최
상
위
수
학
중 2
2
정
답
과
풀
이
Light
라이트
(가) ∠D (나) DEÓ (다) ASA
ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ
RHA 합동, ASA 합동 ③
I 삼각형의 성질
1
삼각형의 성질
주제별 실력다지기
(가) ACÓ (나) ADÓ (다) SAS (라) 90ù
22.5ùÉ∠O<30ù
8`cm
④, ⑤
③
64ù
7`cm
①, ⑤
④
②
②
100ù
40`cm
④
3`:`2
④
④
②
⑤
④
②
⑤
52ù
③
34ù
3`:`2
②
②
④
120ù
②
140ù
26`cmÛ`
115ù
②
81ù
⑤
③
;;ª2°;;
70ù
6`cm
⑤
②
②
12`cm
70ù
18`cmÛ`
`cmÛ`
4`cm
③
②
60ù
②
④
②
①
④
;;¦2°;;
③
`cmÛ`
135ù
①
③
②
90ù
6`cm
④
②
④
⑤
⑤
③
⑤
이등변삼각형 ABC에서 ∠A의 이등분선과 변 BC
ABÓ=ACÓ이므로
본문 9~31쪽
35ù
20ù
③
80ù
①
25ù
10`cm
`cmÛ`
;;°2°;;
④
정삼각형
55ù
⑤
6`cm
①, ④
④
③
1`cm
3`cm
110ù
36`cm
125ù
②
8`cm
24`cmÛ`
32`cmÛ`
③
②
①, ④
①
∠C=∠B=2∠x+10ù
△ABC의 세 내각의 크기의 합이 180ù이므로
2_(2∠x+10ù)+∠x=180ù
5∠x=160ù ∴ ∠x=32ù
ADÓ는 밑변의 수직이등분선이
(cid:22)(cid:22)(cid:177)
(cid:35)
(cid:22)(cid:22)(cid:177)
(cid:36)
ABÓ=ACÓ이므로
∠C=∠B=55ù
므로
△ADC에서
∠x=90ù-55ù=35ù
ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC=∠ACB
(cid:34)
(cid:89)
(cid:37)
(cid:34)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:49)
(cid:89)(cid:90)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:36)
(cid:34)
(cid:49)
(cid:37)
①, ④, ⑤ △ABP≡△ACP
(SAS`합동)이므로
BPÓ=CPÓ
즉, △PBC는 이등변삼각형이다.
(cid:35)
(cid:36)
또한, ∠ABP=∠ACP
② 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수
직이등분한다.
③ APÓ=PDÓ인지 알 수 없다.
_(180ù-40ù)
=
;2!;
=70ù
△PBDª△PCD이므로
∠PBD=∠PCD=40ù
∴ ∠y=70ù-40ù=30ù
∠x=20ù+∠y=20ù+30ù=50ù
∴ ∠x+∠y=50ù+30ù=80ù
가 만나는 점을 D라 하면
△ABD와 △ACD에서
ABÓ= `ACÓ
……`㉠
∠BAD=∠CAD ……`㉡
ADÓ 는 공통
……`㉢
△ABD≡△ACD (
`SAS 합동)
㉠, ㉡, ㉢에서
∴ BDÓ=CDÓ
또한, ∠ADB=∠ADC이고
∠ADB+∠ADC=180ù이므로
∠ADB=∠ADC= 90ù 이다.
