8-나발전렉처북해설Ⅳ(001~014) 2014.3.28 9:30 PM 페이지1 SinsagoHitec
우공비
중등 수학 (하) 발전편
2
SOLUTION
LECTURE BOOK
WORK BOOK
Ⅳ
확률
1. 경우의 수
2. 확률과 그 계산
Ⅴ 도형의 성질
1. 삼각형의 성질
2. 사각형의 성질
Ⅵ 도형의 닮음
1. 도형의 닮음
2. 닮음의 활용
2
7
15
22
31
36
Ⅳ 확률
1. 경우의 수
2. 확률과 그 계산
Ⅴ 도형의 성질
1. 삼각형의 성질
2. 사각형의 성질
Ⅵ 도형의 닮음
1. 도형의 닮음
2. 닮음의 활용
48
52
56
61
68
71
S I N S A G O
8-나발전렉처북해설Ⅳ(001~014) 2014.3.28 9:30 PM 페이지2 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
1부터 16까지의 수 중에
는 4와 7의 공배수가 없
으므로 경우의 수의 합을
이용한다.
02 소수는 2, 3, 5, 7이므로 구하는 경우의 수는 4
(cid:9120) ④
이다.
소수：1보다 큰 자연수
중에서 1과 자기 자신만
을 약수로 갖는 수
1000원(장)
500원(개)
100원(개)
화폐 단위가 가장 큰 것
의 개수부터 정한다.
Ⅳ 확률
1
경우의 수
필수유형 다지기
▶ 9~11쪽
01 두 눈의 수의 합이 6인 경우는
(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
이므로 구하는 경우의 수는 5이다.
(cid:9120) ③
01-1 x+2y=10을 만족시키는 순서쌍 (x, y)는
(2, 4), (4, 3), (6, 2)
이므로 구하는 경우의 수는 3이다.
(cid:9120) 3
02-1 24의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24이므로 구
(cid:9120) 8
하는 경우의 수는 8이다.
03 돈을 지불하는 방
법을 표로 나타내
면 오른쪽과 같으
므로 구하는 방법
의 수는 5이다.
(cid:9120) ③
03-1 돈을 지불하는 방
법을 표로 나타내
면 오른쪽과 같으
므로 구하는 방법
의 수는 6이다.
(cid:9120) 6
2
2
1
1
0
5
4
4
3
3
2
2
1
4
3
5
0
2
1
4
3
5
0
5
0
5
5
0
0
5
0
5
5
100원(개)
50원(개)
10원(개)
04 눈의 수가 2 이하인 경우는 1, 2의 2가지
눈의 수가 3의 배수인 경우는 3, 6의 2가지
따라서 구하는 경우의 수는
2+2=4
(cid:9120) ②
04-1 두 눈의 수의 합이 4인 경우는
(1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지
두 눈의 수의 합이 9인 경우는
(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)의 4가지
따라서 구하는 경우의 수는
2 | SOLUTION
05 4의 배수가 나오는 경우는 4, 8, 12, 16의 4가지
7의 배수가 나오는 경우는 7, 14의 2가지
따라서 구하는 경우의 수는
05-1 18의 약수가 나오는 경우는 1, 2, 3, 6, 9, 18의
5의배수가나오는 경우는 5, 10, 15의 3가지
따라서 구하는 경우의 수는
06 버스를 이용하는 경우는 7가지, 지하철을 이용하
는 경우는 2가지이므로 구하는 경우의 수는
06-1 비행기를 이용하는 경우는 4가지, 선박을 이용하
는 경우는 3가지이므로 구하는 경우의 수는
4+2=6
6가지
6+3=9
7+2=9
4+3=7
07 신문을 구독하는 경우는 4가지, 잡지를 구독하는
경우는 6가지이므로 구하는 경우의 수는
4+6=10
(cid:9120) ③
07-1 아파트에 사는 학생이 뽑히는 경우는 26가지, 연
립 주택에 사는 학생이 뽑히는 경우는 8가지이므
‘동시에’,‘그리고’
(cid:8857) 각 경우의 수를 구한
후 그 곱을 이용한다.
08 동전 한 개를 던질 때 나오는 경우의 수는 2, 주
사위 한 개를 던질 때 나오는 경우의 수는 6이므
08-1 3의 배수의 눈이 나오는 경우는 3, 6의 2가지, 짝
수의 눈이 나오는 경우는 2, 4, 6의 3가지이므로
‘또는’,‘이거나’
(cid:8857) 각 경우의 수를 구한
후 그 합을 이용한다.
09 병원에서 약국까지 가는 경우는 4가지, 약국에서
집까지 가는 경우는 3가지이므로 구하는 경우의
로 구하는 경우의 수는
26+8=34
로 구하는 경우의 수는
2_2_2_6=48
구하는 경우의 수는
2_3=6
수는
4_3=12
하는 경우의 수는
3_3=9
09-1 제1전시실에서 복도로 가는 경우는 3가지, 복도
에서 제2전시실로 가는 경우는 3가지이므로 구
10 셔츠를 고르는 경우는 5가지, 바지를 고르는 경
우는 3가지이므로 구하는 경우의 수는
(cid:9120) 6
(cid:9120) 9
(cid:9120) 9
(cid:9120) 7
(cid:9120) 34
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ③
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) 9
(cid:9120) 15
3+4=7
(cid:9120) ③
5_3=15
8-나발전렉처북해설Ⅳ(001~014) 2014.3.28 9:30 PM 페이지3 SinsagoHitec
10-1 초성을 고르는 경우는 3가지, 중성을 고르는 경
우는 4가지, 종성을 고르는 경우는 2가지이므로
구하는 글자의 개수는
3_4_2=24(개)
(cid:9120) 24개
세 개 이상의 사건에서도
경우의 수의 곱이 성립한
다.
Q BOX
0이 아닌 서로 다른 한
자리의 숫자가 각각 하나
씩 적힌 n장의 카드 중에
서 3장을 뽑아 만들 수
있는 세 자리 정수의 개
수는
n_(n-1)_(n-2)(개)
0을 포함한 서로 다른 한
자리의 숫자가 각각 하나
씩 적힌 n장의 카드 중에
서 2장을 뽑아 만들 수
있는 두 자리 정수의 개
수는
(n-1)_(n-1)(개)
필수유형 다지기
▶ 15~16쪽
01 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 5개, 십의 자리에
올 수 있는 숫자는 백의 자리에 온 숫자를 제외한
4개, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리와
십의 자리에 온 숫자를 제외한 3개이므로 구하는
정수의 개수는
5_4_3=60(개)
(cid:9120) ④
01-1 ⁄ 1 (cid:8641)`인 경우：12, 13의 2개
¤ 2 (cid:8641)`인 경우：21, 22, 23의 3개
‹ 3 (cid:8641)`인 경우：31, 32의 2개
이상에서 구하는 정수의 개수는
2+3+2=7(개)
(cid:9120) 7개
02 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 5개,
일의 자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자리에 온
숫자를 제외한 5개이므로 구하는 정수의 개수는
5_5=25(개)
(cid:9120) ④
02-1 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 4개, 십의 자리에
올 수 있는 숫자는 4개, 일의 자리에 올 수 있는
숫자는 3개이므로 구하는 정수의 개수는
4_4_3=48(개)
(cid:9120) ⑤
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
(한 줄로 세울 때 이웃하
여 세우는 경우의 수)
=(이웃하는 것을 하나
로 묶어서 한 줄로 세
우는 경우의 수)_(묶
음 안에서 자리를 바꾸
는 경우의 수)
¤ 3 (cid:8641)`인 경우：30, 31, 32, 34의 4개
‹ 4 (cid:8641)`인 경우：40, 41, 42, 43의 4개
이상에서 구하는 정수의 개수는
2+4+4=10(개)
(cid:9120) ④
홀수이려면 일의 자리의
숫자가 홀수이어야 한다.
03-1 ⁄ (cid:8641) (cid:8641) `1인 경우：5_4=20(개)
¤ (cid:8641) (cid:8641)`5인 경우：5_4=20(개)
부회장은 회장으로 뽑힌
1명을 제외한 4명 중에서
뽑아야 한다.
⁄, ¤에서 구하는 홀수의 개수는
20+20=40(개)
(cid:9120) ③
04 회장을 뽑는 경우의 수는 5, 부회장을 뽑는 경우
의 수는 4이므로 구하는 경우의 수는
5_4=20
(cid:9120) ①
04-1 8명 중에서 자격이 다른 대표 3명을 뽑는 경우의
수와 같으므로
8_7_6=336
(cid:9120) 336
Ⅳ. 확률 | 3
필수유형 다지기
▶ 13쪽
01 7개 중2개를 뽑아 한 줄로 나열하는 경우의 수
와 같으므로
7_6=42
01-1 5개 중 3개를 뽑아 한 줄로 나열하는 경우의 수는
(cid:9120) 60
5_4_3=60
02 5명을 한 줄로 세우는 경우의 수는
5_4_3_2_1=120
(cid:9120) 120
02-1 3명을 한 줄로 세우는 경우의 수와 같으므로
3_2_1=6
03 B를 제외한 4명을 한 줄로 세우는 경우의 수와
같으므로
4_3_2_1=24
03-1 ⁄ 아버지가 맨 앞에, 어머니가 맨 뒤에 서는 경우
의 수 : 3_2_1=6
의 수 : 3_2_1=6
⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는
6+6=12
(cid:9120) 12
04 여학생 3명을 한 묶음으로 생각하여 3명을 한 줄
로 세우는 경우의 수는
3_2_1=6
여학생끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는
3_2_1=6
6_6=36
따라서 구하는 경우의 수는
로 거는 경우의 수는
4_3_2_1=24
청바지끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는
2_1=2
24_2=48
따라서 구하는 경우의 수는
04-1 청바지 2벌을 한 묶음으로 생각하여 4벌을 한 줄
(cid:9120) ③
(cid:9120) 6
(cid:9120) ②
(cid:9120) ③
(cid:9120) ④
¤ 어머니가 맨 앞에, 아버지가 맨 뒤에 서는 경우
03 ⁄ 2 (cid:8641)`인 경우：23, 24의 2개
8-나발전렉처북해설Ⅳ(001~014) 2014.3.28 9:31 PM 페이지4 SinsagoHitec
05 7명 중에서 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의
02 A에 칠할 수 있는 색은 6가지
06-1 9명 중에서 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의
C에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제외한
Q BOX
n명 중에서 자격이 같은
2명의 대표를 뽑는 경우
의 수
(cid:8857)
n_(n-1)
2
A와 C는 이웃하지 않으
므로 A에 칠한 색은 C
에 영향을 주지 않는다.
n번째 수 찾기
(cid:8857) 첫 번째 자리의 숫자
를 기준으로 경우를
나누어 생각한다.
세 점 A, B, C로 만드는
△ABC, △ACB,
△BAC, △BCA,
△CAB, △CBA는 모
두 같은 삼각형이다.
한 지점을 거쳐 최단 거
리로 가는 경우의 수
(cid:8857) 경우의 수의 곱을 이용
한다.
(cid:9120) ③
(cid:9120) 84
(cid:9120) 66회
(cid:9120) ④
(cid:9120) ③
(cid:9120) 10개
▶ 17쪽
A
1
1
2
P
1
(cid:9120) 12
1
2
05-1 9명 중에서 자격이 같은 대표 3명을 뽑는 경우의
06 12명 중에서 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우
LECTURE BOOK
수와 같으므로
7_6
2
=21
수와 같으므로
9_8_7
3_2_1
=84
의 수와 같으므로
12_11
2
=66(회)
수와 같으므로
9_8
2
=36(번)
07 6개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 2개를 택
하는 경우의 수와 같으므로
6_5
2
=15(개)
하는 경우의 수와 같으므로
5_4_3
3_2_1
=10(개)
07-1 5개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 3개를 택
발전유형 익히기
01 오른쪽 그림에서
A지점에서 P지점까지
가는 경우의 수는 2
P지점에서 B지점까지
1
3
1
2
가는 경우의 수는 6
B
6
3
1
따라서 구하는 경우의 수는
2_6=12
01-1 오른쪽 그림에서
집에서 문구점까지
가는 경우의 수는 4
1
문구점에서 학교까
지 가는 경우의 수
는 2
4_2=8
따라서 구하는 경우의 수는
4 | SOLUTION
2
3
4
1
1
1
1
500x+1000y=4000,
즉 x+2y=8을 만족시
키는 (x, y)를 구한다.
(cid:9120) ②
B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한
5가지
한 4가지
C에 칠할 수 있는 색은A, B에 칠한 색을 제외
D에 칠할 수 있는 색은 A, B, C에 칠한 색을
제외한 3가지
따라서 구하는 경우의 수는
6_5_4_3=360
(cid:9120) ④
02-1 A에 칠할 수 있는 색은 5가지
B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한
4가지
4가지
따라서 구하는 경우의 수는
5_4_4=80
(cid:9120) 80
03 ⁄ 1`(cid:8641) (cid:8641)인 경우：4_3=12(개)
¤ 2`(cid:8641) (cid:8641)인 경우：4_3=12(개)
24개
⁄, ¤에서 25번째 수는 백의 자리의 숫자가
3인 수 중에서 가장 작은 수이므로 312이다.
(cid:9120) ③
12개
03-1 ⁄ A(cid:8641) (cid:8641) (cid:8641)인 경우：3_2_1=6(개)
¤ R`(cid:8641) (cid:8641) (cid:8641)인 경우：3_2_1=6(개)
‹ S`(cid:8641) (cid:8641) (cid:8641)인 경우：SART, SATR,
SRAT, SRTA, STAR, STRA
이상에서 STAR는 17번째이다.
(cid:9120) 17번째
중단원 마무리
▶ 18~21쪽
01 ③
05 ④
09 720
13 ⑤
17 5
21 ⑤
25 33번째
02 5
06 4
10 ②
14 ①
18 16
22 ③
04 ③
03 ③
08 ④
07 ④
12 12개
11 ④
15 ①
16 ⑤
19 36개 20 24
24 18
23 4
01 3 이상 8 이하의 수는 3, 4, 5, 6, 7, 8이므로
(cid:9120) ③
구하는 경우의 수는 6이다.
02 구매하는 사탕과 초콜릿의 개수를 각각 x개,
y개라 하면 순서쌍 (x, y)는
(0, 4), (2, 3), (4, 2), (6, 1), (8, 0)
이므로 구하는 경우의 수는 5이다.
(cid:9120) 5
8-나발전렉처북해설Ⅳ(001~014) 2014.3.28 9:31 PM 페이지5 SinsagoHitec
Q BOX
n개의 팀이 리그전을 치
를 때 총 경기 수
n_(n-1)
2
(회)
(cid:8857)
두 사람은 같은 수가 적
힌 공을 꺼낼 수 없으므
로 공에 적힌 수의 합은
13까지만 가능하다.
2개의 윷가락이 배(평평
한 면)가 나오는 경우
3개의 윷가락이 배(평평
한 면)가 나오는 경우
B와 D는 이웃하지 않으
므로 B에 칠한 색은 D에
영향을 주지 않는다.
(cid:9120) ④
(cid:9120) 720
03 3명이 먹는 사과의 개수를 각각 x개, y개, z개라
하면 순서쌍 (x, y, z)는
(2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2)이므로 구하는
경우의 수는 3이다.
(cid:9120) ③
04
위의 그림과 같이 정사각형의 개수는
1+4+1=6(개)
(cid:9120) ③
05 2000원 이하의 음식을 주문하는 경우는 김밥, 순
대의 2가지
3500원 이상의 음식을 주문하는 경우는 볶음밥,
비빔밥, 부대찌개의 3가지
따라서 구하는 경우의 수는
2+3=5
(cid:9120) ④
06 ⁄ 합이 12인 경우：(5, 7), (7, 5)의 2가지
¤ 합이 13인 경우：(6, 7), (7, 6)의 2가지
⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는 2+2=4 (cid:9120) 4
07 짝수의 눈이 나오는 경우는
2, 4, 6, 8의 4가지
4 미만인 수의 눈이 나오는 경우는
1, 2, 3의 3가지
따라서 구하는 경우의 수는
4_3=12
(cid:9120) ④
08 ⁄ 절을 지나는 경우의 수：2_2=4
¤ 약수터를 지나는 경우의 수：2_3=6
‹ 정상으로 바로 가는 경우의 수：1
이상에서 구하는 경우의 수는
4+6+1=11
09 6_5_4_3_2_1=720
10 ⁄ M(cid:8641) (cid:8641) (cid:8641) S인 경우의 수
3_2_1=6
¤ S(cid:8641) (cid:8641) (cid:8641) M인 경우의 수
3_2_1=6
⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는
6+6=12
(cid:9120) ②
11 5명이 한 줄로 서는 경우의 수는
5_4_3_2_1=120
수현이와 동주가 이웃하여 서는 경우의 수는
(4_3_2_1)_2=48
따라서 구하는 경우의 수는
120-48=72
(cid:9120) ④
12 A주머니에서 3, 6, 7이 적힌 구슬을 꺼낼 경우 B
주머니에서 어떤 구슬을 꺼내더라도 30보다 큰 정
수가 되므로 구하는 정수의 개수는
3_4=12(개)
(cid:9120) 12개
13 ① 3_2_1=6
6_5
2
②
=15(회)
③ 2_2_2_2=16
④ 4_4=16(개)
⑤ 5_4=20
우의 수와 같으므로
x=7_6=42
우의 수와 같으므로
y=
7_6_5
3_2_1
=35
∴ x-y=7
14 x는 7명 중에서 자격이 다른 대표 2명을 뽑는 경
y는 7명 중에서 자격이 같은 대표 3명을 뽑는 경
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ①
15 개가 나오는 경우의 수는
걸이 나오는 경우의 수는
따라서 구하는 경우의 수는
4_3
2
=6
4_3_2
3_2_1
=4
6+4=10
(cid:9120) ①
16 A에 칠할 수 있는 색은4가지
B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한
3가지
한 2가지
한 2가지
C에 칠할 수 있는 색은 A, B에 칠한 색을 제외
D에 칠할 수 있는 색은 A, C에 칠한 색을 제외
따라서 구하는 경우의 수는
4_3_2_2=48
17
채점 기준
a=1일 때의 경우의 수 구하기
a=2일 때의 경우의 수 구하기
3a+2b<11인 경우의 수 구하기
⁄ a=1인 경우：b=1, 2, 3의3가지
¤ a=2인 경우：b=1, 2의2가지
⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는
3+2=5
(cid:9120) ⑤
점수
•2점
•2점
•2점
(cid:9120) 5
점수
2
2
2
2
2
1
1
Ⅳ. 확률 | 5
(수현이와 동주가 이웃하
여 서지 않는 경우의 수)
=(5명이 한 줄로 서는
경우의 수)-(수현이
와 동주가 이웃하여 서
는 경우의 수)
18
채점 기준
눈의 수의 차가 2인 경우의 수 구하기
눈의 수의 차가 3인 경우의 수 구하기
눈의 수의 차가 5인 경우의 수 구하기
눈의 수의 차가 소수인 경우의 수 구하기
8-나발전렉처북해설Ⅳ(001~014) 2014.3.28 9:31 PM 페이지6 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
⁄ 눈의 수의 차가 2인 경우
(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (6, 4),
(5, 3), (4, 2), (3, 1)의 8가지
•2점
¤ 눈의 수의 차가 3인 경우
(1, 4), (2, 5), (3, 6), (6, 3), (5, 2),
(4, 1)의 6가지
‹ 눈의 수의 차가 5인 경우
(1, 6), (6, 1)의 2가지
이상에서 구하는 경우의 수는
8+6+2=16
•2점
•1점
•1점
(cid:9120) 16
점수
2
2
2
•2점
•2점
•2점
(cid:9120) 36개
1
2
3
4
B
P
1
1
1
19
채점 기준
일의 자리의 숫자가 0인 정수의 개수 구하기
일의 자리의 숫자가 5인 정수의 개수 구하기
5의 배수의 개수 구하기
⁄ (cid:8641) (cid:8641) 0인 경우：5_4=20(개)
¤ (cid:8641) (cid:8641) 5인 경우：4_4=16(개)
⁄, ¤에서 구하는 정수의 개수는
20+16=36(개)
20 오른쪽 그림에서
A지점에서 P지점까지
가는 경우의 수는 6
P지점에서 B지점까지
가는 경우의 수는 4
1
1
A
3
2
6
3
1
1
따라서 구하는 경우의 수는
6_4=24
(cid:9120) 24
21 두 수의 합이 짝수이려면 두 수가 모두 짝수이거
나 모두 홀수이어야 한다.
⁄ 짝수가 적힌 카드 2장을 뽑는 경우의 수
¤ 홀수가 적힌 카드 2장을 뽑는 경우의 수
4_3
2
=6
5_4
2
=10
⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는
6+10=16
(cid:9120) ⑤
22 6개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 2개를 택
하는 경우의 수는
6_5
2
=15
23
채점 기준
점 P가 점A에 놓이는 경우의 수 구하기
점 A에 놓인 점P 가 점C 에 놓이는 경우의 수 구하기
답 구하기
점 P가 점 A에 놓이는 경우는 3, 6의 2가지
점 A에 놓인 점 P가 점 C에 놓이는 경우는 2,
5의 2가지
2_2=4
따라서 구하는 경우의 수는
24
채점 기준
8개의 과일 중 2개를 꺼내는 경우의 수 구하기
5개의 오렌지 중 2개를 꺼내는 경우의 수 구하기
적어도 하나는 한라봉을 꺼내는 경우의 수 구하기
8개의 과일 중 2개를 꺼내는 경우의 수는
5개의 오렌지 중 2개를 꺼내는 경우의 수는
8_7
2
=28
5_4
2
=10
따라서 구하는 경우의 수는
28-10=18
25
채점 기준
a (cid:8772)(cid:8772)(cid:8772)(cid:8772)인 문자의 개수 구하기
ba(cid:8772)(cid:8772)(cid:8772)인 문자의 개수 구하기
bca(cid:8772)(cid:8772) 인 문자의 개수 구하기
bcdae가 나오는 순서 구하기
⁄ a (cid:8641) (cid:8641) (cid:8641) (cid:8641)인 경우
4_3_2_1=24(개)
¤ ba(cid:8641) (cid:8641) (cid:8641) 인 경우
3_2_1=6(개)
‹ bca(cid:8641) (cid:8641) 인 경우
2_1=2(개)
번째이므로 그 순서는
24+6+2+1=33(번째)
이상에서 bcdae는 bcd로 시작하는 문자 중 첫
•3점
(cid:9120) 33번째
점수
2
2
2
•2점
•2점
•2점
(cid:9120) 4
점수
2
2
2
•2점
•2점
•2점
(cid:9120) 18
점수
1
1
1
3
•1점
•1점
•1점
5의 배수
(cid:8857) 일의 자리의 숫자가
0, 5
(짝수)+(짝수)=(짝수)
(짝수)+(홀수)=(홀수)
(홀수)+(짝수)=(홀수)
(홀수)+(홀수)=(짝수)
짝수는 2, 4, 6, 8의 4개
홀수는 1, 3, 5, 7, 9의
5개
네 점C, D, E, F 중 두 점을 택하는 경우의 수는
4_3
2
=6
따라서 구하는 직선의 개수는
15-6+1=10(개)
(cid:9120) ③
네 점 C, D, E, F 중
두 점을 택하여 만든 직
선은 모두 같다.
6 | SOLUTION
8-나발전렉처북해설Ⅳ(001~014) 2014.3.28 9:31 PM 페이지7 SinsagoHitec
Q BOX
(cid:9120) ③
(뒤, 앞, 앞), (앞, 뒤, 앞)
(앞, 앞, 뒤)의 3가지
(cid:8776), ×의 2가지
n명 중에서 자격이 같은
2명의 대표를 뽑는 경우
의 수
(cid:8857)
n_(n-1)
2
계수의 절댓값이 큰 미지
수를 기준으로 생각하는
것이 더 간편하다.
x, y는 두 주사위의 눈의
수이므로
1…x…6, 1…y…6
2
확률과 그 계산
필수유형 다지기
▶ 23~24쪽
01 모든 경우의 수는 2_2_2=8
뒷면이 1개만 나오는 경우는 3가지
따라서 구하는 확률은
3
8
01-1 ㈀, ㈃：1(cid:100)㈁,㈂：0
(cid:9120) ㈁, ㈂
02 모든 경우의 수는
7_6
2
=21
남학생이 2명 뽑히는 경우의 수는
3_2
2
=3
따라서 구하는 확률은 =
(cid:9120) ③
3
21
1
7
02-1 모든 경우의 수는 5_4_3_2_1=120
승훈, 민호가 이웃하여 서는 경우의 수는
(4_3_2_1)_2=48
따라서 구하는 확률은
48
120
=
2
5
(cid:9120)
2
5
03 모든 경우의 수는 6_6=36
x+2y…5를 만족시키는 순서쌍 (x, y)는
(1, 1), (2, 1), (3, 1), (1, 2)의 4가지
따라서 구하는 확률은 =
(cid:9120) ③
4
36
1
9
03-1 모든 경우의 수는 6_6=36
3a+b=9를 만족시키는 순서쌍 (a, b)는
(1, 6), (2, 3)의 2가지
따라서 구하는 확률은 =
2
36
1
18
(cid:9120)
1
18
= , 7x=24+4x, 3x=24
04
x
6+x
4
7
∴ x=8
(cid:9120) ②
04-1 더 넣어야 하는 흰 구슬의 개수를 x개라 하면 주
머니에 있는 전체 구슬의 개수는 (x+9)개이고
노란 구슬은 4개이므로
4
x+9
1
4
= , x+9=16(cid:100)(cid:100)∴ x=7
(cid:9120) 7개
05 모든 경우의 수는
5_4
2
=10
A가 뽑히는 경우는 4가지이므로 A가 뽑힐 확률
4
은 =
10
2
5
따라서 구하는 확률은 1- =
(cid:9120) ③
2
5
3
5
05-1 소풍을 갈 확률은 비가 오지 않을 확률과 같으므로
5
8
3
1- =
8
5
8
(cid:9120)
06 모든 경우의 수는 2_2_2_2=16
4개 모두 뒷면이 나오는 경우는 1가지이므로 4개
모두 뒷면이 나올 확률은
1
16
따라서 구하는 확률은
1
1- =
16
15
16
두 틀릴 확률은
1
32
따라서 구하는 확률은
1
1- =
32
31
32
06-1 모든 경우의 수는 2_2_2_2_2=32
5문제 모두 틀리는 경우는 1가지이므로 5문제 모
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ⑤
필수유형 다지기
▶ 26~27쪽
‘또는’, ‘~이거나’
(cid:8857) 두 사건의 확률을 더
한다.
01 6의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우는
3
20
6, 12, 18의 3가지이므로 그 확률은
8의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우는
8, 16의 2가지이므로 그 확률은 =
2
20
1
10
따라서 구하는 확률은
3
20
1
+ =
10
1
4
(cid:9120) ④
01-1 네 사람을 한 줄로 세우는 경우의 수는
4_3_2_1=24
윤아가 맨 앞에 서는 경우의 수는 3_2_1=6
이므로 그 확률은 =
윤아가 맨 뒤에 서는 경우의 수는 3_2_1=6
6
24
6
24
1
4
1
4
이므로 그 확률은 =
따라서 구하는 확률은
1
4
1
+ =
4
1
2
(cid:9120) ④
Ⅳ. 확률 | 7
A를 제외한 4명 중 1명
을 뽑는 경우
사건 A가 일어날 확률이 p
(cid:8857) 사건 A가 일어나지
않을 확률은 1-p
8-나발전렉처북해설Ⅳ(001~014) 2014.3.28 9:31 PM 페이지8 SinsagoHitec
02 6의 약수는 1, 2, 3, 6의 4개이므로 한 개의 주사
04-1 1번 문제를 맞히고 2번 문제는 틀릴 확률은
LECTURE BOOK
위에서 6의 약수의 눈이 나올 확률은 =
4
6
2
3
따라서 구하는 확률은
2
3
2
_ =
3
4
9
Q BOX
‘그리고’,‘동시에’
(cid:8857) 두 사건의 확률을 곱
한다.
