중학 수학 뜀틀 유형편 중 1 ( 상 ) 답지 (2019)

수 학 1 0 0 점 을 위 한 탄 탄 한 도 약 ! 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 정답과 해설 w w w . t o p t u t o r . c o . k r 0060 3 0061 ③ 0062 0063 ②, ④ 0064 12 이 모두 자연수가 되려면 n은 90의 약수이면서 6의 배수이어야 0070 ②, ④ 0071 ② 0072 0073 8 0074 10 90의 약수는 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90이고, 이 중 6의 배수인 것 0075 ⑤ 0076 ①, ② 0077 ⑤ 0078 ② 은 6, 18, 30, 90의 4개이다. 0079 (1) 3 (2) 4 (3) 10 0080 ④ 0081 ⑤ 0082 100 따라서 자연수 n의 개수는 4이다. 답 ④ 0006 두 수 90 n , n 6 한다. 본문 009쪽 이 자연수가 되려면 2_n-1은 60의 약수이어야 한다. 0004 60 2_n-1 60=1_60=2_30=3_20=4_15=5_12=6_10에서 60의 약수는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60이고, 자연수 n에 대하여 2_n-1은 홀 수이므로 2_n-1의 값이 될 수 있는 수는 1, 3, 5, 15이다. 따라서 자연수 n의 값은 1, 2, 3, 8이므로 구하는 합은 1+2+3+8=14 답 ② 0005 50 미만의 자연수 중 5의 배수인 것은 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45의 9개 이고 이 중에서 3의 배수인 것은 15, 30, 45의 3개이다. 따라서 5의 배수이지만 3의 배수가 아닌 것의 개수는 9-3=6(개) 답 ④ 0007 ① 자연수 a가 자연수 b로 나누어떨어지면 약수의 성질에 의하여 b는 a의 약 수이다. ② 두 자연수 c, d에 대하여 c가 d의 약수이면 d=c_k (k는 자연수)이다. 따라서 d는 c의 배수이다. ③ 모든 자연수는 1과 자기 자신을 약수로 갖는다. ④ 어떤 자연수 a의 배수는 k_a(k는 자연수)이므로 가장 작은 a의 배수는 k=1일 때, 즉 a이다. ⑤ 어떤 수 A를 e로 나누었을 때의 몫과 나머지를 각각 q, r라 하면 A=e_q+r (단, 0Ér<e) 그러므로 나머지 r는 0보다 크거나 같고 e보다 작다. 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 답 ⑤ 유형 02. 소수와 합성수 0008 1은 소수도 합성수도 아니다. 소수는 7, 13, 19, 29, 31의 5개이고, 합성수는 4, 10, 16의 3개이다. 따라서 a=5, b=3이므로 a-b=2 답 2 답 ① 0009 약수가 3개 이상인 자연수는 합성수이다. 따라서 10보다 크고 25보다 작거나 같은 합성수는 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25의 10개이다. 답 ⑤ 0010 두 자리 소수를 작은 것부터 차례로 나열하면 11, 13, 17, 19, 23, y 따라서 a가 될 수 있는 자연수는 19, 20, 21, 22의 4개이다. 답 4 01 소인수분해 0001 24 0002 ① 0003 ④ 0004 ② 0005 ④ 0006 ④ 0007 ⑤ 0008 2 0009 ⑤ 0010 0011 27 0012 ① 0013 ② 0014 ⑤ 0015 0016 ④ 0017 ③ 0018 ② 0019 ③ 0020 ④ 0021 ② 0022 ② 0023 12 0024 ③ 0025 420 0026 ③ 0027 ② 0028 ① 0029 ③ 0030 ② 0031 ④ 0032 ④ 0033 ③ 0034 ④ 0035 0036 ⑤ 0037 6 0038 ③ 0039 ②, ⑤ 0040 0041 ② 0042 11, 44, 99 0043 ④ 0044 96 0045 ④ 0046 70 0047 ⑤ 0048 (1) 2_33 (2) 풀이 참조 0049 ③ 0050 ⑤ 0051 0052 ④ 0053 ③ 0054 ① 0055 ② 0056 0057 ② 0058 ② 0059 ③ 4 18 4 272 11 24 0065 ① 0066 16 0067 ④ 0068 ④ 0069 ① 1 6 0083 ④ 0084 ④ 0085 ⑤ 0086 ② 0087 ② 0088 12 0089 ③ 0090 ④ 0091 ③ 0092 풀이 참조 0093 ② 0094 ④ 0095 ③ 0096 ② 0097 504 0098 ① 0099 5 0100 ③ 0101 풀이 참조 0102 ⑤ 0103 ④ 0104 ④ 0105 ③, ⑤ 0106 ③ 0107 ④ 0108 ③ 0109 ③ 0110 455 0111 풀이 참조 0112 ② 유형 정복하기 유형 01. 약수와 배수 0001 A=1_A=2_12=3_8=4_6이므로 A=24 답 24 0002 36을 자연수 x로 나누었을 때의 몫을 k라 하면 36=k_x+4 ∴ k_x=32 즉, x는 32의 약수이다. 이때 x로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 x>4 따라서 4보다 큰 32의 약수는 8, 16, 32이므로 x의 값은 8, 16, 32이고, 구하는 합은 8+16+32=56 0003 각 조의 인원수가 모두 같도록 조를 편성하려면 135=(각 조의 인원수)_(조의 개수) 이므로 각 조의 인원수는 135의 약수이다. 135=1_135=3_45=5_27=9_15 이므로 가능한 각 조의 인원수는 1명, 3명, 5명, 9명, 15명, 27명, 45명, 135명 이다. 따라서 각 조의 인원 수가 될 수 없는 것은 ④ 35명이다. 답 ④ 2 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 0011 13 이상의 자연수 중 가장 작은 자연수는 13이고 13은 1과 13만을 약수로 갖 기 때문에 소수이다. ∴ a=13 그 다음으로 작은 자연수는 14=1_14=2_7이고 14는 1, 2, 7, 14의 4개의 약수를 가지므로 합성수이다. ∴ b=14 ∴ a+b=13+14=27 답 27 0012 조건 (나)에서 n은 1과 자기 자신을 약수로 가지므로 소수이고, 조건 (가)에 서 n은 20보다 크고 35보다 작은 자연수이므로 20보다 크고 35보다 작은 소 수는 23, 29, 31의 3개이다. 답 ① 0013 ① 2는 소수이지만 짝수이다. ② 27은 일의 자리의 숫자가 7이지만 27=3_9이므로 소수가 아니다. ③ 39는 일의 자리의 숫자가 9이지만 39=3_13이므로 소수가 아니다. ④ 6=2_3에서 6은 합성수이므로 합성수 6의 배수는 모두 소수가 될 수 없다. ⑤ 2를 제외한 모든 짝수는 1과 자기 자신 외에 2를 약수로 가지므로 소수가 아니다. 따라서 옳지 않은 것은 ②이다. 유형 03. 거듭제곱으로 나타내기 0014 ① 9_9_9=9Ü` ② 2_2+3_3_3=2Û` ③ 3_3_3_5_5_7=3Ü` ④ a+a+a+a+a=5_a 4 1 ⑤ 1 22 22 + 1 22 = 1 22 + 22 + +3Ü` 따라서 옳은 것은 ⑤이다. _5Û` _7 0015 1시간 후의 세포의 개수는 2, 2시간 후의 세포의 개수는 4=2Û`, 3시간 후의 세포의 개수는 8=2Ü`, 4시간 후의 세포의 개수는 16=2Ý`, ⋮ 0016 ㄱ. 13Ü` ㄴ. 3_3_3+5_5_7=3Ü` ㄷ. 1 =13_13_13=2197 +5Û` 2 _0.5=0.5_0.5=0.5Û` _7 1 ㄹ. 1 23_42 = 2_2_2_(2_2)_(2_2) = +32 ㅁ. 3+2+3+2+3=2_2+3_3=22 따라서 옳은 것을 모두 고르면 ㄷ, ㄹ이다. 1 27 본문 010쪽 답 ③ 답 ② Ⅰ - 0 1 . 소 인 수 분 해 0017 32=2Þ` 이므로 a=5 =81이므로 b=81 3Ý` ∴ b-a=81-5=76 0018 81_125=3Ý` ∴ x+y=4+3=7 0019 31 =3, 3Û` _5Ü`이므로 x=4, y=3 =243, y이므로 3n의 일의 자리 숫자는 3, =9, 3Ü` =81, 3Þ` =25, y이므로 5n의 일의 자리 숫자는 항상 5이다. =27, 3Ý` 9, 7, 1의 4개의 수가 순서대로 반복된다. 33=4_8+1에서 333의 일의 자리 숫자는 3이므로 a=3 51 =5, 5Û` 즉, 555의 일의 자리 숫자는 5이므로 b=5 71 =7, 7Û` =343, 7Ý` 자는 7, 9, 3, 1의 4개의 수가 순서대로 반복된다. 77=4_19+1에서 777의 일의 자리 숫자는 7이므로 c=7 ∴ a+b+c=3+5+7=15 =2401, 7Þ` =49, 7Ü` =16807, y이므로 7n의 일의 자리 숫 답 ③ 답 ④ 답 ② 답 ② 답 12 답 ③ 답 ② 유형 04. 소인수분해 0020 675=3Ü` ∴ a_b=3_2=6 _5Û`이므로 a=3, b=2 0021 주어진 수를 각각 소인수분해하면 다음과 같다. ① 18=2_3Û` ③ 30=2_3_5 ⑤ 80=2Ý` ④ 150=2_3_5Û` ② 50=2_5Û` _5 답 ⑤ 0022 1428을 소인수분해하면 2 >³ 2 >³ 3 >³ 7 >³ 1428 714 357 119 17 ∴ 1428=2Û` 따라서 한 번 밟은 돌은 다시 밟지 않았으므로 토끼가 밟은 돌의 개수는 3, 4, _3_7_17 _5Û`이므로 0023 200=2Ü` a=2, b=5, m=3, n=2 또는 a=5, b=2, m=2, n=3 ∴ a+b+m+n=12 _3Û`이므로 _7, 36=2Û` =(3Û` 0024 63=3Û` 63_36 _3Û`)=2Û` 따라서 a=2, b=4, c=1이므로 a+b+c=2+4+1=7 _7)_(2Û` _3Ý` _7 답 ④ Ⅰ. 소인수분해 01. 소인수분해 3 따라서 x시간 후의 세포의 개수는 2x이므로 3일 후, 즉 72시간 후의 세포의 개수는 272이다. 답 272 7, 17의 4이다. 본문 013쪽 0025 2, 3, 7을 모두 소인수로 갖는 가장 작은 자연수는 2_3_7=42이므로 조건 을 만족시키는 200 이하의 자연수는 42_1=42, 42_2=84, 42_3=126, 42_4=168 따라서 구하는 합은 42+84+126+168 =420 답 420 0026 1부터 25까지의 자연수 중에서 3의 배수는 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24이므로 3의 지수 a는 a =1+1+2+1+1+2+1+1=10 1부터 25까지의 자연수 중에서 11의 배수는 11, 22이므로 11의 지수 b는 b=1+1=2 답 ③ ④ 2월 1일에서 21=3_7이므로 비밀번호는 37이다. ⑤ 1월 20일에서 120=2Ü` 따라서 준수와 사물함 비밀번호가 같은 친구의 생일은 2월 1일이다. 답 ④ _3_5이므로 비밀번호는 235이다. 0032 ① 35=5_7에서 소인수는 5, 7이므로 소인수의 합은 12이다. ② 63=3Û` _7에서 소인수는 3, 7이므로 소인수의 합은 10이다. ③ 75=3_5Û`에서 소인수는 3, 5이므로 소인수의 합은 8이다. ④ 162=2_3Ý`에서 소인수는 2, 3이므로 소인수의 합은 5이다. ⑤ 180=2Û` 따라서 소인수의 합이 가장 작은 수는 ④ 162이다. _3Û` _5에서 소인수는 2, 3, 5이므로 소인수의 합은 10이다. 답 ④ 0033 ㄱ. 자연수는 1, 소수, 합성수로 이루어져 있으므로 소수가 아닌 자연수는 1과 0027 1에서 50까지의 자연수에서 2의 배수는 25개, 2Û` 의 배수는 12개, 2Ü` 의 배수는 6개, 2Ý`의 배수는 3개, 2Þ` 의 배수는 1개이므로 3의 배수는 16개, 3Û` 의 배수는 5개, 3Ü` 의 배수는 1개이므로 m=25+12+6+3+1=47 1에서 50까지의 자연수 중에서 n=16+5+1=22 ∴ m+n=47+22=69 유형 05. 소인수 구하기 0028 ㄱ. 42=2_3_7이므로 42의 소인수는 2, 3, 7이다. ㄴ. 126=2_3Û` ㄷ. 189=3Ü` ㄹ. 1260=2Û` 따라서 소인수가 같은 것은 ㄱ, ㄴ이다. _7이므로 189의 소인수는 3, 7이다. _3Û` _7이므로 126의 소인수는 2, 3, 7이다. _5_7이므로 1260의 소인수는 2, 3, 5, 7이다. 0029 ① 24=2Ü` _3이므로 소인수는 2, 3이다. ② 50=2_5Û` 이므로 소인수는 2, 5이다. ③ 65=5_13이므로 소인수는 5, 13이다. ④ 19는 소수이므로 소인수는 19이다. ⑤ 16=2Ý`이므로 소인수는 2이다. _7이므로 소인수는 2, 7이다. 0030 ① 28=2Û` ② 42=2_3_7이므로 소인수는 2, 3, 7이다. ③ 98=2_7Û` 이므로 소인수는 2, 7이다. _7이므로 소인수는 2, 7이다. ④ 112=2Ý` ⑤ 392=2Ü` _7Û` 이므로 소인수는 2, 7이다. 따라서 소인수가 나머지 넷과 다른 하나는 ② 42이다. _7에서 준수의 사물함 비밀번호는 37이다. 0031 준수의 생일이 6월 3일이므로 63=3Û` ① 5월 25일에서 525=3_5Û` _7이므로 비밀번호는 357이다. ② 10월 5일에서 105=3_5_7이므로 비밀번호는 357이다. ③ 12월 1일에서 121=11Û` 이므로 비밀번호는 11이다. 4 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 합성수이다. ㄴ. 24를 소인수분해하면 24=2Ü` ㄷ. 소수는 약수가 1과 자기 자신뿐인 자연수이다. _3 ㄹ. 한 자리 자연수 중에서 합성수는 4, 6, 8, 9의 4개이다. ㅁ. 2는 소수이지만 짝수이다. 따라서 옳은 것의 개수는 ㄷ, ㄹ의 2이다. 답 ③ 0034 ① 9_9=(3_3)_(3_3)=3Ý` ② 45=1_45=3_15=5_9이므로 45의 약수는 1, 3, 5, 9, 15, 45의 6개이다. ③ 120=2Ü` ④ 자연수는 1, 소수, 합성수로 이루어져 있다. _3_5이므로 120의 소인수는 2, 3, 5이다. ⑤ 모든 합성수는 소수들의 곱으로 나타낼 수 있다. 답 ④ 유형 06. 제곱인 수 만들기 0035 어떤 자연수를 제곱한 수는 소인수분해하였을 때 답 ① 소인수들의 지수가 모두 짝수이다. _3Û` 396=2Û` 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하는 가장 작은 자연수는 _11이므로 396에 자연수를 곱했을 때 11이다. 2 >³ 2 >³ 3 >³ 3 >³ 396 198 99 33 11 답 11 _7이므로 378_x=yÛ` 을 만족하기 위해서는 0036 378=2_3Ü` x=2_3_7_k2, 즉 x=42_kÛ`(k는 자연수) 꼴이어야 한다. x가 세 자리의 자연수이므로 kÛ` 의 값의 범위는 2Û`ÉkÛ`É4Û` 따라서 가장 작은 세 자리의 자연수 x의 값은 x=42_22 _7_2_3_7_22 =378_x=378_42_kÛ` yÛ` y=2Û` _7=252 ∴ x+y=168+252=420 =168 =24 =2_33 _3Û` 0037 어떤 자연수를 제곱한 수는 소인수분해하였을 때 소인수들의 지수가 모두 짝수이다. _5Û` 이므로 1350을 자연수로 나누었을 때 1350=2_3Ü` 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하는 가장 작은 자연수는 2_3=6 _34 _72이므로 답 ⑤ 2 >³ 3 >³ 3 >³ 3 >³ 5 >³ 1350 675 225 75 25 5 답 6 답 ② 답 ③ 답 ② Ⅰ - 0 1 . 소 인 수 분 해 본문 015쪽 답 ④ 답 70 _7이므로 189Öa=bÛ` 이 되도록 하는 가장 작은 자연수 a의 값은 0038 189=3Ü` a=3_7=21 =189Ö21=9=3Û` 이므로 b=3 bÛ` ∴ a+b=21+3=24 하는 자연수는 3_(자연수)2 꼴이다. 따라서 곱하는 자연수 중 가장 작은 수는 a=3_12 두 번째로 작은 수는 b=3_22 세 번째로 작은 수는 c=3_32 ∴ a+b+c=3+12+27=42 =12, =27 =3, 답 ③ _32 0039 936=23 _13이므로 936Öa=(자연수)2 이 되려면 a는 936의 약수이면서 a=2_13_k2 (k는 자연수)꼴이어야 한다. 따라서 가능한 a의 값은 k=1일 때, a=2_13_12 k=2일 때, a=2_13_22 k=3일 때, a=2_13_32 k=6일 때, a=2_13_62 따라서 a의 값이 될 수 있는 것은 ②, ⑤이다. =26 =104 =234 =936 0040 54=2_3Ü` 이므로 54에 곱했을 때 어떤 자연수의 제곱이 되게 하는 수는 2_3_k2 (k는 자연수)꼴이다. 또 8=2Ü` 이므로 8의 배수는 소인수분해하였을 때 2의 지수가 3 이상이어야 한다. 따라서 54에 곱했을 때 어떤 자연수의 제곱이면서 8의 배수가 되도록 하는 가 장 작은 자연수는 k=2일 때이므로 2_3_2Û` =24 답 24 _7_a가 어떤 자연수의 제곱이 되려면 a=2_7_k2 (k는 자연수) 꼴 0046 _34 23 이므로 두 자리 자연수 a의 값은 =14, 2_7_22 2_7_12 따라서 모든 a의 값의 합은 14+56=70 =56 0047 1부터 12까지의 자연수 중에서 2의 배수는 6개, 2Û` 의 배수는 3개, 2Ü` 의 배수는 1개, 답 ②, ⑤ 3의 배수는 4개, 3Û` 의 배수는 1개, 5의 배수는 2개, 7의 배수는 1개, 11의 배수는 1개이므로 y _10_11_12=210 1_2_ 따라서 210 _3Þ` a=3_7_11=231 _5Û` _3Þ` _5Û` _7_11 _7_11_a=b2이 되도록 하는 가장 작은 자연수 a의 값은 답 ⑤ 0041 a+b의 값은 a와 b의 값이 가장 작을 때 최소가 된다. 어떤 자연수를 제곱한 수는 소인수분해하였을 때 소인수들의 지수가 모두 짝수이므로 _3에서 a=2_3일 때 24_a=(2Û` _3)Û` 24=2Ü` b=2_3일 때 24Öb=2Û` ∴ a+b=6+6=12 _11이므로 99_x가 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하는 자연수 x는 0042 99=32 x=11_k2 (k는 자연수) 꼴이다. 따라서 두 자리 자연수 x는 k=1, 2, 3일 때이므로 11, 44, 99이다. 답 11, 44, 99 _5이므로 135_x=y2이 되도록 하는 x는 0043 135=33 3_5_(자연수)2 꼴이다. 두 번째로 작은 자연수 x의 값은 x=3_5_2Û` _5_22 =135_60=33 y2 y=2_32 _5=90 따라서 x와 y의 합은 x+y=60+90=150 _3_5=22 _34 _52이므로 =60이고, 0044 294=2_3_72이므로 294_a가 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하는 a는 2_3_(자연수)2 꼴이다. 따라서 두 자리 자연수 a의 값 중 가장 큰 수는 2_3_42 =96 답 96 0045 108=22 _33이므로 108에 자연수를 곱했을 때 어떤 자연수의 제곱이 되도록 유형 07. 소인수분해를 이용하여 약수 구하기 0048 (1) 54=2_33 (2) 54의 약수는 (2의 약수)_(33의 약수)의 꼴이므로 표를 만들어 구하면 다음과 같다. (33의 약수) (2의 약수) 1 2 답 ② 1 1 2 3 3 6 32 9 18 33 27 54 따라서 54의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54이다. 답 (1) 2_33 (2) 풀이 참조 _52 0049 23 _34 (23의 약수)_(34의 약수)_(52의 약수)_(13의 약수)꼴이다. ㄱ. 23 _13의 약수는 ㄷ. 22 ㅂ. 25 _132에서 132은 13의 약수가 아니다. _3_53에서 53은 52의 약수가 아니다. _3_5에서 25은 23의 약수가 아니다. _34 _52 따라서 |보|기|에서 23 _13의 약수인 것은 ㄴ, ㄹ, ㅁ이다. 답 ③ 답 ④ _11=44, 23 _11=88 0050 88=23 1, 2, 22 _11이므로 88의 약수는 =4, 23 =8, 11, 2_11=22, 22 따라서 88의 모든 약수의 합은 1+2+4+8+11+22+44+88=180 0051 600=23 _3_52이므로 600의 약수는 (23의 약수)_(3의 약수)_(52의 약수)꼴이다. 따라서 600의 약수 중에서 어떤 자연수의 제곱이 되는 수는 1, 22, 52, 22 _52의 4개이다. 답 ⑤ 답 4 Ⅰ. 소인수분해 01. 소인수분해 5 본문 017쪽 0052 주머니 안에 2, 3, 5, 7이 적힌 공이 각각 2개씩 들어 있으므로 여러 개의 공을 뽑아서 만들 수 있는 수는 22 _32 _52 _72의 약수이다. 주어진 수를 소인수분해하면 ① 75=3_52 ② 98=2_72 ③ 126=2_32 ④ 162=2_34 _72 ⑤ 441=32 이때 162=2_34에서 34은 32의 약수가 아니므로 162는 주머니에서 공을 뽑아 공에 적힌 숫자들의 곱으로 만들 수 없다. 답 ④ _7 따라서 3의 약수는 1, 3의 2개이고, 52의 약수는 1, 5, 52의 3개이므로 1350의 약수 중에서 18의 배수의 개수는 2_3=6(개) 답 ② 0058 가장 많은 종류의 카드로 바꾸려면 약수의 개수가 가장 많아야 한다. ① 45=32 _5이므로 45의 약수의 개수는 (2+1)_(1+1)=6(개) ② 48=24 _3이므로 48의 약수의 개수는 (4+1)_(1+1)=10(개) ③ 50=2_52이므로 50의 약수의 개수는 (1+1)_(2+1)=6(개) ④ 54=2_33이므로 54의 약수의 개수는 (1+1)_(3+1)=8(개) ⑤ 56=23 _7이므로 56의 약수의 개수는 (3+1)_(1+1)=8(개) 따라서 48의 약수의 개수가 가장 많으므로 가장 많은 종류의 카드로 바꿀 수 있다. 유형 08. 약수의 개수 구하기 _32 _5이므로 a=3, b=1 0053 180=22 180의 약수는 (22의 약수)_(32의 약수)_(5의 약수) 꼴이므로 c=(2+1)_(2+1)_(1+1)=18 ∴ a+b+c=3+1+18=22 _13의 약수는 (33의 약수)_(52의 약수)_(13의 약수) 꼴이므로 _52의 약수는 (25의 약수)_(52의 약수) 꼴이므로 0054 ① 33 _52 그 개수는 (3+1)_(2+1)_(1+1)=24(개) ② 25 그 개수는 (5+1)_(2+1)=18(개) ③ 317의 약수의 개수는 17+1=18(개) ④ 52 그 개수는 (2+1)_(2+1)_(1+1)=18(개) ⑤ 2_32 그 개수는 (1+1)_(2+1)_(2+1)=18(개) 따라서 약수의 개수가 나머지 넷과 다른 하나는 ①이다. _72 _11의 약수는 (52의 약수)_(72의 약수)_(11의 약수) 꼴이므로 _52의 약수는 (2의 약수)_(32의 약수)_(52의 약수) 꼴이므로 _32 _32 _52이므로 약수의 개수는 0055 ㄱ. 900=22 (2+1)_(2+1)_(2+1)=27(개) ㄴ. 252=22 _7이므로 약수의 개수는 (2+1)_(2+1)_(1+1)=18(개) ㄷ. 24 (4+1)_(1+1)_(1+1)=20(개) ㄹ. 1111의 약수의 개수는 11+1=12(개) 따라서 약수가 많은 것부터 차례대로 나열하면 ㄱ, ㄷ, ㄴ, ㄹ이다. _3_7의 약수의 개수는 이 자연수가 되려면 n은 300의 약수이어야 한다. 0056 300 n 300=22 (2+1)_(1+1)_(2+1)=18(개) 따라서 구하는 자연수 n의 개수는 18이다. _3_52이므로 300의 약수의 개수는 _52, 18=2_32이므로 1350=18_(3_52) 0057 1350=2_33 1350의 약수 중에서 18의 배수는 18_(3의 약수)_(52의 약수) 꼴이다. 6 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 답 ③ 답 ① 답 ② 답 18 답 ② 답 ③ 답 ③ 유형 09. 약수의 개수가 주어졌을 때 미지수 구하기 0059 33 _5x의 약수의 개수가 16이므로 (3+1)_(x+1)=16, x+1=4 ∴ x=3 0060 _a4 a=2일 때, 22 그러므로 a는 2가 될 수 없다. =26이므로 약수의 개수는 6+1=7(개)이다. a+2일 때, 22 _a4의 약수의 개수는 (2+1)_(4+1)=15(개) 따라서 2가 아닌 소수 중 가장 작은 소수 a의 값은 3이다. 답 3 0061 ① 2_34의 약수의 개수는 (1+1)_(4+1)=10(개) ② 4_34 ③ 8_34 ④ 9_34 ⑤ 27_34 따라서  안에 들어갈 수 있는 수는 ③ 8이다. _34의 약수의 개수는 (2+1)_(4+1)=15(개) _34의 약수의 개수는 (3+1)_(4+1)=20(개) _34 _34 =36의 약수의 개수는 6+1=7(개) =37의 약수의 개수는 7+1=8(개) =22 =23 =32 =33 0062 486=2_35이므로 약수의 개수는 (1+1)_(5+1)=12(개) 3_52 따라서 6_(x+1)=12에서 x=1 _7x의 약수의 개수는 (1+1)_(2+1)_(x+1)=6_(x+1)(개) 답 1 _3_5이므로 약수의 개수는 (3+1)_(1+1)_(1+1)=16(개) 0063 120=23 2a (a+1)_(b+1)=16을 만족시키는 자연수 a, b의 값은 다음 표와 같다. _3b의 약수의 개수는 (a+1)_(b+1)(개)이므로 a+1 b+1 2 8 4 4 8 2 → a b 1 7 3 3 7 1 따라서 가능한 a+b의 값은 6, 8이다. 답 ②, ④ 0064 약수의 개수가 6인 자연수는 am 또는 am Ú am의 꼴일 때 m+1=6에서 m=5 따라서 가장 작은 자연수는 25 =32 Û am _bn의 꼴일 때 _bn (a, b는 서로 다른 소수, m, n은 자연수) 꼴이다. (m+1)_(n+1)=6에서 m=1, n=2 또는 m=2, n=1  답 ① ㄷ. 119의 약수는 1, 7, 17, 119이므로 119와 28의 공약수는 1, 7이다. 따라서 가장 작은 자연수는 22 _3=12 Ú, Û에 의하여 구하는 가장 작은 자연수는 12이다. 답 12 0065 약수의 개수가 3인 자연수는 (소수)Û` 꼴로 소인수분해된다. 이때 100=102, 900=302이므로 그 소수는 10보다 크고 30보다 작아야 한다. 따라서 구하는 자연수는 =169, 172 =841의 6개이다. =289, 192 =361, 232 =121, 132 =529, 292 112 0066 100=22 따라서 9_N(k)=45이므로 N(k)=5에서 k는 약수의 개수가 5인 자연수 이다. _52이므로 N(100)=(2+1)_(2+1)=9 이때 약수의 개수가 5인 자연수는 a4 (a는 소수)의 꼴이므로 가장 작은 소수 a는 2이다. ∴ k=24 =16 0067 약수의 개수가 홀수인 자연수는 어떤 자연수의 제곱인 수이고, 어떤 자연수의 제곱인 수가 짝수이려면 (짝수)2 꼴이어야 한다. 답 16 22 =16, 62 따라서 1부터 400까지의 짝수 중 구하는 값은 =4, 42 =100, 122 =36, 82 =324, 202 182 의 10개이다. =64, 102 =400 =144, 142 =196, 162 =256, 유형 10. 공약수와 최대공약수 (1) 0068 두 자연수 X, Y의 최대공약수가 50이므로 X, Y의 공약수는 50의 약수이다. 따라서 X, Y의 공약수는 1, 2, 5, 10, 25, 50이므로 X, Y의 공약수가 아닌 것 은 20이다. 0069 두 자연수의 공약수의 개수는 두 자연수의 최대공약수인 150의 약수의 개수 와 같다. 이때 150=2_3_52이므로 두 자연수의 공약수의 개수는 (1+1)_(1+1)_(2+1)=2_2_3=12(개) 유형 11. 서로소 0070 ① 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이고, 20의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20이다. 따라서 두 수의 공약수는 1, 2, 4이므로 12와 20은 서로소가 아니다. ② 18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18이고, 25의 약수는 1, 5, 25이다. 따라서 두 수의 공약수는 1뿐이므로 18과 25는 서로소이다. ③ 36의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36이고, 63의 약수는 1, 3, 7, 9, 21, 63 이다. 따라서 두 수의 공약수는 1, 3, 9이므로 36과 63은 서로소가 아니다. ④ 21의 약수는 1, 3, 7, 21이고, 40의 약수는 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40이다. 따라서 두 수의 공약수는 1뿐이므로 21과 40은 서로소이다. 본문 019쪽 Ⅰ - 0 1 . 소 인 수 분 해 그러므로 두 수가 서로소인 것은 ②, ④이다. 답 ②, ④ ㄱ. 20의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20이므로 20과 28의 공약수는 1, 2, 4이다. ㄴ. 45의 약수는 1, 3, 5, 9, 15, 45이므로 45와 28의 공약수는 1뿐이다. 0071 28의 약수는 1, 2, 4, 7, 14, 28이다. 따라서 두 수는 서로소가 아니다. 따라서 두 수는 서로소이다. 따라서 두 수는 서로소가 아니다. 그러므로 |보|기| 중 28과 서로소인 수는 ㄴ이다. 답 ② 0072 21=3_7이므로 21과 서로소인 수는 3 또는 7을 약수로 가지면 안 된다. 따라서 구하는 수는 41 이상 50 이하의 자연수 중 3의 배수가 아니면서 7의 배수도 아닌 수이므로 41, 43, 44, 46, 47, 50으로 6개이다. 답 6 0073 20의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20이고, 50의 약수는 1, 2, 5, 10, 25, 50이므로 20☆50=10 k☆(20☆50)=k☆10=1에서 자연수 k와 10의 최대공약수가 1이므로 k와 10은 서로소이어야 한다. 이때 10=2_5이므로 k는 2의 배수이거나 5의 배수이면 안 된다. 따라서 조건을 만족시키는 20 이하의 자연수 k는 답 ④ 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19로 8개이다. 답 8 0074 16의 약수는 1, 2, 4, 8, 16이고, 49의 약수는 1, 7, 49이다. 따라서 두 조건을 만족시키는 자연수 k는 25 이상 45 이하의 수 중에서 1, 2, 4, 7, 8, 16, 49와 서로소인 수이므로 25, 27, 29, 31, 33, 37, 39, 41, 43, 45의 10개이다. 답 10 답 ④ 0075 ㄱ. 소수는 1과 자기 자신만을 약수로 가지므로 약수의 개수는 2이다. ㄴ. 두 수가 서로소일 때, 두 수가 모두 짝수이면 두 수가 2를 공약수로 가지므 로 서로소라는 조건에 모순이다. 따라서 두 수가 서로소이면 두 수 중 최소한 한 개는 홀수이어야 한다. ㄷ. 서로소인 두 수의 공약수는 1뿐이므로 서로소인 두 수의 최대공약수는 1 답 ① 이다. 그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 답 ⑤ 0076 ① 서로 다른 두 소수의 최대공약수는 항상 1이므로 두 수는 항상 서로소이다. ② 서로 다른 두 짝수는 2를 공약수로 가지므로 항상 서로소가 아니다. ③ 서로소인 두 자연수의 공약수는 1이다. ④ 5와 7은 서로소이지만 두 수의 합은 짝수이다. ⑤ 30의 약수는 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30이고, 77의 약수는 1, 7, 11, 77이므로 두 수의 공약수는 1뿐이다. 따라서 30과 77은 서로소이다. 그러므로 옳은 것은 ①, ②이다. 0077 ① 17은 1과 자기 자신만을 약수로 가지므로 소수이다. 답 ①, ② Ⅰ. 소인수분해 01. 소인수분해 7 ⑤ 20의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20이고, 55의 약수는 1, 5, 11, 55이다. ② 합성수란 1과 자기 자신 이외의 수를 약수로 갖는 자연수이므로 가장 작은 따라서 두 수의 공약수는 1, 5이므로 20과 55는 서로소가 아니다. 합성수는 4이다. 본문 021쪽 따라서 54와 36의 최대공약수는 2_3_3=18이다. 54 ② 2 >³ 27 3 >³ 9 3 >³ 3 72 36 12 4 따라서 54와 72의 최대공약수는 2_3_3=18이다. ③ 2 >³ 3 >³ 3 >³ 따라서 54와 90의 최대공약수는 2_3_3=18이다. ④ 2 >³ 3 >³ 3 >³ 3 >³ 따라서 54와 108의 최대공약수는 2_3_3_3=54이다. ⑤ 2 >³ 3 >³ 3 >³ 54 27 9 3 54 27 9 3 1 54 27 9 3 90 45 15 5 108 54 18 6 2 126 63 21 7 따라서 54와 126의 최대공약수는 2_3_3=18이다. 그러므로 주어진 값 중 k의 값이 될 수 없는 것은 ④ 108이다. 답 ④ 0084 a, b의 최대공약수가 48이고, b, c의 최대공약수가 80이므로 a, b, c의 최대공약수는 48과 80의 최대공약수와 같다. 48 2 >³ 24 2 >³ 12 2 >³ 6 2 >³ 3 80 40 20 10 5 답 ④ 답 ⑤ 답 ② 따라서 48과 80의 최대공약수가 2_2_2_2=16이므로 세 수 a, b, c의 최대공약수는 16이다. 0085 두 수 2_33 공약수는 최대공약수의 약수이므로 두 수의 공약수의 개수는 (1+1)_(2+1)_(2+1)=2_3_3=18(개) _7의 최대공약수는 2_32 _52, 23 _32 _52 _52이고, _5c의 최대공약수가 2_33 =33에서 b=3, 5c =52에서 c=2 _52이므로 0086 두 수 2a _3b _53, 22 _34 2a =2=21에서 a=1, 3b ∴ a+b-c=1+3-2=2 0087 조건 (가)에서 A=2x _32 A와 56의 최대공약수를 2a _7이고, 56=23 _7이므로 _7(a는 자연수)이라 하자. 조건 (나)에서 A와 56의 공약수의 개수가 6이므로 최대공약수 2a _7의 약수 의 개수가 6이다. (a+1)_(1+1)=6이므로 (a+1)_2=6, a+1=3 ∴ a=2 따라서 두 수 A=2x 2x ∴ x=2 _7, 56=23 =2Û` _32 _7의 최대공약수가 22 _7이므로 답 ② ③ 2보다 큰 짝수는 2를 약수로 가지므로 소수가 될 수 없다. 따라서 2를 제외한 모든 소수는 홀수이다. ④ 서로소인 두 자연수는 1 이외의 공약수를 갖지 않으므로 서로소인 두 자연 수의 공약수는 1뿐이다. ⑤ 20 이하의 자연수 중 12와 서로소인 수는 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19로 7개이다. 그러므로 옳지 않은 것은 ⑤이다. 답 ⑤ 유형 12. 공약수와 최대공약수 (2) _32 _34 두 수의 최대공약수는 22 _52, 22 _7의 공통인 소인수의 곱은 22 _32이다. _32이므로 답 ② 0078 두 수 23 0079 15 (1) 3 >³ 5 36 12 따라서 15와 36의 최대공약수는 3이다. (2) 2 20 >³ 10 2 >³ 5 24 12 6 40 20 10 따라서 20, 24, 40의 최대공약수는 2_2=4 (3) 세 수 2_32 _5, 2_52 세 수의 최대공약수는 2_5=10 _7, 23 _53의 공통인 소인수의 곱은 2_5이므로 답 (1) 3 (2) 4 (3) 10 0080 두 수 2_52 _72, 23 두 수의 최대공약수는 2_52 의 약수이다. _52 _7의 공통인 소인수의 곱은 2_52 _7이므로 _7이고, 두 수의 공약수는 최대공약수 2_52 _7 따라서 ④ 52 _72은 2_52 ④이다. _7의 약수가 아니므로 두 수의 공약수가 아닌 것은 답 ④ 0081 60 2 >³ 2 30 >³ 15 3 >³ 5 96 48 24 8 144 72 36 12 그러므로 세 수 60, 96, 144의 최대공약수는 2_2_3=22 최대공약수 22 따라서 ⑤ 2_32은 22 이다. _3의 약수가 아니므로 세 수의 공약수가 아닌 것은 ⑤ 답 ⑤ _3이고, 공약수는 _3의 약수이다. 0082 두 수 24 _32 _53 므로 두 수의 최대공약수는 22 _7, 22 _3_52 _3_52이다. _11의 공통인 소인수의 곱은 22 _3_52이 공약수는 최대공약수의 약수이므로 두 수의 공약수를 큰 수부터 차례로 나열 하면 22 _3_52, 2_3_52, 22 따라서 공약수 중 세 번째로 큰 수는 22 _52, y이다. _52 =100이다. 답 100 0083 54와 k의 공약수가 18의 약수와 같으므로 54와 k의 최대공약수는 18이다. ① 2 54 >³ 3 27 >³ 9 3 >³ 3 36 18 6 2 8 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 본문 023쪽 유형 13. 공배수와 최소공배수 (1) 0088 두 자연수 A, B의 최소공배수는 24이고, 공배수는 최소공배수의 배수이므로 야 한다. 0094 12와 60을 각각 소인수분해하면 12=22 두 수 x, 12의 최소공배수가 60이 되려면 x는 5의 배수이면서 60의 약수이어 _3_5이므로 _3, 60=22 A, B의 공배수 중 300 이하의 자연수는 24_1=24, 24_2=48, 24_3=72, 24_4=96, y, 24_12=288 의 12개이다. 답 12 따라서 x의 값이 될 수 있는 자연수는 5, 5_2=10, 5_3=15, 5_22 으로 6개이다. =20, 5_2_3=30, 5_22 _3=60 답 ④ Ⅰ - 0 1 . 소 인 수 분 해 0089 두 수의 최소공배수가 2_52이고, 공배수는 최소공배수의 배수이므로 두 수의 공배수는 2_52의 배수이다. ① 22 _52 ② 2_53 ④ 2_3_52 _52 ⑤ 23 =(2_52)_2이므로 22 _52은 두 수의 공배수이다. =(2_52)_5이므로 2_53은 두 수의 공배수이다. =(2_52)_3이므로 2_3_52은 두 수의 공배수이다. _7=(2_52)_22 _7이므로 23 _52 _7은 두 수의 공배수이다. _5이므로 세 수 2_3, 3_5, 22 _5의 최소공배수를 구하면 2 _3 3_5 _5 _3_5=60 22 (최소공배수)=22 따라서 300 이하의 세 수의 공배수는 60, 120, 180, 240, 300으로 5개이다. 따라서 두 수의 공배수가 아닌 것은 ③이다. 답 ③ 답 ③ 0095 20=22 0096 두 수 32 유형 14. 공배수와 최소공배수 (2) 0090 2_32 _5 3 _52 2 _5 _7 _52 _7 (최소공배수)=2_32 0091 5 15 >³ 3 20 4 답 ④ _5_73, 3_52 _7의 최소공배수를 구하면 _5 _73 32 3 _5Û` _7 _73 _52 _52 =3_(32 _73의 배수가 아니므로 두 수의 공배수가 아니다. _52 _52 =7_(32 =52 _52 _(32 =3_7_(32 따라서 두 수의 공배수가 아닌 것은 ②이다. (최소공배수)=32 _73 ① 33 _72은 32 _74 _73 _74 _73)이므로 두 수의 공배수이다. _73)이므로 두 수의 공배수이다. _52 _73)이므로 두 수의 공배수이다. _73)이므로 두 수의 공배수이다. _52 _53 _52 _54 _52 ④ 32 ② 32 ③ 32 ⑤ 33 답 ② 따라서 15와 20의 최소공배수는 5_3_4=60이므로 15와 20의 공배수는 60의 배수와 같다. 그러므로 □ 안에 알맞은 수는 60이다. 답 ③ 0097 14 2 >³ 7 3 >³ 7 7 >³ 1 24 12 4 4 42 21 7 1 _33, 128=27, 160=25 _5 따라서 세 수의 최소공배수는 2_3_7_1_4_1=168이고, 세 수의 공배수 는 168의 배수이다. 이때 168의 배수는 168, 336, 504, 672, y이므로 세 수의 공배수 중 500에 가 장 가까운 수는 504이다. 답 504 _33 0092 (1) 세 수를 소인수분해하면 108=22 108=22 (2) 128=27 160=2Þ` (최소공배수)=27 따라서 세 수의 최소공배수는 27 답 (1) 108=22 _5 _5 _33 _5 _33 _33, 128=27, 160=25 _5 (2) 27 _33 _5 0098 2 30 >³ 15 3 >³ 5 42 21 7 32 _5 3 _52 _52 0093 두 수의 최소공배수를 각각 구하면 다음과 같다. ① ② (최소공배수)=32 3 ③ ⑤ 52 (최소공배수)=3 _52 _53 53 _53 _52 (최소공배수)=34 따라서 최소공배수가 33 34 ④ _7 _7 _7Û` _7 _7Û` _7 _7Û` _7Û` _7인 것은 ②이다. 3 _52 33 _5 _52 (최소공배수)=33 2_33 _7 _7 (최소공배수)=2_33 52 _52 _7 _7 답 ② 따라서 두 수 30, 42의 최소공배수는 2_3_5_7=210이고, 두 수의 공배수 는 210의 배수이다. 이때 어떤 자연수를 x라 하면 5_x의 값이 210의 배수이어야 하므로 x의 값이 최소일 때 5_x=210이 성립한다. ∴ x=42 따라서 구하는 수는 42이다. 답 ① Ⅰ. 소인수분해 01. 소인수분해 9 유형 15. 미지수가 포함된 세 수의 최소공배수 b b_k >³ k b 1 3 >³ 3 >³ 2 >³ 0099 x 7_x 9_x 12_x >³ 9 7 12 7 3 4 에서 세 수의 최소공배수가 1260이므로 ∴ x=5 x_3_7_3_4=1260 0100 세 자연수의 비가 3`:`4`:`6이므로 세 자연수를 각각 3_x, 4_x, 6_x라 하자. 3_x 4_x 6_x x >³ 4 3 6 1 4 2 1 1 2 에서 최소공배수가 60이므로 x_3_2_1_2_1=60 ∴ x=5 따라서 세 자연수는 15, 20, 30이므로 구하는 합은 15+20+30=65 답 ③ 0101 90=2_32 _32 n은 23 0102 5 ① 3 >³ 5 _5, 100=22 _53의 약수 중 23 따라서 가능한 n의 값은 23 _52이고 세 수의 최소공배수가 23 _53의 배수이어야 한다. _3_53, 23 _53, 23 _32 _53이므로 _32 답 23 _53이다. _53, 23 _3_53, 23 _32 _53 27 9 12 4 따라서 세 자연수 5, 27, 12의 최소공배수는 3_5_9_4=540이다. ② 5 >³ 5 1 27 27 20 4 따라서 세 자연수 5, 27, 20의 최소공배수는 5_1_27_4=540이다. 5 ③ 3 >³ 5 3 >³ 5 27 9 3 36 12 4 따라서 세 자연수 5, 27, 36의 최소공배수는 3_3_5_3_4=540이다. 5 ④ 5 >³ 1 3 >³ 1 27 27 9 60 12 4 따라서 세 자연수 5, 27, 60의 최소공배수는 5_3_1_9_4=540이다. 5 ⑤ 5 >³ 1 3 >³ 1 120 24 8 27 27 9 따라서 세 자연수 5, 27, 120의 최소공배수는 5_3_1_9_8=1080이다. 답 ⑤ 따라서 k의 값이 될 수 없는 수는 ⑤ 120이다. 에서 a와 b의 최소공배수는 b_k_1=a이다. ⑤ 두 자연수 A, B에 대하여 A=p_a, B=p_b (a와 b는 서로소)라 하면 p >³ A a B b 답 5 A_B=p_a_p_b=p2 에서 최대공약수와 최소공배수는 각각 p, p_a_b이다. (최대공약수)_(최소공배수)=p_p_a_b=p2 이므로 두 자연수의 곱은 최대공약수와 최소공배수의 곱과 같다. _a_b, _a_b 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 답 ④ 본문 025쪽 답 ④ 답 ③, ⑤ 답 ③ 답 ④ 0104 세 수의 최대공약수, 최소공배수를 각각 구하면 23 _3 _3 _52 22 2 _3Û` _5 (최대공약수)=2 _3 따라서 G=2_3, L=23 23_32_52 L G = 2_3 =22 _32 _3_52 23 _3 _3 _52 22 2 _3Û` _5 _52 _32 (최소공배수)=23 _52이므로 0105 ① 100=22 _52이므로 100은 A=2_53의 약수가 아니다. ② B의 약수의 개수는 (2+1)_(1+1)_(2+1)_(1+1)=36(개) ③ A의 소인수는 2와 5이다. ④ A와 B의 최대공약수를 구하면 A=2 _53 _3_5Û` B=2Û` (최대공약수)=2 _52 ⑤ A와 B의 최소공배수를 구하면 _7 A=2 _53 _3_5Û` B=2Û` _3_53 (최소공배수)=22 따라서 옳은 것은 ③, ⑤이다. _7 _7 _34 _53의 최대공약수가 23 _34 _52이므로 _34 _53의 최소공배수가 24 _37 _53이므로 5a 0106 _37 _5a, 2b 두 수 23 =52 ∴ a=2 _37 _5a, 2b 두 수 23 2b =24 ∴ b=4 ∴ a+b=2+4=6 0107 두 수 23 =22 2b 두 수 23 _3a _52, 2b ∴ b=2 _52, 2b _3a 3a =33에서 a=3, c=7 _3_c의 최대공약수가 12=22 _3이므로 _3_c의 최소공배수가 37800=23 _33 _52 _7이므로 0108 세 자연수의 비가 5`:`7`:`10이므로 세 자연수를 각각 5_x, 7_x, 10_x라 하 자. 유형 16. 최대공약수와 최소공배수 0103 ① 최대공약수가 1인 두 자연수는 서로소이다. ② 두 자연수의 공약수는 최대공약수의 약수와 같다. 10 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) ③ 두 자연수의 공배수는 최소공배수의 배수와 같다. ④ 두 자연수 a, b에 대하여 a가 b의 배수이면 a=b_k (k는 자연수) 꼴이다. 5_x 7_x 10_x x >³ 7 5 10 5 >³ 1 7 2 0110 유형 06 14쪽 125=53이므로 125_a_b_c가 어떤 수의 제곱이 되려면 a_b_c=5_k2 (k는 자연수) 꼴이어야 한다. a, b, c는 주사위의 눈의 수이므로 1부터 6까지의 자연수이다. 따라서 a_b_cÉ216이므로 가능한 a_b_c의 값은 =5, 5_22 5_12 =80, 5_52 5_42 이고, 구하는 합은 5+20+45+80+125+180=455 =20, 5_32 =125, 5_62 =180 =45 5_72 a, b, c 모두 1부터 6까지의 자연수이므로 a_b_c의 값은 6_6_6=216 이하이어야 해. =245이므로 답이 될 수 없어. 답 답 455 채점기준 ① a_b의 값의 범위를 구한다. ② a의 값 중 가장 큰 수를 구한다. 에서 세 수의 최소공배수가 560이므로 x_5_1_7_2=560 70x=560 따라서 세 자연수의 최대공약수는 8이다. ∴ x=8 답 ③ 백점 도전하기 0109 유형 02 10쪽 재국, 종수, 광효, 지석, 준하가 뽑은 카드에 적힌 수를 서로 다른 두 소수의 합 으로 나타내면 다음과 같다. 두 소수를 더했을 때 26이 되는 경우를 생각해 보자. ① 26 ② 30 ③ 36 =3+23=7+19이므로 재국은 2가지로 나타낼 수 있다. =7+23=11+19=13+17이므로 종수는 3가지로 나타낼 수 있다. =5+31=7+29=13+23=17+19이므로 광효는 4가지로 나타낼 수 있다. ④ 18 ⑤ 22 =5+13=7+11이므로 지석은 2가지로 나타낼 수 있다. =3+19=5+17이므로 준하는 2가지로 나타낼 수 있다. 따라서 서로 다른 두 소수의 합으로 나타낼 수 있는 가짓수가 가장 많은 수는 광효가 뽑은 36이므로 1등은 광효이다. 답 ③ 0111 유형 09 18쪽 규칙에 의하여 각 방의 불은 각 방에 적힌 수의 약수 번 학생 때 꺼지거나 켜진 다. 이때 1번 학생이 모든 방의 불을 끄므로 20번 학생까지 모두 실행하였을 때 방에 적힌 수의 약수의 개수가 짝수인 경우 그 방의 불은 켜져있고, 홀수인 경 우 그 방의 불은 꺼져있다. 이때 약수의 개수가 홀수가 되는 자연수는 어떤 자연수의 제곱인 수이다. 따라서 1부터 20까지의 자연수 중 어떤 자연수의 제곱인 수를 모두 구하면 1, 22 =4, 32 =9, 42 16=42 방의 불이 꺼지게 된다. 4=22의 약수의 개수는 (2+1)=3(개) =16이므로 20번 학생까지 실행하면 1번, 4번, 9번, 16번 =24의 약수의 개수는 (4+1)=5(개) 답 1, 4, 9, 16, 특징: 약수의 개수가 홀수이고, 어떤 자연수의 제곱인 수 2x _3 a _5c _11의 최대공약수는 0112 유형 16 25쪽 _3a 두 수 23 _33 _5_7, 2b _3y _5 (xÉ3, yÉ3, x, y는 자연수) 꼴이다. 2 3 _5_7에서 5의 지수는 1이므로 c의 값에 관 계없이 두 수의 최대공약수 에서 5의 지수는 1이야. 두 수의 공약수의 개수가 12이므로 최대공약수의 약수의 개수는 12이다. 즉, (x+1)_(y+1)_(1+1)=12, (x+1)_(y+1)=6 x+1=2, y+1=3 또는 x+1=3, y+1=2 (∵ x, y는 자연수) ∴ x=1, y=2 또는 x=2, y=1 따라서 두 수의 최대공약수는 2_32 Ú 두 수의 최대공약수가 2_32 _5c _5_7, 2b _5일 때 _11의 최대공약수가 2_32 _3_5이다. x=1, y=2일 때 x=2, y=1일 때 _5 또는 22 _5이므로 23 _3a 가능한 a, b, c의 값 중 가장 작은 것은 a=2, b=1, c=1 ∴ a+b+c=2+1+1=4 _33 Û 두 수의 최대공약수가 22 _5c _5_7, 2b _3_5일 때 _11의 최대공약수가 22 23 _33 _3a 가능한 a, b, c의 값 중 가장 작은 것은 a=1, b=2, c=1 ∴ a+b+c=1+2+1=4 Ú, Û에 의하여 a+b+c의 최솟값은 4이다. _3_5이므로 본문 027쪽 답 ② Ⅰ - 0 1 . 소 인 수 분 해 서술형 격파하기 예제 1 예제 2 예제 3 유제 3 예제 4 11 660 유제 1 유제 2 a=26, b=2, c=13 300 (1) 180=22 _32 _5, 378=2_33 _7, 900=22 _32 _52 (2) 2_32 (1) 22 _3 (2) 6 22 유제 4 5 예제 1 STEP ❶ x=a_b임을 이용하여 a_b의 값의 범위를 구한다. 서로 다른 두 소수 a, b에 대하여 x=a_b이므로 x_a_b=a_b_a_b=(a_b)Û`É500 =529이므로 22Û` a_bÉ22 STEP ❷ 조건을 만족시키는 a의 값 중 가장 큰 수를 구한다. 따라서 22=2_11, 21=3_7에서 가능한 a의 값 중 가장 큰 수는 11이다. =484, 23Û` 채점기준 ① | 50% 채점기준 ② | 50% 11 50% 50% 유제 1 STEP ❶ a=b_c임을 이용하여 a의 값의 범위를 구한다. 서로 다른 두 소수 b, c에 대하여 a=b_c이므로 a_b_c=a_a=aÛ`É900 aÛ`É900에서 aÉ30 채점기준 ① | 50% STEP ❷ b, c가 서로 다른 두 소수임을 이용하여 a, b, c의 값을 구한다. 30=1_30=2_15=3_10=5_6 29=1_29 28=1_28=2_14=4_7 27=1_27=3_9 26=1_26=2_13 ⋮ 따라서 서로 다른 두 소수 b, c에 대하여 a=b_c이므로 a=26, b=2, c=13 (∵ b<c) 답 채점기준 ① a의 값의 범위를 구한다. ② 가장 큰 a의 값과 그때의 b, c의 값을 구한다. 채점기준 ② | 50% a=26, b=2, c=13 50% 50% 예제 2 STEP ❶ 문제의 조건을 이용하여 a, b가 어떤 꼴의 자연수이어야 하는지 찾 는다. _11, 200=2Ü` _5Û`이므로 99=3Û` 99_a=3Û` _11_a=cÛ` 에서 a=11_mÛ` (m은 자연수) 꼴이다. Ⅰ. 소인수분해 01. 소인수분해 11 200_b=2Ü` _5Û` _b=cÛ` 에서 b=2_nÛ` (n은 자연수) 꼴이다. 