때, B’C’=x라 하면 F’C’=B’C’-B’F’=x-1이므로
1 : x=(x-1) : 1, x(x-1)=1
1—'5
2
1+'5
2
1+'5
2
그런데 x>1이므로 x=
따라서 B’C’의 길이는
이다.
32 수학❸- 1 _ 중간
12-2
12-3
13-2
x m
x m
14-1
도로의 폭을 x m라 하면 도로를
28 m
제외한 꽃밭의 넓이는 오른쪽 그림
의 색칠한 부분의 넓이와 같으므로
(28-x)(20-x)=384
20 m
x m
x¤ -48x+176=0
(x-4)(x-44)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=4 또는 x=44
그런데 0b이므로 a=-3+2'5, b=-3-2'5
∴ a-b=(-3+2'5)-(-3-2'5)
=4'5
14
이차방정식 x¤ +4x-1=0에서 x¤ +4x=1이므로
¤ =4를 더하면
이 식의 양변에 {;2$;}
x¤ +4x+4=1+4
(x+2)¤ =5, x+2=—'5
∴ x=-2—'5
따라서 a=4, b=2, c=5이므로
a+b+c=4+2+5=11
정답과 해설 33
¤
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지34 MAC3
15
3x¤ -12x+4=0의 양변을 3으로 나누면
23
이차방정식 x¤ -4x+m-2=0이 서로 다른 두 근을 갖고,
x¤ -4x+;3$;=0에서 x¤ -4x=-;3$;
x¤ -4x+4=-;3$;+4, (x-2)¤ =;3*;
따라서 p=-2, q=;3*;이므로
p+q=-2+;3*;=;3@;
16
2x¤ +6x+1=0에서 일차항의 계수가 짝수이므로
x=
-3—"√3¤ -2_1
2
=
-3—'7
2
17
2x¤ -3x+a=0에서
x=
-(-3)—"√(-3)¤ -4_2_a
2_2
x=
3—'ƒ9-8a
4
따라서 9-8a=33이므로 a=-3
18
x¤ -4x-2=0에서 일차항의 계수가 짝수이므로
x=-(-2)—"√(-2)¤ -1_(-2)=2—'6
a0
6-m>0(cid:100)(cid:100)∴ m<6
24
이차방정식 x¤ +2kx-2k-1=0이 중근을 갖고, 일차항의
계수가 짝수이므로
b'¤ -ac=k¤ -(-2k-1)=0
k¤ +2k+1=0, (k+1)¤ =0(cid:100)(cid:100)
∴ k=-1(중근)
즉, 이차방정식 x¤ +3x+k=0에서 x¤ +3x-1=0이므로
x=
-3—"√3¤ -4_1_(-1)
2
=
-3—'∂13
2
25
a+b=-;3$;, ab=-;3@;이므로
a+b
1
a
ab
1
+ =
b
={-;3$;} ÷{-;3@;}
={-;3$;}_{-;2#;}=2
26
③ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=3¤ -2_1=7
④ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=3¤ -4_1=5
⑤ + =
b
a
a
b
a¤ +b¤
ab
=;1&;=7
27
28
이차방정식 x¤ -6x+k=0의 한 근이 x=3-'5이고, k는
유리수이므로 다른 한 근은 x=3+'5이다.
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
k=(3-'5)(3+'5)=9-5=4
x¤ 의 계수가 3이고 두 근이 -;3@;, 3인 이차방정식은
3 {x+;3@;}(x-3)=0, 3x¤ -7x-6=0(cid:100)(cid:100)
따라서 a=-7, b=-6이므로
a-b=-7-(-6)=-1
29
지혜는 두 근이 -2와 3으로 나왔으므로 지혜가 푼 이차방정
식은 (x+2)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x¤ -x-6=0
그런데 지혜는 상수항을 바르게 보았으므로 처음 이차방정식
의 상수항은 -6이다.
또, 하은이는 두 근이 -1과 -4로 나왔으므로 하은이가 푼
이차방정식은 (x+1)(x+4)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x¤ +5x+4=0
그런데 하은이는 x의 계수를 바르게 보았으므로 처음 이차방
정식의 x의 계수는 5이다.
따라서 처음 이차방정식은 x¤ +5x-6=0이므로
(x+6)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-6 또는 x=1
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지35 MAC3
30
31
32
33
연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1(xæ2)이라 하면
(x-1)¤ +x¤ +(x+1)¤ =302, 3x¤ +2=302
3x¤ =300, x¤ =100
∴ x=-10 또는 x=10
그런데 xæ2이므로 x=10
따라서 연속하는 세 자연수는 9, 10, 11이므로 그 합은
9+10+11=30
(x+3)¤ =2(x+3), x¤ +6x+9=2x+6
x¤ +4x+3=0, (x+3)(x+1)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-3 또는 x=-1
연속하는 두 짝수를 x, x+2(xæ2)라 하면
x(x+2)=360, x¤ +2x-360=0
(x+20)(x-18)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-20 또는 x=18
그런데 xæ2이므로 x=18
따라서 연속하는 두 짝수는 18, 20이므로 그 제곱의 차는
20¤ -18¤ =(20+18)(20-18)=38_2=76
[다른 풀이]
연속하는 두 짝수를 2x, 2x+2(xæ1)라 하면
2x(2x+2)=360, x¤ +x-90=0
(x+10)(x-9)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-10 또는 x=9
그런데 xæ1이므로 x=9
따라서 연속하는 두 짝수는 18, 20이므로 그 제곱의 차는
20¤ -18¤ =(20+18)(20-18)=38_2=76
연속하는 세 짝수를 x-2, x, x+2(xæ4)라 하면
(x+2)¤ =(x-2)¤ +x¤ , x¤ +4x+4=x¤ -4x+4+x¤
x¤ -8x=0, x(x-8)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=0 또는 x=8
그런데 xæ4이므로 x=8
따라서 연속하는 세 짝수는 6, 8, 10이므로 그 합은
6+8+10=24
[다른 풀이]
연속하는 세 짝수를 2x-2, 2x, 2x+2(xæ2)라 하면
(2x+2)¤ =(2x-2)¤ +(2x)¤
4x¤ +8x+4=4x¤ -8x+4+4x¤
4x¤ -16x=0, x(x-4)=0
∴ x=0 또는 x=4
그런데 xæ2이므로 x=4
따라서 연속하는 세 짝수는 6, 8, 10이므로 그 합은
6+8+10=24
34
딸의 나이를 x살이라 하면 어머니의 나이는 (x+20)살이므로
x¤ =4(x+20)+16, x¤ -4x-96=0
(x+8)(x-12)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-8 또는 x=12
그런데 x는 자연수이므로 x=12
따라서 딸의 나이는 12살이다.
