중학 수학 뜀틀 개념편 중 3 ( 상 ) 답지 (2019)

수 학 1 0 0 점 을 위 한 탄 탄 한 도 약 ! 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 정답과 해설 w w w . t o p t u t o r . c o . k r 01 제곱근의 뜻과 성질 연습 4 3É 2x<5의 각 변을 제곱하면 '¶ 9É2x<25 ∴ Éx< ;;ª2°;; ;2(; 따라서 부등식을 만족시키는 자연수 x는 5, 6, 7, y, 11, 12의 8개이다. 본문 009쪽 답 8 Step 2. 대표 문제로 접근하기 01 06 11 16 21 23 ⑤ ② 4 ③ ③ 6 02 07 12 17 22 24 ③, ⑤ ② ④ ② 03 08 13 18 ④ ⑤ 2 110 04 09 14 19 ⑤ ⑤ ⑤ 3 05 10 15 20 ④ ② ④ ③ , 0.7Û`, ®;4(; "Ã , 0.H4H9, ®Â;4Á9; {-®;5#;`} 2` ③ 25 176, 275 26 ② Step 1. 개념 다지기 01-1 제곱근의 정의 기본연습 1 (1) 49의 제곱근은 7과 -7이다. (2) (3) 0.09의 제곱근은 0.3과 -9의 제곱근은 존재하지 않는다. -0.3이다. 이다. 의 제곱근은 (4) 과 ;8!; -;8!; ;6Á4; 연습 1 양수 x의 제곱근이 10, =100 =(-10)Û` x=10Û` -10이므로 01-2 제곱근의 표현 기본연습 2 (1) 17의 제곱근은 Ñ '¶ (2) 5의 양의 제곱근은 17이다. 5이다. ' (3) 의 음의 제곱근은 이다. -®Â;;Á2Á;; ;;Á2Á;; (4) 제곱근 25는 25=5이다. '¶ 연습 2 400의 양의 제곱근이 a이므로 a='¶ 따라서 a의 음의 제곱근은 400=" =20 20Û` -' a=-'¶ 20 01-3 제곱근의 성질 기본연습 3 (1) ( 10)Û` '¶ =10 (2) ®Â{-;;Á4Á;;} (3) (-'¶ (4) 15Û` " 연습 3 =|-;;Á4Á;;|=;;Á4Á;; 2` =1.3 1.3)Û` =|15|=15 12Û` " +"Ã (-7)Û` =12+7=19 01-4 제곱근의 대소 관계 기본연습 4 답 (1) 7, -7 (2) 존재하지 않는다. (3) 0.3, -0.3 (4) , -;8!; ;8!; 유제 01 x는 5의 제곱근이므로 xÛ` =5, 즉 x= 따라서 바르게 나타낸 것은 ⑤이다. Ñ 5 ' 답 ⑤ 답 100 유제 02 제곱하여 0이 되는 수는 0이고 양수나 음수의 제곱은 항상 양수이 므로 음수의 제곱근은 생각하지 않는다. 따라서 제곱근을 구할 수 없는 수는 음수인 -2, -;4!; 이다. 답 ③, ⑤ 답 (1) Ñ 17 (2) 5 (3) '¶ ' -®Â;;Á2Á;; (4) 5 유제 03 ① =6 6Û` 36="Å '¶ ② =|-2|=-(-2)=2 (-2)Û` "Ã ③ 10의 제곱근은 Ñ 10이다. '¶ ④ '¶ 81=9이므로 9의 양의 제곱근은 3이다. ⑤ 제곱근 7은 7이다. ' 따라서 옳은 것은 ④이다. 유제 04 ① 7Û` 49=" '¶ ② (-3)Û` =7 |-3|=-(-3) = "Ã =3이므로 제곱근 3은 ' 3이다. ③ 양수의 제곱근은 2개, 0의 제곱근은 1개, 음수의 제곱근은 0개 이다. 따라서 모든 수의 제곱근이 2개인 것은 아니다. 답 20 -'¶ 답 ④ 답 ⑤ 답 ④ 답 ② ④ 제곱근 125는 125이다. '¶ 15Û` =225이므로 제곱근 125는 15가 아니다. ⑤ 9의 제곱근은 Ñ 9= 따라서 옳은 것은 ⑤이다. ' Ñ3이다. 유제 05 =16이므로 16의 음의 제곱근은 16Û` 256="Å '¶ 4Û` A=-'¶ 16=-" =-4 =81이므로 81의 양의 제곱근은 (-9)Û` 9Û` 81=" B='¶ ∴ A+B=(-4)+9=5 =9 유제 06 5.H4=x라 하면 10x=54.444y 10x=45.444y 19x=49 ->³ ∴ x=;;¢9»;; 따라서 5.H4=;;¢9»;; 이므로 의 음의 제곱근은 ;;¢9»;; -®Â;;¢9»;;=-¾Ð{;3&;} =-;3&; 2` 답 (1) 10 (2) (3) 1.3 (4) 15 ;;Á4Á;; 답 19 5< 7이다. (1) 5<7이므로 (2) 4='¶ (3) 2=' ' ' 16에서 16>15이므로 4> 4, 3=' 15이다. '¶ 9이므로 2와 3 사이의 수는 5, 8이다. ' ' 답 (1) 7 (2) 15 (3) 5, 8 ' ' '¶ ' 2 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 본문 015쪽 Ⅰ - 0 1 . 제 곱 근 의 뜻 과 성 질 답 2 답 ⑤ 답 ④ 답 ③ 답 ② 답 110 답 3 ' 유제 07 주어진 수의 제곱근을 각각 구하면 24 24 Ñ '¶ 0.9=;1»0; Ñ ¾Ð;1»0;= Ñ 0.9 '¶ Ñ ¾Ð;4Á9;= Ñ ;7!; ;4Á9; 0.H4=;9$; Ñ ¾;9$; = Ñ ;3@; 9=3 Ñ 따라서 근호를 사용하지 않고 제곱근을 나타낼 수 있는 수는 ' 3 , 0.H4의 2개이다. ;4Á9; 답 ② 유제 08 주어진 수의 제곱근을 각각 구하면 Ñ10 ㄱ. 100 Ñ 10Û` Ñ 100= '¶ " = ㄴ. ;1ª2°1; Ñ ¾Ð Ð;1ª2°1;= ¾Ð Ð{;1°1;} = ;1°1; Ñ Ñ ㄷ. 1.H7=1+0.H7=1+;9&;=;;Á9¤;; 2` Ñ Ñ ¾Ð;;Á9¤;;= ¾Ð{;3$;} = Ñ ;3$; 따라서 근호를 사용하지 않고 제곱근을 나타낼 수 있는 수는 2` A=¾;9!;=¾Ð{;3!;} =;3!; =6이므로 ( ' 2` 6)Û`의 음의 제곱근 B를 구하면 6)Û` ( ' B=-' ∴ ABÛ` 6 =;3!; _(-' 6)Û` =;3!; _6=2 유제 14 (-'Ä Ñ 0.81)Û` =0.81이므로 (-'Ä Ñ Ñ0.9 0.9Û` "Ã = 0.81= 'Ä 0.81)Û`의 제곱근을 구하면 유제 15 ㄱ. aÛ` -" =-(-a)=a (2a)Û` ㄴ. 2a<0이므로 "Ã -3a>0이므로 "Ã =-2a (-3a)Û` =-3a ㄷ. ㄹ. ㄹ. 81aÛ` (9a)Û` 이고 9a<0이므로 -"Ã -"Ã =-"Ã =-(-9a)=9a (9a)Û` 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다. ∴ 81aÛ` =9a -"Ã 유제 16 a<3에서 3-a>0, a-3<0이므로 { =(3-a)- -"Ã " =3-a+a-3=0 (a-3)Û` (3-a)Û` -(a-3)} ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 유제 09 ① ( 5)Û` =5 ' 5Û` " ② ③ =5 (-5)Û` " ④ (-' 5)Û` ⑤ ③에서 =|-5|=-(-5)=5 =5 (-5)Û` " -" =5이므로 =-5 따라서 그 값이 나머지 넷과 다른 것은 ⑤이다. (-5)Û` 유제 10 ① ¾Ð;2Á5;=¾Ð{;5!;} =;5!; ¾Ð{-;4!;} =|-;4!;|=-{-;4!;}=;4!; ② ③ ④ ⑤ 2` {;3!;} =;9!; 2` ¾Ð{;6!;} =;6!; 2` {-¾;4!;`} =;4!; 2` 2` 3)Û` 3)Û` +'¶ +" 121-"Ã 11Û` -"Ã (-5)Û` (-5)Û` 유제 11 A="Ã +(-' +(-' (-7)Û` (-7)Û` ="Ã =7+3+11-5 =16 ∴ A='¶ 4Û` 16="Å =4 '¶ 유제 12 4Û` " _"Ã (-7)Û` =4_7=28 다른풀이 4Û` =16, (-7)Û` (-7)Û` 4Û` _"Ã =49이므로 16_'¶ ='¶ "Å 49=4_7=28 유제 13 ¾Ð{-;9!;} =;9!; ¾Ð{-;9!;} 이므로 의 양의 제곱근 A를 구하면 2` 2` 따라서 가장 작은 수는 ②이다. 답 ② 유제 17 답 ⑤ _x의 값이 (자연수)Û` 꼴이 _7Ü` _7Ü` _x가 자연수가 되려면 2Û` 2Û` "Ã 어야 하므로 x=7_(자연수)Û` ② 14=7_2 ① 7=7_1Û` ④ 63=7_3Û` ⑤ 112=7_4Û` 따라서 자연수 x가 될 수 없는 것은 14이다. ③ 28=7_2Û` 답 ⑤ 유제 18 440을 소인수분해하면 440=2Ü` _5_11이므로 ¾ 440 x =¾Ð 2Ü`_5_11 x 이 자연수가 되려면 2Ü`_5_11 x 의 값이 (자연수)Û` 꼴이어야 한다. ∴ x=2_5_11 또는 x=2Ü` 따라서 가장 작은 자연수 x는 2_5_11=110 _5_11 유제 19 55+x 가 자연수가 되려면 55+x는 자연수의 제곱인 수이어야 한다. 'Ä 55보다 큰 자연수의 제곱인 수는 64, 81, 100, 121, y이므로 55+x=64일 때 x=9, 55+x=81일 때 x=26, 55+x=100일 때 x=45, 55+x=121일 때 x=66, y 따라서 조건을 만족시키는 50 이하의 자연수 x의 개수는 3이다. 유제 20 32-x 가 정수가 되려면 32-x는 정수의 제곱인 수이어야 한다. 'Ä 32보다 작은 정수의 제곱인 수는 0, 1, 4, 9, 16, 25이므로 32-x=0에서 x=32, 32-x=1에서 x=31 32-x=4에서 x=28, 32-x=9에서 x=23 32-x=16에서 x=16, 32-x=25에서 x=7 따라서 구하는 자연수 x의 개수는 6이다. 답 ③ 유제 21 ① 5='¶ 25 에서 24< 25 ∴ '¶ 7> ' '¶ 5 ∴ ' 0.16에서 -' 0.16 < 'Ä 24 <5 '¶ 7 <-' 0.2 '¶ 5 ② 7>5이므로 ③ 0.4=" ④ 0.4Û` ;2!;=®;4!; ='Ä 에서 > ®;3!;` ®;4!; ∴ ®;3!;` > ;2!; ∴ 0.4< 0.2 '¶ ⑤ 3=' 9 에서 8 < 9 ' 위 식의 양변에 8 >-3 -' ∴ ' -1을 곱하면 8 >-' 9 -' 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 답 ③ Ⅰ. 제곱근과 실수 01. 제곱근의 뜻과 성질 3 답 4 답 ④ Ã Ð 본문 022쪽 ⑤ ① ③ 256 답 ③ 답 3 답 ③ 답 ① 답 ⑤ 답 ④ Ú~Þ에서 주어진 수들의 대소 관계를 부등호를 이용하여 나타내면 유제 22 Ú "Ã 0.7Û` =0.7 Û 0.H4H9=0.4949y 따라서 0.H4H9=;9$9(; Ü Ý Þ ®Â;4Á9;=®Â{;7!;} =;7!;=0.142y ®;4(;=®Â{;2#;} 2` =;2#;=1.5 {-®;5#;`} =0.6 =;5#; 2` 2` >0.7> >0.H4H9> ;2#; ;5#; ;7!; 따라서 큰 것부터 차례로 나열하면 , ®;4(; "Ã 0.7Û`, {-®;5#;`} , 0.H4H9, ®Â;4Á9; 2` 2` 5Û`É( x+3)Û`< 'Ä {;;Á2£;;} 25Éx+3< ;;Á;4^;»;; ∴ 22Éx< ;;Á;4%;¦;; 답 , 0.7Û`, ®;4(; "Ã {-®;5#;`} , 0.H4H9, ®Â;4Á9; 2` 유제 23 5É x+3 < 'Ä ;;Á2£;; 에서 각 변을 제곱하면 따라서 부등식을 만족시키는 자연수 x 중에서 3의 배수는 24, 27, 30, 33, 36, 39이므로 구하는 개수는 6이다. 유제 24 4É ®;3{; <7에서 각 변을 제곱하면 4Û`É <7Û` {®;3{;`} 2` 16É <49 ;3{; ∴ 48Éx<147 따라서 48Éx<147을 만족시키는 자연수 x의 개수는 147-48=99(개) 답 ③ 유제 25 양의 정수 x에 대하여 11x이므로 11x가 양의 정수 11_' '¶ x='¶ '¶ 가 되려면 11x는 자연수의 제곱인 수이어야 한다. ∴ x=11_kÛ` (단, k는 자연수) k에 1부터 차례로 자연수를 대입하면 x=11_1Û`, 11_2Û`, 11_3Û`, 11_4Û`, 11_5Û`, 11_6Û`, … 즉, x=11, 44, 99, 176, 275, 396, … 그런데 100Éx<300이므로 구하는 정수 x는 176, 275이다. 유제 26 f(x)는 ' f(x)=5인 x는 5É 5É ' ' ∴ 25Éx<36 x 이하의 자연수의 개수를 의미하므로 x<6을 만족해야 한다. x<6에서 각 변을 제곱하면 5Û`É( x)Û`<6Û` ' 따라서 25Éx<36을 만족시키는 자연수 x의 개수는 36-25=11(개) 답 ② 4 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) Step 3. 단원 마무리하기 01 06 11 16 ③ ④ ④ ③ 02 07 12 17 3 3a ④ 4a 03 08 13 18 ③ ④ ② ④ 04 09 14 19 ① ② ③ 4 05 10 15 20 01 8의 제곱근은 Ñ 8 이다. ' 02 제곱근 는 이고, ;6@4%; a=8, b=5 ®Â;6@4%; ∴ a-b=8-5=3 2` ®Â;6@4%;=®É{;8%;} =;8%;=;aB; 이므로 03 aÛ` =|a|=25이므로 a= " Ñ25 다른풀이 " aÛ` =25에서 양변을 제곱하면 aÛ` =25Û` ∴ a= Ñ25 04 ®Â;8@1%;_'Ä 0.36=®Â{;9%;} _"Ã 0.6Û` 2` =;9%;_0.6=;9%;_;1¤0; =;3!; 답 6 05 2Û` Ö(-' "Å 6)Û` +®Â{-;3@;} _{-®;2%; 2` ` } 2` =2Ö6+;3@;_;2%;=2_;6!;+;3%; =;3!;+;3%;=2 06 ① ② ③ ④ ⑤ -a>0이므로 "Ã =-a이므로 aÛ` (-a)Û` aÛ` -" " -2a>0이므로 (-'Ä-2a)Û` (3a)Û` 에서 3a<0이므로 =-a =-(-a)=a =-2a (3a)Û` "Ã -5a>0이므로 ( ∴ 'Ä-5a)Û` "Ã 'Ä-5a)Û` =-5a =-(-5a)=5a -( 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. =-3a 07 a<0에서 3a<0, " (3a)Û` aÛ` -" -"Ã -5a>0이므로 (-5)Û`aÛ` (3a)Û` 답 176, 275 -" -" (-5a)Û` aÛ` =" =-(3a)-(-a)-(-5a) =-3a+a+5a=3a 답 3a 08 '¶ 6a <9에서 양변을 제곱하면 ( 6a)Û`<9Û`, 6a<81 '¶ ∴ a< ;;¥6Á;;=;;ª2¦;;=13.5 따라서 자연수 a의 값 중에서 가장 큰 수는 13이다. 답 ④ 09 ;2!;=®Â{;2!;} =®;4!; {;2!;} =;4!;=®Â{;4!;} `, 2, ' `, =®Â;1Á6; 2` 2)Û` =2="Å ' 2Û` 4 =' `, ( ®;2!; 2` 2` 에서 < < ;4!; ;2!; ;1Á6; <2<4이므로 주어진 수들의 대소 관계를 부등호를 이용하여 나타내면 < `< `< 2< 4이다. ®Â;1Á6; ®;4!; ®;2!; ' ' Ã 따라서 작은 수부터 순서대로 나열할 때 네 번째에 오는 수는 2이다. ' ② 15 답 10 ① " aÛ` =a이므로 4 aÛ` =4a " 11 ® 12 ② aÛ` ®Â;4(; =®Â{;2#; a } 에서 a>0이므로 aÛ` ®Â;4(; =®Â{;2#; } =;2#; a a ;2#; (4a)Û` 에서 4a>0이므로 16aÛ` (4a)Û` "Ã ="Ã 2` =4a 2` ③ 16aÛ` "Ã ∴ "Ã ="Ã 16aÛ` 2 = 4a 2 =2a ④ ®Â{-;2%; a } 에서 -;2%; a<0이므로 ®Â{-;2%; } =-{-;2%; }=;2%; a a a 2` ∴ -®Â{-;2%; } =-;2%; a 2` a ⑤ (-3a)Û` 에서 "Ã ∴ (-3a)Û` -"Ã 2` -3a<0이므로 (-3a)Û` "Ã =-3a 따라서 값이 가장 큰 것은 ①이다. 180을 소인수분해하면 180=2Û` _3Û` _5이므로 180 n =®É 2Û`_3Û`_5 n =-(-3a)=3a 따라서 180 n ®É 이 자연수가 되려면 자연수 n은 180의 약수이면서 n=5kÛ` (k는 자연수)꼴이어야 한다. 180의 약수이고 5kÛ` 꼴로 나타내어지는 두 자리의 자연수 n은 5_2Û`, 5_3Û`이므로 구하는 가장 작은 두 자리의 자연수 n은 5_2Û` =20 25-x가 정수가 되려면 25-x가 정수의 제곱인 수이어야 한다. 'Ä 자연수 x에 대하여 25-x의 값은 25보다 작으므로 25보다 작은 정수 의 제곱인 수 0, 1, 4, 9, 16이 되어야 한다. 25-x의 값이 최대일 때 x의 값은 최소이므로 25-x=16에서 x=25-16=9 ∴ (x의 최솟값)=9 25-x의 값이 최소일 때 x의 값은 최대이므로 25-x=0에서 x=25 ∴ (x의 최댓값)=25 따라서 x의 최솟값과 최댓값의 합은 9+25=34 답 ④ 13 Ú 2x-1¾0, 즉 x¾ 일 때 ;2!; "Ã =2x-1=5, 2x=6 일 때 (2x-1)Û` Û 2x-1<0, 즉 x< (2x-1)Û` "Ã -2x=4 ;2!; =-(2x-1)=5, ∴ x=-2 따라서 조건을 만족시키는 x의 값은 3, 3_(-2)=-6 ∴ x=3 -2x+1=5 -2이므로 구하는 곱은 답 ② 14 Ú 1.6< ' ∴ 2.56<x<5.76 x<2.4에서 각 변을 제곱하면 1.6Û`<( x)Û`<2.4Û` ' 따라서 이를 만족시키는 자연수 x의 값은 3, 4, 5이다. Û 15<x<3 7에서 각 변을 제곱하면 ( 15)Û`<xÛ`<(3 7)Û` '¶ ' '¶ ' ∴ 15<xÛ`<63 따라서 이를 만족시키는 자연수 x의 값은 4, 5, 6, 7이다. Ú, Û에 의해 두 부등식을 동시에 만족시키는 자연수 x는 4, 5이므로 구하는 합은 4+5=9 답 ③ 본문 027쪽 Ⅰ - 0 1 . 제 곱 근 의 뜻 과 성 질 3n이 유리수가 되려면 3n이 유리수의 제곱인 수이어야 한다. '¶ 자연수 n에 대하여 3n이 유리수의 제곱인 수이려면 n=3_pÛ` (단, p는 자연수) 이때 n은 50 이하의 자연수이므로 n이 될 수 있는 수는 3_1Û`, 3_2Û`, 3_3Û`, 3_4Û` 또, …… ㉠ 7n이 유리수가 되려면 7n이 유리수의 제곱인 수이어야 한다. '¶ 자연수 n에 대하여 7n이 유리수의 제곱인 수이려면 n=7_qÛ` (단, q는 자연수) 이때, n은 50 이하의 자연수이므로 n이 될 수 있는 수는 7_1Û`, 7_2Û` ㉠, ㉡에서 '¶ 4+2=6(개) 따라서 3n, '¶ 개수는 50-6=44(개) 3n 또는 …… ㉡ '¶ '¶ 7n이 유리수가 되도록 하는 자연수 n의 개수는 7n이 모두 무리수가 되도록 하는 50 이하의 자연수 n의 답 ① 16 한 변의 길이가 3`cm인 정사각형의 넓이는 9`cmÛ`, 한 변의 길이가 4`cm인 정사각형의 넓이는 16`cmÛ` 이므로 두 정사각형의 넓이의 합은 9+16=25(cmÛ`) 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 x`cm라 하면 25= ∴ x= xÛ` x>0이므로 x=5 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 =25 Ñ5 Ñ '¶ 5`cm이다. 답 ④ 답 답 ③ (cid:26)(cid:65)(cid:68)(cid:78)(cid:153) (cid:18)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)(cid:153) (cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:19)(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)(cid:153) (cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78) ③ 17 a-b>0에서 a>b이고, ab<0에서 a, b의 부호는 서로 다르다. ∴ a>0>b a>0, b<0에서 2a>0, 2a-b>0이므로 (2a-b)Û` 4aÛ` (2a)Û` bÛ` -" +" " (2a-b)Û` +" bÛ` ="Ã -" =2a-(-b)+(2a-b) =2a+b+2a-b =4a 답 4a 18 440을 소인수분해하면 440=2Ü` _5_11_xy 가 자연수가 되려면 2Ü` 2Ü` _5_11이므로 yy ㉠ _5_11_xy가 자 440xy="Ã 'Ä 연수의 제곱인 수이어야 한다. ∴ xy=2_5_11_(자연수)Û` 440xy가 가장 작은 자연수가 되려면 xy의 값은 ㉠을 만족하는 수 중 '¶ 에서 최소이어야 한다. ∴ xy=2_5_11_1Û` ① 순서쌍 (2, 55)에서 2_55=110 ② 순서쌍 (5, 22)에서 5_22=110 ③ 순서쌍 (10, 11)에서 10_11=110 ④ 순서쌍 (4, 25)에서 4_25=100 ⑤ 순서쌍 (110, 1)에서 110_1=110 따라서 x, y의 순서쌍 (x, y)가 아닌 것은 ④이다. =110 답 ④ 19 2x+1=123에서 2x=122 '¶ 61< f(123)은 ∴ x=61 61 이하의 자연수 중 가장 큰 수이고 '¶ 61<8이므로 f(123)=7 64, 즉 7< 49< '¶ '¶ 2x+1=27에서 2x=26 ∴ x=13 f(27)은 13 이하의 자연수 중 가장 큰 수이고 '¶ 13< '¶ 16, 즉 3< 9< ∴ f(123)-f(27)=7-3=4 '¶ 13<4이므로 f(27)=3 '¶ ' ' 답 4 Ⅰ. 제곱근과 실수 01. 제곱근의 뜻과 성질 5 Å ¶ É Ú, Û에서 x=16 또는 x=256이므로 세 자리의 자연수 x는 256이다. 답 256 기본연습 4 20 x+'Ä ' 어야 한다. x+33의 값이 자연수가 되려면 x와 x+33이 모두 자연수이 'Ä ' (2) 넓이가 5인 정사각형의 한 변의 길이는 5이므로 ADÓ ' 5이다. -' 5 =' 답 (1) 5 (2) 5 -' ' 따라서 점 Q에 대응하는 수는 x+33의 근호 안의 수가 모두 자연수의 제곱인 수이어야 하므 연습 3 본문 029쪽 'Ä x, -aÛ` 즉 ' 로 x=aÛ`, x+33=bÛ` (a, b는 자연수)으로 놓으면 +33=bÛ`, bÛ` aÛ` =33 ∴ (b+a)(b-a)=33 Ú b+a=11, b-a=3일 때 b=7, a=4이므로 x=16 Û b+a=33, b-a=1일 때 b=17, a=16이므로 x=256 02 무리수와 실수 Step 1. 개념 다지기 02-1 무리수와 실수 기본연습 1 (1) 이므로 는 유리수이다. (2) -®;9$; -®;9$;=-;3@; 0.25=0.5이므로 'Ä 'Ä (3) p 2 =1.57y이므로 순환하지 않는 무한소수이다. 0.25는 유리수이다. (1) (2) ○ (3) ○ _ 답 연습 1 답 ®;9!;=;3!; , 4-1=2-1=1이므로 무리수인 것은 2+' ' 0.1, 84이다. '¶ 8, -'¶ 2+' 8, 0.1, 84 '¶ -'¶ 02-2 제곱근표를 이용하여 제곱근의 값 구하기 (1) 3.2의 가로줄과 2의 세로줄이 만나는 칸에 적혀 있는 수는 1.794이므로 (2) 3.3의 가로줄과 1의 세로줄이 만나는 칸에 적혀 있는 수는 1.819이므로 답 (1) 1.794 (2) 1.819 기본연습 2 3.22=1.794 '¶ 3.31=1.819 '¶ 연습 2 3.3의 가로줄과 3의 세로줄이 만나는 칸에 적혀 있는 수는 1.825이고, 3.1의 가로줄과 0의 세로줄이 만나는 칸에 적혀 있는 수는 1.761이므로 3.33-'¶ 3.1=1.825-1.761=0.064 'Ä 답 0.064 02-3 무리수와 실수를 수직선 위에 나타내기 기본연습 3 정사각형 ABCD의 넓이는 4_{;2!;_2_1 (1) 넓이가 5인 정사각형의 한 변의 길이는 }+1=5 5이므로 ABÓ 5 =' ' 따라서 점 P에 대응하는 수는 5이다. ' 6 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) (1) 2와 3 사이에는 무수히 많은 무리수가 존재한다. ' ' (2) 수직선은 유리수와 무리수에 대응하는 점으로 완전히 메울 수 있다. 답 (1) (2) ○ _ 02-4 실수의 대소 관계 2-1<2 3>4 (1) ( ' (2) (6-' (3) ( ' (4) (-' -' 2-1)-2=' 2-3<0이므로 ' 3)-4=2-' ' 3>0이므로 6-' 7-3)=2>0이므로 ' 2+' 5-' 6 6)=' 5)-(-' 2+' 5<-' 7-1)-( 2+' 2+' 7-1> 7-3 6<0이므로 ' 답 (1) < (2) > (3) > (4) < 연습 4 A-B=(-'¶ 답 14+5)-(-'¶ 14+'¶ 23)=5-'¶ 23>0이므로 A>B A>B Step 2. 대표 문제로 접근하기 01 ③ 02 ③ 03 ① 06 ③, ④ 07 2), Q(4+' 2) P(4-' ④ 11 12 A>B>C 04 08 ④ 2 05 -1 ③ 09 13 ② 10 14 ③ 31 유제 01 p , 2 리수가 아니다. 0.4, '¶ ' 2-1은 (정수) (0이 아닌 정수) 0은 정수이므로 유리수이다. 꼴로 나타낼 수 없으므로 유 -'Ä 0.64=-"Ã 0.8Û `=-0.8=-;1¥0;=-;5$; 이므로 0.64는 -'Ä 유리수이다. 3 225 = 3 15Û` =;1£5;=;5!; " '¶ 따라서 유리수가 아닌 것은 p , 2 이므로 3 225 '¶ 은 유리수이다. 0.4, 2-1의 3개이다. 답 ③ ' '¶ 유제 02 0.5H1= 51-5 90 =;9$0^;=;4@5#; 이므로 0.5H1은 유리수이다. 225 9 =-'¶ -®É 25=-" 5Û `=-5이므로 -®É 225 9 는 유리수이다. ' ' 64-'¶ 0.2, `=8-6=2이므로 64-'¶ 6Û 8Û 36="Å `-"Å '¶ 6.4는 무리수이다. 15, -'¶ '¶ 36은 유리수이다. 따라서 유리수는 0.5H1, 36 의 3개이다. 답 ③ 225 9 , 64-'¶ '¶ -®É 유제 03 소수의 분류는 다음과 같다. 유한소수 소수 [ 무한소수 순환소수 [ 순환하지 않는 무한소수 ①, ② 순환소수는 모두 유리수이다. ¶ Å Å ¶ ③, ④ 무한소수는 순환소수와 순환하지 않는 무한소수로 나누어 진다. 이 중 순환소수는 유리수이고 순환하지 않는 무한소수는 유제 08 정사각형 ABCD의 넓이는 무리수이다. ⑤ 소수는 유한소수와 무한소수로 이루어져 있다. 따라서 옳은 것은 ①이다. 답 ① 유제 04 ① 음수의 제곱근은 존재하지 않는다. ② 양수의 제곱근은 실수이다. 2는 모두 무리수이지만 2)=0으로 유리수이다. 2+(-' ' `=100이므로 10Û ` 의 제곱근과 (-10)Û ` 의 제곱근 2와 ③ -' ' 두 수의 합은 ④ 10Û 은 `=(-10)Û -10, 10으로 같다. , ;2#; ;4&; ⑤ 두 유리수 사이에는 자연수가 존재하지 않는다. 사이에 자연수 (cid:64) (cid:17) (cid:18) (cid:19) (cid:28)(cid:19)(cid:4)(cid:28)(cid:28)(cid:21)(cid:7)(cid:28) (cid:20) 따라서 옳은 것은 ④이다. 답 ④ 유제 05 두 선분 AB, CD는 각각 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 이므로 ABÓ=CDÓ ∴ APÓ=ABÓ =' 2 =' 2, CQÓ=CDÓ 2 =' 점 P에 대응하는 수는 점 A에 대응하는 수에 선분 AP의 길이를 더한 값과 같으 므로 -2+' 2 (cid:17)(cid:19) (cid:34)(cid:9)(cid:14)(cid:19)(cid:10) (cid:49)(cid:9)(cid:14)(cid:19)(cid:12)(cid:17)(cid:19)(cid:10) 점 Q에 대응하는 수는 점 C에 대응하는 수에서 선분 CQ의 길이를 뺀 값과 같으므로 (cid:17)(cid:19) (cid:50)(cid:9)(cid:18)(cid:14)(cid:17)(cid:19)(cid:10) (cid:36)(cid:9)(cid:18)(cid:10) 본문 037쪽 (cid:21) (cid:36) (cid:35) (cid:21) (cid:34) 4_4-4_{;2!;_3_1 이므로 정사각형 ABCD의 한 변의 길 }=16-6=10 (cid:37) 이때 ABÓ=APÓ, ADÓ=AQÓ이므로 이는 10이다. '¶ APÓ=AQÓ 10 ='¶ 10이다. 점 P에 대응하는 수는 점 A에 대응하는 수에 선분 AP의 길이를 더한 값과 같으므로 1+'¶ 점 Q에 대응하는 수는 점 A에 대응하는 수에서 선분 AQ의 길이 를 뺀 값과 같으므로 1-'¶ 따라서 두 점 P, Q에 대응하는 수의 합은 10이다. (1+'¶ 10)+(1-'¶ 10)=2 (cid:17)(cid:18)(cid:18)(cid:17) (cid:50)(cid:9)(cid:18)(cid:14)(cid:17)(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:10) (cid:17)(cid:18)(cid:18)(cid:17) (cid:34)(cid:9)(cid:18)(cid:10) (cid:49)(cid:9)(cid:18)(cid:12)(cid:17)(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:10) 답 2 3 사이에 있는 정수를 x라 하면 유제 09 두 수 ' 3-3과 3-' 3 3-3<x<3-' 1< ' ' ∴ 3-3<2-3 3<2이므로 1-3< ' 3-3<-1 yy ㉠ -2< ' 3<-1이므로 3-2<3-' -2<-' 3<2 ∴ 1<3-' ㉠, ㉡에 의하여 yy ㉡ 3<3-1 -1.___<x<1.___ 따라서 조건을 만족시키는 정수 x의 값은 구하는 합은 (-1)+0+1=0 -1, 0, 1이므로 답 ③ Ⅰ - 0 2 . 무 리 수 와 실 수 2 1-' 따라서 p=-2+' p+q=(-2+' 2, q=1-' 2)+(1-' 2이므로 2)=-1 유제 10 3=' 9, 4='¶ 16이므로 3과 4 사이의 수가 되려면 근호 안의 값이 9보다는 크고, 16보다는 작아야 한다. 따라서 주어진 수 중 근호 안의 값이 9보다 크고 16보다 작은 수는 ' 14.2, 10, 'Ä ®Â;;ª2Á;; 이므로 구하는 수의 개수는 3이다. 답 ③ 답 -1 유제 06 두 선분 AC, BD는 정사각형 ABCD의 대각선이므로 ACÓ=BDÓ 2 =' ∴ AQÓ=ACÓ 2, BPÓ=BDÓ 2 =' =' ① 점 P에 대응하는 수는 점 B에 대응하는 수에 선분 BP의 길이만큼 뺀 값과 같으 므로 3-' 2이다. ② 점 Q에 대응하는 수는 점 A에 대응하는 수에서 선분 AQ의 길이만큼 더한 값과 같으므로 2+' 2이다. ③ 점 P와 점 Q에 대응하는 수의 합은 2)=5 2)+(2+' (3-' 2 ④ AQÓ= ' ⑤ PAÓ=BPÓ-ABÓ 2-1 =' 따라서 옳지 않은 것은 ③, ④이다. (cid:17)(cid:19) (cid:49)(cid:9)(cid:20)(cid:14)(cid:17)(cid:19)(cid:10) (cid:35)(cid:9)(cid:20)(cid:10) (cid:17)(cid:19) (cid:50)(cid:9)(cid:19)(cid:12)(cid:17)(cid:19)(cid:10) (cid:34)(cid:9)(cid:19)(cid:10) (cid:17)(cid:19) (cid:18) (cid:35) (cid:49) (cid:34) (cid:17)(cid:19)(cid:14)(cid:18) 답 ③, ④ 유제 11 ① '¶ '¶ 10< 13 '¶ 3-2<0이므로 3<5-' 3 9-'¶ 7)=3-'¶ 10=' 10<0이므로 3)=' 8-3=' 8-' 9<0이므로 13<0이므로 10-'¶ ② 3-(5-' 3)=' ③ (3+' 10+' 7)-( '¶ 10+' 7 3+' 7< '¶ 3)-(3+' 8+' ' 3 3<3+' 8+' ' ⑤ (-' 11)='¶ 7)-(-'¶ 따라서 옳은 것은 ④이다. ④ ( 11-' 7>0이므로 -' 7>-'¶ 11 답 ④ 유제 12 A-B=(4-' A>B B-C=(4-'¶ B>C ∴ A>B>C 8)-(4-'¶ 11)='¶ 11-' 8>0이므로 11)-(-1)=5-'¶ 11='¶ 25-'¶ 11>0이므로 답 A>B>C 유제 07 정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 x라 하자. 유제 13 9< 14< '¶ ' 각 변에서 6을 빼면 '¶ 16이므로 3< 14<4 '¶ }=2이므로 2 (∵ x>0) 정사각형 ABCD의 넓이는 4_{;2!;_1_1 `=2, x=' xÛ ∴ BCÓ=CDÓ 따라서 두 점 P, Q에 대응하는 수는 각각 4-' 두 점 P, Q의 좌표는 P(4-' 2), Q(4+' =' 2 2, 4+' 2이므로 ' 2)이다. P(4-' 2), Q(4+' 2) 14-6<4-6 14-6<-2 '¶ -3과 14-6은 '¶ 3-6< '¶ ∴ -3< 따라서 14-6에 대응하는 점은 B이다. (cid:14)(cid:20) (cid:35) (cid:14)(cid:19) (cid:17)(cid:18)(cid:18)(cid:21)(cid:14)(cid:23) 답 -2 사이의 값이므로 수직선 위에서 답 ② Ⅰ. 제곱근과 실수 02. 무리수와 실수 7 ¶ ¶ ' 01 06 15 20 01 유제 14 한 자리의 자연수는 1, 2, 3, y, 9이므로 한 자리의 자연수 x에 대 1, 2, 3, y, ' ' `=1, 2Û 4="Å ' 9는 유리수이다. 9이다. ' `=2, ' 하여 x 는 '§ ' 이때 1="Å 1Û ' 4, ' 4, 1, 1, ' 3Û 9="Å `=3이므로 9를 제외한 나머지 2, 3, 5, 6, 7, 8은 무리수이므 ' ' ' x 가 무리수가 되도록 하는 x는 2, 3, 5, 6, 7, 8이다. ' 로 따라서 모든 x의 값의 합은 2+3+5+6+7+8=31 '§ ' ' ' ' ' 답 31 Step 3. 단원 마무리하기 10 ②, ③ F, B ①, ④ 02 07 11 16 ⑤ 4 ④ 03 08 12 17 ② ⑤ ④ 04 점 B 05 ③ 09 13 18 5+' ④ 2 5+' 14 C ② 19 4-' 2 ④ 3 ③ 11 (가)는 유리수, (나)는 무리수이다. ④ 순환소수는 유리수이므로 (가)에 해당된다. 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 답 ④ 02 ㄱ. 은 ;2&; ㄴ. (-' ㄷ. '¶ 3)Û 400=" (정수) (0이 아닌 정수) `=3이므로 (-' `=20이므로 20Û '¶ 따라서 유리수는 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 꼴이므로 유리수이다. 3)Û 은 유리수이다. ` 400 은 유리수이다. 03 ㄱ. 무리수는 (정수) (0이 아닌 정수) 꼴로 나타낼 수 없다. ㄴ. p는 무리수이므로 수직선 위의 점에 대응시킬 수 있다. ㄷ. 서로 다른 두 실수 사이에는 무수히 많은 실수가 있다. ㄹ. 수직선은 유리수에 대응하는 점들로 완전히 메울 수 없다. 본문 043쪽 답 4 25< '¶ 5< '¶ 28< '¶ 28<6에서 36이므로 5< -6<-'¶ '¶ 28보다 큰 정수 중 가장 작은 정수는 28<6이다. '¶ 28<-5이므로 -'¶ ∴ b=-5 ∴ a-b=-1-(-5)=-1+5=4 -5이다. 08 ① ( 17-'¶ 16>0 5>0 16-'¶ 11>0 7-' 17-4='¶ 17+3)-7='¶ '¶ ∴ 17+3>7 '¶ ② (2+' 7)-( 5+2)=' ' ∴ 2+' 7> 5+2 ' ③ (6-'¶ 11)-2=4-'¶ ∴ 6-'¶ 11>2 ④ (-4-' 7)-(-'¶ ∴ -4-' 7>-'¶ 25)=( 14-5)-( 18-'¶ '¶ '¶ ∴ 25 18-'¶ 14-5< '¶ 11='¶ ⑤ ( 7)='¶ 19-' 7 19-' '¶ 19-4='¶ 19-'¶ 16>0 14-5)-( '¶ '¶ 18-5)='¶ 14-'¶ 18<0 따라서 부등호가 나머지 넷과 다른 하나는 ⑤이다. 답 ⑤ 09 정사각형 ABCD의 넓이는 4_{;2!;_2_1 이므로 정사각형 ABCD의 }+1Û `=4+1=5 한 변의 길이는 ' 따라서 ABÓ=APÓ 5이다. 5이므로 점 P에 대응하는 수는 5+' =' 5이다. 정사각형 PQRS는 한 변의 길이가 1인 정사각형이므로 (넓이)(cid:30)(cid:18) (cid:90) (cid:12) (cid:64)(cid:21) (cid:64)(cid:18) PRÓ Û` ;2!;_ =1 2 (∵ PRÓ>0) ∴ PRÓ= ' 따라서 PRÓ=PEÓ= 답 ⑤ 2이므로 점 E에 대응하는 수는 5+' ' 5+' 답 5+' 2이다. 5+' 2 10 실수를 분류해 보면 다음과 같다. 양의 정수(자연수) 정수 0 음의 정수 유리수 무리수 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ② 실수 정수가 아닌 유리수 04 49< '¶ '¶ 따라서 '¶ 60< 64에서 7< 60<8 '¶ '¶ 60에 대응하는 점은 B이다. ① 0은 유리수이지만, 무리수는 아니다. 답 점 B ② 순환하는 무한소수는 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수이다. ③ 자연수는 정수이고, 정수는 유리수이므로 모든 자연수는 유리수이다. 05 x-y=( x-z=( ' ∴ y<x0일`때 a) -' *0의 제곱근의 개수는 1 *음수는 제곱근이 존재하지 않는다. a , ' ⑤ 무리수와 유리수, 즉 실수에 대응되는 점으로 수직선이 메워지므로 무리수에 대응되는 점만으로는 수직선을 완전히 메울 수 없다. 16 ① 5=2.236이므로 ' 따라서 2< 5-0.1은 2와 ' ② 4<4.1<5이므로 ' ' ' 5-0.1< 5-0.1=2.236-0.1=2.136 ' 5이므로 5 사이에 있는 무리수이다. 4< 4.1< 5 ' '¶ ' ∴ 2< '¶ 따라서 4.1< 5 ' 4.1은 2와 '¶ ' ' ③ 4< <5이므로 4< ;;ª5Á;; ®Â;;ª5Á;; < 5 ' 5 사이에 있는 무리수이다. ∴ 2< ®Â;;ª5Á;; < 5 ' 따라서 은 2와 5 사이에 있는 무리수이다. ' ④ ' ®Â;;ª5Á;; 2=1.414이므로 2+1=1.414+1=2.414 5=2.236이므로 ' 5 사이에 있는 무리수가 아니다. 2+1은 2와 ' 2+1> ' ' 5 ' 이때 ' 따라서 17 ' ' 2<3 2<-1이므로 4< 5< 9이므로 2< 5<3 ' 1< 1< ' 4< 2< ' 3<-1 9이므로 2< -2<-' ' ' 3<2이므로 ' 2<2이므로 각 변에 1을 더하면 2<1+' 8< ' ' ' 5<3이고 1< 2<2에서 5-' ' 5-' ' 2<3-1 2<2 -2<-' 8<3 ' ' 2-2< ∴ 0< -2<-' 1< ' 9< '¶ 각 변에 4를 더하면 0<4-'¶ 따라서 -2보다 크고 2보다 작은 실수는 10<1 3, 0, 5-' 2, 1-' 3, 4-'¶ ' -' 10의 5개이다. 3<-1이므로 각 변에 1을 더하면 2<2이므로 각 변에 2를 더하면 3<2+' 10< '¶ '¶ -1<1-' 2<4 -4<-'¶ 10<4이므로 16에서 3< 10<-3 3<0 18 ① 넓이가 4인 정사각형의 한 변의 길이는 ' ② 넓이가 6인 정사각형의 한 변의 길이는 4="Å 6 이다. ' 9="Å 3Û 25="Å '¶ ⑤ 둘레의 길이가 12인 정사각형의 한 변의 길이는 ' ④ 넓이가 25인 정사각형의 한 변의 길이는 ③ 넓이가 9인 정사각형의 한 변의 길이는 2Û `=2이다. `=3이다. 5Û `=5이다. ;;Á4ª;;=3이다. Ⅰ - 0 2 . 무 리 수 와 실 수 답 ④ 19 두 선분 AC, BD는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선이므로 ACÓ=BDÓ 2 ∴ BPÓ=BDÓ 2, AQÓ=ACÓ 2 =' =' =' 점 A에 대응하는 수는 점 Q에 대응하는 수에서 선분 AQ의 길이를 뺀 값과 같으므로 (3+' 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 1이므로 점 B에 대응하는 수는 2)-' 2=3 3+1=4 따라서 점 P에 대응하는 수는 점 B에 대응하는 수에서 선분 BP의 길이 답 4-' 를 뺀 값과 같으므로 4-' 2 2 10 a<15 16에서 3< a=10+'¶ '¶ 14와 15 사이의 값이어야 한다. ∴ 14<a+' a=9일 때, a+' a=9+' aÉ9일 때에는 14<a+' a=10일 때, a+' 9< 10< '¶ 13<10+'¶ a=11일 때, a+' 9< 11< '¶ 14<11+'¶ a¾12일 때, a+' ∴ a=11 a=11+'¶ '¶ 16에서 3< 9=3이므로 a> ' ' 11 ' ' 9=9+3=12이므로 a<15를 만족시키지 않는다. 10<4이므로 '¶ 10<14가 되어 조건을 만족시키지 않는다. 11<4이므로 '¶ 11<15가 되어 조건을 만족시킨다. (cid:34) (cid:18)(cid:21) (cid:18)(cid:18)(cid:12)(cid:17)(cid:18)(cid:18)(cid:18) (cid:18)(cid:22) a>12+3=15가 되어 조건을 만족시키지 않는다. 답 11 Ⅰ. 제곱근과 실수 02. 무리수와 실수 9 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 답 ③ 20 점 A는 수직선 위의 14와 15 사이에 있으므로 점 A에 대응하는 수는 03 근호를 포함한 식의 계산 (1) (2) 72Ö (2) 72Ö '¶ '¶ 2Û`_2 3 27=®Â;2&7@;=®;3*;=¾Ð '¶ 3 ' 3 = ' 2 ' 3 = ' 2_ ' 3_ ' 27= '¶ 2 2 2 6 ' 3 답 (1) 2 3 (2) 2 ' 3 6 ' 3 본문 051쪽 답 12 답 46 답 10 답 28 Step 2. 대표 문제로 접근하기 01 12 02 46 04 28 06 20배 07 , 0.2, '¶ ®É;1Á0°8; 03 08 12 17 10 5 ' 4 6 ② 05 09 72 ② ③ ④ 13 ②, ⑤ 14 18 ⑤ 19 ;8!; ④ 30 '¶ 10 11 16 10 15 20 ③ 2 ④ 유제 01 2_3 2 6_' ' 6_6 ' 6k=36 ' 6 '§ 6k=72 6k k=6 '§ 3=12 2=36 18=12_3 '¶ ' ' 2, `_2='¶ 6Û 2="Ã 6k=6 ' '§ ' ∴ k=12 2이므로 72 유제 02 a=5 ®Â;;Á5ª;;_®Â;;Á9°;;=5_®É;;Á5ª;;_;;Á9°;; 3_2 4=5_2=10 a=5_' b 6_' =3 ' =6_'¶ 36=6_6=36 ∴ a+b=10+36=46 ' 2=3_2_'Ä 3_6_2 유제 03 4 ' 4Û 5="Ã `_5='¶ 80 따라서 40+4x='¶ '¶ ∴ x=10 4x=40 80이므로 40+4x=80 유제 04 '¶ 28_'¶ 28_'¶ 28_'¶ 28_'¶ 12_'¶ '¶ 12_'¶ 12_'¶ 12_'¶ '¶ ∴ k=28 '¶ 5_7 35="Ã 35="Ã 35="Ã 35=28 2Û 2Û 2Û `_3_"Ã `_7_'Ä `_3_2Û `_7_5_7 2Ý` _3_5_7Û ` 15 '¶ 유제 05 4 3Ö ' '¶ 5 27 Ö 1 60 =4 '¶ ' ' ' '¶ 60 15 3_ =4 5 _'¶ 3_ '¶27 ' 3'3 5 _2 ' 3'3 5 _2_' ' =4_3_3_2_' 3 =72 3_ =4 ' 3 ' 3이므로 k=72 5_' 3 따라서 72 3=k ' ' 답 72 k='¶ 50Ö ' 2 4 ='¶ 50_ 4 2 ' k=5 2_ ' 4 2 =5_4=20 ' 따라서 2 50은 ' 4 '¶ 의 20배이다. 답 20배 3=8 2_3=8 'Ä ' ' 6 답 (1) 15 (2) 8 '¶ 6 ' (2) 4_®Â;1¤5;_' 5=4_®Â É;1¤5;_5=4 ' 2 답 (1) 2 (2) 4 2 ' 답 (1) 3 7 5 (2) ' 3 ' 답 (1) 2 (2) 5 Step 1. 개념 다지기 03-1 제곱근의 곱셈 기본연습 1 (1) ' (2) 2 3_' 2_4 ' 5='Ä ' 3_5='¶ 15 3=2_4_' 2 연습 1 (1) ®;2&;_®;7*;=®Â;2&;_;7*;=' 4=2 03-2 근호가 있는 식의 변형 기본연습 2 (1) 3Û` 45="Ã '¶ (2) ®;9&;=®Â _5=3 ' 7 7 3Û` = ' 3 5 연습 2 (1) 2Û` 12="Ã '¶ (2) ®Â;2ª5;=®Â _3=2 ' 2 2 5Û` = ' 5 3 ∴ ∴ =2 =5 03-3 제곱근의 나눗셈 기본연습 3 42 6 =®Â (1) '¶ ' 40Ö (2) '¶ 7 Â;;¢6ª;;=' 8=®Â ' Â;;¢8¼;;=' 5 기본연습 4 5 = (1) 1 ' (2) 8 3 ' 1_ ' 5_ ' 8_ 5 5 5 = ' 5 2 ' ' 2_ ' 2 = ' 2 = 3 연습 4 3 2 _ ' ' (1) ' ' (1) _ _ 8 9 =®É;2#; 2 3 = = ' ;9*;=®;3$;=¾Ð 2Û` 3 2_ ' 3_ ' ' 3 3 = 2 3 ' 3 10 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 답 (1) 7 (2) ' 5 ' 5 7 답 (1) ' 2 (2) 7 7 ' 연습 3 3 2 Ö (1) ' ' 3Ö ' ' (2) ' ®;5^;`=®É;2#; ;5^;=®É;2#; Ö _ 3 7 _7=' 3_ ' ' 7 3 _7= ' ' 5 ;6%;=®;4%;= ' 2 3 3 _7 7=7 ' ' 03-4 분모의 유리화 (1) 8 2 ' 6 = 4 2 ' 3 5 답 (1) ' 5 (2) 4 2 ' 3 유제 06 2 50이 ' 4 '¶ 의 k배라 하면 2 50=k_ ' 4 '¶ 이므로 Ð 유제 07 a 2=®É ' 300 24 =®Â 50 4 = '¶ ' 50 4 = "Ã 5Û`_2 2 = 5 2 ' 2 유제 13 ① 1 ' b 3='Ä 0.0075=®É ' 75 10000 = 75 '¶ 100 = 5 3 ' 100 = 3 ' 20 ∴ a=;2%; ∴ b=;2Á0; ∴ ab=;2%;_;2Á0;=;8!; 답 ;8!; 유제 08 15 108 =®Â ®É 5 5 5 , 36 = ' 36 = ' 6 '¶ 5 25 = 5 ' 5 '¶ 20 100 =®Â 0.2=®É 5 4 > ' ' 따라서 큰 수부터 차례대로 나열하면 5 ' 25 = '¶ 5 4 > 5 5 5 > ' 6 에서 ' 0.2> '¶ ®É 이므로 15 108 이다. 5 , ' 4 '¶ 0.2, ®É 15 108 5 , 답 ' 4 '¶ 0.2, ®É 15 108 ' ' ' 유제 09 ① 'Ä `=10 ' 6 60_10Û `=10 '¶ 60 600 6000 6_10Û 6_100="Ã ='Ä =10_2.449=24.49 60_100="Ã ='Ä =10_7.746=77.46 0.6=®Â;1¤0;=®É;1¤0¼0;=®Â ② 'Ä ③ 'Ä 60 10Û` 7.746 10 =0.7746 6 10 6 = ' 10Û` ③ 0.6= '¶ 'Ä 60 10 = ④ 'Ä ④ 'Ä 0.06=®É;10^0;=®Â 2.449 10 =0.2449 0.06= ⑤ 0.006=®É 'Ä 6 60 1000 =®É 10000 =®Â 60 100Û` ⑤ 0.006= '¶ 'Ä 60 100 = 7.746 100 =0.07746 따라서 옳은 것은 ②이다. 