채점기준 ① | 50% =cÛ` _5Û` _nÛ`을 만족시키는 가장 작은 자연수 m, n을 구하면 STEP ❷ 조건을 만족시키는 c의 최솟값을 구한다. 99_a=200_b=cÛ` 에 a=11_mÛ`, b=2_nÛ`을 대입하면 _11_11_mÛ` _2_nÛ` 3Û` =2Ü` _5Û` =2Ý` _mÛ` _11Û` 3Û` _5, n=3_11 m=2Û` =cÛ` 에서 cÛ` _mÛ` 3Û` =2Ý` _11Û` _3_5_11=660 ∴ c=2Û` 답 _11Û` _3Û` _5Û` 채점기준 ② | 50% 채점 기준 ① a, b가 어떤 꼴의 자연수인지 구한다. ② 조건을 만족시키는 c의 최솟값을 구한다. 660 50% 50% 유제 2 STEP ❶ 문제의 조건을 이용하여 a, b가 어떤 꼴의 자연수이어야 하는지 찾 답 유제 3 STEP ❶ 세 수의 최대공약수를 구한다. (1) 2 252 >³ 126 2 >³ 63 3 >³ 21 3 >³ 7 ∴ 252=22 _33 세 수 23 _32 _7 _5, 22 본문 029쪽 채점기준 ② | 40% 채점기준 ③ | 20% 22 40% 40% 20% 채점기준 ① | 40% 채점기준 ② | 40% 채점기준 ③ | 20% 5 40% 40% 20% _3_52 _32 _3이므로 세 수의 최대공약수는 22 _7, 22 _7의 공통인 소인수의 곱은 _3이다. 채점기준 ① | 50% 22 STEP ❷ 공약수의 개수는 최대공약수의 약수의 개수와 같음을 이용한다. (2) 공약수의 개수는 최대공약수의 약수의 개수와 같고, 세 수의 최대공약수 _3이므로 세 수의 공약수의 개수는 는 22 (2+1)_(1+1)=3_2=6(개) 채점기준 ① 세 수의 최대공약수를 구한다. ② 세 수의 공약수의 개수를 구한다. 채점기준 ② | 50% (1) 22 _3 (2) 6 50% 50% 예제 4 STEP ❶ 두 수의 최대공약수가 3_5임을 이용하여 a의 값을 구한다. 두 수 3a _c의 최대공약수가 3_5이므로 _5_7, 32 _5b ∴ a=1 3a =3=31 STEP ❷ 두 수의 최소공배수를 이용하여 b, c, d의 값을 구한다. 채점기준 ① | 40% _5_7, 32 두 수 3a =53에서 b=3, d=7, c=11 (∵ c, d는 7 이상의 소수) 5b _c의 최소공배수가 3Û` _5b _5Ü` _d_11이므로 ∴ a+b+c+d=1+3+11+7=22 답 채점기준 ① a의 값을 구한다. ② b, c, d의 값을 구한다. ③ a+b+c+d의 값을 구한다. 유제 4 STEP ❶ 세 수의 최대공약수를 이용하여 a의 값을 구한다. _32 세 수 22 _3=2a STEP ❷ 세 수의 최소공배수를 이용하여 b, c의 값을 구한다. _5, 22 _32 _3에서 a=2 _7의 최대공약수는 22 _3, 22 22 _3이므로 세 수의 최소공배수는 22 22 _5_7=22 _3b _32 ∴ a+b+c=2+2+1=5 답 _32 _5_7이므로 _5_7c에서 b=2, c=1 채점기준 ① a의 값을 구한다. ② b, c의 값을 구한다. ③ a+b+c의 값을 구한다. 는다. 15=3_5, 54=2_3Ü`이므로 15_a=3_5_a=cÛ` 에서 a=15_mÛ` (m은 자연수) 꼴이다. 54_b=2_33 _b=cÛ` 에서 b=6_nÛ`(n은 자연수) 꼴이다. 채점기준 ① | 40% =54_6_nÛ` _nÛ` _3Ý` =2Û` STEP ❷ 조건을 만족시키는 가장 작은 a, b, c의 값을 구한다. a=15_mÛ`, b=6_nÛ`을 15_a=54_b=cÛ` 에 대입하면 =cÛ` 15_15_mÛ` 3Û` =cÛ` _mÛ` _5Û` 위 식을 만족시키는 가장 작은 자연수 m, n은 m=2_3, n=5이므로 a=15_2Û` =150 _5=90 _3Ý` =2Û` cÛ` ∴ a-b-c 답 =540, b=6_5Û` _3Û` _5Û`이므로 c=2_3Û` =540-150-90=300 채점기준 ② | 40% 채점기준 ③ | 20% 300 채점 기준 ① a, b가 어떤 꼴의 자연수인지 구한다. ② 조건을 만족시키는 가장 작은 a, b, c의 값을 구한다. ③ a-b-c의 값을 구한다. 예제 3 STEP ❶ 세 수 180, 378, 900을 소인수분해한다. 40% 40% 20% (1) 2 180 >³ 2 90 >³ 45 3 >³ 15 3 >³ 5 ∴ 180=22 _32 _5 2 >³ 3 >³ 3 >³ 3 >³ 378 189 63 21 7 ∴ 378=2_33 _7 2 900 >³ 450 2 >³ 225 3 >³ 75 3 >³ 25 5 >³ 5 ∴ 900=22 _52 _32 채점기준 ① | 50% STEP ❷ 세 수의 최대공약수를 구한다. _5, 378=2_33 _32 (2) 세 수 180=22 수의 곱은 2_32이므로 세 수의 최대공약수는 2_32이다. _7, 900=22 _32 답 (1) 180=22 _32 _5, 378=2_33 _7, 900=22 _52의 공통인 소인 채점기준 ② | 50% _52 (2) 2_32 _32 채점 기준 ① 세 수 180, 378, 900을 소인수분해한다. ② 세 수의 최대공약수를 구한다. 50% 50% 12 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 02 정수와 유리수 0113 ⑤ 0114 ㄴ, ㄹ 0115 ④ 0116 ④ 0117 풀이 참조 0118 1 0119 2 0120 2 0121 ④ 0122 ①, ④ 0123 다연, 민재 0124 ③ 0125 ③ 0126 ③, ④ 0127 ④ 0128 풀이 참조 0129 ③ 0130 -4 0131 풀이 참조 0132 풀이 참조 유형 02. 정수의 분류 0117 (1) 양의 정수는 10, 4이다. (2) 음의 정수는 6 3 =-2, (3) 음수가 아닌 정수는 양의 정수 또는 0이다. -9이다. - 0133 풀이 참조 0134 ② 0135 풀이 참조 0136 ②, ④ 0137 ⑤ 따라서 음수가 아닌 정수는 10, 0, 4이다. 0138 ②, ④ 0139 ①, ④ 0140 ① 0141 ①, ⑤ 0142 6, -6 답 (1) 10, 4 (2) 6 3 - -9 (3) 10, 0, 4 , 0143 풀이 참조 0144 ①, ⑤ 0145 ④ 0146 ⑤ 0147 5 0148 -3.2 0149 ① 0150 -;3&; 0151 ① 0152 ③ 0154 풀이 참조 0155 ⑤ 0156 ② 0157 ⑤ 0153 4 0158 ④ 0159 ③ 0160 ④ 0161 ② 0162 ① 0163 4 0164 -3.1 0165 ④ 0166 Z 0167 풀이 참조 0168 ② 0169 ② 0170 ④ 0171 ⑤ 0172 ② 0173 ③ 0174 ① 0175 ⑤ 0176 ③ 0177 ⑤ 0118 양의 정수는 2, 21 7 =3의 2개이므로 a=2 -1 뿐이므로 b=1 음의 정수는 ∴ a-b=2-1=1 0178 ② 0179 풀이 참조 0180 ② 0181 ⑤ 0182 -9 유형 03. 유리수의 분류 0183 -2 0184 ④ 본문 036쪽 Ⅱ - 0 2 . 정 수 와 유 리 수 답 1 유형 정복하기 유형 01. 양의 부호와 음의 부호 0113 ① 영상 13 ¾`:` ② 해저 100 m`:` ③ 5 kg 감소`:` +13 ¾ -100 m -5 kg ④ 10000원 수입`:` ⑤ 50000원 흑자`:` +10000원 +50000원 따라서 옳은 것은 ⑤이다. 0114 ㄱ. 10분 전`:` -10분 ㄴ. 20 % 인상`:` ㄷ. 10 t 증가`:` ㄹ. 해저 50 m`:` +20 % +10 t -50 m 0115 ① 20 % 인상`:` +20 % ② 2일 전`:` -2일 ③ 해발 1950 m`:` ④ 영상 3.7 ¾`:` ⑤ 5천 년 전`:` +1950 m +3.7 ¾ -5000년 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다. 답 ㄴ, ㄹ 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 답 ④ 0116 양수인 것은 +3, +2, + 의 3개이므로 a=3 5 3 음수인 것은 10 7 - -0.1의 2개이므로 b=2 , ∴ a-b=3-2=1 0119  안에 들어갈 수 있는 수는 정수가 아닌 유리수이다. 는 정수가 아닌 유리수이고, 0, 42 6 =7, +4, - 4 2 =-2는 정수이 -2.4, 다. 5 7 - 따라서 정수가 아닌 유리수의 개수는 2이다. 답 2 0120 양의 유리수는 1.4, 1 의 3개이므로 x=3 3 -2.3의 2개이므로 y=2 음의 유리수는 -7, , 4 2 정수가 아닌 유리수는 1.4, 1 3 ∴ x+y-z=3+2-3=2 답 ⑤ -2.3의 3개이므로 z=3 , 답 2 0121 ① 음수는 5 3 - -2, , - 9 3 의 3개이다. ② 자연수는 14 7 =2의 1개이다. ③ 음수가 아닌 정수는 14 7 =2, 0의 2개이다. 9 3 -2, , 0, 5 3 - - ④ 양수가 아닌 유리수는 의 4개이다. ⑤ 정수가 아닌 유리수는 5 3 , 2.5, 1 2 - 의 3개이다. 따라서 옳은 것은 ④이다. 답 ④ 유형 04. 정수와 유리수 0122 ① 0은 유리수이다. ② 양의 정수는 1, 2, 3, y이므로 양의 정수 중 가장 작은 수는 1이다. ③ 모든 유리수는 꼴로 나타낼 수 있다. (정수) (0이 아닌 정수) 답 ④ ④ 정수는 양의 정수, 0, 음의 정수로 이루어져 있다. ⑤ 서로 다른 두 유리수 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다. 따라서 옳지 않은 것은 ①, ④이다. 답 ①, ④ Ⅱ. 정수와 유리수 02. 정수와 유리수 13 ㄹ. 0과 10 사이에는 0.1, 0.11, 0.111, 2, 3.3, y과 같이 무수히 많은 유리수가 -1이 나타내는 점에서 거리가 4인 점이 나타내는 두 수는 답 ③ 존재한다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ의 2개이다. 답 ③ 0123 지훈 : 0은 음의 정수가 아닌 정수이지만 자연수가 아니다. 다연 : 양의 유리수는 양수이다. 민재 : 0은 양수도 아니고 음수도 아니다. 윤지 : 0과 1은 서로 다른 유리수이지만 0과 1 사이에는 정수가 없다. 즉, 서로 다른 두 유리수 사이에 무수히 많은 정수가 있다고 할 수 없다. 따라서 4명의 학생 중 옳은 설명을 한 학생은 다연, 민재이다. 답 다연, 민재 그러므로 수직선에서 7 4 는 3이므로 a=-2, b=3 - 0124 ㄱ. 모든 자연수는 유리수이다. ㄴ. 유리수는 꼴로 나타낼 수 있다. (정수) (0이 아닌 정수) ㄷ. 정수 중 자연수가 아닌 수는 0 또는 음의 정수이다. 유형 05. 수를 수직선 위에 나타내기 0125 ㄱ. 모든 정수는 수직선 위의 한 점에 대응된다. ㄴ. 0과 1은 서로 다른 정수이지만 0과 1 사이에는 정수가 없다. 따라서 서로 다른 두 정수 사이에 항상 다른 정수가 존재하지는 않는다. 0131 ㄷ. 모든 유리수는 수직선 위에 나타낼 수 있다. ㄹ. 1 2 , - 5 3 , 1.5와 같이 정수가 아닌 유리수가 있다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ의 2개이다. 답 ③ 0126 주어진 수직선에 정수를 표시하면 다음과 같다. (cid:34) (cid:35) (cid:37) (cid:38) (cid:14)(cid:21)(cid:14)(cid:22) (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:20) (cid:21) (cid:22) (cid:36) (cid:17) 따라서 점 A는 -4, 점 B는 -2, 점 C는 0, 점 D는 3, 점 E는 4를 나타내므로 옳은 것은 ③, ④이다. 답 ③, ④ 유형 07. 절댓값 본문 037쪽 따라서 7 4 , 8 3 - 을 수직선 위에 나타내면 다음과 같다. (cid:14) (cid:24) (cid:21) (cid:25) (cid:20) -2, 8 3 (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:18) (cid:17) (cid:18) (cid:19) (cid:20) 에 가장 가까운 정수는 에 가장 가까운 정수 답 a=-2, b=3 유형 06. 수직선에서 같은 거리에 있는 점 0129 위 그림에서 -5, 3이다. 0130 (cid:14)(cid:22) (cid:14)(cid:18) (cid:21) (cid:23) (cid:21) (cid:23) (cid:14)(cid:21) (cid:19) 위 그림에서 2를 나타내는 점에서 6만큼 떨어진 점이 나타내는 수는 -4, 8이므로 조건 (가)를 만족시키는 a의 값은 이때 조건 (나)에서 a<0이므로 a=-4 -4 또는 8이다. 답 -4 (cid:22) (cid:22) (cid:18)(cid:17) (cid:20) (cid:14)(cid:19) 두 점 사이의 거리가 10이고, 두 점으로부터 같은 거리에 있는 점이 나타내는 수가 3이기 위해서는 위 그림과 같이 두 점이 나타내는 수가 각각 -2, 8이어야 한다. 이때 a<0이므로 a=-2, b=8 답 a=-2, b=8 (cid:20) (cid:25) (cid:25) 0127 ① 점 A가 나타내는 수는 ② 점 B가 나타내는 수는 -4이다. -2이다. ③ 점 C가 나타내는 수는 1이다. ④ 점 D는 1에서 오른쪽으로 2 3 2 3 = 2 3 = 1+ 3 3 + ⑤ 점 E는 3에서 오른쪽으로 1 2 이다. 5 3 1 2 6 2 + 1 2 = = 3+ 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 이다. 7 2 만큼 떨어져 있으므로 점 D가 나타내는 수는 만큼 떨어져 있으므로 점 E가 나타내는 수는 인 점이 나타내는 수는 -2 또는 2이다. 0132 |a|=2이므로 a는 이때 수직선에서 a를 나타내는 점은 0을 나타내는 점의 오른쪽에 있으므로 a>0에서 a=2 |b|=10이므로 b는 이때 수직선에서 b를 나타내는 점은 0을 나타내는 점의 왼쪽에 있으므로 답 a=2, b=-10 b<0에서 b=-10 -10 또는 10이다. 0133 수직선에서 0을 나타내는 점과의 거리가 3 5 절댓값이 3 5 인 수이므로 3 5 , - 3 5 이다. 답 ④ 0134 |a|+|b|+|c| =|- 6 5 |+|- 3 4 |+| 1 2 |= 6 5 + 3 4 + 1 2 답 3 5 , - 3 5 답 ② 0128 7 4 =-2+ - 1 4 져 있다. 이므로 수직선에서 7 4 은 -2에서 오른쪽으로 1 4 - 만큼 떨어 24 20 + 15 20 + 10 20 = 49 20 = 8 3 =2+ 2 3 이므로 수직선에서 8 3 은 2에서 오른쪽으로 2 3 만큼 떨어져 있다. 0135 조건 (가), (나)에서 a<0이고, |a|=3이므로 a=-3 14 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 조건 (나), (다)에서 |a|=3이고, |a|+|b|=10이므로 |b|=7 이때 조건 (가)에서 b>0이므로 b=7 답 a=-3, b=7 ⑤ 유리수의 분모는 0일 수 없다. 따라서 옳은 것은 ②, ④이다. 0136 조건 (나)에 의하여 수직선에서 b를 나타내는 점이 0을 나타내는 점으로부터 떨어진 거리가 a를 나타내는 점이 0을 나타내는 점으로부터 떨어진 거리의 4 배이다. Ú a>0일 때 (cid:67) (cid:17) (cid:66) 주어진 조건을 만족시키기 위해서는 위 그림과 같아야 한다. 1 5 =3만큼 떨어져 이때 a를 나타내는 점은 0을 나타내는 점으로부터 15_ 있으므로 b를 나타내는 점은 0을 나타내는 점으로부터 15-3=12만큼 떨 어져 있다. Û a<0일 때 (cid:18)(cid:22) (cid:18)(cid:22) (cid:66) (cid:17) (cid:67) 주어진 조건을 만족시키기 위해서는 위 그림과 같아야 한다. 1 5 =3만큼 떨어져 이때 a를 나타내는 점은 0을 나타내는 점으로부터 15_ 있으므로 b를 나타내는 점은 0를 나타내는 점으로부터 15-3=12만큼 떨 어져 있다. ∴ |a|=3, |b|=12 따라서 a=3, b=-12 또는 a=-3, b=12 답 ②, ④ 유형 08. 절댓값의 성질 0137 ① 절댓값이 0인 수는 0뿐이다. -a 따라서 절댓값이 같은 수가 항상 2개인 것은 아니다. -a<0이고 |-a|>0이므로 |-a|+ -a=0이므로 |-a|=-a ② a>0일 때 : a=0일 때 : |-a|=0, a<0일 때 : -a>0이므로 |-a|=-a 따라서 |-a|=-a이기 위해서는 aÉ0이어야 한다. ③ |a|=-|a|이면 |a|+|a|=0 ∴ a=0 2|a|=0, |a|=0 ④ 수직선에서 0을 나타내는 점에 가까운 점일수록 그 점이 나타내는 수의 ⑤ 수직선에서 절댓값이 같은 수를 나타내는 두 점은 0을 나타내는 점으로부 절댓값이 작다. 터 떨어진 거리가 같다. 따라서 옳은 것은 ⑤이다. 0138 ① 원점으로부터 가까이 있을수록 절댓값은 작으나, 부호를 특정 지을 수 없 으므로 항상 작은 수라고 할 수 없다. -2보다 원점에 가깝지만 1이 1은 -2보다 크다. 또한 양수는 원점에 가까울수록 작은 수이지만 음수는 원점에 가까울수록 큰 수이다. ② 모든 자연수는 정수이다. ③ 절댓값이 0인 유리수는 0뿐이다. ④ 정수는 양의 정수, 음의 정수와 0으로 이루어진다. 본문 039쪽 답 ②, ④ Ⅱ - 0 2 . 정 수 와 유 리 수 0139 ① a>0 또는 a<0이면 |a|>0이고 a=0이면 |a|=0이다. 따라서 |a|=0이면 a=0이다. ② 0의 절댓값은 0이므로 양수가 아니다. 따라서 절댓값이 항상 양수인 것은 아니다. ③ |a|=a이면 a¾0이다. ④ a<0이면 |a|>0이다. ⑤ 1과 -1은 절댓값이 1로 같지만 서로 다른 수이다. 따라서 절댓값이 같은 두 수가 반드시 서로 같은 수인 것은 아니다. 따라서 옳은 것은 ①, ④이다. 답 ①, ④ 0140 5 2 |=|- ㄱ. | 5 2 |= 5 2 이다. 즉, 5 2 와 - 5 2 의 절댓값은 같다. ㄴ. 절댓값이 가장 작은 정수는 0이다. ㄷ. |a|=-a이면 a는 0 또는 음수이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. 0141 ① 자연수는 모두 유리수이다. ② 양이 아닌 정수는 0 또는 음의 정수이다. ③ 모든 수의 절댓값은 항상 0보다 크거나 같다. ④ x=-2, y=1일 때, x<y이지만 |x|=2, |y|=1이므로 |x|>|y|이다. ⑤ 두 유리수 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다. 답 ① 따라서 옳은 것은 ①, ⑤이다. 답 ①, ⑤ 유형 09. 절댓값이 같고 부호가 반대인 두 수 0142 절댓값이 같고 부호가 반대인 두 수를 수직선 위에 나타내면 두 수를 나타내는 두 점은 0을 나타내는 점으로부터 떨어진 거리가 서로 같다. 이때 두 점 사이의 거리가 12이므로 두 점은 0으로부터 각각 12_ 따라서 두 수의 절댓값은 6이므로 두 수는 각각 6, 1 2 =6만큼 떨어져 있다. (cid:14)(cid:23) (cid:23) (cid:23) (cid:18)(cid:19) (cid:17) (cid:23) -6이다. 답 6, -6 0143 주어진 전개도로 정육면체를 만들면 다음 그림과 같다. 답 ⑤ (cid:35) (cid:36) (cid:34) (cid:14)(cid:18)(cid:15)(cid:24) (cid:14)(cid:18)(cid:17) (cid:22) (cid:26) 즉, A와 5 9 , B 와 -10, C 와 -1.7이 마주보고 있으므로 A=- , B=10, C=1.7 5 9 답 A=- , B=10, C=1.7 5 9 0144 조건 (나)에서 |a|=|b|이고 조건 (다)에서 a, b의 절댓값의 합이 3이므로 Ⅱ. 정수와 유리수 02. 정수와 유리수 15 답 ①, ⑤ 0149 1 3 |= |- 따라서 41 10 35 10 32 10 30 10 26 10 > > > > 이므로 세 번째에 오는 수는 본문 041쪽 -3.2이다. 답 -3.2 1 3 = 5 15 1 5 |= 1 5 = 3 15 , | 이므로 X 1 3 , 1 5 }= 1 3 {- 1 2 |= 1 2 = 3 6 | , |- 2 3 |= 2 3 = 4 6 이므로 X 1 2 { , - 2 3 }= 2 3 ∴ X {- 1 3 , 1 5 }+X { 1 2 , - 2 3 }= 1 3 + 2 3 =1 답 ① 7 3 9 4 |= 9 4 , | 이고, 7 28 12 , 9 4 = 27 12 이므로 7 3 3 = 9 4 > 이다. 5 2 |= 5 2 | , |- 12 5 |= 12 5 이고, 5 2 =2.5, 12 5 =2.4이므로 5 2 > 12 5 이다. 0150 7 3 |= |- ∴ {- △ 9 7 3 } 4 =- 7 3 ∴ 5 2 △ {- 12 5 }= 5 2 a, b의 절댓값은 모두 3 2 이다. 이때 조건 (가)에서 a+b이므로 a=- , b= 또는 a= , b=- 3 2 3 2 3 2 3 2 유형 10. 절댓값의 대소 관계 0145 주어진 수들의 절댓값을 구하면 |5|=5 |-4.7|=4.7 29 6 |= | 29 6 =4.83y 9 2 =4.5 16 3 =5.33y 29 6 >5> 9 2 |= |- 16 3 |= | 따라서 16 3 ① 2- 3 2 = 4 2 - 3 2 = 1 2 = 30 60 ② 7 3 -2= 7 3 - 6 3 = 1 3 = 20 60 ③ 9 4 -2= 9 4 - 8 4 = 1 4 = 15 60 ④ 12 5 -2= 6 4 3 - 3 = ⑤ 2- 12 5 - 10 5 = 2 5 = 24 60 4 3 = 2 3 = 40 60 서 가장 멀리 떨어진 수는 ⑤ 4 3 이다. 0147 주어진 수들의 절댓값을 구하면 |4.1|=4.1= 41 10 13 5 |= 13 5 = 26 10 |- |3|=3= 30 10 7 2 |= 7 2 = 35 10 | |-3.2|=3.2= 32 10 16 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) >4.7> 이므로 절댓값이 가장 작은 수는 ④ 이다. 9 2 9 2 - 답 ④ 0146 2를 나타내는 점에서 가장 멀리 떨어진 수는 2와 그 수의 차가 가장 큰 수이다. ∴ [{- 7 3 } △ 9 4 ] ▽ [ 5 2 △ {- 12 5 }]={- 7 3 } ▽ 5 2 7 3 |= 7 3 5 2 |= 5 2 , | |- 이고, 7 14 6 , 5 2 = 15 6 이므로 7 3 3 = 5 2 < 이다. ∴ {- ▽ 5 7 3 } 2 =- 7 3 답 - 7 3 따라서 40 60 30 60 24 60 20 60 15 60 > > > > 이므로 수직선 위에서 2를 나타내는 점에 있다. 19 5 =3.8, |-2.7|=2.7 |-3|=3, |2|=2, |1.2|=1.2, | 따라서 3.8>3>2.7>2>1.2이므로 절댓값이 가장 큰 수는 19 5 19 5 |= , 가장 작은 수는 1.2이다. 따라서 두 수의 합은 19 5 +1.2= 38 10 + 12 10 = 50 10 =5 0148 주어진 수들의 절댓값을 비교하기 쉽도록 분모를 10으로 통분하여 나타내면 유형 11. 절댓값의 범위가 주어진 수 0151 ① 양수는 절댓값이 클수록 크며, 음수는 절댓값이 클수록 작다. ② 절댓값은 0 이상이다. ③ 절댓값이 3보다 작은 정수는 -2, -1, 0, 1, 2의 5개이다. ④ 절댓값이 클수록 수직선에서 그 수가 나타내는 점은 원점에서 멀리 떨어져 답 ⑤ ⑤ 원점으로부터 떨어진 거리가 곧 그 수의 절댓값이다. 그러므로 원점으로부터 떨어진 거리가 다르면 절댓값은 같을 수 없다. 따라서 옳은 것은 ①이다. 답 ① 0152 13 4 |= |- 13 4 =3.25, | 19 5 |= 19 5 =3.8, |3|=3 |-3.7|=3.7, |-8|=8, | 10 3 =3.33y 10 3 |= , 즉 3.5 이상인 수는 19 5 따라서 절댓값이 7 2 답 5 -3.7, , -8의 3개이다. 답 ③ 0153 1 초과 13 4 이하인 정수는 2, 3뿐이다. Ú 절댓값이 2인 수 : 2, Û 절댓값이 3인 수 : 3, 따라서 구하는 정수는 2, -2 -3 -2, 3, -3의 4개이다. 답 4 0154 수직선에서 0을 나타내는 점과 정수 n을 나타내는 점 사이의 거리는 |n|이다. n은 정수이므로 |n|도 정수이다. 11 5 보다 작거나 같은 음이 아닌 정수는 0, 1, 2가 있다. -2, -1, 0, 1, 2이다. 답 -2, -1, 0, 1, 2 Ú |n|=0인 경우 : n=0 Û |n|=1인 경우 : n=1 또는 n=-1 Ü |n|=2인 경우 : n=2 또는 n=-2 따라서 조건을 만족시키는 정수 n은 0155 a는 정수이므로 |a|도 정수이다. -1 이상 2 이하인 음이 아닌 정수는 0, 1, 2가 있다. Ú |a|=0인 경우 : a=0 Û |a|=1인 경우 : a=1 또는 a=-1 Ü |a|=2인 경우 : a=2 또는 a=-2 -1, 2, 따라서 구하는 정수 a는 0, 1, -2의 5개이다. 0156 자연수 a에 대하여 a 이하인 음이 아닌 정수는 0, 1, y, a-1, a가 있다. 절댓값이 0인 정수는 1개이고, 절댓값이 자연수 n인 정수는 n, -n의 2개이다. 따라서 절댓값이 a 이하인 정수의 개수는 본문 042쪽 유형 12. 두 수의 대소 관계 0159 ① |-3|=3이므로 |-3|>1 ② 양수는 음수보다 크므로 ③ - 1 2 =- 3 6 , - 1 3 =- 2 6 3 6 | > |- 2 6 | 이므로 3 6 - <- 2 6 -0.1<2 이고 |- Ⅱ - 0 2 . 정 수 와 유 리 수 ∴ 1 2 - <- 1 3 ④ 1.6= 16 10 = 48 30 , 4 3 = 40 30 이므로 1.6> 4 3 ⑤ -2=- 8 4 이므로 7 4 | < |- 8 4 |=|-2| |- 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 답 ③ 답 ⑤ 답 ② 0160 ① 양수는 음수보다 크므로 1>-3 1 이므로 ② 2 1 1 3 | 3 ③ |-5|=5이므로 2<|-5| 이고 ④ 1 3 |= >- |- |- > 5 3 | |- 6 3 | |- -2=- ⑤ |0|=0 따라서 옳은 것은 ④이다. 6 3 이므로 6 3 - <- 5 3 ∴ -2<- 5 3 답 ④ 0161 ① |-2|<|-3| ② |-1|=1, |4|=4 ③ 2 3 -1.7 > ∴ -3 -2 > ∴ |-1| < |4| ④ |- 5 2 |= 5 2 이므로 5 2 | |- > -5 ⑤ |- 5 3 |= 5 3 = 20 12 , |- 7 4 |= 7 4 = 21 12 이므로 5 3 | < |- 7 4 |    ∴ - 5 3 |- > 7 4 - a는 정수이므로 |a|도 정수이고, 6보다 작거나 같은 음이 아닌 정수는 y [ +2=1+2_a(개) a개 1+2+2+ 1+2_a=25이므로 2_a=24 ∴ a=12 0157 a 3 의 절댓값이 2보다 작거나 같으므로 a의 절댓값이 6보다 작거나 같다. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6이 있다. Ú |a|=0인 경우 : a=0 Û |a|=1인 경우 : a=1 또는 a=-1 Ü |a|=2인 경우 : a=2 또는 a=-2 Ý |a|=3인 경우 : a=3 또는 a=-3 Þ |a|=4인 경우 : a=4 또는 a=-4 ß |a|=5인 경우 : a=5 또는 a=-5 à |a|=6인 경우 : a=6 또는 a=-6 따라서 조건을 만족시키는 정수 a는 -4, 5, -2, 3, -3, 4, 0, 1, -1, 2, 의 13개이다. 0158 조건 (나)에서 x와 y는 부호가 반대이다. -y=z라 하면 x와 y는 부호가 반대이므로 x와 z는 부호가 같다. ‘x<-y일 때, |x|>|-y|’에서 ‘x<z일 때, |x|>|z|’로 나타낼 수 있다. x와 z가 둘 다 양수이면 x<z일 때 |x|<|z|이므로 조건에 맞지 않다. x와 z가 둘 다 음수이면 x<z일 때 |x|>|z|이므로 조건을 만족시킨다. 따라서 x는 음수이다. 조건 (다)에서 |x|의 약수가 2개이므로 |x|는 소수이다. 조건 (가)에서 2É|x|É13을 만족시키고 소수인 |x|의 값은 2, 3, 5, 7, 11, 13이다. 이때 x는 음수이므로 조건을 만족시키는 정수 x는 -2, -11, -3, 의 6개이다. -5, -7, -13 -5, 6, -6 이다. 답 ⑤ ② 양의 정수가 아닌 정수는 0 또는 음의 정수이다. ③ 두 음수에서는 절댓값이 큰 수가 작다. 따라서 부등호가 나머지 넷과 다른 하나는 ②이다. 답 ② 0162 ① 모든 자연수는 정수이고, 모든 정수는 유리수이므로 모든 자연수는 유리수 ④ 양수 3과 음수 -9의 절댓값의 대소 관계는 |3|<|-9|이다. ⑤ 수직선 위에서 원점으로부터 어떤 수에 대응하는 점까지의 거리를 그 수의 절댓값이라고 한다. 따라서 옳은 것은 ①이다. 답 ① 유형 13. 세 수 이상의 대소 관계 0163 주어진 수를 양수와 음수로 구분하면 양수 : 7 음수 : 2 =3.5, 9 -3, -1.1 답 ④ 5 =1.8, 4, |-2.3|=2.3 양수는 음수보다 크므로 주어진 수들의 대소를 비교하면 Ⅱ. 정수와 유리수 02. 정수와 유리수 17 본문 044쪽 답 ② 답 ② 9 5 <|-2.3|< -3<-1.1< 따라서 가장 큰 수는 4이다. 7 2 <4 0164 주어진 수를 양수와 음수로 구분하면 양수 : 5 2 =2.5, 1.7, |-2|=2 -|-4|=-4, -2, 음수 : -3.1 음수는 양수보다 작으므로 주어진 수들의 대소를 비교하면 -4<-3.1<-2<1.7<|-2|< 따라서 작은 수부터 차례대로 나열할 때 두 번째에 오는 수는 5 2 (음수)<0<(양수)이므로 주어진 수들의 대소를 비교하면 0165 주어진 수를 양수와 음수로 구분하면 양수 : 7 4 =1.75, 2 음수 : -3, - 5 2 =-2.5, -1.8 -3<- <-1.8<0< 5 2 7 4 <2 ① 가장 큰 수는 2이다. ② 가장 작은 수는 ③ 가장 큰 음수는 -3이다. -1.8이다. 5 -3, 2 - 답 4 0168 ① x는 ② x는 -1보다 작다. → x<-1 -5 초과이고 -1 미만이다. → -5<x<-1 ③ x는 2보다 크고 7 미만이다. → 2<x<7 ④ x는 0 초과이고 4보다 크지 않다. → x는 0 초과이고 4보다 작거나 같다. → 0<xÉ4 ⑤ x는 -1보다 작지 않고 3보다 크지 않다. → x는 -1보다 크거나 같고 3보다 작거나 같다. → -1ÉxÉ3 따라서 옳은 것은 ②이다. 0169 ‘x는 0 초과이다.’를 부등호로 나타내면 x>0 ‘x는 3 이하이다.’를 부등호로 나타내면 xÉ3 따라서 x>0과 xÉ3의 공통범위를 구하면 0<xÉ3 0170 조건 (가)에서 y<1이고, 조건 (나)에서 |y|>3이므로 y<-3 조건 (가)에서 z<1이고, 조건 (나)에서 |z|<3이므로 -3.1이다. 답 -3.1 따라서 11 3 - <-2.7<2이므로 두 번째로 큰 수는 -2.7, 즉 Z이다. 답 Z ④ 음수인 경우에는 수직선에서 왼쪽에 있는 수가 오른쪽에 있는 수보다 절댓 -3<z<1 조건 (라)에서 x가 z보다 4에 더 가깝고, 조건 (다)에서 |x|=3이므로 아래 수직선에서 x=3이어야 한다. (cid:91) (cid:14)(cid:20) (cid:17) (cid:18) (cid:20) (cid:21) 따라서 y<-3<z<1<3=x이므로 y<z350이고, A=11_350, B=350이므로 A는 B의 11배이다. =350 -350 답 4999 답 50 답 11배 Ⅱ - 0 3 . 유 리 수 의 계 산 0241 (-2)10 210 =210 =210 =210 =210 =210 =210이므로 _5+{(-2)10 _5+{210 _5+[210 _5+{210 _{5+(-3)} _2=211 _3+(-2)10 _(-6)} _(-6)} _3+210 _{3+(-6)}] _(-3)} 0242 (-6)_ =(-6)_ 2 5 + 2 3 _(-6)+(-6)_ 2 3 +(-6)_ 2 5 +(-6)_ 3 5 3 5 =(-6)_{  (가) 2 2 3 + 3 5  } 5 + 1+ 2 3 } =(-6)_{ 5 3 =(-6)_ (나) -10 = 0243 5.02_5.2+5.02_4.8 =5.02_(5.2+4.8) =5.02_10 =50.2 따라서 a=5.02, b=4.8, c=10, d=50.2이므로 a+b+c+d=5.02+4.8+10+50.2=70.02 유형 15. 역수 0244 -a의 역수가 4이므로 4의 역수는 따라서 에서 a=- -a= 1 4 1 4 -a이다. 답 ⑤ 답 ② 답 70.02 Ⅱ. 정수와 유리수 03. 유리수의 계산 27 구하는 세 수의 곱은 25_{- 1 5 }_(-1)=+{ 25_ 1 5 _1 }=5 답 ③ 0.4= 4 10 = 2 5 의 역수가 b이므로 b= 5 2 ∴ a_b=- 1 4 _ 5 2 =- 5 8 0245 4 100 = 0.04= 1 25 의 역수는 25, -5의 역수는 - -1의 역수는 , -1이므로 1 5 0246 (cid:14)(cid:18) (cid:38) -1의 역수가 E이므로 E=-1 (cid:20) (cid:37) 3의 역수가 D이므로 D= 1 3 (cid:37) (cid:21) (cid:38) D+4+E= 1 3 +4+(-1)= 실선으로 연결된 각 변에 놓인 수들의 합은 10 3 12 3 - 1 3 + 3 3 = 10 3 이므로 이다. (cid:14)(cid:18) (cid:36) (cid:37) -1+C+D=-1+C+ 1 3 =C- 2 3 = 10 3 이므로 C= 10 3 + 2 3 = 12 3 =4 (cid:14)(cid:18) (cid:34) (cid:20) (cid:20) (cid:35) (cid:38) -1+A+3=A+2= 이므로 A= 10 3 10 3 -2= 10 3 - 6 3 = 4 3 3+B+E=3+B+(-1)=B+2= 10 3 이므로 B= 10 3 -2= 10 3 - 6 3 = 4 3 ∴ A+B+C+D+E= 4 3 + 4 3 +4+ 1 3 +(-1)=6 답 ② 0247 절댓값이 같고 차가 6인 두 수는 3, -9이다. 이 두 수를 곱한 수는 ㉠ -3이므로 수직선 위에서 -9에서 6만큼 오른쪽에 있는 수는 ㉡ -3이고, -3의 역수는 ㉢ - 이다. 1 3 유형 16. 유리수의 나눗셈 0248 ① (-9)Ö(+3)=-(9Ö3)=-3 4 ② 9 }={+ 2 3 }Ö{- 2 3 }_{- {+ 9 4 }=-{ 2 3 _ 9 4 }=- 3 2 ③ {+ 4 5 }Ö{- 2 10 }={+ 4 5 }_{- 10 2 }=-{ 4 5 _ ④ {+ 21 5 }Ö(-7)Ö{- 2 10 } ={+ 21 5 }_{- 1 7 }_{- 10 2 }=-4 10 2 }  21 5 _ 1 7 _ 10 2 }=3 =+{ 28 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 본문 066쪽 ⑤ {+ 3 10 }Ö{- 1 10 }Ö(+4) ={+ 3 10 }_(-10)_{+ 3 1 3 10 _10_ 4 }=- 4 =-{ 1 4 }    답 - 5 8 따라서 계산 결과가 옳지 않은 것은 ②이다. 답 ② 5 3 a= 3 3 = 2 3 + 0249 2 3 +1= 7 4 -(-1)=- 3 4 }= 5 3 Ö{- ∴ aÖb= b=- 7 4 +1=- 5 3 _{- 7 4 + 4 4 =- 3 4 4 3 }=-{ 5 3 _ 4 3 }=- 20 9 답 - 20 9 0250 36 10 = 3.6= 18 5 의 역수는 5 18 이므로 a= , b=- 5 2 이므로 5 6 5 18 _3= 2 5 5 }=- 6 _ 1 3 aÖb= 5 6 Ö{- 5 2 }= 5 6 _{- 2 5 }=-{ 0251 ⑤ (양수)Ö(양수)의 값은 양수이다. 답 ② 답 ⑤ 0252 가장 작은 값을 얻기 위해서는 (음수)Ö(양수) 또는 (양수)Ö(음수) 꼴이어야 하고, Ö 기호 앞의 수는 절댓값이 큰 수, 뒤의 수는 절댓값이 작은 수여야 한다. 절댓값이 가장 큰 수는 28 5 , 절댓값이 가장 작은 수는 8 3 - 이므로 구하는 값은 28 5 }Ö{+ 8 3 }={- 28 5 }_{+ 3 8 }=-{ 28 5 _ 3 8 }=- 21 10 {- 답 - 21 10 0253 4 3 a= 이고, b는 a보다 만큼 작은 수이므로 2 3 - 4 3 }_{- 1 2 }=-{ 4 3 _ 1 2 }=- 2 3 답 2 3 - 6 3 =2 2 3 = 2 3 }= 4 b=a-{- 3 + 따라서 c=-2이므로 4 3 }Ö(-2)={+ aÖc={+ 0254 a=-2+ 3 2 =- 4 2 + 3 2 =- 1 2 c= 1 2 -{- 1 3 }= 3 6 + 2 6 = 5 6 ∴ bÖcÖa = 10 3 Ö 5 6 Ö{- 1 2 }  6 5 _(-2)   10 3 _ = =-8 답 ② b=4- 2 3 = 12 3 - 2 3 = 10 3 0255 A는 5 2 와 서로 마주 보고 있으므로 A= 2 5 B는 0.4= 4 10 = 2 5 와 서로 마주 보고 있으므로 B= 5 2 ∴ AÖB= 2 5 Ö 5 2 = 2 5 _ 2 5 = 4 25     답 -8 답 ③ 유형 17. 곱셈과 나눗셈의 혼합 계산 0256 ① (-3)_2Ö(-12) ② (-8)Ö14_ =(-3)_2_{- 1 14 _ 7 3 =-{ =(-8)_ 7 3 1 12 }=+{ 3_2_ 1 12 }= 1 2 8_ 1 14 _ 7 3 }=- 4 3 ③ {- 4 5 }Ö{- 2 15 }_ 1 3 ={- 4 5 }_{- 15 2 }_ 1 3 =+{ 4 5 _ 15 2 _ ④ {- 2 1 2 } _{- 5 3 }Ö 5 21 1 4 _{- 5 3 }_ 21 5 =-{ 1 4 _ 5 3 _ 21 5 }=- = ⑤ {- 4 3 }Ö {- 3 2 3 } _{- 2 15 } ={- 4 3 }Ö{- 8 27 }_{- 2 15 } 1 3 }=2 7 4 1 2 _{- = 4 7 5 3 }_(-5)_ 5 3 _5_ 4 7 }  1 2 _ =+{ 50 21 = 일 때 Ü x= x = = 5 3 } 1 2 _1.75_(-5)Ö{- 1 2 _1.75_(-5)Ö{- 3 1 2 _ 5 }   7 4 _(-5)_{- 1 2 _ 7 4 _5_ 3 5 }  5 3 }  4 3 }_{- 27 8 }_{- 2 15 } ={- 4 3 _ 27 8 _ 2 15 } =-{ 3 5 =- 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 답 ④ 0257 (1) (-1)2017 _(-2)3 Ö =(-1)_(-8)_ 2 3 3 2 =+{ 1_8_ 3 2 }   =12 3 10 } ={- (2) {- 2 5 6 }Ö{- 3 2 } _{- 5 6 }Ö 9 4 _{- 3 10 }  5 6 }_ 4 9 _{- 3 10 }  ={-   5 6 _ 4 9 _ 3 10 }  =+{ (3) {- 14 3 }Ö 5 6 _{ 2 7 } 2 Ö{- 2 5 } ={- 14 3 }_ 6 5 _ 4 49 _{- 5 2 }  14 3 _ 6 5 _ 4 49 _ 5 2 }  =+{ 1 9 = 8 7 = 일 때 1 2 5 3 }_1.75_(-5)Ö 5 3 }_1.75_(-5)Ö 5 3 }_ 7 4 _(-5)_2 7 4 _5_2 5 3 _ }  1 2   =+{ 21 8 = Ý  x={- x ={- ={- =+{ 175 6 = 다른 풀이 Ú~Ý에 의하여 x가 될 수 있는 값 중 가장 큰 수는 175 6 이다. 네 수 a, b, c, d에 대하여 a_b_cÖd의 계산에서 두 수가 음수이면 계산한 결과는 양수이다. 그러므로 계산한 결과가 가장 큰 수가 되려면 a_b_c는 절댓값이 가장 큰 수가 되고, d는 절댓값이 가장 작은 수가 되어야 한다. 1 2 , - 5 3 , 1.75, -5 중에서 절댓값이 가장 작은 수는 1 2 이므로 답 (1) 12 (2) 1 9 (3) 8 7 1 2 5 3 }_1.75_(-5)Ö 5 3 }_ 7 4 _(-5)_2 7 4 _5_2 5 3 _ }  x ={- ={- =+{ 175 6 = 본문 068쪽       Ⅱ - 0 3 . 유 리 수 의 계 산 답 175 6   0258 1.75= 175 100 = 7 4 Ú x= 1 2 _{- x = 1 2 _{- 1 2 _{- = =+{ 7 24 = 5 3 }_1.75Ö(-5)일 때 5 3 }_1.75Ö(-5) 5 3 }_ 7 4 _{- 1 5 }  1 2 _ 5 3 _ 7 4 _ 1 5 }    Û x= 1 2 _{- x = 1 2 _{- 1 2 _{- = 5 3 }_(-5)Ö1.75일 때 5 3 }_(-5)Ö1.75 5 3 }_(-5)Ö 7 4   0259 4 3 }Ö(-2)2 ={- a b =(-2)Ö{- ={- 4 3 }_ 4 3 }Ö4={- 3 2 }_ 4 5 =(-2)_{- 2 3 }_ 1 4 =-{ 4 3 _ 1 4 }=- 1 3 4 5 =+{ 2_ 3 2 _ 4 5 }= 12 5 따라서 <x< 를 만족하는 정수 x는 0, 1, 2이므로 1 3 - 12 5 정수 x의 값의 합은 0+1+2=3 답 ③ 0260 |보|기|의 수를 작은 수부터 크기 순으로 차례대로 나열하면 -2.5, - 1 3 , 1.2, 9 2 이다. 따라서 세 수를 뽑아 더한 수 중 가장 큰 수는 의 합이므로 1 3 , 1.2, 9 2 - m ={- 1 3 }+1.2+ 9 2 =- 1 3 + 12 10 + 9 2 =- 10 30 + 36 30 + 135 30 = 161 30 Ⅱ. 정수와 유리수 03. 유리수의 계산 29         세 수를 뽑아 더한 수 중 가장 작은 수는 , 1.2의 합이므로 -2.5, - 1 3 n =(-2.5)+{- 1 3 - 13 10 =- =- 1 3 }+1.2=- 10 30 - 39 30 =- 49 30 1 3 -2.5+1.2=- 1 3 -1.3 ∴ mÖn_7 = 161 30 Ö{- 161 30 _{- 30 49 }_7 49 30 }_7= 30 49 _7 }=-23 161 30 _ =-{ 답 ② 0261 ㄱ. 22 5 14 Ö 5 7 _ =4_ 5 14 _ 7 5 =2 ㄴ. {- 2 2 3 } Ö(-2)_32 = 4 9 _{- 1 2 }_9=-{ 4 9 _ ㄷ. (-2)3 _(-1)2018 Ö24 =(-8)_1Ö16=(-8)_1_ 1 }=-2 2 _9 1 16 =-{ 8_1_ 1 16 }=- 1 2 ㄹ. (-1)2017 Ö ㅁ. {- 2 3 2 } Ö0.9_ 27 2 _(-3)3 1 5 9 4 Ö = =(-1)_ 9 10 _ 1 5 = 2 27 _(-27)=+{ 1 9 4 _ 2 10 9 _ 1 5 = 1_ 2 27 _27 }=2 따라서 계산 결과가 같은 것은 ㄱ, ㄹ이다. 답 ② a와 - , b와 3 14 - , c와 1 3 - 이 각각 서로 마주 보고 있다. 0262 주어진 전개도를 접어서 정육면체를 만들면 21 5 21 5 3 14 1 3 a와 - 은 서로 역수이므로 a=- b와 - 은 서로 역수이므로 b=- c와 - 은 서로 역수이므로 c=-3 5 21 14 3 ∴ a_bÖc ={- 5 21 }_{- 5 21 }_{- 14 3 }_{- 1 3 }    14 3 }Ö(-3)={- 10 1 3 }=- 27 5 21 _ 14 3 _ =-{ 답 ④ 유형 18. 어떤 수 구하기 ; 곱셈, 나눗셈 0263 3 2 }= a_{- 21 5 Ö{- = a 21 5 에서 3 2 }= 21 5 _{- 2 3 }=- 14 5 5 2 에서 - 7 4 Öb= 7 4 Ö b =- 5 2 =- 7 4 _ 2 5 =- 7 10 0264 ① 5 2 _  =-5에서  =-5Ö 5 2 =-5_ 2 5 =-2 ②  Ö{- 1 6 }=4에서 1 6 }=- 2 3  =4_{- 30 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 따라서 보기의  안에 들어갈 수 중 가장 큰 수는 ④ 3이다. 답 ④ 본문 069쪽 ③ 24 _ 16_  =8에서 =8  ∴  =8Ö16=8_ 1 16 = 1 2 ④ (-3)3 -27Ö Ö  =-9에서  =-9 1 9 }=3 ∴  ⑤  Ö =-27Ö(-9)=-27_{- 3 10 =4에서 6 3 10 = 5  =4_ 0265 각 변에 놓인 세 수를 곱한 결과는 각각 6 5 } yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ (-2)3 _A_{- 5 4 6 5 }_B_ {- (-2)3 _0.3_ ㉢을 계산하면 5 4 5 4 _0.3_ (-2)3 따라서 ㉠, ㉡의 계산 결과는 =(-8)_ 3 10 _ -3이다. 5 4 =-{ 8_ 3 10 _ 5 4 }=-3 (1) ㉠의 계산 결과는 (-2)3 _A_{- (-8)_{- A_[ 48 5 =-3 A_ 6 5 }=-3 -3이므로 6 5 }=-3, (-8)_A_{- 6 6 5 }]=-3 5 }]=-3, A_[+{ 5 48 5 =(-3)_ 48 =- =(-3)Ö 8_ ∴ A 5 16 (2) ㉡의 계산 결과는 {- 6 5 }_B_ 6 5 _ B_[-{ -3이므로 5 4 =-3, B_[{- 5 4 }]=-3, B_{- 6 5 }_ 5 4 ]=-3 3 2 }=-3 2 3 }=+{ ∴ B =(-3)Ö{- 3 2 }=(-3)_{- 3_ 2 3 }=2 답 (1) (2) 2 5 16 - 0266 2 5 }Ö[ {-  _{ 2 3 2 } ]={- 2 에서 4 3 } 2 5 }Ö{  _ 9 4 }= 16 9 {-  _ 9 4 ={- 2 5 }Ö 16 9 ,  _ 9 4 ={- 2 5 }_ 9 16 유형 19. 바르게 계산한 답 구하기 0267 어떤 유리수를 x라 하자. 이므로 1 2 3 7 }=- x+{- 1 2 -{- =- x 3 7 }=- 1 2 + 3 7 =- 7 14 + 6 14 =- 1 14 ∴ aÖb =- 14 5 Ö{- 7 10 }=- 14 5 _{- 10 7 }=4 답 4 ∴  ={- 2 5 }_ 9 16 Ö 9 4 ={- 2 5 }_ 9 16 _ 4 9 =-{ 2 5 _ 9 16 _ 4 9 }=- 1 10 답 ③ 따라서 바르게 계산하면 1 14 Ö{- 3 7 } =- 1 14 _{- 7 3 }= 1 6 - 0268 어떤 유리수를 x라 하자. 5 6 - 의 역수는 ∴ x = 3 4 _{- 6 5 - 이므로 xÖ{- 9 10 6 5 }=- 6 5 }= 3 4 따라서 바르게 계산하면 9 10 -{- 6 5 } =- 9 10 + 6 5 =- 9 10 + 12 10 = 3 10 - 답 ③ 유형 20. 문자로 주어진 수의 부호 0269 a>0, b<0이고 |a|=|b|이므로 b=-a이다. ① a+b=a+(-a)=0 ② b-a → (음수)-(양수)=(음수)+(음수)=(음수) ③ a_b → (양수)_(음수)=(음수) 이므로 b-a<0 이므로 a_b<0 ④ a_b2 → (양수)_{(음수)_(음수)}=(양수)_(양수)=(양수) 이므로 a_b2>0 ⑤ aÖb=aÖ(-a)=-1 따라서 옳지 않은 것은 ①, ④이다. 답 ①, ④ 0270 1 2 a=- ① a=- 1 2 이라 하자. ② a2 ={- 2 1 2 } = 1 4 ③ -a3 =-{- =-{- 3 1 2 } 1 8 }= 1 8 ④ 1 a 은 a의 역수이므로 1 a =-2 ∴ - 1 a2 =-{ 2 1 a } =-(-2)2 =-4 ⑤ - 1 a3 =-{ 3 1 a } =-(-2)3 =-(-8)=8 따라서 가장 큰 수는 ⑤이다. 0271 a=-2라 하자. ① a=-2 ② a2 ③ ④ =(-2)2 -a3 1 a =- =4 =-(-2)3 1 -2 = 1 - 1 a2 =- ⑤ - =-(-8)=8 1 2 (-2)2 =- 1 4 본문 071쪽 답 1 6 곱한 값과 같다. ② b의 역수는 1 b 이고 aÖb=a_ 1 b 이므로 a를 b로 나눈 값은 a에 b의 역수를 ③ 0은 역수가 존재하지 않는 유리수이다. ④ 유리수 중 자기 자신과 서로 역수 관계인 수는 1, a =1, 1 ⑤ a=1, b=-1일 때 1 a>b이지만 1 a b =-1이다. 이다. 1 b > -1의 2개이다. 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 답 ⑤ 0273 a_b>0이므로 a>0, b>0 또는 a<0, b<0 이때 a+b>0이므로 a>0, b>0 ㄱ. a_b>0이므로 aÖb>0 ㄴ. ㄷ, ㄹ. a-b와 b-a의 부호는 알 수 없다. -a<0, b2>0이므로 (-a)_b2<0 ㅁ. -a<0, -b<0이므로 (-a)Ö(-b)>0 따라서 항상 양수인 것은 ㄱ, ㄴ이다. 0274 a_b<0이므로 a>0, b<0 또는 a<0, b>0 yy ㉠ 이때 a<b이므로 a<0, b>0 a+b<0이므로 |a|>|b| a<b이므로 b-a>0이 되어 |b-a|=b-a 이때 b>0이므로 |b-a|=b-a>-a yy ㉢ -a, ㉠~㉢에 의해 a, b, |b-a|, (cid:93)(cid:66)(cid:93) yy ㉡ (cid:93)(cid:67)(cid:93) (cid:66) (cid:14)(cid:67) (cid:17) (cid:67) (cid:14)(cid:66) (cid:93)(cid:67)(cid:14)(cid:66)(cid:93) 따라서 주어진 수를 작은 수부터 차례대로 나열하면 -b를 수직선 위에 나타내면 다음과 같다. a, -b, b, -a, |b-a| 0275 조건 (나)에 의하여 a>0, b<0 또는 a<0, b>0 조건 (가)에 의하여 a<0, b>0 yy ㉠ 이때 ㉠과 조건 (다)에 의하여 b=-a ① 21 ¾에서 15 ¾만큼 상승하여 x ¾가 되었으므로 yy ㉡ 답 ⑤ x =21+15=36 ② ㉠에서 a<0 ③ ㉠에 의하여 a2>0, b>0이므로 a2 ④ y ¾에서 b ¾만큼 상승하여 z ¾가 되었으므로 z=y+b _b>0 이때 b>0이므로 y<y+b=z ⑤ x=36(¾)에서 a ¾만큼 상승하여 y ¾가 되었으므로 y=36+a y ¾에서 b ¾만큼 상승하여 z ¾가 되었으므로 z=y+b=36+a+b 위 식에 ㉡을 대입하면 Ⅱ - 0 3 . 유 리 수 의 계 산 답 ① 답 ④ 답 ⑤ 따라서 가장 작은 수는 ①이다. 답 ① 0272 ① 2.25= 225 100 = 9 4 와 4 9 는 서로 역수 관계이다. z =36+a+b=36+a+(-a)=36 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 0276 a b <0이므로 a>0, b<0 또는 a<0, b>0 a<b이므로 a<0, b>0 Ⅱ. 정수와 유리수 03. 유리수의 계산 31 따라서 0<b<c이므로 |b|<|c| ∴ 1 |b| > 1 |c| yy ㉠ a<0, c>0, a+c<0이므로 |a|>|c| ∴ 1 yy ㉡ |a| 1 |c| < 0281 조건 (가)에서 aÖb>0이므로 a>0, b>0 또는 a<0, b<0 a+b<0이므로 a<0, b<0 조건 (나)에서 b+c>0이고 b<0이므로 |b|<|c|, c>0 ㉠, ㉡에 의하여 1 |a| < 1 |c| < 1 |b| 이므로 세 수 1 |a| , 1 |b| , 1 |c| 을 큰 것부터 차례대로 나열하면 1 |b| , 1 |c| , 1 |a| 이다. 답 ② 다음과 같다. 조건 (다)에서 |a|>1>|c|이므로 a, b, -b, c를 수직선 위에 나타내면 본문 072쪽 0277 (1) 조건 (다), (라)에 의하여 b>0, c>0, 조건 (가)에 의하여 a<0 (2) a<0, c>0이고 조건 (나)에서 a+c<0이므로 |a|>|c| yy ㉠ 조건 (다), (라)에 의하여 0<b<10, c>0 (2) |a|, |c|, |b| (cid:66) (cid:14)(cid:18) (cid:67) (cid:17) (cid:14)(cid:67) (cid:68) (cid:18) yy ㉠ <0 yy ㉡ <-1 yy ㉢ 1 a 0<-b<c<1 a<-1이므로 -1< -1<b<0이므로 1 ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 1 b b < 1 a 열하면 1 b , 1 a -b, c이다. , <-b<c이므로 크기가 작은 것부터 차례대로 나 (cid:14)(cid:18) (cid:17) (cid:14)(cid:67) (cid:68) (cid:18) (cid:18) (cid:67) (cid:18) (cid:66) 답 ④ 유형 21. 