∴ ADÓ⊥BCÓ
2 정답과 풀이
∠CDB=∠CDA=90ù이므로
∠ABC=∠ACB=55ù
(cid:34)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:36)
△ADC=
_ADÓ_CDÓ
;2!;
=
;2!;
_ACÓ_DEÓ
(cid:35)
_4_3=
_5_DEÓ
;2!;
;2!;
∴ DEÓ=
(cm)
:Á5ª:
△BAD≡△BCD이므로
(cid:34)
△BAD=△BCD=12`cmÛ`
△BCD=
_BCÓ_DEÓ
;2!;
=12(cmÛ`)
(cid:37)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35) (cid:38)
(cid:36)
_BCÓ_3=12 ∴ BCÓ=8(cm)
;2!;
∴ ABÓ=BCÓ=8`cm
이등변삼각형의 꼭지각에서 밑변에
내린 수선은 밑변을 이등분하므로
ADÓ=BDÓ=12`cm
또 CAÓ=CBÓ이므로
∠A=∠B=45ù
△ADC에서
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:34)
(cid:36)
∠DCA=180ù-(90ù+45ù)=45ù
∠A=∠DCA이므로 △ADC는 이등변삼각형이다.
∴ CDÓ=ADÓ=12`cm
∠B=∠ACB=
_(180ù-48ù)=66ù
;2!;
∠ACD=∠BCD=
_66ù=33ù
;2!;
△ADC에서 ∠BDC =48ù+33ù=81ù
∴ ∠EAD=∠ABC=55ù(동위각)
ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC=∠ACB
(cid:34)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:37)
_(180ù-40ù)
=
;2!;
=70ù
(cid:20)(cid:22)(cid:177)
(cid:20)(cid:22)(cid:177)
(cid:35)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:36)
(cid:38)
∴ ∠ABD=∠CBD=35ù
∠ACE =180ù-70ù=110ù
∠ACD=∠ECD=
_110ù=55ù
;2!;
△BCD에서
35ù+(70ù+55ù)+∠BDC=180ù
∴ ∠BDC=20ù
(cid:34)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:66)
(cid:37)
(cid:19)(cid:66)
(cid:66)
(cid:35)
(cid:36)
(cid:38)
∠ABC=∠ACB
=
;2!;
_(180ù-20ù)=80ù
이므로
∠ACE =180ù-∠ACB
=180ù-80ù=100ù
∠DBC=∠BDC=∠a라 하면
△BCD에서 ∠DCE=2∠a이므로
∠ACD=∠DCE=2∠a
∠ACE=4∠a=100ù이므로 ∠a=25ù
∴ ∠DBC=25ù
ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC=∠ACB
(cid:34)
(cid:25)(cid:21)(cid:177)
(cid:37)
_(180ù-84ù)
(cid:35)
(cid:19)(cid:21)(cid:177)
(cid:19)(cid:21)(cid:177)
(cid:66)
(cid:21)(cid:25)(cid:177)
(cid:19)(cid:66)
(cid:36)
(cid:38)
=
;2!;
=48ù
∠BAE=∠EAC=∠a라 하면(cid:34)
(cid:66)
(cid:66)
(cid:66)
EAÓ=ECÓ이므로
∠ABD=∠DBC=24ù
∠ACE=180ù-48ù=132ù
∠ECA=∠EAC=∠a
(cid:35)
(cid:38)
(cid:66)
∠ACD=∠a라 하면 ∠DCE=2∠a이므로
ADÓBCÓ이므로
3∠a=132ù ∴ ∠a=44ù
∠DAC=∠BCA=∠a`(엇각)
△BCD에서
즉 ∠BAD=3∠a=90ù이므로
24ù+(48ù+44ù)+∠BDC=180ù
(cid:37)
(cid:36)
∠DAC=∠BCA=55ù(엇각)
∠DEB=∠DEC,
(cid:35)
(cid:36)
∠a=30ù
∴ ∠AEB=90ù-30ù=60ù
ADÓBCÓ이므로
ABÓ=ACÓ이므로