답 ② 유제 10 ① 'Ä 0.0055=®É ② 4.95='Ä 'Ä 0.55_9=®É 7.416 100 =0.07416 9 100 55 10000 = '¶ 55 10000 = '¶ 55 100 = 'Ä 55_;10(0;='¶ 55_ ' 'Ä 55=;1£0;_7.416=2.2248 5.5이므로 '¶ 55=10_7.416=74.16 '¶ 5.5_100=10 '¶ 55_100=10 5.5의 값이 주어져야 한다. ② ③ ④ 4.95=;1£0;_'¶ 'Ä 550='Ä 'Ä 5500='Ä 'Ä 550000='Ä ⑤ 'Ä 55_10000=100 따라서 제곱근의 값을 구할 수 없는 것은 ③이다. 55=100_7.416=741.6 '¶ 답 ③ 유제 11 50-'¶ '¶ `_7 63 `_2-"Ã 3Û 5Û 2-3 7 ' ' 7=B이므로 ="Ã =5 2=A, ' 63=5A-3B 이때 ' 50-'¶ 유제 12 ' 5=x, '¶ 2000+'¶ 11=y임을 이용하여 주어진 식을 변형하면 0.99="Ã 3Û`_11 10Û` `_10Û 5_2Û `+¾Ð 2000+'¶ 'Ä 0.99=20 5+;1£0;'¶ 11=20x+;1£0; y ' 따라서 20x+;1£0; y=ax+by이므로 a=20, b=;1£0; ∴ ab=20_;1£0;=6 답 6 본문 057쪽 5 ' 5 = ' 5_ ' 4 4 12 = 2 5 5 = ' 5 2 3 = 3 = ' 3_ '¶ 15_ ' 15 15 = 3 3 = 2 3 ' 3 2_ ' 3_ ' 15 '¶ 15 = ' 3 15 '¶ 5 '¶ 7 7 = 7 3 ' 14 3_ ' 7_ ' 3 ' 5 ' 18 = '¶ 5 2 = 3 3 ' ' ' ' 5 2 = 5_ 2_ ' ' ' ' 2 2 = 10 '¶ 2 ② ③ ④ ⑤ '¶ '¶ 3 15 = 3 7 = '¶ 2 2 ' 3 ' 3 ' ' 5 6 = 따라서 옳지 않은 것은 ②, ⑤이다. 답 ②, ⑤ 유제 14 주어진 식의 분모를 유리화하면 5 2 15 15 = 15x '¶ 30 = 5 '¶ 15x 6 5 2 따라서 '¶ x '§ 15 = '¶ x_ '¶ '§ 15_ '¶ '¶ 15x 6 = 15x=3 35='Ä '¶ 15x=315 ∴ x=21 35 '¶ 2 = 3 35 '¶ 6 이므로 315에서 유제 15 63=3Û 63_'¶ ' `_7, 48=4Û 48Ö `_7이므로 `_3, 252=6Û `_3_ 4Û `_7_"Ã 3Û 252="Ã '¶ 1 6Û`_7 "Ã ' 48Ö 7_4 252=3 '¶ 63_'¶ '¶ 252=2 63_'¶ '¶ '¶ 따라서 유리수 a에 대하여 a 48Ö ' 3 3_ ' 1 " 6 7 3=2 ' ' 3이므로 a=2이다. 답 2 ®Â ®Â Ö Ö '¶ '¶ b 9a 3a 2b 5b 6a _ ' '¶ 유제 16 두 양의 유리수 a, b에 대하여 3a 2a 2b _ ' 3b = '¶ 3 ' '¶ 3 2 = ' = ' 5_ ' '¶ 10 = ' 10 '¶ = '¶ ' 3_ '¶ 10_ '¶ 30 10 b a _ '¶ '¶ 3 10 6a 5b _ '¶ '¶ 3b 2a 유제 17 직육면체의 밑면의 가로의 길이와 세로의 길이가 각각 답 '¶ 30 10 32, 27 '¶ '¶ (직육면체의 부피) (직육면체의 부피) 이므로 직육면체의 높이를 x라 하면 27_x 3_x 2 32_'¶ ='¶ 2_3 =4 ' ' 6x=72 =12 ' ' 6 2 6 1 ' 6 = 12 ' (직육면체의 부피) ∴ x=72 2_ 6 = ' 6_2 ' 3 6 =2 ' 3 ' ∴ x= 2_ ' 6_ ' 6 ' 6 = ' 6 12 '¶ 6 답 ④ (cid:20)(cid:17)(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 유제 18 원뿔의 높이를 x`cm라 하면 주어진 원뿔의 _x=9px (cmÜ`) p 10p cmÜ` 이므로 '¶ ` ' 3)Û 부피는 ;3!;_(3 주어진 원뿔의 부피가 27 9px=27 '¶ 10p 27 ∴ x= 9p =3 '¶ 따라서 원뿔의 높이는 3 10p 10 '¶ 10 cm이다. '¶ 16에서 유제 19 7=y이고, 4='¶ 3=x, ' ' `+7 16 =9+7=3Û }Û` +( 7)Û ' ` `=xÝ` 7)Û +yÛ ` = =( ' ∴ 4='¶ ` ' 3)Ý` +( 16="Ã ' xÝ` {( 3)Û +yÛ ` Ⅰ. 제곱근과 실수 03. 근호를 포함한 식의 계산 (1) 11 Ⅰ - 0 3 . 근 호 를 포 함 한 식 의 계 산 ( 1 ) 답 ③ 답 ② (cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 답 ⑤ 답 ④ ¶ ¶ ¶ Â Â Â ¶ Ä 5)Û _( ① aÞ`bÛ ' 2)Ü` ② 2aÜ`bÛ 유제 20 800을 소인수분해하면 2Þ` 2)Þ` `=( ' `=2_( ' `_2Ü` 2Û ="Ã `=4_' 2Ý` ="Ã ④ 5aÞ`b=5_( ' ⑤ 10aÜ` =10_( _5Û 2_( _2_5Û 2)Þ` ③ 4abÛ `="Ã ' ' 5)Û '¶ 이므로 `="Ã 5)Û _5Û ` 2Þ` 5Û `=" _" `="Ã 2Ü` `=2_" _( 2Þ` _5Û ` `=4_' 2Þ` _5Û ` 2Þ` 5=5_" 2Ü` `_5Û _' 10Û ="Ã `_2Ü` 5Û 2_" _' 2)Ü` =10_" `_2Ü` 2Û ="Ã ="Ã ' (2_5)Û 2Þ` _5Û 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ="Ã ` 이다. _5Û ` 2Þ` 800="Ã 2Þ` _5Û ` 5Û _" ` 4Û `="Ã `_2_5Û ` `_2Þ` 2Þ` _5="Ã _5Ü` 5="Ã 5Û `_2Ü` 다른풀이 3 5 = 05 ' ' 2 5 = ' 3_ 5_ ' ' 2_ ' 5_ ' 5 5 = ' ' 5 5 = ' 2Û` 5 = 4 ' 5 ;5@;= " 15 , '¶ 5 3= ' 5 3 ' 5 = "Ã 5Û`_3 5 = 75 '¶ 5 2 5 5 = "Ã ' 2Û`_5 5 = '¶ 20 5 이므로 ' < ' < '¶ < '¶ < '¶ 이다. 3 5 4 5 15 5 20 5 75 5 즉, ' 3 5 < ;5@; < ' ' 3 5 < 2 5 ' < 3이므로 ' 주어진 수를 작은 것부터 차례로 나열할 때, 두 번째에 오는 수는 이다. 답 ④ 답 2)Þ` 2Þ` 800="Ã _5Û '¶ 2)Þ` _( ( 5)Û ' ' _5=aÞ` 2Þ` 5Û `=( _( _" `=" ' , 2_( `=aÞ`bÛ 2)Ü` _( 5)Û ' ' _5=5aÞ`, 10_( =10aÜ` 2)Ü` ' 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 2)Þ` ' ( ` 5)Û ' ` `=2aÜ`bÛ ` 이므로 , 4_' 2_( ' 5)Û `=4abÛ ` 06 ① ®Â;14%4;= ② ®Â;4@9&;= '¶ '¶ 5 ' 144 = '¶ 27 49 = " 5 ' 12Û` = " 3Û`_3 7Û` = " 5 ' 12 3 3 ' 7 02 ③ 03 10배 04 (1) a=;6!; , b=;8#; (2) 7 07 a=;1Á0; x, b=1000x임을 이용하여 주어진 식을 변형하면 본문 064쪽 ;5@; ;5@; 답 ②, ④ 답 ② 답 ④ ③ ④ ⑤ 4 25 =- " -®Â;7!5@;=-®Â;2¢5;=- ' '¶ " 3Û`_2 18 100 = " 10Û` = " 1Û` 4Û` =;4!; 0.18=®Â;1Á0¥0;= '¶ 'Ä 'Ä 1 16 = " " ®Â;6¢4;=®Â;1Á6;= ' '¶ 따라서 옳지 않은 것은 ②, ④이다. 2Û` 5Û` =-;5@; 2 3 ' 10 ab=®É;1Á0; 10Û ab="Ã x_1000x="Ã `=10x `_xÛ 100xÛ ` 08 0.0096= 96 10000 = 16_6 16_625 = 6 625 0.0096=¾Ð 6 625 =¾Ð 6 25Û` 0.0096= ' 'Ä 6 25 ' ' ' 따라서 ' 6 25 =k 6이므로 k= ' 1 25 이다. 답 ② 09 화살표 위에 쓰여진 계산을 식으로 나타내면 50=6 yy ㉠ a_5 '¶ ㉠에서 등식의 양변에 50을 곱하고 5 6Ö ' 6으로 나누면 ' '¶ 1 ' 5 6 a=6_'¶ a=6_"Ã 50Ö5 6 ' `_2_ 5Û a=6_5 2_ ' 1 5 6 ' 3 3 6_ ' 3_ ' ' a= a= 6 3 = 3 ' 3 ' 6 a=2 ' 3 10 ① 7_' ' ② 8_' 2_' ' ' ③ 2 3='Ä 5='Ä 6=2 7_3='¶ 8_5='¶ 'Ä 2_6=2 21 40 2Û "Ã ④ ®;5#;`_®Â;;ª3°;;=®É;5#;_;;ª3°;;=' 3 ' `_3=4 5 Step 3. 단원 마무리하기 06 ②, ④ 07 ④ ;5@; ③ ③ 01 05 10 15 19 11 16 ② ② (1) 98 (2) 28 2 ' ② ② ④ ② 12 17 20 08 13 18 ② ④ 09 14 ④ ③ 4 6 cm ' ` 01 0.4_'¶ '¶ 2.5='Ä 0.4_2.5=' 1=1 답 ④ 02 2_15_15=15 ' 2이므로 a=15 ' 2_225='Ä 3에서 30=b_' 450='Ä '¶ 30 3 =b ' ∴ b=10 ∴ a+b=15+10=25 3_' 3=3b 03 '¶ 60Ö ' ' 따라서 3 5 ='¶ 60_ 5 3 =¾Ð ' ' '¶ 60은 ' ' 3 5 의 10배이다. 60_;3%; ='Ä 100=" 10Û `=10 답 ③ 답 10배 5 ' 3Û`_2 = "Ã 5 2 = ' 3 ' 5_ ' 2_ ' ' 3 ' 2 2 = 10 '¶ 6 5 04 (1) ' 18 = '¶ ∴ a=;6!; 3 2 = 4 ' ∴ b=;8#; 3_ ' 2_ 2 2 = 3 2 ' 8 4 ' ' (2) a=;6!; , b=;8#; 이므로 24b-12a=24_;8#;-12_;6!; 24b-12a=9-2=7 12 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 답 (1) a=;6!; , b=;8#; (2) 7 따라서 옳은 것은 ③이다. ⑤ -3 ®;8%;`_7 ®;2#;`=-3_7_®É;8%;_;2#;=-21 ®Â 15 4Û` =- 21 15 '¶ 4 답 ③ Ã ¶ Ã ¶ ¶ Ä 11 ' ' ' ' ' 50을 이용하여 주어진 식을 나타내면 5, b='¶ a=' 0.8+'Ä 5000=®É;1¥0¼0;+'¶ 50_100 0.8+'Ä 0.8+'Ä 80 100 +'¶ 5000= '¶ 'Ä 4 5 10 +10 ' 5000= 50 '¶ 50_'¶ 100 0.8+'Ä 5000 = 2 5 5 +10 ' '¶ 50 0.8+'Ä 5000 =;5@; a+10b 0.028=¾Ð 7 250 7 250 =¾Ð ¾Ð 7 5Û`_10 = ' 5 '¶ 7 10 10을 곱해 주면 분모와 분자에 각각 '¶ 70 50 10 7_ 10 = '¶ '¶ 10_ '¶ 2_' ' 5 '¶ 70=' 5_' ' ' 7이므로 '¶ 70 50 = ' 2_ 5_ 7 ' ' 50 이다. 답 ② ∴ 0.028= 'Ä abc 50 = 1 50 abc 12 ㄱ. 순환하지 않는 무한소수는 모두 무리수이다. ㄴ. (-5)Û ㄷ. 음이 아닌 정수는 양의 정수와 0이다. `=25이고 25의 제곱근은 Ñ 25= '¶ Ñ5이다. 양의 정수의 제곱근은 2개, 0의 제곱근은 1개이다. ㄹ. a>0일 때, 3Ö ' 3 a =®;a#; 이다. a= ' ' ' 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다. 답 ② 16 a=®;8!;` Ö ®Â;20!0;=®;8!;`_'¶ 200 a=®É;8!;_200='¶ 25=5 ∴ a=' ' 5 17 ABÓ를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 12이므로 3 (∵ ABÓ>0) ∴ ABÓ ABÓ Û` ='¶ 12=2 ' =12 BCÓ를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 18이므로 BCÓ Û` 2 (∵ BCÓ>0) ='¶ 따라서 직각삼각형 ABC의 넓이를 구하면 18=3 ' ∴ BCÓ =18 본문 067쪽 답 ③ 답 ② 13 ① `_3Ý` 2Û "Ã ② 18_4 '¶ _7=2_3Û 2_4 6=3 ' ' `_' ③ 4 5Ö(-' 3)=- ' 7=18 6=12 ' 5 4 ' 3 =- ' '¶ 7 ' 12=12_2 ' 15 '¶ 3 4 3=24 ' 3 ④ ®;7#;®Â;;£9°;;=®Â;7#;_;;£9°;;=®;3%;= ' ' 5 3 = '¶ 15 3 ' ' ' ⑤ 2 3Ö 6_3 12=2 3_ ' '¶ ' ⑤ 2 3Ö 6_3 12=2 '¶ ' ' 3_ ⑤ 2 3Ö 6_3 12= '¶ ' ' 따라서 옳은 것은 ④이다. 36 6 = 12 1 6 _3 '¶ ' 1 6 _3_2 ' 36 6 6 =6 ' ' 3 ' 6 2 1 10 _' '¶ 1 10 _' '¶ 2 14 ① '¶ 125Ö 10_' 2="Ã '¶ 5Û`_5_ ① 125Ö '¶ 10_' 2=5 ' 5_ ' ① 125Ö '¶ ② 6 ' ' 10_' 21 8 2=5 7 6 = Ö ' ' 3 _ '¶ ' 3_7 2Û`_2 _ 'Ä 7 3_ 2 _ ' ' 2 2_3 7 ' 2_ 3 ' 7 ' ' 7 2Û "Ã ' `_7_2 1 7 _2 7 ' 4 ' 6 3 _ 'Ä ' "Ã 6 3 _ ' 3 ' 10Ö2 = ' =3 7=4 '¶ =4 10_ '¶ =2 '¶ 10 ③ 4 10Ö2 '¶ 28_2 '¶ ' ④ ®;8#;`_ '¶ Ö ®É;1!6);= ' 15 2 ④ ④ ®;8#;`_®É;;Á2°;; Ö ®É;1!6);= ' 2 ' ®;8#;`_®É;;Á2°;; Ö ®É;1!6);=;2#; 4Û` 3_ 5 2 _ " ' 2_ 5 ' 3 2Û`_2 _ ' "Ã 3_ 3 2 _ ' 5 ' 2 _ ' 4 2_ ' 5 ' ⑤ 3 7 ' 2 _®Â;2£8; Ö ' 3 4 = 3 7 2 _ ' ' 2 ' 3 7 _ 4 3 ' =3 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 답 ③ 15 0.028= 28 1000 = 7 250 이므로 (직각삼각형 ABC의 넓이)=;2!;_ ABÓ BCÓ _ (직각삼각형 ABC의 넓이)=;2!;_2 (직각삼각형 ABC의 넓이)=3 ' 6 3_3 ' ' 2 (cid:34) (cid:19)(cid:17)(cid:20) (cid:35) (cid:20)(cid:17)(cid:19) (cid:36) 답 ④ 18 직사각형의 가로의 길이와 세로의 길이의 비율이 ' cm라 하면 cm이므로 세로의 길이를 x 길이가 12 3 : 2이고, 가로의 ' ` 답 ④ ' ' ` 2=12 : x 2_12 2 3 : ' 3_x=' 3x=12 ' 2 12 x= ' 3 = ' 따라서 세로의 길이는 4 2_ ' 3_ ' 12 ' 3 ' 3 = ' 6 12 6 3 =4 ' cm이다. 6 ' ' ` 답 4 6 cm ' ` 19 (1) EFGH =;2!;_ ABCD =;2!;_196=98 따라서 EFGH의 넓이는 98이다. (2) 사각형 ABCD는 정사각형이고 사각형 EFGH는 정사각형의 각 변 의 중점을 연결하여 만들었으므로 사각형 EFGH도 정사각형이다. Ⅰ - 0 3 . 근 호 를 포 함 한 식 의 계 산 ( 1 ) (cid:34) (cid:38) (cid:35) (cid:21)(cid:22)(cid:177) (cid:21)(cid:22)(cid:177) (cid:41) (cid:21)(cid:22)(cid:177) (cid:21)(cid:22)(cid:177) (cid:21)(cid:22)(cid:177) (cid:21)(cid:22)(cid:177) (cid:39) (cid:21)(cid:22)(cid:177) (cid:21)(cid:22)(cid:177) (cid:37) (cid:40) (cid:36) 이때 정사각형 EFGH의 넓이는 98이므로 한 변의 길이는 '¶ 7Û 98="Ã 2이다. 따라서 정사각형 EFGH의 둘레의 길이는 4_7 `_2=7 ' 2이다. 2=28 ' ' (1) 98 (2) 28 2 ' 답 20 정삼각형과 정사각형의 둘레의 길이가 l로 서로 같으므로 정삼각형과 정사각형의 한 변의 길이는 각각 l 3 lÛ` 9 = ' ∴ (정삼각형의 넓이) 3 4 _{ 3 4 _ , l 4 3 lÛ 36 l 3 } = ' = ' 이다. ` 2` Ⅰ. 제곱근과 실수 03. 근호를 포함한 식의 계산 (1) 13 Ä ¶ Ä Ä Ä Ä Ä 본문 073쪽 (2) 12+3 '¶ ' 2 { 2 6 -1 ' }=2 ' 3+3 ' 2_ 2 6 -3 2 ' 2 ' ' 6 3 -3 ' 3 6_ 3 -3 ' 3_ ' 2 3-3 2 ' ' =2 ' 3+ =2 3+ ' ' 3+2 3-3 ' =2 =4 ' ' 2 ' 04 근호를 포함한 식의 계산 (2) 3 ' 4 배이다. 답 ② 답 연습 3 (1) 3 2- ' ' 6 3 (2) 4 3-3 ' 2 ' 3(2-'¶ ' 15)+ 10 ' 5 - ∴ a=-1, b=-1 9 2 6 =2 ' ' =2 ' ' =-' 3-'¶ 3-3 ' 3-' 45+ ' 5+2 5 5 5 - 9_ ' 3_ ' 3 3 ' 10_ ' 5_ ' 5-3 ' 3 ' 답 a=-1, b=-1 2=(2+5-4) 2=3 ' ' ' 2 답 (1) 7 3 (2) 3 ' 2 ' ∴ (정사각형의 넓이) ={ lÛ =;1Á6; ` 정사각형의 넓이가 정삼각형의 넓이의 k배라 하면 l 4 } 2` `_k 1 lÛ 16 3 lÛ `= ' 36 1 lÛ 16 9_ 4 ' `_ 9 3 ∴ k= 36 3 lÛ` = 9 3 ' 12 = 따라서 정사각형의 넓이는 정삼각형의 넓이의 3 ∴ k= 3 ' 4 ' 3_ 3 = ' ' ' 3 4 3 Step 1. 개념 다지기 04-1 제곱근의 덧셈과 뺄셈 기본연습 1 (1) 3 (2) 2 3+4 2+5 ' ' ' ' 3=7 2-4 3 ' 연습 1 (1) (2) 3+3 3=5 ' ' ' 3 '¶ '¶ `_3=2 12+'¶ 48-'¶ 4Û ="Ã =4 =2 2Û 27="Ã `_3+"Ã 3Û 50-'¶ 18+'¶ 12 2Û `_2-"Ã `_2+"Ã 3Û `_3-"Ã 3-3 3 2-2 ' ' ' 3+2 2+5 2 ' 5Û ' ' `_3 04-2 근호를 포함한 식의 분배법칙 기본연습 2 (1) ' (2) ( 2 3+' 2( ' 30-'¶ 5)=' 3 12) ='¶ ' '¶ 10 3+' ' 30 ' 90-'¶ 2 ' 3-'¶ 6+'¶ 5=' 3 12 ' 36=3 10-6 '¶ ='¶ 답 연습 2 40 a - '¶ '¶ ' ' 에서 40 24 a =®É a =5, 24 a=8 40 a -®É 24 a =' 5-' 3 a =3이므로 04-3 근호를 포함한 복잡한 식의 계산 기본연습 3 (1) 2 { ' 2 3 +3 }-' ' 2 { +3 ' (1) }-' 6=' 2 6= (1) 2 { +3 ' }-' 6= 2-' 6 2-' 6 ' ' 2_ 2 3 +3 ' 2_ 3 3 +3 ' ' 3_ ' ' 2 6 3 +3 ' ' 2-' 6=3 ' 2- ' 6 3 14 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 04-4 분모의 유리화 (2) 기본연습 4 (1) ' 5+2 3 = ( ' ' 1 (2) 3- 2 = ' 3 15+2 ' 3 5+2)_ 3_ ' ' 1_(3+ 3 3 = '¶ ' 2) ' 2)_(3+ 2) ' 3+ ' 9-2 2 2 2)Û` = (3- ' 3+ 3Û`-( = 3+ ' 7 = ' ' 2 연습 4 답 (1) '¶ 15+2 3 ' 3 (2) 3+ ' 7 2 답 (1) 5 3 (2) 2 ' 3+2 ' ' 2 ' ' 2+ '¶ ' 30 6 =' (1) 2 ' 3+ 5 ' 6 = (2 ' 3+ 5)_ 6 ' 6_ ' 6 = 2 '¶ 18+ 6 '¶ 30 6 ' 2+ 6 '¶ 30 = (2) ' ' 5+ 5- ' ' 3 3 = ( ( 5+ 5- ' ' 5+2 ( ' 8+2 3)_( ' ' 3)_( ' ' 15+3 5+ 5+ 3) 3) ' ' 8+2 15 '¶ 5-3 = = 3)Û` = '¶ 5)Û`-( ' 15 2 =4+'¶ '¶ 15 답 (1) 2+ '¶ ' 30 6 (2) 4+'¶ 15 (1) 6+'¶ ' 10 (2) 3 10-6 '¶ Step 2. 대표 문제로 접근하기 답 8 01 06 10 15 19 23 25 ③ 02 ④ 03 ⑤ 15 7- '¶ 2 07 -4 ⑤ ④ 8 11 16 20 1 ③ 10 3)p cm (14 (4 ' 6+12 ' ' 5-4)` cm 12 17 21 24 26 ③ ⑤ ④ ③ 16 2+16 ' ' 5 04 08 13 18 22 15 ① ③ 05 09 14 4 6 ' ③ ③ 6 24-8 ' 5+2> ' 7+' 2 ' 유제 01 72=6Û 54=3Û 24=2Û 18=3Û `_2이므로 `_6이므로 `_6이므로 `_2이므로 '¶ '¶ '¶ '¶ 72="Ã 6Û 54="Ã 3Û 2Û 24="Ã 3Û 18="Ã `_2=6 `_6=3 `_6=2 `_2=3 ' ' ' ' 2 6 6 2 본문 076쪽 ' ' ' ' 따라서 주어진 식을 계산하면 72-'¶ 72-'¶ 72-'¶ 72-'¶ 54+'¶ 54+'¶ 54+'¶ 54+'¶ 24-'¶ 24-'¶ 24-'¶ 24-'¶ ' ' ' ' 6-3 6+2 2-3 18=6 6+2 18=6 2-3 2-3 ' ' ' ' 18=(6-3) 2+(-3+2) ' 6 2-' 18=3 ' 2 6 6 ' 답 ③ 유제 02 ① 32=4Û 18=3Û 따라서 주어진 식을 간단히 하면 `_2이므로 `_2=4 32="Ã 4Û '¶ ' `_2이므로 `_2=3 3Û 18="Ã '¶ 2 ' 2 `_14+®Â;;ª3¢;; 유제 04 14 '¶ }+'¶ { 2 7 -1 2 7 -'¶ ' 14_ 24 3 56+ '¶ ' 2Û 14_1+"Ã ' ='¶ 8 14+' '¶ 2 14+2 =®Â;;Á7¢;;_2-'¶ 14+2 14+2 2-'¶ =2 ' '¶ ' =(2+2) 2+(-1+2) ' =4 14 2+'¶ 유리수 a, b에 대하여 ' 14 '¶ 4 ' ∴ aÛ 2+'¶ `-bÛ 14=a `=4Û 2+b `=16-1=15 ' `-1Û 14이므로 a=4, b=1 '¶ 답 15 유제 05 x+y= 6- 6 ' 3 ' 3 3 ' ' 6+ 6 ' 3 + 12_ 3_ ' 12 3 = ' ' 3 12 ' 3 =4 ' 3 x+y= x+y= ∴ 2(x+y) ' =' 2_4 3=4 ' ' 6 답 4 6 ' 유제 06 ' 3- 2 5 3 - '¶ ' 10-3 6 ' 6 = ( ' ' ' 5)_ 3 ' 3 - ( 10-3 '¶ 6)_ 6 ' 6 ' 6_ ' ' 3- 2 ' 3_ ' ' 15 '¶ 6 - 3- = '¶ 60-18 6 3- '¶ 15-2 '¶ 6 = 15+18 15 21-3 '¶ 6 = 7- 15 '¶ 2 = 답 7- 15 '¶ 2 유제 07 주어진 등식의 좌변의 분모를 유리화하면 4( 7- 7+ ' 5)( ' 5) ' 7+ ' ' 5) 2 7+ ( ' 2( ' = = 4 7- 5 5 - ' 2( 7+ ' 5) ' 7- ' ' 7- ' 5)( ' 7- 5) 2 - 5-2( 5 ' ' ' =' 7-' 7+' 5) ' 4( ( ' 5) 5) - 7+ 2 ' ' ' 7-3 =-' ' -3 7=a 5-' ' a=-3, b=-1 ∴ a+b=(-3)+(-1)=-4 7 이므로 5+b ' 15- '¶ ' '¶ ( 5+3 5+2 12 3 - ' '¶ ' 12)_ 15- '¶ 3_ ' 5-2-( 3 ' 3 - ' 5+3)( ' ' 5-2) ( ( ' 5-2-(5-2 ' 5+3 5-6) ' = =' =' ' 5-1) 5-2-( ' =' =-1 유제 08 분모를 유리화하여 주어진 식을 정리하면 5+3)( 5+2)( 5-2) 5-2) ' ' Ⅰ - 0 4 . 근 호 를 포 함 한 식 의 계 산 ( 2 ) 답 -4 답 ① ' 2-3 32-'¶ ' ¶ ② 48=4Û 12=2Û 따라서 주어진 식을 간단히 하면 2=(4-3) 18=4 2=' ' ' `_3이므로 `_3=4 48="Ã 3 4Û ' '¶ `_3이므로 `_3=2 2Û 12="Ã '¶ 3 ' 2 3=6 ' 3 ' ' ¶ 48+'¶ 3+2 ' 12=4 5Û`_3 ;;¦4°;;= 2Û` ={;2%;} ③ 3=(4+2) ' _3이므로 2` _3=;2%;' 3 2` ® Â;;¦4°;;=®Â{;2%;} 27=3Û 27="Ã `_3이므로 `_3=3 3Û ' ¶ ' 따라서 주어진 식을 간단히 하면 3 2 3+®Â;;¦4°;;-'¶ 27=2 3+;2%;' 3-3 ' ' ' 3 2 3+®Â;;¦4°;;-'¶ 27={ 2+;2%;-3 ' }' 3 2 3+®Â;;¦4°;;-'¶ 27={;2$;+;2%;-;2^;}' 3 ' 3 ' 2 ④ 1 ' 27=;2#;' 6 6 3+®Â;;¦4°;;-'¶ 6 1_ 6 = ' ' 6 = 6_ ' ' 2 3 2_ 6 ' 3 = ' 3 = ' 3 3_ ' ' `_6이므로 또한 54=3Û 54="Ã ' ' ' 6 3Û `_6=3 ' ¶ 따라서 주어진 식을 간단히 하면 1 6 - '¶ 54 12 + ' ' ' 2 3 = ' 6 6 - 3 6 12 + ' ' 6 3 ={;6!;-;1£2;+;3!;}' 6 ={;1ª2;-;1£2;+;1¢2;}' 6 6 =;1£2;' 6 =;4!;' ⑤ 5 ' 7 7 = 이므로 주어진 식을 간단히 하면 5_ ' 7_ ' 7 ' 7 7 = ' 5 ' 7- 5 7 =' ' 7-;7%;' 7={ 1-;7%;}' 7={;7&;-;7%;}' 7=;7@;' 7 따라서 옳지 않은 것은 ④ 이다. 답 ④ 유제 03 18-' '¶ 5(2 10-'¶ '¶ 5_90 15Û `_2 90)='¶ ='¶ 5_10+'Ä 'Ä 450 50+'¶ `_2+"Ã 5Û "Ã 2+15 2 ' 2 18-2 18-2 '¶ `_2-2 3Û ="Ã =3 2-10 ' =(3-10+15) =8 2 ' ' ' 답 ⑤ 유제 09 3 7 ' ( 3-' 7)= ' 3 7 _' 7 3- 3 7 _' ' 7 3 ' 7)Û` _' ( ' ' 3-3 = =;7#;_'¶ 7_3-3 =;7#;'¶ 21-3 Ⅰ. 제곱근과 실수 04. 근호를 포함한 식의 계산 (2) 15 ¶ ¶ ¶ ¶ 24+;7$;'¶ 42 {'¶ }Ö' 2={'¶ }_ 42 24+;7$;'¶ 1 2 +;7$;'¶ 24_ ' 1 2 ' 42_ 1 2 ' ='¶ =®Â;;ª2¢;;+;7$;_®Â;;¢2ª;; ='¶ 12+;7$;'¶ 21 ="Ã 2Û `_3+;7$;'¶ 21 =2 3+;7$;'¶ ' 21 27-6 '¶ ' 27 3 - 6 3 = '¶ ' 9- =' ' 3 ' 3 =" 6 3 =®Â;;ª3¦;;- 3Û `-2 ' 6 ( 3 ' 3)Û` ' 3=3-2 3 ' ∴ 3 7 ' ( 3-' 7)+{'¶ 24+;7$;'¶ ' 42 } Ö 2+ '¶ ' 27-6 3 ' ∴ ={;7#;'¶ 21-3 }+{ 2 3+;7$;'¶ ' 21 }+(3-2 ' 3) ∴ =;7#;'¶ 21-3+2 3+;7$;'¶ 21+3-2 ' 3 ' ={;7#;+;7$;}'¶ 21 ∴ ∴ 21 ='¶ 유제 10 12-3 ' 3 ' 3 = (12-3 ( 12_ ' 3 3)_ ' ' 3)Û` ' 3-3 3_ ' 3 3 ' = 12 ' 3-3_3 3 = 3-3 =4 ' 14 7 =3 5 ' 21_ '¶ 7 5 ' 14 3 21Ö '¶ =;1!4%;_'Ä 7Û 21_7=;1!4%;_"Ã `_3 3 3 ' =;1!4%;_7 =;;Á2°;;' `=7이므로 주어진 식의 값은 3 `+2 3 -( ' { 21Ö '¶ 7)Û ' 3 14 7 } 5 ' ( 7)Û ' 12-3 ' =(4 3 3 3 ' ' ' 3-3)-7+2_;;Á2°;;' 3-3-7+15 =4 ' 3+15 =-10+4 =-10+(4+15) =-10+19 3 따라서 a=-10, b=19이므로 a+b=-10+19=9 ' 3 ' ' 유제 13 주어진 식을 정리하면 ' 48 3+;2!;}+ {' a ( 3 27-4) '¶ (3 3-4) ' ' 3+;2!;}+ =4 ' 3 {' =12+2 ' 3+3a- =12+2 ' 3+3a- a 3 ' 4a 3 ' 4 3 ' 3 a a 2-;3$; =(12+3a)+{ 주어진 식의 값이 유리수이어야 하므로 }' 3 2-;3$; a=0, ;3$; a=2 ∴ a=;2#; 유제 14 주어진 식을 정리하면 2) (4+3 ' 2)(a-6 ' 2+3a =4a-24 ' =4a-36+(3a-24) 2-36 2 ' ' 주어진 식의 값이 유리수이어야 하므로 3a-24=0 ∴ a=8 답 ③ 유제 15 2< 5<3에서 -3<-' 5<-2이므로 5 5)-4=3-' ' 4<7-' 5<5 ∴ a=4, b=(7-' 에 a=4, b=3-' 3 ` ' `=3 =12 =12 5_4+2(3-' 5+2(9-6 5+28-12 5a+2bÛ 5a+2bÛ ' ' ' ' 3 ' ' 5)Û ` 5+5) 5=28 5를 대입하면 유제 16 13(4- 3) ' 3)(4- (4+ `=4에서 1< ' 3 3) =4-' 3<2이므로 2<4-' ' 3<3 ' 3 의 소수 부분 k는 13 3 = 4+ ' `=1, 2Û 1Û 따라서 4-' k=(4-' 3)-2=2-' 3 유제 17 먼저 x의 값의 분모를 유리화하면 1 ( '¶ 10+3)+( 10+3)-( x= 10-3 = '¶ ∴ x+y=( '¶ ∴ x-y=( ∴ xy=( 따라서 주어진 식의 값은 '¶ 10+3)( '¶ 10+3 '¶ 10-3)( 10+3 10+3) ='¶ '¶ 10, 10-3)=2 '¶ '¶ 10-3)=6, '¶ 10-3)=1 '¶ 본문 080쪽 답 ③ 답 ③ 답 ④ 답 ③ 답 ⑤ 유제 11 (5+2 = = 6)(5-2 6)( ' ' {(5+2 6)(5-2 ' {5Û }{( `-(2 6)Û ' {25-4_( = ` =(25-4_6)_1 =25-24=1 6)Û ' ` 10-3)( 10+3) '¶ '¶ 6)}{( 10-3)( '¶ ' } `-3Û 10)Û '¶ }(10-9) ` 10+3)} '¶ 유제 12 (2 ' ' ' ' 6)Û 2) 2)(2 6-2 6+3 ' {2_(-2)+3_2} =2_2_( `+ =24+(-4+6) 12-12 =24+2 =12+4 '¶ `_3-12 3 "Ã 2Û ' 16 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) _'¶ 12-3_2_( ' 2)Û ` 답 ⑤ 답 1 답 ③ x y - y x = xÛ`-yÛ` xy = (x+y)(x-y) xy = 2 '¶ 10_6 1 =12 '¶ 10 유제 18 xÛ 1 xÛ` ={ `+ x-;[!;} +2 2` `+2 6)Û `-2_4_' ' =(4-' =4Û =16-8 =24-8 ' 6+6+2 6 6+( ' 6)Û `+2 유제 19 x=6 2 ' `=72 ' 2-3에서 x+3=6 양변을 제곱하면 (x+3)Û `+6x+9=72 xÛ `+6x+1 ∴ "Ã ="Ã xÛ 답 24-8 ' 6 (xÛ 72-8='¶ `+6x+9)-8 64=8 ='¶ 답 8 ¶ Ä 유제 20 x= 1 3-2 ' ' (3-2 3 = 3+2 3 9-12 =-1- 3 ' 3 2 에서 x+1=- x= 3+2 3 ' 3)(3+2 3) ' ' 2 3 ' 3 (x+1)Û `={- , xÛ `+2x+1=;3$; 2 3 ' 3 } 2` xÛ `+2x=;3!; 이므로 양변을 제곱하여 정리하면 ∴ 3xÛ `+6x+9=3(xÛ `+2x)+9=3_;3!;+9=10 답 10 유제 21 a='¶ b='¶ c='¶ a-b 2, 7Û 98="Ã `_2=7 ' 6=6 `_2+2 6Û 6="Ã 72+2 ' ' ' `_6-"Ã 8="Ã 150-' `_2=5 2Û 5Û 6) 2-(6 =7 2+2 ' ' ' 6 2-2 2-6 =7 ' ' 6<0 2-2 ' ' 6, 2+2 ' 6-2 ' 2 ' =' ∴ a0 따라서 c<a<b이다. 답 ④ 유제 22 2)Û ` 14+2) ' 2>0이므로 2 라 하면 7+' 7+' `-( 5+4-(7+2 '¶ 14 5-9-2 14 14='¶ '¶ ∴ xÛ '¶ 5+2)Û 5+2>0, 7+' ' ' 5+2, y=' x=' `=( `-yÛ xÛ ' =5+4 ' =9+4 =4 ' 5='¶ 14>0 '¶ `-yÛ ' ' 5-2 ' 이때 xÛ ' 5-2 '¶ 80, 2 5+2> 이때 4 ' 4 >0이면 x>y이므로 ` 7+' 2 56이므로 `-yÛ >0 ` 답 5+2> 7+' 2 ' ' 유제 23 세 원 OÁ, Oª, O£의 반지름의 길이를 각각 rÁ`cm, rª`cm, r£`cm라 하면 prÁÛ` pr£Û` prªÛ` 54 (∵ rÁ>0) 96 (∵ rª>0) 108 (∵ r£>0) =54p ∴ rÁ='¶ =96p ∴ rª='¶ =108p ∴ r£ ='¶ 따라서 세 원 OÁ, Oª, O£ 의 둘레의 길이의 합은 2prÁ+2prª+2pr£ =2p( 96+'¶ 54+'¶ '¶ =2p(3 6+6 6+4 ' ' ' 3) =2p(7 6+6 ' 6+12 =(14 ' 3)p (cm) 108) 3) ' ' 01 ① 4 ② 6-3 ' 10(2 ' 6+' ' 2-3 ' '¶ 답 (14 6+12 ' ' 3)p cm ③ (2 3-3 ' ' 5)Û 유제 24 직육면체의 높이를 h라 하면 2_h=24 18_ 5 ' ' '¶ 3 2_ 2_h=24 5 ∴ h=4 5 ' ' 따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 5, 6h=24 ' ' ' 4_( 18+ 2+4 5) =4(3 '¶ ' ' 2+4 5) ' ' 2+ ' 2+4 ' 2+16 5) ' ' 5 =4(4 =16 ' 답 16 2+16 ' 5 ' ④ 7+'¶ 28+'¶ ' 본문 085쪽 (cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:17)(cid:22)(cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78) ' 5-4)cm이다. 답 (4 5-4)cm ' 2 ' 5-5-4+2 -1 5 ' 유제 25 만들려는 두 정사각형의 넓이의 비 가 1 : 5이므로 두 정사각형의 한 변 의 길이의 비는 1 : 5이다. ' 따라서 작은 정사각형의 한 변의 길 이를 x cm라 하면 5x=64 yy ㉠ 4x+4_' ㉠의 양변을 4로 나누면 x+' ( ' ∴ x= 5+1)x=16 16 5+1 = ' 16( 16( ' 5+1)( ( 5x=16 5-1) 5-1) ' ' ' 5-1) 4 5-1) ' 5-4 ∴ x= ∴ x=4( ∴ x=4 따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 (4 ' 유제 26 ' 5-2 2+ 5 = ' = 20-5='¶ 20-5)Û ( '¶ ' ¿ ' ' ( ' (2+ 5-2)(2- 5)(2- 5) 5) = ' -9+4 5 -1 =9-4 25<0이므로 ' ' 5 20 20-'¶ `=5-'¶ =5-2 5 ' 5-2 ∴ 4+' ∴ 5- ' 2+ ' 5-(9-4 =4+' =4-9+5+' 5 =3 ' ∴ ∴ 5 +¿¹ ( 20-5)Û '¶ ` ' 5+4 5)+(5-2 5 5-2 ' ' 5) ' Step 3. 단원 마무리하기 ④ 02 ② 01 05 30 3+9 ' 09 -1 ② 14 10 15 ② ③ 19 24 7`cm ' 03 06 11 16 20 ② 10 '¶ 2 ⑤ ① ② 04 07 12 17 ② ① 6 ① 08 13 18 ① 15 9 답 ③ Ⅰ - 0 4 . 근 호 를 포 함 한 식 의 계 산 ( 2 ) 3 =' 6+3 ' 3 ' 5)Û ` ' 5)Û ` 6+(1+2) 3=(4-3) 3+2 ' ' 5 5) 10_3 10_2 2-'¶ ='¶ ' ' 10_5 10_2-3 =2 '¶ '¶ `_2 5Û `_5-3 2Û =2 "Ã "Ã 2 5-3_5 =2_2 ' ' 5-15 2 =4 ' ' `-2_2 3)Û `=(2 ' `-12 3)Û =4_( 'Ä 15+9_5 =4_3-12 '¶ 15+45 =12-12 '¶ 15 =57-12 '¶ 63 `_7+"Ã 7+"Ã 2Û 7 7+3 7+2 =' ' ' 7 =(1+2+3) 7 =6 `_7 5+(3 3_3 ' ' 3_5+9_( =' ' ' ' 3Û ' Ⅰ. 제곱근과 실수 04. 근호를 포함한 식의 계산 (2) 17 ¶ ¹ 15 5 4 '¶ 2 ' 15 5 2 ⑤ 15_' 5-4 '¶ '¶ 15Ö2 5='Ä 15_5- ' 5Û ="Ã 5Û ="Ã `_3- '¶ ' `_3-2_®Â;;Á5°;; 3 3-2 =5 ' =(5-2) 3 =3 ' 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ' 3 ' 02 A 2-7 =3 ' B 5-3 =5 ' ' ∴ A-B=6 2+10 ' 5-3 ' 2-(-' 2=(3-7+10) ' 5=(5-3-3) ' 2+' 5)=6 ' ' 2=6 ' ' 5=-' 5 5 2 9_ ' 3_ ' 3 3 ' 2 2 - 3 ' 3 03 75-6 2+ ' '¶ ="Ã 5Û `_3-6 =5 3-6 2+ ' ' 6 2 - ' 2+ ' 9 3 ' 6_ ' 2_ ' 9 6 ' 2 ' 2 - 2-3 ' 2+(5-3) 3 ' 3 3 ' 2+3 =5 3-6 ' ' =(-6+3) ' 2+2 =-3 ' -3 2+2 a=-3, b=2 ∴ a+b=(-3)+2=-1 ' 3=a 2+b ' ' ' ' 3 이므로 04 0.08+ 'Ä 4 ' 5 2 +'¶ 4_ 0.5=®Â;10*0;+ ' 2_ 5 ' 4 2 2 2 ' ' 10 + 10 + = 2 2 +®Â;1°0¼0; ' 5 2 ' 10 답 ④ 답 ② 답 ② 05 6x+3 ' ' 6 { 2 y=' 6 6 2 +2 6 }+3 ' 4 2 { ' 6- ' ' 2 2 } '¶ ' 6 2 +12+12 ' ' 3+12+12_2 3+9+24 3+9 ' 3 ' = ' =6 =6 ' =30 12-3 3-3 ' 06 x= ' 5+ ' 5- 2 ' 3 = 2 ' 3 = ( 5+ ' ' 3_ ' 5- ( ' ' 3_ y= ' ' 따라서 x+y= '¶ 6 ' 6 ' 15+ 3 2)_ 3 3 = '¶ ' ' 2)_ 3 3 = '¶ ' 6 15- ' 3 = 15- 3 2 15 '¶ 3 , ' ' ' 15+ 6 3 + '¶ 6 15- ' 3 = 2 6 ' 3 x-y= '¶ 15+ ' 6 3 - '¶ 15 2 '¶ 3 2 6 ' 3 ∴ x+y x-y = = '¶ ' 15 6 = ' ' 10 5 2 = '¶ 2 10 답 '¶ 2 답 30 3+9 ' 07 A-B 2 =( =' =' =' =' 2 2)-3 5+' ' ' 2 2-3 5+' ' 5+(1-3) 2 5-2 ' `_2 5-"Ã 2Û 8<0 5-' ' =' ∴ A0이므로 x=' ∴ EFÓ=FGÓ= 5이다. Ñ 5 (cid:37)(cid:41) (cid:34) (cid:38) (cid:17)(cid:22) (cid:17)(cid:22) (cid:40) (cid:17)(cid:22) (cid:35)(cid:9)(cid:18)(cid:10) (cid:39)(cid:9)(cid:19)(cid:10) (cid:17)(cid:22) (cid:49) (cid:20) (cid:36)(cid:9)(cid:21)(cid:10) (cid:22) (cid:19)(cid:12)(cid:17)(cid:22) (cid:50) (cid:17) (cid:19)(cid:14)(cid:17)(cid:22) 답 6 FPÓ=FGÓ= 5이므로 점 P에 대응하는 수 p의 값은 5이므로 점 Q에 대응하는 수 q의 값은 ' ' 5 p=2+' FQÓ=FEÓ =' 5 q=2-' 5 q=2(2+' ∴ 2p-' 5)-' 5(2-' 5)=4+2 ' 5-2 ' 5+5=9 답 9 19 넓이가 7 cmÛ 인 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이는 ` 넓이가 63 cmÛ ' 인 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이는 3 ` 넓이가 112 cmÛ 인 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이는 4 ` ' 7 cm, 7 cm, ' 7 cm이다. (cid:21)(cid:17)(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:20)(cid:17)(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)(cid:153) (cid:21)(cid:17)(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:17)(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:23)(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)(cid:153) (cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)(cid:153) (cid:17)(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:20)(cid:17)(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:21)(cid:17)(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 빗금친 부분의 길이의 합은 4 7 cm 이므로 구하는 도형의 둘레의 길이는 ' 7+4 ' 7 ' 7)_2+4 7 ' 7+4 ' 7+3 ( ' =16 =24 ' ' 7+4 ' 7+4 7(cm) ' 20 주어진 직육면체의 겉넓이는 2 (cid:17)(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:64)(cid:17)(cid:19) 답 24 7 cm ' (cid:17)(cid:18)(cid:18)(cid:17) (cid:17)(cid:19) (cid:17)(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:14)(cid:17)(cid:19) (cid:17)(cid:19)(cid:64)(cid:9)(cid:17)(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:14)(cid:17)(cid:19)(cid:10) (cid:17)(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:64)(cid:9)(cid:17)(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:14)(cid:17)(cid:19)(cid:10) 답 ② Ⅰ - 0 4 . 근 호 를 포 함 한 식 의 계 산 ( 2 ) 10_' 2_'¶ +2_'¶ +2_' 2_'¶ = +2_( 2) '¶ 10-' 10_( '¶ 2_( 2) 10-' 20+2_(10-'¶ 20-2) '¶ 5+2_(10-2 ' =2_2 =4 ' =16+4 5+20-4 5 ' ' 5-4 5+4 ' ' 20) 11 a+b=(4+'¶ ab=(4+'¶ ∴ { a+;b!;}+{ 15)+(4-'¶ 15)=8 15)(4-'¶ 15)=1 b+;a!;}=a+b+;a!;+;b!; =a+b+ a+b ab 8 1 =8+ =16 12 y x + x y = xÛ`+yÛ` xy (x+y)Û`-2xy xy (2 10)Û`-2_5 '¶ 5 = = 40-10 5 = 30 5 =6 = 13 x= 3)Û` ' 3)(2- 3) =(2-' ' 3)Û` 3) =(2+' ' 3)(2+ 3)Û `=7-4 ' 3 3)Û `=7+4 ' 3 (2- (2+ y= ' (2+ 3 2- ' 3 = 2+ ' 3 2+ ' 3 = 2- ' x+y=(7-4 xy=(7-4 ' 따라서 주어진 식의 값은 ' 3)(7+4 (2- ' 3)+(7+4 ' ' 3)=1 ' 3)=14 xÛ`+yÛ`+xy x+y-1 = (x+y)Û`-xy x+y-1 = 14Û`-1 14-1 (14+1)(14-1) 14-1 = =15 답 15 답 ② 14 x+;[!;} { =xÛ `+2+ 1 xÛ` =xÛ `-2+ 1 xÛ` +4={ x-;[!;} +4=2Û `+4=8 2` 2` x>0이므로 x+[!; >0 ∴ x+[!;=' 8=2 ' 2 15 4Û `=16, 5Û ∴ a=1, b=5-'¶ 1 1-(5- 1-b = a 17 `=25에서 4< '¶ 17<5이므로 1<6-'¶ 17<2 '¶ 17) = 17-4 = '¶ 17+4 17+4 17-16 ='¶ = '¶ 1 17+4 '¶ 17-4)( '¶ ( '¶ 17+4) 8<4+'¶ 17<9이므로 a 1-b 의 정수 부분은 8이다. 답 ③ `-4x+4)-2=3-2=1 답 ① 16 1Û `=4에서 1< ' 3)-4=2-' 3 3에서 x-2=-' `=1, 2Û ∴ x=(6-' x=2-' 양변을 제곱하면 `=3, xÛ `-4x+2=(xÛ (x-2)Û ∴ xÛ `-4x+4=3 3 17 1 f(x) = 1 x+2 x-1- x+2) 'Ä x-1+ 'Ä 'Ä x+2 x-1- 'Ä x+2)( 'Ä x+2 x+2)Û` ( 'Ä x-1+ 'Ä 'Ä x-1- 'Ä 'Ä x-1)Û`-( 'Ä x+2 'Ä x-1- 'Ä x-1-(x+2) 'Ä ( 'Ä x-1- 'Ä -3 x+2 = = = = 3<2이므로 4<6-' 3<5 5)+2_(2 5-2) ' Ⅰ. 제곱근과 실수 04. 근호를 포함한 식의 계산 (2) 19 05 인수분해 공식 Step 1. 개념 다지기 05-1 인수분해 기본연습 1 (1) (x+2)(x-1)의 인수는 1, x+2, x-1, (x+2)(x-1) (2) 3(y-2)의 인수는 1, 3, y-2, 3(y-2) 답 (1) 1, x+2, x-1, (x+2)(x-1) (2) 1, 3, y-2, 3(y-2) 05-5 인수분해 공식 (3) ; xÛ`+(a+b)x+ab 꼴의 본문 097쪽 인수분해 기본연습 5 (1) xÛ` (2) xÛ` +5x+6=(x+2)(x+3) -12x+32=(x-4)(x-8) 답 (1) (x+2)(x+3) (2) (x-4)(x-8) 연습 5 (x-3)(x-4)-x -7x+12)-x =(xÛ` -8x+12 =xÛ` =(x-2)(x-6) 답 (x-2)(x-6) 05-6 인수분해 공식 (4) ; acxÛ`+(ad+bc)x+bd의 xÛ`(x+1)(x-1)의 인수가 아닌 것은 ㄷ. xÝ`이다. 