1
5
_{1- }= _ =
4
5
4
25
1
5
1
5
1번 문제를 틀리고 2번 문제는 맞힐 확률은
(cid:9120) ④
오지선다형이므로 한 문
1
{1- }_ = _ =
5
1
5
4
5
1
5
4
25
제를 맞힐 확률은 ;5!;이다.
따라서 구하는 확률은
5
9
3
10
(cid:9120)
1
6
(cid:9120)
5
6
02-1 빨간 주머니에서 검은 구슬을 꺼낼 확률은
파란 주머니에서 검은 구슬을 꺼낼 확률은
따라서 구하는 확률은
5
9
3
_ =
10
1
6
03 전구에 불이 들어올 확률은
1
6
1
_ =
2
1
3
따라서 구하는 확률은
1
1- =
6
5
6
3
1- =
4
1
4
2
1- =
5
3
5
03-1 A가 문제를 맞히지 못할 확률은
B가 문제를 맞히지 못할 확률은
이므로 A, B 모두 문제를 맞히지 못할 확률은
1
4
3
_ =
5
3
20
따라서 구하는 확률은
3
1- =
20
17
20
04 A주머니에서 흰 공, B주머니에서 검은 공을 꺼
낼 확률은
4
7
3
_ =
5
12
35
낼 확률은
3
7
2
_ =
5
6
35
8 | SOLUTION
A주머니에서 검은 공, B주머니에서 흰 공을 꺼
따라서 구하는 확률은
12
35
6
+ =
35
18
35
(cid:9120) ③
4
25
4
+ =
25
8
25
(cid:9120)
8
25
05 A가 불합격할 확률은 1- = ,
4
5
1
5
B가 합격할 확률은
2
3
따라서 구하는 확률은
1
5
2
_ =
3
2
15
(cid:9120) ②
05-1 화살을 한 번 쏘았을 때, 명중시키지 못할 확률은
전구에 불이 들어오려면
A, B스위치가 모두 닫혀
야 한다.
3
1- =
4
1
4
세 번 모두 명중시키지 못할 확률은
가위, 바위, 보를 한 줄로
나열하는 경우의 수와 같
으므로
3_2_1=6
06 모든 경우의 수는 3_3_3=27
세 사람이 모두 다른 것을 낼 확률은 =
세 사람이 모두 같은 것을 낼 확률은 =
1
4
_ _ =
1
4
1
64
1
4
따라서 구하는 확률은
1
1- =
64
63
64
따라서 비길 확률은
2
9
1
+ =
9
1
3
(cid:9120)
63
64
6
27
3
27
2
9
1
9
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ④
(적어도 하나는 ~일 확률)
=1-(모두 ~가아닐확률)
06-1 모든 경우의 수는 3_3=9
지아가 이기는 경우를 (지아, 현아)로 나타내면
(가위, 보), (바위, 가위), (보, 바위)의 3가지이
므로 그 확률은 =
현아가 이기는 경우를 (지아, 현아)로 나타내면
(가위, 바위), (바위, 보), (보, 가위)의 3가지이
3
9
3
9
1
3
1
3
므로 그 확률은 =
따라서 구하는 확률은
1
3
1
_ =
3
1
9
(cid:9120)
1
9
8-나발전렉처북해설Ⅳ(001~014) 2014.3.28 9:31 PM 페이지9 SinsagoHitec
(짝수)_(짝수)=(짝수)
(짝수)_(홀수)=(짝수)
(홀수)_(짝수)=(짝수)
(홀수)_(홀수)=(홀수)
따라서 구하는 확률은
9
1- =
35
26
35
Q BOX
필수유형 다지기
▶ 29쪽
01 수종이가 흰 바둑돌을 뽑을 확률은 =
희라가 검은 바둑돌을 뽑을 확률은 =
8
14
6
14
4
7
3
7
01-1 첫 번째에 소수가 적힌 카드가 나올 확률은
두 번째에 5의 배수가 적힌 카드가 나올 확률은
따라서 구하는 확률은
4
7
3
_ =
7
12
49
2
12
=
1
6
따라서 구하는 확률은
5
12
1
_ =
6
5
72
02 A가 당첨되지 않을 확률은
7
10
6
9
2
3
B가 당첨되지 않을 확률은 =
이므로 A, B 모두 당첨되지 않을 확률은
7
10
2
_ =
3
7
15
따라서 구하는 확률은
7
1- =
15
8
15
02-1 2개 모두 노란 공이 나올 확률은
2개 모두 파란 공이 나올 확률은
3
7
2
_ =
6
1
7
4
7
3
_ =
6
2
7
1
7
2
+ =
7
3
7
따라서 구하는 확률은
03 화살을 한 번 쏘아 색칠한 부분에 꽂힐 확률은
3
9
=
1
3
따라서 구하는 확률은
1
3
1
_ =
3
1
9
03-1 파란색 영역에 꽂힐 확률은 =
초록색 영역에 꽂힐 확률은
1
3
4
12
5
12
(cid:9120)
12
49
5
12
(짝수)+(짝수)=(짝수)
(짝수)+(홀수)=(홀수)
(홀수)+(짝수)=(홀수)
(홀수)+(홀수)=(짝수)
소수는 2, 3, 5, 7, 11의
5개
5의 배수는 5, 10의 2개
(cid:9120)
5
72
꺼낸 것을 다시 넣지 않
고 연속하여 뽑는 경우
(cid:8857) 뽑을 때마다 전체 개
수가 달라진다.
(cid:9120) ②
유한소수로 나타낼 수 있
는 기약분수
(cid:8857) 분모의 소인수가 2나
5뿐이다.
순환소수로 나타내어지는
기약분수
(cid:8857) 분모가 2나 5 이외의
소인수를 갖는다.
(cid:9120) ③
(도형에서의 확률)
=
(해당하는 부분의 넓이)
(도형의 전체 넓이)
따라서 구하는 확률은
1
3
5
+ =
12
3
4
(cid:9120)
3
4
발전유형 익히기
▶ 30~31쪽
01
(짝수)+(짝수)일 확률은
(홀수)+(홀수)일 확률은
따라서 구하는 확률은
1
2
1
_ =
2
1
4
1
2
1
_ =
2
1
4
1
4
1
+ =
4
1
2
01-1 a, b가 모두 홀수일 확률은
3
7
4
{1- }_{1- }= _ =
7
3
5
2
5
9
35
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
(cid:9120) ④
(cid:9120)
26
35
02
60=2¤ _3_5이므로 어떤 수를 60으로 나눌 때,
나누어지는 수가 3의 배수이면 유한소수가 된다.
1부터 50까지의 자연수 중에서 3의 배수는 16개
이므로 구하는 확률은 =
(cid:9120) ③
16
50
8
25
02-1 70=2_5_7이므로 어떤 수를 70으로 나눌 때,
나누어지는 수가 7의 배수가 아니면 이 수는 순
환소수가 된다.
즉 구하는 확률은 7의 배수가 아닐 확률과 같다.
1부터 40까지의 자연수 중에서 7의 배수는 5개이
므로 그 확률은 =
5
40
1
8
따라서 구하는 확률은
1
1- =
8
7
8
03 비가 오고 이길 확률은
1
_ =
2
4
10
1
5
6
10
3
_ =
4
9
20
1
5
9
+ =
20
13
20
따라서 구하는 확률은
(cid:9120) ⑤
(cid:9120)
13
20
Ⅳ. 확률 | 9
(cid:9120) ①
비가 오지 않고 이길 확률은
8-나발전렉처북해설Ⅳ(001~014) 2014.3.28 9:31 PM 페이지10 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
03-1 재민이가 노란 구슬, 지수도 노란 구슬을 꺼낼 확
Q BOX
지수는 빨간 구슬이 없으
므로 재민이가 빨간 구슬
을 꺼내는 경우는 생각하
지 않는다.
재민이가 파란 구슬, 지수도 파란 구슬을 꺼낼 확
률은
4
9
3
_ =
8
1
6
률은
3
9
5
_ =
8
5
24
1
6
5
+ =
24
3
8
따라서 구하는 확률은
따라서 구하는 확률은
3
10
+
147
1000
=
447
1000
(cid:9120)
447
1000
06 둘째 날 이기고 마지막 날 질 확률은
2
3
_{1- }= _ =
1
3
2
9
2
3
2
3
둘째 날 지고 마지막 날도 질 확률은
1
{1- }_{1- }= _ =
4
3
4
1
3
2
3
1
4
06-1 목요일에 비가 오고 금요일에도 비가 올 확률은
목요일에 비가 오지 않고 금요일에 비가 올 확률은
따라서 구하는 확률은
2
9
1
+ =
4
17
36
1
5
1
_ =
4
1
20
1
{1- }_ = _ =
5
1
5
4
5
1
5
4
25
따라서 구하는 확률은
1
20
4
+ =
25
21
100
(cid:9120) ④
(cid:9120)
21
100
두 눈의 수의 합이 3 또
는 8일 확률이므로 확률
의 덧셈을 이용한다.
1회에 3의 배수가 나오지
않고 2회에 3의 배수가
나올 확률
01 ③
05 ⑤
09 ④
13 ④
17 ;5@;
21 ;4!;
25 ;9!;
중단원 마무리
▶ 32~35쪽
02 ④
03 ③
06 ③, ⑤ 07 ④
11 ①
10 ①
14 ③
15 ;2!0!;
04 ;2!;
08 ⑤
12 ④
16 ⑤
18 ;2!5^;
19 ;3!6#;
20 ;1∞7;
22 ④
23 ;9@;
24 ;3!;
10월은 31일까지 있다.
01
3일, 13일, 23일, 30일, 31일의 5일이므로 구하
꺼낸 것을 다시 넣는 경우
(cid:8857) 뽑을 때마다 전체 개수
는 같다.
는 확률은
5
31
2
02 ① 1 ② ③ ④ 0 ⑤
3
1
3
1
4
(cid:9120) ③
(cid:9120) ④
(cid:9120)
3
8
(cid:9120)
7
36
(cid:9120)
26
81
04 모든 경우의 수는 2_2_2=8
점 P가 1에 있게 되는 경우는 앞면이 2번, 뒷면
이 1번 나오는 경우이므로
(앞, 앞, 뒤), (앞, 뒤, 앞), (뒤, 앞, 앞)의 3가지
따라서 구하는 확률은
3
8
(cid:9120)
3
8
04-1 모든 경우의 수는 6_6=36
두 눈의 수의 합이 3 또는 8일 때 점 P가 점 D에
놓인다.
두 눈의 수의 합이 3인 경우는 (1, 2), (2, 1)의
2가지이므로 그 확률은 =
2
36
1
18
두 눈의 수의 합이 8인 경우는 (2, 6), (3, 5),
(4, 4), (5, 3), (6, 2)의 5가지이므로 그 확
률은
5
36
따라서 구하는 확률은
1
18
5
+ =
36
7
36
05
2회에 B가 이길 확률은
2
3
1
_ =
3
2
9
4회에 B가 이길 확률은
2
3
2
_ _ _ =
3
1
3
2
3
8
81
따라서 구하는 확률은
2
9
8
+ =
81
26
81
05-1 1회에 A가 이길 확률은
3
10
3회에 A가 이길 확률은
7
10
_ _ =
3
10
147
1000
7
10
10 | SOLUTION
8-나발전렉처북해설Ⅳ(001~014) 2014.3.28 9:31 PM 페이지11 SinsagoHitec
03 모든 경우의 수는 2_2_2_2=16
앞면이 2개 나오는 경우는
(앞, 앞, 뒤, 뒤), (앞, 뒤, 앞, 뒤), (앞, 뒤, 뒤, 앞),
(뒤, 뒤, 앞, 앞), (뒤, 앞, 뒤, 앞), (뒤, 앞, 앞, 뒤)
의 6가지
따라서 구하는 확률은 =
(cid:9120) ③
6
16
3
8
04
4개 중에서 3개를 뽑는 경우의 수는
4_3_2
3_2_1
=4
삼각형이 만들어지는 경우는
(2, 8, 9), (6, 8, 9)의 2가지
따라서 구하는 확률은 =
2
4
1
2
(cid:9120)
1
2
Q BOX
기차는 정시보다 일찍 도
착하거나 정시에 도착하
거나 정시보다 늦게 도착
하는 경우가 있다.
n명 중에서 자격이 같은
3명의 대표를 뽑는 경우
의 수
(cid:8857)
n_(n-1)_(n-2)
3_2_1
삼각형이 만들어지려면
가장 긴 변의 길이가 나
머지 두 변의 길이의 합
보다 작아야 한다.
05 모든 경우의 수는 3_3=9
서로 다른 색을 고르는 경우의 수는
3_2=6
따라서 구하는 확률은 =
(cid:9120) ⑤
6
9
2
3
한 번의 경기에서 정은이
가 질 확률은
1-;4!;=;4#;
06 (cid:9120) ③, ⑤
0…p…1, 0…q…1
07 ③ (앞면이 적어도 1개 나올 확률)=1- =
④ 모두 앞면이 나올 확률과 같으므로 이다.
1
8
7
8
1
8
(cid:9120) ④
(cid:9120) ⑤
08 윷가락 4개 모두 등이 나올 확률은
1
16
따라서 구하는 확률은
1
1- =
16
15
16
09 모든 경우의 수는 6_6=36
두눈의수의합이 5인경우는
(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의4가지
이므로그 확률은 =
4
36
1
9
두 눈의 수의 차가 5인 경우는
(1, 6), (6, 1)의 2가지
이므로 그 확률은 =
2
36
1
18
따라서 구하는 확률은
1
9
1
+ =
18
1
6
(등분된 도형에서의 확률)
=
(사건에 해당하는 조각의 개수)
(전체 조각의 개수)
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
10 제품 중 한 개를 고를 때, 불량품일 확률은
4
100
=
1
25
따라서 구하는 확률은
1
25
1
_ =
25
1
625
1-{ + }=
1
2
1
3
1
6
따라서 구하는 확률은
1
6
1
_ =
3
1
18
11 오전 8시보다 일찍 도착할 확률은
3
12 1-{ _ }=
5
3
5
16
25
3
13 { _ }+{ _ }=
4
1
4
3
4
1
4
3
8
14 (짝수)+(홀수)=(홀수)일 확률은
(홀수)+(짝수)=(홀수)일 확률은
4
9
5
_ =
9
20
81
5
9
4
_ =
9
20
81
따라서 구하는 확률은
20
81
20
+ =
81
40
81
15 두 개 모두 당첨 제비가 아닐 확률은
9
20
26
_ =
39
27
40
따라서 구하는 확률은
9
1- =
20
11
20
16 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12의 6개이므로 구하
는 확률은
(12의 약수가 적힌 부분의 넓이)
(원판의 전체 넓이)
6
= =
12
1
2
17
채점 기준
유한소수가 되는 모든 a의 값 구하기
유한소수가 될 확률 구하기
이 유한소수가 되려면 a의 소인수가 2나 5뿐
1
a
이어야 하므로
Ⅳ. 확률 | 11
(cid:9120) ①
(cid:9120) ①
(cid:9120) ④
(cid:9120) ④
(cid:9120) ③
(cid:9120)
11
20
(cid:9120) ⑤
점수
4
2
(cid:9120) ④
a=2, 4, 5, 8, 10, 16
•4점
8-나발전렉처북해설Ⅳ(001~014) 2014.3.28 9:31 PM 페이지12 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
위의 그림과 같이 정삼각형이 만들어지는 경우는
사건 A가 일어날 확률이 p
(cid:8857) 사건 A가 일어나지 않을
확률은 1-p
5가지
따라서 구하는 확률은
5
17
(cid:9120)
5
17
금요일에 비가 오지 않을 확률은
21
따라서 구하는 확률은 =
6
15
2
5
18
채점 기준
사흘 모두 비가 오지 않을 확률 구하기
적어도 하루는 비가 올 확률 구하기
20
1- =
100
4
5
25
1- =
100
3
4
40
1- =
100
3
5
토요일에 비가 오지 않을 확률은
일요일에 비가 오지 않을 확률은
사흘 모두 비가 오지 않을 확률은
4
5
_ _ =
3
5
9
25
3
4
따라서 구하는 확률은
9
1- =
25
16
25
19
채점 기준
(0, 2)가 나올 확률 구하기
(1, 1)이 나올 확률 구하기
(2, 0)이 나올 확률 구하기
두 수의 합이 2가 될 확률 구하기
(0, 2)가 나올 확률은 _ =
(1, 1)이 나올 확률은 _ =
2
6
1
6
3
6
3
6
1
6
2
6
1
36
1
6
1
6
(2, 0)이 나올 확률은 _ =
따라서 구하는 확률은
1
6
+ + =
1
36
1
6
13
36
•2점
(cid:9120)
2
5
점수
3
3
•3점
•3점
(cid:9120)
16
25
점수
1
1
1
3
•1점
•1점
•1점
•3점
(cid:9120)
13
36
20 6개의 점에서 3개의 점을 선택하는 경우의 수는
6_5_4
3_2_1
=20
우의 수는 3가지
20-3=17
이때 한 직선 위에 있는 3개의 점을 선택하는 경
따라서 삼각형이 만들어지는 경우의 수는
한 직선 위에 있는 3개의
점을 선택하는 경우 삼각
형이 만들어지지 않는다.
12 | SOLUTION
b
c
a
d
A
B
C D
E
위의 그림에서
a → b → d → B일 확률은
a → c → d → B일 확률은
1
2
1
1
_ _=
2
2
1
2
1
1
_ _=
2
2
1
8
1
8
따라서 구하는 확률은
1
8
1
+ =
8
1
4
세 사건의 확률에서도 확
률의 곱셈이 성립한다.
22 게임이 계속되었을 때 A가 이길 확률은
3
4
+{ _ }=
1
2
1
2
1
2
(A가 1점을 얻을 확률)
+(B가 1점을 얻고 A가
1점을 얻을 확률)
따라서 A가 가질 금화는
60_ =45(개)
3
4
(cid:9120)
1
4
(cid:9120) ④
점수
2
2
2
•2점
•2점
•2점
(cid:9120)
2
9
=1인 경우는 (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4),
23
채점 기준
해가 1일 확률 구하기
해가 3일 확률 구하기
해가 1 또는 3일 확률 구하기
ax-b=0에서 x=
b
a
b
a
b
a
(5, 5), (6, 6)의 6가지
이므로 그 확률은 =
6
36
1
6
이므로 그 확률은 =
2
36
1
18
따라서 구하는 확률은
1
6
1
+ =
18
2
9
=3인 경우는 (1, 3), (2, 6)의2가지
8-나발전렉처북해설Ⅳ(001~014) 2014.3.28 9:31 PM 페이지13 SinsagoHitec
Q BOX
24
채점 기준
두 개 모두 흰 공일 확률 구하기
두 개 모두 빨간 공일 확률 구하기
두 개 모두 검은 공일 확률 구하기
모두 같은 색의 공을 꺼낼 확률 구하기
두 개 모두 흰 공일 확률은
6
12
5
_ =
11
5
22
4
12
3
_ =
11
1
11
두 개 모두 빨간 공일 확률은
두 개 모두 검은 공일 확률은
2
12
1
_ =
11
1
66
따라서 구하는 확률은
5
22
+ + =
1
11
1
66
1
3
25
채점 기준
모든 경우의 수 구하기
사각형 OPQR의 넓이가 6인 경우의 수 구하기
사각형 OPQR의 넓이가 6일 확률 구하기
모든 경우의 수는 6_6=36
직사각형 OPQR의 가로의 길이가 a, 세로의 길
이가 b이므로 ab=6이고 이를 만족시키는 순서
쌍 (a, b)는 (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)의
따라서 구하는 확률은
4가지
4
36
=
1
9
f(a)=6, f(b)=1인 경
우도 ab의 값은 같으므로
따로 생각하지 않는다.
(직사각형의 넓이)
=(가로의 길이)
_(세로의 길이)
점수
1
1
1
3
•1점
•1점
•1점
•3점
(cid:9120)
1
3
점수
1
3
2
•1점
•3점
•2점
(cid:9120)
1
9
¤ x=4, y=1인 경우
(1, 1, 1, 1, 2), (1, 1, 1, 2, 1),
(1, 1, 2, 1, 1), (1, 2, 1, 1, 1),
(2, 1, 1, 1, 1)의 5가지
‹ x=2, y=2인 경우
(1, 1, 2, 2), (1, 2, 2, 1),
(2, 2, 1, 1), (2, 1, 1, 2),
(2, 1, 2, 1), (1, 2, 1, 2)의 6가지
› x=0, y=3인 경우
(2, 2, 2)의 1가지
이상에서 구하는 경우의 수는
1+5+6+1=13
(cid:9120) 13
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
02 두 수a, b의 곱ab를 f(a)와 f(b)의 값에 따라
나누어 보면
⁄ f(a)=1, f(b)=6인 경우
11_16, 11_61, 11_23, 11_32의 4개
¤ f(a)=2, f(b)=5인 경우
12_15, 12_51, 21_15, 21_51의 4개
‹ f(a)=3, f(b)=4인 경우
13_14, 13_41, 13_22, 31_14,
31_41, 31_22의 6개
이상에서 ab의 값의 개수는
4+4+6=14(개)
(cid:9120) 14개
03 각 부분에 칠할 수 있는 색의
수는
A에는 3가지,
A
B
D
E
C
F
B에는 A를 제외한 2가지,
C에는 A, B를 제외한 1가지,
G H I
D에는 C를 제외한 2가지,
E에는 C, D를 제외한 1가지,
F에는 D, E를 제외한 1가지,
G에는 F를 제외한 2가지,
H에는 F, G를 제외한 1가지,
I에는 F, H를 제외한 1가지
따라서 구하는 경우의 수는
3_2_1_2_1_1_2_1_1=24
(cid:9120) 24
Ⅳ. 확률
최고수준 정복하기
▶ 36~37쪽
01 13
05 ;4#;
02 14개
03 24
04 ;1¡8;
06 ;1∞2;
07 ;3∞2£4;
08 ;2!5@;
01 한 계단씩 올라간 횟수를 x회, 두 계단씩 올라간
횟수를 y회라 하면 x+2y=6
⁄ x=6, y=0인 경우
(1, 1, 1, 1, 1, 1)의 1가지
두 직선
ax+by=c,
a'x+b'y=c'이 평행
(cid:8857) = +
a
a'
b
b'
c
c'
04 모든 경우의 수는 6_6=36
두 직선이 평행하려면 =
a
2
3
b-1
+
2
2
즉 a(b-1)=6이고 a+2, b+4이다.
Ⅳ. 확률 | 13
8-나발전렉처북해설Ⅳ(001~014) 2014.3.28 9:31 PM 페이지14 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
이를 만족시키는 순서쌍 (a, b)는 (3, 3), (6, 2)
의 2가지
따라서 구하는 확률은 =
2
36
1
18
(cid:9120)
1
18
07 1개의 박테리아를 ◯로 나타낸다고 할 때, 1개
의 박테리아가 20분 후에 3개의 박테리아가 되
는 경우와 그 확률은 다음과 같다.
시작 10분 후 20분 후
⁄ ◯ ◯
◯ : _ =
1
12
1
18
2
3
1
4
1
4
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯ : _ _ =
1
4
2
3
2
3
1
4
1
24
1
24
◯ : _ _ =
¤ ◯
‹ ◯
◯
◯
◯
◯
◯
› ◯ ◯
◯ :
1
12
2
_ _ _ =
3
2
3
2
3
2
81
◯
◯
이상에서 구하는 확률은
1
18
1
+ + + =
24
1
24
2
81
53
324
(cid:9120)
53
324
08 오른쪽 그림과 같이 점 O를
중심으로 하고 반지름의 길
이가 4인 원과 8인 원을 각각
그릴 때, 42인 경우
b
a
(2, 6)의 6가지
3
¤ < 인 경우
5
b
a
즉 y= x+1의 그래프가 삼각형 ABC와 만나지
않기 위해서는 >2이거나 < 이어야 한다.
b
a
b
a
3
5
(cid:100) (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 5),
⁄ (2, 1), (3, 1), (4, 1), (4, 2), (5, 1),
(5, 2), (6, 1), (6, 2), (6, 3)의 9가지
⁄, ¤에서 구하는 확률은
6
36
9
+ =
36
5
12
(cid:9120)
5
12
14 | SOLUTION
8-나발전렉처북해설Ⅴ(015~030) 2014.3.28 9:35 PM 페이지15 SinsagoHitec
Q BOX
AD”∥BC”이므로 동위각
의 크기는 같다.
DE”∥BC”이므로 엇각의
크기는 같다.
이등변삼각형의 두 밑각
의 크기는 같다.
삼각형의 한 외각의 크기
는 그와 이웃하지 않는
두 내각의 크기의 합과
같다.
AD”⊥BC”
BD”=CD”=;2!; BC”
Ⅴ 도형의 성질
1
삼각형의 성질
필수유형 다지기
▶ 41~43쪽
01 ∠A=∠B=6∠x+5°이므로
2_(6∠x+5°)+5∠x=180°
17∠x=170°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=10°
(cid:9120) ①
01-1 ∠B=∠ACB=180°-108°=72°이므로
∠A=180°-2_72°=36°
(cid:9120) ②
02 AD”는 이등변삼각형 ABC의 꼭지각의 이등분선
이므로
x=90, y= _14=7
1
2
∴ x-y=83
(cid:9120) ②
02-1 AD”는 ∠A의 이등분선이므로
x=;2!;_(180-2_55)=35
꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선은 BC”를 이등분
(cid:9120) x=35, y=6
하므로
y=2_3=6
03 △BCD에서
∠C=∠BDC=180°-110°=70°이므로
∠CBD=180°-2_70°=40°
∴ ∠ABD=∠ABC-∠CBD
=70°-40°=30°
(cid:9120) ①
03-1 △ABC에서
∠ACB=;2!;_(180°-40°)=70°
△DCE에서 ∠DCE=∠DEC=68°
∴ ∠ACD=180°-(70°+68°)=42°
04 △EBD와 △ECD에서
BD”=CD”, ∠BDE=∠CDE, ED”는 공통이므로
△EBD™△ECD (SAS 합동)
∴ BE”=CE”=5(cm)
(cid:9120) 5 cm
04-1 AD”는 ∠A의 이등분선이므로 BC”를 수직이등
분한다.
∴ BD”=CD”=6(cm)
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
이때 △ABD=24 cm¤ 이므로
;2!;_6_AD”=24`(cid:100)(cid:100)∴ AD”=8(cm)
(cid:9120) 8 cm
05 ∠EAD=∠B=;2!;_(180°-84°)=48° (cid:9120) ③
05-1 ∠CDE=∠DCB=28°이므로
△DCE에서
∠DEC=;2!;_(180°-28°)=76°
∴ ∠DEA=180°-76°=104°
따라서 △ADE에서
∠A=;2!;_(180°-104°)=38°
(cid:9120) 38°
06 ∠ABO=∠AOB=25°이므로
∠ACB=∠CAB=25°+25°=50°
∠CDB=∠CBD=25°+50°=75°이므로
∠x=180°-75°=105°
(cid:9120) ②
06-1 △ABD에서
∠ABD=∠x이므로
∠BDC=2∠x(cid:100)(cid:100)
∴ ∠ABC=∠C=2∠x
△ABC에서
∠A+∠ABC+∠C
=∠x+2∠x+2∠x=180°
A
x
D
2x
2x
C
x
x
B
07 △ABC에서
∠ACB=∠ABC=;2!;_(180°-36°)=72°
∴ ∠DCE=∠ACD=;2!;_(180°-72°)=54°
△BCD에서
∠x+∠CBD=54°이므로
∠x=∠CBD=;2!;_54°=27°
(cid:9120) 27°
∠ABC=∠ACB=;2!;_(180°-48°)=66°
이므로
∠DBC=;2!;_66°=33°,
∠DCE=;2!;_(180°-66°)=57°
따라서 △DBC에서
∠x+33°=57°이므로
∠x=57°-33°=24°
(cid:9120) 24°
Ⅴ. 도형의 성질 | 15
(cid:9120) 42°
07-1 △ABC에서
이등변삼각형의 꼭지각의
이등분선
(cid:8857) 밑변을 수직이등분한
다.