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 혼합 계산 0278 a<b이고, ab<0이므로 a<0, b>0 a<0, b>0, a+b<0이므로 |a|>|b| a=-2, b=1이라 하자. ① b=1 =12 ② b2 =1 =(-2)2 =(-2)3 =(-2)_12 =4 _1=(-8)_1=-8 =(-2)_1=-2 따라서 식의 값이 가장 큰 것은 ③이다. ④ a3b ⑤ ab2 ③ a2 0279 a_b<0이므로 a>0, b<0 또는 a<0, b>0 이때 a-b>0이므로 a>0, b<0 aÖb_c>0이고 a>0, b<0이므로 c<0 ∴ a>0, b<0, c<0 0280 ① 조건 (나)에서 b와 c는 서로 역수이므로 b_c=1 ② 조건 (가)에서 a+b=0이므로 b=-a yy ㉠ ㉠을 b_c=1에 대입하면 (-a)_c=1 ③ a_c=-1이므로 ∴ a_c=-1 =|a_c|=|-1|=1 1 |a| |a|_|c| ∴ |c|= 이때 조건 (다)에서 |a|<1이므로 |c|>1 (∵ |a|+0) ∴ |a|<|c| ④ a=- , b= , c=2는 주어진 조건을 모두 만족하지만 1 2 1 2 1 2 +2 |a+c| =|- |=|- ⑤ b_c=1, a_c=-1이므로 1 2 + 4 2 |=| 3 2 |= 3 2 >1이다. (b-a)_c =b_c-a_c=1-(-1)=1+1=2>0 32 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 0282 (1), (2) 2-[- 5 11 ]_ 5 11 2 3 4 } 5 6 +8_{- 9 16 }_ 5 6 +8_ 9 5 2 }_ 6 + 5 11 =2-{- =2-{- 5 6 + 27 6 }_ 5 11 =2-{- 22 6 _ =2- 5 11 ㉣ ㉢ ㉡ ㉤ ㉠ 답 ③ 답 ⑤ =2- 5 3 6 3 - 5 3 = 1 3 = = = = = 0283 1 7 _ 150-[ 2+{ 1 4 - ] 1 5 }_20 ] 4 20 }_20 ] ] [ 1 7 _ [ 1 7 _[ 150-[ 150-{ 5 20 - 2+{ 1 20 _20 2+ }] 1 7 _{150-(2+1)} 1 7 _(150-3) 1 7 _147 = =21 따라서 주어진 식의 계산 순서를 차례대로 나열하면 ㉣, ㉢, ㉡, ㉤, ㉠이고, 계산 결과는 1 3 이다. 답 (1) ㉣, ㉢, ㉡, ㉤, ㉠ (2) 1 3 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 답 ④ 답 ④ 0284 25에서 4를 뺀 후 2 3 를 곱하면 (25-4)_ =21_ 2 3 2 3 =14 14를 4 5 로 나눈 후 6을 더하면 14Ö 4 5 +6 =14_ 5 4 +6= 35 2 +6= 35 2 + 12 2 = 47 2 47 2 에서 4를 뺀 후 2 3 를 곱하면 { 2 3 47 2 -4 2 3 =13 따라서 주어진 과정에서 얻어지는 값은 13이다. 47 2 - 8 2 }_ 39 2 _ 2 3 = ={ }_ 답 ③ 본문 074쪽 이므로 주어진 수 중에서 절댓값이 가장 큰 수는 ∴ b=-6 주어진 수 중에서 정수가 아닌 음의 유리수는 -6이다. 3 2 - 이므로 c=- 3 2 ∴ a_10+b2 Öc = 26 5 _10+(-6)2 Ö{- 3 2 }    =52+36_{- 2 3 }=52-36_ 2 3 =52-24=28 답 ③ 0288 (1) A =(-1)101 - {- 2 1 2 } 2+ -[ 1 3 _(5-2)2 Ö{- 4 5 }] 0285 ㄱ. Ú n이 홀수일 때 n+1은 짝수이므로 +(-1)n+1 (-1)n Û n이 짝수일 때 =-1+1=0 =(-1)_1=-1 _(-1)2n n+1은 홀수이므로 +(-1)n+1 (-1)n Ú, Û에 의하여 (-1)n =1+(-1)=0 +(-1)n+1 =0 ㄴ. 2n-1은 홀수, 2n은 짝수이므로 _(-1)2n +(-1)n+1 (-1)2n-1 ㄷ. n=2일 때 (-1)n _(-1)2_2 =(-1)2 +(-1)3 =1_(-1)4 =1_1+(-1)Ö1 =1-1 =0 따라서 모든 자연수 n에 대하여 (-1)n 다. +(-1)2+1 Ö(-1)4 +(-1)n+1 _(-1)2n Ö(-1)n+2 ㄹ. 4n-1은 홀수, 4n은 짝수이므로 _2-(-1)4n _3 (-1)4n-1 =(-1)_2-1_3 =-2-3 =-5 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다. 0286 Ö(-1)n+2 Ö(-1)2+2 =-1이 항상 성립하는 것은 아니 답 ② 답 ③ 2 X 3 2 } ={- Ö{(-11)+2}-(-6)= 9 4 Ö(-9)+6= 23 24 4 =5.75 4 = 따라서 X보다 크지 않는 자연수는 1, 2, 3, 4, 5의 5개이다. 1 9 }+6=- 1 4 +6=- 9 4 _ 1 4 + =-{ 9 4 _{- 1 9 }+6 -6, 0, 26 5 =5.2, -3 중에서 가장 큰 수는 26 5 이므로 0287 3 2 =-1.5, 2.5, 26 5 a= - 3 2 |= |- 26 5 |= | 3 2 =1.5, |2.5|=2.5, |-6|=6, |0|=0, 26 5 =5.2, |-3|=3 ] Ⅱ - 0 3 . 유 리 수 의 계 산 =-1- [ =-1- [ =-1- [ 1 4 -[ 1 4 -[ 1 4 -[ [ =-1-[ 1 4 -{ 5 4 }] 5 4 }] 2+ 2+ _{- 1 3 _32 1 3 _9_{- 5 1 3 _9_ 2-{ 4 }] 15 4 }]    2- ] ] ] =-1-{ =-1-{ 15 4 }  1 4 -2+ 15 1 4 -2 4 + }        }  16 4 -2 =-1-{ =-1-(4-2) =-1-2 =-3 (2) (-3)_BÖ{- (-3)_B_{- B_(-3)_{- 5 14 _8 3_ }]=10 B_[-{ 60 7 }=10 60 7 }=10_{- =10Ö{- B_{- ∴ B =10에서 14 5 }_(-2)3 5 14 }_(-8)=10 5 14 }_(-8)=10 (3) A_B =(-3)_{- 7 6 }=+{ 3_ 7 6 }= 7 2 0289 5+(-2)3 Ö[ 6-{- 5 4 }Ö{- 5 3 }]_{- 3 4 } 2 5 4 }_{- 3 5 }]_ 9 16 =5+(-8)Ö[ =5+(-8)Ö{ 6-{- 5 4 _ 6- 3 5 }_ 9 16 6- =5+(-8)Ö{ 21 4 _ =5+(-8)Ö =5- 6 7 = 35 7 - 6 7 = 9 16 =5+(-8)_ 29 7 따라서 29 7 =4. ___ 구하는 합은 1+2+3+4=10이다. 7 60 }=-{ 10_ 7 60 }=- 7 6 답 (1) -3 (2) - 7 6 (3) 7 2 3 4 }_ 9 16 =5+(-8)Ö{ 24 4 - 3 4 }_ 9 16 4 21 _ 9 16 =5-8_ 4 21 _ 9 16 보다 작은 양의 정수는 1, 2, 3, 4이므로 답 10 Ⅱ. 정수와 유리수 03. 유리수의 계산 33 0290 Ú n이 홀수일 때 n+1, 2n은 짝수이고 n+2는 홀수이므로 (-1)n -(-1)n+1 _(-1)n+2 Ö(-1)2n =-1-1_(-1)Ö1 =-1+1_1Ö1=-1+1=0 Û n이 짝수일 때 n+1은 홀수이고, n+2, 2n은 짝수이므로 (-1)n -(-1)n+1 _(-1)n+2 Ö(-1)2n =1-(-1)_1Ö1 =1+(1_1Ö1)=1+1=2 Ú, Û에 의하여 주어진 식의 값이 될 수 있는 수는 0, 2이다. 답 ③, ⑤ , 2.7, -0.75, 5 3 =1. ___ ___ -2를 수직선 위에 나타내면 , (cid:14) (cid:19)(cid:20) (cid:23) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:17)(cid:15)(cid:24)(cid:22) (cid:22) (cid:20) (cid:19)(cid:15)(cid:24) (cid:14)(cid:21) (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:18) (cid:17) (cid:18) (cid:19) (cid:20) 따라서 주어진 수 중에서 가장 큰 수는 2.7, 가장 작은 수는 이므로 0291 23 6 =-3. 다음과 같다. - a=2.7, b=- 23 6 이때 다섯 개의 점 중 0을 나타내는 점과 가장 먼 점은 을 나타내는 점이 고, 가장 가까운 점은 -0.75를 나타내는 점이다. 23 6 - 따라서 절댓값이 가장 큰 수는 , 절댓값이 가장 작은 수는 -0.75이므로 c=- 23 6 , d=-0.75 ∴ aÖd+bÖc =2.7Ö(-0.75)+{- 23 6 }Ö{- 23 6 }   23 6 - 23 6 - 0292 ◇ 5 4 2 3 = 4 3 _ 10 3 -k 5 2 -k= 1 3 이때 4 3 ◇ 5 2 = 이므로 10 3 -k= 1 3 에서 ∴ k=3 1 3 - 9 3 =-3 10 -k = 3 =- 따라서 a ◇ b=a_b-3이므로 15 4 } ={- 12 5 }   {- {- ◇ =9-3=6 12 5 }_{- 15 4 }-3=+{ 12 5 _ 15 4 }-3 0293 1 2 }_{ 1- { 1 2 _{- = 0294 1 1 12 + 6 + y 1- _{ }_ 1 30 }  1- }_{ 1 3 -1 3 2 4 _{- 3 }_ 1 4 }_{ 4 5 }_ y 1 5 -1 29 30 = _ [ 1 30 음수가 14개 1 20 + 1 30 + 1 42 1 2_3 + 1 1 3 }+{ 2 - 1 3_4 + 1 3 - 1 4_5 + 1 4 }+{ 1 5_6 + 1 1 5 }+{ 4 - 1 6_7 1 5 - = ={ 1 6 }+{ 1 6 - 1 7 } 34 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 답 6 답 1 30 27 10 Ö{- = 27 10 _ =-{ 18 5 + =- 75 100 }+1= 100 75 }+1=- 13 5 5 5 =- 27 10 _{- 100 75 }+1 18 5 +1 답 - 13 5 0297 1 2 +[{- 1 3 }+{+ 1 3 }]+ y = +[{- 1 6 }+{+ 1 6 }]- 1 7 1 2 - 1 7 = 7 14 - 2 14 = 5 14 = 본문 075쪽 답 5 14 유형 22. 수직선에서 두 점 사이의 점 0295 두 점 A, P 사이의 거리는 1 4 } = 13 13 15 8 -{- 8 + 8 따라서 점 B는 점 P에서 오른쪽으로 15 8 13 8 + 1 4 = 2 8 = 점 B가 나타내는 수는 13 8 + 15 8 28 8 = 7 2 = 0296 (1) 두 점 A, B 사이의 거리는 25 12 + 25 12 -{- 5 4 } = (2) 두 점 A, B 사이의 거리가 10 3 5 4 = 2 5 = 10 3 _ 4 3 (3) 점 C는 점 A에서 오른쪽으로 4 3 5 4 + 4 3 =- 15 12 + 16 12 = 1 12 - 만큼 떨어져 있으므로 답 ③ 25 12 + 15 12 = 40 12 = 10 3 이므로 두 점 A, C 사이의 거리는 만큼 떨어져 있으므로 점 C가 나타내는 수는 답 (1) 10 3 (2) 4 3 (3) 1 12 다섯 개의 수 3 5 , x, y, 9 4 - , z를 수직선 위에 나타내면 다음과 같다. (cid:14) (cid:20) (cid:22) (cid:89) (cid:90) (cid:91) (cid:26) (cid:21) 두 수 3 5 , 9 4 - 를 나타내는 두 점 사이의 거리는 9 4 -{- 3 5 } = 9 4 + 3 5 = 45 20 + 12 20 = 57 20 이므로 이웃하는 두 점 사이의 거리는 57 20 _ 1 3 = 19 20 따라서 x를 나타내는 점은 을 나타내는 점에서 3 5 - 오른쪽으로 19 20 만큼 떨어져 있으므로 12 20 + 19 20 = 7 20 x =- 3 19 5 + 20 =- y를 나타내는 점은 9 4 를 나타내는 점에서 왼쪽으로 19 20 만큼 떨어져 있으므로 19 20 = 26 20 y = 9 4 - 19 45 20 = 20 - z를 나타내는 점은 9 4 z = 9 4 + 19 20 = 45 20 + 19 20 = 64 20 를 나타내는 점에서 오른쪽으로 19 20 만큼 떨어져 있으므로 ∴ x+y+z = 7 20 + 26 20 + 64 20 = 97 20 답 97 20 0298 네 수 7 12 , x, 1 4 - , y를 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다. (cid:14) (cid:24) (cid:18)(cid:19) (cid:89) (cid:90) (cid:18) (cid:21) 두 수 7 12 , 1 4 - 을 나타내는 두 점 사이의 거리는 1 4 -{- 7 12 } = 1 4 + 7 12 = 3 12 + 7 12 = 10 12 = 5 6 이므로 이웃하는 두 점 사이의 거리는 5 6 _ 1 2 = 5 12 따라서 x를 나타내는 점은 을 나타내는 점에서 7 12 - 오른쪽으로 5 12 만큼 떨어져 있으므로 x =- 7 5 12 + 12 =- y를 나타내는 점은 1 4 2 12 =- 1 6 을 나타내는 점에서 오른쪽으로 5 12 만큼 떨어져 있으므로 y = 1 4 + 5 12 = 3 12 + 5 12 = 8 12 = 2 3 ∴ |x|+|y| =|- 1 6 |+| 2 3 |= 1 6 + 2 3 = 1 6 + 4 6 = 5 6 답 ③ 0299 조건 (다)에 의하여 수직선에서 a에 대응하는 점과 0에 대응하는 점 사이의 거리는 b에 대응하는 점과 0에 대응하는 점 사이의 거리의 2배이다. 조건 (나)에서 a<b이므로 두 조건 (나), (다)를 만족하기 위해서는 두 수 a, b를 수직선에 나타내었을 때 다음 두 개의 그림 중 하나와 같아야 한다. (cid:66) (cid:17) (cid:67) (cid:66) (cid:67) Ú a<0, b>0일 때 조건 (가)에 의하여 두 수 a, b에 대응하는 두 점 사이의 거리는 12이므로 두 수 0, b에 (cid:17) (cid:18)(cid:19) (cid:66) (cid:25) (cid:17) (cid:67)(cid:21) 1 3 =4 대응하는 두 점 사이의 거리는 12_ 또한 두 수 0, a에 대응하는 두 점 사이의 거리는 4_2=8이므로 a=-8, b=4 Û a<0, b<0일 때 조건 (가)에 의하여 두 수 a, b에 대응하는 (cid:19)(cid:21) 두 점 사이의 거리는 12이므로 두 수 0, b에 대응하는 두 점 사이의 거리는 12이고, 두 (cid:66) (cid:18)(cid:19) (cid:67) (cid:18)(cid:19) (cid:17) 수 0, a에 대응하는 두 점 사이의 거리는 24이다. ∴ a=-24, b=-12 Ú, Û에 의하여 b=4 또는 b=-12이므로 구하는 합은 4+(-12)=-8 Ⅱ - 0 3 . 유 리 수 의 계 산 본문 077쪽 0301 ①, ②, ③ (-3)_(-10)-(-3)_(+6)=48에서 (-3)_(-10)은 3분 전 노란 애벌레의 위치, (-3)_(+6)은 3분 전 초록 애벌레의 위치이다. 따라서 3분 전 두 애벌레 사이의 거리를 3분 전 두 애벌레의 위치의 차를 이용하여 구했다. 이때 3분 전 노란 애벌레의 위치인 (-3)_(-10)에서 -3은 3분 전, -10은 오른쪽에서 왼쪽으로 1분에 10 cm씩 움직이는 것을 나타낸다. 3분 전 초록 애벌레의 위치인 (-3)_(+6)에서 +6은 왼쪽에서 오른쪽으로 1분에 6 cm씩 움직이는 것을 나타낸다. 따라서 3분 전을 -3은 3분 전, -3, 왼쪽에서 오른쪽으로 가는 방향을 + ④ 3분 전 노란 애벌레의 위치는 (-3)_(-10)=30이다. 로 표현하였다. 따라서 3분 전에 노란 애벌레는 원점에서 오른쪽으로 30 cm 떨어진 지점 ⑤ 2분 후 초록 애벌레의 위치는 (+2)_(+6)=12이다. 따라서 2분 후에 초록 애벌레는 원점에서 오른쪽으로 12 cm 떨어진 지점 따라서 이 식을 잘못 이해한 학생은 ⑤ 종현이다. 답 ⑤ 에 있었다. 에 있게 된다. 0302 이산화탄소 배출량은 온실 가스 배출량인 3.7톤의 76 %이므로 3.7_ 이때 이산화탄소 배출량을 15 % 줄이므로, 줄어드는 이산화탄소 배출량은 (톤) 76 100 3.7_ { 76 100 }_ 15 100 =3.7_ 76 100 _ 15 100 (톤) 따라서 전체 온실가스 배출량 3.7톤에서 3.7_ 76 100 _ 15 100 (톤)이 줄어드므로 (줄어드는 온실가스 배출량) (전체 온실가스 배출량) _100 = 3.7_;1¦0¤0;_;1Á0°0; 3.7 _100 76 100 _ 15 100 _100= 76_15 100 = 57 5 =11.4(%) = 따라서 전체 온실가스 배출량은 11.4 % 줄어든다. 답 11.4 % 0303 (1) 옷 30벌을 정가 15000원에 팔아서 얻은 이익은 6000_30=180000(원) (2) 정가 15000원에서 30 % 할인한 금액은 30 100 =15000-4500=10500(원) 15000-15000_ 옷 한 벌 당 10500원일 때 원가는 9000원이므로 옷 한 벌을 팔 때 얻는 이익은 10500-9000=1500(원) 따라서 옷 100-30=70(벌)을 한 벌 당 10500원에 팔아서 얻은 이익은 1500_70=105000(원) (3) (1), (2)에 의하여 전체 이익은 180000+105000=285000(원) 답 (1) 180000원 (2) 105000원 (3) 285000원 답 ① 0304 유형 23. 유리수의 계산의 활용 0300 A팀은 승리 6번, 득점이 있는 무승부 3번, 득점이 없는 무승부 2번, 패배 5번을 하였으므로 A팀의 점수는 6_(+4)+3_(+0.5)+2_0+5_(-2)=24+1.5+0-10=15.5(점) 답 15.5점 (1) 은서가 만든 개구리는 에서 출발하여 오른쪽으로 3 2 - 한 번에 A만큼씩 5번을 뛰어 7 6 에 도착했으므로 에서 7 6 - 3 2 +A_5= 3 7 6 + 2 A_5= 출발 (cid:34) (cid:14) (cid:20) (cid:19) 도착 (cid:24) (cid:23) Ⅱ. 정수와 유리수 03. 유리수의 계산 35 에서 출발하여 왼쪽으로 또 A_BÖC가 최솟값을 가지려면 음수는 1개 선택하고 양수는 모두 포함 A_5= 7 6 + 9 6 = 16 6 = 8 3 = ∴ A 8 3 _ 8 3 Ö5= 세현이가 만든 개구리는 1 5 1 5 = 8 15 한 번에 B만큼씩 4번을 뛰어 에 도착했으므로 32 15 1 5 -B_4=- 32 15 - -B_4=- 1 5 32 15 - 도착 (cid:35) (cid:14) (cid:20)(cid:19) (cid:18)(cid:22) 출발 (cid:18) (cid:22) -B_4 =- 32 15 - 3 15 =- 35 15 =- 7 3 7 3 }_ 1 4 7 3 }Ö4={- 1 7 4 }=- 3 _ 7 12 -B ={- =-{ ∴ B= 7 12 (2) A= 8 15 = 32 60 , B= 7 12 = 35 60 이므로 A<B이다. 따라서 세현이가 우승하였다. 답 (1) A= , B= (2) 세현 8 15 7 12 백점 도전하기 0305 유형 21 73쪽 1 n+1 n(n+1) = 1 n - 1 을 이용하기 위해 주어진 식을 변형하면 1 2 + 1 6 + 1 12 + 1 20 + 1 30 + 1 42 + 1 56 + 1 72 + 1 90 }Ö 3 20 { { = 1_2 + 2_3 + 1 4_5 + 1 1 1 6_7 + 7_8 + 1 3_4 + 1 n(n+1) = 1 1 4 + 4 - 1 3 - 5_6 + 1 n+1 1 n - 에 n=3을 대입하면 1 5 + 1 5 - 1 6 + 1 6 - 1 7 + 1 8_9 1 3 - 1 4 1 3_4 = 1 1 7 - 8 + 1 8 1 1 1 3 20 + 9_10 }Ö { 1- = 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 9 + 1 9 - 1 10 }Ö - 3 20 1과 1 10 - 을 제외하고 모두 소거 돼. 1- ={ 1 10 }Ö 3 20 9 10 _ 20 3 =6 = 0306 유형 17 68쪽 네 수 중 두 수가 음수이므로 A_BÖC가 최댓값을 가지려면 본문 079쪽 A_BÖC ={- 5 3 }_4Ö{- 5 3 _4_ 6 5 }=8 =+{ 5 6 }={- 5 3 }_4_{- 6 5 }    해야 한다. Ü 1 2 , 4, - 5 3 를 선택하는 경우 A_BÖC를 계산했을 때 결과값이 음수가 되어야 하기 때문이야. C는 절댓값이 가장 작은 수이어야 하므로 C= 이고, A_BÖC =4_{- 5 3 }_2 5 3 }Ö 5 3 _2 1 2 =4_{- 40 3 }=- =-{ 4_ Ý 1 2 , 4, - 5 6 를 선택하는 경우 C는 절댓값이 가장 작은 수이어야 하므로 C= 이고, A_BÖC =4_{- 5 6 }_2 5 6 }Ö 5 6 _2 1 2 =4_{- 20 3 }=- =-{ 4_ 1 2 1 2 Ú~Ý에 의하여 A_BÖC의 최댓값은 8, 최솟값은 이다. 40 3 - 따라서 구하는 곱은 8_{- 40 3 }=- 320 3 답 - 320 3 0307 유형 20 71쪽 b+c<0, c>0이므로 b<0 b<0, |b|É3이므로 b의 값이 될 수 있는 정수는 이때 a_b_c=0이고 b+0, c+0이므로 a=0이다. Ú b=-3일 때 b+c<0에 b=-3을 대입하면 ∴ c<3 -3+c<0 -3, -2, -1이다. a_b_c=0이 되려면 a, b, c 중 적어도 하나는 0이 되어야 해. b와 c 가 0이 아니므로 a가 0이어야겠지? 이때 c>0이므로 c의 값이 될 수 있는 정수는 1, 2이다. 따라서 가능한 a, b, c의 값을 (a, b, c)의 형태로 나타내면 (0, -3, 1), (0, -3, 2)이다. Û b=-2일 때 b+c<0에 b=-2를 대입하면 이때 c>0이므로 c의 값이 될 수 있는 정수는 1이다. -2+c<0 ∴ c<2 따라서 가능한 a, b, c의 값을 (a, b, c)의 형태로 나타내면 (0, -2, 1)이다. 답 6 Ü b=-1일 때 b+c<0에 b=-1을 대입하면 ∴ c<1 -1+c<0 이때 c>0이므로 가능한 c의 값은 없다. 음수 2개를 모두 선택해야 한다. Ú - 5 3 , - 5 6 , 1 2 을 선택하는 경우 A_BÖC를 계산했을 때 결과값이 양수가 되어야 하기 때문이야. Ú~Ü에 의하여 가능한 a, b, c의 값을 (a, b, c)의 형태로 모두 나타내면 -2, 1)이다. -3, 1), (0, -3, 2), (0, (0, 답 (0, -3, 1), (0, -3, 2), (0, -2, 1) C는 절댓값이 가장 작은 수이어야 하므로 C= 이고, 1 2 A_BÖC ={- 5 3 }_{- 5 6 }Ö 1 2 5 3 }_{- ={- 5 3 _ 5 6 _2 =+{ 5 6 }_2 25 9 }= Û - 5 3 , - 5 6 , 4를 선택하는 경우 C는 절댓값이 가장 작은 수이어야 하므로 C=- 이고, 5 6 36 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 0308 유형 21 73쪽 5 6 } 10 3 - _[{- ={ A 2 3 3 2 } Ö 45 4 - 5 2 ]    2 20 6 - 5 6 } ={ _[{- 27 8 }_ 4 45 - 5 2 ]={ 15 6 } 2 _{- 3 10 - 5 2 }    2 5 2 } ={ _{- 3 10 - 25 10 }= 25 4 _{- 28 10 }=- 35 2 B =(-1)99 _6Ö0.25+{- 25 100 + 4 9 _{ =(-1)_6Ö 2 2 3 } _{ 5 3 - 1 6 }    10 6 - 1 6 }=(-1)_6_ 100 25 + 4 9 _ 9 6 본문 080쪽 채점기준 ② | 30% =-{ 1_6_ 100 25 }+ 2 3 =-24+ 2 3 =- 이때 A, B는 음수이므로 A_x, B_x가 자연수가 되기 위해서는 x는 음수 이어야 한다. 2 3 =- 72 3 + 70 3 음수와 음수를 곱하면 양수가 되기 때문이야. 따라서 x는 음의 유리수이므로 x=- b a (a, b는 서로소인 자연수)로 나타낼 수 있다. 35 2 }_{- ={- A_x 가 자연수이므로 a는 35의 약수, b는 2의 배수이다. b a }= 35 2 _ b a 2가 약분되어 없어져야 하므로 b는 2의 배수가 되어야 해. STEP ❷ a보다 b만큼 작은 수는 a-b임을 이용한다. 만큼 작은 수가 y이므로 (2) 4보다 3 2 - y=4-{- 3 2 }= 8 2 + 3 2 = 11 2 STEP ❸ 조건을 만족시키는 정수 k를 구한다. (3) x<|k|<y에서 7 4 <|k|< 11 2 이때 7 4 =1.75, 11 2 =5.5에서 1.75<|k|<5.5 따라서 |k|의 값이 될 수 있는 것은 2, 3, 4, 5이다. 70 3 }_{- ={- B_x 가 자연수이므로 a는 70의 약수, b는 3의 배수이다. b a }= 70 3 _ b a 따라서 a는 35와 70의 공약수, b는 2와 3의 공배수이다. b a 가 최대이기 위해서는 b a 이때 x=- 최소이어야 한다. 즉, a는 35와 70의 최대공약수이어야 하므로 a=35 b는 2와 3의 최소공배수이어야 하므로 b=6 의 최댓값은 따라서 x=- b a 6 35 - 이다. 서술형 격파하기 가 최소이어야 하므로, a는 최대, b는 분모가 클수록, 분자가 작을수록 분수는 작아져. 예제 1 유제 1 예제 2 예제 3 예제 4 (1) x1=;4&; , x2=;;°5¦;; (2) 10 (1) (2) ;4&; (3) -5, -4, -3, -2, 2, 3, 4, 5 ;;Á2Á;; 4 62 ;2#; 유제 2 유제 3 유제 4 33 11 그러므로 부등식을 만족시키는 정수 k는 -5, -3, -4, -2, 2, 3, 4, 5이다. (1) 7 4 (2) 11 2 답 채점기준 ③ | 40% (3) -5, -4, -3, -2, 2, 3, 4, 5 채점기준 ① x의 값을 구한다. ② y의 값을 구한다. ③ x<|k|<y를 만족시키는 정수 k를 모두 구한다. 30% 30% 40% Ⅱ - 0 3 . 유 리 수 의 계 산 예제 2 STEP ❶ 점 C와 점 D가 나타내는 수의 값으로부터 점 A와 점 B가 나타내는 답 ② 수를 각각 구한다. 수직선에서 점 C는 0보다 왼쪽에 있고, 절댓값이 9 5 이므로 점 C가 나타내는 수는 이다. 9 5 - 또한 수직선에서 점 D는 0보다 오른쪽에 있고, 절댓값이 1 3 이므로 점 D가 나타내는 수는 1 3 이다. 이때 점 A는 점 C보다 왼쪽에 있고, 두 점 A, C 사이의 거리가 2 3 이므로 -;1°2; (점 A가 나타내는 수) 9 5 - 2 3 =- 27+10 15 =- 37 15 =- 예제 1 STEP ❶ a보다 b만큼 큰 수는 a+b, a보다 b만큼 작은 수는 a-b임을 이용한다. (1) 5보다 만큼 큰 수가 x1이므로 13 4 - 채점기준 ① | 40% 점 B는 점 D보다 오른쪽에 있고, 두 점 B, D 사이의 거리가 6 5 이므로 (점 B가 나타내는 수) 1 3 + 6 5 = 5+18 15 = 23 15 = 채점기준 ② | 40% 채점기준 ① | 50% 답 x1=5+{- 7 5 10보다 - 13 4 }= 20 4 - 13 4 = 7 4 만큼 작은 수가 x2이므로 x2=10-{- 7 5 }=10+ 7 5 = 50 5 + 7 5 = 57 5 STEP ❷ x1, x2를 각각 소수로 나타낸 후 k의 값을 구한다. (2) x1= 7 4 =1.75, x2= 57 5 =11.4이므로 x1<k<x2를 만족시키는 자연수 k는 2, 3, 4, y, 10, 11로 10개이다. 채점기준 ② | 50% 답 (1) x1= , x2= 7 4 57 5 (2) 10 채점기준 ① x1, x2의 값을 각각 구한다. ② x1<k<x2를 만족시키는 자연수 k의 개수를 구한다. 50% 50% 유제 1 STEP ❶ a보다 b만큼 큰 수는 a+b임을 이용한다. 만큼 큰 수가 x이므로 (1) 3보다 5 4 - x=3+{- 5 4 }= 12 4 - 5 4 = 7 4 채점기준 ① | 30% STEP ❷ 두 점 A, B 사이의 거리를 구한다. 따라서 두 점 A, B 사이의 거리는 23 15 -{- 37 15 }= 60 15 = 4 채점기준 ① 점 A가 나타내는 수를 구한다. ② 점 B가 나타내는 수를 구한다. ③ 두 점 A, B 사이의 거리를 구한다. 유제 2 STEP ❶ 주어진 조건을 수직선 위에 나타낸다. 주어진 조건을 수직선 위에 나타내면 (cid:21)(cid:19) (cid:36) (cid:38) (cid:18)(cid:26) (cid:37) (cid:34) (cid:18)(cid:24) (cid:35) (cid:18)(cid:24) (cid:19)(cid:19) (cid:39) 이때 두 점 A와 E 사이의 거리는 42 두 점 A와 B 사이의 거리와 두 점 B와 D 사이의 거리가 모두 17이므로, 두 점 D와 E 사이의 거리는 42-17-17=8 채점기준 ③ | 20% 4 40% 40% 20% 채점기준 ① | 20% Ⅱ. 정수와 유리수 03. 유리수의 계산 37 본문 082쪽 채점기준 ① | 70% 채점기준 ② | 30% 11 70% 30% ∴ a-b=5-(-4)=9 또는 a-b=5-(-6)=11 Ú, Û에서 a-b의 최댓값은 11이다. 답 채점기준 ① 경우를 나누어 a-b의 값을 구한다. ② a-b의 최댓값을 구한다. 예제 4 STEP ❶ C 를 간단히 한다. 2 3 4 5 2 3 C 4 5 2 3 +{ 4 5 - 2 3 }Ö 4 5 = 2 3 +{ 12 15 - 10 15 }Ö 4 5 = 2 3 + 2 15 Ö 4 5 = 채점기준 ③ | 40% 2 3 + 2 15 _ 5 4 = 2 3 + 1 6 = 4 6 + 1 6 = 5 6 = 채점기준 ① | 50% STEP ❷ STEP ❶에서 구한 값을 이용하여 주어진 식의 값을 구한다. ∴ {- 5 2 } C { 2 3 C 4 5 } ={- 5 2 } C 5 6 ={- 5 2 }+[ 5 6 -{- 5 2 }]Ö 5 6 5 2 }+{ 5 6 + 5 2 }Ö 5 6 ={- 5 2 }+{ 5 6 + 15 6 }Ö 5 6 ={- 5 2 }+ 20 6 Ö 5 6 ={- 5 2 }+ 20 6 _ 6 5 ={- 5 2 }+4=- 5 2 + 8 2 = 3 2 ={- 채점기준 ② | 50% 3 2 50% 50% 답 채점기준 ① 2 3 C 4 5 를 계산한다. ② 주어진 식의 값을 구한다. 유제 4 STEP ❶ {- 3 1 2 } _(-2)2과 {- 1 8 }_4=-{ 1 9 Ö{- _(-2)2 1 6 }_(-1)101 = ={- Ö{- 3 1 2 } 2 1 3 } {- {- 1 2 }=- 1 8 _4 1 6 }_(-1)= 2 1 3 } Ö{- 1 6 }_(-1)101을 각각 계산한다. 1 9 _6_1 }= 2 3 =+{ 1 9 _(-6)_(-1) 채점기준 ① | 50% 채점기준 ① | 70% -56이므로 채점기준 ② | 30% STEP ❷ STEP ❶을 이용하여 주어진 식의 값을 구한다. ∴ [{- 3 1 2 } _(-2)2 ] ★ [{- 2 1 3 } Ö{- 62 ★ 2 1 2 } 3 ={- 1 2 }Ö 2 3 -{- ={- 1 2 _ 3 2 }+ 1 3 =- 3 4 + 1 3 =- 9 12 + 4 12 =- 5 12 =-{ 1 6 }_(-1)101 1 2 }_ 2 3 ={- ]  1 2 }_ 3 2 + 1 2 _ 2 3   답 채점기준 ① {- 3 1 2 } _(-2)2과 {- 2 1 3 } Ö{- 1 6 }_(-1)101을 각각 계산한다. ② 주어진 식의 값을 구한다. 채점기준 ② | 50% - 5 12 50% 50% (cid:21)(cid:19) (cid:34) (cid:18)(cid:24) (cid:35) (cid:36) (cid:18)(cid:24) (cid:37) (cid:25) (cid:38) 또한, 두 점 C와 E 사이의 거리는 19이고 두 점 D와 E 사이의 거리는 8이므로 두 점 C와 D 사이의 거리는 19-8=11 (cid:18)(cid:26) (cid:36) (cid:18)(cid:18) (cid:37) (cid:25) (cid:38) 채점기준 ② | 40% STEP ❷ 두 점 C, F 사이의 거리가 두 점 C, D 사이의 거리와 두 점 D, F 사 이의 거리의 합과 같음을 이용한다. 따라서 두 점 C와 F 사이의 거리는 두 점 C와 D 사이의 거리와 두 점 D와 F 사이의 거리의 합과 같으므로 11+22=33 (cid:19)(cid:19) (cid:36) (cid:18)(cid:18) (cid:37) (cid:38) (cid:39) 답 채점 기준 ① 주어진 조건을 수직선 위에 나타낸다. ② 두 점 D와 E 사이의 거리와 두 점 C와 D 사이의 거리를 구한다. ③ 두 점 C와 F 사이의 거리를 구한다. 33 20% 40% 40% 예제 3 STEP ❶ a, |a+b|의 값에 따라 경우를 나누어 a_b의 값을 구한다. a_|a+b|=7에서 |a+b|>0이므로 a>0이다. 또한 a, b가 정수이므로 |a+b|도 정수이다. 따라서 7을 두 양의 정수의 곱으로 나타내면 1_7이므로 Ú a=1, |a+b|=7일 때 a+b=7 또는 a+b=-7이므로 1+b=7 또는 1+b=-7 ∴ b=6 또는 b=-8 ∴ a_b=1_6=6 또는 a_b=1_(-8)=-8 Û a=7, |a+b|=1일 때 a+b=1 또는 a+b=-1이므로 7+b=1 또는 7+b=-1 ∴ b=-6 또는 b=-8 ∴ a_b=7_(-6)=-42 또는 a_b=7_(-8)=-56 Ú, Û에 의하여 a_b의 값 중 가장 큰 값은 6, 가장 작은 값은 그 차는 6-(-56)=6+56=62 답 채점 기준 ① 경우를 나누어 a_b의 값을 구한다. ② a_b의 값 중 가장 큰 값과 가장 작은 값의 차를 구한다. 70% 30% 유제 3 STEP ❶ a, |a+b|의 값에 따라 경우를 나누어 a-b의 값을 구한다. a_|a+b|=5에서 |a+b|>0이므로 a>0이다. 또한 a와 b가 정수이므로 |a+b|도 정수이다. 따라서 5를 두 양의 정수의 곱으로 나타내면 1_5이므로 Ú a=1, |a+b|=5일 때 a+b=5 또는 a+b=-5이므로 1+b=5 또는 1+b=-5 ∴ b=4 또는 b=-6 ∴ a-b=1-4=-3 또는 a-b=1-(-6)=7 Û a=5, |a+b|=1일 때 a+b=1 또는 a+b=-1이므로 5+b=1 또는 5+b=-1 ∴ b=-4 또는 b=-6 38 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 04 문자와 식 0309 ② 0310 ③ 0311 ② 0312 ④ 0313 3a+ ;cB; 0314 ③ 0315 ② 0316 ⑤ 0317 ③ 0318 ④ 0319 풀이 참조 0320 ㄷ, ㄹ 0321 풀이 참조 0322 풀이 참조 0323 ② 0324 98n+294 0325 풀이 참조 0326 풀이 참조 0327 ④ 0328 ⑤ 0329 풀이 참조 0330 ④ 0331 풀이 참조 0332 ② 0333 ③ 0334 ④ 0335 풀이 참조 0336 풀이 참조 0337 풀이 참조 0338 ⑤ 0339 ①, ④ 0340 ③ 0341 ② 0342 (ㄴ), -50 0343 ③ 0344 풀이 참조 0345 ③ 0346 ④ 0347 0348 ⑤ ;;ª3¼;; 0349 -9 0350 ;;¦1ª8°;; 0351 -18 0352 풀이 참조 0353 ⑤ 0354 ② 0355 45 ¾ 0356 ② 0357 과체중 0358 ③ 0359 풀이 참조 0360 과체중 0361 풀이 참조 0362 풀이 참조 0363 풀이 참조 0364 ② 0365 4개 0366 ① 0367 ③ 0368 3 0369 ③ 0370 ③ 0371 ②, ④ 0372 -8 0373 ⑤ 0374 풀이 참조 0375 ④ 0376 ① 0377 ③ 0378 ③ 0379 ② 0380 ④ 0381 7 0382 ③ 0383 10 0384 ③ 0385 ③ 0386 풀이 참조 0387 풀이 참조 0388 ④ 0389 풀이 참조 0390 (4x-20)칸 0391 ⑤ 0392 -2x+6 0393 풀이 참조 0394 ③ 0395 ② 0396 ④ 0397 ④ 0398 0 0399 ①, ⑤ 0400 ① 0401 ①, ⑤ 0402 풀이 참조 0403 풀이 참조 0404 18 0405 16 0406 ;1@5*; x- ;;ª5Á;; 0407 11x+4y 0408 - ;2¦4; 0409 ① 0410 -3x+1 0411 2x-4 0412 ① 0413 ④ 0414 -4x+6y-10 0415 ④ 0416 ② 0417 ⑤ 0418 25 0419 풀이 참조 0420 ④ 유형 정복하기 유형 01. 곱셈 기호와 나눗셈 기호의 생략 0309 x_x_y_(-3)_y_y_x_y =(-3)_x_x_x_y_y_y_y=-3x3y4 0310 곱셈 기호를 생략하여 식을 정리하면 ① a_(-3)_a_b=(-3)_a_a_b=-3a2b ② 2_a_b_a_(-1)=2_(-1)_a_a_b=-2a2b ③ x_y_(-1)_x_x=(-1)_x_x_x_y=-x3y ④ x_2_y_y=2_x_y_y=2xy2 ⑤ x_y_0.1=0.1_x_y=0.1xy 0311 ① 3ÖaÖb=3_ 1 a _ 1 b = 3 ab 1 1 ② (-2)Öa+bÖ5=(-2)_ a +b_ 5 =- ③ a_a_a_a_aÖ(-1)=a5 _(-1)=-a5 2p ④ pÖq_ 3qr 2 3r =p_ 2 3r = 1 q _ 2 a + b 5 본문 088쪽 답 ② Ⅲ - 0 4 . 문 자 와 식 ⑤ m_m_m_mÖnÖn=m4 _ 1 n _ 1 n = m4 n2 0312 곱셈 기호와 나눗셈 기호를 생략하여 식을 정리하면 ㄱ. aÖbÖc=a_ ㄴ. aÖb_c=a_ 1 b _ 1 c = a bc 1 b _c= 1 c = ac b ab c ㄷ. a_bÖc=a_b_ b c =a_ ㄹ. aÖ(bÖc)=aÖ ㅁ. aÖ(b_c)=aÖbc=a_ ㅂ. a_(bÖc)=a_ b c = ab c c b = ac b 1 bc = a bc 와 같은 것을 모두 고르면 ㄴ, ㄹ이다. 답 ④ a_3+bÖc=3a+b_ 1 c =3a+ b c 답 3a+ b c =ab3 Ö(x+2y)=a_b_b_bÖ(x+2_y) 답 ③ 따라서 ac b 0313 0314 abÜ x+2y 0315 ㄱ. aÖ{- ㄴ. a_ 1 c Ö ab c b c }=- c b }=a_{- 1 1 c _b= b =a_ 1 b }=c_{- ab c ㄷ. cÖ(-a)_{- 1 a }_cÖ(-b)={- {- ㄹ. 1 a }_{- 1 b }= c ab 1 a }_c_{- 1 b }= c ab ㅁ. (-a)Ö(c_b)=(-a)Öbc=(-a)_ 따라서 계산 결과가 같은 것끼리 짝지어진 것은 ㄷ, ㄹ이다. 1 bc =- a bc 답 ② 0316 (-3)_(a-b)+aÖ(-2)_(x+y) 답 ② =-3(a-b)+a_{- 1 2 }_(x+y)=-3(a-b)- a(x+y) 2 답 ⑤ 0317 곱셈 기호와 나눗셈 기호를 생략하여 식을 정리하면 ㄱ. aÖ(-2)+b=a_{- 2 3 }_ 2 3 }ÖaÖb={- {- ㄴ. 1 2 }+b=- a 2 +b 2 3ab 1 a _ 1 b =- 답 ③ ㄷ. xÖy_ 1 5 =x_ 1 y _ 1 5 = x 5y ㄹ. x_(yÖz)_(-1)=x_ y z _(-1)=- xy z 2 Ö ㅁ. 5 5 2 _ 10 3 _x-y= 3 10 _x-y= 3 7 ㅂ. xÖ{- 7 }_y_0.3=x_{- 3 }_y_ 따라서 옳은 것을 모두 고르면 ㄴ, ㄷ, ㅂ이다. 3 4 x-y 3 10 =-0.7xy 답 ③ Ⅲ. 방정식 04. 문자와 식 39 본문 090쪽 (cid:35) (cid:22) (cid:34) (cid:36) (cid:89) (cid:39) (cid:90) (cid:38) (cid:37) (cid:19) = 1 2 _y_5+ 5 2 y+xy =x+ ∴ △ABC △CDE □ACEF + + 1 2 _x_2+x_y 답 x+ y+xy 5 2 0323 한 변의 길이가 a인 정사각형의 윗변의 길이를 25 % 줄이면 a-a_ 25 100 ={ 1- 1 4 } a= 3 4 a 아랫변의 길이를 25 % 늘이면 a+a_ 25 100 ={ 1+ 1 4 } a= 5 4 a 높이를 10 % 줄이면 a-a_ 10 100 ={ 1- 1 10 } a= 9 10 a ∴ (사다리꼴의 넓이) 1 2 _{(윗변의 길이)+(아랫변의 길이)}_(높이) 1 1 2 _2a_ 2 _{ a= a+ 9 10 9 10 }_ 3 4 5 4 a a = = 9 10 a2 = 답 ② 0324 한 모서리의 길이가 7인 정육면체의 겉넓이는 한 변의 길이가 7인 정사각형 6 개의 넓이의 합과 같으므로 72 _6=294 정육면체를 1번 자를 때마다 정사각형 모양의 단면은 2개씩 만들어지므로 n번 자를 때 만들어지는 각 직육면체의 겉넓이의 합은 294+2_n_72 =98n+294 답 98n+294 유형 04. 문자를 사용한 식 ; 가격, 속력, 농도 0325 필통의 할인 금액이 5500_ (5500-55x) 원 x 100 =55x (원)이므로 필통의 판매 가격은 답 (5500-55x)원 답 ㄷ, ㄹ 0326 (1) (거리)=(속력)_(시간)이므로 시속 120 km로 달리는 기차가 a시간 동안 달린 거리는 120_a=120a(km) (400-120a) km 0327 (2) A지점에서 B지점까지의 거리는 400 km이므로 남은 거리는 답 (1) 120a km (2) (400-120a) km (소금의 양)= (소금물의 농도) 100 _(소금물의 양)이므로 농도가 a %인 소금물 300 g에 들어 있는 소금의 양은 a 농도가 b %인 소금물 150 g에 들어 있는 소금의 양은 b 100 _300=3a (g) 100 _150= 3 2 b (g) 답 ④ 유형 02. 문자를 사용한 식 ; 비율, 단위, 수 0318 ① 2500원의 x %는 2500_ ② y원의 25 %는 y_ 25 100 = x 100 =25x (원) 1 4 y (원) ③ 두 과목 점수의 합은 (60+a)점이므로 두 과목의 평균 점수는 { 60+a 2 점 } 30 ④ b kg의 30 %는 b_ 100 =0.3b (kg)=300b (g) ⑤ 백의 자리의 숫자가 x, 십의 자리의 숫자가 y, 일의 자리의 숫자가 z인 세 자리 자연수는 x_100+y_10+z_1=100x+10y+z 답 ④ 0319 올해 증가한 남학생 수는 260_ a 100 = 13 5 a(명)이므로 올해 남학생 수는 { 260+ 13 5 a 명 }  올해 감소한 여학생 수는 350_ b 100 = 7 2 b(명)이므로 올해 여학생 수는 { 350- 7 2 b 명 }  따라서 올해 전체 학생 수는 260+ { 13 5 a }+{ 350- b }=610+ 7 2 13 5 a- 7 2 b (명) 답 { 610+ 13 5 a- 7 2 b 명 }  유형 03. 문자를 사용한 식 ; 도형 0320 ㄱ. 한 변의 길이가 x cm인 정사각형의 넓이는 x_x=x2 (cm2) ㄴ. 밑변의 길이가 x cm, 높이가 y cm인 삼각형의 넓이는 x_y_ 1 2 = 1 2 xy (cm2) ㄷ. 한 변의 길이가 x cm인 정삼각형의 둘레의 길이는 3_x=3x (cm) ㄹ. (사다리꼴의 넓이)= 1 2 _{(윗변의 길이)+(아랫변의 길이)}_(높이) 이므로 1 2 _(x+y)_z= 따라서 옳은 것을 모두 고르면 ㄷ, ㄹ이다. (x+y)z 2 (cm2) 0321 (cid:20)(cid:68)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:19)(cid:67)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:66)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 직육면체에서 마주보는 두 직사각형의 넓이는 같으므로 주어진 직육면체의 겉넓이는 2(a_2b+2b_3c+3c_a)=4ab+12bc+6ca (cm2) (직육면체의 부피)=(가로의 길이)_(세로의 길이)_(높이) 이므로 주어진 직육면체의 부피는 a_2b_3c=6abc (cm3) 답 겉넓이 : (4ab+12bc+6ca) cm2, 부피 : 6abc cm3 각형 ACEF의 넓이의 합과 같다. 40 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 0322 주어진 도형의 넓이는 다음 그림과 같이 두 삼각형 ABC, CDE의 넓이와 사 따라서 구하는 소금의 양은 { 3a+ g이다. b }  3 2 0328 ① A 아울렛에서 정가가 a원인 상품을 40 % 할인한 가격은 40 100 ={ a-a_ 여기서 추가로 30 % 할인한 가격은 a= 1- a (원) 2 5 } 3 5 3 5 3 5 a- a_ 1- ② B 아울렛에서 정가가 a원인 상품을 60 % 할인한 가격은 a=0.42a (원) a { 3 10 }= 21 50 30 100 = 3 5 2 5 60 100 ={ 3 5 } 1- a= a=0.4a (원) a-a_ ③ 두 아울렛의 정가가 a원인 상품의 구입 가격의 차는 0.42a-0.4a=0.02a (원) ④ B 아울렛에서 정가가 2000원인 상품의 구입 가격은 2000_0.4=800 (원) ⑤ 정가가 10000원인 상품을 구입할 경우 B 아울렛에서 A 아울렛보다 10000_0.02=200 (원) 더 싸게 구입할 수 있다. 답 ⑤ 0329 (1) 평상시에 판매되는 감자 한 상자의 가격은 x+x_ 20 100 ={ 1+ 1 5 } x= 6 5 x (원) (2) 1주년 행사에서 판매되는 감자 한 상자의 가격은 6 5 x- x_ 6 5 25 100 = 6 5 x 1- { 1 4 }= 6 5 x_ 3 4 = 9 10 x (원) 할인마트 1주년 행사 날에 희선이가 감자 두 상자를 사고 지불한 금액은 9 10 x_2= 9 5 x (원) (3) 평상시에 판매되는 삼겹살 한 근의 가격은 y원이므로 1주년 행사에서 판매되는 삼겹살 한 근의 가격은 y-y_ 30 100 ={ 1- 3 10 } y= 7 10 y (원) 따라서 할인마트 1주년 행사 날에 희선이가 삼겹살 세 근을 사고 지불한 본문 092쪽 Ⅲ - 0 4 . 문 자 와 식 새로 만든 소금물의 농도는 2a+5b 200+500 _100= 2a+5b 7 (%) 답 (1) (2a+5b)g (2) { 2a+5b 7 % } 유형 05. 문자를 사용한 식; 종합 0332 ① 한 모서리의 길이가 a cm인 정육면체의 부피는 a_a_a=a3(cm3) ② 반지름의 길이가 r cm인 원의 넓이는 (원주율)_(반지름의 길이)2 ③ 원가가 2500원인 물건에 a %의 이익을 붙인 정가는 =3.14r2 (cm2) a 100 =2500+25a (원) 2500+2500_ ④ (거리)=(시간)_(속력)이므로 시속 a km로 20분 동안 이동한 거리는 (km) 20 60 _a= a 3 (소금물의 농도) ⑤ (소금의 양)= 100 농도가 30 %인 소금물 a g에 들어 있는 소금의 양은 _(소금물의 양)이므로 30 100 _a=0.3a (g) 답 ② 0333 ㄱ. 3개 과목의 평균 점수가 x점이면 3개 과목의 총점은 3_x=3x (점) ㄴ. (설탕의 양)= _(설탕물의 양)이고, (설탕물의 농도) 100 0.7 kg =700 g이므로 농도가 a %인 설탕물 0.7 kg에 들어 있는 설탕의 양 은 a 100 _700=7a (g) (거리) (시간) ㄷ. (속력)= 이고, a km =1000a m이므로 a km를 100초에 달리는 사람의 속력은 초속 1000a 100 =10a (m) ㄹ. B일 동안 읽은 소설책의 쪽수는 13_B=13B (쪽)이므로 남은 쪽수는 ㅁ. 국어, 과학 점수의 총점은 (a+b) 점이므로 두 과목의 평균 점수는 a+b { 2 }  점 0334 답 (1) 6 5 x 원 (2) 9 5 x 원 (3) 21 10 y 원 (A-13B) 쪽 금액은 7 10 y_3= 21 10 y (원) 0330 (시간)= (거리) (속력) 시간이다. 13 x 이때 가는 도중에 20분, 즉 20 60 13 x + 20 60 = 13 x + 1 3 (시간) 0331 이므로 시속 x km로 13 km를 가는 데 걸린 시간은 따라서 옳은 것을 모두 고르면 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다. 답 ③ 시간 동안 휴식을 취했으므로 A지점에서 B지점까지 가는 데 걸린 전체 시간은 a ① 3000원의 a %는 3000_ 100 =30a(원) ② 한 변의 길이가 x cm인 정삼각형의 둘레의 길이는 3_x=3x (cm) ③ 소수점 왼쪽의 수가 0이고, 소수점 아래 첫째 자리의 숫자가 a, 소수점 아 답 ④ (1) (소금의 양)= (소금물의 농도) 100 _(소금물의 양)이므로 농도가 a %인 소금물 200 g에 들어 있는 소금의 양은 a 100 _200=2a (g) 농도가 b %인 소금물 500 g에 들어 있는 소금의 양은 b 100 _500=5b (g) 따라서 새로 만든 소금물에 들어 있는 소금의 양은 (2a+5b) g (2) (소금물의 농도)= (소금의 양) (소금물의 양) _100이므로 래 둘째 자리의 숫자가 b인 수는 1 10 _a+ 1 100 _b= a 10 + b 100 ④ 3개에 200원인 물건 1개의 가격은 200 3 x개 샀을 때 지불해야 하는 금액은 200 원이므로 3 _x= 200x 3 (원) 따라서 4000원을 냈을 때의 거스름돈은 { 4000- 200x 3 원 }  ⑤ a자루에 800원인 볼펜 한 자루의 가격은 800 a 원 답 ④ 0335 전체 학생이 받은 수학 성적의 합은 (13x+20y)점이므로 전체 학생 33명의 Ⅲ. 방정식 04. 문자와 식 41 수학 성적의 평균은 { 13x+20y 33 점 }  답 { 13x+20y 33 점 } 20 60 _x= x 3 (km) 본문 094쪽 ㄹ. 십의 자리의 숫자가 a, 일의 자리의 숫자가 3인 두 자리의 자연수는 10_a+3=10a+3 ㅁ. 5권에 x원인 공책 1권의 가격은 x 5 원, 6자루에 y원인 연필 1자루의 가격 은 y 6 원이므로 공책 3권과 연필 5자루의 가격은 x 5 _3+ y 6 _5= 3x 5 + 5y 6   (원) 따라서 옳은 것을 모두 고르면 ㄴ, ㅁ이다. 답 ③ 0341 ① 한 모서리의 길이가 x cm인 정육면체의 겉넓이는 한 변의 길이가 x cm인 정사각형 6개의 넓이의 합과 같다. 따라서 정육면체의 겉넓이는 6x2 cm2이다. ② (시간) (거리) (속력) = 이므로 분속 20 m로 x m 가는 데 걸리는 시간은 x 20 분, 분속 45 m로 y m 가는 데 걸리는 시간은 y 45 분이다. 따라서 걸린 시간의 합은 { x 20 + y 45 }  분이다. ③ 정가가 2500원인 필통을 x % 할인하여 구입하면 지불할 금액은 2500-2500_ x 100 =2500-25x (원)   ④ 볼펜 한 자루의 가격이 x 7 원이므로 볼펜 y자루의 가격은 x 7 _y= xy 7 (원) 따라서 a원을 냈을 때의 거스름돈은 { a- xy 7 }  원이다. ⑤ 길이가 x cm인 끈을 4등분했을 때 3개의 길이는 x_ 또 길이가 y cm인 끈을 5등분했을 때 2개의 길이는 y_ 따라서 길이의 합은 { 3 4 x+ 2 5 y } cm이다. x (cm) 3 4 1 4 _3= 1 5 _2= 2 5 y (cm) 답 ② 유형 06. 