2018년 좋은책신사고 개념쎈 기하와 벡터 답지

https://fds.flarebrick.com/1KvYEXgyR7jH2Kdd0S8lZ9XCkqh8RyWXT

2018년 좋은책신사고 개념쎈 기하와 벡터.pdf Download | FlareBrick FDS

정답및풀이ⅠⅠ평면곡선01이차곡선202평면곡선의접선12ⅡⅡ평면벡터03벡터의연산2204평면벡터의성분2805평면벡터의내적3206평면운동38ⅢⅢ공간도형07공간도형4308공간좌표50ⅣⅣ공간벡터09공간벡터5910도형의방정식66(001-021)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 8:54 PM 페이지1 SinsagoHitec 2정답및풀이본책11~39쪽유제Ⅰ.평면곡선01이차곡선001-1x¤=12y=4¥3y에서포물선의초점은F(0,3)이고준선의방정식은y=-3이다.오른쪽그림과같이두점A,B에서직선y=-3에내린수선의발을각각P',Q'이라하면포물선의정의에의하여(cid:100)(cid:100)AF”=AP'”=AP”+P’P'”=1+3=4(cid:100)(cid:100)BF”=BQ'”=BQ”+QQ'”=9+3=12(cid:100)(cid:100)∴AB”=AF”+BF”=4+12=16(cid:9000)16001-2포물선y¤=4x위의세점A,B,C의x좌표를각각a,b,c라하면=2(cid:100)(cid:100)∴a+b+c=6포물선y¤=4x의준선의방정식은x=-1이므로세점A,B,C에서직선x=-1에내린수선의발을각각A',B',C'이라하면포물선의정의에의하여(cid:100)(cid:100)AF”=A’A'”,BF”=B’B'””,(cid:100)(cid:100)CF”=C’C'”(cid:100)(cid:100)∴AF”+BF”+CF”=A’A'”+B’B'”+C’C'”=(a+1)+(b+1)+(c+1)=(a+b+c)+3=6+3=9(cid:9000)9002-1주어진조건을만족시키는점을P(x,y)라하고,점P에서직선y=-1에내린수선의발을H라하면PF”=PH”이므로xyOFAA'B'C'BCy@=4xx=-1a+b+c3Q'P'xyOAPQBx@=12yy=-3F(cid:100)(cid:100)"√(x-1)¤+(y+2)¤=|y+1|양변을제곱하면(cid:100)(cid:100)(x-1)¤+y¤+4y+4=y¤+2y+1(cid:100)(cid:100)∴(x-1)¤=-2{y+;2#;}따라서a=-1,b=-2,c=;2#;이므로(cid:100)(cid:100)a+b+c=-;2#;(cid:9000)-;2#;주어진점의자취는초점의좌표가{0,-;2!;}이고준선의방정식이y=;2!;인포물선x¤=4¥{-;2!;}y=-2y를x축의방향으로1만큼,y축의방향으로-;2#;만큼평행이동한것이므로(cid:100)(cid:100)(x-1)¤=-2{y+;2#;}따라서a=-1, b=-2, c=;2#;이므로(cid:100)(cid:100)a+b+c=-;2#;003-1⑴주어진포물선의방정식을표준형으로변형하면⑵(cid:100)(cid:100)y¤=6(x+1)⑵따라서이포물선은포물선y¤=6x를x축의방향으로-1만큼평행이동한것이다.⑵포물선y¤=6x=4¥;2#;x에서⑵(cid:100)(cid:100)초점의좌표:{;2#;,0}⑵(cid:100)(cid:100)준선의방정식:x=-;2#;⑵(cid:100)(cid:100)꼭짓점의좌표:(0,0)⑵이므로포물선y¤=6(x+1)에서⑵(cid:100)(cid:100)초점의좌표:{;2!;,0}⑵(cid:100)(cid:100)준선의방정식:x=-;2%;⑵(cid:100)(cid:100)꼭짓점의좌표:(-1,0)⑵주어진포물선의방정식을표준형으로변형하면⑵(cid:100)(cid:100)x¤-10x+25=2y⑵(cid:100)(cid:100)∴(x-5)¤=2y⑵따라서이포물선은포물선x¤=2y를x축의방향으로5만큼평행이동한것이다.(001-021)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 8:54 PM 페이지2 SinsagoHitec 01 이차곡선3(cid:8833)본책11~22쪽이차곡선01⑵포물선x¤=2y=4¥;2!;y에서⑵(cid:100)(cid:100)초점의좌표:{0,;2!;}⑵(cid:100)(cid:100)준선의방정식:y=-;2!;⑵(cid:100)(cid:100)꼭짓점의좌표:(0,0)⑵이므로포물선(x-5)¤=2y에서⑵(cid:100)(cid:100)초점의좌표:{5,;2!;}⑵(cid:100)(cid:100)준선의방정식:y=-;2!;⑵(cid:100)(cid:100)꼭짓점의좌표:(5,0)(cid:9000)풀이참조003-2축이x축에평행하므로구하는포물선의방정식을(cid:100)(cid:100)y¤+Ax+By+C=0으로놓으면이포물선은세점(1,0),(4,-1),(-2,2)를지나므로(cid:100)(cid:100)A+C=0(cid:100)(cid:100)1+4A-B+C=0(cid:100)(cid:100)4-2A+2B+C=0위의식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)A=-2,B=-5,C=2따라서구하는포물선의방정식은(cid:100)(cid:100)y¤-2x-5y+2=0(cid:9000)y¤-2x-5y+2=0004-1오른쪽그림과같이점P에서직선x=-2에내린수선의발을H라하면점H는원과직선x=-2의접점이므로(cid:100)(cid:100)PA”=PH”이때점P의좌표를(x,y)라하면(cid:100)(cid:100)"√(x-3)¤+(y-3)¤=|x+2|양변을제곱하면(cid:100)(cid:100)x¤-6x+9+(y-3)¤=x¤+4x+4(cid:100)(cid:100)∴(y-3)¤=10{x-;2!;}(cid:9000)(y-3)¤=10{x-;2!;}xyOHA{3,`3}P{x,`y}x=-2004-2오른쪽그림에서점Q는선분AP의수직이등분선위의점이므로(cid:100)(cid:100)AQ”=PQ”이때점Q의좌표를(x,y)라하면(cid:100)(cid:100)"√(x-3)¤+(y+2)¤=|x|양변을제곱하면(cid:100)(cid:100)x¤-6x+9+(y+2)¤=x¤(cid:100)(cid:100)∴(y+2)¤=6{x-;2#;}(cid:9000)(y+2)¤=6{x-;2#;}005-1초점이x축위에있으므로구하는타원의방정식을+=1 (a>b>0)이라하자.초점의좌표가(5,0),(-5,0)이므로(cid:100)(cid:100)a¤-b¤=5¤(cid:100)(cid:100)∴(a+b)(a-b)=25yy㉠㉠㉠또타원+=1의장축의길이와단축의길이의차가2이므로(cid:100)(cid:100)2a-2b=2(cid:100)(cid:100)∴a-b=1yy㉡㉠㉠㉡을㉠`에대입하면(cid:100)(cid:100)a+b=25yy㉢㉠㉠㉡,㉢`을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=13, b=12따라서구하는타원의방정식은(cid:100)(cid:100)+=1(cid:9000)+=1006-1타원의정의에의하여(cid:100)(cid:100)AF”+AF”'”=BF”+BF”'”=2a이므로삼각형ABF'의둘레의길이는AB”+BF”'”+F'A”=(AF”+BF”)+BF”'”+AF”'”=(AF”+AF”'”)+(BF”+BF”'”)=2a+2a=4axyOa-a-bbABF'Fy¤144x¤169y¤144x¤169y¤b¤x¤a¤y¤b¤x¤a¤xyOA{3,`-2}Q{x,`y}P(001-021)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 8:54 PM 페이지3 SinsagoHitec 4정답및풀이즉4a=12이므로(cid:100)(cid:100)a=3이때초점이F(2,0),F'(-2,0)이므로(cid:100)(cid:100)b¤=3¤-2¤=5(cid:100)(cid:100)∴b='5(∵b>0)(cid:100)(cid:100)∴ab=3'5(cid:9000)3'5006-2타원의정의에의하여(cid:100)(cid:100)PF”+PF'”=2¥3=6PF”=p라하면(cid:100)(cid:100)PF'”=6-p또+=1에서(cid:100)(cid:100)'ƒ9-4='5이므로타원의초점의좌표는(0,'5`),(0,-'5`)(cid:100)(cid:100)∴FF'”=2'5△FPF'에서피타고라스정리에의하여(cid:100)(cid:100)p¤+(6-p)¤=(2'5`)¤(cid:100)(cid:100)p¤-6p+8=0,(cid:100)(cid:100)(p-2)(p-4)=0(cid:100)(cid:100)∴p=2 또는p=4(cid:100)(cid:100)∴PF”=2(∵PF'”>PF”)(cid:9000)2007-1점P의좌표를(x,y)라하면PF”+PF”'”=6이므로(cid:100)(cid:100)"(√x-1√)¤+√(y-ç3)¤Ω+"(√x-1√)¤+√(y+ç1)Ω¤=6(cid:100)(cid:100)"(√x-1√)¤+√(y-ç3)¤Ω=6-"(√x-1√)¤+√(y+ç1)Ω¤양변을제곱하여정리하면(cid:100)(cid:100)3"(√x-1√)¤+√(y+ç1)Ω¤=2y+7다시양변을제곱하여정리하면(cid:100)(cid:100)9(x-1)¤+5(y-1)¤=45(cid:100)(cid:100)∴+=1(cid:9000)+=1F’F'”=4이므로점P의자취는초점의좌표가(0,2), (0,-2)이고두초점에서의거리의합이6인타원을x축의방향으로1만큼,y축의방향으로1만큼평행이동한것이다.장축의길이가6이고, 3¤-2¤=5이므로평행이동하기전의타원의방정식은(y-1)¤9(x-1)¤5(y-1)¤9(x-1)¤5y¤9x¤4xyOP-223-3FF'(cid:100)(cid:100)+=1따라서구하는자취의방정식은(cid:100)(cid:100)+=1008-1⑴주어진타원의방정식을표준형으로변형하면(cid:100)(cid:100)(x¤-4x+4)+4(y¤+2y+1)=4(cid:100)(cid:100)(x-2)¤+4(y+1)¤=4(cid:100)(cid:100)∴+(y+1)¤=1따라서이타원은타원+y¤=1을x축의방향으로2만큼,y축의방향으로-1만큼평행이동한것이다.타원+y¤=1에서(cid:100)(cid:100)초점의좌표: ('3,0),(-'3,0)(cid:100)(cid:100)(장축의길이)=2¥2=4이므로타원+(y+1)¤=1에서(cid:100)(cid:100)초점의좌표:(2+'3,-1),(2-'3,-1)(cid:100)(cid:100)장축의길이:4⑵주어진타원의방정식을표준형으로변형하면(cid:100) (cid:100)(cid:100)3(x¤+6x+9)+2(y¤-2y+1)=123(x+3)¤+2(y-1)¤=12(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴+=1따라서이타원은타원+=1을x축의방향으로-3만큼,y축의방향으로1만큼평행이동한것이다.타원+=1에서(cid:100)(cid:100)초점의좌표: (0, '2`),(0,-'2`)(cid:100)(cid:100)(장축의길이)=2¥'6=2'6이므로타원+=1에서(cid:100)(cid:100)초점의좌표: (-3,1+'2`),(-3,1-'2`)(cid:100)(cid:100)장축의길이: 2'6(cid:9000)풀이참조(y-1)¤6(x+3)¤4y¤6x¤4y¤6x¤4(y-1)¤6(x+3)¤4(x-2)¤4x¤4x¤4(x-2)¤4(y-1)¤9(x-1)¤5y¤9x¤5(001-021)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 8:54 PM 페이지4 SinsagoHitec 01 이차곡선5(cid:8833)본책22~34쪽이차곡선01009-1A(a,0),B(0,b)라하면AB”=9이므로(cid:100)(cid:100)"√a¤+b¤=9(cid:100)(cid:100)∴a¤+b¤=81yy㉠(cid:100)(cid:100)이때점P는AB”를2:1로내분하는점이므로P(x,y)라하면(cid:100)(cid:100)x==;3A;,(cid:100)(cid:100)y==;3@;b(cid:100)(cid:100)∴a=3x, b=;2#;yyy㉡(cid:100)(cid:100)㉡을㉠에대입하면(3x)¤+{;2#;y}¤=81(cid:100)(cid:100)∴x¤+=9(cid:9000)x¤+=9009-2원(x-4)¤+y¤=36의중심을C(4,0)이라하고,두원의접점을Q라하면CP”=CQ”-PQ”=6-PO”따라서점P의좌표를(x,y)라하면"√(x-4)¤+y¤=6-"√x¤+y¤양변을제곱하여정리하면(cid:100)(cid:100)3"√x¤+y¤=2x+5다시양변을제곱하여정리하면(cid:100)(cid:100)5(x-2)¤+9y¤=45∴+=1(cid:9000)+=1CP”=6-PO”에서(cid:100)(cid:100)CP”+PO”=6즉점P의자취는두점C,O를초점으로하고장축의길이가6인타원이다.이것은초점의좌표가(2,0),(-2,0)이고장축의길이가6인타원+=1을x축의방향으로2만큼평행이동한것이므로자취의방정식은(cid:100)(cid:100)+=1y¤5(x-2)¤9y¤5x¤9y¤5(x-2)¤9y¤5(x-2)¤9y¤4y¤42¥b+1¥02+12¥0+1¥a2+1010-1초점이x축위에있으므로구하는쌍곡선의방정식을-=1이라하자.초점의좌표가(5,0),(-5,0)이므로a¤+b¤=5¤=25yy㉠㉠㉠또점근선의방정식이y=—2x이므로(cid:100)(cid:100);aB;=—2(cid:100)(cid:100)∴b=—2ayy㉡㉠㉠㉠`,㉡`을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a¤=5, b¤=20따라서구하는쌍곡선의방정식은(cid:100)(cid:100)-=1(cid:9000)-=1011-1-=-1에서'9ƒ+16=5이므로초점의좌표는(cid:100)(cid:100)(0,5),(0,-5)(cid:100)(cid:100)∴F’F'”=10쌍곡선의정의에의하여(cid:100)(cid:100)|P’F’-P’F'”|=2¥4=8이때P’F'”=2PF”이므로(cid:100)(cid:100)P’F”=8,P’F'”=16따라서△PFF'의둘레의길이는P’F’+F’F'”+P’F'”=8+10+16=34(cid:9000)34011-2-=1에서'ƒ4+5=3이므로초점의좌표는(cid:100)(cid:100)(3,0),(-3,0)(cid:100)(cid:100)∴F’F'”=6쌍곡선의정의에의하여(cid:100)(cid:100)|P’F’-P’F'”|=2¥2=4y¤5x¤4y¤16x¤9y¤20x¤5y¤20x¤5y¤b¤x¤a¤Remark두원의위치관계반지름의길이가r,r'(r>r')이고중심사이의거리가d인두원의위치관계는다음과같다.①외접한다.(cid:8857)d=r+r'②두점에서만난다.(cid:8857)r-r'0,b>0이므로산술평균과기하평균의관계에의하여a+bæ2'∂ab,(cid:100)(cid:100)10æ2'∂ab∴ab…25 (단,등호는a=b일때성립)(cid:8837)40% 배점3'323'32'32(001-021)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 8:54 PM 페이지7 SinsagoHitec 8정답및풀이`주어진쌍곡선의방정식을표준형으로변형하면(cid:100)(cid:100)(x+1)¤-3(y-3)¤=12∴-=1따라서이쌍곡선은쌍곡선-=1을x축의방향으로-1만큼, y축의방향으로3만큼평행이동한것이다.쌍곡선-=1의초점의좌표가(4,0),(-4,0)이므로주어진쌍곡선의초점의좌표는(cid:100)(cid:100)(3,3),(-5,3)∴a+b+c+d=3+3+(-5)+3=4(cid:9000)407해결과정•포물선의정의에의하여(cid:100)(cid:100)AF”=AP”,BF”=BQ”AB”=8에서(cid:100)(cid:100)AF”+BF”=8이므로(cid:100)(cid:100)AP”+BQ”=8(cid:8837)50% 배점답구하기•이때AP”∥MÚR”∥BQ”이고,점M이AB”의중점이므로(cid:100)(cid:100)MÚR”=;2!;(AP”+BQ”)=;2!;¥8=4(cid:8837)50% 배점(cid:9000)408포물선의정의를이용하여AP”,BQ”를a에대한식으로나타낸다.`y¤=8x=4¥2x에서포물선의초점은F(2,0)이고,준선의방정식은x=-2이다.오른쪽그림과같이두점A,B에서직선x=-2에내린수선의발을각각P',Q'이라하면포물선의정의에의하여(cid:100)(cid:100)AP'”=AF”=a,(cid:100)(cid:100)BQ'”=BF”=2ax=-2xyOQPQ'P'ABFy@=8xy¤4x¤12y¤4x¤12(y-3)¤4(x+1)¤12(cid:100)(cid:100)∴AP”=AP'”-PP'”=a-2(cid:100)(cid:100)∴BQ”=BQ'”-QQ'”=2a-2이때BQ”=3AP”이므로(cid:100)(cid:100)2a-2=3(a-2)(cid:100)(cid:100)∴a=4(cid:9000)②09문제이해•y=;8!;x¤에서(cid:100)(cid:100)x¤=8y=4¥2y따라서점F(0,2)와직선y=-2는각각포물선y=;8!;x¤의초점과준선이므로포물선의정의에의하여(cid:100)(cid:100)A’A”'’=AF”=3,BB”'’=BF”=6(cid:8837)40% 배점해결과정•오른쪽그림과같이점A에서BB”'’에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)BH”=BB”'’-HB”'’=6-3=3직각삼각형BAH에서(cid:100)(cid:100)AH”="√AB”¤-BH””¤(cid:100)(cid:100)AH="√9¤-3¤=6'2(cid:8837)40% 배점답구하기•따라서(cid:8772)AA'B'B의넓이는(cid:100)(cid:100);2!;(AA”'”+BB”'”)¥AH”=;2!;(3+6)¥6'2=27'2(cid:8837)20% 배점(cid:9000)27'210포물선의꼭짓점은포물선의축위의점임을이용한다.`직선y=-2를축으로하는포물선의방정식을(cid:100)(cid:100)(y+2)¤=4p(x-m)이라하면이포물선이두점(4,-4),(12,4)를지나므로(cid:100)(cid:100)4=4p(4-m)yy㉠(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)36=4p(12-m)yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡`을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)m=3,p=1(cid:100)(cid:100)∴(y+2)¤=4(x-3)따라서이포물선은포물선`y¤=4x를x축의방향으로3만큼,y축의방향으로-2만큼평행이동한것이므로초점의좌표는(cid:100)(cid:100)(1+3,0-2),즉(4,-2)따라서`a=4,b=-2이므로(cid:100)(cid:100)a+b=2(cid:9000)28y=x@1xyOFy=-2A'B'BHA6333Remark사다리꼴에서삼각형의중점연결정리의응용∂AD∥∂BC인사다리꼴ABCD에서∂AB,∂CD의중점을각각M,N이라하면(cid:100)(cid:100)∂MN=;2!;(AD”+BC”)AMNDCB(001-021)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 8:54 PM 페이지8 SinsagoHitec 01 이차곡선9(cid:8833)본책42~43쪽이차곡선0111해결과정•다음그림과같이A¡,A™,y,A¡™를정하고주어진타원의다른한초점을F'이라하자.타원의정의에의하여AÚ’‘F”+AÚ‘F”'”=2¥3=6 (i=1,2,y,12)∴(A‘F”+AÚ‘F”'”)=6¥12=72(cid:8837)50% 배점그런데주어진타원은y축에대하여대칭이므로A’‘F”=AÚ‘F”'”(cid:8837)30% 배점답구하기•∴AÚ’¡’’’F”+AÚ’™F”+A’Ú£’’F”+y+A¡™”F”답구하기•=AÚ’‘F”답구하기•=;2!;¥72=36(cid:8837)20% 배점(cid:9000)3612타원의정의에의하여FP”+F'P”=10임을이용한다.`타원의정의에의하여(cid:100)(cid:100)FP”+F'P”=2¥5=10이므로(cid:100)(cid:100)FP”=10-F'P”(cid:100)(cid:100)∴AP”-FP”=AP”-(10-F'P”)=AP”+F'P”-10æAF'”-10AP”-FP”의최솟값이1이므로(cid:100)(cid:100)AF'”=11이때F'(-4,0)이므로(cid:100)(cid:100)AF'”="√16+a¤=11,(cid:100)(cid:100)16+a¤=121(cid:100)(cid:100)∴a¤=105(cid:9000)10512¡i=112¡i=112¡i=112¡i=1xyO-33-22AßA¡ºAªA•A§A∞A¢A£A™A¡A¡™F'FA¡¡9x@4y@+=1-2-112Remark주어진타원이y축에대하여대칭이므로위의그림에서초점F와F',타원위의점A™와점A§도y축에대하여대칭이다.(cid:100)(cid:100)∴AÚ’™F”=AÚ§F'”나머지점들도같은방법으로A’‘F”=AÚ‘F”'”임을알수있다.12¡i=112¡i=113타원의정의와포물선의정의를이용한다.`+=1에서'ƒ25-16=3이므로타원의초점의좌표는(3,0),(-3,0)F(3,0)이라하면타원의초점은두점F,Q이므로타원의정의에의하여(cid:100)(cid:100)PF”+PQ”=2¥5=10한편y¤=12x=4¥3x에서포물선의초점은점F이고,준선은직선x=-3이다.포물선의정의에의하여(cid:100)(cid:100)PF”=PH”(cid:100)(cid:100)∴PH”+PQ”=PF”+PQ”=10(cid:9000)1014타원의정의를이용하여삼각형AFB의넓이를b에대한식으로나타낸다.`타원+=1에서(cid:100)(cid:100)OA”=|a|, OB”=|b|, OF”=c이때삼각형OFB는직각삼각형이고,c¤=a¤-b¤이므로(cid:100)(cid:100)OA”¤=OF”¤+OB”¤=BF”¤(cid:100)(cid:100)∴OA”=BF”BF”==|b|, OF”==이므로삼각형AFB의넓이는(cid:100)(cid:100);2!;¥AF”¥OB”=;2!;(OA”+OF”`)¥OB”(cid:100)(cid:100);2!;¥AF”¥OB”=;2!;{|b|+}¥|b|(cid:100)(cid:100);2!;¥AF”¥OB”=b¤즉b¤=6'3이므로(cid:100)(cid:100)b¤=12이때OA”=BF”,즉|a|=|b|이므로(cid:100)(cid:100)a¤=;3$;b¤=16(cid:100)(cid:100)∴a¤+b¤=28(cid:9000)④2'3'32'32|b|'32'3|b|'3OB”tan;3“;2'3OB”sin;3“;y¤b¤x¤a¤xx=-3yy@=12xOQFHPx@-25+=1y@-16y¤16x¤25(001-021)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 8:54 PM 페이지9 SinsagoHitec 10정답및풀이점P에서두직선x+3y=0,x-3y=0에내린수선의발을각각A,B라하면P’A”,PB”의길이는각각점P(a,b)와두직선x+3y=0,x-3y=0사이의거리와같으므로P’A”==PB”==∴P’A”¥PB”=¥∴P’A”¥PB”=yy㉠(cid:100)(cid:100)이때점P(a,b)는쌍곡선-y¤=1위의점이므로(cid:100)(cid:100)-b¤=1(cid:100)(cid:100)∴a¤-9b¤=9yy㉡(cid:100)(cid:100)㉡을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)P’A”¥PB”=;1ª0;(cid:9000);1ª0;18문제이해•주축이x축위에있으므로쌍곡선의방정식을-=1(a>0,b>0)이라하자.주축의길이가2이므로2a=2(cid:100)(cid:100)∴a=1점근선의방정식이y=—2x이므로(cid:100)(cid:100)=2(cid:100)(cid:100)∴b=2a=2따라서쌍곡선의방정식은x¤-=1yy㉠(cid:100)(cid:100)(cid:8837)40% 배점해결과정•점P의좌표를(s,t)라하면점P는쌍곡선㉠위의점이므로(cid:100)(cid:100)s¤-=1(cid:100)(cid:100)∴t¤=4s¤-4yy㉡(cid:100)(cid:100)(cid:8837)40% 배점점A(5,0)과점P사이의거리를d라하면d="√(s-5)¤+t¤="√(s-5)¤+4s¤-4(∵㉡)d="√5s¤-10s+21="√5(s-1)¤+16(cid:8837)40% 배점t¤4y¤4bay¤b¤x¤a¤a¤9x¤9|a¤-9b¤|10|a-3b|'∂10|a+3b|'∂10|a-3b|'∂10|a-3b|"1√¤+(√-3)Ω¤|a+3b|'∂10|a+3b|"1√¤+3¤15사각형의넓이를a에대한식으로나타낸다.`타원x¤+=1에서a>1이므로두초점의좌표는(cid:100)(cid:100)(0, "√a¤-1),(0, -"√a¤-1)쌍곡선x¤-y¤=1에서"√1¤+1¤='2이므로두초점의좌표는(cid:100)(cid:100)('2, 0),(-'2, 0)위의네점을꼭짓점으로하는사각형은마름모이고넓이가12이므로(cid:100)(cid:100);2!;¥2'2¥2"√a¤-1=12(cid:100)(cid:100)"√a¤-1=3'2,(cid:100)(cid:100)a¤-1=18(cid:100)(cid:100)∴a¤=19(cid:9000)1916쌍곡선-=-1의점근선의방정식이y=—;aB;x임을이용한다.`쌍곡선x¤-3y¤=-12,즉-=-1의점근선의방정식은y=—x,즉y=—x두직선y=x,y=-x가x축의양의방향과이루는각의크기를각각h¡,h™라하면(cid:100)(cid:100)tanh¡=,(cid:100)(cid:100)tanh™=-(cid:100)(cid:100)∴h¡=;6“;, h™=;6%;p따라서두점근선이이루는예각의크기는(cid:100)(cid:100)h¡+(p-h™)=;6“;+;6“;=;3“;(cid:9000)⑤17PA”,PB”의길이는각각점P와두점근선사이의거리와같음을이용한다.`쌍곡선-y¤=1의점근선의방정식은y=—;3!;x(cid:100)(cid:100)∴x—3y=0x¤9'33'33'33'33'3322'3y¤4x¤12y¤b¤x¤a¤y¤a¤xyOy=xÂ3-3y=-xÂ3-3Ω™Ω¡(001-021)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 8:54 PM 페이지10 SinsagoHitec 01 이차곡선11(cid:8833)본책44~45쪽이차곡선01답구하기•따라서d는`s=1일때최소이고,이때의최솟값은4이므로(cid:100)(cid:100)p=1,m=4또s=1을㉡에대입하면(cid:100)(cid:100)t¤=4¥1¤-4=0(cid:100)(cid:100)∴t=0(cid:100)(cid:100)∴q=0(cid:100)(cid:100)∴p+q+m=5(cid:8837)20% 배점(cid:9000)519문제이해•-=1에서'ƒ4+12=4,x¤-=1에서'ƒ1+15=4이므로두쌍곡선의초점의좌표는(cid:100)(cid:100)(4,0),(-4,0)즉두점P,Q는두쌍곡선의초점이다.(cid:8837)30% 배점해결과정•쌍곡선의정의에의하여AQ’”-AP”=2¥2=4BQ”-BP”=2¥1=2yy㉠㉠㉠(cid:8837)30% 배점답구하기•삼각형QAB의둘레의길이가12이므로(cid:100)(cid:100)BQ”+AQ”+AB”=12(cid:100)(cid:100)BQ”+AQ”+(`BP”-AP”)=12㉠에서BQ”=BP”+2이므로(BP”+2)+(AQ”-AP”)+BP”=122BP”+6=12(cid:100)(cid:100)∴BP”=3(cid:8837)40% 배점(cid:9000)320포물선의정의를이용한다.`포물선y¤=;n{;의초점의좌표는{,0}이고,준선의방정식은x=-이다.오른쪽그림과같이두점P, Q에서준선x=-에내린수선의발을각각H,H'이라하면포물선의정의에의하여(cid:100)(cid:100)PH”=PF”=1,(cid:100)(cid:100)Q’H'”=QF”=a«14nxyO1anBQAPHH'F14n,`0{ }14nx=-14n-x-ny@=14n14ny¤15y¤12x¤4따라서점F에서두직선PH와QH'에내린수선의발을각각A,B라하면(cid:100)(cid:100)PA”=1-2¥=1-,(cid:100)(cid:100)QB”=2¥-an=-an또△FAPª△FBQ이므로(cid:100)(cid:100)PF”:QF”=PA”:QB”(cid:100)(cid:100)1:a«={1-}:{-a«}(cid:100)(cid:100){1-}a«=-a«(cid:100)(cid:100){2-}a«=,(cid:100)(cid:100)a«=(cid:100)(cid:100)∴a«=(cid:100)(cid:100)∴=(4n-1)(cid:100)(cid:100)(cid:100) =4¥-10(cid:100)(cid:100)(cid:100) =210(cid:9000)①21타원의정의를이용한다.`타원의정의에의하여(cid:100)(cid:100)FP”+F'P”=2¥7=14FP”=9이므로(cid:100)(cid:100)F'P”=14-9=5오른쪽그림에서F'H”=t(0'∂15이면(cid:100)(cid:100)a(s)>0이때쌍곡선의점근선의방정식이y=—x이므로(cid:100)(cid:100)a(s)>(cid:100)(cid:100)∴a(s)…0또는a(s)>ㄱ.㉠에서a(s)…0인정수s는2, 3의2개이다.ㄴ.>;2#;이므로a(s)=;2#;인s의값은존재하지ㄴ.않는다.ㄷ.a(s)=¶, a(s)=-¶이므로ㄱ.(cid:100)(cid:100)==0이상에서ㄱ,ㄴ,ㄷ모두옳다.