2018년 좋은책신사고 우공비Q 수학 2 ( 하 ) 특강편 17강 + 3강 답지

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Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지1 SinsagoHitec 우공비 중등 수학 (하) 특강편 2 SOLUTION ● LECTURE BOOK ● WORK BOOK 2 32  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지2 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX LECTURE BOOK 6쪽 1 (cid:9000) ⑴ 3 ⑵ 6 ⑶ 5 주사위의 눈 (cid:8857) 1, 2, 3, 4, 5, 6 확률Ⅳ LECTURE 01 경우의 수 2 (cid:9000) 7 3 (cid:9000) 5 4 (cid:9000) 12 5 (cid:9000) 42 07 ⁄ a=1인 경우 ¤ a=2인 경우 ‹ a=3인 경우 bæ2이므로 b=2, 3, 4, 5, 6의 5가지 … 2점 bæ4이므로 b=4, 5, 6의 3가지 … 2점 bæ6이므로 b=6의 1가지 … 2점 이상에서 구하는 경우의 수는 5+3+1=9 소수 (cid:8857) 1보다 큰 자연 수 중에서 1과 자기 자 신만을 약수로 갖는 수 08 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23의 9가지 4의 배수는 4, 8, 12, 16, 20, 24의 6가지 따라서 구하는 경우의 수는 9+6=15 09 16의 약수는 1, 2, 4, 8, 16의 5가지 7의 배수는 7, 14의 2가지 따라서 구하는 경우의 수는 5+2=7 10 기차 노선이 4가지, 비행기 노선이 3가지가 있으 므로 구하는 경우의 수는 4+3=7 11 연필이 2자루, 볼펜이 4자루, 색연필이 7자루가 있으므로 구하는 경우의 수는 2+4+7=13 (cid:9000) ⑤ … 2점 (cid:9000) 9 (cid:9000) ④ (cid:9000) 7 (cid:9000) ⑤ (cid:9000) 5 (cid:9000) ③ (cid:9000) 6가지 화폐 단위가 가장 큰 동전 의 개수부터 정한다. 12 문학 반이 2가지, 악기 연주 반이 3가지가 있으므 로 구하는 경우의 수는 2+3=5 13 a=2_2_6=24 b=2_2_2_2=16 ∴ a-b=24-16=8 동전 m개와 주사위 n개 를 동시에 던질 때, 일 어나는 모든 경우의 수 (cid:8857) 2μ _6« 14 동전 1개를 던질 때 앞면이 나오는 경우는 1가지, 주사위 1개를 던질 때 소수의 눈이 나오는 경우는 3가지이므로 구하는 경우의 수는 1_3_3=9 (cid:9000) ⑤ 2, 3, 5의 3가지 15 A주사위를 던질 때 나오는 모든 경우는 6가지, B주사위를 던질 때 나오는 모든 경우는 6가지이 므로 구하는 점의 개수는 6_6=36(개) (cid:9000) 36개 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 7쪽 01 5의 배수는 5, 10, 15, 20, 25, 30 따라서 구하는 경우의 수는 6이다. (cid:9000) 6 02 눈의 수의 합이 9인 경우는 (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) 따라서 구하는 경우의 수는 4이다. (cid:9000) ② 03 지불할 수 있는 금액의 종류를 순서쌍으로 나타내면 (100원짜리, 10원짜리) : (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3) 따라서 구하는 금액의 종류는 6가지이다. 04 3000원을 지불하는 방법을 순서쌍으로 나타내면 (500원짜리, 100원짜리, 50원짜리) : (6, 0, 0), (5, 5, 0), (5, 4, 2), (5, 3, 4), (5, 2, 6) 따라서 구하는 방법의 수는 5이다. (cid:9000) ④ (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)의 5가지 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)의 5가지 05 눈의 수의 합이 3인 경우는 (1, 2), (2, 1)의 2가지 눈의 수의 합이 8인 경우는 따라서 구하는 경우의 수는 2+5=7 06 눈의 수의 합이 6인 경우는 눈의 수의 합이 12인 경우는 (6, 6)의 1가지 따라서 구하는 경우의 수는 5+1=6 2 SOLUTION (cid:9000) ① (cid:9000) 6  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지3 SinsagoHitec 19 셔츠는 4종류, 바지는 3종류가 있으므로 구하는 7_6_5=210 (cid:9000) ⑤ 수학책 2권, 영어책 5권 04 국어책을 제외한 7권의 책 중에서 3권을 뽑아 책 꽂이에 꽂으면 되므로 구하는 경우의 수는 … 3점 (cid:9000) ⑴ 15 ⑵ 25 집 1 1 문구점 2 1 1 2 1 3 학교 1 3 6 한 지점을 거쳐 최단 거리 로 가는 경우의 수 (cid:8857) 경우의 수의 곱을 이용 한다. ⁄ C인 경우의 수：1 16 ⁄ A ¤ A ⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는 ⁄ ⁄ B C인 경우의 수： 4_3=12 1+12=13 (cid:9000) 13 17 ⑴ 비행기로 가는 경우가 5가지, 배로 가는 경우 가 3가지이므로 구하는 경우의 수는 ⑵ 비행기로 가는 경우가 5가지이므로 구하는 경 … 3점 5_3=15 우의 수는 5_5=25 18 오른쪽 그림과 같이 집에 서 문구점까지 가는 경우 의 수는 2, 문구점에서 학교까지 가는 경우의 수는 6이므로 구하는 경 우의 수는 2_6=12 경우의 수는 4_3=12 20 의자는 4종류, 책상은 3종류, 책꽂이는 6종류가 있으므로 구하는 경우의 수는 4_3_6=72 21 네 사람이 각각 가위, 바위, 보 3가지를 낼 수 있 으므로 구하는 경우의 수는 3_3_3_3=81 (cid:9000) 12 (cid:9000) 72 (cid:9000) ⑤ 22 각 학생마다 깃발을 드는 경우와 내리는 경우 2가 지가 있으므로 나타낼 수 있는 모든 경우의 수는 2_2_2_2=16 이때 깃발을 모두 내린 경우는 신호로 생각하지 않으므로 만들 수 있는 신호의 개수는 16-1=15(개) (cid:9000) 15개 Q BOX 3 (cid:9000) ⑴ 12 ⑵ 24 ⑶ 6 ⑷ 4 4_3_2 3_2_1 =4 L E C T U R E B O O K 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 11쪽 01 6명 중에서 3명을 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수는 6_5_4=120 02 5명을 한 줄로 세우는 경우의 수와 같으므로 5_4_3_2_1=120 (cid:9000) 120 03 A와 C를 제외한 4명 중에서 2명을 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수와 같으므로 4_3=12 05 튤립의 자리는 정해져 있으므로 나머지 4가지의 꽃을 한 줄로 심으면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 4_3_2_1=24 06 부모님을 한 묶음으로 생각하여 5명이 한 줄로 서 는 경우의 수는 5_4_3_2_1=120 부모님끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 2_1=2 따라서 구하는 경우의 수는 120_2=240 07 B, D의 자리는 정해져 있으므로 B, D 2명을 한 묶음으로 생각하여 4명을 한 줄로 세우면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 4_3_2_1=24 08 야구 선수와 축구 선수를 각각 한 묶음으로 생각 하여 2명을 한 줄로 세우는 경우의 수는 2_1=2 4_3_2_1=24 야구 선수끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 (cid:9000) ⑤ (cid:9000) 12 (cid:9000) ④ (cid:9000) ③ (cid:9000) ④ (cid:9000) ② … 2점 … 2점 … 2점 … 2점 (cid:9000) 288 Ⅳ. 확률 3 LECTURE 02 여러 가지 경우의 수 1 (cid:9000) ⑴ 12 ⑵ 24 ⑶ 12 2 (cid:9000) ⑴ 20개 ⑵ 16개 LECTURE BOOK 10쪽 축구 선수끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 이웃하여 세우는 경우 의 수 (cid:8857) (이웃하는 것을 하 나로 묶어서 한 줄로 세우는 경우의 수) _(묶음안에서자리를 바꾸는 경우의 수) 3_2_1=6 따라서 구하는 경우의 수는 2_24_6=288  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지4 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX 09 A에 칠할 수 있는 색이 3가지, B에 칠할 수 있는 색이 3가지, C에 칠할 수 있는 색이 3가지, D에 칠할 수 있는 색이 3가지이므로 구하는 경우의 수는 3_3_3_3=81 (cid:9000) ⑤ 2명의 직업이 같은 경우는 수학자 중에서 2명을 뽑거 나 과학자 중에서 2명을 뽑 는 경우이다. 18 수학자 4명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는 과학자 7명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는 4_3 2 =6 7_6 2 =21 6+21=27 따라서 구하는 경우의 수는 (cid:9000) ② 두 사건은 동시에 일어나지 않으므로 경우의 수의 합을 이용한다. 19 9개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 2개를 택 하는 경우의 수와 같으므로 구하는 선분의 개수는 한 직선 위에 있지 않은 세 점을 연결하여 만들 수 있 는 삼각형은 오직 하나이다. 20 6개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 3개를 택 하는 경우의 수와 같으므로 구하는 삼각형의 개수는 9_8 2 =36(개) 6_5_4 3_2_1 =20(개) (cid:9000) 27 (cid:9000) ④ (cid:9000) ③ 십의 자리에 올 수 있는 숫 자는 1, 2이다. 세 점 A, B, C 중 두 점 을 택하여 만든 직선은 모 두 같다. 21 5개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 2개를 택하 는 경우의 수는 =10 5_4 2 세 점 A, B, C 중 두 점을 택하는 경우의 수는 3_2 2 =3 따라서 구하는 직선의 개수는 10-3+1=8(개) (cid:9000) ③ LECTURE 03 확률의 뜻과 성질 LECTURE BOOK 14쪽 1 (cid:9000) ⑴ ;3!; ⑵ ;9$; 2 (cid:9000) ⑴ ;8!; ⑵ ;8#; 3 (cid:9000) ⑴ ;5@; ⑵ 0 ⑶ 1 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 15쪽 01 24의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24의 8가지 이므로 구하는 확률은 ;2•4;=;3!; (cid:9000) ③ 10 A에 칠할 수 있는 색이 4가지, B에 칠할 수 있는 색이 3가지, C에 칠할 수 있는 색이 2가지이므로 구하는 경우의 수는 4_3_2=24 11 A에 칠할 수 있는 색은 5가지, B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 4가지, C에 칠할 수 있는 색은 A, B에 칠한 색을 제외한 3가지, D에 칠할 수 있는 색은 A, C에 칠한 색을 제외한 3가 지, E에 칠할 수 있는 색은 A, D에 칠한 색을 제 외한 3가지이므로 구하는 경우의 수는 5_4_3_3_3=540 (cid:9000) 540 12 첫 번째 칸에 올 수 있는 숫자는 7개, 두 번째 칸 에 올 수 있는 숫자는 6개, 세 번째 칸에 올 수 있 는 숫자는 5개이므로 구하는 암호의 개수는 7_6_5=210(개) (cid:9000) ② 13 ⁄ 십의 자리의 숫자가 1인 정수 11, 12, 13, 14, 15, 16의 6개 … 2점 ¤ 십의 자리의 숫자가 2인 정수 21, 22, 23, 24, 25, 26의 6개 ⁄, ¤에서 구하는 정수의 개수는 6+6=12(개) … 2점 … 2점 (cid:9000) 12개 14 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 5개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 6개, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 6개이므로 구하는 정수의 개 수는 5_6_6=180(개) (cid:9000) ⑤ 15 6명 중에서 자격이 다른 대표 3명을 뽑는 경우의 수는 6_5_4=120 4_3 2 =6 10_9 2 =45(번) 4 SOLUTION 17 10명 중에서 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로 구하는 악수의 횟수는 (cid:9000) ④ (cid:9000) 6 (cid:9000) ② 16 E를 제외한 4명 중에서 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 4 (cid:9000) ⑴ ;6!; ⑵ ;6%; ⑶ ;6!; ⑷ ;6%; n명 중에서 자격이 같 은 대표 2명을 뽑는 경 우의 수 (cid:8857) n_(n-1) 2  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 1904.10.8 2:35 AM 페이지5 SinsagoHitec Q BOX 11 ② 0…1-p…1 10월은 31일까지 있다. 12 ① ;2!; ② ;6!; ③ ;3!; ⑤ ;8!; ④ 두 주사위의 눈의 수의 합은 항상 2 이상이다. (cid:9000) ② (cid:9000) ④ L E C T U R E B O O K 13 불량품을 고를 확률은 ;5¢0;=;2™5; 따라서 구하는 확률은 1-;2™5;=;2@5#; (cid:9000) ;2@5#; 14 모든 경우의 수는 10_9 2 =45 정희가 청소 당번으로 뽑히는 경우는 9가지이므 로 그 확률은 ;4ª5;=;5!; 따라서 구하는 확률은 1-;5!;=;5$; 15 ① 0…q…1 ② q=1-p 16 모든 경우의 수는 6_6=36 두 눈의 수의 곱이 홀수인 경우의 수는 3_3=9 이므로 두 눈의 수의 곱이 홀수일 확률은 ;3ª6;=;4!; 따라서 두 눈의 수의 곱이 짝수일 확률은 … 2점 1-;4!;=;4#; (cid:9000) ④ (cid:9000) ④ … 2점 … 2점 … 2점 (cid:9000) ;4#; 백의 자리에 올 수 있는 숫 자는 1, 2의 2개, 십의 자 리에 올 수 있는 숫자는 백 의 자리에 온 숫자를 제외 한 3개, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리와 십의 자리에 온 숫자를 제 외한 2개 (짝수)_(짝수)=(짝수) (짝수)_(홀수)=(짝수) (홀수)_(짝수)=(짝수) (홀수)_(홀수)=(홀수) 02 숫자 3이 있는 날짜는3 일, 13일, 23일, 30일, 31일 의 5일이므로 구하는 확률은 ;3∞1; (cid:9000) ;3∞1; 03 ③ 모든 경우의 수는 3_3=9 ③ 서로 다른 것을 내는 경우의 수는 3_2=6 ③ 따라서 구하는 확률은 ;9^;=;3@; (cid:9000) ③ 04 모든 경우의 수는 5_4_3_2_1=120 자음끼리 이웃하게 나열하는 경우의 수는 (4_3_2_1)_2=48 따라서 구하는 확률은 ;1¢2•0;=;5@; 05 모든 경우의 수는 4_3_2=24 300 미만이 되는 경우의 수는 2_3_2=12 따라서 구하는 확률은 ;2!4@;=;2!; (cid:9000) ④ … 2점 … 2점 … 2점 (cid:9000) ;2!; 06 모든 경우의 수는 10_9 2 =45 남학생만 2명 뽑히는 경우의 수는 7_6 2 =21 따라서 구하는 확률은 ;4@5!;=;1¶5; (cid:9000) ② 07 모든 경우의 수는 6_6=36 2a+b=8을 만족시키는 순서쌍 (a, b)는 (1, 6), (2, 4), (3, 2)의 3가지 따라서 구하는 확률은 ;3£6;=;1¡2; (cid:9000) ① 08 모든 경우의 수는 6_6=36 09 모든 경우의 수는 6_6=36 =(자연수)를 만족시키는 순서쌍 (x, y)는 ;]{; (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (2, 2), (4, 2), (6, 2), (3, 3), (6, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)의 14가지 따라서 구하는 확률은 ;3!6$;=;1¶8; (cid:9000) ⑤ 10 세 눈의 수의 합은 항상18 이하이므로 a=1 세 눈의 수의 곱이13인 경우는 없으므로 b=0 ∴ a-b=1 (cid:9000) 1 a, b는 주사위의 눈의 수 이므로 1…a…6, 1…b…6 17 모든 경우의 수는 2_2_2=8 모두 앞면이 나오는 경우는 1가지이므로 그 확률은 4x-y<5를 만족시키는 순서쌍 (x, y)는 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6)의 9가지 계수의 절댓값이 큰 미지수 를 기준으로 생각하는 것이 더 간편하다. 따라서 구하는 확률은 ;3ª6;=;4!; (cid:9000) ;4!; 따라서 구하는 확률은 1-;8!;=;8&; (cid:9000) ⑤ 18 모든 경우의 수는 2_2_2_2=16 모두 등이 나오는 경우는 1가지이므로 그 확률은 ;8!; ;1¡6; 따라서 구하는 확률은 1-;1¡6;=;1!6%; (cid:9000) ⑤ 19 모든 경우의 수는 5_4=20 4, 5가 적힌 카드를 제외한 3장의 카드로 만들 수 있는 두 자리 정수의 개수는 3_2=6 이므로 두 자리 정수 중 각 자리의 숫자로4, 5가 사용되지 않을 확률은 ;2§0;;=;1£0; 따라서 구하는 확률은 1-;1£0;;=;1¶0; (cid:9000) ④ Ⅳ. 확률 5  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지6 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX LECTURE 04 확률의 계산 1 (cid:9000) ⑴ ;5!; ⑵ ;5@; ⑶ ;5#; 2 (cid:9000) ⑴ ;2!; ⑵ ;2!; ⑶ ;4!; 3 ⑴ ;1¢0;_;1¢0;=;2¢5; ⑵ ;1¢0;_;9#;=;1™5; 4 (cid:9000) ⑴ ;3!; ⑵ ;2!; LECTURE BOOK 18쪽 (전구에 불이 들어올 확률) =(A스위치가 닫힐 확률) _(B스위치가 닫힐 확률) 05 전구에 불이 들어오려면 두 개의 스위치가 모두 닫혀야 하므로 구하는 확률은 ;4!;_;5@;=;1¡0; (cid:9000) ;1¡0; 06 짝수의 눈이 나올 확률은 ;6#;=;2!; 세 사건의 확률에서도 확률 의 곱셈이 성립한다. 5 미만인 수의 눈이 나올 확률은 ;6$;=;3@; 따라서 구하는 확률은 ;2!;_;3@;_;3@;=;9@; (cid:9000) ③ (cid:9000) ⑴ ;2¢5; ⑵ ;1™5; (적어도 하나는 ~일 확률) =1-(모두 ~가 아닐 확률) 07 A, B가 모두 불합격할 확률은 {1-;8%;}_{1-;5#;}=;8#;_;5@;=;2£0; 따라서 구하는 확률은 1-;2£0;=;2!0&; (cid:9000) ④ 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 19쪽 01 소수는 2, 3, 5, 7, 11의 5개이므로 소수가 나올 확률은 ;1∞2; 6의 배수는 6, 12의 2개이므로 6의 배수가 나올 확률은 ;1™2;=;6!; 따라서 구하는 확률은 ;1∞2;+;6!;=;1¶2; (cid:9000) ③ ‘또는’,‘~이거나’ (cid:8857) 두 사건의 확률을 더 한다. 08 두 개 모두 빨간 공일 확률은 ;6$;_;8#;=;4!; 따라서 구하는 확률은 1-;4!;=;4#; … 4점 … 2점 (cid:9000) ;4#; 09 사흘 내내 비가 오지 않을 확률은 {1-;6!;}_{1-;8!;}_{1-;5!;}=;6%;_;8&;_;5$;=;1¶2; 따라서 구하는 확률은 1-;1¶2;=;1∞2; (cid:9000) ② 02 만족으로 응답했을 확률은 ;3§0∞0;=;6!0#; … 2점 보통으로 응답했을 확률은 ;3!0#0);=;3!0#; … 2점 따라서 구하는 확률은 ;6!0#;+;3!0#;=;2!0#; … 2점 (A, B 중 한 명만 명중시 킬 확률) =(A만 명중시킬 확률) +(B만 명중시킬 확률) 10 A만 명중시킬 확률은 ;4#;_{1-;5@;}=;4#;_;5#;=;2ª0; B만 명중시킬 확률은 {1-;4#;}_;5@;=;4!;_;5@;=;1¡0; (cid:9000) ;2!0#; 따라서 구하는 확률은 ;2ª0;+;1¡0;=;2!0!; (cid:9000) ③ 11 A상자에서 검은 바둑돌, B상자에서 검은 바둑돌이 나올 확률은 ;8#;_;1¢0;=;2£0; A상자에서 흰 바둑돌, B상자에서 흰 바둑돌이 나 올 확률은 ;8%;_;1§0;=;8#; 따라서 구하는 확률은 ;2£0;+;8#;=;4@0!; (cid:9000) ④ 12 2문제를 각각 A, B라 하면 A는 맞히고 B는 틀릴 확률은 ;5!;_;5$;=;2¢5; A는 틀리고 B는 맞힐 확률은 ;5$;_;5!;=;2¢5; 따라서 구하는 확률은 ;4!;+;4!;=;2!; (cid:9000) ④ 04 지현이와 현경이가 모두 맞힐 확률은 ‘그리고’,‘동시에’ (cid:8857) 두 사건의 확률을 곱 한다. ;6%;_;5@;=;3!; (cid:9000) ;3!; 따라서 구하는 확률은 ;2¢5;+;2¢5;=;2•5; (cid:9000) ;2•5; 03 4명을 한 줄로 세우는 경우의 수는 4_3_2_1=24 D가 맨 앞에 서는 경우의 수는 3_2_1=6 이므로 D가 맨 앞에 설 확률은 ;2§4;=;4!; D가 맨 뒤에 서는 경우의 수는 3_2_1=6 이므로 D가 맨 뒤에 설 확률은 ;2§4;=;4!; 6 SOLUTION  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지7 SinsagoHitec Q BOX 꺼낸 것을 다시 넣지 않는 경우 (cid:8857) 처음 뽑을 때와 나 중에 뽑을 때의 전 체 개수가 다르다. (짝수)+(짝수)=(짝수) (짝수)+(홀수)=(홀수) (홀수)+(짝수)=(홀수) (홀수)+(홀수)=(짝수) L E C T U R E B O O K 대단원별 기출문제 정복 LECTURE BOOK 22쪽 01 ③ 02 20 06 ③ 07 ② 08 6 03 ④ 04 8 05 ④ 09 ④ 10 ⑤ 11 ④ 12 ⑤ 13 ④ 14 ④ 15 ;9!; 16 ⑤ 17 ③ 18 ⑤ 19 9 20 ;1¡2; 21 ⑴ ;2!; ⑵ ;8!; ⑶ ;8%; 22 ③ 23 ;4!; 24 ;1ª0¡0; 01 20의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20이므로 구하는 경우 (cid:9000) ③ 의 수는6이다. 02 가장 좋아하는 음식이 불고기인 학생이 9명, 피자 인 학생이 11명이므로 구하는 경우의 수는 9+11=20 (cid:9000) 20 03 올라갈 때는 8가지, 내려올 때는 올라갈 때의 등 산로를 제외한 7가지이므로 구하는 경우의 수는 8_7=56 04 A지점에서 B지점까지 가는 경우의 수는 4 B지점에서 C지점까지 가는 경우의 수는 2 따라서 구하는 경우의 수는 4_2=8 1 A 2 3 1 1 1 (cid:9000) ④ 1 B 4 2 C 1 (cid:9000) 8 05 B가 맨 앞에 오는 경우의 수는 5_4_3_2_1=120 T가 맨 앞에 오는 경우의 수는 5_4_3_2_1=120 따라서 구하는 경우의 수는 120+120=240 (cid:9000) ④ 13 첫 번째에 불량품을 꺼낼 확률은 ;4!0$;=;2¶0; 두 번째에 불량품을 꺼낼 확률은 ;3!9#;=;3!; 따라서 구하는 확률은 ;2¶0;_;3!;=;6¶0; 14 첫 번째에 흰 구슬을 꺼낼 확률은 ;9^;=;3@; … 1점 두 번째에 흰 구슬을 꺼낼 확률은 ;8%; 이므로 두 개 모두 흰 구슬을 꺼낼 확률은 … 1점 ;3@;_;8%;=;1∞2; 따라서 구하는 확률은 1-;1∞2;=;1¶2; 15 (홀수)+(짝수)=(홀수)일 확률은 ;9%;_;9$;=;8@1); (짝수)+(홀수)=(홀수)일 확률은 ;9$;_;9%;=;8@1); 따라서 구하는 확률은 ;8@1);+;8@1);=;8$1); 16 바늘이 가리키는 숫자가 소수일 확률은 ;1¢0;=;5@; 바늘이 가리키는 숫자가 4의 배수일 확률은 17 화살을 한 번 쏘아 색칠한 부분에 꽂힐 확률은 ;1™0;=;5!; 따라서 구하는 확률은 ;5@;+;5!;=;5#; ;1•6;=;2!; 따라서 구하는 확률은 ;2!;_;2!;=;4!; 따라서 구하는 확률은 4pr¤ -pr¤ 9pr¤ =;9#;=;3!; (cid:9000) ③ … 2점 … 2점 (cid:9000) ;1¶2; (cid:9000) ④ (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ;4!; (cid:9000) ① 18 세 원의 반지름의 길이를 각각 r, 2r, 3r라 하면 세 원의 넓이는 각각 pr¤ , 4pr¤ , 9pr¤ 세 원의 반지름의 길이의 비는 1：2：3 (4가 쓰여진 부분의 넓이) (과녁 전체의 넓이) 06 준수와 효린이를 한 묶음으로 생각하여 4명을 한 줄로 세우는 경우의 수는 4_3_2_1=24 준수와 효린이가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2_1=2 따라서 구하는 경우의 수는 24_2=48 (cid:9000) ③ Ⅳ. 