최 상 위 수 학 중 2 1 정 답 과 풀 이 수와 식Ⅰ 1 유리수와 순환소수 STEP 주제별 실력다지기 7~14쪽 ②,`④ 98 6, 6 1.80H5 36 x=0.25 ②,`④, ⑤ ②,`③ 3 4 8 ④ 15 6 23 7 3 20 ⑴ 500 ⑵ -27.3 ⑶ 0.32 17 64 5579 ②,`③ ③ 47 4 0.0H0H1 11 ④ ① 9 ㄱ,`ㄷ,`ㅅ,`ㅇ,`ㅊ ⑤,`⑥ ③,`④,`⑤ ⑴ 6.H6 ⑵ 3.8H6H7 ⑶ 0.2H85H1 ⑷ 1.3H2 01 최상위 NOTE 0.999y=1임을 추론하기 02 최상위 NOTE 유리수의 조밀성 0.999y가 1이 된다는 사실을 다음과 같이 조금 다르게 생각해보자. 서로 다른 두 유리수 사이에 무수히 많은 유리수가 있음을 알아보 1.1, 1.01, 1.001과 같이 1보다 큰 방향에서 1에 한없이 가까워지면 1.000y은 1과 같다는 사실에는 의문의 여지가 없을 것이다. 그렇다 면 0.9, 0.99, 0.999와 같이 1보다 작은 방향에서 1에 한없이 가까워지 면 0.999y도 1임을 추론할 수 있다. 물론 계산을 통해서 0.999y=1 기 위해 다음과 같은 방법을 생각해보자. a>b인 두 유리수 a, b 사이에는 정중앙에 유리수 a+b 가 존재한다. 같은 방법으로 두 2 유리수 a, a+b 사이에는 정중앙에 유리수 3a+b 가 존재하고, 임을 확인할 수도 있다. 2 4 두 유리수 a, 3a+b 사이에는 정중앙에 유리수 7a+b 가 존재하 고, 두 유리수 a, 7a+b 사이에는 정중앙에 유리수 15a+b 가 8 존재한다. 이러한 방법으로 두 유리수 a, b 사이에는 a+b , 16 2 4 8 , y와 같이 무수히 많은 유리수가 있 3a+b 4 , 7a+b 8 , 15a+b 16 음을 알 수 있다. 2 Ⅰ 수와 식 문제 풀이 m+0, m, n이 정수일 때, 의 꼴로 나타낼 수 있는 n m 수는 유리수이다. = 3_a 84 3_a 2Û`_3_7 7의 배수이어야 한다. = a 2Û`_7 가 유한소수가 되려면 a는 즉, 이런 꼴로 나타낼 수 없는 수는 유리수가 아니다. 따라서 7의 배수 중 가장 큰 두 자리의 자연수는 ① 유한소수이므로 유리수이다. 7_14=98이다. ② 순환하지 않는 무한소수이므로 유리수가 아니다. ③ 순환소수이므로 유리수이다. ④ 원주율 p는 3.1415926535…로 순환하지 않는 무한소수 이므로 유리수가 아니다. ⑤ 정수이므로 유리수이다. 을 기약분수로 만들었을 때, 분모에 2나 5 이외 7 2Ü`_a 의 소인수가 있으면 무한소수이다. 따라서 a가 될 수 있는 수는 3, 6, 9이므로 a의 개수는 3이다. 분자와 분모(+0)가 정수인 분수의 꼴로 나타낼 수 없는 수는 유리 수가 아니므로 순환하지 않는 무한소수이다. a가 7인 경우 분자와 약분되므로 분수 = 은 7 2Ü`_a 1 2Ü` 주의 유한소수가 된다. x는 유리수이다. ① 무한소수 중에서 순환소수는 유리수이지만 순환하지 않 는 무한소수는 유리수가 아니다. ②, ③ 유한소수, 순환소수는 유리수이다. ④ 원주율 p는 유리수가 아니다. ⑤ 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아니다. 따라서 유리수만을 모아놓은 것은 ②, ③이다. 분모를 10의 거듭제곱꼴로 만들 수 있는 분수는 유한 소수로 나타낼 수 있다. = ;4£0; 3 2Ü`_5 _ = 5Û` 5Û` 3_5Û` 2Ü`_5Ü` 75 10Ü` = =0.075 이므로 a=5Û`=25, b=75, c=0.075 ∴ b-a c = 75-25 0.075 = 50 0.075 =666.H6 따라서 순환마디는 6이다. = ;4Ó5; x 3Û`_5 를 약분하면 이므로 x는 2의 배수이고 ;]@; 유한소수가 되려면 분모에 있는 3Û`이 약분되어야 하므로 x 는 3Û`=9의 배수이다. 따라서 조건에서 10<x<20인 2와 9의 배수를 구하면 x=18이다. 을 기약분수로 나타내면 이므로 y=5 ;5@; ;4!5*; ∴ x+y=23 x= = ;7÷0; n 2_5_7 이고, 1ÉnÉ500인 자연수일 때, x가 정수가 아닌 유한소수가 되려면 n은 7의 배수이면서 70의 배수는 아닌 수이어야 한다. 즉, 1ÉnÉ500에서 7의 배수는 71개이고 70의 배수는 7개이므로 조건을 만족하는 x의 개수는 71-7=64 = ;2£0; 3 2Û`_5 _ = ;5%; 15 2Û`_5Û` = = 15 10Û` 150 10Ü` = 1500 10Ý` =… x=2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y가 유한소수이므로 x가 2와 5만을 소인수로 갖거나, 분자 이때 a+n의 값은 17, 153, 1504, …이므로 최솟값은 17 의 3_11과 약분된 후 분모가 2와 5만을 소인수로 가지면 된다. 따라서 y가 유한소수가 되게 하는 x의 값은 2, 3, 5, 11이므로 x의 개수는 4이다. = ;2Á5Á0; _ = 2Û` 2Û` 2Û`_11 2Ü`_5Ü` = = 44 10Ü` 440 10Ý` 11 2_5Ü` 4400 10Þ` = =… 이때 x+y의 값은 47, 444, 4405, …이므로 최솟값은 47 ③ 5.125125…=5.H12H5 ① 1.2333…=1.2H3 ② 4.0404…=4.H0H4 ⑤ 0.454454…=0.H45H4 26 2Ü`_5Û`_x = 13 2Û`_5Û`_x 에서 x가 2나` 5 이외의 소인 을 소수로 나타내면 1.9166…=1.91H6이므로 순환 ;1@2#; 수로 이루어지면 된다. 즉, x는 3, 6, 7, 9, 11, 12, 14, … 마디는 6이다. 1.91H6은 소수점 아래 첫째 자리와 둘째 자리 가 될 수 있다. 는 순환하지 않고 그 아래 자리의 숫자는 모두 6이므로 199 따라서 가장 작은 두 자리의 자연수는 11이다. 번째 자리의 숫자도 6이다. 1. 유리수와 순환소수 3 이다. 이다. 순환소수의소수점아래특정자리의숫자찾기 0.HaÁaªa£`y`HaÇ에 대하여 (1번째 자리 수)=((n+1)번째 자리 수)=((2n+1)번째 자리 수)=aÁ (2번째 자리 수)=((n+2)번째 자리 수)=((2n+2)번째 자리 수)=aª (3번째 자리 수)=((n+3)번째 자리 수)=((2n+3)번째 자리 수)=a£ (n번째 자리 수)=(2n번째 자리 수)=(3n번째 자리 수)=aÇ 따라서 자연수 m을 n으로 나눈 나머지가 r일 때, ⋮ (m번째 자리 수)= a¨ (1Ér<n) aÇ (r=0) à =0.H61538H4이므로 순환마디의 숫자는 6개이다. ;1¥3; 소수점 아래 50번째 자리의 숫자는 50=6_8+2이므로 순 환마디의 두 번째 숫자인 1이다. 또, 소수점 아래 100번째 자리의 숫자는 100=6_16+4이 므로 순환마디의 네 번째 숫자인 3이다. ∴ 1+3=4 =0.0H57142H8에서 순환마디의 숫자는 6개이고, 소 ;3ª5; 수점 아래 첫째 자리의 0은 순환하지 않는다. 따라서 0 이후에 반복되는 수가 6개이므로 x는 이 반복되 는 수의 34번째 수이고, y는 69번째 수이다. 따라서 34=6_5+4이므로 소수점 아래 35번째 자리의 숫 자는 순환마디의 4번째 숫자인 4이다. 또, 69=6_11+3이므로 소수점 아래 70번째 자리의 숫자 는 순환마디의 3번째 숫자인 1이다. ∴ x=4 ∴ y=1 x=0.H5= 이므로 ;9%; 1 x- 1 -;[!; = - ;9%; 1 1 1- ;9%; 1 1- ;5(; = - ;9%; = - ;9%; 1 - ;5$; = + ;9%; ;4%; = 20+45 36 = ;3^6%; =1.80H5 먼저 식을 변형한 후 대입해도 된다. 즉, 1 x- 1- ;[!; 1 x-1 x =x- =x- x x-1 = xÛ`-x-x x-1 = xÛ`-2x x-1 1.H5= 15-1 9 = :Á9¢: 의 역수가 a이므로 a= ;1»4; 12.H4= 124-12 9 = :Á;9!;ª: 가 b이므로 b= :Á;9!;ª: ∴ ab= _ ;1»4; :Á;9!;ª: =8 0.H5= , 0.H8= 이므로 분모가 90인 분수 ;9%; ;9*; 가 ;9Ò Ó0; 0.H5와 0.H8 사이의 수이면 < ;9%; < ;9*; ;9Ó0; ∴ 50<x<80 그런데 = ;9Ó0; x 2_3Û`_5 x는 9의 배수이어야 한다. 이므로 가 유한소수가 되려면 ;9Ó0; 따라서 x는 9_6=54, 9_7=63, 9_8=72이므로 x의 개 ∴ |2x-y| =|2_4-1| =|8-1|=7 ⑴ 0.H9=1임을 이용하면 499.H9 =499+0.H9 =499+1=500 ⑵ 0.0H9=0.1임을 이용하면 -27.2H9 =-(27.2+0.0H9) =-(27.2+0.1)=-27.3 ⑶ 0.00H9=0.01임을 이용하면 0.31H9 =0.31+0.00H9 =0.31+0.01=0.32 x=43.H1H2=43.1212…이므로 100x=4312.1212… - >³ 43.1 x = 99x=4269 212… ∴ x= = :¢;9@9^;»: :Á;3$3@;£: 4 Ⅰ 수와 식 수는 3이다. x=5.63535…이므로 1000x=5635.3535… - >³ x= 10 990x=5579 56.3535… ∴ 1000x-10x=5579 2.3H4H5= 2345-23 990 = 2322 990 =2322_ ;99!0; =2322_ 0.0H0H1 따라서 가장 간단한 식은 100x-x이다. 따라서 m의 최솟값은 9이다. 1.9H4= 194-19 90 = = :Á9¦0°: ;1#8%; = 5_7 2_3Û` 이므로 이 분수 에 자연수 m을 곱해서 유한소수가 되려면 m은 3Û`의 배수 이어야 한다. ³ ³ ³ Ò ³ ³ 0.2H7= 27-2 90 = = ;9@0%; ;1°8; = 5 2_3Û` 이므로 0.2H7_x가 유한소수이려면 x는 3Û` 의 배수이어야 한다. 따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 9, 가장 큰 두 자리의 자연수 x의 값은 9_11이므로 a=9, b=9_11=99 ∴ b-7a=99-7_9=99-63=36 ① 0.542` ② 0.542`2`2… ③ 0.542`4`2… ④ 0.542`5`42… ⑤ 0.542`0`5420… 따라서 가장 큰 수는 ④이다. ① 0.333…>0.3131… (거짓) ② 0.42<0.4242… (거짓) ③ 0.2H9=0.3 (참) ④ 0.8111…<0.888… (참) ⑤ ;9!9@; =0.H1H2=0.1212…<0.1222… (참) 따라서 대소관계가 바르게 된 것은 ③, ④, ⑤이다. = :£9¥9ª0»: =3.8H6H7 ⑶ 1.9H4= 194-19 90 = :Á9¦0°: 0.H2= ;9@; 1.H5H1= 151-1 99 = :Á9°9¼: ∴ (주어진 식)= :Á9¦0°: _ Ö ;9@; :Á9°9¼: = :Á9¦0°: _ _ ;9@; ;1»5»0; = ;2¦7¦0; =0.2H85H1 ⑷ 3.H2= 32-3 9 = :ª9»: 1.0H5= 105-10 90 = ;9(0%; 0.H5= ;9%; ∴ (주어진 식)= - Ö ;9%; ;9(0%; :ª9»: = - _ ;5(; ;9(0%; :ª9»: = - :ª9»: ;1!0(; = - :ª9»0¼: :Á9¦0Á: = :Á9Á0»: =1.3H2 <x< 이라 하면 ;1¥1; ;1°1; <x< , 즉` 0.H4H5<x<0.H7H2 ;9$9%; ;9&9@; 따라서 조건을 만족하는 것은 ②, ③이다. ⑴ 2.555… + 5.333… >³ 7.888… ∴ 2.H5+5.H3=7.H8 7.888… - 1.222… >³ 6.666… ∴ 7.H8-1.H2=6.H6 다른풀이 분수로 고쳐 계산하면 (주어진 식)= + - :ª9£: :¢9¥: :Á9Á: = :¤9¼: =6.H6 ⑵ 5.H6H7= 567-5 99 = :°9¤9ª: 4.1H5= 415-41 90 = :£9¦0¢: 2.3H4H6= 2346-23 990 = :ª9£9ª0£: ∴ (주어진 식)= - + :°9¤9ª: :£9¦0¢: :ª9£9ª0£: = 5620-4114+2323 990 1.2H3= 123-12 90 = :Á9Á0Á: , 1.0H1= 101-10 90 = , ;9(0!; 0.0H5= 이므로 주어진 방정식은 ;9°0; :Á9Á0Á: x- x= ;9(0!; ;9°0; 에서 111x-91x=5이므로 20x=5 ∴ x= = =0.25 ;2°0; ;4!; 0.3H6= 36-3 90 = ;9#0#; , 1.0H5= 105-10 90 = , ;9(0%; 4.H7= 47-4 9 = :¢9£: 이므로 주어진 방정식은 ;9#0#; x+ = ;9(0%; :¢9£: 에서 33x+95=430이므로 33x=335 ∴ x= =10.H1H5 :£3£3°: 따라서 순환마디는 15이다. <0.Hx< 이므로 ;8!; ;4#; < < ;9{; ;8!; ;4#; 각 변에 9를 곱하면 ;8(;<x< :ª4¦: 자연수 x를 모두 구하면 2, 3, 4, 5, 6이므로 그 합은 2+3+4+5+6=20 1. 유리수와 순환소수 5 0.H2= , 0.H9=1, 2.H3= 이므로 주어진 방정식은 ;9@; :ª9Á: 한소수로 나타낼 수 없다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㅅ, ㅇ, ㅊ이다. x+1= 에서 x= ;9@; :ª9Á: :Á9ª: ;9@; ∴ x=6 이때 주어진 부등식은 < ;6}; ;6!; É 에서 ;9^; < ;6!; ;6}; É ;6$; 이므로 1<yÉ4 y는 자연수이므로 y=2, 3, 4 ∴ (y의 값의 합)=2+3+4=9 ㄴ. 0은 정수로서 유리수이다. ㄹ. 무한소수 중 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아니다. ㅁ. 0.H9=1과 같이 정수로 나타낼 수 있는 순환소수도 있다. ㅂ. 유한소수가 아닌 소수는 무한소수로, 순환소수와 순환 하지 않는 무한소수가 있다. 소수 유한소수 무한소수 순환소수 무한소수 유리수 522 옳지 않은 것의 반례를 찾아 보자. ① 0.H3+(-0.H3)=0 (0은 어떤 방법으로도 순환소수로 나타낼 수 없다.) ② 0.H3-0.H3=0 ③ 과 ;7#; ;6&; 은 분모에 2나 5 이외의 소인수를 가지므로 모두 순환소수인데 =0.5는 유한소수이다. _ ;6&; ;7#; ④ Ö = _ ;7#; ;7^; ;6&; = ;2!; ;7#; =0.5 ⑦ 0.3_0.H3= _ = ;9#; ;1£0; ;1Á0; =0.1 ⑧` 0.2Ö0.H2= Ö = ;9@; ;1ª0; ;1ª0; _ ;2(; = ;1»0; =0.9 ① 순환소수는 모두 유리수이므로 항상 분모, 분자가 순환하지 않는 무리수 정수인 분수로 나타낼 수 있다. ③ 0.H3+(-0.H3)=0 ㅈ. 기약분수 중 분모의 소인수가 2나 5뿐인 수는 유한소수 ⑤ 0.H9=1이므로 정수로 나타낼 수 있는 순환소수가 존재 로 나타낼 수 있지만 2나 5 이외의 소인수를 가지면 유 한다. STEP 실력 높이기 15~18쪽 31 -33 0.H2H7 123 0.0H1 2 5 0.H8 0.H27H5 18 0.0H7 2, 5, 8 ⑤ 30 0.H1H8 50 문제 풀이 -47 6 16 0 234-2 99 _m= _n ;9$; ;;nM;;=;9$;_;2»3»2;=;5!8!; ∴ m=11, n=58 ∴ m-n=11-58=-47 6 Ⅰ 수와 식 ⑤ 순환소수는 모두 유리수이므로 항상 분모, 분자가 두 자연수 m, n에 대하여 정수인 분수로 나타낼 수 있다. (단, 분모는 0이 아닌 정수) ;;nM;;=;bA; (a, b는 서로소인 두 자연수)일 때, 자연수 k에 대하여 m=ak, n=bk이다. 만약 m, n이 서로소인 경우 m=a, n=b이다. 주어진 식의 순환소수를 분수로 나타내면 문제의 뜻에 따라 É ;7%0!; ;7Ó0; É :£7¼0¼: 이라 하면 x 2_5_7 이므로 이 수가 유한소수이려면 x는 7의 배 ;7Ó0;= 수가 되어야 한다. 따라서 51ÉxÉ300에서 7의 배수는 7_8=56, 7_9=63, …, 7_42=294로 35개이지만 정수 를 제외한다고 했으므로 이 중 70의 배수 70, 140, 210, 280의 4개를 제외하면 유한소수가 되는 분수는 31개가 된 다. 따라서 소수로 고쳤을 때, 유한소수가 되는 분수의 개 수는 31이다. x= ;9!9@9#; 이고 999.H9=1000이므로 x_(999.H9-1)= _(1000-1)=123 ;9!9@9#; 1- 1- 1 1 1-a =1- =1- 1 - 1-a 1-a 1 1-a 1 -a 1-a =1+ 1-a a = a+1-a a = ;a!; a=0.2H9=0.3= 이므로 ;1£0; 1- 1- 1 1 1-a = = ;a!; ;;Á3¼;; = _x ;9^; :Á3¼: ∴ x= _ =5 ;6(; :Á3¼: 따라서 주어진 방정식은 =0.H6_x이므로 :Á3¼: 풀이 단계 < ;4!5%; 15 x < ;2!5%; 이므로 25<x<45이고 x는 자연 수이므로 x의 값은 26, 27, 28, …, 44이다. 그런데 가 유한소수이므로 x에 26, 27, 28, 15 x …, 44를 대입한 기약분수 중 분모의 소인수는 2 나 5뿐이어야 한다. 즉, 15=3_5이므로 x=2µ``_5Ç`_3 또는 x=2µ``_5Ç` (단, m, n은 0 또는 자연수) 확인 단계 따라서 x의 값은 30, 32, 40이고, 이 중 가장 작은 값은 30이다. 어떤 자연수를 x라 하면 정답은 1.H5x, 오답은 1.5x이 고, 그 차가 0.H3이므로 1.H5x>1.5x에서 1.H5x-1.5x=0.H3 1.H5= 15-1 9 , 0.H3= 이므로 ;9#; x x ;;Á9¢;; -;1!0%; =;9#; 140-135 90 x= ;9#0); 따라서 어떤 자연수는 6이다. 5x=30 ∴ x=6 서술형 ;6%; ;6%; 0.Ha= , 0.0Ha= 이므로 주어진 부등식은 ;9A; ;90; < - ;9A; ;1£4; ;90; < ;3@; 에서 < ;1£4; 10a-a 90 < ;3@; 이므로 < < ;3@; ;10; ;1£4; ∴ ;;Á7°;; <a< :ª3¼: 따라서 조건을 만족하는 자연수 a는 3, 4, 5, 6이고, a의 값 변형 단계 =0.8H3, =0.12H8이므로 ;2ª2»5; 풀이 단계 의 순환마디는 3이고, 의 순환마디는 8이다. ;2ª2»5; 따라서 a=3, b=8 확인 단계 ∴ -aÛ`-ab=-9-24=-33 의 합은 18이다. (1, 2)=0.H1+0.0H2= + ;9!; ;9ª0; = ;9!0@; 이므로 순환소수를분수로고치지않고계산하기 0.Ha=0.aaaay, 0.0Ha=0.0aaay, 이므로 0.Ha=0.aaaa… 0.0Ha=0.0aaa… 0.Ha-0.0Ha=0.a - >³ 따라서 0.Ha-0.0Ha=0.a= 가 된다. ;10; 서술형 표현 단계 < ;3!; < ;5#; 에서 15 x 12_A= 에서 A= ;9!0@; ;9Á0; ∴ A=0.0H1 1- 1 1 1- ;[!; = 1- 1 1 x-1 x = 1- 1 x x-1 = 1 - x-1 x-1 x x-1 = 1 -1 x-1 =-x+1 변형 단계 분자를 15로 같게 만들기 위해 의 분자, 분모에 ;3!; 이므로 주어진 방정식은 -x+1=0.H1에서 각각 15를 곱하고, 의 분자, 분모에 각각 5를 곱 ;5#; 하면 1_15 3_15 < < 15 x 3_5 5_5 -x+1= ;9!; ∴ x= =0.H8 ;9*; 1. 유리수와 순환소수 7 소현이가 구한 순환소수 0.58H3을 기약분수로 바꾸면 자리의 숫자이고, 148=6_24+4이므로 150번째 자리의 0.58H3= 583-58 900 = = ;9%0@0%; ;1¦2; 숫자는 순환마디의 4번째 숫자인 5이다. ∴ x=2, y=5 인데 분모를 잘못 봤으므로 처음 기약분수의 분자는 7이다. 따라서 0.HyHx-0.HxHy의 값을 순환소수로 나타내면 은정이가 구한 순환소수 0.8H1을 기약분수로 바꾸면 0.8H1= 81-8 90 = ;9&0#; 0.H5H2-0.H2H5= - ;9%9@; ;9@9%; = ;9@9&; =0.H2H7 인데 분자를 잘못 봤으므로 처음 기약분수의 분모는 90이다. x=0.5H6H7이므로 따라서 처음 기약분수는 이므로 순환소수로 나타내면 1-x=1-0.5H6H7=1- ;9¦0; 567-5 990 0.0H7이다. 서술형 표현 단계 0.HaHb+0.HbHa=0.H6을 분수로 고치면 변형 단계 10a+b 99 + 10b+a 99 = ;9^; 에서 (10a+b)+(10b+a) 99 = ;9^; 11(a+b) 99 = ;9^; ∴ a+b=6 풀이 단계 a, b가 10보다 작은 짝수이고 a>b>0이므로 a=4, b=2 확인 단계 따라서 두 순환소수 0.H4H2와 0.H2H4의 차는 - = ;9$9@; ;9@9$; ;9!9*; =0.H1H8 a+b=6에서 식의 개수는 1이고 미지수의 개수는 2이므로 주어진 식을 만족하는 a, b의 값은 무수히 많다. 하지만 ‘10보다 작은 짝수 a, b에 대하여 a>b>0’이라는 특수한 조건에 의하여 a+b=6을 만족하는 a, b의 값이 a=4, b=2로 유일하게 결정된다. = abcd-ab 9900 ;9@9!0%0&; 므로 a=2, b=1 즉, 21cd-21=2157이므로 21cd=2157+21=2178 ∴ c=7, d=8 ∴ |a-b+c+d|=|2-1+7+8|=16 =2157Ö9900=0.21H7H8과 같이 직접 순환소수로 바꾸어도 ;9@9!0%0&; 된다. = 990-562 990 = 428 990 =0.4H3H2 0.4H3H2에서 순환마디의 숫자가 2개이고, 소수점 아래 11번 째 자리의 숫자는 순환하는 부분만으로 10번째 자리의 숫 자가 된다. 이때 10=2_5이므로 소수점 아래 11번째 자리의 숫자는 순환마디의 두 번째 숫자인 2이다. 275_ +275_ +275_ +… 1 10ß` 1 10á` 1 10Ü` =0.275+0.000275+0.000000275+… =0.275275275… =0.H27H5 12x+5=10a를 풀면 x= 5(2a-1) 12 = 5(2a-1) 2Û`_3 이때 x가 유한소수가 되려면 (2a-1)은 3의 배수이어야 한다. 즉, 2a-1=3, 3_2, 3_3, 3_4, 3_5, 3_6, … 따라서 가능한 한 자리의 자연수 a는 2, 5, 8이다. 자연수 a에 대하여 2a-1은 홀수이므로 2a-1=3, 3_2, 3_3, 3_4, 3_5, y에서 2a-1=3_2, 3_4, 3_6, y을 만족하는 자연수 a는 존재하지 않는다. x= = 에서 x는 n이 3의 배수이어야 유한소 n 12 n 2Û`_3 수가 되고, n이 12의 배수가 아니어야 정수가 되지 않는다. 즉, 200 이하의 자연수 중에서 3의 배수는 66개이고, 12의 배수는 16개이므로 x의 값 중 정수가 아닌 유한소수의 개 이고, a, b가 서로 다른 자연수이 2a=4, 7, 10, 13, 16, 19, … =0.00H42857H1에서 순환마디의 숫자는 6개이고, ;70#0; 수는 66-16=50이다. 소수 첫째, 둘째 자리의 0은 순환하지 않는다. 100번째 자리의 숫자는 처음 두 자리를 제외한 순환하는 부 서술형 분만으로 98번째 자리의 숫자이고, 98=6_16+2이므로 100번째 자리의 숫자는 순환마디의 2번째 숫자인 2이다. 표현 단계 주어진 식은 {(0.0H9C0.1)C0.0H1}C 이고 ;9Á0; 또, 150번째 자리의 숫자는 순환하는 부분만으로 148번째 변형 단계 0.0H9= , 0.1= , 0.0H1= 이므로 ;9»0; ;1Á0; ;9Á0; 8 Ⅰ 수와 식 풀이 단계 (주어진 식)= [{;9»0; ;1Á0;} ;9Á0;] ;9Á0; C C C = 1C { ;9Á0;} ;9Á0; { ` ∵ = ;9»0; ;1Á0;} C =0C ` ∵ 1+ ;9Á0; { ;9Á0;} =0` ∵ 0+ { ;9Á0;} 확인 단계 따라서 구하는 식의 값은 0이다. STEP 최고 실력 완성하기 19~20쪽 ①,`③ 2 문제 풀이 189 24 240 35 4 0.00H1 12 = ;12{0; x 2Ü`_3_5 가 유한소수가 되려면 x는 3의 배수 0.yHx= 에서 ;6%; 이고, 10<x<20을 만족해야 하므로 x=12, 15, 18이다. =5Ö6=0.8H3=0.yHx 이므로 또, = ;12{0; x 2Ü`_3_5 x=12일 때, y=10 를 기약분수로 고치면 이므로 ;]!; ∴ 2x-y=2_12-10=24-10=14 x=15일 때, y=8 ∴ 2x-y=2_15-8=30-8=22 ;6%; `y=8, x=3 따라서 0.xHy=0.3H8= 38-3 90 = = ;9#0%; ;1¦8; = ;1ü8; 이므로 z=7 ∴ x+y-z=3+8-7=4 x=18일 때, 기약분수로 나타내면 분자가 1일 수 없다. 따라서 2x-y의 값은 14 또는 22이다. [5, 6, 7]=0.5+0.0H6+0.00H7 ;35Á00; =0.000H28571H4에서 순환마디의 숫자는 6개이 고, 소수점 아래 세 번째 자리까지의 숫자는 순환하지 않는 다. 따라서 45=6_7+3이므로 소수점 아래 45번째 자리 의 수는 순환마디가 소수점 아래 네 번째 자리부터 7번 반 복되었을 때 그 마지막 숫자이다. ∴ AÁ+Aª+A£+A¢+…+A¢° =0+0+0+(2+8+5+7+1+4)_7 =27_7=189 0.H4=a_0.H1을 분수로 바꾸면 0.H4H0=b_0.H0H1을 분수로 바꾸면 0.H40H0=c_0.H00H1을 분수로 바꾸면 =a_ ;9$; ;9!; ∴ a=4 =b_ ;9$9); ;9Á9; ∴ b=40 ;9$9)9);=c_;99!9; ∴ c=400 ∴ |a_b-c|=|4_40-400|=240 = + ;1°0; ;9¤0; + ;90&0; = ;9%0!0&; =517_ ;90!0; =517_0.00H1 ∴ A=0.00H1 주어진 식을 분수로 나타내면 = _ ;9@; ;90B0; 이므로 {;90;} 2` aÛ`=2b a=4, b=8뿐이다. ∴ a+b=12 x=0.Ha= 이므로 ;9A; (주어진 식)=1- =1- 1 a+9 a 1 1+ ;a(; a a+9 =1- = 9 a+9 a, b는 a<b인 한 자리의 자연수로 이 식을 만족하는 수는 1. 유리수와 순환소수 9 또, 0.H8H1= = ;9*9!; ;1»1; 이므로 9 a+9 = ;1»1; 에서 a=2 다른풀이 1 1- 1+ ;[!; =1- 1 x+1 x x x+1 =1- = 1 x+1 1 = +1 ;9A; = 1 a+9 9 = 9 a+9 a=9일 때, b=2, 4, 5, 7, 8이다. 이 중 가 최대이려면 a는 최소, b는 최댓값을 가져야 3Û`_b a 한다. 즉, a=3, b=8일 때 최댓값 24를 갖는다. <1이고, 를 소수로 나타내었을 때 소수점 아래 ;]{; ;]{; 첫 번째 자리와 두 번째 자리의 숫자가 0, 6이므로 0.06É <0.07 ;]{; ∴ ;10^0; yÉx< y ;10&0; 30<y<40에서 y는 자연수이므로 31ÉyÉ39 …… ㉢ ㉡, ㉢에서 _31Éx< ;10^0; _39 ;10&0; …… ㉠ …… ㉡ …… ㉣ ;1!0*0^; Éx< ;1@0&0#; ∴ x=2 ㉠에서 1 0.07 < ;2}; É 1 0.06 , 2 0.07 2 0.06 <yÉ 이므로 28.5…<yÉ33.3… ㉢, ㉣에 의해 31ÉyÉ33.3… ;]{; y=31, 33 999.H9=1000이고 c= b a_111 이므로 c_999.H9-c=c_1000-c=c_999 = b a_111 _999= 3Û`_b a 또, b a_111 3Û`_b a 가 되어야 한다. 즉, a=3일 때, b=2, 4, 5, 7, 8이고, 가 자연수가 되어야 하므로 a는 1이 아닌 3Û`의 약수 가 기약분수이므로 a, b는 서로소이고 가 기약분수라는 조건에 의해 x, y는 서로소이므로` 따라서 x+y가 최대인 경우는 x=2, y=33일 때 35이다. x, y가 자연수임에 유의하여 부등식을 만족하는 x, y의 값을 구한다. 10 Ⅰ 수와 식 2 단항식의 계산 STEP 주제별 실력다지기 22~24쪽 ⑴ x18yÚ`Û`zÛ`Ú` ⑵ yÛ`z xß` ;1¢3; ⑤ - ;1!4#; x ⑴ xß`y ⑵ ①, ③ x=27aÛ` D, C, A, B xá` yÞ` 9 20 8 - ;2¥5; 3 -25 03 최상위 NOTE 지수법칙의 확장 중학교 과정에서는 지수가 자연수인 경우만 다루지만 수학적으로 지수법칙은 지수가 정수인 경우에도 성립한다. ⑴ aâ`=1 (a+0) 지수법칙을 이용하여 2Ü`Ö2Ü`을 계산하면 2Ü`Ö2Ü`=23-3=2â` 2Ü`Ö2Ü`의 값을 실제로 계산하면 2Ü`Ö2Ü`= 2_2_2 2_2_2 = =1 ;8*; 따라서 2â`=1임을 알 수 있다. 하지만 0â`을 계산하려면 생하므로 0â`은 약속하지 않는다. 따라서 aâ`=1 (a+0)이다. 0â`=03-3=0Ü`Ö0Ü`= 과 같이 분모가 0이 되는 상황이 발 따라서 aÑÇ`= (a+0, n은 자연수)이다. 0_0_0 0_0_0 않는다. 1 aÇ` ⑵ aÑÇ`= (a+0, n은 자연수) 1 aÇ` 2ÑÜ`의 값을 구하기 위해서 지수법칙을 이용하여 2Ü`_2ÑÜ`을 계산하면 2Ü`_2ÑÜ`=23+(-3)=2â`=1이므로 2ÑÜ`과 2Ü`은 서로 역수 관계이다. 즉, 2ÑÜ`= 이다. 1 2Ü` 하지만 0ÑÜ`을 계산하려면 1 0Ü` 이 되어 분모가 0이 되는 상황이 발생하므로 밑이 0일 때, 지수가 음의 정수인 경우는 약속하지 2. 단항식의 계산 11 ⑴ (주어진 식) =xß`yß`zÜ`_xÚ`Û`yß`z18=xß`xÚ`Û`yß`yß`zÜ`z18 5ÑÚ`= 이므로 (0.5)ÑÛ`_5ÑÚ`=4_ ;5!; = ;5!; ;5$; ⑴ (주어진 식) =xÛ`yÝ`Ö(xÛ`yß`)_(xß`yÜ`) 따라서 큰 수부터 나열하면 D, C, A, B이다. 문제 풀이 =x6+12y6+6z3+18=xÚ`¡`yÚ`Û`zÛ`Ú` ⑵ (주어진 식)=xß`yß`zá`Ö(xÚ`Û`yÝ`z¡`) y6-4z9-8 x12-6 = = yÛ`z xß` =(xÛ`ÖxÛ`_xß`)(yÝ`Öyß`_yÜ`) =x2-2+6y4-6+3=xß`y ⑵ (주어진 식)= _ Ö xá` yÜ` xá` yÜ` yß` xÚ`Û` yß` xÚ`Û` y¡` xÚ`Û` xÚ`Û` y¡` = _ _ = xá` yÞ` ① (좌변)=(aÞ`Öa¡`)_aÜ`= 1 aÜ` ② (좌변)=aÝ`_aÝ`ÖaÞ`=a4+4-5=aÜ` ③ (좌변)=aÞ`_aÛ`_aÛ`=a5+2+2=aá` _aÜ`=1 ④ (좌변)= 1 aÝ` { _ Ö = _aß`= 1 aß` 1 aà` ;a!; ⑤ (좌변)=aÚ`â`_aÞ`Ö =aÚ`â`_aÞ`_a¡`=aÛ`Ü` 1 aÜ` } 1 a¡` 따라서 옳은 것은 ①, ③이다. 