(cid:9000)⑤1a(s)lims⁄'∂151a(s)lims⁄clims⁄'∂15-lims⁄'∂15+'∂112'∂112'∂112'∂112xyOF2y¤11x¤4(001-021)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 8:54 PM 페이지12 SinsagoHitec 02 평면곡선의접선13(cid:8833)본책45~57쪽평면곡선의접선02016-2x‹+x=xy¤에서(cid:100)(cid:100)3x¤+1=y¤+2xy(cid:100)(cid:100)∴=점(2,'5)에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)==이므로접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-'5=(x-2)(cid:100)(cid:100)∴y=x+이직선의x절편은-;2!;, y절편은이므로(cid:100)(cid:100)-;2!;¥=-(cid:9000)-017-1포물선x¤=8y=4¥2y위의점(4,2)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)4x=2¥2(y+2)(cid:100)(cid:100)∴y=x-2따라서구하는직선의기울기는1이고점(-2, 1)을지나므로구하는직선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-1=1¥(x+2)(cid:100)(cid:100)∴y=x+3(cid:9000)y=x+3017-2y¤=-8x에x=-2를대입하면(cid:100)(cid:100)y¤=16(cid:100)(cid:100)∴y=4또는y=-4따라서교점의좌표는(cid:100)(cid:100)(-2, 4), (-2, -4)⁄점(-2, 4)에서의접선의방정식은⁄(cid:100)(cid:100)4y=2¥(-2){x+(-2)}(cid:100)(cid:100)∴y=-x+2¤점(-2, -4)에서의접선의방정식은⁄(cid:100)(cid:100)-4y=2¥(-2){x+(-2)}(cid:100)(cid:100)∴y=x-2⁄, ¤에서구하는접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y=-x+2, y=x-2(cid:9000)y=-x+2, y=x-2018-1타원x¤+2y¤=6위의점(2,-1)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)2x+2¥(-y)=6(cid:100)(cid:100)∴y=x-3'510'510'55'55'552'552'552'553¥2¤-('5`)¤+12¥2¥'5dydx3x¤-y¤+12xydydxdydx따라서직선y=x-3에수직인직선의기울기는-1이고이직선이점(6, 1)을지나므로구하는직선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-1=-(x-6)(cid:100)(cid:100)∴y=-x+7(cid:9000)y=-x+7018-24x¤+y¤=20에x=1을대입하면(cid:100)(cid:100)4+y¤=20,(cid:100)(cid:100)y¤=16(cid:100)(cid:100)∴y=-4또는y=4따라서교점의좌표는(cid:100)(cid:100)(1, -4), (1, 4)⁄점(1, -4)에서의접선의방정식은⁄(cid:100)(cid:100)4¥1¥x+(-4)¥y=20(cid:100)(cid:100)∴x-y=5¤점(1, 4)에서의접선의방정식은⁄(cid:100)(cid:100)4¥1¥x+4y=20(cid:100)(cid:100)∴x+y=5⁄,¤에서구하는접선의방정식은(cid:100)(cid:100)x-y=5, x+y=5(cid:9000)x-y=5, x+y=5019-1쌍곡선-y¤=1위의점(2,1)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)-1¥y=1(cid:100)(cid:100)∴y=x-1따라서구하는y절편은-1이다.(cid:9000)-1019-2x¤-4y¤=-5에x=2를대입하면(cid:100)(cid:100)4-4y¤=-5,(cid:100)(cid:100)y¤=;4(;(cid:100)(cid:100)∴y=-;2#;또는y=;2#;따라서교점의좌표는(cid:100)(cid:100){2, ;2#;}, {2, -;2#;}⁄점{2, ;2#;}에서의접선의방정식은⁄(cid:100)(cid:100)2x-4¥;2#;y=-5⁄(cid:100)(cid:100)∴2x-6y=-52x2x¤2Remark타원Ax¤+By¤=C(A, B, C는상수)위의점(x¡, y¡)에서의접선의방정식을구할때에는+=1꼴로변형할필요없이Ax¤+By¤=C에x¤대신x¡x, y¤대신y¡y를대입하면된다.y¤b¤x¤a¤(001-021)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 8:54 PM 페이지13 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100)4x¡x+y¡y=12(cid:100)(cid:100)∴y=-x+직선3x-y+5=0,즉y=3x+5와평행한직선의기울기는3이므로(cid:100)(cid:100)-=3(cid:100)(cid:100)∴x¡=-;4#;y¡yy㉠(cid:100)(cid:100)이때4x¡¤+y¡¤=12이므로㉠`을대입하여정리하면(cid:100)(cid:100)y¡¤=12(cid:100)(cid:100)∴y¡=—따라서구하는직선의방정식은(cid:100)(cid:100)y=3x—'3å9(cid:9000)y=3x—'3å9021-2타원x¤+2y¤=16위의점(x¡,y¡)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)x¡x+2y¡y=16(cid:100)(cid:100)∴y=-x+접선의기울기가tan45˘=1이므로(cid:100)(cid:100)-=1(cid:100)(cid:100)∴x¡=-2y¡yy㉠(cid:100)(cid:100)이때x¡¤+2y¡¤=16이므로㉠`을대입하여정리하면(cid:100)(cid:100)6y¡¤=16(cid:100)(cid:100)∴y¡=—따라서구하는직선의방정식은(cid:100)(cid:100)y=x—2'6(cid:9000)y=x—2'6022-1쌍곡선3x¤-4y¤=12 위의점(x¡, y¡)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)3x¡x-4y¡y=12(cid:100)(cid:100)∴y=x-접선의기울기가tan120˘=-'3이므로(cid:100)(cid:100)=-'3(cid:100)(cid:100)∴x¡=-y¡yy㉠(cid:100)(cid:100)이때3x¡¤-4y¡¤=12이므로㉠`을대입하여정리하면(cid:100)(cid:100)12y¡¤=12(cid:100)(cid:100)∴y¡=—1따라서구하는직선의방정식은(cid:100)(cid:100)y=-'3x—3(cid:9000)y=-'3x—3022-2쌍곡선-=1 위의점(x¡, y¡)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)-=1(cid:100)(cid:100)∴y=x-접선의기울기가2이므로16y¡16x¡9y¡y¡y16x¡x9y¤16x¤94'333x¡4y¡3y¡3x¡4y¡2'63x¡2y¡8y¡x¡2y¡4'3å9131344x¡y¡12y¡4x¡y¡14정답및풀이¤점{2, -;2#;}에서의접선의방정식은⁄(cid:100)(cid:100)2x-4¥{-;2#;}y=-5⁄(cid:100)(cid:100)∴2x+6y=-5⁄,¤에서구하는접선의방정식은(cid:100)(cid:100)2x-6y=-5, 2x+6y=-5(cid:9000)2x-6y=-5, 2x+6y=-5020-1포물선y¤=-3x=4¥{-;4#;}x위의점(x¡, y¡)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y¡y=2¥{-;4#;}(x+x¡)(cid:100)(cid:100)∴y=-x-접선의기울기가tan60˘='3이므로(cid:100)(cid:100)-='3(cid:100)(cid:100)∴y¡=-이때y¡¤=-3x¡이므로(cid:100)(cid:100)x¡=-=-;4!;따라서구하는직선의방정식은(cid:100)(cid:100)y='3x-(cid:9000)y='3x-020-2초점의좌표가(0,1)이고준선의방정식이y=-1인포물선의방정식은(cid:100)(cid:100)x¤=4y포물선x¤=4y위의점(x¡,y¡)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)x¡x=2(y+y¡)(cid:100)(cid:100)∴y=x-y¡직선2x+y+1=0,즉y=-2x-1에평행한직선의기울기는-2이므로(cid:100)(cid:100)=-2(cid:100)(cid:100)∴x¡=-4이때x¡¤=4y¡이므로(cid:100)(cid:100)y¡==4따라서구하는직선의방정식은(cid:100)(cid:100)y=-2x-4(cid:9000)y=-2x-4021-1타원4x¤+y¤=12위의점(x¡,y¡)에서의접선의방정식은x¡¤4x¡2x¡2'34'34y¡¤3'3232y¡3x¡2y¡32y¡(001-021)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 8:54 PM 페이지14 SinsagoHitec 02 평면곡선의접선15(cid:8833)본책60~66쪽평면곡선의접선02(cid:100)(cid:100)=2(cid:100)(cid:100)∴x¡=y¡yy㉠(cid:100)(cid:100)이때-=1이므로㉠`을대입하여정리하면(cid:100)(cid:100);6∞4;y¡¤=1(cid:100)(cid:100)∴y¡=—따라서직선의방정식은(cid:100)(cid:100)y=2x—2'5이때두직선y=2x-2'5와y=2x+2'5사이의거리는직선y=2x-2'5위의점(0,-2'5)와직선y=2x+2'5, 즉2x-y+2'5=0사이의거리와같으므로(cid:100)(cid:100)==4(cid:9000)4023-1포물선x¤=8y=4¥2y위의점(x¡,y¡)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)x¡x=2¥2(y+y¡)(cid:100)(cid:100)∴x¡x=4(y+y¡)(cid:100)이직선이점(1,-1)을지나므로(cid:100)(cid:100)x¡=4(y¡-1)(cid:100)(cid:100)∴y¡=;4!;x¡+1yy㉠(cid:100)(cid:100)이때x¡¤=8y¡이므로㉠`을대입하여정리하면(cid:100)(cid:100)x¡¤-2x¡-8=0,(cid:100)(cid:100)(x¡+2)(x¡-4)=0(cid:100)(cid:100)∴x¡=-2또는x¡=4따라서x¡=-2일때y¡=;2!;,x¡=4일때y¡=2이므로구하는직선의방정식은(cid:100)(cid:100)y=-;2!;x-;2!;,y=x-2(cid:9000)y=-;2!;x-;2!;,y=x-2023-2포물선y¤=4x위의점(x¡,y¡)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y¡y=2(x+x¡)이직선이점(2, 3)을지나므로(cid:100)(cid:100)3y¡=2(x¡+2)(cid:100)(cid:100)∴x¡=;2#;y¡-2yy㉠(cid:100)(cid:100)이때y¡¤=4x¡이므로㉠`을대입하여정리하면(cid:100)(cid:100)y¡¤-6y¡+8=0,(cid:100)(cid:100)(y¡-2)(y¡-4)=0(cid:100)(cid:100)∴y¡=2또는y¡=4따라서y¡=2일때x¡=1,y¡=4일때x¡=4이므로두접선의접점은(cid:100)(cid:100)(1, 2), (4, 4)4'5'5|-(-2'5)+2'5|"√2¤+(-1)¤8'55y¡¤16x¡¤99816x¡9y¡따라서선분PQ의길이는(cid:100)(cid:100)PQ”="√(4-1)¤+(4-2)¤='1å3(cid:9000)'1å3024-1타원4x¤+y¤=4위의점(x¡, y¡)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)4x¡x+y¡y=4이직선이점(1,1)을지나므로(cid:100)(cid:100)4x¡+y¡=4(cid:100)(cid:100)∴y¡=-4x¡+4yy㉠(cid:100)(cid:100)이때4x¡¤+y¡¤=4이므로㉠`을대입하여정리하면(cid:100)(cid:100)5x¡¤-8x¡+3=0,(cid:100)(cid:100)(5x¡-3)(x¡-1)=0(cid:100)(cid:100)∴x¡=;5#;또는x¡=1따라서x¡=;5#;일때y¡=;5*;,x¡=1일때y¡=0이므로구하는접선의방정식은(cid:100)(cid:100)3x+2y=5,x=1(cid:9000)3x+2y=5,x=1024-2타원x¤+2y¤=4위의점(x¡,y¡)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)x¡x+2y¡y=4이직선이점(-4,0)을지나므로(cid:100)(cid:100)-4x¡=4(cid:100)(cid:100)∴x¡=-1yy㉠(cid:100)(cid:100)이때x¡¤+2y¡¤=4이므로㉠`을대입하면(cid:100)(cid:100)2y¡¤=3(cid:100)(cid:100)∴y¡=—따라서접선의방정식은(cid:100)(cid:100)-x—'6y=4(cid:100)(cid:100)∴x—'6y+4=0따라서a=—'6, b=4이므로(cid:100)(cid:100)a¤+b¤=6+16=22(cid:9000)22025-1쌍곡선x¤-2y¤=1위의점(x¡,y¡)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)x¡x-2y¡y=1(cid:100)(cid:100)이직선이점(-1,1)을지나므로(cid:100)(cid:100)-x¡-2y¡=1(cid:100)(cid:100)∴x¡=-2y¡-1yy㉠(cid:100)(cid:100)이때x¡¤-2y¡¤=1이므로㉠`을대입하여정리하면(cid:100)(cid:100)y¡¤+2y¡=0,(cid:100)(cid:100)y¡(y¡+2)=0(cid:100)(cid:100)∴y¡=0또는y¡=-2따라서y¡=0일때x¡=-1,y¡=-2일때x¡=3이므로구하는접선의방정식은(cid:100)(cid:100)x=-1,3x+4y=1(cid:9000)x=-1,3x+4y=1'62(001-021)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 8:54 PM 페이지15 SinsagoHitec 이므로접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-'2=-;3@;{x-}(cid:100)(cid:100)∴y=-;3@;x+2'2(cid:9000)y=-;3@;x+2'2027-2x=t¤-t+2에서(cid:100)(cid:100)=2t-1y=2t‹+at에서(cid:100)(cid:100)=6t¤+a(cid:100)(cid:100)∴=={t+;2!;}t=1에대응하는점에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)==6+a즉6+a=3이므로(cid:100)(cid:100)a=-3(cid:9000)-36+a2-1dydx6t¤+a2t-1dydtdxdtdydxdydtdxdt3'22(cid:8833)본책71~74쪽중단원연습문제010, 302-103204③05④0607208509①1011④125'2132'714-115④16①1715189'224e›e›+101음함수의미분법을이용하여를구한다.`y¤=3xy-x‹의각항을x에대하여미분하면(cid:100)(cid:100)2y=3y+3x-3x¤(cid:100)(cid:100)(3x-2y)=3x¤-3y(cid:100)(cid:100)∴=(3x+2y)yy㉠(cid:100)(cid:100)x=2를주어진식에대입하면(cid:100)(cid:100)y¤=6y-8,(cid:100)(cid:100)(y-2)(y-4)=0(cid:100)(cid:100)∴y=2또는y=43(x¤-y)3x-2ydydxdydxdydxdydxdydx16정답및풀이025-2쌍곡선x¤-4y¤=4위의점(x¡,y¡)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)x¡x-4y¡y=4이직선이점(0,1)을지나므로(cid:100)(cid:100)-4y¡=4(cid:100)(cid:100)∴y¡=-1yy㉠(cid:100)(cid:100)이때x¡¤-4y¡¤=4이므로㉠`을대입하면(cid:100)(cid:100)x¡¤=8(cid:100)(cid:100)∴x¡=—2'2따라서두접선의접점의x좌표가—2'2이므로(cid:100)(cid:100)ac=2'2¥(-2'2`)=-8(cid:9000)-8026-1⑴x=t¤+1에서(cid:100)(cid:100)=2t⑵y=2t‹-t+3에서(cid:100)(cid:100)=6t¤-1⑵에서∴==(t+0)⑵x=t¤에서(cid:100)(cid:100)=2t⑵y=t+에서(cid:100)(cid:100)=1-⑵에서∴===(cid:9000)⑴=(t+0)(cid:100)⑵=027-1x=3cosh에서(cid:100)(cid:100)=-3sinhy=2sinh에서(cid:100)(cid:100)=2cosh(cid:100)(cid:100)∴==(cid:100)(cid:100)∴=-;3@;coth(sinh+0)h=일때,(cid:100)(cid:100)x=3cos=, y=2sin='2,(cid:100)(cid:100)=-;3@;cot=-;3@;p4dydxp43'22p4p42cosh-3sinhdydhdxdhdydxdydhdxdht¤-12t‹dydx6t¤-12tdydxt¤-12t‹1-115t¤2tdydtdxdtdydx1t¤dydt1tdxdt6t¤-12tdydtdxdtdydxdydtdxdt(001-021)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 8:54 PM 페이지16 SinsagoHitec 02 평면곡선의접선17(cid:8833)본책66~71쪽평면곡선의접선02x=2, y=2를㉠`에대입하면(cid:100)(cid:100)==3x=2, y=4를㉠`에대입하면(cid:100)(cid:100)==0(cid:9000)0, 302해결과정•x¤+axy+by¤=4의각항을x에대하여미분하면(cid:100)(cid:100)2x+ay+ax+2by=0(cid:100)(cid:100)(ax+2by)=-2x-ay(cid:100)(cid:100)∴=-(ax+2by+0)(cid:8837)40% 배점점(1, 1)에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)-즉-=-;5#;이므로(cid:100)(cid:100)10+5a=3a+6b(cid:100)(cid:100)∴a-3b=-5yy㉠(cid:100)(cid:100)(cid:8837)20% 배점또점(1, 1)은주어진곡선위의점이므로(cid:100)(cid:100)1+a+b=4(cid:100)(cid:100)∴a+b=3yy㉡(cid:100)(cid:100)(cid:8837)20% 배점답구하기•㉠,㉡`을연립하면(cid:100)(cid:100)a=1, b=2(cid:100)(cid:100)∴a-b=-1(cid:8837)20% 배점(cid:9000)-103해결과정•x¤=2y=4¥;2!;y에서포물선의초점의좌표는(cid:100)(cid:100){0,;2!;}(cid:8837)20% 배점포물선x¤=2y위의점(4,8)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)4x=2¥;2!;(y+8)(cid:100)(cid:100)∴y=4x-8(cid:8837)30% 배점직선y=4x-8에수직인직선의기울기는-;4!;이고,이직선이점{0,;2!;}을지나므로(cid:100)(cid:100)y=-;4!;x+;2!;(cid:8837)30% 배점답구하기•이식에y=0을대입하면(cid:100)(cid:100)0=-;4!;x+;2!;(cid:100)(cid:100)∴x=2따라서구하는x절편은`2이다.(cid:8837)20% 배점(cid:9000)22+aa+2b2+aa+2b2x+ayax+2bydydxdydxdydxdydx3(2¤-4)3¥2-2¥4dydx3(2¤-2)3¥2-2¥2dydx04타원ax¤+by¤=c위의점(x¡,y¡)에서의접선의방정식은ax¡x+by¡y=c임을이용한다.`타원x¤+4y¤=20위의점(4,-1)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)4x+4¥(-y)=20(cid:100)(cid:100)∴y=x-5따라서오른쪽그림에서구하는넓이는(cid:100)(cid:100);2!;¥5¥5=:™2∞:(cid:9000)③05매개변수로나타낸함수의미분법을이용한다.`x=t-에서에서=1+=y=t+에서이므=1-=(cid:100)(cid:100)∴===따라서t=2일때의값은(cid:100)(cid:100)=;5#;(cid:9000)④x=t-의양변을제곱하면(cid:100)(cid:100)x¤=t¤+-2(cid:100)(cid:100)∴t¤+=x¤+2yy㉠(cid:100)(cid:100)또y=t+의양변을제곱하면(cid:100)(cid:100)y¤=t¤++2yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠을㉡`에대입하면(cid:100)(cid:100)y¤=(x¤+2)+2(cid:100)(cid:100)∴y¤=x¤+4위의식의각항을x에대하여미분하면(cid:100)(cid:100)2y=2x(cid:100)(cid:100)∴=;]{;따라서t=2일때x=2-;2!;=;2#;,y=2+;2!;=;2%;이dydxdydx1t¤1t1t¤1t¤1t2¤-12¤+1dydxt¤-1t¤+1t¤-1t¤t¤+1t¤dydtdxdtdydxt¤-1t¤1t¤dydt1tt¤+1t¤1t¤dxdt1txyO-55y=x-5-14(001-021)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 8:54 PM 페이지17 SinsagoHitec 08접선의방정식과점근선의방정식을연립하여교점의좌표를구한다.`쌍곡선y¤-x¤=5위의점(2,3)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)3y-2x=5yy㉠(cid:100)(cid:100)y¤-x¤=5에서-=-1이므로점근선의방정식은(cid:100)(cid:100)y=—x,즉y=—xyy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡`을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)x=-1,y=1또는x=5,y=5오른쪽그림과같이P(5,5),Q(-1,1)이라하면두점근선의기울기의곱이-1이므로(cid:100)(cid:100)∠POQ=;2“;OP”="√5¤+5¤=5'2,OQ”="√(-1)¤+1¤='2이므로삼각형OPQ의넓이는(cid:100)(cid:100);2!;OP”¥OQ”=;2!;¥5'2¥'2=5(cid:9000)509쌍곡선ax¤-by¤=c위의점(x¡, y¡)에서의접선의방정식은ax¡x-by¡y=c임을이용한다.`쌍곡선x¤-4y¤=a위의점(b, 1)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)bx-4y=a(cid:100)(cid:100)∴y=x-yy㉠(cid:100)(cid:100)x¤-4y¤=a에서-=1이므로점근선의방정식은(cid:100)(cid:100)y=—x,즉y=—;2!;xyy㉡(cid:100)(cid:100)이때㉠`과㉡`의한직선이수직이므로(cid:100)(cid:100)¥;2!;=-1또는¥{-;2!;}=-1b>0이므로(cid:100)(cid:100)b=8즉점(8, 1)이쌍곡선x¤-4y¤=a위의점이므로(cid:100)(cid:100)a=8¤-4¥1¤=60(cid:100)(cid:100)∴a+b=68(cid:9000)①b4b4'a2'a4y¤ax¤aa4b4xyO2P3Qy=xy=-x'5'5y¤5x¤518정답및풀이므로구하는값은(cid:100)(cid:100)=;5#;06음함수의미분법을이용하여를구한다.`e≈-e¥=e¤-1에서(cid:100)(cid:100)e≈-e¥=0(cid:100)(cid:100)∴=점(2, 0)에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)=e¤이므로접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y=e¤(x-2)(cid:100)(cid:100)∴e¤x-y-2e¤=0따라서직선e¤x-y-2e¤=0과원점사이의거리d는(cid:100)(cid:100)d==(cid:100)(cid:100)∴d¤=(cid:9000)07문제이해•포물선y¤=4x위의점P(4,4)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)4y=2(x+4)(cid:100)(cid:100)∴y=;2!;x+2위의식에y=0을대입하면(cid:100)(cid:100)0=;2!;x+2(cid:100)(cid:100)∴x=-4(cid:100)(cid:100)∴Q(-4,0)(cid:8837)30% 배점해결과정•주어진포물선의초점은F(1,0)이므로(cid:100)(cid:100)PF”="√(4-1)¤+4¤=5(cid:100)(cid:100)QF”=|1-(-4)|=5즉삼각형PQF는PF”=QF”인이등변삼각형이다.(cid:8837)40% 배점답구하기•따라서∠PFQ의이등분선은PQ”의중점{,;2$;},즉(0,2)를지나므로구하는y절편은2이다.(cid:8837)30% 배점(cid:9000)24-42xyOFQP{4,`4}-4y@=4x4e›e›+14e›e›+12e¤"√e›+1|-2e¤|"√(e¤)¤+(-1)¤dydxe≈e¥dydxdydxdydx;2#;;2%;(001-021)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 8:54 PM 페이지18 SinsagoHitec 02 평면곡선의접선19(cid:8833)본책72~73쪽평면곡선의접선0210점P에서의접선이직선x+y-2=0과평행할때,점P와직선사이의거리가최소임을이용한다.`직선x+y-2=0,즉y=-x+2의기울기가-1이므로구하는최솟값은점P에서의접선의기울기가-1일때의점P와직선x+y-2=0사이의거리와같다.점P의좌표를(x¡, y¡)이라하면포물선y¤=-4x=4¥(-1)x위의점P에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y¡y=-2(x+x¡)(cid:100)(cid:100)∴y=-x-직선의기울기가-1이므로(cid:100)(cid:100)-=-1(cid:100)(cid:100)∴y¡=2이때y¡¤=-4x¡이므로(cid:100)(cid:100)x¡=-=-1따라서접점의좌표가(-1, 2)이므로점(-1, 2)와직선x+y-2=0사이의거리는(cid:100)(cid:100)==즉구하는최솟값은이다.(cid:9000)점P의좌표를{-,a}로놓으면점P와직선x+y-2=0사이의거리는(cid:100)(cid:100)=|-;4!;(a-2)¤-1|(cid:100)(cid:100)=[;4!;(a-2)¤+1]따라서a=2일때구하는거리의최솟값은=이다.11포물선y¤=4px위의점(x¡, y¡)에서의접선의방정식은y¡y=2p(x+x¡)임을이용한다.`포물선y¤=8x=4¥2x위의점(x¡, y¡)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y¡y=4(x+x¡)'221'21'21'2a¤|-1+a-2|4"√1¤+1¤a¤4'22'22'221'2|-1+2-2|"1√¤+1¤y¡¤42y¡2x¡y¡2y¡(cid:100)(cid:100)∴y=x+yy㉠(cid:100)(cid:100)2x¤-3x+1=0에서(cid:100)(cid:100)(2x-1)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)∴x=;2!;또는x=1이때m¡=;2!;,m™=1이라하면직선l¡의기울기가;2!;이므로㉠`에서(cid:100)(cid:100)=;2!;(cid:100)(cid:100)∴y¡=8이때y¡¤=8x¡이므로(cid:100)(cid:100)x¡==8따라서직선l¡의방정식은(cid:100)(cid:100)y=;2!;x+4또직선l™의기울기가1이므로㉠`에서(cid:100)(cid:100)=1(cid:100)(cid:100)∴y¡=4이때y¡¤=8x¡이므로(cid:100)(cid:100)x¡==2따라서직선l™의방정식은(cid:100)(cid:100)y=x+2두직선l¡, l™의교점의x좌표는;2!;x+4=x+2에서(cid:100)(cid:100);2!;x=2(cid:100)(cid:100)∴x=4(cid:9000)④12직선x-y=5와평행한타원의접선의접점을구한다.`직선x-y=5,즉y=x-5의기울기는1이므로최댓값또는최솟값은타원2x¤+y¤=6에접하고기울기가1인직선의접점과직선x-y=5사이의거리와같다.타원2x¤+y¤=6위의점(x¡,y¡)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)2x¡x+y¡y=6(cid:100)(cid:100)∴y=-x+접선의기울기가1이므로(cid:100)(cid:100)-=1(cid:100)(cid:100)∴x¡=-이때2x¡¤+y¡¤=6이므로(cid:100)(cid:100);2#;y¡¤=6(cid:100)(cid:100)∴y¡=—2즉접점의좌표는(cid:100)(cid:100)(-1, 2), (1, -2)y¡22x¡y¡6y¡2x¡y¡y¡¤84y¡y¡¤84y¡4x¡y¡4y¡(001-021)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 8:54 PM 페이지19 SinsagoHitec 해결과정•이직선이점(a, -a)를지나므로(cid:100)(cid:100)-a=a+,(cid:100)(cid:100)2x¡=-ay¡-2a(cid:100)(cid:100)∴x¡=-;2A;y¡-a이때y¡¤=4x¡이므로(cid:100)(cid:100)y¡¤+2ay¡+4a=0(cid:8837)30% 배점이이차방정식의두실근을a,b라하면접선의기울기는(cid:100)(cid:100),이고두접선이수직이므로(cid:100)(cid:100)=-1(cid:100)(cid:100)∴ab=-4(cid:8837)30% 배점답구하기•한편이차방정식의근과계수의관계에의하여(cid:100)(cid:100)4a=-4(cid:100)(cid:100)∴a=-1(cid:8837)20% 배점(cid:100)(cid:100)(cid:9000)-115매개변수로나타낸함수의미분법을이용하여를n에대한식으로나타낸다.`x=t+t¤+t‹+y+t«에서(cid:100)(cid:100)=1+2t+3t¤+y+nt«—⁄(cid:100)(cid:100)∴=(1+2t+3t¤+y+ntn-1)(cid:100)(cid:100)∴=1+2+3+y+n=;Kn+!k(cid:100)(cid:100)∴=y=t+;2#;t¤+;3%;t‹+y+t«에서(cid:100)(cid:100)=1+3t+5t¤+y+(2n-1)t«—⁄(cid:100)(cid:100)∴(cid:100)(cid:100)={1+3t+5t¤+y+(2n-1)tn-1}(cid:100)(cid:100)=1+3+5+y+(2n-1)(cid:100)(cid:100)=;Kn+!