식의 값 구하기 0342 처음으로 틀린 부분은 (ㄴ)으로 바르게 계산하면 다음과 같다. -2x2 =(-2)_25=-50 =(-2)_(-5)2 답 (ㄴ), -50 ① -0.8=- 8 10 =- 4 5 이므로 -0.8의 역수는 - 이다. 5 4 ② 2 a =2Öa=2Ö{- ③ |a|É3인 정수 a의 값은 1 3 }=2_(-3)=-6 -2, -3, -1, 0, 1, 2, 3이므로 모든 정수 a의 값 ④ ⑤ -xy-3=-(-2)_1-3=2-3=-1 -2, -4보다 큰 모든 음의 정수는 (-3)_(-2)_(-1)=-6 따라서 가장 큰 수인 것은 ③이다. -3, -1이므로 구하는 곱은 답 ③ 0344 x=-2, y=5를 주어진 식에 대입하면 (1) -x+y=-(-2)+5=2+5=7 =(-2)3 -xy+y (2) x3 -(-2)_5+5=-8+10+5=7 0336 (1) 한 권에 a원인 스케치북 5권의 가격은 5a원이므로 철수가 8000원을 냈을 때의 거스름돈은 (8000-5a) 원 (2) (정사각형의 넓이)=(한 변의 길이)2이므로 두 정사각형의 넓이의 차는 b2 -a2 답 (1) (8000-5a) 원 (2) b2 -a2 0337 (1) 정가가 x원인 스케치북 두 권과 y원인 크레파스 하나의 가격은 x_2+y_1=2x+y (원) 이때 정가의 25 %를 할인받으면 구입 가격은 (2x+y)-(2x+y)_ 25 100 =(2x+y)_{ 1- 1 4 }= 3 4 (2x+y)(원) 따라서 8000원을 냈을 때 거슬러 받을 돈은 [ 8000- (2x+y) 원 ]  3 4 (2) 백의 자리의 숫자가 1, 십의 자리의 숫자가 a, 일의 자리의 숫자가 b인 자연수는 100_1+10_a+b=10a+b+100 (3) n개에 m원인 과자 1개의 가격은 m n 원이므로 과자 11개의 가격은 m n _11= 11m n (원) 답 (1) 8000- 3 4 (2x+y) (2) 10a+b+100 (3) 11m n 0338 ① x에서 4를 뺀 것에 y를 곱하면 (x-4)_y이므로 구하는 식은 (x-4)y ② 십의 자리의 숫자가 a, 일의 자리의 숫자가 b인 두 자리의 자연수는 10a+b ③ 한 장에 a원인 색종이 8장의 가격은 a_8=8a(원) 따라서 5000원을 내고 받은 거스름돈은 (5000-8a) 원 ④ a개의 방에는 b명, 마지막 방에 남은 5명을 배정하면 전체 학생 수는 a_b+5=ab+5(명) ⑤ (시간)= 이므로 출발지에서 목적지까지 가는 데 걸린 시간은 (거리) (속력) 200 x + 30 60 = 200 x + 1 2 (시간) 답 ⑤ 0339 ① 3권에 x원인 스케치북 한 권의 값은 x 3 원이다. ② (시간)= (거리) (속력) x 80 시간이다. ③ (정육면체의 부피) =x3 (cm3) =(한 모서리의 길이)3 =60초이므로 1분에 a L씩 물이 채워지면 1초에 a 60 ④ 1분 따라서 7초 동안 채워지는 물의 양은 a 60 _7= 7a 60 (L) ⑤ 8명에게 x개씩 나누어 준 사과의 개수는 8x이고, 5개가 남았으므로 사과의 총 개수는 8x+5 이다. 답 ①, ④ 0340 ㄱ. 5송이에 x원인 장미 한 송이의 가격은 x 5 원 ㄴ. 연속한 두 짝수 중에서 작은 수를 2n이라 하면 큰 수는 2(n+1)=2n+2 ㄷ. (거리)=(시간)_(속력)이므로 20분 동안 시속 x km로 달린 거리는 42 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 이므로 시속 80 km로 x km를 가는 데 걸린 시간은 0343 L씩 물이 채워진다. 의 합은 0이다. 따라서 식의 값이 나머지 넷과 다른 하나는 ③이다. 답 ③ 일 때 주어진 식의 값을 각각 구해 보면 (3) x 3 -2y2 = (4) -x-4x2 -2 3 -2_52 2 5 y } Ö{- 2 2 3 -50=- 152 3 =- =-(-2)-4_(-2)2 =2-16Ö(-2)2 =2-4=-2 Ö[{- 답 (1) 7 (2) 7 (3) 152 3 - (4) -2 ∴ xy- 9 xy =xy-9_ 1 xy ==- 2 9 -9_{- 9 2 }=- 2 9 + 81 2 2 5 }_5 ] 2 -4+729 18 = 725 18 = ② =(-1)3 0345 a=-1을 주어진 식에 대입하면 ① a3 =-1 =-(-1)2 -a2 =-(-1)3 -a3 1 1 a4 =- +2a=(-1)2 (-1)4 =-1 =-1 =-(-1)=1 ⑤ a2 ④ ③ - +2_(-1)=1-2=-1 0346 a=-1. b=-5를 주어진 식에 각각 대입하면 ㄱ. |a2 =|(-1)2 -(-5)2|=|1-25|=24 -b2| ㄴ. a-4b ㄷ. ab2 -a+2b = -2b a2b = -3b2 a-b = -6a-b2 -1-4_(-5) -(-1)+2_(-5) = ab-2 (-1)_(-5)-2 (-1)2 a2 = 19 -9 =- 19 9 =3 ㄹ. a3 (-1)3 -3_(-5)2 -1-(-5) = =(-6)_(-1)-(-5)2 따라서 식의 값이 같은 것은 ㄹ, ㅁ이다. ㅁ. -1-75 4 =-19 =6-25=-19 0347 x=1, y=-2, z=-3을 주어진 식에 대입하면 yz- x+y+z xyz =(-2)_(-3)- 1+(-2)+(-3) 1_(-2)_(-3) =6- 2 3 = 20 3 1-2-3 6 답 20 3 =6-{- 4 6 }=6+ 답 ④ 0353 0348 1 3 x=- ① x+y=- , y=-3을 주어진 식에 대입하면 1 3 - 9 3 =- 10 3 1 3 +(-3)=- 1 3 } 2 ② 9x2 +y=9_{- +(-3)=9_ 1 9 -3=-2 ③ -2xy=(-2)_{- 1 3 }_(-3)=-2 ④ 3 x -y =3Öx-y=3Ö{- y 3 =-x-y_ -x- 1 3 =-{- 1 3 }-(-3)=3_(-3)+3=-6 4 3 1 3 }-(-3)_ 1 3 +1= 1 3 = ⑤ 따라서 식의 값이 가장 큰 것은 ⑤이다. 답 ⑤ , b=- , c= 1 3 1 4 이므로 1 a =2, 1 b =-3, 1 c =4 ∴ 4 a + 3 b - 2 c 1 b -2_ 1 c =4_2+3_(-3)-2_4 1 a +3_ =4_ =8-9-8=-9 답 -9 0349 1 2 a= 0350 1 3 x= , y=- 이므로 xy= 2 3 1 3 _{- 2 3 }=- 2 9 , 1 xy =- 9 2 본문 096쪽 답 725 18 Ⅲ - 0 4 . 문 자 와 식 답 -18 0351 주어진 식에 x=- 을 대입하면 1 2 1 x + 2 x2 + 3 x3 =1Öx+2Öx2 +3Öx3 1 2 }+2Ö =1Ö{- =-2+8-24=-18 0352 1 2 k=- 2 1 2 }+2Ö{- =1Ö{- 1 8 }=1_(-2)+2_4+3_(-8) +3Ö{- 1 4 +3Ö{- 1 2 } 1 2 } 3 -k=-{- 1 2 }= 1 2 , k2 ={- 2 1 2 } = 1 4 -k3 , =-{- =-{- 3 1 2 } 1 8 }= 1 8 1 k =(-1)Ök=(-1)Ö{- - =1Ö{- 2 1 2 } =1Ö 1 k2 =1Ök2 1 k3 - =(-1)Ök3 =(-1)Ö{- 1 2 }=(-1)_(-2)=2 1 4 =1_4=4 1 2 } =(-1)Ö{- 1 8 }  3 =(-1)_(-8)=8 1 k3 이고, 가장 작은 수는 - 따라서 가장 큰 수는 -k3이다. 답 - 1 k3 , -k3 -1<k<0이므로 k=- 이라 하자. 1 2 ① k2 ={- 2 1 2 } = 1 4 ② 3 k =3Ök=3Ö{- 1 2 }=3_(-2)=-6 ③ -k3 =-{- =-{- 3 1 2 } 1 8 }= 1 8 ④ - 1 k2 =(-1)Ök2 ⑤ -k=-{- 1 2 }= =(-1)Ö{- 1 2 2 1 2 } =(-1)Ö 1 4 =(-1)_4=-4 따라서 식의 값이 가장 큰 것은 ⑤이다. 답 ⑤ 0354 세 정수 a, b, c에 대하여 [a, b, c]= -1 -3 =-2- -3 2 + [-1, 2, -3]= 3 2 + 1 3 b a + c b + a c 이므로 2 -1 + -12-9+2 6 = 19 6 =- 답 ② 유형 07. 식의 값의 활용 0355 (a-32)에 a=113을 대입하면 5 5 9 따라서 화씨 113 ùF는 섭씨 45 ¾이다. 9 (113-32)= 5 9 _81=45 답 45 ¾ Ⅲ. 방정식 04. 문자와 식 43 본문 097쪽 (2) 3n에 n=6을 대입하면 3_6=18 따라서 한 변에 6개의 성냥개비가 있는 정삼각형을 만드는 데 필요한 성 냥개비의 개수는 18 이다. 답 (1) 3n (2) 18 0362 (1) 타일의 개수는 한 단계가 증가함에 따라 4씩 증가하고 1단계의 타일의 개수는 1이므로 n단계의 타일의 개수는 1+(n-1)_4=4n-3 (개) (2) 4n-3에 n=15를 대입하면 4_15-3=57이므로 15단계의 모양을 만 답 ② 들 때 필요한 타일의 개수는 57이다. (3) 1단계부터 7단계까지의 각 단계의 타일의 개수를 모두 더하면 1+5+9+13+17+21+25=91(개) 답 (1) 4n-3 (2) 57 (3) 91 0363 (1) 직사각형의 가로의 길이가 12 cm이고, 2 cm만큼 겹치므로 x장을 이어 붙이면 (x-1)군데의 겹치는 부분이 생긴다. 그러므로 종이 띠의 가로의 길이는 12_x-2_(x-1)=12x-2x+2=10x+2 (cm) 따라서 직사각형 모양의 종이 띠의 둘레의 길이는 답 ③ (10x+2)_2+10_2=20x+4+20=20x+24(cm) (2) x=30을 20x+24에 대입하면 20_30+24=624(cm) 답 (1) (20x+24) cm (2) 624 cm 유형 08. 다항식과 일차식 0364 ① 다항식 5x-2y-7에서 항은 5x, ② 3x+y-5 3 4 4 1 x+ 4 ③ 5-2y는 일차식이다. ④ 2xÛ ⑤ 4-4y에서 상수항은 4이다. y- 5 4 = +3xy+2yÛ 에서 x2과 y2의 계수는 2로 같다. -7의 3개이다. -2y, 에서 y의 계수는 1 4 이다. +2, 2x+3y는 항이 2개인 다항식이므로 -2y, 2xy 의 4개이다. -5, 단항식은 3x, 3 0365 x2 0366 다항식 답 (1) a 4 -4 (2) 13 -2x2 ㄷ. 상수항은 7이다. -5x+7에 대하여 ㄹ. x의 계수는 -5이다. ㅁ. 이차항의 계수는 -2이다. 따라서 옳은 것을 모두 고르면 ㄱ, ㄴ이다. 답 ① 0367 ① 다항식 2x2은 차수가 2이므로 일차식이 아니다. x2 ② 다항식 1 -x3은 차수가 3이므로 일차식이 아니다. 2 -0.3x-0.1은 차수가 1이므로 일차식이다. +2는 차수가 2이므로 일차식이 아니다. ④ 다항식 3x2 ③ 다항식 ⑤ 2 x +2는 분모에 x가 있으므로 다항식이 아니다. 답 ② 답 4개 답 ③ 0356 ① 20x-5x2에 x=3을 대입하면 20_3-5_32 따라서 3초 후의 물 로켓의 높이는 15 m이다. ② (1.8x+32)ùF에 x=30을 대입하면 1.8_30+32=86이므로 섭씨 30ùC =60-45=15 일 때 화씨 86ùF이다. ③ (건구온도)=18, (습구온도)=22일 때, (불쾌지수) =0.72_(18+22)+40.6=69.4 ④ 1 5 ⑤ x3 (-2x+5)에 x=-2를 대입하면 1 -x에 x=3을 대입하면 33 5 -3=27-3=24 {(-2)_(-2)+5}= 9 5 0357 세윤이의 키는 150 cm, 즉 1.5 m이고 몸무게는 50 kg이므로 세윤이의 체질량 지수는 50 50 2.25 = 200 9 =22.22___ 1.52 = 따라서 세윤이의 비만 정도는 과체중이다. 답 과체중 0358 통화 10초당 15원의 요금이 추가되므로 통화 1분당 90원의 요금이 추가된다. 즉, 기본요금 14,000원에 110분 통화한 추가 요금을 더하면 14000+110_90=23900 (원) 따라서 휴대전화 통화 요금은 23,900원이다. 0359 (1) 수진이가 처음에 산 사탕의 개수가 a이고, 처음 친구들을 만나서 { a 2 +2 } 개의 사탕을 주었으므로 남아 있는 사탕의 개수는 a-{ a 2 -2 또 다른 친구들을 만나서 사탕을 주었으므로 [{ a 2 +2 }= a 2 -2(개)이고, a 4 +2(개)의 ]= 1 2 +3 }_ a 4 +2 a 2 -2-{ 따라서 남아 있는 사탕의 개수를 a에 대한 일차식으로 나타내면 a 4 -4(개)이다. }= a 4 -4 (2) a 4 -4에 a=68을 대입하면 68 4 -4=13 따라서 남아 있는 사탕의 개수는 13이다. 0360 유진이의 현재 키와 몸무게는 각각 160 cm, 62 kg이므로 0.9(x-100)에 x=160을 대입하면 0.9(160-100)=0.9_60=54 즉, 유진이의 표준 체중은 54 kg이므로 유진이의 비만도는 62 54 _100=114.81___(%) 따라서 유진이의 비만 정도는 과체중이다. 답 과체중 0361 (1) 한 변에 n개의 성냥개비가 있고 정삼각형의 변의 개수는 3이므로 한 변에 n개의 성냥개비가 있는 정삼각형을 만드는 데 필요한 성냥개비의 개수는 3n 이다. 44 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) x, 3x-1, 0.2x+0.3의 3개이다. 답 3 유형 09. 일차식과 수의 곱셈과 나눗셈 +3y는 차수가 2이므로 일차식이 아니다. 0368 -2yÛ 5 x +2는 다항식이 아니다. xy+ 1 3 x는 일차식이 아니다. 따라서 일차식인 것은 1 2 3 3 - 0369 +xy+y2, x+y+1 2 의 3개이다. ㄱ. 항이 3개인 식은 0.3x-0.2y-3, x2 ㄴ. 일차식은 0.3x-0.2y-3, 3x+2y, x+y+1 ㄷ. 상수항이 0인 식은 x2 2 +xy+y2, 3x+2y의 2개이다. 의 3개이다. 따라서 옳은 것을 모두 고르면 ㄱ, ㄷ이다. 답 ③ 0370 ① 40_ 2x 100 = 4 5 x에서 x의 계수는 4 5 ② x+x_ 10 100 = 40 100 = x에서 x의 계수는 11 10 11 10 x에서 x의 계수는 3 5 3 5 ③ x-x_ ④ 10_x+9=10x+9에서 x의 계수는 10 ⑤ 200_ 따라서 x의 계수가 가장 작은 것은 ③이다. x 100 =2x에서 x의 계수는 2 답 ③ 0371 ① (직사각형의 넓이)=(가로의 길이)_(세로의 길이)=x_y=xy xy는 일차식이 아니다. ② (삼각형의 넓이)= 1 2 _(밑변의 길이)_(높이)= 1 2 _5_x= 5 2 x 원이므로 오이 5개의 값은 +y3의 차수는 3이므로 c=3 에 a=3, b=- , c=3을 대입하면 2 3 다항식 2y-y2 따라서 1 1 c a -b+ 1 2 3 = 3 }+ 4 3 1 3 -{- 본문 100쪽 답 ⑤ Ⅲ - 0 4 . 문 자 와 식 0374 1 (1) 3 2 { 2 x-4 }= 3 2 _ 1 2 x+ 3 2 _(-4)= 3 4 x-6 (2) (-5)_(3x-1)=(-5)_3x+(-5)_(-1)=-15x+5 5 (3) (4x+8)Ö 4 =4x_ 1 6 }+(-2)_{- 5 4 =5x+10 5 6 4 5 =(4x+8)_ 1 6 }=5x_{- 1 6 }=- 5 4 +8_ x+ 1 3 (4) (5x-2)_{- 답 풀이 참조 0375 -2(x-3)=(-2)_x+(-2)_(-3)=-2x+6 ① (6-2x)_2=6_2+(-2x)_2=12-4x ② (x-3)Ö 1 2 =(x-3)_2=x_2+(-3)_2=2x-6 ③ - 1 2 (2x-6)={- ④ { x 4 - 3 4 }Ö{- 1 8 } ={ 1 2 }_(-6)=-x+3 1 2 }_2x+{- 3 4 }_(-8) 3 4 }_(-8)=-2x+6 x 4 _(-8)+{- x 4 - = ⑤ (x-6)Ö(-2) =(x-6)_{- 1 2 }    따라서 계산 결과가 1 2 }+(-6)_{- =x_{- -2(x-3)과 같은 것은 ④이다. 1 2 }=- 1 2 x+3 답 ④ 를 곱하면 4x-2가 되므로 4x-2를 2 3 로 나누면 ax+b가 된다. 3 2 =4x_ 3 2 +(-2)_ 3 2 =6x-3 0376 ax+b에 2 3 2 (4x-2)Ö =(4x-2)_ 3 즉, ax+b=6x-3이므로 2 =(6x-3)_ 3 (6x-3)Ö 5 2 x는 일차식이다. ③ 오이 한 개의 가격이 2000 x 10000 x 2000 x _5= 10000 x 은 다항식이 아니다. ④ (설탕의 양)= 2.7x는 일차식이다. 은 다항식이 아니다. 50 x 0372 다항식 3x2 2 5 - 2 5 a=2, b=- , c=10 ∴ abc=2_{- 2 5 }_10=-8 0373 (설탕물의 농도) 100 _(설탕물의 양)= x 100 _270=2.7x 따라서 cx+d=9x- 이므로 c=9, d=- 9 2 3 2 =6x_ 3 2 +(-3)_ 9 2 3 2 =9x- 9 2 ⑤ (시간)= (거리) (속력) 이므로 걸리는 시간은 50 x 시간 ∴ c+d=9+{- 9 2 }= 9 2 답 ②, ④ 답 ① x+10에서 차수는 2, x의 계수는 - , 상수항은 10이므로 2 5 유형 10. 동류항 0377 ① 3 2y 은 다항식이 아니다. 답 -8 ②, ④ 차수는 같으나 문자가 다르다. ③ 문자와 차수가 같으므로 동류항이다. ⑤ 각 문자의 차수가 다르다. 답 ③ 다항식 3x2 -4x+ 의 이차항의 계수는 3이므로 a=3 1 5 다항식 3y2 의 상수항은 2 3 - 2 3 - 이므로 b=- 2 3 0378 ㄱ. x2과 y2은 문자가 다르므로 동류항이 아니다. Ⅲ. 방정식 04. 문자와 식 45 ㄴ. 1 2 x- 1 3 y+5에서 y의 계수는 - 이다. 1 3 ㄷ. 1 5 ㄹ. 2x2 x-0.2는 일차식이다. -4x+1에서 항의 개수는 2x2, 이다. 에서 상수항은 1 3 ㅁ. x-3y- ㅂ. x2 - -4x+5의 차수는 2이다. 1 3 -4x, 1의 3이다. 따라서 옳은 것을 모두 고르면 ㄷ, ㄹ, ㅂ이다. 답 ③ 0379 ② 서로 같거나 다른 문자들의 곱은 곱셈 기호를 생략하여 쓸 수 있다. 답 ② 본문 102쪽 0384 ① 2x-1-6x+12=(2-6)x+(-1+12)=-4x+11 -4이다. 이므로 x의 계수는 ② 1 3 (6x+3)-2x=2x+1-2x=(2-2)x+1=1 이므로 x의 계수는 0이다. ③ 5(x+1)+2(3x-3)=5x+5+6x-6=(5+6)x+(5-6)=11x-1 이므로 x의 계수는 11이다. ④ 1 4 (2x-1)- (x+3) = 1 6 1 2 x- 1 4 - 1 6 x- 1 2 1 2 - 1 6 } x+{- 1 4 - 1 2 }= 1 3 x- 3 4 ={ 이므로 x의 계수는 1 3 이다. 0380 다항식 yÜ +3yÛ -1에 대하여 동류항이 아니다. 식의 값은 1이다. 영훈 : 동류항은 문자와 차수가 같은 항이다. 이때 y3과 3y2은 차수가 다르므로 ⑤ (2x-3)Ö 2 3 - 1 3 (6x+9) =(2x-3)_ 3 2 -(2x+3) 지원 : y=-1을 다항식에 대입하면 y3 +3y2 -1=-1+3-1=1이므로 따라서 옳은 설명을 한 학생은 경수, 병수, 승호, 현민의 4명이다. 답 ④ 이므로 x의 계수는 1이다. =3x- =x- 9 2 -2x-3=(3-2)x+{- 15 2 9 2 -3 }  유형 11. 일차식의 덧셈과 뺄셈 0381 3(5x-1)-(15x+10)Ö5 1 5 =3(5x-1)-(15x+10)_ =15x-3-(3x+2) =15x-3-3x-2=12x-5 따라서 ax+b=12x-5이므로 a=12, b=-5 ∴ a+b=12-5=7 0382 ① (3x-2)+(2x+1)=3x-2+2x+1=(3+2)x+(-2+1)=5x-1 ② (-y-1)-2(3y-2) =-y-1-6y+4=(-1-6)y+(-1+4) =-7y+3 =2y-2-6y+2=(2-6)y+(-2+2)=-4y (4x+2)-(x-3)=2x+1-x+3=(2-1)x+(1+3)=x+4 ③ 2(y-1)-2(3y-1) ④ 1 2 (9x+12)=2x+4+3x+4=(2+3)x+(4+4)=5x+8 1 3 ⑤ 2(x+2)+ 0383 (24x+18)Ö6-(25x-10)Ö 5 3 3 5 =4x+3-(15x-6) =(24x+18)_ 1 6 -(25x-10)_ =4x+3-15x+6=(4-15)x+(3+6)=-11x+9 ∴ a=9 2 3 y-15+ 3 5 + 5 3 + 7 3 = y-9 y-9 ={ 10 9 }Ö }_ 7 3 2 3 { 7 3 = 10 9 y- 38 3 따라서 x의 계수가 가장 큰 것은 ③이다. 답 ③ 0385 n이 홀수이므로 (-1)n n+1과 n+3은 짝수이므로 (-1)n+1 ∴ (-1)n+1(2x-1)+(-1)n+3(3x+1)+(-1)n(5-3x) =1, (-1)n+3 =-1 =1 =(2x-1)+(3x+1)-(5-3x)=2x-1+3x+1-5+3x =(2+3+3)x+(-1+1-5)=8x-5 답 ③ 답 7 유형 12. 일차식의 덧셈과 뺄셈의 활용 0386 오른쪽 그림에서 밭의 가로의 길이의 합은 (70-x)_4 (m) 밭의 세로의 길이의 합은 (40-x)_4 (m) 따라서 구하는 밭의 둘레의 길이는 (cid:21)(cid:17)(cid:65)(cid:78) (cid:89)(cid:65)(cid:78) (cid:24)(cid:17)(cid:65)(cid:78) (cid:89)(cid:65)(cid:78) 4(70-x)+4(40-x)=280-4x+160-4x=-8x+440(m) 답 (-8x+440)m 답 ③ 0387 (1) 체육 수행평가 점수가 10점인 학생 수는 30-(x+12)=18-x (명) (2) 미선이네 반 전체 학생의 체육 수행평가 점수의 합은 8_x+9_12+10(18-x)=8x+108+180-10x=288-2x (점) 답 (1) (18-x) 명 (2) (288-2x) 점 0388 처음 들판에서 놀고 있던 참새의 수가 x마리일 때 세 마리가 더 날아왔으므로 참새는 총 (x+3)마리이고 또 푸른 숲에서 6(x+3)마리가 더 날아왔으므로 참새는 총 7(x+3)=7x+21(마리) 따라서 저녁 노을이 질 무렵 열다섯 마리의 참새는 숲으로 돌아갔으므로 남은 참새 수는 7x+21-15=7x+6 (마리) 답 ④ 답 10 ∴ b= 10 9 ∴ ab=9_ 10 9 =10 46 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 0389 유진이가 산 x개의 초콜릿 중 친구 A에게 준 초콜릿의 개수는 (가) 1 2 x+1 (개) 친구 A에게 주고 남은 초콜릿의 개수는 x-{ 이므로 친구 B에게 준 초콜릿의 개수는 1 2 x+1 }= x-1 (개) 1 2 1 2 [{ x-1 }-3 ]_ 1 2 ={ 1 2 x-4 }_ 1 2 = (나) 1 4 x-2 (개) 따라서 유진이에게 남은 초콜릿의 개수는 x-{ x+1 }-{ x-2 }=x- x-1- 1 2 1 4 1 2 1 4 (다) 1 4 x+2= x+1 (나) 1 4 x+1 (개) x-2 (다) 1 4 x+1 답 (가) 1 2 0390 10번 가위바위보를 하여 민수가 이긴 횟수가 x (x>5)번이므로 민수가 진 횟수는 (10-x)번이고 반대로 성규가 이긴 횟수와 진 횟수는 각각 (10-x)번, x번이다. 따라서 민수가 내려간 계단의 칸 수는 x_3+(10-x)_1=3x+10-x=2x+10(칸) 또 성규가 내려간 계단의 칸 수는 (10-x)_3+x_1=30-3x+x=30-2x(칸) 이때 (2x+10)-(30-2x)=2x+10-30+2x=4x-20이므로 민수는 성규보다 (4x-20)칸 더 내려갔다. 답 (4x-20)칸 (cid:9)(cid:24)(cid:14)(cid:89)(cid:10) (cid:68)(cid:78) (cid:22) (cid:68)(cid:78) (cid:9)(cid:24)(cid:12)(cid:20)(cid:89)(cid:10)(cid:68)(cid:78) 0391 사다리꼴의 윗변의 길이는 (7-x) cm, 아랫변의 길이는 (7+3x) cm이므로 구하는 사다리꼴의 넓이는 1 2 _{(7-x)+(7+3x)}_5 1 2 _(14+2x)_5 = =(7+x)_5=35+5x (cm2) 따라서 a=5, b=35이므로 ab=5_35=175 0392 가로에 놓인 세 다항식의 합은 (2x-1)+(3x+1)+(-x+3)=2x-1+3x+1-x+3=4x+3 오른쪽 세로에 놓인 세 다항식의 합도 4x+3이므로 B+(-x+3)+(x+2)=4x+3, B+5=4x+3 ∴ B=4x+3-5=4x-2 왼쪽 세로에 놓인 세 다항식의 합도 4x+3이므로 A+5x+(2x-1)=4x+3 ∴ A=4x+3-(7x-1)=4x+3-7x+1=-3x+4 ∴ 2A+B =2(-3x+4)+(4x-2)=-6x+8+4x-2=-2x+6 답 0393 (1) 오른쪽 그림에서 정사각형 모양의 도화지 의 한 변의 길이는 x+2x=3x (cm) (2) 하트 모양의 둘레의 길이는 1 2 _2_3.14_x 2x_2+{ =4x+6.28x=10.28x (cm) }_2 본문 104쪽 2x+3 -3x+2 -x+2 -4x+4 ㉠ ㉡ 5x+2 A ㉢ B Ⅲ - 0 4 . 문 자 와 식 0394 ㉠ =2x+3+(-3x+2) =-x+5 =(-x+2)+(5x+2) =4x+4 =(-4x+4)+ ㉡ ㉡ ㉢ =-4x+4+(4x+4)=8 +(-4x+4)=(-x+5)+(-4x+4)=-5x+9 =(-5x+9)+8=-5x+17 ㉠ A= B=A+㉢ ∴ A+B =(-5x+9)+(-5x+17)=-10x+26 따라서 x=-5일 때 A+B의 값은 (-10)_(-5)+26=76 답 ③ 유형 13. 일차식이 되기 위한 조건 +3x+4+ax2 0395 5x2 일차식이 되려면 이차항의 계수인 5+a=0, 일차항의 계수인 3-b+0을 만 답 ② 족시켜야 하므로 상수 a, b의 조건은 a=-5, b+3 -bx-3=(5+a)x2 +(3-b)x+1에서 -2x+5)-a(x2 -6x+15-ax2 0396 3(x2 =3x2 =(3-a)x2 에서 일차식이 되려면 3-a=0, 따라서 x의 계수는 +3x+6) -3ax-6a +(-6-3a)x+(15-6a) -6-3a에 a=3을 대입하면 -6-3a+0이므로 a=3, a+ -2 -6-3_3=-15 답 ④ 유형 14. 복잡한 일차식의 덧셈과 뺄셈 0397 x-2 x-3 2 - 3 +2x+5 3(x-2)-2(x-3)+6(2x+5) 6 = 13x+30 6 = 13 6 = x+5 답 ⑤ 3x-6-2x+6+12x+30 6 = 답 ④ a+ {2a-(a-3)} 1 2 a+ (2a-a+3) ] ]= 3 2 a+ a+ 3 2 }= 3 2 a-{ 1 2 1 2 1 2 5 2 a+ a-[ 3 2 }= 3a+ 3 2 (a+3) ] a-3a- 3 2 0398 5 3 2 2 a- 3 2 3 2 = = =- [ a-[ 5 2 5 2 a-{ 3 2 a- 3 2 0399 따라서 A=- , B=- 이므로 A-B=- 3 2 3 2 3 2 -{- 3 2 }=0 답 0 -2x+6 ① (6x-18)Ö{- ② - 1 2 (3x-8)Ö 3 5 }=(6x-18)_{- 3 2 2 =- 3 ={- x+4 }_ 3 2 9 4 x+6 5 3 }=-10x+30 (cid:89) (cid:68)(cid:78) (cid:89)(cid:68)(cid:78) (cid:89)(cid:68)(cid:78) (cid:19)(cid:89)(cid:68)(cid:78) (cid:19)(cid:89)(cid:68)(cid:78) ③ 2(3x-2)- (2x-6)=6x-4-x+3=5x-1 1 2 1 3 답 (1) 3x cm (2) 10.28x cm ④ - 1 4 (4x-8)+ (6x+9)=-x+2+2x+3=x+5 ⑤ 3 2 { 8x- 4 3 }-7 { 1 2 x- 4 7 } =12x-2- 7 2 x+4= 17 2 x+2 답 ①, ⑤ Ⅲ. 방정식 04. 문자와 식 47 x-b={ a+ 4 3 } x+{- 3 2 -b } 0400 3 2 }-{- ax- { 4 3 x+b 4 3 =-2이므로 a=-2- 3 2 - 이므로 b=- 3 2 -b= 3 2 a+ - 3 2 + 4 3 }=ax- 4 3 =- 10 3 ∴ 4a-5b =4_{- 10 3 }-5_(-3)=- 3 2 =- 6 2 =-3 40 3 +15= 5 3 5a-3b=5_ 2 5 -3_{- 16 3 }=2+16=18 0405 x+3 2 - 7x-5 3 3(x+3)-2(7x-5) 6 = = 3x+9-14x+10 6 -11x+19 6 = =- 11 6 x+ 19 6 답 ① 이므로 A=- 11 6 0401 x-1 2 + x+3 5 = 5(x-1)+2(x+3) 10 = 5x-5+2x+6 10 4y+2-9 { 2y+1 3 - 4 9 y } =4y+2-3(2y+1)+4y =4y+2-6y-3+4y=2y-1 본문 107쪽 답 18 ⑤ x의 계수는 7 10 이고, 상수항은 1 10 이므로 두 수의 합은 4 5 이다. 따라서 옳지 않은 것은 ①, ⑤이다. 답 ①, ⑤ 이므로 c= , d=- 4 5 9 5 2 3 x+ 3 2 }Ö{- 5 6 }={- 2 3 x+ 3 2 }_{- 6 5 }= 4 5 x- 9 5 {- 7x+1 10 = 7 10 x+ 1 10 = ① x의 계수는 7 10 이다. ② 차수가 1이므로 일차식이다. x, 1 ③ 항은 7 10 10 ④ 상수항은 1 10 의 2개이다. 이다. 0402 (1) 1 3 (6a+3b-1)- =2a+b- 1 3 +2a- 2 (-5a+b-5) 5 2 b+2=4a+ 5 3 b+ 5 5 3 (2) |a|=1, |b|=4이고 ab<0, a<b이므로 a=-1, b=4 따라서 주어진 식의 값을 구하면 4a+ 3 b+ 5 5 =4_(-1)+ 3 12 5 + 5 3 5 3 3 =-4+ 5 _4+ 1 15 = -60+36+25 15 = 0403 (1) 주어진 식을 간단히 하려면 ㉠과 같이 12를 곱하면 안되고, 2x+4 3 - x+3 4 = 4(2x+4)-3(x+3) 12 과 같이 분모를 12로 통분해야 한다. 따라서 계산 과정에서 처음으로 틀린 부분은 ㉠이다. (2) 2x+4 3 - x+3 = 4 4(2x+4)-3(x+3) 12 = 8x+16-3x-9 12 5x+7 12 = 5 12 x+ 7 12 = 답 (1) ㉠ (2) 5 12 x+ 7 12 2x+3-(3x+4)Ö 3 2 ]    2x+3-(3x+4)_ 2 3 ]= 2 5 x-5-{ 2x+3-2x- 8 3 }  0404 2 5 x-5-[ 2 5 = x-5-[ 1 3 = x-5- 2 5 = 2 5 x- 16 3 =ax+b 따라서 a= , b=- 2 5 16 3 이므로 48 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상)   이므로 B=-1 ∴ 6AB-5B 0406 3 4 x- { 8 3 2 }-4 8 3 이므로 a= , b=-6 =6_{- 11 6 }_(-1)-5_(-1)=11+5=16 답 16 5 6 { x- 3 2 }=6x-12- 10 3 x+6= x-6 8 3 a-c= 8 3 - 4 5 = 40-12 15 = 28 15 따라서 구하는 일차식은 28 15 x- , b-d=-6-{- 21 5 이다. 9 5 }=-6+ 9 5 =- 21 5 답 28 15 x- 21 5 유형 15. 문자에 일차식 대입하기 0407 3A-B-2(2A-3B)=3A-B-4A+6B=-A+5B ∴ -A+5B =-(-x+y)+5(2x+y)=x-y+10x+5y=11x+4y 답 11x+4y x`:`y=3`:`4에서 4x=3y, 즉 x= y이므로 주어진 식에 대입하면 3 4 답 (1) 4a+ 3 b+ 5 (2) 1 5 15 3 0408 답 - 7 24 -4이므로 두 수의 곱은 4_(-4)=-16 답 ① -y2 x2 2xy = 2 y {;4#; } -y2 - y2 ;1¦6; = y_y yÛ ;2#;  2_;4#; 7 16 ={- y2 }_ 2 3y2 =- 7 24 7 16 y2 }Ö 3 2 y2 ={- 0409 A＊B=2A-B, A▲B=2B-A이므로 (x＊2y)-(2x▲y) =2x-2y-(2y-2x)=2x-2y-2y+2x=4x-4y 따라서 x의 계수는 4, y의 계수는 유형 16. 조건에 알맞은 식 구하기 0410 어떤 다항식을 A라 하면 A+(5x+2)=7x+5이므로 답 -3x+1 =-(2-3x)-(2x+3)=-2+3x-2x-3=x-5 대입하면 B =(-1)n+1(2-3x)-(-1)n+2(2x+3) ∴ A-3B =(-2x-2)-3(x-5) =-2x-2-3x+15=-5x+13 답 2x-4 백점 도전하기 본문 110쪽 답 ② Ⅲ - 0 4 . 문 자 와 식 A =7x+5-(5x+2)=7x+5-5x-2=2x+3 따라서 바르게 계산한 식은 (2x+3)-(5x+2)=2x+3-5x-2=-3x+1 0411 4x-1+ =6x-5-(4x-1)=6x-5-4x+1=2x-4 =6x-5에서 0412 A-(x+3)=-3x+5이므로 A =-3x+5+x+3=-2x+8 B+2(2x+1)=A이므로 이 식에 A=-2x+8을 대입하면 B+4x+2=-2x+8 B =-2x+8-(4x+2)=-2x+8-4x-2=-6x+6 따라서 A=-2x+8, B=-6x+6이므로 A+B =-2x+8+(-6x+6)=-8x+14 0413 어떤 일차식을 A라 하면 1 2 x+ A = x+ 1 2 2 3 -{ 11 6 x-2 }= 1 2 8 6 x+ 8 3 =- 4 3 x+ 8 3 =- 따라서 바르게 계산하면 x-2이므로 2 3 -A= 2 3 - x+ 11 6 11 6 x+2 1 2 x+ 2 3 +A = 1 2 x+ 2 3 - 4 3 x+ 8 3 =- 5 6 x+ 10 3 따라서 x의 계수는 이므로 두 수의 합은 5 - 6 -5+20 6 = , 상수항은 10 3 15 6 = 5 2 5 6 + 10 3 = - 0414 3-2x- (2y- )=-4x+2y-2 1 2 1 2 _ =-4x+2y-2 3-2x-y+ 2 _ =-4x+2y-2-3+2x+y, 1 1 ∴ =2(-2x+3y-5)=-4x+6y-10 답 -4x+6y-10 2 _ =-2x+3y-5 =2y-1+(x-y+1)=x+y 0415 A-(x-y+1)=2y-1 A A=x+y를 B+(2x-4y+3)=A에 대입하면 B+(2x-4y+3)=x+y B =x+y-(2x-4y+3)=-x+5y-3 B=-x+5y-3을 C=B에 대입하면 - 1 3 1 3 - C=-x+5y-3 ∴ C =(-x+5y-3)Ö{- 1 3 }=(-x+5y-3)_(-3)=3x-15y+9 답 ④ 0416 조건 (가)에서 3x+2-A=5x+4이므로 A 조건 (나)에서 n이 짝수이므로 (-1)n+1 =3x+2-(5x+4)=3x+2-5x-4=-2x-2 =-1, (-1)n+2 =1을 주어진 식에 답 ① 답 ④ =25 0417 유형 03 90쪽 길의 안쪽 경계인 원은 반지름의 길이가 x 2 이므로 둘레의 길이는 2_3.14_ x 2 또 길의 바깥쪽 경계인 원은 반지름의 길이가 { 둘레의 길이는 2_3.14_{ x 2 +y } ∴ l =2_3.14_ x 2 +2_3.14_{ 3.14_[ 0418 유형 06 95쪽 x=-1이므로 자연수 n에 대하여 =(-1)2n-1 =(-1)2n x2n =1, x2n-1 +50x50 +3x3 x+2x2 y + -49+50 =-1+2-3+4- y =(-1+2)+(-3+4)+ 1_25=25 +1 =1+1+ 25개 +49x49 y y [ +(-49+50) x 2 +y 이므로 } x+y로 착각하지 말자! }=3.14(2x+2y) x 2 +y 2_;2{;+2_{;2{;+y }]=3.14(x+x+2y) =3.14(2x+2y) 답 ⑤ -1을 짝수 번 곱하면 1이 돼. =-1이므로 -1을 홀수 번 곱하면 -1이 돼. 0419 유형 07 97쪽 (1) 각 단계에서 필요한 성냥개비의 개수를 각각 구하면 1단계 7, 2단계 11, 3단계 15, 4단계 19 (2) 1단계씩 늘어날 때마다 사용한 성냥개비의 개수는 4개씩 늘어난다. (3) 1단계부터 n단계까지 사용한 성냥개비의 개수에서 규칙을 찾아 보면 답 25 1`:`7 2`:`7+4=7+4_1 3`:`7+4+4=7+4_2 ⋮ n`:`7+4+4+ +4 y (n-1)개 =7+4_(n-1)=4n+3 (4) 30단계의 모양을 만드는 데 필요한 성냥개비의 개수는 4n+3에 n=30을 대입하면 4_30+3=123 따라서 30단계의 모양을 만드는 데 필요한 성냥개비의 개수는 123이다. 답 (1) 1단계`:`7, 2단계`:`11, 3단계`:`15, 4단계`:`19 (2) 4 (3) 4n+3 (4) 123 =(3x+1)-x =2x+1 B 0420 유형 11 103쪽 조건 (나)에서 x+B=3x+1이므로 B=2x+1 B=2x+1을 조건 (다)의 2B+C=5x-3에 대입하면 2(2x+1)+C=5x-3, 4x+2+C=5x-3이므로 C=x-5 C=x-5를 조건 (라)의 C-x=D에 대입하면 (x-5)-x=D이므로 D=-5 C=x-5를 조건 (가)의 A+3x=C에 대입하면 A+3x=x-5이므로 A=-2x-5 Ⅲ. 방정식 04. 문자와 식 49 조건 (마)에서 3 2 (-2x-6)=E이므로 E=-3x-9 따라서 A=-2x-5, B=2x+1, C=x-5, D=-5, E=-3x-9를 주어진 식 2A-3B+C+D-E에 대입하면 2(-2x-5)-3(2x+1)+(x-5)+(-5)-(-3x-9) =-4x-10-6x-3+x-5-5+3x+9=-6x-14 계산 주의! 답 ④ 서술형 격파하기 (1) S : 6a cm2, S' : a cm2 (2) a cm2, 12 % 증가 ;;Á2¤5¥;; ;2!5*; (1) 원 (2) a 12 b 8 원 (3) { 5a 6 + 5b 8 } 원 (4) { 5a 18 + 5b 24 } 원 답 예제 1 유제 1 예제 2 유제 2 예제 3 유제 3 예제 4 -2x+18 a ;4$0#; ;1!4#; 유제 4 A`:`8x+30, B`:`28x+32 (1) 4a-4 (2) a-5 -29 예제 1 STEP ❶ 정사각형 안에 색칠한 왼쪽 직사각형의 가로의 길이를 y라 하고, 두 직사각형과 두 정사각형의 둘레의 길이의 합을 각각 구한다. (cid:20) (cid:89) (cid:38) (cid:90) (cid:34) (cid:37) (cid:20)(cid:14)(cid:89)(cid:14)(cid:90) (cid:89) (cid:41) 오른쪽 그림에서 선분 AD의 길이를 y라 하면 선분 EH의 길이는 3-x-y이다. (선분 AB의 길이)=(선분 EF의 길이)=3-2x이 므로 색칠한 두 직사각형의 둘레의 길이의 합은 2_{(선분 AB의 길이)+(선분 AD의 길이)} +2_{(선분 EF의 길이)+(선분 EH의 길이)} =2_{(3-2x)+y}+2_{(3-2x)+(3-x-y)} =2_{2(3-2x)+3-x}=2_(6-4x+3-x) =2_(9-5x)=18-10x 또 정사각형의 한 변의 길이는 x이므로 색칠한 두 정사각형의 둘레의 길이의 합은 2_4_x=8x STEP ❷ 구하는 둘레의 길이의 합을 구한다. 채점기준 ② | 40% 채점기준 ① | 40% (cid:40) (cid:35) (cid:36) (cid:39) 본문 114쪽 답 ② 따라서 나중 사다리꼴의 넓이 S'은 4 5 S'= 21 5 + 1 2 _{ 63 5 }_ 168 25 STEP ❷ S'-S의 값을 이용하여 S'이 S보다 몇 % 증가하였는지 구한다. (2) 두 넓이의 차는 S'-S= a-6a= a(cm2) a= 168 25 18 25 a 채점기준 ② | 35% 채점기준 ③ | 20% S에 대한 18 25 a의 비율을 구하면 18 25 aÖ6a= 18a 25 _ 1 6a = 3 25 =0.12 따라서 S'은 처음 넓이 S보다 12 % 증가했다. 채점기준 ④ | 10% (1) S`:`6a cm2, S'`:` a cm2 168 25 (2) 18 25 a cm2, 12 % 증가 35% 35% 20% 10% 채점기준 ① S를 a를 사용하여 나타낸다. ② S'을 a를 사용하여 나타낸다. ③ S' -S의 값을 구한다. ④ S'은 S보다 몇 % 증가하였는지 구한다. 예제 2 STEP ❶ 비누꽃, 장미꽃 한 송이의 가격을 각각 구한 후, 이를 이용하여 한 사 람이 낸 꽃값을 구한다. (1) 12송이에 a원인 비누꽃 한 송이의 가격은 a 12 원 채점기준 ① | 25% (2) 8송이에 b원인 장미꽃 한 송이의 가격은 b 8 원 채점기준 ② | 25% (3) 비누꽃 10송이와 장미꽃 5송이의 총 금액은 a 12 _10+ b 8 _5= (4) 한 사람이 낸 꽃값은 5a 6 + 5b 8 (원) 5a 6 + 5b 8 }_ 1 3 = 5a 18 + 5b 24 { (원) 채점기준 ③ | 30% 채점기준 ④ | 20% 답 (1) a 12 원 (2) b 8 원 (3) { 5a 6 + 5b 8 } 원 (4) { 5a 18 + 5b 24 } 원 채점기준 ① 비누꽃 한 송이의 가격을 구한다. ② 비누꽃, 장미꽃 한 송이의 가격을 각각 구한다. ③ 구입한 꽃의 총 금액을 구한다. ④ 한 사람이 낸 꽃값을 구한다. 25% 25% 30% 20% 따라서 구하는 둘레의 길이의 합은 (18-10x)+8x=-2x+18 답 채점 기준 ① 두 직사각형의 둘레의 길이의 합을 구한다. ② 두 정사각형의 둘레의 길이의 합을 구한다. ③ 구하는 둘레의 길이의 합을 구한다. 유제 1 STEP ❶ S와 S'을 각각 a를 이용하여 나타낸다. (1) S= 1 2 _(3+9)_a=6a(cm2) 이 사다리꼴의 윗변의 길이를 40 % 늘이면 40 100 =3_{ 3+3_ 아랫변의 길이를 40 % 늘이면 2 5 }= 1+ 21 5 (cm) 40 100 =9_{ 1+ 9+9_ 또 높이를 20 % 줄이면 2 5 }= 63 5 (cm) a-a_ 20 100 =a_{ 1- 1 5 }= 4 5 a(cm) 50 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 채점기준 ③ | 20% -2x+18 40% 40% 20% 유제 2 STEP ❶ 어제, 오늘 양계장에서 번 돈을 각각 구한다. 어제는 닭 한 마리당 a원씩 b마리를 팔았으므로 양계장에서 어제 번 돈은 a_b=ab(원) 오늘은 닭 한 마리당 a 1+ { 20 100 }= 6 5 a (원)씩 b_ 3 5 = 3 5 b(마리)를 팔았으 므로 양계장에서 오늘 번 돈은 6 5 a_ 3 5 b= 18 25 ab(원) 채점기준 ① | 50% STEP ❷ 이틀 동안 판 닭 한 마리의 평균 가격을 구한다. 채점기준 ① | 35% b이므로 채점기준 ② | 30% 따라서 어제, 오늘 판 닭의 수는 b+ 이틀 동안 판 닭 한 마리의 평균 가격은 3 5 b= 8 5 ab+ { 18 25 ab }Ö 8 5 b= 43 25 ab_ 5 8b = 43 40 a 답 채점기준 ① 어제, 오늘 양계장에서 번 돈을 각각 구한다. ② 어제, 오늘 판 닭의 수를 구한다. ③ 이틀 동안 판 닭 한 마리의 평균 가격을 구한다. 채점기준 ③ | 20% 43 40 a 50% 30% 20% 따라서 바르게 계산한 식은 5x-7-(3x+4) =5x-7-3x-4 =2x-11 STEP ❷ a, b의 값을 이용하여 2a+3b의 값을 구한다. 이때 x의 계수는 2, 상수항은 a=2, b=-11 ∴ 2a+3b -11이므로 =2_2+3_(-11) =4-33 =-29 채점기준 ① 어떤 다항식을 구한다. ② 바르게 계산한 식을 구한다. ③ 2a+3b의 값을 구한다. 본문 116쪽 채점기준 ② | 40% 채점기준 ③ | 20% 답 -29 40% 40% 20% Ⅲ - 0 5 . 일 차 방 정 식 의 풀 이 05 일차방정식의 풀이 0421 ③ 0422 ⑤ 0423 ③ 0424 ③ 0425 ③ 0426 ④ 0427 ③ 0428 풀이 참조 0429 ① 0430 ① 0431 ② 0432 ④ 0433 ②, ③ 0434 ④ 0435 ⑤ 0436 ③ 0437 -6 0438 ③ 0439 0440 ② ;;£3¥;; 0441 6 0442 ③ 0443 ② 0444 ④ 0445 a+-2 0446 ㄱ, ㄷ 0447 ② 0448 68 0449 ① 0450 -8 0451 x=3 0452 ④ 0453 ④ 0454 x= -;2¥5; 0455 ② 0456 ④ 0457 c<b<a(또는 a>b>c) 0458 ②, ④ 0459 ⑴ x=-;7$; ⑵ x=;7!; ⑶ x=-1 0460 ③ 0461 ③ 0462 ⑴ -4x+2 ⑵ 3 0463 ④ 0464 ④ 0465 ② 0466 -2 0467 ⑴ x+4 ⑵ -;;Á3»;; 0468 ② 0469 ② 예제 3 STEP ❶ A를 x를 사용하여 나타낸다. 도형의 둘레의 길이 A는 가로의 길이가 10 cm, 세로의 길이가 (4x+5)cm 인 직사각형의 둘레의 길이와 같으므로 10_2+(4x+5)_2 STEP ❷ B를 x를 사용하여 나타낸다. =20+8x+10=8x+30 채점기준 ① | 50% 도형의 넓이 B는 직사각형 PQRS 에서 ㉠과 ㉡의 넓이의 합을 뺀 것과 (cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:10) (cid:68)(cid:78) (cid:49) (cid:21)(cid:68)(cid:78) (cid:52) 같으므로 10_(4x+5) -{3_(x+1)+3_(3x+5)} =40x+50-(3x+3+9x+15) =40x+50-12x-18 =28x+32 채점기준 ① A를 x를 사용하여 나타낸다. ② B를 x를 사용하여 나타낸다. (cid:9)(cid:20)(cid:89)(cid:12)(cid:22)(cid:10) (cid:68)(cid:78) ㉡ (cid:9)(cid:21)(cid:89)(cid:12)(cid:22)(cid:10) (cid:68)(cid:78) ㉠ (cid:20)(cid:68)(cid:78) (cid:35) (cid:20)(cid:68)(cid:78) (cid:89)(cid:68)(cid:78) (cid:50) (cid:51) (cid:18)(cid:17) (cid:68)(cid:78) 채점기준 ② | 50% 답 A`:`8x+30, B`:`28x+32 50% 50% 유제 3 STEP ❶ 주어진 그림에서 색칠한 부분의 넓이를 구한다. 색칠한 부분의 넓이는 직사각형의 넓이에서 내부의 사다리꼴의 넓이를 뺀 것 과 같으므로 (3x+3)_5- 1 2 _{x+(x+1)}_2 1 2 _(2x+1)_2=15x+15-2x-1 =15x+15- =13x+14 따라서 a=13, b=14이므로 a 13 14 b = 채점기준 ① 색칠한 부분의 넓이를 구한다. ② a b 의 값을 구한다. 예제 4 STEP ❶ 어떤 다항식을 A라 하고, A에 대한 식을 세운다. (1) 어떤 다항식을 A라 하면 A+(3a+1)=7a-3이므로 A=7a-3-(3a+1)=7a-3-3a-1=4a-4 STEP ❷ 바르게 계산한 식을 구한다. (2) 바르게 계산한 식은 (4a-4)-(3a+1) =4a-4-3a-1 =a-5 채점기 준 ① 어떤 다항식을 구한다. ② 바르게 계산한 식을 구한다. 채점기준 ① | 70% 채점기준 ② | 30% 답 13 14 70% 30% 채점기준 ① | 50% 0470 ③ 0471 풀이 참조 0472 x= ;2#; 0473 5 0474 ④ 0475 ④ 0476 -2 0477 ⑤ 0478 ⑴ 2 ⑵ -3 0479 0483 5 4 0480 ⑴ x=4 ⑵ 0484 풀이 참조 0485 -1 0481 ① 0482 ② 1, 4 0486 ① 0487 2 0488 ② 0489 33 0490 a=-;3$; , a+ -;3$; 인 모든 수 0491 ⑴ a=-4, b=-2 ⑵ x=-3 0492 ③ 0493 15 0494 2, 4, 6, 8 채점기준 ② | 50% 답 (1) 4a-4 (2) a-5 50% 50% 유제 4 STEP ❶ 어떤 다항식을 A라 하고, A에 대한 식을 세운다. 어떤 다항식을 A라 하면 A+(3x+4)=8x-3이므로 A =8x-3-(3x+4)=8x-3-3x-4 =5x-7 채점기준 ① | 40% 유형 정복하기 유형 01. 등식 0421 ㄱ, ㅂ : 부등호를 사용하여 나타낸 식 ㅅ, ㅇ : 다항식 따라서 등식인 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ의 4개이다. 답 ③ Ⅲ. 방정식 05. 일차방정식의 풀이 51 본문 120쪽 나희`:` a=2, b=6일 때 2는 소수이지만 2와 6은 서로소가 아니다. 다희`:` 4x와 x2은 문자는 같지만 차수가 다르므로 동류항이 아니다. 라희`:` 두 수 a, b의 곱 ab가 양수이면 a와 b의 부호는 같다. 마희`:` 방정식이란 x의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식 이다. 따라서 옳은 말을 한 학생을 모두 고르면 라희, 마희이다. 답 ③ 답 ⑤ 0428 (1) 지은이의 언니의 나이는 (x+6)살이므로 (3) 하은이가 나누어 준 과일의 개수에 대한 식을 세우면 x+(x+6)=34, 2x+6=34 따라서 위 식은 방정식이다. (2) 2(x+10)=2x+20 따라서 위 식은 항등식이다. 4x+3=5x-6 따라서 위 식은 방정식이다. (4) 1000x+2000=14000 따라서 위 식은 방정식이다. 2(8+x)=2x+16 따라서 위 식은 항등식이다. (5) 직사각형의 둘레의 길이는 2_{(가로의 길이)+(세로의 길이)}이므로 답 (1) x+(x+6)=34(또는 2x+6=34), 방정식 (2) 2(x+10)=2x+20, 항등식 (3) 4x+3=5x-6, 방정식 (4) 1000x+2000=14000, 방정식 (5) 2(8+x)=2x+16, 항등식 0422 ① 46+x 2 =50 ② 200-8x=60 ③ (거리)=(속력)_(시간)이므로 5x=50 ④ 4x=10000 ⑤ 3x=120 따라서 옳은 것은 ⑤이다. 0423 세종대왕의 일생이 x년이므로 태어난 지 11 27 x년이 지난 후에 임금이 되었고 그로부터 23년 후 측우기를 발명하였다. 또한 1 27 x년 후 훈민정음을 창제하 여 3년 후 반포하였고, 4년 후 승하하였다. 따라서 구하는 x에 대한 등식은 11 27 x+23+ 1 27 x+3+4=x 답 ③ 유형 02. 방정식과 항등식 를 사용하여 수 또는 식이 서로 같음을 나타낸 식이다. ㄷ. x에 대한 방정식에서 문자 x는 미지수라 한다. ㄹ. x에 대한 방정식이란 x의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하 ㅁ. 등식 x=7은 x의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하므로 x에 0424 ㄴ. 등식이란 등호 = 는 등식을 뜻한다. 대한 방정식이다. ㅂ. (좌변) =3(x-2)+5(x+1)=3x-6+5x+5 =8x-1 =8(x+1)-9=8x+8-9 =8x-1 (우변) 따라서 (좌변)=(우변)이므로 항등식이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㅁ, ㅂ의 3개이다. 답 ③ 답 ③ 유형 03. 항등식이 될 조건 0429 3x-5b=ax+15가 x에 대한 항등식이므로 3=a, -5b=15 ∴ ab=3_(-3)=-9 ∴ a=3, b=-3 0430 주어진 등식에 a=-1, b=2를 대입하면 2x-5_(-1)_(x-1)+2_2=cx+d 2x+5x-5+4=cx+d 7x-1=cx+d 따라서 c=7, d=-1이므로 cd=7_(-1)=-7 유형 04. 등식의 성질 b 4 ① 4a=b의 양변을 4로 나누면 a= ② 2a=3b의 양변에서 1을 빼면 2a-1=3b-1 ∴ 2a-1+3(b-1) ③ a=-b의 양변에 5를 더하면 a+5=-b+5 ∴ a+5=5-b 0425 각 방정식에 x=1을 대입하면 ① 1 3 _(1+2)=1 -2 -2_(1-2)+ ② 3_1+3=6 ③ ④ 5_1-3=2 ⑤ 1-1=0 따라서 x=1이 해가 아닌 것은 ③이다. 0426 x의 값에 관계없이 항상 참이 되는 등식은 항등식이다. ①, ②, ③, ⑤ 방정식 ④ (우변)=3(2-x)=6-3x=-3x+6, 즉 (좌변)=(우변)이므로 항등 0431 따라서 x의 값에 관계없이 항상 참이 되는 등식은 ④이다. 답 ④ 식이다. 0427 가희`:` 다항식 중에서 한다. 따라서 52 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) -6x와 같이 하나의 항으로 이루어진 식을 단항식이라 -6x는 단항식이면서 다항식이다. 답 ① 답 ① 3 = ④ 4a=3b의 양변을 12로 나누면 a b 4 ⑤ a+b=x+y의 양변에서 b+x를 빼면 a+b-(b+x)=x+y-(b+x) a+b-b-x=x+y-b-x ∴ a-x=-b+y 따라서 옳지 않은 것은 ②이다. 본문 123쪽 ⑤ y=2z이므로 젤리 1개와 초콜릿 2개의 무게가 같다. 