2018년 좋은책신사고 개념쎈 미적분 2 답지

https://fds.flarebrick.com/1KrYld_LW1SfZrbrMC5ppFE8KKnlfCyc0

2018년 좋은책신사고 개념쎈 미적분 2.pdf Download | FlareBrick FDS

정답및풀이Ⅰ지수함수와로그함수01지수함수202로그함수1203지수함수와로그함수의미분24Ⅱ삼각함수04삼각함수2905삼각함수의그래프3606삼각함수의미분46Ⅲ미분법07여러가지미분법5708도함수의활용⑴6609도함수의활용⑵76Ⅳ적분법10여러가지적분법9011정적분10012정적분의활용111D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지1 SinsagoHitec 2정답및풀이본책12~30쪽Ⅰ.지수함수와로그함수01지수함수001-1⑴‹'9,›'∂27,fi'∂81을밑이3인거듭제곱의꼴로나타내면(cid:100)(cid:100)‹'9=‹"ç3¤=3;3@;(cid:100)(cid:100)›'∂27=›"ç3‹=3;4#;(cid:100)(cid:100)fi'∂81=fi"ç3›=3;5$;이때;3@;<;4#;<;5$;이고,지수함수y=3x은x의값이증가하면y의값도증가하므로(cid:100)(cid:100)3;3@;<3;4#;<3;5$;(cid:100)(cid:100)∴‹'9<›'∂27<fi'∂81⑵'∂0.2,›'ƒ0.008,fi'ƒ0.0016을밑이0.2인거듭제곱의꼴로나타내면(cid:100)(cid:100)'∂0.2=0.2;2!;(cid:100)(cid:100)›'ƒ0.008=›"ç0.2‹=0.2;4#;(cid:100)(cid:100)fi'ƒ0.0016=fi"ç0.2›=0.2;5$;이때;2!;<;4#;<;5$;이고,지수함수y=0.2x은x의값이증가하면y의값은감소하므로(cid:100)(cid:100)0.2;5$;<0.2;4#;<0.2;2!;(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)∴fi'ƒ0.0016<›'ƒ0.008<'∂0.2(cid:9000)⑴‹'9<›'∂27<fi'∂81⑵fi'ƒ0.0016<›'ƒ0.008<'∂0.2001-20x2x(cid:9000)xx¤>x2x002-1⑴y=4¥3x+2+2의그래프는y=4¥3x의그래프를x축의방향으로-2만큼,y축의방향으로2만큼평행이동한것이므로오른쪽그림과같다.따라서치역은{y|y>2}이고점근선의방정식은y=2이다.y=4¥3x+2+2xyO42y=4¥3x유제⑵y=-5¥3x-2-3의그래프는y=5¥3x의그래프를x축에대하여대칭이동한후x축의방향으로2만큼, y축의방향으로-3만큼평행이동한것이므로오른쪽그림과같다.따라서치역은{y|y<-3}이고점근선의방정식은y=-3이다.(cid:9000)풀이참조003-1y=3x의그래프를x축의방향으로2만큼평행이동한그래프의식은(cid:100)(cid:100)y=3x-2y=3x-2의그래프를y축에대하여대칭이동한그래프의식은(cid:100)(cid:100)y=3-x-2(cid:9000)y=3-x-2003-2y={;2!;}x의그래프를x축의방향으로m만큼,y축의방향으로n만큼평행이동한그래프의식은y-n={;2!;}x-m(cid:100)(cid:100)∴y={;2!;}x-m+n……㉠(cid:100)(cid:100)y=8¥{;2!;}x-1에서(cid:100)(cid:100)y={;2!;}x-3-1이것이㉠과일치해야하므로m=3,n=-1(cid:9000)m=3,n=-1004-1⑴함수y={;2!;}x-1+1에서밑이;2!;이고0<;2!;<1이므로x-1이최대일때y는최소가되고,x-1이최소일때y는최대가된다.따라서구간[1,3]에서함수y={;2!;}x-1+1은x=1일때최대이고,최댓값은(cid:100)(cid:100){;2!;}1-1+1=2x=3일때최소이고,최솟값은(cid:100)(cid:100){;2!;}3-1+1=;4%;y=-5¥3x-2-3y=5¥3xxyO-35D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지2 SinsagoHitec 01 지수함수3(cid:8833)본책12~19쪽지수함수01⑵y=(3x)¤¥4-x에서(cid:100)(cid:100)y=9x¥{;4!;}x={;4(;}x함수y={;4(;}x에서밑이;4(;이고;4(;>1이므로x가최대일때y도최대가되고,x가최소일때y도최소가된다.따라서구간[-2,1]에서함수y=(3x)¤¥4-x은x=1일때최대이고,최댓값은(cid:100)(cid:100){;4(;}1=;4(;x=-2일때최소이고,최솟값은(cid:100)(cid:100){;4(;}-2=;8!1^;(cid:9000)⑴최댓값:2,최솟값:;4%;``````` (cid:100)⑵최댓값:;4(;,최솟값:;8!1^;004-2함수y=2x¤-2x+3에서밑이2이고2>1이므로x¤-2x+3이최대일때y도최대가되고,x¤-2x+3이최소일때y도최소가된다.이때x¤-2x+3=(x-1)¤+2이므로0…x…3에서(cid:100)(cid:100)2…x¤-2x+3…6따라서함수y=2x¤-2x+3은x¤-2x+3=6일때최대이고,최댓값은(cid:100)(cid:100)2fl=64x¤-2x+3=2일때최소이고,최솟값은(cid:100)(cid:100)2¤=4(cid:9000)최댓값:64,최솟값:4005-1⑴y=9x-3x+3=(3x)¤-3x+33x=t로놓으면구간[0,1]에서(cid:100)(cid:100)3‚…3x…3⁄(cid:100)(cid:100)∴1…t…3이때주어진함수는y=t¤-t+3={t-;2!;}¤+;;¡4¡;;따라서1…t…3에서함수y={t-;2!;}¤+;;¡4¡;;은t=3일때최대이고,최댓값은(cid:100)(cid:100)3¤-3+3=9t=1일때최소이고,최솟값은(cid:100)(cid:100)1¤-1+3=3⑵y={;4!;}x-{;2!;}x-1+2y=[{;2!;}x]¤-{;2!;}-1¥{;2!;}x+2y=[{;2!;}x]¤-2¥{;2!;}x+2{;2!;}x=t로놓으면구간[-1,3]에서(cid:100)(cid:100){;2!;}3…{;2!;}x…{;2!;}-1(cid:100)(cid:100)∴;8!;…t…2이때주어진함수는(cid:100)(cid:100)y=t¤-2t+2=(t-1)¤+1따라서;8!;…t…2에서함수y=(t-1)¤+1은t=2일때최대이고,최댓값은(2-1)¤+1=2t=1일때최소이고,최솟값은(1-1)¤+1=1(cid:9000)⑴최댓값:9,최솟값:3⑵최댓값:2,최솟값:1005-2임의의실수x에대하여(cid:100)(cid:100)21+x>0,21-x>0이므로산술평균과기하평균의관계에의하여(cid:100)(cid:100)21+x+21-xæ2"√21+x¥21-x(cid:100)(cid:100)=2"≈22=4(단,등호는21+x=21-x,즉x=0일때성립)따라서함수f(x)의최솟값은4이다.(cid:9000)4이차함수f(x)=a(x-p)¤+q`(m…x…n)에서①x=p가정의역에포함되는경우(cid:8857)f(p),f(m),f(n)중가장큰값이최댓값,가장작은값이최솟값이다.②x=p가정의역에포함되지않는경우(cid:8857)f(m),f(n)중큰값이최댓값,작은값이최솟값이다.Remark정의역이제한된범위일때,이차함수의최대·최소①a>1이면(cid:100)(cid:100)x¡…x…x™ HjKax¡…ax…ax™②00,b>0일때,(cid:100)(cid:100)a+bæ2'∂ab (단,등호는a=b일때성립)Remark산술평균과기하평균의관계D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지3 SinsagoHitec 4정답및풀이그런데t>0이므로(cid:100)(cid:100)t=1따라서{;2!;}x=1이므로(cid:100)(cid:100)x=0(cid:100)```⑶주어진방정식을변형하면(cid:100)(cid:100)3x-=8이때3x=t(t>0)로놓으면(cid:100)(cid:100)t-=8양변에t를곱하여정리하면t¤-8t-9=0,(cid:100)(cid:100)(t+1)(t-9)=0∴t=-1또는t=9그런데t>0이므로(cid:100)(cid:100)t=9따라서3x=9이므로3x=32(cid:100)(cid:100)∴x=2⑷2-'3=이므로주어진방정식을변형하면(cid:100)(cid:100)(2+'3)x+=4이때(2+'3)x=t(t>0)로놓으면(cid:100)(cid:100)t+=4양변에t를곱하여정리하면(cid:100)(cid:100)t¤-4t+1=0(cid:100)(cid:100)∴t=2—'3따라서(2+'3)x=2+'3또는(2+'3)x=2-'3이므로(cid:100)(cid:100)x=1또는x=-1(cid:9000)⑴x=2⑵x=0⑶x=2⑷x=1또는x=-1007-24x+4-x=(2x+2-x)2-2이므로주어진방정식을변형하면(cid:100)(cid:100)(2x+2-x)2+(2x+2-x)-6=0이때2x+2-x=t(tæ2)로놓으면(cid:100)(cid:100)t2+t-6=0,(cid:100)(cid:100)(t+3)(t-2)=0(cid:100)(cid:100)∴t=-3또는t=2그런데tæ2이므로(cid:100)(cid:100)t=2따라서2x+2-x=2이므로(cid:100)(cid:100)x=0(cid:9000)x=01t1(2+'3)≈12+'39t93x006-1⑴주어진방정식을변형하면(3‹)x-1=3¤¥32x+1,(cid:100)(cid:100)33x-3=32x+3이므로3x-3=2x+3(cid:100)(cid:100)∴x=6⑵주어진방정식을변형하면5x¤-2=(5-1)x-4,(cid:100)(cid:100)5x¤-2=5-x+4이므로x¤-2=-x+4,(cid:100)(cid:100)x¤+x-6=0(x+3)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴x=-3또는x=2⑶주어진방정식을변형하면(2;2!;)x¤=2¤,(cid:100)(cid:100)2;2!;x¤=22이므로;2!;x¤=2,(cid:100)(cid:100)x¤=4(cid:100)∴x=-2또는x=2⑷주어진방정식을변형하면(2¤)x¤=29x+5,(cid:100)(cid:100)22x¤=29x+5이므로2x¤=9x+5,(cid:100)(cid:100)2x¤-9x-5=0(2x+1)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴x=-;2!;또는x=5(cid:9000)⑴x=6`⑵x=-3또는x=2(cid:100)⑶x=-2또는x=2⑷x=-;2!;또는x=5007-1⑴주어진방정식을변형하면(3x)¤-6¥3x-27=0이때3x=t(t>0)로놓으면(cid:100)(cid:100)t¤-6t-27=0,(cid:100)(cid:100)(t+3)(t-9)=0(cid:100)(cid:100)∴t=-3또는t=9그런데t>0이므로(cid:100)(cid:100)t=9따라서3x=9이므로(cid:100)(cid:100)3x=3¤(cid:100)(cid:100)∴x=2⑵주어진방정식을변형하면[{;2!;}x]¤+2¥{;2!;}x-3=0이때{;2!;}x=t(t>0)로놓으면(cid:100)(cid:100)t¤+2t-3=0,(cid:100)(cid:100)(t+3)(t-1)=0(cid:100)(cid:100)∴t=-3또는t=12x>0,2-x>0이므로산술평균과기하평균의관계에의하여(cid:100)(cid:100)2x+2-xæ2"√√2x¥2ç-x=2(단,등호는x=0일때성립)RemarkD1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지4 SinsagoHitec 01 지수함수5(cid:8833)본책23~28`쪽지수함수01009-2주어진방정식을변형하면(cid:100)(cid:100)(5x)2-2(a-3)5x+3a+1=0이때5x=t(t>0)로놓으면(cid:100)(cid:100)t2-2(a-3)t+3a+1=0yy㉠㉠㉠주어진방정식이서로다른두실근을가지면㉠`은서로다른두양의실근을갖는다.⁄이차방정식㉠의판별식을D라하면(cid:100)(cid:100)=(a-3)2-(3a+1)>0⁄양의a2-9a+8>0,양의(a-1)(a-8)>0⁄양의∴a<1또는a>8yy㉡㉠㉠¤(두근의합)=2(a-3)>0에서⁄양의a-3>0양의∴a>3yy㉢㉡㉡‹(두근의곱)=3a+1>0에서⁄양의3a>-1양의∴a>-;3!;yy㉣㉡㉡㉡,㉢,㉣의공통범위를구하면(cid:100)(cid:100)a>8(cid:9000)a>8010-1⑴주어진부등식을변형하면5x-2…(5-1)-2x+1,(cid:100)(cid:100)5x-2…52x-1밑이5이고5>1이므로x-2…2x-1(cid:100)(cid:100)∴xæ-1⑵주어진부등식을변형하면[{;3!;}2]x+2>{;3!;}5x-2(cid:100)(cid:100){;3!;}2x+4>{;3!;}5x-2밑이;3!;이고0<;3!;<1이므로2x+4<5x-2,(cid:100)(cid:100)-3x<-6(cid:100)(cid:100)∴x>2⑶주어진부등식을변형하면[{;2#;}-1]-x¤-2x<{;2#;}x+2(cid:100)(cid:100){;2#;}x¤+2x<{;2#;}x+2밑이;2#;이고;2#;>1이므로x¤+2x0)로놓으면(cid:100)(cid:100)t2-40t+k=0yy㉠㉠㉠주어진방정식의두근을a, b라하면㉠`의두근은2a, 2b이다.따라서이차방정식의근과계수의관계에의하여(cid:100)(cid:100)k=2a¥2b=2a+b=2‹=8(cid:9000)8D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지5 SinsagoHitec 6정답및풀이밑이5이고5>1이므로(cid:100)(cid:100)x>1⑷주어진부등식을변형하면[{;1¡0;}x]¤-10¥{;1¡0;}x-{;1¡0;}x+10…0[{;1¡0;}x]¤-11¥{;1¡0;}x+10…0이때{;1¡0;}x=t(t>0)로놓으면(cid:100)(cid:100)t¤-11t+10…0,(cid:100)(cid:100)(t-1)(t-10)…0(cid:100)(cid:100)∴1…t…10따라서1…{;1¡0;}x…10이므로(cid:100)(cid:100){;1¡0;}0…{;1¡0;}x…{;1¡0;}-1밑이;1¡0;이고0<;1¡0;<1이므로(cid:100)(cid:100)-1…x…0(cid:9000)⑴xæ0⑵x<1⑶x>1⑷-1…x…0012-1⑴⁄x>1일때,(cid:100)(cid:100)3x-2>7,(cid:100)(cid:100)3x>9(cid:100)(cid:100)∴x>3그런데x>1이므로(cid:100)(cid:100)x>3¤03⑵⁄x>1일때,(cid:100)(cid:100)x¤-6<3x+4,(cid:100)(cid:100)x¤-3x-10<0(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-5)<0(cid:100)(cid:100)∴-21이므로(cid:100)(cid:100)13x+4,(cid:100)(cid:100)x¤-3x-10>0(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-5)>0(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)∴x<-2또는x>5밑이0.2이고0<0.2<1이므로x¤-1…2x+2,(cid:100)(cid:100)x¤-2x-3…0(x+1)(x-3)…0(cid:100)(cid:100)∴-1…x…3(cid:9000)⑴xæ-1```````` `⑵x>2(cid:100)``(cid:100)```(cid:100)⑶-20)로놓으면(cid:100)(cid:100)t¤+2t-3æ0,(cid:100)(cid:100)(t+3)(t-1)æ0(cid:100)(cid:100)∴t…-3또는tæ1그런데t>0이므로(cid:100)(cid:100)tæ1따라서2xæ1이므로(cid:100)(cid:100)2xæ2‚밑이2이고2>1이므로(cid:100)(cid:100)xæ0⑵주어진부등식을변형하면[{}2]2x-1+2¥{;3!;}x-1>03¥[{;3!;}x]¤+2¥{;3!;}x-1>0이때{;3!;}x=t(t>0)로놓으면(cid:100)(cid:100)3t¤+2t-1>0,(cid:100)(cid:100)(t+1)(3t-1)>0(cid:100)(cid:100)∴t<-1또는t>;3!;그런데t>0이므로(cid:100)(cid:100)t>;3!;따라서{;3!;}x>;3!;이므로(cid:100)(cid:100){;3!;}x>{;3!;}1밑이;3!;이고0<;3!;<1이므로(cid:100)(cid:100)x<1⑶주어진부등식을변형하면(cid:100)(cid:100)-5x+4<0이때5x=t(t>0)로놓으면(cid:100)(cid:100)-t+4<0양변에t를곱하여정리하면(cid:100)(cid:100)t¤-4t-5>0,(cid:100)(cid:100)(t+1)(t-5)>0(cid:100)(cid:100)∴t<-1또는t>5그런데t>0이므로(cid:100)(cid:100)t>5따라서5x>5이므로(cid:100)(cid:100)5x>515t55x1'3D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지6 SinsagoHitec 01 지수함수7(cid:8833)본책28~31`쪽지수함수01그런데03⑵11이면주어진함수의지수가최대일때최대,01이므로x가최대일때f(x)는최대가된다.구간[-1, 3]에서함수f(x)=2x은x=3에서최대이고,최댓값은(cid:100)(cid:100)f(3)=2‹=8(cid:100)(cid:100)∴a=8또함수g(x)={;2!;}2x={;4!;}x에서밑이;4!;이고0<;4!;<1이므로x가최소일때g(x)는최대가된다.구간[-1, 3]에서함수g(x)={;2!;}2x은x=-1에서최대이고,최댓값은(cid:100)(cid:100)g(-1)={;4!;}-1=4(cid:100)(cid:100)∴b=4(cid:100)(cid:100)∴ab=32(cid:9000)3204문제이해•y=9-x-2¥3-x문제이해•y={;9!;}x-2¥{;3!;}x문제이해•y=[{;3!;}x]2-2¥{;3!;}x(cid:8837)20% 배점해결과정•{;3!;}x=t로놓으면-1…x…1에서(cid:100)(cid:100){;3!;}1…{;3!;}x…{;3!;}-1(cid:100)(cid:100)∴;3!;…t…3(cid:8837)20% 배점이때주어진함수는(cid:100)(cid:100)y=t¤-2t=(t-1)¤-1(cid:8837)20% 배점(cid:8833)본책31~`35쪽중단원연습문제01⑴'2<‡'∂32<‹'∂16(cid:100)⑵‹'∂0.25<fi'ƒ0.125<'∂0.5020033204-305①06x=-4또는x=107⑤08④09④10①113412①1314144'215②161217⑤187119③20①2115222801⑴`은밑이2인거듭제곱의꼴로,⑵`는밑이0.5인거듭제곱의꼴로나타낸후,지수함수의성질을이용한다.⑴'2,‹'∂16,‡'∂32를밑이2인거듭제곱의꼴로나타내면(cid:100)(cid:100)'2=2;2!;,‹'∂16=‹"ç2›=2;3$;, ‡'∂32=‡"ç2fi=2;7%;이때;2!;<;7%;<;3$;이고,지수함수y=2x은x의값이증가하면y의값도증가하므로(cid:100)(cid:100)2;2!;<2;7%;<2;3$;(cid:100)(cid:100)∴'2<‡'∂32<‹'∂16⑵'∂0.5,‹'∂0.25,fi'∂0.125를밑이0.5인거듭제곱의꼴로나타내면(cid:100)(cid:100)'∂0.5=0.5;2!;,‹'∂0.25=‹"ç0.5¤=0.5;3@;,(cid:100)(cid:100)fi'∂0.125=fi"ç0.5‹=0.5;5#;이때;2!;<;5#;<;3@;이고,지수함수y=0.5x은x의값이증가하면y의값은감소하므로(cid:100)(cid:100)0.5;3@;<0.5;5#;<0.5;2!;(cid:100)(cid:100)∴‹'∂0.25<fi'∂0.125<'∂0.5(cid:9000)⑴'2<‡'∂32<‹'∂16⑵‹'∂0.25<fi'∂0.125<'∂0.5D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지7 SinsagoHitec 8정답및풀이08(밑)>1,0<(밑)<1,(밑)=1의세가지경우로나누어주어진부등식을푼다.`⁄x>1일때,(cid:100)(cid:100)-x+1>3x-11,(cid:100)(cid:100)-4x>-12(cid:100)(cid:100)∴x<3그런데x>1이므로(cid:100)(cid:100)13그런데00)로놓으면(cid:100)(cid:100)t¤-at+8=0yy㉠(cid:100)(cid:100)(cid:8837)20% 배점해결과정•주어진방정식이오직하나의실근을가지면㉠은오직하나의양의실근을갖는다.㉠이양의실근1개와음의실근1개를갖는다고하면(cid:100)(cid:100)(두근의곱)<0그런데이차방정식의근과계수의관계에의하여(cid:100)(cid:100)(두근의곱)=8이므로㉠은양수인중근을갖는다.(cid:8837)30% 배점㉠의판별식을D라하면(cid:100)(cid:100)D=a¤-32=0(cid:100)(cid:100)∴a=—4'2(cid:8837)20% 배점답구하기•따라서방정식㉠은(cid:100)(cid:100)t¤–4'2t+8=0,(cid:100)(cid:100)(t–2'2)¤=0(cid:100)(cid:100)∴t=—2'2(복호동순)이때㉠의근이양수이어야하므로(cid:100)(cid:100)a=4'2(cid:8837)30% 배점(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:9000)4'215k=3_10‡,t=6일때kat=1.5_10°임을이용하여a의값을구한다.`처음에3_10‡마리인박테리아가6시간후에1.5_10°``마리가되므로(cid:100)(cid:100)3_10‡_afl=1.5_10°,(cid:100)(cid:100)afl=5(cid:100)(cid:100)∴a=5;6!;처음에3_10‡``마리인박테리아가t시간후에7.5_10°마리가된다고하면(cid:100)(cid:100)3_10‡_at=7.5_10°(cid:100)(cid:100)∴at=25즉{;2!;}a+4=2이므로(cid:100)(cid:100)a+4=-1(cid:100)(cid:100)∴a=-5(cid:9000)①11밑이2이고2>1이므로주어진함수는지수가최대일때최대,지수가최소일때최소가됨을이용한다.`함수y=2|x|+1의밑이2이고2>1이므로|x|+1이최대일때y도최대가되고,|x|+1이최소일때y도최소가된다.함수y=|x|+1의그래프는오른쪽그림과같으므로-3…x…4에서(cid:100)(cid:100)1…|x|+1…5따라서함수y=2|x|+1은|x|+1=5일때최대이고,최댓값은(cid:100)(cid:100)25=32|x|+1=1일때최소이고,최솟값은(cid:100)(cid:100)21=2따라서최댓값과최솟값의합은(cid:100)(cid:100)32+2=34(cid:9000)34y=2|x|+1=[이므로y=2|x|+1의그래프는오른쪽그림과같다.-3…x…4에서함수y=2|x|+1은x=4일때최대이고,최댓값은(cid:100)(cid:100)2|4|+1=32x=0일때최소이고,최솟값은(cid:100)(cid:100)2|0|+1=2따라서최댓값과최솟값의합은(cid:100)(cid:100)32+2=3412지수법칙을이용하여좌변과우변의식이서로같은지확인한다.`ㄱ.f(x+y)=3≈±¥=3x¥3y=f(x)f(y)ㄴ.f(2x)=32x=9≈,2f(x)=2¥3≈ㄴ.(cid:100)(cid:100)∴f(2x)+2f(x)ㄷ.f(x¤)=3x¤`,{f(x)}¤=(3≈)¤=32xㄴ.(cid:100)(cid:100)∴f(x¤)+{f(x)}¤이상에서옳은것은ㄱ뿐이다.(cid:9000)①xyy=2|x|+1O421632-32x+1(0…x…4)2-x+1(-3…x<0)xyO1-3445y=|x|+1D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지9 SinsagoHitec 10정답및풀이18점A가두곡선y=2x-1과y=2-x+;9A;위의점임을이용한다.`A(m,n)이라하면삼각형AOB의넓이가16이므로(cid:100)(cid:100);2!;¥4¥n=16(cid:100)(cid:100)∴n=8점A(m,8)이곡선y=2≈-1위의점이므로(cid:100)(cid:100)8=2μ-1(cid:100)(cid:100)∴2μ=9또점A(m,8)이곡선y=2—≈+;9A;위의점이므로(cid:100)(cid:100)8=2-μ+;9A;이때2μ=9이므로(cid:100)(cid:100)8=;9!;+;9A;(cid:100)(cid:100)a+1=72(cid:100)(cid:100)∴a=71(cid:9000)71193≈`의값의범위를구한후,그범위에속하는자연수x의값을구한다.`(3≈-5)(3≈-100)<0에서(cid:100)(cid:100)5<3≈<100이때3<5<3¤`,3›<100<3fi이므로3≈=3¤` 또는3≈=3‹또는3≈=3›∴x=2또는x=3또는x=4따라서주어진부등식을만족시키는모든자연수x의값의합은2+3+4=9(cid:9000)③20직선의기울기를이용하거나반례를찾아주어진보기의참,거짓을판별한다.`ㄱ.[반례]a=2이고x=1이면a>1이고x>0이지만(cid:100)(cid:100)==1이므로>1이성립하지않는다.f(x)x2⁄-11f(x)x이때a=5;6!;이므로(cid:100)(cid:100)5;6T;=25,(cid:100)(cid:100)5;6T;=52(cid:100)(cid:100);6T;=2(cid:100)(cid:100)∴t=12즉12시간후에7.5_108마리가된다.(cid:9000)②16문제이해•곡선y=2≈—⁄은곡선y=2≈±‹을x축의방향으로4만큼평행이동한것이고사각형ABCD에서AB”가x축에평행하므로AB”=4(cid:8837)40% 배점해결과정•사각형ABCD가정사각형이므로n=AD”=4(cid:8837)20% 배점점A(m,4)는곡선y=2≈—⁄` 위의점이므로4=2μ—⁄,(cid:100)(cid:100)2μ—⁄=2¤`m-1=2(cid:100)(cid:100)∴m=3(cid:8837)30% 배점답구하기•∴mn=12(cid:8837)10% 배점(cid:9000)12점B의x좌표를p(p0,n>0)으로내분하는점을P,외분하는점을Q라하면(cid:100)(cid:100)P{,},(cid:100)(cid:100)Q{,}(단,m+n)my™-ny¡m-nmx™-nx¡m-nmy™+ny¡m+nmx™+nx¡m+nRemark좌표평면위의선분의내분점과외분점D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지10 SinsagoHitec 01 지수함수11(cid:8833)본책33~35`쪽지수함수01⁄a=2일때,⁄(cid:100)(cid:100)1+4+4+2+1=12<20¤a=3일때,⁄(cid:100)(cid:100)1+4+9+3+1=18<20‹4…a…63일때,‹(cid:100)(cid:100)1+4+16+a+1=22+a‹(cid:100)(cid:100)20…22+a…40(cid:100)(cid:100)∴-2…a…18‹그런데4…a…63이므로(cid:100)(cid:100)4…a…18›aæ64일때,›(cid:100)(cid:100)1+4+16+64+1=86>40이상에서4…a…18이므로자연수a는(cid:100)(cid:100)4,5,6,y,18의15개이다.(cid:9000)1522해결과정•집합A의부등식을변형하면(cid:100)(cid:100)2x¤¥25…2-2x+8,(cid:100)(cid:100)2x¤+5…2-2x+8밑이2이고2>1이므로(cid:100)(cid:100)x¤+5…-2x+8,(cid:100)(cid:100)x¤+2x-3…0(cid:100)(cid:100)(x+3)(x-1)…0(cid:100)(cid:100)∴-3…x…1(cid:100)(cid:100)∴A={-3, -2, -1, 0, 1}(cid:8837)30% 배점집합B의부등식을변형하면(cid:100)(cid:100)22x-2≈<0,(cid:100)(cid:100)22x<2≈`밑이2이고2>1이므로(cid:100)(cid:100)2x1이고0n)xyOy=4xy=141a4y=a-x+4f(x)-1x-1(4;2!;-1)-1;2!;-1f(x)-1x-1f(x)+1x+2f(x)=ax-1xyO-2-1f(x)+1x+2f(x)-(-1)x-(-2)f(x)+1x+2원소의개수가n인집합A에대하여①집합A의부분집합의개수`: 2«`②집합A의특정한원소r(r…n)개를반드시원소로갖는부분집합의개수`: 2n-r③집합A의특정한원소k(k…n)개를원소로갖지않는부분집합의개수`: 2n-k④집합A의특정한원소l(l…n)개중에서적어도한개를원소로갖는부분집합의개수`: 2n-2n-lRemark부분집합의개수D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지11 SinsagoHitec 12정답및풀이본책39~64`쪽Ⅰ.지수함수와로그함수02로그함수013-1⑴y=10;2{;-1에서로그의정의에의하여(cid:100)(cid:100);2{;-1=logy,(cid:100)(cid:100);2{;=logy+1(cid:100)(cid:100)∴x=2logy+2x와y를서로바꾸면구하는역함수는(cid:100)(cid:100)y=2logx+2⑵y=log£2x에서로그의정의에의하여(cid:100)(cid:100)2x=3y(cid:100)(cid:100)∴x=x와y를서로바꾸면구하는역함수는(cid:100)(cid:100)y=(cid:9000)⑴y=2logx+2⑵y=013-2y=;2!;(3≈-3—≈)에서(cid:100)(cid:100)2y=3≈-3—≈위의식의양변에3x을곱하면(cid:100)(cid:100)2y¥3x=(3x)2-1(cid:100)(cid:100)∴(3x)2-2y¥3x-1=03x=t(t>0)로놓으면(cid:100)(cid:100)t¤-2yt-1=0(cid:100)(cid:100)∴t=y—"√y¤+1그런데t>0이므로(cid:100)(cid:100)t=y+"√y¤+1,즉3x=y+"√y¤+1로그의정의에의하여(cid:100)(cid:100)x=log£(y+"√y¤+1)x와y를서로바꾸면구하는역함수는(cid:100)(cid:100)y=log£(x+"√x¤+1)(cid:9000)y=log£(x+"√x¤+1)3x23x23y2유제014-1⑴-2log;3!;2와-logª;2¡7;을밑이3인로그로나타내면(cid:100)(cid:100)-2log;3!;2=2log£2=log£2¤=log£4(cid:100)(cid:100)-logª;2¡7;=-log32;2¡7;=-;2!;log£;2¡7;(cid:100)(cid:100)-logª;2¡7;=log£{;2¡7;}-;2!;=log£'∂27이때'∂10<4<'∂27이고, 로그함수y=log£x는x의값이증가하면y의값도증가하므로(cid:100)(cid:100)log£'∂10logåb>logå1,즉1>logåb>0log∫a>log∫b,즉log∫a>1∴01이므로(cid:100)(cid:100)1-log∫a<0ba⑴주어진함수는정의역{x|x는실수}에서치역{y|y>0}으로의일대일대응이다.⑵주어진함수는정의역{x|x>0}에서치역{y|y는실수}로의일대일대응이다.Remark주어진함수는정의역{x|x는실수}에서치역{y|y는실수}로의일대일대응이다.RemarkD1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지12 SinsagoHitec 02 로그함수13(cid:8833)본책39~50`쪽로그함수02∴log∫<0yy㉡㉠㉠㉠,㉡에서(cid:100)(cid:100)log∫-2}이고점근선의방정식은x=-2이다.⑵y=-log(-x)의그⑵래프는y=logx의그⑵래프를원점에대하여대칭이동한것이므로오른쪽그림과같다.따라서정의역은{x|x<0}이고점근선의방정식은x=0이다.(cid:9000)풀이참조017-1y=log∞x의그래프를x축에대하여대칭이동한그래프의식은(cid:100)(cid:100)-y=log∞x∴y=-log∞x13y=-log;3!;(-x)y=log;3!;xxyO1-113y=log;3!;(x+2)-1y=log;3!;xxyO-2 5-;:; 311313BACDxyO1mny=xy=log™xbababay=-log∞x의그래프를x축의방향으로2만큼,y축의방향으로-3만큼평행이동한그래프의식은(cid:100)(cid:100)y+3=-log∞(x-2)∴y=-log∞(x-2)-3(cid:9000)y=-log∞(x-2)-3017-2y=log£x의그래프를x축의방향으로m만큼, y축의방향으로n만큼평행이동한그래프의식은(cid:100)(cid:100)y-n=log£(x-m)(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)∴y=log£(x-m)+n이그래프를x축에대하여대칭이동한그래프의식은(cid:100)(cid:100)-y=log£(x-m)+n(cid:100)(cid:100)∴y=-log£(x-m)-n(cid:100)(cid:100)∴y=log;3!;(x-m)-nyy㉠㉠㉠y=log;3!;(3x-18)-1에서(cid:100)(cid:100)y=log;3!;3(x-6)-1(cid:100)(cid:100)y=log;3!;3+log;3!;(x-6)-1(cid:100)(cid:100)y=log;3!;(x-6)-2yy㉡㉠㉠㉠과㉡이일치해야하므로(cid:100)(cid:100)m=6, n=2(cid:100)(cid:100)∴m+n=8(cid:9000)8018-1⑴y=log∞(x¤-6x+13)에서밑이5이고5>1이므로x¤-6x+13이최대일때y도최대가되고,x¤-6x+13이최소일때y도최소가된다.이때x¤-6x+13=(x-3)¤+4이므로구간[3,7]에서(cid:100)(cid:100)4…x¤-6x+13…20따라서y=log∞(x¤-6x+13)은x¤-6x+13=20일때최대이고,최댓값은(cid:100)(cid:100)log∞20x¤-6x+13=4일때최소이고,최솟값은(cid:100)(cid:100)log∞4⑵y=log;2!;(|x-1|+2)에서밑이;2!;이고0<;2!;<1이므로|x-1|+2가최대일때y는최소가되고, |x-1|+2가최소일때y는최대가된다.구간[0, 3]에서(cid:100)(cid:100)2…|x-1|+2…4D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지13 SinsagoHitec 14정답및풀이따라서y=log;2!;(|x-1|+2)는|x-1|+2=2일때최대이고,최댓값은(cid:100)(cid:100)log;2!;2=log™—⁄2=-1|x-1|+2=4일때최소이고,최솟값은(cid:100)(cid:100)log;2!;4=log™—⁄2¤=-2(cid:9000)⑴최댓값:log∞20,최솟값:log∞4⑵최댓값:-1,최솟값:-2018-2y=log£(x¤-4x+31)에서밑이3이고3>1이므로x¤-4x+31이최소일때y도최소가된다.이때x¤-4x+31=(x-2)¤+27이므로함수y=log£(x¤-4x+31)은x=2일때최소이고,최솟값은(cid:100)(cid:100)log£27=log£3‹=3(cid:9000)3019-1⑴log;3!;x=t로놓으면;2¡7;…x…3에서(cid:100)(cid:100)log;3!;3…log;3!;x…log;3!;;2¡7;(cid:100)(cid:100)∴-1…t…3이때주어진함수는(cid:100)(cid:100)y=t2-4t+1=(t-2)2-3따라서-1…t…3에서함수y=(t-2)¤-3은t=-1일때최대이고,최댓값은(cid:100)(cid:100)(-1-2)2-3=6t=2일때최소이고,최솟값은(cid:100)(cid:100)(2-2)2-3=-3⑵y=log£x¥log;3!;x+2log£x+10y=log£x¥(-log£x)+2log£x+10y=-(log£x)¤+2log£x+10log£x=t로놓으면1…x…81에서(cid:100)(cid:100)log£1…log£x…log£81(cid:100)(cid:100)∴0…t…4이때주어진함수는(cid:100)(cid:100)y=-t¤+2t+10=-(t-1)¤+11따라서0…t…4에서함수y=-(t-1)¤+11은t=1일때최대이고, 최댓값은(cid:100)(cid:100)-(1-1)¤+11=11t=4일때최소이고, 최솟값은(cid:100)(cid:100)-(4-1)¤+11=2(cid:9000)⑴최댓값:6,최솟값:-3⑵최댓값:11,최솟값:2020-1⑴진수의조건에서x+3>0이므로(cid:100)(cid:100)x>-3yy㉠㉠㉠주어진방정식을변형하면(cid:100)(cid:100)log5(x+3)=log5¤2¤(cid:100)(cid:100)log5(x+3)=log∞2따라서x+3=2이므로(cid:100)(cid:100)x=-1x=-1은㉠`을만족시키므로구하는해이다.