정답및풀이ⅠⅠ순열과조합01순열202여러가지순열903조합1504이항정리와분할22ⅡⅡ확률05확률의뜻과활용3006조건부확률39ⅢⅢ통계07확률분포4708정규분포5609통계적추정63D0416개쎈확통_정(001-029) 2014.4.16 1:56 PM 페이지2 SinsagoHitec 2정답및풀이본책9~23쪽유제Ⅰ.순열과조합01순열001-1⁄꺼낸공에적힌수의차가3인경우는(cid:100)(cid:100)(cid:100)(1,4),(2,5),(4,1),(5,2)의4가지¤꺼낸공에적힌수의차가4인경우는(cid:100)(cid:100)(cid:100)(1,5),(5,1)의2가지⁄,¤는동시에일어날수없으므로구하는경우의수는합의법칙에의하여(cid:100)(cid:100)4+2=6(cid:9000)6001-2x,y,z가자연수이므로(cid:100)(cid:100)xæ1,yæ1,zæ1x+6y+10z=40에서10z<40,즉z<4이므로(cid:100)(cid:100)z=1또는z=2또는z=3⁄z=1일때,x+6y+10=40,즉x+6y=30이므로순서쌍(x,y)는(cid:100)(cid:100)(cid:100)(24,1),(18,2),(12,3),(6,4)의4개¤z=2일때,x+6y+20=40,즉x+6y=20이므로순서쌍(x,y)는(cid:100)(cid:100)(cid:100)(14,1),(8,2),(2,3)의3개‹z=3일때,x+6y+30=40,즉x+6y=10이므로순서쌍(x,y)는(cid:100)(cid:100)(cid:100)(4,1)의1개⁄~‹은동시에일어날수없으므로구하는순서쌍(x,y,z)의개수는합의법칙에의하여(cid:100)(cid:100)4+3+1=8(cid:9000)8002-1주어진다항식에서a,b,c중어느하나를택하면그각각에대하여p,q의2가지의선택이가능하고,이들각각에대하여x,y의2가지의선택이가능하므로구하는항의개수는곱의법칙에의하여(cid:100)(cid:100)3¥2¥2=12(cid:9000)12002-2120과300의양의공약수의개수는120과300의최대공약수의양의약수의개수와같다.120과300의최대공약수는60이고(cid:100)(cid:100)60=2¤¥3¥5이므로60의양의약수는(cid:100)(cid:100)2m¥3n¥5l(m=0,1,2, n=0,1, l=0,1)으로나타낼수있다.이때m,n,l을택하는경우의수가각각3,2,2이므로구하는양의공약수의개수는곱의법칙에의하여(cid:100)(cid:100)3¥2¥2=12(cid:9000)12003-1A지점에서출발하여C지점으로이동한후다시A지점으로돌아올때,B지점을한번지나는방법은(cid:100)(cid:100)A⁄B⁄C⁄A,(cid:100)A⁄C⁄B⁄A의2가지가있다.⁄A⁄B⁄C⁄A로가는방법의수는곱의법칙에의하여(cid:100)(cid:100)4¥3¥2=24¤A⁄C⁄B⁄A로가는방법의수는곱의법칙에의하여(cid:100)(cid:100)2¥3¥4=24⁄,¤는동시에일어날수없으므로구하는방법의수는합의법칙에의하여(cid:100)(cid:100)24+24=48(cid:9000)48003-2A지점에서D지점으로가는방법은(cid:100)(cid:100)A⁄B⁄D,(cid:100)A⁄C⁄D,(cid:100)(cid:100)A⁄B⁄C⁄D,(cid:100)A⁄C⁄B⁄D의4가지가있다.⁄A⁄B⁄D로가는방법의수는곱의법칙에의하여(cid:100)(cid:100)3¥2=6¤A⁄C⁄D로가는방법의수는곱의법칙에의하여(cid:100)(cid:100)2¥2=4‹A⁄B⁄C⁄D로가는방법의수는곱의법칙에의하여(cid:100)(cid:100)3¥2¥2=12›A⁄C⁄B⁄D로가는방법의수는곱의법칙에의하여(cid:100)(cid:100)2¥2¥2=8Remarkx, y, z중에서계수가가장큰z를기준으로경우를나누는것이편리하다.D0416개쎈확통_정(001-029) 2014.4.16 1:56 PM 페이지2 SinsagoHitec 01 순열3(cid:8833)본책9~18`쪽순열01⁄`~`›는동시에일어날수없으므로구하는방법의수는합의법칙에의하여(cid:100)(cid:100)6+4+12+8=30(cid:9000)30004-110원짜리동전으로지불할수있는금액은(cid:100)(cid:100)0,10,20,y,60원의7가지100원짜리동전으로지불할수있는금액은(cid:100)(cid:100)0,100,200,300,400원의5가지1000원짜리지폐로지불할수있는금액은(cid:100)(cid:100)0,1000원의2가지이때0원을지불하는것은제외해야하므로구하는금액의수는(cid:100)(cid:100)7¥5¥2-1=69(cid:9000)69004-21000원짜리지폐를지불하는방법은(cid:100)(cid:100)0,1,2,3,4,5장의6가지5000원짜리지폐를지불하는방법은(cid:100)(cid:100)0,1,2장의3가지10000원짜리지폐를지불하는방법은(cid:100)(cid:100)0,1장의2가지이때0원을지불하는것은제외해야하므로(cid:100)(cid:100)a=6¥3¥2-1=355000원짜리지폐1장으로지불하는금액과1000원짜리지폐5장으로지불하는금액이같고,10000원짜리지폐1장으로지불하는금액과1000원짜리지폐10장으로지불하는금액이같다.따라서10000원짜리지폐1장을1000원짜리지폐10장,5000원짜리지폐2장을1000원짜리지폐10장으로바꾸면지불할수있는금액의수는1000원짜리지폐25장으로지불할수있는금액의수와같으므로(cid:100)(cid:100)b=25(cid:100)(cid:100)∴a+b=60(cid:9000)60005-1주어진그림에서A,B,C,D,E의순서로칠할때,A에칠할수있는색은4가지,B에칠할수있는색은A에칠한색을제외한3가지,C에칠할수있는색은A,B에칠한색을제외한2가지,D에칠할수있는색은B,C에칠한색을제외한2가지,E에칠할수있는색은B,D에칠한색을제외한2가지이다.따라서구하는방법의수는곱의법칙에의하여(cid:100)(cid:100)4¥3¥2¥2¥2=96(cid:9000)96006-1⑴nP™=n(n-1)이므로nP™=9n에서(cid:100)(cid:100)(cid:100)n(n-1)=9n(cid:100)næ2이므로(cid:100)(cid:100)n-1=9(cid:100)(cid:100)∴n=10⑵6Pr¥3!=720에서(cid:100)(cid:100)6Pr¥6=720(cid:100)(cid:100)(cid:100)∴6Pr=120(cid:100)120=6¥5¥4이므로(cid:100)(cid:100)r=3⑶nP£+3nP™=n(n-1)(n-2)+3n(n-1)=(n+1)n(n-1)(cid:100)이때60=5¥4¥3이므로(cid:100)(cid:100)n=4⑷nP4:n+1P3=10:3에서3nP4=10n+1P3이므로(cid:100)(cid:100)(cid:100)3n(n-1)(n-2)(n-3)=10(n+1)n(n-1)(cid:100)næ4이므로(cid:100)(cid:100)(cid:100)3(n-2)(n-3)=10(n+1)(cid:100)(cid:100)(cid:100)3n2-25n+8=0,(cid:100)(cid:100)(3n-1)(n-8)=0(cid:100)(cid:100)(cid:100)∴n=8(cid:9000)⑴10(cid:100)⑵3(cid:100)⑶4(cid:100)⑷8006-2n-1Pr+rn-1Pr-1=+r¥=+=+===nPr(cid:100)y증명끝(cid:9000)풀이참조007-1⑴서로다른10개에서3개를택하는순열의⑴수와같으므로⑴(cid:100)(cid:100)¡ºP£=10¥9¥8=720⑵1번을제외한9명에서회장과부회장을각각한사람씩뽑으면된다. 따라서서로다른9개에서2개를택하는순열의수와같으므로⑴(cid:100)(cid:100)ªP™=9¥8=72(cid:9000)⑴720(cid:100)⑵72n!(n-r)!{(n-r)+r}¥(n-1)!(n-r)!r¥(n-1)!(n-r)!(n-r)¥(n-1)!(n-r)!r¥(n-1)!(n-r)!(n-1)!(n-r-1)!(n-1)!{n-1-(r-1)}!(n-1)!(n-1-r)!D0416개쎈확통_정(001-029) 2014.4.16 1:56 PM 페이지3 SinsagoHitec 4정답및풀이007-2타순이정해져있지않은선수를m명이라하면(cid:100)(cid:100)n+m=9이때n명의선수의타순이이미정해져있으므로9명의선수의타순을정하는방법의수는(cid:100)(cid:100)µPµ=m!이때120=5¥4¥3¥2¥1=5!이므로(cid:100)(cid:100)m=5(cid:100)(cid:100)∴n=4(cid:9000)4008-1⑴축구선수3명을한묶음으로생각하여5명을일렬로세우는방법의수는(cid:100)(cid:100)5!=120그각각에대하여축구선수3명이자리를바꾸는방법의수는(cid:100)(cid:100)3!=6따라서구하는방법의수는(cid:100) (cid:100)(cid:100)120¥6=720⑵야구선수4명을일렬로세우는방법의수는(cid:100)(cid:100)4!=24야구선수사이사이와양끝의5개의자리중에서3개의자리에축구선수3명을일렬로세우는방법의수는(cid:100)(cid:100)∞P£=60따라서구하는방법의수는(cid:100) (cid:100)(cid:100)24¥60=1440⑶축구선수3명을일렬로세우는방법의수는(cid:100)(cid:100)3!=6축구선수사이사이와양끝의4개의자리에야구선수4명을일렬로세우는방법의수는(cid:100)(cid:100)4!=24따라서구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)(cid:100)6¥24=144(cid:9000)⑴720(cid:100)⑵1440(cid:100)⑶144009-1⑴h를맨처음에,y를맨마지막에고정시키고,나머지o,l,i,d,a의5개의문자를나열하는방법의수와같으므로구하는경우의수는(cid:100) (cid:100)(cid:100)5!=120⑵h◯◯y를한묶음으로생각하여4개의문자를일렬로나열하는방법의수는(cid:100) (cid:100)(cid:100)4!=24(cid:100)h와y사이에2개의문자를나열하는방법의수는(cid:100)(cid:100)5P2=20(cid:100)이때h와y의자리를바꾸는방법의수는(cid:100) (cid:100)(cid:100)2!=2(cid:100)따라서구하는경우의수는(cid:100)(cid:100)(cid:100)24¥20¥2=960(cid:9000)⑴120⑵960010-17개의문자를나열하는방법의수는(cid:100)(cid:100)7!=5040양끝에모음인o,a,e의3개의문자중에서2개를택하여나열하는방법의수는(cid:100)(cid:100)£P™=6가운데에나머지5개의문자를일렬로나열하는방법의수는(cid:100)(cid:100)5!=120따라서구하는경우의수는(cid:100)(cid:100)5040-6¥120=4320(cid:9000)4320011-1⑴백의자리에는0이올수없으므로백의자리에올수있는숫자는1,2,3,4,5의5가지이다.각각에대하여십의자리와일의자리에는백의자리에온숫자를제외한5개의숫자중에서2개를택하여나열하면되므로구하는세자리자연수의개수는(cid:100)(cid:100)(cid:100)5¥5P2=100⑵5의배수이려면일의자리의숫자가0또는5이어야한다.⁄일의자리의숫자가0인경우백의자리와십의자리에는1,2,3,4,5의5개의숫자중에서2개를택하여나열하면되므로(cid:100)(cid:100)∞P™=20⑵¤일의자리의숫자가5인경우백의자리에는0이올수없으므로백의자리에올수있는숫자는4가지이고,십의자리에올수있는숫자는백의자리와일의자리에온숫자를제외한4가지이므로(cid:100)(cid:100)4¥4=16(cid:100)⁄,¤에서구하는5의배수의개수는(cid:100)(cid:100)(cid:100)20+16=36(cid:9000)⑴100⑵36011-2⑴3의배수이려면각자리의수의합이3의배수이어야한다.D0416개쎈확통_정(001-029) 2014.4.16 1:56 PM 페이지4 SinsagoHitec 01 순열5(cid:8833)본책18~24`쪽순열016개의숫자1,2,3,4,5,6에서서로다른4개를택하였을때,그합이3의배수가되는경우는(cid:100)(cid:100)1,2,3,6또는1,2,4,5또는1,3,5,6(cid:100)(cid:100)또는2,3,4,6또는3,4,5,6의5가지이고,각각에대하여만들수있는네자리자연수의개수는(cid:100)(cid:100)4!=24이므로구하는3의배수의개수는(cid:100)(cid:100)5¥24=120⑵천의자리의숫자가1또는2또는3또는4인자연수의개수는(cid:100)(cid:100)4¥∞P£=24051(cid:8772)`(cid:8772)` 꼴의자연수의개수는(cid:100)(cid:100)¢P™=12따라서5200보다작은자연수의개수는(cid:100)(cid:100)240+12=252(cid:9000)⑴120⑵252⑵모든네자리자연수의개수는(cid:100)(cid:100)§P¢=3605200보다큰자연수의개수는(cid:100)(cid:100)4¥¢P™+∞P£=108따라서5200보다작은자연수의개수는(cid:100)(cid:100)360-108=252012-1‘ㄱ(cid:8772)`(cid:8772)`(cid:8772)`(cid:8772)`(cid:8772)’꼴인문자열의개수는5!=120‘ㄴ(cid:8772)`(cid:8772)`(cid:8772)`(cid:8772)`(cid:8772)’` 꼴인문자열의개수는5!=120‘ㄷㄱ(cid:8772)`(cid:8772)`(cid:8772)`(cid:8772)’꼴인문자열의개수는4!=24‘ㄷㄴ(cid:8772)`(cid:8772)`(cid:8772)`(cid:8772)’꼴인문자열의개수는4!