답 ㄷ 인수분해 기본연습 6 05-2 공통인수를 이용한 인수분해 기본연습 2 (1) 3aÛ`b-6a=3a(ab-2) (2) +14xÛ`yÜ` -7xyÛ` =-7xyÛ`(1-2xy) 답 (1) 3a, 3a(ab-2) (2) -7xyÛ`, -7xyÛ`(1-2xy) 연습 1 연습 2 (1) 6xÛ` +11x+4=(2x+1)(3x+4) (2) -3xÛ` -5x+2=-(3xÛ` +5x-2)= -(3x-1)(x+2) 답 (1) (2x+1)(3x+4) (2) -(3x-1)(x+2) 연습 6 +13x-3=(5x-1)(2x+3)이므로 10xÛ` a=5, b=2, c=3 ∴ a+b-c=5+2-3=4 답 3a(x-2) Step 2. 대표 문제로 접근하기 05-3 인수분해 공식 (1) ; aÛ`Ñ2ab+bÛ` 꼴의 인수분해 답 (1) (a-1)Û` (2) (4x+1)Û` 01 02 05 09 14 18 21 (1) xÛ` -4 (2) aÛ` +a-12 (3) 2xÛ` -9x+10 (4) aÛ` -2a+1 04 03 ④ (1) x(x+5) (2) 2x(x-3y) ③ ④ 06 07 A=4, B= ③ 12 11 Ñ3 ② 16 08 13 17 ④ 5 9xÛ `+9x-10, (3x-2)(3x+5) 2x 10 ③ (x+4)(x-1) ⑤ 19 ③ 22 ② ② 15 20 05-4 인수분해 공식 (2) ; aÛ`-bÛ` 꼴의 인수분해 답 a=4, b= Ñ10 유제 01 문제에 주어진 다항식의 곱을 전개하면 (1) (x+2)(x-2) (2) (a-3)(a+4) (3) (2x-5)(x-2) =xÛ` =aÛ` =aÛ` =2xÛ` =2xÛ` +2x-2x-4=xÛ` -3a+4a-12 +a-12 -4 -5x-4x+10 -9x+10 (4) (a-1)Û` =(a-1)(a-1) -a-a+1 =aÛ` =aÛ` -2a+1 답 (1) (x+2y)(x-2y) (2) (a+6b)(a-6b) (x-2)(a-b)-(2-x)(2a+b) =(x-2)(a-b)-{-(x-2)}(2a+b) =(x-2){(a-b)+(2a+b)} =3a(x-2) 기본연습 3 (1) aÛ` -2a+1=(a-1)Û` (2) 16xÛ` +8x+1=(4x+1)Û` 연습 3 xÛ` xÛ` +4x+a에서 a={;2$;} +bx+25에서 b= Ñ2 2` '¶ =2Û` =4 25=Ñ10 기본연습 4 (1) xÛ` (2) aÛ` -4yÛ` -36bÛ` =(x+2y)(x-2y) =(a+6b)(a-6b) 연습 4 xy¡` -256x =x(y¡` =x(yÝ` =x(yÝ` =x(yÝ` -256) +16)(yÝ` +16)(yÛ` +16)(yÛ` -16) -4) +4)(yÛ` +4)(y+2)(y-2) 답 x(yÝ` 20 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 답 (1) xÛ` (2) aÛ` -4 -9x+10 (4) aÛ` +a-12 -2a+1 (3) 2xÛ` 유제 02 (1) 두 항 xÛ`과 5x의 공통인수 x로 묶어 인수분해하면 xÛ` +5x=x(x+5) (2) 두 항 2xÛ`과 -6xy의 공통인수 2x로 묶어 인수분해하면 -6xy=2x(x-3y) 답 (1) x(x+5) (2) 2x(x-3y) 2xÛ` +16)(yÛ` +4)(y+2)(y-2) 답 4 ② ① ④ ③ 유제 03 주어진 식을 인수분해하면 -9xy+12xz 3xÛ` =3x_x-3x_3y+3x_4z =3x(x-3y+4z) 답 ④ 유제 04 xy(3x-2y)-xy(x+y)에서 xy(3x-2y)와 -xy(x+y)의 공통인수는 xy이므로 주어진 다항식을 인수분해하면 xy(3x-2y)-xy(x+y) =xy{(3x-2y)-(x+y)} =xy(3x-2y-x-y) =xy(2x-3y) 주어진 다항식의 인수는 ㄱ. xy, ㄴ. 2x-3y, ㅁ. 2xÛ` -3xy이다. 유제 05 25xÛ `-40xy+16yÛ `-2_5x_4y+(4y)Û ` =(5x)Û ` =(5x-4y)Û ` 유제 06 ;1»6; `+;5#; ab+;2¢5; bÛ `={;4#; a `+2_;4#; a_;5@; b+{;5@; b } } ` aÛ aÛ ;1»6; `+;5#; ab+;2¢5; bÛ `={;4#; b a+;5@; } ` 따라서 주어진 다항식의 인수인 것은 ④ a+;5@; ;4#; b이다. 답 ④ 유제 07 9xÛ `+12xy+AyÛ ` `+2_3x_2y+(2y)Û (3x)Û ∴ A=2Û `=4 이 완전제곱식으로 인수분해되므로 `=9xÛ `+12xy+AyÛ ` xÛ `+Bx+9가 완전제곱식으로 인수분해되므로 ;4!; x } +Bx+3Û {;2!; `={;2!; xÑ3 } ={;2!; x } Ñ2_;2!; x_3+3Û ` Ñ2_;2!;_3= 2` ∴ B= 따라서 A=4, B= Ñ3 Ñ3이다. 2` 2` 유제 08 4xÛ 4xÛ Ñ2_2x_5y+(5y)Û `-(k-4)xy+25yÛ `-(k-4)xy+25yÛ 이 완전제곱식이므로 ` `=(2x)Û =4xÛ ` -(k-4)=20에서 k-4=-20, k=-20+4=-16 -(k-4)=-20에서 k-4=20, k=20+4=24 따라서 구하는 k의 값은 Ñ20xy+25yÛ ` ` -16 또는 24이다. (x+4)Û -"Ã `-8x+16="Ã ` (x-4)Û ` ` 답 ① 유제 09 xÛ xÛ `+8x+16-"Ã "Ã |x|<4에서 0<x+4, x-4<0 ∴ (x+4)Û -"Ã "Ã ` -4<x<4이므로 (x-4)Û `=x+4-{-(x-4)} =x+4+x-4=2x 답 2x `+2a+1에서 근호 안의 식을 인수분해하면 `+2a+1="Ã `+"Ã (a+1)Û (a-5)Û ` " 유제 10 aÛ "Ã `-10a+25+"Ã aÛ aÛ `-10a+25+"Ã aÛ -1<a<5이므로 -1-5<a-5<5-5 -1+1<a+1<5+1 ∴ (a+1)Û (a-5)Û `+"Ã "Ã -6<a-5<0 ∴ ∴ 0<a+1<6 `=-(a-5)+a+1 =-a+5+a+1 =(-1+1)a+5+1 =6 답 ③ 유제 11 xÚ`ß` -1 =(x¡`)Û =(x¡` =(x¡` =(x¡` =(x¡` `-1Û ` +1)(x¡` +1)(xÝ` +1)(xÝ` +1)(xÝ` -1) +1)(xÝ` +1)(xÛ +1)(xÛ -1의 인수가 아닌 것은 ③ xÜ` -1) `-1) `+1)(xÛ `+1)(x+1)(x-1) +1이다. 따라서 xÚ`ß` 답 ③ 본문 103쪽 유제 12 xÜ` xÜ` -25x에서 xÜ`과 -25x=x(xÛ -25x의 공통인수가 x이므로 x(x+5)=xÛ (x+5)(x-5)=xÛ 주어진 보기에서 xÜ` `-25)=x(x+5)(x-5) `-5x, `+5x, x(x-5)=xÛ `-25이므로 -25x의 인수가 아닌 것은 ④ xÛ ` 이다. 답 ④ 유제 13 xÛ xÛ 에서 `-2xy-8yÛ `-4xy+2xy+(-4y)_2y=(x+2y)(x-4y) ` 답 ④ Ⅱ - 0 5 . 인 수 분 해 공 식 유제 14 (x-2)(x+5)+6 ∴ xÛ `+3x-4 `+5x-2x-10+6 `+3x-4 =xÛ =xÛ `+(4-1)x+4_(-1) =xÛ =(x+4)(x-1) 답 ② 답 ③ 답 (x+4)(x-1) 유제 15 12xÛ `-11x+2를 인수분해하면 (4x-1)(3x-2) 즉, (4x-1)(3x-2)=(4x+A)(Bx+C)이므로 A=-1, B=3, C=-2 ∴ A+2B+C =-1+2_3+(-2) =-1+6-2 =3 답 ② 유제 16 10xÛ ` `-13xy-3yÛ 을 인수분해하면 (2x-3y)(5x+y) 즉, (2x-3y)(5x+y)=(ax+by)(cx+dy)이므로 a=2, b=-3, c=5, d=1 또는 a=5, b=1, c=2, d=-3 따라서 구하는 합은 a+b+c+d =2+(-3)+5+1 =5 답 5 답 A=4, B= Ñ3 유제 17 다항식 axÛ axÛ `+12x-9가 2x+3을 인수로 가지므로 `+12x-9=(2x+3)(mx+n) yy ㉠ 과 같이 인수분해할 수 있다. ㉠의 우변을 전개하면 `+(2n+3m)x+3n ∴ n=-3 `+12x-9와 같아야 하므로 (2x+3)(mx+n)=2mxÛ 이 식이 axÛ 상수항끼리 비교해보면 3n=-9 x의 계수끼리 비교해보면 2n+3m=12 2n+3m=2_(-3)+3m=12 -6+3m=12, 3m=18 따라서 xÛ ` a=2m=2_6=12 의 계수끼리 비교해보면 ∴ m=6 유제 18 다항식 6xÛ 6xÛ `-8x+a가 2x-6을 인수로 가지므로 `-8x+a=(2x-6)(mx+n) yy ㉠ 과 같이 인수분해할 수 있다. 이때 ㉠의 우변을 전개하면 (2x-6)(mx+n)=2mxÛ 이 식이 6xÛ `-8x+a와 같아야 하므로 `+(2n-6m)x-6n 답 ③ 의 계수끼리 비교해 보면 ∴ m=3 xÛ ` 2m=6 x의 계수끼리 비교해 보면 2n-6m=-8 2n-6m=2n-18=-8 따라서 다항식 6xÛ ∴ n=5 `-8x+a의 다른 한 인수는 3x+5이다. 답 ⑤ 유제 19 영훈이는 이차식의 x의 계수를 잘못 보아 (x-8)(x-3)으로 인 `-11x+24에서 원래 이차 수분해하였으므로 (x-8)(x-3)=xÛ 식의 상수항은 24임을 알 수 있다. Ⅱ. 인수분해 05. 인수분해 공식 21 2 2 2 Ã 민영이는 이차식의 상수항을 잘못 보아 (x-4)(x-10)으로 인 `-14x+40에서 원래 이 수분해하였으므로 (x-4)(x-10)=xÛ -14임을 알 수 있다. 차식의 x의 계수는 따라서 구하는 이차식은 xÛ `-14x+24이므로 바르게 인수분해하면 `-14x+24=(x-2)(x-12) xÛ 유제 20 지희는 이차식의 일차항의 계수만 잘못 보아 (3x+1)(3x-10)으 `-27x-10에서 로 인수분해하였으므로 (3x+1)(3x-10)=9xÛ 처음 이차식의 xÛ 의 계수는 9, 상수항은 ` 상진이는 이차식의 상수항만 잘못 보아 (3x-1)(3x+4)로 인수 분해하였으므로 (3x-1)(3x+4)=9xÛ `+9x-4에서 처음 이차 식의 xÛ 의 계수는 9, x의 계수는 9임을 알 수 있다. -10임을 알 수 있다. ` 따라서 구하는 이차식은 9xÛ `+9x-10이다. 이차식 9xÛ `+9x-10을 인수분해하면 9xÛ `+9x-10=(3x-2)(3x+5) 답 9xÛ `+9x-10, (3x-2)(3x+5) 유제 21 직사각형의 넓이가 3xÛ 길이가 3x+2이므로 세로의 길이는 x+3이다. 직사각형의 둘레의 길이는 `+11x+6=(x+3)(3x+2)이고, 가로의 =2(4x+5)=8x+10이므로 2{(3x+2)+(x+3)} m=8, n=10 ∴ m+n=8+10=18 답 ③ 유제 22 x+3이 두 다항식 xÛ `+ax+12, xÛ `+12x+b의 공통인수이므로 xÛ 두 다항식을 각각 `+ax+12=(x+3)(x+m) yy ㉠ `+12x+b=(x+3)(x+n) yy ㉡ 과 같이 인수분해할 수 있다. xÛ ㉠의 우변을 전개하면 `+(3+m)x+3m `+ax+12와 같아야 하므로 (x+3)(x+m)=xÛ 이 식이 xÛ 상수항끼리 비교하면 3m=12 따라서 두 식의 x의 계수끼리 비교해보면 ∴ m=4 a=3+m=3+4=7 마찬가지로 ㉡의 우변을 전개하면 (x+3)(x+n)=xÛ `+(3+n)x+3n 이 식이 xÛ `+12x+b와 같아야 하므로 x의 계수끼리 비교해보면 3+n=12 따라서 두 식의 상수항끼리 비교해보면 b=3n=3_9=27 ∴ a+b=7+27=34 ∴ n=9 2(x+1)_(x-3)=(2x+2)_(x-3) (x+1)_2(x-3)=(x+1)_(2x-6) 이므로 보기에서 2(x+1)(x-3)의 인수가 아닌 것은 ⑤ xÛ `+2x-3이다. 답 ② 02 8xÛ `-32=8(xÛ `-4)=8(xÛ `-2Û ` )=8(x+2)(x-2) 03 y-2x=-(2x-y)이므로 (2x-y)(x-1)-2y(y-2x) 본문 111쪽 답 ⑤ 답 ⑤ -(2x-y)} { =(2x-y)(x-1)-2y_ =(2x-y)(x-1)+2y(2x-y) =(2x-y){(x-1)+2y} =(2x-y)(x-1+2y) =(2x-y)(x+2y-1) 답 따라서 보기에서 주어진 다항식의 인수는 2x-y, x+2y-1이다. ②, ④ , 4x의 공통인수는 x이므로 ` 04 xÜ` `+4x에서 xÜ`, -5xÛ xÜ` `+4x=x(xÛ -5xÛ `-5x+4에서 합이 xÛ `-5x+4=(x-1)(x-4) 따라서 주어진 다항식을 인수분해하면 -5xÛ `-5x+4) -5, 곱이 4인 두 수는 xÛ -1, -4이므로 xÜ` `+4x -5xÛ = 보기에서 xÜ` -5xÛ x, x-4, x-1, x(x-1)=xÛ 따라서 주어진 다항식의 인수가 아닌 것은 ⑤ xÛ x(x-1)(x-4) `+4x의 인수인 것은 `-x이다. `+4x이다. 답 ⑤ 05 두 다항식을 각각 인수분해하면 에서 -x, 2xÛ`의 공통인수는 x이므로 x(-1+2x)=x(2x-1) = -x+2xÛ ` -x+2xÛ` 10xÛ `-5xy의 공통인수는 5xy이므로 y, y-5xy에서 10xÛ ` y-5xy ` 5xy(2x-1) ` 10xÛ 따라서 보기에서 두 다항식의 공통인수는 x(2x-1)이다. = 06 ① xÛ `+{2+(-11)}x+2_(-11) 답 ④ ② 12xÛ` `-9x-22 -27 =xÛ =(x+2)(x-11) `-9) } -3Û ` =3(4xÛ =3{(2x)Û` =3(2x+3)(2x-3) `-13x-6=(5x+2)(x-3) =-(4xÛ =-{(2x)Û `+4x-1 ③ 5xÛ ④ -4xÛ `-4x+1) `-2_2x_1+1Û`} y -{;3!; } =-(2x-1)Û ` 답 ② ⑤ xÛ yÛ ;1Á6; `-;9!; `={;4!; x } xÛ ⑤ 2` y x+;3!; 따라서 인수분해한 것이 옳지 않은 것은 ④이다. 2` {;4!; x-;3!; `={;4!; `-;9!; ;1Á6; } y yÛ } Step 3. 단원 마무리하기 01 06 11 15 19 ⑤ ④ 3x ③ ⑤ 02 07 12 16 20 ⑤ ② 03 ②, ④ 04 08 ④ Ñ24 a=16, b= 24x 17 2 2x+3 ⑤ ③ ⑤ 05 10 14 ④ 16 ④ 09 13 18 (5x+13y)(5x-13y) ∴ a= Ñ ;3!; 07 xÛ `+axy+;4!; ;9!; yÛ` ={;3!; x } +axy+{;2!; y } xÛ `+axy+;4!; ;9!; yÛ` ={;3!; 이므로 a= Ñ2_;3!;_;2!; 2` xÑ y } ;2!; 2` 2` 08 ① -aÛ `-aÛ` `+bÛ` bÛ = (b+a)(b-a) = =(-a+b)(a+b) 01 주어진 다항식 2(x+1)(x-3)에서 2_(x+1)(x-3)=2_(xÛ `-2x-3) 22 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 답 ④ 답 ② 14 4xÛ 4xÛ `-7x+k가 x-3을 인수로 가지므로 `-7x+k=(x-3)(mx+n) yy ㉠ 과 같이 인수분해할 수 있다. 이때 ㉠의 우변을 전개하면 `+(n-3m)x-3n `-7x+k와 같아야 하므로 (x-3)(mx+n)=mxÛ 이 식이 4xÛ xÛ`의 계수를 비교해 보면 m=4 x의 계수를 비교해 보면 n-3m=-7 따라서 구하는 이차식의 다른 인수는 4x+5이다. ∴ n=5 Ⅱ - 0 5 . 인 수 분 해 공 식 본문 115쪽 답 ④ 성준이는 이차식의 x의 계수를 잘못 보고 (x-2)(x-20)으로 인수분 `-22x+40에서 원래 이차식의 상 해하였으므로 (x-2)(x-20)=xÛ 수항은 40임을 알 수 있다. 민희는 이차식의 상수항을 잘못 보고 (x-4)(x-9)로 인수분해하였 으므로 (x-4)(x-9)=xÛ `-13x+36에서 원래 이차식의 x의 계수는 -13임을 알 수 있다. 따라서 구하는 이차식은 xÛ `-13x+40=(x-5)(x-8) `-13x+40이므로 바르게 인수분해하면 답 ③ xÛ `-9=(6x-3)(6x+3)이고, 세로의 길이가 16 액자의 넓이가 36xÛ 6x-3이므로 가로의 길이는 6x+3이다. 따라서 액자의 둘레의 길이는 2{(6x-3)+(6x+3)}=2_12x=24x 답 24x 17 x-3이 두 다항식 2xÛ 두 다항식을 각각 `+ax-15, 3xÛ `-10x+b의 공통인수이므로 2xÛ 3xÛ `+ax-15=(x-3)(2x+m) yy ㉠ `-10x+b=(x-3)(3x+n) yy ㉡ 과 같이 인수분해할 수 있다. ㉠의 우변을 전개하면 `+(m-6)x-3m (x-3)(2x+m)=2xÛ 이 식이 2xÛ `+ax-15와 같아야 하므로 -3m=-15 상수항끼리 비교해 보면 ∴ m=5 따라서 두 식의 x의 계수끼리 비교해 보면 a=m-6=5-6=-1 마찬가지로 ㉡의 우변을 전개하면 (x-3)(3x+n)=3xÛ `+(n-9)x-3n 이 식이 3xÛ `-10x+b와 같아야 하므로 x의 계수끼리 비교해 보면 n-9=-10 ∴ n=-1 따라서 두 식의 상수항끼리 비교해 보면 b=-3n=-3_(-1)=3 ∴ a+b=-1+3=2 답 ④ 2` 15 ② 3xyÛ `-3xÛ ` =3xy_y-3xy_x y =3xy(y-x) xÛ ③ xÛ ④ aÛ `-6xy+9yÛ` `-2_x_3y+(3y)Û` = (x-3y)Û = `+{4+(-6)}a+4_(-6) =aÛ =(a+4)(a-6) `-2a-24 ` ⑤ 3xÛ `-10xy+3yÛ `=(x-3y)(3x-y) 따라서 인수분해가 바르게 된 것은 ④이다. 09 ① aÛ `-14a+49 =aÛ = `+2xy+;4(; xÛ yÛ` ② ;9$; `-2_a_7+7Û` (a-7)Û ` ={;3@; x } +2_;3@; x_;2#; y y+{;2#; } ② xÛ `+2xy+;9$; ;9$; yÛ` ={;3@; ③ xÛ `+2xy+yÛ ;4!; `={;2!; x } +2xy+yÛ 에서 ` 2` x+;2#; y } 2` 2` 2xy+2_;2!; x_y이므로 위 식은 완전제곱식으로 인수분해되지 않는다. ④ 9xÛ ⑤ 50xÛ (3x)Û `-24xy+16yÛ` = = `+60xy+18yÛ` = =2{(5x)Û (3x-4y)Û 2(25xÛ ` 2(5x+3y)Û ` = `-2_3x_4y+(4y)Û` ) `+30xy+9yÛ ` `+2_5x_3y+(3y)Û`} 따라서 완전제곱식으로 인수분해되지 않는 것은 ③이다. 답 ③ 10 양수 k에 대하여 (2x+3)(2x-5)+k가 완전제곱식이므로 (2x+3)(2x-5)+k -4x-15+k =4xÛ` =(2x)Û` -2_2x_1+1Û` -15+k=1 에서 ∴ k=16 11 을 인수분해하면 yÛ yÛ `-2xy+xÛ ` x>0, y<0이므로 y-x<0 ∴ (주어진 식) yÛ `-" =" 4xÛ `-2xy+xÛ `=(y-x)Û ` (y-x)Û `+"Ã (2x)Û ` (y-x)Û `+"Ã yÛ ="Ã `-" ` =2x-(-y)+{-(y-x)} =2x+y-y+x =3x 답 16 답 3x 12 xÛ Ñ2 `-ax+64가 완전제곱식이므로 -a= '¶ ∴ a=-16 또는 a=16 9xÛ Ñ2_8= 64= Ñ16 `+bx+a가 완전제곱식이므로 a=16 `+bx+16 9xÛ 이므로 b= Ñ24 ∴ a=16, b= `+bx+4Û =(3x)Û Ñ24 `= (3xÑ4)Û ` 13 10xÛ 10xÛ `+ax-15가 2x+5를 인수로 가지므로 `+ax-15=(2x+5)(mx+n) yy ㉠ 과 같이 인수분해할 수 있다. 이때 ㉠의 우변을 전개하면 2mxÛ `+(2n+5m)x+5n `+ax-15와 같아야 하므로 이 식이 10xÛ ∴ m=5 2m=10 5n=-15 ∴ n=-3 따라서 두 식의 x의 계수끼리 비교해 보면 a=5m+2n=5_5+2_(-3)=25-6=19 답 a=16, b= Ñ24 답 2 18 a*b aÛ = `-bÛ ` {(3x)Û (a+b)(a-b) = (3x*5y)+(4x*12y) = =9xÛ =25xÛ (5x)Û 이므로 `-(5y)Û ` `-25yÛ `+16xÛ `-169yÛ ` `-(13y)Û (5x+13y)(5x-13y) ` = = {(4x)Û }+ `-144yÛ `-(12y)Û ` } ` 따라서 주어진 식을 인수분해하면 (5x+13y)(5x-13y)이다. 답 ⑤ 답 (5x+13y)(5x-13y) Ⅱ. 인수분해 05. 인수분해 공식 23 19 xÛ `+(a+b)x+ab -36인 두 정수 a, b는 -18, 2 또는 -3, 12 또는 `+Ax-36=(x+a)(x+b)=xÛ 에서 곱이 -36, 1 또는 -4, 9 또는 A=a+b이므로 곱이 -5, 0, 5, 9, 16, 35이다. 따라서 상수 A의 값이 될 수 없는 것은 ⑤ 12이다. -12, 3 또는 -2, 18 또는 -9, 4 또는 -1, 36 -36인 두 정수 a, b의 합은 -6, 6 또는 -35, -16, -9, 답 ⑤ 20 넓이가 xÛ`인 정사각형이 4개, 넓이가 x인 직사각형이 8개, xÛ 넓이가 1인 정사각형이 3개 있으므로 모든 사각형들의 넓이의 합은 `_4+x_8+1_3=4xÛ 따라서 큰 직사각형의 넓이가 4xÛ 이 직사각형의 가로의 길이가 2x+1이므로 세로의 길이는 2x+3이다. 답 2x+3 `+8x+3=(2x+1)(2x+3)이고 `+8x+3 06 인수분해 공식의 활용 Step 1. 개념 다지기 06-1 복잡한 식의 인수분해 기본연습 1-1 (1) xyÜ` -xyÛ` -2xy (2) x+y=X로 치환하면 +6(x+y)+9 (x+y)Û` (3) xÛ` -yÛ` +4y-4 -y-2) =xy(yÛ` =xy(y+1)(y-2) +6X+9 =XÛ` =(X+3)Û` -4y+4) =(x+y+3)Û` -(yÛ` -(y-2)Û` =xÛ` =xÛ` ={x+(y-2)}{x-(y-2)} =(x+y-2)(x-y+2) xÛ` -x+xy-2y-2 (4) y에 대하여 내림차순으로 정리하면 =(x-2)y+xÛ` =(x-2)y+(x+1)(x-2) =(x-2)(x+y+1) 답 (1) xy(y+1)(y-2) -x-2 연습 1-1 +2x-yÛ` -yÛ` xÛ` -2y =xÛ` +2x-2y =(x+y)(x-y)+2(x-y) =(x-y)(x+y+2) 기본연습 1-2 (1) 3axÛ` -12ax-15a -4x-5) =3a(xÛ` =3a(x+1)(x-5) 24 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 본문 117쪽 (2) 2a-1=X로 치환하면 (2a-1)Û` -8(2a-1)+12 (3) -(-aÛ` +2a-1) -9bÛ` -8X+12 =XÛ` =(X-2)(X-6) =(2a-1-2)(2a-1-6) =(2a-3)(2a-7) -2a+1)-9bÛ` =(aÛ` -(3b)Û` =(a-1)Û` =(a-1+3b)(a-1-3b) =(a+3b-1)(a-3b-1) bÛ` +ab-a+3b-4 (4) a에 대하여 내림차순으로 정리하면 =(b-1)a+bÛ` =(b-1)a+(b-1)(b+4) =(b-1)(a+b+4) 답 (1) 3a(x+1)(x-5) +3b-4 (2) (2a-3)(2a-7) (3) (a+3b-1)(a-3b-1) (4) (b-1)(a+b+4) 답 (a+2)(a-b-1) (1) 39Û` (2) xÛ` -31Û` +4x+4=(x+2)Û` =(39+31)(39-31)=70_8=560 =900 =(28+2)Û` =30Û` 답 (1) 560 (2) 900 연습 1-2 +a-ab-2b-2 aÛ` =aÛ` +a-2-ab-2b =(a-1)(a+2)-b(a+2) =(a+2)(a-b-1) 06-2 인수분해의 활용 기본연습 2-1 연습 2-1 +2_74_3+3Û` =77Û` 74Û` +6_74+3Û` =74Û` =(74+3)Û` 이때 a는 자연수이므로 a=77 ∴ aÛ` +6a+9=(a+3)Û` 기본연습 2-2 (1) 15_52Û` -15_48Û` -48Û`) =15(52Û` =15(52+48)(52-48) =15_100_4 =6000 (2) aÛ` +2ab+bÛ` =(a+b)Û` =(2+' =16 =4Û` 5+2-' 5)Û` 연습 2-2 20Û` -16Û` ="Ã "Ã (20-16) (20+16) 36_4 144 ='Ä ='¶ 12Û` =12 =" =36_(8+2) =36_10 =360 ∴ b=360 따라서 ;aB;=;;£1¤2¼;;=30 =(77+3)Û` =80Û` =6400 답 6400 답 30 (2) (x+y+3)Û` (3) (x+y-2)(x-y+2) (4) (x-2)(x+y+1) 답 (1) 6000 (2) 16 답 (x-y)(x+y+2) ∴ a=12 36_8+36_2 Ã Step 2. 대표 문제로 접근하기 유제 06 xÛ `-x+3y-9yÛ ② 02 ④ 03 ④ 04 01 05 09 13 17 (a-4)(b-5) x-2y+1 ⑤ 14 ⑤ 18 ⑤ ③ 06 ②, ③ 07 10 15 ④ ③ 11 16 ① 2x ③ 08 12 ④ ② 4x+2y-10 6(x+2)Û 유제 01 x+2=X로 치환하여 주어진 식을 인수분해하면 `+13X-15 `+13(x+2)-15 =6XÛ =(6X-5)(X+3) = =(6x+7)(x+5) {6(x+2)-5}{(x+2)+3} 따라서 (6x+7)(x+5)=(x+a)(6x+b)이므로 a=5, b=7 ∴ ab=5_7=35 유제 02 x-y=X로 치환하여 주어진 식을 인수분해하면 (x-y+6)(x-y-2)-48 =(X+6)(X-2)-48 `+4X-12-48 =XÛ `+4X-60 =XÛ =(X-6)(X+10) =(x-y-6)(x-y+10) 유제 03 x(x-2)(x-1)(x+1)-8 `-x)[xÛ `-x)(xÛ ={x(x-1)}{(x-2)(x+1)}-8 =(xÛ =(xÛ ㉠에서 xÛ t(t-2)-8 `+{(-2)+1}x+(-2)_1]-8 `-x-2)-8 yy ㉠ `-x를 t로 치환하면 `-2t-8 `+{(-4)+2}t+(-4)_2 =tÛ =tÛ =(t-4)(t+2) yy ㉡ `-x를 대입하면 `-x+2)이다. `-x-4)(xÛ ㉡에서 t에 xÛ (xÛ `+{(-2)+(-3)}x+(-2)_(-3)]+9 `-5x+6)+9 yy ㉠ 유제 04 x(x-2)(x-3)(x-5)+9 =tÛ =tÛ `-5x)[xÛ `-5x)(xÛ ={x(x-5)}{(x-2)(x-3)}+9 =(xÛ =(xÛ ㉠에서 xÛ t(t+6)+9 `-5x를 t로 치환하면 `+6t+9 `+2_t_3+3Û (t+3)Û = ` `-5x를 대입하면 (xÛ ` 따라서 a=-5, b=3이므로 a+b=(-5)+3=-2 ㉡에서 t에 xÛ `-5x+3)Û yy ㉡ ` 답 ④ 답 ④ 답 ① 답 ② 유제 08 aÛ 본문 124쪽 Ⅱ - 0 6 . 인 수 분 해 공 식 의 활 용 `-x+3y `-9yÛ xÛ `= )-(x-3y) `-9yÛ =(xÛ ` `-(x-3y) =xÛ `-(3y)Û =(x+3y)(x-3y)-(x-3y) ={(x+3y)-1}(x-3y) =(x+3y-1)(x-3y) 따라서 주어진 다항식의 인수인 것은 ② x-3y와 ③ x+3y-1이다. 답 ②, ③ 유제 07 xÛ `-36+12y-yÛ xÛ `= =xÛ =xÛ `-12y+36) `-(yÛ `-(yÛ `-2_y_6+6Û `-(y-6)Û ` {x+(y-6)}{x-(y-6)} ) ` = =(x+y-6)(x-y+6) 따라서 두 일차식은 x+y-6과 x-y+6이므로 구하는 합은 (x+y-6)+(x-y+6)=2x 답 2x ` `-16cÛ `-10ab+25bÛ )-16cÛ `-10ab+25bÛ `-2_a_5b+(5b)Û `-(4c)Û (aÛ `= ={aÛ =(a-5b)Û ` ={(a-5b)+4c}{(a-5b)-4c} =(a-5b+4c)(a-5b-4c) 따라서 주어진 식의 인수인 것은 ④ a-5b-4c이다. ` }-16cÛ ` ` 답 ④ 유제 09 주어진 식의 좌변을 x에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해하면 xÛ `+3x-2y+2 `-2y+2 `+y-1) `+3x-4yÛ `+3x-2(2yÛ `+3x-2(2y-1)(y+1) `+3x+(-2y+1)(2y+2) `+{(-2y+1)+(2y+2)}x+(-2y+1)(2y+2) `-4yÛ =xÛ =xÛ =xÛ =xÛ =xÛ ={x+(-2y+1)}{x+(2y+2)} =(x-2y+1)(x+2y+2) 따라서 A=x-2y+1이다. 답 x-2y+1 유제 10 xÛ 주어진 식의 좌변을 z에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해하면 `+2xy+xz-3yÛ =xz-yz+xÛ `-yz `+2xy-3yÛ = ` ) ` `+2yx-3yÛ `+{3y+(-y)}x+3y_(-y)] (x-y)z+(xÛ =(x-y)z+[xÛ =(x-y)z+(x+3y)(x-y) =(x-y){z+(x+3y)} =(x-y)(x+3y+z) 따라서 주어진 식의 인수인 것은 ④ x+3y+z이다. 유제 11 2.53Û `+2_2.53_1.47+1.47Û (2.53+1.47)Û ` `= =4Û` =16 답 ④ 답 ③ 유제 12 38Û `+61Û `-1-22Û ) ` ) `-1)+(61Û )+(61Û `-1Û ` `-22Û (38Û `= ` =(38Û `-22Û =(38+1)(38-1)+(61+22)(61-22) =39_37+83_39 =39_(37+83) =39_120 Ⅱ. 인수분해 06. 인수분해 공식의 활용 25 유제 05 ab-4b-5a+20 =b(a-4)-5(a-4) =(a-4)(b-5) 답 (a-4)(b-5) ∴ 38Û`+61Û`-1-22Û` 60 39_120 60 =78 = 답 ② 유제 13 xÛ `+2x-yÛ `+2y ㉠에 x+y=4+' (x+y)(x-y+2) `-yÛ `+2x+2y =xÛ =(x+y)(x-y)+2(x+y) =(x+y)(x-y+2) yy ㉠ 7, x-y=2-' =(4+' 7)(2-' 7)(4-' =(4+' =4Û 7)Û `-( ` ' =16-7 =9 7을 대입하면 7+2) 7) 답 ⑤ 유제 14 xÛ `-4xy+4yÛ xÛ `-2_x_2y+(2y)Û `= (x-2y)Û = ` ` 이때 x-2y 이므로 5)-2( 5-2 ' 3+2 3-' 5 ' ' 5) =(2 =2 =3 ' ' 3+' ' 3+' 5 (3 (x-2y)Û ' 따라서 구하는 값은 45이다. `= `= 5)Û 45 유제 15 주어진 삼각형의 넓이 aÛ` +3ab-10bÛ` aÛ` =(a+5b)(a-2b) +3ab-10bÛ`을 인수분해하면 따라서 ;2!;_(a+5b)_(밑변의 길이)=(a+5b)(a-2b)이므로 삼각형의 밑변의 길이는 2_(a-2b)=2a-4b 유제 16 주어진 직사각형의 넓이 xÛ` +xy-5x-6y-6을 차수가 낮은 y에 대하여 내림차순으로 정리한 후 인수분해하면 답 ③ (cid:89)(cid:12)(cid:90)(cid:12)(cid:18) -5x-6 (x-6)y+xÛ` =(x-6)y+(x+1)(x-6) =(x-6)(x+y+1) 이때 직사각형의 세로의 길이가 x-6이므로 가로의 길이는 x+y+1이다. 따라서 주어진 직사각형의 둘레의 길이는 2_{(x-6)+(x+y+1)} (cid:89)(cid:14)(cid:23) 유제 17 사각형 ABFE는 한 변의 길이가 1인 정사각형이므로 ABÓ AEÓ =1 = EDÓ ADÓ AEÓ =2x-1 - = (cid:34) (cid:18) (cid:35) (cid:18) (cid:38) (cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:18) (cid:37) (cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:18) (cid:41) (cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:89) (cid:36) (cid:42) (cid:40) (cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:89) (cid:43) (cid:39) (cid:21)(cid:89)(cid:14)(cid:20) EDÓ 사각형 EGHD는 한 변의 길이가 2x-1인 정사각형이므로 DHÓ= CHÓ = 사각형 IJCH는 한 변의 길이가 2-2x인 정사각형이므로 JCÓ =1-(2x-1)=1-2x+1=2-2x =2x-1 DHÓ CHÓ DCÓ - JIÓ =2-2x yy ㉠ =(2x-1)-(2-2x) = = FCÓ FJÓ - JCÓ = =2x-1-2+2x =4x-3 yy ㉡㉠, ㉡에 의하여 JIÓ Û` FJÓ Û` = - `-(2-2x)Û (4x-3)Û ` {(4x-3)+(2-2x)}{(4x-3)-(2-2x)} = =(4x-3+2-2x)(4x-3-2+2x) =(2x-1)(6x-5) 26 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) Step 3. 단원 마무리하기 답 ⑤ 01 ③ 02 ②, ⑤ 03 본문 130쪽 따라서 a=2, b=-1, c=6, d=-5 또는 a=6, b=-5, c=2, d=-1이므로 a+b+c+d의 값은 2+(-1)+6+(-5)=2 답 ⑤ 유제 18 4¡` =44_2 -1 -1Û ` (4Ý`)Û `-1Û ` = -1) +1)(4Ý` =(4Ý` +1)(42_2 ) =(4Ý` -1Û ` `-1Û`} =(4Ý` +1){(4Û )Û ` -1) `+1)(4Û` =(4Ý` +1)(4Û `+1)(4+1)(4-1) =(4Ý` +1)(4Û =257_17_5_3 따라서 4¡` -1은 3, 5, 17, 257로 나누어떨어지고 9로는 나누어떨 답 ③ 어지지 않는다. (xy-5+z)(xy-5-z) 07 ⑤ 9 ② ⑤ 12 17 ① ⑤ 08 13 18 ⑤ ④ ⑤ 06 11 16 04 ②, ④ 05 09 14 19 ③ ② ② 10 15 20 ② ① ③ ② 01 주어진 식을 인수분해하면 =xy(xÛ yÛ xÜ`y+2xÛ `+xyÜ` ` 02 주어진 식을 인수분해하면 `+2xy+yÛ ` )=xy(x+y)Û ` 답 ③ (x-3)yÛ `-6(3-x)y-8(3-x) `+6y(x-3)+8(x-3) =(x-3)yÛ `+6y+8) =(x-3)(yÛ =(x-3)(y+2)(y+4) 따라서 주어진 식의 인수가 아닌 것은 ② x+3, ⑤ y+6이다. 답 ②, ⑤ `-10xy+25 =(xÛ = ` {(xy)Û` yÛ `-10xy+25)-zÛ -2_xy_5+5Û`} (xy-5)Û `-zÛ (xy-5+z)(xy-5-z) ` = = ` -zÛ ` 답 (xy-5+z)(xy-5-z) (x+1)Û `-4(y+1)Û 04 x+1=X, y+1=Y로 치환하여 주어진 식을 인수분해하면 `-4YÛ XÛ `= ` =(X+2Y)(X-2Y) ={(x+1)+2(y+1)}{(x+1)-2(y+1)} =(x+2y+3)(x-2y-1) 따라서 주어진 식의 인수인 것은 ② x-2y-1, ④ x+2y+3이다. 답 ②, ④ 05 12xÛ `-8xy-4yÛ 4(3xÛ `-2xy-yÛ `= =4(3x+y)(x-y) yy ㉠ ` ) ㉠에 x=1.25, y=0.25를 대입하면 4_(3_1.25+0.25)_(1.25-0.25) =4_(3.75+0.25)_1 =4_4_1 =16 따라서 구하는 값은 16이다. 답 ② =2_(2x+y-5) =4x+2y-10 답 4x+2y-10 03 xÛ yÛ `-zÛ ` 06 주어진 식을 인수분해하면 (y-1)-9y+9 xÛ ` (y-1)-9(y-1) =xÛ ` -9)(y-1) =(xÛ` =(x+3)(x-3)(y-1) a)(x+ b)(y+ c)이므로 (x+3)(x-3)(y-1)=(x+ abc의 값은 3_(-3)_(-1)=9 2(2x-5)Û `+7(2x-5)-4 07 2x-5=X로 치환하여 주어진 식을 인수분해하면 +7X-4 =2XÛ` =(2X-1)(X+4) = =(4x-11)(2x-1) {2(2x-5)-1}{(2x-5)+4} 08 157Û = `+203Û (157Û `-197Û ` `-143Û )+(203Û `-143Û ` `-197Û =(157+143)(157-143)+(203+197)(203-197) =300_14+400_6=4200+2400=6600 ) ` 답 9 답 ⑤ 답 ⑤ -4a이므로 09 ① -4aÛ 인수분해하면 `-12ab에서 -4aÛ ② `+144=-9(xÛ ③ (a+b)x-(a+b)(z-y) -9xÛ 과 -12ab의 공통인수가 -4aÛ ` `-12ab=-4a(a+3b) `-16)=-9(x+4)(x-4) =(a+b){x-(z-y)} =(a+b)(x-z+y) =(a+b)(x+y-z) ④ (x+y)Û `-6(x+y)+8에서 합이 -6, 곱이 8이 되는 두 수는 -2, -4이므로 (x+y)Û `-6(x+y)+8 = =(x+y-2)(x+y-4) {(x+y)-2}{(x+y)-4} ⑤ (3x+2)Û `-(3-x)Û ` {(3x+2)+(3-x)}{(3x+2)-(3-x)} = =(3x+2+3-x)(3x+2-3+x) =(2x+5)(4x-1) 따라서 인수분해가 바르게 된 것은 ③이다. 답 ③ 10 xÛ `+16yÛ `-4-4xÛ ` yÛ ` `-4) xÛ `= `-4-4xÛ yÛ ` `-4)-4yÛ (xÛ )(xÛ ` `-(2y)Û = =(1-4yÛ {1Û `+16yÛ (xÛ ` `-4) }(xÛ `-2Û ` ) = =(1+2y)(1-2y)(x+2)(x-2) ` 따라서 주어진 식의 인수가 아닌 것은 ① x+2y이다. 답 ① xÛ`-(xÛ`-2Û`) (xÛ`-2_x_1+1Û`)-[xÛ`+{3+(-5)}x+3_(-5)] 11 2018을 x라 하면 2018Û`-2020_2016 2017Û`-2021_2013 xÛ`-(x+2)(x-2) (x-1)Û`-(x+3)(x-5) = = = = xÛ`-xÛ`+2Û` (xÛ`-2x+1)-(xÛ`-2x-15) 4 xÛ`-2x+1-xÛ`+2x+15 =;1¢6; =;4!; 답 ② 본문 135쪽 12 주어진 식에서 3x+7=X로 치환하여 인수분해하면 (3x+7)Û `-2(3x+7)-15 `-2X-15 =XÛ =(X+3)(X-5) =(3x+7+3)(3x+7-5) =(3x+10)(3x+2) 따라서 (3x+10)(3x+2)=(3x+a)(3x+b)이므로 a+b=10+2=12 답 ① 13 주어진 식을 인수분해하면 `-4yÛ `+3x+6y xÛ ` `-4yÛ )+(3x+6y) =(xÛ =(x+2y)(x-2y)+3(x+2y) =(x+2y)(x-2y+3) 따라서 구하는 두 일차식은 x+2y, x-2y+3이므로 두 일차식의 합은 (x+2y)+(x-2y+3)=2x+3 답 ④ 14 9xÛ `-12x+4-yÛ (9xÛ `-12x+4)-yÛ ` `= ` = = -2_3x_2+2Û`}-yÛ {(3x)Û` (3x-2)Û` ` {(3x-2)+y}{(3x-2)-y} -yÛ = =(3x+y-2)(3x-y-2) 따라서 주어진 식은 두 일차식 3x+y-2와 3x-y-2의 곱으로 인수 분해되므로 두 일차식의 합은 (3x+y-2)+(3x-y-2)=6x-4 답 ② 15 3a-2b=X로 치환하여 주어진 식을 인수분해하면 `-7(3a-2b+1)+19 (3a-2b)Û Ⅱ - 0 6 . 인 수 분 해 공 식 의 활 용 16 x+y=X로 치환하여 주어진 식을 인수분해하면 (x+y-3)(x+y+5)-20 `-7(X+1)+19 =XÛ `-7X-7+19 =XÛ `-7X+12 =XÛ =(X-3)(X-4) =(3a-2b-3)(3a-2b-4) 답 ③ =(X-3)(X+5)-20 `+2X-15-20 =XÛ `+2X-35 =XÛ =(X+7)(X-5) =(x+y+7)(x+y-5) 답 ⑤ 17 x= 2 13+ 11) '¶ 11) '¶ '¶ ( 11 '¶ 2( 13+ 11) '¶ 13- '¶ 11) 11)Û` 13- '¶ 11)( '¶ 13- '¶ '¶ 13)Û`-( '¶ 11) 13- '¶ '¶ 13-11 '¶ 2( ( '¶ 2( x= x= x= x= 2( '¶ 13- 2 '¶ 11) x= 13- 11 '¶ '¶ y= y= y= y= 2 13- 11 '¶ ( '¶ 2( '¶ 2( 13- 11) '¶ 13+ '¶ 11) 11)Û` 13+ '¶ 11)( '¶ 13+ '¶ '¶ 13)Û`-( '¶ 11) 13+ '¶ '¶ 13-11 ( '¶ 2( y= 2( '¶ 13+ 2 '¶ 11) y= 13+ 11 '¶ '¶ Ⅱ. 인수분해 06. 인수분해 공식의 활용 27 본문 137쪽 07 이차방정식의 풀이 (1) `=(x+y)Û ` xÛ `+2xy+yÛ 이때 x+y =( '¶ =2 13 '¶ 이므로 구하는 값은 13- 11)+( '¶ '¶ 13+ 11) '¶ 18 xÛ (x+y)Û `= (2 13)Û '¶ `=4_13=52 답 ⑤ `+xy+10y-4 `+10y-4 `+yx-6yÛ `-5y+2) `+yx-2(3yÛ `+yx-2(3y-2)(y-1) `+yx+(3y-2)(-2y+2) `+{(3y-2)+(-2y+2)}x+(3y-2)(-2y+2) `-6yÛ =xÛ =xÛ =xÛ =xÛ =xÛ ={x+(3y-2)}{x+(-2y+2)} =(x+3y-2)(x-2y+2) 따라서 주어진 식은 두 일차식 x+3y-2와 x-2y+2의 곱으로 인수 분해되므로 구하는 두 일차식의 합은 (x+3y-2)+(x-2y+2)=2x+y 답 ⑤ Step 1. 개념 다지기 07-1 이차방정식의 정의 기본연습 1 주어진 등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하면 (1) -3xÛ` +5x+12=0이므로 이차방정식이다. -5x+3=0이므로 이차방정식이다. (2) 4xÛ` (3) 5x-7=0이므로 일차방정식이다. (4) 6xÛ` +13x=0이므로 이차방정식이다. 연습 1 답 (1) ◯ (2) ◯ (3)_ (4) ◯ 주어진 식을 정리하면 (5-a)xÛ` 이차방정식이 되려면 xÛ`의 계수가 0이 아니어야 하므로 5-a+0 +3x+7=0 ∴ a+5 답 a+5 19 xÛ `+18y+9 `-6x+18y+9 `-6xy+9yÛ =xÛ =xÛ =xÛ xÛ `+18y+9 `-6yx-6x+9yÛ `+(-6y-6)x+9yÛ `+(-6y-6)x+(3y)Û `+(-6y-6)x+(3y+3)Û `-2(3y+3)x+(3y+3)Û ` `-2_x_(3y+3)+(3y+3)Û {x-(3y+3)}Û ` (x-3y-3)Û xÛ xÛ ` ` ` = = = = = `+2_3y_3+3Û ` 20 (a-3)(a-4)(a+4)(a+5)-84 ={(a-3)(a+4)}{(a-4)(a+5)}-84 =(aÛ 위 식에서 aÛ `+a-20)-84 `+a-12)(aÛ `+a를 t로 치환하면 `+{(-12)+(-20)}t+(-12)_(-20)-84 `-32t+240-84 `-32t+156 `+{(-26)+(-6)}t+(-26)_(-6) (t-12)(t-20)-84 =tÛ =tÛ =tÛ =tÛ =(t-26)(t-6) yy ㉠ `+a를 대입하면 ㉠에서 t에 aÛ `+a-6) `+a-26)(aÛ (aÛ =(aÛ =(aÛ `+a-26)[aÛ `+a-26)(a-2)(a+3) `+{(-2)+3}a+(-2)_3] 답 ② 28 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 07-2 이차방정식의 해(근) 답 ② 기본연습 2 -9=0에 대입하면 -9=9-9=0 (1) x=-3을 xÛ` (좌변)=(-3)Û` (2) x=-1을 x(x-5)=8에 대입하면 (좌변)=(-1)_(-1-5)=6+8 -10x+21=0에 대입하면 (3) x=7을 xÛ` (좌변)=7Û` -10_7+21=49-70+21=0 답 (1) 이차방정식의 해이다. (2) 이차방정식의 해가 아니다. (3) 이차방정식의 해이다. 연습 2 주어진 이차방정식의 한 근이 x=3이므로 +2x-a=0에 x=3을 대입하면 xÛ` +2_3-a=0, 15-a=0 ∴ a=15 3Û` 답 15 07-3 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 기본연습 3 x=4 또는 x=7 (1) (x-4)(x-7)=0에서 x-4=0 또는 x-7=0이므로 (2) 2(x+3)(x-5)=0에서 x+3=0 또는 x-5=0이므로 x=-3 또는 x=5 (3) xÛ` -8x+15=0의 좌변을 인수분해하면 (x-3)(x-5)=0이므로 x-3=0 또는 x-5=0 ∴ x=3 또는 x=5 (4) 3xÛ` -4x+1=0의 좌변을 인수분해하면 (3x-1)(x-1)=0이므로 (1) 3x-1=0 또는 x-1=0 ∴ x=;3!; 또는 x=1 연습 3 답 (1) x=4 또는 x=7 (2) x=-3 또는 x=5 또는 x=1 답 (3) x=3 또는 x=5 (4) x=;3!; -13x+4=0의 좌변을 인수분해하면 주어진 이차방정식 3xÛ` (3x-1)(x-4)=0, 3x-1=0 또는 x-4=0 ∴ x=;3!; 또는 x=4 답 x=;3!; 또는 x=4 본문 143쪽 Ⅲ - 0 7 . 이 차 방 정 식 의 풀 이 ( 1 ) xÛ` -3x+{ -3 2 } =;2#;+{ 2` -3 2 } 2` Ú xÛ`의 계수로 양변을 나누어 xÛ`의 계수 를 1로 만든다. Û 상수항을 우변으로 이항한다. Ü 양변에 (x의 계수) 2 를 제곱한 값을 더한다. Ý 좌변을 완전제곱식으로 나타내고 우변을 정리한다. Þ 제곱근을 구한다. ß 이차방정식의 해를 구한다. (2) -3xÛ` +12x+6=0에 대하여 (2) Ú xÛ`의 계수로 양변을 나누어 xÛ`의 계수 를 1로 만든다. Û 상수항을 우변으로 이항한다. Ü 양변에 를 제곱한 값을 (x의 계수) 2 더한다. xÛ` -3x-;2#;=0 xÛ` -3x=;2#; x-;2#;} { =;;Á4°;; 2` x-;2#;= Ñ '¶ 15 2 x= 3Ñ 15 2 '¶ xÛ` -4x-2=0 xÛ` -4x=2 우변을 정리한다. Þ 제곱근을 구한다. ß 이차방정식의 해를 구한다. (x-2)Û` =6 x-2= Ñ 6 ' x=2Ñ ' 6 답 (1) x=;3!; (중근) (2) x=-5 (중근) Ý 좌변을 완전제곱식으로 나타내고 xÛ` -4x+{ -4 2 } =2+{ -4 2 } 2` 2` ∴ x=6 (중근) 답 42 연습 6 답 풀이 참조 이차방정식 5xÛ` +5x-1=0의 양변을 5로 나누면 xÛ` +x-;5!;=0, xÛ` +x=;5!; xÛ` +x+;4!;=;5!;+;4!; , { x+;2!;} =;5!;+;4!; x+;2!;} { =;2»0; , x+;2!;= Ñ 2` ®Â;2»0; , x+;2!;= Ñ 3 5 ' 10 2` ∴ x=-;2!; Ñ 3 5 ' 10 답 x=-;2!; Ñ 3 5 ' 10 07-4 중근을 갖는 이차방정식 기본연습 4 =0에서 3x-1=0 +10x+25=0에서 (x+5)Û` (1) (3x-1)Û` (2) xÛ` ∴ x=-5 (중근) (중근) ∴ x=;3!; =0이므로 x+5=0 연습 4 -12 2 이차방정식 xÛ` -12x+k=0이 중근을 가지므로 =(-6)Û` -12x+36=0에서 (x-6)Û` k={ xÛ` 따라서 k의 값과 중근의 합은 36+6=42 =36 } =0이므로 x-6=0 2` 07-5 제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이 기본연습 5 (1) xÛ` (2) 20-5xÛ` ∴ x= (3) (x-2)Û` ∴ x=2Ñ (4) 7(x+3)Û` x+3= -7=0에서 xÛ` =7이므로 x= Ñ 7 ' =20이므로 xÛ` =4 =0에서 5xÛ` Ñ2 -5=0에서 (x-2)Û` =5이므로 x-2= Ñ 5 ' 5 ' =63에서 양변을 7로 나누면 (x+3)Û` Ñ3 ∴ x=-6 또는 x=0 =9 연습 5 5`이므로 x=4Ñ =10에서 양변을 2로 나누면 (x-4)Û` 2(x-4)Û` Ñ x-4= ' 이를 x=aÑ ∴ a+b=4+5=9 b`와 비교하면 a=4, b=5 5 ' ' =5 답 (1) x= Ñ ' (3) x=2Ñ (2) x= 7 Ñ2 5 (4) x=-6 또는 x=0 ' 01 ②, ③ 02 Step 2. 