확률 7  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지8 SinsagoHitec LECTURE BOOK 07 ⁄ 일의 자리의 숫자가 0인 정수 0 ：4_3=12(개) ¤ 일의 자리의 숫자가 2인 정수 2 ：3_3=9(개) ‹ 일의 자리의 숫자가 4인 정수 4 ：3_3=9(개) 이상에서 구하는 짝수의 개수는 12+9+9=30(개) (cid:9000) ② 08 4개 중에서 순서를 생각하지 않고 2개를 선택하 는 경우의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 4_3 2 =6 (cid:9000) 6 09 모든 경우의 수는 6_6=36 두 사람이 비기는 경우는 (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) 의 6가지이므로 구하는 확률은 ;3§6;=;6!; (cid:9000) ④ 10 한 개의 공을 꺼낼 때, 파란 공이 나올 확률은 x 5+x =;3@;, 3x=10+2x(cid:100)(cid:100)∴ x=10 (cid:9000) ⑤ 11 ① ;6%; ② ;4!; ③ 1 ④ 0 ⑤ ;3!; (cid:9000) ④ 12 당첨될 확률은 ;2¡0º0;=;2¡0; 따라서 구하는 확률은 1-;2¡0;=;2!0(; (cid:9000) ⑤ 13 모든 경우의 수는 6_6=36 두 개의 주사위에서 모두 홀수의 눈이 나오는 경 우의 수는 3_3=9 이므로 그 확률은 ;3ª6;=;4!; 따라서 구하는 확률은 1-;4!;=;4#; (cid:9000) ④ Q BOX 짝수이려면 일의 자리의 숫 자가 짝수이어야 하므로 일 의 자리의 숫자를 기준으로 생각한다. 기차는 정시보다 일찍 도착 하거나 정시에 도착하거나 정시보다 늦게 도착하는 경 우가 있다. 15 기차가 정시보다 늦게 도착할 확률은 1-{;2!;+;6!;}=;3!; 따라서 구하는 확률은 ;3!;_;3!;=;9!; 16 세 선수 모두 성공시키지 못할 확률은 {1-;3@;}_{1-;2!;}_{1-;5#;}=;3!;_;2!;_;5@; =;1¡5; 따라서 구하는 확률은 1-;1¡5;=;1!5$; 17 목요일에 비가 오고 금요일에도 비가 올 확률은 ;4!;_;4!;=;1¡6; 목요일에 비가 오지 않고 금요일에 비가 올 확률은 (비가 온 다음 날 비가 오 지 않을 확률) =1-(비가 온 다음 날 비 가 올 확률) {1-;4!;}_;5!;=;2£0; 따라서 구하는 확률은 ;1¡6;+;2£0;=;8!0&; 전체 공의 개수는 5+x(개) 18 재연이와 민석이가 모두 흰 바둑돌을 꺼낼 확률은 ;1•0;_;9&;=;4@5*; 재연이는 검은 바둑돌, 민석이는 흰 바둑돌을 꺼 두 주사위의 눈의 수의 합 은 2 이상 12 이하이므로 4 의 배수는 4, 8, 12이다. 19 눈의 수의 합이 4인 경우는 (1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지 … 2점 눈의 수의 합이 8인 경우는 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) 낼 확률은 ;1™0;_;9*;=;4•5; 따라서 구하는 확률은 ;4@5*;+;4•5;=;5$; 의 5가지 눈의 수의 합이 12인 경우는 (6, 6)의 1가지 따라서 구하는 경우의 수는 3+5+1=9 (cid:9000) ;9!; (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ③ (cid:9000) ⑤ … 2점 … 1점 … 1점 (cid:9000) 9 14 체리 맛 사탕이 나올 확률은 ;1∞5;=;3!; 오렌지 맛 사탕이 나올 확률은 ;1£5;=;5!; 따라서 구하는 확률은 ;3!;+;5!;=;1•5; (cid:9000) ④ 전체 사탕의 개수는 7+5+3=15(개) 8 SOLUTION 20 주사위를 두 번 던져서 나온 눈의 수를 각각 x, y 좌표로 하는 모든 점의 개수는 6_6=36(개) … 2점  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지9 SinsagoHitec Q BOX 주어진 그래프는 기울기가 -1이고 y절편이 4인 직선이므로 직선의 방정식은 Ⅴ 도형의 성질 y=-x+4 … 2점 y=-x+4를 만족시키는 순서쌍 (x, y)는 (1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지 … 2점 기울기가 a, y절편이 b 인 직선의 방정식 (cid:8857) y=ax+b LECTURE 05 이등변삼각형의 성질 LECTURE BOOK 26쪽 L E C T U R E B O O K 이등변삼각형의 두 밑 각의 크기는 같다. 1 (cid:9000) ⑴ 59° ⑵ 40° 2 (cid:9000) ⑴ 14 ⑵ 35 3 (cid:9000) ⑴ 9 ⑵ 4 따라서 구하는 확률은 ;3£6;=;1¡2; … 2점 (cid:9000) ;1¡2; 21 ⑴ 1회에 앞면이 나와야 하므로 구하는 확률은 ⑴ ;2!; ⑵ 1회와 2회에는 뒷면이 나오고 3회에 앞면이 … 2점 나와야 하므로 구하는 확률은 ⑴ ;2!;_;2!;_;2!;=;8!; ⑶ 1회에 이기거나` 3회에 이겨야 하므로 구하는 … 3점 ⑴ 확률은 ⑴ ;2!;+;8!;=;8%; … 3점 (cid:9000) ⑴ ;2!; ⑵ ;8!; ⑶ ;8%; 22 ⁄ A 인 경우 3_2_1=6(개) ¤ H 인 경우 3_2_1=6(개) ‹ M 인 경우 MAHT, MATH, y 이상에서 MATH는 14번째이다. (cid:9000) ③ 23 동전의 앞면이 3번, 뒷면이 1번 나올 확률을 구하 면 된다. 모든 경우의 수는 2_2_2_2=16 앞면이 3번, 뒷면이 1번 나오는 경우는 (뒤, 앞, 앞, 앞), (앞, 뒤, 앞, 앞), (앞, 앞, 뒤, 앞), (앞, 앞, 앞, 뒤)의 4가지 따라서 구하는 확률은 ;1¢6;=;4!; (cid:9000) ;4!; 24 44=2¤ _11이므로 어떤 수를 44로 나눌 때, 나누 어지는 수가 11의 배수가 아니면 이 수는 순환소수 가 된다. 즉 구하는 확률은 11의 배수가 아닐 확률과 같다. 1부터 100까지의 자연수 중에서 11의 배수는 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99의 9개이므로 11의 배수일 확률은 ;10(0; 따라서 구하는 확률은 1-;10(0;=;1ª0¡0; 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 27쪽 01 △ABC에서 AC”=BC”이므로 ∠ABC=∠A= _(180°-50°)=65° ;2!; ∴ ∠ABD=180°-65°=115° (cid:9000) ③ 02 △BCD에서 BC”=DC”이므로 ∠BDC=∠B=68° ∴ ∠DCB=180°-2_68°=44° △ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠ACB=∠B=68° ∴ ∠ACD=∠ACB-∠DCB =68°-44°=24° (cid:9000) 24° 03 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°이므로 ∠A+∠B+∠C=180° 이때 ∠C=∠B= ∠A이므로 ;2%; ∠A+∠B+∠C=∠A+ ∠A+ ∠A ;2%; ;2%; =6∠A=180° ∴ ∠A=30° (cid:9000) 30° 04 △ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠B=∠ACB=180°-145°=35° ∴ x=180-(90+35)=55 또 BD”=CD”이므로 y=2_6=12 ∴ x-y=55-12=43 (cid:9000) 43 05 △ABC에서 BD”=CD”이므로 BD”= _10=5(cm) ;2!; 또 AD”⊥BC”이므로 △ABD= _BD”_AD”=20 ;2!; Ⅴ. 도형의 성질 9 순환소수로 나타내어지 는 기약분수 (cid:8857) 분모가 2나 5 이외 의 소인수를 갖는다. 이등변삼각형의 꼭짓점 에서 밑변에 내린 수선 은 밑변을 이등분한다. (cid:9000) ;1ª0¡0; _5_AD”=20(cid:100)(cid:100)∴ AD”=8(cm) (cid:9000) ③ ;2!;  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지10 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX 06 △ABC에서 AC”=BC”이므로 ∠A=∠B= _(180°-90°)=45° ;2!; ∴ x=45 또 ∠ACD=180°-(90°+45°)=45°이므로 … 2점 △ADC는 AD”=CD”=3(cm)인 이등변삼각형 이다. 이때 AD”=BD”이므로 y=2_3=6 ∴ x+y=45+6=51 07 △PBD와 △PCD에서 BD”=CD”, ∠PDB=∠PDC=90°, PD”는 공통 이므로 △PBD™△PCD (SAS 합동) … 3점 … 1점 (cid:9000) 51 (cid:9000) ② 08 △ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠B=∠C= _(180°-64°)=58° ;2!; 또 AD”∥BC”이므로 ∠EAD=∠B=58° 09 정오각형 ABCDE의 한 내각의 크기는 180°_(5-2) 5 =108° △BCD에서 BC”=CD”이므로 ∠CBD=∠CDB= _(180°-108°)=36° ;2!; ∴ ∠ABD=∠ABC-∠CBD =108°-36°=72° 10 ∠B=∠x라 하면 △ABC에서 ∠DAC=∠x+∠x B =2∠x D 2x 2x A x x 108æ C 3x E F △CDA에서 ∠CDA=∠CAD=2∠x △DBC에서 ∠DCE=∠x+2∠x=3∠x △DCE에서 ∠DEC=∠DCE=3∠x 이므로 3∠x+108°=180°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=24° 11 △ADF와 △CFE에서 AD”=CF”, AF”=CE”, ∠A=∠C 이므로 △ADF™△CFE(SAS 합동) ∴ ∠A=180°-(∠ADF+∠AFD) =180°-(∠CFE+∠AFD)=65° 따라서 △ABC에서 ∠B=180°-2_65°=50° 10 SOLUTION 12 △ABD와 △ACD에서 ∠B=∠C, ∠BAD= ∠CAD 이므로 ∠ADB= ∠ADC , AD” 는 공통 따라서 △ABD™△ACD ( ASA 합동)이므로 AB”=AC” (cid:9000) ㈎ ∠CAD ㈏ ∠ADC ㈐ AD” ㈑ ASA 두 밑각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형 이다. △ABC에서 ∠C=180°-(50°+90°) =40° 13 △ABD에서 ∠A=∠ABD이므로 BD”=AD”=4(cm) 한편 ∠DBC=90°-50°=40°=∠C이므로 △DBC는 DB”=DC”인 이등변삼각형이다. ∴ DC”=DB”=4(cm) (cid:9000) 4 cm (cid:9000) ② AD”∥BC”이므로 동위각의 크기는 같다. (정 n각형의 한 내각의 크기) = 180°_(n-2) n (cid:9000) ① 삼각형의 한 외각의 크 기는 그와 이웃하지 않 는 두 내각의 크기의 합과 같다. 폭이 일정한 종이 접기 (cid:8857) 접은 각과 엇각의 성질을 이용하여 크 기가 같은 각을 찾 는다. (cid:9000) ⑤ 14 △DBC에서∠DBC+∠DCB=68°이므로 ∠DCB=68°-34°=34° 즉△DBC는 DB”=DC”인이등변삼각형이다. 또 △ADC에서∠DAC=180°-112°=68°이므 로△ADC는 AC”=DC”인이등변삼각형이다. ∴AC”=DC”=DB”=5(cm) (cid:9000) ③ 15 △ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠ACB=∠B= _(180°-36°)=72° ;2!; ∴ ∠ACD= ∠ACB= _72°=36° ;2!; ;2!; 즉 △ADC는 AD”=CD”인 이등변삼각형이다. 또 △ADC에서 ∠BDC=36°+36°=72°이므로 △BCD는 BC”=DC”인 이등변삼각형이다. ∴ AD”=CD”=BC”=6(cm) … 2점 … 2점 … 2점 (cid:9000) 6 cm 16 ∠DBA=∠CBA(접은 각), ∠DBA=∠CAB (엇각)이므로 ∠CBA=∠CAB 따라서 △ABC는` AC”=BC”인 이등변삼각형이다. ∴ AC”=BC”=5(cm) (cid:9000) 5 cm 17 ∠EBC=∠ACB=∠x (엇각), ∠ABC=∠EBC=∠x (접은 각)이므로 △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이다. ∴ ∠x=;2!;_56°=28° (cid:9000) ③ △ABC에서 ∠x+∠x=56° (cid:9000) ⑤  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지11 SinsagoHitec 18 ∠GEF=∠AEF (접은 각), ∠GFE=∠AEF (엇각)이므로 ∠GEF=∠GFE 따라서 △GEF는 GE”=GF”인 이등변삼각형이다. (cid:9000) ② LECTURE 06 직각삼각형의 합동 조건 LECTURE BOOK 30쪽 1 (cid:9000) ⑴ △ABC™△FED, RHA 합동 ⑵ △ABC™△DFE, RHS 합동 ⑶ △ABC™△EFD, RHA 합동 ⑷ △ABC™△EDF, RHS 합동 2 (cid:9000) ⑴ 4 ⑵ 9 ⑶ 35 ⑷ 65 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 31쪽 01 (cid:9000) ㈀과 ㈅ : RHS 합동, ㈁과 ㈄ : RHA 합동 02 ① RHS 합동 ② ASA 합동 ③ RHA 합동 ⑤ SAS 합동 03 (cid:9000) ㈎ BC” ㈏ ∠BEC ㈐ ∠CBE ㈑ RHA 04 △ACP와 △BDP에서 PA”=PB”, ∠PCA=∠PDB=90°, ∠APC=∠BPD (맞꼭지각) 이므로 △ACP™△BDP (RHA 합동) … 2점 따라서 AC”=BD”이므로 x=4 … 2점 또 ∠BPD=∠APC이므로 y=90-46=44 … 2점 (cid:9000) x=4, y=44 05 △ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠B=∠C 즉 △DBM과 △ECM에서 BM”=CM”, ∠MDB=∠MEC=90°, ∠B=∠C 이므로 △DBM™△ECM (RHA 합동) ∴ ∠BMD=∠CME, DM”=EM”, AD”=AE” Q BOX (사다리꼴의 넓이) =;2!;_{(윗변의 길이) =+(아랫변의 길이)} =_(높이) 06 △ADB와 △CEA에서 AB”=CA”, ∠ADB=∠CEA=90°, ∠ABD=90°-∠BAD=∠CAE 이므로 △ADB™△CEA (RHA 합동) ∴ BD”=AE”=2(cm), CE”=AD”=4(cm) 따라서 사각형 BCED의 넓이는 _(4+2)_6=18(cm¤ ) ;2!; (cid:9000) ② L E C T U R E B O O K 07 △BCF와 △CDG에서 BC”=CD”, ∠BFC=∠CGD=90°, ∠BCF=90°-∠DCG=∠CDG 이므로 △BCF™△CDG (RHA 합동) ∴ CF”=DG”=9(cm), CG”=BF”=6(cm) 따라서 GF”=9-6=3(cm)이므로 △BGF= _6_3=9(cm¤ ) (cid:9000) ③ ;2!; △AOP™△BOP △AOP™△BOP (RHA 합동) (RHS 합동) 08 △DBC와 △DBE에서 BD” 는 공통, ∠BCD= ∠BED =90°, BC”=BE” ∴ △DBC™△DBE ( RHS 합동) (cid:9000) ㈎ BD” ㈏ ∠BED ㈐ RHS (cid:9000) ④ 두 삼각형이 합동이면 ① 대응변의 길이가 각 ② 대응각의 크기가 각 각 같다. 각 같다. AM”은 ∠A의 이등분선 이다. 09 △BMD와 △CME에서 BM”=CM”, ∠BDM=∠CEM=90°, MD”=ME” 이므로 △BMD™△CME (RHS 합동) ∴ ∠B=∠C 즉 △ABC는 이등변삼각형이므로 AB”=AC” 또 점 M은 밑변의 중점이므로 AM”⊥BC”이고 ∠BAM=∠CAM (cid:9000) ③ 10 △ADM과 △CEM에서 AM”=CM”, ∠ADM=∠CEM=90°, DM”=EM” 이므로 △ADM™△CEM (RHS 합동) ∴ ∠ECM=∠DAM=28° ∴ ∠B=180°-2_28°=124° (cid:9000) 124° AD”=AB”-BD” =AC”-CE” =AE” (cid:9000) ③ 11 △ADE와 △ACE에서 AE”는 공통, ∠ADE=∠ACE=90°, AD”=AC” 이므로 △ADE™△ACE (RHS 합동) Ⅴ. 도형의 성질 11  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지12 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX 따라서 AD”=AC”=5(cm)이므로 BD”=13-5=8(cm) 또 DE”=CE”이므로 △BED의 둘레의 길이는 BE”+ED”+DB”=BE”+EC”+DB” =12+8=20(cm) (cid:9000) ③ 12 △AOP와 △BOP에서 OP” 는 공통, ∠PAO=∠PBO=90°, ∠AOP=∠BOP 이므로 PA”= PB” 따라서 △AOP™△BOP ( RHA 합동) (cid:9000) ㈎ OP” ㈏ RHA ㈐ PB” 13 △AOP와 △BOP에서 OP”는 공통, ∠PAO=∠PBO=90°, PA”=PB” 이므로 △AOP™△BOP (RHS 합동) (cid:9000) ⑤ 14 △ABD와 △AED에서 AD” 는 공통, ∠ABD=∠AED=90°, ∠BAD=∠EAD 이므로 △ABD™△AED (RHA 합동) ∴ AE”=AB”=BC” 또 △EDC는 ∠C=∠EDC=45°인 직각이등변 삼각형이므로 EC”=DE”=BD” ∴ AC”=AE”+EC”=BC”+DE” (cid:9000) ③ 15 PQ”=PR”이므로 OP”는 ∠AOB의 이등분선이다. ∴ ∠AOB=2∠POR=2_(90°-65°)=50° 16 점 D에서 AB”에 내린 수선의 발을 E라 하면 AD”는 ∠A의 이등분선이므로 ED”=CD”=4(cm) △ABD= _AB”_4=32 ;2!; ∴ AB”=16(cm) 17 점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 E라 하면 BD”는 ∠B의 이등분선 이므로 A 10`cm D 15`cm B E 39`cm C DE”=DA”=10(cm) … 4점 ∴ △DBC= _39_10=195(cm¤ ) … 4점 ;2!; (cid:9000) 195 cm¤ 12 SOLUTION LECTURE 07 삼각형의 외심 LECTURE BOOK 34쪽 1 (cid:9000) ㈀, ㈃ 2 (cid:9000) ⑴ 15° ⑵ 144° 3 (cid:9000) ⑴ 5 ⑵ 55 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 35쪽 01 △OAD™△OBD, △OBE™△OCE, △OCF™△OAF ④ ∠OCE=∠OBE, ∠OCF=∠OAF SAS 합동 (cid:9000) ④ ∠EDC=90°-∠C =90°-45° =45° 각의 두 변에서 같은 거 리에 있는 점은 그 각의 이등분선 위에 있다. (cid:9000) ② A E B C 4`cm D (cid:9000) ③ 각의 이등분선 위의 한 점에서 그 각의 두 변 에 이르는 거리는 같다. △OAB, △OBC는 모두 이등변삼각형이다. 02 (cid:9000) ②, ⑤ 03 세 건물이 위치한 지점을 삼각형의 꼭짓점이라 할 때, 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 점은 삼각형 의 외심이다. 즉 AB”, BC”의 수직이등분선의 교점 이다. (cid:9000) ③ 04 AD”=CD” ”이므로 x=2_5=10 OB”=OC”에서 ∠OBC=∠OCB이므로 y= _(180-110)=35 ;2!; ∴ x+y=45 (cid:9000) 45 05 AD”=BD”, BE”=CE”, CF”=AF”이므로 △ABC의 둘레의 길이는 2_(10+12+11)=66(cm) (cid:9000) ② 06 오른쪽 그림과 같이 OB”를 그으면 ∠OBA=∠OAB=32°, ∠OBC=∠OCB=44° 이므로 ∠ABC=∠OBA+∠OBC ∠ABC=32°+44°=76° A 32æ O B 44æ C (cid:9000) ⑤  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지13 SinsagoHitec 07 OB”=OC”= ;2!; _(21-9)=6(cm) … 3점 15 OA”=OC”이므로 따라서 △ABC의 외접원의 넓이는 p_6¤ =36p(cm¤ ) … 3점 (cid:9000) 36p cm¤ 반지름의 길이가 r인 원의 넓이 (cid:8857) pr¤ Q BOX △OBC와 △ABO는 밑 변의 길이와 높이가 각각 같으므로 넓이가 같다. 08 30°+22°+∠OAC=90° ∴∠OAC=38° OA”=OB”이므로 ∠OAB=∠OBA=30° ∴∠BAC=30°+38°=68° (cid:9000) ⑤ 09 ∠AOB=2∠C=2_63°=126° OA”=OB”이므로 ∠OAB=∠OBA ∴∠x= _(180°-126°)=27° (cid:9000) ④ ;2!; 10 오른쪽 그림과 같이 OC”를 A 그으면 ∠OBD+∠OCE+∠OCA =90°이므로 ∠OBD+70°=90° ∴ ∠OBD=20° B D O 70æ E C (cid:9000) ③ 11 ∠CAB=180°_ =60°이므로 ;9#; ∠BOC=2_60°=120° (cid:9000) 120° 12 점 O는 △ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠A=2_35°=70° 점 O'은 △OBC의 외심이므로 ∠BO'C=2∠BOC=2_70°=140° O'B”=O'C”이므로 ∠O'BC=∠O'CB ∴ ∠x= _(180°-140°)=20° (cid:9000) ③ ;2!; 13 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점과 일치하므로 외접원의 반지름의 길이는 _10=5(cm) ;2!; (cid:9000) 5 cm 14 ∠CMB=180°-120° =60° 점 M은 △ABC의 외심 이므로 MB”=MC” 14`cm M 120æ 60æ 60æ 60æ C B A ;2!; ∴ ∠MBC=∠MCB= _(180°-60°)=60° 따라서 △MBC가 정삼각형이므로 BC”=MC”= _14=7(cm) ;2!; (cid:9000) ③ △OBC=△ABO=27(cm¤ ) … 2점 ∴ △ABC=2△ABO =2_27=54(cm¤ ) … 3점 즉 _12_AB”=54이므로 ;2!; AB”=9(cm) L E C T U R E B O O K … 3점 (cid:9000) 9 cm 16 점 O는 △ABC의 외심이므로 OA”=OC” ∴ ∠OCA=∠OAC=44° △OCA에서 ∠x=2_44°=88° (cid:9000) ⑤ 17 ①, ② 점 M은 △ABC의 외심이므로 ③ AM”=BM”=CM” ③ △ABM에서 ∠B=∠BAM이므로 ∠B= ∠AMC= ;2!; ④, ⑤ △AMC에서 ;2!; _52°=26° ∠C=∠MAC= _(180°-52°)=64° ;2!; 18 점 M은 △ABC의 외심이므로 MA”=MB” ∴ ∠MBA=∠A=35° △ABM에서 ∠BMD=2_35°=70° △MBD에서 ∠MBD=180°-(70°+90°)=20° (cid:9000) ③ (cid:9000) 20° LECTURE 08 삼각형의 내심 LECTURE BOOK 38쪽 1 (cid:9000) ㈁, ㈃ 2 (cid:9000) ⑴ 30° ⑵ 123° 3 (cid:9000) ⑴ 6 cm¤ ⑵ 1 cm ⑶ 2 cm 직각삼각형의 빗변의 중점 (cid:8857) 외심 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 39쪽 RHA 합동 01 △IAD™△IAF, △IBD™△IBE, △ICE™△ICF (cid:9000) ④ Ⅴ. 