=24‘ㄷㄹㄱ`(cid:8772)`(cid:8772)`(cid:8772)’꼴인문자열을순서대로나열하면(cid:100)(cid:100)‘ㄷㄹㄱㄴㅁㅂ’,‘ㄷㄹㄱㄴㅂㅁ’,‘ㄷㄹㄱㅁㄴㅂ’,(cid:100)(cid:100)‘ㄷㄹㄱㅁㅂㄴ’,y즉‘ㄷㄹㄱㅁㅂㄴ’은‘ㄷㄹㄱ`(cid:8772)`(cid:8772)`(cid:8772)’꼴의네번째에오는문자열이므로(cid:100)(cid:100)120+120+24+24+4=292(번째)에오는문자열이다.(cid:9000)292번째(cid:8833)본책24~27쪽중단원연습문제01두수의합이홀수가되려면(짝수,홀수)또는(홀수,짝수)이어야한다.`⁄집합A의원소가짝수이고,집합B의원소가홀수인경우의수는(cid:100)(cid:100)(cid:100)2¥3=6¤집합A의원소가홀수이고,집합B의원소가짝수인경우의수는(cid:100)(cid:100)(cid:100)2¥2=4⁄,¤는동시에일어날수없으므로구하는경우의수는(cid:100)(cid:100)6+4=10(cid:9000)①02270을소인수분해한후홀수가되는조건을생각한다.`270을소인수분해하면(cid:100)(cid:100)270=2¥3‹¥5이때270의양의약수중홀수는(cid:100)(cid:100)3m¥5n(m=0,1,2,3,n=0,1)으로나타낼수있다.이때m,n을택하는경우의수가각각4,2이므로구하는홀수의개수는(cid:100)(cid:100)4¥2=8(cid:9000)803해결과정•A⁄B⁄C로가는방법의수는(cid:100)(cid:100)5¥4=20(cid:8837)30% 배점C⁄B⁄A로돌아오는방법의수는A⁄B,B⁄C로갔던길을제외해야하므로(cid:100)(cid:100)(4-1)¥(5-1)=12(cid:8837)40% 배점01①0280324004④05906⑤077208⑤09206102411241248013③143015③161617③1884Remark배수의판정①2의배수: 일의자리의수가0또는2의배수인수②3의배수: 각자리의수의합이3의배수인수③4의배수: 끝의두자리수가4의배수인수④5의배수: 일의자리의수가0 또는5인수⑤9의배수: 각자리의수의합이9의배수인수D0416개쎈확통_정(001-029) 2014.4.16 1:56 PM 페이지5 SinsagoHitec 6정답및풀이답구하기•따라서구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)20¥12=240(cid:8837)30% 배점(cid:9000)24004곱의법칙을이용하여지불하는방법의수를구한다.`100원짜리동전을지불하는방법은(cid:100)(cid:100)0,1,2,3개의4가지500원짜리동전을지불하는방법은(cid:100)(cid:100)0,1,2개의3가지1000원짜리지폐를지불하는방법은(cid:100)(cid:100)0,1,2,3장의4가지이때0원을지불하는것은제외해야하므로구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)4¥3¥4-1=47(cid:9000)④05해결과정•«P¢-6«P£+20n-1P™=0에서(cid:100)(cid:100)n(n-1)(n-2)(n-3)-6n(n-1)(n-2)+20(n-1)(n-2)=0(cid:8837)50% 배점næ4이므로(cid:100)(cid:100)n(n-3)-6n+20=0(cid:100)(cid:100)n¤-9n+20=0,(cid:100)(cid:100)(n-4)(n-5)=0(cid:100)(cid:100)∴n=4또는n=5(cid:8837)40% 배점답구하기•따라서구하는자연수n의값의합은(cid:100)(cid:100)4+5=9(cid:8837)10% 배점(cid:9000)906각각의방법의수를구하여그값을비교한다.`①,②,③3!=6④£P™=6⑤2¥™P™=4(cid:9000)⑤07해결과정•홀수1,3,5를나열하는방법의수는(cid:100)(cid:100)3!=6(cid:8837)30% 배점짝수2,4,6을나열하는방법의수는(cid:100)(cid:100)3!=6(cid:8837)30% 배점각경우에대하여홀수부터나열하는경우와짝수부터나열하는경우의2가지가있다.(cid:8837)20% 배점답구하기•따라서구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)6¥6¥2=72(cid:8837)20% 배점(cid:9000)7208x,y가자연수임을이용하여x,y의값의범위를구하고,x=1,2일때자연수y의개수를구한다.`x,y가자연수이므로(cid:100)(cid:100)xæ1,yæ15x+y…12에서(cid:100)(cid:100)5x<12(cid:100)(cid:100)∴x<:¡5™:즉1…x<:¡5™:이므로(cid:100)(cid:100)x=1또는x=2⁄x=1일때,⁄5+y…12,즉y…7이므로y는⁄(cid:100)(cid:100)1,2,3,y,7의7개¤x=2일때,⁄10+y…12,즉y…2이므로y는⁄(cid:100)(cid:100)1,2의2개⁄,¤에서구하는순서쌍(x,y)의개수는(cid:100)(cid:100)7+2=9(cid:9000)⑤09문제이해•세개의주사위를던져나오는모든경우의수는(cid:100)(cid:100)6¥6¥6=216(cid:8837)10% 배점해결과정•세개의주사위의눈의수를순서쌍(x,y,z)로나타낼때,⁄x+y+z=5인경우⁄(cid:100)(cid:100)(1,1,3),(1,2,2),(1,3,1),(2,1,2),(2,2,1),(3,1,1)의6개¤x+y+z=4인경우⁄(cid:100)(cid:100)(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)의3개‹x+y+z=3인경우⁄(cid:100)(cid:100)(1,1,1)의1개(cid:8837)40% 배점이상에서x+y+z…5인경우의수는(cid:100)(cid:100)6+3+1=10(cid:8837)20% 배점답구하기•따라서구하는경우의수는(cid:100)(cid:100)216-10=206(cid:8837)30% 배점(cid:9000)20610각영역을칠하는방법의수를구하여곱한다.`주어진그림에서A,B,C,D의순서로칠할때,A에칠할수있는색은4가지,B에칠할수있는색은A에칠한색을제외한3가지,C에칠할수있는색은A와B에칠한색을제외한2가지,D에칠할수있는색은A와B와C에칠한색을제외한1가지이다.따라서구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)4¥3¥2¥1=24(cid:9000)24D0416개쎈확통_정(001-029) 2014.4.16 1:56 PM 페이지6 SinsagoHitec 01 순열7(cid:8833)본책24~27`쪽순열0111조건㈎`, ㈏`를이용하여함수f가어떤함수인지알아낸다.`조건㈏`에의하여함수f는일대일함수이고, 조건㈎`에의하여f(1)=3, f(2)=4이므로3,4를제외한Y의원소1,2,5,6중에서3개를뽑아X의원소3,4,5에대응시키면된다.따라서구하는함수의개수는(cid:100)(cid:100)¢P£=24(cid:9000)2412이웃하지않는것이있는경우의수를구할때에는이웃해도되는것을먼저일렬로나열한다.`빈의자1개와남학생3명이앉을의자3개를일렬로나열하는방법의수는(cid:100)(cid:100)4!=24그사이사이와양끝의5개의자리중에서2개의자리에여학생2명을일렬로나열하는방법의수는(cid:100)(cid:100)∞P™=20따라서구하는경우의수는(cid:100)(cid:100)24¥20=480(cid:9000)480의자6개에5명이앉는모든방법의수는(cid:100)(cid:100)§P∞=720여학생2명을한묶음으로생각하여4명과빈의자1개를일렬로나열하는방법의수는(cid:100)(cid:100)5!=120그각각에대하여여학생2명이자리를바꾸는방법의수는(cid:100)(cid:100)2!=2이므로여학생이이웃하여앉는방법의수는(cid:100)(cid:100)120¥2=240따라서구하는경우의수는(cid:100)(cid:100)720-240=48013f,g사이에적어도1개의문자가들어가는경우의수는전체경우의수에서f,g가이웃하는경우의수를뺀것과같다.`7개의문자를일렬로나열하는방법의수는(cid:100)(cid:100)7!=5040f, g를한묶음으로생각하여6개의문자를나열하는방법의수는(cid:100)(cid:100)6!=720그각각에대하여f와g가자리를바꾸는방법의수는(cid:100)(cid:100)2!=2이므로f, g가이웃하도록나열하는방법의수는(cid:100)(cid:100)720¥2=1440따라서구하는경우의수는(cid:100)(cid:100)5040-1440=3600(cid:9000)③14끝의두자리가4의배수인수의개수를구한다.`4의배수인네자리자연수는(cid:100)(cid:100)(cid:8772)`(cid:8772)`04,(cid:8772)`(cid:8772)`12,(cid:8772)`(cid:8772)`20,(cid:8772)`(cid:8772)`24,(cid:100)(cid:100)(cid:8772)`(cid:8772)`32,(cid:8772)`(cid:8772)`40꼴이다.⁄(cid:8772)`(cid:8772)`04,(cid:8772)`(cid:8772)`20,(cid:8772)`(cid:8772)`40꼴의자연수천의자리와백의자리에는끝의두자리의숫자를제외한3개의숫자중2개를택하여나열하면되므로(cid:100)(cid:100)3¥£P™=18¤(cid:8772)`(cid:8772)`12,(cid:8772)`(cid:8772)`24,(cid:8772)`(cid:8772)`32꼴의자연수천의자리에올수있는숫자는0과끝의두자리의숫자를제외한2가지,백의자리에올수있는숫자는천의자리와끝의두자리의숫자를제외한2가지이므로(cid:100)(cid:100)3¥2¥2=12⁄,¤에서구하는4의배수의개수는(cid:100)(cid:100)18+12=30(cid:9000)3015만의자리에작은수부터차례대로대입하여각경우의자연수의개수를구한다.`1(cid:8772)`(cid:8772)`(cid:8772)`(cid:8772)` 꼴인자연수의개수는(cid:100)(cid:100)4!=242(cid:8772)`(cid:8772)`(cid:8772)`(cid:8772)` 꼴인자연수의개수는(cid:100)(cid:100)4!=2431(cid:8772)`(cid:8772)`(cid:8772)` 꼴인자연수의개수는(cid:100)(cid:100)3!=6이때32145는32(cid:8772)`(cid:8772)`(cid:8772)` 꼴인자연수중에서가장작은자연수이므로(cid:100)(cid:100)24+24+6+1=55(번째)로나타난다.(cid:9000)③Remark의자의개수는6이고,전체학생수는5이므로이웃해도되는것을일렬로나열할때,빈의자1개를포함시켜야함에주의한다.Remark일대일함수의개수두집합X,Y에대하여n(X)=m, n(Y)=n일때,X에서Y로의일대일함수의개수는(cid:100)(cid:100)nPm(단,næm)D0416개쎈확통_정(001-029) 2014.4.16 1:56 PM 페이지7 SinsagoHitec 8정답및풀이16해결과정•서로다른세개의주머니A,B,C에서꺼낸공에적힌수를각각a,b,c라하면⁄a+b+c…5인경우의순서쌍(a, b, c)는⁄(cid:100)(cid:100)(0,1,2),(0,1,3),(0,1,4),(0,2,2),(0,2,3),(0,3,2),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,2),(2,1,2)의10개(cid:8837)30% 배점¤a+b+c의값이소수인경우의순서쌍(a, b, c)는⁄(cid:100)(cid:100)(0,1,2),(0,1,4),(0,2,3),(0,3,2),(0,3,4),(1,1,3),(1,2,2),(1,2,4),(1,3,3),(2,1,2),(2,1,4),(2,2,3),(2,3,2)의13개(cid:8837)30% 배점이때a+b+c…5이고a+b+c의값이소수인경우의순서쌍(a, b, c)는(cid:100)(cid:100)(0,1,2),(0,1,4),(0,2,3),(0,3,2),(1,1,3),(1,2,2),(2,1,2)의7개(cid:8837)20% 배점답구하기•따라서구하는경우의수는(cid:100)(cid:100)10+13-7=16(cid:8837)20% 배점(cid:9000)1617전체함수의개수에서f(a)f(b)f(c)<0을만족시키는함수의개수를뺀다.`A={a,b,c}에서B={-4,-2,0,2}로의함수의개수는(cid:100)(cid:100)4¥4¥4=64f(a)f(b)f(c)<0을만족시키는함수f는다음과같다.⁄f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0인경우f(a),f(b),f(c)의값이될수있는것이각각-4,-2의2가지이므로그경우의수는(cid:100)(cid:100)2¥2¥2=8¤f(a),f(b),f(c)중음수가1개,양수가2개인경우f(a)<0인경우는f(a)의값이될수있는것이-4,-2의2가지이고, f(b), f(c)의값이될수있는것이2의1가지이므로그경우의수는(cid:100)(cid:100)2¥1¥1=2또f(b)<0인경우와f(c)<0인경우도각각2가지므로f(a),f(b),f(c)중음수가1개,양수가2개인경우의수는(cid:100)(cid:100)2+2+2=6⁄,¤에서f(a)f(b)f(c)<0을만족시키는함수f의개수는(cid:100)(cid:100)8+6=14따라서f(a)f(b)f(c)æ0인함수f의개수는(cid:100)(cid:100)64-14=50(cid:9000)③18a,c가서로이웃하는경우와c,e가서로이웃하는경우를구한후중복되는경우를제외한다.