두 조건을 각각 식으로 나타내면 S=(3a)3b=(3Ü`aÜ`)º`=(27aÜ`)º` …… ㉠ ㉠, ㉡에서 (27aÜ`)º`=(ax)º`이므로 27aÜ`=ax ∴ x=27aÛ` A에서 9ÑÛ`= 이므로 1 9Û` 3Ü`_9ÑÛ`=3Ü`_ =3Ü`_ 1 3Ý` = ;3!; 1 9Û` 1 8Û` ∴ A= ;3!; B에서 8ÑÛ`= 이므로 4Û`_8ÑÛ`Ö16=4Û`_ Ö16 1 8Û` 1 2ß` =24-6-4=2Ñß` =2Ý`_ Ö2Ý` = 1 2ß` ∴ B= ;6Á4; 12 Ⅰ 수와 식 ∴ C= ;5$; D에서 3ÑÛ`= 이므로 1 3Û` 1 3Û` 3Û`Ö3ÑÛ`=3Û`Ö =3Û`_3Û`=3Ý` ∴ D=81 = a(ab+1) b(ab+1) = ;bA; a+bÑÚ` aÑÚ`+b = a+ ;b!; +b ;a!; = ab+1 b 1+ab a =6이므로 a=6b ;bA; ∴ a-2b 2a+b = 6b-2b 12b+b = 4b 13b = ;1¢3; 분자, 분모에 같은 수를 곱해도 분수의 값은 변하지 않으므로 다음 과 같이 계산할 수도 있다. a+bÑÚ` aÑÚ`+b = a+ ;b!; { = a+ _ab ;b!;} +b ;a!; +b _ab {;a!; } = aÛ`b+a b+abÛ` = a(ab+1) b(ab+1) = ;bA; aÑÛ`=3에서 =3, 즉 aÛ`= 이므로 ;3!; 1 aÛ` aÝ`= 이 된다. ;9!; aÜ`- aÜ`+ 1 aÜ` 1 aÜ` = aÝ`- aÝ`+ 1 aÛ` 1 aÛ` = 3 ;9!;- +3 ;9!; =- ;1!4#; = ;2Á7; 1 3Ü` =3ÑÜ`이므로 3Þ`Ö3Å`= 에서 35-x=3ÑÜ` ;2Á7; 즉, 5-x=-3 ∴ x=8 2x+3+2Å`=2Å`_2Ü`+2Å`=(2Ü`+1)2Å`=9_2Å` 즉, 9_2Å``=72에서 2Å`=8, 2Å`=2Ü` ∴ x=3 =53n_ =53n-6_2Ú`Û` (좌변)=(5Ü`)Ç`_ {;5$;} (우변)=(5_2)Ç`_2Ü`µ``=5Ç`_2Ç`_2Ü`µ``=5Ç`_2n+3m 따라서 53n-6_2Ú`Û`=5Ç`_2n+3m이므로 지수를 비교하면 6` 2Ú`Û` 5ß` C에서 (0.5)ÑÛ`= = =4이고, = 1 2ÑÛ` {;2!;} -``2` 1 ;4!; 3n-6=n …… ㉠ 12=n+3m …… ㉡ S=aº`_xº`=(ax)º` …… ㉡ ∴ (주어진 식)= ㉠에서 2n=6 ∴ n=3 ㉡에서 12=3+3m, 3m=9 ∴ m=3 ∴ m_n=9 b`yÛ`` xÜ`` = 64y` xÚ`¡` 주어진 식에서 좌변의 괄호를 풀면 계수와 문자의 지수를 각각 비교하면 3a=18, b`=64=2ß`, 2a=c ∴ a=6, b=2, c=12 ∴ a+b+c=20 _27Ç`Ö6Ç`= _(3Ü`)Ç`Ö(2_3)Ç` = _(3Ç`)Ü`Ö(2Ç`_3Ç`) 1 (2Ü`)Ç` 1 (2Ç`)Ü` 2Ç`=A, 3Ç`=B이므로 대입하면 1 8Ç` 1 (2Ç`)Ü` _(3Ç`)Ü`Ö(2Ç`_3Ç`)= _BÜ`Ö(AB) 1 AÜ` 1 AÜ` = _BÜ`_ 1 AB = BÛ` AÝ` 주어진 식은 xÝ`yß`Ö yÜ` -8xÜ` Ö =-8xß`yÜ` xÝ`yß`_ 1 _ =-8xß`yÜ` xÝ`yß`_ =-8xß`yÜ`_ -8xÜ` yÜ` -8xÜ` yÜ` =xÝ`yß`_ -8xÜ` yÜ` _ 1 -8xß`yÜ` ∴ =x (주어진 식)=10aÜ`bÜ`x_49aÝ`b¡`xÛ`Ö(-125aÜ`bá`xÜ`) = 10_49aà`bÚ`Ú`xÜ` -125aÜ`bá`xÜ` =- 2_49 25 aÝ`bÛ` {;7@;} 2` 4x¡`yß` 25 25 4x¡`yß` aÛ`b= 에서 aÝ`bÛ`=(aÛ`b)Û`= 이므로 대입하면 ;7@; - 2_49 25 _ {;7@;} =- ;2¥5; 2` (주어진 식)=xÜ`yÞ`Ö _6xÝ`yÛ` =xÜ`yÞ`_ _6xÝ`yÛ` = 75y 2x x=3, y=-2를 대입하면 75y 2x = 75_(-2) 2_3 =-25 STEP 실력 높이기 14 3Ü`â`, 15Ú`â` 14 0 약 0.0001 2730 1, 2 문제 풀이 xß` yÜ` yÜ` xß` =xß`yÜ`_ _xÝ`_yÝ` =xÝ`yÚ`â` 즉, xÝ`yÚ`â`=x`yº`이므로 a=4, b=10 ∴ a+b=14 144 - ;2!; ;;ª5¢;; 64 ;3»2; 2n+13n 3 10 6 25~28쪽 a=3, b=2 22 19 (좌변)=xß`yÜ`Ö _xÝ`_yÝ` (좌변)=4x+1(3x+2+3x+3) =4x+1(3x+2+3_3x+2) =4x+1{(1+3)_3x+2} =4x+1(4_3x+2) =4x+2_3x+2 =12x+2 즉, 12x+2=ax+b이므로 밑과 지수를 각각 비교하면 a=12, b=2 ∴ a+b=14 2. 단항식의 계산 13 8=2Ü`, 4=2Û`이므로 Ú n이 짝수이면 2x+2+2x+1+2Å` =2Å`_4+2Å`_2+2Å` 풀이 단계 이 식에 x= , y=4를 대입하면 (주어진 식)= (2Ü`)Ý`+(2Û`)Ý` (2Ü`)ß`+(2Û`)à` ] [ = { 2Ú`Û`+2¡` 2Ú`¡`+2Ú`Ý` } 2` 2` = [ = { 2Ú`Û`+2¡` 2ß`(2Ú`Û`+2¡`) ] 1 2ß` } {;2!;} = 2` 2` 따라서 a=2, b=12이므로 b`=12Û`=144 1`2` 서술형 표현 단계 ab=23x_23y이므로 변형 단계 ab =23x+3y =23(x+y) 풀이 단계 =23_2 (∵ x+y=2) =2ß`=64 확인 단계 ∴ ab=64 서술형 변형 단계 2x+2=2Å`_4, 2x+1=2Å`_2이므로 =2Å`(4+2+1) =2Å`_7 풀이 단계 따라서 2x+2+2x+1+2Å`=56이므로 2Å`_7=56 ∴ 2Å`=8=2Ü` 확인 단계 ∴ x=3 a_10Ç` 의 꼴로 고치면 2Ú`á`_5Û`Û` =2Ú`á`_5Ú`á`_5Ü` =(2_5)Ú`á`_5Ü` =125_10Ú`á` 자연수의자릿수구하기 a.bc_10Ç`(a, b, c는 한 자리 자연수)은 (n+1)자리 수이다. n+2는 짝수, n+1, n+3은 홀수이므로 (주어진 식)=1+(-1)-1-(-1)=0 Û n이 홀수이면 n+2는 홀수, n+1, n+3은 짝수이므로 (주어진 식)=(-1)+1-(-1)-1=0 Ú, Û에서 n이 자연수이면 주어진 식의 값은 항상 0이다. n이 자연수일 때, n과 n+1의 차는 1이므로 n이 홀수이면 n+1은 짝수이고, n이 짝수이면 n+1은 홀수이다. 따라서 (-1)Ç`+(-1)n+1=0이다. 마찬가지로 생각하면 (-1)n+2+(-1)n+3=0이다. 서술형 변형 단계 주어진 식을 간단히 정리하면 (주어진 식)= xÜ`yÞ`Ö4xÛ`yÝ`_ ;3!; -6 xÜ`yÛ` -6 xÜ`yÛ` = xÜ`yÞ`_ ;3!; 1 4xÛ`yÝ` _ = -1 2xÛ`y ;2!; -1 -1 2xÛ`y = =- ;2!; 2_ _4 ;4!; 확인 단계 ∴ xÜ`yÞ`Ö(2xyÛ`)Û`_ ;3!; -6 xÜ`yÛ` =- ;2!; 2x-y=x-3y에서 x=-2y (주어진 식)= xyÛ`_9xÚ`â`yÛ`Ö64xá`yß` ;2!; ;2!; = xyÛ`_9xÚ`â`yÛ`_ 1 64xá`yß` = = = xyÛ`_9xÚ`â`yÛ` 2_64xá`yß` 9xÛ` 128yÛ` 9(-2y)Û` 128yÛ` =;3»2; 따라서 세 자리 수 125 뒤에 0이 19개 있으므로 2Ú`á`_5Û`Û` 은 22자리 자연수이다. ∴ n=22 (∵ x=-2y) 지수가 같은 수는 밑이 클수록 큰 수이므로 주어진 수 들의 지수를 모두 10으로 만들면 22Û`=2Ý`, 9Å`=32x, 54´`=(2_3Ü`)´`=2´`_33y이므로 2Ý`_32x=2´`_33y에서 y=4, 2x=3y 2x=3_4에서 x=6이므로 x+y=10 15<16<25<27이므로 15Ú`â`<16Ú`â`<25Ú`â`<27Ú`â` ∴ 15Ú`â`<2Ý`â`<5Û`â`<3Ü`â` 따라서 가장 큰 수는 3Ü`â`, 가장 작은 수는 15Ú`â`이다. ∴ a=3, b=2 216을 소인수분해하여 3의 거듭제곱과 자연수의 곱으 로 나타내면 216=3Ü`_8이므로 3`(3º`-1) =3Ü`_8 =3Ü`_(9-1)=3Ü`_(3Û`-1) 2Ý`â`=(2Ý`)Ú`â`=16Ú`â` 3Ü`â`=(3Ü`)Ú`â`=27Ú`â` 5Û`â`=(5Û`)Ú`â`=25Ú`â` 14 Ⅰ 수와 식 0.4= = ;1¢0; 2Û` 10 이므로 0.4Ú`â`= 2Û` 10 } { = (2Ú`â`)Û` 10Ú`â` 1`0` 주어진 조건 2Ú`â`?10Ü`에 의해 ? (2Ú`â`)Û` 10Ú`â` (10Ü`)Û` 10Ú`â` 1 10Ý` 따라서 소수로 나타내면 약 0.0001이다. = 2n+1+2n+2 =2n+1+2_2n+1 =(1+2)_2n+1 =3_2n+1 ∴ (주어진 식) =3n-1(3_2n+1) =3Ç`_2n+1 =2n+13Ç` 서술형 표현 단계 주어진 식을 두 개씩 묶어 보면 규칙을 찾을 수 있다. 변형 단계 (주어진 식) 복된 후 3번째 수이므로 2이다. =(2Ú`Û`-2Ú`Ú`)+(2Ú`â`-2á`)+y+(2Û`-2) 따라서 8Ú`â`+8Ü`Ú` 의 일의 자리의 숫자는 4+2=6이다. =2Ú`Ú`(2-1)+2á`(2-1)+y+2(2-1) ∴ {8Ú`â`+8Ü`Ú`}=6 {8}=8, {8Û`}=4, {8Ü`}=2, {8Ý`}=6, {8Þ`}=8, …이므 로 n이 1, 2, 3, 4, 5, …일 때, {8Ç`}은 8, 4, 2, 6이 반복된다. {8Ú`â`}={84_2+2}은 8, 4, 2, 6이 두 번 반복된 후 2번째 수 이므로 4이고, {8Ü`Ú`}={84_7+3}은 8, 4, 2, 6이 일곱 번 반 =2á`(2Û`+1)+2Þ`(2Û`+1)+2(2Û`+1) (좌변)=(-2)Û`xÛ`yÝ`zÛ`Ö =2Ú`Ú`+2á`+2à`+2Þ`+2Ü`+2 =(2Ú`Ú`+2á`)+(2à`+2Þ`)+(2Ü`+2) =(2á`+2Þ`+2)(2Û`+1) 풀이 단계 =(2á`+2Þ`+2)_5 =(2¡`+2Ý`+1)_2_5 =(256+16+1)_10=2730 확인 단계 ∴ 2Ú`Û`-2Ú`Ú`+2Ú`â`-2á`+y+2Û`-2=2730 주어진 식에서 좌변을 간단히 하면 (-2)Þ`xÚ`â`yÞ`zÚ`Þ` (-2)Ü`yÜ`zÚ`Û` _ 1 (-2)Û`xß`yÝ` =(-2)Û`xÛ`yÝ`zÛ`Ö(-2)Û`xÚ`â`yÛ`zÜ`_ 1 (-2)Û`xß`yÝ` =(-2)Û`xÛ`yÝ`zÛ`_ 1 (-2)Û`xÚ`â`yÛ`zÜ` _ 1 (-2)Û`xß`yÝ` = 1 (-2)Û`xÚ`Ý`yÛ`z 따라서 1 (-2)Û`xÚ`Ý`yÛ`z = 1 (-2)`xº`y`z¶` 에서 a=2, b=14, c=2, d=1이므로 (주어진 식)=4xÝ`yÛ`Ö xÛ`yß`_ - xÛ`y { ;6!; } ;9!; a+b+c+d=19 =4xÝ`yÛ`_ 9 xÛ`yß` _ - { ;6!; xÛ`y } -6(xÛ`)Û` yÜ` 여기에 xÛ`=2, yÜ`=-5를 대입하면 -6xÝ` yÜ` = = -6(xÛ`)Û` yÜ` = -6_2Û` -5 = :ª5¢: Ú 밑이 x로 같으므로 지수가 같으면 등호는 성립한다. x+2=2x ∴ x=2 Û 1의 거듭제곱은 항상 1이다. 즉, x=1일 때, 1Ü`=1Û` 따라서 주어진 식을 만족하는 x의 값은 1, 2이다. 2. 단항식의 계산 15 STEP 최고 실력 완성하기 29~30쪽 aÜ`bß` 46656 9 1 1 1 20 문제 풀이 327 18 자연수 n이 짝수일 때와 홀수일 때로 나누어 계산한다. 이때 1ÉaÉ3이므로 a=2 Ú n이 짝수일 때 n+1은 홀수, n+2는 짝수, n+3은 홀수이므로 (주어진 식) =xÇ`_(-1)_xn+2-1_(-1)-xÇ`_xn+2_(-1) =-xÇ`_xn+2+1+xÇ`_xn+2 =1 Û n이 홀수일 때 n+1은 짝수, n+2는 홀수, n+3은 짝수이므로 (주어진 식) =(-xÇ` )_1_(-xn+2)-(-1)_1-xÇ`_xn+2_1 =xÇ`_xn+2+1-xÇ`_xn+2 =1 Ú, Û 에서 자연수 n에 대하여 주어진 식의 값은 항상 1이다. [27]=[3Ü`]=3 ∴ x=3 [y]=5에서 y=3Þ` ∴ y=243 [729]=[3ß`]=6이므로 [9]+[z]=[729]에서 2+[z]=6, [z]=4 ∴ z=3Ý`=81 ∴ x+y+z=3+243+81=327 a=3x+2에서 a=3Å`_3Û` ∴ 3Å`= …… ㉠ b=2x+1에서 b=2Å`_2Ú` ∴ 2Å`= …… ㉡ ;9A; ;2B; ∴ 123x =(2Û`_3)3x =26x_33x =(2Å`)ß`_(3Å`)Ü` ㉠, ㉡을 대입하면 (2Å`)ß`_(3Å`)Ü`= _ {;2B;} {;9A;} 3` = = = 6` _ bß` 2ß` aÜ` 3ß` aÜ`bß` (2_3)ß` aÜ`bß` 46656 = aÜ`bß` 6ß` 한다. 16 Ⅰ 수와 식 우변의 계수의 부호가 양(+)이므로 a는 짝수이어야 ∴ (좌변)= - { xÜ` y } _ { Ö - { xÛ` 2y } 2` 3` yÛ` xº` } xÝ` 4yÛ` 4yÛ` xÝ` 2` yß` x3b Ö yß` x3b _ = = = _ xß` yÛ` xß` yÛ` 4yß` x3b-2 _ 4y` x 4yß` x3b-2 = 면 c=6 3b-2=1에서 b=1 ∴ a+b+c=2+1+6=9 이므로 계수와 각 문자의 지수를 각각 비교하 구의 반지름의 길이를 r라 하면 원기둥의 밑면의 반지 름의 길이는 r, 높이는 2r이므로 VÁ =prÛ`_2r (cid:83) (cid:83) (cid:83) (cid:83) =2prÜ` Vª= prÜ` ;3$; V£= _prÛ`_2r ;3!; = ;3@; prÜ` ∴ VÁ Vª+V£ = 2prÜ` =1 prÜ`+ prÜ` ;3@; ;3$; 원뿔과원기둥의부피 원뿔과 원기둥에 대하여 밑면인 원의 반지름의 길이가 r, 높이가 h일 때, 원뿔과 원기둥의 부피는 각각 prÛ`h, prÛ`h이다. ;3!; 주어진 조건 x`yº`= a-b b-a {;2!;} , xº`y`= {;2!;} 을 각 변끼리 a-b b-a _ {;2!;} {;2!;} {(a-b)+(b-a)} 곱하면 x`yº`_xº`y`= xa+bya+b= {;2!;} {;2!;} 0` (xy)a+b= 이때 {;2!;} 0` =1이므로 (xy)a+b=1 a, b는 자연수이므로 a+b+0 따라서 (xy)a+b=1을 만족하는 xy는 1이다. (좌변)= (-3Û`)à` (-3)Ç`_(-3) = -3Ú`Ý` -(-3)Ç`_3 = 3Ú`Ü` (-3)Ç` (우변)=-(-3)µ``_ 1 (-3)Þ` _ 1 (-3)Ü` =- (-3)µ`` 3¡` 3Ú`Ü` (-3)Ç` =- (-3)µ`` 3¡` 에서 (-3)µ``_(-3)Ç`=-3Ú`Ü`_3¡` (-3)m+n=-3Û`Ú` (-3)m+n=(-3)Û`Ú` ∴ m+n=21 따라서 순서쌍 (m, n)은 (1, 20), (2, 19), …, (20, 1) 이므로 순서쌍 (m, n)의 개수는 20이다. 주어진 정리에 의해 2`+2º`É1+2a+b (단, 등호는 a=0 또는 b=0일 때 성립) 양변에 2`을 더하면 2`+2º`+2`É1+(2a+b+2`) …… `㉠ ㉠의 괄호 ( ) 안에 있는 부분을 주어진 정리에 의해 정리 하면 2a+b+2`É1+2a+b+c (단, 등호는 a+b=0 또는 c=0일 때 성립) 이고, 양변에 1을 더하면 1+2a+b+2`É1+1+2a+b+c …… `㉡ ㉠, ㉡에 의해 2`+2º`+2`É1+2a+b+2`É(1+1)+2a+b+c 즉, 2`+2º`+2`É2+2a+b+c 2`+2º`+2`É2+2Ý` (∵ a+b+c=4) ∴ 2`+2º`+2`É18 (단, 등호는 a=0, b=0, c=4 또는 a=0, b=4, c=0 또는 a=4, b=0, c=0일 때 성립) 따라서 2`+2º`+2`의 최댓값은 18이다. 참고 2`+2º`+2`É18에서 등호는 a=0 또는 b=0일 때, a+b=0 또는 c=0일 때 성립하므로 Ú a=0, a+b=0일 때 a=0, b=0, c=4 (∵ a+b+c=4) Û a=0, c=0일 때 a=0, b=4, c=0 (∵ a+b+c=4) Ü b=0, a+b=0일 때 a=0, b=0, c=4 (∵ a+b+c=4) Ý b=0, c=0일 때 a=4, b=0, c=0 (∵ a+b+c=4) Ú`~`Ý에서 등호는 a=0, b=0, c=4 또는 a=0, b=4, c=0 또는 a=4, b=0, c=0일 때 성립한다. 2. 단항식의 계산 17 -3x+3y xÛ`+10x+6 ① 12xÜ`yÝ` 12xÛ`y 9x+6 9xÛ`-10x-12 2x+y a=15,``b=31,``c=-39 32~34쪽 ac+bc ;3$; 3 다항식의 계산 STEP 주제별 실력다지기 -6y ;2!5@; ;2@9^; 04 최상위 NOTE 다항식의 덧셈과 뺄셈 다음과 같이 다항식에서 문자와 차수가 같은 항을 동류항이라 한다. 다항식의 덧셈 또는 뺄셈을 할 때에는 동류항끼리만 계산이 가능 항 문자 차수 xÜ` ;2!; x 3 -xÛ`y x, y xÜ`yÛ` ;2#; x, y x에 대해 2차 y에 대해 1차 x에 대해 3차 y에 대해 2차 동류항의 예 2xÜ`, -xÜ` xÛ`y, -2xÛ`y xÜ`yÛ`, -3xÜ`yÛ` ;2!; 하다. 예를 들어 3xÛ`y-2xÛ`y =(xÛ`y+xÛ`y+xÛ`y)-(xÛ`y+xÛ`y) =xÛ`y+xÛ`y+xÛ`y-xÛ`y-xÛ`y =xÛ`y 즉, 3xÛ`y-2xÛ`y=(3-2)xÛ`y이므로 동류항끼리는 계수를 더하거나 뺀 후 문자를 곱하여 하나의 항으 로 계산할 수 있다. 18 Ⅰ 수와 식 (주어진 식) =x-{2x-(y-x)-(x-2x+2y)} = {;9$; aÛ`bc- abÛ`c _ -2abc - + ;3!; } ;a¤b; { ;2£a; ;3ªb;} =x-{2x-y+x-(x-2x+2y)} =x-(2x-y+x-x+2x-2y) = ;9$; aÛ`bc_ - ;3!; ;a¤b; abÛ`c_ ;a¤b; +(-2abc)_ - +(-2abc)_ { ;2£a;} ;3ªb; = ;3*; ac-2bc+3bc- ac ;3$; = ;3$; ac+bc (주어진 식) =B-2A+6C-6C+B+2A =2B =2_(-3y) =-6y 문제 풀이 =x-(4x-3y) =x-4x+3y =-3x+3y 주어진 조건에서 A+(xÛ`-2x-3)=4xÛ`+5x+2이므로 A =4xÛ`+5x+2-(xÛ`-2x-3) =3xÛ`+7x+5 B-(xÛ`-2x-3)=xÛ`-x+2이므로 B =xÛ`-x+2+(xÛ`-2x-3) =2xÛ`-3x-1 =xÛ`+10x+6 두 다항식을 더하면 ∴ A-B =3xÛ`+7x+5-(2xÛ`-3x-1) 6A-3B =6(2xÛ`+x)-3(4xÛ`-x-2) =12xÛ`+6x-12xÛ`+3x+6 =9x+6 (-2xÛ`+5xy-3yÛ`)+(3xÛ`-4xy+2yÛ`)=xÛ`+xy-yÛ` xÛ`+xy-yÛ`=pxÛ`-qxy+ryÛ`이므로 p=1, q=-1, r=-1 ∴ pr-qÛ` =1_(-1)-(-1)Û` =-2 B와 C를 간단히 하면 B= 9xÜ`-6xÛ`-3x -3x =-3xÛ`+2x+1 C=xß`yß`Öxß`yß`=1 두 다항식의 합을 정리하고 계수를 비교하여 p, q, r의 값을 구한다. (주어진 식) =A-{B-(2A-B-C)} (좌변)= -4xÛ`yÞ`+A-8xÜ`yÝ` 4xÛ`yÝ` A 4xÛ`yÝ` -2x =-y+ -y+ -2x=x-y에서 A 4xÛ`yÝ` =3x A 4xÛ`yÝ` A=3x_4xÛ`yÝ` ∴ A=12xÜ`yÝ` (주어진 식) =12xÛ`y (주어진 식) =8xÛ`y+6xyÛ`- 12xÜ`y-9xÛ`yÛ` 3x ;3@; + xÛ`y_12- xyÛ`_12 ;4#; =8xÛ`y+6xyÛ`-(4xÛ`y-3xyÛ`)+(8xÛ`y-9xyÛ`) =8xÛ`y+6xyÛ`-4xÛ`y+3xyÛ`+8xÛ`y-9xyÛ` = {;9$; aÛ`bc- abÛ`c Ö } ;9!0%; ab-2abc - + { ;2£a; ;3ªb;} ;9#; =A-(B-2A+B+C) =A-(-2A+2B+C) =A+2A-2B-C =3A-2B-C =3(xÛ`-2x-3)-2(-3xÛ`+2x+1)-1 =3xÛ`-6x-9+6xÛ`-4x-2-1 =9xÛ`-10x-12 A를 간단히 하면 A= 12xÞ`yÝ`-8xÝ`yÞ` 4xÛ`yÝ` B=xÜ`-2xÛ`y+x-2y이므로 =3xÜ`-2xÛ`y이고, A-B =3xÜ`-2xÛ`y-(xÜ`-2xÛ`y+x-2y) =2xÜ`-x+2y A-(B-2C)=2xÜ`+3x+4y에서 (A-B)+2C=2xÜ`+3x+4y 2C =2xÜ`+3x+4y-(A-B) =2xÜ`+3x+4y-(2xÜ`-x+2y) =4x+2y ∴ C=2x+y 3. 다항식의 계산 19 (주어진 식) =3A+{3B-5(B+2A-2C)} =3A+(3B-5B-10A+10C) =-7A-2B+10C =-7(-xÛ`-x-1)-2(xÛ`-2x+3) ab aÛ`+bÛ` = 3k_4k (3k)Û`+(4k)Û` = 12kÛ` 9kÛ`+16kÛ` = 12kÛ` 25kÛ` = ;2!5@; +10(xÛ`+2x-4) a：b：c=2：3：4이므로 =15xÛ`+31x-39 a=2k, b=3k, c=4k`(단, k+0)라 하고 주어진 식에 대 ∴ a=15, b=31, c=-39 a : b=3 : 4이므로 a=3k, b=4k`(단, k+0)라 하고 주어진 식에 대입하면 입하면 ab+bc+ca aÛ`+bÛ`+cÛ` = = 6kÛ`+12kÛ`+8kÛ` 4kÛ`+9kÛ`+16kÛ` 26kÛ` 29kÛ` ;2@9^; = -2xÛ`+5x-1 16xÛ`+2x-14 -4xÛ`+4xy -xß` :ª2»: 17 - ;1!3$; 35~37쪽 -10 1`:`1 STEP 실력 높이기 11 ② 6xÛ`+5x-11 ③ ① 문제 풀이 3x(Bx+5)+A(Bx+5) =3BxÛ`+(15+AB)x+5A =6xÛ`+Cx-10 따라서 각 항의 계수를 비교하면 3B=6, 15+AB=C, 5A=-10이므로 A=-2, B=2, C=11 ∴ A+B+C=-2+2+11=11 C=8xÚ`Û`yß`Ö4xÚ`â`yß`= 8xÚ`Û`yß` 4xÚ`â`yß` ∴ (주어진 식) =A-{2B-(A-2B-2C)} =2xÛ` =A-(2B-A+2B+2C) =A-(4B-A+2C) =A-4B+A-2C =2A-4B-2C =2(2xÛ`-x-1)-4(-4xÛ`-x+3) =16xÛ`+2x-14 -2_2xÛ` 서술형 하면 변형 단계 소괄호, 중괄호, 대괄호 순으로 괄호를 풀어 전개 (주어진 식) =x-{xÛ`-2x-(x-xÛ`+x-1)} =x-{xÛ`-2x-(-xÛ`+2x-1)} A=(8xÜ`yÝ`-16xÜ`yÞ`-4xÛ`yÞ`)_ =2x-4xy-y 1 4xÛ`yÝ` =x-(xÛ`-2x+xÛ`-2x+1) B =2x(1-2x+y)-y(1-2x+y) =x-(2xÛ`-4x+1) =x-2xÛ`+4x-1 =-2xÛ`+5x-1 =2x-4xÛ`+2xy-y+2xy-yÛ` =2x-y-4xÛ`+4xy-yÛ` ∴ B-A =2x-y-4xÛ`+4xy-yÛ`-(2x-4xy-y) 확인 단계 따라서 주어진 식을 간단히 하면 -2xÛ`+5x-1이다. A=2xÛ`+x-2x-1=2xÛ`-x-1 B= 8xÜ`+2xÛ`-6x -2x =-4xÛ`-x+3 20 Ⅰ 수와 식 =-4xÛ`+8xy-yÛ` B-(A+C)=4xy-yÛ`에서 C =B-A-(4xy-yÛ`) =-4xÛ`+8xy-yÛ`-4xy+yÛ` =-4xÛ`+4xy Ú, Û에서 A의 차수가 B의 차수보다 커야 하므로 a=k, b=2k, c=3k (단, k+0)라 하고 주어진 식에 대입 주어진 식을 정리하면 A-8xÝ`=(2xÝ`+B)_2xÜ` A-8xÝ`=4xà`+2xÜ`B A-2xÜ`B=4xà`+8xÝ` 이때 A, B는 모두 단항식이므로 A=4xà`, -2xÜ`B=8xÝ` 또는 A=8xÝ`, -2xÜ`B=4xà` Ú A=4xà`, -2xÜ`B=8xÝ`일 때 -2xÜ`B=8xÝ`에서 B=-4x` Û A=8xÝ`, -2xÜ`B=4xà`일 때 -2xÜ`B=4xà`에서 B=-2xÝ` A=4xà`, B=-4x ∴ = ;bA; 4xà` -4x =-xß` 서술형 하면 (주어진 식) 변형 단계 소괄호, 중괄호, 대괄호 순으로 괄호를 풀어 전개 =2x+y-{2x+y-2z-(3x-x-y)} =2x+y-{2x+y-2z-(2x-y)} =2x+y-(2x+y-2z-2x+y) =2x+y-(2y-2z) =2x+y-2y+2z =2x-y+2z 풀이 단계 이 식에 x=-1, y=2, z=-3을 각각 대입하면 2x-y+2z =2_(-1)-2+2_(-3) =-2-2-6 =-10 확인 단계 따라서 주어진 식의 값은 -10이다. 서술형 표현 단계 어떤 다항식을 S라 하고 식을 세우면 S+(-xÛ`-2x+4)=4xÛ`+x-3이므로 변형 단계 S =4xÛ`+x-3-(-xÛ`-2x+4) =4xÛ`+x-3+xÛ`+2x-4 =5xÛ`+3x-7 풀이 단계 따라서 바르게 계산하면 5xÛ`+3x-7-(-xÛ`-2x+4) =5xÛ`+3x-7+xÛ`+2x-4 =6xÛ`+5x-11 확인 단계 따라서 바르게 계산하였을 때의 답은 6xÛ`+5x-11이다. 147a+441(a-3) =147{a+3(a-3)} =147(4a-9) …… ㉠ 147을 소인수분해하면 147=3_7Û`이므로 ㉠이 어떤 수 b의 제곱이 되고 b가 최소일 경우는 4a-9=3일 때이다. ∴ a=3 이때 147(4a-9)=3Û`_7Û`=(3_7)Û`=21Û` 따라서 a, b의 최솟값은 각각 3, 21이므로 그 합은 24æ이다. 어떤 수가 완전제곱수가 되려면 소인수분해했을 때 지수가 모두 짝 수이어야 한다. a：b：c=1：2：3이므로 하면 (주어진 식)= 8aÛ`bc 3 { - abcÛ` 3 + 4bÛ`cÛ` _ 3 } 3 abÛ`c = - + ;bC; :¥b: :¢a: = - ;2*kK; ;2#kK; + :Á;k@;ð: = :ª2»: a`:`b=3`:`4, b`:`c=3`:`5이므로 a`:`b`:`c=9`:`12`:`20 a=9k, b=12k, c=20k`(단, k+0)라 하고 주어진 식에 대입하면 a-b+c a+b-c = 9k-12k+20k 9k+12k-20k = :Á;k&;ð: =17 두수의비를알때,세수의비구하기 a`:`b=p`:`q, b`:`c=r`:`s인 경우 q와 r의 최소공배수를 이용하여 a`:`b`:`c를 구하면 된다. 만약 q와 r가 서로소인 경우 두 수의 최소공배수는 qr이므로 a`:`b`:`c=pr`:`qr`:`qs이다. + = ;b!; ;9!; ;a!; 에서 a+b ab = ;9!; ∴ ab=9(a+b) ∴ a+3ab+b a-3ab+b = a+b+3ab a+b-3ab = (a+b)+27(a+b) (a+b)-27(a+b) =- ;1!3$; x`:`y`:`z=a`:`b`:`c이므로 x=ak, y=bk, z=ck (단, k+0)라 하고 주어진 식에 대입하면 xÜ` aÛ` yÜ` bÛ` + + = zÜ` cÛ` (ak)Ü` aÛ` + (bk)Ü` bÛ` + (ck)Ü` cÛ` (x+y+z)Ü` (a+b+c)Û` = =(a+b+c)kÜ` (ak+bk+ck)Ü` (a+b+c)Û` {k(a+b+c)}Ü` (a+b+c)Û` (a+b+c)Ü`kÜ` (a+b+c)Û` = = =(a+b+c)kÜ` 3. 다항식의 계산 21 ∴ { xÜ` aÛ` + + yÜ` bÛ` zÜ` cÛ` } `:` (x+y+z)Ü` (a+b+c)Û` =(a+b+c)kÜ``:`(a+b+c)kÜ`=1`:`1 + ;[Á]; ;]Áz; + ;zÁ[; = x+y+z xyz = a+b+c 2 세 수를 x, y, z라 하면 조건에서 x+y=a, y+z=b, z+x=c 위의 세 식을 변끼리 더하면 2(x+y+z)=a+b+c ∴ x+y+z= a+b+c 2 한편, 조건에서 xyz=1이므로 두 개씩 곱한 수들의 역수의 30t=36 두 점 P, Q의 속력이 각각 매초 3`cm, 2`cm이므로 t초 후에 BPÓ=3t`cm, CQÓ=2t`cm이다. ∴ PCÓ=BCÓ-BPÓ=(6-3t)`cm AQÓ=ACÓ-CQÓ=(6-2t)`cm BPÓ`:`BCÓ=AQÓ`:`ACÓ 에서 3t`:`6=(6-2t)`:`6 36-12t=18t ∴ t=1.2(초) STEP 최고 실력 완성하기 38쪽 :Á3¼: :Á3»: ③ 남자 9`:`16, 여자 1`:`2 - ;3@; 문제 풀이 합은 (주어진 식)= 30b-3(2a-3b)+5(2a-5b) 15 = 4a+14b 15 = 2(2a+7b) 15 = 2_(-5) 15 =- ;3@; - ;b!; ;a!; =6에서 b-a ab =6 b-a=6ab ∴ a-b=-6ab ∴ 3a-3b-2ab a-b = 3(a-b)-2ab a-b = -18ab-2ab -6ab = -20ab -6ab = ;;Á3¼;; = , ;2!; ;bC; = ;2#; ;aB; 이므로 _ = ;bC; ;2!; ;aB; _ ;2#; = ;4#; ;aC; ∴ = ;cA; ;3$; ∴ (주어진 식)= aÛ`b+abc abc + bÛ`c+abc abc + cÛ`a+abc abc = +1+ +1+ +1 ;cA; ;aB; ;bC; = + + ;aB; {;cA; ;bC;} +3 22 Ⅰ 수와 식 = + + ;2!; {;3$; ;2#;} +3 = :Á3»: 세수의비를이용하여식의값구하기 a`:`b=2`:`1, b`:`c=2`:`3에서 a`:`b`:`c=4`:`2`:`3이므로 a=4k, b=2k, c=3k (단, k+0)를 이용하여 식의 값을 구할 수도 있다. x, y의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라 하면 x=aG, y=bG, L=abG`(단, a와 b는 서로소인 자연수) 로 놓을 수 있다. 최소공배수가 60이므로 abG=60 …… ㉠ 또, 2x-3y=24에 x=aG, y=bG를 대입하면 2aG-3bG=24 …… ㉡ 각 변끼리 을 계산하면 ㉡ ㉠ 2aG-3bG abG = ;6@0$; 에서 2a-3b ab = ;5@; 5(2a-3b)=2ab, 10a-15b=2ab 10a-2ab=15b, 2a(5-b)=15b a, b는 자연수이므로 b>0, 5-b>0 ∴ 1ÉbÉ4 b a 1 :Á8°: 2 5 3 :¢4°: 4 30 위의 표에서 서로소인 자연수는 a=5, b=2 따라서 ㉠에서 G=6 전체 도시에서 남녀의 비가 5`:`6이므로 (9a+4b)`:`(10a+5b)=5`:`6 50a+25b=54a+24b ∴ b=4a 즉, 동부, 서부 지역에 거주하는 남녀의 인원 수는 아래의 표와 같으므로 남녀 각각에 대하여 동부, 서부 지역에 거주 x=aG=30, y=bG=12이므로 x-y=18 하는 인원의 비를 구하면 동부 지역 서부 지역 도시 전체 남자 수(명) 여자 수(명) 9a 4b 10a 5b 9a+4b 10a+5b 남자 수(명) 여자 수(명) 동부 지역 서부 지역 9a 10a 4b=16a 5b=20a 남자 ⇨ 9a`:`16a=9`:`16 여자 ⇨ 10a`:`20a=1`:`2 3. 다항식의 계산 23 단원 종합 문제 Ⅰ ② ③ 87 104 6 0 문제 풀이 ④, ⑤ - ;2!; 0 0.H1H8 ;2#; 2ab-bÛ` =-3aÜ`bÝ` ∴ (-aÛ`b)_3abÜ`=-3aÜ`bÝ`` ② (좌변) =(2xÜ`y)Û`Ö(-2xÛ`) 1 -2xÛ` =4xß`yÛ`_ =-2xÝ`yÛ` ∴ (2xÜ`y)Û`Ö(-2xÛ`)+xÝ`yÛ` ③ (좌변)= 6aÛ`bÝ` abÛ` Ö ;;£a;B; =6abÛ`_ ;3b; =2aÛ`b ∴ 6aÛ`bÝ` abÛ` Ö ;;£a;B; =2aÛ`b ④ (좌변)= xÛ`yÖ(2x)Û` ;3*; ;3*; = xÛ`yÖ4xÛ` = xÛ`y_ ;3*; 1 4xÛ` = y ;3@; ∴ xÛ`yÖ(2x)Û`= ;3*; y ;3@; ⑤ (좌변)=5aÜ`_ a ;2!; = 5_ { ;2!;}_ (aÜ`_a) = aÝ` ;2%; ∴ 5aÜ`_ a= aÝ` ;2%; ;2!; 39~42쪽 5개 2 ④ 54ù 21 -2 10 4 -3 32 ④, ⑤ 1800 7 0.H71428H5 7 3.H8 a=7, b=5 -6xy+1 또는 4xÛ`+3y a=3, b=4, c=6 ① (좌변) =(-aÛ`b)_3abÜ` =-3(aÛ`_a)(b_bÜ`) 무한소수는 유리수가 아니다. ③ 유한소수는 모두 유리수이다. x는 유리수이다. 정수 0 양의 정수 음의 정수 유리수 정수가 아닌 유리수 순환소수 유한소수 ㄱ. 2.0H1은 순환소수이므로 유리수이다. ㄴ. - 은 분수이므로 유리수이다. ;7#; ㄷ. -0.06은 유한소수이므로 유리수이다. ㄹ, ㅁ, ㅂ. 순환하지 않는 무한소수이므로 유리수가 아니다. ㅅ. 0은 정수이므로 유리수이다. ㅇ. 3.14는 유한소수이므로 유리수이다. 따라서 보기 중 유리수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㅅ, ㅇ의 5개이다. 주어진 분수가 유한소수이므로 분모의 7이 약분되어 야 한다. 이때 a는 가장 작은 두 자리의 자연수이므로 a=14 분모를 10의 거듭제곱으로 나타내면 = 3_a 2_5Û`_7 따라서 b=100, c=0.12이므로 3_14 2_5Û`_7 3 5Û` = = bc-a=100_0.12-14=-2 2Û`_3 2Û`_5Û` = 12 100 =0.12 기약분수의 분모를 소인수분해했을 때, 분모에 2나 5 이외의 소인수가 있으면 순환소수가 된다. 즉, 3 2Û`_5_x 이 순환소수가 되도록 하는 20보다 작은 짝 수 x는 2_7=14, 2_9=18이다. ① ;3!;=0.H3과 같이 유리수이지만 무한소수인 경우도 있다. 24 Ⅰ 수와 식 ② 무한소수 중 순환소수는 유리수이지만 순환하지 않는 따라서 x를 모두 더한 값은 14+18=32 2_3=6, 2_6=12인 경우, 분자의 3과 서로 약분이 되므로 적당하 또, 77=6_12+5이므로 소수점 아래 77번째 자리의 숫자 지 않다. 안에 들어갈 수를 차례로 a, b, c라 하면 주어진 식은 ∴ |2x-y| =|2_2-6| (-2x)`Ö4yÜ`_6yÖ(-y)º`=- 6x` yÞ` (-2x)`_ _6y_ 1 4yÜ` 1 (-y)º` =- 6x` yÞ` _ x`y yÜ`yº` =- 6x` yÞ` Û =-6에서 b=3이므로 (-2)`_ _6_ ;4!; _ 3(-2)` x` y2+b =- 2(-1)º` Ú y2+b=yÞ`이므로 1 (-1)º` 6x` yÞ` 2+b=5 ∴ b=3 3(-2)` 2(-1)º` 3(-2)` 2(-1)Ü` 3(-2)` -2 =-6 =-6 즉, 3(-2)`=12 (-2)`=4 Ü x`=x`이므로 a=c ∴ a=2 ∴ c=2 따라서 `안에 알맞은 수들의 합은 a+b+c=2+3+2=7이다. 