(2k-1)=2¥-n(cid:100)(cid:100)=n¤(cid:100)(cid:100)∴==(cid:100)(cid:100)∴=2nn+1n¤n(n+1) 2dydtdxdtlimt⁄1dydxlimt⁄1n(n+1)2limt⁄1dydtlimt⁄1dydt2n-1nn(n+1)2limt⁄1dxdtlimt⁄1dxdtdydx4ab2b2a2x¡y¡2y¡20정답및풀이따라서오른쪽그림과같이최댓값은직선x-y=5와점(-1, 2)사이의거리와같으므로(cid:100)(cid:100)=4'2최솟값은직선x-y=5와점(1, -2)사이의거리와같으므로(cid:100)(cid:100)='2따라서구하는최댓값과최솟값의합은(cid:100)(cid:100)4'2+'2=5'2(cid:9000)5'213해결과정•초점의좌표가('2,0),(-'2,0)이므로타원의방정식을+=1(a>b>0)이라하면(cid:100)(cid:100)a¤-b¤=2yy㉠(cid:100)(cid:100)(cid:8837)20% 배점타원+=1위의점(x¡, y¡)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)+=1(cid:100)(cid:100)∴y=-x+이직선이직선y=-x+4와일치해야하므로(cid:100)(cid:100)-=-1,=4(cid:100)(cid:100)∴y¡=, x¡=y¡=¥=이때+=1이므로(cid:100)(cid:100)+=1(cid:100)(cid:100)∴a¤+b¤=16yy㉡(cid:100)(cid:100)(cid:8837)40% 배점㉠,㉡`을연립하여풀면a¤=9, b¤=7(cid:8837)20% 배점답구하기•따라서단축의길이는(cid:100)(cid:100)2b=2'7(cid:8837)20% 배점(cid:9000)2'714문제이해•포물선y¤=4x위의점(x¡, y¡)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y¡y=2(x+x¡)(cid:100)(cid:100)∴y=x+(cid:8837)20% 배점2x¡y¡2y¡b¤16a¤16y¡¤b¤x¡¤a¤a¤4b¤4a¤b¤a¤b¤b¤4b¤y¡b¤x¡a¤y¡b¤y¡b¤x¡a¤y¡y¡yb¤x¡xa¤y¤b¤x¤a¤y¤b¤x¤a¤|1+2-5|"√1¤+(-1)¤|-1-2-5|"√1¤+(-1)¤xyOx-y=5-1-221(001-021)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 8:54 PM 페이지20 SinsagoHitec 02 평면곡선의접선21(cid:8833)본책73~74쪽평면곡선의접선02(cid:100)(cid:100)∴{}==2(cid:9000)④16음함수의미분법을이용하여를구한다.`두직각삼각형AQP, BQP에서AQ”=x,BQ”=y라하면(cid:100)(cid:100)AP”="√x¤+9,BP”="√y¤+9AP”+PB”=20에서(cid:100)(cid:100)"√x¤+9+"√y¤+9=20yy㉠(cid:100)(cid:100)㉠의각항을시간t에대하여미분하면(cid:100)(cid:100)¥+¥=0(cid:100)(cid:100)∴¥+¥=0yy㉡(cid:100)(cid:100)x=4를㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)"√4¤+9+"√y¤+9=20,(cid:100)(cid:100)"√y¤+9=15(cid:100)(cid:100)y¤=216(cid:100)(cid:100)∴y=6'6(∵y>0)한편점A가점Q를출발하여직선l을따라초속1m의속력으로움직이므로(cid:100)(cid:100)=1x=4, y=6'6, =1을㉡에대입하면(cid:100)(cid:100);5$;+¥=0(cid:100)(cid:100)∴=-즉선분BQ의길이의시간에대한변화율은-이다.(cid:9000)①17쌍곡선-=1위의점(x¡, y¡)에서의접선의방정식은-=1임을이용한다.`쌍곡선-=1위의점P(4,k)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)-=1이식에y=0을대입하면kyb¤4xa¤y¤b¤x¤a¤y¡yb¤x¡xa¤y¤b¤x¤a¤'63'63dydtdydt6'615dxdtdxdtdydty"√y¤+9dxdtx"√x¤+9dydt2y2"√y¤+9dxdt2x2"√x¤+9dydx2nn+1limn⁄¶dydxlimt⁄1limn⁄¶(cid:100)(cid:100)=1(cid:100)(cid:100)∴x=점P에서의접선과x축과의교점의좌표{,0}은선분F'F를2:1로내분하는점의좌표(cid:100)(cid:100){, }, 즉(1, 0)과같으므로(cid:100)(cid:100)=1(cid:100)(cid:100)∴a¤=4즉쌍곡선-=1의두초점이F(3, 0), F'(-3, 0)이므로(cid:100)(cid:100)b¤=3¤-4=5따라서점P(4, k)가쌍곡선-=1위의점이므로(cid:100)(cid:100)4-=1(cid:100)(cid:100)∴k¤=15(cid:9000)1518점P에서의쌍곡선과타원의접선의방정식을각각구한다.`쌍곡선-y¤=1위의점P{'5,;2!;}에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)x-;2!;y=1(cid:100)(cid:100)∴y=x-2타원+=1위의점P{'5,;2!;}에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)x+y=1(cid:100)(cid:100)∴y=-x+2b¤두접선이서로수직이므로(cid:100)(cid:100)¥{-}=-1(cid:100)(cid:100)∴a¤=5b¤yy㉠(cid:100)(cid:100)또점P{'5, ;2!;}이타원위의점이므로(cid:100)(cid:100)+=1yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠`을㉡`에대입하면(cid:100)(cid:100)+=1(cid:100)(cid:100)∴b¤=;4%;따라서p=4, q=5이므로(cid:100)(cid:100)p+q=9(cid:9000)914b¤55b¤14b¤5a¤2'5b¤a¤'522'5b¤a¤12b¤'5a¤y¤b¤x¤a¤'52'54x¤4k¤5y¤5x¤4y¤b¤x¤4a¤402+12¥3+1¥(-3)2+1a¤4a¤44xa¤(001-021)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 8:54 PM 페이지21 SinsagoHitec 22정답및풀이본책81~95`쪽유제Ⅱ.평면벡터03벡터의연산028-1⑴FO≥=AB≥=a≤⑵DO≥=CB≥=-BC≥=-c≤⑶DE≥=BA≥=-AB≥=-a≤⑷AF≥=BO≥=b≤(cid:9000)풀이참조028-2AC≥와같은벡터는FD≥이고(cid:100)(cid:100)FD”="√32+32=3"2이므로(cid:100)(cid:100)»FD≥»=3"2(cid:9000)FD≥,3"2029-1⑴OF≥=OA≥+AF≥=OA≥+OE≥=a≤+b≤⑵BD≥=BO≥+OD≥=OE≥-OA≥⑵BD≥=-a≤+b≤(cid:9000)⑴a≤+b≤(cid:100)⑵-a≤+b≤029-2a≤+b≤+c≤+d≤=AB≥+BC≥+CD≥+DA≥=AC≥+CA≥=AA≥=0≤(cid:100)yy증명끝(cid:100)(cid:100)(cid:9000)풀이참조030-1⑴AE≥=AO≥+OE≥=BC≥+BO≥⑵AE≥=b≤+(-a≤+b≤)⑵AE≥=-a≤+2b≤⑵BF≥=AF≥-AB≥=BO≥-AB≥⑶BF≥=(-a≤+b≤)-a≤⑶BF≥=-2a≤+b≤(cid:9000)⑴-a≤+2b≤≤(cid:100)⑵-2a≤+b≤≤031-1⑴2(a≤+3b≤)-3(2a≤-x≤)=x≤에서⑴므로2a≤+6b≤-6a≤+3x≤=x≤⑴므로2x≤=4a≤-6b≤⑴므로∴x≤=;2!;(4a≤-6b≤)⑴므로∴x≤=2a≤-3b≤⑵3(a≤-3b≤-2x≤)-2(a≤-3c≤)=7a≤+3b≤¯에서⑴므로3a≤-9b≤-6x≤-2a≤+6c≤=7a≤+3b≤⑴므로-6x≤=6a≤+12b≤-6c≤⑴므로∴x≤=-;6!;(6a≤+12b≤-6c≤)⑴므로∴x≤=-a≤-2b≤+c≤(cid:9000)⑴2a≤-3b≤(cid:100)⑵-a≤-2b≤+c≤031-2⑴⑴㉠+㉡`을하면⑴(cid:100)(cid:100)`y≤=-a≤+b≤⑴이것을㉠에대입하면⑴(cid:100)(cid:100)x≤-(-a≤+b≤)=-2a≤⑴므로`x≤+a≤-b≤=-2a≤⑴므로∴x≤=-3a≤+b≤⑵[2x≤+`y≤=a≤-3b≤yy㉠㉠㉠x≤-3`y≤=2a≤+b≤yy㉡㉠㉠⑴㉠_3+㉡`을하면⑴(cid:100)(cid:100)7x≤=5a≤-8b≤⑴므로∴x≤=;7%;a≤-;7*;b≤⑴이것을㉠에대입하면⑴므로2{;7%;a≤-;7*;b≤}+y≤=a≤-3b≤⑴므로;;¡7º;;a≤-;;¡7§;;b≤+y≤=a≤-3b≤⑴므로∴y≤=-;7#;a≤-;7%;b≤(cid:9000)풀이참조032-1⑴(m+2)a≤+(3n-1)b≤`=4a≤-(m+3)b≤⑴에서⑴(cid:100)(cid:100)m+2=4,3n-1=-(m+3)⑴위의두식을연립하여풀면⑴이차m=2,n=-;3$;⑵(m+n-3)a≤+(mn+10)b≤=0≤에서⑴이차m+n-3=0,mn+10=0⑴이차∴m+n=3,mn=-10⑴이를만족시키는실수m, n은이차방정식x¤-3x-10=0의두실근이다.[x≤-y≤=-2a≤yy㉠㉠㉠-x≤+2y≤=a≤+b≤yy㉡㉠㉠(022-027)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:14 PM 페이지22 SinsagoHitec 03 벡터의연산23(cid:8833)본책81~96쪽벡터의연산03⑴따라서(x+2)(x-5)=0에서⑴이차x=-2또는x=5⑴이차∴[m=-2[m=5⑴이차n=5 또는n=-2(cid:9000)풀이참조⑴주어진식의우변을좌변으로이항하여⑴정리하면⑴(cid:100)(cid:100)(m-2)a≤+(m+3n+2)b≤=0≤⑴벡터가서로같을조건에의하여⑴(cid:100)(cid:100)m-2=0,m+3n+2=0⑴(cid:100)(cid:100)∴m=2,n=-;3$;033-1두벡터p≤,q≤가서로평행하려면(cid:100)(cid:100)q≤=kp≤를만족시키는0이아닌실수k가존재해야한다.p≤=ma≤+2b≤, q≤=8a≤+mb≤이므로(cid:100)(cid:100)8a≤+mb≤=k(ma≤+2b≤)=kma≤+2kb≤벡터가서로같을조건에의하여(cid:100)(cid:100)8=km,m=2km=2k를8=km에대입하면(cid:100)(cid:100)2k¤=8,(cid:100)(cid:100)k¤=4(cid:100)(cid:100)∴k=—2,m=—4(복호동순)(cid:9000)-4,4033-2두벡터p≤+q≤,q≤-r≤가서로평행하려면q≤-r≤=k(p≤+q≤)yy㉠(cid:100)(cid:100)를만족시키는0이아닌실수k가존재해야한다.세벡터p≤, q≤, r≤에대하여(cid:100)(cid:100)p≤+q≤=(a≤+b≤)+(ma≤-2b≤)(cid:100)(cid:100)p≤+q≤=(m+1)a≤-b≤(cid:100)(cid:100)q≤-r≤=(ma≤-2b≤)-(3a≤+2b≤)(cid:100)(cid:100)p¯+q¯=(m-3)a≤-4b≤이를㉠`에대입하면(cid:100)(cid:100)(m-3)a≤-4b≤=k{(m+1)a≤-b≤}=k(m+1)a≤-kb≤벡터가서로같을조건에의하여(cid:100)(cid:100)m-3=k(m+1),-4=-k위의두식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)k=4,m=-;3&;(cid:9000)-;3&;034-1서로다른세점A,B,C가한직선위에있으려면(cid:100)(cid:100)AC≥=kAB≥yy㉠(cid:100)(cid:100)를만족시키는0이아닌실수k가존재해야한다.이때(cid:100)(cid:100)AB≥=OB≥-O’A≥(cid:100)(cid:100)AB≥=(a≤+b≤)-(2a≤-b≤)(cid:100)(cid:100)AB≥=-a≤+2b≤(cid:100)(cid:100)AC≥=OC≥-OA≥(cid:100)(cid:100)AC≥≥=(-a≤+mb≤)-(2a≤-b≤)(cid:100)(cid:100)AC≥≥=-3a≤+(m+1)b≤이를㉠`에대입하면(cid:100)(cid:100)(cid:100)-3a≤+(m+1)b≤=k(-a≤+2b≤)(cid:100)(cid:100)-3a≤+(m-1)b≤=-ka≤+2kb≤벡터가서로같을조건에의하여(cid:100)(cid:100)-3=-k,m+1=2k(cid:100)(cid:100)∴k=3, m=5(cid:9000)5(cid:8833)본책96~99쪽중단원연습문제01302-;1£0;a≤+b≤-;5(;c≤03204③05D,E06③07808②093'210-b≤+'2c≤11①12;2%;13m=1,n=01415②16⑤p301해결과정•a≤-b≤+c≤=AB≥-AD≥+AC≥=AB≥+D’’A≥+AC≥=AB≥+DC≥=AB≥+AB≥=2AB≥(cid:8837)60% 배점답구하기•즉|2AB≥|=6이므로(cid:100)(cid:100)|AB≥|=3따라서정사각형의한변의길이는3이다.(cid:8837)40% 배점(cid:9000)3(022-027)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:14 PM 페이지23 SinsagoHitec 24정답및풀이02실수를계수,벡터를문자로생각하여주어진등식을다항식의연산과같은방법으로간단히한다.`2!;(a≤+4x≤)-;3!;(2b≤+x≤)=-3c≤+b≤에서(cid:100)(cid:100);2!;a≤+2x≤-;3@;b≤-;3!;x≤=-3c≤+b≤(cid:100)(cid:100);3%;x≤=-;2!;a≤+;3%;b≤-3c≤(cid:100)(cid:100)∴x≤=-;1£0;a≤+b≤-;5(;c≤(cid:9000)-;1£0;a≤+b≤-;5(;c≤03해결과정•(4m+2n)a≤+(3m-2n-5)b≤=(3m-n)a≤+(m+3n+6)b≤에서(cid:100)(cid:100)4m+2n=3m-n,3m-2n-5=m+3n+6(cid:100)(cid:100)∴m+3n=0,2m-5n-11=0(cid:8837)50% 배점위의두식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)m=3,n=-1(cid:8837)40% 배점답구하기•∴m+n=2(cid:8837)10% 배점(cid:9000)2주어진식의우변을좌변으로이항하여정리하면(cid:100)(cid:100)(m+3n)a≤+(2m-5n-11)b≤=0≤이므로벡터가서로같을조건에의하여(cid:100)(cid:100)m+3n=0,2m-5n-11=0위의식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)m=3,n=-1(cid:100)(cid:100)∴m+n=204보기에주어진벡터중k(a≤+b≤)꼴인것을찾는다.`ㄱ.2a≤-c≤=2a≤-(2a≤-b≤)=b≤ㄴ.-3a≤+c≤=-3a≤+(2a≤-b≤)=-a≤-b≤=-(a≤+b≤)ㄷ.3b≤+c≤=3b≤+(2a≤-b≤)=2a≤+2b≤=2(a≤+b≤)ㄹ.b≤-c≤=b≤-(2a≤-b≤)=-2a≤+2b≤=-2(a≤-b≤)이상에서벡터a≤+b≤와서로평행한벡터는ㄴ,ㄷ이다.(cid:9000)③05해결과정•AB≥=OB≥-O’A≥=b≤-a≤이고(cid:100)(cid:100)AC≥=OC≥-O’A≥=(2a≤-3b≤)-a≤=a≤-3b≤(cid:100)(cid:100)AD≥=OD≥-O’A≥=(4a≤-3b≤)-a≤=3a≤-3b≤(cid:100)(cid:100)AD≥=-3(b≤-a≤)(cid:100)(cid:100)AE≥=OE≥-O’A≥=(5a≤-4b≤)-a≤=4a≤-4b≤(cid:100)(cid:100)AD≥=-4(b≤-a≤)(cid:8837)70% 배점답구하기•따라서AD≥=-3AB≥, AE≥=-4AB≥이므로직선AB위의점인것은D, E이다.(cid:8837)30% 배점(cid:9000)D, E06먼저주어진조건을만족시키는점P의위치를찾은후삼각형ABC를그린다.`PB≥+PC≥=0≤에서(cid:100)(cid:100)PB≥=-PC≥즉점P는선분BC의중점이다.오른쪽그림의직각삼각형ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”=(cid:100)(cid:100)BC”=2'3(cid:100)(cid:100)∴PB”=;2!;BC”='3따라서P’A”="√2¤+('3)¤='7이므로(cid:100)(cid:100)|P’A≥|¤=P’A”¤=7(cid:9000)③07a≤,b≤,c≤를A,B,C,D를시점과종점으로하는벡터로나타낸다.`-a≤+b≤+c≤=-AB≥+BC≥+CD≥=BA≥+(BC≥+CD≥)=DE≥+BD≥=BE≥오른쪽그림과같이AD”, BE”,CF”의교점을O라하면(cid:100)(cid:100)a≤-b≤+c≤=AB≥-BC≥+CD≥=AB≥+CB≥+CD≥=AB≥+(OA≥+BO≥)=AB≥+BA≥=0≤ADBCFOE2tan30°ABPC230æ(022-027)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:14 PM 페이지24 SinsagoHitec 03 벡터의연산25(cid:8833)본책96~98쪽벡터의연산03(cid:100)(cid:100)a≤+b≤-c≤=AB≥+BC≥-CD≥=(AB≥+BC≥)+DC≥=AC≥+FA≥=FC≥따라서»-a≤+b≤+c≤»=»BE≥»=4,»a≤-b≤+c≤»=0,»a≤+b≤-c≤»=|FC≥|=4이므로구하는값은(cid:100)(cid:100)4+0+4=8(cid:9000)808주어진벡터들을ma≤+nb≤꼴로나타낸후mn<0을만족시키는벡터를찾는다.`오른쪽그림과같이x≤, y≤를정하면(cid:100)(cid:100)a≤=x≤+y≤,b≤=x≤-y≤이므로위의식을정리하면(cid:100)(cid:100)x≤=;2!;a≤+;2!;b≤,(cid:100)(cid:100)y≤=;2!;a≤-;2!;b≤(cid:100)(cid:100)∴p≤=x≤+2y≤=;2#;a≤-;2!;b≤(cid:100)(cid:100)(cid:100)q≤=2x≤-2y≤=2b≤(cid:100)(cid:100)(cid:100)r≤=-3x≤+y≤=-a≤-2b≤(cid:100)(cid:100)(cid:100)s≤=-4x≤-2y≤=-3a≤-b≤(cid:100)(cid:100)(cid:100)t≤=-2y≤=-a≤+b≤≤이때집합C의원소는ma≤+nb≤꼴로나타내었을때mn<0이어야한다.따라서집합C의원소인벡터는p≤,t≤이다.(cid:9000)②네벡터a≤,b≤,-a≤,-b≤가[그림1]과같으므로벡터ma≤+nb≤의방향을다음과같이4가지로나눌수있다.⁄m>0,n>0¤m>0,n<0‹m<0,n>0›m<0,n<0즉집합C의원소이려면[그림1]에서영역¤또는‹에있어야한다.따라서[그림2]에서집합C의원소인벡터는벡터p≤,t≤이다.p›r›s›t›q›b›a›a›b›--{ⅰ}{ⅳ}{ⅱ}{ⅲ}abprsxytq09O’A”,OB”를이웃하는두변으로하는정사각형을이용한다.`오른쪽그림과같이정사각형AOBD를그리면(cid:100)(cid:100)a≤+b≤=OD≥=2c≤이므로(cid:100)(cid:100)a≤+b≤+c≤=2c≤+c≤=3c≤(cid:100)(cid:100)∴|a≤+b≤+c≤|=|3c≤|(cid:100)(cid:100)∴|a≤+b≤+c≤|=;2#;|2c≤|=;2#;|OD≥|(cid:100)(cid:100)∴|a≤+b≤+c≤|=;2#;"2¤√+2¤(cid:100)(cid:100)∴|a≤+b≤+c≤|=3'2(cid:9000)3'210해결과정•오른쪽그림과같이O’A”,OB”를이웃하는두변으로하는정사각형을그리고나머지꼭짓점을D라하면(cid:100)(cid:100)|OD≥|='2|OB≥|이때OC≥는OD≥와방향이같고크기가|OB≥|이므로(cid:100)(cid:100)OC≥=OD≥(cid:8837)70% 배점답구하기•따라서OD≥='2OC≥이므로(cid:100)(cid:100)OA≥+OB≥='2OC≥(cid:100)(cid:100)a≤+b≤='2c≤(cid:100)(cid:100)∴a≤=-b≤+'2c≤(cid:8837)30% 배점(cid:9000)-b≤+'2c≤11반지름의길이가1인원에내접하는직각삼각형과정삼각형의성질을이용한다.`ㄱ.∠BAC=90°이면BC”는ㄱ.원O의지름이므로ㄱ.(cid:100)(cid:100)|AB≥-AC≥|=|CB≥|=CB”=2ㄴ.[반례]원에내접하는정사각형의네꼭짓점을각각A,B,D,C라하면AD”, BC”는원O의지름이므로CAOBDBCAO1'2abcABOCDAOCBDacb22[그림2][그림1](022-027)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:14 PM 페이지25 SinsagoHitec 26정답및풀이ㄱ.(cid:100)(cid:100)|AB≥+AC≥|=|AD≥|=AD”=2ㄱ.(cid:100)(cid:100)|AB≥-AC≥|=|CB≥|=CB”=2ㄱ.(cid:100)(cid:100)∴|AB≥+AC≥|=|AB≥-AC≥|ㄷ.오른쪽그림과같이△ABC가정삼각형일때,선분BC의중점을M이라하자.ㄱ.AB”,AC”를이웃하는두변으로하는평행사변형에대하여나머지꼭짓점을D라하면AB≥+AC≥=AD≥이고,AD≥=2A’M≥이므로ㄱ.(cid:100)(cid:100)|AB≥+AC≥|=2|A’M≥|ㄱ.그런데△ABC가정삼각형이므로원의중심O는△ABC의무게중심과같다.ㄱ.즉A’M”=;2#;AO”=;2#;이므로ㄱ.(cid:100)(cid:100)|AB≥+AC≥|=2A’M”ㄱ.(cid:100)(cid:100)|AB≥+AC≥|=2¥;2#;=3이상에서옳은것은ㄱ뿐이다.(cid:9000)①12점O를시점으로하는두벡터를잡아OP≥, OQ≥, OR≥를두벡터로나타낸다.`오른쪽그림과같이점O를시점으로하는두벡터a≤,b≤를잡으면(cid:100)(cid:100)OP≥=-2a≤+2b≤,OQ≥=-2a≤+4b≤,OR≥=a≤+b≤위의식을OQ≥=mOP≥+nOR≥에대입하면(cid:100)(cid:100)-2a≤+4b≤=m(-2a≤+2b≤)+n(a≤+b≤)=(-2m+n)a≤+(2m+n)b≤이때두벡터a≤,b≤는영벡터가아니고서로평행하지않으므로벡터가서로같을조건에의하여(cid:100)(cid:100)-2=-2m+n,4=2m+n위의두식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)m=;2#;,n=1(cid:100)(cid:100)∴m+n=;2%;(cid:9000);2%;OQPRabBCMAOOQ≥=OR≥+RQ≥yy`㉠(cid:100)(cid:100)이때OP≥∥RQ≥이고|RQ≥|=;2#;|OP≥|이므로(cid:100)(cid:100)RQ≥=;2#;OP≥따라서이를㉠`에대입하면(cid:100)(cid:100)OQ≥=;2#;OP≥+OR≥즉m=;2#;, n=1이므로(cid:100)(cid:100)m+n=;2%;13문제이해•서로다른세점A,B,C가한직선위에있으므로(cid:100)(cid:100)AB≥=kBC≥를만족시키는0이아닌실수k가존재한다.(cid:8837)20% 배점해결과정•세벡터OA≥, OB≥, OC≥에대하여(cid:100)(cid:100)AB≥=OB≥-O’A≥=(2a≤+b≤)-(ma≤+2b≤)=(2-m)a≤-b≤(cid:100)(cid:100)BC≥=OC≥-OB≥=(3a≤+nb≤)-(2a≤+b≤)=a≤+(n-1)b≤이므로(cid:100)(cid:100)(2-m)a≤-b≤=k{a≤+(n-1)b≤}=ka≤+k(n-1)b≤벡터가서로같을조건에의하여(cid:100)(cid:100)2-m=kyy㉠(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)-1=k(n-1)yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠`을㉡`에대입하여정리하면(cid:100)(cid:100)(m-2)(n-1)=1(cid:8837)40% 배점답구하기•m-2,n-1은정수이므로(cid:100)(cid:100)∴[m=1[m=3n=0또는n=2그런데O’A≥+OC≥이므로(cid:100)(cid:100)m=1,n=0(cid:8837)40% 배점(cid:9000)m=1,n=014문제이해•|AQ≥|==1이므로벡터AQ≥는벡터AP≥와방향이같은단위벡터이다.(cid:8837)30% 배점|AP≥||AP≥|[m-2=-1[m-2=1n-1=-1또는``n-1=1(022-027)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:14 PM 페이지26 SinsagoHitec 03 벡터의연산27(cid:8833)본책98~99쪽벡터의연산03해결과정•오른쪽그림과같이점A에서원(x-2)¤+y¤=2에그은두접선의접점을각각P¡, P™라하고,원의중심을B,∠BAP¡=h라하면(cid:100)(cid:100)sinh===;2!;(cid:100)(cid:100)∴h=(cid:8837)40% 배점답구하기•따라서∠P¡AP™=2h=이므로점Q가나타내는도형은반지름의길이가1이고중심각의크기가인부채꼴의호이므로그길이는이다.(cid:8837)30% 배점(cid:9000)15주어진네원의중심을꼭짓점으로하는사각형이마름모임을이용한다.`다음그림과같이네원C¡,C™,C£,C¢의중심을각각O¡,O™,O£,O¢라하고, 두원C£,C¢의접점을B라하자.사각형O¡O™O¢O£은한변의길이가2인마름모이고,두점A,B는각각변O¡O™,변O£O¢의중점이다.(cid:100)(cid:100)∴A’O£≥+A’O¢≥=2AB≥(cid:100)(cid:100)∴A’O£≥+A’O¢≥=2O’¡O£≥한편벡터O¢Q≥를시점이O£이되도록평행이동하였을때의종점을Q'이라하면O’£P≥+O’¢Q≥=O’£P≥+O’£Q'≥이므로(cid:100)(cid:100)AP≥+AQ≥=(A’O£≥+O’£P≥)+(A’O¢≥+O’¢Q≥)=(A’O£≥+A’O¢≥)+(O’£P≥+O’¢Q≥)=2O’¡O£≥+O’£P≥+O’£Q'≥PC£C¡C™C¢ABQQ'O¡O™O¢O£p3p3p3p3p6'22'2B’P¡”AB”xyOAP™P¡QΩB22(cid:100)(cid:100)∴|AP≥+AQ≥|…2|O’¡O£≥|+|O’£P≥|+|O’£Q'≥|=2¥2+1+1=6따라서구하는최댓값은6이다.(cid:9000)②16벡터의덧셈,뺄셈을이용하여PB≥를AP≥에대하여나타낸다.`ㄱ.P’A≥+PB≥+PC≥=AC≥에서ㄱ.에서P’A≥+PB≥+PC≥=PC≥-P’A≥ㄱ.에서∴P’A≥+PB≥=AP≥ㄴ.ㄱ에서P’A≥+PB≥=AP≥이므로ㄱ.에서PB≥=AP≥-P’A≥=AP≥+AP≥=2AP≥ㄷ.ㄴ에서PB≥=2AP≥≥,즉ㄷ.PB≥=-2PA≥이므로오른쪽그림과같이점P는변AB를1:2로내분하는점이다.ㄱ.(cid:100)(cid:100)∴△ACP:△BCP=PA”:PB”=1:2이상에서ㄱ,ㄴ,ㄷ모두옳다.(cid:9000)⑤ABCPRemark두벡터a≤,b≤에대하여(cid:100)(cid:100)|a≤+b≤|…|a≤|+|b≤|(022-027)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:14 PM 페이지27 SinsagoHitec 28정답및풀이본책106~116`쪽유제Ⅱ.평면벡터04평면벡터의성분035-1두점P,Q의위치벡터를각각p≤,q≤라하면p≤==,q≤==2a≤-b≤따라서선분PQ의중점의위치벡터를m≤이라하면m≤==m≤=m≤=(cid:9000)035-2A’M”이△ABC의중선이므로점M은선분BC의중점이다.즉(cid:100)(cid:100)A’M≥=;2!;(AB≥+AC≥)=;2!;(a≤+b≤)이므로(cid:100)(cid:100)AG≥=;3@;A’M≥=;3!;a≤+;3!;b≤(cid:100)(cid:100)∴CG≥=A’G≥-AC≥(cid:100)(cid:100)∴CG≥=;3!;a≤+;3!;b≤-b≤=;3!;a≤-;3@;b≤따라서m=;3!;,n=-;3@;이므로(cid:100)(cid:100)m+n=-;3!;(cid:9000)-;3!;CA≥=-b≤,C’M≥=;2!;CB≥=;2!;(a≤-b≤)이때점G는A’M”을2:1로내분하는점이므로(cid:100)(cid:100)CG≥==;3!;CA≥+;3@;C’M≥(cid:100)(cid:100)CN≥=-;3!;b≤+;3!;(a≤-b≤)=;3!;a≤-;3@;b≤따라서m=;3!;,n=-;3@;이므로(cid:100)(cid:100)m+n=-;3!;2CM≥+CA≥≤2+16a≤-b≤56a≤-b≤52a≤+3b≤+10a≤-5b≤102a≤+3b≤11124+2a≤-b≤52p≤+q≤2b≤-2a≤1-22a≤+3b≤53b≤+2a≤3+2036-1조건을만족시키는점P가나타내는도형은선분AB이다.따라서구하는도형의길이는AB”="√(2-3)¤+√(3-2)¤='2(cid:9000)'2036-2조건을만족시키는점P가나타내는도형은오른쪽그림과같이△ABC의내부와그둘레이다.따라서구하는도형의넓이는△ABC=;2!;AB”¥AC”sin60°△ABC=;2!;¥4¥3¥△ABC=3'3(cid:9000)3'3037-1⑴3(-2a≤+b≤)-a≤=-6a≤+3b≤-a≤=-7a≤+3b≤=-7(2,3)+3(3,-2)=(-14+9,-21-6)=(-5,-27)⑵5a≤-2(a≤+3b≤)=5a≤-2a≤-6b≤⑵5a≤-2(a≤+3b≤)=3a≤-6b≤⑵5a≤-2(a≤+3b≤)=3(2,3)-6(3,-2)⑵5a≤-2(a≤+3b≤)=(6-18,9+12)⑵5a≤-2(a≤+3b≤)=(-12,21)(cid:9000)⑴(-5,-27)⑵(-12,21)037-2⑴p≤=ka≤+hb≤(k,h는실수)라하면⑴하면(3,4)=k(1,-2)+h(-1,0)⑴하면(3,4)=(k-h,-2k)⑴벡터가서로같을조건에의하여⑴하면3=k-h,4=-2k⑴위의두식을연립하여풀면⑴하면k=-2, h=-5⑴하면∴p≤=-2a≤-5b≤⑵q≤=ka≤+hb≤(k,h는실수)라하면⑴하면(0,1)=k(1,-2)+h(-1,0)⑴하면(0,1)=(k-h,-2k)'32CAB4360æRemarkm≤==이므로선분PQ의중점은선분AB를1:6으로외분하는점과같다.b≤-6a≤1-66a≤-b≤5(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지28 SinsagoHitec 04 평면벡터의성분29(cid:8833)본책106~117`쪽평면벡터의성분04⑴벡터가서로같을조건에의하여⑴하면0=k-h, 1=-2k⑴위의두식을연립하여풀면⑴하면k=-;2!;, h=-;2!;⑴하면∴q≤=-;2!;a≤-;2!;b≤(cid:9000)⑴-2a≤-5b≤(cid:100)⑵-;2!;a≤-;2!;b≤037-3a≤+b≤=(2,1)+(-3,2)=(-1,3)(cid:100)(cid:100)ka≤+(1-k)b≤=k(2,1)+(1-k)(-3,2)=(5k-3,2-k)두벡터a≤+b≤와ka≤+(1-k)b≤가서로평행하면(cid:100)(cid:100)ka≤+(1-k)b≤=m(a≤+b≤)를만족시키는0이아닌실수m이존재하므로(cid:100)(cid:100)(5k-3, 2-k)=m(-1, 3)=(-m, 3m)벡터가서로같을조건에의하여(cid:100)(cid:100)5k-3=-m, 2-k=3m위의두식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)m=;2!;, k=;2!;(cid:9000);2!;038-1점B의좌표를(x,y)라하면(cid:100)(cid:100)AB≥=(x+1,y-4)p≤=AB≥이므로(cid:100)(cid:100)(2,-3)=(x+1,y-4)벡터가서로같을조건에의하여(cid:100)(cid:100)2=x+1, -3=y-4(cid:100)(cid:100)∴x=1, y=1따라서점B의좌표는(1,1)이다.