삼각형의 세 내각의 크기
의 합은 180°이다.
5∠x=180°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=36°
(cid:9120) ④
8-나발전렉처북해설Ⅴ(015~030) 2014.3.28 9:35 PM 페이지16 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
즉 △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이므로
둘레의 길이는 5+8+5=18(cm) (cid:9120) 18 cm
03-1 △ABD™△ACE (SAS 합동)이므로
∠x=∠ABD=60°
08 (cid:9120) ㈎ ∠ADC(cid:100)㈏ AD”(cid:100)㈐ ASA
08-1 △ABC에서
∠BAC=180°-(30°+90°)=60°
△ADC에서
∠DCA=∠DAC=60°
즉 △ADC는 정삼각형이므로
AD”=AC”=5(cm)
한편 ∠DCB=90°-60°=30°이므로
△DBC는 DB”=DC”인 이등변삼각형이다.
∴ DB”=DC”=5(cm)
∴ AB”=AD”+DB”=10(cm)
(cid:9120) ④
09 ∠BCA=∠DAC=65° (엇각)
∠BAC=∠DAC=65° (접은 각)
∴ ∠x=180°-2_65°=50°
(cid:9120) ②
09-1 ∠DBC=∠ACB (엇각)
∠DBC=∠ABC (접은 각)
∴ ∠ABC=∠ACB
발전유형 익히기
▶ 44쪽
01 ∠DBE=∠x이므로
∠C=∠ABC=∠x+33°
△ABC에서
∠x+2_(∠x+33°)=180°
3∠x=114°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=38°
(cid:9120) ④
01-1 ∠B=∠x로 놓으면
∠A=∠DCE
=∠x-15°
A
x-15æ
E
△ABC에서
(∠x-15°)+2∠x
D
x
B
x-15æ
15æ
C
=180°
3∠x=195°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=65°
(cid:9120) 65°
02 △ABC가 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C
△DBE™△ECF (SAS 합동)이므로
∠DEB=∠EFC
∴ ∠DEF=180°-(∠DEB+∠FEC)
=180°-(∠EFC+∠FEC)
∴ ∠DEF=∠C=;2!;_(180°-58°)=61°
(cid:9120) 61°
16 | SOLUTION
02-1 △ABC가 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C
△FBD™△DCE (SAS 합동)이므로
BD”=CE”, BF”=CD”,
∠B=∠C
∠FDB=∠DEC
∴ ∠FDE=180°-(∠FDB+∠EDC)
=180°-(∠DEC+∠EDC)
∴ ∠DEF=∠C=;2!;_(180°-44°)=68°
또 △DEF는 DE”=DF”인 이등변삼각형이므로
∠DFE=∠DEF
∠DFE=;2!;_(180°-68°)=56°
03 △ACE™△BCD (SAS 합동)이므로
∠EAC=∠DBC=34°
△ACE에서
∠x+∠EAC=∠ACB이므로
∠x=60°-34°=26°
폭이 일정한 종이 접기
(cid:8857) 접은 각과 엇각의 성
질을 이용하여 크기가
같은 각을 찾는다.
AC”=BC”, CE”=CD”,
∠ACE
=∠ACD+∠DCE
=∠ACD+∠BCA
=∠BCD
AB”=AC”, AD”=AE”,
∠BAD
=∠BAC-∠DAC
=∠DAE-∠DAC
=∠CAE
필수유형 다지기
▶ 46~47쪽
직각삼각형에서 한 예각의
크기가 정해지면 다른 한
예각의 크기도 정해진다.
01 ∠A=90°-53°=37°
따라서 ②의 삼각형과 합동이다. (`RHA 합동)
01-1 ① SAS 합동(cid:100) ② RHS 합동
③ RHA 합동(cid:100)④ ASA 합동
∠D=∠E=90°,
AB”=CA”,
∠ABD=90°-∠BAD
=∠CAE
02 △ADB™△CEA (`RHA 합동)이므로
DA”=EC”=5(cm),
AE”=BD”=3(cm)
∴ DE”=DA”+AE”=5+3=8(cm)
BD”=CE”, BE”=CF”,
∠B=∠C
02-1 △MDB와 △MEC에서
∠MDB=∠MEC=90°, BM”=CM”,
∠B=∠C이므로
△MDB™△MEC (`RHA 합동)
∴ ∠BMD=∠CME, BD”=CE”, MD”=ME”
(cid:9120) ②
(cid:9120) 26°
(cid:9120) ④
(cid:9120) ②
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ③
(cid:9120) ①
8-나발전렉처북해설Ⅴ(015~030) 2014.3.28 9:35 PM 페이지17 SinsagoHitec
03 △EBC와 △DCB에서
∠CEB=∠BDC=90°, BC”는 공통,
BE”=CD”이므로
△EBC™△DCB (`RHS 합동)
∴ ∠EBC=∠DCB=;2!;_(180°-50°)=65°
따라서 △DBC에서
∠DBC=90°-65°=25°
(cid:9120) ②
03-1 △ADE와 △ACE에서
∠ADE=∠ACE=90°, AE”는 공통,
AD”=AC”이므로
△ADE™△ACE (`RHS 합동)
따라서 DE”=CE”=3(cm)이므로
△ABE=;2!;_10_3=15(cm¤ )
(cid:9120) 15 cm¤
04 (cid:9120) ㈎ ∠PBO(cid:100)㈏ ∠POB(cid:100)㈐OP”(cid:100)
㈑ RHA(cid:100)㈒ PB”(cid:100)
04-1 (cid:9120) ㈎ PD”
”(cid:100)㈏ RHS(cid:100)㈐ ∠POC
05 OP”가 ∠AOB의 이등분선이므로
∠QOP=;2!;_50°=25°
△QOP에서 ∠QPO=90°-25°=65°
(cid:9120) 65°
05-1 BD”는 ∠B의 이등분선이므로
DE”=DA”=4(cm)
△CDE에서 ∠C=45°이므로
∠CDE=90°-45°=45°
∴ CE”=DE”=4(cm)
∴ △CDE=;2!;_4_4=8(cm¤ )
(cid:9120) 8 cm¤
필수유형 다지기
▶ 49~50쪽
01 (cid:9120) ㈎ SAS(cid:100)㈏ OB”(cid:100)㈐ OC”(cid:100)
㈑ 이등변삼각형(cid:100)㈒ CF”
02 오른쪽 그림과 같이 OA”를
A
그으면
∠BAC=32°+20°
=52°
32æ
20æ
32æ
O
20æ
C
(cid:9120) ④
B
Q BOX
점 O가 △ABC의 외심
(cid:8857) OA”=OB”=OC”
(cid:8857) △OAB, △OBC,
△OCA는이등변삼각형
02-1 ∠AOB=360°_;9@;=80°
△OAB는 이등변삼각형이므로
∠ABO=;2!;_(180°-80°)=50°
(cid:9120) 50°
02-2 AD”=DB”, BE”=EC”, CF”=FA”이므로
AB”+BC”+CA”=2_(11+9+10)
=60(cm)
(cid:9120) 60 cm
03 ∠x+25°+30°=90°
∴ ∠x=35°
A
25æ
30æ
(cid:9120) ④
25æ
B
O
x
x
30æ
C
03-1 오른쪽 그림과 같이
OA”를 그으면
∠BAC=30°+25°
=55°
또 ∠BOC=2∠BAC
A
30æ
25æ
O
30æ
B
25æ
C
이므로 ∠BOC=2_55°=110°
(cid:9120) ③
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
직각삼각형의 빗변의 중점
(cid:8857) 외심
04 점 M은 직각삼각형 ABC의 외심이므로
BM”=AM”=CM”=;2!;_12=6(cm) (cid:9120) 6 cm
직각이등변삼각형에서 직
각이 아닌 두 내각의 크
기는 모두 45°이므로
∠C=∠B=45°
04-1 ∠AMC=180°-120°
∠AMC=60°
이고 MA”=MC”이므로
∠MAC=∠MCA
B
18`cm
M 60æ
120æ
60æ
60æ
A
C
∠MAC=;2!;_(180°-60°)=60°
따라서 △AMC가 정삼각형이므로
AC”=AM”=;2!;_18=9(cm)
(cid:9120) 9 cm
05-1 ∠CMB=180°_;9%;=100°
MB”=MC”이므로
∠C=;2!;_(180°-100°)=40°
(cid:9120) 40°
Ⅴ. 도형의 성질 | 17
01-1 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다.
(cid:9120) ③
점 M은 △ABC의 외심
이므로 MA”=MB”=MC”
05 MA”=MB”이므로 ∠MAB=∠B=34°
∴ ∠x=2_34°=68°
(cid:9120) ⑤
8-나발전렉처북해설Ⅴ(015~030) 2014.3.28 9:35 PM 페이지18 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
필수유형 다지기
▶ 52~53쪽
01 (cid:9120) ㈎ IF”(cid:100)㈏ IE”(cid:100)㈐ ∠ICF
01-1 ①, ④ 외심
(cid:9120) ②, ③
02 ∠IBC=∠IBA=27°, ∠ICB=∠ICA=30°
이므로
∠ABC=2_27°=54°, ∠ACB=2_30°=60°
∴ ∠A=180°-(54°+60°)=66°
(cid:9120) 66°
삼각형의 내심은 세 내각
의 이등분선의 교점이다.
06 ∠DIB=∠CBI=∠DBI
A
I
이므로 DI”=DB”
12 cm
14 cm
같은 방법으로 EIÚ=EC”
D
따라서 △ADE의 둘레의
B
E
C
길이는
AD”+DE”+AE”=AD”+D’IÚ+EIÚ+AE”
=AD”+DB”+EC”+AE”
=AB”+AC”=12+14
=26(cm)
(cid:9120) ②
06-1 ∠DIB=∠CBI=∠DBI
이므로 DI”=DB”=8(cm)
A
같은 방법으로
EC”=EI”=15-8
=7(cm)
D
15`cm
I
8`cm
B
E
C
(cid:9120) ④
발전유형 익히기
▶ 54~55쪽
∠ADB=∠CEA=90°,
AB”=CA”,
∠ABD=90°-∠BAD
=∠CAE
△ABC의 내접원의 반지
름의 길이가 r일 때
△ABC
=;2!;r(AB”+BC”+CA”)
01 △ABD™△CAE (RHA 합동)이므로
AD”=CE”=6(cm), AE”=BD”=4(cm)
∴ DE”=6-4=2(cm)
(cid:9120) 2 cm
01-1 △ABD™△CAE (RHA 합동`)이므로
AD”=CE”=10
∴ BD”=AE”=10+8=18
∴ △ABD=;2!;_18_10=90
(cid:9120) 90
∠BAC+∠ABC
+∠BCA=180°
△ABC의 내접원과 세
변의 접점을 D, E, F라
하면
(cid:8857) AD”=AF”, BD”=BE”,
CE”=CF”
02 △OAC에서
∠OAC=∠OCA=∠x로 놓으면
∠ABO=∠BAO=∠x+25°
∠CBO=∠BCO=∠x+20°
△ABC에서
25°+(∠x+25°+∠x+20°)+20°=180°
∴ ∠x=45°
따라서 △OAC에서
∠AOC=180°-2_45°=90°
(cid:9120) ④
02-1 ∠OBC=∠OCB=50°이므로
∠BOC=180°-2_50°=80°
∠OAB=∠OBA=20°+50°=70°이므로
∠AOB=180°-2_70°=40°
∴ ∠AOC=∠BOC-∠AOB
=80°-40°=40°
따라서 ∠OCA=;2!;_(180°-40°)=70°
이므로 ∠ACB=70°-50°=20°
(cid:9120) 20°
02-1 ∠IBC=∠IBA=38°
∴ ∠x=∠ICB=180°-(120°+38°)=22°
03 ∠x+17°+35°=90°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=38°
(cid:9120) 22°
(cid:9120) 38°
03-1 ∠x=90°+;2!;∠BAC=90°+18°=108°
∠y=90°-(18°+32°)=40°
∴ ∠x-∠y=68°
(cid:9120) 68°
04 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
;2!;_r_(6+5+5)=12
∴ r=;2#;
(cid:9120) ③
04-1 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
;2!;_r_(12+13+5)=;2!;_5_12
∴ r=2
∴ △IBC=;2!;_13_2=13(cm¤ ) (cid:9120) 13 cm¤
05 AD”=AF”=4(cm)이므로
BE”=BD”=9-4=5(cm)
따라서 CF”=CE”=12-5=7(cm)이므로
AC”=4+7=11(cm)
(cid:9120) 11 cm
05-1 BE”=BD”=x cm라 하면
AF”=AD”=8-x(cm)
CF”=CE”=13-x(cm)
AC”=AF”+CF”에서 (8-x)+(13-x)=11
∴ x=5
(cid:9120) 5 cm
18 | SOLUTION
8-나발전렉처북해설Ⅴ(015~030) 2014.3.28 9:35 PM 페이지19 SinsagoHitec
Q BOX
외접원의 넓이는
p_5¤ =25p(cm¤ )
내접원의 넓이는
p_2¤ =4p(cm¤ )
이등변삼각형의 외심과
내심
(cid:8857) 꼭지각의 이등분선 위
에 있다.
점 I가 내심이므로 BI”,
CI”는 각각 ∠B, ∠C의
이등분선이다.
점 I가 내심이므로
∠BAI=∠CAI
직각삼각형의 빗변은 외
접원의 지름이므로 외접
원의 반지름의 길이는
;2!;AC”이다.
이등변삼각형의 꼭지각의
이등분선은 밑변을 수직
이등분한다.
03 점 O가 △ABC의 외심이므로 2∠A=92°(cid:100)(cid:100)
∴ ∠A=46°
또 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠BIC=90°+;2!;_46°=113°
(cid:9120) ④
03-1 ∠BAC=180°-2_70°
∠OBA=40°
이므로
A
O
I
x
∠BOC=2_40°=80°
∴ ∠OBC
B
70æ
C
∴ =;2!;_(180°-80°)=50°
또 ∠IBC=;2!;_70°=35°이므로
∠x=∠OBC-∠IBC=50°-35°=15°
03-2 ∠OBA=∠OAB=25°
이므로
∠BOA=180°-2_25°
=130°
25æ
B
O
25æ
D E
∴ ∠C=;2!;_130°=65°
∠DAE=40°-25°=15°이므로
△ADC에서
∠ADE=180°-(15°+40°+65°)=60°
(cid:9120) 15°
A
I
40æ
C
(cid:9120) 60°
04 (외접원의 반지름의 길이)=;2!;_15=;;¡2∞;;(cm)
이므로 R=:¡2∞:
;2!;_r_(9+12+15)=;2!;_12_9이므로 r=3
∴ 2R+r=15+3=18
(cid:9120) 18
04-1 (외접원의 반지름의 길이)=;2!;_13=:¡2£:(cm)
이므로 외접원의 둘레의 길이는
2p_:¡2£:=13p(cm)
내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
;2!;_r_(5+13+12)=;2!;_12_5
∴ r=2
따라서 내접원의 둘레의 길이는
2p_2=4p(cm)
∴ 13p+4p=17p(cm)
(cid:9120) 17p cm
04-2 (외접원의 반지름의 길이)=;2!;_10=5(cm)
내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
;2!;_r_(6+8+10)=;2!;_6_8 ∴ r=2
따라서 색칠한 부분의 넓이는
25p-4p=21p(cm¤ )
(cid:9120) 21p cm¤
05 ∠DBI=∠CBI=∠a, ∠BCI=∠ECI=∠b
로 놓으면
△DBC에서 2∠a+∠b+74°=180° yy ㉠
△EBC에서 ∠a+2∠b+94°=180° yy ㉡
㉠, ㉡`을 연립하여 풀면 ∠a=42°, ∠b=22°
∴ ∠A=180°-2(∠a+∠b)
=180°-2_(42°+22°)=52°
(cid:9120) 52°
05-1 ∠DBI=∠CBI=∠a, ∠BCI=∠ECI=∠b
로 놓으면
△ADC에서 ∠BDC=∠b+68°
△ABE에서 ∠BEC=∠a+68°
한편 ∠a+∠b=;2!;_(180°-68°)=56°이므로
∠BDC+∠BEC=(∠b+68°)+(∠a+68°)
=68°+68°+56°=192°
(cid:9120) ②
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
중단원 마무리
▶ 56~59쪽
03 27°
04 ④
07 ⑤
11 ⑤
15 ③
02 32°
01 ③`
06 x=25, y=8
05 ④
09 110°
08 ⑤
13 ②
12 ③
16 ⑤
17 72°
19 12 cm 20 60°
23 ⑴ ∠a+∠b ⑵ 이등변삼각형 24 10 cm¤
25 62°
10 ③
14 ②
18 ∠x=32°, ∠y=16°
21 ③
22 ②
01 ∠A=4∠x라 하면 ∠C=∠B=7∠x
4∠x+7∠x+7∠x=180°이므로 ∠x=10°
∴ ∠C=7∠x=70°
(cid:9120) ③
02 △PBD와 △PCD에서
BD”=CD”, ∠PDB=∠PDC, PD”는 공통이므로
△PBD™△PCD (SAS 합동)
∴ ∠CPD=∠BPD=58°
△PDC에서 ∠x=180°-(90°+58°)=32°
(cid:9120) 32°
Ⅴ. 도형의 성질 | 19
8-나발전렉처북해설Ⅴ(015~030) 2014.3.28 9:35 PM 페이지20 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
(cid:9120) 27°
D 44æ
44æ
A
66æ
22æ
22æ
E
66æ
C
∠CAD=∠CDA=69°
∠OBA=∠OAB
삼각형의 한 외각의 크기
는 그와 이웃하지 않는
두 내각의 크기의 합과
같다.
∠OBA=;2!;_30°=15°
또 ∠BOC=2∠BAC
=2_30°=60°
03 △BAE와 △CAD에서
AB”=AC”, BE”=CD”, ∠B=∠C이므로
△BAE™△CAD (SAS 합동)
따라서 △ADE는 AD”=AE”인 이등변삼각형
이므로
∠ADE=;2!;_(180°-42°)=69°
따라서 △ADC에서
∠CAE=∠CAD-42°=69°-42°=27°
04 △DBE에서
∠EDA=2_22°=44°
∠EAD=∠EDA
B
=44°
이므로 △ABE에서
∠AEC=22°+44°=66°
△AEC는 이등변삼각형이므로
∠EAC=180°-2_66°=48°
(cid:9120) ④
05 ∠ABC=∠C=68°이므로
∠A=∠DBE=68°-∠x
따라서 (68°-∠x)+2_68°=180°이므로
∠x=24°
(cid:9120) ④
06 ∠B=∠C이므로 △ABC는 AB”=AC”인 이등변
삼각형이다.
따라서 AC”=AB”=8(cm)이므로 y=8
∠ADC=90°이므로
x=90-65=25
(cid:9120) x=25, y=8
07 ∠ABC=∠BCD=70° (엇각)
∠ACB=∠BCD=70° (접은 각)
이므로 ∠BAC=180°-2_70°=40°
∴ ∠x=∠BAC=40° (맞꼭지각)
(cid:9120) ⑤
08 △ADB™△BEC (`RHA 합동)이므로
BD”=CE”=7(cm), BE”=AD”=3(cm)
즉 DE”=7+3=10(cm)이므로
사각형 ADEC의 넓이는
;2!;_(3+7)_10=50(cm¤ )
∴ △ABC=50-2_{;2!;_3_7}=29(cm¤ )
09 △BDM과 △CEM에서
∠BDM=∠CEM=90°, BM”=CM”,
BD”=CE”이므로
△BDM™△CEM (RHS 합동`)
20 | SOLUTION
삼각형의 외심에서 각 꼭짓
점에 이르는 거리는 같다.
(cid:8857) △ OAB, △ OBC,
△OCA는 이등변삼
각형
△ABC에서 외심 O가
BC”의 중점이므로
△ABC는 BC”가 빗변이
고 ∠A=90°인 직각삼각
형이다.
두 내각의 크기가 같은 삼
각형은 이등변삼각형이다.
∠ADB=∠BEC=90°,
AB”=BC”,
∠BAD=90°-∠ABD
=∠CBE
(cid:9120) ⑤
정n각형의 한 내각의 크기
180°_(n-2)
n
(cid:8857)
따라서 ∠C=∠B=35°이므로
∠A=180°-2_35°=110°
(cid:9120) 110°
10 ∠BOC=180°-2_40°=100°
∴ ∠A=;2!;∠BOC=50°
(cid:9120) ③
11 △OAD™△OAE (RHS 합동)
이므로
A
O
30æ
E
D
B
C
이므로 ∠OBC=;2!;_(180°-60°)=60°
∴ ∠ABC=∠OBA+∠OBC=15°+60°=75°
(cid:9120) ⑤
12 △ABC는 ∠A=90°인 직각삼각형이므로
∠ABO=∠OAB=90°-28°=62°
(cid:9120) ③
13 ② 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리
(cid:9120) ②
는 같다.
14 점 P는 △ABC의 내심이므로
∠BPC=90°+;2!;∠A=90°+;2!;_70°=125°
(cid:9120) ②
15 AD”=AF”=x라 하면
BE”=BD”=9-x, CE”=CF”=12-x
BC”=BE”+CE”에서
(9-x)+(12-x)=15(cid:100)(cid:100)∴ x=3
(cid:9120) ③
16 ∠BOC=2∠A, ∠BOC=90°+;2!;∠A이므로
2∠A=90°+;2!;∠A(cid:100)(cid:100)∴ ∠A=60°
∴ ∠x=2_60°=120°
17
채점 기준
정오각형의 한 내각의 크기 구하기
∠CBE의 크기 구하기
∠BAE=
180°_(5-2)
5
=108°
•2점
∠ABE=∠AEB=;2!;_(180°-108°)=36°
이므로
∠CBE=108°-36°=72°
(cid:9120) ⑤
점수
2
4
•4점
(cid:9120) 72°
8-나발전렉처북해설Ⅴ(015~030) 2014.3.28 9:35 PM 페이지21 SinsagoHitec
Q BOX
22 ∠IDE=∠ABC=60° (동위각),
∠IED=∠ACB=60° (동위각)이므로
△IDE는 정삼각형이다.
또 ∠IBD=∠ABI=∠BID이므로
△IBD는 이등변삼각형이다.
같은 방법으로 △IEC도 이등변삼각형이다.
∴ BD”=ID”=DE”=EI”=EC”
② AI”=BI”0)
•2점
사변형이다.
한 쌍의 대변이 평행하고
그 길이가 같으므로 평행
사변형이다.
Q BOX
두 쌍의 대변의 길이가
각각 같은 사각형은 평행
사변형이다.
정사각형의 두 대각선에
의해 생기는 4개의 삼각
형은 모두 합동인 직각이
등변삼각형이다.
AB”=BC”, AE”=BG”,
∠BAE=∠CBG
24
채점 기준
(cid:8772)ABFC의 넓이 구하기
△OAB의 넓이 구하기
(cid:8772)OBFC의 넓이 구하기
점수
2
2
2
AB”∥CF”, AB”=CF”이므로 (cid:8772)ABFC는 평행
∴ (cid:8772)ABFC=2△ABC=32(cm¤ )
•2점
(cid:8772)ABCD가 평행사변형이므로
△OAB=;2!;△ABC=8(cm¤ )
∴ (cid:8772)OBFC=(cid:8772)ABFC-△OAB
•2점
=32-8=24(cm¤ )
•2점
25
채점 기준
DF”=EF”임을 보이기
CE”=FE”, BC”=BF”임을 보이기
(cid:8641)FBCE의 둘레의 길이 구하기
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
(cid:9120) 24 cm¤
점수
2
2
2
∠EDF=∠DEF=45°이므로 △DFE는
DF”=EF”인 직각이등변삼각형이다.
•2점
△BCE와 △BFE에서
∠BCE=∠BFE=90°, BE”는 공통,
∠CBE=∠FBE
이므로 △BCE™△BFE (RHA 합동)
∴ CE”=FE”=FD”, BC”=BF”
•2점
따라서 (cid:8772)FBCE의 둘레의 길이는
FB”+BC”+CE”+EF”=2FB”+2FD”
=2BD”
=2_8=16(cm) •2점
(cid:9120) 16 cm
Ⅴ. 도형의 성질
최고수준 정복하기
▶ 86~87쪽
01 60°
02 19°
04 ㈁, ㈂, ㈄
07 6 cm
08 7：4
03 y=-;2#;x+10
05 90°
06 48 cm¤
(cid:8772)EFGH는 정사각형이므로
(cid:8772)ABCD=2(cid:8772)EFGH
=2_50
=100(cm¤ ) •2점
즉 AB”
¤ =100이므로
A
E
B
H
F
D
G
C
따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는
4AB”=4_10=40(cm)
•2점
(cid:9120) 40 cm
20 △ABC와 △DBE에서
AB”=DB”, BC”=BE”,
∠ABC=60°-∠EBF=∠DBE
이므로 △ABC™△DBE (SAS 합동)
같은 방법으로
△ABC™△FEC (SAS 합동)
∴ DE”=AC”=AF”, EF”=BA”=DA”
따라서 (cid:8772)AFED는 평행사변형이다.
(cid:9120) ③
21 오른쪽 그림과 같이
점 B를 지나고 AC”와
평행한 직선을 그어 논
의 한 변과 만나는 점
A
B
D
C
을 D라 하면 AC”∥BD”이므로 △ABC=△ADC
따라서 AD”가 새로운 경계선이다. (cid:9120) 풀이 참조
22 AE”：OE”=2：1이므로
△ABE=;3@;△ABO=;3@;_;4!;(cid:8772)ABCD
△ABE=;6!;(cid:8772)ABCD
△ABE™△BCG™△CDF™△DAH
(SAS 합동)이므로 색칠한 부분의 넓이는
4_;6!;(cid:8772)ABCD=4_;6!;_15_15=150(cm¤ )
(cid:9120) ⑤
23
채점 기준
CF”의 길이 구하기
CE”의 길이 구하기
EF”의 길이 구하기
점수
2
2
2
•2점
•2점
∠F=∠ABF=∠FBC이므로
CF”=BC”=AD”=21(cm)
∠E=∠BAE=∠EAD=∠EHC이므로
CE”=CH”=;3!;_21=7(cm)
∴ EF”=FC”+CE”=21+7=28(cm)
•2점
AB”=AD”, AE”=AC”,
∠BAE=∠BAC+60°
=∠DAC
01 △ABE™△ADC (SAS 합동)이므로
∠ABE=∠ADC
또 ∠BGF=∠DGA (맞꼭지각)이므로
△BFG에서
∠BFG=180°-(∠GBF+∠BGF)
=180°-(∠ADG+∠DGA)
(cid:9120) 28 cm
=∠DAG=60°
(cid:9120) 60°
Ⅴ. 도형의 성질 | 29
8-나발전렉처북해설Ⅴ(015~030) 2014.3.28 9:36 PM 페이지30 SinsagoHitec
두 점 A(0, 10), C(4, 4)를 지나는 직선의 방
(cid:8772)DEFG=2_;4!;_96=48(cm¤ )
LECTURE BOOK
Q BOX
02 점 G는 직각삼
각형 DEF의
D
x
x
F
2x
G
A
33æ
B
2x
x
E
C
외심이므로
DG”=EG”=FG”
이때 EF”=2 BD”이므로
DG”=BD”
한편 BC”∥AF”이므로 ∠EBC=∠x로 놓으면
∠FDG=∠DFE=∠EBC=∠x이고
∠DBG=∠DGB=2∠x
∠ABC=90°이므로
33°+3∠x=90°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=19°
(cid:9120) 19°
03 OE”=OF”=x라
10-x
y
10
A
10-x
D
하면
DG”=BO”=DO”,
GF”=DE”=CO”=OA”
E
x
O
C
x
F
24-x
B
24
x
24-x
삼각형의 한 외각의 크기
는 그와 이웃하지 않는
두 내각의 크기의 합과
같다.