`⁄a,c가서로이웃하는경우⁄a,c를한묶음으로생각하여4개의문자를일렬로나열하는방법의수는4!이고,a와c가자리를바꾸는방법의수는2!이므로(cid:100)(cid:100)(cid:100)4!¥2!=48¤c,e가서로이웃하는경우⁄⁄과같은방법으로하면(cid:100)(cid:100)4!¥2!=48‹a와c,c와e가모두서로이웃하는경우⁄a,c,e가ace순서로서로이웃하는경우의수는(cid:100)(cid:100)3!=6⁄a,c,e가eca순서로서로이웃하는경우의수는(cid:100)(cid:100)3!=6⁄이므로(cid:100)(cid:100)6+6=12이상에서구하는경우의수는(cid:100)(cid:100)48+48-12=84(cid:9000)84Remarka,c가서로이웃하는경우의수와c,e가서로이웃하는경우의수에는각각a,c,e가서로이웃하는경우의수가포함되어있으므로a,c,e가서로이웃하는경우의수를빼주어야한다.이때a,c또는c,e가서로이웃하는경우에서c는a와e사이에있어야하므로ace또는eca의2가지경우가있음에주의한다.D0416개쎈확통_정(001-029) 2014.4.16 1:56 PM 페이지8 SinsagoHitec 02 여러가지순열9(cid:8833)본책27~37`쪽여러가지순열02본책31~40쪽유제Ⅰ.순열과조합02여러가지순열013`-`1⑴회장과부회장을한묶음으로생각하여7명이원탁에둘러앉는방법의수는⑴(cid:100)(cid:100)(7-1)!=6!=720⑴회장과부회장이서로자리를바꾸는방법의수는(cid:100)(cid:100)2!=2⑴따라서구하는방법의수는⑴(cid:100)(cid:100)720¥2=1440⑵회장의자리가결정되면부회장의자리는마주보는자리로고정되므로7명이원탁에둘러앉는방법의수와같다.⑴따라서구하는방법의수는⑴(cid:100)(cid:100)(7-1)!=6!=720(cid:9000)⑴1440(cid:100)⑵720⑵오른쪽그림과같이회장과부회장이마주보고앉고나머지6명이6개의자리에앉으면되므로구하는방법의수는(cid:100) (cid:100)(cid:100)§P§=6!=720014`-`1구하는방법의수는4가지색을원형으로배열하는원순열의수와같으므로(cid:100)(cid:100)(4-1)!=3!=6(cid:9000)6014`-`2특정한색을윗면에칠하면아랫면을칠하는방법의수는(cid:100)(cid:100)5나머지4가지색을옆면에칠하는방법의수는4가지색을원형으로배열하는원순열의수와같으므로(cid:100)(cid:100)(4-1)!=3!=6따라서구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)5¥6=30(cid:9000)30015`-`16명이원형으로둘러앉는방법의수는(cid:100)(cid:100)(6-1)!=5!=120이때원형으로둘러앉는한가지경우에대하여기준이되는사람의위치가오른쪽그림의A,B,C일때서로다른경우가된다.CAB회장부회장따라서구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)120¥3=360(cid:9000)360015`-`210명이원형으로둘러앉는방법의수는(cid:100)(cid:100)(10-1)!=9!이때원형으로둘러앉는한가지경우에대하여기준이되는사람의위치가오른쪽그림의A, B일때서로다른경우가된다.따라서구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)9!¥2(cid:9000)①016`-`1⑴천의자리에올수있는숫자는0을제외한1,2,3,4,5의5가지이고,일의자리에올수있는숫자는0,5의2가지이다.각각에대하여백의자리,십의자리에는0,1,2,3,4,5에서중복을허용하여2개를택하여나열하면되므로구하는5의배수의개수는(cid:100)(cid:100)5¥2¥6P2=5¥2¥6¤=360⑵천의자리에올수있는숫자는0을제외한1,2,3,4,5의5가지이고,백의자리,십의자리,일의자리중에서0이오는자리를정하는경우는3가지이다.남은두자리에는1,2,3,4,5에서중복을허용하여2개를택하여나열하면되므로구하는자연수의개수는(cid:100)(cid:100)5¥3¥5P2=5¥3¥52=375(cid:9000)⑴360(cid:100)⑵375017`-`1X에서Y로의함수는집합Y의원소a, b,c, d에서중복을허용하여2개를뽑아집합X의원소1, 2에대응시키면되므로서로다른4개에서2개를택하는중복순열의수와같다.따라서구하는함수의개수는(cid:100)(cid:100)m=4P2=42=16X에서Y로의일대일함수는집합Y의원소a, b, c,d에서서로다른2개를뽑아집합X의원소1,2에대응시키면되므로서로다른4개에서2개를택하는순열의수와같다.따라서구하는일대일함수의개수는(cid:100)(cid:100)n=4P2=12(cid:100)(cid:100)∴m+n=28(cid:9000)28ABD0416개쎈확통_정(001-029) 2014.4.16 1:57 PM 페이지9 SinsagoHitec 10정답및풀이017`-`2⑴X에서X로의일대일대응의개수는집합X의원소1,2,3,4를일렬로나열하는방법의수와같으므로⑴(cid:100)(cid:100)4!=24⑵f(x)=f(y)인서로다른두원소x,y가존재하면함수f는일대일대응이아니다.⑴모든함수의개수는⑴(cid:100)(cid:100)¢P¢=4›=256⑴이므로구하는함수의개수는⑴(cid:100)(cid:100)256-24=232(cid:9000)⑴24(cid:100)⑵232018`-`1맨앞에올수있는문자는i, e의2가지이고,나머지6개의문자를일렬로나열하는방법의수는(cid:100)(cid:100)=360따라서구하는경우의수는(cid:100)(cid:100)2¥360=720(cid:9000)720018`-`2⑴일의자리의숫자가1또는3일때홀수이다.⑴⁄일의자리의숫자가1인경우⑴⁄1(cid:8641)(cid:8641)(cid:8641)(cid:8641)1에서4개의(cid:8641)안에0, 2, 2, 3을나열하면되므로⑴⁄(cid:100)(cid:100)=12⑴⁄2(cid:8641)(cid:8641)(cid:8641)(cid:8641)1에서4개의(cid:8641)안에0, 1, 2, 3을나열하면되므로⑴⁄(cid:100)(cid:100)4!=24⑴⁄3(cid:8641)(cid:8641)(cid:8641)(cid:8641)1에서4개의(cid:8641)안에0, 1, 2, 2를나열하면되므로⑴⁄(cid:100)(cid:100)=12⑴¤일의자리의숫자가3인경우⑴⁄1(cid:8641)(cid:8641)(cid:8641)(cid:8641)3에서4개의(cid:8641)안에0, 1, 2, 2를나열하면되므로⑴⁄(cid:100)(cid:100)=12⑴⁄2(cid:8641)(cid:8641)(cid:8641)(cid:8641)3에서4개의(cid:8641)안에0, 1, 1, 2를나열하면되므로⑴⁄(cid:100)(cid:100)=12⑴⁄,¤에서구하는홀수의개수는⑴므로12+24+12+12+12=724!2!4!2!4!2!4!2!6!2!⑵3의배수이려면각자리의수의합이3의배수이어야한다.⑴7개의숫자1, 1, 2, 2, 2, 3, 3에서4개를택하였을때,그합이3의배수가되는경우는⑴므로1, 1, 2, 2또는1, 2, 3, 3또는2, 2, 2, 3⑴의3가지이다.⑴⁄1, 1, 2, 2로만들수있는네자리자연수의⑴⁄ 개수는므로=6⑴¤1, 2, 3, 3으로만들수있는네자리자연수의⑴¤개수는므로=12⑴‹2, 2, 2, 3으로만들수있는네자리자연수의⑴¤개수는므로=4⑴이상에서구하는3의배수의개수는⑴므로6+12+4=22(cid:9000)⑴72(cid:100)⑵22019`-`1A지점에서B지점으로가는최단경로의수는(cid:100)(cid:100)=126A지점에서P지점으로가는최단경로의수는(cid:100)(cid:100)=10P지점에서B지점으로가는최단경로의수는(cid:100)(cid:100)=6따라서A지점에서P지점을거쳐서B지점으로가는최단경로의수는(cid:100)(cid:100)10¥6=60이므로구하는최단경로의수는(cid:100)(cid:100)126-60=66(cid:9000)66019`-`2오른쪽그림과같이세지점C, D,E를잡으면A지점에서B지점으로최단경로로갈때반드시C, D,E중어느한지점을지나고,C,D,E를동시에지나는경우는없다.⁄ A⁄C⁄B로가는최단경로의수는⁄(cid:100)(cid:100)1¥1=1¤ A⁄D⁄B로가는최단경로의수는⁄(cid:100)(cid:100)¥=244!2!¥2!4!3!BEACD호수4!2!¥2!5!3!¥2!9!5!¥4!4!3!4!2!4!2!¥2!D0416개쎈확통_정(001-029) 2014.4.16 1:57 PM 페이지10 SinsagoHitec 02 여러가지순열11(cid:8833)본책37~42`쪽여러가지순열02이때원형으로둘러앉는한가지경우에대하여기준이되는사람의위치가오른쪽그림의A,B,C,D,E,F일때서로다른경우가된다.따라서구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)120¥6=720(cid:9000)④04해결과정•990,a+1,M>0,N>0일때①logaM+logaN=logaMN②logaM-logaN=loga③logaMk=klogaM (단,k는실수)MND0416개쎈확통_정(001-029) 2014.4.16 1:57 PM 페이지23 SinsagoHitec 24정답및풀이034-19=8+1=7+2=6+3=5+4=7+1+1=6+2+1=5+3+1=5+2+2=4+4+1=4+3+2=3+3+3=6+1+1+1=5+2+1+1=4+3+1+1=4+2+2+1=3+3+2+1=3+2+2+2⑴구하는방법의수는자연수9를4개의자연수로분할하는방법의수와같으므로(cid:100)(cid:100)P(9, 4)=6⑵빈봉지가1개,2개,3개인것은9개의사탕을각각3개,2개,1개의봉지에나누어담는방법의수와같다.즉구하는방법의수는자연수9를4개이하의자연수로분할하는방법의수와같으므로(cid:100)(cid:100)P(9, 4)+P(9, 3)+P(9, 2)+P(9, 1)(cid:100)(cid:100)=6+7+4+1=18(cid:9000)⑴6⑵18034-2각부분에우표를2장씩포함시키고,나머지4장을3부분또는2부분또는1부분으로나누면되므로자연수4를3개이하의자연수로분할하는것과같다.이때(cid:100)(cid:100)4=3+1=2+2=2+1+1이므로구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)P(4, 1)+P(4, 2)+P(4, 3)=1+2+1=4(cid:9000)4각부분에우표를1장씩포함시키고,나머지7장을3부분으로나누면되므로자연수7을3개의자연수로분할하는것과같다.이때(cid:100)(cid:100)7=5+1+1=4+2+1=3+3+1=3+2+2이므로구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)P(7, 3)=4035-1⑴6=5+1=4+2=3+3이므로원소의개수가6인집합을2개의집합으로분할하는방법은다음과같다.(cid:100) ⁄원소의개수가1,5인집합으로분할하는방법의수는(cid:100)(cid:100)§C¡¥∞C∞=6(cid:100) ¤원소의개수가2,4인집합으로분할하는방법의수는(cid:100)(cid:100)§C™¥¢C¢=15(cid:100) ‹원소의개수가3,3인집합으로분할하는방법의수는(cid:100) ¤(cid:100)(cid:100)§C£¥£C£¥=10(cid:100) 이상에서(cid:100)(cid:100)S(6, 2)=6+15+10=31⑵6=4+1+1=3+2+1=2+2+2이므로원소의개수가6인집합을3개의집합으로분할하는방법은다음과같다.(cid:100) ⁄원소의개수가1,1,4인집합으로분할하는방법의수는(cid:100) ¤(cid:100)(cid:100)§C¡¥∞C¡¥¢C¢¥=15(cid:100) ¤원소의개수가1,2,3인집합으로분할하는방법의수는(cid:100)(cid:100)§C¡¥∞C™¥£C£=60(cid:100) ‹원소의개수가2,2,2인집합으로분할하는방법의수는(cid:100) ¤(cid:100)(cid:100)§C™¥¢C™¥™C™¥=15(cid:100) 이상에서(cid:100) (cid:100)(cid:100)S(6, 3)=15+60+15=90(cid:9000)⑴31⑵90036-1⑴8=7+1=6+2=5+3=4+4이므로8송이로2개의꽃다발을만드는경우는다음과같다.(cid:100) ⁄1송이,7송이로나누는방법의수는(cid:100)(cid:100)•C¡¥¶C¶=8(cid:100) ¤2송이,6송이로나누는방법의수는(cid:100)(cid:100)•C™¥§C§=28(cid:100) ‹3송이,5송이로나누는방법의수는(cid:100)(cid:100)•C£¥∞C∞=56(cid:100) ›4송이,4송이로나누는방법의수는(cid:100)›(cid:100)(cid:100)•C¢¥¢C¢¥=35(cid:100) 이상에서구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)8+28+56+35=127⑵127¥2!=254(cid:9000)⑴127⑵25412!13!12!12!D0416개쎈확통_정(001-029) 2014.4.16 1:57 PM 페이지24 SinsagoHitec 04 이항정리와분할25(cid:8833)본책81~88`쪽이항정리와분할04036-2⑴구하는방법의수는자연수5를2개의자연수로분할하는것과같다.