⑵밑의조건에서x+1>0, x+1+1이므로(cid:100)(cid:100)x>-1, x+0㉠㉠(cid:100)(cid:100)∴-10yy㉠㉠㉠logx+14=2에서진수4=(x+1)2따라서x+1=—2이므로(cid:100)(cid:100)x=-3또는x=1㉠`에의하여구하는해는(cid:100)(cid:100)x=1⑶진수의조건에서x+1>0, 19x-11>0이므로(cid:100)(cid:100)x>-1, x>;1!9!;(cid:100)(cid:100)∴x>;1!9!;yy㉠㉠㉠주어진방정식을변형하면(cid:100) (cid:100)(cid:100)log™(x+1)=log™3(19x-11)(cid:100)(cid:100)log2(x+1)=log2(19x-11)(cid:100)(cid:100)3log2(x+1)=log2(19x-11)(cid:100)(cid:100)log2(x+1)3=log2(19x-11)따라서(x+1)3=19x-11이므로(cid:100)(cid:100)x3+3x2-16x+12=0(cid:100)(cid:100)(x+6)(x-1)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴x=-6또는x=1또는x=2 ㉠에의하여구하는해는(cid:100)(cid:100)x=1또는x=2⑷진수의조건에서x>0,x-2>0,2x+3>0이므로(cid:100)(cid:100)x>0,x>2,x>-;2#;(cid:100)(cid:100)∴x>2yy㉠㉠㉠주어진방정식을변형하면(cid:100)(cid:100)2log3x=log3(x-2)+log3(2x+3)(cid:100)(cid:100)log3x2=log3(x-2)(2x+3)따라서x2=(x-2)(2x+3)이므로(cid:100)(cid:100)x2-x-6=0(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-3)=013D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지14 SinsagoHitec 02 로그함수15(cid:8833)본책50~58`쪽로그함수02(cid:100)(cid:100)∴x=-2또는x=3㉠에의하여구하는해는(cid:100)(cid:100)x=3(cid:9000)⑴x=-1⑵x=1⑶x=1또는x=2⑷x=3021-1⑴logx=t로놓으면(cid:100)(cid:100)t¤-4t=0,(cid:100)(cid:100)t(t-4)=0(cid:100)(cid:100)∴t=0또는t=4따라서logx=0또는logx=4이므로(cid:100)(cid:100)x=1또는x=10000⑵주어진방정식을변형하면(cid:100)(cid:100);3!;log2x+=;3$;log2x=t로놓으면(cid:100)(cid:100)+=;3$;양변에3t를곱하여정리하면(cid:100)(cid:100)t¤-4t+3=0,진수(t-1)(t-3)=0(cid:100)(cid:100)∴t=1또는t=3따라서log2x=1또는log2x=3이므로(cid:100)(cid:100)x=2또는x=8(cid:100)⑶주어진방정식을변형하면(cid:100)(cid:100)(log3x)2-3log3x-4=0log3x=t로놓으면(cid:100)(cid:100)t2-3t-4=0,진수(t+1)(t-4)=0(cid:100)(cid:100)∴t=-1또는t=4따라서log3x=-1또는log3x=4이므로(cid:100)(cid:100)x=;3!;또는x=81⑷주어진방정식을변형하면(cid:100)(cid:100)(log24+log2x)(log22+log2x)=6(cid:100)(cid:100)(2+log2x)(1+log2x)=6(cid:100)(cid:100)(log2x)2+3log2x-4=0log2x=t로놓으면(cid:100)(cid:100)t2+3t-4=0,(cid:100)(cid:100)(t+4)(t-1)=0(cid:100)(cid:100)∴t=-4 또는t=1따라서log2x=-4또는log2x=1이므로(cid:100)(cid:100)x=;1¡6;또는x=2(cid:9000)⑴x=1또는x=10000`⑵x=2또는x=8``````⑶x=;3!;또는x=81(cid:100)`````⑷x=;1¡6;또는x=21tt31log™x022-1⑴xlog3x=의양변에밑이3인로그를` 취하면(cid:100)(cid:100)log3xlog3x=log3(cid:100)(cid:100)log3x¥log3x=log381-log3x3(cid:100)(cid:100)∴(log3x)2+3log3x-4=0log3x=t로놓으면(cid:100)(cid:100)t2+3t-4=0,(cid:100)(cid:100)(t+4)(t-1)=0(cid:100)(cid:100)∴t=-4또는t=1따라서log3x=-4또는log3x=1이므로(cid:100)(cid:100)x=;8¡1;또는x=3⑵xlog5=5logx이므로주어진방정식은(cid:100)(cid:100)(5logx)¤-6¥5logx+5=05logx=t`(t>0)로놓으면(cid:100)(cid:100)t¤-6t+5=0,(cid:100)(cid:100)(t-1)(t-5)=0(cid:100)(cid:100)∴t=1또는t=5따라서5logx=1또는5logx=5이므로(cid:100)(cid:100)logx=0또는logx=1(cid:100)(cid:100)∴x=1또는x=10(cid:9000)⑴x=;8¡1;또는x=3⑵x=1또는x=10022-253-x=2x의양변에상용로그를취하면log53-x=log2x,(cid:100)(cid:100)(3-x)log5=xlog23log5-xlog5=xlog2x(log2+log5)=3log5(cid:100)(cid:100)xlog10=3log5(cid:100)(cid:100)∴x=3log5=log5‹=log125∴k=125(cid:9000)125023-1(log3x)2-4log3x+2=0에서log3x=t로놓으면(cid:100)(cid:100)t2-4t+2=0yy㉠(cid:100)(cid:100)이때주어진방정식의두근이a,b이므로㉠의두근은log3a, log3b이다.따라서이차방정식의근과계수의관계에의하여(cid:100)(cid:100)log3a+log3b=4, log3a¥log3b=2(cid:100)(cid:100)∴loga3+logb3=+(cid:100)(cid:100)∴loga3+logb3=(cid:100)(cid:100)∴loga3+logb3=;2$;=2(cid:9000)2log£a+log£blog£a¥log£b1log£b1log£a81x‹81x‹D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지15 SinsagoHitec 16정답및풀이023-2주어진방정식의판별식을D라하면=(loga+2)¤-(loga+8)=0(loga)¤+3loga-4=0loga=t로놓으면t¤+3t-4=0,(cid:100)(cid:100)(t+4)(t-1)=0∴t=-4또는t=1즉loga=-4또는loga=1이므로a=;100¡00;또는a=10따라서모든a의값의곱은(cid:100)(cid:100);100¡00;¥10=;10¡00;(cid:9000);10¡00;024-1⑴진수의조건에서x-2>0,x+10>0이므로(cid:100)(cid:100)x>2,x>-10(cid:100)(cid:100)∴x>2yy㉠(cid:100)(cid:100)주어진부등식을변형하면(cid:100)(cid:100)log(x-2)¤…log(x+10)밑이10이고10>1이므로(cid:100)(cid:100)(x-2)¤…x+10,(cid:100)(cid:100)x¤-5x-6…0(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-6)…0(cid:100)(cid:100)∴-1…x…6yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠, ㉡의공통범위를구하면(cid:100)(cid:100)20, x-2>0이므로(cid:100)(cid:100)x>4,x>2(cid:100)(cid:100)∴x>4yy㉠㉠㉠주어진부등식을변형하면(cid:100)(cid:100)log0.5(x-4)2>log0.5(x-2)밑이0.5이고0<0.5<1이므로(cid:100)(cid:100)(x-4)20(cid:100)(cid:100)∴x>;4#;yy㉠(cid:100)(cid:100)D4주어진부등식을변형하면(cid:100)(cid:100)logx(4x-3)>logxx¤⁄x>1일때,밑이x이고x>1이므로(cid:100)(cid:100)4x-3>x¤,(cid:100)(cid:100)x¤-4x+3<0(cid:100)(cid:100)(x-1)(x-3)<0(cid:100)(cid:100)∴10(cid:100)(cid:100)(x-1)(x-3)>0(cid:100)(cid:100)∴x<1또는x>3그런데00,x‹>0(cid:100)(cid:100)∴x>0yy㉠(cid:100)(cid:100)주어진부등식을변형하면(cid:100)(cid:100)(logx)¤-3logx<0logx=t로놓으면(cid:100)(cid:100)t¤-3t<0,(cid:100)(cid:100)t(t-3)<0(cid:100)(cid:100)∴01이므로(cid:100)(cid:100)10,8x>0(cid:100)(cid:100)∴x>0yy㉠(cid:100)(cid:100)주어진부등식을변형하면D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지16 SinsagoHitec 02 로그함수17(cid:8833)본책58~64`쪽로그함수02(cid:100)(cid:100)(log;2!;4+log;2!;x)(log;2!;8+log;2!;x)…2(cid:100)(cid:100)(-2+log;2!;x)(-3+log;2!;x)…2(cid:100)(cid:100)(log;2!;x)¤-5log;2!;x+6…2(cid:100)(cid:100)∴(log;2!;x)¤-5log;2!;x+4…0log;2!;x=t로놓으면(cid:100)(cid:100)t¤-5t+4…0,(cid:100)(cid:100)(t-1)(t-4)…0(cid:100)(cid:100)∴1…t…4따라서1…log;2!;x…4이므로(cid:100)(cid:100)log;2!;;2!;…log;2!;x…log;2!;{;2!;}4밑이;2!;이고0<;2!;<1이므로(cid:100)(cid:100);1¡6;…x…;2!;yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡의공통범위를구하면(cid:100)(cid:100);1¡6;…x…;2!;(cid:9000)⑴10yy㉠(cid:100)(cid:100)xlog0.1x<æ—;1”0;의양변에밑이0.1인로그를취하면(cid:100)(cid:100)log0.1xlog0.1x>log0.1æ—;1”0;(cid:100)(cid:100)log0.1x_log0.1x>log0.1{;1”0;};2!;(cid:100)(cid:100)(log0.1x)¤>;2!;log0.1(0.1_x)(cid:100)(cid:100)(log0.1x)¤-;2!;(log0.10.1+log0.1x)>0(cid:100)(cid:100)∴(log0.1x)¤-;2!;log0.1x-;2!;>0log0.1x=t로놓으면(cid:100)(cid:100)t¤-;2!;t-;2!;>0,(cid:100)(cid:100)2t¤-t-1>0(cid:100)(cid:100)(2t+1)(t-1)>0(cid:100)(cid:100)∴t<-;2!;또는t>1따라서log0.1x<-;2!;또는log0.1x>1이므로(cid:100)(cid:100)log0.1xlog0.10.1밑이0.1이고0<0.1<1이므로(cid:100)(cid:100)x>0.1-;2!;또는x<0.1(cid:100)(cid:100)∴x<0.1또는x>'∂10yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡의공통범위를구하면(cid:100)(cid:100)0'∂10⑵2x+2<3x-1의양변에상용로그를취하면(cid:100)(cid:100)log2x+22log2+log3log3-log2>0이므로(cid:100)(cid:100)x>(cid:9000)⑴0'∂10⑵x>027-1주어진이차방정식의판별식을D라할때,실근이존재하지않으므로(cid:100)(cid:100)=(1+loga)¤-(3+loga)<0(cid:100)(cid:100)(loga)¤+loga-2<0(cid:100)(cid:100)(loga+2)(loga-1)<0(cid:100)(cid:100)∴-20,7+x>0이므로(cid:100)(cid:100)x<7,x>-7(cid:100)(cid:100)∴-7log™2›밑이2이고2>1이므로(cid:100)(cid:100)(7-x)(7+x)>2›,(cid:100)(cid:100)x¤<33(cid:100)(cid:100)∴-'∂330,>0이므로(cid:100)(cid:100)x>0yy㉠(cid:100)(cid:100)(cid:8837)20% 배점해결과정•주어진부등식을변형하면(log£9-log£x)(log£27-log£x)…12(2-log£x)(3-log£x)…12(cid:100)(cid:100)(log£x)¤-5log£x+6…12∴(log£x)¤-5log£x-6…0(cid:8837)30% 배점27x9x23t23log™xlog£x=t로놓으면(cid:100)(cid:100)t¤-5t-6…0,(cid:100)(cid:100)(t+1)(t-6)…0(cid:100)(cid:100)∴-1…t…6따라서-1…log£x…6이므로(cid:100)(cid:100)log£3-1…log£x…log£3fl`밑이3이고3>1이므로(cid:100)(cid:100);3!;…x…729(cid:100)(cid:100)yy㉡(cid:100)(cid:100)(cid:8837)30% 배점㉠,㉡의공통범위를구하면(cid:100)(cid:100);3!;…x…729(cid:8837)10% 배점답구하기•따라서a=;3!;, b=729이므로(cid:100)(cid:100)ab=243(cid:8837)10% 배점(cid:9000)24308지수에밑이;3!;인로그가있으므로양변에밑이;3!;인로그를취한후,log;3!;x=t로치환한다.`진수의조건에서(cid:100)(cid:100)x>0yy㉠(cid:100)(cid:100)xlog;3!;x<의양변에밑이;3!;인로그를취하면log;3!;xlog;3!;x>log;3!;(cid:100)(cid:100)log;3!;x¥log;3!;x>log;3!;x‹-log;3!;81(cid:100)(cid:100)∴(log;3!;x)¤-3log;3!;x-4>0log;3!;x=t로놓으면(cid:100)(cid:100)t¤-3t-4>0,(cid:100)(cid:100)(t+1)(t-4)>0(cid:100)(cid:100)∴t<-1또는t>4따라서log;3!;x<-1또는log;3!;x>4이므로log;3!;xlog;3!;{;3!;}›밑이;3!;이고0<;3!;<1이므로(cid:100)(cid:100)x>{;3!;}-1또는x<{;3!;}›(cid:100)(cid:100)∴x<;8¡1;또는x>3yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡의공통범위를구하면(cid:100)(cid:100)03따라서주어진부등식을만족시키는가장작은정수는4이다.(cid:9000)④x‹81x‹81D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지19 SinsagoHitec 20정답및풀이09문제이해•현재개구리의개체수를a라하면n년후의개체수는(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)a(1+0.04)n=1.04na(cid:8837)30% 배점해결과정•n년후의개체수가현재개체수의2배이상이되려면(cid:100)(cid:100)1.04naæ2a이때a>0이므로양변을a로나누면(cid:100)(cid:100)1.04næ2(cid:8837)30% 배점1.04næ2의양변에상용로그를취하면(cid:100)(cid:100)log1.04nælog2(cid:100)(cid:100)∴nlog1.04ælog2log1.04=0.0170, log2=0.3010이므로(cid:100)(cid:100)0.0170næ0.3010(cid:100)(cid:100)∴næ=17.y(cid:8837)30% 배점답구하기•따라서개구리의개체수가처음으로현재개체수의2배이상이되는것은18년후이다.(cid:8837)10% 배점(cid:9000)18년10H(a, 0)으로놓고AH”=PH”임을이용하여a에대한식을세운다.`점P의x좌표를a라하면(cid:100)(cid:100)P(a,log;2#;a),H(a,0)AH”=PH”이므로(cid:100)(cid:100)a-1=log;2#;a따라서점P와직선y=x,즉x-y=0사이의거리는===(cid:9000)11두점A,B의x좌표가같고,두점B,C의y좌표가같음을이용하여세점A,B,C의좌표를구한다.`점B는곡선y=log™x위에있고x좌표가;2!;이므로점B의y좌표를b라하면(cid:100)(cid:100)b=log™;2!;=-1(cid:100)(cid:100)∴B{;2!;,-1}'22'221"2|a-(a-1)|"2|a-log;2#;a|"√1¤+(-1)¤0.30100.0170점A는곡선y=log¢;[!;위에있고x좌표가;2!;이므로점A의y좌표를a라하면(cid:100)(cid:100)a=log¢=log¢2=;2!;(cid:100)(cid:100)∴A{;2!;,;2!;}점C는곡선y=log¢;[!;위에있고y좌표가-1이므로점C의x좌표를c라하면(cid:100)(cid:100)-1=log¢,(cid:100)(cid:100)=4-1(cid:100)(cid:100)∴c=4(cid:100)(cid:100)∴C(4,-1)따라서두점A,C를지나는직선의기울기는(cid:100)(cid:100)=-;7#;(cid:9000)③12f(x)에x=1,2,…,93을대입한후로그의성질을이용한다.`f(x)=loga{1+}=loga이므로(cid:100)(cid:100)f(1)+f(2)+f(3)+y+f(93)=loga;3$;+loga;4%;+loga;5^;+y+loga;9(5^;=loga{;3$;¥;4%;¥;5^;¥y¥;9(5^;}=loga;;ª3§;;=loga32따라서loga32=-5이므로로그의정의에의하여(cid:100)(cid:100)a-5=32,(cid:100)(cid:100)a-5={;2!;}-5에서∴a=;2!;(cid:9000)③13f(x)=logax(a>0,a+1)에서a>1일때x¡f(x™)`f(x)=log;2!;(x¤-2x+5)=log;2!;{(x-1)¤+4}ㄱ.g(x)=(x-1)¤+4라하면x>1에서x의값이증가하면g(x)의값도증가한다.이때f(x)의밑이;2!;이고0<;2!;<1이므로g(x)가증가하면f(x)는감소한다.따라서1f(x™)이다.x+3x+21x+2-1-;2!;4-;2!;1c1c1;2!;점(x¡, y¡)과직선ax+by+c=0사이의거리d는(cid:100)(cid:100)d=|ax¡+by¡+c|"√a¤+b¤Remark점과직선사이의거리D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지20 SinsagoHitec 02 로그함수21(cid:8833)본책66~68`쪽로그함수02ㄴ.f(2)=f(0)=log;2!;5이므로함수f(x)는일대일대응이아니다.따라서함수f(x)의역함수는존재하지않는다.ㄷ.g(x)=(x-1)¤+4가최소일때f(x)는최대가된다.g(x)는x=1일때최솟값4를가지므로f(x)의최댓값은(cid:100)(cid:100)f(1)=log;2!;4=log;2!;{;2!;}-2=-2따라서임의의실수x에대하여f(x)…-2이다.이상에서옳은것은ㄱ,ㄷ이다.(cid:9000)④14주어진로그함수의밑이;3!;이고0<;3!;<1이므로x의값이증가하면y의값은감소한다.`y=log;3!;(x-a)에서밑이;3!;이고0<;3!;<1이므로x-a가최대일때y는최소가된다.따라서5…x…25에서함수y=log;3!;(x-a)는x=25일때최소이므로(cid:100)(cid:100)-2=log;3!;(25-a),(cid:100)(cid:100)25-a={;3!;}-2(cid:100)(cid:100)25-a=9(cid:100)(cid:100)∴a=16(cid:9000)④15로그의정의에의하여logaf(x)=b(cid:100)HjjKf(x)=ab임을이용한다.`진수의조건에서x>0,log™x>0이므로(cid:100)(cid:100)x>0,x>1(cid:100)(cid:100)∴x>1yy㉠㉠㉠log¢(log™x)=1에서(cid:100)(cid:100)log™x=4따라서log™x=4에서(cid:100)(cid:100)x=2›=16x=16은㉠을만족시키므로구하는x의값이다.(cid:9000)1616문제이해•진수의조건에서x-1>0이므로(cid:100)(cid:100)x>1(cid:100)yy㉠(cid:100)(cid:100)(cid:8837)20% 배점해결과정•|log¢(x-1)|<1에서(cid:100)(cid:100)-11이므로(cid:100)(cid:100);4!;0,log£x>0임에주의하여로그부등식을푼다.`진수의조건에서x>0,log3x>0이므로(cid:100)(cid:100)x>0,x>1(cid:100)(cid:100)∴x>1yy㉠㉠㉠log4(log3x)…1에서므로log4(log3x)…log44밑이4이고4>1이므로므로log3x…4(cid:100)(cid:100)log3x…log334밑이3이고3>1이므로(cid:100)(cid:100)x…81yy㉡㉡㉡㉠,㉡의공통범위를구하면(cid:100)(cid:100)10(cid:100)(cid:100)yy㉠㉠㉠(cid:8837)10% 배점해결과정•주어진부등식을변형하면(cid:100)(cid:100)(log2x)2+2(log22+log2x)-log4kæ0(cid:100)(cid:100)(log2x)2+2(1+log2x)-log4kæ0(cid:100)(cid:100)∴(log2x)2+2log2x+2-log4kæ0log2x=t로놓으면(cid:100)(cid:100)t2+2t+2-log4kæ0(cid:8837)30% 배점주어진부등식이모든양의실수x에대하여성립하므로이부등식은모든실수t에대하여성립해야한다.이차방정식t2+2t+2-log4k=0의판별식을D라하면함수f(x)가일대일대응이면①정의역의임의의두원소x¡,x™에대하여x¡+x™이면f(x¡)+f(x™)이다.②치역과공역이같다.Remark일대일대응D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지21 SinsagoHitec 22정답및풀이(cid:100)(cid:100)=1-(2-log4k)…0,(cid:100)(cid:100)log4k…1(cid:100)(cid:100)∴k…4yy㉡㉡㉡(cid:8837)40% 배점답구하기•㉠, ㉡의공통범위를구하면(cid:100)(cid:100)01일때,ax¡4에서(cid:100)(cid:100)2x+3>2¤⁄밑이2이고2>1이므로(cid:100)(cid:100)x+3>2⁄(cid:100)(cid:100)∴x>-1yy㉠㉡㉡¤진수의조건에서x+3>0, 5x+15>0이므로⁄(cid:100)(cid:100)x>-3yy㉡㉡㉡⁄2log(x+3)1이므로⁄(cid:100)(cid:100)(x+3)¤<5x+15,(cid:100)(cid:100)x¤+x-6<0⁄(cid:100)(cid:100)(x+3)(x-2)<0⁄(cid:100)(cid:100)∴-3b>c(cid:9000)①21세점P,Q,R가각각어떤두곡선의교점인지파악한다.`y=|log™x|==ㄱ.log;2!;x=1에서ㄱ.(cid:100)(cid:100)x=;2!;ㄱ.따라서오른쪽그림ㄱ.에서ㄱ.(cid:100)(cid:100);2!;0이성립할조건(cid:8857)a>0,D<0②ax¤+bx+cæ0이성립할조건(cid:8857)a>0,D…0③ax¤+bx+c<0이성립할조건(cid:8857)a<0,D<0④ax¤+bx+c…0이성립할조건(cid:8857)a<0,D…0Remark이차부등식이항상성립할조건D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지22 SinsagoHitec 02 로그함수23(cid:8833)본책68~69`쪽로그함수02따라서x¡=y¡이므로(cid:100)(cid:100)x™(x¡-1)>y¡(y™-1)(cid:100)(cid:100)HjjKx™(y¡-1)>x¡(y™-1)x¡>0,x™>0이므로부등식의양변을x¡x™로나누면(cid:100)(cid:100)>yy㉠㉠㉠T(0,1)이라하면은직선PT의기울기이고은직선QT의기울기이므로다음그림에서(cid:100)(cid:100)<따라서㉠은성립하지않는다.이상에서옳은것은ㄱ,ㄴ이다.(cid:9000)③22문제이해•y=4xlog™x-2의양변에밑이2인로그를취하면(cid:100)(cid:100)log™y=log™4xlog™x-2=log™4+log™xlog™x-2=2+(log™x-2)log™x=(log™x)¤-2log™x+2(cid:8837)30% 배점해결과정•log™x=t로놓으면;2!;…x…2에서(cid:100)(cid:100)log™;2!;…log™x…log™2(cid:100)(cid:100)∴-1…t…1이때주어진함수는(cid:100)(cid:100)log™y=t¤-2t+2=(t-1)¤+1따라서-1…t…1에서함수log™y=(t-1)¤+1은t=1일때최솟값1,t=-1일때최댓값5를가지므로(cid:100)(cid:100)1…log™y…5,(cid:100)(cid:100)log™2…log™y…log™25(cid:100)(cid:100)∴2…y…32(cid:8837)50% 배점답구하기•따라서M=32, m=2이므로(cid:100)(cid:100)M-m=30(cid:8837)20% 배점(cid:9000)30xyO11RTPQy=|log™x|y=2xy=1-2xy™-1x™y¡-1x¡y™-1x™y¡-1x¡y™-1x™y¡-1x¡23문제의정의에따라함수f(x)의식을구하고y=f(x)의그래프를그려본다.`1…x<10일때0…logx<1이고,10…x<100일때1…logx<2이므로(cid:100)(cid:100)따라서함수y=f(x)의그래프는다음그림과같다.직선y=2-는n의값에관계없이항상점(0,2)를지나므로함수y=f(x)의그래프와직선y=2-가서로다른두점에서만나려면⁄직선y=2-가점(10,0)을지날때,⁄0=2-에서(cid:100)(cid:100)n=5¤직선y=2-가점(10,1)을지날때,⁄1=2-에서(cid:100)(cid:100)n=10⁄,¤에서5…n<10이므로자연수n은5, 6, 7, 8,9의5개이다.(cid:9000)510nxn10nxnxnxnxyOy=f(x)12110100⁄¤logx(1…x<10)logx-1(10…x<100)[f(x)=직선y=2-는항상점(0,2)를지나므로이직선이색칠한부분에있을때f(x)의그래프와직선y=2-는두점에서만난다.xnxnRemarkD1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지23 SinsagoHitec 24정답및풀이본책73~85쪽유제Ⅰ.지수함수와로그함수03지수함수와로그함수의미분029-1⑴==-1 ⑵(4≈-3≈±⁄)=4≈[1-3{;4#;}≈]=¶⑶-x=t로놓으면x2⁄-¶일때t2⁄¶이므로(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)==-1(cid:9000)⑴-1⑵¶⑶-1030-1⑴{log;3!;(3x+1)-log;3!;x}=log;3!;=log;3!;{}=log;3!;3=-1⑵(log™|x-3|-log™|'ƒx+1-2|)={log™||}=[log™||]=[log™||]=(log™|'ƒx+1+2|)=log™{|'ƒx+1+2|}=log™('4+2)=log™4=2(cid:9000)⑴-1⑵2031-1⑴{1+;4{;};[#;=[{1+;4{;};[$;];4#;=e;4#;limx⁄0limx⁄0limx⁄3limx⁄3(x-3)('ƒx+1+2)x-3limx⁄3(x-3)('ƒx+1+2)('ƒx+1-2)('ƒx+1+2)limx⁄3x-3'ƒx+1-2limx⁄3limx⁄33x+1xlimx⁄¶3x+1xlimx⁄¶limx⁄¶{;2¡5;}†-1{;2¡5;}†+1limt⁄¶{;5!;}†-5†{;5!;}†+5†limt⁄¶5—†-5†5—†+5†limt⁄¶5≈-5—≈5≈+5—≈limx⁄-¶limx⁄¶limx⁄¶{;3@;}≈-1{;3@;}≈+1limx⁄¶2≈-3≈2≈+3≈limx⁄¶⑵{};2{;=[{⁄+;[!;}/];2!;=e;2!;='e⑶-x=t로놓으면x2⁄0일때t2⁄0이므로(cid:100) (cid:100) (cid:100)(cid:100)(1-x);[!;=(1+t)-;t!;(cid:100) (cid:100)(cid:100)(1-x);[!;={(1+t);t!;}-1(cid:100) (cid:100)(cid:100)(1-x);[!;=e-1=;e!;⑷-=t로놓으면x2⁄¶일때t2⁄0이므로(cid:100) (cid:100)(cid:100){1-}6x=(1+t)-;t@;(cid:100) (cid:100)(cid:100){1-}6x={(1+t);t!;}-2(cid:100) (cid:100)(cid:100){1-}6x=e-2=(cid:9000)⑴e;4#;⑵'e ⑶;e!;⑷032-1⑴==-=¥3-¥2=1¥3-1¥2=1⑵==-=+=1+ln5=ln5e⑶=;[!;{log™(2+x)-log™2}=;[!;log™=;[!;log™{1+;2{;}=log™{1+;2{;};[!;=log™[{1+;2{;};[@;];2!;=log™e;2!;=;2!;log™e=12ln2limx⁄0limx⁄0limx⁄02+x2limx⁄0limx⁄0log™(2+x)-1xlimx⁄05-x-1-xlimx⁄0ex-1xlimx⁄05-x-1xlimx⁄0ex-1xlimx⁄0ex-1-5-x+1xlimx⁄0ex-5-xxlimx⁄0e¤≈-12xlimx⁄0e‹≈-13xlimx⁄0e¤≈-1xlimx⁄0e‹≈-1xlimx⁄0e‹≈-1-e¤≈+1xlimx⁄0e‹≈-e¤≈xlimx⁄01e¤1e¤limt⁄0limt⁄013xlimx⁄¶13xlimt⁄0limt⁄0limx⁄0limx⁄¶x+1xlimx⁄¶D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지24 SinsagoHitec 03 지수함수와로그함수의미분25(cid:8833)본책73~85`쪽지수함수와로그함수의미분03⑷x{ln(x+1)-lnx}=xln=xln{1+;[!;}=ln{1+;[!;}/=lne=1(cid:9000)⑴1⑵ln5e⑶⑷1033-1x2⁄0일때,(분모)2⁄0이고극한값이존재하므로(분자)2⁄0이다.즉ln(a+4x)=0이므로(cid:100)(cid:100)lna=0(cid:100)(cid:100)∴a=1a=1을주어진식에대입하면=¥¥;3$;=1¥1¥;3$;=;3$;(cid:100)(cid:100)∴b=;3$;(cid:9000)a=1,b=;3$;033-2x2⁄;3!;일때,(분모)2⁄0이고극한값이존재하므로(분자)2⁄0이다.즉(ax-b)=0이므로(cid:100)(cid:100);3!;a-b=0(cid:100)(cid:100)∴a=3byy㉠㉠㉠㉠을주어진식에대입하면(cid:100)(cid:100)=yy㉡㉠㉠x-;3!;=t로놓으면x2⁄;3!;일때t2⁄0이므로㉡은(cid:100)(cid:100)=¥b=1¥b=b즉b=4이므로이것을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)a=12(cid:100)(cid:100)∴a+b=16(cid:9000)16034-1⑴y=e2x=ex¥ex이므로(cid:100)(cid:100)y'=(ex)'ex+ex(ex)'=e2x+e2x=2e2x⑵y'=(3x+1)'5x+(3x+1)(5x)'=3¥5x+(3x+1)¥5xln5=5x{3+(3x+1)ln5}3tln(1+3t)limt⁄03btln(1+3t)limt⁄0b(3x-1)ln3xlimx⁄;3!;3bx-bln3xlimx⁄;3!;limx⁄;3!;3xe3x-1ln(1+4x)4xlimx⁄0ln(1+4x)e3x-1limx⁄0limx⁄012ln2limx⁄¶limx⁄¶x+1xlimx⁄¶limx⁄¶⑶y'=(x¤+3)'{;2!;}x+(x¤+3)[{;2!;}x]'⑶y'=2x¥{;2!;}x+(x¤+3)¥{;2!;}xln;2!;⑶y'={;2!;}x[2x+(x¤+3)ln;2!;]⑶y'={;2!;}x{2x-(x¤+3)ln2}(cid:9000)풀이참조034-2f(x)=3x+1=3¥3x이므로(cid:100)(cid:100)f'(x)=3¥3xln3=3x+1ln3따라서x=0에서의미분계수는(cid:100)(cid:100)f'(0)=3ln3(cid:9000)3ln3035-1⑴y==이므로(cid:100)(cid:100)y'=⑵y=(4x¤-1)lnx‹=3(4x¤-1)lnx=(12x¤-3)lnx이므로(cid:100)(cid:100)y'=(12x¤-3)'lnx+(12x¤-3)(lnx)'(cid:100)(cid:100)y'=24xlnx+(12x¤-3)¥;[!;(cid:100)(cid:100)y'=24xlnx+12x-;[#;⑶y'=(ex)'log∞x+ex(log∞x)'⑶y'=exlog∞x+ex¥⑶y'=ex{log∞x+}⑷y=(log£x)¤+;3!;lnx=log£x¥log£x+;3!;lnx⑶이므로⑶(cid:100)(cid:100)y'=(log£x)'log£x+log£x(log£x)'+{;3!;lnx}'⑶(cid:100)(cid:100)y'=¥log£x+log£x¥+⑶(cid:100)(cid:100)y'=+⑶(cid:100)(cid:100)y'=(cid:9000)풀이참조6log£x+ln33xln313x2log£xxln313x1xln31xln31xln51xln543x4lnx3lnx›3D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지25 SinsagoHitec 26정답및풀이(cid:8833)본책86~89쪽중단원연습문제01logåM-logåN=logå(a>0,a+1,M>0,N>0)임을이용한다.`{log™(2+8x¤)-2log™x}={log™(2+8x¤)-log™x¤}={log™}=log™{}=log™8=3(cid:9000)302=lna(a>0,a+1)임을이용한다.``==-=ln(a+12)-lna=ln즉ln=ln3에서=3이므로(cid:100)(cid:100)a+12=3a,(cid:100)(cid:100)2a=12(cid:100)(cid:100)∴a=6(cid:9000)⑤03x2⁄a일때,(분모)2⁄0이고극한값이존재하면(분자)2⁄0임을이용한다.`x2⁄2일때,(분모)3⁄0이고극한값이존재하므로(분자)2⁄0이다.즉{ln(x+a)+b}=0이므로(cid:100)(cid:100)ln(2+a)+b=0(cid:100)(cid:100)∴b=-ln(2+a)yy`㉠㉠㉠limx⁄2a+12aa+12aa+12aa≈-1xlimx⁄0(a+12)≈-1xlimx⁄0(a+12)≈-1-a≈+1xlimx⁄0(a+12)≈-a≈xlimx⁄0a≈-1xlimx⁄02+8x¤x¤limx⁄¶2+8x¤x¤limx⁄¶limx⁄¶limx⁄¶MN01302⑤03a=0, b=-ln204①05e06②07log608①09e10②11-512④132814③15①164㉠`을주어진식에대입하고,x-2=t로놓으면x2⁄2일때t2⁄0이므로(cid:100)(cid:100)==(cid:100)=ln=¥ln{1+}=ln{1+};t!;=ln[{1+}]=;4!;lne=즉=;8!;에서(cid:100)(cid:100)a=0a=0을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)b=-ln2(cid:9000)a=0, b=-ln204곱의미분법을이용하여도함수를구한후x=0을대입한다.`f(x)=(x¤+1)ex에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=(x¤+1)'ex+(x¤+1)(ex)'(cid:100)(cid:100)f'(x)=2xex+(x¤+1)ex=ex(x¤+2x+1)=ex(x+1)¤(cid:100)(cid:100)∴f'(0)=e0(0+1)¤=1(cid:9000)①05해결과정•f'(x)=(ex)'lnx+ex(lnx)'05해결과정•f'(x)=exlnx+ex¥;[!;05해결과정•f'(x)=ex{lnx+;[!;}(cid:8837)80% 배점답구하기•∴f'(1)=e(ln1+1)=e(cid:8837)20% 배점(cid:9000)e06지수함수와로그함수의극한을이용하여극한을조사한다.`ㄱ.;[@;=0이므로(cid:100)(cid:100)3;[@;=1limx⁄¶limx⁄¶14(2+a)14(2+a)12+a12+a2+att2+a1t+4limt⁄0t2+a1t+4limt⁄0t2+a1t1t+4limt⁄0t+2+a2+a1t(t+4)limt⁄0ln(t+2+a)-ln(2+a)t¤+4tlimt⁄0ln(t+2+a)-ln(2+a)(t+2)¤-4limt⁄0ln(x+a)+bx¤-4limx⁄2D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지26 SinsagoHitec 03 지수함수와로그함수의미분27(cid:8833)본책86~88`쪽ㄱ.x>0일때, 3;[@;>1이므로(cid:100)(cid:100)=-¶ㄴ.;[!;=¶이므로(cid:100)(cid:100)2;[!;=¶ㄴ.;[!;=-¶이므로(cid:100)(cid:100)2;[!;=0ㄴ.이때=0,=0이므로ㄱ.(cid:100)(cid:100)=0ㄷ.x2⁄1+일때,log¶x3⁄0+이므로ㄷ.(cid:100)(cid:100)=¶이상에서극한값이존재하는것은ㄴ뿐이다.(cid:9000)②07해결과정•f(2)=;n!;log(2n+2-n)07해결과정•f(2)=;n!;log2n(1+2-2n)07해결과정•f(2)=;n!;{log2n+log(1+2-2n)}07해결과정•f(2)=[log2+;n!;log(1+2-2n)]07해결과정•f(2)=log2(cid:8837)40% 배점f(3)=;n!;log(3n+3-n)=;n!;log3n(1+3-2n)=;n!;{log3n+log(1+3-2n)}=[log3+;n!;log(1+3-2n)]=log3(cid:8837)40% 배점답구하기•∴f(2)+f(3)=log2+log3=log6(cid:8837)20% 배점(cid:9000)log608주어진식을간단히한후{1+;[!;}x=e임을이용한다.`;2!;{1+}{1+}`y`{1+}=;2!;¥¥¥¥y¥==1+12n2n+12n2n+1n+nn+3n+2n+2n+1n+1n1n+n1n+11nlimx⁄¶limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶xlog¶xlimx⁄1+x1+2;[!;limx⁄0x1+2;[!;limx⁄0-x1+2;[!;limx⁄0+limx⁄0-limx⁄0-limx⁄0+limx⁄0+11-3;[@;limx⁄¶(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)={1+}n(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)=[{1+}2n];2!;(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)=e;2!;='e(cid:9000)①09=1임을이용할수있도록치환한다.`h-1=t로놓으면h2⁄1일때t2⁄0이므로(cid:100)(cid:100)===e¥1=e(cid:9000)e10f(x)=x¤+ax+b라하고=1임을이용한다.`f(x)=x¤+ax+b라하면(cid:100)(cid:100)f(x)g(x)=함수f(x)g(x)가x=0에서연속이려면f(x)g(x)=f(0)g(0)이어야하므로(cid:100)(cid:100)=8byy㉠(cid:100)(cid:100)x2⁄0일때,(분모)2⁄0이고극한값이존재하므로(분자)2⁄0이다.즉(x¤+ax+b)=0이므로(cid:100)(cid:100)b=0b=0을㉠`에대입하면(cid:100)(cid:100)0===(cid:100)(cid:100)∴a=0따라서f(x)=x¤이므로(cid:100)(cid:100)f(3)=9(cid:9000)②a1x+aln(x+1)xlimx⁄0x¤+axln(x+1)limx⁄0limx⁄0x¤+ax+bln(x+1)limx⁄0limx⁄0x¤+ax+b11111(x+0,x>-1)ln(x+1)8b(x=0)({9ln(1+x)xlimx⁄0e(e†-1)tlimt⁄0e†±⁄-etlimt⁄0e˙-eh-1limh⁄1ex-1xlimx⁄012nlimn⁄¶12nlimn⁄¶x+a인모든실수x에서연속인함수g(x)에대하여함수(cid:100)(cid:100)f(x)=가모든실수x에서연속이면(cid:8857)g(x)=klimx⁄ag(x)(x+a)k(x=a)(k는상수)[Remark지수함수와로그함수의미분03D1013개쎈미적분2_정(001-029) 2014.10.13 5:21 PM 페이지27 SinsagoHitec 28정답및풀이11해결과정•g(x)=(lnx+2x)f(x)에서(cid:100)(cid:100)g'(x)=(lnx+2x)'f(x)+(lnx+2x)f'(x)(cid:100)(cid:100)g'(x)={;[!;+2}f(x)+(lnx+2x)f'(x)(cid:8837)40% 배점g(1)=(ln1+2)f(1)=6이므로(cid:100)(cid:100)2f(1)=6(cid:100)(cid:100)∴f(1)=3(cid:8837)30% 배점답구하기•g'(1)=3f(1)+2f'(1)=-1이므로(cid:100)(cid:100)3¥3+2f'(1)=-1,(cid:100)(cid:100)2f'(1)=-10(cid:100)(cid:100)∴f'(1)=-5(cid:8837)30% 배점(cid:9000)-512=f'(a)임을이용하여를변형한다.