학
수
개념탑
중학수학
2 2
Ⅰ . 삼각형의 성질
1 이등변삼각형
2 삼각형의 외심과 내심
Ⅱ. 사각형의 성질
1 평행사변형
2 여러 가지 사각형
002
008
014
019
Ⅲ. 도형의 닮음과 피타고라스 정리
1 도형의 닮음
2 평행선과 선분의 길이의 비
3 삼각형의 무게중심과 닮음의 활용
4 피타고라스 정리
Ⅳ. 확률
1 경우의 수
2 확률과 그 계산
028
033
039
047
056
064
Ⅰ 삼각형의 성질
1 이등변삼각형
1
CHECK
이등변삼각형의 성질 ⑴
본문 10쪽
1 ACÓ, 이등변삼각형, ∠A, ∠B, ∠C
2 ⑴ 60ù ⑵ 70ù ⑶ 40ù
2 ⑴ ABÓ=ACÓ이므로
∠x=
_(180ù-60ù)=60ù
;2!;
⑵ ABÓ=ACÓ이므로
∠B=∠C=55ù
∴ ∠x=180ù-2_55ù=70ù
⑶ ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC =∠ACB
=180ù-110ù=70ù
∴ ∠x=180ù-2_70ù=40ù
15ù
1 90ù
△BCD는 BCÓ=BDÓ인 이등변삼각형이므로
∠BDC=∠BCD=65ù
∴ ∠CBD=180ù-2_65ù=50ù
△ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로
∠ABC=∠ACB=65ù
∴ ∠x =∠ABC-∠CBD
=65ù-50ù=15ù
1 ∠DAC=
ADÓBCÓ이므로
;2!;
_(180ù-90ù)=45ù
∠ACB=∠DAC=45ù(엇각)
∴ ∠BAC=180ù-2_45ù=90ù
2 Ⅰ . 삼각형의 성질
B
외각의 성질을 이용하여 각의 크기 구하기
본문 11쪽
90ù
2 20ù
△DBC에서 DBÓ=DCÓ이므로
∠DCB=∠DBC=30ù
∴ ∠ADC=∠DBC+∠DCB=30ù+30ù=60ù
△CAD에서 CDÓ=CAÓ이므로 ∠CAD=∠CDA=60ù
따라서 △ABC에서
∠x=∠ABC+∠BAC=30ù+60ù=90ù
2 △EAD에서 EAÓ=EDÓ이므로
∠EDA=∠EAD=∠x
∴ ∠CED
(cid:36)
(cid:39)
(cid:25)(cid:17)(cid:177)
(cid:38)
(cid:19)(cid:89)
(cid:19)(cid:89)
(cid:89)
(cid:20)(cid:89) (cid:20)(cid:89)
(cid:37)
(cid:35)
(cid:34)
(cid:89)
=∠EAD+∠EDA
=∠x+∠x=2∠x
△DCE에서 DEÓ=DCÓ이므로 ∠DCE=∠DEC=2∠x
△ADC에서
∠CDB=∠CAD+∠ACD=∠x+2∠x=3∠x
△CDB에서 CDÓ=CBÓ이므로 ∠CBD=∠CDB=3∠x
△ABC에서 ∠FCB=∠CAB+∠CBA=80ù이므로
이등변삼각형의 성질 ⑵
본문 12쪽
2
CHECK
1 ⑴ CDÓ ⑵ ⊥
2 ⑴ 10 ⑵ 7
3 x=3, y=55
2 ⑴ BCÓ=2CDÓ=2_5=10(cm) ∴ x=10
⑵ CDÓ=
BCÓ=
_14=7(cm) ∴ x=7
;2!;
;2!;
3 BDÓ=CDÓ=3`cm ∴ x=3
∠BAC=2_35ù=70ù이므로
∠ACB=
_(180ù-70ù)=55ù ∴ y=55
;2!;
A
이등변삼각형의 성질 ⑴
본문 11쪽
∠x+3∠x=80ù, 4∠x=80ù ∴ ∠x=20ù
A
이등변삼각형의 성질 ⑵
본문 13쪽
①, ④
1 ②
이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등
분하므로 ADÓ가 ∠A의 이등분선이면 BDÓ=CDÓ,
ADÓ⊥BCÓ이다.
1 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분
하므로 ∠ADB=∠ADC=90ù
∠ACD=∠ABD=65ù이므로
△ACD에서 ∠CAD=180ù-(90ù+65ù)=25ù
③
2 CDÓ, ∠PDC, PDÓ, SAS
△ABC가 이등변삼각형이고 `ADÓ가 ∠A의 이등분선이므
로 BDÓ=CDÓ, ADÓ⊥BCÓ
△PBD와 △PCD에서 BDÓ=CDÓ,
∠PDB=∠PDC=90ù, PDÓ는 공통이므로
△PBDª△PCD(SAS 합동)
따라서 ABÓ=ACÓ=7`cm이므로 x=7
3 ABÓ=BCÓ이므로 ∠C=∠A=
_(180ù-90ù)=45ù
;2!;
∴ x=45
∠DBA=∠A=45ù이므로 △ABD는 ADÓ=BDÓ인 직
개
념
탑
각이등변삼각형이다.
따라서 ADÓ=BDÓ=6`cm이므로 y=6
A
이등변삼각형이 되는 조건을 이용하여
변의 길이 구하기
본문 15쪽
10`cm
1 18`cm
△ABC에서 ∠CAD=∠ABC+∠ACB이므로
∴ ACÓ=ABÓ=10`cm
△DBC에서 ∠DCE= ∠DBC+∠BDC이므로
120ù=40ù+∠BDC ∴ ∠BDC=80ù
∴ CDÓ=CAÓ=10`cm
1 △ABC에서
∠A=180ù-(30ù+90ù)=60ù
DAÓ=DCÓ이므로
∠DCA=∠A=60ù
(cid:34)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:37)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:26)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:35)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:36)
∴ ∠ADC=180ù-(60ù+60ù)=60ù
따라서 △ADC는 정삼각형이므로
ADÓ=DCÓ=ACÓ=9`cm
B
이등변삼각형의 성질 ⑵의 활용
본문 13쪽
80ù=40ù+∠ACB ∴ ∠ACB=40ù
이등변삼각형이 되는 조건
본문 14쪽
이때 ∠DCB=90ù-60ù=30ù이므로 DBÓ=DCÓ=9`cm
∴ ABÓ=ADÓ+DBÓ=9+9=18(cm)
3
CHECK
1 ⑴ ACÓ
Ó ⑵ BCÓ
2 ⑴ 5 ⑵ 7
3 x=45, y=6
B
폭이 일정한 종이 접기
본문 15쪽
1 ⑴ ∠C=180ù-(56ù+62ù)=62ù
따라서 △ABC는 ABÓ=ACÓ
Ó인 이등변삼각형이다.
⑵ ∠ACB=180ù-110ù=70ù이고
∠A=180ù-(40ù+70ù)=70ù
④
2 5`cm
따라서 △ABC는 ABÓ=BCÓ
Ó인 이등변삼각형이다.
∠GEF=∠AEF(접은 각)
2 ⑴ ∠B=∠C이므로 ABÓ=ACÓ=5`cm ∴ x=5
따라서 ∠GEF=∠GFE이므로 △GEF는 GEÓ=GFÓ인
⑵ ∠B=180ù-(50ù+65ù)=65ù이므로 ∠B=∠C
이등변삼각형이다.
ADÓBCÓ이므로 ∠AEF=∠GFE(엇각),
정답과 풀이 3
Ó
⑵ 합동인 두 삼각형에서 대응하는 변의 길이가 같으므
직각삼각형의 합동 조건의 활용 본문 18쪽
2 ∠ABC=∠CBD(접은 각), ∠ACB=∠CBD(엇각)이
B
합동인 직각삼각형 찾기
본문 17쪽
므로
∠ABC=∠ACB
ACÓ=ABÓ=5`cm
따라서 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로
ㄴ
2 ⑤
4
CHECK
직각삼각형의 합동 조건
본문 16쪽
1 ⑴ △ABCª△EFD(RHA 합동) ⑵ 5`cm
2 ⑴ △ABCª△EFD(RHS 합동) ⑵ 4`cm
1 ⑴ ∠B=∠F=90ù, ∠A=∠E=30ù, ACÓ=EDÓ
∴ △ABCª△EFD(RHA 합동)
로 BCÓ=FDÓ=5`cm
2 ⑴ ∠B=∠F=90ù, ACÓ=EDÓ, ABÓ=EFÓ
∴ △ABCª△EFD(RHS 합동)
⑵ 합동인 두 삼각형에서 대응하는 변의 길이가 같으므로
DFÓ=CBÓ=4`cm
A
직각삼각형의 합동 조건의 이해
본문 17쪽
⑤
1 ③
△ABC와 △DEF에서 ∠C=∠F=90ù이므로
①` ABÓ=DEÓ, ACÓ=DFÓ이면 RHS 합동
②` BCÓ=EFÓ, ACÓ=DFÓ이면 SAS 합동
③` ABÓ=DEÓ, ∠A=∠D이면 RHA 합동
④` BCÓ=EFÓ, ∠B=∠E이면 ASA 합동
만 크기가 다를 수 있으므로 합동이 아니다.
1 ① RHS 합동
② ASA 합동
④ RHA 합동
⑤ ASA 합동
4 Ⅰ . 삼각형의 성질
ㄴ. 빗변의 길이가 같고 한 예각의 크기가 같으므로 RHA
합동이다.
따라서 주어진 삼각형과 합동인 삼각형은 ㄴ이다.
2 ⑤ 직각삼각형의 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각
같으므로 RHS 합동이다.
5
CHECK
1 90ù, BCÓ, ∠CBE, RHA
2 ②
2 △DBC와 △DBE에서 ∠BCD=∠BED=90ù,
BDÓ는 공통, BCÓ=BEÓ이므로
△DBCª△DBE(RHS 합동)
∴ DCÓ=DEÓ, ∠BDC=∠BDE, ∠DBC=∠DBE
A
RHA 합동의 활용
13`cm
1 50`cmÛ`
2 9`cm
본문 19쪽
△ADB와 △CEA에서 ∠ADB=∠CEA=90ù,
ABÓ=CAÓ, ∠DAB=90ù-∠CAE=∠ECA
따라서 △ADBª△CEA(RHA 합동)이므로
1 △ACD와 △BEC에서
∠CAD=∠EBC=90ù, CDÓ=ECÓ
∠ACD=90ù-∠BCE=∠BEC
따라서 △ACDª△BEC(RHA 합동)이므로
ABÓ=ACÓ+CBÓ=BEÓ+DAÓ=4+6=10(cm)
⑤ 두 삼각형의 세 내각의 크기가 각각 같으면 모양은 같지
DEÓ=DAÓ+AEÓ=ECÓ+BDÓ=5+8=13(cm)
∴ (사각형 ABED의 넓이)=
_(6+4)_10=50(cmÛ`)
;2!;
2 △BEC와 △CDB에서
∠B=∠C, ∠E=∠D=90ù, BCÓ는 공통
∴ △BECª△CDB(RHA 합동)
∴ BEÓ=CDÓ=17-8=9(cm)
B
RHS 합동의 활용
본문 19쪽
22.5ù
3 70ù
4 29ù
△ABC에서 ACÓ=BCÓ이므로
∠ABC=
_(180ù-90ù)=45ù
;2!;
△BDE와 △BCE에서 ∠BDE=∠BCE=90ù,
BEÓ는 공통, DEÓ=CEÓ
따라서 △BDEª△BCE(RHS 합동)이므로
∠DBE=∠CBE=
;2!;∠ABC=
;2!;
_45ù=22.5ù
3 ∠ABC=180ù-(50ù+90ù)=40ù
△BDE와 △BCE에서 ∠BDE=∠BCE=90ù,
BEÓ는 공통, BDÓ=BCÓ
따라서 △BDEª△BCE(RHS 합동)이므로
∠EBC=∠EBD=
;2!;∠ABC=
;2!;
_40ù=20ù
△EBC에서 ∠BEC =180ù-(20ù+90ù)=70ù
4 △BDM과 △CEM에서
BMÓ=CMÓ, MDÓ=MEÓ, ∠BDM=∠CEM=90ù
∴ △BDMª△CEM(RHS 합동)
따라서 ∠ABM=∠ACM=
_(180ù-58ù)=61ù이므로
;2!;
∠BMD=180ù-(90ù+61ù)=29ù
C
각의 이등분선의 성질의 이해
본문 20쪽
㈎ 90ù ㈏ OPÓ ㈐ ∠DOP ㈑ RHA ㈒ PDÓ
5 ③
5 △QOP와 △ROP에서
∠PQO=∠PRO=90ù, OPÓ는 공통, PQÓ=PRÓ이므로
△QOPª△ROP(RHS 합동)
∴ OQÓ=ORÓ, ∠QOP=∠ROP, ∠QPO=∠RPO
개
념
탑
D
각의 이등분선의 성질의 활용
본문 21쪽
40`cmÛ`
6 4`cm
7 ;;£5ª;;
`cm 8 30ù
오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ABÓ에 내
(cid:34)
(cid:18)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:35)
(cid:36)
(cid:37)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
린 수선의 발을 E라 하자.
△AED와 △ACD에서
∠DAE=∠DAC,
∠DEA=∠DCA=90ù,
ADÓ는 공통이므로
△AEDª△ACD(RHA 합동)
∴ DEÓ=DCÓ=5`cm
∴ △ABD=
_16_5=40(cmÛ`)
;2!;
6 ACÓ=BCÓ이므로 ∠ABC=∠BAC=45ù
△EBD에서 ∠EDB=180ù-(90ù+45ù)=45ù이므로
△EBD는 BEÓ=DEÓ인 직각이등변삼각형이다.
이때 △AEDª△ACD(RHA 합동)이므로
BEÓ=DEÓ=DCÓ=4`cm
7 점 D에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 E라 하면
_20_EDÓ=64
;2!;
(cid:34)
∴ EDÓ=
`cm
;;£5ª;;
이때 △AED≡△ACD(RHA 합동)
(cid:38)
(cid:35)
(cid:36)
(cid:37)
이므로
CDÓ=EDÓ=
`cm
;;£5ª;;
8 △DAMª△DBM(SAS 합동),
△DAMª△DAC(RHA 합동)이므로
△DAMª△DBMª△DAC
∴ ∠B=∠DAM=∠DAC
이때 ∠B+∠DAM+∠DAC=90ù이므로 ∠B=30ù
정답과 풀이 5
기본 다지기 문제
본문 22~23쪽
01 ⑴ 54ù ⑵ 44ù
04 ③
08 4`cm
12 48ù
05 ②
09 46ù
02 105ù
06 4`cm
10 4`cm
03 45ù
07 57
11 4`cm
∠PBC=∠PCB=45ù
∴ ∠BPD=180ù-(90ù+45ù)=45ù
∴ PDÓ=BDÓ=CDÓ=
BCÓ=4`cm
;2!;
07 △ABC는 이등변삼각형이므로
_(180ù-90ù)=45ù
∠A=
;2!;
△ABD에서 ∠ABD=180ù-(90ù+45ù)=45ù
∴ x=45
변삼각형이다.
등변삼각형이다.
∠A=∠ABD=45ù이므로 △ABD는 ADÓ=BDÓ인 이등
또, ∠C=∠CBD=45ù이므로 △CBD는 BDÓ=CDÓ인 이
따라서 ADÓ=CDÓ=BDÓ=6`cm이므로
ACÓ=ADÓ+CDÓ=6+6=12(cm) ∴ y=12
∴ x+y=45+12=57
08 ∠B=∠C이므로
ACÓ=ABÓ=5`cm
△ABP+△APC=△ABC이므로
;2!;
_5_PDÓ+
_5_PEÓ=10
;2!;
∴ PDÓ+PEÓ=10_
=4(cm)
;5@;
(cid:34)
(cid:22)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:35)
(cid:49)
(cid:38)
(cid:36)
09 ∠DCE=∠x이므로 ∠ACB=∠x+21ù
ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠ACB=∠x+21ù
삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 △ABC에서
∠x+(∠x+21ù)+(∠x+21ù)=180ù
3∠x=138ù ∴ ∠x=46ù
10 △ABC와 △EFD에서 ∠B=∠F=90ù,
ACÓ=EDÓ=5`cm,
∠E=180ù-(90ù+55ù)=35ù=∠A이므로
△ABCª△EFD(RHA 합동)
∴ EFÓ=ABÓ=4`cm
11 △ACP와 △BDP에서
∠ACP=∠BDP=90ù, APÓ=BPÓ,
∠APC=∠BPD(맞꼭지각)
이므로 △ACPª△BDP(RHA 합동)
∴ ACÓ=BDÓ=4`cm
(cid:21)(cid:22)(cid:177)
(cid:21)(cid:22)(cid:177)
(cid:36)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:25) (cid:68)(cid:78)
12 △ADEª△ACE(RHS 합동)이므로
∠DAE=∠CAE=24ù
01 ⑴ ABÓ=ACÓ이므로 ∠x=
;2!;
⑵ ∠ACB=180ù-112ù=68ù이고 ABÓ=ACÓ이므로
_(180ù-72ù)=54ù
∠x=180ù-2_68ù=44ù
02 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=
;2!;
_(180ù-80ù)=50ù
∴ ∠ABD=
_50ù=25ù
;2!;
△ABD에서 ∠BDC=80ù+25ù=105ù
03 △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C
;2#;∠A
이때 ∠A`:`∠B=2`:`3이므로 ∠B=
∠A+∠B+∠C=∠A+
;2#;∠A+
;2#;∠A=180ù
4∠A=180ù ∴ ∠A=45ù
04 두 직선 l과 m이 서로 평행하므로 ∠ABC=70ù
△ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로
∠ACB=∠ABC=70ù
정삼각형의 한 내각의 크기는 60ù이므로 ∠ECD=60ù
∴ ∠x=180ù-∠ACB-∠ECD=180ù-70ù-60ù=50ù
05 ∠B=∠x라 하면 △ABC에서
ABÓ=ACÓ이므로
∠ACB=∠B=∠x
∴ ∠DAC =∠ABC+∠ACB
(cid:89)
(cid:35)
=∠x+∠x=2∠x
(cid:34)
(cid:19)(cid:89)
(cid:39)
(cid:37)
(cid:19)(cid:89)
(cid:89)
(cid:18)(cid:17)(cid:22)(cid:177)
(cid:36) (cid:38)
△CAD에서 ACÓ=DCÓ이므로 ∠CDA=∠CAD=2∠x
△DBC에서
∠DCE =∠DBC+∠BDC=∠x+2∠x=3∠x이므로
3∠x=105ù ∴ ∠x=35ù
06 △PBD와 △PCD에서 BDÓ=CDÓ
Ó, PDÓ
는 공통, ∠PDB=∠PDC=90ù이므로
△PBDª△PCD(SAS 합동)
따라서 PBÓ=PCÓ이고, ∠BPC=90ù
(cid:34)
(cid:49)
이므로
6 Ⅰ . 삼각형의 성질
∴ ∠DEA=∠CEA=180ù-(90ù+24ù)=66ù
∴ ∠DEB =180ù-(∠DEA+∠CEA)
4 △ACD와 △CBE에서 ∠ADC=∠CEB=90ù,
ACÓ=CBÓ, ∠CAD=90ù-∠ACD=∠BCE이므로
=180ù-(66ù+66ù)=48ù
△ACDª△CBE(RHA 합동)
개
념
탑
실력 올리기 문제
본문 24~25쪽
BOÓ를 그으면
따라서 CEÓ=ADÓ=14`cm, CDÓ=BEÓ=7`cm이므로
DEÓ=CEÓ-CDÓ=14-7=7(cm)
5 △OAEª△OAD(RHA 합동)
이므로 AEÓ=ADÓ, OEÓ=ODÓ
(cid:19)(cid:17) (cid:68)(cid:78) (cid:34)
△OCDª△OCF(RHA 합동)
이므로 CDÓ=CFÓ, ODÓ=OFÓ
(cid:35)
(cid:38)
(cid:37)
(cid:48)
(cid:36) (cid:39)
△OBEª△OBF(RHS 합동)이므로 BEÓ=BFÓ
∴ (△ABC의 둘레의 길이)
=ABÓ+BCÓ+ACÓ=ABÓ+BCÓ+(ADÓ+CDÓ)
=ABÓ+BCÓ+(AEÓ+CFÓ)=(ABÓ+AEÓ)+(BCÓ+CFÓ)
=BEÓ+BFÓ=20+20=40(cm)
6 점 D에서` ABÓ에 내린 수선의 발을 E
라 하면 △BCD와 △BED에서
∠C=∠BED=90ù, BDÓ는 공통,
∠CBD=∠EBD이므로
△BCDª△BED(RHA 합동)
따라서 EDÓ=CDÓ=8`cm이므로 `
△ABD=
_28_8=112(cmÛ`)
;2!;
(cid:34)
(cid:37)
(cid:36)
(cid:25) (cid:68)(cid:78)
(cid:19)(cid:25) (cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:35)
(cid:34)
(cid:21)(cid:21)(cid:177)
(cid:37)
(cid:35)
(cid:39)
(cid:19)(cid:19)(cid:177)
(cid:38)
(cid:36)
(cid:19)(cid:19)(cid:177)
7 ① △ABC에서
∠ABC=∠ACB=
_(180ù-50ù)=65ù
;2!;
∴ ∠DBC=
_65ù=32.5ù
;2!;
② ∠ACE=180ù-65ù=115ù이므로
∠DCE=
_115ù=57.5ù
;2!;
③ △BCD에서
∠BDC =∠DCE-∠DBC=57.5ù-32.5ù=25ù
8 ① △ABE와 △ADE에서 ∠ABE=∠ADE=90ù,
AEÓ는 공통, ∠BAE=∠DAE이므로
△ABEª△ADE(RHA 합동)
∴ DEÓ=BEÓ=6`cm
△DEC는 DEÓ=DCÓ인 직각이등변삼각형이다.
∴ DCÓ=DEÓ=6`cm
③ △CDE=
_DEÓ_DCÓ=
_6_6=18(cmÛ`)
;2!;
;2!;
정답과 풀이 7
1 57ù
5 40`cm
7 ①
;2!;
2 136ù
6 112`cmÛ`
3 ③
4 7`cm
_(180ù-50ù)=65ù,
_65ù=32.5ù
;2!;
② 180ù-65ù=115ù,
_115ù= 57.5ù
;2!;
③ ∠DBC, 57.5ù-32.5ù=25ù
8 ① 6`cm ② 6`cm ③ 18`cmÛ`
1 △ABC에서 ∠ACB=
△DCE에서 ∠DCE=∠DEC=48ù
;2!;
_(180ù-30ù)=75ù
∴ ∠ACD=180ù-(75ù+48ù)=57ù
2 ∠ABC=∠ACB=
△EBC에서
;2!;
_(180ù-44ù)=68ù
∠EBC=180ù-(90ù+68ù)=22ù
또한, △DBC와 △ECB에서
BCÓ는 공통, ∠DBC=∠ECB,
DBÓ=ABÓ-ADÓ=ACÓ-AEÓ=ECÓ
이므로 △DBCª△ECB(SAS 합동)
∴ ∠DCB=∠EBC=22ù
∴ ∠BFC =180ù-(22ù+22ù)=136ù
3 △ABE와 △ACD에서
ABÓ=ACÓ, BEÓ=CDÓ, ∠B=∠C이므로
△ABEª△ACD(SAS 합동)
∴ ∠ADE=∠AED=
_(180ù-40ù)=70ù
;2!;
또, ∠CAD=∠CDA=70ù이므로
∠CAE=∠CAD-∠DAE=70ù-40ù=30ù
따라서 ADÓ=AEÓ이므로 △ADE는 이등변삼각형이다.
② △DEC에서 ∠DEC=180ù-(90ù+45ù)=45ù이므로
2 삼각형의 외심과 내심
점 O가 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ
따라서 △OCA는 OAÓ=OCÓ인 이등변삼각형이므로
∠OAC=
_(180ù-134ù)=23ù
;2!;
1 ⑴ OCÓ ⑵ ∠OCE ⑶ CFÓ ⑷ △OCF
따라서 △OBC의 둘레의 길이는 7+7+12=26(cm)
본문 28쪽
2 점 O에서 △ABC의 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같으므로
OCÓ=OBÓ=7`cm
삼각형의 외심
1
CHECK
2 ㄱ, ㄷ
3 ⑴ 4 ⑵ 5 ⑶ 30
2 ㄱ. 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.
ㄷ. 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다.
따라서 점 O가 △ABC의 외심인 것은 ㄱ, ㄷ이다.
3 ⑴ AFÓ=CFÓ이므로 x=4
⑵ OAÓ=OCÓ이므로 x=5
⑶ OAÓ=OCÓ이므로 △OAC에서
∠OAC=
_(180ù-120ù)=30ù ∴ x=30
;2!;
A
삼각형의 외심의 이해
본문 29쪽
④
1 ②
④ 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다.
이때 삼각형에서 두 변의 수직이등분선의 교점은 나머
지 한 변의 수직이등분선 위에 있으므로 두 변의 수직이
등분선만 작도하여도 외심을 찾을 수 있다.
10`cm
1 10p`cm
1 점 O가 △ABC의 외심이므로
△OADª△OBD(SAS 합동),
△OBEª△OCE(SAS 합동),
△OCFª△OAF(SAS 합동)
∴ OAÓ=OBÓ=OCÓ, ∠OBC=∠OCB
B
삼각형의 외심의 성질의 이해
본문 29쪽
23ù
2 26`cm
8 Ⅰ . 삼각형의 성질
2
CHECK
삼각형의 외심의 위치
본문 30쪽
1 ⑴ 삼각형의 내부 ⑵ 삼각형의 외부 ⑶ 빗변의 중점
2 ⑴ OBÓ ⑵ ∠OBA ⑶ ∠OCA
3 ⑴ 5`cm ⑵ 108ù
3 OAÓ=OBÓ=OCÓ이므로
⑴ (외접원의 반지름의 길이)
=
ABÓ=
_10=5(cm)
;2!;
;2!;
⑵ △OBC에서 ∠OCB=∠OBC=36ù
∴ ∠BOC=180ù-(36ù+36ù)=108ù
A
직각삼각형의 외심 ⑴－변의 길이 구하기
본문 31쪽
점 O는 △ABC의 외심이므로
OCÓ를 그으면
∠AOC=2∠B=2_30ù=60ù
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:35)
(cid:48)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:36)
이때 OAÓ=OCÓ이므로
△OCA에서
∠OAC=∠OCA=
_(180ù-60ù)=60ù
;2!;
따라서 △OCA는 정삼각형이므로
OBÓ=OAÓ=ACÓ=5`cm
∴ ABÓ=OAÓ+OBÓ=5+5=10(cm)
1 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 △ABC의 외접원
ABÓ=
의 반지름의 길이는
_10=5(cm)
;2!;
;2!;
따라서 △ABC의 외접원의 둘레의 길이는
2p_5=10p(cm)
B
직각삼각형의 외심 ⑵－각의 크기 구하기
본문 31쪽
84ù
2 25ù
점 O는 직각삼각형 ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ
△OAB에서 ∠OAB=∠OBA=42ù이므로
∠AOC=∠OBA+∠OAB=42ù+42ù=84ù
2 점 O는 직각삼각형 ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ
따라서 △OBC에서 ∠C=∠OBC=
_50ù=25ù
;2!;
128ù
2 50ù
∠OCB=
_(180ù-124ù)=28ù
;2!;
∠OAC+∠OBA+∠OCB=90ù이므로
36ù+∠x+28ù=90ù, ∠x+64ù=90ù ∴ ∠x=26ù
개
념
탑
1 OBÓ를 그으면
∠OAB+∠OCB+∠OCA=90ù
이므로 ∠x+32ù+∠y=90ù
∴ ∠x+∠y=58ù
(cid:35)
(cid:90)
(cid:20)(cid:19)(cid:177)
(cid:36)
(cid:34)
(cid:89)
(cid:48)
B
삼각형의 외심의 응용 ⑵
본문 33쪽
점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ
△OAB에서 ∠OAB=∠OBA=30ù
∴ ∠BAC=30ù+34ù=64ù
∴ ∠BOC=2∠BAC=2_64ù=128ù
2 점 O는 △ABC의 외심이므로 OBÓ=OCÓ
△OBC에서 ∠OBC=∠OCB=40ù
∴ ∠BOC=180ù-2_40ù=100ù
∴ ∠A=
;2!;∠BOC=
;2!;
_100ù=50ù
3
CHECK
삼각형의 외심의 응용
본문 32쪽
1 ⑴ 22ù ⑵ 30ù ⑶ 130ù ⑷ 60ù
2 ∠x=50ù, ∠y=100ù
1 ⑴ ∠x+32ù+36ù=90ù ∴ ∠x=22ù
⑵ 40ù+∠x+20ù=90ù ∴ ∠x=30ù
⑶ ∠x=2∠A=2_65ù=130ù
⑷ ∠x=
;2!;∠BOC=
2 OAÓ를 그으면 OAÓ=OBÓ=OCÓ이므로
_120ù=60ù
;2!;
∠OAB=∠OBA=20ù,
∠OAC=∠OCA=30ù
∴ ∠x =∠OAB+∠OAC
=20ù+30ù=50ù
∴ ∠y=2∠x=2_50ù=100ù
(cid:34)
(cid:89)
(cid:48)
(cid:90)
4
CHECK
삼각형의 내심
본문 34쪽
1 ⑴ IFÓ ⑵ ∠ICF ⑶ AFÓ ⑷ △BIE
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:35)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:36)
2 ㄱ, ㄷ
3 40ù
A
삼각형의 외심의 응용 ⑴
본문 33쪽
따라서 점 I가 △ABC의 내심인 것은 ㄱ, ㄷ이다.
26ù
1 58ù
2 ㄱ. 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이다.
ㄷ. 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같다.
ㄴ, ㄹ. △ABC의 외심이다.
3 ∠IBC=∠IBA=20ù, ∠ICB=∠ICA=∠x
△IBC에서 ∠ICB=180ù-(120ù+20ù)=40ù
∴ ∠x=40ù
정답과 풀이 9
A
삼각형의 내심의 이해
본문 35쪽
DEÓ=DIÓ+EIÓ=DBÓ+ECÓ=5+4=9(cm)
∴ (△ADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DEÓ+EAÓ
=10+9+8=27(cm)
②, ⑤
1 ④
① ∠EBI=∠DBI ③ BEÓ=BDÓ ④ ∠AIF=∠AID
1 점 I는 △ABC의 내심이므로 △IADª△IAF(RHA 합동),
△IBDª△IBE(RHA 합동)
따라서 △ICEª△ICF(RHS 합동)이므로
∴ IDÓ=IEÓ=IFÓ
∠ICE=∠ICF
B
삼각형의 내심과 평행선
본문 35쪽
18`cm
2 27`cm
∠DBI=∠IBC,
∠ECI=∠ICB
DEÓBCÓ이므로
∠DIB=∠IBC(엇각),
∠EIC=∠ICB(엇각)
점 I가 △ABC의 내심이므로
(cid:34)
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:35)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:42)
(cid:38)
(cid:36)
5
CHECK
삼각형의 내심의 응용
본문 36쪽
1 ⑴ 30ù ⑵ 34ù ⑶ 124ù ⑷ 48ù
2 ∠x=28ù, ∠y=118ù
1 ⑴ ∠x+25ù+35ù=90ù ∴ ∠x=30ù
⑵ 30ù+∠x+26ù=90ù ∴ ∠x=34ù
⑶ ∠x=90ù+
_68ù=124ù
;2!;
⑷ 114ù=90ù+
;2!;∠x,
2 ∠x+30ù+32ù=90ù ∴ ∠x=28ù
;2!;∠x=24ù ∴ ∠x=48ù
∠y=90ù+
;2!;∠A
=90ù+
_(28ù+28ù)=118ù
;2!;
A
삼각형의 내심의 응용 ⑴
본문 37쪽
∴ ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC
따라서 △DBI와 △EIC는 각각 DBÓ=DIÓ, EIÓ=ECÓ인 이
등변삼각형이므로
ABÓ+ACÓ =ADÓ+DBÓ+AEÓ+ECÓ=ADÓ+DIÓ+AEÓ+EIÓ
=ADÓ+DEÓ+AEÓ=7+5+6=18(cm)
36ù
1 26ù
2 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠DBI=∠IBC,
∠ECI=∠ICB
DEÓBCÓ이므로
∠DIB=∠IBC(엇각),
∠EIC=∠ICB(엇각)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
(cid:42)
∴ ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC
따라서 △DBI와 △EIC는 각각 DBÓ=DIÓ, EIÓ=ECÓ인 이
등변삼각형이므로
10 Ⅰ . 삼각형의 성질
(cid:37)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:38)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
1 ACÓ=BCÓ이므로 ∠ABC=∠BAC
이때 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠IBC=∠IBA이므로 ∠IBC=
_60ù=30ù
;2!;
∠IAB+∠IBC+∠ICA=90ù이므로
24ù+30ù+∠x=90ù ∴ ∠x=36ù
∠IAC=∠IAB, ∠IBA=∠IBC
∴ ∠IAB=
;2!;∠BAC=
∠IAB+∠IBC+∠ICA=90ù이므로
;2!;∠ABC=∠IBC=32ù
32ù+32ù+∠ICA=90ù ∴ ∠ICA=26ù
B
삼각형의 내심의 응용 ⑵
본문 37쪽
B
삼각형의 내접원의 반지름의 길이와 넓이
본문 39쪽
22ù
2 28ù
2`cm
2 18`cmÛ`
개
념
탑
점 I는 △ABC의 내심이므로
∠AIC=90ù+
;2!;∠B=90ù+
;2!;
_76ù=128ù
∠IAC=∠IAB=30ù
따라서 △IAC에서
∠ICA=180ù-(128ù+30ù)=22ù
2 ∠BIC=90ù+
∴ ∠A=56ù
;2!;∠A이므로 118ù=90ù+
;2!;∠A
이때 AIÓ는 ∠A의 이등분선이므로 ∠x=
;2!;∠A=28ù
;2!;
△ABC=
_12_5=30(cmÛ`)
;2!;
△ABC의 내접원의 반지름의
(cid:34)
길이를 r`cm라 하면
;2!;
_r_(5+12+13)=30
15r=30 ∴ r=2`
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:18)(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:42)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
따라서 △ABC의 내접원의 반지름의 길이는 2`cm이다.
2 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
_r_(9+12+15), 18r=54 ∴ r=3
_12_9=
∴ △IBC=
_12_3=18(cmÛ`)
;2!;
;2!;
6
CHECK
삼각형의 내접원의 응용
본문 38쪽
1 ⑴ AFÓ ⑵ CFÓ ⑶ 2
2 ⑴ r, 4r ⑵ r, 5r ⑶ r, 6r ⑷ 15, 60, 4
A
삼각형의 내접원과 접선
본문 39쪽
5`cm
1 9`cm
BEÓ=x`cm라 하면 BDÓ=BEÓ=x`cm,
AFÓ=ADÓ=(13-x)`cm, CFÓ=CEÓ=(9-x)`cm
ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로 12=(13-x)+(9-x)
∴ x=5
∴ BEÓ=5`cm
1 BEÓ=BDÓ=9-4=5(cm)
AFÓ=ADÓ=4`cm이므로
CEÓ=CFÓ=8-4=4(cm)
∴ BCÓ=BEÓ+CEÓ=5+4=9(cm)
기본 다지기 문제
본문 42~44쪽
02 ③
01 ②
05 36p`cmÛ` 06 ③
10 60ù
09 80ù
14 ③
13 60ù
17 20`cm 18 ③
03 ③
07 34ù
11 ③
15 140ù
04 ④
08 ①
12 26ù
16 1`cm
01 ② 삼각형의 세 꼭짓점에 이르는 거리가 모두 같다.
02 점 O가 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ
_(180ù-30ù)=75ù
△OBC에서 ∠OCB=
;2!;
;2!;
△OCA에서 ∠OCA=
_(180ù-50ù)=65ù
∴ ∠BCA=∠OCB+∠OCA=75ù+65ù=140ù
03 점 O는 △ABC의 외심이므로
OAÓ=OBÓ=OCÓ이다.
OAÓ+OBÓ+OCÓ=12, 3OAÓ=12 ∴ OAÓ=4
따라서 △ABC의 외접원의 넓이는 p_4Û`=16p이다.
정답과 풀이 11
04 △OAC는 OAÓ=OCÓ인 이등변삼각형이므로
∠OAC=∠OCA=25ù
△OAB는 OAÓ=OBÓ인 이등변삼각형이므로
∠OBA=∠OAB=25ù+30ù=55ù
△OBC는 OBÓ=OCÓ인 이등변삼각형이므로
∠OBC=∠OCB=25ù+∠x
△ABC에서 30ù+(55ù+25ù+∠x)+∠x=180ù
2∠x=70ù ∴ ∠x=35ù
05 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점과 일치하므로 외접원의 반
지름의 길이는
_12=6(cm)
ABÓ=
;2!;
;2!;
따라서 외접원의 넓이는 p_6Û`=36p(cmÛ`)
06 ADÓ=BDÓ=CDÓ이고 점 D가 BCÓ 위의 점이므로 점 D는
∠A=90ù인 직각삼각형 ABC의 외심이다.
∴ ∠BAC=90ù
07 OAÓ를 그으면 점 O는 △ABC의 외심
이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ
(cid:34)
(cid:89)
(cid:18)(cid:21)(cid:177)
∠OAB+∠OBC+∠OCA=90ù
(cid:89)
(cid:21)(cid:19)(cid:177)
(cid:35)
(cid:48)
(cid:18)(cid:21)(cid:177)
(cid:21)(cid:19)(cid:177)
(cid:36)
이므로
∠x+42ù+14ù=90ù
∴ ∠x=34ù
08 ∠OCB=∠OBC=25ù이므로
∠ACB=∠OCA+∠OCB=35ù+25ù=60ù
∴ ∠AOB=2∠ACB=2_60ù=120ù
09 ∠AOC=360ù_
4
2+3+4
=160ù
∴ ∠ABC=
;2!;∠AOC=
;2!;
_160ù=80ù
10 점 I는 △ABC의 내심이므로
∠ABC=2∠IBC=2_24ù=48ù
∠CAB=2∠IAC=2_36ù=72ù
따라서 △ABC에서 ∠x=180ù-(48ù+72ù)=60ù
11 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같으므로
_(180ù-50ù)=65ù
∠ABC=
;2!;
또, 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠IBA=∠IBC
∴ ∠IBC=
;2!;∠ABC=
;2!;
_65ù=32.5ù
12 Ⅰ . 삼각형의 성질
(cid:34)
(cid:42)
(cid:24)(cid:25)(cid:177)
(cid:19)(cid:22)(cid:177)
(cid:36)
12 점 I는 △ABC의 내심이므로
AIÓ를 그으면
∠IAB=
_78ù=39ù
;2!;
(cid:35)
∠IAB+∠IBA+∠ICA=90ù
이므로 39ù+∠IBA+25ù=90ù ∴ ∠IBA=26ù
13 점 I는 △ABC의 내심이므로
∠BIC=90ù+
;2!;∠A에서 120ù=90ù+
;2!;∠A,
;2!;∠A=30ù ∴ ∠A=60ù
14 ∠AIC=360ù_
13
11+12+13
=130ù
따라서 130ù=90ù+
;2!;∠ABC이므로
;2!;∠ABC=40ù ∴ ∠ABC=80ù
15 ∠ICB=
;2!;∠ACB=
;2!;
_70ù=35ù
△IBC에서 ∠x=180ù-(30ù+35ù)=115ù
115ù=90ù+
_2∠y이므로 ∠y=25ù
;2!;
∴ ∠x+∠y=115ù+25ù=140ù
16 BDÓ=x`cm라 하면 BEÓ=BDÓ=x`cm
AFÓ=ADÓ=(3-x)`cm, CFÓ=CEÓ=(4-x)`cm
ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로 (3-x)+(4-x)=5 ∴ x=1
∴ BDÓ=1`cm
17 △ABC=△IAB+△IBC+△ICA
이므로
20=
_ABÓ_2+
_BCÓ_2
;2!;
;2!;
(cid:34)
(cid:42)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
+
;2!;
_CAÓ_2
(cid:35)
(cid:36)
20=ABÓ+BCÓ+CAÓ
∴ (△ABC의 둘레의 길이)=ABÓ+BCÓ+CAÓ=20`cm
18 △ABC=
;2!;
_12_5=30(cmÛ`)
내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
30=
_r_(5+12+13) ∴ r=2
;2!;
∴ △IBC=
_12_2=12(cmÛ`)
;2!;
실력 올리기 문제
본문 45~46쪽
2 p`cmÛ`
6 ②
3 85ù
4 180ù
ABÓ=
_10=5`, 5`cm, p_5Û`=25p(cmÛ`)
;2!;
②
_r_(10+8+6), 2, 2`cm, p_2Û`=4p(cmÛ`)
1 30ù
5 12ù
7 ①
;2!;
;2!;
③ 25p-4p=21p(cmÛ`)
8 ① 8`cm ② 6`cm
1 점 O는 직각삼각형 ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ
∴ ∠ABO=∠BAO=60ù
△ABH에서 ∠ABH=180ù-(60ù+90ù)=30ù
∴ ∠x=∠ABO-∠ABH=60ù-30ù=30ù
2 점 O는 △ABC의 외심이므로
∠AOB=2∠ACB=2_45ù=90ù
∴ (부채꼴 OAB의 넓이)=p_2Û`_
=p(cmÛ`)
;3»6¼0;
5 ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC=∠ACB=
_(180ù-44ù)=68ù
;2!;
∴ ∠IBC=
;2!;∠ABC=
;2!;
_68ù=34ù
∠BOC=2∠A=2_44ù=88ù이고 OBÓ=OCÓ이므로
△OBC에서 ∠OBC=
_(180ù-88ù)=46ù
;2!;
∴ ∠OBI=∠OBC-∠IBC=46ù-34ù=12ù
개
념
탑
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:41)
(cid:35)
(cid:38)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:42)
(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
6 △ABC의 내접원의 반지름의 길
(cid:34)
이를 r`cm라 하면
△ABC=
_r_(6+8+10)
;2!;
=12r(cmÛ`)
이때 △ABC=
_8_6=24(cmÛ`)이므로
;2!;
12r=24 ∴ r=2
AEÓ=AHÓ=ABÓ-BHÓ=6-2=4(cm)
같은 방법으로 CFÓ=4`cm
∴ EFÓ=ACÓ-(AEÓ+CFÓ)=10-(4+4)=2(cm)
7 ① 외접원의 반지름의 길이를 R`cm라 하면
R=
_10=5`
ABÓ=
;2!;
;2!;
즉, 외접원의 반지름의 길이는 5`cm이므로 외접원의 넓
(cid:34)
(cid:48)
(cid:34)
(cid:66) (cid:66)
3 OAÓ, OBÓ를 그으면
OAÓ=OBÓ=OCÓ이므로
∠OAC=∠OCA=20ù
∠OBC=∠OCB=35ù
∠OAB=∠OBA=∠a라 하면
△ABC에서
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:20)(cid:22)(cid:177)
(cid:36)
(cid:35)
이는 p_5Û`=25p(cmÛ`)
② 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
_8_6=
_r_(10+8+6) ∴ r=2
;2!;
;2!;
(∠a+20ù)+(∠a+35ù)+(35ù+20ù)=180ù
즉, 내접원의 반지름의 길이는 2`cm이므로 내접원의 넓
2∠a+110ù=180ù ∴ ∠a=35ù
이는 p_2Û`=4p(cmÛ`)
∴ 2∠B-∠A =2(∠a+35ù)-(∠a+20ù)
③ (색칠한 부분의 넓이)=25p-4p=21p(cmÛ`)
=∠a+50ù=35ù+50ù=85ù
4 ∠CAD=∠BAD=∠a,
∠CBE=∠ABE=∠b라 하면
∠a+∠b+30ù=90ù에서
∠a+∠b=60ù
△ADC에서 ∠x=∠a+60ù
△BCE에서 ∠y=∠b+60ù
(cid:42)
(cid:67)
(cid:89)
(cid:67)
(cid:35)
(cid:38)(cid:90)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:36)
(cid:37)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
∴ ∠x+∠y =(∠a+60ù)+(∠b+60ù)
8 ① IBÓ를 그으면 ∠DBI=∠IBC,
∠DIB=∠IBC(엇각)
∴ ∠DBI=∠DIB
즉, △DBI는 이등변삼각형이므로
DIÓ=DBÓ=8`cm
② ICÓ를 그으면 ∠ECI=∠ICB,
∠EIC=∠ICB(엇각)
∴ ∠ECI=∠EIC
(cid:34)
(cid:37)
(cid:42)
(cid:18)(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:38)
(cid:36)
=120ù+(∠a+∠b)
=120ù+60ù=180ù
즉, △EIC는 이등변삼각형이므로 EIÓ=ECÓ
∴ CEÓ=IEÓ=DEÓ-DIÓ=14-8=6(cm)
정답과 풀이 13
ⅠⅠ 사각형의 성질
1 평행사변형
1
CHECK
평행사변형의 성질 ⑴
본문 50쪽
1 ⑴ 50ù ⑵ 80ù
2 ⑴ x=4, y=7 ⑵ x=5, y=3
1 ⑴ ABÓDCÓ이므로 ∠ACD=∠CAB=50ù
⑵ △OCD에서
∠BOC=∠ODC+∠OCD=30ù+50ù=80ù
2 ⑴ ABÓ=DCÓ이므로 x=4
ADÓ=BCÓ이므로 y=7
⑵ ABÓ=DCÓ이므로 10=2x ∴ x=5
ADÓ
Ó=BCÓ이므로 9=3y ∴ y=3
x=4, y=9
1 32`cm
2 x=5, y=10
ABÓ=DCÓ이므로 x+2=6 ∴ x=4
ADÓ=BCÓ이므로 10=y+1 ∴ y=9
1 BCÓ=ADÓ=9`cm, DCÓ=ABÓ=7`cm이므로
ABCD의 둘레의 길이는 2_(7+9)=32(cm)
2 ADÓ=BCÓ이므로 3x-2=2x+3 ∴ x=5
ABÓ=DCÓ이므로 y=x+5=5+5=10
B
평행사변형의 성질 ⑴ 응용
본문 51쪽
4`cm
3 3`cm
14 ⅠⅠ . 사각형의 성질
ABÓECÓ에서 ∠ABE=∠BEC(엇각)이므로
∠BEC=∠EBC
즉, △BCE는 이등변삼각형이므로 ECÓ=BCÓ=12`cm
이때 DCÓ=ABÓ=8`cm이므로
EDÓ=ECÓ-DCÓ=12-8=4(cm)
3 ADÓBCÓ에서 ∠ADP=∠DPC(엇각)이므로
∠DPC=∠PDC
즉, △DPC는 이등변삼각형이므로
PCÓ=DCÓ=ABÓ=6`cm
이때 BCÓ=ADÓ=9`cm이므로
BPÓ=BCÓ-PCÓ=9-6=3(cm)
2
CHECK
평행사변형의 성질 ⑵, ⑶
본문 52쪽
1 ⑴ ∠x=120ù, ∠y=60ù ⑵ ∠x=80ù, ∠y=80ù
1 ⑴ ∠A=∠C이므로 ∠x=120ù
∠B=∠D이므로 ∠y=60ù
⑵ ∠A+∠B=180ù이므로 ∠x=80ù
∠B=∠D이므로 ∠y=80ù
2 AOÓ=COÓ이므로 x=7
BOÓ=DOÓ=
BDÓ=
_10=5이므로 y=5
;2!;
;2!;
A
평행사변형의 성질 ⑵
본문 53쪽
120ù
1 65ù
2 135ù
∠A=2∠B에서 ∠A`:`∠B=2`:`1
∠A+∠B=180ù이므로 ∠A=180ù_
=120ù
;3@;
∴ ∠C=∠A=120ù
A
평행사변형의 성질 ⑴
본문 51쪽
2 x=7, y=5
1 △ABC에서 ∠B=180ù-(55ù+60ù)=65ù
∴ ∠D=∠B=65ù
2 ∠A+∠B=180ù이므로 ∠A=180ù_
∴ ∠C=∠A=135ù
=135ù
;4#;
D
평행사변형의 성질 ⑶ 응용
본문 54쪽
6`cm
5 6
개
념
탑
△AOE와 △COF에서
AOÓ=COÓ, ∠AOE=∠COF(맞꼭지각),
∠EAO=∠FCO(엇각)이므로
△AOEª△COF(ASA 합동)
따라서 CFÓ=AEÓ=3`cm이므로
5 △AOP와 △COQ에서
AOÓ=COÓ,`∠AOP=∠COQ(맞꼭지각), `
∠PAO=∠QCO(엇각)이므로
△AOPª△COQ(ASA`합동)
따라서 QOÓ=POÓ=4`cm, CQÓ=APÓ=2`cm에서
x=4, y=2이므로 x+y=4+2=6
B
평행사변형의 성질 ⑵ 응용
본문 53쪽
BFÓ=BCÓ-CFÓ=9-3=6(cm)
55ù
3 80ù
∠ADC=∠B=70ù이므로 ∠ADF=
_70ù=35ù
;2!;
△AFD에서 ∠FAD=90ù-35ù=55ù
∠BAD=180ù-∠B=180ù-70ù=110ù이므로
∠x=∠BAD-∠FAD=110ù-55ù=55ù
3 ∠DAE=∠AEB=50ù(엇각)이므로
∠DAB=2_50ù=100ù
∴ ∠D=180ù-∠DAB=180ù-100ù=80ù
C
평행사변형의 성질 ⑶
본문 54쪽
19`cm
4 20`cm
DOÓ=
BDÓ=
_14=7(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
OCÓ=
ACÓ=
_10=5(cm), DCÓ=ABÓ=7`cm
따라서 △DOC의 둘레의 길이는
DOÓ
Ó+OCÓ+DCÓ=7+5+7=19(cm)
3
CHECK
평행사변형이 되는 조건 ⑴
본문 55쪽
1 180ù, ∠CBE, BCÓ, 엇각, 두 쌍의 대변이 각각 평행
2 ⑴ x=5, y=16 ⑵ x=108, y=72
2 ⑴ 평행사변형이 되려면 ABÓ=DCÓ, ADÓ=BCÓ이어야
하므로
x+2=7에서 x=5, y-3=13에서 y=16
4 △ABO의 둘레의 길이가 15`cm이고, ABÓ=DCÓ=5`cm
⑵ 평행사변형이 되려면 ∠A=∠C, ∠B=∠D이어야
이므로 AOÓ+BOÓ=15-5=10(cm)
하므로
이때 AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ이므로 두 대각선의 길이의 합은
∠A=∠C=108ù에서 x=108
ACÓ+BDÓ
Ó=2(AOÓ+BOÓ)=2_10=20(cm)
∠B=180ù-∠C=180ù-108ù=72ù에서 y=72
정답과 풀이 15
A
평행사변형이 되는 조건 ⑴
본문 56쪽
A
평행사변형이 되는 조건 ⑵
본문 58쪽
x=10, y=7
1 x=60, y=9
해야 한다.
x=10
y=7
x=3, y=5
1 ∠x=60ù, ∠y=75ù
한다.
∴ x=3
∴ y=5
한다.
평행사변형이 되려면 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같아야
평행사변형이 되려면 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분
ABÓ=DCÓ이어야 하므로 2x+3=5x-6에서 -3x=-9
OAÓ=OCÓ이어야 하므로 ACÓ=2OCÓ=2_5=10에서
ADÓ=BCÓ이어야 하므로 y+8=3y-2에서 -2y=-10
OBÓ=ODÓ이어야 하므로 ODÓ=
BDÓ=
_14=7에서
;2!;
;2!;
1 평행사변형이 되려면 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같아야
60ù+45ù=45ù+∠x ∴ ∠x=60ù
∠A+∠D=180ù이어야 하므로
∠y=180ù-(45ù+60ù)=75ù
1 평행사변형이 되려면 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가
같아야 한다.
ABÓDCÓ이어야 하므로 ∠A+∠D=180ù에서
∠D=180ù-120ù=60ù
∴ x=60
ABÓ=DCÓ이어야 하므로 DCÓ=ABÓ=9에서 y=9
B
평행사변형이 되는 조건 ⑴ 응용
본문 56쪽
CFÓ, GFÓ, GHÓ, 두 쌍의 대변의 길이
2 ∠PDQ, ∠BQD, 두 쌍의 대각의 크기
B
평행사변형이 되는 사각형 찾기
본문 58쪽
④
2 ㄴ, ㄹ
① 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
② ∠D=360ù-(130ù+50ù+130ù)=50ù이므로 두 쌍의
대각의 크기가 각각 같다.
③ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.
④ ∠D=360ù-(100ù+80ù+80ù)=100ù이므로 두 쌍의
4
CHECK
평행사변형이 되는 조건 ⑵
본문 57쪽
대각의 크기가 같지않다.
1 ∠DAC, SAS, DCÓ, 두 쌍의 대변이 각각 평행
⑤ 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다.
2 ⑴ x=6, y=9 ⑵ x=35, y=11
2 ⑴ 평행사변형이 되려면 OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ이어야
C
평행사변형이 되는 조건 ⑵ 응용
본문 59쪽
OCÓ=OAÓ=6에서 x=6, ODÓ=OBÓ=9에서 y=9
⑵ 평행사변형이 되려면 ABÓDCÓ, ABÓ=DCÓ이어야
하므로
하므로
∠ABD=∠CDB=35ù(엇각)에서 x=35
DCÓ=ABÓ=11에서 y=11
16 ⅠⅠ . 사각형의 성질
ODÓ, OFÓ, 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분
3 RHA, CFÓ, , 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가
4 PQRS는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로
같으므로
평행사변형이다.
4 OAÓ=OCÓ이므로 OPÓ=ORÓ이고`OBÓ=ODÓ이므로
OQÓ=OSÓ
따라서 PQRS는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하
므로 평행사변형이다.
B
평행사변형의 내부의 한 점에 의해
나누어진 도형의 넓이
본문 61쪽
개
념
탑
18`cmÛ`
3 40`cmÛ`
△ABP+△DPC=△APD+△PBC이므로
14+16=12+△PBC ∴ △PBC=18`cmÛ`
3 ABCD=BCÓ_DHÓ=10_8=80(cmÛ`)
∴ (색칠한 부분의 넓이)=△PAB+△PCD
ABCD
=
;2!;
=
;2!;
_80=40(cmÛ`)
5
CHECK
평행사변형과 넓이
본문 60쪽
1 ⑴ 4`cmÛ` ⑵ 8`cmÛ` ⑶ 16`cmÛ`
2 ⑴ 30`cmÛ` ⑵ 12`cmÛ`
1 ⑴ △BCO=△ABO=4`cmÛ`
⑵ △ACD=2△ABO=2_4=8(cmÛ`)
⑶ ABCD=4△ABO=4_4=16(cmÛ`)
2 ⑴ △PAB+△PCD=
ABCD=
_60=30(cmÛ`)
;2!;
⑵ △PBC+△PDA=
ABCD이므로
;2!;
;2!;
18+△PDA=30
∴ △PDA=12`cmÛ`
기본 다지기 문제
본문 62~63쪽
02 13`cm 03 ④
06 x=7, y=40
01 0
05 26
07 (가) ㄱ, (나) ㄹ
10 12`cmÛ` 11 78`cmÛ`
08 ②
04 36ù
09 ①
A
평행사변형과 넓이
본문 61쪽
48`cmÛ`
1 ⑴ 22`cmÛ` ⑵ 11`cmÛ` 2 20`cmÛ`
BFED에서 BCÓ=ECÓ, DCÓ=FCÓ이므로 두 대각선이 서
로 다른 것을 이등분한다. 즉, BFED는 평행사변형이다.
∴ BFED=4△BCD=4_12=48(cmÛ`)
01 ADÓ=BCÓ이므로 x+7=2y+10`
∴ x-2y=3` yy ㉠
ABÓ=DCÓ이므로 4-y=3x+2
∴ 3x+y=2` yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=1,`y=-1
∴ x+y=1+(-1)=0
1 ⑴ △ABC=
ABCD=
_44=22(cmÛ`)
⑵ △OCD=
ABCD=
_44=11(cmÛ`)
;2!;
;4!;
;2!;
;4!;
2 BFED에서 BCÓ=ECÓ, DCÓ=FCÓ이므로 두 대각선이 서
로 다른 것을 이등분한다. 즉, BFED는 평행사변형이다.
△CFE=△BCD=
ABCD=
_40=20(cmÛ`)
;2!;
;2!;
02 ABÓFEÓ이므로 ∠CFB=∠ABF(엇각),
∠AED=∠BAE(엇각)
즉, △CFB, △DAE는 이등변삼각형이므로
CFÓ=CBÓ=9`cm, DEÓ=DAÓ=9`cm
이때 `DCÓ=ABÓ=5`cm이므로
DFÓ=CFÓ-DCÓ=9-5=4(cm)
∴ EFÓ=DEÓ+DFÓ=9+4=13(cm)
정답과 풀이 17
03 ∠D+∠DCB=180ù이므로 ∠y+(20ù+∠x)=180ù
∴ ∠x+∠y=160ù
;2!;
ABCD=18+21=39(cmÛ`)
∴ ABCD=2_39=78(cmÛ`)
06 평행사변형이 되려면 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가
② ∠ACD, 42ù
04 ∠BAD+∠D=180ù에서 ∠BAD=180ù-72ù=108ù
;2!;∠BAD=
△ABP에서 ∠ABP=180ù-(90ù+54ù)=36ù이고
이므로 ∠BAP=
_108ù=54ù
;2!;
∠ABC=∠D=72ù이므로
∠x=∠ABC-∠ABP=72ù-36ù=36ù
05 ADÓ=BCÓ이므로 4x=2x+10, 2x=10 ∴ x=5
따라서 AOÓ=3_5-2=13이므로
ACÓ=2AOÓ=2_13=26
같아야 하므로
ABÓ=DCÓ=7`cm에서 x=7
ABÓDCÓ에서 ∠DCA=∠BAC=40ù(엇각)
∴ y=40
08 ① 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다.
② OAÓ+OCÓ, OBÓ+ODÓ이므로 평행사변형이 아니다.
③ ∠DAC=∠ACB(엇각)에서 ADÓBCÓ, 즉 한 쌍의 대
변이 평행하고, 그 길이가 같으므로 평행사변형이다.
④ 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다.
⑤ ∠D=360ù-(115ù+115ù+65ù)=65ù에서 두 쌍의 대
각의 크기가 각각 같으므로 평행사변형이다.