△DBE와 △DCE에서
(cid:34)
∴ ∠BDC=64ù
BEÓ=CEÓ,
DEÓ는 공통이므로
(cid:37)
(cid:38)
Ⅰ 삼각형의 성질 3
△DBE≡△DCE`(SAS`합동)
∠DPC=∠CBP+∠BCP=60ù
∴ ∠DBE=∠DCE
△ABC에서 ∠C=∠a라 하면 ∠ABC=2∠a이므로
△ABD에서 ADÓ=BDÓ이므로
∠a+∠2a=90ù, 3∠a=90ù ∴ ∠a=30ù
∠DAB=∠DBA=∠a라 하면
따라서 △DBE에서 ∠DBE=30ù이므로
∠BDC=∠a+∠a=2∠a
∠BDE=90ù-30ù=60ù
ABÓ=ACÓ이므로
∠B=∠C
△BAE와 △CAD에서
BAÓ=CAÓ, BEÓ=CDÓ,
∠B=∠C이므로
BCÓ=BDÓ이므로
∠BCD=∠BDC=2∠a
∠ABC=∠C=2∠a이므로
△ABC에서 ∠a+2∠a+2∠a=180ù
(cid:34)
(cid:21)(cid:25)(cid:177)
(cid:23)(cid:23)(cid:177) (cid:23)(cid:23)(cid:177)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:36)
(cid:38)
5∠a=180ù ∴ ∠a=36ù
∴ ∠A=36ù
(cid:34)
(cid:66)
(cid:37)
(cid:19)(cid:66)
(cid:19)(cid:66)
(cid:36)
(cid:66)
(cid:35)
△BAE≡△CAD`(SAS`합동)
∴ AEÓ=ADÓ
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠B=∠ACB=∠a라 하면
△ADE는 이등변삼각형이므로
∠CAD=∠a+∠a=2∠a
(cid:66)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:34)
(cid:19)(cid:66)
(cid:66)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:36) (cid:38)
∠ADE=∠AED=
_(180ù-48ù)=66ù
;2!;
BAÓ=BEÓ이므로 ∠BAE=∠BEA=66ù
∴ ∠BAD=∠BAE-∠DAE=66ù-48ù=18ù
또 △CAD에서` CAÓ=CDÓ이
므로 ∠CDA=∠CAD=2∠a
△DBC에서 ∠DCE=∠a+2∠a=3∠a
3∠a=120ù ∴ ∠a=40ù `
∴ ∠B=40ù
ABÓ=ACÓ이므로
∠B=∠C
(cid:34)
(cid:22)(cid:21)(cid:177)
(cid:39)
(cid:37)
(cid:23)(cid:20)(cid:177)
(cid:23)(cid:20)(cid:177)
_(180ù-54ù)
=
;2!;
=63ù
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠B=∠ACB=∠a라 하면
(cid:34)
(cid:66)
(cid:19)(cid:66)
(cid:66)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:19)(cid:66)
(cid:24)(cid:22)(cid:177)
(cid:36)
(cid:38)
(cid:35)
(cid:38)
(cid:36)
∠CAD=∠a+∠a=2∠a
△BED와 △CFE에서
ACÓ=DCÓ이므로
DBÓ=ECÓ, EBÓ=FCÓ, ∠B=∠C이므로
∠CDA=∠CAD=2∠a
△BED≡△CFE (SAS`합동)
DCÓ=DEÓ이므로 ∠DCE=∠DEC=75ù
∴ ∠BED=∠CFE, ∠EDB=∠FEC
즉 △DBC에서 ∠DCE=∠a+2∠a=3∠a이므로
△EBD에서
3∠a=75ù ∴ ∠a=25ù
∠BED+∠EDB=180ù-63ù=117ù이므로
∴ ∠B=25ù
∠BED+∠FEC=117ù
=180ù-117ù=63ù
∴ ∠DEF =180ù-(∠BED+∠FEC)
이등변삼각형이 되려면 두
△CAE와 △BCD에서
CAÓ=BCÓ, ∠A=∠C=60ù,
(cid:34)
(cid:38)
AEÓ=CDÓ이므로
(cid:37)
(cid:49)
(cid:36)
△CAE≡△BCD`(SAS`합동)
(cid:35)
∠O=∠x라 하면
밑각의 크기가 같으므로
한 밑각의 크기가 90ù보다
(cid:48)
작아야 한다.