주어진 식에 a, b의 값을 대입하면 1 10Å` 5_ _ {;5!;} {;2!;} = 1 5Ý` _ 5` = 1 2Ý` 1 10Å` 4` 5Ý`_2Ý`=10Å` (5_2)Ý`=10Å` ∴ x=4 x：y：z=2：1：3이므로 x=2k, y=k, z=3k (단, k+0)라 하고 주어진 식에 대입하면 (주어진 식)= 2k-3k+3k 4k+k-9k = 2k -4k =- ;2!; 는 순환마디의 다섯 번째 숫자인 6과 같다. ∴ y=6 =|4-6|=|-2|=2 (주어진 식)= ;9!; ;9@; + ;9#; + +…+ ;9(; ;1»0; ;1Á0; ;1ª0; ;1£0; = + + :Á9¼: :Á9¼: :Á9¼: +…+ :Á9¼: = :Á9¼: _9=10 ① 1.3H0H2=1.30202… 1.30H2=1.30222… ∴ 1.3H0H2<1.30H2`(거짓) ② 4.H9= 49-4 9 = :¢9°: =5`(거짓) ③ 0.H7H2=0.727272… 0.H7=0.777777… ∴ 0.H7H2<0.H7`(거짓) ④ 0.9H4=0.9444…`>0.94`(참) ⑤ 0.H54H3=0.543543543… 0.54H3=0.543333333… ∴ 0.H54H3>0.54H3`(참) 따라서 대소 관계가 옳은 것은 ④, ⑤이다. = _ ;3%; ;7#; ;7%; = 0.428571…_ _5 ;3!;} { =0.142857…_5 =0.714285… =0.H71428H5 21 5x = 3_7 5x 이 순환소수가 되므로 기약분수로 나타내 었을 때, 분모에 2와 5 이외의 소인수가 존재해야 한다. 따라서 20보다 작은 자연수 중 x의 값이 될 수 있는 수는 9, 11, 13, 17, 18, 19이므로 그 합은 9+11+13+17+18+19=87 =0.H23076H9이므로 순환마디의 숫자는 6개이다. ;1£3; 좌변을 소인수분해하면 56=2Ü`_7이므로 55=6_9+1이므로 소수점 아래 55번째 자리의 숫자는 순 2Ü`_7=2µ``(2Ç` -1) 환마디의 첫 번째 숫자인 2와 같다. ∴ x=2 따라서 2Ü`=2µ``, 2Ç` -1=7에서 m=3, n=3이므로` m-n=0 단원 종합 문제 25 약 분수로 고치면 이므로 x는 11의 배수이다. 즉, x는 :Á]Á: 9와 11의 공배수인 99의 배수이다. 그런데 x가 50<x<100인 정수이므로 x=99이다. 따라서 = ;4Ó5; ;4(5(; = :Á5Á: = :Á]Á: 이므로 y=5 ∴ x+y=99+5=104 두 자연수 a, b가 서로소일 때, a와 b의 최소공배수는 ab이므로 공 배수는 ab의 배수이다. 문제의 뜻에 따라 0.HaHb+0.HbHa=0.H4이므로 순환소수를 분수로 바꾸어 정리하면 10a+b 99 + 10b+a 99 = ;9$; 즉, 11a+11b 99 = ;9$; 에서 a+b 9 = ;9$; 이므로 a+b=4 그런데 a, b는 a>b인 자연수이므로 a=3, b=1 따라서 두 무한소수는 0.H3H1과 0.H1H3이므로 두 무한소수의 차 0.H3H1-0.H1H3= - ;9#9!; ;9!9#; = ;9!9*; =0.H1H8 주어진 조건 32x=a에서 지수는 2x이고, 35x 주어진 식 33x+3x 에서 지수는 x, 3x, 5x이다. 지수를 2x의 배수의 형태로 만들기 위해 주어진 식 35x 33x+3x 의 분모, 분자에 3Å` 을 곱하면 (주어진 식)= 35x_3Å` 33x_3x+3x_3x = (32x)2+32x …… `㉠ 주어진 조건 32x=a를 ㉠에 대입하면 (32x)3 (32x)2+32x = aÜ` aÛ`+a = 36x 34x+32x (32x)3 = a_aÛ` a(a+1) = aÛ` a+1 ∴ 35x 33x+3x = aÛ` a+1 -6xy+12xÛ`y=AB-2xA A, B는 단항식이므로 AB=-6xy, -2xA=12xÛ`y 또는 AB=12xÛ`y, -2xA=-6xy -2xA=12xÛ`y에서 A=-6xy AB=-6xy에서 -6xyB=-6xy ∴ B=1 ∴ A+B=-6xy+1 주어진 식의 양변에 A를 곱하면 는 Ú AB=-6xy, -2xA=12xÛ`y인 경우 0.H8_x+1.H3_x+60ù=180ù 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 x+ ;9*; :Á9ª: x+60ù=180ù, x=120ù :ª9¼: ∴ x=120ù_ =54ù ;2»0; Û AB=12xÛ`y, -2xA=-6xy인 경우 어떤 수를 x라 하면 -2xA=-6xy에서 A=3y AB=12xÛ`y에서 3yB=12xÛ`y ∴ B=4xÛ` ∴ A+B=4xÛ`+3y Ú, Û에서 A, B의 합은 -6xy+1 또는 4xÛ`+3y 0.H6_x=2.H6 _x= ;9^; :ª9¢: ∴ x= _ =4 ;6(; :ª9¢: 따라서 어떤 수는 4이다. ax(2x+b)-5(2x+b) =2axÛ`+abx-10x-5b =2axÛ`+(ab-10)x-5b =cxÛ`+2x-20 2a=c, ab-10=2, -5b=-20 ∴ a=3, b=4, c=6 = ;4Ó5; x 5_3Û` 26 Ⅰ 수와 식 가 유한소수이므로 x는 9의 배수이고, 기 어떤 자연수를 x라 하면 1.2H4x-1.24x=8 1.2H4= 124-12 90 = :Á9Á0ª: , 1.24= 이므로 ;1!0@0$; :Á9Á0ª: x- ;1!0@0$; x=8에서 양변에 각각 900을 곱하면 1120x-1116x=7200 4x=7200 ∴ x=1800 11a+11b 99 = ;9&; (a+b)= ;9&; ;9!9!; a+b 9 = ;9&; ∴ a+b=7 x= , ;9%; :Á9¼: :Á9°: :ª9¼: , , …이고 y= , ;9&; , :Á9¢: :ª9Á: :ª9¥: , …이므로 , , z= , , :£9°: :¦9¼: :Á;9);°: , …이다. 따라서 z= _c= _c=3.H8_c이므로 :£9°: 38-3 9 안에 알맞은 순환소수는 3.H8이다. 2- =1+ , 1- ;9*9!; = , ;1»1; ;1ª1; = 1 1+ ;a#; 1 1+ ;a#; 1 1+ ;a#; =1+ , ;a#; ;2(; = ;a#; :Á2Á: , a= =0.H6 ;9^; ∴ x=6 x=0.H3= = ;9#; ;3!; 이므로 =3 ;[!; 1- =1-3=-2 ;[!; ∴ 1- =1- 1 -2 =1+ = ;2!; ;2#; 1 1-;[!; 따라서 주어진 식의 값은 이다. ;2#; 0.21H6= 216-21 900 = = ;9!0(0%; ;6!0#; = 13 2Û`_3_5 , = ;7!0!; 11 2_5_7 이므로 두 수에 자연수 A를 각각 곱하여 모 두 유한소수가 되려면 A는 3과 7의 공배수이어야 한다. 이때 A 중에서 가장 작은 수는 3과 7의 최소공배수이므로` (시간)= 이므로 총 걸리는 시간은 21이다. (거리) (속력) xÛ` 8 + + ;4{; 2.5 5 + :ª6Ó: = + ;4{; ;2!; + ;3{; + xÛ` 8 = xÛ`+ ;8!; ;1¦2; x+ ;2!; 따라서 A= , B= , C= 이므로 ;8!; ;1¦2; ;2!; -12B= Ö -12_ ;2!; ;8!; ;1¦2; ;aC; =4-7=-3 0.HaHb= , 0.HbHa= 이므로 10a+b 99 10b+a 99 0.HaHb+0.HbHa=0.H7에서 10a+b 99 + 10b+a 99 = ;9&; 0.Ha= , 0.Hb= , 0.H2= 이므로 ;9A; ;9B; ;9@; 주어진 두 식은 a+b=12, - = ;9B; ;9A; ;9@; 가 된다. 즉, [ a+b=12 …… ㉠ a-b=2 …… ㉡ ㉠+㉡에서 2a=14, a=7 a=7을 ㉠에 대입하면 7+b=12, b=5 ∴ a=7, b=5 a=0.5H9=0.6이므로 a=b c+d ∴ aCb=0.6C0.6=1 c=0.H1H3= 이므로 ;9!9#; ∴ cCd= C ;9!9#; ;9!0#; =0 ∴ (aCb)C(cCd)=1C0=0 d= ;9!0#; =0.1H4로 변형하여 c와 비교해도 된다. ABCD=2a_2b=4ab △ABP= _2b_2b=2bÛ` ;2!; PCÓ=2a-2b, QCÓ=2b-b=b이므로 △PCQ= ;2!; _(2a-2b)_b=(a-b)b=ab-bÛ` △AQD= _2a_b=ab ;2!; ∴ △APQ = ABCD-△ABP-△PCQ-△AQD =4ab-2bÛ`-(ab-bÛ`)-ab =4ab-2bÛ`-ab+bÛ`-ab=2ab-bÛ` 따라서 △APQ의 넓이는 2ab-bÛ`이다. 단원 종합 문제 27 ⅠⅠ 부등식 1 일차부등식 STEP 주제별 실력다지기 45~48쪽 ㄷ, ㅂ, ㅅ, ㅇ ㄷ, ㅁ, ㅅ, ㅇ ① 0 ⑴ 4<2x+y<11 ⑵ -9Éx-2y<-1 ⑶ 2<xy<15 ⑷ 10.7<3a-b<11.1 5<A<8 8 yÉ-4 또는` y¾6 -3 - ;2#; 6 2, 3 x> ;2!; -2<x<4 x<2 4<aÉ5 풀이 참조 2x É <3 y ;5@; ④ 14 ④ x<- ;a!; 05 최상위 NOTE 부등식 m<ax+b<n의 풀이 부등호가 1개인 부등식에 대하여 부등식의 성질이 성립함을 학습하 따라서 부등식의 성질이 부등호가 2개일 때에도 성립함을 이용하 였다. 하지만 부등식의 성질은 부등호가 2개일 때에도 성립한다. 면 부등식 m<ax+b<n의 해를 구할 수 있다. a<b<c이면 a<b, b0인 경우 m-b a <x< n-b a Û a<0인 경우 n-b a <x< m-b a 뀐다. Ú m>0인 경우 am<bm, bmbm, bm>cm → am>bm>cm a m → a m , b m b m c m b m c m > > > > á { » á { » 28 ⅠⅠ 부등식 문제 풀이 a>b를 만족하는 임의의 수로 반례를 들어 본다. ㄱ. a=2, b=-1일 때 2>-1이지만` >- (거짓) ㄴ. a=1, b=-2일 때 ;2!; ;1!; 1>-2이지만` 1Û`<(-2)Û` (거짓) ㄹ. c<0일 때, ac0일 때, > (거짓) ;cA; ;cB; ④ -3(a-5)>-3(b-5)의 양변을 -3으로 나누면 a-5-1에서 x<-1< ;[!; ;[!; 이므로 x< 이다. (참) ;[!; 따라서 항상 성립하는 것은 ㄷ, ㅂ, ㅅ, ㅇ이다. ① a-b>0이므로 a>b (참) 역수의대소관계파악하기 ⑴ 0<a<b이면 ab>0에서 < ;ab; ;aõb; 이므로 > ;b!; ;a!; ⑵ a<b<0이면 ab>0에서 < ;ab; ;aõb; 이므로 > ;b!; ;a!; ⑶ a<0<b이면 <0, >0이므로 ;a!; ;b!; < ;b!; ;a!; 즉, 두 수의 부호가 같으면 역수를 취했을 때, 부등호의 방향이 바뀌고, 두 수의 부호가 다르면 역수를 취해도 부등호의 방향이 바뀌지 않는다. ②, ③ a>0이고 a+b<0이므로 b<0이다. 또, 양수 a와 음수 b의 합이 음수이므로 |a|<|b|이다. (참) ④ (반례) a=4, b=-5일 때, a-b>0, a+b<0, a>0이지만 aÛ`<bÛ`이다. (거짓) ⑤ a와 b의 부호가 서로 다르므로 그 역수끼리를 비교하여 도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다. (참) ㄱ. a=-1, b=-2, c=-2, d=-3일 때 -1>-2이고 -2>-3이지만 (-1)_(-2)<(-2)_(-3) (거짓) ㄴ. a=8, b=6, c=4, d=1일 때 8>6이고 4>1이지만` < (거짓) ;4*; ;1^; ㄷ. a>b, c>d이므로 a+c>b+d (참) ㄹ. a=5, b=2, c=1, d=-5일 때 5>2이고 1>-5이지만 5-1<2-(-5) (거짓) ㅁ. 0>c>d이므로 >1 ;;c;D; ;aB; a>b>0이므로 <1 ∴ ;;c;D;>;aB; (참) ㅂ. ab<0이므로` b<00이므로` 0<d0, bc<0이므로 ad>bc (거짓) ㅅ. b<a=0, d<0이므로 ac=0, bd>0 ∴ acbc이다. (거짓) ② ab>0이므로 `a>b의 양변을 `ab로 나누면 > ;b!; ;a!; (참) ③ a>b, c<0이면 ac<bc이다. (참) -2Éx<7에서 각 변에 -2를 곱하면` 4¾-2x>-14 각 변에 5를 더하면` 9¾-2x+5>-9 즉, -9<AÉ9이므로 a=-9, b=9 ∴ a+b=-9+9=0 1Éx<3이고` 2<yÉ5일 때, ⑴ `2É 2x < 6 + `2< y É 5 >³ 4<2x+y<11 ⑵ `1É x < 3 1 É x < 3 - `4< 2y É 10 >³ -9Éx-2y<- 1 또는 + `-10É -2y <-4 >³ - 9 Éx-2y<-1 ⑶ `1É x < 3 _ `2< y É 5 >³ 2< xy < 15 ⑷ `2É 2x <6 Ö `2< y É5 또는 _ >³ É ;5@; ;;ª]Ó;; <3 `2 É 2x < 6 É ;]!; < ;2!; `;5!; >³ É ;;ª]Ó;; ;5@; < 3 두 수 6.5와 8.6은 소수 둘째 자리에서 반올림한 값이 므로 19.35É 3a <19.65 - 8.55É b < 8.65 >³ 10.7 <3a-b<11.1 1<a<3에서 역수를 취하면` < <1 ;3!; ;a!; 1. 일차부등식 29 따라서 항상 성립하는 것은 ㄷ, ㅁ, ㅅ, ㅇ이다. 6.45Éa<6.55, 8.55Éb<8.65 양변에 100을 곱하여 계수를 정수로 만들면 ∴ yÉ-4 또는` y¾6 따라서 부등식을 만족하는 자연수 x의 최솟값은 8이다. ∴ x>1 부등식의 양변에 10을 곱하여 계수를 정수로 만들면 ∴ 1< <3 ;a#; 이때 4<b<5이므로` <3 1< ;a#; 4< b <5 +b<8 ;a#; + >³ 5< ∴ 5<A<8 16x-5>5x+72 11x>77 ∴ x>7 3x+5<12+2x ∴ x<7 x의 개수는 6이다. 따라서 부등식을 만족하는 자연수 x는 1, 2, y, 6이므로 0.2x-1.5É0.5x+0.6 yy ㉠ x-2 2 - x-3 3 É1 yy ㉡ ㉠_10을 하여 부등식의 계수를 정수로 만들면 2x-15É5x+6, 3x¾-21 ∴ x¾-7 즉, ㉠을 만족하는 정수 x는 -7, -6, -5, y이다. ㉡_6을 하여 부등식의 계수를 정수로 만들면 3(x-2)-2(x-3)É6 3x-6-2x+6É6 ∴ xÉ6 즉, ㉡을 만족하는 정수 x는 6, 5, 4, y이다. 따라서 ㉠, ㉡을 모두 만족하는 정수 x는 -7, -6, -5, y, 4, 5, 6이므로 x의 개수는 14이다. 두 부등식을 만족하는 정수 x를 각각 나열한 후 공통인 정수를 찾는 다. |x-1|=-(x-1)이므로 주어진 식은 -x+1<3 -x<2 ∴ x>-2 x<1과 x>-2의 공통 부분은 -2<x<1 yy ㉡ ㉠ 또는 ㉡이 주어진 부등식을 만족하는 x의 값의 범위이 므로 구하는 범위는 -2<x<4 |y-1|¾5에서 y-1É-5 또는` y-1¾5 x=-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 또, -x+5<2x+2에서 -3x<-3 따라서 이 부등식의 해는 2, 3이다. a<0일 때, -a>0이므로 -ax<1의 양변을 -a로 나누면 x<- ;a!; a<3이면 a-3<0이므로 (a-3)x>2a-6의 양변을 (a-3)으로 나누면 x< 2(a-3) a-3 ∴ x<2 ax-3b<3a-bx에서 ax+bx<3a+3b ∴ (a+b)x<3(a+b) Ú a+b>0이면 x< 3(a+b) a+b ∴ x<3 Û a+b=0이면 0_x<0이므로 해가 없다. Ü a+b<0이면 x> 3(a+b) a+b ∴ x>3 3x-a<0을 풀면 3x 이므로 -18 a-3 -18 a-3 =4에서 ax<3x-18에서 (a-3)x<-18 yy ㉠ 그런데 ㉠의 해가 x>4, 즉 부등호의 방향이 바뀌었으므로 x> ;2!; 4xÉ6+a ∴ xÉ 6+a 4 É :õcë: :cë: 4 문제 풀이 É :cë: :õcë: -18=4a-12, 4a=-6 ∴ a=- ;2#; ax+4>0, 즉 ax>-4의 해가 x<2로 부등호의 방 향이 바뀌었으므로 a<0이다. 따라서 ax>-4의 해는 x<- 이므로 ;a$; - ;a$; =2 ∴ a=-2 따라서 부등식 -ax>1은 2x>1이므로 (cid:17) (cid:18) (cid:19) (cid:23)(cid:12)(cid:66) (cid:28)(cid:28)(cid:27)(cid:21)(cid:27)(cid:28)(cid:28) 2É 6+a 4 ∴ a¾2 따라서 a의 최솟값은 2이다. 5x-6+2xÉ3x+a에서 이 9<a+5É10이어야 한다. 이를 만족하는 자연수인 해가 2개 이상이므로 (cid:26) (cid:18)(cid:17) (cid:18)(cid:18) (cid:18)(cid:19) (cid:66)(cid:12)(cid:22) ∴ 4<aÉ5 A 주사위에 적힌 수의 범위가 aÉxÉ6이고 B 주사 위에 적힌 수의 범위가 5ÉyÉ6이므로 두 주사위를 던져 나온 두 수를 더했을 때의 값의 범위는 a+5Éx+yÉ12이다. 이를 만족하는 정수가 10, 11, 12가 되려면 다음 그림과 같 STEP 실력 높이기 49~51쪽 10<(a+1)(2b-3)<66 -1ÉxÛ`-yÉ12 5a-5b ③ 풀이 참조 a<-15 2<xÉ4 -3, -1, 1, 3 a=-1, b=3 1Éa< ;2%; x>- ;1»3; x>-3 5 a>b의 양변에 dÉ0인 d를 곱하면 adÉbd 이 식의 양변을 c>0인 c로 나누면 0É xÛ` É9 - -3É y É1 >³ -1ÉxÛ`-yÉ12 a>b이고 d<0이면 ad<bd이고 a>b이고 d=0이면 ad=bd이므로 a>b이고 dÉ0이면 adÉbd이다. a-bÉx<a+b에서 3a-3bÉ3x<3a+3b yy ㉠ -a-bÉyÉ-a+b에서 -2a-2bÉ2yÉ-2a+2b yy ㉡ 3a-3bÉ 3x < 3a+3b - -2a-2bÉ 2y É-2a+2b >³ 5a-5bÉ3x-2y< 5a+5b 따라서 3x-2y의 최솟값은 5a-5b이다. 1<a<5이면 2<a+1<6 yy ㉠ ㉠, ㉡에서 4<b<7이면 8<2b<14 ∴ 5<2b-3<11 yy ㉡ ㉠, ㉡의 각 변을 곱하면 10<(a+1)(2b-3)<66 -2ÉxÉ3에서 xÛ`은 최솟값이 0이고 최댓값이 9이므 ax+1>bx+3에서 로 0ÉxÛ`É9이다. ax-bx>2, (a-b)x>2 1. 일차부등식 31 ④ a=0, b>0이면 Ü의 경우에 속하므로 x<- 이 정수이므로 =-1, 0, 1, 2 x+1 2 ⑤ a=0, b<0이면 Ú의 경우에 속하므로 x>- ∴ x=-3, -1, 1, 3 ;b@; ;b@; 풀이 단계 부등식의 해가 없으므로 ∴ -b-1ÉaxÉb-1 yy ㉠ Û a=b이면 0_x>2이므로 해가 없다. Ú a>b이면 x> Ü a<b이면 x< 2 a-b 2 a-b 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 서술형 변형 단계 ax+1<3x+b ax-3xbx+4에서 ax-bx>9, (a-b)x>9 Ú a>b이면 x> 9 a-b 9 a-b Û a=b이면 0_x>9이므로 해가 없다. Ü a<b이면 x< ∴ x= 30-2a 4 = 15-a 2 이 해가 15보다 커야 하므로 15-a 2 >15, 15-a>30 -a>15 ∴ a<-15 서술형 변형 단계 x+y=5에서 y=5-x를 풀이 단계 1<2x-yÉ7에 대입하면 1<2x-(5-x)É7 1<2x-5+xÉ7 1<3x-5É7 6<3xÉ12 확인 단계 ∴ 2<xÉ4 |2x-1|<8을 풀면 -8<2x-1<8이므로 -7<2x<9 32 ⅠⅠ 부등식 x- (x-2a)=6을 풀면 ;5!; 5x-(x-2a)=30, 5x-x+2a=30, 4x=30-2a 의 값의 범위를 구하면 - <x+1< 이므로 ;2%; ;;Á2Á;; ∴ - <x< ;2&; ;2(; - < ;4%; x+1 2 < ;;Á4Á;; x+1 2 x+1 2 x+1 2 이 정수이면 x+1 =n (n은 정수)에서 2 x+1=2n이므로 x+1은 짝수이고 x=2n-1이므로 x는 홀수이다. |ax+1|Éb를 만족하는 x가 존재하므로` b¾0이고 -bÉax+1Éb Ú a>0일 때 ㉠의 해는` ÉxÉ 이고 이 범위가 -b-1 a b-1 a -2ÉxÉ4와 같으므로 -b-1 a =-2, b-1 a =4 ∴ a=-1, b=-3 그런데 이 값은 a>0, b¾0에 모순이다. Û a<0일 때 ㉠의 해는` -b-1 a ¾x¾ b-1 a 이고 이 범위가 즉, ÉxÉ b-1 a -b-1 a -2ÉxÉ4와 같으므로 b-1 a =-2, -b-1 a =4 ∴ a=-1, b=3 이 값은 a<0, b¾0에 적합하므로 옳다. Ú, Û에서 a=-1, b=3 -aÉx+3의 양변에 각각 2를 곱하면 5x-1-2aÉ2x+6, 3xÉ2a+7 서술형 변형 단계 5x-1 2 풀이 단계 ∴ xÉ 2a+7 3 다음 그림의 수직선에서 주어진 부등식이 자연수 의 해를 3개 가지려면 은 3 이상 4 미만이 2a+7 3 어야 한다. (cid:17) (cid:18) (cid:19) (cid:20) (cid:21) (cid:19)(cid:66)(cid:12)(cid:24) (cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:27)(cid:20)(cid:27)(cid:28)(cid:28)(cid:28) 즉, 3É <4, 9É2a+7<12, 2É2a<5 2a+7 3 확인 단계 ∴ 1Éa< ;2%; 서술형 변형 단계 (a+2b)x-2a-b>0에서 (a+2b)x>2a+b 풀이 단계 이 부등식의 해가 x>1이므로 a+2b>0이고 x> 2a+b a+2b 에서 2a+b a+2b =1 …… ㉠ ㉠을 풀면 2a+b=a+2b ∴ a=b …… ㉡ a+2b>0이고 ㉡에서 a, b는 같은 부호이므로 a>0, b>0이다. b=a를 (a-2b)x+2a-5b<0에 대입하면 -ax-3a<0, -ax<3a a>0이므로 x의 계수 -a는 음수이다. 확인 단계 ∴ x>-3 (a+b)x+2a-3b>0에서 (a+b)x>-2a+3b 이 부등식의 해가 x< 이므로 a+b<0이다. ;3!; ∴` x< -2a+3b a+b -2a+3b a+b = ;3!; 에서 3(-2a+3b)=a+b 8b=7a ∴ b= a ;8&; 그런데 a+b<0이므로 a+ a<0 ;8&; a<0 ∴ a<0 ;;Á8°;; x>- ;1»3; b= a를 부등식 (a-3b)x+b-2a>0에 대입하면 ;8&; a-3_ a x+ ;8&; } ;8&; { a-2a>0 4_2Å` +18<50에서 2Å`<2Ü` ∴ x<3 주어진 부등식을 만족하는 홀수 xæ는 1이다. ` 따라서 2ax+b=5a+2bx-5에 æx=1을 대입하면 - :Á8£: ;8(; ax- a>0, 13ax+9a<0, 13ax<-9a a<0이므로 양변을 13a로 나누면 2a+b=5a+2b-5 ∴ 3a+b=5 STEP 최고 실력 완성하기 52~53쪽 14Éx<22 -1 21경기 11 a=9, b=-2 13 (5, 5, 15), (6, 5, 30), (7, 5, 105) 문제 풀이 2< -1 <5에서 -1 은 정수이므로 3, 4이다. ;4{; [ [ =3, 4를 만족하는 ] ] -1의 값의 범위는 -1 ;4{; ;4{; ;4{; [ 2.5É ] -1<4.5이므로 ;4{; 3.5É <5.5 ∴ 14Éx<22 ;4{; ㉠의 해가 ㉡의 해에 포함되려면 다음 그림에서 ㉡ ㉠ (cid:18) (cid:18)(cid:14)(cid:66) (cid:28)(cid:28)(cid:27)(cid:19)(cid:27)(cid:28)(cid:28) 1-a 2 É1, 1-aÉ2 ∴ a¾-1 따라서 가장 작은 정수 a는 -1이다. a를 소수 첫째 자리에서 반올림한 정수가 n일 때, a의 값의 범위는 n- Éa<n+ 이다. ;2!; ;2!; a를 소수 첫째 자리에서 반올림한 정수가 3일 때, a의 값의 범위는 3- Éa<3+ 이다. 즉, 2.5Éa<3.5이다. ;2!; ;2!; ㉠ 3x+1>x+3을 풀면 x>1 ㉡ a+2x>1을 풀면 x> 1-a 2 롯데와 NC가 시합하는 경기의 수를 x경기라 하면 x경기 후의 롯데의 전체 경기의 수는 (98+x)경기, 이긴 경기의 수는 (49+0.3x)경기 NC의 전체 경기의 수는 (98+x)경기, 이긴 경기의 수는 NC가 롯데보다 높은 순위에 있기 위해서는 승률이 더 높 (41+0.7x)경기 아야 하므로 1. 일차부등식 33 49+0.3x (98+x)-3 < 41+0.7x (98+x)-3 에서 49+0.3x<41+0.7x, 8<0.4x ∴ x>20 따라서 NC는 적어도 21경기를 해야 한다. 이때 그 이후의 경기의 승패에 따라 경기의 수는 더 늘어날 수 있다. 세 식을 변끼리 더하면 2(x+y+z)=16+a ∴ x+y+z=8+ yy ㉠ ;2A; n<75이므로 <1 n 75 n 75 은 소수 첫째 자리의 수가 1, 소수 셋째 자리의 수가 3이므로 0.103É <0.194 n 75 또, n+1 75 = n 75 + ;7Á5; 이고 ;7Á5; =0.01H3이므로 0.116H3É <0.207H3 …… ㉠ 그런데` 은 소수 둘째 자리의 수가 8이고 ㉠에 의해 n+1 75 n+1 75 ㉠에서 주어진 세 식을 각각 빼면 연립방정식의 해는 소수 첫째 자리의 수는 1이므로 0.18É <0.19 n+1 75 x= -2, y=8- , z=2+ ;2A; ;2A; ;2A; x, y, z가 모두 양수이므로 ∴ 12.5Én<13.25 따라서 자연수 n의 값은 13이다. + - = ;z!; ;]!; ;3!; ;[!; , 즉` + = ;]!; ;3!; + ;z!; ;[!; 에서 >0이므로 ` + > ;]!; ;3!; ;[!; ;z!; yy ㉠ x, y는 양수이고 x¾y이면` É 이므로 ;[!; ;]!; + É ;]@; ;]!; ;[!; yy ㉡ ㉠, ㉡에 의해 < ;3!; ;[!; + ;]!; É 이므로 ;]@; < ;]@; ;3!; 에서 y<6이고, 주어진 조건에서 y¾5이므로 정수인 y의 값은 또, 주어진 조건에서 x¾5이므로 정수인 x의 값은 5, 6, 7 y=5를 ㉠에 대입하면 + > ;5!; ;3!; ;[!; > ;[!; ;1ª5; ∴ x< ;;Á2°;; 5이다. 이다. Ú x=5, y=5이면 + - = ;z!; ;5!; ;3!; ;5!; 이므로 = ;z!; ;1Á5; ∴ z=15 = ;z!; ;3Á0; ∴ z=30 Ü x=7, y=5이면 + - = ;z!; ;5!; ;3!; ;7!; 이므로 = ;z!; ;10!5; ∴ z=105 Ú, Û, Ü에서 구하는 정수해의 순서쌍 (x, y, z)는 (5, 5, 15), (6, 5, 30), (7, 5, 105)이다. -2>0에서 a>4 ;2A; 8- >0에서 a<16 2+ >0에서 a>-4 ;2A; ;2A; 11이다. 따라서 정수 a는 5, 6, 7, y, 13, 14, 15이므로 a의 개수는 a-3b-5<(a+2b)x<2a+b-1의 각 변을 a+2b 로 나눌 때, Ú a+2b>0이면 a-3b-5 a+2b <x< 2a+b-1 a+2b 이 범위가 2<x<3과 같으므로 a-3b-5 a+2b =2, 2a+b-1 a+2b =3 a-3b-5=2a+4b, 2a+b-1=3a+6b a+7b=-5 ∴ a+5b=-1 g 연립방정식을 풀면` a=9, b=-2 Û a+2b<0이면 2a+b-1 a+2b <x< a-3b-5 a+2b 이 범위가` 2<x<3과 같으므로 2a+b-1 a+2b =2, a-3b-5 a+2b =3 2a+b-1=2a+4b, a-3b-5=3a+6b 3b=-1 ∴ 2a+9b=-5 g 연립방정식을 풀면 a=-1, b=- ;3!; 이 값은 `a+2b<0을 만족하지만 정수가 아니므로 적합 하지 않다. Ú, Û에서 a=9, b=-2 34 ⅠⅠ 부등식 이 값은 `a+2b>0을 만족하고 정수이므로 적합하다. Û x=6, y=5이면 + - = ;z!; ;5!; ;3!; ;6!; 이므로 2 일차부등식의 활용 STEP 주제별 실력다지기 55~60쪽 36`km 이상 `km 이하 ;3*; `km 이내 ;2#; 20`km 이상 `g 이상 :;@2@:%; 10`g 이상 `g 이상 :;!3):); 80`g 이하 6개월 후 3600원 10000원 이상 4000원 이상 37.5`% 이하 30명 이상 26명 이상 33명 이상 57명 이상 3명 이상 9, 31 19 5자루 80`m 이상` 105`m 미만 6개 4개 62.5점 이상 93점 이상 0`cm 초과` cm 이하 ;2(; 문제 풀이 ㉮시에서 자전거가 고장난 지점까지의 거리를 따라서 역에서 ` `km 이내에 있는 상점을 이용할 수 있다. ;2#; `x`km라 하면 고장난 지점에서 ㉯시까지의 거리는 (40-x)`km이므로 (cid:9)(cid:21)(cid:17)(cid:14)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:76)(cid:78) (cid:21)(cid:17)(cid:65)(cid:76)(cid:78) (cid:89)(cid:65)(cid:76)(cid:78) ㉯ ㉮ 고장난 지점 (자전거를 탄 시간)+(걸은 시간)É4(시간) 즉, + ;1Ò Ó2; 40-x 4 É4에서 x+3(40-x)É48, -2x+120É48 -2xÉ-72 ∴ x¾36 따라서 ㉮시로부터 36`km`이상 떨어진 지점이다. 집에서 학교까지의 거리를 x`km라 하면 갈 때와 올 때 걸은 거리가 모두 x`km이므로 (cid:89)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 집 학교 (cid:21)(cid:65)(cid:76)(cid:78)(cid:16)시 (cid:19)(cid:65)(cid:76)(cid:78)(cid:16)시 (갈 때 걸린 시간)+(올 때 걸린 시간)É2(시간) 즉, + ;4{; ;2{; É2에서 x+2xÉ8, 3xÉ8 ∴ xÉ ;3*; 따라서 집에서 학교까지의 거리는 `km 이하이다. ;3*; 역에서 상점까지의 거리를 x`km라 하면 (가는 시간)+(물건을 사는 시간)+(오는 시간)É1(시간) + + ;4!; ;4{; ;4{; É1 2x+1É4, 2xÉ3 ∴ xÉ ;2#; 시속` 6`km로 걸어야 할 거리를 x`km라 하면 시속 4`km로 걸어야 할 거리는 (24-x)`km이고 10(분)= (시간), (4시간 30분)= (시간)이므로 ;6!; ;2(; (시속 6`km로 걸은 시간)+(쉰 시간)+(시속 4`km로 걸 은 시간)É(4시간 30분)에서 + + ;6!; ;6{; 24-x 4 É ;2(; 2x+2+3(24-x)É54 -xÉ-20 ∴ x¾20 따라서 시속 6`km로 걸어야 할 거리는 20`km 이상이다. 구하는 것이 시속 6`km로 걸어야 할 거리이므로 시속 6`km로 걸어야 할 거리를 x`km라 하고 문제를 해결한다. 시속 4`km로 걸어야 할 거리를 x`km라 하면 시속 6`km로 걸어야 할 거 리는 (24-x)`km이고 24-x의 범위를 구해야 하므로 풀이 과정이 더 복잡해진다. 넣는 물의 양을 x`g이라 하면 (cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:6) (cid:21)(cid:22)(cid:17)(cid:65)(cid:72) (cid:12) (cid:89)(cid:190)(cid:65)(cid:72) (cid:131) (cid:25)(cid:65)(cid:6) (cid:9)(cid:21)(cid:22)(cid:17)(cid:12)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:72) 각 항의 소금의 양을 구하면 ;1Á0¼0; _450É (450+x) ;10*0; 양변에 100을 곱하면 10_450É8(450+x) ∴ x¾ :;@2@:%; 따라서 더 넣어야 할 물의 양은 `g`이상이다. :;@2@:%; 2. 