실력 올리기 문제
본문 64~65쪽
1 8`cm
5 ②
7 ① ∠B, 70ù, 180ù, 70ù, 68ù
2 3`cm
6 ⑴ △OBF ⑵ 60`cmÛ`
3 6`cm
4 24`cm
③
_68ù, 34ù, 42ù+34ù, 76ù, 180ù-(70ù+76ù), 34ù
;2!;
8 ① BEÓ=DFÓ ② BEÓDFÓ ③ 평행사변형 ④ 50ù
1 오른쪽 그림과 같이 ADÓ
의 연장선과 BEÓ의 연장선
(cid:34)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:40)
의 교점을 G라 하면
(cid:39)
△EBCª△EGD(ASA`합동)이므로
(cid:35)
DGÓ=CBÓ=ADÓ=8`cm
(cid:38)
(cid:36)
즉, 직각삼각형 AFG에서 점 D가 AGÓ의 중점이므로 점 D
는 △AFG의 외심이다.
∴ DFÓ=DGÓ=ADÓ=8`cm
09 AFCH에서 AHÓFCÓ, AHÓ=FCÓ이므로 AFCH는
2 ∠DAF=∠AFB(엇각)이므로 △ABF는 이등변삼각형
평행사변형이다. ∴ APÓQCÓ
AECG에서 AEÓ
ÓGCÓ, AEÓ=GCÓ이므로 AECG는
∴ BFÓ=ABÓ=6`cm
평행사변형이다. ∴ AQÓPCÓ
∠ADE=∠DEC(엇각)이므로 △DEC는 이등변삼각형
이다.
이다.
따라서 APCQ는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행
사변형이다.
10 EPFQ=△EPF+△EFQ=
;4!;
ABFE+
EFCD
;4!;
=
_
;4!;
;2!;
ABCD+
_
;2!;
;4!;
ABCD
=
;4!;
ABCD=
_48=12(cmÛ`)
;4!;
11 △PAB+△PCD=
;2!;
ABCD이므로
18 ⅠⅠ . 사각형의 성질
∴ ECÓ=DCÓ=6`cm
∴ EFÓ=BFÓ+ECÓ-BCÓ=6+6-9=3(cm)
3 △ABE와 △DFE에서
AEÓ=DEÓ, ∠AEB=∠DEF(맞꼭지각)
ABÓCFÓ이므로 ∠BAE=∠FDE(엇각)
∴ △ABEª△DFE(ASA 합동)
따라서 FDÓ=ABÓ=DCÓ=3`cm이므로
CFÓ=CDÓ+FDÓ=3+3=6(cm)
2 여러 가지 사각형
직사각형
1
CHECK
1 ⑴ 60ù ⑵ 60ù
2 ⑴ 12`cm ⑵ 12`cm
개
념
탑
본문 68쪽
1 ⑴ ∠DAC=∠ACB=30ù이고 ∠BAD=90ù이므로
∠BAC=90ù-30ù=60ù
⑵ ∠ABO=∠BAO=60ù
2 ⑴ ACÓ=2AOÓ=2_6=12(cm)
⑵ BDÓ=ACÓ=12`cm
A
직사각형의 성질
본문 69쪽
15`cm
1 32
2 ㄱ, ㄴ, ㄹ
따라서 △ABO는 정삼각형이고, ABÓ=CDÓ=5`cm이므로
△ABO의 둘레의 길이는 3_5=15(cm)
1 ABCD는 직사각형이므로 BOÓ=COÓ
2x+6=5x-9, 3x=15 ∴ x=5
따라서 COÓ=5_5-9=16이므로
ACÓ=2COÓ=2_16=32
2 ㄹ. △AOD와 △BOC에서 AOÓ=BOÓ, DOÓ=COÓ,
ADÓ=BCÓ이므로 △AODª△BOC(SSS 합동)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.
4 ∠AEB=∠DAE(엇각)이므로 △ABE는 ABÓ=BEÓ인
이등변삼각형이다.
그런데 ∠B=60ù이므로 △ABE는 정삼각형이다.
∴ AEÓ=BEÓ=ABÓ=8`cm
또, AECF는 평행사변형이므로 FCÓ=AEÓ=8`cm,
AFÓ=ECÓ=BCÓ-BEÓ=12-8=4(cm)
따라서 AECF의 둘레의 길이는 2_(8+4)=24(cm)
5 AFDE에서 AFÓEDÓ, AEÓFDÓ이므로 AFDE는
평행사변형이다.
∴ AFÓ=EDÓ
이때 △ABC가 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C이고
ACÓFDÓ이므로 ∠FDB=∠C(동위각)
즉, △FBD는 ∠B=∠FDB인 이등변삼각형이므로
FBÓ=FDÓ
∴ EDÓ+FDÓ=AFÓ+FBÓ=ABÓ=9`cm
6 ⑴ △OBF와 △ODE에서
∠OBF=∠ODE(엇각), OBÓ=ODÓ,
∠BOF=∠DOE(맞꼭지각)
이므로 △OBFª△ODE(ASA 합동)
⑵ △ODE+△OFC =△OBF+△OFC=△OBC
7 ① ABCD는 평행사변형이므로 ∠D=∠B=70ù
△ACD에서 ∠DAC=180ù-(42ù+70ù)=68ù
② ABÓDCÓ이므로 ∠BAC=∠ACD=42 (엇각)
③ ∠EAC=
;2!;∠DAC=
;2!;
_68ù=34ù
∠BAE=∠BAC+∠EAC=42ù+34ù=76ù
따라서 △ABE에서 ∠x=180ù-(70ù+76ù)=34ù
8 ① △ABE와 △CDF에서 ∠BEA=∠DFC=90ù
ABÓ=CDÓ, ∠EAB=∠FCD(엇각)이므로
△ABEª△CDF(RHA 합동)
∴ BEÓ=DFÓ
② 이때 ∠BEF=∠DFE(엇각)이므로 BEÓDFÓ
③ 즉, EBFD는 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같
B
평행사변형이 직사각형이 되는 조건
본문 69쪽
으므로 평행사변형이다.
④ 따라서 ∠EBF=∠EDF=40ù이므로 △EBF에서
∠x=180ù-(90ù+40ù)=50ù
ㄴ, ㄷ
3 ②, ④
정답과 풀이 19
=15(cmÛ`)
∠ABD=∠BDC=60ù(엇각), AOÓ=BOÓ이므로
∴ ABCD=4△OBC=4_15=60(cmÛ`)
∠BAO=∠ABO=60ù
ABCD가 직사각형이 되려면 한 내각이 직각, 즉
AOÓ=COÓ이므로 2x=x+3 ∴ x=3
∠BAD=90ù이거나 BDÓ=2BOÓ=2_6=12(cm)이므로
∠AOB=90ù이므로 ∠ABO=90ù-55ù=35ù
두 대각선의 길이, 즉 ACÓ=BDÓ=12`cm이어야 한다.
∠ABC=2∠ABO=2_35ù=70ù ∴ y=70
따라서 직사각형이 될 조건은 ㄴ, ㄷ이다.
∴ x+y=3+70=73
3 ② ABCD가 평행사변형이므로 ∠A=∠C, ∠B=∠D
이고, ∠A+∠B=180ù
1 ABCD는 마름모이므로 `ABÓ=ADÓ
즉, △ABD는 이등변삼각형이므로
∠A=∠B이면 ∠A=∠B=90ù이므로
∠ADB=∠ABD=40ù
∠A=∠B=∠C=∠D=90ù
△ABD에서 ∠A=180ù-(40ù+40ù)=100ù
즉, 네 내각의 크기가 모두 같으므로 ABCD는 직사
∴ ∠C=∠A=100ù
각형이 된다.
이 된다.
④ ABCD가 평행사변형이므로 AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ
AOÓ=BOÓ이면 AOÓ=BOÓ=COÓ=DOÓ이므로 ACÓ=BDÓ
즉, 두 대각선의 길이가 같으므로 ABCD는 직사각형
B
평행사변형이 마름모가 되는 조건
본문 71쪽
①, ④
2 5
3 37ù
① 평행사변형이므로 ABÓ=DCÓ, ADÓ=BCÓ이고,
ABÓ=ADÓ이면 ABÓ=BCÓ=CDÓ=DAÓ
따라서 ABCD는 마름모가 된다.
본문 70쪽
④ 평행사변형이므로 AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ이고,
즉, 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하므로
∠AOD=90ù이면 ACÓ⊥BDÓ
ABCD는 마름모가 된다.
2 ABCD는 평행사변형이므로 ABÓ=CDÓ에서
2x+5=4x-1, 2x=6 ∴ x=3
평행사변형 ABCD가 마름모가 되기 위해서는 ABÓ=ADÓ
2x+5=3x+y, 2_3+5=3_3+y, 11=9+y
이어야 하므로
∴ y=2
∴ x+y=3+2=5
3 ADÓBCÓ이므로 ∠OCB=∠OAD=53ù
△OBC에서 ∠BOC=180ù-(37ù+53ù)=90ù
즉, 평행사변형 ABCD에서 두 대각선이 서로 직교하므로
마름모이다.
따라서 BCÓ=CDÓ이므로 ∠BDC=∠DBC=37ù
마름모
2
CHECK
1 ⑴ 5`cm ⑵ 4`cm
2 ⑴ 65ù ⑵ 25ù
1 ⑴ 마름모의 네 변의 길이는 모두 같으므로
CDÓ=ADÓ=5`cm
⑵ 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하
므로 BOÓ=DOÓ=4`cm
2 ⑴ △ABC에서 ABÓ=BCÓ이므로
∠BAC=∠ACB=65ù
⑵ △ABO에서 ∠AOB=90ù이므로
∠ABD=180ù-(90ù+65ù)=25ù
A
마름모의 성질
본문 71쪽
∴ ACÓ⊥BDÓ
73
1 100ù
20 ⅠⅠ . 사각형의 성질
정사각형
3
CHECK
1 ⑴ x=12, y=45 ⑵ 직각이등변삼각형
⑴ ACÓ=BDÓ=2BOÓ=2_6=12(cm) ∴ x=12
∠ABD=
;2!;∠ABC=
;2!;
_90ù=45ù ∴ y=45
본문 72쪽
2 ① 직사각형이므로 ABÓ=DCÓ, ADÓ=BCÓ이고 BCÓ=CDÓ이
면 ABÓ=BCÓ=CDÓ=DAÓ
또한 ∠A=∠B=∠C=∠D=90ù이므로 ABCD는
정사각형이 된다.
개
념
탑
③ 직사각형이므로 ACÓ=BDÓ, AOÓ=BOÓ=COÓ=DOÓ
Ó이고
∠DOC=90ù이면 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이
⑵ ∠BOC=90ù, OBÓ=OCÓ이므로 △OBC는 직각이등변
등분한다. 따라서 ABCD는 정사각형이 된다.
삼각형이다.
50`cmÛ`
1 25ù
A
정사각형의 성질
본문 73쪽
AOÓ=BOÓ=COÓ=DOÓ이므로
AOÓ=
BDÓ=
_10=5(cm)이고 ∠AOB=90ù
;2!;
;2!;
∴ ABCD=△ABD+△BCD=2△ABD
=2_
_10_5
=50(cmÛ`)
{;2!;
}
1 ∠AED=∠ADE=70ù이므로
∠EAD=180ù-2_70ù=40ù
∠EAB=40ù+90ù=130ù이고 AEÓ=ADÓ=ABÓ이므로
△ABE는 이등변삼각형이다.
∴ ∠ABE=
_(180ù-130ù)=25ù
;2!;
3 ㄱ. 한 내각이 직각인 마름모는 정사각형이다.
ㄴ. 한 내각이 직각인 평행사변형은 직사각형이고, 이웃하
는 두 변의 길이가 같은 평행사변형은 마름모이므로
ABCD는 정사각형이다.
ㄷ. 두 대각선이 서로 직교하고, 이웃하는 두 변의 길이가
같은 평행사변형은 마름모이다.
ㄹ. 직사각형의 성질
따라서 정사각형인 것은 ㄱ, ㄴ이다.
사다리꼴
4
CHECK
1 ⑴ 40ù ⑵ 40ù
2 ⑴ 12`cm ⑵ 14`cm
본문 74쪽
1 ⑴ ∠B=∠C=70ù이므로 ∠DBC=70ù-30ù=40ù
⑵ ADÓBCÓ이므로 ∠ADB=∠DBC=40ù(엇각)
2 ⑴ ABÓ=DCÓ이므로 DCÓ=ABÓ=12`cm
⑵ ACÓ=BDÓ이므로
BDÓ=ACÓ=AOÓ+COÓ=5+9=14(cm)
A
등변사다리꼴의 성질
본문 75쪽
B
정사각형이 되는 조건
본문 73쪽
①, ⑤
2 ①, ③
3 ㄱ, ㄴ
① ABCD는 평행사변형이므로 AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ
이때 ACÓ=BDÓ, ACÓ⊥BDÓ이면 AOÓ=COÓ=BOÓ=DOÓ,
ACÓ⊥BDÓ 정사각형
⑤ ABCD는 평행사변형이므로 ABÓ=CDÓ, ADÓ=BCÓ,
④
1 7
∠A=∠C, ∠B=∠D
이때 ABÓ=ADÓ, ∠A=90ù이면
ABÓ
Ó=BCÓ
Ó=CDÓ=DAÓ,
③, ⑤ △ABO와 △DCO에서 ∠ABO=∠DCO,
ABÓ=DCÓ, ∠BAO=∠CDO이므로
△ABO≡△DCO(ASA 합동)
∠A=∠B=∠C=∠D=90ù 정사각형
∴ OBÓ=OCÓ
정답과 풀이 21
Ó
1 ABCD는 등변사다리꼴이므로 ACÓ=BDÓ
즉, 4x-3=2x+5, 2x=8 ∴ x=4
∴ ADÓ=2x-1=2_4-1=7
A
여러 가지 사각형 사이의 관계 ⑴
본문 77쪽
⑴ ㄹ ⑵ ㄱ ⑶ ㄴ ⑷ ㄷ ⑸ ㄷ ⑹ ㄴ
1 ㄴ, ㄷ
B
등변사다리꼴의 변의 길이
본문 75쪽
1 ㄱ. ACÓ=BDÓ이면 평행사변형 ABCD는 직사각형이다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
③, ④
2 11`cm
ABÓDEÓ이므로 ABED는 평행
(cid:34)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
사변형이다.
∴ `DEÓ=ABÓ=7`cm(①)
ABÓDEÓ이므로
∠DEC=∠B=60ù(②)
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:38)
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
정사각형
2 마름모
B
여러 가지 사각형 사이의 관계 ⑵
본문 77쪽
ABCD는 등변사다리꼴이므로 ∠C=∠B=60ù
ABÓDCÓ(ㄱ), `ABÓ=DCÓ(ㄴ)이므로 ABCD는 평행사
△DEC에서 ∠EDC=180ù-(60ù+60ù)=60ù
변형이다.
즉, △DEC는 정삼각형이므로 ECÓ=DEÓ=7`cm(③, ④, ⑤)
평행사변형 ABCD에서 ABÓ=BCÓ(ㄷ), 즉 이웃하는 두 변
2 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BCÓ에
내린 수선의 발을 `F라 하면
△ABE와 △DCF에서
∠AEB=∠DFC=90ù,
ABÓ=DCÓ, ∠B=∠C이므로
△ABE≡△DCF(RHA 합동)
∴ `CFÓ=BEÓ=2`cm
AEFD는 직사각형이므로 EFÓ=ADÓ=7`cm
∴ BCÓ=2+7+2=11(cm)
의 길이가 같으므로 ABCD는 마름모이다.
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
(cid:37)
마름모 ABCD에서 ACÓ=BDÓ(ㄹ), 즉 두 대각선의 길이가
같으므로 ABCD는 정사각형이다.
(cid:35)
(cid:38)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
(cid:39)
2 ABÓDCÓ(ㄱ), ADÓBCÓ(ㄴ)이므로 ABCD는 평행사변
평행사변형 ABCD에서 ACÓ⊥BDÓ(ㄷ), 즉 두 대각선이 서
로 직교하므로 ABCD는 마름모이다.
C
여러 가지 사각형 사이의 관계 ⑶
본문 78쪽
여러 가지 사각형 사이의 관계 본문 76쪽
① 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형은 직사각형이다.
1 ⑴ 직사각형 ⑵ 마름모 ⑶ 직사각형 ⑷ 마름모
③ 두 대각선의 길이가 서로 같은 마름모는 정사각형이다.
⑤ 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하는 평행사변
형은 마름모이다.
2 두 대각선의 길이가 같은 것은 ㄴ. 직사각형, ㄹ. 정사각
3 ⑤ 등변사다리꼴은 한 쌍의 대변이 평행하므로 평행사변형
형, ㅁ. 등변사다리꼴이다.
이 아니다.
5
CHECK
⑸ 정사각형
2 ㄴ, ㄹ, ㅁ
22 ⅠⅠ . 사각형의 성질
형이다.
②, ④
3 ⑤
D
여러 가지 사각형의 대각선의 성질
본문 78쪽
평행선과 삼각형의 넓이
본문 81쪽
7
CHECK
1 15`cmÛ`
2 ⑴ 70`cmÛ` ⑵ 40`cmÛ`
3 ⑴ △ACE ⑵ 10`cmÛ`
개
념
탑
두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하는 사각형은 ㄴ, ㄷ,
1 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면
두 대각선의 길이가 같은 사각형은 ㄱ, ㄷ, ㅁ이므로 b=3
ADÓBCÓ이므로
(cid:34)
(cid:49)
(cid:37)
7
4 ③, ⑤
ㄹ, ㅁ이므로 a=4
∴ a+b=7
⑤
1 ②, ③
다.
40`cmÛ`
2 49`cmÛ`
6
CHECK
사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형 본문 79쪽
1 SAS, FGÓ, SAS, GHÓ, 평행사변형
2 SAS, HGÓ, 마름모
A
사각형의 각 변의 중점을 연결하여
만든 사각형
본문 80쪽
B
사각형의 각 변의 중점을 연결하여
만든 사각형의 활용
본문 80쪽
EFGH는 마름모이므로
EFGH=
_10_8=40(cmÛ`)
;2!;
2 PQRS는 정사각형이므로
PQRS=7_7=49(cmÛ`)
△PBC=△DBC=
ABCD
;2!;
=
;2!;
_30=15(cmÛ`)
(cid:35)
(cid:36)
2 ⑴ ADÓBCÓ
Ó이므로 △ABC=△DBC=70`cmÛ`
⑵ △OBC=△ABC-△ABO=70-30=40(`cmÛ`)
3 ⑴ ACÓDEÓ이므로 △ACD=△ACE
⑵ △ABE =△ABC+△ACE=△ABC+△ACD
=ABCD=10(cmÛ`)
A
평행선 사이의 넓이가 같은 삼각형
본문 82쪽
22`cmÛ`
1 11`cmÛ`
2 24`cmÛ`
=10+12=22(cmÛ`)
1 ACÓDEÓ이므로 △ACD=△ACE
∴ △ACD =△ACE=△ABE-△ABC
=26-15=11(cmÛ`)
2 오른쪽 그림과 같이 AEÓ를 그으면
ACÓDEÓ이므로 △ACD=△ACE
(cid:37)
(cid:34)
∴ ABCD =△ABC+△ACD
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
=△ABC+△ACE
(cid:39)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35) (cid:36)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
=△ABE
=24(cmÛ`)
=
;2!;
_BEÓ_AFÓ=
_(12-4)_6
;2!;
정답과 풀이 23
⑤ 등변사다리꼴－마름모
1 마름모의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 직사각
형이므로 EFGH는 직사각형이다.
ACÓDEÓ이므로 △ACD=△ACE
따라서 직사각형에 대한 설명으로 옳지 않은 것은 ②, ③이
∴ ABCD =△ABC+△ACD=△ABC+△ACE
B
평행사변형에서 평행선 사이의
넓이가 같은 삼각형
△DBE, △DBF, △DAF
3 12`cmÛ`
ADÓBCÓ이므로 △ABE=△DBE,
BDÓEFÓ이므로 △DBE=△DBF,
ABÓDCÓ이므로 △DBF=△DAF
따라서 △ABE와 넓이가 같은 삼각형은
△DBE, △DBF, △DAF이다.
3 △DBE =△DBF(∵ BDÓEFÓ)
=△AFD(∵ ABÓDCÓ)
=12`cmÛ`
8
CHECK
1 40`cmÛ`
2 ⑴ 40`cmÛ` ⑵ 24`cmÛ`
3 ⑴ 12`cmÛ` ⑵ 24`cmÛ` ⑶ 36`cmÛ`
1 △ABP：△APC=BPÓ`:`PCÓ=2：1이고,
△ABC=60`cmÛ`이므로
△ABP=
;3@;△ABC=
;3@;
_60=40(cmÛ`)
2 ⑴ △ABC=
_10_8=40(cmÛ`)
;2!;
⑵ △ABP=
;5#;△ABC=
3 ⑴ BOÓ`:`DOÓ=2`:`1이므로
;5#;
△ABO`:`△AOD=2`:`1
_40=24(cmÛ`)
∴ △AOD=
;2!;△ABO=
;2!;
_24=12(cmÛ`)
⑵ ADÓBCÓ이므로
△CDO =△ACD-△AOD
=△ABD-△AOD
=△ABO=24(cmÛ`)
본문 82쪽
A
높이가 같은 삼각형의 넓이의 비
본문 84쪽
⑴ 24`cmÛ` ⑵ 8`cmÛ`
1 18`cmÛ`
2 20`cmÛ`
3 60`cmÛ`
⑴ BQÓ：QCÓ=1：2이므로 △ABQ：△AQC=1：2
∴ △AQC=
;3@;△ABC=
;3@;
_36=24(cmÛ`)
⑵ APÓ：PCÓ=2：1이므로 △AQP：△PQC=2：1
∴ △PQC=
;3!;△AQC=
;3!;
_24=8(cmÛ`)
1 △ABM=
;2!;△ABC=
;2!;
_54=27(cmÛ`)
∴ △PBM=
;3@;△ABM=
;3@;
_27=18(cmÛ`)
2 △ADC=
;5@;△ABC=
;5@;
_70=28(cmÛ`)
∴ △ADE=
;7%;△ADC=
;7%;
_28=20(cmÛ`)
3 APÓ`:`PCÓ=3`:`1이므로 △AQP`:`△PQC=3`:`1
∴ △AQC=4△PQC=4_10=40(cmÛ`)
∴ △ABC=
;2#;△AQC=
;2#;
_40=60(cmÛ`)
B
사각형에서 높이가 같은 삼각형의
넓이의 비
본문 85쪽
80`cmÛ`
4 10`cmÛ`
5 ①
6 5`cmÛ`
BPÓ`:`PCÓ=2`:`3이므로
(cid:34)
(cid:37)
△ABP`:`△DPC=2`:`3에서
16`:`△DPC=2`:`3
∴ △DPC=24`cmÛ`
(cid:35)
(cid:49)
(cid:36)
BDÓ를 그으면 ADÓBCÓ이므로 △DBP=△ABP=16`cmÛ`
∴ △DBC=△DBP+△DPC=16+24=40(cmÛ`)
높이가 같은 삼각형의 넓이의 비 본문 83쪽
또, BQÓ`:`QCÓ=1`:`2이므로 △ABQ`:`△AQC=1`:`2
⑶ △ACD=△AOD+△CDO=12+24=36(cmÛ`)
∴ ABCD=2△DBC=2_40=80(cmÛ`)
24 ⅠⅠ . 사각형의 성질
4 AEÓBCÓ이므로 △DBC=△EBC
∴ △EBC=△DBC=
ABCD=
;2!;
이때 △FBC=40`cmÛ`이므로
_120=60(cmÛ`)
;2!;
△EFC=△EBC-△FBC=60-40=20(cmÛ`)
∴ △DFE=△DCE-△EFC=30-20=10(cmÛ`)
5 OAÓ`:`OCÓ=1`:`2이므로
△OCD=2△OAD=2_3=6(cmÛ`)
ADÓBCÓ이므로 △ABD=△ACD이고
△OAB =△ABD-△OAD=△ACD-△OAD
=△OCD=6`cmÛ``
또, OAÓ`:`OCÓ=1`:`2이므로
△OBC=2△OAB=2_6=12(cmÛ`)
㉠, ㉡, ㉢`에서
ABCD =△OAD+△OCD+△OAB+△OBC
=3+6+6+12=27(cmÛ`)
01 ACÓ=BDÓ이므로 COÓ=
∴ x=4
;2!;
△BCD에서 ∠BCD=90ù이므로
ACÓ=
BDÓ=
_8=4(cm)
;2!;
;2!;
개
념
탑
∠BDC=90ù-40ù=50ù
∴ y=50
∴ x+y=4+50=54
02 ㄱ, ㄴ에서 두 쌍의 대변의 길이가
각각 같으므로 ABCD는 평행사
변형이다. 그런데 ㄷ에서 한 내각
의 크기가 90ù이므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ을
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
(cid:35)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
모두 만족하는 ABCD는 직사각형이다.
03 BCÓ=CDÓ이므로
∠CBD=∠CDB=
_(180ù-110ù)=35ù
;2!;
6 △ABO=△ABC-△OBC=30-20=10(cmÛ`)
△ABO`:`△OBC=10`:`20=1`:`2이므로
∴ ∠x =∠BPH(맞꼭지각)
=180ù-(35ù+90ù)=55ù
AOÓ`:`OCÓ=1`:`2
△DOC=△ABO=10`cmÛ`
△AOD`:`△DOC=AOÓ`:`OCÓ=1`:`2이므로
△AOD=
;2!;△DOC=
;2!;
_10=5(cmÛ`)
05 △APD와 △CPD에서 ADÓ=CDÓ, ∠ADP=∠CDP,
DPÓ는 공통
∴ △APDª△CPD(SAS 합동)
따라서 ∠CDP=∠ADP=45ù, ∠PCD=∠PAD=35ù
이므로
△CDP에서 ∠x=∠CDP+∠PCD=45ù+35ù=80ù
06 두 대각선의 길이가 같고, 서로 다른 것을 수직이등분하므
로 정사각형이다.
07 오른쪽 그림과 같이 점 D에서
ABÓ에 평행한 직선을 그어 BCÓ와
(cid:34)
(cid:37)
만나는 점을 E라 하면 ABED는
(cid:35)
(cid:38)
(cid:36)
또한, △DEC에서 DEÓ=ECÓ=CDÓ이므로 △DEC는 정삼
마름모이므로
ABÓ=BEÓ=EDÓ=DAÓ
각형이다.
∴ ∠C=60ù
정답과 풀이 25
기본 다지기 문제
본문 88~90쪽
02 ②
06 ②
03 ④
01 54
07 60ù
05 80ù
10 ③
09 ㄷ, ㄴ, ㄹ, ㄱ
13 ②, ⑤ 14 116
12 ④
16 22`cmÛ` 17 14`cmÛ` 18 6`cmÛ`
04 ⑤
08 ②
11 ②
15 ③
08 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 DCÓ
와 평행한 선분을 그어 BCÓ와 만나
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
는 점을 E라 하면 △ABE는 이등
(cid:35)
(cid:38)
(cid:36)
변삼각형이다.
이때 ∠B=
_180ù=60ù이므로 △ABE는 정삼각형이다.
;3!;
∴ BEÓ=ABÓ=5`cm
또, AECD가 평행사변형이므로 ECÓ=ADÓ=3`cm
∴ BCÓ=BEÓ+ECÓ=5+3=8(cm)
10 ∠OBC=∠OCB이면 OBÓ=OCÓ이고 평행사변형의 두 대
각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 ACÓ=BDÓ이다.
따라서 ABCD는 직사각형이다.
11 ② 마름모의 네 내각의 크기가 항상 같은 것은 아니므로 정
사각형이 아니다.
12 두 대각선의 길이가 같은 사각형은 정사각형, 직사각형, 등
변사다리꼴이다.
13 직사각형 ABCD의 각 변의 중점을 연결하여 만든
EFGH는 마름모이다.
따라서 마름모 EFGH의 성질이 아닌 것은 ②, ⑤이다.
14 ABCD의 각 변의 중점을 연결하여 만든 EFGH는 평
행사변형이므로
∠HEF+∠EFG=180ù, 즉 ∠HEF+70ù=180ù이므로
∠HEF=110ù ∴ x=110
HGÓ=EFÓ=6`cm ∴ y=6
∴ x+y=110+6=116
15 ① ACÓDEÓ이므로 △ACE=△ACD
② ACÓDEÓ이므로 △AED=△DCE
④ △AOD =△ACD-△ACO
⑤ △ABE =△ABC+△ACE
=△ACE-△ACO
=△OCE
=△ABC+△ACD
=ABCD
16 ACÓDEÓ이므로
△ACD =△ACE=△ABE-△ABC
26 ⅠⅠ . 사각형의 성질
17 BMÓ=CMÓ이므로
△ABM=
;2!;△ABC=
APÓ`:`PMÓ=1`:`2이므로
;2!;
_42=21(cmÛ`)
△PBM=
;3@;△ABM=
;3@;
_21=14(cmÛ`)
18 AQÓ=DQÓ=2`:`1이므로 △APQ`:`△PDQ=2`:`1
△PDQ=
ABCD
_
;3!;△APD=
;3!;
;2!;
=
;6!;
ABCD=
_36=6(cmÛ`)
;6!;
실력 올리기 문제
본문 91~92쪽
4 6p`cmÛ`
2 90ù
1 ③
5 24`cmÛ`
6 풀이 참조
7 ① 60ù, ∠C, 60ù, 60ù, 60ù, 정삼각형
3 25`cmÛ`
② 정삼각형, 12`cm, 평행사변형, 8`cm
③ 12+8=20(cm)
8 ① △ACE=
;5@;
△ACD ② 10`cmÛ` ③ 5`cmÛ`
1 EFGH에서
∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90ù
즉 EFGH는 직사각형이다.
①, ⑤ 직사각형은 평행사변형의 성질을 만족하므로
EHÓ=FGÓ, EFÓHGÓ
② 직사각형은 네 내각이 직각이므로
∠HEF=∠FGH=90ù
④ 직사각형은 두 대각선의 길이가 같으므로 EGÓ=HFÓ
2 △ABH와 △DFH에서
ABÓ=CDÓ=DFÓ,
∠ABH=∠DFH(엇각),
∠BAH=∠FDH(엇각)
(cid:34)
(cid:35)
(cid:41)
(cid:49)
(cid:40)
(cid:39)
(cid:37)
(cid:36)
(cid:38)
∴ △ABHª△DFH(ASA 합동)
즉, AHÓ=DHÓ이고 ADÓ=2ABÓ이므로 ABÓ=AHÓ
=54-32=22(cmÛ`)
같은 방법으로 ABÓ=BGÓ=GCÓ
Ó
즉, ABGH는 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변
6 ABCD는 직사각형이므로 ACÓ=BDÓ이고 ACÓ는 반지름
따라서 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분
형이므로 마름모이다.
하므로 ∠HPG=90ù
의 길이이므로 일정하다.
따라서 BDÓ의 길이도 일정하다.
개
념
탑
3 △OBP와 △OCQ에서 ∠BOP=90ù-∠POC=∠COQ,
∠OBP=∠OCQ, BOÓ=COÓ
∴ △OBPª△OCQ(ASA 합동)
∴ OPCQ=△OPC+△OCQ=△OPC+△OBP
7 ① 오른쪽 그림과 같이 점 A에서
DCÓ에 평행한 직선을 그어 BCÓ와
만나는 점을 E라 하자.
(cid:34)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:35)
(cid:36)
(cid:38)
등변사다리꼴의 두 밑각의 크기는 같으므로
=△OBC=
ABCD
;4!;
=
;4!;
_(10_10)=25(cmÛ`)
4 오른쪽 그림과 같이 OCÓ와 ODÓ를 그으면
ABÓCDÓ이므로 △ACD=△OCD
∴ (색칠한 부분의 넓이)
=(부채꼴 OCD의 넓이)
=
_p_6Û`=6p(cmÛ`)
;6!;
5 AOÓ`:`COÓ=2`:`3이므로 △AOD=2a라 하면
△DOC=3a, △ABO=△DOC=3a
△ABO`:`△OBC=2`:`3이므로
△OBC=
;2#;△ABO=
;2#;
_3a=
a
;2(;
(cid:34)
(cid:48)
(cid:35)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
(cid:37)
∠C=∠B=60ù
AEÓDCÓ이므로 ∠AEB=∠C=60ù(동위각)
따라서 △ABE에서 ∠BAE=180ù-60ù-60ù=60ù
즉, △ABE는 정삼각형이다.
② △ABE는 정삼각형이므로 BEÓ=ABÓ=12`cm
AECD는 평행사변형이므로 ECÓ=ADÓ=8`cm
③ BCÓ=BEÓ+ECÓ=12+8=20(cm)
8 ① CEÓ`:`EDÓ=2`:`3이므로 △ACE`:`△AED=2`:`3
∴ △ACE=
;5@;△ACD
② 이때 △ACD=
ABCD이므로
;2!;
△ACE=
;5@;△ACD=
;5@;
_
;2!;
ABCD
ABCD=100`cmÛ`이므로 2a+3a+3a+
a=100
;2(;
=
;5!;
ABCD=
_50=10(cmÛ`)
;5!;
;;ª2°;;
a=100 ∴ a=8
∴ △DOC=3a=3_8=24(cmÛ`)
③ 따라서 AOÓ=OCÓ이므로
△AOE=
;2!;△ACE=
;2!;
_10=5(cmÛ`)
정답과 풀이 27
ⅠⅠⅠ 도형의 닮음과 피타고라스 정리
1 도형의 닮음
∴ ACÓ=12`cm
닮은 도형
1
CHECK
1 ⑴ 점 D ⑵ EFÓ ⑶ ∠F
2 ⑴ 점 C ⑵ HGÓ ⑶ ∠D
본문 96쪽
1 ⑴ 닮음비는 ABÓ`:`DEÓ=9`:`6=3`:`2
⑵ 닮음비가 3`:`2이므로 ACÓ`:`8=3`:`2
⑶ ∠D=∠A=90ù이므로
∠F=180ù-(90ù+55ù)=35ù
2 ⑴ 닮음비는 BCÓ：FGÓ=9：12=3：4
⑵ 닮음비가 3：4이므로 ABÓ：4=3：4
∴ ABÓ=3`cm
⑶ ∠D=∠H이고
∠H=360ù-(105ù+90ù+60ù)=105ù이므로
∠D=105ù
A
닮은 도형에서 대응점, 대응변,
대응각 구하기
본문 97쪽
①
1 ⑴ 점 F ⑵ 모서리 FH ⑶ 면 EGH
△ABC∽△DFE이므로 ACÓ에 대응하는 변은 DEÓ, ∠D
에 대응하는 각은 ∠A이다.
x=3, y=80
1 19`cm
A
닮은 평면도형에서 변의 길이,
각의 크기 구하기
본문 99쪽
B
항상 닮은 도형 찾기
본문 97쪽
ㄷ, ㄹ, ㅁ
2 ②, ③
보기 중 항상 닮은 도형인 것은 두 정십이면체, 두 정사면
체, 두 구이므로 ㄷ, ㄹ, ㅁ이다.
2 ② 두 마름모가 항상 닮은 도형인 것은 아니다.
③ 두 부채꼴은 중심각의 크기가 같은 경우에만 닮은 도형
이다.
평면도형에서의 닮음의 성질
본문 98쪽
2
CHECK
1 ⑴ 3`:`2 ⑵ 12`cm ⑶ 35ù
2 ⑴ 3`:`4 ⑵ 3`cmù ⑶ 105ù
28 ⅠⅠⅠ . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
ABCD와 EFGH의 닮음비는
BCÓ`:`FGÓ=8`:`4=2`:`1이므로 CDÓ`:`GHÓ=2`:`1
즉, 6`:`x=2`:`1 ∴ x=3
∠A=∠E=140ù이므로
∠C=360ù-(60ù+140ù+80ù)=80ù ∴ y=80
1 닮음비가 2`:`3이므로
BCÓ`:`EFÓ=2`:`3, BCÓ`:`12=2`:`3 ∴ BCÓ=8`cm
따라서 △ABC의 둘레의 길이는 5+6+8=19(cm)
B
평면도형에서 닮음의 성질의 이해
본문 99쪽
⑤
2 ㄷ, ㄹ
닮음비는 ACÓ`:`DFÓ=12`:`9=4`:`3
⑤ BCÓ`:`EFÓ=4`:`3이므로 16`:`EFÓ=4`:`3
∴ EFÓ=12`cm
입체도형에서의 닮음의 성질 본문 100쪽
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
B
입체도형에서 닮음의 성질의 이해
본문 101쪽
ㄱ, ㄴ
2 ㄴ, ㄷ
개
념
탑
ㄱ. 닮음비는 ABÓ`:`A'B'Ó
Ó=6`:`3=2`:`1
ㄴ. x`:`2=2`:`1에서 x=4
8`:`y=2`:`1에서 y=4
∴ x+y=4+4=8
따라서 옳지 않은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
2 ㄱ. 닮음비는 FGÓ`:`NOÓ=9`:`12=3`:`4
ㄴ. x`:`8=3`:`4에서 x=6
3`:`y=3`:`4에서 y=4
∴ x+y=6+4=10
2 닮음비는 ABÓ`:`EFÓ=2`:`3
ㄱ. DCÓ`:`HGÓ=2`:`3
ㄴ. ∠G=∠C=65ù이므로
∠H =360ù-(115ù+80ù+65ù)=100ù
ㄷ. BCÓ`:`FGÓ=2`:`3이므로 4`:`FGÓ=2`:`3
∴ FGÓ=6`cm
따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다.
3
CHECK
1 ⑴ 2`:`3 ⑵ 면 A'B'F'E' ⑶ x=4, y=6
2 ⑴ 3`:`4 ⑵ 면 EGH ⑶
;;£2Á;;
1 ⑴ FGÓ`:`F'G'Ó=6`:`9=2`:`3
⑶ 닮음비가 2`:`3`이므로 x`:`6=2`:`3 ∴ x=4
4`:`y=2`:`3 ∴ y=6
2 ⑴ ADÓ`:`EHÓ=9`:`12=3`:`4
6`:`y=3`:`4에서 y=8
∴ x+y=
8
;;Á2°;;+
=;;£2Á;;
A
닮은 입체도형에서 선분의 길이 구하기
본문 101쪽
x=10, y=18
1 3`:`4
⑶ 닮음비가 3`:`4이므로 x`:`10=3`:`4에서 x=
;;Á2°;;
삼각형의 닮음 조건
본문 102쪽
4
CHECK
1 ㄴ과 ㅂ, SAS 닮음
2 △ABC∽△AED(AA 닮음)
2 △ABC와 △AED에서
∠A는 공통, ∠ABC=∠AED=70ù
∴ △ABC∽△AED(AA 닮음)
닮음비는 DEÓ`:`D'E'Ó=8`:`12=2`:`3이므로
x`:`15=2`:`3 ∴ x=10
12`:`y=2`:`3 ∴ y=18
②, ⑤
1 ④
2 ㄴ
A
삼각형의 닮음 조건
본문 103쪽
1 원기둥의 닮음비는 높이의 비와 같으므로 27`:`36=3`:`4
따라서 원기둥 ㈎, ㈏의 밑면의 둘레의 길이의 비는 3`:`4
② △ABC와 △HIG에서
∠A=∠H=90ù
이다.
∠B=180ù-(90ù+30ù)=60ù=∠I
정답과 풀이 29
∴ △ABC∽△HIG(AA 닮음)
⑤ △ABC와 △PQR에서
ABÓ`:`PQÓ=BCÓ`:`QRÓ=3`:`2, ∠B=∠Q=60ù
∴ △ABC∽△PQR(SAS 닮음)
⑴ 4 ⑵ 10
1 15`cm
A
삼각형의 닮음 조건의 응용 ⑴－SAS 닮음
본문 105쪽
1 ①, ② 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같으므로
△ABC∽△DEF(AA 닮음)
③ 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기
가 같으므로
△ABC∽△DEF(SAS 닮음)
⑤ 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같으므로
△ABC∽△DEF(SSS 닮음)
2 ㄴ. △ABC와 △DEF에서 ∠A=70ù이면
∠C=180ù-(50ù+70ù)=60ù이므로
∠B=∠E=50ù, ∠C=∠F=60ù
∴ △ABC∽△DEF(AA 닮음)
따라서 추가로 필요한 조건은 ㄴ이다.
⑴ △ABC와 △AED에서
ABÓ`:`AEÓ=ACÓ`:`ADÓ=3`:`1, ∠A는 공통
∴ △ABC∽△AED(SAS 닮음)
따라서 BCÓ`:`EDÓ=3`:`1이므로 12`:`x=3`:`1
∴ x=4
⑵ △ABC와 △DBA에서
ABÓ`:`DBÓ=BCÓ`:`BAÓ=3`:`2, ∠B는 공통
∴ △ABC∽△DBA(SAS 닮음)
따라서 ACÓ`:`DAÓ=3`:`2이므로 15`:`x=3`:`2
∴ x=10
1 △ABE와 △CDE에서
AEÓ`:`CEÓ=BEÓ`:`DEÓ=3`:`5,
∠AEB=∠CED(맞꼭지각)
∴ △ABE∽△CDE(SAS 닮음)
따라서 ABÓ`:`CDÓ=3`:`5이므로 ABÓ`:`25=3`:`5
∴ ABÓ=15`cm
5
CHECK
삼각형의 닮음 조건의 응용
본문 104쪽
B
삼각형의 닮음 조건의 응용 ⑵－AA 닮음
본문 105쪽
1 ⑴ △ABD∽△ACB(SAS 닮음) ⑵ 6`cm
2 ⑴ △ABC∽△EBD(AA 닮음) ⑵ 7`cm
⑴ 10 ⑵ 9
2 4`cm
1 ⑴ △ABD와 △ACB에서
⑴ △ABC와 △ADB에서 ∠A는 공통, ∠C=∠ABD
ADÓ`:`ABÓ=ABÓ`:`ACÓ=2`:`3, ∠A는 공통
∴ △ABC∽△ADB(AA 닮음)
∴ △ABD∽△ACB(SAS 닮음)
따라서 ABÓ`:`ADÓ=ACÓ`:`ABÓ이므로
⑵ 닮음비가 2`:`3이므로
BDÓ`:`CBÓ=2`:`3, BDÓ`:`9=2`:`3
∴ BDÓ=6`cm
2 ⑴ △ABC와 △EBD에서
∠B는 공통, ∠BAC=∠BED
∴ △ABC∽△EBD(AA 닮음)
∴ DEÓ=7`cm
30 ⅠⅠⅠ . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
12`:`8=(8+x)`:`12
8(8+x)=144 ∴ x=10
⑵ △ABC와 △DAC에서 ∠C는 공통,
∠ABC=∠DAC
∴ △ABC∽△DAC(AA 닮음)
따라서 ACÓ`:`DCÓ=BCÓ`:`ACÓ이므로
3(x+3)=36 ∴ x=9
⑵ ABÓ`:`EBÓ=ACÓ`:`EDÓ이므로 20`:`14=10`:`EDÓ
6`:`3=(x+3)`:`6
2 △ABC와 △EDA에서
ABÓDEÓ이므로 ∠BAC=∠DEA(엇각)
`ADÓBCÓ이므로 ∠BCA=∠DAE(엇각)
∴ △ABC∽△EDA(AA 닮음)
따라서 ABÓ`:`EDÓ=ACÓ`:`EAÓ이므로
9`:`6=(8+ECÓ)`:`8
6(8+ECÓ)=72 ∴ ECÓ=4`cm
B
직각삼각형의 닮음의 응용
본문 107쪽
x=15, y=20, z=9
2 156`cmÛ`
개
념
탑
AHÓ Û`=HBÓ_HCÓ이므로 12Û`=z_16 ∴ z=9
ABÓ Û`=BHÓ_BCÓ이므로 xÛ`=9_(9+16) ∴ x=15
ACÓ Û`=CHÓ_CBÓ이므로 yÛ`=16_(16+9) ∴ y=20
2 AHÓ Û`=HBÓ_HCÓ이므로 12Û`=HBÓ_8
∴ HBÓ=18`cm
본문 106쪽
∴ △ABC=
_(18+8)_12=156(cmÛ`)
;2!;
6
CHECK
직각삼각형의 닮음
1 ⑴ 3 ⑵ 6 ⑶ 8 ⑷
;;ª5¢;;
1 ⑴ ABÓ Û`=BHÓ_BCÓ이므로 6Û`=x_12 ∴ x=3
⑵ ACÓ Û`=CHÓ_CBÓ이므로 xÛ`=4_(4+5)=36
∴ x=6 (∵ x>0)
⑶ AHÓ Û`=HBÓ_HCÓ이므로 4Û`=x_2 ∴ x=8
⑷ ABÓ_ACÓ=BCÓ_AHÓ이므로 6_8=10_x
∴ x=
;;ª5¢;;
A
직각삼각형의 닮음
본문 107쪽
4
1 6`cm
△ABD와 △ACE에서
∠A는 공통, ∠ADB=∠AEC=90ù
∴ △ABD∽△ACE(AA 닮음)
따라서 ABÓ`:`ACÓ=ADÓ`:`AEÓ이므로
15`:`12=(12-7)`:`AEÓ
∴ AEÓ=4
1 △ABC와 △EBD에서
∠B는 공통, ∠A=∠DEB=90ù
∴ △ABC∽△EBD(AA 닮음)
따라서 ABÓ`:`EBÓ=BCÓ`:`BDÓ이므로
(4+8)`:`BEÓ=16`:`8
∴ BEÓ=6`cm
기본 다지기 문제
본문 108~109쪽
02 ②, ⑤
01 ③
03 EFÓ=8`cm, ∠H=125ù
04 486p`cmÜ`
07 ①
11 ④
08 ③
12 3`cm
05 ㄱ, ㄷ 06 ③
10 ④
09 2`cm
01 ③ 넓이가 같다고 해서 서로 닮은 도형인 것은 아니다.
(cid:20)
(cid:19)
(cid:21)
(cid:23)
03 닮음비가 BCÓ`:`FGÓ=15`:`10=3`:`2이므로
ABÓ`:`EFÓ=3`:`2, 12`:`EFÓ=3`:`2 ∴ EFÓ=8`cm
∠H=∠D=360ù-(85ù+80ù+70ù)=125ù
04 두 원뿔의 높이의 비가 닮음비이므로 닮음비는
12`:`18=2`:`3
큰 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 x`cm라 하면
6`:`x=2`:`3 ∴ x=9
따라서 큰 원뿔의 부피는
;3!;
05 ㄱ. △ABC와 △DEF에서
_p_9Û`_18=486p(cmÜ`)
ABÓ`:`DEÓ=BCÓ`:`EFÓ=ACÓ`:`DFÓ=1`:`2
∴ △ABC∽△DEF(SSS 닮음)
정답과 풀이 31
ㄴ. △GHI와 △JKL에서 ∠H=∠K=70ù이지만
HGÓ`:`KJÓ+HIÓ`:`KLÓ이므로
△GHI와 △JKL는 서로 닮은 도형이 아니다.
ㄷ. △MNO와 △PQR에서 ∠M=∠P,
∠N=∠Q=180ù-(50ù+70ù)=60ù
∴ △MNO∽△PQR(AA 닮음)
따라서 서로 닮은 도형은 ㄱ, ㄷ이다.
06 AEÓ`:`CEÓ=BEÓ`:`DEÓ=1`:`2
∠AEB=∠CED(맞꼭지각)
∴ △ABE∽△CDE(SAS 닮음)
따라서 ABÓ`:`CDÓ=1`:`2이므로 9`:`CDÓ=1`:`2
∴ CDÓ=18`cm
07 △ABC와 △DBA에서
ABÓ`:`DBÓ=BCÓ`:`BAÓ=3`:`2, ∠B는 공통
∴ △ABC∽△DBA(SAS 닮음)
따라서 ACÓ`:`DAÓ=3`:`2이므로 8`:`DAÓ=3`:`2
∴ ADÓ=
`cm
;;Á3¤;;
08 △ABC와 △EDC에서 ∠C는 공통, ∠BAC=∠DEC
∴ △ABC∽△EDC(AA 닮음)
따라서 ACÓ`:`ECÓ=BCÓ`:`DCÓ이므로 6`:`3=BCÓ`:`4
∴ BCÓ=8`cm
∴ BEÓ=8-3=5(cm)
09 △ABC와 △EDA에서
∠BAC=∠DEA(엇각), ∠ACB=∠EAD(엇각)
∴ △ABC∽△EDA(AA 닮음)
따라서 ABÓ`:`EDÓ=ACÓ`:`EAÓ이므로
20`:`16=(8+CEÓ)`:`8, 16(8+CEÓ)=160
8+CEÓ=10 ∴ CEÓ=2`cm
10 ∠A는 공통, ∠ACB=∠AFE이므로
△ACB∽△AFE(AA 닮음)
∠AFE=∠DCE, ∠AEF=∠DEC이므로
△AFE∽△DCE(AA 닮음)
∠D는 공통, ∠DCE=∠DFB이므로
△DCE∽△DFB(AA 닮음)
∴ △ACB∽△AFE∽△DCE∽△DFB
11 ④ ACÓ Û`=CHÓ_CBÓ
12 ACÓ Û`=CHÓ_CBÓ이므로 5Û`=4_CBÓ
32 ⅠⅠⅠ . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
∴ CBÓ=
`cm
;;ª4°;;
∴ BHÓ=
;;ª4°;;-;4(;
(cm)
AHÓ Û`=HBÓ_HCÓ이므로 AHÓ Û`=
_4=9
;4(;
이때 AHÓ>0이므로 AHÓ=3`cm
실력 올리기 문제
본문 110~111쪽
`cm
4 ②
1 ②
2 6`:`7`:`5 3 ;;£5ª;;
5 9`cm
6 ①
7 ① ∠CDB', 90ù, ∠CB'D, AA
② 4`:`8=3`:`DB'Ó, 6`cm
8 ① 2`cm ② 1`cm ③ 3`cm
(cid:34)(cid:25)
(cid:28)(cid:21)(cid:197)(cid:28)(cid:66)
(cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)(cid:66)
(cid:66)
(cid:34)
(cid:68)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:66)
(cid:37)
(cid:67)
(cid:38)
(cid:66)
(cid:35)
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:66)
(cid:39)
(cid:36)
1 A4 용지의 가로의 길이를 a라 하면
A4 용지와 A8 용지의 닮음비는
a`:`
a=4`:`1
;4!;
2 ∠BAE=∠CBF=∠ACD=∠a,
∠ABE=∠b, ∠CAD=∠c라
하면
∠ABC=∠a+∠b,
∠DEF=∠a+∠b이므로
∠ABC=∠DEF
마찬가지 방법으로
∠BAC=∠EDF=∠a+∠c
∴ △ABC∽△DEF(AA 닮음)
따라서 DEÓ`:`EFÓ`:`FDÓ=ABÓ`:`BCÓ`:`CAÓ=6`:`7`:`5
3 △AEB'과 △CB'D에서
∠EAB'=∠B'CD=60ù
∠AEB'=180ù-(60ù+∠AB'E)=∠CB'D
∴ △AEB'∽△CB'D(AA 닮음)
따라서 AEÓ`:`CB'Ó=AB'Ó`:`CDÓ이므로
AEÓ`:`(12-4)=4`:`(12-7), 5AEÓ=32
∴ AEÓ=
`cm
;;£5ª;;
4 △ABD와 △GED에서
∠ADB는 공통, ∠BAD=∠EGD=90ù
∴ △ABD∽△GED(AA 닮음)
GDÓ=
BDÓ=5`cm이고 ABÓ`:`GEÓ=ADÓ`:`GDÓ이므로
;2!;
6`:`GEÓ=8`:`5 ∴ EGÓ=
`cm
;;Á4°;;
5 △OBD∽△CAD(AA 닮음)이므로
ODÓ`:`CDÓ=BDÓ`:`ADÓ
3`:`6=6`:`ADÓ ∴ ADÓ=12`cm
∴ AOÓ=ADÓ-ODÓ=12-3=9(cm)
6 △ABE와 △FCE에서 ABÓDFÓ이므로
∠BAE=∠CFE(엇각), ∠AEB=∠FEC(맞꼭지각)
∴ △ABE∽△FCE(AA 닮음)
따라서 BEÓ`:`CEÓ=ABÓ`:`FCÓ이므로 3`:`2=6`:`FCÓ
∴ CFÓ=4`cm
2 평행선과 선분의 길이의 비
개
념
탑
삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 본문 114쪽
1
CHECK
1 ⑴ 6 ⑵ 3
2 ⑴ 5 ⑵ 15
1 ⑴ ABÓ：ADÓ=BCÓ：DEÓ이므로
9：6=9：x ∴ x=6
⑵ ABÓ：ADÓ=BCÓ：DEÓ이므로
9：x=12：4 ∴ x=3
2 ⑴ ADÓ：DBÓ=AEÓ：ECÓ이므로
10：x=6：3 ∴ x=5
⑵ ADÓ：DBÓ=AEÓ：ECÓ이므로
5：x=4：12 ∴ x=15
7 ① △AEB'과 △DB'C에서
∠B'AE=∠CDB'=90ù
이므로 ∠B'EA=∠CB'D
∴ △AEB'∽△DB'C(AA 닮음)
② AB'Ó：DCÓ=AEÓ：DB'Ó이므로
4`:`8=3`:`DB'Ó
∴ B'DÓ=6`cm
∠B'EA+∠AB'E=90ù이고 ∠CB'D+∠AB'E=90ù
⑴ x=6, y=6 ⑵ x=15, y=9
A
삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비
본문 115쪽
1 8
∴ x=6
∴ y=6
⑴ ADÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ECÓ이므로 4`:`6=x`:`9
또, `ABÓ
Ó`:`ADÓ=BCÓ`:`DEÓ이므로 10`:`4=15`:`y
⑵ ACÓ`:`AEÓ=BCÓ`:`DEÓ이므로 (16-4)`:`4=x`:`5
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
∴ x=15
8 ① 직각삼각형의 빗변의 중점 M
은 △ABC의 외심이므로
AMÓ=BMÓ=CMÓ=4`cm
(cid:35)
∴ MDÓ =BDÓ-BMÓ
(cid:38)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:46)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
(cid:37)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
=6-4=2(cm)
② △AMD는 직각삼각형이므로
`DMÓ Û`=MEÓ_MAÓ에서 2Û`=MEÓ_4
∴ MEÓ=1`cm
또, `ACÓ`:`AEÓ
Ó=ABÓ`:`ADÓ이므로
12`:`4=y`:`3 ∴ y=9
1 ABÓ`:`BDÓ=ACÓ`:`CEÓ이므로
8`:`x=10`:`5 ∴ x=4
AFÓ`:`ABÓ`=AGÓ`:`ACÓ이므로
y`:`8=5`:`10` ∴ y=4
③ ∴ AEÓ=AMÓ-MEÓ=4-1=3(cm)
∴ x+y=4+4=8
정답과 풀이 33
B
삼각형에서 평행선과 선분의 길이의
비의 응용
본문 115쪽
삼각형의 각의 이등분선
본문 117쪽
;;ª3¼;;
2 14
ADÓ
Ó`:`ABÓ=DFÓ
Ó`:`BGÓ=FEÓ`:`GCÓ이므로
4`:`6=FEÓ`:`10 ∴ FEÓ
Ó=
;;ª3¼;;
2 DGÓ`:`BFÓ=GEÓ`:`FCÓ이므로
6`:`x=8`:`12 ∴ x=9
ADÓ`:`ABÓ=DGÓ`:`BFÓ이므로
10`:`(10+y)=6`:`9 ∴ y=5
∴ x+y=9+5=14
C
선분의 길이의 비를 이용하여 평행선 찾기
본문 116쪽
③
3 ⑴ 1 ⑵ 5
4 ②, ④
①` 10`:`6+6`:`4이므로 BCÓ와 DEÓ는 평행하지 않다.
②` 6`:`8+4`:`12이므로 BCÓ와 DEÓ는 평행하지 않다.
③` 14`:`4=(20+8)`:`8이므로 BCÓDEÓ
④` 4`:`12+(16-12)`:`16이므로 BCÓ와 DEÓ는 평행하지
않다.
⑤` (3+1)`:`1+6`:`2이므로 BCÓ와 DEÓ는 평행하지 않다.
3 ⑴ ADÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ECÓ이어야 하므로
6`:`2=3`:`x ∴ x=1
9`:`6=3`:`(x-3)
9(x-3)=18 ∴ x=5
4 ① 6`:`8+5`:`4이므로 DEÓ와 ACÓ는 평행하지 않다.
② 8`:`6=6`:`4.5이므로 DFÓBCÓ
③ 4.5`:`6+4`:`5이므로 EFÓ와 ABÓ는 평행하지 않다.