(cid:35)(cid:109)
(cid:35)(cid:132)
(cid:35)
(cid:20)(cid:89)
(cid:21)(cid:89)
(cid:19)(cid:89) (cid:19)(cid:89)
(cid:34)(cid:132)
(cid:34)(cid:109)
(cid:34)
이등변삼각형 B1A2B2는 만들어지므로 ∠B1B2A2의
크기는 90ù보다 작아야 한다.
∠B1B2A2<90ù에서
3∠x<90ù ∴ ∠x<30ù …… ㉠
또 △B2A2A3은 만들어지지 않으므로 ∠B2A2A3의
크기는 90ù보다 크거나 같아야 한다.
즉 ∠ACE=∠CBD이고
∠ACE+∠BCE=60ù이므로
∠CBD+∠BCE=60ù
따라서 △PBC에서
4 정답과 풀이
(cid:190)
(cid:190)
즉 ∠B2A2A3¾90ù에서
4∠x¾90ù ∴ ∠x¾22.5ù …… ㉡
따라서 ㉠, ㉡에서 구하는 ∠x의 범위는
22.5ùÉ∠x<30ù
∴ 22.5ùÉ∠O<30ù
ADÓBCÓ이므로
(cid:34)
∠DAE=∠BEA`(엇각)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
따라서 ∠BEA=∠BAE
(cid:35)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38) (cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
이므로 △ABE는 이등변삼각형이다.
BEÓ=ABÓ=5`cm
ADÓ=BCÓ=5+3=8(cm)
(cid:38)
∴ AECD=
_(3+8)_5
;2!;
=
:°2°:
(cmÛ`)
BCÓ와 ADÓ의 교점을` G,
∠B=∠a라 하면
△ABCª△ADE이므로
∠D=∠B=∠a
(cid:34)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:66)
(cid:66)
(cid:35)
(cid:18)(cid:18)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:66)
(cid:39)(cid:40)
(cid:66)
(cid:36)
(cid:37)
ADÓ=ABÓ=8`cm
ABÓEDÓ이므로
∠BAG=∠GDF=∠a`(엇각)
∠GFD=∠ABG=∠a`(엇각)
△GAB, △GDF는 이등변삼각형이므로
AGÓ=BGÓ, GDÓ=GFÓ
∴ BFÓ =BGÓ+GFÓ=AGÓ+GDÓ
=ADÓ=ABÓ=8 cm
∠B=∠C인 △ABC에서
∠A의 이등분선과 변 BC의 교점을 D라 하면
∠BAD= ∠CAD
……`㉠
∠BDA= ∠CDA (∵ ∠B=∠C) ……`㉡
ADÓ 는 공통
㉠, ㉡, ㉢에서
∴ ABÓ=ACÓ
△ABD ª △ACD ( ASA 합동)
∠B=∠C이므로 △ABC는 이등변삼각형이다.
따라서 점 D는` BCÓ의 중점이므로
BDÓ=DCÓ=
_20=10(cm)
;2!;
∠A=∠C이므로` △ABC는 이등변삼각형이다.
∴ ∠x=∠BDC=∠BDA=
_180ù=90ù
;2!;
ADÓECÓ이므로
(cid:38)
∠BAD=∠BEC`(동위각),
∠DAC=∠ECA`(엇각)
즉 ∠AEC=∠ACE이므로
△ACE는 이등변삼각형이다.
(cid:35)
(cid:37)
(cid:36)
∴ AEÓ=ACÓ=10`cm
△ABC에서
∠ABC=∠C
_(180ù-36ù)
=
;2!;
=72ù
∴ ∠ABD=∠CBD=36ù
(cid:34)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:20)(cid:23)(cid:177)
(cid:37)
(cid:24)(cid:19)(cid:177)
(cid:24)(cid:19)(cid:177)
(cid:20)(cid:23)(cid:177)
(cid:20)(cid:23)(cid:177)
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:36)
즉 ∠A=∠DBA이므로 △DAB는 이등변삼각형
이다.