`==+=f'(e)+f'(e)=2f'(e)이때(cid:100)(cid:100)f'(x)=(x‹)'lnx+x‹(lnx)'(cid:100)(cid:100)f'(x)=3x¤lnx+x‹¥;[!;(cid:100)(cid:100)f'(x)=3x¤lnx+x¤이므로구하는값은(cid:100)(cid:100)2f'(e)=2(3e¤lne+e¤)=2(3e¤+e¤)=8e¤(cid:9000)④13해결과정•함수f(x)가x=0에서미분가능하려면x=0에서연속이어야하므로(cid:100)(cid:100){aln(x+1)+b}=(3x+1-2)=f(0)(cid:100)(cid:100)∴b=1(cid:8837)30% 배점또f'(0)이존재해야하므로(cid:100)(cid:100)f'(x)=에서a112(x>0)x+13≈+1ln3(x<0)·{ªlimx⁄0-limx⁄0+f(e-h)-f(e)-hlimh⁄0f(e+h)-f(e)hlimh⁄0f(e+h)-f(e)-f(e-h)+f(e)hlimh⁄0f(e+h)-f(e-h)hlimh⁄0f(e+h)-f(e-h)hlimh⁄0f(a+h)-f(a)hlimh⁄0(cid:100)(cid:100)=3≈+1ln3(cid:100)(cid:100)∴a=ln27(cid:8837)50% 배점답구하기•∴eå+b=eln27+1=27+1=28(cid:8837)20% 배점(cid:9000)2814=1,=lna(a>0,a+1)임을이용한다.`ㄱ.==¥x=1¥0=0ㄴ.=¥¥ㄴ.=1¥1¥ln3ㄴ.=ln3ㄷ.[반례]f(x)=|x|이면f(x)=0이지만ㄴ.(cid:100)(cid:100)==1ㄴ.(cid:100)(cid:100)==¥(-1)=1¥(-1)=-1ㄴ.이므로이존재하지않는다.이상에서옳은것은ㄱ,ㄴ이다.(cid:9000)③15x2⁄a일때,(분모)2⁄0이고극한값이존재하면(분자)2⁄0임을이용한다.ef(x)-1xlimx⁄0e-x-1-xlimx⁄0-e-x-1xlimx⁄0-ef(x)-1xlimx⁄0-ex-1xlimx⁄0+ef(x)-1xlimx⁄0+limx⁄03x-1xxe≈-1ex-1f(x)limx⁄03x-1f(x)limx⁄0ex¤-1x¤limx⁄0ex¤-1xlimx⁄0ef(x)-1xlimx⁄0a≈-1xlimx⁄0e≈-1xlimx⁄0limx⁄0-ax+1limx⁄0+Remark함수F(x)=가다음조건을모두만족시키면x=a에서미분가능하다.⁄함수F(x)가x=a에서연속이다.(cid:100)(cid:100)(cid:100)f(x)=g(x)=F(a)¤F'(a)가존재한다. (cid:8857)f'(x)=g'(x)limx⁄a-limx⁄a+limx⁄a-limx⁄a+f(x)(xæa)g(x)(x0, 2r>0이므로산술평균과기하평균의관계에의하여(cid:100)(cid:100)+2ræ2Ƭ¥2r=2¥6=12(단,등호는r=3일때성립)따라서부채꼴의둘레의길이의최솟값은12이다.(cid:9000)12039-1∠B=45°이므로(cid:100)(cid:100)∠ABD=∠DBC=22.5°직각삼각형BCD에서(cid:100)(cid:100)∠BDC=90°-∠DBC=90°-22.5°=67.5°각의이등분선의성질에의하여(cid:100)(cid:100)BC”:AB”=CD”:AD”이고,AB”="√1¤+1¤='2이므로(cid:100)(cid:100)1:'2=CD”:AD”그런데CD”+AD”=1이므로(cid:100)(cid:100)1:'2=CD”:(1-CD”)(cid:100)(cid:100)'2CD”=1-CD”,(cid:100)(cid:100)('2+1)CD”=1(cid:100)(cid:100)∴CD”=='2-1따라서△BCD에서(cid:100)(cid:100)tan67.5°==='2+1(cid:9000)'2+11'2-1BC”CD”1'2+118r18r18r18r18r040-1h가제`3`사분면의각이고sinh=-이므로오른쪽그림과같이중심을원점으로하고반지름의길이가'5인원을그리면각h의동경과만나는점P는(cid:100)(cid:100)P(-2, -1)따라서삼각함수의정의에의하여(cid:100)(cid:100)cosh=-, tanh=;2!;(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)='5¥{-}+;2!;=-;2#;(cid:9000)-;2#;040-23x+4y=0에서y=-;4#;x이므로(cid:100)(cid:100)tanh=-;4#;h가제`2`사분면의각이고tanh=-;4#;이므로점P의좌표를(-4, 3)으로놓고동경OP를좌표평면위에나타내면오른쪽그림과같다.따라서OP”="√(-4)¤+3¤=5이므로삼각함수의정의에의하여(cid:100)(cid:100)sinh=;5#;, sech=-;4%;(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)=(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)==;3&;(cid:9000);3&;041-1p0(cid:100)(cid:100)∴"√sin¤h-|1-sinh|=|sinh|-|1-sinh|(cid:100)(cid:100)∴"√sin¤h-|1-sinh|=-sinh-(1-sinh)(cid:100)(cid:100)∴"√sin¤h-|1-sinh|=-1(cid:9000)-1-7-34¥{-;4%;}-2;5#;[8¥{-;4#;}+1]xyOP-43Ω2'52'51'5xyOP-2-1ΩÂ5Â5-Â5-Â5직선3x+4y=0이x축의양의부분과이루는각의크기가h이므로tanh의값은이직선의기울기와같다.RemarkD1013개쎈미적분2_정(030-056) 2014.10.13 5:23 PM 페이지30 SinsagoHitec 04 삼각함수31(cid:8833)본책104~114`쪽삼각함수04041-2⁄<0에서(cid:100)(cid:100)(cid:100)sinh>0, cosh<0또는sinh<0, cosh>0(cid:100)이므로h는제``2`사분면또는제``4`사분면의각이다.¤coshtanh<0에서(cid:100)(cid:100)(cid:100)cosh>0, tanh<0또는cosh<0, tanh>0(cid:100)이므로h는제``3`사분면또는제``4`사분면의각이다.⁄, ¤에서h는제``4`사분면의각이므로(cid:100)(cid:100)sinh<0, cosh>0, tanh<0(cid:100)(cid:100)∴sinh+tanh<0, sinh-cosh<0(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)(cid:100)(cid:100)=|sinh+tanh|-|tanh|-|sinh-cosh|(cid:100)(cid:100)=-(sinh+tanh)+tanh+(sinh-cosh)(cid:100)(cid:100)=-cosh(cid:9000)-cosh042-1⑴====tanh⑵+===2sec¤h(cid:9000)⑴tanh⑵2sec¤h043-1csc¤h=1+cot¤hcsc¤h=1+{-}¤=그런데h가제`2`사분면의각이므로(cid:100)(cid:100)csch>0(cid:100)(cid:100)∴csch=sinh==이므로(cid:100)(cid:100)cos¤h=1-sin¤h(cid:100)(cid:100)cos¤h=1-{}¤=그런데h가제`2`사분면의각이므로(cid:100)(cid:100)cosh<0(cid:100)(cid:100)∴cosh=-51325169121312131csch13121691445122cos¤h(1+sinh)+(1-sinh)1-sin¤h11+sinh11-sinhsinhcoshsinhsin¤hcoshsin¤hsin‹hcosh(1-cos¤h)sin‹hcosh-cos‹hsinhcosh(cid:100)(cid:100)∴sinh+cosh=+{-}=(cid:9000);1¶3;043-2=2+'3에서(cid:100)(cid:100)1-tanh=2+'3+(2+'3)tanh(cid:100)(cid:100)(3+'3)tanh=-1-'3(cid:100)(cid:100)∴tanh==-즉=tanh=-이므로(cid:100)(cid:100)cosh=-'3sinhsin¤h+cos¤h=1에서(cid:100)(cid:100)sin¤h+(-'3sinh)¤=1,(cid:100)(cid:100)4sin¤h=1(cid:100)(cid:100)∴sin¤h=;4!;그런데0(cid:100)(cid:100)∴sinh=;2!;(cid:100)(cid:100)∴csch=2(cid:9000)2tanh=-이므로(cid:100)(cid:100)coth=-'3(cid:100)(cid:100)∴csc¤h=1+cot¤h=1+(-'3)¤=4그런데0(cid:100)(cid:100)∴csch=2044-1⑴sinh`cosh=;4!;이므로(cid:100)(cid:100)(cid:100)(sinh+cosh)¤(cid:100)(cid:100)=sin¤h+2sinhcosh+cos¤h(cid:100)(cid:100)=1+2sinhcosh(cid:100)(cid:100)=1+2¥;4!;=;2#;(cid:100)00, cosh>0이므로(cid:100)(cid:100)(cid:100)sinh+cosh>0(cid:100)(cid:100)(cid:100)∴sinh+cosh=Æ;2#;=⑵sin‹h+cos‹h=(sinh+cosh)(sin¤h-sinhcosh+cos¤h)=(sinh+cosh)(1-sinhcosh)=¥{1-;4!;}=3'68'62'62p21'3p21'3sinhcosh1'3-('3+1)'3('3+1)1-tanh1+tanh7135131213D1013개쎈미적분2_정(030-056) 2014.10.13 5:23 PM 페이지31 SinsagoHitec 32정답및풀이이것을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)h=60°, 120°, 180°, 240°, 300°따라서구하는모든h의값의합은(cid:100)(cid:100)60°+120°+180°+240°+300°=900°(cid:9000)⑤02문제이해•부채꼴의반지름의길이를r, 호의길이를l이라하면부채꼴의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)2r+l원의반지름의길이도r이므로원의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)2pr(cid:8837)20% 배점해결과정•즉2pr=2(2r+l)이므로(cid:100)(cid:100)pr=2r+l(cid:100)(cid:100)∴l=(p-2)r(cid:8837)40% 배점부채꼴의중심각의크기를h라하면l=rh에서(cid:100)(cid:100)h===p-2(cid:8837)30% 배점답구하기•따라서부채꼴의중심각의크기는p-2이다.(cid:8837)10% 배점(cid:9000)p-203좌표평면위에각h의동경을나타낸후조건에맞는점P를잡는다.`a<0이므로점P는제`4`사분면위의점이다.즉h가제``4`사분면의각이고cosh=;1!3@;이므로오른쪽그림과같이중심을원점으로하고반지름의길이가13인원을그리면각h의동경과만나는점P는(cid:100)(cid:100)P(12, -5)따라서a=-5,r=13이므로(cid:100)(cid:100)a+r=8(cid:9000)④04p0, sech>0,tanh<0이므로(cid:100)(cid:100)sech>0, csch<0, cosh-sinh>0,(cid:100)(cid:100)tanh-cosh<0따라서그값이양수인것은sech,cosh-sinh의2개이다.(cid:9000)232xOP-13-1313h12-513y(p-2)rrlr⑶csch+sech=+⑶csch+sech=⑶csch+sech==2'6(cid:9000)⑴⑵⑶2'6045-1이차방정식(1+'2)x¤+x+p=0에서근과계수의관계에의하여(cid:100)(cid:100)sinh+cosh=-=1-'2y㉠(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)sinhcosh=y㉡㉠의양변을제곱하면(cid:100)(cid:100)sin¤h+2sinhcosh+cos¤h=3-2'2(cid:100)(cid:100)1+2sinhcosh=3-2'2(cid:100)(cid:100)∴sinhcosh=1-'2y㉢㉡,㉢에서=1-'2이므로(cid:100)(cid:100)p=(1-'2)(1+'2)=-1(cid:9000)-1p1+'2p1+'211+'23'68'62'6122114sinh+coshsinhcosh1cosh1sinh(cid:8833)본책116~119쪽중단원연습문제01⑤02p-203④0420500614071108④091610④11-;;¡3º;;12⑤13④14③15;3*;p1634217④01두동경OP, OQ가나타내는각을각각a, b라할때, 두동경OP, OQ가x축에대하여대칭이면a+b=360°_n(n은정수)이다.`각h를나타내는동경과각5h를나타내는동경이x축에대하여대칭이므로(cid:100)(cid:100)h+5h=360°_n(n은정수)(cid:100)(cid:100)6h=360°_n(cid:100)(cid:100)∴h=60°_nyy㉠(cid:100)(cid:100)그런데0°0에서h는제1사분면또는제3사분면의각이고,sinh+cosh<0이므로h는제``3`사분면의각이다.즉sinh<0, cosh<0이므로㉠,㉡에서(cid:100)(cid:100)sinh=-, cosh=-(cid:100)(cid:100)∴cosh-sinh=--{-}(cid:100)(cid:100)∴cosh-sinh==(cid:9000)⑤13tanx=,cotx=임을이용한다.`tanx+cotx=6에서(cid:100)(cid:100)+=6(cid:100)(cid:100)∴=6sin¤x+cos¤x=1이므로(cid:100)(cid:100)=6(cid:100)(cid:100)∴sinxcosx=;6!;(cid:100)(cid:100)∴(sinx+cosx)¤=sin¤x+2sinxcosx+cos¤x=1+2sinxcosx=1+2¥;6!;=;3$;1sinxcosxsin¤x+cos¤xsinxcosxcosxsinxsinxcosxcosxsinxsinxcosx'∂1052'∂10103'∂1010'∂1010'∂10103'∂10103'∂1010'∂10101-cos¤hcos¤h1-cos¤hcos¤hsin¤hcos¤hsinhcosh따라서S=12{2'3-;3@;p}=24'3-8p이므로(cid:100)(cid:100)p=24,q=-8(cid:100)(cid:100)∴p+q=16(cid:9000)1610직각삼각형의외심의성질을이용하여h와크기가같은각을찾는다.`∠BAC=90°이고, 점M이직각삼각형ABC의빗변의중점이므로점M은삼각형ABC의외심이다.(cid:100)(cid:100)∴AM”=BM”∠ABM=∠BAM=h,BC”="√8¤+15¤=17이므로(cid:100)(cid:100)sinh==;1!7%;, cosh==;1•7;(cid:100)(cid:100)∴sinh-cosh=;1!7%;-;1•7;=;1¶7;(cid:9000)④11해결과정•점P의좌표를(-a,3a)(a>0)라하면(cid:100)(cid:100)OP”="√(-a)¤+(3a)¤="ç10a이므로(cid:100)(cid:100)sech==-'∂10(cid:100)(cid:100)csch==(cid:8837)70% 배점답구하기•∴sechcsch=(-'∂10)¥답구하기•∴sechcsch=-:¡3º:(cid:8837)30% 배점(cid:9000)-:¡3º:점P의좌표에관계없이동경OP가나타내는각h의삼각함수의값은유일하므로점P의좌표를(-1, 3)이라하면(cid:100)(cid:100)OP”="√(-1)¤+3¤="ç10(cid:100)(cid:100)∴sech==-"ç10,csch=(cid:100)(cid:100)∴sechcsch=(-'∂10)¥=-:¡3º:"ç103"ç103"ç10-1"ç103"ç103"ç10a3a"ç10a-aAB”BC”AC”BC”삼각형의외심에서세꼭짓점에이르는거리는같다.(cid:8857)오른쪽그림에서점O가△ABC의외심일때,(cid:100) (cid:100)(cid:100)OA”=OB”=OC”=(외접원의반지름의길이)ACOBRemark삼각형의외심의성질D1013개쎈미적분2_정(030-056) 2014.10.13 5:23 PM 페이지34 SinsagoHitec 04 삼각함수35(cid:8833)본책117~119`쪽삼각함수04그런데00, cosx>0이므로(cid:100)(cid:100)sinx+cosx>0(cid:100)(cid:100)∴sinx+cosx=Æ;3$;=(cid:9000)④14이차방정식의근과계수의관계를이용하여tana+tanb, tanatanb의값을구한다.`이차방정식x¤+2x-4=0의두근이tana,tanb이므로근과계수의관계에의하여(cid:100)(cid:100)tana+tanb=-2, tanatanb=-4이차방정식x¤+ax+b=0의두근이sec¤a, sec¤b이므로근과계수의관계에의하여(cid:100)(cid:100)sec¤a+sec¤b=-a,sec¤asec¤b=b이때sec¤a=1+tan¤a, sec¤b=1+tan¤b이므로(cid:100)(cid:100)sec¤a+sec¤b=(1+tan¤a)+(1+tan¤b)=2+tan¤a+tan¤b=2+(tana+tanb)¤-2tanatanb=2+(-2)¤-2¥(-4)=14(cid:100)(cid:100)sec¤asec¤b=(1+tan¤a)(1+tan¤b)=1+tan¤a+tan¤b+tan¤atan¤b=1+(tana+tanb)¤-2tanatanb=+(tanatanb)¤=1+(-2)¤-2¥(-4)+(-4)¤=29따라서a=-14, b=29이므로(cid:100)(cid:100)a+b=15(cid:9000)③tana,tanb는이차방정식x¤+2x-4=0의두근이므로(cid:100)(cid:100)tan¤a=-2tana+4, tan¤b=-2tanb+4(cid:100)(cid:100)∴sec¤a+sec¤b=(1+tan¤a)+(1+tan¤b)=5-2tana+5-2tanb=10-2(tana+tanb)=10-2¥(-2)=14(cid:100)(cid:100)∴sec¤asec¤b=(1+tan¤a)(1+tan¤b)=(5-2tana)(5-2tanb)=25-10(tana+tanb)+4tanatanb=25-10¥(-2)+4¥(-4)=29따라서a=-14, b=29이므로(cid:100)(cid:100)a+b=152'33p215반지름의길이가r,중심각의크기가h(라디안)인부채꼴의넓이S는S=;2!;r¤h임을이용한다.`오른쪽그림과같이두점A, O'을잇는선분을그으면(cid:100)(cid:100)∠PAO'=;2!;∠PAQ(cid:100)(cid:100)∠PAO'=원O'의반지름의길이를r라하면AO'”=12-r이므로직각삼각형APO'에서(cid:100)(cid:100)sin==, 즉;2!;=(cid:100)(cid:100)12-r=2r(cid:100)(cid:100)∴r=4한편∠PO'Q=2¥=;3@;p이므로(cid:100)(cid:100)∠QO'R=p-;3@;p=따라서부채꼴QO'R의넓이는(cid:100)(cid:100);2!;¥4¤¥=;3*;p(cid:9000);3*;p16문제이해•위의그림과같이점F에서BE”에내린수선의발을R, BE”와GH”가만나는점을S라하자.(cid:8837)10% 배점해결과정•△FRB에서FR”=6이므로(cid:100)(cid:100)tanh=(cid:100)(cid:100)∴BR”==6¥;3$;=8(cid:100)(cid:100)∴BF”=øπFR”¤+BR¤”="√6¤+8¤=10△DFC에서tanh=이므로(cid:100)(cid:100)CD”=20tanh=20¥;4#;=15(cid:100)(cid:100)PQ”=CH”=CD”-DH”=15-6=9또△DPH에서(cid:100)(cid:100)tanh=(cid:100)(cid:100)∴PH”==6¥;3$;=8(cid:8837)60% 배점6tanh6PH”CD”206tanh6BR”ABCGHEQSRDPFΩΩΩ2066p3p3p3r12-rr12-rO'P”AO'”p6p6ABCQROO'P-6π-6πrrD1013개쎈미적분2_정(030-056) 2014.10.13 5:23 PM 페이지35 SinsagoHitec 36정답및풀이답구하기•따라서구하는넓이는세사각형AGHD,BFPS,PQCH의넓이의합과같으므로(cid:100)(cid:100)(10+20)¥6+10¥9+8¥9=180+90+72=342(cid:8837)30% 배점(cid:100)(cid:100)(cid:9000)34217선분OD,OE의연장선이원과만나는점을이용하여sina,cosb의값을구한다.`오른쪽그림과같이원x¤+y¤=20이선분OD의연장선과제``2`사분면에서만나는점을F,선분OE의연장선과제``3`사분면에서만나는점을G라하자.이때BC”=4이므로점C의x좌표는2이고x=2를x¤+y¤=20에대입하면(cid:100)(cid:100)y¤=16(cid:100)(cid:100)∴y=-4(∵y<0)즉점C의좌표가(2, -4)이고두점C,F는원점에대하여대칭이므로점F의좌표는(-2, 4)이다.(cid:100)(cid:100)∴sina==한편직선CO의기울기가=-2이고직선OE는직선CO와수직이므로직선OE의방정식은(cid:100)(cid:100)y=;2!;x점G는원x¤+y¤=20과직선y=;2!;x의교점이므로x¤+{;2!;x}2=20에서(cid:100)(cid:100);4%;x¤=20,(cid:100)(cid:100)x¤=16(cid:100)(cid:100)∴x=-4(∵x<0)x=-4를y=;2!;x에대입하면(cid:100)(cid:100)y=-2따라서점G의좌표는(-4, -2)이므로(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)cosb==-(cid:100)(cid:100)∴sinacosb=¥{-}=-;5$;;(cid:9000)④2'552'552'55-4'∂20-422'554'∂20xyOå∫ADFEGBCx@+y@=20본책128~147`쪽Ⅱ.삼각함수05삼각함수의그래프046-1⑴함수y=sin;2!;x+1의그래프는y=sinx의그래프를x축의방향으로2배한후y축의방향으로1만큼평행이동한것과같다.따라서그래프는다음그림과같고,최댓값은2,최솟값은0,주기는4p이다.(cid:100) ⑵함수y=3cos{2x+;2“;}=3cos2{x+;4“;}의그래프는y=cosx의그래프를y축의방향으로3배하고,x축의방향으로;2!;배한후x축의방향으로-;4“;만큼평행이동한것과같다.따라서그래프는다음그림과같고,최댓값은3,최솟값은-3,주기는p이다.(cid:100) ⑶함수`y=;;2!;;tan{3x-;2“;}=;2!;tan3{x-;6“;}의그래프는y=tanx의그래프를y축의방향으로;2!;배하고,x축의방향으로;3!;배한후x축의방향로;6“;만큼평행이동한것과같다.따라서그래프는다음그림과같고, 최댓값과최솟값은없고, 주기는;3“;이다.(cid:9000)풀이참조xyO6-π6π3π2πxyOp-33-p py=3cos{2x+;2;}3 ;:;p2 p;:;2 p-;:; 2 3 -;:;p 2 xyO23π-π2x+1y=sin1유제수직인두직선의기울기를m, m'이라하면(cid:100)(cid:100)mm'=-1Remarky=;;2!;;tan{3x-;2“;}D1013개쎈미적분2_정(030-056) 2014.10.13 5:23 PM 페이지36 SinsagoHitec 05 삼각함수의그래프37(cid:8833)본책119~136`쪽삼각함수의그래프05047-1f(x)의최솟값이-5이고a>0이므로(cid:100)(cid:100)-a+c=-5yy㉠(cid:100)(cid:100)또주기가;3@;p이고b>0이므로(cid:100)(cid:100)=;3@;p(cid:100)(cid:100)∴b=3따라서f(x)=asin{3x-;6“;}+c이고f{;9“;}=1이므로(cid:100)(cid:100)asin{3¥;9“;-;6“;}+c=1,(cid:100)(cid:100)asin;6“;+c=1(cid:100)(cid:100)∴;2!;a+c=1yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=4,c=-1(cid:100)(cid:100)∴a+b+c=6(cid:9000)6047-2f(x)의최댓값이3이고a>0이므로(cid:100)(cid:100)a+c=3yy㉠(cid:100)(cid:100)또주기가p이고b>0이므로(cid:100)(cid:100)=p(cid:100)(cid:100)∴b=2따라서f(x)=acos2x+c이고f{;2“;}=-1이므로(cid:100)(cid:100)acos{2¥;2“;}+c=-1,(cid:100)(cid:100)acosp+c=-1(cid:100)(cid:100)∴-a+c=-1yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=2, c=1(cid:100)(cid:100)∴a¤+b¤+c¤=2¤+2¤+1¤=9(cid:9000)9048-1⑴y=4|sinx|의그래프는y=4sinx의그래프에서yæ0인부분은그대로두고,y<0인부분은x축에대하여대칭이동한것이므로다음그림과같다.(cid:100) (cid:100) 따라서최댓값은4,최솟값은0이다.⑵y=-2tan|x|의그래프는y=-2tanx의그래프에서xæ0인부분만남기고,xæ0인부분을y축에대하여대칭이동한것이므로다음그림과같다.xyO-π2ππ3π4-4y=4|sin`x|2pb2pb따라서최댓값,최솟값은없다.(cid:9000)⑴최댓값:4,최솟값:0(cid:9000)⑵최댓값,최솟값:없다.048-2y=|sin;2{;|의그래프는y=sin;2{;의그래프에서yæ0인부분은그대로두고,y<0인부분은x축에대하여대칭이동한것이므로다음그림과같다.따라서최댓값은1,최솟값은0이므로(cid:100)(cid:100)M=1,m=0(cid:100)(cid:100)∴M+m=1(cid:9000)1049-1sin(-780°)=-sin780°=-sin(90°_8+60°)=-sin60°=-cos510°=cos(90°_5+60°)cos510°=-sin60°=-tan585°=tan(90°_6+45°)tan585°=tan45°=1(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)=--{-}+1(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)=1(cid:9000)1049-2sin{;2#;p-h}=-cosh,sin{;2#;p+h}=-cosh, sin(p-h)=sinh이므로(cid:100)(cid:100)(주어진식)=sin¤h+cos¤h+cos¤h+sin¤h(cid:100)(cid:100)(주어진식)=2(sin¤h+cos¤h)(cid:100)(cid:100)(주어진식)=2(cid:9000)2'32'32'32'32xyO-2π2π4π1-12siny=||xy=-2`tan|x|xyO-π-2ππ2πD1013개쎈미적분2_정(030-056) 2014.10.13 5:23 PM 페이지37 SinsagoHitec 38정답및풀이050-1⑴sin170°=sin(90°_2-10)=sin10°cos100°=cos(90°+10°)=-sin10°tan390°=tan(90°_4+30°)=tan30°(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)=sin10°-sin10°+tan30°(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)=⑵tan50°=tan(90°-40°)=cot40°(cid:100) tan130°=tan(90°+40°)=-cot40°(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)(cid:100)(cid:100)=(tan40°+cot40°)¤-(tan40°-cot40°)¤(cid:100)(cid:100)=tan¤40°+2+cot¤40°(cid:100)(cid:100)=-(tan¤40°-2+cot¤40°)(cid:100)(cid:100)=4⑶cos1°=cos(90°-89°)=sin89°(cid:100)cos2°=cos(90°-88°)=sin88°(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)⋮(cid:100)cos44°=cos(90°-46°)=sin46°(cid:100)(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)=(cos¤1°+cos¤89°)+(cos¤2°+cos¤88°)+y+(cos¤44°+cos¤46°)+cos¤45°=(sin¤89°+cos¤89°)+(sin¤88°+cos¤88°)+y+(sin¤46°+cos¤46°)+cos¤45°=1+1+y+1+cos¤45°=44+;2!;=:•2ª:(cid:9000)⑴(cid:100)⑵4(cid:100)⑶;;•2ª;;050-2sin70°=sin(90°-20°)=cos20°그런데sin¤20°+cos¤20°=1이고cos20°>0이므로(cid:100)(cid:100)cos20°="√1-sin¤20°="√1-a¤(cid:100)(cid:100)∴sin70°="√1-a¤(cid:9000)"√1-a¤051-1⑴sinx=t로놓으면-1…t…1이고주어진함수는(cid:100)(cid:100)y=|3-4t|+1따라서이함수의그래프는오른쪽그림과같으므로t=-1일때최댓값은8,t=;4#;일때최솟값은1이다.'33'33tyO431-14218y=|3-4t|+1[44개⑵cosx=t로놓으면-1…t…1이고주어진함수는(cid:100)(cid:100)y=5-2|t-;4!;|따라서이함수의그래프는오른쪽그림과같으므로t=;4!;일때최댓값은5,t=-1일때최솟값은;2%;이다.⑶cosx=t로놓으면-1…t…1이고주어진함수는(cid:100)(cid:100)y=-=(cid:100)(cid:100)y=-2따라서이함수의그래프`는오른쪽그림과같으므로t=-1일때최댓값은1,t=1일때최솟값은-;2!;이다.⑷tanx=t로놓으면0…x…;4“;에서0…t…1이고주어진함수는(cid:100)(cid:100)y==(cid:100)(cid:100)y=-+3따라서이함수의그래프는오른쪽그림과같으므로t=1일때최댓값은2,t=0일때최솟값은1이다.(cid:9000)풀이참조052-1⑴sin{;2#;p+x}=-cosx이므로주어진tyO-111232t+13(t+1)-2t+13t+1t+1tyO-3-2-1112-16t+3-2(t+3)+6t+32tt+3tyO414y=5-2t-||11-152527①함수y=;[K;(k+0)의그래프를x축의방향으로p(cid:100)만큼,y축의방향으로q만큼평행이동한것이다.②점(p, q)에대하여대칭이다.③점근선은두직선x=p, y=q이다.Remark함수y=+q(k+0)의그래프kx-pD1013개쎈미적분2_정(030-056) 2014.10.13 5:23 PM 페이지38 SinsagoHitec 05 삼각함수의그래프39(cid:8833)본책137~144`쪽삼각함수의그래프05⑵;2{;=t로놓으면-p0(cid:100)(cid:100)∴2sin¤h+3cosh>0yy㉠(cid:100)(cid:100)sin¤h=1-cos¤h를㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)2(1-cos¤h)+3cosh>0(cid:100)(cid:100)2cos¤h-3cosh-2<0(cid:100)(cid:100)∴(2cosh+1)(cosh-2)<0그런데cosh-2<0이므로(cid:100)(cid:100)2cosh+1>0(cid:100)(cid:100)∴cosh>-;2!;위의그래프에서구하는h의값의범위는(cid:100)(cid:100)0…h<;3@;p또는;3$;p0이므로(cid:100)(cid:100)a+c=;2%;, -a+c=-;2!;위의두식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=;2#;, c=1 (cid:8837)40% 배점주기가;2#;p-=p이고b>0이므로(cid:100)(cid:100)=p(cid:100)(cid:100)∴b=2(cid:8837)40% 배점답구하기•∴2a+b+3c=2¥;2#;+2+3¥1답구하기•∴2a+b+3c=8(cid:8837)20% 배점(cid:9000)82pbp2p2xyO2-π4-π4π43π2ππp4p4p4p2cb03주어진각을;2“;_n—h(n은정수)꼴로고친후각을h로통일한다.`cos{;2#;p-h}=-sinh,tan(p+h)=tanh, sin(p+h)=-sinh,sin{;2“;+h}=cosh, cos(2p-h)=cosh,sin{;2#;p+h}=-cosh이므로(cid:100)(cid:100)(주어진식)=+=tan¤h-===-1(cid:9000)②04sinx=t로치환하여최대·최소를가질때의t의값을구한다.`sinx=t로놓으면-1…t…1이고주어진함수는(cid:100)(cid:100)y=a-b|t-2|이므로이함수의그래프는오른쪽그림과같다.따라서주어진함수는t=1일때최댓값:¡3º:, t=-1일때최솟값2를가지므로(cid:100)(cid:100)a-b=:¡3º:,a-3b=2두식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=4, b=;3@;(cid:100)(cid:100)∴ab=;3*;(cid:9000);3*;-1…sinx…1이므로(cid:100)(cid:100)-3…sinx-2…-1,(cid:100)(cid:100)1…|sinx-2|…3(cid:100)(cid:100)-3b…-b|sinx-2|…-b(cid:100)(cid:100)∴a-3b…a-b|sinx-2|…a-b따라서주어진함수의최댓값이a-b, 최솟값이a-3b이므로(cid:100)(cid:100)a-b=:¡3º:, a-3b=2(cid:100)(cid:100)∴a=4, b=;3@;(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)∴ab=;3*;tyO-11a-3ba-b2y=a-b|t-2|-cos¤hcos¤hsin¤h-1cos¤h1cos¤hcoshcos¤h(-cosh)-sinhtan¤h-sinhD1013개쎈미적분2_정(030-056) 2014.10.13 5:23 PM 페이지41 SinsagoHitec 42정답및풀이05문제이해•sin{x+}=cosx,cos(x+p)=-cosx이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=sin{x+}-cos¤(x+p)(cid:100)(cid:100)f(x)=cosx-cos¤x(cid:8837)30% 배점해결과정•이때cosx=t로놓으면-1…t…1이고(cid:100)(cid:100)y=t-t¤(cid:100)(cid:100)y=-{t-;2!;}2+;4!;따라서오른쪽그래프에서t=;2!;일때최댓값은;4!;이고,t=-1일때최솟값은-2이므로(cid:100)(cid:100)M=;4!;, m=-2(cid:8837)60% 배점답구하기•∴Mm=-;2!;(cid:8837)10% 배점(cid:9000)-;2!;06문제이해•2sin¤x+cosx=2에sin¤x=1-cos¤x를대입하면(cid:100)(cid:100)2(1-cos¤x)+cosx=2(cid:100)(cid:100)2cos¤x-cosx=0(cid:100)(cid:100)cosx(2cosx-1)=0(cid:100)(cid:100)∴cosx=0또는cosx=;2!;(cid:8837)30% 배점해결과정•⁄cosx=0일때,0…x<3p이므로(cid:100)(cid:100)(cid:100)x=또는x=;2#;p또는x=;2%;p¤cosx=;2!;일때,0…x<3p이므로(cid:100)(cid:100)(cid:100)x=또는x=;3%;p또는x=;3&;p(cid:8837)60% 배점답구하기•⁄,¤에서구하는방정식의해를작은것부터차례대로나열할때,두번째에오는해는;2“;이다.(cid:8837)10% 배점(cid:9000);2“;07이차방정식ax¤+bx+c=0의판별식을D라할때, 이이차방정식이실근을가지려면Dæ0이어야한다.p3p2tyO2141-2-11y=t-t@p2p2`이차방정식x¤-2'2x+1-2cosh=0이실근을가지려면이이차방정식의판별식을D라할때,(cid:100)(cid:100)=(-'2)¤-(1-2cosh)æ0(cid:100)(cid:100)2-1+2coshæ0(cid:100)(cid:100)∴coshæ-;2!;위의그림에서구하는h의값의범위는(cid:100)(cid:100)0…h…;3@;p또는;3$;p…h<2p따라서조건을만족시키지않는h의값은③`이다.(cid:9000)③08합성함수의정의를이용하여(fÁg)(x)를구한다.`;3$;p…x…;4&;p에서y=g(x)의그래프는오른쪽그림과같으므로(cid:100)(cid:100)-2'2…g(x)…4이때(cid:100)(cid:100)(fÁg)(x)=f(g(x))=[g(x)]이므로(cid:100)(cid:100)-2'2…g(x)<-2일때,y=(fÁg)(x)=-3(cid:100)(cid:100)-2…g(x)<-1일때,(cid:100)(cid:100)y=(fÁg)(x)=-2(cid:100)(cid:100)-1…g(x)<0일때,(cid:100)(cid:100)y=(fÁg)(x)=-1(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)⋮(cid:100)(cid:100)3…g(x)<4일때,(cid:100)(cid:100)y=(fÁg)(x)=3(cid:100)(cid:100)g(x)=4일때,(cid:100)(cid:100)y=(fÁg)(x)=4따라서A={-3,-2,-1,0,1,2,3,4}이므로구하는원소의개수는8이다.(cid:9000)809주어진함수의주기를각각구한다.`각함수의주기를구하면다음과같다.ㄱ.=pㄴ.2pㄷ.=2pp;2!;2p2xyO4Â24-2Â2-4Â22π34ππ47πy=g{x}hyO2pp2y=-132p34p23p2py=cosh1-1D4D1013개쎈미적분2_정(030-056) 2014.10.13 5:23 PM 페이지42 SinsagoHitec 05 삼각함수의그래프43(cid:8833)본책150~151`쪽삼각함수의그래프05ㄹ.y=|sin2x|의그래프는오른쪽그림과같으므로ㄹ.주기는이다.ㅁ.y=cos2|x|의그래프는오른쪽그림과같으므로주기는p이다.이상에서주기가p인것은ㄱ,ㅁ이다.(cid:9000)ㄱ,ㅁ10f(13)=-3임을이용하여sina의값을구한다.