2
CHECK
1 ⑴ 16 ⑵ 14 ⑶ 3 ⑷ 15
1 ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ이므로
⑴ x：12=8：6 ∴ x=16
⑵ 9：12=(x-8)：8, 12(x-8)=72 ∴ x=14
⑶ 6：x=8：4 ∴ x=3
⑷ 9：6=x：(x-5), 9(x-5)=6x, 9x-45=6x
3x=45 ∴ x=15
A
삼각형의 내각의 이등분선
본문 118쪽
④
1 ;;Á5¤;;`cm
CDÓ=x`cm라 하면 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로
12`:`9=(14-x)`:`x, 9(14-x)=12x
126-9x=12x, 21x=126 ∴ x=6
∴ CDÓ=6`cm
1 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로
8：10=BDÓ：4 ∴ BDÓ=
`cm
;;Á5¤;;
B
삼각형의 외각의 이등분선
본문 118쪽
6`cm
2 26`cm
5`:`3=(4+x)`:`x, 3(4+x)=5x, 12+3x=5x
2x=12 ∴ x=6
∴ CDÓ=6`cm
2 BCÓ=x`cm라 하면 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로
10`:`6=(x+15)`:`15, 6(x+15)=150
④ DFÓBCÓ이므로 ∠ADF=∠ABC(동위각)
x+15=25 ∴ x=10
⑤ DEÓ와 ACÓ가 평행하지 않으므로 ∠BED+∠BCA
따라서 △ABC의 둘레의 길이는 10+6+10=26(cm)
34 ⅠⅠⅠ . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
⑵ ABÓ`:`ADÓ=ACÓ`:`AEÓ이어야 하므로
CDÓ=x`cm라 하면 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로
C
삼각형의 각의 이등분선과 넓이
본문 119쪽
평행선 사이의 선분의 길이의 비 본문 120쪽
3
CHECK
1 ⑴ 3`:`4 ⑵ 4`:`5
2 ⑴ 4 ⑵ 3 ⑶ 15 ⑷ 3
1 ⑴ a`:`b=9`:`12=3`:`4
⑵ a`:`b=8`:`10=4`:`5
2 ⑴ 3`:`6=2`:`x ∴ x=4`
⑵ x`:`5=9`:`15 ∴ x=3
⑶ 12`:`4=x`:`5 ∴ x=15
⑷ 6`:`x=4`:`2 ∴ x=3
개
념
탑
32`cmÛ`
3 84`cmÛ`
ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로
BDÓ`:`CDÓ=12`:`16=3`:`4
높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와
같으므로 △ABD`:`△ADC=3`:`4
∴ △ADC=
;7$;△ABC=
;7$;
_56=32(cmÛ`)
3 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로
BDÓ`:`CDÓ=18`:`12=3`:`2
∴ BCÓ`:`CDÓ=1`:`2
같으므로
△ABC`:`△ACD=1`:`2에서 42`:`△ACD=1`:`2
∴ △ACD=42_2=84(cmÛ`)
높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와
A
평행선 사이의 선분의 길이의 비
본문 121쪽
⑴ x=
y
;;;Á2Á;;,
=;;ª3ª;;
⑵ x=3, y=6
⑵
1 ⑴
;;¤4°;;
3 x=8, y=6
;;£3¥;;
2 x
10
y
=
,
=;;Á5ª;;
D
삼각형의 내각과 외각의 이등분선
본문 119쪽
`cm
;;»7¤;;
4 ②
ABÓ`:`ACÓ=BEÓ`:`CEÓ이므로
8`:`6=(4+CEÓ)`:`CEÓ, 24+6CEÓ=8CEÓ
∴ CEÓ=12`cm
또, ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로
8`:`6=(4-CDÓ)`:`CDÓ, 24-6CDÓ=8CDÓ
∴ CDÓ=
`cm
;;Á7ª;;
∴ DEÓ=CDÓ+CEÓ=
12
;;Á7ª;;+
=;;»7¤;;
(cm)
4 CDÓ=x라 하면 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로
10`:`8=(3+x)`:`x
10x=24+8x ∴ x=12
⑴ 11`:`6=x`:`3 ∴ x=
11`:`6=y`:`4 ∴ y=
⑵ x`:`2=6`:`4 ∴ x=3
9`:`y=6`:`4 ∴ y=6
;;Á2Á;;
;;ª3ª;;
1 ⑴ 5`:`4=x`:`5 ∴ x=
5`:`4=y`:`8 ∴ y=10
;;ª4°;;
∴ x+y=
10
;;ª4°;;+
=;;¤4°;;
⑵ 9`:`6=10`:`x ∴ x=
;;ª3¼;;
9`:`6=y`:`4 ∴ y=6
`` ∴ x+y=
6
;;ª3¼;;+
=;;£3¥;;
2 5`:`x=4`:`8 ∴ x=10
5`:`3=4`:`y ∴ y=
;;Á5ª;;
BDÓ=3+12=15이고 BEÓ는 ∠B의 이등분선이므로
DEÓ`:`AEÓ=BDÓ`:`BAÓ=15`:`10=3`:`2
3 20`:`x=15`:`6 ∴ x=8
8`:`20=y`:`15 ∴ y=6
정답과 풀이 35
Ó
사다리꼴에서 평행선과 선분의 길이의 비 본문 122쪽
B
사다리꼴에서 평행선과 대각선
본문 123쪽
4
CHECK
1 ⑴ 6 ⑵ 6 ⑶ 2 ⑷ 8
2 ⑴ 3 ⑵ 2`:`3 ⑶ 4 ⑷ 7
1 ⑴ GFÓ=ADÓ=6
⑵ CHÓ=ADÓ=6이므로 BHÓ=12-6=6
⑶ AEÓ`:`ABÓ=EGÓ`:`BHÓ이므로 2`:`6=EGÓ`:`6
∴ EGÓ=2
⑷ EFÓ=EGÓ+GFÓ=2+6=8
2 ⑴ AEÓ`:`ABÓ=EGÓ`:`BCÓ이므로
3`:`9=EGÓ`:`9 ∴ EGÓ=3
⑵ CFÓ`:`CDÓ=BEÓ`:`BAÓ=6`:`9=2`:`3
⑶ CFÓ`:`CDÓ=GFÓ`:`ADÓ이므로
2`:`3=GFÓ`:`6 ∴ GFÓ=4
⑷ EFÓ=EGÓ+GFÓ=3+4=7
A
사다리꼴에서 평행선과 선분의 길이의 비
본문 123쪽
7
1 10
오른쪽 그림과 같이 점 A에서 CDÓ와
평행한 직선을 그었을 때, EFÓ, BCÓ
와 만나는 점을 각각 G, H라 하면
ADÓ=GFÓ=HCÓ=4이므로
BHÓ=12-4=8
(cid:34)
(cid:20)
(cid:38)
(cid:22)
(cid:35)
(cid:21)
(cid:40)
(cid:37)
(cid:21)
(cid:41)
(cid:18)(cid:19)
(cid:39)
(cid:21)
(cid:36)
이때 AEÓ：ABÓ=EGÓ：BHÓ이므로 3：8=EGÓ：8
∴ EGÓ=3
∴ EFÓ=EGÓ+GFÓ=3+4=7
1 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 CDÓ와 평
행한 직선을 그었을 때, EFÓ, BCÓ와 만
나는 점을 각각 G, H라 하면
ADÓ=GFÓ=HCÓ=7이므로
EGÓ=9-7=2
이때 AEÓ`:`ABÓ=EGÓ`:`BHÓ이므로
6`:`9=2`:`BHÓ ∴ BHÓ=3
∴ BCÓ=BHÓ+HCÓ=3+7=10
36 ⅠⅠⅠ . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
(cid:24)
(cid:26)
(cid:34)
(cid:37)
(cid:23)
(cid:38)
(cid:20)
(cid:35)
(cid:40)
(cid:20)
(cid:41)
(cid:24)
(cid:39)
(cid:36)
x=3, y=4
2 10`cm
△ABC에서 AEÓ`:`ABÓ=EGÓ`:`BCÓ이므로
2`:`8=x`:`12 ∴ x=3
△ACD에서 CFÓ`:`CDÓ=GFÓ`:`ADÓ이므로 6`:`8=3`:`y
∴ y=4
2 △ABC에서 AEÓ`:`ABÓ=ENÓ`:`BCÓ이므로
2`:`3=ENÓ`:`24
∴ ENÓ=16`cm
△ABD에서 BEÓ`:`BAÓ=EMÓ`:`ADÓ이므로
1`:`3=EMÓ`:`18 ∴ EMÓ=6`cm
∴ MNÓ =ENÓ-EMÓ
=16-6=10(cm)
5
CHECK
평행선과 선분의 길이의 비의 응용 본문 124쪽
1 ⑴ 2`:`3 ⑵ 2`:`5 ⑶ 6`cm
2 ⑴ x=2, y=
⑵ x=
, y=8
;3*;
;;ª5¢;;
1 ⑴ △ABE∽△CDE(AA 닮음)이므로
BEÓ：DEÓ =ABÓ：CDÓ
=10`:`15=2`:`3
⑵ △BFE∽△BCD(AA 닮음)이므로
BFÓ：BCÓ=BEÓ：BDÓ=2`:`5
⑶ BFÓ：BCÓ=EFÓ：DCÓ이므로 2`:`5=EFÓ`:`15
∴ EFÓ=6`cm
2 ⑴ BEÓ`:`DEÓ=3`:`6=1`:`2이므로
△EBF와 △DBC의 닮음비는 1`:`3이다.
BEÓ`:`BDÓ=EFÓ:`DCÓ이므로
1`:`3=x`:`6 ∴ x=2
BEÓ`:`BDÓ=BFÓ:`BCÓ이므로
1`:`3=y`:`8 ∴ y=
;3*;
⑵ BEÓ`:`DEÓ=8`:`12=2`:`3이므로
△BEF와 △BDC의 닮음비는 2`:`5이다.
BEÓ`:`BDÓ=EFÓ`:`DCÓ이므로
2`:`5=x`:`12 ∴ x=
;;ª5¢;;
BEÓ`:`BDÓ=BFÓ`:`BCÓ이므로
2`:`5=y`:`20 ∴ y=8
기본 다지기 문제
본문 126~127쪽
01 8
02 9`cm
03 ㄷ, ㄹ
04 ㄱ, ㄴ, ㄷ
07 ①
11 ①
08 ①
12 24`cm
05 ;;£7ª;;
09 75
06 28`cmÛ`
10 ⑤
개
념
탑
01 AEÓ`:`ACÓ=ADÓ`:`ABÓ이므로
6`:`9=x`:`12, 9x=72
02 △AGE∽△AFC(AA 닮음)이므로
GEÓ`:`FCÓ=AEÓ`:`ACÓ
△ADE∽△ABC(AA 닮음)이므로
DEÓ`:`BCÓ=AEÓ`:`ACÓ
GEÓ`:`FCÓ=DEÓ`:`BCÓ이므로
GEÓ`:`15=15`:`(10+15)
25GEÓ=225 ∴ GEÓ=9`cm
03 ㄱ. 3`:`10+5`:`7이므로 BCÓ와 DEÓ는 평행하지 않다.
ㄴ. 15`:`5+16`:`4이므로 BCÓ와 DEÓ는 평행하지 않다.
ㄷ. 8`:`10=4`:`5이므로 BCÓDEÓ
ㄹ. 3`:`6=5`:`10이므로 BCÓDEÓ
따라서 BCÓDEÓ인 것은 ㄷ, ㄹ이다.
A
평행선과 선분의 길이의 비의 응용
본문 125쪽
∴ x=8
;;»5¤;;
1 ⑤
2 ;;¢7¥;;
`cm 3 18`cmÛ`
△ABE∽△CDE(AA 닮음)이므로
BEÓ`:`DEÓ=12`:`18=2`:`3 ∴ BEÓ`:`BDÓ=2`:`5
BEÓ`:`BDÓ=BFÓ`:`BCÓ이므로 2`:`5=x`:`30 ∴ x=12
BEÓ`:`BDÓ=EFÓ`:`DCÓ이므로 2`:`5=y`:`18 ∴ y=
;;£5¤;;
∴ x+y=12+
;;£5¤;;=;;»5¤;;
1 ⑤ EFÓ`:`DCÓ=a`:`(a+b)
2 BEÓ：DEÓ=12`:`16=3`:`4이므로
△EBF와 △DBC의 닮음비는 3`:`7이다.
BEÓ`:`BDÓ=EFÓ`:`DCÓ이므로 3`:`7=EFÓ`:`16
∴ EFÓ=
`cm
;;¢7¥;;
3 오른쪽 그림과 같이 점 E에서
BCÓ에 내린 수선의 발을 F라 하면
ABÓEFÓDCÓ
△ABE∽△CDE(AA 닮음)이
(cid:34)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
므로
BEÓ：DEÓ=6`:`9=2`:`3
∴ BEÓ`:`BDÓ=2`:`5
∴ EFÓ=
`cm
;;Á5¥;;
BEÓ`:`BDÓ=EFÓ`:`DCÓ이므로 2`:`5=EFÓ`:`9
04 ㄱ. ADÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ECÓ에서
ADÓ`:`ABÓ=AEÓ`:`ACÓ, ∠A는 공통이므로
△ABC`∽△ADE(SAS 닮음)
(cid:37)
ㄴ. △ABC`∽△ADE이므로 ∠ABC=∠ADE
(cid:38)
(cid:26)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
ㄷ, ㄹ DEÓ`:`BCÓ=ADÓ`:`ABÓ=3`:`5
∴ BCÓDEÓ
(cid:35)
(cid:39)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
DEÓ`:`8=3`:`5이므로 DEÓ=
`cm
;;ª5¢;;
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
05 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로
6：ACÓ=3：4 ∴ ACÓ=8`cm
ABÓEDÓ이므로 `CEÓ：CAÓ=CDÓ：CBÓ
∴ △EBC=
_10_
=18(cmÛ`)
;2!;
;;Á5¥;;
x：8=4：7 ∴ x=
;;£7ª;;
정답과 풀이 37
06 BDÓ`:`CDÓ=ABÓ`:`ACÓ
△ABD`:`△ADC=4`:`3이므로
Ó=12`:`9=4`:`3
` 16`:`△ADC=4`:`3
∴ △ADC=12`cmÛ`
∴ △ABC=16+12=28(cmÛ`)
07 2`:`8=(x-5):`5이므로
8(x-5)=10, 8x-40=10
∴ x=
;;ª4°;;
08 lm이므로 ∠ABE=∠ACD`(동위각),
∠AEB=∠ADC`(동위각)
∴ △ABE∽△ACD`(AA 닮음)
ABÓ`:`BCÓ=1`:`2에서 ABÓ`:`ACÓ=1`:`3이므로
△ABE와 △ACD에서
4`:`CDÓ=1`:`3 ∴ CDÓ=12
BCDE의 둘레의 길이가 34이므로
4+8+12+BCÓ=34 ∴ BCÓ=10
ABÓ`:`BCÓ=1`:`2에서
ABÓ`:`10=1`:`2이므로 ABÓ=5
∴ ACÓ=ABÓ+BCÓ=5+10=15
09 4`:`6=5`:`x, 4x=30 ∴ x=
4`:`6=y`:`15, 6y=60 ∴ y=10
;;Á2°;;
∴ xy=
_10=75
;;Á2°;;
10 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 CDÓ와
평행한 직선을 그었을 때, PQÓ, BCÓ와
만나는 점을 각각 G, H라 하면
ADÓ=GQÓ=HCÓ=10`cm이므로
BHÓ=25-10=15(cm)
이때 APÓ：ABÓ=PGÓ：BHÓ이므로
3：5=PGÓ：15 ∴ PGÓ=9`cm
∴ PQÓ=PGÓ+GQÓ=9+10=19(cm)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:34)
(cid:49)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:40)
(cid:50)
(cid:35)
(cid:18)(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:41)
(cid:19)(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
△CDA에서 CNÓ`:`CDÓ=ENÓ`:`ADÓ이므로
2`:`5=3`:`ADÓ, 2 ADÓ=15 ∴ ADÓ=
`cm
;;Á2°;;
12 CFÓ`:`CBÓ=EFÓ`:`ABÓ=8`:`12=2`:`3
∴ BFÓ`:`BCÓ=1`:`3
BFÓ`:`BCÓ=EFÓ`:`CDÓ이므로 1`:`3=8`:`CDÓ
∴ CDÓ`=24`cm
실력 올리기 문제
본문 128~129쪽
1 ③
2 ④
3 ③
4 ;;£3¢;;
5 ;;¢5¥;;
`cm
6 3
7 ① CDÓ, 14, 4, 3,
`cm
;;ª2Á;;
② CEÓ, CEÓ,
_ACÓ=
;3@;
_
;3@;
;;ª2Á;;
=7(cm)
8 ① 1`:`4 ② 2`cm
1 AEÓ`:`EF Ó=ADÓ`:`DBÓ=AFÓ`:`FCÓ
=21`:`28=3：4
∴ AEÓ=
_21=9(cm)
;7#;
2 CGÓ`:`CBÓ=FGÓ`:`ABÓ이므로
12`:`18=8`:`y ∴ y=12
DEÓ`:`BCÓ=ADÓ`:`ABÓ이므로
4`:`18=x`:`12 ∴ x=
;3*;
∴ x+y=
+12=
;3*;
;;¢3¢;;
11 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그어 MNÓ
과 만나는 점을 E라 하면 △ABC에
서 AMÓ`:`ABÓ=MEÓ`:`BCÓ이므로
3`:`5=MEÓ`:`15, 5 MEÓ=45
(cid:34)
(cid:37)
(cid:46)
(cid:35)
(cid:38)
(cid:47)
(cid:36)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
∴ MEÓ=9`cm
∴ ENÓ=12-9=3(cm)
38 ⅠⅠⅠ . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
3 PCÓ=x`cm라 하면 ABÓ`:`ACÓ=BPÓ`:`PCÓ이므로
6`:`4=3`:`x ∴ x=2
또, ABÓ`:`ACÓ=BQÓ`:`CQÓ이므로 CQÓ=y`cm라 하면
6`:`4=(5+y)`:`y, 6y=20+4y, 2y=20 ∴ y=10
4 오른쪽 그림에서
4`:`6=8`:`(a+3)
4(a+3)=48 ∴ a=9
(cid:77)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:78)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:79)
(cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:66)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
△CDA에서 3`:`5=OFÓ`:`8이므로 OFÓ=
`cm
2 ⑴ 18`cm ⑵ 9`cm ⑶ 3`cm
2`:`x=3`:`(a+8),
2`:`x=3`:`17 ∴ x=
;;£3¢;;
5 △AOD∽△COB(AA 닮음)이므로
OAÓ`:`OCÓ=ODÓ`:`OBÓ=ADÓ`:`CBÓ=8`:`12=2`:`3
△ABC에서 2`:`5=EOÓ`:`12이므로 EOÓ=
`cm
;;ª5¢;;
;;ª5¢;;
∴ EFÓ=EOÓ+OFÓ=
;;ª5¢;;+;;ª5¢;;=;;¢5¥;;
(cm)
6 점 E에서 BDÓ에 수직인 직선을 그어
ADÓ와 만나는 점을 H라 하면
△DHE∽△DAB(AA 닮음)이므로
HEÓ`:`ABÓ=DEÓ`:`DBÓ
(cid:34)
(cid:41)
(cid:23)
(cid:40)
(cid:35)
(cid:19)
(cid:38)
(cid:39)
(cid:25)
(cid:36)
(cid:25)
(cid:37)
HEÓ`:`6=8`:`10 ∴ HEÓ=
;;ª5¢;;
△GHE∽△GDC(AA 닮음)이고 닮음비는
HEÓ`:`DCÓ=
`:`8=3`:`5이므로
;;ª5¢;;
EGÓ`:`ECÓ=GFÓ`:`CDÓ, 3`:`8=GFÓ`:`8
∴ GFÓ=3
7 ① ADÓ가 ∠A의 이등분선이므로
ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ, 14`:`ACÓ=4`:`3
∴ ACÓ=
`cm
;;ª2Á;;
② BEÓ가 ∠B의 이등분선이므로
BAÓ`:`BCÓ=AEÓ`:`CEÓ
Ó, 14`:`7=2`:`1=AEÓ`:`CEÓ
∴ AEÓ=
_ACÓ=
;3@;
_
;3@;
;;ª2Á;;
=7(cm)
8 ① △AEP와 △ABC에서
∠BAC는 공통,` ∠AEP=∠ABC(동위각)이므로
△AEP∽△ABC(AA 닮음)
APÓ`:`ACÓ=EPÓ`:`BCÓ=9`:`12=3`:`4이므로
CPÓ`:`CAÓ=1`:`4
② △CFP와 △CDA에서
∠ACD는 공통,` ∠CFP=∠CDA(동위각)이므로
△CFP∽△CDA(AA 닮음)
CPÓ`:`CAÓ=PFÓ`:`ADÓ이므로 1`:`4=PFÓ`:`8
∴ PFÓ=2`cm
3 삼각형의 무게중심과 닮음의 활용
개
념
탑
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질 ⑴ 본문 132쪽
1
CHECK
1 ⑴ 4 ⑵ 12
1 ⑴ MNÓ=
BCÓ=
_8=4 ∴ x=4
;2!;
;2!;
⑵ BCÓ=2MNÓ=2_6=12 ∴ x=12
2 ⑴ BCÓ=2MNÓ=2_9=18(cm)
⑵ PQÓ=
BCÓ=
_18=9(cm)
;2!;
;2!;
⑶ PRÓ=PQÓ-RQÓ=9-6=3(cm)
A
삼각형의 두 변의 중점을 연결한
선분의 성질 ⑴
본문 133쪽
x=10, y=50
1 19`cm
MNÓ=
BCÓ=
_20=10(cm) ∴ x=10
;2!;
;2!;
MNÓBCÓ이므로
∠ABC=∠AMN=50ù ∴ y=50
1 DEÓ=
;2!;
ACÓ=
_12=6(cm)
FEÓ=
ABÓ=
_10=5(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
DFÓ=
BCÓ=
_16=8(cm)
∴ (△DEF의 둘레의 길이)=6+5+8=19(cm)
B
사각형의 각 변의 중점을 연결한
선분의 성질
본문 133쪽
⑴ 평행사변형 ⑵ 14`cm
2 40`cmÛ`
정답과 풀이 39
Ó
따라서 PSÓQRÓ, PSÓ=QRÓ이므로 PQRS는 평행사
점 E가 ACÓ의 중점이고 ABÓEFÓ이므로 점 F는 BCÓ의 중
∴ BCÓ=2DEÓ=2_5=10(cm)
1 점 D가 ABÓ의 중점이고 BCÓDEÓ이므로 점 E는 ACÓ의 중
⑴ △ABD에서 PSÓBDÓ, PSÓ=
BDÓ
△CDB에서 QRÓBDÓ, QRÓ=
BDÓ
;2!;
;2!;
변형이다.
⑵ PSÓ=QRÓ=
BDÓ=
_8=4(cm)
PQÓ=SRÓ=
ACÓ=
_6=3(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
∴ (PQRS의 둘레의 길이)=2_(3+4)=14(cm)
2 마름모의 두 대각선은 서로 수직이므로 ACÓ⊥BDÓ이고
PQÓACÓ, PSÓBDÓ이므로 PQÓ⊥PSÓ, 즉 ∠SPQ=90ù이다.
따라서 PQRS는 직사각형이다.
PQÓ=
ACÓ=
_10=5(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
PSÓ=
BDÓ=
_16=8(cm)
∴ PQRS=PSÓ_PQÓ=8_5=40(cmÛ`)
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질 ⑵ 본문 134쪽
2
CHECK
1 ⑴ 8 ⑵ 14
2 x=12, y=6
1 ⑴ 점 N은 ACÓ의 중점이므로 x=2ANÓ=2_4=8
⑵ MNÓ=
BCÓ이므로 x=2_7=14
;2!;
2 ACÓ=2ANÓ=2_6=12 ∴ x=12
MNÓ=
BCÓ=
_18=9이므로
;2!;
;2!;
y+3=9 ∴ y=6
A
삼각형의 두 변의 중점을 연결한
선분의 성질 ⑵
본문 135쪽
x=7, y=6
1 5`cm
점이다.
점 D가 ABÓ의 중점이고 ACÓDEÓ이므로 점 E는 BCÓ의 중
점이다.
점이다.
12`cm
2 3`cm
∴ FCÓ=
BCÓ=
_10=5(cm)
;2!;
;2!;
B
삼각형의 두 변의 중점을 연결한
선분의 성질의 응용
본문 135쪽
△ABF에서 ADÓ=DBÓ, DEÓBFÓ이므로
BFÓ=2DEÓ=2_8=16(cm)
△DCE에서 DGÓ=GCÓ, DEÓGFÓ이므로
GFÓ=
DEÓ=
_8=4(cm)
;2!;
;2!;
∴ BGÓ=BFÓ-GFÓ=16-4=12(cm)
2 EGÓ`=
;2!;
BCÓ=
_6=3(cm)
;2!;
△EFG와 △DFC에서 ∠GEF=∠CDF(엇각),
∠EFG=∠DFC(맞꼭지각), EFÓ=DFÓ이므로
△EFGª△DFC(ASA 합동)
∴ CDÓ=EGÓ=3`cm
3
CHECK
사다리꼴의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질 본문 136쪽
1 ⑴ x=4, y=8 ⑵ x=5, y=14
2 ⑴ 4`cm ⑵ 3`cm ⑶ 7`cm ⑷ 1`cm
1 ⑴ MPÓ=
ADÓ=
_8=4(cm) ∴ x=4
PNÓ=
BCÓ=
_16=8(cm) ∴ y=8
⑵ PNÓ=
ADÓ=
_10=5(cm) ∴ x=5
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
∴ BEÓ=ECÓ=7`cm ∴ x=7
MPÓ=12-5=7(cm)이므로
∴ ACÓ=2DEÓ=2_3=6(cm) ∴ y=6
BCÓ=2MPÓ=2_7=14(cm) ∴ y=14
40 ⅠⅠⅠ . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
2 ⑴ MQÓ=
BCÓ=
_8=4(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
⑵ QNÓ=
ADÓ=
_6=3(cm)
⑶ MNÓ=MQÓ+QNÓ=4+3=7(cm)
⑷ MPÓ=
ADÓ=
_6=3(cm)이므로
;2!;
;2!;
PQÓ=MQÓ-MPÓ=4-3=1(cm)
삼각형의 중선과 무게중심
본문 138쪽
4
CHECK
개
념
탑
1 ⑴ 6`cmÛ` ⑵ 6`cmÛ`
2 ⑴ x=8, y=6 ⑵ x=4, y=7
1 ⑴ △PDC=△PDB=6`cmÛ`
⑵ △ADC=△ADB=
;2!;△ABC
=
;2!;
_24=12(cmÛ`)
A
사다리꼴의 두 변의 중점을 연결한
선분의 성질
18`cm
1 8`cm
△ABC에서 MPÓ=
BCÓ=
_20=10(cm)
;2!;
;2!;
△ACD에서 PNÓ=;2!; ADÓ=;2!;_16=8(cm)
∴ MNÓ=MPÓ+PNÓ=10+8=18(cm)
본문 137쪽
∴ △APC =△ADC-△PDC
=12-6=6(cmÛ`)
2 ⑴ AGÓ=
ADÓ=
_12=8(cm) ∴ x=8
;3@;
;3@;
CDÓ=BDÓ=6`cm ∴ y=6
⑵ GEÓ=
BGÓ=
_8=4(cm) ∴ x=4
CDÓ=
BCÓ=
_14=7(cm) ∴ y=7
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
1 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그어 MNÓ
과 만나는 점을 P라 하면 △ABC에서
MPÓ=
BCÓ=
_20=10(cm)
;2!;
;2!;
∴ PNÓ=14-10=4(cm)
(cid:34)
(cid:46)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:49)
(cid:18)(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:47)
(cid:19)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
따라서 △ACD에서 ADÓ=2PNÓ=2_4=8(cm)
12`cmÛ`
1 15`cmÛ`
A
삼각형의 중선의 성질을 이용하여
삼각형의 넓이 구하기
본문 139쪽
B
사다리꼴의 두 변의 중점을 연결한
선분의 성질의 응용
본문 137쪽
11`cm
2 24`cm
△ABD에서 MPÓ=
ADÓ=
_7=
(cm)
;2!;
;2&;
MQÓ=MPÓ+PQÓ=
+2=
(cm)
;;Á2Á;;
;2!;
;2&;
따라서 △ABC에서 BCÓ=2MQÓ=2_
=11(cm)
;;Á2Á;;
2 △ABD에서 MPÓ=
MQÓ=2MPÓ=2_6=12(cm)
;2!;
;2!;
ADÓ=
_12=6(cm)
△ABC에서 BCÓ=2MQÓ=2_12=24(cm)
△BDE=△CDE=△AEC=△AEB이므로
△ABC=4△BDE=4_3=12(cmÛ`)
1 △APM=
;2!;△ABM=
;2!;
_
;2!;△ABC
=
;4!;△ABC=
;4!;
_60=15(cmÛ`)
B
삼각형의 무게중심의 성질을 이용하여
선분의 길이 구하기
본문 139쪽
`cm
;;ª3¼;;
2 18`cm
점 G는 △ABC의 무게중심이므로
GDÓ=
ADÓ=
_30=10(cm)
;3!;
;3!;
정답과 풀이 41
점 G'은 △GBC의 무게중심이므로
GG'Ó=
GDÓ=
_10=
(cm)
;3@;
;3@;
;;ª3¼;;
2 점 G'은 △GBC의 무게중심이므로
_4=6(cm)
GDÓ=
GG'Ó=
;2#;
;2#;
점 G는 △ABC의 무게중심이므로
ADÓ=3GDÓ=3_6=18(cm)
C
삼각형의 무게중심과 평행선 ⑴
본문 140쪽
x=6, y=
;3*;
3 8`cm
AGÓ`:`GDÓ=2`:`1에서 12`:`x=2`:`1 ∴ x=6
점 D는 BCÓ의 중점이므로 `CDÓ=BDÓ=4`cm
△AGF∽△ADC(AA 닮음)이므로
AGÓ`:`ADÓ=GFÓ`:`DCÓ
즉, 2`:`3=y`:`4 ∴ y=
;3*;
3 AGÓ`:`GFÓ=2`:`1이므로 ADÓ`:`DBÓ=2`:`1
Ó이므로
△ABC에서 ADÓ`:`ABÓ=DEÓ`:`BCÓ
2`:`3=DEÓ`:`12 ∴ DEÓ=8`cm
⑴ 16`cm ⑵
`cm
;;£3ª;;
4 8`cm
BEÓ=2DFÓ=2_8=16(cm)
⑵ 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
BGÓ=
BEÓ=
_16=
(cm)
;3@;
;3@;
;;£3ª;;
4 △ADC에서 점 E는 ACÓ의 중점이고 DFÓ=FCÓ이므로
ADÓ=2EFÓ=2_6=12(cm)
점 G는 △ABC의 무게중심이므로
AGÓ=
ADÓ=
_12=8(cm)
;3@;
;3@;
42 ⅠⅠⅠ . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
E
직각삼각형의 무게중심
본문 141쪽
6`cm
5 24p`cm
점 D는 직각삼각형 ABC의 빗변의 중점이므로 외심이다.
즉, BDÓ=ADÓ=CDÓ=
_18=9(cm)
;2!;
∴ BGÓ=
BDÓ=
_9=6(cm)
;3@;
;3@;
5 CDÓ=
;2#;
CGÓ=
_8=12(cm)
;2#;
점 D는 △ABC의 외심이므로 ADÓ=BDÓ=CDÓ=12`cm
따라서 △ABC의 외접원의 반지름의 길이는 12`cm이므
로 둘레의 길이는 2p_12=24p(cm)
F
평행사변형에서 삼각형의 무게중심
본문 141쪽
7`cm
6 8`cm
오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그어
(cid:34)
두 대각선 AC, BD의 교점을 O
(cid:19)(cid:18)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:50)
(cid:48)
(cid:37)
(cid:47)
(cid:36)
(cid:35)
(cid:49)
(cid:46)
은 서로 다른 것을 이등분하므로
AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ
따라서 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심이므로
POÓ=QOÓ=a라 하면 BPÓ=DQÓ=2a이고
∴ PQÓ=
BDÓ=
_21=7(cm)
;3!;
;3!;
6 △BCD에서 BDÓ=2MNÓ=2_12=24(cm)
오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면 점
(cid:34)
P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무
게중심이므로
BPÓ=PQÓ=QDÓ
∴ PQÓ=
`BDÓ=
_24=8(cm)
;3!;
;3!;
(cid:50)
(cid:37)
(cid:47)
(cid:49)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:46)
(cid:36)
D
삼각형의 무게중심과 평행선 ⑵
본문 140쪽
라 하면 평행사변형의 두 대각선
⑴ △BCE에서 BDÓ=CDÓ, BEÓDFÓ이므로
BPÓ=PQÓ=QDÓ
삼각형의 무게중심과 넓이
본문 142쪽
5
CHECK
1 ⑴ 12`cmÛ` ⑵ 12`cmÛ`
2 ⑴ 10`cmÛ` ⑵ 16`cmÛ`
1 ⑴ △ABG=
;3!;△ABC=
;3!;
_36=12(cmÛ`)
⑵ GDCE=△GDC+△GCE=
;3!;△ABC
=
;3!;
_36=12(cmÛ`)
2 ⑴ △ABG=△BCG=20`cmÛ`이므로
△AEG=
;2!;△ABG
=
;2!;
_20=10(cmÛ`)
⑵ △ABD=△ACD=48`cmÛ`이고
AEÓ=EGÓ=GDÓ이므로
△BGE=
;3!;△ABD
=
;3!;
_48=16(cmÛ`)
B
평행사변형에서 삼각형의 무게중심을
이용하여 넓이 구하기
본문 143쪽
개
념
탑
42`cmÛ`
2 12`cmÛ`
점 N은 △ACD의 무게중심이므로
△ACD=3OCMN=3_7=21(cmÛ`)
∴ ABCD=2△ACD=2_21=42(cmÛ`)
2 점 P는 △ABC의 무게중심이므로
PMCO=
ABCD
;3!;△ABC=
;6!;
=
;6!;
_36=6(cmÛ`)
점 Q는 △ACD의 무게중심이므로
QOCN=
;3!;△ACD=
;6!;
ABCD
=
;6!;
_36=6(cmÛ`)
∴ (색칠한 부분의 넓이) =PMCO+QOCN
=6+6=12(cmÛ`)
A
삼각형의 무게중심을 이용하여
넓이 구하기
본문 143쪽
6
CHECK
닮은 평면도형의 넓이의 비
본문 144쪽
1 ⑴ 2`:`5 ⑵ 2`:`5 ⑶ 4`:`25 ⑷ 75`cmÛ`
2 ⑴ 3`:`4 ⑵ 3`:`4 ⑶ 9`:`16
9`cmÛ`
1 48`cmÛ`
(색칠한 부분의 넓이)=△AEG+△AGF
=
;2!;△ABG+
;2!;△AGC
=
_
;3!;△ABC+
;2!;
;2!;
_
;3!;△ABC
=
;6!;△ABC+
;6!;△ABC
=
;3!;△ABC
=
;3!;
_27=9(cmÛ`)
1 △ABC =2△BCE=2_3△BGE
=6_2△EFG
=12_4=48(cmÛ`)
1 ⑴ 4`:`10=2`:`5
⑶ 2Û`：5Û`=4`:`25
⑷ 12：△DEF=4：25
∴ △DEF=75`cmÛ`
2 ⑴ 6`:`8=3`:`4
⑶ 3Û``:`4Û`=9`:`16
A
닮은 평면도형의 넓이의 비
본문 145쪽
27`cmÛ`
1 36`cmÛ`
2 27`cmÛ`
3 1`:`3`:`5
△ADB∽△ABC`(AA 닮음)이고 닮음비는
6`:`9=2`:`3이므로 넓이의 비는 2Û``:`3Û`=4`:`9
정답과 풀이 43
따라서 12`:`△ABC=4`:`9이므로 △ABC=27`cmÛ`
72p`:`(원기둥 B의 옆넓이)=9`:`25
∴ (원기둥 B의 옆넓이)=200p`cmÛ`
1 △ODA∽△OBC(AA 닮음)이고 닮음비는 4`:`6=2：3
이므로 넓이의 비는 2Û``:`3Û`=4：9
따라서 16：△OBC=4：9이므로 △OBC=36`cmÛ`
2 △ADE∽△ABC(AA 닮음)이고 닮음비는
8`:`10=4`:`5이므로 넓이의 비는 `4Û``:`5Û`=16`:`25
따라서 △ADE`:`DBCE=16`:`(25-16)=16`:`9이므로
48`:`DBCE=16`:`9 ∴ DBCE=27`cmÛ`
1 두 정육면체의 닮음비가 1`:`3이므로 겉넓이의 비는
1Û``:`3Û`=1`:`9
큰 상자를 포장하는 데 필요한 포장지의 양을 x`cmÛ`라 하면
30`:`x=1`:`9 ∴ x=270
따라서 큰 상자를 포장하려면 270`cmÛ`의 포장지가 필요하다.
B
닮은 입체도형의 부피의 비
본문 147쪽
3 △BGF∽△BED∽△BCA이고 닮음비는
BFÓ`:`BDÓ`:`BAÓ=1`:`2`:`3이므로
△BGF`:`△BED`:`△BCA=1Û``:`2Û``:`3Û`=1`:`4`:`9
∴ △BGF`:`FGED`:`DECA
=1`:`(4-1)`:`(9-4)=1`:`3`:`5
3.5`L
2 8개
닮은 입체도형의 부피의 비
본문 146쪽
더 부어야 하는 물의 양을 x`L라 하면
7
CHECK
1 ⑴ 36`cmÛ` ⑵ 625`cmÜ`
2 ⑴ 3`:`4 ⑵ 27：64
물이 채워진 부분과 그릇 전체의 닮음비는 1`:`2이므로 부
물이 채워진 부분과 채워지지 않은 부분의 부피의 비는
피의 비는 1Ü``:`2Ü`=1`:`8
1`:`(8-1)=1`:`7이므로
0.5`:`x=1：7 ∴ x=3.5
따라서 3.5`L의 물을 더 부어야 한다.
2 작은 쇠구슬과 큰 쇠구슬의 닮음비가` 1`:`2이므로 부피의
따라서 큰 쇠구슬 `1개로 작은 쇠구슬을 최대 8개 만들 수
비는` 1Ü``:`2Ü`=1`:`8
있다.
1 ⑴ 겉넓이의 비는 3Û`：5Û`=9：25이므로
(㈎의 겉넓이)：100=9：25
∴ (㈎의 겉넓이)=36`cmÛ`
⑵ 부피의 비는 3Ü`：5Ü`=27：125이므로
135：(㈏의 부피)=27：125
∴ (㈏의 부피)=625`cmÜ`
2 ⑴ 45`:`80=9`:`16=3Û``:`4Û`이므로 닮음비는 3`:`4
⑵ 닮음비가 3`:`4이므로 부피의 비는 3Ü``:`4Ü`=27`:`64
A
닮은 입체도형의 겉넓이의 비
본문 147쪽
2 3`m
200p`cmÛ`
1 270`cmÛ`
닮음의 활용
8
CHECK
1 ⑴ 5`km ⑵ 20`cm ⑶ 5000`mÛ`
본문 148쪽
1 ⑴ 100(cm)_5000=500000(cm)=5(km)
⑵ 1(km)_
=100000(cm)_
=20(cm)
;50Á00;
;50Á00;
두 원기둥의 닮음비는 높이의 비와 같으므로
⑶ 닮음비가 1`:`5000이므로 넓이의 비는 1`:`5000Û`
15`:`25=3`:`5
` ∴ (실제 넓이) =2(cmÛ`)_25000000
따라서 두 원기둥의 옆넓이의 비는 3Û``:`5Û`=9`:`25이므로
=50000000(cmÛ`)=5000(mÛ`)
44 ⅠⅠⅠ . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
2 오른쪽 그림과 같이 나
(cid:34)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
무와 막대를 나타내면
△ABC∽△A'B'C'
(AA 닮음)이므로
(cid:89)(cid:65)(cid:78)
(cid:34)(cid:8)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:21)(cid:65)(cid:78)
(cid:36)
(cid:35)(cid:8)
(cid:25)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)(cid:8)
나무의 실제 높이를 `x`m라 하면
4：0.8=x：0.6 ∴ x=3
따라서 나무의 실제 높이는 3`m이다.
기본 다지기 문제
본문 152~153쪽
01 x=55, y=10
03 25`cm 04 2`cm
08 3`cmÛ`
07 ②
12 43.6`m
11 130분
02 32`cm, 16`cm
05 60
09 5`cmÛ`
06 22
10 25`:`11
개
념
탑
A
축도와 축척
본문 149쪽
240`m
1 2시간
(축척)=
8(cm)
320(m)
=
8(cm)
32000(cm)
=
1
4000
따라서 축척이
인 지도에서 거리가 6`cm인 두 지점 사
;40Á00;
이의 실제 거리는 6(cm)_4000=24000(cm)=240(m)
1 축척이 1`:`10000이므로 지도에서 거리가 140`cm인 두 지
점 사이의 실제 거리는
140(cm)_10000 =1400000(cm)=14000(m)
=14(km)
따라서 14`km의 거리를 시속 7`km로 자전거를 타고 가는
데 걸리는 시간은
=2(시간)
;;Á7¢;;
B
실생활에서의 닮음의 활용
본문 149쪽
12`m
2 50`m
△AOB와 △DOC에서 ∠OAB=∠ODC(엇각),
∠AOB=∠DOC(맞꼭지각)이므로
△AOB∽△DOC(AA 닮음)
따라서 BOÓ`:`COÓ=ABÓ`:`DCÓ이므로 8`:`6=ABÓ`:`9
∴ ABÓ=12`m
2 △ABC∽△A'B'C'(AA 닮음)이고 닮음비가
3200：1.6=2000`:`1이므로 BCÓ：2.5=2000：1
∴ BCÓ=5000(cm)=50(m)
따라서 두 지점 B, C 사이의 거리는 50`m이다.
01 CNÓ=NAÓ, CMÓ=MBÓ이므로 NMÓABÓ
따라서 ∠MNC=∠BAC=70ù`(동위각)이므로
∠NCM=180ù-(70ù+55ù)=55ù ∴ x=55
또, MNÓ=
ABÓ=
_20=10(cm) ∴ y=10
;2!;
;2!;
02 ABÓ=2EFÓ=2_5=10(cm), ECÓ=BEÓ=7`cm
AFÓ=CFÓ=4`cm이므로
(△ABC의 둘레의 길이)=10+14+8=32(cm)
또, DEÓ=
ACÓ=
_8=4(cm)
;2!;
;2!;
DFÓ=
BCÓ=
_14=7(cm)이므로
;2!;
;2!;
(△DEF의 둘레의 길이)=4+5+7=16(cm)
03 HGÓ=EFÓ=
;2!;
ACÓ, EHÓ=FGÓ=
BDÓ
;2!;
∴ (EFGH의 둘레의 길이) =EFÓ+FGÓ+GHÓ+HEÓ
=ACÓ+BDÓ=25(cm)
04 ABÓMPÓCDÓ이므로
MPÓ=
ABÓ=
_12=6(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
NPÓ=
CDÓ=
_8=4(cm)
∴ MNÓ=MPÓ-NPÓ=6-4=2(cm)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
(cid:47)
(cid:46)
(cid:36)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
05 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면
△ABC에서
EPÓ=
BCÓ=
_72=36(cm)
;2!;
;2!;
(cid:37)
(cid:39)
(cid:34)
(cid:38)
(cid:35)
(cid:21)(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:49)
(cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:24)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:49)
(cid:37)
(cid:36)
△ACD에서 PFÓ=
ADÓ=
_48=24(cm)
;2!;
;2!;
∴ EFÓ=36+24=60(cm) ∴ x=60
06 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
ADÓ=3GDÓ=3_4=12(cm) ∴ x=12
ADÓ는 △ABC의 중선이므로
BDÓ=
BCÓ=
_20=10(cm) ∴ y=10
;2!;
;2!;
정답과 풀이 45
∴ x+y=12+10=22
07 △AGG'과 △AEF에서
AGÓ`:`AEÓ=2`:`3, AGÓ'Ó`:`AFÓ=2`:`3, ∠EAF는 공통
∴ △AGG'∽△AEF(SAS 닮음)
BEÓ=EDÓ, DFÓ=FCÓ이므로
EFÓ=
BCÓ=
_24=12(cm)
;2!;
;2!;
따라서 GG'Ó`:`EFÓ=2`:`3이므로 GG'Ó`:`12=2`:`3
∴ GG'Ó=8`cm
08 △GDE=
;2!;△GDC=
;2!;
_
;2!;△GBC
=
_
_
;3!;△ABC
;2!;
;2!;
=
;1Á2;△ABC=
;1Á2;
_36=3(cmÛ`)
09 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면
AOÓ=COÓ이므로 점 P는 △ABC의
무게중심이다.
∴ △ABP=
;3!;△ABC
(cid:34)
(cid:37)
(cid:48)(cid:49)
(cid:46)
(cid:35)
(cid:36)
=
_
;3!;
;2!;
ABCD
=
;6!;
ABCD=
_30
;6!;
=5(cmÛ`)
10 △ABD와 △ACB에서
∠A는 공통, ∠ABD=∠ACB이므로
△ABD∽△ACB(AA 닮음)이고 닮음비는
BDÓ`:`CBÓ=5`:`6
따라서 넓이의 비는 5Û``:`6Û`=25`:`36이므로
△ABD`:`△BCD=25`:`(36-25)=25`:`11
11 물이 채워진 부분과 그릇 전체의 닮음비는 3`:`9=1`:`3이
므로 부피의 비는 1Ü``:`3Ü`=1`:`27
물이 채워진 부분과 채워지지 않은 부분의 부피의 비는
따라서 그릇에 물을 가득 채우기 위해 더 필요한 시간은
1`:`(27-1)=1`:`26
5_26=130(분)
12 (축척)=
3.6(cm)
72(m)
=
3.6(cm)
7200(cm)
=;20Á00;
∴ DFÓ=2.1(cm)_2000=4200(cm)=42(m)
따라서 건물의 실제 높이는 1.6+42=43.6(m)
46 ⅠⅠⅠ . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
실력 올리기 문제
본문 154~155쪽
3 5`cmÛ`
4 ③
1 20`cm
5 76`cmÜ`
2 ①
6 7500원
7 ①
;2!;
ECÓ=
_2=1(cm)
;2!;
② 2ECÓ=2_2=4(cm) ③ 4-1=3(cm)
8 ① DPÓ`:`PMÓ=2`:`1, DQÓ`:`QNÓ=2`:`1
② 4`:`9 ③ 4`:`5 ④ 30`cmÛ`
1 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면
SRÓ=PQÓ=
ACÓ,
PSÓ=QRÓ=
BDÓ
;2!;
;2!;
(cid:34)
(cid:49)
(cid:35)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:52)
(cid:50)
(cid:37)
(cid:51)
(cid:36)
이때 ACÓ=BDÓ이므로 PQRS의 둘레의 길이는
PQÓ+QRÓ+SRÓ+PSÓ =(PQÓ+SRÓ)+(QRÓ+PSÓ)
=ACÓ+BDÓ=2BDÓ
=2_10=20(cm)
2 AFÓ=BFÓ, AEÓ=CEÓ이므로 FEÓBCÓ이고
AHÓ`:`ADÓ=AFÓ`:`ABÓ=1`:`2이므로
AHÓ=
ADÓ=
_12=6(cm)
;2!;
;2!;
점 G는 △ABC의 무게중심이므로
AGÓ=
ADÓ=
_12=8(cm)
;3@;
;3@;
∴ HGÓ=AGÓ-AHÓ=8-6=2(cm)
3 △DBE에서 BEÓ`:`GEÓ=3`:`1이므로
;2!;△ABE
;3!;△DBE=
△DGE=
_
;3!;
=
_
;2!;△ABC=
;1Á2;△ABC
;6!;
=
;1Á2;
_60=5(cmÛ`)
4 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 BDÓ=DCÓ이고
점 I는 내심이므로 ∠BAE=∠CAE
즉, BEÓ`:`ECÓ=ABÓ`:`ACÓ=4`:`3이다.
따라서 BDÓ`:`DEÓ`:`ECÓ=7`:`1`:`6이므로
△ADE=
;1Á4;△ABC=
;1Á4;
_
{;2!;
_4_3
=
(cmÛ`)
}
;7#;
5 원뿔 A, A+B, A+B+C는 서로 닮은 도형이고, 닮음비
는 1`:`2`:`3이므로
세 원뿔의 부피의 비는 1Ü``:`2Ü``:`3Ü`=1`:`8`:`27
즉, 원래 원뿔과 원뿔대 C의 부피의 비는
27`:`(27-8)=27`:`19이므로 원뿔대 C의 부피를 x`cmÜ`
라 하면
108`:`x=27`:`19 ∴ x=76
따라서 원뿔대 C의 부피는 76`cmÜ`이다.
4 피타고라스 정리
1
CHECK
피타고라스 정리
1 ⑴ 5 ⑵ 8
2 (위에서부터) 144, 21, 2, 9
3 ⑴ x=6, y=17 ⑵ x=15, y=12
개
념
탑
본문 158쪽
6 두 컵은 서로 닮은 도형이고 닮음비가 3`:`5이므로 부피의
1 ⑴ xÛ`=4Û`+3Û`=25
비는 3Ü``:`5Ü`=27`:`125
큰 종이컵에 담은 음료수의 가격을 x원이라 하면
1620`:`x=27`:`125 ∴ x=7500
따라서 큰 종이컵에 담은 음료수의 가격은 7500원이다.
7 ① △AEC에서 두 점 D, F는 각각 AEÓ, ACÓ의 중점이므
로
DFÓECÓ이고 DFÓ=
ECÓ=
_2=1(cm)
;2!;
;2!;
② △BGD에서 점 E는 `BDÓ의 중점이고, ECÓDGÓ
Ó이므로
DGÓ=2ECÓ=2_2=4(cm)
③ ∴ FGÓ=DGÓ-DFÓ=4-1=3(cm)
8 ① 대각선 BD를 그어 ACÓ와 만나
는 점을 O라 하면 BOÓ=DOÓ이
므로 점 P는 △DAB의 무게중
(cid:34)
(cid:46)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:50)(cid:48)
(cid:47)
(cid:36)
심이다.
∴ DPÓ`:`PMÓ=2`:`1
또, 점 Q는 △DBC의 무게중심이므로
DQÓ`:`QNÓ=2`:`1
② 따라서 △DPQ∽△DMN`(SAS 닮음)이고, 닮음비는
2`:`3이므로 넓이의 비는 2Û``:`3Û`=4`:`9
4`:`(9-4)=4`:`5
④ △DPQ의 넓이가 `24`cmÛ`이므로
24`:`PMNQ=4`:`5
∴ PMNQ=30`cmÛ`
이때 5Û`=25이고, x>0이므로 x=5
⑵ 10Û`=6Û`+xÛ`, xÛ`=10Û`-6Û`=64
이때 8Û`=64이고, x>0이므로 x=8
2
aÛ`
bÛ`
cÛ`
1
1
4
25-4=21
3
6
1+1=2
25
3+6=9
169-25=144
25
169
3 ⑴ 10Û`=8Û`+xÛ`, xÛ`=10Û`-8Û`=36
이때 6Û`=36이고, x>0이므로 x=6
yÛ`=15Û`+8Û`=289
이때 17Û`=289이고, y>0이므로 y=17
⑵ 17Û`=8Û`+xÛ`, xÛ`=17Û`-8Û`=225
이때 15Û`=225이고, x>0이므로 x=15
15Û`=9Û`+yÛ`, yÛ`=15Û`-9Û`=144
이때 12Û`=144이고, y>0이므로 y=12
A
피타고라스 정리의 이용
본문 159쪽
x=12, y=13
1 7`cm
xÛ`=15Û`-9Û`=144
이때 12Û`=144이고, x>0이므로 x=12
△ADC에서 yÛ`=5Û`+12Û`=169
이때 13Û`=169이고, y>0이므로 y=13
정답과 풀이 47
③ △DPQ와 PMNQ의 넓이의 비는
△ABD에서 9Û`+xÛ`=15Û`이므로
1 BDÓ를 그으면
△ABD에서 BDÓ Û`=15Û`+20Û`=625
이때 BDÓ>0이므로 BDÓ=25`cm
△BCD에서 CDÓ Û`=25Û`-24Û`=49
이때 CDÓ>0이므로 CDÓ=7`cm
(cid:34)
(cid:18)(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:19)(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:19)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:36)
B
연속된 도형에서 피타고라스 정리
본문 159쪽
4
2 2
△ABC에서 ACÓ Û`=ABÓ Û`+BCÓ Û`=2Û`+2Û`=8
△ACD에서 ADÓ Û`=ACÓ Û`+CDÓ Û`=8+2Û`=12
△ADE에서 AEÓ Û`=ADÓ Û`+DEÓ Û`=12+2Û`=16
이때 AEÓ>0이므로 AEÓ=4
2 △OAA'에서 OA'Ó Û`=OAÓ Û`+AA'Ó Û`=1Û`+1Û`=2
△OBB'에서 OA'Ó
Ó=OBÓ이므로
OB'Ó Û`=OBÓ Û`+BB'Ó Û`=2+1Û`=3
△OCC'에서 OB'Ó=OCÓ이므로
OC'Ó Û`=OCÓ Û`+CC'Ó Û`=3+1Û`=4
이때 OC'Ó>0이므로 OC'Ó=2
∴ ODÓ=OC'Ó=2
2
CHECK
피타고라스 정리의 설명 ⑴
본문 160쪽
1 ⑴ 9`cmÛ` ⑵ 16`cmÛ` ⑶ 25`cmÛ`
2 ⑴ 144`cmÛ` ⑵ 12`cm
1 ⑴ BFKJ=ADEB=9`cmÛ`
⑵ JKGC=ACHI=16`cmÛ`
⑶ BFGC =BFKJ+JKGC
2 ⑴ (정사각형 R의 넓이)
=(정사각형 P의 넓이)-(정사각형 Q의 넓이)
=169-25=144(cmÛ`)
⑵ ACÓ Û`=144이고
ACÓ>0이므로 ACÓ=12`cm
48 ⅠⅠⅠ . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
A
피타고라스 정리`-`유클리드의 설명
본문 161쪽
(cid:37)
(cid:38)
(cid:23)
(cid:41)
(cid:42)
(cid:36)
(cid:40)
(cid:34)
(cid:43)
(cid:18)(cid:17)
(cid:44)
(cid:35)
(cid:39)
32
1 40`cmÛ`
2 ⑤
3 26`cmÛ`
△ABC에서 ABÓ Û`=10Û`-6Û`=64
이때 ABÓ>0이므로 ABÓ=8
∴ △ABF=△EBC=△EBA
=
;2!;
ADEB
=
;2!;
_8Û`=32
1 △ABC에서 BCÓ Û`=8Û`+4Û`=80이므로
BDEC=80`cmÛ`
∴ △FDE=
BDEC
;2!;
=
;2!;
_80=40(cmÛ`)
2 ⑤ △ACH=△GCJ이므로 ACHI=JKGC
3 △ABC에서 BCÓ Û`=4Û`+6Û`=52이
므로 BFGC=52`cmÛ`
점 A에서 BCÓ, FGÓ에 내린 수선의
(cid:38)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:42)
(cid:41)
(cid:36)
(cid:40)
(cid:37)
(cid:34)
(cid:35)
(cid:43)
(cid:39)
(cid:44)
=△ABF+△ACG=△JBF+△JCG
발을 각각 J, K라 하면
△ABF=△JBF,
△ACG=△JCG
∴ (색칠한 부분의 넓이)
=
BFGC
;2!;
;2!;
=
_52=26(cmÛ`)
[다른 풀이]
△ABF=△EBC=△EBA
=
;2!;
=
;2!;
ADEB
_4Û`=8(cmÛ`)
=
;2!;
ACHI
=
;2!;
_6Û`=18(cmÛ`)
∴ (색칠한 부분의 넓이) =△ABF+△ACG
=8+18=26(cmÛ`)
=9+16=25(cmÛ`)
△ACG=△HCB=△HCA
3
CHECK
피타고라스 정리의 설명 ⑵
본문 162쪽
△ACE=
_ACÓ_CEÓ=
ACÓ Û`
;2!;
1 ⑴ 5`cm ⑵ 25`cmÛ`
=
_34=17
1 ⑴ ABÓ Û`=4Û`+3Û`=25
이때 ABÓ>0이므로 ABÓ=5`cm
⑵ AGHB는 정사각형이므로
AGHB =ABÓ Û`
=5Û`=25(cmÛ`)
A
피타고라스 정리`-`피타고라스의 설명
본문 163쪽
289
1 64`cmÛ`
△AEH에서 EHÓ Û`=15Û`+8Û`=289
이때 EHÓ>0이므로 EHÓ=17
따라서 EFGH는 한 변의 길이가 17인 정사각형이므로
EFGH=17Û`=289
1 EFGH는 정사각형이고, 넓이가 40`cmÛ`이므로
EFÓ Û`=40
△AFE에서
AEÓ Û`=EFÓ
Ó Û`-6Û`=40-36=4
이때 AEÓ>0이므로 AEÓ=2
따라서 ABCD의 한 변의 길이는 6+2=8(cm)이므로
ABCD=8Û`=64(cmÛ`)
B
피타고라스 정리`-`가필드의 설명
본문 163쪽
⑤
2 ⑴ 6`cm ⑵ 50`cmÛ`
ABDE에서 △ABCª△CDE이
므로 △ACE는 ∠ACE=90ù인 직각
(cid:34)
(cid:20)
(cid:35)
(cid:22)
(cid:36)
(cid:20)
(cid:38)
(cid:22)
(cid:37)
이등변삼각형이다.
③ ACÓ Û`=3Û`+5Û`=34
④ ACÓ=CEÓ이므로
⑤ ABDE=
_(ABÓ+DEÓ)_BDÓ
=
_(3+5)_8=32
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
개
념
탑
2 ⑴ △BDE는 ∠DBE=90ù인 직각이등변삼각형이고 넓이
가 26`cmÛ`이므로
_BEÓ_BDÓ=
BEÓ Û`=26
;2!;
;2!;
∴ BEÓ Û`=52
△ABE에서 ABÓ Û`=BEÓ Û`-4Û`=52-16=36
이때 ABÓ>0이므로 ABÓ=6`cm
⑵ CDÓ=ABÓ=6`cm, BCÓ=EAÓ=4`cm이므로
ACDE=
_(4+6)_10
;2!;
=50(cmÛ`)
4
CHECK
피타고라스 정리의 설명 ⑶
본문 164쪽
1 ⑴ 16`cm ⑵ 4`cm ⑶ 16`cmÛ`
1 ⑴ △ABC에서 BCÓ Û`=20Û`-12Û`=256
이때 BCÓ>0이므로 BCÓ=16`cm
⑵ BFÓ=ACÓ=12`cm이므로
CFÓ=BCÓ-BFÓ=16-12=4(cm)
⑶ CFGH는 한 변의 길이가 4`cm인 정사각형이므로
CFGH=4Û`=16(cmÛ`)
A
피타고라스 정리`-`바스카라의 설명
본문 165쪽
9`cmÛ`
1 ④
2 49`cmÛ`
3 25`:`1
△BCG에서 BGÓ Û`=15Û`-9Û`=144
이때 BGÓ>0이므로 BGÓ=12`cm
BFÓ=CGÓ=9`cm이므로
FGÓ=BGÓ-BFÓ=12-9=3(cm)
이때 EFGH는 정사각형이므로
EFGH=3Û`=9(cmÛ`)
정답과 풀이 49
3 4개의 직각삼각형이 모두 합동이므로 ABCD는 정사각
(17x)Û`=(15x)Û`+16Û`, 289xÛ`=225xÛ`+256
1 ④ EFGH는 정사각형이므로
EFGH=EFÓ Û`
2 정사각형 ABCD의 넓이가 289`cmÛ`이므로
ADÓ Û`=289
이때 ADÓ>0이므로 ADÓ=17`cm
△AED에서 EDÓ Û`=17Û`-8Û`=225
이때 EDÓ>0이므로 EDÓ=15`cm
DHÓ=AEÓ=8`cm이므로
EHÓ=EDÓ-DHÓ=15-8=7(cm)
이때 EFGH는 정사각형이므로
EFGH=7Û`=49(cmÛ`)
형이다.