∴ ADÓ=BDÓ
또 ∠BDC=36ù+36ù=72ù
즉 ∠BDC=∠BCD이므로 △BCD는 이등변삼각
……`㉢
형이다.
∴ BDÓ=BCÓ=7`cm
∴ ADÓ=BDÓ=7`cm
∠CEF=∠FEG (접은 각)
ADÓBCÓ이므로
∠FEC=∠EFG`(엇각)
∴ ∠FEG=∠EFG
(cid:41)
(cid:40)
(cid:39)
(cid:42)
(cid:38)
따라서 △GEF는` GEÓ=GFÓ인 이등변삼각형이다.
②
` EFÓ=FGÓ인지 알 수 없다.
∠CEF=∠FEG
=46ù(접은 각)
∠GFE =∠CEF
=46ù(엇각)
(cid:41)
(cid:40)
(cid:21)(cid:23)(cid:177)
(cid:42)
(cid:39)
(cid:89)
(cid:21)(cid:23)(cid:177)
(cid:21)(cid:23)(cid:177)
(cid:38)
(cid:34)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
따라서 △GEF는 이등변삼각형이므로
∠x =180ù-(∠GEF+∠GFE)
=180ù-(46ù+46ù)
=88ù
Ⅰ 삼각형의 성질 5
(cid:34)
(cid:35)
(cid:34)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:36)
(cid:37)
(cid:36)
(cid:190)
2∠a=112ù ∴ ∠a=56ù
∠A =90ù-∠B=90ù-∠E
∠GEF =180ù-(∠EGF+∠EFG)
따라서 합동이 되기 위한 조건은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.
(cid:42)
(cid:41)
(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:177)
(cid:39)
(cid:40)
(cid:66)
(cid:66)
(cid:66)
(cid:38)
∠CBE+∠FBE+∠ABF=90ù이므로
∠CBE=∠FBE=∠ABF=30ù
따라서 △BCF는 `BCÓ=BFÓ이고, ∠CBF=60ù이
므로 정삼각형이다.
∠FEC=∠a라 하면
∠GEF =∠FEC
=∠a`(접은 각)
ADÓBCÓ이므로
∠GFE =∠FEC
=∠a`(엇각)
△GEF에서
∴ ∠FEC=56ù
∠EGF =∠D'GF
=55ù (접은 각)
AD'ÓBC'Ó이므로
∠EFG =∠D'GF
=55ù (엇각)
따라서 △EFG에서
(cid:34)
(cid:35)
(cid:34)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:36)
(cid:37)(cid:8)
(cid:36)(cid:8)
(cid:40)
(cid:22)(cid:22)(cid:177)
(cid:22)(cid:22)(cid:177)
(cid:38)
(cid:89)
(cid:39)
(cid:22)(cid:22)(cid:177)
(cid:37)
(cid:36)
=180ù-(55ù+55ù)
=70ù
∠EAC=∠BAC`(접은 각)
DEÓBCÓ이므로
∠EAC=∠BCA`(엇각)
따라서 △ABC는 이등변삼
(cid:37)
(cid:34)
(cid:38)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:36)
각형이므로
BCÓ=BAÓ=6`cm
∠A=∠x라 하면
ABÓ=ACÓ에서
∠C=∠ABC=∠x+15ù
△ABC에서
∠x+(∠x+15ù)_2=180ù
3∠x=150ù ∴ ∠x=50ù
∴ ∠DBE=50ù
∠DBE=∠A=∠x`(접은 각)
△COPª△DOP (RHA`합동)
(cid:34)
(cid:89)
(cid:37)
(cid:89)
(cid:35)
(cid:18)(cid:22)(cid:177)
(cid:38)
(cid:36)
OPÓ는 공통이므로
∴ PCÓ=PDÓ
오른쪽 그림과 같이 점 C가 ADÓ
위에 오도록 접으므로
BCÓ=BFÓ, ∠CBE=∠FBE
(cid:34)
(cid:35)
(cid:39)
(cid:40)
(cid:37)
(cid:38)
(cid:36)
또 BFÓ를 접는 선으로 하여 점 A가
`BEÓ 위에 오면 ∠ABF=∠FBE
