정답및풀이ⅠⅠ수열의극한01수열의극한202급수13ⅡⅡ함수의극한과연속03함수의극한2404함수의연속34ⅢⅢ다항함수의미분법05미분계수와도함수4006도함수의활용⑴5007도함수의활용⑵5608도함수의활용⑶66ⅣⅣ다항함수의적분법09부정적분7210정적분⑴7911정적분⑵8712정적분의활용9514개념쎈미적분1-Ⅰ(001-012)해 2014.4.25 5:10 PM 페이지1 SinsagoHitec 2정답및풀이본책11~28`쪽유제Ⅰ.수열의극한01수열의극한001-1⑴n의값에따른an의값의변화를그림으로나타내면오른쪽과같다.따라서수열{an}은양의무한대로발산한다.⑵n의값에따른an의값의변화를그림으로나타내면오른쪽과같다.따라서n이한없이커질때1-{-;2!;}«의값은1에한없이가까워지므로수열{an}은수렴하고,그극한값은1이다.⑶n의값에따른an의값의변화를그림으로나타내면오른쪽과같다.따라서수열{an}은양의무한대로발산한다.⑷n의값에따른an의값의변화를그림으로나타내면오른쪽과같다.따라서수열{an}은발산(진동)한다.(cid:9000)⑴발산⑵수렴,1⑶발산⑷발산002-1⑴분모의최고차항인n‹``으로분모,분자를나누면(cid:100)(cid:100)===00-0+02-01211-13+13nn¤n‹22-14n¤limn⁄¶n¤-2n+12n‹-2nlimn⁄¶nO12345an2321nO1233927annO1an1234523nanO11234357⑵분모의최고차항인n으로분모,분자를나누면(cid:100)(cid:100)==¶⑶분모의최고차항인n으로분모,분자를나누면(cid:100)(cid:100)=æ≠;n!;++3 (cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)=;3!;⑷=분모의최고차항인n¤으로분모,분자를나누면(cid:100)(cid:100)===-;2#;(cid:9000)⑴수렴,0(cid:100) ⑵발산(cid:100)(cid:100)(cid:100)```⑶수렴,;3!;(cid:100)⑷수렴,-;2#;⑴(분자의차수)<(분모의차수)이므로(cid:100)(cid:100)=0⑵(분자의차수)>(분모의차수)이고,분자의최고차항이양수이므로(cid:100)(cid:100)=¶⑶(분자의차수)=(분모의차수)이므로(cid:100)(cid:100)=;3!;⑷(분자의차수)=(분모의차수)이므로(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)=-;2#;-3n¤-2n+52n¤+5n-3limn⁄¶(1-n)(3n+5)(n+3)(2n-1)limn⁄¶n-2'∂n+1+3nlimn⁄¶n¤+3n+17n-5limn⁄¶n¤-2n+12n‹-2nlimn⁄¶-3-0+02+0-025-3-1+14nn¤532+1-14nn¤limn⁄¶-3n¤-2n+52n¤+5n-3limn⁄¶-3n¤-2n+52n¤+5n-3limn⁄¶(1-n)(3n+5)(n+3)(2n-1)limn⁄¶1-00+31n¤1-;n@;limn⁄¶n-2'∂n+1+3nlimn⁄¶n+3+;n!;7-;n%;limn⁄¶n¤+3n+17n-5limn⁄¶14개념쎈미적분1-Ⅰ(001-012)해 2014.4.30 1:35 PM 페이지2 SinsagoHitec 01 수열의극한3(cid:8833)본책11~18`쪽002-2⑴1+2+3+y+n=이므로(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)=분모의최고차항인n¤으로분모,분자를나누면(cid:100)(cid:100)===;2!;⑵[{1-}{1-}y{1-}]=[{1-;2!;}{1+;2!;}{1-;3!;}{1+;3!;}=[y{1-;n!;}{1+;n!;}]={;2!;¥;2#;¥;3@;¥;3$;¥y¥¥}=;2!;¥=분모의최고차항인n으로분모,분자를나누면(cid:100)(cid:100)===;2!;(cid:9000)⑴;2!;⑵;2!;003-1⑴분모를1로보고분자를유리화하면(cid:100)(cid:100)n("√n¤+1-n)===æ≠1++1==;2!;⑵분모를유리화하면(cid:100)(cid:100)=====;2!;1+14æ≠1+;n$;+14limn⁄¶"√n¤+4n+n4nlimn⁄¶"√n¤+4n+n("√n¤+4n-n)("√n¤+4n+n)limn⁄¶1"√n¤+4n-nlimn⁄¶11+11n¤1limn⁄¶n"√n¤+1+nlimn⁄¶n("√n¤+1-n)("√n¤+1+n)"√n¤+1+nlimn⁄¶limn⁄¶1+021+;n!;2limn⁄¶n+12nlimn⁄¶n+12nlimn⁄¶n+1nlimn⁄¶n+1nn-1nlimn⁄¶limn⁄¶1n¤13¤12¤limn⁄¶1+021+;n!;2limn⁄¶n¤+n2n¤limn⁄¶n¤+n2n¤limn⁄¶n(n+1)11112n¤limn⁄¶1+2+3+y+nn¤limn⁄¶n(n+1)2⑶최고차항인n‹``으로묶으면(cid:100)(cid:100)(3n‹+2n¤-n+1)=n‹{3+;n@;-+}=¶(cid:9000)⑴수렴,;2!;⑵수렴,;2!;⑶발산004-1⑴주어진등식의좌변에서분모의최고차항인n¤으로분모,분자를나누면(cid:100)(cid:100)=a-;n#;+3-;n!;+=;3A;따라서;3A;=;3@;이므로(cid:100)(cid:100)a=2⑵주어진등식의좌변에서분모를1로보고분자를유리화하면(cid:100)(cid:100)("√2n¤+an-"√2n¤-n)======따라서=이므로(cid:100)(cid:100)a+1=2(cid:100)(cid:100)∴a=1(cid:9000)⑴2⑵1004-2극한값이0이아니므로(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)a=0(cid:100)(cid:100)∴=(cid:100)(cid:100)∴==따라서-=3이므로(cid:100)(cid:100)b=-6(cid:100)(cid:100)∴a-b=6(cid:9000)6b2b-2b+;n!;-2+;n$;limn⁄¶bn+1-2n+4limn⁄¶bn+1an¤-2n+4limn⁄¶'22a+12'2a+12'2a+1'2+'2a+1Æ…2+;nA;+Æ…2-;n!;limn⁄¶(a+1)n"√2n¤+an+"√2n¤-nlimn⁄¶2n¤+an-(2n¤-n)"√2n¤+an+"√2n¤-nlimn⁄¶("√2n¤+an-"√2n¤-n)("√2n¤+an+"√2n¤-n)"√2n¤+an+"√2n¤-nlimn⁄¶limn⁄¶2n¤4n¤limn⁄¶an¤-3n+43n¤-n+2limn⁄¶1n‹1n¤limn⁄¶limn⁄¶수열의극한0114개념쎈미적분1-Ⅰ(001-012)해 2014.4.30 1:35 PM 페이지3 SinsagoHitec 4정답및풀이005-1⑴=b«으로놓으면(cid:100)(cid:100)3a«+5=b«(7-2a«)(cid:100)(cid:100)(3+2b«)a«=7b«-5(cid:100)(cid:100)∴a«=이때b«=1이므로(cid:100)(cid:100)a«=(cid:100)(cid:100)a«==;5@;⑵(2n+3)a«=b«으로놓으면(cid:100)(cid:100)a«=이때b«=2이므로(cid:100)(cid:100)(n+5)a«==¥b«=;2!;¥2=1(cid:9000)⑴;5@;⑵1⑴수열{a«}이수렴한다고가정하고a«=a(a는실수)로놓으면주어진등식에서(cid:100)(cid:100)=1(cid:100)(cid:100)∴a=;5@;(cid:100)(cid:100)∴a«=;5@;006-11일때,|r«|=¶이므로(cid:100)(cid:100)=0주어진수열의일반항의분모,분자를rn으로나누면1r«limn⁄¶limn⁄¶1-11+11-r«1+r«limn⁄¶limn⁄¶1-01+01-r«1+r«limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶4-00+14-5¥{;9%;}n{;9%;}n+1limn⁄¶4¥9n-5¥5«5n+9«limn⁄¶4¥9n-5¥5n5n+9«limn⁄¶4¥9n-5n+15n+32nlimn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶3«-5«2¥2«limn⁄¶3«-5«2n+1limn⁄¶(cid:100)(cid:100)===-1(cid:9000)008-2⁄|x|<1일때,x¤«=x¤«—⁄=0이므로(cid:100)(cid:100)==1¤x=1일때,x¤«=x¤«—⁄=1이므로(cid:100)(cid:100)==0‹|x|>1일때,x¤«=¶이므로(cid:100)(cid:100)=0주어진수열의일반항의분모,분자를x¤«으로나누면(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)==-›x=-1일때,x¤«=1,x¤«—⁄=-1이므로(cid:100)(cid:100)==1이상에서극한값이1이되도록하는x의값의범위는(cid:100)(cid:100)-1…x<1(cid:9000)-1…x<1009-1⑴등비수열[{}n]은첫째항과공비가모두이므로이수열이수렴하려면(cid:100)(cid:100)-1<…1(cid:100)(cid:100)∴-20이고⁄(cid:100)(cid:100)x¤-x+2={x-;2!;}2+;4&;>0⁄따라서모든실수x에대하여성립한다.x¤-x2x¤-x2x¤-x21-(-1)1+11-x¤«—⁄1+x¤«limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶1x0-;[!;0+11112-1x¤«x112+1x¤«limn⁄¶1-x¤«—⁄1+x¤«limn⁄¶1x¤«limn⁄¶limn⁄¶1-11+11-x¤«—⁄1+x¤«limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶1-01+01-x¤«—⁄1+x¤«limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶|r|<1일때,1r=1일때,`0|r|>1일때,-1({90-10+1113-1 r«12113113+1 r«limn⁄¶1-r«1+r«limn⁄¶수열의극한0114개념쎈미적분1-Ⅰ(001-012)해 2014.4.30 1:36 PM 페이지5 SinsagoHitec 6정답및풀이(cid:8833)본책29`~`33`쪽중단원연습문제01⑤02 ⑴;3!;⑵-;2@0)1!5^;03 1204 205 ③06 ;8%;07 ③08 ;3@;09 ;2!;10 ①11 ②12 213 ;4!;14 3015 -2616 -217 1918 ;3@;19 ①20 221 ①22 '223 1224 1+'5201n의값에따른수열의항a«의값의변화를그림으로나타낸다.`주어진수열의일반항에n=1,2,3,…을대입하여수열의항a«의값의변화를그림으로나타내면다음과같다.풀이 전략 ㄱ.ㄴ.ㄱ.(cid:8857)0으로수렴ㄱ.(cid:8857)양의무한대로발산ㄷ.ㄹ.ㄱ.(cid:8857)음의무한대로발산ㄱ.(cid:8857)발산(진동)이상에서수열{a«}이발산하는것은ㄴ,ㄷ,ㄹ이다.(cid:9000)⑤02⑴분자의식을간단히한후분모의최고차항으로분모,분자를나누어구한다.⑵분모,분자를모두유리화하여꼴로변형한다.`⑴1¤+2¤+3¤+y+n¤=`k¤=이므로(cid:100)(cid:100)=====;3!;⑵===2016{æ≠1-+1}-2015{1+æ≠1-}2016n¤2015n¤limn⁄¶2016("√n¤-2015+n)-2015(n+"√n¤-2016)limn⁄¶(n-"√n¤-2016)(n+"√n¤-2016)("√n¤-2015+n)("√n¤-2015-n)("√n¤-2015+n)(n+"√n¤-2016)limn⁄¶n-"√n¤-2016"√n¤-2015-nlimn⁄¶2+0+062+;n#;+;n!¤;;6limn⁄¶2n¤+3n+16n¤limn⁄¶n(n+1)(2n+1)6n‹limn⁄¶1¤+2¤+3¤+y+n¤n‹limn⁄¶n(n+1)(2n+1)6n¡k=1풀이 ¶14¶전략 nanO2-11324-34Oann-23-381234347121243nanOn1-1243anO21¤x¤-x…2에서x¤-x-2…0이므로(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-2)…0(cid:100)(cid:100)∴-1…x…2⁄,¤에서구하는x의값의범위는(cid:100)(cid:100)-1…x…2⑵등비수열{x(x-1)n}은첫째항이x(x-1),공비가x-1이므로이수열이수렴하려면(cid:100)(cid:100)x(x-1)=0또는-11로나누어극한을조사한다.`①,⑤|x|>1일때,|x«|=¶이므로(cid:100)(cid:100)=01x«limn⁄¶limn⁄¶풀이 전략 3¥465n‹15n¤2n3b«limn⁄¶3n‹bn6n‹+2n¤+15n+5limn⁄¶3n‹bn6n‹+2n¤+15n+5limn⁄¶3n‹b«(2n¤+5)(3n+1)limn⁄¶bn3n+12n¤+5limn⁄¶3n‹a«2n¤+5limn⁄¶limn⁄¶b«3n+1a2+21n¤alimn⁄¶an"√4n¤+1+2nlimn⁄¶an("√4n¤+1-2n)("√4n¤+1+2n)"√4n¤+1+2nlimn⁄¶limn⁄¶풀이 전략 20162015201620152016(1+1)-2015(1+1)주어진수열의일반항의분모,분자를x«으로나누면(cid:100)(cid:100)=따라서x<-1또는x>1이면발산한다.②,③|x|<1일때,x«=0이므로(cid:100)(cid:100)==1따라서-11로나누어f(x)를구하면`f(x)=3x(|x|<1)2(x=1)-2(x=-1)x‹(|x|>1)({914개념쎈미적분1-Ⅰ(001-012)해 2014.4.25 5:10 PM 페이지9 SinsagoHitec 10정답및풀이16해결과정•f(x)=2«x¤+3«—⁄x-1로놓으면나머지정리에의하여(cid:100)(cid:100)a«=f(-1)=2«-3«—⁄-1,(cid:100)(cid:100)b«=f(2)=2«±¤+2¥3«—⁄-1(cid:8837)40% 배점답구하기•∴=답구하기•∴=답구하기•∴=-2(cid:8837)60% 배점(cid:9000)-217해결과정•⁄a<5일때,분모에서밑이가장큰거듭제곱인5«으로분모,분자를나누면(cid:100)(cid:100)==;b%;이때;b%;>1이려면(cid:100)(cid:100)b<5따라서a<5, b<5를만족시키는자연수a,b의순서쌍(a, b)의개수는(cid:100)(cid:100)4¥4=16(cid:8837)30% 배점¤a=5일때,분모에서밑이가장큰거듭제곱인5«으로분모,분자를나누면(cid:100)(cid:100)==이때>1이려면(cid:100)(cid:100)5+b<9(cid:100)(cid:100)∴b<4따라서a=5, b<4를만족시키는자연수a,b의순서쌍(a, b)의개수는(cid:100)(cid:100)1¥3=3(cid:8837)30% 배점‹a>5일때,분모에서밑이가장큰거듭제곱인a«으로분모,분자를나누면(cid:100)(cid:100)==;a$;4+5¥{;a%;}«a+b¥{;a%;}«limn⁄¶4¥a«+5«±⁄a«±⁄+b¥5«limn⁄¶95+b95+b4+55+blimn⁄¶4¥5«+5«±⁄5«±⁄+b¥5«limn⁄¶4¥{;5A;}«+5a¥{;5A;}«+blimn⁄¶4¥a«+5«±⁄a«±⁄+b¥5«limn⁄¶2‹¥{;3@;}«—⁄+2-{;3!;}«—⁄2¥{;3@;}«—⁄-1-{;3!;}«—⁄limn⁄¶2«±¤+2¥3«—⁄-12«-3«—⁄-1limn⁄¶b«a«limn⁄¶이때;a$;>1이려면(cid:100)(cid:100)a<4그런데a>5이므로이것을만족시키는a의값은존재하지않는다.(cid:8837)30% 배점답구하기•이상에서구하는순서쌍(a, b)의개수는(cid:100)(cid:100)16+3=19(cid:8837)10% 배점(cid:100)(cid:100)(cid:9000)1918해결과정•원C«의반지름의길이를r«이라하면원C«의중심(3«,r«)과직선3x-4y=0사이의거리는원의반지름의길이와같으므로(cid:100)(cid:100)=r«,(cid:100)(cid:100)|3«±⁄-4r«|=5r«이때3«±⁄-4r«=-5r«이면r«=-3«±⁄<0이되어모순이므로(cid:100)(cid:100)3«±⁄-4r«=5r«,(cid:100)(cid:100)9r«=3«±⁄(cid:100)(cid:100)∴r«==3«—⁄(cid:8837)50% 배점답구하기•∴답구하기•==답구하기•==;3@;(cid:8837)50% 배점(cid:9000);3@;19주어진수열의규칙성을찾아a«과b«을구한다.`제n행의수를차례대로나열하면(cid:100)(cid:100), , , y, 이므로 a«=각행의항의개수를차례대로나열하면(cid:100)(cid:100)1,2,4,8,y따라서제n행의항의개수는2«—⁄이므로2«-12«2«-12«52«32«12«풀이 전략 ;3@;1+{;3@;}«limn⁄¶2¥3«—⁄3«+2«limn⁄¶2p¥3«—⁄p(3«+2«)limn⁄¶l«p(3«+2«)limn⁄¶3«±⁄9|3¥3«-4r«|"√3¤+√(-4Ω)Ω¤ Remark나머지정리다항식f(x)를일차식x-a로나누었을때의나머지를R라하면(cid:100)(cid:100)R=f(a)Remark점과직선사이의거리좌표평면에서점(x¡,y¡)과직선ax+by+c=0사이의거리d는(cid:100)(cid:100)d=|ax¡+by¡+c|"√a¤+b¤14개념쎈미적분1-Ⅰ(001-012)해 2014.4.25 5:10 PM 페이지10 SinsagoHitec 01 수열의극한11(cid:8833)본책32~33`쪽수열의극한01(cid:100)(cid:100)b«=+++y+(cid:100)(cid:100)b«={1+3+5+y+(2«-1)}(cid:100)(cid:100)b«=¥=(cid:100)(cid:100)∴(cid:100) ` =(cid:100) ` =(cid:100) ` =(cid:100) ` ==;4!;(cid:9000)①20a«≠¡=y,a«=x로놓고주어진그래프에서n이한없이커질때의an의값을추정한다.`a«≠¡="√a«+2에서a«≠¡=y,a«=x로놓으면(cid:100)(cid:100)y='∂x+2yy`㉠(cid:100)(cid:100)a¡=-1이므로a¡,a™,a£,y의위치를x축위에추정해보면오른쪽그림과같다.즉n이한없이커질때an은곡선y='∂x+2와직선y=x의교점의x좌표에한없이가까워짐을알수있다.'∂x+2=x의양변을제곱하면(cid:100)(cid:100)x+2=x¤,(cid:100)(cid:100)x¤-x-2=0(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)∴x=-1또는x=2그런데'∂x+2=x에서xæ0이므로(cid:100)(cid:100)x=2따라서두그래프의교점의x좌표가2이므로(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)a«=2(cid:9000)221원점O에서직선y=x+;n!;에내린수선의발을H«이라하고O’H«”,P«Q«”의길이를구한다.전략 limn⁄¶xyO-2-1a™a™a¡=a£a£y=f(x)y=x풀이 전략 14[1-{;4!;}«]limn⁄¶4«4(4«-1)limn⁄¶2«¥2«4(2«+1)(2«-1)limn⁄¶:™4«:;2«-1(2«+1)¥11252«limn⁄¶b«(2«+1)a«limn⁄¶2«42«—⁄{1+(2«-1)}212«12«2«-12«52«32«12«`원점O에서직선y=x+;n!;,즉nx-ny+1=0에내린수선의발을H«이라하면(cid:100)(cid:100)OH”«”=(cid:100)(cid:100)OH”«”==OP«”=1이므로직각삼각형OP«H«에서(cid:100)(cid:100)P’«H«”="√OP”«’¤-OH”«’¤=æ≠1-{}¤(cid:100)(cid:100)P’«H«”=æ≠=(cid:100)(cid:100)∴P’«Q«”=2P’«H«”=2¥=따라서△OP«Q«의넓이A«은(cid:100)(cid:100)A«=;2!;¥P’«Q«”¥OH”«”=;2!;¥¥(cid:100)(cid:100)A«==(cid:100)(cid:100)∴(n¥A«)={n¥}(cid:100)(cid:100)∴(n¥A«)=(cid:100)(cid:100)∴(n¥A«)==(cid:9000)①22문제이해•{}2=이고0<<1이므로(cid:100)(cid:100)={}¤«(cid:100)(cid:100)={}«=0y㉠㉠㉠(cid:100)(cid:100)(cid:8837)30% 배점해결과정•=b«으로놓으면(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)a«-'2=a«b«+'2b«(cid:100)(cid:100)(1-b«)a«='2(1+b«)a«-'2a«+'23-2'23+2'2limn⁄¶1-'21+'2limn⁄¶a«-'2a«+'2limn⁄¶3-2'23+2'23-2'23+2'21-'21+'2'22Æ2≠-;n–:!¤:2limn⁄¶"√2n¤ç-≈12nlimn⁄¶"√2n¤ç-≈12n¤limn⁄¶limn⁄¶"√2n¤ç-≈12n¤2"√2n¤ç-≈14n¤'22n"√4n¤ç-≈2n"√4n¤ç-≈2n"√4n¤ç-≈22n"√4n¤ç-≈22n4n¤-24n¤'22n'22n1"ç2n¤1"√n¤+(-n)¤xyO1-1-11QnPnHnn1y=x+풀이 14개념쎈미적분1-Ⅰ(001-012)해 2014.4.25 5:10 PM 페이지11 SinsagoHitec 12정답및풀이(cid:100)(cid:100)∴a«=(cid:8837)30% 배점답구하기•㉠에서b«=0이므로(cid:100)(cid:100)a«==='2(cid:8837)40% 배점(cid:9000)'223주어진식을이용하여a«≠¡-a«을구한다.`(a«≠¡-a«)¤=(a˚≠¡-a˚)¤-(a˚≠¡-a˚)¤=2{1-}-2{1-}=`(næ2)이때n=1이면(cid:100)(cid:100)(a™-a¡)¤=2{1-}=이므로(cid:100)(cid:100)(a«≠¡-a«)¤=(cid:100)(cid:100)∴a«≠¡-a«=(∵a«0)따라서두그래프의교점의x좌표가이므로(cid:100)(cid:100)a«=즉기능키를한없이누르면화면에나타나는수는에한없이가까워진다.(cid:9000)1+'5111521+'521+'52limn⁄¶1+'521+'52xyOy=xxy=1+111-1a™a™2=a¡a¡=2a£a£1an풀이 전략 (cid:100)(cid:100)∴a«=12-2¥{}«—⁄(cid:100)(cid:100)∴a«=[12-2¥{}«—⁄]=12(cid:9000)1213limn⁄¶limn⁄¶1314개념쎈미적분1-Ⅰ(001-012)해 2014.4.25 5:10 PM 페이지12 SinsagoHitec 011-1주어진급수의제n항을a«, 제n항까지의부분합을Sn이라하자.⑴an=an=an=이므로(cid:100)(cid:100)Sn=;2!;('2ƒk+1-'2ƒk-1)(cid:100)(cid:100)Sn=;2!;{('3-1)+('5-'3)+('7-'5)(cid:100)(cid:100)Sn= +y+('2ƒn+1-'2ƒn-1)}(cid:100)(cid:100)Sn=;2!;('2ƒn+1-1)(cid:100)(cid:100)∴Sn=;2!;('2ƒn+1-1)=¶⑵an=logan=logan=log{¥}이므로⑷(cid:100)(cid:100)Sn=log{¥}⑷(cid:100)(cid:100)Sn=log{;1@;¥;3@;}+log{;2#;¥;4#;}+log{;3$;¥;5$;}⑷(cid:100)(cid:100)Sn=+y+log{¥}⑷(cid:100)(cid:100)Sn=log[{;1@;¥;3@;}{;2#;¥;4#;}{;3$;¥;5$;}⑷(cid:100)(cid:100)Sn=log[y{¥}]⑷(cid:100)(cid:100)Sn=log⑵이므∴Sn=log=log2⑶an==-이므로1n+11n1n(n+1)2nn+1limn⁄¶limn⁄¶2nn+1nn+1nn-1nn+1nn-1kk+1kk-1n¡k=2nn+1nn-1n¤(n-1)(n+1)n¤n¤-1limn⁄¶limn⁄¶n¡k=1'2ƒn+1-'2ƒn-12'2ƒn+1-'2ƒn-1('2ƒn+1+'2ƒn-1)('2ƒn+1-'2ƒn-1)1'2ƒn+1+'2ƒn-1(cid:100)(cid:100)Sn={-}(cid:100)(cid:100)Sn={1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}(cid:100)(cid:100)Sn=+y+{-}=1-(cid:100)(cid:100)∴Sn={1-}=1(cid:9000)⑴발산⑵수렴,log2⑶수렴,13[1-{;2!;}n]012-1Sn=111112=6[1-{;2!;}n]이므로1-;2!;;2!;[1-{;2!;}n](cid:100)(cid:100)(6-Sk)=6¥{;2!;}k=6¥11111221-;2!;(cid:100)(cid:100)=6[1-{;2!;}n](cid:100)(cid:100)∴(6-Sk)=6[1-{;2!;}n](cid:100)(cid:100)=6(cid:9000)6012-2수열{an}의첫째항부터제n항까지의합을Sn이라하면Sn=n2이므로n=1일때,(cid:100)(cid:100)a¡=S¡=1næ2일때,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2an=2n-1yy㉠㉠㉠이때a1=1은㉠에n=1을대입하여얻은값과같으므로(cid:100)(cid:100)an=2n-1따라서(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)=;2!;{-}이므로(cid:100)(cid:100)=;2!;{-}(cid:100)(cid:100)=;2!;[{1-;3!;}+{;3!;-;5!;}(cid:100)(cid:100)=;2!;[+y+{-}](cid:100)(cid:100)=;2!;{1-}12n+112n+112n-112k+112k-1n¡k=11akak+1n¡k=112n+112n-11(2n-1)(2n+1)1anan+1limn⁄¶n¡k=1limn⁄¶n¡k=1n¡k=11n+1limn⁄¶limn⁄¶1n+11n+11n1k+11kn¡k=102 급수13(cid:8833)본책33~40`쪽급수02본책39~57`쪽유제Ⅰ.