일차부등식의 활용 35 이고 물건을 사는 시간 15분은 = ;4!; ;6!0%; (시간)이므로 4500É3600+8x, -8xÉ-900 넣는 소금의 양을 x`g이라 하면 A가 받을 몫을 x원이라 하면 B가 받을 몫은 (cid:25)(cid:65)(cid:6) (cid:21)(cid:22)(cid:17)(cid:65)(cid:72) (cid:12) (cid:190)(cid:89)(cid:65)(cid:72) (cid:121) (cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:6) (cid:9)(cid:21)(cid:22)(cid:17)(cid:12)(cid:89)(cid:190)(cid:10)(cid:65)(cid:72) 각 항의 소금의 양을 구하면 ;10*0; _450+x¾ (450+x) ;1Á0¼0; 양변에 100을 곱하면 8_450+100x¾10(450+x) 3600+100x¾4500+10x 90x¾900 ∴ x¾10 따라서 더 넣어야 할 소금의 양은 10`g`이상이다. 증발시킬 물의 양을 x`g이라 하면 (cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:6) (cid:19)(cid:17)(cid:17)(cid:65)(cid:72) (cid:14) (cid:89)(cid:190)(cid:65)(cid:72) (cid:121) (cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:6) (cid:9)(cid:19)(cid:17)(cid:17)(cid:14)(cid:89)(cid:190)(cid:10)(cid:65)(cid:72) 각 항의 소금의 양을 구하면 ;1Á0¼0; _200¾ (200-x) ;1Á0ª0; 양변에 100을 곱하면 10_200¾12(200-x) 2000¾2400-12x 12x¾400 ∴ x¾ ;:!3):); 따라서 증발시켜야 할 물의 양은 `g`이상이다. ;:!3):); 15`%의 소금물의 양을 x`g이라 하면 10`%의 소금물 의 양은 (200-x)`g이므로 (cid:18)(cid:22)(cid:65)(cid:6) (cid:89)(cid:190)(cid:65)(cid:72) (cid:12) (cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:6) (cid:9)(cid:19)(cid:17)(cid:17)(cid:14)(cid:89)(cid:190)(cid:10)(cid:65)(cid:72) (cid:131) (cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:6) (cid:19)(cid:17)(cid:17)(cid:65)(cid:72) 각 항의 소금의 양을 구하면 x+ ;1Á0°0; ;1Á0¼0; (200-x)É _200 ;1Á0ª0; 양변에 100을 곱하면 15x+10(200-x)É12_200 15x+2000-10xÉ2400 5xÉ400 ∴ xÉ80 따라서 15`%의 소금물은 80`g`이하를 섞어야 한다. x개월 후 형의 예금액은 (2500+500x)원, 동생의 예금액은 (4000+200x)원이므로 2500+500x>4000+200x 300x>1500, 3x>15 ∴ x>5 터이다. 36 ⅠⅠ 부등식 (6000-x)원이므로 2x¾3(6000-x) 5x¾18000 ∴ x¾3600 따라서 A가 받을 몫은 최소한 3600원이다. 원가를 x원이라 하면 원가 x원에 2할의 이익을 붙인 정가는 1.2x원이므로 1.2x-1000¾1.1x 12x-10000¾11x ∴ x¾10000 따라서 원가는 10000원 이상이다. 할푼리의의미 비율을 소수로 나타낼 때 소수 첫째 자리를 할, 소수 둘째 자리를 푼, 소수 셋째 자리를 리라고 한다. ⑴ 0.132 → 1할3푼2리 ⑵ 2할5푼 → 0.25 정가를 x원이라 하면 1할 할인한 금액은 0.9x원이고 이 금액으로 물건을 팔아서 원가 3000원의 2할 이상의 이 익을 얻으려고 하므로 0.9x¾1.2_3000 9x¾12_3000 ∴ x¾4000 따라서 정가는 4000원 이상으로 정하면 된다. 원가를 a원이라 하면 정가는` 1.6a원이고, 정가를 x`% 할인한다고 하면 할인한 가격은 {1.6a(1-0.01x)}원 또, 손해를 보지 않으려면 이 금액이 원가 이상이어야 하므 이다. 로 1.6a(1-0.01x)¾a 1.6-0.016x¾1, 1600-16x¾1000 -16x¾-600 ∴ xÉ =37.5 ;;¤1¼6¼;; 따라서 정가의 37.5`% 이하로 할인해 주면 된다. 입장한 사람 수를 x(x¾20)명이라 하면 총 입장료는 {10000+200(x-20)}원이므로 10000+200(x-20) x É400 10000+200(x-20)É400x 100+2(x-20)É4x -2xÉ-60 ∴ x¾30 따라서 30명 이상 입장해야 한다. 구입하여 3할을 할인 받으면 따라서 형이 동생보다 예금액이 많아지는 것은 `6개월 후부 x명의 입장료는 1000x원이고, 36명의 단체 입장권을 1700+1500x+1000(15-x)É20000 1700+1500x+15000-1000xÉ20000 500xÉ3300 ∴ xÉ6.6 (36_1000_0.7)원이므로 1000x>36_1000_0.7 ∴ x>25.2 이 더 경제적이다. 따라서 26명 이상이면 36명의 단체 입장권을 구입하는 것 따라서 1500원 하는 과자는 최대 6개까지 담을 수 있다. 관람객 수를 x명, 1인당 입장료를 a원이라 하면 x명 연필은 4x자루이고, 형이 동생에게 8자루를 주면 형은 의 입장료는 ax원이고, 50명의 단체 입장권을 구입하여 (4x-8)자루, 동생은 (x+8)자루가 되므로 35`%를 할인 받으면 (50_a_0.65)원이므로 처음에 동생이 가진 연필을 x자루라 하면 형이 가진 4x-8<x+8 3x<16 ∴ x< ;;Á3¤;; 따라서 33명 이상이면 50명의 단체 입장권을 구입하는 것 따라서 동생이 처음에 가지고 있던 연필은 최대 5자루이다. 1인당 입장료를 a원이라 하면 30명 이상 60명 미만인 x명의 입장료는 (ax_0.75)원이고, 60명의 단체 입장권을 구입하여 3할을 할인 받으면 (60a_0.7)원이므로 세로의 길이를 x`m라 하면 가로의 길이는 (x+40)`m이고 둘레의 길이는 2(x+x+40)`m이므로 400É2(2x+40)<500 160É2x<210 ∴ 80Éx<105 따라서 세로의 길이는 80`m 이상 105`m 미만이다. ax>50_a_0.65 ∴ x>32.5 이 더 경제적이다. 0.75ax>60a_0.7 ∴ x>56 제적이다. 따라서 57명 이상이면 60명의 단체로 할인 받는 것이 더 경 (사다리꼴의 넓이) 전체의 일의 양을 1이라 할 때, 남자 1명, 여자 1명이 하루에 할 수 있는 일의 양은 각각 , ;6!; ;1Á0; 이다. 남자가 x명 있다고 하면 여자가 (8-x)명 있으므로 + ;6{; 8-x 10 ¾1 5x+3(8-x)¾30, 2x¾6 ∴ x¾3 따라서 남자는 3명 이상 있어야 한다. 두 자연수를 x, 40-x라고 하면 x>2(40-x)+10에서 x>30 연수의 차가 가장 작을 때 x=31이다. 따라서 두 자연수는 9, 31이다. 처음 두 자리 자연수의 십의 자리의 숫자가 x이면 일 의 자리의 숫자는 10-x이므로 10(10-x)+x>3(10x+10-x) 100-10x+x>27x+30 -36x>-70 ∴ x< ;3&6); 따라서 x는 1이므로 처음 자연수는 19이다. _{(윗변의 길이)+(아랫변의 길이)}_(높이)이므로 = ;2!; ;2!; _(12+x)_8É66에서 48+4xÉ66, 4xÉ18 ∴ xÉ ;2(; 그런데 x>0이므로 0<xÉ ;2(; 따라서 아랫변의 길이는 0`cm 초과 cm 이하이다. ;2(; x는 변의 길이이므로 x>0임을 반드시 표기해야 한다. 이등변삼각형의 세 변의 길이를 x, x, y라 하면 2x+y=18 ∴ y=18-2x yy ㉠ 른 한 변의 길이보다 커야 한다. ∴ 2x>y yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면 2x>18-2x, 4x>18 ∴ x>4.5 yy ㉢ 또, 세 변의 길이의 합이 18이므로 2x<18이다. ∴ x<9 yy ㉣ ㉢, ㉣에 의해 4.5<x<9이고, 이 범위에 포함되는 자연수 x는 5, 6, 7, 8이므로 각각 ㉠에 대입하면 y는 8, 6, 4, 2이다. 따라서 조건을 만족하는 이등변삼각형은 각 변의 길이가 (5, 5, 8), (6, 6, 6), (7, 7, 4), (8, 8, 2)인 4개이다. 두 자연수의 차는 |x-(40-x)|=|2x-40|이므로 두 자 또, 이등변삼각형에서 길이가 같은 두 변의 길이의 합은 다 1500원 하는 과자의 개수를 x개라 하면 1000원 하는 과자의 개수는 (15-x)개이므로 남학생의 성적의 평균을 x점이라 하면 전체 학생 수가 2. 일차부등식의 활용 37 네 번째 시험 성적을 x점이라 하면 85+91+83+x 4 ¾88 259+x¾352 ∴ x¾93 따라서 네 번째 시험에서 93점 이상을 얻어야 한다. 50명이므로 (여학생의 총점)+(남학생의 총점) 50 30_75+20x 50 ¾70에서 즉, ¾70(점) 2250+20x¾3500 20x¾1250 ∴ x¾62.5 따라서 남학생의 성적의 평균은 62.5점 이상이어야 한다. (총점)=(학생수)×(평균) 네 학생의 점수가 각각 a점, b점, c점, d점이고 점수의 평균이 m점이면 a+b+c+d 4 =m이다. 따라서 a+b+c+d=4_m이므로 네 학생의 총 점은 학생 수와 평균을 곱한 값과 일치한다. 일반적으로 학생 수에 관계없이 (총점)=(학생 수)_(평균)이 성립한다. STEP 실력 높이기 61~62쪽 사과 6개, 배 9개 11000개 89명 이상 16% 이하 3할 2푼 이상 200`g 이상 400`g 이하 10 x=6, y=6, z=28 1000원짜리 배를 x개 산다고 하면 500원짜리 사과는 4`cm 이상 12`cm 이하 문제 풀이 (15-x)개를 사야 하므로 1000x+500(15-x)É12000 1000x+7500-500xÉ12000 500xÉ4500 ∴ xÉ9 6개 살 수 있다. 1000x¾11000000 ∴ x¾11000 한다. 따라서 배를 가능한 한 많이 사야 하므로 배는 9개, 사과는 한 달 동안 생산한 물건의 개수를 x개라 하면 한 달 동 7500 1+ { ;10{0;} 이고, 안의 총 수입이 총 지출보다 1000만 원 이상 많아야 하므로 원가의 45`%의 이윤을 붙인 가격은 2000x¾1000x+1000000+10000000 따라서 한 달 동안 최소한 11000개의 물건을 생산하여야 풀이 단계 7500+75xÉ8700 5000_x_0.9>5000_100_0.8 9x>800 ∴ x>88.8y 따라서 89명 이상일 때, 100명의 할인된 입장료를 지불하 고 입장하는 것이 더 경제적이다. 서술형 표현 단계 원가가 6000원인 상품의 전체 비용은 6000+1000+500=7500(원)이 된다. 이익이 전체 비용의 x`%라 하면 판매 가격은 6000 1+ 이므로 ;1¢0°0;} 7500 1+ ;10{0;} É6000 1+ { ;1¢0°0;} { { 75xÉ1200 ∴ xÉ16 50명 이상 100명 미만인 단체의 인원 수를 x명이라 확인 단계 따라서 원가가 6000원인 상품에 대한 이익은 전체 하면 1할 할인할 경우의 입장료는 (5000_x_0.9)원이고, 비용의 16`% 이하로 정해진다. (5000_100_0.8)원이므로 구입비가 2000원이므로 구입비에 x할의 이익을 붙인 100명인 경우의 입장료는 2할 할인되기 때문에 38 ⅠⅠ 부등식 가격은 2000(1+0.1x)원 2000(1+0.1x)¾2200_1.2 2000+200x¾2640 200x¾640 ∴ x¾3.2 따라서 3할 2푼 이상의 이익을 붙여서 팔아야 한다. 여기서 ㉡을 만족하는 a, b는 a=3, b=7 ∴ a+b=10 x+y+z=40 yy ㉠ g 500x+100y+50z=5000 yy ㉡ ㉡_ -㉠을 하면 ;5Á0; 9x+y=60 ∴ y=60-9x yy ㉢ 이때 동전의 개수는 음수가 될 수 없으므로 60-9x¾0 표현 단계 10`%의 소금물을 x`g이라 하면 4`%의 소금물은 (600-x)`g이므로 -9x¾-60 ∴ xÉ :ª3¼: 10`%의 소금물의 소금의 양： _x=0.1x(g) 500원짜리 동전의 개수가 최대가 되려면 x=6이므로 ;1Á0¼0; 4`%의 소금물의 소금의 양： (600-x)=24-0.04x(g) ;10$0; 두 소금물의 소금의 양의 합은 0.1x+24-0.04x=0.06x+24(g) 농도를 구하는 식을 세우면 6É 0.06x+24 600 _100É8 ㉢에 대입하면 y=60-9_6=6 따라서 ㉠에서 6+6+z=40 ∴ z=28 ∴ x=6, y=6, z=28 동전의 개수는 0 또는 자연수임에 유의한다. 서술형 á { » 풀이 단계 6É 0.06x+24 6 É8 36É0.06x+24É48 12É0.06xÉ24 1200É6xÉ2400 ∴ 200ÉxÉ400 400`g 이하이다. 10a+8<40 yy ㉠ á b<aÛ` { b=2a+1 » ㉠에서 a<3.2 yy ㉢ yy ㉡ 그런데 a는 자연수이므로 a=1, 2, 3 a를 ㉢에 대입하면 확인 단계 따라서 농도가 10`%인 소금물의 양은 200`g 이상 ABCD= _(10+15)_12=150(cmÛ`) ;2!; BPÓ=x`cm`(0ÉxÉ12)라 하면 △APD= _10_(12-x)=60-5æx(cmÛ`) ;2!; ;2!; △PBC= _15_x= æx(cmÛ`) :Á2°: æ∴ △DPC= ABCD-(△APD+△PBC) =150- 60-5x+ x } :Á2°: { ;2%; =90- æx(cmÛ`) △DPC의 넓이가 ABCD의 넓이의 이하이므로 ;1¥5; 90- æxÉ150_ ;2%; ;1¥5; - ;2%; xÉ-10 ∴ x¾4 ∴ 4ÉxÉ12`(∵ 0ÉxÉ12) a=1일 때 b=3, a=2일 때 b=5, a=3일 때 b=7 따라서 BPÓ의 길이는 4`cm 이상 12`cm 이하이다. 2. 일차부등식의 활용 39 STEP 최고 실력 완성하기 63쪽 ② 문제 풀이 시속 56`km 이상 ;3!3); 200`mL 초과 250`mL 이하 n각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(n-2)이므로 500ùÉ180ù_(n-2)É700ù Én-2É :ª9°: :£9°: ∴ :¢9£: ÉnÉ :°9£: 따라서 n의 값은 5이므로 오각형이다. x+3은 18의 배수이다. ㉡에서 x>0이므로 양변에 3x를 곱하면 3(y+3)>x ∴ 3y+9>x …… ㉣ ㉣에 ㉢을 대입하면 (x+3)+9>x, 5(x+3)+54>6x ;6%; -x>-69 ∴ x<69 따라서 x+3<72인 18의 배수 x+3은 18, 36, 54이므로 배를 타고 강물을 따라 내려갈 때의 속력은 (배의 속력)+(강물의 속력)이고 올라갈 때의 속력은 (배의 속력)-(강물의 속력)이다. 따라서 올라갈 때의 배의 속력을 시속 x`km라 하면 물의 속력이 시속 2`km이므로 내려갈 때의 속력은 시속 32`km`(=30+2)이고, 올라갈 때의 속력은 x=15, 33, 51 ㉢에 대입하면 x=15일 때 y=5 x=33일 때 y=10 x=51일 때 y=15 이때 x-2>0이므로 800É15(x-2) 음식물 버린 양`(mL) 필요한 물의 양`(L) BOD 농도`(mg) 이 중에서 x, y가 서로소인 것은 x=33, y=10뿐이다. 따라서 구하는 기약분수는 이다. ;3!3); 흘려 보낸 우유의 양을 x`mL라 하면, 라면 국물의 양 은 (1000-x)`mL이다. 우유 x 2x 0.05x 라면 국물 1000-x 0.5_(1000-x) 1.25_(1000-x) 합계 1000 2x+0.5(1000-x) 0.05x+1.25(1000-x) Ú 정화에 필요한 물의 양이 800`L보다 많으므로 2x+500-0.5x>800, 1.5x>300 ∴ x>200 Û 1000`mL에 대한 BOD가 0.05x+1.25(1000-x)이므로 1`mL에 대한 BOD는 0.05x+1.25(1000-x) 1000 이다. 따라서 문제에서 주어진 BOD가 0.95`mg/mL 이상이 므로 0.05x+1.25(1000-x) 1000 ¾0.95 0.05x+1250-1.25x¾950 -1.2x¾-300 ∴ xÉ250 Ú, Û에서 200<xÉ250 따라서 흘려 보낸 우유의 양은 200`mL 초과 250`mL 이하 시속 (x-2)`km이다. + 100 x-2 :Á3¼2¼: É5에서 100 x-2 100 x-2 É5- :ª8°: É :Á8°: -15xÉ-830 ∴ x¾ =55.33 … :Á;3^;¤: 어야 한다. 따라서 x는 자연수이므로 올라갈 때는 시속 56`km 이상이 구하는 기약분수를 로 놓으면 x, y는 서로소인 자 ;[}; 연수이다. 주어진 조건에 의해 ( { y x+3 y+3 x = ;1°8; > ;3!; 9 ㉠에서 18y=5(x+3) ∴ y= (x+3) ;1°8; …… ㉠ …… ㉡ …… ㉢ 이때 18과 5는 서로소이고 y는 자연수이므로 이다. 40 ⅠⅠ 부등식 단원 종합 문제 ⅠⅠ ③, ④ -15 -4< -3b< ;a@; :¢5»: x>-a 1 해는 없다. 풀이 참조 x=3, y=3 0 2.5Éx<3.5 18명 이상 100`g`이상 200`g`이하 9`cm,` 12`cm,` 15`cm,` 18`cm 7, 8 3 10Éx<18 64~66쪽 3 25 문제 풀이 ① a<0이면 a>2a이다. (거짓) ② a<0이면 8-a>4-a이다. (거짓) ③ a>0이면 < ;a!; ;a@; 이다. (참) ④ a>b>0이면 < ;b!; ;a!; 이다. (참) ⑤ a<b<0이면 ab>0, b<0이므로 ab>b이다. (거짓) 2ÉpÉ5이면 É É ;5!; ;p!; ;2!; ∴ É ;1ª5; ;3ªp; ;3!; É …… ㉠ 또, 1ÉqÉ3 …… ㉡` ㉠-㉡을 하면 -3É -qÉ -1 ;1ª5; ;3ªp; ;3!; - É ;1$5#; ;3ªp; -qÉ- ∴ x=- , y=- ;1$5#; ;3@; ;3@; ∴ 5x+y=5_ - ;1$5#;} - ;3@; { =- - =-15 :¢3£: ;3@; 2.5<a<4, 즉 <a<4에서 ;2%; < < ;5@; ;a!; ;4!; ∴ < < ;5$; ;a@; ;2!; …… ㉠ 또, -3<b<1.5에서 -9<3b<4.5 …… ㉡ ㉠-㉡을 하면 -4.5< -3b< -(-9) ;a@; ;5$; ;2!; ∴ -4< -3b< ;a@; :¢5»: ax+2>3x+4a에서 (a-3)x>4a-2 이 부등식의 해가 없으려면 a-3=0, 4a-2¾0 ∴ a=3 ax+3<x+13에서 (a-1)x<10 이 부등식의 해가 모든 실수이려면 a-1=0 ∴ a=1 ax+1>bx+2에서 (a-b)x>1 0_x>1 따라서 해는 없다. 그런데 a=b이면 a-b=0이므로 주어진 부등식은 ax-3b<3a-bx에서 (a+b)x<3a+3b ∴ (a+b)x<3(a+b) Ú a+b>0일 때, 양변을 a+b로 나누면 x<3 Û a+b=0일 때, 0_x<0 ∴ 해는 없다. Ü a+b<0일 때, 양변을 a+b로 나누면 x>3 2x+3y=15에서 3y=15-2x …… ㉠ -1<4x-3y<6에 ㉠을 대입하면 -1<4x-(15-2x)<6 -1<6x-15<6 ∴ ;3&;<x<;2&; y=3이다. a<0일 때, <-1의 양변에 a를 곱하면 ;a{; 이때 x는 정수이므로 x=3이고 이 값을 ㉠에 대입하면 x>-a 단원 종합 문제 41 따라서 -1É[a-b-c]É1이고, [a-b-c]의 값은 정수 a, b, c의 값의 범위를 구하면 다음과 같다. ( { 3Éa<4 …… ㉠ -2Éb<-1 …… ㉡ 4Éc<5 …… ㉢ 9 a-b-c=a-(b+c)이므로 ㉡+㉢을 하면 2Éb+c<4 …… ㉣ ㉠-㉣을 하면 3-4<a-b-c<4-2 ∴ -1<a-b-c<2 이므로 [a-b-c]=-1, 0, 1 ∴ -1+0+1=0 다른풀이 ㉠-㉡을 하면 3-(-1)<a-b<4-(-2) ∴ 4<a-b<6 …… ㉣ ㉣-㉢을 하면 4-5<a-b-c<6-4 ∴ -1<a-b-c<2 2Û`+-1=2(Û`+1)을 풀면 2Û`+-1=2Û`+2 ∴ =3 따라서 3- Éx<3+ 이므로 ;2!; ;2!; 2.5Éx<3.5 2`%의 소금물의 소금의 양은 0.02x`g이고 8`%의 소금물의 소금의 양은 0.08(300-x)=24-0.08x(g)이므로 두 소금물의 소금의 양의 합은 0.02x+24-0.08x=24-0.06x(g) 농도를 구하는 식을 세우면 4É 24-0.06x 300 _100É6, 4É 24-0.06x 3 É6, 12É24-0.06xÉ18, -12É-0.06xÉ-6 ∴ 100ÉxÉ200 따라서 2`%의 소금물은 100`g 이상 200`g 이하이어야 한다. 삼각형의 세 변의 길이가 모두 3의 배수이므로 각각 3a`cm, 3b`cm, 3c`cm (aÉbÉc인 자연수)라 하자. 또, 가장 긴 변의 길이가 3c`cm이므로 3c+6=3a+3b 24É3a+3b+3cÉ42이므로 8Éa+b+cÉ14 …… ㉠ 3(a+b)=3(c+2) ∴ a+b=c+2 …… ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 8Éc+2+cÉ14, 8É2c+2É14 6É2cÉ12 ∴ 3ÉcÉ6 가장 긴 변의 길이는 3c`cm이므로 9É3cÉ18 따라서 가장 긴 변의 길이는 9`cm, 12`cm, 15`cm, 18`cm 이다. x는 자연수이므로 a>0, b>0, c>0이고 삼각형의 가장 긴 변의 길이는 c이다. 를 n- Éx<n+ 을 만족하는 정수 n으로 정의할 때, 는 ;2!; ;2!; a+b>c에서 2x+1+3x+2>4x+4이므로 x>1이다. x를 소수 첫째 자리에서 반올림한 정수를 의미한다. 이때 a+b+c=9x+7이고 x의 값이 최소일 때, 세 변의 길이의 합은 최솟값을 갖는다. 단체 인원을 x명이라 하면 x명의 입장료는 500x원이 따라서 x=2일 때, 최솟값 25를 갖는다. 고 25명의 단체 입장료는 (500_25_0.7)원이므로 x명의 단체가 25명의 단체 입장료를 내고 입장하는 것이 더 경제 적이기 위해서는 (x명의 입장료)>(25명의 단체 입장료)이면 된다. 즉, 500x>500_25_0.7에서 두식의대소관계파악하기 자연수 x에 대하여 두 식 2x+1, 4x+4의 대소 관계를 파악해보자. 2<4의 양변에 자연수 x를 곱하면 2x<4x …… ㉠ 1<4 …… ㉡ ㉠+㉡에서 2x+1<4x+4가 성립함을 알 수 있다. 마찬가지로 생각하면 3x+2<4x+4 역시 성립한다. 500x>8750 ∴ x>17.5 경제적이다. 양은 (300-x)`g이다. 42 ⅠⅠ 부등식 따라서 18명 이상일 때 25명의 단체 입장료를 내는 것이 더 < ;3!; ;a#; < ;2!; 에서 2< <3 …… ㉠ ;3A; ㉠에서 각 변에 3을 곱하면 2`%의 소금물의 양을 x`g이라 하면 8`%의 소금물의 6<a<9 따라서 이를 만족하는 자연수 a의 값은 7, 8이다. |x-3|Éa에서 -aÉx-3Éa 3< +1 <6이면 +1 =4, 5이다. ∴ 3-aÉxÉ3+a a=1일 때, 2ÉxÉ4를 만족하는 자연수 x의 개수는 3이다. [ +1 ] [ =4일 때, 3.5É ] +1<4.5 a=2일 때, 1ÉxÉ5를 만족하는 자연수 x의 개수는 5이다. +1 =5일 때, 4.5É +1<5.5 ;4{; ;4{; ;4{; a=3일 때, 0ÉxÉ6을 만족하는 자연수 x의 개수는 6이다. a=4일 때, -1ÉxÉ7을 만족하는 자연수 x의 개수는 7이다. a=5일 때, -2ÉxÉ8을 만족하는 자연수 x의 개수는 8이다. 따라서 a=3이다. ⋮ ;4{; ] Ú [ Û ;4{; ;4{; ] Ú, Û에서 [ 3.5É +1<5.5 ;4{; ;4{; 2.5É <4.5 ∴ 10Éx<18 단원 종합 문제 43 ⅠⅠⅠ 연립방정식 1 연립방정식 STEP 주제별 실력다지기 69~73쪽 2x+y=10 x+2y=250 (1, 15), (2, 12), (3, 9), (4, 6), (5, 3) n-1 15 ;2#; 0 3 3 2 ⑴ x=1, y=0 ⑵ x=3, y=-1 x=3, y=1 또는 x=-9, y=-5 a=- , b=- ;5!; ;5@; ;5@; a=5, b=13 1 -3 x=3, y=-1 x=6, y=2 x=2, y=0 x=1, y=1 x=2, y=-2 -3 x= , y=- , z= ;4%; ;2!; ;2&; x=2, y=1, z=3 06 최상위 NOTE 해가 특수한 연립방정식 x, y에 대한 연립방정식 ⑴ = = a a' b b' c c' à 인 경우 ax+by+c=0 a'x+b'y+c'=0 에 대하여 ⑵ = + 인 경우 a a' b b' c c' 한 방정식에 적절한 상수를 곱하면 다른 식과 정확히 일치하게 된다. 예를 들어 연립방정식 2x+y+3=0 4x+2y+6=0 ……`㉡ ……`㉠ 의 경우 à 한 방정식에 적절한 상수를 곱해서 x의 계수와 y의 계수를 다 른 식과 일치하도록 만들었을 때, 상수항은 일치하지 않는다. 예를 들어 연립방정식 2x+y+2=0 4x+2y+6=0 ……`㉡ ……`㉠ 의 경우 = ;4@; ;2!; + ;6@; 이고 실제로 ㉠의 양변에 2를 곱한 식은 à = = ;2!; ;4@; ;6#; 이 성립하고 실제로 ㉠의 양변에 2를 곱한 식은 ㉡과 4x+2y+4=0이므로 ㉡과 x의 계수와 y의 계수는 각각 일치 정확히 일치한다. 따라서 ㉠의 모든 해는 ㉡의 해가 된다. 또한 하지만 상수항은 일치하지 않는다. 따라서 ㉠과 ㉡을 동시에 ㉡의 모든 해도 ㉠의 해가 된다. 이때 ㉠의 해는 무수히 많으므로 만족하는 x, y는 존재하지 않는다. 즉, 위의 연립방정식의 해 위의 연립방정식의 해는 무수히 많다. 일반적으로 = = 인 경우 a a' b b' c c' ax+by+c=0 a'x+b'y+c'=0 à 는 없다. 일반적으로 = + 인 경우 a a' b b' c c' ax+by+c=0 a'x+b'y+c'=0 à 연립방정식 의 해는 무수히 많다. 연립방정식 의 해는 없다. 44 ⅠⅠⅠ 연립방정식 문제 풀이 200y원이므로 400x+200y=2000 ∴ 2x+y=10 공책과 볼펜을 사는 데 필요한 돈이 각각 400x원, 4n+6=4 ∴ n=- ;2!; Ú, Û 에서 m+n=2+ - = ;2#; ;2!;} { 순서쌍 (3, -1)이 ax-y+2=0의 해이므로 (소금의 양)= _(소금물의 양)이므로 (농도) 100 x=3, y=-1을 대입하면 3a-(-1)+2=0∴ a=-1 10`%의 소금물 x`g 속의 소금의 양은 x`g, 또, 점 (b-2, b)가 -x-y+2=0의 그래프 위에 있으므 로 x=b-2, y=b를 대입하면 -(b-2)-b+2=0, -2b+4=0∴ b=2 20`%의 소금물 y`g 속의 소금의 양은 ;1Á0¼0; y`g ;1ª0¼0; 문제의 조건에서 x+ ;1Á0¼0; ;1ª0¼0; y=25이므로 정리하면 x+2y=250 x가 자연수이므로 주어진 방정식에 x=1, 2, 3, …을 차례로 대입하여 y의 값을 구하면 다음과 같다. x y 1 15 2 12 3 9 4 6 5 3 6 7 8 … 0 -3 -6 … 그런데 y의 값도 자연수이므로 구하는 해를 순서쌍으로 나 타내면 (1, 15), (2, 12), (3, 9), (4, 6), (5, 3)이다. x와 y가 자연수이므로 주어진 방정식을 만족하는 해 는 다음과 같다. x y 1 2 3 n-2 n-1 n-1 n-2 n-3 2 1 … … 따라서 순서쌍 (x, y)의 개수는 n-1이다. ⑴ x+2y=1 …… `㉠ 2x+y=2 …… `㉡ à ㉠-㉡_2를 하면 x+2y=1 - 4x+ 2y= 4 >³ -3x =-3 ∴ x=1 x=1을 ㉡에 대입하면 2+y=2 ∴ y=0 ⑵ 2x-3y=9 …… `㉠ 3x+2y=7 …… `㉡ à ㉠_2+㉡_3을 하면 4x-6y=18 + 9x+ 6y= 21 >³ 13x =39 ∴ x=3 x=3을 ㉠에 대입하면 6-3y=9 ∴ y=-1 x=1일 때, y+z=6을 만족하는 순서쌍 (y, z)는 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)의 5개이다. x=2, 3, 4, 5인 경우도 같은 방법으로 구하면 다음과 같 |x|+y=4 ……`㉠ x-2y=1 ……`㉡ à ㉠_2+㉡을 하면 2|x|+x=9 다. x y+z 순서쌍 (y, z)의 개수 1 6 5 2 5 4 3 4 3 4 3 2 5 2 1 따라서 x+y+z=7을 만족하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수 는 5+4+3+2+1=15이다. Ú x¾0일 때, 2x+x=9 ∴ x=3 x=3을 ㉠에 대입하면 |3|+y=4 ∴ y=1 Û x<0일 때, -2x+x=9 ∴ x=-9 x=-9를 ㉠에 대입하면 |-9|+y=4 ∴ y=-5 Ú, Û에서 x=3, y=1 또는 x=-9, y=-5 x=1, y=1을 주어진 일차방정식에 대입하면 a+(a-2)+b=0, 2a+b=2 …… ㉠ Ú 2x+my=4의 그래프가 점 (4, -2)를 지나므로 x=-1, y=2를 주어진 일차방정식에 대입하면 x=4, y=-2를 대입하면 8-2m=4 ∴ m=2 -a+2(a-2)+b=0, a+b=4 …… ㉡ ㉠-㉡을 하면 a=-2, b=6 Û 2x+2y=4의 그래프가 점 (2n, 3)을 지나므로 그러므로 주어진 일차방정식은 -2x-4y+6=0 x=2n, y=3을 대입하면 ∴ x+2y-3=0 1. 연립방정식 45 ³ ² ³ ² 따라서 x=3을 x+2y-3=0에 대입하면 즉, ㉡과 ㉢을 연립하여 풀면 3+2y-3=0 ∴ y=0 ㉡-㉢에서 3y=-6 ∴ y=-2 두 직선의 방정식에 각각 (3, -1)을 대입하면 따라서 x=5, y=-2를 ㉠에 대입하면 3a+b=-1에서 b=-3a-1 …… ㉠ 5m+2_(-2)=1 ∴ m=1 y=-2를 ㉡에 대입하면 x+(-2)=3 ∴ x=5 3b-a=-1 ㉠을 ㉡에 대입하면 …… ㉡ 3(-3a-1)-a=-1, -10a=2 ∴ a=- ;5!; a=- 을 ㉠에 대입하면 ;5!; b=-3_ - -1 ∴ b=- { ;5!;} ;5@; 교점은 두 직선이 만나서 생기는 점이므로 두 직선 위에 있다. 따라 서 교점의 좌표를 두 직선의 방정식에 대입하면 모두 성립한다. y의 값이 x의 값의 2배이므로 y=2x를 주어진 연립방 정식에 대입하면 x+2ax=3 ……`㉠ ax-4x=-6 ……`㉡ à ㉠-㉡_2를 하면 x+2ax=3 - -8x +2a x= -12 >³ 9x =15 ∴ x= ;3%; x= 를 ㉠에 대입하면 ;3%; + ;3%; :Á3¼: a=3 ∴ a= ;5@; 두 연립방정식의 해가 같으므로 각각의 연립방정식의 해는 x+y=1 ……`㉠ 의 해와 같다. x-y=3 ……`㉡ à ㉠+㉡을 하면 2x=4 ∴ x=2 x=2를 ㉠에 대입하면 2+y=1 ∴ y=-1 x=2, y=-1을 나머지 방정식 에 대입하면 ax-3y=b 3x+y=a à 2a+3=b ……`㉢ 6-1=a à ㉣에서 a=5 ……`㉣ a=5를 ㉢에 대입하면 10+3=b ∴ b=13 ( 세 방정식 [{ mx+2y=1 ……`㉠ x+y=3 ……`㉡ 의 그래프가 x-2y=9 ……`㉢ 9 한 점에서 만나므로 교점의 좌표를 (x, y)라 하면 (x, y)는 ㉠, ㉡, ㉢의 식을 모두 만족한다. 46 ⅠⅠⅠ 연립방정식 주어진 연립방정식에서 상수 a, b를 바꾸면 bx+ay=3 ax-by=-1 à 연립방정식의 해 x=1, y=-1을 대입하면 b-a=3 ……`㉠ a+b=-1 ……`㉡ à ㉠+㉡을 하면 2b=2 ∴ b=1 b=1을 ㉡에 대입하면 a+1=-1 ∴ a=-2 ∴ a-b=(-2)-1=-3 은정이가 바르게 푼 연립방정식은 이므로 x=1, y=2를 대입하면 ax+by=-2 bx+ay=5 à a+2b=-2 ……`㉠ b+2a=5 ……`㉡ à ㉠-㉡_2를 하면 -3a=-12 ∴ a=4 a=4를 ㉡에 대입하면 b+8=5 ∴ b=-3 bx+ay=-2 ax+by=5 à a=4, b=-3을 대입하면 -3x+4y=-2 ……`㉢ 4x-3y=5 ……`㉣ à ㉢_3+㉣_4를 하면 7x=14 ∴ x=2 x=2를 ㉢에 대입하면 -6+4y=-2 ∴ y=1 즉, m=2, n=1이므로 m+n=2+1=3 그런데 현정이는 a, b를 바꾸어 풀었으므로 현정이가 푼 연립방정식은 연립방정식 에 대하여 a와 b를 바꾸면 ax+by=-2 bx+ay=5 à bx+ay=-2 ax+by=5 이고 x와 y를 바꿔도 이다. 즉, 위의 연립 ay+bx=-2 by+ax=5 à 방정식에서 a와 b를 바꾸는 것은 x와 y를 바꾸는 것과 같다. 