도형의 성질 13  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지14 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX 02 ②, ④ 외심에 대한 설명이다. (cid:9000) ①, ③ 03 ∠IBC=∠IBA=18°, ∠ICB=∠ICA= ;2!; 이므로 ∠x=180°-(18°+32°)=130° _64°=32° 04 ∠IAB=∠IAE=29°, ∠ICD=∠ICE=180°-(90°+69°)=21° 이므로 ∠BAC=2_29°=58°, ∠ACB=2_21°=42° ∴ x=180-(58+42)=80 또 IE”=ID”이므로 y=5 ∴ x+y=85 05 ∠x=90°+ ;2!; ∠BAC=90°+27°=117° ∠y=90°-(27°+38°)=25° ∴ ∠x-∠y=117°-25°=92° 06 ∠BAC=180°_ =80°이므로 ;9$; ∠x=90°+ ∠BAC=90°+40°=130° … 3점 (cid:9000) 130° (cid:9000) 85 (cid:9000) ① … 3점 (cid:9000) 130° 07 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠BIC=90°+ ∠BAC=90°+22°=112° ;2!; 또 점 I'은 △IBC의 내심이므로 ∠x=90°+ ∠BIC=90°+56°=146° (cid:9000) ⑤ 08 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 ;2!; ;2!; _r_(10+16+10)=48 ;2!; 18r=48(cid:100)(cid:100)∴ r= ;3*; 09 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 _r_28=42 ;2!; 14r=42(cid:100)(cid:100)∴ r=3 따라서 △ABC의 내접원의 넓이는 p_3¤ =9p`(cm¤ ¤ ) (cid:9000) ③ … 3점 … 3점 (cid:9000) 9p cm¤ 10 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 _15_r=30(cid:100)(cid:100)∴ r=4 ;2!; ∴ △ABC= _4_(15+14+13)=84(cm¤ ) ;2!; 14 SOLUTION 삼각형의 세 내각의 이 등분선은 한 점(내심) 에서 만난다. 11 BE”=BD”=2(cm), AF”=AD”=5(cm)이므로 CE”=CF”=8-5=3(cm) ∴ BC”=2+3=5(cm) (cid:9000) 5 cm 평행한 두 직선이 한 직선과 만날 때 생기는 엇각의 크기는 같다. △ABC의 내접원의 반 지름의 길이가 r일 때 △ABC = r(AB”+BC”+CA”) ;2!; 12 AF”=AD”=5-2=3이므로 x=3 CF”=CE”=12-2=10이므로 y=10 ∴ y-x=7 (cid:9000) ③ 13 AD”=AF”=x cm라 하면 BE”=BD”=9-x(cm), CE”=CF”=6-x(cm) 이므로 (9-x)+(6-x)=5(cid:100)(cid:100) ∴ x=5 (cid:9000) ② 14 점 I가 △ABC의 내심 이므로 ∠DBI=∠IBC DE”∥BC”이므로 ∠DIB=∠IBC (엇각) 즉 ∠DIB=∠DBI D 7`cm B 이므로 DI”=DB”=7(cm) A I E 8`cm C 마찬가지로 EI”=EC”이므로 EI”=8(cm) ∴ DE”=DI”+EI”=7+8=15(cm) (cid:9000) 15 cm 15 오른쪽 그림에서 BI”, CI”를 그으면 점` I가 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC DE”∥BC”이므로 ∠DIB=∠IBC (엇각) A I 6`cm D B 7`cm 5`cm E C 즉 ∠DIB=∠DBI이므로 DI”=DB” 마찬가지로 EI”=EC” ∴ (△ADE의 둘레의 길이) ∴ =AD”+DE”+AE” ∴ =AD”+(DI”+EI”)+AE” ∴ =AD”+DB”+EC”+AE” ∴ =AB”+AC” ∴ =6+5=11(cm) (cid:9000) ② 16 오른쪽 그림에서 BI”, CI”를 그으면 점 I가 △ABC의 A 내심이므로 ∠DBI=∠ABI AB”∥ID”이므로 9`cm 30æ 30æ D B I 30æ 30æ 30æ C E 30æ ∠ABI=∠DIB (엇각) 즉 ∠DBI=∠DIB이므로 BD”=ID” 마찬가지로 CE”=IE” 또 ∠IDE=∠IED=60°이므로 △IDE는 정삼 ∠DIE=180°-2_60° (cid:9000) ② =60° 각형이다. ¤  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지15 SinsagoHitec LECTURE BOOK 42쪽 08 △ABE와 △FCE에서 BQ”=BP”+PQ” =DQ”+PQ” =DP” Q BOX 평행사변형에서 이웃하 는 두 각의 크기의 합 은 180°이다. 04 ㈂ BO”=;2!; BD”=;2!;_8=4(cm) ㈃ ∠ABC=∠ADC=110° 05 ∠BAD+∠ADC=180°이므로 x+105=180(cid:100)(cid:100)∴ x=75 AB”=DC”이므로 y+5=8(cid:100)(cid:100)∴ y=3 … 2점 평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등분하므로 3z+1=7(cid:100)(cid:100)∴ z=2 … 2점 (cid:9000) x=75, y=3, z=2 (cid:9000) ③ … 2점 L E C T U R E B O O K AD”∥BC” 이므로 엇각의 크기는 같다. 06 ∠CDE=∠ADE=∠CED (엇각)이므로 CE”=CD”=AB”=4(cm) ∴ BE”=7-4=3(cm) 즉 BD”=DE”=EC”이므로 DE”= BC”= _9=3(cm) ;3!; ;3!; (cid:9000) ④ 17 점 O는 △ABC의 외심이므로 ∠A= ∠BOC= _68°=34° ;2!; ;2!; 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠BIC=90°+ ∠A=90°+ _34°=107° ;2!; ;2!; 18 ∠ABC=180°-(90°+42°)=48° 점 O는 △ABC의 외심이므로 ∠OCB=∠OBC=48° 점 I는 △OBC의 내심이므로 ∠x=90°+ ∠OCB=90°+ _48°=114° ;2!; ;2!; (cid:9000) ② (cid:9000) ① LECTURE 09 평행사변형 1 (cid:9000) ⑴ x=5, y=3 ⑵ x=108, y=72 ⑶ x=8, y=12 2 (cid:9000) ㈁, ㈄ 3 (cid:9000) ⑴ 9 cm¤ ⑵ 18 cm¤ 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 43쪽 ∠A：∠B=5：4 01 평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형 (cid:9000) ④ 이다. 02 AB”∥DC”이므로 ∠y=∠OCD=30° (엇각) △DOC에서 ∠x=54°+30°=84° ∴ ∠x+∠y=84°+30°=114° (cid:9000) ③ 03 AD”=BC”에서 2x-3=x+2(cid:100)(cid:100)∴ x=5 AB”=DC”에서 2y=3y-2(cid:100)(cid:100)∴ y=2 따라서 AB”=2_2=4, BC”=5+2=7이므로 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는 2(AB”+BC”)=2_(4+7)=22 (cid:9000) 22 평행사변형의 두 대각선 은 서로를 이등분한다. 평행사변형의 두 쌍의 대 변의 길이는 각각 같다. 07 △ABP와 △CDQ에서 AB”=CD”, ∠APB=∠CQD=90°, ∠ABP=∠CDQ (엇각) 이므로 △ABP™△CDQ (RHA 합동) ∴ AP”=CQ”, ∠BAP=∠DCQ 또 BP”=DQ”이므로 BQ”=DP” BE”=CE”, ∠ABE=∠FCE (엇각), ∠AEB=∠FEC (맞꼭지각) 이므로 △ABE™△FCE(ASA 합동) ∴ CF”=AB”=8(cm) ∴ DF”=DC”+CF”=8+8=16(cm) 09 ∠A+∠B=180°이므로 ∠A=180°_;9%;=100° ∴ ∠C=∠A=100° 10 ∠DCE=∠AEC=54° (엇각)이므로 ∠BAD=∠BCD=2_54°=108° 11 (△OBC의 둘레의 길이) =BO”+CO”+BC”=;;¡2£;;+;2(;+8=19(cm) 12 ∠DBE=∠CBE=∠DEB (엇각)이므로 BD”=DE” ∴ DE”=2_7=14 (cid:9000) ② (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ② (cid:9000) ① (cid:9000) 108° (cid:9000) ③ (cid:9000) 14 Ⅴ. 도형의 성질 15  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지16 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX 13 ④ 오른쪽 그림의 (cid:8772)ABCD ④ 는 AD”∥BC”이고 A D AB”=DC”이지만 평행사 B 변형이 아니다. C (cid:9000) ④ 14 AD”=BC”이므로 4x-3=13(cid:100)(cid:100)∴ x=4 ∠ACB=∠CAD=34° (엇각)이므로 y=34 ∴ x+y=4+34=38 15 AB”=DC”이므로 PB”=DQ” AB”∥DC”이므로 PB”∥DQ” 16 OA”=OC”이므로 OP”= OA”= OC”=OR” ;2!; ;2!; 또 OB”=OD”이므로 OQ”= OB”= OD”=OS” ;2!; ;2!; 따라서 (cid:8772)PQRS는 두 대각선이 서로를 이등분 하므로 평행사변형이다. (cid:9000) 두 대각선이 서로를 이등분한다. 17 △PAD+△PBC=;2!; (cid:8772)ABCD이므로 (cid:8772)ABCD=2_(16+13)=58(cm¤ ) (cid:9000) ② 18 △OBF와 △ODE에서 BO”=DO”, ∠BOF=∠DOE (맞꼭지각), ∠OBF=∠ODE (엇각) 이므로 △OBF™△ODE (ASA 합동) … 4점 ∴ △ODE+△OCF=△OBF+△OCF (cid:9000) 38 (cid:9000) ④ EB”=ED”이므로 ∠EBD=∠EDB 한 쌍의 대변이 평행하 고 그 길이가 같으므로 평행사변형이다. 평행사변형이 직사각형 이 되는 조건 (cid:8857) 한 내각이 직각이거 나 두 대각선의 길 이가 같다. =△OBC =;4!;(cid:8772)ABCD =;4!;_24=6(cm¤ ) … 2점 (cid:9000) 6 cm¤ 평행사변형의 넓이는 두 대각선에 의하여 사 등분된다. 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 47쪽 01 ㈀ 직사각형의 한 내각의 크기는 90°이다. ㈂ 직사각형의 두 대각선은 길이가 같고 서로를 이등분하므로 ㈂ BO”=;2!; BD”=;2!; AC”=CO” (cid:9000) ② 02 ∠ABE=∠EBD=∠EDB이므로 △ABD에서 3∠ABE=90° ∴ ∠ABE=30° 따라서 △ABE에서 ∠x=180°-(90°+30°)=60° (cid:9000) 60° 03 ①, ③ 마름모가 되는 조건 ⑤ 평행사변형의 성질 (cid:9000) ②, ④ 04 ㈀ AB”=AD”이므로 마름모가 된다. ㈁ AC”=2AO”=12(cm)이므로 AC”=BD” ㈁ 즉 두 대각선의 길이가 같으므로 직사각형이 된다. ㈂ ∠AOD=∠COD= _180°=90°이므로 마 ;2!; ㈁ 름모가 된다. ㈃ 한 내각이 직각이므로 직사각형이 된다. (cid:9000) ③ 05 ① AB”=AD”이므로 ∠ADB=∠ABD=35° ② ∠BCD=∠BAD=180°-2_35°=110° ③, ⑤ 마름모의 성질 ④ AC”=2AO”=8(cm)이지만 BD”의 길이는 알 수 없다. (cid:9000) ④ 06 AB”=BC”이므로 3x+1=16-2x 5x=15(cid:100)(cid:100)∴ x=3 따라서 AO”=3+3=6, BO”=2_3+2=8이므로 … 2점 … 2점 … 2점 (cid:9000) 96 07 AB”=AD”이므로 ∠ADB=∠ABD=;2!;_(180°-126°)=27° △PDH에서 ∠DPH=90°-27°=63° ∴ ∠x=∠DPH=63° (cid:9000) ③ LECTURE BOOK 46쪽 마름모의 두 대각선에 의하 여 생긴 4개의 삼각형은 모 두 합동이다. (cid:8772)ABCD=4△ABO (cid:8772)ABCD=4_{;2!;_6_8}=96 LECTURE 10 여러 가지 사각형 1 (cid:9000) x=7, y=35 2 (cid:9000) ⑴ 5 ⑵ 90 3 (cid:9000) ⑴ 3 cm ⑵ 90° ⑶ 45° 4 (cid:9000) ⑴ x=75, y=9 ⑵ x=68, y=16 16 SOLUTION  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지17 SinsagoHitec 08 ④ ∠DAC=∠DCA이면 DA”=DC”이므로 마 16 AD”=DC”=AB”이므로 △ABD는 이등변삼각형 Q BOX 평행사변형이 마름모가 되는 조건 (cid:8857) 이웃하는 두 변의 길 이가 같거나 두 대각 선이 수직이다. 이다. ∴ ∠ABD=∠ADB 또 ∠DBC=∠ADB (엇각)이므로 ∠C=∠ABC=2∠DBC 따라서 △DBC에서 3∠DBC=90° ∴ ∠DBC=30° ∴ ∠C=2_30°=60° L E C T U R E B O O K (cid:9000) 60° 17 (cid:8772)ABCD는 등변사다리꼴이므로 AC”=BD” 즉 4x-1=2x+5에서 2x=6(cid:100)(cid:100)∴ x=3 ∴ BC”=3_3+1=10 (cid:9000) ⑤ 18 오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나고 AB”에 평 A 7`cm D 11`cm 120æ 11`cm 행한 직선이 BC”와 만 나는 점을 E라 하면 B 60æ 60æ 60æ 7`cm 11`cm E C (cid:8772)ABED는 평행사변형이므로 BE”=AD”=7(cm) 또 ∠DEC=∠B=∠C=60°에서 △DEC는 정 삼각형의 한 외각의 크 기는 그와 이웃하지 않 는 두 내각의 크기의 합과 같다. 삼각형이므로 DE”=EC”=DC”=11(cm) ∴ BC”=BE”+EC”=7+11=18(cm) (cid:9000) 18 cm ⑤ AD”∥BC”이므로 ∠ADB=∠DBC (엇각)는 름모가 된다. 항상 성립한다. (cid:9000) ⑤ 09 AD”=BC”이므로 2x+8=4x(cid:100)(cid:100)∴ x=4 따라서 BC”=4_4=16, CD”=5_4-4=16이 므로 BC”=CD” 즉 (cid:8772)ABCD는 마름모이므로 ∠AOB=90° 따라서 △ABO에서 ∠ABO=180°-(60°+90°)=30° (cid:9000) 30° 10 △ABE와 △CBE에서 AB”=CB”, ∠ABE=∠CBE=45°, BE”는 공통 이므로 △ABE™△CBE (SAS 합동) ∴ ∠AEB=∠CEB=62° △AED에서 ∠DAE+45°=62° ∴ ∠DAE=62°-45°=17° (cid:9000) ② 11 OC”=OA”=4(cm), BD”=AC”=2OA”=8(cm) 이때 ∠BOC=90°이므로 △BCD=;2!;_8_4=16(cm¤ ) (cid:9000) ③ 12 BC”=CD”=CE”이므로 △BCE는 이등변삼각형 이다. ∠BCE=90°+60°=150°에서 ∠CBE=∠CEB=;2!;_(180°-150°)=15° ∴ ∠ABE=90°-15°=75° 13 ①, ② 직사각형이 되는 조건 ③, ⑤ 마름모가 되는 조건 14 ㈀ 마름모의 뜻(cid:100)㈃ 마름모의 성질 15 △ABC와 △DCB에서 AB”=DC”, ∠ABC=∠DCB, BC”는 공통 이므로 △ABC™△DCB (SAS 합동) ∴ ∠ACB=∠DBC 따라서 ∠DAC=∠ADB이므로 정사각형의 한 내각의 크기 는 90°이고, 정삼각형의 한 내각의 크기는 60°이다. △ABO =△ABC-△OBC =△DBC-△OBC =△DCO … 2점 … 3점 … 3점 (cid:9000) 75° (cid:9000) ④ (cid:9000) ② LECTURE 11 여러 가지 사각형 사이의 관계 LECTURE BOOK 50쪽 1 (cid:9000) ⑴ 직사각형 ⑵ 마름모 ⑶ 정사각형 2 (cid:9000) ⑴ ㈁, ㈃, ㈄ ⑵ ㈂, ㈃ 3 (cid:9000) ⑴ △DBC ⑵ △ACD ⑶ △DCO 4 △ABD=84_;7@;=24(cm¤ ) (cid:9000) 24 cm¤ 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 51쪽 01 △ABF와 △CDE에서 AF”=CE”, ∠ABF=∠CDE=90°, AB”=CD” 이므로 △ABF™△CDE (RHS 합동) 즉 BF”=DE”이므로 CF”=AE” 따라서 AF”=CE”이고 CF”=AE”이므로 Ⅴ. 도형의 성질 17 OA”=OD” (cid:9000) ③ (cid:8772)AFCE는 평행사변형이다. (cid:9000) ④ ∠DAC=∠ACB =∠DBC =∠ADB  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지18 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX 마름모는 네 변의 길이가 모두 같다. 11 AC”∥DE”이므로 △ACE=△DAC ∴ △ABE=△ABC+△ACE 밑변이 공통이고 밑변 에 평행한 직선 위의 점을 꼭짓점으로 갖는 삼각형의 넓이는 모두 같다. 02 △ODP와 △OBQ에서 OD”=OB”, ∠POD=∠QOB, ∠PDO=∠QBO (엇각) 이므로 △ODP™△OBQ (ASA 합동) ∴ OP”=OQ” 므로 마름모이다. 즉 (cid:8772)PBQD의 두 대각선은 서로를 수직이등분하 이때 PD”=10-3=7(cm)이므로 (cid:8772)PBQD의 둘 레의 길이는 4_7=28(cm) … 3점 … 3점 (cid:9000) 28 cm 03 ④ ㉣ 한 내각이 직각이거나 두 대각선의 길이가 (cid:9000) ④ 같다. 04 ㈀ 평행사변형은 사다리꼴이다. ㈁ 마름모는 평행사변형이다. ㈃ 정사각형은 마름모이다. (cid:9000) ④ 05 ① 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형은 ② 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형은 직사각 ③ 두 대각선이 수직인 평행사변형은 마름모이다. ⑤ ∠BCO=∠DCO=∠BAO (엇각)이므로 마름모이다. 형이다. BA”=BC” 즉 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형 은 마름모이다. (cid:9000) ④ 06 (cid:9000) ③, ④ 07 ④ 등변사다리꼴의 두 대각선의 길이는 같다. 08 △AEH와 △CGF에서 AE”=CG”, AH”=CF”, ∠A=∠C 이므로 △AEH™△CGF (SAS 합동) ∴ EH”= GF” △BFE와 △DHG에서 BF”=DH”, BE”=DG”, ∠B=∠D 이므로 △BFE™△DHG ( SAS 합동) ∴ EF”=GH” yy ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 (cid:8772)EFGH는 두 쌍의 대변의 길 이가 각각 같으므로 평행사변형 이다. (cid:9000) ㈎ 평행사변형 ㈏ GF” ㈐ SAS 09 직사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형 은 마름모이므로 (cid:8772)EFGH는 마름모이다. ④ FE”=FG”이므로 ∠FEG=∠FGE=∠HEG (엇각) (cid:9000) ②, ③ 18 SOLUTION 높이가 같은 두 삼각형 의 넓이의 비 (cid:8857) 밑변의 길이의 비와 같다. (cid:9000) ④ yy ㉠ 사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형 ① 사각형, 평행사변형 (cid:8857) 평행사변형 ② 직사각형, 등변사다 리꼴 (cid:8857) 마름모 ③ 마름모 (cid:8857) 직사각형 ④ 정사각형 (cid:8857) 정사각형 (마름모의 넓이) =;2!;_(두 대각선의 길이의 곱) 10 정사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 정사 각형이므로 (cid:8772) EFGH는 정 사각형이다. … 3점 ∴ (cid:8772)ABCD=2 (cid:8772)EFGH A E B H F D G C =2_(5_5) =50(cm¤ ) … 3점 (cid:9000) 50 cm¤ =△ABC+△DAC =(cid:8772)ABCD=25(cm¤ ) (cid:9000) 25 cm¤ 12 △DAC=;2!; (cid:8772)ABCD=;2!;_30=15 AC”∥DE”이므로 △EAC=△DAC=15 ∴ △ACO=△EAC-△OCE =15-6=9 (cid:9000) ③ 13 AD”∥BC”이므로 △ABE=△ACE AC”∥EF”이므로 △ACE=△ACF AB”∥CD”이므로 △ACF=△BCF ∴ △ABE=△ACE=△ACF=△BCF (cid:9000) ⑤ 14 △ABP : △APC=BP” : CP”=2 : 5이므로 △APC=;2%;△ABP=;2%;_16=40(cm¤ ) △APQ : △PCQ=AQ” : CQ”=1 : 1이므로 △PCQ=;2!;△APC=;2!;_40=20(cm¤ ) (cid:9000) 20 cm¤ 15 △ABQ : △BCQ=AQ” : CQ”=3 : 2이므로 △ABQ=;5#;△ABC=;5#;_30=18(cm¤ ) △APQ : △PBQ=AP” : BP”=1 : 2이므로 △APQ=;3!;△ABQ=;3!;_18=6(cm¤ ) (cid:9000) ① 16 △BPQ : △PCQ=BP” : CP”=4 : 5이므로 △BCQ=;4(;△BPQ=;4(;_16=36(cm¤ ) ∴ (cid:8772)ABCD=2△BCQ=2_36=72(cm¤ ) (cid:9000) ③ 17 △ABC=2!; (cid:8772)ABCD △ABC=;2!;_{;2!; _12_8}=24(cm¤ ) 이때 BP”=CP”이므로 △ABP=;2!;△ABC=;2!;_24=12(cm¤ ) (cid:9000) 12 cm¤ ”  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지19 SinsagoHitec Q BOX 18 △CDP=△ABP=15(cm¤ ) △ABP : △BCP=15 : 25=3 : 5이므로 AP” : CP”=3 : 5 △APD :△DPC=AP” :CP”=3 :5이므로 △APD=;5#;△CDP=;5#;_15=9(cm¤ ) (cid:9000) ② 05 △ABD와 △BCE에서 AB”=BC”, ∠ADB=∠BEC=90°, ∠ABD=90°-∠EBC=∠BCE 이므로 △ABD™△BCE (RHA 합동) BD”=CE”=4(cm), BE”=AD”=8(cm) ∴ DE”=BE”-BD”=8-4=4(cm) (cid:9000) ④ 06 ③, ④ 삼각형의 내심에 대한 설명이다. (cid:9000) ①, ⑤ L E C T U R E B O O K 07 오른쪽 그림과 같이 OB”를 그으면 A 40æ OA”=OB”=OC”에서 ∠OAB=∠OBA, ∠OBC=∠OCB이므로 O 30æ B C ∠OAB+∠OCB=∠OBA+∠OBC =∠ABC=110° 따라서 (cid:8772)ABCO에서 ∠AOC=360°-(110°+110°)=140° (cid:9000) ④ 08 오른쪽 그림과 같이 OA”, OB” 를 그으면 OP”=OQ”이므로 ∠OAP=∠OAQ ∴ ∠OAP=;2!;∠BAC A O 44æ Q x P B C ∴ ∠OAP=;2!;_44°=22° OA”=OB”이므로 ∠OBA=∠OAB=22° ∴ ∠AOB=180°-2_22°=136° ∴ ∠x=;2!;∠AOB=;2!;_136°=68° (cid:9000) ④ ID”=IE”=IF” ⑤ △ICE와 △ICF에서 ⑤ IC”는 공통, ∠IEC=∠IFC=90°, ⑤ ∠ICE=∠ICF이므로 ⑤ △ICE™△ICF (RHA 합동) (cid:9000) ③, ⑤ 10 ∠BIC=90°+;2!;∠A=90°+;2!;_74°=127° ∴ ∠x+∠y=180°-127°=53° (cid:9000) ② Ⅴ. 