수열의극한02급수14개념쎈미적분Ⅰ(해)(013-023) 2014.4.30 1:36 PM 페이지13 SinsagoHitec 14정답및풀이∴=∴=;2!;{1-}∴=;2!;(cid:9000);2!;013-1⑴주어진급수의제n항을b«이라하면(cid:100)(cid:100)b«=an-4급수b«이수렴하므로(cid:100)(cid:100)b«=0b«=a«-4에서(cid:100)(cid:100)a«=b«+4(cid:100)(cid:100)∴a«=(b«+4)(cid:100)(cid:100)∴a«=0+4=4⑵주어진급수의제n항을bn이라하면(cid:100)(cid:100)bn=an-{;3@;}n급수bn이수렴하므로(cid:100)(cid:100)bn=0bn=an-{;3@;}n에서(cid:100)(cid:100)an=bn+{;3@;}n∴an=[bn+{;3@;}n]=0+0=0∴(an+3)=0+3=3(cid:9000)⑴4(cid:100)⑵3013-2주어진급수의제n항을b«이라하면(cid:100)(cid:100)b«=na«-2급수b«이수렴하므로(cid:100)(cid:100)b«=0b«=na«-2에서(cid:100)(cid:100)na«=b«+2(cid:100)(cid:100)∴n¤a«=nb«+2n(cid:100)(cid:100)∴==(cid:100)(cid:100)∴==;5@;(cid:9000);5@;014-1두급수an, bn이수렴하므로an=a, bn=b로놓으면¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=10+25-0b«+21115-;n@;limn⁄¶nb«+2n5n-2limn⁄¶n¤a«5n-2limn⁄¶limn⁄¶¶¡n=1limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶¶¡n=1limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶¶¡n=112n+1limn⁄¶1akak+1n¡k=1limn⁄¶1anan+1¶¡n=1(an+bn)=-4에서(cid:100)(cid:100)an+bn=-4(cid:100)(cid:100)∴a+b=-4yy㉠(cid:100)(cid:100)(an-bn)=8에서(cid:100)(cid:100)an-bn=8(cid:100)(cid:100)∴a-b=8yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠, ㉡을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=2, b=-6(cid:100)(cid:100)∴(2an-3bn)=2an-3bn=2¥2-3¥(-6)=22(cid:9000)22014-22an+bn=cn이라하면(cid:100)(cid:100)an=이때bn=-2, cn=10이므로an==;2!;cn-;2!;bn=;2!;¥10-;2!;¥(-2)=6(cid:9000)6015-1⑴8n10-n={;5$;}n이므로8n10-n은첫째항과공비가모두;5$;인등비급수이다. 이때|;5$;|<1이므로;5$;8n10-n=;;;;;;;;;;;;;;=41-;5$;⑵=4{;2!;}n-1이므로은첫째항이4, 공비가;2!;인등비급수이다.이때|;2!;|<1이므로(cid:100)(cid:100)==8⑶{}n은첫째항이¥==1이고, 공비가12-11'2+11'2-11'2+11'2-1¶¡n=141-;2!;2n+14n-1¶¡n=12n+14n-1¶¡n=1¶¡n=12n+14n-1¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1cn-bn2¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1cn-bn2¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=114개념쎈미적분Ⅰ(해)(013-023) 2014.4.25 5:15 PM 페이지14 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100)=='2-1인등비급수이다. 이때|'2-1|<1이므로(cid:100)(cid:100){}n===⑷=;3);++++y이므로은첫째항이;9@;, 공비가;9!;인등비급수이다.이때|;9!;|<1이므로(cid:100)(cid:100)==;4!;(cid:9000)⑴4(cid:100)⑵8(cid:100)⑶(cid:100)⑷;4!;016-1⑴(11¥10-2n+8¥10-n)=11{;10!0;}n+8{;1¡0;}n=11¥+8¥=11¥;9¡9;+8¥;9!;=;9!;+;9*;=1⑵{2n+(-2)n}{;3!;}n={;3@;}n+{-;3@;}n=+=2-;5@;=;5*;(cid:9000)⑴1⑵;5*;016-2수열{a«}의첫째항을a, 공비를r라하면a«=2에서-10에서(cid:100)(cid:100)x+0¤x¤<2에서(cid:100)(cid:100)x¤-2<0(cid:100)(cid:100)(x+'2)(x-'2)<0(cid:100)(cid:100)∴-'22an이므로(cid:100)(cid:100)an+2=¶∴={;2!;-}=;2!;(cid:9000)①1an+2limn⁄¶anan+1an+2¶¡n=1limn⁄¶1an+21an+21a21an+21an+11a41a31a31a21ak+21ak+1n¡k=1ak+2-ak+1ak+1ak+2n¡k=1akak+1ak+2n¡k=1풀이 전략 1n+1limn⁄¶limn⁄¶1(an+2)(bn+2)¶¡n=11n+11n+11k1k+1n¡k=11k+11kn¡k=11k(k+1)n¡k=11-k¤-kn¡k=11-n¤-n¶¡n=11-n¤-3n+2(n-2)+4¶¡n=11anbn+2(an+bn)+4¶¡n=11(an+2)(bn+2)¶¡n=1a¡=1,a™=2,an+2=an+1+an(n=1,2,3,y)이므로(cid:100)(cid:100)a£=2+1=3,a¢=3+2=5,a∞=5+3=8,y따라서an+1>an이므로(cid:100)(cid:100)an+2=an+1+an>an+an=2anRemark14개념쎈미적분Ⅰ(해)(013-023) 2014.4.25 5:15 PM 페이지19 SinsagoHitec 20정답및풀이ㄴ. an이수렴하므로(cid:100)(cid:100)an=0bn이수렴하므로(cid:100)(cid:100)bn=0(cid:100)(cid:100)∴anbn=anbn=0ㄷ. [반례]an=3n, bn=-3n이면an, bn은각각발산하지만(cid:100)(cid:100)(an+bn)=(3n-3n)=0이상에서옳은것은ㄱ, ㄴ이다.(cid:9000)②12S와Sn을각각구하여S-Sn<;30¡00;을만족시키는자연수n의최솟값을구한다.S=1¥{;4!;}n-1==;3$;Sn=1¥{;4!;}k-1=Sn=;3$;[1-{;4!;}n]이때S>Sn이므로(cid:100)(cid:100)S-Sn=;3$;-;3$;[1-{;4!;}n]=;3$;¥{;4!;}n<;30¡00;(cid:100)(cid:100){;4!;}n-1<;10¡00;,(cid:100)(cid:100)4n-1>100044=256, 45=1024이므로(cid:100)(cid:100)n-1æ5에서∴næ6따라서구하는자연수n의값은6이다.(cid:9000)613a¡=S¡이고,a«=S«-S«–¡(næ2)임을이용하여수열{a«}의일반항을구한다.`3n-1Sn=3n-1에서(cid:100)(cid:100)Sn=3-=3[1-{;3!;}n]13n-1풀이 전략 1¥[1-{;4!;}n]1-;4!;n¡k=111111-;4!;¶¡n=1풀이 전략 limn⁄¶limn⁄¶¶¡n=1¶¡n=1limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶¶¡n=1limn⁄¶¶¡n=1n=1일때,(cid:100)(cid:100)a¡=S¡=3{1-;3!;}=2næ2일때,(cid:100)(cid:100)a«=S«-S«–¡(cid:100)(cid:100)a«=3[1-{;3!;}n]-3[1-{;3!;}n-1](cid:100)(cid:100)a«=2{;3!;}n-1yy㉠(cid:100)(cid:100)a¡=2는㉠에n=1을대입하여얻은값과같으므로(cid:100)(cid:100)a«=2{;3!;}n-1(cid:100)(cid:100)∴a2n=2{;3!;}2n-1=;3@;{;9!;}n-1==;4#;(cid:9000);4#;14n이짝수일때와홀수일때로경우를나누어본다.`⁄n=2k+1(k=1, 2, 3, y)일때, (-3)n-1=(-3)2k=32k>0이므로(cid:100)(cid:100)a2k+1=1¤n=2k(k=1, 2, 3, y)일때, (-3)n-1=(-3)2k-1=-32k-1<0이므로(cid:100)(cid:100)a2k=0⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)=++++y(cid:100)(cid:100)=+0++0+y(cid:100)(cid:100)=+++y(cid:100)(cid:100)==;6!;(cid:9000)①15각등비급수의공비를구하여|공비|<1인지확인한다.rn이수렴하므로(cid:100)(cid:100)|r|<1①0…r¤<1이므로r2n은수렴한다. 따라서급수의성질에의하여(rn+r2n)=rn+r2n도수렴한다.¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1풀이 전략 ;8!;1111-;4!;12‡12fi12‹12fi12‹a§2fla∞2fia¢2›a£2‹a«2«¶¡n=3풀이 전략 ;3@;11231-;9!;¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1첫째항이1,공비가;4!;인등비수열에대하여(cid:100)(cid:100)Sn=1+;4!;+{;4!;}2+y+{;4!;}n-1,(cid:100)(cid:100)S=1+;4!;+{;4!;}2+y+{;4!;}n-1+y이므로(cid:100)(cid:100)S>SnRemark14개념쎈미적분Ⅰ(해)(013-023) 2014.4.25 5:15 PM 페이지20 SinsagoHitec 급수02b=OP¡”+P™P£”+P¢P∞”+y=1+{;7^;}2+{;7^;}4+yb===;1$3(;∴a+b=;1$3@;+;1$3(;=7(cid:9000)718해결과정•처음만들어지는두반원의지름의길이는각각3¥;3@;=2, 3¥;3!;=1(cid:100)(cid:100)∴S1=;2!;p¥12+;2!;p¥{;2!;}2(cid:100)(cid:100)∴S1=;2!;p[1¤+{;2!;}2](cid:8837)20% 배점두번째로만들어지는두반원의지름의길이는각각2¥;3@;=;3$;, 2¥;3!;=;3@;(cid:100)(cid:100)∴S2=;2!;p¥{;3@;}2+;2!;p¥{;3!;}2(cid:100)(cid:100)∴S2=;2!;p[{;3@;}2+{;3!;}2](cid:8837)20% 배점세번째로만들어지는두반원의지름의길이는각각;3$;¥;3@;=;9*;, ;3$;¥;3!;=;9$;∴S3=;2!;p¥{;9$;}2+;2!;p¥{;9@;}2∴S3=;2!;p[{;3@;}4+{;9@;}2]⋮(cid:8837)20% 배점답구하기•∴Sn=;2!;p[[1¤+{;2!;}2]+[{;3@;}2+{;3!;}2]===+[{;3@;}4+{;9@;}2]+y]=;2!;p[[12+{;3@;}2+{;3@;}4+y]===+[{;2!;}2+{;3!;}2+{;9@;}2+y]]=;2!;pª+º=;2!;p¥;4(;=;8(;p(cid:8837)40% 배점(cid:9000);8(;p;4!;1-;9$;11111-;9$;¶¡n=11;4!9#;11-{;7^;}202 급수21(cid:8833)본책60~61`쪽②0…r¤<1이므로r2n은수렴한다. 따라서급수의성질에의하여(rn-2r2n)=rn-2r2n도수렴한다.③-1<-r<1이므로(-r)n은수렴한다. 따라서급수의성질에의하여①=;2!;[rn+(-r)n]도수렴한다.④-1<<0이므로{}n은수렴한다.⑤-;2#;<;2R;-1<-;2!;이므로{;2R;-1}n은반드시수렴한다고할수없다.(cid:9000)⑤163an+1-2an=a를an+1-a=;3@;(an-a)로변형하여수열{an}의일반항을구한다.`3an+1-2an=a에서(cid:100)(cid:100)an+1-a=;3@;(an-a)수열{an-a}는첫째항이4-a, 공비가;3@;인등비수열이므로(cid:100)(cid:100)an-a=(4-a){;3@;}n-1(cid:100)(cid:100)∴an=(4-a){;3@;}n-1+a이때an이수렴하므로(cid:100)(cid:100)an=0즉[(4-a){;3@;}n-1+a]=0에서(cid:100)(cid:100)a=0(cid:100)(cid:100)∴an=4{;3@;}n-1(cid:100)(cid:100)∴an=4{;3@;}n-1==12=b(cid:100)(cid:100)∴a+b=12(cid:9000)1217a, b의값을각각등비급수로나타낸다.a=P¡P™”+P£P¢”+P∞P§”+y=;7^;+{;7^;}3+{;7^;}5+y===;1$3@;;7^;;4!9#;;7^;1-{;7^;}2풀이 전략 41-;3@;¶¡n=1¶¡n=1limn⁄¶limn⁄¶¶¡n=1풀이 전략 ¶¡n=1r-12¶¡n=1r-12¶¡n=1¶¡n=1r«+(-r)«2¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=1¶¡n=114개념쎈미적분Ⅰ(해)(013-023) 2014.4.25 5:15 PM 페이지21 SinsagoHitec 22정답및풀이19등비급수를이용하여순환소수를분수로나타낸후,연립방정식을푼다.0.H3, 1.H1, 0.H2를각각분수로나타내면(cid:100)(cid:100)0.H3=;1£0;+;10#0;+;10£00;+y==;3!;(cid:100)(cid:100)1.H1=1+;1¡0;+;10!0;+;10¡00;+y=1+=;;¡9º;;(cid:100)(cid:100)0.H2=;1™0;+;10@0;+;10™00;+y==;9@;따라서2x+0.H3y=1.H1에서(cid:100)(cid:100)2x+;3!;y=;;¡9º;;(cid:100)(cid:100)∴18x+3y=10yy㉠㉠㉠0.H2x+3y=1.H1에서(cid:100)(cid:100);9@;x+3y=;;¡9º;;(cid:100)(cid:100)∴2x+27y=10yy㉡㉡㉡㉠,㉡`을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)x=;2!;, y=;3!;∴a+b=;2!;+;3!;=;6%;(cid:9000)⑤20an,a2n을구한다음등비수열의합의공식에대입하여Rn,Sn,Tn을구한다.수열{an}의일반항은(cid:100)(cid:100)an=1¥{-;2!;}n-1={-;2!;}n-1(cid:100)(cid:100)∴a2n={-;2!;}2n-1=-;2!;¥{-;2!;}2(n-1)(cid:100)(cid:100)∴a2n=-;2!;¥{;4!;}n-1Rn=a2k=[-;2!;¥{;4!;}k-1]Rn==-;3@;[1-{;4!;}n](cid:100)(cid:100)∴A=Rn(cid:100)(cid:100)∴A=[-;3@;[1-{;4!;}n]]=-;3@;limn⁄¶limn⁄¶-;2!;[1-{;4!;}n]1-;4!;n¡k=1n¡k=1풀이 전략 ;1™0;1-;1¡0;;1¡0;1-;1¡0;;1£0;1-;1¡0;풀이 전략 Sn=ak=ak-akSn={-;2!;}k-1-{-;2!;}k-1Sn=-Sn=;3@;[{-;2!;}n-{;4!;}n](cid:100)(cid:100)∴B=Sn(cid:100)(cid:100)∴B=[;3@;[{-;2!;}n-{;4!;}n]]=0Tn=a2k=a2k-a2kTn=[-;2!;¥{;4!;}k-1]-[-;2!;¥{;4!;}k-1] Tn=-Tn=;3@;[{;4!;}2n-1-{;4!;}n-1](cid:100)(cid:100)∴C=Tn(cid:100)(cid:100)∴C=[;3@;[{;4!;}2n-1-{;4!;}n-1]]=0(cid:100)(cid:100)∴A1이고0<<1이다. 따라서이수렴하므로(cid:100)(cid:100){+}=+=+==이므로(cid:100)(cid:100)2(2p+3)=k(p-1)(cid:100)……㉠(cid:8837)30% 배점해결과정•⁄p=2일때,2¥7=k에서(cid:100)(cid:100)k=14(cid:100)(cid:100)(cid:8837)10% 배점¤p+2일때, ㉠에서(cid:100)(cid:100)4p+6=kp-k(cid:100)(cid:100)∴p=p>0이므로(cid:100)(cid:100)k-4>0(cid:100)(cid:100)∴k>4……㉡(cid:100)(cid:100)p는2가아닌소수이므로(cid:100)(cid:100)pæ3즉æ3이므로(cid:100)(cid:100)k+6æ3(k-4),(cid:100)(cid:100)2k…18(cid:100)(cid:100)∴k…9……㉢(cid:100)(cid:100)㉡, ㉢에서(cid:100)(cid:100)40이므로(cid:100) (cid:100)(cid:100)==x-2(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴=(x-2)(cid:100) (cid:100) (cid:100)(cid:100)=-4yy㉠(cid:100)(cid:100)(cid:100) x4⁄-2-에서x+2<0이므로limx⁄-2+x¤-4|x+2|limx⁄-2+(x+2)(x-2)x+2x¤-4|x+2|1x¤limx⁄-¶yxy=f{x}O11-11x¤limx⁄-¶xy1-1y=f{x}O1|x|limx⁄¶yxy=f{x}O1|x|limx⁄¶xyy=f{x}O5-5214개념쎈미적분1-Ⅱ(024-033)해 2014.4.25 5:16 PM 페이지24 SinsagoHitec 03 함수의극한25(cid:8833)본책68~81`쪽(cid:100) (cid:100)(cid:100)==-x+2(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴=(-x+2)(cid:100) (cid:100) (cid:100)(cid:100)=4yy㉡(cid:100)(cid:100)(cid:100) ㉠,㉡에서+이(cid:100) 므로의값은존재하지않는다.⑵x4⁄3+에서x-3>0이므로(cid:100)(cid:100)|x-3|=x-3(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴|x-3|=(x-3)=0y㉠(cid:100)(cid:100)(cid:100)x4⁄3-에서x-3<0이므로(cid:100)(cid:100)(cid:100)|x-3|=-x+3(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴|x-3|=(-x+3)(cid:100)(cid:100)(cid:100)∴|x-3|=0y㉡(cid:100)(cid:100)(cid:100)㉠,㉡에서|x-3|=|x-3|이므로(cid:100)(cid:100)(cid:100)|x-3|=0⑶x>-1일때,(cid:100)(cid:100)|x+1|=x+1(cid:100) 10이므로x¤+1…f(x)…x¤+3의각변을x¤으로나누면ㅇㅇ……(cid:100)(cid:100)ㅇㅇ∴1+……1+이때{1+}=1,{1+}=1이므로함수의극한의대소관계에의하여각변=1(cid:9000)1f(x)x¤limx⁄¶3x¤limx⁄¶1x¤limx⁄¶3x¤f(x)x¤1x¤x¤+3x¤f(x)x¤x¤+1x¤limx⁄3limx⁄3limx⁄3limx⁄3limx⁄343(2+a)43(2+a)x+23(x+a)limx⁄2(x+2)(x-2)3(x-2)(x+a)limx⁄2x¤-4f(x)limx⁄2limx⁄2x¤-4f(x)limx⁄2f(x)x¤+4limx⁄¶a2(cid:8833)본책91`~`95`쪽중단원연습문제01③02303;2%;04①05-2061607③08④09;2!;10 111 -112 ②13 214 315 016 -1617 918 1019 ⑤20 ⑤21 ③01함수의정의역에주의하여그래프를그린후,x가a에한없이가까워질때f(x)의값의변화를조사한다.`ㄱ.f(x)=1+로(cid:100)놓으면함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같고,x의값이0에한없이가까워질때f(x)의값은한없이커지므로(cid:100)(cid:100)(cid:100){1+}=¶ㄴ.f(x)=로놓으면x+-2일때,(cid:100)(cid:100)(cid:100)f(x)==2x-1(cid:100)따라서함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같고,x의값이-2에한없이가까워질때f(x)의값은-5에한없이가까워지므로(cid:100)(cid:100)=-5ㄷ.f(x)=로놓으면x+1일때,(cid:100)(cid:100)(cid:100)f(x)==x¤+x+1(cid:100)따라서함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같고,x의값이1에한없이가까워질때f(x)의값은3에한없이가까워지므로(cid:100)(cid:100)(cid:100)=3x‹-1x-1limx⁄1yxy=f{x}O113(x-1)(x¤+x+1)x-1x‹-1x-12x¤+3x-2x+2limx⁄-2yxy=f{x}O-1-5-2(2x-1)(x+2)x+22x¤+3x-2x+21x¤limx⁄0yxy=f{x}O11x¤풀이 전략 함수의극한0314개념쎈미적분1-Ⅱ(024-033)해 2014.4.25 5:16 PM 페이지27 SinsagoHitec 28정답및풀이ㄹ.f(x)=-로놓(cid:100)으면함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같고,x의값이-1에한없이가까워질때f(x)의값은음수이면서그절댓값이한없이커지므로(cid:100)(cid:100)(cid:100){-}=-¶이상에서옳은것은ㄱ,ㄹ이다.(cid:9000)③02함수의정의역에주의하여그래프를그린후,x2⁄¶,x2⁄-¶일때f(x)의값의변화를조사한다.`f(x)=로놓으면함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같고,x의값이한없이커질때f(x)의값은0에한없이가까워지므로(cid:100)(cid:100)=0또g(x)=3-로놓으면함수y=g(x)의그래프는오른쪽그림과같고,x의값이음수이면서그절댓값이한없이커질때g(x)의값은3에한없이가까워지므로(cid:100)(cid:100){3-}=3(cid:100)(cid:100)∴+{3-}=3(cid:9000)303문제이해•x-a=t로치환하면x4⁄a일때t4⁄0이므로(cid:100)(cid:100)==1(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)∴=1(cid:8837)40% 배점해결과정•주어진식의분모와분자를x로나누면f(x)xlimx⁄0f(t)tlimt⁄0f(x-a)x-alimx⁄a1x¤limx⁄-¶1|x+3|limx⁄¶1x¤limx⁄-¶yxy=g{x}O-´333´331x¤1|x+3|limx⁄¶yy=f{x}xO-3131|x+3|풀이 전략 1|x+1|limx⁄-1yy=f{x}xO-1-11|x+1|(cid:100)(cid:100)==(cid:8837)40% 배점답구하기•따라서구하는극한값은(cid:100)(cid:100)=(cid:8837)20% 배점(cid:9000);2%;04꼴은분모의최고차항으로분모와분자를나누고,분모또는분자에'가있는경우'가있는쪽을유리화하여극한값을구한다.`A===0B=B=B===;2!;C===2(cid:100)(cid:100)∴A0이므로ㄱ.(cid:100)(cid:100)=ㄱ.(cid:100)(cid:100)=x=0yy㉠(cid:100)(cid:100)ㄱ.x4⁄0-에서x<0이므로(cid:100)(cid:100)ㄱ.(cid:100)(cid:100)=ㄱ.(cid:100)(cid:100)=(-x)=0yy㉡(cid:100)(cid:100)ㄱ.㉠,㉡에서=이므로ㄱ.의값은존재한다.ㄴ.-10이므로ㄱ.(cid:100)(cid:100)==(x-2)¤ ㄱ.(cid:100)(cid:100)∴=(x-2)¤ㄱ.(cid:100)(cid:100)∴=0yy㉠(cid:100)(cid:100)ㄱ.x2⁄2-에서x-2<0이므로ㄱ.(cid:100)(cid:100)==-(x-2)¤ ㄱ.(cid:100)(cid:100)∴={-(x-2)¤}ㄱ.(cid:100)(cid:100)∴=0yy㉡(cid:100)(cid:100)ㄱ.㉠,㉡에서=이ㄱ.므로의값은존재한다.이상에서극한값이존재하는것은ㄱ,ㄷ이다.(cid:9000)④09문제이해•함수f(x)가x=0에서극한값을가지려면f(x)=f(x)이어야한다.(cid:8837)10% 배점해결과정•⁄00)라하면OP”="√a¤+a이므로점Q의좌표는(0, "√a¤+a)이다.따라서직선PQ의방정식은(cid:100)(cid:100)y-"√a¤+a=x(cid:8837)30% 배점점R의좌표를(t, 0)이라하면점R는직선PQ위의점이므로(cid:100)(cid:100)-"√a¤+a=¥t(cid:100)(cid:100)∴t=(cid:8837)30% 배점a"√a¤+a"√a¤+a-'a"√a¤+a-'ßa-a"√a¤+a-'ßa-alimx⁄¶limx⁄¶limx⁄¶1x‹limx⁄¶f(x)g(x)limx⁄¶limx⁄¶limx⁄¶limx⁄¶f(x)g(x)limx⁄¶limx⁄¶f(x)g(x)limx⁄¶limx⁄¶f(x)g(x)limx⁄¶limx⁄¶limx⁄0limx⁄0limx⁄0-limx⁄0+limx⁄0-limx⁄0+limx⁄0-limx⁄0+limx⁄0-limx⁄0+limx⁄0limx⁄01(xæ0)-1(x<0)풀이 limx⁄¶limx⁄¶limx⁄¶전략 답구하기•점P가원점O에한없이가까워질때,a4⁄0+이므로(cid:100)(cid:100)a=t=(cid:100)(cid:100)a=(cid:100)(cid:100)a=(cid:100)(cid:100)a=(cid:100)(cid:100)a=(a+1+'ƒa+1)=2(cid:8837)40% 배점(cid:100)(cid:100)(cid:9000)214해결과정•주어진등식의좌변의분모를1로보고분자를유리화하면(cid:100)(cid:100)("a√x¤+çb≈x-x)===㉡㉡yy㉠(cid:8837)30% 배점이때㉠의극한값이존재하므로(cid:100)(cid:100)a-1=0(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)∴a=1(cid:8837)30% 배점a=1을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)=;2B;따라서;2B;=1이므로(cid:100)(cid:100)b=2(cid:8837)30% 배점답구하기•∴a+b=3(cid:8837)10% 배점(cid:100)(cid:100)(cid:9000)315¶-¶꼴의극한에서무리식인경우분모를1로보고분자를유리화하고,¶_0꼴은통분하거나인수분해하여극한값을구한다.a=("√x¤+ç4x-x)a=a==a=24æ1≠+;[$;+1limx⁄¶4x"√x¤+ç4x+xlimx⁄¶("√x¤+ç4x-x)("√x¤+ç4x+x)"√x¤+ç4x+xlimx⁄¶limx⁄¶풀이 전략 bæ1≠+;[B;+1limx⁄¶(a-1)x+bæa≠+;[B;+1limx⁄¶(a-1)x¤+bx"a√x¤+çbx+xlimx⁄¶("a√x¤+çbx-x)("a√x¤+çbx+x)"a√x¤+çbx+xlimx⁄¶limx⁄¶lima⁄0+a¤+a+a"√a+1alima⁄0+"√a¤+a("√a¤+a+'a)alima⁄0+a"√a¤+a("√a¤+a+'a)("√a¤+a-'a)("√a¤+a+'a)lima⁄0+a"√a¤+a"√a¤+a-'ßalima⁄0+lima⁄0+함수의극한0314개념쎈미적분1-Ⅱ(024-033)해 2014.4.25 5:17 PM 페이지31 SinsagoHitec 32정답및풀이b={-1}=¥b=¥==-2(cid:100)(cid:100)∴a+b=0(cid:9000)016f(x)=a(a는0이아닌실수)일때,||=¶이려면g(x)=0이어야함을이용한다.