이때(cid:100)(cid:100)5=4+1=3+2(cid:100) 이므로구하는방법의수는(cid:100) (cid:100)(cid:100)P(5, 2)=2⑵⁄1개,4개로나누어담는방법의수는⁄(cid:100)(cid:100)∞C¡¥¢C¢=5¤2개,3개로나누어담는방법의수는(cid:100)(cid:100)∞C™¥£C£=10⁄,¤에서구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)5+10=15⑶⁄1개,4개로나누어담는방법의수는⁄(cid:100)(cid:100)∞C¡¥¢C¢=5¤2개,3개로나누어담는방법의수는(cid:100)(cid:100)∞C™¥£C£=10‹3개,2개로나누어담는방법의수는(cid:100)(cid:100)∞C£¥™C™=10›4개,1개로나누어담는방법의수는(cid:100)(cid:100)∞C¢¥¡C¡=5이상에서구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)5+10+10+5=30(cid:9000)⑴2⑵15⑶30⑶구하는방법의수는⑵`에서나누어담은상자를두사람A, B에게나누어주는방법의수와같으므로(cid:100)(cid:100)15¥2!=30(cid:8833)본책88~`91쪽중단원연습문제01③02⑤039904③0528006①076240820984109521115127132514③15⑤16③172518819⑤20180601주어진식의전개식의일반항을이용하여x의계수와상수항을구한다.`(x-a)·의전개식의일반항은(cid:100)(cid:100)ªC®x9-r(-a)®⁄x항은9-r=1일때이므로(cid:100)(cid:100)r=8(cid:100)따라서x의계수는(cid:100)(cid:100)ªC•(-a)°=9a°¤상수항은9-r=0일때이므로(cid:100)(cid:100)r=9(cid:100)따라서상수항은(cid:100)(cid:100)ªCª(-a)·=-a·⁄, ¤에서x의계수와상수항의합이0이므로9a°-a·=0,(cid:100)(cid:100)a°(9-a)=0∴a=9(∵a>0)(cid:9000)③02(x¤+1)‹, (2x-y)fi의전개식의일반항을이용하여(x¤+1)‹(2x-y)fi의전개식의일반항을구한다.`(x¤+1)‹의전개식의일반항은(cid:100)(cid:100)£C®(x¤)3-r¥1r=£C®x6-2r(2x-y)fi의전개식의일반항은(cid:100)(cid:100)∞Cß(2x)5-s(-y)ß=∞Cß2fi—ß(-1)ßx5-syß따라서(x¤+1)‹(2x-y)fi의전개식의일반항은(cid:100)(cid:100)£C®x6-2r¥∞Cß25-s(-1)ßx5-syß=£C®¥∞Cß25-s(-1)ßx11-2r-sysyy㉠(cid:100)(cid:100)㉠에서x‡y›항은11-2r-s=7, s=4일때이므로(cid:100)(cid:100)r=0, s=4따라서x‡y›의계수는(cid:100)(cid:100)£Cº¥∞C¢¥2⁄¥(-1)›=10㉠에서x¤y‹항은11-2r-s=2, s=3일때이므로(cid:100)(cid:100)r=3, s=3따라서x¤y‹의계수는(cid:100)(cid:100)£C£¥∞C£¥2¤(-1)‹=-40즉a=10, b=-40이므로(cid:100)(cid:100)a-b=50(cid:9000)⑤03이항계수의성질을이용하여주어진로그의진수부분을간단히한다.`¡ººC¡+¡ººC£+¡ººC∞+y+¡ººCªª=2100-1=299이므로(cid:100)log™(¡ººC¡+¡ººC£+¡ººC∞+y+¡ººCªª)=log™299=99(cid:9000)99048을8이하의홀수인자연수의합으로나타낸다.D0416개쎈확통_정(001-029) 2014.4.16 1:57 PM 페이지25 SinsagoHitec 26정답및풀이`자연수8을홀수1,3,5,7을이용하여분할하는방법은(cid:100)(cid:100)8=7+1=5+3=5+1+1+1=3+3+1+1=3+1+1+1+1+1=1+1+1+1+1+1+1+1이므로구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)2+2+1+1=6(cid:9000)③05조합의수를이용하여분할하는방법의수를구한다.`구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)ªC£¥§C£¥£C£¥=280(cid:9000)28006주어진식의전개식의일반항을이용하여a의값을구한다.`(x+a)‡의전개식의일반항은(cid:100)(cid:100)¶C®x7-raryy`㉠(cid:100)(cid:100)x›항은7-r=4일때이므로(cid:100)(cid:100)r=3따라서x›의계수는(cid:100)(cid:100)¶C£a‹=35a‹즉35a‹=280이므로(cid:100)(cid:100)a‹=8,(cid:100)(cid:100)(a-2)(a¤+2a+4)=0(cid:100)(cid:100)∴a=2㉠`에서일반항이¶C®2rx7-r이고,xfi항은7-r=5일때이므로(cid:100)(cid:100)r=2따라서xfi의계수는(cid:100)(cid:100)¶C™¥2¤=84(cid:9000)①07문제이해•{xfi-}n의전개식의일반항은(cid:100)(cid:100)«C®(xfi)n-r{-}r=«C®(-3)®¥x5n-8r(cid:8837)30% 배점해결과정•상수항은5n-8r=0일때이므로(cid:100)(cid:100)r=;8%;n(cid:8837)20% 배점n이자연수이고, r는음이아닌정수이므로n이8의배수이어야한다. 따라서n의값은(cid:100)(cid:100)8, 16, 24, y, 96(cid:8837)20% 배점답구하기•따라서상수항이나오도록하는100이하의자연수n의값의합은(cid:100)(cid:100)=624(cid:8837)30% 배점(cid:9000)62412(8+96)23x‹3x‹13!08(a+b+c)n의전개식의일반항을이용한다.`(x+ay+3)fi의전개식의일반항은(cid:100)(cid:100)xπ(ay)œ3®=aœ3®xπyœ (단,p+q+r=5)x¤y항은(cid:100)(cid:100)p=2, q=1, r=2일때이므로x¤y의계수는(cid:100)(cid:100)a⁄3¤=270a즉270a=540이므로(cid:100)(cid:100)a=2(cid:9000)209각각의전개식에서x¤의계수를구한다.(1+x)«=«Cº+«C¡x+«C™x¤+y+«C«x«이므로x¤의계수는«C™이다.따라서주어진다항식을전개하였을때, x¤의계수는(cid:100)(cid:100)™C™+£C™+¢C™+y+•C™(cid:100)=˚C™=(cid:100)=++y+(cid:100)=;2!;k(k+1)=;2!;(k¤+k)(cid:100)=;2!;{+}=84(cid:9000)84(1+x)+(1+x)¤+y+(1+x)°yy㉠(cid:100)(cid:100)㉠은첫째항이1+x, 공비가1+x인등비수열의첫째항부터제`8`항까지의합이므로(cid:100)(cid:100)=yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠의전개식에서x¤의계수는㉡의분자에있는(1+x)·의전개식에서x‹의계수와같다.(1+x)·-(1+x)x(1+x){(1+x)°-1}(1+x)-17¥827¥8¥1567¡k=17¡k=18¥723¥222¥12k(k-1)28¡k=28¡k=25!2!¥1!¥2!5!p!q!r!5!p!q!r!Remark등차수열의합등차수열의첫째항부터제n항까지의합S«은①첫째항이a,제n항이l일때,(cid:100) (cid:100)(cid:100)S«=②첫째항이a,공차가d일때,(cid:100) (cid:100)(cid:100)S«=n{2a+(n-1)d}2n(a+l)2D0416개쎈확통_정(001-029) 2014.4.16 1:57 PM 페이지26 SinsagoHitec 04 이항정리와분할27(cid:8833)본책88~90`쪽이항정리와분할04(1+x)·의전개식의일반항은(cid:100)(cid:100)ªC®x®x‹항은r=3일때이므로x‹의계수는(cid:100)(cid:100)ªC£=84따라서구하는x¤의계수는84이다.10해결과정•A=¢Cº+∞C¡+§C™+y+¡ºC§,B=¢C¡+∞C™+§C£+y+¡ºC¶,C=¢C™+∞C£+§C¢+y+¡ºC•이라하면(cid:100)(cid:100)A=¢Cº+∞C¡+§C™+y+¡ºC§=∞Cº+∞C¡+§C™+y+¡ºC§=§C¡+§C™+y+¡ºC§=¶C™+y+¡ºC§⋮=¡ºC∞+¡ºC§=¡¡C§=¡¡C∞=462(cid:8837)30% 배점(cid:100)(cid:100)¢Cº+B=¢Cº+¢C¡+∞C™+§C£+y+¡ºC¶=∞C¡+∞C™+§C£+y+¡ºC¶=§C™+§C£+y+¡ºC¶=¶C£+y+¡ºC¶⋮=¡ºC§+¡ºC¶=¡¡C¶=¡¡C¢=330(cid:100)(cid:100)∴B=330-¢Cº=329(cid:8837)30% 배점(cid:100)(cid:100)¢C¡+C=¢C¡+¢C™+∞C£+§C¢+y+¡ºC•=∞C™+∞C£+§C¢+y+¡ºC•=§C£+§C¢+y+¡ºC•=¶C¢+y+¡ºC•⋮=¡ºC¶+¡ºC•=¡¡C•=¡¡C£=165(cid:100)(cid:100)∴C=165-¢C¡=161(cid:8837)30% 배점답구하기•따라서색칠한부분의모든수의합은(cid:100)(cid:100)A+B+C=952(cid:8837)10% 배점(cid:9000)952구하는합을S라하면(cid:100)(cid:100)™Cº+£C¡+£Cº+S=¡¡C§+¡¡C¶+¡¡C•(cid:100)(cid:100)∴S=¡¡C§+¡¡C¶+¡¡C•-™Cº-£C¡-£Cº=462+330+165-1-3-1=95211문제이해•8=7+1=6+2=5+3=4+4=6+1+1=5+2+1=4+3+1=4+2+2=3+3+2(cid:8837)30% 배점해결과정•3개의통에나누어담는방법의수는자연수8을3개의자연수로분할하는방법의수와같으므로(cid:100)(cid:100)a=P(8, 3)=5(cid:8837)30% 배점3개이하의통에나누어담는방법의수는자연수8을3개이하의자연수로분할하는방법의수와같으므로(cid:100)(cid:100)b=P(8, 3)+P(8, 2)+P(8, 1)=5+4+1=10(cid:8837)30% 배점답구하기•∴a+b=15(cid:8837)10% 배점(cid:9000)1512먼저각상자에2개의사탕을나누어담는다.`3개의상자에사탕을2개씩담고,남은6개의사탕을3개의상자에나누어담으면되므로자연수6을3개이하의자연수로분할하는것과같다.이때(cid:100)(cid:100)6=5+1=4+2=3+3=4+1+1=3+2+1=2+2+2이므로구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)P(6,1)+P(6,2)+P(6,3)(cid:100)=1+3+3=7(cid:9000)73개의상자에사탕을1개씩담고, 남은9개의사탕을3개의상자에빈상자없이나누어담으면되므로자연수9를3개의자연수로분할하는것과같다.이때¢C¢∞C∞∞Cº¡ºCº¡ºC¡¡ºC§¡ºCß¡ºC•¡ºCª¡ºC¡º¡¡Cº¡¡C¡¡¡C§¡¡Cß¡¡C•¡¡Cª¡¡C¡º¡¡C¡¡∞C¡∞C™∞C£∞C¢¢Cº¢C¡¢C™¢C££Cº£C¡£C™™Cº™C¡£C£™C™¡C¡¡CºRemark등비수열의합첫째항이a,공비가r인등비수열의첫째항부터제n항까지의합S«은①r+1일때,(cid:100)(cid:100)S«==②r=1일때,(cid:100)(cid:100)S«=naa(1-r«)1-ra(r«-1)r-1D0416개쎈확통_정(001-029) 2014.4.16 1:57 PM 페이지27 SinsagoHitec 28정답및풀이(cid:100)(cid:100)9=7+1+1=6+2+1=5+3+1=5+2+2=4+4+1=4+3+2=3+3+3이므로구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)P(9, 3)=713문제이해•5=3+1+1=2+2+1이므로5개의파일을3개의USB에나누어저장하는방법은다음과같다.(cid:8837)30% 배점해결과정•⁄1개,1개,3개로나누어저장하는방법의수는⁄(cid:100)(cid:100)∞C¡¥¢C¡¥£C£¥=10(cid:8837)30% 배점¤1개,2개,2개로나누어저장하는방법의수는⁄(cid:100)(cid:100)∞C¡¥¢C™¥™C™¥=15(cid:8837)30% 배점답구하기•⁄,¤에서구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)10+15=25(cid:8837)10% 배점(cid:9000)2514두번경기할팀과세번경기할팀으로나누어생각한다.`먼저6개의팀을두번경기하는2개의팀과세번경기하는4개의팀으로나누는방법의수는(cid:100)(cid:100)§C™¥¢C¢=154개의팀을다시2개의팀,2개의팀으로나누는방법의수는(cid:100)(cid:100)¢C™¥™C™¥=3따라서구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)15¥3=45(cid:9000)③15S(n,k)=S(n-1,k-1)+k¥S(n-1,k)임을이용한다.`S(8,3)=S(7,2)+3¥S(7, 3)=S(7,2)+3{S(6, 2)+3¥S(6, 3)}=S(7,2)+3S(6, 2)+9S(6, 3)=63+3¥31+9¥90=966(cid:9000)⑤12!12!12!16이항정리를이용하여전개식의꼴을추론한다.`{a+(b+c)¤}fl=§C˚a6-k(b+c)¤˚`{a+(b+c)¤}fl=§C˚a6-k{™˚C‘b2k-ic‘}`{a+(b+c)¤}fl=[(§C˚¥™˚C‘a6-kb2k-ic‘)]i=0, 1, 2, y, 2k이므로(2k+1)개의항이생긴다.따라서구하는서로다른항의개수는로로(2k+1)=1+(2k+1)=1+2¥+6=49(cid:9000)③17이항계수의성질«Cº+«C¡+y+«C«=2«을이용한다.