따라서 연립 방정식의 해는 x=1, y=2에서 x=2, y=1로 바뀌게 된다. à ³ ³ ³ 주어진 연립방정식에서 계수가 소수인 일차방정식의 양변에는 10을 곱하고, 계수가 분수인 일차방정식의 양변 에는 분모의 최소공배수인 6을 곱하여 정리하면 주어진 연립방정식의 해가 무수히 많으므로 두 일차방정식의 양변에 각각 분모의 최소공배수인 6 에서 두 일차방정식은 일치하므로 두 일차방정식의 양변에 각각 분모의 최소공배수인 6 주어진 연립방정식의 해가 없으므로 x-2y=5 ……`㉠ 2x+3y=3 ……`㉡ à ㉠_2-㉡을 하면 -7y=7 ∴ y=-1 y=-1을 ㉠에 대입하면 x+2=5 ∴ x=3 을 곱하면 2x=3y+6 3x+2y=22 à 즉, 2x-3y=6 ……`㉠ 3x+2y=22 ……`㉡ à ㉠_2+㉡_3을 하면 13x=78 ∴ x=6 x=6을 ㉠에 대입하면 12-3y=6 ∴ y=2 을 곱하면 2(x+1)+3y=6 (x+1)-3(y-1)=6 à 즉, 2x+3y=4 ……`㉠ x-3y=2 ……`㉡ à ㉠+㉡을 하면 3x=6 ∴ x=2 x=2를 ㉠에 대입하면 4+3y=4 ∴ y=0 x+2y+3=2x+3y+1 2x+3y+1=3x+y+2 à x+y=2 ……`㉠ x-2y=-1 ……`㉡ à ㉠-㉡을 하면 3y=3 ∴ y=1 y=1을 ㉠에 대입하면 x+1=2 ∴ x=1 세 변에 각각 6을 곱하면 3x+3y=2y+4=x-2이므로 3x+3y=2y+4 2y+4=x-2 à 를 정리하면 즉, y=4-3x …… `㉠ x-2y=6 ……`㉡ à ㉠을 ㉡에 대입하면 x-2(4-3x)=6 ∴ x=2 x=2를 ㉠에 대입하면 y=4-3_2 ∴ y=-2 = = ;b#; ;2$; ;a!; = ;2$; ;a!; 에서 a= = ;b#; ;2$; 에서 b= ;2!; ;2#; ∴ 4ab=4_ _ =3 ;2#; ;2!; 다른 풀이 x+3y=4 2ax+2by=4 à 2a=1, 2b=3 ∴ a= , b= ;2!; ;2#; ∴ 4ab=3 = ;3A; + ;2#; a+1 2 a+1 2 ∴ a=-3 = ;3A; 에서 3a+3=2a 2x-3y=4 ……`㉠ -3y+z=5 ……`㉡ 2x+z=6 ……`㉢ ( [{ 9 ㉢-㉡을 하면 2x+3y=1 …… ㉣ ㉠+㉣을 하면 4x=5 ∴ x= ;4%; x= 를 ㉠에 대입하면 ;4%; ;4%; ;2%; ;2%; -3y=4 ∴ y=- ;2!; x= 를 ㉢에 대입하면 +z=6 ∴ z= ;2&; 주어진 식의 각 변끼리 더하면 2(x+y+z)=12 ∴ x+y+z=6 …… ㉠ 1. 연립방정식 47 x+y=3을 ㉠에 대입하면 3+z=6 ∴ z=3 y+z=4를 ㉠에 대입하면 x+4=6 ∴ x=2 z+x=5를 ㉠에 대입하면 5+y=6 ∴ y=1 첫 번째 식에는 양변에 100을, 두 번째 식에는 24를 STEP 실력 높이기 x= , y=-1 ;2!; - ;2(; x=8, y=2 12 3 3 문제 풀이 -1 6 곱하여 계수를 정수로 만들면 50x-75y=100 18(x-1)+8(y+1)=-9 à 즉, 2x-3y=4 ……`㉠ 18x+8y=1 ……`㉡ à ㉠_9-㉡을 하면 -35y=35 ∴ y=-1 y=-1을 ㉠에 대입하면 2x-3_(-1)=4 ∴ x= ;2!; 서술형 표현 단계 2ax-by=6 3ax-2by=11 각각을 대입하면 à à 변형 단계 -4a-b=6 ……`㉠ -6a-2b=11 ……`㉡ 풀이 단계 ㉠_2-㉡을 하면 -2a=1 ∴ a=- ;2!; a=- 을 ㉠에 대입하면 ;2!; 2-b=6 ∴ b=-4 확인 단계 ∴ a+b=- ;2(; 의 해가 x=-2, y=1이므로 74~78쪽 -1 x= , y= ;5$; ;5&; 23 x= , y= ;2!; ;3!; - ;4&; a=- , b=-2 ;3@; a= , b=- ;5(; ;3$; 9 x=- , y=- ;4!8!; ;4°8; - ;3*; -8 18 이 값을 연립방정식에 대입하면 3a+12b=4 ……`㉠ 6a+12b=-8 ……`㉡ à ㉠-㉡을 하면 -3a=12 ∴ a=-4 a=-4를 ㉠에 대입하면 b= ;3$; ∴ a+b=-4+ =- ;3$; ;3*; x-2y=a ……`㉠ 2x-y=3-a ……`㉡ à ㉠+㉡을 하면 3x-3y=3 ∴ x-y=1 …… ㉢ 주어진 연립방정식을 만족하는 x와 y의 값의 합이 5이므로 x+y=5 …… ㉣ ㉢+㉣을 하면 2x=6 ∴ x=3, y=2 x=3, y=2를 ㉠에 대입하면 a=3-2_2 ∴ a=-1 방정식 x+y=5에는 미지수 a가 없으므로 연립방정식 x-2y=a 2x-y=3-a à 에서 각 변을 더하여 a를 소거한다. ax+y=-1 ……`㉠ 2x-by=3 ……`㉡ à 현정이는 ㉠에서 a를 잘못 보고 풀었으므로 현정이가 구한 해인 x=3, y=-3은 ㉡을 만족한다. 따라서 ㉡에 x=3, y=-3을 대입하면 12와 18의 최대공약수는 6, 최소공배수는 36이므로 6+3b=3 ∴ b=-1 연립방정식의 해는 x=6, y=36이다. 나연이는 ㉡에서 b를 잘못 보고 풀었으므로 나연이가 구한 48 ⅠⅠⅠ 연립방정식 ㉠, ㉡에 a=-3, b=-1을 대입하면 x`:`y=2`:`3에서 3x=2y, 3x-2y=0 ……`㉣ 해인 x=1, y=2는 ㉠을 만족한다. 따라서 ㉠에 x=1, y=2를 대입하면 a+2=-1 ∴ a=-3 -3x+y=-1 ……`㉢ 2x+y=3 ……`㉣ à ㉢-㉣을 하면 -5x=-4 ∴ x= , y= ;5$; ;5&; 두 직선의 교점이 (3, 4)이므로 연립방정식 ax-y=6 3x+y=b 의 해가 x=3, y=4이다. à 이 값을 두 방정식에 대입하면 3a-4=6 9+4=b 이므로 à a= , b=13 :Á3¼: ∴ 3a+b=10+13=23 주어진 연립방정식의 계수를 정수로 고치면 11-1 9 x- y= ;9#; ;9@; x-1-2(y+1)=1 á [{ » ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=8, y=2 , 즉 à x-2y=4 2x-3y=10 ……`㉠ ……`㉡ 문제의 조건에 의해 (b, c)는 세 일차방정식 y=-3x-5 ……`㉠ 2x-ay=7 ……`㉡ ( [{ x=-5y+3 ……`㉢ 9 을 모두 만족하므로 먼저 ㉠에 ㉢을 대입하면 y=-3(-5y+3)-5, 14y=14 ∴ y=1 y=1을 ㉢에 대입하면 x=-5_1+3=-2 ∴ b=-2, c=1 또, x=-2, y=1을 ㉡에 대입하면 2_(-2)-a_1=7 -a=11 ∴ a=-11 ∴ |a+b+c|=|-11-2+1|=12 2x-3y=a+3 …… `㉠ 3x-y=11+a …… `㉡ à ㉠-㉡_3을 하면 -7x=-2a-30 ∴ x= 2a+30 7 , y= 13-a 7 8a=-64 ∴ a=-8 다른 풀이 ㉡-㉠을 하면 x+2y=8 ……`㉢ ㉢+㉣을 하면 4x=8 ∴ x=2, y=3 구한 해를 ㉠에 대입하면 a=-8 =m, =n으로 치환하면 ;[!; ;]!; 3m+2n=12 ……`㉠ m-2n=-4 ……`㉡ à ㉠+㉡을 하면 4m=8 ∴ m=2, n=3 따라서 `m= =2에서 x= ;[!; ;2!; n= =3에서 y= ;]!; ;3!; 서술형 á 표현 단계 [{ » - =9 ;]!; ;[#; -;[!;+;]@;=2 식을 세우면 에서 =A, =B로 치환하여 ;[!; ;]!; 변형 단계 3A-B=9 ……`㉠ -A+2B=2 ……`㉡ à 풀이 단계 ㉠_2+㉡ 을 하면 5A=20 A=4 ∴ x= A=4를 `㉡에 대입하면 -4+2B=2 B=3 ∴ y= ;4!; ;3!; x= , y= 이 x-3my=2를 만족하므로 ;4!; ;3!; -3_m_ =2 ;3!; ;4!; ;4!; -m=2 확인 단계 ∴ m=- ;4&; 두 연립방정식의 해는 2x-3y=5 ……`㉠ 3x+y=-9 ……`㉡ à ㉠+㉡_3을 하면 11x=-22 ∴ x=-2, y=-3 의 해와 같다. x=-2, y=-3을 나머지 두 일차방정식에 대입하면 -4-3a=b 3a+b=-4 ……`㉢ , 즉 -2b+3a=2 3a-2b=2 ……`㉣ 그런데 x`:`y=2`:`3에서 3x=2y이므로 3_ 2a+30 7 13-a 7 =2_ , 6a+90=26-2a à ㉢-㉣을 하면 3b=-6 à ∴ a=- , b=-2 ;3@; 1. 연립방정식 49 미지수가 2개인 연립일차방정식의 해가 2개 이상인 x=- 을 ㉢에 대입하면 ;4!8!; - ;4!8!; +y=- ∴ y=- ;3!; ;4°8; y의 값이 x의 값의 2배이므로 y=2x를 주어진 연립방 의 해가 무수히 많으려면 경우는 해가 무수히 많음을 뜻한다. kx-3y=0 (2-k)x+y=0 à k 2-k = -3 1 이어야 한다. 즉, k=-6+3k ∴ k=3 우변에 있는 항을 모두 좌변으로 이항하여 꼴로 변형한 후 문제를 해결한다. ax+by=0 a'x+b'y=0 à 해가 없으려면 a-1 2a = ;1!; + 2 a-1 이어야 하므로 a-1 2a =1에서 a-1=2a ∴ a=-1 연립방정식의 해가 무수히 많으려면 = ;2#; 2a 3(a-1) = 2 -b 이어야 한다. 에서 9(a-1)=4a ∴ a= ;5(; 에서 -3b=4 ∴ b=- ;3$; = ;2#; 2a 3(a-1) = ;2#; 2 -b 서술형 표현 단계 à x+y=2k ……`㉠ 3x+y=8k ……`㉡ 풀이 단계 ㉡-㉠을 하면 2x=6k ∴ x=3k x=3k를 ㉠에 대입하면 y=-k 따라서 x=3k, y=-k를 주어진 식에 대입하면 (주어진 식)= 6k+3k 3k-2k = =9 9k k 확인 단계 ∴ 2x-3y x+2y =9 5 x+y 1 x-y á [{ » - - 2 x-y 3 x+y =1 =1 에서 =A, 1 x+y 5A-2B=1 1 x-y ……`㉠ =B로 치환하면 -3A+B=1 ……`㉡ à ㉠+㉡_2를 하면 -A=3 ∴ A=-3 A=-3을 ㉡에 대입하면 9+B=1 ∴ B=-8 1 x+y 1 x-y á 즉, [{ » =-3 =-8 á 이므로 [{ » x+y=- x-y=- ;3!; ;8!; ……`㉢ ……`㉣ ㉢+㉣을 하면 2x=- ∴ x=- ;2!4!; ;4!8!; 50 ⅠⅠⅠ 연립방정식 정식에 대입하면 (m+2)x+2(1-m)x=-1 mx+2(m-2)x=-5 à 전개하여 정리하면 (4-m)x=-1 ……`㉠ (3m-4)x=-5 ……`㉡ à ㉠, ㉡의 해가 같아야 하므로 -1 4-m = -5 3m-4 -3m+4=-20+5m 8m=24 ∴ m=3 2x-y+z=3 x-2y+z=0 ……`㉠ ……`㉡ x+y-2z=-3 ……`㉢ ( [{ 9 ㉠-㉡을 하면 x+y=3 ……`㉣ ㉡_2+㉢을 하면 3x-3y=-3, x-y=-1 …… ㉤ ㉣+㉤을 하면 2x=2 ∴ x=1, y=2 x=1, y=2를 ㉠에 대입하면 2-2+z=3 ∴ z=3 x=a, y=b, z=c이므로 a=1, b=2, c=3 ∴ abc=1_2_3=6 (x+y)：(y+z)：(z+x)=7：8：9이므로 x+y=7k, y+z=8k, z+x=9k (k는 0이 아닌 상수)라 하면 ( [{ x+y=7k y+z=8k z+x=9k ……`㉠ ……`㉡ ……`㉢ 9 ㉠+㉡+㉢을 하면 2(x+y+z)=24k ∴ x+y+z=12k ……`㉣ ㉠을 ㉣에 대입하면 z=5k ㉡을 ㉣에 대입하면 x=4k ㉢을 ㉣에 대입하면 y=3k ∴ x=4k, y=3k, z=5k ∴ x=12, y=9, z=15 ∴ x-y+z=18 그런데 x+y+z=36이므로 ㉣에서 12k=36 ∴ k=3 STEP 최고 실력 완성하기 79쪽 x=8, y=-7 -2 a=-1, b=3 -4<a<16 문제 풀이 순환소수를 분수로 고치면 x+ y= ;9!; ;1ª0; x+ y= ;9!0#; ;9@0!; ;9@; ;9!0!; á [{ » 즉, à 11x+10y=18 …… `㉠ 20x+21y=13 …… `㉡ ㉠_20-㉡_11을 하여 풀면 x=8, y=-7 주어진 연립방정식의 해가 무수히 많으려면 = a+2 -2a-4 -2 4 -2 4 = = -1 -a -1 -a 이때 a+2 -2a-4 = -2 4 ∴ a=-2 에서 2a=-4 ∴ a=-2 는 a의 값에 관계없이 성립한다. 3x+y=8 …… `㉠ x+3y=8 …… `㉡ à 의 교점을 나머지 두 직선도 지나야 한다. ㉠-㉡_3에서 -8y=-16 ∴ y=2 y=2를 ㉠에 대입하면 3x+2=8 ∴ x=2 즉, ㉠, ㉡의 교점은 (2, 2)이고 이 점은 두 직선 ax+by=4 2ax-3by=-22 à 도 지나야 하므로 x=2, y=2를 대입하면 2a+2b=4 4a-6b=-22 à 즉, a+b=2 ……`㉢ 2a-3b=-11 ……`㉣ à ㉢_2-㉣을 하여 풀면 a=-1, b=3 x+y=10 y+z=6 z+x=a ( [{ 9 ㉠+㉡+㉢을 하면 2(x+y+z)=16+a ……`㉠ ……`㉡ ……`㉢ ∴ x+y+z=8+ …… ㉣ ㉣-㉡을 하면 x=2+ ㉣-㉢을 하면 y=8- ;2A; ;2A; ;2A; ;2A; ;2A; x, y가 양수이므로` 2+ >0이고` 8- >0 ;2A; 2+ >0에서 a>-4 …… ㉤ 8- >0에서 a<16 …… ㉥ ;2A; ;2A; ㉤, ㉥을 동시에 만족하는 a의 값의 범위는 -4<a<16 네 직선이 한 점에서 만나므로 두 직선 ㉣-㉠을 하면 z= -2 1. 연립방정식 51 2 연립방정식의 활용 STEP 주제별 실력다지기 81~86쪽 49 624 키위：13, 배：8 9세 20회 5.6`km 갑：분속 60`m, 을：분속 40`m 시속 4`km 오르막길：시속 `km, 내리막길：시속 20`km :Á3¼: A：분속 70`m, B：분속 50`m 강물：시속 2.5`km, 유람선：시속 7.5`km 속력：초속 22`m, 길이：600`m 100`g 100`g, A：8`%, B：3`% 남학생：92명, 여학생：141명 A：1500원, B：2000원 12일 A：40일, B：60일 50분 100`g 60명 80`m 37개 07 최상위 NOTE 특수한 상황에서 거리 또는 속력 구하기 기차가 터널을 통과할 때 움직인 거리를 구할 때에는 기차의 길이를 흐르는 강에서의 배의 속력을 구할 때에는 강물의 속력을 고려해 고려해야 한다. 야 한다. ⑴ 터널을 완전히 통과할 때 기차가 움직인 거리 ⑴ 배가 강을 거슬러 올라갈 때의 속력 움직인 거리 배의 진행 방향 강물의 진행 방향 터널의 길이 기차의 길이 → (배의 속력)=(정지한 물에서의 배의 속력)-(강물의 속력) → (움직인 거리)=(터널의 길이)+(기차의 길이) ⑵ 터널을 통과할 때 기차가 안 보이는 동안 움직인 거리 ⑵ 배가 강을 따라 내려올 때의 속력 배의 진행 방향 강물의 진행 방향 터널의 길이 움직인 거리 기차의 길이 → (배의 속력)=(정지한 물에서의 배의 속력)+(강물의 속력) → (움직인 거리)=(터널의 길이)-(기차의 길이) ⑶ 배의 엔진이 멈춰있을 때의 속력 강물의 진행 방향 → (배의 속력)=(강물의 속력) 52 ⅠⅠⅠ 연립방정식 문제 풀이 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자를 y라 하면 키위가 x개, 배가 y개라 하면 총 무게가 4.1`kg이므로 구하는 수는 10x+y이다. 80x+300y+660=4100 일의 자리의 숫자가 십의 자리의 숫자의 2배보다 1이 크므로 ∴ 4x+15y=172 …… ㉠ y=2x+1 ……`㉠ 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 바꾼 수 10y+x는 처음 수보다 45가 크므로 총 가격이 19000원이므로 600x+1400y=19000 ∴ 3x+7y=95 …… ㉡ N의 백의 자리의 숫자를 x, 십의 자리의 숫자를 y, (x+23)+(y+23)=z+23 N은 각 자리의 숫자의 합의 52배와 같으므로 y+(x+y+23)=12x ∴ 11x=2y+23 …… ㉣ (10y+x)=(10x+y)+45 9y=9x+45 ∴ y=x+5 ……`㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 2x+1=x+5 ∴ x=4 x=4를 ㉡에 대입하면 y=9 따라서 처음 수는 49이다. 일의 자리의 숫자를 z라 하면 N=100x+10y+z이다. 100x+10y+z=52(x+y+z) 48x-42y-51z=0 ∴ 16x-14y-17z=0 …… ㉠ 백의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 바꾼 수 100z+10y+x는 N보다 198이 작으므로 100z+10y+x=100x+10y+z-198 -99x+99z=-198 ∴ x-z=2 …… ㉡ 숫자의 5배와 같으므로 x+z=5y ∴ x-5y+z=0 16x-14y-17z=0 ( [{ x-z=2 x-5y+z=0 9 ㉡+㉢을 하면 2x-5y=2 …… ㉢ ……`㉠ ……`㉡ ……`㉢ ∴ y= x- ;5@; ;5@; …… ㉣ 또, ㉡에서 z=x-2 …… ㉤ ㉣, ㉤을 ㉠에 대입하면 16x-14 x- -17(x-2)=0 {;5@; ;5@;} 80x-28x+28-85x+170=0 -33x+198=0 ∴ x=6 x=6을 ㉣, ㉤에 대입하면 y=2, z=4 따라서 N은 624이다. ㉠_3-㉡_4를 하면 17y=136 ∴ y=8 y=8을 ㉡에 대입하면 3x+56=95 ∴ x=13 따라서 키위의 개수는 13, 배의 개수는 8이다. 현재 은정이, 아버지, 할아버지의 나이를 각각 x세, y세, z세라 하면 y=4x+2 y+z=12x ∴ x+y+23=z ㉢을 ㉡에 대입하면 …… ㉠ …… ㉡ …… ㉢ ㉠을 ㉣에 대입하면 11x=2(4x+2)+23 ∴ x=9 따라서 은정이의 나이는 9세이다. 현재 나이가 x세일 때, n년 후 나이는 (x+n)세이다. A가 이긴 횟수를 x회, B가 이긴 횟수를 y회라 하면 A는 y회, B는 x회 진 것이다. 3x-2y=30 …… ㉠ B는 x회 지고 y회 이겨서 5칸 올라갔으므로 -2x+3y=5 …… ㉡ ㉠_3+㉡_2를 하면 5x=100 ∴ x=20 따라서 A는 20회 이겼다. 올라갈 때 걸은 거리를 x`km, 내려올 때 걸은 거리를 y`km라 하면 내려올 때 걸은 거리가 3`km 더 많기 때문에 y=x+3 …… ㉠ 총 5시간 40분이 걸렸으므로` + =5 ;3}; ;2{; ;6$0); ∴ 3x+2y=34 …… ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 3x+2(x+3)=34, 5x=28 ∴ x=5.6 따라서 올라갈 때 걸은 거리는 5.6`km이다. 갑의 속력을 분속 x`m, 을의 속력을 분속 y`m라 하자. 2. 연립방정식의 활용 53 백의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자의 합은 십의 자리의 A는 x회 이기고 y회 져서 30칸 올라갔으므로 갑이 600`m 걷는 동안 을이 400`m를 걸으므로 20x+20y=2400 ∴ x+y=120 …… ㉠ x：y=600：400 ∴ x= …… ㉠ y ;2#; 2400`m 떨어진 두 지점에서 서로 마주 보고 걸어서 24분만 에 만나므로 24x+24y=2400 ∴ x+y=100 …… ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 y=100 ∴ y=40 ;2%; y=40을 ㉠에 대입하면 x=60 따라서 갑과 을의 속력은 각각 분속 60`m, 분속 40`m이다. (두 사람이 이동한 거리의 합) =(두 사람이 출발한 두 지점 사이의 거리) 같은 방향으로 걸어가면 2시간만에 처음 만나므로 120x-120y=2400 ∴ x-y=20 …… ㉡ ㉠+㉡을 하면 2x=140 ∴ x=70 x=70을 ㉠에 대입하면 y=50 따라서 A는 분속 70`m, B는 분속 50`m로 걷는다. 강물이 흐르는 속력을 시속 x`km, 정지한 물에서 유 람선의 속력을 시속 y`km라 하자. 하므로 유람선의 속력은 시속 (y-x)`km이다. =2 ∴ y-x=5 …… ㉠ 두 사람이 서로 마주 보고 걷다가 만나는 경우 다음이 성립한다. 거슬러 올라갈 때 강물의 속력만큼 유람선의 속력이 감소 희선이가 걷는 속력을 시속 x`km, 버스의 속력을 시 내려올 때 강물의 속력만큼 유람선의 속력이 증가하므로 속 y`km라 하자. 유람선의 속력은 시속 (y+x)`km이다. 갈 때는 1시간 걷고 3시간 버스를 타서 52`km를 움직였으 =1 ∴ y+x=10 …… ㉡ 10 y-x 10 y+x 므로 으므로 x+3y=52 …… ㉠ 올 때는 2시간 버스를 타고 5시간 걸어서 52`km를 움직였 5x+2y=52 …… ㉡ ㉠_2-㉡_3을 하면 -13x=-52 ∴ x=4 따라서 희선이가 걷는 속력은 시속 4`km이다. 오르막길에서의 속력을 시속 x`km, 내리막길에서의 속력을 시속 y`km라 하면 + :Á]ª: =3 + =4 ;]*; :Á[ª: ;[*; á [{ » =X, =Y라 하면 ;[!; ;]!; 즉, 12X+8Y=4 à ㉠-㉡_6을 하면 à 8X+12Y=3 8X+12Y=3 ……`㉠ 3X+2Y=1 ……`㉡ -10X=-3 ∴ X= ;1£0; X= 을 ㉡에 대입하면 ;1£0; +2Y=1 ∴ Y= ;1»0; ;2Á0; 즉, x= , y=20이다. :Á3¼: 따라서 오르막길에서의 속력은 시속 `km이고, 내리막 :Á3¼: 길에서의 속력은 시속 20`km이다. ㉠+㉡을 하면 2y=15 ∴ y=7.5 y=7.5를 ㉡에 대입하면 x=2.5 따라서 강물이 흐르는 속력은 시속 2.5`km이고, 정지한 물 에서 유람선의 속력은 시속 7.5`km이다. 기차의 속력을 초속 x`m, 기차의 길이를 y`m라 하자. 길이가 1.6`km인 터널을 완전히 통과하는 데 1분 10초, 즉 길이가 640`m인 다리를 완전히 통과하는 데 30초가 걸리므 70초가 걸리므로 70x=1600+y …… ㉠ 로 30x=640+y …… ㉡ ㉠-㉡을 하면 40x=960 ∴ x=24 x=24를 ㉡에 대입하면 720=640+y ∴ y=80 따라서 기차의 길이는 80`m이다. 기차의 속력을 초속 x`m, 기차의 길이를 y`m라 하자. 길이가 500`m인 다리를 완전히 통과하는 데 50초가 걸리 길이가 2140`m인 터널을 통과하는 데 기차 전체가 70초 동 므로 500+y=50x …… ㉠ 안 터널에 있었으므로 2140-y=70x …… ㉡ ㉠+㉡에서 120x=2640 ∴ x=22 x=22를 ㉠에 대입하면 y=600 A의 속력을 분속 x`m, B의 속력을 분속 y`m라 하자. 따라서 기차의 속력은 초속 22`m, 기차의 길이는 600`m이 반대 방향으로 걸어가면 20분만에 처음 만나므로 다. 54 ⅠⅠⅠ 연립방정식 6`%의 소금물과 8`%의 소금물을 각각 x`g, y`g이라 따라서 올해 남학생 수는 80 1+ =92(명), { ;1Á0°0;} á [{ » 하면 더 부은 물은 y`g이므로 x+y+y=200 ;10^0; ;10*0; x+ y= _200 ;10%0; x+2y=200 ……`㉠ 3x+4y=500 ……`㉡ 즉, à ㉡-㉠_2를 하면 x=100 여학생 수는 150 1- =141(명)이다. { ;10^0;} 입학 지원자의 수가 140명이고 남녀의 비가 3`:`4이므로 남자의 수는 140_ =60(명), 여자의 수는 140_ =80(명)이다. 3 3+4 4 3+4 따라서 6`%의 소금물의 양은 100`g이다. 합격자의 남녀의 비가 3`:`5이므로 합격한 남자, 여자의 수 소금물에 물을 부으면 소금물의 양은 늘어나지만 소금의 양은 변하 를 각각 3x명, 5x명이라 하고, 불합격자의 남녀의 비가 지 않는다. 1`:`1이므로 불합격한 남자, 여자의 수를 각각 y명이라 하면 4`%의 소금물의 양을 3x`g이라 하면 더 부은 물의 양 은 2x`g이다. 또, 6`%의 소금물의 양을 y`g이라 하자. 총 소금물의 양이 600`g이므로 3x+y+2x=600 ∴ 5x+y=600 …… ㉠ 농도가 4.5`%가 되었으므로 ;10$0; _3x+ _y= ;10^0; 4.5 100 _600 ㉠-㉡을 하면 3x=150 ∴ x=50 남(명) 여(명) 지원자 합격자 불합격자 60 3x y 80 5x y 위의 표에서 3x+y=60 …… `㉠ 5x+y=80 …… `㉡ ㉠-㉡을 하면 -2x=-20 ∴ x=10 à x=10을 ㉠에 대입하면 30+y=60 ∴ y=30 ∴ 2x+y=450 …… ㉡ 따라서 불합격자의 수는 2y=60(명)이다. 따라서 더 부은 물의 양은 2x=2_50=100(g) A, B의 원가를 각각 x원, y원이라 하면 소금물 A, B의 농도를 각각 x`%, y`%라 하면 A는 4할의 이익을 붙여 정가를 정하고 정가의 20`%를 할 x+y=3500 …… ㉠ 인하였으므로 A의 판매가는 1.4x_ 1- (원) { ;1ª0¼0;} B는 5할의 이익을 붙여 정가를 정하고 정가의 10`%를 할 인하였으므로 _200+ _300= _500 ;10}0; ;10}0; ;10%0; ;10^0; _300+ _200= _500 2x+3y=25 …… `㉠ 3x+2y=30 …… `㉡ ;10{0; ;10{0; á [{ » 즉, à ㉠_2-㉡_3을 하면 -5x=-40 ∴ x=8 B의 판매가는 1.5y_ 1- (원) { ;1Á0¼0;} x=8을 ㉠에 대입하면 16+3y=25 ∴ y=3 따라서 두 상품의 이익을 각각 구하면 따라서 소금물 A, B의 농도는 각각 8`%, 3`%이고 5`%의 소금물을 만들기 위해 더 넣어야 할 물의 양을 z`g이라 하면 ;10^0; _500= _(500+z) ;10%0; 3000=2500+5z ∴ z=100 (A의 이익)=1.4x_ 1- -x=0.12x(원) { ;1ª0¼0;} (B의 이익)=1.5y_ 1- -y=0.35y(원) { ;1Á0¼0;} 그런데 두 상품을 합하여 880원의 이익이 생겼으므로 따라서 더 넣어야 할 물의 양은 100`g이고, 처음 두 소금물 A, B의 농도는 각각 8`%, 3`%이다. 0.12x+0.35y=880에서 12x+35y=88000 …… ㉡ 지난해 남녀 학생 수를 각각 x명, y명이라 하면 x+y=230 ;1Á0°0; á [{ » à ㉠_2+㉡을 하면 7x=560 y=3 , 즉 ;10^0; x- ∴ x=80, y=150 x+y=230 ……`㉠ 5x-2y=100 ……`㉡ ㉠_12-㉡을 하면 -23y=-46000 ∴ y=2000 y=2000을 ㉠에 대입하면 x=1500 따라서 A, B 상품의 원가는 각각 1500원, 2000원이다. A 상품과 B 상품의 팔린 개수를 각각 x개, y개라 하면 총 82개가 팔렸으므로 x+y=82 …… ㉠ 2. 연립방정식의 활용 55 총 이익이 16020원이므로 A, B가 동시에 하면 24일만에 일을 끝낼 수 있으므로 은정이와 현정이가 하루에 할 수 있는 일의 양을 각각 걸린다. 600_ x+300_ y=16020 ;1¤0; ;1ª0; ∴ 6x+y=267 …… ㉡ ㉠-㉡을 하면 -5x=-185 ∴ x=37 따라서 A 상품은 37개가 팔렸다. x, y라 하고, 전체 일의 양을 1이라 하면 4(x+y)=1 ……`㉠ 2x+5y=1 ……`㉡ à ㉠-㉡_2를 하면 -6y=-1 ∴ y= ;6!; y= 을 ㉡에 대입하면 x= ;6!; ;1Á2; 전체 일의 양을 1로 놓고, A, B가 하루에 할 수 있는 A가 20일 동안, B가 30일 동안 일을 하면 일을 끝낼 수 있 일의 양을 각각 x, y라 하면 으므로 20x+30y=1 …… ㉠ 24x+24y=1 …… ㉡ ㉠_6-㉡_5를 하면 60y=1 ∴ y= ;6Á0; y= ;6Á0; 을 ㉠에 대입하면 x= ;4Á0; 따라서 각각 혼자서 일을 하면 A는 40일, B는 60일이 1분당 A, B 수도관에서 나오는 물의 양을 각각 x`L, y`L라 하자. A 수도관을 20분, B 수도관을 24분 사용하여 모두 채울 수 있으므로 20x+24y=1000 ∴ 5x+6y=250 …… ㉠ 용하면 80`L가 부족하게 채워지므로 16(x+y)+10x=920 ∴ 13x+8y=460 …… ㉡ ㉠_4-㉡_3에서 -19x=-380 ∴ x=20 따라서 A 수도관만을 사용할 때 =50(분)이 걸린다. ;;Á;2)0);¼;; 따라서 은정이가 혼자서 하면 12일이 걸린다. A, B의 두 수도관을 동시에 16분, A 수도관을 10분 더 사 STEP 실력 높이기 87~90쪽 A：312000원, B：408000원 남자：30명, 여자：25명 506명 68점 A：140`g, B：280`g A：27세, B：36세 2`%, 7`% a=72, b=35 72명 빵：1000`g, 버터：100`g 40원：8개, 80원：2개, 120원：6개 가로의 길이：10`cm, 세로의 길이：8`cm 3`%：200`g, 4`%：300`g, 5`%：300`g 입장료：52000원, 식사비：42000원, 교통비：2000원 나연：시속 4.5`km, 현정：시속 1.5`km 12`km 문제 풀이 지난 달의 A, B의 판매액을 각각 x원, y원이라 하면 ㉡-㉠을 하면 x=300000 x+y=700000 …… ㉠ 또한, 이 달의 판매 증가액은 A가 0.04x원, B가 0.02y원이 x=300000을 ㉠에 대입하면 y=400000 따라서 이 달의 A, B의 판매액은 각각 (1+0.04)x=1.04x=1.04_300000=312000(원) (1+0.02)y=1.02y=1.02_400000=408000(원) 므로 x+ ;10$0; ;10@0; y=20000 ∴ 2x+y=1000000 …… ㉡ 56 ⅠⅠⅠ 연립방정식 서술형 다른 풀이 표현 단계 작년 남학생, 여학생 수를 각각 x명, y명이라 하면 올해 남학생 수는 작년에 비해 x명만큼 감소 ;1Á0¼0; 하면 합금 A에 들어 있는 철과 니켈의 양을 각각 x`g이라 하고 합금 B에 들어 있는 철과 니켈의 양을 각각 3y`g, y`g이라 하였고, 올해 여학생 수는 작년에 비해 y 명만 ;1Á0¼0; 철(g) 니켈(g) 합금 A 합금 B 새로운 합금 x 3y 280 x y 140 x+3y=280 ……`㉠ x+y=140 ……`㉡ à ㉠-㉡을 하면 2y=140 ∴ y=70 y=70을 ㉡에 대입하면 x=70 큼 증가했다. 따라서 연립방정식을 세우면 x+y=960 - x+ ;1Á0¼0; á [{ » ;1Á0¼0; ……`㉠ y=-4 ……`㉡ 변형 단계 ㉡을 간단히 하면 -x+y=-40 ……`㉢ 풀이 단계 ㉠+㉢을 하면 460_ 1+ { ;1Á0¼0;} =506(명)이다. 남자와 여자의 수를 각각 x명, y명이라 하면 x+ y=55_ ;6!; ;5@; ;1£1; , 5x+12y=450 ……`㉡ ㉡-㉠_5를 하면 7y=175 ∴ y=25, x=30 따라서 남자는 30명, 여자는 25명이다. 2y=920 ∴ y=460 따라서 합금 A는 2x=2_70=140(g), 합금 B는 확인 단계 따라서 올해의 여학생 수는 4y=4_70=280(g)이 필요하다. x+y=55 ……`㉠ 최저 합격 점수는 50명의 평균보다 5점이 낮고 합격자의 합격자의 평균을 x점, 불합격자의 평균을 y점이라 하자. 전체 평균은 30x+20y 50 = 3x+2y 5 이고, 평균보다는` 30점이 낮으며, 불합격자의 평균의 2배보다 필요한 합금 A, B의 양을 각각 x`g, y`g이라 하면 합 금 A의 철과 니켈의 비가 1`:`1이므로 철과 니켈의 양은 각 각 x`g이고, 합금 B의 철과 니켈의 비가 3`:`1이므로 철 ;2!; ㉠-㉡을 하면 x=98 3점이 낮으므로 최저 합격 점수는 3x+2y 5 -5=x-30=2y-3이다. -5=x-30 3x+2y 5 x-30=2y-3 á [{ » 2x-2y=125 ……`㉠ x-2y=27 ……`㉡ 즉, à 따라서 구하는 최저 합격 점수는 98-30=68(점)이다. 두 집단의 평균 구하기 A 집단 학생 a명과 B 집단 학생 b명의 점수의 평균을 각각 x점, y점이라 하면 A 집단과 B 집단의 점수의 총합은 각각 ax점, by점이므로 두 집단 전체의 평균은 ax+by a+b 점이다. 현재 A는 x세, B는 y세라고 하자. A의 나이가 세일 때, B의 나이가 x세이므로 ;2}; 과거 나이 현재 나이 A B y ;2!; x x y x+y=63 x- ;2}; á [{ » =y-x 즉, à x+y=63 ……`㉠ 4x-3y=0 ……`㉡ 2. 연립방정식의 활용 57 과 니켈의 양은 각각 y`g, y`g이다. ;4#; ;4!; 또한, 두 종류의 합금을 녹여서 철과 니켈을 2：1의 비율로 합금 420`g을 만들어야 하므로 새로운 합금의 철과 니켈의 양은 각각 280`g, 140`g이다. 