대표 문제로 접근하기 06 11 16 21 26 ② ③ ② ④ 5 답 9 ⑤ ③ ③ ② ② 03 08 13 18 23 ③ 5 x=2 ③ 04 09 14 ② ① ③ 05 10 19 풀이참조 20 ② 24 ③ 25 ② 2 ③ ④ 15 ③, ④ 07 12 17 22 07-6 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이 기본연습 6 (1) 2xÛ` -6x-3=0에 대하여 유제 01 ① 등호가 없으므로 이차방정식이 아니다. axÛ` +bx+c`(a+0)의 꼴은 이차식이다. +xÛ` +xÛ` -x+2에서 우변의 식을 좌변으로 이항하면 +x-2=0, xÛ` -x-2=0 -2x=xÜ` -2x-xÜ` ② xÜ` xÜ` 따라서 주어진 식은 이차방정식이다. Ⅲ. 이차방정식 07. 이차방정식의 풀이 (1) 29 +5에서 우변의 식을 좌변으로 이항하면 ③ 3x-2=xÛ` -5=0, 3x-2-xÛ` +3x-7=0 따라서 주어진 식은 이차방정식이다. -xÛ` +1=(x-2)Û` +5x =xÛ` ④ xÛ` (x-2)Û` xÛ` +5x에서 우변의 식을 전개하면 +x+4이므로 -4x+4+5x=xÛ` +1=xÛ` +1-xÛ` +x+4에서 우변의 식을 좌변으로 이항하면 -x-4=0, -x-3=0 xÛ` 따라서 주어진 식은 이차방정식이 아니다. +3=(x-2)(x-3)에서 우변의 식을 전개하면 +2xÛ` ⑤ xÜ` (x-2)(x-3)=xÛ` xÜ` -5x+6이므로 +2xÛ` +2xÛ` +3=xÛ` +3-xÛ` 따라서 이차방정식이 아니다. xÜ` -5x+6에서 우변의 식을 좌변으로 이항하면 +5x-6=0, xÜ` +5x-3=0 +xÛ` 그러므로 이차방정식인 것은 ②, ③이다. 답 ②, ③ 유제 02 +12x-4에서 +(-1+3)x+(-1)_3}=-axÛ` +2x-3)=-axÛ` -6x+9=-axÛ` -6x+9+axÛ` -3(x-1)(x+3)=-axÛ` -3{xÛ` -3(xÛ` -3xÛ` -3xÛ` (-3+a)xÛ` -18x+13=0 이 식이 x에 대한 이차방정식이므로 +12x-4 -12x+4=0 +12x-4 +12x-4 -3+a+0 답 ⑤ ∴ a+3 다른풀이 -3(x-1)(x+3)=-axÛ` -3_x_x=-3xÛ`이므로 xÛ`의 계수는 우변에서 xÛ`의 계수는 -3이다. +12x-4의 좌변에서 xÛ`의 항을 구하면 -a이고, 양변의 xÛ`의 계수가 같으면 이항했을 때 ㉠ 소거되므로 이차방정식이 될 수 없다. 따라서 -3+ -a이므로 a+3 유제 03 ① 이차방정식 xÛ` (좌변)=(-3)Û` 따라서 -3x=0에 x=-3을 대입하면 +(-3)_(-3)=9+9=18+0=(우변) -3은 이차방정식 xÛ` -3x=0의 해가 아니다. -9=0=(우변) -7=0에 x=0을 대입하면 -7=0의 해가 아니다. -9=0에 x=6을 대입하면 ② 이차방정식 xÛ` (좌변)=0-7=-7+0=(우변) 따라서 0은 이차방정식 xÛ` ③ 이차방정식 (x-3)Û` (좌변)=(6-3)Û` 따라서 6은 이차방정식 (x-3)Û` -9=0의 해이다. ④ 이차방정식 (x-5)(x+7)=0에 x=7을 대입하면 (좌변)=(7-5)(7+7)=28+0=(우변) 따라서 7은 이차방정식 (x-5)(x+7)=0의 해가 아니다. ⑤ 이차방정식 3xÛ` (좌변)=3_(-3)Û` 따라서 -10x+3=0에 x=-3을 대입하면 +(-10)_(-3)+3=60+0=(우변) -10x+3=0의 해가 아니다. -3은 이차방정식 3xÛ` 그러므로 [ ] 안의 수를 해로 갖는 것은 ③이다. 답 ③ 유제 04 ① xÛ` +2x+2=0에 x=-1을 대입하면 (좌변)=(-1)Û` +2_(-1)+2=1+0=(우변) 따라서 주어진 이차방정식은 x=-1을 근으로 갖지 않는다. ② x(x-1)=2에 x=-1을 대입하면 따라서 주어진 이차방정식은 x=-1을 근으로 갖는다. (좌변)=(-1)_(-1-1)=2=(우변) 30 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 본문 146쪽 (좌변)=(-1+1)Û` =1에 x=-1을 대입하면 ③ (x+1)Û` =0+1=(우변) 따라서 주어진 이차방정식은 x=-1을 근으로 갖지 않는다. ④ 2xÛ` -x-2=0에 x=-1을 대입하면 (좌변)=2_(-1)Û` -(-1)-2=1+0=(우변) 따라서 주어진 이차방정식은 x=-1을 근으로 갖지 않는다. ⑤ xÛ` -4x+3=0에 x=-1을 대입하면 (좌변)=(-1)Û` +(-4)_(-1)+3=8+0=(우변) 따라서 주어진 이차방정식은 x=-1을 근으로 갖지 않는다. 그러므로 x=-1을 근으로 갖는 이차방정식은 ②이다. 답 ② 유제 05 x=;3@; 가 이차방정식 3xÛ` +(a-1)x-a=0의 근이므로 이 식에 x 를 대입했을 때 등식이 성립해야 한다. =;3@; 3_{;3@;} +(a-1)_;3@;-a=0이므로 2` 3_;9$;+;3@; a-;3@;-a=0, ;3$;+;3@; a-;3@;-a=0 -;3!; a+;3@;=0, a=;3@; ;3!; ∴ a=2 답 ② 유제 06 이차방정식 (x+2)(3x+a)=b의 해가 x=-5 또는 x=1이므로 …… ㉠ 이차방정식에 x=-5를 대입하면 (-5+2)(-15+a)=b, (-3)_(-15+a)=b ∴ 45-3a=b 이차방정식에 x=1을 대입하면 (1+2)(3_1+a)=b, 3(3+a)=b ∴ 9+3a=b …… ㉡ + ㉡을 하면 2b=54 b=27을 ㉡에 대입하면 9+3a=27, 3a=18 ∴ a+b=6+27=33 ∴ b=27 ∴ a=6 답 ② 유제 07 이차방정식 2xÛ` 2xÛ` +5x-2=0의 한 근이 x= a이므로 a를 대입하면 등식이 성립한다. +5x-2=0에 x= -2=0 ∴ 2aÛ` +5a =0이면 위의 식이 성립하지 않으므로 a+0 2 -2=0의 양변을 a로 나누면 2a a =0 +5- 이때 a 2aÛ` +5a 2a - 2 a =-5 ∴ a 1 a =-;2%; - 답 ③ 유제 08 이차방정식 xÛ` xÛ` +3x+2=0의 한 근이 x= a이므로 a를 대입하면 등식이 성립한다. +3x+2=0에 x= +2=0 ∴ aÛ` +3a =0이면 위의 식이 성립하지 않으므로 a+0 +2=0의 양변을 a로 나누면 2 2 ∴ a a =0 a =-3 + 이때 a +3a aÛ` a +3+ a + 2 a =-3의 양변을 제곱하면 { 4 aÛ` =9, aÛ` 2 a + +4+ _ a a + 2 a } 2` 4 aÛ` =9 aÛ` +2_ =(-3)Û` ∴ aÛ` + 4 aÛ` =5 답 5 유제 09 3(x+2)(3x-1)=4-xÛ` 에서 3(3xÛ` +15x-6=4-xÛ`, 9xÛ` +15x-10=0 10xÛ` 9xÛ` +5x-2)=4-xÛ` =0 +15x-6-4+xÛ` 유제 15 이차방정식 xÛ` +ax+b=0이 중근을 가지려면 b={ 이어야 본문 150쪽 a 2 } 2` Ⅲ - 0 7 . 이 차 방 정 식 의 풀 이 ( 1 ) 한다. ① xÛ` -2x-15=0에서 따라서 이차방정식 xÛ` -2 2 } { =1 -15+ -2x-15=0은 중근을 갖지 않는다. 2` ② xÛ` -16=0에서 따라서 이차방정식 xÛ` -16+ =0 {;2);} 2` -16=0은 중근을 갖지 않는다. ③ xÛ` +10x+25=0에서 25= {;;Á2¼;;} 따라서 이차방정식 xÛ` +10x+25=0은 중근을 갖는다. 2` ④ 4xÛ` +4x+1=0의 양변을 4로 나누면 xÛ` +x+;4!;=0 ;4!;={;2!;} 이므로 이차방정식 4xÛ` +4x+1=0은 중근을 갖는다. ⑤ xÛ` 2` +5x=0에서 0+ 따라서 이차방정식 xÛ` =;;ª4°;; {;2%;} +5x=0은 중근을 갖지 않는다. 2` 그러므로 중근을 갖는 이차방정식은 ③, ④이다. 답 ③, ④ 유제 16 ① 3-xÛ` =6(x+2)에서 3-xÛ` =6x+12, xÛ` +6x+9=0 이므로 이 이차방정식은 중근을 갖는다. 9={;2^;} 2` ② 3(x+4)Û` xÛ` =12의 양변을 3으로 나누면 (x+4)Û` +8x+12=0 +8x+16=4, xÛ` =4 12+ {;2*;} =16이므로 이 이차방정식은 중근을 갖지 않는다. 이므로 이 이차방정식은 중근을 갖는다. -2x+1=0 -2 2 } 2` ③ x(x-2)=-1에서 xÛ` 1={ ④ 9-6x=(x-3)Û` 에서 9-6x=xÛ` ∴ x=0 (중근) xÛ` 2` =0 -5(x-5)Û` -6x+9 =0에서 (x-5)Û` ⑤ =0 (완전제곱식)=0의 꼴이므로 이 이차방정식은 중근을 갖는다. 답 ② 따라서 중근을 갖지 않는 이차방정식은 ②이다. 유제 17 3xÛ` xÛ` xÛ` +12x+3k-6=0의 양변을 3으로 나누면 +4x+k-2=0 +4x+k-2=0이 중근 a를 가지므로 ∴ k=6 +4x+k-2=0에 대입하면 =0, x+2=0 +4x+4=0, (x+2)Û` =k-2에서 4=k-2 {;2$;} 2` k=6을 xÛ` xÛ` ∴ x=-2 (중근) 따라서 a =-2이다. 유제 18 xÛ` +ax+4=0이 중근을 가지려면 4 =4, aÛ` =4에서 aÛ` {;2A;} ∴ a=-4 또는 a=4 따라서 모든 상수 a의 값의 합은 (-4)+4=0 =4_4=16 2` 답 ② 답 ③ 답 ① 답 2 양변을 5로 나누면 2xÛ` +3x-2=0 좌변을 인수분해하면 (x+2)(2x-1)=0, x+2=0 또는 2x-1=0 ∴ x=-2 또는 x=;2!; 유제 10 2xÛ` -x-10=0에서 좌변을 인수분해하면 (x+2)(2x-5)=0, x+2=0 또는 2x-5=0 ∴ x=-2 또는 x=;2%; 따라서 a =-2, b =;2%; 이고 -2<x< 구하는 합은 ;2%; 인 정수 x는 -1, 0, 1, 2이므로 -1+0+1+2=2 유제 11 이차방정식 xÛ` +3ax+4a=0의 한 근이 x=2이므로 x=2를 대입하면 2Û` 4+10a=0, 10a=-4 +3a_2+4a=0 ∴ a=-;5@; 이차방정식 xÛ` +3ax+4a=0에 a=-;5@; 를 대입하면 xÛ` +3_{-;5@;}_x+4_{-;5@;}=0, xÛ` -;5^; x-;5*;=0 -6x-8=0 양변에 5를 곱하면 5xÛ` 좌변을 인수분해하면 (5x+4)(x-2)=0 ∴ x=-;5$; 5x+4=0 또는 x-2=0 또는 x=2 따라서 주어진 이차방정식의 다른 한 근은 x=-;5$; 이므로 a의 값과 다른 한 근의 곱은 {-;5@;}_{-;5$;}=;2¥5; 답 ③ 유제 12 -ax+3=0의 한 근이 x=3이므로 x=3을 대입 이차방정식 2xÛ` 하면 2_3Û` 이차방정식 2xÛ` -3a+3=0, 21-3a=0 ∴ a=7 -ax+3=0에 a=7을 대입하면 -7x+3=0 2xÛ` 좌변을 인수분해하면 (2x-1)(x-3)=0 2x-1=0 또는 x-3=0 ∴ x=;2!; 또는 x=3 따라서 b=;2!; 이므로 10ab=10_7_;2!;=35 답 ③ 유제 13 이차방정식 xÛ` -7x+10=0의 좌변을 인수분해하면 ∴ x=2 또는 x=5 -5x+6=0의 좌변을 인수분해하면 ∴ x=2 또는 x=3 (x-2)(x-5)=0 이차방정식 xÛ` (x-2)(x-3)=0 따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=2이다. 답 x=2 유제 14 xÛ` +x-6=0의 좌변을 인수분해하면 ∴ x=-3 또는 x=2 +ax+6=0에 대입하면 +a_(-3)+6=0, 9-3a+6=0 (x+3)(x-2)=0 Ú 공통인 근이 x=-3일 때 Ú x=-3을 xÛ` Ú (-3)Û` Ú15-3a=0 ∴ a=5 Û 공통인 근이 x=2일 때 Ú x=2를 xÛ` Ú 2Û` Ú 2a+10=0 ∴ a=-5 Ú, Û 에서 a=5 또는 a=-5 그런데 a의 값은 양수이므로 a=5이다. +a_2+6=0, 4+2a+6=0 +ax+6=0에 대입하면 유제 19 (1) xÛ` (2) 4xÛ` (3) 7xÛ` (4) 3xÛ` =10이므로 x= =81에서 xÛ` =35에서 xÛ` =27에서 xÛ` Ñ 10 '¶ 이므로 x= =;;¥4Á;; =5 ∴ x= Ñ =9이므로 x= 10 (2) x= Ñ ;2(; Ñ 답 (1) x= Ñ '¶ 5 ' 9 Ñ ®Â;;¥4Á;; ∴ x= Ñ ;2(; Ñ3 ∴ x= Ñ ' (3) x= ' 5 (4) x= Ñ3 답 ③ Ⅲ. 이차방정식 07. 이차방정식의 풀이 (1) 31 유제 20 이차방정식 3xÛ` -k=0에서 3xÛ` =k Step 3. 단원 마무리하기 본문 155쪽 xÛ` =;3K; ∴ x= 이때 이차방정식 3xÛ` Ñ ®;3K; -k=0의 해가 x= Ñ 5`이므로 ' ∴ k=15 ;3K;=5 따라서 kxÛ` -60=0에 k=15를 대입하면 15xÛ` -60=0 15xÛ` =60, xÛ` =4 ∴ x= Ñ2 Ñb ∴ x=-aÑb =bÛ` 에서 b¾0이므로 유제 21 이차방정식 (x+a)Û` x+a= 이때 이차방정식의 두 근이 x=-6 또는 x=2이므로 두 근의 합은 (-a+b)+(-a-b)=(-6)+2에서 -2a=-4 두 근의 차는 (-a+b)-(-a-b)=2-(-6)에서 2b=8 ∴ b=4 ∴ 3a-b=3_2-4=2 ∴ a=2 답 ④ =k`(k>0)에서 양변을 3으로 나누면 Ñ 유제 22 이차방정식 3(x-2)Û` , x-2= (x-2)Û` 이때 이차방정식 3(x-2)Û` 2Ñ 5`에서 =;3K; ®;3K; =2Ñ ' ®;3K; ®;3K; ∴ x=2Ñ =k의 해가 x=2Ñ ∴ k=15 ;3K; =5 5`이므로 ' 답 ② 유제 23 이차방정식 xÛ` -8 2 } 'Ä-k+16 -8x+k=0에서 xÛ` -8 =-k+{ 2 } 2` ∴ x=4Ñ -8x+{ Ñ xÛ` 2` x-4= 이때 주어진 이차방정식의 해가 x=4Ñ 4Ñ '¶ ∴ k=5 'Ä-k+16`에서 11=-k+16 11=4Ñ =-k+16 -8x=-k , (x-4)Û` 'Ä-k+16 '¶ 11이므로 답 ② 유제 24 xÛ` -8x=-10 양변에 { -8x+10=0에서 xÛ` -8 2 } -8x+16=-10+16 2` , 즉 16을 더하면 xÛ` (x-4)Û` =6 6 6 Ñ x-4= ' 따라서 A=-8, B=-10, C=16, D=-4, E=6이므로 A+B+C+D+E =(-8)+(-10)+16+(-4)+6 ∴ x=4Ñ ' =0 답 ③ 유제 25 이차방정식 xÛ` -2x-2=0의 한 근이 x= a이므로 xÛ` -2x-2=0 에 x= aÛ` -2a a를 대입하면 -2=0, aÛ` =2a 따라서 주어진 식에 aÛ` 2aÛ` 1+a + 4a 2-aÛ` = +1) +2 =2(a 2_2(a+1) =2(a ∴ aÛ` +1)을 대입하면 4a 2-2(a+1) a+1 + + 4(a+1) = a+1 + 4a -2a =4+(-2)=2 답 ④ 유제 26 이차방정식 xÛ` -2x-8=0에서 좌변을 인수분해하면 ∴ x=-2 또는 x=4 +ax+aÛ` (x+2)(x-4)=0 따라서 이차방정식의 두 근 중 음수인 근은 x=-2가 이차방정식 xÛ` 주어진 이차방정식에 x=-2를 대입하면 (-2)Û` aÛ` ∴ a=-3 또는 a=5 이때 a는 양수이므로 a=5 -2a-15=0에서 (a+3)(a-5)=0 +a_(-2)+aÛ` -19=0, 4-2a+aÛ` -2이다. -19=0의 근이므로 -19=0 32 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 01 ① 06 -135 11 12 02 07 ④ ④ 03 08 12 풀이참조 13 ⑤ ④ ② ② 04 09 14 19 ⑤ ① 16 ③ 05 10 15 20 ⑤ ① ⑤ 12 답 ③ 16 ④ 17 ③ 18 01 ① 7xÛ` =0은 (이차식)=0의 꼴이므로 이차방정식이다. ② 4(x-1)Û` =(2x-3)Û``에서 4(xÛ` 4xÛ` -8x+4-4xÛ` +12x-9=0, 4x-5=0 따라서 일차방정식이므로 이차방정식이 아니다. -2x+1)=4xÛ` -12x+9 ③ 등호가 없으므로 방정식이 아니다. ④ xÛ` +2x+10=xÛ``에서 2x+10=0 따라서 일차방정식이므로 이차방정식이 아니다. xÛ` ⑤ (x+2)(x-4)=1-2xÛ` +xÜ` -2x-8=1-2xÛ` -3xÛ` +2x+9=0 xÜ` +xÜ` 에서 따라서 최고차항이 삼차항이므로 이차방정식이 아니다. 그러므로 이차방정식인 것은 ①이다. 답 ① 02 ① (x+1)(x-3)=0에서 x=-1 또는 x=3 ② (x+1)(x+3)=0에서 x=-1 또는 x=-3 ③ (x-1)(x-3)=0에서 x=1 또는 x=3 ④ (x-1)(x+3)=0에서 x=1 또는 x=-3 ⑤ (2x-1)(x-3)=0에서 x=;2!; 또는 x=3 따라서 해가 x=1 또는 x=-3인 이차방정식은 ④이다. (좌변)=3Û` -10=0에 x=3을 대입하면 03 ① xÛ` -10=-1+0=(우변) 따라서 x=3은 주어진 이차방정식의 해가 아니다. ② (x+3)(x+4)=0에 x=3을 대입하면 (좌변)=(3+3)_(3+4)=42+0=(우변) 따라서 x=3은 주어진 이차방정식의 해가 아니다. ③ (x-2)Û` =0에 x=3을 대입하면 =1+0=(우변) 따라서 x=3은 주어진 이차방정식의 해가 아니다. ④ xÛ` (좌변)=(3-2)Û` +4x+4에 x=3을 대입하면 -x=-xÛ` (좌변)=3Û` -3=6, (우변)=-3Û` 따라서 x=3은 주어진 이차방정식의 해가 아니다. ⑤ 2xÛ` -5x-3=0에 x=3을 대입하면 +4_3+4=7 (좌변)=2_3Û` -5_3-3=18-15-3=0=(우변) 따라서 x=3은 주어진 이차방정식의 해이다. 그러므로 x=3을 해로 갖는 이차방정식은 ⑤이다. 답 ④ 답 ⑤ 답 ⑤ +6x-2k+1=0에 x=-3을 대입하면 +6_(-3)-2k+1=0 04 이차방정식 (k-2)xÛ` (k-2)_(-3)Û` 9(k-2)-18-2k+1=0, 9k-18-18-2k+1=0 7k-35=0, 7k=35 ∴ k=5 05 ① xÛ` +2x=0에 x=0을 대입하면 0Û` 따라서 x=0은 이 이차방정식의 해이다. =4에 x=-2를 대입하면 (-2)Û` ② xÛ` 따라서 x=-2는 이 이차방정식의 해이다. +2_0=0이므로 등식이 성립한다. =4이므로 등식이 성립한다. 답 5 답 +4_(-6)=36-24=12, -x-6=0에 x=-2를 대입하면 -(-2)-6=4+2-6=0이므로 등식이 성립한다. ③ xÛ` (-2)Û` 따라서 x=-2는 이 이차방정식의 해이다. ④ xÛ` +4x=-3x-6에 x=-6을 대입하면 (좌변)=(-6)Û` (우변)=(-3)_(-6)-6=12이므로 등식이 성립한다. 따라서 x=-6은 이 이차방정식의 해이다. ⑤ 3xÛ` +5x-2=0에서 x=2를 대입하면 3_2Û` 따라서 x=2는 이 이차방정식의 해가 아니다. 그러므로 [ ] 안의 수를 해로 갖지 않는 이차방정식은 ⑤이다. +5_2-2=12+10-2+0이므로 등식이 성립하지 않는다. +ax+5a=0과 계수를 비교하면 06 이차방정식 (x+3)(x-b)=0의 좌변을 전개하면 +(3-b)x-3b=0이므로 xÛ` xÛ` a=3-b yy ㉠ [ 5a=-3b yy ㉡㉡에 ㉠을 대입하면 5(3-b)=-3b, 15-5b=-3b 15=2b ∴ b=;;Á2°;; b=;;Á2°;; 를 ㉠에 대입하면 a=3-;;Á2°;;=-;2(; ∴ 4ab=4_{-;2(;}_;;Á2°;;=-135 답 -135 07 이차방정식 axÛ` +(a+3)x+6=0의 한 근이 x=2이므로 이 이차방정식에 x=2를 대입하면 a_2Û` 6a+12=0, 6a=-12 +(a+3)_2+6=0, 4a+2a+6+6=0 ∴ a=-2 08 이차방정식 3xÛ` -7x-6=0의 좌변을 인수분해하면 (3x+2)(x-3)=0이므로 3x+2=0 또는 x-3=0 또는 x=3 ∴ x=-;3@; 따라서 두 근 중 큰 근은 x=3이므로 +2a(x-a)+11=0에 x=3을 대입하면 xÛ` +2a(3-a)+11=0, 9+6a-2aÛ` 3Û` +11=0 -2aÛ` -3a-10=0 ∴ a=-2 또는 a=5 (a+2)(a-5)=0 -2이다. 따라서 음수 a의 값은 +6a+20=0, aÛ` 09 x에 대한 이차방정식 xÛ` -(a-1)x-(a-4)=0이 중근을 가지려면 =-(a-4)이어야 하므로 a-1 2 { } 2` aÛ`-2a+1 4 =-a+4, aÛ` -2a+1=-4a+16 -2a+1+4a-16=0, aÛ` aÛ` (a+5)(a-3)=0 +2a-15=0 ∴ a=-5 또는 a=3 10 이차방정식 xÛ` -5 2 } -5x+{ -5x+1=0에서 xÛ` -5 =-1+{ 2 } xÛ` -5x=-1 ∴ { 2` x-;2%;} =;;ª4Á;; 위의 식을 (x+p)Û` , q=;;ª4Á;; p=-;2%; 2` 2` =q와 비교하면 ∴ p+q=-;2%;+;;ª4Á;;=;;Á4Á;; 본문 161쪽 Ⅲ - 0 7 . 이 차 방 정 식 의 풀 이 ( 1 ) 11 이차방정식 4(x+a)Û` (x+a)Û` =;4B; 이므로 x+a= Ñ ¾;4B; =b에서 양변을 4로 나누면 ∴ x=-aÑ ¾;4B; 이차방정식의 해가 x=-2Ñ -a=-2, ;4B;=3에서 a=2, b=12 " 3`이므로 ∴ ab=;2!;_2_12=12 ;2!; 답 12 12 이차방정식 xÛ` +10x=-4 xÛ` +10x+4=0에서 4를 우변으로 이항하면 ⑤ 이때 좌변을 완전제곱식으로 만들기 위해 양변에 { =25를 더하면 10 2 } 2` +10x+25=-4+25 =21, x+5= Ñ 21 xÛ` (x+5)Û` ∴ x=-5Ñ 그러므로 a=-4, b=25, c=5, d=21이다. 21 '¶ '¶ 답 a=-4, b=25, c=5, d=21 13 이차방정식 3xÛ` 3xÛ` +5x-2=0, (x+2)(3x-1)=0 +9x+1=4x+3에서 3xÛ` +9x+1-4x-3=0 ∴ x=-2 또는 x=;3!; 답 ② 14 두 이차방정식 4xÛ` +ax-10=0, 2xÛ` +9x+b=0의 공통인 근이 x=-;2%; 이므로 두 이차방정식에 x=-;2%; 를 대입하면 등식이 성립한다. 이차방정식 4xÛ` +ax-10=0에 x=-;2%; 를 대입하면 답 ④ 4_{-;2%;} +a_{-;2%;}-10=0, 4_;;ª4°;;-;2%; a-10=0 2` a=0, 15-;2%; a=15 ;2%; ∴ a=6 이차방정식 2xÛ` +9x+b=0에 x=-;2%; 를 대입하면 2_{-;2%;} +9_{-;2%;}+b=0, 2_;;ª4°;;-;;¢2°;;+b=0 2` ;;ª2°;;-;;¢2°;;+b=0 ∴ a+b=6+10=16 ∴ b=10 -10x+a=0에 x=2를 대입하면 -8+a=0 -10_2+a=0, 12-20+a=0, 15 이차방정식 3xÛ` 3_2Û` ∴ a=8 3xÛ` -10x+a=0에 a=8을 대입하면 3xÛ` -10x+8=0 (x-2)(3x-4)=0 ∴ x=2 또는 x=;3$; 따라서 다른 한 근 b의 값은 이다. ;3$; 답 16 16 이차방정식 5(x+a)Û` =b에서 (x+a)Û` =;5B; x+a= Ñ ¾;5B; ` ∴ x=-aÑ ` ¾;5B; ① a=1, b=1이면 x=-1Ñ 서로 다른 두 근을 갖는다. ¾;5!; ② a=0, b=1이면 x= 두 근을 갖는다. Ñ ¾;5!; 이므로 주어진 이차방정식은 이므로 주어진 이차방정식은 서로 다른 Ⅲ. 이차방정식 07. 이차방정식의 풀이 (1) 33 답 ④ 답 ① 답 ① ∴ 3ab=3_8_;3$;=32 답 ⑤ 본문 163쪽 08 이차방정식의 풀이 (2) ③ a=1, b=0이면 x=-1이므로 주어진 이차방정식은 -1을 중근으 로 갖는다. ④ b>0이면 a의 값에 관계없이 주어진 이차방정식의 해는 x=-a+¾;5B; ` 또는 x=-a-¾;5B; 이므로 서로 다른 두 근을 갖는다. 이므로 실수 범위에서 x는 정의 ⑤ a=1, b=-1이면 x=-1Ñ 되지 않는다. -1 5 ®É 이 경우 주어진 이차방정식은 근을 갖지 않는다. 따라서 옳은 것은 ④이다. Step 1. 개념 다지기 08-1 이차방정식의 근의 공식 답 ④ 기본연습 1 17 이차방정식 5xÛ` 5xÛ` +ax+b=5(x+2)Û` 으로 나타낼 수 있다. 우변의 식을 전개하면 +ax+b=0이 x=-2를 중근으로 가지므로 -1Ñ 1Û`-4_1_(-5) -1Ñ 2 21 '¶ = "Ã (1) x= (2) 방법 1) 근의 공식 2_1 x= -10Ñ "Ã 10Û`-4_(-2)_7 2_(-2) = -10Ñ 156 '¶ -4 답 (1) x= 21 -1Ñ 2 '¶ (2) x= 5Ñ 39 '¶ 2 답 8 5(x+2)Û` 5xÛ` =5(xÛ` +ax+b=5xÛ` ∴ a+b=20+20=40 +4x+4)=5xÛ` +20x+20에서 a=20, b=20 +20x+20이므로 +7x+2=0에 x=a를 대입하면 18 이차방정식 2xÛ` 2aÛ` +7a+2=0 이때 a=0이면 2_0Û` 2aÛ` +7_0+2=2+0이므로 a+0 +7a+2=0의 양변을 a로 나누면 2a+7+;a@;=0 2 a+;a!;}=-7 { ∴ a+;a!;=-;2&; 19 2xÛ` 2xÛ` -5x-a=3x-5에서 모든 항을 좌변으로 이항하면 -8x-a+5=0 양변을 2로 나누면 xÛ` -4x- a 2 +;2%;=0 이 이차방정식이 중근을 가지려면 -4 2 } { 2` =-;2A;+;2%; 이어야 하므로 4=-;2A;+;2%; ;2A;=;2%;-4 2xÛ` ∴ a=5-8=-3 -8x-a+5=0에 a=-3을 대입하면 -8x-(-3)+5=0, 2xÛ` -8x+8=0 2xÛ` 양변을 2로 나누면 -4x+4=0 xÛ` ∴ x=2 (중근) (x-2)Û` 따라서 a=-3, b=2이므로 ab=(-3)_2=-6 =0 20 이차방정식 xÛ` +4x+1=0의 한 근이 x=m이므로 이 이차방정식에 x=m을 대입하면 mÛ` yy ㉠ +4m+1=0 이차방정식 xÛ` 이 이차방정식에 x=n을 대입하면 nÛ` yy ㉡ -5n-9=0 -5x-9=0의 한 근이 x=n이므로 따라서 ㉠과 ㉡을 이용하여 주어진 식의 값을 구하면 -15n-30) +4m+1)-4}{3(nÛ` -5n-9)-3} +4m-3)(3nÛ` (mÛ` ={(mÛ` =(0-4)(3_0-3) =(-4)_(-3)=12 34 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 답 ③ 답 ② (2) 방법 2) x의 계수가 짝수일 때의 근의 공식 5Ð 39 '¶ 2 ) x= 따라서 주어진 이차방정식의 두 근은 x= 5- 39 '¶ 2 또는 x= 5+ 39 이다. '¶ 2 -5Ñ 5Û`-(-2)_7 x= "Ã -2 5Ð 39 '¶ 2 ) x= 따라서 주어진 이차방정식의 두 근은 x= 5- 39 '¶ 2 또는 x= 5+ 39 이다. '¶ 2 연습 1 2x(x+3)=1에서 2xÛ` 근의 공식을 이용하면 +6x-1=0 -3Ñ 3Û`-2_(-1) "Ã 2 =-3, b = =11이므로 x= 따라서 a =8 + b a 11 -3Ñ 2 '¶ 08-2 복잡한 이차방정식의 풀이 답 ③ 기본연습 2 (1) 계수에 소수가 있으므로 양변에 10을 곱하면 xÛ` -5x-66=0 (x-11)(x+6)=0 ∴ x=11 또는 x=-6 (2) x+1을 A로 치환하여 나타내면 2AÛ` +3A-20=0 (2A-5)(A+4)=0 또는 A=-4를 해로 갖는다. A=;2%; 이때 A는 x+1이므로 x+1=;2%; 또는 x+1=-4 ∴ x=;2#; 또는 x=-5 답 12 답 (1) x=11 또는 x=-6 (2) x=;2#; 또는 x=-5 본문 167쪽 답 ③ 답 32 답 ③ 연습 2 계수가 분수이므로 양변에 분모의 최소공배수인 12를 곱하면 Step 2. 대표 문제로 접근하기 4(xÛ` 4xÛ` 4xÛ` =-12 -2x+1)+12=0 +6x-3+12=0 -2)-3(x-1)Û` -8-3(xÛ` -8-3xÛ` +6x+1=0 ∴ xÛ` 근의 공식을 이용하여 해를 구하면 -6Ñ4 '2 2 '¶ "Ã = 32 x= x= -6Ñ -3Ñ2 -6Ñ 2 6Û`-4_1_1 2_1 x= '2 따라서 주어진 이차방정식은 '2를 해로 갖는다. '2 또는 x=-3- 2 2 x=-3+ 답 x=-3+ 2 '2 또는 x=-3- 2 '2 ③ 7 ② 02 07 12 32 ③ ⑤ 03 08 13 ③ 2 ⑤ 04 09 14 31 ⑤ 3 05 10 20 ④ 15 -;2%; 01 06 11 16 (1) 6 (2) 2 유제 01 이차방정식 2xÛ` -(-1)Ñ -x-8=0의 근을 근의 공식을 이용하여 구하면 "Ã (-1)Û`-4_2_(-8) x= 2_2 x= 1Ñ 1+64 'Ä 4 = 1Ñ 65 '¶ 4 이때 주어진 이차방정식의 근이 x= 1Ñ 'b 4 aÑ 65 '¶ 4 = ∴ a=1, b=65 ∴ ab=1_65=65 aÑ 'b 4 이므로 유제 02 이차방정식 axÛ` -(-5)Ñ -5x+1=0에서 근의 공식을 이용하면 "Ã (-5)Û`-4_a_1 x= 2a Ⅲ - 0 8 . 이 차 방 정 식 의 풀 이 ( 2 ) 08-3 이차방정식의 근의 개수 기본연습 3 (1) xÛ` +3x+1=0에서 -4_1_1=9-4=5>0 따라서 서로 다른 두 근을 갖는다. 3Û` (2) xÛ` 5Û` +5x+10=0에서 -4_1_10=25-40=-15<0 따라서 근을 갖지 않는다. 연습 3 14Û` ∴ k=49 이차방정식 xÛ` +14x+k=0이 중근을 가지므로 -4_1_k=196-4k=0, 4k=196 08-4 이차방정식의 근과 계수의 관계 기본연습 4 (1) 3xÛ` +6x-1=0에서 (2) (두 근의 합)=-;3^;=-2, (두 근의 곱)= -4xÛ` (두 근의 합)=- +x+6=0에서 1 -4 =;4!; , (두 근의 곱)= -1 3 =-;3!; 6 -4 =-;2#; 연습 4 이차방정식 xÛ` +ax+20=0의 두 근의 합이 12이므로 근과 계수의 관계에 의하여 -a=12 ∴ a=-12 이차방정식 xÛ` -12x+20=0을 인수분해하면 (x-2)(x-10)=0 ∴ x=2 또는 x=10 따라서 두 근의 차는 8이므로 m=8 ∴ a+m=-12+8=-4 답 (1) 2 (2) 0 답 49 x= 5Ñ 'Ä 25-4a 2a 주어진 이차방정식의 근이 x= 5Ñ b ' 4 이므로 b 5Ñ 5Ñ 25-4a 'Ä ' 2a = 4 먼저 2a=4이므로 a=2 또한 25-4a=' 'Ä b이므로 b=25-4a=25-4_2=25-8=17 ∴ 2b-a=2_17-2=32 유제 03 이차방정식 6xÛ` 용하면 -2x-1=0의 해를 구하기 위해 근의 공식을 이 -(-1)Ñ (-1)Û`-6_(-1) x= "Ã 6 x= 1Ñ 1+6 'Ä 6 = 1Ñ 7 ' 6 …… ㉠ 이차방정식 6xÛ` -2x-1=0의 해가 x= n mÑ '¶ 6 이라 하였으므로 ㉠과 비교해 보면 m=1, n=7 ∴ m+n=1+7=8 답 (1) 두 근의 합 : -2, 두 근의 곱 : -;3!; 답 (2) 두 근의 합 : , 두 근의 곱 : ;4!; -;2#; 유제 04 이차방정식 axÛ` 용하면 +4x-10=0의 해를 구하기 위해 근의 공식을 이 x= x= -2Ñ 2Û`-a_(-10) "Ã a -2Ñ 4+10a 'Ä a 주어진 이차방정식의 해가 x= b -2Ñ 3 ' 이므로 -2Ñ 4+10a 'Ä a = -2Ñ 3 ' b 먼저 분모를 비교해 보면 a=3 또한 b이므로 4+10a=' 'Ä b=4+10a=4+10_3=4+30=34 ∴ b-a=34-3=31 답 -4 답 31 Ⅲ. 이차방정식 08. 이차방정식의 풀이 (2) 35 =xÛ` -2에서 다른풀이 본문 172쪽 =2, b =5_2+10=10+10=20 =10 ∴ 5a b + 답 20 +8x+3k-2=0에서 k=6이므로 유제 05 이차방정식 2(x-3)Û` -2 -2 2(xÛ` 2xÛ` ∴ xÛ` -6x+9)=xÛ` -12x+18=xÛ` -12x+20=0 -12x+20=0에서 (x-2)(x-10)=0 ∴ x=2 또는 x=10 이때 a<b이므로 a xÛ` 유제 06 3(x-1)Û` +4(x-1)-4=0에서 x-1=X로 치환하면 3XÛ` +4X-4=0 (3X-2)(X+2)=0 ∴ X=;3@; 또는 X=-2 x-1=;3@; 또는 x-1=-2에서 x=;3@;+1=;3%; 또는 x=-2+1=-1 이때 a>b이므로 a =;3%; , b =-1 ∴ 3a -2b =3_;3%;-2_(-1)=5+2=7 답 7 +5x+k=0이 서로 다른 두 근을 가지므로 유제 07 이차방정식 2xÛ` 5Û` -4_2_k=25-8k>0 25-8k>0에서 25>8k ∴ k< ;;ª8°;; 따라서 조건을 만족시키는 자연수 k는 1, 2, 3으로 3개이다. 답 ③ 유제 08 주어진 이차방정식 2xÛ` -4_2_(-k+4) 3Û` +3x-k+4=0이 근을 갖지 않아야 한다. =9-8(-k+4) =9+8k-32 =8k-23<0 즉, 8k<23이므로 k< ;;ª8£;; 따라서 가장 큰 정수 k의 값은 2이다. 답 2 유제 09 이차방정식 xÛ` 8Û` -4_1_(3k-2) +8x+3k-2=0이 중근을 가져야 하므로 +8x+3k-2=0에서 k=6이므로 =64-12k+8 =72-12k=0 즉, 12k=72이므로 k=6이다. 이차방정식 xÛ` xÛ` xÛ` +8x+3_6-2=0 +8x+18-2=0 +8x+16=0 =0 xÛ` (x+4)Û` x+4=0이고, x=-4(중근)이다. ∴ a ∴ k- =6-(-4)=6+4=10 =-4 a 36 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 이차방정식 xÛ` +8x+3k-2=0이 중근을 가져야 하므로 (b')Û` -ac=0임을 이용하면 4Û` -1_(3k-2) =16-3k+2 =18-3k=0 ∴ k=6 이차방정식 xÛ` +8x+16=0 =0 xÛ` (x+4)Û` ∴ a =-4 따라서 k- a ∴ x=-4 =6-(-4)=10이다. 유제 10 8xÛ` +13x=5x-m에서 8xÛ` +8x+m=0 이차방정식 8xÛ` +8x+m=0이 중근을 가지므로 8Û` -4_8_m =64-32m=0 에서 3xÛ` 3xÛ` ∴ m=2 -32m=-64 +(7+m)x+3=0에 m=2를 대입하면 +(7+2)x+3=0 +9x+3=0, xÛ` 3xÛ` +3x+1=0 이차방정식의 근의 공식에 의하여 +3x+1=0의 근은 3Û`-4_1_1 2_1 이차방정식 xÛ` -3Ñ x= "Ã x= 5 -3Ñ 2 ' 유제 11 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 답 ④ =25+49=74 답 ② 유제 12 이차방정식 2xÛ` 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 +5x-11=0의 두 근이 a, b이므로 (두 근의 합)=m=-;1%; =-5 (두 근의 곱)=n= ∴ mÛ` =(-5)Û` +nÛ` -7 1 =-7 +(-7)Û` ① (두 근의 합)= a + b =-;2%; ② (두 근의 곱)= ab =-;;Á2Á;; ③ aÛ` bÛ` =(a + + b)Û` -2ab ={-;2%;} -2_{-;;Á2Á;;} ③ aÛ` bÛ` =;;ª4°;;+11= + 25+44 2` 4 =;;¤4»;; ④ (a b)Û` aÛ` -2ab + bÛ` = = aÛ` + bÛ` - -2ab =;;¤4»;;-2_{-;;Á2Á;;} ③ (a b)Û` =;;¤4»;;+11= - 69+44 4 = 113 4 ⑤ b a + a b = aÛ`+bÛ` ab = ;;¤4»;; -;;Á2Á;; =- 69_2 11_4 =-;2^2(;; 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 답 ⑤ 유제 13 이차방정식 xÛ` 근과 계수의 관계에 의하여 -6x+k=0의 두 근을 a, 2a라 하자. 답 ⑤ (두 근의 합)= a +2a =- -6 1 =6 ∴ a =2 본문 176쪽 답 ④ Ⅲ - 0 8 . 이 차 방 정 식 의 풀 이 ( 2 ) k 1 =k a (두 근의 곱)= =k에서 a 2aÛ` =2_2Û` k=2aÛ` _2a = =2이므로 =8 02 이차방정식 6xÛ` -6x=1에서 6xÛ` 이차방정식의 근의 공식을 이용하여 해를 구하면 -6x-1=0 답 ⑤ -(-3)Ñ (-3)Û`-6_(-1) x= "Ã 6 x= 3Ñ 9+6 '¶ 6 = 3Ñ 15 '¶ 6 답 ③ 03 이차방정식 2xÛ` 여 구하면 -3x-A=0의 근을 이차방정식의 근의 공식을 이용하 유제 14 이차방정식 2xÛ` 근과 계수의 관계에 의하여 -5x+k=0의 한 근을 2a, 다른 한 근을 3a라 하자. (두 근의 합)=2a +3a =- -5 2 , 5a =;2%; ∴ a =;2!; (두 근의 곱)=2a _3a = k 2 , 6aÛ` = k 2 a =;2!; 이므로 k=12aÛ` =12_{;2!;} =12_;4!;=3 답 3 유제 15 a•b =ab-a+b-1=a(b-1)+b-1 =(a+1)(b-1) 2` (2x-1)•(x+2) =(2x-1+1)(x+2-1) =2x(x+1) =2xÛ` +2x=4 …… ㉠㉠의 양변을 2로 나누어 정리하면 xÛ` +x-2=0 근과 계수의 관계에 의하여 a + b a b + =-;1!;=-1, ab aÛ`+bÛ` b a = ab = -2 1 =-2이므로 = (a+b)Û`-2ab ab + = (-1)Û`-2_(-2) -2 =-;2%; 답 -;2%; 유제 16 (1) a+b=X라 하면 주어진 식은 (1) XÛ` -4X-12=0 -(-3)Ñ (-3)Û`-4_2_(-A) x= "Ã 2_2 x= 3Ñ '¶ 9+8A 4 BÑ 41 이때 x= '¶ 4 9+8A=41에서 8A=32 ∴ A=4 ∴ A+B=4+3=7 이므로 B=3 04 ㄱ. xÛ` 6Û` +6x+8=0에서 -4_1_8=4>0 이므로 서로 다른 두 근을 갖는다. -x+5=0에서 ㄴ. xÛ` (-1)Û` 이므로 근이 없다. -4_1_5=-19<0 ㄷ. 3xÛ` 1Û` +x+5=0에서 -4_3_5=-59<0 이므로 근이 없다. -4x+2=0에서 ㄹ. 2xÛ` (-4)Û` -4_2_2=0 이므로 중근을 갖는다. (1) 좌변을 인수분해하면 (1) (X+2)(X-6)=0이므로 (1) X+2=0 또는 X-6=0 (1) ∴ X=-2 또는 X=6 (1) 두 자연수 a, b에 대하여 a+b=X¾2이므로 X=6 (1) ∴ a+b=6 (2) a+b=6, ab=8을 만족하는 두 자연수 a, b는 (2) a=4, b=2 (∵ a>b) (1) ∴ a-b=4-2=2 따라서 근이 없는 것은 ㄴ, ㄷ이다. 답 ④ -24=(x-3)(x+4)를 정리하면 05 이차방정식 2(x+1)Û` 2(xÛ` +x-12 +x-12 +2x+1)-24=xÛ` +4x+2-24=xÛ` +4x-22=xÛ` +3x-10=0 +x-12 2xÛ` 2xÛ` ∴ xÛ` 답 (1) 6 (2) 2 ` +3x-10=0에서 (x+5)(x-2)=0 xÛ` ∴ x=-5 또는 x=2 답 ② 06 이차방정식 (x+2)Û` 3 = xÛ`-4 2 에서 양변에 6을 곱하면 Step 3. 단원 마무리하기 01 06 11 16 ④ ③ ① ④ 02 07 12 17 ③ ① ④ ③ 03 08 13 18 ④ ③ ② 0 04 09 14 19 ④ ⑤ ⑤ ⑤ 05 10 15 20 ② ② ② ② 01 xÛ` -6x+3=0에서 근의 공식에 의하여 x= -(-6)Ñ "Ã (-6)Û`-4_1_3 2_1 24 '§ 2 = 6Ñ2 6 2 =3Ñ ' 6 ' '¶ 6Ñ 6Ñ 36-12 2 = x= 따라서 p=3, q=6이므로 p+q=3+6=9 (xÛ`-4) 2 (x+2)Û` 2xÛ` 6_ 2(x+2)Û` 2(xÛ` 3 =6_ =3(xÛ` -4) +4x+4)=3xÛ` +8x+8=3xÛ` -12-(2xÛ` -12-2xÛ` -8x-20=0 (x+2)(x-10)=0 ∴ x=-2 또는 x=10 3xÛ` 3xÛ` xÛ` -12 -12 +8x+8)=0 -8x-8=0 07 이차방정식 xÛ` -7x-15=0에서 (두 근의 합)=- -7 1 =7 +kx-7=0의 근이므로 x=7이 이차방정식 xÛ` 7Û` +k_7-7=0 42+7k=0, 7k=-42 ∴ k=-6 답 ④ 답 ③ 답 ① Ⅲ. 이차방정식 08. 이차방정식의 풀이 (2) 37 kÉ6을 만족하는 정수 중 최댓값은 6이다. 답 ⑤ +(k-5)x-k=0에 k=9를 대입하면 08 이차방정식 5xÛ` -13x-10=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱은 -10 5 =-2 따라서 x=-2가 이차방정식 xÛ` x=-2를 xÛ` (-2)Û` ∴ k=6 +5x+k=0에 대입하면 +5_(-2)+k=0, 4-10+k=0 +5x+k=0의 한 근이므로 09 주어진 이차방정식 xÛ` +2x+k-5=0이 해를 가져야 하므로 -4_1_(k-5)=4-4(k-5)=4-4k+20=24-4k¾0 24¾4k 2Û` ∴ kÉ6 10 이차방정식 3x- xÛ`+3 xÛ`+3 2 =4(x-2)의 양변에 2를 곱하면 11 이차방정식 xÛ` -0.8x-0.1=0의 양변에 10을 곱하면 ;2!; 답 ② 2 }=2_4(x-2) +3)=8(x-2) -3=8x-16 +6x-3)=0 -6x+3=0 2_{ 3x- 6x-(xÛ` 6x-xÛ` 8x-16-(-xÛ` 8x-16+xÛ` xÛ` +2x-13=0 -1Ñ ∴ x= ∴ x=-1Ñ "Ã 1Û`-1_(-13) 1 1+13=-1Ñ 'Ä '¶ 14 xÛ` -10_0.8x-10_0.1=0 10_;2!; 5xÛ` -8x-1=0 이때 이차방정식의 근의 공식에 의하여 -(-4)Ñ (-4)Û`-5_(-1) x= "Ã 5 21 = 4Ñ 4Ñ '¶ 5 16+5 'Ä 5 x= 따라서 a=4, b=21이므로 a+b=4+21=25 용하면 ① a b + =- -4 2 =2 ② ab =;2!; ③ 1 a + 1 b = b+a ab = 2 =4 ;2!; -2ab bÛ` +2ab b)Û` -2ab ④ aÛ` bÛ` + aÛ` = + =(a =2Û` + ④ aÛ` bÛ` + -2_;2!;=4-1=3 ⑤ b a + a b = bÛ`+aÛ` ab = 3 =6 ;2!; 따라서 보기에 주어진 식의 값이 옳지 않은 것은 ④이다. 답 ④ 13 이차방정식 3xÛ` 따라서 이차방정식 3xÛ` -ac=0에서 (b')Û` -10x=2x-m에서 3xÛ` -12x+m=0 -12x+m=0이 중근을 가지므로 38 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) -3_m=36-3m=0 ∴ m=12 (-6)Û` 3m=36 이차방정식 xÛ` -4x+3=0, (x-1)(x-3)=0 xÛ` ∴ x=1 또는 x=3 -4x+(m-9)=0에 m=12를 대입하면 본문 180쪽 답 ② 답 ③ 14 이차방정식 2xÛ` -6x+;2K;=0이 중근을 가지므로 (b')Û` -ac=0에서 -2_;2K;=9-k=0 (-3)Û` ∴ k=9 이차방정식 xÛ` xÛ` +(9-5)x-9=0 +4x-9=0 ∴ xÛ` 이 이차방정식의 해를 이차방정식의 근의 공식을 이용하여 구해 보면 -2Ñ 2Û`-1_(-9) x= "Ã 1 =-2Ñ 4+9 'Ä x=-2Ñ '¶ 13 답 ⑤ 15 이차방정식 -0.3xÛ` 양변에 20을 곱하면 (x+1)(x-1) 4 - (x+2)(x+3) 10 +4#;=0의 + (x+1)(x-1) 4 - + (x+2)(x+3) 10 +;4#;]=0 20_[-0.3xÛ` -6xÛ` -6xÛ` -6xÛ` -3xÛ` 3xÛ` +10x+2=0 +5(x+1)(x-1)-2(x+2)(x+3)+15=0 -1)-2(xÛ` +5(xÛ` +5xÛ` -5-2xÛ` -10x-2=0 -10x-12+15=0 +5x+6)+15=0 이차방정식의 근의 공식에 의하여 x= x= -5Ñ "Ã 5Û`-3_2 3 -5Ñ 25-6 'Ä 3 -5Ñ 3 '¶ 19 = 17 이차방정식 xÛ` -kx+36=0의 두 근의 비가 1 : 4이므로 두 근을 각각 3(x-1)(x-2)-(x+1)(x+2)=18 3xÛ` -3x-2=18 -9x+6-xÛ` -12x-14=0, 2(xÛ` -6x-7)=0 2xÛ` 2(x+1)(x-7)=0 ∴ x=-1 또는 x=7 따라서 a=-1, b=7 또는 a=7, b=-1이므로 =7Û` aÛ` +(-1)Û` =(-1)Û` =50 +7Û` +bÛ` a, 4a(a>0)라 하자. 이때 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 _4a =36 (두 근의 곱)=;;£1¤;;=36에서 a =36, aÛ` 4aÛ` =9 =3 (∵ a는 양수) ∴ a 따라서 주어진 이차방정식의 두 근은 3, 12이다. 두 근의 합은 15이므로 (두 근의 합)=- -k 1 =k=15 답 ② 답 ④ 답 ③ 12 이차방정식 2xÛ` -4x+1=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이 16 이차방정식 (x-1)(x-2) - 3 (x+1)(x+2) 9 =2의 양변에 9를 답 ① 곱하여 전개하면 본문 182쪽 4 = Û 37-4a=9일 때 28 37-9 a= 4 =7 Ü 37-4a=25일 때 12 37-25 a= 4 =3 따라서 Ú~Ü에서 주어진 이차방정식이 유리수 근을 갖도록 하는 자 4 = 연수 a의 개수는 3이다. 답 ② 09 이차방정식의 활용 Step 1. 개념 다지기 답 0 09-1 계수와 상수항이 유리수인 이차방정식의 근 (1) 다른 한 근은 무리수 부분의 부호가 반대인 3이므로 다른 한 근은 무리수 부분의 부호가 반대인 답 (1) 1-' 2 (2) -1-' 3 기본연습 1 2이다. 1-' (2) 3-1=-1+' ' 3이다. -1-' 연습 1 이차방정식의 계수, 상수항이 모두 유리수이고 한 근이 3-'¶ 다른 한 근은 3+'¶ 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 10이다. 10이므로 k=(3+'¶ 10)(3-'¶ 10)=9-10=-1 답 -1 Ⅲ - 0 9 . 이 차 방 정 식 의 활 용 18 이차방정식 xÛ` +2x+1.5=0의 양변에 6을 곱하면 ;3@; 6_{;3@; xÛ` +2x+1.5 }=0 xÛ` +6_2x+6_1.5=0 6_;3@; 4xÛ` +12x+9=0 이때 4xÛ` +12x+9=0에서 bÛ` -4_4_9=144-144=0 12Û` -4ac의 값이 따라서 중근을 갖는다. 즉, 근이 1개이므로 a=1이다. yy ㉠ 이차방정식 +x-4=0에서 bÛ` xÛ` ;2!; -4ac의 값이 1Û` -4_;2!;_(-4)=1+8=9>0 따라서 서로 다른 두 근을 갖는다. 