`«C˚=«Cº+«C¡+«C™+y+«C«=2«이므로(cid:100)(cid:100)«C˚=2«-«Cº=2«-1yy㉠㉠㉠㉠`에n=1, 2, 3, 4, 5, y, 50을차례대로대입하면(cid:100)(cid:100)1, 3, 7, 15, 31, y, 250-1이므로n이짝수일때㉠`은3의배수이다.따라서구하는n의개수는25이다.(cid:9000)25⁄n=2k(k는자연수)일때, (cid:100)(cid:100)2n-1=22k-1=4k-1이때(cid:100)(cid:100)4˚=(1+3)˚=˚Cº3‚+˚C¡3⁄+˚C™3¤+y+˚C˚3˚=1+3(˚C¡+˚C™3+y+˚C˚3k-1)이므로4˚-1은3의배수이다.즉n=2k일때2«-1은3의배수이다.n¡k=1n¡k=06¥726¡k=16¡k=02k¡i=06¡k=02k¡i=06¡k=06¡k=0Remark8=6+1+1=5+2+1=4+3+1=4+2+2=3+3+2이므로(cid:100)(cid:100)S(8, 3)=•C¡¥¶C¡¥§C§¥+•C¡¥¶C™¥∞C∞(cid:100)(cid:100)S(8, 3)=+•C¡¥¶C£¥¢C¢+•C™¥§C™¥¢C¢¥(cid:100)(cid:100)S(8, 3)=+•C™¥§C£¥£C£¥(cid:100)(cid:100)S(8, 3)=28+168+280+210+280(cid:100)(cid:100)S(8, 3)=96612!12!12!D0416개쎈확통_정(001-029) 2014.4.16 1:57 PM 페이지28 SinsagoHitec 04 이항정리와분할29(cid:8833)본책90~91`쪽이항정리와분할04¤n=2k+1(k는음이아닌정수)일때, (cid:100)(cid:100)2«-1=22k+1-1=2¥4k-1=2{1+3(˚C¡+˚C™3+y+˚C˚3k-1)}-1=6(˚C¡+˚C™3+y+˚C˚3k-1)+1이므로2«-1을3으로나눈나머지는1이다.즉n=2k+1일때2«-1은3의배수가아니다.⁄, ¤에서㉠`은n이짝수이면3의배수이므로구하는n의개수는25이다.18문제이해•자연수N을10으로나누었을때의나머지는N의일의자리의숫자와같다.(cid:8837)20% 배점해결과정•N(cid:100)(cid:100)(cid:100)=∞ºC¡¥6+∞ºC™¥6¤+∞ºC£¥6‹+y+∞ºC∞º¥6fi‚=(1+6)fi‚-1=7fi‚-1(cid:8837)30% 배점한편7의거듭제곱의일의자리의숫자는(cid:100)(cid:100)7, 9, 3, 1이이순서대로반복된다.이때7fi‚=(7›)⁄¤¥7¤이므로7fi‚의일의자리의숫자는9이다.(cid:8837)30% 배점답구하기•따라서7fi‚-1, 즉자연수N을10으로나누었을때의나머지는8이다.(cid:8837)20% 배점(cid:9000)8192310을소인수분해한다.`2310=2¥3¥5¥7¥11이므로구하는방법의수는집합{2, 3, 5, 7, 11}을2개의집합으로분할하는방법의수와같다.⁄원소의개수가1, 4인집합으로분할하는방법의수는(cid:100)(cid:100)∞C¡¥¢C¢=5¤원소의개수가2, 3인집합으로분할하는방법의수는(cid:100)(cid:100)∞C™¥£C£=10⁄,¤에서구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)5+10=15(cid:9000)⑤20문제이해•7=5+1+1=4+2+1=3+3+1=3+2+2이므로7개의과일을3묶음으로나누는방법은다음과같다.(cid:8837)20% 배점해결과정•⁄1개,1개,5개로나누는방법의수는⁄(cid:100)(cid:100)¶C¡¥§C¡¥∞C∞¥=21¤1개,2개,4개로나누는방법의수는⁄(cid:100)(cid:100)¶C¡¥§C™¥¢C¢=105‹1개,3개,3개로나누는방법의수는⁄(cid:100)(cid:100)¶C¡¥§C£¥£C£¥=70›2개,2개,3개로나누는방법의수는⁄(cid:100)(cid:100)¶C™¥∞C™¥£C£¥=105이상에서3묶음으로나누는방법의수는(cid:100)(cid:100)21+105+70+105=301(cid:8837)50% 배점답구하기•3묶음을A,B,C에게나누어주는방법의수가3!이므로구하는방법의수는(cid:100)(cid:100)301¥3!=1806(cid:8837)30% 배점(cid:9000)180612!12!12!Remark2«은n이짝수일때는3으로나누면나머지가1이고`,n이홀수일때는3으로나누면나머지가2이다.따라서2«-1은n이짝수일때는3으로나누어떨어지고`,n이홀수일때는3으로나누면나머지가1이다.D0416개쎈확통_정(001-029) 2014.4.16 1:57 PM 페이지29 SinsagoHitec 30정답및풀이본책98~112쪽유제Ⅱ.확률05확률의뜻과활용037-1표본공간을S라하면(cid:100)(cid:100)S={1, 2, 3, 4, 5, 6}이고두사건A, B는(cid:100)(cid:100)A={2, 4, 6}, B={2, 3, 5}⑴A'B={2, 3, 4, 5, 6}⑵A;B={2}⑶AC={1, 3, 5}이므로(cid:100) (cid:100)(cid:100)AC;B={3, 5}(cid:9000)풀이참조037-2표본공간을S라하면(cid:100)(cid:100)S={1, 2, 3, 4, 5, 6}이고세사건A,B,C는(cid:100)(cid:100)A={4, 5, 6}, B={2}, C={1, 3, 5}A;B=∆, B;C=∆, A;C={5}이므로사건A와사건B`,사건B와사건C는서로배반사건이다.(cid:9000)A와B,B와C038-1한개의주사위를두번던질때, 모든경우의수는(cid:100)(cid:100)6¥6=36두눈의수의차가4인경우는(cid:100)(cid:100)(1, 5), (2, 6), (5, 1), (6, 2)의4가지이므로(cid:100)(cid:100)a=;3¢6;=;9!;두눈의수의곱이홀수인경우는(cid:100)(cid:100)(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3),(cid:100)(cid:100)(3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)의9가지이므로(cid:100)(cid:100)b=;3ª6;=;4!;(cid:100)(cid:100)∴a+b=;3!6#;(cid:9000);3!6#;038-260=2¤¥3¥5이므로60의양의약수의개수는(cid:100)(cid:100)(2+1)¥(1+1)¥(1+1)=1260의양의약수중에서6의약수는1, 2, 3, 6의4개이므로구하는확률은(cid:100)(cid:100);1¢2;=;3!;(cid:9000);3!;039-15개의숫자를사용하여만들수있는다섯자리자연수의개수는(cid:100)(cid:100)5!=120이때짝수이려면(cid:100)(cid:100)(cid:8772)(cid:8772)(cid:8772)(cid:8772)2, (cid:8772)(cid:8772)(cid:8772)(cid:8772)4꼴이어야하므로짝수의개수는(cid:100)(cid:100)4!¥2=48따라서구하는확률은(cid:100)(cid:100);1¢2•0;=;5@;(cid:9000);5@;039-26명이원탁에둘러앉는방법의수는(cid:100)(cid:100)(6-1)!=5!=120여학생3명을한묶음으로생각하여4명이원탁에둘러앉는방법의수는(cid:100)(cid:100)(4-1)!=3!=6여학생3명이자리를바꾸는방법의수는(cid:100)(cid:100)3!=6이므로여학생3명이이웃하여앉는방법의수는(cid:100)(cid:100)6¥6=36따라서구하는확률은(cid:100)(cid:100);1£2§0;=;1£0;(cid:9000);1£0;040-112개의제비중에서3개의제비를뽑는방법의수는(cid:100)(cid:100)¡™C£=220⑴4개의당첨제비중에서3개를뽑는방법의수는(cid:100)(cid:100)¢C£=4(cid:100) 따라서구하는확률은(cid:100) (cid:100)(cid:100);22$0;=;5¡5;⑵4개의당첨제비중에서1개, 당첨제비가아닌8개의제비중에서2개를뽑는방법의수는(cid:100)(cid:100)¢C¡¥•C™=4¥28=112(cid:100) 따라서구하는확률은(cid:100)(cid:100);2!2!0@;=;5@5*;(cid:9000)⑴;5¡5;⑵;5@5*;Remark자연수N이N=p¬qµr«(p, q, r는서로다른소수,l,m, n은자연수)꼴로소인수분해될때,N의양의약수의개수는(cid:100)(cid:100)(l+1)(m+1)(n+1)D0416개쎈확통_정(030-046) 2014.4.16 1:58 PM 페이지30 SinsagoHitec 05 확률의뜻과활용31(cid:8833)본책98~109`쪽확률의뜻과활용05040-210개의구슬중에서3개의구슬을꺼내는방법의수는(cid:100)(cid:100)¡ºC£=120주머니안의흰구슬의개수를n이라하면n개의흰구슬중에서3개를꺼내는방법의수는(cid:100)(cid:100)«C£=이므로모두흰구슬일확률은(cid:100)(cid:100)=따라서=;6!;이므로(cid:100)(cid:100)n(n-1)(n-2)=120=6¥5¥4(cid:100)(cid:100)∴n=6즉주머니안에6개의흰구슬이들어있다.(cid:9000)6041-1서울에서건강상태가A단계인사람의비율을구하면(cid:100)(cid:100);5£0∞0;¥100=7(%)같은방법으로서울에서각단계의건강상태의비율을구하면다음과같다.따라서P지역에비해그비율이높은단계는A,B이다.(cid:9000)A, B042-1이차방정식x2+2kx+3k=0의판별식을D라할때,이방정식이서로다른두실근을가지려면(cid:100)(cid:100)=k¤-3k>0(cid:100)(cid:100)k(k-3)>0(cid:100)(cid:100)∴k<0또는k>3-2…k…4이므로주어진방정식이서로다른두실근을갖도록하는실수k의값의범위는(cid:100)(cid:100)-2…k<0또는3b를만족시키는경우의수는3이므로구하는확률은(cid:100)(cid:100);1£2;=;4!;(cid:9000)③09A, B사이에서는한명을뽑고,이세명을한묶음으로생각하여일렬로세우는방법의수를구한다.`5명을일렬로세우는방법의수는(cid:100)(cid:100)5!=120C, D, E중A, B사이에서는한명을뽑는방법의수는3이고, A, B와사이에서는한명을한묶음으로생각하여3명을일렬로세우는방법의수는(cid:100)(cid:100)3!=6이때A, B가서로자리를바꾸는방법의수는(cid:100)(cid:100)2!=2따라서A,B사이에한명을세우는방법의수는(cid:100)(cid:100)3¥6¥2=36이므로구하는확률은(cid:100)(cid:100);1£2§0;=;1£0;(cid:9000);1£0;10문제이해•9장의카드중에서3장의카드를택하는방법의수는(cid:100)(cid:100)ªC£=84(cid:8837)20% 배점해결과정•3장의카드에적힌수의곱이6의배수인경우는다음과같다.⁄6이적힌카드를포함하여택하는경우6을제외한나머지8개의수중에서2개의수를뽑는방법의수는(cid:100)(cid:100)•C™=28¤6이적힌카드를포함하지않고택하는경우2의배수인2, 4, 8중에서2개의수를뽑고,3의배수인3, 9중에서1개의수를뽑는방법의수는(cid:100)(cid:100)£C™¥™C¡=62의배수인2, 4, 8중에서1개의수를뽑고,3의배수인3, 9중에서2개의수를뽑는방법의수는(cid:100)(cid:100)£C¡¥™C™=32의배수인2, 4, 8중에서1개, 3의배수인3,9중에서1개, 2와3의배수가아닌1, 5, 7중에서1개의수를뽑는방법의수는(cid:100)(cid:100)£C¡¥™C¡¥£C¡=1806여사건의확률을이용한다.주어진정육면체를두번던질때, 모든경우의수는(cid:100)(cid:100)6¥6=366의약수가적어도한번나오는사건을A라하면AÇ는두번모두6의약수가나오지않는사건이다.1, 2, 2, 3, 4, 4중에서6의약수가아닌것은4, 4이므로(cid:100)(cid:100)P(AÇ)==;9!;따라서구하는확률은(cid:100)(cid:100)P(A)=1-P(AÇ)(cid:100)(cid:100)P(A)=1-;9!;=;9*;(cid:9000);9*;07이차방정식이허근을가질조건은판별식D<0임을이용한다.`두주사위A, B를동시에던질때, 모든경우의수는(cid:100)(cid:100)6¥6=36이차방정식x¤-2ax+3b=0의판별식을D라할때,이방정식이허근을가지려면(cid:100)(cid:100)=a¤-3b<0(cid:100)(cid:100)∴a¤<3b이를만족시키는a, b의순서쌍(a, b)는(cid:100)(cid:100)(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4),(1, 5),(1, 6),(2, 2),(2, 3),(2, 4),(2, 5),(2, 6),(3, 4),(3, 5),(3, 6),(4, 6)의15개이므로구하는확률은(cid:100)(cid:100);3!6%;=;1∞2;(cid:9000);1∞2;08을이뽑은카드에적힌수를기준으로조건을만족시키는경우의수를구한다.`갑이2장의카드를임의로뽑고을이남은카드중에서1장의카드를임의로뽑는방법의수는(cid:100)(cid:100)¢C™¥™C¡=12을이뽑은1장의카드에적힌수를a라하고,갑이뽑은2장의카드에적힌두수의곱을b라할때,a>b가되는경우는다음과같다.⁄a=3인경우b=2이어야하므로갑은1,2의숫자가적혀있는카드를뽑아야한다. D42¥236D0416개쎈확통_정(030-046) 2014.4.16 1:58 PM 페이지34 SinsagoHitec 05 확률의뜻과활용35(cid:8833)본책114~115`쪽확률의뜻과활용05따라서6이적힌카드를포함하지않고택하는방법의수는(cid:100)(cid:100)6+3+18=27⁄, ¤에서3장의카드에적힌수의곱이6의배수인경우의수는(cid:100)(cid:100)28+27=55(cid:8837)60% 배점답구하기•따라서구하는확률은;8%4%;이다.