도형의 성질 19 대단원별 기출문제 정복 LECTURE BOOK 54쪽 04 ③, ④ 05 ④ 01 ㈂, ㈄ 02 ④ 03 20° 06 ①, ⑤ 07 ④ 08 ④ 09 ③, ⑤ 10 ② 11 ② 12 ③ 13 ② 14 ③ 15 ② 16 120° 17 ① 18 ② 19 153° 20 84° 23 ② 24 ② 22 66° 21 45 cm¤ ∠ABC =180°-(40°+30°) =110° 01 ㈂ 꼭지각의 크기가 90°인 직각이등변삼각형이 있다. ㈄ 이등변삼각형의 밑변의 수직이등분선은 꼭지 각을 이등분한다. (cid:9000) ㈂, ㈄ 각의 두 변에서 같은 거 리에 있는 점은 그 각의 이등분선 위에 있다. 02 AB”=AC”이므로 ∠ACB=∠ABC=68° DC”=DE”이므로 ∠DCE=∠DEC=;2!;_(180°-48°)=66° ∴ ∠ACD=180°-(68°+66°)=46° (cid:9000) ④ 03 ∠A=∠x라 하면 ∠ACB=∠x 2x B 2x D 100æ 3x x C 3x E ∠CDB=∠CBD A x =∠x+∠x =2∠x ∠DEC=∠DCE=∠x+2∠x=3∠x 따라서 △DAE에서 100°+∠x+3∠x=180° 4∠x=80° ∴ ∠A=∠x=20° 이등변삼각형의 두 밑 각의 크기는 같다. 평각의 크기는 180°이다. 09 ③ 점 I는 △ABC의 내심이므로 04 △ABC에서 ∠C=180°-(90°+30°)=60° ③ SAS 합동 ④ RHA 합동 (cid:9000) ③, ④ 11 ∠D=180°-102°=78°이므로 △AED에서 ∠x=25°+78°=103° (cid:9000) ② (cid:9000) 20° 삼각형의 한 외각의 크 기는 그와 이웃하지 않 는 두 내각의 크기의 합과 같다.  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지20 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX 12 ∠ACB=∠ABC=∠FEC이므로 FE”=FC” 이때 (cid:8772)ADEF는 평행사변형이므로 둘레의 길이는 2(AF”+FE”)=2(AF”+FC”) =2_12=24(cm) (cid:9000) ③ 13 ∠D'AF=90°이므로 ∠EAF=90°-42°=48° D' A 42æ 48æ E AE”∥BF”이므로 ∠AFB=∠EAF =48° (엇각) 48æ B F 이때 ∠AFE=∠CFE (접은 각)이므로 D C ∠AFE=;2!;_(180°-48°)=66° (cid:9000) ② 14 (cid:8772)ABCD에서 AD”∥BC”, AD”=BC”이므로 (cid:8772)ABCD는 평행사변형이다. ③ 직사각형이 된다. ④ ∠BAC=∠BCA이면 BA”=BC”이므로 마름 모가 된다. ⑤ ∠ABD=∠DBC=∠ADB (엇각) ⑤ 따라서 AB”=AD”이므로 마름모가 된다. (cid:9000) ③ 15 (cid:8772)ABCD는 마름모이므로 ∠EFD=90° 따라서 (cid:8772)EFDG는 정사각형이다. 이때 FD”=;2!; BD”=6(cm), AF”=;2!; AC”=4(cm) 이므로 (cid:8772)EADG=(cid:8772)EFDG-△AFD (cid:8772)ABCD=6_6-;2!;_6_4 (cid:8772)ABCD=36-12=24(cm¤ ) (cid:9000) ② 16 점 A를 지나고 DC”와 평행한 직선이 BC” 와 A x D 만나는 점을 E라 하면 B AD”∥EC”, AE”∥DC” E C 이므로 (cid:8772)AECD는 평행사변형이다. 따라서 AE”=DC”, AD”=EC”이고 AB”=AD”=;2!; BC”이므로 AB”=BE”=CE”=CD”=AE” 즉 △ABE는 정삼각형이므로 ∠B=60° ∴ ∠x=180°-60°=120° (cid:9000) 120° 17 등변사다리꼴의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사 각형은 마름모이므로 (cid:8772)EFGH는 마름모이다. 따라서 (cid:8772)EFGH의 둘레의 길이는 4_8=32(cm) (cid:9000) ① 20 SOLUTION 폭이 일정한 종이 접기 (cid:8857) 접은 각과 엇각의 성질을 이용하여 크 기가 같은 각을 찾 는다. ∠DAC=∠BCA이므로 AD”∥BC” 한 내각이 직각인 마름 모는 정사각형이다. 18 CD”=CF”+DF”=4+6=10(cm) 이므로 (cid:8772)ABCD=100(cm¤ ) ∴ △OCD=;4!; (cid:8772)ABCD ∴ △OCD=;4!;_100=25(cm¤ ) △DOF：△OCF=DF”：CF”=6：4=3：2 이므로 △DOF=;5#;△OCD=;5#;_25=15(cm¤ ) 19 AB”=AC”이므로 ∠ABC=∠ACB ∠ABC=;2!;_(180°-48°) ∠ABC=66° 점 O는 △ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠A=96° OB”=OC”에서 ∠OCB=;2!;_(180°-96°)=42° ∴ ∠x=180°-(66°+42°)=72° 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠ICB=;2!;∠ACB=;2!;_66°=33° ∴ ∠y=180°-(66°+33°)=81° ∴ ∠x+∠y=72°+81°=153° 20 AB”=AD”이므로 ∠ABP=∠ADP=32° AP”=BP”이므로 ∠BAP=∠ABP=32° 따라서 △ABP에서 ∠APD=32°+32°=64° ∴ ∠x=180°-(64°+32°)=84° (cid:9000) ② A 48æ D E y x O I B C … 3점 … 3점 … 2점 (cid:9000) 153° … 3점 … 3점 (cid:9000) 84° 높이가 같은 두 삼각형 의 넓이의 비 (cid:8857) 밑변의 길이의 비와 같다. 21 △AOD：△DOC=AO”：CO”=1：2이므로 △DOC=2△AOD=10(cm¤ ) … 2점 △ABO=△DOC=10(cm¤ )이고 △ABO：△OBC=AO”：CO”=1：2이므로 △OBC=2△ABO=20(cm¤ ) … 2점 ∴ (cid:8772)ABCD=5+10+20+10 =45(cm¤ ) … 2점 (cid:9000) 45 cm¤  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지21 SinsagoHitec 22 ∠B=∠x로 놓으면 ∠B=∠C에서 ∠DCE=∠x-18° A x-18æ E ∠DAE=∠DCE (접은 각) 이므로 △ABC에서 (∠x-18°)+∠x+∠x=180° ∴ ∠x=66° D x B 18æ x-18æ C (cid:9000) 66° 23 (외접원의 반지름의 길이)=;2!;_17=;;¡2¶;;(cm) 이므로 외접원의 둘레의 길이는 2p_;;¡2¶;;=17p(cm) 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 ;2!;_r_(8+15+17)=;2!;_8_15 ∴ r=3 따라서 내접원의 둘레의 길이는 2p_3=6p(cm) ∴ 17p+6p=23p(cm) 24 x초 후에 △ABP와 △CDQ가 합동이 된다 A P › 고 하면 BP”=0.6x-7, DQ”=10-0.4x B P C 이때 BP”=DQ”이므로 0.6x-7=10-0.4x ∴ x=17 (cid:9000) ② Q BOX Ⅵ 도형의 닮음 LECTURE 12 도형의 닮음 L E C T U R E B O O K LECTURE BOOK 58쪽 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점과 일치하 므로 외접원의 반지름 의 길이는 _(빗변의 길이) ;2!; 1 (cid:9000) ⑴ 점 F ⑵ EH” ⑶ ∠G 2 (cid:9000) ⑴ 48° ⑵ 2：5 ⑶ 5 cm 3 (cid:9000) △ABCª△MON(AA 닮음) △DEFª△HGI(SSS 닮음) △JKLª△RQP(SAS 닮음) 4 ⑴ 6¤ =4_x(cid:100)(cid:100)∴ x=9 ⑵ 6¤ =12_x(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (cid:9000) ⑴ 9 ⑵ 3 (cid:9000) ② Q Q› D (거리)=(속력)_(시간) 항상 닮음인 도형 (cid:8857) 모든 원, 모든 직각 이등변삼각형, 변의 개수가 같은 모든 정다각형, 중심각의 크기가 같은 모든 부채꼴, 모든 구, 꼭 짓점의 개수가 같은 모든 정다면체 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 59쪽 01 (cid:9000) 모서리 OP, 면 IJNM 02 두 사각기둥이 항상 닮은 도형이라고는 할 수 없다. (cid:9000) ④ 03 ① ∠C=∠G=50° ② ∠F=∠B=85° ③ ∠H=360°-(120°+85°+50°)=105° ④ FG”의 길이는 알 수 없다. ⑤ (cid:8772)ABCD와 (cid:8772)EFGH의 닮음비는 04 AB”：4=3：1이므로 AB”=12(cm) … 2점 AC”：5=3：1이므로 AC”=15(cm) … 2점 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 12+13+15=40(cm) … 2점 (cid:9000) 40 cm 닮음비는 간단한 자연수의 비로 나타낸다. AD”：EH”=18：9=2：1 ∴ CD”：GH”=2：1 (cid:9000) ④ BC”=AD”=18(cm) CF”=DE”=8(cm) 05 AB”：DE”=AD”：DC”이므로 12：8=AD”：12(cid:100)(cid:100)∴ AD”=18(cm) ∴ BF”=BC”-CF”=18-8=10(cm) (cid:9000) ③ 닮은 두 구에서 (닮음비) =(반지름의 길이의 비) 06 작은 구의 반지름의 길이를 r라 하면 r：8=1：2(cid:100)(cid:100)∴ r=4 따라서 작은 구의 지름의 길이는 2_4=8 (cid:9000) ⑤ Ⅵ. 도형의 닮음 21  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지22 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX 07 물이 채워진 부분과 그릇은 닮은 도형이고 그릇의 높이의 ;4#;만큼 물을 채웠으므로 물이 채워진 부 분과 그릇의 닮음비는 3：4이다. … 4점 수면의 반지름의 길이를 r cm라 하면 r：12=3：4(cid:100)(cid:100)∴ r=9 … 4점 (cid:9000) 9 cm (cid:9000) ② (cid:9000) ⑤ 08 ② SAS 닮음 09 ⑤ △ABC에서 ∠C=40°이면 ∠A=180°-(80°+40°)=60° △DEF에서 ∠D=60°이면 ∠A=∠D, ∠C=∠F ∴ △ABCª△DEF(AA 닮음) 10 △ABC와 △EBD에서 AB”：EB”=BC”：BD”=2：1, ∠B는 공통 ∴ △ABCª△EBD(SAS 닮음) AC”：ED”=2：1에서` AC”：6=2：1 ∴ AC”=12(cm) (cid:9000) ④ 11 △ABE와 △CDE에서 AE”：CE”=BE”：DE”=3：4, ∠AEB=∠CED(맞꼭지각) ∴ △ABEª△CDE(SAS 닮음) AB”：CD”=3：4에서 12：CD”=3：4 ∴ CD”=16(cm) 따라서 △ECD의 둘레의 길이는 8+16+12=36(cm) 12 ⑴ △ABC와 △ADB에서 AB”：AD”=AC”：AB”=2：1, ∠A는 공통 ∴ △ABCª△ADB(SAS 닮음) … 3점 ⑵ BC”：DB”=2：1에서 10：DB”=2：1 ∴ DB”=5(cm) … 3점 (cid:9000) ⑴ △ABCª△ADB(SAS 닮음) ⑵ 5 cm 13 △ABC와 △DAC에서 ∠B=∠DAC, ∠C는 공통 ∴ △ABCª△DAC(AA 닮음) AC”：DC”=BC”：AC”에서 6：(9-BD”)=9：6 81-9BD”=36(cid:100)(cid:100)∴ BD”=5(cm) (cid:9000) ① 14 △AEB와 △CBD에서 ∠ABE=∠CDB(엇각), ∠AEB=∠CBD(엇각) ∴ △AEBª△CBD(AA 닮음) AE”：CB”=BE”：DB”에서 AE”：9=8：12 ∴ AE”=6(cm) (cid:9000) 6 cm 22 SOLUTION 15 C'E”=CE”=AC”-AE”=15-8=7(cm) △AC'E와 △BDC'에서 ∠C'AE=∠DBC'=60°, ∠AC'E=180°-(∠DC'E+∠BC'D) =180°-(∠C'BD+∠BC'D) =∠BDC' ∴ △AC'Eª△BDC'(AA 닮음) AE”：BC'”=C'E”：DC'”에서 8：12=7：DC'” ∴ DC'”=;;™2¡;;(cm) DC”=DC'”이므로 x=;;™2¡;; (cid:9000) ④ 16 △ADB와 △BEC에서 ∠ADB=∠BEC=90°, ∠DAB=90°-∠ABD=∠EBC ∴ △ADBª△BEC(AA 닮음) AD”：BE”=DB”：EC”에서 9：BE”=12：16 ∴ BE”=12(cm) (cid:9000) 12 cm 17 △BCE와 △DCF에서 ∠BEC=∠DFC=90°, ∠B=∠D ∴ △BCEª△DCF(AA 닮음) BC”：DC”=BE”：DF”에서 9：6=3：DF” ∴ DF”=2(cm) (cid:9000) 2 cm 18 ④ AC” ¤ =CH”_CB”이므로 ④ 20¤ =16_CB”(cid:100)(cid:100)∴ CB”=25(cm) ④ ∴ BH”=25-16=9(cm) (cid:9000) ④ 두 쌍의 대응변의 길이 의 비가 같고, 그 끼인 각의 크기가 같다. 평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같 다. △ABC=;2!;_AB”_AC” =;2!;_AH”_BC” (cid:9000) ② 이므로 AB”_AC”=AH”_BC” 19 AB” ¤ =BH”_BD”이므로 10¤ =5_(5+DH”), 100=25+5DH” ∴ DH”=15(cm) (cid:9000) 15 cm LECTURE 13 삼각형과 평행선 LECTURE BOOK 62쪽 1 ⑴ x：8=3：6(cid:100)(cid:100)∴ x=4 ⑴ 5：y=3：6(cid:100)(cid:100)∴ y=10 ⑵ 6：x=8：12(cid:100)(cid:100)∴ x=9 ⑴ 10：y=8：12(cid:100)(cid:100)∴ y=15 (cid:9000) ⑴ x=4, y=10 ⑵ x=9, y=15 2 (cid:9000) ㈀, ㈃ 3 (cid:9000) ⑴ 4 ⑵ 6  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지23 SinsagoHitec 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 63쪽 01 AC”：AE”=BC”：DE”이므로 21：7=b：a 7b=21a(cid:100)(cid:100)∴ b=3a (cid:9000) b=3a 02 AD”：AB”=DE”：BC”이므로 (AB”-7)：AB”=5：12 5AB”=12AB”-84(cid:100)(cid:100)∴ AB”=12(cm) (cid:9000) ④ 03 AD”：AF”=DE”：FG”이므로 6：12=x：20(cid:100)(cid:100)∴ x=10 AF”：AB”=FG”：BC”이므로 12：(12+6)=20：y(cid:100)(cid:100)∴ y=30 ∴ y-x=30-10=20 (cid:9000) ③ 04 AD”：AB”=DG”：BF”이므로 9：(9+3)=6：y(cid:100)(cid:100)∴ y=8 DG”：BF”=AG”：AF”=GE”：FC”이므로 6：8=x：4(cid:100)(cid:100)∴ x=3 ∴ x+y=3+8=11 (cid:9000) ③ 05 AD”：AB”=AG”：AF”=GE”：FC”이므로 GE”：FC”=10：(10+6)=5：8 (cid:9000) ④ 06 DF”∥BE”이므로 AD”：DB”=AF”：FE”=2：1 DE”∥BC”이므로 AE”：EC”=AD”：DB”=2：1 즉 12：EC”=2：1(cid:100)(cid:100)∴ EC”=6(cm) (cid:9000) ③ 07 ① AB”：BD”=10：5=2：1, ④ AC”：CE”=12：6=2：1 ④ 이므로 AB”：BD”=AC”：CE” ④ ∴ BC”∥DE” ④ AB”：AD”=10：8=5：4, ④ AC”：AE”=5：4 ④ 이므로 AB”：AD”=AC”：AE” ④ ∴ BC”∥DE” (cid:9000) ①, ④ 08 ④ CF”：FA”=8：6=4：3, ④ CE”：EB”=12：9=4：3 ④ 이므로 CF”：FA”=CE”：EB” ④ ∴ AB”∥FE” (cid:9000) ④ 09 DE”∥BC”이므로 AD”：DB”=AE”：EC”=7：8 이때 AC”∥DF”이어야 하므로 BF”：FC”=BD”：DA”=8：7 BF”：(12-BF”)=8：7 (cid:100)(cid:100)∴ BF”=;;£5™;;(cm) (cid:9000) ;;£5™;; cm Q BOX △ABC에서 AD”가 ∠A의 이등분선이면 AB”：AC”=BD”：CD” L E C T U R E B O O K … 2점 … 1점 … 2점 … 1점 10 AB”：AC”=BD”：CD”이므로 4：3=8：CD”(cid:100)(cid:100)∴ CD”=6(cm) (cid:9000) ③ 11 ⑴ AB”：AC”=BD”：CD”이므로 8：12=BD”：(15-BD”) ∴ BD”=6(cm) ⑵ AC”∥DE”이므로 BD”：BC”=DE”：CA”에서 6：15=DE”：12 ∴ DE”=;;™5¢;;(cm) (cid:9000) ⑴ 6 cm ⑵ ;;™5¢;; cm 12 AB”：AC”=BD”：CD”이므로 12：6=BD”：3(cid:100)(cid:100)∴ BD”=6(cm) 또 BC”：BA”=CE”：AE”이므로 9：12=CE”：(6-CE”) ∴ CE”=;;¡7•;;(cm) (cid:9000) ;;¡7•;; cm 13 AB”：AC”=BD”：CD”이므로 10：8=(BC”+12)：12(cid:100)(cid:100)∴ BC”=3(cm) (cid:9000) ③ 14 AC”：AB”=DC”：DB”이므로 7：AB”=(8+6)：8(cid:100)(cid:100)∴ AB”=4(cm) 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 4+6+7=17(cm) (cid:9000) ③ 15 AB”：AC”=BD”：CD” ”이므로 10：6=(8-CD”)：CD”(cid:100) ∴ CD”=3(cm) … 3점 △ABC에서 AD”는 ∠A 의 이등분선이다. △ABC에서 AE”는 ∠A 의 외각의 이등분선이다. AB”：AC”=BE”：CE”이므로 10：6=(8+CE”)：CE”(cid:100)(cid:100) ∴ CE”=12(cm) ∴ DE”=DC”+CE”=3+12=15(cm) … 2점 … 3점 (cid:9000) 15 cm 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길 이의 비와 같다. 16 BD”：CD”=AB”：AC”=15：9이므로 △ABD：△ACD=BD”：CD”=5：3 즉 △ABD：24=5：3이므로 △ABD=40(cm¤ ) (cid:9000) ① 17 BD”：CD”=AB”：AC”=12：8이므로 BD”：CD”=3：2 ∴ △ABC：△ACD=BC”：CD”=1：2 (cid:9000) ① Ⅵ. 도형의 닮음 23  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지24 SinsagoHitec (cid:9000) x=10, y=4 07 AE”=EC”, DE”∥BC”이므로 LECTURE BOOK Q BOX 18 AD”：BD”=AC”：BC”=10：6이므로 △ACD：△BCD=AD”：BD”=5：3 ∴ △BCD=;8#;△ABC ∴ △BCD=;8#;_{;2!;_6_10}=;;¢4∞;;(cm¤ ) △ABC는 ∠C=90°인 직 각삼각형이다. (cid:9000) ;;¢4∞;; cm¤ LECTURE 14 삼각형의 중점연결정리 LECTURE BOOK 66쪽 1 (cid:9000) ⑴ 70° ⑵ 18 cm 2 BC”=2 MN”=2_5=10(cid:100)(cid:100)∴ x=10 NC”=AN”=4(cid:100)(cid:100)∴ y=4 3 ⑴ MP”=;2!; AD”=;2!; _8=4(cm) ⑵ PN”=;2!; BC”=;2!;_12=6(cm) ⑶ MN”=MP”+PN”=4+6=10(cm) ⑷ PQ”=MQ”-MP”=6-4=2(cm) (cid:9000) ⑴ 4 cm ⑵ 6 cm ⑶ 10 cm ⑷ 2 cm 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형 이다. 