즉, b=2이다. yy ㉡ 이차방정식 -3(x+1)Û` +2x+1)=2, -3(xÛ` 3xÛ` +6x+5=0 =2에서 좌변의 식을 전개하면 -3xÛ` -6x-3=2 이때 3xÛ` +6x+5=0에서 bÛ` -4_3_5=36-60=-24<0 6Û` -4ac의 값이 따라서 근이 없다. 즉, c=0이다. yy ㉢ 따라서 ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 2a-b+c=2_1-2+0=0 -4a-8=0 -4_(a+2)=4aÛ` -4ax+a+2=0이 중근을 가져야 하므로 -a-2=0이므로 (a+1)(a-2)=0이다. 19 이차방정식 4xÛ` (-2a)Û` 즉, aÛ` ∴ a=-1 또는 a=2 a=-1 또는 a=2이므로 a의 값에 대한 이차방정식의 근을 각각 구하 면 다음과 같다. Ú a=-1일 때 주어진 이차방정식 4xÛ` -4ax+a+2=0에 a=-1을 대입하면 =0이므로 x=-;2!; (중근) 4xÛ` 4xÛ` -4_(-1)_x-1+2=0 +4x+1=0 즉, (2x+1)Û` Û a=2일 때 주어진 이차방정식 4xÛ` 4xÛ` 4xÛ` -4_2_x+2+2=0 -8x+4=0 -2x+1=0 -4ax+a+2=0에 a=2를 대입하면 xÛ` 즉,(x-1)Û` 따라서 Ú, Û에서 주어진 이차방정식이 양수인 중근을 갖도록 하는 =0이므로 x=1 (중근) 상수 a의 값은 2이다. 20 이차방정식의 근의 공식을 이용하여 xÛ` -5x+a-3=0의 근을 구하면 5Ñ "Ã 'Ä = -(-5)Ñ 37-4a 2 (-5)Û`-4(a-3) 2_1 x= 따라서 이차방정식의 근이 유리수가 되려면 자연수 a에 대하여 37-4a는 정수의 제곱인 수이어야 한다. 이 조건을 만족하는 a의 값을 찾아 보면 Ú 37-4a=1일 때 37-1 a= 4 =9 연습 2 09-2 조건을 만족시키는 이차방정식 답 ⑤ 기본연습 2 (1) (x+1)(x-4)=0에서 xÛ` -5x-7)=0에서 (2) -(xÛ` -3x-4=0 -xÛ` +5x+7=0 답 (1) xÛ` -3x-4=0 (2) -xÛ` +5x+7=0 xÛ`의 계수가 3이고 두 근이 2, 5인 이차방정식을 세우면 3(x-2)(x-5)=0, 3xÛ` -21x+30=0 따라서 a=-21, b=30이므로 a+b=9 답 9 Ⅲ. 이차방정식 09. 이차방정식의 활용 39 09-3 이차방정식의 활용 (1) - 수에 대한 문제 Step 2. 대표 문제로 접근하기 본문 189쪽 09-4 이차방정식의 활용 (2) - 도형에 대한 문제 답 20 기본연습 3 Ú 연속하는 두 자연수를 x, x+1이라 하자. Û 두 자연수의 곱이 156이므로 x(x+1)=156 Ü x(x+1)=156에서 xÛ` (x-12)(x+13)=0 ∴ x=12 또는 x=-13 구하는 두 수는 자연수이므로 x=12 따라서 두 자연수는 12, 13이다. +x-156=0 Ý 12_13=156이므로 문제의 뜻을 만족한다. 연습 3 어떤 자연수를 x라 하자. x에 대한 이차방정식을 세우면 (x+4)Û` xÛ` =20x-20 +8x+16=20x-20 -12x+36=0 =0 xÛ` (x-6)Û` ∴ x=6 따라서 어떤 자연수는 6이다. 기본연습 4 Ú 높이를 x cm(단, x>0)라 하자. Û 높이가 밑변의 길이보다 3 cm 짧으므로 (밑변의 길이)=x+3 이때 삼각형의 넓이가 20 cmÛ`이므로 x(x+3)=20 ;2!; Ü ;2!; +3x=40 x(x+3)=20에서 xÛ` +3x-40=0, (x+8)(x-5)=0 xÛ` ∴ x=-8 또는 x=5 x>0이므로 x=5 따라서 삼각형의 높이는 5 cm이다. Ý (밑변의 길이)=8 cm, (높이)=5 cm이므로 (삼각형의 넓이)=;2!;_8_5=20(cmÛ`) 답 5 cm 연습 4 늘인 길이를 x cm(단, x>0)라 하자. 늘인 후 직사각형의 가로의 길이와 세로의 길이는 각각 (x+5)`cm, (x+7)`cm이므로 (x+5)(x+7)=63 (x+5)(x+7)=63에서 xÛ` xÛ` ∴ x=-14 또는 x=2 x>0이므로 x=2 따라서 늘인 길이는 2 cm이다. +12x-28=0, (x+14)(x-2)=0 +12x+35=63 가로, 세로의 길이를 각각 2 cm만큼 늘이면 가로의 길이는 7 cm, 세로의 길이 는 9 cm이므로 직사각형의 넓이는 7_9=63(cmÛ`)이다. 답 2 cm 40 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 45 ⑤ ② 02 07 12 20 24 03 08 ④ ② 4초 동안 04 09 13 ② ② ② 05 18명 10 14 ④ 32 cmÛ` 15 ②, ③ 16 20 m 17 (3, 3), (6, 12) 01 06 11 18 -1+ 2 5 ' 답 12, 13 유제 01 계수와 상수항이 모두 유리수인 이차방정식 3xÛ` 2이다. 한 근이 1-' 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 2이므로 다른 한 근은 1+' +ax+b=0의 =(-6)Û` +(-3)Û` =36+9=45 답 45 답 6 유제 02 이차방정식 5xÛ` -10x-k=0의 한 근이 1+' 5이므로 2)+(1+' 2)=2 2)(1+' 2) =1-2=-1 -;3A;=(1-' ∴ a=-6 ;3B;=(1-' ∴ b=-3 ∴ aÛ` +bÛ` 다른 한 근은 1-' 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 5이다. k 5 =(1+' - ∴ k=20 5)(1-' 5)=1-5=-4 유제 03 이차방정식 10xÛ` +ax+b=0의 두 근이 , ;2!; ;5!; 이므로 주어진 이차 방정식은 두 근이 이고 xÛ`의 계수가 10인 이차방정식이다. , ;2!; ;5!; 조건에 맞는 이차방정식은 10 x-;2!;}{ x-;5!;}=0 { 이 이차방정식은 10xÛ` +ax+b=0이므로 10 x-;2!;}{ x-;5!;}=10xÛ` { +ax+b 10 { xÛ` -;1¦0; -7x+1=10xÛ` x+;1Á0;}=10xÛ` +ax+b +ax+b 10xÛ` ∴ a=-7, b=1 따라서 구하는 이차방정식은 a=-7, b=1을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식이므로 (x+7)(x-1)=0 +6x-7=0 ∴ xÛ` 답 ④ 유제 04 이차방정식 xÛ` -3x-5=0에서 근과 계수의 관계에 의해 a b + =-;aB;=- -3 1 =3 ab =;aC;= -5 1 =-5 구하는 이차방정식은 두 근이 3, (x-3)(x+5)=0 xÛ` +{(-3)+5}x+(-3)_5=0 ∴ xÛ` +2x-15=0 -5이고 xÛ`의 계수가 1이므로 따라서 구하는 이차방정식은 ②이다. 답 ② 유제 05 학급의 학생 수를 a라 하면 2 이상의 자연수 a에 대하여 그런데 x는 자연수이므로 x=16 따라서 학생은 모두 16명이다. a(a-1) 2 =153 a(a-1)=306 -a-306=0 aÛ` -a-306=(a+17)(a-18)이므로 aÛ` (a+17)(a-18)=0 a+17=0 또는 a-18=0 ∴ a=-17 또는 a=18 a는 2 이상의 자연수이므로 a=18 따라서 학급의 학생은 모두 18명이다. n(n-3) 2 =54 n(n-3)=108 nÛ` -3n=108 -3n-108=0 -3n-108=(n+9)(n-12)이므로 nÛ` nÛ` 유제 06 3 이상의 자연수 n에 대하여 n각형의 대각선의 총 개수가 54일 때 답 18명 (n+9)(n-12)=0 따라서 n+9=0 또는 n-12=0 ∴ n=-9 또는 n=12 n은 3 이상의 자연수이므로 n=12 따라서 대각선의 총 개수가 54인 다각형은 십이각형이다. 답 ⑤ 유제 07 연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면 +(x+1)Û` =194 (x-1)Û` 3xÛ` +xÛ` +2=194 =192 =64 3xÛ` Ñ8 ∴ x= xÛ` 이때 x는 x>1인 자연수이므로 x=8 따라서 연속하는 세 자연수는 7, 8, 9이므로 그 합은 7+8+9=24 답 24 유제 08 연속하는 짝수인 두 자연수 중 작은 수를 x라 하면 두 짝수는 xÛ` x, x+2 (단, x는 짝수인 자연수) 두 자연수의 제곱의 합이 340이므로 =340, xÛ` +(x+2)Û` +4x+4=340, 2xÛ` +2x-168=0 +2x-168=(x+14)(x-12)이므로 +xÛ` +4x-336=0 +4x+4=340 2xÛ` xÛ` xÛ` (x+14)(x-12)=0 x+14=0 또는 x-12=0 ∴ x=-14 또는 x=12 x는 짝수인 자연수이므로 x=12 따라서 작은 수는 12이다. 펜을 받는다. 따라서 x_(x+4)=320 xÛ` +4x=320 +4x-320=0 +4x-320=(x+20)(x-16)이므로 xÛ` xÛ` (x+20)(x-16)=0 x+20=0 또는 x-16=0 ∴ x=-20 또는 x=16 유제 09 학생 수를 x명 (x는 자연수)라 하면 학생 한 명은 (x+4)개의 볼 답 ② 본문 192쪽 답 ② 유제 10 자연수 x에 대하여 겨울캠프의 날짜를 (x-1)일, x일, (x+1)일 이라 하자. 12월은 1일부터 31일까지 있으므로 부등식 x-1¾1, x+1É31을 모두 만족하여야 한다. ∴ 2ÉxÉ30, x는 자연수 …… ㉠ 둘째 날의 날짜의 제곱은 첫째 날과 셋째 날의 날짜를 더한 수의 6배와 같으므로 xÛ` =6{(x-1)+(x+1)} xÛ` =12x x=12 (∵ ㉠) 따라서 진아가 겨울캠프에서 돌아오는 날짜는 12월 13일이다. 답 ④ 유제 11 폭죽이 130 m인 지점에서 터져야 하므로 +30t+90=130, t초 후의 폭죽의 높이가 130 m라 하면 -5tÛ` tÛ` -6t+8=0 이 식의 좌변을 인수분해하면 -5tÛ` +30t+90-130=0 (t-2)(t-4)=0 t-2=0 또는 t-4=0 ∴ t=2 또는 t=4 폭죽의 높이가 처음으로 130 m가 되는 순간은 2초 후이다. 따라서 쏘아 올린 지 2초 후에 터지도록 해야 한다. 답 ② 유제 12 공을 던진 지 t초 후의 공의 높이를 160 m라 하면 -5tÛ` +60t-160=0 =160, 60t-5tÛ` tÛ` -12t+32=0 이 식의 좌변을 인수분해하면 (t-4)(t-8)=0 t-4=0 또는 t-8=0 ∴ t=4 또는 t=8 따라서 높이가 160 m 이상인 지점을 지 나는 시간은 공을 던진 지 4초부터 8초 까지이므로 4초 동안이다. (cid:85)(cid:30)(cid:21)일 때 (cid:85)(cid:30)(cid:25)일 때 (cid:18)(cid:23)(cid:17)(cid:65)(cid:78) 답 4초 동안 (cid:23)(cid:65)(cid:78) (cid:89)(cid:65)(cid:78) 유제 13 오른쪽 그림과 같이 가로, 세로의 길이가 각각 6 m, 4 m인 직사각형 모양의 정원에 서 가로, 세로의 길이를 똑같이 (cid:21)(cid:65)(cid:78) (cid:89)(cid:65)(cid:78) x m(x>0)만큼 늘였다고 하자. 늘어난 후의 정원은 가로의 길이가 (x+6) m, 세로의 길이가 (x+4) m인 직사각형 모양이므로 그 넓이는 (x+6)(x+4)`mÛ` 길이가 늘어난 후의 정원의 넓이는 처음 정원의 넓이보다 56 mÛ` 만 …… ㉠ 큼 늘어났으므로 (6_4+56) mÛ`, 즉 80 mÛ` …… ㉡㉠, ㉡에서 (x+6)(x+4)=80 ㉢에서 xÛ` …… ㉢ +(6+4)x+6_4=80 +10x-56=0에서 좌변을 인수분해하면 xÛ` (x+14)(x-4)=0, x+14=0 또는 x-4=0 ∴ x=-14 또는 x=4 그런데 x>0이므로 x=4 따라서 가로의 길이는 처음보다 4 m만큼 늘어났다. 답 ② Ⅲ. 이차방정식 09. 이차방정식의 활용 41 Ⅲ - 0 9 . 이 차 방 정 식 의 활 용 유제 14 오른쪽 그림과 같이 처음 삼각형의 밑변의 길이 (cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 높이를 8 cm 늘이면 이때의 삼각형의 (cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:25)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 이때 이 넓이가 처음 삼각형의 넓이의 배이므로 ;2%; xÛ` ;2!; _;2%;=;2!; (x+2)(x+8) …… ㉠ 와 높이를 x cm(x>0)라 하자. 이때 삼각형의 넓이는 xÛ` ;2!;_x_x=;2!; 이 삼각형의 밑변의 길이를 2 cm, 넓이는 ;2!;_(x+2)_(x+8) ;2!; = (x+2)(x+8) 3xÛ` 5xÛ` ㉠의 양변에 4를 곱하면 =2(x+2)(x+8) +10x+16) =2(xÛ` =2xÛ` +20x+32 -20x-32=0 (3x+4)(x-8)=0 3x+4=0 또는 x-8=0 ∴ x=-3$; 또는 x=8 이때 x>0이므로 x=8 따라서 처음 삼각형의 넓이는 ;2!;_8_8=32(cmÛ`) 답 32 cmÛ` 유제 15 오른쪽 그림과 같이 만들어지는 물 받이의 높이를 x cm(x>0)라 하자. 이때 색칠된 부분의 넓이는 x(30-2x)(cmÛ`)이다. 문제에서 색칠된 부분의 넓이가 (cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:9)(cid:20)(cid:17)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 112`cmÛ`라고 하였으므로 x(30-2x)=112 yy ㉠㉠에서 30x-2xÛ` -2xÛ` xÛ` =112 +30x-112=0 -15x+56=0 (x-7)(x-8)=0 x-7=0 또는 x-8=0 ∴ x=7 또는 x=8 따라서 물받이의 높이는 7 cm 또는 8 cm이다. 답 ②, ③ (cid:22)(cid:89)(cid:65)(cid:78) (cid:20)(cid:89)(cid:65)(cid:78) 각각 5x m, 3x m로 놓을 수 있다. 이때 이 공원에 폭이 5 m인 길을 내면 길을 제외한 부분의 넓이는 가로의 길이가 (5x-5) m, 세로의 길이가 3x m인 직사각형의 넓이와 같아진다. 문제에서 길을 제외한 부분의 넓이가 (cid:20)(cid:89)(cid:65)(cid:78) (cid:22)(cid:65)(cid:78) (cid:9)(cid:22)(cid:89)(cid:14)(cid:22)(cid:10)(cid:65)(cid:78) 180 mÛ`라 하였으므로 (5x-5)_3x=180 …… ㉠㉠에서 x(5x-5)=60 5xÛ` -5x-60=0 42 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 본문 196쪽 xÛ` -x-12=0 (x+3)(x-4)=0 ∴ x=-3 또는 x=4 이때 x=-3이면 공원의 가로와 세로의 길이가 음수가 되어 모순이다. ∴ x=4 따라서 공원의 가로의 길이는 5_4=20(m)이다. 답 20 m 유제 17 이차방정식 xÛ` -2mx+2n=0에서 x의 계수가 짝수인 경우의 근 의 공식을 이용하면 x =-(-m)Ñ =mÑ 문제에서 주어진 이차방정식의 계수가 모두 유리수이고 한 근이 (-m)Û` "Ã -2n …… ㉠ -1_2n mÛ` "Ã x=m-' 따라서 두 근은 x=mÑ ㉠, ㉡을 비교하면 n이므로 다른 한 근은 x=m+' ' n …… ㉡ n이다. mÛ` -2n=' "Ã 양변을 제곱하면 n mÛ` -2n=n ∴ mÛ` =3n m, n은 자연수이므로 n=3kÛ` (단, k는 자연수) =3_3kÛ` =(3k)Û =3n에 n=3kÛ`을 대입하면 mÛ` mÛ` ∴ m=3k (∵ m은`자연수) 0<m<20, 0<n<20, n+1, 4, 9, 16이므로 0<3k<20, 0<3kÛ`<20, 3kÛ`+1, 4, 9, 16 ∴ k=1 또는 k=2 (∵ k는 자연수) 따라서 순서쌍 (m,`n), 즉 (3k,`3kÛ`)에 k=1, k=2를 각각 대입 하면 구하는 순서쌍은 (3,`3), (6,`12)이다. 답 (3,`3), (6,`12) 유제 18 오른쪽 그림과 같이 선분 PR의 길이를 x라 하면 선분 QR의 길이는 1-x이다. 이를 주어진 식 PQÓ 에 대입하면 PRÓ = PRÓ QRÓ (cid:89)(cid:49) (cid:18)(cid:14)(cid:89) (cid:51) (cid:50) x ;[!;= 1-x ∴ 1-x=xÛ` 1-x=xÛ` 에서 xÛ` 근의 공식을 이용하여 x의 값을 구하면 +x-1=0 -1Ñ 1Û`-4_1_(-1) x= "Ã 2_1 x= -1Ñ 'Ä 2 1+4 5 -1Ñ 2 ' x= 이때 x는 선분 PR의 길이이므로 x>0 ∴ x= -1+ 2 5 ' Step 3. 단원 마무리하기 01 06 10 14 02 2 ② 2xÛ` ② ④ +7x-3=0 11 15 19 ②, ⑤ 20 ④ ⑤ ;;°3¼;; 03 07 12 16 ② 10, 11 180 2 04 08 13 17 0 ① 05 09 ③ ③ a=-2, x=0 또는 x=4 15`cm 18 ④ 유제 16 공원의 가로와 세로의 길이의 비가 이므로 가로와 세로의 길이를 5 : 3 따라서 선분 PR의 길이는 -1+ 2 5 ' 이다. 답 -1+ 2 5 ' 01 이차방정식 xÛ` +4x+A=0에 대하여 계수와 상수항의 값이 모두 유리 7일 때 다른 한 근은 -2-' 7이다. 수이므로 한 근이 -2+' 근과 계수의 관계에 의하여 (두 근의 곱) 7)(-2-' 7)Û` ' 7) =(-2+' =(-2)Û` -( =4-7 =-3=A ∴ A=-3 계수는 모두 유리수이다. 이때 이차방정식의 한 근이 4-' 다른 한 근은 4+' 따라서 근과 계수의 관계를 이용하면 6이다. 6이므로 (4-' 6)+(4+' 6)=-;1P; ∴ p=-8 6)=;1Q; 6)(4+' (4-' ∴ p+q=-8+10=2 ∴ q=10 02 이차방정식 xÛ` +px+q=0에서 p, q가 유리수이므로 이 이차방정식의 03 이차방정식 3xÛ` +ax+b=0에 대하여 계수와 상수항의 값이 모두 유리 수이므로 한 근이 5-2 따라서 근과 계수의 관계에 의해 ' 2일 때 다른 한 근은 5+2 ' 2이다. 2)+(5+2 2)=10 ' ' (두 근의 합)=-;3A;=(5-2 ∴ a=(-3)_10=-30 (두 근의 곱)=;3B;=(5-2 (두 근의 합)=5Û` 2)Û` ∴ b=3_17=51 ∴ a+b=-30+51=21 -(2 ' ' 2)(5+2 ' 2) =25-8=17 04 주어진 이차방정식 2xÛ` ax+ 최고차항의 계수가 2이고 중근 + =0은 b -4를 가지므로 2xÛ` ax+ + =2(x+4)Û` b =2(xÛ` =2xÛ` ax+ +8x+16) +16x+32 =2xÛ` b a 따라서 2xÛ` + =16, b =32 =2_16-32=0 ∴ 2a b - +16x+32이므로 05 이차방정식 xÛ` 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 -5x+2=0의 두 근이 a, b이므로 a b + =- -5 1 =5, ab =;1@;=2 이를 이용하면 aÛ` + bÛ` bÛ` + + b)Û` =(a -2ab -2ab +2ab -2_2=25-4=21 aÛ` = =5Û` 를 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 2인 이차방정식을 , a b +ax+b=0이라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 b a 2xÛ` b a + a b = aÛ`+bÛ` ab =;;ª2Á;;=-;2A; ∴ a=-21 a b = b a _ ab ab =1=;2B; 따라서 구하는 이차방정식은 2xÛ` ∴ b=2 -21x+2=0 답 ③ 06 어떤 이차방정식의 두 근이 a, b이면 이차방정식은 a{xÛ` -(a + b)x+ ab}=0 (a+0)이다. 본문 200쪽 b 2{xÛ` -1+ b 새로운 이차방정식의 두 근이 a -1, b -1)x+(a -1)(b -2)x+(ab a b - - -(a -2)x+2{ab 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 -(a -(a -2(a 2{xÛ` 2xÛ` + + + b -1이고 xÛ`의 계수가 2이므로 -1)}=0 +1)}=0 b)+1}=0 …… ㉠ 2xÛ` +3x-8=0에서 b , ab + =-;2#; -8 2 =-4 = a ㉡을 ㉠에 대입하면 답 ② …… ㉡ 2xÛ` -2 {-;2#;-2 x+2 [-4-{-;2#;}+1 ]=0 } 2xÛ` -2_{-;2&;} x+2 {-4+;2#;+1 }=0 2xÛ` 2xÛ` +7x+2_{-;2#;}=0 +7x-3=0 답 2xÛ` +7x-3=0 답 2 07 자연수 x에 대하여 연속하는 두 자연수를 x, x+1이라고 하자. 두 수의 곱은 x_(x+1), 즉 xÛ` +x 두 수의 합은 x+(x+1), 즉 2x+1 두 수의 곱은 두 수의 합의 5배보다 5만큼 크므로 xÛ` +x=5_(2x+1)+5, xÛ` +x=10x+5+5 ∴ xÛ` -9x-10=0 xÛ` -9x-10=0의 좌변을 인수분해하면 (x+1)(x-10)=0 x+1=0 또는 x-10=0 x=-1 또는 x=10 ∴ x=10`(∵ x는 자연수) 따라서 연속하는 두 자연수는 10, 11이다. Ⅲ - 0 9 . 이 차 방 정 식 의 활 용 답 10, 11 답 ② 08 연속하는 세 짝수를 a-2, a, a+2라 하자. 이때 가장 큰 수의 제곱이 나머지 두 수의 제곱의 합보다 12만큼 크므로 (a+2)Û` aÛ` =(a-2)Û` +aÛ` +12 -4a+4+aÛ` +4a+4=aÛ` -8a+12=0 (a-2)(a-6)=0 ∴ a=2 또는 a=6 그런데 문제에서 연속하는 세 짝수가 자연수라고 하였으므로 +12 aÛ` 답 0 a=6 따라서 가운데 수는 6이다. 답 ① 09 B의 나이를 x살이라 하면 A는 B보다 4살이 많으므로 A의 나이는 (x+4)살, B는 C보다 5살이 많으므로 C의 나이는 (x-5)살이다. 이때 A, B, C의 나이를 각각 제곱하여 더한 값이 382이므로 (x+4)Û` 위 이차방정식을 정리하면 +(x-5)Û` =382 +xÛ` xÛ` 3xÛ` 3xÛ` -10x+25=382 +8x+16+xÛ` +xÛ` -2x+41=382 -2x-341=0 (3x+31)(x-11)=0 ∴ x=-;;£3Á;; 또는 x=11 이때 x>5인 자연수이므로 x=11 따라서 B는 11살, A는 15살, C는 6살이므로 세 사람의 나이의 합은 11+15+6=32 답 ③ Ⅲ. 이차방정식 09. 이차방정식의 활용 43 10 발사한 물로켓의 t초 후의 높이가 (-3tÛ` +18t+10) m이므로 물로켓의 높이가 34 m일 때 -3tÛ` +18t+10=34 위 이차방정식을 정리하면 (cid:85)(cid:30)(cid:19)일 때 (cid:85)(cid:30)(cid:21)일 때 14 오른쪽 그림과 같이 길의 폭을 x m라 하면 꽃밭의 넓이는 가로의 길이가 (25-2x) m, 세로의 길이가 (20-2x) m인 직사각형의 넓이와 같아진다. (cid:89)(cid:65)(cid:78) 본문 201쪽 (cid:19)(cid:22)(cid:65)(cid:78) (cid:19)(cid:17)(cid:65)(cid:78) (cid:9)(cid:19)(cid:22)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:78) (cid:19)(cid:89)(cid:65)(cid:78) 답 ④ 이때 꽃밭의 넓이가 204 mÛ`이므로 (25-2x)(20-2x)=204 …… ㉠㉠을 정리하면 (cid:9)(cid:19)(cid:17)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:78) (cid:19)(cid:89)(cid:65)(cid:78) =204 2xÛ` 500-50x-40x+4xÛ` 4xÛ` -90x+296=0 -45x+148=0 (x-4)(2x-37)=0 ∴ x=4 또는 x=;;£2¦;; 이때 0<x<10이므로 x=4 따라서 길의 폭은 4 m이다. (cid:19)초 (cid:20)초 (cid:20)(cid:17)(cid:65)(cid:78) 15 자연수 n에 대하여 n(n+1) 2 =66 n(n+1)=132 nÛ` +n=132 +n-132=0 +n-132=(n+12)(n-11)이므로 nÛ` nÛ` (n+12)(n-11)=0 ∴ n=-12 또는 n=11 이때 n은 자연수이므로 n=11 따라서 바둑돌의 개수가 66인 삼각형은 11단계 삼각형이다. 답 ⑤ 16 처음 원의 반지름의 길이는 5 m이므로 이 원의 넓이는 p _5Û` =25p(mÛ`) 이때 이 원의 반지름의 길이를 x m만큼 늘이면 원의 반지름의 길이는 (x+5) m가 되므로 원의 넓이는 p(x+5)Û` mÛ`이다. 이때 원의 넓이가 24p mÛ`만큼 넓어졌으므로 두 원의 넓이의 차는 24p mÛ`이다. 이를 이용하여 식을 세우면 p(x+5)Û` ㉠에서 p(xÛ` -25p =24p yy ㉠ +10x+25)-25p =24p xÛ` xÛ` +10x+25-25=24 +10x-24=0 (x+12)(x-2)=0 ∴ x=-12 또는 x=2 이때 x는 늘인 원의 반지름의 길이이므로 x>0 ∴ x=2 답 2 17 오른쪽 그림과 같이 AFÓ 하면 FBÓ=(20-x) cm이다. =45ù이므로 ∠C 이때 ∠A = =x cm라 두 삼각형 AEF, ECD는 직각이등변삼각형이다. (cid:34) (cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:39) (cid:9)(cid:19)(cid:17)(cid:14)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:35) (cid:38) (cid:37) (cid:36) EFÓ 따라서 AFÓ FBÓ= 이를 이용하여 두 직각삼각형 AEF, ECD의 넓이의 합을 x에 대한 식 =x cm이고 =(20-x) cm이다. = CDÓ EDÓ = 으로 나타내면 +18t-24=0 -3tÛ` tÛ` -6t+8=0 (t-2)(t-4)=0 ∴ t=2 또는 t=4 따라서 물로켓을 발사한 후 2초부터 4초 사이에 발사한 물로켓의 높이 (cid:20)(cid:21)(cid:65)(cid:78) 가 34 m 이상이 되므로 구하는 시간은 2초이다. 답 ② 11 공의 t초 후의 높이가 (-tÛ` +5t+24) m이므로 -tÛ` +5t-6=0 +5t+24=30, 공의 높이가 30 m일 때의 시간을 구하면 -tÛ` tÛ` -5t+6=0 (t-2)(t-3)=0 ∴ t=2 또는 t=3 따라서 공의 높이가 처음으로 30 m가 될 때는 공을 던지고 나서 2초 후이다. +5t+24=0 공이 지면에 떨어진다는 것은 공의 높이가 0 m가 된다는 뜻이므로 -tÛ` tÛ` -5t-24=0 (t+3)(t-8)=0 ∴ t=-3 또는 t=8 이때 t는 시간이므로 t¾0 (cid:19)(cid:21)(cid:65)(cid:78) (cid:25)초 ∴ t=8 따라서 공이 지면에 떨어질 때는 공을 던지고 나서 8초 후이다. 그러므로 공이 처음으로 30 m의 높이에 도달하는 때부터 공이 지면에 떨어질 때까지 걸리는 시간은 8-2=6(초) (cid:17)(cid:65)(cid:78) (지면) 답 ④ 12 어떤 양수를 x(x>0)라 하면 x_(x-3)=108, x(x-3)=108 xÛ` xÛ` -3x=108 -3x-108=0 (x-12)(x+9)=0 ∴ x=12 또는 x=-9 x는 양수이므로 x=12 원래의 두 수의 곱을 구하기 위해 x(x+3)에 x=12를 대입하면 12_15=180 답 180 13 이차방정식 axÛ` -(3a-2)x-2(a+2)=0의 x의 계수와 상수항을 바 꾸어 쓰면 axÛ` -2(a+2)x-(3a-2)=0 이때 이 이차방정식의 한 근이 -2이므로 -2(a+2)_(-2)-(3a-2)=0 -(3a-2)x-2(a+2)=0에 -{3_(-2)-2}x-2{(-2)+2}=0 a_(-2)Û` 4a+4a+8-3a+2=0 5a=-10 ∴ a=-2 처음 이차방정식 axÛ` a=-2를 대입하면 (-2)xÛ` -2xÛ` xÛ` +8x=0 -4x=0 x(x-4)=0 ∴ x=0 또는 x=4 44 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 답 a=-2, x=0 또는 x=4 xÛ` ;2!; +;2!; (20-x)Û` 본문 203쪽 답 ;;°3¼;; Ⅳ - 1 0 . 이 차 함 수 의 그 래 프 ( 1 ) 문제에서 두 직각삼각형의 넓이의 합이 125`cmÛ`라 하였으므로 xÛ` (20-x)Û` =125 xÛ` xÛ` ;2!; 2xÛ` =250 +;2!; +(20-x)Û` +(400-40x+xÛ`)=250 -40x+150=0 -20x+75=0 (x-5)(x-15)=0 ∴ x=5 또는 x=15 이때 AFÓ>FBÓ이므로 x=15 따라서 선분 AF의 길이는 15 cm이다. xÛ` 18 두 실수 a, b에 대하여 a*b=a+b+ab이므로 연산 *의 정의에 의하여 (x+2)*(2x-1) =(x+2)+(2x-1)+(x+2)(2x-1) =2xÛ` 따라서 주어진 방정식은 +6x-1=-2, 2xÛ` +6x+1=0 +6x-1 2xÛ` 따라서 이차방정식의 근의 공식에 의하여 x= -3Ñ 3Û`-2 "Ã 2 18xÛ` -300x=0, 3xÛ` -50x=0 x(3x-50)=0 ∴ x=0 또는 x=;;°3¼;; 따라서 x>0이므로 x=;;°3¼;; 10 이차함수의 그래프 (1) 답 15 cm Step 1. 개념 다지기 10-1 이차함수의 뜻 기본연습 1 (1) y=2(x-1)Û` 에서 y=2(xÛ` 따라서 이차함수이다. (2) y=2xÛ` 따라서 이차함수가 아니다. -2x+1), y=2xÛ` -4x+2 -x(2x+5)+1에서 y=2xÛ` -2xÛ` -5x+1, y=-5x+1 -3Ñ 7 ' 2 x= 즉, (x+2)*(2x-1)=-2를 만족시키는 두 실수 x의 값의 차는 -3+ -3- 7 ' 2 - 7 2 =' ' 7 답 ④ 에서 분모에 xÛ` 이 있는 식은 이차함수가 아니다. 1 2xÛ` (3) y=- (4) y=(x-3)(2x+5)에서 y=2xÛ` 따라서 이차함수이다. -x-15 답 (1) ○ (2) × (3) × (4) ○ 19 (x-3,`5) (-x+2,`2x+1)=-5에서 (x-3)(2x+1)-5(-x+2)=-5 2xÛ` -5x-3+5x-10=-5 -5x+5x-3-10+5=0 -8=0, xÛ` -4=0 -4=(x+2)(x-2)이므로 2xÛ` 2xÛ` xÛ` (x+2)(x-2)=0 ∴ x=-2 또는 x=2 다른풀이 (x-3, 5) (-x+2, 2x+1)=-5에서 (x-3)(2x+1)-5(-x+2)=-5 xÛ` -4=0 -4=0에서 좌변의 ∴ x= =4 Ñ2 xÛ` xÛ` -4를 우변으로 이항하면 답 ②, ⑤ 기본연습 2 연습 1 y=2x(2x+2), y=4xÛ` 따라서 이차함수이다. +4x 답 y=4xÛ` +4x, 이차함수이다. 10-2 이차함수 y=xÛ`, y=-xÛ` 의 그래프 (1) ② x<0에서 x의 값이 증가할 때 y의 값은 감소하고, x>0에서 x의 값이 증가할 때 y의 값도 증가한다. ④ y=-xÛ` 의 그래프와 x축에 대하여 서로 대칭이다. (2) ② 축의 방정식은 x=0이다. ④ 그래프를 좌표평면에 나타내면 원점 이외의 부분이 x축보다 아래쪽에 있다. 답 (1) ① T ② F ③ T ④ F (2) ① T ② F ③ T ④ F x y y y -3 9 -1 1 0 0 1 1 3 9 y y 이차함수 y=xÛ` 의 그래프는 x<0에서 x의 값이 증가할 때 y의 값은 감소한다. <0이므로 주어진 범위에서 y의 값은 감소한다. 답 풀이 참조, 감소 20 가격 인상 전의 상품의 가격을 a원, 판매량을 b개라 하자. 6x %만큼 인상된 상품의 가격은 연습 2 6x 100 } 1+ 원, 즉 a 1+ a_{ 3x %만큼 감소된 판매량은 { 6x 100 } 원 3x 100 } 1- 개, 즉 b b_{ 가격 인상 전후의 수입은 같으므로 1- { 3x 100 } 개 a_b=a 1+ { { 6x 100 }_b 3x 100 } 1- 6x 100 }{ 1+ 1={ ㉠의 양변에 100Û`을 곱하면 …… ㉠ 100Û` 100Û` { 1+ 6x 3x =100Û` 100 }{ 100 } =(100+6x)(100-3x), 100Û` 1- -3<-;2!; 기본연습 3 1- 3x 100 } , ab=ab 1+ { 6x 100 }{ 1- 3x 100 } 10-3 이차함수 y=axÛ` 의 그래프 =100Û` -300x+600x-18xÛ` 답 (1) ① (0, 0) ② x=0 ③ y=-4xÛ` xÛ` 답 (2) ① (0, 0) ② x=0 ③ y=;;Á3¼;; Ⅳ. 이차함수 10. 이차함수의 그래프 (1) 45 본문 209쪽 연습 3 10-6 이차함수 y=a(x-p)Û`+q의 그래프 (1) 이차함수 y=axÛ` 의 그래프는 a>0일 때 아래로 볼록한 포물선이다. 따라 서 그래프가 아래로 볼록한 이차함수는 기본연습 6 y=2xÛ`, y=4xÛ`, y=;3!; xÛ`이다. (2) 두 이차함수 y=axÛ`, y=-axÛ`의 그래프는 x축에 대하여 서로 대칭이므 xÛ` 은 각각 x축에 대하여 서로 xÛ`, y=-;3!; 로 y=2xÛ`, y=-2xÛ` 과 y=;3!; 대칭이다. (3) y=axÛ` 에서 a의 절댓값이 클수록 이차함수의 그래프의 폭은 좁아진다. 따라서 그래프의 폭이 가장 좁은 이차함수는 y=4xÛ` 이다. 답 (1) ㄱ, ㄴ, ㅁ (2) ㄱ과 ㅂ, ㄷ과 ㅁ (3) ㄴ 답 (1) ① y=;3&; (x+1)Û` -1 ② (-1, -1) ③ x=-1 답 (2) ① y=-6 x+;5@;} { +3 ② {-;5@; , 3 ③ x=-;5@; } 2` 연습 6 +2의 그래프는 이차함수 y=-3xÛ` 의 그래프를 이차함수 y=-3(x-1)Û` x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. 따라서 a=1, b=2이므로 2a-b=2_1-2=0 답 0 10-4 이차함수 y=axÛ`+q의 그래프 기본연습 4 (1) y=;7$; xÛ` 의 그래프를 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=;7$; xÛ` -1이고, 꼭짓점의 좌표는 (0, -1), 축의 방정식은 x=0이다. (2) y=-3xÛ` 의 그래프를 y축의 방향으로 ;2!; 만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=-3xÛ` +;2!; 이고, 꼭짓점의 좌표는 { 0, ;2!;} , 축의 방정식은 x=0이다. 답 (1) ① y=;7$; xÛ` -1 ② (0, -1) ③ x=0 답 (2) ① y=-3xÛ` +;2!; ② { 0, ;2!;} ③ x=0 -1의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, -1)이고, 축의 방정식 연습 4 xÛ` 이차함수 y=;3@; 은 x=0이다. 따라서 a=0, b=-1, c=0이므로 a-3b+2c=0-3_(-1)+2_0=3 10-5 이차함수 y = a(x-p)Û` 의 그래프 기본연습 5 (1) y=4xÛ` 의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=4(x+2)Û` 이고, 꼭짓점의 좌표는 (-2, 0), 축의 방정식은 x=-2이다. xÛ` 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프의 식은 (2) y=-;5!; y=-;5!; (x-2)Û` 이고, 꼭짓점의 좌표는 (2, 0), 축의 방정식은 x=2이다. 답 (1) ① y=4(x+2)Û` ② (-2, 0) ③ x=-2 답 (2) ① y=-;5!; (x-2)Û` ② (2, 0) ③ x=2 연습 5 이차함수 y=3(x+5)Û` 의 그래프는 이차함수 y=3xÛ`의 그래프를 x축의 방향 으로 -5만큼 평행이동한 것이고, 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-5, 0)이 다. 따라서 a=-5, b=-5, c=0이므로 2a-b+3c=2_(-5)-(-5)+3_0=-5 -5 답 46 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 답 3 유제 01 ① 4xÛ` +3x-1=0은 이차방정식이다. ㅁ ① 6 ⑤ ③ ④ Step 2. 대표 문제로 접근하기 01 06 11 16 21 25 30 ④ 11 ⑤ ② ③ ③ 6 02 07 12 17 ③ ② ③ ① 22 -2 26 -6 03 ①, ④ 04 08 ㄱ, ㄴ 09 13 18 23 27 ④ (0, 4) 14 19 y=2xÛ` ③ -1 28 31 y=;2(;{ x+;3@;} 32 34 x>2 35 ② 36 2` ④ 37 꼭짓점의 좌표 : (-5, 39 -5 43 제3사분면 40 2 -5), 축의 방정식 : x=-5 54 4 42 41 44 ④ 45 ⑤ 46 15 -2 20 ②, ④ 05 10 24 29 33 38 ② 8 ② 16 ④ 6 4 +3xÛ` 에서 우변의 식을 정리하면 ② y=-3(x+1)Û` y=-3xÛ` 따라서 일차함수이다. -6x-3+3xÛ`, y=-6x-3 ③ y=2xÛ` -xÜ`은 xÜ` 항이 있으므로 이차함수가 아니다. ④ y=x(2x-1)-5+xÛ` 에서 우변의 식을 정리하면 -x-5+xÛ`, y=3xÛ` y=2xÛ` 따라서 이차함수이다. -x-5 -x(3x+1)에서 우변의 식을 정리하면 ⑤ y=3xÛ` -3xÛ` y=3xÛ` 따라서 일차함수이다. -x, y=-x 그러므로 이차함수인 것은 ④이다. 답 ④ +4x-4 이차함수 분모에 xÛ` 이 있으므로 이차함수가 아니다. =-xÛ` 유제 02 ㄱ. y=-(x-2)Û` 4 ㄴ. y=- xÛ` ㄷ. y=-2x(x+3)+2xÛ` ㄹ. y=2-3x 일차함수 xÛ`-2 이차함수 ㅁ. y= 3 ㅂ. y=(2-x)(x+3)=-xÛ` 따라서 이차함수인 것은 ㄱ, ㅁ, ㅂ의 3개이다. -6x+2xÛ` =-2xÛ` -x+6 이차함수 =-6x 일차함수 답 ③ Ⅳ - 1 0 . 이 차 함 수 의 그 래 프 ( 1 ) 본문 213쪽 답 ① (cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)(cid:153) (cid:90)(cid:30)(cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)(cid:89)(cid:153) (cid:90) (cid:48) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:153) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:28)(cid:22)(cid:5)(cid:28)(cid:89)(cid:153) 답 8 p =;4!; _{;2!; pxÛ` 이차함수 유제 03 ① y=x_x_x=xÜ` 이차함수가 아니다. ② y= x } 2` ③ y=6_x_x=6xÛ` 이차함수 ④ y=(2x+2)Û` ⑤ y= p 따라서 y가 x에 관한 이차함수가 아닌 것은 ①, ④이다. -(2x)Û` 270 360 =;4#; =8x+4 (∵ 2x+2>2x) 일차함수 pxÛ` 이차함수 _xÛ` _ 유제 09 y=axÛ` 의 그래프에서 a의 절댓값이 클수록 폭이 좁아진다. > > > |-;2#;| |;6&;| |-;3@;| |;4!;| 이므로 이차함수의 그래프의 폭이 좁은 것부터 순서대로 나열하면 xÛ`, y=;6&; y=-;2#; 즉, ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ이다. xÛ`, y=-;3@; xÛ`, y=;4!; xÛ` 답 ①, ④ 유제 10 포물선 ㉠은 아래로 볼록하면서 폭이 가장 넓으므로 이차함수의 식은 유제 04 ㄱ. y=3x 일차함수 ㄴ. (시간) (거리) (속력) = 이므로 100 x 이차함수가 아니다. ㄴ. y= ㄷ. y=2px_11=22px 일차함수 28 ㄹ. xy=28에서 y= x ㅁ. y=xÛ` +6x+9 이차함수 =2xÛ` +(x+3)Û` 따라서 y가 x에 관한 이차함수인 것은 ㅁ뿐이다. 이차함수가 아니다. 유제 05 f(x)=axÛ` -3x-4에 x=2를 대입하면 -3_2-4=4a-6-4=4a-10 f(2)=a_2Û` 이때, f(2)=2이므로 4a-10=2, 4a=12 ∴ a=3 유제 06 f(x)=axÛ` -2x+3에서 ∴ a=3 -2_1+3=a+1 -2x+3에 x=-1을 대입하면 f(1)=a_1Û` f(1)=4이므로 a+1=4 f(x)=3xÛ` f(-1)=3_(-1)Û` f(-1)=b에서 b=8 따라서 a=3, b=8이므로 a+b=3+8=11 -2_(-1)+3=3+2+3=8 y=;2!; xÛ` y=;2!; 지나므로 xÛ` 의 그래프가 점 (4, k)를 k=;2!;_4Û` =;2!;_16=8 유제 11 답 ㅁ 이차함수 y=-3x Û` 의 그래프와 x축에 대하여 서로 대칭인 그래프의 이차함수의 식은 y=-(-3xÛ`)이고, 이 그래프가 점 (-2, a)를 지나므로 y=3xÛ` 에 x=-2, y=a를 대입하면 a=3_(-2)Û` ∴ a=12 답 (cid:90) (cid:18)(cid:19) (cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:89)(cid:153) (cid:48)(cid:14)(cid:19) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:20)(cid:89)(cid:153) ⑤ 답 ② 유제 12 (cid:90) (cid:48) (cid:90)(cid:30)(cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)(cid:89)(cid:153) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)(cid:89)(cid:153) xÛ` 의 그래프는 원점을 꼭짓점으로 하고, y축을 축으로 ㄱ. y=-;2!; 하므로 y축에 대하여 대칭이다. 답 11 ㄴ. y=-;2!; xÛ` 에 x=-4를 대입하면 유제 07 ① y=;4!; xÛ` 에 x=4, y=4를 대입하면 4=;4!;_4Û` =4에서 등식이 ① 성립하므로 점 (4, 4)는 이차함수 y=;4!; xÛ` 의 그래프 위의 점이다. y=-;2!;_(-4)Û` =-;2!;_16=-8 그러므로 이차함수 y=-;2!; 난다. xÛ` 의 그래프는 점 (-4, -8)을 지 xÛ` 의 그래프는 직선 x=0 ② y=;4!; ① 을 축으로 하는 포물선이다. xÛ` 의 그래프는 제 1 사분면, ③ y=;4!; ① 제 2 사분면을 지난다. (cid:90) (cid:48) ④ x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. xÛ` 의 그래프는 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선이다. ⑤ y=;4!; 따라서 옳지 않은 것은 ②이다. 답 유제08 이차함수 y=-3xÛ`의 그래프에 대하여 ㄱ. 제 2 사분면을 지나지 않는다. (cid:90) (cid:48) (cid:90)(cid:30)(cid:28)(cid:21)(cid:197)(cid:28)(cid:89)(cid:153) xÛ` 의 그래프는 y=;2!; xÛ` 의 그래프와 x축에 대하여 서로 ㄷ. y=-;2!; 대칭이다. (cid:89) ② (cid:89) xÛ` 의 그래프는 x<0일 때 x의 값이 증가하면 y의 값도 ㄹ. y=-;2!; 증가하고, x>0일 때 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 따라서 옳은 것을 모두 고른 것은 ㄱ, ㄹ이다. 답 ③ 유제 13 이차함수 y=axÛ` 의 그래프가 점 (-2`, 12)를 지나므로 y=axÛ` 에 x=-2, y=12를 대입하면 12=a_(-2)Û` 따라서 y=3xÛ` 의 그래프가 점 ∴ a=3 를 지나므로 y=3xÛ` 에 , k {;3!; } x=;3!; , y=k를 대입하면 k=3_{;3!;} =;3!; 답 ④ 2` ㄴ. 원점을 지난다. ㄷ. y=-3xÛ` 에 x=-2, y=12를 대입하면 12+ 따라서 점 (-2`, 12)를 지나지 않는다. ㄹ. x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. -3_(-2)Û` =-12 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 답 ㄱ, ㄴ (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:20)(cid:89)(cid:153) 유제 14 점 (2, 8)이 함수 y=axÛ` 의 그래프 위의 점이므로 =4a ∴ a=2 8=a_2Û` 따라서 주어진 함수는 y=2xÛ`이고 점 (b, 32)가 이 함수의 그래프 =16 위의 점이므로 32=2_bÛ`, bÛ` ∴ a+b=2+4=6 ∴ b=4 (∵ b>0) 답 6 Ⅳ. 이차함수 10. 이차함수의 그래프 (1) 47 유제 20 이차함수 y=-;2!; +5의 그래프를 좌표평면에 나타내면 오른쪽 그림과 xÛ` 같다. ① 꼭짓점의 좌표는 (0, 5)이다. ② 축이 y축이므로 축의 방정식은 본문 219쪽 (cid:90) (cid:22) 증가 증가 (cid:48) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:22) ③ 위의 그림과 같이 x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가 x=0이다. 한다. ④ 이차함수 y=-;2!; ④ 동한것이다. ⑤ 이차함수 y=axÛ` ⑤ 은 포물선이다. 따라서 xÛ` 의 그래프를 y축의 방향으로 5만큼 평행이 +q의 그래프는 a의 절댓값이 클수록 폭이 좁 +7의 그 이므로 y=;3!; |;3!;| ;2!;| - < xÛ` | ⑤ 래프보다 y=-;2!; 따라서 옳지 않은 것은 ②, ④이다. xÛ` +5의 그래프의 폭이 좁다. 