∴ ABCD=BCÓ Û`=25Û`=625(cmÛ`)
△BCF에서 CFÓ Û`=25Û`-15Û`=400
이때 CFÓ>0이므로 CFÓ=20`cm
CGÓ=BFÓ=15`cm이므로
FGÓ=CFÓ-CGÓ=20-15=5(cm)
이때 EFGH는 정사각형이므로
Ó Û`=5Û`=25(cmÛ`)
EFGH=FGÓ
따라서 ABCD와 EFGH의 넓이의 비는
ABCD`:`EFGH=625`:`25=25`:`1
직각삼각형이 되는 조건
본문 166쪽
5
CHECK
1 ⑴ C ⑵ A ⑶ B
2 ㄱ, ㄹ
3 ⑴ 직각삼각형이다. ⑵ 직각삼각형이 아니다.
2 ㄱ. 5Û`=3Û`+4Û` (직각삼각형)
ㄴ. 7Û`+3Û`+5Û` (직각삼각형이 아니다.)
ㄷ. 5Û`+2Û`+4Û` (직각삼각형이 아니다.)
ㄹ. 13Û`=5Û`+12Û` (직각삼각형)
따라서 직각삼각형인 것은 ㄱ, ㄹ이다.
3 ⑴ 26Û`=10Û`+24Û`이므로 △ABC는 ∠A=90ù인 직각
삼각형이다.
⑵ 7Û`+4Û`+4Û`이므로 △ABC는 직각삼각형이 아니다.
50 ⅠⅠⅠ . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
A
직각삼각형이 되는 조건
-`가장 긴 변이 주어진 경우
본문 167쪽
5
1 ②
x<6이므로 가장 긴 변의 길이는 25이다.
이때 직각삼각형이 되려면 25Û`=(3x)Û`+(4x)Û`
625=9xÛ`+16xÛ`, 625=25xÛ`, 25=xÛ`
이때 x>0이므로 x=5
1 ∠C=90ù인 직각삼각형이 되려면 가장 긴 변의 길이가
17x이므로
64xÛ`=256, xÛ`=4
이때 x>0이므로 x=2
B
직각삼각형이 되는 조건
-`가장 긴 변이 주어지지 않은 경우
본문 167쪽
7 또는 25
2 ②, ④
Ú 가장 긴 변의 길이가` x`cm일 때, xÛ`=3Û`+4Û`=25
Û 가장 긴 변의 길이가` 4`cm일 때, 4Û`=3Û`+xÛ`
∴ xÛ`=7
Ú, Û에서 xÛ`=7 또는 xÛ`=25
2 Ú 가장 긴 변의 길이가 x`cm일 때, xÛ`=1Û`+3Û`=10
Û 가장 긴 변의 길이가 3`cm일 때, 3Û`=1Û`+xÛ`
∴ xÛ`=3Û`-1Û`=8
Ú, Û에서 xÛ`=8 또는 xÛ`=10
6
CHECK
삼각형의 변과 각 사이의 관계 본문 168쪽
1 ⑴ 예각삼각형 ⑵ 직각삼각형 ⑶ 둔각삼각형
2 3, 3, 1, 7, 7, 4Û`, 5, 4, 5
1 ⑴ 가장 긴 변의 길이가 6이고, 6Û`<4Û`+5Û`이므로 예각
1 ⑴ ABÓ Û`=BDÓ_BCÓ=9_(9+16)=225
⑵ 가장 긴 변의 길이가 13이고, 13Û`=5Û`+12Û`이므로 직
⑶ 가장 긴 변의 길이가 11이고, 11Û`>7Û`+8Û`이므로 둔
삼각형
각삼각형
각삼각형
이때 ABÓ>0이므로 ABÓ=15`cm
⑵ ACÓ Û`=CDÓ_CBÓ=16_(9+16)=400
이때 ACÓ>0이므로 ACÓ=20`cm
⑶ ADÓ Û`=DBÓ_DCÓ=9_16=144
개
념
탑
이때 ADÓ>0이므로 ADÓ=12`cm
2 ⑴ BCÓ Û`+DEÓ Û` =BEÓ Û`+CDÓ Û`
=4Û`+6Û`=52
⑵ BEÓ Û`+CDÓ Û` =BCÓ Û`+DEÓ Û`
=10Û`+5Û`=125
A
삼각형에서 변의 길이에 따른 각의 크기
본문 169쪽
⑤
1 ⑤
2 2개
① 5Û`>2Û`+4Û`이므로 둔각삼각형
② 13Û`=5Û`+12Û`이므로 직각삼각형
③ 8Û`<4Û`+7Û`이므로 예각삼각형
④ 4Û`<3Û`+3Û`이므로 예각삼각형
⑤ 6Û`>3Û`+5Û`이므로 둔각삼각형
1 ① 가장 긴 변의 길이는 8`cm이고, 8Û`>5Û`+6Û`이므로
△ABC는 둔각삼각형이다.
② 가장 긴 변의 길이는 8`cm이고, 8Û`<6Û`+6Û`이므로
③ 가장 긴 변의 길이는 9`cm이고, 9Û`<6Û`+8Û`이므로
△ABC는 예각삼각형이다.
△ABC는 예각삼각형이다.
④ 가장 긴 변의 길이는 10`cm이고, 10Û`=6Û`+8Û`이므로
△ABC는 직각삼각형이다.
⑤ 가장 긴 변의 길이는 12`cm이고, 12Û`>6Û`+8Û`이므로
△ABC는 둔각삼각형이다.
자연수는 3, 4, 5와 6, 8, 10뿐이다.
즉, 3Û`+4Û`=5Û`, 6Û`+8Û`=10Û`이 성립한다.
따라서 세 변의 길이가 각각 3, 4, 5와 6, 8, 10인 2개의 직
각삼각형을 만들 수 있다.
7
CHECK
직각삼각형과 피타고라스 정리 본문 170쪽
1 ⑴ 15`cm ⑵ 20`cm ⑶ 12`cm
2 ⑴ 52 ⑵ 125
A
직각삼각형의 닮음의 이용
본문 171쪽
`cmÛ`
;;¥2¤5¢;;
1 ;;¤5£;;
ACÓ Û`=CHÓ_CBÓ이므로
12Û`=20CHÓ ∴ CHÓ=
`cm
;;£5¤;;
ABÓ Û`=20Û`-12Û`=256
이때 ABÓ>0이므로 ABÓ=16`cm
ABÓ_ACÓ=AHÓ_BCÓ이므로
16_12=AHÓ_20 ∴ AHÓ=
`cm
;;¢5¥;;
=
_
;2!;
;;£5¤;;_;;¢5¥;;=;;¥2¤5¢;;
(cmÛ`)
1 △ABC에서 BCÓ Û`=15Û`-12Û`=81
이때 BCÓ>0이므로 BCÓ=9
BCÓ Û`=CDÓ_CAÓ이므로
9Û`=y_15 ∴ y=
;;ª5¦;;
ABÓ_BCÓ=ACÓ_BDÓ이므로
12_9=15_x ∴ x=
;;£5¤;;
∴ x+y=
;;£5¤;;+;;ª5¦;;=;;¤5£;;
정답과 풀이 51
2 10 이하의 자연수 중에서 피타고라스 정리를 만족하는 세
∴ △AHC=
_CHÓ_AHÓ
;2!;
B
직각삼각형과 피타고라스 정리
본문 171쪽
B
내부에 임의의 한 점이 있는 직사각형
본문 173쪽
115
2 80
△ADE에서 DEÓ Û`=3Û`+5Û`=34
∴ BEÓ Û`+CDÓ Û` =BCÓ Û`+DEÓ Û`
=9Û`+34=115
2 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해
DEÓ=
_8=4
ACÓ=
;2!;
;2!;
∴ AEÓ Û`+CDÓ Û` =DEÓ Û`+ACÓ Û`
=4Û`+8Û`=80
5
2 70`m
APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û`이므로
2Û`+yÛ`=3Û`+xÛ`
∴ yÛ`-xÛ`=9-4=5
2 APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û`이므로
BPÓ=x`m라 하면
80Û`+10Û`=xÛ`+40Û`, 6500=xÛ`+1600, xÛ`=4900
이때 x>0이므로 x=70
따라서 B 지점과 진희 사이의 거리는 70`m이다.
사각형과 피타고라스 정리
본문 172쪽
반원과 피타고라스 정리
본문 174쪽
9
CHECK
1 ⑴ 20`cmÛ` ⑵ 25`cmÛ`
2 ⑴ 9`cmÛ` ⑵ 4`cmÛ`
8
CHECK
1 ⑴ 18 ⑵ 5
2 ⑴ 20 ⑵ 10
1 ⑴ 4Û`+xÛ`=3Û`+5Û` ∴ xÛ`=18
⑵ 4Û`+5Û`=xÛ`+6Û` ∴ xÛ`=5
2 ⑴ 6Û`+3Û`=5Û`+xÛ` ∴ xÛ`=20
⑵ 5Û`+7Û`=xÛ`+8Û` ∴ xÛ`=10
A
두 대각선이 직교하는 사각형
본문 173쪽
50
1 14
ABCD는 ADÓBCÓ인 등변사다리꼴이므로
ABÓ=CDÓ=x라 하면
ABÓ Û`+CDÓ Û`=ADÓ Û`+BCÓ Û`이므로
xÛ`+xÛ`=6Û`+8Û`, xÛ`=50 ∴ ABÓ Û`=50
1 △OCD에서 CDÓ Û`=2Û`+7Û`=53
ABÓ Û`+CDÓ Û`=ADÓ Û`+BCÓ Û`이므로
5Û`+53=ADÓ Û`+8Û` ∴ ADÓ Û`=14
52 ⅠⅠⅠ . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
1 ⑴ (색칠한 부분의 넓이)=32-12=20(cmÛ`)
⑵ (색칠한 부분의 넓이)=9+16=25(cmÛ`)
2 ⑴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC
⑵ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC
=
;2!;
_6_3=9(cmÛ`)
=
;2!;
_2_4=4(cmÛ`)
A
직각삼각형의 세 반원 사이의 관계
본문 175쪽
20`cm
1 36p
BCÓ=2r`cm라 하면 BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이는
32p+18p=50p(cmÛ`)이므로
;2!;
p_rÛ`=50p, rÛ`=100
이때 r>0이므로 r=10
∴ BCÓ=2r=2_10=20(cm)
=
;2!;
_12_5=30(cmÛ`)
따라서 직각삼각형 ABH에서 피타고
B
히포크라테스의 원의 넓이
본문 175쪽
p_
;2!;
{;;Á2ª;;}
Û`=18p
1 R=
P+Q=R이므로 P+Q=18p
∴ P+Q+R=18p+18p=36p
30`cmÛ`
2 25`cmÛ`
△ABC에서 ACÓ Û`=13Û`-12Û`=25
이때 ACÓ>0이므로 ACÓ=5`cm
∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC
2 △ABC에서 ABÓ Û`+ACÓ Û`=10Û`
이때 ABÓ=ACÓ이므로
2ABÓ Û`=100 ∴ ABÓ Û`=50
색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로
_ABÓ Û`=
;2!;
;2!;
_50=25(cmÛ`)
기본 다지기 문제
본문 178~180쪽
01 60`cmÛ` 02 ③
03 3`cm
04 ④
05 ③
06 ②
`cm 08 18`cmÛ`
07 ;;ª1ª7°;;
10 4
09 ⑴ 90ù ⑵ 53`cmÛ`
11 4
12 24`cmÛ` 13 ⑤
14 ;;Á5¤;;
`cm 15 50
16 14
17 14p
18 {;;¤2Á;;
p-60
cmÛ`
}`
01 BCÓ Û`=17Û`-8Û`=225
이때 BCÓ>0이므로 BCÓ=15`cm
∴ △ABC=
_ACÓ_BCÓ
_8_15=60(cmÛ`)
;2!;
=
;2!;
02 ABCG=25`cmÛ`이므로 `BCÓ Û`=25
이때 BCÓ>0이므로 BCÓ=5`cm
CDEF=49`cmÛ`이므로 CDÓ Û`=49
이때 CDÓ>0이므로 CDÓ=7`cm
즉 △ABD는` ABÓ=5`cm, BDÓ=5+7=12(cm)인 직각
개
념
탑
삼각형이므로
ADÓ Û`=5Û`+12Û`=169
이때 ADÓ>0이므로 ADÓ=13`cm
03 △DEC에서 DEÓ=ADÓ=15`cm이므로
ECÓ Û`=15Û`-9Û`=144
이때 ECÓ>0이므로 ECÓ=12`cm
∴ BEÓ=15-12=3(cm)
04 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H
(cid:34)
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:18)(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:41)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
라 하면
BHÓ=12-7=5(cm)
라스 정리에 의하여
AHÓ Û`=13Û`-5Û`=144
이때 AHÓ>0이므로 AHÓ=12`cm
∴ ABCD=
_(7+12)_12
;2!;
=114(cmÛ`)
05 △OAB'에서 OB'Ó Û`=OAÓ Û`+AB'Ó Û`=3Û`+3Û`=18
△OBC'에서 OBÓ=OB'Ó이므로
OC'Ó Û`=OBÓ Û`+BC'Ó Û`=18+3Û`=27
△OCD'에서 OCÓ=OC'Ó이므로
OD'Ó Û`=OCÓ Û`+CD'Ó Û`=27+3Û`=36
이때 OD'Ó>0이므로 ODÓ=OD'Ó=6
06 △EBA=△EBC=△ABF=△JBF=△JFK
따라서 △EBA와 넓이가 같은 삼각형이 아닌 것은
② △ABC이다.
07 △ABC에서 BCÓ Û`=15Û`+8Û`=289
이때 BCÓ>0이므로 BCÓ=17`cm
ADEB=BFML이므로 15Û`=17_FMÓ
∴ FMÓ=
`cm
225
17
08 △BEF에서 BEÓ=BFÓ=
EFÓ Û`=3Û`+3Û`=18
;2!;
_6=3(cm)이므로
이때 EFGH는 정사각형이므로
EFGH=EFÓ Û`=18`cmÛ`
09 ⑴ △ABCª△CDE이므로 ∠CAB=∠ECD이고
△ABC에서
정답과 풀이 53
∠CAB+∠ACB=∠ECD+∠ACB=90ù
∴ ∠ACE=90ù
⑵ BCÓ=DEÓ=9`cm이므로
△ABC에서 ACÓ Û`=5Û`+9Û`=106
△ACE=
_ACÓ_CEÓ=
ACÓ Û`
;2!;
_106=53(cmÛ`)
;2!;
=
;2!;
10 △ABF에서 BFÓ Û`=10Û`-8Û`=36
이때 BFÓ>0이므로 BFÓ=6
4개의 직각삼각형이 모두 합동이므로 AEÓ=BFÓ=6
∴ EFÓ=AFÓ-AEÓ=8-6=2
이때 EFGH는 정사각형이므로
EFGH=2Û`=4
11 4개의 직각삼각형이 모두 합동이므로 ABCD는 정사각
형이다.
∴ ABÓ=5
△ABE에서 BEÓ Û`=5Û`-3Û`=16
이때 BEÓ>0이므로 BEÓ=4
EFGH의 둘레의 길이는
4_1=4
따라서 EFÓ=4-3=1이고 EFGH가 정사각형이므로
12 6Û`+8Û`=10Û`이므로 세 변의 길이가 각각
6`cm, 8`cm, 10`cm인 삼각형은 오른쪽
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)(cid:65)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)(cid:65)
13 △ABC에서 ACÓ Û`=15Û`-12Û`=81
이때 ACÓ>0이므로 ACÓ=9
14 직각삼각형의 빗변의 중점은 외심이므로
AMÓ=BMÓ=CMÓ
∴ AMÓ=
BCÓ=
_(8+2)=5(cm)
;2!;
;2!;
MHÓ=5-2=3(cm)이므로 △AMH에서
AHÓ Û`=5Û`-3Û`=16
이때 AHÓ>0이므로 AHÓ=4`cm
AHÓ Û`=AQÓ_AMÓ이므로 4Û`=AQÓ_5
∴ AQÓ=
`cm
;;Á5¤;;
54 ⅠⅠⅠ . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
15 △ABC에서 ABÓ Û`=4Û`+5Û`=41
∴ ADÓ Û`+BEÓ Û` =ABÓ Û`+DEÓ Û`
=41+3Û`=50
16 ABCD의 두 대각선이 직교하므로
ABÓ Û`+13Û`=ADÓ Û`+14Û`
90+13Û`=ADÓ Û`+14Û`=ADÓ Û`+196
∴ ADÓ Û`=63
따라서 △AOD에서
xÛ`=ADÓ Û`-7Û`=63-49=14
p_
;2!;
{;2*;}
Û`=8p
17 SÁ=
∴ S£=SÁ+Sª=8p+6p=14p
18 오른쪽 그림에서
SÁ+Sª=△ABC=
=60(cmÛ`)
_12_10
;2!;
따라서 색칠한 부분의 넓이는
;2!;
_p_
{;;Á2ª;;}
`+;2!;_
p
_{;;Á2¼;;}
Û`-(SÁ+Sª)
=18p+
p-60
;;ª2°;;
=
p-60(cmÛ`)
;;¤2Á;;
[다른 풀이]
△ABC에서 BCÓ Û`=12Û`+10Û`=244
따라서 색칠한 부분의 넓이는
(cid:34)
(cid:52)(cid:132)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:52)(cid:109)
(cid:36)
1 60`cmÛ`
2 16
3 15`cmÛ`
4 ;3*;
`cm
5 ③
7 ① 13Û`-5Û`=144, 12`cm
6 17`cm
② △ABC, △ABC, 12Û`,
_5_12,
25+144-30=139(cmÛ`)
8 ① 4`cm ②
`cm ③
`cmÛ`
25
3
;2!;
50
3
그림과 같이 빗변의 길이가 10`cm인 직
각삼각형이다.
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)(cid:65)
;2!;
_p_
{
Û`-
;2!;
_12_10
따라서 구하는 삼각형의 넓이는
_6_8=24(cmÛ`)
;2!;
=
_p_
;2!;
-60=
p-60(cmÛ`)
;;¤2Á;;
BCÓ
2 }
244
4
△ACD에서 9Û`>5Û`+6Û`이므로 △ACD는 둔각삼각형이다.
실력 올리기 문제
본문 181~182쪽
Û
1 주어진 직각삼각형을 직선 l을 회전축으
로 하여 1회전 시킬 때 생기는 입체도형
은 오른쪽 그림과 같은 원뿔이다.
(cid:77)
(cid:18)(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:73)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
원뿔의 높이를 h`cm라 하면
hÛ`=13Û`-5Û`=144
이때 h>0이므로 h=12
따라서 구하는 단면의 넓이는
;2!;
_10_12=60(cmÛ`)
AHÓ Û`=
{;;Á3¼;;}
2Û
`-
`=;;¤9¢;;
이때 AHÓ>0이므로 AHÓ=
`cm
;3*;
5 오른쪽 그림에서
B'FÓ=BFÓ=9-4=5(cm)이므로
(cid:34)
(cid:38)
(cid:34)(cid:8)
(cid:40)
(cid:37)
△B'FC에서
B'CÓ Û`=5Û`-4Û`=9
이때 B'CÓ>0이므로 B'CÓ=3`cm
(cid:35)
(cid:39)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
개
념
탑
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)(cid:8)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
2 △JFK=
;2!;
BFKJ=
ADEB
;2!;
=
;2!;
_9Û`=
(cmÛ`)
;;¥2Á;;
△JKG=
JKGC=
ACHI
;2!;
;2!;
=
;2!;
_7Û`=
(cmÛ`)
;;¢2»;;
따라서 P=
Q
;;¥2Á;;,
=;;¢2»;;
이므로
P-Q=
;;¥2Á;;-;;¢2»;;
=16
3 △ABC에서 BCÓ Û`=10Û`-6Û`=64
이때 BCÓ>0이므로 BCÓ=8`cm
ADÓ는 ∠A의 이등분선이므로
BDÓ`:`CDÓ=ABÓ`:`ACÓ=10`:`6=5`:`3
∴ BDÓ=
BCÓ=
_8=5(cm)
;8%;
;8%;
∴ △ABD=
_5_6=15(cmÛ`)
;2!;
4 BCÓ Û`=6Û`+8Û`=100
이때 BCÓ>0이므로 BCÓ=10`cm
점 D가 직각삼각형 △ABC의 외심이므로
ADÓ=BDÓ=CDÓ=
BCÓ=5(cm)
;2!;
점 G가 △ABC의 무게중심이므로
AGÓ=
ADÓ=
_5=
(cm)
;3@;
;;Á3¼;;
;3@;
△AGC=
;3!;△ABC
=
_
;3!;
;2!;
_6_8=8(cmÛ`)
또, △AGC=
_ACÓ_GHÓ이므로
;2!;
;2!;
_8_GHÓ=8 ∴ GHÓ=2`cm
따라서 △AGH에서
DB'Ó=9-3=6(cm)
△B'FC∽△GB'D`(AA 닮음)이므로
GB'Ó=x`cm라 하면
5`:`x=4`: 6, 4x=30 ∴ x=
;;Á2°;;
△GFB'=
_5_
;2!;
;;Á2°;;=;;¦4°;;
(cmÛ`)
6 오른쪽 그림의 전개도에서 구하는 최
단 거리는 BEÓ의 길이이므로
BEÓ Û`=15Û`+8Û`=289
이때 BEÓ>0이므로 BEÓ=17`cm
(cid:35)
(cid:39)
(cid:36)
(cid:37)
(cid:34)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:40)
(cid:41)
(cid:38)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
7 ① 피타고라스 정리에 의해
ACÓ Û`=13Û`-5Û`=144
이때 ACÓ>0이므로 ACÓ=12`cm
② 색칠한 부분의 넓이는 히포크라테스의 원의 넓이를 이
용하면 정사각형 AFGB와 정사각형 ACDE의 넓이의
합에서 △ABC의 넓이를 뺀 것과 같으므로
(색칠한 부분의 넓이)=AFGB+ACDE-△ABC
=5Û`+12Û`-
_5_12
;2!;
=25+144-30=139(cmÛ`)
8 ① △ABH에서 피타고라스 정리에 의해
AHÓ Û`=5Û`-3Û`=16
이때 AHÓ>0이므로 AHÓ=4`cm
② △ABC에서 ABÓ Û`=BHÓ_BCÓ이므로
5Û`=3_BCÓ ∴ BCÓ=
`cm
;;ª3°;;
③ △ABC=
_BCÓ_AHÓ
;2!;
=
_
;2!;
4
;;ª3°;;_
=;;°3¼;;
(cmÛ`)
정답과 풀이 55
Û
ⅠV 확률
1 경우의 수
사건과 경우의 수
본문 186쪽
1
CHECK
1 풀이 참조
2 ⑴ 7 ⑵ 3
3 ⑴ 10 ⑵ 7 ⑶ 6
1
사건
6의 눈이 나온다.
경우
6
홀수의 눈이 나온다.
1, 3, 5
6의 약수의 눈이 나온다.
1, 2, 3, 6
경우의 수
1
3
4
2 ⑴ 4 이상인 수는 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10이므로 경우의 수
⑵ 3의 배수는 3, 6, 9이므로 경우의 수는 3이다.
3 ⑴ 10 이하인 수는 1, 2, 3, 4, y, 10이므로 경우의 수
⑵ 짝수는 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14이므로 경우의 수는 7
는 7이다.
는 10이다.
이다.
⑶ 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13이므로 경우의 수는 6이다.
B
돈을 지불하는 경우의 수
본문 187쪽
③
2 5
두 가지 동전을 각각 1개 이상 사용하여 지불할 수 있는 금
액을 표로 나타내면 다음과 같다.
500원(개)
100원(개)
1
1
1
2
2
1
2
2
3
1
3
2
금액(원)
600
700
1100
1200
1600
1700
따라서 지불할 수 있는 금액이 아닌 것은 ③이다.
2 액수가 큰 1000원짜리 지폐의 수를 정한 다음 500원짜리
동전의 개수를 정한다.
1000원(장)
500원(개)
7
0
6
2
5
4
4
6
3
8
따라서 7000원을 지불하는 경우의 수는 5이다.
A
사건과 경우의 수 이해하기
본문 187쪽
1 ⑴ 3 ⑵ 2 ⑶ 5
사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수 본문 188쪽
2
CHECK
2 8
3 6
① 소수는 2, 3, 5, 7이므로 경우의 수는 4이다.
② 4의 배수는 4, 8이므로 경우의 수는 2이다.
③ 7보다 큰 수는 8, 9, 10이므로 경우의 수는 3이다.
④ 두 자리의 자연수는 10이므로 경우의 수는 1이다.
⑤ 10보다 작은 수는 1, 2, 3, y, 9이므로 경우의 수는 9
1 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이므로 경우의 수는 6이다.
1 ⑴ 3 이하의 눈은 1, 2, 3이므로 경우의 수는 3이다.
⑵ 5 이상의 눈은 5, 6이므로 경우의 수는 2이다.
⑶ 3 이하 또는 5 이상의 눈이 나오는 경우의 수는
3+2=5
2 버스를 이용하는 방법은 3가지, 지하철을 이용하는 방법
은 5가지이므로 구하는 경우의 수는 3+5=8
3 빨간 공이 나오는 경우의 수는 4, 파란 공이 나오는 경
우의 수는 2이므로 구하는 경우의 수는 4+2=6
③
1 ②
이다.
56 ⅠV . 확률
A
사건 A 또는 사건 B가 일어나는
경우의 수-`중복된 사건이 없는 경우
본문 189쪽
3_2=6
1 ⑶ 빵과 음료수를 각각 1개씩 고르는 경우의 수는
①
1 7
10
2 7
14의 7가지
5가지
2 빨간색 꽃을 고르는 경우의 수는 4, 흰색 꽃을 고르는 경
우의 수는 2이므로 구하는 경우의 수는 4_2=8
3 ⑴ 집에서 문구점까지 가는 경우의 수는 3
⑵ 문구점에서 학교까지 가는 경우의 수는 3
⑶ 집에서 문구점을 거쳐 학교까지 가는 경우의 수는
개
념
탑
3_3=9
A
사건 A와 사건 B가 동시에 일어나는
경우의 수
본문 191쪽
Ú 눈의 수의 합이 5인 경우
(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의 4가지
Û 눈의 수의 합이 7인 경우
(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)의 6가지
Ú, Û의 두 사건은 동시에 일어나지 않으므로 구하는 경
우의 수는 4+6=10
1 김밥을 주문하는 경우의 수는 4, 라면을 주문하는 경우의
수는 3이고, 이 두 사건은 동시에 일어나지 않으므로 구하
는 경우의 수는 4+3=7
12개
1 24
8
2 10
B
사건 A 또는 사건 B가 일어나는
경우의 수-`중복된 사건이 있는 경우
본문 189쪽
자음이 적힌 카드를 뽑는 경우의 수는 3, 모음이 적힌 카드
를 뽑는 경우의 수는 4이므로 각각 한 장씩 뽑아 만들 수
있는 글자의 개수는 3_4=12(개)
2의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우는 2, 4, 6, 8, 10, 12,
3의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우는 3, 6, 9, 12, 15의
1 수학 문제집을 사는 경우의 수는 6, 영어 문제집을 사는 경우
의 수는 4이므로 각각 한 권씩 사는 경우의 수는 6_4=24
그런데 6, 12는 2의 배수이면서 3의 배수이므로 구하는 경
우의 수는 7+5-2=10
B
길 또는 교통편을 선택하는 경우의 수
본문 191쪽
2 20의 약수인 경우는 1, 2, 4, 5, 10, 20의 6가지
5의 배수인 경우는 5, 10, 15, 20의 4가지
그런데 5, 10, 20은 20의 약수이면서 5의 배수이므로 구하
Ú 집에서 공원을 거쳐 수영장까지 가는 경우의 수는
는 경우의 수는 6+4-3=7
3_2=6
사건 A와 사건 B가 동시에 일어나는 경우의 수 본문 190쪽
3
CHECK
1 ⑴ 3 ⑵ 2 ⑶ 6
2 8
3 ⑴ 3 ⑵ 3 ⑶ 9
Û 집에서 수영장까지 바로 가는 경우의 수는 2
Ú, Û의 두 사건은 동시에 일어나지 않으므로 구하는 경
우의 수는 6+2=8
2 A 지점에서 B 지점을 거쳐 C 지점까지 가는 경우의 수는
3_3=9
A 지점에서 C 지점까지 바로 가는 경우의 수는 1
따라서 구하는 경우의 수는 9+1=10
정답과 풀이 57
4
CHECK
2 ⑴ 36 ⑵ 9
3 12
2 ⑴ 6_6=36
동전 또는 주사위를 던질 때의 경우의 수 본문 192쪽
따라서 도가 나오는 경우의 수는 4이다.
1 ⑴ 앞, 뒤, 뒤, 4 ⑵ 앞, 뒤, 뒤, 2, 앞, 뒤, 앞, 2
⑵ 홀수의 눈이 나오는 경우는 1, 3, 5의 3가지, 짝수의
눈이 나오는 경우는 2, 4, 6의 3가지이므로 구하는
경우의 수는 3_3=9
3 동전 한 개를 던질 때 일어나는 모든 경우의 수는 2, 주
사위 한 개를 던질 때 일어나는 모든 경우의 수는 6이므
로 구하는 경우의 수는 2_6=12
5
CHECK
A
동전과 주사위를 동시에 던질 때의
경우의 수
본문 193쪽
6
1 6
동전의 앞면이 나오는 경우는 1가지이고, 2개의 주사위가
서로 같은 눈이 나오는 경우는 (1, 1), (2, 2), (3, 3),
(4, 4), (5, 5), (6, 6)의 6가지이다.
따라서 구하는 경우의 수는 1_6=6
2 전구 한 개는 켜진 경우와 꺼진 경우의 2가지이므로 전구 3
개로 신호를 보낼 수 있는 방법은 2_2_2=8(가지)
3 한 사람이 낼 수 있는 경우는 가위, 바위, 보의 3가지이므
로 구하는 경우의 수는 3_3_3=27
한 줄로 세우는 경우의 수
본문 194쪽
1 6
3 24
2 ⑴ 120 ⑵ 20
1 3_2_1=6
2 ⑴ 5_4_3_2_1=120
⑵ 5_4=20
3 A를 세 번째에 고정시키면 ` A```
따라서 나머지 4명을 일렬로 세우는 경우의 수와 같으
므로 4_3_2_1=24
A
전체를 한 줄로 세우는 경우의 수
본문 195쪽
1 2개의 동전이 서로 다른 면이 나오는 경우는 (앞, 뒤),
(뒤, 앞)의 2가지이고, 주사위가 소수의 눈이 나오는 경우
120가지
1 24가지
는 2, 3, 5의 3가지이다.
따라서 구하는 경우의 수는 2_3=6
B
동전 던지기의 응용
본문 193쪽
⑴ 16 ⑵ 4
2 8가지
3 27
⑴ 윷가락 1개는 등, 배의 2가지 경우가 있으므로 윷가락 4
개를 던질 때 일어나는 모든 경우의 수는 2Ý`=16
⑵ 도가 나오는 경우는 다음과 같이 등이 3개, 배가 1개 나
120
2 60
3 840
5명을 한 줄로 세우는 경우와 같으므로 나란히 서는 순서
를 정하는 방법은 5_4_3_2_1=120(가지)
1 4개의 장소를 한 줄로 세우는 경우와 같으므로 방문 순서
를 정하는 방법은 4_3_2_1=24(가지)
B
일부를 뽑아서 한 줄로 세우는 경우의 수
본문 195쪽
6장의 카드 중에서 3장을 뽑아 일렬로 배열하는 경우의 수
는 6_5_4=120
올 때이다.
58 ⅠV . 확률
2 서로 다른 5개의 음료수 중 3개를 뽑아 일렬로 세우는 경우
의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 5_4_3=60
6
CHECK
3 7명의 학생 중 4명을 뽑아 일렬로 세우는 경우의 수와 같으
므로 구하는 경우의 수는 7_6_5_4=840
이웃하여 한 줄로 세우는 경우의 수 본문 197쪽
1 5, 4, 3, 2, 1, 120, 2, 120, 2, 240
2 3, 3, 2, 1, 6, 3, 2, 1, 6, 6, 6, 36
개
념
탑
A
이웃하여 한 줄로 세우는 경우의 수 ⑴
본문 198쪽
C
색을 선택하여 칠하는 경우의 수
본문 196쪽
시집 2권을 한 권으로 생각하여 4권을 한 줄로 꽂는 경우의
수는 4_3_2_1=24
4가지 색 중에서 3가지 색을 골라 A, B, C 세 부분에 칠하
이때 시집 2권끼리 서로 자리를 바꾸어 꽂는 경우의 수는 `2
는 경우의 수는 4명 중에서 3명을 뽑아 한 줄로 세우는 경
따라서 구하는 경우의 수는 24_2=48
따라서 A, B, C 세 부분에 색을 칠할 수 있는 방법은
1 여학생 3명을 1명으로 생각하여 4명을 일렬로 세우는 경우
24가지
4 120
우의 수와 같다.
4_3_2=24(가지)
의 수는 4_3_2_1=24
이때 여학생끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 3_2_1=6
따라서 구하는 경우의 수는 24_6=144
4 5가지 색 중에서 4가지 색을 골라 A, B, C, D 네 부분에
칠하는 경우의 수는 5명 중에서 4명을 뽑아 한 줄로 세우는
경우의 수와 같으므로 5_4_3_2=120
D
특정한 사람의 자리를 정하고
한 줄로 세우는 경우의 수
②
5 ②
본문 196쪽
B
이웃하여 한 줄로 세우는 경우의 수 ⑵
본문 198쪽
진희가 맨 앞에 서는 경우의 수는 나머지 2명을 일렬로 세
세우는 경우의 수는 3_2_1=6
우는 경우의 수와 같으므로 2_1=2
이때 A와 E가 자리를 바꾸어 서는 경우의 수는 2, B와 D
맨 뒤에 서는 경우의 수도 마찬가지로 2_1=2
가 자리를 바꾸어 서는 경우의 수도 2
따라서 구하는 경우의 수는 2+2=4
따라서 구하는 경우의 수는 6_2_2=24
A와 E, B와 D를 각각 1명으로 생각하여 3명을 한 줄로
5 부모님의 자리는 운전석과 조수석으로 고정되어 있으므로
나머지 식구 3명이 뒷좌석에 앉을 수 있는 경우의 수는
2 어른 3명과 어린이 2명을 각각 1명으로 생각하여 2명을 한
줄로 세우는 경우의 수는 2_1=2
3_2_1=6
이때 어른끼리 자리를 바꾸어 서는 경우의 수는 3_2_1=6,
이때 부모님이 서로 자리를 바꾸어 앉는 경우의 수는 2
어린이끼리 자리를 바꾸어 서는 경우의 수는 2
따라서 구하는 경우의 수는 6_2=12
따라서 구하는 경우의 수는 2_6_2=24
정답과 풀이 59
48
1 ④
24
2 ②
7
CHECK
자연수의 개수
1 ⑴ 12개 ⑵ 24개
2 ⑴ 9개 ⑵ 18개
1 ⑴ 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 4개, 일의 자리에 올
수 있는 숫자는 십의 자리에 온 숫자를 제외한 3개이
므로 구하는 자연수의 개수는 4_3=12(개)
⑵ 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 4개, 십의 자리에 올
수 있는 숫자는 백의 자리에 온 숫자를 제외한 3개,
일의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리와 십의 자
리에 온 숫자를 제외한 2개이므로 구하는 자연수의
개수는 4_3_2=24(개)
2 ⑴ 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 3개, 일의
자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자리에 온 숫자를 제
외한 3개이므로 구하는 자연수의 개수는 3_3=9(개)
⑵ 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 3개, 십의
자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리에 온 숫자를 제
외한 3개, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리
와 십의 자리에 온 숫자를 제외한 2개이므로 구하는
자연수의 개수는 3_3_2=18(개)
본문 199쪽
3 Ú 백의 자리의 숫자가 `3인 경우 314보다 큰 수는 `32,
34인 경우이다.
이때 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 3과 십의 자리에
온 숫자를 제외한 2개씩이므로 모두 4개이다.
Û 백의 자리의 숫자가 4인 경우 십의 자리에 올 수 있는 숫
자는 4를 제외한 3개, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 4
와 십의 자리에 온 숫자를 제외한` 2개이므로
3_2=6(개)
Ú, Û에 의해 314보다 큰 수의 개수는 4+6=10(개)
4 십의 자리의 숫자가 1, 2, 3일 때, 일의 자리에 올 수 있는
숫자는 각각 4개씩이므로 3_4=12(개)
십의 자리의 숫자가 4일 때, 만들 수 있는 두 자리의 자연
수를 작은 수부터 차례로 나열하면 41, 42, 43, 45
따라서 41은 12+1=13(번째) 수이다.
B
0을 포함하는 경우의 자연수 만들기
본문 201쪽
⑴ 16개 ⑵ 48개
5 10개
8 ⑴ 11개 ⑵ 13개
6 36개
7 30개
A
0을 포함하지 않는 경우의 자연수 만들기
본문 200쪽
⑤
⑴ 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 4개, 일의
자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자리에 온 숫자를 제외
한 4개이므로 구하는 자연수의 개수는 4_4=16(개)
1 6개
2 15개
3 10개
4 ②
⑵ 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 4개, 십의
자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리에 온 숫자를 제외
백의 자리에 올 수 있는 숫자는 5개, 십의 자리에 올 수 있
한 4개, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리와 십
는 숫자는 백의 자리에 온 숫자를 제외한 4개, 일의 자리에
의 자리에 온 숫자를 제외한 3개이므로 구하는 자연수
올 수 있는 숫자는 백의 자리와 십의 자리에 온 숫자를 제
의 개수는 4_4_3=48(개)
외한 3개이므로 구하는 자연수의 개수는 5_4_3=60(개)
1 일의 자리의 숫자가 1이므로 백의 자리에 올 수 있는 숫자
는 1을 제외한 3개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자
5 짝수가 되려면 일의 자리에 0 또는 2가 와야 한다.
Ú `0인 경우：3_2=6(개)
Û `2인 경우：2_2=4(개)
리에 온 숫자와 1을 제외한 2개이다.
Ú, Û에 의해 짝수의 개수는 6+4=10(개)
따라서 구하는 자연수의 개수는 3_2=6(개)
2 짝수가 되려면 일의 자리에 2 또는 4 또는 6이 와야 한다.
2, 4, 6의 경우에 십의 자리에 올 수 있는 숫자는
6 5의 배수가 되려면 일의 자리에 0 또는 5가 와야 한다.
Ú `0인 경우：5_4=20(개)
Û `5인 경우：4_4=16(개)
각각 `5개씩이므로 짝수의 개수는 3_5=15(개)
Ú, Û에 의해 5의 배수의 개수는 20+16=36(개)
60 ⅠV . 확률
7 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 5개, 일의 자리
에 올 수 있는 숫자는 같은 숫자를 여러 번 사용해도 되므
B
특정 조건을 만족하면서 자격이 다른
대표를 뽑는 경우의 수
본문 203쪽
따라서 만들 수 있는 두 자리의 자연수의 개수는
로 6개이다.
5_6=30(개)
⑴ 6 ⑵ 12
3 80
개
념
탑
8 ⑴ Ú 2`인 경우：21, 23, 24의 3개
Û 3`인 경우：30, 31, 32, 34의 4개
Ü 4`인 경우：40, 41, 42, 43의 4개
따라서 Ú, Û, Ü에 의해 21 이상인 자연수의 개수는
⑵ 2장을 뽑아 만들 수 있는 두 자리의 자연수의 개수는
3+4+4=11(개)
4_4=16(개)
이때 40보다 큰 자연수는 41, 42, 43의 3개이므로 40
이하인 자연수의 개수는 16-3=13(개)
8
CHECK
자격이 다른 대표를 뽑는 경우의 수 본문 202쪽
1 ⑴ 4, 3, 4, 3, 12 ⑵ 4, 3, 2, 4, 3, 2, 24
A
자격이 다른 대표를 뽑는 경우의 수
본문 203쪽
30
1 60
2 210
투수 1명을 뽑는 경우의 수는 6, 포수 1명을 뽑는 경우의
수는 투수로 뽑힌 사람을 제외한 5이므로 구하는 경우의
수는 6_5=30
1 회장 1명을 뽑는 경우의 수는 5, 부회장 1명을 뽑는 경우의
수는 회장으로 뽑힌 사람을 제외한 4, 총무 1명을 뽑는 경
우의 수는 회장, 부회장으로 뽑힌 사람을 제외한 3이므로
구하는 경우의 수는 5_4_3=60
2 전체 7명 중에서 주장 1명을 뽑는 경우의 수는 7, 부주장 1
명을 뽑는 경우의 수는 주장으로 뽑힌 선수를 제외한 6, 부
원 1명을 뽑는 경우의 수는 주장, 부주장으로 뽑힌 선수를
제외한 5이므로 구하는 경우의 수는 7_6_5=210
⑴ 여학생 2명 중에서 회장 1명을 뽑는 경우의 수는 2, 남
학생 3명 중에서 부회장 1명을 뽑는 경우의 수는 3이므
로 구하는 경우의 수는 2_3=6
⑵ 남학생 3명 중에서 회장 1명을 뽑는 경우의 수는 3, 나
머지 남학생 2명 중에서 부회장 1명을 뽑는 경우의 수는
`2, 여학생 2명 중에서 부회장 1명을 뽑는 경우의 수는
2이므로 구하는 경우의 수는 3_2_2=12
3 여학생 5명 중에서 대표 1명을 뽑는 경우의 수는 5, 나머지
여학생 4명 중에서 부대표 1명을 뽑는 경우의 수는 4, 남학
생 4명 중에서 부대표 1명을 뽑는 경우의 수는 4이므로 구
하는 경우의 수는 5_4_4=80
자격이 같은 대표를 뽑는 경우의 수 본문 204쪽
9
CHECK
1 6
2 ⑴ 10 ⑵ 10
1 주번 2명을 뽑을 때, (A, B)의 순서로 뽑는 것과 (B, A)
의 순서로 뽑는 경우가 같다.
즉, 4명 중에서 순서에 관계없이 2명을 뽑는 경우의 수
2 ⑴ 5명 중에서 순서에 관계없이 2명을 뽑는 경우의 수이
⑵ 5명 중에서 순서에 관계없이 3명을 뽑는 경우의 수이
이므로
4_3
2
=6
므로
=10
5_4
2
므로
5_4_3
3_2_1
=10
정답과 풀이 61
A
자격이 같은 대표를 뽑는 경우의 수
본문 205쪽
기본 다지기 문제
본문 208~209쪽
15
1 120
2 ⑤
6명 중에서 줄을 돌릴 2명을 선택하는 경우의 수는 6명 중
에서 순서에 관계없이 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로
6_5
2
=15
1 10명 중에서 순서에 관계없이 3명을 뽑는 경우의 수이므로
=120
10_9_8
3_2_1
2 A와 B가 악수하는 경우와 B와 A가 악수하는 경우는 같
다. 즉, 9명 중에서 순서에 관계없이 2명을 뽑는 경우의 수
수는 6+5=11
와 같으므로
=36(번)
9_8
2
01 3
02 11
05 연화, 풀이 참조
08 ②
12 28번
09 720
03 6개
06 120
10 6개
04 ③
07 360
11 90
01 액수가 큰 500원짜리 동전의 개수 500원(개) 3
100원(개) 1
를 정한 다음 100원, 50원짜리 동
전의 개수를 구한다. 따라서 1600
50원(개)
0
3
0
2
2
4
4
원을 지불할 수 있는 방법을 표로 나타내면 위와 같으므로
1600원을 지불하는 경우의 수는 3이다.
02 소설책을 고르는 경우의 수는 6, 만화책을 고르는 경우의
수는 5이므로 소설책 또는 만화책을 한 권 고르는 경우의
03 자음은 ㄱ, ㅁ, ㅇ의 3가지, 모음은 ㅏ, ㅗ의 2가지이므로
만들 수 있는 글자의 개수는 3_2=6(개)
04 Ú A → B → C → D로 가는 경우의 수는 3_2_2=12
Û B 지점을 거치지 않고 A → C → D로 가는 경우의 수
는 1_2=2
Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 12+2=14
05 서로 다른 동전 3개를 동시에 던질 때, 일어나는 모든 경우
의 수는 2Ü`=8이므로 잘못 말한 사람은 연화이고 이를 바
르게 고치면
의 수는 8이야.
06 앞줄에 3명, 뒷줄에 2명이 서는 경우의 수는 5명을 한 줄로
세우는 경우의 수와 같다.
따라서 구하는 경우의 수는 5_4_3_2_1=120
07 6명 중에서 4명을 뽑아 일렬로 세우는 경우의 수와 같으므
로 6_5_4_3=360
08 부모님의 자리가 정해졌으므로 나머지 3명을 일렬로 세우
는 경우의 수는 3_2_1=6
이때 부모님이 자리를 서로 바꾸는 경우의 수는 2_1=2
09 여학생 3명을 1명으로 생각하여 5명을 일렬로 세우는 경우
B
선분 또는 삼각형의 개수
본문 205쪽
서로 다른 동전 3개를 동시에 던질 때, 일어나는 모든 경우
10개
3 35개
ABÓ와 BAÓ는 같은 선분이므로 5개의 점 중에서 순서에 관
계없이 2개의 점을 뽑는 경우의 수와 같다.
∴
=10(개)
5_4
2
3 △ABC, △ACB, △BAC, △BCA, △CAB, △CBA
는 모두 같은 삼각형이므로 7개의 점 중에서 순서에 관계
∴
7_6_5
3_2_1
=35(개)
62 ⅠV . 확률
없이 3개의 점을 뽑는 경우의 수와 같다.
따라서 구하는 경우의 수는 6_2=12
따라서 Ú, Û에 의해 홀수의 개수는 3+3=6(개)
4 9장의 카드 중에서 순서에 관계없이 2장의 카드를 뽑는 경
3 Ú 경찰관 6명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
=15
Û 소방관 5명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
=10
Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 15+10=25
개
념
탑
6_5
2
5_4
2
우의 수는
=36
9_8
2
2장의 카드에 적힌 수의 곱이 홀수가 되는 경우의 수는 1,
3, 5, 7, 9가 적힌 5장의 카드 중에서 순서에 관계없이 2장
의 카드를 뽑는 경우의 수이므로
=10
5_4
2
따라서 짝수가 되는 경우의 수는 36-10=26
5 동전을 6번 던져서 원점 O로 되돌아오려면 앞면과 뒷면이
각각 3번씩 나와야 한다.
따라서 6번 중에서 순서를 생각하지 않고 앞면이 나오는 3
번을 선택하는 경우의 수이므로
6_5_4
3_2_1
=20
6 6개의 점 중에서 순서에 관계없이 3개의 점을 뽑는 경우의
수는
6_5_4
3_2_1
=20
이때 삼각형을 그릴 수 없는 경우의 수는 반원의 지름 위에
있는 3개의 점을 뽑는 경우의 수이므로 1
따라서 만들 수 있는 삼각형의 개수는 20-1=19(개)
7 ① 만들 수 있는 선분의 개수는 6개의 점 중에서 순서에 관
계없이 2개의 점을 뽑는 경우의 수와 같으므로
② 만들 수 있는 삼각형의 개수는 6개의 점 중에서 순서에
관계없이 3개의 점을 뽑는 경우의 수와 같으므로`
a=
=15
6_5
2
b=
6_5_4
3_2_1
③ a+b=15+20=35
=20
의 수는 5_4_3_2_1=120
이때 여학생 3명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 3_2_1=6
따라서 구하는 경우의 수는 120_6=720
10 Ú `1인 경우：21, 31, 41의 3개
Û `3인 경우：13, 23, 43의 3개
11 주장을 뽑는 경우의 수는 10, 부주장을 뽑는 경우의 수는
주장으로 뽑힌 사람을 제외한 9이므로 구하는 경우의 수는
10_9=90
12 8명 중에서 순서에 관계없이 2명을 뽑는 경우의 수와 같으
므로 모두
=28(번)의 악수를 한 것이다.
8_7
2
실력 올리기 문제
본문 210~211쪽
1 12
5 20
2 48
6 19개
3 25
4 26
7 ①
6_5
2
6_5_4
3_2_1
=15 ②
=20 ③ 15+20=35
8 ① 12개 ② 12개 ③ 240
1 A 지점에서 B 지점까지 가는 경우
B 지점에서 C 지점까지 가는 경우
의 수는 6
의 수는 2
(cid:19)
(cid:36)
(cid:18)
(cid:18)
(cid:23)
(cid:35)
(cid:20)
(cid:20)
(cid:19)
(cid:18)
(cid:18)
(cid:18)
(cid:18)
(cid:34)
따라서 A 지점에서 출발하여 B 지점을 거쳐 C 지점까지
가는 경우의 수는 6_2=12
2 A에 칠할 수 있는 색은 4가지
B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지
8 ① 4 인 경우 : 4_3=12(개)
② 3 인 경우 : 4_3=12(개)
C에 칠할 수 있는 색은 A, B에 칠한 색을 제외한 2가지
③ 백의 자리의 숫자가 4, 3인 수는 모두 12+12=24(개)
D에 칠할 수 있는 색은 A, C에 칠한 색을 제외한 2가지
이므로 25번째로 큰 수는 243, 26번째로 큰 수는 241,
따라서 구하는 경우의 수는 4_3_2_2=48
27번째로 큰 수는 240이다.
정답과 풀이 63
2 확률과 그 계산
B
방정식, 부등식에서의 확률
본문 215쪽
;1Á2;
3 ;6!;
본문 214쪽
일어나는 모든 경우의 수는` 6_6=36
2x+y=8을 만족하는 순서쌍 (x, y)는` (1, 6), (2, 4),
(3, 2)의 3가지
따라서 구하는 확률은
=
;3£6;
;1Á2;
3 일어나는 모든 경우의 수는 6_6=36
x+y¾10을 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (4, 6), (5, 5),
(6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)의 6가지
따라서 구하는 확률은
=
;6!;
;3¤6;
1
CHECK
확률의 뜻
1 ⑴ 6 ⑵ 2 ⑶
2 ⑴ 4 ⑵ 1 ⑶
;3!;
;4!;
1 ⑴ 일어나는 모든 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6
⑵ 3의 배수의 눈이 나오는 경우의 수는 3, 6의 2
⑶ (3의 배수의 눈이 나올 확률)=
=
;6@;
;3!;
2 ⑴ 일어나는 모든 경우의 수는 (앞, 앞), (앞, 뒤),
(뒤, 앞), (뒤, 뒤)의 4
⑵ 모두 앞면이 나오는 경우의 수는 (앞, 앞)의 1
⑶ (모두 앞면이 나올 확률)=
;4!;
본문 215쪽
A
확률의 뜻
⑴
⑵
;4!;
;6!;
1 ;5@;
2 ;9!;
모든 경우의 수는 12이다.
⑴ 두 자리의 자연수가 나오는 경우의 수는 10, 11, 12의 3
이므로 구하는 확률은
=
;4!;
;1£2;
⑵ 5의 배수가 나오는 경우의 수는 5, 10의 2이므로 구하는
확률은
=
;6!;
;1ª2;
1 모든 경우의 수는 4+5+6=15이고 노란 공이 나오는 경우
의 수는 6이므로 노란 공이 나올 확률은
=
;1¤5;
;5@;
눈의 수의 합이 5인 경우의 수는 (1, 4), (2, 3), (3, 2),
우의 수는 6_6=36
(4, 1)의 4
따라서 구하는 확률은
=
;9!;
;3¢6;
64 ⅠV . 확률
2
CHECK
확률의 성질
1 ⑴ 0, 1 ⑵ 1 ⑶ 0
2 ⑴
⑵ 1 ⑶ 0
;5#;
;6!;
3 ⑴
⑵ `0 ⑶ 1
본문 216쪽
2 ⑴ 모든 경우의 수는 2+3=5이고 파란 구슬을 꺼내는
경우의 수가 3이므로 구하는 확률은
이다.
;5#;
⑵ 주머니 속의 구슬은 모두 노란 구슬 또는 파란 구슬
이므로 구하는 확률은 1이다.
⑶ 검은 구슬은 없으므로 구하는 확률은 0이다.
3 ⑴ 6의 배수의 눈이 나오는 경우는 6의 1가지이므로 구
⑵ 7의 배수의 눈이 나오는 경우는 없으므로 구하는 확
⑶ 주사위를 던지면 항상 7 미만의 눈이 나오므로 구하
률은 `0이다.
는 확률은 1이다.
2 A, B 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 일어나는 모든 경
하는 확률은
이다.
;6!;
본문 217쪽
A
어떤 사건이 일어나지 않을 확률
본문 219쪽
A
확률의 성질
②, ⑤
1 ⑴ 1 ⑵ 0
2 1
3 ②
② 확률은 0 이상 1 이하이므로 0ÉpÉ1
⑤ 확률은 1보다 클 수 없다.
1 ⑴ 바구니 속에는 모두 귤 또는 오렌지이므로 구하는 확률
은 1이다.
⑵ 바구니 속에 사과는 없으므로 구하는 확률은 0이다.
의 정수를 만들면 항상 70 미만이다.
따라서 구하는 확률은 1이다.
3 각각의 확률을 구하면
①
② 0의 눈은 없으므로 0
;2!;
③ 모두 10 이하의 수의 눈이므로 1 ④
⑤
;2!;
;3Á6;
따라서 확률이 가장 작은 것은 ②이다.
;6%;
1 ;5$;
2 ;3@;
개
념
탑
일어나는 모든 경우의 수는 6_6=36
눈의 수가 같은 경우는 (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4),
(5, 5), (6, 6)의 6가지이므로 눈의 수가 같을 확률은
=
;6!;
;3¤6;
∴ (눈의 수가 서로 다를 확률)
1 당첨 제비일 확률은
=
;5!;
;2¢0;
이므로 당첨 제비가 아닐 확률
은 1-
=
;5!;
;5$;
2 일어나는 모든 경우의 수는
6_5
2
=15
A가 뽑히는 경우의 수는 A를 제외한 5명 중에서 대표 1명
을 뽑는 경우의 수와 같으므로 5이고, 그 확률은
=
;3!;
;1°5;
∴ (A가 뽑히지 않을 확률)=1-(A가 뽑힐 확률)
=1-
=
;3!;
;3@;
2 1에서 6까지의 자연수가 각각 적힌 6장의 카드로 두 자리
=1-(눈의 수가 서로 같을 확률)=1-
=
;6!;
;6%;
어떤 사건이 일어나지 않을 확률 본문 218쪽
B
‘적어도 하나는 ~일’ 확률
본문 219쪽
3
CHECK
1 ⑴
,
;3@;
;3!;
⑵
,
;1Á0;
;1»0;
2 ⑴ 4 ⑵
⑶
3 ⑴ 1 ⑵
⑶
;5@;
;4!;
;5#;
;4#;
5명 중 대표 2명을 뽑는 경우의 수는
=10
여학생 3명 중 대표 2명을 뽑는 경우의 수는
=3이므
5_4
2
3_2
2
2 ⑴ 카드에 적힌 수가 소수인 경우의 수는 2, 3, 5, 7의 4
이다.
다.
⑵
=
;5@;
;1¢0;
⑶ 1-
=
;5@;
;5#;
3 ⑴ 2번 모두 뒷면이 나오는 경우의 수는 (뒤, 뒤)의 1이
로 2명 모두 여학생이 뽑힐 확률은
;1£0;
∴ (적어도 한 명은 남학생이 뽑힐 확률)
⑵ 한 개의 동전을 2번 던질 때, 일어나는 모든 경우의
수는 2_2=4이고, 2번 모두 뒷면이 나오는 경우의
수는 1이므로 구하는 확률은
이다.