철(g) 니켈(g) 합금 A 합금 B 새로운 합금 x ;2!; y ;4#; 280 x ;2!; y ;4!; 140 2x+3y=1120 ……`㉠ ……`㉡ x+ y=280 ;4#; ;2!; 즉, á [{ » ㉠-㉡을 하면 2y=560 ∴ y=280 2x+y=560 y=140 x+ à ;2!; ;4!; y=280을 ㉡에 대입하면 x=140 따라서 합금 A는 140`g, 합금 B는 280`g이 필요하다. ㉠_3+㉡을 하면 7x=189 ∴ x=27 (x-12)명, 여자는 y명이므로 4(x-12)=y x=27을 ㉠에 대입하면 y=36 즉, 4x-y=48 따라서 현재 A의 나이는 27세, B의 나이는 36세이다. Û` 항구 C를 지났을 때 남은 승객 수는 남자는 두 그릇을 A, B라 하고 각각의 소금물의 농도를 x`%, y`%라 하자. A, B에 담긴 소금물을 40`g씩 맞바꾸었으므로 A의 소금의 양은 ;10{0; _60+ _40=4 ;10}0; ∴ 3x+2y=20 …… ㉠ B의 소금의 양은 ;10{0; _40+ _60=5 ;10}0; ∴ 2x+3y=25 …… ㉡ ㉠_3-㉡_2를 하면 5x=10 ∴ x=2 x=2를 ㉠에 대입하면 6+2y=20 ∴ y=7 따라서 두 그릇의 소금물의 농도는 각각 2`%, 7`%이다. a는 b보다 37이 크므로 a=b+37 …… ㉠ b의 십의 자리의 숫자를 m, 일의 자리의 숫자를 n이라 하면 b=10m+n …… ㉡ 이고, 일의 자리의 숫자와 십의 자리의 숫자를 바꾼 수 10n+m은 a보다 19가 작으므로 10n+m=a-19 …… ㉢ ㉡을 ㉠에 대입하면 a=10m+n+37 …… ㉣ ㉣을 ㉢에 대입하면 10n+m=10m+n+37-19 {(x-12)-6}명, 여자는 (y-6)명이므로 (x-12)-6= (y-6) ;7!; 즉, 7x-y=120 풀이 단계 따라서 연립방정식 4x-y=48 ……`㉠ 7x-y=120 ……`㉡ 에서 à ㉡-㉠`을 하면 3x=72 ∴ x=24 x=24를 ㉠에 대입하면 96-y=48 ∴ y=48 확인 단계 따라서 처음 승객 수는 24+48=72(명)이다. 빵을 x`g, 버터를 y`g`먹는다고 하면 단백질 섭취량에서 x+ ;10*0; ;10@0; 지방 섭취량에서 x+ ;10!0; ;1¥0¼0; ㉡_4-㉠을 하면 y=82 ∴ 4x+y=4100 …… ㉠ y=90 ∴ x+80y=9000 …… ㉡ 319y=31900 ∴ y=100 y=100을 ㉠에 대입하면 x=1000 따라서 빵 1000`g, 버터 100`g을 먹으면 된다. 40원, 80원, 120원짜리 물건을 각각 x개, y개, z개 샀 9n=9m+18 ∴ n=m+2 …… ㉤ a는 두 자리의 자연수이므로 ㉠에서 10Éb+37É99 ∴ -27ÉbÉ62 또, b도 두 자리의 자연수이므로 10ÉbÉ99 ∴ 10ÉbÉ62 …… ㉥ 따라서 ㉡, ㉥에서 10É10m+nÉ62이면서 ㉤을 만족하는 m, n은 다고 하자. (단, x, y, z는 모두 양의 정수) 물건을 총 16개 샀으므로 x+y+z=16 …… ㉠ 가격이 총 1200원이므로 40x+80y+120z=1200 ∴ x+2y+3z=30 …… ㉡ ㉡-㉠을 하면 y+2z=14 …… ㉢ (m, n)=(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7) ㉢에서 y, z는 모두 양의 정수이고 z를 최대로 하려면 ∴ b=13, 24, 35, 46, 57 이때 ㉠에서 a=50, 61, 72, 83, 94이고, 이 중에서 3의 배수는 72뿐이므로 z=6, y=2 ㉠에서 x+2+6=16이므로 x=8 따라서 40원, 80원, 120원짜리 물건을 각각 8개, 2개, 6개 표현 단계 처음 항구 A에서 배에 탔던 남자 승객 수를 x명, 표현 단계 작은 직사각형의 가로의 길이를 x`cm, 세로의 길 여자 승객 수를 y명이라 하자. 이를 y`cm`(x>y)라 하면 Ú 항구 B를 지났을 때 남은 승객 수는 남자는 직사각형 ABCD의 넓이는 샀다. 서술형 a=72, b=35 서술형 58 ⅠⅠⅠ 연립방정식 ABÓ_BCÓ=5y(x+y)=720 또는 ㉡에서 (작은 직사각형의 넓이)_9=9xy=720으로 나타 x-20000=y-10000 확인 단계 따라서 작은 직사각형의 가로의 길이는 10`cm, 세 로의 길이는`8`cm이다. 표현 단계 나연이의 속력을 시속 x`km, 현정이의 속력을 시 3`%, 4`%, 5`%의 소금물의 양을 각각 x`g, y`g, z`g (시간)_(속력)=(거리)이고 자전거로 간 거리 y-10000=z+30000 à 즉, à x-y=10000 y-z=40000 ……`㉢ ……`㉣ ㉠을 ㉢에 대입하면` 5z=10000 ∴ z=2000 z=2000을 ㉣에 대입하면 y=42000 y=42000을 ㉢에 대입하면 x=52000 따라서 입장료, 식사비, 교통비는 각각 52000원, 42000원, 2000원이다. 서술형 속 y`km라 하면 가 더 많으므로 2x-2y=6 x-y=3 …… `㉠ 즉, x+y=6 x+y=6 …… `㉡ à 풀이 단계 ㉠+㉡을 하면 à 2x=9 ∴ x=4.5 x=4.5를 ㉡에 대입하면 4.5+y=6 ∴ y=1.5 확인 단계 따라서 나연이의 속력은 시속 4.5`km, 현정이의 속력은 시속 1.5`km이다. 낼 수 있다. 5y(x+y)=720 변형 단계 에서 9xy=720 à xy+yÛ`=144 ……`㉠ xy=80 ……`㉡ à 풀이 단계 ㉡을 ㉠에 대입하면 80+yÛ`=144 yÛ`=64 y는 양수이므로 y=8 y=8을 ㉡에 대입하면 x=10 이라 하면 x+y+z=800 …… ㉠ x+ ;10#0; ;10$0; y= (x+y)에서 3x=2y ∴ y= x …… ㉡ x+ ;10#0; ;10%0; z= (x+z)에서 3x=2z ∴ z= x …… ㉢ 3.6 100 ;2#; 4.2 100 ;2#; ㉡, ㉢을 ㉠에 대입하면 x+ x+ x=800 ;2#; ;2#; ∴ x=200, y=300, z=300 300`g이다. 따라서 3`%, 4`%, 5`%의 소금물의 양은 각각 200`g, 300`g, 력을 분속 2x`m, B의 속력을 분속 3x`m라 하고 호수의 둘 A, B의 속력의 비가 200`:`300=2`:`3이므로 A의 속 입장료를 x원, 식사비를 y원, 교통비를 z원이라 하면 10_2x+10_3x_1.2=y-3600 입장료가 교통비의 5배에 식사비를 합한 것과 같으므로 x=5z+y ……`㉠ 희선, 찬희, 지은이가 부담한 금액은 각각 레의 길이를 y`m라 하면 80_3x-80_2x=y à 즉, 80x=y ……`㉠ 56x=y-3600 ……`㉡ à ㉠을 ㉡에 대입하면 (x-20000)원, (y-10000)원, (z+30000)원이고 모두 56x=80x-3600 ∴ x=150 같은 금액을 부담하였으므로 x=150을 ㉠에 대입하면 y=12000 x-20000=y-10000=z+30000 ……`㉡ 따라서 호수의 둘레의 길이는 12`km이다. 2. 연립방정식의 활용 59 STEP 최고 실력 완성하기 91~92쪽 16 또는 20 A：260원, B：120원 민수의 수입：16800원, 영희의 지출：10500원 a=80, b=120, c=180 ;3°6; a=18, b=3 10곡 1400`g A, B, C 구슬이 각각 2a개, 2b개, 2c개씩 주머니에 5a+10b=8a+8b, 3a=2b 초속 850`m 시속 12`km 문제 풀이 들어 있다고 하자. (단, a, b, c는 자연수) 구슬의 개수가 56개이므로 2a+2b+2c=56 ∴ a+b+c=28 …… ㉠ 구슬의 무게가 192`g이므로 6_2a+4_2b+2_2c=192 ∴ 3a+2b+c=48 ㉡-㉠에서 2a+b=20 …… ㉡ …… ㉢ …… ㉣ 으므로 a<b0일 때 (cid:90) (cid:21) (cid:19) (cid:48) (cid:18) (cid:19) (cid:89) (cid:66)(cid:29)(cid:17) 두 점 (1, 2), (2, 4)를 지나므로 이를 y=ax+b에 각각 대입하면 a+b=2, 2a+b=4 ∴ a=2, b=0 Û a<0일 때 a+b=4, 2a+b=2 ∴ a=-2, b=6 두 점 (1, 4), (2, 2)를 지나므로 같은 방법으로 주어진 일차함수의 그래프의 x절편과 y절편은 각각 Ú, Û에 의해 a-b=2 또는 a-b=-8이다. - ;aB; , b이므로 A - , 0 , B(0, b)이다. { ;aB; } y=x+a의 그래프 위에 점 A(1, 2)가 있으므로 대입 ABÓ의 중점의 좌표는 -aB; 2 , ;2B; = - { , ;2õa; ;2B;} - { , ;2õa; ;2B;} =(1, 1)이므로 ¦ ¥ - ;2õa; =1, =1 ;2B; ∴ a=-1, b=2 ∴ a+b=1 y=3x+1의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동하면 y-(-1)=3(x-2)+1 ∴ y=3x-6 ……`㉠ 면 y=3(x-m)+1 그러므로 y=x+1에 B(3, b)를 대입하면 하면 2=1+a ∴ a=1 b=4 ∴ B(3, 4) 오른쪽 그림과 같이 A(1, 2)를 x축에 대하여 대칭이 동시킨 점이 A'(1, -2)이고 APÓ+BPÓ=A'PÓ+BPÓ이다. 이것이 최소가 될 때는 세 점 A', P, B가 한 직선 위에 있을 때이다. (cid:90) (cid:18) (cid:14)(cid:18) (cid:35)(cid:9)(cid:20)(cid:13) (cid:21)(cid:10) (cid:34)(cid:9)(cid:18)(cid:13) (cid:19)(cid:10) (cid:48) (cid:18) (cid:49) (cid:89) (cid:34)(cid:8)(cid:9)(cid:18)(cid:13) (cid:14)(cid:19)(cid:10) 직선 A'B의 관계식을 y=mx+n이라 하고 A'(1, -2)와 m+n=-2 3m+n=4 à 2. 일차함수와 그래프 75 y=3x+1의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼 평행이동하 B(3, 4)를 대입하면 점 P는 직선 y=3x-5와 x축의 교점이므로 ∴ m=3, n=-5 ∴ y=3x-5 0=3x-5 ∴ x= ;3%; 따라서 점 P의 좌표는 , 0 이다. {;3%; } 세 점이 한 직선 위에 있으려면 두 점을 지나는 직선 의 기울기가 같아야 한다. ⑴ 2-(-1) 3-1 = 1-2 a-3 3(a-3)=-2 ∴ a= ;3&; ⑵ a-1 -1-2 = 2-1 4-2 2(a-1)=-3 ∴ a=- ;2!; 직선의 기울기는 같다. (y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) = =-3 ;2K; (기울기)= ∴ k=-6 y=f(x), y=g(x)의 그래프의 기울기가 각각 1과 -2이므로 f(x)=x+m, g(x)=-2x+n이라 하면 y=f(x)의 그래프의 x절편이 3이고 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프의 교점의 x좌표가 3이므로 교점의 좌표는 (3, 0)이다. g(x)=-2x+n에 (3, 0)을 대입하면 0=-2_3+n ∴ n=6 따라서 g(x)=-2x+6이므로 y절편은 6이다. 일차함수 y=ax+b의 그래프가 두 점 (4, 0), (0, 2) 를 지나므로 각각 대입하면 0=4a+b 2=a_0+b à ∴ a=- , b=2 ;2!; y=- x+2의 그래프의 기울기는 - 이고 x-my=2 ;2!; ;2!; 의 그래프의 기울기는 y= x- 에서 이다. 1 m 2 m 1 m 두 직선이 수직이려면 기울기의 곱이 -1이어야 하므로 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있을 때, ABê=ACê=BCê이므로 세 f(m)-f(n)=3n-3m=-3(m-n)에서 f(m)-f(n) m-n =-3이므로 기울기인 a=-3 따라서 x의 값이 2만큼 증가할 때 y의 값은 k만큼 증가하 므로 - { ;2!;} _ 1 m =-1 ∴ m= ;2!; 76 ⅠV 일차함수 STEP 실력 높이기 113~117쪽 ④,`⑤ -2ÉbÉ2 :£5ª: 1 - ;2%; ÉaÉ- ;5@; -3ÉkÉ0 y=2x+1 <m< ;3@; ;5!; -1ÉkÉ4 , 0 } {;5*; ac<0 ;4#; 2 72`cmÛ` ;2!; 2 y=x+2 , 1, 2 ;2!; 40분 y=8x`(0<x<5), y=90-10x`(5Éx<9) 오후 5시 풀이 참조 ⑤ x=2일 때, y의 값은 양수이므로 세 점 O, A, B를 이동한 점을 각각 O', A', B'이라 서술형 표현 단계 y=ax+b의 그래프가 점 (1, 1)을 지나므로 세 점 O', A', B'이 한 직선 위에 있으려면 각각의 두 점을 문제 풀이 ①, ② 기울기가 양수이므로` a>0 y절편이 0과 1 사이에 있으므로` ③, ④ x=1일 때, y의 값은 양수이므로 0<b+1<1 ∴ -1<b<0 a+b+1>0 2a+b+1>0 ∴ 2a+b>-1 풀이 단계 (1, 1)을 대입하면 a+b=1 즉, b=1-a이므로 -1ÉaÉ3에서 -3É-aÉ1 ∴ -2É1-aÉ2 확인 단계 따라서 b의 값의 범위는 -2ÉbÉ2 ∴ y=- x+ ;5$; :ª5¢: 따라서 점 A의 좌표는 { 0, :ª5¢:} 이므로 △AOB= _ _ = ;3*; :ª5¢: ;2!; :£5ª: 하면 O(0, 0) O'(0, 0) A(2, 4) A'(6, -2) Ú Ú Ú B(m, 2) B'(m+2, m-2) 지나는 직선의 기울기가 같아야 한다. 두 점 O', A'을 지나는 직선의 기울기는 -2-0 6-0 =- ;3!; …… ㉠ 두 점 O', B'을 지나는 직선의 기울기는 (m-2)-0 (m+2)-0 = m-2 m+2 …… ㉡ ㉠, ㉡이 일치하므로 m-2 m+2 =- , 3(m-2)=-(m+2) ;3!; 점 B는 직선 y=x 위의 점이 므로 점 B의 좌표를 (a, a)로 놓 (cid:90)(cid:30)(cid:89) ∴ m=1 (cid:90) (cid:34) (cid:66) (cid:35) (cid:48) (cid:66) (cid:36)(cid:9)(cid:23)(cid:13)(cid:65)(cid:17)(cid:10) (cid:89) B , {;3*; ;3*;} , C(6, 0)을 지나므로 기울기는 으면 △BOC= _6_a=8 ;2!; ∴ a= ;3*; 또, 직선 BC는 두 점 0- 6- ;3*; ;3*; =- ;5$; 대입하면 k= :ª5¢: 직선 BC의 방정식을 y=- x+k라 놓고 C(6, 0)을 ;5$; 서술형 표현 단계 그래프로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 변형 단계 일차함수 y=ax-1의 (cid:34) (cid:90) (cid:21) 그래프가 ABÓ 와 만나 려면 일차함수의 그래 (cid:35) (cid:14)(cid:22) (cid:14)(cid:19) (cid:18) (cid:48) (cid:89) (cid:14)(cid:18) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:14)(cid:18) 프의 기울기가 점 A를 지날 때보다 크거나 같고, 점 B를 지날 때보다 작거나 같아야 한다. 풀이 단계 y=ax-1에 x=-2, y=4를 대입하면 4=-2a-1 ∴ a=- ;2%; x=-5, y=1을 대입하면 2. 일차함수와 그래프 77 1=-5a-1 ∴ a=- ;5@; 확인 단계 ∴ - ÉaÉ- ;2%; ;5@; 일차함수 y=ax-1에 대하여 a의 값에 관계없이 x=0일 때, y=-1이므로 일차함수 y=ax-1의 그래프는 a의 값에 관계없이 점 (0, -1)을 지난다. -5m+1<0 풀이 단계 즉, 2-3m>0에서 -3m>-2 ∴ m< ;3@; 또한, -5m+1<0에서 -5m<-1 ∴ m> ;5!; 확인 단계 ∴ <m< ;5!; ;3@; y=- x+1의 그래프 ;2#; 와 수직으로 만나는 직선 l의 기울기를 m이라 하면 - { ;2#;} _m=-1 ∴ m= ;3@; (cid:90) (cid:18) y=2x+k는 x의 값이 증가할 때 y의 값도 증가하므로 x=0일 때 2_0+k¾-1 ∴ k¾-1 (cid:14)(cid:28)(cid:19)(cid:4)(cid:28) (cid:77) (cid:90)(cid:30)(cid:28)(cid:20)(cid:33)(cid:28)(cid:89)(cid:12)(cid:18) (cid:48) (cid:28)(cid:20)(cid:33)(cid:28) (cid:89) x=2일 때 2_2+kÉ8 ∴ kÉ4 (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:28)(cid:19)(cid:4)(cid:28)(cid:89)(cid:12)(cid:18) ∴ -1ÉkÉ4 이때 직선 l이 점 (0, 1)을 지나므로 직선 l의 방정식은 y= x+1이고 그래프는 위의 그림과 같다. ;3@; 오른쪽 그림과 같이 점 A(1, 1)과 x축에 대하여 대칭인 (cid:35) 점을 A'이라 하면 A'(1, -1)이다. (cid:34) (cid:90) (cid:21) (cid:18) 따라서 직선 l과 x축, y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 ACÓ=A'CÓ이므로 ACÓ+BCÓ의 길이 (cid:48) (cid:14)(cid:18) (cid:36) (cid:18) (cid:34)(cid:8) (cid:21) (cid:89) _ _1= ;2!; ;2#; ;4#; 가 최소가 되려면 A'CÓ+BCÓ의 길 이가 최소가 되면 된다. 즉, 세 점 A', C, B가 한 직선 위에 있을 때, A'CÓ+BCÓ의 길이는 최소가 된다. 두 점 A'(1, -1), B(4, 4)를 지나는 직선 y=2x+k가 선분 AB와 만나는 경우는 오른쪽 그림과 같이 점 A를 지나는 직선부터 점 B를 지 (cid:140) (cid:141) (cid:35) (cid:90) (cid:20) (cid:19) (cid:34) (cid:48) (cid:18) (cid:20) (cid:89) -1=a+b …… ㉠ 나는 직선까지이다. Ú y=2x+k의 그래프가 점 A(1, 2)를 지날 때 2=2+k ∴ k=0 3=6+k ∴ k=-3 Ú, Û에 의해 -3ÉkÉ0 Û y=2x+k의 그래프가 점 B(3, 3)을 지날 때 일차함수를 y=ax+b라 하면 =2는 일차함수의 그래프의 기울기이므로 f(mÛ`)-f(n) mÛ`-n y=2xæ+b 5=2_2+b ∴ b=1 f(2)=5이므로 (2, 5)를 대입하면 따라서 일차함수의 식은 y=2xæ+1이다. 서술형 표현 단계 일차함수의 그래프가 제2사분면 만을 지나지 않을 때는 오른쪽 그림과 같이 (기울기)>0, (y절편)<0인 경우이다. (cid:90) (cid:48) 직선의 방정식을 y=ax+b로 놓으면 점 A'(1, -1)을 지나므로 또, 점 B(4, 4)를 지나므로 4=4a+b …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a= , b=- ;3%; ;3*; ∴ y= x- …… ㉢ ;3%; ;3*; 점 C는 직선 ㉢과 x축의 교점이므로 0= x- ∴ x= ;3%; ;3*; ;5*; 따라서 점 C의 좌표는 , 0 이다. {;5*; } 1이고 x의 값의 범위는 -1ÉxÉ1, 함숫값의 범위는 0ÉyÉn이므로 그 래프의 모양은 오른쪽 그림과 같이 m>0인 경우와 m<0인 경우로 2가 지이다. Ú m>0일 때 y=mx+1의 그래프의 y절편은 (cid:78)(cid:29)(cid:17) (cid:78)(cid:31)(cid:17) (cid:90) (cid:79) (cid:18) (cid:14)(cid:18) (cid:48) (cid:18) (cid:89) 변형 단계 y=(2-3m)x-5m+1에서 2-3m>0이고 ∴ y=x+1 78 ⅠV 일차함수 (cid:89) 점 (-1, 0)을 지나므로 대입하면 -m+1=0 ∴ m=1 점 (1, n)을 지나므로 대입하면 1+1=n ∴ n=2 Û m<0일 때 점 (1, 0)을 지나므로 대입하면 m+1=0 ∴ m=-1 ∴ y=-x+1 점 (-1, n)을 지나므로 대입하면 -(-1)+1=n ∴ n=2 Ú, Û에서 n=2 오른쪽 그림과 같이 y= 의 ;[!; 그래프와 ABÓ의 교점을 P, Q라 하면 BPÓ=PQÓ=QAÓ이므로 P , 6 , Q } {:ª3 Å: , 3 } {;3A; (cid:35) (cid:90) (cid:26) (cid:23) (cid:20) (cid:49) (cid:50) (cid:34) (cid:66) (cid:48) (cid:19)(cid:66) (cid:26)(cid:18)(cid:32)(cid:26) (cid:26)(cid:26)(cid:18)(cid:26)(cid:26) (cid:90)(cid:30) (cid:26)(cid:58)(cid:197)(cid:26) (cid:89) 점 P는 y= 의 그래프 위의 점이므로 갑이 그린 그래프의 식은 y=-x+2이고 b의 값은 바 르게 보았으므로 b=2 을이 그린 그래프의 식은 y=x-2이고 a의 값은 바르게 보 았으므로 a=1 따라서 처음 일차함수의 식은 y=x+2이다. 직선 y=mx-1이 점 (4, 7)을 지나므로 7=4m-1 ∴ m=2 세 직선이 삼각형을 이루지 못하는 경우는 다음 세 가지 중 하나이다. Ú 직선 y=ax+5가 점 (4, 7)을 지날 때 7=4a+5 ∴ a= ;2!; Û 직선 y=ax+5가 직선 y=x+3과 평행할 때 Ü 직선 y=ax+5가 직선 y=mx-1과 평행할 때 a=1 a=m=2 Ú, Û, Ü에 의해 a= 또는 a=1 또는 a=2 ;2!; 세 직선 y=x+3, y=mx-1, y=ax+5의 y절편은 각각 3, -1, 5로 모두 다르므로 세 직선 중 적어도 두 직선이 일치하는 경우는 생기지 않는다. ;[!; ;a#; 6= , 6= 1 ;3A; ∴ a= ;2!; BCÓ：ODÓ=2：1이므로 ODÓ=a라 하면 BCÓ=2a이고 점 A에서 ODÓ와 평행하게 보조 선을 그어 BDÓ와 만나는 점을 E라 하자. 직선 m의 기울기는 이다. ;aB; 2a+b a - = ;aB; 2a a =2이다. 다른 풀이 고, 두 직선 l, m의 관계식을 각각 y=px+q, y=tx+q라 하면 점 B의 좌표는 B(a, ap+q)이고, 점 C의 좌 표는 C(a, at+q)이다. 오른쪽 그림과 같이 (cid:90) ax+by+c=0의 x절편은 - >0이므로 <0 ;aC; ;aC; (cid:77) (cid:19)(cid:66) (cid:35) (cid:36) (cid:34) (cid:48) (cid:66) (cid:66) (cid:38) (cid:67) (cid:37) (cid:78) (cid:89) 2a+b a , ∴ ac<0 다른 풀이 <0, >0 ;bC; ;bA; ∴ ac<0 한다. ax+by+c=0, y=- x- ;bA; ;bC; 기울기는 - >0, y절편은 - <0이므로 ;bA; ;bC; AEÓ=a이고 CEÓ=b라 하면 직선 l의 기울기는 따라서 두 직선 l, m의 기울기의 차는 따라서 a, c는 부호가 서로 다르다. 즉, a, b는 부호가 서로 다르고 b, c는 부호가 서로 같다. 점 D의 좌표를 (a, 0)이라 하 (cid:77)(cid:27)(cid:90)(cid:30)(cid:81)(cid:190)(cid:89)(cid:12)(cid:82) PBCQ가 등변사다리꼴이 되려면 APÓ=QDÓ이어야 (cid:90) (cid:34) (cid:48) (cid:35) (cid:36) (cid:19)(cid:66) x초 후에 PBCQ가 등변사다리꼴이 된다고 하면 APÓ=x`cm이고 AQÓ=3x`cm이므로 QDÓ=12-3x(cm) (cid:78)(cid:27)(cid:90)(cid:30)(cid:85)(cid:190)(cid:89)(cid:12)(cid:82) 즉, APÓ=QDÓ에서 x=12-3x ∴ x=3 (cid:37)(cid:66) (cid:89) 따라서 3초 후에 PBCQ는 등변사다리꼴이 된다. 이때 BCÓ：ODÓ=2：1이고 ODÓ=a이므로 BCÓ=2a 즉, BDÓ-CDÓ=BCÓ이므로 ap+q-(at+q)=2a, ap+q-at-q=2a, a(p-t)=2a ∴ p-t=2 PQÓ=AQÓ-APÓ=2x`cm이므로 사다리꼴 PBCQ의 넓이를 y`cmÛ`라 하면 y= _(2x+12)_8=8x+48 ∴ y=8x+48 ;2!; 따라서 두 직선 l, m의 기울기의 차는 p-t=2이다. y=8x+48에 x=3을 대입하면 y=8_3+48=72 2. 일차함수와 그래프 79 따라서 사다리꼴 PBCQ가 등변사다리꼴이 되었을 때의 넓 85`¾의 물은 55`¾까지 내려가므로 55`¾까지 내려가는 이는 72`cmÛ` 이다. 데 걸린 시간은 y=85-2x에 y=55를 대입하면 서술형 55=85-2x ∴ x=15(분) 표현 단계 x의 값의 범위가 0<x<5일 때, 점 P는 ABÓ 위에 ∴ (전체 소요 시간)=25+15=40(분) 있고 x의 값의 범위가 5Éx<9일 때, 점 P는 BCÓ 위에 있다. 1분에 2`mL씩 x분 동안 맞으면 2x`mL, 3`mL씩 y분 풀이 단계 Ú 점 P가 ABÓ 위에 있을 때, 동안 맞으면 3y`mL이므로 2x+3y=600이다. △APC= _(18-2x)_10=90-10x(cmÛ`) ;2!; 따라서 오후 2시 40분에 2시간 20분을 더하면 다 맞았을 ∴ y=90-10x (5Éx<9) 때의 시각은 오후 5시이다. APÓ=2x`cm이므로 △APC= _2x_8=8x(cmÛ`) ;2!; ∴ y=8x (0<x<5) Û 점 P가 BCÓ 위에 있을 때, CPÓ=18-2x(cm)이므로 확인 단계 따라서 x, y 사이의 관계식은 y=8x (0<x<5) y=90-10x (5Éx<9) à 위의 문제의 답은 와 같이 나타내어도 y=8x (0<xÉ5) y=90-10x (5Éx<9) à 된다. 이렇게 두 범위에 모두 등호를 넣어줄 수 있을 때는 보통 5Éx<9 와 같이 ‘크다’ 쪽에 등호를 붙여서 표현한다. 2x+3y=600에서 3y=-2x+600 ∴ y=- x+200 ;3@; 2`mL씩 1시간 30분 동안 맞았으므로 x=90을 대입하면 y =- _90+200 ;3@; =-60+200=140 즉, 3`mL씩 140분을 맞아야 한다. 서술형 표현 단계 70-40=30(cm)이므로 물은 10분 동안 30`cm, 즉 1분에 3`cm씩 채워지고, 10분 후의 높이가 40`cm이었으므로 물을 틀기 전의 물통에는 10`cm 높이의 물이 채워져 있었다. 따라서 x, y 사이의 관계식은 y=3x+10이다. 풀이 단계 물이 가득 찼을 때의 높이는 100`cm이므로 5분에 15`¾씩 올라가므로 1분에 3`¾씩 올라가고, 3분에 6`¾씩 내려가므로 1분에 2`¾씩 내려간다. y=3x+10에 y=100을 대입하면 100=3x+10 ∴ x=30 x분 후의 온도를 y`¾라 하면 올라갈 때：y=3x+10 내려갈 때：y=85-2x 85=3x+10 ∴ x=25(분) 10`¾의 물은 85`¾까지 올라가므로 85`¾까지 올라가는 데 걸린 시간은 y=3x+10에 y=85를 대입하면 즉, x의 값의 범위는 0ÉxÉ30, 함숫값의 범위는 10ÉyÉ100이다. 확인 단계 따라서 x, y 사이의 관계식은 (cid:90)(cid:9)(cid:68)(cid:78)(cid:10) (cid:18)(cid:17)(cid:17) y=3x+10`(0É xÉ30)이 고, 이것을 그래프로 나타내 면 오른쪽 그림과 같다. (cid:18)(cid:17) (cid:48) (cid:20)(cid:17) (cid:89)(cid:9)분(cid:10) 80 ⅠV 일차함수 STEP 최고 실력 완성하기 118~119쪽 m=-2, n= ;3*; m= ;n@; 제3사분면 - , 0 } ;5&; { 33 y=- x+5 ;2!; y=- x ;9*; 3<y<7 - { , :ª7»: :ª7¤:} 문제 풀이 직선 l의 y절편이 -2이므로 직선 l을 나타내는 함수 따라서 교점의 좌표는 (1, a+b)이고 이 점이 제4사분면 의 식은 y=kx-2 또, 직선 l이 점 (4, 4)를 지나므로 4=4k-2 ∴ k= ;2#; 위에 있으므로 `a+b<0 그런데 ab>0이므로 a<0, b<0 따라서 점 (a, b)는 제3사분면 위의 점이다. 즉, l：y= x-2이고 이 직선이 점 A(3a, 0)을 지나므로 오른쪽 그림과 같이 (cid:90) ;2#; 두 점 A(-5, a), B(7, b)는 (cid:34) (cid:24) (cid:18)(cid:23) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:28)(cid:20)(cid:197)(cid:28)(cid:89)(cid:12)(cid:28)(cid:28)(cid:20)(cid:28)(cid:28) 0= a-2, 2= a ∴ a= ;2(; ;2(; ;9$; 따라서 A , 0 , B } {;3$; {:Á9¤: , - ;9*;} 이고 직선 y=mx+n이 두 점 A, B를 지나므로 A B , 0 을 대입하면` m+n=0 ;3$; {;3$; } ……`㉠ {:Á9¤: ;9*;} , - 을 대입하면 m+n=- ……`㉡ :Á9¤: ;9*; 직선 y=- x+ 위에 ;3!; :Á3¤: 있으므로 a=- _(-5)+ =7, :Á3¤: ;3!; (cid:20) (cid:49) (cid:36) (cid:14)(cid:22) (cid:14)(cid:85) (cid:48) (cid:35) (cid:37) (cid:24) (cid:89) b=-;3!;_7+ 즉, A(-5, 7), B(7, 3)이므로 C(-5, 0), D(7, 0)이고 =3 :Á3¤: 점 P의 좌표를 (-t, 0) (t>0)이라 하면 직선 y=mx+n이 두 점 A , 0 , B } {;3$; {;;Á9¤;;, -;9*;} 을 지나 (5-t)_7=(t+7)_3, 35-7t=3t+21, 10t=14 ㉡-㉠에서 m=- ∴ m=-2 ;9$; ;9*; 또, m=-2를 ㉠에 대입하면 - ;3*; +n=0 ∴ n= ;3*; 다른 풀이 - -0 ;9*; - ;9*; 므로 m= = =-2 - :Á9¤: ;3$; ;9$; y=-2x+n에 A , 0 을 대입하면 {;3$; } 0=-2_ +n ∴ n= ;3$; ;3*; y=mx+2에 x=nt+1을 대입하면 y=m(nt+1)+2 y=mnt+m+2 …… `㉠ ㉠에서 t의 값이 1에서 4까지 증가하면 y의 값의 증가량은 (4mn+m+2)-(mn+m+2)=3mn 즉, 3mn=6 ∴ m= ;n@; y=ax+b …… `㉠ y=bx+a …… `㉡ à ㉠-㉡을 하면 (a-b)x=a-b ∴ x= =1`(∵ a+b) a-b a-b △ACP= _(5-t)_7 △BPD= _(t+7)_3 △ACP=△BPD이므로 ;2!; ;2!; ∴ t= ;5&; 따라서 점 P의 좌표는 { - ;5&; , 0 이다. } y=ax+b ……`㉠ y=bx+a ……`㉡ à ㉠-㉡을 하면 (a-b)x=a-b ∴ x=1`(∵ 0<a<b) 하면 a+b=14 …… ㉢ 또, 주어진 조건에 의해 오른 쪽 그림의 어두운 부분의 넓 이는 ;2!; _(b-a)_1=4 ∴ b-a=8 …… ㉣ ㉢, ㉣을 연립하여 풀면 a=3, b=11 ∴ ab=33 (cid:90)(cid:30)(cid:67)(cid:89)(cid:190)(cid:12)(cid:66) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:190)(cid:89)(cid:12)(cid:67) (cid:9)(cid:18)(cid:13) (cid:18)(cid:21)(cid:10) (cid:90) (cid:67) (cid:66) (cid:48) (cid:18) (cid:89) 2. 일차함수와 그래프 81 따라서 교점의 좌표는 (1, 14)이므로 ㉠에 (1, 14)를 대입 직선 y=x+2의 y절편은 x=0일 때 -1<y<1, x=1일 때 (cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:12)(cid:19) (cid:36)(cid:9)(cid:19)(cid:13)(cid:65)(cid:21)(cid:10) (cid:90) (cid:77) (cid:21) (cid:19) (cid:19) (cid:35) (cid:48) (cid:19) (cid:34) (cid:89) 에 있어야 한다. 2이므로 B(0, 2)이다. 