(cid:9000)B(1,1)039-1점P의좌표를(x,y)라하면(cid:100)(cid:100)AP≥=(x+2,y-1), BP≥=(x-4,y+3)⑴|AP≥|=|BP≥|이므로⑴므로"(√x+2√)¤+√(y-ç1)Ω¤="(√x-4√)¤+√(y+ç3)Ω¤⑴양변을제곱하여정리하면⑴므로3x-2y-5=0⑵|AP≥|=2|BP≥|이므로⑴므로"(√x+2√)¤+√(y-ç1)Ω¤=2"(√x-4√)¤+√(y+ç3)Ω¤⑴양변을제곱하여정리하면⑴므로3x¤+3y¤-36x+26y+95=0(cid:9000)풀이참조Remark⑴`에서점P의자취는선분AB의수직이등분선이고,⑵`에서점P의자취는선분AB를2:1로내분하는점과외분하는점을지름의양끝점으로하는원(아폴로니오스의원)이다.(cid:8833)본책117~119쪽중단원연습문제01-;6!;a≤-;6!;b≤02③03;3@;04+=105;5!;06③07'∂2908②09AB≥=(5,-'3),|AB≥|=2'710P(1, 3)113312⑤13③y¤5x¤901해결과정•점M이√BC의중점이므로AM≥=;2!;(AB≥+AC≥)=;2!;(a≤+b≤)(cid:8837)30% 배점이때점G가△ABC의무게중심이므로점G는√AM을2:1로내분한다.(cid:100)(cid:100)∴GM≥=;3!;AM≥=;6!;a≤+;6!;b≤(cid:8837)50% 배점답구하기•∴MG≥=-GM≥답구하기•∴MG≥=-;6!;a≤-;6!;b≤(cid:8837)20% 배점(cid:9000)-;6!;a≤-;6!;b≤02벡터a≤와방향이같은벡터는양수k에대하여ka≤로놓을수있다.`2a≤-b≤+c≤=2(1, -1)-(2, 4)+(3, 3)=(3, -3)이므로2a≤-b≤+c≤와방향이같은벡터p≤를(cid:100)(cid:100)p≤=k(2a≤-b≤+c≤)=k(3, -3)=(3k, -3k)(k는양수)로놓을수있다.이때|p≤|=2이므로(cid:100)(cid:100)"(√3k)¤√+(√-3kΩ≈)Ω¤=2,므로3'2k=2(cid:100)(cid:100)∴k='23(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지29 SinsagoHitec 30정답및풀이따라서p≤=('2,-'2)이므로(cid:100)(cid:100)x='2,y=-'2(cid:100)(cid:100)∴x-y=2'2(cid:9000)③03두벡터a≤,b≤가서로평행하면a≤=kb≤를만족시키는0이아닌실수k가존재함을이용한다.`a≤-b≤≤=(-1,3)-(-2,-3)=(1,6)a≤+mc≤=(-1,3)+m{3,;2(;}`a≤+mc≤={-1+3m,3+;2(;m}이때두벡터a≤-b≤,a≤+mc≤가서로평행하면(cid:100)(cid:100)a≤+mc≤=k(a≤-b≤)를만족시키는0이아닌실수k가존재하므로(cid:100)(cid:100){-1+3m,3+;2(;m}=k(1,6)=(k,6k)벡터가서로같을조건에의하여(cid:100)(cid:100)-1+3m=k,3+;2(;m=6k위의두식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)m=;3@;,k=1(cid:9000);3@;04점P의좌표를(x,y)라하고,주어진조건을이용하여x,y사이의관계식을구한다.`점P의좌표를(x,y)라하면(cid:100)(cid:100)AP≥=(x+2,y),BP≥=(x-2,y)|AP≥|+|BP≥|=6이므로(cid:100)(cid:100)"(√x+2√)¤+≈yΩ¤+"(√x-2√)¤+≈yΩ¤=6(cid:100)(cid:100)"(√x+2√)¤+≈yΩ¤=6-"(√x-2√)¤+≈yΩ¤양변을제곱하여정리하면(cid:100)(cid:100)3"(√x-2√)¤+≈yΩ¤=-2x+9다시양변을제곱하여정리하면(cid:100)(cid:100)5x¤+9y¤=45(cid:100)(cid:100)∴+=1(cid:9000)+=1|AP≥|+|BP≥|=6에서AP”+BP”=6이므로점P는두점A,B에서의거리의합이6인점이다.따라서점P의자취는오른쪽그림과같이두점A, B를초점으로하고장축의길이가6인타원이므로(cid:100)(cid:100)+=1y¤5x¤9xyOABP-2-323-Â5Â5y¤5x¤9y¤5x¤905해결과정•평행사변형ABCD에서(cid:100)(cid:100)AC≥=AB≥+AD≥yy㉠(cid:100)(cid:100)변BC의중점이M이므로(cid:100)(cid:100)AM≥=(cid:100)(cid:100)∴AB≥=2AM≥-AC≥yy㉡(cid:100)(cid:100)변CD를2:1로내분하는점이N이므로(cid:100)(cid:100)AN≥=(cid:100)(cid:100)∴AD≥=;2#;AN≥-;2!;AC≥yy㉢(cid:100)(cid:100)㉡,㉢을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)AC≥=2AM≥-AC≥+;2#;AN≥-;2!;AC≥(cid:100)(cid:100);2%;AC≥=2AM≥+;2#;AN≥(cid:100)(cid:100)∴AC≥=;5$;AM≥+;5#;AN≥(cid:8837)80% 배점답구하기•따라서x=;5$;,y=;5#;이므로(cid:100)(cid:100)x-y=;5!;(cid:8837)20% 배점(cid:9000);5!;06세점O,A,B에대하여OP≥=mOA≥+nOB≥(0…m+n…1,mæ0,næ0)를만족시키는점P의자취는삼각형OAB의내부와그둘레임을이용한다.`OP≥=m(2OA≥)+n(3OB≥)이므로두벡터2OA≥,3OB≥의종점을각각A',B'이라하면조건을만족시키는점P가나타내는도형은△OA'B'의내부와그둘레이다.이때(cid:100)(cid:100)O’A'≥=2OA≥=2(2,1)(cid:100)(cid:100)O’A'≥=(4,2)(cid:100)(cid:100)OB'≥=3OB≥=3(1,2)=(3,6)따라서구하는도형의넓이는(cid:100)(cid:100)△OA'B'(cid:100)=4_6-;2!;(4_2+3_6+1_4)(cid:100)=9(cid:9000)③yOABB'A'1122634x2AD≥+AC≥3AB≥+AC≥2(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지30 SinsagoHitec 04 평면벡터의성분31(cid:8833)본책117~119쪽평면벡터의성분0407해결과정•a≤=b≤에서(cid:100)(cid:100)(x+3, 2y-1)=(1-y, -10-3x)벡터가서로같을조건에의하여(cid:100)(cid:100)x+3=1-y, 2y-1=-10-3x(cid:100)(cid:100)∴x+y=-2, 3x+2y=-9(cid:8837)50% 배점위의두식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)x=-5, y=3(cid:8837)20% 배점답구하기•따라서a≤=(-2, 5)이므로(cid:100)(cid:100)|a≤|="√(-2)¤+5¤='∂29(cid:8837)30% 배점(cid:9000)'∂2908두벡터a≤, b≤가서로평행하면a≤=mb≤를만족시키는0이아닌실수m이존재함을이용한다.AB≥=(4,-1)-(3,2)=(1,-3)두벡터AB≥와p≤가서로평행하면(cid:100)(cid:100)p≤=mAB≥를만족시키는0이아닌실수m이존재하므로(cid:100)(cid:100)(4+2k,-1+5k)=m(1,-3)=(m,-3m)벡터가서로같을조건에의하여(cid:100)(cid:100)4+2k=m, -1+5k=-3m위의두식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)k=-1, m=2(cid:9000)②09두점A, B의좌표를구한다.16`개의정삼각형의한변의길이가2이므로(cid:100)(cid:100)A(2,2'3),B(7,'3)(cid:100)(cid:100)∴AB≥=(7, '3)-(2, 2'3)=(5,-'3)(cid:100)(cid:100)|AB≥|="√5¤+(-'3)¤(cid:100)(cid:100)|AB≥|=2'7(cid:9000)AB≥=(5,-'3),|AB≥|=2'710구하는점의좌표를(x, y)라하고각각의벡터를성분으로나타낸다.`점P의좌표를(x, y)라하면(cid:100)(cid:100)PA≥=(-2-x, 6-y), PB≥=(1-x, -2-y),(cid:100)(cid:100)PC≥=(4-x, 5-y)(cid:100)(cid:100)∴PA≥+PB≥+PC≥=(-2-x, 6-y)+(1-x, -2-y)+(4-x, 5-y)=(3-3x, 9-3y)이때PA≥+PB≥+PC≥=0≤이므로(cid:100)(cid:100)(3-3x, 9-3y)=(0, 0)벡터가서로같을조건에의하여(cid:100)(cid:100)3-3x=0, 9-3y=0(cid:100)(cid:100)∴x=1, y=3따라서점P의좌표는(1, 3)이다.(cid:9000)P(1, 3)11선분AD의내분점의위치벡터를이용한다.`선분AD를2:1로내분하는점을Q라하면(cid:100)(cid:100)PQ≥=(cid:100)(cid:100)∴|PA≥+2PD≥|=3|PQ≥|따라서선분PQ의길이가최소일때|PA≥+2PD≥|가최소이다.오른쪽그림과같이점P가점Q에서선분BC에내린수선의발일때PQ”의길이가최소이고,이때QP”와AC”의교점을R라하자.AQ”:AD”=2:3이므로(cid:100)(cid:100)QR”=12¥;3@;=8PC”:BC”=1:3이므로(cid:100)(cid:100)RP”=9¥;3!;=3(cid:100)(cid:100)∴PQ”=QR”+RP”=11따라서|PQ≥|æ11이므로|PA≥+2PD≥|의최솟값은(cid:100)(cid:100)3_11=33(cid:9000)3312두점A,B의위치벡터를각각a≤,b≤라할때,선분AB를m:n(m>0,n>0)으로내분하는점의위치벡터는임을이용한다.`5AP≥+3BP≥+4CP≥=0≤에서(cid:100)(cid:100)5AP≥=-3BP≥-4CP≥=3PB≥+4PC≥(cid:100)(cid:100)∴;7%;AP≥=이때=PD≥라하면점D는선분BC를4:3으로내분하는점이다.또;7%;AP≥=PD≥에서5AP≥=7PD≥이므로(cid:100)(cid:100)|AP≥|:|PD≥|=AP”:PD”=7:5즉점P는선분AD를7:5로내분하는점이다.3PB≥+4PC≥3+43PB≥+4PC≥3+4mb≤+na≤m+n912ADQRCPBPA≥+2PD≥3(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지31 SinsagoHitec 32정답및풀이따라서오른쪽그림과같이△ABC에서(cid:100)(cid:100)BD”=4m,DC”=3m,(cid:100)(cid:100)AP”=7n,PD”=5n이라하면(cid:100)(cid:100)△PAB=;1¶2;_△ABD(cid:100)(cid:100)△PAB=;1¶2;_;7$;_△ABC=;3!;△ABC(cid:100)(cid:100)△PBC=;1∞2;△ABC(cid:100)(cid:100)△PCA=;1¶2;_△ADC=;1¶2;_;7#;_△ABC(cid:100)(cid:100)△PCA=;4!;△ABC(cid:100)(cid:100)∴△PAB:△PBC:△PCA(cid:100)(cid:100)=;3!;△ABC:;1∞2;△ABC:;4!;△ABC(cid:100)(cid:100)=4:5:3(cid:9000)⑤13AB≥=(m>0,n>0)일때,점B는선분PO를m：n으로내분하는점임을이용한다.`AB≥=;4!;AO≥+;4#;AP≥=이므로점B는선분OP를3:1로내분하는점이다.오른쪽그림과같은원뿔의전개도에서L은선분AA'이므로선분OA와선분OA'을3:1로내분하는점을각각X,X'이라하면점B의자취는선분XX'이다.부채꼴OAA'의중심각의크기를h라하면(cid:100)(cid:100)μAA'=24h=2p_8(cid:100)(cid:100)∴h=;3@;p이때△OAA'은이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠OAA'=;2!;{p-;3@;p}=;6“;따라서점O에서√AA'에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)√AA'=2√AH=2¥24cos;6“;=2¥24¥=24'3(cid:100)(cid:100)∴X’X'”=;4#;A’A'”=18'3따라서구하는자취의길이는18'3이다.(cid:9000)③'32OAA'PBXX'8Ω3AP≥+AO≥4mAO≥+nAP≥m+nABCPD4m3m5n7n본책123~147`쪽유제Ⅱ.평면벡터05평면벡터의내적040-1AB≥+BC≥=AC≥, DE≥+EF≥=DF≥이고(cid:100)(cid:100)|AC≥|=|DF≥|=2ƒABcos30°='3또AC≥와DF≥는방향이반대이므로두벡터가이루는각의크기는p이다.(cid:100)(cid:100)∴(AB≥+BC≥)¥(DE≥+EF≥)(cid:100)(cid:100)=AC≥¥DF≥(cid:100)(cid:100)=|AC≥||DF≥|cosp(cid:100)(cid:100)='3_'3_(-1)=-3(cid:9000)-3041-1a≤+b≤=(-1,3)+(2,1)=(1,4)이므로(cid:100)(cid:100)a≤¥(a≤+b≤)=(-1,3)¥(1,4)=(-1)_1+3_4=11(cid:9000)11041-2점P의좌표를(m,2m¤)이라하면(cid:100)(cid:100)AP≥=(m,2m¤)-(-3,2)=(m+3,2m¤-2)(cid:100)(cid:100)AB≥=(1,3)-(-3,2)=(4,1)이므로(cid:100)(cid:100)AP≥¥AB≥=(m+3, 2m¤-2)¥(4, 1)=4(m+3)+2m¤-2=2m¤+4m+10=2(m+1)¤+8따라서`AP≥¥AB≥는m=-1,즉`P(-1,2)일때최솟값8을갖는다.(cid:9000)8042-1a≤¥b≤=(6, 8)¥(1, x)=6+8x즉6+8x=-50이므로(cid:100)(cid:100)x=-7따라서두벡터가이루는각의크기를h라하면(cid:100)(cid:100)cosh==(cid:100)(cid:100)cosh=-(cid:100)(cid:100)∴h=;4#;p(cid:9000);4#;p1'2-50"√6¤+8¤"√1¤+(-7)¤a≤≤¥b≤≤|a≤≤||b≤≤|(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지32 SinsagoHitec 05 평면벡터의내적33(cid:8833)본책119~142쪽043-1b≤와c≤가서로수직이면b≤≤¥c≤=0이므로(cid:100)(cid:100)(4, 6)¥(3, y)=0,(cid:100)(cid:100)12+6y=0(cid:100)(cid:100)∴y=-2a≤와c≤가서로평행하면(cid:100)(cid:100)a≤=kc≤를만족시키는0이아닌실수k가존재하므로(cid:100)(cid:100)(x, 4)=k(3, -2)=(3k, -2k)벡터가서로같을조건에의하여(cid:100)(cid:100)x=3k, 4=-2k(cid:100)(cid:100)∴k=-2, x=-6(cid:9000)x=-6, y=-2044-1|a≤-3b≤|¤=(a≤-3b≤)¥(a≤-3b≤)|a≤-3b≤|¤=a≤¥a≤-6a≤¥b≤+9b≤¥b≤|a≤-3b≤|¤=|a≤|¤-6a≤¥b≤+9|b≤|¤|a≤+3b≤|¤=(a≤+3b≤)¥(a≤+3b≤)|a≤+3b≤|¤=a≤¥a≤+6a≤¥b≤+9b≤¥b≤|a≤+3b≤|¤=|a≤|¤+6a≤¥b≤+9|b≤|¤이므로(cid:100)(cid:100)|a≤-3b≤|¤+|a≤+3b≤|¤=2|a≤|¤+18|b≤|¤(cid:100)(cid:100)|a≤-3b≤|¤+|a≤+3b≤|¤=2_2¤+18_1¤(cid:100)(cid:100)|a≤-3b≤|¤+|a≤+3b≤|¤=26(cid:9000)26044-2|2a≤-b≤|¤=(2a≤-b≤)¥(2a≤-b≤)|2a≤-b≤|¤=4a≤¥a≤-4a≤¥b≤+b≤¥b≤|2a≤-b≤|¤=4|a≤|¤-4a≤¥b≤+|b≤|¤이므로(cid:100)(cid:100)7¤=4_4¤-4a≤¥b≤+5¤(cid:100)(cid:100)4a≤¥b≤=40(cid:100)(cid:100)∴a≤¥b≤=10(cid:9000)10045-1AB≥=(-1, 2)-(1, -1)=(-2, 3), AC≥=(3, 4)-(1, -1)=(2, 5)이므로(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;|(-2)_5-3_2|=8(cid:9000)8046-14(x+1)=3(y-4)에서(cid:100)(cid:100)=이므로구하는직선의방향벡터를u≤라하면(cid:100)(cid:100)u≤=(3, 4)따라서구하는직선의방정식은(cid:100)(cid:100)=(cid:9000)=y+14x-13y+14x-13y-44x+134(x+1)=3(y-4)에서(cid:100)(cid:100)4x-3y+16=0이므로구하는직선의법선벡터를n≤이라하면(cid:100)(cid:100)n≤=(4, -3)따라서구하는직선의방정식은(cid:100)(cid:100)4(x-1)-3(y+1)=0(cid:100)(cid:100)∴4x-3y-7=0046-2주어진직선의방향벡터를u≤라하면(cid:100)(cid:100)u≤=(-3, 4)구하는직선은주어진직선에수직이므로법선벡터가u≤이다.따라서구하는직선의방정식은(cid:100)(cid:100)-3(x-2)+4(y+3)=0(cid:100)(cid:100)∴3x-4y-18=0(cid:9000)3x-4y-18=0047-1⑴두직선l,m의방향벡터를각각u≤,v≤라하면(cid:100)(cid:100)u≤=(2, 3), v≤=(5, 1)이므로두직선이이루는각의크기를h라하면⑵(cid:100)(cid:100)cosh==⑵(cid:100)(cid:100)cosh==⑵(cid:100)(cid:100)∴h=;4“;⑵두직선l,m의방향벡터를각각u≤,v≤라하면⑵(cid:100)(cid:100)u≤=(2, '3`), v≤=('3, 5)이므로두직선이이루는각의크기를h라하면⑵(cid:100)(cid:100)cosh==⑵(cid:100)(cid:100)cosh==⑵(cid:100)(cid:100)∴h=;6“;(cid:9000)⑴;4“;(cid:100)⑵;6“;047-2두직선l,m의방향벡터를각각u≤,v≤라하면(cid:100)(cid:100)u≤=(-k, 1), v≤=(3, k)두직선이이루는각의크기가;3“;이므로(cid:100)(cid:100)=cos;3“;|u≤≤¥v≤≤||u≤≤||v≤≤|'327'3'7'∂28|2_'3+'3_5|øπ2¤+('3`)¤øπ('3`)¤+5¤|u≤≤¥v≤≤||u≤≤||v≤≤|1'213'∂13'∂26|2_5+3_1|"√2¤+3¤"√5¤+1¤|u≤≤¥v≤≤||u≤≤||v≤≤|평면벡터의내적05(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지33 SinsagoHitec 34정답및풀이(cid:100)(cid:100)=;2!;(cid:100)(cid:100)4k="√(k¤+1)(k¤+9)양변을제곱하여정리하면(cid:100)(cid:100)k›-6k¤+9=0(cid:100)(cid:100)(k¤-3)¤=0,(cid:100)(cid:100)k¤=3(cid:100)(cid:100)∴k='3(∵k>0)(cid:9000)'3048-1x-1=-ky에서(cid:100)(cid:100)=y주어진두직선l,m의방향벡터를각각u≤, v≤라하면(cid:100)(cid:100)u≤=(-2, 5), v≤=(-k, 1)두직선이서로수직이므로(cid:100)(cid:100)u≤¥v≤=0(cid:100)(cid:100)2k+5=0(cid:100)(cid:100)∴k=-;2%;(cid:9000)-;2%;048-2주어진두직선l,m의방향벡터를각각u≤,v≤라하면(cid:100)(cid:100)u≤=(2, k+1), v≤=(k, 4)두직선이서로평행하므로(cid:100)(cid:100)u≤=tv≤(t는실수)라하면(cid:100)(cid:100)(2, k+1)=t(k, 4)(cid:100)(cid:100)∴2=kt, k+1=4t위의식에서t를소거하면;k@;=이므로(cid:100)(cid:100)k(k+1)=8(cid:100)(cid:100)∴k¤+k-8=0따라서이차방정식의근과계수의관계에의하여구하는실수k의값의곱은-8이다.(cid:9000)-8049-1점P의좌표를(x, y)라하면(cid:100)(cid:100)AP≥=(x-5, y-2),BP≥=(x+1, y-4)AP≥¥BP≥=0에서(cid:100)(cid:100)(x-5, y-2)¥(x+1, y-4)=0(cid:100)(cid:100)(x-5)(x+1)+(y-2)(y-4)=0(cid:100)(cid:100)x¤-4x-5+y¤-6y+8=0(cid:100)(cid:100)∴(x-2)¤+(y-3)¤=10따라서점P가나타내는도형은중심의좌표가(2, 3)이고반지름의길이가'∂10인원이므로구하는도형의k+14x-1-k|-3k+k|"√(-k)¤+1¤ "√3¤+k¤둘레의길이는(cid:100)(cid:100)2p_'∂10=2'∂10p(cid:9000)2'∂10pAP≥¥BP≥=0에서∠APB=90˘이므로점P가나타내는도형은두점A, B를지름의양끝점으로하는원이다.AB”="√(-1-5)¤√+(4-2)¤=2'∂10이므로구하는도형의둘레의길이는2'∂10p이다.049-2점P의좌표를(x, y)라하면p≤=(x, y)이므로(cid:100)(cid:100)p≤-a≤=(x-3, y-1), p≤-b≤=(x+1, y-5)(p≤-a≤)¥(p≤-b≤)=0에서(cid:100)(cid:100)(x-3, y-1)¥(x+1, y-5)=0(cid:100)(cid:100)(x-3)(x+1)+(y-1)(y-5)=0(cid:100)(cid:100)x¤-2x-3+y¤-6y+5=0(cid:100)(cid:100)∴(x-1)¤+(y-3)¤=8따라서점P가나타내는도형은중심의좌표가(1, 3)이고반지름의길이가'8=2'2인원이므로구하는도형의넓이는(cid:100)(cid:100)p_(2'2)¤=8p(cid:9000)8p(cid:8833)본책148~151쪽중단원연습문제01벡터의내적을성분으로나타낸다.`a≤¥b≤=(x, -3)¥(x+4, 4)=x¤+4x-12=(x+2)¤-16따라서a≤¥b≤는x=-2일때최솟값-16을갖는다.(cid:9000)①02해결과정•두벡터BA≥, BC≥가이루는각의크기를h라하면01①02403②04③050607108②09;3“;10;3!;11④12③13142p15716172'525'714'∂1010Remark이차방정식k¤+k-8=0의판별식을D라하면(cid:100)(cid:100)D=1¤-4_1_(-8)=33>0이므로서로다른두개의실근을갖는다.(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지34 SinsagoHitec 05 평면벡터의내적35(cid:8833)본책144~149쪽(cid:100)(cid:100)cosh==(cid:100)(cid:100)cosh=;3!;(cid:8837)40% 배점(cid:100)(cid:100)∴sinh="√1-cos¤h=æ≠1-{;3!;}¤(cid:100)(cid:100)∴sinh=(cid:8837)30% 배점답구하기•∴(cid:8772)ABCD=AB”_BC”sinh답구하기•∴(cid:8772)ABCD='2_3_답구하기•∴(cid:8772)ABCD=4(cid:8837)30% 배점(cid:9000)4|BA≥|='2,|BC≥|=3, BA≥¥BC≥='2이므로(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;ø|πBA≥|π¤|BπC≥|¤π-(πBA≥π¥B∑C≥μ)¥¤(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;"√('2)¤_3¤-('2)¤=2(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABCD=2△ABC=403p≤⊥q≤이면p≤¥`q≤=0임을이용한다.`두벡터a≤와a≤+tb≤가서로수직이므로(cid:100)(cid:100)a≤¥(a≤+tb≤)=0(cid:100)(cid:100)|a≤|¤+t(a≤¥b≤)=0(cid:100)(cid:100)2¤+2t=0(cid:100)(cid:100)∴t=-2(cid:9000)②04|a≤-3b≤|='1ß3의양변을제곱한다.`|b≤|=1이고,두벡터a≤,b≤가이루는각의크기가60°이므로(cid:100)(cid:100)a≤¥b≤=|a≤||b≤|cos60°(cid:100)(cid:100)a≤¥b≤=|a≤|_1_;2!;=;2!;|a≤||a≤-3b≤|='1ß3의양변을제곱하면(cid:100)(cid:100)|a≤-3b≤|¤=13,(cid:100)(cid:100)(a≤-3b≤)¥(a≤-3b≤)=13(cid:100)(cid:100)∴|a≤|¤-6a≤¥b≤+9|b≤|¤=13이때a≤¥b≤=;2!;|a≤|이므로(cid:100)(cid:100)|a≤|¤-6_;2!;|a≤|+9=13(cid:100)(cid:100)|a≤|¤-3|a≤|-4=0(cid:100)(cid:100)∴(|a≤|+1)(|a≤|-4)=0그런데|a≤|>0이므로(cid:100)(cid:100)|a≤|=4(cid:9000)③2'232'23'2'2_3BA≥¥BC≥|BA≥||BC≥|05삼각형ABC의무게중심G의좌표를구한다.`점G의좌표는(cid:100)(cid:100)G{,},즉G(2, 2)두직선AG, BG의방향벡터를각각u≤, v≤라하면(cid:100)(cid:100)u≤=AG≥=(3, -1), v≤=BG≥=(0, -3)(cid:100)(cid:100)∴cosh==(cid:100)(cid:100)∴cosh=(cid:9000)06문제이해•주어진도형을오른쪽그림과같이좌표평면위에놓으면네점A,B,C,D의좌표는(cid:100)(cid:100)A(-1,'3),B(1,'3),(cid:100)(cid:100)C(-1,-'3),(cid:100)(cid:100)D(3,-'3)(cid:8837)30% 배점해결과정•∴AD≥=(3,-'3)-(-1,'3)해결과정•∴AD=(4,-2'3)(cid:100)(cid:100)BC≥=(-1,-'3)-(1,'3)=(-2,-2'3)(cid:8837)30% 배점답구하기•∴cosh(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)==(cid:8837)40% 배점(cid:9000)07두벡터a≤, b≤의내적을이용한다.`a≤-b≤=(x, 6-x)이므로(cid:100)(cid:100)|a≤-b≤|="√x¤+(6-x)¤="√2x¤-12x+36이때|a≤-b≤|=5'2이므로(cid:100)(cid:100)"√2x¤-12x+36=5'2양변을제곱하여정리하면(cid:100)(cid:100)x¤-6x-7=0'714'71448'74_(-2)-2'3_(-2'3)øπ4¤+(-2'3)¤øπ(-2)¤+(-2'3)¤AD≥¥BC≥|AD≥||BC≥|xyOCDAB'∂1010'∂10103"√3¤+(-1)¤"√(-3)¤|u≤¥v≤||u≤||v≤|3+5-23-1+2+53평면벡터의내적05(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지35 SinsagoHitec 36정답및풀이(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-7)=0(cid:100)(cid:100)∴x=-1(∵x<0)따라서a≤=(0, 2), b≤=(1, -5)이므로(cid:100)(cid:100)cosh===-(cid:100)(cid:100)∴cos¤h=;2@6%;즉p=26, q=25이므로(cid:100)(cid:100)p-q=1(cid:9000)108두벡터가서로수직이면두벡터의내적이0임을이용하여t에대한항등식을세운다.`a≤+tb≤=(x,y)+t(1,-3)=(x+t,y-3t)b≤+tc≤=(1,-3)+t(3,1)=(1+3t,-3+t)두벡터a≤+tb≤,b≤+tc≤가서로수직이므로(cid:100)(cid:100)(a≤+tb≤)¥(b≤+tc≤)=0(cid:100)(cid:100)(x+t,y-3t)¥(1+3t,-3+t)=0(cid:100)(cid:100)(x+t)(1+3t)+(y-3t)(-3+t)=0(cid:100)(cid:100)∴(3x+y+10)t+(x-3y)=0이식이t의값에관계없이항상성립해야하므로(cid:100)(cid:100)3x+y+10=0,x-3y=0위의두식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)x=-3,y=-1(cid:100)(cid:100)∴x+y=-4(cid:9000)②09벡터의내적의성질을이용한다.`a≤+b≤와a≤-;5@;b≤가서로수직이므로(cid:100)(cid:100)(a≤+b≤)¥{a≤-;5@;b≤}=0(cid:100)(cid:100)a≤¥a≤+;5#;a≤¥b≤-;5@;b≤¥b≤=0(cid:100)(cid:100)|a≤|¤+;5#;a≤¥b≤-;5@;|b≤|¤=0|b≤|=2|a≤|이므로(cid:100)(cid:100)|a≤|¤+;5#;a≤¥b≤-;5@;_4|a≤|¤=0(cid:100)(cid:100);5#;a≤¥b≤=;5#;|a≤|¤(cid:100)(cid:100)∴a≤¥b≤=|a≤|¤ 따라서두벡터a≤,b≤가이루는각의크기를h라하면(cid:100)(cid:100)cosh===;2!;(cid:100)(cid:100)∴h=;3“;(cid:9000);3“;|a≤|¤|a≤|_2|a≤|a≤¥b≤|a≤||b≤|5'∂260_1+2_(-5)2"√1¤+(-5)¤a≤≤¥b≤≤|a≤≤||b≤≤|10문제이해•|ka≤+b≤|='2|a≤-kb≤|의양변을제곱하면(cid:100)(cid:100)k¤|a≤|¤+2ka†≤¥b≤+|b≤|¤=2(|a≤|¤-2ka†≤¥b≤+k¤|b≤|¤)(cid:8837)30% 배점해결과정•|a≤|=|b≤|=1이므로(cid:100)(cid:100)k¤+2ka†≤¥b≤+1=2(1-2ka†≤¥b≤+k¤)(cid:100)(cid:100)6ka†≤¥b≤=k¤+1(cid:100)(cid:100)∴a†≤¥b≤==;6K;+;6¡k;(cid:8837)30% 배점k>0이므로산술평균과기하평균의관계에의하여(cid:100)(cid:100);6K;+;6¡k;æ2Æ…;6K;_=2_;6!;=;3!;{단,등호는;6K;=일때성립}(cid:100)(cid:100)∴a†≤¥b≤æ;3!;(cid:8837)30% 배점답구하기•따라서a†≤¥b≤의최솟값은;3!;이다.