학생 수를 x명이라 하면 한 학생이 받는 사탕 수는 (x-7)개
이고, 전체 사탕 수가 120개이므로
x(x-7)=120, x¤ -7x-120=0
(x+8)(x-15)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-8 또는 x=15
그런데 x>7이므로 x=15
따라서 학생 수는 15명이다.
물 로켓을 발사한 지 t초 후의 높이가 60 m라 하면
40t-5t¤ =60에서 t¤ -8t+12=0
(t-2)(t-6)=0(cid:100)(cid:100)
∴ t=2 또는 t=6
따라서 물 로켓이 지면으로부터의 높이가 처음으로 60 m인
지점을 지나는 것은 발사한 지 2초 후이다.
던져 올린 공이 땅에 떨어질 때까지 걸린 시간을 x초라 하면
땅에 떨어질 때의 높이는 0 m이므로
-5x¤ +30x+80=0에서 x¤ -6x-16=0
(x+2)(x-8)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-2 또는 x=8
그런데 x>0이므로 x=8
따라서 공이 땅에 떨어질 때까지 걸리는 시간은 8초이다.
처음 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
(x+3)(x-2)=50, x¤ +x-56=0
(x+8)(x-7)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-8 또는 x=7
그런데 x>2이므로 x=7
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 7 cm이다.
35
36
37
38
39
처음 직사각형과 넓이가 같아지는 데 걸리는 시간을 x초라 하
면 x초 후에 직사각형의 가로의 길이는 (15-x)cm, 세로의
길이는 (10+2x)cm이므로
(15-x)(10+2x)=15_10, x¤ -10x=0
x(x-10)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=0 또는 x=10
그런데 00이므로 x=3
㉠에서 AD”=4_3=12(cm), AB”=;3&;_3=7(cm)이므로
((cid:8772)ABCD의 둘레의 길이)=2(12+7)=38(cm)
정답과 해설 35
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지36 MAC3
41
(cid:8772)ABCDª(cid:8772)FCDE이므로
AB” : B’C’=F’C’ : C’D”
x¤ -x-1=0(cid:100)(cid:100)∴ x=
이때, AB”=x라 하면 B’C’=B’F’+F’C’=x+1이므로
x : (x+1)=1 : x, x¤ =x+1
1—'5
2
1+'5
2
1+'5
2
그런데 x>0이므로 x=
따라서 AB”의 길이는
이다.
42
처음 원의 반지름의 길이를 x cm라 하면 늘어난 원의 반지름
의 길이는 (x+3)cm이므로
p(x+3)¤ =4_px¤ , 3x¤ -6x-9=0
x¤ -2x-3=0, (x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3
그런데 x>0이므로 x=3
따라서 처음 원의 반지름의 길이는 3 cm이다.
43
B’C’=x cm라 하면 AC”=(20-x)cm이므로 색칠한 부분
46
처음 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이를 x cm라 하면
네 귀퉁이를 잘라 만든 직육면체의 밑면은 한 변의 길이가
(x-4)cm인 정사각형이고, 높이는 2 cm이다.
이때, 직육면체의 부피가 200 cm‹ 이므로
(x-4)¤ _2=200
(x-4)¤ =100, x-4=—10(cid:100)(cid:100)
∴ x=-6 또는 x=14
그런데 x>4이므로 x=14
따라서 처음 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이는 14 cm
이다.
47
x초 후에 △PBQ의 넓이가 66 cm¤ 가 된다고 하면
P’B’=(15-x)cm, BQ”=3x cm이므로
;2!;_(15-x)_3x=66
-3x¤ +45x=132, x¤ -15x+44=0
(x-4)(x-11)=0
∴ x=4 또는 x=11
그런데 0B’C’에서 20-x>x이므로 x<10(cid:100)(cid:100)
∴ x=8
따라서 B’C’의 길이는 8 cm이다.
44
길의 폭을 x m라 하면 길을 제외
12 m
한 꽃밭의 넓이는 오른쪽 그림의
x m
8 m
x m
색칠한 부분의 넓이와 같으므로
(12-x)(8-x)=60
x¤ -20x+36=0
(x-2)(x-18)=0
∴ x=2 또는 x=18
그런데 03이므로 n=10
따라서 구하는 다각형은 십각형이다.
36 수학❸- 1 _ 중간
작은 정사각형의 한 변의 길이를 x m라 하면 큰 정사각형의
한 변의 길이는 (x+6) m이므로
x¤ +(x+6)¤ =468, 2x¤ +12x-432=0
x¤ +6x-216=0, (x+18)(x-12)=0
∴ x=-18 또는 x=12
그런데 x>0이므로 x=12
따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 12 m이다.
49
큰 정사각형의 한 변의 길이를 x m라 하면 작은 정사각형의
한 변의 길이는
8-4x
4
두 정사각형의 넓이의 비가 1 : 2이므로
(2-x)¤ : x¤ =1 : 2
=2-x(m)
2(2-x)¤ =x¤ , x¤ -8x+8=0
∴ x=-(-4)—"√(-4)¤ -1_8=4—2'2
그런데 00이므로 x=
1+'5
2
1+'5
2
따라서 B’C’의 길이는
이다.