(cid:8837)20% 배점(cid:9000);8%4%;11문제이해•20개의동전중에서2개의동전을꺼내는방법의수는(cid:100)(cid:100)™ºC™=190주머니안의500원짜리동전의개수를n(n>10)이라하면100원짜리동전의개수는20-n이므로2개의동전의금액의합이600원이되는경우의수는(cid:100)(cid:100)«C¡¥™º–«C¡=n(20-n)(cid:8837)30% 배점해결과정•20개의동전중에서2개의동전을꺼낼때,동전의금액의합이600원일확률이;1¡0;이므로(cid:100)(cid:100)=;1¡0;(cid:100)(cid:100)n(20-n)=19,(cid:100)(cid:100)n¤-20n+19=0(n-1)(n-19)=0(cid:100)(cid:100)∴n=19(∵n>10)(cid:8837)40% 배점답구하기•따라서2개의동전의금액의합이1000원이될확률은(cid:100)(cid:100)=;1ª0;(cid:8837)30% 배점(cid:9000);1ª0;12CD”=|AC”-AD”|임을이용한다.`AC”=x, AD”=y라하면(cid:100)(cid:100)0…x…3, 0…y…3y㉠선분CD의길이는|x-y|이므로|x-y|…1에서(cid:100)(cid:100)-1…x-y…1(cid:100)(cid:100)∴x-1…y…x+1yy㉡(cid:100)(cid:100)부등식의㉠`의영역은오른쪽그림의정사각형의내부(경계선포함)이고, 부등식㉠, ㉡`의공통인영역은색칠한부분`(경계선포함)과과같다. xyy=x+1y=x-1O121233ACDB3xy¡ªC™™ºC™n(20-n)190따라서구하는확률은(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)=;9%;(cid:9000);9%;13[실행1]을할때와[실행2]를할때로나누어생각한다.`⁄[실행1]에의하여상자B에있는빨간공의개수가1인경우¤A에서2개의공을꺼내는모든방법의수는¤(cid:100)(cid:100)•C™=28¤A에서빨간공1개와검은공1개를꺼내는방법의수는(cid:100)(cid:100)£C¡¥∞C¡=15¤이므로그확률은(cid:100)(cid:100);2!8%;¤[실행2]에의하여상자B에있는빨간공의개수가1인경우¤A에서2개의공을꺼내고, 다시2개의공을꺼내는방법의수는(cid:100)(cid:100)•C™¥§C™=420¤A에서검은공2개를꺼내고, 다시빨간공1개와검은공1개를꺼내는방법의수는¤(cid:100)(cid:100)∞C™¥£C¡¥£C¡=90¤이므로그확률은(cid:100)(cid:100);4ª2º0;=;1£4;⁄,¤는서로배반사건이므로구하는확률은(cid:100)(cid:100);2!8%;+;1£4;=;4#;(cid:9000)④14문제이해•P→Q로가는최단경로의수는(cid:100)(cid:100)=70(cid:8837)20% 배점해결과정•P지점에서Q지점까지최단경로로갈때A지점을지나는사건을A, B지점을지나는사건을B라하자.P→A→Q로가는최단경로의수는(cid:100)(cid:100)¥=30이므로(cid:100)(cid:100)P(A)=;7#0);(cid:8837)20% 배점P→B→Q로가는최단경로의수는(cid:100)(cid:100)¥=36이므로(cid:100)(cid:100)P(B)=;7#0^;(cid:8837)20% 배점4!2!¥2!4!2!¥2!5!2!¥3!3!2!8!4!¥4!3¥3-2{;2!;¥2¥2}3¥3(색칠한부분의넓이)(정사각형의넓이)D0416개쎈확통_정(030-046) 2014.4.16 1:58 PM 페이지35 SinsagoHitec 36정답및풀이⁄, ¤는서로배반사건이므로A, B가같은차에배정될확률은(cid:100)(cid:100);6¢0;+;6!0@;=;1¢5;따라서p=15, q=4이므로(cid:100)(cid:100)10p+q=10¥15+4=154(cid:9000)15417문제이해•(a-b)(b-c)(c-a)=0에서(cid:100)(cid:100)a-b=0또는b-c=0또는c-a=0(cid:100)(cid:100)∴a=b또는b=c또는c=a따라서적어도두개의주사위의눈이서로같아야한다.(cid:8837)30% 배점해결과정•적어도두개의주사위의눈이서로같은사건을A라하면여사건AÇ는세개의주사위의눈이모두다른사건이므로(cid:100)(cid:100)P(AÇ)==;9%;(cid:8837)40% 배점답구하기•따라서구하는확률은(cid:100)(cid:100)P(A)=1-P(AÇ)=1-;9%;=;9$;(cid:8837)30% 배점(cid:9000);9$;18문제이해•10장의카드중에서3장의카드를택하는방법의수는(cid:100)(cid:100)¡ºC£=120(cid:8837)10% 배점해결과정•M-m…7인사건을A라하면여사건AÇ는M-mæ8인사건이다.⁄M-m=8인경우⁄M=10,m=2이면나머지수가될수있는것은⁄(cid:100)(cid:100)3, 4, 5, y, 9의7개⁄M=9,m=1이면나머지수가될수있는것은⁄(cid:100)(cid:100)2, 3, 4, y, 8의7개⁄따라서M-m=8인경우의수는(cid:100)(cid:100)7+7=14(cid:8837)30% 배점¤M-m=9인경우⁄M=10,m=1이어야하므로나머지수가될수있는것은⁄(cid:100)(cid:100)2, 3, 4, y, 9의8개(cid:8837)20% 배점⁄, ¤에서M-mæ8인경우의수는14+8=22이므로(cid:100)(cid:100)P(AÇ)=;1™2™0;=;6!0!;(cid:8837)20% 배점답구하기•따라서구하는확률은(cid:100)(cid:100)P(A)=1-P(AÇ)=1-;6!0!;=;6$0(;(cid:8837)20% 배점(cid:9000);6$0(;§P£6¥6¥6P→A→B→Q로가는최단경로의수는(cid:100)(cid:100)¥1¥=18이므로(cid:100)(cid:100)P(A;B)=;7!0*;(cid:8837)20% 배점답구하기•따라서구하는확률은(cid:100)(cid:100)P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)(cid:100)(cid:100)P(A'B)=;7#0);+;7#0^;-;7!0*;=;3@5$;(cid:8837)20% 배점(cid:9000);3@5$;154개의공을꺼냈을때세종류의공이모두포함되려면어느한종류의공을2개꺼내야한다.`꺼낸4개의공중에서세종류의공이모두포함되려면4개의공중2개의공이같은색이어야한다.흰공2개, 검은공1개, 빨간공1개를꺼내는사건을A, 흰공1개, 검은공2개, 빨간공1개를꺼내는사건을B, 흰공1개, 검은공1개, 빨간공2개를꺼내는사건을C라하면(cid:100)(cid:100)P(A)==;3!5@;,(cid:100)(cid:100)P(B)==;3§5;,(cid:100)(cid:100)P(C)==;3§5;이때세사건A, B, C는서로배반사건이므로구하는확률은(cid:100)(cid:100)P(A'B'C)=P(A)+P(B)+P(C)(cid:100)(cid:100)P(A'B'C)=;3!5@;+;3§5;+;3§5;=;3@5$;(cid:9000)⑤165인승, 7인승, 9인승의차에각각4명, 5명, 6명이타고있으므로각차에1명, 2명, 3명을배정해야한다.`⁄A, B가7인승의차에배정되는경우⁄나머지4명을5인승의차에1명,9인승의차에3명배정하면되므로그확률은(cid:100) (cid:100)(cid:100)=;6¢0;¤A, B가9인승의차에배정되는경우⁄나머지4명을5인승의차에1명,7인승의차에2명,9인승의차에1명배정하면되므로그확률은(cid:100) (cid:100)(cid:100)=;6!0@;¢C¡¥£C™¥¡C¡§C¡¥∞C™¥£C£¢C¡¥£C£§C¡¥∞C™¥£C££C¡¥™C¡¥™C™¶C¢£C¡¥™C™¥™C¡¶C¢£C™¥™C¡¥™C¡¶C¢4!2!¥2!3!2!D0416개쎈확통_정(030-046) 2014.4.16 1:58 PM 페이지36 SinsagoHitec 05 확률의뜻과활용37(cid:8833)본책116~117`쪽확률의뜻과활용0519적어도2명의남학생을서로이웃하게배정하는사건의여사건은남학생4명을모두이웃하지않게배정하는사건임을이용한다.`8개의좌석에여학생4명과남학생4명을배정하는방법의수는(cid:100)(cid:100)8!남학생4명을모두이웃하지않게배정하는방법은위의그림과같으므로그방법의수는(cid:100)(cid:100)2¥4!¥4!따라서남학생을모두이웃하지않게배정할확률은(cid:100)(cid:100)=;3¡5;이므로(cid:100)(cid:100)p=1-;3¡5;=;3#5$;(cid:100)(cid:100)∴70p=70¥;3#5$;=68(cid:9000)6820문제이해•X에서X로의일대일대응인함수의개수는(cid:100)(cid:100)4!=24(cid:8837)20% 배점해결과정•X의임의의원소x에대하여(fΩf)(x)=x를만족시키는함수의개수는다음과같다.⁄1, 2, 3, 4가모두자기자신으로대응하는함수의개수는(cid:100)(cid:100)1¤1, 2, 3, 4중에서2개만자기자신으로대응하는함수의개수는(cid:100)(cid:100)¢C™=6‹1, 2, 3, 4중에서2개씩교차하여대응하는함수‹의개수는(cid:100)(cid:100)¢C™¥™C™¥=3이상에서(fΩf)(x)=x를만족시키는함수f의개수는(cid:100)(cid:100)1+6+3=10(cid:8837)60% 배점답구하기•따라서구하는확률은(cid:100)(cid:100);2!4);=;1∞2;(cid:8837)20% 배점(cid:100)(cid:100)(cid:9000);1∞2;12!2¥4!¥4!8!여여남여남남여남남남여남여여남여21누르기시작하는버튼의위치에따라세가지경우로나누어생각한다.서로다른3개의버튼을차례대로누르는방법의수는(cid:100)(cid:100)ªP£=504⁄맨처음1을눌렀을때,두번째에누를수있는버튼은(cid:100)(cid:100)2또는4또는5⁄2또는4를눌렀을때,세번째에누를수있는버튼은각각4개이고,5를눌렀을때세번째에누를수있는버튼은7개이므로그경우의수는(cid:100)(cid:100)4¥2+7¥1=15⁄맨처음3또는7또는9를눌렀을때의경우의수도각각15이므로, 맨처음1또는3또는7또는9를눌렀을때조건을만족시키도록버튼을누르는⁄방법의수는(cid:100)(cid:100)4¥15=60¤맨처음2를눌렀을때,두번째에누를수있는버튼은(cid:100)(cid:100)1또는3또는4또는5또는6⁄1또는3을눌렀을때,세번째에누를수있는버튼은각각2개,4또는6을눌렀을때세번째에누를수있는버튼은각각4개, 5를눌렀을때세번째에누를수있는버튼은7개이므로그경우의⁄수는(cid:100)(cid:100)2¥2+4¥2+7¥1=19⁄맨처음4또는6또는8을눌렀을때의경우의수도각각19이므로,맨처음2또는4또는6또는8을눌렀을때조건을만족시키도록버튼을누르는⁄방법의수는RemarkP(A)를직접구하려면M-m의값이2,3,4,5,6,7인경우를모두구해야하므로여사건의확률을이용하는것이편리하다.Remark⁄f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=4이면⁄(cid:100)(cid:100)(fΩf)(x)=x¤f(1)=1, f(2)=2, f(3)=4, f(4)=3이면⁄(cid:100)(cid:100)(fΩf)(1)=1, (fΩf)(2)=2, ⁄(cid:100)(cid:100)(fΩf)(3)=f(4)=3,⁄(cid:100)(cid:100)(fΩf)(4)=f(3)=4(cid:100)(cid:100)∴(fΩf)(x)=x‹f(1)=2, f(2)=1, f(3)=4, f(4)=3이면⁄(cid:100)(cid:100)(fΩf)(1)=f(2)=1, ⁄(cid:100)(cid:100)(fΩf)(2)=f(1)=2,⁄(cid:100)(cid:100)(fΩf)(3)=f(4)=3,⁄(cid:100)(cid:100)(fΩf)(4)=f(3)=4⁄(cid:100)(cid:100)∴(fΩf)(x)=xD0416개쎈확통_정(030-046) 2014.4.16 1:58 PM 페이지37 SinsagoHitec 38정답및풀이⁄,¤에서조건을모두만족시키는경우의수는(cid:100)(cid:100)9+21=30따라서구하는확률은(cid:100)(cid:100);8#4);=;1∞4;(cid:9000)①23확률의덧셈정리를이용한다.`6명의학생이좌석에앉는방법의수는(cid:100)(cid:100)6!