`f(x)=;2!;에서(cid:100)(cid:100)==;2!;(cid:100)(cid:100)∴p=2또(x¤+2x-1)=2, (x¤+2x-1)=-1이므로|f(x)|=¶, |f(x)|=¶이려면(cid:100)(cid:100)(2x¤+qx+r)=0, (cid:100)(cid:100)(2x¤+qx+r)=0(cid:100)(cid:100)∴2+q+r=0, 8-2q+r=0`위의두식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)q=2, r=-4(cid:100)(cid:100)∴pqr=2¥2¥(-4)=-16(cid:9000)-1617해결과정•=6에서분모,분자의차수가같아야하므로(cid:100)(cid:100)a=0(cid:8837)30% 배점이때=6에서분모와분자의최고차항의계수의비가6이므로(cid:100)(cid:100)b=6(cid:8837)30% 배점답구하기•∴f(x)=답구하기•∴f(x)=답구하기•∴f(x)==9(cid:8837)40% 배점(cid:9000)918해결과정•조건㈎에서x4⁄3일때,(분모)4⁄0이고극한값이존재하므로(분자)4⁄0이다.즉f(x)=0이므로limx⁄36(x+2)x+1limx⁄16(x+2)(x-1)(x+1)(x-1)limx⁄16x¤+6x-12x¤-1limx⁄1limx⁄1bx¤+6x-12x¤-1limx⁄¶ax‹+bx¤+6x-12x¤-1limx⁄¶limx⁄-2limx⁄1limx⁄-2limx⁄1limx⁄-2limx⁄11px¤+2x-1px¤+qx+rlimx⁄¶limx⁄¶풀이 limx⁄af(x)g(x)limx⁄alimx⁄a전략 -22x+1limx⁄0-2x2x+11xlimx⁄01-(2x+1)2x+11xlimx⁄012x+11xlimx⁄0(cid:100)(cid:100)f(3)=0yy㉠(cid:100)(cid:100)(cid:8837)40% 배점조건㈏에서이차함수y=f(x)의그래프는직선x=;2#;에대하여대칭이므로(cid:100)(cid:100)f{;2#;-x}=f{;2#;+x}f{;2#;-;2#;}=f{;2#;+;2#;}에서(cid:100)(cid:100)f(0)=f(3)=0(∵㉠)yy㉡(cid:100)(cid:100)(cid:8837)40% 배점㉡,조건㈏에서f(x)=ax(x-3)(a>0)으로놓을수있으므로(cid:100)(cid:100)==3a따라서3a=6이므로(cid:100)(cid:100)a=2(cid:100)(cid:100)∴f(x)=2x(x-3)(cid:8837)30% 배점답구하기•∴===10(cid:8837)30% 배점(cid:9000)1019모든실수x에대하여f(x+a)=f(x)가성립하는함수f(x)는주기가a인함수임을이용하여y=f(x)의그래프를그린후g(x)를구한다.`-2{x-;2!;}+1{-;2!;…x<;2!;}에서-2{x-;2!;}+1{;2!;…x…;2#;}- 2x2{-;2!;…x<;2!;}-2x+2 {;2!;…x…;2#;}또f(x+2)=f(x)에서f(x)는주기가2인주기함수이므로함수y=f(x)의그래프는다음그림과같다.y=f{x}xyO-21-11231232523212---1(\\{\\9(cid:100)(cid:100)f(x)=(\\{\\9f(x)=풀이 전략 4(2x+1)(x-1)xlimx⁄22(2x+1)(2x+1-3)xlimx⁄2f(2x+1)xlimx⁄2ax(x-3)x-3limx⁄3f(x)x-3limx⁄3Remarkf(a-x)=f(a+x)(a는상수)HjK함수y=f(x)의그래프는직선x=a에대하여대칭이다.14개념쎈미적분1-Ⅱ(024-033)해 2014.4.25 5:17 PM 페이지32 SinsagoHitec 03 함수의극한33(cid:8833)본책94~95`쪽함수의극한03g(x)=에서⁄x=k(k는정수)일때,⁄f(x)=0이므로(cid:100)(cid:100)1+f(x)=1⁄따라서{1+f(x)}«=1이므로⁄(cid:100)(cid:100)g(x)==0¤2k-11일때,x¤«=¶이므로⁄(cid:100)(cid:100)`f(x)====1이상에서함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같다.따라서함수f(x)는x=-1, x=1에서불연속이고,그밖의모든실수x의값에서연속이다.⑵⁄|x|<1일때,x«=xn-1=0이므로⁄(cid:100)(cid:100)f(x)==⁄(cid:100)(cid:100)f(x)=-;2!;x¤x=1일때,x«=xn-1=1이므로⁄(cid:100)(cid:100)f(x)===0‹x=-1일때,f(x)의값은존재하지않는다.1-11+2x«-xx«—⁄+2limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶0-x0+2x«-xx«—⁄+2limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶xyO-1-111y=f{x}1-01+011-12x2n11+12x2nlimn⁄¶x¤«-1x¤«+1limn⁄¶limn⁄¶1-11+1x¤«-1x¤«+1limn⁄¶limn⁄¶0-10+1x¤«-1x¤«+1limn⁄¶limn⁄¶limx⁄-1(x+1)(2x-2+3a)x+1limx⁄-12x¤+3ax+3a-2x+1limx⁄-1limx⁄-114개념쎈미적분1-Ⅱ(034-039)해 2014.4.25 5:17 PM 페이지34 SinsagoHitec 04 함수의연속35(cid:8833)본책100~111`쪽함수의연속04›|x|>1일때,|x«|=|xn-1|=¶⁄이므로⁄(cid:100)(cid:100)f(x)====x이상에서함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같다.따라서함수f(x)는x=-1, x=1에서불연속이고,그밖의모든실수x의값에서연속이다.(cid:9000)풀이참조035-2⁄|x|<1일때,x«=x«—⁄=0이므로(cid:100)(cid:100)f(x)==(cid:100)(cid:100)f(x)=2x-a¤x=1일때,x«=x«—⁄=1이므로(cid:100)(cid:100)f(x)==(cid:100)(cid:100)f(x)=‹x=-1일때,f(x)의값은존재하지않는다.›|x|>1일때,|x«|=|x«—⁄|=¶이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=(cid:100)(cid:100)f(x)==x이상에서(cid:100)(cid:100)f(x)=이므로함수f(x)가x=1에서연속이려면(cid:100)(cid:100)x=(2x-a)=(cid:100)(cid:100)1=2-a=(cid:100)(cid:100)∴a=1(cid:9000)13-a23-a2limx⁄1-limx⁄1+2x-a(|x|<1)3-a112(x=1)2x(|x|>1)(\\{\\92ax+11-11xn-2xn-111+11xn-1limn⁄¶x«+2x-axn-1+1limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶3-a21+2-a1+1x«+2x-axn-1+1limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶0+2x-a0+1x«+2x-axn-1+1limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶xyO-1-1112-121y=f{x}x-01+01x-11xn-221+11xn-1limn⁄¶x«-xx«—⁄+2limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶036-1⁄x=0일때,⁄이고f(0)=0+0+0+y=0¤x+0일때,함수f(x)는첫째항이x¤,공비가인등비급수이고0<<1이므로(cid:100)(cid:100)f(x)==1+x¤⁄,¤에서(cid:100)(cid:100)f(x)=[이므로함수f(x)의그래프는오른쪽그림과같다.따라서함수f(x)는x=0에서불연속이다.(cid:9000)0037-1함수f(x)는닫힌구간[-6, 2]에서연속이므로이구간에서최댓값과최솟값을갖는다. 구간[-6, 2]에서함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같으므로함수f(x)는x=-6일때최댓값6을갖고,x=2일때최솟값2를갖는다.(cid:9000)최댓값:6,최솟값:2038-1⑴f(x)=x‹+3x¤-2x-4로놓으면함수⑴f(x)는닫힌구간[1, 2]에서연속이고⑴(cid:100)(cid:100)f(1)=-2<0, f(2)=12>0⑴이므로사이값정리에의하여f(x)=0인x가열린구간(1, 2)에적어도하나존재한다.⑴따라서방정식x‹+3x¤-2x-4=0은열린구간(1,2)에서적어도하나의실근을갖는다.⑵f(x)=xfi-4x+2로놓으면함수f(x)는닫힌구간[0, 1]에서연속이고⑴(cid:100)(cid:100)f(0)=2>0, f(1)=-1<0⑴이므로사이값정리에의하여f(x)=0인x가열린구간(0, 1)에적어도하나존재한다.⑴따라서방정식xfi-4x+2=0은열린구간(0,1)에서적어도하나의실근을갖는다.(cid:9000)풀이참조xyy=f{x}O-622631+x¤(x+0)0(x=0)xyO1y=f{x}x¤11-11341+x¤11+x¤11+x¤14개념쎈미적분1-Ⅱ(034-039)해 2014.4.25 5:17 PM 페이지35 SinsagoHitec 36정답및풀이④f(0)=1이고(cid:100)(cid:100)f(x)==(cid:100)(cid:100)f(x)=(x¤+1)=1이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=f(0)따라서x=0에서연속이다.⑤f(0)=3이고(cid:100)(cid:100)f(x)==(cid:100)(cid:100)f(x)==-3이므로(cid:100)(cid:100)f(x)+f(0)따라서x=0에서불연속이다.(cid:9000)④02함수f(x)가x=2에서연속이므로f(x)=f(2)임을이용하여a,b의값을구한다.`함수f(x)가x=2에서연속이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=f(2)(cid:100)(cid:100)∴=byy㉠㉠㉠㉠`에서x4⁄2일때(분모)4⁄0이고극한값이존재하므로(분자)4⁄0이어야한다.즉(x¤+x+a)=0이므로(cid:100)(cid:100)4+2+a=0(cid:100)(cid:100)∴a=-6a=-6을㉠`에대입하면(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)=(x+3)=5(cid:100)(cid:100)∴b=5(cid:100)(cid:100)∴a+b=-1(cid:9000)-103함수f(x)가모든실수x에대하여연속이어야하므로x=3에서연속이어야한다.`(x-3)f(x)=x¤+ax-3에서x+3일때(cid:100)(cid:100)f(x)=함수f(x)가x=3에서연속이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=f(3)limx⁄3x¤+ax-3x-3풀이 전략 limx⁄2(x+3)(x-2)x-2limx⁄2x¤+x-6x-2limx⁄2limx⁄2x¤+x+ax-2limx⁄2limx⁄2풀이 limx⁄2전략 limx⁄0x+3x-1limx⁄0x(x+3)x(x-1)limx⁄0x¤+3xx¤-xlimx⁄0limx⁄0limx⁄0limx⁄0x(x¤+1)xlimx⁄0x‹+xxlimx⁄0limx⁄0(cid:8833)본책112`~`114`쪽중단원연습문제01④02 -103 404 105②06 ②07 308 609a<-2 또는a>510 911 1312 ⑤13 3701함수f(x)가x=0에서연속이려면f(x)=f(0)이어야한다.`①x=0일때함수f(x)가정의되지않으므로x=0에서불연속이다.②00,(cid:100)(cid:100)F(3)=f(3)-6=-4-6=-10<0,(cid:100)(cid:100)F(4)=f(4)-8=-2-8=-10<0이므로사이값정리에의하여F(x)=0은구간(1, 2), (2, 3)에서각각적어도하나씩의실근을갖는다.따라서방정식f(x)-2x=0은구간(0, 4)에서적어도2개의실근을갖는다.(cid:9000)214개념쎈미적분1-Ⅱ(034-039)해 2014.4.25 5:17 PM 페이지36 SinsagoHitec 04 함수의연속37(cid:8833)본책111~113`쪽함수의연속04(cid:100)(cid:100)∴=f(3)yy㉠㉠㉠㉠`에서x4⁄3일때(분모)4⁄0이고극한값이존재하므로(분자)4⁄0이어야한다.즉(x¤+ax-3)=0에서(cid:100)(cid:100)9+3a-3=0(cid:100)(cid:100)∴a=-2a=-2를㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)f(3)=(cid:100)(cid:100)f(2)=(cid:100)(cid:100)f(2)=(x+1)=4(cid:9000)404문제이해•함수f(x)가x=0에서연속이려면f(x)=f(0)이어야한다. (cid:8837)20% 배점해결과정•이때(cid:100)(cid:100)f(x)=====1이므로(cid:100)(cid:100)f(0)=1(cid:8837)70% 배점답구하기•(cid:100)(cid:100)∴a=1(cid:8837)10% 배점(cid:9000)105함수y={g(x)}¤이x=0에서연속이므로{g(x)}¤={g(0)}¤이성립함을이용한다.`f(x+1)=(x+1)¤-(x+1)+a=x¤+x+a,f(x-1)=(x-1)¤-(x-1)+a=x¤-3x+a+2이므로(cid:100)(cid:100)g(x)=[이때함수y={g(x)}¤이x=0에서연속이므로{g(x)}¤={g(x)}¤={g(0)}¤이성립한다.limx⁄0-limx⁄0+x¤+x+a(x…0)x¤-3x+a+2(x>0)풀이 limx⁄0전략 2'ƒ1+x+'ƒ1-xlimx⁄02xx('ƒ1+x+'ƒ1-x)limx⁄0('ƒ1+x-'ƒ1-x)('ƒ1+x+'ƒ1-x)x('ƒ1+x+'ƒ1-x)limx⁄0'ƒ1+x-'ƒ1-xxlimx⁄0limx⁄0limx⁄0limx⁄3(x+1)(x-3)x-3limx⁄3x¤-2x-3x-3limx⁄3limx⁄3x¤+ax-3x-3limx⁄3{g(0)}¤=a¤이고(cid:100)(cid:100){g(x)}¤=(x¤-3x+a+2)¤(cid:100)(cid:100){g(x)}¤=(a+2)¤,(cid:100)(cid:100){g(x)}¤=(x¤+x+a)¤=a¤이므로(cid:100)(cid:100)(a+2)¤=a¤(cid:100)(cid:100)4a+4=0(cid:100)(cid:100)∴a=-1(cid:9000)②06함수f(x)가실수전체의집합에서연속이어야하므로x=1에서연속이어야한다.`x>1일때,x«=¶이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=(cid:100)(cid:100)f(x)=(cid:100)(cid:100)f(x)=2x+3(cid:100)(cid:100)∴f(x)=[함수f(x)가x=1에서연속이어야하므로(cid:100)(cid:100)f(x)=f(x)=f(1)(cid:100)(cid:100)(2x+3)=(x+a)=1+a(cid:100)(cid:100)5=1+a(cid:100)(cid:100)∴a=4(cid:9000)②07해결과정•01)2x+311+15x«limn⁄¶2x«±⁄+3x«x«+1limn⁄¶limn⁄¶풀이 전략 limx⁄0-limx⁄0-limx⁄0+limx⁄0+14개념쎈미적분1-Ⅱ(034-039)해 2014.4.25 5:17 PM 페이지37 SinsagoHitec 38정답및풀이08함수f(x)가x=a에서연속이고함수g(x)가x=f(a)에서연속이면합성함수(gÁf)(x)는x=a에서연속이다.`함수f(x)는x+1인모든실수x의값에서연속이고,함수g(x)는모든실수x에대하여연속이므로x+1인모든실수x의값에서합성함수(gÁf)(x)는연속이다.따라서함수(gÁf)(x)가모든실수x에대하여연속이려면x=1에서연속이어야한다.f(x)=t로놓으면x4⁄1+일때t4⁄2+이므로(cid:100)(cid:100)g(f(x))=g(t)=8+4a+2bx4⁄1-일때t4⁄0+이므로(cid:100)(cid:100)g(f(x))=g(t)=0g(f(x))=g(f(x))이어야하므로(cid:100)(cid:100)8+4a+2b=0(cid:100)(cid:100)∴2a+b=-4yy㉠㉠㉠이때f(1)=1이므로(cid:100)(cid:100)g(f(1))=g(1)=1+a+bg(f(x))=g(f(1))이어야하므로(cid:100)(cid:100)1+a+b=0(cid:100)(cid:100)∴a+b=-1yy㉡㉠㉠㉠,㉡을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=-3, b=2따라서g(x)=x‹-3x¤+2x이므로(cid:100)(cid:100)g(3)=27-27+6=6(cid:9000)609f(x)가연속함수이므로사이값정리를이용한다.`f(x)가연속함수이고f(1)>0,f(4)>0이므로f(3)<0이면사이값정리에의하여방정식f(x)=0은열린구간(1,3),(3,4)에서각각적어도하나씩의실근을갖는다.따라서-a¤+3a+10<0에서(cid:100)(cid:100)a¤-3a-10>0(cid:100)(cid:100)(a+2)(a-5)>0(cid:100)(cid:100)∴a<-2 또는a>5(cid:9000)a<-2 또는a>510해결과정•조건㈏에서f(x)=f(x+3)이므로(cid:100)(cid:100)f(0)=f(3)f(0)=a, f(3)=4b+6이므로(cid:100)(cid:100)a=4b+6(cid:100)(cid:100)풀이 전략 limx⁄1limx⁄1-limx⁄1+limt⁄0+limx⁄1-limt⁄2+limx⁄1+풀이 전략 (cid:100)(cid:100)∴a-4b=6yy㉠㉠㉠(cid:8837)30% 배점또함수f(x)가모든실수x에대하여연속이므로x=1에서연속이다.즉f(x)=f(x)=f(1)이므로(cid:100)(cid:100){b(x-1)¤+6}=(4x+a)=4+a(cid:100)(cid:100)6=4+a(cid:100)(cid:100)∴a=2a=2를㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)2-4b=6(cid:100)(cid:100)∴b=-1(cid:100)(cid:100)∴f(x)=[(cid:8837)40% 배점답구하기•조건㈏`에의하여(cid:100)(cid:100)f(-4)=f(-4+3)=f(-1)=f(-1+3)=f(2)=-(2-1)¤+6=5이고, f{;2!;}=4¥;2!;+2=4이므로(cid:100)(cid:100)f(-4)+f{;2!;}=9(cid:8837)30% 배점(cid:9000)911a의값의범위를a>0,a=0,a<0일때로나누어본다.`함수f(x)f(x-a)가x=a에서연속이려면(cid:100)(cid:100)f(x)f(x-a)=f(a)f(0)이어야한다.⁄a>0일때,f(a)f(0)=f(a)=-;2!;a+7이고,(cid:100)(cid:100)f(x)f(x-a)={-;2!;a+7}¥7(cid:100)(cid:100)f(x)f(x-a)=-;2&;a+49(cid:100)(cid:100)f(x)f(x-a)={-;2!;a+7}¥1(cid:100)(cid:100)f(x)f(x-a)=-;2!;a+7이므로(cid:100)(cid:100)-;2!;a+7=-;2&;a+49(cid:100)(cid:100)∴a=14¤a=0일때,f(x)f(x-a)={f(x)}¤이므로(cid:100)(cid:100){f(x)}¤=7¤=49,{f(x)}¤=1limx⁄0-limx⁄0+limx⁄a-limx⁄a+limx⁄a풀이 전략 4x+2(0…x…1)-(x-1)¤+6(11로나누어함수f(x)를각각구하고,그래프를그려본다.`⁄|x|<1일때,x¤«=x¤«±¤=0이므로(cid:100)(cid:100)f(x)==;4%;x¤-;4!;¤x=—1일때,x¤«=x¤«±¤=1이므로(cid:100)(cid:100)f(x)==1‹|x|>1일때,x¤«=x¤«±¤=¶이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=(cid:100)(cid:100)f(x)==x¤이상에서(cid:100)(cid:100)이므로함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같다.ㄱ. f(-x)=f(x)를만족시키므로함수y=f(x)의그래프는y축에대하여대칭이다.xyO-111y=f{x}-41;4%;x¤-;4!;(|x|<1)1(x=—1)x¤(|x|>1)(\\{\\9f(x)=51x¤+112-134x2n-2x2n41+134x2nlimn⁄¶x2n+2+5x¤-1x2n+4limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶x2n+2+5x¤-1x2n+4limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶x2n+2+5x¤-1x2n+4limn⁄¶limn⁄¶limn⁄¶풀이 전략 limx⁄a-limx⁄a+limx⁄0limx⁄0-limx⁄0+ㄴ.함수f(x)는x=0일때,최솟값-;4!;을갖는다.ㄷ. f(x)=f(x)=f(1)이므로함수f(x) (cid:100)는x=1에서연속이고ㄱ에서f(-x)=f(x)를만족시키므로x=-1에서도연속이다.따라서함수f(x)는모든실수x에대하여연속이다.이상에서ㄱ,ㄴ,ㄷ모두옳다.(cid:9000)⑤13문제이해•함수g(x)는구간(-¶, ¶)에서연속이고,함수f(x)는x+-2,x+3인닫힌구간[-4, 4]에서연속이므로함수h(x)가닫힌구간[-4, 4]에서연속이려면x=-2, x=3에서연속이어야한다.(cid:8837)20% 배점해결과정•함수h(x)가x=-2에서연속이려면f(x)g(x)=f(-2)g(-2)이어야한다.f(-2)=4, g(-2)=4-2a+b에서f(-2)g(-2)=4(4-2a+b)이고`,(cid:100)(cid:100)f(x)g(x)=4(4-2a+b),(cid:100)(cid:100)f(x)g(x)=3(4-2a+b)이므로(cid:100)(cid:100)4(4-2a+b)=3(4-2a+b)(cid:100)(cid:100)4-2a+b=0(cid:100)(cid:100)∴2a-b=4yy㉠㉠㉠(cid:8837)30% 배점또함수h(x)가x=3에서연속이려면f(x)g(x)=f(3)g(3)이어야한다.f(3)=3, g(3)=9+3a+b에서f(3)g(3)=3(9+3a+b)이고`,(cid:100)(cid:100)f(x)g(x)=3(9+3a+b),(cid:100)(cid:100)f(x)g(x)=4(9+3a+b)이므로(cid:100)(cid:100)3(9+3a+b)=4(9+3a+b)(cid:100)(cid:100)9+3a+b=0(cid:100)(cid:100)∴3a+b=-9yy㉡㉠㉠(cid:8837)30% 배점답구하기•㉠, ㉡을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=-1, b=-6(cid:100)(cid:100)∴a¤+b¤=(-1)¤+(-6)¤=37(cid:8837)20% 배점(cid:9000)37limx⁄3-limx⁄3+limx⁄3limx⁄-2-limx⁄-2+limx⁄-2limx⁄1-limx⁄1+14개념쎈미적분1-Ⅱ(034-039)해 2014.4.25 5:17 PM 페이지39 SinsagoHitec 039-1함수f(x)=x‹-x에서x의값이a에서a+Dx까지변할때의평균변화율은(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)=3a¤+3aDx+(Dx)¤-1(cid:9000)3a¤+3aDx+(Dx)¤-1039-2함수f(x)=x¤-x+1에서x의값이1에서3까지변할때의평균변화율은따라===3yy㉠㉠㉠또함수f(x)의x=a(10이므로(cid:100)(cid:100)f(0)=;2!;따라서(cid:100)(cid:100)f'(0)=(cid:100)(cid:100)f'(0)==4이므로(cid:100)(cid:100)f'(x)=(cid:100)(cid:100)f'(x)=(cid:100)(cid:100)f'(x)=(cid:100)(cid:100)f'(x)=2f(x)(cid:100)(cid:100)f'(x)=2f(x)¥4=8f(x)f(x)>0이므로(cid:100)(cid:100)==8(cid:9000)8043-1⑴f(x)=x|x-1|에서⑵⁄f(1)=0, f(x)=x|x-1|=0이므로limx⁄1limx⁄18f(x)f(x)f'(x)f(x)f(h)-;2!;1111534hlimh⁄02f(x)[f(h)-;2!;]1111111234hlimh⁄02f(x)f(h)-f(x)hlimh⁄0f(x+h)-f(x)hlimh⁄0f(h)-;2!;111123hlimh⁄0f(0+h)-f(0)hlimh⁄0f(h)-2hlimh⁄0f(3)+f(h)+3h-2-f(3)hlimh⁄0f(3+h)-f(3)hlimh⁄0f(h)-2hlimh⁄0f(0+h)-f(0)hlimh⁄005 미분계수와도함수41(cid:8833)본책120~128`쪽미분계수와도함수05⑵⑵존재f(x)=f(1)⑵⑵따라서f(x)는x=1에서연속이다.⑵¤=⑵⑵그런데⑵⑵존재=⑵⑵존재=(1+h)=1,⑵⑵존재=⑵⑵존재={-(1+h)}⑵⑵존재=-1⑵⑵이므로는존재하지않는다.⑵⑵따라서f(x)는x=1에서미분가능하지않다.⑵⁄, ¤에서함수f(x)는x=1에서연속이지만미분가능하지않다.