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지37 MAC3
51
점 P(a, b)가 일차함수 y=-x+6의 그래프 위에 있으므로
b=-a+6
유형별
070~071P
(cid:8772)OQPR=a(-a+6)=8에서
a¤ -6a+8=0, (a-2)(a-4)=0
∴ a=2 또는 a=4
그런데 a3이므로 x=
3+3'5
2
3+3'5
2
따라서 AB”의 길이는
이다.
53
4단계의 삼각형 모양 2개를 오른쪽
그림과 같이 붙이면 사각형 모양이
되므로 4단계의 삼각형 모양에서 사
용된 바둑돌의 개수는
개이다.
4_5
2
이와 같은 방법으로 n단계의 삼각형 모양에서 사용된 바둑돌
의 개수는
n(n+1)
2
개이다.
따라서 바둑돌 66개로 이루어진 삼각형을 x단계라 하면
x(x+1)
2
=66, x¤ +x-132=0
(x+12)(x-11)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-12 또는 x=11
그런데 x는 자연수이므로 x=11
따라서 바둑돌 66개로 이루어진 삼각형은 11단계이다.
1 ⑴ 2 ⑵ x=-7
2 ⑴ a=-2, b=-8 ⑵ x=-2 또는 x=4
3 x=-;3!; 또는 x=;2!;
-2—'∂10
2
4 x=
5 24
7
기본
x=
심화
3개
5-1 18
7—'∂13
6
3-1 x=1 또는 x=2
5—'∂17
2
4-1 x=
6 22 cm
6-1 13 cm
발전
x=-;2#; 또는 x=5
1
⑴ x¤ +3ax-(4a-1)=0에 x=1을 대입하면
1¤ +3a_1-(4a-1)=0
1+3a-4a+1=0
-a+2=0(cid:100)(cid:100)∴ a=2
⑵ 주어진 이차방정식이 x¤ +6x-7=0이므로
(x+7)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-7 또는 x=1
따라서 다른 한 근은 x=-7이다.
2
⑴ 주희는 두 근이 -3과 5로 나왔으므로
주희가 푼 이차방정식은
(x+3)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -2x-15=0
그런데 주희는 x의 계수를 바르게 보았으므로 a=-2
영선이는 두 근이 -1과 8로 나왔으므로
영선이가 푼 이차방정식은
(x+1)(x-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -7x-8=0
그런데 영선이는 상수항을 바르게 보았으므로 b=-8
⑵ 처음 이차방정식은 x¤ -2x-8=0이므로
(x+2)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-2 또는 x=4
3
(3x-1)(2x+1)=2x에서
6x¤ +x-1=2x, 6x¤ -x-1=0
(3x+1)(2x-1)=0
∴ x=-;3!; 또는 x=;2!;
단계
①
②
③
채점 요소
ax¤ +bx+c=0의 꼴로 나타내기
인수분해하기
이차방정식의 해 구하기
3-1
2x¤ -2x=(x-1)(x+2)에서
2x¤ -2x=x¤ +x-2, x¤ -3x+2=0
(x-1)(x-2)=0
∴ x=1 또는 x=2
단계
①
②
③
채점 요소
ax¤ +bx+c=0의 꼴로 나타내기
인수분해하기
이차방정식의 해 구하기
yy ①
yy ②
yy ③
배점
3점
3점
2점
배점
3점
3점
2점
yy ①
yy ②
yy ③
정답과 해설 37
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지38 MAC3
4
2x¤ +4x-3=0의 양변을 2로 나누면
6
처음 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이를 x cm라 하면
x¤ +2x-;2#;=0
x¤ +2x=;2#;, x¤ +2x+1=;2#;+1
(x+1)¤ =;2%;
x+1=—æ;2%;=—
'∂10
2
∴ x=
-2—'∂10
2
단계
①
②
채점 요소
(x+a)¤ =b의 꼴로 나타내기
이차방정식의 해 구하기
yy ①
yy ②
배점
5점
3점
yy ②
배점
5점
3점
yy ②
yy ③
배점
3점
3점
2점
yy ②
4-1
3x¤ -15x+6=0의 양변을 3으로 나누면
x¤ -5x+2=0
x¤ -5x=-2, x¤ -5x+{
¤ =:¡4¶:
{x-;2%;}
¤ =-2+{
}
-5
2
-5
2
}
'∂17
2
x-;2%;=—æ–:¡4¶:=—
5—'∂17
2
∴ x=
단계
①
②
채점 요소
(x+a)¤ =b의 꼴로 나타내기
이차방정식의 해 구하기
5
연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1(xæ2)이라 하면
(x-1)¤ +x¤ +(x+1)¤ =194
yy ①
3x¤ +2=194, 3x¤ =192
x¤ =64(cid:100)(cid:100)
∴ x=-8 또는 x=8
그런데 xæ2이므로 x=8
따라서 세 자연수는 7, 8, 9이므로 그 합은
7+8+9=24
단계
①
②
③
채점 요소
이차방정식 세우기
이차방정식 풀기
연속하는 세 자연수의 합 구하기
5-1
연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1(xæ2)이라 하면
(x+1)¤ =(x-1)¤ +x¤ -12
yy ①
x¤ +2x+1=2x¤ -2x-11, x¤ -4x-12=0
(x+2)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-2 또는 x=6
그런데 xæ2이므로 x=6
따라서 세 자연수는 5, 6, 7이므로 그 합은
5+6+7=18
단계
①
②
③
채점 요소
이차방정식 세우기
이차방정식 풀기
연속하는 세 자연수의 합 구하기
38 수학❸- 1 _ 중간
네 귀퉁이를 잘라 만든 직육면체의 밑면은 한 변의 길이가
(x-10)cm인 정사각형이고, 높이는 5 cm이다.
이때, 직육면체의 부피가 720 cm‹ 이므로
(x-10)¤ _5=720
(x-10)¤ =144, x-10=—12(cid:100)(cid:100)
∴ x=-2 또는 x=22
그런데 x>10이므로 x=22
따라서 처음 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이는 22 cm
yy ③
이다.
yy ②
yy ①
채점 요소
단계
①
②
③
이차방정식 세우기
이차방정식 풀기
처음 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이 구하기
배점
3점
3점
2점
yy ①
6-1
처음 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이를 x cm라 하면
네 귀퉁이를 잘라 만든 직육면체의 밑면은 한 변의 길이가
(x-6)cm인 정사각형이고, 높이는 3 cm이다.