`f(13)=3sin(13p+a)+7cos{p+a}`f(13)=3sin(2p_6+p+a)=+7cos{2p_3++a}=3sin(p+a)+7cos{+a}=-3sina-7sina=-10sinaf(13)=-3이므로-10sina=-3에서(cid:100)(cid:100)sina=;1£0;(cid:100)(cid:100)∴`f(15)=3sin(15p+a)+7cos{p+a}(cid:100)(cid:100)∴`f(15)=3sin(2p_7+p+a)(cid:100)(cid:100)∴`f(15)=+7cos{2p_3+;2#;p+a}(cid:100)(cid:100)∴`f(15)=3sin(p+a)+7cos{;2#;p+a}(cid:100)(cid:100)∴`f(15)=-3sina+7sina=4sina(cid:100)(cid:100)∴`f(15)=4¥;1£0;=;5^;따라서m=5, n=6이므로(cid:100)(cid:100)m+n=11(cid:9000)1111p-h에대한삼각함수의값을이용한다.`오른쪽그림의△CBO에서∠COB=p-h이므로(cid:100)(cid:100)BC”=tan(p-h)=-tanh또△OAD에서∠DOA=p-h이므로xyO1-1-11ADBCΩx=-1152p2p2132xyO2-π2πy=cos`2|x|1-1p2xyOy=|sin`2x|4π2π43ππ1(cid:100)(cid:100)cos(p-h)=(cid:100)(cid:100)∴OD”==-따라서색칠한부분의넓이는(cid:100)(cid:100)△OCD-(부채꼴OAB의넓이)=;2!;{-}¥(-tanh)-;2!;¥1¤¥(p-h)=;2!;{-p+h}(cid:9000)④12문제이해•cos¤x=1-sin¤x이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=a(1-sin¤x)+asinx+b=-asin¤x+asinx+a+b(cid:8837)20% 배점해결과정•sinx=t로놓으면-1…t…1이고(cid:100)(cid:100)y=-at¤+at+a+b=-a{t-;2!;}2+;4%;a+ba>0이므로오른쪽그래프에서t=;2!;일때최댓값은;4%;a+b이므로(cid:100)(cid:100);4%;a+b=;;¡2¡;;(cid:100)(cid:100)∴5a+4b=22yy㉠(cid:100)(cid:100)t=-1일때최솟값은-a+b이므로(cid:100)(cid:100)-a+b=1yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡`을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=2, b=3 (cid:8837)70% 배점답구하기•∴a+b=5(cid:8837)10% 배점(cid:9000)513방정식`f(x)=g(x)의서로다른실근의개수는두함수y=f(x),`y=g(x)의그래프의교점의개수와같다.`방정식sinx=;1¡0;x의서로다른실근의개수는함수y=sinx의그래프와직선y=;1¡0;x의교점의개수와같다.xyO-11-10-3π-π-2π10y=sin`xπ2π3π10y=x1tOy1-1y=-at@+at+a+b21sinhcos¤h1cosh1cosh1cos(p-h)1OD”D1013개쎈미적분2_정(030-056) 2014.10.13 5:23 PM 페이지43 SinsagoHitec 44정답및풀이앞의그림에서함수y=sinx의그래프와직선y=;1¡0;x는-10…x…10에서서로다른7개의점에서만나고,x<-10또는x>10에서는만나지않는다.따라서구하는실근의개수는7이다.(cid:9000)④14sinx=t로치환하고주어진그래프를이용하여f(t)=0을만족시키는t의값을구한다.`함수y=f(x)의그래프가x축과만나는점의좌표가(0,0),(2,0)이므로방정식f(x)=0의해는(cid:100)(cid:100)x=0또는x=2따라서f(sinx)=0에서sinx=t로놓으면-1…t…1이므로방정식f(t)=0의해는(cid:100)(cid:100)t=0,즉sinx=0따라서0…x…2p에서sinx=0을만족시키는x의값은(cid:100)(cid:100)x=0또는x=p또는x=2p이므로방정식f(sinx)=0의서로다른실근의개수는3이다.(cid:9000)④15문제이해•직각삼각형AOC에서(cid:100)(cid:100)OC”=AO”cosh=cosh,(cid:100)(cid:100)AC”=AO”sinh=sinh또직각삼각형DOB에서(cid:100)(cid:100)BD”=OB”tanh=tanh(cid:8837)30% 배점해결과정•OC”=3AC”¥BD”에서(cid:100)(cid:100)cosh=3sinhtanh(cid:100)(cid:100)cosh=3sinh¥,(cid:100)(cid:100)cos¤h=3sin¤hsin¤h+cos¤h=1이므로(cid:100)(cid:100)1-sin¤h=3sin¤h,(cid:100)(cid:100)sin¤h=;4!;이때00이므로(cid:100)(cid:100)sinh=;2!;(cid:8837)60% 배점답구하기•∴h=(cid:8837)10% 배점(cid:9000)p6p6p2sinhcosh16cosh=t로치환하여t에대한이차부등식을푼다.`부등식cos¤h-3cosh-a+9æ0에서cosh=t로놓으면-1…t…1이고(cid:100)(cid:100)t¤-3t-a+9æ0`f(t)=t¤-3t-a+9로놓으면(cid:100)(cid:100)f(t)={t-;2#;}2-a+:™4¶:-1…t…1에서f(t)는t=1일때최솟값을가지므로-1…t…1인모든실수t에대하여`f(t)æ0이려면`f(1)æ0이어야한다.(cid:100)(cid:100)`f(1)=1-3-a+9=7-aæ0(cid:100)(cid:100)∴a…7(cid:9000)a…717삼각함수의그래프의대칭성을이용한다.`함수y=sin2x의주기는=p이다.위의그림과같이두점A,B는직선x=에대하여대칭이므로(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)∴a+b=yy㉠(cid:100)(cid:100)두점C,D는직선x=;4#;p에대하여대칭이므로(cid:100)(cid:100)=;4#;p(cid:100)(cid:100)∴c+d=;2#;pyy㉡(cid:100)(cid:100)두점B,C는점{,0}에대하여대칭이므로(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)∴b+c=pyy㉢(cid:100)(cid:100)㉠,㉡,㉢에서(cid:100)(cid:100)a+2b+2c+d=(a+b)+(b+c)+(c+d)(cid:100)(cid:100)a+2b+2c+d=+p+;2#;p=3p(cid:9000)③두점A,D는점{,0}에대하여대칭이므로(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)∴a+d=p(cid:100)(cid:100)yy㉣(cid:100)(cid:100)p2a+d2p2p2p2b+c2p2c+d2p2p4a+b2p4xyO5y=3535-35y=-3å∫ç∂y=sin`2xABCD4π2π43π4πx=43πx=π2p2D1013개쎈미적분2_정(030-056) 2014.10.13 5:23 PM 페이지44 SinsagoHitec 05 삼각함수의그래프45(cid:8833)본책151~153`쪽삼각함수의그래프05두점B,C는점{,0}에대하여대칭이므로(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)∴b+c=p(cid:100)(cid:100)yy㉤(cid:100)(cid:100)㉣, ㉤에서(cid:100)(cid:100)a+2b+2c+d=(a+d)+2(b+c) (cid:100)(cid:100)a+2b+2c+d=p+2p=3p18문제이해•f-1{;3!;}=a,g-1{-;3!;}=b로놓으면(cid:100)(cid:100)f(a)=sina=;3!;,(cid:100)(cid:100)g(b)=cosb=-;3!;yy㉠01에서ㄴ.(cid:100)(cid:100)|sin2px|>;2!;ㄴ.(cid:100)(cid:100)∴sin2px<-;2!;또는sin2px>;2!;ㄴ.2px=t로놓으면0…x…1에서0…t…2p이고주어진부등식은ㄴ.(cid:100)(cid:100)sint<-;2!;또는sint>;2!;ㄴ.(cid:100)(cid:100)∴0,cosb>0이므로(cid:100)(cid:100)cosa="1√-siçn¤≈a=æ1≠-{;1–!4!;}—2=(cid:100)(cid:100)cosb="1√-siçn¤≈b=æ1≠-{;1–!4#;}—2=(cid:100)(cid:100)∴cos(a+b)=cosacosb-sinasinb(cid:100)(cid:100)∴cos(a+b)=¥-;1!4!;¥;1!4#;=-;2!;그런데00(cid:100)(cid:100)∴cosh=;5$;(cid:9000);5$;058-2x+3y-4=0에서(cid:100)(cid:100)y=-;3!;x+;3$;ax+y-3=0에서(cid:100)(cid:100)y=-ax+3두직선이x축의양의부분과이루는각의크기를각각a,b라하면(cid:100)(cid:100)tana=-;3!;, tanb=-a두직선이이루는예각의크기가이므로(cid:100)(cid:100)|tan(a-b)|=tan(cid:100)(cid:100)||=1,(cid:100)(cid:100)=—1(cid:100)(cid:100)-;3!;+a=1+;3!;a또는-;3!;+a=-1-;3!;a∴a=-;2!;또는a=2따라서구하는모든a의값의합은(cid:100)(cid:100)-;2!;+2=;2#;(cid:9000);2#;059-1오른쪽그림과같이∠ACB=a,∠DCB=b라하면(cid:100)(cid:100)tana==;a*;(cid:100)(cid:100)tanb==;a@;(cid:100)(cid:100)∴tanh=tan(a-b)=(cid:100)(cid:100)∴tanh==이때tanh=;4#;이므로(cid:100)(cid:100)=;4#;(cid:100)(cid:100)a¤-8a+16=0,(cid:100)(cid:100)(a-4)¤=0(cid:100)(cid:100)∴a=4(cid:9000)46aa¤+166aa¤+16;a*;-;a@;1+;a*;¥;a@;tana-tanb1+tanatanbBD”BC”AB”BC”a62ABDCabh-;3!;+a1+;3!;atana-tanb1+tanatanbp4p41sec¤h059-2오른쪽그림과같이점P에서BC”에내린수선의발을R,BR”=a,∠PBR=a,∠QBC=b라하면(cid:100)(cid:100)tana===1(cid:100)(cid:100)tanb===;4!;(cid:100)(cid:100)∴tanh=tan(a-b)=(cid:100)(cid:100)∴tanh==;5#;(cid:9000);5#;060-15sinh+12cosh=13{;1∞3;sinh+;1!3@;cosh}=13(cosasinh+sinacosh)=13sin(h+a) {단,cosa=;1∞3;, sina=;1!3@;}(cid:100)(cid:100)∴r=13cota===;1∞2;이므로(cid:100)(cid:100)rcota=13¥;1∞2;=;1^2%;(cid:9000);1^2%;061-1cos{x+;3“;}=cosxcos;3“;-sinxsin;3“;=;2!;cosx-sinx(cid:100)(cid:100)∴y=2'3sinx+3{;2!;cosx-sinx}(cid:100)(cid:100)∴y=sinx+;2#;cosx(cid:100)(cid:100)∴y='3{;2!;sinx+cosx}(cid:100)(cid:100)∴y='3{cos;3“;sinx+sin;3“;cosx}(cid:100)(cid:100)∴y='3sin{x+;3“;}이때-1…sin{x+;3“;}…1이므로(cid:100)(cid:100)-'3…'3sin{x+;3“;}…'3따라서주어진함수의최댓값은'3,최솟값은-'3이다.(cid:9000)최댓값`: '3,최솟값`: -'3'32'32'32'32;1∞3;;1!3@;cosasina1-;4!;1+1¥;4!;tana-tanb1+tanatanb;2A;122aQC”BC”aaPR”BR”bABDPQhaCRaD1013개쎈미적분2_정(030-056) 2014.10.13 5:23 PM 페이지47 SinsagoHitec 48정답및풀이063-1;2“;0, cos;2Ω;>0, tan;2Ω;>0⑴sin¤;2Ω;===;3@;⑴(cid:100)(cid:100)∴sin;2Ω;==⑵cos¤;2Ω;===;3!;⑴(cid:100)(cid:100)∴cos;2Ω;==⑶tan¤;2Ω;===2⑴(cid:100)(cid:100)∴tan;2Ω;='2(cid:9000)⑴(cid:100)⑵(cid:100)⑶'2⑶tan;2Ω;==='2063-2sinh-cosh=-의양변을제곱하면(cid:100)(cid:100)sin¤h-2sinhcosh+cos¤h=;5!;(cid:100)(cid:100)1-sin2h=;5!;(cid:100)(cid:100)∴sin2h=;5$;00(cid:100)(cid:100)∴cos2h="√1-sin¤2h=æ1≠-{;5$±;}—2=;5#;(cid:100)(cid:100)∴tan¤h===;4!;(cid:9000);4!;sinh-cosh=-에서sinh=cosh-이므로sin¤h+cos¤h=1에대입하여정리하면(cid:100)(cid:100)5cos¤h-'5cosh-2=0(cid:100)(cid:100)('5cosh+1)('5cosh-2)=0(cid:100)(cid:100)∴cosh={∵00이고,-1…sin(x+a)…1이므로(cid:100)(cid:100)-'3a…'3asin(x+a)…'3a주어진함수의최댓값이3'2이므로(cid:100)(cid:100)'3a=3'2(cid:100)(cid:100)(cid:100)∴a='6(cid:9000)'6062-1;2“;0이므로(cid:100)cosa=-"‘1-sin¤a=-æ1≠-{;1∞3;}¤=-;1!3@;(cid:100)(cid:100)sinb="‘1-cos¤b=æ1≠-{;1!3@;}¤=;1∞3;(cid:100)(cid:100)∴cos(a+b)=cosacosb-sinasinb(cid:100)(cid:100)=-;1!3@;¥;1!3@;-;1∞3;¥;1∞3;=-1(cid:9000)①sin¤a+cos¤b=1이므로(cid:100)(cid:100)cos¤a=cos¤b이때;2“;0이므로(cid:100)(cid:100)k=3(cid:9000)③06삼각함수사이의관계를이용하여주어진식을변형한다.1"√k¤+1k"√k¤+11+cos2x2-1+'54-1+'54p2Remark4sin¤h+2sinh-1=0에서sinh=이지만<0이므로0sin{h+;6“;}(cid:100)(cid:100)∴;2“;0,cos;2{;æ0(cid:100)(cid:100)∴f(x)=sin;2{;+cos;2{;(cid:100)(cid:100)∴f(x)='2{sin;2{;+cos;2{;}(cid:100)(cid:100)∴f(x)='2sin{;2{;+;4“;}0<;2{;…;2“;에서;4“;<;2{;+;4“;…;4#;p이므로(cid:100)(cid:100)…sin{;2{;+;4“;}…1(cid:100)(cid:100)∴1…'2sin{;2{;+;4“;}…'2따라서f(x)의최댓값은'2이고최솟값은1이므로(cid:100)(cid:100)M='2, m=1'2sin{;2{;+;4“;}='2에서(cid:100)(cid:100)sin{;2{;+;4“;}=1(cid:100)(cid:100);2{;+;4“;=;2“;(cid:100)(cid:100)∴x=;2“;'221'2`1'2`1+cosx21-cosx2;2!;1-;2!;12«¶¡n=1h«2¶¡n=112«22¥2«2«-11-11242«+11111322«-11+11242«+11-cosh«1+cosh«h«2h«2D1013개쎈미적분2_정(030-056) 2014.10.13 5:23 PM 페이지54 SinsagoHitec 06 삼각함수의미분55(cid:8833)본책182~184쪽삼각함수의미분0618해결과정•==a+=a+0=a이므로(cid:100)(cid:100)a=2 (cid:8837)40% 배점(cid:100)(cid:100)====즉=2이므로(cid:100)(cid:100)2+b=;2!;(cid:100)(cid:100)∴b=-;2#;(cid:8837)40% 배점답구하기•∴ab=-3(cid:8837)20% 배점(cid:9000)-319구하는식을tana와tanb에대한식으로변형한다.`△POA에서(cid:100)(cid:100)tana=;h!;yy㉠㉠㉠또△POB에서(cid:100)(cid:100)tan(a+b)=;h#;yy㉡㉠㉠㉠,㉡을tan(a+b)=에대입하면(cid:100)(cid:100);h#;=(cid:100)(cid:100);h#;=(cid:100)(cid:100)3(h-tanb)=h(1+htanb)(cid:100)(cid:100)3h-3tanb=h+h¤tanb(cid:100)(cid:100)(h¤+3)tanb=2h(cid:100)(cid:100)∴tanb=2hh¤+31+htanbh-tanb;h!;+tanb1-;h!;¥tanbtana+tanb1-tanatanb12+b12+b1a+b11111123sinbxa+111¥bbxlimx⁄0xax+sinbxlimx⁄0xf(x)limx⁄0sinbxxlimx⁄¶limx⁄¶ax+sinbxxlimx⁄¶f(x)xlimx⁄¶h3⁄¶일때a3⁄0,b3⁄0이므로(cid:100)(cid:100)=¥¥=¥¥=1¥1¥=;2!;(cid:9000)②20x-p=t로치환한후=1임을이용한다.`f(x)=cos¤x=cosxcosx이므로(cid:100)(cid:100)f'(x)=(cosx)'cosx+cosx(cosx)'(cid:100)(cid:100)f'(x)=-sinxcosx+cosx(-sinx)(cid:100)(cid:100)f'(x)=-2sinxcosx(cid:100)(cid:100)f'(x)=-sin2x이때x-p=t로놓으면x3⁄p일때t3⁄0이므로(cid:100)(cid:100)====¥(-2)=-2(cid:9000)-221삼각함수의덧셈정리를이용하여tan(a+b+c)의값을구한다.`tan(a+b)=`tan(a+b)==-;7^;이므로tan{(a+b)+c}=tan{(a+b)+c}=tan{(a+b)+c}=1yy㉠(cid:100)(cid:100)그런데00)로나누면-;[!;……;[!;이고, {-;[!;}=;[!;=0이므로=0이다.sinxxlimx⁄¶limx⁄¶limx⁄¶sinxxD1013개쎈미적분2_정(030-056) 2014.10.13 5:23 PM 페이지55 SinsagoHitec 56정답및풀이(cid:100)(cid:100)PQ”=OP”sin2h=sin2h(cid:100)(cid:100)PR”=PQ”cos{;2“;-2h}(cid:100)(cid:100)PR”=sin2hsin2h=sin¤2h(cid:100)(cid:100)RQ”=PQ”sin{;2“;-2h}(cid:100)(cid:100)RQ”=sin2hcos2h=;2!;sin4h이므로(cid:100)(cid:100)g(h)=;2!;PR”¥RQ”=;2!;sin¤2h¥;2!;sin4h=;4!;sin¤2hsin4h(cid:100)(cid:100)∴===¥¥;8!;=1¥1¥;8!;=;8!;따라서p=8, q=1이므로(cid:100)(cid:100)p¤+q¤=64+1=65(cid:9000)6524문제이해•f(x)=;2!;sin¤x+cos¤x=;2!;sinxsinx+cosxcosx에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=;2!;¥2sinxcosx-2sinxcosx(cid:100)(cid:100)f'(x)=-sinxcosx(cid:100)(cid:100)f'(x)=-;2!;sin2x(cid:8837)30% 배점해결과정•`f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)sin2x=00…x0이므로산술평균과기하평균의관계에의하여x+æ2æx¥≠=2'1ß5이때등호는x=일때성립하므로(cid:100)(cid:100)x¤=15(cid:100)(cid:100)∴x='1å5따라서두지점A, B사이의거리는'∂15m이다.(cid:9000)'∂1523f(h), g(h)를삼각함수를포함한식으로나타낸다.`OA”=1이므로△AOS에서(cid:100)(cid:100)OS”=OA”sinh=sinh(cid:100)(cid:100)AS”=OA”cosh=cosh(cid:100)(cid:100)∴f(h)=;2!;sinhcosh=;4!;sin2h△AOP에서OP”=OA”=1이므로(cid:100)(cid:100)∠APO=∠PAO=h(cid:100)(cid:100)∴∠POQ=2h, ∠OPQ=;2“;-2h15x15x15x15x3.515x+12x3.5xx¤+153.5123xx¤+151112x¤62.515-124xx62.51+15_123xxtana-tanb1+tanatanb2.5xBD”AB”6xBC”AB”3.52.5xΩ∫åCABDD1013개쎈미적분2_정(030-056) 2014.10.13 5:23 PM 페이지56 SinsagoHitec 07 여러가지미분법57(cid:8833)본책184~194쪽여러가지미분법07본책190~206`쪽Ⅲ.미분법07여러가지미분법070-1⑴y'=⑴y'=⑴y'=⑵y'=⑶y'=⑶y'=⑶y'=⑶y'=⑶y'=⑶y'==-(cid:9000)풀이참조⑵y==+-⑶y=x—⁄+3x—¤-x—›⑶이므로⑶에서y'=-1¥x—⁄—⁄+3¥(-2)x—¤—⁄-(-4)x—›—⁄⑶에서y'=-x—¤-6x—‹+4x—fi⑶에서y'=--+⑶에서y'=070-2y'=y'=y'=이므로x=-2에서의미분계수는(cid:100)(cid:100)=-1(cid:9000)-1(-2)¤+2¥(-2)-1(-2+1)¤x¤+2x-1(x+1)¤(2x+1)(x+1)-(x¤+x+2)¥1(x+1)¤(x¤+x+2)'(x+1)-(x¤+x+2)(x+1)'(x+1)¤-x‹-6x¤+4xfi4xfi6x‹1x¤1x›3x¤1xx‹+3x¤-1x›(x-1)¤e≈-e≈(x¤-2x+1)e¤≈2x¥e≈-(x¤+1)¥e≈e¤≈(x¤+1)'¥e≈-(x¤+1)¥(e≈)'(e≈)¤-x‹-6x¤+4xfi-xfl-6xfi+4x‹x°(3x¤+6x)¥x›-(x‹+3x¤-1)¥4x‹x°(x‹+3x¤-1)'x›-(x‹+3x¤-1)(x›)'(x›)¤1(3x-1)¤2(3x-1)-(2x-1)¥3(3x-1)¤(2x-1)'(3x-1)-(2x-1)(3x-1)'(3x-1)¤유제071-1⑴y=(x¤-1)secx에서⑴에서y'=(x¤-1)'secx+(x¤-1)(secx)'⑴에서y'=2xsecx+(x¤-1)secxtanx⑴에서y'=secx(x¤tanx-tanx+2x)⑵y=secxtanx에서⑵에서y'=(secx)'tanx+secx(tanx)'⑵에서y'=secxtan¤x+sec‹x⑵에서y'=secx(tan¤x+sec¤x)(cid:100)⑶y=에서⑵y'=⑶y'=⑶y'=⑶y'=(cid:9000)풀이참조071-2f(x)=에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=(cid:100)(cid:100)f'(x)=(cid:100)(cid:100)f'(x)=secx-csc¤x(1+secx)(cid:100)(cid:100)∴f'{;4“;}=sec;4“;-csc¤;4“;{1+sec;4“;}(cid:100)(cid:100)='2-2(1+'2)=-2-'2(cid:9000)-2-'2072-1⑴y={}4={1++}4⑴y=(1+x-1+2x-2)›⑶이므로2x¤1xx¤+x+2x¤secxtan¤x-(1+secx)sec¤xtan¤x(1+secx)'tanx-(1+secx)(tanx)'tan¤x1+secxtanxsinx-cosx-1(1+cosx)¤-cosx-cos¤x+sinx-sin¤x(1+cosx)¤-cosx(1+cosx)-(1-sinx)(-sinx)(1+cosx)¤(1-sinx)'(1+cosx)-(1-sinx)(1+cosx)'(1+cosx)¤1-sinx1+cosx⑵secx(tan¤x+sec¤x)={+}=sin¤x+1cos‹x1cos¤xsin¤xcos¤x1cosxRemarkD1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지57 SinsagoHitec 58정답및풀이⑶에서y'=4(1+x-1+2x-2)3(1+x-1+2x-2)'⑶에서y'=4(1+x-1+2x-2)3(-x-2-4x-3)⑶에서y'=-4x-2(1+x-1+2x-2)3(1+4x-1)⑶에서y'=-{1++}3{1+}⑶에서y'=-{}3¥⑶에서y'=-¥¥⑶에서y'=-⑵y'=2cos(tanx){cos(tanx)}'⑶y'=2cos(tanx){-sin(tanx)}(tanx)'⑶y'=-2sin(tanx)cos(tanx)sec¤x⑶y'=-sin(2tanx)sec¤x(cid:9000)풀이참조⑴u=라하면y=u›이므로⑶로로=4u‹⑶로로=⑶로로==⑶로로∴=¥=4u‹¥⑶로로∴=¥⑶로로∴=-072-2h(x)=(gΩf)(x)=g(f(x))에서(cid:100)(cid:100)h'(x)=g'(f(x))f'(x)f(x)=(x¤-3)¤에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=2(x¤-3)¥2x=4x‹-12xg(x)=에서(cid:100)(cid:100)g'(x)==-2x‹-2xx›1x¤4(x¤+x+2)‹(x+4)x·-x-4x‹4(x¤+x+2)‹xfl-x-4x‹dudxdydudydx-x-4x‹-x¤-4xx›(2x+1)x¤-(x¤+x+2)¥2x(x¤)¤dudxdydux¤+x+2x¤4(x¤+x+2)‹(x+4)x·x+4x(x¤+x+2)‹xfl4x¤x+4xx¤+x+2x¤4x¤4x2x¤1x4x¤f(2)=(2¤-3)¤=1, f'(2)=4¥2‹-12¥2=8이므로(cid:100)(cid:100)h'(2)=g'(f(2))f'(2)(cid:100)(cid:100)h'(2)=8g'(1)=8¥{-}(cid:100)(cid:100)h'(2)=-16 (cid:9000)-16h(x)=g(f(x))에서h(x)=g((x¤-3)¤)=이므로로로h'(x)==로로h'(x)=로로∴h'(2)==-16073-1⑴y'=2x¤+1ln2¥(x¤+1)'=2x¤+1ln2¥2x=2x¤+2¥xln2(cid:100)⑵y'=(x)'esinx+x(esinx)'⑸y'=esinx+x¥esinx(sinx)'⑸y'=esinx+x¥esinxcosx⑸y'=esinx(1+xcosx)(cid:100)⑶y'=⑸y'=⑸y'=⑸y'=(cid:9000)풀이참조073-2f'(x)=(e-x)'sinx+e-x(sinx)'=-e-xsinx+e-xcosx=e-x(cosx-sinx)이므로x=0에서의미분계수는(cid:100)(cid:100)f'(0)=1¥(1-0)=1(cid:9000)1074-1⑴y'===cotx⑵y=(4x¤-1)ln|2x-1|‹⑵y=3(4x¤-1)ln|2x-1|⑵y=(12x¤-3)ln|2x-1|⑵이므로cosxsinx(sinx)'sinx4ln2(2≈+2—≈)¤{(2≈+2—≈)¤-(2≈-2—≈)¤}ln2(2≈+2—≈)¤(2≈+2—≈)ln2¥(2≈+2—≈)-(2≈-2—≈)(2≈-2—≈)ln2(2≈+2—≈)¤(2≈-2—≈)'(2≈+2—≈)-(2≈-2—≈)(2≈+2—≈)'(2≈+2—≈)¤-8¥2(2¤-3)fi-8x(x¤-3)fi-4(x¤-3)‹¥2x(x¤-3)°-{(x¤-3)›}'{(x¤-3)›}¤1(x¤-3)›21‹⑵배각의공식2sinxcosx=sin2x에의하여(cid:100)(cid:100)2sin(tanx)cos(tanx)=sin(2tanx)RemarkD1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지58 SinsagoHitec 07 여러가지미분법59(cid:8833)본책194~202`쪽여러가지미분법07⑵놓으y'=(12x¤-3)'ln|2x-1|⑵놓으y'=+(12x¤-3)(ln|2x-1|)'⑵놓으y'=24xln|2x-1|+(12x¤-3)¥⑵놓으y'=24xln|2x-1|+⑵놓으y'=24xln|2x-1|+6(2x+1)(cid:100)⑶y==이므로⑵놓으y'=⑵놓으y'=⑵놓으y'==⑵놓으y'=⑷y'==⑷y'=(cid:9000)풀이참조075-1⑴주어진식의양변의절댓값에자연로그를취하면⑵(cid:100)(cid:100)ln|y|=lnFF⑵(cid:100)(cid:100)ln|y|=4ln|x-1|-ln|x+1|-2ln|x+2|⑵양변을x에대하여미분하면⑵놓으=--⑵놓으=⑵(cid:100)(cid:100)∴y'=y¥⑵(cid:100)(cid:100)∴y'=⑵(cid:100)(cid:100)∴y'=_⑵(cid:100)(cid:100)∴y'=⑵주어진식의양변에자연로그를취하면⑵놓으lny=lnxx=xlnx(x-1)‹(x¤+11x+12)(x+1)¤(x+2)‹x¤+11x+12(x-1)(x+1)(x+2)(x-1)›(x+1)(x+2)¤x¤+11x+12(x-1)(x+1)(x+2)x¤+11x+12(x-1)(x+1)(x+2)2x+21x+14x-1y'y(x-1)›(x+1)(x+2)¤1xln|x|¥ln3;[!;ln|x|¥ln3(ln|x|)'ln|x|¥ln33(1-4ln|x|)xfi3x‹(1-4ln|x|)x°3x‹-12x‹ln|x|x°;[#;¥x›-3ln|x|¥4x‹x°(3ln|x|)'¥x›-3ln|x|¥(x›)'(x›)¤3ln|x|x›ln|x|‹x›2(12x¤-3)2x-1(2x-1)'2x-1⑵양변을x에대하여미분하면⑵놓으=lnx+x¥;[!;=lnx+1⑵놓으∴y'=y(lnx+1)=xx(lnx+1)(cid:9000)풀이참조075-2주어진식의양변에자연로그를취하면놓으lnf(x)=ln(lnx)x=xln(lnx)양변을x에대하여미분하면놓으=ln(lnx)+x¥놓으=ln(lnx)+x¥놓으=ln(lnx)+놓으∴f'(x)=f(x)[ln(lnx)+]놓으∴f'(x)=(lnx)x[ln(lnx)+](cid:100)(cid:100)(cid:100)∴f'(e)=1(cid:9000)1076-1⑴y==(x2-1)(x+1)-;2!;⑵이므로⑵(cid:100)(cid:100)y'=2x(x+1)-;2!;⑵(cid:100)(cid:100)y'=+(x2-1)¥{-;2!;}(x+1)-;2#;¥1⑵(cid:100)(cid:100)y'=;2!;(x+1)-;2#;{4x(x+1)-(x2-1)}⑵(cid:100)(cid:100)y'=;2!;(x+1)-;2#;(3x2+4x+1)⑵(cid:100)(cid:100)y'=⑵(cid:100)(cid:100)y'=⑵(cid:100)(cid:100)y'=⑵y'=cos"’1-x¤¥`("’1-x¤`)'⑵y'=cos"’1-x¤`¥;2!;(1-x¤)-;2!;¥(-2x)⑵y'=-(cid:9000)풀이참조xcos"’1-x¤"’1-x¤3x+12'ƒx+1(x+1)(3x+1)2(x+1)'ƒx+13x¤+4x+12(x+1)'ƒx+1x¤-1'ƒx+11lnx1lnx1lnx;[!;lnx(lnx)'lnxf'(x)f(x)y'yD1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지59 SinsagoHitec 60정답및풀이⑴y'=⑴y'=⑴y'=⑴y'==076-2f'(x)=====이므로(cid:100)(cid:100)f'(0)==1(cid:9000)1077-1⑴y=›'ƒ4x-1에서y›=4x-1이므로⑴(cid:100)(cid:100) x=;4!;y›+;4!;⑴양변을y에대하여미분하면(cid:100)(cid:100)=y‹⑴(cid:100)(cid:100)∴==(단,y+0)⑵x=에서⑴(cid:100)(cid:100)==-2y¥{}¤⑴(cid:100)(cid:100)=-2x¤y⑴(cid:100)(cid:100)∴==-(단,xy+0)⑶x=2y'ƒ1+3y에서⑴(cid:100)(cid:100)=2'ƒ1+3y+2y¥⑴(cid:100)(cid:100)=⑴(cid:100)(cid:100)=9y+2'ƒ1+3y2(1+3y)+3y'ƒ1+3y32'ƒ1+3ydxdy12x¤y1dxdydydx1y¤+1-2y(y¤+1)¤dxdy1y¤+11y‹1dxdydydxdxdy1"‘0¤+11"‘x¤+1"‘x¤+1+x"‘x¤+1x+"“x¤+11+ 2x 2"‘x¤+1x+"“x¤+11+ (x¤+1)'2"‘x¤+1x+"“x¤+1(x+"“x¤+1)'x+"“x¤+13x+12'ƒx+13x¤+4x+12(x+1)'ƒx+14x(x+1)-(x¤-1)1111111112'ƒx+1x+112x'ƒx+1-(x¤-1)¥11112'ƒx+1x+1(x¤-1)''ƒx+1-(x¤-1)('ƒx+1)'('ƒx+1)¤⑴(cid:100)(cid:100)∴=={단,y+-;9@;}(cid:9000)풀이참조077-2y=f(x)라하면y=tanx의역함수x=tany에서양변을y에대하여미분하면=sec¤y이므로(cid:100)(cid:100)====따라서g'(x)=이므로(cid:100)(cid:100)g'(1)==;2!;(cid:9000);2!;f'(x)=sec¤x이고, f{;4“;}=1이므로(cid:100)(cid:100)g(1)=;4“;(cid:100)(cid:100)∴g'(1)====;2!;078-1⑴y=ln(5x-2)에서⑴(cid:100)(cid:100)y'==⑴(cid:100)(cid:100)∴y"=-=-⑵y="√x¤-2에서⑴(cid:100)(cid:100)y'===⑴(cid:100)(cid:100)∴y"=⑴(cid:100)(cid:100)∴y"=⑴(cid:100)(cid:100)∴y"=⑴(cid:100)(cid:100)∴y"=⑴(cid:100)(cid:100)∴y"=-2(x¤-2)"√x¤-2(x¤-2)-x¤(x¤-2)"√x¤-2x¤"√x¤-2-1112"√x¤-2x¤-22x"√x¤-2-x¥111222"√x¤-2x¤-2(x)'¥"√x¤-2-x¥("√x¤-2)'("√x¤-2)¤x"√x¤-22x2"√x¤-2(x¤-2)'2"√x¤-225(5x-2)¤5¥(5x-2)'(5x-2)¤55x-2(5x-2)'5x-21('2)¤1sec¤;4“;1f'{;4“;}11+1¤11+x¤11+x¤11+tan¤y1sec¤y1dxdydydxdxdy'ƒ1+3y9y+21dxdydydxD1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지60 SinsagoHitec 07 여러가지미분법61(cid:8833)본책202~207`쪽여러가지미분법07f(x)=(x-1)(x¤+1)-1이므로f'(x)=(x¤+1)-1+(x-1)¥(-1)(x¤+1)-2¥2xf'(x)=(x¤+1)-1-2x(x-1)(x¤+1)-2f'(x)=(x¤+1)-2(-x¤+2x+1)∴f'(-1)=2—¤¥(-2)=;4!;¥(-2)=-;2!;02해결과정•g(x)=x‹{f(2x)}¤이므로(cid:100)(cid:100)g'(x)=3x¤{f(2x)}¤+x‹¥2f(2x)f'(2x)¥(2x)'(cid:100)(cid:100)g'(x)=3x¤{f(2x)}¤+4x‹f(2x)f'(2x)(cid:8837)60% 배점답구하기•∴g'(2)=12{f(4)}¤+32f(4)f'(4)∴g'(2)=12¥3¤+32¥3¥5=588(cid:8837)40% 배점(cid:9000)58803해결과정•(fΩg)(x)=f(g(x))에서f(g(x))=cos‹2x이므로(cid:8837)20% 배점(cid:100)(cid:100)(fΩg)'(x)=3cos¤2x¥(cos2x)'=3cos¤2x¥(-sin2x)¥(2x)'(cid:100)(cid:100)(fΩg)'(x)=-3cos2x¥(2sin2xcos2x)(cid:100)(cid:100)(fΩg)'(x)=-3cos2xsin4x(cid:8837)50% 배점답구하기•∴(fΩg)'{;8“;}=-3¥cos;4“;¥sin;2“;답구하기•∴(fΩg)'{;8“;}=-3¥¥1답구하기•∴(fΩg)'{;8“;}=-(cid:8837)30% 배점(cid:9000)-04곱의미분법과합성함수의미분법을이용하여도함수를구한후x=0을대입한다.`f(x)=(x¤+1)esinx에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=(x¤+1)'esinx+(x¤+1)(esinx)'(cid:100)(cid:100)f'(x)=2xesinx+(x¤+1)esinx¥cosx(cid:100)(cid:100)f'(x)=esinx(x2cosx+2x+cosx)(cid:100)(cid:100)∴f'(0)=e0(0+0+1)=1(cid:9000)105y=ln|f(x)|일때,y'=(f(x)+0)임을이용한다.f'(x)f(x)3'223'22'22(cid:8833)본책207~`211쪽중단원연습문제01③0258803-041052106②07;2!;08④09-;4!;10-;2#5#;111512③13⑤141015616①17⑤181019①20421①3'2201몫의미분법을이용하여함수f(x)를미분한다.`f(x)=이므로f'(x)=f'(x)=∴f'(-1)==-;2!;(cid:9000)③-1-2+1(1+1)¤-x¤+2x+1(x¤+1)¤(x¤+1)-(x-1)¥2x(x¤+1)¤x-1x¤+1⑶y=xex에서⑴(cid:100)(cid:100)y'=ex+xex=(x+1)ex⑴(cid:100)(cid:100)∴y"=(x+1)'ex+(x+1)(ex)'=ex+(x+1)ex=(x+2)ex(cid:9000)풀이참조078-2y=(ax+b)ex에서y'=(ax+b)'ex+(ax+b)(ex)'y'=aex+(ax+b)ex=ex(ax+a+b)y"=(ex)'(ax+a+b)+ex(ax+a+b)'y"=ex(ax+a+b)+ex¥a=ex(ax+2a+b)y+y"=ky'에서(ax+b)ex+ex(ax+2a+b)=kex(ax+a+b)ex{a(2-k)x+a(2-k)+b(2-k)}=0이때ex+0이므로a(2-k)x+a(2-k)+b(2-k)=0㉠이등식이모든실수x에대하여성립해야하므로a(2-k)=0, b(2-k)=0∴k=2(∵a+0)(cid:9000)2D1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지61 SinsagoHitec 62정답및풀이`f(x)=ln(2x-1)에서(cid:100)(cid:100)f'(x)==(cid:100)(cid:100)∴f'(10)=;1™9;따라서p=19,q=2이므로(cid:100)(cid:100)p+q=21(cid:9000)2106x>0일때xcosx>0이므로주어진함수의양변에자연로그를취한후,양변을미분한다.`f(x)=xcosx의양변에자연로그를취하면(cid:100)(cid:100)lnf(x)=lnxcosx=cosx¥lnx양변을x에대하여미분하면(cid:100)(cid:100)=(cosx)'lnx+cosx(lnx)'(cid:100)(cid:100)=-sinx¥lnx+cosx¥;[!;(cid:100)(cid:100)∴f'(x)=f(x){-sinx¥lnx+}(cid:100)(cid:100)∴f'(x)=xcosx{-sinx¥lnx+}(cid:100)(cid:100)∴f'(p)=pcosp{-sinp¥lnp+}(cid:100)(cid:100)∴f'(p)=p-1{0-;ç!;}=-(cid:9000)②07미분가능한함수y=f(x)의역함수y=g(x)가존재하고g(a)=b이면g'(a)=(f'(b)+0)임을이용한다.