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 67쪽 01 MN”=;2!; BC”=;2!;_16=8(cm) ∴ ME”=MN”-EN”=8-3=5(cm) (cid:9000) 5 cm 02 MN”=;2!;AB”=;2!;_16=8(cm)(cid:100)(cid:100)∴ x=8 MN”∥AB”이므로 ∠y=∠B=180°-(65°+55°)=60° ∴ y=60(cid:100)(cid:100) ∴ x+y=8+60=68 03 DE”=;2!;AC”=;2!;_10=5(cm) EF”=;2!;AB”=;2!; _12=6(cm) DF”=;2!; BC”=;2!; _8=4(cm) 따라서 △DEF의 둘레의 길이는 5+6+4=15(cm) (cid:9000) ③ 24 SOLUTION MN”∥AB”이므로 동위각 의 크기가 같다. (cid:9000) ④ ∠GDF=∠BEF(엇각), DF”=EF”, ∠GFD=∠BFE(맞꼭지각) 04 DF”=;2!; BC”이므로` DF”=BE”=EC” FE”=;2!;AB”이므로` FE”=AD”=DB” DE”=;2!;AC”이므로` DE”=AF”=FC” 따라서 △ADF™△DBE™△FEC™△EFD (SSS 합동)이다. ∴ △ABC=4△DEF=4_7=28(cm¤ ) (cid:9000) ② 05 △EBG에서 BC”=CG”, DC”∥EG”이므로 EG”=2 DC”=2_5=10 ∴ FG”=EG”-EF”=10-3=7 (cid:9000) ③ 06 △BCD에서 DC”=2PN”=2_9=18(cm) AB”=DC”=18(cm)이므로 △ABD에서 MP”=;2!;AB”=;2!;_18=9(cm) (cid:9000) 9 cm BD”=;2!; AB”=;2!;_16=8(cm)(cid:100)(cid:100)∴ x=8 AE”=EC”, AB”∥EF”이므로` BF”=FC” 이때 (cid:8772)DBFE는 평행사변형이므로 FC”=BF”=DE”=7(cm)(cid:100)(cid:100)∴ y=7 ∴ x+y=8+7=15 (cid:9000) 15 08 △AFD에서 DF”=2GE”=2_2=4(cm) △EBC에서 CE”=2 DF”=2_4=8(cm) ∴ CG”=CE”-GE”=8-2=6(cm) (cid:9000) 6 cm DF”=DG”-15=4DF”-15이므로 DF”=5(cm) ∴ EC”=2 DF”=2_5=10(cm) (cid:9000) ③ 10 오른쪽 그림과 같이 GD”∥EC”가 되도록 AB” 위에 점 G를 잡으면 △GFD™△BFE (ASA 합동)이므로 EB”=DG” yy㉠ A D G F E B 21`cm C 또 △ABC에서 AD”=DC”, GD”∥BC”이므로 GD”=;2!; BC”(cid:100) yy㉡ ㉠, ㉡에서` EB”=;2!; BC” 따라서 EC”=EB”+BC”=EB”+2EB”=3EB”=21 이므로 EB”=7(cm) (cid:9000) ⑤ AD”=DE”, AF”=FC”이므 로 EC”=2DF”, EC”∥DG” 09 △AEC에서` EC”=2DF” △BGD에서` DG”=2EC”=4DF”  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지25 SinsagoHitec Q BOX 사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형 ① 사각형, 평행사변형 (cid:8857) 평행사변형 ② 직사각형, 등변사다 리꼴 (cid:8857) 마름모 ③ 마름모 (cid:8857) 직사각형 ④ 정사각형 (cid:8857) 정사각형 공식을 이용하여 풀면 20+16 2+4 EF”= =6(cm) 공식을 이용하여 풀면 6_12 6+12 EF”= =4(cm) AM”=MB”, MQ”∥BC” 이므로 MQ”=;2!; BC” AM”=MB”, MP”∥AD” 이므로 MP”=;2!; AD” 11 오른쪽 그림과 같이 GE”∥BC”가 되도록 AD” 위에 점 G를 잡으면 △ADC에서 GE”=;2!; DC”=;2!;_4 GE=2(cm) △BDF와 △EGF에서 A G E F B 5`cm 4`cm D C … 4점 ∠BDF=∠EGF(엇각), ∠DBF=∠GEF(엇각) 이므로 △BDFª△EGF(AA 닮음) ∴ BF”：EF”=BD”：EG”=5：2 … 4점 (cid:9000) 5：2 12 (cid:8772)EFGH는 마름모이므로 둘레의 길이는 4EH”=4_;2!; BD”=2BD”=2_7=14(cm) (cid:9000) 마름모, 14 cm 13 PS”=;2!; BD”=;2!;_18=9(cm) PQ”=;2!; AC”=;2!;_12=6(cm) (cid:8772)PQRS는 직사각형이므로 넓이는 9_6=54(cm¤ ) (cid:9000) ③ 14 (cid:8772)EFGH의 둘레의 길이가 32 cm이므로 EF”+FG”+GH”+HE”=32(cm) EF”=HG”=;2!;AC”이므로 AC”=EF”+HG” EH”=FG”=;2!;BD”이므로 BD”=EH”+FG” ∴ AC”+BD”=EF”+HG”+EH”+FG” =32(cm) (cid:9000) 32 cm 15 △ABC에서 MQ”=;2!; BC”=;2!;_20=10(cm) ∴` MP”=MQ”-PQ”=10-4=6(cm) △ABD에서 AD”=2MP”=2_6=12(cm) 16 △ABD에서 ME”=;2!; AD”=;2!;_5=;2%;(cm) ∴` MF”=2ME”=2_;2%;=5(cm) △ABC에서 BC”=2MF”=2_5=10(cm) (cid:9000) ④ … 2점 … 2점 … 2점 (cid:9000) 10 cm 17 (cid:8772)AFCD가 평행사변형이므로 FC”=EN”=AD”=11(cm) ∴ ME”=MN”-EN”=15-11=4(cm) △ABF에서 BF”=2 ME”=2_4=8(cm) ∴ BC”=BF”+FC”=8+11=19(cm) (cid:9000) ③ 18 오른쪽 그림과 같이 AC”와 MN”의 교점을 P라 하면 △ABC에서 MP”=;2!; BC”=;2!;_14 MP”=7(cm) A D P M N 9`cm B 14`cm C ∴ PN”=MN”-MP”=9-7=2(cm) △ACD에서 AD”=2PN”=2_2=4(cm) (cid:9000) ③ L E C T U R E B O O K LECTURE 15 평행선 사이의 선분의 길이의 비 LECTURE BOOK 70쪽 1 ⑴ 12：8=x：6(cid:100)(cid:100)∴ x=9 ⑵ x：8=7.5：10(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (cid:9000) ⑴ 9 ⑵ 6 2 ⑴ BQ”=BC”-QC”=8-5=3(cm) ⑵ AE”：AB”=EP”：BQ”이므로 2：6=EP”：3(cid:100)(cid:100)∴ EP”=1(cm) ⑶ EF”=EP”+PF”=1+5=6(cm) (cid:9000) ⑴ 3 cm ⑵ 1 cm ⑶ 6 cm 3 ⑴ BE”：DE”=AB”：CD”=6：12=1：2 ⑵ EF”：DC”=BE”：BD”이므로 EF”：12=1：3(cid:100)(cid:100)∴ EF”=4(cm) ⑶ BF”：FC”=BE”：ED”=1：2이므로 4：FC”=1：2(cid:100)(cid:100)∴ FC”=8(cm) (cid:9000) ⑴ 1：2 ⑵ 4 cm ⑶ 8 cm 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 71쪽 01 9：6=x：10(cid:100)(cid:100)∴ x=15 02 x：5=8：(14-8)(cid:100)(cid:100)∴ x=;;™3º;; (cid:9000) ③ (cid:9000) ② Ⅵ. 도형의 닮음 25  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지26 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX 03 4：10=6：(x-6)(cid:100)(cid:100)∴ x=21 (cid:9000) ④ 12 DF”：FC”=DG”：GB”=AE”：EB”이므로 06 오른쪽 그림에서 12：8=(6+a)：12 ∴ a=12 또 4：x=6：(a+12) 4 a 12 6 x 8 l m n 12 이므로 4：x=1：4(cid:100)(cid:100)∴ x=16 (cid:9000) ③ 세 선분이 모두 한 선분 에 수직 (cid:8857) 동위각의 크기가 같 으므로 세 선분은 서 로 평행하다. 14 ① △ABE와 △CDE에서 ∠AEB=∠CED(맞꼭지각), ∠ABE=∠CDE(엇각) ∴ △ABEª△CDE(AA 닮음) 04 3：6=2：x(cid:100)(cid:100)∴ x=4 3：6=4：(y-4)(cid:100)(cid:100)∴ y=12 ∴ x+y=4+12=16 05 9：3=(x-10)：5(cid:100)(cid:100)∴ x=25 y：9=10：(25-10)(cid:100)(cid:100)∴ y=6 ∴ x-y=25-6=19 (cid:9000) ③ … 2점 … 2점 … 2점 (cid:9000) 19 07 HC”=GF”=AD”=7(cm)(cid:100)(cid:100)∴ x=7 BH”=19-7=12(cm)이고 AE”：AB”=2：3이므로 y：12=2：3(cid:100)(cid:100)∴ y=8 (cid:9000) x=7, y=8 08 오른쪽 그림과 같이 평행선 k를 그으면 5：(5+10) =4：(x-3), 5x-15=60, 5x=75 ∴ x=15 5`cm 3`cm 10`cm 4`cm x`cm {x-3}`cm k l m n (cid:9000) ④ 09 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 CD”에 평행한 직 선을 그었을 때, 두 선분 IJ, BC와 만나는 점을 각각 K, L이라 하자. AI”：AB”=3：4이므로 A E G I B 10`cm D F H J K 12`cm 10`cm L 22`cm C 10 PF”：AD”=CP”：CA”=BE”：BA”이므로 2：AD”=2：(2+3)(cid:100)(cid:100)∴ AD”=5(cm) (cid:9000) ③ 11 6：(6+10)=x：24(cid:100)(cid:100)∴ x=9 10：(10+6)=y：16(cid:100)(cid:100)∴ y=10 26 SOLUTION 10：x=2：1(cid:100)(cid:100)∴ x=5 DF”：DC”=GF”：BC”이므로 10：(10+5)=y：18(cid:100)(cid:100)∴ y=12 ∴ x+y=5+12=17 … 2점 … 2점 … 2점 (cid:9000) 17 13 △ABC에서 BC”：FC”=AB”：EF”=24：8=3：1 △BCD에서 EF”：DC”=BF”：BC” 8：DC”=2：3(cid:100)(cid:100)∴ DC”=12(cm) (cid:9000) ③ ② △CAB와 △CEF에서 ∠ECF는 공통, ∠CBA=∠CFE=90° ∴ △CABª△CEF(AA 닮음) ③, ④ BE”：DE”=AB”：CD”=6：12=1：2 이므로 △BCD에서 EF”：DC”=BE”：BD”=1：3 ⑤ EF”：12=1：3이므로 EF”=4(cm) (cid:9000) ④ 15 오른쪽 그림에서 AE”：CE”=AD”：CB” 10`cm A D =10：15 =2：3 F 20`cm E 한편 점 E에서 AB”에 내 린 수선의 발을 F라 하면 △ABC에서 B 15`cm C ∴ △ABE=;2!;_20_6=60(cm¤ ) (cid:9000) 60 cm¤ 다른풀이 BE” ”：DE”=CB”：AD”=3：2이므로 △ABE：△AED=BE”：DE”=3：2 ∴ △ABE=;5#;△ABD ∴ △ABE=;5#;_{;2!;_20_10}=60(cm¤ ) 16 AO”：CO” ”=AD”：CB”=6：12=1：2 AO”：AC”=EO”：BC”에서 1：3=EO”：12(cid:100)(cid:100)∴ EO”=4(cm) CO”：CA”=OF”：AD”에서 2：3=OF”：6(cid:100)(cid:100)∴ OF”=4(cm) △AEDª△CEB (AA 닮음) AE”：AC”=2：(2+3) =2：5 FE”：BC”=AE”：AC”=2：5 FE”：15=2：5(cid:100)(cid:100)∴ FE”=6(cm) IK”：BL”=3：4, IK”：12=3：4 ∴ IK”=9(cm) ∴ IJ”=IK”+KJ”=9+10=19(cm) (cid:9000) ③ 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길 이의 비와 같다. ∴ y-x=10-9=1 (cid:9000) ② ∴ EF”=EO”+OF”=4+4=8(cm) (cid:9000) 8 cm  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지27 SinsagoHitec 17 AE”：AB”=EO”：BC”에서 7：28=EO”：24(cid:100)(cid:100)∴ EO”=6(cm) BE”：BA”=EO”：AD”에서 21：28=6：AD”(cid:100)(cid:100)∴ AD”=8(cm) (cid:9000) ① 18 BE”：BA”=EH”：AD”에서 3：4=EH”：12(cid:100)(cid:100)∴ EH”=9(cm) ∴ EG”=9-5=4(cm) AE”：AB”=EG”：BC”에서 1：4=4：BC”(cid:100)(cid:100)∴ BC”=16(cm) … 2점 … 3점 … 1점 (cid:9000) 16 cm LECTURE 16 삼각형의 무게중심 LECTURE BOOK 74쪽 1 (cid:9000) 14 cm¤ 2 (cid:9000) ⑴ 4 cm ⑵ 10 cm 3 (cid:9000) ⑴ 3 cm¤ ⑵ 18 cm¤ 4 ⑴ MN”=;2!;BD”=;2!;_6=3(cm) ⑵ BO”=;2!; BD”=;2!;_6=3(cm)이므로 ⑵ BP”=;3@;BO”=;3@;_3=2(cm) 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 75쪽 01 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 GM”=;3!;AM”=;3!;_15=5(cm)(cid:100)(cid:100)∴ x=5 또 AM” 은 △ABC의 중선이므로 BM”=CM”=;2!;_30=15(cm)(cid:100)(cid:100)∴ y=15 ∴ x+y=5+15=20 (cid:9000) ③ 02 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 GD”=;3!; AD”=;3!;_18=6(cm) 점 G'이 △GBC의 무게중심이므로 GG'”=;3@; GD”=;3@;_6=4(cm) (cid:9000) ① △ABC에서 AM”이 중 선이면 △ABC=2△ABM AG”：AE”=AG'”：AF” =2：3, ∠GAG'은 공통 BE”=EM”, MF”=FC” 이므로 BC”=2 EF” (cid:9000) ⑴ 3 cm ⑵ 2 cm 점 P는 △ABC의 무게중 심이다. AD”：GD”=3：1 GG'”：GD”=2：3 Q BOX 03 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 GD”=;3!; AD” 점 M은 AD”의 중점이므로 MD”=;2!;AD” ∴ MG”=MD”-GD” ∴ MG=;2!;AD”-;3!; AD”=;6!; AD” ∴ AD”=6MG”=6_7=42(cm) L E C T U R E B O O K … 2점 … 2점 … 2점 … 2점 (cid:9000) 42 cm ∠GAE는 공통, ∠AGE=∠AFC (동위각) 04 △AGEª△AFC(AA 닮음)이므로 AE”：AC”=AG”：AF” ∠DAG는 공통, ∠ADG=∠ABF(동위각) x：(x+10)=2：3(cid:100)(cid:100)∴ x=20 △ADGª△ABF(AA 닮음)이므로 DG”：BF”=AG”：AF” 8：BF”=2：3(cid:100)(cid:100)∴ BF”=12(cm) AF”는 △ABC의 중선이므로 FC”=BF”(cid:100)(cid:100)∴ y=12 ∴ x-y=20-12=8 (cid:9000) ⑤ 05 △EGFª△CGD(AA 닮음)이므로 GF”：GD”=GE”：GC”=1：2 ∴ GD”=2GF”=2_5=10(cm) ∴ AD”=3GD”=3_10=30(cm) (cid:9000) ③ 06 △AGG'ª△AEF (SAS 닮음)이므로 GG'”：EF”=AG”：AE” 6：EF”=2：3(cid:100)(cid:100)∴ EF”=9(cm) ∴ BC”=2EF”=2_9=18(cm) (cid:9000) 18 cm 07 △BCE에서 BD”=DC”, BE”∥DF”이므로 EC”=2CF”=2_6=12, DF”=;2!; BE”=;2!;_16=8 또 BE”는 △ABC의 중선이므로 AB”=AC”=2EC”=2_12=24 ∴ AB”+DF”=24+8=32 (cid:9000) ③ 08 △ADC에서 AE”=EC”, DF”=FC”이므로 AD”=2EF”=2_12=24(cm) … 3점 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 AG”=;3@; AD”=;3@;_24=16(cm) … 3점 (cid:9000) 16 cm 09 AE”, BF”, CD”는 △ABC의 중선이므로 (△DEF의 둘레의 길이) =DE”+EF”+FD”=;2!; AC”+;2!; AB”+;2!; BC” =;2!;_(6+9+7)=11(cm) (cid:9000) ③ Ⅵ. 도형의 닮음 27 ” ”  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지28 SinsagoHitec LECTURE BOOK 10 점 D가 △ABC의 외심이므로 BD”=AD”=CD” ”=18(cm) 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 BG”=;3@; BD”=;3@;_18=12(cm) (cid:9000) ② 11 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 CD”=3DG”=3_3=9(cm) 점 D가 △ABC의 외심이므로 AB”=2CD”=2_9=18(cm) EF”：AB”=CE”：CA”=CG”：CD”=2：3이므로 EF”：18=2：3(cid:100)(cid:100)∴ EF”=12(cm) (cid:9000) 12 cm 12 점 G는 △ABC의 무게중 심이므로 (cid:8772)EBDG =△EBG+△GBD =;6!;△ABC+;6!;△ABC A G E =;3!;△ABC=;3!;_33=11(cm¤ ) (cid:9000) ③ 13 ② 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 ① AG”：GD”=BG”：GE”=CG”：GF”=2：1 ① 이때 AD”=BE”=CF”인지 알 수 없으므로 GD”=GE”=GF”라 할 수 없다. (cid:9000) ② 14 점 G'은 △GBC의 무게중심이므로 △GBC=6△G'BD=6_3=18(cm¤ ) … 3점 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 △ABC=3△GBC=3_18=54(cm¤ ) … 3점 15 △ADG=;2!;△ABG, △AGE=;2!;△AGC이므 로 색칠한 부분의 넓이는 △ADG+△AGE (cid:9000) 54 cm¤ A G D E C B =;2!;(△ABG+△AGC)=;2!;_;3@;△ABC =;3!;△ABC=;3!;_42=14(cm¤ ) (cid:9000) ③ 16 평행사변형 ABCD의 두 대각선의 교점을 O 라 하면 OA”=OC”, BM”=CM”이므로 점 P 는 △ABC의 무게중심이다. A D O Q 6`cm N C P M B 또 OA”=OC”, CN”=DN”이므로 점 Q는 △ACD 의 무게중심이다. 28 SOLUTION Q BOX 직각삼각형의 빗변의 중점은 외심과 일치하 고 외심에서 세 꼭짓점 에 이르는 거리는 모두 같다. 따라서 BP”=PQ”=QD”이므로 BD”=3PQ”=3_6=18(cm) ∴ MN”=;2!; BD”=;2!;_18=9(cm) (cid:9000) ⑤ BP”=;3@; BO”=;3!; BD” QD”=;3@; OD”=;3!; BD” 17 △DAC=;2!;(cid:8772)ABCD=;2!;_54=27(cm¤ ) AP”=PQ”=QC”이므로 △DPQ=;3!; △DAC=;3!;_27=9(cm¤ ) (cid:9000) ② A M D P N O Q C 18 평행사변형 ABCD의 두 대각선의 교점을 O 라 하면` OB”=OD”, AM”=DM”이므로 B 점 P는 △ABD의 무게중심이다. ∴ △ABD=3△ABP=3_8=24(cm¤ ) 이때 △BOP=△DOQ이므로 (cid:8772)MPQD=△MBD=;2!; △ABD (SAS 합동) (cid:8772)MPQD=;2!;_24=12(cm¤ ) (cid:9000) 12 cm¤ 삼각형의 넓이 (cid:8857) 세 중선에 의하여 6 등분된다. B D C OB”=OD”, OP”=OQ”, ∠POB=∠QOD이므로 △BOP™△DOQ LECTURE 17 닮은 도형의 넓이와 부피 LECTURE BOOK 78쪽 1 (cid:9000) ⑴ 2：3 ⑵ 4：9 2 (cid:9000) ⑴ 16：9 ⑵ 64：27 3 ⑴ 150(m)_;30¡00;=15000(cm)_;30¡00; =5(cm) ⑵ 3÷;30¡00;=3_3000=9000(cm)=90(m) (cid:9000) ⑴ 5 cm ⑵ 90 m (축도에서의 길이) =(실제 길이)_(축척) 닮은 두 평면도형의 닮 음비가 m：n (cid:8857) 넓이의 비는 m¤ ：n¤ 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 79쪽 01 △AODª△COB(AA 닮음)이고 닮음비가 3：5이므로 △AOD：△COB=3¤ ：5¤ =9：25 즉 △AOD：100=9：25 ∴ △AOD=36(cm¤ ) (cid:9000) ⑤  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지29 SinsagoHitec Q BOX 닮은 두 입체도형의 겉 넓이의 비가 m¤ ：n¤ (cid:8857) 닮음비는 m：n ∠ABC=∠DAC, ∠C는 공통 닮은 두 입체도형의 닮 음비가 m：n (cid:8857) 부피의 비는 m‹ ：n‹ 원은 항상 닮은 도형이 고 닮음비는 반지름의 길이의 비와 같다. 부피의 비가 주어진 경우에 는 먼저 닮음비를 구한다. 벽면에 페인트를 칠하는 것 은 벽면의 넓이와 관계가 있다. 두 벽면에서 (가로의 길이의 비) =(세로의 길이의 비) 02 △ADEª△ABC(AA 닮음)이고 닮음비가 1：2이므로 △ADE：△ABC=1¤ ：2¤ =1：4 즉 5：△ABC=1：4 ∴ △ABC=20(cm¤ ) 03 △ABCª△DAC(AA 닮음)이고 닮음비가 AC”：DC”=6：3=2：1이므로 △ABC：△DAC=2¤ ：1¤ =4：1 즉 △ABC：8=4：1(cid:100)(cid:100) ∴ △ABC=32(cm¤ ) ∴ △ABD=△ABC-△ADC =32-8=24(cm¤ ) (cid:9000) ④ … 2점 … 1점 … 2점 … 1점 (cid:9000) 24 cm¤ 04 세 원은 닮은 도형이고 닮음비가` 1：2：3이므로 넓이의 비는` 1¤ ：2¤ ：3¤ =1：4：9 따라서 구하는 넓이의 비는 1：(4-1)：(9-4)=1：3：5 (cid:9000) ③ 05 사진과 확대 복사된 사진의 닮음비가 100：140=5：7 이므로 넓이의 비는 5¤ ：7¤ =25：49 확대 복사된 사진의 넓이를` x cm¤ 라 하면 75：x=25：49(cid:100)(cid:100)∴ x=147 (cid:9000) ④ 06 두 직사각형 모양의 벽면은 닮음이고 닮음비가 1：3이므로 각 벽면을 칠하는 데 필요한 페인트 의 양의 비는` 1¤ ：3¤ =1：9 페인트 비용은` 페인트의 양에 정비례하므로 구하 는 비용을` x원이라 하면 1：9=30000：x(cid:100)(cid:100)∴ x=270000 (cid:9000) 270000원 07 두 직육면체 A, B의 닮음비가 4：6=2：3이므로 두 직육면체 A, B의 겉넓이의 비는 2¤ ：3¤ =4：9 직육면체 B의 겉넓이를 x cm¤ 라 하면 80：x=4：9(cid:100)(cid:100)∴ x=180 (cid:9000) ④ 08 두 원뿔A , B의 옆넓이의 비는 4¤ ：5¤ =16：25 원뿔 A의 옆넓이를 x cm¤ 라 하면 x：75p=16：25(cid:100)(cid:100)∴ x=48p (cid:9000) ③ L E C T U R E B O O K 09 두 구의 겉넓이의 비가 4：25=2¤ ：5¤ 이므로 두 구의 닮음비는 2：5 작은 구의 반지름의 길이를 r cm라 하면 r：10=2：5(cid:100)(cid:100)∴ r=4 … 3점 … 3점 (cid:9000) 4 cm 10 두 삼각기둥의 부피의 비는 2‹ ：5‹ =8：125 작은 삼각기둥의 부피를 x cm‹ 라 하면 x：375=8：125(cid:100)(cid:100)∴ x=24 (cid:9000) ③ 11 두 삼각뿔 A-EFG와 A-BCD의 닮음비가 1：3이므로 부피의 비는 1‹ ：3‹ =1：27 즉 (삼각뿔 A-EFG의 부피)：108=1：27 ∴ (삼각뿔 A-EFG의 부피)=4(cm‹ ) 따라서 삼각뿔대의 부피는 108-4=104(cm‹ ) (cid:9000) ⑤ 12 두 원기둥 A, B의 부피의 비가 27：125=3‹ ：5‹ 이므로 두 원기둥 A, B의 닮음비는` 3：5 따라서 두 원기둥 A, B의 겉넓이의 비는 3¤ ：5¤ =9：25 원기둥 A의 겉넓이를` x cm¤ 라 하면 x：50p=9：25(cid:100)(cid:100)∴ x=18p (cid:9000) 18p cm¤ 13 그릇의 높이와 물의 높이의 비가 3：2이므로 부피의 비는 3‹ ：2‹ =27：8 구하는 물의 부피를 x cm‹ 라 하면 135：x=27：8(cid:100)(cid:100)∴ x=40 (cid:9000) ③ 14 반지름의 길이가 6 cm, 2 cm인 쇠구슬을 각각` A, B라 하면` A, B의 닮음비가` 6：2=3：1이므로 A, B의 부피의 비는 3‹ ：1‹ =27：1 따라서 최대 27개까지 만들 수 있다. (cid:9000) 27개 15 큰 컵의 부피는3_64=192(cm‹ ) 작은 컵과 큰 컵의 닮음비가 3：4이므로 부피의 비는 3‹ ：4‹ =27：64 작은 컵의 부피를 x cm‹ 라 하면 x：192=27：64(cid:100)(cid:100)∴ x=81 16 △ABCª△AB'C'(AA 닮음)이므로 AB”：AB'”=BC”：B'C'”에서 1.8：(1.8+3)=1.5：B'C'” ∴ B'C'”=4(m) … 2점 … 2점 … 2점 (cid:9000) 81 cm‹ (cid:9000) ④ Ⅵ. 