이때, 직육면체의 부피가 147 cm‹ 이므로
(x-6)¤ _3=147
(x-6)¤ =49, x-6=—7(cid:100)(cid:100)
∴ x=-1 또는 x=13
그런데 x>6이므로 x=13
따라서 처음 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이는 13 cm
yy ③
yy ①
yy ②
이다.
채점 요소
단계
①
②
③
이차방정식 세우기
이차방정식 풀기
처음 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이 구하기
배점
3점
3점
2점
7
기본
x=
-(-7)—"√(-7)¤ -4_3_3
2_3
x=
7—'∂13
6
단계
①
②
근의 공식에 적용하기
답 구하기
채점 요소
3x(x-1)=5(x+1)(x-3)
3x¤ -3x=5x¤ -10x-15
2x¤ -7x-15=0
(2x+3)(x-5)=0
발전
주어진 이차방정식의 양변에 15를 곱하면
yy ③
∴ x=-;2#; 또는 x=5
배점
3점
3점
2점
단계
①
②
③
채점 요소
주어진 이차방정식의 양변에 15를 곱하기
ax¤ +bx+c=0의 꼴로 나타내기
이차방정식의 해 구하기
yy ①
yy ②
배점
3점
2점
yy ①
yy ②
yy ③
배점
2점
3점
3점
¤
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지39 MAC3
심화
2(2x+y)¤ -15(2x+y)+7=0에서
2x+y=A로 놓으면
2A¤ -15A+7=0
(2A-1)(A-7)=0(cid:100)(cid:100)
∴ A=;2!; 또는 A=7
그런데 x, y는 자연수이므로 2x+y=7
따라서 주어진 방정식을 만족하는 두 자연수 x, y의 순서쌍
(x, y)는 (1, 5), (2, 3), (3, 1)의 3개이다.
yy ②
yy ③
채점 요소
단계
①
②
③
공통부분을 찾아 치환하기
2x+y의 값 구하기
순서쌍 (x, y)의 개수 구하기
배점
3점
4점
3점
4
이차방정식 2x¤ +4x-4=0의 양변을 2로 나누면
x¤ +2x-2=0(cid:100)(cid:100)
∴ x¤ +2x=2
yy ①
이 식의 양변에 {;2@;}
¤ =1을 더하면
(가)
x¤ +2x+ =2+
1
(가)
1
(다)
3
(나)
(x+ )¤ =
1
따라서 x+1=—'3이므로
x=
⇨ (가) 1(cid:100)(cid:100)(나) 1(cid:100)(cid:100)(다) 3(cid:100)(cid:100)(라) -1—'3
-1—'3
(라)
5
ax¤ -4x-2=0에서 일차항의 계수가 짝수이므로
x=
-(-2)—"√(-2)¤ -a_(-2)
a
x=
2—'ƒ4+2a
a
따라서 a=3, b=4+2a이므로 b=10
∴ a+b=3+10=13
중단원
주관식 문제
1 ①
7 ①
2 ④
8 ⑤
3 ⑤
9 ④
4 ①
10 ③
5 ③
6 ⑤
11 8
12 x=-2 또는 x=-1
13 3
14 48
072~073P
6
주어진 이차방정식의 양변에 10을 곱하면
4x¤ +5x-5=0
∴ x=
-5—"√5¤ -4_4_(-5)
2_4
∴ x=
-5—'∂105
8
1
ㄱ. 이차식
ㄴ. x¤ -x+2=0 (이차방정식)
ㄷ. x¤ -3x=x¤ 에서
3x=0 (일차방정식)
ㄹ. x¤ +1=2x¤ -2x+1에서
x¤ -2x=0 (이차방정식)
ㅁ. x¤ +x‹ =4+x¤ 에서 x‹ -4=0
(x의 차수가 3이므로 이차방정식이 아니다.)
ㅂ. 4x¤ =1+4x+4x¤ 에서
4x+1=0 (일차방정식)
2
① (-2)¤ +(-2)-6=-4+0
② (-1)¤ -4_(-1)+4=9+0
③ (-1)¤ -6_(-1)+5=12+0
④ 1_(1+4)=5=1+4
⑤ (5-1)(5-5)=0+-3
3
x¤ +x-6=0에서
(x+3)(x-2)=0
∴ x=-3 또는 x=2
3x¤ -5x-2=0에서
(3x+1)(x-2)=0
∴ x=-;3!; 또는 x=2
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=2이다.
7
이차방정식 x¤ -6x+2k-1=0이 중근을 가지므로
-6
2
}
, 2k=10(cid:100)(cid:100)
2k-1={
∴ k=5
즉, 이차방정식 5x¤ +kx-1=0은 5x¤ +5x-1=0이므로
근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은
-;5%;=-1
8
a+b=-
-4
2
a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab
=2, ab=-;2%;이므로
a¤ +b¤ =2¤ -2_{-;2%;}=9
9
두 근이 -;2#;, ;3!;이고 x¤ 의 계수가 6이므로
6 {x+;2#;}{x-;3!;}=0, 6{x¤ +;6&; x-;2!;}=0
∴ 6x¤ +7x-3=0
10
폭죽을 쏘아 올린 지 t초 후의 높이가 125 m라 하면
50t-5t¤ =125에서 t¤ -10t+25=0
(t-5)¤ =0(cid:100)(cid:100)
∴ t=5(중근)
따라서 폭죽이 지면으로부터의 높이가 125 m인 지점을 지나
는 것은 쏘아 올린 지 5초 후이다.