(cid:8837)10% 배점(cid:9000);3!;11a≤+b≤=-c≤임을이용하여a≤¥b≤를구한다.`a≤+b≤+c≤=0≤에서a≤+b≤=-c≤이므로(cid:100)(cid:100)|a≤+b≤|=|c≤|,즉|a≤+b≤|¤=|c≤|¤따라서|a≤|¤+2a≤¥b≤+|b≤|¤=|c≤|¤이므로(cid:100)(cid:100)6¤+2a≤¥b≤+10¤=14¤(cid:100)(cid:100)∴a≤¥b≤=30두벡터a≤,b≤가이루는각의크기를h라하면(cid:100)(cid:100)cosh===;2!;(cid:100)(cid:100)∴h=60°(cid:9000)④12AB≥=a≤,AC≥=b≤로놓고,BF≥, DE≥를a≤,b≤로나타낸다.`AB≥=a≤, AC≥=b≤라하면(cid:100)(cid:100)AD≥=;3@;a≤, AE≥=;4#;b≤, AF≥=;4!;b≤(cid:100)(cid:100)∴BF≥=AF≥-AB≥=;4!;b≤-a≤(cid:100)(cid:100)(cid:100) DE≥=AE≥-AD≥=;4#;b≤-;3@;a≤따라서BF≥+DE≥=-;3%;a≤+b≤이므로(cid:100)(cid:100)|BF≥+DE≥|¤=|-;3%;a≤+b≤|¤(cid:100)(cid:100)|BF≥+DE≥|¤=;;™9∞;;|a≤|¤-;;¡3º;;a≤¥b≤+|b≤|¤306_10a≤¥b≤|a≤||b≤|16k16kk¤+16k(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지36 SinsagoHitec 05 평면벡터의내적37(cid:8833)본책149~151쪽이때|a≤|=3,|b≤|=3이므로(cid:100)(cid:100)a≤¥b≤=|a≤||b≤|cos;3“;=;2(;(cid:100)(cid:100)∴|BF≥+DE≥|¤=;;™9∞;;_3¤-;;¡3º;;_;2(;+3¤(cid:100)(cid:100)∴|BF≥+DE≥|¤=19(cid:9000)③13두직선의방향벡터와법선벡터가이루는각의크기를이용한다.`직선=의방향벡터를u≤라하면(cid:100)(cid:100)u≤=(3, 4)이므로이직선에수직인직선을l이라하면직선l의법선벡터는u≤이다.또직선=y+3을m이라하고,직선m의방향벡터를v≤라하면(cid:100)(cid:100)v≤=(-2, 1)이때두직선l, m이이루는각의크기가h이면두벡터u≤, v≤가이루는각의크기는;2“;-h이므로(cid:100)(cid:100)cos{;2“;-h}=(cid:100)(cid:100)cos{;2“;-h}=(cid:100)(cid:100)cos{;2“;-h}==(cid:100)(cid:100)∴sinh=(cid:9000)14해결과정•PA≥=(-x,2-y),PB≥=(2-x,-2-y)이므로(cid:100)(cid:100)PA≥¥PB≥=(-x,2-y)¥(2-x,-2-y)=-x(2-x)+(2-y)(-2-y)=x¤-2x+y¤-4…-12'5252'5252'52525'5|3_(-2)+4_1|"√3¤+4¤"√(-2)¤+1¤|u≤¥`v≤||u≤||v≤|1-x2y-24x+13(cid:100)(cid:100)∴(x-1)¤+y¤…4(cid:100)(cid:100)yy㉠(cid:8837)30% 배점(cid:100)(cid:100)OP≥¥BO≥=(x,y)¥(-2,2)=-2x+2y…-2(cid:100)(cid:100)∴y…x-1yy㉡(cid:100)(cid:100)(cid:8837)30% 배점즉점P가나타내는도형은㉠,㉡의공통부분이므로오른쪽그림의색칠한부분(경계선포함)과같다.(cid:8837)20% 배점답구하기•따라서구하는넓이는(cid:100)(cid:100);2!;_p_2¤=2p(cid:8837)20% 배점(cid:9000)2p15점P가선분AH위를움직이므로AP≥=kAH≥(0…k…1)임을이용한다.`AH≥=;2!;(AB≥+AC≥)이고,점P가AH”위의점이므로(cid:100)(cid:100)AP≥=kAH≥(0…k…1)라하면(cid:100)(cid:100)AP≥=;2!;k(AB≥+AC≥)한편PA≥=-AP≥,PB≥=AB≥-AP≥이므로(cid:100)(cid:100)PA≥¥PB≥(cid:100)=-AP≥¥(AB≥-AP≥)(cid:100)=-AP≥¥AB≥+|AP≥|¤(cid:100)=-;2!;k(AB≥+AC≥)¥AB≥+k¤|AH≥|¤(cid:100)=-;2!;k|AB≥|¤-;2!;kAC≥¥AB≥+k¤|AH≥|¤AC≥¥AB≥=|AC≥||AB≥|cos;3“;=2_2_;2!;=2이므로(cid:100)(cid:100)PA≥¥PB≥(cid:100)=-;2!;k_2¤-;2!;k_2+k¤('3`)¤(cid:100)=3k¤-3k=3{k-;2!;}¤-;4#;이때0…k…1이므로|PA≥¥PB≥|의최댓값은k=;2!;일때;4#;이다.따라서p=4, q=3이므로(cid:100)(cid:100)p+q=7(cid:9000)7xyy=x-1{x-1}@+y@=4O-113Remark직선l의법선벡터가u≤,직선m의방향벡터가v≤이고두직선l,m이이루는각의크기가h{0…h…;2“;}이면두벡터u≤,v≤가이루는각의크기는위의그림과같이;2“;-h이다.Ωmlvuπ-2-Ω평면벡터의내적05(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지37 SinsagoHitec 38정답및풀이16CX≥를시점을A로하는벡터의연산으로나타낸다.`AD≥¥CX≥=AD≥¥(AX≥-AC≥)=AD≥¥AX≥-AD≥¥AC≥에서세점A, C, D는고정된점이므로AD≥¥AC≥는상수이다.따라서AD≥¥CX≥가최소가되려면AD≥¥AX≥가최소이어야한다.이때두벡터AD≥, AX≥가이루는각의크기를h라하면(cid:100)(cid:100)AD≥¥AX≥=|AD≥||AX≥|cosh에서|AD≥|는상수이므로AD≥¥AX≥가최소가되려면|AX≥|cosh의값이최소이어야한다.점X에서직선AD에내린수선의발을Q라하면직각삼각형XAQ에서(cid:100)(cid:100)||AX≥|cosh|=AQ”h>;2“;이면AQ”의길이가클수록|AX≥|cosh의값이작으므로점P의위치는오른쪽그림과같다.이때직선PQ가원O의접선이므로(cid:100)(cid:100)PO”⊥PQ”따라서PO”∥AD”이므로(cid:100)(cid:100)∠POA=∠OAD=;3“;-=;1¢5;p(cid:100)(cid:100)∴∠ACP=;2!;∠AOP=;2!;_;1¢5;p=;1™5;p따라서p=15, q=2이므로(cid:100)(cid:100)p+q=17(cid:9000)17p15AQOPDBCXπ15Ω본책155~163`쪽유제Ⅱ.평면벡터06평면운동050-1점P의시각t에서의속도를v(t)라하면v(t)=f'(t)=-;2!;sin;2T;+;4!;t=a에서점P의속력이0이라하면|-;2!;sin;2A;+;4!;|=0,(cid:100)(cid:100)sin;2A;=;2!;aæ0이므로;2A;=;6“;,;6%;p,;;¡6£;;p,;;¡6¶;;p,y∴a=;3“;,;3%;p,;;¡3£;;p,;;¡3¶;;p,y따라서점P의속력이처음으로0이되는시각은;3“;이다.(cid:9000);3“;050-2점P의시각t에서의속도,가속도를각각v(t),a(t)라하면v(t)=f'(t)=;2“;_mcos;2“;t-;2“;_nsin;2“;ta(t)=f"(t)a(t)=-_msin;2“;t-_ncos;2“;tt=1에서점P의속도와가속도는v(1)=;2“;_mcos;2“;-;2“;_nsin;2“;v(1)=-;2N;pa(1)=-_msin;2“;-_ncos;2“;a(1)=-p¤따라서-;2N;p=-p,-p¤=p¤``이므로m=-4, n=2(cid:9000)m=-4, n=2051-1=3, =-4t+4이므로점P의시각t에서의속도를v≤라하면(cid:100)(cid:100)v≤=(3, -4t+4)dydtdxdtm4m4p¤4p¤4p¤4p¤4(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지38 SinsagoHitec 06 평면운동39(cid:8833)본책151~163쪽평면운동06따라서점P의속력은|v≤|="3√¤+(√-4t√+4)Ω¤|v≤|="1√6(t√-1)çΩ¤ç+≈9이므로t=1일때속력이최소이다.t=1일때x=3, y=-2+4=2이므로점P의위치는(3, 2)이다.(cid:9000)(3, 2)051-2=1-cost, =-sint이므로점P의시각t에서의속도를v≤라하면v≤=(1-cost, -sint)따라서t=;2“;에서점P의속도는v≤={1-cos;2“;, -sin;2“;}=(1, -1)∴m=|v≤|="√1¤+(-1)¤='2또=sint, =-cost이므로점P의시각t에서의가속도를a≤라하면a≤=(sint, -cost)따라서t=;2“;에서점P의가속도는a≤={sin;2“;, -cos;2“;}=(1, 0)∴n=|a≤|="√1¤+0¤=1∴mn='2(cid:9000)'2052-1⑴t=0에서의점P의위치가x=0이므로구⑴하는위치x는⑴(cid:100)(cid:100)x=0+:)t(t+3)e-tdt⑴(cid:100)(cid:100)x=[-(t+3)e-t]t)-:)t(-e-t)dt⑴(cid:100)(cid:100)x=-(t+3)e-t+3-[e-t]t)⑴(cid:100)(cid:100)x=-(t+3)e-t+3-(e-t-1)⑴(cid:100)(cid:100)x=4-(t+4)e-t⑵:!3|(t+3)e-t|dt=:!3(t+3)e-tdt=[-(t+3)e-t]3!-:!3(-e-t)dt=-+-[e-t]3!4e6e‹d¤ydt¤d¤xdt¤dydtdxdt=-+-+=-+(cid:9000)⑴4-(t+4)e-t(cid:100)⑵-+053-1=6t, =3t¤이므로t=0에서t=2까지점P가움직인거리를s라하면(cid:100)(cid:100)s=:)2æ{≠≠}2+{≠±}—2dt(cid:100)(cid:100)s=:)2"(√6t)¤√+(3çt¤)Ω¤dt(cid:100)(cid:100)s=:)23t"4ç+≈tΩ¤dt4+t¤=u로놓으면2t=이고, t=0일때u=4, t=2일때u=8이므로(cid:100)(cid:100)s=:$8;2#;'∂udu=[u;2#;]8$(cid:100)(cid:100)s=16'2-8=8(2'2-1)(cid:9000)8(2'2-1)054-1⑴y'=(ex-e-x)이므로구하는곡선의⑴길이는⑴(cid:100)(cid:100):02æ1≠+[;2!;(ex-e-x)]2dx⑴=:02æ≠;4!;(e2x+2+e-2x)dx⑴=:02æ≠;4!;(ex+e-x)2dx⑴=;2!;:02(ex+e-x)dx⑴=;2!;[ex-e-x]2)⑴=;2!;{e¤-}⑵y'='ßx-이므로구하는곡선의길이는⑴(cid:100)(cid:100):$9æ≠1+{'ßx-}2dx⑴=:$9æ≠x+;2!;+dx⑴=:$9æ≠{'ßx+}2dx14'ßx116x14'ßx14'ßx1e¤12dudtdydtdxdtdydtdxdt5e7e‹5e7e‹1e1e‹4e6e‹(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지39 SinsagoHitec 40정답및풀이t=a에서점P의속도가2'2라하면v(a)=-2'2sin{2a-;4“;}=2'2∴sin{2a-;4“;}=-1yy㉠(cid:100)(cid:100)0…a…p에서-;4“;…2a-;4“;…;4&;p이므로㉠`에서(cid:100)(cid:100)2a-;4“;=;2#;p(cid:100)(cid:100)∴a=;8&;p따라서구하는점P의위치는f{;8&;p}=sin;4&;p+cos;4&;pf{;8&;p}=-+=0(cid:9000)①f(t)=sin2t+cos2tf(t)='2{sin2t_+cos2t_}f(t)='2{sin2tcos;4“;+cos2tsin;4“;}f(t)='2sin{2t+;4“;}yy㉠(cid:100)(cid:100)이므로(cid:100)(cid:100)v(t)=f'(t)=2'2cos{2t+;4“;}v(t)=2'2에서(cid:100)(cid:100)2'2cos{2t+;4“;}=2'2(cid:100)(cid:100)∴cos{2t+;4“;}=10…t…p에서;4“;…2t+;4“;…;4(;p이므로(cid:100)(cid:100)2t+;4“;=2p따라서구하는점P의위치는㉠`에서(cid:100)(cid:100)'2sin2p=002점P(x, y)의시각t에서의속도는{, }이고,속력은æ≠{}2+{}2임을이용한다.`=2t+a, =4at+8이므로점P의시각t에서의속도를v≤라하면(cid:100)(cid:100)v≤=(2t+a, 4at+8)dydtdxdtdydtdxdtdydtdxdt1'21'21'21'2Remark삼각함수의덧셈정리①sin(a—b)=sinacosb—cosasinb(복호동순)②cos(a—b)=cosacosb–sinasinb(복호동순)③tan(a—b)=(복호동순)tana—tanb1–tanatanb(cid:8833)본책164~166쪽중단원연습문제01①02103204⑤05;4#;p068071408③09③105116412⑤01점P의시각t에서의위치f(t)를미분하여속도를구한다.`점P의시각t에서의속도를v(t)라하면v(t)=f'(t)=2cos2t-2sin2tv(t)=-2(sin2t-cos2t)v(t)=-2'2{sin2t_-cos2t_}v(t)=-2'2{sin2tcos;4“;-cos2tsin;4“;}v(t)=-2'2sin{2t-;4“;}1'21'2⑴=:$9{'ßx+}dx⑴=[;3@;x'ßx+;2!;'ßx]9$⑴=;;£2ª;;-;;¡3ª;;=;;¶6ª;;(cid:9000)⑴;2!;{e¤-} ⑵;;¶6ª;;054-2=2'2, =t-이므로구하는곡선의길이는(cid:100)(cid:100):!2æ≠(2'2)¤+{t-}2dt=:!2æ≠t¤+4+dt=:!2æ≠{t+}2dt=:!2{t+}dt=[;2!;t¤+2lnt]2!=;2#;+2ln2(cid:9000);2#;+2ln22t2t4t¤2t2tdydtdxdt1e¤14'ßx(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지40 SinsagoHitec 06 평면운동41(cid:8833)본책163~165쪽평면운동06따라서t=1에서점P의속도는(cid:100)(cid:100)v≤=(2+a, 4a+8)속력이3'1ß7이므로(cid:100)(cid:100)|v≤|=3'∂17(cid:100)(cid:100)"(√2+a√)¤+√(4a√+8)Ω¤=3'1ß7(cid:100)(cid:100)"√17(a+2)¤=3'1ß7(cid:100)(cid:100)(a+2)¤=9,(cid:100)(cid:100)a+2=—3(cid:100)(cid:100)∴a=1(∵a>0)(cid:9000)103해결과정•2초후의점P의위치는(cid:100)(cid:100):)2etdt=[et]2)=e2-1(cid:8837)30% 배점2초후의점Q의위치는(cid:100)(cid:100):)2tetdt=[tet]2)-:)2etdt(cid:100)(cid:100):)2tetdt=2e2-[et]2)=2e2-(e2-1)(cid:100)(cid:100):)2tetdt=e2+1(cid:8837)50% 배점답구하기•따라서두점사이의거리는(cid:100)(cid:100)|(e¤+1)-(e¤-1)|=2(cid:8837)20% 배점(cid:9000)204두점이서로반대방향으로움직이면두점의시각t에서의속도의부호가서로다름을이용한다.`두점P, Q의시각t에서의속도를각각vP,vQ라하면(cid:100)(cid:100)vP==2t-a(cid:100)(cid:100)vQ==P,Q가서로반대방향으로움직이면두점의속도의부호가다르므로vPvQ<0에서(cid:100)(cid:100)<0이때t¤-t+1={t-;2!;}¤+;4#;>0이므로(cid:100)(cid:100)(2t-a)(2t-1)<0이부등식의해가;2!;1)라하면:)1t'tdt+:!å{-}dt=-;5@;[;5@;t;2%;]1)+[]a!=-;5@;;5@;+-1=-;5@;,(cid:100)(cid:100)=;5!;∴a=5(cid:9000)511점P가움직인거리는속력을적분하여구한다.`=4(-sint+cost), =-2sin2t이므로점P가t=0에서t=2p까지움직인거리를s라하면s=:)2»æ{≠≠}2+{≠±}—2dts=:)2»"√16(cost-sint)¤√+4sin¤2tdtdydtdxdtdydtdxdt1a1a1t1t¤1x+11x-12(x-1)(x+1)2x¤-1x¤+1x¤-1x¤+1x¤-1(x¤-1)¤+4x¤(x¤-1)¤2xx¤-12xx¤-1답구하기•따라서구하는거리는t=0에서t=2까지점P가움직인거리이므로:)2|v≤|dt=:)2(3t¤+3)dt:)2|v≤|dt=[t‹+3t]2)=14(cid:8837)30% 배점(cid:9000)1408점P가움직인거리는속력을적분하여구한다.`=p{-sint(1+cost)-costsint}=-p(sint+sin2t)=p{cost(1+cost)-sin¤t}=p(cost+cos2t)이므로t=0에서t=;2“;까지점P가움직인거리는(cid:100)(cid:100):);2“;æ≠{}¤+{}¤dt=:);2“;"√p¤(sint+sin2t)¤√+p¤(cost+cos2t)¤dt=:);2“;"√2p¤(1+sintsin2t√+costcos2t)dt=:);2“;"√2p¤{1+cos(2t-t)}dt=:);2“;"√2p¤(1+cost)dt=:);2“;Æ…4p¤cos¤;2T;dt=2p:);2“;cos;2T;dt=2p[2sin;2T;]º;2“;=2'2p(cid:9000)③09닫힌구간[a, b]에서곡선y=f(x)의길이는:Ab"√1+{f'(x)}¤dx이다.dydtdxdtdydtdxdtRemark반각의공식①sin¤=②cos¤=③tan¤=1-cosa1+cosaa21+cosa2a21-cosa2a2(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지42 SinsagoHitec 07 공간도형43(cid:8833)본책165~179쪽공간도형07s=:)2»"√16(1-sin2t)+√4sin¤2tdts=:)2»"√4(2-sin2t)¤dt이때2-sin2t>0이므로s=:)2»2(2-sin2t)dt=:)2»(4-2sin2t)dts=[4t+cos2t]2)»=8p즉 a=8이므로(cid:100)(cid:100)a¤=64(cid:9000)6412산술평균과기하평균의관계를이용하여속력이최소일때의시각을구한다.`=8, =t+2-이므로점P의시각t에서의속도를v≤라하면v≤={8, t+2-}따라서점P의속력|v≤|는|v≤|=æ≠8¤+{t+2-}2|v≤|=æ≠{t+2+}2|v≤|=t+2+(cid:100)이때t+2>0이므로산술평균과기하평균의관계에의하여t+2+æ2æ≠(t+2)_t+2+=2_4=8이때등호는t+2=일때성립하므로(t+2)¤=16,(cid:100)(cid:100)t+2=—4∴t=2(∵tæ0)즉t=2일때속력이최소이다.따라서점P가t=0에서t=2까지움직인거리는:)2`|v≤|dt=:)2`{t+2+}dt:)2`|v≤|dt=[;2!;t¤+2t+16ln|t+2|]2):)2`|v≤|dt=6+16ln2(cid:9000)⑤16t+216t+216t+216t+216t+216t+216t+216t+216t+2dydtdxdt본책172~192`쪽유제Ⅲ.공간도형07공간도형055-1주어진사각뿔에서5개의꼭짓점으로만들수있는서로다른평면은평면ABCD,평면OAB,평면OBC,평면OCD,평면OAD,평면OAC,평면OBD의7개이다.(cid:9000)7056-1꼬인위치에있는두직선은직선AB와직선CD,직선AC와직선BD,직선AD와직선BC이다.(cid:9000)풀이참조056-2⑴모서리AB와꼬인위치에있는모서리는⑵(cid:100)(cid:100)CF”,DF”,EF”⑵면ABC와평행한모서리는(cid:100) (cid:100)(cid:100)DE”,EF”,F’D”(cid:9000)⑴CF”,DF”,EF”(cid:100)⑵DE”,EF”,F’D”057-1⑴EGÍ∥ACÍ이므로두직선AF와EG가이루는각의크기는두직선AF와AC가이루는각의크기와같다.이때△AFC는정삼각형이므로(cid:100)(cid:100)(cid:100)∠CAF=60°(cid:100)따라서두직선AF와EG가이루는각의크기는60°이다.⑵ADÍ∥BCÍ이므로두직선AD와BE가이루는각의크기는두직선BC와BE가이루는각의크기와같다.이때(cid:8772)BCHE는직사각형이므로(cid:100)(cid:100)(cid:100)∠EBC=90°(cid:100)따라서두직선AD와BE가이루는각의크기는90°이다.(cid:9000)⑴60°⑵90°Remark평면ABC,평면ABD,평면ACD,평면BCD는모두평면ABCD와같은평면이다.(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지43 SinsagoHitec 44정답및풀이060-1ㄱ.[반례]오른쪽그림의직ㄱ.육면체에서l∥a,m∥a이지만l⊥m이다.ㄴ.오른쪽그림과같이두직선l,m을포함하는평면을b라하면b는a와수직이다.ㄱ.이때m은평면b위의직선이므로m⊥a이다.ㄷ.[반례]오른쪽그림의직육면체에서a⊥b,a⊥c이지만b⊥c이다.이상에서옳은것은ㄴ뿐이다.(cid:9000)ㄴ061-1타원의장축의길이를2a라하면타원의장축의밑면위로의정사영은밑면의지름이므로(cid:100)(cid:100)10=2acos45°(cid:100)(cid:100)∴a===5'2타원의단축의길이를2b라하면타원의단축의밑면위로의정사영은밑면의지름과같으므로(cid:100)(cid:100)2b=10(cid:100)(cid:100)∴b=5이때"√a¤-b¤="√(5'2)¤-5¤=5이므로타원의두초점사이의거리는(cid:100)(cid:100)5¥2=10(cid:9000)10061-2오른쪽그림과같이축구공의그림자는햇빛과수직이고반지름의길이가12cm인원의그림자와같다.이때원을포함하고햇빛과수직인평면과지면이이루는각의크기는30°이므로원의넓이를S,축구공의그림자의넓이를S'이라하면(cid:100)(cid:100)S=S'cos30°(cid:100)(cid:100)∴S'==(cid:100)(cid:100)∴S'=96'3p(cm¤)(cid:9000)96'3pcm¤p¥12¤'32Scos30°60æ30æ12cm10'2102cos45°çå∫lmå∫lmå058-1PQ”를그으면PH”⊥a, QH”⊥AQ”이므로삼수선의정리에의하여(cid:100)(cid:100)PQ”⊥AQ”이때∠PAQ=60°이므로(cid:100)(cid:100)PQ”='3tan60°(cid:100)(cid:100)PQ”='3¥'3=3따라서직각삼각형PQH에서PH”=øπPQ”¤-QH”¤="3√¤-2¤='5(cid:9000)'5058-2DH”⊥(평면EFGH), DI”⊥EG”이므로삼수선의정리에의하여HI”⊥EG”따라서오른쪽그림에서;2!;EG”¥HÚ’I’=;2!;HE”¥HG”이므로;2!;¥"√3¤+4¤¥HÚ’I’’’=;2!;¥3¥4∴HÚ’I’=;;¡5™;;따라서직각삼각형DHI에서D’Ú’I’’’=øπDH”¤π+HÚμI’¤=æ2¤≠+{;≠;¡5™;;}2=(cid:9000)059-1변BC의중점을M이라하면(cid:100)(cid:100)AM”⊥BC”,(cid:100)(cid:100)DM”⊥BC”이므로두삼각형ABC,DBC가이루는각의크기는두직선AM,DM이이루는각의크기와같다.한편정삼각형ABC에서(cid:100)(cid:100)AM”=¥2='3직각삼각형DMC에서(cid:100)(cid:100)DM”="√DC”¤-MC”¤="√('7)¤-1¤='6이때AM”¤+AD”¤=D’M”¤이고, AM”=AD”이므로삼각형AMD는직각이등변삼각형이다.따라서∠AMD=45°이므로구하는각의크기는45°이다.(cid:9000)45°'32MABCD2Â3Â72'6å152'6å15HEGI43BQPHAÂ3260æå(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지44 SinsagoHitec 07 공간도형45(cid:8833)본책183~193쪽공간도형07062-1HG”의중점을I라하면마름모ANGM의평면EFGH위로의정사영은사각형ENGI이므로(cid:100)(cid:100)(cid:8772)`ENGI=(cid:8772)`ANGMcosh(cid:100)(cid:100)∴cosh=이때(cid:100)(cid:100)(cid:8772)`ANGM=;2!;MN”¥AG”(cid:100)(cid:100)(cid:8772)`ANGM=;2!;¥2'2¥2'3=2'6(cid:100)(cid:100)(cid:8772)`ENGI=1¥2=2이므로(cid:100)(cid:100)cosh==(cid:9000)062-2점O에서AB”에내린수선의발을H라하면직각삼각형OAH에서(cid:100)(cid:100)O’H”="√3¤-1¤=2'2이므로(cid:100)(cid:100)△OAB=;2!;¥2¥2'2=2'2(cid:8772)ABCD의두대각선의교점을P라하면△OAB의평면ABCD위로의정사영은△PAB이고(cid:100)(cid:100)△PAB=;4!;¥2¥2=1이때면OAB와면ABCD가이루는각의크기를h라하면(cid:100)(cid:100)△PAB=△OABcosh(cid:100)(cid:100)∴cosh===따라서구하는정사영의넓이는(cid:8772)ABCDcosh=2¤¥='2(cid:9000)'2AB”, CD”의중점을각각M, N이라하면(cid:100)(cid:100)AB”⊥OM”, AB”⊥MN”따라서평면OAB와평면ABCD가이루는각의크기를h라하면(cid:100)(cid:100)∠OMN=h(cid:100)(cid:100)∴cosh===따라서구하는정사영의넓이는(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABCDcosh=2¤¥='2'24'2412'2;2!;MN”1112OM”'24'2412'2△PAB△OAB'66'6622'6(cid:8772)`ENGI(cid:8772)`ANGMDAEHGCFNIMB(cid:8833)본책193~197쪽중단원연습문제01100250360°04③05풀이참조06③0708④09④10②1160°1201314⑤1516②17401819116'55'∂156'312'2201평면의결정조건을이용한다.`한직선위에있지않은세점은하나의평면을결정한다.따라서구하는평면의개수는서로다른다섯개에서세개를뽑는조합의수와같으므로(cid:100)(cid:100)∞C£=∞C™==10(cid:9000)1002해결과정•AC”와꼬인위치에있는모서리는(cid:100)(cid:100)BE”,DE”,BF”,DF”의4개이므로(cid:100)(cid:100)a=4(cid:8837)40% 배점면ABC와평행한면은면DEF의1개이므로(cid:100)(cid:100)b=1(cid:8837)40% 배점답구하기•∴a+b=5(cid:8837)20% 배점(cid:9000)503문제이해•AB”의중점을M,CD”의중점을N이라하면O’M”⊥AB”,N’M”⊥AB”따라서사각뿔의옆면과밑면이이루는각의크기는두직선OM,MN이이루는각의크기와같다.(cid:8837)30% 배점해결과정•직각삼각형OAM에서O’M”="√OA”¤-A’M”¤O’M”=ø√('5)¤-1¤=2`(cid:8837)30% 배점따라서O’M”=M’N”=ON”=2이므로△OMN은정삼각형이다.(cid:8837)30% 배점답구하기•즉∠OMN=60°이므로구하는각의크기는60°이다.(cid:8837)10% 배점(cid:9000)60°MNOABCD5¥42¥1(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지45 SinsagoHitec 46정답및풀이`두평면a,b는평행하므로만나지않는다.이때두직선l,m은각각두평면a,b위에있으므로두직선l,m도만나지않는다.그런데두직선l,m은모두평면c위에있으므로l∥m(cid:100)(cid:100)y증명끝(cid:9000)풀이참조06두직선이한점에서만나도록평행이동하여생각한다.`①EH”∥AD”이고AD”⊥AB”이므로①(cid:100)(cid:100)EH”⊥AB”①(cid:100)(cid:100)∴cosh=cos90°=0②CG”∥BF”이고BF”⊥AB”이므로(cid:100)(cid:100)CG”⊥AB”①(cid:100)(cid:100)∴cosh=cos90°=0③FH”∥BD”이고∠DBA=45°이므로FH”와AB”가이루는각의크기는45°이다.①(cid:100)(cid:100)∴cosh=cos45°=④정육면체의한모서리의길이를a라하면AG”='3a이므로오른쪽그림에서①(cid:100)(cid:100)cosh==⑤AB”∥EF”이고CF”⊥EF”이므로①(cid:100)(cid:100)CF”⊥AB”①(cid:100)(cid:100)∴cosh=cos90°=0이상에서cosh의값이가장큰것은③이다.(cid:9000)③07직선과평면의수직관계를이용한다.`O’A”,BC”의중점을각각M,N이라하면△ABC, △OBC는모두정삼각형이므로(cid:100)(cid:100)AN”⊥BC””, ON”⊥BC”따라서(평면OAN)⊥BC”이므로(cid:100)(cid:100)MÚ’N”⊥BC”같은방법으로하면MÚ’N”⊥OA”이므로MÚ’N”은꼬인위치에있는두모서리OA, BC의공통인수선이다.ABNCOM'33a'3aGABΩaÂ3a'22ålmç∫밑면인정사각형의두대각선의교점을H라하면꼭짓점O에서밑면ABCD에내린수선의발은H이고,△OAB의평면ABCD위로의정사영은△HAB이다.이때AB”의중점을M이라하면직각삼각형OAM에서O’M”=øπO’A”¤π-A∑’M”¥¤O’M”=ø(π'5)¤∑-μ1¥¤=2∴△OAB=;2!;AB”¥O’M”∴△OAB=;2!;¥2¥2=2또△HAB=;4!;(cid:8772)ABCD=;4!;¥2¥2=1이므로△OAB와평면ABCD가이루는각의크기를h라하면(cid:100)(cid:100)cosh==;2!;(cid:100)(cid:100)∴h=60°04직육면체를이용하여반례를찾아본다.`①[반례]오른쪽그림의직육면①체에서l⊥m,l⊥n이지만m⊥n이다.②[반례]오른쪽그림의직육면체에서l∥a,m∥a이지만l∥m이다.④[반례]오른쪽그림의직육면체에서l∥a,a⊥b이지만l∥b이다.⑤[반례]오른쪽그림의직육면체에서a⊥b,a⊥c이지만b∥c이다.이상에서옳은것은③이다.(cid:9000)③05한평면위에있는두직선이만나지않으면두직선은평행함을이용한다.∫åçlå∫låmlmn△HAB△OABMHOABCD(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지46 SinsagoHitec 07 공간도형47(cid:8833)본책193~195쪽공간도형07따라서구하는두모서리사이의거리는MÚ’N”의길이와같으므로직각삼각형OMN에서MÚN”=øπO’N”¤-O’M”¤=Æ…{}2-{;2!;}2=(cid:9000)08삼수선의정리에의하여AC”⊥BC”임을알아낸다.`직각삼각형ACD에서AC”=øπAD”¤π+C∑’D”¥¤="1√¤+(√2'2)Ω¤=3AD”⊥BD”,AD”⊥CD”이므로(cid:100)(cid:100)AD”⊥(평면BCD)또CD”⊥BC”이므로삼수선의정리에의하여AC”⊥BC”∴△ABC=;2!;BC”¥AC”∴△ABC=;2!;¥4¥3=6(cid:9000)④09평면ABCD와점M에대하여삼수선의정리를적용한다.