;4!;
⑶ 1-(2번 모두 뒷면이 나올 확률)=1-
=
;4#;
;4!;
확률은
;8!;
=1-(2명 모두 여학생이 뽑힐 확률)=1-
=
;1£0;
;1¦0;
3 일어나는 모든 경우의 수는 2_2_2=8
세 문제 모두 틀릴 경우의 수는 1이므로 세 문제 모두 틀릴
정답과 풀이 65
;1¦0;
3 ;8&;
∴ (적어도 한 문제는 맞힐 확률)
=1-(세 문제 모두 틀릴 확률)=1-
=
;8&;
;8!;
사건 A 또는 사건 B가 일어날 확률 본문 220쪽
4
CHECK
1 ⑴
⑵
⑶
;1Á0;
;5@;
;1£0;
2 ⑴
⑵
⑶
;5!;
;2!;
;1¦0;
1 ⑴ (A형일 확률)=
=
;4!0@;
;1£0;
⑵ (AB형일 확률)=
=
;4¢0;
;1Á0;
⑶ (A형 또는 AB형일 확률)
=(A형일 확률)+(AB형일 확률)
=
+
=
=
;5@;
;1¢0;
;1Á0;
;1£0;
2 ⑴ (빨간 공을 꺼낼 확률)=
2
2+3+5
5
2+3+5
=
=
;5!;
;1ª0;
=
=
;2!;
;1°0;
1 1등 경품권을 뽑을 확률은
;10!0;
, 2등 경품권을 뽑을 확률은
;10#0;
이므로
(1등 또는 2등 경품권을 뽑을 확률)=
+
=
;10!0;
;10#0;
=
;10$0;
;2Á5;
2 일어나는 모든 경우의 수는 6_6=36
눈의 수의 합이 3인 경우는 (1, 2), (2, 1)의 2가지이므로
그 확률은
=
;3ª6;
;1Á8;
눈의 수의 차가 3인 경우는 (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1),
(5, 2), (6, 3)의 6가지이므로 그 확률은
=
;6!;
;3¤6;
따라서 구하는 확률은
+
=
;6!;
;1Á8;
;1¢8;
=
;9@;
B
확률의 덧셈 ⑵
본문 221쪽
;1Á2;
3 ;9@;
⑵ (노란 공을 꺼낼 확률)=
일어나는 모든 경우의 수는 `6_6=36
⑶ (빨간 공 또는 노란 공을 꺼낼 확률)
=(빨간 공을 꺼낼 확률)+(노란 공을 꺼낼 확률)
=
+
=
;2!;
;5!;
;1¦0;
x-y=4를 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (6, 2), (5, 1)의 2
가지이므로 그 확률은
=
;3ª6;
;1Á8;
x-y=5를 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (6, 1)의 1가지이
A
확률의 덧셈 ⑴
⑴
⑵
;9!;
;3°6;
⑶
;4!;
1 ;2Á5;
2 ;9@;
므로 그 확률은
;3Á6;
따라서 x-y의 값이 4 또는 `5일 확률은
본문 221쪽
(x-y의 값이 4일 확률)+(x-y의 값이 5일 확률)
=
+
;1Á8;
;3Á6;
=
;3£6;
=
;1Á2;
3 일어나는 모든 경우의 수는 6_6=36
ax-b=0에서
모든 경우의 수는 6_6=36
x=1일 때, 즉 a=b를 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 1),
⑴ 눈의 수의 합이 5가 되는 경우는 (1, 4), (2, 3), (3, 2),
(2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)의 6가지이므로 그
(4, 1)이므로
=
;9!;
;3¢6;
확률은
=
;6!;
;3¤6;
⑵ 눈의 수의 합이 8이 되는 경우는 (2, 6), (3, 5), (4, 4),
x=3일 때, 즉 b=3a를 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 3),
(5, 3), (6, 2)이므로
;3°6;
⑶
+
;9!;
=
=
;4!;
;3»6;
;3°6;
66 ⅠV . 확률
(2, 6)의 2가지이므로 그 확률은
=
;3ª6;
;1Á8;
따라서 구하는 확률은
+
;6!;
;1Á8;
=
;1¢8;
=
;9@;
사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 확률 본문 222쪽
B
‘적어도’가 포함된 확률의 곱셈
본문 223쪽
5
CHECK
1 ⑴
⑵
⑶
;3!;
;2!;
;6!;
2
;1¥5;
;2»5;
3 ;8&;
개
념
탑
1 ⑴ 3의 배수의 눈이 나오는 경우는 3, 6의 2가지이므로
3의 배수의 눈이 나올 확률은
=
;6@;
;3!;
⑵ 4의 약수의 눈이 나오는 경우는 1, 2, 4의 3가지이므
1-
=
;5!;
;5$;
안타를 칠 확률이
이므로 안타를 못 칠 확률은
=
;5!;
;1ª0;
로 4의 약수의 눈이 나올 확률은
=
;6#;
;2!;
⑶ (A 주사위는 3의 배수의 눈이 나오고 B 주사위는 4
의 약수의 눈이 나올 확률)
= (A 주사위에서 3의 배수의 눈이 나올 확률)
_(B 주사위에서 4의 약수의 눈이 나올 확률)
=
_
=
;2!;
;3!;
;6!;
2 (정훈이와 예슬이가 모두 합격할 확률)
=(정훈이가 합격할 확률)_(예슬이가 합격할 확률)
=
_
=
;3@;
;5$;
;1¥5;
따라서 적어도 한 번은 안타를 칠 확률은
1-(2번 모두 안타를 못 칠 확률)
=1-
_
=1-
;5$;
;5$;
;2!5^;
=
;2»5;
3 A, B, C 세 사람이 시험에 불합격할 확률은 각각
이므로
1-
, 1-
, 1-
=
=
=
;4!;
;4#;
;2!;
;2!;
;3@;
;3!;
세 사람 모두 불합격할 확률은
_
_
=
;8!;
;3!;
;2!;
;4#;
따라서 3명 중 적어도 1명은 시험에 합격할 확률은
1-(3명 모두 불합격할 확률)=1-
=
;8!;
;8&;
C
확률의 덧셈과 곱셈의 활용
본문 224쪽
본문 223쪽
;2!5!;
4 ;2!;
5 ;2!8%;
6 ;2°4;
7 ;2!;
A
확률의 곱셈
;4Á2;
1 ;1°8;
2 ;9$;
A 주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률은
, 노란 공을 꺼낼 확
;5@;
률은
이고 B 주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률은
, 노란
;5#;
;5!;
공을 꺼낼 확률은
이다.
;5$;
따라서 서로 다른 색의 공을 꺼낼 확률은
(A 주머니에서 흰 공, B 주머니에서 노란 공을 꺼낼 확률)
+(A 주머니에서 노란 공, B 주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률)
(세 명 모두 목표물에 명중할 확률)=
_
_
;4!;
;7@;
;3!;
=
;4Á2;
1 A 주머니에서 빨간 공을 꺼낼 확률은
;9$;
B 주머니에서 빨간 공을 꺼낼 확률은
;8%;
므로
따라서 2개 모두 빨간 공일 확률은
_
;9$;
=
;8%;
;1°8;
=
_
+
;5$;
;5@;
;5#;
_
;5!;
=
;2¥5;
+
;2£5;
=
;2!5!;
2 꼬마 전구에 불이 켜지려면 스위치 두 개가 모두 닫혀야 하
(꼬마 전구에 불이 켜질 확률)=
_
=
;3@;
;3@;
;9$;
4 동전의 앞면과 주사위의 짝수의 눈이 나올 확률은
_
=
;2!;
;6#;
;4!;
동전의 뒷면과 주사위의 홀수의 눈이 나올 확률은
정답과 풀이 67
_
=
;6#;
;4!;
;2!;
따라서 구하는 확률은
+
=
;4!;
;2!;
;4!;
5 A 주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률은
;4!;
, 검은 공을 꺼낼 확
;9$;
1 ;10(0;
A
뽑은 것을 다시 넣고 뽑는 경우의 확률
본문 226쪽
률은
이고 B 주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률은
, 검은
;4#;
;7#;
주머니 속에 `6개의 공이 들어 있고 꺼낸 공을 다시 넣으므
(2개 모두 흰 공을 꺼낼 확률)+(2개 모두 검은 공을 꺼낼
(A가 파란 공을 꺼낼 확률)_(B가 파란 공을 꺼낼 확률)
공을 꺼낼 확률은
이다.
;7$;
따라서 같은 색의 공을 꺼낼 확률은
확률)
=
_
+
_
;4#;
;7$;
;7#;
;4!;
=
;2£8;
+
;7#;
=
;2!8%;
6 (수지는 지각하고 윤희는 지각하지 않을 확률)
_
=
1-
=
_
=
;9!;
{
;8!;}
;9!;
;8&;
;7¦2;
(수지는 지각하지 않고 윤희는 지각할 확률)
=
1-
{
_
=
;8!;
;9*;
_
;8!;
=
;9!;
;9!;}
따라서 두 사람 중 한 사람만 지각할 확률은
+
=
;9!;
;7!2%;
=
;2°4;
;7¦2;
(a, b 모두 짝수일 확률)=
_
=
;2!;
;3@;
;3!;
(a, b 모두 홀수일 확률)=
1-
{
_
1-
;3@;}
{
;2!;}
=
_
;3!;
;2!;
=
;6!;
따라서 a+b가 짝수일 확률은
+
;3!;
=
=
;6#;
;2!;
;6!;
연속하여 뽑는 경우의 확률
본문 225쪽
1 ⑴
,
;5@;
;5@;
,
;2¢5;
⑵
,
;5@;
;4!;
,
;1Á0;
6
CHECK
68 ⅠV . 확률
로 A와 B가 파란 공을 꺼낼 확률은 각각`
=
;6$;
;3@;
로 같다.
따라서 A, B 모두 파란 공을 꺼낼 확률은
=
_
=
;3@;
;3@;
;9$;
1 지아가 당첨될 확률은
성민이가 당첨되지 않을 확률은
;1Á0¼0;
=
;1Á0;
1-
;1Á0¼0;
=1-
=
;1Á0;
;1»0;
따라서 지아는 당첨되고 성민이는 당첨되지 않을 확률은
_
;1Á0;
;1»0;
=
;10(0;
;5@;
2 ;1Á0;
3 ;9ª1;
주머니 속에 6개의 구슬이 들어 있고 꺼낸 구슬을 다시 넣지
않으므로 처음에 노란 구슬을 꺼낼 확률은
=
;6$;
;3@;
, 두 번
째에 노란 구슬을 꺼낼 확률은
;5#;
따라서 두 번 모두 노란 구슬을 꺼낼 확률은
;3@;
_
;5#;
=
;5@;
2 5장의 카드 중 짝수가 적힌 카드는 2장이고 뽑은 카드는 다
시 넣지 않으므로 첫 번째에 짝수가 적힌 카드를 뽑을 확률은
, 두 번째에 짝수가 적힌 카드를 뽑을 확률은
;4!;
;5@;
따라서 2장 모두 짝수가 적힌 카드를 뽑을 확률은
_
=
;4!;
;5@;
;1Á0;
7 a+b가 짝수이려면 a, b 모두 짝수이거나 a, b 모두 홀수
이어야 하므로
B
뽑은 것을 다시 넣지 않고 뽑는 경우의 확률
본문 226쪽
3 첫 번째에 불량품을 꺼낼 확률은
=
;3!;
;1°5;
두 번째에 불량품을 꺼낼 확률은
=
;7@;
;1¢4;
세 번째에 불량품을 꺼낼 확률은
;1£3;
따라서 세 개 모두 불량품일 확률은
_
_
;7@;
;3!;
;1£3;
=
;9ª1;
;1°8;
2 ;8#;
B
여러 가지 확률
본문 228쪽
개
념
탑
주사위를 두 번 던졌을 때, 일어나는 모든 경우의 수는
6_6=36이고 점 P가 꼭짓점 D에 있을 경우는 나온 눈의
수의 합이 3 또는 7 또는 11일 때이다.
눈의 수의 합이 3인 경우는 (1, 2), (2, 1)의 2가지, 눈의 수
의 합이 7인 경우는 (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2),
(6, 1)의 6가지, 눈의 수의 합이 11인 경우는 (5, 6), (6, 5)
의 2가지이므로 구하는 확률은
+
;3ª6;
;3¤6;
+
;3ª6;
=
;3!6);
=
;1°8;
2 동전을 세 번 던졌을 때, 일어나는 모든 경우의 수는
2_2_2=8이고 점 P가 -1의 위치에 있으려면 앞면이
한 번, 뒷면이 두 번 나와야 한다.
따라서 앞면이 한 번, 뒷면이 두 번 나오는 경우는
(앞, 뒤, 뒤), (뒤, 앞, 뒤), (뒤, 뒤, 앞)의 3가지이므로
구하는 확률은
;8#;
도형에서의 확률
본문 227쪽
A
도형에서의 확률
본문 228쪽
7
CHECK
1 B,
;4!;
2 4, 4,
;2!;
;2¥5;
1 ;1£6;
(가장 큰 원의 넓이)=p_5Û`=25p,
(두 번째로 큰 원의 넓이)=p_3Û`=9p,
(가장 작은 원의 넓이)=p_1Û`=p이므로
(B 부분의 넓이)
=(두 번째로 큰 원의 넓이)-(가장 작은 원의 넓이)
=9p-p=8p
따라서 구하는 확률은
8p
25p
=
;2¥5;
1 전체 8칸 중에서 4의 약수는` 1, 2, 4의 3칸이고 소수는` 2,
, 소수를
3, 5, 7의 4칸이므로 4의 약수를 가리킬 확률은
;8#;
가리킬 확률은
=
;8$;
;2!;
따라서 구하는 확률은
_
=
;2!;
;8#;
;1£6;
기본 다지기 문제
본문 229~230쪽
01 B 회사 02 ⑤
04 ⑴
⑵
;1!2!;
;3!;
03 ;5$;
05 ;1!6%;
08 ⑤
09 ②
07 ;3!;
11 ;8%;
12 ;9!;
06 ;1£0;
10 ;6Á6;
01 A 회사의 경품이 표시된 음료수 중에서 노트북이 표시된
;1ª5;
것이 나올 확률은
;4¤5;
=
B 회사의 경품이 표시된 음료수 중에서 노트북이 표시된
정답과 풀이 69
것이 나올 확률은
=
;5!;
;6!0@;
따라서 B 회사의 것이 노트북이 나올 가능성이 더 높다.
02 ③ 흰 공이 나올 확률은
=
;5!;
;1ª0;
이므로 흰 공이 나오지 않
을 확률은 1-
=
;5!;
;5$;
⑤ 빨간 공 또는 흰 공이 나올 확률은
+
;1°0;
;1ª0;;=;1¦0;
03 만들 수 있는 두 자리의 정수의 개수는 5_4=20(개)이고
만들 수 있는 두 자리의 정수 중 50보다 큰 수는 51, 52,
따라서 50보다 큰 수일 확률은
이므로 50 이하일
=
;5!;
;2¢0;
53, 54의 4개이다.
확률은 1-
=
;5!;
;5$;
08 A, B, C 세 선수가 목표물을 맞히지 못할 확률은 각각
, 1-
이므로
1-
, 1-
=
=
=
;4#;
;4!;
;3!;
;3@;
;6%;
;6!;
(적어도 한 선수는 목표물을 맞힐 확률)
=1-(세 선수 모두 목표물을 맞히지 못할 확률)
=1-
_
_
;3@;
{;4!;
;6!;}
=1-
=
;3Á6;
;3#6%;
09 동전은 앞면이 나오고, 주사위의 눈이 홀수일 확률은
_
=
;2!;
;6#;
;4!;
동전은 뒷면이 나오고, 주사위의 눈이 소수일 확률은
_
=
;6#;
;2!;
;4!;
따라서 구하는 확률은
+
=
;4!;
;4!;
;2!;
04 모든 경우의 수는 6_6=36
⑴ x가 짝수인 경우는 2, 4, 6의 3가지, y가 6의 약수인 경
우는 1, 2, 3, 6의 4가지이므로 x는 짝수이고, y는 6의
10 처음 뽑은 제품이 불량품일 확률은
=
;6!;
;1ª2;
두 번째 뽑은 제품이 불량품일 확률은
;1Á1;
약수인 경우의 수는 3_4=12
따라서 구하는 확률은
=
;3!;
;3!6@;
⑵ x+y¾4를 만족하는 순서쌍은 (1, 1), (1, 2), (2, 1)
의 3가지를 제외한 모든 경우이므로 x+y¾4일 확률은
따라서 2개 모두 불량품일 확률은
_
=
;6!;
;1Á1;
;6Á6;
11 전체 8칸 중에서 홀수가 적힌 부분은 1, 3, 7이 적힌 5칸이
므로 구하는 확률은
;8%;
1-
=
;3£6;
;1!2!;
05 모든 경우의 수는 2_2_2_2=16이고
네 개 모두 앞면이 나오는 경우의 수는 1이므로 네 개 모두
앞면이 나올 확률은
이다.
;1Á6;
따라서 적어도 하나는 뒷면이 나올 확률은 1-
=
;1Á6;
;1!6%;
06 모든 경우의 수는 20이고, 5의 배수는 5, 10, 15, 20이므로
5의 배수가 적힌 카드를 뽑을 확률은
=
;2¢0;
;5!;
7의 배수는 7, 14이므로 7의 배수가 적힌 카드를 뽑을 확률
은
=
;2ª0;
;1Á0;
따라서 구하는 확률은
+
;5!;
;1Á0;
=
;1£0;
07 6의 약수는 1, 2, 3, 6이므로 6의 약수의 눈이 나올 확률은
=
;6$;
;3@;
소수는 2, 3, 5이므로 소수의 눈이 나올 확률은
=
;6#;
;2!;
따라서 구하는 확률은
_
=
;2!;
;3!;
;3@;
70 ⅠV . 확률
12 모든 경우의 수는 6_6=36
OPÓ_ORÓ=ab=6을 만족하는 순서쌍 (a, b)는
(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)의 4가지이므로
구하는 확률은
=
;9!;
;3¢6;
실력 올리기 문제
본문 231~232쪽
1 5개
5 ;7Á2;
2 ;8%;
6 ;3@;
3 ;3!;
4 ;1£0;
7 ①
;2!;
, 1,
_1,
②
;2!;
;2!;
,
;2!;
;5@;
,
;2!;
_
;5@;
,
;5!;
③
+
,
;5!;
;1¦0;
;2!;
8 ①
;2Á5;
②
③
;5!;
;2¤5;
1 주머니에 x개의 구슬이 들어 있고 그 중 4개는 파란 구슬
이므로 구슬 1개를 꺼낼 때, 파란 구슬일 확률은
=
;3!;
;[$;
∴ x=12
따라서 전체 구슬의 개수는 12개이므로 노란 구슬의 개수
는 12-(3+4)=5(개)
4 정안, 준이, 혜리가 불합격할 확률은 각각
이므로
=
1-
, 1-
, 1-
=
=
;3@;
;3!;
;2!;
;2!;
;5#;
;5@;
정안이만 합격할 확률은 `
_
_
=
;1ª5;
;5@;
;2!;
;3@;
준이만 합격할 확률은 `
_
_
=
;1Á5;
;5@;
;2!;
;3!;
혜리만 합격할 확률은 `
_
_
;2!;
;3!;
;5#;
=
;1Á0;
따라서 한 사람만 합격할 확률은
+
;1ª5;
;1Á5;
+
;1Á0;
=
;3»0;
=
;1£0;
개
념
탑
2 윷놀이는 서로 다른 동전 4개를 던지는 것과 같으므로 모
든 경우의 수는 2_2_2_2=16
도가 나오는 경우는 (배, 등, 등, 등), (등, 배, 등, 등),
(등, 등, 배, 등), (등, 등, 등, 배)의 4가지이므로 그 확률
은
=
;4!;
;1¢6;
개가 나오는 경우는 (배, 배, 등, 등), (배, 등, 배, 등),
(배, 등, 등, 배), (등, 배, 배, 등), (등, 배, 등, 배),
5 모든 경우의 수는 6_6_6=216이고 바둑돌이 x축의 양
의 방향과 y축의 양의 방향으로 모두 옮겨져야 하므로 짝
수의 눈과 홀수의 눈이 각각 한 번 이상 나와야 한다.
Ú 짝수의 눈이 한 번, 홀수의 눈이 두 번 나오는 경우
짝수의 눈은 4, 홀수의 눈은 1, 1이 나와야 한다.
즉, 4, 1, 1이 나오는 경우는 (4, 1, 1), (1, 4, 1),
(등, 등, 배, 배)의 6가지이므로 그 확률은
=
;8#;
;1¤6;
(1, 1, 4)의 3가지
따라서 도나 개가 나올 확률은
+
=
;8#;
;8%;
;4!;
Û 짝수의 눈이 두 번, 홀수의 눈이 한 번 나오는 경우
홀수의 눈이 한 번 나와서 y축의 양의 방향으로 2만큼
움직이는 경우는 없다.
Ú, Û에서 구하는 확률은 `
=
;21#6;
;7Á2;
3 일어나는 모든 경우의 수는 3_3_3=27
A만 이길 경우는 (가위, 보, 보), (바위, 가위, 가위),
(보, 바위, 바위)의 3가지이므로 그 확률은
=
;9!;
;2£7;
A와 B가 같이 이길 경우는 (가위, 가위, 보),
6 함수 y=
;aB;
x의 그래프가 △ABC와
만나려면 기울기
가 점 A(3, 6)을
;aB;
(cid:90)
(cid:48)
(cid:34)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:23)(cid:10)
(cid:35)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:20)(cid:10)
(cid:36)(cid:9)(cid:23)(cid:13)(cid:65)(cid:20)(cid:10)
(cid:89)
(바위, 바위, 가위), (보, 보, 바위)의 3가지이므로 그 확
지날 때의 기울기 2보다 작거나 같고,
률은
=
;9!;
;2£7;
점 C(6, 3)을 지날 때의 기울기
보다 크거나 같아야 한다.
;2!;
A와 C가 같이 이길 경우는 (가위, 보, 가위),
(바위, 가위, 바위), (보, 바위, 보)의 3가지이므로 그 확
Ú 기울기
가 2보다 큰 순서쌍 (a, b)는
;aB;
률은
=
;9!;
;2£7;
∴ (A가 이길 확률)
= (A만 이길 확률)+(A와 B가 같이 이길 확률)
+(A와 C가 같이 이길 확률)
(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)의 6가지
Û 기울기
가
보다 작은 순서쌍 (a, b)는
;aB;
;2!;
(3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (5, 2), (6, 2)의 6가지
따라서 기울기
가 2보다 크거나
보다 작을 확률은
;aB;
;2!;
=
+
+
;9!;
;9!;
;9!;
=
;9#;
=
;3!;
+
=
;3!;
;3¤6;
;3¤6;
이므로 구하는 확률은 1-
=
;3!;
;3@;
정답과 풀이 71
7 ① A 주머니를 택할 확률은
;2!;
낼 확률은 1이므로 A 주머니를 택하여 검은 공을 꺼낼
, A 주머니에서 검은 공을 꺼
8
비가 올 경우： ◯
비가 오지 않을 경우： _
확률은
_1=
;2!;
;2!;
② B 주머니를 택할 확률은
, B 주머니에서 검은 공을
;2!;
꺼낼 확률은
이므로 B 주머니를 택하여 검은 공을 꺼
;5@;
낼 확률은
_
=
;5@;
;2!;
;5!;
+(B 주머니를 택하여 검은 공을 꺼낼 확률)
=
+
=
;5!;
;2!;
;1¦0;
금
◯
◯
토
◯
_
일
◯
◯
비가 올 확률은
_
;5!;
;5!;
=
;2Á5;
비가 올 확률은
{
1-
;5!;}
_
;4!;
=
;5!;
③
+
=
;5!;
;2Á5;
;2¤5;
③ (A 주머니를 택하여 검은 공을 꺼낼 확률)
② 금요일에 비가 온 후 토요일에 비가 오지 않고, 일요일에
① 금요일에 비가 온 후 토요일에도 비가 오고, 일요일에도
72 ⅠV . 확률
개념익힘탑
학
수
중학수학
2 2
074
078
082
086
Ⅰ . 삼각형의 성질
1 이등변삼각형
2 삼각형의 외심과 내심
Ⅱ. 사각형의 성질
1 평행사변형
2 여러 가지 사각형
Ⅲ. 도형의 닮음과 피타고라스 정리
1 도형의 닮음
2 평행선과 선분의 길이의 비
3 삼각형의 무게중심과 닮음의 활용
4 피타고라스 정리
Ⅳ. 확률
1 경우의 수
2 확률과 그 계산
중간 모의고사
기말 모의고사
092
095
099
105
110
115
121
123
Ⅰ 삼각형의 성질
1 이등변삼각형
개념익힘문제
개념익힘탑 2~7쪽
04 36ù
03 55ù
07 x=40, y=10
02 65ù
06 60ù
09 10`cm 10 ②
13 6`cm
01 ③
05 26ù
08 8`cm
12 ④
16 10`cm 17 67ù
21 ④
20 ①
23 ㄱ과 ㅂ: SAS 합동, ㄴ과 ㄹ: RHS 합동,
14 3`cm
18 ②
22 ㄱ, ㄹ
11 8
15 7`cm
19 ①
ㄷ과 ㅁ: RHA 합동
24 8`cm
27 67.5ù
31 ④
35 6`cm
25 ⑴ 12`cm ⑵ 72`cmÛ` 26 6`cm
29 29ù
28 70ù
33 3`cm
32 ④
30 35ù
34 26`cmÛ`
01 ∠C=∠B=2∠x+10ù이므로
∠x+(2∠x+10ù)+(2∠x+10ù)=180ù
5∠x+20ù=180ù, 5∠x=160ù
∴ ∠x=32ù
02 ∠B=∠DAE=50ù(동위각)
ABÓ=BCÓ이므로 ∠C=
∴ ∠EAC=∠C=65ù(엇각)
_(180ù-50ù)=65ù
;2!;
03 △BAD는 ABÓ=BDÓ인 이등변삼각형이므로
∠ADB=
_(180ù-80ù)=50ù
△CDE는 CDÓ=CEÓ인 이등변삼각형이므로
∠EDC=
_(180ù-30ù)=75ù
∴ ∠ADE=180ù-(50ù+75ù)=55ù
;2!;
;2!;
04 ∠B=∠x라 하면 △DBC에서 DBÓ=DCÓ이므로
∠DCB=∠B=∠x
∴ ∠ADC=∠B+∠DCB=2∠x
74 Ⅰ . 삼각형의 성질
△ACD에서 CAÓ=CDÓ이므로 ∠A=∠CDA=2∠x
△ABC에서 ABÓ=BCÓ이므로 ∠BCA=∠A=2∠x
∠A+∠B+∠BCA=180ù이므로
2∠x+∠x+2∠x=180ù,
5∠x=180ù ∴ ∠x=36ù ∴ ∠B=36ù
05 ∠B=∠x라 하면
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ACB=∠B=∠x`
A
2x
x
x
B
D
2x
78ù
EC
∴ ∠DAC=∠ABC+∠ACB=2∠x
△CAD에서 CAÓ=CDÓ이므로 ∠CDA=∠CAD=2∠x
∴ ∠DCE=∠B+∠BDC=∠x+2∠x=3∠x
△DCE에서 DCÓ=DEÓ이므로 ∠DCE=∠DEC=78ù
즉, 3∠x=78ù이므로 ∠x=26ù ∴ ∠B=26ù
06 △DBE에서 DBÓ=DEÓ이므로
∠DEB=∠DBE=15ù
∴ ∠ADE
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:37)
(cid:18)(cid:22)(cid:177)
(cid:18)(cid:22)(cid:177)
(cid:34)
(cid:89)
(cid:21)(cid:22)(cid:177) (cid:21)(cid:22)(cid:177)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:38)
(cid:36)
(cid:35)
=∠DBE+∠DEB=15ù+15ù=30ù
△EDA에서 EDÓ=EÕAÓ이므로 ∠EAD=∠EDA=30ù
∴ ∠AEC=∠ABE+∠BAE=15ù+30ù=45ù
△AEC에서 AEÓ=ACÓ이므로 ∠ACE=∠AEC=45ù
∴ ∠x=∠ABC+∠ACB=15ù+45ù=60ù
07 ∠A의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 ADÓ⊥BCÓ,
BDÓ=DCÓ
△ADC에서 ∠CAD=180ù-(90ù+50ù)=40ù이므로
∠BAD=∠CAD=40ù ∴ x=40
BCÓ=2BDÓ=2_5=10(cm) ∴ y=10
08 △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠C=∠B=60ù
∴ ∠A=180ù-(60ù+60ù)=60ù
즉, △ABC는 정삼각형이므로 ABÓ=BCÓ=CAÓ=16`cm
이때 ∠A의 이등분선인 ADÓ는 밑변 BC를 수직이등분하
므로 BCÓ⊥ADÓ, BDÓ=CDÓ
∴ CDÓ=
BCÓ=
_16=8(cm)
;2!;
;2!;
09 ADÓ⊥BCÓ이고 BDÓ=
;2!;
BCÓ=
_6=3(cm)이므로
;2!;
△ABD=
_3_ADÓ=15 ∴ ADÓ=10`cm
;2!;
개
념
익
힘
탑
10 ADÓ는 이등변삼각형 ABC의 꼭지각의 이등분선이므로
△PBD와 △PCD에서
17 ∠BAC=∠x(접은 각), ∠ABC=∠x(엇각)이므로
∠ABC=∠BAC
BDÓ=CDÓ, ∠PDB=∠PDC=90ù, PDÓ는 공통
따라서 △ABC는 ACÓ=BCÓ인 이등변삼각형이므로
따라서 △PBDª△PCD(SAS 합동)이므로 PBÓ=PCÓ
즉, △PBC는 PBÓ=PCÓ인 직각이등변삼각형이므로
∠x=
_(180ù-46ù)=67ù
;2!;
∠PBC=∠PCB=45ù
또, △PBD와 △PCD에서 ∠BPD=∠CPD=45ù이므로
△PBD와 △PCD는 직각이등변삼각형이다.
따라서 BDÓ=CDÓ=PDÓ=3`cm이므로
BCÓ=3+3=6(cm)
11 ADÓ⊥BCÓ이고 CDÓ=
;2!;
BCÓ=
_10=5이므로
;2!;
△APC=
_APÓ_5=20 ∴ APÓ=8
;2!;
18 ∠DAC=∠BAC(접은 각)
ADÓ BCÓ이므로 ∠DAC=∠BCA(엇각)
따라서 ∠BAC=∠BCA이므로
△ABC는 ABÓ=BCÓ 인 이등변삼각형이다.
19 ① 모양은 같지만 크기가 다를 수 있다.
② SAS 합동 ③ RHA 합동
④ RHS 합동 ⑤ ASA 합동
12 ① △APBª△APC(SAS 합동)
② BDÓ=CDÓ, ∠PDB=∠PDC=90ù, PDÓ는 공통이므로
△PBDª△PCD(SAS 합동)
③ BDÓ=CDÓ=PDÓ이면 ∠BPD=∠CPD=45ù이므로
20 ②, ④ ASA 합동 ③ RHS 합동 ⑤ SAS 합동
21 ① RHS 합동 ② RHA 합동
③ ASA 합동 ⑤ ASA 합동
⑤ △PBDª△PCD(SAS 합동)이므로
∠BPC=45ù+45ù=90ù
∠BPD=∠CPD
13 ∠C=180ù-(86ù+47ù)=47ù이므로
△ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다.
∴ BDÓ=
BCÓ=
_12=6(cm)
;2!;
;2!;
14 △ACD에서 CAÓ=CDÓ이므로 ∠CDA=∠CAD=60ù
∠ACD=180ù-(60ù+60ù)=60ù이므로 △ACD는 정
삼각형이다.
∠ADC=∠DBC+∠DCB이므로
∠DCB=60ù-30ù=30ù
22 ㄱ. 빗변의 길이가 같고 다른 한 변의 길이가 같으므로
ㄹ. 빗변의 길이가 같고 한 예각의 크기가 같으므로 RHA
RHS 합동이다.
합동이다.
따라서 주어진 삼각형과 합동인 삼각형은 ㄱ, ㄹ이다.
24 △ADB와 △CEA에서
∠ADB=∠CEA=90ù,
ABÓ=CAÓ,
∠DAB =90ù-∠CAE
=∠ECA
D
B
14 cm
A
10 cm
l
6 cm
E
C
∴ △ADBª△CEA(RHA 합동)
따라서 △DBC는 이등변삼각형이므로 DBÓ=DCÓ
따라서 ADÓ=CEÓ=6`cm이므로 AEÓ=14-6=8(cm)
∴ BDÓ=DCÓ=ADÓ=3`cm
∴ BDÓ=AEÓ=8`cm
15 △ABC에서 29ù+∠ACB=58ù ∴ ∠ACB=29ù
따라서 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다.
또, △CDA에서 ∠CDA=180ù-122ù=58ù
따라서 △CDA는 CAÓ=CDÓ인 이등변삼각형이다.
∴ CDÓ=CAÓ=ABÓ=7`cm
16 ∠ABC=∠CBD(접은 각), ∠ACB=∠CBD(엇각)이므
로 ∠ABC=∠ACB
따라서 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로
ABÓ=ACÓ=10`cm
l
7 cm
C
25 ⑴ △ADBª△CEA
D
A
E
(RHA 합동)이므로`
ADÓ=CEÓ=7`cm,
AEÓ=BDÓ=5`cm
5 cm
B
∴ DEÓ=ADÓ+AEÓ=7+5=12(cm)
⑵ DBCE=
_(5+7)_12=72(cmÛ`)
;2!;
26 △ABD와 △CAE에서 ABÓ=CAÓ,
∠ADB=∠CEA=90ù
정답과 풀이 75
∠ABD=90ù-∠BAD=∠CAE
∴ △ABDª△CAE(RHA 합동)
∴ DEÓ=AEÓ-ADÓ=BDÓ-CEÓ=15-9=6(cm)
이므로 DEÓ=DCÓ=4`cm
27 △CBE와 △CDE에서 ∠CBE=∠CDE=90ù,
CEÓ는 공통, BCÓ=DCÓ
따라서 △CBEª△CDE(RHS 합동)이므로
∠BCE=∠DCE=
∠ACB=
_45ù=22.5ù
;2!;
;2!;
∴ ∠CED=90ù-22.5ù=67.5ù
28 △BDE와 △BCE에서 ∠BDE=∠BCE=90ù,
BEÓ는 공통, DEÓ=CEÓ
따라서 △BDEª△BCE(RHS 합동)이므로
∠DBE=∠CBE=
∠ABC=
_(90ù-50ù)=20ù
;2!;
;2!;
∴ ∠BED=90ù-20ù=70ù
29 △EBC와 △DCB에서 ∠BEC=∠CDB=90ù,
BCÓ는 공통, EBÓ=DCÓ
따라서 △EBCª△DCB(RHS 합동)이므로
∠EBC=∠DCB=
_(180ù-58ù)=61ù
;2!;
∴ ∠ECB=90ù-∠EBC=90ù-61ù=29ù
30 △PAO와 △PBO에서 ∠PAO=∠PBO=90ù,
OPÓ는 공통, PAÓ=PBÓ
따라서 △PAOª△PBO(RHS 합동)이므로
∠AOP=∠BOP=35ù
31 △AOP와 △BOP에서
이므로
∠PAO=∠PBO=90ù, ∠AOP=∠BOP, OPÓ는 공통
△AOPª△BOP(RHA 합동)
∴ AOÓ=BOÓ, ∠APO=∠BPO, APÓ=BPÓ
32 △ABD와 △AED에서
∠ABD=∠AED=90ù, ADÓ는 공통, ∠BAD=∠EAD
따라서 △ABDª△AED(RHA 합동)이므로
∠BDA=∠EDA, BDÓ=EDÓ, AEÓ=ABÓ=BCÓ
△EDC는 ∠EDC=∠ECD=45ù인 직각이등변삼각형이
므로 ECÓ=EDÓ=BDÓ
33 △ABEª△ADE(RHA 합동)
∴ DEÓ=BEÓ=3`cm
76 Ⅰ . 삼각형의 성질
34 점 D에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 E라 하면
△AEDª△ACD(RHA 합동)
13 cm
E
A
∴ △ABD=
_13_4=26(cmÛ`)
;2!;
B
D
4 cm
C
35 ABÓ=BCÓ이므로 ∠BAC=∠BCA=45ù
△EDC에서 ∠EDC=180ù-(90ù+45ù)=45ù이므로
△EDC는 ECÓ=EDÓ인 직각이등변삼각형이다.
이때 △ABDª△AED(RHA 합동)이므로 BDÓ=EDÓ
∴ CEÓ=EDÓ=BDÓ=6`cm
실전연습문제
개념익힘탑 8~9쪽
01 45ù
05 134ù
09 32`cmÛ` 10 19ù
03 40ù
02 78ù
06 25`cmÛ` 07 59
11 3`cm
04 36ù
08 40ù
12 12`cm
01 △ABC에서 ∠ACB=
△DCE에서 ∠DCE=∠DEC=62ù
;2!;
_(180ù-34ù)=73ù
∴ ∠ACD=180ù-(73ù+62ù)=45ù
02 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=∠ABC=52ù
∴ ∠DCB=
_52ù=26ù
;2!;
△DBC에서 ∠ADC=52ù+26ù=78ù
03 △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C
∠B
이때 ∠A`:`∠B=5`:`2이므로 ∠A=
;2%;
∠A+∠B+∠C=
∠B+∠B+∠B=180ù
;2%;
∠B=180ù ∴ ∠B=40ù
;2(;
04 △ABD에서 ∠ABD=∠BAD=∠x
∴ ∠BDC=∠BAD+∠ABD=∠x+∠x=2∠x
△BCD에서 ∠BCD=∠BDC=2∠x이므로
∠ABC=∠ACB=2∠x
∴ ∠CBD=∠ABC-∠ABD=2∠x-∠x=∠x
따라서 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로
∠A+∠ABC+∠C =∠x+2∠x+2∠x
=5∠x=180ù ∴ ∠x=36ù
05 ∠ABC=∠ACB=
△DBC에서 ∠DCB=180ù-(90ù+67ù)=23ù
_(180ù-46ù)=67ù
;2!;
△DBC와 △ECB에서 BCÓ는 공통, ∠DBC=∠ECB,
DBÓ=ABÓ-ADÓ=ACÓ-AEÓ=ECÓ이므로
△DBCª△ECB(SAS 합동)
∴ ∠EBC=∠DCB=23ù
∴ ∠BFC=180ù-(23ù+23ù)=134ù
06 △PBD와 △PCD에서
BDÓ=CDÓ, PDÓ는 공통,
∠PDB=∠PDC=90ù이므로
△PBDª△PCD(SAS 합동)
즉, PBÓ=PCÓ이고 ∠BPC=90ù이므로
B
∠PBC=∠PCB=45ù
∴ ∠BPD=180ù-(90ù+45ù)=45ù
즉, PDÓ=BDÓ=CDÓ=5`cm이므로
BCÓ=2_5=10(cm)
A
P
D
45ù
5 cm
45ù
C
∴ △PBC=
_BCÓ_PDÓ=
_10_5=25(cmÛ`)
;2!;
;2!;
07 △ABC에서 ∠C=
∴ x=45
;2!;
_(180ù-90ù)=45ù
∠CBD=∠C=45ù이므로 △CBD는 CDÓ=BDÓ인 이등변
삼각형이다.
∴ CDÓ=7`cm
이때 점 D는 ACÓ의 중점이므로
ACÓ=2CDÓ=2_7=14(cm) ∴ y=14
∴ x+y=45+14=59
08 ∠DBE=∠x이므로 ∠ABC=∠x+30ù
ABÓ=ACÓ이므로 ∠C=∠ABC=∠x+30ù
삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 △ABC에서
∠x+(∠x+30ù)+(∠x+30ù)=180ù,
3∠x=120ù ∴ ∠x=40ù
09 △ABC에서 ACÓ=BCÓ이므로 ∠BAC=∠ABC=45ù
△AED에서 ∠EDA=180ù-(90ù+45ù)=45ù이므로
△AED는 AEÓ=DEÓ인 직각이등변삼각형이다.
이때 △DEBª△DCB(RHS 합동)이므로
DEÓ=DCÓ=8`cm
∴ △AED=
_AEÓ_DEÓ=
_8_8=32(cmÛ`)
;2!;
;2!;
10 △BCD와 △BED에서
∠BCD=∠BED=90ù, BDÓ는 공통, BCÓ=BEÓ이므로
개
념
익
힘
탑
△BCDª△BED(RHS 합동)
∴ ∠CBD=∠EBD=
∠ABC
;2!;
=
;2!;
_(90ù-52ù)=
_38ù=19ù
;2!;
11 △ABD와 △BCE에서
∠ADB=∠BEC=90ù, ABÓ=BCÓ,
∠ABD=90ù-∠CBE=∠BCE
따라서 △ABDª△BCE(RHA 합동)이므로
BEÓ=ADÓ=8`cm, BDÓ=CEÓ=5`cm
∴ DEÓ=BEÓ-BDÓ=8-5=3(cm)
12 △OAEª△OAD(RHA 합동)이므로 OEÓ=ODÓ
△OCDª△OCF(RHA 합동)이므로 ODÓ=OFÓ
BOÓ를 그으면
△OBE와 △OBF에서
∠OEB=∠OFB=90ù,
OBÓ
Ó는 공통, OEÓ=OFÓ
12 cm A
B
E
O
D
C F
이므로 △OBEª△OBF(RHS 합동)
∴ BFÓ
Ó=BEÓ
Ó=12`cm
정답과 풀이 77
Ó
Ó
Ó
Ó
Ó
Ó
2 삼각형의 외심과 내심
AÕMÓ=CÕMÓ이므로 ∠MAC=∠MCA=60ù
즉, △AMC는 한 변의 길이가 3`cm인 정삼각형이므로
(△AMC의 둘레의 길이) =AÕMÓ+MÕCÓ+CAÓ
=3+3+3=9(cm)`
개념익힘문제
개념익힘탑 10~15쪽
08 △OCA와 △OBC에서 OAÓ=OBÓ이고, OAÓ, OBÓ가 밑변
02 OCÓ, ∠OEC, OEÓ, △OCE, CEÓ
△OCA=△OBC=15`cmÛ`
일 때 높이가 같으므로
01 ②
03 17`cm 04 36`cm 05 96ù
08 ④
06 25p`cmÛ` 07 9`cm
10 56ù
12 90ù
11 ③
14 ∠B=60ù, ∠C=70ù 15 ④
17 ④
19 IEÓ, CIÓ, ∠CFI, IFÓ, ∠C
21 28`cm 22 20`cm 23 70ù
27 166ù
26 31ù
25 50ù
29 12`cm 30 ①
31 2`cm
33 88`cmÛ` 34 (16-4p)`cmÛ`
18 ①, ③
09 30ù
13 25ù
16 150ù
20 ③
24 195ù
28 180ù
32 3`cm
01 ② ∠BAO=∠ABO, ∠CAO=∠ACO
03 OAÓ=OCÓ=OBÓ=5`cm이므로
(△OCA의 둘레의 길이)=5+5+7=17(cm)
04 BDÓ=ADÓ=6`cm, CEÓ=BEÓ=7`cm,
CFÓ=AFÓ=5`cm
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
2_(6+7+5)=36(cm)
05 OBÓ=OCÓ 이므로 ∠OCB=∠OBC=28ù
∴ ∠y=28ù
∠x=180ù-(28ù+28ù)=124ù
∴ ∠x-∠y=124ù-28ù=96ù
06 AOÓ=BOÓ=5`cm이므로
(△ABC의 외접원의 넓이)=p_5Û`=25p(cmÛ`)
07 점 M은 △ABC의 외심이므로
BÕCÕ=
AÕMÓ=BÕMÓ=CÕMÓ=
;2!;
;2!;
_6=3(cm)
△ABC=△OCA+△OBC=15+15=30(cmÛ`)이므로
_10_ACÓ=30 ∴ ACÓ=6`cm
;2!;
09 점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ
따라서 △AOC에서 ∠C=∠OAC=
_60ù=30ù
;2!;
10 점 O는 △ABC의 외심이므로
OAÓ=OBÓ=OCÓ
△OBC에서 ∠OCB=∠B=28ù이므
(cid:35)
로 ∠x=28ù+28ù=56ù
(cid:34)
(cid:89)(cid:48)
(cid:19)(cid:25)(cid:177)
(cid:19)(cid:25)(cid:177)
(cid:36)
11 ∠OCA=90ù_
점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OCÓ
=36ù이고,
;5@;
따라서 ∠OAC=∠OCA=36ù이므로
∠BOC=∠OCA+∠OAC=36ù+36ù=72ù
12 오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면
∠OAB=∠OBA,
∠OBC=∠OCB,
∠OCA=∠OAC이므로
∠A+∠OBC
=∠OAB+∠OAC+∠OBC=90ù
A
O
B
C
13 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC=
점 O가 △ABC의 외심이므로
;2!;
∠OBA+∠OBC+∠OCA=90ù
_(180ù-110ù)=35ù
따라서 ∠OBA+35ù+30ù=90ù이므로 ∠OBA=25ù
14 오른쪽 그림과 같이
BOÓ, COÓ를 그으면
∠ABO=∠BAO=20ù
∠ACO=∠CAO=30ù
∠BCO=∠CBO=∠x라 하면
(cid:34)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:48)
(cid:89)
(cid:35)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:36)
(cid:89)
AÕMÓ=BÕMÓ이므로 ∠BAM=∠ABM=30ù
20ù+30ù+∠x=90ù ∴ ∠x=40ù
∴ ∠AMC=∠ABM+∠BAM=30ù+30ù=60ù
∴ ∠B=20ù+40ù=60ù, ∠C=40ù+30ù=70ù
78 Ⅰ . 삼각형의 성질
15 오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으면
∠OCB=∠OBC=20ù이므로
∠BOC=180ù-2_20ù=140ù
∴ ∠A=
∠BOC=
_140ù=70ù
;2!;
;2!;
5
5+4+3
16 ∠A=
∴ ∠BOC=2∠A=2_75ù=150ù
_180ù=75ù
A
O
140ù
B
C
20ù
20ù
23 ∠IAB+∠IBC+∠ICA=90ù이므로
25ù+30ù+∠ICA=90ù
∴ ∠ICA=90ù-(25ù+30ù)=35ù
∠ICB=∠ICA=35ù이므로 ∠BCA=35ù+35ù=70ù
24 ∠CAD+∠CBE+35ù=90ù이므로
∠CAD+∠CBE=55ù
△ADC에서 ∠x=70ù+∠CAD
△BCE에서 ∠y=70ù+∠CBE
개
념
익
힘
탑
∴ ∠x+∠y =140ù+(∠CAD+∠CBE)
(cid:89)
(cid:18)(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:35)
(cid:36)
=140ù+55ù=195ù
17 오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으면
∠BOC=2∠BAC=2_65ù=130ù
△OBC는 OBÓ=OCÓ인 이등변삼각형이
(cid:34)
(cid:23)(cid:22)(cid:177)
(cid:48)
므로
∠x=
_(180ù-130ù)=25ù
;2!;
20 ∠DPB=∠CBP=∠DBP, ∠EPC=∠BCP=∠ECP
따라서 △DBP와 △EPC는 이등변삼각형이므로
DBÓ=DPÓ, EPÓ=ECÓ
∴ (△ADE의 둘레의 길이)
=ADÓ+DEÓ+AEÓ=ADÓ+(DPÓ+EPÓ)+AEÓ
=ADÓ+DBÓ+ECÓ+AEÓ=ABÓ+ACÓ
21 ∠DIB=∠CBI=∠DBI,
∠EIC=∠BCI=∠ECI
따라서 △DBI와 △EIC는 이등변삼
각형이므로
(△ADE의 둘레의 길이)
(cid:34)
(cid:42)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:35)
(cid:18)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:36)
=ADÓ+DEÓ+AEÓ=ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+AEÓ
=ADÓ+DBÓ+ECÓ+AEÓ=ABÓ+ACÓ
=12+16=28(cm)
22 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC,
∠ECI=∠ICB
또, DEÓ BCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC,
∠EIC=∠ICB(엇각)
∴ ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC
즉, △DBI, △EIC는 이등변삼각형이므로
DBÓ=DIÓ, ECÓ=EIÓ
∴ (△ADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DEÓ+AEÓ
=ADÓ+DIÓ+IEÓ+AEÓ
=ADÓ+DBÓ+ECÓ+AEÓ
=ABÓ+ACÓ=40
25 ∠DBC=∠a, ∠ECB=∠b라 하면
△EBC에서 2∠a+∠b=100ù
△DBC에서 ∠a+2∠b=95ù
yy`㉠
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 ∠a=35ù, ∠b=30ù
∠A+∠B+∠C=180ù이므로 ∠A+2∠a+2∠b=180ù
∠A+70ù+60ù=180ù
∴ ∠A=50ù
26 ∠BIC=90ù+
△IBC에서 ∠x=180ù-(119ù+30ù)=31ù
∠A=90ù+
_58ù=119ù
;2!;
;2!;
27 ∠ABI=∠IBC=
∠BCI=∠ICA=∠y, ∠IAB=∠IAC=24ù이므로
_56ù=28ù
∠ABC=
;2!;
;2!;
28ù+∠y+24ù=90ù ∴ ∠y=38ù
∴ ∠x=90ù+
∠ACB=90ù+∠y=90ù+38ù=128ù
;2!;
∴ ∠x+∠y=128ù+38ù=166ù
28 ∠BIC=90ù+
∠IBE=∠IBC=∠a, ∠ICB=∠ICD=∠b라 하면
_60ù=120ù
;2!;
△IBC에서 ∠a+∠b+120ù=180ù이므로
∠a+∠b=60ù
△ACE에서 ∠x=60ù+∠b
△ABD에서 ∠y=60ù+∠a
∴ ∠x+∠y =(60ù+∠b)+(60ù+∠a)
=120ù+∠a+∠b=120ù+60ù=180ù
이때 ABÓ=ACÓ이므로 ABÓ=
_40=20(cm)
;2!;
29 AFÓ=ADÓ=4`cm, CFÓ=CEÓ=8`cm
∴ ACÓ=AFÓ+CFÓ=4+8=12(cm)
정답과 풀이 79
30 AFÓ=ADÓ=3`cm
BEÓ=BDÓ=5`cm이므로 FCÓ=ECÓ=9-5=4(cm)
이다.
01 ㄱ. 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점은 삼각형의 내심
∴ ACÓ=AFÓ+FCÓ=3+4=7(cm)
ㄹ. 예각삼각형의 외심은 삼각형의 내부에 있다.
∴ x=7
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
31 ADÓ=x`cm라 하면 AFÓ=ADÓ=x`cm
BEÓ=BDÓ=(5-x)`cm, CEÓ=CFÓ=(6-x)`cm
BCÓ=BEÓ+ECÓ이므로 7=(5-x)+(6-x)
2x=4 ∴ x=2
∴ ADÓ=2`cm
02 오른쪽 그림과 같이
OAÓ, OBÓ를 그으면
OAÓ=OBÓ=OCÓ이므로
∠OAC=∠OCA=37ù,
∠OBC=∠OCB=30ù
(cid:34)
(cid:20)(cid:24)(cid:177)
(cid:66)
(cid:48)
(cid:66)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:35)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:20)(cid:24)(cid:177)
(cid:36)
32 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
_r_18=27 ∴ r=3
따라서 △ABC의 내접원의 반지름의 길이는 3`cm이다.
∠OAB=∠OBA=∠a라 하면
∠A-∠B =(∠a+37ù)-(∠a+30ù)
=7ù
;2!;
;2!;
33 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
_16_r=32 ∴ r=4
∴ △ABC=
_(ABÓ+BCÓ+ACÓ)_4
;2!;
;2!;
=
_(16+28)_4
=88(cmÛ`)
34 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
_r_(12+16+20)
_12_16=
(cid:34)
;2!;
;2!;
04 점 E는 직각삼각형 ABC의 외심이므로 EÕAÓ=EBÓ
∴ ∠EAB=∠EBA=32ù
△ABD에서 ∠BAD=180ù-(32ù+90ù)=58ù
(cid:19)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
∴ ∠EAD=∠BAD-∠BAE=58ù-32ù=26ù
96=24r ∴ r=4
∴ (색칠한 부분의 넓이)
= (정사각형 IDCE의 넓이)
-(부채꼴 IDE의 넓이)
=(4_4)-
_p_4Û`
{;4!;
}
=16-4p(cmÛ`)
(cid:35)
(cid:42)
(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:36)
03 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 점 M은 △ABC
의 외심이다.
∴ (외접원의 반지름의 길이)
=
ACÓ=
_13=
(cm)
;2!;
;2!;
;;Á2£;;
따라서 외접원의 둘레의 길이는 2p_
=13p(cm)
;;Á2£;;
05 오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으면
AOÓ=BOÓ=COÓ
∠x+∠BCO+∠OCA=90ù이므로
∠x+70ù=90ù ∴ ∠x=20ù
A
O
x
B
70ù
C
06 점 O는 △ABC의 외심이므로
∠BOC=2∠A=2_60ù=120ù
∴ (부채꼴 BOC의 넓이)=p_6Û`_
=12p(cmÛ`)
;3!6@0);
07 점 I는 △ABC의 내심이므로
오른쪽 그림과 같이 AIÓ 를 그으면
A
50ù
∠IAC=
_50ù=25ù
;2!;
∠IAC+∠IBA+∠ICB=90ù
I
42ù
B
x
C
이므로 25ù+42ù+∠x=90ù ∴ ∠x=23ù
실전연습문제
개념익힘탑 16~17쪽
01 ③
05 20ù
09 116ù
02 7ù
06 12p`cmÛ` 07 23ù
10 12`cm 11 4`cm
03 13p`cm 04 26ù
08 28ù
12 7`cm
80 Ⅰ . 삼각형의 성질
08 점 I는 △ABC의 내심이므로
∠ABC=2∠IBC=2_34ù=68ù
∠ACB=2∠ICB=2_42ù=84ù
△ABC에서 ∠x=180ù-(68ù+84ù)=28ù
[다른 풀이]
∠BIC=180ù-(34ù+42ù)=104ù이므로
90ù+
∠x=104ù,
∠x=14ù ∴ ∠x=28ù
;2!;
;2!;
09 점 O는 △ABC의 외심이므로
∠BOC=
∠A=
_104ù=52ù
;2!;
;2!;
점 I는 △ABC의 내심이므로
∠BIC=90ù+
∠A=90ù+
_52ù=116ù
;2!;
;2!;
10 △ABC=△IAB+△IBC+△ICA이므로
_ABÓ_1+
_BCÓ_1+
6=
_CAÓ_1,
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
6=
(ABÓ+BCÓ+CAÓ)
∴ (△ABC의 둘레의 길이)=2_6=12(cm)
11 BEÓ=x`cm라 하면 BDÓ=BEÓ=x`cm
CFÓ=CEÓ=(9-x)`cm, AFÓ=ADÓ=(6-x)`cm
ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로 7=(6-x)+(9-x)
2x=8 ∴ x=4
∴ BEÓ=4`cm
12 오른쪽 그림과 같이 IBÓ를 그으면
∠DBI=∠IBC,
A
∠DIB=∠IBC(엇각)
∴ ∠DBI=∠DIB
D
I
E
12 cm
5 cm
B
C
개
념
익
힘
탑
즉, △DBI는 이등변삼각형이므로 DIÓ=DBÓ=5`cm
ICÓ를 그으면 ∠ECI=∠ICB,
∠EIC=∠ICB(엇각) ∴ ∠ECI=∠EIC
즉, △EIC는 이등변삼각형이므로 EIÓ=ECÓ
∴ CEÓ=EIÓ=DEÓ-DIÓ=12-5=7(cm)
정답과 풀이 81
II 사각형의 성질
1 평행사변형
개념익힘문제
개념익힘탑 18~24쪽
06 6`cm
03 6`cm
11 70ù
15 12`cm
09 183
13 145ù
17 ⑤
02 x=4, y=4
05 8`cm
10 57ù
14 ③
18 10`cmÛ`
01 ②
04 3`cm
07 ∠DCA, ∠BCA, ACÓ, ASA, ∠A=∠C
08 10ù
12 ④
16 ③
19 BCÓ, SSS, DCÓ, ADÓ, 두 쌍의 대변이 각각 평행
20 x=5, y=2
22 ①
24 5`cm
25 SAS, DCÓ, SAS, BCÓ, 두 쌍의 대변이 각각 평행
26 x=6, y=10
28 ㄴ, ㄹ 29 ②, ④ 30 ①, ④
31 DFÓ, DFÓ, 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같으
21 ∠x=70ù, ∠y=70ù
23 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
27 x=4, y=35
므로
32 ④
36 8
33 ④
34 ④
35 ③
37 60`cmÛ` 38 ;;Á2°;;
`cmÛ` 39 7`cmÛ`
40 20`cmÛ` 41 ③
42 4`cmÛ`
01 ② ∠CBD
02 ABÓ=DCÓ이므로 x+5=2x+1 ∴ x=4
ADÓ=BCÓ이므로 4y-4=2y+4 ∴ y=4
03 ABÓ=DCÓ, ADÓ=BCÓ이고 ABCD의 둘레의 길이가
26`cm이므로
ABÓ+ADÓ=
_26=13(cm)
;2!;
∴ ABÓ=13-7=6(cm)
82 II . 사각형의 성질
므로
이다.
04 ∠BFC=∠ABE(엇각)이므로 △FBC는 이등변삼각형이다.
따라서 FCÓ=BCÓ=ADÓ=9`cm이고 DCÓ=ABÓ=6`cm이
FDÓ=FCÓ-DCÓ=9-6=3(cm)
05 ∠AEB=∠EBF(엇각)이므로 △ABE는 이등변삼각형
즉, AEÓ=ABÓ=6`cm이므로 EDÓ=10-6=4(cm)
∠DFC=∠EDF(엇각)이므로 △CDF는 이등변삼각형이다.
즉, CFÓ=CDÓ=6`cm이므로 BFÓ=10-6=4(cm)
∴ EDÓ+BFÓ=4+4=8(cm)
06 △ABE와 △DFE에서
AEÓ=DEÓ, ∠AEB=∠DEF(맞꼭지각)
ABÓ CFÓ이므로 ∠BAE=∠FDE(엇각)
∴ △ABEª△DFE(ASA 합동)
따라서 FDÓ=ABÓ=DCÓ=3`cm이므로
CFÓ=CDÓ+FDÓ=3+3=6(cm)
08 ∠BAD=∠C=110ù이므로 ∠x=110ù-30ù=80ù
∠C+∠D=180ù이므로 ∠y=180ù-110ù=70ù
∴ ∠x-∠y=80ù-70ù=10ù
09 x=EFÓ-EPÓ=ADÓ-BHÓ=8-5=3
∠EPG=180ù-80ù=100ù에서
∠EAG=∠EPG=100ù ∴ y=100
∠PHC=∠EPH=80ù(엇각)이므로 z=80
∴ x+y+z=3+100+80=183
10 ∠BAD=180ù-∠D=180ù-66ù=114ù
_114ù=57ù
∠BAD=
∠DAE=
;2!;
;2!;
∴ ∠x=∠DAE=57ù
11 ∠ADC=∠B=60ù이므로
△DFE에서 ∠FDE=
∠ADC=
_60ù=20ù
;3!;
;3!;
∴ ∠x=180ù-(90ù+20ù)=70ù
12 ∠DAE=∠BAE=∠a,
∠ABE=∠CBE=∠b라 하면
21 평행사변형이 되려면 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같아야
하므로
∠A+∠B=180ù이므로 ∠a+∠b=90ù
∠x=∠C=70ù
따라서 △ABE에서
∠ABC+∠C=180ù이므로 ∠ABC=180ù-70ù=110ù
∠AEB=180ù-(∠a+∠b)=180ù-90ù=90ù
∴ ∠y=110ù-40ù=70ù
13 ∠HCD=∠BHC=55ù(엇각)이므로
∠BCD=2_55ù=110ù
∠ABC=180ù-110ù=70ù이므로
∠EBC=
∠ABC=
_70ù=35ù
;2!;
;2!;
∠AEB=∠EBC=35ù(엇각)
∴ ∠BED=180ù-35ù=145ù
14 ③ CDÓ
15 DCÓ=ABÓ=4`cm이고
OCÓ+ODÓ=
;2!;
(ACÓ+BDÓ)=
_16=8(cm)
;2!;
∴ (△DOC의 둘레의 길이) =(OCÓ+ODÓ)+DCÓ
=8+4=12(cm)
16 ③ 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하지
∴ EFÓ=GHÓ
△APOª△CQO(ASA 합동) ∴ OPÓ=OQÓ
④` △PBO와 △QDO에서
∴ EBÓ DFÓ
만 그 길이가 항상 같은 것은 아니다.