정답과 해설 39
¤
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지40 MAC3
주관식 문제
11
x¤ -ax+a+1=0에 x=2를 대입하면
2¤ -a_2+a+1=0, -a+5=0(cid:100)(cid:100)
∴ a=5
즉, 주어진 이차방정식이 x¤ -5x+6=0이므로
(x-2)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=2 또는 x=3
따라서 다른 한 근은 x=3이므로 a의 값과 다른 한 근의 합은
5+3=8
x-1=A로 놓으면
A¤ +5A+6=0, (A+3)(A+2)=0
∴ A=-3 또는 A=-2
즉, x-1=-3 또는 x-1=-2이므로
x=-2 또는 x=-1
늘어난 원의 반지름의 길이는 (6+x)cm이므로
45p=p(6+x)¤ -p_6¤ , x¤ +12x-45=0
(x+15)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-15 또는 x=3
그런데 x>0이므로 x=3
12
13
14
(가)에서 이 자연수의 일의 자리의 숫자를 x라 하면 십의 자
리의 숫자는 12-x이므로 처음 자연수는
10(12-x)+x=120-9x이다.
(나)에서 x(12-x)=(120-9x)-16
12x-x¤ =104-9x, x¤ -21x+104=0
(x-8)(x-13)=0
yy ①
∴ x=8 또는 x=13
그런데 x<10이므로 x=8
따라서 십의 자리의 숫자는 12-8=4이므로 처음 자연수는
yy ③
48이다.
yy ②
채점 요소
단계
①
②
③
이차방정식 세우기
이차방정식 풀기
답 구하기
배점률
40`%
30`%
30`%
1
x¤ -5x+1=0에서
-(-5)—"√(-5)¤ -4_1_1
2_1
x=
x=
5—'∂21
2
2
4x¤ =3x¤ -8x-3에서 x¤ +8x+3=0
일차항의 계수가 짝수이므로
x=-4—"√(-4)¤ -1_3=-4—'∂13
따라서 a=-4, b=13이므로
a+b=-4+13=9
3
주어진 이차방정식의 x의 계수와 상수항을 서로 바꾸면
x¤ +ax+4a=0
이 이차방정식에 x=4를 대입하면
4¤ +a_4+4a=0, 16+8a=0(cid:100)(cid:100)
∴ a=-2
즉, 처음 이차방정식은 x¤ -8x-2=0이고 일차항의 계수가
짝수이므로
x=-(-4)—"√(-4)¤ -1_(-2)
x=4—3'2
4
처음 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
(x+4)(x-3)=60
x¤ +x-72=0, (x+9)(x-8)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-9 또는 x=8
그런데 x>3이므로 x=8
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 8 cm이다.
5
큰 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 작은 정사각형의
한 변의 길이는 (12-x)cm이므로
x¤ +(12-x)¤ =74, 2x¤ -24x+70=0
x¤ -12x+35=0, (x-5)(x-7)=0
∴ x=5 또는 x=7
그런데 60, a-2<0이므로
"√(2-a)¤ -"√4a¤ +"√(a-2)¤ =(2-a)-2a-(a-2)
=2-a-2a-a+2
=-4a+4
12
'∂28-4'6-5'7+'∂54
=2'7-4'6-5'7+3'6
=-3'7-'6
'ƒ100-n이 자연수가 되려면 100-n의 값이 100보다 작은
자연수의 제곱인 수이어야 한다.
즉, 100-n의 값이 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81
∴ n=99, 96, 91, 84, 75, 64, 51, 36, 19
따라서 A=99, B=19이므로
A+B=99+19=118
13
6'2-'∂75- +2'∂27
6
'2
=6'2-5'3-3'2+6'3
=3'2+'3
따라서 a=3, b=1이므로
ab=3_1=3
정답과 해설 41
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지42 MAC3
14
('3-'2)-
6
'3
=
=
'8+2'3
'2
'2(2'2+2'3)
'2_'2
-
6'3('3-'2)
'3_'3
-
18-6'6
3
4+2'6
2
=6-2'6-(2+'6)=4-3'6
15
① (3'2-'3)-2'2='2-'3<0
① ∴ 3'2-'3<2'2
② ('∂20+'3)-3'5=(2'5+'3)-3'5
② ('∂20+'3)-3'5=-'5+'3<0
① ∴ '∂20+'3<3'5
③ ('3+1)-(2'3-1)=-'3+2>0
① ∴ '3+1>2'3-1
④ '∂24-('6+1)=2'6-('6+1)
='6-1>0
① ∴ '∂24>'6+1
⑤ '3+'2-(4'2-'3)=-3'2+2'3
⑤ '3+'2-(4'2-'3)=-'∂18+'∂12<0
① ∴ '3+'2<4'2-'3
16
① ('6+2)¤ =('6)¤ +2_'6_2+2¤
=6+4'6+4=10+4'6
② ('7-'3)¤ =('7)¤ -2_'7_'3+('3)¤
=7-2'∂21+3=10-2'∂21
③ (3+2'2)(3-2'2)=3¤ -(2'2)¤
=9-8=1
④ ('5+'2)('5-3'2)
=('5)¤ +(1-3)'∂10+'2_(-3'2)
=5-2'∂10-6=-1-2'∂10
⑤ (3'3-'2)(2'3+'2)
=3_2_('3)¤ +(3_1-1_2)'6-('2)¤
=18+'6-2=16+'6
17
f(x)=
1
'ƒx+1+'x
f(x)=
'ƒx+1-'x`
('ƒx+1+'x)('ƒx+1-'x)
f(x)='ƒx+1-'x
∴ f(1)+f(2)+f(3)+y+f(99)
=('2-1)+('3-'2)+('4-'3)+y
∴ =-1+10=9
+('ƒ100-'∂99)
18
1<'3<2이므로 -2<-'3<-1(cid:100)(cid:100)∴ 3<5-'3<4
따라서 a=3, b=(5-'3)-3=2-'3
∴ a¤ +b¤ =3¤ +(2-'3)¤
=9+(7-4'3)=16-4'3
42 수학❸- 1 _ 중간
주관식 문제
19
'ƒ135x="√3‹ _5_x이므로 x=3_5_(자연수)¤ 꼴이어야
한다.