`점M에서모서리CD에내린수선의발을I라하면MÚI’⊥(평면ABCD), MÚ’N”⊥LD”이므로삼수선의정리에의하여NI”⊥LD”오른쪽그림에서△NDIª△ALD이고(cid:100)(cid:100)AL”=;4#;AB”=15,(cid:100)(cid:100)DI”=;2!;CD”=10,(cid:100)(cid:100)LD”="√A’D”¤+A’L”¤(cid:100)(cid:100)LD”="√20¤+15¤=25이므로NI”:AD”=DI”:LD”∴NI”===8이때삼각형MIN은직각삼각형이므로MN”=øπMÚI’¤+NI”¤MN”="√20¤+8¤=4'2å9(cid:9000)④20¥1025AD”¥DI”LD”ACLNIDB201015'22'22'3210수선을그어삼수선의정리를이용한다.직선m위의한점A에서직선l에내린수선의발을H,점H에서직선n에내린수선의발을B라하면삼수선의정리에의하여AB”⊥PB”한편△APH,△HPB가모두직각삼각형이므로PA”=a라하면(cid:100)(cid:100)PH”=PA”cos60°=;2!;a,(cid:100)(cid:100)PB”=PH”cos45°=a이때두직선m,n이이루는각의크기h는∠APB의크기와같으므로(cid:100)(cid:100)cosh===(cid:9000)②11문제이해•점A에서평면a와직선l에내린수선의발을각각M,N이라하면A’M”⊥a,A’N”⊥l이므로삼수선의정리에의하여M’Ú’N”⊥l(cid:8837)40% 배점해결과정•따라서점A와직선l에의하여만들어지는평면이평면a와이루는각의크기를h라하면∠ANM=h(cid:8837)30% 배점답구하기•△ANM에서sinh===∴h=60°(∵0°0)(cid:9000)6'22'2255'2A'B'”AB”유제(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지50 SinsagoHitec 08 공간좌표51(cid:8833)본책204~210쪽공간좌표08065-1두점A,B의y좌표의부호가같으므로두점A,B는zx평면을기준으로같은쪽에있다.이때점B(-1,2,6)의zx평면에대한대칭점을B'이라하면(cid:100)(cid:100)B'(-1,-2,6)BP”=B'P”이므로AP”+BP”=AP”+B'P”æAB'”="√(-1-5)¤+(√-2-1)¤+(6-4)¤=7따라서구하는최솟값은7이다.(cid:9000)7065-2두점A,B의x좌표가0이고y좌표의부호가같으므로두점A,B는yz평면위에있고z축을기준으로같은쪽에있다.이때점A(0,-2,5)의z축에대한대칭점을A'이라하면A'(0,2,5)AP”=A'P”이므로AP”+BP”=A’'P”+BP”æA’'B”="√(-√4-2)¤+(-3-5)¤=10따라서구하는최솟값은10이다.(cid:9000)10066-1AB”를1:3으로내분하는점P의좌표는(cid:100)(cid:100){,,}∴P(0,0,-3)또AB”를1:3으로외분하는점Q의좌표는(cid:100)(cid:100){,,}∴Q(-3,6,-6)∴PQ”="√(-3)¤+√6¤+(-6+3)¤∴PQ”=3'6(cid:9000)3'61¥0-3¥(-4)1-31¥(-6)-3¥21-31¥3-3¥(-1)1-31¥0+3¥(-4)1+31¥(-6)+3¥21+31¥3+3¥(-1)1+3BAA'Pz축 BB'APzx066-2점P의점A에대한대칭점을P'이라하면점A는P’P'”의중점이다.점P'의좌표를(a, b, c)라하면P’P'”의중점의좌표는{,, }이점이점A(3,-6,-2)와일치하므로=3, =-6, =-2∴a=8,b=-14,c=-5∴P'(8,-14,-5)(cid:9000)(8,-14,-5)067-1AC”의중점의좌표는{,,},즉(2,-1,3)점D의좌표를(a, b, c)라하면BD”의중점의좌표는{,,}이때사각형ABCD가평행사변형이므로AC”의중점과BD”의중점이일치한다.즉2=, -1=, 3=∴a=-1,b=2,c=2∴D(-1,2,2)(cid:9000)D(-1, 2, 2)067-2AC”의중점의좌표는(cid:100)(cid:100){, , }(cid:100)(cid:100)∴{, ;2!;, -;2!;}BD”의중점의좌표는(cid:100)(cid:100){, , }(cid:100)(cid:100)∴{, ;2!;, -;2!;}이때사각형ABCD가마름모이므로AC”의중점과BD”의중점이일치한다.즉(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)∴b=a-3yy㉠(cid:100)(cid:100)또마름모는네변의길이가모두같으므로AD”=CD”에서(cid:100)(cid:100)"√(2-a)¤+(2+5)¤√+(-3+3)¤="√(2+1)¤+(2-6)¤√+(-3-2)¤b+22a-12b+222-32-1+22b+22a-12-3+22-5+62a-124+c2-4+b25+a24+c2-4+b25+a21+523+(-5)20+421+c22+b2-2+a21+c22+b2-2+a2(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지51 SinsagoHitec 52정답및풀이양변을제곱하여정리하면(cid:100)(cid:100)a¤-4a+53=50,(cid:100)(cid:100)(a-1)(a-3)=0(cid:100)(cid:100)∴a=3 (∵a>2)이를㉠`에대입하면(cid:100)(cid:100)b=0(cid:100)(cid:100)∴a+b=3(cid:9000)3068-1점C의좌표를(a, b, c)라하면삼각형ABC의무게중심의좌표는(cid:100)(cid:100){,,}(cid:100)(cid:100)∴{,,}이점이점(1, 3, 2)와일치하므로(cid:100)(cid:100)=1,=3,=2∴a=2,b=8,c=1∴C(2, 8, 1)(cid:9000)C(2, 8, 1)068-2점A의좌표를(a, b, c)라하면A’M”을2:1로내분하는점의좌표는(cid:100)(cid:100){,,}(cid:100)(cid:100)∴{,,}이점이점G(2, 3, 3)과일치하므로(cid:100)(cid:100)=2, =3, =3(cid:100)(cid:100)∴a=2, b=1, c=3(cid:100)(cid:100)∴A(2, 1, 3)(cid:9000)A(2, 1, 3)A(x, y, z), B(x¡, y¡, z¡), C(x™, y™, z™)라하면BC”의중점의좌표는(cid:100)(cid:100){,,}이점이점M(2, 4, 3)과일치하므로(cid:100)(cid:100)=2, =4, =3(cid:100)(cid:100)∴x¡+x™=4, y¡+y™=8, z¡+z™=6또△ABC의무게중심의좌표는(cid:100)(cid:100){,,}(cid:100)(cid:100)∴{,,}z+63y+83x+43z+z¡+z™3y+y¡+y™3x+x¡+x™3z¡+z™2y¡+y™2x¡+x™2z¡+z™2y¡+y™2x¡+x™2c+63b+83a+43c+63b+83a+432¥3+1¥c2+12¥4+1¥b2+12¥2+1¥a2+1c+53b+13a+13c+53b+13a+131+4+c31+0+b32+(-1)+a3이점이점G(2, 3, 3)과일치하므로(cid:100)(cid:100)=2, =3, =3(cid:100)(cid:100)∴x=2, y=1, z=3(cid:100)(cid:100)∴A(2, 1, 3)069-1구의중심을C라하면점C는선분AB의중점이므로C{,,}∴C(4, 0, -2)또구의반지름의길이는;2!;AB”=;2!;"(√3-5√)¤+√(2+√2)¤√+(√-5√-1)Ω¤;2!;AB='1ß4따라서구하는구의방정식은(x-4)¤+y¤+(z+2)¤=14(cid:9000)(x-4)¤+y¤+(z+2)¤=14구의중심이C(4, 0, -2)이므로구의반지름의길이는CA”="(√5-4√)¤+√(-2√)√¤+(√1+2)¤CA”='1å4따라서구하는구의방정식은(x-4)¤+y¤+(z+2)¤=14070-1구가xy평면,yz평면,zx평면에동시에접하고점(1, -5, 4)를지나므로반지름의길이를r라하면구의중심의좌표는(r, -r, r)따라서구하는구의방정식은(x-r)¤+(y+r)¤+(z-r)¤=r¤이구가점(1, -5, 4)를지나므로(1-r)¤+(-5+r)¤+(4-r)¤=r¤r¤-10r+21=0,(cid:100)(cid:100)(r-3)(r-7)=0∴r=3또는r=7따라서구하는구의방정식은(x-3)¤+(y+3)¤+(z-3)¤=9,(x-7)¤+(y+7)¤+(z-7)¤=49(cid:9000)풀이참조070-2중심의좌표가(k, 3, 2)이고y축에접하는구의방정식은1+(-5)2-2+225+32z+63y+83x+43(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:17 PM 페이지52 SinsagoHitec 08 공간좌표53(cid:8833)본책212~228쪽공간좌표08(cid:100)(cid:100)(x-k)¤+(y-3)¤+(z-2)¤=k¤+4이때구의반지름의길이가2'5이므로(cid:100)(cid:100)k¤+4=20,(cid:100)(cid:100)k¤=16(cid:100)(cid:100)∴k=4(∵k>0)(cid:9000)4071-1중심의좌표가(2, 0, -3)이고반지름의길이가4인구의방정식은(cid:100)(cid:100)(x-2)¤+y¤+(z+3)¤=16(cid:100)(cid:100)∴x¤+y¤+z¤-4x+6z-3=0이방정식이x¤+y¤+z¤+ax+by+cz+d=0과일치하므로(cid:100)(cid:100)a=-4, b=0, c=6, d=-3(cid:9000)a=-4, b=0, c=6, d=-3072-1점P의좌표를(x, y, z)라하면AP”:BP”=1:2에서2AP”=BP”,즉4AP”¤=BP”¤이므로4{x¤+(y-2)¤+(z+2)¤}=x¤+(y+1)¤+(z-1)¤∴x¤+y¤+z¤-6y+6z+10=0따라서a=0, b=-6, c=6, d=10이므로(cid:100)(cid:100)a+b+c+d=10(cid:9000)10073-1x¤+y¤+z¤-2x-4y-6z+3-k=0에서(x-1)¤+(y-2)¤+(z-3)¤=k+11이므로이구의중심의좌표는(1, 2, 3),반지름의길이는'ƒk+11이다.또x¤+y¤+z¤-2x+4y-11=0에서(x-1)¤+(y+2)¤+z¤=16이므로이구의중심의좌표는(1, -2, 0),반지름의길이는4이다.따라서두구의중심사이의거리는"√(1-1)¤+(-2-2)√¤+(-3)¤=5이때두구가내접하므로|'ƒk+11-4|=5∴'ƒk+11-4=—5그런데'ƒk+11>0이므로(cid:100)(cid:100)'ƒk+11=9양변을제곱하면(cid:100)(cid:100)k+11=81(cid:100)(cid:100)∴k=70(cid:9000)70073-2x¤+y¤+z¤-4x-2z-11=0에서(x-2)¤+y¤+(z-1)¤=16이므로이구의중심의좌표는(2, 0, 1),반지름의길이는4이다.또x¤+y¤+z¤-2x+2ky+k¤-8=0에서(x-1)¤+(y+k)¤+z¤=9이므로이구의중심의좌표는(1, -k, 0),반지름의길이는3이다.따라서두구의중심사이의거리는"√(1-2)¤+(-k)√¤+(-1)¤="√k¤+2이때두구가서로만나려면4-3…"√k¤+2…4+3,(cid:100)(cid:100)1…"√k¤+2…71…k¤+2…49∴-1…k¤…47(cid:100)(cid:100)그런데실수k에대하여k¤æ0이므로(cid:100)(cid:100)0…k¤…47∴-'∂47…k…'∂47(cid:9000)-'∂47…k…'∂47074-1주어진구의방정식에y=0을대입하면(cid:100)(cid:100)(x+1)¤+(-2)¤+(z+3)¤=20(cid:100)(cid:100)∴(x+1)¤+(z+3)¤=16따라서주어진구를zx평면으로자른단면은반지름의길이가4인원이므로구하는단면의넓이는(cid:100)(cid:100)p¥4¤=16p(cid:9000)16p075-1x¤+y¤+z¤+6x-2y-8z+1=0에서(x+3)¤+(y-1)¤+(z-4)¤=25이므로이구의중심의좌표는(-3, 1, 4),반지름의길이는5이다.오른쪽그림과같이구의중심을C,직선AC가구와만나는두점을각각P, Q라하면AC”="(√-3√-2)√¤+(√1-1√)¤+√(4-ç2)Ω¤AC”='2å9따라서선분의길이의최댓값은(cid:100)(cid:100)AQ”=AC”+CQ”='2å9+5선분의길이의최솟값은(cid:100)(cid:100)AP”=AC”-CP”='2å9-5이므로구하는곱은('2å9+5)('2å9-5)=29-25('2å9+5)('2å9-5)=4(cid:9000)4A{2,`1,`2}55C{-3,`1,`4}QP(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:18 PM 페이지53 SinsagoHitec 54정답및풀이(cid:8833)본책229~232쪽01③02C(-4, 5, -3), D(-6, 7, -1)03;3$;04160p0513p06C{0,-;5!;,-;5@;},C(0,1,2)071308②09①10-2112'3p122'∂1513⑤14③152'21617174818②1912401두점A,B의xy평면위로의정사영을이용한다.`AB”="√(4-6)¤+√(-2√-2)¤+(-7+3)¤=6두점A,B의xy평면위로의정사영을각각A',B'이라하면(cid:100)(cid:100)A'(6, 2, 0), B'(4, -2, 0)(cid:100)(cid:100)∴A’'B'”="√(4-6)¤+(-2-2)¤=2'5이때A’'B'”=AB”cosh이므로(cid:100)(cid:100)cosh===(cid:9000)③02평행사변형의두대각선의교점은각대각선의중점임을이용한다.`점C의좌표를(a, b, c)라하면AC”의중점의좌표는(cid:100)(cid:100){, , }이점이점M(-1, 2, 0)과일치하므로(cid:100)(cid:100)=-1, =2, =0(cid:100)(cid:100)∴a=-4, b=5, c=-3(cid:100)(cid:100)∴C(-4, 5, -3)또점D의좌표를(a', b', c')이라하면BD”의중점의좌표는(cid:100)(cid:100){,,}이점이점M(-1, 2, 0)과일치하므로(cid:100)(cid:100)=-1, =2, =0(cid:100)(cid:100)∴a'=-6, b'=7, c'=-1(cid:100)(cid:100)∴D(-6, 7, -1)(cid:9000)C(-4, 5, -3),D(-6, 7, -1)1+c'2-3+b'24+a'21+c'2-3+b'24+a'23+c2-1+b22+a23+c2-1+b22+a2'532'56A'B'”AB”03세점A,B,C의좌표를구한후삼각형의무게중심의좌표를구하는공식에대입한다.`P(1,5,-2)에서A(1, 5, 2),B(-1, 5, -2),C(1, -5, -2)이때△ABC의무게중심이G(a, b, c)이므로a==;3!;,b==;3%;, c==-;3@;∴a+b+c=;3$;(cid:9000);3$;04해결과정•점P의좌표를(x, y, z)라하면AP”:BP”=1:2에서2A’P”=BP”,즉4A’P”¤=BP”¤이므로(cid:8837)20% 배점(cid:100)(cid:100)4{x¤+y¤+(z+3)¤}=x¤+(y-9)¤+z¤(cid:100)(cid:100)x¤+y¤+z¤+6y+8z-15=0(cid:100)(cid:100)∴x¤+(y+3)¤+(z+4)¤=40(cid:8837)40% 배점답구하기•따라서점P의자취가나타내는도형은반지름의길이가'∂40=2'∂10인구이므로구하는겉넓이는4p¥(2'∂10)¤=160p(cid:8837)40% 배점(cid:9000)160p05해결과정•구의중심을C라하면점C는선분AB의중점이므로C{,,}∴C(2, 4, -2)또구의반지름의길이는;2!;AB”=;2!;"(√3-1√)¤+√(4-√4)¤√+(√-6-2)Ω¤;2!;AB”='1ßå7이므로주어진구의방정식은(x-2)¤+(y-4)¤+(z+2)¤=17(cid:8837)30% 배점위의방정식에x=0을대입하면(-2)¤+(y-4)¤+(z+2)¤=17∴(y-4)¤+(z+2)¤=13(cid:8837)40% 배점답구하기•따라서주어진구와yz평면이만나서생기는단면은반지름의길이가'∂13인원이므로구하는단2+(-6)24+421+322+(-2)+(-2)35+5+(-5)31+(-1)+13중단원연습문제(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:18 PM 페이지54 SinsagoHitec 08 공간좌표55(cid:8833)본책229~230쪽공간좌표08면의넓이는p¥('∂13)¤=13p(cid:8837)30% 배점(cid:9000)13p06yz평면위의점C에대하여AB”=BC”=CA”이어야함을이용한다.`점C가yz평면위에있으므로C(0,b,c)라하자.이때△ABC가정삼각형이려면AB”=BC”=CA”,즉AB”¤=BC”¤=CA”¤이어야하므로AB”¤=BC”¤에서(2-1)¤+(-2)¤+1¤=(-2)¤+b¤+(c-1)¤∴b¤+c¤-2c-1=0yy㉠㉠㉠또BC”¤=CA”¤에서(-2)¤+b¤+(c-1)¤=1¤+(2-b)¤+(-c)¤∴c=2byy㉡㉠㉠㉡`을㉠`에대입하여정리하면5b¤-4b-1=0,(cid:100)(cid:100)(5b+1)(b-1)=0∴b=-;5!;또는b=1yy㉢㉠㉠㉢`을㉡`에대입하면(cid:100)(cid:100)b=-;5!;일때c=-;5@;,b=1일때c=2∴C{0,-;5!;,-;5@;},C(0, 1, 2)(cid:9000)C{0,-;5!;,-;5@;},C(0, 1, 2)07점A에서xy평면에내린수선의발H의좌표를구한후AP”="√AH”¤+HP”¤임을이용한다.`점A에서xy평면에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)H(9,0,0)(cid:100)(cid:100)∴AP”="√AH”¤+HP”¤="√5¤+HP”¤P(-3, 0, 0)일때HP”의길이가최대이므로(cid:100)(cid:100)AP”…"√5¤+(-3-9)¤(cid:100)(cid:100)AP="√5¤+12¤=13(cid:9000)1308xy평면위의점은z좌표가0임을이용한다.`선분AB를2:1로내분하는점을P라하면점P의좌표는(cid:100)(cid:100)P{,,}2¥a+1¥22+12¥3+1¥02+12¥2+1¥42+1(cid:100)(cid:100)∴P{;3*;, 2, }이때점P가xy평면위에있으므로(cid:100)(cid:100)=0(cid:100)(cid:100)∴a=-1(cid:9000)②09먼저내분점의좌표를구하는공식을이용하여두점P,Q의좌표를구한다.선분BC를2：1로내분하는점P의좌표는(cid:100)(cid:100)P{,,}(cid:100)(cid:100)∴P(0, 1, 2)선분AC를1：2로내분하는점Q의좌표는(cid:100)(cid:100)Q{,,}(cid:100)(cid:100)∴Q(2, 0, 1)따라서P'(0, 1, 0),Q'(2, 0, 0)이므로오른쪽그림에서구하는넓이는;2!;¥2¥1=1(cid:9000)①10문제이해•주어진구의방정식에서x¤+y¤+z¤-4x+4y-az-b=0yy㉠(cid:100)(cid:100)∴(x-2)¤+(y+2)¤+{z-;2A;}2=+b+8따라서이구의중심의좌표는{2, -2, ;2A;},반지름의길이는Æ…+b+8이다.(cid:8837)30% 배점해결과정•이구가xy평면에접하므로(cid:100)(cid:100)|;2A;|=Æ…+b+8양변을제곱하면(cid:100)(cid:100){;2A;}2=+b+8(cid:100)(cid:100)∴b=-8(cid:8837)30% 배점또점(5, -2, 3)이구위의점이므로㉠`에대입하면25+4+9-20-8-3a+8=0(cid:100)(cid:100)3a=18(cid:100)(cid:100)∴a=6(cid:8837)30% 배점답구하기•∴a+b=-2(cid:8837)10% 배점(cid:9000)-2a¤4a¤4a¤4a¤4yzOxACBPP'Q'Q1¥3+2¥01+21¥0+2¥01+21¥0+2¥31+22¥3+1¥02+12¥0+1¥32+12¥0+1¥02+12a+232a+23(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:18 PM 페이지55 SinsagoHitec 56정답및풀이11점C에서평면PQR에내린수선의발이△PQR의무게중심임을이용하여원뿔의높이를구한다. `x¤+y¤+z¤-6x-6y-6z+18=0에서(cid:100)(cid:100)(x-3)¤+(y-3)¤+(z-3)¤=9이므로(cid:100)(cid:100)C(3, 3, 3), P(3, 3, 0),(cid:100)(cid:100)Q(0, 3, 3), R(3, 0, 3)점C에서평면PQR에내린수선의발을H라하면점H는정삼각형PQR의무게중심이므로H{,,}(cid:100)(cid:100)∴H(2, 2, 2)또점H는원뿔의밑면인원의중심이므로밑면의반지름의길이는HP”="√(3-2)¤+(3-2)¤+√(-2)¤='6원뿔의높이는(cid:100)(cid:100)CH”="√(2-3)¤+√(2-3)¤+(2-3)¤='3따라서구하는원뿔의부피는;3!;p¥('6)¤¥'3=2'3p(cid:9000)2'3p12해결과정•구의중심의좌표를(a, b, c)라하면구의반지름의길이가5이므로구의방정식은(x-a)¤+(y-b)¤+(z-c)¤=25xy평면위의점은z좌표가0이므로구의방정식에z=0을대입하면(x-a)¤+(y-b)¤+(-c)¤=25∴(x-a)¤+(y-b)¤=25-c¤(cid:8837)40% 배점이방정식이(x-2)¤+(y-3)¤=10과일치하므로a=2, b=3, 25-c¤=10∴a=2, b=3, c=—'1ß5(cid:8837)30% 배점답구하기•따라서두구의중심의좌표가각각(2, 3, '1å5),(2, 3, -'1å5)이므로두구의중심사이의거리는2'1å5이다.(cid:8837)30% 배점(cid:9000)2'1å50+3+333+3+033+0+33zyRQPCHOx333두구의중심을각각C,C'이라하고,점C에서xy평면까지의거리를d라하면오른쪽그림에서d=øπ5¤-('1å0)¤d='1å5따라서두구의중심사이의거리는C’C'”=2d=2'1å513y축위의점은x좌표와z좌표가모두0임을이용한다.y축위의점은x좌표,z좌표가모두0이므로주어진구의방정식에x=0,z=0을대입하면y¤-2y-24=0,(cid:100)(cid:100)(y+4)(y-6)=0(cid:100)(cid:100)∴y=-4또는y=6따라서주어진구와y축의두교점A, B의좌표는(0, -4, 0),(0, 6, 0)∴AB”=|6-(-4)|=10(cid:9000)⑤`14구의중심C에서직선l에내린수선의발을H라하고CH”Ú의길이를구한다.`x¤+y¤+z¤+4x-6y-2z-2=0에서(x+2)¤+(y-3)¤+(z-1)¤=16이므로이구의반지름의길이는4이다.구의중심을C,점C에서직선l에내린수선의발을H라하면A’H”=;2!;AB”=3직각삼각형CAH에서CH”=øπCA”¤-AH”¤="√4¤-3¤CH”='7l64CABHxyC'C5dÂ1°0·구(x-a)¤+(y-b)¤+(z-c)¤=r¤과좌표축의교점의좌표는다음과같이구한다.①x축:구의방정식에y=0, z=0을대입한후x에대한이차방정식을푼다.②y축:구의방정식에x=0, z=0을대입한후y에대한이차방정식을푼다.③z축:구의방정식에x=0, y=0을대입한후z에대한이차방정식을푼다.Remark구와좌표축의교점의좌표(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:18 PM 페이지56 SinsagoHitec 08 공간좌표57(cid:8833)본책231~232쪽공간좌표08따라서구의중심과직선l사이의거리는'7이다.(cid:9000)③15문제이해•주어진구의방정식에z=0을대입하면x¤+y¤+4x+2y-4=0∴(x+2)¤+(y+1)¤=9따라서주어진구와xy평면의교선은중심의좌표가(-2,-1,0)이고반지름의길이가3인원이다.(cid:8837)40% 배점해결과정•오른쪽그림과같이이원의중심을C,점A에서xy평면에내린수선의발을A',C’A'”이원과만나는점을P라하면점A에서이원위의점까지의거리의최솟값은AP”의길이와같다.A'(1, 3, 0)이므로C’A'”="(√1+2√)¤+√(3+ç1)Ω¤=5∴P’A'”=C’A'”-CP”=5-3=2(cid:8837)40% 배점답구하기•이때A’A'”=2이므로직각삼각형APA'에서AP”=øπP’A'”¤π+A’’∑A'¥”¤AP”="ç2¤+2¤=2'2(cid:8837)20% 배점(cid:9000)2'216문제이해•오른쪽그림과같이점A를원점으로하고,선분AD,AE가각각x축,y축의양의방향과일치하도록AB”,AC”를좌표공간에놓자. (cid:8837)10% 배점해결과정•삼각형ABD에서AD”=AB”cos45°=6¥=3'2 BD”=AB”sin45°=6¥=3'2(cid:100)(cid:100)∴B(3'2, 0, 3'2), D(3'2, 0, 0)(cid:8837)20% 배점삼각형CAE에서AE”=AC”cos60°=4'6¥;2!;=2'6CE”=AC”sin60°=4'6¥=6'2'32'22'22CBEDA64Â660æ45æxzyxy3A'APC(cid:100)(cid:100)∴C(0, 2'6, 6'2), E(0, 2'6, 0)(cid:8837)20% 배점한편선분BC의평면a위로의정사영은선분DE이고BC”="√(-3'2)¤+(2'6)¤√+(6'2-3'2)¤BC”=2'∂15DE”="√(-3'2)¤+(2'6)¤DE”='∂42이므로DE”=BC”cosh에서cosh=cosh==(cid:100)(cid:100)∴cos¤h=;1¶0;(cid:8837)40% 배점답구하기•따라서p=10, q=7이므로(cid:100)(cid:100)p+q=17(cid:8837)10% 배점(cid:9000)1717점H를원점으로하는좌표공간을설정하여각점의좌표를구한다.`오른쪽그림과같이점H를원점으로하고,세모서리HE,HG,HD가각각x축,y축,z축의양의방향과일치하도록정육면체를좌표공간에놓자.이때두선분IJ,KL의중점을각각M,N이라하면A(8, 0, 8),C(0, 8, 8),D(0, 0, 8)이므로(cid:100)(cid:100)I(2, 0, 8), J(0, 2, 8)(cid:100)(cid:100)∴M(1, 1, 8)또E(8, 0, 0),G(0, 8, 0),H(0, 0, 0)이므로(cid:100)(cid:100)K(6, 0, 0),L(0, 6, 0)∴N(3, 3, 0)따라서(cid:8772)IKLJ에서IJ”="√(-2)¤+2¤=2'2KL”="√(-6)¤+6¤=6'2MN”="√(3-1)¤√+(3-1)¤+(-8)¤MN”=6'2이므로구하는넓이는(cid:100)(cid:100);2!;¥(2'2+6'2`)¥6'2=48(cid:9000)48AIBCDJEFGHKLzxy888'∂7010'∂422'∂15DE”BC”(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:18 PM 페이지57 SinsagoHitec 58정답및풀이18구의중심의좌표를(a,b,c)라하고,반지름의길이를a,b,c에대한식으로나타낸다.`구S의반지름의길이를r,중심의좌표를C(a, b, c)(a>0, b>0, c>0)라하자.구S가x축과y축에접하는점을각각A,B라하면(cid:100)(cid:100)A(a, 0, 0), B(0, b, 0)r=AC”=BC”이므로(cid:100)(cid:100)r¤=b¤+c¤=a¤+c¤(cid:100)(cid:100)∴a=b(∵a>0,b>0)따라서구S의방정식은(cid:100)(cid:100)(x-a)¤+(y-a)¤+(z-c)¤=a¤+c¤y㉠㉠한편구S가xy평면과만나서생기는원의방정식은㉠`에z=0을대입하면되므로(cid:100)(cid:100)(x-a)¤+(y-a)¤+(-c)¤=a¤+c¤(cid:100)(cid:100)∴(x-a)¤+(y-a)¤=a¤이원의넓이가64p이므로(cid:100)(cid:100)a¤p=64p,(cid:100)(cid:100)a¤=64(cid:100)(cid:100)∴a=8(∵a>0)a=8을㉠`에대입하면(cid:100)(cid:100)(x-8)¤+(y-8)¤+(z-c)¤=64+c¤y㉡㉠또구S가z축과만나는두점의z좌표는x=0, y=0을㉡`에대입하면되므로(cid:100)(cid:100)64+64+(z-c)¤=64+c¤(cid:100)(cid:100)(z-c)¤=c¤-64(cid:100)(cid:100)∴z=c—"√c¤-64구S가z축과만나는두점사이의거리가8이므로(cid:100)(cid:100)(c+"√c¤-64)-(c-"√c¤-64)=8(cid:100)(cid:100)"√c¤-64=4,(cid:100)(cid:100)c¤-64=16(cid:100)(cid:100)∴c¤=80따라서구S의반지름의길이는(cid:100)(cid:100)r="√a¤+c¤='ƒ64+80=12(cid:9000)②19먼저세반평면과두구를모두평면p위로정사영시켜본다.오른쪽그림과같이반평면a,b,c와두구의평면p위로의정사영에서반평면b의정사영을m,반지름의길이가2,4인구의중심의정사영을각각A,B라하자.m60æ60æOABCDE24또직선l과평면p의교점을O,두점A,B에서반직선m에내린수선의발을각각D,E라하면(cid:100)(cid:100)AD”=2,BE”=4직각삼각형OAD에서(cid:100)(cid:100)OD”=AD”tan30°(cid:100)(cid:100)OD=2¥=직각삼각형OEB에서(cid:100)(cid:100)OE”=BE”tan30°(cid:100)(cid:100)OE”=4¥=BC”=DE”=OE”-OD”=이므로직각삼각형ABC에서AB”=øπAC”¤+BC”¤=æ≠(2+4)¤+{}¤AB”=æ≠또두구의반지름의길이의차가2이므로오른쪽그림에서(cid:100)(cid:100)d¤=2¤+{æ≠}¤(cid:100)(cid:100)d¤=∴3d¤=124(cid:9000)12412431123AdB2π4112311232'332'334'33'332'33'33(028-058)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:18 PM 페이지58 SinsagoHitec 09 공간벡터59(cid:8833)본책232~245쪽공간벡터09본책240~249`쪽유제Ⅳ.공간벡터09공간벡터076-1c≤=ka≤+hb≤이므로(cid:100)(cid:100)(-4,12,5)=k(1,3,-2)+h(-2,2,3)(cid:100)(cid:100)(-4,12,5)=(k-2h,3k+2h,-2k+3h)벡터가서로같을조건에의하여(cid:100)(cid:100)-4=k-2h,12=3k+2h,5=-2k+3h위의세식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)k=2,h=3(cid:9000)k=2,h=3076-23(a≤+b≤)+2(a≤-3c≤)=5a≤+3b≤-6c≤=5(-1,1,1)+3(4,1,-3)-6(1,2,0)=(-5+12-6,5+3-12,5-9+0)=(1,-4,-4)(cid:100)(cid:100)∴|3(a≤+b≤)+2(a≤-3c≤)|="√1¤+(-4)¤+√(-4)¤='∂33(cid:9000)'∂33076-3두벡터a≤-b≤≤,-a≤+c≤가서로평행하려면(cid:100)(cid:100)a≤-b≤≤=k(-a≤+c≤)를만족시키는0이아닌실수k가존재해야한다.