마름모의 두 대각선에 의
하여 나누어지는 4개의
삼각형은 모두 합동이다.
기울기가 a이고 y절편이
b인 직선의 방정식
(cid:8857) y=ax+b
AD”=AE”=10-x,
BD”=BF”=24-x
이때 AB”=26이므로
(10-x)+(24-x)=26, 2x=8
∴ x=4(cid:100)(cid:100)∴ C(4, 4)
정식을 y=ax+10으로 놓으면
4a+10=4(cid:100)(cid:100)∴ a=-;2#;
따라서 구하는 직선의 방정식은
y=-;2#;x+10
(cid:9120) y=-;2#;x+10
04 △FBE™△DBE (ASA 합동)이므로
△HCG™△DCG (ASA 합동)이므로
FE”=DE”
HG”=DG”
(높이가 같은 두 삼각형
의 넓이의 비)
=(밑변의 길이의 비)
즉 점 I는 FD”, HD”의 수직이등분선의 교점이므
로 △FDH의 외심이고 ∠B, ∠C의 이등분선의
교점이므로 △ABC의 내심이다.
한편 ∠BDE+∠IDE=90°이고
∠BFE=∠BDE, ∠IFE=∠IDE이므로
∠BFI=90°(cid:100)(cid:100)∴ ∠AFI=90°
같은 방법으로 ∠AHI=90°
따라서 △AFI™△AHI (RHA 합동)이므로
AF”=AH”
즉 △AFH는 이등변삼각형이므로
∠AHF=∠AFH=;2!;_(180°-70°)=55°
(cid:9120) ㈁, ㈂, ㈄
30 | SOLUTION
05 ∠DAF=∠a, ∠ECF=∠b라 하면
∠DAB=2∠a, ∠DCB=180°-2∠b
따라서 2∠a=180°-2∠b이므로
∠a+∠b=90°
AB”∥DC”이므로
∠EFC=∠FAB=∠a (동위각)
∴ ∠FEC=180°-(∠a+∠b)
=180°-90°=90°
(cid:9120) 90°
06 오른쪽 그림에서
∠DOA=∠DGF=90°이고
F
A
E
DG”=DO”, GF”=OA”이므
G
로 (cid:8772)DEFG를 점 D를 중
B
O
D
심으로 시곗바늘이 도는 반
대 방향으로 GD”와 OD”가
일치하도록 회전시키면
(cid:8772)DEFG=2△AOD
(cid:8772)DEFG=2_;4!;(cid:8772)ABCD
C
(cid:9120) 48 cm¤
07 ∠ECA=∠BCA (접은 각),
∠EAC=∠BCA (엇각)이므로
△EAC는 AE”=CE”인 이등변삼각형이다.
이때 CE”=AE”=x cm라 하면
DE”=(10-x)cm이므로
△ACE：△CDE=x：(10-x)
∴ △CDE=
_△ACD
∴ △CDE=
_;2!;(cid:8772)ABCD
10-x
10
10-x
10
∴ △CDE=;5!;(cid:8772)ABCD
즉
10-x
10
x=6
_;2!;=;5!;이므로
∠IAF=∠IAH
08 △ABE=△CDE이고
EF”∥BC”이므로 △EBF=△ECF
이때 DF”：FC”=3：4이므로
△ABE：△EBF=△CDE：△ECF
△ABE：△EBF=7：4
(cid:9120) 6 cm
(cid:9120) 7：4
8-나발전렉처북해설Ⅵ(031~047) 2014.3.28 9:42 PM 페이지31 SinsagoHitec
Q BOX
항상 닮음인 도형
(cid:8857) 모든 원, 모든 직각이
등변삼각형, 변의 개수
가 같은 모든 정다각
형, 중심각의 크기가
같은 모든 부채꼴, 모
든 구, 꼭짓점의 개수
가 같은 모든 정다면체
닮음비를 나타낼 때는 가
장 간단한 자연수의 비로
나타낸다.
Ⅵ 도형의 닮음
1
도형의 닮음
필수유형 다지기
▶ 91~92쪽
01 △ABCª△DEF이므로 “AB의 대응변은 “DE,
∠F의 대응각은 ∠C이다.
(cid:9120) ③
01-1 (cid:9120) 모서리 FH, 면 EGH
02 (cid:9120) ㈀, ㈃, ㈅
02-1 (cid:9120) ①, ③
03 닮음비는 BC”：FG”=16：12=4：3이므로
10：x=4：3(cid:100)(cid:100)∴ x=;;¡2∞;;
∠E=∠A=90°, ∠G=∠C=65°이므로
y=360-(90+80+65)=125
∴ 2x+y=140
03-1 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
r：15=3：5(cid:100)(cid:100)∴ r=9
따라서 원 O의 둘레의 길이는
2p_9=18p(cm)
모든 원은 닮은 도형이고
닮음비는 반지름의 길이
의 비와 같다.
(cid:9120) 18p cm
04 닮음비는 AB”：IJ’=6：8=3：4이므로
x：12=3：4(cid:100)(cid:100)∴ x=9
12：y=3：4(cid:100)(cid:100)∴ y=16
∴ x+y=25
04-1 ③ 닮음비는 AC”：GI”=6：9=2：3
④ AB”：12=2：3에서 AB”=8(cm)
⑤ 12：GJ”=2：3에서 GJ”=18(cm)
(cid:9120) ④
(cid:9120) ③
(cid:9120) ⑤
따라서 원뿔 B의 밑면의 둘레의 길이는
2p_;5(; =;;¡5•;;p(cm)
(cid:9120) ;;¡5•;;p cm
다른 풀이
원뿔 B의 밑면의 둘레의 길이를 l cm라 하면
(2p_3)：l=5：3(cid:100)(cid:100)∴ l=;;¡5•;;p(cm)
05-1 닮음비가 12：8=3：2이므로 원기둥 A의 밑면
의 반지름의 길이를 r cm라 하면
r：6=3：2(cid:100)(cid:100)∴ r=9
따라서 원기둥 A의 밑넓이는
p_9¤ =81p(cm¤ )
(cid:9120) 81p cm¤
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
필수유형 다지기
▶ 94~96쪽
01 ∠A=180°-(57°+45°)=78°
②, ⑤ AA 닮음
(cid:9120) ②, ⑤
01-1 ⑴ △ABC와 △BDC에서
AB”：BD”=BC”：DC”=CA”：CB”=2：3
이므로 △ABCª△BDC (SSS 닮음)
⑵ △ABC와 △DAC에서
∠C는 공통, BC”：AC”=AC”：DC”=4：3
이므로 △ABCª△DAC (SAS 닮음)
(cid:9120) ⑴ △ABCª△BDC (SSS 닮음)
⑵ △ABCª△DAC (SAS 닮음)
02 △ABC와 △AED에서
∠A는 공통, AB”：AE”=AC”：AD”=2：1
이므로 △ABCª△AED (SAS 닮음)
따라서 BC”：ED”=2：1이므로
BC”：5=2：1(cid:100)(cid:100)∴ BC”=10(cm)
(cid:9120) ③
(cid:9120) ①
Ⅵ. 도형의 닮음 | 31
05 두 원뿔의 모선의 길이의 비가 5：3이므로 닮음
비는 5：3이다.
원뿔 B의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면
3：r=5：3(cid:100)(cid:100)∴ r=;5(;
02-1 △ABC와 △DBE에서
∠B는 공통, AB”：DB”=BC”：BE”=3：2
이므로 △ABCª△DBE (SAS 닮음)
따라서 AC”：DE”=3：2이므로
=(밑면의 둘레의 길이
AC”：12=3：2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=18(cm)
닮은 두 원뿔 또는 원기
둥에서
(닮음비)
=(높이의 비)
=(밑면의 반지름의 길
이의 비)
의 비)
8-나발전렉처북해설Ⅵ(031~047) 2014.3.28 9:42 PM 페이지32 SinsagoHitec
(cid:9120) 12 cm
평행사변형의 두 쌍의 대
각의 크기는 각각 같다.
06 △ABE와 △ADF에서
LECTURE BOOK
Q BOX
03 △ABC와 △DBA에서
∠B는 공통, ∠BCA=∠BAD
이므로 △ABCª△DBA (AA 닮음)
따라서 AB”：DB”=BC”：BA”이므로
8：4=BC”：8(cid:100)(cid:100)∴ BC”=16(cm)
∴ CD”=16-4=12(cm)
03-1 △ABC와 △DEA에서
∠BAC=∠EDA(엇각), ∠BCA=∠EAD(엇각)
이므로 △ABCª△DEA(AA 닮음)
따라서 AB”：DE”=BC”：EA”이므로
8：DE”=12：9(cid:100)(cid:100)∴ DE”=6(cm)
AC”：DA”=BC”：EA”이므로
(DA”+2)：DA”=12：9(cid:100)(cid:100)∴ DA”=6(cm)
따라서 △ADE의 둘레의 길이는
9+6+6=21(cm)
평행사변형의 두 쌍의 대
변의 길이는 각각 같다.
AB”∥ED”, AE”∥BC”이
므로 엇각의 크기가 같다.
(cid:9120) ④
한 예각을 공유한 두 직
각삼각형 (cid:8857) AA 닮음
BE”=8-6=2(cm)
(cid:9120) ③
BE”=
BC”=
_18
;3!;
;3!;
=6(cm)
AD”∥BC”이므로 엇각의
크기가 같다.
(cid:9120) ③
AB”_AC”=BC”_AH”
04 △ABC와 △DEC에서
∠A=∠EDC=90°, ∠C는 공통
이므로 △ABCª△DEC (AA 닮음)
따라서 AC”：DC”=BC”：EC”이므로
AC”：6=12：8(cid:100)(cid:100)∴ AC”=9(cm)
∴ AE”=AC”-EC”=9-8=1(cm)
04-1 △ABE와 △CBD에서
∠AEB=∠CDB=90°, ∠B는 공통
이므로 △ABEª△CBD (AA 닮음)
따라서 AB”：CB”=BE”：BD”이므로
12：18=6：BD”(cid:100)(cid:100)∴ BD”=9(cm)
05 AB”
¤ =BH”_BC”이므로
4¤ =3_x(cid:100)(cid:100)∴ x=:¡3§:
¤ =CH”_CB”이므로
AC”
y¤ =:¡3§:_{:¡3§:+3}=:¢;9);º:(cid:100)(cid:100)
∴ y=:™3º:(∵ y>0)
∴ x+y=12
다른 풀이
5_y={3+:¡3§:}_4이므로 y=:™3º:
32 | SOLUTION
05-1 BH”
¤ =AH”_CH”이므로 BH”
¤ =4_9=36
∴ BH”=6(cm) (∵ BH”>0)
∴ △BCH=;2!;_9_6=27(cm¤ )
(cid:9120) ②
(cid:9120) 4：3
(cid:9120) 6 cm
∠B=∠D, ∠AEB=∠AFD=90°
이므로 △ABEª△ADF (AA 닮음)
∴ BC”：CD”=AD”：AB”=AF”：AE”
=24：18=4：3
06-1 △AFD와 △CDE에서
∠A=∠C, ∠AFD=∠CDE (엇각)
이므로 △AFDª△CDE (AA 닮음)
이때 AB”=CD”=x cm라 하면
AF”：CD”=AD”：CE”이므로
(x+2)：x=8：6(cid:100)(cid:100)∴ x=6
다른 풀이
△EBFª△ECD (`AA 닮음)이므로
BE”：CE”=BF”：CD”
즉 2：6=2：CD”(cid:100)(cid:100)∴ CD”=6(cm)
∴ AB”=CD”=6(cm)
∠ACB는 공통, ∠B=∠FOC=90°
이므로 △ABCª△FOC (AA 닮음)
따라서 BC”：OC”=AB”：FO”이므로
16：10=12：FO”(cid:100)(cid:100)∴ FO”=;;¡2∞;; (cm)
한편 △AOE와 △COF에서
∠EAO=∠FCO (엇각), AO”=CO”,
∠EOA=∠FOC=90°
이므로 △AOE™△COF (ASA 합동)
∴ EF”=EO”+FO”=2FO”=2_;;¡2∞;;=15(cm)
(cid:9120) ④
07-1 △ADF와 △CEF에서
∠DAF=∠ECF(엇각), ∠ADF=∠CEF(엇각)
이므로 △ADFª△CEF (AA 닮음)
따라서 AF”：CF”=AD”：CE”이므로
AF”：6=2：1(cid:100)(cid:100)∴ AF”
”=12(cm)
∴ AC”=AF”+FC”=12+6=18(cm)
(cid:9120) ③
(cid:9120) 1 cm
07 △ABC와 △FOC에서
8-나발전렉처북해설Ⅵ(031~047) 2014.3.28 9:42 PM 페이지33 SinsagoHitec
08 △ABE와 △DEF에서
∠A=∠D=90°,
A
8`cm
E
D
01-1 △ABC와 △DEF에서
∠DEF=∠EBC+∠BCE
=∠EBC+∠ABD=∠ABC
∠EFD=∠FCA+∠CAF
=∠FCA+∠BCE=∠BCA
이므로 △ABCª△DEF (AA 닮음)
따라서 AB”：DE”=AC”：DF”이므로
21：DE”=20：10(cid:100)(cid:100)∴ DE”=;;™2¡;;(cm)
또 BC”：EF”=AC”：DF”이므로
15：EF”=20：10(cid:100)(cid:100)∴ EF”=;;¡2∞;;(cm)
따라서 △DEF의 둘레의 길이는
;;™2¡;;+;;¡2∞;;+10=28(cm)
(cid:9120) 28 cm
다른 풀이
△ABCª△DEF (`AA 닮음)이므로
AB”：DE”=BC”：EF”=AC”：DF”=2：1
따라서 △DEF의 둘레의 길이는
;2!;_(21+15+20)=28(cm)
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
Q BOX
EF”=CF”=CD”-DF”
=AB”-DF”
=16-6=10(cm)
DQ”=DC”-QC”
=BC”-QC”
=16-8=8
BC”=AB”=15(cm)
AD”는 공통,
∠ABD=∠AED=90°,
∠BAD=∠EAD
6`cm
F
C
(cid:9120) ③
D
Q
8
C
∠ABE
16`cm
=90°-∠AEB
=∠DEF
B
이므로 △ABEª△DEF (AA 닮음)
따라서 AB” : DE”=BE” : EF”이므로
16 ：8=BE”：10(cid:100)(cid:100)∴ BE”=20(cm)
08-1 △CQF와 △DPQ에서
∠C=∠D=90°,
∠QFC=90°-∠CQF
=∠PQD
이므로
P
A
E
B
10
F
6
△CQFª△DPQ (AA 닮음)
따라서 CF”：DQ”=QC”：PD”이므로
6：8=8：PD”(cid:100)(cid:100)∴ PD”=;;£3™;;
(cid:9120) ;;£3™;;
08-2 AB”=AD”+DB”=7+8=15(cm)이므로
A'C”=15-5=10(cm)
△BA'D와 △CEA'에서
∠B=∠C=60°,
∠BDA'=120°-∠BA'D
=∠CA'E
이므로
A
D
E
8`cm 7`cm
B
5`cm
A'
C
△BA'Dª△CEA' (AA 닮음)
따라서 BD”：CA'”=A'D”：EA'”이므로
8：10=7：A'E”(cid:100)(cid:100)∴ A'E”=:£4∞:(cm)
∴ AE”=A'E”=:£4∞:(cm)
(cid:9120) :£4∞: cm
02 △ABD™△AED (RHA 합동)이므로
BD”=ED”, AE”=AB”=12(cm)
△ABC와 △DEC에서
∠ABC=∠DEC=90°, ∠C는 공통
이므로 △ABCª△DEC (AA 닮음)
따라서 AB”：DE”=AC”：DC”이므로
12：DE”=20：10(cid:100)(cid:100)∴ DE”=6(cm)
AC”=AE”+CE”
=12+8=20(cm)
∴ BD”=DE”=6(cm)
(cid:9120) 6 cm
AB”∥CD”이므로 엇각의
크기가 같다.
02-1 ∠BDC=∠ABD=∠DBC이므로
△BCD는 CB”=CD”인 이등변삼각형이다.
발전유형 익히기
▶ 97쪽
01 △ABC와 △DEF에서
∠DEF=∠BAE+∠ABE
=∠CBF+∠ABE=∠ABC
∠EFD=∠CBF+∠BCF
=∠ACD+∠BCF=∠BCA
이므로 △ABCª△DEF (AA 닮음)
따라서 AB”：DE”=BC”：EF”이므로
삼각형의 한 외각의 크기
는 그와 이웃하지 않는
두 내각의 크기의 합과
같다.
직각삼각형의 빗변의 중
점은 외심과 일치하고 외
심에서 세 꼭짓점에 이르
는 거리는 같다.
6：2=9：EF”(cid:100)(cid:100)∴ EF”=3
(cid:9120) 3
AM”=BM”=CM”=;2!; BC”=5(cm)
∴ CD”=CB”=6(cm)
△ABE와 △CDE에서
∠ABE=∠CDE (엇각),
∠AEB=∠CED (맞꼭지각)
이므로 △ABEª△CDE (AA 닮음)
따라서 AB”：CD”=AE”：CE”이므로
10：6=AE”：(10-AE”)(cid:100)(cid:100)∴ AE”=;;™4∞;;(cm)
(cid:9120) ④
03 AD”
¤ =BD”_CD”이므로 AD”
¤ =8_2=16
∴ AD”=4(cm)(∵ AD”>0)
이때 점 M은 직각삼각형 ABC의 외심이므로
Ⅵ. 도형의 닮음 | 33
8-나발전렉처북해설Ⅵ(031~047) 2014.3.28 9:42 PM 페이지34 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
BC”=BD”+DC”
=18+8
=26(cm)
△AMD에서 AD”
¤ =AE”_AM”이므로
16=AE”_5(cid:100)(cid:100)∴ AE”=;;¡5§;; (cm) (cid:9120) ;;¡5§;; cm
03-1 AD”
¤ =BD”_CD”이므로
12¤ =BD”_8(cid:100)(cid:100)∴ BD”=18(cm)
이때 점 O는 직각삼각형 ABC의 외심이므로
AO”=BO”=CO”=;2!; BC”=13(cm)
∴ DO”=13-8=5(cm)
따라서 △AOD=;2!;_13_DE”=;2!;_5_12
이므로 DE”=;1^3); (cm)
(cid:9120) ;1^3); cm
중단원 마무리
▶ 98~101쪽
01 ③`
05 ④
09 ③
13 ②
17 22
02 ②
06 ④
10 ④
14 ④
18 18 cm 19 1：2
03 ①, ⑤ 04 ①
08 ③
07 ⑤
12 ③
11 ②
16 9 cm
15 60 cm¤
20 ③
21 ;;™2¶;; cm 22 ②
23 4 cm
24 4 cm
25 ;1ª0; cm
01 (cid:9120) ③
02 △ABCª△DFE (AA 닮음)이므로 닮음비는
(cid:9120) ②
a：d=b：f=c：e
03 ① 닮은 두 평면도형의 대응변의 길이의 비는 일
정하다.
⑤ 두 도형이 합동인 경우를 제외하고는 닮은 두
입체도형에서 대응하는 면의 넓이는 같지 않다.
04 OA”=4, AB”=2이고 닮음비가 2：3이므로
4：OA'”=2：3(cid:100)(cid:100)∴ OA'”=6
2：A'B'”=2：3(cid:100)(cid:100)∴ A'B'”=3
∴ B'(6, 3)
(cid:9120) ①
05 두 정사각뿔의 닮음비가
AC”：FH”=12：8= 3：2
이므로 CD”：HI”=3：2
34 | SOLUTION
06 ① △ABCª△AED (AA 닮음)
② △ABCª△DBE (SAS 닮음)
③ △ABCª△DAC (SSS 닮음)
⑤ △ABCª△EDA (AA 닮음)
07 ① △ABCª△DEF (SAS 닮음)
② △ABCª△DEF (AA 닮음)
③ △DEF에서 ∠D=50°, ∠E=105°이므로
∠F=180°-(50°+105°)=25°
∴ △ABCª△DEF (AA 닮음)
④ △ABCª△DEF (SSS 닮음)
(cid:9120) ④
(cid:9120) ⑤
08 △APB와 △CPD에서
AP”：CP”=BP”：DP”=2：3,
∠APB=∠CPD (맞꼭지각)
이므로 △APBª△CPD (SAS 닮음)
따라서 AB”：CD”=2：3이므로
4：CD”=2：3(cid:100)(cid:100)∴ CD”=6(cm)
(cid:9120) ③
09 △ABC와 △EDC에서
∠BAC=∠DEC, ∠C는 공통
이므로 △ABCª△EDC (AA 닮음)
따라서 AC”：EC”=BC”：DC”이므로
6：3=BC”：4(cid:100)(cid:100)∴ BC”=8(cm)
∴ BE”=BC”-EC”=8-3=5(cm)
(cid:9120) ③
∠A는 공통, ∠ADF=∠ABC=60°
이므로 △ADFª△ABC (AA 닮음)
따라서 AD”：AB”=DF”：BC”이므로
(8-BD”)：8=DF”：8
이때 BD”=DF”이므로
(8-BD”)：8=BD”：8(cid:100)(cid:100)∴ BD”=4(cm)
따라서 (cid:8772)BEFD의 둘레의 길이는
4_4=16(cm)
(cid:9120) ④
11 △BFD와 △ACD에서
∠BDF=∠ADC=90°,
∠DBF=90°-∠BFD=90°-∠AFE
=∠DAC
이므로 △BFDª△ACD (AA 닮음)
따라서 FD”：CD”=BD”：AD”이므로
4：6=6：AD”(cid:100)(cid:100)∴ AD”=9(cm)
∠A=∠D=80°,
∠B=∠F=40°
10 △ADF와 △ABC에서
(cid:9120) ①, ⑤
마름모의 네 변의 길이는
같다.
즉 9：HI”=3：2(cid:100)(cid:100)∴ HI”=6(cm)
따라서 (cid:8772)GHIJ의 둘레의 길이는 4_6=24(cm)
이등변삼각형의 꼭지각의
꼭짓점에서 밑변에 내린
수선은 밑변을 이등분한다.
(cid:9120) ④
∴ AF”=AD”-FD”=9-4=5(cm)
(cid:9120) ②
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Q BOX
18
채점 기준
△ABCª△DAC임을 보이기
AB”의 길이 구하기
△ABC와 △DAC에서
AC”：DC”=BC”：AC”=2：1, ∠C는 공통이므로
△ABCª△DAC (SAS 닮음)
•3점
따라서 AB”：DA”
”=2：1이므로
AB”：9=2：1(cid:100)(cid:100)∴ AB”=18(cm)
•3점
(cid:9120) 18 cm
점수
3
3
점수
3
2
1
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
19
채점 기준
△ABEª△ECF임을 보이기
CF”：EF” 구하기
CF”：DF” 구하기
△ABE와 △ECF에서
∠B=∠C=90°,
14 10¤ =8_BC”에서 BC”=:™2∞: (cm)
∴ CD”=;;™2∞;;-8=;2(; (cm)
AB”
¤=BD”_BC”
DA”
¤ =8_;2(;=36에서 AD”=6(cm)(∵AD”>0)
∴ △ABC=;2!;_:™2∞:_6=:¶2∞: (cm¤ ) (cid:9120) ④
AD”
¤=BD”_CD”
이므로 △ABEª△ECF (AA 닮음)
•3점
∠BAE=90°-∠AEB=∠CEF
AE”=AD”=BC”=2BE”
이때 BE”：AE”=1：2이므로
△ECF에서 CF”：EF”=1：2
∴ CF”：DF”=CF”：EF”=1：2
•2점
•1점
(cid:9120) 1：2
정삼각형은 세 변의 길이
가 같고 세 내각의 크기
가 같다.
20 △ADB와 △AEC에서
AB”=AC”, AD”=AE”, ∠DAB=∠EAC=60°
이므로 △ADB≡△AEC (SAS 합동)
12 △ADB와 △BEC에서
∠D=∠E=90°,
∠DAB=90°-∠DBA=∠EBC
이므로 △ADBª△BEC (AA 닮음)
따라서 AD”：BE”=DB”：EC”이므로
10：6=DB”：3
∴ DB”=5(cm)
13 오른쪽 그림에서
△ABCª△DBA
ª△EDCª△EAD
B
ª△DAC
(AA 닮음)
E
A
D
(cid:9120) ③
C
(cid:9120) ②
15 DA”
¤ =AH”_AC”이므로
17¤ =15_(15+CH”), 15CH”=64
∴ CH”=;1^5$;(cm)
D’H”
¤ =AH”_CH”이므로
D’H”
¤ =15_;1^5$;=64
∴ DH”=8(cm)(∵ DH”>0)
∴ △AHD=;2!;_15_8=60(cm¤ ) (cid:9120) 60 cm¤
16 △AFD와 △EFB에서
∠DAF=∠BEF, ∠ADF=∠EBF
이므로 △AFDª△EFB (AA 닮음)
따라서 AF”：EF”=AD”：EB”이므로
17
채점 기준
15：EF”=5：3
∴ EF”=9(cm)
x의 값 구하기
y의 값 구하기
x+y의 값 구하기
사면체 A－BCD와 E－FGH의 닮음비가
6：9=2：3이므로
x：15=2：3에서 x=10
8：y=2：3에서 y=12
∴ x+y=10+12=22
(cid:9120) 9 cm
점수
2
2
2
•2점
•2점
•2점
(cid:9120) 22
AD”∥BC”이므로 엇각의
크기가 같다.