따라서 x=3_5_1¤ =15 또는 x=3_5_2¤ =60의 2개이다.
20
2
5'2-7
+
3
5'2+7
=
2(5'2+7)+3(5'2-7)
(5'2-7)(5'2+7)
=2(5'2+7)+3(5'2-7)
=10'2+14+15'2-21
=-7+25'2
따라서 a=-7, b=25이므로
a+b=-7+25=18
21
'∂49=7, '∂64=8이므로 7<'∂60<8(cid:100)(cid:100)
∴ f(60)=('∂60 이하의 자연수의 개수)=7
'∂25=5, '∂36=6이므로 5<'∂27<6(cid:100)(cid:100)
∴ f(27)=('∂27 이하의 자연수의 개수)=5
∴ f(60)-f(27)=7-5=2
채점 요소
단계
①
②
③
f(60)의 값 구하기
f(27)의 값 구하기
f(60)-f(27)의 값 구하기
22
넓이가 32 cm¤ , 18 cm¤ , 8 cm¤ 인 세 개의 정사각형의 한 변
의 길이는 각각 '∂32=4'2 (cm), '∂18=3'2(cm),
'8=2'2(cm)이다.
오른쪽 그림에서
㉮+㉯+㉰=4'2(cm)
이므로
yy ①
32 cm¤
18 cm¤
㉮
㉯
8 cm¤
㉰
4'2 cm
3'2 cm 2'2 cm
(도형의 둘레의 길이)
=2(4'2+3'2+2'2+4'2)
=2_13'2=26'2(cm)
단계
①
②
채점 요소
세 개의 정사각형의 한 변의 길이 각각 구하기
도형의 둘레의 길이 구하기
yy ①
yy ②
yy ③
배점
3점
3점
1점
yy ②
배점
3점
4점
Ⅱ.
인수분해와 이차방정식
085~087P
1 ③
7 ⑤
13 ②
2 ②
8 ②
14 ④
3 ②
9 ④
15 ③
4 ③
5 ③
10 ② 11 ①
17 ①
16 ④
6 ②
12 ④
18 ⑤
주관식 문제
19 -220 20 x=
-2—'∂10`
2
21 18'2-27
22 27
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지43 MAC3
1
2
3
5
6
7
a(b+4)-(b+4)=(a-1)(b+4)
16x¤ +(k+4)xy+9y¤ =(—4x)¤ +(k+4)xy+(—3y)¤ 은
(4x—3y)¤ 으로 인수분해된다.
즉, (k+4)xy=2_4x_3y=24xy 또는
(k+4)xy=-2_4x_3y=-24xy
∴ k=-28 또는 k=20
"√x¤ -10x+25="√(x-5)¤
"√x¤ -16x+64="√(x-8)¤
이때, 50, x-8<0이므로
(주어진 식)="√(x-5)¤ +"√(x-8)¤
(주어진 식)=x-5-(x-8)
(주어진 식)=x-5-x+8
=3
4
x¤ +Ax-32=(x+a)(x+b)에서 ab=-32를 만족하는
정수 a, b(a>b)는 다음과 같다.
a
b
1
2
4
-32 -16
-8
8
-4
16
-2
32
-1
10
11
12
이때, A=a+b이므로 A의 값이 될 수 있는 수는
-31, -14, -4, 4, 14, 31이다.
(bx-1)(3x+c)=3bx¤ +(bc-3)x-c이므로
18x¤ -ax+2=3bx¤ +(bc-3)x-c에서
18=3b, -a=bc-3, 2=-c
따라서 a=15, b=6, c=-2이므로
a-b+c=15-6+(-2)=7
② ;9!; x¤ -16y¤ ={;3!; x+4y}{;3!;x-4y}
2x¤ +ax-2의 다른 한 인수를 2x+A라 하면
2x¤ +ax-2=(x+2)(2x+A)
=2x¤ +(A+4)x+2A
즉, a=A+4, -2=2A이므로
A=-1, a=3
또, 3x¤ +7x+b의 다른 한 인수를 3x+B라 하면
3x¤ +7x+b=(x+2)(3x+B)
=3x¤ +(B+6)x+2B
즉, 7=B+6, b=2B이므로
B=1, b=2
∴ ab=3_2=6
8
x-4=A로 놓으면
(주어진 식)=A¤ -A-6
=(A+2)(A-3)
=(x-4+2)(x-4-3)
=(x-2)(x-7)
9
x=
y=
1
3+2'2`
1
3-2'2`
=
=
3-2'2
(3+2'2)(3-2'2)
3+2'2
(3-2'2)(3+2'2)
=3-2'2,
=3+2'2 이므로
x-y=3-2'2-(3+2'2)
=3-2'2-3-2'2=-4'2
∴ x¤ -2xy+y¤ =(x-y)¤
=(-4'2)¤ =32
① x¤ +x-4=0`(이차방정식)
② x-4=0`(일차방정식)
③ 2x¤ -2x=x¤ -8x+16, x¤ +6x-16=0`(이차방정식)
④ -2x¤ -5x=0`(이차방정식)
⑤ 3x¤ +x=2x¤ +5x-3, x¤ -4x+3=0`(이차방정식)
2x¤ +5x+2=5, 2x¤ +5x-3=0
(x+3)(2x-1)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-3 또는 x=;2!;
x¤ +3ax-2a=0에 x=1을 대입하면
1¤ +3a_1-2a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
즉, 주어진 이차방정식이 x¤ -3x+2=0이므로
(x-1)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x=2
따라서 다른 한 근은 x=2이다.