답 ②, ④ +b의 그래프 위의 점이므로 유제 21 ㉡ -2), (2, 7)이 두 점 (1, 이차함수 y=axÛ` -2=a+b yy ㉠ 7=4a+b yy ㉡㉠을 하면 3a=9 a=3을 ㉠에 대입하면 ∴ b=-5 -2=3+b ∴ a-b=3-(-5)=8 - ∴ a=3 답 ③ 답 -2 (cid:90) (cid:24) (cid:48) (cid:14)(cid:18) (cid:19) (cid:89) 유제 22 이차함수 y=2xÛ` +q의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이 +q-3이고, 이 그래프의 꼭짓점의 좌 동한 그래프의 식은 y=2xÛ` 표는 (0, q-3)이므로 q-3=-5 ∴ q=-5+3=-2 유제 23 주어진 포물선은 축이 y축이고 꼭짓점의 좌표가 -1)이므로 이차함수의 식은 -1 (a+0)로 놓을 수 있다. (0, y=axÛ` 이차함수 y=axÛ` 나므로 7=a_2Û` 4a=8 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=2xÛ` ∴ a=2 -1의 그래프가 점 (2, 7)을 지 -1, 7=4a-1 -1이다. 답 y=2xÛ` -1 유제 24 주어진 그래프는 y축이 축이고, 꼭짓점의 좌표가 (0, 0)이므로 y=axÛ` (a+0)으로 놓을 수 있다. 이차함수 y=axÛ` 의 그래프가 점 (3, 6)을 지나므로 ∴ a=;3@; 6=a_3Û`, 6=9a 따라서 주어진 그래프를 나타내는 함수의 식은 y=;3@; 이 그래프를 y축의 방향으로 xÛ`이고, -2만큼 평행이동한 그래프를 나타 -2이다. xÛ` 내는 이차함수의 식은 y=;3@; 이차함수 y=;3@; xÛ` -2의 그래프가 점 (-2, k)를 지나므로 유제 15 y=f(x)의 그래프의 꼭짓점이 원점이므로 f(x)=axÛ` (a+0)으 로 놓을 수 있다. 이차함수 y=axÛ` 의 그래프가 점 (2, 8)을 지나므로 8=a_2Û`, 4a=8 ∴ a=2 따라서 이차함수 y=f(x)의 이차항의 계수는 2이다. 이차함수 y=2xÛ` 의 그래프가 점 (k, 2)를 지나므로 2_kÛ` 따라서 이차항의 계수와 k의 값의 곱은 2_(-1)=-2 ∴ k=-1 (∵ k<0) =2, kÛ` =1 (cid:90) (cid:25) (cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)(cid:153) (cid:9)(cid:19)(cid:13)(cid:3)(cid:25)(cid:10) (cid:9)(cid:14)(cid:18)(cid:13)(cid:3)(cid:19)(cid:10) (cid:19) (cid:14)(cid:18) (cid:48) (cid:19) (cid:89) 답 -2 유제 16 꼭짓점이 원점이고 축이 y축인 이차함수를 y=axÛ` (a+0)이라 하자. 이차함수 y=axÛ` 의 그래프가 점 (-10, 75)를 지나므로 75=a_(-10)Û`, 75=100a ∴ a=;4#; 따라서 이차함수의 식은 y=;4#; xÛ` 이고, 이 그래프와 x축에 대하여 서로 대칭인 그래프의 이차함수의 식은 y=-;4#; xÛ `이다. 이차함수 y=-;4#; xÛ` 의 그래프가 점 (m, -12)를 지나므로 mÛ`, mÛ` -12=-;4#; ∴ m=4 (∵ m>0) =-12_{-;3$;}=16 답 ② 유제 17 이차함수 y=-5xÛ` 동한 그래프의 이차함수의 식은 +2의 그래프를 y축의 방향으로 q만큼 평행이 yy ㉠ +2+q y=-5xÛ` ㉠이 y=-5xÛ` 따라서 이차함수 y=-5xÛ` 프를 y축의 방향으로 -3과 일치해야 하므로 2+q=-3에서 q=-5 -3의 그래프는 y=-5xÛ` -5만큼 평행이동한 것이다. +2의 그래 답 ① 유제 18 이차함수 y=axÛ` 의 그래프를 y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=axÛ` (0,`4)이다. +4이고, 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 답 (0,`4) 유제 19 이차함수 y=-;3!; 그림과 같다. xÛ` -5의 그래프를 좌표평면에 나타내면 다음 (cid:90) (cid:48) (cid:14)(cid:22) 증가 (cid:89) 감소 (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:28)(cid:20)(cid:197)(cid:28)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:22) ① 꼭짓점의 좌표는 (0,` -5)이다. ② 제 3, 4 사분면을 지난다. ③ 위로 볼록한 포물선이다. ④ y=-;3!; ④ 이다. 48 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) xÛ` 의 그래프를 y축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 것 k=;3@;_(-2)Û` -2=;3@;_4-2=;3*;-2=;3@; 답 ② ⑤ x>0일 때 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 답 ⑤ 유제 25 이차함수 y=-;5@; (x+3)Û` 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-3, 0) 답 ③ 이고, 축의 방정식은 x=-3이다. 본문 224쪽 답 6 (cid:90) (cid:19) Ⅳ - 1 0 . 이 차 함 수 의 그 래 프 ( 1 ) 유제 26 이차함수 y=' 3xÛ` 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=' 이차함수 y=' p=-6 3(x-p)Û` 의 그래프의 축의 방정식은 x=p이므로 -6 3(x-p)Û` 답 a=;2#;_(2-3)Û` =;2#;_(-1)Û` =;2#; b=;2#;_(7-3)Û` =;2#;_4Û` =24 ∴ ab=®É;2#;_24='¶ '¶ 36=6 유제 27 이차함수 y=-;4#; (x+1)Û` 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ① 축의 방정식은 x=-1이다. (x+1)Û` 의 그래프와 x축에 대 ② y=;4#; ②하여 대칭인 그래프를 나타내는 이차 (cid:89)(cid:30)(cid:14)(cid:18) (cid:90) (cid:14)(cid:18) (cid:48) (cid:89) (cid:14)(cid:28)(cid:21)(cid:4)(cid:28) 유제 31 주어진 그래프는 꼭짓점의 좌표가 {-;3@; , 0 이고, 축의 방정식이 x=-;3@; } 인 (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:28)(cid:21)(cid:4)(cid:28)(cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:10)(cid:153)(cid:65) 아래로 볼록한 포물선이므로 y=a x+;3@;} 2` (a+0)으로 놓을 수 있다. 주어진 그래프와 { (cid:48) (cid:89) (cid:14)(cid:28)(cid:20)(cid:33)(cid:28) ② 함수의 식은 -y=;4#; (x+1)Û`, 즉 y=-;4#; (x+1)Û` ③ y=;4#; xÛ` 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 그 (x+1)Û` ③ 래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=;4#; ④ 꼭짓점의 좌표는 (-1, 0) ⑤ 축의 방정식이 x=-1이고 위로 볼록한 포물선이므로 ③ x<-1에서 x의 값이 증가할 때 y의 값도 증가한다. 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 답 ③ 유제 28 두 이차함수 y=;3@; xÛ` -1, y=-;3@; (x+1)Û` 의 그래프에 대하여 ① y=;3@; xÛ` -1의 그래프의 축의 방정식은 x=0이고, ③ y=-;3@; (x+1)Û` 의 그래프의 축의 방정식은 x=-1이다. ② y=;3@; xÛ` -1의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, -1)이고, (x+1)Û` 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-1, 0)이다. ③ y=-;3@; ③ 이차함수의 그래프의 폭은 xÛ` 의 계수의 절댓값에 따라 결정되 y축과의 교점의 좌표가 (0, 2)이므로 y=a x=0, y=2를 대입하면 x+;3@;} { 에 2` , 0+;3@;} 2=a_{ 따라서 주어진 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식은 ∴ a=2_;4(;=;2(; a=2 ;9$; 2` y=;2(;{ x+;3@;} 2` 유제 32 이차함수의 그래프의 축의 방정식이 x=;2!; 답 y=;2(;{ x+;3@;} 2` 이고 x축과 접하므로 꼭짓점의 좌표는 이다. 따라서 구하는 이차함수의 식을 , 0 } {;2!; (a+0)으로 놓을 수 있다. y=a x-;2!;} { 2` 이차함수 y=a x-;2!;} { 의 그래프가 점 (0, -1)을 지나므로 -1=a_{ 0-;2!;} , ;4!; 2` a=-1 ∴ a=-4 2` 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-4 x-;2!;} { 답 ④ 2` 유제 33 이차함수 y=;2!; xÛ` 의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프 ③ 고 |;3@;|=|-;3@;| 이므로 두 이차함수의 그래프의 폭은 같다. 를 나타내는 이차함수의 식은 y=-;2!; xÛ` (x+1)Û` 의 그래프는 제 3, 4 사분면을 지난다. ③ y=-;3@; 따라서 옳은 것은 ③이다. 답 ③ 유제 34 이차함수 y=-;2#; 향으로 ④ 이차함수 y=;3@; xÛ` -1의 그래프는 y=;3@; xÛ` 의 그래프를 (x+1)Û` 의 그래프는 y=-;3@; xÛ` 의 그래프를 평행이동 ③ y=-;3@; ③ 한 것이다. ⑤ 두 이차함수의 그래프를 좌표평면 에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. -1의 그래프는 모든 xÛ` ③ y=;3@; ③사분면을 지나고, (cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:28)(cid:20)(cid:33)(cid:28)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:18)(cid:65) (cid:89) (cid:14)(cid:18) (cid:48) (cid:14)(cid:18) (cid:14)(cid:28)(cid:20)(cid:33)(cid:28) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:28)(cid:20)(cid:33)(cid:28)(cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:10)(cid:153)(cid:65) 유제 29 이차함수 y=2(x-p)Û` 의 그래프의 축의 방정식은 x=p이므로 ∴ y=2(x+2)Û` p=-2 이 그래프가 점 (-5, k)를 지나므로 k =2_(-5+2)Û` ∴ p+k=-2+18=16 =2_(-3)Û` =2_9=18 유제 30 이차함수 y=;2#; xÛ` 의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=;2#; (x-3)Û` 이 그래프가 두 점 (2, a), (7, b)를 지나므로 -2만큼, y축의 이차함수 y=-;2!; 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 xÛ` 의 그래프를 x축의 방향으로 +3 (x+2)Û` y=-;2!; 이 함수의 식이 y=a(x-p)Û` , p=-2, q=3 a=-;2!; +q와 일치하므로 ∴ apq={-;2!;}_(-2)_3=3 답 ④ xÛ` 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방 -2만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 (x-2)Û` -2 y=-;2#; 이차함수 y=-;2#; 고 위로 볼록한 포물선이므로 그래프의 개형은 다음과 같다. -2의 그래프는 축의 방정식이 x=2이 (x-2)Û` 답 16 (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:28)(cid:19)(cid:4)(cid:28)(cid:9)(cid:89)(cid:14)(cid:19)(cid:10)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:19) 증가 감소 증가 증가 (cid:89)(cid:30)(cid:19) 따라서 x의 값이 증가할 때 y의 값은 감소하는 x의 값의 범위는 x>2이다. 답 x>2 Ⅳ. 이차함수 10. 이차함수의 그래프 (1) 49 유제 35 이차함수 y=-5(x-2)Û` +8에 x=0을 대입하면 +8의 그래프는 꼭짓점의 좌표가 (2, 8)이고, 축의 방정식이 x=2인 위로 볼록한 포물선이다. 이때 y=-5(x-2)Û` y=-5_(0-2)Û` (0, -12)이다. +8의 그래프를 좌표평면 위에 따라서 이차함수 y=-5(x-2)Û` 나타내면 다음과 같으므로 그래프가 지나지 않는 사분면은 제 2 사 +8=-12이므로 y축과 만나는 점의 좌표는 분면이다. 이 그래프를 다시 x축에 대하여 대칭이동한 그래프를 나타내는 이 차함수의 식은 -y=k(x-3)Û` ∴ y=-k(x-3)Û` 이차함수 y=-k(x-3)Û`의 그래프가 점 (5, 20)을 지나므로 답 20=-k(5-3)Û`, ∴ k=-5 -4k=20 -5 유제 40 이차함수 y=a(x-3)Û` 의 그래프와 y축에 대하여 대칭인 그래프 를 나타내는 이차함수의 식은 y=a(x+3)Û` 이 그래프를 y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 그래프를 나타내 (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:22)(cid:9)(cid:89)(cid:14)(cid:19)(cid:10)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:25) (cid:19) (cid:89) (cid:90) (cid:25) (cid:48) (cid:14)(cid:18)(cid:19) 유제 36 이차함수 y=-(x+4)Û` -2의 그래프에 대하여 -2)이다. ㄱ. 직선 x=-4를 축으로 한다. ㄴ. 꼭짓점의 좌표는 (-4,`` ㄷ. y축과의 교점의 좌표를 (0, a)라 하면 ㄷ. a=-(0+4)Û` ㄷ. 따라서 y축과 점 (0, ㄹ. 이차함수 y=-(x+4)Û` -2 에서 a=-16-2=-18 -18)에서 만난다. -2의 그래프 는 오른쪽 그림과 같으므로 제 1, 2 사분 면을 지나지 않는다. 답 ② (cid:14)(cid:21) (cid:90) (cid:48) (cid:89) (cid:14)(cid:19) ㅁ. 이차함수 y=-xÛ` 의 방향으로 -2의 그래프를 x축 -4만큼 평행이동한 그래 (cid:14)(cid:18)(cid:25) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:21)(cid:10)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:19) 프의 식은 ㄷ. y=-{x-(-4)}Û` 따라서 옳은 것을 모두 고른 것은 ㄹ, ㅁ이다. ∴ y=-(x+4)Û` -2 -2 답 ④ 유제 37 이차함수 y=-5(x+2)Û` -7의 그래프를 x축의 방향으로 -3만 큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함 수의 식은 y=-5{x-(-3)+2}Û` ∴ y=-5(x+5)Û` 따라서 이차함수 y=-5(x+5)Û` (-5, -5의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 -5)이고, 축의 방정식은 x=-5이다. 꼭짓점의 좌표 : (-5, -5), 축의 방정식 : x=-5 -7+2 -5 답 유제 38 이차함수 y=2(x+3)Û` -4의 그래프를 y축의 방향으로 a만큼 평행 -4의 그래프를 x축의 방향으로 b만큼 평 이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=2(x+3)Û` -4+a 이 그래프가 점 (-1, 2)를 지나므로 2=2_(-1+3)Û` ∴ a=-2 4+a=2 이차함수 y=2(x+3)Û` 행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 -4+a, 2_2Û` -4+a=2 y=2(x-b+3)Û` -4 이 그래프가 점 (-2, 28)을 지나므로 28=2(-2-b+3)Û` 2(1-b)Û` b=-3 또는 b=5 ∴ ab=(-2)_(-3)=6 =32, (1-b)Û` -4, 2(1-b)Û` =16, 1-b= ∴ b=-3 (∵ b<0) -4=28 Ñ4 유제 39 이차함수 y=k(x+3)Û` 의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그 래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=k(-x+3)Û` ∴ y=k(x-3)Û` 50 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 본문 229쪽 (cid:90) (cid:18)(cid:19) (cid:21) (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:18) (cid:89) (cid:48) 답 2 답 4 (cid:14)(cid:20) (cid:90) (cid:48) (cid:89) (cid:14)(cid:22) 답 54 ∴ y=a(x+3)Û` +4의 그래프가 +4 (cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:20)(cid:10)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:21) 는 이차함수의 식은 y-4=a(x+3)Û` 이차함수 y=a(x+3)Û` 점 (-1, 12)를 지나므로 12=a(-1+3)Û` +4 4a+4=12, 4a=8 ∴ a=2 유제 41 꼭짓점의 좌표가 (-4, 6)이므로 이차함수의 식을 +6으로 놓자. 이 그래프가 점 (0, -2)를 지나므로 y=a(x+4)Û` -2=a(0+4)Û` +6, -2=16a+6 ∴ a=-;2!; 따라서 이차함수의 식은 y=-;2!; (x+4)Û` +6이고, a=-;2!; , p=-4, q=6이므로 q-ap=6-{-;2!}_(-4)=4 (x-3)Û` +4의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 유제 42 이차함수 y=;4#; 식은 (x-p-3)Û` +4+q y=;4#; 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (p+3, 4+q) 이고, 주어진 그래프의 꼭짓점의 좌표는 -5)이므로 (-3,`` p+3=-3, 4+q=-5에서 p=-3-3=-6, q=-5-4=-9 ∴ pq=(-6)_(-9)=54 유제 43 이차함수 y=a(x-p)Û` 또한 이차함수의 그래프의 꼭짓점이 제1사분면에 있으므로 +q의 그래프가 위로 볼록하므로 a<0 p>0, q>0 이차함수 y=p(x+q)Û` (-q, a)이고 +a의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 -q<0, a<0이므로 꼭짓점은 제 3 사분면 위에 있다. (cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:81)(cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:82)(cid:10)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:66) (cid:48) (cid:89) 꼭짓점 : (cid:9)(cid:14)(cid:82)(cid:13)(cid:3)(cid:66)(cid:10) 답 제3사분면 (cid:90) (cid:48) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:14)(cid:67) 답 6 유제 44 일차함수 y=ax-b의 그래프가 오른쪽 아 래로 향하는 직선이므로 기울기 a의 부호는 a<0 y절편은 x축보다 아래에 있으므로 -b<0 ∴ b>0 이차함수 y=a(x-b)Û` 에서 a<0, b>0이므로 y=a(x-b)Û`의 그래프는 축의 방정식 x=b가 y축보다 오른쪽에 있고, x축에 접 하는 위로 볼록한 포물선이다. 따라서 이차함수 y=a(x-b)Û`의 그래프가 될 수 있는 그래프는 ④이다. (cid:90) (cid:48) (cid:89) 본문 235쪽 +3x+3a가 x에 답 3 Ⅳ - 1 0 . 이 차 함 수 의 그 래 프 ( 1 ) 02 y +3x -3xÛ` +3x+3a +3x=3a+axÛ` =a(3+xÛ`)-3xÛ` =(a-3)xÛ` 주어진 식이 이차함수 식이 되지 않으려면 (a-3)xÛ` 대한 이차식이 아니어야 하므로 ∴ a=3 a-3=0 03 f(x)=xÛ` -ax+b에서 f(-1)=4, f(2)=4이므로 -a_(-1)+b=1+a+b=4에서 -a_2+b=4-2a+b=4에서 f(-1)=(-1)Û` a+b=3 …… ㉠ f(2)=2Û` 2a=b …… ㉡㉠에 ㉡을 대입하면 a+2a=3, 3a=3 a=1을 ㉡에 대입하면 b=2 따라서 f(x)=xÛ` f(1)=1Û` -x+2이므로 -1+2=2 ∴ a=1 (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:9)(cid:89)(cid:14)(cid:67)(cid:10)(cid:153)(cid:65)(cid:65)(cid:9)(cid:66)(cid:29)(cid:17)(cid:10) (cid:89)(cid:30)(cid:67)(cid:65)(cid:9)(cid:67)(cid:31)(cid:17)(cid:10) 답 ④ 유제 45 이차함수 y=-3(x+2p)Û` +6p Û`의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 ∴ p>0 yy ㉠ (-2p, 6pÛ`)이고, 꼭짓점이 제 2 사분면에 있으므로 -2p<0, 6pÛ`>0 이차함수 y=-3(x+2p)Û` 지나므로 y=-3(x+2p)Û` -42=-3_(-2+2p)Û` =14, 2pÛ` 4pÛ` +6pÛ` 의 그래프가 점 (-2, -42)를 +6pÛ` 에 x=-2, y=-42를 대입하면 +6pÛ`, (2p-2)Û` -2pÛ` -8p-10=0 =14 -8p+4-2pÛ` -4p-5=0,(p+1)(p-5)=0 pÛ` ∴ p=-1 또는 p=5 따라서 ㉠에서 p>0이므로 p=5이다. 유제 46 이차함수 y=(x+k)Û` 의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래 답 04 조건 (다)에 의하여 이차함수는 y=axÛ` 의 꼴이다. 조건 (가)에 의하여 이차함수의 그래프는 아래로 볼록하므로 a>0 조건 (나)에서 y=;6%; xÛ` 의 그래프보다 폭이 넓으므로 |a|< |;6%;| ∴ 0<a< ;6%; 답 ⑤ 따라서 주어진 조건을 모두 만족시키는 이차함수의 식은 ③ y=;2!; xÛ`이다. 답 2 ③ ∴ y=(x-k)Û` 프를 나타내는 이차함수의 식은 y=(-x+k)Û` 이차함수 y=(x-k)Û` 의 그래프를 y축의 방향으로 3만큼 평행이 동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y-3=(x-k)Û` y=(x-k)Û` 좌표는 (k, 3)이고, 이 점이 직선 3x+y-15=0 위의 점이므로 3k+3-15=0, 3k=12 ∴ k=4 ∴ y=(x-k)Û` +3 +3의 그래프의 꼭짓점의 (cid:90)(cid:30)(cid:9)(cid:89)(cid:14)(cid:21)(cid:10)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:20) (cid:20)(cid:89)(cid:12)(cid:90)(cid:14)(cid:18)(cid:22)(cid:30)(cid:17) (cid:9)(cid:21)(cid:13)(cid:3)(cid:20)(cid:10) (cid:18)(cid:22) (cid:48) (cid:89) (cid:90) 답 4 Step 3. 단원 마무리하기 01 06 4개 ① 02 07 3 ⑤ -4 11 -2, ⑤ 15 20 ④ 16 ② 03 08 12 17 2 0 ③ ② 04 09 13 18 ③ ⑤ ④ ② 05 10 14 19 13 ② 8 ② 01 ㄱ. y=-3xÛ` +9x (이차함수) -xÛ` =3xÛ` =-x (일차함수) -4x+1 (이차함수) ㄴ. y=(2x-1)Û` ㄷ. y=-x(x+1)+xÛ` ㄹ. y=-3xÛ`(2+x)-5=-3xÜ` ㅁ. y=(2x-1)(3x+1)=6xÛ` ㅂ. y=2(x+1)Û` 3 ㅅ. y=- xÛ` ㅇ. y=6x(xÛ` 따라서 이차함수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ, ㅇ의 4개이다. -6xÛ` -x-1 (이차함수) =4x+2 (일차함수) (이차함수가 아니다.) -1)-6xÜ` -2xÛ` =2xÛ` +2xÛ` -6x (이차함수) -5 (이차함수가 아니다.) 05 이차함수 y=-;3!; xÛ`의 그래프와 x축에 대하여 서로 대칭인 그래프의 이차함수의 식은 y=;3!; xÛ`이고, 이 그래프가 점 (a-5,`a+2)를 지나므 로 y=;3!; xÛ` 에 x=a-5, y=a+2를 대입하면 (a-5)Û`, (a-5)Û` =3(a+2) a+2=;3!; aÛ` -10a+25=3a+6, aÛ` a에 대한 이차방정식 aÛ` -13a+19=0 -13a+19=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 (두 근의 합) -13 1 =13 =- 따라서 모든 a의 값의 합은 13이다. 답 13 06 이차함수 y=axÛ` 의 그래프가 점 (4, 8)을 지나므로 8=a_4Û` =16a ∴ a=;1¥6;=;2!; (cid:34) (cid:21) (cid:36) (cid:90) (cid:48) (cid:90)(cid:30)(cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)(cid:89)(cid:153) (cid:35) (cid:89) 선분 AB와 y축의 교점을 C라 할 때, 이차함수 y=;2!; y축에 대하여 대칭이므로 ACÓ =4이므로 ACÓ = =2 또, ABÓ CBÓ CBÓ = xÛ`의 그래프가 선분 AB가 y축에 대하여 대칭이므로 점 B의 x좌표는 2, 점 A의 x좌 표는 y=;2!; -2이다. xÛ`에 x=2, x=-2를 각각 대입하면 답 4개 =;2!;_4=2, y=;2!;_(-2)Û` y=;2!;_2Û` 이므로 A(-2, 2), B(2, 2)이다. =;2!;_4=2 Ⅳ. 이차함수 10. 이차함수의 그래프 (1) 51 따라서 삼각형 OAB의 밑변을 선분 AB라 하면 COÓ =2이므로 (삼각형 OAB의 넓이) =;2!;_4_2=4 답 ① +2의 그래프가 점 (a, 6)을 지나므로 ∴ a=-2 (∵ a<0) 07 이차함수 y=xÛ` =4 +2, aÛ` 6=aÛ` 이차함수 y=xÛ` y=xÛ` b=(-3)Û` +2=9+2=11 ∴ b-a=11-(-2)=11+2=13 +2에 x=-3, y=b를 대입하면 +2의 그래프가 점 (-3, b)를 지나므로 답 ⑤ 08 이차함수 y=-2xÛ`의 그래프를 꼭짓점의 좌표가 (0, 8)이 되도록 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=-2xÛ` 이차함수 y=-2xÛ` +8의 그래프가 점 (a, 0)을 지나므로 =4 0=-2aÛ` 따라서 모든 a의 값의 합은 2+(-2)=0 ∴ a= +8, aÛ` +8 Ñ2 답 0 다른풀이 +q의 그래프는 y축을 축으로 하므로 y의 값이 같을 때 이차함수 y=kxÛ` 서로 다른 두 수 x는 절댓값이 같고 부호는 반대이다. 절댓값은 같고 부호 가 반대인 두 수의 합은 0이다. 따라서 모든 a의 값의 합은 0이다. (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:20)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:24) (cid:90) (cid:24) 증가 증가 (cid:48) (cid:89) 14 09 이차함수 y=-3xÛ` ① 꼭짓점의 좌표는 (0, 7)이다. +7의 그래프에 대하여 ② 모든 사분면을 지난다. ③ x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. ④ |-3|>|2|이므로 y=2xÛ`의 그래프보 다 폭이 좁다. ⑤ 이차함수 y=-3xÛ` 프를 나타내는 이차함수의 식은 ∴ y=3xÛ` +7 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. -y=-3xÛ` -7 +7의 그래프와 x축에 대하여 서로 대칭인 그래 답 ⑤ 10 이차함수 y=;5#; xÛ` 의 그래프를 x축의 방향으로 5 만큼 평행이동한 -' 그래프가 나타내는 이차함수의 식은 y=;5#; (x+' 5)Û` 이차함수의 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표는 y=;5#; x=0을 대입하면 5)Û` y=;5#;_(0+' =;5#;_5=3 (x+' 5)Û` 에 5)Û` 의 그래프는 꼭짓점의 좌표가 (-' 따라서 y=;5#; y축과 점 (0, 3)에서 만나는 아래로 볼록한 포물선인 ②이다. (x+' 5,`0)이고, (cid:90) (cid:20) (cid:14)(cid:17)(cid:22) (cid:48) (cid:89) 11 이차함수 y=2xÛ` 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼 평행이동한 그래 프를 나타내는 이차함수의 식은 y=2(x-p)Û` 이차함수 y=2(x-p)Û` 의 그래프가 점 (-3, 2)를 지나므로 2=2_(-3-p)Û`, 2=2_(p+3)Û`, (p+3)Û` p+3= 따라서 모든 p의 값은 ∴ p=-2 또는 p=-4 =1 Ñ1 답 -2, -4이다. -2, -4 52 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 본문 237쪽 12 이차함수 y=axÛ` 이차함수 y=-;5@; 두 이차함수의 그래프가 서로의 꼭짓점을 지나므로 +b의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, b)이고, (x-3)Û`의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (3, 0)이다. y=axÛ` 0=a_3Û` y=-;5@; +b에 x=3, y=0을 대입하면 ∴ 9a+b=0 …… ㉠ +b (x-3)Û`에 x=0, y=b를 대입하면 b=-;5@;_(0-3)Û` ㉠에 b=-;;Á5¥;; 을 대입하면 ∴ b=-;;Á5¥;; 9a+{-;;Á5¥;;}=0, 9a=;;Á5¥;; ∴ a=;5@; ∴ 4a+b=4_;5@;+{-;;Á5¥;;}=;5*;-;;Á5¥;;=-2 답 ③ 13 이차함수 y=;2#; xÛ` 의 그래프를 평행이동하여 완전히 포갤 수 있는 그래 프를 나타내는 이차함수의 식은 y=;2#; (x-p)Û` +q (p, q는 상수)의 꼴 이다. 따라서 주어진 이차함수의 식에서 xÛ` 의 계수가 인 것을 찾으면 ;2#; 되므로 이차함수 y=;2#; xÛ`의 그래프를 평행이동하여 완전히 포갤 수 있는 것은 ④ y=;2#; (x-2)Û` +5이다. 답 ④ +b ∴ y=-3(x-a+1)Û` +b의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (c, 5) 이차함수 y=-3(x+1)Û` 의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방 향으로 b만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y-b=-3(x-a+1)Û` 이차함수 y=-3(x-a+1)Û` 이므로 a-1=c, b=5 이차함수 y=-3(x-a+1)Û` 그래프가 점 (-1, -7=-3(-1-a+1)Û` -3aÛ` =4 aÛ` +5의 -7)을 지나므로 +5 ∴ a=2 (∵ a>0) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:20)(cid:9)(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:10)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:22) 꼭짓점 : (cid:9)(cid:18)(cid:13)(cid:3)(cid:22)(cid:10) =-12 (cid:9)(cid:14)(cid:18)(cid:13)(cid:3)(cid:14)(cid:24)(cid:10) (cid:48) (cid:89) (cid:90) c=a-1=2-1=1 ∴ a+b+c=2+5+1=8 답 8 15 ① ㄱ. y=;3@; xÛ` 의 그래프의 축의 방정식은 x=0 (x+2)Û` 의 그래프의 축의 방정식은 x=-2 ① ㄹ. y=;3%; ① 따라서 ㄱ, ㄹ의 그래프의 대칭축은 다르다. ② 이차함수 y=a(x-p)Û` +q의 그래프는 a의 절댓값이 작을수록 폭 이 넓다. 주어진 이차함수의 식에서 xÛ` 의 계수의 절댓값이 가장 작은 -3이므로 그래프의 폭이 가장 넓은 이차함수 (x+2)Û` 것은 y=-;4!; ① 는 ㅂ이다. ③ 이차함수 y=a(x-p)Û` 이다. ④ ㄱ. y=;3@; xÛ`의 그래프와 x축에 대하여 서로 대칭인 그래프를 나타내 ④ 는 이차함수의 식은 y=-;3@; ④ 여 서로 대칭이 아니다. xÛ` 이다. 따라서 ㄱ, ㄴ은 x축에 대하 ⑤ 이차함수의 그래프를 평행이동하여도 xÛ`의 계수는 변하지 않는다. 답 ② 따라서 주어진 이차함수에서 그래프가 위로 볼록한 것은 ㄷ, ㅁ, ㅂ +q의 그래프는 a<0일 때 위로 볼록하다. 따라서 주어진 이차함수에서 평행이동하여 포갤 수 있는 이차함수 는 ㄷ, ㅁ이다. 따라서 옳은 것은 ⑤이다. 16 ㄱ. 이차함수 y=3xÛ` -7의 그래프는 축의 방정식 -7)인 아래로 이 x=0, 꼭짓점의 좌표가 (0, 볼록한 포물선이므로 오른쪽 그림과 같다. 따 라서 이 그래프는 모든 사분면을 지난다. ㄴ. 이차함수 y=-2(x+2)Û` 의 그래프는 축의 방정식이 x=-2, 꼭짓점의 좌표가 (-2, 0)인 위로 볼록한 포물선이므로 오른 쪽 그림과 같다. 따라서 이 그래프는 제 3, 4 사분면을 지난다. ㄷ. 이차함수 y=-(x+ 2)Û` +4의 그래프는 축의 방정식이 x=-2, 꼭짓점의 좌표가 (-2, 4)이고 y절편이 0인 위로 볼록한 포 물선이므로 오른쪽 그림과 같다. 따라서 이 답 ⑤ (cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:24) (cid:48) (cid:14)(cid:24) (cid:90) (cid:14)(cid:19) (cid:89) (cid:89) (cid:48) (cid:14)(cid:25) (cid:90) (cid:21) (cid:14)(cid:19) (cid:48) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19)(cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:10)(cid:153) 그래프는 제2, 3, 4사분면을 지난다. (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:10)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:21) (x-3)Û` ㄹ. 이차함수 y=;3@; -10의 그 래프는 축의 방정식이 x=3, 꼭짓 -10)이고 y축과 점의 좌표가 (3, -4인 아래로 볼록한 포물선이므로 오른쪽 그림 의 교점의 y좌표가 (cid:14)(cid:21) (cid:14)(cid:18)(cid:17) (cid:90) (cid:48) (cid:20) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:28)(cid:20)(cid:33)(cid:28)(cid:9)(cid:89)(cid:14)(cid:20)(cid:10)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:18)(cid:17) 과 같다. 따라서 이 그래프는 모든 사분면을 지난다. ㅁ. 이차함수 y=3(x+5)Û` +2의 그래프는 (cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:22)(cid:10)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:19) (cid:90) 축의 방정식이 x=-5, 꼭짓점의 좌표가 (-5, 2)인 아래로 볼록한 포물선이므로 오른쪽 그림과 같다. 따라서 이 그래프는 제 1, 2 사분면을 지난다. (x-3)Û` ㅂ. 이차함수 y=-;2#; -9의 그래 프 는 축의 방정식이 x=3, 꼭짓점의 좌표 -9)인 위로 볼록한 포물선이므 가 (3, 로 오른쪽 그림과 같다. 따라서 이 그래 (cid:90) (cid:48) (cid:14)(cid:26) (cid:14)(cid:28)(cid:28)(cid:99)(cid:19)(cid:111)(cid:28)(cid:28) (cid:24)(cid:24) (cid:19) (cid:48)(cid:14)(cid:22) (cid:89) (cid:20) (cid:89) 본문 239쪽 -1의 그래프를 y축의 방향으로 a만큼 평행이동하면 ∴ y=-3xÛ` -1+a +5의 그래프와 일치하므로 이차함수 y=-3xÛ` -1 y-a=-3xÛ` 이 그래프가 이차함수 y=bxÛ` -3=b, ∴ a+b=6+(-3)=3 -1+a=5에서 a=6, b=-3 답 ② 19 이차함수 y=4(x+p)Û` ∴ p=;2#; -p=-;2#; +q의 그래프의 축의 방정식은 x=-p이므로 이차함수 y=4 x+;2#;} { +q의 그래프가 점 (-4, 20)을 지나므로 20=4_{-4+;2#;} +q, 20=4_{-;2%;} +q 20=4_;;ª4°;;+q, q+25=20 ∴ q=-5 2` 2` 2` ∴ pq=;2#;_(-5)=-;;Á2°;; 20 이차함수 y=a(x-p)Û` 위로 볼록하므로 a<0 +q의 그래프가 이차함수의 그래프의 꼭짓점이 제 1 사분면 위에 있으므로 p>0, q>0 Ⅳ - 1 1 . 이 차 함 수 의 그 래 프 ( 2 ) 꼭짓점 : (cid:9)(cid:81)(cid:13)(cid:3)(cid:82)(cid:10) 답 ② 위로 볼록 (cid:89) (cid:90) (cid:48) 따라서 a<0, pq>0이므로 일차함수 y=ax+pq의 그래프는 기울기가 음수이고, y절편이 양수인 직선이다. 그러므로 일차함수 y=ax+pq의 그래프로 알맞은 것은 ④이다. (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:9)(cid:89)(cid:14)(cid:81)(cid:10)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:82) (cid:90) (cid:48) (cid:90)절편 (cid:81)(cid:82) 기울기((cid:30)(cid:66)) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:12)(cid:81)(cid:82) 답 ④ 11 이차함수의 그래프 (2) 프는 제 3, 4 사분면을 지난다. (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:28)(cid:19)(cid:4)(cid:28)(cid:9)(cid:89)(cid:14)(cid:20)(cid:10)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:26) 따라서 그래프가 모든 사분면을 지나는 것은 ㄱ, ㄹ의 2개이다. 답 ② Step 1. 개념 다지기 17 +5의 그래프를 x축의 방향으로 k만큼, y축의 방향으 +5+k+3에서 y=4(x-k)Û` 이차함수 y=4xÛ` 로 k+3만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=4(x-k)Û` 이차함수 y=4(x-k)Û` +k+8의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (k, k+8)이고, 이 꼭짓점이 직선 y=3x+12 위에 있으므로 k+8=3k+12, ∴ k=-2 -2k=4 +k+8 답 ② +1의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프를 18 이차함수 y=3xÛ` 나타내는 이차함수의 식은 +1 -y=3xÛ` ∴ y=-3xÛ` (cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:18) (cid:90) -1 (cid:18) (cid:48) (cid:9)(cid:17)(cid:13)(cid:3)(cid:18)(cid:10) (cid:89) (cid:90) (cid:14)(cid:18) (cid:48) (cid:9)(cid:17)(cid:13)(cid:3)(cid:14)(cid:18)(cid:10) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:20)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:18) 11-1 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프 -4x)-10 =2(xÛ` -4x+4)-10-8 기본연습 1 (1) ① y -8x-10=2(xÛ` -18 =2xÛ` =2(x-2)Û` ② 꼭짓점의 좌표는 (2, ③ 축의 방정식은 x=2이다. ④ y=2xÛ` 0=2xÛ` -8x-10에 y=0을 대입하면 -8x-10, 2(xÛ` -4x-5)=0 -18)이다. 2(x+1)(x-5)=0이므로 x=-1 또는 x=5 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축과의 교점의 좌표는 (-1, 0), (5, 0)이다. -8x-10에 x=0을 대입하면 y=-10 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 y축과의 교점의 좌표는 (0, -10) ⑤ y=2xÛ` 이다. Ⅳ. 이차함수 11. 이차함수의 그래프 (2) 53 ⑥ (cid:90) (cid:19) (cid:14)(cid:18) (cid:48) (cid:14)(cid:18)(cid:17) (cid:14)(cid:18)(cid:25) (cid:22) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)(cid:153)(cid:14)(cid:25)(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:17) (2) ① y=-4xÛ` +2x+6=-4 xÛ` { -;2!; }+6 x (2) ① y=-4 { xÛ` -;2!; x+;1Á6;}+;4!;+6 (2) ① y=-4 x-;4!;} { +;;ª4°;; 2` ② 꼭짓점의 좌표는 , {;4!; ;;ª4°;;} 이다. 이다. ③ 축의 방정식은 x=;4!; ④ y=-4xÛ` 0=-4xÛ` +2x+6에 y=0을 대입하면 +2x+6, -2(2xÛ` -2(x+1)(2x-3)=0이므로 -x-3)=0 x=-1 또는 x=;2#; 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축과의 교점의 좌표는 , 0 이다. } {;2#; +2x+6에 x=0을 대입하면 y=6 (-1, 0), ⑤ y=-4xÛ` ⑥ (cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:21)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:23) (cid:28)(cid:28)(cid:105)(cid:21)(cid:111)(cid:28)(cid:28) (cid:23) 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 y축과의 교점의 좌표는 (0, 6)이다. (cid:48)(cid:14)(cid:18) (cid:28)(cid:21)(cid:197)(cid:28) (cid:28)(cid:19)(cid:4)(cid:28) (cid:89) -18 ② (2, 답 (1) ① y=2(x-2)Û` 답 (2) ④ (-1, 0), (5, 0) ⑤ (0, 답 (2) ① y=-4 { x-;4!;} +;;ª4°;; -18) ③ x=2 -10) ⑥ 풀이 참조 ② ;;ª4°;;} {;4!; , ③ x=;4!; 답 (2) ④ (-1, 0), {;2#; , 0 2` ⑤ (0, 6) ⑥ 풀이 참조 } 본문 243쪽 11-2 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프에서 a, b, c의 부호 기본연습 2-1 (1) 그래프가 위로 볼록하므로 a<0 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0에서 b<0 y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 있으므로 c<0 ∴ a<0, b<0, c<0 (2) 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0에서 b<0 y축과의 교점이 원점의 위쪽에 있으므로 c>0 ∴ a>0, b<0, c>0 답 (1) a<0, b<0, c<0 (2) a>0, b<0, c>0 연습 2-1 a<0이므로 그래프는 위로 볼록( )하다. ab<0이므로 이차함수의 그래프의 축이 y축의 오른쪽에 있다. c>0이므로 y절편은 양수이다. 