⑵f(x)=[2x¤-x(xæ1)에서3x-2(x<1)⑵⁄f(1)=1이고⑵⑵f(x)=(2x¤-x)=1,⑵⑵f(x)=(3x-2)=1에서⑵⑵(cid:100)(cid:100)f(x)=1⑵⑵(cid:100)(cid:100)∴f(x)=f(1)⑵⑵따라서f(x)는x=1에서연속이다.⑵¤===(3+2h)=3,⑵¤===3⑵⑵따라서=3이므로⑵⑵f(x)는x=1에서미분가능하다.⑵⁄, ¤에서함수f(x)는x=1에서연속이고미분가능하다.(cid:9000)풀이참조f(1+h)-f(1)hlimh⁄03hhlimh⁄0-{3(1+h)-2}-(2¥1¤-1)hlimh⁄0-f(1+h)-f(1)hlimh⁄0-limh⁄0+3h+2h¤hlimh⁄0+{2(1+h)¤-(1+h)}-(2¥1¤-1)hlimh⁄0+f(1+h)-f(1)hlimh⁄0+limx⁄1limx⁄1limx⁄1-limx⁄1-limx⁄1+limx⁄1+(1+h)|h|hlimh⁄0limh⁄0-(1+h)¥(-h)hlimh⁄0-(1+h)|h|hlimh⁄0-limh⁄0+(1+h)hhlimh⁄0+(1+h)|h|hlimh⁄0+(1+h)|h|hlimh⁄0f(1+h)-f(1)hlimh⁄0limx⁄114개념쎈미적분Ⅰ(해)(040-049) 2014.4.25 5:19 PM 페이지41 SinsagoHitec 044-1⑴y'=(x¤+3)'(x¤-1)+(x¤+3)(x¤-1)'⑴y'=2x(x¤-1)+(x¤+3)¥2x⑴y'=2x(x¤-1+x¤+3)=4x‹+4x⑵y'=(x¤-1)'(2x+1)(3x¤-1)⑵y'=+(x¤-1)(2x+1)'(3x¤-1)⑵y'=+(x¤-1)(2x+1)(3x¤-1)'⑵y'=2x(2x+1)(3x¤-1)+(x¤-1)¥2¥(3x¤-1)⑵y'=+(x¤-1)(2x+1)¥6x⑵y'=(12x›+6x‹-4x¤-2x)+(6x›-8x¤+2)⑵y'=+(12x›+6x‹-12x¤-6x)⑵y'=30x›+12x‹-24x¤-8x+2⑶y'=3(x¤-x+1)¤(x¤-x+1)'⑶y'=3(x¤-x+1)¤(2x-1)⑷y'={(x+1)‹}'(x¤+1)¤+(x+1)‹{(x¤+1)¤}'⑷y'=3(x+1)¤¥1¥(x¤+1)¤+(x+1)‹¥2(x¤+1)¥2x⑷y'=(x+1)¤(x¤+1){3(x¤+1)+4x(x+1)}⑷y'=(x+1)¤(x¤+1)(7x¤+4x+3)(cid:9000)풀이참조⑴y=(x¤+3)(x¤-1)=x›+2x¤-3⑵이므로(cid:100)(cid:100)y'=4x‹+4x045-1===3¥-=3f'(3)-f(3)f(x)=(x-1)‹에서f'(x)=3(x-1)¤이므로(cid:100)(cid:100)f(3)=8,(cid:100)f'(3)=12따라서구하는값은(cid:100)(cid:100)3¥12-8=28(cid:9000)28045-2f(x)=x«+x¤+x로놓으면f(1)=3이므로이므(주어진식)==f'(1)f'(x)=nxn-1+2x+1이고f'(1)=10이므로므로n+3=10므로∴n=7(cid:9000)7f(x)-f(1)x-1limx⁄1(x-3)f(3)x-3limx⁄3f(x)-f(3)x-3limx⁄33{f(x)-f(3)}-(x-3)f(3)x-3limx⁄33f(x)-3f(3)+3f(3)-xf(3)x-3limx⁄33f(x)-xf(3)x-3limx⁄3046-1f(x)가x=2에서미분가능하면x=2에서연속이므로에서(4x+b)=f(2)에서∴8+b=4ayy㉠㉠㉠또f(x)의x=2에서의미분계수가존재하므로에서===a(x+2)=4a,에서==(∵㉠)===4에서에서4a=4에서∴a=1a=1을㉠`에대입하면에서b=-4(cid:9000)a=1, b=-4f¡(x)=ax¤(xæ2), f™(x)=4x+b(x<2)로놓으면에서f¡'(x)=2ax(x>2), f™'(x)=4(x<2)f(x)는x=2에서연속이므로에서f¡(2)=f™(2)에서∴4a=8+byy㉠㉠㉠또f(x)의x=2에서의미분계수가존재하므로에서f¡'(2)=f™'(2)에서4a=4에서∴a=1a=1을㉠`에대입하면에서4=8+b에서∴b=-4046-2f(x)가x=1에서미분가능하면x=1에서연속이므로에서(x‹-2x¤+bx)=f(1)에서1-2+b=a-4+3에서∴a=byy㉠㉠㉠limx⁄14(x-2)x-2limx⁄2-4x-8x-2limx⁄2-4x+b-(8+b)x-2limx⁄2-4x+b-4ax-2limx⁄2-f(x)-f(2)x-2limx⁄2-limx⁄2+a(x+2)(x-2)x-2limx⁄2+ax¤-4ax-2limx⁄2+f(x)-f(2)x-2limx⁄2+limx⁄242정답및풀이Remarkf(x)=xn+x¤+x-3으로놓으면f(1)=0이므로주어진식은마찬가지로f'(1)을나타낸다.14개념쎈미적분Ⅰ(해)(040-049) 2014.4.25 5:19 PM 페이지42 SinsagoHitec 또f(x)의x=1에서의미분계수가존재하므로에서===={a(x+1)-4}=2a-4,에서===(∵㉠)==(x¤-x-1+a)=-1+a에서에서2a-4=-1+a(cid:100)(cid:100)∴a=3a=3을㉠에대입하면에서b=3(cid:9000)a=3, b=3f¡(x)=ax¤-4x+3(xæ1),f™(x)=x‹-2x¤+bx(x<1)로놓으면에서f¡'(x)=2ax-4(x>1)에서f™'(x)=3x¤-4x+b(x<1)f(x)는x=1에서연속이므로에서f¡(1)=f™(1)에서a-4+3=1-2+b에서∴a=byy㉠㉠㉠또f(x)의x=1에서의미분계수가존재하므로에서f¡'(1)=f™'(1)에서2a-4=3-4+b에서∴2a-b=3yy㉡㉠㉠㉠,㉡`을연립하여풀면에서a=3, b=3047-1f'(x)f(x)에서=f'(x)+f(x)+2x‹-4x¤+2x-1에서(cid:100)f'(x)f(x)-f'(x)-f(x)(cid:100)=2x‹-4x¤+2x-1yy㉠㉠㉠limx⁄1-(x-1)(x¤-x-1+a)x-1limx⁄1-x‹-2x¤+ax+1-ax-1limx⁄1-x‹-2x¤+bx+1-ax-1limx⁄1-x‹-2x¤+bx-(a-4+3)x-1limx⁄1-f(x)-f(1)x-1limx⁄1-limx⁄1+(x-1){a(x+1)-4}x-1limx⁄1+a(x¤-1)-4(x-1)x-1limx⁄1+ax¤-4x+3-(a-4+3)x-1limx⁄1+f(x)-f(1)x-1limx⁄1+05 미분계수와도함수43(cid:8833)본책135~139`쪽미분계수와도함수05f(x)의차수를n(n은자연수)이라하면f'(x)의차수는n-1이므로㉠`의좌변의차수는에서(n-1)+n=2n-1이고,㉠`의우변의차수는3이다. 즉에서2n-1=3에서∴n=2따라서f(x)=ax¤+bx+c(a+0)로놓으면에서f'(x)=2ax+b이므로f(x), f'(x)를주어진등식에대입하면에서(2ax+b)(ax¤+bx+c)에=(2ax+b)+(ax¤+bx+c)+2x‹-4x¤+2x-1에에∴2a¤x‹+3abx¤+(2ac+b¤)x+bc에에=2x‹+(a-4)x¤+(2a+b+2)x+b+c-1이등식이임의의실수x에대하여성립하므로에서2a¤=2, 3ab=a-4,2ac+b¤=2a+b+2, bc=b+c-1위의식을연립하여풀면에에a=1, b=-1, c=1에에∴f(x)=x¤-x+1(cid:9000)f(x)=x¤-x+1048-1다항식f(x)=x›-4x+a를(x-b)¤으로나누었을때의몫을g(x)라하면양변x›-4x+a=(x-b)¤g(x) yy㉠㉠㉠양변에x=b를대입하면양변b›-4b+a=0yy㉡㉠㉠㉠의양변을x에대하여미분하면양변4x‹-4=2(x-b)g(x)+(x-b)¤g'(x)양변에x=b를대입하면양변4b‹-4=0,양변4(b-1)(b¤+b+1)=0그런데b는실수이므로양변b=1b=1을㉡`에대입하면양변1-4+a=0양변∴a=3(cid:9000)a=3, b=1048-2다항식x·-1을(x-1)¤으로나누었을때의몫을g(x),나머지를ax+b(a,b는상수)라하면양변x·-1=(x-1)¤g(x)+ax+byy㉠㉠㉠양변을x에대하여미분하면양변9x°=2(x-1)g(x)+(x-1)¤g'(x)+ayy㉡㉠㉠x=1을㉠,㉡에각각대입하면각각0=a+b, 9=a각각∴a=9, b=-9따라서구하는나머지는각각9x-9(cid:9000)9x-914개념쎈미적분Ⅰ(해)(040-049) 2014.4.25 5:19 PM 페이지43 SinsagoHitec 01평균변화율과미분계수의정의를이용한다.`함수f(x)=-2x¤+1에서x의값이2에서4까지변할때의평균변화율은(cid:100)(cid:100)===-12또f(x)의x=c(21)f(x)는x=1에서연속이므로(cid:100)(cid:100)f¡(1)=f™(1),(cid:100)(cid:100)1+a=b+2(cid:100)(cid:100)∴a-b=1yy㉠(cid:100)(cid:100)또f(x)의x=1에서의미분계수가존재하므로(cid:100)(cid:100)f¡'(1)=f™'(1),(cid:100)(cid:100)3+a=2b+1(cid:100)(cid:100)∴a-2b=-2yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠, ㉡을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=4, b=307=f'(1),=g'(1)임을이용한다.`g(1)=-2이므로(cid:100)(cid:100)=(cid:100)=-(cid:100)=-(cid:100)=+¥3(cid:100)=-(cid:100)=f'(1)+3f'(1)-g'(1)=4f'(1)-g'(1)(cid:100)=4¥2-(-2)=10(cid:9000)10g(1+h)-g(1)hlimh⁄0f(1-3h)-f(1)-3hlimh⁄0f(1+h)-f(1)hlimh⁄0g(1+h)-g(1)hlimh⁄0f(1-3h)-f(1)hlimh⁄0f(1+h)-f(1)hlimh⁄0f(1+h)-f(1)+f(1)-f(1-3h)-g(1+h)+g(1)hlimh⁄0f(1+h)-f(1-3h)-g(1+h)-2hlimh⁄0풀이 g(1+h)-g(1)hlimh⁄0f(1+h)-f(1)hlimh⁄0전략 limh⁄0-h‹+3h¤+(a+3)hhlimh⁄0-(1+h)‹+a(1+h)-(1+a)hlimh⁄0-(1+h)‹+a(1+h)-(b+2)hlimh⁄0-f(1+h)-f(1)hlimh⁄0-14개념쎈미적분Ⅰ(해)(040-049) 2014.4.25 5:19 PM 페이지45 SinsagoHitec 08극한의성질을이용하여주어진식을f'((cid:8784))=꼴로변형한다.`=3에서x3⁄1일때(분모)3⁄0이고, 극한값이존재하므로(분자)3⁄0이다.즉{f(x)-2}=0에서f(1)=2이므로(cid:100)(cid:100)=¥(cid:100)(cid:100)=f'(1)=3따라서f'(1)=6이므로(cid:100)(cid:100)=;2^;=3(cid:9000)①09미분계수의정의와주어진등식을이용하여f'(0)을극한으로나타낸후f'(1)의값을구한다.`f(x+y)=f(x)+f(y)+xy의양변에x=0,y=0을대입하면(cid:100)(cid:100)f(0)=f(0)+f(0)+0(cid:100)(cid:100)∴f(0)=0따라서(cid:100)(cid:100)f'(0)=(cid:100)(cid:100)f'(0)==1이므로(cid:100)(cid:100)f'(1)===[+1]=1+1=2(cid:9000)⑤10f(x)를미분하여주어진조건을이용한다.`f(1)=-2이므로(cid:100)(cid:100)a+b+c=-2yy㉠㉠㉠f(x)=ax¤+bx+c의양변을x에대하여미분하면(cid:100)(cid:100)f'(x)=2ax+bf'(1)=1, f'(2)=5이므로(cid:100)(cid:100)2a+b=1yy㉡㉠㉠(cid:100)(cid:100)4a+b=5yy㉢㉠㉠풀이 전략 f(h)hlimh⁄0f(1)+f(h)+h-f(1)hlimh⁄0f(1+h)-f(1)hlimh⁄0f(h)hlimh⁄0f(0+h)-f(0)hlimh⁄0풀이 전략 f'(1)f(1)121x+1f(x)-f(1)x-1limx⁄1f(x)-2x¤-1limx⁄1limx⁄1f(x)-2x¤-1limx⁄1풀이 f(▲)-f((cid:8784))▲-(cid:8784)lim▲⁄(cid:8784)전략 ㉠,㉡,㉢을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=2, b=-3,c=-1(cid:100)(cid:100)∴abc=6(cid:9000)611해결과정•f(x)=x‹-4x+2에서에서f'(x)=3x¤-4 (cid:8837)20% 배점미분계수가-1이면에서3x¤-4=-1,에서3x¤=3에서x¤=1에서∴x=—1(cid:8837)30% 배점이때f(1)=-1, f(-1)=5이므로미분계수가-1인두점의좌표는(1, -1), (-1, 5)이다.(cid:8837)30% 배점답구하기•따라서이두점사이의거리는(cid:100)(cid:100)"√(-1-1)¤+{5-√(-1)}¤='4å0=2'1å0(cid:8837)20% 배점(cid:9000)2'1å012해결과정•=1에서x3⁄3일때(분모)3⁄0이고,극한값이존재하므로(분자)3⁄0이다.즉{f(x)-2}=0에서(cid:100)(cid:100)f(3)=2(cid:8837)20% 배점(cid:100)(cid:100)∴==f'(3)=1(cid:8837)20% 배점같은방법으로=2에서(cid:100)(cid:100)g(3)=1(cid:8837)20% 배점(cid:100)(cid:100)∴==g'(3)=2(cid:8837)20% 배점답구하기•이때y=f(x)g(x)를x에대하여미분하면(cid:100)(cid:100)y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)이므로함수y=f(x)g(x)의x=3에서의미분계수는(cid:100)(cid:100)f'(3)g(3)+f(3)g'(3)=1¥1+2¥2=5(cid:8837)20% 배점(cid:9000)5g(x)-g(3)x-3limx⁄3g(x)-1x-3limx⁄3g(x)-1x-3limx⁄3f(x)-f(3)x-3limx⁄3f(x)-2x-3limx⁄3limx⁄3f(x)-2x-3limx⁄346정답및풀이Remark두점사이의거리좌표평면위의두점A(x¡,y¡),B(x™,y™)사이의거리는(cid:100)(cid:100)AB”=øπ(x™π-x¡π)¤+π(y™π-y¡)¤14개념쎈미적분Ⅰ(해)(040-049) 2014.4.25 5:19 PM 페이지46 SinsagoHitec 13해결과정•=¥2=2f'(1)즉2f'(1)=-2이므로(cid:100)(cid:100)f'(1)=-1(cid:8837)40% 배점g(x)=(3x+1)¤f(x)의양변을x에대하여미분하면(cid:100)(cid:100)g'(x)=2(3x+1)¥3f(x)+(3x+1)¤f'(x)(cid:8837)30% 배점답구하기•∴g'(1)=2¥4¥3f(1)+4¤f'(1)=24¥1+16¥(-1)=8(cid:8837)30% 배점(cid:100)(cid:100)(cid:9000)814=t로놓고식을변형한후`,미분계수의정의를이용한다.`=t로놓으면n3⁄¶일때t3⁄0이므로(cid:100)5n[f{}-f{}](cid:100)=5n[f{1+}-f{1+}](cid:100)={f(1+2t)-f(1+t)}(cid:100)=5(cid:100)=5(cid:100)=5[¥2(cid:100)=-](cid:100)=5{f'(1)¥2-f'(1)}=5f'(1)이때f(x)=x‹에서f'(x)=x¤이므로(cid:100)(cid:100)f'(1)=따라서구하는값은(cid:100)(cid:100)5¥;5#;=3(cid:9000)315함수f(x)에대하여(cid:100)(cid:100)=이면함수f(x)는x=a에서미분가능하다.`ㄱ.f(2)=3-2=1이므로풀이 f(x)-f(a)x-alimx⁄a-f(x)-f(a)x-alimx⁄a+전략 353515f(1+t)-f(1)tlimt⁄0f(1+2t)-f(1)2tlimt⁄0f(1+2t)-f(1)+f(1)-f(1+t)tlimt⁄0f(1+2t)-f(1+t)tlimt⁄05tlimt⁄01n2nlimn⁄¶n+1nn+2nlimn⁄¶1n풀이 1n전략 f(1+2h)-f(1)2hlimh⁄0f(1+2h)-f(1)hlimh⁄005 미분계수와도함수47(cid:8833)본책141~142`쪽미분계수와도함수05(cid:100)(cid:100)===-1,ㄱ.(cid:100)(cid:100)====x=2따라서+이므로함수f(x)는x=2에서미분가능하지않다.ㄴ.f(0)=1이므로(cid:100)(cid:100)=f(x)y㉠(cid:100)이때(cid:100)(cid:100)f(x)=(x-1)¤=1,(cid:100)(cid:100)f(x)=1이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=f(x)=1따라서㉠에의하여함수xf(x)는x=0에서미분가능하다.ㄷ.==f(x)y㉡(cid:100)ㄷ. 이때(cid:100)(cid:100)f(x)=(3-x)=1,(cid:100)(cid:100)f(x)=(x-1)¤=1이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=f(x)=1따라서㉡에의하여함수(x-2)f(x)는x=2에서미분가능하다.이상에서옳은것은ㄴ,ㄷ이다.(cid:9000)ㄴ, ㄷ16f'(x)를구하여f(x)와f'(x)를주어진등식에대입한후,항등식의성질을이용한다.`f(x)=x¤+ax+b에서에에f'(x)=2x+a이므로f(x), f'(x)를주어진등식에대입하면에에(x+1)(2x+a)-2(x¤+ax+b)-4=0에에(2-a)x+a-2b-4=0이등식이임의의실수x에대하여성립하므로풀이 전략 limx⁄2-limx⁄2+limx⁄2-limx⁄2-limx⁄2+limx⁄2+limx⁄2(x-2)f(x)x-2limx⁄2(x-2)f(x)-(2-2)f(2)x-2limx⁄2limx⁄0-limx⁄0+limx⁄0-limx⁄0+limx⁄0+limx⁄0xf(x)-0¥f(0)xlimx⁄0f(x)-f(2)x-2limx⁄2-f(x)-f(2)x-2limx⁄2+limx⁄2-x(x-2)x-2limx⁄2-x¤-2xx-2limx⁄2-(x-1)¤-1x-2limx⁄2-f(x)-f(2)x-2limx⁄2--(x-2)x-2limx⁄2+3-x-1x-2limx⁄2+f(x)-f(2)x-2limx⁄2+14개념쎈미적분Ⅰ(해)(040-049) 2014.4.25 5:19 PM 페이지47 SinsagoHitec 에에2-a=0, a-2b-4=0위의식을연립하여풀면에에a=2, b=-1(cid:100)(cid:100)∴ab=2¥(-1)=-2(cid:9000)②f(x)=x¤+ax+b에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=2x+a이때주어진등식은x에대한항등식이므로x=0을등식에대입하면연립1¥f'(0)-2f(0)-4=0(cid:100)(cid:100)f'(0)-2f(0)-4=0f(0)=b, f'(0)=a이므로연립a-2b-4=0yy㉠㉠㉠또x=-1을주어진등식에대입하면(cid:100)(cid:100)0¥f'(-1)-2f(-1)-4=0연립-2f(-1)-4=0f(-1)=1-a+b이므로(cid:100)(cid:100)-2(1-a+b)-4=0연립a-b-3=0yy㉡㉠㉠㉠,㉡`을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=2, b=-1(cid:100)(cid:100)∴ab=2¥(-1)=-217문제이해•xfl을x(x-1)¤으로나누었을때의몫을Q(x), 나머지를R(x)=ax¤+bx+c(a, b, c는상수)로놓으면(cid:100)(cid:100)xfl=x(x-1)¤Q(x)+ax¤+bx+cyy㉠㉠㉠(cid:8837)20% 배점해결과정•x=0을㉠의양변에대입하면(cid:100)(cid:100)0=cyy㉡㉠㉠x=1을㉠의양변에대입하면(cid:100)(cid:100)1=a+b+cyy㉢㉠㉠㉠의양변을x에대하여미분하면(cid:100)(cid:100)6xfi=(x-1)¤Q(x)+2x(x-1)Q(x)+x(x-1)¤Q'(x)+2ax+bx=1을위의식의양변에대입하면(cid:100)(cid:100)6=2a+byy㉣㉠㉠㉡, ㉢, ㉣을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=5, b=-4, c=0(cid:8837)60% 배점답구하기•따라서R(x)=5x¤-4x이므로(cid:100)(cid:100)R(3)=5¥3¤-4¥3=33(cid:8837)20% 배점(cid:100)(cid:100)(cid:9000)3318문제이해•곡선y=f(x)가점(1, b)를지나므로(cid:100)(cid:100)f(1)=byy㉠㉠㉠또점(1, b)에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)f'(1)=tanh=7(cid:8837)20% 배점해결과정•=a에서h3⁄0일때(분모)3⁄0이고,극한값이존재하므로(분자)3⁄0이다.즉{f(1-2h)+3}=0에서f(1)+3=0이므로(cid:100)(cid:100)f(1)=-3yy㉡㉠㉠(cid:100)(cid:100)∴b=-3(∵㉠)(cid:8837)30% 배점(cid:100)(cid:100)∴=(∵㉡)=¥(-2)=-2f'(1)=-2¥7=-14=a(cid:8837)40% 배점답구하기•∴a+b=-17(cid:8837)10% 배점(cid:9000)-1719함수f(x)의x=a에서의평균변화율의우극한과좌극한이같으면f'(a)가존재함을이용한다.`ㄱ.⁄00이므로(cid:100)(cid:100)a>0f'(0)=-a<0이므로y=f'(x)의그래프는오른쪽그림과같다.따라서구간(-¶,-1)에서f'(c)=0인c가존재한다.이상에서옳은것은ㄱ,ㄷ이다.(cid:9000)③xyO2a-a-11y=f'{x}f(1+h)-f(1)hlimh⁄0-g(1+h)-g(1)hlimh⁄0-f(-1+h)-f(-1)hlimh⁄0+g(1+h)-g(1)hlimh⁄0+05 미분계수와도함수49(cid:8833)본책142~143`쪽미분계수와도함수0520꼴의분수식이0이아닌극한값을가지면분모와분자의차수가같음을이용하여f(x)의차수를구한다.`조건㈎`에서꼴의분수식이0이아닌극한값을가지므로분모와분자의차수가같다.f(x)=axn+bxn-1+cx«n-2+y(a+0, a+1)이라하면(cid:100)(cid:100)=(cid:100)(cid:100)=에서(cid:100)(cid:100)2n=n+3(cid:100)(cid:100)∴n=3또분모와분자의최고차항의계수의비가극한값과같으므로(cid:100)(cid:100)=4,(cid:100)(cid:100)a¤-5a=0(cid:100)(cid:100)a(a-5)=0(cid:100)(cid:100)∴a=5`(∵a+0)즉f(x)는최고차항의계수가5인삼차함수이므로f(x)=5x‹+bx¤+cx+d라하면(cid:100)(cid:100)f'(x)=15x¤+2bx+c조건㈏에서x3⁄0일때(분모)3⁄0이고극한값이존재하므로(분자)3⁄0이다.즉(15x¤+2bx+c)=0이므로(cid:100)(cid:100)c=0f'(x)=15x¤+2bx이므로(cid:100)(cid:100)=(15x+2b)=2b=4(cid:100)(cid:100)∴b=2따라서f'(x)=15x¤+4x이므로(cid:100)(cid:100)f'(1)=15+4=19(cid:9000)19limx⁄015x¤+2bxxlimx⁄0limx⁄0a¤-aa(a¤-a)x2n+yaxn+3+y(a¤x2n+y)-(ax2n+y)axn+3+y{f(x)}¤-f(x¤)x‹f(x)¶¶풀이 ¶¶전략 14개념쎈미적분Ⅰ(해)(040-049) 2014.4.25 5:19 PM 페이지49 SinsagoHitec 50정답및풀이049-1f(x)=x‹+ax+b로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=3x¤+a곡선y=f(x)가점(1, 1)을지나므로(cid:100)(cid:100)f(1)=1(cid:100)(cid:100)1+a+b=1(cid:100)(cid:100)∴a+b=0yy㉠㉠㉠또점(1, 1)에서의접선의기울기가-1이므로(cid:100)(cid:100)f'(1)=-1(cid:100)(cid:100)3+a=-1(cid:100)(cid:100)∴a=-4a=-4를㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)b=4(cid:9000)a=-4, b=4049-2f(x)=ax¤+bx+c로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=2ax+b곡선y=f(x)가두점(1, 2), (2, 0)을지나므로(cid:100)(cid:100)f(1)=2, f(2)=0(cid:100)(cid:100)∴a+b+c=2yy㉠㉠㉠(cid:100)(cid:100)(cid:100) 4a+2b+c=0yy㉡㉠㉠또점(2, 0)에서의접선의기울기가1이므로(cid:100)(cid:100)f'(2)=1(cid:100)(cid:100)∴4a+b=1yy㉢㉠㉠㉠,㉡,㉢`을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=3, b=-11, c=10(cid:9000)a=3, b=-11, c=10050-1f(x)=x‹-x¤+2x-2로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=3x¤-2x+2곡선y=f(x)와x축의교점의x좌표는f(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x‹-x¤+2x-2=0(cid:100)(cid:100)x¤(x-1)+2(x-1)=0(cid:100)(cid:100)(x-1)(x¤+2)=0(cid:100)(cid:100)∴x=1(∵x¤+2>0)따라서접점의좌표는(1, 0)이고, 곡선y=f(x)위의점(1, 0)에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)f'(1)=3-2+2=3이므로구하는접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-0=3(x-1)(cid:100)(cid:100)∴y=3x-3(cid:9000)y=3x-3050-2f(x)=x‹-2x¤+3x-4로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=3x¤-4x+3곡선y=f(x)위의점(1, -2)에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)f'(1)=3-4+3=2이므로이점에서의접선에수직인직선의기울기는-;2!;이다.