BE”=AB”-AE”
=8-5=3
”=BC”이고
AD”
BE”：EC”=3：2이므로
AD”：EB”=BC”：EB”
=(3+2)：3
=5：3
∴ ∠ABD=∠ACE
또 ∠BEF=∠CEA (맞꼭지각)
이므로 △BEFª△CEA (AA 닮음)
따라서 BE” ：CE”=EF”：EA”이므로
3：CE”=EF”：5(cid:100)(cid:100)∴ CE”_EF”=15 (cid:9120) ③
21 △OABª△OBC (AA 닮음)이므로
OA”：OB”=OB”：OC”
즉 18： OB”=OB”：8, OB”
¤ =144
∴ OB”=12(cm) (∵ OB”>0)
△OBCª△OCD (AA 닮음)이므로
OB”：OC”=OC”：OD”
즉 12：8=8：OD”(cid:100)(cid:100)∴ OD”=:¡3§: (cm)
△OABª△ODE (AA 닮음)이므로
OA”：OD”=AB”：DE”
즉 18：:¡3§:=AB”：4(cid:100)(cid:100)∴ AB”=:™2¶: (cm)
(cid:9120) :™2¶: cm
Ⅵ. 도형의 닮음 | 35
8-나발전렉처북해설Ⅵ(031~047) 2014.3.28 9:42 PM 페이지36 SinsagoHitec
22 BD”=x cm라 하면
2
닮음의 활용
LECTURE BOOK
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AD”=(4-x)cm, EC”=(6-x)cm
이때 △ADFª△FEC (AA 닮음)이므로
AD” : FE”=DF” : EC”
즉 (4-x) : x=x : (6-x)
x¤ =(4-x)(6-x), 10x=24(cid:100)(cid:100)∴ x=:¡5™;;
∴ (cid:8772)DBEF=:¡5™;;_:¡5™;;=;;¡2¢5¢;; (cm¤ )
∠ADF=∠FEC=90°,
∠AFD=∠FCE
(동위각)
23
채점 기준
AC”의 길이 구하기
BF”의 길이 구하기
△AEFª△ACD (AA 닮음)이므로
AE” : EF”=AC” : CD”
즉 3 : 1=AC” : 6(cid:100)(cid:100)∴ AC”=18(cm) •3점
또 △AEFª△DBF (AA 닮음)이므로
AE” : EF”=DB” : BF”
즉 3 : 1=(18-6) : BF”
∴ BF”
”=4(cm)
∠E=∠C=60°,
∠EAF=60°-∠FAD
=∠CAD
∠E=∠B=60°,
∠AFE=∠DFB
(맞꼭지각)
(cid:9120) ②
점수
3
3
•3점
(cid:9120) 4 cm
점수
3
3
(cid:9120) 4 cm
점수
2
2
2
24
채점 기준
△FEDª△CEB임을 보이기
DF”의 길이 구하기
BO”=DO”, DE”：EO”=2：3이므로
DE”：BE”=2：(3+5)=2：8=1：4
△FED와 △CEB에서
∠EDF=∠EBC(엇각), ∠EFD=∠ECB(엇각)
이므로 △FEDª△CEB (AA 닮음)
•3점
DF”：BC”=DE”：BE”에서
DF”：16=1：4(cid:100)(cid:100)∴ DF”=4(cm)
•3점
25
채점 기준
AM”의 길이 구하기
GM”의 길이 구하기
MH”의 길이 구하기
점 M이 BC”의 중점이므로
AM”=BM”=CM”=;2!;`BC”=;2%; (cm)
•2점
∴ GM”=GC”-MC”=4-;2%;=;2#; (cm) •2점
따라서 △AGM에서 GM”
¤ =MH”_MA”이므로
2
{;2#;}
=MH”_;2%;(cid:100)(cid:100)∴ MH”=;1ª0; (cm) •2점
(cid:9120) ;1ª0; cm
36 | SOLUTION
직각삼각형의 빗변의 중
점은 외심과 일치하고 외
심에서 세 꼭짓점에 이르
는 거리는 같다.
필수유형 다지기
▶ 103~104쪽
01 AD”：DB”=AE”：EC”이므로
x：4=6：3(cid:100)(cid:100)∴ x=8
AE”：AC”=DE”：BC”이므로
6：(6+3)=8：y(cid:100)(cid:100)∴ y=12
∴ x+y=20
(cid:9120) ①
01-1 ③ DE”：BC”=AE”：AC”이므로
③ DE”：8=3：(3+2)(cid:100)(cid:100)∴ DE”=;;™5¢;;(cm)
④ AD”
”：EC”이므로
”：DB”=AE”
③ 6：DB”=3：2(cid:100)(cid:100)∴ DB”=4(cm)
⑤ AD”
”：DB”=AE”
”：EC”,
③ AD”
”：AB”=AE”
”：AC”=DE”
”：BC”
(cid:9120) ⑤
02 AD”：AB”=DE”：BC”이므로
5：10=x：14(cid:100)(cid:100)∴ x=7
AE”
”：AC”=AD”
”：AB”이므로
3：y=5：10(cid:100)(cid:100)∴ y=6
02-1 AB”：AE”=AC”
”：AD”이므로
6：3=x：4(cid:100)(cid:100)∴ x=8
AG”：AD”=GF”
”：DE”이므로
(8+2)：4=5：y(cid:100)(cid:100)∴ y=2
∴ xy=42
(cid:9120) ③
(cid:9120) x=8, y=2
03 AD”：AB”=AG”：AF”=GE”：FC”이므로
10：(10+BD”)=5：8, 80=50+5BD”
5BD”=30(cid:100)(cid:100)∴ BD”=6(cm)
(cid:9120) ③
03-1 DF”：BG”=AF”：AG”=FE”：GC”이므로
DF”：3=(8-DF”)：9(cid:100)(cid:100)∴ DF”=2
(cid:9120) 2
04 FG”∥AE”이므로 DF”：DA”=FG”：AE”
15：(15+12)=FG”：24(cid:100)(cid:100)∴ FG”=;;¢3º;;
DG”∥BH”이므로 FD”：FB”=FG”：FH”
15：(15+9)=;;¢3º;;：FH”(cid:100)(cid:100)∴ FH”=;;§3¢;;
(cid:9120) ;;§3¢;;
04-1 AB”∥FG”이므로 CG”：CB”=FG”：AB”
8：(8+4)=6：y(cid:100)(cid:100)∴ y=9
BC”∥DE”이므로 DE”：BC”=AD”：AB”
4：(4+8)=x：9(cid:100)(cid:100)∴ x=3
∴ y-x=6
(cid:9120) 6
8-나발전렉처북해설Ⅵ(031~047) 2014.3.28 9:42 PM 페이지37 SinsagoHitec
Q BOX
A
D
B
E
C
AB”：AD”=AC”：AE”
또는
AD”：DB”=AE”：EC”
(cid:8857) BC”∥DE”
05 ① 6：(9-6)+12：4
② 6：3=8：4
③ 12：9+9：6
④ 5：9+3：6
⑤ 10：(16-10)=15：9
(cid:9120) ②, ⑤
05-1 AP”：PB”=AR”：RC”=2：3이므로
PR”∥BC”
∴ △ABCª△APR(SAS 닮음)
(cid:9120) ④
06 DP”：BQ”=AP”：AQ”=PE”：QC”이어야 하므로
8：10=PE”：5(cid:100)(cid:100)∴ PE”=4(cm) (cid:9120) 4 cm
06-1 AB”：AE”=AC”：AD”
”=BC”：ED”
”이어야 하므로
8：12=x：6(cid:100)(cid:100)∴ x=4
8：12=10：y(cid:100)(cid:100)∴ y=15
(cid:9120) x=4, y=15
필수유형 다지기
▶ 106쪽
01 4：8=BD”：(9-BD”)
12BD”=36(cid:100)(cid:100)∴ BD”=3(cm)
(cid:9120) ②
01-1 △ACE가 이등변삼각형이므로
AE”=AC”=3(cm)(cid:100)(cid:100)∴ x=3
4：3=2：y이므로 y=;2#;
(cid:9120) x=3, y=;2#;
02 12：9=16：CD”이므로 CD”=12(cm)
∴ BC”=16-12=4(cm)
(cid:9120) ③
02-1 15：AB”=(21+14)：21(cid:100)(cid:100)∴ AB”=9(cm)
(cid:9120) ③
03 BD”：CD”=AB”：AC”=20：12=5：3이므로
△ABD：△ACD=5：3
∴ △ABC=;5*;△ABD=;5*;_70=112(cm¤ )
(cid:9120) ④
03-1 BD”：CD”=AB”：AC”=12：8=3：2이므로
BC”：CD”=1：2
즉 △ABC：△ACD=1：2이므로
△ABC：54=1：2
△ABC에서 AD”가 ∠A
의 이등분선이면
AB”：AC”=BD”：CD”
∠BAD=∠AEC
(동위각)
∠DAC=∠ACE (엇각)
이때 ∠BAD=∠DAC
이므로 ∠AEC=∠ACE
”가 ∠A
△ABC에서 AD”
의 외각의 이등분선이면
AB”：AC”=BD”：CD”
△AFC에서
AE”=EF”, AG”=GC”
이므로 EG”∥FC”
높이가 같은 두 삼각형의
넓이의 비
(cid:8857) 밑변의 길이의 비와
같다.
필수유형 다지기
▶ 108~109쪽
01 MN”=;2!;AB”=;2!;_10=5(cm)(cid:100)(cid:100)∴ x=5
MN”∥AB”이므로 ∠NMC=∠A=70°
△MNC에서 y=180-(70+50)=60
∴ x+y=65
01-1 DE”=;2!; AC”, EF”=;2!; AB”, DF”=;2!; BC”이므로
△DEF의 둘레의 길이는
DE”+EF”+FD”=;2!;(AC”+AB”+BC”)
=;2!;_40=20(cm)
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
(cid:9120) ③
(cid:9120) ③
(cid:9120) 1
(cid:9120) 9 cm
(cid:9120) 18 cm
02 △ABC에서 AM”=MB”, MN”∥BC”이므로
AN”=NC”=6(cm)(cid:100)(cid:100)∴ x=6
MN”=;2!;`BC”=;2!;_10=5(cm)(cid:100)(cid:100)∴ y=5
∴ x-y=1
02-1 △ABC에서 AM”=MB”, MN”∥BC”이므로
BC”=2 MN”=2_12=24(cm)
△DBC에서 DQ”=QC”, PQ”∥BC”이므로
PQ”=;2!; BC”=;2!;_24=12(cm)
∴ RQ”=PQ”-PR”=12-3=9(cm)
03 △AFC에서 AE”=EF”, AG”=GC”이므로
FC”=2EG”=2_6=12(cm)
△BDE에서 BF”=FE”, FC”∥ED”이므로
ED”=2FC”=2_12=24(cm)
∴ GD”=ED”-EG”=24-6=18(cm)
03-1 CE”의 중점을 G라 하고
DG”를 그으면
△BCE에서 BD”=DC”,
A
F
E
3`cm
G
EG”=GC”이므로
BE”∥DG”
B
D
C
△ADG에서 AE”=EG”, FE”∥DG”이므로
DG”=2FE”=2_3=6(cm)
Ⅵ. 도형의 닮음 | 37
∴ △ABC=27(cm¤ )
(cid:9120) 27 cm¤
∴ BE”=2DG”=2_6=12(cm)
(cid:9120) ④
8-나발전렉처북해설Ⅵ(031~047) 2014.3.28 9:42 PM 페이지38 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
04 △DEG™△BEF
A
(ASA 합동)이므로
DG”=BF”=4(cm)
△AFC에서
G
E
D
C
B
4`cm
F
AD”=DC”, DG”∥CF”이므로
FC”=2DG”=2_4=8(cm)
∴ BC”=BF”+FC”=4+8=12(cm)
04-1 오른쪽 그림과 같이
A
점 D를 지나고 BC”에 평
행한 선분 DG를 그으면
D
G
E
△ABC에서
이므로
AD”=DB”, DG”∥BC”
B
10`cm
C
F
”=;2!;_10=5(cm)
DG”=;2!; BC”
△DEG™△FEC (ASA 합동)이므로
CF”=GD”=5(cm)
(cid:9120) ④
05 EF”=HG”=;2!; AC”=;2!;_20=10(cm)
EH”=FG”=;2!; BD”=;2!;_24=12(cm)
따라서 (cid:8772)EFGH의 둘레의 길이는
2_(10+12)=44(cm)
(cid:9120) ④
다른 풀이
(cid:8772)ABCD의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각
형의 둘레의 길이는 (cid:8772)ABCD의 두 대각선의 길
이의 합과 같으므로
((cid:8772)EFGH의 둘레의 길이)=20+24=44(cm)
05-1 EH”=;2!; BD”=;2!;_12=6(cm)
EF”=;2!; AC”=;2!;_16=8(cm)
이때 EF”∥AC”∥HG”, EH”∥BD”∥FG”이고
AC”⊥BD”이므로 EF”⊥EH”
즉 (cid:8772)EFGH는 직사각형이므로
(cid:8772)EFGH=6_8=48(cm¤ )
(cid:9120) 48 cm¤
06 △ABC에서
MQ”=;2!; BC”=;2!;_10=5(cm)
△ABD에서
MP”=;2!; AD”=;2!;_6=3(cm)
∴ PQ”
’=MQ”-MP”=5-3=2(cm)
(cid:9120) 2 cm
38 | SOLUTION
Q BOX
∠GDE=∠FBE(엇각),
DE”=BE”,
∠DEG=∠BEF
(맞꼭지각)
8`cm
A
D
M
G
12`cm
B
N
C
06-1 AC”와 MN”의 교점을
G라 하면 △ACD에서
GN”=;2!; AD”
GN=;2!;_8=4(cm)
MG”=12-4=8(cm)
△ABC에서
다른 풀이
MN”=;2!;(AD”+BC”)이므로
;2!;(8+BC”)=12, 8+BC”
”=24
∴ BC”=16(cm)
(cid:9120) ③
BC”=2 MG”=2_8=16(cm)
(cid:9120) ③
∠GDE=∠CFE(엇각),
DE”=FE”,
∠DEG=∠FEC
(맞꼭지각)
사각형의 각 변의 중점을
연결하여 만든 사각형
① 사각형, 평행사변형
(cid:8857) 평행사변형
② 직사각형, 등변사다리꼴
(cid:8857) 마름모
③ 마름모 (cid:8857) 직사각형
④ 정사각형 (cid:8857) 정사각형
AE”：EB”=1：3이므로
AE”：AB”=1：(1+3)
=1：4
(cid:8772)AGFD는 두 쌍의 대
변이 각각 평행하므로 평
행사변형이다.
필수유형 다지기
▶ 111~112쪽
01 4：8=x：14이므로 x=7
4：8=6：y이므로 y=12
∴ x+y=19
(cid:9120) ②
01-1 3：4=x：6이므로 x=;2(;
3：9=4：y이므로 y=12
4：5=6：z이므로 z=:¡2∞:
∴ x+y-z=9
02 오른쪽 그림과 같이 DC”와
평행한 선분 AH를 그으면
8`cm
A
D
E
G
F
△ABH에서
AE”：AB”=EG”：BH”
이므로
1：4=EG”：12(cid:100)(cid:100)
∴ EG”=3(cm)
B
12`cm
H
8`cm
C
또 (cid:8772)AGFD는 평행사변형이므로
GF”=AD”=8(cm)
∴ EF”=EG”
’+GF”=3+8=11(cm)
(cid:9120) ①
마름모의 두 대각선은 수
직이다.
02-1 오른쪽 그림과 같이
평행선 k를 그으면
4`cm
k
2`cm
4`cm
2：6=2：(x-4)
2`cm
4`cm
∴ x=10
{x-4}cm 4`cm
(cid:9120) 9
l
m
n
(cid:9120) 10
8-나발전렉처북해설Ⅵ(031~047) 2014.3.28 9:43 PM 페이지39 SinsagoHitec
Q BOX
03 △ABC에서 AE”：AB”=EG”：BC”이므로
8：12=EG”：15(cid:100)(cid:100)∴ EG”=10(cm)
△ACD에서 CG”：CA”=GF”：AD”이므로
4：12=GF”：9(cid:100)(cid:100)∴ GF”=3(cm)
∴ EF”=EG”+GF”=10+3=13(cm)
03-1 AE”：EB”=DF”：FC”이므로
6：x=3：4(cid:100)(cid:100)∴ x=8
△DBC에서 GF”：BC”=DF”：DC”이므로
9：y=3：7(cid:100)(cid:100)∴ y=21
(cid:9120) x=8, y=21
CG”：CA”=BE”：BA”
=4：(4+8)
=4：12
(cid:9120) 13 cm
04 △EABª△ECD (AA 닮음)이므로
BE”：DE”=AB”：CD”=12：15=4：5
△BCD에서 BE”：BD”=4：9이므로
∠EAB=∠ECD (엇각)
∠EBA=∠EDC (엇각)
x：30=4：9(cid:100)(cid:100)∴ x=:¢3º:
y：15=4：9(cid:100)(cid:100)∴ y=:™3º:
∴ x+y=20
(cid:9120) ①
삼각형의 내심
(cid:8857) 세 내각의 이등분선의
교점
04-1 ㈁ AB”：EF”=(a+b)：b
㈂ BF”：BC”=a：(a+b)
(cid:9120) ㈀, ㈃
05 △CEFª△CAB(AA 닮음)이므로
(12-x)：12=2：6(cid:100)(cid:100)∴ x=8
CE”：CA”=1：3이므로 CE”：AE”=1：2
△ABEª△CDE (AA 닮음)이므로
2：1=6：y(cid:100)(cid:100)∴ y=3
∴ x-y=5
(cid:9120) ③
세 선분이 모두 한 선분
에 수직
(cid:8857) 동위각의 크기가 같으
므로 세 선분은 평행
하다.
CE”：CA”=EF”：AB”
=2：6
=1：3
05-1 ③ △ABEª△CDE (AA 닮음)이므로
BE”：DE”=3：2
③ △BCDª△BFE (AA 닮음)이므로
BD”：BE”=5：3
(cid:9120) ③
BE”：DE”=AB”：CD”
=15：10
=3：2
06 AO”：CO”=AD”：CB”=8：24=1：3
△ABC에서 1：4=EO”：24(cid:100)(cid:100)∴ EO”=6(cm)
△DBC에서 1：4=OF”：24(cid:100)(cid:100)∴ OF”=6(cm)
∴ EF”=EO”+OF”=6+6=12(cm)
06-1 △ABC에서 2：3=EN”：15
∴ EN”=10(cm)
△ABD에서 1：3=EM”：12
∴ EM”=4(cm)
∴ MN”=10-4=6(cm)
(cid:9120) 6 cm
AE”：EB”=2：1이므로
AE”：AB”=2：(2+1)
=2：3
BC”=BD”+CD”
=4+2=6
(cid:9120) ②
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
발전유형 익히기
▶ 113~114쪽
01 △ABC에서 DE”∥BC”이므로
AE”：AC”=AD”：AB”=12：20=3：5
△ADC에서 FE”∥DC”이므로
AF”：AD”=AE”：AC”=3：5
즉 AF”：12=3：5(cid:100)(cid:100)∴ AF”=;;£5§;;(cm)
01-1 △ADC에서 AD”∥EF”이므로
AE”：EC”=DF”：FC”=1：2
△ABC에서 AB”∥ED”이므로
BD”：DC”=AE”：EC”=1：2
즉 6：DC”=1：2(cid:100)(cid:100)∴ DC”=12(cm)
∴ DF”=;3!; DC”=;3!;_12=4(cm)
(cid:9120) 4 cm
02 점 I가 △ABC의 내심이므로 AD”는 ∠A의 이등
분선이다.
즉 AB”：AC”=BD”：CD”이므로
15：AC”=6：4(cid:100)(cid:100)∴ AC”=10(cm)
또 BE”는 ∠B의 이등분선이므로
BA”：BC”=AE”：EC”
즉 15：10=(10-EC”)：EC”(cid:100)(cid:100)∴ EC”=4(cm)
(cid:9120) ③
02-1 점 I가 △ABC의
내심이므로 AD”는
9`cm
12`cm
∠A의 이등분선이
B
C
A
I
D
18`cm
다.
즉 AB”：AC”=BD”：CD”이므로
9：12=BD”：(18-BD”)(cid:100)(cid:100)
∴ BD”=:∞7¢: (cm)
또 BI”는 ∠B의 이등분선이므로
AI”
’：ID”=BA”：BD”=9：:∞7¢:=7：6
(cid:9120) 7：6
AB”：AC”=BD”：CD”
즉 10：5=BD”：2(cid:100)(cid:100)∴ BD”=4
또 AE” 는 ∠A의 외각의 이등분선이므로
AB”：AC”=BE”：CE”
즉 10：5=(6+CE”)：CE”(cid:100)(cid:100)∴ CE”=6
(cid:9120) ④
Ⅵ. 도형의 닮음 | 39
(cid:9120) 12 cm
03 △ABC에서 AD”는 ∠A의 이등분선이므로
8-나발전렉처북해설Ⅵ(031~047) 2014.3.28 9:43 PM 페이지40 SinsagoHitec
즉 10：6=(8+CE”)：CE”(cid:100)(cid:100)∴ CE”=12(cm)
BQ”+QP”+PH”=20, 2PH”+2PH”+PH”=20
03-1 △ABC에서 AD”는 ∠A의 이등분선이므로
06 △ABP에서 AE”=EB”, AP”∥EQ”이므로
k
l
m
n
D
F
H
C
LECTURE BOOK
AB”：AC”=BD”：CD”
즉 10：6=(8-CD”)：CD”(cid:100)(cid:100)∴ CD”=3(cm)
또 AE”는 ∠A의 외각의 이등분선이므로
AB”：AC”=BE”：CE”
∴ △ADE=;2!;_DE”_AC”
∴ △ADE=;2!;_15_6
∴ △ADE=45(cm¤ )
04 동위각의 크기가 90°로
같으므로 k∥l∥m∥n
p
7
오른쪽 그림과 같이 평
x-7
7
행선 p를 그으면
1：3=(x-7)：12
∴ x=11
12
7
04-1 오른쪽 그림과 같이
DC”와 평행한 선분
AJ를 그으면
△ABJ에서
2：3=GI”：9(cid:100)(cid:100)
∴ GI”=6(cm)
6`cm
A
E
G
I
J
B
9`cm
6`cm
또 (cid:8772)AIHD는 평행사변형이므로
IH”=AD”=6(cm)
∴ GH”=GI”+IH”=6+6=12(cm)
05 △DBEª△DCF (AA 닮음)이고,닮음비가
BD”：CD”=AB”：AC”=10：6=5：3이므로
DE”：(4-DE”)=5：3(cid:100)(cid:100)∴ DE”=;2%;(cm)
(cid:9120) 12 cm
(cid:9120) ①
05-1 △ABD™△CBD (RHA 합동)이므로
BA”=BC”=16+12=28(cm)
△BFEª△BCD (AA 닮음)이므로
BF”：BC”=EF”：DC”
즉 16：28=EF”：14(cid:100)(cid:100)∴ EF”=8(cm)
△ABF에서 BE”가 ∠B의 이등분선이므로
BF”：BA”=FE”：AE”
즉 16：28=8：AE”(cid:100)(cid:100)∴ AE”=14(cm)
∴ AF”=AE”+EF”=14+8=22(cm)
(cid:9120) 22 cm
40 | SOLUTION
Q BOX
AG”∥EC”, BH”∥FD”
이므로 (cid:8772)PQRS는 평행
사변형이다.
△ASD에서
AH”=HD”, PH”∥SD”
이므로 PH”=;2!; SD”
DE”=DC”+CE”
=3+12=15(cm)
△CQB에서
CF”=FB”, FR”∥BQ”
이므로 RF”=;2!; QB”
(cid:9120) 11
△DFC=;2!; △DBC
=;4!; (cid:8772)ABCD
BQ”=QP”
같은 방법으로 △DRC에서 RS”=SD”이므로
BQ”=QP”=RS”=SD”=2PH”
BH”=20(cm)이므로
5PH”=20(cid:100)(cid:100)∴ PH”=4(cm)
(cid:9120) 4 cm
DF”=DS”+SR”+RF”
=2RF”+2 RF”+RF”
=5RF”
즉 RF”=;5!;DF”이므로
△RFC=;5!;△DFC
△RFC=;5!;_;4!;(cid:8772)ABCD
△RFC=;2¡0;_60=3(cm¤ )
(cid:9120) 45 cm¤
06-1 DS”=SR”=PQ”=QB”=2 RF”이므로
△ABC에서 AD”가 중선
이면
(cid:8857) △ABD=△ACD
=;2!;△ABC
∠BED=∠CFD=90°,
∠BDE=∠CDF
(맞꼭지각)
밑변의 길이와 높이가 각
각 같은 삼각형의 넓이는
같으므로
△PCD=△PAD
필수유형 다지기
▶ 116~117쪽
01 △ABP=;2!;△ABD=;2!;_;2!;△ABC
△ABP=;4!;_32=8(cm¤ )
01-1 △BCP=△BCD-△PCD
△BPC=;2!;△ABC-△PAD
△BPC=;2!;_30-5=10(cm¤ )
삼각형의 무게중심은 세
중선의 길이를 각 꼭짓점
으로부터 2：1로 나눈다.
02 x=;2!; AB”=6, y=;2!; CG”=3
∴ x+y=9
02-1 GD”=;3!; AD”=;3!;_18=6(cm)
∴ GG'”=;3@; GD”=;3@;_6=4(cm)
(cid:9120) 3 cm¤
(cid:9120) ③
(cid:9120) 10 cm¤
(cid:9120) ②
(cid:9120) 4 cm
8-나발전렉처북해설Ⅵ(031~047) 2014.3.28 9:43 PM 페이지41 SinsagoHitec
03 BC”=2 BD”=2_9=18(cm)
△AEFª△ABC (AA 닮음)이고
닮음비는 2：3이므로
x：18=2：3(cid:100)(cid:100)∴ x=12
13：y=2：1(cid:100)(cid:100)∴ y=;;¡2£;;
∴ x-y=;;¡2¡;;
∠A는 공통,
∠AEF=∠ABC
(동위각)
평행사변형의 두 대각선
은 서로를 이등분하므로
OC”=AO”=15(cm)
(cid:9120) ;;¡2¡;;
06-1 두 점 P, Q는 각각 △ABD, △BCD의 무게중
심이므로
PO”=;3!;AO”=;3!;_15=5(cm)
OQ”=;3!;OC”=;3!;_15=5(cm)
∴ PQ”=PO”+OQ”=5+5=10(cm)
(cid:9120) 10 cm
3_12=36(cm)
(cid:9120) 36 cm
01 △ABCª△EDC (AA 닮음)이고 닮음비는
Q BOX
BD”=2ED”, DC”=2DF”
이므로 BC”=2EF”
삼각형의 넓이는 세 중선
에 의하여 6등분된다.
∠B=∠EDC,
∠C는 공통
높이가 같은 삼각형의 넓
이의 비는 밑변의 길이의
비와 같다.