따라서 저울의 오른 쪽에 젤리 1개를 추가하고 왼쪽에 초콜릿 2개를 추가하면 저울이 평형을 이룬다. 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 답 ⑤ 답 ② 유형 05. 등식의 성질을 이용한 방정식의 풀이 0432 ㄱ. a=b이면 a ㄴ. x y 5 b c c = (c+0)이다. 의 양변에 9를 곱하면 3x= y ∴ 3x+5y 9 5 3 = -a=4b의 양변에 -2를 곱하면 2a=-8b ㄷ. ㄹ. x=-2의 양변에 y를 더하면 x+y=y-2 ㅁ. 2(x-2)=y에서 2x-4=y yy ㉠ 2(x-3)=y-2의 좌변을 전개하면 2x-6이므로 ㉠의 양변에서 2를 빼면 2x-4-2=y-2 ∴ 2x-6=y-2 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ의 4개이다. 답 ④ -8x )=8x+3+( (가) -8x ) (나) 4 =3+ (나) 4 0436 3x-4=8x+3 3x-4+( (가) -5x-4=3 -5x-4+ -5x= (다) 7 (다) 7 (라) -5 -5x (라) -5 = (마) ∴ x= -;5&; Ⅲ - 0 5 . 일 차 방 정 식 의 풀 이 따라서 (가) -8x, (나) 4, (다) 7, (라) -5, (마) - 이다. 답 ③ 7 5 7 2 0433 ① 4x-3=4의 양변에 3을 더하면 4x=7 4x=7의 양변을 2로 나누면 2x= ② 4x-3=4의 양변에 3을 더하면 4x=4+3 ③ 4x-3=4의 양변에 -4x+3=-4 ④ 4x-3=4의 양변에 4를 더하면 4x-3+4=4+4 ∴ 4x+1=8 ⑤ 4x-3=4의 양변에 2를 곱하면 8x-6=8 따라서 옳지 않은 것을 모두 고르면 ②, ③이다. -1을 곱하면 답 ②, ③ -2x=-6x+20의 양변에 6x를 더하면 4x=20 0434 ① 3x-6=2의 양변에 6을 더하면 3x=8 ② 4x=8-x의 양변에 x를 더하면 5x=8 ③ ④ 5x=-10의 양변을 5로 나누면 x=-2 또는 5x=-10의 양변에 1 5 ⑤ 4(x-1)=8에서 4x-4=8의 양변에 4를 더하면 4x=12 을 곱하면 x=-2 이므로 ①, ②, ③, ⑤에서 이용한 등식의 성질은 ‘a=b이면 a+c=b+c이 다.’이고 ④에서 이용한 등식의 성질은 ‘a=b이면 ac=bc이다.’ 또는 ‘ a=b이면 a c = b c (c+0)이다.’이다. 따라서 이용하는 등식의 성질이 다른 하나는 ④이다. 답 ④ 0435 사탕, 젤리, 초콜릿 1개의 무게를 각각 x, y, z라 하면 [그림 1]에서 2y=4z yy ㉠ [그림 2]에서 2x=x+2z yy ㉡ ① ㉡의 양변에서 x를 빼면 x=2z ② ㉠의 양변에 1 을 곱하면 y=2z 2 ③ x=2z, y=2z이므로 x=y ④ x=2z에서 양변에 2를 곱하면 2x=4z이므로 초콜릿 4개는 사탕 2개와 무 게가 같다. 따라서 저울의 왼쪽에 초콜릿 4개를 추가하고 오른쪽에 사탕 2 개를 추가하면 저울이 평형을 이룬다. 0437 2x+6=3의 양변에 2x+6+(-6)=3+(-6), 2x=-3 ∴ c=-6 -6을 더하면 0438 x+1 3 =2의 양변에 3을 곱하면 (㉠) x+1 3 _3=2_3, x+1=6 x+1=6의 양변에서 1을 빼면 (㉡) x+1-1=6-1 ㄷ, ㉡ 따라서 ㉠ ∴ x=5 ㄴ이다. - - (가) 2 =6-x- (가) 2 (나) 4 -x+ (다) x 0439 5x+2=6-x 5x+2- 5x= 5x+ 6x=4 6x (라) 6 = (나) 4 -x (다) x = 4 (라) 6 ∴ x= (마) ;3@; 따라서 (가) 2, (나) 4, (다) x, (라) 6, (마) 2 3 이다. ∴ (가) (나) (라) (마) + + + =2+4+6+ 2 3 = 38 3 유형 06. 이항 0440 ① 4x-3=1에서 좌변의 -3을 이항하면 4x=1+3 답 -6 답 ③ 답 38 3 Ⅲ. 방정식 05. 일차방정식의 풀이 53 -2x+x=6 -x를 이항하면 -2x=6-x에서 우변의 ② ③ 3x=5+2x에서 우변의 2x를 이항하면 3x-2x=5 ④ 3x-2=1에서 좌변의 ⑤ 3x+5=-x+1에서 좌변의 5, 우변의 3x+x=1-5 따라서 옳은 것은 ②이다. -2를 이항하면 3x=1+2 -x를 이항하면 0441 5x+7=-3x+5에서 좌변의 7을 우변으로, 우변의 이항하면 5x+3x=5-7 따라서 a=8, b=-2이므로 a+b=8+(-2)=6 ∴ 8x=-2 -3x를 좌변으로 각각 답 ② 답 6 0442 ① a-2=b+1에서 좌변의 a=b+1+ (가) 2 ② 2x=-3x+10에서 우변의 (나) 3x =10 2x+ -2를 우변으로 이항하면 -3x를 좌변으로 이항하면 ③ 1 3 a=b-2의 양변에 3을 곱하면 a= (다) 3 _(b-2) ④ 3x-6=x+1에서 좌변의 각각 이항하면 3x-x=1+ -6을 우변으로, 우변의 x를 좌변으로 (라) 6 ⑤ 3-3x=x+8에서 좌변의 3을 우변으로, 우변의 x를 좌변으로 (마) x =8-3 각각 이항하면 -3x- 따라서 (가) 2, (나) 3x, (다) 3, (라) 6, (마) x이다. 답 ③ 0443 ㄱ. 6x-3=x에서 우변의 x를 좌변으로 이항하면 6x-x-3=0 (이항) ㄴ. x 3 =4의 양변에 3을 곱하면 x=4_3 (등식의 성질) ㄷ. 4x=16의 양변을 4로 나누면 x= ㄹ. 2x+3=x-4에서 좌변의 3을 우변으로 이항하면 (등식의 성질) 16 4 2x=x-4-3 (이항) ㅁ. 3x=-x+1에서 우변의 3x+x=1 -x를 좌변으로 이항하면 따라서 이항을 바르게 한 식을 모두 고르면 ㄱ, ㄹ이다. 답 ② 유형 07. 일차방정식 0444 주어진 등식의 우변에 있는 항을 모두 좌변으로 이항하여 정리하면 ㄱ. 6x-4=2(3x-2)에서 6x-4=6x-4 6x-4-6x+4=0 +5x-3=x2 ∴ 0´x=0 +x에서 x2 +5x-3-x2 ㄴ. x2 ㄷ. 5x+3=x+3에서 5x+3-x-3=0 ㄹ. 2(x-1)=-2x에서 2x-2=-2x, 2x-2+2x=0 따라서 일차방정식인 것을 모두 고르면 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다. -x=0 ∴ 4x=0 ∴ 4x-3=0 ∴ 4x-2=0 답 ④ 본문 125쪽 0446 |보|기|에서 수량 사이의 관계를 식으로 나타내면 ㄱ. 5x=12000에서 5x-12000=0 ㄴ. 6x2 -60=0 ㄷ. 여학생이 x명이면 남학생은 (x-4)명이므로 =60에서 6x2 x+(x-4)=40, 2x-4-40=0 ∴ 2x-44=0 따라서 일차방정식인 것을 모두 고르면 ㄱ, ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄷ 유형 08. 일차방정식의 풀이 0447 x가 -1 이상 2 미만의 정수이므로 x=-1, 0, 1 -4x+7=3에서 -4x=-4 2 x=1 x-3=-2에서 1 ① ∴ x=1 ② 1 2 ∴ x=2 ③ 3(x+1)=x+3에서 3x+3=x+3 2x=0 ④ 4x+3= ∴ x=0 1 3 (x-2)에서 4x+3= 1 3 x- 2 3 ⑤ ∴ x=-1 x=- 11 11 3 3 -3-(4x-7)=0에서 ∴ x=1 -4x=-4 따라서 해가 없는 것은 ②이다. -3-4x+7=0 0448 6x-4=-a(x+2)+bx에서 6x-4=-ax-2a+bx, 6x-4=(-a+b)x-2a 이므로 6=-a+b, -4=-2a -4=-2a에서 a=2 6=-a+b에 a=2를 대입하면 6=-2+b ∴ a2 =68 =22 +82 +b2 ∴ b=8 -3x+5=x-3에서 0449 4(x-2)=2x-2에서 4x-8=2x-2 4x-2x=-2+8, 2x=6 ∴ x=3 ① 2x+3=3x에서 2x-3x=-3, ② ③ 6x-3=3(2-x)에서 6x-3=6-3x ∴ x=1 6x+3x=6+3, 9x=9 ④ 3(2x-3)=x-4에서 6x-9=x-4 ∴ x=1 6x-x=-4+9, 5x=5 ⑤ -x+9=-9+3(1-2x)에서 -x+6x=-6-9, 5x=-15 -x+9=-9+3-6x ∴ x=-3 따라서 주어진 방정식과 해가 같은 것은 ①이다. -x=-3 -3x-x=-3-5, ∴ x=3 -4x=-8 ∴ x=2 답 ② 답 68 답 ① 답 -8 0445 등식 2x+4=5-ax에서 우변에 있는 항을 모두 좌변으로 이항하여 정리하면 2x+4+ax-5=0, (2+a)x-1=0 이 방정식이 x에 대한 일차방정식이 되려면 -2 2+a+0 ∴ a+ 답 a+ -2 0450 5x-6=3x-10에서 5x-3x=-10+6, 2x=-4 -(6x-4)=3x-32에서 -6x-3x=-32-4, 따라서 a=-2, b=4이므로 ab=(-2)_4=-8 -6x+4=3x-32 -9x=-36 ∴ x=4 ∴ x=-2 54 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 0451 12-3(5-x)=7x+1에서 12-15+3x=7x+1 3x-7x=1-12+15, 따라서 a=-1이므로 ax+3=0에서 ∴ x=3 -x=-3 ∴ x=-1 -x+3=0 -4x=4 0452 7x-5(x+2)=6에서 7x-5x-10=6 2x=6+10, 2x=16 따라서 a=8이므로 a2 ∴ x=8 =82 -8a -8_8=0 0453 0.6x+0.25=5(0.2x-0.03)에서 0.6x+0.25=x-0.15이므로 양변에 100을 곱하면 60x+25=100x-15, 60x-100x=-15-25 -40x=-40 ∴ x=1 답 ④ 0454 4 3 5-x 5-x 4 3 (x-1)에서 9 10 - 2 = 2 = (x-1)이므로 0.9- 양변에 30을 곱하면 27-15(5-x)=40(x-1), 27-75+15x=40x-40 15x-40x=-40-27+75, ∴ x=- -25x=8 답 x=- 8 25 8 25 0455 조건 (가)에서 0.3x+2.5=0.4의 양변에 10을 곱하면 3x+25=4, 3x=4-25, 3x=-21 ∴ x=-7 ∴ a=-7 조건 (나)에서 3(2x-3)=9x+2의 좌변의 괄호를 풀면 6x-9=9x+2, 6x-9x=2+9, -3x=11 ∴ x=- 11 3 ∴ b=- 11 3 조건 (다)에서 5 x+1 6 - 4 = x 2 + 2 3 의 양변에 12를 곱하면 10-3(x+1)=6x+8, 10-3x-3=6x+8 -3x-6x=8-10+3, -9x=1 ∴ x=- 1 9 ∴ c=- 1 9 ∴ a-b-3c =-7-{- =-7+4=-3 11 3 }-3_{- 1 9 }=-7+ 11 3 + 1 3 답 ② 유형 09. 복잡한 일차방정식의 풀이 0456 x+2 3 = 3x+1 4 의 양변에 12를 곱하면 4(x+2)=3(3x+1), 4x+8=9x+3, 4x-9x=3-8 -5x=-5 ① 0.5(x+1)= 10(x+1)=5(3x+1), 10x+10=15x+5, 10x-15x=5-10 ∴ x=1 3x+1 4 의 양변에 20을 곱하면 ∴ x=1 -5x=-5 x 2 -0.5의 양변에 10을 곱하면 5 -0.2= ② x 2x-2=5x-5, 2x-5x=-5+2 답 x=3 -3x=-3 ∴ x=1 ③ 7-x 3 = 5x+7 6 의 양변에 6을 곱하면 2(7-x)=5x+7, 14-2x=5x+7, -7x=-7 ∴ x=1 5 +0.4=x-0.6의 양변에 10을 곱하면 ④ x 2x+4=10x-6, 2x-10x=-6-4 -8x=-10 ∴ x= 5 4 -2x-5x=7-14 답 ④ ⑤ 3 5 x=1.2x-0.6의 양변에 10을 곱하면 6x=12x-6, 6x-12x=-6 -6x=-6 ∴ x=1 따라서 주어진 방정식과 해가 다른 것은 ④이다. 본문 127쪽 답 ④ Ⅲ - 0 5 . 일 차 방 정 식 의 풀 이 0457 4-{4x-(x-1)}+6=0에서 4-(4x-x+1)+6=0, 10-(3x+1)=0 10-3x-1=0, ∴ x=3 -3x=-9 ∴ a=3 x-4 의 양변에 12를 곱하면 6 =- x-2 4 2(x-4)=-3(x-2), 2x-8=-3x+6 2x+3x=6+8, 5x=14 ∴ x= 14 5 14 5 ∴ b= 0.2(x+4)=1.4x-1.6의 양변에 10을 곱하면 2(x+4)=14x-16, 2x+8=14x-16 2x-14x=-16-8, ∴ c=2 따라서 a=3, b= c<b<a(또는 a>b>c) , c=2이고 2< -12x=-24 14 5 14 5 ∴ x=2 <3이므로 답 c<b<a(또는 a>b>c) x-2= ∴ x=1 2 3 ∴ x=2 x의 양변에 3을 곱하면 5x-6=2x, 5x-2x=6 0458 ① 3x-4=2x-3에서 3x-2x=-3+4 ② 5 3 3x=6 ③ 3(x+1)=2x-5에서 3x+3=2x-5 3x-2x=-5-3 ④ 1.1x-3=0.6x-2의 양변에 10을 곱하면 11x-30=6x-20 11x-6x=-20+30, 5x=10 ⑤ 3x+4 ∴ x=-8 ∴ x=2 1 2 = 1-x 3 6 + 의 양변에 6을 곱하면 3x+4+3=2(1-x) 3x+7=2-2x, 3x+2x=2-7, 5x=-5 따라서 해가 같은 방정식은 ②, ④이다. ∴ x=-1 답 ②, ④ 0459 (1) 2x-5 x-1 6 - 2 = 1 3 +x의 양변에 6을 곱하면 2x-5-3(x-1)=2+6x, 2x-5-3x+3=2+6x -x-2=2+6x, -x-6x=2+2, x-3 6 +1의 양변에 18을 곱하면 -7x=4 9 = (2) 5-2x ∴ x=- 4 7 2(5-2x)=3(x-3)+18, 10-4x=3x-9+18 Ⅲ. 방정식 05. 일차방정식의 풀이 55 10-4x=3x+9, -4x-3x=9-10, -7x=-1 ∴ x= 1 7 (3) 0.75(x-1)+ 3(x+2) 2 = 에서 0.75= 75 100 = 3 4 이므로 의 양변에 12를 곱하면 4(x+1) 3 4(x+1) 3 2 = 3(x+2) (x-1)+ 3 4 9(x-1)+18(x+2)=16(x+1) 9x-9+18x+36=16x+16 27x+27=16x+16 27x-16x=16-27, 11x=-11 ∴ x=-1 4 7 답 (1) x=- (2) x= (3) x=-1 1 7 0460 3 5 1-3x 2 x= 의 양변에 10을 곱하면 0.4(1+x)- 4(1+x)-6x=5(1-3x), 4+4x-6x=5-15x, -2x+15x=5-4, 13x=1 ∴ x= 1 13 -2x+4=5-15x 답 ③ 0461 2x+6=x+3에서 2x-x=3-6 ㄱ. x-6=3에서 x=3+6 -6 -2x=-6에서 x= ㄴ. -2 =3 x 6 =0의 양변에 6을 곱하면 3+x=0 ∴ x=9 ㄷ. 1 ∴ x=-3 2 + ㄹ. 2x-9 ∴ x=-3 3 =-5의 양변에 3을 곱하면 2x-9=-15, 2x=-15+9 ㅁ. ∴ x=-3 2x=-6 -4(x+2)=-x+1에서 -3x=9 -4x+x=1+8, -4x-8=-x+1 ∴ x=-3 따라서 일차방정식 2x+6=x+3과 해가 같은 것은 ㄷ, ㄹ, ㅁ의 3개이다. 답 ③ -4인 일차식을 -4x+k의 값이 0462 (1) x의 계수가 x=2일 때 -4_2+k=-6, 따라서 구하는 일차식은 -4x+2의 값이 -4x+2=-10, (2) -4x+k (k는 상수)라 하자. -6이므로 -8+k=-6 ∴ k=-6+8=2 -4x+2이다. -10이 되므로 -4x=-10-2, -4x=-12 ∴ x=3 답 (1) -4x+2 (2) 3 0463 표준 몸무게가 72 kg인 사람의 키를 x cm라 하면 0.9(x-100)=72 양변에 10을 곱하면 9(x-100)=720, 9x-900=720 9x=720+900, 9x=1620 따라서 표준 몸무게가 72 kg인 사람의 키는 180 cm이다. ∴ x=180 유형 10. 비례식으로 주어진 일차방정식의 풀이 0464 (2x+3)`:`(9-x)=3`:`2에서 외항의 곱과 내항의 곱은 같으므로 2(2x+3)=3(9-x), 4x+6=27-3x, 4x+3x=27-6 7x=21 ∴ x=3 56 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 답 ④ 답 ④ 0465 우유 48 mL를 사용하여 만든 호두과자의 개수를 x라 하면 72 5 `:`6=48`:`x 외항의 곱과 내항의 곱은 같으므로 72 5 x=288 5 72 =20 ∴ x=288_ 따라서 만든 호두과자의 개수는 20이다. 유형 11. 규칙을 이용한 일차방정식의 풀이 본문 129쪽 답 ② 0466 -3x+(6-x)=-4x+6, (6-x)+2x=x+6이므로 주어진 그림의 빈칸을 완성하면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 (-4x+6)+(x+6)=18이므로 -3x+12=18, -3x=6 -3x=18-12 ∴ x=-2 0467 3 2 (1) { x+2 }-(-x+1)= 5 2 x+4 (-x+1)-{- ∴ C ={ 5 2 x+1 }-{ x-3 }   3 2 5 2 = x+1- x+3=x+4 (2) C=x+4이고 C=- 이므로 7 3 3 2 x+4=- 7 3 (cid:14)(cid:20)(cid:89) (cid:23)(cid:14)(cid:89) (cid:19)(cid:89) (cid:14)(cid:21)(cid:89)(cid:12)(cid:23) (cid:89)(cid:12)(cid:23) (cid:18)(cid:25) 답 -2 3 2 x+2+x-1= x+1 5 2 }=-x+1+ x-4= 5 2 3 2 x-3 x+2 -x+1 ;2#; -;2%; x+4   x+1 ;2%; x-3 ;2#; x+4 ∴ x=- 7 3 -4= -7-12 3 =- 19 3 답 (1) x+4 (2) - 19 3 0468 <x+3, 2x><-2, 5> =(x+3)_5-2x_(-2) =5x+15+4x=9x+15 이므로 9x+15=6x에서 9x-6x=-15, 3x=-15 ∴ x=-5 답 ② 0469 정삼각형 1개를 만들 때 성냥개비 3개, 정삼각형 2개를 만들 때 성냥개비 (3+2)개, 정삼각형 3개를 만들 때 성냥개비 (3+2+2)개를 이용하므로 정 삼각형 x개를 만들 때 이용하는 성냥개비의 수는 3+2(x-1) (개) 이때 성냥개비 223개로 만들 수 있는 정삼각형의 개수를 x라 하면 3+2(x-1)=223, 3+2x-2=223, 2x+1=223 2x=222 따라서 구하는 정삼각형의 개수는 111이다. ∴ x=111 답 ② 0470 (cid:20) (cid:68)(cid:78) [(cid:18)단계] [1단계]에서 만들어진 도형의 둘레의 길이는 4_3=12(cm) [2단계]에서 만들어진 도형의 둘레의 길이는 4_(3_2)=24(cm) (cid:20) (cid:68)(cid:78) (cid:20) (cid:68)(cid:78) [(cid:19)단계] (cid:23) (cid:68)(cid:78) (cid:20) (cid:68)(cid:78) (cid:20)(cid:89) (cid:68)(cid:78) [(cid:89)단계] [x단계]에서 만들어진 도형의 둘레의 길이는 4_(3_x)=12x(cm) 이때 [x단계]에서 만들어진 도형의 둘레의 길이가 672 cm이므로 12x=672 ∴ x=56 따라서 구하는 단계는 56단계이다. 0471 (1)  안의 수 중 가장 작은 수를 x라 하면 네 수는 각각 x, x+1, x+7, x+8이다.  안의 날짜의 합이 76이므로 x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=76 4x+16=76, 4x=60 ∴ x=15 따라서 구하는 4개의 날짜는 15일, 16일, 22일, 23일이다. x x+7 x+1 x+8 본문 131쪽 0474 4x-3(1-a)=2a에서 상수 a의 부호를 잘못 보았으므로 잘못 본 방정식은 4x-3(1+a)=-2a 이 방정식의 해가 x=0이므로 x=0을 대입하면 4_0-3(1+a)=-2a -3-3a=-2a, ∴ a=-3 따라서 원래의 방정식은 4x-3_{1-(-3)}=2_(-3)이므로 4x-3_4=-6, 4x-12=-6 4x=6 ∴ x= -a=3 3 2 0475 2.6x-0.4=4x-3.2의 양변에 10을 곱하면 26x-4=40x-32, x-a -14x=-28 의 양변에 6을 곱하면 3x-5 2 3 = ∴ x=2 2(x-a)=3(3x-5), 2x-2a=9x-15 이 방정식의 해는 x= 1 2 1 2 을 대입하면 이므로 x= 23 2 0476 5(x+2)=2(x-1)에서 5x+10=2x-2, 3x=-12 따라서 ax+10=42-ax의 해는 x=-8이므로 -8a+10=42-(-8a), -8a+10=42+8a ∴ a=-2 -16a=32 ∴ x=-4 답 ④ Ⅲ - 0 5 . 일 차 방 정 식 의 풀 이 답 -2 답 ③ 1-2a= 9 2 -15, -2a=- ∴ a= 23 4 답 ④ (2) (1)에서 구한 날짜 중 가장 빠른 날짜는 15일이므로 화요일이다. 답 (1) 15일, 16일, 22일, 23일 (2) 화요일 유형 13. 두 일차방정식의 해가 같은 경우 유형 12. 일차방정식의 해가 주어진 경우 0472 a(x+5)=-6에 x=-2를 대입하면 a_(-2+5)=-6, 3a=-6 따라서 6x-2(x+1)=4이므로 6x-2x-2=4, 4x-2=4, 4x=6 ∴ a=-2 ∴ x= 3 2 답 x= 3 2 0473 a-2x 4 =2- x+a 3 에 x=-5를 대입하면 a-2_(-5) 4 =2- -5+a 3 양변에 12를 곱하면 3(a+10)=24-4(-5+a) 3a+30=24+20-4a, 7a=14 2 1 3 = 6 ax+1의 좌변을 정리하면 (bx+2)+ ∴ a=2 1 4 1 6 bx+ 1 3 + 2 3 = 1 4 ax+1 위 식이 항등식이므로 1 6 b= 1 4 a= 1 4 _2= 1 2 ∴ b=3 ∴ a+b=2+3=5 0477 5x-2=2x+7에서 3x=9 따라서 -4_3+a=2_3-4, ∴ x=3 -4x+a=2x-4의 해가 x=3이므로 -12+a=2 ∴ a=14 답 ⑤ 0478 (1) (x+6)`:`4=2(x+1)`:`3에서 외항의 곱과 내항의 곱은 같으므로 ∴ a=-3 답 (1) 2 (2) -3 3(x+6)=8(x+1), 3x+18=8x+8 ∴ x=2 -5x=-10 (2) (2-a)x=-3a+1의 해가 x=2이므로 (2-a)_2=-3a+1, 4-2a=-3a+1 0479 0.7x-1.2=0.2x-0.7의 양변에 10을 곱하면 7x-12=2x-7, 5x=5 3x+a x-4 8 -2의 해가 x=1이므로 ∴ x=1 3 = 1-4 3 = 3+a=8 3+a 8 -2, ∴ a=5 -1= 3+a 8 -2, 1= 3+a 8 답 5 0480 (1) 2x=14-2(x-1)에서 우변을 정리하면 2x=14-2x+2, 2x=16-2x, 4x=16 ∴ x=4 답 5 Ⅲ. 방정식 05. 일차방정식의 풀이 57 (cid:85) (cid:85) (cid:85) (cid:85) (cid:85) (cid:85)  (2) x+a 3x-8 3 + 2 =7-x의 해가 x=4이므로 2 =7-4, 4+a 3 +2=3, 4+a 12-8 ∴ a=-1 3 =1 4+a 3 + 4+a=3 0481 0.26x+1.8=0.3(0.4-x)의 양변에 100을 곱하면 26x+180=30(0.4-x), 26x+180=12-30x 56x=-168 |a+2|=-x의 해는 x=-3이므로 |a+2|=-(-3), |a+2|=3 a+2=3 또는 a+2=-3 ∴ a=1 또는 a=-5 따라서 상수 a의 값을 모두 더하면 1+(-5)=-4 ∴ x=-3 본문 132쪽 이때 25-4a 3 가 자연수이어야 하므로 25-4a의 값은 3의 배수이어야 한다. Ú 25-4a=3일 때, -4a=-22 ∴ a= 11 2 답 (1) x=4 (2) -1 Û 25-4a=6일 때, Ü 25-4a=9일 때, Ý 25-4a=12일 때, -4a=-19 -4a=-16 -4a=-13 Þ 25-4a=15일 때, -4a=-10 답 ① ß 25-4a=18일 때, -4a=-7 à 25-4a=21일 때, -4a=-4 -4a=-1 ¡ 25-4a=24일 때, á 25-4a의 값이 25 이상의 3의 배수이면 aÉ0이므로 조건을 만족시키지 않는다. 19 ∴ a= 4 ∴ a=4 ∴ a= 13 4 5 2 ∴ a= 7 ∴ a= 4 ∴ a=1 1 ∴ a= 4 유형 14. 해에 대한 조건이 주어진 방정식 0482 2 (x-a)=4의 양변에 3을 곱하면 x- 3 3x-2(x-a)=12, 3x-2x+2a=12 ∴ x=12-2a 이때 12-2a가 자연수이어야 하므로 자연수 a는 1, 2, 3, 4, 5의 5개이다. 답 ② 0483 ax+3=-3(x+2)에서 ax+3=-3x-6 ax+3x=-6-3, (a+3)x=-9 ∴ x=- 9 a+3 이때 - 가 음의 정수이려면 분모 a+3의 값이 9의 약수이어야 한다. 9 a+3 -2, 0, 6이므로 구하는 정수 a의 값의 합은 답 4 Ú a+3=1일 때, a=1-3=-2 Û a+3=3일 때, a=3-3=0 Ü a+3=9일 때, a=9-3=6 따라서 Ú~Ü에서 a의 값은 -2+0+6=4 0484 (1) 3 x- { 2 3 }= 1 (x+a)의 양변에 3을 곱하면 3 9 x- { 2 3 }=x+a, 9x-6=x+a 8x=a+6 ∴ x= a+6 8 (2) x+3 2 = 3x-a 5 의 양변에 10을 곱하면 5(x+3)=2(3x-a), 5x+15=6x-2a -x=-2a-15 (3) 2a+15의 값이 a+6 ∴ x=2a+15 의 값의 8배이므로 8 2a+15= a+6 8 _8, 2a+15=a+6 0485 2(2a+x)+x=25에서 4a+2x+x=25 ∴ x= 3x=25-4a 25-4a 3 58 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) ∴ a=-9 답 (1) x= a+6 8 (2) x=2a+15 (3) -9 따라서 Ú~á에서 자연수 a의 값은 1, 4이다. 답 1, 4 0486 4x+a 6 - x-1 2 - 1 3 =1의 양변에 6을 곱하면 4x+a-3(x-1)-2=6 4x+a-3x+3-2=6 ∴ x=5-a 5-a가 자연수이어야 하므로 가능한 자연수 a의 값은 1, 2, 3, 4이다. ∴ b=1+2+3+4=10 따라서 b-a의 값이 될 수 있는 수는 6, 7, 8, 9이다. 답 ① 유형 15. 특수한 해를 갖는 방정식 0487 (a-6)x=3-2ax에서 우변의 (a-6)x+2ax=3, (3a-6)x=3 이 등식을 만족시키는 x의 값이 존재하지 않으므로 ∴ a=2 3a-6=0, 3a=6 -2ax를 좌변으로 이항하면 0488 1 3 =6x-b에서 (2a-6)x=-b- 2ax+ 1 3 이 방정식의 해가 무수히 많으므로 2a-6=0, 2a-6=0에서 2a=6 1 3 =0에서 b=- 1 3 }=-1 ∴ a=3 1 3 ∴ ab=3_{- -b- -b- 1 3 =0 0489 (4-a)x+2=7에서 (4-a)x=5의 해가 없으므로 4-a=0 (b-1)x+4=c에서 (b-1)x=c-4의 해가 무수히 많으므로 b-1=0, c-4=0 =42 ∴ a2 ∴ b=1, c=4 +42 =16+1+16=33 ∴ a=4 +c2 +12 +b2 0490 x 2 +a= 3x+6a=2x-(8-x), 3x+6a=2x-8+x, 3x+6a=3x-8 의 양변에 6을 곱하면 8-x 6 x 3 - 답 2 답 ② 답 33 답 a=- , a+ - 4 3 4 3 인 모든 수 서술형 격파하기 0_x=-8-6a Ú ㉠의 해가 무수히 많을 때 yy ㉠ -8-6a=0에서 Û ㉠의 해가 없을 때 -6a=8 ∴ a=- 4 3 -8-6a+0에서 -6a+8 ∴ a+ 인 모든 수 4 3 - 따라서 Ú, Û에서 주어진 방정식의 해가 무수히 많을 때와 없을 때의 상수 a의 값을 차례로 구하면 a=- , a+ - 인 모든 수이다. 4 3 4 3 백점 도전하기 0491 유형 08 126쪽 (1) 4x-7=a(2-x)+3+b에서 4x-7=-ax+2a+3+b가 x에 대한 항등식이 되려면 -a=4, 2a+3+b=-7이어야 한다. -a=4에서 a=-4 2a+3+b=-7에 a=-4를 대입하면 2_(-4)+3+b=-7, b-5=-7 -8+3+b=-7 좌변과 우변의 x의 계수와 상수항이 각각 서로 같아야 해. ∴ b=-2 에 a b =a+ (x-b)-b2 (2) a 2 a=-4, b=-2를 대입하면 -4 {x-(-2)}-(-2)2 2 -2(x+2)-4=-4+2, -2x=6 ∴ x=-3 -4 -2 } =-4+{ -2x-4-4=-2, 계산에 주의하자! -2x-8=-2 답 (1) a=-4, b=-2 (2) x=-3 0492 유형 11 130쪽 자르기 전의 정육면체의 겉넓이는 6_(4_4)=96 (cm2) 주어진 정육면체를 평면 BFGC에 평행한 평면으로 x번 잘랐을 때 각 직육면 한 변의 길이가 4인 정사각형의 넓이 체의 겉넓이의 합은 96+(4_4)_x_2=96+32x (cm2) 정육면체를 x번 잘랐을 때 각 직육면체의 겉넓이의 합이 480 cm2 이므로 96+32x=480, 32x=384 ∴ x=12 따라서 주어진 조건을 만족시키려면 정육면체를 12번 잘라야 한다. 답 ③ 0493 유형 11 130쪽 한 변에 바둑돌을 2개 배열할 때, 정사각형 모양을 만든 바둑돌의 개수는 4_(2-1), 즉 4이다. 한 변에 바둑돌을 3개 배열할 때, 정사각형 모양을 만든 바둑돌의 개수는 4_(3-1), 즉 8이다. 따라서 한 변에 바둑돌을 x개 배열할 때, 정사각형 모양을 만든 바둑돌의 개 수는 4_(x-1), 즉 4x-4이다. 정사각형 모양을 만든 바둑돌의 개수가 56이므로 4x-4=56, 4x=60 따라서 구하는 바둑돌의 개수는 15이다. 한 변에 배열한 바둑돌의 개수가 늘어날 때마다 4_(x-1)에서 x의 값만 변함을 알 수 있어. ∴ x=15 답 15 0494 유형 14 133쪽 2(5-x)=a에서 10-2x=a, ∴ x= 10-a 2 a-10 -2 = -2x=a-10 본문 135쪽 이때 10-a 2 가 자연수이려면 분자 10-a의 값이 2의 배수이어야 한다. 10-a의 값이 2의 배수이면 분자 10-a와 분모 2가 약분 되어 분모가 소거 돼. Ú 10-a=2일 때, a=10-2=8 Û 10-a=4일 때, a=10-4=6 Ü 10-a=6일 때, a=10-6=4 Ý 10-a=8일 때, a=10-8=2 Þ 10-a의 값이 10 이상인 2의 배수일 때 aÉ0이므로 a는 자연수가 아니다. 답 2, 4, 6, 8 따라서 Ú~Þ에서 구하는 자연수 a의 값은 2, 4, 6, 8이다. 예제 1 예제 2 예제 3 예제 4 5 9 (1) -2 (2) x=2 a=3, b+4 유제 1 유제 2 유제 3 유제 4 4 4 7 a=-5, b+ -6 예제 1 STEP ❶ 주어진 식의 좌변과 우변의 x의 계수, 상수항을 각각 비교한다. (a-2)x- 3 5 = 3 4 x- 1 2 b가 x에 대한 항등식이므로 Ⅲ - 0 5 . 일 차 방 정 식 의 풀 이 3 4 3 4 a-2= , - 3 5 =- 1 2 b이어야 한다. a-2= 에서 a= 3 5 =- 1 2 - b에서 b=- 11 4 3 4 +2= 3 5 _(-2)= 6 5 =11-6=5 6 5 11 4 -5_ ∴ 4a-5b=4_ 답 채점기준 ① a, b의 값을 구한다. ② 4a-5b의 값을 구한다. 유제 1 채점기준 ① | 80% 채점기준 ② | 20% 5 80% 20% STEP ❶ 4x 1 + 3 - x 3 - 2 =ax+b의 좌변을 간단히 한 후 a, b의 값을 구한다. 4x+1 3 - (좌변) ={ x-3 2 =ax+b에서 좌변을 정리하면 3 2 }= 8-3 6 4 3 - 1 3 + x+{ 1 2 } x+ 2+9 6 5 6 x+ 11 6 = 이므로 5 6 x+ 11 6 =ax+b가 항등식이려면 a= 5 6 , b= 11 6 1 STEP ❷ 4 의 값을 구한다. (-8x+4)- (6x-9)=cx+d의 좌변을 간단히 한 후 c, d 1 3 채점기준 ① | 40% 1 4 (-8x+4)- (6x-9)=cx+d에서 좌변을 정리하면 1 3 (좌변) 이므로 =-2x+1-2x+3=-4x+4 -4x+4=cx+d가 항등식이려면 c=-4, d=4 STEP ❸ ac+bd의 값을 구한다. ∴ ac+bd = =4 5 6 _(-4)+ 답 11 6 _4=- 10 3 + 22 3 = 12 3 채점기준 ② | 40% 채점기준 ③ | 20% Ⅲ. 방정식 05. 일차방정식의 풀이 59 4 채점 기준 ① 4x+1 ② 1 4 구한다. x-3 2 =ax+b를 간단히 하여 a, b의 값을 구한다. 3 - (-8x+4)- (6x-9)=cx+d를 간단히 하여 c, d의 값을 1 3 ③ ac+bd의 값을 구한다. 40% 40% 20% (2) 6-ax=7x- 8-2a 3 에 a=-2를 대입하면 6-(-2)_x=7x- 8-2_(-2) 3 8+4 3 , 6+2x=7x-4, -5x=-10 예제 2 STEP ❶ 주어진 식의 양변에 10을 곱하여 간단히 한 후 방정식을 푼다. 6+2x=7x- ∴ x=2 답 채점기준 ① a의 값을 구한다. ② 6-ax=7x- 8-2a 3 의 해를 구한다. x+14 5 의 양변에 10을 곱하면 0.3(2x-3)= 3(2x-3)=2(x+14), 6x-9=2x+28 37 4x=37 4 STEP ❷ a보다 작은 자연수의 개수를 구한다. ∴ x= 37 4 =9.25이므로 a보다 작은 자연수는 따라서 a= 1, 2, 3, y, 9의 9개이다. 답 채점 기준 ① x의 값을 구한다. ② a보다 작은 자연수의 개수를 구한다. 채점기준 ① | 60% 채점기준 ② | 40% 9 60% 40% 유제 3 STEP ❶ 3x+a=x-1의 해가 x=-2임을 이용하여 a의 값을 구한다. 3x+a=x-1에 x=-2를 대입하면 3_(-2)+a=-2-1, -6+a=-3 ∴ a=3 채점기준 ① | 40% STEP ❷ (x-2)=bx+ 의 해가 x=-2임을 이용하여 b의 값을 구한다. 1 2 2 3 1 2 (x-2)=bx+ 에 x=-2를 대입하면 2 3 1 2 _{(-2)-2}=b_(-2)+ 2 3 , -2=-2b+ , 2b= 2 3 2 3 +2, 2b= 8 3 유제 2 STEP ❶ 0.5(x+2)=0.8x+0.25의 양변에 100을 곱하여 간단히 한 후 방 정식을 푼다. 0.5(x+2)=0.8x+0.25의 양변에 100을 곱하면 50(x+2)=80x+25 50x+100=80x+25, -30x=-75 ∴ x= 5 2 ∴ a= 5 2 4 STEP ❷ 3 정식을 푼다. (x+2)=2+ (2x-5)의 양변에 15를 곱하여 간단히 한 후 방 6 5 채점기준 ① | 40% 4 3 ∴ b= STEP ❸ a+3b의 값을 구한다. ∴ a+3b=3+3_ 답 4 3 =3+4=7 채점기준 ① a의 값을 구한다. ② b의 값을 구한다. ③ a+3b의 값을 구한다. 본문 137쪽 채점기준 ② | 50% (1) -2 (2) x=2 50% 50% 채점기준 ② | 40% 채점기준 ③ | 20% 7 40% 40% 20% 6 5 (x+2)=2+ (2x-5)의 양변에 15를 곱하면 4 3 20(x+2)=30+18(2x-5), 20x+40=30+36x-90 -16x=-100 20x+40=36x-60, ∴ x= 25 4 25 4 ∴ b= STEP ❸ a와 b 사이의 자연수의 개수를 구한다. 25 4 이므로 5 2 와 25 4 사이의 자연수는 5 2 , b= 따라서 a= 3, 4, 5, 6의 4개이다. 답 채점 기준 ① a의 값을 구한다. ② b의 값을 구한다. ③ a와 b 사이의 자연수의 개수를 구한다. 채점기준 ② | 40% 40% 40% 20% 예제 3 STEP ❶ 일차방정식의 해가 x=3일 때, x=3을 일차방정식에 대입하면 등 식이 성립함을 이용하여 a의 값을 구한다. (1) x+5+ax=a+4에 x=3을 대입하면 3+5+3a=a+4, 3a+8=a+4, 2a=-4 ∴ a=-2 채점기준 ① | 50% STEP ❷ 6-ax=7x- 8 2a - 3 에 a의 값을 대입하여 x의 값을 구한다. 60 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 예제 4 STEP ❶ 일차방정식의 해가 없는 경우, 0_x=(0이 아닌 수)가 됨을 이용한다. ax-4=3x-b에서 ax-3x=-b+4 (a-3)x=-b+4를 만족시키는 x의 값이 존재하지 않으므로 a-3=0, a-3=0에서 a=3, -b+4+0에서 b+4 따라서 구하는 조건은 a=3, b+4이다. -b+4+0 채점기준 ② | 30% 채점기준 ① | 70% 답 a=3, b+4 채점기준 ③ | 20% 4 채점기준 ① 주어진 방정식의 해가 없음을 이용하여 식을 세운다. ② 해가 없을 조건을 구한다. 70% 30% 유제 4 STEP ❶ 주어진 등식을 참이 되게 하는 x의 값이 존재하지 않음을 이용한다. 6-ax=5x-b에서 -ax-5x=-b-6 (-a-5)x=-b-6을 만족시키는 x의 값이 존재하지 않으므로 -b-6+0 -a-5=0, -a-5=0에서 a=-5 -b-6+0에서 b+ -6 따라서 구하는 조건은 a=-5, b+ 답 -6이다. 채점기준 ② | 30% 채점기준 ① | 70% a=-5, b+ -6 채점기준 ① x의 값이 존재하지 않음을 이용하여 식을 세운다. ② x의 값이 존재하지 않을 조건을 구한다. 70% 30% 06 일차방정식의 활용 0495 ③ 0496 풀이 참조 0497 ③ 0498 풀이 참조 0499 풀이 참조 0500 ③ 0501 243 cm2 0502 ② 0503 풀이 참조 0504 15 cm 0505 ④ 0506 16 0507 ④ 0508 4 0509 ③ 0510 70 mL 0511 ④ 0512 9 0513 ① 0514 6세 0515 ② 0516 ⑤ 0517 ⑤ 0518 풀이 참조 0519 ③ 0520 30 0521 ② 0522 ② 0523 ② 0524 ③ 0525 ③ 0526 280명 0527 230명 0528 58 0529 풀이 참조 0530 75명 0531 ④ 0532 345쪽 0533 ② 0534 풀이 참조 0535 60000원 0536 16 km 0537 ;;Á2°;; km 0538 120 km 0539 10초 0540 1500 m 0541 9 km 0542 ③ 0543 시속 30 km 0544 60분 본문 142쪽 0498 (1) 나머지 두 짝수는 각각 x+2, x+4이다. (2) 연속하는 세 짝수는 x, x+2, x+4이므로 x+(x+2)+(x+4)=66 yy ㉠ (3) ㉠에서 3x+6=66, 3x=60 ∴ x=20 따라서 연속하는 세 짝수는 20, 22, 24이다. 답 (1) x+2, x+4 (2) x+(x+2)+(x+4)=66 (3) 20, 22, 24 0499 (1) 일의 자리의 숫자는 십의 자리의 숫자보다 2만큼 작으므로 일의 자리의 숫자를 x에 대한 식으로 나타내면 x-2이다. 0545 2700 m 0546 ④ 0547 ④ 0548 12초 0549 ③ (2) 십의 자리의 숫자, 일의 자리의 숫자가 각각 x, x-2이므로 0550 4 km 0551 ④ 0552 170 0553 6 km 0554 ② 각 자리의 숫자의 합은 0555 ④ 0556 ③ 0557 ① 0558 오후 1시 45분 0559 ② 0560 120 m 0561 초속 40 m 0562 ① 0563 75 g 0564 37.5 g x+(x-2)=2x-2 (3) 10x+(x-2)=7(2x-2) 0565 ③ 0566 ② 0567 30 g 0568 6 0569 ① 0570 풀이 참조 0571 ② 0572 ③ 0573 4시 분 0574 ② ;;ª1¢1¼;; 0575 ;;ª1¢1¼;; 0576 30단계 0577 7월 19일 0578 44세 0579 300 g 0580 105 g 0581 10시 분 ;;£1ª1¥;; 11x-2=14x-14, 11x-14x=-14+2 ∴ x=4 -3x=-12 따라서 구하는 자연수는 42이다. 답 (1) x-2 (2) 2x-2 (3) 42 Ⅲ - 0 6 . 일 차 방 정 식 의 활 용 유형 정복하기 유형 01. 수에 대한 문제 0495 어떤 수를 x라 하면 5x-3=3x+9 5x-3x=9+3, 2x=12 따라서 어떤 수는 6이다. ∴ x=6 0496 (1) 어떤 수를 x라 하면 3(x+5)=(5x+3)+4 3x+15=5x+7, 3x-5x=7-15 -2x=-8 ∴ x=4 따라서 어떤 수는 4이다. (2) 5x+3에 x=4를 대입하면 5_4+3=23 따라서 처음 구하려고 했던 수는 23이다. 0497 연속하는 두 자연수를 x, x+1이라 하면 1 3 1 3 x+46 x+46, 2x+1= x+(x+1)= 양변에 3을 곱하면 6x+3=x+138, 5x=135 따라서 두 자연수는 27, 28이므로 두 자연수의 합은 27+28=55 ∴ x=27 유형 02. 도형에 대한 문제 0500 처음 직사각형의 넓이는 4_7=28(cm2) 가로의 길이, 세로의 길이를 각각 3 cm, x cm만큼 늘이면 가로의 길이, 세로의 길이는 각각 7 cm, (7+x)cm이므로 7(7+x)=3_28, 49+7x=84 ∴ x=5 7x=35 답 ③ 0501 직사각형의 세로의 길이를 x cm라 하면 가로의 길이는 3x cm이므로 2(x+3x)=72, 8x=72 ∴ x=9 따라서 직사각형의 가로의 길이는 27 cm, 세로의 길이는 9 cm이므로 답 (1) 4 (2) 23 직사각형의 넓이는 27_9=243(cm2) 0502 직육면체의 높이를 x cm라 하면 2_(4_5+4_x+5_x)=148 2(20+9x)=148, 20+9x=74 ∴ x=6 9x=54 따라서 직육면체의 높이는 6 cm이다. 0503 (1) 주어진 직사각형에서 (가로의 길이) 답 ③ (세로의 길이) =(12x-6)+4 =12x-2 =(2x+4)+8 =2x+12 (cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:21) (cid:25) (cid:18)(cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:20)(cid:17) (cid:19)(cid:25) Ⅲ. 방정식 06. 일차방정식의 활용 61 답 ③ 답 243 cm2 답 ② (cid:18)(cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:23) (cid:21) 따라서 (색칠한 삼각형의 넓이) 1 2 _(12x-30)_8 = =48x-120 = 1 2 _(4+28)_(2x+12) =16(2x+12)=32x+192 (색칠한 사각형의 넓이) (2) 48x-120=(32x+192)-264이므로 48x-120=32x-72, 16x=48 ∴ x=3 답 (1) 48x-120, 32x+192 (2) 3 0508 오른쪽 그림과 같이 도로를 가장 자리로 이동시키면 도로를 제외 한 땅은 가로의 길이가 36 m, 세 로의 길이가 (24-x)m인 직사 각형 모양이므로 36_(24-x)=720 24-x=20 ∴ x=4 (cid:21)(cid:17) (cid:78) (cid:19)(cid:21) (cid:78) (cid:21) (cid:78) (cid:20)(cid:23) (cid:78) 본문 144쪽 (cid:89) (cid:78) (cid:9)(cid:19)(cid:21)(cid:14)(cid:89)(cid:10) (cid:78) 답 4 답 ④ (cid:23) (cid:25) 답 16 답 ④ (cid:89) (cid:68)(cid:78) (cid:9)(cid:18)(cid:20)(cid:14)(cid:89)(cid:10) (cid:68)(cid:78) 0504 작은 직사각형의 가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길이는 (13-x) cm이므로 큰 직사각형의 가로의 길이는 5x cm, 세로의 길이는 (13-x) cm이다. 따라서 5x=(13-x)+5 5x=18-x, 6x=18 ∴ x=3 따라서 큰 직사각형의 가로의 길이는 5x=5_3=15(cm) (cid:22)(cid:89) (cid:68)(cid:78) 답 15 cm 0505 한 변의 길이가 13 cm인 정사각형에서 가로와 세로의 길이를 각각 x cm, (3x-4) cm만큼 줄이면 가로, 세로의 길이는 각각 (13-x) cm, {13-(3x-4)} cm이므로 2_[(13-x)+{13-(3x-4)}]=28 2{13-x+(13-3x+4)}=28 2(30-4x)=28, 30-4x=14 -4x=-16 ∴ x=4 0506 주어진 직사각형의 가로의 길이를 x라 하면 색칠한 부분의 넓이는 (8+6)_x- 1 2 _(x-6)_6 1 2 _6_8- 1 2 _3_8- - 1 2 _(x-3)_6=119 (cid:25) (cid:23) (cid:23) (cid:89)(cid:14)(cid:23) (cid:20) (cid:89)(cid:14)(cid:20) (cid:89) 14x-24-3(x-6)-12-3(x-3)=119 14x-24-3x+18-12-3x+9=119 8x-9=119, 8x=128 ∴ x=16 따라서 직사각형의 가로의 길이는 16이다. 0507 오른쪽 그림과 같이 색칠하지 않은 부분의 넓이를 C라 할 때 색칠한 두 부분 A, B의 넓이가 서로 같으므로 A C + = B C + 1 4 _3_82 1 2 _{(8-x)+9}_8=4(17-x)(cm2) =48(cm2) A C + = B C + = 따라서 4(17-x)=48, 17-x=12 -x=-5 ∴ x=5 62 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 유형 03. 합이 일정한 경우 0509 3점짜리 슛을 x골 넣었다고 하면 2점짜리 슛은 (15-x)골 넣은 것이므로 3x+2(15-x)=36, 3x+30-2x=36 x+30=36 ∴ x=6 따라서 3점짜리 슛은 6골 넣었다. 답 ③ 0510 A컵에 들어 있는 물의 양을 x mL라 하면 B, C, D컵에 들어 있는 물의 양은 각각 (x+25)mL, (x+50)mL, (x+75)mL이므로 x+(x+25)+(x+50)+(x+75)=230 4x+150=230, 4x=80 ∴ x=20 따라서 C컵에 들어 있는 물의 양은 20+50=70(mL) 답 70 mL 0511 롤러코스터를 기다리는 데 x분 걸렸다고 하면 바이킹과 자이로드롭을 기다린 시간은 각각 (x-30)분, (x-40)분이다. 2시간 50분은 (2_60+50)분, 즉 170분이므로 (x-30)+x+(x-40)=170 3x-70=170, 3x=240 ∴ x=80 따라서 롤러코스터를 기다린 시간은 80분, 즉 1시간 20분이다. 답 ④ 0512 품목 음료수 과자 아이스크림 합계 가격(원) 600 800 900 수량(개) 15-x x 5 20 금액(원) 600(15-x) 800x 4500 15300 (cid:25) (cid:68)(cid:78) (cid:36) (cid:25) (cid:68)(cid:78) (cid:89) (cid:68)(cid:78) (cid:34) (cid:35) (cid:26) (cid:68)(cid:78) 수진이가 산 아이스크림의 개수는 4500Ö900=5(개)이므로 음료수와 과자의 개수의 합은 20-5=15(개) 수진이가 과자를 x개 샀다고 하면 음료수는 (15-x)개 샀으므로 600(15-x)+800x=15300-4500 9000-600x+800x=10800 200x=1800 따라서 수진이는 과자를 9개 샀다. ∴ x=9 답 9 유형 05. 예금에 대한 문제 답 (1) { x-60000 } 7 5 원 (2) 7 5 x-60000= 23 20 x (3) 24만 원 유형 04. 나이에 대한 문제 0513 x년 후에 아버지의 나이가 아들의 나이의 3배가 된다고 하면 46+x=3(14+x), 46+x=42+3x ∴ x=2 -2x=-4 따라서 2018년의 2년 후인 2020년에 아버지의 나이가 아들의 나이의 3배가 된다. 0514 현재 영훈이의 나이를 x세라 하면 6x+15=3(x+15)-12이므로 6x+15=3x+45-12, 6x+15=3x+33 3x=18 따라서 현재 영훈이의 나이는 6세이다. ∴ x=6 0515 x주 후에 세훈이와 제훈이의 저금통에 들어 있는 금액이 같아진다고 하자. 세훈이는 매주 10000원씩, 제훈이는 매주 9000원씩 저금통에 넣으므로 13000+10000x=17000+9000x 1000x=4000 따라서 세훈이와 제훈이의 저금통에 들어 있는 금액이 같아지는 것은 ∴ x=4 4주 후이다. 0516 학선이가 적립한 포인트가 3850점이므로 포인트를 현금으로 사용하려면 적 어도 5000-3850=1150(점)의 포인트를 더 적립해야 한다. 학선이가 x원을 더 구매했을 때 포인트가 1150점 적립되었다고 하면 0.2 100 x=1150, 2 1000 x=1150 1000 2 =575000 ∴ x=1150_ 따라서 학선이는 적어도 575000원을 더 구매해야 한다. 유형 06. 원가와 정가에 대한 문제 0517 상품의 원가를 x원이라 하자. 원가에 30 %의 이익을 붙여서 정가를 정하였으므로 정가는 30 100 13 10 x(원) x= x+ 정가에서 1200원을 할인하여 상품을 팔았으므로 상품의 판매 가격은 { x-1200 이때 상품 1개를 팔 때마다 원가의 10 %의 이익을 얻었으므로 (원)이다. } 13 10 13 (판매 가격)-(원가)={ 10 x, 1 13 5 10 x-1200-x= 1 10 x=1200 x-1200 }-x= 1 10 x 본문 146쪽 답 ⑤ ∴ x=6000 따라서 상품의 원가는 6000원이다. 0518 (1) 스마트폰의 원가가 x원이고, 원가에 40 %의 이익을 붙여 정가를 정하였으므로 스마트폰의 정가는 40 100 x=x+ x+ 정가에서 6만 원을 할인하여 스마트폰을 판매하였으므로 x= x(원) 2 5 7 5 스마트폰의 판매 가격은 { x-60000 } 원이다. 7 5 (2) 스마트폰의 판매 가격이 원가에 15 %의 이익을 붙인 금액과 같으므로 7 5 x-60000=x+ 15 100 x ∴ 7 5 x-60000= 23 20 x yy ㉠ (3) ㉠의 양변에 20을 곱하면 28x-1200000=23x, 5x=1200000 ∴ x=240000 따라서 스마트폰의 원가는 24만 원이다. 답 ① 답 6세 0519 성재 아버지가 산 자두의 개수를 x라 하자. 도매시장에서 한 개당 1800 6 =300(원)의 가격으로 사 와서 그 중 70 %는 한 개당 2000 5 =400(원)의 가격으로 팔고, 나머지는 답 ② 한 개당 2000 10 =200(원)의 가격으로 팔아서 36000원의 이익이 남았으므로 70 100 { x_400+ 30 100 x_200 }-300x=36000 (280x+60x)-300x=36000 340x-300x=36000, 40x=36000 ∴ x=900 따라서 성재 아버지가 산 자두는 900개이다. 0520 원가에 75 %의 이익을 붙여 정가를 정했으므로 답 ⑤ 상품의 정가는 8000+8000_ 다시 정가의 x %를 할인하여 상품을 팔았으므로 75 100 =8000+6000=14000(원) x 100 =14000-140x(원) 상품의 판매 가격은 14000-14000_ 이때 1개당 이익이 1800원이므로 (판매 가격)-(원가)=(14000-140x)-8000=1800 6000-140x=1800, 140x=4200 ∴ x=30 0521 원피스의 원가를 x원이라 하자. 원가에 40 %의 이익을 붙여서 정가를 정하였으므로 정가는 40 100 x=x+ x+ 여름 세일 기간에 정가의 20 %를 할인하여 원피스를 판매하므로 x= x(원) 2 5 7 5 이때의 원피스의 판매 가격은 7 5 x 1- { 20 100 }= 7 5 x_ 80 100 = 7 5 x_ 4 5 = 28 25 x(원) Ⅲ - 0 6 . 일 차 방 정 식 의 활 용 답 ③ 답 30 Ⅲ. 방정식 06. 일차방정식의 활용 63 여름 세일 기간에 원피스의 판매 가격은 8만 4천 원이다. 따라서 옳은 것은 ㄴ이다. 답 ② 여학생은 6 % 감소하였으므로 감소한 여학생 수는 [ (630-x) ] 명이다. 6 100 이때 1벌당 이익이 9000원이므로 (판매 가격)-(원가)= x-x=9000 28 25 3 25 x=9000 ∴ x=75000 ㄱ. 원피스의 원가는 7만 5천 원이다. ㄴ. 7 5 x= 7 5 _75000=105000이므로 원피스의 정가는 10만 5천 원이다. ㄷ. 28 25 x= 28 25 _75000=84000이므로 유형 07. 