따라서구하는직선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-(-2)=-;2!;(x-1)(cid:100)(cid:100)∴y=-;2!;x-;2#;(cid:9000)y=-;2!;x-;2#;051-1f(x)=-x¤+1로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=-2x접점의좌표를(a, -a¤+1)이라하면이점에서의접선의기울기가tan45°=1이므로(cid:100)(cid:100)f'(a)=-2a=1(cid:100)(cid:100)∴a=-;2!;따라서접점의좌표는{-;2!;, ;4#;}이므로구하는직선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-;4#;=x+;2!;(cid:100)(cid:100)∴y=x+;4%;(cid:9000)y=x+;4%;기울기가tan45°=1인직선의방정식을(cid:100)(cid:100)y=x+b라하면이직선이곡선y=-x¤+1에접하므로-x¤+1=x+b에서(cid:100)(cid:100)x¤+x+b-1=0이이차방정식의판별식을D라하면(cid:100)(cid:100)D=1¤-4(b-1)=0(cid:100)(cid:100)∴b=;4%;따라서구하는직선의방정식은(cid:100)(cid:100)y=x+;4%;051-2f(x)=x‹-2x로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=3x¤-2접점의좌표를(a, a‹-2a)라하면이점에서의접선의기울기가1이므로(cid:100)(cid:100)f'(a)=3a¤-2=1,(cid:100)(cid:100)3a¤=3(cid:100)(cid:100)a¤=1(cid:100)(cid:100)∴a=-1또는a=1따라서두접점의좌표는(-1, 1), (1, -1)이므로두점사이의거리는(cid:100)(cid:100)"√(1+1)¤+(-1-1)¤=2'2(cid:9000)2'2본책147~160`쪽유제Ⅲ.다항함수의미분법06도함수의활용⑴14개념쎈미적분Ⅰ(해)(050~056) 2014.4.25 5:28 PM 페이지50 SinsagoHitec 06 도함수의활용⑴51(cid:8833)본책147~155`쪽도함수의활용⑴06052-1f(x)=x‹+2x로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=3x¤+2접점의좌표를(a, a‹+2a)라하면이점에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)f'(a)=3a¤+2이므로접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-(a‹+2a)=(3a¤+2)(x-a)(cid:100)(cid:100)∴y=(3a¤+2)x-2a‹yy㉠㉠㉠직선㉠`이점(0, 2)를지나므로(cid:100)(cid:100)2=-2a‹,(cid:100)(cid:100)a‹=-1(cid:100)(cid:100)∴a=-1a=-1을㉠`에대입하면구하는접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y=5x+2(cid:9000)y=5x+2052-2f(x)=3x¤-5x+6으로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=6x-5접점의좌표를(a, 3a¤-5a+6)이라하면이점에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)f'(a)=6a-5이므로접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-(3a¤-5a+6)=(6a-5)(x-a)(cid:100)(cid:100)∴y=(6a-5)x-3a¤+6이직선이점(-1, 2)를지나므로(cid:100)(cid:100)2=(6a-5)¥(-1)-3a¤+6(cid:100)(cid:100)a¤+2a-3=0,(cid:100)(cid:100)(a+3)(a-1)=0(cid:100)(cid:100)∴a=-3또는a=1따라서두접선의기울기의곱은(cid:100)(cid:100)f'(-3)¥f'(1)=-23¥1=-23(cid:9000)-23점(-1, 2)를지나는직선의방정식을(cid:100)(cid:100)y-2=m(x+1),즉(cid:100)(cid:100)y=mx+m+2라하면이직선이곡선y=3x¤-5x+6에접하므로3x¤-5x+6=mx+m+2에서(cid:100)(cid:100)3x¤-(5+m)x+4-m=0이이차방정식의판별식을D라하면(cid:100)(cid:100)D=(5+m)¤-4¥3¥(4-m)=0(cid:100)(cid:100)m¤+22m-23=0그런데위의식은접선의기울기m에대한이차방정식이므로근과계수의관계에의하여두직선의기울기의곱은-23이다.053-1f(x)=ax¤+b, g(x)=x‹+bx로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=2ax, g'(x)=3x¤+b두곡선이x=1인점에서접하므로f(1)=g(1)에서(cid:100)(cid:100)a+b=1+b(cid:100)(cid:100)∴a=1또x=1인점에서의접선의기울기가같으므로f'(1)=g'(1)에서(cid:100)(cid:100)2a=3+byy㉠㉠㉠a=1을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)2=3+b(cid:100)(cid:100)∴b=-1(cid:100)(cid:100)∴a+b=0(cid:9000)0053-2f(x)=-x‹+kx, g(x)=x¤-1에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=-3x¤+k, g'(x)=2x두곡선이x=t인점에서접하므로f(t)=g(t)에서(cid:100)(cid:100)-t‹+kt=t¤-1yy㉠㉠㉠또x=t인점에서의접선의기울기가같으므로f'(t)=g'(t)에서(cid:100)(cid:100)-3t¤+k=2t(cid:100)(cid:100)∴k=3t¤+2tyy㉡㉠㉠㉡`을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)-t‹+(3t¤+2t)t=t¤-1(cid:100)(cid:100)2t‹+t¤+1=0,(cid:100)(cid:100)(t+1)(2t¤-t+1)=0(cid:100)(cid:100)∴t=-1(∵2t¤-t+1>0)t=-1을㉡에대입하면(cid:100)(cid:100)k=1(cid:9000)1두곡선f(x)=-x‹+kx, g(x)=x¤-1이x=t인점에서접하므로방정식f(x)=g(x)는x=t를중근으로갖는다.따라서방정식-x‹+kx=x¤-1,즉x‹+x¤-kx-1=0의중근이x=t이므로(cid:100)(cid:100)x‹+x¤-kx-1=(x-t)¤{x-}y㉠㉠㉠로놓을수있다.이때㉠의우변은(cid:100)(x-t)¤{x-}(cid:100)=(x¤-2tx+t¤){x-}(cid:100)=x‹-{+2t}x¤+{t¤+;t@;}x-1이므로㉠의좌변과계수를비교하면(cid:100)(cid:100)-{+2t}=1,(cid:100)t¤+;t@;=-k위의두식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)t=-1, k=11t¤1t¤1t¤1t¤1t¤14개념쎈미적분Ⅰ(해)(050~056) 2014.4.25 5:28 PM 페이지51 SinsagoHitec 054-1함수f(x)=x‹-7x¤+7x+13은닫힌구간[-1, 5]에서연속이고열린구간(-1, 5)에서미분가능하며f(-1)=f(5)=-2이므로롤의정리에의하여f'(c)=0인실수c가구간(-1, 5)에적어도하나존재한다.f(x)=x‹-7x¤+7x+13에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=3x¤-14x+7f'(c)=3c¤-14c+7=0이므로(cid:100)(cid:100)c=(cid:9000)055-1함수f(x)=-x‹+2x는닫힌구간[-2,2]에서연속이고열린구간(-2,2)에서미분가능하므로평균값정리에의하여함수=f'(c) 인실수c가구간(-2,2)에적어도하나존재한다.f(x)=-x‹+2x에서f'(x)=-3x¤+2이므로함수=-3c¤+2함수-2=-3c¤+2,함수3c¤=4함수c¤=;3$;함수∴c=—(cid:9000)—056-1f(x)=x¤+ax+b에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=2x+af(x+h)=f(x)+hf'(x+hh)에서(cid:100)(cid:100)(x+h)¤+a(x+h)+b=x¤+ax+b+h{2(x+hh)+a}(cid:100)(cid:100)x¤+2hx+h¤+ax+ah+b=x¤+ax+b+2hx+2hh¤+ah(cid:100)(cid:100)h¤=2hh¤(cid:100)(cid:100)∴h=;2!;(∵h+0)(cid:9000);2!;2'332'33-4-42-(-2)f(2)-f(-2)2-(-2)7—2'737—2'7301곡선y=f(x)위의임의의점에서의접선의기울기는f'(x)이므로f'(x)의최댓값을구한다.`f(x)=-;3!;x‹-x¤+1로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=-x¤-2x=-(x+1)¤+1따라서x=-1일때접선의기울기f'(x)의최댓값은1이다.(cid:9000)②02문제이해•직선7x+y+10=0의기울기가-7이므로이직선에평행한직선의기울기는-7이다.(cid:8837)20% 배점해결과정•f(x)=-x‹+3x¤+2x로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=-3x¤+6x+2이때곡선y=f(x)와기울기가-7인접선의접점의좌표를(a, -a‹+3a¤+2a)라하면f'(a)=-7이므로(cid:100)(cid:100)-3a¤+6a+2=-7,(cid:100)(cid:100)a¤-2a-3=0(cid:100)(cid:100)(a+1)(a-3)=0(cid:100)(cid:100)∴a=-1또는a=3(cid:8837)40% 배점답구하기•따라서두접점의좌표는(-1, 2), (3, 6)이므로두접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-2=-7(x+1), y-6=-7(x-3)즉y=-7x-5, y=-7x+27이므로구하는y절편의합은(cid:100)(cid:100)-5+27=22(cid:8837)40% 배점(cid:9000)2203점(0, 2)는곡선위의점이아니므로접점의좌표를(a, a‹)으로놓고,접선의방정식을구한다.`f(x)=x‹으로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=3x¤접점의좌표를(a, a‹)이라하면이점에서의접선의기울기는f'(a)=3a¤이므로접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-a‹=3a¤(x-a)(cid:100)(cid:100)∴y=3a¤x-2a‹yy㉠㉠㉠직선㉠이점(0, 2)를지나므로2=-2a‹,㉠㉠a‹=-1(cid:100)(cid:100)∴a=-1a=-1을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)y=3x+2이직선이점(-2, k)를지나므로k=-6+2=-4(cid:9000)-404구간[-1, 1]에서f'(c)=0을만족시키는실수c(-10)(cid:8837)20% 배점답구하기•t=2를㉡`에대입하면(cid:100)(cid:100)a=8-12=-4(cid:8837)10% 배점(cid:100)(cid:100)(cid:9000)-410두직선이서로수직이면두직선의기울기의곱은-1임을이용한다.`f(x)=-x¤+3, g(x)=ax¤-1로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=-2x, g'(x)=2ax두곡선의교점의x좌표를t라하면f(t)=g(t)이므로(cid:100)(cid:100)-t¤+3=at¤-1yy㉠㉠㉠또x=t인점에서두곡선의접선이서로수직이므로f'(t)g'(t)=-1에서(cid:100)(cid:100)-2t¥2at=-1(cid:100)(cid:100)∴at¤=;4!;yy㉡㉠㉠㉡을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)-t¤+3=;4!;-1(cid:100)(cid:100)∴t¤=;;¡4∞;;t¤=;;¡4∞;;를㉡에대입하면(cid:100)(cid:100)a¥;;¡4∞;;=;4!;(cid:100)(cid:100)∴a=;1¡5;(cid:9000);1¡5;두곡선의교점의x좌표는-x¤+3=ax¤-1에서(cid:100)(cid:100)(a+1)x¤=4,(cid:100)(cid:100)x¤=4a+1풀이 전략 54정답및풀이(cid:100)(cid:100)∴x=—이때한교점의x좌표는이므로이점에서두곡선에그은접선의기울기의곱은(cid:100)(cid:100)f'{}g'{}={-2¥}{2a¥}=-1(cid:100)(cid:100)=1(cid:100)(cid:100)∴a=;1¡5;11문제이해•f(x)=x¤+1로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=2x(cid:8837)10% 배점해결과정•접점의좌표를(a, a¤+1)이라하면이점에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)f'(a)=2a이므로접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-(a¤+1)=2a(x-a)(cid:100)(cid:100)∴y=2ax-a¤+1yy㉠㉠㉠㉠㉠(cid:8837)30% 배점직선y=x위의점P의좌표를(t,t)라하면직선㉠이점P를지나므로(cid:100)(cid:100)t=2at-a¤+1(cid:100)(cid:100)∴a¤-2at+t-1=0yy㉡㉠㉠이차방정식㉡`의두근을a, b라하면a, b는접점의x좌표이므로접선의기울기는각각(cid:100)(cid:100)2a, 2b그런데두접선이직교하므로(cid:100)(cid:100)2a¥2b=-1(cid:100)(cid:100)∴4ab=-1yy㉢㉠㉠이때이차방정식㉡`에서근과계수의관계에의하여(cid:100)(cid:100)ab=t-1이므로위의식을㉢에대입하면(cid:100)(cid:100)4(t-1)=-1(cid:100)(cid:100)∴t=;4#;(cid:8837)50% 배점답구하기•따라서구하는점P의좌표는(cid:100)(cid:100){;4#;,;4#;}(cid:8837)10% 배점(cid:100)(cid:100)(cid:9000){;4#;,;4#;}16aa+12'ƒa+12'ƒa+12'ƒa+12'ƒa+12'ƒa+12'ƒa+1Remark한교점의x좌표가-일때에도같은방법으로구하면a=;1¡5;이다.2'ƒa+114개념쎈미적분Ⅰ(해)(050~056) 2014.4.25 5:28 PM 페이지54 SinsagoHitec 도함수의활용⑴0606 도함수의활용⑴55(cid:8833)본책162~163`쪽12주어진함수가닫힌구간[a, b]에서연속이고열린구간(a, b)에서미분가능한지확인한다.`ㄱ.함수f(x)=x는닫힌구간[-1,1]에서연속이고열린구간(-1,1)에서미분가능하므로평균값정리를만족시키는실수c가존재한다.ㄴ.===1ㄴ.===-1ㄴㄴ(cid:100)(cid:100)∴+ㄱ.즉의값이존재하지않으므ㄱ.로함수f(x)는x=0에서미분가능하지않다.ㄴ.따라서평균값정리가성립하지않는다.ㄷ.함수f(x)=-x‹+3x+1은닫힌구간[-1,1]에서연속이고열린구간(-1,1)에서미분가능하므로평균값정리를만족시키는실수c가존재한다.ㄹ.===h=0ㄹ.===-1ㄴㄴ(cid:100)(cid:100)∴+ㄱ.즉의값이존재하지않으므ㄴ.로함수f(x)는x=0에서미분가능하지않다.ㄴ.따라서평균값정리가성립하지않는다.이상에서평균값정리를만족시키는실수c가존재하는것은ㄱ,ㄷ이다.(cid:9000)②f(0+h)-f(0)hlimh⁄0f(0+h)-f(0)hlimh⁄0-f(0+h)-f(0)hlimh⁄0+-hhlimh⁄0-f(h)hlimh⁄0-f(0+h)-f(0)hlimh⁄0-limh⁄0+h¤hlimh⁄0+f(h)hlimh⁄0+f(0+h)-f(0)hlimh⁄0+f(0+h)-f(0)hlimh⁄0f(0+h)-f(0)hlimh⁄0-f(0+h)-f(0)hlimh⁄0+-hhlimh⁄0-f(h)-f(0)hlimh⁄0-f(0+h)-f(0)hlimh⁄0-hhlimh⁄0+f(h)-f(0)hlimh⁄0+f(0+h)-f(0)hlimh⁄0+풀이 전략 13주어진식을미분계수의정의를이용할수있도록변형한다.`함수y=f(x)의그래프위의점(3, 5)에서의접선의기울기가4이므로(cid:100)(cid:100)f'(3)=4=h로놓으면n3⁄¶일때h3⁄0이므로(cid:100)(cid:100)[f{3+}-f(3)] ={f(3+h)-f(3)} ==f'(3)=¥4=;3!;(cid:9000);3!;14곡선y=x›위의점(1, 1)을지나고,이점에서의접선에수직인직선이원의중심을지남을이용한다.`f(x)=x›으로놓으면(cid:100)(cid:100)f'(x)=4x‹곡선y=f(x)위의점(1, 1)에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)f'(1)=4이므로이점에서의접선에수직인직선의기울기는-;4!;이다.점(1, 1)을지나고기울기가-;4!;인직선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-1=-;4!;(x-1)(cid:100)(cid:100)∴y=-;4!;x+;4%;yy㉠(cid:100)(cid:100)풀이 전략 112112f(3+h)-f(3)hlimh⁄0112112hlimh⁄016nn2limn⁄¶16n풀이 전략 Remark다음과같이각함수의그래프를그려서미분가능성을알아볼수있다.ㄱ.ㄴ.ㄷ.ㄹ.xyO11y=-xy=x@-1xyO11y=x-1-1O-1123y=|x|+2xyO113-1-1xyy=-x£+3x+114개념쎈미적분Ⅰ(해)(050~056) 2014.4.25 5:28 PM 페이지55 SinsagoHitec 중심이y축위에있는원의방정식을x¤+(y-a)¤=r¤이라하면오른쪽그림과같이직선㉠`이원의중심(0, a)를지나므로(cid:100)(cid:100)a=-;4!;¥0+;4%;=;4%;따라서반지름의길이r는두점(1, 1), {0, ;4%;}사이의거리이므로(cid:100)(cid:100)r=Æ(0…-…1)¤…+{…;4%;…-1Δ}Δ2=(cid:9000)⑤15곡선y=f(x)위의점(t,f(t))에서의접선의방정식을구하여접선이y축과만나는점의좌표를구한다.`조건㈎에서(cid:100)(cid:100)1+a+b=2(cid:100)(cid:100)∴a+b=1yy㉠(cid:100)(cid:100)f(x)=x‹+ax¤+bx에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=3x¤+2ax+b따라서점(t, f(t)),즉(t,t‹+at¤+bt)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-(t‹+at¤+bt)=(3t¤+2at+b)(x-t)이므로x=0을위의식에대입하면(cid:100)(cid:100)y=-3t‹-2at¤-bt+t‹+at¤+bt=-2t‹-at¤(cid:100)(cid:100)∴P(0,-2t‹-at¤)(cid:100)(cid:100)∴g(t)=|-2t‹-at¤|=t¤|2t+a|조건㈏에서함수g(t)가실수전체의집합에서미분가능하려면-;2A;=0이어야하므로(cid:100)(cid:100)a=0a=0을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)b=1따라서f(x)=x‹+x이므로(cid:100)(cid:100)f(3)=3‹+3=30(cid:9000)④풀이 전략 '1ß74xyO{1,`1}ay=x$㉠56정답및풀이Remark곡선에접하는원곡선y=f(x)와원이접할때①(원의반지름의길이)=(원의중심과접점사이의거리)②원의중심과접점을지나는직선은접선과수직이다.y=f{x}C057-1f(x)=2x‹+6x¤-18x-5에서f'(x)=6x¤+12x-18=6(x+3)(x-1)f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-3또는x=1함수f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)따라서함수f(x)는구간(-¶, -3), (1, ¶)에서증가하고,구간(-3, 1)에서감소한다.(cid:9000)풀이참조058-1⑴f(x)=-x‹+x¤+ax에서⑴(cid:100)(cid:100)f'(x)=-3x¤+2x+a⑴함수f(x)가구간(-¶, ¶)에서감소하려면모든실수x에대하여f'(x)…0이어야하므로이차방정식f'(x)=0의판별식을D라하면⑴(cid:100)(cid:100)=1+3a…0(cid:100)(cid:100)∴a…-;3!;⑵f(x)=2x‹+3(a-2)x¤-12ax+1에서⑴(cid:100)(cid:100)f'(x)=6x¤+6(a-2)x-12a⑴함수f(x)가구간(-1, 2)에서증가하려면⑴-10에서(cid:100)(cid:100)a>3¤`f'(2)=-12+4a-a<0에서3a<12값의∴a<4⁄, ¤에서구하는실수a의값의범위는(cid:100)(cid:100)30하므∴a>-;2(; 이때x=0이방정식x¤-6x-2a=0의근이아니어야하므로(cid:100)(cid:100)-2a+0하므∴a+0따라서구하는실수a의값의범위는-;2(;0(cid:9000)-;2(;0063-1f(x)=x‹+(a-1)x¤-ax에서f'(x)=3x¤+2(a-1)x-a삼차함수f(x)가-10⁄따라서모든실수a에대하여항상성립한다.¤f'(-1)=3-2(a-1)-a>0-3a>-5항상∴a<;3%;‹f'(1)=3+2(a-1)-a>0하므∴a>-1D4D4D4x-1y=f`'{x}1x=-a-1314개념쎈미적분Ⅰ(해)(057-065) 2014.4.30 1:37 PM 페이지58 SinsagoHitec 07 도함수의활용⑵59(cid:8833)본책180~188`쪽도함수의활용⑵07⑴따라서함수f(x)는x=0일때최댓값10,x=1일때최솟값-3을갖는다.(cid:9000)풀이참조065-1f(x)=ax›-4ax‹+b에서f'(x)=4ax‹-12ax¤=4ax¤(x-3)(a>0)f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=3(∵1…x…4)구간[1, 4]에서f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)이때a>0이므로(cid:100)(cid:100)b-27a0이므로f'(t)=0에서(cid:100)(cid:100)t=1xf'(x)f(x)1b-3ay-↘30b-27ay+↗4bxf'(x)f(x)-2(0)a-16y+↗20a+16y-↘3a+9따라서f(t)의증감표는오른쪽과같고,함수f(t)는t=1일때극소이면서최소이므로구하는최솟값은f(1)=90이다.(cid:9000)90067-1오른쪽그림과같이직사각형의꼭짓점중제`1`사분면에있는점을P라하고점P의x좌표를a라하면P(a, 3-a¤)(00,즉-3x¤+2ax+b>0의해가-2f(x™)이면f(x)는감소함수이다.f(x)=-x‹+2x¤+kx+3에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=-3x¤+4x+kf(x)는감소함수이므로모든실수x에대하여f'(x)…0이어야한다.즉이차방정식f'(x)=0의판별식을D라하면=2¤+3k…0(cid:100)(cid:100)∴k…-;3$;(cid:9000)k…-;3$;03문제이해•f(x)=x‹+ax¤+9x+b에서f'(x)=3x¤+2ax+9(cid:100)(cid:100)(cid:8837)10% 배점해결과정•함수f(x)는x=1에서극댓값c를가지므로(cid:100)(cid:100)f(1)=c, f'(1)=01+a+9+b=cyy㉠(cid:100)(cid:100)3+2a+9=0에서∴a=-6∴f(x)=x‹-6x¤+9x+b(cid:8837)40% 배점f'(x)=3x¤-12x+9=3(x-1)(x-3)이므로f'(x)=0에서에서x=1또는x=3따라서f(x)는x=3에서극솟값을가지므로(cid:100)(cid:100)d=3이때의극솟값이1이므로f(3)=27-54+27+b=1(cid:100)(cid:100)∴b=1a=-6, b=1을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)1-6+9+1=c극소∴c=5(cid:8837)40% 배점답구하기•∴a+b+c+d=-6+1+5+3=3(cid:8837)10% 배점(cid:9000)3D4풀이 전략 b-32a3(cid:8833)본책189`~`193`쪽중단원연습문제012702k…-;3$;03304④057061507④08:¡4¡:09③10①11;3!;12①13②14315-;4!;2161617④18풀이참조19;2!7^;20③212122①(cid:100)(cid:100)따라서V(x)는x=2일때극대이면서최대이므로구하는최댓값은V(2)=32이다.(cid:9000)32068-2오른쪽그림과같이원기둥의밑면의반지름의길이와높이를각각x(00)f'(x)=0에서에서x=2 (∵1…x…3)1…x…3에서f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)이때a>0이므로(cid:100)(cid:100)b-4a0)(cid:100)(cid:100)∴f'(x)=2k(x-a)(x-b)+k(x-a)¤(cid:100)(cid:100)∴f'(x)=k(x-a)(3x-a-2b)f'(p)=0,a0이므로f(x)는증가함수이다.{f(x)}‹+3f(x)-1=f(f(x))이므로f(2x¤+5x+2)…f(f(x))에서(cid:100)(cid:100)2x¤+5x+2…f(x)(cid:100)(cid:100)2x¤+5x+2…x‹+3x-1(cid:100)(cid:100)x‹-2x¤-2x-3æ0(cid:100)(cid:100)∴(x-3)(x¤+x+1)æ0이때x¤+x+1={x+;2!;}¤+;4#;>0이므로(cid:100)(cid:100)xæ3따라서구하는x의최솟값은3이므로(cid:100)(cid:100)f(a)=f(3)=27+9-1=35(cid:9000)③10함수f(x)의역함수가존재하려면f(x)는일대일대응이어야한다.f(x)=;3!;x‹-ax¤+3ax에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=x¤-2ax+3a함수f(x)의역함수가존재하려면함수f(x)가일대일대응이어야하므로실수전체의집합에서f(x)는증가함수또는감소함수이어야한다.