4：6=2.4：3.6
=2：3
03-1 AG”：AE”=A’G'”：AF”=GG'”：EF”=2：3이므로
4：EF”=2：3(cid:100)(cid:100)∴ EF”=6(cm)
∴ BC”=2EF”=2_6=12(cm)
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
04 (cid:8772)EBDG
=△BGE+△BDG
=;6!;△ABC+;6!;△ABC
=;3!;△ABC
A
E
G
D
B
C
=;3!;_36=12(cm¤ )
(cid:9120) ③
04-1 △ABC=3△GBC
△ABC=3_6△G'BD
=18△G'BD
=18_3=54(cm¤ )
(cid:9120) 54 cm¤
05 점 G는 △ABC의 무게중심이므로
△GED=;2!;△DBG=;2!;_;2!;△GBC
△GED=;4!;△GBC=;4!;_12=3(cm¤ )
(cid:9120) ②
05-1 △ADE=;2!;△AGE=;2!;_;6!;△ABC
△AGE=;1¡2;△ABC=;1¡2;_144
△AGE=12(cm¤ )
(cid:9120) 12 cm¤
06 두 점 P, Q는 각각
A
△ ABC, △ ACD의
무게중심이므로
B
BP”=2PO”, QD”=2OQ”
P
Q
O
24`cm
M
D
N
C
이때 BO”=DO”이므로 BP”=PQ”
”=QD”
∴ BP”=;3!; BD”=;3!;_24=8(cm)
(cid:9120) ⑤
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
필수유형 다지기
▶ 119~121쪽
AB”：ED”=8：4=2：1
따라서 넓이의 비는 2¤ ：1¤ =4：1이므로
60：△EDC=4：1(cid:100)(cid:100)∴ △EDC=15(cm¤ )
∴ (cid:8772)ABED=60-15=45(cm¤ )
(cid:9120) 45 cm¤
01-1 세 원은 닮은 도형이고 닮음비는 1：2：3이므로
넓이의 비는 1¤ ：2¤ ：3¤ =1：4：9
따라서 B, C부분의 넓이의 비는
(4-1)：(9-4)=3：5
C부분의 넓이를 x cm¤ 라 하면
15：x=3：5(cid:100)(cid:100)∴ x=25
02 △AODª△COB (AA 닮음)이고 닮음비는
`3：4이므로
△AOD：△COB=3¤ ：4¤ =9：16
즉 △AOD：96=9：16(cid:100)(cid:100)
∴ △AOD=54(cm¤ )
(cid:9120) 25 cm¤
(cid:9120) 54 cm¤
02-1 △AODª△COB (AA 닮음)이고
△AOD：△COB=24：54=4：9=2¤ ：3¤
따라서 닮음비는 2：3이므로
DO”：BO”=2：3
24：△ABO=2：3(cid:100)(cid:100)∴ △ABO=36(cm¤ )
(cid:9120) ④
03 두 직사각형 모양의 벽면은 닮음이고 닮음비가
2：3이므로 각 벽면을 칠하는 데 필요한 페인트
의 양의 비는 2¤ ：3¤ =4：9
구하는 페인트의 양을 x mL라 하면
480：x=4：9(cid:100)(cid:100)∴ x=1080
(cid:9120) 1080 mL
Ⅵ. 도형의 닮음 | 41
8-나발전렉처북해설Ⅵ(031~047) 2014.3.28 9:43 PM 페이지42 SinsagoHitec
(실제 길이)
=
(축도에서의 길이)
(축척)
08 ① 5_50000=250000(cm)=2.5(km)
② 10_5000=50000(cm)=0.5(km)(cid:100)
LECTURE BOOK
Q BOX
03-1 두 거울은 닮음이고 닮음비가 20：32=5：8이
므로 넓이의 비는 5¤ ：8¤ =25：64
따라서 지름의 길이가 32 cm인 거울의 가격을
x원이라 하면 10000：x=25：64
∴ x=25600
(cid:9120) ③
04 두 원기둥 A, B의 닮음비가 2：3이므로
겉넓이의 비는 2¤ ：3¤ =4：9
원기둥 B의 겉넓이를 x cm¤ 라 하면
52：x=4：9(cid:100)(cid:100)∴ x=117
(cid:9120) 117 cm¤
04-1 두 직육면체 A, B의 겉넓이의 비가
25：64=5¤ ：8¤ 이므로 닮음비는 5：8
10：a=5：8(cid:100)(cid:100)∴ a=16
b：24=5：8(cid:100)(cid:100)∴ b=15
∴ a+b=31
(cid:9120) 31
닮은 두 원뿔 또는 원기둥
에서
(닮음비)
=(높이의 비)
=(밑면의 반지름의 길이
=(밑면의 둘레의 길이의
의 비)
비)
05 두 구A, B의 부피의 비가
27：64=3‹ ：4‹ 이므로
반지름의 길이의 비는 3：4
구 A의 반지름의 길이를 x cm라 하면
x：12=3：4(cid:100)(cid:100)∴ x=9
길이 및 넓이의 단위 사
이의 관계
① 1 m=100 cm
1 km=1000 m
② 1 m¤ =10000 cm¤
1 km¤ =1000000 m¤
(cid:9120) 9 cm
14000 cm¤ =1.4 m¤
07 물의 높이와 그릇의 높이의 비가
9：15=3：5이므로
부피의 비는 3‹ ：5‹ =27：125
더 부어야 하는 물의 양을 x mL라 하면
81：x=27：(125-27)(cid:100)(cid:100)∴ x=294
(cid:9120) 294 mL
07-1 두 케이크 A, B의 닮음비가 35：25=7：5이므
로 부피의 비는 7‹ ：5‹ =343：125
따라서 케이크 A 1개와 케이크 B 2개의 부피의
비는 343：(2_125)=343：250
이므로 24000원으로 케이크 A를 1개 사는 것이
더 이익이다.
(cid:9120) 풀이 참조
③ 20_10000=200000(cm)=2(km)
④ 100_100=10000(cm)=0.1(km)(cid:100)
⑤ 20_20000=400000(cm)=4(km)
(cid:9120) ⑤
08-1 닮음비가 1：200이므로 넓이의 비는
1¤ ：200¤ =1：40000
따라서 실제 경기장의 바닥의 넓이는
1.4_40000=56000(m¤ )
09
(cid:9120) 56000 m¤
D
(cid:9120) 4 m
(cid:9120) 4.5 m
(cid:9120) 1：7
닮은 두 입체도형의 겉넓
이의 비가 m¤ ：n¤
(cid:8857) 닮음비는 m：n
(cid:8857) 부피의 비는 m‹ ：n‹
A
1.6`m
거울
2`mB
C
5`m
E
위의 그림에서 △ABCª△DEC (AA 닮음)
이므로
1.6：DE”=2：5(cid:100)(cid:100)∴ DE”=4(m)
09-1 △ABCª△AB'C' (AA 닮음)이므로
1.2：(1.2+2.4)=1.5：B'C'”
∴ B'C'”=4.5(m)
(축척)
=
(축도에서의 길이)
(실제 길이)
10 (축척)=
3 cm
24 m
=
3 cm
2400 cm
=
1
800
따라서 등대와 섬 사이의 실제 거리는
(cid:9120) 9：25
8_800=6400(cm)=64(m)
(cid:9120) ④
05-1 ㉮와 처음 원뿔의 닮음비가 1：2이므로
부피의 비는 1‹ ：2‹ =1：8
따라서 ㉮와 ㉯의 부피의 비는
1：(8-1)=1：7
06 두 원뿔 A, B의 겉넓이의 비가
4：25=2¤ ：5¤ 이므로
닮음비는 2：5
따라서 부피의 비는 2‹ ：5‹ =8：125이므로
원뿔 B의 부피를 x cm‹ 라 하면
48：x=8：125(cid:100)(cid:100)∴ x=750
(cid:9120) 750 cm‹
06-1 두 직육면체 A, B의 부피의 비가
162：750=27：125=3‹ ：5‹ 이므로
따라서 두 직육면체 A, B의 겉넓이의 비는
닮음비는 3：5
3¤ ：5¤ =9：25
42 | SOLUTION
8-나발전렉처북해설Ⅵ(031~047) 2014.3.28 9:43 PM 페이지43 SinsagoHitec
Q BOX
10-1 (축척)=
5 cm
4 m
=
5 cm
400 cm
=
1
80
따라서 나무의 실제 높이는
6.5_80=520(cm)=5.2(m)
(cid:9120) 5.2 m
02 △BCE에서 BD”=DC”, BE”∥DF”이므로
EC”=2 EF”=2_5=10(cm)
따라서 AB”=AC”=2 EC”=2_10=20(cm)
이므로 x=20
점 G가 △ABC의 무게중심이므로
BE”=3 GE”=3_6=18(cm)
DF”=;2!; BE”=;2!;_18=9(cm)이므로 y=9
∴ x+y=29
(cid:9120) 29
02-1 △ADC에서 AE”=EC”, DF”=FC”이므로
AD”=2 EF”=2_12=24(cm)
점 G가 △ABC의 무게중심이므로
AG”=;3@; AD”=;3@;_24=16(cm)
(cid:9120) 16 cm
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
∠GBE=∠GFH (엇각),
∠GEB=∠GHF (엇각)
03 AC”를 그으면
A
D
삼각형의 넓이는 세 중선
에 의하여 6등분된다.
∠HDG=∠ECG (엇각),
∠DGH=∠CGE
(맞꼭지각)
∠DEG=∠CAG (엇각),
∠DGE=∠CGA
(맞꼭지각)
△ABC=;2!;(cid:8772)ABCD
△ABC=;2!;_60
△ABC=30(cm¤ )
P
E
B
C
점 P는 △ABC의 무게중심이므로
△PBE=;6!;△ABC=;6!;_30=5(cm¤ )
03-1 AC”를 긋고 BD”와 AC”
의 교점을 O라 하면
A
두 점 P, Q가 각각
△ABC, △ACD의
B
무게중심이므로
(cid:9120) ③
D
N
C
O
Q
P
M
(cid:8772)PMCO=;3!;△ABC=;3!;_;2!;(cid:8772)ABCD
(cid:8772)PMCO=;6!;_48=8(cm¤ )
(cid:8772)QOCN=;3!;△ACD=;3!;_;2!;(cid:8772)ABCD
(cid:8772)QOCN=;6!;_48=8(cm¤ )
∴ (색칠한 부분의 넓이)
=(cid:8772)PMCO+(cid:8772)QOCN=8+8=16(cm¤ )
(cid:9120) ②
04 BD”∥ MN”이므로
△BCDª△MCN (AA 닮음)
이때 닮음비는 BD”：MN”=2：1이므로
넓이의 비는 2¤ ：1¤ =4：1
△CNM：(cid:8772)BMND=1：(4-1)=1：3이므로
18：(cid:8772)BMND=1：3
∴ (cid:8772)BMND=54(cm¤ )
(cid:9120) 54 cm¤
Ⅵ. 도형의 닮음 | 43
발전유형 익히기
▶ 122~123쪽
01 AD”=DB”, AF”=FC”이므로 DF”∥BC”
즉 △GBEª△GFH (AA 닮음)이므로
GE”：GH”=GB”：GF”=2：1
GE”：4=2：1(cid:100)(cid:100)∴ GE”=8(cm)
∴ AE”=3GE”=3_8=24(cm)
(cid:9120) ⑤
01-1 ① 세 점 D, E, F는 각각 AB”, BC”, AC”의 중점
이므로 삼각형의 중점연결정리에 의하여
② AB”∥FE”, BC”∥DF”, AC”∥DE”
② △DGHª△CGE (AA 닮음)
③ △DEGª△CAG (AA 닮음)
⑤ △ADC에서 AF”=FC”, AD”∥FJ”이므로
② FJ”=;2!; AD”
② △BCD에서 BE”=EC”, BD”∥EJ”이므로
② EJ”=;2!; BD”
② 이때 AD”=BD”이므로 FJ”=EJ”
② 같은 방법으로 DI”=EI”, DH”=FH”
② 즉 DJ”, EH”, FI”가 △DEF의 중선이므로 점
G는 △DEF의 무게중심이다.
④ GD”=2JG”, CG”=2DG”이므로CG”=4JG”
② 즉 CJ”=CG”-JG”=4JG”-JG”=3JG”이므로
② CJ”：JG”=3：1
01-2 △ABG=;3!; △ABC=;3!;_48=16(cm¤ )
△ABGª△DEG (AA 닮음)이고 닮음비는
BG”：EG”=2：1
따라서 넓이의 비는 2¤ ：1¤ =4：1이므로
16：△GDE=4：1(cid:100)(cid:100)∴ △GDE=4(cm¤ )
(cid:9120) ④
(cid:9120) ③
8-나발전렉처북해설Ⅵ(031~047) 2014.3.28 9:43 PM 페이지44 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
04-1 HI”∥BC”이므로 △GHIª△GBC (AA 닮음)
이때 닮음비는 GH”：GB”=1：2이므로
넓이의 비는 1¤ ：2¤ =1：4
∴ △GHI=;4!;△GBC=;4!;_;2!;(cid:8772)ABCD
∴ △GHI=;8!;_64=8(cm¤ )
(cid:9120) 8cm¤
05 물의 높이와 그릇의 높이의 비가 1：2이므로
부피의 비는 1‹ ：2‹ =1：8
그릇에 물을 가득 채우는 데 걸리는 시간을 x분이
라 하면
5：x=1：8(cid:100)(cid:100)∴ x=40
따라서 40-5=35(분) 동안 물을 더 넣어야 한다.
(cid:9120) ④
05-1 물의 높이와 물탱크의 높이의 비가 3：4이므로
부피의 비는 3‹ ：4‹ =27：64
물탱크에 물을 가득 채우는 데 걸리는 시간을 x분
이라 하면
54：x=27：64(cid:100)(cid:100)∴ x=128
따라서 128-54=74(분) 동안 물을 더 넣어야
한다.
(cid:9120) 74분
05-2 오른쪽 그림과 같이 아래쪽
원뿔에서 나누어진 두 부분
중 원뿔을 A, 원뿔대를 B라
하면 원뿔 A의 높이는
10`cm
20`cm
10`cm
A
B
;2!;_20=10(cm)
아래쪽 원뿔 전체와 원뿔 A의 닮음비는
20：10=2：1이므로 부피의 비는 2‹ ：1‹ =8：1
∴ (원뿔 A의 부피)：(원뿔대 B의 부피)=1：7
남아 있는 모래가 모두 아래쪽 원뿔로 떨어지는
데 걸리는 시간을 x분이라 하면
x：28=1：7(cid:100)(cid:100)∴ x=4
(cid:9120) 4분
01 ④`
04 ⑤
03 84
02 ③
08 ③`
07 ①
06 ②
05 ②
12 ③
11 ③
09 8 cm 10 ③
13 12 cm¤
16 ③
14 360 mL 15 ③
17 24 cm 18 8 cm 19 72 cm¤ 20 ⑤
21 ③
25 40 m
23 24 cm¤
22 ④
24 3：1
44 | SOLUTION
AE”=CE”,
∠GAE=∠FCE (엇각),
∠AEG=∠CEF
(맞꼭지각)
또 △DBF에서
평행사변형의 두 쌍의 대
변의 길이는 각각 같으므로
AD”=BC”=8(cm)
DC”=AB”=6(cm)
닮은 두 입체도형의 닮음
비가 m：n
(cid:8857) 부피의 비는 m‹ ：n‹
1：(8-1)=1：7
01 AE”：AD”=EF”：DC”이므로
AE”：8=4：6(cid:100)(cid:100)∴ AE”=:¡3§: (cm) (cid:9120) ④
02 DF”：BG”=AF”：AG”=FE”：GC”이므로
4：10=EF”：16, 10EF”=64
∴ EF”=:£5™:(cm)
(cid:9120) ③
03 AC”=2 MÚN”=2_7=14(cm)(cid:100)(cid:100)∴ x=14
MN”∥AC”이므로 ∠MNB=∠C=65°
∴ y=180-(45+65)=70
∴ x+y=84
(cid:9120) 84
04 오른쪽 그림과 같이 점 A
를 지나고 BC”에 평행한
D
선분 AG를 그으면
△AEG≡△CEF
(ASA 합동)
∴ EG”=EF”=4(cm)
A
B
G
E
F
4`cm
C
DA”=AB”, AG”∥BF”이므로
DG”=GF”=GE”+EF”=4+4=8(cm)
∴ DE”=DG”+GE”=8+4=12(cm)
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ②
05 △ABD에서 MP”=;2!; AD”=;2!;_6=3(cm)
이므로 MQ”=MP”+PQ”=3+3=6(cm)(cid:100)(cid:100)
△ABC에서 BC”=2MQ”=2_6=12(cm)
06
4：6=x：6에서 x=4
2：6=y：4에서 y=;3$;(cid:100)(cid:100)
∴ x-y=4-;3$;=;3*;
(cid:9120) ②
△ACD에서 EF”： CD”=AE”：AC”이므로
2：CD”=2：3(cid:100)(cid:100)∴ CD”=3(cm)
(cid:9120) ①
08 AP”=PQ”=QD”이므로
△BAP=△BPQ=△BQD
∴ △ABC=2△ABD=2_3△BPQ
=6△BPQ=6_3=18(cm¤ )
(cid:9120) ③
중단원 마무리
▶ 124~127쪽
△CEFª△CAB
(AA 닮음)
AE”：AC”=2：3
07 CE”：CA”=EF”：AB”=2：6=1：3이므로
8-나발전렉처북해설Ⅵ(031~047) 2014.3.28 9:43 PM 페이지45 SinsagoHitec
(cid:9120) 8 cm
24：x=8：27(cid:100)(cid:100)∴ x=81
(cid:9120) ③
Q BOX
직각삼각형의 빗변의 중점
(cid:8857) 외심
닮은 두 입체도형의 겉넓
이의 비가 m¤ ：n¤`
(cid:8857) 닮음비는 m：n
(cid:8857) 부피의 비는 m‹ ：n‹
(실제 길이)
=
(축도에서의 길이)
(축척)
(시간)=
(거리)
(속력)
(cid:9120) ③
AB”：AC”=8：6=4：3
(cid:9120) ③
△GBG'：△G'BD
=GG'”：G'D”
=2：1
(cid:9120) ③
다음과 같이 풀 수도 있다.
BD”=2MN”=30(cm)
BE”=EF”=FD”이므로
EF”=;3!; BD”=10(cm)
09 점 D는 △ABC의 외심이므로
CD”=BD”=AD”=;2!;_24=12(cm)
∴ CG”=;3@; CD”=;3@;_12=8(cm)
10 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
AG”：AD”=2：3
∴ AG”=;3@; AD”=;3@;_15=10(cm)
△ABD에서 AE”=EB”, EH”∥BD”이므로
AH”=;2!; AD”=;2!;_15=:¡2∞:(cm)
∴ HG”=AG”-AH”=10-:¡2∞:=;2%;(cm)
11 △GBD=;6!;△ABC=;6!;_36=6(cm¤ )이므로
△GBG'=;3@;△GBD=;3@;_6=4(cm¤ )
12 두 점 E, F는 각각 △ABC, △ACD의 무게중
심이므로
AE”：AM”=AF”：AN”=2：3, ∠A는 공통
∴ △AEFª△AMN (SAS 닮음)
따라서 EF”：MN”=AE”：AM”이므로
EF”：15=2：3(cid:100)(cid:100)∴ EF”=10(cm)
13 △ADFª△AEGª△ABC (AA 닮음)이고
닮음비는 1：2：3이므로
△ADF：△AEG：△ABC=1¤ ：2¤ ：3¤
=1：4：9
(cid:8772)DEGF：(cid:8772)EBCG=(4-1)：(9-4)=3：5
이므로 (cid:8772)DEGF：20=3：5
∴ (cid:8772)DEGF=12(cm¤ )
(cid:9120) 12 cm¤
14 두 우편함의 닮음비가 3：4이므로
겉넓이의 비는 3¤ ：4¤ =9：16
작은 우편함의 겉부분을 모두 칠하는 데 x mL의
페인트가 필요하다고 하면
x：640=9：16(cid:100)(cid:100)∴ x=360
(cid:9120) 360 mL
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
(cid:9120) ③
점수
2
2
2
•2점
•2점
점수
1
3
2
15 겉넓이의 비가 4：9=2¤ ：3¤ 이므로
닮음비는 2：3
따라서 부피의 비는 2‹ ：3‹ =8：27
큰 정사면체의 부피를 x cm‹```라 하면
16 두 지점 사이의 실제 거리는
20_50000=1000000(cm)=10(km)
따라서 시속 4 km로 걸을 때 걸리는 시간은
:¡4º:=2.5(시간)
즉 2시간 30분이 걸린다.
17
채점 기준
DC”의 길이 구하기
CE”의 길이 구하기
DE”의 길이 구하기
BD”：DC”=4：3이므로
(7-DC”)：DC”=4：3
∴ DC”=3(cm)
BE”：CE”=4：3이므로
(7+CE”)：CE”=4：3
∴ CE”=21(cm)
∴ DE”=DC”+CE”=3+21=24(cm) •2점
(cid:9120) 24 cm
18
채점 기준
A
6`cm
D
E
B
H
3`cm G
6`cm
F
C
GC”의 길이 구하기
EH”의 길이 구하기
EF”의 길이 구하기
DC”와 평행한 AG”를 긋
고 AG”와 EF”의 교점을
H라 하면
GC”=HF”=AD”
=6(cm) •1점
△ABG에서
EH”：3=2：3(cid:100)(cid:100)
∴ EH”=2(cm)
AE”：AB”=EH”：BG”=2：3이므로
∴ EF”=EH”+HF”=2+6=8(cm)
19
채점 기준
△ABG와 △DEG의 닮음비 구하기
△ABG의 넓이 구하기
△ABC의 넓이 구하기
•3점
•2점
(cid:9120) 8 cm
점수
2
2
2
Ⅵ. 도형의 닮음 | 45
8-나발전렉처북해설Ⅵ(031~047) 2014.3.28 9:43 PM 페이지46 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
△ABGª△DEG (SAS 닮음)이고
•2점
닮음비는 2：1
따라서 △ABG：△DEG=2¤ ：1¤ =4：1이므로
△ABG：6=4：1(cid:100)(cid:100)
∴ △ABG=24(cm¤ )
∴ △ABC=3△ABG=3_24
=72(cm¤ )
•2점
•2점
(cid:9120) 72 cm¤
20 △ABC에서 AC”∥DF”이므로
12：(12+8)=BF”：25(cid:100)(cid:100)∴ BF”=15(cm)
△ABF에서 AF”∥DE”이므로
12：(12+8)=BE”：15(cid:100)(cid:100)∴ BE”=9(cm)
(cid:9120) ⑤
21 △AEHª△ABD (SAS 닮음)이고 닮음비는
AE”：AB”=1：2이므로
△AEH：△ABD=1¤ ：2¤ =1：4
∴ △AEH=;4!;△ABD
같은 방법으로
△EBF=;4!;△ABC, △CGF=;4!;△BCD,
△DHG=;4!;△DAC이므로
△AEH+△CGF+△EBF+△DHG
=;4!;(△ABD+△BCD)
+;4!;(△ABC+△DAC)
=;4!;(cid:8772)ABCD+;4!;(cid:8772)ABCD=;2!;(cid:8772)ABCD
따라서 (cid:8772)EFGH=;2!;(cid:8772)ABCD이므로
(cid:8772)ABCD=2(cid:8772)EFGH=2_10=20(cm¤ )
(cid:9120) ③
8`cm
4`cm
(cid:9120) ④
22 ㉠：㉡：㉢=2：3：4
이므로 세 원뿔의 부피의
비는
2‹ ：3‹ ：4‹ =8：27：64
즉 그릇 전체의 부피와
물의 부피의 비는(cid:100)(cid:100)
㉢
㉡
㉠
(64-8)：(27-8)=56：19
그릇의 부피를 x cm‹ 라 하면
x：57=56：19(cid:100)(cid:100)∴ x=168
46 | SOLUTION
점수
1
2
2
1
E
F
D
C
•2점
(cid:9120) 24 cm¤
점수
1
2
3
F
C
•2점
•3점
(cid:9120) 3：1
점수
3
3
23
채점 기준
점 D에서 AB”와 평행한 직선 긋기
DF”：AM” 구하기
DE”：AE” 구하기
△ADC의 넓이 구하기
점 D를 지나고 AB”에 평행
A
한 직선과 CM”의 교점을 F
라 하면
•1점
M
DF”：BM”
”= CD”：CB”
B
=1：3
이때 AM”=BM”
”이므로
DF”：AM”
”=1：3
△DFEª△AME (AA 닮음)이므로
DE”：AE”=DF”：AM”
”=1：3
•2점
∴ △ADC=4△EDC=4_6=24(cm¤ ) •1점
A
D
G
E
점 D를 지나고 BC”에
평행한 직선과 AC”의
교점을 G라 하면 •1점
DG”∥BF”이므로
△EGD™△ECF
(ASA 합동)
∴ GD”=CF”
B
또 DG”：BC”=AD”：AB”=1：3이므로
BC”：CF”=BC”：DG”=3：1
25
채점 기준
△ABC∽△DEF임을 보이기
피라미드의 높이 구하기
A
B
C
D
1`m
F
E
2`m
20`m 20`m
60`m
△ABC와 △DEF에서
∠ABC=∠DEF=90°, ∠ACB=∠DFE
이므로 △ABCª△DEF (AA 닮음) •3점
AB”：DE”
”=BC”：EF”이므로
AB”：1=(20+60)：2(cid:100)(cid:100)∴ AB”=40(m)
따라서 피라미드의 높이는 40 m이다.
•3점
(cid:9120) 40 m
AE”：AB”=AH”：AD”
=1：2,
∠EAH는 공통
24
채점 기준
점 D에서 BC”와 평행한 직선 긋기
DG”=CF”임을 보이기
BC”：CF” 구하기
GE”=CE”,
∠DGE=∠FCE (엇각),
∠GED=∠CEF
(맞꼭지각)
닮은 두 입체도형의 닮음
비가 m：n
(cid:8857) 부피의 비는 m‹ ：n‹
8-나발전렉처북해설Ⅵ(031~047) 2014.3.28 9:43 PM 페이지47 SinsagoHitec
Q BOX
Ⅵ. 도형의 닮음
최고수준 정복하기
▶ 128쪽
01 2 cm
02 6초
03 ;;™7¢;; cm 04 ;;™5¢;; cm¤
△AEFª△AMC
(AA 닮음)
05 54 cm¤
㉠, ㉡에서 AE”：ME”=AF”：CF”이므로
즉 △AMC에서 AE”：AM”
”=EF”：MC”
”이므로
EF”∥MC”
4：7=EF”：6
∴ EF”=;;™7¢;;(cm)
∠CAE=90°-∠ACE
=∠MCE
(cid:9120) ;;™7¢;; cm
높이가 같은 삼각형의 넓
이의 비는 밑변의 길이의
비와 같다.
04 CE”가 ∠C의 이등분선이므로
AE”：BE”=CA”：CB”=12：15=4：5
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
△ABCª△DAC
(AA 닮음)이므로
AC”：DC”=BC”：AC”
∴ AC”
¤ =CD”_CB”
yy ㉡
CE”：ME”=AE”：CE”
01 △CAE와 △MCE에서
∠AEC=∠CEM=90°,
A
10`cm
∠CAE=∠MCE이므로
△CAEª△MCE
D
(AA 닮음)
B
E
M
C
∴ AE”：CE”=CA”：MC”
이때 MC”=;2!; BC”=;2!; CA”이므로
AE”：CE”=CA”：MC”=CA”：;2!; CA”=2：1
∴ AE”=2CE”
yy ㉠
또 CE”：ME”=2：1에서
CE”=2ME”
㉠, ㉡에서 AE”=2 CE”=2_2ME”=4ME”
∴ AE”
”：ME”=4：1
∴ ME”=;5!; A’M”=;5!;_10=2(cm)
(cid:9120) 2 cm
02 오른쪽 그림과 같이
점 A와 BC”에 대하
8`cm
여 대칭인 점을 A'
이라 하고 A’'D”와
BC”의 교점을 P라
가 최소가 된다.
A
B
A'
D
4`cm
C
P
18`cm
하면 AP”=A’'P”이므로 이때 AP”+PD”의 길이
t초 후AP”+PD”의 길이가 최소가 된다고 하면
BP”=2t, CP”=18-2t
이때 △A'BPª△DCP (AA 닮음)이므로
A’'B”：DC”=BP”：CP”
즉 8：4=2t：(18-2t)
∴ t=6
(cid:9120) 6초
03 △AEDª△MEB (AA 닮음)이므로
AE”：ME”=AD”：MB”=8：6=4：3 yy ㉠
또 △AFDª△CFM (AA 닮음)이므로
AF”：CF”=AD”：CM”=8：6=4：3 yy ㉡
∠DAE=∠BME (엇각),
∠AED=∠MEB
(맞꼭지각)
∠ADF=∠CMF (엇각),
∠AFD=∠CFM
(맞꼭지각)
∴ △AEC=;9$;△ABC
∴△AEC=;9$;_{;2!;_9_12}=24(cm¤ )
AC”
¤ =CD”_CB”에서
12¤ =CD”_15(cid:100)(cid:100)∴ CD”=;;¢5•;;(cm)
△AEC와 △DFC에서
∠EAC=∠FDC=90°, ∠ACE=∠DCF
∴ △AECª△DFC (AA 닮음)
따라서 EC”：FC”=AC”：DC”=12：;;¢5•;;=5：4
이므로 EF”：FC”=1：4
∴ △AEF=;5!;△AEC=;5!;_24=;;™5¢;;(cm¤ )
05 BC”의 중점을 M이라 하면
MG¡”：MA”=MG™”：MD”
A
=1：3
이므로
AD”∥G’¡G™ ”, G’¡G™”=;3!; AD”
같은 방법으로
AB”∥G’™G£” , G’™G£”=;3!; AB”
BC”∥G’£G¢” , G’£G¢”=;3!;BC”
CD”∥G’¢G¡” , G’¢G¡”=;3!; CD”
따라서 (cid:8772)G™G£G¢G¡ª(cid:8772)ABCD이고
닮음비는 1：3이므로
넓이의 비는 1¤ ：3¤ =1：9
∴ (cid:8772)ABCD=9(cid:8772)G™G£G¢G¡
=9_6=54(cm¤ )
(cid:9120) ;;™5¢;; cm¤
D
G£
G™
G¢
G¡
B
M
C
(cid:9120) 54 cm¤
Ⅵ. 도형의 닮음 | 47
”
”
2하 발전워크정답Ⅳ(48~55)사 2014.3.28 9:48 PM 페이지48 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
가능한 두 눈의 수의 합
은 2 이상 12 이하이므로
5의 배수는 5와 10인 경
우가 있다.