13
x¤ +10x-1=0에서 x¤ +10x=1
x¤ +10x+25=1+25
∴ (x+5)¤ =26
따라서 p=5, q=26이므로
q-p=26-5=21
14
x=
-(-1)—"√(-1)¤ -3_(-4)
3
=
1—'∂13
3
따라서 A=1, B=13이므로
A+B=1+13=14
15
양변을 3으로 나누면 x¤ +6x+
7a-8
3
=0
이 이차방정식이 중근을 가지므로
7a-8
3
={;2^;}
, 7a-8=27(cid:100)(cid:100)∴ a=5
[다른 풀이]
b'¤ -ac=9¤ -3_(7a-8)=0에서
81-21a+24=0, -21a=-105(cid:100)(cid:100)∴ a=5
16
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
a+b=1, ab=-;2&;이므로
a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab
a¤ +b¤ =1¤ -2_{-;2&;}=8
정답과 해설 43
¤
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지44 MAC3
17
두 근이 -1, 4이고 x¤ 의 계수가 2인 이차방정식은
2(x+1)(x-4)=0, 2(x¤ -3x-4)=0
∴ 2x¤ -6x-8=0
따라서 a=-6, b=-8이므로
a+b=-6+(-8)=-14
18
처음 직사각형과 넓이가 같아지는 데 걸리는 시간을 x초라
하면
(8+2x)(12-x)=8_12
2x¤ -16x=0, x¤ -8x=0
x(x-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=0 또는 x=8
그런데 00
<0, a+
a-
;a!;
;a!;
>1이므로
∴ (주어진 식)=æ≠{a-
;a!;}
+æ≠{a+
;a!;}
=-{a-
;a!;}+{a+
;a!;}
=-a+
+a+
;a!;
;a!;
=
;a@;
=x¤ +x-20
=(x+5)(x-4)
따라서 두 일차식의 합은
(x+5)+(x-4)=2x+1
13
① xy-x¤ y=xy(1-x)
② 16a¤ -25b¤ =(4a+5b)(4a-5b)
③ 2a¤ b-4ab+2b=2b(a¤ -2a+1)
=2b(a-1)¤
④ x¤ +14x+33=(x+3)(x+11)
⑤ (x+3)y+(x+3)+y+1
=(x+3)(y+1)+(y+1)
=(x+4)(y+1)
14
2_0.75¤ -2_0.25¤ =2(0.75¤ -0.25¤ )
=2(0.75+0.25)(0.75-0.25)
=2_1_0.5=1
이므로 가장 알맞은 인수분해 공식은
③ a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)이다.
15
도형 (가)의 넓이는
(4x+3)¤ -5¤ =(4x+3+5)(4x+3-5)
=(4x+8)(4x-2)
따라서 도형 (나)의 가로, 세로의 길이는 각각 4x+8, 4x-2
이므로 둘레의 길이는
2{(4x+8)+(4x-2)}=2_(8x+6)
=16x+12
16
각 방정식에 주어진 값을 대입하여 등식이 성립하는 것을 찾
는다.
① x=-2를 대입하면
(-2-2)¤ -9=7+0
② x=-1을 대입하면
(-1+2)(-1-1)=-2+0
③ x=-1을 대입하면
2_(-1)¤ +(-1)-3=-2+0
④ x=-2를 대입하면
3_(-2)_(-2-2)-4=20+0
⑤ x=;2!;을 대입하면
⑤ 4_{;2!;}
¤ -4_;2!;+1=0
17
ax¤ +(2a-1)x+3=0에 x=1을 대입하면
a+2a-1+3=0, 3a=-2(cid:100)(cid:100)∴ a=-;3@;
즉, 주어진 이차방정식이 -;3@; x¤ -;3&; x+3=0이므로
2x¤ +7x-9=0, (2x+9)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-;2(; 또는 x=1
따라서 b=-;2(;이므로 ab=-;3@;_{-;2(;}=3
정답과 해설 45
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지46 MAC3
18
2x¤ +3x-1=0의 양변을 2로 나누면
23
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
x¤ +;2#; x-
=0
①
;2!;
①
;2!;
x¤ +;2#; x=
의 양변에
를 더하면
②
;1ª6;
x¤ +;2#; x+
②
;1ª6;
=
①
;2!;
+
②
;1ª6;
{x+;4#;}
¤ =
③
;1!6&;
x+;4#;=
∴ x=
④
— '∂17
4
-3—'∂17
4
⑤
19
주어진 이차방정식의 양변에 18을 곱하면
6x¤ -8x-3=0
∴ x=
-(-4)—"√(-4)¤ -6_(-3)
6
∴ x=
4—'∂34
6
따라서 A=4, B=34이므로
B-A=34-4=30
20
(cid:8772)ABCDª(cid:8772)DEFC이므로
AB”：DE”=AD”：DC”
이때, DE”=x라 하면 AD”=AE”+ED”=1+x이므로
1：x=(1+x)：1에서
x+x¤ =1, x¤ +x-1=0
-1—'5
2
이때, x>0이므로 x=
∴ x=
-1+'5
2
따라서 사각형 ABCD의 둘레의 길이는
-1+'5
3+'5
2
2
2_[1+{1+
}]=2_
=3+'5
주관식 문제
21
(cid:8772)ABCD=3_3-{;2!;_2_1}_4=5이므로 정사각형
ABCD의 한 변의 길이는 '5이다.
따라서 AB”=AP”='5, AD”=A’Q’='5이므로
두 점 P, Q에 대응하는 수는 각각
-2+'5, -2-'5
따라서 두 수의 합은
(-2+'5)+(-2-'5)=-4
22
a¤ -b¤ +2a-2b=(a+b)(a-b)+2(a-b)
=(a-b)(a+b+2)
=(a-b)(6+2)=40
에서 a-b=5
46 수학❸- 1 _ 중간
24
a+b=-
=6, ab=;1$;=4이므로
-6
1
a+b
ab
+
=
;∫!;
;å!;
=;4^;=;2#;
2<'7<3이므로 -3<-'7<-2
∴ 3<6-'7<4
따라서 a=3, b=(6-'7)-3=3-'7
∴ 2a-b¤ =2_3-(3-'7)¤
=6-(9-6'7+7)
=6-(16-6'7)
=6-16+6'7
=-10+6'7
단계
①
②
a, b의 값 구하기
2a-b¤ 의 값 구하기
채점 요소
yy ①
yy ②
배점
2점
2점
25
물체를 쏘아 올린 지 t초 후의 높이가 180 m라 하면
60t-5t¤ =180
yy ①
5t¤ -60t+180=0, t¤ -12t+36=0
yy ②
(t-6)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ t=6
따라서 지면으로부터의 높이가 180 m일 때는 물체를 쏘아
yy ③
올린 지 6초 후이다.