그런데f(x)의최고차항의계수가양수이므로f(x)는증가함수이어야한다.즉모든실수x에대하여f'(x)æ0이어야하므로이차방정식f'(x)=0의판별식을D라하면(cid:100)(cid:100)=a¤-3a…0(cid:100)(cid:100)a(a-3)…0(cid:100)(cid:100)∴0…a…3따라서a의최댓값은3이다.(cid:9000)①11삼차함수는항상극댓값이극솟값보다크므로(극댓값)-(극솟값)=;2!;임을이용한다.전략 D4풀이 전략 풀이 전략 '1å02'1å0214개념쎈미적분Ⅰ(해)(057-065) 2014.4.25 5:29 PM 페이지62 SinsagoHitec y=f'(x)의그래프에서f'(x)=0이되는x의값이-2, 1이므로f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)위의증감표에서f(x)는구간(-¶, -2)에서감소하고,구간(-2, ¶)에서증가하며,x=-2에서극소이다.그러나x=1의좌우에서는f'(x)의부호가바뀌지않으므로극값을갖지않는다.따라서함수y=f(x)의그래프의개형으로옳은것은②이다.(cid:9000)②14y=|f(x)|의그래프는y=f(x)의그래프에서yæ0인부분은그대로두고y<0인부분을x축에대하여대칭이동한것이다.f(x)=2x‹-9x¤+12x로놓으면f'(x)=6x¤-18x+12=6(x-1)(x-2)f'(x)=0에서에서x=1또는x=2f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)함수f(x)는x=1에서극댓값5,x=2에서극솟값4를갖는다.함수y=f(x)의그래프를이용하여y=|f(x)|의그래프를그리면오른쪽그림과같다.따라서함수y=|2x‹-9x¤+12x|가극대또는극소가되는점은x=0, x=1, x=2일때의3개이다.(cid:9000)3풀이 전략 풀이 07 도함수의활용⑵63(cid:8833)본책190~192`쪽도함수의활용⑵07xf'(x)f(x)y-↘-20극소y+↗10y+↗xf'(x)f(x)y+↗105y-↘204y+↗xyO12y=|f{x}|5415문제이해•f(x)=x›-2(a+1)x¤-4ax에서f'(x)=4x‹-4(a+1)x-4a=4{x‹-(a+1)x-a}f'(x)=4(x+1)(x¤-x-a)(cid:8837)30% 배점해결과정•사차함수f(x)가극댓값을가지려면삼차방정식f'(x)=0이서로다른세실근을가져야한다. 그런데f'(x)=0의한실근이x=-1이므로이차방정식x¤-x-a=0이-1이아닌서로다른두실근을가져야한다.(cid:8837)30% 배점이차방정식x¤-x-a=0의판별식을D라하면D=1+4a>0(cid:100)(cid:100)∴a>-;4!;이때x=-1이방정식x¤-x-a=0의근이아니어야하므로(cid:100)(cid:100)1+1-a+0(cid:100)(cid:100)∴a+2(cid:8837)30% 배점답구하기•따라서구하는실수a의값의범위는-;4!;2(cid:8837)10% 배점(cid:9000)-;4!;216먼저f'(x)를이용하여극솟값을구한다.f(x)=;3!;x‹-x¤-3x에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=x¤-2x-3=(x+1)(x-3)f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-1또는x=3함수f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)따라서함수f(x)는x=3에서극솟값-9를가지므로(cid:100)(cid:100)a=3, b=-9이때f(2)=-:™3™:,f'(2)=-3이므로점(2, f(2)),즉{2,-:™3™:}에서의접선l의방정식은(cid:100)(cid:100)y+:™3™:=-3(x-2)(cid:100)(cid:100)∴9x+3y+4=0따라서점(3, -9)에서직선l: 9x+3y+4=0까지의거리d는(cid:100)(cid:100)d==(cid:100)(cid:100)∴90d¤=90¥;9!0^;=16(cid:9000)164'∂90|9¥3+3¥(-9)+4|"√9¤+3¤풀이 전략 Remark함수f(x)에대하여x=a일때, f'(a)의값이존재하지않더라도x=a의좌우에서f'(x)의부호가바뀌면함수f(x)는x=a에서극값을갖는다.따라서위의그림에서y=|f(x)|의x=0에서의미분계수는존재하지않지만y=|f(x)|는x=0에서극솟값을갖는다.xy-1y3yf'(x)+0-0+f(x)↗;3%;↘-9↗14개념쎈미적분Ⅰ(해)(057-065) 2014.4.25 5:29 PM 페이지63 SinsagoHitec ⁄ (cid:100)(cid:100)g(a)=f(a)=;2!;a‹-a‹ a>1이면오른쪽그림과같이f(x)는x=1에서최대이므로⁄ (cid:100)(cid:100)g(a)=f(1)=;2!;a-1이상에서구하는함수g(a)는( -a(a…0)g(a)={;2!;a‹-a(01)(cid:9000)풀이참조19문제이해•점P의좌표를(a,-a¤+2a)(00)라하면원a¤+b¤=k가점(-1,-2)를지날때k의값이최대이므로(cid:100)(cid:100)M=(-1)¤+(-2)¤=5원a¤+b¤=k가직선b=a-1, 즉a-b-1=0에접할때k의값이최소이므로|-1|1(cid:100)(cid:100)'k=1111125=125(cid:100)(cid:100)∴m=;2!;"√1¤+√(√-1)¤'2(cid:100)(cid:100)∴M+m=:¡2¡:(cid:9000)③21문제이해•f(x)=x‹+ax¤+bx+c의그래프가원점에대하여대칭이므로(cid:100)(cid:100)a=c=0즉f(x)=x‹+bx에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=3x¤+b(cid:8837)20% 배점함수f(x)는x=p에서극댓값f(p), x=q에서극솟값f(q)를가지므로방정식f'(x)=0의두근이p, q이다.이차방정식의근과계수의관계에의하여(cid:100)(cid:100)p+q=0, pq=;3B;yy`㉠(cid:100)(cid:100)(cid:8837)20% 배점-102xy=f`'{x}풀이 -1-1-2-2AB-41abO07 도함수의활용⑵65(cid:8833)본책192~193`쪽도함수의활용⑵07해결과정•두점A, B의좌표가각각(p, f(p)),(q, f(q))이므로직선AB의기울기는(cid:100)(cid:100)====p¤+pq+q¤+b=(p+q)¤-pq+b㉠을위의식에대입하면(cid:100)(cid:100)0¤-;3B;+b=;3@;b=-;3$;(cid:100)(cid:100)∴b=-2(cid:8837)40% 배점답구하기•따라서f(x)=x‹-2x이므로(cid:100)(cid:100)f(3)=27-6=21(cid:8837)20% 배점(cid:9000)2122두점C, E의좌표를이용하여구하는넓이를함수로나타낸후최댓값을구한다.정사각형ABCD의두대각선의교점의좌표가(0, 1)이므로점C의좌표는{;2!;, ;2!;}이고정사각형EFGH의두대각선의교점의좌표를(t, t¤)(00)⑴함수f(x)의증감표는오른쪽과같다.⑴즉함수f(x)는x=-1에서극소이면서최소이고최솟값은0이므로(cid:100)(cid:100)f(x)æ0⑴따라서모든실수x에대하여부등식⑴x›+5xæx-3이성립한다.⑵f(x)=x‹-x¤-x+1로놓으면⑴(cid:100)(cid:100)f'(x)=3x¤-2x-1=(3x+1)(x-1)⑵f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=1(∵xæ0)⑴함수f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)⑴즉xæ0일때함수f(x)는x=1에서극소이면서최소이고최솟값은0이므로(cid:100)(cid:100)f(x)æ0⑴따라서xæ0일때, 부등식x‹-x¤-x+1æ0이성립한다.(cid:9000)풀이참조073-1h(x)=f(x)-g(x)로놓으면(cid:100)(cid:100)h(x)=4x‹-6x-(3x¤-a)=4x‹-3x¤-6x+a(cid:100)(cid:100)h'(x)=12x¤-6x-6=6(2x+1)(x-1)h'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-;2!;또는x=1구간[-1, 2]에서h(x)의증감표는다음과같다.따라서h(x)는x=1에서극소이면서최소이고최솟값은a-5이므로구간[-1,2]에서주어진부등식이성립하려면xf'(x)f(x)01y-↘100y+↗(cid:100)(cid:100)a-5æ0(cid:100)(cid:100)∴aæ5(cid:9000)aæ5074-1점P의시각t에서의속도를v,가속도를a라하면v==3t¤-10t+6, a==6t-10점P가원점을통과하는것은x=0일때이므로t‹-5t¤+6t=0,(cid:100)(cid:100)t(t-2)(t-3)=0∴t=0또는t=2또는t=3따라서점P가마지막으로원점을통과하는것은t=3일때이므로구하는가속도는a=6¥3-10=8(cid:9000)8074-2점P의시각t에서의속도를v라하면(cid:100)(cid:100)v==4t‹-4운동방향을바꿀때의속도는0이므로(cid:100)(cid:100)4t‹-4=0,(cid:100)(cid:100)t‹-1=0(cid:100)(cid:100)(t-1)(t¤+t+1)=0(cid:100)(cid:100)∴t=1따라서구하는점P의위치는(cid:100)(cid:100)x=1›-4¥1+5=2(cid:9000)2075-1점P의시각t에서의속도를v라하자.ㄱ. t=a에서의속도는v=x'(a)이고오른쪽그림에서x'(a)>0이므로t=a에서점P는양의방향으로움직인다.ㄴ. t=d, t=e일때v=0이고그좌우에서v의부호가바뀌므로점P는t=d, t=e에서운동방향을바꾼다.ㄷ. t=b, t=f일때x(t)=0이므로점P는출발후원점을두번지난다.이상에서옳은것은ㄱ, ㄷ이다.(cid:9000)ㄱ,ㄷ076-1자동차가브레이크를밟은지t초후의속도를vm/s라하면x=7.2t-0.45t¤에서v==7.2-0.9t(m/s)자동차가정지할때의속도는0m/s이므로7.2-0.9t=0(cid:100)(cid:100)∴t=8dxdttyOadbefcy=x{t}dxdtdvdtdxdtx-1y-;2!;y1y2h'(x)+0-0+h(x)a-1↗a+;4&;↘a-5↗a+8xf'(x)f(x)y-↘-100y+↗14개념쎈미적분Ⅰ(해)(066-071) 2014.4.25 5:31 PM 페이지67 SinsagoHitec 따라서자동차가정지할때까지걸린시간은8초이다.(cid:9000)8초076-2기차가제동을건지t초후의속도를vm/s라하면x=30t-0.5t¤에서v==30-t(m/s)기차가정지할때의속도는0m/s이므로30-t=0(cid:100)(cid:100)∴t=30따라서30초동안기차가움직인거리는x=30_30-0.5_30¤=450(m)(cid:9000)450m077-1t분후민재가가로등바로밑에서부터xm,그림자의앞끝은ym떨어져있다고하면x=90tyy㉠㉠㉠오른쪽그림에서(cid:100)(cid:100)△ACBª△DCE(AA닮음)이므로AB”:DE”=BC”:EC”1.5:3=(y-x):y㉠을위의식에대입하면1.5:3=(y-90t):y,(cid:100)(cid:100)1.5y=3y-270t1.5y=270t하면∴y=180t양변을t에대하여미분하면(cid:100)(cid:100)=180따라서그림자의앞끝이움직이는속도는180m/min이다.(cid:9000)180078-1t초후의정사각형의한변의길이는(5+2t)cm이므로그길이가15cm가될때의시각은5+2t=15길이∴t=5정사각형의넓이를Scm¤라하면길이S=(5+2t)¤∴=2(5+2t)¥2=4(5+2t)따라서5초후의정사각형의넓이의변화율은4(5+2¥5)=60(cm¤/s)(cid:9000)60078-2t초후의원기둥의밑면의반지름의길이를rcm,높이를hcm라하면r=5+0.5t, h=10-tdSdtdydtADBCE3xy1.5dxdt원기둥의부피를Vcm‹라하면V=pr¤h=p(5+0.5t)¤(10-t)∴=p_2(5+0.5t)_0.5(10-t)+p(5+0.5t)¤_(-1)=p(5+0.5t)(5-1.5t)따라서3초후의원기둥의부피의변화율은p(5+0.5_3)(5-1.5_3)=3.25p(cm‹/s)(cid:9000)3.25pdVdt68정답및풀이(cid:8833)본책213`~`216`쪽중단원연습문제013202③03a>2404405④06307k>-70800(cid:100)(cid:100)∴a>24(cid:8837)40% 배점(cid:9000)a>2404점P가운동방향을바꿀때의속도는0임을이용한다.점P의시각t에서의속도를v라하면v==3t¤-12t+9점P가운동방향을바꿀때의속도는0이므로dxdt풀이 전략 풀이 xy2y4yf'(x)+0-0+f(x)↗극대↘극소↗xy-1y2yh'(x)-0-0+h(x)↘a+3↘a-24↗3t¤-12t+9=0,(cid:100)(cid:100)t¤-4t+3=0(t-1)(t-3)=0(cid:100)(cid:100)∴t=1또는t=3따라서t=1,t=3일때점P가운동방향을바꾸므로구하는값은(cid:100)(cid:100)t¡+t™=1+3=4(cid:9000)405물체가최고높이에도달할때의속도는0임을이용한다.물체의t초후의속도를v라하면(cid:100)(cid:100)v==40-2kt물체가최고높이에도달할때의속도는0이고걸린시간이4초이므로40-2k¥4=0(cid:100)(cid:100)∴k=5따라서v=40-10t이므로물체를던진후1초후의속도는40-10¥1=30(m/s)(cid:9000)④06해결과정•f(x)=-2x‹+3x¤+2이므로(cid:100)(cid:100)f'(x)=-6x¤+6x=-6x(x-1)f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=0또는x=1함수f(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)(cid:8837)40% 배점한편(gΩf)(x)=g(f(x))=0에서(cid:100)(cid:100){f(x)}¤-2f(x)-3=0(cid:100)(cid:100){f(x)+1}{f(x)-3}=0(cid:100)(cid:100)∴f(x)=-1또는f(x)=3따라서방정식(gΩf)(x)=0의근은방정식f(x)=-1또는f(x)=3의근과같다.(cid:8837)40% 배점답구하기•함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같고,함수y=f(x)의그래프와두직선y=-1, y=3의교점의개수가각각1, 2이므로방정식(gΩf)(x)=0의서로다른실근의개수는3이다.(cid:8837)20% 배점(cid:9000)3dxdt풀이 전략 xy0y1yf'(x)-0+0-f(x)↘2↗3↘xyy=3y=-1y=f{x}O-112314개념쎈미적분Ⅰ(해)(066-071) 2014.4.25 5:31 PM 페이지69 SinsagoHitec 07방정식f(x)=k의실근은y=f(x)의그래프와직선y=k의교점의x좌표와같음을이용한다.2x‹+3x¤-12x-k=0에서(cid:100)(cid:100)2x‹+3x¤-12x=kf(x)=2x‹+3x¤-12x로놓으면f'(x)=6x¤+6x-12=6(x+2)(x-1)f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-2 또는x=1함수f(x)의증감표는다음과같다.따라서함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같으므로함수y=f(x)의그래프와직선y=k가x>1인범위에서만나는k의값의범위는k>-7(cid:9000)k>-708문제이해•f(x)=2x‹-6ax-3a에서f'(x)=6x¤-6a=6(x+'ßa)(x-'ßa)함수f(x)가극값을가지므로(cid:100)(cid:100)a>0yy㉠㉠㉠(cid:8837)30% 배점해결과정•f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-'ßa 또는x='ßa함수f(x)의증감표는다음과같다.∴(극댓값)=f(-'ßa)=a(4'ßa-3),∴(극솟값)=f('ßa)=-a(4'ßa+3)(cid:8837)30% 배점방정식f(x)=0이단하나의실근을가지려면(극댓값)_(극솟값)>0이어야하므로(cid:100)(cid:100)-a¤(4'ßa-3)(4'ßa+3)>0(cid:100)(cid:100)a¤(16a-9)<0∴a<;1ª6;, a+0yy㉡㉠㉠(cid:8837)30% 배점답구하기•㉠,㉡에서구하는a의값의범위는00에서f(x)æ0이성립하면x>0에서(f(x)의최솟값)æ0임을이용한다.f(x)=x‹-3x¤-9x+a로놓으면f'(x)=3x¤-6x-9=3(x+1)(x-3)f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=3(∵x>0)함수f(x)의증감표는다음과같다.x>0일때함수f(x)는x=3에서극소이면서최소이고최솟값은-27+a이다.즉x>0일때f(x)æ0이려면-27+aæ0(cid:100)(cid:100)∴aæ27따라서실수a의최솟값은27이다.(cid:9000)2710위치를미분하면속도임을이용한다.시각t에서두점P, Q의속도를각각v∏, vŒ라하면(cid:100)(cid:100)v∏=f'(t)=4t-2,(cid:100)vŒ=g'(t)=2t-8이때두점P, Q가서로반대방향으로움직이므로v∏vŒ<0에서(cid:100)(cid:100)(4t-2)(2t-8)<0,(cid:100)(cid:100)(2t-1)(t-4)<0(cid:100)(cid:100)∴;2!;0이므로t=b에서의가속도는양이다.ㄴ.위의그림에서v'(a)=0, v'(d)=0이므로02)(cid:8837)30% 배점해결과정•△OPQ의넓이를S라하면S=;2!;¥3t¥4(t-2)=6t¤-12t(cid:100)(cid:100)∴=12t-12(cid:8837)50% 배점답구하기•따라서5초후의△OPQ의넓이의변화율은(cid:100)(cid:100)12¥5-12=48(cid:8837)20% 배점(cid:9000)4814가장바깥쪽동심원의넓이를시각t에대한함수로나타낸다.t초후의가장바깥쪽동심원의반지름의길이를rm,넓이를Sm¤라하면r=;2!;t이므로(cid:100)(cid:100)S=pr¤=p{;2!;t}2=;4!;pt¤`(cid:100)(cid:100)∴=;2!;pt따라서4초후의동심원의넓이의변화율은(cid:100)(cid:100);2!;p¥4=2p(m¤/s)(cid:9000)2p15모든실수x에대하여f(-x)=-f(x)이면y=f(x)의그래프는원점에대하여대칭임을이용한다.전략 dSdt풀이 전략 dSdttbdcaeyy=v{t}O풀이 최고차항의계수가1이고모든실수x에대하여f(-x)=-f(x)를만족시키는삼차함수y=f(x)의그래프의개형은[그림1]또는[그림2]와같아야한다.[그림1][그림2]이때방정식|f(x)|=2의서로다른실근의개수가4이기위해서는함수y=|f(x)|의그래프와직선y=2가오른쪽그림과같이서로다른네점에서만나야하므로함수y=f(x)의그래프는[그림2]와같아야한다.함수y=f(x)의그래프와x축의원점이아닌교점의x좌표를각각-k, k(k>0)라하면(cid:100)(cid:100)f(x)=x(x+k)(x-k)=x‹-k¤x이므로(cid:100)(cid:100)f'(x)=3x¤-k¤=3{x+}{x-}f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-또는x=이므로함수f(x)는x=-에서극댓값2를갖고,x=에서극솟값-2를갖는다.즉f{}=-2이므로(cid:100)(cid:100){}3-k¤¥=-2(cid:100)(cid:100)k‹=3'3(cid:100)(cid:100)∴k='3따라서f(x)=x‹-3x이므로(cid:100)(cid:100)f(3)=3‹-3¥3=18(cid:9000)④16h'(x)=0을만족시키는x의값의좌우에서h'(x)의부호를조사하여증감표를만든다.h(x)=f(x)-g(x)에서(cid:100)(cid:100)h'(x)=f'(x)-g'(x)풀이 전략 k'3k'3k'3k'3k'3k'3k'3k'3k'3xyy=2y=|f{x}|-kkOy=f{x}Oxyxyy=f{x}O풀이 14개념쎈미적분Ⅰ(해)(066-071) 2014.4.25 5:31 PM 페이지71 SinsagoHitec 72정답및풀이본책222~229`쪽유제Ⅳ.다항함수의적분법09부정적분079-1(x›-2x‹-2x¤+C)'=(x-2)f(x)이므로(cid:100)(cid:100)4x‹-6x¤-4x=(x-2)f(x)(cid:100)(cid:100)2x(2x+1)(x-2)=(x-2)f(x)따라서f(x)=2x(2x+1)이므로(cid:100)(cid:100)f(1)=2¥1¥3=6(cid:9000)6080-1[:(ax¤+4x+5)dx]=ax¤+4x+5이므로(cid:100)(cid:100)ax¤+4x+5=6x¤+bx+c따라서a=6, b=4, c=5이므로(cid:100)(cid:100)a+b+c=15(cid:9000)15080-2:[(x¤-4x)]dx=x¤-4x+C이므로주어f(x)=x¤-4x+C=(x-2)¤-4+C이때함수f(x)의최솟값이3이므로(cid:100)(cid:100)-4+C=3(cid:100)(cid:100)∴C=7따라서f(x)=x¤-4x+7이므로(cid:100)(cid:100)f(1)=1-4+7=4(cid:9000)4081-1⑴:(x¤+x+1)(x¤-x+1)dx=:(x›+x¤+1)dx=;5!;xfi+;3!;x‹+x+C⑵:dx=:dx⑵:dx=:(2x+1)dx⑵:dx=x¤+x+C⑶:(x-t)¤dx=:(x¤-2tx+t¤)dx⑷:(x-t)¤dx=:x¤dx-2t:xdx+t¤:dx⑷:(x-t)¤dx=;3!;x‹-tx¤+t¤x+C(2x+1)(x-2)x-22x¤-3x-2x-2ddxddxh'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=0또는x=2함수h(x)의증감표는다음과같다.(cid:100)(cid:100)ㄱ,ㄴ.위의증감표에의하여00이므로(cid:100)(cid:100)x=2'3(cid:9000)②f(x)=ax‹+bx¤+cx+d(a+0)로놓으면f(x)의그래프가원점에대하여대칭이므로f(0)=0에서(cid:100)(cid:100)d=0또f(x)가x=-2에서극값을갖고그그래프가원점에대하여대칭이므로x=2에서도극값을갖는다.따라서f'(x)=0, 즉3ax¤+2bx+c=0의두근이-2,2이므로이차방정식의근과계수의관계에의하여(cid:100)(cid:100)-=0, =-4(cid:100)(cid:100)∴b=0, c=-12a(∵a+0)즉f(x)=ax‹-12ax이므로ax‹-12ax=0에서(cid:100)(cid:100)ax(x+2'3)(x-2'3)=0(cid:100)(cid:100)∴x=0또는x=—2'3c3a2b3a풀이 전략 08해결과정•f'(x)=[이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=[(cid:8837)20% 배점f(0)=1이므로(cid:100)(cid:100)C¡=1f(2)=6이므로(cid:100)(cid:100)2k+C™=6y㉠㉠㉠(cid:8837)30% 배점이때f(x)가x=1에서연속이어야하므로(cid:100)(cid:100)f(x)=f(x)(cid:100)(cid:100)(kx+C™)=(x¤+x+C¡)(cid:100)(cid:100)k+C™=2+C¡(cid:100)(cid:100)∴k+C™=3y㉡㉠㉠(cid:8837)30% 배점답구하기•㉠,㉡을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)C™=0, k=3(cid:8837)20% 배점(cid:9000)309곡선y=f(x)위의임의의점(x, f(x))에서의접선의기울기는f'(x)이다.`곡선y=f(x)위의임의의점(x, f(x))에서의접선의기울기가x¤-x에정비례하므로(cid:100)(cid:100)f'(x)=k(x¤-x)(k+0)로놓으면(cid:100)(cid:100)f(x)=:f'(x)dx(cid:100)(cid:100)f(x)=:(kx¤-kx)dxf(x)=;3K;x‹-;2K;x¤+C곡선y=f(x)가두점(0, -2), (3, 7)을지나므로(cid:100)(cid:100)f(0)=-2, f(3)=7풀이 전략 limx⁄1-limx⁄1+limx⁄1-limx⁄1+x¤+x+C¡(x<1)kx+C™(x>1)2x+1(x<1)k(x>1)이차방정식ax¤+bx+c=0의두근을a, b라하면(cid:100)(cid:100)a+b=-, ab=cabaRemark이차방정식의근과계수의관계함수f(x)가실수a에대하여다음을모두만족시킬때,함수f(x)는x=a에서연속이라한다.⁄x=a에서정의되어있다.¤극한값f(x)가존재한다.‹f(x)=f(a)limx⁄alimx⁄aRemark함수의연속(072-078)해답-개념쎈수09OK 2014.4.30 1:39 PM 페이지75 SinsagoHitec 76정답및풀이그런데f(x)가x¤-4x+3으로나누어떨어지므로(cid:100)x‹-3x¤+ax+C=(x¤-4x+3){x+;3C;}로놓을수있다.위의식의우변을전개하면(cid:100)(x¤-4x+3){x+;3C;}=x‹+{;3!;C-4}x¤+{3-;3$;C}x+C이므로(cid:100)x‹-3x¤+ax+C=x‹+{;3!;C-4}x¤+{3-;3$;C}x+C양변의동류항의계수를비교하면(cid:100)(cid:100)-3=;3!;C-4, a=3-;3$;C위의두식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)C=3, a=-1따라서a의값은-1이다.13문제이해•곡선y=f(x)+1이x좌표가1인점에서x축에접하므로(cid:100)(cid:100)f(x)+1=(x-1)¤Q¡(x)(Q¡(x)는일차식)로놓으면(cid:100)(cid:100)f(1)=-1, f'(1)=0또곡선y=f(x)-1이x좌표가-1인점에서x축에접하므로(cid:100)(cid:100)f(x)-1=(x+1)¤Q™(x)(Q™(x)는일차식)로놓으면(cid:100)(cid:100)f(-1)=1, f'(-1)=0(cid:8837)50% 배점해결과정•f'(1)=0, f'(-1)=0이므로(cid:100)(cid:100)f'(x)=a(x+1)(x-1)=a(x¤-1)(a+0)로놓으면(cid:100)(cid:100)f(x)=:f'(x)dx=:a(x¤-1)dx(cid:100)(cid:100)f(x)=a{;3!;x‹-x}+C또f(1)=-1, f(-1)=1이므로(cid:100)(cid:100)-;3@;a+C=-1, ;3@;a+C=1위의두식을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=;2#;, C=0(cid:8837)40% 배점답구하기•따라서f(x)=;2#;{;3!;x‹-x}=;2!;x‹-;2#;x이므로(cid:100)(cid:100)f(4)=32-6=26(cid:8837)10% 배점(cid:9000)26그런데x>0이므로(cid:100)(cid:100)x=2'311주어진그래프에서f'(0)=0, f'(2)=0임을이용하여f'(x)=ax(x-2) (a<0)로놓는다.