`f—⁄=g이므로f(1)=3에서에서f—⁄(3)=1, 즉g(3)=1이므∴g'(3)==;2!;(cid:9000);2!;g=f—⁄이므로이므g(f(x))=x양변을x에대하여미분하면(cid:100)(cid:100)g'(f(x))f'(x)=1x=1을대입하면(cid:100)(cid:100)g'(f(1))f'(1)=1(cid:100)(cid:100)g'(3)¥2=1이므∴g'(3)=;2!;08곱의미분법을이용하여f'(x), f"(x)를구한다.1f'(1)1f'(b)1p¤cosppcosxxcosxxf'(x)f(x)22x-1(2x-1)'2x-1`f(x)=xeax+b에서f'(x)=x'¥eax+b+x(eax+b)'=eax+b+axeax+b=eax+b(1+ax)(cid:100)(cid:100)f"(x)=(eax+b)'¥(1+ax)+eax+b(1+ax)'(cid:100)(cid:100)f"(x)=aeax+b(1+ax)+eax+b¥a=aeax+b(2+ax)이때f'(0)=3, f"(0)=3이므로(cid:100)(cid:100)eb=3, 2aeb=3따라서a=;2!;, b=ln3이므로(cid:100)(cid:100)ab=;2!;ln3=ln'3(cid:9000)④09문제이해•h(x)=이므로이므h'(x)=(cid:8837)20% 배점해결과정•=2,=-1에서x2⁄-1일때, 각각(분모)2⁄0이고극한값이존재하므로(분자)2⁄0이다.즉{f(x)-3}=0, {g(x)+2}=0이므로이므f(-1)=3, g(-1)=-2(cid:8837)30% 배점따라서=2, =-1에서이므=f'(-1)=2,이므=g'(-1)=-1(cid:8837)20% 배점답구하기•h'(-1)=답구하기•h'(-1)=답구하기•h'(-1)=-;4!;(cid:8837)30% 배점(cid:9000)-;4!;2¥(-2)-3¥(-1)(-2)¤f'(-1)g(-1)-f(-1)g'(-1){g(-1)}¤g(x)-g(-1)x+1limx⁄-1f(x)-f(-1)x+1limx⁄-1g(x)+2x+1limx⁄-1f(x)-3x+1limx⁄-1limx⁄-1limx⁄-1g(x)+2x+1limx⁄-1f(x)-3x+1limx⁄-1f'(x)g(x)-f(x)g'(x){g(x)}¤f(x)g(x)=a(a는실수)일때①(분모)2⁄0이면(cid:100)(cid:100)(분자)2⁄0②(분자)2⁄0,a+0이면(cid:100)(cid:100)(분모)2⁄0(분자)(분모)limx⁄aRemark분수꼴의극한의성질D1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지62 SinsagoHitec 07 여러가지미분법63(cid:8833)본책207~209`쪽여러가지미분법0710미분계수의정의를이용하여를변형하고,몫의미분법을이용하여f'(2)와f(2)의값을구한다.`(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)=2-(cid:100)(cid:100)=2f'(2)-f(2)그런데f(x)=에서이므f'(x)=이므f'(x)=이므로(cid:100)(cid:100)f(2)==;5&;, (cid:100)(cid:100)f'(2)==;2¡5;(cid:100)(cid:100)∴(구하는값)=2f'(2)-f(2)(cid:100)(cid:100)∴(구하는값)=2¥;2¡5;-;5&;=-;2#5#;(cid:9000)-;2#5#;11문제이해•곡선y=f(x) 위의점(2, -3)에서의접선의기울기가3이므로므므f(2)=-3, f'(2)=3또곡선y=g(x)위의점(1, 2)에서의접선의기울기가5이므로므므g(1)=2, g'(1)=5(cid:8837)30% 배점해결과정•h(x)=f(g(x))로놓으면므므h(1)=f(g(1))=f(2)=-3이므로(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)=h'(1)(cid:8837)50% 배점답구하기•h'(x)=f'(g(x))g'(x)에서므므h'(1)=f'(g(1))g'(1)=f'(2)¥g'(1) 므므h'(1)=3¥5=15(cid:8837)20% 배점(cid:9000)15h(x)-h(1)x-1limx⁄1f(g(x))+3x-1limx⁄1-3¥2¤-2¥2+17(2¤-2¥2+5)¤3¥2+12¤-2¥2+5-3x¤-2x+17(x¤-2x+5)¤3(x¤-2x+5)-(3x+1)(2x-2)(x¤-2x+5)¤3x+1x¤-2x+5(x-2)f(2)x-2limx⁄2f(x)-f(2)x-2limx⁄22{f(x)-f(2)}-(x-2)f(2)x-2limx⁄22f(x)-2f(2)+2f(2)-xf(2)x-2limx⁄22f(x)-xf(2)x-2limx⁄22f(x)-xf(2)x-2limx⁄212g(x)=lnf'(x)에f'(x)=1+{f(x)}¤을대입한후x에대하여미분한다.`g(x)=lnf'(x)=ln[1+{f(x)}¤]에서(cid:100)(cid:100)g'(x)=(cid:100)(cid:100)g'(x)==2f(x)(cid:100)(cid:100)∴g'{;4“;}=2f{;4“;}=2¥1=2(cid:9000)③g(x)=lnf'(x)에서(cid:100)(cid:100)g'(x)=f'(x)=1+{f(x)}¤에서(cid:100)(cid:100)f"(x)=2f(x)f'(x)이므로(cid:100)(cid:100)g'(x)==2f(x)13미분계수의정의를이용하여를변형하고,로그미분법을이용하여f(x)=xlnx을미분한다.`==+=f'(e)+f'(e)=2f'(e)한편f(x)=xlnx의양변에자연로그를취하면lnf(x)=lnxlnx=(lnx)¤양변을x에대하여미분하면(cid:100)(cid:100)=2lnx(lnx)'=∴f'(x)=f(x)¥=xlnx¥따라서구하는값은2f'(e)=2elne¥=2e¥;e@;=4(cid:9000)⑤2lnee2lnxx2lnxx2lnxxf'(x)f(x)f(e-h)-f(e)-hlimh⁄0f(e+h)-f(e)hlimh⁄0f(e+h)-f(e)+f(e)-f(e-h)hlimh⁄0f(e+h)-f(e-h)hlimh⁄0f(e+h)-f(e-h)hlimh⁄02f(x)f'(x)f'(x)f"(x)f'(x)2f(x)[1+{f(x)}¤]1+{f(x)}¤2f(x)f'(x)1+{f(x)}¤함수y=f(x)에대하여x=a에서의미분계수f'(a)가존재할때,f'(a)는곡선y=f(x)위의점(a, f(a))에서의접선의기울기와같다.Remark미분계수의기하학적의미D1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지63 SinsagoHitec 64정답및풀이14합성함수의미분법을이용하여h'(x)를구한다.`h'(x)=g'(f(x))f'(x)이고f(0)=1이므로므므h'(0)=g'(f(0))f'(0)=g'(1)f'(0)=15이때f'(x)=;2#;(x+1);2!;이므로(cid:100)(cid:100)f'(0)=;2#;따라서g'(1)¥;2#;=15이므로(cid:100)(cid:100)g'(1)=15¥;3@;=10(cid:9000)1015분수꼴의극한의성질과미분계수의정의를이용하여f(1)과f'(1)의값을구한다.`=2에서x2⁄1일때,(분모)2⁄0이고극한값이존재하므로(분자)2⁄0이다.즉{f(x)-4}=0이므로에서f(1)=4에서∴=에서∴=f'(1)=2g(x)=f(x)"çf(≈xΩ)에서에서g'(x)=f'(x)"çf(≈xΩ)+f(x)¥에서g'(x)=에서g'(x)=;2#;f'(x)"çf(≈xΩ)에서∴g'(1)=;2#;f'(1)"çf(1)에서∴g'(1)=;2#;¥2¥'4=6(cid:9000)6=2에서(cid:100)(cid:100)f(1)=4, f'(1)=2g(x)=f(x)"‘f(x)={f(x)};2#;이므로(cid:100)(cid:100)g'(x)=;2#;{f(x)};2!;f'(x)(cid:100)(cid:100)∴g'(1)=;2#;{f(1)};2!;f'(1)(cid:100)(cid:100)∴g'(1)=;2#;¥4;2!;¥2=6f(x)-4x-1limx⁄12f'(x)f(x)+f(x)f'(x)2"çf(≈xΩ)f'(x)2"çf(≈xΩ)f(x)-f(1)x-1limx⁄1f(x)-4x-1limx⁄1limx⁄1f(x)-4x-1limx⁄116미분가능한함수f(x)의역함수를g(x)라하면g'(x)=임을이용한다.(단,f'(g(x))+0)`g(a)=b라하면`f(b)=a이므로(cid:100)(cid:100)ln(eb-1)=a(cid:100)(cid:100)∴eb-1=ea이때`f'(x)=이므로(cid:100)(cid:100)g'(a)===(cid:100)(cid:100)∴+=+=2(cid:9000)①17조건㈏`에서g(x)는f(x)의역함수임을이용한다.`조건㈏`에서f—⁄=g이므로조건㈎`에의하여(cid:100)(cid:100)g(2)=1조건㈐에서(cid:100)(cid:100)f'(1)=1+{f(1)}¤=1+2¤=5(cid:100)(cid:100)∴g'(2)==;5!;F(x)=h(g(x))이므로(cid:100)(cid:100)F'(x)=h'(g(x))g'(x)(cid:100)(cid:100)∴F'(2)=h'(g(2))g'(2)=h'(1)¥;5!;이때F'(2)=4이므로(cid:100)(cid:100)h'(1)¥;5!;=4(cid:100)(cid:100)∴h'(1)=20(cid:9000)⑤18해결과정•f(x)=e2xsinx에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=(e2x)'sinx+e2x(sinx)'=2e2xsinx+e2xcosx=e2x(2sinx+cosx)(cid:100)(cid:100)f"(x)=(e2x)'(2sinx+cosx)=+e2x(2sinx+cosx)'=2e2x(2sinx+cosx)=+e2x(2cosx-sinx)=e2x(3sinx+4cosx)(cid:8837)40% 배점f'(h)-f"(h)=0이므로(cid:100)(cid:100)e¤h(2sinh+cosh)-e¤h(3sinh+4cosh)=0(cid:100)(cid:100)-e¤h(sinh+3cosh)=01f'(1)eå+1eåeå-1eå1g'(a)1f'(a)eåeå+1e∫-1e∫1f'(b)e≈e≈-11f'(g(x))D1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지64 SinsagoHitec 07 여러가지미분법65(cid:8833)본책209~211`쪽여러가지미분법0720해결과정•f(x)=lnÆ…=;2!;ln해결과정•f(x)=;2!;{ln(2+x)-ln(2-x)}이므로(cid:100)(cid:100)f'(x)=;2!;{+}(cid:100)(cid:100)f'(x)=;2!;¥=(cid:100)(cid:100)∴a=f'(0)=;4@;=;2!;(cid:8837)50% 배점g(0)=k라하면f(k)=0이므로(cid:100)(cid:100)lnÆ…=0,(cid:100)(cid:100)Æ…=1(cid:100)(cid:100)=1,(cid:100)(cid:100)2+k=2-k(cid:100)(cid:100)∴k=0즉g(0)=0이므로(cid:100)(cid:100)b=g'(0)===2(cid:8837)40% 배점답구하기•따라서a=;2!;, b=2이므로(cid:100)(cid:100);aB;==4 (cid:8837)10% 배점(cid:9000)421두함수f(x), g(x)에대하여=a`(a는실수)일때,g(x)=0이면f(x)=0이다.`조건㈏에서x2⁄1일때, (분모)2⁄0이고극한값이존재하므로(분자)2⁄0이다.즉{f'(f(x))-1}=0이므로(cid:100)(cid:100)f'(f(1))=1∴==¥=f"(f(1))f'(1)=f"(2)¥5따라서5f"(2)=5이므로(cid:100)(cid:100)f"(2)=1(cid:9000)①f(x)-f(1)x-1f'(f(x))-f'(f(1))f(x)-f(1)limx⁄1f'(f(x))-f'(f(1))x-1limx⁄1f'(f(x))-1x-1limx⁄1limx⁄1limx⁄alimx⁄af(x)g(x)limx⁄a2;2!;1;2!;1f'(0)2+k2-k2+k2-k2+k2-k24-x¤2-x+2+x4-x¤12-x12+x2+x2-x2+x2-x이때e¤h>0이므로(cid:100)(cid:100)sinh+3cosh=0,(cid:100)(cid:100)=-3(cid:100)(cid:100)∴tanh=-3(cid:8837)40% 배점답구하기•∴sec¤h=1+tan¤h=1+(-3)¤=10(cid:8837)20% 배점(cid:9000)1019Q’M”을h에대한식으로나타내어f(h)를구한후미분한다.`오른쪽그림에서△OAP는(cid:100)(cid:100)OA”=OP”(반지름)인이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)OP”=4, ∠OPA=h또△OPQª△OMP(AA닮음)이므로(cid:100)(cid:100)∠OQP=h△OMA에서∠OMA=90°이므로OM”=4sinh△OPQ에서∠OPQ=90°이므로(cid:100)(cid:100)OQ”sinh=OP”=4(cid:100)(cid:100)∴OQ”==4csch∴f(h)=QM”=OQ”-OM”=4csch-4sinhf'(h)=-4cschcoth-4cosh이므로f'{;6“;}=-4csc;6“;cot;6“;-4cos;6“;f'{;6“;}=-4¥2¥'3-4¥f'{;6“;}=-10'3(cid:9000)①PM”=4cosh이므로△PQM에서(cid:100)(cid:100)QM”tanh=PM”∴f(h)=QM”=PM”coth=4coshcothf'(h)=-4sinhcoth-4coshcsc¤h이므로f'{;6“;}=-4sin;6“;cot;6“;-4cos;6“;csc¤;6“;f'{;6“;}=-4¥;2!;¥'3-4¥¥4=-10'3'32'324sinhOQPMA4ΩΩΩsinhcoshD1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지65 SinsagoHitec 66정답및풀이본책216~233쪽유제Ⅲ.미분법08도함수의활용⑴079-1⑴f(x)=(x-1)ex으로놓으면⑴f'(x)=ex+(x-1)ex=xex이므로점(2,e¤)에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)f'(2)=2e¤⑴따라서구하는접선의방정식은⑴(cid:100)(cid:100)y-e¤=2e¤(x-2)⑴(cid:100)(cid:100)∴y=2e¤x-3e¤⑵f(x)=log∞(1+x¤)으로놓으면⑴f'(x)=이므로점(2,1)에서의접⑴선의기울기는⑴(cid:100)(cid:100)f'(2)==⑴따라서구하는접선의방정식은⑴(cid:100)(cid:100)y-1=(x-2)⑴(cid:100)(cid:100)∴y=x-+1(cid:9000)풀이참조079-2f(x)=tan¤x로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=2tanxsec¤x곡선y=f(x)위의점{;4“;, 1}에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)f'{;4“;}=2¥1¥('2)¤=4따라서이점에서의접선에수직인직선의기울기는-;4!;이므로구하는직선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-1=-;4!;{x-;4“;}(cid:100)(cid:100)∴y=-;4!;x++1(cid:9000)y=-;4!;x++1080-1⑴f(x)=e2x으로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=2e2x⑴접점의좌표를(a,e2a)이라하면직선y=2e(x+1)에평행한직선의기울기는2e이므로⑴(cid:100)(cid:100)f'(a)=2e2a=2e(cid:100)(cid:100)∴a=;2!;⑴따라서접점의좌표가{;2!;, e}이므로구하는접선의방정식은p16p1685ln545ln545ln545ln52¥2(1+2¤)ln52x(1+x¤)ln5⑴(cid:100)(cid:100)y-e=2e{x-;2!;}(cid:100)(cid:100)∴y=2ex⑵f(x)=cos2x로놓으면⑴(cid:100)(cid:100)f'(x)=-2sin2x⑴접점의좌표를(a, cos2a)라하면직선⑴x-2y+3=0, 즉y=;2!;x+;2#;에수직인직선의⑴기울기는-2이므로⑴이므f'(a)=-2sin2a=-2,(cid:100)(cid:100)sin2a=1⑴그런데0…a…p이므로(cid:100)(cid:100)2a=;2“;(cid:100)(cid:100)∴a=;4“; ⑴따라서접점의좌표가{;4“;, 0}이므로구하는접선의⑴방정식은⑴이므y-0=-2{x-;4“;}(cid:100)(cid:100)∴y=-2x+;2“;(cid:9000)⑴y=2ex(cid:100)⑵y=-2x+;2“;080-2f(x)=로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=접점의좌표를{a,}라하면이점에서의접선의기울기가1이므로(cid:100)(cid:100)f'(a)==1,(cid:100)(cid:100)(2a+1)¤=1(cid:100)(cid:100)2a+1=—1(cid:100)(cid:100)∴a=-1또는a=0따라서두접점의좌표는(-1,1),(0,0)이므로두점사이의거리는(cid:100)(cid:100)"√(0+1)¤+(0-1)¤='2(cid:9000)'2081-1f(x)=xex으로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=ex+xex=ex(x+1)접점의좌표를(a,aea)이라하면이점에서의접선의기울기는f'(a)=ea(a+1)이므로접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-aea=ea(a+1)(x-a)이직선이점(-4,0)을지나므로(cid:100)(cid:100)0-aea=ea(a+1)(-4-a)(cid:100)(cid:100)ea(a¤+4a+4)=0,(cid:100)(cid:100)ea(a+2)¤=0(cid:100)(cid:100)∴a=-2(∵ea>0)따라서구하는접점의좌표는(cid:100)(cid:100){-2,-}(cid:9000){-2, -}2e¤2e¤1(2a+1)¤a2a+11(2x+1)¤x2x+1D1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지66 SinsagoHitec 08 도함수의활용⑴67(cid:8833)본책216~224`쪽도함수의활용⑴08081-2f(x)=로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)==접점의좌표를{a,}(a>0)라하면이점에서의접선의기울기는f'(a)=이므로접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-=(x-a)yy㉠(cid:100)(cid:100)이직선이원점을지나므로(cid:100)(cid:100)0-=(0-a)(cid:100)(cid:100)alna=a(1-lna),(cid:100)(cid:100)a(2lna-1)=0(cid:100)(cid:100)∴a='e(∵a>0)a='e를㉠에대입하면구하는접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-=(x-'e)(cid:100)(cid:100)∴y=x(cid:9000)y=x082-1f(x)=xe—≈으로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=e—≈-xe—≈=e—≈(1-x)접점의좌표를(t,te—†)이라하면이점에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)f'(t)=e—†(1-t)이므로접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-te—†=e—†(1-t)(x-t)이직선이점(4,0)을지나므로(cid:100)(cid:100)0-te—†=e—†(1-t)(4-t)(cid:100)(cid:100)e-t(t¤-4t+4)=0,(cid:100)(cid:100)e-t(t-2)¤=0(cid:100)(cid:100)∴t=2(∵e-t>0)따라서접점은x=2에서1개뿐이므로점(4, 0)에서곡선y=xe-x에그을수있는접선은1개이다.(cid:9000)1083-1f(x)=cos¤x, g(x)=a+sinx에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=-2sinxcosx, g'(x)=cosx두곡선y=f(x),y=g(x)가x=t{-;2“;0)⑴함수f(x)의증감표는다음과같다.⑴따라서함수f(x)는구간(-¶,0),(2,¶)에서감소하고,구간(0,2)에서증가한다.e¤2be¤32e¤32e¤32e¤be¤be›1e¤be¤bx¤bxxy0y2yf'(x)-0+0-f(x)↘0↗↘4e¤D1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지67 SinsagoHitec 68정답및풀이⑵f(x)=cosx+xsinx에서⑵(cid:100)(cid:100)`f'(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx⑵f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)cosx=0(∵x+0)⑵(cid:100)(cid:100)∴x=;2“;또는x=;2#;p(∵00이고,⑷(cid:100)(cid:100)f'(x)=1+;[!;⑷이때x>0이므로(cid:100)(cid:100)f'(x)>0⑷따라서함수f(x)는구간(0,¶)에서증가한다.(cid:9000)풀이참조085-1⑴f(x)=ax-;[!;+lnx에서x>0이고⑴(cid:100)(cid:100)f'(x)=a++;[!;1x¤3'223'223'22x"√9-x¤-2x2"√9-x¤⑴함수f(x)가구간(0,¶)에서증가하려면x>0⑴에서f'(x)æ0,즉a++æ0이어야한다.⑴이때x>0에서>0,>0이므로⑴(cid:100)(cid:100)aæ0⑵f(x)=2e≈-ex¤+ax에서⑴(cid:100)(cid:100)f'(x)=2e≈-2ex+a⑴함수f(x)가실수전체의집합에서증가하려면모든실수x에대하여f'(x)æ0이어야하므로(cid:100)(cid:100)2e≈-2ex+aæ0⑴(cid:100)(cid:100)∴2e≈æ2ex-ayy㉠㉠㉠⑴g(x)=2e≈, h(x)=2ex-a로놓으면⑴(cid:100)(cid:100)g'(x)=2e≈⑴직선y=h(x)와평행하면서곡선y=g(x)에접하는직선의기울기는2e이므로2e≈=2e에서⑴㉠㉠x=1⑴즉접점이(1, 2e)이므로접선의방정식은⑴(cid:100)(cid:100)y-2e=2e(x-1)⑴(cid:100)(cid:100)∴y=2ex⑴이때모든실수x에대하여㉠이성립하려면오른쪽그림과같이직선y=h(x)가직선y=2ex와일치하거나아래쪽에있어야하므로⑴(cid:100)(cid:100)-a…0⑴(cid:100)(cid:100)∴aæ0(cid:9000)⑴aæ0(cid:100)⑵aæ0086-1⑴f(x)=x+에서x+1이고,⑵에서`f'(x)=1-=⑵에서`f'(x)==⑵f'(x)=0에서에서`x=0또는x=2⑵함수f(x)의증감표는다음과같다.x(x-2)(x-1)¤x¤-2x(x-1)¤(x-1)¤-1(x-1)¤1(x-1)¤1x-1xyOy=g{x}y=2exy=h{x}122e1x1x¤1x1x¤x0y;2“;y;2#;py2pf'(x)+0-0+f(x)↗;2“;↘-;2#;p↗x0yy3f'(x)+0-f(x)↗3'2↘3'22xy0y1y2yf'(x)+0--0+f(x)↗극대↘↘극소↗D1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지68 SinsagoHitec 08 도함수의활용⑴69(cid:8833)본책224~231`쪽도함수의활용⑴08⑵따라서함수f(x)는⑵(cid:100)(cid:100)x=0에서극댓값f(0)=-1, ⑵(cid:100)(cid:100)x=2에서극솟값f(2)=3⑵을갖는다.⑵f(x)=에서⑵에서f'(x)=⑵에서f'(x)==⑵f'(x)=0에서에서x=-3또는x=1⑵함수f(x)의증감표는다음과같다.⑵따라서함수f(x)는⑵(cid:100)(cid:100)x=-3에서극솟값f(-3)=-;6!;, ⑵(cid:100)(cid:100)x=1에서극댓값f(1)=;2!;⑵을갖는다.(cid:9000)⑴극댓값: -1,극솟값: 3(cid:100)⑵극댓값: ;2!;,극솟값: -;6!;087-1⑴f(x)='ßx+'ƒ4-x에서xæ0,4-xæ0이므로0…x…4이고,⑵에서f'(x)=-⑵에서f'(x)=⑵f'(x)=0에서에서'ƒ4-x='x⑵양변을제곱하면(cid:100)(cid:100)4-x=x(cid:100)(cid:100)∴x=2⑵함수f(x)의증감표는다음과같다.⑵따라서함수f(x)는x=2에서극댓값f(2)=2'2를갖는다.'ƒ4-x-'ßx2'ßx'ƒ4-x12'ƒ4-x12'ßx-(x+3)(x-1)(x¤+3)¤-x¤-2x+3(x¤+3)¤x¤+3-(x+1)¥2x(x¤+3)¤x+1x¤+3⑵f(x)=에서x+1>0이므로x>-1이고,⑴이므f'(x)=⑴이므f'(x)=⑴f'(x)=0에서이므x=1⑵함수f(x)의증감표는다음과같다.⑴따라서함수f(x)는x=1에서극솟값f(1)=2'2를갖는다.(cid:9000)⑴극댓값: 2'2(cid:100)⑵극솟값: 2'2088-1⑴f(x)=에서x+0이고, ⑴에서f'(x)==⑴f'(x)=0에서에서x=1(∵ex>0)⑵함수f(x)의증감표는다음과같다.⑴따라서함수f(x)는x=1에서극솟값f(1)=e를갖는다.⑵f(x)=xlnx에서x>0이고,⑴에서f'(x)=lnx+x¥;[!;=lnx+1⑴f'(x)=0에서에서x=;e!;⑵함수f(x)의증감표는다음과같다.⑴따라서함수f(x)는x=;e!;에서극솟값⑴f{;e!;}=-;e!;을갖는다.(cid:9000)⑴극솟값: e(cid:100)⑵극솟값: -;e!;(x-1)e≈x¤e≈¥x-e≈x¤e≈xx-12(x+1)'ƒx+1'ƒx+1-(x+3)¥1111352'ƒx+1x+1x+3'ƒx+1xy-3y1yf'(x)-0+0-f(x)↘극소↗극대↘x-1y1yf'(x)-0+f(x)↘극소↗x0y2y4f'(x)+0-f(x)2↗극대↘2xy0y1yf'(x)--0+f(x)↘↘극소↗x0y;e!;yf'(x)-0+f(x)↘극소↗D1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지69 SinsagoHitec 70정답및풀이⑵f"(x)=;[!;에서에서f"{;e!;}=e>0(cid:100) 따라서f(x)의극솟값은f{;e!;}=-;e!;이다.089-1⑴f(x)=sin¤x에서⑵에서f'(x)=2sinxcosx=sin2x⑵f'(x)=0에서⑵에서2x=p또는2x=2p 또는2x=3p(∵0<2x<4p)⑵에서∴x=;2“;또는x=p또는x=;2#;p⑵함수f(x)의증감표는다음과같다.⑵따라서함수f(x)는x=;2“;에서극댓값f{;2“;}=1,⑵x=p에서극솟값f(p)=0, x=;2#;p에서극댓값⑵f{;2#;p}=1을갖는다.⑵f(x)=에서⑵에서f'(x)=⑵에서f'(x)=⑵에서f'(x)=⑵f'(x)=0에서에서cosx=;2!;⑵에서∴x=;3“;(∵00⑵에서f"{;2#;p}=2cos3p=-2<0⑵따라서f(x)의극댓값은f{;2“;}=1, f{;2#;p}=1,⑵극솟값은f(p)=0이다.090-1f(x)=에서x+-1이고,(cid:100)(cid:100)f'(x)=(cid:100)(cid:100)f'(x)=함수f(x)가x=2에서극솟값1을가지므로(cid:100)(cid:100)f(2)=1,f'(2)=0(cid:100)(cid:100)f(2)==1, f'(2)==0위의두식을연립하여풀면므로a=-3, b=5(cid:100)(cid:100)∴f(x)=(cid:100)(cid:100)∴f'(x)==f'(x)=0에서에서x=-4또는x=2함수f(x)의증감표는다음과같다.따라서함수f(x)는x=-4에서극댓값f(-4)=-11을갖는다.(cid:9000)a=-3, b=5,극댓값: -11(x+4)(x-2)(x+1)¤x¤+2x-8(x+1)¤x¤-3x+5x+18+a-b94+2a+b3x¤+2x+a-b(x+1)¤(2x+a)(x+1)-(x¤+ax+b)¥1(x+1)¤x¤+ax+bx+1x0y;2“;ypy;2#;py2pf'(x)+0-0+0-f(x)↗극대↘극소↗극대↘x0y;3“;ypf'(x)-0+f(x)↘극소↗xy-4y-1y2yf'(x)+0--0+f(x)↗극대↘↘극소↗f'(x)=에서h(x)가이차식이고모든실수x에대하여g(x)>0이면①f(x)가극값을갖는다.(cid:8857)h(x)=0이서로다른두실근을갖는다.②f(x)가극값을갖지않는다.(cid:8857)h(x)=0이중근또는허근을갖는다.h(x)g(x)RemarkD1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지70 SinsagoHitec 08 도함수의활용⑴71(cid:8833)본책231~234`쪽도함수의활용⑴08이므로접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-eß=eß(x-s)이직선이원점을지나므로(cid:100)(cid:100)0-eß=eß(0-s),(cid:100)(cid:100)es(1-s)=0(cid:100)(cid:100)∴s=1(∵es>0)㉠에서f'(1)=e이므로(cid:100)(cid:100)m=e또곡선y=g(x)위의접점의좌표를(t,lnt)라하면이점에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)g'(t)=yy㉡㉡㉡이므로접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-lnt=(x-t)이직선이원점을지나므로(cid:100)(cid:100)0-lnt=(0-t),(cid:100)(cid:100)lnt=1(cid:100)(cid:100)∴t=e㉡에서g'(e)=;e!;이므로(cid:100)(cid:100)n=;e!;(cid:100)(cid:100)∴mn=1(cid:9000)103해결과정•f(x)=로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=접점의좌표를{t,}이라하면이점에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)f'(t)=이므로접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-=(x-t)(cid:8837)40% 배점이직선이점(a,0)을지나므로(cid:100)(cid:100)0-=(a-t)(cid:100)(cid:100)∴3t¤-2at+1=0yy㉠㉠㉠점(a,0)에서곡선y=에서로다른두개의접선을그을수있으려면방정식㉠이서로다른두실근을가져야하므로이차방정식㉠의판별식을D라하면(cid:100)(cid:100)=a¤-3>0,(cid:100)(cid:100)(a+'3)(a-'3)>0(cid:8837)50% 배점답구하기•∴a<-'3또는a>'3(cid:8837)10% 배점(cid:9000)a<-'3또는a>'3D411+x¤-2t(1+t¤)¤11+t¤-2t(1+t¤)¤11+t¤-2t(1+t¤)¤11+t¤-2x(1+x¤)¤11+x¤1t1t1t(cid:8833)본책234~237쪽중단원연습문제01곱의미분법을이용하여주어진점에서의접선의기울기를구한다.`f(x)=x¤lnx로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=2xlnx+x¤¥;[!;=2xlnx+x점(e, e¤)에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)f'(e)=2elne+e=2e+e=3e따라서접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-e¤=3e(x-e),즉y=3ex-2e¤이므로구하는y절편은-2e¤이다.(cid:9000)①02두곡선의접점을각각(s,eß),(t,lnt)로놓고두접선이모두원점을지남을이용하여s,t의값을구한다.`f(x)=e≈,g(x)=lnx로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=e≈,g'(x)=;[!;곡선y=f(x)위의접점의좌표를(s,eß)이라하면이점에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)f'(s)=eßyy㉠㉠㉠01①02103a<-'3또는a>'304③05극솟값: -4'20607②08②09③10-411④12②13314y=ex+e15816501718319④6-p412e090-2f(x)=(x¤-3a)ex에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=2x¥ex+(x¤-3a)ex=(x¤+2x-3a)ex함수f(x)가극댓값과극솟값을모두가지려면방정식x¤+2x-3a=0이서로다른두실근을가져야하므로이이차방정식의판별식을D라하면(cid:100)(cid:100)=1+3a>0(cid:100)(cid:100)∴a>-;3!;(cid:9000)a>-;3!;D4D1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지71 SinsagoHitec 72정답및풀이함수f(x)의증감표는오른쪽과같다.따라서함수f(x)는x=1에서극댓값f(1)=;2¡e;을갖는다.즉a=1,b=;2¡e;이므로(cid:100)(cid:100)ab=;2¡e;(cid:9000);2¡e;`함수f(x)가x=a에서극댓값b를가지므로(cid:100)(cid:100)f(a)=b,f'(a)=0(cid:100)(cid:100)e-a-;2!;e-2a+1=byy㉠(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)-e-a(1-e-a+1)=0yy㉡(cid:100)(cid:100)㉡에서(cid:100)(cid:100)1-e-a+1=0(∵e-a>0)(cid:100)(cid:100)-a+1=0(cid:100)(cid:100)∴a=1a=1을㉠`에대입하면(cid:100)(cid:100)b=e-1-;2!;e-1=-=(cid:100)(cid:100)∴ab=07함수의몫의미분법을이용하여f'(x)=0인x의값을찾아증감표를만든다.이때주어진x의값의범위에주의한다.`f(x)=에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=(cid:100)(cid:100)f'(x)=(cid:100)(cid:100)f'(x)=f'(x)=0에서에서cosx-sinx=0(cid:100)(cid:100)∴x=;4“;또는x=;4%;p(∵0…x…2p)함수f(x)의증감표는다음과같다.따라서f(x)의극댓값A와극솟값B는(cid:100)(cid:100)A=f{;4“;}==e-;4“;'22psin14e;4“;cosx-sinxe≈e≈(cosx-sinx)e¤≈cosx¥e≈-sinx¥e≈e¤≈sinxe≈12e12e12e1e04미분가능한함수f(x)가구간(0, ¶)에서증가하려면x>0에서f'(x)æ0이어야한다.`f(x)=alnx+x¤-4x(x>0)로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=;[A;+2x-4=함수f(x)가구간(0, ¶)에서증가하려면x>0에서f'(x)æ0,즉(cid:100)(cid:100)2x¤-4x+aæ0이어야한다.g(x)=2x¤-4x+a라하면(cid:100)(cid:100)g(x)=2x¤-4x+a=2(x-1)¤+a-2이므로x>0에서g(x)æ0이려면(cid:100)(cid:100)g(1)æ0,즉a-2æ0(cid:100)(cid:100)∴aæ2(cid:9000)③05해결과정•f(x)=(x-3)'ƒx+3에서x+3æ0이므로xæ-3이고,(cid:100)(cid:100)`f'(x)='ƒx+3+(x-3)¥(cid:100)(cid:100)`f'(x)=(cid:100)(cid:100)`f'(x)=(cid:8837)40% 배점f'(x)=0에서에서x=-1함수f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)(cid:8837)40% 배점답구하기•따라서함수f(x)는x=-1에서극솟값f(-1)=-4'2를갖는다.(cid:8837)20% 배점(cid:9000)극솟값: -4'206지수함수의도함수를이용하여f'(x)=0인x의값을찾아증감표를만든다.f(x)=e-x-;2!;e-2x+1에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=-e-x+e-2x+1=-e-x(1-e-x+1)f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)e-x+1=1(∵e-x>0)(cid:100)(cid:100)∴x=13x+32'ƒx+32(x+3)+x-32'ƒx+312'ƒx+3xyOy=g{x}12x¤-4x+axx0y;4“;y;4%;py2pf'(x)+0-0+f(x)0↗극대↘극소↗0x-3y-1yf'(x)-0+f(x)0↘극소↗xy1yf'(x)+0-f(x)↗극대↘D1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지72 SinsagoHitec 08 도함수의활용⑴73(cid:8833)본책234~236`쪽도함수의활용⑴08(cid:100)(cid:100)B=f{;4%;p}==-e-;4%;p(cid:100)(cid:100)∴==-ep(cid:9000)②08먼저곡선y=ex위의점(1,e)에서의접선의방정식을구한다.`f(x)=ex으로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=ex점(1,e)에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)f'(1)=e따라서접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-e=e(x-1)(cid:100)(cid:100)∴y=ex직선y=ex가곡선y=2'ƒx-k에접하므로ex=2'ƒx-k의양변을제곱하여정리하면(cid:100)(cid:100)e¤x¤-4x+4k=0이이차방정식의판별식을D라하면(cid:100)(cid:100)=4-4e¤k=0(cid:100)(cid:100)∴k=(cid:9000)②g(x)=2'ƒx-k로놓으면(cid:100)(cid:100)g'(x)=이므로점(t, g(t))에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-2'ƒt-k=(x-t)(cid:100)(cid:100)∴y=x+이직선이곡선y=ex위의점(1,e)에서의접선y=ex와일치하므로(cid:100)(cid:100)=e,(cid:100)=0t-2k=0에서t=2k이므로(cid:100)(cid:100)e=(cid:100)(cid:100)∴k=09곡선y=f(x)위의점(a, f(a))에서의접선에수직인직선의기울기는-임을이용한다.`f(x)=cos2x+1로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=-2sin2x1f'(a)1e¤1'kt-2k'ƒt-k1'ƒt-kt-2k'ƒt-k1'ƒt-k1'ƒt-k1'ƒx-k1e¤D4'2124e-;4“;2-'2124e-;4%;p2AB'225sin1p4e;4%;p점P(t,cos2t+1)에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)f'(t)=-2sin2t따라서점P에서의접선에수직인직선의기울기는이므로접선에수직인직선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-(cos2t+1)=(x-t)y절편은x=0일때의y의값이므로(cid:100)(cid:100)g(t)=cos2t+1-(cid:100)(cid:100)∴g(t)={cos2t+1-}=(cos2t+1)-=(cos2t+1)-;4!;=2-;4!;=;4&;(cid:9000)③10접점의좌표를(t,(t-k)e—†)으로놓고접선의방정식을구한후,이접선의방정식에x=0,y=0을대입하여얻은방정식의해가1개일때의k의값을구한다.