점 A의 좌표를 (n, 0)이라 하면 OACB=△CBO+△COA = _2_2+ _n_4 ;2!; ;2!; =2+2n OACB=22이므로 `2+2n=22 ∴ n=10 따라서 직선 l은 두 점 C(2, 4), A(10, 0)을 지나므로 직선 l의 방정식을 y=ax+b로 놓으면 a= 0-4 10-2 =- ;2!; y=- x+b에 A(10, 0)을 대입하면 b=5 ;2!; 따라서 직선 l의 방정식은 y=- x+5 ;2!; 2<y<3이므로 일차함수 y=ax+b의 그래프는 오른쪽 그림에서 어두운 부분 여기에서 직선 BC의 방정식은 y=x+1이므로 점 E의 y좌표는 2+1=3 또한, 직선 AD의 방정식은 y=4x-1이 므로 점 F의 y좌표는 8-1=7 따라서 x=2일 때 y의 값의 범위는 3<y<7 (cid:39) (cid:38) (cid:37) (cid:36) (cid:20) (cid:19) (cid:18) (cid:35) (cid:18) (cid:48) (cid:14)(cid:18) (cid:34) (cid:19) (cid:89) 오른쪽 그림과 같이 PAÓ=PBÓ 이므로 점 P는 ABÓ의 (cid:90) (cid:77) (cid:78) 수직이등분선 위의 점이다. (cid:49) (cid:35)(cid:9)(cid:17)(cid:13) (cid:21)(cid:10) 직선 AB의 기울기가 4-0 0-(-6) = ;3@; 이므로 ABÓ (cid:46) (cid:34)(cid:9)(cid:14)(cid:23)(cid:13) (cid:17)(cid:10) (cid:48) (cid:89) 구하는 직선은 원점을 지나므로 y=ax라 하자. ABCD= _(2+6)_8=32 ;2!; 이므로 원점을 지나는 직선으로 이등분된 도형의 넓이는 각각 16이다. 에 수직인 직선의 기울기는 - 이다. ;2#; 따라서 ABÓ에 수직인 직선의 방정식을 m：y=- x+b로 놓으면 두 점 A(-6, 0), ;2#; 그런데 △ABO= _6_6=18이므로 ABCD의 넓이 B(0, 4)의 중점 M ;2!; -6+0 2 { , 0+4 2 } =M(-3, 2)가 (cid:90) (cid:34)(cid:9)(cid:14)(cid:23)(cid:13)(cid:65)(cid:23)(cid:10) 직선 m을 지나므로 (cid:35)(cid:9)(cid:14)(cid:23)(cid:13)(cid:65)(cid:17)(cid:10) (cid:48) (cid:37)(cid:9)(cid:19)(cid:13)(cid:65)(cid:19)(cid:10) (cid:89) (cid:36)(cid:9)(cid:19)(cid:13)(cid:65)(cid:17)(cid:10) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:190)(cid:89) 2=- _(-3)+b에서 b=- ;2#; ;2%; 따라서 직선 m의 방정식은 y=- x- ;2#; ;2%; 한편, 직선 l은 기울기가 2이므로 y=2x+b'이라 하면 따라서 직선 y=ax는 점 P -6, 을 지나므로 { ;;Á3¤;;} 따라서 점 P는 직선 l과 직선 m의 교점이므로 두 식을 이 직선이 점 A(-6, 0)을 지나므로 0=2_(-6)+b'에서 b'=12 ∴ y=2x+12 연립하여 풀면 점 P의 좌표는 { - , :ª7»: :ª7¤:} 이다. 를 이등분하는 직선은 오 른쪽 그림과 같이 ABÓ와 만난다. (cid:49)(cid:9)(cid:14)(cid:23)(cid:13)(cid:65)(cid:76)(cid:10) ABCD의 넓이를 이등 분하는 직선과 ABÓ의 교 점을 P(-6, k)(k>0)라 하면 △PBO= _6_k=16 ∴ k= ;2!; ;;Á3¤;; =-6a ∴ a=- ;9*; :Á3¤: ∴ y=- x ;9*; 82 ⅠV 일차함수 3 일차함수와 일차방정식 STEP 주제별 실력다지기 121~124쪽 ③ 제1사분면 ⑴ x=3 ⑵ y=2x+7 y=- x- ;6&; ;3@; ⑴ y=- x+ ⑵ y=3x+3 ;2!; ;2%; y=6x+10 y=-2x+4 2 제4사분면 -6 또는 6 ;1$5^; :Á3¢: 17 108`cmÛ` :ª2°: y= x+1 ;2!; 10 최상위 NOTE 그래프를 통해 연립방정식의 해의 개수 파악하기 3단원에서는 식의 조작을 통해서 연립방정식의 해의 개수를 파악했 ⑵ 두 직선이 평행한 경우 다. 하지만 연립방정식 의 해의 개수와 두 그래프 ax+by+c=0 a'x+b'y+c'=0 à → 연립방정식의 해가 없는 경우 두 직선의 기울기는 같고 y절편은 a b x- c b y=- y=- 의 교점의 개수가 같다는 점을 이용하면 연립방정 á [{ » 식의 해의 개수를 쉽게 파악할 수 있다. 두 직선의 위치 관계는 기울 a' b' x- c' b' 다르다. - =- , - +- c b c' b' a b a a' a' b' b b' c c' ⇨ = + 기와 y절편에 의하여 결정된다. ⑴ 두 직선이 한 점에서 만나는 경우 → 연립방정식이 한 쌍의 해를 갖는 경우 두 직선의 기울기가 다르다. - +- a b a a' a' b' b b' ⇨ + (cid:90) (cid:48) ⑶ 두 직선이 일치하는 경우 → 연립방정식의 해가 무수히 많은 경우 (cid:90) 두 직선의 기울기와 y절편이 모두 같다. - =- , - =- c b c' b' a b a a' a' b' b b' c c' (cid:89) ⇨ = = (cid:90) (cid:48) (cid:48) (cid:89) (cid:89) 3. 일차함수와 일차방정식 83 문제 풀이 ax+by+c=0에서 y=- x- 이므로 ;bA; ;bC; 기울기에서 - >0 ∴ ab<0 …… ㉠ y절편에서 - >0 ∴ bc<0 …… ㉡ ;bA; ;bC; ㉠, ㉡에서 b>0일 때 a<0, c<0이고, b<0일 때 a>0, c>0이므로 ac>0 bx+ay+c=0에서 y=- x- ;aB; ;aC; ㉠에서 ab<0이므로 - >0 ㉢에서 ac>0이므로 - <0 ;aB; ;aC; …… ㉢ (cid:90) (cid:48) 따라서 구하는 그래프의 기울기는 양 (cid:89) 수이고, y절편은 음수이므로 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같다. 두 점 (-2, 1), (3, -4)를 연결한 선분의 중점의 좌 표는 -2+3 2 { , 1+(-4) 2 = } {;2!; , - ;2#;} 이고, 구하는 직 선은 직선 2x+3y+1=0과 평행하므로 기울기가 같다. 2x+3y+1=0에서 y=- x- 이므로 기울기는 - 이 ;3@; ;3!; ;3@; 다. 따라서 구하는 직선의 기울기는 - 이고, 점 , - ;3@; {;2!; ;2#;} 을 지나므로 y=- x+b라 하면 ;3@; - = - { ;2#; ;3@;} _ ;2!; +b ∴ b=- ;6&; ∴ y=- x- ;3@; ;6&; ⑴ 두 점 (-3, 4), (1, 2)를 지나는 직선의 방정식을 y=ax+b라 하고 두 점의 좌표를 대입하면 -3a+b=4 a+b=2 ∴ a=- , b= ;2!; ;2%; à 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=- x- 이 제2사분면 1 m n m 을 지나지 않으므로 오른쪽 그림과 같이 직선의 기울기는 양수이고, y절편은 음수이다. 즉, - >0, - <0 1 m n m ∴ m<0, n<0 따라서 직선 y=mx+n은 기울기와 y절편이 음수이므로 그래프의 개형 은 오른쪽 그림과 같다. 따라서 제1사분면을 지나지 않는다. ⑴ 점 (3, 4)를 지나고 x축에 수직 인 직선은 오른쪽 그림과 같다. ∴ x=3 ⑵ 직선의 기울기가 2이므로 (cid:20) (cid:89) y=2x+b에 (-2, 3)을 대입하면 3=2_(-2)+b ∴ b=7 ∴ y=2x+7 84 ⅠV 일차함수 (cid:90) (cid:48) (cid:90) (cid:48) (cid:90) (cid:3)(cid:21) (cid:48) y=- x+ ;2!; ;2%; 다른 풀이 y=ax+b에서 a= 2-4 1-(-3) =- ;2!; ∴ y=- x+b …… ㉠ ;2!; ㉠에 (1, 2)를 대입하면 2= - { ;2!;} _1+b ∴ b= ;2%; 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=- x+ ;2!; ;2%; (cid:89) (cid:89) ⑵ 두 점 (-1, 0), (0, 3)을 지나는 직선의 방정식을 y=ax+b라 하고 두 점의 좌표를 대입하면 -a+b=0 b=3 ∴ a=3, b=3 à 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=3x+3 y=ax+b에서 점 (0, 3)을 지나므로 y절편은 3이다. 다른 풀이 ⑴ ∴ b=3 다른 풀이 ⑵ 기울기는 a= 3-0 0-(-1) =3 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=3x+3 두 점 (-1, 0), (0, 3)을 지나므로 x절편은 -1, y절편은 3이다. 따라서 구하는 직선의 방정식은 x -1 + ;3}; =1이므로 y=3x+3 점 A는 직선 2x-y+6=0 위의 점이므로 2x-3y=3+a …… ㉠ y=4이면 2x-4+6=0 ∴ x=-1 ∴ A(-1, 4) 점 B는 직선 2x+y+6=0 위의 점이므로 y=-2이면 2x-2+6=0 ∴ x=-2 ∴ B(-2, -2) a= -2-4 -2-(-1) =6 직선 AB의 방정식을 y=ax+b라 하면 y=6x+b에 (-1, 4)를 대입하면 b=10 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=6x+10 직선 x+2y-10=0은 오 른쪽 그림과 같고 직선 x+2y-10=0과 y축에 대하여 대칭인 직선 l은 (-10, 0), (0, 5)를 지나므로 (cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:90)(cid:14)(cid:18)(cid:17)(cid:30)(cid:17) (cid:77) (cid:90) (cid:22) (cid:14)(cid:18)(cid:17) (cid:48) (cid:18)(cid:17) (cid:89) 직선 l의 기울기는 이므로 직선 l과 수직인 직선의 기울 ;2!; 따라서 구하는 직선은 기울기가 -2이고 점 (1, 2)를 지나 x -10 + ;5}; =1 ∴ y= x+5 ;2!; 기는 -2이다. 므로 y=-2x+b라 하면 2=-2_1+b ∴ b=4 ∴ y=-2x+4 다른 풀이 x+2y-10=0에서 y=- x+5 …… ㉠ ;2!; ;2!; 직선 l은 직선 ㉠과 y축에 대하여 대칭이므로 y=- _(-x)+5 따라서 직선 l의 방정식은 y= x+5이다. ;2!; 직선 l과 수직인 직선의 기울기는 -2이므로 구하는 직선 의 방정식을 y=-2x+b라 하면 점 (1, 2)를 지나므로 2=-2_1+b ∴ b=4 ∴ y=-2x+4 x+3y=1-a 3x-y=2a-1 …… ㉡ …… ㉢ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 교점의 좌표는 , - {;3$; 3a+1 9 } 이고, 세 직선이 한 점에서 만나므로 ㉢에 점 , - {;3$; 3a+1 9 } 을 대입하면 3_ - - { ;3$; 3a+1 9 } =2a-1, 4+ 3a+1 9 =2a-1 -15a=-46 ∴ a= ;1$5^; 세 직선이 한 점에서 만나기 위한 조건 세 직선이 한 점에서 만나려면 세 직선 중 두 직선의 교점을 다른 한 직선이 지나야 한다. 두 점 A, B를 지나는 직선의 x절편이 4, y절편이 3이 므로 직선 AB의 방정식은 + ;3}; ;4{; `=1 ∴ y=- x+3 …… ㉠ ;4#; 점 E(2, b)가 직선 ㉠ 위에 있으므로 두 점 C(1, -1), E 2, 을 지나는 직선의 기울기는 { ;2#;} 직선 CE의 방정식을 y= x+n이라 하고 ;2%; b=- _2+3= ;4#; ;2#; ∴ E 2, { ;2#;} -(-1) ;2#; 2-1 = ;2%; (1, -1)을 대입하면 -1= _1+n ;2%; ∴ n=- ;2&; ∴ y= x- ;2&; ;2%; 2= a- ;2%; ;2&; ∴ a= :Á5Á: 점 D(a, 2)가 직선 ㉡ 위에 있으므로 …… ㉡ ∴ 5a+4b =5_ +4_ ;2#; :Á5Á: =11+6=17 3. 일차함수와 일차방정식 85 기울기가 2, y절편이 4인 직선 (cid:90) (cid:77) x=1을 ㉠에 대입하면 두 직선의 교점은 (1, a+b) 점 (a, b)가 제3사분면 위의 점이므로 a<0, b<0 (cid:23) (cid:22) (cid:21) (cid:91)(cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)(cid:13) (cid:22)(cid:93) ∴ a+b<0 따라서 두 직선의 교점 (1, a+b)는 제4사분면 위의 점이다. (cid:14)(cid:19) (cid:48) (cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28) (cid:20) (cid:89) (cid:78) ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 두 직선 l, m의 교점의 좌표는 따라서 구하는 도형의 넓이는 위의 그림에서 , 0 , (0, b)를 지난다. {;2B; } 따라서 직선 l과 x축, y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 직선 l의 기울기는 a= =-2이므로 2-6 1-(-1) 직선 l의 방정식은 y=-2x+b이다. 이때 x절편은 , y절편은 b이므로 직선 l은 두 점 ;2B; _ ;2!; |;2B;| _|b|=9, bÛ`=36 ∴ b=-6 또는 6 직선의 기울기가 일정할 때, 직선과 x축, y축으로 둘러싸인 특정한 넓이의 삼각형은 항상 2개가 존재한다. a>0이므로 세 점 (0, 2), (a, 0), (b, 4)를 지나는 직선이 존재하기 위 해서 b<0이어야 한다. 따라서 세 점 을 지나는 직선은 오른쪽 그림과 같고 삼각형의 넓이가 이므로 ;3&; (cid:90) (cid:21) (cid:19) (cid:67) (cid:48) (cid:66) (cid:89) 따라서 두 점 (0, 2), , 0 을 지나는 직선의 방정식은 {;3&; } ∴ y=- x+2 …… ㉠ ;7^; 또, 직선 ㉠은 점 (b, 4)를 지나므로 _a_2= ;3&; ;2!; ∴ a= ;3&; y= x+2 0-2 -0 ;3&; 4=- b+2 ;7^; ∴ b=- ;3&; = :Á3¢: 연립방정식의 해가 없는 것은 ㉠, ㉡의 기울기가 같으면서 직선과 x축, y축으로 둘러싸인 두 직선은 기울기가 다르므로 a+b, 즉 a-b+0이므로`` ∴ |b-a|= - - ;3&; ;3&;| | l의 방정식은 y=2x+4 …… ㉠ 기울기가 -2, x절편이 3인 직선 m의 방정식을 y=-2x+b라 하고 (3, 0)을 대입하면 0=-2_3+b ∴ b=6 ∴ y=-2x+6 …… ㉡ , 5 이다. {;2!; } _5_5= 이다. :ª2°: ;2!; = ;1£5; 4-a 5a + ;4*; 15a=60-15a, 16-4a+40a ∴ a=2 다른 풀이 3x+(4-a)y=8에서 y=- 3 4-a x+ 8 4-a …… ㉠ 15x+5ay=4에서 y=- x+ ;a#; 4 5a …… ㉡ y절편이 다를 때이므로 - 3 4-a ∴ a=2 =- ;a#; a=2이면 ㉠, ㉡에서` 8 4-a + 4 5a ∴ a=2 y=ax+b …… `㉠ y=bx+a …… `㉡ à ㉠-㉡을 하면 0=(a-b)x+(b-a), (a-b)x=a-b x= a-b a-b =1 86 ⅠV 일차함수 점 A의 x좌표는 매초 3`cm의 속력으로 2초 동안 움 점 A'의 x좌표는 매초 3`cm의 속력으로 6초 동안 움직인 직인 거리이므로 3_2=6 ∴ OAÓ=6`cm` 거리이므로 3_6=18 ∴ OA'Ó=18`cm ∴ AA'Ó=18-6=12(cm) 점 B의 y좌표는 _6+1=5 ∴ ABÓ=5`cm ;3@; ;3@; 점 B'의 y좌표는 _18+1=13 ∴ A'B'Ó=13`cm 따라서 AA'B'B의 넓이는 _(ABÓ+A'B'Ó)_AA'Ó = _(5+13)_12 ;2!; ;2!; =108(cmÛ`) 점 P 1, 을 지나는 직선이 { ;2#;} 정사각형 OABC의 넓이를 이등분 하려면 오른쪽 그림과 같이 OABC의 두 대각선의 교점인 점 (2, 2)를 지나야 한다. 따라서 직선 l의 기울기는 (cid:36) (cid:19) (cid:90) (cid:21) (cid:28)(cid:19)(cid:4)(cid:28) (cid:48) (cid:35)(cid:9)(cid:21)(cid:13)(cid:65)(cid:21)(cid:10) (cid:77) (cid:49) (cid:18) (cid:19) (cid:34) (cid:21) (cid:89) 직선 l의 방정식을 y= x+b라 하고 (2, 2)를 대입하면 ;2!; 2- ;2#; 2-1 = ;2!; b=1 ∴ y= x+1 ;2!; 3. 일차함수와 일차방정식 87 STEP 실력 높이기 125~128쪽 제3사분면 -13 또는 5 - ;1£1; y=- x+ ;1@6!; ;8%; 1, { ;2!;} -8, 4, 20 1ÉbÉ11 - ;9@; -1<m<0 또는 0<m< ;3@; 10 7 m<- 또는 m>1 ;3!; y= x+2 ;9%; 문제 풀이 x좌표와 y좌표가 같은 점을 A(a, a)라 하면 7a+2a+18=0 ∴ a=-2 따라서 A(-2, -2)이므로 제3사분면 위의 점이다. y= x-4와 y=ax+b가 서로 평행하므로 a= ;2#; 직선이 x축과 만나는 점의 x좌표는 x절편이다. 따라서 y= x-4의 x절편은 y=0을 대입하면 ;2#; ;2#; 0= x-4 ∴ x= ;2#; ;3*; 즉, 점 P의 좌표는 , 0 이고 PQÓ=6이므로 점 Q의 좌표는 +6, 0 {;3*; {;3*; } } 또는 -6, 0 {;3*; } 즉, 점 Q {:ª3¤: , 0 } 또는 점 Q - , 0 이다. { :Á3¼: } Ú y= x+b에 점 , 0 을 대입하면 ;2#; {:ª3¤: } 0= _ ;2#; :ª3¤: +b ∴ b=-13 Û y= x+b에 점 { ;2#; - :Á3¼: } , 0 을 대입하면 0= _ - { ;2#; :Á3¼:} +b ∴ b=5 Ú, Û에 의해 b의 값은 -13 또는 5이다. ax+by+1=0에서 y=- x- ;b!; ;bA; …… ㉠ 2x-(a-3b)y+2b=0에서 y= 2 a-3b x+ 2b a-3b …… ㉡ 3x+2y=1에서 y=- x+ ;2!; ;2#; 88 ⅠV 일차함수 ;2#; xÉ- ;3&; y= x-2 ;3@; , ;3*;} {;3$; 9 ㉠, ㉢이 수직이므로 - { ;bA;} _ - { ;2#;} ㉡, ㉢이 수직이므로 2 a-3b _ - { ;2#;} =-1 ∴ 3a=-2b …… ㉣ =-1 ∴ a-3b=3 …… ㉤ ㉣에서 b=- a를` ㉤에 대입하면 ;2#; a+ a=3 ∴ a= ;2(; ;1¤1; ∴ b= - { ;2#;}_;1¤1; =- ;1»1; ∴ a+b= - ;1¤1; ;1»1; =- ;1£1; ∴ m=- ;8%; ABÓ의 중점이 3+(-2) 2 { , 5+(-3) 2 = } {;2!; , 1 이므로 } y=- x+n에 , 1 을 대입하면 ;8%; {;2!; } 1=- _ ;8%; ;2!; +n ∴ n= ;1@6!; 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=- x+ ;8%; ;1@6!; 두 직선 l, m이 한 점에서 만나므로 x+y=1, 2x-3y=1을 연립하여 풀면 x= , y= ;5$; ;5!; 직선 n도 두 직선 l, m의 교점 , {;5$; ;5!;} 을 지나므로 (cid:90)(cid:30)(cid:28)(cid:19)(cid:4)(cid:28)(cid:89)(cid:14)(cid:21) (cid:140) (cid:141) (cid:23) (cid:49) (cid:28)(cid:20)(cid:11)(cid:28) (cid:23) (cid:50) (cid:19)(cid:23) (cid:28)(cid:28)(cid:20)(cid:28)(cid:28) (cid:89) (cid:50) (cid:18)(cid:17) (cid:14)(cid:28)(cid:28)(cid:20)(cid:28)(cid:28) (cid:48) (cid:14)(cid:21) (cid:90) (cid:67) (cid:67) ABÓ의 수직이등분선의 방정식을 y=mx+n이라 하면 두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기가 5-(-3) 3-(-2) = ;5*; 이므로 _m=-1 ;5*; …… ㉢ (a+2)_ -a_ =4, 4(a+2)-a=20 ;5$; ;5!; 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 -1이고 3a=12 ∴ a=4 m 4 m 4 m 4 풀이 단계 Ú ㉠과 ㉢이 평행할 때, =1 ∴ m=4 따라서 직선 l의 기울기는 Û ㉡과 ㉢이 평행할 때, =-2 ∴ m=-8 서술형 Ü ㉠, ㉡, ㉢이 한 점에서 만날 때, ㉠, ㉡의 교점 표현 단계 3x+ay=6a의 x절편, y절편을 구한다. 이 직선 위의 점 중 x좌표가 y좌표의 2배가 되는 점을 따라서 직선 n의 방정식은 6x-4y=4 ∴ 3x-2y=2 (2b, b)라 하면 6b-2b=2 ∴ b= ;2!; 따라서 구하는 점의 좌표는 { 1, ;2!;} 이다. 서술형 표현 단계 세 직선으로 삼각형을 만들 수 없는 경우는 세 직 선 중 어느 두 직선이 서로 평행하거나 세 직선이 한 점에서 만날 때이다. 변형 단계 x-y=0 즉, y=x 2x+y=3 즉, y=-2x+3 ……`㉠ ……`㉡ mx-4y=16 즉, y= x-4 …… `㉢ 의 좌표를 구하면 x-y=0 ……`㉣ 2x+y=3 ……`㉤ à ㉣+㉤을 하면 3x=3 ∴ x=1 x=1을 ㉣에 대입하면 y=1 즉, x=1, y=1을 ㉢에 대입하면 1= -4, =5 ∴ m=20 m 4 m 4 확인 단계 따라서 m의 값은 -8, 4, 20이다. 직선 y=ax+b가 점 (2, 7)을 지나므로 7=2a+b ∴ a= (7-b) ;2!; 이때 -2ÉaÉ3이므로 -2É (7-b)É3 ;2!; -4É7-bÉ6, -11É-bÉ-1 ∴ 1ÉbÉ11 다른 풀이 이다. 따라서 -2ÉaÉ3이므로 a=3일 때, b는 최솟값을 갖는다. y=3x+b에 점 (2, 7)을 대입하면 b=1 a=-2일 때, b는 최댓값을 갖는다. y=-2x+b에 점 (2, 7)을 대입하면 b=11 ∴ 1ÉbÉ11 세 직선으로 둘러싸인 삼각형 은 x축 위쪽보다 아래쪽의 넓이가 더 크므로 구하는 직선 l은 오른쪽 그림과 같이 직선 2x-3y-6=0과 만난다. (cid:90) (cid:18) (cid:48) (cid:89)(cid:30)(cid:17) (cid:14)(cid:19) (cid:89)(cid:12)(cid:20)(cid:90)(cid:14)(cid:20)(cid:30)(cid:17) (cid:35) (cid:20) (cid:34) (cid:49)(cid:9)(cid:66)(cid:13)(cid:65)(cid:67)(cid:10) (cid:89) (cid:77) (cid:36) (cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:20)(cid:90)(cid:14)(cid:23)(cid:30)(cid:17) 이때 직선 2x-3y-6=0과 직선 l의 교점을 P(a, b) 라 하면 △ABC= _3_3= 이므로 ;2!; ;2(; △POC= _2_a= ∴ a= ;2!; ;4(; ;4(; 점 P , b 가 직선 2x-3y-6=0 위에 있으므로 {;4(; } 2_ -3b-6=0 ∴ b=- ;4(; ;2!; - -0 ;2!; -0 ;4(; =- ;9@; 변형 단계 y=0을 대입하면 3x=6a ∴ x=2a x=0을 대입하면 ay=6a ∴ y=6 풀이 단계 즉, x절편이 2a, y절편이 6인 직선과 x축, y축으 로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 18이므로 _2a_6=18 ;2!; 6a=18 ∴ a=3 따라서 직선의 방정식은 y=-x+6이다. 이때 원점을 지나는 직선 y=bx가 직선 y=-x+6과 x축, y축으로 둘러싸인 직각이 등변삼각형의 넓이를 이등분하므로 직선 y=bx는 이 삼각형의 빗변의 중점을 지난다. 따라서 삼각 형의 빗변의 중점의 좌표를 구하면 6+0 2 , 0+6 2 } { =(3, 3) 즉, y=bx의 그래프는 점 (3, 3)을 지나므로 그래프 로 나타내면 오른쪽 그림 (cid:90) (cid:23) (cid:20) (cid:90)(cid:30)(cid:67)(cid:89) (cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:20)(cid:10) (cid:48) (cid:20) (cid:89) (cid:23) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:12)(cid:23) 3=3b ∴ b=1 확인 단계 ∴ aÛ`+bÛ``=9+1=10 두 직선 y=x+3, y=-3x+6의 x절편은 각각 -3, 2이므로 A(-3, 0), B(2, 0) 3. 일차함수와 일차방정식 89 b는 점 (2, 7)을 지나는 직선 y=ax+b의 y절편이므로 직 과 같다. 선의 기울기 a가 최대일 때 최소이고, a가 최소일 때 최대 따라서 y=bx에 점 (3, 3)을 대입하면 y=x+3, y=-3x+6을 연립 (cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:20)(cid:190)(cid:89)(cid:12)(cid:23) (cid:90)(cid:30)(cid:190)(cid:89)(cid:12)(cid:20) 므로 0= _3+b ∴ b=-2 ;3@; 하여 풀면 x= , y= ;4#; :Á4°: ∴ C , {;4#; :Á4°:} 따라서 직선 n의 방정식은 y= x-2 ;3@; (cid:36) 점 C를 지나고 △ABC의 넓이를 (cid:34) (cid:37) (cid:14)(cid:20) (cid:35) (cid:19) (cid:48) (cid:89) 서술형 이등분하는 직선이 x축과 만나는 점을 D라 하면 점 D는 표현 단계 두 일차함수의 ABÓ의 중점이므로 D { -3+2 2 , 0+0 2 } ∴ D - , 0 } ;2!; { 따라서 직선 CD의 기울기는 ` -0 :Á4°: =3 - - { ;4#; ;2!;} 이므로 y=3x+b라 하고 점 { - ;2!; } , 0 을 대입하면 0=3_ - +b ∴ b= { ;2!;} ;2#; 즉, 직선 CD의 y절편은 이다. ;2#; ;2!; ;2!; 0= - { ;2!;} _1+b', b'= ;2!; ∴ g(x)=- x+ ;2!; ;2!; 변형 단계 2f(x)-g(x) =(x+3)- - x+ { ;2!; ;2!;} = x+ 이므로 x+ É-1 ;2#; ;2%; ;2#; ;2%; 풀이 단계 xÉ- 에서 3xÉ-7, xÉ- ;2#; ;2&; ;3&; 확인 단계 따라서 구하는 해는 xÉ- 이다. ;3&; 그래프 교점이 제1사분면 위에 있기 위해서는 오른쪽 그림과 (cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:14)(cid:20) (cid:89) (cid:20) (cid:141)(cid:3)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:78)(cid:89)(cid:12)(cid:19) (cid:19) (cid:90) (cid:48) (cid:14)(cid:20) (cid:140)(cid:3)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:78)(cid:89)(cid:12)(cid:19) 같이 y=-mx+2의 기울기인 -m이 두 일차함 수가 서로 평행할 때의 기울기보다 작고, x축 위 에서 만날 때의 기울기보다 클 때이다. 풀이 단계 Ú 두 직선이 서로 평행할 때, y=-mx+2와 y=x-3의 그래프의 기울기가 같아야 한다. ∴ m=-1 Û 두 직선이 x축 위에서 만날 때, y=-mx+2에 점 (3, 0)을 대입하면 0=-3m+2 ∴ m= ;3@; 확인 단계 -1<m< 이고 m+0이므로 -1<m<0 또는 ;3@; 해야 한다. 즉, a-1 a-3 = ;2#; ∴ a=7 에서 2a-2=3a-9 B(-2a, 0), C(0, a) 이때 △BOC의 넓이가 4이므로 _2a_a=aÛ`=4 ;2!; 그런데 a>0이므로` a=2 직선 y= x+a의 x절편은 -2a, y절편은 a이므로 ;2!; 서술형 표현 단계 일차함수 y=f(x)의 그래프는 두 점 (-3, 0), (-1, 1)을 지나므로 기울기는 1-0 -1-(-3) = ;2!; y= x+b로 놓고 점 (-1, 1)을 대입하면 0<m< ` ;3@; 1= _(-1)+b, b= ∴ f(x)= x+ ;2#; ;2!; ;2#; 두 직선의 방정식을 정리하면 일차함수 y=g(x)의 그래프는 두 점 (1, 0), (-1, 1)을 지나므로 기울기는 1-0 -1-1 =- ;2!; (a-3)x+2y=0, (a-1)x+3y=0 상수항이 없는 일차방정식이므로 좌표평면에 그래프를 그 리면 두 직선은 모두 원점을 지난다. y=- x+b'로 놓고 점 (1, 0)을 대입하면 ;2!; 두 직선이 원점 이외의 점에서도 만나려면 두 직선은 일치 평행한 두 직선 l, n의 기울기는 서로 같으므로 따라서 y=2x, y= x+2를 연립하여 풀면 ;2!; (직선 n의 기울기)=(직선 l의 기울기)= 4-2 3-0 = ;3@; x= , y= ;3$; ;3*; 직선 n의 방정식을 y= x+b라 하면 점 C(3, 0)을 지나 ;3@; 이므로 교점 A의 좌표는 , {;3$; ;3*;} 이다. 90 ⅠV 일차함수 서술형 표현 단계 ABCD가 정사각형이므로 ABÓ=BCÓ이다. 직선 AB의 기울기가 3-(-1) =- 이므로 ;3!; 점 B의 x좌표를 a라 하면 점 B의 좌표는 (a, 0) 직선 AB의 방정식을 y=- x+b라 하고 (3, 1)을 대입 1- ;3&; ;3!; 점 A의 좌표는 A(a, 3a) 점 C의 좌표는 C(4a, 0)`(∵ ABÓ=BCÓ=3a) 점 D의 좌표는 D(4a, 3a) 풀이 단계 점 D는 직선 y=-3x+15 위의 점이므로 3a=-3_4a+15 15a=15 ∴ a=1 4a-a=3a=3이다. 따라서 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 확인 단계 따라서 ABCD의 넓이는 9이다. △ABC를 그려 보면 오른쪽 그림과 같다. ㉠ (cid:35) 직선 y=mx+1이 △ABC와 교 (cid:34) 점을 갖지 않기 위해서는 기울기 m의 값이 직선 ㉠의 기울기보다 (cid:48) (cid:18) (cid:20) (cid:14)(cid:18) (cid:23) (cid:36) (cid:89) ㉡ (cid:90) (cid:21) (cid:19) (cid:18) -2 ;;Á3Á;; 3-0 = ;9%; 크거나 직선 ㉡의 기울기보다 작아야 한다. (직선 ㉠의 기울기)= =1 2-1 1-0 (직선 ㉡의 기울기)= -1-1 6-0 =- ;3!; ∴ m<- 또는 m>1 ;3!; 하면 b=2 ∴ y=- x+2 ;3!; △ABC의 넓이를 이등분하는 직선이 직선 AB, 직선 BC 와 만나는 점을 각각 D, E라 하면 직선 AB의 방정식은 y=- x+2이므로 D(0, 2) ;3!; 세 점 B, C, E의 x좌표는 같으므로 점 E를 (3, k)라 하면 △ABC= _4_4=8이고, △BED= ;2!;△ABC이므로 ;2!; ;2!; △BED= _(k-1)_3=4 ∴ k= :Á3Á: D(0, 2), E 3, 을 지나는 직선의 기울기는 { :Á3Á:} 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=;9%;x+2 STEP 최고 실력 완성하기 129~130쪽 ③ (13, -2), (26, -9), (39, -16), (52, -23) y=3x-6 y=16x-12 <m<2 ;2!; S=aÛ`-2a+ ;;Á2£;; 또는 ;;ª9¼;; ;;Á9¼;; 최댓값： , 최솟값：-2 :ª7ª: 주어진 세 직선 l, m, n의 기울기와 y절편의 부호는 따라서 ㉠의 그래프는 직선 m, ㉡의 그래프는 직선 n, 문제 풀이 다음과 같다. 