도형의 닮음 29  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지30 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX 17 △ABCª△DEC(AA 닮음)이므로 AB”：DE”=BC”：EC”, 1.6：DE”=2：3 ∴ DE”=2.4(m) (cid:9000) 2.4 m 18 (축척)= 4 cm 28 m = 4 cm 2800 cm =;70!0; 따라서 두 지점 A, B 사이의 실제 거리는 6÷;70!0;=6_700=4200(cm)=42(m) (cid:9000) ③ (축척) = (축도에서의 거리) (실제 거리) △ABC에서 AD”가 ∠A의 이등분선이면 AB”：AC”=BD”：CD” 07 AC”∥BD”이어야 하므로 EA”：EB”=EC”：ED”, 4：6=(x-9)：9 ∴ x=15 (cid:9000) ③ ∠EAB=∠ECA, ∠E는 공통 08 △AEBª△CEA(AA 닮음)이므로 AE”：CE”=AB”：CA”에서 4：8=AB”：6(cid:100)(cid:100)∴ AB”=3(cm) AE”：CE”=EB”：EA”에서 4：8=EB”：4(cid:100)(cid:100)∴ EB”=2(cm) △ABC에서 3：6=BD”：(6-BD”)이므로 BD”=2(cm) (cid:9000) 2 cm 09 BD”：CD”=AB”：AC”=10：6=5：3이므로 BC”：CD”=2：3 즉 △ABC：△ACD=2：3이므로 20：△ACD=2：3(cid:100)(cid:100)∴ △ACD=30(cm¤ ) 10 △ABC에서 BC”=2MN”=2_9=18(cm) ∴ x=18 △DBC에서 PQ”= BC”= _18=9(cm) ;2!; ;2!; ∴ y=9-4=5 ∴ x-y=18-5=13 11 △ABC에서 MQ”= BC”= _26=13(cm) ;2!; ;2!; ∴ MP”=MQ”-PQ”=13-5=8(cm) △ABD에서 AD”=2MP”=2_8=16(cm) (cid:9000) ④ (cid:9000) 13 (cid:9000) ③ 12 6：x=9：(9+15)(cid:100)(cid:100)∴ x=16 (16-6)：8=15：y(cid:100)(cid:100)∴ y=12 ∴ x+y=16+12=28 (cid:9000) ⑤ 13 오른쪽 그림과 같이 점 A 를 지나고 DC”와 평행하게 AQ”를 그으면 PF”=AD”=10(cm) B ∴ EP”=18-10=8(cm) △ABQ에서 A D 10`cm P 8`cm 10`cm F E C 10`cm Q 8：BQ”=4：9(cid:100)(cid:100)∴ BQ”=18(cm) ∴ BC”=BQ”+QC”=18+10=28(cm) (cid:9000) ③ 14 AB”∥EF”이고 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 EF”：AB”=CE”：CA”=CG”：CD”=2：3 16：AB”=2：3(cid:100)(cid:100)∴ AB”=24(cm) 점 D가 △ABC의 외심이므로 CD”= AB”= _24=12(cm) ;2!; ;2!; ∴ CG” ”= CD”= _12=8(cm) (cid:9000) 8 cm ;3@; ;3@; 항상 닮음인 도형 (cid:8857) 모든 원, 모든 직각 이등변삼각형, 변의 개수가 같은 모든 정다각형, 중심각의 크기가 같은 모든 부채꼴, 모든 구, 꼭 짓점의 개수가 같은 모든 정다면체 대단원별 기출문제 정복 LECTURE BOOK 82쪽 01 ② 02 ② 03 ③ 04 2 cm 05 ④ 06 ⑤ 07 ③ 08 2 cm 09 ④ 10 13 11 ③ 12 ⑤ 13 ③ 14 8 cm 15 ② 16 ③ 17 ④ 18 풀이 참조 20 15 cm21 110° 22 ② 23 ② 24 ⑤ 19 1：4 01 (cid:9000) ② 02 ② ∠C=∠F=180°-(64°+46°)=70° (cid:9000) ② 03 ① △ABCª△ADE(AA 닮음) ② △ABCª△DEC(AA 닮음) ④ △ABCª△DBA(SAS 닮음) ⑤ △ABCª△EBD(SAS 닮음) 04 △ABC와 △AED에서 ∠ABC=∠AED, ∠A는 공통 따라서 △ABCª△AED(AA 닮음)이므로 AC”：AD”=AB”：AE”, (4+EC”)：3=8：4 ∴ EC”=2(cm) (cid:9000) 2 cm 05 △ABD'과 △D'CE에서 ∠B=∠C=90°, ∠AD'B=90°-∠CD'E=∠D'EC ∴ △ABD'ª△D'CE(AA 닮음) AD'”：D'E”=AB”：D'C”에서 20：D'E”=16：8(cid:100)(cid:100)∴ D'E”=10(cm) (cid:9000) ③ (cid:9000) ④ (cid:9000) ⑤ 06 ⑤ AH” ¤ =BH”_CH” ⑤ AB”_AC”=AH”_BC” 30 SOLUTION  Q특강(렉처)2하해설(001~031) 2014.3.14 8:5 PM 페이지31 SinsagoHitec Q BOX 삼각형의 한 외각의 크 기는 그와 이웃하지 않 는 두 내각의 크기의 합과 같다. ∠BDE=∠BAC(동위각), ∠B는 공통 겉넓이의 비가 주어진 경우 에는 먼저 닮음비를 구한 다. ∠ADE=∠FCE(엇각), ∠DAE=∠CFE(엇각) 15 △ABC=;2!;_9_12=54(cm¤ ) 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 △DCG=;6!;△ABC=;6!;_54=9(cm¤ ) (cid:9000) ② 16 △BDEª△BAC(AA 닮음)이고 닮음비는 3：5 이므로 △BDE：△BAC=3¤ ：5¤ =9：25 즉 27：△ABC=9：25 ∴ △ABC=75(cm¤ ) ∴ (cid:8772)ADEC=△ABC-△DBE =75-27=48(cm¤ ) (cid:9000) ③ 17 두 구의 겉넓이의 비가 4：9=2¤ ：3¤ 이므로 두 구의 닮음비는 2：3이다. 따라서 두 구의 부피의 비는 2‹ ：3‹ =8：27 이므로 큰 구의 부피를 x cm‹ 라 하면 24p：x=8：27(cid:100)(cid:100)∴ x=81p (cid:9000) ④ 18 통조림 A, B의 닮음비가 5：7이므로 부피의 비는 5‹ ：7‹ =125：343 통조림 A 2개와 통조림 B 1개의 부피의 비는 (125_2)：343=250：343 따라서 통조림 B를 1개 사는 것이 더 이익이다. (cid:9000) 풀이 참조 19 AD” ¤ =BD”_CD”이므로 6¤ =BD”_12(cid:100)(cid:100)∴ BD”=3 AB” AC” ¤ =BD”_BC”=3_(3+12)=45 … 2점 ¤ =CD”_CB”=12_(12+3)=180 … 2점 … 1점 ¤ =45：180=1：4 ¤ ：AC” ∴ AB” 20 △AEDª△FEC(AA 닮음)이므로 AD”：FC”=AE”：FE”=1：4 3：FC”=1：4(cid:100)(cid:100)∴ FC”=12(cm) ∴ BF”=BC”+CF”=3+12=15(cm) 21 △ABD에서 AM”=MD”, AB”∥MP”이므로 PM”=;2!;AB” △DBC에서 BN”=NC”, PN”∥DC”이므로 PN”=;2!; DC” 이때 AB”=DC”이므로 PM”=PN” 따라서 △MPN은 이등변삼각형이므로 ∠PNM=∠PMN=35° ∴ ∠MPN=180°-2_35°=110° … 1점 (cid:9000) 1：4 … 2점 … 2점 … 2점 (cid:9000) 15 cm … 4점 … 4점 (cid:9000) 110° L E C T U R E B O O K 22 △ABC와 △DEF에서 ∠DEF=∠BAE+∠ABE =∠CBF+∠ABE=∠ABC ∠DFE=∠CBF+∠BCF =∠ACD+∠BCF=∠ACB ∴ △ABCª△DEF(AA 닮음) ∴ DE”：EF”=AB”：BC”=7：8 (cid:9000) ② 23 △AGE=;3@;△ADE=;3@;_;5@;△ADC △AGE=;3@;_;5@;_;2!;△ABC=;1™5;△ABC △AGE=;1™5;_90=12(cm¤ ) (cid:9000) ② 24 축척이 ;30¡00;이므로 지도에서의 토지의 넓이와 실제 토지의 넓이의 비는 1¤ ：3000¤ =1：9000000 이때 실제 토지의 넓이가 0.9 km¤ =900000 m¤ =9000000000 cm¤ 이므로 지도에서의 토지의 넓이를 x cm¤ 라 하면 x：9000000000=1：9000000 ∴ x=1000 (cid:9000) ⑤ Ⅵ. 도형의 닮음 31  Q특강(2년)해설(32~48)삼 2014.3.14 8:13 PM 페이지32 SinsagoHitec WORK BOOK Q BOX 확률Ⅳ LECTURE 01 기본 UP 경우의 수 01 (cid:9000) ⑴ 5 ⑵ 9 ⑶ 2 ⑷ 4 02 (cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 10 03 (cid:9000) ⑴ 36 ⑵ 48 WORK BOOK 2쪽 내신 UP WORK BOOK 2쪽 04 15의 약수는 1, 3, 5, 15 따라서 구하는 경우의 수는 4이다. (cid:9000) ③ 05 돈을 지불하는 방법을 순서쌍으로 나타내면 (100원짜리, 50원짜리, 10원짜리) : (7, 0, 0), (6, 2, 0), (6, 1, 5), (5, 4, 0), (5, 3, 5), (4, 6, 0), (4, 5, 5) 따라서 구하는 방법의 수는 7이다. (cid:9000) 7 06 눈의 수의 차가 2인 경우는 (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (6, 4), (5, 3), (4, 2), (3, 1)의 8가지 눈의 수의 차가 5인 경우는 (1, 6), (6, 1)의 2가지 따라서 구하는 경우의 수는 8+2=10 07 눈의 수의 합이 3 이하인 경우는 (1, 1), (1, 2), (2, 1)의 3가지 눈의 수의 합이 10 이상인 경우는 (6, 6)의 6가지 따라서 구하는 경우의 수는 3+6=9 08 18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18의 6가지 … 2점 … 2점 5의 배수는 5, 10, 15, 20의 4가지 따라서 구하는 경우의 수는 6+4=10 09 버스로 가는 방법이 5가지, 기차로 가는 방법이 3가 지이므로 구하는 방법의 수는 5+3=8 32 SOLUTION (cid:9000) ② (cid:9000) 9 … 2점 (cid:9000) 10 (cid:9000) 8 ‘동시에’(cid:8857) 각 경우의 수를 구한 후 그 곱을 이용한다. a 이상, a 이하 (cid:8857) a를 포함한다. a 초과, a 미만 (cid:8857) a를 포함하지 않는다. 동전 m개와 주사위 n개 를 동시에 던질 때, 일 어나는 모든 경우의 수 (cid:8857) 2μ _6« ㄱ과 모음으로 만들 수 있 는 글자는 가, 거, 고, 구 ‘또는’(cid:8857) 각 경우의 수 를 구한 후 그 합을 이 용한다. 10 소설책이 6권, 시집이 3권 있으므로 구하는 경우 의 수는 6+3=9 11 동전 1개를 던질 때 나오는 모든 경우는 2가지, 주 사위 1개를 던질 때 홀수의 눈이 나오는 경우는 3 가지이므로 구하는 경우의 수는 2_2_3_3_3=108 (cid:9000) ⑤ 12 집에서 서점까지 가는 버스 노선은 3가지, 서점에 서 학교까지 가는 버스 노선은 6가지이므로 구하 13 제`1`열람실에서 나오는 경우의 수는 3, 제`2`열람실 로 들어가는 경우의 수는 4이므로 구하는 경우의 14 커피는 5종류, 빵은 4종류가 있으므로 구하는 경 15 자음이 적힌 카드는 6장, 모음이 적힌 카드는 4장 이 있으므로 구하는 글자의 개수는 6_4=24(개) 는 경우의 수는 3_6=18 수는 3_4=12 우의 수는 5_4=20 (cid:9000) ③ (cid:9000) 18 (cid:9000) ③ (cid:9000) 20 (cid:9000) ⑤ 여러 가지 경우의 수 LECTURE 02 기본 UP WORK BOOK 4쪽 내신 UP WORK BOOK 4쪽 05 5개 중에서 3개를 뽑아 한 줄로 나열하는 경우의 수와 같으므로 5_4_3=60 06 4명을 한 줄로 세우는 경우의 수와 같으므로 4_3_2_1=24 (cid:9000) 60 (cid:9000) ④ 눈의 수의 합이 2, 3인 경우 01 (cid:9000) ⑴ 60 ⑵ 120 ⑶ 240 02 (cid:9000) ⑴ 12개 ⑵ 24개 (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), 눈의 수의 합이 10, 11, 12 인 경우 03 (cid:9000) ⑴ 9개 ⑵ 18개 04 (cid:9000) ⑴ 20 ⑵ 60 ⑶ 10 ⑷ 10  Q특강(2년)해설(32~48)삼 2014.3.14 8:13 PM 페이지33 SinsagoHitec Q BOX 원 위에 n개의 점이 있 을 때, 만들 수 있는 ① 선분의 개수 n_(n-1) 2 ② 삼각형의 개수 (개) n_(n-1)_(n-2) 3_2_1 (개) 5의 배수 (cid:8857) 일의 자리의 숫자가 0, 5 소수 2, 3, 5, 7 중에서 2 장을 뽑아 두 자리 정수를 만드는 경우의 수 07 선생님 2명을 양 끝에 세우므로 양 끝을 제외한 가운데에 학생 3명을 한 줄로 세우는 경우의 수는 선생님끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 3_2_1=6 2_1=2 6_2=12 따라서 구하는 경우의 수는 08 남학생 3명을 한 묶음으로 생각하여 3명을 한 줄 로 세우는 경우의 수는 3_2_1=6 남학생끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 3_2_1=6 6_6=36 따라서 구하는 경우의 수는 (cid:9000) 12 (cid:9000) ③ 09 A에 칠할 수 있는 색이 4가지, B에 칠할 수 있는 색이 3가지, C에 칠할 수 있는 색이 2가지, D에 칠할 수 있는 색이 1가지이므로 구하는 경우의 수는 4_3_2_1=24 (cid:9000) ④ 10 ⁄ 일의 자리의 숫자가 3인 정수 23, 43, 53, 63의 4개 ¤ 일의 자리의 숫자가 5인 정수 25, 35, 45, 65의 4개 ⁄, ¤에서 구하는 홀수의 개수는 4+4=8(개) (cid:9000) ③ 11 ⁄ 일의 자리의 숫자가 0인 정수 0 ：7_6=42(개) ¤ 일의 자리의 숫자가 5인 정수 5 ：6_6=36(개) ⁄, ¤에서 구하는 5의 배수의 개수는 42+36=78(개) (cid:9000) ③ 12 여학생 중에서 회장 1명, 부회장 1명을 뽑는 경우 남학생 중에서 회장 1명을 뽑는 경우의 수는 의 수는 4_3=12 6 따라서 구하는 경우의 수는 12_6=72 13 영훈이를 제외한 7명 중에서 자격이 같은 대표 2 명을 뽑는 경우의 수와 같으므로 구하는 경우의 … 2점 … 2점 … 2점 (cid:9000) 72 (cid:9000) ③ 수는 7_6 2 =21 14 2개의 점을 연결하여 만들 수 있는 선분의 개수는 5_4 2 =10(개)(cid:100)(cid:100)∴ a=10 3개의 점을 연결하여 만들 수 있는 삼각형의 개수는 5_4_3 3_2_1 =10(개)(cid:100)(cid:100)∴ b=10 ∴ a+b=10+10=20 (cid:9000) ② W O R K B O O K 확률의 뜻과 성질 LECTURE 03 기본 UP WORK BOOK 6쪽 01 (cid:9000) ⑴ ;2!; ⑵ ;2£0; ⑶ ;5@; ⑷ ;4#; 02 (cid:9000) ⑴ 0 ⑵ 1 03 ⑶ 모든 경우의 수는 6_6=36 두 개 모두 홀수의 눈이 나오는 경우의 수는 3_3=9이므로 그 확률은 ;3ª6;=;4!; 따라서 구하는 확률은 1-;4!;=;4#; (cid:9000) ⑴ ;5#; ⑵ ;3@; ⑶ 4#; 내신 UP WORK BOOK 6쪽 04 가장 좋아하는 과목이 수학인 학생은 12명이므로 (cid:9000) ;1£0; 구하는 확률은 ;4!0@;=;1£0; 05 모든 경우의 수는 4_3_2_1=24 수현이가 맨 앞에 서는 경우의 수는 3_2_1=6 06 모든 경우의 수는 9_8=72 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자가 모두 소 수인 경우의 수는 4_3=12 따라서 구하는 확률은 ;7!2@;=;6!; (cid:9000) ② 07 모든 경우의 수는 6_6=36 a+3b…7을 만족시키는 순서쌍 (a, b)는 (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (1, 2)의 5가지 따라서 구하는 확률은 ;3∞6; (cid:9000) ④ Ⅳ. 확률 33 수현이를 제외한 3명을 한 줄로 세우는 경우의 수 따라서 구하는 확률은 ;2§4;=;4!; (cid:9000) ③  Q특강(2년)해설(32~48)삼 2014.3.14 8:13 PM 페이지34 SinsagoHitec WORK BOOK Q BOX 따라서 구하는 확률은 1-;1¡6;=;1!6%; (cid:9000) ⑤ 따라서 구하는 확률은 ;8!;+;3£2;=;3¶2; (cid:9000) ;3¶2; 08 ② 소수는 3, 5, 7의 3개이므로 소수일 확률은 ;5#; (cid:9000) ② 09 7의 배수일 확률은 ;2£1;=;7!; 따라서 구하는 확률은 1-;7!;=;7^; (cid:9000) ;7^; 10 내일아침에비가올확률은 ;1¢0º0;=;5@; 따라서구하는확률은 1-;;5@;;=;5#; 11 모든경우의수는 5_4 2 =10 2명모두여학생이뽑히는경우의수는 3_2 2 =3 이므로2명모두여학생이뽑힐확률은 ;1£0; … 2점 따라서구하는확률은 1-;1£0;=;1¶0; 12 모든 경우의 수는 2_2_2_2=16 4문제를 모두 틀리는 경우의 수는 1이므로 그 확 률은 ;1¡6; (cid:9000) ④ … 1점 … 1점 … 2점 (cid:9000) ;1¶0; 확률의 계산 LECTURE 04 기본 UP 01 (cid:9000) ⑴ ;1¡2; ⑵ ;3∞6; ⑶ ;9@; 02 (cid:9000) ⑴ ;9&; ⑵ ;9&; 03 (cid:9000) ⑴ ;3@; ⑵ ;2!; ⑶ ;3!; WORK BOOK 8쪽 7, 14, 21의 3개 07 (cid:9000) ;3!; 06 ⑴ ;1∞5;_;1!5);=;9@;(cid:100)⑵ ;1∞5;_;1!4);=;2∞1; (cid:9000) ⑴ ;9@; ⑵ ;2∞1; 08 p_2¤ p_4¤ = 4p 16p =;4!; (cid:9000) ;4!; (내일 소풍을 갈 확률) =1-(내일 비가 올 확률) (적어도 하나는 ~일 확률) =1-(모두 ~가 아닐 확률) 내신 UP WORK BOOK 9쪽 09 흰 공이 나올 확률은 ;3!5);=;7@; 빨간 공이 나올 확률은 ;3!5!; 따라서 구하는 확률은 ;7@;+;3!5!;=;5#; 10 7의 배수는 7, 14, 21, 28의 4개이므로 (cid:9000) ② 7의 배수일 확률은 ;3¢2;=;8!; 9의 배수는 9, 18, 27의 3개이므로 9의 배수일 확률은 ;3£2; 11 A선수가 안타를 칠 확률은 ;1∞0;=;2!; B선수가 안타를 칠 확률은 ;1£0; 따라서 구하는 확률은 ;2!;_;1£0;=;2£0; (cid:9000) ① 12 명중시킬 확률은 ;1§0;=;5#; 명중시키지 못할 확률은 1-;5#;=;5@; 따라서 구하는 확률은 ;5@;_;5#;=;2§5; … 1점 … 2점 … 3점 (cid:9000) ;2§5; 13 두 사람이 만날 확률은 ;4#;_;3!;=;4!; 두 사람이 모두 약속 장소 에 나와야 만날 수 있다. 따라서 구하는 확률은 1-;4!;=;4#; (cid:9000) ⑤ 04 ⑵ {1-;4#;}_{1-;3@;}=;4!;_;3!;=;1¡2; (cid:9000) ⑴ ;2!; ⑵ ;1¡2; 05 ⑴ ;8#;_;8#;=;6ª4; ⑵ ;8#;_;7@;=;2£8; 14 환자 한 명이 치료될 확률은 ;1¶0º0;=;1¶0; 이므로 세 명 모두 치료되지 않을 확률은 {1-;1¶0;}_{1-;1¶0;}_{1-;1¶0;} =;1£0;_;1£0;_;1£0;=;10@0&0; (cid:9000) ⑴ ;6ª4; ⑵ ;2£8; 따라서 구하는 확률은 1-;10@0&0;=;1ª0¶0£0; (cid:9000) ⑤ 34 SOLUTION  Q특강(2년)해설(32~48)삼 2014.3.14 8:13 PM 페이지35 SinsagoHitec 15 A주머니에서 빨간 구슬, B주머니에서 노란 구슬 을 꺼낼 확률은 ;6!;_;6$;=;9!; A주머니에서 노란 구슬, B주머니에서 빨간 구슬 … 3점 을 꺼낼 확률은 ;6%;_;6@;=;1∞8; 따라서 구하는 확률은 ;9!;+;1∞8;=;1¶8; … 3점 … 2점 (cid:9000) ;1¶8; 16 월요일에는 비가 오고 화요일에는 비가 오지 않을 확률은 ;7!;_{1-;6!;}=;7!;_;6%;=;4∞2; 월요일에는 비가 오지 않고 화요일에는 비가 올 확 률은 {1-;7!;}_;6!;=;7^;_;6!;=;7!; 따라서 구하는 확률은 ;4∞2;+;7!;=;4!2!; (cid:9000) ④ 17 민형이가 당첨 제비를 뽑을 확률은 ;2¢0;=;5!; 성희가 당첨 제비를 뽑지 못할 확률은 ;2!0^;=;5$; 따라서 구하는 확률은 ;5!;_;5$;=;2¢5; (cid:9000) ② 18 두 공이 모두 흰 공일 확률은 ;8%;_;7$;=;1∞4; 두 공이 모두 검은 공일 확률은 ;8#;_;7@;=;2£8; 따라서 구하는 확률은 ;1∞4;+;2£8;=;2!8#; (cid:9000) ;2!8#; 19 ① ;4@;=;2!; ② ;4@;=;2!; ③ ;8$;=;2!; ④ ;6#;=;2!; ⑤ ;6$;=;3@; (cid:9000) ⑤ 20 보라색 영역에 꽂힐 확률은 ;1§6;=;8#; 초록색 영역에 꽂힐 확률은 ;1§6;=;8#; 따라서 구하는 확률은 W O R K B O O K Q BOX 동시에 일어나지 않으므로 확률의 덧셈을 이용한다. WORK BOOK 11쪽 이등변삼각형의 성질 Ⅴ 도형의 성질 LECTURE 05 기본 UP 01 (cid:9000) ⑴ 25° ⑵ 75° 02 (cid:9000) ⑴ 3 ⑵ 90 03 (cid:9000) ⑴ 5 ⑵ 8 내신 UP WORK BOOK 11쪽 꺼낸 것을 다시 넣는 경우 (cid:8857) 처음 뽑을 때와 나 중에 뽑을 때의 전 체 개수가 같다. 04 △ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠ABC=∠C= _(180°-92°)=44° ;2!; ∴ ∠ABD= _44°=22° ;2!; ∴ ∠ADB=180°-(92°+22°)=66° 꺼낸 것을 다시 넣지 않는 경우 (cid:8857) 처음 뽑을 때와 나 중에 뽑을 때의 전 체 개수가 다르다. 05 △ABC에서 BA”=BC”이므로 ∠C=∠BAC=;2!;_(180°-44°)=68° △ADC에서 AD”=AC”이므로 ∠x=∠C=68° 이등변삼각형의 꼭지각 의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다. 06 △ABC에서 BD”=CD”이므로 x=2_4=8 또 AD”⊥BC”이므로 ∠ADB=90° 따라서 △ABD에서 y=180-(42+90)=48 ∴ y-x=40 (cid:9000) ③ (cid:9000) 68° (cid:9000) ④ 07 △EBD와 △ECD에서 BD”=CD”, ∠EDB=∠EDC=90°, ED”는 공통 이므로 △EBD™△ECD (SAS 합동) ∴ BE”=CE”=7(cm) (cid:9000) 7 cm 08 △ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠B=∠C 또 AD”∥BC”이므로 ∠EAD=∠ABC (동위각), ∠CAD=∠ACB (엇각) (cid:9000) ④ Ⅴ. 도형의 성질 35 ;8#;+;8#;=;4#; (cid:9000) ;4#; =1-;4!;=;4#; 1-(빨간색 영역에 꽂힐 확률) ∴ ∠EAD=∠ABC=∠ACB=∠CAD  Q특강(2년)해설(32~48)삼 2014.3.14 8:13 PM 페이지36 SinsagoHitec WORK BOOK 09 △ABD에서 ∠BDC=∠x+∠x=2∠x △BCD에서 ∠BCD=∠BDC=2∠x △ABC에서 ∠ABC=∠C=2∠x 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°이므로 ∠A+∠ABC+∠C=∠x+2∠x+2∠x =180° ∴ ∠x=36° 10 △ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠ABC=∠ACB=;2!;_(180°-32°)=74° ∴ ∠DBC=;2!;_74°=37° 또∠ACE=180°-74°=106°이므로 ∠DCE=∠ACD=;2!;_106°=53° 따라서△BCD에서 37°+∠x=53°(cid:100)(cid:100)∴∠x=16° 11 △ABC에서 ∠A=180°-(90°+30°)=60° △ADC에서 DA”=DC”이므로 ∠DCA=∠DAC=60° 즉 △ADC는 정삼각형이므로 AD”=AC”=7(cm) 한편 ∠DCB=90°-60°=30°이므로 △DBC는 DB”=DC”인 이등변삼각형이다. ∴ DB”=DC”=7(cm) ∴ AB”=AD”+DB”=14(cm) 12 ∠BAC=∠DAC =∠x(접은 각), ∠BCA=∠DAC =∠x(엇각)이므로 △ABC에서 2∠x+40°=180°(cid:100)(cid:100)∴∠x=70° (cid:9000) ④ … 3점 … 3점 … 2점 (cid:9000) 16° (cid:9000) ④ (cid:9000) ③ LECTURE 06 기본 UP 01 (cid:9000) ⑴ △ABC≡△EFD, RHA 합동 02 (cid:9000) ⑴ △ABC≡△FDE, RHS 합동 ⑵ 4 cm ⑵ 3 cm 03 (cid:9000) ⑴ 5 ⑵ 10 ⑶ 32 ⑷ 22 36 SOLUTION Q BOX 삼각형의 한 외각의 크 기는 그와 이웃하지 않 는 두 내각의 크기의 합과 같다. 