즉 ∠CBE=∠FBE=∠ABF이고
∠OPA=∠OPB
OPÓ는 공통이므로
△AOPª△BOP`(ASA`합동)
△DEC와 △DEF에서
6 정답과 풀이
△ABC와 △DEF에서
∠B=∠E
= ∠D
ABÓ= DEÓ
따라서 ㉠, ㉡, ㉢에 의하여
△ABC≡△DEF`( ASA 합동)
……`㉠
……`㉡
……`㉢
ㄱ, ㄷ. ASA`합동
ㄴ. SAS`합동
ㄹ. RHS`합동
△BDE와 △CDF에서
Ú ∠B=∠C, ∠BED=∠CFD=90ù, BDÓ=CDÓ
∴ △BDEª△CDF (RHA 합동)
Û ∠B=∠C, ∠BED=∠CFD=90ù이므로
∠EDB=∠FDC, BDÓ=CDÓ
∴ △BDEª△CDF (ASA 합동)
△COP와 △DOP에서
∠COP=∠DOP, ∠OCP=∠ODP=90ù
△AOP와 △BOP에서
① ∠AOP=∠BOP,
(cid:57)
(cid:34)
(cid:49)
∠OAP=∠OBP=90ù
OPÓ는 공통이므로
△AOPª△BOP`(RHA`합동)
(cid:48)
(cid:35)
(cid:58)
⑤ ∠AOP=∠BOP, ∠OAP=∠OBP=90ù이므로
DCÓ=DFÓ, ∠DCE=∠DFE=90ù, DEÓ는 공통이
∠EOF =2(∠a+∠b)
므로
=360ù-(90ù+70ù+90ù)=110ù
△DECª△DEF`(RHS`합동)
∴ ∠a+∠b=55ù
∴ ECÓ=EFÓ, ∠CED=∠FED,
∴ ∠AOC=∠a+∠b=55ù
△ADEª△ACE`(RHS 합동)이므로`
을 E라 하면
BDÓ+BEÓ+DEÓ =BDÓ+BEÓ+ECÓ
△ABC=△ABD+△DBC이므로
∠EDC=∠EDF
⑤ BFÓ=DFÓ인지 알 수 없다.
DEÓ=CEÓ, ADÓ=ACÓ=6 cm
∴ BDÓ=10-6=4(cm)
따라서 △BED의 둘레의 길이는
=BDÓ+BCÓ
=4+8
=12(cm)
△BECª△BED`(RHS`합동)이므로
∠EBC=∠EBD
△ABC에서 ∠B=90ù-50ù=40ù이므로
∠EBC=
;2!;∠B=
;2!;
_40ù=20ù
△EBC에서 ∠BEC=90ù-20ù=70ù
ADÓ=x`cm라 하고 점 D
(cid:34)
에서 BCÓ에 내린 수선의 발
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:38)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
△ABDª△EBD`
(RHA`합동)
DEÓ=ADÓ=x`cm
_6_8=
_6_x+
_10_x
;2!;
;2!;
;2!;
8x=24 ∴ x=3
∴ ADÓ=3`cm
점 D에서 ABÓ에 내린 수선의 발
(cid:34)
을 E라 하면
(cid:19)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
△BCDª△BED`(RHA`합동)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
이므로 DEÓ=DCÓ=8`cm
∴ △ABD=
_ABÓ_DEÓ
;2!;
=
;2!;
_20_8=80(cmÛ`)
(cid:35)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
△ACE와 △ADE에서
ACÓ=ADÓ, AEÓ는 공통, ∠C=∠ADE=90ù이므로
△ACEª△ADE (RHS`합동)
△ABE와 △ECD에서
∴ DEÓ=CEÓ=8`cm, ADÓ=ACÓ=24`cm,
AEÓ=EDÓ, ∠B=∠C=90ù,
BDÓ=30-24=6(cm)
∴ △BDE=
_BDÓ_DEÓ
;2!;
=
;2!;
_6_8=24(cmÛ`)
△OBDª△OBF`(RHA`합동)이므로
∠BAE+∠BEA=90ù, ∠BEA+∠CED=90ù
이므로 ∠BAE=∠CED
∴ △ABEª△ECD (RHA`합동)
ECÓ=ABÓ=6`cm, BEÓ=CDÓ=3`cm이므로
BCÓ=BEÓ+ECÓ=3+6=9(cm)
∠DOB=∠FOB, ODÓ=OFÓ, BDÓ=BFÓ
△ABD와 △CAE에서
(cid:77)
(cid:37)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
△OCFª△OCE`(RHA`합동)이므로
BAÓ=ACÓ,
∠FOC=∠EOC, OFÓ=OEÓ, CFÓ=CEÓ