`f(x)=(x-k)e—≈으로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=e—≈-(x-k)e—≈=e—≈(1-x+k)접점의좌표를(t,(t-k)e—†)이라하면이점에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)f'(t)=e—†(1-t+k)따라서접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-(t-k)e—†=e—†(1-t+k)(x-t)이직선이원점을지나므로(cid:100)(cid:100)-(t-k)e-t=e-t(1-t+k)(-t)(cid:100)(cid:100)(t¤-kt-k)e—†=0(cid:100)(cid:100)∴t¤-kt-k=0 (∵e—†>0)yy㉠㉠㉠이때원점에서주어진곡선에단하나의접선을그을수있으려면방정식㉠이중근을가져야하므로이차방정식㉠의판별식을D라하면(cid:100)(cid:100)D=k¤+4k=0,(cid:100)(cid:100)k(k+4)=0그런데k+0이므로(cid:100)(cid:100)k=-4(cid:9000)-411로그함수의도함수를이용하여f'(x)=0인x의값을찾아증감표를만든다.`f(x)=;2!;x¤-alnx에서x>0이고,2tsin2tlimt⁄0limt⁄0t2sin2tlimt⁄0limt⁄0t2sin2tlimt⁄0limt⁄0t2sin2t12sin2t12sin2tD1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지73 SinsagoHitec 74정답및풀이(cid:100)(cid:100)f'(x)=x-;[A;=(cid:100)(cid:100)f'(x)=f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x='a(∵x>0)함수f(x)의증감표는다음과같다.따라서함수f(x)는x='a에서극솟값0을가지므로(cid:100)(cid:100);2!;('a)¤-aln'a=0,(cid:100)(cid:100);2!;a-aln'a=0(cid:100)(cid:100)ln'a=;2!;,(cid:100)(cid:100)lna=1(cid:100)(cid:100)∴a=e(cid:9000)④12a>1임을이용하여주어진범위에서f'(x)=0인x의값을구한다.`f(x)=x+acosx에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=1-asinx(cid:100)(cid:100)f'(x)=-a{sinx-;a!;}(01에서0<;a!;<1이므로(cid:100)(cid:100)sinh=;a!;{00이고,(cid:100)(cid:100)f'(x)=--2(cid:100)(cid:100)f'(x)=(cid:100)(cid:100)f'(x)=-이므로f(x)가x>0에서극댓값과극솟값을모두가지려면방정식f'(x)=0이서로다른두양의실근을가져야한다.(cid:8837)40% 배점해결과정•g(x)=2x¤-8x+a로놓으면이차방정식g(x)=0이서로다른두양의실근을가져야한다.⁄이차방정식g(x)=0의판별식을D라하면⁄(cid:100)(cid:100)=16-2a>0(cid:100)(cid:100)∴a<8¤(두근의합)=4>0‹(두근의곱)=;2A;>0(cid:100)(cid:100)∴a>0이상에서(cid:100)(cid:100)00)(cid:100)(cid:100)∴x=;4“;또는x=p+;4“;또는x=2p+;4“;y함수f(x)의증감표는다음과같다.위의증감표에서f(x)가극대인x의값을작은것부터차례대로나열하면(cid:100)(cid:100)x¡=;4“;, x™=2p+;4“;, x£=4p+;4“;, y(cid:100)(cid:100)∴xk=2(k-1)p+;4“; (k는자연수)(cid:100)(cid:100)∴===;6&5#;따라서m=65, n=73이므로(cid:100)(cid:100)m+n=138(cid:9000)④;;¶4£;;p;;§4∞;;p18p+;4“;16p+;4“;x¡ºxª1tx0y;4“;yp+;4“;f'(x)+0-0f(x)↗극대↘극소xy2p+;4“;y3p+;4“;yf'(x)+0-0+f(x)↗극대↘극소↗본책243~260`쪽유제Ⅲ.미분법09도함수의활용⑵091-1⑴f(x)=x‹-3x¤+3x+2로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=3x¤-6x+3=3(x-1)¤(cid:100)(cid:100)f"(x)=6x-6=6(x-1)f'(x)=0에서　　x=1f"(x)=0에서　　x=1함수f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)따라서곡선y=f(x)는구간(-¶,1)에서f"(x)<0이므로위로볼록하고,구간(1,¶)에서f"(x)>0이므로아래로볼록하다. 또이곡선의변곡점의좌표는(1, 3)이다.⑵f(x)=로놓으면f'(x)=f"(x)=f"(x)=f"(x)=f"(x)=f"(x)=f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=0f"(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-또는x=함수f(x)의증감표는다음과같다.'33'332('3x+1)('3x-1)(x¤+1)‹2(3x¤-1)(x¤+1)‹-2(-3x¤+1)(x¤+1)‹-2(x¤+1){(x¤+1)-4x¤}(x¤+1)›-2(x¤+1)¤-(-2x)¥2(x¤+1)¥2x(x¤+1)›-2x(x¤+1)¤1x¤+1xy1yf'(x)+0+f"(x)-0+f(x)(cid:8873)3(cid:8879)xy'3-133y0y'3133yf'(x)+++0---f"(x)+0---0+f(x)(cid:8879);4#;(cid:8873)1(cid:8875);4#;(cid:8877)D1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지76 SinsagoHitec 09 도함수의활용⑵77(cid:8833)본책237~244`쪽도함수의활용⑵09따라서곡선y=f(x)는구간{-¶,-}또는구간{,¶}에서f"(x)>0이므로아래로볼록하고,구간{-,}에서f"(x)<0이므로위로볼록하다.또이곡선의변곡점의좌표는{-, ;4#;},{, ;4#;}이다.⑶f(x)=xex으로놓으면f'(x)=ex+xex=(1+x)exf"(x)=ex+(1+x)ex=(2+x)exf'(x)=0에서　　x=-1f"(x)=0에서　　x=-2함수f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)따라서곡선y=f(x)는구간(-¶,-2)에서f"(x)<0이므로위로볼록하고, 구간(-2,¶)에서f"(x)>0이므로아래로볼록하다. 또이곡선의변곡점의좌표는{-2, -}이다.⑷f(x)=x+cosx로놓으면f'(x)=1-sinxf"(x)=-cosxf'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=;2“;(∵00이므로아래로볼록하다. 또이곡선의변곡점의좌표는{;2“;, ;2“;}, {;2#;p, ;2#;p}이다.(cid:9000)풀이참조092-1f(x)=1++에서f'(x)=--f"(x)=+점{-;2(;, ;2#7%;}가곡선y=f(x)의변곡점이므로f{-;2(;}=;2#7%;에서　　1-+=;2#7%;(cid:100)(cid:100)∴-9a+2b=12yy㉠(cid:100)(cid:100)f"{-;2(;}=0에서　　2a¥{-;9@;}‹+6b¥{-;9@;}›=0(cid:100)(cid:100)∴3a-2b=0 yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=-2, b=-3(cid:9000)a=-2, b=-3092-2f(x)=ax¤+bx+lnx에서x>0이고(cid:100)(cid:100)f'(x)=2ax+b+;[!;(cid:100)(cid:100)f"(x)=2a-x=1에서극소이므로f'(1)=0에서(cid:100)(cid:100)2a+b+1=0yy㉠㉠㉠변곡점의x좌표가;2!;이므로f"{;2!;}=0에서2a-4=0∴a=2a=2를㉠에대입하면　　b=-5f(x)=2x¤-5x+lnx이므로(cid:100)(cid:100)f'(x)=4x-5+=(cid:100)(cid:100)f'(x)=f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=;4!;또는x=1(4x-1)(x-1)x4x¤-5x+1x1x1x¤4b812a96bx›2ax‹2bx‹ax¤bx¤axD1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지77 SinsagoHitec 78정답및풀이⑴따라서함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같다.(cid:9000)풀이참조094-1⑴f(x)=에서⁄정의역은x+0인실수전체의집합이다.¤f(-x)=-f(x)이므로그래프는원점에대하여대칭이다.‹f'(x)==‹f'(x)==‹f"(x)==‹f'(x)=0에서‹(cid:100)(cid:100)x=-1 또는x=1‹f"(x)=0을만족시키는x의값이존재하지않으므로변곡점은없다.‹따라서함수f(x)의증감표는다음과같다.›f(x)==+x에서›(cid:100)(cid:100)f(x)=¶, f(x)=-¶,›(cid:100)(cid:100)[f(x)-;2!;x]=0,›(cid:100)(cid:100)[f(x)-;2!;x]=0›이므로점근선은y축과직선y=;2!;x이다.이상에서함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같다.yxy=f{x}O11-1-1y=x21limx⁄-¶limx⁄¶limx⁄0-limx⁄0+1212xx¤+12x1x‹2x¥2x¤-(x¤-1)¥4x(2x¤)¤(x+1)(x-1)2x¤x¤-12x¤2x¤-24x¤2x¥2x-(x¤+1)¥2(2x)¤x¤+12xyy=f(x)xO6-3-111-'3'3함수f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)따라서f(x)의극댓값은(cid:100)(cid:100)f{;4!;}=-;8(;-ln4(cid:9000)-;8(;-ln4093-1⑴f(x)=-x‹+3x¤-3x+1에서⑴(cid:100)(cid:100)f'(x)=-3x¤+6x-3=-3(x-1)¤⑴(cid:100)(cid:100)f"(x)=-6x+6=-6(x-1)⑴f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=1⑴f"(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=1⑴함수f(x)의증감표는다음과같다.⑴(cid:100)(cid:100)⑴따라서함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같다.⑵f(x)=x›-6x¤+6에서⑴(cid:100)(cid:100)f'(x)=4x‹-12x=4x(x¤-3)=4x(x+'3)(x-'3)⑴(cid:100)(cid:100)f"(x)=12x¤-12=12(x¤-1)=12(x+1)(x-1)⑴f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=0또는x=-'3또는x='3⑴f"(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-1또는x=1⑴함수f(x)의증감표는다음과같다.xyOy=f{x}11x0y;4!;y1yf'(x)+0-0+f(x)↗-;8(;-ln4↘-3↗xy1yf'(x)-0-f"(x)+0-f(x)(cid:8877)0(cid:8875)xy-'3y-1y0y1y'3yf'(x)-0+++0---0+f"(x)+++0---0+++f(x)(cid:8877)-3(cid:8879)1(cid:8873)6(cid:8875)1(cid:8877)-3(cid:8879)xy-1y0y1yf'(x)+0--0+f"(x)---+++f(x)(cid:8873)-1(cid:8875)(cid:8877)1(cid:8879)D1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지78 SinsagoHitec 09 도함수의활용⑵79(cid:8833)본책244~249`쪽도함수의활용⑵09⑵f(x)='ßx-x에서⁄정의역은xæ0인실수전체의집합이다.¤f'(x)=-1¤f"(x)=-¤f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=;4!;¤f"(x)=0을만족시키는x의값이존재하지않으므로변곡점은없다.¤따라서함수f(x)의증감표는다음과같다.¤(cid:100)(cid:100)⁄,¤에서함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같다.(cid:9000)풀이참조095-1⑴f(x)=e-x¤에서⁄정의역은실수전체의집합이다. ¤f(0)=1이므로점(0, 1)을지난다.‹f(-x)=f(x)이므로그래프는y축에대하여대칭이다.›f'(x)=-2xe-x¤›f"(x)=-2e-x¤-2xe-x¤¥(-2x)=2(2x¤-1)e-x¤=2('2x+1)('2x-1)e-x¤›f'(x)=0에서정의x=0›f"(x)=0에서정의x=-또는x=›함수f(x)의증감표는다음과같다.fif(x)=0,f(x)=0이므로점근선›은x축이다.limx⁄-¶limx⁄¶'22'22yxy=f{x}O1414114x'ßx12'ßxx0y;4!;yf'(x)+0-f"(x)---f(x)0(cid:8873);4!;(cid:8875)xy'2-132y0y'2132yf'(x)+++0---f"(x)+0---0+f(x)(cid:8879)1134'e(cid:8873)1(cid:8875)1134'e(cid:8877)이상에서함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같다.⑵f(x)=;2!;x¤-lnx에서⁄정의역은{x|x>0}이다.¤f'(x)=x-;[!;==‹f"(x)=1+>0‹f'(x)=0에서에서x=1 (∵x>0)‹함수f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)‹f(x)=¶이므로점근선은y축이다.이상에서함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같다.(cid:9000)풀이참조096-1⑴f(x)=x+cos2x에서에서f'(x)=1-2sin2x에서f"(x)=-4cos2xf'(x)=0에서에서sin2x=;2!;에서∴x=;1…2;또는x=;1∞2;p(∵0…x…p)`f"(x)=0에서에서cos2x=0에서`∴x=;4“;또는x=;4#;p(∵0…x…p)함수f(x)의증감표는다음과같다.y=f{x}xyO121limx⁄0+1x¤(x+1)(x-1)xx¤-1x1Âe1y=f{x}2Â2-2Â2xyOx0y1yf'(x)-0+f"(x)+++f(x)(cid:8877);2!;(cid:8879)x0y;1…2;y;4“;y;1∞2;py;4#;pypf'(x)+0---0+++f"(x)---0+++0-f(x)1(cid:8873)극대(cid:8875);4“;(cid:8877)극소(cid:8879);4#;p(cid:8873)p+1D1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지79 SinsagoHitec 80정답및풀이또f(x)=-¶, f(x)=-¶이므로점근선은두직선x=-;2“;, x=;2#;p이다.따라서함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같다.(cid:9000)풀이참조097-1⑴f(x)=에서⑴에서`f'(x)=⑴에서`f'(x)==⑴f'(x)=0에서므로x=3 (∵0…x…4)⑴구간[0, 4]에서함수f(x)의증감표는다음과같다.⑴(cid:100)(cid:100)⑴따라서함수f(x)는⑴에서x=0일때최댓값;3!;,⑴에서x=3일때최솟값-;6!;⑴을갖는다.⑵f(x)=x‹"4ç-≈x¤Ω에서⑴에서`f'(x)=3x¤"4ç-≈x¤Ω+x‹¥⑴에서`f'(x)==⑴에서`f'(x)=⑴에서`f'(x)=-4x¤(x+'3)(x-'3)"4ç-≈xΩ¤-4x¤(x¤-3)"4ç-≈xΩ¤-4x›+12x¤"4ç-≈xΩ¤3x¤(4-x¤)-x›"4ç-≈xΩ¤-2x2"4ç-≈xΩ¤(x+1)(x-3)(x¤+3)¤x¤-2x-3(x¤+3)¤-(x¤+3)-(1-x)¥2x(x¤+3)¤1-xx¤+3xyO2p21p2-p2p3y=f(x)limx⁄;2#;p-limx⁄-;2“;+따라서함수f(x)의극댓값,극솟값은이므f{;1…2;}=;1…2;+cos;6“;=;1…2;+,이므f{;1∞2;p}=;1∞2;p+cos;6%;p=;1∞2;p-이므로함수y=f(x)의그래프는다음그림과같다.⑵f(x)=에서에서f(0)=0, f(p)=0에서f'(x)=에서f'(x)=에서f"(x)`=`=`=`=`=`=<0f'(x)=0에서에서cosx=0에서∴x=;2“; {∵-;2“;0이므로f(x)는⑴이구간에서증가한다.2(sinx+cosx)¤(cosx+sinx)(sinx+cosx)-(sinx-cosx)(cosx-sinx)(sinx+cosx)¤sinx-cosxsinx+cosx3'323'32x;e!;y1ye¤ye‹f'(x)-0+0-f(x)e↘0↗414e¤↘914e‹x0y;6“;y;6%;pypf'(x)+0-0+f(x)2↗3'3112↘3'3-112↗-2D1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지81 SinsagoHitec 82정답및풀이이므로함수f(x)는모든실수에대하여연속이며미분가능하다.한편f(x)가x=1에서최댓값2를가지므로f(x)는x=1에서극대이다.즉f(1)=2, f'(1)=0이므로(cid:100)(cid:100)=2, =0위의두식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=4, b=2(cid:9000)a=4, b=2101-2f(x)=2asinx-ax에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=2acosx-a=a(2cosx-1)f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)cosx=;2!;(cid:100)(cid:100)∴x=;3“;(∵0…x…p)구간[0,p]에서함수f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)따라서함수f(x)는x=;3“;에서극대이고최댓값을가지므로(cid:100)(cid:100)f{;3“;}=a{'3-;3“;}=3'3-p(cid:100)(cid:100)∴a=3즉f(x)의최솟값은(cid:100)(cid:100)f(p)=-3p(cid:9000)-3p102-1점P의좌표를(x, y)(00)라하면(cid:100)(cid:100)x¤+y¤=4(cid:100)(cid:100)∴y="4√-x¤(∵y>0)이때(cid:8772)PROQ의넓이를S(x)라하면(cid:100)(cid:100)S(x)=xy=x"4√-x¤(cid:100)(cid:100)S'(x)="4√-x¤+x¥(cid:100)(cid:100)S'(x)==(cid:100)(cid:100)S'(x)=S'(x)=0에서에서x='2 (∵02r)y>2r에서V(y)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)따라서V(y)는y=4r일때극소이면서최소이므로원뿔의부피의최솟값은;3*;pr‹이다.(cid:9000);3*;pr‹y(y-4r)(y-2r)¤2y(y-2r)-y¤(y-2r)¤y¤y-2ry¤r¤y¤-2yryr"√y¤-2yrx0y'2y2S'(x)+0-S(x)↗2↘103-1⑴f(x)=ex-4x로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=ex-4f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)ex-4=0(cid:100)(cid:100)∴x=ln4함수f(x)의증감표는오른쪽과같고(cid:100)(cid:100)f(x)=¶(cid:100)(cid:100)f(x)=¶따라서y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같으므로방정식ex-4x=0의서로다른실근의개수는2이다.⑵방정식x-cosx=1의실근의개수는곡선y=x-cosx와직선y=1의교점의개수와같다.f(x)=x-cosx로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=1+sinxf'(x)æ0이므로함수f(x)는실수전체의집합에서증가한다.이때f(0)=-1,f{;2“;}=;2“;이므로함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같다.따라서주어진방정식의서로다른실근의개수는1이다.(cid:9000)⑴2⑵1⑴ex-4x=0에서ex=4x이므로방정식ex-4x=0의실근의개수는y=ex과y=4x의그래프의교점의개수와같다.y=ex에서y'=ex이므로곡선y=ex위의점(t, et)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-et=et(x-t)이접선이원점을지날때(cid:100)(cid:100)-et=et(-t)(cid:100)(cid:100)∴t=1즉원점을지나는접선의방정식은y=ex이고4>e이므로직선y=4x는곡선y=ex과서로다른두점에서만난다.따라서주어진방정식의서로다른실근의개수는2이다.xyO11ey=exy=exy=4xxyOp;:;2p;:;2-1y=f(x)y=1y=ex-4xln44-4ln4xyO1limx⁄¶limx⁄-¶xyln4yf'(x)-0+f(x)↘4-4ln4↗y2ry4ryV'(y)-0+V(y)↘;3*;pr‹↗ABCEDOxyy-r"√y2-2yrrD1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지83 SinsagoHitec 84정답및풀이또x>0일때, f'(x)>0이므로x>0에서함수f(x)도증가하고f(0)=1-k이므로f(x)>0이성립하려면(cid:100)(cid:100)1-kæ0므로∴k…1(cid:9000)k…1104-2f(x)=ex-2x로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=ex-2f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=ln2따라서함수f(x)의증감표는오른쪽과같고,f(x)의최솟값은2-2ln2이므로(cid:100)(cid:100)k…2-2ln2따라서k의최댓값은2-2ln2이다.(cid:9000)2-2ln2103-2lnx-kx=0에서x>0이므로(cid:100)(cid:100)k=f(x)=로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)==f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)lnx=1에서∴x=e함수f(x)의증감표는오른쪽과같고(cid:100)f(x)=0(cid:100)f(x)=-¶따라서y=f(x)의그래프는다음그림과같으므로방정식lnx-kx=0의실근의개수는⁄k>;e!;이면(cid:100)(cid:100)0¤k=;e!;이면(cid:100)(cid:100)1‹0;e!;이면(cid:100)(cid:100)0¤k=;e!;이면(cid:100)(cid:100)1‹00일때,f"(x)>0이므로x>0에서함수f'(x)는증가하고f'(0)=0이므로(cid:100)(cid:100)f'(x)>0xyOy=ln`xey=x111exyOe1y=ky=f{x}elimx⁄0+limx⁄¶1-lnxx¤;[!;¥x-lnxx¤lnxxlnxxx0yeyf'(x)+0-f(x)↗;e!;↘xyln2yf'(x)-0+f(x)↘2-2ln2↗(cid:8833)본책261~265쪽01 302 (2, 2)03 ④04 05 -;1@6&;06 최댓값:;;¡2™7¡;;,최솟값:-207 ①08 709 310 ⑤11 ③12 513 ⑤14 2015 ③16 317 ③18 48만원19 ⑤20 4e¤27'22중단원연습문제01f"(x)=0을만족시키는x의값을구한후그값의좌우에서f"(x)의부호를조사한다.`f(x)=xe-x¤으로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=e-x¤+xe-x¤¥(-2x)=(1-2x¤)e-x¤(cid:100)(cid:100)f"(x)=-4xe-x¤+(1-2x¤)¥(-2x)e-x¤(cid:100)(cid:100)f"(x)=(4x‹-6x)e-x¤=2x(2x¤-3)e-x¤(cid:100)(cid:100)f"(x)=2x('2x+'3)('2x-'3)e-x¤f"(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=0 또는x=-또는x=구간{-¶, -}에서`f"(x)<0,구간{-, 0}에서f"(x)>0,구간{0, }에서f"(x)<0,구간{,¶}에서f"(x)>0이다.따라서x=-, x=0, x=의좌우에서'62'62'62'62'62'62'62'62D1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지84 SinsagoHitec 09 도함수의활용⑵85(cid:8833)본책258~262`쪽도함수의활용⑵09f"(x)의부호가바뀌므로곡선y=f(x)의변곡점의개수는3이다.(cid:9000)302문제이해•삼차함수의그래프는변곡점에대하여대칭이므로점P는곡선y=x‹-6x¤+9x의변곡점이다.(cid:8837)30% 배점해결과정•f(x)=x‹-6x¤+9x로놓으면f'(x)=3x¤-12x+9, f"(x)=6x-12f"(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=2구간(-¶, 2)에서f"(x)<0이고,구간(2, ¶)에서f"(x)>0이다.즉x=2의좌우에서f"(x)의부호가바뀌므로변곡점의좌표는(2, 2)이다.(cid:8837)60% 배점답구하기•따라서점P의좌표는(2, 2)이다.(cid:8837)10% 배점(cid:9000)(2, 2)03함수의증가·감소,곡선의오목·볼록을조사한후그래프의개형을그린다.`f(x)=e≈cosx에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx)(cid:100)(cid:100)f"(x)=ex(cosx-sinx)+ex(-sinx-cosx)=-2exsinxf'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)cosx=sinx(cid:100)(cid:100)∴x=;4“; {∵-;2“;…x…;2“;}f"(x)=0에서(cid:100)(cid:100)sinx=0(cid:100)(cid:100)∴x=0 {∵-;2“;…x…;2“;}-;2“;…x…;2“;에서함수f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)따라서함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같으므로그래프의개형으로옳은것은④이다.(cid:9000)④yy=f{x}xO1e-4π4π2π2´22π04문제이해•f(x)=xøπ9-x¤에서9-x¤æ0이어야하므로(cid:100)(cid:100)(x+3)(x-3)…0(cid:100)(cid:100)∴-3…x…3즉함수f(x)의정의역은{x|-3…x…3}이다.(cid:8837)20% 배점해결과정•f'(x)=øπ9-x¤+x¥해결과정•f'(x)==해결과정•f'(x)=(cid:8837)30% 배점f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-또는x=-3…x…3에서함수f(x)의증감표는다음과같다.(cid:8837)30% 배점답구하기•따라서함수f(x)는x=일때최댓값;2(;,x=-일때최솟값-;2(;를가지므로(cid:100)(cid:100)a=, b=;2(;, c=-, d=-;2(;(cid:100)(cid:100)∴ab+cd=¥;2(;+{-}{-;2(;}(cid:100)(cid:100)∴ab+cd=(cid:8837)20% 배점(cid:9000)05해결과정•f(x)=sinx(cosx-1)에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=cosx(cosx-1)+sinx(-sinx)=cos¤x-cosx-sin¤x=2cos¤x-cosx-1=(2cosx+1)(cosx-1)(cid:8837)40% 배점f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)cosx=-;2!;또는cosx=1cosx=-;2!;에서(cid:100)(cid:100)x=-;3@;p또는x=;3@;p(∵-p…x…p)27'2227'223'223'223'223'223'223'223'223'22-('2x+3)('2x-3)øπ9-x¤9-2x¤øπ9-x¤(9-x¤)-x¤øπ9-x¤-2x2øπ9-x¤x-3y3'2-112y3'2112y3f'(x)-0+0-f(x)0↘-;2(;↗;2(;↘0x-;2“;y0y;4“;y;2“;f'(x)+++0-f"(x)+0---f(x)0(cid:8879)1(cid:8873) '213e;4“; 2(cid:8875)0D1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지85 SinsagoHitec 86정답및풀이-1…cosx…1, 00이므로(cid:100)(cid:100)f'(x)=1-acosx>0따라서함수f(x)는실수전체의집합에서증가하고,f(0)=-1<0이므로방정식f(x)=0의실근의개수는1이다.(cid:9000)①08f(x)=8cosx+4x¤-1로놓고a의값이xæ0에서f(x)의최솟값보다작거나같아야함을이용한다.`f(x)=8cosx+4x¤-1로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=-8sinx+8xf"(x)=-8cosx+8=8(1-cosx)xæ0일때, 1-cosxæ0이므로(cid:100)(cid:100)f"(x)æ0따라서xæ0에서함수f'(x)는증가하고f'(0)=0이므로(cid:100)(cid:100)f'(x)æ0또xæ0일때, f'(x)æ0이므로xæ0에서함수f(x)도증가하고f(0)=7이므로(cid:100)(cid:100)f(x)æ7즉xæ0에서함수f(x)의최솟값은7이므로a…7이어야한다.따라서구하는실수a의최댓값은7이다.(cid:9000)709문제이해•f(x)=ax¤+cos2x-3x에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=2ax-2sin2x-3f"(x)=2a-4cos2x주어진곡선이변곡점을가지려면방정식f"(x)=0이실근을갖고, 실근의좌우에서f"(x)의부호가바뀌어야한다.(cid:8837)30% 배점해결과정•f"(x)=0에서(cid:100)(cid:100)2a-4cos2x=0(cid:100)(cid:100)∴2cos2x=a이방정식이실근을가지려면곡선y=2cos2x와직선y=a가만나야하므로오른쪽그림에서(cid:100)(cid:100)-2…a…2이때a=-2이면(cid:100)(cid:100)f"(x)=-4(1+cos2x)…0a=2이면(cid:100)(cid:100)f"(x)=4(1-cos2x)æ0yy=2cos2xy=axO2-2-4ππ434π2πcosx=1에서(cid:100)(cid:100)x=0 (∵-p…x…p)구간[-p, p]에서함수f(x)의증감표는다음과같다.(cid:8837)40% 배점답구하기•따라서함수f(x)는x=-;3@;p일때최댓값,x=;3@;p일때최솟값-을가지므로(cid:100)(cid:100)M=, m=-(cid:100)(cid:100)∴Mm=-;1@6&;(cid:8837)20% 배점(cid:100)(cid:9000)-;1@6&;06f(x)를하나의삼각함수에대한식으로변형한후치환을이용하여f(x)의최댓값과최솟값을구한다.`f(x)=sin‹x+2cos¤x-4sinx+1 =sin‹x+2(1-sin¤x)-4sinx+1 =sin‹x-2sin¤x-4sinx+3sinx=t로놓으면0…x…2p에서(cid:100)(cid:100)-1…t…1주어진함수f(x)를t에대한함수g(t)로나타내면(cid:100)(cid:100)g(t)=t‹-2t¤-4t+3(cid:100)(cid:100)∴g'(t)=3t¤-4t-4=(3t+2)(t-2)g'(t)=0에서(cid:100)(cid:100)t=-;3@;(∵-1…t…1)-1…t…1에서함수g(t)의증감표는다음과같다.따라서주어진함수의최댓값은;;¡2™7¡;;,최솟값은-2이다.(cid:9000)최댓값:;;¡2™7¡;;,최솟값:-207방정식f(x)=0의실근의개수는함수y=f(x)의그래프와x축의교점의개수와같다.`f(x)=x-asinx-1로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=1-acosx3'343'343'343'34x-py-;3@;py0y;3@;pypf'(x)+0-0-0+f(x)0↗3'3114↘0↘3'3-114↗0t-1y-;3@;y1g'(t)+0-g(t)4↗;;¡2™7¡;;↘-2D1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지86 SinsagoHitec 09 도함수의활용⑵87(cid:8833)본책262~263`쪽도함수의활용⑵09즉f"(x)=0을만족시키는x의값의좌우에서f"(x)의부호가바뀌지않으므로변곡점이존재하지않는다.(cid:8837)60% 배점답구하기•따라서-20이고, 구간{;aE;, ¶}에서f"(x)<0이다.x=;aE;의좌우에서f"(x)의부호가바뀌므로변곡점의좌표는(cid:100)(cid:100){;aE;, 1}이때변곡점이직선y=2x위에있으므로(cid:100)(cid:100)1=(cid:100)(cid:100)∴a=2e(cid:9000)⑤11주어진조건을이용하여함수f(x)의그래프의개형을파악하고, 합성함수의미분법을이용하여함수g(x)를미분한다.`주어진표에서x<1, 10이므로이구간에서함수f'(x)는증가하고y=f(x)의그래프는아래로볼록하다.또f'(1)=0이므로x=1의좌우에서f'(x)의부호가음에서양으로바뀐다.따라서f(x)는x=1에서극솟값을갖는다.ㄱ.g(x)=sin(f(x))에서(cid:100)(cid:100)g'(x)=cos(f(x))¥f'(x)이므로(cid:100)(cid:100)g'(3)=cos(f(3))¥f'(3)=cosp¥1=-12ea2(1-lnax)x¤;[@;¥x-2lnaxx¤2lnaxxaax1axㄴ.10에서함수f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)따라서x>0일때함수f(x)는x=e에서극소이면서최소이고,최솟값은-2a+6이다.(cid:8837)50% 배점답구하기•x>0일때f(x)æ0이어야하므로(cid:100)(cid:100)-2a+6æ0(cid:100)(cid:100)∴a…3따라서실수a의최댓값은3이다.(cid:8837)20% 배점(cid:9000)317삼각함수의도함수를이용하여주어진함수의이계도함수를구한후an을구한다.`f(x)=cosnx로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=-ncosn-1xsinx(cid:100)(cid:100)f"(x)=n(n-1)cosn-2xsin¤x-ncosnx=ncosn-2x{(n-1)sin¤x-cos¤x}=ncosn-2x(n-1-ncos¤x)f"(x)=0에서(cid:100)(cid:100)cosx=0또는cos¤x=1-;n!;그런데00이므로(cid:100)(cid:100)cos¤x=1-;n!;(cid:100)(cid:100)∴cosx=Æ…1-;n!;따라서an=cosnx={Æ…1-;n!;`}n={1-;n!;`};2N;이므로(cid:100)(cid:100)an={1-;n!;`};2N;=e-;2!;=(cid:9000)③18물통의밑면의반지름의길이를xm,높이를ym라하고물통의부피를x,y를이용하여나타낸다.1'elimn⁄¶limn⁄¶2(lnx-1)x2lnx-2x2x1xx0yeyf'(x)-0+f(x)↘-2a+6↗`원기둥모양의물통의밑면의반지름의길이를xm,높이를ym라하면물통의부피는(cid:100)(cid:100)px¤y=32(cid:100)(cid:100)∴y=yy㉠(cid:100)(cid:100)물통을만드는데필요한철판의모양은위의그림과같으므로철판의구입가격을f(x)만원이라하면(cid:100)(cid:100)f(x)=(2x)¤+2pxy위의식에㉠`을대입하면(cid:100)(cid:100)f(x)=4x¤+2px¥=4x¤+(x>0)(cid:100)(cid:100)∴f'(x)=8x-=f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=2(∵x¤+2x+4>0)x>0에서함수f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)따라서x=2일때극소이면서최소이고최솟값48을가지므로구하는최소비용은48만원이다.(cid:9000)48만원19먼저도함수f'(x)를구한후, 각각의보기의참·거짓을판별한다.`f(x)=2xcosx에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=2cosx-2xsinxㄱ.f'(a)=2cosa-2asina이므로f'(a)=0에서ㄱ.`(cid:100)(cid:100)2cosa=2asinaㄱ.이때`f'(0)=2에서a+0이므로ㄱ.`(cid:100)(cid:100)tana=;a!;ㄴ.`f'(x)는구간[;4“;, ;3“;]에서연속이고ㄱ.`(cid:100)(cid:100)f'{;4“;}=2¥-2¥;4“;¥='2`{1-;4“;}>0,ㄱ.`(cid:100)(cid:100)f'{;3“;}=2¥;2!;-2¥;3“;¥=1-p<0ㄱ.`이므로사이값정리에의하여f'(a)=0인a가ㄱ.`구간{;4“;, ;3“;}에존재한다.ㄱ.`따라서극댓값을가지는a가구간{;4“;, ;3“;}에존'33'32'22'228(x-2)(x¤+2x+4)x¤64x¤64x32px¤2x2px2xy32px¤0이아닌상수a, b에대하여①(1+x);[!;={1+;[!;}x=e②(1+ax);[B;=(1+ax)¥ab=eab③{1+}bx={1+}ax¥;aB;=e;aB;1axlimx⁄¶1axlimx⁄¶1axlimx⁄0limx⁄0limx⁄¶limx⁄0Remark무리수e의정의를이용한극한x0y2yf'(x)-0+f(x)↘48↗D1013개쎈미적분2_정(057-089) 2014.10.13 5:24 PM 페이지89 SinsagoHitec 90정답및풀이본책271~287`쪽Ⅳ.