내신 UP WORK BOOK 13쪽 04 ③ ∠A=180°-(90°+50°)=40° (cid:100) △ABC와 △DEF에서 (cid:100) AB”=DE”, ∠C=∠F=90°, ∠A=∠D (cid:100) 이므로 △ABC™△DEF (RHA 합동) (cid:9000) ③ 05 △ABD와 △CAE에서 AB”=CA”, ∠ADB=∠CEA, ∠ABD=90°-∠BAD=∠CAE 이므로 △ABD™△CAE(RHA 합동) ∴ DA”=EC”=7(cm), AE”=BD”=5(cm) ∴ DE”=DA”+AE”=7+5=12(cm) (cid:9000) ③ 06 △BDM과 △CEM에서 BM”=CM”, ∠BDM=∠CEM=90°, ∠BMD=∠CME (맞꼭지각) 이므로 △BDM™△CEM (RHA 합동) 따라서 CE”=BD”이므로 x=12 DM”=EM”이므로 y=14-9=5 ∴ x-y=12-5=7 (cid:9000) 7 BC”는 공통, ∠CEB=∠BDC=90°, BE”=CD” 이므로 △EBC™△DCB (RHS 합동) ∴ ∠EBC=∠DCB=;2!;_(180°-40°)=70° ∴ ∠DBC=90°-∠DCB =90°-70°=20° (cid:9000) ③ ∠B=∠BAC=;2!;_(180°-90°)=45° △DBE에서 ∠DEB=90°-45°=45° 따라서 △DBE는 ∠D=90°이고 DB”=DE”인 직각이등변삼각형이다. 이때 △ADE™△ACE (RHS 합동)이므로 … 4점 … 2점 … 2점 (cid:9000) 18 OP” 는 공통, ∠PAO= ∠PBO =90°, PA”=PB” 따라서 △AOP ™△BOP ( RHS 합동)이므로 ∠AOP= ∠BOP 즉 점 P는 ∠XOY의 이등분선 위에 있다. (cid:9000) ④ ∠ADC=180°-2_60° =60° 07 △EBC와 △DCB에서 폭이 일정한 종이 접기 (cid:8857) 접은 각과 엇각의 성질을 이용하여 크 기가 같은 각을 찾 는다. 08 △ABC에서 직각삼각형의 합동 조건 AE”는 공통, ∠ADE=∠ACE=90°, AD”=AC” DE”=CE”=6 ∴ △DBE=;2!;_6_6=18 WORK BOOK 13쪽 09 △AOP와 △BOP에서  Q특강(2년)해설(32~48)삼 2014.3.14 8:13 PM 페이지37 SinsagoHitec 10 △DFE와 △DCE에서 DE”는 공통, ∠DFE=∠DCE=90°, ∠FDE=∠CDE 이므로 △DFE™△DCE (RHA 합동) ∴ EF”=EC”, ∠DEF=∠DEC (cid:9000) ④ 11 △ABC에서 ∠ACB=∠A=;2!;_(180°-90°)=45° 이때 DB”=DE”이므로 CD”는 ∠C의 이등분선이다. ∴ y=;2!;_45=22.5 △ADE에서 ∠ADE=90°-45°=45°이므로 △ADE는 AE”=DE”인 이등변삼각형이다. ∴ DB”=DE”=AE”=6(cm)(cid:100)(cid:100)∴ x=6 ∴ y-x=16.5 (cid:9000) 16.5 12 점 D에서 AC”에 내린 수선 A 의발을 E라하면 △ADC=;2!;_10_DE” △ADC=15 10`cm E B D C ∴ DE”=3(cm) △ABD™△AED (RHA 합동)이므로 BD”=ED”=3(cm) (cid:9000) ② 삼각형의 외심 LECTURE 07 기본 UP WORK BOOK 15쪽 01 (cid:9000) ⑴ CO” ⑵ CF” ⑶ ∠OCB ⑷ ∠BOD 02 (cid:9000) ⑴ 35° ⑵ 65° 03 (cid:9000) ⑴ 120 ⑵ 8 내신 UP WORK BOOK 15쪽 04 점 O는 △ABC의 외심이므로 △OAD™△OBD, △OBE™△OCE, △OCF™△OAF (cid:9000) ④ 05 OA”=OC”=OB”=3(cm)이므로 △AOC의 둘레의 길이는 3+3+5=11(cm) (cid:9000) 11 cm Q BOX 각의 두 변에서 같은 거리에 있는 점은 그 각 의 이등분선 위에 있다. AD”는 공통, ∠ABD=∠AED=90°, ∠BAD=∠EAD 반지름의 길이가 r인 원의 둘레의 길이 (cid:8857) 2pr 직각삼각형의 빗변의 중점 (cid:8857) 외심 W O R K B O O K 06 ∠AOB=360°_;1∞2;=150° 이때 OA”=OB”이므로 ∠ABO=∠BAO= _(180°-150°)=15° ;2!; (cid:9000) ② 07 OB”=OC”이므로 ∠OBC=∠OCB=;2!;_(180°-90°)=45° 27°+45°+∠x=90°(cid:100)(cid:100)∴∠x=18° (cid:9000) ④ 08 22°+36°+∠OCA=90° ∴ ∠OCA=32° OA”=OC”이므로 ∠OAC=∠OCA=32° ∴ ∠AOC=180°-2_32°=116° (cid:9000) ④ 09 OA”=OC”이므로 △ABO=△OBC ∴△ABO=;2!;△ABC =;2!;_{;2!;_12_9}=27 (cid:9000) ② 10 ;2!; _BC”_3=12에서 BC”=8(cm) 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점과 일치하므로 외접원의 반지름의 길이는 _8=4(cm) ;2!; 따라서 구하는 외접원의 둘레의 길이는 2p_4=8p(cm) (cid:9000) 8p cm 11 점 M은 △ABC의 외심이므로 MA”=MB” 따라서 ∠MAB=∠MBA=42°이므로 ∠x=90°-42°=48° 12 ∠BMC=;3!;_180°=60° 점M이△ABC의외심이므로 MB”=MC” ∴∠C=;2!;_(180°-60°)=60° (cid:9000) ④ … 3점 … 3점 (cid:9000) 60° 삼각형의 내심 LECTURE 08 기본 UP WORK BOOK 17쪽 외심을 찾을 때는 두 변의 수직이등분선의 교점만 찾 아도 된다. SAS 합동 01 (cid:9000) ⑴ IF” ⑵ BE” ⑶ ∠IAF ⑷ △CEI 02 (cid:9000) ⑴ 31° ⑵ 70° 03 (cid:9000) ⑴ 3 cm ⑵ 4 cm ⑶ 4 cm Ⅴ. 도형의 성질 37  Q특강(2년)해설(32~48)삼 2014.3.14 8:13 PM 페이지38 SinsagoHitec WORK BOOK 내신 UP WORK BOOK 17쪽 04 ④ 외심의 성질 (cid:9000) ④, ⑤ Q BOX 외심과 내심이 일치하 는 삼각형은 정삼각형 이다. 05 ∠IBA=∠IBC=∠x, ∠ICA=∠ICB=30° 이므로 2∠x+2_30°+46°=180° 2∠x=74°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=37° (cid:9000) ⑤ 삼각형의 세 내각의 크 기의 합은 180°이다. 06 90°+;2!;∠BAC=110°(cid:100)(cid:100)∴ ∠BAC=40° 이때 ∠BAI=∠CAI이므로 ∠x=;2!;_40°=20° (cid:9000) ③ 07 △ABC의 둘레의 길이를 x cm라 하면 ;2!;_3_x=51 이등변삼각형의 외심과 내심은 꼭지각의 이등 분선 위에 있다. 11 ∠BOC=2∠A, ∠BOC=90°+;2!;∠A이므로 2∠A=90°+;2!;∠A(cid:100)(cid:100)∴ ∠A=60° ∴ ∠x=2∠A=120° (cid:9000) ③ 12 △ABC에서 AB” ∠ABC=∠ACB ”=AC”이므로 A 44æ =;2!;_(180°-44°) =68° x O I 점 I는 △ABC의 내심이므로 B C ∠IBA=∠IBC=;2!;_68°=34° 점 O는 △ABC의 외심이므로 OA” ”=OB” ”에서 ∠OBA=∠OAB=;2!;_44°=22° ∴ ∠x=∠IBA-∠OBA =34°-22°=12° (cid:9000) ② ;2#;x=51(cid:100)(cid:100)∴ x=34 (cid:9000) ③ 08 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 ;2!;_r_(8+10+6)=;2!;_8_6 12r=24(cid:100)(cid:100)∴ r=2 ∴ △IBC=;2!;_10_2=10(cm¤ ) (cid:9000) ② 09 BD”=BE”=7 AF”=AD”=8이므로 CE”=CF”=13-8=5 ∴ (△ABC의 둘레의 길이) ∴ =AB”+ BC”+CA” ∴ =(8+7)+(7+5)+13=40 … 2점 … 2점 … 2점 (cid:9000) 40 10 점 I가 △ABC의 내심이 므로 ∠DBI=∠IBC DE”∥BC”이므로 ∠DIB=∠IBC (엇각) 즉 ∠DIB=∠DBI이므로 B DI”=DB” 마찬가지로 EI”=EC” ∴ (△ABC의 둘레의 길이) =AB”+BC”+CA” A 8`cm D I 7`cm 21 2 cm 6`cm E C =(AD”+DB”)+BC”+(AE”+EC”) =AD”+DI”+BC”+AE”+EI” =AD”+(DI”+EI”)+BC”+AE” =AD”+DE”+BC”+AE” 38 SOLUTION △ABC의 내접원의 반 지름의 길이가 r일 때 △ABC = ;2!; r(AB”+BC”+CA”) 삼각형의 한 외각의 크 기는 그와 이웃하지 않 는 두 내각의 크기의 합과 같다. WORK BOOK 19쪽 평행사변형 LECTURE 09 기본 UP 01 (cid:9000) ⑴ x=7, y=65, z=115 ⑵ x=12, y=5, z=33 02 (cid:9000) ㈁, ㈂, ㈃ 03 (cid:9000) ⑴ 48 ⑵ 10 04 (cid:9000) ⑴ 25 ⑵ 60 내신 UP WORK BOOK 19쪽 05 AD”∥BC”이므로 ∠DAC=∠BCA=40° (엇각) 따라서 △AOD에서 ∠x=40°+30°=70° 또 △DOC에서 ∠CDO=180°-(70°+66°)=44° AB”∥DC”이므로 ∠y=∠CDO=44° (엇각) ∴ ∠x-∠y=70°-44°=26° ∴ =8+7+;;™2¡;+6=;;§2£;; (cm) (cid:9000) ;;§2£;; cm (cid:9000) 26°  Q특강(2년)해설(32~48)삼 2014.3.14 8:13 PM 페이지39 SinsagoHitec 07 ∠CBE=∠ABE=∠CEB (엇각)이므로 BC”=EC”=ED”+DC”=2+4=6(cm) ∴ AD”=BC”=6(cm) 두 쌍의 대변의 길이가 각 각 같다. Q BOX 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다. 평행사변형 ABCD의 내부의 한 점 P에 대하여 △PAD+△PBC =;2!; (cid:8772) ABCD 사각형의 네 내각의 크 기의 합은 360°이다. (cid:9000) ④ 06 ①, ②, ④ 평행사변형의 성질 ③ ∠ADB=∠CBD (엇각) (cid:9000) ⑤ (cid:9000) 6 cm … 2점 … 2점 … 2점 (cid:9000) 18 cm 08 ∠ABE=∠EBC=∠AEB (엇각)이므로 AE”=AB”=3(cm) ∠DCE=∠ECB=∠DEC (엇각)이므로 DE”=DC”=3(cm) ∴ AD”=AE”+DE”=3+3=6(cm) 따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는 2(AB”+AD”)=2_(3+6)=18(cm) … 2점 09 ∠A+∠D=180°이므로 ∠A=180°-78°=102° ∠ABC=∠D=78°이므로 _78°=39° ∠ABF= ∠ABC= ;2!; ;2!; 따라서 (cid:8772)ABFE에서 102°+39°+90°+∠x=360° ∴ ∠x=129° 10 ①, ③ △OPA와 △OQC에서 ①∠PAO=∠QCO (엇각), AO”=CO”, ∠AOP=∠COQ (맞꼭지각) 이므로 △OPA™△OQC (ASA 합동) ∴ AP”=CQ”, OP”=OQ” ②, ⑤ △OPD와 △OQB에서 ①∠PDO=∠QBO (엇각), DO”=BO”, ∠DOP=∠BOQ (맞꼭지각) 이므로 △OPD™△OQB (ASA 합동) ∴ DP”=BQ”, ∠OPD=∠OQB 같은 방법으로 △BPQ™△DRS (SAS 합동)(cid:100)(cid:100) ∴ PQ”=RS” 따라서 (cid:8772)PQRS는 평행사변형이다. (cid:9000) ② 13 △ABE와 △CDF에서 AB”=CD”, ∠AEB=∠CFD=90°, ∠ABE=∠CDF (엇각) 이므로 △ABE™△CDF (RHA 합동) ∴ AE”=CF” 이때 ∠AEF=∠CFE=90°이므로 AE”∥CF” 따라서 (cid:8772)AECF는 평행사변형이므로 AF”∥CE”, ∠EAF=∠FCE (cid:9000) ② 14 (cid:8772)ABCD=12_8=96(cm¤ ) △PAD+△PBC= (cid:8772)ABCD이므로 ;2!; 30+△PBC= _96=48(cid:100)(cid:100) ;2!; ∴ △PBC=18(cm¤ ) (cid:9000) 18 cm¤ 15 △AOE=△AOD = ;4!; (cid:8772)ABCD= _32=8(cm¤ ) ;4!; (cid:9000) 8 cm¤ W O R K B O O K 여러 가지 사각형 LECTURE 10 기본 UP WORK BOOK 21쪽 01 (cid:9000) ⑴ x=4, y=8 ⑵ x=100, y=50 02 (cid:9000) ⑴ x=3, y=5 ⑵ x=48, y=90 03 (cid:9000) ⑴ x=90, y=8 ⑵ x=14, y=45 04 (cid:9000) ⑴ x=11, y=7 ⑵ x=34, y=34 11 ③ AD”∥BC”이고 AD”=BC”이므로 (cid:8772)ABCD는 평행사변형이다. (cid:9000) ④ (cid:9000) ③ 한 쌍의 대변이 평행하 고 그 길이가 같으므로 평행사변형이다. 12 △APS와 △CRQ에서 AP”=;2!; AB”=;2!; DC”=CR”, AS”=;2!; AD”=;2!; BC”=CQ”, ∠A=∠C 이므로 △APS™△CRQ (SAS 합동)(cid:100)(cid:100) ∴ PS”=RQ” 내신 UP WORK BOOK 21쪽 05 OA”=OB”이므로 ∠OBA=∠OAB=60° 즉 △ABO는 정삼각형이므로 AO”=AB”=5(cm) ∠AOB=180°-2_60° =60° ∴ AC”=2AO”=2_5=10(cm) (cid:9000) ② Ⅴ. 도형의 성질 39  Q특강(2년)해설(32~48)삼 2014.3.14 8:13 PM 페이지40 SinsagoHitec WORK BOOK Q BOX 06 ④ 마름모가 되는 조건 (cid:9000) ④ 07 △ABC는 BA”=BC”인 이등변삼각형이므로 _(180°-60°)=60° ∠BAC=∠BCA= ;2!; 따라서 △ABC는 정삼각형이므로 BA”=BC”=AC”=8(cm) … 3점 ∴ ((cid:8772)ABCD의 둘레의 길이)=4_8 평행사변형이 직사각형 이 되는 조건 (cid:8857) 한 내각이 직각이거 나 두 대각선의 길 이가 같다. LECTURE 11 기본 UP 여러 가지 사각형 사이의 관계 WORK BOOK 23쪽 01 (cid:9000) ⑴ ×(cid:100)⑵ ◯(cid:100)⑶ ◯ =32(cm) … 3점 (cid:9000) 32 cm 마름모는 네 변의 길이가 모두 같다. 02 (cid:9000) ⑴ 평행사변형 ⑵ 평행사변형 ⑶ 마름모 ⑷ 직사각형 ⑸ 정사각형 ⑹ 마름모 08 ㈁, ㈃ 평행사변형의 성질 ㈂, ㈄ 직사각형이 되는 조건 (cid:9000) ② 09 △DCE에서 DC”=DE”이므로 ∠CDE=180°-2_75°=30° ∴ ∠ADE=90°+30°=120° 이때 AD”=DC”=DE”이므로 △DAE는 이등변 삼각형이다. ∴ ∠x= _(180°-120°)=30° (cid:9000) 30° ;2!; 10 △CPQ와 △CPD에서 PC”는 공통, ∠PQC=∠PDC=90°, ∠PCQ=∠PCD 이므로 △CPQ™△CPD(RHA 합동) ∴ CQ”=CD”=AB”, ∠CPQ=∠CPD 한편 ∠QAP=∠BAC=45°이므로 ∠APQ=90°-45°=45° ∴ AQ”=PQ”=PD” (cid:9000) ③ 12 ∠DBC=∠ADB=40° (엇각)이므로 ∠x=∠ABC=30°+40°=70° (cid:9000) 70° 13 오른쪽 그림과 같이 점 D 에서 BC”에 내린 수선의 발을 F라 하면 EF”=AD”=5(cm) 한편 △ABE와 △DCF A 5`cm D B E 2`cm C F 에서 AB”=DC”, ∠AEB=∠DFC=90°, ∠B=∠C 이므로 △ABE≡△DCF (RHA 합동) 따라서 CF”=BE”=2(cm)이므로 BC”=BE”+EF”+FC”=2+5+2=9(cm) (cid:9000) ③ 40 SOLUTION 높이가 같은 두 삼각형 의 넓이의 비 (cid:8857) 밑변의 길이의 비와 같다. 03 (cid:9000) ⑴ △ACE ⑵ △DCE ⑶ △ABE 04 ⑴ △ABP：△APC=BP”：CP”=1：2 ⑵ △ABC=;2!;_6_4=12(cm¤ )이므로 ⑵ △ABP=;3!;_12=4(cm¤ ) ⑶ △APC=;3@;_12=8(cm¤ ) (cid:9000) ⑴ 1 : 2 ⑵ 4 cm¤ ⑶ 8 cm¤ 내신 UP WORK BOOK 23쪽 05 ∠BAD+∠ADC=180°이므로 ∠QAD+∠ADQ=90° 즉 △AQD에서 ∠AQD=180°-90°=90° 같은 방법으로 ∠QRS=∠RSP=∠SPQ=90° 따라서 (cid:8772)PQRS는 직사각형이다. 등변사다리꼴의 아랫변 의 양 끝 각의 크기는 같다. 07 ③ 마름모 - ㈀, ㈂ (cid:9000) ③ (cid:9000) ③ (cid:9000) ② 08 등변사다리꼴의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사 각형은 마름모이므로 (cid:8772)EFGH는 마름모이다. 따라서 (cid:8772)EFGH의 둘레의 길이는 4_6=24(cm) 09 (cid:8772)ABCD는 마름모이므로 (cid:8772)ABCD의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 직사각형이다. (cid:9000) ②, ④ 11 OA”=OB”=OC”=OD”이므로 평행사변형 ABCD 네 각의 크기가 같으므로 직사각형이다. 는 직사각형이다. ①, ⑤ 평행사변형의 성질 ③, ④ 직사각형의 성질 (cid:9000) ② (cid:9000) 직사각형 06 ③ 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형은 마름모이다.  Q특강(2년)해설(32~48)삼 2014.3.14 8:13 PM 페이지41 SinsagoHitec Q BOX 밑변이 공통이고 밑변 에 평행한 직선 위의 점을 꼭짓점으로 갖는 삼각형의 넓이는 모두 같다. 닮은 두 원뿔 또는 원 기둥에서 (닮음비) =(높이의 비) =(밑면의 반지름의 길 의 비) 10 AC”∥ DE”이므로 △DAC=△EAC ∴ (cid:8772)ABCD=△ABC+△DAC =△ABC+△EAC =△ABE = _(7+5)_5 ;2!; =30(cm¤ ) 11 AD”∥BC”이므로 △DFC=△DFB BD”∥EF”이므로 △DFB=△DEB ∴ △DFC=△DEB=6(cm¤ ) 12 오른쪽 그림과 같이 AQ”를 그으면 △ABQ : △AQC =BQ” : CQ”=3 : 7 이므로 △ABQ=;1£0;△ABC (cid:9000) 30 cm¤ (cid:9000) ③ A P B Q C 13 △ABC= ;2!; (cid:8772)ABCD= _120=60(cm¤ ) ;2!; △APC：△PBC=AP”：BP”=1：2이므로 △APC= △ABC= _60=20(cm¤ ) OA”=OC”이므로 △OPC= △APC= _20=10(cm¤ ) △OPQ：△OQC=PQ”：CQ”=2：3이므로 △OQC= △OPC= _10=6(cm¤ ) ;3!; ;2!; ;5#; ;3!; ;2!; ;5#; (cid:9000) ② =;1£0;_100=30(cm¤ ) △APQ : △PBQ=AP” : BP”=1 : 2이므로 … 4점 △PBQ=;3@;△ABQ=;3@;_30=20(cm¤ ) … 4점 (cid:9000) 20 cm¤ 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크 기가 같다. W O R K B O O K Ⅵ 도형의 닮음 도형의 닮음 LECTURE 12 기본 UP WORK BOOK 25쪽 01 (cid:9000) ⑴ 점 E ⑵ 모서리 GH ⑶ 면 FGH 02 (cid:9000) ⑴ ◯(cid:100)⑵ ◯(cid:100)⑶ ×(cid:100)⑷ ×(cid:100)⑸ ◯ ⑹ ◯(cid:100)⑺ ×(cid:100)⑻ ×(cid:100)⑼ ×(cid:100)⑽ ◯ 03 (cid:9000) ⑴ 2：3 ⑵ 3 04 ⑴ △ABC와 △EBD에서 ∠ACB=∠EDB, ∠B는 공통 ∴ △ABCª△EBD(AA 닮음) ⑵ △ABC와 △ACD에서 AB”：AC”=BC”：CD”=AC”：AD”=2：3 ∴ △ABCª△ACD(SSS 닮음) ⑶ △ABE와 △CDE에서 AE”：CE”=BE”：DE”=2：1 ∠AEB=∠CED(맞꼭지각) ∴ △ABEª△CDE(SAS 닮음) ⑷ △ABC와 △ADB에서 AB”：AD”=AC”：AB”=2：1, ∠A는 공통 ∴ △ABCª△ADB(SAS 닮음) (cid:9000) ⑴ △ABCª△EBD(AA 닮음) ⑵ △ABCª△ACD(SSS 닮음) ⑶ △ABEª△CDE(SAS 닮음) ⑷ △ABCª△ADB(SAS 닮음) 05 ⑴ 4¤ =2_(2+x)(cid:100)(cid:100)∴ x=6 ⑵ 2¤ =1_x(cid:100)(cid:100)∴ x=4 ⑶ x¤ =4_9(cid:100)(cid:100)∴ x=6(∵ x>0) ⑷ 8¤ =4_x(cid:100)(cid:100)∴ x=16 (cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 4 ⑶ 6 ⑷ 16 내신 UP 06 (cid:9000) ③ WORK BOOK 26쪽 원과 구에서는 반지름의 길 이의 비가 닮음비이다. 반지름의 길이가 r인 원의 둘레의 길이 (cid:8857) 2pr 07 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 r：20=2：5(cid:100)(cid:100)∴ r=8 따라서 원 O의 둘레의 길이는 2p_8=16p(cm) (cid:9000) ③ Ⅵ. 도형의 닮음 41  Q특강(2년)해설(32~48)삼 2014.3.14 8:13 PM 페이지42 SinsagoHitec WORK BOOK Q BOX EM”=FM”이므로 EF”=2MF” 10 ① SSS 닮음(cid:100)② SAS 닮음(cid:100)③ AA 닮음 ⑤ AA 닮음 (cid:9000) ④ MC”=;2!; BC”=9(cm) 08 두 삼각기둥의 닮음비는 AB”：GH”=6：12=1：2 즉 BE”：HK”=1：2에서 x：18=1：2 또 AC”：GI”=1：2에서 10：y=1：2 ∴ x=9 ∴ y=20 ∴ x+y=9+20=29 … 2점 … 2점 … 2점 (cid:9000) 29 09 두 원뿔 A, B의 닮음비는 15：10=3：2 원뿔 A의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면 r：8=3：2에서 r=12 따라서 원뿔 A의 밑면의 둘레의 길이는 2p_12=24p(cm) (cid:9000) 24p cm 11 △ABC와 △AED에서 AB”：AE”=AC”：AD”=2：1, ∠A는 공통 ∴ △ABCª△AED(SAS 닮음) BC”：ED”=2：1에서 20：x=2：1 ∴ x=10 (cid:9000) ③ 12 △ABE와 △DCE에서 ∠B=∠C(엇각), ∠AEB=∠DEC(맞꼭지각) ∴ △ABEª△DCE(AA 닮음) 13 △ABC와 △ADF에서 ∠A는 공통, ∠ACB=∠AFD(동위각) ∴ △ABCª△ADF(AA 닮음) DE”=DF”=x cm라 하면 BC”：DF”=AC”：AF”에서 3：x=7：(7-x), 7x=21-3x ∴ x=;1@0!; 따라서 마름모의 둘레의 길이는 4_;1@0!;=:¢5™: (cm) (cid:9000) :¢5™: cm 14 ①, ② △ABD와 △MFB에서 ⑤ ∠BAD=∠FMB=90°, ⑤ ∠ADB=∠MBF (엇각) ⑤ ∴ △ABDª△MFB (AA 닮음) ⑤ ∴ ∠ABD=∠MFB=∠MED(엇각) 42 SOLUTION ③ △EMD와 △FMB에서 ⑤ ∠EDM=∠FBM(엇각), ∠EMD=∠FMB(맞꼭지각), MD”=MB” ⑤ ∴ △EMD™△FMB(ASA 합동) ⑤ ∴ ED”=BF”, EM”=FM” ④, ⑤ MB”=;2!; BD”=;;¡2∞;;(cm)이고 ⑤ AB”：MF”=AD”：MB”이므로 ⑤ 9：MF”=12：;;¡2∞;;(cid:100)(cid:100)∴ MF” ”=;;¢8∞;;(cm) ⑤ ∴ EF”=2 MF”=;;¢4∞;;(cm) (cid:9000) ④ 15 △ABC와 △MEC에서 ∠BAC=∠EMC=90°, ∠C는 공통 ∴ △ABCª△MEC(AA 닮음) AC”：MC”=BC”：EC”에서 6：9=18：EC”(cid:100)(cid:100)∴ EC”=27(cm) ∴ AE”=27-6=21(cm) (cid:9000) ② 16 AH” ¤ =BH”_CH”이므로 6¤ =BH”_4(cid:100)(cid:100)∴ BH”=9(cm) ∴ △ABC=;2!;_(9+4)_6=39(cm¤ ) 17 AG” AG” ¤ =BG”_CG”이므로 ¤ =20_5=100(cid:100)(cid:100) ∴ AG”=10(cm) (∵ AG”>0) BM”=CM”=AM”이므로 (cid:9000) ④ … 3점 … 3점 (cid:9000) 8 cm 마름모는 네 변의 길이가 같다. 