그러므로 이차함수 y=axÛ` +bx+c의 그래프의 개형은 다음과 같다. (cid:90) (cid:68) (cid:48) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:67)(cid:89)(cid:12)(cid:68) 따라서 이차함수의 그래프의 꼭짓점은 제1 사분면 위에 있다. 답 제1 사분면 기본연습 2-2 a>0이므로 그래프는 아래로 볼록( )하다. ab<0이므로 이차함수의 그래프의 축이 y축의 오른쪽에 있다. c<0이므로 y절편은 음수이다. 따라서 이차함수 y=axÛ` +bx+c의 그래프의 개형은 다음과 같다. (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:67)(cid:89)(cid:12)(cid:68) (cid:90) (cid:48) (cid:68) (cid:89) 연습 2-2 c+0이고 이차함수 y=axÛ` 제2사분면, 제3사분면, 제 4사분면만을 지나려면 오 +bx+c의 그래프가 른쪽 그림과 같아야 한다. 그래프가 위로 볼록하므로 a<0 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0에서 b<0 y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 있으므로 c<0 답 풀이 참조 (cid:90) (cid:48) (cid:89) 연습 1 y=;3@; xÛ` -4x=;3@; (xÛ` -6x) y=;3@; (xÛ` -6x+9)-6 y=;3@; (x-3)Û` -6 이차함수 y=;3@; a=3, b=-6 이차함수 y=;3@; (0, 0), (6, 0)이므로 c=0, d=6 (∵ c<d) a=3, b=-6, c=0, d=6이므로 a+b+c+d=3+(-6)+0+6=3 54 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) (x-3)Û` -6의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (3, -6)이므로 ∴ a<0, b<0, c<0 답 a<0, b<0, c<0 xÛ` -4x의 그래프와 x축과의 교점의 y좌표는 0이므로 xÛ` -4x=0, 2xÛ` -12x=0, 2x(x-6)=0이므로 x=0 또는 x=6 ;3@; 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축과의 교점의 좌표는 Step 2. 대표 문제로 접근하기 ⑤ 02 ③ 03 04 ⑤ 05 -3 01 06 ;;Á3£;; 07 k>-6 08 11 ㄴ, ㄷ 12 2 16 제4사분면 13 17 ① ③ 3 ① 09 -1 14 18 9 ④ 10 15 ④ ⑤ 답 3 유제 04 이차함수 y=2xÛ` -;2!; 이므로 이 이차함수의 그래프는 점 , 0 을 지난다. {-;2!; } -5x+a의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 이므로 그래프는 x축과 만나지 않는다. ④ y=4xÛ` -4x-3의 xÛ`의 계수가 양수이므로 그래프는 아래로 볼 유제 01 y=xÛ` +3x+4=[ xÛ` +3x+{;2#;} -{;2#;} ]+4 x+;2#;} 2` +;4&; 2` +3x+4의 그래프의 축의 방정식은 2` -;4(;+4={ x+;2#;} y={ 2` 따라서 이차함수 y=xÛ` 이다. x=-;2#; 답 ⑤ -2)를 지나므로 유제 02 이차함수 y=-2xÛ` +kx+4의 그래프가 점 (1, +k_1+4=-2+k+4=k+2 -2=-2_1Û` ∴ k=-4 주어진 이차함수의 식에 k=-4를 대입하여 정리하면 y=-2xÛ` y=-2(xÛ` y=-2(x+1)Û` 따라서 꼭짓점의 좌표는 (-1, 6)이다. -4x+4=-2(xÛ` +2x)+4 +2x+1-1)+4=-2(xÛ` +6 +2x+1)+2+4 답 ③ 유제 03 이차함수 y=2xÛ` -ax-8의 그래프가 x축과 점 (4, 0)에서 만나 -ax-8에 x=4, y=0을 대입하면 -a_4-8, 32-4a-8=0 ∴ a=6 -6x-8에 y=0을 대입하면 므로 y=2xÛ` 0=2_4Û` 4a=24 즉, y=2xÛ` 0=2xÛ` xÛ` ∴ x=-1 또는 x=4 따라서 이차함수의 그래프가 x축과 만나는 다른 한 점의 좌표는 (-1, 0)이다. -3x-4=(x+1)(x-4)=0 -6x-8 (cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:23)(cid:89)(cid:14)(cid:25) (cid:14)(cid:18) (cid:48) (cid:21) (cid:89) 답 ① y=2xÛ` -5x+a에 x=-;2!; , y=0을 대입하면 -5_{-;2!;}+a, 2_;4!;+;2%;+a= 0=2_{-;2!;} 3+a=0 이차함수 y=2xÛ` 따라서 이 이차함수의 그래프는 y축과 점 (0, ∴ a=-3 -5x-3에 x=0을 대입하면 y=-3 0 2` 유제 05 y -2x+1-1)+k+1 +4x+k+1=-2(xÛ` -2x+1)+2+k+1 =-2xÛ` =-2(xÛ` =-2(x-1)Û` 이므로 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, k+3)이다. 이때 이차함수의 그래프가 x축과 한 점에서 만나므로 +k+3 꼭짓점의 y좌표는 0이어야 한다. 따라서 k+3=0이므로 k=-3 답 -3 유제 06 y=3xÛ` -2x+a-4=3 xÛ` { -;3@; x+;9!;-;9!;}+a-4 y=3 { xÛ` -;3@; x+;9!;}-;3!;+a-4 y=3 x-;3!;} { +a-;;Á3£;; 2` 이므로 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 , a-;;Á3£;;} {;3!; 이다. 이때 이차함수의 그래프가 x축에 접하므로 꼭짓점의 y좌표는 0이어야 한다. 따라서 a-;;Á3£;;=0이므로 a=;;Á3£;; 답 ;;Á3£;; (cid:89) (cid:89) (cid:89) (cid:89) 본문 246쪽 유제 07 y +4x+4)-4}+k+2 -4x+k+2=-{(xÛ` +4x+4)+k+6 +k+6 =-xÛ` =-(xÛ` =-(x+2)Û` 이므로 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-2, k+6)이다. 이때 이차함수의 그래프가 위로 볼록하고 x축과 서로 다른 두 점 에서 만나므로 꼭짓점의 y좌표는 0보다 커야 한다. k+6>0 ∴ k>-6 유제 08 ① y=-(x-1)Û` +6의 xÛ`의 계수가 음수이 므로 그래프는 위로 볼록( )하고, 꼭짓 점의 좌표는 (1, 6)이다. 답 k>-6 (cid:9)(cid:18)(cid:13)(cid:3)(cid:23)(cid:10) 따라서 꼭짓점의 y좌표가 양수이므로 그 래프는 x축과 서로 다른 두 점에서 만난다. (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:9)(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:10)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:23) ② y=-9xÛ` +18x+7의 xÛ`의 계수가 음수이므로 그래프는 위로 (cid:9)(cid:18)(cid:13)(cid:3)(cid:18)(cid:23)(cid:10) y 볼록( )하다. =-9xÛ` =-9(xÛ` =-9(xÛ` =-9(x-1)Û` +16 +18x+7=-9(xÛ` -2x+1-1)+7 -2x+1)-9_(-1)+7 -2x)+7 이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, 16)이다. (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:26)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:18)(cid:25)(cid:89)(cid:12)(cid:24) 따라서 꼭짓점의 y좌표가 양수이므로 그래프는 x축과 서로 다 Ⅳ - 1 1 . 이 차 함 수 의 그 래 프 ( 2 ) 른 두 점에서 만난다. ③ y=2(x-5)Û` +1의 xÛ`의 계수가 양수이 므로 그래프는 아래로 볼록( )하고, 꼭 짓점의 좌표는 (5, 1)이다. (cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:9)(cid:89)(cid:14)(cid:22)(cid:10)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:18) 따라서 그래프의 꼭짓점의 y좌표가 양수 (cid:9)(cid:22)(cid:13)(cid:3)(cid:18)(cid:10) 록( )하다. y=4xÛ` -4x-3=4(xÛ` y=4 xÛ` -x+;4!;-;4!;}-3 { -x)-3 (cid:90)(cid:30)(cid:21)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:21)(cid:89)(cid:14)(cid:20) y=4 { xÛ` -x+;4!;}+4_{-;4!;}-3 (cid:91)(cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)(cid:13)(cid:3)(cid:14)(cid:21)(cid:93) 이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 , -4 } {;2!; 이다. 따라서 그래프의 꼭짓점의 y좌표가 음수이므로 그래프는 x축 과 서로 다른 두 점에서 만난다. (x-1)Û` 의 그래프의 꼭짓점의 좌표 (cid:90)(cid:30)(cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)(cid:9)(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:10)(cid:153) ⑤ y=;2!; 는 (1, 0)이다. 꼭짓점이 x축 위에 있으므로 그래프는 x 축과 한 점에서 만난다. 따라서 그래프가 x축과 만나지 않는 것은 ③이다. (cid:9)(cid:18)(cid:13)(cid:3)(cid:17)(cid:10) (cid:89) 답 ③ 유제 09 y -6x)+13 -12x+13=2(xÛ` -6x+9-9)+13 -6x+9)+2_(-9)+13 =2xÛ` =2(xÛ` =2(xÛ` =2(x-3)Û` 의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 6만큼 평행이 -5 동한 그래프의 식은 y =2(x-a-3)Û` =2(x-a-3)Û` =2{x-(a+3)}Û` -5+6 +1 +1 Ⅳ. 이차함수 11. 이차함수의 그래프 (2) 55 -3)에서 만난다. 답 ⑤ y=4 x-;2!;} { -4 2` 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (a+3, 1)이고, 이는 (1, b)이므로 a+3=1, 1=b 따라서 a=-2, b=1이므로 a+b=-2+1=-1 답 -1 유제 10 y=;2!; xÛ` -2x+3=;2!; xÛ` +;2!;_(-4x)+3 y=;2!; (xÛ` -4x)+3=;2!; (xÛ` -4x+4-4)+3 y=;2!; (xÛ` -4x+4)+;2!;_(-4)+3 +1 (x-2)Û` y=;2!; y=axÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 b만큼, y축의 방향으로 c만큼 평행이동한 그래프의 식은 유제 11 ㄱ. y +1과 같으므로 y=a(x-b)Û` 이 식은 y=;2!; +c (x-2)Û` a=;2!; , b=2, c=1 ∴ abc=;2!;_2_1=1 +2x+1 -2x)+1 -2x+1-1)+1 -2x+1)+1+1 =-xÛ` =-(xÛ` =-(xÛ` =-(xÛ` =-(x-1)Û` ㄱ. 따라서 y=-xÛ` 축의 방향으로 ㄱ. y =-(x-1-1)Û` =-(x-2)Û` +2-2 +2 +2x+1의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y -2만큼 평행이동한 그래프의 식은 ㄱ. 이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (2, 0)이다. ㄴ. y=-(x-2)Û`에 x=0을 대입하면 ㄱ. y =-4 =-(0-2)Û` ㄱ. 따라서 그래프와 y축과의 교점의 좌표는 (0, ㄷ. y=-(x-2)Û`의 xÛ`의 계수가 음수이므로 그래프는 위로 볼록 -4)이다. ( )하다. 꼭짓점의 좌표는 (2, 0), y축과의 교점의 좌표는 (0, -4)이므 로 그래프를 좌표평면에 나타내면 다음과 같다. ㄱ. (cid:90) (cid:48) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:9)(cid:89)(cid:14)(cid:19)(cid:10)(cid:153) (cid:19) (cid:89) (cid:14)(cid:21) (ㄹ) 따라서 그래프는 제1사분면을 지나지 않는다. ㄹ. 그래프는 점 (2, 0)을 지나므로 x=2일 때 y=0이다. ㄱ. 따라서 모든 x의 값에 대하여 y의 값이 항상 음수인 것은 아니다. 그러므로 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 답 ㄴ, ㄷ 유제 12 x=3을 기준으로 x의 값이 증가할 때 y의 값의 증가, 감소가 바뀌 므로 y=-;3!; xÛ` +ax+2의 그래프의 축의 방정식은 x=3이다. (cid:89)(cid:29)(cid:20) (cid:89)의 값 : 증가 (cid:90)의 값 : 증가 (cid:89)(cid:31)(cid:20) (cid:89)의 값 : 증가 (cid:90)의 값 : 감소 (cid:89)(cid:30)(cid:20) 축의 방정식 56 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 유제 13 점 C에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하면 점 H는 선분 AB의 답 ④ 중점이다. 본문 250쪽 y=-;3!; xÛ` +ax+2 y=-;3!; xÛ` -;3!;_(-3ax)+2 y=-;3!; (xÛ` -3ax)+2 y=-;3!;[ xÛ` -3ax+{ -3a 2 } -{ -3a 2 } ]+2 y=-;3!;{ xÛ` -3ax+ 9aÛ Û` 4 - 2` 9aÛ Û` 4 }+2 2` Û` 9aÛ 4 }-;3!;_{- 9aÛ Û` 4 }+2 y=-;3!;{ xÛ` y=-;3!;{ x- -3ax+ 3a 2 } + 3aÛ` 4 +2 2` 이므로 그래프의 축의 방정식은 x= 따라서 3a 2 =3이므로 ∴ a=2 3a=6 3a 2 이다. 답 2 (cid:41)(cid:34) (cid:35) (cid:14)(cid:20) (cid:48) (cid:18) (cid:89) (cid:90) (cid:36) 따라서 점 H의 x좌표는 -3+1 2 =-1 이므로 점 C의 x좌표도 -1이다. 이때 삼각형 ABC의 넓이는 4이고 ABÓ OAÓ = + OBÓ =4이므로 =4, ∴ CHÓ CHÓ CHÓ ABÓ =4 ;2!;_ 2CHÓ -2) -2이므로 _ =4 ;2!;_4_ =2 따라서 점 C의 y좌표는 C(-1, 즉, 주어진 이차함수의 그래프의 꼭짓점 C의 좌표는 (-1, 이므로 이 이차함수의 식을 y=a(x+1)Û` -2로 놓을 수 있다. 위 식에 x=1, y=0을 대입하면 ∴ a=;2!; 0=4a-2, 4a=2 -2) 주어진 이차함수의 그래프의 식은 y=;2!; 우변을 전개하여 정리하면 (x+1)Û` -2이고, y=;2!; (xÛ` +2x+1) -2 xÛ` y=;2!; +x-;2#; 이 식은 y=axÛ` a=;2!; , b=1, c=-;2#; +bx+c와 같으므로 -6x+8에 y=0을 대입하면 -6x+8, (x-2)(x-4)=0 유제 14 y=xÛ` 0=xÛ` ∴ x=2 또는 x=4 따라서 B(2, 0), D(4, 0)이므로 ∴ a+b-c=;2!;+1-{-;2#;}=;2!;+1+;2#;=3 답 3 OBÓ ODÓ BDÓ = =4-2=2 - -6x+8에 x=0을 대입하면 -6_0+8=8 y=xÛ` y=0Û` 이므로 점 A의 좌표는 A(0, 8)이다. 따라서 AOÓ ;2!;_ BDÓ _ =8이므로 삼각형 ABD의 넓이는 AOÓ =;2!;_2_8=8 (cid:34) (cid:25) (cid:48) (cid:35) (cid:19) (cid:37) -6x+8 y =xÛ` -6x+9-1 =xÛ` =(x-3)Û` -1 이므로 점 C의 좌표는 C(3, -1)이다. 점 C에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하면 CHÓ 삼각형 BCD의 넓이는 BDÓ CHÓ _ ;2!;_ =;2!;_2_1=1 따라서 사각형 ABCD의 넓이는 △ABD △BCD ABCD = =8+1 =9 + =1이므로 (cid:19) (cid:41) (cid:35) (cid:18) (cid:36) (cid:37) 유제 15 이차함수 y=axÛ` 그래프를 그려 보면 다음과 같다. +bx+c의 그래프가 제2, 3, 4사분면을 지나도록 위로 볼록 (cid:9)(cid:66)(cid:29)(cid:17)(cid:10) (cid:90) 제(cid:18) 사분면 (cid:89) (cid:48) (cid:68)(cid:131)(cid:17) 축 : (cid:89)(cid:30) (cid:29)(cid:17) (cid:12)(cid:26)(cid:17)(cid:148)(cid:64)(cid:26) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:67)(cid:89)(cid:12)(cid:68) 이차함수 y=axÛ` 이차함수의 그래프의 축이 직선 x=- +bx+c의 그래프가 위로 볼록하므로 a<0 b 2a 이고, 축이 y축의 왼쪽에 위치하므로 <0에서 b<0 b 2a - 이차함수의 그래프가 y축과 yÉ0인 부분에서 만나야 하므로 cÉ0 이때 y=cxÛ` ∴ c<0 이차함수 y=cxÛ` 위로 볼록하다. -bx-a가 이차함수이므로 c+0 -bx-a에서 c<0이므로 이차함수의 그래프는 이차함수 y=cxÛ` -bx-a의 그래프의 축은 x=- -b 2c = b 2c 이고, >0이므로 그래프의 축은 y축보다 오른쪽에 유제 18 y c<0, b<0일 때 b 2c 있다. 또한 이차함수 y=cxÛ` 서 만나고, 그러므로 이차함수 y=cxÛ` (cid:90) -bx-a의 그래프는 y축과 점 (0, -a>0이므로 y축과 y>0인 부분에서 만난다. -a)에 -bx-a의 그래프의 개형은 다음과 같다. (cid:14)(cid:66)(cid:31)(cid:17) (cid:48) (cid:90)(cid:30)(cid:68)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:67)(cid:89)(cid:14)(cid:66) 위로 볼록 (cid:9)(cid:68)(cid:29)(cid:17)(cid:10) (cid:89) 축 : (cid:89)(cid:30) (cid:31)(cid:17) (cid:26)(cid:17)(cid:148)(cid:66)(cid:26) 따라서 이차함수 y=cxÛ` 사분면은 제1, 2, 3, 4사분면이다. -bx-a의 그래프가 지나는 답 ⑤ +bx+c의 그래프는 아래로 볼록하다. 유제 16 a>0이므로 이차함수 y=axÛ` 이차함수 y=axÛ` 직선 x=- 축은 y축의 오른쪽에 있다. b 2a +bx+c의 그래프의 축은 b 이고, a>0, b<0일 때 2a - >0이므로 본문 253쪽 이차함수 y=axÛ` +bx+c의 그래프와 y축이 만나는 점의 좌표는 (0, c)이고, c<0이므로 이차함수의 그래프와 y축은 y<0인 부분 에서 만난다. 그러므로 이차함수 y=axÛ` (cid:90) +bx+c의 그래프의 개형은 다음과 같다. (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:67)(cid:89)(cid:12)(cid:68) 아래로 볼록 (cid:9)(cid:66)(cid:31)(cid:17)(cid:10) (cid:89) (cid:48) (cid:68) (cid:9)(cid:68)(cid:29)(cid:17)(cid:10) 꼭짓점 (cid:89)(cid:30) (cid:31)(cid:17) (cid:12)(cid:26)(cid:17)(cid:148)(cid:64)(cid:26) 답 9 제 따라서 이차함수 y=axÛ` 4사분면 위에 있다. +bx+c의 그래프의 꼭짓점은 답 제4사분면 Ⅳ - 1 1 . 이 차 함 수 의 그 래 프 ( 2 ) -2x+1-1-3 -2x-3=xÛ` -4 -2x-3의 그래프가 x축과 만나는 두 점의 좌표는 -2x-3에 y=0을 대입하면 -2x-3, (x+1)(x-3)=0 유제 17 y=xÛ` 0=xÛ` ∴ x=-1 또는 x=3 따라서 y=xÛ` (-1, 0), (3, 0)이고, 이 두 점 사이의 거리는 3-(-1)=4 y =xÛ` =(x-1)Û` 의 그래프를 y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=(x-1)Û` -4+q -4+q에 y=0을 대입하면 y=(x-1)Û` -4+q, (x-1)Û` 0=(x-1)Û` Ñ x-1= 4-q 'Ä ∴ x=1Ñ 4-q 'Ä 따라서 y=(x-1)Û` 표는 (1-'Ä (1+'Ä -4+q의 그래프가 x축과 만나는 두 점의 좌 4-q, 0)이고, 이 두 점 사이의 거리는 =1+'Ä =2 'Ä 4-q=2_4이므로 4-q=4 'Ä 4-q, 0), (1+'Ä 4-q) 4-q)-(1-'Ä 4-q-1+'Ä =4-q 4-q 4-q ∴ q=-12 2 'Ä 4-q=4Û`, 4-q=16 -q=12 =xÛ` =(xÛ` =(x-m)Û` 이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (m, y=xÛ` 이므로 그래프는 아래로 볼록( )하다. -2mx+n-1 -2mx+mÛ` -mÛ` -mÛ`)+n-1 +n-1 -2mx+n-1의 xÛ`의 계수가 양수 따라서 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에 서 만나기 위해서는 꼭짓점이 x축의 아랫 답 ① (cid:89) -mÛ` +n-1)이다. (cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:19)(cid:78)(cid:89)(cid:12)(cid:79)(cid:14)(cid:18) 부분에 위치해야 한다. (cid:9)(cid:78)(cid:13)(cid:3)(cid:14)(cid:78)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:79)(cid:14)(cid:18)(cid:10) ∴ n<mÛ` +n-1<0 +1을 만족하는 m, n의 순서쌍 (m, n)의 개수를 구하면 +1 즉, 꼭짓점의 y좌표가 0보다 작아야 하므로 -mÛ` n<mÛ` Ú m=1일 때 mÛ` +1=1Û` 이므로 n<mÛ` +1=2 +1을 만족하는 n의 값은 1의 1개이다. 따라서 m, n의 순서쌍 (m, n)의 개수는 1이다. Û m=2일 때 mÛ` +1=2Û` 이므로 n<mÛ` +1=5 따라서 m, n의 순서쌍 (m, n)의 개수는 4이다. +1을 만족하는 n의 값은 1, 2, 3, 4의 4개이다. Ⅳ. 이차함수 11. 이차함수의 그래프 (2) 57 Ü m¾3일 때 m=3, 4, 5, 6일 때 mÛ` n<mÛ` 이다. +1¾3Û` +1=10이므로 +1을 만족하는 n의 값은 각각 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6개 따라서 m, n의 순서쌍 (m, n)의 개수는 4_6=24이다. Ú~Ü에 의하여 m, n의 순서쌍 (m, n)의 개수는 1+4+24=29 m, n이 될 수 있는 값은 각각 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6개이므로 m, n의 순서쌍 (m, n)의 전체 개수는 6_6=36 따라서 y=xÛ` -2mx+n-1의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에 서 만나도록 하는 순서쌍 (m, n)의 개수는 29이므로 구하는 확률은 ;3@6(; 답 ④ Step 3. 단원 마무리하기 01 06 11 16 ④ ③ ① ③ 20 ③, ⑤ 02 07 12 17 ③ ④ ④ 03 08 15 ③ 13 ②, ⑤ 14 04 09 18 ④ ② ③ ② 05 10 15 19 ① -2 k>1 ① y=xÛ` -6x+14 01 ① y -2x) =2xÛ` =2(xÛ` =2(x-1)Û` -4x=2(xÛ` -2x+1-1) -2 즉, 축의 방정식은 x=1이다. ② y=;2!; -x+2=;2!; (xÛ` xÛ` -2x)+2 =;2!; (xÛ` -2x+1-1)+2=;2!; (x-1)Û` -;2!;+2 -2x+1-1)+3 (x-1)Û` ③ y =;2!; +;2#; 즉, 축의 방정식은 x=1이다. =xÛ` =(x-1)Û` -2x+3=(xÛ` +2 즉, 축의 방정식은 x=1이다. -8x+4 ④ y +2x)+4 +2x+1-1)+4 =-4xÛ` =-4(xÛ` =-4(xÛ` =-4(x+1)Û` +8 즉, 축의 방정식은 x=-1이다. ⑤ y +2x=-(xÛ` -2x+1-1) +1 =-xÛ` =-(xÛ` =-(x-1)Û` -2x) ∴ p=1, q=3 또는 p=3, q=1 -4x+3에 y=0을 대입하면 -4x+3=0, (x-1)(x-3)=0 02 y=xÛ` xÛ` x=1 또는 x=3 -4x+3에 x=0을 대입하면 y=xÛ` ∴ r=3 y=3 ∴ p+q+r=1+3+3=7 58 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 즉, 축의 방정식은 x=1이다. 따라서 축의 방정식이 다른 하나는 ④이다. 답 ④ 본문 256쪽 -4x-5의 그래프와 y축과의 교점이므로 (cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:21)(cid:89)(cid:14)(cid:22) (cid:35)(cid:9)(cid:14)(cid:18)(cid:13)(cid:3)(cid:17)(cid:10) (cid:48) (cid:36)(cid:9)(cid:22)(cid:13)(cid:3)(cid:17)(cid:10) (cid:89) (cid:34)(cid:9)(cid:17)(cid:13)(cid:3)(cid:14)(cid:22)(cid:10) (cid:90) (cid:35)(cid:9)(cid:14)(cid:18)(cid:13)(cid:3)(cid:17)(cid:10) (cid:36)(cid:9)(cid:22)(cid:13)(cid:3)(cid:17)(cid:10) (cid:89) (cid:23) (cid:48) (cid:22) (cid:34)(cid:9)(cid:17)(cid:13)(cid:3)(cid:14)(cid:22)(cid:10) 답 15 -4x-5에 x=0을 대입하면 -4_0-5=-5 03 점 A는 y=xÛ` y=xÛ` y=0Û` ∴ A(0, -5) 두 점 B, C는 각각 y=xÛ` 그래프와 x축과의 교점이므로 y=xÛ` xÛ` x=-1 또는 x=5 ∴ B(-1, 0), C(5, 0) 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 -4x-5에 y=0을 대입하면 -4x-5=0, (x+1)(x-5)=0 -4x-5의 ;2!;_ BCÓ OAÓ =;2!;_6_5=15 _ 04 y=;2!; xÛ` +x+k=;2!; (xÛ` +2x)+k y=;2!; (xÛ` +2x+1-1)+k y=;2!; (x+1)Û` -;2!;+k 이므로 이 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 {-1, k-;2!;} 이다. 꼭짓점 {-1, k-;2!;} 이 직선 y=;2!; x+4 위에 있으므로 k-;2!;=;2!;_(-1)+4, k-;2!;=;2&; ∴ k=4 05 y +2 -2x+1)-2+4 +2mx+n +2mx+mÛ` -mÛ` -2x)+4 -4x+4=2(xÛ` -2x+1-1)+4=2(xÛ` =2xÛ` =2(xÛ` =2(x-1)Û` 이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, 2)이다. y =xÛ` -mÛ`)+n =(xÛ` =(x+m)Û` +n 이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-m, 주어진 두 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표 (1, 2)와 (-m, -mÛ` -m=1에서 m=-1 -mÛ` +n=-(-1)Û` ∴ m+n=-1+3=2 +n=-1+n=2에서 n=3 +n)이 일치하므로 -mÛ` +n)이다. 답 ④ 답 ① 06 ① y=2xÛ` +2의 그래프의 축의 방정식은 x=0 ② y=(x+1)Û` 의 그래프의 축의 방정식은 x=-1 ③ y=2(x+5)Û` ④ y=2xÛ` -5의 그래프의 축의 방정식은 x=-5 -x-1=2 }-1 -;2!; xÛ` x { ④ y=2 { xÛ` -;2!; x+;1Á6;-;1Á6;}-1 ④ y=2 x-;4!;} { -;8!;-1 ④ y=2 x-;4!;} { -;8(; 2` 따라서 y=2xÛ` ⑤ y=2xÛ` +6x-3=2(xÛ` xÛ` 2` 2` -x-1의 그래프의 축의 방정식은 x=;4!; +3x)-3 =2 { +3x+;4(;-;4(;}-3=2 x+;2#;} { -;2(;-3 2` 답 ③ =2 x+;2#;} { -;;Á2°;; 답 ④ a+b+c=-;2!;+3-;;Á2£;;=-4 답 ① 본문 257쪽 이므로 꼭짓점의 좌표는 (1, k+2)이다. 이때 그래프가 x축에 접해야 하므로 꼭짓점의 y좌표는 0이어야 한다. 따라서 k+2=0이므로 k=-2 답 -2 11 y=-;2!; xÛ` +x+;2%;=-;2!; (xÛ` -2x)+;2%; y=-;2!; (xÛ` -2x+1-1)+;2%; y=-;2!; (xÛ` -2x+1)-;2!;_(-1)+;2%; (x-1)Û` y=-;2!; 이때 이 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 +3 -5만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=-;2!; (x-2-1)Û` +3-5=-;2!; (x-3)Û` -2 y=-;2!; (xÛ` -6x+9)-2=-;2!; xÛ` +3x-;2(;-2 y=-;2!; xÛ` +3x-;;Á2£;; 따라서 a=-;2!; , b=3, c=-;;Á2£;; 이므로 Ⅳ - 1 1 . 이 차 함 수 의 그 래 프 ( 2 ) 12 ab<0에서 a<0이므로 b>0 abc<0에서 ab<0이므로 c>0 이차함수 y=axÛ` 볼록하다. +bx+c에서 a<0이므로 이차함수의 그래프는 위로 이차함수 y=axÛ` +bx+c의 그래프의 축은 직선 x=- b 2a 이고, a<0, b>0일 때 >0이므로 이차함수의 그래프의 축은 y축의 b 2a - 오른쪽에 있다. 또한 이차함수 y=axÛ` 고, c>0이므로 y축과 y>0인 부분에서 만나야 한다. 따라서 이차함수 y=axÛ` 이다. +bx+c의 그래프는 y축과 점 (0, c)에서 만나 +bx+c의 그래프의 개형으로 알맞은 것은 ④ (cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:67)(cid:89)(cid:12)(cid:68) (cid:68)(cid:9)(cid:68)(cid:31)(cid:17)(cid:10) 위로 볼록 (cid:9)(cid:66)(cid:29)(cid:17)(cid:10) (cid:48) (cid:89) 축 : (cid:89)(cid:30) (cid:31)(cid:17) (cid:12)(cid:26)(cid:17)(cid:148)(cid:64)(cid:26) 따라서 y=2xÛ` 그러므로 그래프의 축이 가장 왼쪽에 있는 것은 ③이다. +6x-3의 그래프의 축의 방정식은 x=-;2#; 답 ③ 07 y -2x+1-1)+a -2x+a=(xÛ` -1+a =xÛ` =(x-1)Û` 이므로 이차함수 y=xÛ` 이차함수의 그래프는 축에 대하여 대칭이므로 직선 x=1과 x축과의 교점을 C(1, 0)이라 할 때, ACÓ CBÓ -2x+a의 그래프의 축의 방정식이 x=1이다. = =;2$;=2 따라서 (점 A의 x좌표)<(점 B의 x좌표)라 할 때, (점 A의 x좌표)=1-2=-1, (점 B의 x좌표)=1+2=3이므로 A(-1, 0), B(3, 0) 즉, 점 A(-1, 0)이 y=xÛ` 0=(-1)Û` -2x+a의 그래프 위의 점이므로 -2_(-1)+a, 3+a=0 ∴ a=-3 (cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:20) (cid:90) (cid:34)(cid:9)(cid:14)(cid:18)(cid:13)(cid:3)(cid:17)(cid:10) (cid:19) (cid:48) (cid:19) (cid:36) (cid:35)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:3)(cid:17)(cid:10) (cid:89) (cid:89)(cid:30)(cid:18) 08 y=-;4!; xÛ` +x+2a-1=-;4!; (xÛ` -4x)+2a-1 y=-;4!; (xÛ` -4x+4-4)+2a-1 y=-;4!; (xÛ` -4x+4)-;4!;_(-4)+2a-1 (x-2)Û` y=-;4!; 이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (2, 2a)이다. +2a 이때 이차함수의 그래프가 x축과 한 점에서 만나므로 꼭짓점의 y좌표는 0이어야 한다. 따라서 2a=0이므로 a=0 (cid:90) (cid:24) (cid:34)(cid:9)(cid:14)(cid:18)(cid:13)(cid:3)(cid:17)(cid:10) +a_(-1)+7 0=-(-1)Û` 0=-a+6 ∴ a=6 그러므로 y=-xÛ` y=0을 대입하면 +6x+7, xÛ` 0=-xÛ` (x+1)(x-7)=0 따라서 점 B의 좌표는 B(7, 0)이다. +6x+7에 구한 이차함수의 식을 변형하면 -6x-7=0 ∴ x=-1 또는 x=7 답 ③ (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:23)(cid:89)(cid:12)(cid:24) (cid:48) (cid:89) 09 주어진 이차함수 y=-xÛ` +ax+7의 그래프가 점 A(-1, 0)을 지나 므로 +6x+7 -6x+9-9)+7 +16 y =-xÛ` =-(xÛ` =-(x-3)Û` 이므로 이 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 C(3, 16)이다. (cid:24) (cid:34)(cid:9)(cid:14)(cid:18)(cid:13)(cid:3)(cid:17)(cid:10) (cid:48) (cid:35)(cid:9)(cid:24)(cid:13)(cid:3)(cid:17)(cid:10) (cid:89) ∴ △ABC =;2!;_ ABÓ _(점 C의 y좌표) ∴ △ABC =;2!;_8_16=64 10 이차함수 y=-3xÛ` y =-3xÛ` =-3(xÛ` =-3(x-1)Û` +k+2 +6x+k-1에서 +6x+k-1=-3(xÛ` -2x+1-1)+k-1=-3(xÛ` -2x)+k-1 -2x+1)+3+k-1 (cid:90) (cid:36)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:3)(cid:18)(cid:23)(cid:10) 13 ① y +6x-9 -6x+9-9)-9 -6x+9)+9-9 =-xÛ` =-(xÛ` =-(xÛ` =-(x-3)Û` 이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 답 ② 이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ② y -4x-2 -4x+4-4)-2 =xÛ` =(xÛ` =(x-2)Û` -6 ③ y -4x+5 -2x+1-1)+5 -2x+1)-2+5 =2xÛ` =2(xÛ` =2(xÛ` =2(x-1)Û` +3 답 ④ (cid:89) (cid:89) (cid:90) (cid:48) (cid:20) (cid:14)(cid:26) (cid:90) (cid:48) (cid:19) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:23) (cid:90) (cid:22) (cid:20) 이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다. (cid:48) (cid:18) (cid:89) Ⅳ. 이차함수 11. 이차함수의 그래프 (2) 59 ④ y +6x-5 -2x+1-1)-5 -2x+1)+3-5 =-3xÛ` =-3(xÛ` =-3(xÛ` =-3(x-1)Û` -2 이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ⑤ y +2x+3 -2x+1-1)+3 -2x+1)+1+3 =-xÛ` =-(xÛ` =-(xÛ` =-(x-1)Û` +4 이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ②, ⑤이다. 14 이차함수 y=axÛ` 위로 볼록하므로 a<0 +bx+c의 그래프가 이차함수의 그래프의 축은 직선 x=- b 2a 이고, 축이 y축의 오른쪽에 (cid:90) (cid:18) (cid:48) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:22) (cid:90) (cid:21) (cid:20) (cid:89) (cid:48) (cid:18) (cid:89) 답 ②, ⑤ (cid:90) (cid:68) (cid:48) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:67)(cid:89)(cid:12)(cid:68) 위로 볼록 (cid:9)(cid:66)(cid:29)(cid:17)(cid:10) (cid:89) 따라서 이차함수의 그래프 중 x축과 서로 다른 두 점에서 만나는 것은 (cid:89)(cid:30) (cid:31)(cid:17) (cid:12)(cid:26)(cid:17)(cid:148)(cid:64)(cid:26) - >0 ∴ b>0 있으므로 b 2a 이차함수 y=axÛ` 만나므로 c>0 따라서 a<0, bc>0이므로 일차함수 y=ax+bc의 그래프는 다음과 같다. +bx+c의 그래프가 y축과 y>0인 부분에서 (cid:90) (cid:48) 제(cid:20) 사분면 (cid:9)(cid:90)절편(cid:10)(cid:30)(cid:67)(cid:68)(cid:31)(cid:17) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:12)(cid:67)(cid:68) (cid:9)기울기(cid:10)(cid:30)(cid:66)(cid:29)(cid:17) 본문 258쪽 17 y=xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 2k-1만큼, y축의 방향으로 +1=(x-2k+1)Û` +kÛ` +1 +kÛ` +kÛ` +kÛ` +1만큼 평행이동한 그래프의 식은 kÛ` y ={x-(2k-1)}Û` y=(x-2k+1)Û` 6=(4-2k+1)Û` 6=5Û` 6=25-20k+4kÛ` 5kÛ` =0 (k-2)Û` 따라서 구하는 식은 +kÛ` -20k+20=0, kÛ` -2_5_2k+(2k)Û` ∴ k=2 +1 +1의 그래프는 점 (4, 6)을 지나므로 +1, 6=(5-2k)Û` +kÛ` +kÛ` +1 +1, 6=5kÛ` -4k+4=0 -20k+26 +kÛ` +5=xÛ` y =(x-2k+1)Û` =(x-3)Û` =xÛ` -6x+14 +1=(x-2_2+1)Û` -2_x_3+3Û` +5 +2Û` +1 답 y=xÛ` -6x+14 18 이차함수 y=axÛ` +bx+c의 그래프가 위로 볼록하므로 a<0 b 2a 이고, 이차함수의 그래프의 축이 직선 x=- 축이 y축의 왼쪽에 위치하므로 <0 ∴ b<0 b 2a - 이차함수 y=axÛ` 만나므로 c>0 +bx+c의 그래프가 y축과 y>0인 부분에서 (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:67)(cid:89)(cid:12)(cid:68) (cid:90) 위로 볼록 (cid:9)(cid:66)(cid:29)(cid:17)(cid:10) (cid:68)(cid:9)(cid:68)(cid:31)(cid:17)(cid:10) (cid:48) (cid:89) 축 : (cid:89)(cid:30)(cid:12)(cid:26)(cid:17)(cid:148)(cid:64)(cid:26) (cid:29)(cid:17) 답 15 y 그러므로 일차함수의 그래프가 지나지 않는 사분면은 제3사분면이다. -2x+1-1)+k-2 +2x+k-2=-(xÛ` +k-1 +2x+k-2의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, k-1) =-xÛ` =-(x-1)Û` 이므로 y=-xÛ` 이다. 이때 y=-xÛ` 이차함수의 그래프는 위로 볼록하다. +2x+k-2에서 xÛ`의 계수가 음수이므로 따라서 이차함수의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나므로 꼭짓점의 y좌표가 0보다 커야 한다. k-1>0 ∴ k>1 답 k>1 16 y -2x)+4 -6x+4=3(xÛ` -2x+1-1)+4 -2x+1)-3+4 =3xÛ` =3(xÛ` =3(xÛ` =3(x-1)Û` 이므로 이 그래프를 x축의 방향으로 k만큼 평행이동한 그래프의 식은 y +1=3{x-(1+k)}Û` =3(x-1-k)Û` 이차함수의 그래프의 증가, 감소는 축을 +1 +1 (cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:92)(cid:89)(cid:14)(cid:9)(cid:18)(cid:12)(cid:76)(cid:10)(cid:94)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:18) 답 19 +1의 그래프의 축 기준으로 변하므로 y=3{x-(1+k)}Û` 의 방정식은 x=2이다. 이때 y=3{x-(1+k)}Û` 의 축의 방정식은 x=1+k이므로 1+k=2 ∴ k=1 +1의 그래프 (cid:89)(cid:30)(cid:19) 축의 방정식 (cid:89)의 값 : 증가 (cid:90)의 값 : 증가 (cid:89)(cid:31)(cid:19) 답 ③ 60 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 이차함수 y=cxÛ` 로 볼록하다. +bx+a에서 c>0이므로 이차함수의 그래프는 아래 ③ 이차함수 y=cxÛ` +bx+a의 그래프의 축은 x=- b 2c 이고, b<0, c>0일 때 >0이므로 이차함수의 그래프의 축은 b 2c - y축의 오른쪽에 있다. 또한 이차함수 y=cxÛ` 고, a<0이므로 y축과 y<0인 부분에서 만난다. 따라서 이차함수 y=cxÛ` 이다. +bx+a의 그래프는 y축과 점 (0, a)에서 만나 +bx+a의 그래프의 개형으로 알맞은 것은 ② (cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:68)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:67)(cid:89)(cid:12)(cid:66) 아래로 볼록 (cid:9)(cid:68)(cid:31)(cid:17)(cid:10) (cid:89) (cid:48) (cid:66)(cid:9)(cid:66)(cid:29)(cid:17)(cid:10) 축 : (cid:89)(cid:30) (cid:31)(cid:17) (cid:12)(cid:26)(cid:17)(cid:148)(cid:66)(cid:26) x=-2를 기준으로 x의 값 의 증가에 따라 y의 값의 증 가, 감소가 변하므로 x=-2는 +6mx+2m-3의 y=3xÛ` 그래프의 축의 방정식이다. ② (cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:23)(cid:78)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:78)(cid:14)(cid:20) (cid:89)(cid:29)(cid:14)(cid:19) (cid:89)의 값 : 증가 (cid:90)의 값 : 감소 (cid:89)(cid:31)(cid:14)(cid:19) (cid:89)의 값 : 증가 (cid:90)의 값 : 증가 (cid:89)(cid:30)(cid:14)(cid:19) +2mx)+2m-3 +6mx+2m-3=3(xÛ` +2mx+mÛ` -3mÛ` y=3xÛ` y=3(xÛ` y=3(x+m)Û` 이므로 그래프의 축의 방정식은 x=-m이다. -mÛ`)+2m-3 +2m-3 -m=-2이므로 m=2 따라서 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-m, m=2를 대입하면 (-2, -3_2Û` -11) ∴ (-2, +2m-3)이므로 -3mÛ` +2_2-3) +3으로 놓고 x=2, y=7을 대입하면 (2) y=a(x+2)Û` 7=16a+3, 16a=4 ∴ a=;4!; 답 ① 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=;4!; (x+2)Û` +3이다. 20 구하는 포물선은 y=;2!; y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 포물선이므로 xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, 답 연습 1 (1) y=-2(x-4)Û` +6 (2) y=;4!; (x+2)Û` +3 본문 259쪽 -3)이므로 이차함수의 식을 주어진 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (2, -3으로 놓자. y=a(x-2)Û` 주어진 그래프가 점 (0, y=a(x-2)Û` -2=4a-3, 4a=1 -3에 x=0, y=-2를 대입하면 ∴ a=;4!; -2)를 지나므로 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=;4!; (x-2)Û` -3이다. +n과 x축과의 교점의 좌표는 답 y=;4!; (x-2)Û` -3 y=;2!; (x-m)Û` +n y=;2!; (x-m)Û` +n에 y=0을 대입하면 ;2!; Ñ =-n 'Ä-2n (x-m)Û` (x-m)Û` +n, 0=;2!; =-2n, x-m= (x-m)Û` x=mÑ 'Ä-2n 따라서 포물선 y=;2!; (m-'Ä-2n, 0), (m+'Ä-2n, 0)이므로 두 교점 사이의 거리는 (m+'Ä-2n)-(m-'Ä-2n) (x-m)Û` =m+'Ä-2n-m+'Ä-2n =2 'Ä-2n 이때 두 교점 사이의 거리는 4이므로 'Ä-2n=4, 'Ä-2n=2 2 ∴ n=-2 -2n=4 포물선 y=;2!; (x-m)Û` -2는 점 (-2, 6)을 지나므로 ;2!; =8 (-2-m)Û` (-2-m)Û` -2, 6=;2!; =16, (2+m)Û` (-2-m)Û` 16, 2+m= Ñ4 Ñ 2+m= '¶ ∴ m=-6 또는 m=2 m=-2Ñ4 따라서 구하는 포물선의 식은 =16 y=;2!; (x+6)Û` -2=;2!; (xÛ` +12x+36)-2 xÛ` +6x+18-2=;2!; xÛ` +6x+16 y=;2!; 또는 y=;2!; (x-2)Û` -2=;2!; (xÛ` -4x+4)-2 12 이차함수의 활용 Step 1. 