적분법10여러가지적분법105-1⑴:{x+;[!;}{x-;[!;}dx=:{x¤-}dx=:(x¤-x—¤)dx=;3!;x‹+x-1+C=;3!;x‹+;[!;+C⑵:'ßx(x+1)¤dx=:x;2!;(x¤+2x+1)dx⑵:'ßx(x+1)¤dx=:(x;2%;+2x;2#;+x;2!;)dx⑵:'ßx(x+1)¤dx=;7@;x;2&;+;5$;x;2%;+;3@;x;2#;+C⑵:'ßx(x+1)¤dx=;7@;x3'ßx+;5$;x2'ßx+;3@;x'ßx+C⑶:3'ßx(3'ßx+1)dx=:(x;3@;+x;3!;)dx⑶:3'ßx(3'ßx+1)dx=;5#;x;3%;+;4#;x;3$;+C⑶:3'ßx(3'ßx+1)dx=;5#;x3"çx¤+;4#;x3'ßx+C⑷:dx=:dx⑷:dx=:dx⑷:dx=:{x+1+;[!;}dx⑷:dx=;2!;x¤+x+ln|x|+C(cid:9000)풀이참조106-1⑴:(e≈-52x)dx=:(e≈-25≈)dx⑴:(e≈-52x)dx=e≈-+C⑵:3x(3x+1)dx=:(32x+3x)dx⑷:3x(3x+1)dx=:(9x+3x)dx⑷:3x(3x+1)dx=++C3≈ln39≈ln925≈ln25x¤+x+1x(x-1)(x¤+x+1)x(x-1)x‹-1x¤-x1x¤유제ㄱ.`재한다.ㄷ.x+0일때2xcosx=1에서(cid:100)(cid:100)cosx=ㄷ.이때x=;3“;이면ㄷ.(cid:100)(cid:100)cos;3“;>ㄷ.이므로오른쪽그림과같이y=cosx의그래프가ㄷ.y=의그래프보다위에있다.ㄷ.즉두곡선y=cosx와y=이서로다른두ㄷ.점에서만난다.ㄷ.따라서구간[0, ;2“;]에서방정식f(x)=1의서ㄷ.로다른실근의개수는2이다.이상에서ㄱ,ㄴ,ㄷ모두옳다.(cid:9000)⑤20주어진방정식을k=f(x)꼴로변형하고y=f(x)의그래프를그린다.`x¤=ke≈에서(cid:100)(cid:100)k=x¤e—≈f(x)=x¤e—≈으로놓으면에서f'(x)=2xe—≈-x¤e—≈=-x(x-2)e—≈에서f"(x)=2e—≈-2xe—≈-2xe—≈+x¤e—≈=(x¤-4x+2)e—≈f'(x)=0에서에서x=0또는x=2f"(x)=0에서에서x¤-4x+2=0에서∴x=2—'2함수f(x)의증감표는다음과같다.또x¤e—≈=0,x¤e—≈=¶이므로y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같다.따라서곡선y=x¤e—≈과직선y=k가서로다른세점에서만나도록하는k의값의범위는00)⑵(x+sinx)'=1+cosx이므로(cid:100)(cid:100):dx=:dx=ln|x+sinx|+C⑶(e≈+e—≈)'=e≈-e—≈이므로(cid:100)(cid:100):dx=:dx(cid:100)(cid:100):dx=ln(e≈+e—≈)+C(∵e≈+e—≈>0)⑷{ln(x+1)}'=이므로(cid:100)(cid:100):dx=:dx(cid:100)(cid:100):dx=ln|ln(x+1)|+C(cid:9000)풀이참조{ln(x+1)}'ln(x+1)1(x+1)ln(x+1)1x+1(e≈+e—≈)'e≈+e—≈e≈-e—≈e≈+e—≈(x+sinx)'x+sinx1+cosxx+sinx(2+cosx)'2+cosxsinx2+cosxcos‹x1+sinxdtdxcosx(1+sinx)(1-sinx)1+sinxcosx(1-sin¤x)1+sinxcosx¥cos¤x1+sinxcos‹x1+sinx①sin¤`h+cos¤`h=1②1+tan¤`h=sec¤`h,1+cot¤`h=csc¤`hRemark삼각함수사이의관계D1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지92 SinsagoHitec 10 여러가지적분법93(cid:8833)본책280~286`쪽여러가지적분법10⑵놓으∴:dx⑵놓으=:{-}dx⑵놓으=2ln|x+2|-ln|x-3|+C⑵놓으=ln||+C⑶=+`(a,b,c는상수)로⑵놓으면⑵놓으=⑵이므로⑵놓으a+b=-1, c=0, a=1⑵놓으∴a=1, b=-2, c=0⑵놓으∴:`dx=:{-}dx∴:`dx=ln|x|-ln|x¤+1|+C∴:`dx=ln||+C(cid:9000)풀이참조114-1⑴f(x)=lnx, g'(x)=1로놓으면⑵f'(x)=;[!;, g(x)=x이므로⑵이고:lnxdx=lnx¥x-:;[!;¥xdx⑵이고:lnxdx=xlnx-:dx=xlnx-x+C⑵f(x)=x, g'(x)=e2x으로놓으면f'(x)=1, ⑵g(x)=;2!;e2x이므로⑵이고:xe2xdx=x¥;2!;e2x-:1¥;2!;e2xdx⑵이고:xe2xdx=;2!;xe2x-;4!;e2x+C⑶f(x)=2x, g'(x)=sin2x로놓으면f'(x)=2, ⑵g(x)=-;2!;cos2x이므로⑵이고:2xsin2xdx⑵=2x{-;2!;cos2x}-:2{-;2!;cos2x}dx⑵=-xcos2x+:cos2xdx⑵=-xcos2x+;2!;sin2x+C(cid:9000)풀이참조xx¤+12xx¤+11x1-x¤x(x¤+1)(a+b)x¤+cx+ax(x¤+1)1-x¤x(x¤+1)bx+cx¤+1ax1-x¤x(x¤+1)(x+2)¤x-31x-32x+2x-8x¤-x-6⑴2+cosx=t로놓으면=-sinx이⑵므로⑵(cid:100)(cid:100):dx=:¥(-1)dt⑵(cid:100)(cid:100):dx=-ln|t|+C⑵(cid:100)(cid:100):dx=-ln(2+cosx)+C(∵2+cosx>0)⑵x+sinx=t로놓으면=1+cosx이므로⑵(cid:100)(cid:100):dx=:dt=ln|t|+C⑵(cid:100)(cid:100):dx=ln|x+sinx|+C⑶ex+e-x=t로놓으면=ex-e-x이므로⑵놓으:dx=:dt=ln|t|+C⑵놓으:dx=ln(ex+e-x)+C(∵ex+e-x>0)⑷ln(x+1)=t로놓으면=이므로⑵놓으:dx⑵놓=:dt=ln|t|+C⑵놓=ln|ln(x+1)|+C113-1⑴=x¤-x+이므로⑵놓으:dx⑵놓=:{x¤-x+}dx⑵놓=;3!;x‹-;2!;x¤+2ln|x+1|+C⑵==+⑵(a,b는상수)로놓으면⑵놓으=⑵이므로⑵놓으a+b=1, 3a-2b=8⑵위의두식을연립하여풀면⑵(cid:100)(cid:100)a=2, b=-1(a+b)x-(3a-2b)(x+2)(x-3)x-8x¤-x-6bx-3ax+2x-8(x+2)(x-3)x-8x¤-x-62x+1x‹-x+2x+12x+1x‹-x+2x+11t1(x+1)ln(x+1)1x+1dtdx1tex-e-xex+e-xdtdx1t1+cosxx+sinxdtdx1tsinx2+cosxdtdxD1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지93 SinsagoHitec 115-1⑴f(x)=x¤+1, g'(x)=sinx로놓으면⑵f'(x)=2x, g(x)=-cosx이므로⑵이고:(x¤+1)sinxdx⑵이=(x¤+1)¥(-cosx)-:2x¥(-cosx)dx⑵이=-(x¤+1)cosx+2:xcosxdxyy㉠(cid:100)(cid:100)⑵:xcosxdx에서u(x)=x,v'(x)=cosx로놓으⑵면u'(x)=1, v(x)=sinx이므로⑵이고:xcosxdx=xsinx-:1¥sinxdx⑵이고:xcosxdx=xsinx+cosx+C¡yy㉡(cid:100)(cid:100)⑵㉡`을㉠`에대입하면⑵이고:(x¤+1)sinxdx⑵이=-(x¤+1)cosx+2xsinx+2cosx+2C¡⑵이=(1-x¤)cosx+2xsinx+C(단,2C¡=C)⑵f(x)=cos2x, g'(x)=ex으로놓으면⑵f'(x)=-2sin2x, g(x)=ex이므로⑵이고:excos2xdx⑵이=cos2x¥ex-:(-2sin2x)¥exdx⑵이=excos2x+2:exsin2xdxyy㉠㉠㉠⑵:exsin2xdx에서u(x)=sin2x, v'(x)=ex으로⑵놓으면u'(x)=2cos2x, v(x)=ex이므로⑵이고:exsin2xdx⑵이=sin2x¥ex-:2cos2x¥exdx⑵이=exsin2x-2:excos2xdxyy㉡㉠㉠⑴㉡`을㉠`에대입하면⑵이고:excos2xdx⑵이=excos2x+2exsin2x-4:excos2xdx⑵이고5:excos2xdx=ex(2sin2x+cos2x)⑵이고∴:excos2xdx=;5!;ex(2sin2x+cos2x)+C(cid:9000)풀이참조94정답및풀이(cid:8833)본책288~293쪽중단원연습문제01-402f(x)=032-e04①051806e07⑤081109310풀이참조11②12p-113014315①1617④18f(x)=ln||+C19③20④21②22x=;4“;23④2484258f(a)26④e≈-1e≈ln2+ee¤32x-12ln301피적분함수를x«(n은실수)꼴로변형한후부정적분을구한다.`:dx=:dx=:{1-2x-;2!;+}dx=x-4x;2!;+ln|x|+C=x-4'ßx+ln|x|+C따라서p=1, q=-4, r=1이므로(cid:100)(cid:100)pqr=-4(cid:9000)-402지수함수의부정적분은지수법칙을이용하여간단하게변형한후구한다.`f'(x)=32x-1이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=:32x-1dx=;3!;:9≈dx(cid:100)(cid:100)f(x)=;3!;¥+C=+Cf{;2!;}=에서(cid:100)(cid:100)+C=(cid:100)(cid:100)∴C=0(cid:100)(cid:100)∴f(x)=(cid:9000)f(x)=03주어진식의양변을x에대하여미분한후F'(x)=f(x)임을이용하여f'(x)를구한다.`F(x)=xf(x)+(x-1)ex의양변을x에대하여미분하면(cid:100)(cid:100)F'(x)=f(x)+xf'(x)+ex+(x-1)exF'(x)=f(x)이므로32x-12ln332x-12ln312ln312ln312ln332x-12ln39≈ln91xx-2'ßx+1x('ßx-1)¤xD1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지94 SinsagoHitec 10 여러가지적분법95(cid:8833)본책287~289`쪽여러가지적분법1006피적분함수가sinx와cosx를포함한경우에는sinx=t또는cosx=t로치환하여부정적분을구한다.`sinx=t로놓으면=cosx이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=:esinxcosxdx=:etdt(cid:100)(cid:100)f(x)=et+C=esinx+Cf(0)=1에서에서1+C=1에서∴C=0따라서f(x)=esinx이므로(cid:100)(cid:100)f{;2“;}=e(cid:9000)e07피적분함수의분자가분모의도함수이면:dx=ln|f(x)|+C임을이용한다.`(lnx)'=이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=:dx=:dx(cid:100)(cid:100)f(x)=ln|lnx|+Cf(e)=2에서(cid:100)(cid:100)C=2따라서f(x)=ln|lnx|+2이므로(cid:100)(cid:100)f(e‹)+f(e¤)=(ln3+2)+(ln2+2)=ln6+4(cid:9000)⑤lnx=t로놓으면=이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=:dx=:dt(cid:100)(cid:100)f(x)=ln|t|+C=ln|lnx|+C08해결과정•=+(a, b는상수)로놓으면(cid:100)(cid:100)=이므로(cid:100)(cid:100)a=1, -3a+b=0(cid:100)(cid:100)∴a=1, b=3(cid:8837)40% 배점(cid:100)(cid:100)∴f(x)=:dx(cid:100)(cid:100)∴f(x)=:[+]dx(cid:100)(cid:100)∴f(x)=ln|x-3|-+C3x-33(x-3)¤1x-3x(x-3)¤ax-3a+b(x-3)¤x(x-3)¤b(x-3)¤ax-3x(x-3)¤1t1xlnx1xdtdx(lnx)'lnx1xlnx1xf'(x)f(x)dtdx(cid:100)(cid:100)f(x)=f(x)+xf'(x)+ex+xex-ex(cid:100)(cid:100)xf'(x)=-xex하면∴f'(x)=-ex(cid:100)(cid:100)∴f(x)=:(-ex)dx=-ex+Cf(0)=1에서하면-1+C=1하면∴C=2따라서f(x)=-ex+2이므로(cid:100)(cid:100)f(1)=2-e(cid:9000)2-e04곡선y=f(x)위의임의의점(x, f(x))에서의접선의기울기는f'(x)임을이용한다.`f'(x)=x+cosx이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=:(x+cosx)dx=;2!;x¤+sinx+C곡선y=f(x)가원점을지나므로f(0)=0에서(cid:100)(cid:100)C=0따라서f(x)=;2!;x¤+sinx이므로(cid:100)(cid:100)f(p)=;2!;p¤(cid:9000)①05피적분함수가무리함수를포함한경우에는근호안의함수를t로치환하여부정적분을구한다.`f'(x)=2x"√x¤+≈1이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=:2xøπx¤+1dxx¤+1=t로놓으면=2x이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=:2xøπx¤+1dx=:'tdt=:t;2!;dt(cid:100)(cid:100)f(x)=;3@;t;2#;+C=;3@;t't+C(cid:100)(cid:100)f(x)=;3@;(x¤+1)"√x¤+≈1+Cf(0)=;3@;에서(cid:100)(cid:100);3@;+C=;3@;(cid:100)(cid:100)∴C=0따라서f(x)=;3@;(x¤+1)"√x¤+≈1이므로(cid:100)(cid:100)f(2'2)=;3@;¥9¥3=18(cid:9000)18"√x¤+≈1=t로놓으면=이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=:2x"√x¤+≈1dx=:2t¥tdt(cid:100)(cid:100)f(x)=:2t¤dt=;3@;t‹+C(cid:100)(cid:100)f(x)=;3@;(x¤+1)"√x¤+≈1+Cx"√x¤+1dtdxdtdxD1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지95 SinsagoHitec f(4)=5에서(cid:100)(cid:100)-3+C=5(cid:100)(cid:100)∴C=8(cid:8837)40% 배점답구하기•따라서f(x)=ln|x-3|-+8이므로(cid:100)(cid:100)f(2)=3+8=11(cid:8837)20% 배점(cid:9000)11x-3=t로놓으면x=t+3에서=1이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=:dx=:dt(cid:100)(cid:100)f(x)=:{+}dt=ln|t|-+C(cid:100)(cid:100)f(x)=ln|x-3|-+C09피적분함수가두함수의곱의꼴일때에는부분적분법을이용하여부정적분을구한다.`u(x)=x, v'(x)=cosx로놓으면u'(x)=1,v(x)=sinx이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=:xcosxdx(cid:100)(cid:100)f(x)=xsinx-:1¥sinxdx(cid:100)(cid:100)f(x)=xsinx+cosx+Cf(p)=1에서(cid:100)(cid:100)-1+C=1에서∴C=2따라서f(x)=xsinx+cosx+2이므로(cid:100)(cid:100)f(0)=1+2=3(cid:9000)310해결과정•f(x)=(lnx)¤,g'(x)=1로놓으면f'(x)=;[@;lnx, g(x)=x이므로위의:(lnx)¤dx=x(lnx)¤-:;[@;lnx¥xdx=x(lnx)¤-2:lnxdxyy㉠㉠㉠(cid:8837)40% 배점:lnxdx에서u(x)=lnx, v'(x)=1로놓으면u'(x)=;[!;, v(x)=x이므로이고:lnxdx=xlnx-:;[!;¥xdx이고:lnxdx=xlnx-x+C¡yy㉡㉠㉠(cid:8837)40% 배점3x-33t3t¤1tt+3t¤x(x-3)¤dxdt3x-396정답및풀이답구하기•㉡`을㉠`에대입하면(cid:100)(cid:100):(lnx)¤dx=x(lnx)¤-2xlnx+2x-2C¡=x(lnx)¤-2xlnx+2x+C(단,-2C¡=C)(cid:8837)20% 배점(cid:9000)x(lnx)¤-2xlnx+2x+C11:axdx=+C(a>0, a+1)임을이용한다.`f(x)=:3xln3dx=ln3:3xdx`f(x)=ln3¥+C=3x+Cf(0)=1에서(cid:100)(cid:100)1+C=1(cid:100)(cid:100)∴C=0따라서f(x)=3x이므로(cid:100)(cid:100)=={;3!;}n(cid:100)(cid:100)===;2!;(cid:9000)②12해결과정•{f(x)+g(x)}=2cosx+1에서(cid:100)(cid:100)f(x)+g(x)=:(2cosx+1)dx(cid:100)(cid:100)f(x)+g(x)=2sinx+x+C¡f(0)+g(0)=1+(-1)=0이므로(cid:100)(cid:100)C¡=0(cid:100)(cid:100)∴f(x)+g(x)=2sinx+xyy㉠(cid:100)(cid:100)(cid:8837)40% 배점{f(x)-g(x)}=-2sinx+1에서(cid:100)(cid:100)f(x)-g(x)=:(-2sinx+1)dx(cid:100)(cid:100)f(x)-g(x)=2cosx+x+C™f(0)-g(0)=1-(-1)=2이므로2+C™=2에서므로C™=0(cid:100)(cid:100)∴f(x)-g(x)=2cosx+x(cid:100)(cid:100)yy㉡(cid:100)(cid:100)(cid:8837)40% 배점ddxddx;3!;;3@;;3!;1-;3!;¶¡n=113«¶¡n=11f(n)¶¡n=13≈ln3a≈lna첫째항이a,공비가r(-10)f(e)=1에서(cid:100)(cid:100)e¥1=C(cid:100)(cid:100)∴C=e따라서f(x)=이므로(cid:100)(cid:100)f(e¤)=(cid:9000)17주어진식을적분하여h를t에대한식으로나타낸다.`=이므로(cid:100)(cid:100)h=:dt=35ln|t+1|+Ct=0일때h=0이므로므로C=0(cid:100)(cid:100)∴h=35ln|t+1|따라서구하는값은t=3일때의h의값이므로(cid:100)(cid:100)h=35ln4=35ln2¤=70ln2=70_0.7=49(cid:9000)④35t+135t+1dhdtln2+ee¤ln2+ee¤ln(lnx)+ex1t1xlnx1xdtdx1xlnx1xlnxddx1+cos2h2dxdh답구하기•㉠, ㉡`을연립하여풀면f(x)=sinx+cosx+x,g(x)=sinx-cosx이므로(cid:100)(cid:100)f(p)=p-1, g(p)=1(cid:100)(cid:100)∴f(p)g(p)=p-1(cid:8837)20% 배점(cid:9000)p-113문제이해•g(x)=e-xf(x)에서곱의미분법에의하여(cid:100)(cid:100)g'(x)=-e-xf(x)+e-xf'(x)(cid:100)(cid:100)g'(x)=e-x{f'(x)-f(x)}(cid:8837)40% 배점해결과정•이때f'(x)=f(x)+excosx에서f'(x)-f(x)=excosx이므로(cid:100)(cid:100)g'(x)=e-x¥excosx=cosx(cid:100)(cid:100)∴g(x)=:cosxdx=sinx+Cg(x)=e-xf(x)이고f(0)=0에서g(0)=0이므로(cid:100)(cid:100)C=0(cid:8837)50% 배점답구하기•따라서g(x)=sinx이므로(cid:100)(cid:100)g(p)=0(cid:8837)10% 배점(cid:9000)014해결과정•lnx=t로놓으면=;[!;이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=:dx=:tdt(cid:100)(cid:100)f(x)=;2!;t¤+C=;2!;(lnx)¤+C(cid:8837)30% 배점f'(x)==0에서(cid:100)(cid:100)x=1;e!;…x…e¤에서함수f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)함수f(x)는x=1에서극소이면서최소이므로(cid:100)(cid:100)f(1)=1(cid:100)(cid:100)∴C=1(cid:8837)40% 배점답구하기•즉f(x)=;2!;(lnx)¤+1에서(cid:100)(cid:100)f{;e!;}=;2!;{ln;e!;}¤+1=;2#;(cid:100)(cid:100)f(e¤)=;2!;(lne¤)¤+1=3따라서f(x)는x=e¤에서최댓값3을갖는다.(cid:8837)30% 배점(cid:9000)3lnxxlnxxdtdxx;e!;y1ye¤f'(x)-0+f(x)↘극소↗D1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지97 SinsagoHitec 18치환적분법과부분분수로의변형을이용하여부정적분을구한다.`ex=t로놓으면=ex이므로놓으f(x)=:dx=:¥;t!;dt놓으f(x)=:{-}dt놓으f(x)=ln|t-1|-ln|t|+C놓으f(x)=ln||+C=ln||+C(cid:9000)f(x)=ln||+Cex-1=t로놓으면=ex이므로놓으f(x)=:dx=:;t!;¥dt놓으f(x)=:{;t!;-}dt놓으f(x)=ln|t|-ln|t+1|+C놓으f(x)=ln||+C=ln||+C19f'(x)g(x)+f(x)g'(x)={f(x)g(x)}'임을이용한다.`㈎`에서{f(x)g(x)}'=h(x)이므로(cid:100)(cid:100)f(x)g(x)=:h(x)dxf(x)=x,h(x)=lnx이므로(cid:100)(cid:100)xg(x)=:lnxdxu(x)=lnx,v'(x)=1로놓으면u'(x)=;[!;,v(x)=x이므로(cid:100)(cid:100)xg(x)=xlnx-:;[!;¥xdx(cid:100)(cid:100)xg(x)=xlnx-x+C위의식의양변에x=1을대입하면(cid:100)(cid:100)g(1)=-1+C=-1(cid:100)(cid:100)∴C=0따라서xg(x)=xlnx-x이므로(cid:100)(cid:100)g(x)=lnx-1(cid:100)(cid:100)∴g(e)=lne-1=0(cid:9000)③e≈-1e≈tt+11t+11t+11e≈-1dtdxe≈-1e≈e≈-1e≈t-1t1t1t-11t-11e≈-1dtdx98정답및풀이20부분적분법을이용하여an+1을구한다.`an+1=:xn+1exdx에서f(x)=xn+1, g'(x)=ex으로놓으면f'(x)=(n+1)xn, g(x)=ex이므로(cid:100)(cid:100)an+1=:xn+1exdx(cid:100)(cid:100)an+1=xn+1ex-:(n+1)xnexdx(cid:100)(cid:100)an+1=xn+1ex-(n+1):xnexdx(cid:100)(cid:100)an+1=xn+1ex-(n+1)an(cid:100)(cid:100)∴an+1+(n+1)an=xn+1ex(cid:9000)④21f(x)=g'(x)이므로:xf(x)dx를:xg'(x)dx로변형한후부분적분법을이용한다.`:f(x)dx=g(x)의양변을x에대하여미분하면(cid:100)(cid:100)f(x)=g'(x)(cid:100)(cid:100)∴:xf(x)dx=:xg'(x)dx(cid:100)(cid:100)∴:xf(x)dx=xg(x)-:1¥g(x)dx(cid:100)(cid:100)∴:xf(x)dx=xg(x)-h(x)+C(cid:9000)②22해결과정•u(x)=cosx, v'(x)=e-x으로놓으면u'(x)=-sinx, v(x)=-e-x이므로이고:e-xcosxdx=cosx¥(-e-x)-:(-sinx)¥(-e-x)dx=-e-xcosx-:e-xsinxdxyy㉠㉠㉠(cid:8837)20% 배점:e-xsinxdx에서p(x)=sinx, q'(x)=e-x으로놓으면p'(x)=cosx, q(x)=-e-x이므로이고:e-xsinxdx=sinx¥(-e-x)-:cosx¥(-e-x)dx=-e-xsinx+:e-xcosxdxyy㉡㉠㉠(cid:8837)20% 배점D1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지98 SinsagoHitec 10 여러가지적분법99(cid:8833)본책291~293`쪽여러가지적분법10ㄴ. f(4b)-f(4a)=ln4b-ln4a=ln=lnㄷ. f{}-f{}=ln-ln=ln이상에서같은값을갖는것은ㄴ,ㄷ이다.(cid:9000)④24문제이해•f'(x)=3e≈øπe≈+8>0이므로f(x)는증가함수이다.따라서f(x)는x=0에서최솟값,x=ln8에서최댓값을갖는다.(cid:8837)30% 배점해결과정•f(x)=:3e≈øπe≈+8dx에서e≈+8=t로놓으면=e≈이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=3:'tdt=2t;2#;+C=2t't+C(cid:100)(cid:100)f(x)=2(e≈+8)øπe≈+8+Cf(0)=10에서(cid:100)(cid:100)2¥9¥3+C=10(cid:100)(cid:100)∴C=-44(cid:8837)40% 배점답구하기•따라서f(x)=2(e≈+8)øπe≈+8-44이므로f(x)의최댓값은(cid:100)(cid:100)f(ln8)=2¥16¥4-44=84(cid:8837)30% 배점(cid:9000)8425lnx=t로치환하여의부정적분을구한다.`f'(x)=이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=:dxlnx=t로놓으면=이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=:dx=:'tdt(cid:100)(cid:100)f(x)=t;2#;+C=(lnx);2#;+Cf(1)=0에서(cid:100)(cid:100)C=0따라서f(x)=;3@;(lnx);2#;이므로(cid:100)(cid:100)f(a›)=;3@;(lna›);2#;=;3@;(4lna);2#;(cid:100)(cid:100)f(a›)=8¥;3@;(lna);2#;=8f(a)(cid:9000)8f(a)2323"√lnxx1xdtdx"√lnxx"√lnxx"√lnxxdtdxba1b1a1b1aba4b4a㉡`을㉠`에대입하면이고:e-xcosxdx=-e-xcosx+e-xsinx이고:e-xcosxdx=-:e-xcosxdx이고2:e-xcosxdx=e-x(sinx-cosx)이고∴f(x)=:e-xcosxdx이고∴f(x)=;2!;e-x(sinx-cosx)+C(cid:8837)10% 배점f'(x)=e-xcosx이므로f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=;2“;(∵0…x…p)0…x…p에서함수f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)함수f(x)는x=;2“;에서극댓값;2!;e-;2“;을가지므로(cid:100)(cid:100);2!;e-;2“;{sin;2“;-cos;2“;}+C=;2!;e-;2“;(cid:100)(cid:100)∴C=0(cid:8837)30% 배점답구하기•따라서f(x)=;2!;e—≈(sinx-cosx)이므로방정식f(x)=0의근은(cid:100)(cid:100)sinx-cosx=0,(cid:100)(cid:100)'2sin{x-;4“;}=0(cid:100)(cid:100)∴x=;4“;(∵0…x…p)(cid:8837)20% 배점(cid:9000)x=;4“;23;[!;의부정적분을구한후각각의함숫값을구하여확인한다.`f'(x)=이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=:dx=ln|x|+Cf(1)=0에서(cid:100)(cid:100)C=0따라서f(x)=ln|x|이므로(cid:100)(cid:100)f(b)-f(a)=lnb-lna=ln`(∵a, b는양수)ㄱ. f(b+1)-f(a+1)=ln(b+1)-ln(a+1)ㄱ. f(b+1)-f(a+1)=lnb+1a+1ba1x1xx0y;2“;ypf'(x)+0-f(x)↗극대↘D1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지99 SinsagoHitec 26치환적분법과부분적분법을이용하여함수f(x)를구한다.`f(x)=:sinxln(cosx)dx에서cosx=t로놓으면=-sinx이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=:sinxln(cosx)dx=-:lntdtu(t)=lnt, v'(t)=1로놓으면u'(t)=;t!;, v(t)=t이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=-:lntdt=-{lnt¥t-:;t!;¥tdt}(cid:100)(cid:100)f(x)=-tlnt+:dt=-tlnt+t+C(cid:100)(cid:100)f(x)=-cosxln(cosx)+cosx+Cf(0)=1에서(cid:100)(cid:100)1+C=1(cid:100)(cid:100)∴C=0(cid:100)(cid:100)∴f(x)=-cosxln(cosx)+cosx(cid:100)(cid:100)∴f(x)=cosx{1-ln(cosx)}ㄱ. f(-x)=cos(-x)[1-ln{cos(-x)}]=cosx{1-ln(cosx)}=f(x)ㄱ. (cid:100)(cid:100)∴f(-x)=f(x)ㄴ. 구간{-;2“;, ;2“;}에서00따라서구간{-;2“;, ;2“;}에서f(x)>0이므로방정식f(x)=0의실근의개수는0이다.ㄷ. f'(x)=sinxln(cosx)이므로f'(x)=0에서ㄷ. (cid:100)(cid:100)sinx=0또는ln(cosx)=0,즉ㄷ. (cid:100)(cid:100)sinx=0또는cosx=1ㄷ. (cid:100)(cid:100)∴x=0{∵-;2“;0,a+1일때①f(x)=ax+a-x이면(cid:100)(cid:100)f(-x)=a-x+ax=f(x)이므로f(x)는우함수이다.②g(x)=ax-a-x이면(cid:100)(cid:100)g(-x)=a-x-ax=-(ax-a-x)=-g(x)이므로g(x)는기함수이다.102정답및풀이(cid:100)(cid:100):_1!f(x)dx=:!3f(x)dx=y=:1(1f(x)dx(cid:100)(cid:100)∴:_1!1f(x)dx=6:_1!f(x)dx(cid:100)(cid:100)∴:_1!1f(x)dx=6¥2{e-;e!;}(cid:100)(cid:100)∴:_1!1f(x)dx=12{e-;e!;}(cid:9000)12{e-;e!;}122-1⑴x¤+1=t로놓으면=2x이고,x=0⑴일때t=1, x=1일때t=2이므로⑴일때:)1x"√x¤+Ω1dx=:!2;2!;'tdt⑴일때:)1x"√x¤+Ω1dx=;2!;[;3@;t;2#;]2!⑴일때:)1x"√x¤+Ω1dx=;3!;(2'2-1)⑵x¤-x=t로놓으면=2x-1이고,x=1일때⑴t=0, x=2일때t=2이므로⑴일때:!2(2x-1)3x¤-xdx=:)23†dt⑴일때:)2(2x-1)3x¤-xdx=[]2)⑴일때:)2(2x-1)3x¤-xdx=-=⑶lnx+1=t로놓으면=;[!;이고,x=1일때⑷t=1, x=e일때t=2이므로⑷로로:!edx=:!2dt=[-;t!;]2!⑷로로:!edx=-;2!;-(-1)=;2!;⑷e¤≈+1=t로놓으면=2e¤≈이고,x=0일때⑷t=2, x=ln2일때t=5이므로⑷로로:)ln2dx=:@5;2!;¥;t!;dt⑷로로:!ln2dx=;2!;[ln|t|]5@⑷로로:!ln2dx=;2!;(ln5-ln2)⑷로로:!ln2dx=;2!;ln;2%;⑸sin¤x=1-cos¤x이므로⑷로로:)»sin‹xdx=:)»(1-cos¤x)sinxdxe¤≈e¤≈+1dtdx1t¤1x(lnx+1)¤dtdx8ln31ln39ln33†ln3dtdxdtdxD1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지102 SinsagoHitec 11 정적분103(cid:8833)본책302~310`쪽정적분11⑷='3sec¤h이고,x=0일때h=0,x=3일때⑷h=;3“;이므로⑷로로:)3dx=:0;3“;dh⑷로로:)2dx=:0;3“;dh⑷로로:)2dx=:0;3“;dh⑷로로:)2dx=[h]0;3“;=p(cid:9000)⑴;2“;(cid:100)⑵p124-1⑴f(x)=x, g'(x)=e—≈으로놓으면⑴f'(x)=1, g(x)=-e—≈이므로⑴로로:)1xe—≈dx=[-xe—≈]1)-:)1(-e—≈)dx⑴로로:)1xe—≈dx=-;e!;-[e—≈]1)⑴로로:)1xe—≈dx=-;e!;-{;e!;-1}=1-;e@;⑵f(x)=lnx, g'(x)=로놓으면f'(x)=;[!;, g(x)=-;[!;이므로(cid:100)(cid:100):!edx=[-;[!;lnx]e!-:!e{-}dx(cid:100)(cid:100):!edx=-;e!;+[-;[!;]e!(cid:100)(cid:100):!edx=-;e!;+{-;e!;+1}=1-;e@;⑶f(x)=x, g'(x)=sinx+cosx로놓으면f'(x)=1, g(x)=-cosx+sinx이므로(cid:100)(cid:100):);2“;x(sinx+cosx)dx=[x(-cosx+sinx)]);2“;-:);2“;(-cosx+sinx)dx=;2“;-[-sinx-cosx]);2“;=;2“;-{-1-(-1)}=;2“;(cid:9000)⑴1-;e@;(cid:100)⑵1-;e@;(cid:100)⑶;2“;1x¤lnxx¤1x¤'39'39'33'33'3sec¤h3sec¤h'3sec¤h3(1+tan¤h)13+x¤dxdh⑷cosx=t로놓으면=-sinx이고,x=0일때⑷t=1, x=p일때t=-1이므로⑷로로:)»(1-cos¤x)sinxdx⑷로=:!-1{-(1-t¤)}dt=:_1!(1-t¤)dt⑷로=[t-;3!;t‹]1_!=;3@;-{-;3@;}=;3$;⑹1+sinx=t로놓으면=cosx이고,x=0일때⑷t=1, x=;2“;일때t=2이므로⑷로로:0;2“;dx=:!2dt⑷로로:0;2“;dx=[ln|t|]2!=ln2(cid:9000)⑴;3!;(2'2-1)⑵⑶;2!;(cid:9000)⑷;2!;ln;2%;⑸;3$;⑹ln2⑴"√x¤+Ω1=t로놓으면⑴일때==⑴또x=0일때t=1, x=1일때t='2이므로⑴일때:)1x"√x¤+Ω1dx=:!'2t¤dt=[;3!;t‹]1'2⑴일때:)1x"√x¤+Ω1dx=;3!;(2'2-1)123-1⑴x=2sinh{-;2“;…h…;2“;}로놓으면⑷=2cosh이고,x=0일때h=0, x=2일때⑷h=;2“;이므로⑷로로:)2dx=:0;2“;dh⑷로로:)2dx=:0;2“;dh⑷로로:)2dx=:0;2“;dh⑷로로:)2dx=:0;2“;dh⑷로로:)2dx=[h]0;2“;=;2“;⑵x='3tanh`{-;2“;0)x>0에서함수f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)따라서함수f(x)는x=1일때극대이고(cid:100)(cid:100)f(1)=:)1't(1-t)dt=:)1(t;2!;-t;2#;)dt(cid:100)(cid:100)f(1)=[;3@;t;2#;-;5@;t;2%;]1)=;3@;-;5@;=;1¢5;이므로극댓값은;1¢5;이다.(cid:9000)극댓값:;1¢5;x0y1yf'(x)+0-f(x)↗극대↘D1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지104 SinsagoHitec 11 정적분105(cid:8833)본책312~320`쪽정적분11⑵에서를x로,을dx로나타낼때,⑵(cid:100)(cid:100)k=1이고n3⁄¶이면x=0이고,⑵(cid:100)(cid:100)k=n이면x=1⑵이므로적분구간은[0, 1]이다.⑵(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)=:)1dx⑵(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)=[2'ƒ1+x]1)=2('2-1)⑵(주어진식)=e⑵(주어진식)=e¥⑵에서를x로,를dx로나타낼때,⑴(cid:100)(cid:100)k=1이고n3⁄¶이면x=0이고,⑴(cid:100)(cid:100)k=n이면x=2⑴이므로적분구간은[0,2]이다.(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴(주어진식)=;2!;:)2e≈dx=;2!;[e≈]2)(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴(주어진식)=;2!;(e¤-1)(cid:9000)⑴2('2-1)(cid:100)⑵;2!;(e¤-1)⑵를x로,을dx로나타낼때,⑵(cid:100)(cid:100)(주어진식)=:)1e2xdx=[;2!;e2x]1)⑵(cid:100)(cid:100)(주어진식)=;2!;(e¤-1)1nkn2n2kn2n2knn¡k=1limn⁄¶122knn¡k=11nlimn⁄¶1'ƒ1+x1nkn(cid:8833)본책320~325쪽중단원연습문제01⑴;3*;(cid:100)⑵p+202e¤+e-203;3$;04④05p-206①07108①09e·-efl-3810⑤11012213;3!;14①15①16①173018④19:¡3ª:ln320⑤212{e¤+}-122④1e‹128-2f(x)=:)/(et-1)(et+1)dt의양변을x에대하여미분하면(cid:100)(cid:100)f'(x)=(ex-1)(ex+1)f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=0(∵ex+1>0)함수f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)따라서함수`f(x)는x=0일때극소이면서최소이고(cid:100)(cid:100)f(0)=:)0(et-1)(et+1)dt=0이므로최솟값은0이다.(cid:9000)0129-1⑴f(t)=t(1-cost)¤,F'(t)=f(t)로놓으면⑴(cid:100)(cid:100):˘/f(t)dt⑴=[F(t)]/˘=⑴=F'(p)=f(p)=p(1-cosp)¤=4p⑵f(t)=etln(t+1),F'(t)=f(t)로놓으면⑴(cid:100)(cid:100);[!;:!1-xf(t)dt⑴=;[!;[F(t)]!1-x⑴=⑴=¥(-1)⑴=-F'(1)=-f(1)=-eln2(cid:9000)⑴4p(cid:100)⑵-eln2130-1⑴Æ…¥=æ≠¥1n11+;nK;n¡k=1limn⁄¶1nnn+kn¡k=1limn⁄¶F(1-x)-F(1)-xlimx⁄0F(1-x)-F(1)xlimx⁄0limx⁄0limx⁄0F(x)-F(p)x-plimx⁄p1x-plimx⁄p1x-plimx⁄pf"(x)=(1-x)-'ßx에서`f"(1)=-1<0이므로`f(x)는x=1에서극대이다.12'ßxRemarkxy0yf'(x)-0+f(x)↘극소↗D1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지105 SinsagoHitec 01정적분의성질을이용하여계산한다.`⑴(주어진식)=:!2{'ßx-}dx+:@4{'ßx-}dx=:!4{'ßx-}dx=[;3@;x;2#;-2x;2!;]4!={;;¡3§;;-4}-{;3@;-2}=;3*;⑵(주어진식)=:)»(sinh+sin¤h+cosh+cos¤h)dh=:)»(1+sinh+cosh)dh=[h-cosh+sinh]»)=(p+1)-(-1)=p+2(cid:9000)⑴;3*;(cid:100)⑵p+202절댓값기호안의식의값이0이되는x의값을경계로적분구간을나누어구한다.