이때(cid:100)(cid:100)a≤-b≤≤=(-3,0,2)-(m-1,-n+2,0)(cid:100)(cid:100)a≤-b≤≤=(-m-2,n-2,2), (cid:100)(cid:100)-a≤+c≤=-(-3,0,2)+(-7,-2,3)=(-4,-2,1)이므로(cid:100)(cid:100)(-m-2,n-2,2)=k(-4,-2,1)=(-4k, -2k, k)벡터가서로같을조건에의하여(cid:100)(cid:100)-m-2=-4k, n-2=-2k, 2=k위의세식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)k=2,m=6,n=-2(cid:9000)m=6,n=-2077-1AB≥=(3,3,-4)-(1, 2, -2)=(2, 1, -2)이므로(cid:100)(cid:100)|AB≥|="√2¤+1¤+(-2)¤=3따라서AB≥와방향이같고크기가9인벡터는(cid:100)(cid:100)9_=9_;3!;AB≥=3AB≥(cid:100)(cid:100)9_=3(2, 1, -2)(cid:100)(cid:100)9_=(6, 3, -6)(cid:9000)(6, 3, -6)077-2점P의좌표를(x,y,z)라하면(cid:100)(cid:100)AP≥=(x,y,z-1)(cid:100)(cid:100)BP≥=(x-2,y-1,z-3)'2|AP≥|=|BP≥|이므로(cid:100)(cid:100)'2"√x¤+y¤+(z-1)¤="√(x-2)¤+(y-1)¤√+(z-3)¤(cid:100)(cid:100)2{x¤+y¤+(z-1)¤}=(x-2)¤+(y-1)¤+(z-3)¤(cid:100)(cid:100)∴(x+2)¤+(y+1)¤+(z+1)¤=18따라서점P가나타내는도형은반지름의길이가`'∂18인구이므로구하는도형의겉넓이는(cid:100)(cid:100)4p_('∂18)¤=72p(cid:9000)72p078-1⑴△ABE는정삼각형이므로두벡터AB≥,⑴AE≥가이루는각의크기는60°이다.⑴(cid:100)(cid:100)∴AB≥¥AE≥=|AB≥||AE≥|cos60°⑴(cid:100)(cid:100)∴AB≥¥AD≥=2_2_;2!;=2⑵(cid:8772)ABFD는정사각형이므로(cid:100)(cid:100)AF≥⊥BD≥⑴(cid:100)(cid:100)∴AF≥¥BD≥=|AF≥||BD≥|cos90°⑴(cid:100)(cid:100)∴AB≥¥CD≥=2'2_2'2_0=0(cid:9000)⑴2⑵0079-1|a≤|=7이므로(cid:100)(cid:100)"√(x-4)¤+3¤+x¤=7양변을제곱하여정리하면(cid:100)(cid:100)x¤-4x-12=0,(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴x=6(∵x>0)즉a≤=(2,3,6),b≤=(12,1,1)이므로(cid:100)(cid:100)a≤¥b≤=2_12+3_1+6_1=33(cid:9000)33079-2ta≤+b≤=t(1, -1, 0)+(-3, 1, 4)=(t-3, -t+1, 4),a≤+tb≤=(1, -1, 0)+t(-3, 1, 4)=(-3t+1, t-1, 4t)이므로AB≥|AB≥|(059-065)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:19 PM 페이지59 SinsagoHitec 60정답및풀이(cid:100)(cid:100)f(t)=(ta≤+b≤)¥(a≤+tb≤)(cid:100)(cid:100)f(t)=(t-3, -t+1, 4)¥(-3t+1, t-1, 4t)(cid:100)(cid:100)f(t)=(t-3)(-3t+1)+(-t+1)(t-1)+16t(cid:100)(cid:100)f(t)=-4t¤+28t-4(cid:100)(cid:100)f(t)=-4{t-;2&;}2+45따라서f(t)는t=;2&;일때최댓값45를갖는다.(cid:9000);2&;080-1두벡터a≤, b≤가이루는각의크기가;3@;p이므로(cid:100)(cid:100)cos;3@;p=(cid:100)(cid:100)-;2!;=(cid:100)(cid:100)6x+2="√14(x¤+10)양변을제곱하여정리하면(cid:100)(cid:100)11x¤+12x-68=0,(cid:100)(cid:100)(11x+34)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴x=2(∵x>0)(cid:9000)2080-2AB≥=(1, -1, 2)-(1, -1, -1)=(0, 0, 3),AC≥=(2, 0, 1)-(1, -1, -1)=(1, 1, 2)두벡터AB≥, AC≥가이루는각의크기를h라하면(cid:100)(cid:100)cosh=(cid:100)(cid:100)cosh=(cid:100)(cid:100)cosh==따라서sinh="√1-cos¤h=이므로(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_AB”_AC”_sinh(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_3_'6_=(cid:9000)081-1a≤⊥`b≤이면a≤¥`b≤=0이므로(cid:100)(cid:100)(1,2,x)¥(-1,y,7)=0(cid:100)(cid:100)-1+2y+7x=0yy㉠(cid:100)(cid:100)3'223'22'33'33'632"63_23"√1¤+1¤+2¤AB≥¥AC≥|AB≥||AC≥|-3x-1"√x¤+10'∂141_2+3_(-1)-3x"√1¤+3¤+x¤"√2¤+(-1)¤+(-3)¤b≤⊥`c≤이면b≤¥`c≤=0이므로(cid:100)(cid:100)(-1,y,7)¥(z,-1,1)=0(cid:100)(cid:100)-z-y+7=0yy㉡(cid:100)(cid:100)c≤⊥a≤이면c≤¥a≤=0이므로(cid:100)(cid:100)(z,-1,1)¥(1,2,x)=0(cid:100)(cid:100)z-2+x=0yy㉢(cid:100)(cid:100)㉠,㉡,㉢`을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)x=-1, y=4,z=3(cid:9000)x=-1, y=4, z=3081-2오른쪽그림과같이O’A≥=a≤,OB≥=b≤,OC≥=c≤라하면(cid:100)(cid:100)BC≥=OC≥-OB≥=c≤-b≤이므로(cid:100)(cid:100)O’A≥¥BC≥=a≤¥(c≤-b≤)=a≤¥c≤-a≤¥b≤yy`㉠(cid:100)(cid:100)이때|a≤|=|b≤|=|c≤|이고∠AOC=∠AOB=;3“;이므로㉠`에서(cid:100)(cid:100)O’A≥¥BC≥=|a≤||c≤|cos;3“;-|a≤||b≤|cos;3“;=0(cid:100)(cid:100)∴O’A≥⊥BC≥,즉OA”⊥`BC”(cid:9000)풀이참조BCOAabc(cid:8833)본책250~253쪽중단원연습문제01②02③03-;3*;04;3!;05P{1,;2!;,;3!;}06;1!7$;071208-;2#;a≤+b≤+c≤09②10④111212;;¡2¡;;13③14②15⑤161061740181201주어진전개도로정육면체를만들어AB≥와같은벡터를찾는다.`주어진전개도로정육면체를만들면오른쪽그림과같으므로(cid:100)(cid:100)AB≥=DC≥(cid:9000)②CFBDAE(059-065)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:19 PM 페이지60 SinsagoHitec 09 공간벡터61(cid:8833)본책247~250쪽공간벡터0902주어진벡터를꼭짓점A를시점으로하는벡터로나타낸다.`a≤+b≤-c≤=AB≥+AD≥-AE≥=(AB≥+BC≥)-AE≥=AC≥-AE≥=EC≥(cid:9000)③03문제이해•두벡터a≤+2b≤,a≤-c≤가서로평행하면(cid:100)(cid:100)a≤-c≤=k(a≤+2b≤)를만족시키는0이아닌실수k가존재한다.(cid:8837)30% 배점해결과정•a≤+2b≤=(-1,4,0)+2(2,1,-1)=(3,6,-2),a≤-c≤=(-1,4,0)-(m+2,2,n)=(-m-3,2,-n)이므로(cid:100)(cid:100)(-m-3,2,-n)=k(3,6,-2)=(3k,6k,-2k)벡터가서로같을조건에의하여(cid:100)(cid:100)-m-3=3k, 2=6k, -n=-2k(cid:8837)40% 배점답구하기•위의세식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)k=;3!;, m=-4, n=;3@;(cid:100)(cid:100)∴mn=-;3*;(cid:8837)30% 배점(cid:9000)-;3*;04세점A,B,C가한직선위에있으려면AC≥=kAB≥를만족시키는0이아닌실수k가존재해야한다.`세점A,B,C가한직선위에있으려면(cid:100)(cid:100)AC≥=kAB≥를만족시키는0이아닌실수k가존재해야한다.이때(cid:100)(cid:100)AB≥=(x,2,y)-(2,3,5)(cid:100)(cid:100)AB≥=(x-2,-1,y-5),(cid:100)(cid:100)AC≥=(-y+1,5,2x-3)-(2,3,5)(cid:100)(cid:100)AC≥=(-y-1,2,2x-8)이므로(cid:100)(cid:100)(-y-1,2,2x-8)=k(x-2,-1,y-5)=(k(x-2),-k,k(y-5))벡터가서로같을조건에의하여(cid:100)(cid:100)-y-1=k(x-2),2=-k,(cid:100)(cid:100)2x-8=k(y-5)위의세식을연립하여풀면`(cid:100)(cid:100)k=-2,x=:¡3¢:,y=:¡3£:(cid:100)(cid:100)∴x-y=;3!;(cid:9000);3!;05PA≥=O’A≥-OP≥임을이용하여주어진식을변형한다.2P’A≥+PB≥+3PC≥=2(O’A≥-OP≥)+(OB≥-OP≥)+3(OC≥-OP≥)=2O’A≥+OB≥+3OC≥-6OP≥이므로(cid:100)(cid:100)2O’A≥+OB≥+3OC≥-6OP≥=0≤(cid:100)(cid:100)∴OP≥=;6!;(2O’A≥+OB≥+3OC≥)이때OA≥=(2, 1, -3), OB≥=(-1, 4, 2), OC≥=(1, -1, 2)이므로(cid:100)(cid:100)OP≥=;6!;{2(2,1,-3)+(-1,4,2)(cid:100)(cid:100)OP≥=;6!;+3(1,-1,2)}(cid:100)(cid:100)OP≥≥=;6!;(6,3,2)(cid:100)(cid:100)OP≥≥={1,;2!;,;3!;}따라서점P의좌표는{1,;2!;,;3!;}이다.(cid:9000)P{1,;2!;,;3!;}2P’A≥+PB≥+3PC≥=0≤에서(cid:100)(cid:100)2P’A≥+PB≥=3CP≥(cid:100)(cid:100)∴=CP≥이때=PQ≥라하면점Q는선분BA를2:1로내분하는점이므로점Q의좌표는(cid:100)(cid:100){,,}, 즉{1,2,-;3$;}-6+232+434-13AQBCP122PA≥+PB≥32PA≥+PB≥3Remark①AG≥=a≤+b≤+c≤②DF≥=a≤-b≤+c≤④FH≥=-a≤+b≤⑤HB≥=a≤-b≤-c≤(059-065)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:19 PM 페이지61 SinsagoHitec 62정답및풀이또CP≥=PQ≥에서점P는선분CQ의중점이므로점P의좌표는(cid:100)(cid:100)ª,,º,즉{1,;2!;,;3!;}06두벡터a≤,b≤의크기와내적을이용한다.`a≤=(2,-3,2),b≤=(1,-4,0)에서(cid:100)(cid:100)a≤¥b≤=(2,-3,2)¥(1,-4,0)=14(cid:100)(cid:100)|a≤|="2√¤+(√-3)¤√+2¤='1ß7(cid:100)(cid:100)|b≤|="1√¤+(√-4)¤√+0¤='1ß7(cid:100)(cid:100)∴cosh==(cid:100)(cid:100)∴cosh=;1!7$;(cid:9000);1!7$;07해결과정•a≤⊥b≤이면a≤¥b≤=0이므로(cid:100)(cid:100)(9,x+1,-12)¥(-8,x,7)=0(cid:8837)50% 배점답구하기•-72+x(x+1)-84=0(cid:100)(cid:100)x¤+x-156=0(cid:100)(cid:100)(x+13)(x-12)=0(cid:100)(cid:100)∴x=12(∵x>0)(cid:8837)50% 배점(cid:9000)1208M’D≥=M’A≥+A’D≥이므로두벡터M’A≥와AD≥를a≤,b≤,c≤로나타낸다.`다음그림과같이선분BC의중점을N이라하자.이때ON≥=;2!;(OB≥+OC≥)=;2!;(b≤+c≤)이므로(cid:100)(cid:100)AN≥=ON≥-OA≥(cid:100)(cid:100)AN≥=;2!;(b≤+c≤)-a≤(cid:100)(cid:100)AN≥=-a≤+;2!;b≤+;2!;c≤cabOO'ADMCBN14'1ß7'1ß7a≤¥b≤|a≤||b≤|2+{-;3$;}2-1+221+12(cid:8772)ABDC가마름모이므로(cid:100)(cid:100)AD≥=2AN≥∴M’D≥=M’A≥+AD≥=;2!;OA≥+2AN≥∴MD≥=;2!;a≤-2a≤+b≤+c≤∴MD≥=-;2#;a≤+b≤+c≤(cid:9000)-;2#;a≤+b≤+c≤09점P가xy평면위의점임을이용하여주어진벡터를성분으로나타낸다.`점P의좌표를(x,y,0)이라하면(cid:100)(cid:100)PA≥=(3-x,4-y,5),(cid:100)(cid:100)PB≥=(4-x,8-y,6),(cid:100)(cid:100)PC≥=(5-x,3-y,7)따라서PA≥+PB≥+PC≥=(12-3x,15-3y,18)이므로(cid:100)(cid:100)=(4-x,5-y,6)(cid:100)(cid:100)∴||="√(4-x)¤+√(5-y)¤+6¤따라서x=4, y=5일때구하는최솟값은6이다.(cid:9000)②삼각형ABC의무게중심을G라하면(cid:100)(cid:100)G{, , },즉(cid:100)(cid:100)G(4, 5, 6)||=|PG≥|이고, |PG≥|의값이최소이려면점G에서xy평면에내린수선의발이점P이어야하므로(cid:100)(cid:100)P(4, 5, 0)따라서|PG≥|의최솟값은6이다.10중심이각각A,B인두구가원점O에서서로접하면세점O,A,B는한직선위에있어야한다.PA≥+PB≥+PC≥35+6+734+8+333+4+53PA≥+PB≥+PC≥3PA≥+PB≥+PC≥3Remark평행사변형에서벡터의성질평행사변형ABCD에서두대각선은서로를이등분하므로두대각선의교점을M이라하면(cid:100)(cid:100)AM≥=;2!;AC≥(cid:100)(cid:100)AM≥=;2!;(AB≥+AD≥)ADBCM(059-065)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:19 PM 페이지62 SinsagoHitec 09 공간벡터63(cid:8833)본책251~252쪽공간벡터09`구(x-1)¤+(y-2)¤+(z-1)¤=6의중심을A라하면(cid:100)(cid:100)A(1, 2, 1)x¤+y¤+z¤+6x+2ay+2bz=0에서(cid:100)(cid:100)(x+3)¤+(y+a)¤+(z+b)¤=9+a¤+b¤이구의중심을B라하면(cid:100)(cid:100)B(-3, -a, -b)두구가원점O에서서로접하면세점O, A, B가한직선위에있으므로(cid:100)(cid:100)OB≥=kOA≥를만족시키는실수k가존재한다.즉(cid:100)(cid:100)(-3, -a, -b)=k(1, 2, 1)=(k, 2k, k)벡터가서로같을조건에의하여(cid:100)(cid:100)-3=k, -a=2k, -b=k이므로(cid:100)(cid:100)k=-3, a=6, b=3(cid:100)(cid:100)∴a+b=9(cid:9000)④11주어진입체도형을좌표공간에놓고각꼭짓점의좌표를구한다.`주어진도형을점B를원점,△BCD를xy평면,BD”를y축의양의방향으로하는좌표공간에나타내면(cid:100)(cid:100)B(0, 0, 0), D(0, 6, 0), C(3'3, 3, 0)따라서△BCD의무게중심의좌표는(cid:100)(cid:100){, , 0},즉('3, 3, 0)이고,두점A,E에서xy평면에내린수선의발이△BCD의무게중심과일치하므로(cid:100)(cid:100)A('3, 3, 2'6), E('3, 3, -2'6)따라서BA≥=('3, 3, 2'6),DE≥=('3, -3, -2'6)이므로(cid:100)(cid:100)BA≥+DE≥=(2'3, 0, 0)(cid:100)(cid:100)∴|BA≥+DE≥|¤=(2'3)¤=12(cid:9000)1212해결과정•점P의좌표를(x,y,z)로놓으면(cid:100)(cid:100)PA≥=(-3-x, 4-y, -3-z),(cid:100)(cid:100)PB≥=(5-x, -y, 3-z)(cid:100)(cid:100)∴PA≥+PB≥=(2-2x,4-2y,-2z)|PA≥+PB≥|=1에서(cid:100)(cid:100)"√(2-2x)¤+√(4-2y)¤+(-2z)¤=16+333'33(cid:100)(cid:100)∴(x-1)¤+(y-2)¤+z¤={;2!;}2(cid:100)yy㉠(cid:100)(cid:100)(cid:8837)30% 배점점Q의좌표를(x,y,z)로놓으면(cid:100)(cid:100)OQ≥+OA≥=(x-3, y+4, z-3)|OQ≥+OA≥|=1에서(cid:100)(cid:100)"√(x-3)¤√+(y+4)¤+(z-3)¤=1(cid:100)(cid:100)∴(x-3)¤+(y+4)¤+(z-3)¤=1y㉡(cid:100)(cid:100)(cid:8837)30% 배점㉠,㉡`에서두점P,Q는중심의좌표가각각(1,2,0),(3,-4,3)이고반지름의길이가각각;2!;,1인구위의점이다.(cid:8837)10% 배점답구하기•이때두구의중심사이의거리는(cid:100)(cid:100)"√(3-1)¤+(-4-2)¤√+3¤=7이므로두점P, Q사이의거리의최솟값은(cid:100)(cid:100)7-{;2!;+1}=:¡2¡:(cid:8837)30% 배점(cid:9000):¡2¡:13정사면체ABCD의각면은한변의길이가2인정삼각형임을이용한다.`△ABC,△DBC는정삼각형이므로(cid:100)(cid:100)MA”=MD”=_2='3점A에서△BCD에내린수선의발을H라하면점H는△BCD의무게중심이므로(cid:100)(cid:100)MH”=;3!;MD”∠AMH=h라하면(cid:100)(cid:100)cosh===;3!;(cid:100)(cid:100)∴MA≥¥MD≥=|MA≥||MD≥|cosh(cid:100)(cid:100)∴MA≥¥MD≥='3_'3_;3!;=1(cid:9000)③14AB≥=a≤,AD≥=b≤,AE≥=c≤로놓고,각각의벡터를a≤,b≤,c≤로나타낸다.`AB≥=a≤,AD≥=b≤,AE≥=c≤라하면(cid:100)(cid:100)a≤¥b≤=0, b≤¥c≤=0, c≤¥a≤=0ㄱ.AF≥=AB≥+AE≥=a≤+c≤,ㄱ.FC≥=ED≥=AD≥-AE≥=b≤-c≤이므로;3!;MD”MD”MH”MA”'32(059-065)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:19 PM 페이지63 SinsagoHitec 64정답및풀이ㄱ.(cid:100)(cid:100)AF≥¥FC≥=(a≤+c≤)¥(b≤-c≤)ㄱ.(cid:100)(cid:100)AF≥¥FC=a≤¥b≤-a≤¥c≤+c≤¥b≤-c≤¥c≤ㄱ.(cid:100)(cid:100)AF≥¥FC=-|c≤|¤<0ㄴ.AG≥=a≤+b≤+c≤,ㄴ.EB≥=AB≥-AE≥=a≤-c≤이므로ㄴ.(cid:100)(cid:100)AG≥¥EB≥=(a≤+b≤+c≤)¥(a≤-c≤)ㄴ.(cid:100)(cid:100)AG≥¥EB≥=a≤¥a≤-a≤¥c≤+b≤¥a≤ㄴ.(cid:100)(cid:100)AG≥¥EB≥=-b≤¥c≤+c≤¥a≤-c≤¥c≤ㄴ.(cid:100)(cid:100)AG≥¥EB≥=|a≤|¤-|c≤|¤ㄴ.이때AG≥¥EB≥=0이면ㄴ.(cid:100)(cid:100)|a≤|¤-|c≤|¤=0.ㄱ.(cid:100)(cid:100)∴|a≤|=|c≤|ㄱ.따라서사각형AEFB는정사각형이다.ㄷ.CE≥=CA≥+AE≥=-a≤-b≤+c≤이므로ㄷ.(cid:100)(cid:100)AG≥¥CE≥=(a≤+b≤+c≤)¥(-a≤-b≤+c≤)ㄷ.(cid:100)(cid:100)AG≥¥CE≥=-a≤¥a≤-a≤¥b≤+a≤¥c≤ㄷ.(cid:100)(cid:100)AG≥¥CE≥=-b≤¥a≤-b≤¥b≤+b≤¥c≤ㄷ.(cid:100)(cid:100)AG≥¥CE≥=-c≤¥a≤-c≤¥b≤+c≤¥c≤ㄷ.(cid:100)(cid:100)AG≥¥CE≥=-|a≤|¤-|b≤|¤+|c≤|¤ㄱ.이때AG≥¥CE≥=0이면ㄱ.(cid:100)(cid:100)|a≤|¤+|b≤|¤=|c≤|¤ㄱ.따라서직육면체ABCD-EFGH는정육면체가아니다.이상에서옳은것은ㄱ,ㄴ이다.(cid:9000)②15주어진입체도형을좌표공간에놓고각꼭짓점의좌표를구한다.`주어진도형을점D를원점으로하고DÚA”,DF”를각각z축,y축의양의방향으로하는좌표공간에나타내면(cid:100)(cid:100)A(0, 0, 2),B('3, 1, 2),C(0, 2, 2),(cid:100)(cid:100)D(0, 0, 0),E('3, 1, 0),F(0, 2, 0)0이상2이하의실수p,q,r,s에대하여(cid:100)(cid:100)P(0, 0, p),Q(0, 0, q),R('3, 1, r),(cid:100)(cid:100)S(0, 2, s)라하면Remark세벡터a≤,b≤,c≤가서로수직이면(cid:100)(cid:100)a≤`¥`b≤=0, b≤`¥`c≤=0, c≤≤`¥`a≤=0(cid:100)(cid:100)PR≥=('3, 1, r-p),QS≥=(0, 2, s-q)(cid:100)(cid:100)∴PR≥+QS≥=('3, 3, -p-q+r+s)(cid:100)(cid:100)∴PR≥-QS≥=('3, -1, -p+q+r-s)(cid:100)(cid:100)∴|PR≥+QS≥|="√('3)¤+3¤√+(-p-√q+r+s)¤(cid:100)(cid:100)∴|PR≥+QS≥|="√(-p-q√+r+s)¤√+12(cid:100)(cid:100)∴|PR≥-QS≥|(cid:100)(cid:100)="√('3)¤+(√-1)¤+(√-p+q+√r-s)¤(cid:100)(cid:100)="√(-p+q√+r-s)¤√+4따라서p=q=0,r=s=2일때|PR≥+QS≥|가최대이므로(cid:100)(cid:100)M="√4¤+12=2"7p=s=0,q=r=2일때|PR≥-QS≥|가최대이므로(cid:100)(cid:100)m="√4¤+4=2"5(cid:100)(cid:100)∴M¤+m¤=28+20=48(cid:9000)⑤16삼수선의정리를이용하여먼저두벡터가이루는각의크기에대한코사인값을구한다.`오른쪽그림과같이직사각형모양의종이를접기전에DC≥=AB'≥이므로(cid:100)(cid:100)AB≥¥DC≥=AB≥¥AB'≥점B에서평면ACD에내린수선의발을E,점E에서선분AB'에내린수선의발을F라하면삼수선의정리에의하여(cid:100)(cid:100)BF”⊥A’B'”이때∠BAE=∠CAB'=h로놓으면△CAB'에서(cid:100)(cid:100)cosh===;5#;따라서△AEB에서(cid:100)(cid:100)AE”=AB”cosh=3_;5#;=;5(;△AFE에서(cid:100)(cid:100)AF”=AE”cosh=;5(;_;5#;=;2@5&;이므로△BAF에서cos(∠BAF)===;2ª5;∴AB≥¥DC≥=AB≥¥AB'≥=AB”_A’B'”_cos(∠BAB')∴AB¥DC≥=3_3_;2ª5;=;2*5!;;2@5&;3AF”AB”3"√3¤+4¤A’B'”AC”AB'BFEDCΩΩ43(059-065)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:19 PM 페이지64 SinsagoHitec 09 공간벡터65(cid:8833)본책253쪽공간벡터09따라서a=25,b=81이므로(cid:100)(cid:100)a+b=106(cid:9000)10617문제이해•선분AB의중점을M이라하면(cid:100)(cid:100)CM≥=(cid:100)(cid:100)∴CA≥+CB≥=2CM≥두벡터OC≥,CM≥이이루는각의크기를h라하면(cid:100)(cid:100)(CA≥+CB≥)¥OC≥=2CM≥¥OC≥=2|CM≥||OC≥|cosh(cid:8837)30% 배점해결과정•AB”=2에서(cid:100)(cid:100)|CM≥|="√|CA≥|¤-|MA≥|¤="√3¤-1¤=2'2이고C(3, 4, 5)에서(cid:100)(cid:100)|OC≥|="√3¤+4¤+5¤=5'2또cosh의값은위의그림과같이두벡터OC≥,CM≥의방향이서로같을때최대이므로(cid:100)(cid:100)cosh…1(cid:8837)50% 배점답구하기•따라서구하는최댓값은2_2'2_5'2_1=40(cid:8837)20% 배점(cid:9000)4018점R에서선분PQ에수선의발을내려PQ≥¥PR≥를정사영을이용한식으로나타낸다.`오른쪽그림과같이두벡터PQ≥,PR≥가이루는각의크기를h라하고,점R에서선분PQ에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)=PQ≥¥PR≥(cid:100)(cid:100)=|PQ≥||PR≥|cosh(cid:100)(cid:100)=|PQ≥||PR≥|_(cid:100)(cid:100)=|PQ≥||PH≥|이때|PQ≥|는일정하므로PQ≥¥PR≥는|PH≥|, 즉PH”의길이가최대,최소일때각각최댓값과최솟값을갖는다.|PH≥||PR≥|QRHPΩCAMBO3CA≥+CB≥2한편두점A,C에서선분PQ에내린수선의발을각각H¡,H™라하면점H는선분H¡H™위에놓이므로(cid:100)(cid:100)PH¡”…PH”…PH™”이때(cid:100)(cid:100)PH¡”=QH™”=;2!;(PQ”-H¡H™”)(cid:100)(cid:100)PH¡”=;2!;(PQ”-AC”)(cid:100)(cid:100)PH¡”=;2!;(2'2-'2)=이므로(cid:100)(cid:100)…PH”…(cid:100)(cid:100)∴M=2'2_=6(cid:100)(cid:100)∴m=2'2_=2(cid:100)(cid:100)∴Mm=12(cid:9000)12'223'223'22'22'22yxzOPABRCQH¡H™H(059-065)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:19 PM 페이지65 SinsagoHitec 66정답및풀이본책259~288`쪽유제Ⅳ.공간벡터10도형의방정식082-1⑴x-1=6(y+1)=3(5-z)에서⑴므로=y+1=⑴이므로방향벡터는(cid:100)(cid:100)(6,1,-2)따라서이직선에평행한직선의방향벡터를u≤라하면⑴므로u≤=(6,1,-2)⑴이므로구하는직선의방정식은⑴므로==⑴므로∴=y-1=⑵z축에평행한직선의방향벡터를u≤라하면⑴(cid:100)(cid:100)u≤=(0,0,1)⑴이므로구하는직선의방정식은(cid:100)(cid:100)x=1,y=2(cid:9000)⑴=y-1=(cid:100)⑵x=1,y=2083-14(x+1)=2(y-5)=-z에서x+1==-;4Z;=t`(t는실수)로놓으면(cid:100)(cid:100)x=t-1,y=2t+5,z=-4tyy㉠(cid:100)(cid:100)또=5-y==s(s는실수)로놓으면(cid:100)(cid:100)x=2s-6,y=5-s,z=10-3syy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡`을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)t=-1,s=2따라서두직선의교점의좌표는(-2,3,4)이다.(cid:9000)(-2,3,4)4(x+1)=2(y-5)=-z에서y,z를x로나타내면(cid:100)(cid:100)y=2x+7,z=-4x-4yy㉠(cid:100)(cid:100)또=5-y=에서y,z를x로나타내면(cid:100)(cid:100)y=,z=yy㉡(cid:100)(cid:100)-3x+22-x+4210-z3x+6210-z3x+62y-52z+1-2x-36z+1-2x-36z+1-2y-11x-36z-5-2x-16㉠,㉡`을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)x=-2, y=3, z=4따라서두직선의교점의좌표는(-2,3,4)이다.083-2x¤+y¤+z¤+4x-2y-6z=0에서(cid:100)(cid:100)(x+2)¤+(y-1)¤+(z-3)¤=14yy㉠(cid:100)(cid:100)또==5-z=t(t는실수)로놓으면(cid:100)(cid:100)x=2t-1, y=2t+1, z=5-tyy㉡(cid:100)(cid:100)㉡`을㉠`에대입하면(cid:100)(cid:100)(2t+1)¤+(2t)¤+(2-t)¤=14(cid:100)(cid:100)9t¤=9,(cid:100)(cid:100)t¤=1(cid:100)(cid:100)∴t=—1t=-1, t=1을㉡`에대입하면구하는교점의좌표는(cid:100)(cid:100)(-3,-1,6), (1,3,4)(cid:9000)(-3,-1,6), (1,3,4)084-1두직선l,m의방향벡터를각각u≤,v≤≤,두직선이이루는각의크기를h{0…h…;2“;}라하자.⑴u≤=(-2,3,1), v≤=(1,2,3)이므로⑴하면cosh=⑴하면cosh=⑴하면cosh==;2!;⑵(cid:100)(cid:100)∴h={∵0…h…}⑵u≤=(3,-2,1),v≤≤=(1,2,1)이므로⑴하면cosh=⑴하면cosh=⑴하면cosh==0⑴(cid:100)(cid:100)∴h={∵0…h…}(cid:9000)⑴(cid:100)⑵084-2두점A(2,1,3),B(1,-3,4)를지나는직선의방향벡터를u≤라하면(cid:100)(cid:100)u≤=AB≥=(1, -3, 4)-(2, 1, 3)=(-1,-4,1)p2p3p2p20'1å4'6|3_1+(-2)_2+1_1|"√3¤+(-2)¤+1¤"√1¤+2¤+1¤|u≤¥v≤||u’≤||v≤|p2p37'1å4'1å4|(-2)_1+3_2+1_3|"√(-2)¤+3¤+1¤"√1¤+2¤+3¤|u≤¥v≤||u’≤||v≤|y-12x+12(066-080)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:20 PM 페이지66 SinsagoHitec 10 도형의방정식67(cid:8833)본책259~265`쪽086-1x-2=;3};==t(t는실수)로놓으면(cid:100)(cid:100)x=t+2, y=3t, z=2t+1점A에서주어진직선에내린수선의발을H라하면점H는이직선위의점이므로H(t+2, 3t, 2t+1)이라할수있다.