17 ①, ②, ③ △APO와 △CQO에서 `
OAÓ=OCÓ`, ∠OAP=∠OCQ(엇각),
∠AOP=∠COQ(맞꼭지각)이므로
OBÓ=ODÓ, ∠OBP=∠ODQ(엇각),
∠POB=∠QOD(맞꼭지각)이므로 `
△PBOª△QDO(ASA 합동)
18 △APO와 △CQO에서
AOÓ=COÓ, ∠APO=∠CQO=90ù,
∠AOP=∠COQ(맞꼭지각)이므로
△APOª△CQO(RHA 합동)
따라서 CQÓ=APÓ=9-5=4(cm),
OQÓ=OPÓ=5`cm이므로
△OCQ=
_4_5=10(cmÛ`)
;2!;
22 평행사변형이 되려면 두 쌍의 대변이 각각 평행해야 하므로
ADÓ BCÓ, ABÓ DCÓ에서
개
념
익
힘
탑
∠DAE=∠AEB=65ù이므로
∠DAB=2∠DAE=2_65ù=130ù
따라서 ∠DAB+∠D=180ù이므로
∠D=180ù-130ù=50ù
23 △AEH와 △CGF에서 AEÓ=CGÓ, ∠A=∠C,
AHÓ=ADÓ-DHÓ=BCÓ-BFÓ=CFÓ이므로
△AEHª△CGF(SAS 합동)
∴ EHÓ=GFÓ
같은 방법으로 하면
△EBFª△GDH(SAS 합동)
yy ㉠
yy ㉡
㉠, ㉡에 의해 EFGH는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같
으므로 평행사변형이다.
24 ∠EBF=
∠EDF=∠DFC(엇각)이므로 ∠EBF=∠DFC(동위각)
∠ADC=∠EDF이고
∠ABC=
;2!;
;2!;
따라서 EBFD는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행
사변형이다.
∴ BFÓ=EDÓ=2`cm
∴ FCÓ=BCÓ-BFÓ=BCÓ-EDÓ=7-2=5(cm)
26 평행사변형이 되려면 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분
해야 하므로
DOÓ=
BDÓ=
_12=6(cm) ∴ x=6
;2!;
;2!;
ACÓ=2AOÓ=2_5=10(cm) ∴ y=10
27 평행사변형이 되려면 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가
정답과 풀이 83
20 평행사변형이 되려면 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같아야
같아야 하므로
ADÓ=BCÓ에서 x+3=7 ∴ x=4
ADÓ=BCÓ에서 15=3x ∴ x=5
ADÓ BCÓ에서 ∠DBC=∠ADB=35ù(엇각)
ABÓ=DCÓ에서 6y=y+10, 5y=10 ∴ y=2
∴ y=35
하므로
28 ㄱ. 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다.
ㄴ. 나머지 한 각의 크기가 125ù가 되어 대각의 크기가 서
35 ADÓ BCÓ이므로 ∠BEA=∠DAE(엇각)
또한, ∠BAE=∠DAE이므로 ∠BAE=∠BEA
ㄷ, ㅁ. 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같으므로 평
ㄹ. 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하지 않는다.
ㅂ. 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형
로 같지 않다.
행사변형이다.
이다.
따라서 평행사변형이 아닌 것은 ㄴ, ㄹ이다.
따라서 △ABE는 BÕAÓ=BEÓ인 이등변삼각형이고
∠BEA=∠BAE=∠EAF=
_(180ù-60ù)=60ù
;2!;
이므로 △ABE는 한 변의 길이가 10`cm인 정삼각형이다.
∴ AEÓ=10`cm, ECÓ=12-10=2(cm)
이때 AECF는 ∠EAF=∠ECF=60ù,
∠AEC=∠AFC=120ù인 평행사변형이므로 둘레의 길
이는 2_(10+2)=24(cm)
29 ② ABÓ DCÓ, ABÓ=DCÓ(또는 ADÓ
때, 평행사변형이 된다.
Ó BCÓ, ADÓ=BCÓ)일
④ OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ일 때, 평행사변형이 된다.
30 ①` 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형
④` ∠ADB=∠DBC(엇각)에서 ADÓ BCÓ
즉, 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평행
이다.
사변형이다.
32 AOÓ=COÓ, APÓ=CRÓ이므로 POÓ=ROÓ
BOÓ=DOÓ, BQÓ=DSÓ이므로 QOÓ=SOÓ
따라서 PQRS는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하
므로 평행사변형이다.
33 △ABE와 △CDF에서
ABÓ=CDÓ, ∠AEB=∠CFD=90ù,
∠ABE=∠CDF(엇각)이므로
36 EOCD는 평행사변형이므로
OCÓ=EDÓ, OCÓ EDÓ이고
ABCD도 평행사변형이므로
AOÓ=COÓ
(cid:38)
(cid:34)
(cid:39)
(cid:37)
(cid:23)
(cid:35)
(cid:48)
(cid:18)(cid:17)
(cid:36)
AEÓ를 그으면 AOÓ=EDÓ, AOÓ EDÓ이므로 AODE도
평행사변형이다.
이때 ADÓ=BCÓ=10, EOÓ=DCÓ=ABÓ=6이므로
AFÓ+FOÓ=
ADÓ+
EOÓ=
_10+
_6=5+3=8
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
37 ABCD=4△ABO=4_15=60(cmÛ`)
38 ABFE=
;2!;
ABCD=
_30=15(cmÛ`)
EPFQ=2△EPF=2_
ABFE
;2!;
;4!;
=
_15=
;2!;
;;Á2°;;
(cmÛ`)
△ABEª△CDF(RHA 합동) ∴ AEÓ=CFÓ
또, ∠AEF=∠CFE=90ù(엇각)이므로 AEÓ CFÓ
따라서 AECF는 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가
39 MNÓ을 그으면
AMCN=
ABCD
;2!;
(cid:34)
(cid:46)
(cid:38)
(cid:48)
(cid:37)
(cid:39)
(cid:35)
(cid:47)
(cid:36)
같으므로 평행사변형이다.
34 AQCS, APCR는 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이
가 같으므로 평행사변형이다.
ATCU는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형
따라서 평행사변형은 ABCD, AQCS, APCR,
이다.
ATCU의 4개이다.
84 II . 사각형의 성질
=
;2!;
_28=14(cmÛ`)
AMCN이 평행사변형이므로 ACÓ를 그으면
△AOEª△COF(ASA 합동)
∴ AMFE=△AMC
=
;2!;
AMCN=
_14=7(cmÛ`)
;2!;
40 △PDA+△PBC=
;2!;
ABCD=
_40=20(cmÛ`)
;2!;
41 △PAB+△PCD=△PDA+△PBC이므로
x+4=y+10
∴ x-y=10-4=6
42 ABCD=8_5=40(cmÛ`)
△PAB+△PCD=
ABCD=
_40=20(cmÛ`)
;2!;
;2!;
∴ △PCD=20-△PAB=20-16=4(cmÛ`)
05 ④ 오른쪽 그림에서
△ABOª△ADO(RHS 합동)이지만
ABCD는 평행사변형이 아니다.
⑤ 오른쪽 그림과 같은 ABCD는
평행사변형이 아니다.
(cid:34)
(cid:48)
(cid:36)
(cid:35)
(cid:34)
(cid:37)
(cid:37)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:35)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:36)
06 ⑴ AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ이어야 하므로 x=4, y=8
⑵ ADÓ=BCÓ, ADÓBCÓ이어야 하므로 x=12, y=40
개
념
익
힘
탑
실전연습문제
개념익힘탑 25~26쪽
03 18
02 30ù
01 5`cm
05 ④, ⑤ 06 ⑴ x=4, y=8 ⑵ x=12, y=40
08 11`cm 09 4`cm
07 ⑤
11 13`cmÛ` 12 11`cmÛ`
04 20`cm
10 36`cmÛ`
01 ABÓFEÓ이므로 ∠BFC=∠ABF(엇각),
∠AED=∠BAE(엇각)
즉, △CFB와 △DAE는 이등변삼각형이므로
DEÓ=ADÓ=BCÓ=FCÓ=13`cm
따라서 DCÓ=ABÓ=8`cm이므로
CEÓ=DEÓ-DCÓ=13-8=5(cm)
02 ∠C=∠A=110ù이므로 △DBC에서
∠x=180ù-(40ù+110ù)=30ù
03 ADÓ=BCÓ이므로 3a+1=5a-7에서 2a=8
∴ a=4
따라서 AOÓ=2a+1=2_4+1=9이므로
ACÓ=2AOÓ=2_9=18
04 ∠AEB=∠DAE(엇각)이므로
△ABE는 ABÓ=BEÓ인 이등변삼각형이다.
그런데 ∠B=60ù이므로 △ABE는 정삼각형이다.
∴ AEÓ=BEÓ=ABÓ=7`cm
또, AECF는 평행사변형이므로
AFÓ=ECÓ
Ó=BCÓ-BEÓ=10-7=3(cm)
07 ⑤ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로
08 AFDE에서 AFÓEDÓ, AEÓFDÓ이므로 AFDE는
평행사변형이다.
∴ AFÓ=EDÓ
이때 △ABC가 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C이고
ACÓFDÓ이므로 ∠FDB=∠C(동위각)
즉, △FBD는 ∠B=∠FDB인 이등변삼각형이므로
FBÓ=FDÓ
∴ EDÓ+FDÓ=AFÓ+FBÓ=ABÓ=11(cm)
09 오른쪽 그림과 같이
ADÓ의 연장선과
BEÓ의 연장선의 교점을
G라 하면
(cid:34)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:40)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:39)
(cid:38)
(cid:36)
△EBCª△EGD(ASA 합동)이므로
DGÓ=CBÓ=ADÓ=4`cm
즉, 직각삼각형 AFG에서 점 D가 AGÓ의 중점이므로
점 D는 △AFG의 외심이다.
∴ DFÓ=DGÓ=ADÓ=4`cm
10 EPFQ=△EPF+△EFQ
=
ABFE+
;4!;
EFCD
;4!;
=
_
;4!;
;2!;
ABCD+
_
;4!;
;2!;
ABCD
=
;4!;
ABCD
따라서 AECF의 둘레의 길이는 2_(7+3)=20(cm)
∴ ABCD=4 EPFQ=4_9=36(cmÛ`)
정답과 풀이 85
11 △ABP+△PCD=
;2!;
ABCD
=
;2!;
_48=24(cmÛ`)
∴ △PCD=24-△ABP=24-11=13(cmÛ`)
2 여러 가지 사각형
12 △APO와 △CQO에서
AOÓ=COÓ, ∠PAO=∠QCO(엇각),
∠AOP=∠COQ(맞꼭지각)
즉, △APOª△CQO(ASA`합동)이므로
△CQO=△APO=5`cmÛ`
따라서 △DOC=
ABCD=
_64=16(cmÛ`)이므로
;4!;
;4!;
△DOQ=△DOC-△CQO=16-5=11(cmÛ`)
개념익힘문제
개념익힘탑 27~35쪽
02 60ù
09 120ù
10 ㄱ, ㄷ 11 ㄱ, ㄹ
14 x=8, y=90, z=45
17 ㄱ, ㄷ 18 ②
22 ①
21 10
03 60ù
01 x=14, y=60
04 ㄱ, ㄷ 05 ②, ④ 06 직사각형 07 56
08 4`cm
12 마름모 13 ②
15 162`cmÛ` 16 150ù
20 ③
19 ④
23 8`cm
24 28`cm 25 110`cmÛ`
26 ① ㄱ ② ㄴ, ㄹ ③ ㄷ, ㅁ ④ ㄷ, ㅁ ⑤ ㄴ, ㄹ
27 ④
29 ④
31 ⑴ ㄱ, ㄹ, ㅁ, ㅂ ⑵ ㄴ, ㅁ, ㅂ ⑶ ㄹ, ㅂ
33 ②, ④ 34 ④
32 ④
35 ㄴ, ㄹ
36 5
37 ②, ④ 38 ㄴ, ㄹ 39 ㄴ, ㄹ
40 40`cm 41 9`cmÛ` 42 50`cmÛ` 43 12`cmÛ`
44 ②
45 21`cmÛ` 46 50`cmÛ` 47 ④
48 2`cmÛ` 49 24`cmÛ` 50 24`cmÛ` 51 ④
52 24`cmÛ` 53 27`cmÛ` 54 16`cmÛ` 55 16`cmÛ`
28 ⑴ 직사각형 ⑵ 정사각형
30 ②, ⑤
01 AOÓ=BOÓ=COÓ=DOÓ이므로
BDÓ=ACÓ=2AOÓ=14(cm)
∴ x=14
∠ABO=∠CDO=60ù(엇각)
OCÓ=ODÓ이므로
△OCD에서 ∠OCD=∠CDO=60ù
∴ y=60
02 AEÓ=ECÓ이므로 ∠EAC=∠ECA
또, ∠DAC=∠ECA(엇각)
∠BAE=∠EAC=∠DAC
=
;3!;
∠A=
_90ù=30ù
;3!;
∴ ∠AEB=∠DAE=30ù+30ù=60ù
86 II . 사각형의 성질
03 △ABE에서
∠AEB =180ù-(90ù+30ù)
=60ù
겹쳐진 부분의 각의 크기는 같으
므로 ∠x=∠FEC
(cid:40)
(cid:39)
(cid:34)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:35)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:89)
(cid:38)
(cid:37)
(cid:36)
10 두 대각선이 서로 직교하는 평행사변형은 마름모이다.
따라서 마름모에 대한 설명으로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
11 평행사변형 ABCD가 마름모가 되려면 이웃하는 두 변의
길이가 같거나 두 대각선이 서로 수직이어야 한다.
따라서 60ù+2∠x=180ù에서 ∠x=60ù
ㄱ. 이웃하는 두 변의 길이가 같다.
04 평행사변형이 직사각형이 되려면 한 내각이 직각이거나 두
ㄹ. 두 대각선이 서로 수직이다.
따라서 마름모가 되는 조건은 ㄱ, ㄹ이다.
개
념
익
힘
탑
따라서 한 내각이 직각인 평행사변형이므로 ABCD는
OBÓ=OCÓ이므로 ∠OCB=45ù ∴ z=45
대각선의 길이가 같아야 한다.
ㄱ. 한 내각이 직각이다.
ㄷ. AOÓ=BOÓ이면 ACÓ=BDÓ이다.
따라서 직사각형이 되는 조건은 ㄱ, ㄷ이다.
05 평행사변형이 직사각형이 되려면 한 내각이 직각이거나 두
대각선의 길이가 같아야 한다.
② ACÓ=8`cm이면 BDÓ=2BOÓ=2_4=8(cm)이므로
ACÓ=BDÓ
④ 한 내각이 직각이다.
따라서 직사각형이 되는 조건은 ②, ④이다.
06 △ABM과 △DCM에서
AÕMÓ=DÕMÓ
Ó, ABÓ=DCÓ, MBÓ=MCÓ이므로
△ABMª△DCM(SSS 합동)
ABCD가 평행사변형이므로 ∠A+∠D=180ù
∴ ∠A=∠D=90ù
직사각형이다.
07 ABÓ=BCÓ이므로 2x-3=9, 2x=12 ∴ x=6
ADÓ=DCÓ이므로 ∠DAC=∠DCA=50ù ∴ y=50
∴ x+y=6+50=56
08 △ABP=
△ABPª△ADQ(RHA 합동)이므로
_BPÓ_10=20이므로 BPÓ=4(cm)
;2!;
DQÓ=BPÓ=4`cm
09 EBFD는 마름모이므로 BEÓ=EDÓ=BFÓ=FDÓ
∴ ∠EBD=∠EDB
12 AFÓBEÓ이므로
∠AFB=∠EBF(엇각), ∠BEA=∠FAE(엇각)
△ABF와 △ABE에서 ABÓ=AFÓ, ABÓ=BEÓ이므로
AFÓ=BEÓ
즉, ABEF는 평행사변형이다.
따라서 ABEF는 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사
변형이므로 마름모이다.
13 ACÓ⊥BDÓ이므로 두 대각선이 직교하는 평행사변형
ABCD는 마름모이다.
따라서 16=5x-4이므로
5x=20 ∴ x=4
14 AOÓ=
;2!;
ACÓ=
BDÓ=
_16=8 ∴ x=8
;2!;
;2!;
ACÓ⊥BDÓ이므로 ∠AOD=90ù ∴ y=90
BDÓ=
15 OAÓ=
∠AOB=90ù이므로
;2!;
;2!;
_18=9(cm)이고
ABCD=△ABD+△BCD=2△ABD
=2_
_18_9
=162(cmÛ`)
{;2!;
}
16 △PBC가 정삼각형이므로
∠ABP=∠PCD=90ù-60ù=30ù
△BPA에서 BÕAÓ=BPÓ이므로
∠BPA=
_(180ù-30ù)=75ù
ADÓBCÓ이므로 ∠EDB=∠DBF(엇각)
△CDP에서 CPÓ=CDÓ이므로
즉, ∠EBD=∠DBF이므로 ∠DBF=
_90ù=30ù
∠CPD=
_(180ù-30ù)=75ù
;3!;
따라서 △BFD에서 ∠BDF=∠DBF=30ù이므로
따라서 ∠BPC=60ù이므로
∠x=180ù-(30ù+30ù)=120ù
∠APD=360ù-(75ù+60ù+75ù)=150ù
;2!;
;2!;
정답과 풀이 87
17 ㄱ. 정사각형 ㄴ. 마름모 ㄷ. 정사각형 ㄹ. 직사각형
따라서 정사각형이 되는 조건은 ㄱ, ㄷ이다.
25 오른쪽 그림과 같이 점 D에서
BCÓ에 내린 수선의 발을 F라 하면
18 ② ABÓ=ADÓ인 평행사변형은 네 변의 길이가 모두 같으
므로 마름모이고, ACÓ=BDÓ인 마름모는 두 대각선의 길
이가 같으므로 정사각형이 된다.
19 ABCD에서 ∠A=∠B=90ù이므로
ABCD는 정사각형이다.
④ △AOD=
ABCD
_(4_4)=4(cmÛ`)
;4!;
=
;4!;
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:34)
(cid:48)
(cid:36)
20 ⑤ ABÓ=DCÓ, ADÓ는 공통인 변, BDÓ=CAÓ
∴ △ABDª△DCA(SSS 합동)
21 ACÓ=BDÓ이므로 5x-4=3x+4, 2x=8 ∴ x=4
∴ ABÓ=3x-2=12-2=10
22 ACÓ=BDÓ=14`cm이므로 3x+2=14, 3x=12
∴ x=4
∠ABC=180ù-∠BAD=180ù-120ù=60ù이므로
y=60
∴ x+y=4+60=64
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
(cid:37)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:36)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:39)
AEFD는 직사각형이고,
△ABEª△DCF(RHA 합동)
이므로 EFÓ=ADÓ=8`cm,
CFÓ=BEÓ=3`cm
∴ BCÓ=3+8+3=14(cm)
∴ ABCD=
_(8+14)_10=110(cmÛ`)
;2!;
27 ④ ∠AOD=∠COD 마름모
28 ⑴ ADÓ=BCÓ, ABÓ=DCÓ이므로 ABCD는 평행사변형
이고, 평행사변형 ABCD에서 ACÓ=BDÓ이므로 직사
⑵ AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ를 만족하는 ABCD는 평행사
변형이고, ACÓ=BDÓ, ACÓ⊥BDÓ를 만족하는 평행사변
형 ABCD는 정사각형이다.
29 ①, ② 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사
③ 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같으므로 평행사변
각형이다.
변형이다.
형이다.
④ ∠A+∠B=180ù이므로 `
_(∠A+∠B)=90ù
;2!;
즉, 두 대각선이 직교하므로 마름모이다.
⑤ 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다.
(cid:39)
(cid:37)
(cid:34)
(cid:40)
(cid:35)
(cid:41)
(cid:36)
(cid:38)
∠BAG=∠FDG(엇각)
따라서 △ABGª△DFG(ASA 합동)
이므로 AGÓ=DGÓ
또, ADÓ=2ABÓ이므로 ABÓ=AGÓ=DGÓ
23 ABCD는 등변사다리꼴이므
(cid:34)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
로 ∠BCD=∠B=60ù
ADÓBCÓ이므로
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
30 △ABG와 △DFG에서
ABÓ=DFÓ, ABÓEFÓ이므로
(cid:18)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
∠ABG=∠DFG(엇각),
∠BCA=∠DAC=30ù(엇각)
∴ ∠DCA=60ù-30ù=30ù
따라서 △DAC는 이등변삼각형이므로
AÕDÓ=DCÓ=ABÓ=8`cm
24 오른쪽 그림과 같이 점 D에서
ABÓ에 평행한 직선을 그어 BCÓ와
만나는 점을 E라 하면
△DEC는 정삼각형이고,
ABED는 평행사변형이므로
ECÓ=CDÓ=ABÓ=6`cm,
ADÓ=BEÓ=11-6=5(cm)
6+11+6+5=28(cm)
88 II . 사각형의 성질
(cid:34)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:38)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
(cid:18)(cid:18)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
ABÓ=BHÓ=HCÓ
는 마름모이다.
마찬가지 방법으로 △ABHª△ECH(ASA 합동)이므로
따라서 AGÓ=BHÓ=ABÓ이고 AGÓBHÓ이므로 ABHG
32 ① 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형은 직사각형이다.
② 두 대각선이 직교하는 평행사변형은 마름모이다.
③ 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형은 마름모이다.
등변사다리꼴이다.
따라서 ABCD의 둘레의 길이는
⑤ 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같은 사다리꼴은
(cid:35)
(cid:49)
(cid:35)
33 ② 직사각형은 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형
이다.
④ 정사각형은 네 변의 길이가 모두 같으므로 마름모이다.
34 ④ 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하지
만 길이가 항상 같은 것은 아니다.
35 두 대각선이 길이가 같고 서로 다른 것을 이등분하는 사각
형은 ㄴ. 직사각형, ㄹ. 정사각형이다.
43 ADÓBCÓ이므로 △ABC=△DBC
∴ △OBC =△ABC-△ABO
=△DBC-△ABO
=18-6=12(cmÛ`)
44 ACÓDEÓ이므로 △ACD=△ACE
∴ ABCD =△ABC+△ACD=△ABC+△ACE
=△ABE=
_(6+3)_4=18(cmÛ`)
;2!;
개
념
익
힘
탑
36 두 대각선이 내각을 이등분하는 사각형은 ㄷ. 정사각형,
45 오른쪽 그림과 같이 BDÓ, CEÓ를 그으면
(cid:34)
ㄹ. 마름모이므로 a=2
두 대각선의 길이가 같은 사각형은 ㄱ. 등변사다리꼴,
ㄷ. 정사각형, ㅁ. 직사각형이므로 b=3
∴ a+b=2+3=5
ADÓBCÓ이므로
△ABC=△BCD
또, BEÓCDÓ이므로
△BCD=△ECD
37 직사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 마름
모이므로 EFGH는 마름모이다.
따라서 마름모에 대한 설명으로 옳지 않은 것은 ②, ④이다.
38 ㄱ. 평행사변형 평행사변형
ㄴ. 직사각형 마름모
ㄷ. 마름모 직사각형
ㄹ. 등변사다리꼴 마름모
따라서 마름모가 되는 것은 ㄴ, ㄹ이다.
39 ㄱ. 평행사변형 평행사변형
ㄴ. 직사각형 마름모
ㄷ. 마름모 직사각형
ㄹ. 정사각형 정사각형
따라서 두 대각선이 서로 직교하는 사각형은 마름모와 정
사각형이므로 ㄴ, ㄹ이다.
40 등변사다리꼴 ABCD의 각 변의 중점을 연결한
EFGH는 마름모이므로 EFGH의 둘레의 길이는
4_10=40(cm)
41 정사각형 ABCD의 각 변의 중점을 연결하여 만든
PQRS는 정사각형이다.
따라서 PQRS의 넓이는 3_3=9(cmÛ`)
42 EFGH는 정사각형이므로
ABCD=2 EFGH=2_(5_5)=50(cmÛ`)
∴ △ABC=△ECD=
_7_6=21(cmÛ`)
;2!;
(cid:36)
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
46 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면 (cid:34)
ABÓDCÓ이므로
△PCD=△ACD
∴ ABCD =2△ACD=2△PCD=2_25=50(cmÛ`)
(cid:38)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:36)
47 ADÓBCÓ이므로 △CDF=△FBD
BDÓEFÓ이므로 △FBD=△EBD
ABÓDCÓ이므로 △EBD=△EBC
∴ △CDF=△FBD=△EBD=△EBC
48 ABÓDCÓ 이므로 △ABD=△ABE
∴ △AFD=△BEF
△ABD=△ABF+△AFD=20+△AFD
△BCD =△DFE+△BEF+△BCE
=△DFE+△BEF+18
이때 △ABD=△BCD이므로
20+△AFD=△DFE+△BEF+18
20=△DFE+18
∴ △DFE=20-18=2(cmÛ`)
49 ADÓ：DBÓ=4：3이므로 △ADC：△BCD=4：3
△ABC=
∴ △BCD=
_84=36(cmÛ`)
또, CFÓ：FDÓ=2：1이므로 △BCF：△BFD=2：1
∴ △BCF=
△BCD=
_36=24(cmÛ`)
;7#;
;3@;
;7#;
;3@;
정답과 풀이 89
50 △APQ`:`△PCQ=AQÓ`:`CQÓ=4`:`1이므로
16`:`△PCQ=4`:`1
∴ △PCQ=4`cmÛ`
△ APC=△APQ+△PCQ=16+4=20(cmÛ`)
△ ABP`:`△APC=BPÓ`:`PCÓ=1`:`5이므로
△ ABP=
△APC=
_20=4(cmÛ`)
;5!;
;5!;
∴ △ABC=△ABP+△APC=4+20=24(cmÛ`)
51 오른쪽 그림과 같이 FCÓ를 그으면
△ AFC =3△AFE
=3_4=12(cmÛ`)
또, △ABD=△ADC,
△ FBD=△FDC이므로
△ ABF=△AFC=12`cmÛ`
(cid:34)
(cid:38)
(cid:39)
(cid:37)
(cid:35)
(cid:36)
실전연습문제
개념익힘탑 36~37쪽
02 75ù
01 ④
06 125
05 ㄷ
09 30`cmÛ` 10 20p
03 30ù
07 4배
11 30`cmÛ` 12 9`cmÛ`
04 ⑤
08 15`cmÛ`
01 △ABF에서
∠ ABF=∠AFD-∠BAF=65ù-26ù=39ù
∠ CBD=∠ABD=39ù이므로 △ABE에서
∠ x=∠BAE+∠ABE=26ù+2_39ù=104ù
02 △ADE와 △CDE에서
ADÓ=CDÓ, ∠ADE=∠CDE=45ù, DEÓ는 공통이므로
△ ADEª△CDE (SAS 합동)
△ ABE=△ABF+△AFE=12+4=16(cmÛ`)
∴ ∠DAE=∠DCE=30ù
∴ △ABC=3△ABE=3_16=48(cmÛ`)
∴ ∠AEB=∠EAD+∠EDA=30ù+45ù=75ù
52 △ABO`:`△AOD=OBÓ`:`ODÓ=2`:`1이므로
△ ABO=2△AOD=2_8=16(cmÛ`)
∴ △ABD=△ABO+△AOD=16+8=24(cmÛ`)
03 점 A에서 DCÓ에 평행한 직선을
그어 BCÓ와 만나는 점을 E라 하면
AECD는 마름모이므로
(cid:35)
(cid:36)
AEÓ=ECÓ=CDÓ=DAÓ
(cid:34)
(cid:37)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:38)
53 오른쪽 그림과 같이 AEÓ를 그으면
ACÓDEÓ이므로
△ ACD=△ACE
BCÓ`:`CEÓ=2`:`1이므로
△ ABC`:`△ACE=2`:`1
(cid:37)
(cid:34)
또한, ADÓ=
BCÓ이므로 BEÓ=ECÓ
;2!;
(cid:35)
(cid:38)
(cid:36)
즉, △ABE는 정삼각형이므로 ∠AEC=120ù
따라서 ∠D=∠AEC=120ù이고 ADÓ=DCÓ이므로
∠ ACD=∠CAD=
_(180ù-120ù)=30ù
;2!;
△ ACE=
△ABC=
_18=9(cmÛ`)
;2!;
;2!;
∴ ABCD =△ABC+△ACD=△ABC+△ACE
04 ∠ADB=∠DBC(엇각)이므로 ABÓ=ADÓ가 되어 이웃하
는 두 변의 길이가 같고, ∠OAB=∠OBA이므로
=18+9=27(cmÛ`)
54 △ABD=;2!;_10_8=40(cmÛ`)
APÓ`:`PDÓ=2`:`3이므로
△ ABP=
△ABD=
_40=16(cmÛ`)
;5@;
;5@;
55 △ABC=
;2!;
ABCD=
_64=32(cmÛ`)
;2!;
APÓ`:`PCÓ=3`:`1이므로
AOÓ=BOÓ가 되어 두 대각선의 길이가 같다.
따라서 ABCD는 정사각형이다.
05 EFGH에서
∠ HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90ù
즉, EFGH는 직사각형이다.
따라서 옳지 않은 것은 ㄷ이다.
06 ABCD의 각 변의 중점을 연결하여 만든 EFGH는 평
행사변형이므로
∠ HEF+∠EFG=180ù, 즉 ∠HEF+60ù=180ù이므로
△ BCP=
△ABC=
_32=8(cmÛ`)
;4!;
;4!;
∠ HEF=120ù ∴ x=120
같은 방법으로 △DPC=8`cmÛ`이므로 색칠한 부분의 넓이
GHÓ=EFÓ=5`cm ∴ y=5
∴ x+y=120+5=125
는 2_8=16(cmÛ`)
90 II . 사각형의 성질
07 △OBE와 △OCF에서
OBÓ=OCÓ, ∠OBE=∠OCF=45ù
10 오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OBÓ를 그으면
ABÓCDÓ이므로 △CAB=△OAB
(cid:18)(cid:17)
(cid:48)
(cid:36)
(cid:37)
∠BOE=90ù-∠EOC=∠COF이므로
∴ (색칠한 부분의 넓이)
△OBEª△OCF(ASA 합동)
=(부채꼴 OAB의 넓이)
(cid:34)
(cid:35)
∴ OECF=△OEC+△OCF=△OEC+△OBE
=△OBC=
ABCD
;4!;
따라서 ABCD의 넓이는 OECF의 넓이의 4배이다.
08 BDÓAEÓ이므로 △ABD=△BDE
∴ ABCD =△BCD+△ABD=△BCD+△BDE
=△BCE
이때 BDÓ가 ABCD의 넓이를 이등분하므로
=
_p_10Û`=20p
;5!;
11 AOÓ`:`COÓ=2`:`5이므로 △AOD=2a라 하면
△DOC=5a, △ABO=△DOC=5a
△ABO`:`△OBC=2`:`5이므로
△OBC=
△ABO=
_5a=
;2%;
;2%;
a
;;ª2°;;
ABCD=2a+5a+5a+
a=147이므로
;;ª2°;;
a=147 ∴ a=6
;;¢2»;;
△BCD=△ABD=
ABCD=
_70=35(cmÛ`)
;2!;
;2!;
∴ △DOC=5a=5_6=30(cmÛ`)
∴ △BDE=△ABD=35`cmÛ`
∴ △BDO=△BDE-△DEO=35-20=15(cmÛ`)
개
념
익
힘
탑
09 △ABC=
;2!;
ABCD
(cid:34)
(cid:37)
=
;2!;
_80=40(cmÛ`)
(cid:35)
(cid:36)
(cid:38)
BEÓ`:`ECÓ=3`:`1이므로
△ABE：△AEC=3：1
12 CEÓ`:`EDÓ=3`:`4이므로 △ACE`:`△AED=3`:`4
∴ △ACE=
△ACD
;7#;
;2!;
;7#;
=
;1£4;
이때 △ACD=
ABCD이므로
△ACE=
△ACD=
_
;7#;
;2!;
ABCD
ABCD=
_84=18(cmÛ`)
;1£4;
따라서 AOÓ=OCÓ이므로
∴ △ABE=
△ABC=
_40=30(cmÛ`)
;4#;
;4#;
△AOE=
△ACE=
_18=9(cmÛ`)
;2!;
;2!;
정답과 풀이 91
III 도형의 닮음과 피타고라스 정리
1 도형의 닮음
08 닮음비는 BCÓ`:`GFÓ=8`:`4=2`:`1이므로
ABÓ`:`HGÓ=2`:`1, x`:`2=2`:`1 ∴ x=4
∠H=∠A=120ù이므로 y=120
∴ x+y=4+120=124
09 △ABC»△CBD이므로 닮음비는
BCÓ`:`BDÓ=6`:`4=3`:`2
즉, ABÓ`:`CBÓ=3`:`2이므로
ABÓ`:`6=3`:`2 ∴ ABÓ=9`cm
∴ ADÓ=ABÓ-BDÓ=9-4=5(cm)
10 ① 닮은 두 평면도형은 대응변의 길이의 비가 일정하다.
③ 닮은 두 평면도형이 항상 합동인 것은 아니므로 넓이가
항상 같은 것은 아니다.
11 ③ 대응각의 크기는 같으므로 ∠C=∠F
④ ACÓ`:`DFÓ=2`:`3이므로 4`:`DFÓ=2`:`3
∴ DFÓ=6`cm
개념익힘문제
개념익힘탑 38~43쪽
01 ⑴ 점 H ⑵ GHÓ ⑶ ∠E
02 ⑴ ∠BCD ⑵ CDÓ ⑶ 점 C
03 모서리 C'F', ADEB 04 ②, ⑤ 05 ④
09 ①
06 ㄷ, ㄹ 07 24`cm 08 124
12 ①, ③ 13 ③
10 ①, ③ 11 ③
17 ④
14 42.2
18 ②, ③ 19 ③
21 ④
22 6`cm
15 14`cm 16 ②
20 ①
24 10`cm 25 6`cm
23 9`cm
`cm 27 3`:`4
28 ;;ª5¤;;
31 20`cmÛ` 32 ⑤
26 ;2#;
30 12
33 x=9, y=16
34 6`cm
29 ④
35 ③
05 ④ 다음 그림과 같은 두 평행사변형은 한 내각의 크기가
같지만 닮은 도형이 아니다.
12 ① ∠A의 크기는 알 수 없다.
② ∠B=∠F=60ù
③ ADÓ`:`EÕHÓ=BCÓ`:`FGÓ=3`:`8
(cid:21)
④ ABÓ`:`EFÓ=3`:`8이므로 ABÓ`:`6=3`:`8
(cid:19)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:19)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
∴ ABÓ=
`cm
;4(;
06 ㄱ. 다음 그림과 같은 두 원뿔은 닮은 도형이 아니다.
(cid:18)
(cid:19)
ㄴ. 다음 그림과 같은 두 직육면체는 닮은 도형이 아니다.
(cid:20)
(cid:19)
(cid:18)
(cid:19)
(cid:18)
(cid:20)
(cid:18)
(cid:19)
13 두 원기둥의 닮음비는 3`:`6=1`:`2이므로
6`:`h=1`:`2 ∴ h=12
14 닮음비는 ABÓ`:`AÕ'B'Ó=6`:`8=3`:`4이므로
x`:`4.8=3`:`4 ∴ x=3.6
2.7`:`z=3`:`4 ∴ z=3.6
∠D'B'C'=∠DBC=35ù이므로 y=35
∴ x+y+z=3.6+35+3.6=42.2
07 닮음비는 ACÓ`:`DFÓ=8`:`16=1`:`2
BCÓ`:`EFÓ=1`:`2이므로 BCÓ`:`20=1`:`2
15 처음 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 x`cm라 하면
두 원뿔의 닮음비는 12`:`(12+9)=4`:`7이므로
∴ BCÓ=10`cm
8`:`x=4`:`7 ∴ x=14
따라서 △ABC의 둘레의 길이는 6+8+10=24(cm)
따라서 처음 원뿔의 밑면의 반지름의 길이는 14`cm이다.
92 III . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
16 ④ 닮음비는 CFÓ`:`CÕ'F'Ó=6`:`8=3`:`4
② 3`:`4=EFÓ`:`10 ∴ EFÓ=
`cm
;;Á2°;;
③ 3`:`D'E'Ó=3`:`4 ∴ D'E'Ó=4`cm
17 ④ △ABC가 정삼각형이면 △A'B'C'은 정삼각형이지만
B'E'F'C'이 반드시 정사각형인 것은 아니다.
18 ① SSS 닮음 ④ SAS 닮음 ⑤ AA 닮음
25 △ABE와 △CDB에서
∠ABE=∠CDB, ∠AEB=∠CBD
∴ △ABE»△CDB`(AA 닮음)
따라서 AEÓ`:`CBÓ=BEÓ`:`DBÓ이므로
(cid:37)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
(cid:38)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:36)
4`:`CBÓ=6`:`(3+6) ∴ BCÓ=6`cm
26 △ABD와 △DCE에서
∠ADB+∠BAD=180ù-60ù=120ù
(cid:34)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
∠ADB+∠CDE=180ù-60ù=120ù
개
념
익
힘
탑
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:35)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:38)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:36)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
19 보기의 삼각형의 나머지 한 내각의 크기는
180ù-(65ù+45ù)=70ù
이므로 ∠BAD=∠CDE
또한, ∠B=∠C=60ù이므로
③ 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 70ù, 45ù로 같으므로
△ABD»△DCE (AA 닮음)
AA 닮음이다.
20 ① △ABC에서 ∠A=75ù이면
∠B=180ù-(75ù+40ù)=65ù
△DEF에서 ∠F=40ù이면 ∠B=∠E, ∠C=∠F이므
로 △ABC»△DEF`(AA 닮음)
21 △ABC와 △DAC에서
ACÓ`:`DCÓ=BCÓ`:`ACÓ=3`:`2, ∠C는 공통이므로
△ABC»△DAC`(SAS 닮음)
따라서 ABÓ`:`DAÓ=3`:`2이므로 24`:`DAÓ=3`:`2
∴ ADÓ=16`cm
22 △ABC와 △EBD에서
ABÓ`:`EBÓ=BCÓ`:`BDÓ=3`:`2, ∠B는 공통이므로
△ABC»△EBD`(SAS 닮음)
따라서 ACÓ`:`EDÓ=3`:`2이므로
ACÓ`:`4=3`:`2 ∴ ACÓ=6`cm
23 AEÓ=BEÓ=DEÓ=6`cm이므로
ABÓ`:`DBÓ=12`:`8=3`:`2, BCÓ`:`BEÓ=9`:`6=3`:`2,
∠B는 공통
∴ △ABC»△DBE(SAS 닮음)
따라서 ACÓ`:`DEÓ=3`:`2이므로 ACÓ`:`6=3`:`2
∴ ACÓ=9`cm
24 △ABC와 △AED에서
∠ABC=∠AED, ∠ACB=∠ADE
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:38)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
∴ △ABC»△AED`(AA 닮음)
따라서 ABÓ`:`AEÓ=BCÓ`:`EDÓ이므로
(cid:35)
(cid:18)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
ABÓ`:`5=16`:`8 ∴ ABÓ=10`cm
따라서 ABÓ`:`DCÓ=BDÓ`:`CEÓ이므로
8`:`2=6`:`CEÓ ∴ CEÓ=
`cm
;2#;
27 △ABE와 △ADF에서
∠B=∠D`(평행사변형의 성질), ∠AEB=∠AFD=90ù
∴ △ABE»△ADF`(AA 닮음)
∴ ABÓ`:`ADÓ=AEÓ`:`AFÓ =6`:`8 =3`:`4
28 △ABD»△ACE`(AA 닮음)이므로
ABÓ`:`ACÓ=ADÓ`:`AEÓ, 10`:`(6+2)=6`:`AEÓ
∴ AEÓ=
:ª5¢:
∴ BEÓ=ABÓ-AEÓ=10-
=
:ª5¢:
;;ª5¤;;
29 △ABD에서 ∠BAD=∠a,
∠ABD=∠b라 하고
∠a, ∠b와 크기가 같은 각을 찾으면
오른쪽 그림과 같다.
(cid:39)
(cid:34)
(cid:66)
(cid:67)
(cid:41)
(cid:38)
(cid:66)
(cid:67)
(cid:37)
(cid:36)
(cid:35)
(cid:67)
∴ △ABD»△AHF»△CHD»△CBF (AA 닮음)
30 5Û`=3_(3+y), 3+y=
∴ y=
:ª3°:
:Á3¤:
xÛ`=
_
3+
:Á3¤:
{
=
:Á3¤:}
:¢;9):);
이때 x>0이므로 x=
:ª3¼:
∴ x+y=
;;ª3¼;;+;;Á3¤;;
=12
Û`=2_8=16
31 BDÓ
이때 BDÓ>0이므로 BDÓ=4`cm
∴ △ABC=
_10_4=20(cmÛ`)
;2!;
정답과 풀이 93
32 △ABC와 △HBA에서
∠BAC=∠BHA=90ù, ∠B는 공통이므로
01 ㄴ. 대응변의 길이의 비는 일정하다.
ㄹ. 닮음비는 두 닮은 도형에서 대응변의 길이의 비이다.
△ABC»△HBA (AA 닮음) (①)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
△ABH와 △CAH에서
∠BHA=∠AHC=90ù,
∠HBA=90ù-∠BAH=∠HAC이므로
△ABH»△CAH (AA 닮음) (②)
∴ ∠BAH=∠ACH (③), AHÓ`:`CHÓ=BHÓ`:`AHÓ (④)
또, ABÓ`:`CAÓ=BHÓ`:`AHÓ=12`:`9=4`:`3 (⑤)
02 A4 용지의 가로의 길이를 a라 하면
A4 용지와 A8 용지는 서로 닮음이고 닮음비는
(cid:34)(cid:25)
(cid:18)
(cid:21)
(cid:66)
a`:`
a=4`:`1
;4!;
A8 용지의 가로의 길이를 x`mm, 세로의 길
(cid:18)
(cid:19)
(cid:66)
(cid:66)
33 ABÓ_ACÓ=ADÓ_BCÓ이므로
15_20=12_BCÓ ∴ BCÓ=25
ABÓ
Û`=BDÓ_BCÓ이므로
15Û`=x_25 ∴ x=9
∴ y=25-9=16
34 BÕMÓ=CÕMÓ=
;;ª2°;;
`cm이므로
DÕMÓ=BÕMÓ-BDÓ=
5
;;ª2°;;-
=;;Á2°;;
(cm)
또, AÕMÓ=BÕMÓ=CÕMÓ=
`cm이므로
;;ª2°;;
Û`=BDÓ_DCÓ이므로
△ABC에서 ADÓ
ADÓ
Û`=5_20=100
이때 ADÓ>0이므로 ADÓ=10`cm
△ADM에서 ADÓ_DÕMÓ=AÕMÓ_DEÓ이므로
10_
;;Á2°;;=;;ª2°;;
_DEÓ ∴ DEÓ=6(cm)
35 △ABC에서 ABÓ
3Û`=ADÓ_5 ∴ ADÓ=
`cm
Û`=ADÓ_ACÓ이므로
△ABD에서 ADÓ
;5(;
Û`=AEÓ_ABÓ이므로
=AEÓ_3 ∴ AEÓ=
`cm
;2@5&;
{;5(;}
2`
실전연습문제
개념익힘탑 44~45쪽
01 ㄱ, ㄷ 02 가로:
`mm, 세로:
:;!2):%;
03 ③
07 ;;ª4°;;
11 ⑤
04 6`cm
05 6
`cm 08 8`cm
09 8
12 6`cm
`mm
:;@4(:&;
06 5`cm
10 ;;Á4°;;
94 III . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
이를 y`mm라 하면
210`:`x=4`:`1이므로 x=
297`:`y=4`:`1이므로 y=
:;!2):%;
:;@4(:&;
따라서 A8 용지의 가로의 길이는
`mm, 세로의 길이
:;!2):%;
는
:;@4(:&;
`mm이다.
03 두 원뿔의 높이의 비가 닮음비이므로 닮음비는 8`:`10=4`:`5
큰 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 x`cm라 하면
4`:`x=4`:`5 ∴ x=5
따라서 큰 원뿔의 밑면의 반지름의 길이는 5`cm이므로 밑
면의 넓이는 p_5Û`=25p(cmÛ`)
04 △ABC와 △DAC에서
ACÓ`:`DCÓ=BCÓ`:`ACÓ=3`:`2, ∠C는 공통
∴ △ABC»△DAC(SAS 닮음)
따라서 ABÓ`:`DAÓ=3`:`2이므로 9`:`DÕAÓ=3`:`2
∴ ADÓ=6`cm
05 △ADE와 △ACB에서 ∠A는 공통, ∠ADE=∠ACB이
므로 △ADE»△ACB`(AA 닮음)
따라서 ADÓ`:`ACÓ=DEÓ`:`CBÓ이므로 5`:`10=DEÓ`:`12
∴ DEÓ=6
06 ∠BAE =∠CBF=∠ACD
=∠a
∠ABE=∠b, ∠CAD=∠c
라 하면
(cid:66)
(cid:68)
(cid:34)
(cid:37)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:66)
(cid:39)
(cid:36)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:67)
(cid:38)
(cid:66)
(cid:35)
∠ABC=∠a+∠b, ∠DEF=∠a+∠b이므로
∠ABC=∠DEF
…… ㉠
마찬가지로
∠BAC=∠a+∠c=∠EDF …… ㉡
㉠, ㉡에서 △ABC»△DEF(AA 닮음)
따라서 ABÓ`:`DEÓ=ACÓ`:`DFÓ이므로 10`:`DEÓ=8`:`4
∴ DEÓ=5`cm
07 ABÓ=ADÓ+DBÓ=7+8=15(cm)
이므로
ECÓ=BCÓ-BEÓ=15-5=10(cm)
(cid:34)
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
(cid:39)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
Û`=BDÓ_BCÓ이므로 8Û`=BDÓ_10
12 ABÓ
∴ BDÓ=
`cm
:£5ª:
CDÓ=BCÓ-BDÓ=10-
=
:£5ª:
:Á5¥:
(cm)
ACÓ
Û`=CDÓ_CBÓ=
_10=36
:Á5¥:
이때 ACÓ>0이므로 ACÓ=6`cm
개
념
익
힘
탑
△BDE와 △CEF에서
∠B=∠C=60ù,
∠BDE=∠CEF이므로
△BDE»△CEF(AA 닮음)
∴ CFÓ=
`cm
:ª4°:
따라서 BEÓ`:`CFÓ=BDÓ`:`CEÓ이므로 5`:`CFÓ=8`:`10
08 △AED와 △FEC에서
∠ADE=∠FCE(엇각), ∠AED=∠FEC(맞꼭지각)
∴ △AED»△FEC(AA 닮음)
따라서 DEÓ`:`CEÓ=ADÓ`:`FCÓ이므로 DEÓ`:`3=16`:`6
∴ DEÓ=8`cm
09 △AFD와 △CDE에서
∠A=∠C(평행사변형의 대각)
(cid:18)(cid:19)
(cid:37)
(cid:23)
∠AFD=∠CDE (엇각)이므로
(cid:38)
(cid:36)
(cid:34)
(cid:23)
(cid:35)
(cid:20)
(cid:39)
△AFD»△CDE (AA 닮음)
따라서 AFÓ`:`CDÓ=ADÓ`:`CEÓ이므로
(6+3)`:`6=12`:`BCÓ ∴ BCÓ=8
10 △AOE와 △ADC에서
∠CAD는 공통, ∠AOE=∠ADC=90ù이므로
△AOE»△ADC(AA 닮음)
따라서 AOÓ`:`ADÓ=OEÓ`:`DCÓ이므로 5`:`8=OEÓ`:`6
∴ OEÓ=
:Á4°:
11 △ABC와 △AFD에서
∠A는 공통, ∠ACB=∠ADF=90ù이므로
△ABC»△AFD(AA 닮음)
△ABC와 △EBD에서
∠B는 공통, ∠ACB=∠EDB=90ù이므로
△ABC»△EBD(AA 닮음)
△EBD와 △EFC에서
2 평행선과 선분의 길이의 비
㈑ BDÓ
14 ③
18 ④
22 3
27 5
31 ②
개념익힘문제
개념익힘탑 46~51쪽
01 9`cm
05 9
09 ③
04 ①
03 ④
02 14
06 12
08 FEÓ
07 ②
10 ㈎ ∠AEC ㈏ ∠ACE ㈐ ACÓ
11 ;;ª4¦;;
12 3`cm
13 ;3%;
`cm
15 ;;ª5¢;;
19 6`cm
23 ⑤
16 ③
20 ④
24 ;;ª2Á;;
17 24`cmÛ`
21 12`cm
25 x=
, y=
;;Á5¤;;
;;Á2°;;
26 x=18, y=9, z=24
28 22`cm 29 4
30 2
32 20
`cm 34 28
33 ;;ª5¢;;
37 4
35 36`cm 36 ⑤
01 DFCE가 평행사변형이므로 FCÓ=DEÓ=6`cm
AEÓ`:`ACÓ=DEÓ`:`BCÓ이므로
8`:`20=6`:`(BFÓ+6), 8(BFÓ+6)=120
∴ BFÓ=9`cm
02 ABÓ`:`ADÓ=BCÓ`:`DEÓ이므로
x`:`(x+5)=10`:`15, 10(x+5)=15x ∴ x=10
ABÓ`:`BDÓ=ACÓ`:`CEÓ이므로
∠E는 공통, ∠BDE=∠FCE=90ù이므로
10`:`5=8`:`y, 10y=40 ∴ y=4
△EBD»△EFC(AA 닮음)
∴ x+y=10+4=14
정답과 풀이 95
03 △OAB와 △ONM에서 AOÓ`:`NOÓ=6`:`4=3`:`2
이때 ANÓ=NDÓ이므로 NOÓ`:`NDÓ=2`:`5
△OCD에서 ONÓ`:`ODÓ=MNÓ`:`CDÓ이므로
2`:`7=4`:`CDÓ ∴ CDÓ=14`cm
04 ACÓ`:`AFÓ=ABÓ`:`AEÓ=9`:`(9+6)=3`:`5
CDÓ`:`FGÓ=ACÓ`:`AFÓ이므로
CDÓ`:`10=3`:`5 ∴ CDÓ=6`cm
05 ADÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ECÓ이므로
9`:`6=6`:`x, 9x=36 ∴ x=4
AEÓ`:`ACÓ=FEÓ`:`GCÓ이므로
6`:`(6+4)=3`:`y
6y=30 ∴ y=5
∴ x+y=4+5=9
06 AEÓ`:`ACÓ =DEÓ`:`BCÓ=14`:`21=2`:`3
따라서 EFÓ`:`CGÓ=2`:`3이므로
8`:`CGÓ=2`:`3 ∴ CGÓ=12
07 ① 3`:`2+4`:`3
③ 10`:`5+11`:`6
⑤ 3`:`6+2`:`5
② 4`:`2=6`:`3
④ 3`:`10+4`:`12
따라서 BCÓDEÓ인 것은 ②이다.
08 CFÓ`:`FAÓ=CEÓ`:`EBÓ=1`:`1이므로 ABÓFEÓ
따라서 △ABC의 한 변에 평행한 선분은 FEÓ이다.
09 ㄱ. CEÓ`:`EBÓ+CFÓ`:`FAÓ이므로 ABÓ와 FEÓ는 평행하지
않다.
ㄴ, ㄷ. ADÓ`:`DBÓ=AFÓ`:`FCÓ=2`:`3이므로 BCÓDFÓ
ㄹ. BDÓ`:`DAÓ+BEÓ`:`ECÓ이므로 ACÓ와 DEÓ는 평행하지
않다. ∴ ∠A+∠BDE
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
11 4`:`5=3`:`(x-3)이므로
4(x-3)=15, 4x-12=15
4x=27 ∴ x=
;;ª4¦;;
12 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로 BDÓ`:`CDÓ
△BDE»△CDF(AA 닮음)이므로
Ó=9`:`12=3`:`4
∴ BEÓ=3`cm
96 III . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
13 ACÓ`:`ABÓ=CDÓ`:`BDÓ이므로 4`:`3=(BCÓ+5)`:`5
`cm
3(BCÓ+5)=20, 3BCÓ+15=20 ∴ BCÓ=
;3%;
14 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로 6`:`ACÓ=(4+6)`:`6
10ACÓ=36 ∴ ACÓ=
`cm
;;Á5¥;;
15 △ABD에서 BCÓ`:`BDÓ=ECÓ`:`ADÓ이므로
BCÓ`:`15=4`:`10
∴ BCÓ=6
△ABC에서 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로
8`:`x=15`:`(15-6) ∴ x=
;;ª5¢;;
16 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ
△ABD`:`△ADC=2`:`3이므로
Ó이므로 BDÓ`:`CDÓ
Ó=4`:`6=2`:`3
△ADC=
△ABC=
_15=9(cmÛ`)
;5#;
;5#;
17 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로 BDÓ`:`CDÓ=9`:`6=3`:`2
즉, BCÓ`:`CDÓ=1`:`2이므로 △ABC`:`△ACD=1`:`2
∴ △ACD=2△ABC=2_12=24(cmÛ`)
18 8`:`5=4`:`CDÓ ∴ CDÓ=
`cm
;2%;
8`:`5=
4+
+CEÓ
`:`CEÓ ∴ CEÓ=
`cm
{
;2%;
}
;;¤6°;;
따라서 △ABD`:`△ACE=BDÓ`:`CEÓ이므로
`:`△ACE=4`:`
∴ △ACE=25`cmÛ`
:Á1ª3¼:
;;¤6°;;
19 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로 8`:`4=4`:`CDÓ
∴ CDÓ=2`cm
ABÓ`:`ACÓ=BEÓ`:`CEÓ이므로 8`:`4=(6+CEÓ`)`:`CEÓ
8 CEÓ=4(6+CEÓ) ∴ CEÓ=6`cm
20 BCÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`DAÓ이므로 12`:`6=BDÓ`:`3
6 BDÓ=36 ∴ BDÓ=6`cm
BCÓ`:`ACÓ=BEÓ`:`AEÓ이므로
12`:`6=(9+AEÓ)`:`AEÓ
12 AEÓ=6(9+AEÓ) ∴ AEÓ=9`cm
21 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로 10`:`6=5`:`CDÓ
∴ CDÓ=3`cm
또, ABÓ`:`ACÓ=BEÓ`:`CEÓ이므로
∴ CEÓ=12`cm
BDÓ`:`CDÓ=BEÓ`:`CFÓ, 3`:`4=BEÓ`:`4
10`:`6=(8+CEÓ)`:`CEÓ, 10 CEÓ=6(8+CEÓ) `
22 x`:`6=4`:`8, 8x=24
∴ x=3
23 5`:`5=x`:`7 ∴ x=7
5`:`5=8`:`y ∴ y=8
∴ x+y=7+8=15
24 2`:`x=3`:`9, 3x=18 ∴ x=6
y`:`3=3`:`2, 2y=9 ∴ y=
;2(;
∴ x+y=6+
=
;2(;
;;ª2Á;;
25 5`:`x=4`:`6 ∴ x=
5`:`4=4`:`y ∴ y=
;;Á2°;;
;;Á5¤;;
26 x`:`27=20`:`30 ∴ x=18
30`:`10=27`:`y ∴ y=9
30`:`10=z`:`8 ∴ z=24
27 오른쪽 그림과 같이 ll'인 직선
l'을 그으면
8`:`10=6`:`(y+4.5)이므로
(cid:89)
(cid:90)
(cid:23)
(cid:21)(cid:15)(cid:22)
(cid:18)(cid:17)
(cid:18)(cid:17)
(cid:25)
(cid:77)
(cid:77)(cid:8)
(cid:78)
(cid:79)
8(y+4.5)=60 ∴ y=3
x`:`10=4.5`:`(6+3)이므로
9x=45 ∴ x=5
28 점 D에서 ABÓ에 평행한 선분을 그
어 EFÓ, BCÓ와 만나는 점을 각각
P, Q라 하면
EPÓ=BQÓ=ADÓ=16`cm
QCÓ=32-16=16(cm)
(cid:34)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:18)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:49)
(cid:39)
(cid:18)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:18)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:18)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:50)
(cid:36)
DPÓ`:`DQÓ=PFÓ`:`QCÓ이므로
6`:`16=PFÓ`:`16 ∴ PFÓ=6`cm
∴ EFÓ=EPÓ+PFÓ=16+6=22(cm)
29 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 DCÓ
에 평행한 직선을 그어 EFÓ, BCÓ 와
만나는 점을 각각 G, H라 하면
(cid:34)
(cid:37)
(cid:22)
(cid:40)
(cid:38)
(cid:20)
(cid:35)
(cid:21)
(cid:24)
(cid:22)
(cid:22)
(cid:39)
(cid:36)
(cid:41)
GFÓ=HCÓ=ADÓ=5
BHÓ=12-5=7
AEÓ`:`ABÓ=EGÓ`:`BHÓ`이므로
30 점 D에서 ABÓ에 평행한 선분을 그어
EFÓ, GHÓ, BCÓ와 만나는 점을 각각 I, J,
K라 하면
ADÓ=EIÓ=GJÓ=BKÓ=5
∴ IFÓ=1, JHÓ=3, KCÓ=4
(cid:34)
(cid:38)
(cid:40)
(cid:35)
(cid:22)
(cid:42)
(cid:23)
(cid:43)
(cid:44)
(cid:25)
(cid:26)
(cid:37)
(cid:19)
(cid:39)
(cid:89)
(cid:41)
(cid:90)
(cid:36)
△DJH에서 IFÓ`:`JHÓ=DFÓ`:`DHÓ이므로
1`:`3=2`:`(2+x), 2+x=6 ∴ x=4
또, △DKC에서 IFÓ`:`KCÓ=DFÓ`:`DCÓ이므로
1`:`4=2`:`(2+4+y), 6+y=8 ∴ y=2
∴ x-y=4-2=2
개
념
익
힘
탑
31 △ABC에서 AEÓ`:`ABÓ=EQÓ`:`BCÓ이므로
6`:`(6+4)=EQÓ`:`15, 10EQÓ=90 ∴ EQÓ=9`cm
△BDA에서 BEÓ`:`BÕAÓ=EPÓ`:`ADÓ이므로
4`:`(4+6)=EPÓ`:`10, 10EPÓ=40 ∴ EPÓ=4`cm
∴ PQÓ=EQÓ-EPÓ=9-4=5(cm)
32 2AEÓ=3EBÓ`에서` AEÓ`:`EBÓ=3`:`2
BEÓ`:`BAÓ=EGÓ`:`ADÓ이므로
2`:`5=EGÓ`:`10 ∴ EGÓ=4
또, 2EGÓ=GHÓ`이므로 `GHÓ=8
∴ EHÓ=EGÓ+GHÓ=4+8=12
따라서 `AEÓ`:`ABÓ=EHÓ`:`BCÓ`이므로
3`:`5=12`:`BCÓ ∴ BCÓ=20
33 ADÓBCÓ이므로 △AOD»△COB(AA 닮음)
∴ AOÓ`:`COÓ=ADÓ`:`CBÓ=4`:`6=2`:`3
△ABC에서 EOÓ`:`BCÓ=AOÓ`:`ACÓ=2`:`5
즉, EOÓ`:`6=2`:`5, 5EOÓ=12 ∴ EOÓ=
`cm
;;Á5ª;;
△CAD에서 3`:`5=OFÓ`:`4
∴ OFÓ=
`cm
;;Á5ª;;
∴ EFÓ=EOÓ+OFÓ=
;;Á5ª;;+;;Á5ª;;=;;ª5¢;;
(cm)
34 BEÓ`:`ED Ó=14`:`7=2`:`1이므로
BFÓ`:`FCÓ=2`:`1 ∴ x=
_18=6
;3!;
BEÓ`:`BDÓ=EFÓ`:`CDÓ이므로 2`:`3=y`:`7 ∴ y=
;;Á3¢;;
∴ xy=6_
=28
;;Á3¢;;
35 CFÓ`:`CBÓ=EFÓ`:`ABÓ=12`:`18=2`:`3
따라서 △BCD에서 BFÓ`:`BCÓ=EFÓ`:`CDÓ`
정답과 풀이 97
AEÓ`:`(AEÓ+3)=4`:`7 ∴ AEÓ=4
1`:`3=12`:`CDÓ ∴ CDÓ=36`cm
36 ⑤ BHÓ`:`BCÓ=BPÓ`:`BDÓ=PHÓ`:`DCÓ
37 ABÓ, EFÓ, DCÓ가 모두 `BCÓ에 수직이므로 ABÓEFÓDCÓ
BEÓ`:`DEÓ=`ABÓ`:`CDÓ=1`:`2이므로
BEÓ`:`BDÓ=1`:`3
BEÓ`:`BDÓ=EFÓ`:`DCÓ이므로
1`:`3=x`:`12 ∴ x=4
07 3`:`6=x`:`8 ∴ x=4
3`:`6=(y-7)`:`7, 6(y-7)=21 ∴ y=
;;ª2Á;;
08 6`:`x=4`:`8 ∴ x=12
8`:`(8+4)=y`:`12 ∴ y=8
∴ x+y=12+8=20
01 ACÓ`:`CEÓ=ABÓ`:`BDÓ이므로 4`:`12=2`:`x ∴ x=6
△ABC에서 2`:`5=EOÓ`:`9 ∴ EOÓ=
실전연습문제
개념익힘탑 52~53쪽
01 6
05 ④
08 20
12 3
02 ;;ª3¼;;
`cm 03 ;;»7¤;;
`cm 04 ㄱ, ㄷ
06 ;;°5¢;;
09 11
`cm 07 x=4, y=
;;ª2Á;;
11 6
10 ;;£5¤;;
02 AEÓ`:`ACÓ=DEÓ`:`BCÓ=10`:`(4+8)=5`:`6
GEÓ`:`FCÓ=AEÓ`:`ACÓ이므로 GEÓ`:`8=5`:`6
∴ GEÓ=
`cm
;;ª3¼;;
03 AEÓ`:`EFÓ =ADÓ`:`DBÓ=AFÓ`:`FCÓ=24`:`18=4`:`3
∴ AEÓ=
_24=
(cm)
;7$;
;;»7¤;;
04 ㄱ. 5`:`2=10`:`4이므로 BCÓDEÓ
ㄴ. 5`:`15+4`:`10이므로 BCÓ와 DEÓ는 평행하지 않다.