같은나라의두학생의좌석번호를순서쌍(a, b)(a2)=1-P(X=3)⑵P(Xæ1)=1-⑵P(Xæ1)=1-;1¡2;=;1!2!;(cid:9000)풀이참조⑵P(X…2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)⑵P(XX=++⑵P(XX=;1¡2;+;1∞2;+;1∞2;=;1!2!;059-1확률의총합은1이므로(cid:100)(cid:100)a+b+c=1(cid:100)yy㉠(cid:100)(cid:100)E(X)=;4%;이므로(cid:100)(cid:100)0¥a+1¥b+2¥c=;4%;(cid:100)(cid:100)∴b+2c=;4%;(cid:100)(cid:100)yy㉡(cid:100)(cid:100)∞C™¥∞C¡¡ºC£∞C¡¥∞C™¡ºC£∞Cº¥∞C£¡ºC£∞C£¥∞Cº¡ºC£∞CÆ¥∞C£–Æ¡ºC£123456101234521012343210123432101254321016543210X012345합계P(X=x);6!;;1∞8;;9@;;6!;;9!;;1¡8;1X1234합계P(X=x)k4k9k16k1X123합계P(X=x);6K;;3K;k-11D0416개쎈확통_정(047-072) 2014.4.16 1:59 PM 페이지47 SinsagoHitec V(X)=;1!6!;이므로(cid:100)(cid:100)0¤¥a+1¤¥b+2¤¥c-{;4%;}2=;1!6!;(cid:100)(cid:100)∴b+4c=;4(;yy㉢(cid:100)(cid:100)㉠,㉡,㉢`을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=;4!;,b=;4!;,c=;2!;(cid:100)(cid:100)∴a-b+c=;2!;(cid:9000);2!;059-2확률의총합은1이므로(cid:100)(cid:100)a+;5!;+b=1(cid:100)(cid:100)∴a+b=;5$;yy㉠(cid:100)(cid:100)E(X)=2이므로(cid:100)(cid:100)1¥a+2¥;5!;+3¥b=2(cid:100)(cid:100)∴a+3b=;5*;(cid:100)(cid:100)yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡`을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=;5@;, b=;5@;(cid:100)(cid:100)∴V(X)=E(X¤)-{E(X)}¤(cid:100)(cid:100)∴V(X)=1¤¥;5@;+2¤¥;5!;+3¤¥;5@;-2¤(cid:100)(cid:100)∴V(X)=:™5¢:-4=;5$;(cid:100)(cid:100)∴r(X)="√V(X)=Æ;5$;=(cid:9000)060-1100원짜리동전의앞면을H,뒷면을T라하고, 10원짜리동전의앞면을h, 뒷면을t라할때,받을수있는상금은(cid:100)(cid:100)Hhh일때,(cid:100)(cid:100)100+10+10=120(cid:100)(cid:100)Hht, Hth일때,(cid:100)(cid:100)100+10=110(cid:100)(cid:100)Htt일때,(cid:100)(cid:100)100(cid:100)(cid:100)Thh일때,(cid:100)(cid:100)10+10=20(cid:100)(cid:100)Tht, Tth일때,(cid:100)(cid:100)10(cid:100)(cid:100)Ttt일때,(cid:100)(cid:100)0따라서확률변수X가가질수있는값은0, 10, 20, 100, 110, 120이고,그각각의확률은;8!;, ;4!;, ;8!;, ;8!;, ;4!;, ;8!;이므로X의확률분포를표로나타내면다음과같다.2'552'55∴E(X)=0¥;8!;+10¥;4!;+20¥;8!;+100¥;8!;∴E(X)=+110¥;4!;+120¥;8!;∴E(X)=60∴V(X)=0¤¥;8!;+10¤¥;4!;+20¤¥;8!;+100¤¥;8!;∴V(X)=+110¤¥;4!;+120¤¥;8!;-60¤∴V(X)=2550∴r(X)="çVç(çXΩ)='2∂550=5'1∂02즉X의평균은60,표준편차는5'1∂02이다.(cid:9000)평균:60,표준편차:5'1∂02060-2확률변수X가가질수있는값은0,1,2이고,그각각의확률은P(X=0)==;5@;,P(X=1)==;1•5;,P(X=2)==;1¡5;이므로X의확률분포를표로나타내면다음과같다.∴E(X)=0¥;5@;+1¥;1•5;+2¥;1¡5;=;3@;∴V(X)=0¤¥;5@;+1¤¥;1•5;+2¤¥;1¡5;-{;3@;}¤∴V(X)=;4!5^;∴r(X)="çVç(çXΩ)=æ;4!±5^;=즉X의평균은;3@;, 표준편차는이다.(cid:9000)평균:;3@;,표준편차:061-1확률변수X의평균,분산,표준편차는E(X)=(-2)¥;6!;+0¥;3@;+2¥;6!;=0V(X)=(-2)¤¥;6!;+0¤¥;3@;+2¤¥;6!;-0¤=;3$;4'5154'5154'515™C™§C™™C¡¥¢C¡§C™¢C™§C™X012합계P(X=x);5@;;1•5;;1¡5;148정답및풀이X01020100110120합계P(X=x);8!;;4!;;8!;;8!;;4!;;8!;1D0416개쎈확통_정(047-072) 2014.4.16 1:59 PM 페이지48 SinsagoHitec 07 확률분포49(cid:8833)본책156~164쪽확률분포07r(X)=Æ;3$;=⑴E(2X-3)=2E(X)-3=2¥0-3=-3⑵V(-3X+5)=(-3)¤V(X)=9¥;3$;=12⑶r(9X+2)=9r(X)=9¥=6'3(cid:9000)⑴-3(cid:100)⑵12(cid:100)⑶6'3061-2확률변수X가가질수있는값은20, 110,200이고,그각각의확률은P(X=20)==;1∞4;,P(X=110)==;2!8%;,P(X=200)==;2£8;이므로X의확률분포를표로나타내면다음과같다.∴E(X)=20¥;1∞4;+110¥;2!8%;+200¥;2£8;∴E(X)=∴E(2X-25)=2E(X)-25∴E(2X-15)=2¥-25=150(cid:9000)150062-1한개의동전을한번던질때앞면이나올확률은;2!;이므로확률변수X는이항분포B{20,;2!;}을따른다.∴E(X)=20¥;2!;=10∴V(X)=20¥;2!;¥;2!;=5∴r(X)="çVç(çXΩ)='5따라서X의평균은10, 표준편차는'5이다.(cid:9000)평균:10,표준편차:'5062-2흰공3개,검은공2개가들어있는주머니에서한개의공을꺼낼때흰공이나올확률은;5#;이17521752£C™•C™∞C¡¥£C¡•C™∞C™•C™2'332'33므로확률변수X는이항분포B{100,;5#;}을따른다.∴E(X)=100¥;5#;=60∴V(X)=100¥;5#;¥;5@;=24∴r(X)="çVç(çXΩ)=2'6따라서X의평균은60,표준편차는2'6이다.(cid:9000)평균: 60,표준편차: 2'6063-1한개의동전을한번던질때앞면이나올확률은;2!;이므로확률변수X는이항분포B{n,;2!;}을따른다.E(X)=35이므로(cid:100)(cid:100)n¥;2!;=35(cid:100)(cid:100)∴n=70(cid:9000)70063-2E(X)=10,r(X)=2'2이므로(cid:100)(cid:100)np=10yy㉠㉠㉠(cid:100)(cid:100)"çnçp(ç1ç-≈pΩ)=2'2yy㉡㉠㉠㉠을㉡에대입하면(cid:100)(cid:100)"1ç0çç(ç1ç-≈pΩ)=2'2,(cid:100)(cid:100)10(1-p)=8(cid:100)(cid:100)∴p=;5!;p=;5!;을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)n=50(cid:9000)n=50, p=;5!;064-1두개의동전을동시에던질때둘다앞면이나올확률은;4!;이므로확률변수X는이항분포B{30, ;4!;}을따른다.(cid:100)(cid:100)∴E(X)=30¥;4!;=:¡2∞:(cid:100)(cid:100)∴V(X)=30¥;4!;¥;4#;=:¢8∞:Y=8X+3이므로(cid:100)(cid:100)E(Y)=E(8X+3)=8E(X)+3(cid:100)(cid:100)E(Y)=8¥:¡2∞:+3=63(cid:100)(cid:100)V(Y)=V(8X+3)=8¤V(X)(cid:100)(cid:100)E(Y)=64¥:¢8∞:=360(cid:9000)E(Y)=63, V(Y)=360X20110200합계P(X=x);1∞4;;2!8%;;2£8;1D0416개쎈확통_정(047-072) 2014.4.16 1:59 PM 페이지49 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100)=1,(cid:100)(cid:100)5a=50(cid:100)(cid:100)∴a=10(cid:9000)1002해결과정•확률의총합은1이므로(cid:100)(cid:100)a+;4!;+b=1(cid:100)(cid:100)∴a+b=;4#;yy㉠(cid:100)(cid:100)(cid:8837)30% 배점E(X)=;2!;이므로(cid:100)(cid:100)(-1)¥a+0¥;4!;+1¥b=;2!;(cid:100)(cid:100)∴-a+b=;2!;yy㉡(cid:100)(cid:100)(cid:8837)40% 배점답구하기•㉠,㉡을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=;8!;, b=;8%;(cid:100)(cid:100)∴ab=;6∞4;(cid:8837)30% 배점(cid:9000);6∞4;03안타를칠확률이;4!;이므로안타를치지못할확률은;4#;이다.`확률변수X가가질수있는값은0, 1, 2이고,그각각의확률은(cid:100)(cid:100)P(X=0)=;4#;¥;4#;=;1ª6;,(cid:100)(cid:100)P(X=1)=;4!;¥;4#;+;4#;¥;4!;=;8#;,(cid:100)(cid:100)P(X=2)=;4!;¥;4!;=;1¡6;이므로X의확률분포를표로나타내면다음과같다.(cid:100)(cid:100)∴E(X)=0¥;1ª6;+1¥;8#;+2¥;1¡6;=;2!;(cid:100)(cid:100)∴V(X)=0¤¥;1ª6;+1¤¥;8#;+2¤¥;1¡6;-{;2!;}2=;8#;(cid:100)(cid:100)∴r(X)=æ;8#;=(cid:9000)확률변수X가이항분포B{2, ;4!;}을따르므로(cid:100)(cid:100)r(X)=æ2¥–;4!;–¥–;4#;='64'64'645a-1535064-2확률변수X가이항분포B(n,p)를따르므로(cid:100)(cid:100)E(X)=np(cid:100)(cid:100)V(X)=np(1-p)E(10X)=280에서(cid:100)(cid:100)10E(X)=280,(cid:100)(cid:100)10np=280(cid:100)(cid:100)∴np=28yy㉠㉠㉠V(10X)=2660에서(cid:100)(cid:100)10¤V(X)=2660,㉠㉠10¤`np(1-p)=2660(cid:100)(cid:100)∴np(1-p)=26.6yy㉡㉠㉠㉠을㉡에대입하면(cid:100)(cid:100)28(1-p)=26.6,(cid:100)(cid:100)1-p=0.95(cid:100)(cid:100)∴p=0.05p=0.05를㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)n_0.05=28㉠㉠∴n=560(cid:100)(cid:100)∴100p+n=5+560=565(cid:9000)565(cid:8833)본책166~170쪽중단원연습문제011002;6∞4;0304⑤05365006④07③08③09;5#;10;1ª0;11⑤123713①14④15201641710018899192820②213122④'6401확률의총합은1임을이용한다.`확률변수X의확률분포를표로나타내면다음과같다.확률의총합은1이므로(cid:100)(cid:100)++++=1a-535a-435a-335a-235a-135X12345합계P(X=x)a-135a-235a-335a-435a-5351X012합계P(X=x);1ª6;;8#;;1¡6;150정답및풀이D0416개쎈확통_정(047-072) 2014.4.16 1:59 PM 페이지50 SinsagoHitec 07 확률분포51(cid:8833)본책164~167쪽확률분포07이때E(X¤)=;;¡2¡;;이므로V(X)=E(X¤)-{E(X)}¤에서(cid:100)(cid:100);1£6;n=;;¡2¡;;-{}¤,(cid:100)(cid:100)n¤+3n-88=0(cid:100)(cid:100)(n+11)(n-8)=0(cid:100)(cid:100)∴n=-11또는n=8이때n은자연수이므로(cid:100)(cid:100)n=8(cid:9000)③08확률변수aX+b에대하여E(aX+b)=aE(X)+b임을이용한다.`확률변수X가이항분포B{n, ;3!;}을따르므로(cid:100)(cid:100)E(X)=;3N;이때E(2X+5)=13이므로(cid:100)(cid:100)2E(X)+5=13,(cid:100)(cid:100)+5=13(cid:100)(cid:100)∴n=12(cid:9000)③09문제이해•P(X=x)=문제이해•P(X=x)=a('ƒx+1-'ßx)(cid:8837)20% 배점해결과정•확률의총합은1이므로(cid:100)(cid:100)P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)(cid:100)(cid:100)+y+P(X=35)(cid:100)=1(cid:100)(cid:100)a('2-'1)+a('3-'2)+a('4-'3)(cid:100)(cid:100)+y+a('3å6-'3å5)(cid:100)=1(cid:100)(cid:100)a('3å6-'1)=1,(cid:100)(cid:100)5a=1(cid:100)(cid:100)∴a=;5!;(cid:8837)40% 배점답구하기•∴P(X=9)+P(X=10)+P(X=11)+y+P(X=35)답구하기•=;5!;{('1å0-'9)+('1å1-'1å0)답구하기•=;5!;{+('1å2-'1å1)+y+('3å6-'3å5)}답구하기•=;5!;('3å6-'9)=;5#;(cid:100)(cid:8837)40% 배점(cid:9000);5#;10문제이해•P(Xæk)=1-에서(cid:100)(cid:100)P(Xæ0)=1,k¤20a'ƒx+1+'ßx2n3n404확률의총합이1임을이용하여a의값을구하여E(X)를구한다음, E(aX+b)=aE(X)+b임을이용한다.