`f'(x)=ax(x-2)(a<0)로놓으면f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=0또는x=2함수f(x)의증감표는다음과같다.즉함수f(x)는x=0에서극솟값0을갖고,x=2에서극댓값4를갖는다.이때f(x)=:f'(x)dx=:(ax¤-2ax)dxf(x)=;3A;x‹-ax¤+Cf(0)=0에서(cid:100)(cid:100)C=0yy㉠㉠㉠f(2)=4에서(cid:100)(cid:100);3*;a-4a+C=4yy㉡㉠㉠㉠,㉡을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=-3, C=0따라서f(x)=-x‹+3x¤이므로f(1)=-1+3=2(cid:9000)④12f'(x)를이용하여f(x)를구한후f(x)가x-a로나누어떨어지면f(a)=0임을이용한다.`f'(x)=3x¤-6x+a이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=:f'(x)dx=:(3x¤-6x+a)dx(cid:100)(cid:100)f(x)=x‹-3x¤+ax+C이때f(x)가x¤-4x+3=(x-1)(x-3)으로나누어떨어지므로인수정리에의하여f(1)=0에서(cid:100)(cid:100)1-3+a+C=0yy㉠㉠㉠f(3)=0에서(cid:100)(cid:100)27-27+3a+C=0yy㉡㉠㉠㉠,㉡을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=-1, C=3따라서a의값은-1이다.(cid:9000)-1f'(x)=3x¤-6x+a이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=:f'(x)dx=:(3x¤-6x+a)dx(cid:100)(cid:100)f(x)=x‹-3x¤+ax+C풀이 전략 풀이 전략 xy0y2yf'(x)-0+0-f(x)↘극소↗극대↘(072-078)해답-개념쎈수09OK 2014.4.25 5:32 PM 페이지76 SinsagoHitec 09 부정적분77(cid:8833)본책231~233`쪽부정적분09따라서(cid:100)f(x)=:f'(x)dx=:(6x+12)dx(cid:100)f(x)=3x¤+12x+C이고f(1)=5이므로므로3+12+C=5므로∴C=-10즉f(x)=3x¤+12x-10=3(x+2)¤-22이므로f(x)는x=-2에서최솟값-22를갖는다.(cid:9000)-2216문제이해•f(x+y)=f(x)+f(y)-xy의양변에x=0, y=0을대입하면(cid:100)(cid:100)f(0)=f(0)+f(0)-0(cid:100)(cid:100)∴f(0)=0(cid:8837)20% 배점해결과정•f'(1)=5이므로(cid:100)f'(1)=(cid:100)f'(1)=(cid:100)f'(1)=-1=5(cid:100)∴=6(cid:8837)30% 배점이것을이용하여f'(x)를구하면(cid:100)f'(x)=(cid:100)f'(x)=(cid:100)f'(x)=-x=6-x(cid:100)∴f(x)=:f'(x)dx=:(6-x)dx(cid:100)∴f(x)=-;2!;x¤+6x+C(cid:8837)30% 배점답구하기•이때f(0)=0이므로(cid:100)(cid:100)C=0따라서f(x)=-;2!;x¤+6x이므로(cid:100)f(2)=-2+12=10(cid:8837)20% 배점(cid:100)(cid:100)(cid:9000)1017f(x)가이차함수이므로f(x)=px¤+qx+r(p+0)로놓고주어진조건을이용하여g(x)를구한다.`f(x)=px¤+qx+r(p+0)로놓으면풀이 전략 f(h)hlimh⁄0f(x)+f(h)-xh-f(x)hlimh⁄0f(x+h)-f(x)hlimh⁄0f(h)hlimh⁄0f(h)hlimh⁄0f(1)+f(h)-h-f(1)hlimh⁄0f(1+h)-f(1)hlimh⁄014f(x)=:f'(x)dx임을이용하여f(x)를적분상수를포함한식으로나타낸다.`f'(x)=(x-1)‹이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=:f'(x)dx=:(x-1)‹dx(cid:100)(cid:100)f(x)=:(x‹-3x¤+3x-1)dx(cid:100)(cid:100)f(x)=;4!;x›-x‹+;2#;x¤-x+C또f'(x)=0에서x=1이고, 그좌우에서f'(x)의부호가바뀌므로f(x)는x=1에서극값을갖는다.(cid:100)(cid:100)∴M=f(1)=;4!;-1+;2#;-1+C(cid:100)(cid:100)∴M=-;4!;+C한편f'(0)=-1, f(0)=C이므로점A(0, f(0)),즉(0, C)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-C=-1¥(x-0)(cid:100)(cid:100)∴y=-x+Cyy㉠㉠㉠또f'(2)=1, f(2)=C이므로점B(2, f(2)), 즉(2, C)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y-C=x-2(cid:100)(cid:100)∴y=x-2+Cyy㉡㉠㉠이때두접선㉠, ㉡의교점의x좌표는-x+C=x-2+C에서x=1이므로(cid:100)(cid:100)N=-1+C(cid:100)(cid:100)∴16(M-N)=16{-;4!;+C+1-C}=12(cid:9000)1215주어진등식의양변을x에대하여미분한후F'(x)=f(x)임을이용한다.`xf(x)-F(x)=2x‹+6x¤의양변을x에대하여미분하면(cid:100)f(x)+xf'(x)-F'(x)=6x¤+12xF'(x)=f(x)이므로(cid:100)f(x)+xf'(x)-f(x)=6x¤+12x(cid:100)xf'(x)=6x¤+12x(cid:100)∴f'(x)=6x+12풀이 전략 풀이 전략 다항함수y=f(x)의그래프가x좌표가a인점에서x축에접하면(cid:100)(cid:100)f(a)=0, f'(a)=0Remark(072-078)해답-개념쎈수09OK 2014.4.25 5:32 PM 페이지77 SinsagoHitec 78정답및풀이(cid:100)(cid:100)∴f(x)g(x)=3x¤-7x-6=(x-3)(3x+2)yy㉡㉠㉠㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100) f(x)=x-3, g(x)=3x+2(cid:100)(cid:100)또는f(x)=3x+2, g(x)=x-3그런데f(0)=-3, g(0)=2이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=x-3, g(x)=3x+2(cid:100)(cid:100)∴f(4)+g(6)=1+20=21(cid:9000)2119f'(x)를구간별로적분한뒤그래프의개형을그려본다.f'(x)=[이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=[ㄱ. f'(x)=-1<0,f'(x)=1>0이므로f(x)는x=-1에서감소하다가증가한다.따라서f(x)는x=-1에서극솟값을갖는다.ㄴ. 함수y=f(x)의그래프의개형은오른쪽그림과같고,함수y=f(x)의그래프는y축에대하여대칭이아니므로f(x)+f(-x)이다.ㄷ.f(0)=0이므로(cid:100)(cid:100)C™=0ㄱ. 그런데f(x)가모든실수x에대하여연속이므로x=1에서도연속이다.ㄱ. (cid:100)(cid:100)∴f(1)=f(x)=;3!;x‹=;3!;>0이상에서옳은것은ㄱ, ㄷ이다.(cid:9000)④ㄴ. 함수f(x)는x=-1에서극소, x=1에서극대이므로ㄱ. (cid:100)(cid:100)f(-1)+f(1)(cid:100)(cid:100)∴f(x)+f(-x)ㄷ. 구간(-1, 1)에서f'(x)=x¤æ0이므로함수f(x)는증가한다.ㄱ. (cid:100)(cid:100)∴f(1)>f(0)=0limx⁄1limx⁄1limx⁄-1+limx⁄-1--x+C¡(xæ1);3!;x‹+C™(-1…x<1)-x+C£(x<-1)x¤(|x|<1)-1(|x|>1)풀이 전략 xyO-1C™1y=f{x}(cid:100)(cid:100)g(x)=:{x¤+f(x)}dx(cid:100)(cid:100)g(x)=:(x¤+px¤+qx+r)dx(cid:100)(cid:100)g(x)=:{(1+p)x¤+qx+r}dx(cid:100)(cid:100)g(x)=;3!;(1+p)x‹+;2Q;x¤+rx+C한편(cid:100)(cid:100)f(x)g(x)=(px¤+qx+r)g(x)(cid:100)(cid:100)f(x)g(x)=-2x›+8x‹이므로g(x)는이차함수이다.(cid:100)(cid:100)∴p=-1따라서(cid:100)(cid:100)(-x¤+qx+r){;2Q;x¤+rx+C}=-;2Q;x›+{-r}x‹+{-C+}x¤=+(qC+r¤)x+rC=-2x›+8x‹이므로(cid:100)(cid:100)-;2Q;=-2, -r=8, -C+=0,(cid:100)(cid:100)qC+r¤=0, rC=0(cid:100)∴q=4, r=0, C=0따라서g(x)=2x¤이므로(cid:100)(cid:100)g(1)=2(cid:9000)②18적분은미분의역연산임을이용하여f(x)와g(x)를구한다.`조건㈎에서f'(x)+g'(x)=4이므로(cid:100)(cid:100)f(x)+g(x)=:{f'(x)+g'(x)}dx(cid:100)(cid:100)f(x)+g(x)=:4dx=4x+C¡조건㈐에의하여f(0)+g(0)=-3+2=-1이므로(cid:100)(cid:100)C¡=-1(cid:100)(cid:100)∴f(x)+g(x)=4x-1yy㉠㉠㉠조건㈏에서f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=6x-7이므로(cid:100)(cid:100){f(x)g(x)}'=6x-7(cid:100)(cid:100)∴f(x)g(x)=:{f(x)g(x)}'dx(cid:100)(cid:100)∴f(x)g(x)=:(6x-7)dx=3x¤-7x+C™조건㈐에의하여f(0)g(0)=-3¥2=-6이므로(cid:100)(cid:100)C™=-6풀이 전략 3qr2q¤23qr2q¤2(072-078)해답-개념쎈수09OK 2014.4.25 5:32 PM 페이지78 SinsagoHitec 10 정적분⑴79(cid:8833)본책233~239`쪽정적분⑴10본책238~252`쪽유제Ⅳ.다항함수의적분법10정적분⑴084-1구간[0,2]를n등분하면양끝점과각분점의x좌표는차례대로(cid:100)(cid:100)0, , , y,(cid:100)(cid:100), =2곡선y=;2!;x¤의위쪽에n등분한각구간을가로의길이로, 구간의오른쪽끝에서의함숫값을세로의길이로하는n개의직사각형을만들면그넓이의합S«은(cid:100)(cid:100)S«=¥;2!;{}2+¥;2!;{}2+y+¥;2!;{}2(cid:100)(cid:100)S«=(1¤+2¤+y+n¤)(cid:100)(cid:100)S«=¥(cid:100)(cid:100)S«=;3@;{1+}{2+}따라서구하는넓이를S라하면(cid:100)(cid:100)S=S«=;3@;{1+}{2+}=;3$;(cid:9000);3$;오른쪽그림과같이구간[0, 2]를n등분하고곡선y=;2!;x¤의아래쪽에직사각형을만들면그넓이의합S«'은(cid:100)(cid:100)S«'=¥0+¥;2!;{}2+¥;2!;{}2+y+¥;2!;[]2={1¤+2¤+y+(n-1)¤}=¥=;3@;{1-}{2-}따라서구하는넓이를S라하면1n1n(n-1)n(2n-1)64n‹4n‹2(n-1)n2n4n2n2n2n2nxyO22……n4n22y=x@1n2{n-1}1n1nlimn⁄¶limn⁄¶1n1nn(n+1)(2n+1)64n‹4n‹2nn2n4n2n2n2n2nn2(n-1)n4n2nxyO22……n4n22y=x@1n2{n-1}(cid:100)(cid:100)S=S«'=;3@;{1-}{2-}=;3$;085-1오른쪽그림과같이사각뿔의높이를n등분하여(n-1)개의직육면체를만들면각직육면체의밑넓이는위에서부터차례대로(cid:100)(cid:100){}2S, {}2S, y, {}2S이고, 높이는모두이므로(n-1)개의직육면체의부피의합V«은(cid:100)(cid:100)V«={}2S¥+{}2S¥(cid:100)(cid:100)V«=+y+{}2S¥(cid:100)(cid:100)V«={1¤+2¤+y+(n-1)¤}(cid:100)(cid:100)V«=¥(cid:100)(cid:100)V«=;6!;Sh{1-}{2-}따라서구하는부피를V라하면(cid:100)(cid:100)V=V«=;6!;Sh{1-}{2-}(cid:100)(cid:100)V=;3!;Sh(cid:9000);3!;Sh오른쪽그림과같이사각뿔의높이를n등분하여n개의직육면체를만들면그부피의합V«'은(cid:100)(cid:100)V«'={}2S¥(cid:100)(cid:100)V«' +{}2S¥+y+{}2S¥(cid:100)(cid:100)V«'=(1¤+2¤+y+n¤)(cid:100)(cid:100)V«'=¥(cid:100)(cid:100)V«'=;6!;Sh{1+}{2+}따라서구하는부피를V라하면(cid:100)(cid:100)V=V«'=;6!;Sh{1+}{2+}(cid:100)(cid:100)V=;3!;Sh1n1nlimn⁄¶limn⁄¶1n1nn(n+1)(2n+1)6Shn‹Shn‹hnnnhn2nhn1nnh…1n1nlimn⁄¶limn⁄¶1n1n(n-1)n(2n-1)6Shn‹Shn‹hnn-1nhn2nhn1nhnn-1n2n1nn…h1n1nlimn⁄¶limn⁄¶(079-086)해답-개념쎈수10OK 2014.4.25 5:33 PM 페이지79 SinsagoHitec 80정답및풀이086-1⑴:!2(4x‹-2x-3)dx=[x›-x¤-3x]2!=(16-4-6)-(1-1-3)=9⑵:!-3(t-2)(3t+2)dt=:!-3(3t¤-4t-4)dt=[t‹-2t¤-4t]-!3=(-27-18+12)-(1-2-4)=-28⑶:_0!(x-1)‹dx=:_0!(x‹-3x¤+3x-1)dx=[;4!;x›-x‹+;2#;x¤-x]0_!=-{;4!;+1+;2#;+1}=-;;¡4∞;;⑷:!-1dx=:!-1dx=:!-1(x¤-2x+4)dx=[;3!;x‹-x¤+4x]!-1={-;3!;-1-4}-{;3!;-1+4}=-;;™3§;;(cid:9000)⑴9(cid:100)⑵-28(cid:100)⑶-;;¡4∞;;(cid:100)⑷-;;™3§;;087-1⑴(주어진식)=:)3(2x+1)¤dx-:)3(2x-1)¤dx=:)3{(2x+1)¤-(2x-1)¤}dx=:)3{(4x¤+4x+1)-(4x¤-4x+1)}dx=:)38xdx=[4x¤]3)=36⑵(주어진식)=:)2('ßx+1)‹dx-:)2('ßx-1)‹dx=:)2{('ßx+1)‹-('ßx-1)‹}dx=:)2{(x'ßx+3x+3'ßx+1)-(x'ßx-3x+3'ßx-1)}dx=:)2(6x+2)dx=[3x¤+2x]2)=12+4=16(cid:9000)⑴36(cid:100)⑵16(x+2)(x¤-2x+4)x+2x‹+8x+2087-2(주어진식)=:@4f(x)dx+:$3f(x)dx+:!2f(x)dx=:@3f(x)dx+:!2f(x)dx=:!3f(x)dx=:!3(x¤-4x+3)dx=[;3!;x‹-2x¤+3x]3!=(9-18+9)-{;3!;-2+3}=-;3$;(cid:9000)-;3$;088-1f(x)=[이므로(cid:100)(cid:100):_2@f(x)dx=:_0@f(x)dx+:)2f(x)dx=:_0@(2x+1)dx+:)21dx=[x¤+x]0_@+[x]2)=-(4-2)+2=0(cid:9000)0오른쪽그림과같이구간[-2, 2]에서y=f(x)의그래프와x축으로둘러싸인두도형의넓이를각각S¡, S™라하면(cid:100)(cid:100)S¡=;2!;¥;2#;¥3=;4(;,(cid:100)(cid:100)S™=;2!;{2+;2%;}¥1=;4(;(cid:100)(cid:100)∴:_2@f(x)dx=-S¡+S™=-;4(;+;4(;=0089-1⑴2-x=0에서x=2이므로(cid:100)(cid:100)|2-x|=[(cid:100)(cid:100)∴:)3|2-x|dx(cid:100)(cid:100)=:)2(2-x)dx+:@3(-2+x)dx(cid:100)(cid:100)=[2x-;2!;x¤]2)+[-2x+;2!;x¤]3@(cid:100)(cid:100)=(4-2)+[{-6+;2(;}-(-4+2)]=;2%;⑵x¤-x-2=0, 즉(x+1)(x-2)=0에서x=-1또는x=2이므로2-x(x…2)-2+x(xæ2)xyy=1y=2x+1O2-2-321-1S¡S™1(xæ0)2x+1(x…0)(079-086)해답-개념쎈수10OK 2014.4.25 5:33 PM 페이지80 SinsagoHitec 10 정적분⑴81(cid:8833)본책245~254`쪽정적분⑴10(cid:100)|x¤-x-2|(cid:100)=[(cid:100)(cid:100)∴:!3|x¤-x-2|dx(cid:100)(cid:100)=:!2(-x¤+x+2)dx+:@3(x¤-x-2)dx(cid:100)(cid:100)=[-;3!;x‹+;2!;x¤+2x]2!+[;3!;x‹-;2!;x¤-2x]3@(cid:100)(cid:100)=[{-;3*;+2+4}-{-;3!;+;2!;+2}](cid:100)(cid:100)=+[{9-;2(;-6}-{;3*;-2-4}](cid:100)(cid:100)=3⑶|x|=0에서x=0이므로(cid:100)(cid:100)(|x|+x+1)¤=[(cid:100)(cid:100)∴:_1!(|x|+x+1)¤dx(cid:100)(cid:100)=:_0!1dx+:)1(4x¤+4x+1)dx(cid:100)(cid:100)=[x]0_!+[;3$;x‹+2x¤+x]1)(cid:100)(cid:100)=-(-1)+{;3$;+2+1}=;;¡3§;;⑷x‹+x=0, 즉x(x¤+1)=0에서x=0(∵x¤+1>0)이므로(cid:100)(cid:100)|x‹+x|=[⑴(cid:100)(cid:100)∴:_2!|x‹+x|dx⑴(cid:100)(cid:100)=:_0!(-x‹-x)dx+:)2(x‹+x)dx⑴(cid:100)(cid:100)=[-;4!;x›-;2!;x¤]0_!+[;4!;x›+;2!;x¤]2)⑴(cid:100)(cid:100)=-{-;4!;-;2!;}+(4+2)=;;™4¶;;(cid:9000)⑴;2%;(cid:100)⑵3(cid:100)⑶;;¡3§;;(cid:100)⑷;;™4¶;;090-1:_3#(2x¤-3x+1)f(x)dx=2:_3#x¤f(x)dx-3:_3#xf(x)dx=+:_3#f(x)dx이때f(-x)=-f(x)에서f(x)는기함수이므로(cid:100)(cid:100):_3#f(x)dx=0x‹+x(xæ0)-x‹-x(x…0)(2x+1)¤(xæ0)1(x…0)x¤-x-2(x…-1또는xæ2)-x¤+x+2(-1…x…2)한편g(x)=x¤f(x), h(x)=xf(x)라하면(cid:100)(cid:100)g(-x)=(-x)¤f(-x)=x¤¥{-f(x)}=-x¤f(x)=-g(x),(cid:100)(cid:100)h(-x)=-xf(-x)=-x¥{-f(x)}=xf(x)=h(x)에서g(x)는기함수, h(x)는우함수이므로(cid:100)(cid:100):_3#g(x)dx=0, :_3#h(x)dx=2:)3h(x)dx즉(cid:100)(cid:100):_3#x¤f(x)dx=0, (cid:100) (cid:100):_3#xf(x)dx=2:)3xf(x)dx=2¥5=10(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)=-3:_3#xf(x)dx(cid:100)(cid:100)∴(주어진식)=-3¥10=-30(cid:9000)-3001주어진도형을n개의직사각형으로나눈다.구간[0,2]를n등분하면양끝점과각분점의x좌표는차례대로(cid:100)(cid:100)0,,,y,(cid:100)(cid:100),=2n등분한각구간을가로의길이로`,구간의오른쪽끝에서의함숫값을세로의길이로하는n개의직사각형을만들면그넓이의합S«은(cid:100)(cid:100)S«={}3+{}3+y+{}3(cid:100)(cid:100)S«={}3따라서구하는넓이를S라하면(cid:100)(cid:100)S=S«={}3¥(cid:9000)④2n2knn¡k=1limn⁄¶limn⁄¶2knn¡k=12n2nn2n4n2n2n2n2nn2(n-1)n4n2nxyOy=x#2n4n2......n2{n-1}풀이 전략 (cid:8833)본책254`~`257`쪽중단원연습문제01④02 203⑴;;£4£;;(cid:100)⑵2304-;4%;05;2#;061007;3$;pr‹08109①10;;¡6¶;;111712313414715④16⑤17⑤18;;™3º;;19③(079-086)해답-개념쎈수10OK 2014.4.25 5:33 PM 페이지81 SinsagoHitec 82정답및풀이02이차함수y=a(x-m)¤+n(a>0)은x=m일때최솟값n을갖는다.:_k@(2x-4)dx=[x¤-4x]k_@=(k¤-4k)-(4+8)=k¤-4k-12=(k-2)¤-16이므로k=2일때최솟값-16을갖는다.(cid:9000)203정적분의성질을이용하여계산한다.⑴(주어진식)=:)1(t‹+8)dt=[;4!;t›+8t]1)⑴(주어진식)=;4!;+8=;;£4£;;⑵(주어진식)=:_3!(3x¤+2x-1)dx+:@-1(3x¤+2x-1)dx=:@3(3x¤+2x-1)dx=[x‹+x¤-x]3@=(27+9-3)-(8+4-2)=23(cid:9000)⑴;;£4£;;(cid:100)⑵2304함수f(x)에x대신x-1을대입하여함수f(x-1)을구하고`,구간을나누어정적분의값을구한다.함수f(x)에x대신x-1을대입하면f(x-1)=[,즉f(x-1)=[∴:)2xf(x-1)dx=:)1xf(x-1)dx+:!2xf(x-1)dx=:)1x(-x)dx+:!2x(x¤-2x)dx=:)1(-x¤)dx+:!2(x‹-2x¤)dx=[-;3!;x‹]1)+[;4!;x›-;3@;x‹]2!=-;3!;+[{4-;;¡3§;;}-{;4!;-;3@;}]=-;4%;(cid:9000)-;4%;x¤-2x(xæ1)-x(x…1)(x-1)¤-1(x-1æ0)-(x-1)-1(x-1…0)풀이 전략 풀이 전략 풀이 전략 y=xf(x-1)의그래프는y=(x+1)f(x)의그래프를x축의방향으로1만큼평행이동한것이므로주어진정적분의값은다음과같이구할수있다.(cid:100)(cid:100):)2xf(x-1)dx(cid:100)=:_1!(x+1)f(x)dx(cid:100)=:_0!(x+1)f(x)dx+:)1(x+1)f(x)dx(cid:100)=:_0!(x+1)(-x-1)dx+:)1(x+1)(x¤-1)dx(cid:100)=:_0!(-x¤-2x-1)dx+:)1(x‹+x¤-x-1)dx(cid:100)=[-;3!;x‹-x¤-x]0_!+[;4!;x›+;3!;x‹-;2!;x¤-x]1)(cid:100)=-{;3!;-1+1}+{;4!;+;3!;-;2!;-1}(cid:100)=-;4%;05절댓값기호안의식의값이0이되는x의값을경계로구간을나누어절댓값기호를없앤후각정적분의값의합을구한다.x(x-1)¤=0에서x=0또는x=1이고(x-1)¤æ0이므로(cid:100)(cid:100)|x(x-1)¤|=[, 즉(cid:100)(cid:100)|x(x-1)¤|=[(cid:100)(cid:100)∴:_1!|x(x-1)¤|dx=:_0!(-x‹+2x¤-x)dx+:)1(x‹-2x¤+x)dx=[-;4!;x›+;3@;x‹-;2!;x¤]0_!+[;4!;x›-;3@;x‹+;2!;x¤]1)=-{-;4!;-;3@;-;2!;}+{;4!;-;3@;+;2!;}=;2#;(cid:9000);2#;06해결과정•f(x)=f(-x)에서f(x)는우함수이므로(cid:100)(cid:100):_3#f(x)dx=2:)3f(x)dx(cid:8837)30% 배점g(x)=-g(-x)에서g(x)는기함수이므로(cid:100)(cid:100):_3#g(x)dx=0(cid:8837)30% 배점x‹-2x¤+x(xæ0)-x‹+2x¤-x(x…0)x(x-1)¤(xæ0)-x(x-1)¤(x…0)풀이 전략 (079-086)해답-개념쎈수10OK 2014.4.25 5:33 PM 페이지82 SinsagoHitec 10 정적분⑴83(cid:8833)본책254~255`쪽정적분⑴1008해결과정•:)1xf(x)dx=:)1(ax‹-bx¤+2x)dx=[;4A;x›-;3B;x‹+x¤]1)=;4A;-;3B;+1즉;4A;-;3B;+1=;1¡2;이므로(cid:100)(cid:100)3a-4b=-11yy㉠㉠㉠(cid:8837)40% 배점(cid:100)(cid:100):)1x¤f(x)dx=:)1(ax›-bx‹+2x¤)dx(cid:100)(cid:100):)1x¤f(x)dx=[;5A;xfi-;4B;x›+;3@;x‹]1)(cid:100)(cid:100):)1x¤f(x)dx=;5A;-;4B;+;3@;즉;5A;-;4B;+;3@;=-;3¡0;이므로(cid:100)(cid:100)4a-5b=-14yy㉡㉠㉠(cid:8837)40% 배점답구하기•㉠,㉡`을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=-1, b=2(cid:100)(cid:100)∴a+b=1(cid:8837)20% 배점(cid:9000)109정적분의성질을이용하여주어진등식을변형한다.정적분의성질에의하여(cid:100)(cid:100):_1!f(x)dx=:_0!f(x)dx+:)1f(x)dx이때:_1!f(x)dx=:)1f(x)dx=:_0!f(x)dx이므로(cid:100)(cid:100):)1f(x)dx=:)1f(x)dx+:)1f(x)dx(cid:100)(cid:100)∴:)1f(x)dx=0따라서(cid:100)(cid:100):_1!f(x)dx=:)1f(x)dx=:_0!f(x)dx=0이다.