이동에 대한 문제 0522 A컵에서 B컵으로 x mL의 우유를 옮겼다고 하자. 이때 각 컵에 들어 있는 우유의 양은 A컵`:`(300-x)mL, B컵`:`(400+x)mL B컵에 들어 있는 우유의 양이 A컵에 들어 있는 우유의 양의 3배가 되어야 하므로 400+x=3(300-x), 400+x=900-3x 4x=500 따라서 A컵에서 B컵으로 125 mL의 우유를 옮겨야 한다. ∴ x=125 0523 세진이가 자신이 받은 금액의 20 %를 지현이에게 주었으므로 세진이가 지현이에게 준 금액은 75000_ 20 100 =15000(원) 지현이가 세진이보다 40000원을 더 갖게 되므로 75000-15000=(x+15000)-40000 =75000-15000-15000+40000 ∴ x =85000 답 ② 답 ② 유형 08. 학생 수에 대한 문제 0524 M중학교의 작년의 학생 수를 x명이라 하면 올해는 작년에 비하여 6 % 감소 하였으므로 올해의 학생 수는 x- 6 100 x= 94 100 x(명) 올해의 학생은 799명이므로 94 100 x=799 ∴ x=850 따라서 M중학교의 작년의 학생 수는 850명이다. 답 ③ 0525 작년의 여학생 수를 x명이라 하면 작년의 전체 학생 수는 770명이므로 작년의 남학생 수는 (770-x)명이다. 남학생은 10 % 증가하였으므로 증가한 남학생 수는 [ 여학생은 8 % 감소하였으므로 감소한 여학생 수는 8 100 10 100 _(770-x) x명이다. 명, ] 이때 전체 학생은 4명이 감소하였으므로 64 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 본문 148쪽 답 ③ x=-4 10 8 100 _(770-x)- 100 양변에 100을 곱하면 7700-10x-8x=-400 18x=8100 ∴ x=450 따라서 작년의 여학생 수는 450명이다. 0526 작년의 남학생 수를 x명이라 하면 작년의 전체 학생 수는 630명이므로 작년의 여학생 수는 (630-x)명이다. 남학생은 10 % 증가하였으므로 증가한 남학생 수는 10 100 x명, 이때 전체 학생은 7명 증가하였으므로 x- 6 100 10 (630-x)=7 100 양변에 100을 곱하면 10x-3780+6x=700 16x=4480 ∴ x=280 따라서 작년의 남학생 수는 280명이다. 0527 작년의 여학생 수를 x명이라 하면 작년의 남학생 수는 (650-x)명이다. 작년에 비하여 남학생은 5 % 증가하였으므로 답 280명 증가한 남학생 수는 [ (650-x) ] 명, 5 100 작년에 비하여 여학생은 8 % 감소하였으므로 감소한 여학생 수는 8 100 x명이다. 전체 학생 수는 작년과 같으므로 x (650-x)= 5 8 100 100 양변에 100을 곱하면 3250-5x=8x ∴ x=250 13x=3250 따라서 올해의 여학생 수는 250-250_ 8 100 =230(명) 유형 09. 과부족에 대한 문제 0528 학생 수를 x명이라 하자. 사과를 5개씩 나누어 주면 3개가 남으므로 사과의 개수는 5x+3, 6개씩 나누어 주면 8개가 모자라므로 사과의 개수는 6x-8이다. 즉, 5x+3=6x-8이므로 5x-6x=-8-3, ∴ x=11 따라서 사과의 개수는 5_11+3=55+3=58(개) -x=-11 0529 (1) 한 줄에 6명씩 설 때의 줄의 수를 x줄이라 하면 한 줄에 8명씩 설 때의 줄의 수는 (x-1)줄이다. 한 줄에 6명씩 서면 4명이 남으므로 학생 수는 (6x+4)명이고, 한 줄에 8명씩 서면 2명이 남으므로 {8(x-1)+2}명이다. 즉, 6x+4=8(x-1)+2이므로 답 230명 답 58 -2x=-10 6x+4=8x-8+2, ∴ x=5 따라서 한 줄에 6명씩 설 때의 줄의 수는 5줄이다. (2) 이 학급의 학생 수는 6_5+4=30+4=34(명) 답 (1) 5줄 (2) 34명 0530 음악실에 있는 긴 의자의 개수를 x라 하자. 한 의자에 6명씩 앉으면 15명이 앉지 못하므로 학생 수는 (6x+15)명이다. 한 의자에 9명씩 앉으면 9명이 모두 앉은 의자의 개수는 x-2이고 다른 한 의자에는 3명이 앉으므로 학생 수는 {9(x-2)+3}명이다. 즉, 6x+15=9(x-2)+3이므로 6x+15=9x-18+3, ∴ x=10 따라서 학생 수는 6_10+15=60+15=75(명) -3x=-30 답 75명 유형 10. 비율에 대한 문제 0531 정훈이가 x일 동안 여행을 다녀왔다고 하자. 36시간은 36 3 2 =1.5(일)이므로 24 = 1 3 x+ x+ 1 6 1 5 x+1.5=x 양변에 30을 곱하면 10x+5x+6x+45=30x 21x+45=30x, 9x=45 ∴ x=5 따라서 정훈이는 5일 동안 여행했다. 0532 애라가 읽은 책의 전체 쪽수를 x쪽이라 하자. 첫째 날에는 1 3 x쪽, 둘째 날에는 { x- 1 3 x }_ 3 5 (쪽), 셋째 날에는 [ x- x-{ x- x }_ 1 3 3 5 ]_ 1 2 (쪽), 1 3 넷째 날에는 46쪽을 읽었으므로 x+{ 2 3 x+ x- 1 3 x }_ 3 5 +[ x- 1 3 x_ 3 5 +{ x- 1 3 x- 2 3 x- x-{ 3 5 }_ x_ 1 2 +46=x 1 3 x }_ 3 5 ]_ 1 2 +46=x 1 3 1 3 1 3 x+ x+ 2 5 2 15 x+46=x 양변에 15를 곱하면 5x+6x+2x+690=15x, 2x=690 ∴ x=345 따라서 책의 전체 쪽수는 345쪽이다. 0533 1학년 전체 학생 수를 x명이라 하면 남학생 수와 여학생 수는 각각 5 8 x명, 3 8 x명이다. 가 합격하였고, 불합격한 남학생 수는 5명이므로 이때 남학생 중 9 10 5 8 x_ 1 10 =5, 1 16 x=5 본문 150쪽 답 ② ∴ x=5_16=80 여학생 중 1 3 이 불합격하였으므로 2 3 는 합격하였다. 따라서 합격한 여학생 수는 3 8 x_ 2 3 = 3 8 _80_ 2 3 =20(명) 0534 (1) 개미의 수가 x마리일 때 개미들의 1 4 은 1 4 x, 개미들의 1 6 은 1 6 x, 1 4 x+ 1 6 x의 6 5 배는 6 5 { 1 4 x+ 1 6 x } 이다. 따라서 구하는 방정식은 1 4 x+ x+ 1 6 6 5 { 1 4 x+ 1 6 x (2) ㉠에서 양변에 60을 곱하면 yy ㉠ }+1=x { x 1 4 x+ }+60=60x 1 15x+10x+72 6 25x+18x+12x+60=60x, 55x+60=60x 55x-60x=-60, ∴ x=12 따라서 이 시에 등장하는 개미는 총 12마리이다. -5x=-60 답 (1) 1 4 x+ x+ 1 6 6 5 { 1 4 x+ 1 6 x }+1=x (2) 12마리 0535 현서가 매달 받는 용돈을 5x원이라 하면 지연이가 매달 받는 용돈은 3x원이다. Ⅲ - 0 6 . 일 차 방 정 식 의 활 용 이때 현서와 지연이가 한 달 동안 쓰는 돈은 각각 (5x-6000)원, (3x-6000)원이므로 (5x-6000)`:`(3x-6000)=9`:`5 27x-54000=25x-30000 27x-25x=-30000+54000 2x=24000, x=12000 따라서 현서가 매달 받는 용돈은 5x=5_12000=60000(원) 답 ④ 유형 11. 거리, 속력, 시간에 대한 문제 ; 총량이 주어지는 경우 0536 두 지점 사이의 거리를 x km라 하면 (갈 때 걸린 시간)= , (올 때 걸린 시간)= x 60 x 40 x 40 = 이므로 x 40 60 + 60 2x+3x=80, 5x=80 따라서 두 지점 사이의 거리는 16 km이다. ∴ x=16 답 60000원 답 16 km 답 345쪽 0537 두 지점 A, B 사이의 거리를 x km라 하면 (갈 때 걸린 시간)= (시간), (올 때 걸린 시간)= (시간) x 3 x 5 x 3 + ∴ x= x 5 =4이므로 5x+3x=60, 8x=60 60 8 = 15 2 따라서 두 지점 사이의 거리는 15 2 km(=7.5 km)이다. Ⅲ. 방정식 06. 일차방정식의 활용 65  0538 시속 60 km로 간 거리를 x km라 하면 시속 90 km로 간 거리는 (300-x) km이므로 x 60 + 3x+600-2x=720, x=120 따라서 시속 60 km로 간 거리는 120 km이다. 90 =4, 3x+2(300-x)=720 300-x 0539 출발 지점에서 도착 지점까지의 거리를 x m라 하면 (갈 때 걸린 시간)= (초) (올 때 걸린 시간)= (초) x 4 x 6 x 4 + x 6 =25, 3x+2x=300, 5x=300 따라서 두 지점 사이의 거리는 60 m이므로 ∴ x=60 돌아올 때 걸린 시간은 60 6 =10(초)이다. 0540 4시간은 240분이므로 A지점과 B지점 사이의 거리를 x m라 하면 3 x x 30 + 50 }=240, x { 5x+3x=12000, 8x=12000 따라서 A지점과 B지점 사이의 거리는 1500 m이다. ∴ x=1500 x 50 =80 30 + 0541 올라간 거리를 x km라 하면 내려온 거리는 (17-x) km이므로 x 3 + 4x+51-3x=60 따라서 올라간 거리는 9 km이다. 4 =5, 4x+3(17-x)=5_12 ∴ x=9 17-x 답 9 km 0542 x분 후에 두 물탱크에 들어 있는 물의 양이 같아진다고 하면 710+10x=530+25x, 10x-25x=530-710 -15x=-180 ∴ x=12 따라서 두 물탱크에 물을 넣기 시작한 지 12분 후에 두 물탱크에 들어 있는 물 의 양이 같아지므로 이때의 물의 양은 710+10_12=830(L) 0543 흐르지 않는 강물에서의 배의 속력을 시속 x km라 하면 시속 6 km로 흐르는 강을 거슬러 올라가는 속력은 시속 (x-6) km이므로 24=1_(x-6) 따라서 흐르지 않는 강물에서의 배의 속력은 시속 30 km이다. ∴ x=30 답 시속 30 km 답 15 2 km(또는 7.5 km) 동안 이동한 거리와 형이 x분 동안 이동한 거리가 같으므로 60(x+20)=80x, 60x+1200=80x 20x=1200 ∴ x=60 따라서 형은 집을 출발한 지 60분 후에 동생을 만난다. 답 120 km 0545 두 지점 A, B 사이의 거리를 x m라 하면 x 90 =15, 3x-2x=2700 x 60 - ∴ x=2700 따라서 두 지점 사이의 거리는 2700 m이다. 0546 두 지점 A, B 사이의 거리를 x km라 하면 (갈 때 걸린 시간)= (시간), (올 때 걸린 시간)= (시간)이고, x 60 x 80 올 때는 갈 때보다 시간이 30분, 즉 30 1 2 60 = (시간)이 적게 걸렸으므로 x 60 - 1 2 = x 80 , 4x-120=3x 따라서 두 지점 사이의 거리는 120 km이다. ∴ x=120 답 10초 0547 집에서 학교까지의 거리를 x m라 하면 형이 이동한 거리는 250+250+x=x+500(m), 동생이 이동한 거리는 x m이다. 형이 동생보다 10분 먼저 도착했고, 집에서 준비물을 찾는 시간을 허비하지 답 1500 m 않았다면 25분 먼저 도착했을 것이므로 x 50 , x+500+25_400=8x x+500 50_8 +25= 7x=10500 따라서 집에서 학교까지의 거리는 1500 m이다. ∴ x=1500 0548 기훈이가 출발한 지 x초 후에 성훈이를 잡았다고 하면 성훈이는 (x-2)초 동안 도망간 것이고, 기훈이가 이동한 거리는 성훈이가 이동한 거리보다 40 m 더 길므로 10_x=8_(x-2)+40, 10x=8x-16+40 2x=24 따라서 기훈이는 출발한 지 12초 후에 성훈이를 잡는다. ∴ x=12 답 ③ 0549 집에서 영화관까지의 거리를 x km라 하자. 자전거를 타고 가면 걸어서 갈 때보다 시간이 15분 적게 걸리므로 x 6 - x 15 = 15 60 , 10x-4x=15, 6x=15 15 6 = 5 2 =2.5 ∴ x= 따라서 집에서 영화관까지의 거리는 2.5 km이다. 0550 지혜가 이동한 거리를 x km라 할 때, 서훈이가 이동한 거리는 (12-x) km이다. 서훈이가 30분 일찍 도착하였으므로 서훈이가 이동한 시간은 지혜가 이동한 시간보다 30분, 즉 30 (시간) 짧다. 1 2 60 = 본문 152쪽 답 60분 답 2700 m 답 ④ 답 ④ 답 12초 답 ③ 유형 12. 거리, 속력, 시간에 대한 문제 ; 시차가 발생하는 경우 0544 형이 집을 출발한 지 x분 후에 형과 동생이 만난다고 하면 동생이 (x+20)분 따라서 x 12-x 16 = 1 2 4 - 66 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 4x-(12-x)=8 4x-12+x=8, 5x=20 따라서 지혜가 이동한 거리는 4 km이다. ∴ x=4 0551 지희네 집에서 학교까지의 거리를 x km라 하면 x 4 - x 8 =1, 2x-x=8 ∴ x=8 따라서 지희네 집에서 학교까지의 거리는 8 km이다. 이때 이 거리를 자전거를 타고 시속 12 km로 갈 때 걸리는 시간은 8 12 = 2 3 (시간), 즉 60_ 2 3 =40(분)이다. 0552 토끼가 x분 동안 자는 사이 거북이는 계속 이동하여 토끼보다 10분 일찍 도착 하였으므로 거북이가 이동한 시간은 토끼가 이동한 시간보다 (x-10)분 더 길다. 토끼와 거북이 모두 이동한 거리는 2 km, 즉 2000 m이므로 2000 50 =x-10, 200-40=x-10 2000 10 - ∴ x=170 0553 재인이가 자전거를 수리한 시간은 20분, 즉 20 집에서 할머니 댁까지의 거리를 x km라 하면 x 9 = 1 3 + x 18 , x 18 = 1 3 1 3 60 = (시간)이다. 1 3 _18=6 ∴ x= 따라서 집에서 할머니 댁까지의 거리는 6 km이다. 답 6 km 유형 13. 거리, 속력, 시간에 대한 문제; 마주 보고 걷거나 둘레를 도는 경우 0554 B가 출발한 지 x분 후에 처음으로 A를 만난다고 하면 B가 x분 동안 걸은 거리와 A가 (x+10)분 동안 걸은 거리의 합이 호수의 둘레의 길이 1 km, 즉 1000 m와 같으므로 60(x+10)+40x=1000, 60x+600+40x=1000 100x=400 따라서 B는 출발한 지 4분 후에 처음으로 A와 만난다. ∴ x=4 0555 철수와 영희가 출발한 지 x분 후에 만난다고 하면 두 사람의 집 사이의 거리는 2 km, 즉 2000 m이므로 40x+60x=2000, 100x=2000 따라서 철수와 영희는 출발한 지 20분 후에 만난다. ∴ x=20 0556 두 사람이 출발한 지 x분 후에 처음 만난다고 하면 분속 70 m로 걷는 한별이가 분속 50 m로 걷는 유림이보다 트랙을 한 바퀴 더 돌게 되므로 70x-50x=800, 20x=800 ∴ x=40 따라서 두 사람은 40분 후에 처음 만난다. 답 ② 답 ④ 0557 두 사람이 만날 때까지 걸린 시간을 x분이라 하자. 답 4 km 두 사람이 이동한 거리의 합은 두 사람의 집 사이의 거리인 2 km, 즉 2000 m에 영선이가 집에 물건을 두고 와서 다시 다녀온 거리인 1 4 _2000_2=1000(m)를 더한 것과 같으므로 60x+40x=2000+1000, 100x=3000 ∴ x=30 따라서 두 사람은 출발한 지 30분 후에 만난다. 본문 155쪽 답 ① 답 ④ 0558 목포역에서 오후 12시 30분에 열차가 출발한 지 x시간 후 두 열차가 만난다 고 하자. 시속 90 km로 달리는 열차가 { x+ 1 2 } 시간 동안 달린 거리와 시속 150 km로 달리는 열차가 x시간 동안 달린 거리의 합이 345 km이므로 90 x+ { 1 2 }+150x=345, 90x+45+150x=345 240x=300 ∴ x= 300 240 = 5 4 답 170 따라서 목포역에서 오후 12시 30분에 열차가 출발한 지 5 4 시간, 즉 1시간 15 분 후인 오후 1시 45분에 두 열차가 마주친다. 답 오후 1시 45분 유형 14. 거리, 속력, 시간에 대한 문제; 열차가 다리 또는 터널을 지나는 경우 0559 열차의 길이를 x m라 할 때, 이 열차가 길이가 1600 m인 철교를 완전히 통과하려면 (1600+x) m를 달려 야 하고, 길이가 1200 m인 터널을 완전히 통과하려면 (1200+x)m를 달려 야 한다. 이때 열차의 속력은 일정하므로 1600+x 1200+x 40 50 = ∴ x=400 따라서 열차의 길이는 400 m이다. , 6400+4x=6000+5x 0560 이 열차의 길이를 x m라 할 때, 이 열차가 길이가 700 m인 철교를 완전히 통과하려면 (700+x)m를 달려야 하고, 길이가 1350 m인 터널을 통과하는 동안 열차가 보이지 않을 때 이동한 거리는 (1350-x)m이다. 이때 열차의 속력이 일정하므로 , 2100+3x=2700-2x 700+x 1350-x 60 = 90 5x=600 ∴ x=120 따라서 열차의 길이는 120 m이다. 답 ② 답 120 m 0561 이 열차의 길이를 x m라 할 때, 이 열차가 길이가 600 m인 철교를 완전히 통과하려면 (600+x)m를 달려야 하고, 길이가 1400 m인 터널을 완전히 통과하려면 (1400+x)m를 달려야 한다. 답 ③ 이때 열차의 속력이 일정하므로 600+x 25 = 1400+x 45 , 5400+9x=7000+5x Ⅲ. 방정식 06. 일차방정식의 활용 67 Ⅲ - 0 6 . 일 차 방 정 식 의 활 용 즉, 열차의 속력은 초속 40 m이다. 답 초속 40 m 답 30 g 4x=1600 ∴ x=400 따라서 열차의 길이가 400 m이므로 600+400 25 = 1000 25 =40 유형 15. 농도에 대한 문제 0562 x g의 물을 증발시킨다고 하면 8 6 100 _400= 100 _(400-x) 2400=8(400-x), 2400=3200-8x, 8x=800 ∴ x=100 따라서 증발시킨 물의 양은 100 g이다. 0563 x g의 물을 더 넣는다고 하면 12 100 _(300+x) 15 100 _300= 4500=12(300+x), 4500=3600+12x 12x=900 ∴ x=75 따라서 물 75 g을 더 넣어야 한다. 0564 8 %의 소금물 250 g에 들어 있는 소금의 양은 8 100 _250=20(g) x g의 소금을 더 넣는다고 하면 20 100 _(250+x) 20+x= 2000+100x=20(250+x), 2000+100x=5000+20x ∴ x=37.5 80x=3000 따라서 37.5 g의 소금을 더 넣어야 한다. 0565 15 %의 소금물의 양을 x g이라 하면 15 100 _x= 11 100 _(400+x) 8 100 _400+ 3200+15x=11(400+x), 3200+15x=4400+11x 4x=1200 ∴ x=300 따라서 15 %의 소금물은 300 g이다. 0566 증발시킨 물의 양을 x g이라 하면 12 100 _300= 12 100 _(500-x) 6 100 _200+ 1200+3600=6000-12x, 4800=6000-12x 12x=1200 ∴ x=100 따라서 증발시킨 물의 양은 100 g이다. 0567 8 %의 소금물의 양과 더 부은 물의 양의 비가 4`:`3이므로 각각 4x g, 3x g이라 하면 6 %의 소금물의 양은 100-4x-3x=100-7x(g)이므로 6 100 _(100-7x)+ 8 100 _4x= 5 100 _100 68 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 답 ① 답 75 g 답 37.5 g 6(100-7x)+8_4x=5_100 600-42x+32x=500, 600-10x=500, 100=10x ∴ x=10 따라서 더 부은 물의 양은 3x=3_10=30(g)이다. 유형 16. 일에 대한 문제 0568 B 직원이 1분 동안 만드는 제품의 개수를 x라 하면 A 직원이 1분 동안 만드는 제품의 개수는 x-2이므로 8x=12(x-2), 8x=12x-24, 4x=24 ∴ x=6 따라서 B직원이 1분 동안 만드는 제품의 개수는 6이다. 0569 전체 일의 양을 1이라 하면 갑, 을이 하루에 하는 일의 양은 각각 1 6 , 1 10 갑은 x일, 을은 (x+3)일 동안 일했으므로 x 6 + x+3 10 =1 이다. 본문 157쪽 답 6 답 ① 0570 (1) 수습생이 1분 동안 만드는 송편의 개수는 x이고 주인 아주머니가 수습생 보다 1분 동안 5개의 송편을 더 만든다. 따라서 주인 아주머니가 1분 동안 만드는 송편의 개수는 x+5이다. 수습생이 45분 동안 만드는 송편의 개수는 주인 아주머니가 10분 동안 만 드는 송편의 개수의 3 4 배이므로 구하는 방정식은 10(x+5)_ 3 4 =45x yy ㉠ (2) ㉠에서 양변에 4를 곱하면 30(x+5)=180x 30x+150=180x, 150=150x ∴ x=1 수습생이 1분 동안 만든 송편의 개수가 1이므로 수습생이 45분 동안 만든 송편의 개수는 1_45, 즉 45이고, 주인 아주머니가 1분 동안 만드는 송편의 개수는 6이므로 주인 아주머니 가 10분 동안 만든 송편의 개수는 60이다. 따라서 주인 아주머니와 수습생이 만든 송편의 개수는 각각 답 ③ 60, 45 답 (1) 10(x+5)_ 3 4 =45x (2) 60, 45 성호와 현섭이가 한 시간에 하는 일의 양은 각각 1 4 , 1 6 이다. 둘이 함께 일한 시간을 x시간이라 하면 답 ② 0571 전체 일의 양을 1이라 하면 1 4 + 1 6 }_x=1 2 12 }_x=1 1 4 _1+{ 3 1 12 + 4 +{ 5 12 x= 3 4 ∴ x= 3 4 _ 12 5 = 9 5 따라서 둘이 함께 일한 시간은 9 5 시간, 즉 1시간 48분이다. 답 ② 0572 풀장에 물을 가득 채웠을 때의 물의 양을 1이라 하면 A호스와 B호스로는 각각 1분에 1 6 , 1 8 만큼씩 물을 채운다. 두 호스로 2분 동안 물을 받다가 A호스로만 물을 받아야 하는 시간을 x분이 라 하면 1 6 + 1 8 }_2+ 1 6 x=1, 1 3 + 1 4 + 1 6 { x=1 4+3+2x=12, 2x=5 ∴ x= 5 2 따라서 A호스로 5 2 분, 즉 2분 30초 동안 물을 더 받아야 한다. 답 ③ 유형 17. 시계에 대한 문제 0573 4시 x분에 분침과 시침이 일치한다고 하자. 시침은 1분에 0.5ù씩, 분침은 1분에 6ù씩 움직이고, 4시에 분침과 시침 사이의 각도는 120ù이므로 6x=120+0.5x, 5.5x=120 ∴ x= 240 11 따라서 구하는 시각은 4시 240 11 120 5.5 = 분이다. 0574 8시 x분에 분침과 시침이 서로 반대 방향으로 일직선을 이룬다고 하면 시침이 분침보다 시계 방향으로 180ù만큼 더 움직여있다. 이때 시침은 1분에 0.5ù, 분침은 1분에 6ù씩 이동하므로 240+0.5x-6x=180 -5.5x=-60 ∴ x= 120 11 -60 -5.5 = 따라서 구하는 시각은 8시 120 11 분이다. 답 4시 240 11 분 (cid:18)(cid:17) (cid:26) (cid:25) (cid:18)(cid:19) (cid:18)(cid:18) (cid:18) (cid:19)(cid:21)(cid:17)(cid:177) (cid:24) (cid:22) (cid:23) (cid:19) (cid:20) (cid:21) 답 ② 0575 x분 동안 분침과 시침이 움직인 각의 크기는 각각 6xù, 0.5xù이고 x<30이므 로 7시 x분에는 분침이 시침보다 시계 방향으로 90ù만큼 덜 움직인 상태이다. 6x-(210+0.5x)=-90 6x-210-0.5x=-90, 5.5x=120 240 ∴ x= 11 답 240 11 120 5.5 = 유형 18. 규칙을 찾는 문제 0576 [1단계]의 구슬은 1개이고, 단계가 올라갈 때마다 구슬이 3개씩 늘어나므로 [n단계]의 도형을 만들 때 필요한 구슬은 1+3(n-1)=3n-2(개) 이때 3n-2=88에서 3n=90, n=30이므로 구슬 88개로는 [30단계]의 도형을 만들 수 있다. 본문 159쪽 x x+7 x+1 x+8 0577 사각형 안의 네 수 중 가장 작은 수를 x라 하면 나머지 세 수는 오른쪽 그림과 같이 각각 x+1, x+7, x+8 이므로 x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=60 4x+16=60, 4x=44 ∴ x=11 따라서 사각형 안의 네 수는 각각 11, 12, 18, 19이고, 이 중 가장 마지막 날짜는 7월 19일이다. 답 7월 19일 Ⅲ - 0 6 . 일 차 방 정 식 의 활 용 백점 도전하기 0578 유형 04 146쪽 형의 나이를 x세라 하면 조건 (가)에서 2x+8=40, 2x=32 ∴ x=16 조건 (나)에서 윤후의 나이는 형의 나이의 2배 16_ 3 4 =12(세) 형의 나이의 배 ;4#; 현재 아버지의 나이를 y세라 하면 y+20=2(12+20) y+20=64 ∴ y=44 따라서 현재 아버지의 나이는 44세이다. 0579 유형 10 151쪽 A용기와 B용기의 페인트를 모두 섞은 용기에 파란색과 빨간색이 3`:`4의 비 답 44세 율로 섞여 있고, 그 양이 총 840 g이므로 이 용기에 파란색 페인트는 3 7 _840=360(g)이 들어 있다. A용기에 들어 있던 페인트의 양을 x g이라 하면 B 용기에 들어 있던 페인트의 양은 (840-x)g이다. 이때 A용기에 들어 있던 파란색 페인트의 양은 2 5 A용기와 B용기에 들어 있던 페인트의 양을 합하면 840 g 이기 때문이야. x g, B 용기에 들어 있던 파란색 페인트의 양은 4 9 (840-x)g이므로 4 9 x+ 2 (840-x)=360 5 18x+20(840-x)=360_45 18x+16800-20x=16200 -2x=-600 ∴ x=300 따라서 A용기에 들어 있던 페인트의 양은 300 g이다. 답 300 g 0580 유형 15 157쪽 각 용기에서 떠낸 설탕물의 양을 x g이라 하면 (설탕물의 농도)= (설탕의 양) (설탕물의 양) _100(%) A용기와 B용기에서 x g의 설탕물을 떠내어 서로 바꾸어 부은 후의 농도가 같으므로 설탕의 양의 비는 설탕물의 양의 비와 같다. 이때 두 용기에 들어 있는 설탕의 양의 비가 150`:`350 답 30단계 즉 3`:`7이므로 8 100 _(150-x)+ 10 100 _x ] `:` [ [ (설탕물의 농도) 100 (설탕의 양)= 10 100 _(350-x) 8 100 _x+ _(설탕물의 양) ]=3`:`7 Ⅲ. 방정식 06. 일차방정식의 활용 69 {8(150-x)+10x}`:`{8x+10(350-x)}=3`:`7 24x+30(350-x)=56(150-x)+70x 24x+10500-30x=8400-56x+70x 10500-6x=8400+14x, 20x=2100 ∴ x=105 따라서 A용기에서 떠내 B용기에 부은 설탕물의 양은 105 g이다. 답 105 g 0581 유형 17 160쪽 10시와 11시 사이에 시침과 분침이 일직선을 이루는 시각을 10시 x분이라 하면 10시와 11시 사이이므로 당연히 10시이겠지? 이때 시침이 분침보다 시계 방향으로 180ù만큼 더 움직인 상태이다. x분 동안 시침은 0.5xù, 시침은 60분 동안 30ù만큼 움직이므로 1분 동안 0.5ù만큼 움직여. -5.5x=-120 분침은 60분 동안 360ù만큼 움직 이므로 1분 동안 6ù만큼 움직여. 분침은 6xù만큼 움직이므로 300+0.5x-6x=180, -120 ∴ x= -5.5 = 따라서 10시와 11시 사이에 시침과 분침이 일직선을 이루는 시각은 10시 240 11 240 11 분이다. 만큼, 이때 물통에 물을 가득 채웠을 때의 물의 양을 1이라 하면 A호스로는 1분에 1 12 B호스로는 1분에 1 6 C호스로는 1분에 1 8 만큼 물을 채우고, 만큼 물을 뺀다. 따라서 A호스와 B호스로 물을 채우고 C호스로 물을 뺄 때는 1분에 1 12 + 1 6 - 1 8 = 2 24 + 4 24 - 3 24 = 3 24 = 1 8 만큼씩 물이 차게 되므로 물을 가득 채우는 데 총 8분이 걸린다. 따라서 구하는 시각은 10시 { 240 11 +8 } 분 즉 10시 328 11 분이다. 서술형 격파하기 답 10시 328 11 분 예제 1 예제 2 유제 2 예제 3 유제 3 예제 4 504명 (1) A`:`70+15x, B`:`196+8x (2) 18분 8분 후 16 % 유제 4 11.2 { 또는 ;;°5¤;;} 예제 1 STEP ❶ 혜수와 혜진이의 8개월 후의 예금액을 각각 구한다. 혜수는 매달 9000원씩 저금하므로 8개월 후에 혜수의 예금액은 99000+9000_8=171000(원) 혜진이는 매달 x원씩 저금하므로 8개월 후에 혜진이의 예금액은 (25000+8x)원 STEP ❷ 8개월 후에 혜수의 예금액이 혜진이의 예금액의 3배가 됨을 이용하 채점기준 ① | 40% 여 방정식을 세운다. 8개월 후에 혜수의 예금액이 혜진이의 예금액의 3배가 되므로 171000=3(25000+8x), 171000=75000+24x 24x=96000 ∴ x=4000 답 채점기준 ② | 40% 채점기준 ③ | 20% 4000 70 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 본문 162쪽 40% 40% 20% 채점기준 ① 혜수와 혜진이의 8개월 후의 예금액을 각각 구한다. ② 방정식을 세운다. ③ x의 값을 구한다. 유제 1 STEP ❶ 세정이가 1년 뒤에 받는 돈을 식으로 세운 후 그 값이 255250원임 을 이용하여 x의 값을 구한다. 세정이가 250000원을 은행에 저금하였을 때, 1년간 이자가 x %이고, 이자소득에 대한 세금으로 30 %를 공제하므로 세정이가 1년 뒤에 받는 돈은 250000+250000_ x 100 _{ 1- 30 100 } x 100 _ 70 100 =250000+250000_ =250000+1750x 이때 이 금액이 255250원이므로 250000+1750x=255250, 1750x=5250 ∴ x=3 답 채점기준 ① 1년 뒤에 받는 돈을 식으로 나타낸다. ② 방정식을 세운다. ③ x의 값을 구한다. 채점기준 ① | 40% 채점기준 ② | 40% 채점기준 ③ | 20% 3 40% 40% 20% 예제 2 STEP ❶ 증가한 남자의 수와 감소한 여자의 수를 각각 구한다. (1) 작년에 동호회에 가입한 사람 중 남자가 x명이므로 여자는 (50-x)명이다. 올해 가입자 중 남자는 15 % 증가하였으므로 증가한 남자의 수는 15 100 x명이고, 올해 가입자 중 여자는 20 % 감소하였으므로 감소한 여자의 수는 [ (50-x) ] 명이다. 20 100 채점기준 ① | 30% x- 20 100 (50-x)=-3 15 100 양변에 100을 곱하면 15x-1000+20x=-300 35x=700 따라서 올해 가입한 남자의 수는 ∴ x=20 20+ 15 100 _20=23(명) 채점기준 ② | 30% 채점기준 ③ | 20% 채점기준 ④ | 20% 답 (1) 15 100 x명, [ 20 100 (50-x) ] 명 (2) 23명 채점기준 ① 증가한 남자의 수와 감소한 여자의 수를 각각 식으로 나타낸다. ② 방정식을 세운다. ③ x의 값을 구한다. ④ 올해 가입한 남자의 수를 구한다. 30% 30% 20% 20% 유제 2 STEP ❶ 작년 여학생 수를 x명이라 하고 식을 세운다. 작년 여학생 수를 x명이라 하면 작년 전체 학생 수가 900명이므로 작년 남학생 수는 (900-x)명이다. 여학생은 5 % 증가하였으므로 증가한 여학생 수는 5 100 x명이다. 4000 유제 1 3 STEP ❷ 총 가입자가 3명 감소하였음을 이용하여 올해 가입한 남자의 수를 (1) 15 100 x명, [ 20 100 (50-x) ] 명 (2) 23명 구한다. (2) 이때 총 가입자는 3명 감소하였으므로 따라서 식을 세우면 x+3=900_ , 5x+300=2700 5 100 5x=2400 STEP ❷ 작년 여학생 수를 이용하여 올해 여학생 수를 구한다. 3 100 ∴ x=480 채점기준 ① | 50% 채점기준 ② | 30% 따라서 작년 여학생 수는 480명이므로 올해 여학생 수는 480+480_ 5 100 =480+24=504(명) 채점기준 ③ | 20% 18 100 _800 3x 100 _200= 2x 100 _600+ STEP ❷ 소금물 A의 농도를 구한다. 12x+6x=18_8, 18x=144 따라서 소금물 A의 농도는 2x=2_8=16(%) 답 ∴ x=8 채점기준 ① 방정식을 세운다. ② 소금물 A의 농도를 구한다. 본문 165쪽 채점기준 ① | 50% 채점기준 ② | 50% 16 % 50% 50% Ⅳ - 0 7 . 좌 표 평 면 과 그 래 프 유제 4 STEP ❶ 두 비커 A, B에 들어 있는 소금물의 농도가 같음을 이용하여 x의 값을 구한다. 문제의 조건에 따라 소금물을 옮긴 후에 두 비커 A, B에 들어 있는 소금물의 농도와 소금물의 양이 모두 같으므로 소금의 양도 같다. 채점기준 ① | 30% (100-40)+ 12 100 _40= 12 100 _(100-40) x 100 60x+480=720, 60x=240 ∴ x=4 STEP ❷ a의 값을 구하여 x+a의 값을 계산한다. 비커 B에 들어 있는 소금물 100 g에서 40 g의 소금물을 떠내고, 물 40 g을 넣 었으므로 이때의 소금물의 양은 100 g이고, 소금의 양은 12 채점기준 ② | 25% 100 _60=7.2(g) 이다. 따라서 이때의 농도는 ∴ a=7.2 7.2 100 _100=a ∴ x+a=4+7.2=11.2 답 채점기준 ① 방정식을 세운다. ② x의 값을 구한다. ③ a의 값을 구한다. ④ x+a의 값을 구한다. 채점기준 ③ | 25% 채점기준 ④ | 20% 11.2 { 또는 56 5 } 30% 25% 25% 20% 답 채점기준 ① 방정식을 세운다. ② 작년 여학생 수를 구한다. ③ 올해 여학생 수를 구한다. 504명 50% 30% 20% 예제 3 STEP ❶ x분 후에 바구니 A와 바구니 B에 들어 있는 구슬의 개수를 각각 구 한다. 한다. (1) 바구니 A에는 1분에 15개의 구슬을 넣으므로 x분 후에 바구니 A에 들어 있는 구슬의 개수는 70+15x이고, 바구니 B에는 1분에 8개의 구슬을 넣으므로 x분 후에 바구니 B에 들어 있는 구슬의 개수는 196+8x이다. 채점기준 ① | 50% STEP ❷ 바구니 A와 바구니 B에 들어 있는 구슬의 개수가 같아지는 때를 구 (2) 70+15x=196+8x에서 7x=126 ∴ x=18 따라서 구슬을 넣기 시작한 지 18분 후에 바구니 A와 바구니 B에 들어 있는 구슬의 개수가 같아진다. 채점기준 ② | 50% (1) A`:`70+15x, B`:`196+8x (2) 18분 채점기준 ① x분 후에 바구니 A와 바구니 B에 들어 있는 구슬의 개수를 구한다. ② 구슬의 개수가 같아지는 것은 몇 분 후인지 구한다. 50% 50% 유제 3 STEP ❶ 불을 붙인 지 x분 후의 양초 A와 양초 B의 길이를 구한다. 양초 A는 1분에 2 cm씩 짧아지므로 불을 붙인 지 x분 후의 양초 A의 길이는 (30-2x)cm이고, 양초 B는 2분에 1 cm씩, 즉 1분에 0.5 cm씩 짧아지므로 불을 붙인 지 x분 후의 양초 B의 길이는 (18-0.5x)cm이다. STEP ❷ 타고 남은 두 양초의 길이가 같아지는 때를 구한다. 이때 타고 남은 두 양초의 길이가 같아야 하므로 30-2x=18-0.5x, 1.5x=12 ∴ x=8 따라서 불을 붙인 지 8분 후에 두 양초의 길이가 같아진다. 답 답 07 좌표평면과 그래프 0582 ④ 0583 ①, ④ 0584 풀이 참조 0585 ② 0586 ⑤ 채점기준 ① | 50% 0587 0588 ③ 0589 H, G, I, F 0590 ⑤ 0591 ⑤ 0592 ③ 0593 2 0594 ④ 0595 0596 ④ 0598 ② 0599 0600 ;;Á2¦;; 0601 ;;¢2°;; 0603 20 0604 ③ 0605 ④ 0606 ③ 28 28 3 6 ;;£2°;; 0597 0602 채점기준 ② | 50% 0612 ④ 0613 제 2 사분면 0614 ⑤ 0615 ⑤ 0616 ④ 0607 제 4 사분면 0608 ③ 0609 ③ 0610 ⑤ 0611 ② 채점기준 ① x분 후의 양초 A와 양초 B의 길이를 구한다. ② 두 양초의 길이가 같아지는 것은 몇 분 후인지 구한다. 8분 후 50% 50% 예제 4 STEP ❶ 소금물 A와 소금물 B의 농도를 각각 2x %, 3x %로 놓고 식을 세 운다. 소금물 A와 소금물 B의 농도의 비가 2`:`3이므로 두 소금물의 농도를 각각 2x %, 3x %라 하면 0617 ③ 0618 제 1 사분면 0619 ③ 0620 ⑤ 0621 ④ 0622 풀이 참조 0623 ⑤ 0624 24 0625 110 ùC 0626 풀이 참조 0627 6월 15일 0628 ③ 0629 2.5 km 0630 300 m 0631 12초 0632 10분 0633 B, A, C 0634 ① 0635 ㄱ, ㄷ 0636 ㄱ, ㄷ 0637 ⑤ 0638 ⑤ 0639 ⑤ 0640 ③ 0641 ③ 0642 ⑤ 0643 ③ 0644 ④ 0645 ④ 0646 ④ 0647 ④ 0648 그릇 C 0649 ④ 0650 ① 0651 ⑤ 0652 ③ Ⅳ. 그래프와 비례 07. 좌표평면과 그래프 71 유형 정복하기 따라서 x좌표와 y좌표의 합이 가장 큰 점은 E이다. 답 ⑤ 유형 01. 순서쌍과 좌표평면 위의 점의 좌표 유형 02. x축 또는 y축 위의 점의 좌표 본문 170쪽 0591 ① 점 (0, 0)은 x축과 y축 위에 있는 점이다. ②, ③ 점 (3, 0)과 점 (2, 0)은 y좌표가 모두 0이므로 x축 위에 있는 점이다. 답 ④ ④ 점 (0, ⑤ 점 (1, -4)는 x좌표가 0이므로 y축 위에 있는 점이다. -1)은 제4사분면 위에 있는 점이다. (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6)이다. 답 ①, ④ 0582 2a-4=-a-1이므로 3a=3에서 a=1 b+1=-b+3이므로 2b=2에서 b=1 ∴ a+b=1+1=2 0583 주어진 조건을 만족하는 x, y의 순서쌍은 0584 |a|=2이므로 a=2 또는 a=-2 |b|=3이므로 b=3 또는 b=-3 따라서 구하는 순서쌍 (a, b)는 (-2, 0585 a>b를 만족시키는 순서쌍 (a, b)는 -3), (-2, 3), (2, -3), (2, 3) 답 (-2, -3), (-2, 3), (2, -3), (2, 3) (4, 2), (6, 2), (6, 4), (8, 2), (8, 4), (8, 6)의 6개이다. 답 ② 0586 점 A, B, C, D, E의 좌표를 순서쌍으로 나타내면 다음과 같다. ① A(-3, 2) ② B(1, 1) ③ C(-1, 0) ④ D(-2, ⑤ E(3, -4) -3) 답 ⑤ 답 3 0587 점 A의 좌표는 (2, 3)이므로 x좌표는 2이다. 점 B의 좌표는 (-3, 1)이므로 y좌표는 1이다. ∴ (점 A의 x 좌표)+(점 B의 y 좌표)=2+1=3 0588 네 점 P, Q, R, S의 좌표를 각각 구하면 -1), Q(-4, 3), R(4, 4), S(0, -3) 따라서 x좌표가 가장 작은 점(A)은 Q이고, P(3, 0589 (-4, 2)에서 x=-4, y=2인 점은 H이다. (0, -3)에서 x=0, y=-3인 점은 G이다. (1, 1)에서 x=1, y=1인 점은 I이다. (4, 2)에서 x=4, y=2인 점은 F이다. 따라서 차례대로 나열하면 H, G, I, F이다. -2+3=1 0590 각 점의 좌표를 구한 후 x좌표와 y좌표의 합을 구하면 A(-2, 3)에서 B(1, C(-3, D(0, 2)에서 0+2=2 E(4, 1)에서 4+1=5 -3)에서 1+(-3)=-2 -3+(-1)=-4 -1)에서 72 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) y좌표가 가장 큰 점(B)은 R이다. 답 ③ (cid:90) (cid:9)(cid:19)(cid:13)(cid:65)(cid:17)(cid:10) (cid:9)(cid:17)(cid:13)(cid:65)(cid:17)(cid:10) (cid:48) (cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:17)(cid:10) (cid:89) (cid:9)(cid:18)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:18)(cid:10) (cid:9)(cid:17)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:21)(cid:10) 0592 점 (a, b)가 y축 위에 있으므로 a=0 점 (a, b)가 원점이 아니므로 b+0 0593 1 3 점 { a-1, 2a-1 } 이 x축 위에 있으므로 2a-1=0에서 2a=1 ∴ a= 1 2 1 4 } 점 { b-1, 6b+4 b-1=0에서 1 1 4 따라서 ab의 값은 1 4 0594 점 { 3 2a-4, 1 a-2 a-2=0에서 1 3 1 3 } 가 y축 위에 있으므로 b=1 ∴ b=4 2 _4=2 가 x축 위에 있으므로 a=2 ∴ a=6 점 { 2 3 a+b, 2a- 1 4 b } 가 y축 위에 있으므로 2 3 a+b=0에 a=6을 대입하면 2 따라서 ab의 값은 6_(-4)=-(6_4)=-24 (cid:90) (cid:21) (cid:34) (cid:37) (cid:20) (cid:36) (cid:14)(cid:18) (cid:48) (cid:89) (cid:35) (cid:14)(cid:20) (선분 AB의 길이)=4-(-3)=4+3=7 (선분 AD의 길이)=3-(-1)=3+1=4 따라서 사각형 ABCD의 넓이는 4_7=28 3 _6+b=4+b=0 ∴ b=-4 유형 03. 좌표평면 위의 도형의 넓이 0595 네 점 A(-1, 4), B(-1, 내면 다음 그림과 같다. 답 H, G, I, F -3), C(3, -3), D(3, 4)를 좌표평면 위에 나타 답 ⑤ 답 ③ 답 2 답 ④ 답 28 0596 좌표평면 위의 세 점 A(-1, 3), B(3, 2), C(3, 내면 다음 그림과 같다. -3)을 좌표평면 위에 나타 =20-10- 3 2 = 17 2 1 2 _{4-(-1)}_{3-(-1)}- 1 2 _(4-3)_{2-(-1)} - 본문 172쪽 답 17 2 Ⅳ - 0 7 . 좌 표 평 면 과 그 래 프 0600 주어진 네 점 A, B, C, D를 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다. (cid:35) (cid:14)(cid:20) (cid:37) (cid:22) (cid:89) (cid:90) (cid:20) (cid:34) (cid:48) (cid:19) (cid:36) (cid:14)(cid:21) 따라서 사각형 ABCD의 넓이는 삼각형 ABD의 넓이와 삼각형 BCD의 넓이 의 합과 같으므로 1 2 _{5-(-3)}_3+ 1 2 _{5-(-3)}_{0-(-4)} 선분 BC를 삼각형 ABC의 밑변이라 하면 =(선분 BC의 길이)=2-(-3)=2+3=5 (밑변의 길이) (높이)=3-(-1)=3+1=4 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 1 2 _5_4=10 (cid:36) (cid:22) (cid:35) (cid:34) (cid:21) 답 ④ 0597 조건 (가)에서 A(3, 0)이고, 조건 (다)에서 O(0, 0)이므로 세 점을 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다. 1 2 _8_4 } }+{ 1 2 _8_3 ={ =12+16=28 답 28 0601 네 점 A, B, C, D를 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다. (cid:90) (cid:35)(cid:9)(cid:14)(cid:19)(cid:13)(cid:65)(cid:20)(cid:10) (cid:34)(cid:9)(cid:19)(cid:13)(cid:65)(cid:20)(cid:10) (cid:38)(cid:9)(cid:14)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:20)(cid:10) (cid:40)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:20)(cid:10) (cid:36)(cid:9)(cid:14)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:18)(cid:10) (cid:48) (cid:89) (cid:39)(cid:9)(cid:14)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:19)(cid:10) (cid:37)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:19)(cid:10) 답 6 위의 그림과 같이 세 점 E(-3, 3), F(-3, 사각형 EFDG의 넓이는 -2), G(3, 3)을 잡으면 따라서 선분 OA를 삼각형 ABO의 밑변이라 하면 (밑변의 길이)=(선분 OA의 길이)=3, (높이)=4 따라서 삼각형 ABO의 넓이는 1 2 _3_4=6 0598 네 점 A(-4, 2), B(1, 2), C(1, 4), D(-3, 4)를 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다. 사각형 ABCD는 사다리꼴이므로 (윗변의 길이)=(선분 CD의 길이)=1-(-3)=4 (아랫변의 길이)=(선분 AB의 길이)=1-(-4)=1+4=5 (높이)=(선분 BC의 길이)=4-2=2 따라서 사각형 ABCD의 넓이는 1 2 _(4+5)_2= 1 2 _9_2=9 0599 답 ② =30-2-3- 5 2 = 45 2 (cid:21) (cid:36) (cid:18) (cid:39) (cid:35) (cid:18) (cid:38) (cid:21) (cid:34) (cid:18) (cid:40) (cid:22) (cid:37) (cid:23) 답 45 2 (cid:90) (cid:34) (cid:20) (cid:19) (cid:14)(cid:20) (cid:35) (cid:36) (cid:14)(cid:18) (cid:48) (cid:20) (cid:89) (cid:90) (cid:35) (cid:21) (cid:14)(cid:18) (cid:48) (cid:20) (cid:34) (cid:89) (cid:90) (cid:21) (cid:19) (cid:48) (cid:37) (cid:34) (cid:36) (cid:35) (cid:14)(cid:21) (cid:14)(cid:20) (cid:18) (cid:89) (cid:34) (cid:21) (cid:90) (cid:19) (cid:14)(cid:18) (cid:37) (cid:48) (cid:14)(cid:18) (cid:36) (cid:21) (cid:89) (cid:38) (cid:20) (cid:35) {3-(-3)}_{3-(-2)}=6_5=30 삼각형 BEC의 넓이는 1 2 _{-2-(-3)}_{3-(-1)}= 삼각형 CFD의 넓이는 1 2 _1_4=2 1 2 _{-1-(-2)}_{3-(-3)}= 삼각형 ADG의 넓이는 1 2 _1_6=3 1 2 _{3-(-2)}_(3-2)= (사각형 ABCD의 넓이) 1 2 _5_1= 5 2 = (사각형 EFDG의 넓이)-(삼각형 BEC의 넓이) -(삼각형 CFD의 넓이)-(삼각형 ADG의 넓이) 0602 2 { 2 1 2 점 A 3a-1, 1 a-1=0에서 1 ∴ A(5, 0) 점 B(b-3, b-3=0에서 b=3 ∴ B(0, -7) a-1 } 이 x축 위의 점이므로 a=1, a=2 -3b+2)가 y축 위의 점이므로 두 점 A, B를 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다. Ⅳ. 그래프와 비례 07. 좌표평면과 그래프 73 -1), E(4, -1)이라 하면 위의 그림과 같이 D(-1, (삼각형 ABC의 넓이) =(사다리꼴 ADEC의 넓이)-(삼각형 ADB의 넓이) -(삼각형 CBE의 넓이) 1 2 _[{4-(-1)}+{2-(-1)}]_{4-(-1)} = 본문 173쪽 (cid:34) (cid:22) (cid:89) (cid:90) (cid:48) (cid:35) (cid:14)(cid:24) 0606 ① (3, 2) : 제1사분면 ② (-2, ③ (-2, 6) : 제2사분면 -1) : 제4사분면 ④ (3, -3) : 제3사분면 따라서 삼각형 ABO의 넓이는 1 2 _(5-0)_{0-(-7)}= 1 2 _5_7= 35 2 답 35 2 0603 두 점 A {-2a, 1 2 b-1 } , B(2b, a-3)이 x축 위에 있으므로 즉, 1 2 b=1, b=2 이 두 점의 y좌표는 모두 0이다. b-1=0에서 1 a-3=0에서 a=3 그러므로 세 점의 좌표를 구하면 A(-6, 0), B(4, 0), C(6, 4)이고, 이를 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다. 2 (cid:90) (cid:36)(cid:9)(cid:23)(cid:13)(cid:65)(cid:21)(cid:10) (cid:48) (cid:34)(cid:9)(cid:14)(cid:23)(cid:13)(cid:65)(cid:17)(cid:10) (cid:35)(cid:9)(cid:21)(cid:13)(cid:65)(cid:17)(cid:10) (cid:89) 삼각형 ABC의 밑변을 선분 AB라 하면 (밑변의 길이) =(선분 AB의 길이)=4-(-6) =4+6=10 (높이)=4 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 1 2 _10_4=20 0604 (cid:90) (cid:48) (cid:14)(cid:19) (cid:36) (cid:21) (cid:14)(cid:20) (cid:34) (cid:14)(cid:23) (cid:36) (cid:89) (cid:35) 1 2 _{4-(-2)}_(높이) 1 2 _6_(높이) = =3_(높이)=9 에서 삼각형 ABC의 높이가 3이 되어야 하므로 점 C의 y좌표는 0 또는 -6이어야 한다. 따라서 점 C의 좌표로 가능한 것은 ③ (4, 0)이다. 유형 04. 사분면 0605 ① 원점은 x축과 y축 위의 점이다. ② 점 (1, 4)는 제1사분면 위에 있다. ③ 점 (-3, 0)은 x축 위의 점이다. ④ 점 (2, -3)은 제4사분면 위에 있고, 점 (-2, 3)은 제2사분면 위에 있다. ⑤ 점 (3, 0)은 x축 위의 점이므로 어느 사분면에도 속하지 않는다. 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 답 ④ 74 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) ⑤ (0, 3) : 어느 사분면에도 속하지 않는다. 답 ③ 0607 두 순서쌍 (a-2, 3b+1), (2a-5, b-3)이 서로 같으므로 x좌표와 y좌표가 각각 서로 같다. 즉, a-2=2a-5에서 a=3 3b+1=b-3에서 2b=-4, b=-2 따라서 점 (3, 답 제4사분면 -2)는 제4사분면 위에 있다. 유형 05. 사분면의 결정 ; 두 수의 부호를 이용하는 경우 0608 ab<0이므로 a와 b의 부호가 서로 다르고, a-b<0에서 a<b이므로 a<0, b>0이다. 따라서 1 2 -3b<0이므로 a<0, 답 20 점 { 1 2 a, -3b } 가 속하는 사분면은 제3사분면이다. 