‘또는’,‘이거나’
(cid:8857) 각 경우의 수를 구한
후 그 합을 이용한다.
100원(개)
50원(개)
화폐 단위가 가장 큰 것
의 개수부터 정한다.
013 9의 배수가 나오는 경우는 9, 18, 27의 3가지
16의 약수가 나오는 경우는` 1, 2, 4, 8, 16의
100원(개)
50원(개)
10원(개)
014 좌석버스를 이용하는 경우는 4가지, 마을버스를
이용하는 경우는 5가지이므로 구하는 경우의 수는
010 두 눈의 수의 합이 5인 경우는
(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의 4가지
두 눈의 수의 합이 10인 경우는
(4, 6), (5, 5), (6, 4)의 3가지
따라서 구하는 경우의 수는
4+3=7
(cid:9120) ③
011 두 눈의 수의 차가 0인 경우는
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)
의 6가지
두 눈의 수의 차가 1인 경우는
(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6),
(6, 5), (5, 4), (4, 3), (3, 2), (2, 1)
의 10가지
6+10=16
따라서 구하는 경우의 수는
(cid:9120) 16
012 소수가 나오는 경우는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
19, 23의 9가지
6의 배수가 나오는 경우는 6, 12, 18, 24의 4가지
따라서 구하는 경우의 수는
9+4=13
(cid:9120) 13
(cid:9120) ②
(cid:9120) 9
(cid:9120) ②
따라서 구하는 경우의 수는
5가지
3+5=8
4+5=9
2+4=6
015 기차를 이용하는 경우는 2가지, 자동차를 이용하
는 경우는 4가지이므로 구하는 경우의 수는
016 무궁화호를 이용하는 경우는 1가지, 새마을호를 이
용하는 경우는 2가지, KTX를 이용하는 경우는
7가지이므로 구하는 경우의 수는
1+2+7=10
(cid:9120) 10
017 전라도로 가는 경우는 4가지, 경상도로 가는 경우
는 3가지이므로 구하는 경우의 수는
4+3=7
(cid:9120) ③
Ⅳ 확률
1
경우의 수
▶2~12쪽
001 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이므로 구하는 경
(cid:9120) ②
우의 수는 6이다.
002 두 눈의 수의 차가 2인 경우는
(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (6, 4), (5, 3),
(4, 2), (3, 1)
이므로 구하는 경우의 수는 8이다.
(cid:9120) ③
003 2x0)
(cid:9120) ③
DC”=AB”=10(cm)
(cid:9120) 5 cm
∠A는 공통,
∠ACB=∠ADE
AB”∥DE”이므로
∠A=∠E, ∠B=∠D
336 AC”
¤ =CD”_CB”이므로
15¤ =9_(9+BD”)(cid:100)(cid:100)∴ BD”=16(cm)
DB”
¤ =BE”_BA”이므로
16¤ =BE”_20(cid:100)(cid:100)∴ BE”=;;§5¢;;(cm)
∴ AE”=AB”-BE”=20-;;§5¢;;=;;£5§;;(cm)
W
O
R
K
B
O
O
K
(cid:9120) ;;£5§;; cm
평행사변형의 두 쌍의 대
각의 크기는 각각 같다.
337 3x-4y+24=0에 x=0을 대입하면
y=6(cid:100)(cid:100)∴ OB”=6
직각삼각형 AOB에서 OB”
¤ =BH”_BA”이므로
36=BH”_10(cid:100)(cid:100)∴ BH”=:¡5•:
(cid:9120) :¡5•:
338 △ABE와 △ADF에서
∠B=∠D, ∠AEB=∠AFD=90°
이므로 △ABEª△ADF (AA 닮음)
따라서 AB”：AD”=AE”：AF”이므로
AB”：15=8：10(cid:100)(cid:100)∴ AB”=12(cm)
따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는
2_(12+15)=54(cm)
(cid:9120) ③
339 △ABE와 △CBD에서
∠BAE=∠BCD, ∠ABE=∠CBD
이므로 △ABEª△CBD (AA 닮음)
따라서 AB”：CB”=AE”：CD”이므로
9：12=AE”：9(cid:100)(cid:100)∴ AE”=;;™4¶;;(cm)
∴ ED”=AD”-AE”=12-;;™4¶;;=;;™4¡;;(cm)
(cid:9120) ④
Ⅵ. 도형의 닮음 | 69
”
2하 발전워크정답Ⅵ(68~80)사 2014.3.28 9:54 PM 페이지70 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
340 △ABF와 △CEF에서
∠FAB=∠FCE (엇각),
∠FBA=∠FEC (엇각)
이므로 △ABFª△CEF (AA 닮음)
따라서 AB”：CE”=AF”：CF”이므로
12：4=AF”：(20-AF”)(cid:100)(cid:100)∴ AF”=15
341 △ABD와 △OPD에서
∠BAD=∠POD=90°, ∠PDO는 공통
이므로 △ABDª△OPD (AA 닮음)
따라서 AD”：OD”=BD”：PD”이므로
12：:¡2∞:=15：PD”(cid:100)(cid:100)∴ PD”=:¶8∞:
(cid:9120) ③
AB”∥DC”이므로 엇각의
크기가 같다.
(cid:9120) 15
CE”=DC”-DE”
=12-8=4
삼각형의 한 외각의 크기
는 그와 이웃하지 않는
두 내각의 크기의 합과
같다.
342 △AB'E와 △DCB'에서
∠A=∠D=90°,
∠AEB'=90°-∠AB'E=∠DB'C
이므로 △AB'Eª△DCB' (AA 닮음)
따라서 B'E”：CB'”=AB'”：DC”이므로
5：10=AB'”：8(cid:100)(cid:100)∴ AB'”=4(cm)
343 △DBE와 △ECF에서
∠B=∠C=60°,
∠BDE=120°-∠BED=∠CEF
이므로 △DBEª△ECF (AA 닮음)
따라서 BE”
”：CF”=DE”：EF”이므로
4：5=DE”：7
∴ DE”=:™5•: (cm)
∴ AD”=DE”=:™5•: (cm)
(cid:9120) ④
344 ∠EAC=∠BCA (엇각),
∠ECA=∠BCA (접은 각)이므로
∠EAC=∠ECA
즉 △EAC는 EA”=EC”인 이등변삼각형이다.
∴ AF”=CF”=5(cm)
△EFC와 △ABC에서
∠EFC=∠B=90°,
∠ECF=∠ACB (접은 각)
이므로 △EFCª△ABC (AA 닮음)
따라서 EF”：AB”=FC”
”：BC”이므로
EF”：6=5：8(cid:100)(cid:100)∴ EF”=:¡4∞: (cm)
(cid:9120) :¡4∞: cm
70 | SOLUTION
CF”=AC”-AF”
=AC”-EF”
=12-7
=5(cm)
이등변삼각형의 꼭지각
의 꼭짓점에서 밑변에 내
린 수선은 밑변을 이등분
한다.
345 ∠DEF=∠BAE+∠ABE
=∠CBF+∠ABE
=∠ABC
∠EFD=∠CBF+∠FCB
=∠ACD+∠FCB
=∠BCA
이므로 △ABCª△DEF (AA 닮음)
따라서 AB”：DE”=AC”：DF”이므로
15：5=18：DF”(cid:100)(cid:100)∴ DF”=6(cm) (cid:9120) ②
346 ∠EDF=∠DAB+∠ABD
=∠DAB+∠CAF
=∠BAC
∠DEF=∠EBC+∠BCE
=∠EBC+∠ABE
=∠ABC
이므로 △ABCª△DEF (AA 닮음)
따라서 AB”：DE”=BC”
”：EF”이므로
AB”：3=12：4(cid:100)(cid:100)∴ AB”=9(cm)
∴ AC”=AB”=9(cm)
(cid:9120) 9 cm
∠AED=∠ACD=90°, ∠EAD=∠CAD,
AD”는 공통
이므로 △ADE™△ADC (RHA 합동)
∴ DC”=DE”=4(cm)
또 △ABC와 △DBE에서
∠C=∠BED=90°, ∠B는 공통
이므로 △ABCª△DBE (AA 닮음)
따라서 AC”：DE”=BC”：BE”이므로
AC”：4=(5+4)：3(cid:100)(cid:100)∴ AC”=12(cm)
∴ △ABC=;2!;_9_12=54(cm¤ )
(cid:9120) ④
348 △ABE와 △AFE에서
∠BAE=∠FAE, ∠AEB=∠AEF=90°,
AE”는 공통
따라서 △ABE™△AFE (ASA 합동)이므로
AF”=AB”=10(cm), CF”=13-10=3(cm)
또 △BME와 △BCF에서
∠EBM은 공통, BE”：BF”=BM”：BC”=1：2
이므로 △BMEª△BCF (SAS 닮음)
따라서 EM”：FC”=1：2이므로
EM”：3=1：2(cid:100)(cid:100)∴ EM”=;2#;(cm)
(cid:9120) ③
(cid:9120) ③
B'E”=BE”=AB”-AE”
=8-3=5(cm)
CB'”=CB”=10(cm)
347 △ADE와 △ADC에서
2하 발전워크정답Ⅵ(68~80)사 2014.3.28 9:54 PM 페이지71 SinsagoHitec
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직각삼각형의 빗변의 중
점은 외심과 일치하고 외
심에서 세 꼭짓점에 이르
는 거리는 같다.
(cid:9120) ④
동위각의 크기가 같으므로
ED”∥AC”
349 점 M은 직각삼각형 ABC의 외심이므로
BM”=CM”=AM”=10(cm)
∴ DM”=BM”-BD”=10-4=6(cm)
△ADM에서
DM”
¤ =ME”_MA”이므로
36=(10-AE”)_10(cid:100)(cid:100)∴ AE”=:£5™:(cm)
350 AD”
AD”
¤ =BD”_CD”이므로
¤ =16_9=144(cid:100)(cid:100)
∴ AD”=12(cm)(∵ AD”>0)
이때 점 M은 직각삼각형 ABC의 외심이므로
AM”=BM”=CM”=;2!; BC”=:™2∞:(cm)
∴ DM”=CM”-CD”=:™2∞:-9=;2&; (cm)
△AMD에서
;2!;_:™2∞:_DE”=;2!;_;2&;_12이므로
DE”=;2*5$; (cm)
(cid:9120) ;2*5$; cm
△AMD
=;2!;_AM”_DE”
=;2!;_MD”_AD”
354 x：8=10：4에서 x=20
15：y=10：4에서 y=6
∴ x-y=14
엇각의 크기가 같으므로
DE”∥BC”
355 AD”：DB”=AE”：EC”
”이므로
AD”：16=3：(3+9)(cid:100)(cid:100)∴ AD”=4(cm)
W
O
R
K
B
O
O
K
(cid:9120) ③
(cid:9120) ⑤
2
닮음의 활용
▶66~87쪽
351 ㈀ AQ”：AC”=AP”：AB”=2：(2+4)=1：3
㈁ AQ”：QC”=AP”：PB”,
AQ”：AC”=PQ”：BC”
㈂ PQ”：BC”=AP”：AB”이므로
PQ”：9=1：3(cid:100)(cid:100)∴ PQ”=3(cm)
352 BD”：DC”=BE”：EA”이므로
2：1=(9-EA”)：EA”(cid:100)(cid:100)∴ EA”=3(cm)
(cid:9120) ④
(cid:9120) 3 cm
353 8：x=10：15에서 x=12
14：y=10：(10+15)에서 y=35
∴ y-x=23
356 DF”：CF”=DE”：CB”=AD”：AB”
=1：(1+3)=1：4
∴ CF”=;5$;_15=12(cm)
357 DF”：BG”=AF”：AG”=AE”：AC”이므로
9：12=x：(x+4)(cid:100)(cid:100)∴ x=12
358 AD”：AB”=AG”：AF”=GE”：FC”이므로
5：(5+3)=x：y, 5y=8x(cid:100)(cid:100)∴ y=;5*;x
(cid:9120) 4 cm
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ②
(cid:9120) y=;5*;x
359 AD”：AB”=AF”：AG”=FE”：GC”이므로
9：(9+12)=x：14(cid:100)(cid:100)∴ x=6
AD”：DB”=AE”：EC”이므로
9：12=12：y(cid:100)(cid:100)∴ y=16
∴ x+y=22
(cid:9120) ①
Ⅵ. 도형의 닮음 | 71
2하 발전워크정답Ⅵ(68~80)사 2014.3.28 9:54 PM 페이지72 SinsagoHitec
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(cid:9120) :¡5•:
(cid:9120) ㈀, ㈂, ㈃
AB”：AD”=AC”：AE”
또는
AD”：DB”=AE”：EC”
(cid:8857) BC”∥DE”
361 AC”∥FH”이므로 BF”：BA”=FH”：AC” (cid:100)
(5+6)：(5+6+4)=FH”：9(cid:100)(cid:100)
△ABC에서 AD”가 ∠A
의 외각의 이등분선
(cid:8857) AB”：AC”=BD”：CD”
370 AB”：AC”=BD”：CD”이므로
AB”：4=(5+10)：10(cid:100)(cid:100)∴ AB”=6(cm)
360 BC”∥DE”이므로 DE”：BC”=AD”：AB”
4：(2+GC”)=3：6(cid:100)(cid:100)∴ GC”=6
AB”∥FG”이므로 CG”：CB”=FG”：AB”
6：(6+2)=FG”：6(cid:100)(cid:100)∴ FG”
”=;2(;
(cid:9120) ②
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ②
(cid:9120) 9
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) 10
(cid:9120) ③
∴ FH”=;;£5£;;(cid:100)
BH”∥DG”이므로 FD”：FB”
”=FG”：FH”(cid:100)
6：(6+5)=FG”：;;£5£;;(cid:100)(cid:100)∴ FG”
”=:¡5•:
362 ㈁ 4：3+(6-2)：2
363 ⑤ AE”：AC”=DE”：BC”이므로
㈄ (8-3)：8=DE”：14(cid:100)(cid:100)∴ DE”=;;£4∞;;
364 ② △ABC에서
(cid:100) AD”：DB”=CE”：EB”=2：3이므로
(cid:100) AC”∥DE”
365 AD”：DB”=AE”：EC”이어야 하므로
6：(6+8)=x：21(cid:100)(cid:100)∴ x=9
366 BC”∥DE”이므로
AD”：DB”=AE”：EC”=6：9=2：3
이때 AC”∥DF”이어야 하므로
BF”：FC”=BD”：DA”=3：2
BF”：(20-BF”)=3：2(cid:100)(cid:100)∴ BF”=12(cm)
367 AB”：8=5：4(cid:100)(cid:100)∴ AB”=10(cid:100)
368 AB”：AC”=BD”：CD”이므로
AB”：6=4：3(cid:100)(cid:100)∴ AB”=8(cm)
또 AC”∥ED”이므로
AE”：EB”=CD”：DB”
즉 (8-BE”)：BE”=3：4
∴ BE”=:£7™:(cm)
72 | SOLUTION
369 AB”：AC”=BD”：CD”이므로
16：AC”=8：6(cid:100)(cid:100)∴ AC”=12(cm)
BA”：BC”=AE”：CE”이므로
16：14=AE”：(12-AE”)(cid:100)∴ AE”=:£5™:(cm)
(cid:9120) ②
371 AB”：AC”=BD”：CD”이므로
12：AC”=(5+25)：25(cid:100)(cid:100)∴ AC”=10(cm)
372 AB”：AC”=BD”：CD”이므로
15：12=(6+CD”)： CD”(cid:100)(cid:100)∴ CD”=24(cm)
(cid:9120) 6 cm
(cid:9120) ③
(cid:9120) ②
∴
BC”
BD”
6
6+24
=
=;5!;
다른 풀이
BD”：CD”=15：12=5：4이므로
BD”：BC”=5：1(cid:100)(cid:100)∴
BC”
BD”
=;5!;
373 BD”：CD”=AB”：AC”=8：14=4：7이므로
△ABD：△ACD=4：7
즉 20：△ACD=4：7(cid:100)(cid:100)
∴ △ACD=35(cm¤ )
(cid:9120) ①
374 AB”：AC”=BD”
”：CD”이므로
6：4=(4+CD”)：CD”(cid:100)(cid:100)∴ CD”=8(cm)
∴ △ABC：△ACD=BC”：CD”=4：8=1：2
△ABC에서 CD”는 ∠C
의 이등분선이다.
375 AD”：BD”=AC”：BC”=15：10=3：2이므로
△ADC：△BCD=3：2
∴ △BCD=;5@;△ABC=;5@;_{;2!;_10_15}
∴ △ADC=30(cm¤ )
△ABC에서 AD”가 ∠A
의 이등분선
(cid:8857) AB”：AC”=BD”：CD”
376 (cid:9120) ③
(cid:9120) 1：2
(cid:9120) ④
377 EF”=;2!; BC”=;2!;_12=6(cm)
∴ GF”=EF”-EG”=6-4=2(cm)
(cid:9120) ④
DC”=AB”=8(cm)
378 △ACD에서 EG”=;2!; DC”=;2!;_8=4(cm)
△ABC에서 GF”=;2!;`AB”=;2!;_8=4(cm)
∴ EG”+GF”=4+4=8(cm)
(cid:9120) 8 cm
2하 발전워크정답Ⅵ(68~80)사 2014.3.28 9:54 PM 페이지73 SinsagoHitec
379 △ABC에서 AD”=DB”, BC”∥DE”이므로
AE”=EC”, BC”=2DE”=2_6=12(cm)
또 AE”=EC”, AB”∥EF”이므로 BF”=FC”
∴ FC”=;2!; BC”=;2!;_12=6(cm)
(cid:9120) 6 cm
380 △ABC에서 AM”=MB”, MN”∥BC”이므로
MÚN”=;2!; BC”=;2!;_20=10(cm)
∴ MÚP”= MN”-PN”=10-3=7(cm)
△ABD에서 BM”=MA”, MP”∥AD”이므로
AD”=2MP”=2_7=14(cm)
381 △BCM에서 CD”
”=DM”, DE”
”∥MB”이므로
MÚB”=2DE”=2_9=18(cm)
A’M”
”=MÚC”=MÚB”이므로
AC”=2MB”=2_18=36(cm)
382 △AEC에서 AD”=DE”, AF”=FC”이므로
DF”∥EC”, DF”=;2!; EC”=;2!;_8=4(cm)
△BGD에서 BE”=ED”, EC”∥DG”이므로
DG”=2EC”=2_8=16(cm)
∴ FG”=DG”-DF”=16-4=12(cm)
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ③
(cid:9120) ③
383 오른쪽 그림에서 AD”의
중점을 G라 하고 GE”를
그으면
△ADC에서
A
G
D
E
6`cm
F
B
C
AG”=GD”, AE”=EC”
이므로 GE”∥DC”, DC”=2GE”
△BEG에서 BD”=DG”, DF”∥GE”이므로
GE”=2DF”
즉 DC”=2GE”=4DF”이므로
DF”+6=4DF”(cid:100)(cid:100)∴ DF”=2(cm)
(cid:9120) 2 cm
384 △AEC에서 AM”=MC”, EF”=FC”이므로
AE”∥MF”, AE”=2MF”
△BFM에서 BE”=EF”, PE”∥MF”이므로
BP”=PM”, PE”=;2!; MF”
∴ AP”：MF”=(AE”-PE”)：MF”
∴ AP”：MF”=;2#; MF”：MF”=3：2
Q BOX
△QAPª△QFM (AA 닮음)이므로
PQ”：MQ”=AP”：FM”
”=3：2
∴ BP”：PQ”：QM”=5：3：2
BP”=PM”=PQ”+QM”
(cid:9120) 5：3：2
DF”=EF”,
∠FDG=∠FEB (엇각),
∠DFG=∠EFB
(맞꼭지각)
385 △DGF™△EBF (ASA 합동)이므로
GD”=BE”=3(cm)
△ABC에서 AD”=DC”, GD”∥BC”이므로
BC”=2GD”=2_3=6(cm)
(cid:9120) 6 cm
직각삼각형의 빗변의 중
점은 외심이고 외심에서
세 꼭짓점에 이르는 거리
는 같다.
MN”=CN”,
∠FMN=∠ECN (엇각),
∠MNF=∠CNE
(맞꼭지각)
386 오른쪽 그림과 같이 점
M을 지나고 BC”에 평행
한 선분 MF를 그으면
△MFN™△CEN
(ASA 합동)이므로
FN”=EN”=5(cm)
A
F
N
E
M
5`cm
B
C
△ABE에서 AM”=MB”, MF”∥BE”이므로
AF”=FE”=10(cm)
∴ AE”=2AF”=2_10=20(cm)
(cid:9120) ④
W
O
R
K
B
O
O
K
DF”=EF”,
∠FDG=∠FEC (엇각),
∠DFG=∠EFC
(맞꼭지각)
사각형의 각 변의 중점을
연결하여 만든 사각형
① 사각형, 평행사변형
(cid:8857) 평행사변형
② 직사각형, 등변사다리꼴
(cid:8857) 마름모
③ 마름모 (cid:8857) 직사각형
④ 정사각형 (cid:8857) 정사각형
직사각형의 두 대각선의
길이는 같다.
387 오른쪽 그림과 같이 점 D
를 지나고 BE”에 평행한
선분 DG를 그으면
△DFG™△EFC
A
D
G
F
C
(ASA 합동)이므로
B
E
△ABC에서 AD”=DB”, DG”∥BC”이므로
CE”=GD”
BC”=2DG”
즉 BC”=2CE”이므로 BC”：CE”=2：1
(cid:9120) 2：1
388 (cid:9120) ㈎ FG” ㈏ EH” ㈐ 평행사변형
389 PS”=QR”=;2!; BD”,
A
B
S
Q
D
R
C
PQ”=SR”=;2!;AC”
P 12`cm
이때 AC”=BD”이므로
(cid:8772)PQRS는 마름모이다.
∴ ((cid:8772)PQRS의 둘레의 길이)=4 PS”
∴ ((cid:8772)PQRS의 둘레의 길이)=4_;2!;BD”
∴ ((cid:8772)PQRS의 둘레의 길이)=2BD”=2_12
∴ ((cid:8772)PQRS의 둘레의 길이)=24(cm)
(cid:9120) 24 cm
Ⅵ. 도형의 닮음 | 73
”
2하 발전워크정답Ⅵ(68~80)OK 2014.3.31 3:9 PM 페이지74 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
AE”：AB”=EG”：BH”
등변사다리꼴의 두 대각
선의 길이는 같다.
(cid:8772)AEND는 평행사변형
이다.
(cid:8772)AFCD는 평행사변형
이다.
AD”∥BC”인 사다리꼴
ABCD에서 AB”, DC”의
중점을 각각 E, G라 할 때
EG”=;2!;(AD”+BC”)
(cid:9120) 48 cm¤
(마름모의 넓이)
=;2!;_(두 대각선의 길이
의 곱)
390 EF”=HG”=;2!; AC”,
A
H
EH”=FG”=;2!; BD”
이때 AC”=BD”이므로
(cid:8772)EFGH는 마름모이다.
E
B
D
G
F
C
따라서 EF”=;4!;_60=15(cm)이므로
AC”=2EF”=2_15=30(cm)
(cid:9120) 30 cm
391 △ABD에서 ME”=;2!;AD”=;2!;_8=4(cm)
∴ MF”=2ME”=2_4=8(cm)
△ABC에서 BC”=2MF”=2_8=16(cm)
(cid:9120) 16 cm
392 EN”=AD”=6(cm)이므로
ME”
”=10-6=4(cm)
△ABF에서 BF”=2ME”
”=2_4=8(cm)
FC”=AD”=6(cm)이므로
BC”=BF”+FC”=8+6=14(cm)
(cid:9120) ②
393 ;2!;_(10+14)_HF”=96
∴ HF”=8(cm)
또 EG”=;2!;_(10+14)
또 EG”=12(cm)
(cid:8772)EFGH는 마름모이므로
A
E
B
10`cm
H
F
14`cm
D
G
C
(cid:8772)EFGH=;2!;_8_12=48(cm¤ )
394 6：3=x：5이므로 x=10
5：15=3：y이므로 y=9
∴ x+y=19
(cid:9120) ⑤
395 x：27=20：30(cid:100)(cid:100)∴ x=18
30：10=27：y(cid:100)(cid:100)∴ y=9
20：10=z：8(cid:100)(cid:100)∴ z=16
396 오른쪽 그림과 같이 DC”와
평행한 선분 AH를 그으면
△ABH에서
1：2=EG”：3
(cid:9120) x=18, y=9, z=16
A
7
D
G
E
B
3
H
7
F
C
∴ EG”=;2#;
또 (cid:8772)AGFD는 평행사변형이므로
GF”=AD”=7
74 | SOLUTION
AE”：AB”=EG”：BH”
∴ EF”=EG”+GF”=;2#;+7=;;¡2¶;;
(cid:9120) :¡2¶:
평행사변형의 두 쌍의 대
변의 길이는 각각 같다.
397 오른쪽 그림과 같이 DC”와
평행한 선분 AH를 그으면
7`cm
A
D
△ABH에서
2：(2+1)=8：BH”
E
G
8`cm 7`cm
F
∴ BH”=12(cm)
B
또 (cid:8772)AHCD는 평행사변형이므로
H
C
HC”=AD”=7(cm)
∴ BC”=BH”+HC”
=12+7=19(cm)
398 오른쪽 그림과 같이
평행선 k를 그으면
9：x=6：4이므로
x`cm
x=6
9：(9+6)=(y-8)：15
이므로 y=17
∴ y-x=11
9`cm
15`cm
l
8`cm 6`cm
y`cm
m
4`cm
n
8`cm
k
(cid:9120) ②
(cid:9120) ③
399 △ABC에서 AE”：AB”=EP”：BC”이므로
1：3=x：10(cid:100)(cid:100)∴ x=;;¡3º;;
△ACD에서` CF”：CD”=PF”：AD”이므로
2：3=y：4(cid:100)(cid:100)∴ y=;3*;
∴ x+y=6
(cid:9120) 6
A
y
x
l
m
n
15
6
B
10
C
30
400 AB”：AC”
=15：(15+10)
=3：5
이므로
x：30=3：5
∴ x=18
CB”：CA”=10：(15+10)=2：5이므로
6：y=2：5(cid:100)(cid:100)∴ y=15
∴ x-y=3
401 △ABD에서 PE”：AD”=BP”：BA”이므로
PE”：4=1：3(cid:100)(cid:100)∴ PE”=;3$;(cm)
△DBC에서 EQ”：BC”=DQ”：DC”이므로
EQ”：9=2：3(cid:100)(cid:100)∴ EQ”=6(cm)
∴ PE”：EQ”=;3$;：6=2：9
(cid:9120) ②
(cid:9120) 2：9
”
2하 발전워크정답Ⅵ(68~80)사 2014.3.28 9:54 PM 페이지75 SinsagoHitec
402 BF”：FC”=12：8=3：2이므로
(20-FC”)：FC”=3：2(cid:100)(cid:100)∴ FC”=8(cm)
△BCD에서 EF”：DC”=3：5이므로
EF”：8=3：5(cid:100)(cid:100)∴ EF”=:™5¢:(cm)
∴ EF”+FC”=:™5¢:+8=:§5¢:(cm)
403 △ABC에서
CE”：CB”=EP”：BA”=4：6=2：3이므로
CE”：(CE”+4)=2：3(cid:100)(cid:100)∴ CE”=8(cm)
△BCD에서
BE”：BC”=EP”：CD”이므로
4：12=4：CD”(cid:100)(cid:100)∴ CD”=12(cm)
(cid:9120) ③
(cid:9120) ⑤
404 △ABEª△CDE (AA 닮음)이므로
BE”：DE”=6：8=3：4
즉 EF”：DC”=3：7이므로
EF”：8=3：7(cid:100)(cid:100)∴ EF”=:™7¢: (cm)
(cid:9120) :™7¢: cm
D
405 오른쪽 그림과 같이
점 E에서 BC”에 내
린 수선의 발을 H
E
18`cm
12`cm
A
B
H
20`cm
C
라 하면
△ABEª△CDE
(AA 닮음)이므로
BE”：DE”=12：18=2：3
즉 BE”：BD”=2：5이므로
EH”：18=2：5(cid:100)(cid:100)∴ EH”=:£5§: (cm)
∴ △EBC=;2!;_20_:£5§:=72(cm¤ )
(cid:9120) ②
406 AO”：CO”=DO”：BO”=AD”：CB”
=5：10=1：2
△ABC에서 1：3=EO”：10(cid:100)(cid:100)
∴ EO”=:¡3º: (cm)
△ACD에서 2：3=OF”：5(cid:100)(cid:100)
∴ OF”=:¡3º: (cm)
∴ EF”=EO”+OF”=:¡3º:+:¡3º:=:™3º:(cm)
Q BOX
BF”：FC”=BE”：DE”
=AB”：CD”
407 △ABC에서
△ABD에서
3：4=E’N”：24(cid:100)(cid:100)∴ E’N”=18(cm)
1：4=E’M”：16(cid:100)(cid:100)∴ E’M”
”=4(cm)
∴ MÚN”=EN”-E’M”=18-4=14(cm)
408 △ABC에서
△ABD에서
6：15=PO”：15(cid:100)(cid:100)∴ PO”=6(cm)
9：15=6：AD”(cid:100)(cid:100)∴ AD”
”=10(cm)
(cid:9120) ③
(cid:9120) 10 cm
세 선분이 모두 한 선분
에 수직이면 동위각의 크
기가 같으므로 세 선분은
평행하다.