ㄷ. 12`:`6=8`:`4이므로 BCÓDEÓ
ㄹ. 5`:`12+7`:`15이므로 BCÓ와 DEÓ는 평행하지 않다.
따라서 BCÓDEÓ인 것은 ㄱ, ㄷ이다.
05 ADÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ECÓ이면 BCÓDEÓ
④ DEÓ`:`BCÓ=AEÓ`:`ACÓ, DEÓ`:`12=5`:`8
∴ DEÓ=
`cm
:Á2°:
06 BDÓ`:`CDÓ=ABÓ`:`ACÓ=12`:`18=2`:`3
CEÓ`:`EAÓ=CDÓ`:`DBÓ=3`:`2이므로
CEÓ=
_18=
(cm)
;5#;
;;°5¢;;
98 III . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
09 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 DCÓ에 평
행한 직선을 그어 EFÓ, BCÓ 와 만나는 점
(cid:34)
(cid:22)
(cid:37)
(cid:38)
(cid:35)
(cid:22)
(cid:39)
(cid:40)
(cid:18)(cid:17)
(cid:22)
(cid:41)
(cid:18)(cid:22)
(cid:36)
을 각각 `G, H라 하면
GFÓ=HCÓ=ADÓ=5이므로
BHÓ=15-5=10
이때 AEÓ`:`ABÓ=EGÓ`:`BHÓ이므로
3`:`5=EGÓ`:`10 ∴ EGÓ=6
∴ EFÓ=EGÓ+GFÓ=6+5=11
10 △AOD»△COB(AA 닮음)이므로
OAÓ`:`OCÓ=ODÓ`:`OBÓ=ADÓ`:`CBÓ=6`:`9=2`:`3
△CDA에서 3`:`5=OFÓ`:`6 ∴ OFÓ=
∴ EFÓ=EOÓ+OFÓ=
+
:Á5¥:
:Á5¥:
=
;;£5¤;;
:Á5¥:
:Á5¥:
11 FCÓ`:`BCÓ=EFÓ`:`ABÓ=2`:`3이므로
BFÓ`:`BCÓ=1`:`3
`BFÓ`:`BCÓ=FEÓ`:`CDÓ`이므로
1`:`3=2`:`CDÓ ∴ CDÓ=6
12 점 E에서 `BDÓ에 수직인 직선을 그어
ADÓ 와 만나는 점을 H라 하면
△DHE`»△DAB`(AA 닮음)이므로
(cid:36)
(cid:26)
(cid:37)
(cid:34)
(cid:23)
(cid:35)
(cid:41)
(cid:40)
(cid:20)
(cid:38) (cid:39)
(cid:26)
HEÓ`:`ABÓ=DEÓ`:`DBÓ`
HEÓ`:`6=9`:`12
∴ HEÓ=
;2(;
△GHE`»△GDC`(AA 닮음)이고 닮음비는
HEÓ`:`DCÓ=
`:`9=1`:`2이므로 EGÓ`:`ECÓ=1`:`3
;2(;
△EFG`»△EDC`(AA 닮음)이므로
EGÓ`:`ECÓ=GFÓ`:`CDÓ, 1`:`3=GFÓ`:`9
∴ GFÓ=3
3 삼각형의 무게중심과 닮음의 활용
DFÓ=
BCÓ=
_8=4(cm)
;2!;
;2!;
∴ (△DEF의 둘레의 길이)=
+4=12(cm)
+
;2&;
;2(;
개념익힘문제
개념익힘탑 54~63쪽
02 x=4, y=50
01 ③
04 12`cm 05 ③
09 ③
08 20
13 6`cm
12 5`cm
16 14`cm 17 7
19 ③
23 ①
27 3
03 4`cm
06 24`cmÛ` 07 48`cm
10 ④
11 17
14 15`cm 15 ②
18 ⑴ 3`cm ⑵ 36`cmÛ`
20 12`cm 21 23`:`27 22 8`cmÛ`
26 54`cm
24 7`cmÛ` 25 4
30 ⑤
29 ②
28 6`cm
31 x=6, y=
;2(;
32 6`cm
33 17
37 ③
36 ③
`cm 35 18
34 ;;ª6°;;
38 6
42 6`cmÛ` 43 72`cmÛ` 44 14`cmÛ` 45 4`:`3
46 30`cmÛ` 47 ⑴ 48`cmÛ` ⑵ 21`cmÛ` 48 96`cmÛ`
40 1`cmÛ` 41 ⑤
39 ⑤
51 ⑤
49 5p`cmÛ` 50 ;;¥3¼;;
53 2`cmÜ` 54 375`cmÜ` 55 ③
57 450`m 58 ⑤
59 ③
61 4.5`m
52 36p`cmÛ`
56 54`kmÛ`
60 21.5`m
01 DEÓ=
;2!;
BCÓ=
_10=5(cm)
;2!;
BCÓ=
02 DEÓ=
또, DEÓBCÓ이므로 ∠ADE=∠ABC=50ù(동위각)
_8=4(cm) ∴ x=4
;2!;
;2!;
∴ y=50
03 MNÓ=
;2!;
BCÓ=
_12=6(cm)이므로
;2!;
PNÓ=MNÓ-MPÓ=6-2=4(cm)
04 DEÓ=
;2!;
ACÓ=
_7=
(cm)
FEÓ=
ABÓ=
_9=
(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
;2&;
;2(;
yy`㉠
yy`㉡
개
념
익
힘
탑
05 △DBC에서 MNÓ=
BCÓ
;2!;
△ABC에서 PQÓ=
BCÓ
;2!;
㉠, ㉡에 의하여 PQÓ=MNÓ=9`cm
RQÓ=5`cm이므로 PRÓ=9-5=4(cm)
06 DFÓ=
;2!;
`BCÓ=
_12=6(cm)
DEÓ=
`ACÓ=
_16=8(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
∴ △DEF=
_6_8=24(cmÛ`)
;2!;
07 EHÓ=FGÓ=
∴ ACÓ+BDÓ =EFÓ+HGÓ+EHÓ+FGÓ
BDÓ, EFÓ=HGÓ=
ACÓ
;2!;
;2!;
DFÓBCÓ, DEÓACÓ, ∠C=90ù이므로 ∠EDF=90ù
=(EFGH의 둘레의 길이)=48(cm)
08 대각선 BD를 그으면 등변사다리꼴의 두
대각선의 길이는 같으므로
BDÓ=ACÓ=10
EFÓ=HGÓ=
`ACÓ=
_10=5
EHÓ=FGÓ=
`BDÓ=
_10=5
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
따라서 EFGH의 둘레의 길이는 4_5=20
(cid:34)
(cid:38)
(cid:35)
(cid:41)
(cid:18)(cid:17)
(cid:18)(cid:17)
(cid:39)
(cid:37)
(cid:40)
(cid:36)
09 EHÓ=
;2!;
BDÓ=
_14=7(cm)
EFÓ=
ACÓ=
_12=6(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
마름모의 네 변의 중점을 연결한 EFGH는 직사각형이
므로
EFGH=EHÓ_EFÓ=7_6=42(cmÛ`)
10 DEÓ=
;2!;
`ACÓ=
_10=5(cm)
;2!;
11 MNÓ=
점 N은 ACÓ의 중점이므로 y=5
BCÓ이므로 x=2_6=12
;2!;
∴ x+y=12+5=17
12 점 D가 ABÓ의 중점이고, BCÓDEÓ이므로 점 E는 ACÓ의
중점이다.
∴ BCÓ=2DEÓ=2_5=10(cm)
정답과 풀이 99
점 E가 ACÓ의 중점이고, ABÓEFÓ이므로 점 F는 BCÓ의
중점이다.
∴ FCÓ=
BCÓ=
_10=5(cm)
;2!;
;2!;
13 △AEM에서 DNÓ=
△BCD에서 CDÓ=2EÕMÓ=2_4=8(cm)
`EÕMÓ=
;2!;
;2!;
_4=2(cm)
∴ CNÓ=CDÓ-DNÓ=8-2=6(cm)
14 △DCE와 △DNM에서
MNÓCEÓ이므로 ∠CED=∠NMD`(엇각)
∠CDE=∠NDM`(맞꼭지각), DEÓ=DMÓ이므로
△DCEª△DNM`(ASA 합동)
∴ CEÓ=NMÓ=5`cm
또, BCÓ=2`MNÓ=2_5=10(cm)
∴ BEÓ =BCÓ+CEÓ=10+5=15(cm)
15 △ADG에서 DGÓ=2EFÓ
△FBC에서 BFÓ=2DGÓ=4EFÓ이므로
12+EFÓ=4EFÓ ∴ EFÓ=4`cm
16 △DQC에서 QCÓ=2PNÓ=2_3=6(cm)
ABQD는 평행사변형이므로 BQÓ=ADÓ=8`cm
∴ BCÓ=8+6=14(cm)
20 MEÓ=EFÓ=FNÓ=
∴ MFÓ=2`MEÓ=2_3=6(cm)
ADÓ=
;2!;
;2!;
_6=3(cm)
∴ BCÓ=2`MFÓ=2_6=12(cm)
21 GJÓ=KHÓ=
;3!;
EIÓ=FIÓ=2GJÓ=2_4=8(cm)
ADÓ=
_12=4(cm)이므로
;3!;
(△EBI의 둘레의 길이) =EBÓ+BIÓ+IEÓ
(△ICF의 둘레의 길이) =ICÓ+CFÓ+FIÓ
=(8+8)+(11+11)+8
=46(cm)
=(13+13)+(10+10)+8
=54(cm)
따라서 △EBI와 △ICF의 둘레의 길이의 비는
46`:`54=23`:`27
22 △BMN=
;2!;
△ABM=
_
;2!;
;2!;
△ABC
=
;4!;
△ABC=
_32
;4!;
=8(cmÛ`)
23 △PBQ`:`△PQC=1`:`2이고 △PBQ의 넓이가 3`cmÛ`이
므로 △PQC=6`cmÛ`
△PBC=△PBQ+△PQC=3+6=9(cmÛ`)이므로
△ABC=2△PBC=2_9=18(cmÛ`)
17 대각선 AC를 그어 MNÓ과의 교점을
(cid:34)
(cid:21)
(cid:37)
(cid:46)
(cid:35)
(cid:47)
(cid:38)
(cid:36)
(cid:18)(cid:17)
24 △ABM=△CBM, △APM=△CPM이므로
△BCP=△ABP=6`cmÛ`
∴ △PCM=△BCM-△BCP=
△ABC-△BCP
;2!;
E라 하면
MEÓ=
`BCÓ=
_10=5,
ENÓ=
`ADÓ=
_4=2
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
∴ MNÓ=5+2=7
18 ⑴ △DBC에서 PNÓ=
;2!;
∴ MPÓ=MNÓ-PNÓ=12-9=3(cm)
`BCÓ=
_18=9(cm)
;2!;
⑵ △DPN=
_9_8=36(cmÛ`)
;2!;
19 ① GFÓ=EHÓ=
BCÓ=
_16=8
② GEÓ=FHÓ=
ADÓ=
_10=5
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
③ `BEÓ=EDÓ, CFÓ=FAÓ
⑤ `EFÓ=GFÓ-GEÓ=
BCÓ-
ADÓ=8-5=3
;2!;
;2!;
100 III . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
=
;2!;
_26-6=7(cmÛ`)
25 GDÓ=
;3!;
ADÓ=
_18=6
;3!;
∴ GG'Ó=
GDÓ=
_6=4
;3@;
;3@;
26 GDÓ=3G'DÓ=3_6=18(cm)
∴ ADÓ=3GDÓ=3_18=54(cm)
27 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 AGÓ`:`GEÓ=2`:`1,
점 G'는 △DBC의 무게중심이므로 DÕG'Ó`:`GÕ'EÓ=2`:`1
△EDA에서
GÕG'Ó`:`ADÓ=1`:`3 ∴
=3
ADÓ
GG'Ó
28 점 M은 BCÓ의 중점이므로 BÕMÓ=CÕMÓ=9`cm
점 G는 △ABC의 무게중심이므로 AGÓ`:`GÕMÓ=2`:`1
△ABM에서 DGÓ`:`BÕMÓ=AGÓ`:`AÕMÓ이므로
DGÓ`:`9=2`:`3 ∴ DGÓ=6`cm
29 △ADF»△GDE(AA 닮음)이므로
AFÓ`:`GEÓ=ADÓ`:`GDÓ=3`:`1
30 △ABM과 △AMC의 무게중심이 각각 점 G와 점 G'이
36 점 M은 직각삼각형 GBC의 외심이므로
GÕMÓ=BMÓ=CMÓ=
BCÓ
;2!;
=
;2!;
_30=15(cm)
점 G'은 △GBC의 무게중심이므로
GÕG'Ó=
GMÓ=
_15=10(cm)
;3@;
;3@;
또, 점 G는 △ABC의 무게중심이므로
AGÓ=2GÕMÓ=2_15=30(cm)
∴ AÕG'Ó =`AGÓ+GÕG'Ó
=30+10=40(cm)
개
념
익
힘
탑
므로 AGÓ`:`GDÓ=AÕG'Ó`:`GÕ'EÓ=2`:`1
△ADE에서 GÕG'Ó`:`DEÓ=2`:`3이므로
8`:`DEÓ=2`:`3 ∴ DEÓ=12`cm
∴ BCÓ=2DEÓ=2_12=24(cm)
31 BGÓ=2GEÓ=2_3=6 ∴ x=6
△CBE에서 BDÓ=CDÓ, BEÓDFÓ이므로
DFÓ=
BEÓ=
_9=
∴ y=
;2!;
;2!;
;2(;
;2(;
AGÓ=
32 ADÓ=
△ABD에서 AEÓ=BEÓ, ADÓEFÓ이므로
_8=12(cm)
;2#;
;2#;
EFÓ=
ADÓ=
_12=6(cm)
;2!;
;2!;
33 △BCE에서 BDÓ=CDÓ, BEÓDFÓ이므로
_10=5(cm) ∴ x=5
DFÓ=
BEÓ=
;2!;
;2!;
FCÓ=EFÓ=3`cm이므로
ECÓ=EFÓ+FCÓ=3+3=6(cm)
AEÓ=ECÓ=6`cm이므로
ACÓ=AEÓ+ECÓ=6+6=12(cm)
즉, ABÓ=ACÓ=12`cm이므로 y=12
∴ x+y=5+12=17
34 점 D는 직각삼각형 ABC의 빗변의 중점이므로 외심이다.
`cm
즉, BDÓ=ADÓ=CDÓ=
;;ª2°;;
∴ GDÓ=
`BDÓ=
;3!;
_
;3!;
;;ª2°;;=;;ª6°;;
(cm)
35 점 D는 △GBC의 외심이므로 BDÓ=CDÓ=GDÓ=6
∴ ADÓ=3`GDÓ=3_6=18
37 AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ이므로
두 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심이다.
∴ BPÓ=PQÓ=QDÓ
③ PQÓ=a라 하면 BDÓ=3a, MNÓ=
`BDÓ=
;2!;
a
;2#;
∴ PQÓ`:`MNÓ=a`:`
a=2`:`3
;2#;
38 BDÓ를 그어 두 대각선의 교점을 O라
하면 점 P, Q는 각각 △ABD,
(cid:34)
△DBC의 무게중심이므로
APÓ=PQÓ=QCÓ
∴ PQÓ=
ACÓ=
_18=6
;3!;
;3!;
(cid:46)
(cid:49)
(cid:18)(cid:25)
(cid:48)
(cid:50)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:47)
(cid:36)
39 ACÓ를 그으면 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중
심이므로
APÓ`:`AÕMÓ=AQÓ`:`ANÓ=2`:`3
∴ △APQ»△AMN (SAS 닮음)
따라서 PQÓ`:`MÕNÓ=2`:`3이므로
PQÓ`:`9=2`:`3, 3PQÓ=18 ∴ PQÓ=6`cm
40 △G'BC=
;3!;
△GBC=
_
;3!;
;3!;
△ABC
=
;9!;
△ABC
=
;9!;
_9=1(cmÛ`)
41 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
△AGC=
△ABC=
_36=12(cmÛ`)
;3!;
;3!;
∴ △AMC=
△AGC=
_12=6(cmÛ`)
;2!;
;2!;
정답과 풀이 101
△GDC=
△ABC=
_36=6(cmÛ`)
;6!;
;6!;
∴ △MDC=
△GDC=
_6=3(cmÛ`)
;2!;
;2!;
따라서 색칠한 부분의 넓이는
△AMC+△MDC=6+3=9(cmÛ`)
42 BDÓ=CDÓ이고 ECÓFDÓ이므로
BFÓ=EFÓ
EDÓ를 그으면
△FBD =
△EBD
;2!;
46 △ABD»△ACB(AA 닮음)이고 닮음비는 `
ABÓ`:`ACÓ=8`:`12=2`:`3이므로 넓이의 비는
2Û``:`3Û`=4`:`9
따라서 △ABD`:`△DBC=4`:`(9-4)=4`:`5이므로
24`:`△DBC=4`:`5
(cid:34)
∴ △DBC=30`cmÛ`
(cid:38)
(cid:39)
(cid:40)
47 ⑴ △DBE»△ABC(AA 닮음)이고 닮음비는
(cid:35)
(cid:37)
(cid:36)
9`:`12=3`:`4이므로 넓이의 비는 3Û``:`4Û`=9`:`16
=
_
;2!;
;2!;
△ABD
=
;4!;
=
;8!;
_48=6(cmÛ`)
△ABD=
_
;4!;
;2!;
△ABC=
△ABC
;8!;
43 두 점 P, Q는 각각 △ABC,
△ACD의 무게중심이므로
BPÓ=PQÓ=QDÓ
∴ ABCD =2△ABD
(cid:34)
(cid:37)
(cid:50)
(cid:49)
(cid:48)
(cid:46)
(cid:35)
(cid:47)
(cid:36)
=2_3△APQ=6△APQ
=6_12=72(cmÛ`)
44 점 P는 △ABC의 무게중심이므로
PMCO=
△ABC=
ABCD
_42=7(cmÛ`)
또, 점 Q는 △ACD의 무게중심이므로
QOCN=
△ACD=
ABCD
;6!;
;6!;
;3!;
=
;6!;
;3!;
=
;6!;
_42=7(cmÛ`)
27`:`△ABC=9`:`16
∴ △ABC=48`cmÛ`
⑵ ADEC =△ABC-△DBE
=48-27=21(cmÛ`)
48 △ABC»△DAC(AA 닮음)
이고 닮음비가
(cid:34)
(cid:18)(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:19)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
BCÓ`:`ACÓ=25`:`20=5`:`4
(cid:35)
(cid:37)
(cid:19)(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
이므로 넓이의 비는
5Û``:`4Û`=25`:`16
△ABC=
_15_20=150(cmÛ`)이므로
;2!;
150`:`△DAC=25`:`16
∴ △DAC=96`cmÛ`
49 세 원의 반지름의 길이의 비가 1`:`2`:`3이므로
넓이의 비는 1Û``:`2Û``:`3Û`=1`:`4`:`9
색칠한 부분의 넓이를 x`cmÛ`라 하면
x`:`45p=1`:`9이므로 x=5p
따라서 색칠한 부분의 넓이는 5p`cmÛ`이다.
∴ (색칠한 부분의 넓이) =PMCO+QOCN
50 큰 정사면체와 작은 정사면체의 닮음비는 3`:`2이므로 겉
=7+7=14(cmÛ`)
넓이의 비는 3Û``:`2Û`=9`:`4
45 두 점 P, Q는 대각선 BD의 삼등분점이므로
△ABD=
△APQ=
ABCD
_
;3!;
;3!;
;2!;
정사면체 A-EFG의 겉넓이를 x라 하면
60`:`x=9`:`4 ∴ x=
;;¥3¼;;
따라서 정사면체 A-EFG의 겉넓이는
이다.
;;¥3¼;;
△NMC=
△MCD=
;2!;
_
;4!;
;2!;
ABCD
51 두 원기둥의 옆넓이의 비가 16`:`25=4Û``:`5Û`이므로 A와
=
;6!;
ABCD
=
;8!;
ABCD
∴ △APQ`:`△NMC=
ABCD`:`
ABCD
;8!;
;6!;
=4`:`3
102 III . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
B의 닮음비는 4`:`5이다.
r`:`5=4`:`5에서 r=4
16`:`h=4`:`5에서 h=20
∴ r+h=4+20=24
52 원판을 기준으로 생기는 닮음인 두 원뿔의 높이의 비가
1`:`2이므로 원판과 그림자의 닮음비는 1`:`2이고 넓이의
따라서 240_10Ú`â``cmÛ`=240_10ß``mÛ`=240`kmÛ` 이므로
비는
1Û``:`2Û`=1`:`4
원판의 넓이는 p_3Û`=9p(cmÛ`)이므로
9p`:`(그림자의 넓이)=1`:`4
∴ (그림자의 넓이)=36p`cmÛ``
53 물이 채워진 부분과 그릇 전체의 닮음비는 1`:`3이므로
부피의 비는 1Ü``:`3Ü`=1`:`27
채워진 물의 부피를 x`cmÜ`라 하면
x`:`54=1`:`27 ∴ x=2
따라서 채워진 물의 부피는 2`cmÜ`이다.
54 두 직육면체 A, B의 겉넓이의 비가 16`:`25=4Û``:`5Û`이므
로 닮음비는 4`:`5이다.
두 직육면체 A, B의 부피의 비는 4Ü``:`5Ü`=64`:`125이므
로 B의 부피를 x`cmÜ`라 하면
192`:`x=64`:`125 ∴ x=375
따라서 B의 부피는 375`cmÜ`이다.
55 세 사각뿔의 닮음비는 1`:`2`:`3이므로 부피의 비는
1Ü``:`2Ü``:`3Ü`=1`:`8`:`27
∴ (A의 부피)`:`(B의 부피)`:`(C의 부피)
=1`:`(8-1)`:`(27-8)=1`:`7`:`19
56 땅의 실제 가로의 길이는
2_300000=600000(cm)=6000(m)=6(km)
땅의 실제 세로의 길이는
3_300000=900000(cm)=9000(m)=9(km)
따라서 땅의 실제 넓이는 6_9=54(kmÛ` )
57 ABÓ`:`ADÓ=BCÓ`:`DEÓ=9`:`12=3`:`4이므로
ABÓ`:`(ABÓ+3)=3`:`4 ∴ ABÓ=9`cm
따라서 실제 거리는 9_5000=45000(cm)=450(m)
58 20`km=20_10Þ`cm이므로 지도의 축척은
(20_10Þ`)`:`5=(4_10Þ`)`:`1
개
념
익
힘
탑
실제 넓이는 240`kmÛ`이다.
59 △AED»△ABC(AA 닮음)이므로
ADÓ`:`ACÓ=EDÓ`:`BCÓ
2`:`6=1.6`:``BCÓ ∴ BCÓ=4.8`m
따라서 탑의 높이는 4.8`m이다.
60 ACÓ의 실제 길이는
4_500=2000(cm)=20(m)
따라서 나무의 실제 높이는 1.5+20=21.5`(m)
61 ADÓ와 BCÓ의 연장선의 교점을 E라고 하면
(cid:34)
(cid:17)(cid:15)(cid:22)(cid:65)(cid:78)
(cid:37)
(cid:38)(cid:36)
(cid:35)
(cid:18)(cid:15)(cid:19)(cid:65)(cid:78)
(cid:34)(cid:8)
(cid:18)(cid:65)(cid:78)
(cid:35)(cid:8) (cid:36)(cid:8)
(cid:20)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
△DCE»△A'B'C'(AA 닮음)이므로
DCÓ`:`AÕ'B'Ó=CEÓ`:`BÕ'C'Ó
50`:`100=CEÓ`:`30 ∴ CEÓ=15`cm
또한, △ABE»△A'B'C'(AA 닮음)이므로
ABÓ`:`AÕ'B'Ó=BEÓ`:`BÕ'C'Ó, ABÓ`:`100=135`:`30
∴ ABÓ=450`cm=4.5`m
따라서 나무의 높이는 4.5`m이다.
실전연습문제
개념익힘탑 64~65쪽
02 30`cm 03 14
01 x=25, y=24
07 10`cm
04 9`cm
08 2`cmÛ` 09 36`cmÛ` 10 24`cmÛ` 11 6400원
12 1200`m
05 40`cm 06 3
지도에서 넓이가 15`cmÛ`로 표시되는 실제 지역의 넓이를
x`cmÛ`라 하면 넓이의 비는 닮음비의 제곱이므로
x`:`15=(4_10Þ`)Û``:`1Û`
01 CNÓ=NAÓ, CMÓ=MBÓ이므로 NMÓABÓ
따라서 ∠MNC=∠BAC=110ù(동위각)이므로
∠NMC=180ù-(110ù+45ù)=25ù ∴ x=25
∴ x=4Û`_10Ú`â`_15=240_10Ú`â`
또, ABÓ=2MNÓ=2_12=24(cm)이므로 y=24
정답과 풀이 103
02 ABÓ=2EFÓ, BCÓ=2DFÓ, ACÓ=2DEÓ
∴ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ
=2(EFÓ+DFÓ+DEÓ)
=2_(△DEF의 둘레의 길이)
=2_15=30(cm)
03 PÕMÓADÓ, BÕMÓ=DMÓ이므로 △BDA에서 (cid:34)
_6=3
PMÓ=
ADÓ=
;2!;
;2!;
(cid:37)
(cid:23)
(cid:21)
(cid:46)(cid:49)
(cid:47)
∴ PNÓ=PÕMÓ+MNÓ=3+4=7
PNÓBCÓ, ANÓ=CNÓ이므로
(cid:35)
(cid:36)
△ABC에서 BCÓ=2PNÓ=2_7=14
BEÓ=EDÓ, DFÓ=FCÓ이므로
EFÓ=EDÓ+DFÓ=
BDÓ+
DCÓ
;2!;
;2!;
=
;2!;
BCÓ=
_30=15(cm)
;2!;
따라서 GÕG'Ó`:`EFÓ=2`:`3이므로 GÕG'Ó`:`15=2`:`3
∴ GÕG'Ó=10`cm
08 △ADE에서 ADÓ`:`GDÓ=3`:`1이므로
△ADC
△ADE=
△GDE=
_
;3!;
;3!;
;2!;
=
_
;6!;
;2!;
△ABC=
△ABC
;;1Á2;
=
_
;1Á2;
{;2!;
_6_8
=2(cmÛ`)
}
04 △AEC에서 두 점 D, F는 각각 AEÓ, ACÓ의 중점이므로
DFÓECÓ
DFÓ=
ECÓ=
_6=3(cm)
;2!;
;2!;
09 BDÓ를 그으면 BOÓ=DOÓ이므로
점 P는 △ABD의 무게중심이다.
△BGD에서 점 E는 BDÓ의 중점이고, ECÓDGÓ이므로
∴ ABCD =2△ABD
DGÓ=2ECÓ=2_6=12(cm)
∴ FGÓ=DGÓ-DFÓ=12-3=9(cm)
05 △ABC에서
BCÓ=
EPÓ=
;2!;
;2!;
△ACD에서
_44=22(cm)
PFÓ=
ADÓ=
_36=18(cm)
;2!;
;2!;
∴ EFÓ=EPÓ+PFÓ=22+18=40(cm)
따라서 구하는 다리의 길이는 40`cm이다.
(cid:34)
(cid:38)
(cid:35)
(cid:20)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:49)
(cid:21)(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:39)
(cid:36)
06 점 G는 △ABC의 무게중심이므로
점 D, E는 각각 ABÓ, ACÓ의 중점이다.
(cid:34)
∴ DEÓBCÓ
ADÓ`:`ABÓ=AFÓ`:`AHÓ=1`:`2이므로
(cid:37)
(cid:39)
(cid:38)
(cid:18)(cid:25)
(cid:40)
(cid:35)
(cid:41)
(cid:36)
AFÓ=
AHÓ=
_18=9
;2!;
;3@;
;2!;
;3@;
AGÓ=
AHÓ=
_18=12
∴ FGÓ=AGÓ-AFÓ=12-9=3
(cid:34)
(cid:46)
(cid:37)
(cid:49)
(cid:48)
(cid:35)
(cid:36)
=2_3△ABP
=6△ABP
=6_6=36(cmÛ`)
10 △ABD와 △ACB에서 ∠A는 공통, ∠ABD=∠ACB
이므로 △ABD»△ACB`(AA 닮음)이고 닮음비는
ADÓ`:`ABÓ=3`:`6=1`:`2
따라서 넓이의 비는 1Û``:`2Û`=1`:`4이므로
8`:`△ACB=1`:`4 ∴ △ACB=32`cmÛ`
∴ △BCD=△ABC-△ABD=32-8=24(cmÛ`)
11 두 컵은 서로 닮은 도형이고 닮음비가 3`:`4이므로 부피의
비는 3Ü``:`4Ü`=27`:`64
큰 컵에 담은 커피의 가격을 x원이라 하면
2700`:`x=27`:`64 ∴ x=6400
따라서 큰 컵에 담은 커피의 가격은 6400원이다.
12 ABÓ`:`ADÓ=BCÓ`:`DEÓ이므로
ABÓ`:`(ABÓ+4)=6`:`10, 10ABÓ=6(ABÓ+4)
07 AGÓ`:`AEÓ=2`:`3, AÕG'Ó`:`AFÓ=2`:`3
∠EAF는 공통이므로
∴ ABÓ=6`cm
따라서 실제 강의 폭은
△AGG'»△AEF`(SAS 닮음)
6_20000=120000(cm)=1200(m)
104 III . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
4 피타고라스 정리
이때 AHÓ>0이므로 AHÓ=4
∴ DCÓ=AHÓ=4
따라서 △BCD에서 BDÓ
Û`=10Û`+4Û`=116
개념익힘문제
개념익힘탑 66~73쪽
01 1
05 2
02 17`cm 03 116
06 9
07 8`cm
04 ③
08 ㄱ, ㄷ, ㅁ
09 50`cmÛ` 10 ⑴ 12`cm ⑵ 72`cmÛ` ⑶
`cmÛ`
;;¥2Á;;
14 ③
11 100`cmÛ` 12 52`cmÛ` 13 ③
17 320`cmÛ`
15 200
16 ;;ª;2*;»;;
18 ⑴ 40`cmÛ` ⑵ 16`cmÛ` ⑶ 5`:`2
20 2
21 4
23 28 또는 100
22 9 또는 41
24 161 또는 289
19 ②
25 ⑤
26 ⑤
29 54`cmÛ` 30 ③
34 ①
33 ③
37 ②
38 61
41 16`cm 42 ①
45 216`cmÛ`
`cm
27 ③
28 ;1^3);
32 37
31 109
36 10
35 11
39 27
40 16p`cmÛ`
43 12`cmÛ` 44 120`cmÛ`
01 (5x)Û`=(4x)Û`+3Û`
25xÛ`=16xÛ`+9, 9xÛ`=9, xÛ`=1
이때 1Û`=1이고, x>0이므로 x=1
02 △ADC에서 6Û`+ACÓ
이때 ACÓ>0이므로 ACÓ=8`cm
Û`=10Û`, ACÓ
Û`=64
BCÓ=9+6=15(cm)이므로
△ABC에서 ABÓ
Û`=15Û`+8Û`=289
이때 ABÓ>0이므로 ABÓ=17`cm
04 △OAA'에서 OÕA'Ó
△OBB'에서 OÕB'Ó
△OCC'에서 OÕC'Ó
Û`=4Û`+4Û`=32
Û`=OBÓ
Û`=OCÓ
Û`+4Û`=OÕA'Ó
Û`+4Û`=OÕB'Ó
Û`+4Û`=48
Û`+4Û`=64
이때 OÕC'Ó>0이므로 OÕC'Ó=8
∴ ODÓ=OÕC'Ó=8
개
념
익
힘
탑
05 OAÓ=ABÓ=BCÓ=CDÓ=x라 하면
△OAB에서 OBÓ
△OBC에서 OCÓ
△OCD에서 ODÓ
Û`=xÛ`+xÛ`=2xÛ`
Û`=OBÓ
Û`=OCÓ
Û`+xÛ`=2xÛ`+xÛ`=3xÛ`
Û`+xÛ`=3xÛ`+xÛ`=4xÛ`
16=4xÛ`, xÛ`=4이고 이때 x>0이므로 x=2
따라서 OAÓ의 길이는 2이다.
06 △ABC에서 ACÓ
△ACD에서 ADÓ
△ADE에서 AEÓ
Û`=3Û`+3Û`=18
Û`=ACÓ
Û`=ADÓ
Û`+3Û`=18+9=27
Û`+3Û`=27+9=36
이때 AEÓ>0이므로 AEÓ=6
∴ △AFE=
_EFÓ_AEÓ
=
_3_6=9
;2!;
;2!;
07 BFGC=ADEB+ACHI이므로
100=ADEB+36
∴ ADEB=64`cmÛ`
ABÓ
Û`=64이고 ABÓ>0이므로 ABÓ=8`cm
08 ㄱ. ABÓ
Û`+ACÓ
Û`=BCÓ
Û`
∴ AEDB+ACGF=BIHC
ㄴ. AEDB+ADBJ
03 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서
BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면
HCÓ=ADÓ=7이므로
BHÓ=BCÓ-HCÓ=10-7=3
(cid:34)
(cid:24)
(cid:22)
(cid:35)
(cid:20)
(cid:41)
(cid:24)
(cid:37)
(cid:36)
△ABH에서 3Û`+AHÓ
Û`=5Û`, AHÓ
Û`=16
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㅁ이다.
ㄷ. △DBC와 △ABI에서 DBÓ=ABÓ, BCÓ=BIÓ이고
∠DBC=90ù+∠ABC=∠ABI이므로
△DBCª△ABI`(SAS 합동)
∴ △DBC=△ABI
ㄹ. △ADB+△AIK
ㅁ. AEDB=2△DBA=2△DBC=2△ABI
정답과 풀이 105
Ó
⑶ △AGC=△HBC=△HAC
△ACE는 ∠ACE=90ù인 직각이등변삼각형이므로
09 오른쪽 그림과 같이 보조선을 그으면
△BFJ =△ABF=△EBC
(cid:37)
Û`=3Û`+4Û`=25
14 ACÓ
이때 ACÓ>0이므로 ACÓ=5이고
=△EBA
`ADEB
=
;2!;
=
;2!;
_10Û`=50(cmÛ`)
(cid:40)
(cid:44)
(cid:42)
(cid:34)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:41)
(cid:43)
(cid:36)
(cid:38)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:39)
10 ⑴ △ABC에서 15Û`=ABÓ
Û`+9Û`, ABÓ
Û`=144
이때 ABÓ>0이므로 ABÓ=12`cm
⑵ 오른쪽 그림과 같이 점 A에서
(cid:37)
BCÓ, FGÓ에 내린 수선의 발을
(cid:38)
각각 J, K라 하면
△ABF=△EBC=△EBA
`ADEB
=
;2!;
=
;2!;
_12Û`=72(cmÛ`)
(cid:26)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:41)
(cid:42)
(cid:36)
(cid:40)
(cid:34)
(cid:43)
(cid:44)
(cid:18)(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:39)
=
;2!;
`ACHI=
_9Û`=
(cmÛ`)
;2!;
;;¥2Á;;
11 EFGH는 정사각형이고, 넓이가 58`cmÛ`이므로
Û`=58
EHÓ
△AEH에서 EHÓ
58=AHÓ
Û`+9, AHÓ
Û`+3Û`
Û`=AHÓ
Û`=49
이때 AHÓ>0이므로 AHÓ=7`cm
따라서 ABCD의 한 변의 길이는 7+3=10(cm)이므로
ABCD=10Û`=100(cmÛ`)
12 ABCD는 정사각형이고, 넓이가 100`cmÛ`이므로
Û`=100
ADÓ
이때 ADÓ>0이므로 ADÓ=10`cm
∴ AHÓ=10-6=4(cm)
△AEH에서 EHÓ
Û`=4Û`+6Û`=52
따라서 EFGH는 정사각형이므로
EFGH=EÕHÓ
Û`=52`cmÛ`
13 EFGH는 정사각형이므로 EHÓ
△AEH에서 AEÓ=x`cm라 하면
Û`=18
xÛ`+xÛ`=EHÓ
Û`=18, 2xÛ`=18, xÛ`=9
이때 x>0이므로 x=3
따라서 ABCD의 둘레의 길이는
8AEÓ=8_3=24(cm)
106 III . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
△ABCª△CDE(SAS 합동)이므로
△ACE는 ∠ACE=90ù인 직각이등변삼각형이다.
따라서 △ACE의 넓이는
_ACÓ_CEÓ=
;2!;
_ACÓ
Û`=
;2!;
_25=
;2!;
;;ª2°;;
15 △EABª△BCD이므로 ABÓ=CDÓ=8
△ABE에서 BEÓ
Û`=8Û`+6Û`=100
이때 BEÓ>0이므로 BEÓ=10
따라서 △BDE는 BDÓ=BEÓ이고 ∠DBE=90ù인 직각이
등변삼각형이므로
DEÓ
Û`=10Û`+10Û`=200
16 △ABCª△CDE이므로 ACÓ=CEÓ
ACÓ=x라 하면
xÛ`+xÛ`=AEÓ
Û`=169, xÛ`=169
이때 x>0이므로 x=13
△ABC는 직각삼각형이므로
13Û`=5Û`+BCÓ
Û`, BCÓ
Û`=144
이때 BCÓ>0이므로 BCÓ=12
즉 DEÓ=BCÓ=12, CDÓ=ABÓ=5
∴ ABDE=
_(5+12)_(5+12)=
;2!;
;;ª;2*;»;;
17 CFGH는 정사각형이고, 넓이는 64`cmÛ`이므로
Û`=64
CFÓ
이때 CFÓ>0이므로 CFÓ=8`cm
BFÓ=ACÓ=8`cm이므로 BCÓ=8+8=16(cm)
△ABC에서 ABÓ
Û`=8Û`+16Û`=320
따라서 ABDE의 넓이는 320`cmÛ`이다.
18 ⑴ △ABE에서 ABÓ
Û`=2Û`+6Û`=40
4개의 직각삼각형이 모두 합동이므로 ABCD는 정
사각형이다.
∴ ABCD=ABÓ
Û`=40`cmÛ`
⑵ BFÓ=AEÓ=2`cm이므로 EFÓ=6-2=4(cm)
이때 EFGH는 정사각형이므로
EFGH=4Û`=16(cmÛ`)
⑶ ABCD와 EFGH의 넓이의 비는
ABCD`:`EFGH=40`:`16=5`:`2
19 주어진 △ABC가 ∠C=90ù인 직각삼각형이 되려면
(5x)Û`=6Û`+(4x)Û`, 25xÛ`=36+16xÛ`
27 ③ ABÓ 또는 BCÓ가 가장 긴 변인 경우에는 직각삼각형 또
는 둔각삼각형이 될 수 있다.
9xÛ`=36, xÛ`=4
이때 x>0이므로 x=2
20 △ABC가 ∠C=90ù인 직각삼각형이 되려면
(13x)Û`=(12x)Û`+10Û`이어야 하므로
169xÛ`=144xÛ`+100, 25xÛ`=100, xÛ`=4
이때 x>0이므로 x=2
21 x<5이므로 가장 긴 변의 길이는 20이다.
이때 직각삼각형이 되려면
20Û`=(3x)Û`+(4x)Û`, 400=9xÛ`+16xÛ`
25xÛ`=400, xÛ`=16
이때 x>0이므로 x=4
22 Ú 가장 긴 변의 길이가 x일 때, xÛ`=4Û`+5Û`=41
Û 가장 긴 변의 길이가 5일 때, 5Û`=4Û`+xÛ` ∴ xÛ`=9
Ú, Û에서 xÛ`=9 또는 xÛ`=41
23 Ú 가장 긴 변의 길이가 x`cm일 때
xÛ`=6Û`+8Û`=100
Û 가장 긴 변의 길이가 8`cm일 때
8Û`=6Û`+xÛ` ∴ xÛ`=28
Ú, Û에서 xÛ`=28 또는 xÛ`=100
24 Ú 가장 긴 막대의 길이가 x`cm일 때
xÛ`=8Û`+15Û`=289
Û 가장 긴 막대의 길이가 15`cm일 때
xÛ`+8Û`=15Û` ∴ xÛ`=161
Ú, Û에서 xÛ`=161 또는 xÛ`=289
25 ① 5Û`>2Û`+4Û`이므로 둔각삼각형
② 8Û`>3Û`+6Û`이므로 둔각삼각형
③ 10Û`=6Û`+8Û`이므로 직각삼각형
④ 15Û`>7Û`+10Û`이므로 둔각삼각형
⑤ 14Û`<9Û`+12Û`이므로 예각삼각형
26 ㄱ. 2Û`+3Û`<4Û`
ㄷ. 6Û`+7Û`<10Û`
ㅁ. 8Û`+8Û`>10Û`
ㄴ. 4Û`+5Û`>6Û`
ㄹ. 9Û`+12Û`=15Û`
ㅂ. 7Û`+8Û`>10Û`
따라서 예각삼각형인 것은 ㄴ, ㅁ, ㅂ이다.
개
념
익
힘
탑
28 △ABC에서 BCÓ
이때 BCÓ>0이므로 BCÓ=13`cm
Û`=12Û`+5Û`=169
ABÓ_ACÓ=BCÓ_ADÓ이므로
12_5=13_ADÓ
∴ ADÓ=
`cm
;1^3);
29 CDÓ=x`cm 라 하면
ABÓ
Û`=BDÓ_BCÓ이므로 20Û`=16_(16+x)
400=256+16x, 16x=144
∴ x=9
△ABD에서 20Û`=ADÓ
Û`+16Û`, ADÓ
Û`=144이므로
이때 ADÓ>0이므로 ADÓ=12`cm
∴ △ADC=
_CDÓ_ADÓ
;2!;
=
;2!;
_9_12=54(cmÛ`)
Û`=6Û`+8Û`=100
30 △ABC에서 BCÓ
이때 BCÓ>0이므로 BCÓ=10`cm
Û`=BHÓ_BCÓ이므로
ABÓ
6Û`=BHÓ_10 ∴ BHÓ=
`cm
;;Á5¥;;
직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 BOÓ=5`cm
∴ OÕHÓ=BOÓ-BHÓ=5-
;;Á5¥;;=;5&;
(cm)
Û`=8Û`+6Û`=100
31 △ABC에서 ABÓ
이때 ABÓ>0이므로 ABÓ=10
Û`
Û`+DEÓ
Û`+BEÓ
∴ ADÓ
Û` =ABÓ
=10Û`+3Û`=109
32 △ADE에서 DEÓ
Û`=BEÓ
Û`+BCÓ
DEÓ
13+7Û`=5Û`+CDÓ
Û`=37
∴ CDÓ
Û`=3Û`+2Û`=13
Û`이므로
Û`+CDÓ
Û`
33 △ABC에서 두 점 D, E는 각각 ABÓ, BCÓ의 중점이므로
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여
ACÓ=2DEÓ=2_5=10
Û`+CDÓ
Û`=DEÓ
∴ AEÓ
Û`+ACÓ
Û`=5Û`+10Û`=125
정답과 풀이 107
34 ABÓ
Û`+CDÓ
Û`=ADÓ
4Û`+45=6Û`+BCÓ
△BOC에서 BCÓ
Û`+BCÓ
Û`, BCÓ
Û`=BOÓ
Û`이므로
Û`=25
Û`+COÓ
Û`이므로
25=3Û`+xÛ`, xÛ`=16
이때 x>0이므로 x=4
Û`+ADÓ
Û`이므로
35 ABÓ
ABÓ
Û`+CDÓ
Û`=BCÓ
Û`+3Û`=2Û`+4Û`
Û`=11
∴ ABÓ
따라서 △ABO에서 xÛ`+yÛ`=ABÓ
Û`=11
36 ABCD는 등변사다리꼴이므로 ABÓ=CDÓ=x라 하면
Û`이므로
Û`=ADÓ
Û`+CDÓ
Û`+BCÓ
ABÓ
xÛ`+xÛ`=2Û`+4Û`
2xÛ`=20, xÛ`=10
Û`=10
∴ ABÓ
37 APÓ
Û`+CPÓ
Û`=BPÓ
5Û`+15=6Û`+DPÓ
Û`+DPÓ
Û`, DPÓ
Û`이므로
Û`=4
이때 DPÓ>0이므로 DPÓ=2
Û`+CPÓ
Û`=BPÓ
Û`+DPÓ
Û`이므로
xÛ`+yÛ`=6Û`+5Û`=61
Û`+CPÓ
Û`=BPÓ
Û`+DPÓ
Û`이므로
38 APÓ
39 APÓ
yÛ`+6Û`=xÛ`+3Û`
∴ xÛ`-yÛ`=36-9=27
40 R=
_p_
;2!;
{;2*;}
=8p(cmÛ`)
2`
P+Q=R이므로 P+Q=8p`cmÛ`
∴ P+Q+R=8p+8p=16p(cmÛ`)
41 SÁ+Sª=S£이므로 SÁ+18p=50p
∴ SÁ=32p`cmÛ`
SÁ=
_p_
;2!;
ABÓ
{
2 }
Û`=32p이므로 ABÓ
Û`=256
이때 ABÓ>0이므로 ABÓ=16`cm
42 ACÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이는
Û`=2p
_p_
;2!;
{;2$;}
43 △ABC에서 5Û`=4Û`+BCÓ
이때 BCÓ>0이므로 BCÓ=3`cm
Û`, BCÓ
Û`=9
∴ (색칠한 부분의 넓이)=2△ABC
=2_
_4_3
=12(cmÛ`)
{;2!;
}
ABÓ
Û`, ABÓ
;2!;
:ª2°:
p=
_p_
44
이때 ABÓ>0이므로 ABÓ=10`cm
Û`, ACÓ
△ABC에서 26Û`=10Û`+ACÓ
2 }
{
Û`=100
Û`=576
이때 ACÓ>0이므로 ACÓ=24`cm
∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC
=
;2!;
_10_24=120(cmÛ`)
45 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면
△ABC는 ∠B=90ù인 직각삼각형
(cid:34)
(cid:52)(cid:101)
(cid:37)
(cid:26)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
이고, △ADC는 ∠D=90ù인 직각
(cid:52)(cid:132)
(cid:52)(cid:102)
삼각형이므로
SÁ+Sª=△ABC, S£+S¢=△ADC
(cid:19)(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:52)(cid:109)
(cid:36)
∴ SÁ+Sª+S£+S¢ =△ABC+△ADC
=ABCD
=9_24=216(cmÛ`)
실전연습문제
개념익힘탑 74~75쪽
01 136
02 ;;ª2°;;
04 ⑴ 25`cmÛ` ⑵ 13`cmÛ` 05 ④
03 68`cmÛ`
06 60`cmÛ`
07 ;;ª2¦;;
`cmÛ` 08 9
09 96
10 6
11 26p
12 ;;Á1ª7¼;;
`cm
01 ABCG=16`cmÛ`이므로 BCÓ
이때 BCÓ>0이므로 BCÓ=4`cm
Û`=16
CDEF=36`cmÛ`이므로 CDÓ
Û`=36
이때 CDÓ>0이므로 CDÓ=6`cm
따라서 ABÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이는
△BDE는 BDÓ=4+6=10(cm), DEÓ=6`cm인 직각삼
2p+4p=6p
∴ (세 반원의 넓이의 합) =2p+4p+6p=12p
각형이므로
BEÓ
Û`=10Û`+6Û`=136
108 III . 도형의 닮음과 피타고라스 정리
02 △ABC에서 13Û`=12Û`+BCÓ
이때 BCÓ>0이므로 BCÓ=5
Û`, BCÓ
Û`=25
∴ △CGB=△HAB=△HCB
=
;2!;
CBHI
=
;2!;
_5Û`=
;;ª2°;;
03 △ABF=△EBC=△EBA
ADEB
=
;2!;
=
;2!;
_10Û`=50(cmÛ`)
△AGC=△HBC=△HAC
=
;2!;
ACHI
=
;2!;
_6Û`=18(cmÛ`)
∴ (색칠한 부분의 넓이) =△ABF+△AGC
=50+18=68(cmÛ`)
04 ⑴ 4개의 직각삼각형이 합동이므로
AHÓ=CBÓ=2`cm
∴ HBÓ=2+3=5(cm)
FHBD는 정사각형이므로
FHBD=5Û`=25(cmÛ`)
⑵ △ABC에서
Û`=3Û`+2Û`=13이고
ACÓ
ACEG는 정사각형이므로
ACEG=ACÓ
Û`=13(cmÛ`)
05 △ABP에서 10Û`=6Û`+BPÓ
이때 BPÓ>0이므로 BPÓ=8`cm
Û`, BPÓ
Û`=64
BQÓ=APÓ=6`cm이므로
PQÓ=BPÓ-BQÓ=8-6=2(cm)
∴ PQRS=2Û`=4(cmÛ`)
개
념
익
힘
탑
07 △ABD에서 10Û`=BDÓ
이때 BDÓ>0이므로 BDÓ=8`cm
Û`=BDÓ_BCÓ이므로
Û`+6Û`, BDÓ
ABÓ
Û`=64
10Û`=8_BCÓ ∴ BCÓ=
`cm
;;ª2°;;
CDÓ=BCÓ-BDÓ=
8
;;ª2°;;-
=;2(;
(cm)
∴ △ACD=
_CDÓ_ADÓ
;2!;
=
_
;2!;
;2(;
_6=
;;ª2¦;;
(cmÛ`)
09 ABCD의 두 대각선이 직교하므로
Û`+11Û`=5Û`+14Û`, ABÓ
Û`=100
ABÓ
이때 ABÓ>0이므로 ABÓ=10
따라서 직각삼각형 ABO에서
Û`=96
Û`이므로 BOÓ
10Û`=2Û`+BOÓ
10 APÓ
Û`+CPÓ
Û`=BPÓ
Û`+DPÓ
Û`+11, BPÓ
Û`이므로
Û`=9
2Û`+4Û`=BPÓ
이때 BPÓ>0이므로 BPÓ=3
△PBC에서 BCÓ
Û`=PBÓ
Û`+PCÓ
Û`이므로
△PBC는 ∠BPC=90ù인 직각삼각형이다.
∴ △PBC=
_PBÓ_PCÓ
=
_3_4=6
;2!;
;2!;
_p_
11 S£=
∴ SÁ =Sª+S£
;2!;
{;;Á2ª;;}
2`
=18p
=8p+18p=26p
12 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로
_8_ACÓ=60
;2!;
06 8Û`+15Û`=17Û`이므로 세 변의 길이가 8`cm,
15`cm, 17`cm인 삼각형은 오른쪽 그림과
∴ ACÓ=15`cm
(cid:18)(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
△ABC에서 BCÓ
Û`=8Û`+15Û`=289
같이 빗변의 길이가 17`cm인 직각삼각형
이때 BCÓ>0이므로 BCÓ=17`cm
이다.
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
따라서 구하는 삼각형의 넓이는
_8_15=60(cmÛ`)
;2!;
ABÓ_ACÓ=BCÓ_AHÓ이므로
8_15=17_AHÓ
∴ AHÓ=`
`cm
;;Á1ª7¼;;
정답과 풀이 109
IV 확률
1 경우의 수
개념익힘문제
개념익힘탑 76~85쪽
02 ⑴ 6 ⑵ 8
06 5
05 6
04 ③
10 8
09 7
08 4
14 20
13 ③
12 17
18 56
17 8
16 12
22 6
21 16
20 8
24 16가지 25 32가지 26 3
01 ⑴ 3 ⑵ 5
03 5
07 7
11 7
15 9
19 6
23 4
27 (순서대로) B, C, C, A, A, B, B, A, 6
29 720가지 30 ⑤
28 ④
34 210
33 ⑤
32 56
38 ⑤
37 12
36 48
42 240
41 12
40 24
46 ②
44 96
45 ⑤
49 ①
48 ⑴ 30개 ⑵ 120개
51 ②
53 68개
52 ④
54 ⑴ 6, 5, 6, 5, 30 ⑵ 6, 5, 4, 6, 5, 4, 120
55 ④
59 60
63 ⑤
66 ⑤
58 56
57 4
61 9
62 60
65 ⑴ 28개 ⑵ 56개
31 ③
35 12
39 12
43 36
47 72
50 231
56 ③
60 45
64 15개
(3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4)이므로 경우의
수는 8이다.
03 4개의 점을 연결하여 각각의 경우의 사각형을 그려 보면
다음 그림과 같다.
따라서 구하는 경우의 수는 5이다.
[다른 풀이]
5개의 점 중에서 4개의 점을 선택하여 사각형을 그리는 경
우의 수는 5개의 점 중에서 1개의 점을 택하지 않는 경우
의 수와 같으므로 5이다.
04
100원(개)
50원(개)
따라서 지불할 수 있는 경우의 수는 5이다.
05 500원을 지불할 수 있는 경우를 표로 나타내면 다음과 같다.
4
100원(개)
5
3
3
2
4
7
0
0
0
6
2
2
0
5
4
1
5
4
6
4
0
3
8
3
5
50원(개)
10원(개)
따라서 500원을 지불하는 경우의 수는 6이다.
06 만들 수 있는 금액을 표로 나타내면 다음과 같다.
2
100원(개)
1
1
2
1
50원(개)
금액(원)
1
2
3
1
2
150
200
250
250
300
350
따라서 만들 수 있는 금액은 150원, 200원, 250원, 300원,
350원이므로 구하는 경우의 수는 5이다.
07 A 지점에서 B 지점까지 지하철로 가는 방법이 2가지, 버
스로 가는 방법이 5가지이므로 지하철 또는 버스를 이용하
5
5
2
3
08 검은 공이 나오는 경우의 수는 1, 파란 공이 나오는 경우
의 수는 3이므로 구하는 경우의 수는 1+3=4
09 3의 배수가 나오는 경우는 3, 6, 9, 12, 15의 5가지
7의 배수가 나오는 경우는 7, 14의 2가지
따라서 3의 배수 또는 7의 배수가 나오는 경우의 수는
01 ⑴ 두 자리의 자연수가 적힌 공이 나오는 경우는 10, 11,
여 가는 경우의 수는 2+5=7
12이므로 경우의 수는 3이다.
⑵ 소수가 적힌 공이 나오는 경우는 2, 3, 5, 7, 11이므로
경우의 수는 5이다.
02 ⑴ 눈의 수의 합이 7인 경우는 (1, 6), (2, 5), (3, 4),
(4, 3), (5, 2), (6, 1)이므로 경우의 수는 6이다.