∠BDA=∠AEC=90ù
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
④ BFÓ=FCÓ인지 알 수 없다.
∠ABD+∠BAD=90ù
∠BAD+∠CAE=90ù이므로
△OAEª△OAD`(RHA`합동),
∠ABD=∠CAE
△OCDª△OCF`(RHA`합동)
∠AOE=∠AOD=∠a,
∠COD=∠COF=∠b라 하면
OEBF에서
(cid:38)
(cid:34)
(cid:37)
(cid:48)
(cid:66)
(cid:66)
(cid:67)
(cid:67)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:35)
(cid:36)
(cid:39)
∴ △ABDª△CAE`(RHA`합동)
즉 ADÓ=CEÓ=2`cm, AEÓ=BDÓ=4`cm이므로
DBCE=
_(4+2)_6=18(cmÛ`)
;2!;
Ⅰ 삼각형의 성질 7
△ABDª△CAE
(RHA`합동)이므로
ADÓ=CEÓ=4`cm,
AEÓ=BDÓ=3`cm
즉 DEÓ=4+3=7(cm)
(cid:77)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
(cid:38)
오른쪽 그림에서
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
∠y =2∠A=2_130ù
(cid:35)
(cid:36)
(cid:36)
=260ù
∴ ∠x=360ù-260ù=100ù
(cid:34)
(cid:18)(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:90)
(cid:48)
DBCE=
_(3+4)_7=
(cmÛ`)
;2!;
:¢2»:
△ABD=△CAE=
_3_4=6(cmÛ`)
;2!;
∴ △ABC=DBCE-(△ABD+△CAE)
∠AOB`:`∠BOC`:`∠COA=3`:`4`:`5이므로
∠BOC=
_360ù=120ù
4
3+4+5
∴ ∠BAC=
;2!;∠BOC=
;2!;
_120ù=60ù
=
:¢2»:
-(6+6)=
(cmÛ`)
:ª2°:
△ABD와 △CAE에서
ABÓ=CAÓ
∠ADB=∠CEA=90ù
(cid:35)
∠BAD+∠ABD=90ù
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
∠BAD+∠CAE=90ù 이
(cid:77)
(cid:34)
(cid:37)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:36)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
므로
∠ABD=∠CAE
∠x=2∠A=2_50ù=100ù
오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면
△OAB, △OCA는 이등변삼각형
이므로
∠OAC=∠OCA=30ù
∠y=∠OAB=50ù-30ù=20ù
∴ ∠x+∠y=100ù+20ù=120ù
(cid:34)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:48)
(cid:89)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:90)
(cid:35)
(cid:36)
∴ △ABDª△CAE`(RHA`합동)
∠OAB=∠OBA=∠a라 하면
AEÓ=BDÓ=10`cm, ADÓ=CEÓ=6`cm이므로
△ABC에서
DEÓ=AEÓ-ADÓ=10-6=4(cm)
∠a+20ù+25ù=90ù이므로
(cid:34)
(cid:66)
(cid:19)(cid:22)(cid:177)
(cid:38)
(cid:48)
(cid:66)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:35)
(cid:19)(cid:22)(cid:177)
(cid:36)
(cid:37)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
② 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같다.