답 ③ 0609 ① a>0, b<0이므로 점 (a, b)는 제1사분면 위에 있다. -ab>0이므로 점 (a-b, ② a-b>0, -a+b<0이므로 점 (-a, -a<0, ③ -ab)는 제1사분면 위에 있다. -a+b)는 제3사분면 위에 있다. ④ a>0, ab<0이므로 점 (a, ab)는 제4사분면 위에 있다. ⑤ b-a<0, a-b>0이므로 점 (b-a, a-b)는 제2사분면 위에 있다. 답 ③ 이때 a<0이므로 b>0 -b<0, b 따라서 a <0이므로 점 는 제3사분면 위에 있다. {-b, b a } 주어진 점이 존재하는 사분면을 각각 구하면 ① 제1사분면 ② 어느 사분면에도 속하지 않는다. 답 ③ ③ 제4사분면 ④ 제2사분면 ⑤ 제3사분면 따라서 점 {-b, b a } 와 같은 사분면 위의 점은 ⑤ (-3, -4)이다. 답 ⑤ 0611 ab=0, a>0이므로 b=0이다. ac<0에서 a와 c의 부호가 서로 다르고, a>0이므로 c<0이다. -a<0, b=0이므로 점 P(-a, b)는 x축 위의 점이고, -3c>0이므로 점 Q , -3c 따라서 <0, c a c a } { 는 제2사분면 위의 점이다. 0612 a<0, b<0, |a|>|b|이므로 b-a>0, a+b<0이다. 따라서 점 (b-a, a+b)는 제4사분면 위에 있다. 답 ② 답 ④ 위 그림과 같은 삼각형 ABC의 넓이가 9가 되려면 1 2 _(선분 AB의 길이)_(높이) = 0610 ab<0이므로 a, b의 부호는 서로 다르다. 본문 175쪽 Ⅳ - 0 7 . 좌 표 평 면 과 그 래 프 유형 06. 사분면의 결정 ; 점이 속한 사분면이 주어진 경우 ② ab<0, cd>0이므로 점 (ab, cd)는 제2사분면 위의 점이다. ③ abc>0, abd>0이므로 0613 점 (a, b)가 제2사분면 위에 있으므로 a<0, b>0이다. 따라서 a-b<0, -3a>0이므로 점 (a-b, -3a)는 제2사분면 위에 있다. 답 제2사분면 0614 점 (a, b)가 제3사분면 위의 점이므로 a<0, b<0이다. ① a<0이므로 점 (a, b)의 x좌표는 0보다 작다. ② 점 (0, b)는 y축 위의 점이다. ③ 점 (b, a)는 제3사분면 위의 점이다. ④ 점 (a, 0)은 어느 사분면에도 속하지 않는다. ⑤ -a>0이므로 점 (-a, b)는 제4사분면 위의 점이다. 답 ⑤ 0615 점 (a, ∴ a<0, b<0 -b)가 제2사분면 위에 있으므로 a<0, -b>0 ① b<0, -a>0이므로 점 (b, -a)는 제2사분면 위에 있다. -a>0, b<0이므로 점 (-a, b)는 제4사분면 위에 있다. ② -b>0이므로 점 (ab, ③ ab>0, ④ a+b<0, ab>0이므로 점 (a+b, ab)는 제2사분면 위에 있다. ⑤ a<0, b<0이므로 점 (a, b)는 제3사분면 위에 있다. -b)는 제1사분면 위에 있다. 답 ⑤ 0616 점 (x, y)가 제3사분면 위에 있으므로 x<0, y<0이다. 점 (abc, abd)는 제1사분면 위의 점이다. ④ a-c의 부호는 알 수 없지만 d-b<0이므로 점 (a-c, d-b)는 제3사분면 또는 제4사분면 위의 점이다. ⑤ ac+b>0, bc+d<0이므로 점 (ac+b, bc+d)는 제4사분면 위의 점이다. 따라서 제1사분면 위의 점인 것은 ③이다. 답 ③ 0620 점 (a-b, ab)가 제3사분면 위에 있으므로 a-b<0, ab<0이다. 즉, a<b이고 ab<0이므로 a<0, b>0이다. -b<0이므로 점 (a, -b)는 제3사분면 위에 있다. ① a<0, ② b>0, a<0이므로 점 (b, a)는 제4사분면 위에 있다. ③ b-a>0, a-b<0이므로 점 (b-a, a-b)는 제4사분면 위에 있다. ④ ab<0, ⑤ a-b a -b<0이므로 점 (ab, >0, b b-a >0이므로 점 -b)는 제3사분면 위에 있다. , b b-a } a-b a { 는 제1사분면 위에 있다. 답 ⑤ 0621 점 P(a+b, ab)가 제3사분면 위의 점이므로 a+b<0, ab<0이다. ab<0이므로 a와 b의 부호가 서로 다르고, a+b<0, |a|<|b|이므로 a>0, b<0이다. 따라서 점 Q(a, b)는 제4사분면 위의 점이다. 답 ④ ㄱ. xy>0 ㄴ. x+y<0 ㄷ. x-y의 부호는 알 수 없다. ㄹ. x y >0 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다. 0617 ① 점 (0, 3)은 y축 위에 있다. ② 점 (3, 2)와 점 (2, 3)은 서로 다른 점이다. ③ a>0, b<0일 때, ab<0, b-a<0이므로 점 (ab, b-a)는 제3사분면 위의 점이다. ④ a<0, a>b이면 b<0이고, 점 (-a, ⑤ 점 (a, -a>0, -b>0이므로 -b)는 제1사분면 위의 점이다. -b)가 제3사분면 위의 점이면 a<0, -a>0, b>0이므로 점 (-a, b)는 제1사분면 위의 점이다. 답 ③ -b<0이다. 따라서 0618 점 (a, b)가 제4사분면 위에 있으므로 a>0, b<0이다. 점 (c, d)가 제1사분면 위에 있으므로 c>0, d>0이다. 따라서 a+c>0, d-b>0이므로 점 (a+c, d-b)는 제1사분면 위에 있다. 0619 점 P(a, b)는 제2사분면 위의 점이므로 a<0, b>0이고, 점 Q(c, d)는 제3사분면 위의 점이므로 c<0, d<0이다. ① a+c<0, b-d>0이므로 점 (a+c, b-d)는 제2사분면 위의 점이다. 답 제1사분면 유형 07. 대칭인 점의 좌표 0622 점 (3, -6)에 대하여 답 ④ (1) x축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (3, 6)이다. (2) 원점에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (-3, 6)이다. 답 (1) (3, 6) (2) (-3, 6) 0623 점 (a, -6)과 x축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (a, 6)이다. -b)와 y축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (-3, -b=6에서 b=-6 점 (3, 두 점의 좌표가 같으므로 a=-3, 따라서 두 수 a, b의 곱은 -3_(-6)=18 -b)이다. 답 ⑤ 0624 점 A(3, 4)와 x축에 대하여 대칭인 점 B의 좌표는 B(3, 세 점 A, B, C를 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다. -4)이므로 (cid:90) (cid:21) (cid:34) (cid:36) (cid:14)(cid:20) (cid:18) (cid:48) (cid:20) (cid:89) (cid:14)(cid:21) (cid:35) 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 1 2 _{4-(-4)}_{3-(-3)} = 1 2 _(4+4)_(3+3) 1 2 _8_6=24 = 답 24 Ⅳ. 그래프와 비례 07. 좌표평면과 그래프 75 유형 08. 그래프 해석하기 0625 x=2일 때 y=40, x=3일 때 y=70이므로 물을 끓이기 시작한 지 2분 후와 3분 후의 물의 온도의 합은 40+70=110(¾) 0626 그래프가 가장 높은 지점은 4월 7일이고, 가장 낮은 지점은 4월 9일이다. 따라서 하루 평균 초미세먼지의 양이 가장 많은 날은 4월 7일, 가장 적은 날은 4월 9일이었다. 답 4월 7일, 4월 9일 0627 일교차는 일 최고기온에서 일 최저기온을 뺀 것이다. 따라서 일교차가 가장 큰 날짜는 기온 변화의 폭이 가장 큰 날짜인 6월 15일이다. 답 6월 15일 0628 혁수가 심부름을 한 번 다녀오는 데 5분이 걸리므로 1시간 동안에는 60 5 =12(번)까지 심부름을 다녀올 수 있다. 답 ③ 0629 방향을 바꾼 지점은 출발점으로부터의 거리가 증가하다가 감소하거나 감소하다가 증가하는 지점이므로 출발한 지 10분, 15분, 30분 후이다. 따라서 세 번째로 방향을 바꾼 지점은 출발점으로부터 2.5 km 떨어져 있다. 답 2.5 km 0630 지선이는 출발한 후 2분 동안 100 m 이동한 후 2분에서 3분까지 반대 방향으로 50 m, 4분에서 7분까지 다시 반대 방향으로 150 m만큼 이동하였다. 따라서 지선이가 7분 동안 움직인 거리는 100+50+150=300(m) 0631 수현이가 탑승한 칸은 6초부터 두 번째로 상승하여 9초에 가장 높은 지점에 도달한 후, 12초에 다시 가장 낮은 지점에 도착한다. 답 12초 0632 기순이의 그래프는 x=20일 때 y=6이고, 창희의 그래프는 x=30일 때 y=6이다. 따라서 기순이는 출발한 지 20분 후 창희는 출발한 지 30분 후에 각자의 집에서 6 km 떨어진 지점에 도달하였다. 따라서 두 사람이 각자의 집에서 6 km 떨어진 지점에 도달한 시간의 차는 30-20=10(분) 답 10분 0633 A, B, C 세 사람은 각각 출발한 지 6분, 5분, 8분 만에 결승점에 도착하였으 므로, 결승점에 도착한 순서대로 나열하면 B, A, C이다. 답 B, A, C 유형 09. 상황에 맞는 그래프의 변화 파악하기 0634 A 구간에서 x의 값이 증가해도 y의 값이 변하지 않으므로 승훈이의 지면으 로부터의 높이는 변하지 않는다. 76 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 본문 177쪽 따라서 A 구간에서 승훈이는 정지해 있거나 평지를 걷고 있다. 답 ① 0635 ㄱ. 비행기의 고도가 높아지기 시작한 시간은 2분 후이므로 비행기가 활주로 를 달린 시간은 2분이다. 답 110¾ ㄴ. x=10일 때 y의 값은 1.2이므로 10분 후 비행기의 고도는 1.2 km이다. ㄷ. 출발한 지 12분 후에 비행기의 고도는 상승하고 있다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄷ 0636 ㄱ. 8시부터 수형이와 집 사이의 거리가 멀어지므로 수형이는 8시에 집에서 출발하였다. ㄴ. 9시에 거리가 6 km이므로 수형이는 9시에 공원에 도착하였다. ㄷ. 10시부터 11시까지 이동하지 않았다. ㄹ. 12시에 집으로 돌아왔다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄷ 0637 ⑤ 양초의 길이는 10분부터 20분까지 줄어들었고, 20분부터 30분까지는 줄 어들지 않다가 30분부터 다시 줄어들기 시작하였다. 답 ⑤ 0638 ①, ② 두 사람이 집에서 출발한 시각은 그래프가 시작된 지점의 x의 값이므로 기훈이는 4시, 승후는 5시에 출발했다. ③ 두 사람의 그래프가 만나는 점의 x의 값은 8이므로 두 사람은 8시에 만났다. ④ 6시에 기훈이는 집에서 3 km, 승후는 집에서 2 km 떨어져 있으므로 두 사람 사이의 거리는 3-2=1(km)이다. ⑤ 7시에 기훈이의 그래프의 y의 값이 승후의 그래프의 y의 값보다 크므로 기훈이가 승후보다 집에서 멀리 떨어져 있다. 답 ⑤ 0639 ① 형과 동생은 동생이 출발한 지 12분 후에 동시에 학교에 도착한다. ② 동생은 출발한 지 4분 후부터 7분 후까지 3분 동안 멈춘다. ④ 형은 동생이 출발한 후 4분이 지나서 출발하였다. ⑤ 형은 동생을 앞지른 적이 없다. 답 ⑤ 0640 ㄱ. x=0일 때 y의 값은 A요금제의 그래프가 가장 작으므로 A요금제의 기본 요금이 가장 적다. ㄴ. C요금제는 데이터를 얼마나 쓰던 상관없이 요금이 일정하다. ㄷ. x=14일 때 y의 값은 C요금제의 그래프가 가장 작으므로 한 달에 데이터 를 14GB 사용하는 경우 C요금제가 가장 저렴하다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ③ 0641 학교에서 출발하여 공원에 갈 때 : 그래프의 모양은 오른쪽 아래로 향한다. 공원에서 휴식을 취할 때 : 그래프의 모양은 수평이다. 공원에서 출발하여 집으로 갈 때 : 그래프의 모양은 오른쪽 아래로 향한다. 따라서 알맞은 그래프는 ③이다. 답 ③ 0642 ⑤ 그래프의 y의 값이 0이 되지 않으므로 컵에는 음료수가 남아 있다. 답 ⑤ 0643 물의 높이가 빠르게 증가하다가 점점 천천히 증가하므로 그릇은 위로 갈수록 답 300 m ③ 형은 쉬지 않고 이동하였다. 폭이 넓어지는 모양이다. 따라서 적절한 것은 ③이다. 답 ③ 0644 주어진 도형은 선이 1개일 때 2조각, 선이 2개일 때 3조각, y 으로 선이 1개 씩 늘어날 때마다 조각도 1개씩 늘어난다. 따라서 순서쌍 (1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8)을 좌표로 하는 점을 나타내야 하 므로 구하는 그래프는 ④이다. 답 ④ 0645 사다리 타기를 통해 각 학생의 조를 확인하면 1번 학생은 4조, 2번 학생은 1 조, 3번 학생은 2조, 4번 학생은 3조이다. 학생의 번호 x와 조의 번호 y의 순서쌍 (x, y)를 구하면 (1, 4), (2, 1), (3, 2), (4, 3) Ⅳ - 0 7 . 좌 표 평 면 과 그 래 프 본문 181쪽 -2ÉaÉ2 -4ÉbÉ6 점 A 또는 점 B의 x좌표 점 C 또는 점 D의 x좌표 점 P의 x좌표인 a의 값의 범위는 점 P의 y좌표인 b의 값의 범위는 a+b의 값이 최대이려면 a, b의 값이 각각 최대가 되어야 하므로 a=2, b=6 ∴ b-a=6-2=4 답 ④ 2-3=-1 -1)이므로 점 A에서 북쪽으로 2 km, 서쪽으로 3 km 0650 유형 04 174쪽 점 A의 좌표는 (2, 떨어진 점은 (-1, 1)이다. 따라서 자전거 대여소가 있는 지점의 좌표는 점 (-1, 1)이므로 x좌표는 음수, 제2사분면 위의 점이며, 지형은 숲에 속한다. y좌표는 양수이므로 제 2 사분면 위의 점이야. 0651 유형 08 177쪽 ㄱ. 60초일 때 물의 높이는 변하지 않으므로 물의 양도 늘어나지 않는다. (-1)+2=1 답 ① 물의 높이가 20 cm이므로 20_a=2000 ∴ a=100 물통의 담긴 물의 부피는 (물통의 밑면의 넓이)_(물의 높이)와 같아. ㄷ. 90초일 때 물의 높이는 20 cm, 150초일 때 물의 높이는 50 cm이므로 물의 높이는 30 cm가 증가하였다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 답 ⑤ 따라서 이 순서쌍을 좌표로 하는 점을 나타내야 하므로 두 변수 x, y 사이의 ㄴ. 물통의 밑면의 넓이를 a cmÛ``라 하면 40초일 때 관계를 나타낸 그래프는 ④이다. 답 ④ ㄴ. 정연이는 물을 쉬지 않고 마셨고, 미나는 물을 절반 마신 뒤 쉬었다가 0647 점 P가 선분 AB, 선분 BC, 선분 AC 위에 있을 때로 각각 나누어 생각하면 0652 유형 09 179쪽 주어진 그릇의 폭은 아래쪽은 일정하지만 도중에 폭이 점점 넓어진 뒤 다시 아래쪽은 폭이 일정한 원기둥의 형태야. 답 ④ 점점 좁아지는 형태이므로, 물의 높이는 일정하게 증가하다가 갑자기 느리게 증가하고, 다시 서서히 빠르게 증가하게 된다. 따라서 구하는 그래프는 ③이다. 답 ③ 0646 ㄱ. 정연이와 미나는 물을 모두 마셨다. 다시 마셨다. ㄷ. 미나가 물을 더 빠르게 마셨다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. Ú 점 P가 선분 AB 위에 있을 때 도형 ABP의 넓이는 0이다. Û 점 P가 선분 BC 위에 있을 때 점 P가 점 B 위에 있을 때는 도형 ABP의 넓이는 0이고, 점 P가 점 C 위에 있을 때는 도형 ABP의 넓이는 삼각형 ABC의 넓이와 같으므로 서술형 격파하기 1 2 1 2 _1_1= 따라서 도형 ABP의 넓이는 0에서 1 2 Ü 점 P가 선분 AC 위에 있을 때 까지 증가한다. 점 P가 점 C 위에 있을 때 도형 ABP의 넓이는 Û에서 1 2 이고, 점 P가 점 A 위에 있을 때 도형 ABP의 넓이는 0이므로 도형 ABP의 넓이는 1 2 에서 0까지 감소한다. Ú~Ü에서 구하는 그래프는 ④이다. 답 ④ 0648 폭이 좁고 일정한 부분에서는 물의 높이가 빠르게 증가하고, 폭이 넓고 일정 한 부분에서는 물의 높이가 느리게 증가한다. 그래프에서 물의 높이는 빠르고 일정하게 증가하다가 느리고 일정하게 증가 하고 있으므로 이에 해당하는 것은 그릇 C이다. 답 그릇 C 백점 도전하기 0649 유형 01 170쪽 네 점 A, B, C, D의 좌표를 구하면 -4), C(2, A(-2, 6), B(-2, 점 P(a, b)가 직사각형 ABCD의 둘레 위를 움직이므로 -4), D(2, 6) 예제 1 예제 2 예제 3 예제 4 제 2 사분면 3 41 3회 유제 1 유제 2 유제 3 유제 4 -15 제 2 사분면 320 m (가)- ㄴ, (나)- ㄷ, (다)- ㄱ 예제 1 STEP ❶ 삼각형 ABC의 밑변의 길이와 높이를 구한다. 세 점 A, B, C를 그림으로 나타내면 다음과 같다. (cid:90) (cid:48) (cid:36)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:66)(cid:10) (cid:89) (cid:35)(cid:9)(cid:14)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:19)(cid:10) (cid:34)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:19)(cid:10) 삼각형 ABC의 밑변을 선분 AC라 하면 (밑변의 길이)=a-(-2)=a+2 (높이)=3-(-3)=3+3=6 STEP ❷ 삼각형 ABC의 넓이가 15가 되도록 점 C의 좌표를 구한다. 채점기준 ① | 30% 삼각형 ABC의 넓이는 1 2 _(a+2)_6=3(a+2)=15 따라서 a+2=5 ∴ a=3 채점기준 ② | 50% 채점기준 ③ | 20% 답 3 Ⅳ. 그래프와 비례 07. 좌표평면과 그래프 77 채점 기준 ① 밑변의 길이와 높이를 구한다. ② 삼각형 ABC의 넓이에 대한 방정식을 세운다. ③ a의 값을 구한다. 30% 50% 20% 유제 1 STEP ❶ 삼각형 ABC에서 선분 AB를 밑변으로 놓고 삼각형 ABC의 높이 를 구한다. 점 C(k, 0)에서 점 C는 x축 위의 점이다. 삼각형 ABC에서 선분 AB를 밑변으로 놓으면 (선분 AB의 길이)=5-(-1)=5+1=6 이므로 삼각형 ABC의 넓이는 1 2 _6_(높이)=3_(높이)=12 그러므로 삼각형 ABC의 높이는 4이다. 채점기준 ① | 20% 채점기준 ② | 30% 채점기준 ③ | 30% STEP ❷ 가능한 모든 k의 값을 구하고 그 값들의 곱을 구한다. 따라서 k가 될 수 있는 값은 -1-4=-5 또는 -1+4=3 따라서 가능한 모든 k의 값의 곱은 -5_3=-15 채점기준 ④ | 20% (cid:90) (cid:34) (cid:22) (cid:36) (cid:21) (cid:21) (cid:14)(cid:18) (cid:48) (cid:14)(cid:18) (cid:35) (cid:36) (cid:89) 채점 기준 ① 밑변의 길이를 구한다. ② 삼각형 ABC의 넓이에 대한 방정식을 세운다. ③ 삼각형 ABC의 높이를 구한다. ④ 가능한 모든 k의 값의 곱을 구한다. 답 -15 20% 30% 30% 20% 예제 2 STEP ❶ 점 (-x, xy)가 제3사분면 위에 있음을 이용하여 x, y의 부호를 판 단한다. 점 (-x, xy)가 제3사분면에 속하므로 xy<0에서 x>0이므로 y<0이다. STEP ❷ y-x의 부호를 판단하여 점 (y-x, x)가 제 몇 사분면 위의 점인 -x<0에서 x>0 채점기준 ① | 40% 지 구한다. 따라서 y-x<0, x>0이므로 점 (y-x, x)는 제2사분면 위에 있다. 채점 기준 ① x, y의 부호를 판단한다. ② y-x의 부호를 판단한다. ③ 점 (y-x, x)가 제 몇 사분면 위에 있는지 구한다. 채점기준 ② | 40% 채점기준 ③ | 20% 답 제2사분면 40% 40% 20% 유제 2 STEP ❶ 두 점 A, B가 각각 x축, y축 위의 점임을 이용하여 a, b의 값을 구 ∴ b=2 점 B(6-3b, 6-4a)가 y축 위의 점이므로 6-3b=0에서 6=3b 점 A(2a+4, 2a-b)가 x축 위의 점이므로 2a-b=0에서 2a-2=0 STEP ❷ bc<0임을 이용하여 점 (ac, 3b-c)가 제 몇 사분면 위에 있는지 ∴ a=1 채점기준 ① | 40% 한다. 구한다. bc<0이고 b=2>0이므로 c<0 따라서 ac=1_c=c<0, 3b-c=6-c>0이므로 78 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 본문 184쪽 40% 40% 20% 점 (ac, 3b-c)는 제2사분면 위의 점이다. 채점기준 ③ | 20% 답 제2사분면 채점기준 ① a, b의 값을 구한다. ② ac, 3b-c의 부호를 판단한다. ③ 점 (ac, 3b-c)가 제 몇 사분면 위에 있는지 구한다. 예제 3 STEP ❶ 주어진 그래프를 이용하여 a, b, c의 값을 구한다. 채점기준 ① | 20% 승현이가 탑승한 관람차가 가장 높이 올라갔을 때의 높이는 30 m이므로 a=30 관람차가 가장 낮게 내려왔을 때의 높이는 1 m이므로 c=1 1 m 높이에서 출발한 관람차가 다시 같은 높이로 돌아왔을 때까지 걸리는 시 간은 10분이므로 b=10 ∴ a+b+c=30+10+1=41 채점기준 ② | 20% 채점기준 ③ | 40% 채점기준 ④ | 20% 답 41 채점기준 ① a의 값을 구한다. ② c의 값을 구한다. ③ b의 값을 구한다. ④ a+b+c의 값을 구한다. 20% 20% 40% 20% 유제 3 STEP ❶ 놀이기구가 지면으로 다시 내려올 때까지 이동한 총 거리를 구한다. 놀이기구는 출발 후 10초 동안 120 m까지 상승한 후 20초에서 25초 사이 60 m 하강, 30초에서 35초 사이 40 m 상승, 35초에서 40초 사이 100 m 하강하였다. 채점기준 ① | 70% 따라서 놀이기구가 지면으로 다시 내려올 때까지 이동한 총 거리는 120+60+40+100=320(m) 채점기준 ② | 30% 답 320 m 채점기준 ① 각각의 구간마다 놀이기구가 이동한 거리를 구한다. ② 놀이기구가 지면으로 다시 내려올 때까지 이동한 총 거리를 구한다. 70% 30% 예제 4 STEP ❶ 주어진 그래프를 이용하여 자동차가 곡선 도로를 몇 회 지났는지 구 자동차의 속력이 낮아졌다 높아지는 구간이 3번 있으므로 자동차는 총 3회의 곡선 도로를 지났다. 채점기준 ① | 100% 채점기준 ① 자동차가 곡선 도로를 몇 회 지났는지 구한다. 답 3회 100% 유제 4 STEP ❶ 주어진 그림을 이용하여 x와 y 사이의 관계를 나타낸 그래프를 찾 한다. 는다. (가) 물병은 아랫부분의 폭이 일정하다가 급격히 좁아지고, 다시 일정하다가 급격하게 좁아지므로 해당하는 그래프는 ㄴ이다. (나) 물병은 아랫부분의 폭이 일정하다가 급격히 넓어지고, 다시 일정하다가 급격하게 넓어지므로 해당하는 그래프는 ㄷ이다. (다) 물병은 아랫부분의 폭이 일정하다가 급격히 좁아지고, 다시 일정하다가 급격하게 넓어지므로 해당하는 그래프는 ㄱ이다. 채점기준 ① | 100% 답 (가) ㄴ, (나) ㄷ, (다) ㄱ - - - 채점기준 ② | 40% 채점기준 ① 각각의 물병에 해당하는 그래프를 찾는다. 100% 본문 189쪽 Ⅳ - 0 8 . 정 비 례 와 반 비 례 답 ② 답 ④ 08 정비례와 반비례 0653 ④ 0654 ② 0655 ④ 0656 ①, ② 0657 ② 0658 ④ 0659 ③ 0660 ⑤ 0661 ②, ③ 0662 ① 0663 ① 0664 ③ 0665 ;4!; <a<6 0666 ④ 0667 ④ 0668 ② 0669 8 0670 ② 0671 -3 0672 0673 7 0674 0675 ④ 0676 ② 0677 풀이 참조 ;;Á5ª;; 0678 ② 0679 A(6, 3) 0680 ④ 0681 ① 0682 y= 0683 -2 0684 -;2!; 0685 y=3x 0686 ② 0687 15분 0688 ② 0689 45 0690 8 0691 0692 ④ 0693 ③ 0694 0695 ③ 0696 0697 ③ ;;¦4°;; 0698 ③ 0699 ② 0700 ① 0701 y= x(또는 y=1.4x), 7000원 7x-10 12 x ;4#; ;3@; ;4!; 0702 y=132x 0703 ② 0704 y= x 0705 125 g 0706 ③ 0707 ③ 0708 10바퀴 0709 y= x 0710 ② 0711 ② 0712 ③ 0713 ④ 0714 -8 0715 ③ 0716 ③ 0717 ③ 0718 ④ 0719 ② 0720 풀이 참조 0721 ③ 0722 ① 0723 ⑤ 0724 ① 0725 ④ 0726 ④ 0727 -;3$; 0728 ④ 0729 -9 0730 ③ 0731 ② 0732 ① 0733 ⑤ 0734 10 0735 ④ 0736 ④ 0737 ④ 0738 ③ 0739 ④ 0740 ④ 0741 ③ 0742 ④ 0743 ② 0744 ④ 0745 ③ 0746 24 0747 풀이 참조 0748 ④ 0749 4 cm3` 0750 28명 0751 ① 0752 ② 0753 ⑤ 0754 ② 0755 시간(=1시간 15분) 0756 ③ 0757 ⑴ y= ⑵ 8 cm 0758 ⑴ y= ⑵ cm 36 x ;2(; 720 x 0759 ㄴ, ㄷ 0760 ③ 0761 (-3, -12) 0762 0763 ④ ;;ª2¦;; ;3!2%; ;5&; ;4%; 3 9 ② 리본 한 묶음의 길이가 2 m이므로 y=2x ③ (소금물의 농도)= (소금의 양) (소금물의 양) _100이므로 x y= 200+x _100= 100x 200+x 50 x ④ xy=50이므로 y= ⑤ 매초 0.2 L씩 넣은 물의 양은 0.2x L이므로 y=0.2x+50 따라서 y가 x에 정비례하는 것은 ②이다. 유형 02. 정비례 관계식 구하기 0655 y가 x에 정비례하므로 y=ax (a+0)라 하고 x=3, y=4를 대입하면 4=a_3, a= 4 3 ∴ y= 4 3 x 0656 y가 x에 정비례하므로 y=ax (a+0)라 하면 ⑤ x=-2, y=6을 대입하면 6=-2a, a=-3이므로 y를 x에 대한 식으로 나타내면 y=-3x이다. ① x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. ② x의 값이 2배가 되면 y의 값도 2배가 된다. ③ x=2일 때, y=-3_2=-6이다. ④ y=-15일 때, 따라서 옳지 않은 것은 ①, ②이다. -15=-3x에서 x=5이다. 0764 ④ 0765 16 0766 ③ 0767 ② 0768 풀이 참조 유형 03. 정비례 관계 y=ax의 그래프 0769 풀이 참조 0770 ② 0771 0772 ;;ª4Á;; 0773 풀이 참조 0657 0774 ④, ⑤ 0775 ④ 0776 ① 0777 ② 0778 ③ 0779 ⑤ 유형 정복하기 유형 01. 정비례 관계 0653 x 3 에서 y는 x에 정비례한다. ㄱ. y= ㄴ. y가 x에 정비례하므로 x의 값이 3배가 되면 y의 값도 3배가 된다. ㄷ. x의 값이 6일 때, y= 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 6 3 =2에서 y의 값은 2이다. 0654 ① (시간)= (거리) (속력) 이므로 y= 120 x ① y=- 에 x=9를 대입하면 y=- x 3 9 3 =-3이므로 정비례 관계 y=- ② 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지난다. 의 그래프는 점 (9, x 3 -3)을 지난다. ③ 직선이다. ④ x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. ⑤ 원점을 지난다. 따라서 옳은 것은 ②이다. 0658 3 2 y= x에 x=-4, 0, 4를 각각 대입하면 답 ④ x=-4일 때, y= 3 2 _(-4)=-6 x=0일 때, y= 3 2 _0=0 3 2 _4=6 x=4일 때, y= 따라서 구하는 그래프는 ④이다. 답 ①, ② 증가 (cid:90) 감소 (cid:48) (cid:14)(cid:20) (cid:26) (cid:89) (cid:89) (cid:20) (cid:90)(cid:30)(cid:14) 답 ② (cid:90) (cid:23) (cid:14)(cid:21) (cid:48) (cid:21) (cid:89) (cid:14)(cid:23) 답 ④ Ⅳ. 그래프와 비례 08. 정비례와 반비례 79 0659 7 4 y=- x에 x=4를 대입하면 y=- 7 4 _4=-7이므로 정비례 관계 y=- 따라서 구하는 그래프는 ③이다. x의 그래프는 점 (4, 7 4 -7)과 원점을 지나는 직선이다. 0660 x의 값의 범위가 수 전체일 때, 그래프가 직선인 것은 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프이다. 따라서 그래프가 직선인 것을 모두 고르면 ㄱ, ㄷ, ㅁ이다. 0661 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프에서 a<0일 때, 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지난다. 본문 190쪽 답 1 4 <a<6 1 4 <|a|<6 <a<6 (∵ ㉠) ∴ 1 4 0666 색칠된 부분만을 지나는 정비례 관계의 그래프의 식을 y=ax (a+0)라 하자. 색칠된 부분은 제 2 사분면과 제 4 사분면이므로 a<0 y=ax의 그래프는 y=-2x의 그래프보다 x축에 가까우므로 |a|<|-2| ∴ -2<a<0 ∴ |a|<2 따라서 색칠된 부분만을 지나는 정비례 관계의 그래프가 될 수 있는 것은 ④ y=- x이다. 답 ④ 1 5 답 ③ 답 ⑤ 0667 ㉠, ㉡은 제 1 사분면과 제 2 사분면을 지나므로 a>0 ㉢, ㉣은 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지나므로 a<0 y=ax의 그래프는 a의 절댓값이 클수록 y축에 가까우므로 a의 값이 가장 큰 것부터 차례대로 나열하면 따라서 구하는 정비례 관계의 식은 ② y=-4x, ③ y=- 2 3 x이다. 답 ②, ③ 0662 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프에 대하여 ① y=ax에 x=-1을 대입하면 y=a_(-1)=-a이므로 점 (-1, -a) ㉡ ㉠ ㉣ - - - ㉢ 0668 ① y=-2x에서 -2<0이므로 를 지난다. ② 직선이다. ③ 원점을 지난다. ④ a>0일 때, 제 1 사분면과 제 3 사분면을 지난다. ⑤ a<0일 때, 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지난다. 따라서 옳지 않은 것은 ①이다. 답 ① 유형 04. 정비례 관계 y=ax의 그래프와 a의 절댓값 사이의 관계 0663 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프는 |a|의 값이 클수록 y축에 가깝다. 이때, 주어진 식의 a의 절댓값을 비교하면 1 4 | | < |- 2 3 | <|2|< 9 4 | | < |- 7 3 | 따라서 주어진 정비례 관계의 그래프 중 y축에 가장 가까운 것은 ① y=- 7 3 x이다. 0664 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프는 a의 절댓값이 작을수록 x축에 가깝다. 이때, 주어진 식의 a의 절댓값을 비교하면 1 5 | | < |- 2 7 | < |- 3 4 | <|-4|=|4| 따라서 주어진 정비례 관계의 그래프 중 x축에 가장 가까운 것은 ③ y= 1 5 x이다. 0665 정비례 관계 y=ax의 그래프가 제 1 사분면과 제 3 사분면을 지나므로 a>0 yy ㉠ y=ax의 그래프가 두 정비례 관계 y= x와 y=6x의 그래프 사이에 있으므로 1 4 80 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) y=-2x의 그래프는 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지난다. ② y=ax (a+0)의 그래프는 a의 절댓값이 클수록 y축에 가까워진다. |-2|<|4|이므로 y=-2x의 그래프보다 y=4x의 그래프가 y축에 가깝다. ③ y=-2x에 x=-2를 대입하면 y=-2_(-2)=4 따라서 정비례 관계 y=-2x의 그래프는 점 (-2, 4)를 지난다. ④ y=-2x에서 -2<0이므로 y=-2x의 그래프는 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. ⑤ 정비례 관계 y=-2x의 그래프는 원점을 지난다. 따라서 옳지 않은 것은 ②이다. 답 ② 유형 05. 정비례 관계 y=ax의 그래프 위의 점 x에 x=a, y=-6을 대입하면 답 ① -6=- a, a=-6_{- 3 4 4 3 }    ∴ a=8 x에 x=a, y=-2를 대입하면 -2= a, a=-2_ 4 7 7 4 ∴ a=- 7 2 0669 3 4 y=- 0670 4 7 y= 0671 답 ③ y=ax에 x=4, y=6을 대입하면 6=4a ∴ a= 3 2 y=bx에 x=- , y=3을 대입하면 3=- ∴ b=-2 3 2 b 3 2 ∴ ab= 3 2 _(-2)=-3 0672 y=ax에 x=-7, y=14를 대입하면 ∴ a=-2 14=-7a 답 ④ 답 8 답 ② 답 -3 x-a 6 3x+a 4 - 3x+(-2) 4 - 에 a=-2를 대입하면 x-(-2) = 6 3x-2 4 - x+2 6 3(3x-2)-2(x+2) 12 = 9x-6-2x-4 12 7x-10 12 = = 답 7x-10 12 본문 192쪽 0678 두 점 B, C가 x축 위의 점이고, 점 D의 좌표가 D(8, 3)이므로 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 3이다. 따라서 점 A의 좌표는 A(8-3, 3) 따라서 y=ax에 x=5, y=3을 대입하면 3=5a ∴ A(5, 3) ∴ a= 3 5 답 ② 0679 점 B의 x좌표를 a (a>0)라 하면 두 점 B, C는 각각 두 정비례 관계 1 2 3 x, y= 2 a, 3 a 2 } , C y= B { a, 1 a 2 { } 답 7 x의 그래프 위의 점이므로 (cid:90) (cid:20) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:66) (cid:66) (cid:35) (cid:36) (cid:48) (cid:66) (cid:20) (cid:90)(cid:30) (cid:89) (cid:19) (cid:18) (cid:90)(cid:30) (cid:89) (cid:19) (cid:34) (cid:37) (cid:89) Ⅳ - 0 8 . 정 비 례 와 반 비 례 0673 y=-4x에 x=5-a, y=2a-6을 대입하면 2a-6=-4(5-a), 2a-6=-20+4a 2a-4a=-20+6, ∴ a=7 -2a=-14 0674 정비례 관계 y=ax의 그래프가 점 (5, 3)을 지나므로 3 ∴ a= y=ax에 x=5, y=3을 대입하면 3=5a 5 3 x의 그래프가 점 (-3, b)를 지나므로 5 따라서 y= 3 x에 x=-3, y=b를 대입하면 b= 5 3 5 _(-3) y= ∴ a-b= 3 5 -{- 9 5 }= 12 5 0675 정비례 관계 y=ax의 그래프가 점 (6, 2)를 지나므로 y=ax에 x=6, y=2를 대입하면 2=6a ∴ a= 1 x에 x=-3k-1, y=-2k를 대입하면 3 1 3 따라서 y= 1 (-3k-1), 3 -2k= -6k=-3k-1 -6k+3k=-1, -3k=-1 ∴ k= 1 3 0676 y=ax에 x=8, y=2를 대입하면 2=8a ∴ a= 1 4 ∴ b=- 9 5 답 12 5 답 ④ 따라서 y= x이다. 1 4 ① y= ② y= ③ y= ④ y= ⑤ y= + 1 x에 x=12, y=3을 대입하면 3= 4 을 대입하면 1 1 1 x에 x=2, y= 4 4 4 1 x에 x=-4, y=-1을 대입하면 4 1 x에 x=20, y=5를 대입하면 5= 4 1 x에 x=-6, y=- 4 3 2 을 대입하면 1 4 _12 1 4 _2= 1 4 _(-4) -1= 1 2 1 4 _20 3 2 = 2, 1 4 } - 1 4 _(-6) 따라서 주어진 그래프 위의 점이 아닌 것은 ② { 이다. 답 ② 0677 y=ax에 x=-4, y=8을 대입하면 8=-4a y=-2x에 x=b, y=-2를 대입하면 y=-2x에 x=3, y=c를 대입하면 c=-2_3 따라서 a=-2, b=1, c=-6이다. -2=-2b ∴ a=-2 ∴ b=1 ∴ c=-6 답 a=-2, b=1, c=-6 1 x에 y= 2 3 2 a를 대입하면 이때, 두 점 A, B의 y좌표는 같고, 점 A는 정비례 관계 y= 1 x의 그래프 위의 점이므로 y= 2 1 2 ∴ x=3a x 3 a= 2 따라서 점 A의 좌표는 A 3a, 3 a 2 { } 이다. 직사각형 ABCD의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 구하면 (직사각형 ABCD의 가로의 길이)=3a-a=2a (직사각형 ABCD의 세로의 길이)= 이때 직사각형 ABCD의 둘레의 길이가 12이므로 2(2a+a)=12, 2_3a=12 ∴ a=2 6a=12 3a, 3 따라서 A a 2 에 a=2를 대입하면 A(6, 3) 3 a- 2 { } 1 a=a 2 (cid:90) (cid:20) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:66) (cid:66) (cid:35) (cid:36) (cid:48) (cid:66) (cid:20) (cid:90)(cid:30) (cid:89) (cid:19) (cid:19)(cid:66) (cid:18) (cid:90)(cid:30) (cid:89) (cid:19) (cid:34) (cid:66) (cid:37) (cid:20)(cid:66) (cid:89) 답 A(6, 3) 0680 정비례 관계 y=ax의 그래프가 y축에 가까울수록 a의 절댓값이 크다. 이때 a>0이므로 y=ax의 그래프가 점 A를 지날 때 상수 a의 값이 가장 크다. 점 A의 좌표를 구해 보면 A(5-3, 3+3) ∴ A(2, 6) 따라서 y=ax에 x=2, y=6을 대입하면 6=2a 따라서 상수 a의 최댓값은 3이다. ∴ a=3 답 ④ 0681 점 E(16, 4)가 직선 m 위의 점이므로 y= 1 x에 x=16, y=4를 대입하면 k 1 k _16 ∴ k=4 4= 점 A의 x좌표를 a라 하면 점 A는 직선 l`:`y=4x 위의 점이므로 A(a, 4a) (선분 AD의 길이)=2이고 (선분 AB의 길이)`:`(선분 AD의 길이)=7`:`2 이므로 (선분 AB의 길이)=7 따라서 점 B의 좌표는 B(a, 4a-7)이다. 직사각형 ABCD에 대하여 (선분 AD의 길이)=(선분 BC의 길이)=2이므 로 C(a+2, 4a-7) 이때 점 C는 직선 m 위의 점이므로 y= 1 x에 x=a+2, y=4a-7을 대입하면 4 4a-7= 1 (a+2), 4(4a-7)=a+2 4 Ⅳ. 그래프와 비례 08. 정비례와 반비례 81 16a-28=a+2, 16a-a=2+28 ∴ a=2 15a=30 따라서 점 A의 좌표는 A(2, 8)이다. 라임`:`y=600x 라익`:`y=150x 3 km는 3000 m이므로 답 ① 본문 194쪽 답 15분 라임이가 영화관에 도착하는 데 걸리는 시간을 구하면 3000=600x에서 x=5 라익이가 영화관에 도착하는 데 걸리는 시간을 구하면 3000=150x에서 x=20 따라서 라임이가 기다려야 하는 시간은 20-5=15(분) 0688 A 수문의 그래프를 나타내는 식을 y=ax (a+0)라 하면 y=ax의 그래프가 점 (30, 200)을 지나므로 20 200=30a 3 ∴ a= 20 3 x이다. ∴ b=20 따라서 A 수문의 그래프의 식은 y= B 수문의 그래프를 나타내는 식을 y=bx (b+0)라 하면 y=bx의 그래프가 점 (10, 200)을 지나므로 200=10b 따라서 B 수문의 그래프의 식은 y=20x이다. x에 x=90을 대입하면 y= ① y= 따라서 A수문을 열 때, 90분 동안 방류되는 물의 양은 600톤이다. ② 1시간은 60분이므로 y=20x에 x=60을 대입하면 y=20_60=1200 따라서 B수문을 열 때, 1시간 동안 방류되는 물의 양은 1200톤이다. 20 3 _90=600 20 3 ③ A, B 두 수문을 동시에 열 때, x분 동안 방류되는 물의 양은 20 3 { } 톤이므로 20 3 x+20x x+20x=480, 80 x=480 따라서 걸리는 시간은 18분이다. ④ B수문에서의 x와 y 사이의 관계식은 y=20x이다. ⑤ 3시간은 180분이므로 20 3 ∴ x=18 3 x+20x에 x=180을 대입하면 20 3 _180+20_180=1200+3600=4800 따라서 3시간 동안 방류되는 물의 양은 4800톤이다. 따라서 옳지 않은 것은 ②이다. 답 ② 유형 07. 정비례 관계 y=ax의 그래프와 도형의 넓이 0689 Q(15, 0)이므로 점 P의 x좌표는 15이다. y= 2 x에 x=15를 대입하면 y= 5 2 5 _15=6 따라서 P(15, 6)이므로 삼각형 POQ의 넓이는 1 2 _15_6=45 답 45 답 ② 0690 점 P의 y좌표가 12이므로 y=ax에 y=12를 대입하면 (∵ a+0) 12=ax ∴ x= 12 a 유형 06. 그래프가 주어질 때 식 구하기 ; 정비례 관계 0682 그래프가 원점과 점 (-8, y=ax (a+0)에 x=-8, y=-6을 대입하면 3 -6=-8a 4 ∴ a= -6)을 지나는 직선이므로 따라서 구하는 식은 y= x이다. 3 4 답 y= 3 x 4 0683 그래프가 원점을 지나는 직선이므로 y=ax (a+0)라 하자. y=ax의 그래프가 점 (12, 5)를 지나므로 y=ax에 x=12, y=5를 대입하면 5=12a 5 12 ∴ a= 5 12 x에 y=- 5 6 x ∴ x=- 따라서 y= 5 5 6 = 12 - 따라서 점 P의 x좌표는 를 대입하면 12 5 =-2 5 6 _ -2이다. 0684 두 변수 x, y의 그래프가 원점을 지나는 직선이므로 y=ax (a+0) y=ax의 그래프가 점 (12, 3)을 지나므로 y=ax에 x=12, y=3을 대입하면 3=12a 1 4 ∴ a= 1 x 에 x=-2, y=k를 대입하면 4 따라서 y= 1 4 _(-2)=- k= 1 2 0685 조건 (가)에서 y가 x에 정비례하므로 y=ax (a+0) 정비례 관계 y=ax의 그래프가 점 (4, 12)를 지나므로 y=ax에 x=4, y=12를 대입하면 12=4a 따라서 구하는 관계식은 y=3x이다. ∴ a=3 답 -2 답 - 1 2 답 y=3x 0686 직선이 원점을 지나므로 직선을 나타내는 식을 y=kx (k+0)라 하자. y=kx에 x=-4, y=24를 대입하면 ∴ k=-6 24=-4k 1 , y=a를 대입하면 y=-6x에 x=- 3 1 a=-6_{- 3 }=2 y=-6x에 x=b, y=18을 대입하면 18=-6b ∴ b=-3 따라서 a=2, b=-3이므로 a+b=2+(-3)=-1 0687 x분 동안 이동한 거리를 y m라 하면 82 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상)  두 점 O, A와 두 점 B, C의 y좌표가 각각 같으므로 선분 CB와 선분 OA는 따라서 두 선분 OQ, PQ의 길이를 각각 구하면 (선분 OQ의 길이)=12, (선분 PQ의 길이)= 이때 삼각형 OPQ의 넓이가 9이므로 12 a 9 = = 1 2 _(선분 OQ의 길이)_(선분 PQ의 길이) 1 2 _12_ 72 9 =8 ∴ a= 12 a = 72 a 0691 y=-3x에 x=-2, y=a를 대입하면 a=-3_(-2)=6 y=-3x에 x=-5, y=b를 대입하면 b=-3_(-5)=15 따라서 세 점 (-2, 6), (-5, 15), (-2, 15)를 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 구하는 삼각형의 넓이는 1 2 _{-2-(-5)}_(15-6) = 1 2 _3_9 27 2 = ∴ A(-3, 3) ∴ D(1, 3) 0692 y=-x, y=3x에 y=3을 각각 대입하면 3=-x, x=-3 3=3x, x=1 y=-x, y=3x에 y=-6을 각각 대입하면 ∴ B(6, -6=-x, x=6 ∴ C(-2, -6=3x, x=-2 따라서 삼각형 OAD와 삼각형 OBC의 넓이의 합은 -6) -6) 1 2 _4_3+ 1 2 _8_6 =6+24=30 0693 5 x에 x=4를 대입하면 y= y= 4 y=-x에 x=4를 대입하면 y=-4 따라서 삼각형 OAB의 넓이는 1 2 _{5-(-4)}_4= 1 2 _9_4=18 0694 B(6, 4)이므로 점 A의 x좌표는 6이다. y= 3 x에 x=6을 대입하면 y= 2 3 2 _6=9 ∴ A(6, 9) 5 4 _4=5 ∴ A(4, 5) ∴ B(4, -4) 따라서 점 C의 y좌표가 9이므로 y= 2 x에 y=9를 대입하면 3 9= 2 3 x ∴ x=9_ 3 2 = 27 2 ∴ C 27 2 , 9 } { 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 1 2 _{ 27 2 -6 }_(9-4) = 1 2 _ 15 2 _5= 75 4 0695 세 점 O(0, 0), A(0, 4), B(8, 0)을 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다. 본문 196쪽 (cid:90) (cid:21) (cid:79) (cid:34) (cid:49) (cid:48) (cid:78) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89) (cid:25) (cid:35) (cid:89) 답 8 이때 직선 y=ax와 선분 AB가 만나는 점을 P(m, n)이라 하자. (삼각형 OAB의 넓이)= 이므로 삼각형 AOP와 삼각형 POB의 넓이는 모두 8이다. 1 2 _8_4=16 (삼각형 AOP의 넓이)= 1 2 _4_m=8, 2m=8 1 2 _8_n=8, 4n=8 (삼각형 POB의 넓이)= 따라서 직선 y=ax가 점 P(4, 2)를 지나므로 y=ax에 x=4, y=2를 대입하면 2=4a ∴ a= 1 2 ∴ m=4 ∴ n=2 0696 네 점 O(0, 0), A(8, 0), B(8, 5), C(4, 5)에 대하여 (cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:22) (cid:48) (cid:89) (cid:90) (cid:18)(cid:22) (cid:23) 답 27 2 서로 평행하다. 따라서 사각형 OABC는 사다리꼴이다. 이때 (선분 OA의 길이)=8, (선분 CB의 길이)=4, (선분 BA의 길이)=5 이므로 (사각형 OABC의 넓이) (cid:90) (cid:22) (cid:36) (cid:21) (cid:35) (cid:21) (cid:25) (cid:48) 1 2 _(8+4)_5 1 2 _12_5 = = =30 답 ④ 정비례 관계 y=ax의 그래프와 선분 AB의 교점을 점 P라 하자. 점 P의 좌표를 P(8, n)이라 하면 삼각형 POA의 넓이는 1 2 _8_n=4n (삼각형 POA의 넓이)= y=ax의 그래프가 사각형 OABC의 넓이를 이등분하므로 삼각형 POA의 넓이는 답 ③ 1 2 _30=15이다. 따라서 15 4 ∴ n= 4n=15 (cid:90) (cid:79) (cid:48) (cid:36) (cid:35) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89) (cid:49) (cid:25) (cid:34) (cid:89) 정비례 관계 y=ax의 그래프가 점 P 8, 15 4 } { 를 지나므로 y=ax에 x=8, y= 15 4 =8a ∴ a= 15 4 를 대입하면 15 4 _ 1 8 = 15 32 0697 y=ax, y= 1 x에 y=4를 각각 대입하면 3 4 4 a a (∵ a+0) ∴ A { , 4 } ∴ B(12, 4) 4=ax, x= 1 x, x=4_3=12 4= 3 이때 음수 a에 대하여 4 a 답 75 4 <12이므로 (선분 AB의 길이)=12- 4 a 따라서 삼각형 AOB의 넓이는 28이므로 1 2 _(선분 AB의 길이)_4= 1 2 _{ 12- 4 a }_4=28 2 12- { 4 a }=28, 12- 4 a =14 Ⅳ. 그래프와 비례 08. 정비례와 반비례 83 Ⅳ - 0 8 . 정 비 례 와 반 비 례 답 ③ (cid:22) (cid:34) (cid:25) (cid:89) 답 15 32 본문 198쪽 답 ① 0700 1개에 3000원인 물건을 x개 사면 3000x원이므로 x와 y 사이의 관계를 식으로 나타내면 y=3000x 0701 대형 마트에서는 원가가 x원인 제품에 40 %의 이익을 붙여 판매하므로 판매 가격은 x+ 40 100 x=x+ 2 x= 5 7 5 x(원) ∴ y= 7 x 5 이 식에 x=5000을 대입하면 y= 이 물건의 대형 마트에서의 판매 가격은 7000원이다. 7 5 _5000=7_1000=7000이므로 답 y= 7 x(또는 y=1.4x), 7000원 5 0702 원가가 x원인 물건에 50 %의 이익을 붙여 정가를 정하면 50 100 정가는 x+ 또한 정가의 40 %를 할인한 금액은 x=x+ 1 x= 2 3 2 x(원) 3 x- 2 3 x_ 2 3 40 3 15 x- x= 100 = 2 5 10 x원에 이 물건 70개를 팔고, 9 3 2 10 총 판매 금액은 3 2 x_70+ 9 10 ∴ y=132x x- 6 10 x= 9 10 x(원) x원에 나머지 30개를 팔았으므로 x_30=105x+27x 0703 지구에서의 무게 x N과 달에서의 무게 y N에 대하여 x, y가 정비례 관계이므로 y=ax (a+0)라 하고 x=360, y=60을 대입하면 1 60=a_360, a= 6 1 6 60 360 = ∴ y= x 답 y=132x 답 ② 0704 전체 일의 양이 1이므로 현정이가 1시간 동안 하는 일의 양은 1 2 미선이가 1시간 동안 하는 일의 양은 1 6 이다. 따라서 현정이와 미선이가 1시간 동안 함께 하는 일의 양은 4 6 = 3 6 + 1 6 = 1 1 2 + 6 = 따라서 x시간 동안 일한 양은 2 3 2 3 x이므로 y= 2 3 x 답 y= 2 x 3 0705 10 g짜리 추를 매달았을 때 늘어난 용수철의 길이가 2 cm이므로 1 g짜리 추를 매달았을 때 용수철의 길이는 2 (cm) 늘어난다. 1 5 10 = 따라서 x g짜리 추를 매달았을 때 늘어나는 용수철의 길이를 y cm라 하면 x와 y 사이의 관계식은 y= 1 x 5 이 식에 y=25를 대입하면 25= 따라서 용수철이 늘어난 길이가 25 cm가 되게 하려면 1 x, x=125 5 답 ② 125 g짜리 추를 매달아야 한다. 