개념 다지기 기본연습 1 +6으로 놓고 x=2, y=-2를 대입하면 (1) y=a(x-4)Û` 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-2(x-4)Û` -2=4a+6, 4a=-8 ∴ a=-2 +6이다. y=;2!; xÛ` -2x+2-2=;2!; xÛ` -2x 답 ③, ⑤ 연습 2 Ⅳ - 1 2 . 이 차 함 수 의 활 용 12-2 이차함수의 식 구하기 (2) - 축의 방정식과 두 점을 아는 경우 기본연습 2 (1) y=a(x+5)Û` +q로 놓고 x=-4, y=4를 대입하면 4=a+q x=-7, y=13을 대입하면 13=4a+q ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, q=1 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=3(x+5)Û` +q로 놓고 (2) y=a(x-1)Û` x=-2, y=3을 대입하면 3=9a+q x=7, y=-15를 대입하면 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-;3@; , q=9 …… ㉠ -15=36a+q …… ㉡ …… ㉠ …… ㉡ +1이다. 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-;3@; (x-1)Û` +9이다. 답 (1) y=3(x+5)Û` +1 (2) y=-;3@; (x-1)Û` +9 -4)를 지나므로 주어진 그래프의 축의 방정식이 x=1이므로 이차함수의 식을 +q로 놓자. y=a(x-1)Û` 주어진 그래프가 두 점 (0, 2), (-1, 2=a+q …… ㉠ -4=4a+q …… ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, q=4이므로 구하는 이차함수의 식은 +4x+2이다. +4, 즉 y=-2xÛ` y=-2(x-1)Û` 따라서 a=-2, b=4, c=2이므로 a+b+c=4 답 4 아는 경우 기본연습 3 (1) 이차함수의 식을 y=axÛ` (0, 1)을 지나므로 y=axÛ` +bx+c로 놓으면 이차함수의 그래프가 점 +bx+1 Ⅳ. 이차함수 12. 이차함수의 활용 61 12-1 이차함수의 식 구하기 (1) - 꼭짓점의 좌표와 다른 한 점을 아는 경우 12-3 이차함수의 식 구하기 (3) - 서로 다른 세 점을 (1) y=3xÛ` -4x+1 (2) y=-2xÛ` +5x+3 이므로 x=;2!; 일 때 최댓값 을 갖고, 최솟값은 없다. ;;Á2£;; 12-4 이차함수의 식 구하기 (4) - x축과의 교점과 -4x+4)-4+a x=-1, y=8을 대입하면 8=a-b+1, a-b=7 …… ㉠ x=3, y=16을 대입하면 16=9a+3b+1, 9a+3b=15 3a+b=5 …… ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-4 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=3xÛ` (2) 이차함수의 식을 y=axÛ` (0, 3)을 지나므로 y=axÛ` x=2, y=5를 대입하면 5=4a+2b+3, 4a+2b=2 2a+b=1 …… ㉠ x=-1, y=-4를 대입하면 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=5 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-2xÛ` 답 +5x+3이다. -4x+1이다. +bx+c로 놓으면 이차함수의 그래프가 점 +bx+3 -4=a-b+3, a-b=-7 …… ㉡ 연습 3 +bx+c에 -1=c 이차함수의 식 y=axÛ` x=0, y=-1을 대입하면 …… ㉠ x=-2, y=21을 대입하면 21=4a-2b+c …… ㉡ …… ㉢ x=;2!; ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=6, b=1, c=-1이므로 , y=1을 대입하면 1=;4!; a+;2!; b+c ;aB;-c=;6!;-(-1)=;6&; 답 ;6&; 다른 한 점을 아는 경우 기본연습 4 (1) 이차함수의 식을 y=a(x+5)(x+1)로 놓고 x=-2, y=6을 대입하면 6=a_3_(-1), ∴ a=-2 -3a=6 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-2(x+5)(x+1) -12x-10이다. 즉 y=-2xÛ` (2) 이차함수의 식을 y=a(x+3)(x-5)로 놓고 x=1, y=-8을 대입하면 -8=a_4_(-4), -16a=-8 ∴ a=;2!; 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=;2!; (x+3)(x-5) 즉 y=;2!; xÛ` -x-;;Á2°;; 이다. 답 연습 4 (1) y=-2xÛ` -12x-10 (2) y=;2!; xÛ` -x-;;Á2°;; 이차함수의 그래프가 두 점 (-2, 0), (6, 0)을 지나므로 이차함수의 식을 y=a(x+2)(x-6)이라 하자. 이차함수 y=a(x+2)(x-6)의 그래프가 점 (0, y=a(x+2)(x-6)에 x=0, y=-4를 대입하면 ∴ a=;3!; -4=a_2_(-6), -4)를 지나므로 -12a=-4 따라서 이차함수의 식은 y=;3!; (x+2)(x-6)이므로 f(3)=;3!;_5_(-3)=-5 답 -5 62 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 본문 265쪽 12-5 이차함수의 최댓값과 최솟값 기본연습 5-1 (1) y -12x+8=3(xÛ` -4x+4)-12+8 -4x)+8 =3xÛ` =3(xÛ` =3(x-2)Û` -4 이므로 x=2일 때 최솟값 (2) y=-2xÛ` +2x+6=-2(xÛ` xÛ` -x+;4!;}+;2!;+6 y=-2 { -x)+6 y=-2 x-;2!;} { +;;Á2£;; 2` -4를 갖고, 최댓값은 없다. 답 (1) 최댓값 : 없다, 최솟값 : -4 , 최솟값 : 없다. 답 (2) 최댓값 : ;;Á2£;; 연습 5-1 -6x)+4a-8 +6x+4a-8=-(xÛ` -6x+9)+9+4a-8 y =-xÛ` =-(xÛ` =-(x-3)Û` 이므로 x=3일 때, 최댓값 4a+1을 갖는다. 따라서 m=3, 5=4a+1이므로 a=1, m=3 ∴ 2a+m=5 +4a+1 기본연습 5-2 (1) y =xÛ` =(x-2)Û` 이므로 최솟값 -4x+a=(xÛ` -4+a 따라서 (2) y -4+a를 갖는다. -4+a=2이므로 a=6 +6x+a=-3(xÛ` -2x+1)+3+a=-3(x-1)Û` -2x)+a =-3xÛ` =-3(xÛ` 이므로 최댓값 3+a를 갖는다. 따라서 3+a=-4이므로 a=-7 +3+a 연습 5-2 조건에 맞는 이차함수의 식은 -6x+9) =2(xÛ` -12x+18 y =2(x-3)Û` =2xÛ` 따라서 a=-12, b=18이므로 a+b=-12+18=6 12-6 이차함수의 활용 기본연습 6 답 5 답 6 답 (1) 6 (2) -7 (1) 둘레의 길이가 32 cm인 직사각형의 가로의 길이가 x cm이면 세로의 길 이는 (16-x) cm이므로 y=x(16-x) (단, 0<x<16) y=x(16-x)=-(x-8)Û` +64 즉, x=8일 때, 최댓값 64 cmÛ`를 갖는다. 따라서 직사각형의 넓이의 최댓값은 64 cmÛ`이다. (2) 작은 수가 x이면 큰 수는 x+8이므로 y=x(x+8) y=x(x+8)=(x+4)Û` 즉, x=-4일 때, 최솟값 따라서 두 수의 곱의 최솟값은 (1) y=-(x-8)Û` -16 -16을 갖는다. -16이다. +64, 64 cmÛ` (2) y=(x+4)Û` 답 -16, -16 연습 6 직사각형의 가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길이는 (22-x) cm이다 . 직사각형의 넓이를 y cmÛ`라 하면 y=x(22-x) (단, 0<x<22) y =x(22-x)=-xÛ` =-(x-11)Û` +121 즉, x=11일 때, 최댓값 121을 갖는다. 따라서 직사각형의 최대 넓이는 121 cmÛ` 이고, 그때의 가로의 길이는 11 cm, +22x 세로의 길이는 11 cm이다. 답 최대 넓이 : 121 cmÛ`, 가로의 길이 : 11 cm, 세로의 길이 : 11 cm Step 2. 대표 문제로 접근하기 80 02 a=-3, b=-18, c=-22 01 03 06 10 a=;2!; , b=1, c=-;2(; (3, -9) ② 11 15 풀이참조 16 20 ④ 21 07 12 17 22 ④ 4 ③ ② 8 ③ ③ 04 08 13 18 160 ⑤ ① ④ 05 09 14 19 35 12 20 5초 후 유제 01 +bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (1, -12) -12로 놓을 수 있 이차함수 y=axÛ` 이므로 주어진 이차함수의 식을 y=a(x-1)Û` 다. 이때 이차함수의 그래프가 점 (-2, 6)을 지나므로 -12 6 =a(-2-1)Û` =9a-12 ∴ a=2 9a=18 따라서 주어진 이차함수의 식은 (cid:9)(cid:14)(cid:19)(cid:13)(cid:3)(cid:23)(cid:10) (cid:14)(cid:19) -2x+1)-12=2xÛ` -12=2(xÛ` +bx+c를 비교하면 b=-4, c=-10 y=2(x-1)Û` ㉠과 y=axÛ` ∴ abc=2_(-4)_(-10)=80 (cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:21)(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:17) (cid:23) (cid:18) (cid:48) (cid:89) (cid:14)(cid:18)(cid:17) (cid:14)(cid:18)(cid:19) 꼭짓점 (cid:9)(cid:18)(cid:13)(cid:3)(cid:14)(cid:18)(cid:19)(cid:10) -4x-10 …… ㉠ 답 80 유제 02 이차함수 y=axÛ` +bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-3, 5) 이므로 이차함수의 식을 y=a(x+3)Û` 이때 이차함수의 그래프가 점 (-1, -7)을 지나므로 -7 +5 =a(-1+3)Û` =4a+5 ∴ a=-3 4a=-12 따라서 주어진 이차함수의 식은 +5로 놓을 수 있다. (cid:90) 꼭짓점 (cid:9)(cid:14)(cid:20)(cid:13)(cid:3)(cid:22)(cid:10) (cid:22) (cid:14)(cid:18) (cid:14)(cid:20) (cid:48) (cid:89) (cid:14)(cid:24) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:20)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:18)(cid:25)(cid:89)(cid:14)(cid:19)(cid:19) (cid:9)(cid:14)(cid:18)(cid:13)(cid:3)(cid:14)(cid:24)(cid:10) y=-3(x+3)Û` ∴ a=-3, b=-18, c=-22 답 a=-3, b=-18, c=-22 +6x+9)+5=-3xÛ` +5=-3(xÛ` -18x-22 유제 03 이차함수 y=axÛ` +bx+c`(a, b, c는 상수)의 그래프의 축의 방정 +q로 놓을 수 있다. 식이 x=-1이므로 y=a(x+1)Û` 이때 이 이차함수의 그래프가 두 점 (-5, 3), (1, 3=16a+q …… ㉠ [ -3=4a+q …… ㉡ -3)을 지나므로 ㉠㉡을 하면 6=12a에서 a=;2!; - 이를 ㉡에 대입하면 -3=2+q이므로 q=-5 본문 269쪽 따라서 주어진 이차함수의 식은 y=;2!; (x+1)Û` -5 y=;2!; (xÛ` +2x+1)-5 y=;2!; xÛ` +x-;2(; ∴ a=;2!; , b=1, c=-;2(; 답 a=;2!; , b=1, c=-;2(; 유제 04 이차함수 y=axÛ` +q로 놓을 수 있다. y=a(x+2)Û` 이 그래프가 두 점 (1, 0), (0, 10)을 지나므로 +bx+c의 그래프의 축의 방정식이 x=-2이므로 ㉠ 9a+q=0 …… ㉠ 4a+q=10 …… ㉡ [ - ㉡을 하면 5a=-10에서 a=-2 이를 ㉠에 대입하면 유제 05 이차함수 y=xÛ` +ax+b의 그래프가 세 점 (0, -1), (1, 5), -18+q=0이므로 q=18 따라서 주어진 이차함수의 식은 +18 -8x+10 y =-2(x+2)Û` =-2xÛ` ∴ b=-8, c=10 ∴ abc=(-2)_(-8)_10=160 (-2, c)를 지나므로 Ú x=0, y=-1을 대입하면 b=-1 …… ㉠ Û x=1, y=5를 대입하면 1+a+b=5 …… ㉡ Ü x=-2, y=c를 대입하면 4-2a+b=c …… ㉢㉠에서 b=-1이므로 이를 ㉡에 대입하면 1+a-1=5에서 a=5 이를 ㉢에 대입하면 4-2_5-1=c에서 c=-7 ∴ abc=5_(-1)_(-7)=35 Ⅳ - 1 2 . 이 차 함 수 의 활 용 답 160 답 35 유제 06 주어진 세 점을 지나는 이차함수의 그래프의 식을 +bx+c라 하고 y=axÛ` Ú x=-3, y=-11을 대입하면 Û x=0, y=4를 대입하면 4=c Ü x=6, y=4를 대입하면 4=36a+6b+c , b=;;Á3¼;; ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=-;9%; -11=9a-3b+c …… ㉠ …… ㉡ …… ㉢ , c=4 즉, y=-;9%; xÛ` +;;Á3¼;; x+4의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 이차함수의 그래프의 식은 -y=-;9%; xÛ` +;;Á3¼;; x+4 xÛ` ∴ y=;9%; (x-3)Û` 따라서 구하는 꼭짓점의 좌표는 (3, x-4=;9%; -;;Á3¼;; -9 -9)이다. 답 (3, -9) 유제 07 주어진 이차함수의 그래프가 x축과 만나는 두 점이 (-1, 0), (3, 0)이므로 이 이차함수의 식을 y=a(x+1)(x-3)이라 놓을 수 있다. y=a(x+1)(x-3)=a(xÛ` -2x-3) y=a(xÛ` -2x)-3a y=a(xÛ` -2x+1-1)-3a y=a(xÛ` -2x+1)-a-3a y=a(x-1)Û` -4a Ⅳ. 이차함수 12. 이차함수의 활용 63 즉, 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, -4a=8 따라서 구하는 이차함수의 그래프의 식은 y=-2(x-1)Û` ∴ a=-2 -4a)이므로 +8 유제 13 차가 18인 두 수를 x, x+18이라 하고 두 수의 곱을 y라 하면 +18x y =x(x+18)=xÛ` =xÛ` 따라서 두 수의 곱 y는 x=-9일 때 최솟값 +18x+81-81=(x+9)Û` -81 -81을 갖는다. 답 ① 유제 08 이차함수 y=xÛ` +ax+b의 그래프가 x축과 두 점 (-1, 0), 유제 14 합이 k인 두 수를 x, k-x라 하고 두 수의 곱을 y라 하면 +kx 본문 273쪽 답 ④ 답 ⑤ (4, 0)에서 만나므로 y=(x+1)(x-4)=xÛ` 에서 a=-3, b=-4 ∴ ab=(-3)_(-4)=12 -3x-4=xÛ` +ax+b -10x)+57 -20x+57=2(xÛ` -10x+25-25)+57 -10x+25)-50+57 유제 09 y=2xÛ` y=2(xÛ` y=2(xÛ` y=2(x-5)Û` 따라서 이 함수는 x=5일 때 최솟값 7을 가지므로 a=5, b=7 ∴ a+b=5+7=12 +7 답 12 유제 10 이차함수 y=-;3!; (x-3)Û` (cid:90) -2는 x=3일 때 최댓값 -2를 갖는다. (cid:20) (cid:89) (cid:48) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:22) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:28)(cid:20)(cid:197)(cid:28)(cid:9)(cid:89)(cid:14)(cid:20)(cid:10)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:19) 따라서 옳은 것은 ②이다. 답 ② 유제 11 이차함수 y=;3!; xÛ` +2ax+8이 x=b에서 최솟값 5를 가지므로 y=;3!; (x-b)Û` +5=;3!; (xÛ` -2bx+bÛ`)+5 y=;3!; xÛ` - 2b 3 x+ bÛ` 3 +5=;3!; xÛ` +2ax+8 2b 3 =2a에서 b=-3a …… ㉠ - bÛ` 3 +5=8 ㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면 …… ㉡ =9 ∴ a=-1`(∵ a<0) 9aÛ` a=-1을 ㉠에 대입하면 b=(-3)_(-1)=3 ∴ y=;3!; -2x+8 위 식에 x=k, y=8을 대입하면 xÛ` kÛ` kÛ` ;3!; -2k=0 -2k+8, -6k=k(k-6)=0 8=;3!; kÛ` ∴ a+b+k=-1+3+6=8 ∴ k=6`(∵ k>0) 답 8 유제 12 y -2ax) +2ax=-(xÛ` -aÛ`) -2ax+aÛ` -2ax+aÛ`)+aÛ` +aÛ` =-xÛ` =-(xÛ` =-(xÛ` =-(x-a)Û` 따라서 이 이차함수는 x=a일 때 최댓값 aÛ`을 가지므로 ∴ a=2 (∵ a>0) aÛ` 즉, 주어진 이차함수의 식은 y=-xÛ` +2ax=-xÛ` 점 (2, k)가 이 이차함수의 그래프 위의 점이므로 +4x에 x=2, y=k를 대입하면 y=-xÛ` +4_2=-4+8=4 k=-2Û` =4 +4x이고, 답 4 64 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) y=x(k-x)=-xÛ` y=-xÛ` +kx-{;2K;} y=-{ xÛ` -kx+ y=-{ x-;2K;} + kÛ` 4 +{;2K;} 2` 2` kÛ` 4 }+ kÛ` 4 kÛ` 4 =100, kÛ` =400 ∴ k=20 (∵ k>0) 두 수의 곱 y는 x=;2K; 일 때 최댓값 kÛ` 4 을 가지므로 2` 답 20 유제 15 (1) 직사각형의 가로의 길이는 13 cm에서 매초 1 cm씩 감소하므 로 x초 후의 가로의 길이는 (13-x) cm이고, 세로의 길이는 8 cm에서 매초 2 cm씩 증가하므로 x초 후의 세로의 길이는 (8+2x) cm이다. (2) x초 후의 직사각형의 넓이가 y cmÛ` 이므로 y=(13-x)(8+2x)=104+26x-8x-2xÛ` +18x+104=-2(xÛ` y=-2xÛ` -9x)+104 xÛ` -9x+;;¥4Á;;}+104+2_;;¥4Á;; y=-2 { y=-2 x-;2(;} { + 208+81 2 y=-2 { 2` x-;2(;} + 289 2 따라서 x=;2(; 2` 일 때 최댓값은 289 이므로 2 직사각형의 넓이는 초 후에 최대가 되고, 그때의 넓이는 ;2(; 289 2 `cmÛ` 이다. 답 (1) 가로의 길이 : (13-x) cm 세로의 길이 : (8+2x) cm 답 (2) ;2(; 초 후, 289 `cmÛ` 2 유제 16 철망으로 만든 직사각형 모양의 우리의 세 벽 로의 길이를 x m, 넓이를 y mÛ` 라고 하자. 철망의 총 길이는 8 m이므로 우리의 가로 의 길이는 (8-2x) m이다. ∴ y=x(8-2x) 식을 정리하면 -4x) y =8x-2xÛ` =-2(xÛ` -4x+4)+8 =-2(xÛ` =-2(x-2)Û` +8 따라서 x=2일 때 최댓값 8을 가지므로 강아지 우리의 최대 넓이는 8 mÛ`이다. x(16-2x)=8x-xÛ` y=;2!; y=-xÛ` y=-(x-4)Û` 이므로 x=4일 때 최댓값 16을 가진다. +8x-16+16 +16 (cid:89)(cid:65)(cid:78) (cid:90)(cid:65)(cid:78)(cid:153) (cid:9)(cid:25)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:78) 답 ③ (cid:9)(cid:18)(cid:23)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 유제 17 부채꼴의 반지름의 길이를 x cm, 넓이를 y cmÛ`라 하면 답 따라서 부채꼴의 넓이가 최대일 때 반지름의 길이는 4 cm이다. x축과 만나는 두 점 사이의 거리가 4이므로, 각 점과 원점 사이의 유제 18 한 원의 반지름의 길이를 x cm라 하면 다른 한 원의 반지름의 길이는 (12-x) cm이다. 이때 두 원의 넓이의 합을 y cmÛ` 라 하면 ③ (cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:9)(cid:18)(cid:19)(cid:14)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 거리는 2이다. 따라서 이 그래프와 x축이 만나는 두 점의 좌표는 (-2, 0), (2, 0)이므로 y=(x+2)(x-2)=xÛ` 따라서 a=0, b=-4이므로 a+b=0+(-4)=-4 +ax+b -4=xÛ` 본문 278쪽 답 ② pxÛ` p(2xÛ` p(12-x)Û` + +144-24x+xÛ`) p(xÛ` -24x+144) -24x+72)+72p -12x+36)+72p +72p y= y= y= p(2xÛ` y= y=2p(xÛ` y=2p(x-6)Û` 이므로 x=6일 때 최솟값 72p를 가진다. 따라서 두 원의 넓이의 합의 최솟값은 72p cmÛ` 이다. 유제 19 주어진 식을 정리하면 =-3xÛ` +30x -10x+25)+75=-3(x-5)Û` y =30x-3xÛ` =-3(xÛ` 따라서 x=5일 때 최댓값 75를 가지므로 물체는 쏘아 올린 지 5초 답 5초 후 후에 최고 높이에 도달한다. +75 유제 20 주어진 식을 정리하면 h =-tÛ` =-(tÛ` =-(t-5)Û` 따라서 5초 후에 물체는 최고 높이 55 m에 도달한다. +10t+30 -10t+25)+55 +55 (cid:22)(cid:22)(cid:65)(cid:78) (cid:20)(cid:17)(cid:65)(cid:78) 답 ④ 유제 21 점 A는 직선 y=9가 y축과 만나서 생기는 점이므로 A(0, 9) 이차함수 y=(x-3)Û` 의 그래프와 직선 y=9가 만나는 점의 좌표를 구하기 위해 식을 세우면 9=(x-3)Û` xÛ` -6x+9=9, xÛ` -6x=0 x(x-6)=0 ∴ x=0 또는 x=6 이때 점 B는 제1사분면 위의 점이므로 B(6, 9)이다. (cid:34)(cid:9)(cid:17)(cid:13)(cid:65)(cid:26)(cid:10) (cid:35)(cid:9)(cid:23)(cid:13)(cid:65)(cid:26)(cid:10) (cid:49)(cid:9)(cid:21)(cid:13)(cid:65)(cid:26)(cid:10) ABÓ를 3등분하는 점은 (2, 9), (4, 9)이고, 이 중 점 B와 가장 가 까운 점은 (4, 9)이므로 P(4, 9) 이차함수 y=(x-3)Û` 의 그래프의 꼭짓점 의 좌표는 (3, 0)이므로 구하는 이차함수의 식을 y=a(x-3)Û` 으 로 놓을 수 있다. (cid:90)(cid:30)(cid:26)(cid:9)(cid:89)(cid:14)(cid:20)(cid:10)(cid:153) (cid:9)(cid:22)(cid:13)(cid:65)(cid:20)(cid:23)(cid:10) (cid:49) (cid:90) (cid:20)(cid:23) (cid:26) (cid:48) 이때 이차함수의 그래프가 점 P(4, 9)를 지나므로 9=a(4-3)Û` =a 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=9(x-3)Û` 이다. 그러므로 이 이차함수의 그래프 위에 있는 점의 좌표는 (5, 36)이 (cid:20) (cid:21) (cid:22) (cid:89) 다. 답 유제 22 (cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:66)(cid:89)(cid:12)(cid:67) (cid:90) (cid:21) (cid:48)(cid:14)(cid:19) (cid:19) (cid:19)(cid:19) (cid:89) 위 그림과 같이 이차함수 y=xÛ` 로 하므로 y축에 대하여 대칭이다. +ax+b의 그래프는 y축을 축으 답 ④ 09 -1 y=;2!; xÛ` +3x-;2#; , { 0, -;2#;} 04 -25 14 07 08 ⑤ 15 19 ④ ② 16 20 ② 26 -5를 가지므로 Step 3. 단원 마무리하기 01 05 12 17 ① 02 ⑤ (0, -25) ④ 162 cmÛ` 10 13 ② ③ 03 06 11 14 18 ③ ③ ④ ③ +2px+q가 x=1일 때 최솟값 -2x+1)-5 -5=3(xÛ` 01 이차함수 y=3xÛ` y =3(x-1)Û` =3xÛ` =3xÛ` =3xÛ` 따라서 pq=(-3)_(-2)=6 -6x+3-5 -6x-2 +2px+q -6=2p에서 p=-3, q=-2이므로 02 y -2x)+1 -6x+1=3(xÛ` -2x+1-1)+1=3(xÛ` =3xÛ` =3(xÛ` =3(x-1)Û` 따라서 x=1일 때 최솟값 -2 답 -2x+1)-3+1 -2를 갖고, 축의 방정식은 x=1이다. +bx+c가 x=2일 때 최솟값 -2a를 가지므로 -4x+4)-2a=axÛ` -4ax+2a -2a로 놓을 수 있다. -2a=a(xÛ` 03 이차함수 y=axÛ` y=a(x-2)Û` y =a(x-2)Û` =axÛ` +bx+c 이므로 b=-4a, c=2a 이차함수 y=axÛ` 지나므로 -2=a-4a+2a=-a ∴ 2a+b+c=4+(-8)+4=0 +bx+c=axÛ` -4ax+2a의 그래프가 점 (1, -2)를 ∴ a=2, b=-8, c=4 답 ③ Ⅳ - 1 2 . 이 차 함 수 의 활 용 답 ① ⑤ 04 차가 10인 두 수를 x, x+10이라 하고 두 수의 곱을 y라 하면 +10x y =x(x+10)=xÛ` =xÛ` =(x+5)Û` 따라서 두 수의 곱의 최솟값은 x=-5일 때 +10x+25-25 -25 -25이다. 답 -25 ③ 05 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (3, 20)이므로 +20으로 놓을 수 있다. 이차함수의 식을 y=a(x-3)Û` 이때 이차함수의 그래프가 점 (1, 0)을 지나므로 0 =a(1-3)Û` =4a+20 ∴ a=-5 +20 Ⅳ. 이차함수 12. 이차함수의 활용 65 -25)이다. 답 (0, -25) 09 주어진 이차함수의 그래프가 x축과 두 점 (-2, 0), (1, 0)에서 만나므 따라서 구하는 이차함수의 식은 +20이다. y=-5(x-3)Û` 이차함수의 그래프가 y축과 만나는 점의 x좌표는 0이므로 이차함수의 식에 x=0을 대입하면 +20=-45+20 y =-5(0-3)Û` =-25 따라서 구하는 점의 좌표는 (0, (cid:90) (cid:19)(cid:17) (cid:48) 꼭짓점 (cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:19)(cid:17)(cid:10) (cid:89) (cid:20) (cid:9)(cid:18)(cid:13)(cid:65)(cid:17)(cid:10) (cid:9)(cid:17)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:19)(cid:22)(cid:10) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:22)(cid:9)(cid:89)(cid:14)(cid:20)(cid:10)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:19)(cid:17) 06 ① y=-2xÛ` -4x+1에서 xÛ` 의 계수가 -2이므로 그래프는 위로 볼록하다. ② y -4x+1=-2(xÛ` +2x+1-1)+1 +2x+1)+2+1 =-2xÛ` =-2(xÛ` =-2(xÛ` =-2(x+1)Û` +3 +2x)+1 즉, 축의 방정식은 x=-1이다. ③ y=-2xÛ` -4x+1=-2(x+1)Û` +3에서 그래프의 꼭짓점의 좌표 가 (-1, 3)이고, 위로 볼록하며 x=0일 때 y=1이므로 점 (0, 1)에 서 y축과 만난다. 이를 이용하여 그래프를 그리면 다음 그림과 같다. 답 (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:21)(cid:89)(cid:12)(cid:18) (cid:90) (cid:20) (cid:18) (cid:48)(cid:14)(cid:18) (cid:89) 따라서 그래프는 제1사분면을 지난다. ④ 그래프가 위로 볼록하고 꼭짓점의 좌표가 (-1, 3)이므로 x=-1일 때 최댓값 3을 갖는다. ⑤ y=-2xÛ` 의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼 평행이동하면 y=-2(x+1)Û` +3 -1만큼, y축의 방향으로 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 답 ③ 07 주어진 그림에서 이차함수의 그래프는 직선 x=2에 대하여 대칭이므 로 축의 방정식은 x=2이고, xÛ`의 계수가 3이므로 이차함수의 식을 +q로 놓을 수 있다. y=3(x-2)Û` 이 이차함수의 그래프가 점 (0,``2)를 지나므로 2=12+q 따라서 주어진 이차함수의 식은 -10 y =3(x-2)Û` =3xÛ` -12x+2 이므로 a=-12, b=2에서 b-a=2-(-12)=14 ∴ q=-10 답 14 08 이차함수 y=axÛ` +bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-2, 3)이므로 +3으로 놓을 수 있다. 이차함수의 식을 y=a(x+2)Û` 이때 이차함수의 그래프가 y축과 직선 y=9 위의 점에서 만나므로 이 차함수의 식에 x=0을 대입하면 y=a(0+2)Û` ∴ a=;2#; 4a=6 따라서 구하는 이차함수의 식은 +3=4a+3=9 (cid:90) (cid:9)(cid:17)(cid:13)(cid:65)(cid:26)(cid:10) (cid:90)(cid:30)(cid:28)(cid:19)(cid:4)(cid:28)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:23)(cid:89)(cid:12)(cid:26) (cid:26) 꼭짓점 (cid:9)(cid:14)(cid:19)(cid:13)(cid:65)(cid:20)(cid:10) (cid:20) (cid:48)(cid:14)(cid:19) (cid:89) 본문 283쪽 답 ⑤ 로 이차함수의 식을 y=a(x+2)(x-1)로 놓을 수 있다. 이차함수의 그래프가 점 (2, 2)를 지나므로 y=a(x+2)(x-1)에 x=2, y=2를 대입하면 2=a(2+2)(2-1)=a_4_1=4a ∴ a=;2!; 따라서 주어진 이차함수는 y=;2!; (x+2)(x-1) y=;2!; (x+2)(x-1)에 x=0을 대입하면 (0+2)(0-1)=;2!;_2_(-1)=-1 y=;2!; 따라서 이차함수의 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표는 -1이다. -1 -8)을 지나므로 10 주어진 이차함수의 그래프가 x축과 두 점 (-2, 0), (3, 0)에서 만나므로 그 식을 y=a(x+2)(x-3)으로 놓을 수 있다. 이 함수의 그래프가 점 (2, y=a(x+2)(x-3)에 x=2, y=-8을 대입하면 -8=a(2+2)(2-3)=a_4_(-1)=-4a 따라서 주어진 이차함수는 y=2(x+2)(x-3)이다. 이차함수 y=2(x+2)(x-3)의 그래프가 점 (1,`k)를 지나므로 x=1, y=k를 대입하면 k=2(1+2)(1-3)=2_3_(-2)=-12 ∴ a=2 답 ② +bx+c의 그래프의 축의 방정식이 x=-3이므로 -4)를 지나므로 11 이차함수 y=axÛ` +q로 놓을 수 있다. y=a(x+3)Û` 이때 이 이차함수의 그래프가 두 점 (1, 2), (-1, 2=16a+q …… ㉠ -4=4a+q …… ㉡ [ ㉠㉡을 하면 6=12a에서 a=;2!; - 이를 ㉡에 대입하면 -4=2+q이므로 q=-6 따라서 주어진 이차함수의 식은 y=;2!; (x+3)Û` -6=;2!; xÛ` +3x-;2#; 이고 y축과의 교점의 좌표는 { 0, -;2#;} 이다. y=;2!; xÛ` +3x-;2#; , { 0, -;2#;} +bx+c로 놓고 세 점 (0, 14), (2, 6), (-2, 18)을 지나는 이차함수의 그래프의 식을 y=axÛ` Ú x=0, y=14를 대입하면 14=c Û x=2, y=6을 대입하면 6=4a+2b+c …… ㉡ Ü x=-2, y=18을 대입하면 18=4a-2b+c …… ㉢㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 …… ㉠ 답 12 (xÛ` +3=;2#; +4x+4)+3=;2#; +bx+c를 비교하면 b=6, c=9 (x+2)Û` y=;2#; ㉠과 y=axÛ` ∴ abc=;2#;_6_9=81 xÛ` +6x+9 …… ㉠ a=-;2!; , b=-3, c=14 ∴ y=-;2!; xÛ` -3x+14 답 ④ 66 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) 13 수납대의 높이를 x cm, 색칠된 부분의 넓이를 y cmÛ` 라 하면 (cid:19)(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 따라서 x=11일 때 최댓값은 242이므로 직사각형 PQRS의 최대 넓이는 242 cmÛ`이다. 본문 284쪽 답 ② (cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:9)(cid:19)(cid:21)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:9)(cid:19)(cid:21)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78) =x(24-2x)=24x-2xÛ` y -12x) =-2(xÛ` -12x+36)+2_36 =-2(xÛ` +72 …… ㉠ =-2(x-6)Û` ㉠에서 x=6일 때 최댓값은 72이다. 따라서 색칠된 부분의 넓이가 최대이려면 수납대의 높이는 6 cm이어 야 한다. 14 새로운 직사각형의 가로의 길이는 (7+x) cm, 세로의 길이는 (13-x) cm이다. 새로운 직사각형의 넓이를 y`cmÛ` 라 하면 답 ③ (cid:9)(cid:24)(cid:12)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:9)(cid:18)(cid:20)(cid:14)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:90)(cid:65)(cid:68)(cid:78)(cid:153) y=(7+x)(13-x) 위 식의 우변을 전개한 후 변형하면 =91-7x+13x-xÛ` y +6x+91 =-xÛ` -6x)+91 =-(xÛ` -6x+9)+91+9 =-(xÛ` =-(x-3)Û` +100 따라서 x=3일 때 최댓값은 100이므로 새로운 직사각형의 넓이가 최대가 되도록 하는 x의 값은 3이다. 답 ④ 15 오른쪽 그림과 같이 직사각형의 세로의 길이를 x m라 하면 두 직사각형의 가로의 길이의 합은 (36-3x) m이다. 두 개의 우리의 넓이의 합을 y mÛ` 라 하면 (cid:89)(cid:65)(cid:78) 담장 오리 우리 닭 우리 (cid:9)(cid:20)(cid:23)(cid:14)(cid:20)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:78) +36x y=x_(36-3x) y =x(36-3x)=-3xÛ` -12x)=-3(xÛ` =-3(xÛ` =-3(x-6)Û` +108 따라서 x=6일 때 최댓값은 108이므로 두 개의 우리의 넓이의 합의 최댓값은 108 mÛ` 이다. -12x+36)+3_36 16 직사각형 PQRS의 세로의 길이를 x cm라 하자. 이므로 ∠ABC 삼각형 ABC는 직각이등변삼각형 =45ù =90ù이므로 ∠BPQ PQB =45ù BQÓ, ∠PQB 삼각형 PBQ는 PQÓ = ∠ (cid:49) (cid:21)(cid:22)(cid:177) (cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:50) (cid:35) (cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:52) (cid:51) (cid:36) (cid:21)(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:9)(cid:21)(cid:21)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78) =90ù인 직각이등변삼각형이므로 =x cm BQÓ 따라서 직사각형 PQRS의 가로의 길이는 (44-2x) cm이므로 직사각형 PQRS의 넓이를 y cmÛ` 라 하면 y =x_(44-2x)=-2xÛ` -22x)=-2(xÛ` =-2(xÛ` =-2(x-11)Û` +242 +44x -22x+121)+2_121 17 두 정사각형의 한 변의 길이를 각각 x cm, (18-x) cm라 하고 두 정사각형의 넓이의 합을 y cmÛ`라 하면 y=xÛ` y =xÛ` =2xÛ` =2(xÛ` =2(x-9)Û` 따라서 x=9일 때 최솟값은 162이므로 두 정사각형의 넓이의 합의 최솟값은 162 cmÛ`이다. +(18-x)Û` +(18-x)Û` +xÛ` -36x+324=2(xÛ` -18x+81)+324-2_81 -36x+324 -18x)+324 +162 =xÛ` (cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:9)(cid:18)(cid:25)(cid:14)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:18)(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 답 162 cmÛ` 18 공을 쏘아 올린 지점을 원점 O, 지면을 x축, 나무의 꼭대기를 점 P라 하 고 공이 그리는 포물선을 좌표평면에 나타내면 다음과 같다. (cid:90) (cid:25)(cid:17) (cid:49) (cid:48) (cid:23)(cid:17) (cid:25)(cid:17) (cid:89) 그래프가 x축과 만나는 점의 좌표가 (0, 0), (80, 0)이므로 이 그래프 를 나타내는 이차함수의 식을 y=ax(x-80)으로 놓을 수 있다. y=ax(x-80)의 그래프의 꼭짓점의 y좌표가 80이므로 y =a(xÛ` =a(x-40)Û` 에서 -80x)=a(xÛ` -1600a -80x+1600)-1600a -1600a=80 ∴ a=-;2Á0; 따라서 이차함수의 식은 y=-;2Á0; 점 P의 좌표를 (60, b)라 하면 나무의 높이는 b의 값이므로 x(x-80) b=-;2Á0;_60_(60-80)=60 따라서 나무의 높이는 60 m이다. 답 ③ Ⅳ - 1 2 . 이 차 함 수 의 활 용 19 원래 이차함수의 식을 y=axÛ` +bx+c라 하자. 이 이차함수의 그래프가 y축과 점 (0, 3)에서 만나므로 ∴ c=3 3=a_0Û` 이때 서준이는 이차함수의 식의 xÛ` 의 계수와 x의 계수를 바꾸어 놓고 +b_0+c +ax+3의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (2, -5)임을 꼭짓점의 좌표를 구한 것이므로 이차함수 y=bxÛ` 알 수 있다. 따라서 서준이가 본 이차함수의 식을 y=b(x-2)Û` 이때 이 이차함수의 그래프도 점 (0, 3)을 -5로 놓을 수 있다. (cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:25)(cid:89)(cid:12)(cid:20) (cid:90) (cid:20) (cid:48) (cid:14)(cid:22) (cid:19) (cid:89) 꼭짓점 (cid:9)(cid:19)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:22)(cid:10) -5=4b-5 3=b(0-2)Û` 4b=8 그러므로 서준이가 잘못 본 이차함수의 식은 ∴ b=2 -5=2(xÛ` y=2(x-2)Û` +2x+3 원래 이차함수의 식은 y=-8xÛ` 이므로 꼭짓점의 좌표를 구하기 위해 식을 -4x+4)-5=2xÛ` -8x+3 (cid:90) (cid:28)(cid:28)(cid:105)(cid:25)(cid:111)(cid:28)(cid:28) 꼭짓점 (cid:91)(cid:28)(cid:25)(cid:197)(cid:28)(cid:13)(cid:3)(cid:28)(cid:28)(cid:105)(cid:25)(cid:111)(cid:28)(cid:28)(cid:93) 변형하면 y=-8xÛ` +2x+3 xÛ` =-8 -;4!; { x+;6Á4;-;6Á4;}+3 (cid:48) (cid:28)(cid:25)(cid:197)(cid:28) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:25)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:20) =-8 { xÛ` -;4!; x+;6Á4;}+3+;8!;=-8 { x-;8!;} +;;ª8°;; 2` Ⅳ. 이차함수 12. 이차함수의 활용 67 답 ④ (cid:34) 지나므로 본문 285쪽 따라서 원래 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 , 이므로 {;8!; ;;ª8°;;} a , b =;8!; =;;ª8°;; ∴ a b + =;8!;+;;ª8°;;=;;ª8¤;;=;;Á4£;; 답 ② +4x+8에서 -4x)+8 -4x+4)+8+4 +12 20 이차함수 y=-xÛ` y =-(xÛ` =-(xÛ` =-(x-2)Û` 오른쪽 그림과 같이 이차함수 +4x+8의 그래프와 x축으 y=-xÛ` 로 둘러싸인 도형에 내접하는 직사 각형과 이차함수 y=-xÛ` +4x+8 의 그래프의 교점 중 x좌표가 2보다 를 a라 하면 P(a, 작은 점을 P라 하자. 점 P의 x좌표 +4a+8)이다. -aÛ` 내접하는 직사각형의 세로의 길이는 (2-a)_2, 즉 4-2a이다. 직사각형의 둘레의 길이를 b라 하면 (cid:90) (cid:18)(cid:19) (cid:25) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:21)(cid:89)(cid:12)(cid:25) (cid:48) (cid:89)(cid:30)(cid:19) (cid:89) (cid:90) (cid:49) (cid:14)(cid:66)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:21)(cid:66)(cid:12)(cid:25) (cid:25) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:21)(cid:89)(cid:12)(cid:25) (cid:48) (cid:66) (cid:19) (cid:89) -aÛ` +4a+8이고 가로의 길이는 (cid:90) (cid:49) (cid:14)(cid:66)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:21)(cid:66)(cid:12)(cid:25) (cid:14)(cid:66)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:21)(cid:66)(cid:12)(cid:25) (cid:25) (cid:19)(cid:14)(cid:66) {(-aÛ` +4a+8)+(4-2a)} +2a+12) -2a)+24 -2a+1)+24+2_1 b =2_ =2(-aÛ` = -2(aÛ` =-2(aÛ` =-2(a-1)Û` 따라서 a=1일 때 최댓값은 26이므로 직사각형의 둘레의 길이의 최댓 답 26 값은 26이다. (cid:66) (cid:19) (cid:21)(cid:14)(cid:19)(cid:66) +26 (cid:48) (cid:89) 68 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) memo 메모 69 memo 70 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상) memo 메모 71 memo 72 중학수학 뜀틀 개념편 중3 (상)

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