⑵ 눈의 수의 차가 2인 경우는 (1, 3), (2, 4), (3, 1),
5+2=7
110 IV . 확률
10 눈의 수의 차가 0이 되는 경우는 (1, 1), (2, 2), (3, 3),
(4, 4), (5, 5), (6, 6)의 6가지
19 열람실에서 복도로 가는 경우의 수는 3, 복도에서 화장실
로 가는 경우의 수는 2이므로 열람실을 나와 화장실로 가
눈의 수의 차가 5가 되는 경우는 (1, 6), (6, 1)의 2가지
는 경우의 수는 3_2=6
따라서 구하는 경우의 수는 6+2=8
11 12의 약수가 나오는 경우는 1, 2, 3, 4, 6, 12의 6가지
4의 배수가 나오는 경우는 4, 8, 12의 3가지
그런데 4, 12는 12의 약수이면서 4의 배수이므로 구하는
경우의 수는 6+3-2=7
20 Ú A
Û A
B
C
Ú
Ú
Ú
Ú
D로 가는 방법의 수는 2_1=2(가지)
D로 가는 방법의 수는 3_2=6(가지)
따라서 구하는 방법의 수는 2+6=8
21 동전의 앞면이 나오는 경우는 1가지이고, 주사위의 6의 약
수의 눈이 나오는 경우는 1, 2, 3, 6의 4가지이므로 구하
개
념
익
힘
탑
12 2의 배수가 나오는 경우는 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,
는 경우의 수는 1_4_4=16
20, 22, 24, 26, 28, 30의 15가지
7의 배수가 나오는 경우는 7, 14, 21, 28의 4가지
그런데 14, 28은 2의 배수이면서 7의 배수이므로 구하는
경우의 수는 15+4-2=17
13 1에서 50까지의 자연수 중 7의 배수는 7, 14, 21, 28, 35,
약수의 개수가 홀수인 수는 자연수의 제곱인 수이므로
1Û`=1, 2Û`=4, 3Ü`=9, 4Û`=16, 5Û`=25, 6Û`=36, 7Û`=49의
42, 49의 7개
7개
이때 49는 7의 배수이면서 약수의 개수가 홀수인 수이므
로 구하는 경우의 수는 7+7-1=13
22 10원짜리, 50원짜리 동전이 서로 같은 면이 나오는 경우는
(앞면, 앞면), (뒷면, 뒷면)의 2가지
주사위의 짝수의 눈이 나오는 경우는 2, 4, 6의 3가지
따라서 구하는 경우의 수는 2_3=6
23 걸은 윷가락 3개는 배,
1개는 등이 나와야 하
윷가락
므로 서로 다른 윷가
락 4개를 각각 A, B,
걸
C, D라고 하면 오른
쪽 표와 같이 4가지 경
(배: ◯, 등: ×)
A
◯
◯
◯
×
B
◯
◯
×
◯
C
◯
×
◯
◯
D
×
◯
◯
◯
우가 나온다. 따라서 경우의 수는 4이다.
14 티셔츠를 하나 고르는 경우의 수는 5, 청바지를 하나 고르
는 경우의 수는 4이므로 구하는 경우의 수는 5_4=20
24 전구 한 개는 켜지는 경우와 꺼지는 경우의 2가지가 있으므
로 신호를 보낼 수 있는 방법은 2_2_2_2=16(가지)
15 남자 3명 중에서 1명을 뽑는 경우의 수는 3, 여자 3명 중
에서 1명을 뽑는 경우의 수는 3이므로 구하는 경우의 수는
3_3=9
25 깃발 한 개가 만들 수 있는 신호는 올린 경우와 내린 경우
의 2가지이므로 만들 수 있는 신호는
2_2_2_2_2=32(가지)
16 A 주머니에서 검은 공을 꺼내는 경우의 수는 `3, B 주머
니에서 검은 공을 꺼내는 경우의 수는 4이므로 구하는 경
우의 수는 3_4=12
26 점 P가 1에 있으려면 앞면이 2번, 뒷면이 1번 나와야 하므
로 구하는 경우의 수는 (앞면, 앞면, 뒷면),
(앞면, 뒷면, 앞면), (뒷면, 앞면, 앞면)의 `3이다.
17 A 마을에서 B 마을로 가는 경우의 수는 4, B 마을에서 C
마을로 가는 경우의 수는 2이므로 A 마을에서 B 마을을
거쳐 C 마을로 가는 경우의 수는 4_2=8
27 A, B, C 세 명을 한 줄로 세우는 경우는 다음과 같다.
B
A
A `─` C
B `─` C
C `─` A
C `─` B
18 서울에서 미국으로 가는 경우의 수는 7, 미국에서 브라질
로 가는 경우의 수는 8이므로 구하는 경우의 수는
C
A `─` B
B `─` A
7_8=56
따라서 경우의 수는 6 이다.
정답과 풀이 111
28 4_3_2_1=24
29 6_ 5_4_3_2_1=720(가지)
30 사과, 감, 배, 토마토 중에서 2개를 뽑아 일렬로 세우는 방
법과 같으므로 4_3=12(가지)
31 5종류의 간식 중에서 2개를 골라 일렬로 세우는 방법과 같
으므로 5_4=20(가지)
32 8_7=56
33 5_4_3=60
34 7_6_5=210
35 A 부분에 3가지의 색을 칠할 수 있고, B 부분에는 A 부
분에 칠한 색을 제외한 2가지의 색을 칠할 수 있다. 또한
C 부분에는 B 부분에 칠한 색을 제외한 2가지의 색을 칠
할 수 있다.
따라서 구하는 경우의 수는 3_2_2=12
36 고구려를 칠하는 4가지 경우 각각에 대하여 백제를 칠하는
경우가 3가지 있고, 그 각각에 대하여 신라를 칠하는 경우
가 2가지이다. 또한 그 각각에 대하여 가야를 칠하는 경우
는 백제와 신라를 칠한 색을 제외한 2가지이다.
따라서 구하는 경우의 수는 4_3_2_2=48
37 부모님을 제외한 나머지 3명을 한 줄로 세우는 경우의 수
는 3_2_1=6
부모님이 양 끝에 서는 경우의 수는 2_1=2
따라서 구하는 경우의 수는 6_2=12
38 A가 가장 앞에 오는 경우의 수는 4_3_2_1=24
C가 가장 앞에 오는 경우의 수는 4_3_2_1=24
따라서 구하는 경우의 수는 24+24=48
39 앞줄에 부부가 앉는 경우의 수는 2_1=2
뒷줄에 1남 2녀가 나란히 서는 경우의 수는 3_2_1=6
따라서 구하는 경우의 수는 2_6=12
40 범수와 재현이를 1명으로 생각하여 4명을 한 줄로 세우는
112 IV . 확률
41 아버지와 어머니를 한 사람으로 생각하여 3명을 일렬로 세
우는 경우의 수는 3_2_1=6
이때 아버지와 어머니가 자리를 바꾸어 서는 경우가 2가지
이므로 구하는 경우의 수는 6_2=12
42 노란색과 파란색을 한 묶음으로 생각하여 5가지 색을 한
줄로 칠하는 경우의 수는 5_4_3_2_1=120
이때 노란색과 파란색의 자리를 바꾸어 칠하는 경우의 수
는 2
따라서 구하는 경우의 수는 120_2=240
43 남학생 3명을 1명으로 생각하여 3명을 일렬로 세우는 경
우의 수는 3_2_1=6
이때 남학생끼리 자리를 바꾸어 서는 경우의 수는
3_2_1=6
따라서 구하는 경우의 수는 6_6=36
44 여학생과 남학생을 각각 1명으로 생각하여 2명을 한 줄로
세우는 경우의 수는 2_1=2
이때 여학생끼리 자리를 바꾸어 서는 경우의 수는
남학생끼리 자리를 바꾸어 서는 경우의 수는
2_1=2
4_3_2_1=24
따라서 구하는 경우의 수는 2_2_24=96
45 소설책과 만화책을 각각 한 권으로 생각하여 2권을 일렬로
꽂는 경우의 수는 2_1=2
소설책 3권끼리 자리를 바꾸어 꽂는 경우의 수는
만화책 4권끼리 자리를 바꾸어 꽂는 경우의 수는
3_2_1=6
4_3_2_1=24
따라서 구하는 경우의 수는 2_6_24=288
46 남학생과 여학생이 서로 이웃하여야 하므로 ‘남여남여남여’
또는 ‘여남여남여남’의 순서로 줄을 세우는 경우의 수는 2
남학생 3명을 한 줄로 세우는 경우의 수는 3_2_1=6
여학생 3명을 한 줄로 세우는 경우의 수는 3_2_1=6
경우의 수와 같으므로 4_3_2_1=24
따라서 구하는 경우의 수는 2_6_6=72
47 5명이 일렬로 앉는 경우의 수는 5_4_3_2_1=120
여학생 2명을 한 명으로 생각하여 4명이 일렬로 앉는 경우
40인 경우: 401, 402, 403, 405의 4개
41인 경우: 410, 412, 413, 415의 4개
의 수는 4_3_2_1=24
따라서 420보다 작은 수의 개수는 20_3+4+4=68(개)
이때 여학생끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 2_1=2
즉, 여학생 2명이 이웃하여 앉는 경우의 수는 24_2=48
55 5_4=20
∴ (여학생 2명이 이웃하지 않도록 앉는 경우의 수)
=(5명이 일렬로 앉는 경우의 수)
-(여학생 2명이 이웃하여 앉는 경우의 수)
=120-48=72
56 주연 1명을 뽑는 경우의 수는 11, 조연 1명을 뽑는 경우의
수는 주연으로 뽑힌 사람을 제외한 10이므로
구하는 경우의 수는 11_10=110
개
념
익
힘
탑
48 ⑴ 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 6개, 일의 자리에 올 수
있는 숫자는 십의 자리에 온 숫자를 제외한 5개이므로
같으므로 4이다.
57 A를 제외한 4명 중에서 부대표 1명을 뽑는 경우의 수와
구하는 자연수의 개수는 6_5=30(개)
58 2번, 7번 학생을 제외한 8명의 학생 중에서 부반장과 총무
⑵ 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 6개, 십의 자리에 올 수
를 각각 1명씩 뽑으면 된다.
있는 숫자는 백의 자리에 온 숫자를 제외한 5개, 일의
따라서 8명 중 부반장 1명을 뽑는 경우의 수는 8, 총무 1명
자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리와 십의 자리에 온
을 뽑는 경우의 수는 7이므로 구하는 경우의 수는
숫자를 제외한 4개이므로 구하는 자연수의 개수는
8_7=56
6_5_4=120(개)
49 30 이하인 자연수가 되려면 십의 자리에 1 또는 2가 와야 한다.
1, 2인 경우 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 각각 십
59 남학생 5명 중에서 회장 1명을 뽑는 경우의 수는 5
나머지 남학생 4명 중에서 부회장 1명을 뽑는 경우의 수는 4
여학생 3명 중에서 부회장 1명을 뽑는 경우의 수는 3
의 자리에 온 숫자를 제외한 5개씩이므로 30 이하인 수의
따라서 구하는 경우의 수는 5_4_3=60
개수는
5+5=10(개)
50 1인 경우: 6_5=30(개)
21인 경우: 213, 214, 215, 216, 217의 5개
따라서 36번째 수는 231이다.
51 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4, 5의 5가지이
고, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자리에 있는 숫자
를 제외한 5가지이므로 5_5=25(개)
52 짝수가 되려면 일의 자리에 0 또는 2 또는 4가 와야 한다.
0인 경우: 5_4=20(개)
2인 경우: 4_4=16(개)
4인 경우: 4_4=16(개)
따라서 짝수의 개수는 20+16+16=52(개)
53 백의 자리의 숫자가 1, 2, 3인 경우 백의 자리의 숫자를 제
외한 5개의 숫자 중에서 2개를 뽑아 나열한 것과 같으므로
각각 5_4=20(개)
60 2번, 4번 학생을 제외한 10명의 학생 중에서 순서에 관계
없이 2명을 더 뽑는 경우의 수이므로
=45
10_9
2
61 남학생 3명 중에서 순서에 관계없이 2명을 뽑는 경우의 수는
=3
3_2
2
여학생 3명 중에서 대표 1명을 뽑는 경우의 수는 3
따라서 구하는 경우의 수는 3_3=9
62 우유 5개 중에서 2개를 사는 경우의 수는
요구르트 4개 중에서 2개를 사는 경우의 수는
=6
따라서 구하는 경우의 수는 10_6=60
5_4
2
=10
4_3
2
63 6명 중에서 순서에 관계없이 3명을 뽑는 경우의 수이므로
=20
6_5_4
3_2_1
64 6개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 2개를 선택하는 경
우와 같으므로
=15(개)
6_5
2
정답과 풀이 113
실전연습문제
개념익힘탑 86~87쪽
따라서 구하는 경우의 수는 24_6=144
65 ⑴ 8개의 점 중에서 순서에 관계없이 2개의 점을 뽑는 경
8_7
2
우의 수와 같으므로
=28(개)
⑵ 8개의 점 중에서 순서에 관계없이 3개의 점을 뽑는 경
우의 수와 같으므로
=56(개)
8_7_6
3_2_1
66 ∠A를 이등변삼각형의 꼭지각으로 하는 이등변삼각형은
△ABH, △ACG, △ADF로 3개이다. 나머지 각에서도
같은 방법으로 생각하면 각각의 경우에 대해 이등변삼각
따라서 세 점을 연결하여 만들 수 있는 이등변삼각형의 개
형이 3개씩 생긴다.
수는 3_8=24(개)
02 14
01 9
04 정우, 12 → 36
06 24
10 27
14 253
07 144
11 6번
03 9
05 ⑴ 64 ⑵ 24
08 540
12 16
09 5개
13 31개
01 액수가 큰 100원짜리 동전의 개수를 정한 다음 50원짜리,
10원짜리 동전의 개수를 정하면 다음 표와 같다.
100원(개)
50원(개)
10원(개)
6
0
0
5
2
0
5
1
5
4
4
0
4
3
5
3
6
0
3
5
5
2
8
0
2
7
5
04 서로 다른 주사위 2개를 던질 때, 일어나는 모든 경우의
수는 6Û`=36이므로 잘못 말한 사람은 정우이고, 이를 바르
게 고치면 다음과 같다.
서로 다른 주사위 2개를 던질 때, 일어나는 모든 경우의
수는 36이야.
05 ⑴ 2ß`=64
⑵ 2_2_6=24
06 할아버지의 자리는 가운데로 정해져 있으므로 나머지 4명
을 일렬로 세우는 경우의 수와 같다.
따라서 구하는 경우의 수는 4_3_2_1=24
07 진희, 수진, 윤희를 1명으로 생각하여 4명을 한 줄로 세우
는 경우의 수는
4_3_2_1=24
3_2_1=6
이때 진희, 수진, 윤희가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는
08 가에 칠할 수 있는 색은 5가지
나에 칠할 수 있는 색은 가에 칠한 색을 제외한 4가지
다에 칠할 수 있는 색은 가, 나에 칠한 색을 제외한 3가지
라에 칠할 수 있는 색은 가, 다에 칠한 색을 제외한 3가지
마에 칠할 수 있는 색은 가, 라에 칠한 색을 제외한 3가지
따라서 구하는 경우의 수는 5_4_3_3_3=540
09 1인 경우: 10, 12, 13의 3개
2인 경우: 20, 21의 2개
따라서 21 이하인 수의 개수는 3+2=5(개)
10 Ú 파일럿 4명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
=6
4_3
2
7_6
2
따라서 600원을 지불하는 경우의 수는 9이다.
Û 군인 7명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
=21
02 A 지점에서 C 지점까지 바로 가는 경우의 수는 2
A 지점에서 B 지점을 거쳐 C 지점까지 가는 경우의 수는
따라서 A 지점에서 C 지점까지 가는 경우의 수는
3_4=12
2+12=14
03 A 지점에서 B 지점까지 가는 경우의 수는 3
B 지점에서 C 지점까지 가는 경우의 수는 3
따라서 A 지점에서 출발하여 B 지점을 거쳐 C 지점까지
Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 6+21=27
11 4팀 중에서 순서에 관계없이 2팀을 뽑는 경우의 수와 같으
므로
=6(번)의 시합이 있다.
4_3
2
12 2장의 카드에 적힌 수의 합이 짝수이려면 2장의 카드에 적
힌 수가 모두 홀수이거나 모두 짝수이면 된다.
Ú 모두 홀수인 경우의 수는 1, 3, 5, 7, 9가 적힌 5장의
카드 중에서 순서에 관계없이 2장의 카드를 뽑는 경우
의 수이므로
=10
5_4
2
가는 경우의 수는 3_3=9
114 IV . 확률
Û 모두 짝수인 경우의 수는 2, 4, 6, 8이 적힌 4장의 카드
중에서 순서에 관계없이 2장의 카드를 뽑는 경우의 수
이므로
=6
4_3
2
따라서 짝수가 되는 경우의 수는 10+6=16
13 7개의 점 중에서 순서에 관계없이 3개의 점을 뽑는 경우의
수는
7_6_5
3_2_1
=35
이때 삼각형을 그릴 수 없는 경우는 반원의 지름 위에 있
는 4개의 점 중에서 순서에 관계없이 3개의 점을 뽑는 경
우이므로 그 수는
4_3_2
3_2_1
=4
따라서 만들 수 있는 삼각형의 개수는 35-4=31(개)
26 ;6!;
30 ;3#6!;
33 ;1!5$;
37 ;1!6!;
41 ;1Á0;
45 ;9%;
49 ;9!;
27 ;4!9%;
31 ;2!8#;
34 ;2!;
38 ;4!;
42 ;6Á3;
46 ;5@;
50 ;5!;
28 ;4!;
29 ;1¢5;
32 ⑴
⑵
;2@5@;
;5@0(;
36 ;6@4&;
40 ;1Á6;
44 ;5#;
48 ;2!;
35 ;2¦0;
39 ;2!5^;
43 ;2!4&;
47 ;4!;
51 ;1°7;
개
념
익
힘
탑
14 Ú 5인 경우 : 4_3=12(개)
Û 4인 경우 : 4_3=12(개)
Ü 3인 경우 : 4_3=12(개)
01 모든 경우의 수는 30이고, 토요일인 경우는 2일, 9일, 16
일, 23일, 30일의 5가지이므로 구하는 확률은
=
;6!;
;3°0;
Ú, Û, Ü에서 백의 자리의 숫자가 5, 4, 3인 수는 모두
36개이므로 37번째로 큰 수는 254, 38번째로 큰 수는 253
02 모든 경우의 수는 6
⑴ 6의 약수의 눈이 나오는 경우는 1, 2, 3, 6의 4가지이므
이다.
2 확률과 그 계산
개념익힘문제
개념익힘탑 88~94쪽
01 ;6!;
04 ④
07 ;3°6;
11 ;1¦0;
02 ⑴
⑵
;2!;
;3@;
05 ⑴
⑵
;1Á8;
;9!;
08 ②
09 1
12 ;9*;
13 ;1!4#4&;
15 ⑴
⑵
;9*;
;4#;
18 ;1»0¦0£0;
19 ;2!0!;
22 ;1»6;
23 ;3¦6;
16 ;7%;
20 ;3@;
24 ;9!;
03 ;5@;
06 ⑤
10 ③
14 ⑤
17 ;8&;
21 ;3¦6;
25 ;3!;
⑵ 소수의 눈이 나오는 경우는 2, 3, 5의 3가지이므로 구
로 구하는 확률은
=
;3@;
;6$;
하는 확률은
=
;2!;
;6#;
03 모든 경우의 수는` 5_4=20
짝수가 되는 경우는 2인 경우: 4가지, 4인 경우: 4가
지이므로 모두 8가지이다.
따라서 구하는 확률은
=
;5@;
;2¥0;
04 노란 공의 개수를 x개라고 하면 파란 공을 꺼낼 확률은
5
4+5+x
5
4+5+x
(파란 공의 개수)
(전체 공의 개수)
4+5+x=20 ∴ x=11
이므로
=
=
;4!;
따라서 노란 공의 개수는 11개이다.
05 모든 경우의 수는 6_6=36
⑴ x+y=9를 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (3, 6), (4, 5),
⑵ 2x+3y<8을 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (1, 1), (2, 1)
(5, 4), (6, 3)의 4가지
따라서 구하는 확률은
=
;9!;
;3¢6;
의 2가지
따라서 구하는 확률은
=
;1Á8;
;3ª6;
정답과 풀이 115
06 모든 경우의 수는 6_6=36
a=b 또는 3a=b를 만족하는 순서쌍 (a, b)는
14 모든 경우의 수는 6_6=36
직선 y=ax+b가 점 (2, 3)을 지나면 3=2a+b
(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 6), (3, 3), (4, 4), (5, 5),
이를 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 1)의 1가지이므로 점
(6, 6)의 8가지
따라서 구하는 확률은
=
;9@;
;3¥6;
07 모든 경우의 수는 6_6=36
연립방정식의 해가 없으려면
=
+
;6A;
;1!;
;b!;
∴ a+6, b=1
이를 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 1), (2, 1), (3, 1),
(4, 1), (5, 1)의 5가지
따라서 해가 없을 확률은
이다.
;3°6;
08 ② 0ÉpÉ1
09 두 수의 합이 짝수가 되려면
(짝수)+(짝수) 또는 (홀수) +(홀수)가 되어야 한다.
주어진 수는 모두 홀수이므로 어느 두 수를 고르던지 그
두 수의 합은 짝수가 된다.
따라서 구하는 확률은 1이다.
10 ① 0 ②
따라서 확률이 가장 큰 것은 ③이다.
③ 1 ④
⑤
;1Á8;
;3!;
;4!;
11 불량품이 나올 확률은
이므로
;1£0;
합격품이 나올 확률은 1-
=
;1£0;
;1¦0;
(4, 1)의 4가지이므로 그 확률은
=
;9!;
;3¢6;
∴ (눈의 수의 합이 5가 아닐 확률)
=1-(눈의 수의 합이 5일 확률)=1-
=
;9*;
;9!;
13 모든 경우의 수는 12_12=144
두 수의 합이 18인 경우는 (6, 12), (7, 11), (8, 10),
(9, 9), (10, 8), (11, 7), (12, 6)의 7가지
따라서 두 수의 합이 18이 아닐 확률은 1-
=
;14&4;
;1!4#4&;
116 IV . 확률
(2, 3)을 지날 확률은
;3Á6;
따라서 점 (2, 3)을 지나지 않을 확률은 1-
=
;3Á6;
;3#6%;
15 모든 경우의 수는 6_6=36
⑴ 두 번 모두 홀수의 눈이 나오는 경우의 수는 3_3=9
이므로 그 확률은
=
;4!;
;3»6;
따라서 구하는 확률은
1-(두 번 모두 홀수의 눈이 나올 확률)=1-
=
;4#;
;4!;
⑵ 두 번 모두 6의 약수의 눈이 나오지 않을 경우의 수는
2_2=4이므로 그 확률은
=
;9!;
;3¢6;
따라서 구하는 확률은
1-(두 번 모두 6의 약수의 눈이 나오지 않을 확률)
=1-
=
;9*;
;9!;
16 모든 경우의 수는
7_6
2
=21
그 확률은
=
;7@;
;2¤1;
따라서 구하는 확률은
2명 모두 남학생이 뽑히는 경우의 수는
=6이므로
4_3
2
1-(2명 모두 남학생이 뽑힐 확률)=1-
=
;7@;
;7%;
17 모든 경우의 수는 2_2_2=8
세 개 모두 뒷면이 나오는 경우의 수는 1이므로 그 확률은
18 환자 한 명이 치료되지 않을 확률은 1-
=
=
;1¦0¼0;
;1£0¼0;
;1£0;
세 명 모두 치료되지 않을 확률은
_
;1£0;
;1£0;
_
;1£0;
=
;10@0&0;
따라서 구하는 확률은 1-
=
;10@0&0;
;1»0¦0£0;
19 (빨간 구슬이 나올 확률)+(노란 구슬이 나올 확률)
=
+
=
;5@;
;2£0;
;2!0!;
12 모든 경우의 수는 6_6=36
눈의 수의 합이 5가 되는 경우는 (1, 4), (2, 3), (3, 2),
∴ (적어도 한 개는 앞면이 나올 확률)
=1-(세 개 모두 뒷면이 나올 확률)
;8!;
=1-
=
;8&;
;8!;
20 (만족이라고 응답했을 확률)+(보통이라고 응답했을 확률)
=
+
=
;3!6&;
;3¦6;
;3@;
25 모든 경우의 수는 6_6=36
a+b가 3의 배수가 되는 경우는 다음과 같다.
Ú a+b=3인 경우：순서쌍 (a, b)는 (1, 2), (2, 1)의
21 모든 경우의 수는 6_6=36
눈의 수의 합이 5인 경우는 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)
의 4가지이므로 그 확률은
=
;9!;
;3¢6;
2가지
Û a+b=6인 경우：순서쌍 (a, b)는 (1, 5), (2, 4),
(3, 3), (4, 2), (5, 1)의 5가지
Ü a+b=9인 경우：순서쌍 (a, b)는 (3, 6), (4, 5),
눈의 수의 합이 10인 경우는 (4, 6), (5, 5), (6, 4)의
(5, 4), (6, 3)의 4가지
개
념
익
힘
탑
Ý a+b=12인 경우：순서쌍 (a, b)는 (6, 6)의 1가지
따라서 구하는 확률은
+
+
+
=
=
;3!;
;3!6@;
;3Á6;
;3¢6;
;3°6;
;3ª6;
3가지이므로 그 확률은
=
;1Á2;
;3£6;
따라서 구하는 확률은
+
;9!;
;1Á2;
=
;3¦6;
22 모든 경우의 수는 4_4=16
20보다 작은 경우는 1일 때의 4가지이므로 그 확률은
26 (두 사람 모두 문제를 맞힐 확률)
=(용화가 문제를 맞힐 확률)_(정신이가 문제를 맞힐 확률)
=
_
=
;4!;
;3@;
;6!;
34 이상인 경우는 34일 때와 4일 때의 4가지이므로 그
=
;4!;
;1¢6;
확률은
;1°6;
따라서 구하는 확률은
+
;4!;
;1°6;
=
;1»6;
23 모든 경우의 수는 6_6=36
xy=12인 순서쌍 (x, y)는 (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)
의 4가지이므로 그 확률은
=
;9!;
;3¢6;
xy=24인 순서쌍 (x, y)는 (4, 6), (6, 4)의 2가지이므
27 주머니 A에서 빨간 구슬이 나올 확률은
;7#;
이고, 주머니 B
에서 파란 구슬이 나올 확률은
이다. 이때 두 사건은 서
;7%;
로 영향을 끼치지 않으므로 구하는 확률은
_
=
;4!9%;
;7%;
;7#;
28 눈의 수의 곱이 홀수가 되는 경우는 (홀수)_(홀수)일 때이다.
이
한 개의 주사위를 던져 홀수의 눈이 나올 확률은
=
;6#;
;2!;
로 그 확률은
=
;1Á8;
;3ª6;
므로 구하는 확률은
_
=
;4!;
;2!;
;2!;
xy=36인 순서쌍 (x, y)는 (6, 6)의 1가지이므로 그 확
률은
;3Á6;
따라서 구하는 확률은
+
;9!;
;1Á8;
+
;3Á6;
=
;3¦6;
29 A, B 두 반에서 남학생이 뽑힐 확률은 각각
;5@;
,
;3@;
이므로
구하는 확률은
_
=
;3@;
;5@;
;1¢5;
24 모든 경우의 수는 6_6=36이고 ax-b=1에서
Ú x=2일 때, 즉 2a=1+b를 만족하는 순서쌍 (a, b)는
(1, 1), (2, 3), (3, 5)의 3가지이므로 그 확률은
=
;1Á2;
;3£6;
Û x=5일 때, 즉 5a=1+b를 만족하는 순서쌍 (a, b)는
(1, 4)의 1가지이므로 그 확률은
;3Á6;
30 선이와 지이가 약속 시간에 늦지 않을 확률은 각각
이므로 두 명 모두 약속 시간에 늦
, 1-
1-
=
=
;7@;
;7%;
;8#;
;8%;
지 않을 확률은
_
=
;5@6%;
;8%;
;7%;
따라서 적어도 한 명은 약속 시간에 늦을 확률은
1-(두 명 모두 약속 시간에 늦지 않을 확률)
따라서 Ú, Û에서 구하는 확률은
+
=
`
;9!;
;3Á6;
;1Á2;
=1-
=
;5@6%;
;5#6!;
정답과 풀이 117
31 경품권이 들어 있는 제품은 2개이므로 A가 경품권을 받지
이고, A가 제품을 산 후 남은 7개의
못할 확률은
=
;8^;
;4#;
셋째 날에만 지각할 확률은
1-
_
1-
;4!;}
{
;4!;}
_
=
;4!;
;4#;
_
;4#;
_
;4!;
=
;6»4;
{
제품 중에서 B가 경품권을 받지 못할 확률은
이다.
;7%;
따라서 구하는 확률은
+
;6»4;
;6»4;
+
;6»4;
=
;6@4&;
∴ (적어도 한 사람이 경품권을 받을 확률)
=1-(두 사람 모두 경품권을 받지 못할 확률)
=1-
_
=
;2!8#;
;7%;
;4#;
32 ⑴ 1-(이틀 모두 비가 올 확률)
=1-
_
;1£0;
;1¢0;
=1-
=
;2@5@;
;2£5;
⑵ 1-(이틀 모두 비가 오지 않을 확률)
=1-
1-
[{
_
1-
;1£0;}
{
;1¢0;}]
=1-
_
;1¦0;
;1¤0;
=1-
=
;5@0(;
;5@0!;
33 A, B, C가 불합격할 확률은 각각 1-
=
,
;3!;
;3@;
1-
=
;5#;
;5@;
, 1-
=
;2!;
;2!;
이므로
모두 불합격할 확률은
_
_
=
;2!;
;5@;
;3!;
;1Á5;
따라서 적어도 한 명은 합격할 확률은
1-(모두 불합격할 확률)=1-
=
;1Á5;
;1!5$;
34 A`주머니에서 흰 공, B`주머니에서 파란 공을 꺼낼 확률
A`주머니에서 파란 공, B`주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률
은 `
_
=
;3!;
;8$;
;6$;
은
_
=
;6!;
;8$;
;6@;
따라서 서로 다른 색의 공을 꺼낼 확률은 `
+
;3!;
=
;6!;
;2!;
35 민희는 합격하고 윤희는 불합격할 확률은
_
1-
=
=
``
;5$;}
;4#;
;5!;
;2£0;
_
{
;4#;
민희는 불합격하고 윤희는 합격할 확률은
1-
_
=
_
=
`
;5!;
;5$;
;4!;
;5$;
;4#;}
{
따라서 구하는 확률은
+
=
;5!;
;2£0;
;2¦0;
```
36 첫째 날에만 지각할 확률은
=
1-
1-
_
;4!;}
{
;4!;}
_
{
;4!;
둘째 날에만 지각할 확률은
_
_
;4#;
;4!;
;4#;
=
;6»4;
37 오른쪽 표에서
구하는 확률은
월요일 화요일 수요일
확률
지하철 버스 버스
_
=
;3@;
;2!;
;4#;
+
;2!;
;1£6;
=
;1!6!;
지하철 지하철 버스
1-
_
=
;4#;
;1£6;
;4#;}
{
38 소수는 2, 3이고 뽑은 카드를 다시 넣으므로 첫 번째와 두
로
번째 모두 소수가 적힌 카드를 뽑을 확률은 각각
=
;4@;
;2!;
같다.
따라서 구하는 확률은
_
=
;2!;
;2!;
;4!;
39 (적어도 한 개가 흰 공일 확률)
=1-(두 개 모두 빨간 공일 확률)
=1-
_
{;5#;
;5#;}
=1-
=
;2!5^;
;2»5;
40 모두 P가 적힌 카드를 뽑을 확률은
;4!;
마찬가지로 Q, R, S가 적힌 카드를 뽑을 확률도 각각
;6Á4;
_
_
=
;4!;
;4!;
이므로 구하는 확률은
;6Á4;
+
;6Á4;
;6Á4;
+
;6Á4;
+
;6Á4;
=
;6¢4;
=
;1Á6;
41 2의 배수는 2, 4, 6이고 5의 배수는 5이므로
무진이가 2의 배수가 적힌 카드를 뽑을 확률은
=
,
;2!;
;6#;
연아가 5의 배수가 적힌 카드를 뽑을 확률은
이다.
;5!;
따라서 구하는 확률은
_
=
;5!;
;2!;
;1Á0;
42 첫 번째 제비를 뽑았을 때 당첨 제비일 확률은
뽑은 제비는 다시 넣지 않으므로 두 번째 제비를 뽑을 때
;2¢8;
=
;7!;
당첨 제비일 확률은
=
;9!;
;2£7;
따라서 2개 모두 당첨 제비일 확률은
_
;7!;
=
;9!;
;6Á3;
43 (적어도 한 개가 불량품일 확률)
=1-(3개 모두 불량품이 아닐 확률)
1-
_
_
1-
;4!;}
;4!;
{
=
_
;4#;
;4!;
_
;4#;
=
;6»4;
;4!;}
{
=1-
{;1¦0;
_
_
;9^;
;8%;}
=1-
=
;2¦4;
;2!4&;
118 IV . 확률
44 A만 당첨되지 않을 확률은
;6@;
_
;5$;
_
;4#;
=
;5!;
B만 당첨되지 않을 확률은
_
_
=
;4#;
;5!;
;5@;
;6$;
C만 당첨되지 않을 확률은
_
_
=
;4@;
;5!;
;5#;
;6$;
51 6개의 점 중에서 3개의 점을 선택하는
6_5_4
경우의 수는
3_2_1
=20
(cid:34)
(cid:35)
(cid:39)
여기에서 한 줄로 나열되어 있는
(cid:36)
(cid:38)
(cid:37)
(A, B, C), (C, D, E), (A, F, E)의 3가지를 제외하면
따라서 구하는 확률은
+
+
=
;5!;
;5#;
;5!;
;5!;
20-3=17(가지)
이 중 정삼각형이 되는 경우는 (A, B, F), (A, C, E),
(B, C, D), (B, D, F), (D, E, F)의 5가지이므로 구하
개
념
익
힘
탑
는 확률은
;1°7;
45 (색칠한 부분을 맞힐 확률)=
(색칠한 부분의 넓이)
(도형 전체의 넓이)
=
;9%;
46 3의 배수는 3, 6, 9이므로 3의 배수가 적힌 부분에 색을 칠
, 8의 배수는 8이므로 8의 배수가 적힌 부분
할 확률은
;1£0;
에 색을 칠할 확률은
이다.
;1Á0;
따라서 구하는 확률은
+
=
;5@;
;1Á0;
;1£0;
47 홀수는 1, 3, 5, 7이므로 화살표가 홀수를 가리킬 확률은
=
;8$;
;2!;
짝수는 2, 4, 6, 8이므로 화살표가 짝수를 가리킬 확률은
따라서 화살표가 A는 홀수, B는 짝수를 가리킬 확률은
48 모든 경우의 수는 2_2=4이고 점 P가 1의 위치에 있으려
면 앞면이 한 번, 뒷면이 한 번 나와야 한다.
따라서 앞면이 한 번, 뒷면이 한 번 나오는 경우는
(앞면, 뒷면), (뒷면, 앞면)의 2가지이므로 구하는 확률
=
;2!;
;8$;
_
=
;4!;
;2!;
;2!;
은
=
;2!;
;4@;
실전연습문제
개념익힘탑 95~96쪽
01 ④
05 ;1!6!;
02 ;1Á0;
06 ;3#2!;
07 ;9!;
03 ;1°6;
04 ;2@7^;
09 ⑴
⑵
⑶
;3#5#;
;3ª5;
;3¥5;
11 ;5@;
12 ④
13 ;7@5*;
14 ;5@;
08 ;4!;
10 ;3!0#;
01 ①, ③, ⑤ 흰 공이 나올 확률은
;1¤1;
, 검은 공이 나올 확률
은
;1°1;
로 같지 않다.
② 파란 공은 없으므로 파란 공이 나올 확률은 0이다.
02 5명의 학생 중에서 당번 2명을 정하는 경우의 수는
=10이고, A와 B가 당번이 되는 경우의 수는 1이
5_4
2
49 모든 경우의 수는 6_6=36
처음 위치보다 한 계단 올라가는 경우는 (2, 3), (3, 2),
므로 구하는 확률은
이다.
;1Á0;
(4, 5), (5, 4)의 4가지이다.
따라서 구하는 확률은
=
;9!;
;3¢6;
03 모든 경우의 수는 2_2_2_2=16
걸이 나오는 경우는 (배, 배, 배, 등), (배, 배, 등, 배),
(배, 등, 배, 배), (등, 배, 배, 배)의 4가지이므로 그 확률
50 모든 경우의 수는
6_5_4_3
4_3_2_1
=15
이때 직사각형이 되는 경우는 (A, B, D, E), (B, C, E, F),
(C, D, F, A)의 3가지이므로 구하는 확률은
은
=
;4!;
;1¢6;
률은
;1Á6;
윷이 나오는 경우는 (배, 배, 배, 배)의 1가지이므로 그 확
=
;5!;
;1£5;
따라서 구하는 확률은
+
;4!;
;1Á6;
=
;1°6;
정답과 풀이 119
04 가위바위보를 한 번 할 때, 비길 확률은
=
;9#;
;3!;
, 승부가
10 A, B, C가 맞히지 못할 확률은 각각 1-
=
,
;2!;
;2!;
날 확률은 1-
=
;3@;
;3!;
1-
=
;3!;
;3@;
, 1-
=
;5@;
;5#;
이므로
Ú 첫 번째에 승부가 날 확률은
;3@;
A만 맞힐 확률은
_
_
=
;5#;
;3@;
;2!;
;5!;
, B만 맞힐 확률은
Û 첫 번째는 비기고 두 번째에 승부가 날 확률은
_
_
;3!;
;2!;
;5#;
=
;1Á0;
, C만 맞힐 확률은
_
_
=
;1ª5;
;5@;
;3@;
;2!;
따라서 한 사람만 맞힐 확률은
+
;5!;
;1Á0;
+
;1ª5;
=
;3!0#;
Ü 첫 번째, 두 번째는 비기고 세 번째에 승부가 날 확률은
_
=
;9@;
;3@;
;3!;
_
_
=
;2ª7;
;3@;
;3!;
;3!;
Ú, Û, Ü에서 구하는 확률은
+
+
;9@;
;3@;
;2ª7;
=
;2@7^;
11 A 주머니를 택할 확률은
;2!;
, A 주머니에서 흰 공을 꺼낼
05 만들 수 있는 세 자리의 자연수의 개수는 4_4_3=48(개)
이고 210보다 작은 수는 1에서 4_3=12(개),
20에서 201, 203, 204의 3개로 모두 12+3=15(개)
따라서 210보다 작은 수일 확률은
=
;4!8%;
;1°6;
이므로 210
이상일 확률은 1-
=
;1°6;
;1!6!;
06 5문제에 답하는 모든 경우의 수는 2_2_2_2_2=32이
고 5문제 모두 틀리는 경우의 수는 1이므로 5문제 모두 틀
A 주머니를 택하여 흰 공을 꺼낼 확률은
_
=
;5#;
;2!;
;1£0;
B 주머니를 택할 확률은
, B 주머니에서 흰 공을 꺼낼
;2!;
확률은
이므로
;5#;
확률은
이므로
;5!;
B 주머니를 택하여 흰 공을 꺼낼 확률은
_
=
;5!;
;2!;
;1Á0;
따라서 구하는 확률은 =
+
=
;5@;
;1Á0;
;1£0;
릴 확률은
이다.
;3Á2;
따라서 적어도 1문제 이상 맞힐 확률은 1-
=
;3Á2;
;3#2!;
07 모든 경우의 수는 6_6=36이고 눈의 수의 차가 5인 경우
는 (1, 6), (6, 1)의 2가지이므로 그 확률은
=
;1Á8;
;3ª6;
눈의 수의 곱이 5인 경우는 (1, 5), (5, 1)의 2가지이므로
그 확률은
=
;1Á8;
;3ª6;
따라서 구하는 확률은
+
=
;9!;
;1Á8;
;1Á8;
08 동전을 던져 뒷면이 나올 확률은
;2!;
주사위를 던져 4의 약수의 눈이 나오는 경우의 수는 1, 2,
4의 3이므로 그 확률은
=
;2!;
;6#;
따라서 구하는 확률은
_
=
;2!;
;2!;
;4!;
09 ⑴
_
_
;5#;
;7$;
;3@;;=;3¥5;
12 첫 번째에 흰 공을 뽑을 확률은
;9$;
, 두 번째에도 흰 공을
뽑을 확률은
, 세 번째에 빨간 공을 뽑을 확률은
이다.
;8#;
;7%;
따라서 구하는 확률은 `
_
_
;8#;
;9$;
;7%;
=
;4°2;
13 Ú 첫째 날에 진 후 둘째 날에
이기고 마지막 날에도 이
이길 경우: W, 질 경우: L
첫째 날 둘째 날 마지막 날
L
L
W
L
W
W
길 확률은
_
=
;3!;
;5@;
;1ª5;
Û 첫째 날에 진 후 둘째 날에도 지고 마지막 날에 이길 확
률은
{
1-
;5@;}
_
=
_
=
;2¤5;
;5@;
;5#;
;5@;
Ú, Û에서 구하는 확률은
+
=
;2¤5;
;7@5*;
;1ª5;
⑵
{
1-
;7$;}
_
1-
{
_
1-
;5#;}
{
=
_
;7#;
;5@;
_
;3!;
=
;3ª5;
;3@;}
14 전체 10칸 중에서 짝수가 적힌 부분은 2, 4가 각각 적힌 4
⑶ 1-(3명 모두 불합격할 확률)=1-
=
;3ª5;
;3#5#;
칸이므로 구하는 확률은
=
;5@;
;1¢0;
120 IV . 확률
중간 모의고사
개념익힘탑 97~100쪽
2 ②
1 ④
6 ④
5 3p`cmÛ`
10 ⑤
9 40`cmÛ`
13 ④
14 50ù
17 ①, ④ 18 ⑤
21 ③
3 ⑤
7 ③
11 ①
15 ③
19 ④
22 주원, 풀이 참조
4 ③
8 ③
12 20ù
16 ③
20 ⑤
23 10`cmÛ`
1 ∠B=∠C=
△BED에서 BDÓ=BEÓ이므로
;2!;
_(180ù-84ù)=48ù
∠BED=
_(180ù-48ù)=66ù
△CEF에서 CEÓ=CFÓ이므로
∠CEF=
_(180ù-48ù)=66ù
∴ ∠x=180ù-(66ù+66ù)=48ù
;2!;
;2!;
2 △DBE에서 ∠DEB=∠DBE=28ù이므로
∠EDA=∠DBE+∠DEB=28ù+28ù=56ù
△ADE에서 ∠EAD=∠EDA=56ù
△ABE에서
∠AEC=∠ABE+∠EAB=28ù+56ù=84ù
△AEC에서 ∠ACE=∠AEC=84ù
∴ ∠x =180ù-(∠AEC+∠ACE)
=180ù-(84ù+84ù)=12ù
3 △ACD에서 ADÓ=DCÓ이므로
∠DAC=
_(180ù-96ù)=42ù
;2!;
ADÓBCÓ이므로 ∠ACB=∠DAC=42ù(엇각)
△ABC에서 ACÓ=BCÓ이므로
∠B=
_(180ù-42ù)=69ù
;2!;
4 ∠FEG=∠FEC=∠x(접은 각),
∠GFE=∠FEC=∠x(엇각)
△GEF에서 ∠x=
_(180ù-52ù)=64ù
;2!;
5 ∠ABM=∠ACM=
;2!;
또, BÕMÓ=DÕMÓ=CÕMÓ=EÕMÓ=3`cm이므로
_(180ù-30ù)=75ù
△MBD와 △MCE는 이등변삼각형이다.
∴ ∠DME=180ù-2_30ù=120ù
∴ (부채꼴 MDE의 넓이)=p_3Û`_
=3p(cmÛ`)
;3!6@0);
6 △BED와 △CFD에서
∠BED=∠CFD=90ù, BDÓ=CDÓ,
∠DBE=∠DCF`(∵ ABÓ=ACÓ)
∴ △BEDª△CFD(RHA 합동)
즉, BEÓ=CFÓ이므로 AEÓ=ABÓ-BEÓ=ACÓ-CFÓ=AFÓ
또, DEÓ=DFÓ, ∠BDE=∠CDF
7 점 M은 △ABC의 외심이므로 AÕMÓ=BÕMÓ=CÕMÓ
이때 ∠ACB=180ù-(90ù+30ù)=60ù이므로
개
념
익
힘
탑
∠CAM=60ù
즉, △AMC는 정삼각형이다.
따라서 CÕMÓ=
BCÓ=
_12=6(cm)이므로
;2!;
;2!;
△AMC의 둘레의 길이는 6+6+6=18(cm)
8 ∠AIB`:`∠BIC`:`∠AIC=5`:`6`:`7이므로
∠AIC=
_360ù=140ù
7
5+6+7
이때 ∠AIC=90ù+
∠ABC이므로
;2!;
140ù=90ù+
∠ABC,
∠ABC=50ù
;2!;
;2!;
∴ ∠ABC=100ù
9 ICÓ를 긋고 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라
하면
△ABC=△IAB+△IBC+△ICA이므로
_16_12=
_20_r+
_16_r+
_12_r
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
96=24r ∴ r=4
∴ △IAB=
_20_4=40(cmÛ`)
;2!;
10 점 I는 △ABC의 내심이므로 IDÓ=IEÓ=IFÓ
즉, 점 I 는 △DEF의 외심이다.
∴ ∠DIF =2∠DEF=2(∠IED+∠IEF)
=2_(35ù+25ù)=120ù
11 점 O는 직각삼각형 ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ
△OCA에서 ∠OCA=∠OAC=60ù이므로
∠BOC=60ù+60ù=120ù
∠ABC=180ù-(60ù+90ù)=30ù이고 점 I가 △ABC의
내심이므로
∠OBI=∠IBC=
∠ABC=
_30ù=15ù
;2!;
;2!;
정답과 풀이 121
∴ ∠BMD=∠CME=180ù-2_75ù=30ù
∴ ∠x=180ù-(120ù+15ù)=45ù
12 △ABC는 이등변삼각형이므로
두 점 O, I는 꼭지각의 이등분선 위에 있다.
∴ ∠BAC=2_20ù=40ù
∠OBA=∠OAB=20ù
16 ABCD는 마름모이므로 ABÓ=ADÓ
△ABD에서
∠ABD=
_(180ù-120ù)=30ù
;2!;
△HBP에서
∠ABC=∠ACB=
_(180ù-40ù)=70ù이므로
;2!;
∠HPB=180ù-(90ù+30ù)=60ù
∠x=
∠ACB=35ù
;2!;
yy`①
∴ ∠x=∠HPB=60ù
∠y =∠IBA-∠OBA=
∠ABC-∠OBA
;2!;
=35ù-20ù=15ù
∴ ∠x-∠y=35ù-15ù=20ù
채점 기준
단계
①
②
③
∠x의 크기 구하기
∠y의 크기 구하기
∠x-∠y의 크기 구하기
yy`②
yy`③
비율
50`%
40`%
10`%
17 평행사변형 ABCD가 마름모가 되려면
① 이웃하는 두 변의 길이가 같다. (ADÓ=CDÓ=6`cm)
④ 두 대각선이 직교한다. (∠AOB=90ù)
18 △ABE와 △BCF에서 ABÓ=BCÓ, ∠ABE=∠C=90ù,
BEÓ=CFÓ이므로 △ABEª△BCF(SAS 합동)
∴ ∠BAE=∠CBF, ∠AEB=∠BFC
이때 ∠BAE+∠AEB=90ù이므로
13 ∠BAF=∠DAF=∠AFB이므로 △ABF는 이등변삼각
∠CBF+∠AEB=90ù
따라서 △BEG에서 ∠GBE+∠BEG=90ù이므로
∴ BFÓ=ABÓ=4`cm, ADÓ=BCÓ=4+3=7(cm)
∠DAE∠BAE=∠AED이므로 △AED는 이등변삼각
∠AGF =∠BGE
=180ù-90ù=90ù
형이다.
형이다.
∴ DEÓ=ADÓ=7`cm
따라서 x=7, y=7이므로 x+y=7+7=14
14 ∠D=∠B=80ù이므로 ∠ADP=
△APD에서 ∠DAP=180ù-(90ù+40ù)=50ù
∠D=
;2!;
;2!;
_80ù=40ù
∠A+∠B=180ù이므로 (50ù+∠x)+80ù=180ù
∴ ∠x=50ù
15 ∠B=∠D이므로
∠ABE=∠EBF=∠CDF=∠FDE(②)
ADÓBCÓ이므로 ∠AEB=∠EBF
19 △ABC와 △DCB에서 ABÓ=DCÓ, ∠ABC=∠DCB,
BCÓ는 공통이므로 △ABCª△DCB(SAS 합동)
∴ ∠ACB=∠DBC=∠x
△OBC에서 ∠AOB=∠OBC+∠OCB이므로
70ù=2∠x ∴ ∠x=35ù
20 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형은 직사각형이고, 직
사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 마름모
이다.
21 △ODB`:`△OBC=DOÓ`:`OCÓ=1`:`3이므로
△OBC=3△ODB=3_12=36(cmÛ`)
△BCD`:`△ADC=DBÓ`:`ADÓ=3`:`2이므로
즉, ∠AEB=∠ABE에서 △ABE는 이등변삼각형이므로
△BCD=36+12=48(cmÛ`)
마찬가지로 ∠CDF=∠CFD에서 △CDF는 이등변삼각
3`:`2=48`:`△ADC ∴ △ADC=32`cmÛ`
∴ △ABC=△ADC+△BCD=32+48=80(cmÛ`)
따라서 △ABEª△CDF이므로 BEÓ=DFÓ, AEÓ=CFÓ,
22 잘못 말한 학생은 주원이고 이를 바르게 고치면
이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형은 네 변의 길이
∠EBF=∠DFC, ∠AEB=∠FDC(④)
가 같아지니까 마름모가 돼.
ABÓ=AEÓ(①)
형이므로
CDÓ=CFÓ
BFÓ=DEÓ(⑤)
122 중간 모의고사
23 AQÓ와 PCÓ를 그으면
ABÓDCÓ이므로 △BCQ=△ACQ
ACÓPQÓ이므로 △ACQ=△ACP
∴ △BCQ=△ACP
yy`①
A
P
D
B
Q
C
△ACD=
ABCD=
_60=30(cmÛ`)
yy`②
;2!;
APÓ`:`PDÓ=1`:`2이므로
△ACP`:`△PCD=1`:`2
;2!;
;3!;
∴ △BCQ=△ACP=
△ACD
=
;3!;
_30=10(cmÛ`)
단계
①
②
③
채점 기준
△BCQ=△ACP임을 이해하기
△ACD의 넓이 구하기
△BCQ의 넓이 구하기
yy`③
비율
50`%
20`%
30`%
기말 모의고사
개념익힘탑 101~104쪽
2 ③
1 ②
4 x=20, y=40
7 9`cmÛ`
11 1`cmÛ` 12 ⑤
16 ⑤
15 ③
8 ⑤
19 ①
20 ④
23 ;1¥5;
3 ②
5 ②
9 75`m
13 ③
17 ②
21 ;9!;
6 ③
10 ②
14 ②
18 ⑤
22 ③
개
념
익
힘
탑
1 ① 닮음비는 ABÓ`:`EFÓ=4`:`8=1`:`2
② ∠G=∠C=65ù이므로
∠E=360ù-(140ù+90ù+65ù)=65ù
③ CDÓ`:`GHÓ=1`:`2이므로
3`:`GHÓ=1`:`2 ∴ GHÓ=6`cm
2 DÕA'Ó=ADÓ=7`cm이고
BCÓ=ABÓ=15`cm이므로
AÕ'CÓ=15-5=10(cm)
∠B=∠C, ∠DA'B=∠A'EC이므로
△DBA'»△A'CE(AA 닮음)
A
7 cm
D
8 cm
60ù
60ù
5 cm
A'
B
E
60ù
C
따라서 DÕA'Ó`:`AÕ'EÓ=DBÓ`:`AÕ'CÓ이므로 7`:`AÕ'EÓ=8`:`10`
∴ AÕ'EÓ=;;£4°;;`cm
3 2.5`:`x=2`:`4 ∴ x=5
4`:`6=y`:`4 ∴ y=
;3*;
∴ x+y=5+
=
;3*;
;;ª3£;;
4 AEÓ`:`EBÓ=DFÓ`:`FCÓ이므로
20`:`40=x`:`40 ∴ x=20
점 D에서 ABÓ에 평행한 직선을 그으면
DFÓ`:`DCÓ=GFÓ`:`HCÓ이므로
20`:`60=GFÓ`:`(60-30) ∴ GFÓ=10
∴ EFÓ=EGÓ+GFÓ=30+10=40
∴ y=40
A
30
D
20
E
30
G
y
40
B
30
H
60
x
F
40
C
5 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ：CDÓ=4`:`6=2`:`3
△CED와 △CAB에서 CDÓ`:`CBÓ=DEÓ：ABÓ이므로
3`:`5=DEÓ`:`4 ∴ DEÓ=
`cm
;;Á5ª;;
정답과 풀이 123
6 BOÓ=DOÓ이므로 점 P, Q는 각각 △ABD와 △BCD의 무
게중심이다.
③ BPÓ`:`PNÓ=2`:`1 ∴ BPÓ=2PNÓ
12 xÛ`+3Û`=7Û`+9Û`이므로 xÛ`=121
∴ x=11`(∵ x>0)
7 GÕG'Ó`:`GÕ'DÓ=2`:`1이고 △GBD=
;6!;
△ABC이므로
△GBG'=
△GBD=
△ABC=
△ABC
_
;3@;
;6!;
;9!;
;3@;
=
;9!;
_81=9(cmÛ`)
8 큰 원과 작은 원의 닮음비가 2`:`1이므로 넓이의 비는
2Û``:`1Û`=4`:`1
작은 원의 넓이가 5p`cmÛ`이므로 큰 원의 넓이는
4_5p=20p(cmÛ`)
∴ (색칠한 부분의 넓이)
=(큰 원의 넓이)-(작은 원의 넓이)
=20p-5p=15p(cmÛ`)
9 △ABO»△CDO(AA 닮음)이므로
BOÓ`:`DOÓ=ABÓ`:`CDÓ
50`:`20=ABÓ`:`30 ∴ ABÓ=75`cm
따라서 두 지점 A, B 사이의 실제 거리는
75(cm)_100=7500(cm)=75(m)
10 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을
A
12 cm
10 cm
B
H
D
8 cm
C
H라 하면
AHÓ=8`cm, CHÓ=12`cm
직각삼각형 ABH에서
BHÓ
Û`=10Û`-8Û`=36
∴ BHÓ=6`cm`(∵ BHÓ>0)
∴ BCÓ=BHÓ+CHÓ=6+12=18(cm)
11 BQÓ=CRÓ=3`cm이므로
△ABQ에서 AQÓ
Û`=5Û`-3Û`=16
∴ AQÓ=4`cm`(∵ AQÓ>0)
yy`①
APÓ=CRÓ=3`cm이므로
PQÓ=AQÓ-APÓ=4-3=1(cm)
yy`②
이때 PQRS는 정사각형이므로
PQRS=1Û`=1(cmÛ`)
yy`③
채점 기준
단계
①
②
③
AQÓ의 길이 구하기
PQÓ의 길이 구하기
PQRS의 넓이 구하기
124 기말 모의고사
13 오른쪽 그림의 전개도에서 구하는
최단 거리는 AFÓ의 길이와 같으므로
AFÓ
Û`=8Û`+6Û`=100
∴ AFÓ=10`(∵ AFÓ>0)
B
C
A
6
D
5
3E
F
14 돈을 지불할 수 있는 방법을 표로 나타내면 다음과 같다.
1
100원(개)
3
2
50원(개)
0
2
4
따라서 구하는 방법은 3가지이다.
⑤ (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)의 5
따라서 경우의 수가 가장 큰 것은 ③이다.
15 ① 6
② 2_2_2=8
③ 2_2_2_2=16
④ 3_3=9
`B`
16 A`
2_3=6(가지)
Ú
Ú
`C인 경우
A`
`D`
`C인 경우
Ú
Ú
4_1=4(가지)
6+4=10(가지)
따라서 A`지점에서 C`지점으로 가는 방법은 모두
17 (여자끼리 서로 이웃하지 않도록 세우는 경우의 수)
=(모든 경우의 수)-(여자끼리 서로 이웃하는 경우의 수)
=5_4_3_2_1-(4_3_2_1)_2
=120-48=72
18 남학생 중에서 대표 1명을 뽑는 경우의 수는 3, 여학생 중
비율
30`%
50`%
20`%
에서 대표 2명을 뽑는 경우의 수는
5_4
2
=10
따라서 구하는 경우의 수는 3_10=30
19 모든 경우의 수는 5_4_3_2_1=120
부모님이 양 끝에 서는 경우의 수는 (3_2_1)_2=12
따라서 구하는 확률은
=
;1Á2ª0;
;1Á0;
22 과녁 전체의 넓이에 대한 색칠한 부분의 넓이의 비는 각각
①
⑤
③
②
④
;4!;
;8#;
;4#;
;2!;
;5@;
이므로 확률이 가장 큰 것은 ③이다.
20 기약분수가 유한소수로 나타내어지려면 분모의 소인수가 2
나 5뿐이어야 한다. 따라서 x의 값은 2,``4,``8,``10의 4가지
이므로 구하는 확률은
=
;3@;
;6$;
21 모든 경우의 수는 6_6=36
2x+y<6에서 y<6-2x
Ú x=1일 때, y<4이므로 y=1, 2, 3
Û x=2일 때, y<2이므로 y=1
즉, 순서쌍 (x, y)는 (2, 1)의 1가지
Ú, Û에서 2x+y<6인 경우의 수는 3+1=4이므로
구하는 확률은
=;9!;
;3¢6;
23 A 주머니에서 흰 공, B 주머니에서 검은 공을 꺼낼 확률은
yy`①
=
_
;6@;
;5@;
;1ª5;
A 주머니에서 검은 공, B 주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률은
개
념
익
힘
탑
_
=
;5@;
;5#;
;6$;
따라서 구하는 확률은
+
=;1¥5;
;5@;
;1ª5;
단계
①
②
③
A 주머니에서 흰 공, B 주머니에서 검은 공을 꺼낼
확률 구하기
A 주머니에서 검은 공, B 주머니에서 흰 공을 꺼낼
확률 구하기
A, B 두 주머니에서 각각 1개의 공을 꺼낼 때, 두 공의
색깔이 서로 다를 확률 구하기
yy`②
yy`③
비율
40`%
40`%
20`%
즉, 순서쌍 (x, y)는 (1, 1), (1, 2), (1, 3)의 3가지
채점 기준
정답과 풀이 125
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