답 125 g 4 a =2 - ∴ a=- 4 2 =-2 0698 점 P의 좌표를 P(m, n)이라 하자. (cid:90) (cid:25) (cid:34) (cid:49) (cid:79) 삼각형 AOP와 삼각형 POB의 넓이를 각각 구하면 (삼각형 AOP의 넓이)= 1 2 _8_m=4m 1 2 _6_n=3n (cid:48) (삼각형 POB의 넓이)= 삼각형 AOP와 삼각형 POB의 넓이의 비가 2`:`1이므로 4m`:`3n=2`:`1 4m_1=3n_2 두 삼각형 AOP와 POB의 넓이의 합은 삼각형 AOB의 넓이와 같으므로 ∴ m= yy ㉠ 3 2 n (cid:78) 4m+3n= 1 2 _6_8 ㉠, ㉡에서 m=4, n= ∴ 4m+3n=24 8 3 yy ㉡ 4, 8 3 } { 을 지나므로 따라서 정비례 관계 y=ax의 그래프가 점 P 8 3 을 대입하면 y=ax에 x=4, y= 2 8 3 =4a 3 ∴ a= 다른 풀이 삼각형 AOB의 넓이는 1 2 _6_8=24 답 ③ (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89) (cid:35) (cid:23) (cid:89) 답 ③ 삼각형 AOP와 삼각형 POB의 넓이의 비가 2`:`1이고 두 삼각형의 넓이의 합은 삼각형 AOB의 넓이와 같으므로 (삼각형 AOP의 넓이)=24_ 2 2+1 =24_ 1 2+1 =24_ 2 3 =16 1 3 =8 (삼각형 POB의 넓이)=24_ 점 P의 좌표를 P(m, n) (단, m>0, n>0)이라 하면 (cid:90) (cid:25) (cid:34) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89) (cid:49) (cid:79) (cid:48) (cid:78) (cid:89) (cid:35) (cid:23) 1 2 _8_m=16 1 2 _6_n=8 4, 8 3 } { 을 지나므로 을 대입하면 (삼각형 AOP의 넓이)= 4m=16 (삼각형 POB의 넓이)= ∴ m=4 3n=8 ∴ n= 8 3 y=ax의 그래프가 점 P 8 3 y=ax에 x=4, y= 2 8 3 =4a 3 ∴ a= 유형 08. 정비례 관계의 실생활에서의 활용 0699 정가가 x원인 사탕 가격의 30 %는 30 100 _x=0.3x(원) 따라서 30 % 할인받아 구입한 금액은 y=x-0.3x=0.7x 84 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) Ⅳ - 0 8 . 정 비 례 와 반 비 례 본문 199쪽 답 ② 답 ④ 답 -8 ⑤ xy=30000이므로 y= 따라서 y가 x에 반비례하는 것이 아닌 것은 ③이다. 30000 x 답 ③ 0706 수도꼭지에서 1분, 즉 60초에 6 L씩 물이 나오므로 1초에 나오는 물의 양은 6 (L), 즉 100 mL이다. 1 10 60 = 따라서 x초 동안 수도꼭지를 틀었을 때 나온 물의 양을 y(mL)라 하면 x와 y 사이의 관계식은 y=100x이다. 이 식에 y=5500을 대입하면 5500=100x, x=55 따라서 55초 동안 수도꼭지를 틀어놓았다. 답 ③ 0707 x, y 사이의 관계를 식으로 나타내면 y=15x이므로 ㄱ. y는 x에 정비례한다. ㄴ. y=90을 대입하면 90=15x, x= 90 km를 가는 데 6시간이 걸린다. 90 15 =6이므로 ㄷ. 20분은 20 1 (시간)이므로 x= 3 1 3 60 = 을 대입하면 y=15_ 1 3 =5, 즉 20분 동안 5 km를 이동한다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ③ 0708 톱니바퀴 A, B가 각각 1바퀴씩 회전할 때 움직인 톱니의 수가 20개, 70개이 므로 톱니바퀴 A가 x바퀴 회전할 때 움직인 톱니의 수는 20x개, 톱니바퀴 B가 y바퀴 회전할 때 움직인 톱니의 수는 70y개이다. 이때 두 톱니바퀴가 서로 맞물려 회전하고 있으므로 움직인 톱니의 수는 같다. 즉, 70y=20x ∴ y= 2 x 7 이 식에 x=35를 대입하면 y= 톱니바퀴 A가 35바퀴 회전할 때, 톱니바퀴 B는 10바퀴 회전한다. 2 7 _35=10이므로 0709 (소금물의 농도) = = (소금의 양) (소금물의 양) _100 60 240 _100= 1 4 x 1 4 _100=25(%)이므로 y= 25 100 _x ∴ y= 0710 x초 후의 삼각형 ABP의 넓이를 y cm2라 하면 x초 후에 선분 BP의 길이가 x cm이므로 삼각형 ABP의 넓이는 1 2 _x_8=4x ∴ y=4x 답 y= 1 x 4 이 식에 x=1, x=3, x=7을 각각 대입하면 y=4, y=12, y=28이므로 1초, 3초, 7초 후의 삼각형 ABP의 넓이는 각각 4 cm2, 12 cm2, 28 cm2이다. 답 ② 유형 09. 반비례 관계 0711 ㄱ. x의 값이 1 2 ㄴ. y= a x 배가 되면 y의 값은 2배가 된다. (a+0)가 성립하므로 y는 x에 반비례한다. 6 에 x=3을 대입하면 y= x ㄷ. y= 따라서 옳은 것을 모두 고르면 ㄴ이다. 6 3 =2+ 1 2 0712 주어진 문장을 y를 x에 대한 식으로 나타내면 50 x ① xy=50에서 y= (거리) (시간) ② (속력)= ③ 1분은 1 60 이므로 y= 1 60 시간이므로 y= 24 x x ④ y= 2 x 유형 10. 반비례 관계식 구하기 0713 y가 x에 반비례하므로 y= (a+0)가 성립한다. a x y= a x 4= 에 x=-2, y=4를 대입하면 a -2 ∴ a=4_(-2)=-8 따라서 구하는 식은 y=- 8 x 이다. 0714 y= a x 8= y=- 4=- 에 x=-3, y=8을 대입하면 a -3 24 x 에 x=m, y=4를 대입하면 ∴ a=8_(-3)=-24 ∴ m=- 24 4 =-6 24 m 24 x 에 x=12, y=n을 대입하면 n=- y=- 따라서 m=-6, n=-2이므로 m+n=(-6)+(-2)=-8 24 12 =-2 유형 11. 반비례 관계 y= a x 의 그래프 0715 ① a>0이면 제 1 사분면과 제 3 사분면을 지난다. ② a<0이면 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지난다. ③ a>0일 때, y= a x 의 그래프는 다음과 같다. (cid:90) (cid:48) (cid:89) 답 10바퀴 y가 x에 반비례하므로 y= (a+0)가 성립한다. a x Ⅳ. 그래프와 비례 08. 정비례와 반비례 85 본문 201쪽 x=-3일 때, y=- x=-2일 때, y=- x=-1일 때, y=- x=1일 때, y=- x=2일 때, y=- x=3일 때, y=- 6 6 6 -3 =2 ∴ (-3, 2) -2 =3 ∴ (-2, 3) -1 =6 ∴ (-1, 6) 6 1 =-6 -6) 6 2 =-3 6 3 =-2 6 6 =-1 -3) -2) -1) ∴ (2, ∴ (6, ∴ (3, ∴ (1, x=6일 때, y=- 따라서 좌표평면 위에 그래프를 그리면 다음과 같다. (cid:90) (cid:23) (cid:20) (cid:19) (cid:20)(cid:19)(cid:18)(cid:18) (cid:14)(cid:23) (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:18) (cid:48) (cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:18) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:23) (cid:23) (cid:89) (cid:23) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:14) 답 풀이 참조 0721 a-b>0에서 a>b이고, ab<0에서 a와 b의 부호는 서로 다르므로 b<00이므로 점 (b, a)는 제 2 사분면 위에 있다. 답 ③ ② b<0이므로 점 (2, b)는 제 4 사분면 위에 있다. ③ y= 1 a x에서 a>0이므로 1 a >0 따라서 y= 1 a x의 그래프는 제 1 사분면과 제 3 사분면을 지난다. ④ y= 에서 b<0이므로 y= b x b x 난다. 의 그래프는 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지 답 ④ ⑤ y=bx에서 b<0이므로 y=bx의 그래프는 원점을 지나며 오른쪽 아래로 향하는 직선이다. 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 답 ③ 이때 x>0, x<0에서 각각 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. a ④ y= x 따라서 점 (-1, ⑤ 원점을 지나지 않는다. 에 x=-1을 대입하면 y= -a)를 지난다. 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. a -1 =-a 답 ③ (cid:89) 증가 (cid:48) 증가 0716 12 x y=- 의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같다. (cid:90)(cid:30)(cid:14) (cid:18)(cid:19) (cid:89) (cid:90) ㄱ. 원점을 지나지 않는다. ㄴ. x>0이면 x의 값이 증가할 때, y의 값도 증가한다. ㄷ. 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지난다. ㄹ. y=- 에 x=-3을 대입하면 y=- 12 x 12 -3 =4 따라서 점 (-3, 4)를 지난다. ㅁ. x축, y축과 만나지 않는다. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ의 3개이다. 답 ③ 0717 6 x y= 에 대하여 ∴ (-3, -2) ∴ (-2, -3) 6 6 x=-3일 때, y= -3 =-2 -2 =-3 x=-2일 때, y= 6 2 =3 6 3 =2 x=2일 때, y= x=3일 때, y= 따라서 구하는 그래프는 ③이다. ∴ (2, 3) ∴ (3, 2) 의 그래프는 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지나며 좌표축에 점점 가까워지면서 한없이 뻗어나가는 한 쌍의 곡선이다. 2 에 x=-1을 대입하면 y=- x y=- 그래프는 점 (-1, 2)를 지난다. 따라서 구하는 그래프는 ④이다. 2 -1 =2이므로 0718 2 x y=- 0719 x<0에서의 반비례 관계 y=- 좌표축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 곡선이다. 의 그래프는 제 2 사분면을 지나고 4 x 이때 y=- 4 에 x=-1을 대입하면 y=- x 4 -1 =4이므로 y=- 4 의 그래프는 점 (-1, 4)를 지난다. x 따라서 구하는 그래프는 ②이다. 답 ② 유형 12. 반비례 관계 y= a x 의 그래프와 a의 절댓값 사이의 관계 0722 반비례 관계 y= 멀리 떨어져 있다. 이때 주어진 식의 a의 절댓값을 비교하면 (a+0)의 그래프는 a의 절댓값(|a|)이 클수록 원점에서 a x 따라서 주어진 반비례 그래프 중 그래프가 원점에서 가장 멀리 떨어진 것은 답 ① 0720 반비례 관계 y=- 대하여 대칭인 한 쌍의 곡선이다. 6 x 의 그래프는 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지나고 원점에 1 8 | | < |- 2 3 | <|1|<|4|<|-6| 6 6의 약수는 1, 2, 3, 6이므로 반비례 관계 y=- x -3, -2, 와 y좌표가 모두 정수이려면 x=-6, -1, 1, 2, 3, 6 -6 =1 ∴ (-6, 1) x=-6일 때, y=- 6 의 그래프 위의 점 중 x좌표 ① y=- 6 x 이다. 0723 a x y= , y= c x 의 그래프는 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지나고, 86 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) y= b x 의 그래프는 제 1 사분면과 제 3 사분면을 지나므로 의 그래프보다 원점에 더 가까우므로 따라서 주어진 반비례 관계식은 y= 0728 a x y= 에 x=3, y=27을 대입하면 27= ∴ a=81 a 3 81 x 답 ⑤ ① y= 에 x=9, y=-9를 대입하면 -9+ ② y= 에 x=81, y=-1을 대입하면 -1+ a<0, b>0, c<0 yy ㉠ a x 또, y= |a|<|c| 의 그래프가 y= ∴ a>c c x yy ㉡ ∴ c<a|-3|, |a|>3 따라서 a<0이고 |a|>3이므로 상수 a의 값의 범위는 a<-3 ④ y= 에 x= , y=243을 대입하면 243= 1 3 1 3 =81_3 답 ① ⑤ y= 에 x=27, y=-3을 대입하면 -3+ 따라서 y= 의 그래프 위의 점은 ④ { , 243 이다. } 81 x 1 3 답 ④ 81 9 =9 81 81 =1 81 -1 =-81 =81Ö 81 ;3!; 81 27 =3 Ⅳ - 0 8 . 정 비 례 와 반 비 례 본문 203쪽 답 -9 답 ③ 답 ② 81 x 81 x 81 x 81 x 81 x 0729 18 x y=- y=- 18 x 0730 15 x y=- y=- 15 x 0731 14 x y= (cid:90) (cid:90)(cid:30) (cid:19)(cid:21) (cid:89) (cid:48) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:20)(cid:89) 에 x=3, y=a를 대입하면 a=- 18 3 =-6 에 x=b, y=- 1 3 을 대입하면 ∴ b=-18_(-3)=54 1 3 =- 18 b - 따라서 a=-6, b=54이므로 b a = -6 =-9 54 에 x=-5, y=b를 대입하면 b=- 15 -5 =3 에 x=a, y=-3을 대입하면 답 ④ 15 a ∴ a=- -3=- 따라서 a=5, b=3이므로 a-b=5-3=2 15 -3 =5 에 x=-2, y=a를 대입하면 a= 14 x 에 x=7, y=b를 대입하면 b= y= 따라서 a=-7, b=2이므로 a+b=(-7)+2=-5 14 -2 =-7 14 7 =2 0732 2a 3x y= 에 x= , y=-8을 대입하면 3 2 -8= , -8= , -8=2aÖ 9 2 =2a_ 2 9 = 4 9 a 2a 3_;2#; 2a ;2(; ∴ a=-8_ 9 4 =-18 y= 2a 3x 에 a=-18을 대입하면 y= 2_(-18) 3x ∴ y=- 12 x 에 x=b, y=6을 대입하면 y=- 12 x 6=- 12 b ∴ b=-2 Ⅳ. 그래프와 비례 08. 정비례와 반비례 87 24 -3 =-8 0725 24 x 24 x 에 x=-3, y=8을 대입하면 8+ ① y= 따라서 점 (-3, 8)을 지나지 않는다. 의 그래프를 그리면 ② y=-3x, y= 오른쪽 그림과 같다. 따라서 y=-3x의 그래프와 만나지 않는다. ③ y= 작을수록 원점에 가깝다. (a+0)의 그래프는 a의 절댓값이 a x |24|> 1 24 | | 이므로 y= 의 그래프는 y= 24 x 1 24x 의 그래프보다 원점에서 멀리 떨어져 있다. ④ 제 1 사분면과 제 3 사분면을 지난다. ⑤ 원점을 지나지 않는다. 따라서 옳은 것은 ④이다. 유형 13. 반비례 관계 y= a x 의 그래프 위의 점 0726 ① y=- 에 x=6, y= 1 6 을 대입하면 1 6 + - ② y=- 에 x=-2, y=12를 대입하면 12+ - ③ y=- 에 x=1, y=6을 대입하면 6+ - 6 6 =-1 6 -2 =3 6 1 =-6 6 3 ④ y=- 에 x=3, y=-2를 대입하면 -2=- ⑤ y=- 에 x=12, y=-2를 대입하면 -2+ - 6 12 =- 1 2 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 따라서 반비례 관계 y=- 의 그래프 위의 점은 ④ (3, -2)이다. 답 ④ 6 x 0727 12 x y= 양변에 를 곱하면 a 9 - 에 x=a, y=-9를 대입하면 -9= 12 a -9_{- a 9 }= 12 a _{- a 9 }    ∴ a=- 4 3 답 - 4 3 따라서 a=-18, b=-2이므로 a+b=(-18)+(-2)=-20 0733 9 x y=- 에 x=a, y=b를 대입하면 b=- , ab=-9 9 a ∴ ab<0 2- b a , a3b의 부호를 각각 구해 보면 b a <0, b a - >0 ∴ 2- b a >0 a2>0이고 ab<0이므로 a3b<0 따라서 점 { 2- b a , a3b } 제 4 사분면 위의 점이다. 이때, ab<0이므로 a와 b의 부호는 서로 다르다. 0734 a x y= y= a x 에 x=3을 대입하면 y= ∴ P 에 x=6을 대입하면 y= ∴ Q a 3 a 6 3, a 3 } 6, a 6 } { { 주어진 그래프가 제 1 사분면을 지나므로 a>0 ∴ a 3 > a 6 yy ㉠ 따라서 두 점 P, Q의 y좌표의 차가 5 3 이므로 a 3 - a 6 |= 5 3 , a 3 - a 6 = 5 3 | (∵ ㉠) a 6 = 5 3 ∴ a=10 의 x좌표는 양수, y좌표는 음수이므로 답 10 유형 14. 반비례 관계 y= a x 의 그래프와 위의 점 ; 좌표가 정수인 경우 0735 28 x y= y= 28 x 다른 풀이 y= 28 x 에서 x좌표, y좌표가 모두 자연수이므로 x좌표는 28의 약수이어야 한다. 28의 약수는 1, 2, 4, 7, 14, 28 의 그래프 위의 점 중에서 x좌표, y좌표가 모두 자연수인 점의 좌표는 (1, 28), (2, 14), (4, 7), (7, 4), (14, 2), (28, 1)의 6개이다. 답 ④ 에서 x좌표, y좌표가 모두 자연수이므로 x좌표는 28의 약수이어 야 한다. 이때 28=22 x좌표, y좌표가 모두 자연수인 점의 개수는 6이다. _7에서 28의 약수의 개수는 (2+1)_(1+1)=6이므로 본문 204쪽 답 ① 0737 a x y= 에 x=-3, y=11을 대입하면 11= ∴ a=-33 a -3 33의 약수는 1, 3, 11, 33 의 그래프 위의 점 중에서 33 x 따라서 반비례 관계 y=- x좌표, y좌표가 모두 정수인 점은 (-33, 1), (-11, 3), (-3, 11), (-1, 33), (1, -1)의 8개이다. (11, -3), (33, -33), (3, -11), 답 ④ 0738 18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18이다. 점 Q는 y= 18 x (x>0)의 그래프 위의 점이므로 y= 18 x 에 x=a, y=b를 대입하면 b= 18 a 답 ⑤ 이때 a, b가 모두 자연수이므로 점 Q(a, b)가 될 수 있는 점의 좌표는 (1, 18), (2, 9), (3, 6), (6, 3), (9, 2), (18, 1) 직사각형 PORQ의 둘레의 길이는 2(a+b)이므로 (∵ a>0, b>0) 점 Q의 좌표에 따라 직사각형 PORQ의 둘레의 길이를 구하면 Ú 점 Q(1, 18) 또는 점 Q(18, 1)인 경우 a=1, b=18 또는 a=18, b=1이므로 직사각형 PORQ의 둘레의 길이는 2(1+18)=38 Û 점 Q(2, 9) 또는 점 Q(9, 2)인 경우 a=2, b=9 또는 a=9, b=2이므로 직사각형 PORQ의 둘레의 길이는 2(2+9)=22 Ü 점 Q(3, 6) 또는 점 Q(6, 3)인 경우 a=3, b=6 또는 a=6, b=3이므로 직사각형 PORQ의 둘레의 길이는 2(3+6)=18 따라서 Ú~Ü에 의하여 직사각형 PORQ의 둘레의 길이가 최소가 될 수 있 는 a의 값은 3 또는 6이다. 답 ③ 유형 15. 그래프가 주어질 때 식 구하기 ; 반비례 관계 0739 그래프가 원점에 대하여 대칭인 한 쌍의 곡선이고, 점 (9, 4)를 지나므로 (a+0)에 x=9, y=4를 대입하면 y= a x 4= a 9 ∴ a=36 따라서 구하는 식은 ④ y= 36 x 이다. 답 ④ 0740 그래프가 원점에 대하여 대칭인 한 쌍의 곡선이고 점 (1, -3)을 지나므로 y= a x (a+0)에 x=1, y=-3을 대입하면 -3= a 1 ∴ a=-3 따라서 y=- 이므로 y=- 에 x=m, y= 를 대입하면 3 x 3 x 4 3 의 그래프 위의 점 (p, q) 중에서 4 3 =- 3 m , 4m=-9 ∴ m=- 9 4 답 ④ -1), (-1, 25), (-5, 5), (-25, 1)의 6개이다. 답 ④ 그래프가 원점에 대하여 대칭인 한 쌍의 곡선이고, 점 { 4, 1 3 } 을 지나므로 0741 0736 25의 약수는 1, 5, 25 따라서 반비례 관계 y=- p, q가 모두 정수인 점은 25 x (1, -25), (5, -5), (25, 88 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) y= a x (a+0)에 x=4, y= 1 3 을 대입하면 1 a 4 3 = ∴ a= 4 3 따라서 주어진 그래프의 식은 y= ① 반비례 관계의 그래프이다. 4 3x 이다. ② y= 4 3x 에 x=p, y=q를 대입하면 q= 4 3p 양변에 p를 곱하면 pq= 4 3 이므로 값이 일정하다. 4 3x 의 그래프이다. ③ y= ④ x>0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. ⑤ y= 4 3x 에 x=- , y=- 1 2 8 3 을 대입하면 4 - 8 3 = 4 3_{-;2!;} 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. -;2#; = 8 3 =- 0742 주어진 그래프는 원점에 대하여 대칭인 한 쌍의 곡선이고 점 (7, 4)를 지나므 로 y= a x 에 x=7, y=4를 대입하면 4= ∴ a=28 a 7 따라서 주어진 그래프의 식은 y= 28 x 이다. ① y= 에 x=11, y=1을 대입하면 1+ 28 11 ② y= 에 x=2, y= 7 2 을 대입하면 7 2 + ③ y= 에 x=-2, y=14를 대입하면 14+ ④ y= 에 x=14, y=2를 대입하면 2= 28 14 28 2 =14 28 -2 =-14 28 x 28 x 28 x 28 x 28 x 유형 16. 반비례 관계 y= a x 의 그래프와 도형의 넓이 0743 점 C의 x좌표를 a (a+0)라 하자. y= 20 x 에 x=a를 대입하면 y= ∴ C a, 20 a } { 이때, 두 점 A, B의 좌표는 A , B(a, 0) 20 a 0, 20 a } { 따라서 직사각형 AOBC의 넓이는 |a|_| 20 a |=20 본문 206쪽 0745 a x y= (a+0)에 x=3, y=7을 대입하면 7= ∴ a=21 a 3 이므로 두 점 P, Q의 x좌표를 각각 m, n(단, m>0, n<0)이 따라서 y= 라 하면 P 21 x m, 21 m } { , Q n, 21 n } { 이때 네 점 A, B, C, D의 좌표는 A 0, 21 m } { , B(m, 0), C(n, 0), D 0, 21 n } { 따라서 구하는 넓이의 합은 m_ 21 m +(-n)_{- 21 n } =21+21=42 0746 답 ③ 점 A의 x좌표가 -4이므로 y= 에 x=-4를 대입하면 a x y= a -4 ∴ A {-4, - a 4 }  두 점 A, C는 원점에 대하여 대칭이므로 점 C의 좌표는 C 4, a { 4 }  따라서 두 점 B, D의 좌표는 B 4, { - a 4 }  , D {-4, a 4 }  의 그래프가 제 1 사분면과 제 3 사분면을 지나므로 a>0 a x y= 이때 (선분 AB의 길이)=4-(-4)=8, a (선분 BC의 길이)=| 2 직사각형 ABCD의 넓이가 96이므로 a 4 -{- a 4 }|= 8_ a 2 =96, 4a=96 ∴ a=24 (∵ a>0)이고 0747 ∴ A {-3a, 2 a } 6 x 6 x ∴ C 3a, { 2 a } - (3) a>0이므로 (2) y=- 에 x=3a를 대입하면 y=- 6 3a =- 2 a 2 a -0= 2 a (선분 AB의 길이)= (선분 BD의 길이)=3a-(-3a)=6a 따라서 사각형 ABCD의 넓이는 2 a _6a=12 답 ③ Ⅳ - 0 8 . 정 비 례 와 반 비 례 답 24 ⑤ y= 에 x=-8, y=-14를 대입하면 -14+ 28 -8 =- 7 2 따라서 주어진 그래프 위의 점은 ④ (14, 2)이다. 답 ④ (1) y=- 에 x=-3a를 대입하면 y=- 6 -3a = 2 a 답 ② 답 (1) A {-3a, 2 a } (2) C 3a, { 2 a } - (3) 12 0748 점 C의 x좌표를 k (단, k>0)라 하면 서로 다른 두 점 A, C의 x좌표는 에 x=7, y=6을 대입하면 6= ∴ a=42 a 7 이므로 두 점 Q, R의 x좌표를 각각 b, c (단, b>0, c>0)라 하면 0744 a x y= 42 x b, 42 b } y= Q { , R c, 42 c } { 따라서 구하는 세 직사각형의 넓이의 합은 7_6+b_ 42 b +c_ 42 c =42+42+42=126 절댓값이 같으므로 점 A의 x좌표는 -k이다. x의 그래프 위의 점이고 5 2 두 점 B와 D는 y= 각각 두 점 A, C와 x좌표가 서로 같으므로 k, 5 2 {-k, , D 5 2 - B k k } { } 답 ④ 5 이때 (선분 AB의 길이)= 2 (선분 BC의 길이)=k-(-k)=2k (∵ k>0)이고 }=5k, k-{- 5 2 k Ⅳ. 그래프와 비례 08. 정비례와 반비례 89 본문 208쪽 답 ③ 직사각형 ABCD의 넓이가 160이므로 5k_2k=160, 10k2 점 C의 좌표는 C(4, =160, k2 -10)이므로 구하는 그래프의 식을 y= ∴ k=4 (∵ k>0) =16 a x (a+0)라 하 고, x=4, y=-10을 대입하면 -10= a 4 ∴ a=-40 따라서 구하는 식은 y=- 40 x 이다. (a+0)에 x=4, y=85를 대입하면 y= a x 85= a 4 y= 340 x y= 340 2 =170 ∴ a=340 에 x=2를 대입하면 0750 7명이 16시간 동안 작업한 일의 양과 x명이 y시간 동안 작업한 일의 양이 같 답 4 cm3 0756 매분 3L씩 물을 넣으면 1시간, 즉 60분 만에 물통이 가득 차므로 물통의 용량은 3_60=180(L) 매분 x L씩 y분 동안 물을 넣어 물통이 가득 차므로 답 ④ 따라서 파장이 2 m인 음파의 진동수는 170 Hz이다. 답 ② 0755 주어진 그래프에서 x와 y는 반비례 관계이고, 그래프가 점 (120, 3)을 지나 므로 y= a x 3= a 120 y= 360 x y= 360 288 = 5 4 (a+0)에 x=120, y=3을 대입하면 ∴ a=360 에 x=288을 대입하면 따라서 걸리는 시간은 5 4 시간(=1시간 15분)이다. 답 5 4 시간(=1시간 15분) xy=180 ∴ y= 180 x 0757 (1) x_y=120_6, xy=720 ∴ y= (2) y= 720 x 에 x=90을 대입하면 y= 720 x 720 90 =8 답 28명 따라서 손잡이에서 8 cm 떨어진 곳에 매달린 접시 위에 추를 올려놓아야 0758 (1) 4_x_y=144이므로 4xy=144 ∴ y= y= 144 4x 36 x (2) 밑면의 세로의 길이가 8 cm이므로 y= 에 x=8을 대입하면 36 x y= 36 8 = 9 2 답 ② 따라서 구하는 상자의 높이는 9 2 cm이다. 답 (1) y= 36 x (2) 9 2 cm 답 ⑤ 유형 18. 조건을 만족시키는 y=ax, y= a x 의 그래프 0759 y=ax (a+0), y= b x (b+0)의 그래프가 유형 17. 반비례 관계의 실생활에서의 활용 0749 30 ¾에서 기체의 압력을 x기압, 부피를 y cm3라 하면 a x (a+0)을 만족한다. y= 30 ¾에서 어떤 기체의 부피가 12 cm3일 때, 압력이 5기압이므로 y= a x 에 x=5, y=12를 대입하면 12= a 5 ∴ a=60 30 ¾에서 이 기체의 압력이 15기압이므로 60 x 60 15 =4 에 x=15를 대입하면 y= y= 따라서 구하는 기체의 부피는 4 cm3이다. 으므로 7_16=x_y ∴ y= 112 x 4= 112 x ∴ x=28 따라서 28명이 필요하다. 이 일을 4시간 만에 끝내야 하므로 y= 에 y=4를 대입하면 112 x 따라서 이 일을 4명이 작업하면 10시간 걸린다. 답 ① 므로 5_8=x_y, xy=40 ∴ y= 40 x y= 40 x 에 x=4를 대입하면 y= 40 4 =10 0752 일정한 시간 동안 맞물린 톱니의 개수는 같으므로 15_3=x_y, 45=xy ∴ y= 45 x 0753 (소금물의 농도)= x= 4 y _100, x= (소금의 양) (소금물의 양) _100이므로 400 y ∴ y= 400 x 0754 파장이 x m인 음파의 진동수를 y Hz라 하고 90 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 0751 5명이 8시간 동안 작업한 일의 양과 x명이 y시간 동안 작업한 일의 양이 같으 한다. 답 (1) y= 720 x (2) 8 cm 제 3 사분면을 지나려면 a>0, b>0 따라서 제 3 사분면을 지나는 것을 모두 고르면 ㄴ, ㄷ이다. 답 ㄴ, ㄷ 0760 ① 그래프가 원점에 대하여 대칭인 한 쌍의 곡선이고, 점 (2, 2)를 지나므로 0764 원점을 지나는 직선의 식을 y=kx (k+0)이라 하자. y=kx에 x=5, y=-2를 대입하면 ∴ k=- -2=5k 2 5 본문 210쪽 점 (3, -2)를 지나므로 y= (c+0)라 하고 x=3, y=-2를 대입하면 c x y= (a+0)라 하고 x=2, y=2를 대입하면 a x a 2 2= ∴ a=4 4 x ∴ y= ② 그래프가 원점과 점 (1, 3)을 지나는 직선이므로 y=bx (b+0)라 하고 x=1, y=3을 대입하면 3=b ③ 그래프가 원점에 대하여 대칭인 한 쌍의 곡선이고 ∴ y=3x -2= c 3 ∴ c=-6 6 x 2 3 ∴ y=- -2)를 지나는 직선이므로 ④ 그래프가 원점과 점 (3, y=dx (d+0)라 하고 x=3, y=-2를 대입하면 2 3 ∴ d=- -2=3d x ∴ y=- ⑤ 그래프가 원점과 점 (1, -4)를 지나는 직선이므로 y=ex (e+0)라 하고 x=1, y=-4를 대입하면 -4=e ∴ y=-4x 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. ∴ e=-4 답 (-3, -12) ∴ a=-4 ∴ b=-1 36 36 p ∴ p= -12= 따라서 점 P의 좌표는 (-3, -12 =-3 -12)이다. 0762 y=ax에 x=-7, y=28을 대입하면 28=-7a 에 x=b, y=4를 대입하면 4=- y=- 따라서 a=-4, b=-1이므로 b-a=(-1)-(-4)=-1+4=3 4 x 4 b 0763 주어진 그래프가 점 (4, -2)를 지나므로 y= a x 에 x=4, y=-2를 대입하면 a 4 ∴ a=-8 -2= y=-8x에 x=-1을 대입하면 y=-8_(-1)=8 이므로 y=-8x의 그래프는 원점과 점 (-1, 8)을 지나는 직선이다. 따라서 구하는 그래프는 ④이다. y=- x에 x=a, y=-8을 대입하면 -8=- 2 5 a ∴ a=-8_{- 5 2 }=20 y=- x에 x=- , y=b를 대입하면 5 2 2 5 2 5 b=- 2 5 _{- 5 2 }=1 따라서 a=20, b=1이므로 y= c x y= c x 에 x=20, y=1을 대입하면 c 20 1= ∴ c=20 20의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20 ∴ y= 20 x 의 그래프는 점 (20, 1)을 지난다. 20 x 따라서 m, n의 값이 모두 정수인 y= (1, 20), (2, 10), (4, 5), (5, 4), (10, 2), (20, 1), (-1, (-2, 12개이다. -10), (-4, -4), (-10, -5), (-5, -20), -2), (-20, -1)의 의 그래프 위의 점 (m, n)은 답 ④ Ⅳ - 0 8 . 정 비 례 와 반 비 례 유형 19. y=ax, y= a x 의 그래프가 만나는 점 0765 y=ax에 x=10, y=4를 대입하면 4=10a ∴ a= 2 5 답 ③ y= b x 에 x=10, y=4를 대입하면 4= ∴ b=40 b 10 답 16 답 ③ 답 ② 0766 y=3x에 x=b, y=18을 대입하면 18=3b a 에 x=6, y=18을 대입하면 18= 6 a x ∴ b=6 ∴ a=108 y= a=108, b=6이므로 a-b 3 = 108-6 3 =34 y=ax에 x=-4, y=2를 대입하면 2=-4a ∴ a=- 1 2 답 3 에 x=-4, y=2를 대입하면 2= ∴ b=-8 y=- 에 x=1, y=c를 대입하면 c=- ∴ c=-8 b -4 8 1 따라서 a=- , b=-8, c=-8이므로 1 2 abc={- 1 2 }_(-8)_(-8)=-32 0767 y= b x 8 x 0768 5 4 (1) y= 답 ④ x에 x=-4, y=b를 대입하면 b= 5 4 _(-4)=-5 Ⅳ. 그래프와 비례 08. 정비례와 반비례 91 0761 점 P의 좌표를 (p, q)라 하면 y=-4x의 그래프가 점 (3, q)를 지나므로 y=-4x에 x=3, y=q를 대입하면 q=-4_3=-12 따라서 y= 에 x=p, y=-12를 대입하면 36 x 따라서 a= , b=40이므로 2 5 ab= 2 5 _40=16 5 4 a x a x 5 2 (2) y= x에 x=c, y=5를 대입하면 5= 5 4 c ∴ c=5_ 4 5 =4 (3) y= 에 x=-4, y=-5를 대입하면 -5= a -4 ∴ a=(-5)_(-4)=20 답 (1) -5 (2) 4 (3) 20 0769 5 2 (1) y= x에 y=5를 대입하면 5= ∴ x=2 점 A의 좌표가 (2, 5)이고 y= 의 그래프가 점 A를 지나므로 y= 에 x=2, y=5를 대입하면 5= ∴ a=10 a 2 5 2 x a x (2) y= x에 x=-2를 대입하면 y= 5 2 _(-2)=-5 ∴ B(-2, 두 점 A, C는 x좌표가 같고 점 C는 x축 위의 점이므로 C(2, 0) -5) 따라서 세 점 A, B, C의 좌표를 구하면 A(2, 5), B(-2, -5), C(2, 0) (3) 점 B에서 직선 AC에 내린 수선과 직선 AC의 교점을 점 H라 하자. (선분 AC의 길이)=5, (선분 BH의 길이)=2-(-2)=4 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 1 2 _5_4=10 답 (1) 10 (2) A(2, 5), B(-2, -5), C(2, 0) (3) 10 15 -3 =5 에 x=-3을 대입하면 y=- y=- 이때, ㉠의 그래프는 원점과 점 (-3, 5)를 지나는 직선이므로 y=ax에 x=-3, y=5를 대입하면 ∴ a=- 5=-3a 5 3 따라서 구하는 그래프의 식은 y=- x이다. 5 3 답 ② 점 B의 x좌표를 t (t<0)라 하면 B t, a t } { (선분 AB의 길이)=- 직사각형 ABCO의 넓이가 12이므로 a t , (선분 AO의 길이)=-t이고 a t }_(-t)=12 12 x ∴ a=12 의 그래프가 점 P를 지나므로 y= 12 x 에 x= 4 3 를 대입하면 0770 15 x 0771 {- y= y= 12 ;3$; =12Ö 4 3 =12_ 3 4 =9 y=bx의 그래프가 점 P { 4 3 , 9 } 를 지나므로 y=bx에 x= , y=9를 대입하면 4 3 9= 4 3 b ∴ b=9_ 3 4 = 27 4 따라서 a=12, b= 27 4 이므로 a-b=12- 27 4 = 21 4 92 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 본문 212쪽 (cid:90)(cid:30)(cid:89) (cid:90) (cid:20) (cid:49) (cid:48) (cid:20) (cid:90)(cid:30) (cid:26) (cid:89) (cid:89) 0772 9 x 에 x=3, y=b를 대입하면 b= y= y=ax에 x=3, y=3을 대입하면 3=3a 색칠된 부분의 점 중에서 x좌표와 9 3 =3 ∴ P(3, 3) ∴ a=1 y좌표 모두 정수인 점의 개수를 구해 보면 Ú y=1일 때 y=x, y= 1=x 9 x 에 각각 y=1을 대입하면 ∴ (1, 1) ∴ (9, 1) 1= 9 x 따라서 색칠된 부분에서 y좌표가 1인 점의 개수는 (2, 1), (3, 1), (4, 1), y , (8, 1)의 7이다. 에 각각 y=2를 대입하면 9 x Û y=2일 때 y=x, y= 2=x 9 x 2= ∴ (2, 2) ∴ 9 2 { , 2 }    따라서 색칠된 부분에서 y좌표가 2인 점의 개수는 (3, 2), (4, 2)의 2이다. 따라서 Ú, Û에서 구하는 점의 개수는 7+2=9 답 9 0773 12 x (1) y= , x=2 에 y=6을 대입하면 6= y=ax에 x=2, y=6을 대입하면 6=2a (2) 세 점 A, C, D의 좌표를 구하면 A(-2, 12 x 이때, (사각형 ACBD의 넓이) ∴ B(2, 6) ∴ a=3 -6), C(2, 0), D(0, 6) =(사각형 DOCB의 넓이)+(삼각형 OAC의 넓이) +(삼각형 ODA의 넓이)이고 (사각형 DOCB의 넓이)=2_6=12 (삼각형 OAC의 넓이)= 1 2 _2_|-6|=6 1 2 _6_|-2|=6 (삼각형 ODA의 넓이)= 따라서 구하는 사각형 ACBD의 넓이는 12+6+6=24 0774 a의 값의 범위에 따라 y=ax의 그래프와 y= 같다. Ú a>0일 때 Û a<0일 때 a x (cid:90) (cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89) (cid:90)(cid:30) (cid:66) (cid:89) (cid:89) (cid:48) (cid:90)(cid:30) (cid:66) (cid:89) (cid:89) (cid:48) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89) 답 (1) 3 (2) 24 의 그래프를 그리면 다음과 a x ④ a<0이면 x>0에서 y=ax의 그래프는 x의 값이 증가할 때 y의 값은 감소하고 의 그래프는 x의 값이 증가할 때 y의 값도 증가한다. y= ⑤ a=-2이면 Û에서 y=-2x의 그래프와 y=- 따라서 옳지 않은 것은 ④, ⑤이다. 의 그래프의 교점은 2개이다. 2 x 답 ④, ⑤ 답 21 4 0775 ① 두 그래프 A, B는 제 1 사분면과 제 3 사분면을 지나므로 a>0, b>0 yy ㉠ 그래프 B가 그래프 A보다 y축에 가까운 직선이므로 |a|<|b| ∴ a0 (∵ ㉠, ㉡) ③ a>0, c<0이므로 점 (c, a)는 제 2 사분면 위의 점이다. c x c 4 ④ y= 에 x=4, y=-2를 대입하면 -2= ∴ c=(-2)_4=-8 ⑤ 그래프 B가 그래프 D보다 y축에 가까운 직선이므로 |b|>|d| ∴ b>|d| (∵ b>0) 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 백점 도전하기 0776 유형 05 192쪽 점 A의 x좌표를 a(단, a>0)이라 하면 점 A는 y=3x의 그래프 위의 점이므로 A(a, 3a) 사각형 ABCD는 한 변의 길이가 7인 정사각형이고, 두 점 A, B의 x좌표는 같으므로 B(a, 3a-7) (선분 BC의 길이)=7이고 두 점 B, C의 y좌표는 같으므로 C(a+7, 3a-7) 이때, 점 C는 정비례 관계 y= 선분 AB의 길이가 7이므로 점 A의 y좌표에서 7을 뺐어! x의 그래프 위의 점 점 B의 y좌표 (cid:37) (cid:90)(cid:30) (cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:89) (cid:18) (cid:22) (cid:20)(cid:66) (cid:34) (cid:89) (cid:90) 1 5 (cid:35) (cid:36) (cid:20)(cid:66)(cid:14)(cid:24) (cid:48) (cid:66) (cid:66)(cid:12)(cid:24) (cid:89) 1 5 1 5 이므로 y= x에 x=a+7, y=3a-7을 대입하면 (a+7), 5(3a-7)=a+7 3a-7= 15a-35=a+7, 15a-a=7+35 14a=42 ∴ a=3 점 C의 좌표는 C(3+7, 3_3-7), 즉 C(10, 2) 따라서 점 C의 x좌표와 y좌표의 합은 10+2=12 0777 유형 06 194쪽 0이 아닌 상수 a, b, c, d에 대하여 그래프의 식을 A`:`y=ax, B`:`y=bx, C`:`y=cx, D`:`y=dx (단, x>0)라 하자. y=ax의 그래프는 점 (120, 1250)을 지나므로 y=ax에 x=120, y=1250을 대입하면 ∴ a= 1250=120a 125 12 점 (120, 1000)도 지나므로 x=120, y=1000을 대입해도 돼. 125 12 x ∴ A`:`y= y=bx의 그래프는 점 (60, 500)을 지나므로 y=bx에 x=60, y=500을 대입하면 ∴ b= 500=60b 25 3 25 3 x ∴ B`:`y= y=cx의 그래프는 점 (120, 750)을 지나므로 y=cx에 x=120, y=750을 대입하면 ∴ c= 750=120c 25 4 본문 213쪽 25 4 x ∴ C`:`y= y=dx의 그래프는 점 (150, 750)을 지나므로 750=150d 따라서 A`:`y= ∴ D`:`y=5x x, C`:`y= ∴ d=5 125 12 x, B`:`y= 25 3 25 4 x에 x=20, y=125를 대입하면 125= ㄱ. C`:`y= 따라서 125 m를 20초 동안 달린 학생은 C이다. x, D`:`y=5x 25 4 _20 25 4 25 3 125 12 ㄴ. B`:`y= 따라서 90초 동안 450 m를 달린 학생은 B가 아니다. x에 x=90, y=450을 대입하면 450+ 25 3 _90=750 450=5_90이므로 D가 돼. x ㄷ. A`:`y= ㄹ. 두 학생 B와 D가 120초 동안 달린 거리를 각각 p(m), q(m)라 하자. 25 3 x에 x=120, y=p를 대입하면 p= y= y=5x에 x=120, y=q를 대입하면 q=5_120=600 따라서 120초 동안 두 학생 B와 D가 달린 거리는 각각 1000 m, 600 m이므로 25 3 _120=1000 거리의 차는 1000-600=400(m) 따라서 옳은 것을 모두 고르면 ㄱ, ㄹ이다. 답 ② Ⅳ - 0 8 . 정 비 례 와 반 비 례 답 ④ 0778 유형 11 201쪽 조건 (가)에서 점 A(3a+4, 3+b)가 x축 위의 점이므로 점 A의 y좌표는 0이다. 따라서 3+b=0 -2b)에 b=-3을 대입하면 B(3a+6, 6) 점 B(3a-2b, 조건 (나)에서 점 B가 어느 사분면에도 속하지 않으므로 점 B는 y축 위에 ∴ b=-3 존재한다. 점 B는 x축 위의 점 또는 y축 위의 점 또는 원점이 될 수 있어. 이때 점 B의 y좌표가 6이므로 y축 위의 점이 돼. 따라서 점 B의 x좌표는 0이므로 3a+6=0, 3a=-6 따라서 a=-2, b=-3이므로 6 x (-2)_(-3) x ab x = y= = ∴ a=-2 y= 6 x 의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같다. 6 x 의 그래프에 대하여 따라서 y= ① 제 1 사분면과 제 3 사분면을 지난다. 답 ① a 2 = -2 2 =-1을 대입하면 6 x ② y= 에 x= 6 -1 =-6 따라서 점 (-1, y= -6), 즉 { , -6 } a 2 을 지난다. ③ y= 에 x=12를 대입하면 y= 6 x 6 12 = 1 2 따라서 점 { 12, - 1 2 } 을 지나지 않는다. (cid:90) 증가 감소 (cid:48) (cid:89) (cid:90)(cid:30) (cid:23) (cid:89) ④ x>0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. ⑤ x축, y축과 만나지 않는다. 반비례 관계의 그래프는 항상 x축, y축과 만나지 않아. 따라서 y= ab x 의 그래프의 특징이 아닌 것은 ③이다. 답 ③ 0779 유형 16 206쪽 + 유형 19 211쪽 y= 6 x 에 x=4를 대입하면 y= 6 4 = 3 2 ∴ B 4, 3 2 } { (선분 AB의 길이)= 이므로 A 9 2 4, 3 { 2 + 9 2 } 3+9 2 = 12 2 =6 , 즉 A(4, 6)이다. Ⅳ. 그래프와 비례 08. 정비례와 반비례 93 오른쪽 그림과 같이 선분 AB를 연장하여 그은 직선과 x축이 만나는 점을 점 D라 하자. 이때 두 삼각형 BOD와 AOD의 넓이를 구해보면 (cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89) (cid:34) (cid:35) (cid:37) (cid:21) (cid:90)(cid:30) (cid:23) (cid:89) (cid:89) (cid:36) (cid:48) 채점기준 ① a의 값을 구한다. ② b의 값을 구한다. ③ c의 값을 구한다. ④ a+b+c의 값을 구한다. 본문 216쪽 30% 30% 30% 10% (삼각형 BOD의 넓이)= (삼각형 AOD의 넓이)= ∴ (삼각형 OBC의 넓이) 점 B의 y좌표 3 2 =3 1 2 _4_ 1 2 _4_6=12 =(삼각형 AOD의 넓이)-(삼각형 BOD의 넓이) 점 A의 y좌표 -(삼각형 ABC의 넓이) 문제에서 ;2(; 9 2 9 2 = =12-3- 라고 했어. 답 ⑤ 서술형 격파하기 예제 1 예제 2 예제 3 예제 4 2 15 20 2 유제 1 유제 2 유제 3 유제 4 0 22 -34 28 예제 1 STEP ❶ y=ax의 그래프가 주어진 세 점을 지남을 이용한다. y=ax에 x=-2, y=6을 대입하면 ∴ a=-3 6=-2a y=-3x에 x=b, y=-9를 대입하면 ∴ b=3 -9=-3b 2 y=-3x에 x=- 3 , y=c를 대입하면 2 3 }=2 c=-3_{- STEP ❷ a+b+c의 값을 구한다. 따라서 a=-3, b=3, c=2이므로 =(-3)+3+2 a+b+c =2 채점 기준 ① a의 값을 구한다. ② b의 값을 구한다. ③ c의 값을 구한다. ④ a+b+c의 값을 구한다. 유제 1 STEP ❶ y=3x의 그래프가 주어진 세 점을 지남을 이용한다. y=3x에 x=a, y=-3을 대입하면 ∴ a=-1 -3=3a y=3x에 x=b, y=5를 대입하면 5=3b ∴ b= 5 3 y=3x에 x=- , y=c를 대입하면 2 9 2 3 2 9 } ∴ c=- c=3_{- STEP ❷ a+b+c의 값을 구한다. , c=- a=-1, b= 이므로 2 3 5 3 a+b+c=(-1)+ 5 3 +{- 2 3 }=0 답 94 중학수학 뜀틀 유형편 중1 (상) 채점기준 ① | 30% 채점기준 ② | 30% 채점기준 ③ | 30% 채점기준 ④ | 10% 답 2 30% 30% 30% 10% 예제 2 STEP ❶ 두 점 A, B의 좌표를 구한다. y= 3 2 2 3 x, y= x에 y=-6을 각각 대입하면 -6= x, x=-6_ ∴ A(-4, -6) 3 2 2 3 2 3 =-4 3 2 =-9 -6= x, x=-6_ ∴ B(-9, -6) 채점기준 ① | 50% STEP ❷ 삼각형 AOB의 넓이를 구한다. -6)과 원점 O를 -6), B(-9, 두 점 A(-4, 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. (cid:90) (cid:14)(cid:26) (cid:14)(cid:21) 따라서 삼각형 AOB의 넓이는 1 2 _{-4-(-9)}_6 = =15 1 2 _5_6 답 채점기준 ① 두 점 A, B의 좌표를 구한다. ② 삼각형 AOB의 넓이를 구한다. (cid:35) (cid:34) 채점기준 ② | 50% (cid:48) (cid:89) (cid:14)(cid:23) 15 50% 50% 유제 2 STEP ❶ 두 점 A, B의 y좌표가 -4임을 이용하여 두 점 A, B의 좌표를 구한다. 좌표평면 위에 주어진 세 직선과 두 점 A, B를 (cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:21)(cid:89) 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 두 점 A, B의 y좌표는 -4이므로 y=- x, y=4x에 각각 y=-4를 대입하면 2 5 2 5 5 2 }=10 -4=- x, x=-4_{- 4 ∴ B(-1, 4 =-1 -4=4x, x=- STEP ❷ 삼각형 OAB의 넓이를 구한다. (cid:48) (cid:35) (cid:14)(cid:21) (cid:89) (cid:34) (cid:19) (cid:22) (cid:90)(cid:30)(cid:14) (cid:89) ∴ A(10, -4) -4) 채점기준 ① | 50% 삼각형 OAB의 넓이는 1 2 _{10-(-1)}_4 = =22 1 2 _11_4 답 채점기준 ① 두 점 A, B의 좌표를 구한다. ② 삼각형 OAB의 넓이를 구한다. 채점기준 ② | 50% 22 50% 50% 채점기준 ① | 30% 예제 3 채점기준 ② | 30% STEP ❶ 점 A의 좌표를 A k, a k } (k>0)라 하고 두 선분 OB, AB의 길이 { 를 구한다. 주어진 그래프는 제 1 사분면을 지나므로 a>0 채점기준 ③ | 30% 제 1 사분면 위의 점 A의 좌표를 A (단, k>0)라 하면 k, a k } { B(k, 0) 채점기준 ① | 30% (선분 OB의 길이)=k, (선분 AB의 길이)= a k (∵ a>0, k>0) 채점기준 ② | 50% STEP ❷ 삼각형 AOB의 넓이가 10임을 이용하여 a의 값을 구한다. 채점기준 ④ | 10% 0 STEP ❷ y=ax의 그래프가 점 { , b }를 지남을 이용한다. 1 3 채점기준 ③ | 20% 20 y=21x에 x= , y=b를 대입하면 1 3 3= a 7 ∴ a=21 1 3 =7 b=21_ 따라서 a=21, b=7이므로 a+b=21+7=28 답 채점기준 ① a의 값을 구한다. ② b의 값을 구한다. ③ a+b의 값을 구한다. 본문 218쪽 채점기준 ① | 40% 채점기준 ② | 40% 채점기준 ③ | 20% 28 40% 40% 20% Ⅳ - 0 8 . 정 비 례 와 반 비 례 삼각형 AOB의 넓이가 10이므로 k =10, a 2 =10 a 1 2 _k_ ∴ a=20 답 채점기 준 ① 두 점 A, B의 x좌표를 k라 할 때 각각의 좌표를 구한다. ② 두 선분 OB, AB의 길이를 구한다. ③ a의 값을 구한다. 30% 50% 20% y= a x y= a -2 유제 3 STEP ❶ 점 A와 점 P의 x좌표가 같음을 이용하여 점 P의 좌표를 구한다. 점 A(-2, 0)과 점 P의 x좌표는 -2로 같고 의 그래프가 점 P를 지나므로 y= 에 x=-2를 대입하면 a x ∴ P {-2, - a 2 } 채점기준 ① | 30% 주어진 그래프가 제 2 사분면을 지나므로 a<0이다. STEP ❷ 직사각형 PAOB의 넓이가 34임을 이용하여 a의 값을 구한다. 이때 (선분 OA의 길이)=|-2|=2 a (선분 OB의 길이)=|- 2 직사각형 PAOB의 넓이가 34이므로 (∵ a<0)이고 a 2 |=- 채점기준 ② | 50% a 2 }=34, -a=34 2_{- ∴ a=-34 답 채점기 준 ① 점 P의 좌표를 구한다. ② 두 선분 OA, OB의 길이를 구한다. ③ a의 값을 구한다. 채점기준 ③ | 20% -34 30% 50% 20% 예제 4 STEP ❶ y=ax의 그래프가 점 (-4, -3)을 지남을 이용하여 a의 값을 구 y=ax에 x=-4, y=-3을 대입하면 ∴ a= -3=-4a 3 4 채점기준 ① | 40% STEP ❷ y= 의 그래프가 점 (-16, b-2)를 지남을 이용하여 b의 값을 한다. 12 x 구한다. y= 12 x 에 x=-16, y=b-2를 대입하면 , b-2=- 3 4 ∴ b= 5 4 b-2= 12 -16 3 따라서 a= 4 , b= 5 4 이므로 a+b= 3 4 + 5 4 =2 답 채점기 준 ① a의 값을 구한다. ② b의 값을 구한다. ③ a+b의 값을 구한다. 유제 4 STEP ❶ y= a x 의 그래프가 점 (7, 3)을 지남을 이용한다. y= a x 에 x=7, y=3을 대입하면 채점기준 ② | 40% 채점기준 ③ | 20% 2 40% 40% 20% Ⅳ. 그래프와 비례 08. 정비례와 반비례 95 memo