(cid:100)(cid:100)∴A’H≥=(t+2, 3t, 2t+1)-(3, 5, 7)=(t-1,3t-5,2t-6)이때주어진직선의방향벡터를u≤라하면u≤=(1,3,2)이고, A’H≥⊥u≤이므로(cid:100)(cid:100)AH≥¥u≤=0(cid:100)(cid:100)(t-1,3t-5,2t-6)¥(1, 3, 2)=0(cid:100)(cid:100)t-1+3(3t-5)+2(2t-6)=0(cid:100)(cid:100)14t-28=0(cid:100)(cid:100)∴t=2따라서AH≥=(1,1,-2)이므로구하는거리는(cid:100)(cid:100)AH”=|A’H≥|="√1¤+1¤+(-2)¤='6(cid:9000)'6점A와주어진직선사이의거리는점A와그직선위의임의의점사이의거리의최솟값과같다.주어진직선위의임의의점을P라하면점P의좌표는(t+2,3t,2t+1)(t는실수)이므로(cid:100)(cid:100)AP”="(√t-1√)¤+√(3t√-5)√¤+(√2t-ç6)Ω¤(cid:100)(cid:100)AP”="1√4t¤-√56t√+62(cid:100)(cid:100)AP”="1√4(t√-2)ç¤ç+≈6따라서AP”의길이의최솟값은t=2일때'6이다.086-2=y+1=z+2=t(t는실수)로놓으면(cid:100)(cid:100)x=2t+2, y=t-1, z=t-2점A에서주어진직선에내린수선의발을H라하면점H는이직선위의점이므로H(2t+2,t-1,t-2)라할수있다.(cid:100)(cid:100)∴A’H≥=(2t+2, t-1, t-2)-(2, -1, a-2)=(2t,t,t-a)(cid:100)(cid:100)이때주어진직선의방향벡터를u≤라하면u≤=(2,1,1)이고, A’H≥⊥u≤이므로(cid:100)(cid:100)A’H≥¥u≤=0(cid:100)(cid:100)(2t,t,t-a)¥(2, 1, 1)=0(cid:100)(cid:100)4t+t+t-a=0,(cid:100)(cid:100)6t-a=0(cid:100)(cid:100)∴a=6t따라서AH≥=(2t, t, -5t)이므로(cid:100)(cid:100)AH”=|AH≥|="√(2t)¤+t¤+(-5t)¤(cid:100)(cid:100)AH”="√30t¤x-22z-12또두점C(-3,2,-1),D(-1,4,0)을지나는직선의방향벡터를v≤라하면(cid:100)(cid:100)v≤=CD≥=(-1, 4, 0)-(-3, 2, -1)=(2,2,1)두점A,B를지나는직선과두점C,D를지나는직선이이루는각의크기를h{0…h…;2“;}라하면(cid:100)(cid:100)cosh=(cid:100)(cid:100)cosh=(cid:100)(cid:100)cosh==(cid:100)(cid:100)∴h={∵0…h…}(cid:9000)085-1직선m의방정식에서(cid:100)(cid:100)==따라서두직선l,m의방향벡터를각각u≤, v≤≤라하면(cid:100)(cid:100)u≤=(-2,5,k+1),v≤≤=(2k,-2,3)이때두직선이서로수직이면(cid:100)(cid:100)u≤¥v≤≤=0(cid:100)(cid:100)(-2, 5, k+1)¥(2k, -2, 3)=0(cid:100)(cid:100)-4k-10+3(k+1)=0(cid:100)(cid:100)-k-7=0(cid:100)(cid:100)∴k=-7(cid:9000)-7085-2두직선l,m의방향벡터를각각u≤,v≤≤라하면(cid:100)(cid:100)u≤=(a,b,3),v≤≤=(2,a+1,4)이때두직선이서로평행하므로(cid:100)(cid:100)u≤=tv≤≤(t+0)(cid:100)(cid:100)(a,b,3)=t(2,a+1,4)(cid:100)(cid:100)∴a=2t,b=(a+1)t,3=4t위의세식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)t=;4#;,a=;2#;, b=:¡8∞:(cid:9000)a=;2#;, b=:¡8∞:두직선이서로평행하려면두직선의방향벡터가서로평행해야한다.두직선l,m의방향벡터가각각(a, b, 3),(2, a+1, 4)이므로(cid:100)(cid:100);2A;==;4#;(cid:100)(cid:100)∴a=;2#;, b=;;¡8∞;;ba+1z+13y-2x-12kp4p2p41'293'2_3|(-1)_2+(-4)_2+1_1|"√(-1)¤+(-4)¤+1¤"√2¤+2¤+1¤|u≤¥v≤||u’≤||v≤|도형의방정식10(066-080)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:20 PM 페이지67 SinsagoHitec 68정답및풀이즉"√30t¤='3å0이므로(cid:100)(cid:100)t=—1(cid:100)(cid:100)∴a=6(∵a>0)(cid:9000)6087-1⑴주어진직선의방향벡터가(-1,3,2)이므로구하는평면의법선벡터를n≤이라하면⑵주어n≤=(-1,3,2)⑵따라서구하는평면의방정식은⑵주어-(x-4)+3(y+1)+2(z-2)=0⑵주어∴x-3y-2z-3=0(cid:100)⑵주어진평면의법선벡터가(4,-3, 5)이므로구하는평면의법선벡터를n≤이라하면⑵주어n≤=(4,-3,5)⑵따라서구하는평면의방정식은⑵주어4(x-2)-3(y-3)+5(z+2)=0⑵주어∴4x-3y+5z+11=0(cid:9000)풀이참조088-1구하는평면의방정식을(cid:100)(cid:100)ax+by+cz+d=0yy㉠(cid:100)(cid:100)이라하면이평면이세점A, B, C를지나므로(cid:100)(cid:100)a+b-c+d=0, (cid:100)(cid:100)-a+2b+c+d=0, (cid:100)(cid:100)-2a+b-4c+d=0위의세식에서b, c, d를a로나타내면(cid:100)(cid:100)b=4a, c=-a, d=-6ayy㉡(cid:100)(cid:100)㉡을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)ax+4ay-az-6a=0a+0이므로위의식의양변을a로나누면구하는평면의방정식은(cid:100)(cid:100)x+4y-z-6=0(cid:9000)x+4y-z-6=0구하는평면의법선벡터를n≤=(a,b,c)라하면(cid:100)(cid:100)AB≥⊥n≤, AC≥⊥n≤AB≥¥n≤=0에서(cid:100)(cid:100)(-2,1,2)¥(a,b,c)=0(cid:100)(cid:100)∴-2a+b+2c=0yy㉠(cid:100)(cid:100)AC≥¥n≤=0에서(cid:100)(cid:100)(-3,0,-3)¥(a, b, c)=0(cid:100)(cid:100)∴-3a-3c=0yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡`에서b, c를a로나타내면(cid:100)(cid:100)b=4a, c=-a따라서구하는평면은점A(1,1,-1)을지나고법선벡터가n≤=(a,4a,-a)이므로그방정식은(cid:100)(cid:100)a(x-1)+4a(y-1)-a(z+1)=0a+0이므로위의식의양변을a로나누면구하는평면의방정식은(cid:100)(cid:100)x+4y-z-6=0089-1두점(-1,6,8),(3,0,4)를지나는직선의방정식은(cid:100)(cid:100)==(cid:100)(cid:100)∴=====t(t는실수)로놓으면(cid:100)(cid:100)x=2t-1, y=-3t+6, z=-2t+8이고직선과평면의교점을A라하면점A는직선위의점이므로A(2t-1,-3t+6,-2t+8)로놓을수있다.이때점A는평면x-2y+z=1위의점이므로2t-1-2(-3t+6)+(-2t+8)=16t=6(cid:100)(cid:100)∴t=1따라서A(1, 3, 6)이므로교점의z좌표는6이다.(cid:9000)6089-2벡터A’H≥와평면4x-5y+3z=0은서로수직이므로직선AH의방향벡터는주어진평면의법선벡터(4, -5, 3)과같다.따라서직선AH의방정식은(cid:100)(cid:100)==yy`㉠(cid:100)(cid:100)===t(t는실수)로놓으면(cid:100)(cid:100)x=4t+7, y=-5t+1, z=3t+9이고점H는직선㉠위의점이므로H(4t+7, -5t+1, 3t+9)로놓을수있다.이때점H는평면4x-5y+3z=0위의점이므로(cid:100)(cid:100)4(4t+7)-5(-5t+1)+3(3t+9)=0(cid:100)(cid:100)50t+50=0(cid:100)(cid:100)∴t=-1따라서점H의좌표는(3, 6, 6)이다.(cid:9000)H(3,6,6)z-93y-1-5x-7 4z-93y-1-5x-7 4AHz-8-2y-6-3x+12z-8-2y-6-3x+12z-84-8y-60-6x-(-1)3-(-1)(066-080)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:20 PM 페이지68 SinsagoHitec 10 도형의방정식69(cid:8833)본책269~278`쪽090-1평면a에대하여점A와대칭인점을A'(a,b,c)라하면선분AA'의중점{, , }은평면a위에있으므로(cid:100)(cid:100)3_-+2_=7(cid:100)(cid:100)∴3a-b+2c-21=0yy㉠(cid:100)(cid:100)이때평면a의법선벡터를n≤이라하면n≤=(3,-1,2)이고,AA'≥∥n≤이므로(cid:100)(cid:100)AA'≥=tn≤(t+0)이때AA'≥=(a+4, b-1, c-3)이므로(cid:100)(cid:100)(a+4,b-1,c-3)=t(3,-1,2)(cid:100)(cid:100)a+4=3t, b-1=-t, c-3=2t(cid:100)(cid:100)∴a=3t-4, b=-t+1, c=2t+3y㉡(cid:100)(cid:100)㉡`을㉠`에대입하면(cid:100)(cid:100)3(3t-4)-(-t+1)+2(2t+3)-21=0(cid:100)(cid:100)14t-28=0(cid:100)(cid:100)∴t=2t=2를㉡`에대입하면a=2,b=-1,c=7이므로구하는점의좌표는(cid:100)(cid:100)(2, -1, 7)(cid:9000)(2,-1,7)091-12x+3y+z-4=0yy㉠(cid:100)(cid:100)x-y+z-1=0yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡`에서z를소거하면(cid:100)(cid:100)x+4y-3=0(cid:100)(cid:100)∴y=yy㉢(cid:100)(cid:100)또㉠,㉡에서x를소거하면(cid:100)(cid:100)5y-z-2=0(cid:100)(cid:100)∴y=yy㉣(cid:100)(cid:100)㉢,㉣`에서구하는교선의방정식은(cid:100)(cid:100)=y=(cid:9000)=y=091-2주어진두평면의교선을포함하는평면의방정식을(cid:100)(cid:100)x-2y+z+3+k(3x+y-z-1)=0(k는실수)이라하면이평면이점(1,-1,2)를지나므로(cid:100)(cid:100)1+2+2+3+k(3-1-2-1)=0(cid:100)(cid:100)8-k=0(cid:100)(cid:100)∴k=8따라서구하는평면의방정식은(cid:100)(cid:100)x-2y+z+3+8(3x+y-z-1)=0(cid:100)(cid:100)∴25x+6y-7z-5=0(cid:9000)25x+6y-7z-5=0z+253-x4z+253-x4z+253-x4c+32b+12a-42c+32b+12a-42092-1두평면의법선벡터를각각n’¡≤,n’™≤라하면(cid:100)(cid:100)n’¡≤=(3,-1,2), n’™≤=(2,1,3)(cid:100)(cid:100)∴cosh=(cid:100)(cid:100)∴cosh=(cid:100)(cid:100)∴cosh==;1!4!;(cid:100)(cid:100)∴sinh="√1-cos¤h=æ≠1-{;1!4!;}2(cid:100)(cid:100)∴sinh=(cid:9000)092-2두평면의법선벡터를각각n’¡≤,n’™≤라하면(cid:100)(cid:100)n’¡≤=(1,k-1,2-k),n’™≤=(1,2,-2)두평면이이루는각의크기가이므로(cid:100)(cid:100)=cos(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)|4k-5|=3"√k¤-3k+3위의식의양변을제곱하면(cid:100)(cid:100)16k¤-40k+25=9(k¤-3k+3)(cid:100)(cid:100)7k¤-13k-2=0,(cid:100)(cid:100)(7k+1)(k-2)=0(cid:100)(cid:100)∴k=-;7!;(∵k<0)(cid:9000)-;7!;093-1직선의방향벡터와평면의법선벡터를각각u≤,n≤이라하면(cid:100)(cid:100)u≤=(3,5,4),n≤=(4,5,-3)직선과평면이이루는각의크기를h라하면(cid:100)(cid:100)cos{-h}=sinh=(cid:100)(cid:100)cos{-h}=(cid:100)(cid:100)cos{-h}==;2!;(cid:100)(cid:100)∴h={∵0…h…}(cid:9000)p6p2p625'∂50'∂50|3_4+5_5+4_(-3)|"√3¤+5¤+4¤"√4¤+5¤+(-3)¤|u≤¥n≤||u≤||n≤|p2'22|4k-5|3"√2(k¤-3k+3)'22|1_1+2(k-1)-2(2-k)|"√1¤+(k-1)¤√+(2-k)¤"√1¤+2¤+(-2)¤p4|n’¡≤¥n’™≤||n’¡≤||n’™≤|p45'3145'31411'1ß4'1ß4|3_2+(-1)_1+2_3|"√3¤+(-1)¤+2¤"√2¤+1¤+3¤|n’¡≤¥n’™≤||n’¡≤||n’™≤|도형의방정식10(066-080)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:20 PM 페이지69 SinsagoHitec 70정답및풀이094-1두평면a,b의법선벡터를각각n’¡≤,n’™≤라하면(cid:100)(cid:100)n’¡≤=(2,k-3,1),n’™≤=(k+2,-2,2)두평면이서로평행하면(cid:100)(cid:100)n’¡≤=tn’™≤ (t는실수)(cid:100)(cid:100)(2, k-3, 1)=t(k+2, -2, 2)즉2=t(k+2), k-3=-2t, 1=2t이므로(cid:100)(cid:100)t=;2!;, k=2(cid:9000)2094-2직선의방향벡터와평면의법선벡터를각각u≤,n≤이라하면(cid:100)(cid:100)u≤=(4,1-k,k),n≤=(1,k,2)직선과평면이평행하려면u≤⊥n≤이어야하므로(cid:100)(cid:100)u≤¥n≤=0,(cid:100)(cid:100)(4, 1-k, k)¥(1, k, 2)=0(cid:100)(cid:100)4+k(1-k)+2k=0(cid:100)(cid:100)k¤-3k-4=0,(cid:100)(cid:100)(k+1)(k-4)=0(cid:100)(cid:100)∴k=-1또는k=4(cid:9000)-1,4095-1법선벡터가n≤=(3,-5,4)이므로평면의방정식을3x-5y+4z+d=0이라하자.원점과이평면사이의거리가'2이므로(cid:100)(cid:100)='2(cid:100)(cid:100)='2(cid:100)(cid:100)∴d=—10따라서구하는평면의방정식은(cid:100)(cid:100)3x-5y+4z-10=0,(cid:100)(cid:100)3x-5y+4z+10=0(cid:9000)3x-5y+4z-10=0,3x-5y+4z+10=0095-2평면의법선벡터는O’A≥=(-3,5,4)이므로점A를지나고직선OA에수직인평면의방정식은(cid:100)(cid:100)-3(x+3)+5(y-5)+4(z-4)=0(cid:100)(cid:100)∴3x-5y-4z+50=0점(a,0,7)과평면3x-5y-4z+50=0사이의거리가'2이므로(cid:100)(cid:100)='2(cid:100)(cid:100)='2,(cid:100)(cid:100)|3a+22|=10|3a+22|5'2|3a-5_0-4_7+50|"√3¤+(-5)¤+(-4)¤|d|5'2|d|"√3¤+(-5)¤+4¤(cid:100)(cid:100)3a+22=-10또는3a+22=10(cid:100)(cid:100)∴a=-:£3™:또는a=-4따라서구하는정수a의값은-4이다.(cid:9000)-4096-1점P의좌표를(x, y, z)라하면(cid:100)(cid:100)AP≥=(x-3, y+4, z),(cid:100)(cid:100)BP≥=(x-1, y-2, z+3)AP≥¥BP≥=0에서(cid:100)(cid:100)(x-3, y+4, z)¥(x-1, y-2, z+3)=0(cid:100)(cid:100)(x-3)(x-1)+(y+4)(y-2)+z(z+3)=0(cid:100)(cid:100)x¤-4x+3+y¤+2y-8+z¤+3z=0(cid:100)(cid:100)(x-2)¤+(y+1)¤+{z+;2#;}2=따라서점P가나타내는도형은반지름의길이가;2&;인구이므로구하는겉넓이는(cid:100)(cid:100)4p_{;2&;}2=49p(cid:9000)49pAP≥¥BP≥=0에서∠APB=90˘이므로점P가나타내는도형은두점A, B를지름의양끝점으로하는구이다.AB”="√(1-3)¤+(2+4)¤√+(-3)¤=7이므로구의반지름의길이는(cid:100)(cid:100);2&;따라서구하는겉넓이는(cid:100)(cid:100)4p_{;2&;}2=49p097-1오른쪽그림과같이구의중심을O(0,0,0),점O에서주어진평면에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)OH”==;;3^;;=2이때구의반지름의길이는4이므로단면인원의반지름의길이를r라하면(cid:100)(cid:100)r¤=4¤-2¤=12따라서구하는단면의넓이는(cid:100)(cid:100)pr¤=12p(cid:9000)12p098-1x¤+y¤+z¤-2y+4z-6=0에서(cid:100)(cid:100)x¤+(y-1)¤+(z+2)¤=11|-6|"√1¤+(-2)¤+2¤24rOH494(066-080)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:20 PM 페이지70 SinsagoHitec 10 도형의방정식71(cid:8833)본책280~289`쪽이므로구의중심을C라하면(cid:100)(cid:100)C(0,1,-2)(cid:100)(cid:100)∴CA≥=(1, -2, -3)-(0, 1, -2)=(1,-3,-1)이때벡터CA≥는구하는평면에수직이므로구하는평면의법선벡터를n≤이라하면(cid:100)(cid:100)n≤=(1,-3,-1)따라서구하는평면의방정식은(cid:100)(cid:100)x-1-3(y+2)-(z+3)=0(cid:100)(cid:100)∴x-3y-z-10=0(cid:9000)x-3y-z-10=0098-2x¤+y¤+z¤-4x+8y+3=0에서(x-2)¤+(y+4)¤+z¤=17이므로중심이(2,-4,0)이고반지름의길이가'1ßå7인구이다.구와평면이접하면구의중심(2,-4,0)과평면2x+ay+2z-9=0사이의거리가구의반지름의길이와같으므로(cid:100)(cid:100)='1ß7(cid:100)(cid:100)='1ß7(cid:100)(cid:100)|-4a-5|="√17(a¤+8)양변을제곱하여정리하면(cid:100)(cid:100)a¤-40a+111=0,(cid:100)(cid:100)(a-3)(a-37)=0이때00,(cid:100)(cid:100)a¤<3(cid:100)(cid:100)∴-'3r)(066-080)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:20 PM 페이지75 SinsagoHitec 76정답및풀이구의중심(1, -1, 5)와평면a사이의거리는(cid:100)(cid:100)=1따라서구와평면이만나서생기는도형인원의반지름의길이는(cid:100)(cid:100)"√(3'6`)¤-1¤='5å3이므로원의넓이는(cid:100)(cid:100)p_('5å3)¤=53p(cid:100)(cid:100)∴k=53(cid:9000)5318평면과구가접하면구의중심과평면사이의거리는구의반지름의길이와같다.`구(x-1)¤+y¤+(z+1)¤=1의중심(1,0,-1)과평면x-2y+2z+d=0사이의거리는구의반지름의길이1과같으므로(cid:100)(cid:100)=1(cid:100)(cid:100)|d-1|=3(cid:100)(cid:100)d-1=-3또는d-1=3(cid:100)(cid:100)∴d=-2또는d=4yy㉠(cid:100)(cid:100)구(x+1)¤+(y-1)¤+(z-4)¤=1의중심(-1,1,4)와평면x-2y+2z+d=0사이의거리도구의반지름의길이1과같으므로(cid:100)(cid:100)=1(cid:100)(cid:100)|d+5|=3(cid:100)(cid:100)d+5=-3또는d+5=3(cid:100)(cid:100)∴d=-8또는d=-2yy㉡(cid:100)(cid:100)주어진평면이두구에동시에접하므로㉠,㉡에서(cid:100)(cid:100)d=-2(cid:9000)-219해결과정•P{;5$;,;5#;,0}이라하면평면a는OP≥를법선벡터로하고점P를지나므로평면a의방정식은(cid:100)(cid:100);5$;{x-;5$;}+;5#;{y-;5#;}+0_(z-0)=0(cid:100)(cid:100)∴4x+3y-5=0(cid:8837)20% 배점또Q{0,;5#;,;5$;}라하면평면b는OQ≥를법선벡터로하고점Q를지나므로평면b의방정식은|1_(-1)-2_1+2_4+d|"√1¤+(-2)¤+2¤|1_1-2_0+2_(-1)+d|"√1¤+(-2)¤+2¤|1_1+2_(-1)+2_5-6|"√1¤+2¤+2¤(cid:100)(cid:100)0_(x-0)+;5#;{y-;5#;}+;5$;{z-;5$;}=0(cid:100)(cid:100)∴3y+4z-5=0(cid:8837)20% 배점두평면a, b의법선벡터를각각n’¡≤, n’™≤라하면(cid:100)(cid:100)n’¡≤=(4, 3, 0), n’™≤=(0, 3, 4)이고두평면이이루는각의크기를h라하면(cid:100)(cid:100)cosh=(cid:100)(cid:100)cosh=(cid:100)(cid:100)cosh=;2ª5;(cid:8837)40% 배점답구하기•따라서평면a위의넓이가100인삼각형의평면b위로의정사영의넓이는(cid:100)(cid:100)100cosh=100_;2ª5;(cid:100)(cid:100)100cosh=36(cid:8837)20% 배점(cid:100)(cid:100)(cid:9000)3620점B를평면a에대하여대칭이동한점이직선l위의점임을이용한다.`점A(1,1,1)의좌표를x+y+2z=4에대입하면등식이성립하므로점A는평면a위의점이다.점B를평면a에대하여대칭이동한점을B'(a,b,c)라하면(cid:100)(cid:100)B’B'≥=(a-3,b-p,c-q)B’B'≥과평면a의법선벡터(1,1,2)는서로평행하므로(cid:100)(cid:100)(a-3,b-p,c-q)=t(1,1,2)(t+0)(cid:100)(cid:100)a-3=t, b-p=t, c-q=2t(cid:100)(cid:100)∴a=t+3, b=t+p, c=2t+q이때점B'(t+3, t+p, 2t+q)는직선l위의점이므로(cid:100)(cid:100)t+2==(cid:100)(cid:100)∴p=3t+9, q=5따라서B(3, 3t+9, 5),B'(t+3, 4t+9, 2t+5)이므로선분BB'의중점을M이라하면(cid:100)(cid:100)M{,,t+5}점M은평면a위의점이므로(cid:100)(cid:100)++2(t+5)=47t+182t+627t+182t+622t-1+q2t-1+p4|3_3|"√4¤+3¤"√3¤+4¤|n’¡≤¥n’™≤||n’¡≤||n’™≤|(066-080)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:20 PM 페이지76 SinsagoHitec 10 도형의방정식77(cid:8833)본책292~293`쪽(cid:100)(cid:100)12t=-36(cid:100)(cid:100)∴t=-3(cid:100)(cid:100)∴B(3,0,5),B'(0,-3,-1),(cid:100)(cid:100)∴M{;2#;,-;2#;,2}조건㈏`에서BC≥는평면a의법선벡터와평행하므로조건㈎,㈏`를모두만족시키는점C는두점B,B'을지나는직선위의점이다.따라서오른쪽그림과같이△ABC의높이는A’M”의길이와같다.이때(cid:100)(cid:100)BC”=;2#;B’B'”(cid:100)(cid:100)BC”=;2#;"√3¤+3¤+6¤(cid:100)(cid:100)BC”=(cid:100)(cid:100)A’M”=æ≠{;2#;-1}2+{≠-;2#;-1}2+(2-1)¤(cid:100)(cid:100)A’M”=이므로(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;`BC”_A’M”(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;__(cid:100)(cid:100)△ABC=(cid:9000)21평면ABC와yz평면이이루는각을이용하여평면ABC와평면x-2y+2z=1이이루는각의크기를구한다.`삼각형ABC를포함한평면과yz평면이이루는각의크기를h¡이라하면조건㈎, ㈏에의하여(cid:100)(cid:100)6cosh¡=3(cid:100)(cid:100)∴cosh¡=;2!;평면x-2y+2z=1과yz평면이이루는각의크기를h™라하면평면x-2y+2z=1의법선벡터는(1, -2, 2)이고yz평면의법선벡터는(1, 0, 0)이므로(cid:100)(cid:100)cosh™=(cid:100)(cid:100)cosh™=;3!;|1_1|"““““““1¤+(-2)¤““““““+2¤27'5427'54'3å029'62'3å029'62lBAMB'Cå도형의방정식10삼각형ABC의평면x-2y+2z=1위로의정사영의넓이가최대가되려면삼각형ABC를포함한평면과평면x-2y+2z=1이이루는각의크기가최소가되어야한다.즉삼각형ABC를포함한평면과평면x-2y+2z=1이이루는각의크기를h라하면(cid:100)(cid:100)h=h™-h¡cosh¡=;2!;에서(cid:100)(cid:100)sinh¡="√1-cos¤h¡=cosh™=;3!;에서(cid:100)(cid:100)sinh™="√1-cos¤h™=(cid:100)(cid:100)∴cosh=cos(h™-h¡)(cid:100)(cid:100)∴cosh=cosh™cosh¡+sinh™sinh¡(cid:100)(cid:100)∴cosh=;3!;_;2!;+_(cid:100)(cid:100)∴cosh=;6!;+따라서구하는정사영의넓이의최댓값은(cid:100)(cid:100)6cosh=6_{;6!;+}(cid:100)(cid:100)6cosh=1+2'6(cid:9000)①22두점A,B의xy평면위로의정사영을이용한다.`직선l의방향벡터와xy평면의법선벡터를각각u≤, n≤이라하면(cid:100)(cid:100)u≤=(-1, 1, 1), n≤=(0, 0, 1)직선l과xy평면이이루는각의크기를h라하면(cid:100)(cid:100)cos{-h}=sinh=(cid:100)(cid:100)cos{-h}=(cid:100)(cid:100)cos{-h}=(cid:100)(cid:100)∴cosh="√1-sin¤h=Æ…1-{}2(cid:100)(cid:100)∴cosh={∵0…h…}p2'631'31'3|1_1|"√(-1)¤+1¤+1¤|u≤¥n≤||u≤||n≤|p2'63'63'322'232'23'32(066-080)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:20 PM 페이지77 SinsagoHitec 78정답및풀이한편오른쪽그림과같이두점A,B의xy평면위로의정사영을각각A',B'이라하고,O’A'”=a, O’B'”=b라하면산술평균과기하평균의관계에의하여(cid:100)(cid:100)A’'B'”="√a¤+b¤æ"ç2ab이때등호는a=b일때성립하므로A’'B'”의길이의최솟값은a=b일때,즉△OA'B'이직각이등변삼각형일때의빗변의길이와같다.두점A',B'을지나는직선의방정식을l'이라하면직선l'은직선l의xy평면위로의정사영이므로직선l'의방정식은(cid:100)(cid:100)3-x=y,z=0(cid:100)(cid:100)∴x+y-3=0,z=0이때원점과직선x+y-3=0,z=0사이의거리는(cid:100)(cid:100)=따라서오른쪽그림에서(cid:100)(cid:100)A’'B'”æ2_=3'2이므로A’'B'”=AB”cosh에서(cid:100)(cid:100)AB”=(cid:100)(cid:100)AB”æ=3'3따라서AB”의길이의최솟값은3'3이다.(cid:9000)3'323문제이해•오른쪽그림과같이두점A,B가있는원기둥의밑면의중심이원점O,두점A,B가x축위에오도록원기둥을좌표공간에놓으면(cid:100)(cid:100)A(10,0,0),B(-10,0,0),C(0,-10,20), D(0,10,20)(cid:8837)30% 배점해결과정•이때세점B, C, D를지나는평면의방정식을CDA-101010BzyxOB-10203'2113'6123A’'B'”cosh3'22A'B'O3Â223'22|-3|"√1¤+1¤AΩBA'B'åll'∫xyO(cid:100)(cid:100)ax+by+cz+d=0yy`㉠(cid:100)(cid:100)이라하면(cid:100)(cid:100)-10a+d=0,-10b+20c+d=0,10b+20c+d=0위의세식에서a, b, c를d로나타내면(cid:100)(cid:100)a=;1¡0;d, b=0, c=-;2¡0;dyy`㉡(cid:100)(cid:100)㉡`을㉠`에대입하면(cid:100)(cid:100);1¡0;dx-;2¡0;dz+d=0d+0이므로위의식의양변을d로나누면평면의방정식은(cid:100)(cid:100);1¡0;x-;2¡0;z+1=0(cid:100)(cid:100)∴2x-z+20=0(cid:8837)50% 배점답구하기•따라서구하는거리는점A(10,0,0)과평면2x-z+20=0사이의거리와같으므로(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)=8'5(cid:8837)20% 배점(cid:9000)8'540'5|2_10-1_0+20|"√2¤+0¤+(-1)¤(cid:8833)본책293`쪽(066-080)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:20 PM 페이지78 SinsagoHitec (066-080)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:20 PM 페이지79 SinsagoHitec (066-080)개념쎈기벡-정답 2015.2.26 9:20 PM 페이지80 SinsagoHitec