삼각형과 평행선 LECTURE 13 기본 UP WORK BOOK 28쪽 01 ⑴ AD”：AB”=AE”：AC”이므로 2：6=3：x(cid:100)(cid:100)∴ x=9 ⑵ AB”：AD”=AC”：AE”이므로 5：x=7：14(cid:100)(cid:100)∴ x=10 ⑶ AD”：DB”=AE”：EC”이므로 6：x=5：3(cid:100)(cid:100)∴ x=:¡5•: BE”：CE”=AE”：DE”에서 x：10=6：12(cid:100)(cid:100)∴ x=5 AB”：DC”=AE”：DE”에서 8：y=6：12(cid:100)(cid:100)∴ y=16 ∴ x+y=5+16=21 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점과 일치한다. AM”=;2!;BC”=;2!;_(20+5)=;;™2∞;; (cm) … 2점 AG” ¤ =AH”_AM”이므로 (cid:9000) ② 10¤ =AH”_;;™2∞;;(cid:100)(cid:100)∴ AH”=8(cm)  Q특강(2년)해설(32~48)삼 2014.3.14 8:13 PM 페이지43 SinsagoHitec ⑷ AB”：AD”=AC”：AE”이므로 6：x=4：7(cid:100)(cid:100)∴ x=:™2¡: (cid:9000) ⑴ 9 ⑵ 10 ⑶ ;;¡5•;; ⑷ ;;™2¡;; 02 (cid:9000) ⑴ ×(cid:100)⑵ ◯(cid:100)⑶ ◯(cid:100)⑷ × 03 ⑴ AB”：AC”=BD”：CD”이므로 x：4=3：2(cid:100)(cid:100)∴ x=6 ⑵ AB”：AC”=BD”：CD”이므로 8：x=16：10(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 5 내신 UP WORK BOOK 28쪽 04 ① △ABC와 △ADE에서 ③ ∠ABC=∠ADE(동위각), ∠A는 공통 ③ ∴ △ABCª△ADE(AA 닮음) ② AB” ”：AD”=BC” ”：DE”이므로 ③ (2+3)：2=6：DE”(cid:100)(cid:100)∴ DE”=;;¡5™;; (cm) ③ AC”：AE”=AB”：AD”=5：2 ④ AD”：AB”=DE”：BC” ⑤ AE” ”：EC” ”=AD”：DB”이므로 4：EC” ”=2：3(cid:100)(cid:100)∴ EC” ”=6(cm) (cid:9000) ④ 05 EF”：BF”=DE”：BC”=AD”：AB”=1：3 ∴ EF”=;4!;BE”=;4!;_16=4(cm) (cid:9000) 4 cm 06 DG”：BF”=AG”：AF”=GE”：FC”이므로 4：6=GE”：9(cid:100)(cid:100)∴ GE”=6(cm) 07 ④ BC”：DE”=AB”：AD”=2：1 08 ①, ③ AD”∥EC”이므로 BA”：AE”=BD”：DC”=2：3에서 BA”：9=2：3(cid:100)(cid:100)∴ AB”=6(cm) ②, ④ AB”：AC”=BD”：CD”=2：3에서 6：AC”=2：3(cid:100)(cid:100)∴ AC”=9(cm) (cid:9000) ⑤ 09 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠BAD=∠CAD AB”：AC”=BD”：CD”에서 4：8=BD”：(9-BD”) ∴ BD”=3(cm) … 3점 … 2점 … 1점 (cid:9000) 3 cm Q BOX AB”：AD”=AC”：AE” (cid:8857) BC”∥DE” 10 AB”：AC”=BD”：CD”이므로 6：5=(2+CD”)：CD”(cid:100)(cid:100) ∴ CD”=10(cm) 11 AB”：AC”=BD” ”：CD”이므로 12：AC”=(5+10)：10(cid:100)(cid:100) ∴ AC”=8(cm) (cid:9000) ③ (cid:9000) ③ 12 DC”：DB”=AC”：AB”=14：8이므로 DC”：DB”=7：4 ∴ △ADC：△ABC=DC”：BC”=7：3 즉 △ADC：48=7：3이므로 △ADC=112(cm¤ ) W O R K B O O K (cid:9000) 112 cm¤ 삼각형의 중점연결정리`⑴ M B A N C A (cid:8857) M Na B C 2a 삼각형의 중점연결정리 LECTURE 14 기본 UP WORK BOOK 30쪽 01 ⑴ MN”=;2!; BC”=;2!; _12=6(cid:100)(cid:100)∴ x=6 ⑵ BC”=2MN”=2_5=10(cid:100)(cid:100)∴ x=10 (cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 10 삼각형의 중점연결정리`⑵ 02 ⑴ AN”=;2!; AC”=;2!;_6=3(cid:100)(cid:100)∴ x=3 A M N B (cid:8857) C A a 2a M N B C (cid:9000) ② (cid:9000) ④ ⑵ MN”=;2!; AB”=;2!;_8=4(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (cid:9000) ⑴ 3 ⑵ 4 03 ⑴ ME”=;2!; BC”=;2!;_12=6 ⑵ EN”=;2!; AD”=;2!;_8=4 ⑶ MN”=ME”+EN”=6+4=10 (cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 4 ⑶ 10 내신 UP WORK BOOK 30쪽 내심은 세 내각의 이등분선 의 교점이므로 AD”는 ∠A 의 이등분선이다. 04 AB”=2EF”=2_6=12(cm) BC”=2 DF”=2_8=16(cm) AC”=2 DE”=2_5=10(cm) 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 12+16+10=38(cm) (cid:9000) 38 cm Ⅵ. 도형의 닮음 43  Q특강(2년)해설(32~48)삼 2014.3.14 8:13 PM 페이지44 SinsagoHitec WORK BOOK 05 ① BE”=EC”, BD”=DA”이므로 ① DE”=;2!;AC”=CF” ② AD”=DB”, AF”=FC”이므로 ① DF”∥BC” ③ CF”=FA”, CE”=EB”이므로 FE”∥AB” ① ∴ ∠A=∠CFE ⑤ △ADF와 △DBE에서 ① AD”=DB”, DF”=BE”, ① ∠ADF=∠DBE(동위각) ① ∴ △ADF™△DBE(SAS 합동) (cid:9000) ④ Q BOX 사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형 ① 사각형, 평행사변형 (cid:8857) 평행사변형 ② 직사각형, 등변사다 리꼴 (cid:8857) 마름모 ③ 마름모 (cid:8857) 직사각형 ④ 정사각형 (cid:8857) 정사각형 06 △ABC에서 AD”=DB”, DE”∥BC”이므로 DE”=;2!;BC” △FDE에서` ”=;2!;_12=6(cm) FM”=MD”, MN”∥DE”이므로 07 △ABC에서 AM”=MB”, ME”∥BC”이므로 ”=;2!; BC”=;2!;_18=9(cm) ME” … 2점 △ABD에서 AM”=MB”, MN”∥AD”이므로 MN”=;2!; AD”=;2!;_14=7(cm) ∴ NE”=ME”-MN”=9-7=2(cm) … 2점 … 2점 (cid:9000) 2 cm 08 △ABG에서 DE”=;2!;BG”=;2!;_8=4(cm) △DFE와 △CFG에서 ∠EDF=∠GCF(엇각), DF”=CF”, ∠DFE=∠CFG(맞꼭지각) 이므로 △DFE™△CFG(ASA 합동) ∴ CG”=DE”=4(cm) (cid:9000) ⑤ 09 AD”의 중점을 G라 하면 A △CGE에서 EG”=2FD” △ABD에서 BD”=2EG” EG”=2_6=12(cm) BD=2_12=24(cm) E G F 6`cm D B C 44 SOLUTION 10 PS”=;2!; BD”=;2!;_14=7(cm) PQ”=;2!;AC”=;2!;_10=5(cm) (cid:8772)PQRS는 평행사변형이므로 둘레의 길이는 2_(7+5)=24(cm) 11 PS”=;2!; EG”=;2!; AD” PS”=;2!;_28=14(cm) 22`cm E PQ”=;2!;HF”=;2!;AB” (cid:9000) ② 28`cm H A B P Q F S R D G C PQ”=;2!;_22=11(cm) (cid:8772)HEFG는 마름모이므로 (cid:8772)PQRS는 직사각형 이다. 따라서 둘레의 길이는 2_(14+11)=50(cm) (cid:9000) 직사각형, 50 cm 평행선 사이의 선분의 길이의 비 LECTURE 15 기본 UP WORK BOOK 32쪽 (cid:9000) ⑴ 8 ⑵ 15 01 ⑴ 6：3=x：4(cid:100)(cid:100)∴ x=8 ⑵ 6：x=4：10(cid:100)(cid:100)∴ x=15 02 ⑴ AE”：AB”=EG”：BC”이므로 ⑴ 2：5=EG”：10(cid:100)(cid:100) ⑴ ∴ EG”=4 ⑵ AD”：GF”=AC”：GC”이므로 ⑴ 5：GF”=5：3(cid:100)(cid:100) ⑴ ∴ GF”=3 ⑶ EF”=EG”+GF”=4+3=7 MN”=;2!; DE”=;2!;_6=3(cm) (cid:9000) ③ 12 △ABD에서 AE”=EB”, AD”∥EG” 이므로 EG”=;2!; AD” AE”=EB”, EH”∥BC” 이므로 BC”=2EH” EG”=;2!; AD”=;2!; _8=4 ∴ EH”=EG”+GH”=4+7=11 △ABC에서 BC”=2 EH”=2_11=22 (cid:9000) ② ∴ BF”=BD”-FD”=24-6=18(cm) (cid:9000) ③ (cid:9000) ⑴ 4 ⑵ 3 ⑶ 7 공식을 이용하여 풀면 15+20 2+3 EF”= =7 내신 UP WORK BOOK 32쪽 ∴ xy=;;¢2ª;;_;;¢7•;;=168 (cid:9000) 168 Q특강(2년)해설(32~48)삼 2014.3.14 8:13 PM 페이지45 SinsagoHitec 03 ⑴ BF”：CF”=BE”：DE”=AB”：CD”=3：2 ⑵ EF”：DC”=BE”：BD”이므로 ⑴ EF”：4=3：5(cid:100)(cid:100)∴ EF”=;;¡5™;; (cid:9000) ⑴ 3：2 ⑵ ;;¡5™;; Q BOX 공식을 이용하여 풀면 6_4 6+4 EF”= 12 5 = BE”：BD”=3：(3+2) =3：5 (cid:9000) x=24, y=6 (cid:8772)AGFD와 (cid:8772)GHCF는 평행사변형이다. 04 18：9=12：(x-12)(cid:100)(cid:100)∴ x=18 (cid:9000) ② 05 4：(12-4)=7：x(cid:100)(cid:100)∴ x=14 4：(12-4)=(y-6)：6(cid:100)(cid:100)∴ y=9 ∴ x-y=14-9=5 (cid:9000) ③ 06 16：8=12：y(cid:100)(cid:100)∴ y=6 27：x=(12+6)：16(cid:100)(cid:100)∴ x=24 07 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 DC”에 평행 A 4`cm E 8`cm D G F 11`cm 한 직선을 그었을 때, 12`cm 두 선분 EF, BC와 만 나는 점을 각각 G, H B 라 하자. HC”=GF”=AD”=8(cm), EG”=11-8=3(cm) 8`cm C H 이므로 AE”：AB”=EG”：BH”에서 4：(4+12)=3：BH”(cid:100)(cid:100)∴ BH”=12(cm) ∴ BC”=BH”+HC”=12+8=20(cm) (cid:9000) ⑤ 08 오른쪽 그림과 같이 점 A 에서 DC”에 평행한 직선 A 6 D 을 그었을 때, 두 선분 EF, G E F BC와 만나는 점을 각각 G, H라 하자. AE”：AB”=1：2이므로 4 B 6 C H 10 EG”：BH”=1：2, EG”：4=1：2 ∴ EG”=2 ∴ EF”=EG”+GF”=2+6=8 … 4점 … 2점 (cid:9000) 8 09 AE”：AB”=EG”：BC”이므로 8：12=EG”：15(cid:100)(cid:100)∴ EG”=10(cm) GF”：AD”=CG”：CA”=BE”：BA”이므로 GF”：9=4：12(cid:100)(cid:100)∴ GF”=3(cm) ∴ EF”=EG”+GF”=10+3=13(cm) (cid:9000) ⑤ W O R K B O O K 10 △ABEª△CDE(AA 닮음)이므로 AE”：CE”=AB”：CD”=12：16=3：4 따라서 △ABC에서 CF”：CB”=CE”：CA” 14：x=4：7(cid:100)(cid:100)∴ x=;;¢2ª;; 또 EF”：AB”=CE”：CA”이므로 y：12=4：7(cid:100)(cid:100)∴ y=;;¢7•;; 11 △AODª△COB(AA 닮음)이므로 AO”：CO”=AD”：CB”=a：b ⑴ △ABC에서` EO”：b=a：(a+b) ∴ EO”= ab a+b ⑵ △CDA에서` OF”：a=b：(a+b) ∴ OF”= ab a+b ⑶ EF”=EO”+OF”= 2ab a+b (cid:9000) ⑴ ab a+b ⑵ ab a+b ⑶ 2ab a+b 12 △ABC에서` AE”：AB”=EN”：BC” 2：3=EN”：12(cid:100)(cid:100)∴ EN”=8(cm) △ABD에서 BE”：BA”=EM”：AD” 1：3=EM”：9(cid:100)(cid:100)∴ EM”=3(cm) ∴ MN”=EN”-EM”=8-3=5(cm) (cid:9000) ① 삼각형의 무게중심 LECTURE 16 기본 UP WORK BOOK 34쪽 △ABC에서 AD”가 중 선이면 △ABD=△ACD =;2!;△ABC 01 ⑴ △ADC=;2!;△ABC=;2!;_20=10(cm¤ ) ⑵ △AEC=;2!;△ADC=;2!;_10=5(cm¤ ) (cid:9000) ⑴ 10 cm¤ ⑵ 5 cm¤ Ⅵ. 도형의 닮음 45  Q특강(2년)해설(32~48)삼 2014.3.14 8:13 PM 페이지46 SinsagoHitec WORK BOOK Q BOX 02 ⑴ △ABD=△ABC-△ADC =84-42=42(cm¤ ) ⑵ △ABD=△ADC이므로 DC”=BD”=;2!;_14=7(cm) 09 BD”는 △ABC의 중선이므로 AC”=2 CD”=2_9=18(cm) △BEFª△BAC(AA 닮음)이므로 ∠EBF는 공통, ∠BEF=∠BAC(동위각) EF”：AC”=BE”：BA”=BG”：BD”=2：3 EF”：18=2：3(cid:100)(cid:100)∴ EF”=12(cm) (cid:9000) ② (cid:9000) ⑴ 42cm¤ ⑵ 7cm 03 ⑴ GD”=;2!; BG”=;2!;_8=4(cid:100)(cid:100)∴ x=4 ⑵ GC”=2DG”=2_3=6(cid:100)(cid:100)∴ x=6 ⑶ AG”=;3@;AD”=;3@;_18=12(cid:100)(cid:100)∴ x=12 ⑷ AD”=3GD”=3_2=6(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (cid:9000) ⑴ 4 ⑵ 6 ⑶ 12 ⑷ 6 04 ⑴ △ABG=;3!;△ABC=;3!;_24=8(cm¤ ) ⑵ △AGE=;6!;△ABC=;6!;_24=4(cm¤ ) (cid:9000) ⑴ 8 cm¤ ⑵ 4 cm¤ 05 ⑴ BD”=2MN”=2_6=12(cm) ⑵ OA”=OC”, BM”=CM”이므로 점 P는 △ABC 의 무게중심이다. 또 OA”=OC”, CN”=DN”이 므로 점 Q는 △ACD의 무게중심이다. (cid:100) 따라서 BP”=PQ”=QD”이므로 (cid:100) PQ”=;3!; BD”=;3!;_12=4(cm) (cid:9000) ⑴ 12 cm ⑵ 4 cm 06 AP”=PQ”=QC”이므로 A M D AC”=3PQ” =3_3=9(cm) P 3`cm QO B N C (cid:9000) 9 cm 내신 UP WORK BOOK 35쪽 07 BE”는 △ABC의 중선이므로 AC”=2AE”=2_8=16(cm)(cid:100)(cid:100)∴ x=16 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 BE”=3GE”=3_3=9(cm)(cid:100)(cid:100)∴ y=9 ∴ x-y=16-9=7 (cid:9000) ③ 08 점 G'은 △ABG의 무게중심이므로 GM”=3 G'M”=3_3=9(cm) 또 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 46 SOLUTION AG”：AD”=AG'”：AC” =2：3, ∠GAG'은 공통 직각삼각형의 빗변의 중점은 외심과 일치하 고 외심에서 세 꼭짓점 에 이르는 거리는 모두 같다. ∠GCF는 공통, ∠CGF=∠CDE(동위각) 두 대각선의 교점을 O라 하면 OB”=OD”, AM”=MD”이 므로 점 P는 △ABD의 무게중심이다. 또 OB”=OD”, BN”=NC” 이므로 점 Q는 △BCD의 무게중심이다. 10 AC”는 △ADE의 중선이므로 DC”=CE”=3(cm) △AGG'ª△ADC(SAS 닮음)이므로 GG'”：DC”=AG”：AD”=2：3 GG'”：3=2：3(cid:100)(cid:100)∴ GG'”=2(cm) (cid:9000) ④ 11 △ABD에서 AE”=EB”, AD”∥EF”이므로 AD”=2EF”=2_6=12(cm) 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 AG”=;3@;AD”=;3@;_12=8(cm) (cid:9000) ③ 12 점 D는 △ABC의 외심이므로 AD”=BD”=CD”=;2!; BC”=;2!;_10=5(cm)… 3점 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 GD”=;3!;AD”=;3!;_5=;3%;(cm) … 3점 (cid:9000) ;3%; cm 13 △CGFª△CDE(AA 닮음)이므로 GF”：DE”=CG”：CD”=2：3 x：3=2：3(cid:100)(cid:100)∴ x=2 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 AF”=3GF”=3_2=6 점 F는 △ABC의 외심이므로 CF”=AF”=6 △CDE에서 CF”：FE”=CG”：GD”=2：1이므로 6：y=2：1(cid:100)(cid:100)∴ y=3 ∴ xy=2_3=6 (cid:9000) ② 14 점 G는 △ABC의 무게 중심이므로 △GBC=;3!;△ABC (cid:8772)ADGE =△ADG+△AEG A G D E B C =;6!;△ABC+;6!;△ABC=;3!;△ABC ∴ (cid:8772)ADGE+△GBC ∴ =;3!;△ABC+;3!;△ABC CM”=3GM”=3_9=27(cm) (cid:9000) 27 cm ∴ =;3@;△ABC=;3@;_72=48(cm¤ ) (cid:9000) ③  Q특강(2년)해설(32~48)삼 2014.3.14 8:13 PM 페이지47 SinsagoHitec Q BOX 15 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 △ABC=6△GBD 점 E는 BG”의 중점이므로 △GBD=2△EBD ∴ △ABC=6△GBD=12△EBD =12_2=24(cm¤ ) (cid:9000) 24 cm¤ 16 △ADG=2△DFG=2_3=6(cm¤ ) AG”는 △ADE의 중선이므로 … 3점 △ADE=2△ADG=2_6=12(cm¤ ) … 3점 17 OB”=OD”, AM”=MD”이므로 점 P는 △ABD의 무게중심이다. (cid:9000) 12cm¤ DG”= BF”= FC” ;3@; ;3@; DG=GE” 이므로 DG”=GE” ∴ OP”=;3!; OA”=;3!;_15=5(cm) 또 BN”=NC”, OB”=OD”이므로 점 Q는 △BCD OA”=OC”=15(cm) 의 무게중심이다. ∴ OQ”=;3!; OC”=;3!;_15=5(cm) ∴ PQ”=OP”+OQ”=5+5=10(cm) (cid:9000) ③ 18 점 P가 △ACD의 무게중심이므로 △MPD=;6!;△ACD 또 △ACD=;2!; (cid:8772) ABCD이므로 △MPD=;6!;_;2!; (cid:8772) ABCD=;1¡2;_60 =5(cm¤ ) (cid:9000) ④ (축척) = (축도에서의 거리) (실제 거리) 06 ⑴ (축척)= 6 cm 30 m = 6 cm 3000 cm =;50!0; ⑵ 14_500=7000(cm)=70(m) (cid:9000) ⑴ ;50!0; ⑵ 70 m 내신 UP WORK BOOK 38쪽 07 (cid:8772)ABCD와 (cid:8772)EFGD의 닮음비가 AD” : ED”=6：4=3：2 이므로 넓이의 비는 3¤ ：2¤ =9：4 즉 27：(cid:8772)EFGD=9：4(cid:100)(cid:100) ∴ (cid:8772)EFGD=12(cm¤ ) 따라서 색칠한 부분의 넓이는 27-12=15(cm¤ ) (cid:9000) ② W O R K B O O K 원은 항상 닮은 도형이 고 닮음비는 반지름의 길이의 비와 같다. 08 두 원O , O'은 닮은 도형이고 닮음비가 2：1이므로 (원 O의 넓이)：(원 O'의 넓이)=2¤ ：1¤ =4：1 … 2점 즉 8p：(원 O'의 넓이)=4：1 ∴ (원 O'의 넓이)=2p(cm¤ ) 따라서 색칠한 부분의 넓이는 8p-2p=6p(cm¤ ) … 2점 … 2점 (cid:9000) 6p cm¤ 09 1.2(m)=120(cm)이므로 벽면과 타일의 닮음비 는 120：24=5：1 따라서 넓이의 비는 5¤ ：1¤ =25：1 즉 타일이 25장 필요하다. (cid:9000) ③ 10 Regular`피자와` Large`피자의 닮음비가 24：28=6：7 이므로 넓이의 비는` 6¤ ：7¤ =36：49 피자의 가격은 넓이에 정비례하므로 Large`피자 의 가격을 x원이라 하면 36：49=18000：x(cid:100)(cid:100)∴ x=24500 (cid:9000) ③ 이므로 두 원기둥 A, B의 옆넓이의 비는 3¤ ：5¤ =9：25 원기둥 B의 옆넓이를 x cm¤ 라 하면 72p：x=9：25(cid:100)(cid:100)∴ x=200p (cid:9000) ④ 닮은 두 원기둥에서 (닮음비)=(높이의 비) 11 두 원기둥 A, B의 닮음비가 9：15=3：5 LECTURE 17 기본 UP 닮은 도형의 넓이와 부피 WORK BOOK 37쪽 01 (cid:9000) ⑴ 2：5 ⑵ 2：5 02 (cid:9000) ⑴ 4：21 ⑵ 63 cm¤ 03 (cid:9000) ⑴ 1：2 ⑵ 1：4 04 (cid:9000) ⑴ 3：5 ⑵ 27：125 05 ⑴ 2(km)_;40¡00;=200000(cm)_;40¡00; =50(cm) ⑵ 10÷;40¡00;=10_4000 =40000(cm) =0.4(km) 닮은 두 입체도형의 닮 음비가 m：n (cid:8857) 부피의 비는 m‹ ：n‹ 12 두 직육면체 A, B의 부피의 비가 3‹ ：4‹ =27：64이므로 직육면체 B의 부피를 x cm‹ 라 하면 (cid:9000) ⑴ 50 cm ⑵ 0.4 km 54：x=27：64(cid:100)(cid:100)∴ x=128 (cid:9000) 128 cm‹ Ⅵ. 도형의 닮음 47  Q특강(2년)해설(32~48)삼 2014.3.14 8:13 PM 페이지48 SinsagoHitec WORK BOOK 13 V¡과 처음 원뿔의 닮음비가 3：5이므로 V¡과 처음 원뿔의 부피의 비는 3‹ ：5‹ =27：125 따라서 두 입체도형 V¡과 V™의 부피의 비는 27：(125-27)=27：98 (cid:9000) ③ 14 두 사각뿔 A-BCDE와 A-FGHI의 부피의 비 가 64：27=4‹ ：3‹ 이므로 두 사각뿔의 닮음비는 4：3 따라서 두 사각형 BCDE와 FGHI의 넓이의 비는 4¤ ：3¤ =16：9 즉 (cid:8772)BCDE：45=16：9 ∴ (cid:8772)BCDE=80(cm¤ ) (cid:9000) 80cm¤ 15 벽돌과 상자의 닮음비가 10：40=1：4이므로 벽돌과 상자의 부피의 비는 1‹ ：4‹ =1：64 따라서 상자의 부피는 벽돌의 부피의 64배이므로 상자에 넣을 수 있는 벽돌은 최대 64개이다. (cid:9000) ② 16 그릇의 높이와 물의 높이의 비가 5：3이므로 부피의 비는 5‹ ：3‹ =125：27 그릇의 부피를 x L라 하면 x：0.27=125：27(cid:100)(cid:100)∴ x=1.25 (cid:9000) ③ 17 아파트의 높이를 x m라 하면 x：1.6=15：0.48(cid:100)(cid:100)∴ x=50 (cid:9000) ① 18 (축척)= 7 cm 3.5 m = 7 cm 350 cm =;5¡0; … 3점 따라서 AB”의 실제 거리는 10÷;5¡0;=10_50=500(cm)=5(m) … 3점 (cid:9000) 5m Q BOX 원뿔의 닮음비는 모선 의 길이의 비와 같다. (실제 거리) = (축도에서의 거리) (축척) 48 SOLUTION