`확률의총합은1이므로(cid:100)(cid:100);4!;+a+2a=1,(cid:100)(cid:100)3a=;4#;(cid:100)(cid:100)∴a=;4!;(cid:100)(cid:100)∴E(X)=0¥;4!;+1¥;4!;+2¥;2!;=;4%;(cid:100)(cid:100)∴E(4X+10)=4E(X)+10=4¥;4%;+10(cid:100)(cid:100)∴E(4X+10)=15(cid:9000)⑤05E(X),V(X)를구한후V(X)=E(X¤)-{E(X)}¤임을이용한다.`확률변수X가이항분포B{360, ;6!;}을따르므로(cid:100)(cid:100)E(X)=360¥;6!;=60,(cid:100)(cid:100)V(X)=360¥;6!;¥;6%;=50V(X)=E(X¤)-{E(X)}¤에서(cid:100)(cid:100)E(X¤)=V(X)+{E(X)}¤=50+60¤=3650(cid:9000)365006확률변수X가이항분포B(n, p)를따를때,E(X)=np,V(X)=np(1-p)임을이용한다.`확률변수X가이항분포B(9, p)를따르므로(cid:100)(cid:100)E(X)=9p, V(X)=9p(1-p)이때{E(X)}¤=V(X)이므로(cid:100)(cid:100)(9p)¤=9p(1-p),(cid:100)(cid:100)9p=1-p(∵00.5이면k<0이므로(cid:100)(cid:100)P(Zæk)=P(k…Z…0)+P(Zæ0)=P(0…Z…-k)+0.5D0416개쎈확통_정(047-072) 2014.4.16 1:59 PM 페이지59 SinsagoHitec 한편ㄱ에서(cid:100)(cid:100)H(2.5)=P(Zæ2)=P(Zæ0)-P(0…Z…2)=0.5-0.4772=0.0228ㄴ에서(cid:100)(cid:100)H(2)5H(2)이상에서옳은것은ㄱ,ㄴ이다.(cid:9000)③09G=0.8일때,m을r에대한식으로나타낸다.`공장에서생산되는병의내압강도를확률변수X라하면X는정규분포N(m,r¤)을따르므로Z=으로놓으면확률변수Z는표준정규분포N(0,1)을따른다.이때G=0.8이면0.8=이므로(cid:100)(cid:100)m-40=2.4r따라서임의로추출한한개의병이불량품일확률은(cid:100)(cid:100)P(X<40)=P{Z<}(cid:100)(cid:100)P(X<40)=P{Z<-}(cid:100)(cid:100)P(X<40)=P(Z<-2.4)=P(Z>2.4)=P(Zæ0)-P(0…Z…2.4)=0.5-0.4918=0.0082(cid:9000)③10해결과정•Z˛=으로놓으면확률변수Z˛는표준정규분포N(0,1)을따른다.P(X>k)=0.05에서(cid:100)(cid:100)P{Z˛>}=0.05(cid:100)(cid:100)P(ZX>0)-P{0…Z˛…}=0.05(cid:100)(cid:100)0.5-P{0…Z˛…}=0.05(cid:100)(cid:100)∴P{0…Z˛…}=0.45(cid:8837)40% 배점이때P(0…Z˛…1.64)=0.45이므로(cid:100)(cid:100)=1.64(cid:100)(cid:100)∴k=16.56(cid:8837)20% 배점k-104k-104k-104k-104k-104X-1042.4rr40-mrm-403rX-mr60정답및풀이답구하기•한편ZÁ=으로놓으면확률변수ZÁ는표준정규분포N(0,1)을따르므로(cid:100)(cid:100)P(Y1.72)(cid:100)(cid:100)P(Y2)=P(Zæ0)-P(0…Z…2)=0.5-0.48=0.02(cid:8837)50% 배점답구하기•A, B두사람이각각독립적으로달걀한꾸러미를선택하므로(cid:100)(cid:100)p=0.02_0.02=0.0004(cid:100)(cid:100)∴10000p=4(cid:8837)30% 배점(cid:9000)412모평균m의신뢰도95%의신뢰구간은x’-1.96…m…x’+1.96임을이용한다.`표본의크기는16,표본평균은12.34,모표준편차는r이므로모평균m의신뢰도95%의신뢰구간은(cid:100)(cid:100)12.34-1.96…m…12.34+1.96r'1å6r'1å6r'ßnr'ßn('1å0)¤10'ßn8'ßn8'ßn8'ßn8'ßn8Remark독립사건의확률사건A와사건B가독립일때,A와B가동시에일어날확률은(cid:100)(cid:100)P(A;B)=P(A)P(B)D0416개쎈확통_정(047-072) 2014.4.16 1:59 PM 페이지67 SinsagoHitec ㄱ.그런데3.92>2.58이므로신뢰구간의길이가항상커진다고할수없다.ㄴ.신뢰도를낮추면k의값이작아지고,표본의크기ㄴ.를크게하면의값이작아지므로2k의ㄱ.값은항상작아진다.ㄱ.즉신뢰구간의길이는항상작아진다.ㄷ.표본의크기가a일때신뢰구간의길이는ㄱ.(cid:100)(cid:100)2k=ㄱ.표본의크기가4a일때신뢰구간의길이는ㄱ.(cid:100)(cid:100)2k=2k¥=ㄱ.따라서표본의크기가4배가되면신뢰구간의길ㄱ.이는;2!;배가된다.이상에서옳은것은ㄴ뿐이다.(cid:9000)②15먼저주어진표준정규분포표를이용하여신뢰도가70%일때의신뢰구간의길이l을구한다.`P(0…Z…1.04)=0.35에서(cid:100)(cid:100)P(-1.04…Z…1.04)=0.70따라서신뢰도가70%일때신뢰구간의길이l은(cid:100)(cid:100)l=2_1.04=2.08(cid:100)(cid:100)∴2l=2_2.08_이때P(0…Z…2.08)=0.48이므로(cid:100)(cid:100)P(-2.08…Z…2.08)=2P(0…Z…2.08)=2_0.48=0.96따라서길이가2l인신뢰구간의신뢰도는96%이다.(cid:9000)96%16모비율p에대한신뢰도95%의신뢰구간은p^-1.96æ≠…p…p^+1.96æ≠임을이용한다.`표본비율이0.8,표본의크기가n이므로모비율p의신뢰도95%의신뢰구간은(cid:100)(cid:100)0.8-1.96æ≠…p…0.8+1.96æ≠따라서a=0.8-1.96æ≠, b=0.8+1.96æ≠이므로b-a=0.098에서0.8_0.2n0.8_0.2n0.8_0.2n0.8_0.2np^q^np^q^nr'ßnr'ßnr'ßn10k'a102'a10'ß4a20k'a10'a10'ßn1'ßn68정답및풀이이때신뢰구간이11.36…m…a이므로(cid:100)(cid:100)12.34-1.96=11.36(cid:100)(cid:100)0.49r=0.98(cid:100)(cid:100)∴r=2r=2이므로(cid:100)(cid:100)a=12.34+1.96=13.32(cid:100)(cid:100)∴a+r=13.32+2=15.32(cid:9000)③13신뢰도99%로추정한모평균m과표본평균X’의차는|m-X’|…2.58임을이용한다.`표본평균이100시간이고,표본의크기가충분히크므로모표준편차대신표본표준편차5시간을사용할수있다.따라서표본의크기를n이라하면신뢰도99%로추정한모평균m의신뢰구간은(cid:100)(cid:100)100-2.58…m…100+2.58(cid:100)(cid:100)∴|m-100|…이때모평균과표본평균의차|m-100|이30분,즉0.5시간이하이려면(cid:100)(cid:100)…0.5,(cid:100)(cid:100)'ßnæ25.8(cid:100)(cid:100)∴næ665.64따라서표본의크기를666이상으로해야한다.(cid:9000)④14P(|Z|…k)=일때,모평균m의신뢰도a%의신뢰구간의길이는2k임을이용한다.`모표준편차가10이므로표본의크기를n,P(|Z|…k)=라하면모평균m의신뢰도a%의신뢰구간의길이는2k이다.ㄱ.[반례]a=95, n=100일때,신뢰구간의길이는ㄱ.(cid:100)(cid:100)2_1.96=3.92ㄱ.a=99, n=400일때,신뢰구간의길이는ㄱ.(cid:100)(cid:100)2_2.58=2.5810'∂40010'∂10010'ßna100r'ßna10012.9'ßn12.9'ßn5'ßn5'ßnr'ßn2'1å6r'1å6D0416개쎈확통_정(047-072) 2014.4.16 1:59 PM 페이지68 SinsagoHitec 09 통계적추정69(cid:8833)본책217~218쪽통계적추정09(cid:100)(cid:100)2_1.96æ≠=0.098(cid:100)(cid:100)'ßn==16(cid:100)(cid:100)∴n=256(cid:9000)25617신뢰도95%의신뢰구간의길이는2_1.96æ≠임을이용한다.`표본의크기를n,표본비율을p^이라하면신뢰도95%의신뢰구간의길이는(cid:100)(cid:100)2_1.96æ≠yy㉠(cid:100)(cid:100)㉠이최대가되려면"√p^(1-p^)의값이최대가되어야한다.이때p^, 1-p^은모두양수이므로산술평균과기하평균의관계에의하여(cid:100)(cid:100)æ"√p^(1-p^)(cid:100)(cid:100)∴p^(1-p^)…;4!;{단,등호는p^=;2!;일때성립}따라서p^(1-p^)의최댓값이;4!;이므로신뢰구간의길이의최댓값은㉠에서(cid:100)(cid:100)2_1.96æ≠=이때신뢰구간의길이의최댓값이0.02이하이려면(cid:100)(cid:100)…0.02,(cid:100)(cid:100)'ßnæ98(cid:100)(cid:100)∴næ9604따라서표본의크기를9604이상으로해야한다.(cid:9000)960418문제이해•확률의총합은1이므로(cid:100)(cid:100);3!;+a+b=1(cid:100)(cid:100)∴b=;3@;-ayy㉠(cid:100)(cid:100)(cid:8837)20% 배점해결과정•X’=-1인경우는표본으로-2와0또는0과-2를추출하는경우이므로(cid:100)(cid:100)P(X’=-1)(cid:100)=P(X=-2)¥P(X=0)+P(X=0)¥P(X=-2)(cid:100)=;3!;¥a+a¥;3!;=;3@;aX’=1인경우는표본으로0과2또는2와0을추출하는경우이므로1.96'ßn1.96'ßn14np^+(1-p^)2p^(1-p^)np^q^n2_1.96_0.40.0980.8_0.2n(cid:100)(cid:100)P(X’=1)(cid:100)=P(X=0)¥P(X=2)+P(X=2)¥P(X=0)(cid:100)=ab+ba=2ab따라서P(X’=-1)+P(X’=1)=;8#;에서(cid:100)(cid:100);3@;a+2ab=;8#;yy㉡(cid:100)(cid:100)(cid:8837)40% 배점㉠을㉡에대입하면(cid:100)(cid:100);3@;a+2a{;3@;-a}=;8#;,(cid:100)(cid:100)2a-2a¤=;8#;(cid:100)(cid:100)16a¤-16a+3=0,(cid:100)(cid:100)(4a-1)(4a-3)=0(cid:100)(cid:100)∴a=;4!; 또는a=;4#;(cid:8837)20% 배점답구하기•이때aæ0이고b=;3@;-aæ0이므로(cid:100)(cid:100)0…a…;3@;(cid:100)(cid:100)∴a=;4!;, b=;1∞2;(cid:100)(cid:100)∴a-b=-;6!;(cid:8837)20% 배점(cid:9000)-;6!;19표본평균이정규분포를따르므로표준화한다.`확률변수X가정규분포N(m, 4¤)을따르므로Z=으로놓으면확률변수Z는표준정규분포N(0, 1)을따른다.P(m…X…a)=0.3413에서(cid:100)(cid:100)P{0…Z…}=0.3413이때P(0…Z…1)=0.3413이므로(cid:100)(cid:100)=1(cid:100)(cid:100)∴a-m=4또모집단이정규분포N(m, 4¤)을따르고,표본의크기가16이므로표본평균X’는정규분포N{m, }, 즉N(m, 1)을따른다.따라서Z’=X’-m으로놓으면확률변수Z’는표준정규분포N(0, 1)을따르므로구하는확률은(cid:100)(cid:100)P(X’æa-2)=P(Z’æa-m-2)=P(Z’æ2)(cid:100)(cid:100)P(X’æa-2)=P(Z’æ0)-P(0…Z’…2)(cid:100)(cid:100)P(X’æa-2)=0.5-0.4772=0.0228(cid:9000)①4¤16a-m4a-m4X-m4D0416개쎈확통_정(047-072) 2014.4.16 1:59 PM 페이지69 SinsagoHitec 70정답및풀이20해결과정•P(|Z|…k)=라하면표본비율이0.2이고,표본의크기가64일때,신뢰도a%로추정한모비율p의신뢰구간의길이는(cid:100)(cid:100)2kæ≠=(cid:100)(cid:100)∴b-a=yy㉠(cid:100)(cid:100)(cid:8837)30% 배점표본비율이0.25이고,표본의크기가n일때,신뢰도a%로추정한모비율p의신뢰구간의길이는(cid:100)(cid:100)2kæ≠=2kæ≠_;4!;_;4#;(cid:100)(cid:100)2kæ=2k_;4!;æ–(cid:100)(cid:100)2kæ=æ–(cid:100)(cid:100)∴d-c=æ–yy㉡(cid:100)(cid:100)(cid:8837)30% 배점답구하기•b-a=;5&;(d-c)에㉠,㉡을대입하면(cid:100)(cid:100)=;5&;¥æ–(cid:100)(cid:100)æ–=;7!;,(cid:100)(cid:100)'ßn=7'3(cid:100)(cid:100)∴n=147(cid:8837)40% 배점(cid:9000)1473n3nk2k103nk23nk23n1n0.25_0.75nk10k100.2_0.864a100(cid:8833)본책218쪽D0416개쎈확통_정(047-072) 2014.4.16 1:59 PM 페이지70 SinsagoHitec D0416개쎈확통_정(047-072) 2014.4.16 1:59 PM 페이지71 SinsagoHitec D0416개쎈확통_정(047-072) 2014.4.16 1:59 PM 페이지72 SinsagoHitec