AB”∥DC”이므로
∠EAB=∠ECD(엇각),
∠EBA=∠EDC(엇각)
409 △ADC에서`` FE”∥DC”이므로
AE”：EC”=AF”：FD”=3：2
△ABC에서 DE”∥BC”
”이므로
AD”：DB”=AE”：EC”=3：2
즉 20：x=3：2(cid:100)(cid:100)∴ x=:¢3º:
W
O
R
K
B
O
O
K
(cid:9120) :¢3º:
410 △ABD에서 EF”∥AD”이므로
BE”：EA”=BF”：FD”=6：2=3：1
△ABC에서 ED”∥AC”이므로
BD”：DC”=BE”：EA”=3：1
즉 (6+2)：DC”=3：1(cid:100)(cid:100)∴ DC”=;3*; (cm)
(cid:9120) ;3*; cm
411 점 I가 △ABC의 내심이므로 AD”는 ∠A의 이
등분선이다.
따라서 AB”：AC”=BD”：CD”이므로
6：AC”=3：5(cid:100)(cid:100)∴ AC”=10(cm)
또 BE”는 ∠B의 이등분선이므로
BA”：BC”=AE”：CE”
6：8=AE”：(10-AE”)(cid:100)(cid:100)∴ AE”=:£7º: (cm)
(cid:9120) ⑤
412 점 I가 △ABC의 내심이
므로 BD”는 ∠B의 이등
A
분선이다.
12：8=(15-CD”)：CD”
12`cm
15`cm
D
E
I
∴ CD”=6(cm)
IE”∥BC”이므로
∠EIC=∠ICB (엇각)
B
8`cm
C
즉 ∠EIC=∠ECI이므로 △ICE는 이등변삼각
Ⅵ. 도형의 닮음 | 75
삼각형의 내심
(cid:8857) 세 내각의 이등분선의
교점
BA”：BC”=AD”：CD”
(cid:9120) ④
형이다.
”
2하 발전워크정답Ⅵ(68~80)사 2014.3.28 9:54 PM 페이지76 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
∠BAE=∠CAF,
∠AEB=∠AFC=90°
△ASD에서
AH”=HD”, PH”∥SD”
이므로 SD”=2PH”
AG”∥EC”, BH”∥FD”이
므로 (cid:8772)PQRS는 평행사
변형이다.
∴ PS”=QR”, PQ”=SR”
ED”：FD”=BD”：CD”=3：4(cid:100)(cid:100)
ED”：(3.5-ED”)=3：4(cid:100)(cid:100)∴ ED”=1.5
또 △ABEª△ACF (AA 닮음)이므로
AB”：AC”=AE”：AF”
12：16=AE”：(AE”+3.5)(cid:100)(cid:100)∴ AE”=10.5
∴ AD”=AE”+ED”=10.5+1.5=12
(cid:9120) 12
419 △BAP에서 BE”=EA”, EQ”∥AP”이므로
BQ”=QP”
같은 방법으로 △DRC에서` RS”=SD”이므로
BQ”=QP”=RS”=SD”=2PH”
∴ BQ”=2_4=8(cm)
∴ BH”=BQ”+QP”+PH”=8+8+4=20(cm)
(cid:9120) 20 cm
420 PS”=x cm, PQ”=y cm라 하면
AP”=QR”=RC”=x(cm)
SG”=;2!;`RC”=;2!;x(cm)
BQ”=RS”=SD”=y(cm)
PH”=;2!;`SD”=;2!;y(cm)
AG”=21 cm, BH”=24 cm이므로
x+x+;2!;x=21에서 x=:¢5™:
y+y+;2!;y=24에서 y=:¢5•:
따라서 (cid:8772)PQRS의 둘레의 길이는
2_{:¢5•:+:¢5™:}=36(cm)
(cid:9120) ④
삼각형의 중선은 그 삼각
형의 넓이를 이등분한다.
421 △ABC=2△ABD=2_2△ABE
△ABC=4△ABE=4_4=16(cm¤ )
(cid:9120) 28 cm
422 △ABD=△ADC
AD”=BD”이므로
∠ABC=∠BAD
=∠DAC,
∠C는 공통
△ABD=;2!;△ABC=;2!;_24=12(cm¤ )
AP”=PQ”=QD”이므로
△CAP=△CPQ=△CQD
∴ △CPQ=;3!;△ADC=;3!;_12=4(cm¤ )
(cid:9120) ③
(cid:9120) ④
따라서 △DBC에서
IE”：BC”=DE”：DC”이므로
IE”：8=(6-EC”)：6=(6-IE”)：6
∴ IE”=:™7¢:(cm)
(cid:9120) ③
(cid:9120) ③
(cid:9120) ④
k
l
m
n
413 AB”：AC”=BD”：CD”이므로
8：6=4：CD”(cid:100)(cid:100)∴ CD”=3(cm)
AB”：AC”=BE”：CE”이므로
8：6=BE”：(BE”-7)(cid:100)(cid:100)∴ BE”=28(cm)
414 AB”：AC”=BE”：CE”이므로
9：6=(BC”+10)：10(cid:100)(cid:100)∴ BC”=5(cm)
AB”：AC”=BD”：CD”이므로
9：6=(5-CD”)：CD”(cid:100)(cid:100)∴ CD”=2(cm)
415 오른쪽 그림과 같이
평행선 p를 그으면
8`cm
2：3=(x-8)：12
∴ x=16
8`cm
{x-8}`cm
(cid:9120) ④
12`cm
8`cm
p
416 오른쪽 그림과 같이
16`cm
D
A
E
G
I
B
F
H
J
C
25`cm
K
L
점 A에서 CD”와 평행
한 직선을 그었을 때,
IJ’, BC”와 만나는 점을
9`cm
각각 K, L이라 하면
△ABL에서` AI”：AB”=IK”：BL”이므로
3：4=9：BL”(cid:100)(cid:100)∴ BL”=12(cm)
또 (cid:8772)ALCD는 평행사변형이므로
LC”=AD”=16(cm)
∴ BC”=BL”+LC”=12+16=28(cm)
417 △ABCª△DAC (AA 닮음)이므로
BC”：AC”=AC”：DC”
15：9=9：DC”(cid:100)(cid:100)∴ DC”=;;™5¶;;
AD”는 ∠A의 이등분선이므로
AB”：AC”=BD”：CD”
AB”：9={15-;;™5¶;;}：;;™5¶;;(cid:100)(cid:100)∴ AB”=16
(cid:9120) ⑤
76 | SOLUTION
418 AD”는 ∠A의 이등분선이므로
BD”：CD”=AB”：AC”=12：16=3：4
이때 △BDEª△CDF (AA 닮음)이므로
∠BED=∠CFD=90°,
∠BDE=∠CDF
(맞꼭지각)
423 △ABP：△PBD=3：2이므로
12：△PBD=3：2(cid:100)(cid:100)∴ △PBD=8(cm¤ )
△PBD=△PDC이므로
△PBC=2_8=16(cm¤ )
(cid:9120) 16 cm¤
2하 발전워크정답Ⅵ(68~80)사 2014.3.28 9:54 PM 페이지77 SinsagoHitec
∠DAG는 공통,
∠ADG=∠ABF(동위각)
△ADG+△AGE=;2!;_;3@;△ABC
W
O
R
K
B
O
O
K
Q BOX
BE”는 중선이므로
AE”=EC”
(cid:9120) ③
(cid:9120) 24
직각삼각형의 빗변의 중
점은 외심이고 외심에서
세 꼭짓점에 이르는 거리
는 같다.
삼각형의 무게중심은 세
중선의 길이를 각 꼭짓점
으로부터 각각 2：1로 나
눈다.
424 AC”=2AE”=2_8=16(cm)(cid:100)(cid:100)∴ x=16
BG”=2GE”=2_3=6(cm)(cid:100)(cid:100)∴ y=6
∴ x-y=10
425 AD”=3GD”=3_4=12이므로
BC”=2AD”=2_12=24
426 GD”=;3!; AD”, MD”=;2!;AD”이므로
MG”=MD”-GD”=;6!;AD”
∴ AD”=6MG”
”=6_5=30(cm)
427 AG”：GF”=2：1이므로
10：x=2：1(cid:100)(cid:100)∴ x=5
△ADGª△ABF (AA 닮음)이므로
DG”：BF”=AG”：AF”
6：BF”=2：3(cid:100)(cid:100)∴ BF”=9(cm)
FC”=BF”이므로 y=9
∴ x+y=14
428 △MGG'과 △MAD에서
MG”：MA”=MG'”：MD”=1：3,
∠GMG'은 공통이므로
△MGG'ª△MAD (SAS 닮음)
따라서 GG'”：AD”=1：3이므로
GG'”：21=1：3(cid:100)(cid:100)∴ GG'”=7(cm)
(cid:9120) ④
(cid:9120) ②
(cid:9120) ②
429 △DGF와 △EGB에서
∠DFG=∠EBG (엇각),
∠FDG=∠BEG (엇각)이므로
△DGFª△EGB (AA 닮음)
따라서 DG”：EG”=GF”：GB”=1：2이므로
DG”=;2!;EG”
이때 EG”=;3!; AE”=;3!;_24=8(cm)이므로
DG”=;2!; EG”=;2!;_8=4(cm)
(cid:9120) ③
(cid:9120) ④
△AQD에서
AM”=MD”, MP”∥DQ”
이므로 MP”=;2!;DQ”
430 ④ △GBD=;3!;△ADC
431 AD”⊥BC”이므로
△ABC=;2!;_6_4=12(cm¤ )
∴ △GBC=;3!;△ABC=;3!;_12=4(cm¤ )
(cid:9120) ②
이등변삼각형에서 무게중
심은 꼭지각의 이등분선
위에 있고 꼭지각의 이등
분선은 밑변을 수직이등
분한다.
432 (cid:8772)GDG'E
=△GDG'+△GEG'
=;6!;△GBC+;6!;△GBC
A
G
G'
D
E
B
C
=;3!;△GBC
=;3!;_;3!;△ABC
=;9!;△ABC=;9!;_18=2(cm¤ )
(cid:9120) 2 cm¤
433 △ADG=;2!;△ABG,
A
△AGE=;2!;△AGC
이므로 색칠한 부분의
넓이는
G
D
E
B
C
△ADG+△AGE=;2!; (△ABG+△AGC)
△ADG+△AGE=;3!;△ABC
△ADG+△AGE=;3!;_24=8(cm¤ )
(cid:9120) 8 cm¤
434 △DEG=△DFE=△DCF이므로
△GDC=3△DFE=3_2=6(cm¤ )
∴ △ABC=6△GDC=6_6=36(cm¤ ) (cid:9120) ⑤
435 AG”：GD”=2：1이므로
△AEG=2△GED=2_6=12(cm¤ )
∴ △AED=12+6=18(cm¤ )
AE”：EB”=2：1이므로
△EBD=;2!;△AED=;2!;_18=9(cm¤ )
(cid:9120) ④
436 두 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중
심이므로 BP”=2PO”, QD”=2OQ”
이때 BO”=DO”이므로 BP”=PQ”=QD”=6(cm)
∴ BD”=3_6=18(cm)
∴ EF”=;2!; BD”=;2!;_18=9(cm)
(cid:9120) BD”=18 cm, EF”=9 cm
437 두 점 P, Q는 각각 △ABD, △BCD의 무게중
심이므로
AP”=;3@;_9=6, DQ”=;3@;_12=8
따라서 MP”=;2!;DQ”=4, AM”=;2!;AD”=7
이므로 △APM의 둘레의 길이는
AP”+PM”+MA”=6+4+7=17
(cid:9120) ②
Ⅵ. 도형의 닮음 | 77
2하 발전워크정답Ⅵ(68~80)사 2014.3.28 9:54 PM 페이지78 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
438 ㈀ AQ”：AC”=AP”：AM”=2：3
㈁ OQ”：QC”=OP”：PB”=1：2
444 처음 그림과 확대 복사된 그림의 닮음비가
100：140=5：7이므로 넓이의 비는
㈂ PQ”：BM”=PQ”：MC”=AP”：AM”=2：3
5¤ ：7¤ =25：49
㈃ BP”=;3@;`BO”=;3@;_;2!; BD”=;3!; BD”이므로
㈃ BP”：PD”=1：2
439 △ADEª△ABC (AA 닮음)이고
닮음비는 AD”：AB”=3：(3+2)=3：5
따라서 넓이의 비는 3¤ ：5¤ =9：25이므로
18：△ABC=9：25
∴ △ABC=50(cm¤ )
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ③
440 △ABCª△BDC (AA 닮음)이고 닮음비는
AC”：BC”=5：3이므로
넓이의 비는 5¤ ：3¤ =25：9
△ABC=;2!;_3_4=6(cm¤ )이므로
6：△BDC=25：9
∴ △BDC=;2%5$; (cm¤ )
(cid:9120) ;2%5$; cm¤
441 네 원의 넓이의 비는
1¤ ：2¤ ：3¤ ：4¤ =1：4：9：16
따라서 A, B, C, D 네 부분의 넓이의 비는
1：(4-1)：(9-4)：(16-9)=1：3：5：7
(cid:9120) 1：3：5：7
442 △AODª△COB (AA 닮음)이고 닮음비는
AD”：CB”=8：20=2：5
따라서 넓이의 비는 2¤ ：5¤ =4：25이므로
16：△COB=4：25(cid:100)(cid:100)∴ △COB=100(cm¤ )
(cid:9120) 100 cm¤
443 △AODª△COB (AA 닮음)이고 닮음비는
AD”：CB”=6：10=3：5이므로
△AOD：△COB=3¤ ：5¤ =9：25
즉 △AOD：50=9：25
∴ △AOD=18(cm¤ )
BO”：DO”=10：6=5：3이므로
△ABO：△AOD=5：3
즉 △ABO：18=5：3
∴ △ABO=30(cm¤ )
△CDO=△ABO=30(cm¤ )
∴ (cid:8772)ABCD=18+30+50+30=128(cm¤ )
(cid:9120) ⑤
78 | SOLUTION
닮은 두 평면도형의 닮음
비가 m：n
(cid:8857) 넓이의 비는 m¤ ：n¤`
∠ABC=∠BDC=90°,
∠C는 공통
닮은 두 입체도형의 닮음
비가 m：n
(cid:8857) 겉넓이의 비는 m¤ ：n¤`
(cid:8857) 부피의 비는 m‹ ：n‹`
A
D
O
B
C
(cid:8857) △AOD∽△COB
(AA 닮음)
확대 복사된 그림의 넓이를 x cm¤ 라 하면
50：x=25：49(cid:100)(cid:100)∴ x=98
(cid:9120) ②
445 세 파이의 닮음비가 18：24：30=3：4：5이므
로 넓이의 비는 3¤ ：4¤ ：5¤ =9：16：25
S, L파이 각각 한 개와 M파이 두 개의 넓이의
비는 (9+25)：(2_16)=34：32
따라서 S파이와 L파이를 각각 한 개씩 구매하는
것이 더 이익이다.
(cid:9120) 풀이 참조
446 처음 정사면체와 작은 정사면체의 닮음비가
1：;3@;=3：2이므로 겉넓이의 비는
3¤ ：2¤ =9：4
447 두 정육면체 A, B의 겉넓이의 비가
48：108=4：9=2¤ ：3¤ 이므로 닮음비는 2：3
448 두 구의 닮음비가 3：5이므로
겉넓이의 비는 3¤ ：5¤ =9：25
큰 구의 겉넓이를 x cm¤ 라 하면
72p：x=9：25(cid:100)(cid:100)∴ x=200p
449 두 원기둥의 부피의 비가 64：125=4‹ ：5‹ 이므로
닮음비는 4：5
x：30=4：5이므로 x=24
16：y=4：5이므로 y=20
∴ x+y=44
450 두 사각뿔 O-ABCD와 O-EFGH의 닮음비가
5：2이므로 부피의 비는
5‹ ：2‹ =125：8
(사각뿔 O-ABCD의 부피)：24=125：8
∴ (사각뿔 O-ABCD의 부피)=375(cm‹ )
따라서 사각뿔대의 부피는
375-24=351(cm‹ )
(cid:9120) 351 cm‹
(cid:9120) ④
(cid:9120) 2：3
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ⑤
2하 발전워크정답Ⅵ(68~80)사 2014.3.28 9:54 PM 페이지79 SinsagoHitec
1：(8-1)：(27-8)=1：7：19
(cid:9120) ③
460 △ABCª△AB'C' (AA 닮음)이므로
451 △ADE, △AFG, △ABC를 회전시켜 만든 회
전체의 부피의 비가
1‹ ：2‹ ：3‹ =1：8：27이므로
구하는 세 입체도형의 부피의 비는
452 두 삼각기둥 A, B의 부피의 비가
8：27=2‹ ：3‹ 이므로
닮음비는 2：3
따라서 두 삼각기둥 A, B의 겉넓이의 비는
2¤ ：3¤ =4：9
(cid:9120) ③
453 두 원기둥 A, B의 옆넓이의 비가
9：16=3¤ ：4¤ 이므로
닮음비는 3：4
따라서 두 원기둥 A, B의 부피의 비는
3‹ ：4‹ =27：64이므로
원기둥 B의 부피를 x cm‹ 라 하면
54：x=27：64(cid:100)(cid:100)∴ x=128
(cid:9120) ④
454 두 풍선 A, B의 부피의 비는
54：128=27：64=3‹ ：4‹ 이므로
닮음비는 3：4
(cid:9120) 3：4
455 S용기와 L용기의 닮음비가 2：3이므로
부피의 비는 2‹ ：3‹ =8：27
L용기에 가득 담은 아이스크림의 가격을 x원이
라 하면
3200：x=8：27(cid:100)(cid:100)∴ x=10800
(cid:9120) 10800원
456 그릇의 높이와 물의 높이의 비가 4：3이므로
부피의 비는 4‹ ：3‹ =64：27
물의 부피를 x cm‹ 라 하면
256：x=64：27(cid:100)(cid:100)∴ x=108
(cid:9120) ②
457 (축척)=
5 cm
4 km
=
5 cm
400000 cm
=
1
80000
따라서 구하는 실제 거리는
8_80000=640000(cm)=6.4(km)
(cid:9120) ④
Q BOX
닮은 두 입체도형의 부피
의 비가 m‹ ：n‹
(cid:8857) 닮음비는 m：n
(cid:8857) 겉넓이의 비는 m¤ ：n¤`
길이 및 넓이의 단위 사
이의 관계
① 1 m=100 cm
1 km=1000 m
② 1 m¤ =10000 cm¤
1 km¤ =1000000 m¤
삼각형의 무게중심은 세
중선의 길이를 각 꼭짓점
으로부터 각각 2：1로 나
눈다.
(축척)
=
(축도에서의 길이)
(실제 길이)
(실제 길이)
=
(축도에서의 길이)
(축척)
(cid:9120) 3 m
(cid:9120) 3.9 m
459 농구대의 높이를 x m라 하면
x：0.2=1.5：0.1(cid:100)(cid:100)∴ x=3
2.5：(2.5+4)=1.5：B'C'”
∴ B'C'”=3.9(m)
461 △ABCª△ADE (AA 닮음)이므로
AB”：(AB”+2)=6：8
∴ AB”=6(cm)
따라서 AB”의 실제 길이는
6_50000=300000(cm)=3(km)
462 (축척)=
10cm
25 m
=
10 cm
2500 cm
=
1
250
따라서 호수의 실제 폭은
12_250=3000(cm)=30(m)
(cid:9120) 3 km
(cid:9120) 30 m
W
O
R
K
B
O
O
K
463 AG”=24(cm)이므로 GE”=;2!;_24=12(cm)
AD”=DB”, AF”=FC”이므로 DF”∥BC”
즉 △GBEª△GFH (AA 닮음)이므로
EG”：HG”=BG”：FG”=2：1
12：HG”=2：1(cid:100)(cid:100)∴ HG”=6(cm)
(cid:9120) ④
464 △GHEª△GFA (AA 닮음)이므로
GH”：GF”=GE”：GA”=1：2
∴ HG”=;2!; GF”
BG”=2GF”이므로
BH”=BG”-HG”=2GF”-;2!; GF”=;2#; GF”
∴ BH”：HG”：GF”=;2#; GF”：;2!; GF”：GF”
∴ BH”：HG”：GF=3：1：2
(cid:9120) 3：1：2
458 두 지점의 실제 왕복 거리는
2_18_300000=10800000(cm)=108(km)
따라서 왕복하는 데 걸리는 시간은
:¡6º0•:=1.8(시간), 즉 1시간 48분이다. (cid:9120) ④
(시간)=
(거리)
(속력)
465 △GBFª△GEH (AA 닮음)이고 닮음비는
삼각형의 넓이는 세 중선
에 의하여 6등분된다.
GB”：GE”=2：1이므로
넓이의 비는 2¤ ：1¤ =4：1
즉 △GBF：5=4：1이므로 △GBF=20(cm¤ )
∴ △ABC=6△GBF=6_20=120(cm¤ )
(cid:9120) 120 cm¤
Ⅵ. 도형의 닮음 | 79
2하 발전워크정답Ⅵ(68~80)사 2014.3.28 9:54 PM 페이지80 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
466 점 G는 △ABC의 무게중심이므로
AD”=;2#; AG”=;2#;_12=18(cm)
△ADC에서 AD”∥EF”, AE”=EC”이므로
EF”=;2!;AD”=;2!;_18=9(cm)
(cid:9120) ②
(cid:8772)ABQP, (cid:8772)PQCD는
평행사변형이다.
△CRB에서
BQ”=QC”, RB”∥IQ”
이므로 RI”=IC”
471 IH”∥CD”이므로 △RIHª△RCD (AA 닮음)
이때 닮음비는 RI”
”：RC”=1：2이므로
넓이의 비는 1¤ ：2¤ =1：4
∴ △RCD=4_9=36(cm¤ )
∴ (cid:8772)ABCD=2△RCD=2_36=72(cm¤ )
467 점 G는 △ABC의 무게중심이므로
BD”=3GD”=3
점 D는 △ABC의 외심이므로
AD”=CD”=BD”=3
△DBC에서 BE”=EC”, BD”∥ EF”이므로
EF”=;2!;BD”=;2#;(cid:100)(cid:100)∴ x=;2#;
DF”=;2!;DC”=;2#;(cid:100)(cid:100)∴ y=;2#;
∴ x+y=3
(cid:9120) 3
468 △BCE에서 BD”=DC”, BE”∥DF”이므로
BE”=2DF”
점 G는 △ABC의 무게중심이므로
BG”=;3@; BE”=;3@;_2DF”
”=;3$; DF”
∴ BG”：DF”=;3$; DF”：DF”=4：3
(cid:9120) 4：3
469 점 N이 △DBC의 무
게중심이므로
△BCD=6△NQC
A
P
D
M
O
N
=6_6
B
Q
C
=36(cm¤ )
이때 △OMB≡△OND(ASA합동)이므로
(cid:8772)PMND=△PBD=△DBQ
=;2!;△BCD=;2!;_36
=18(cm¤ )
(cid:9120) ④
점 M, N이 각각 △ABD, △DBC의 무게중심
다른 풀이
이므로
△NQC=△OND=△PMD=△MOD
∴ (cid:8772)PMND=3△NQC=3_6=18(cm¤ )
A
P
Q
D
F
B
E
C
470 점 P, Q가 각각
△ABC, △ACD의
무게중심이므로
BP”=PQ”=QD”
∴ (cid:8772)ABCD
=2△ABD
=2_3△APQ
80 | SOLUTION
=6_20=120(cm¤ )
(cid:9120) 120 cm¤
△ABC에서
BM”=MA”, BN”=NC”
이므로
AC”∥MN”, AC”=2MN”
472 AC”∥MN”
”이므로 △APCª△NPM (AA 닮음)
이때 닮음비는 AC”：NM”
”=2：1이므로
넓이의 비는 2¤ ：1¤ =4：1
∴ △PMN=;4!;△APC
점 P는 △ABC의 무게중심이므로
△APC=;3!;△ABC
∴ △PMN=;4!;△APC=;4!;_;3!;△ABC
∴ △PMN=;4!;_;3!;_;2!;(cid:8772)ABCD
∴ △PMN=;2¡4;_96=4(cm¤ )
닮은 두 입체도형의 닮음
비가 m：n
(cid:8857) 부피의 비는 m‹ ：n‹
473 작은 물통과 큰 물통의 닮음비가 8：20=2：5
이므로 부피의 비는 2‹ ：5‹ =8：125
즉 큰 물통의 부피는 작은 물통의 부피의 :¡ 8@
이다.
∞:배
이때 125÷8=15.625이므로 큰 물통을 가득 채
우려면 적어도 물을 16번 부어야 한다.
OB”=OD”,
∠MBO=∠NDO(엇각),
∠MOB=∠NOD
(맞꼭지각)
(cid:9120) ④
(cid:9120) ②
(cid:9120) ③
474 물의 높이와 그릇의 높이의 비가 3：5이므로
부피의 비는 3‹ ：5‹ =27：125
그릇에 물을 가득 채우는 데 걸리는 시간을 x초
81：x=27：125(cid:100)(cid:100)∴ x=375
따라서 375-81=294(초) 동안 물을 더 넣어야
라 하면
한다.
(cid:9120) 294초
475 물의 깊이와 유리잔의 깊이의 비가 1：2이므로
부피의 비는 1‹ ：2‹ =1：8
유리잔에 물을 가득 채우는 데 걸리는 시간을
x초라 하면
4：x=1：8(cid:100)(cid:100)∴ x=32
따라서 32-4=28(초) 동안 물을 더 넣어야 한다.
(cid:9120) 28초