한편f(x)=ax¤+bx+c(a+0)로놓으면f(0)=-1이므로(cid:100)(cid:100)c=-1따라서f(x)=ax¤+bx-1이므로(cid:100)(cid:100):)1f(x)dx=:)1(ax¤+bx-1)dx(cid:100)(cid:100):)1f(x)dx=[;3A;x‹+;2B;x¤-x]1)(cid:100)(cid:100):)1f(x)dx=;3A;+;2B;-1=0yy㉠(cid:100)(cid:100)풀이 전략 답구하기•∴:_3#{f(x)+g(x)}dx(cid:100)(cid:100)=:_3#f(x)dx+:_3#g(x)dx(cid:100)(cid:100)=2:)3f(x)dx=2¥5=10(cid:8837)40% 배점(cid:9000)1007문제이해•오른쪽그림과같이반구의반지름OA를n등분하여각분점을지나고밑면에평행한평면으로반구를잘라(n-1)개의원기둥을만든다. (cid:8837)10% 배점해결과정•O’A˚”=이므로아래에서k번째있는원기둥의밑면의반지름의길이r˚는피타고라스정리에의하여r˚=æ≠r¤-{}2=æ≠(n¤-k¤)="√n√¤-k¤(cid:8837)30% 배점따라서각원기둥의밑면의반지름의길이는아래에서부터차례대로(cid:100)(cid:100)"√n¤-1¤, "√n¤-2¤, y, "√n¤-(n-1)¤이고(n-1)개의원기둥의부피의합V«은V«=¥p+¥pV«=+y+¥pV«=p[(n¤-1¤)+(n¤-2¤)V«= +y+{n¤-(n-1)¤}]V«=p[(n-1)n¤-]V«=pV«=;6!;pr‹{1-}{4+}(cid:8837)40% 배점답구하기•따라서구하는부피를V라하면V=2V«=2;6!;pr‹{1-}{4+}V=;3$;pr‹(cid:8837)20% 배점(cid:100)(cid:100)(cid:9000);3$;pr‹1n1nlimn⁄¶limn⁄¶1n1n(n-1)n(4n+1)6r‹n‹(n-1)n(2n-1)6r‹n‹r‹n‹{n¤-(n-1)¤}r¤n¤rn(n¤-2¤)r¤n¤rn(n¤-1¤)r¤n¤rnrnrnrnrnr¤n¤krnkrnAO……nrrrkrAknkr(079-086)해답-개념쎈수10OK 2014.4.30 1:40 PM 페이지83 SinsagoHitec 84정답및풀이(cid:100)(cid:100):_0!f(x)dx=:_0!(ax¤+bx-1)dx(cid:100)(cid:100):)1f(x)dx=[;3A;x‹+;2B;x¤-x]0_!(cid:100)(cid:100):)1f(x)dx=-{-;3A;+;2B;+1}(cid:100)(cid:100):)1f(x)dx=;3A;-;2B;-1=0yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠, ㉡`을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)a=3, b=0따라서f(x)=3x¤-1이므로(cid:100)(cid:100)f(2)=3¥2¤-1=11(cid:9000)①10먼저연산기호≠의정의에따라구간을나누어x≠x¤을구한다.f(x)=x-x¤=x(1-x)라하면f(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=0또는x=1따라서x…0또는xæ1일때f(x)…0,0…x…1일때f(x)æ0이므로(cid:100)(cid:100)x≠x¤=[(cid:100)(cid:100)∴:)2(x≠x¤)dx=:)1xdx+:!2x¤dx(cid:100)(cid:100)∴:)2(x≠x¤)dx=[;2!;x¤]1)+[;3!;x‹]2!=;2!;+{;3*;-;3!;}=;;¡6¶;;(cid:9000);;¡6¶;;11먼저y=|f(x)|의그래프를그린후g(t)를구한다.f(x)=x‹-3x-1에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=3x¤-3=3(x+1)(x-1)f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-1또는x=1함수f(x)의증감표는다음과같다.따라서함수y=f(x)와y=|f(x)|의그래프는각각다음그림과같다.풀이 전략 x¤(x…0또는xæ1)x(0…x…1)풀이 전략 xy-1y1yf'(x)+0-0+f(x)↗1↘-3↗xyO11-1-1-3xyO11-13y=f{x}y=|f{x}|따라서g(t)=[이므로(cid:100)(cid:100):_1!g(t)dt=:_0!1dt+:)1(-t‹+3t+1)dt=[t]0_!+[-;4!;t›+;2#;t¤+t]1)(cid:100) =-(-1)+{-;4!;+;2#;+1}=:¡4£:따라서p=4,q=13이므로(cid:100)(cid:100)p+q=17(cid:9000)1712절댓값기호안의식의값이0이되는x의값을경계로구간을나누어f(x)를구한다.절댓값기호안의식의값이0이되는x의값은0, 1이므로(cid:100)(cid:100)xæ1일때,(cid:100)(cid:100)f(x)=x+(x-1)=2x-1(cid:100)(cid:100)0…x…1일때,(cid:100)(cid:100)f(x)=x-(x-1)=1(cid:100)(cid:100)x…0일때,(cid:100)(cid:100)f(x)=-x-(x-1)=-2x+1따라서y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같고`,f(x)의최솟값은1이므로(cid:100)(cid:100)a=1∴:_a!f(x)dx=:_1!f(x)dx=:_0!(-2x+1)dx+:)11dx=[-x¤+x]0_!+[x]1)=-(-1-1)+1=3(cid:9000)313문제이해•f'(x)=3x¤-2x+1이므로(cid:100)(cid:100)f(x)=:f'(x)dx=:(3x¤-2x+1)dx(cid:100)(cid:100)f(x)=x‹-x¤+x+C(cid:8837)20% 배점xyOy=|x|+|x-1|11풀이 전략 1(-1…t…0)-t‹+3t+1(0…t…1)함수y=|f(x)|의그래프는다음과같은방법으로그린다.⁄y=f(x)의그래프를그린다.¤yæ0인부분은그대로둔다.‹y<0인부분은x축에대하여대칭이동한다.Remark함수y=|f(x)|의그래프y=|x-a|+|x-b|(a0, g(1)=f(1)-3<0ㄱ.따라서사이값정리에의하여방정식ㄱ.f(x)-3x=0의해가열린구간(0,1)에적어도하나존재한다.ㄷ. 주어진부등식의각변은차례대로다음그림의색칠한도형의넓이와같으므로ㄱ.ㄱ.(cid:100)(cid:100)f{}<:)1f(x)dx0(cid:100)(cid:100)∴k<;1ª6;이때x=0이방정식4x¤-3x+k=0의근이아니어야하므로(cid:100)(cid:100)k+0(cid:100)(cid:100)∴k<0또는00이므로(cid:100)(cid:100)a=2(cid:9000)2f(x)-x¤+2ax=3:)a[2+f(t)]dt=3[2t+f(t)]a)=3{2a+f(a)}-3{0+f(0)}이때f(0)=0이므로f(x)-x¤+2ax=3{2a+f(a)}yy㉠㉠㉠x=0을㉠`에대입하면(cid:100)(cid:100)0=3{2a+f(a)}∴f(a)=-2ayy㉡㉡㉡x=a를㉠`에대입하면(cid:100)(cid:100)f(a)-a¤+2a¤=3{2a+f(a)}∴a¤-6a-2f(a)=0yy㉢㉡㉡㉡`을㉢`에대입하여정리하면a¤-2a=0,(cid:100)(cid:100)a(a-2)=0그런데a>0이므로(cid:100)(cid:100)a=208:)1f(t)dt=k(k는상수)로놓고,주어진식에대입한다.:)1f(t)dt=k(k는상수)로놓으면(cid:100)(cid:100):)/f(t)dt=x‹-2x¤-2kxyy㉠(cid:100)(cid:100)양변에x=1을대입하면(cid:100)(cid:100):)1f(t)dt=1-2-2k=k3k=-1(cid:100)(cid:100)∴k=-;3!;k=-;3!;을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100):)/f(t)dt=x‹-2x¤+;3@;x양변을x에대하여미분하면(cid:100)(cid:100)f(x)=3x¤-4x+;3@;f(0)=a이므로(cid:100)(cid:100)a=;3@;(cid:100)(cid:100)∴60a=60¥;3@;=40(cid:9000)40풀이 전략 ddt(087-094)해답-개념쎈수11OK 2014.4.30 1:41 PM 페이지91 SinsagoHitec 92정답및풀이09해결과정•:@/(x-t)f(t)dt=-x‹+4ax+b에서(cid:100)(cid:100)x:@/f(t)dt-:@/tf(t)dt=-x‹+4ax+byy㉠(cid:100)(cid:100)양변을x에대하여미분하면(cid:100)(cid:100):@/f(t)dt+xf(x)-xf(x)=-3x¤+4a(cid:100)(cid:100)∴:@/f(t)dt=-3x¤+4a yy㉡(cid:100)(cid:100)(cid:8837)40% 배점x=2를㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)0=-8+8a+b yy㉢(cid:100)(cid:100)x=2를㉡에대입하면(cid:100)(cid:100)0=-12+4a(cid:100)(cid:100)∴a=3a=3을㉢에대입하면(cid:100)(cid:100)b=-16(cid:8837)40% 배점답구하기•∴a-b=3-(-16)=19(cid:8837)20% 배점(cid:9000)1910F(x)=:)/f(t)dt의양변을x에대하여미분한다.F(x)=:)/f(t)dt의양변을x에대하여미분하면(cid:100)(cid:100)F'(x)=f(x)=x‹-3x+a따라서사차함수F(x)가오직하나의극값을갖기위해서는F(x)의도함수인삼차함수f(x)에대하여(cid:100)(cid:100)(극댓값)_(극솟값)æ0이어야한다.f(x)=x‹-3x+a에서(cid:100)(cid:100)f'(x)=3x¤-3=3(x+1)(x-1)f'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-1또는x=1즉f(x)는x=-1,x=1에서극값을가지므로(cid:100)(cid:100)f(-1)f(1)æ0,(cid:100)(cid:100)(2+a)(-2+a)æ0(cid:100)(cid:100)∴a…-2 또는aæ2따라서양수a의최솟값은2이다.(cid:9000)②11이차함수y=f(x)의그래프를이용하여이차식f(x)를구한후g'(x)=0을만족시키는x의값을구한다.이차함수y=f(x)의그래프가두점(1, 0),(4, 0)을지나고아래로볼록하므로풀이 전략 풀이 전략 f(x)=a(x-1)(x-4)(a>0)로놓을수있다.g(x)=:?/-—1f(t)dt의양변을x에대하여미분하면g'(x)=f(x+1)-f(x)=ax(x-3)-a(x-1)(x-4)=ax¤-3ax-a(x¤-5x+4)=2ax-4a=2a(x-2)g'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=2(∵a>0)함수g(x)의증감표는다음과같다.따라서g(x)는x=2에서극소이면서최소이므로구하는x의값은2이다.(cid:9000)②12f(t)=|t-a|로놓고정적분으로정의된함수의극한을이용한다.f(t)=|t-a|로놓고, f(t)의한부정적분을F(t)라하면(cid:100)(cid:100):)/f(t)dt=[F(t)]/)(cid:100)(cid:100):)/f(t)dt==F'(0)=f(0)=|-a|=-a (∵a<0)따라서-a=a¤-2이므로(cid:100)(cid:100)a¤+a-2=0,주어(a+2)(a-1)=0그런데a<0이므로주어a=-2(cid:9000)-213해결과정•h+0일때,주어진등식의양변을h로나누면(cid:100)(cid:100)=:?x+hf(t)dt위의식의양변에극한을취하면(cid:100)(cid:100)=:?x+hf(t)dt즉g'(x)=f(x)이므로(cid:100)(cid:100)g(x)=:f(x)dx=:(x¤-4x)dx(cid:100)(cid:100)g(x)=;3!;x‹-2x¤+C(cid:8837)40% 배점1hlimh⁄0g(x+h)-g(x)hlimh⁄01hg(x+h)-g(x)hF(x)-F(0)xlimx⁄01xlimx⁄01xlimx⁄0풀이 전략 xy2yg'(x)-0+g(x)↘극소↗(087-094)해답-개념쎈수11OK 2014.4.25 5:34 PM 페이지92 SinsagoHitec 11 정적분`⑵93(cid:8833)본책276~277`쪽정적분⑵11이때g(3)=1이므로(cid:100)(cid:100)9-18+C=1(cid:100)(cid:100)∴C=10(cid:100)(cid:100)∴g(x)=;3!;x‹-2x¤+10(cid:8837)30% 배점답구하기•따라서방정식;3!;x‹-2x¤+10=0의모든근의곱은삼차방정식의근과계수의관계에의하여(cid:100)(cid:100)-=-30(cid:8837)30% 배점(cid:9000)-3014적분변수를정한후적분구간을구하고급수를정적분으로나타낸다.ㄱ. {1+}2={1+}2¥;2!;=;2!;{1+}2를x로, 를dx로나타낼때,(cid:100)(cid:100)k=1이고n2⁄¶이면x=0이고,(cid:100)(cid:100)k=n이면x=2이므로적분구간은[0, 2]이다.(cid:100)(cid:100)∴{1+}2=;2!;:)2(1+x)¤dxㄴ. {1+}2={1+}2¥2=2{1+}2를x로, 을dx로나타낼때,(cid:100)(cid:100)k=1이고n2⁄¶이면x=0이고, (cid:100)(cid:100)k=2n이면x=1이므로적분구간은[0, 1]이다.(cid:100)(cid:100)∴{1+}2=2:)1(1+x)¤dx1nk2n2n¡k=1limn⁄¶12nk2n12nk2n2n¡k=1limn⁄¶12nk2n2n¡k=1limn⁄¶1nk2n2n¡k=1limn⁄¶1n2knn¡k=1limn⁄¶2n2kn2n2knn¡k=1limn⁄¶2n2knn¡k=1limn⁄¶1n2knn¡k=1limn⁄¶풀이 전략 10113삼차방정식ax‹+bx¤+cx+d=0의세근을a, b, c라할때,(cid:100)(cid:100)a+b+c=-;aB;,ab+bc+ca=;aC;,abc=-;aD;Remark삼차방정식의근과계수의관계ㄷ. {1+}2에서를x로`,을dxㄷ. 로나타낼때,(cid:100)(cid:100)k=1이고n2⁄¶이면x=0이고, (cid:100)(cid:100)k=3n이면x=3이므로적분구간은[0, 3]이다.(cid:100)(cid:100)∴{1+}2=:)3(1+x)¤dx이상에서ㄱ, ㄴ, ㄷ모두옳다.(cid:9000)⑤15A¡과A«의넓이를이용하여상수a, b의값을구한후급수를정적분으로나타낸다.A¡=f{}={++b}A¡=,A«=f(1)=(1+a+b)=이므로(cid:100)(cid:100)A¡+A«=+즉=이므로(cid:100)(cid:100)1+a+2b=7, a=0(cid:100)(cid:100)∴a=0, b=3따라서f(x)=x¤+3이고(cid:100)(cid:100)A˚=8¥f{}=8f{}¥를x로, 을dx로나타낼때, (cid:100)(cid:100)k=1이고n2⁄¶이면x=0이고,(cid:100)(cid:100)k=n이면x=1이므로적분구간은[0, 1]이다.(cid:100)(cid:100)∴A˚=8:)1xf(x)dx=8:)1(x‹+3x)dx=8[;4!;x›+;2#;x¤]1)=8{;4!;+;2#;}=14(cid:9000)148knn¡k=1limn⁄¶1nkn1nknknn¡k=1limn⁄¶kn1nknn¡k=1limn⁄¶8knn¡k=1limn⁄¶7n¤+1n‹(1+a+2b)n¤+an+1n‹(1+a+b)n¤n‹1+an+bn¤n‹(1+a+b)n¤n‹1n1n1+an+bn¤n‹an1n¤1n1n1n풀이 전략 1nkn3n¡k=1limn⁄¶1nkn1nkn3n¡k=1limn⁄¶(087-094)해답-개념쎈수11OK 2014.4.30 1:41 PM 페이지93 SinsagoHitec 94정답및풀이16적분변수를정한후적분구간을구하고급수를정적분으로나타낸다.f{}=;3!;f{}¥를x로,을dx로나타낼때,(cid:100)(cid:100)k=1이고n2⁄¶이면x=0이고, (cid:100)(cid:100)k=n이면x=3이므로적분구간은[0, 3]이다.(cid:100)(cid:100)∴f{}=;3!;:)3f(x)dx=;3!;:)3(3x¤-ax)dx=;3!;[x‹-;2A;x¤]3)=9-;2#;a이때f(1)=3-a이므로(cid:100)(cid:100)9-;2#;a=3-a(cid:100)(cid:100);2!;a=6(cid:100)(cid:100)∴a=12(cid:9000)1217주어진등식을이용하여먼저f(x)의차수를알아본다.f(x)의차수를n(næ2인자연수)이라하면주어진등식의좌변의차수는n¤,우변의차수는n+1이므로(cid:100)(cid:100)n¤=n+1(cid:100)(cid:100)∴n¤-n-1=0그런데위의식을만족시키는자연수n은존재하지않으므로f(x)는일차이하의다항식이다.따라서f(x)=ax+b(a, b는상수)로놓고주어진식의좌변과우변을정리하면(좌변)=af(x)+b=a(ax+b)+b=a¤x+ab+b이고(cid:100)(cid:100):)/f(t)dt=:)/(at+b)dt=[;2!;at¤+bt]/)(cid:100)(cid:100):)/f(t)dt=;2!;ax¤+bx이므로(cid:100)(cid:100)(우변)=;2!;ax¤+bx-x¤+3x+3(우변)={;2!;a-1}x¤+(b+3)x+3즉a¤x+ab+b={;2!;a-1}x¤+(b+3)x+3에서풀이 전략 3knn¡k=11nlimn⁄¶3n3kn3n3knn¡k=1limn⁄¶3knn¡k=11nlimn⁄¶풀이 전략 0=;2!;a-1, a¤=b+3, ab+b=3(cid:100)(cid:100)∴a=2, b=1따라서f(x)=2x+1이므로(cid:100)(cid:100)f(1)=3(cid:9000)①18G(x)와G'(x)를이용하여참,거짓을판별한다.ㄱ. G(0)=:@0(0-t)f(t)dt=:)2tf(t)dt00이므로(cid:100)(cid:100):)2tf(t)dt>0(cid:100)(cid:100)∴G(0)>0ㄴ. G(x)=x:@/f(t)dt-:@/tf(t)dt이므로(cid:100)(cid:100)G'(x)=:@/f(t)dt+xf(x)-xf(x)(cid:100)(cid:100)G'(x)=:@/f(t)dt⁄0…x<2일때,:@/f(t)dt=-:?2f(t)dt이고⁄:?2f(t)dt>0이므로⁄(cid:100)(cid:100)G'(x)<0¤x=2일때,:@2f(t)dt=0이므로(cid:100)(cid:100)G'(x)=0‹20)⑴따라서구하는시간은3초이다.⑶:)3|2t-t¤|dt=:)2(2t-t¤)dt+:@3(-2t+t¤)dt⑶:)3(2t-t¤)dt=[t¤-;3!;t‹]2)+[-t¤+;3!;t‹]3@⑶:)3(2t-t¤)dt=;3$;+;3$;=;3*;(cid:9000)⑴;3&;(cid:100)⑵3초(cid:100)⑶;3*;109-1⑴물체가최고지점에도달할때의속도는0이므로-10t+40=0에서(cid:100)(cid:100)t=4따라서t=4일때물체가최고높이에도달하게되므로최고높이는⑴(cid:100)(cid:100):)4(-10t+40)dt=[-5t¤+40t]4)=80(m)⑵t초후의높이를x(t)라하면⑴(cid:100)(cid:100)x(t)=:)t(-10t+40)dt⑴(cid:100)(cid:100)x(t)=[-5t¤+40t]t)=-5t¤+40t⑴물체가땅에떨어질때의높이는0이므로⑴(cid:100)(cid:100)-5t¤+40t=0,(cid:100)(cid:100)-5t(t-8)=0⑴(cid:100)(cid:100)∴t=8 (∵t>0)⑴따라서t=8일때속도는⑴(cid:100)(cid:100)v(8)=-80+40=-40(m/s)(cid:9000)⑴80m(cid:100)⑵-40m/s110-1출발한후7초동안점P가움직인거리는(cid:100)(cid:100):)7|v(t)|dt(cid:100)=:)3v(t)dt+:#5{-v(t)}dt+:%7v(t)dt(cid:100)=;2!;¥3¥2+;2!;¥2¥2+;2!;¥2¥2=7(cid:9000)7t2-2v{t}O234567S™=:)-{ax¤-(x¤-3x)}dxS™=:)-{(a-1)x¤+3x}dxS™=[x‹+;2#;x¤]0-=이때S¡=2S™이므로(cid:100)(cid:100);2(;=2¥(a-1)¤=2,(cid:100)(cid:100)a-1=—'2∴a=1-'2(∵a<0)(cid:9000)1-'2107-1함수f(x)에대하여f(0)=3, f(2)=7이고,f(x)의역함수가g(x)이므로두함수y=f(x),y=g(x)의그래프의개형은오른쪽그림과같다.따라서:)2f(x)dx=A, :#7g(x)dx=B라하고,빗금친부분의넓이를C라하면B=C이므로:)2f(x)dx+:#7g(x)dx=A+B=A+C:)2f(x)dx+:#7g(x)dx=2¥7=14(cid:9000)14107-2f(x)=x‹+1에서f'(x)=3x¤æ0이므로y=f(x)는증가함수이다.한편y=g(x)의그래프는y=f(x)의그래프와직선y=x에대하여대칭이므로오른쪽그림과같다.따라서:!2f(x)dx=A, :@9g(x)dx=B라하고,빗금친부분의넓이를C라하면B=C이므로A+B=A+C=2¥9-1¥2=16이때A=:!2(x‹+1)dx=[;4!;x›+x]2!=;;¡4ª;;이므로(cid:100)(cid:100):@9g(x)dx=16-A=16-;;¡4ª;;=;;¢4∞;;(cid:9000);;¢4∞;;108-1⑴점P가운동방향을바꿀때의속도는0⑴이므로2t-t¤=0에서⑴에서t(2-t)=0(cid:100)(cid:100)∴t=2(∵t>0)⑴즉출발한지2초후처음으로운동방향이바뀌므로⑴2초후의점P의위치는xyO1129y=xy=f{x}y=g{x}29CBAxyO372237y=f{x}y=xy=g{x}ABC92(a-1)¤92(a-1)¤3a-1a-133a-13a-1(095-104)해답-개념쎈수12OK 2014.4.25 5:35 PM 페이지98 SinsagoHitec 12 정적분의활용99(cid:8833)본책293~304`쪽정적분의활용12S=:_1!{-;a!;y¤+;a!;}dy=2:)1{-;a!;y¤+;a!;}dyS=2[-y‹+;a!;y]1)=따라서=4이므로(cid:100)(cid:100)3a=1(cid:100)(cid:100)∴a=;3!;(cid:9000)①03곡선과직선의교점을구하여그래프를그려본다.곡선y=x‹-6x¤+9x와직선y=x의교점의x좌표는x‹-6x¤+9x=x에서(cid:100)(cid:100)x‹-6x¤+8x=0(cid:100)(cid:100)x(x-2)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴x=0 또는x=2또는x=4따라서구하는넓이를S라하면S=:)2{(x‹-6x¤+9x)-x}dxS=+:@4{x-(x‹-6x¤+9x)}dxS=:)2(x‹-6x¤+8x)dxS=+:@4(-x‹+6x¤-8x)dxS=[;4!;x›-2x‹+4x¤]2)+[-;4!;x›+2x‹-4x¤]4@S=4+4=8(cid:9000)804곡선y=f(x)위의점(a,f(a))에서의접선의기울기는f'(a)임을이용하여접선의방정식을구한후,곡선과접선의위치관계를파악한다.전략 xyOy=x#-6x@+9xy=x4224풀이 전략 43a43a13a함수f(x)가정의역에속하는임의의실수x에대하여①f(-x)=f(x)이면y=f(x)의그래프는y축에대하여대칭이다.(cid:100)(cid:8857):_aAf(x)dx=2:)af(x)dx②f(-x)=-f(x)이면y=f(x)의그래프는원점에대하여대칭이다.(cid:100)(cid:8857):_aAf(x)dx=0Remark01문제이해•f(x)=x¤-4x+k로놓으면(cid:100)(cid:100)f(x)=x¤-4x+k=(x-2)¤+k-4이므로곡선y=f(x)는직선x=2에대하여대칭이다.(cid:8837)30% 배점해결과정•곡선y=f(x)와x축의교점의x좌표를a, b(a0)(cid:8837)30% 배점따라서3초후에점P는원점으로다시돌아오고, 그때까지움직인거리는t=0에서t=3까지움직인거리이다. 이때곡선y=v(t)와t축의교점의t좌표는3t¤-12t+9=0에서(cid:100)(cid:100)(t-1)(t-3)=0(cid:100)(cid:100)∴t=1또는t=3xyO-1y=g{x}y=f{x}y=x-1풀이 전략 m+22f(x)=x‹+2x¤-x-2로놓으면f'(x)=3x¤+4x-1이므로곡선위의점(-2, 0)에서의접선의기울기는(cid:100)(cid:100)f'(-2)=12-8-1=3따라서곡선y=x‹+2x¤-x-2위의점(-2, 0)에서의접선의방정식은(cid:100)(cid:100)y=3(x+2)(cid:100)(cid:100)∴y=3x+6곡선y=x‹+2x¤-x-2와직선y=3x+6의교점의x좌표는x‹+2x¤-x-2=3x+6에서(cid:100)(cid:100)x‹+2x¤-4x-8=0,(cid:100)(cid:100)(x+2)¤(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴x=-2또는x=2따라서구하는넓이를S라하면(cid:100)(cid:100)S=:_2@{(3x+6)-(x‹+2x¤-x-2)}dx(cid:100)(cid:100)S=:_2@(-x‹-2x¤+4x+8)dx(cid:100)(cid:100)S=2:)2(-2x¤+8)dx(cid:100)(cid:100)S=2[-;3@;x‹+8x]2)=;;§3¢;;(cid:9000);;§3¢;;05곡선과직선의교점을구하여조건에맞게그래프를그려본다.곡선y=x(x-2)와x축의교점의x좌표는x(x-2)=0에서(cid:100)(cid:100)x=0또는x=2곡선y=x(x-2)와직선y=mx의교점의x좌표는x¤-2x=mx에서x¤-(m+2)x=0(cid:100)(cid:100)∴x=0또는x=m+2곡선y=x(x-2)와직선y=mx로둘러싸인도형의넓이를S¡이라하고,곡선y=x(x-2)와x축으로둘러싸인도형의넓이를S™라하면xyOy=x{x-2}y=mxS™2m+2풀이 전략 xyOy=3x+621-1-2y=x#+2x@-x-2풀이 (095-104)해답-개념쎈수12OK 2014.4.30 1:43 PM 페이지100 SinsagoHitec 12 정적분의활용101(cid:8833)본책304~306`쪽정적분의활용12구간[1,3]에서f(x)…0이므로S=:!3(-x¤+4x-3)dxS=[-;3!;x‹+2x¤-3x]3!=;3$;∴30S=40(cid:9000)4010S™=(cid:8772)`OABC-(S¡+S£)임을이용한다.y¤=8x에서x=;8!;y¤이므로S¡=:)4;8!;y¤dy=[;2¡4;y‹]4)=;3*;,S£=:)2x¤dx=[;3!;x‹]2)=;3*;이때(cid:100)(cid:100)S™=(cid:8772)OABC-(S¡+S£)(cid:100)(cid:100)S™=2¥4-{;3*;+;3*;}=;3*;이므로(cid:100)(cid:100)S¡:S™:S£=;3*;:;3*;:;3*;=1:1:1(cid:9000)①11문제이해•곡선y=x¤-2x-3과직선y=ax의교점의x좌표를a,b(a