`f(x)=[이고y=f(x-1)의그래프는y=f(x)의그래프를x축의방향으로1만큼평행이동한것이므로(cid:100)(cid:100):)3f(x-1)dx=:_2!f(x)dx(cid:100)(cid:100):)3f(x-1)dx=:_0!e—≈dx+:)2e≈dx(cid:100)(cid:100):)3f(x-1)dx=[-e-x]0_!+[ex]2)(cid:100)(cid:100):)3f(x-1)dx=(-1+e)+(e¤-1)(cid:100)(cid:100):)3f(x-1)dx=e¤+e-2(cid:9000)e¤+e-203lnx=t로놓고치환적분법을이용한다.`lnx=t로놓으면=;[!;이고,x=1일때t=0, x=e일때t=1이므로(cid:100)(cid:100):!edx=:!edx(cid:100)(cid:100):!edx=:)1(2t+t¤)dt(cid:100)(cid:100):!edx=[t¤+;3!;t‹]1)(cid:100)(cid:100):!edx=1+;3!;=;3$;(cid:9000);3$;2lnx+(lnx)¤xlnx¤+(lnx)¤xdtdxe≈(xæ0)e—≈(x…0)1'ßx1'ßx1'ßx106정답및풀이04x=sinh{-;2“;…h…;2“;}로치환한후cos¤h=임을이용한다.`x=sinh{-;2“;…h…;2“;}로놓으면=cosh이고,x=0일때h=0, x=1일때h=;2“;이므로(cid:100)(cid:100):)12"1ç-≈xΩ¤dx=:0;2“;2"√1-sçin¤Ω≈h¥coshdh(cid:100)(cid:100):)12"1ç-≈xΩ¤dx=:0;2“;2"cços¤≈Ω≈h¥coshdh(cid:100)(cid:100):)12"1ç-≈xΩ¤dx=:0;2“;2dh(cid:100)(cid:100):)12"1ç-≈xΩ¤dx=:0;2“;2¥dh(cid:100)(cid:100):)12"1ç-≈xΩ¤dx=:0;2“;(1+)dh(cid:100)(cid:100):)12"1ç-≈xΩ¤dx=[h+;2!;sin2h]0;2“;=(cid:100)(cid:100)∴㈎cos¤h(cid:100)㈏cos2h(cid:100)㈐;2“;(cid:9000)④05해결과정•f(x)=x¤, g'(x)=sinx로놓으면f'(x)=2x, g(x)=-cosx이므로로로:0;2“;x¤sinxdx=[-x¤cosx]0;2“;-:0;2“;(-2xcosx)dx=:0;2“;2xcosxdx(cid:8837)50% 배점답구하기•이때u(x)=2x, v'(x)=cosx로놓으면u'(x)=2, v(x)=sinx이므로로로:0;2“;2xcosxdx=[2xsinx]0;2“;-:0;2“;2sinxdx로로:0;2“;2xcosxdx=p-2[-cosx]0;2“;로로:0;2“;2xcosxdx=p-2¥1=p-2(cid:8837)50% 배점(cid:9000)p-206주어진등식의양변을x에대하여미분하여f(x)를구한다.`주어진등식의양변을x에대하여미분하면p2cos2h1+cos2h2cos¤hdxdh1+cos2h2D1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지106 SinsagoHitec 11 정적분107(cid:8833)본책320~322`쪽정적분11(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)=3:@3f(x)dx(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)=3:@3(e3≈-2x¤)dx(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)=3[;3!;e3≈-;3@;x‹]3@(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)=3[{;3!;e·-18}-{;3!;efl-;;¡3§;;}](cid:100)(cid:100)∴(주어진식)=e·-efl-38(cid:9000)e·-efl-3810직선이x축의양의방향과이루는각의크기가`h이면그직선의기울기는tanh이다.`포물선y=x¤위의한점P(x, y)에서의접선이x축의양의방향과이루는각의크기가h(x)이면tanh(x)는이접선의기울기가된다.y=x¤의도함수는y'=2x이므로(cid:100)(cid:100)tanh(x)=2x(cid:100)(cid:100)∴:)1tanh(x)dx=:)12xdx=[x¤]1)=1(cid:9000)⑤11해결과정•f(x)=에서⁄x=0일때,(cid:100)(cid:100)f(0)=-3¤01일때, x«=¶이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=(cid:100)(cid:100)f(x)==;[!;(cid:8837)50% 배점답구하기•따라서0…x…1일때f(x)=4x-3,xæ1일때f(x)=;[!;이므로(cid:100)(cid:100):)ef(x)dx=:)1f(x)dx+:!ef(x)dx(cid:100)(cid:100):)ef(x)dx=:)1(4x-3)dx+:!e;[!;dx(cid:100)(cid:100):)ef(x)dx=[2x¤-3x]1)+[ln|x|]e!(cid:100)(cid:100):)ef(x)dx=-1+1=0(cid:8837)50% 배점(cid:9000)01431+13-11xxnxn+111+11xn+1limn⁄¶x«+4x-3x«±⁄+1limn⁄¶limn⁄¶x«+4x-3x«±⁄+1limn⁄¶limn⁄¶x«+4x-3x«±⁄+1limn⁄¶(cid:100)(cid:100)f(x)=e≈+a주어진등식의양변에x=0을대입하면(cid:100)(cid:100)0=1+a(cid:100)(cid:100)∴a=-1따라서f(x)=ex-1이므로(cid:100)(cid:100)f(ln2)=eln2-1=2-1=1(cid:9000)①07문제이해•f(x)=:)/(x-t)costdt문제이해•f(x)=x:)/costdt-:)/tcostdt(cid:8837)30% 배점해결과정•f(x)=x:)/costdt-:)/tcostdt의양변을x에대하여미분하면(cid:100)(cid:100)f'(x)=:)/costdt+xcosx-xcosx(cid:100)(cid:100)f'(x)=:)/costdt=[sint]/)=sinx(cid:8837)50% 배점답구하기•∴f'{;2“;}=sin;2“;=1(cid:8837)20% 배점(cid:9000)108:A/f(t)dt=f(a)임을이용한다.`F'(t)=f(t)로놓으면(cid:100)(cid:100):@/f(t)dt=[F(t)]/@(cid:100)(cid:100):@/f(t)dt=(cid:100)(cid:100):@/f(t)dt=F'(2)=f(2)(cid:100)(cid:100):@/f(t)dt=1(cid:9000)①09적분변수를정한후적분구간을구하고급수를정적분으로나타낸다.`;Kn+!f{2+}¥= =3;Kn+!f{2+}¥`에서2+를x로,을dx로나타낼때,(cid:100)(cid:100)k=1이고n3⁄¶이면x=2이고,(cid:100)(cid:100)k=n이면x=3이므로적분구간은[2,3]이다.1nkn1nknlimn⁄¶3nknlimn⁄¶F(x)-F(2)x-2limx⁄21x-2limx⁄21x-2limx⁄21x-alimx⁄aD1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지107 SinsagoHitec 12주기함수의성질을이용한다.`f(x)=|sin4x|로놓으면f(x)=f{x+;4“;}에서f(x)는주기함수이므로(cid:100)(cid:100):)»|sin4x|dx=4:);4“;sin4xdx(cid:100)(cid:100):)»|sin4x|dx=4[-;4!;cos4x]);4“;(cid:100)(cid:100):)»|sin4x|dx=4[;4!;-{-;4!;}]=2(cid:9000)213해결과정•f(x)=1-x¤, g(x)=cosx이므로(cid:100)(cid:100):0;2“;f(g(x))g(x)dx=:0;2“;(1-cos¤x)cosxdx=:0;2“;sin¤xcosxdx(cid:8837)50% 배점답구하기•sinx=t로놓으면=cosx이고,x=0일때t=0, x=;2“;일때t=1이므로(cid:100)(cid:100):0;2“;sin¤xcosxdx=:)1t¤dt(cid:100)(cid:100):0;2“;sin¤xcosxdx=[;3!;t‹]1)=;3!;(cid:8837)50% 배점(cid:9000);3!;14치환적분법을이용하여:);2“;dx를변형한다.`:);2“;dx=:);2“;dx이므로(cid:100)(cid:100):);2“;dx+:);2“;dx=:);2“;dx yy㉠(cid:100)(cid:100)이때:);2“;dx에서x=로놓으면sin{}=cost, cos{}=sint이고=이다.또x=0일때t=;2“;, x=;2“;일때t=0이므로-1dxdt;2“;-t;2“;-t;2“;-tcosxsinx+cosxcosxsinx+cosxsinxsinx+cosxsinx+cosxsinx+cosxcosxsinx+cosxdtdx108정답및풀이(cid:100)(cid:100):);2“;dx=:;2“;0{-}dt=:);2“;dx yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡에서(cid:100)(cid:100)2:);2“;dx=:);2“;dx=[x]);2“;=;2“;(cid:100)(cid:100)∴:);2“;dx=(cid:100)(cid:100)∴㈎;2“;-t(cid:100)㈏-1(cid:100)㈐;4“;(cid:9000)①15tanx=t로놓고치환적분법을이용한다.`ㄱ.a¡+a£=:0-;4“;tanxdx+:0-;4“;tan‹xdxㄱ.a¡+a£=:0-;4“;tanx(1+tan¤x)dxㄱ.a¡+a£=:0-;4“;tanxsec¤xdxㄱ.tanx=t로놓으면=sec¤x이고,x=-;4“;일ㄱ.때t=-1,x=0일때t=0이므로ㄱ.(cid:100)(cid:100):0-;4“;tanxsec¤xdx=:_0!tdtㄱ.(cid:100)(cid:100):0-;4“;tanxsec¤xdx=[;2!;t¤]0_!=-;2!;ㄴ.a™+a¢=:0-;4“;tan¤xdx+:0-;4“;tan›xdxㄱ.a¡+a£=:0-;4“;tan¤x(1+tan¤x)dxㄱ.a¡+a£=:0-;4“;tan¤xsec¤xdxㄱ.tanx=t로놓으면=sec¤x이고,x=-;4“;일ㄱ.때t=-1, x=0일때t=0이므로ㄱ.(cid:100)(cid:100):0-;4“;tan¤xsec¤xdx=:_0!t¤dtㄱ.(cid:100)(cid:100):0-;4“;tan¤xsec¤xdx=[;3!;t‹]0_!=;3!;ㄱ.ㄱ에서a¡+a£=-;2!;이므로ㄱ.(cid:100)(cid:100)a¡+a™+a£+a¢=-;2!;+;3!;=-;6!;dtdxdtdx;4“;sinxsinx+cosxsinxsinx+cosxsinxsinx+cosxsintsint+costcosxsinx+cosxD1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지108 SinsagoHitec 11 정적분109(cid:8833)본책322~324`쪽정적분11(cid:100)(cid:100)f(x)=[2tsin(t-x)]/)-:)/2sin(t-x)dt(cid:100)(cid:100)f(x)=0-:)/2sin(t-x)dt=[2cos(t-x)]/)(cid:100)(cid:100)f(x)=2-2cos(-x)=2-2cosxㄱ.cosx=cos(-x)이므로f(x)=f(-x)이다.ㄴ.`f'(x)=2sinx이고,f'(x)=0에서ㄴ.(cid:100)(cid:100)x=-p또는x=0또는x=p(cid:100)(cid:100)(cid:100)(∵-2p0,f(x)>0)yy㉠(cid:100)(cid:100)(cid:8837)20% 배점주어진등식의양변에x=1을대입하면(cid:100)(cid:100)f(1)-3=0(cid:100)(cid:100)∴f(1)=3(cid:8837)20% 배점x=1을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)lnf(1)=C(cid:100)(cid:100)∴C=ln3(cid:8837)20% 배점답구하기•따라서lnf(x)=lnx+ln3=ln3x이므로1xf'(x)f(x)1xf'(x)f(x)ㄷ.음이아닌정수k에대하여ㄱ.(cid:100)(cid:100)a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4ㄱ.(cid:100)=(a4k+1+a4k+3)+(a4k+2+a4k+4)ㄱ.(cid:100)={:0-;4“;tan4k+1xdx+:0-;4“;tan4k+3xdx}ㄱ.(cid:100) +{:0-;4“;tan4k+2xdx+:0-;4“;tan4k+4xdx}ㄱ.(cid:100)=:0-;4“;tan4k+1xsec¤xdxㄱ.(cid:100)=+:0-;4“;tan4k+2xsec¤xdxㄱ.(cid:100)=:_0!t4k+1dt+:_0!t4k+2dtㄱ.(cid:100)=[t4k+2]0_!+[t4k+3]0_!ㄱ.(cid:100)=-+ㄱ.(cid:100)(cid:100)∴a˚=(a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4)ㄱ.(cid:100)(cid:100)∴a˚={-+}ㄱ.(cid:100)(cid:100)∴a˚=-;2!;+;3!;-;6!;+;7!;-yㄱ.(cid:100)(cid:100)∴a˚=-;9¡8;+;9¡9;ㄱ.(cid:100)(cid:100)∴a˚+-{;2!;+;3!;+;4!;+y+;5¡1;}이상에서옳은것은ㄱ뿐이다.(cid:9000)①16부분적분법을이용하여함수f(x)를구한다.`f(x)=x¤+:)/t¤sin(t-x)dt에서u(t)=t¤,v'(t)=sin(t-x)로놓으면(cid:100)(cid:100)u'(t)=2t,v(t)=-cos(t-x)이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=x¤+[-t¤cos(t-x)]/)-:)/{-2tcos(t-x)}dt=x¤-x¤+:)/2tcos(t-x)dt=:)/2tcos(t-x)dt이때p(t)=2t,q'(t)=cos(t-x)로놓으면p'(t)=2,q(t)=sin(t-x)이므로14k+314k+224¡k=024¡k=0100¡k=114k+314k+214k+314k+2x-2py-py0ypy2pf'(x)+0-0+0-f(x)↗극대↘극소↗극대↘D1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지109 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100)f(x)=3x(cid:100)(cid:100)∴f(10)=30(cid:8837)20% 배점(cid:9000)3018:Abf(x)dx=-:Baaf(x)dx임을이용한다.`조건㈏`에서(cid:100)(cid:100)cosx:)/f(t)dt=-sinx:f(t)dt위의등식의양변을x에대하여미분하면(cid:100)(cid:100)-sinx:)/f(t)dt+cosxf(x)(cid:100)(cid:100)=-cosx:f(t)dt-sinxf(x)위의등식의양변에x=;4“;를대입하면(cid:100)(cid:100)-:f(t)dt+f{;4“;}=-:f(t)dt-f{;4“;}=-:f(t)dt+f{;4“;}=-:f(t)dt-f{;4“;}(cid:100)(cid:100)2f{;4“;}=:f(t)dt+:f(t)dt(cid:100)(cid:100)2f{;4“;}=:f(t)dt이때조건㈎`에서:f(t)dt=1이므로(cid:100)(cid:100)f{;4“;}=;2!;(cid:9000)④19주어진식을합의기호¡를이용하여나타낸후정적분으로나타낸다.`(주어진식)=[{2+}¤¥]={2+}¤¥¥=:@3x¤dx¥:!3;[!;dx=[;3!;x‹]3@¥[ln|x|]3!=;;¡3ª;;ln3(cid:9000);;¡3ª;;ln3201-x=t로놓고치환적분법을이용한다.2n12k1+12nn¡k=1limn⁄¶1nknn¡k=1limn⁄¶2n+2kn¡k=11nknn¡k=1limn⁄¶;2“;0;2“;0;2“;;4“;;4“;0;4“;;2“;;4“;0'22;4“;;2“;'22'22;4“;0'22x;2“;x;2“;110정답및풀이`ㄱ.1-x=t로놓으면x=1-t에서=-1이고,x=0일때t=1,x=1일때t=0이므로ㄱ.(cid:100)(cid:100):)1{f(x)g'(1-x)-g(x)f'(1-x)}dxㄱ.(cid:100)=:!0{f(1-t)g'(t)-g(1-t)f'(t)}¥(-1)dtㄱ.(cid:100)=-:)1{f'(t)g(1-t)-g'(t)f(1-t)}dtㄱ.(cid:100)=-kㄴ.1-x=t로놓으면x=1-t에서=-1이고,ㄱ.x=0일때t=1,x=1일때t=0이므로ㄱ.:)1g'(x)f(1-x)dx=:!0g'(1-t)f(t)¥(-1)dtㄱ.:)1g'(x)f(1-x)dx=:)1f(t)g'(1-t)dtㄱ.에서ㄱ.(cid:100)(cid:100):)1{f'(x)g(1-x)-g'(x)f(1-x)}dxㄱ.(cid:100)=:)1{f'(x)g(1-x)-f(x)g'(1-x)}dxㄱ.(cid:100)=:)1{f(x)g(1-x)}'dx=[f(x)g(1-x)]1)ㄱ.(cid:100)=f(1)g(0)-f(0)g(1)ㄱ.(cid:100)(cid:100)∴f(1)g(0)-f(0)g(1)=kㄱ.이때f(0)=f(1),g(0)=g(1)이므로(cid:100)(cid:100)k=0ㄷ.f(x)=ln(1+x›)에서(cid:100)(cid:100)f(0)=0,f(1)=ln2ㄱ.g(x)=sinpx에서(cid:100)(cid:100)g(0)=0, g(1)=0ㄱ.ㄴ에서k=f(1)g(0)-f(0)g(1)이므로ㄱ.(cid:100)(cid:100)k=ln2¥0-0¥0=0이상에서ㄱ,ㄴ,ㄷ모두옳다.(cid:9000)⑤21문제이해•f(x)=[이므로(cid:100)(cid:100)f(x+3)=[(cid:8837)20% 배점(cid:100)(cid:100)∴:_2#e≈f(x+3)dx=:_0#e≈f(x+3)dx+:)2e≈f(x+3)dx=:_0#(x+2)e≈dx+:)22e≈dxyy㉠(cid:100)(cid:100)(cid:8837)20% 배점x+2(-3…x…0)2(0…x…2)x-1(0…x…3)2(3…x…5)dxdtdxdtD1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지110 SinsagoHitec 12 정적분의활용111(cid:8833)본책324~330`쪽정적분의활용12해결과정•:_0#(x+2)e≈dx에서u(x)=x+2, v'(x)=e≈으로놓으면u'(x)=1, v(x)=e≈이므로(cid:100)(cid:100):_0#(x+2)e≈dx=[(x+2)e≈]0_#-:_0#e≈dx(cid:100)(cid:100):_0#(x+2)e≈dx=(2+e—‹)-[ex]0_#(cid:100)(cid:100):_0#(x+2)e≈dx=2+e—‹-(1-e—‹)(cid:100)(cid:100):_0#(x+2)e≈dx=1+yy㉡(cid:100)(cid:100)(cid:8837)40% 배점답구하기•㉡을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100):_2#e≈f(x+3)dx=1++2[e≈]2)(cid:100)(cid:100):_2#e≈f(x+3)dx=2{e¤+}-1(cid:8837)20% 배점(cid:9000)2{e¤+}-122f(f-1(x))=x와역함수의미분법을이용한다.`f(x)=:A/{2+sin(t¤)}dt에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=2+sin(x¤),f"(x)=2xcos(x¤)f"(a)=2acos(a¤)='3a이므로(cid:100)(cid:100)cos(a¤)=(cid:100)(cid:100)∴a¤=;6“;{∵00이므로(cid:100)(cid:100)ex=2(cid:100)(cid:100)∴x=ln2따라서주어진세부등식의영역을좌표평면에나타내면오른쪽그림과같으므로구하는넓이를S라하면(cid:100)(cid:100)S=:)ln2{2e-x-(ex-1)}dx(cid:100)(cid:100)S=[-2e-x-ex+x](cid:100)(cid:100)S=(-3+ln2)-(-3)(cid:100)(cid:100)S=ln2(cid:9000)ln2y=ex-1에서(cid:100)(cid:100)x=ln(y+1)(y>-1)y=2e-x에서(cid:100)(cid:100)x=-ln;2};(y>0)ln20y=2e-xy=ex-1xyln212OxyOx=111y=f{x}y=f'{x}y=에서(cid:100)(cid:100)xy+y=1(cid:100)(cid:100)∴x=;]!;-1또y=-에서(cid:100)(cid:100)xy-3y=-1(cid:100)(cid:100)∴x=-;]!;+3두곡선의교점의y좌표는;]!;-1=-;]!;+3에서(cid:100)(cid:100);]@;=4(cid:100)(cid:100)∴y=;2!;따라서구하는넓이를S라하면(cid:100)(cid:100)S=:{-;]!;+3}dy+:{;]!;-1}dy(cid:100)(cid:100)S=[-ln|y|+3y]+[ln|y|-y](cid:100)(cid:100)S={;2!;+ln2-ln3}+{-;2!;+ln2}(cid:100)(cid:100)S=2ln2-ln3(cid:100)(cid:100)S=ln;3$;02:Acf(x)dx+:Cbf(x)dx=:Abf(x)dx임을이용한다.`곡선y=ln(x+1)과직선y=a의교점의x좌표를k라하면(cid:100)(cid:100):)k{a-ln(x+1)}dx=:{ln(x+1)-a}dx(cid:100)(cid:100):)kadx+:adx(cid:100)=:)kln(x+1)dx+:ln(x+1)dx(cid:100)(cid:100):adx=:ln(x+1)dx(cid:100)(cid:100)[ax]=[xln(x+1)]-:dx(cid:100)(cid:100)a(e-1)=e-1-:{1-}dx(cid:100)(cid:100)a(e-1)=e-1-[x-ln|x+1|](cid:100)(cid:100)a(e-1)=e-1-(e-2)(cid:100)(cid:100)∴a=(cid:9000)①1e-1e-101x+1e-10xx+1e-10e-10e-10e-10e-10e-1ke-1ke-1k1;2!;;2!;;3!;1;2!;;2!;;3!;1x-31x+1y=e-x의그래프는y=e≈의그래프를y축에대하여대칭이동한것이고,y=2-e-x의그래프는y=ex의그래프를원점에대하여대칭이동한다음y축의방향으로2만큼평행이동한것이다.RemarkD1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지115 SinsagoHitec 두곡선의교점의y좌표는(cid:100)(cid:100)ln(y+1)=-ln;2};,(cid:100)(cid:100)y+1=;]@;(cid:100)(cid:100)y¤+y-2=0,(cid:100)(cid:100)(y+2)(y-1)=0(cid:100)(cid:100)∴y=1(∵y>0)따라서구하는넓이를S라하면(cid:100)(cid:100)S=:)1ln(y+1)dy+:!2{-ln;2};}dy(cid:100)(cid:100)S=:)1ln(y+1)dy-:!2(lny-ln2)dy(cid:100)(cid:100)S=:)1ln(y+1)dy-:!2lnydy+ln2:!2dy(cid:100)(cid:100)S=[yln(y+1)]1)-:)1dy(cid:100)(cid:100)S=-[ylny]2!+:!2dy+ln2[y]2!(cid:100)(cid:100)S=ln2-:)1{1-}dy-2ln2+[y]2!+ln2(cid:100)(cid:100)S=ln2-[y-ln|y+1|]1)-2ln2+1+ln2(cid:100)(cid:100)S=ln2-(1-ln2)-2ln2+1+ln2(cid:100)(cid:100)S=ln205해결과정•y='3cosx와y=sinx의교점의x좌표는(cid:100)(cid:100)'3cosx=sinx,(cid:100)(cid:100)sinx-'3cosx=0(cid:100)(cid:100)2{;2!;sinx-cosx}=0(cid:100)(cid:100)2sin{x-;3“;}=0(cid:100)(cid:100)∴x=;3“;{∵0…x…;2“;}(cid:8837)30% 배점(cid:100)(cid:100)A=:('3cosx-sinx)dx(cid:100)(cid:100)A=['3sinx+cosx]=1(cid:8837)30% 배점(cid:100)(cid:100)A+B=:'3cosxdx(cid:100)(cid:100)A+B=['3sinx]='3이므로(cid:100)(cid:100)B='3-A='3-1(cid:8837)30% 배점답구하기•∴AB='3-1(cid:8837)10% 배점(cid:9000)'3-1;2“;0;2“;0;3“;0;3“;0'321y+1yy+1116정답및풀이06단면의넓이를주어진구간에서적분한다.`x좌표가t일때의단면의넓이를S(t)라하면(cid:100)(cid:100)S(t)=2et+1따라서구하는부피를V라하면(cid:100)(cid:100)V=:_1!S(t)dt=:_1!(2et+1)dt(cid:100)(cid:100)V=[2et+t]1_!=2{e-;e!;+1}(cid:9000)④07밑면을좌표평면에나타낸다.`오른쪽그림과같이x축위의한점(x, 0){0…x…;2“;}을지나고x축에수직인평면으로자른단면은한변의길이가'ƒsin2x인정삼각형이므로그넓이를S(x)라하면(cid:100)(cid:100)S(x)=('ƒsin2x)¤=sin2x따라서구하는부피를V라하면(cid:100)(cid:100)V=:);2“;S(x)dx=:);2“;sin2xdx(cid:100)(cid:100)V=[-;2!;cos2x];2“;0 =(cid:9000)08보조선을그어도형을분할한후넓이an을구한다.`an=;2!;¥n¥;n!;+:;[!;dx`an=-;2!;¥(n+1)¥`an=:;[!;dx`an=[ln|x|]`an=ln|n+1|-ln|n|=ln||(cid:100)(cid:100)∴a«=ln2+ln;2#;+ln;3$;+y+ln(cid:100)(cid:100)∴a«=ln{2¥;2#;¥;3$;¥y¥}(cid:100)(cid:100)∴a«=ln100(cid:9000)ln100100991009999¡n=1n+1nn+1nn+1n1n+1n+1n'34'34'34'34'34'34yOxxy= sin2x2pQP1;:;n1;::::;n+1 1y=;:; xnn+1xyOD1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지116 SinsagoHitec 12 정적분의활용117(cid:8833)본책341~343`쪽정적분의활용12(cid:100)(cid:100)S=:)4;4#;øπ16-x¤dx(cid:100)(cid:100)S=:);2“;;4#;øπ16(1-sin¤h)¥4coshdh(cid:100)(cid:100)S=:);2“;12cos¤hdh(cid:100)(cid:100)S=12:);2“;dh(cid:100)(cid:100)S=6[h+;2!;sin2h]);2“;=3p(cid:9000)3p11해결과정•곡선y=;[!;과x축및두직선x=an+1,x=a«으로둘러싸인도형의넓이가2이므로:a«≠¡a«;[!;dx=2에서(cid:8837)30% 배점(cid:100)(cid:100):a«≠¡a«;[!;dx=[ln|x|]=lna«-lnan+1(cid:100)(cid:100):a«≠¡a«;[!;dx=ln=2(cid:100)(cid:100)=e¤(cid:100)(cid:100)∴an+1=a«(cid:8837)30% 배점답구하기•따라서수열{a«}은첫째항이e이고,공비가인등비수열이므로(cid:100)(cid:100)a«==(cid:8837)40% 배점(cid:9000)12:Abf(x)dx+:Bcf(x)dx=:Acf(x)dx임을이용한다.`A와B의넓이가같으므로(cid:100)(cid:100):)kxsinxdx=:{;2“;-xsinx}dx(cid:100)(cid:100):)kxsinxdx=;2“;:dx-:xsinxdx(cid:100)(cid:100):)kxsinxdx+:xsinxdx=;2“;:dx(cid:100)(cid:100):xsinxdx=;2“;:dx(cid:100)(cid:100)[-xcosx]+:cosxdx=;2“;[x];2“;k;2“;0;2“;0;2“;k;2“;0;2“;k;2“;k;2“;k;2“;k;2“;ke‹e¤-1e‹e¤-1e11-13e¤¶¡n=11e¤1e¤a«a«≠¡a«a«≠¡anan+11+cos2h209정적분을이용하여B와A+B의값을구하고,이를이용하여의값을구한다.`logbx=이므로(cid:100)(cid:100)B=:Pqlogbxdx=:Pqlnxdx(cid:100)(cid:100)B={[xlnx]qP-:Pqdx}(cid:100)(cid:100)B=[(qlnq-plnp)-[x]qP](cid:100)(cid:100)B={(qlnq-plnp)-(q-p)}yy㉠㉠㉠또logax=이므로(cid:100)(cid:100)A+B=:Pqlogaxdx=:Pqlnxdx(cid:100)(cid:100)A+B={[xlnx]qP-:Pqdx}(cid:100)(cid:100)A+B=[(qlnq-plnp)-[x]qP](cid:100)(cid:100)A+B={(qlnq-plnp)-(q-p)}yy㉡㉠㉠㉡÷㉠`을하면(cid:100)(cid:100)=,(cid:100)(cid:100)+1=logab(cid:100)(cid:100)∴=logab-1(cid:9000)③10주어진식을y=f(x)꼴로변형하여정적분의값을구한다.`+=1에서(cid:100)(cid:100)y=;4#;øπ16-x¤(xæ0)구하는넓이를S라하면(cid:100)(cid:100)S=:)4;4#;øπ16-x¤dx이때x=4sinh{-;2“;…h…;2“;}로놓으면=4cosh이고,x=0일때h=0, x=4일때h=;2“;이므로dxdhy¤9x¤16ABABlnblnaA+BB1lna1lna1lna1lnalnxlna1lnb1lnb1lnb1lnblnxlnbABD1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지117 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100)[sinx]=-p(cid:100)(cid:100)1=-p,(cid:100)(cid:100)p=-1(cid:100)(cid:100)∴k=-(cid:9000)③13{(위의식)-(아래의식)}을적분하여두곡선사이의넓이를구한다.`두곡선y=ex과y=xe≈의교점의x좌표는(cid:100)(cid:100)e≈=xe≈,(cid:100)(cid:100)(x-1)e≈=0(cid:100)(cid:100)∴x=1(∵ex>0)(cid:100)(cid:100)a=:)1(e≈-xe≈)dx=:)1(1-x)e≈dx(cid:100)(cid:100)a=[(1-x)e≈]1)+:)1e≈dx(cid:100)(cid:100)a=-1+[e≈]1)=-1+(e-1)=e-2(cid:100)(cid:100)b=:!2(xe≈-e≈)dx=:!2(x-1)e≈dx(cid:100)(cid:100)b=[(x-1)e≈]2!-:!2e≈dx(cid:100)(cid:100)b=e¤-[e≈]2!=e¤-(e¤-e)=e(cid:100)(cid:100)∴b-a=e-(e-2)=2(cid:9000)③두곡선y=ex과y=xe≈의교점의x좌표를t라하면(cid:100)(cid:100)a=:)t(e≈-xe≈)dx(cid:100)(cid:100)b=:T2(xe≈-e≈)dx(cid:100)(cid:100)∴b-a=:T2(xe≈-e≈)dx-:)t(e≈-xe≈)dx(cid:100)(cid:100)∴b-a=:T2(xe≈-e≈)dx+:)t(xe≈-e≈)dx(cid:100)(cid:100)∴b-a=:)2(xe≈-e≈)dx(cid:100)(cid:100)∴b-a=:)2(x-1)e≈dx(cid:100)(cid:100)∴b-a=[(x-1)e≈]2)-:)2e≈dx(cid:100)(cid:100)∴b-a=(e¤+1)-[e≈]2)(cid:100)(cid:100)∴b-a=(e¤+1)-(e¤-1)=22pp2p¤4k2k2p¤4k2p¤4;2“;0118정답및풀이14함수y=f(x)와그역함수y=g(x)의그래프는직선y=x에대하여대칭임을이용한다.`함수y=a≈은y=logåx의역함수이므로y=a≈의그래프는y=logåx의그래프와직선y=x에대하여대칭이다.S=:!a¤logåxdx이고오른쪽그림에서빗금친부분의넓이를P라하면S=P이므로:)2a≈dx의값은직사각형OABC의넓이에서P를뺀것과같다.(cid:100)(cid:100)∴:)2a≈dx=2a¤-S(cid:9000)⑤S=:!a¤logåxdx=:!a¤dxS=:!a¤lnxdxS={[xlnx]!a¤-:!a¤dx}S={a¤lna¤-[x]!a¤}S=(a¤lna¤-a¤+1)S=2a¤-+yy㉠(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)∴:)2a≈dx=[]2)(cid:100)(cid:100)∴:)2a≈dx=-(cid:100)(cid:100)∴:)2a≈dx=2a¤-S (∵㉠)15단면이한변의길이가"√1-t¤인정사각형이므로1-t¤æ0이어야한다.`x=t일때단면인정사각형의한변의길이는"√1-t¤이므로1-t¤æ0에서(cid:100)(cid:100)t¤-1…0,(cid:100)(cid:100)(t+1)(t-1)…0(cid:100)(cid:100)∴-1…t…1단면의넓이를S(t)라하면(cid:100)(cid:100)S(t)=("√1-t¤)¤=1-t¤1lnaa¤lnaa≈lna1lnaa¤lna1lna1lna1lna1lnalnxlnaxSa2a2yy=axy=xy=logåxOABC2112PPPD1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지118 SinsagoHitec 12 정적분의활용119(cid:8833)본책343~345`쪽정적분의활용12(cid:100)(cid:100)S™=:)bsinxdx+:B;2“;+acos(x-a)dx(cid:100)(cid:100)S™=1yy㉠(cid:100)(cid:100)(cid:8837)30% 배점이때0…x…;2“;+a에서y=sinx의그래프와y=cos(x-a)의그래프는직선x=b에대하여대칭이므로(cid:100)(cid:100):)bsinxdx=:B;2“;+acos(x-a)dxyy㉡(cid:100)(cid:100)(cid:8837)30% 배점답구하기•㉠, ㉡`에서(cid:100)(cid:100)2:B;2“;+acos(x-a)dx=1(cid:100)(cid:100)∴:B;2“;+acos(x-a)dx=;2!;(cid:8837)10% 배점(cid:9000);2!;18먼저주어진조건을이용하여A«을구한다.`ㄱ.f(x)>0이므로:Nn—1f(x)dx는곡선y=f(x)와x축및두직선x=n,x=n+1로둘러싸인도형의넓이와같다.또두점P«,Q«에서x축에내린수선의발을각각P'«,Q'«이라하면직사각형P«P'«Q'«Q«의넓이는(n+1-n)f(n), 즉f(n)이므로ㄴ.(cid:100)(cid:100):Nn—1f(x)dx=f(n)-(A«+B«)ㄴ.A«=;2!;¥1¥{f(n)-f(n+1)}ㄴ.A«=;2!;(e—«-e—«—⁄)ㄴ.A«=(e-1)ㄴ.A«=¥yy㉠(cid:100)(cid:100)ㄴ.따라서수열{A«}은첫째항이,공비가ㄴ.인등비수열이므로ㄴ.(cid:100)(cid:100)A«==12ee-11312e¤1-;e!;¶¡n=11ee-12e¤1e«±⁄e-12e—«—⁄2따라서구하는부피를V라하면(cid:100)(cid:100)V=:_1!S(t)dt=:_1!(1-t¤)dt(cid:100)(cid:100)V=2:)1(1-t¤)dt(cid:100)(cid:100)V=2[t-;3!;t‹]1)=;3$;(cid:9000)②16단면인정삼각형의한변의길이를구한후단면의넓이를식으로나타낸다.`단면인정삼각형의한변의길이를acm라하면이정삼각형의높이는acm이므로(cid:100)(cid:100);3@;¥a='∂3x(cid:100)(cid:100)∴a=3'ßx이때단면의넓이를S(x)cm¤라하면(cid:100)(cid:100)S(x)=(3'ßx`)¤=x(cm¤)따라서구하는부피를Vcm‹라하면(cid:100)(cid:100)V=:)10S(x)dx=:)10xdx(cid:100)(cid:100)V=[;2!;x¤]=;;™;2@;∞;;'3(cm‹)(cid:9000);;™;2@;∞;;'3cm‹17문제이해•곡선y=sinx와x축으로둘러싸인도형의넓이를S¡이라하면(cid:100)(cid:100)S¡=:)»sinxdx(cid:100)(cid:100)S¡=[-cosx]»)=2(cid:8837)30% 배점해결과정•S¡이곡선y=cos(x-a)에의하여이등분되므로위의그림에서색칠한도형의넓이를S™라하면S™=1이다.즉xbS™yy=sinxy=cos(x-a)Op ;:;+a2 p1009'349'349'34'34'32'32Remark정삼각형의한중선의길이는높이와같고삼각형의무게중심은중선을꼭짓점으로부터2:1로내분하는점이므로무게중심에서꼭짓점까지의거리는중선의길이, 즉높이의;3@;와같다.D1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지119 SinsagoHitec ㄷ.:Nn—1f(x)dx=:Nn—1e—≈dx=[-e—≈]Nn—1ㄷ.:Nn—1f(x)dx=-e-n-1+e-n=ㄷ.:Nn—1f(x)dx=2A«(∵㉠)ㄷ.ㄱ에서2A«=f(n)-(A«+B«)이므로ㄷ.(cid:100)(cid:100)B«=f(n)-3A«ㄷ.이때f(n)=e-n==이므로ㄷ.(cid:100)(cid:100)B«=f(n)-3A«ㄷ.(cid:100)(cid:100)B«=-=이상에서ㄱ,ㄴ,ㄷ모두옳다.(cid:9000)⑤19해결과정•오른쪽그림과같이밑면의중심을원점,지름AB를x축으로정하고,x축위의점P(x, 0)(-2…x…2)을지나고x축에수직인직선이이원과만나는한점을Q라하면(cid:100)(cid:100)PQ”="√2¤-x¤이때점P를지나고지름AB에수직인평면으로자른단면은한변의길이가2PQ”인정사각형이므로그넓이를S(x)라하면(cid:100)(cid:100)S(x)=(2"√2¤-x¤)¤=4(4-x¤)(cid:8837)60% 배점답구하기•따라서구하는부피를V라하면(cid:100)(cid:100)V=:_2@S(x)dx(cid:100)(cid:100)V=:_2@4(4-x¤)dx(cid:100)(cid:100)V=2¥4:)2(4-x¤)dx(cid:100)(cid:100)V=8[4x-;3!;x‹]2)=(cid:8837)40% 배점(cid:9000)12831283xxyOAB2-2-22PQ3-e2e(e-1)32e1e-1¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=11e-1;e!;1-;e!;¶¡n=1¶¡n=1e-1e«±⁄120정답및풀이(cid:8833)본책345`쪽D1013개쎈미적분2_정(090-120) 2014.10.13 5:25 PM 페이지120 SinsagoHitec