직선 l：(기울기)>0, (y절편)>0 직선 m：(기울기)<0, (y절편)>0 직선 n：(기울기)<0, (y절편)<0 ㉢이므로 일차함수 ㉢의 그래프는 직선 l이 된다. 즉, -a>0, b-3>0이므로 a<0, b>3 ㉠에서 y절편은 b이므로 양수이고, ㉡에서 y절편은 - ;2!; b이므로 음수이다. ㉢의 그래프는 직선 l이다. 좌표평면에서 직선 y=ax+b가 지나는 사분면은 다음과 같다. 직선 y=ax+b는 제`1, 2, 3`사분면을 지난다. ⑴ a>0, b>0인 경우 ⑵ a>0, b<0인 경우 ⑶ a<0, b>0인 경우 ⑷ a<0, b<0인 경우 직선 y=ax+b는 제`1, 2, 4`사분면을 지난다. 직선 y=ax+b는 제`2, 3, 4`사분면을 지난다. 3. 일차함수와 일차방정식 91 한편, 일차함수의 식에서 기울기의 부호가 다른 하나는 직선 y=ax+b는 제`1, 3, 4`사분면을 지난다. 직선 AB의 기울기는 23-2 52-13 = ;1¦3; 이므로 y= ;1¦3; x+b라 하고 (13, 2) 를 대입하면 2= ;1¦3; _13+b ∴ b=-5 (cid:90) (cid:19)(cid:20) (cid:19) (cid:48) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:19)(cid:20) (cid:18)(cid:20) (cid:34) (cid:36) (cid:35) (cid:37) ∴ y= x-5 ;1¦3; …… ㉠ 직선 CD는 ㉠과 x축에 대하여 대칭이므로 -y= x-5 ∴ y=- x+5 …… ㉡ ;1¦3; ;1¦3; 이때 CDÓ 위의 점의 x, y좌표의 범위는 13ÉxÉ52, -23ÉyÉ-2이고 ㉡에서 y좌표가 정수가 되 려면 x좌표는 13의 배수이어야 한다. ∴ x=13, 26, 39, 52 따라서 구하는 점은 (13, -2), (26, -9), (39, -16), (52, -23) 이때 APDE와 ABCP의 넓이의 차는 1이므로 △AMP의 넓이가 이 되는 CPÓ 위의 점 M을 찾아보자. ;2!; (cid:22)(cid:19) (cid:89) △AMP= _MPÓ_4= 에서 MPÓ= 이므로 ;2!; ;4!; ;2!; 점 M의 x좌표는 1- = ;4#; ;4!; ∴ M , 0 } {;4#; 따라서 직선 AM에 의해 ABCM= AMDE가 성립한 두 점 A(1, 4), M , 0 을 지나는 직선 AM의 기울기는 {;4#; } 다. 4-0 1- ;4#; y=16x+b라 놓고 (1, 4)를 대입하면 4=16+b ∴ b=-12 따라서 직선의 방정식은 y=16x-12이다. 다른 풀이 오른쪽 그림과 같이 5개의 꼭짓점 A, B, C, D, E를 지나도록 직사각형을 (cid:35)(cid:9)(cid:14)(cid:19)(cid:13)(cid:65)(cid:19)(cid:10) 그리자. (cid:90) (cid:51) (cid:34)(cid:9)(cid:18)(cid:13)(cid:65)(cid:21)(cid:10) (cid:52) (cid:38)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:20)(cid:10) ㉠에 y대신 -y를 대입하면 =16이므로 구하는 직선의 방정식을 곡선 n의 방정식을` y= 라 하면 이 곡선이 점 B(3, 3) ;[A; (오각형 ABCDE의 넓이) (cid:46)(cid:48) (cid:49) (cid:37)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:17)(cid:10) (cid:89) (cid:50) (cid:36)(cid:9)(cid:14)(cid:18)(cid:13)(cid:65)(cid:17)(cid:10) 을 지나므로 3= ∴ a=9 ;3A; ∴ y= ;[(; 이때 점 A의 좌표는 A c, 이므로 △ABC의 넓이는 { ;c(;} _ _(3-c)= ∴ c=2 ;2!; ;c(; ;4(; 따라서 직선 m은 두 점 B(3, 3), C(2, 0)을 지나므로 직 이 직선의 방정식을 y=3x+b라 하면 점 C(2, 0)을 지나 선의 기울기는 =3이다. 3-0 3-2 므로 0=3_2+b ∴ b=-6 즉, 직선 m의 방정식은 y=3x-6 = RQDS-(△ARB+△BQC+△AES) =5_4- _3_2+ _2_1+ _2_1 {;2!; ;2!; ;2!; } =20-5=15 ABCM= AMDE _(오각형 ABCDE의 넓이) = ;2!; = ;;Á2°;; 한편, APDE= _(4+3)_2=7이므로 ;2!; △AMP= AMDE- APDE = 7 ;;Á2°;;- =;2!; △AMP= _MPÓ_4= 에서 MPÓ= 이므로 ;2!; ;4!; ;2!; 두 점 A, B에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 P, Q 점 M의 x좌표는 1- = ;4#; ;4!; ∴ M , 0 } {;4#; (cid:90) (cid:34)(cid:9)(cid:18)(cid:13)(cid:65)(cid:21)(cid:10) 다. 따라서 직선 AM에 의해 ABCM= AMDE가 성립한 = ;2!; _(APÓ+EDÓ)_DPÓ (cid:35)(cid:9)(cid:14)(cid:19)(cid:13)(cid:65)(cid:19)(cid:10) (cid:38)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:20)(cid:10) 두 점 A(1, 4), M , 0 을 지나는 직선 AM의 기울기는 {;4#; } (cid:50) (cid:48) (cid:36)(cid:9)(cid:14)(cid:18)(cid:13)(cid:65)(cid:17)(cid:10) (cid:46) (cid:49) (cid:37)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:17)(cid:10) (cid:89) 4-0 1- ;4#; =16이므로 구하는 직선의 방정식을 y=16x+b라 놓고 (1, 4)를 대입하면 4=16+b ∴ b=-12 따라서 직선의 방정식은 y=16x-12이다. 라 하면 APDE = _(4+3)_2=7 ;2!; ABCP = ABQP-△BQC _(BQÓ+APÓ)_QPÓ- _BQÓ_CQÓ ;2!; = _(2+4)_3- _2_1=8 ;2!; = ;2!; ;2!; 92 ⅠV 일차함수 직선 mx+y-1=0 즉, y=-mx+1은 점 (0, 1)을 지 나고, 직선 2x+y-4=0은 오른쪽 직선 l의 방정식 3x+2y-5=0에서 x절편은 , y절편은 이다. ;3%; ;2%; △AOP와 △AOB의 밑변을 각각 APÓ, ABÓ로 하면 두 삼 각형의 높이가 같으므로 △AOP와 △AOB의 넓이의 비는 그림과 같으므로 두 직선의 교점이 (cid:19) (cid:89) 제4사분면에 있으려면 Ú 직선 y=-mx+1의 기울기가 점 (2, 0)을 지날 때보다 작아야 한다. (cid:19)(cid:89)(cid:190)(cid:12)(cid:90)(cid:14)(cid:21)(cid:30)(cid:17) APÓ와 ABÓ의 길이의 비와 같다. 따라서 △AOP= ;3!;△AOB에서 직선 y=-mx+1이 점 (2, 0)을 지날 때 m= 이므 ;2!; APÓ= ABÓ …… ㉠ ;3!; (cid:90) (cid:21) (cid:18) (cid:48) 로 -m<- ∴ m> ;2!; ;2!; Û 직선 y=-mx+1의 기울기가 직선 2x+y-4=0과 평 행할 때보다 커야 하므로 -m>-2 ∴ m<2 Ú, Û에서 <m<2 ;2!; 직선 AB의 방정식은 + =1 ;5}; ;5{; ∴ y=-x+5 …… ㉠ 직선 AB와 직선 CD는 평행하므로 기울기가 같다. 즉, 직선 CD의 방정식을 y=-x+b라 하고 P(2, a)를 대입하면 b=a+2 ∴ y=-x+(a+2) …… ㉡ 점 C의 x좌표와 점 D의 y좌표는 직선 CD의 x절편과 y절 편이므로 C(a+2, 0), D(0, a+2) 또, 두 점 E, F의 y좌표는 점 P의 y좌표와 같으므로 E(0, a), 점 F의 x좌표는 ㉠에 y=a를 대입하면 F(5-a, a), 두 점 H, G의 x좌표는 점 P의 x좌표와 같으 므로 H(2, 0), 점 G의 y좌표는 ㉠에 x=2를 대입하면 G(2, 3) △POC= _(a+2)_a= aÛ`+a …… ㉢ ;2!; PEÓ=2, DEÓ=(a+2)-a=2이므로 △PDE= _2_2=2 …… ㉣ PFÓ=(5-a)-2=3-a, PGÓ=3-a이므로 △PFG= _(3-a)_(3-a) ;2!; ;2!; ;2!; = ;2!; (9-6a+aÛ`) …… ㉤ ㉢, ㉣, ㉤에 의해 S= aÛ`+a+2+ (9-6a+aÛ`) ;2!; ∴ S=aÛ`-2a+ ;2!; ;;Á2£;; Ú 점 P가 ABÓ 위에 있을 때 점 A의 x좌표는 이므로 ;3%; ㉠에서 점 P의 x좌표는 - ;3%; ;3%; _ ;3!; = ;;Á9¼;; Û 점 P가 ABÓ 위에 있지 않을 때 ㉠에서 점 P의 x좌표는 ;3%; + ;3%; _ ;3!; = ;;ª9¼;; Ú, Û에서 점 P의 x좌표는 또는 ;;Á9¼;; ;;ª9¼;; 점 P는 점 A의 바깥쪽에 있으므로 (cid:35) (cid:90) (cid:77) (cid:28)(cid:19)(cid:6)(cid:28) (cid:35) (cid:48) (cid:90) (cid:28)(cid:19)(cid:6)(cid:28) (cid:77) (cid:48) (cid:49) (cid:34) (cid:28)(cid:20)(cid:6)(cid:28) (cid:89) (cid:34) (cid:89) (cid:49) (cid:28)(cid:20)(cid:6)(cid:28) 직선 y=x와 △ABC의 둘레의 교점의 좌표부터 구해 직선 BC의 방정식을 y=ax+b라 하면 본다. a= 1-(-1) 4-(-2) = ;3!; y= x+b에 (4, 1)을 대입하면 b=- 이므로 ;3!; ;3!; 직선 BC의 방정식은 y= x- ;3!; ;3!; y=x y= á [{ » x- ;3!; ;3!; 을 풀면 x=- , y=- ;2!; ;2!; ∴ D - , - { ;2!; ;2!;} a'= 1-6 4-2 =- ;2%; 또한, 직선 AC의 방정식을 y=a'x+b'으로 놓으면 y=-;2%;x+b'에 (2, 6)을 대입하면 b'=11이므로 직선 AC의 방정식은 y=- x+11 ;2%; 3. 일차함수와 일차방정식 93 따라서 OCÓ=a+2, PHÓ=a이므로 따라서 직선 y=x와 BCÓ의 교점을 D라 하고 따라서 직선 y=x와 ACÓ의 교점을 E라 하고 Û y<x일 때, [x, y]=y이므로 y좌표의 최대, 최소를 구하면 점 D 에서 최소, 점 E에서 최대 이다. (cid:90) (cid:34) (cid:19)(cid:19) (cid:28)(cid:28)(cid:24)(cid:28)(cid:28) (cid:35) (cid:37) (cid:48) (cid:14)(cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28) (cid:90)(cid:30)(cid:89) (cid:38) (cid:36) (cid:89) (cid:90) (cid:34) ∴ - <[x, y]< ;2!; :ª7ª: Ú, Û에서 [x, y]의 최댓값은 , 최솟값은 -2이다. :ª7ª: 을 풀면 x= ;;ª7ª;;, y =;;ª7ª;; y=x y=- á [{ » x+11 ;2%; ∴ E , {:ª7ª: :ª7ª:} Ú y¾x일 때, [x, y]=x이므로 x좌표의 최대, 최소를 구하면 점 B 에서 최소, 점 E에서 최대 이다. ∴ -2É[x, y]É :ª7ª: (cid:90)(cid:30)(cid:89) (cid:38) (cid:36) (cid:14)(cid:19) (cid:35) (cid:48) (cid:37) (cid:19)(cid:19) (cid:28)(cid:28)(cid:24)(cid:28)(cid:28) (cid:89) 94 ⅠV 일차함수 ⅠV ② 2 (2, 5) ④ :ª4¦: 문제 풀이 다. 가 아니다. 가 아니다. 단원 종합 문제 131~136쪽 y= x+ ;2#; :Á5£: y=- x+ ;2!; ;2#; y= x- ;2#; :Á2Á: a= , b=1 ;2!; y=2x+12 46 ③ 8 3 168 25 ;3!; 4 9 ;;Á3£;; y=- x+1 ;3!; ;;Á2°;; ⑤ -40`¾ 4 a= , b=2 ;2!; a=-6, m= ④ :Á3¤: -15 y=x-1 3 - ;2#; ;2!; m=- , n=3` 또는` m= , n=-6 ;6&; :ª6°: :Á2Á: y= x ;1!3%; y=f(x)라고 하면 f(x) =ax+1-(a-x) ① f(2)=1, f(3)=2, f(4)=3이지만 나머지 x의 값인 1에 대응하는 y의 값이 없으므로 함수가 아니다. =ax+1-a+x =(a+1)x+1-a ② f(1)=1, f(2)=2, f(3)=2, f(4)=3이므로 함수이 f(2)=-1에서 a+3=-1 ∴ a=-4 ③ x의 모든 값에 대응하는 y의 값이 2개 이상이므로 함수 3 f(1)-2 f(-2)=3_2-2_11=-16 ④ x의 모든 값에 대응하는 y의 값이 2개 이상이므로 함수 3 f(1)-2 f(-2)=2 f(k)이므로` ⑤ f(1)=3, f(2)=2, f(3)=1이지만 나머지 x의 값인 4` 에 대응하는 y의 값이 없으므로 함수가 아니다. x=0일 때 1이고, 그 이후로 x가 1 증가할 때마다 y가 3 증가하므로 x와 y 사이의 관계식은 y=3x+1임을 ∴ a=25 알 수 있다. ∴ f(15)=3_15+1=46 ∴ f(x)=-3x+5 2 f(k)=-6k+10 -16=-6k+10 ∴ k= :Á3£: f(3)=5이므로 `f(3)= =5 ;5A; 즉, f(x)= 이므로 25 x+2 f {;3$;} = 25 = +2 ;3$; ;;ª1°;; ;;Á3¼;; = :Á2°: x=14, 15, 20, 22, 26에 대하여 각 자리의 숫자의 합 이 y의 값이므로 14 20 26 2Ú 2Ú 2Ú 1+4=5, 15 1+5=6, 2+0=2, 22 2+2=4, 2Ú 2Ú 2+6=8 x의 값의 증가량은 `a-4-(a+1)=-5 주어진 일차함수의 그래프의 기울기가 3이므로 (y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) = (y의 값의 증가량) -5 =3 따라서 함숫값의 총합은 5+6+2+4+8=25 ∴ (y의 값의 증가량)=-15 단원 종합 문제 95 A(3a, -5), B(-2a+10, -15)에서 직선 AB가 y=- x+1의 그래프의 x절편은 3, y절편은 1이다. ;3!; ∴ a=3, b=1 따라서 (3, 1)을 대입하여 성립하는 것을 찾으면 ⑤이다. y축에 평행하므로 두 점 A, B의 x좌표는 같다. 3a=-2a+10, 5a=10 ∴ a=2 x축에 평행한 직선 위의 모든 점은 y좌표가 같고, y축에 평행한 직 선 위의 모든 점은 x좌표가 같다. x절편이 a, y절편이 b이므로 구하는 일차함수의 식을 + ;b}; ;a{; =1이라 하자. 이때 b=-a이고 ab<0이므로 =1이고, + ;a{; y -a 이 식에 (2, 1)을 대입하면 a=1 따라서 구하는 일차함수의 식은 y=x-1이다. ax+y+b=0에서 `y=-ax-b 이 직선이 제2사분면을 지나지 않으려 면 오른쪽 그림의 어두운 부분에 그래 프가 있어야 한다. 즉, (기울기)=-a>0, (y절편)=-b<0 ∴ a<0, b>0 (cid:90) (cid:48) (cid:89) y=2x+3 ……`㉠ 2y=-x+2 …… `㉡ à ㉠_2-㉡에서 0=5x+4 ∴ x=- ;5$; 점 { - ;5$; , ;5&;} 을 지나므로 = _ - { ;2#; ;5&; ;5$;} +b ∴ b= :Á5£: ∴ y= x+ ;2#; :Á5£: 세 점 A(-2, 3), B(-1, 1), C(k, k-2)가 한 직선 x=- 를 ㉠에 대입하면 y=2_ - +3= { ;5$;} ;5&; ;5$; 위에 있으려면 직선 AB와 직선 BC의 기울기가 같아야 하 따라서 두 직선의 교점은 { - ;5$; , ;5&;} 이다. 기울기가 인 직선을 y= x+b라 하면 이 직선이 ;2#; ;2#; 므로 (직선 AB의 기울기)= (직선 BC의 기울기)= 1-3 -1-(-2) =-2 k-2-1 k-(-1) = k-3 k+1 즉, -2= k-3 k+1 k-3=-2(k+1) 3k=1 ∴ k= ;3!; x+y-1=0 ……`㉠ 2x-y+4=0 ……`㉡ à ㉠+㉡에서 3x+3=0 △ABC의 넓이를 이등분하게 된다. (cid:77) ∴ x=-1 이등분한 두 삼각형은 높이가 OCÓ 로 같으므로 밑변의 길이가 같을 때 즉, 직선 l이 ABÓ의 중점을 지날 때, △ABC의 넓이를 이등분한다. ABÓ의 중점은 { 0, 4-2 2 } =(0, 1)이므로 (cid:90) (cid:21) (cid:34) (cid:48) (cid:14)(cid:19) (cid:35) (cid:20) (cid:36) (cid:89) 두 점 (3, 0), (0, 1)을 지나는 직선의 방정식은 기울기를 m이라 하면 x=-1을 ㉠에 대입하면 y=2 따라서 두 직선의 교점은 (-1, 2)이다. 또, 직선 2x-3y-4=0, 즉 y= x- 와 수직인 직선의 ;3@; ;3$; + ;1}; ;3{; =1 ∴ y=- x+1 ;3!; 96 ⅠV 일차함수 _m=-1 ;3@; ∴ m=- ;2#; 따라서 구하는 직선의 방정식을 y=- x+b라 하면 ;2#; 두 직선 l, m이 평행하므로 점 (-1, 2)를 지나므로 2= - { ;2#;} _(-1)+b ∴ b= ;2!; ∴ y=- x+ ;2#; ;2!; 4x-y=a ……`㉠ x+2y=14-a ……`㉡ à ㉠_2+㉡에서 9x=14+a ∴ x= 14+a 9 x= 14+a 9 56+4a 9 를 ㉠에 대입하면 -y=a ∴ y= 56-5a 9 교점 { 14+a 9 , 56-5a 9 } 56-5a 9 =2_ 14+a 9 , 56-5a=28+2a ∴ a=4 가 직선 y=2x 위에 있으므로 2x-y=7 ……`㉠ x+y=2 ……`㉡ 에서 à ㉠+㉡을 하면 3x=9 ∴ x=3 x=3을 ㉡에 대입하면 3+y=2 ∴ y=-1 3x-2y=4에서 -2y=-3x+4 ∴ y= x-2 ;2#; 즉, 구하는 일차함수 그래프의 기울기는 이고 ;2#; 점 (3, -1)을 지난다. 따라서 y= x+b에 점 (3, -1)을 대입하면 ;2#; -1= +b ∴ b=- ;2(; :Á2Á: ∴ y= x- ;2#; :Á2Á: 두 직선 l, n의 교점의 x좌표가 -4이므로 직선 l의 방정 = ;2!; ;1A; + ;1¼0; ∴ a= ;2!; 식에 x=-4를 대입하면 -4+2y+10=0 2y=-6 ∴ y=-3 ∴ b=1 ∴ a= , b=1 ;2!; 다른 풀이 (-4, -3)을 직선 n의 방정식에 대입하면 -4b-(-3)+1=0 직선 l：x+2y+10=0 y=- x-5 ;2!; HjK y=-ax y=bx+1 직선 m：ax+y=0 HjK 직선 n：bx-y+1=0 HjK 두 직선 l, m이 평행하므로 - =-a ;2!; ∴ a= ;2!; 식에 x=-4를 대입하면 y =- _(-4)-5 ;2!; =-3 -3=-4b+1 ∴ b=1 따라서 (-4, -3)을 직선 n의 방정식에 대입하면 두 직선 l, n의 교점의 x좌표가 -4이므로 직선 l의 방정 은 y=2x+b로 놓을 수 있다. 또, y=-3x+12와 y축에서 만나므로 y절편이 같다. 즉, b=12 ∴ y=2x+12 직선 l은 x절편과 y절편이 모두 7이므로 직선의 방정식은 단원 종합 문제 97 즉, 두 일차함수의 그래프의 교점의 좌표는 (3, -1)이다. 직선 y=2x+1과 평행하므로 구하는 직선의 방정식 직선 m은 x절편과 y절편이 각각 -3, 3이므로 + =1 ;7}; ;7{; ∴ x+y=7 …… ㉠ 직선의 방정식은 x -3 + =1 ;3}; ∴ x-y=-3 …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=2, y=5 따라서 두 직선의 교점의 좌표는 (2, 5)이다. 따라서 그래프의 기울기는 50-32 10-0 = ;5(; 이고, 점 (0, 32)를 지나므로 y= x+32 ;5(; 섭씨 온도와 화씨 온도가 같을 때, 즉 x=y일 때 x= x+32에서 ;5(; x=-40 따라서 구하는 온도는 -40`¾이다. y가 x의 함수가 되는 경우는 함숫값 f(1), f(2), f(3)이 각각 다음의 문자에 순서대로 대응될 때이다. f(1) f(2) f(3) a a a a a b a b a b a a b b a b a b a b b b b b 따라서 구하는 x의 함수 y의 개수는 8이다. 다른 풀이 x가 3개, y가 2개이므로 공식에 의해 2Ü`=8 f(1)=5, f(2)=6을 만족하는 함수의 개수는 x의 수 중 1, 2를 제외한 나머지 수 3, 4가 y의 5, 6, 7에 대응하는 함수의 개수와 같다. 따라서 함숫값 f(3), f(4)가 각각 다 음의 수에 순서대로 대응될 때이다. f(3) f(4) 5 5 5 6 5 7 6 5 6 6 6 7 7 5 7 6 7 7 따라서 구하는 함수 y=f(x)의 개수는 9이다. 다른 풀이 x가 2개, y가 3개이므로 공식에 의해 3Û`=9 두 그래프가 평행할 조건은 기울기가 같고 y절편이 달 구하는 직선이 일차함수 y=2x-4의 그래프와 평행하므로 y=2x+b라 하면 점 (-1, 2)를 지나므로 라야 한다. 2=-2+b b=4 ∴ y=2x+4 (cid:90) (cid:21) (cid:14)(cid:19) (cid:48) (cid:89) 즉, 일차함수 y=2x+4의 그래프의 x절 편, y절편은 각각 -2, 4이므로 그래프를 그려 보면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 구하는 삼각형의 넓이는 _2_4=4 ;2!; 직선과 x축, y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하는 경우 삼각형 의 밑변의 길이는 |(직선의 x절편)|이고 높이는 |(직선의 y절편)|임에 주의해야 한다. y=x-3, y=- x+3, ;2!; x=2의 그래프를 그려 보면 오른쪽 그림과 같다. 두 직선끼리 만나는 점을 각각 P, Q, R라 하자. y=- x+3에 x=2를 대입 (cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)(cid:89)(cid:12)(cid:20) (cid:20) (cid:89)(cid:30)(cid:19) (cid:49) (cid:51) (cid:41) (cid:19) (cid:20) (cid:50) (cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:14)(cid:20) (cid:23) (cid:89) (cid:48) (cid:14)(cid:20) x`¾일 때 y`ùF라 하면 섭씨 온도와 화씨 온도의 관계 y=x-3에 x=2를 대입하면 는 일차함수이므로 그 그래프는 두 점 (0, 32), (10, 50)을 y=-1 지나는 직선이다. 98 ⅠV 일차함수 ;2!; 하면 y=2 ∴ P(2, 2) ∴ Q(2, -1) y=x-3과 y=- x+3을 연립하여 풀면 ;2!; x-3=- x+3 ;2!; 2x-6=-x+6 3x=12 ∴ x=4 y=4-3=1 ∴ y=1 ∴ R(4, 1) ∴ △PQR= _PQÓ_HRÓ ;2!; ;2!; ;2!; = _{2-(-1)}_(4-2) = _3_2=3 직선 y=ax+3이 점 A(2, 7)을 지날 때 또, 점 B(4, 1)을 지날 때 7=a_2+3 ∴ a=2 1=a_4+3 ∴ a=- ;2!; 따라서 상수 a의 값의 범위는 - ÉaÉ2 ;2!; x=-3일 때 y=4, x=5일 때 y=2이다. y=ax+b에서 a= 2-4 5-(-3) =- ;4!; ;4!; ;4!; 4=- _(-3)+b ∴ b= :Á4£: ∴ a+b=- + ;4!; :Á4£: =3 y=- x+b에 x=-3, y=4를 대입하면 ( M 서로 다른 세 직선 [{ M 9 y=-ax+1 y=- x+ ;2!; ;2#; y=- ;b!; x- ;b#; 에 의해 좌표평면이 네 부분으로 나누어지려면 세 직선이 서로 평행해야 한다. ( 서로 다른 세 직선 [{ ax+y-1=0 …… `㉠ x+by+3=0 …… `㉡ 이 서로 x+2y-3=0 …… `㉢ 9 평행해야 좌표평면이 네 부분으로 나누어지므로 -a=- =- 에서 ;b!; ;2!; a= , b=2 ;2!; 다른 풀이 ㉠, ㉡에서 = ;b!; ;1A; + -1 3 ㉡, ㉢에서 1= +-1 ;2B; ∴ a= , b=2 ;2!; 함수 y=- x+4의 그래프의 기울기가 - <0 ;3@; ;3@; 이므로 x=-5일 때 y=- _(-5)+4 ;3@; ;3!; =- a+m x=4일 때 y=- _4+4 ;3@; = a+m ;3@; ∴ 2a+3m=4 …… ㉡ ㉡-㉠을 하면 3a=-18 ∴ a=-6 a=-6을 ㉠에 대입하면 m= :Á3¤: (y-2)(x-2y+2)=0 y-2=0 HjK ……`㉠ 또는 x-2y+2=0 ……`㉡ (2x+y-5)(x-2y-2)=0 2x+y-5=0 ……`㉢ HjK 또는 x-2y-2=0 ……`㉣ 단원 종합 문제 99 일차함수 y=ax+b의 x의 값의 범위와 함숫값의 범 ∴ -a+3m=22 …… ㉠ 위가 각각 -3ÉxÉ5, 2ÉyÉ4이고 a<0이므로 따라서 일차함수 y=ax+b의 그래프는 두 점 (-3, 4), (5, 2)를 지나는 직선이다. 두 방정식을 동시에 만족하는 (x, y)가 존재하려면 ㉠과 Û 직선 ㉡의 y절편이 -2일 경우 ㉢, ㉠과 ㉣, ㉡과 ㉢, ㉡과 ㉣의 교점이 존재하면 된다. y=2 …… ㉠ (cid:90) n+4=-2 ∴ n=-6 직선 ㉠의 x절편이 6이므로 ( M [{ M 9 y= x+1 ;2!; …… ㉡ y=-2x+5 …… ㉢ y= x-1 ;2!; …… ㉣ 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. (cid:22) (cid:19) (cid:18) (cid:14)(cid:19) (cid:48) (cid:19) (cid:14)(cid:18) (cid:28)(cid:19)(cid:6)(cid:28) ㉢ ㉡ ㉣ ㉠ (cid:89) 따라서 ㉠과 ㉢, ㉠과 ㉣, ㉡과 ㉢이 서로 만나므로 두 방정 식을 동시에 만족하는 순서쌍 (x, y)의 개수는 3이다. (ax+by+c)(a'x+b'y+c')=0의 그래프 구하기 (ax+by+c)(a'x+b'y+c')=0이면 ax+by+c=0 또는 a'x+b'y+c'=0이므로 (ax+by+c)(a'x+b'y+c')=0이 나타내는 그래프는 두 직선 ax+by+c=0과 a'x+b'y+c'=0의 모양으로 나타난다. n-1 -m = -6-1 -m =6 ∴ m= ;6&; Ú, Û에서 m=- , n=3 또는 m= , n=-6 :ª6°: ;6&; ㉡의 y절편이 3이므로 (0, 4)를 지나는 직선은 ㉠과 ㉢이다. 점 (2, 1)은 직선 y=x+4(㉠) 위에 있지 않으므로 점 (2, 1)을 지나는 직선은 ㉡과 ㉢이다. y=x+a …… ㉠ y=bx+3 …… ㉡ y=cx+d …… ㉢ ( [{ 9 (0, 4)를 ㉠, ㉢에 대입하면 a=4, d=4 (2, 1)을 ㉡, ㉢에 대입하면 1=2b+3 ∴ b=-1 1=2c+4 ∴ c=- ;2#; ∴ a+b+c+d=4+(-1)+ - +4 { ;2#;} (cid:48) (cid:35) (cid:21) (cid:89) = :Á2Á: △AOB를 y축을 회전축으 (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:190)(cid:89)(cid:14)(cid:21)(cid:66) (cid:90) (cid:34) (cid:14)(cid:21)(cid:66) 로 하여 1회전 시키면 밑면은 OBÓ 를 반지름으로 하는 원이고 높이 는 OAÓ인 원뿔이 된다. 이때 y=ax-4a의 그래프의 x절 편은 4이므로 점 B의 좌표는 (4, 0)이다. 따라서 OBÓ=4, OAÓ=-4a이므로 (부피)= _p_4Û`_(-4a) ;3!; =- ap ;;¤3¢;; =32p ∴ a=- ;2#; y=-mx-n+1 …… ㉠ y=(m+3)x+n+4 …… ㉡ à Ú 직선 ㉠의 y절편이 -2일 경우 -n+1=-2 ∴ n=3 직선 ㉡의 x절편이 6이므로 -(n+4) m+3 = -7 m+3 =6 100 ⅠV 일차함수 OABC= _(4+6)_6=30 ;2!; 직선이 ABÓ와 만나는 점을 D(a, b)라 하면 △OAD=15이므로 _6_b=15 ∴ b=5 ;2!; 한편, 직선 AB의 기울기는 =-3이므로 0-6 6-4 직선 AD의 기울기도 -3이어야 한다. 0-5 6-a =-3, -5=-18+3a ∴ a= :Á3£: ∴ D {;;Á3£;; , 5 } 따라서 직선 OD의 기울기는 5-0 -0 ;;Á3£;; = ;1!3%; 이므로 m+3=- ∴ m=- ;6&; :ª6°: 구하는 직선의 방정식은 y= x ;1!3%; ∴ △ADE= _DEÓ_3 ;2!; = _ 1+ ;2!; { ;2&;} _3 = :ª4¦: 오른쪽 그림과 같이 직선 l의 æx절편은` - ;a$; 이고, 직선 m의 æx절편은` (cid:90) (cid:48) (cid:34) (cid:77)(cid:27)(cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:12)(cid:21) (cid:36) (cid:25) (cid:89) (cid:78)(cid:27)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:12)(cid:25) (cid:35) (cid:14) (cid:26)(cid:64)(cid:4)(cid:26) AOÓ가 △ABC의 넓이를 이등분하므로 점 O는 BCÓ의 중점 8이다. 이다. - ;a$; +8=0 ∴ a= ;2!; 세 점 A(2, 2), B(-2, -2), C(5, -4)를 꼭 짓점으로 하는 △ABC에서 y¾-1인 부분은 오른쪽 그림 에서 어두운 부분과 같다. (cid:34) (cid:22) (cid:38) (cid:89) (cid:19) (cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:19) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:18) (cid:90) (cid:19) (cid:48) (cid:14)(cid:19) (cid:37) (cid:35) (cid:14)(cid:21) 직선 AB의 방정식이 y=x이고 직선 AB와 y=-1의 교점을 D라 하면 D(-1, -1) -4-2 5-2 직선 AC의 방정식을 y=-2x+b라 놓고 (2, 2)를 대입하 면 b=6 ∴ y=-2x+6 E {;2&; , -1 } 또, 직선 AC와 y=-1의 교점을 E라 하면 Ú 점 P가 BCÓ 위에 있을 때 △ABP= _BPÓ_ACÓ ;2!; ∴ y=3x`(0<x<8) Û 점 P가 ACÓ 위에 있을 때 (cid:36) APÓ=14-x △ABP= _APÓ_BCÓ (cid:35) ;2!; ∴ y=56-4x`(8Éx<14) 타내는 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 따라서 구하는 도형의 넓이는 (cid:34) (cid:23) (cid:36) (cid:90) (cid:190)(cid:89) (cid:49) (cid:25) (cid:34) (cid:18)(cid:21)(cid:14)(cid:89) (cid:23) (cid:49) (cid:36) (cid:35) (cid:90) (cid:25) (cid:90) (cid:19)(cid:21) _14_24=168 ;2!; (cid:48) (cid:25) (cid:18)(cid:21) (cid:89) 점 C를 기준으로 점 P의 이동 방향이 바뀌므로 점 P가 BCÓ 위에 있는 경우와 ACÓ 위에 있는 경우로 분류하여 생각한다. 직선 AC의 기울기는 =-2이므로 Ú, Û에 의해 x, y 사이의 관계를 나 단원 종합 문제 101
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