채점 요소
단계
①
②
③
이차방정식 세우기
이차방정식 풀기
답 구하기
배점
1점
2점
1점
092~095P
3 ④
9 ③
15 ③
5 ④
4 ④
10 ⑤ 11 ④
17 ④
16 ③
6 ③
12 ④
18 ③
2회
1 ⑤
7 ⑤
13 ①
19 ②
주관식 문제
2 ④
8 ②
14 ④
20 ③
21 6개 22 8
23 8
24 (x-8)(x+3) 25 2 m
1
2
3
(-9)¤ =81의 양의 제곱근은 9이므로 A=9
"ç36¤ =36의 음의 제곱근은 -6이므로 B=-6
∴ A-B=9-(-6)=15
④ {
'6
3
¤ =;9^;=;3@;
}
ab<0에서 a, b의 부호는 서로 다르고 a>0이므로 b<0
∴ (주어진 식)=3a-(b-3a)-a
=3a-b+3a-a
=5a-b
(20-48)151-3중간알찬수학정.ps 2015.1.15 06:44 PM 페이지47 MAC3
① 무한소수 중 순환소수는 유리수이다.
② '4=2는 유리수이다.
③ '2와 -'2의 합은 0으로 유리수이다.
⑤ 수직선은 실수에 대응하는 점으로 완전히 메울 수 있다.
13
x¤ -5x-6=≥(x-6)(x+1)
3x¤ -16x-12=(3x+2)≥(x-6)
따라서 공통인 인수는 x-6이다.
4
5
7
8
9
10
11
12
'∂50="√5¤ _2=5'2이므로 a=5
3'2="√3¤ _2='∂18이므로 b=18
∴ '∂ab='ƒ5_18='∂90=3'∂10
6
aæ;aB;
9a
+bæ≠ =æ≠a¤ _
b
+æ≠b¤ _
;aB;
9a
b
='∂ab+'ƒ9ab
='4+'∂36
=2+6=8
3'2-'ƒ252-3'7+'∂50
=3'2-6'7-3'7+5'2
=8'2-9'7
따라서 a=8, b=-9이므로
4a-b=4_8-(-9)=41
('3+2'2)-{'2- }÷
1
4
'2
'3
= +2-{'2- }_
'3
2
2
'3
4
'3
= +2- +2=4
'6
2
'3
'2
'6
2
한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2이므로
BD”=B’P’='2, EG”=E’Q’='2
따라서 두 점 P, Q에 대응하는 수는 각각
-3-'2, -2+'2이므로
PQ”=(-2+'2)-(-3-'2)
=-2+'2+3+'2
=2'2+1
① (2'3+3)¤ =(2'3)¤ +2_2'3_3+3¤ =21+12'3
② ('8-'∂12)¤ =('8)¤ -2_'8_'∂12+('∂12)¤
=20-8'6
③ ('7+3)('7-3)=('7)¤ -3¤ =-2
④ ('5+4)('5-7)=('5)¤ +(4-7)'5+4_(-7)
=-23-3'5
2ab¤ -4a¤ b+6ab=2ab(b-2a+3)
x¤ -ax+64=x¤ -ax+8¤ 은 (x—8)¤ 으로 인수분해된다.
이때, a>0이므로 a=2_8=16
9x¤ +12x+b=(3x)¤ +2_3x_2+b는 (3x+2)¤ 으로 인
수분해된다.(cid:100)(cid:100)
∴ b=2¤ =4
∴ a+b=16+4=20
14
12x¤ +ax-10의 다른 한 인수를 4x+A라 하면
12x¤ +ax-10=(3x-2)(4x+A)
=12x¤ +(3A-8)x-2A
즉, a=3A-8, -10=-2A이므로
A=5, a=7
15
x+2y=A라 하면
(주어진 식)=(A+1)(A+2)-6
=A¤ +3A-4
=(A-1)(A+4)
=(x+2y-1)(x+2y+4)
16
x+y=(2'3+4)+(2'3-4)=4'3
x-y=(2'3+4)-(2'3-4)=8
∴ x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)
=4'3_8
=32'3
17
① 4x-4=0 (일차방정식)
② x‹ -x¤ +4x=0 (이차방정식이 아니다.)
③ 분모에 미지수가 있으므로 이차방정식이 아니다.
④ 3x¤ -3x=x¤ -3, 2x¤ -3x+3=0 (이차방정식)
⑤ x¤ -2x-8=x¤ +4x, -6x-8=0 (일차방정식)
18
x=
-(-2)—"√(-2)¤ -2_(-5)
2
x=
2—'∂14
2
19
이차방정식 x¤ +2kx+2k-1=0이 중근을 갖고, 일차항의
계수가 짝수이므로
k¤ -1_(2k-1)=0
k¤ -2k+1=0, (k-1)¤ =0(cid:100)(cid:100)
∴ k=1(중근)
즉, 이차방정식 x¤ +3x+2k=0에서 x¤ +3x+2=0이므로
(x+2)(x+1)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-2 또는 x=-1
20
한 모둠의 학생 수를 x명이라 하면 한 학생이 받는 사과 수는
(x-2)개이고, 전체 사과 수는 80개이므로
x(x-2)=80
x¤ -2x-80=0, (x+8)(x-10)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-8 또는 x=10
그런데 x>2이므로 x=10
따라서 학생 수는 10명이다.
정답과 해설 47
1
(20-48)151-3중간알찬수학_답수정 2015.1.16 03:5 PM 페이지48 MAC3
주관식 문제
21
3<'ƒx+2<4에서
3='9, 4='∂16이므로
'9<'ƒx+2<'∂16, 9