① 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이므로
② 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같으므로
BEÓ=CEÓ
OAÓ=OBÓ=OCÓ
③ OAÓ=OBÓ이므로
∠OAB=∠OBA
④ 오른쪽 그림에서 ∠OAB=∠a,
(cid:34)
(cid:66)
(cid:67)
(cid:48)
(cid:19)(cid:66) (cid:19)(cid:67)
(cid:49)
(cid:66)
(cid:35)
(cid:67)
(cid:36)
∠OAC=∠b라 하면
△OAB, △OCA가 이등변
삼각형이므로
∠BOC =2∠a+2∠b
=2(∠a+∠b)
=2∠BAC
∠BOC=2∠A =2_55ù
=110ù
8 정답과 풀이
∠a=45ù
∴ ∠A=45ù+25ù=70ù
다른 풀이 ∠OBD=∠OCD=20ù이므로
△OBC에서
∠BOC=180ù-(20ù+20ù)=140ù
∠BOC=2∠A=140ù
∴ ∠A=70ù
∠OAB+∠OBC+∠OCA=90ù이므로
∠x+30ù+40ù=90ù
∴ ∠x=20ù
점 O가 △ABC의 외심이므로
∠AOC =2∠B=2_42ù
=84ù
OAÓ=OCÓ이므로
(cid:34)
(cid:21)(cid:25)(cid:177)
(cid:48)(cid:8)
(cid:89)
(cid:25)(cid:21)(cid:177)
(cid:48)
(cid:21)(cid:19)(cid:177)
(cid:35)
(cid:36)
=48ù
점 O'이 △AOC의 외심이므로
∠x=2∠OAC=2_48ù=96ù
⑤ △OFCª△OFA, △OECª△OEB
∠OAC=∠OCA=
_(180ù-84ù)
;2!;
점 O가 외심이므로`
△ABM에서 ∠B=60ù
(cid:34)
(외접원의 반지름의 길이)=OAÓ=OBÓ=OCÓ
ABÓ=BMÓ이므로
△OBC의 둘레의 길이가 19`cm이므로
△ABM은 정삼각형이다.
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:35)
(cid:46)
(cid:36)
OBÓ+OCÓ+7=19(cm)
OBÓ+OCÓ=19-7=12(cm)
∴ `OBÓ=OCÓ=6`cm
따라서 △ABC의 외접원의 반지름의 길이는 6`cm
이다.
BMÓ=MCÓ=AMÓ이므로
점 M은 △ABC의 외심이다.
따라서 AMÓ은 외접원의 반지름이므로
p_AMÓ Û`=36p, AMÓ Û`=36
∴ AMÓ=6(cm) (∵ AMÓ>0)
삼각형의 외심은 세 변의 수
직이등분선의 교점이므로
(cid:34)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
④` 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같다.
FBÓ=AFÓ=5`cm
BDÓ=DCÓ=6`cm
EAÓ=CEÓ=7`cm
(cid:38)
(cid:48)
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:39)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
∠A와 ∠B의 이등분선의 교점을
오른쪽 그림의 △ABC에서
(cid:34)
I라 하고, 점 I에서 ABÓ, BCÓ, CAÓ
(cid:37)
(cid:42)
(cid:39)
에 내린 수선의 발을 각각` D, E,
(cid:35)
(cid:38)
(cid:36)
∴ (△ABC의 둘레의 길이) =2_(5+6+7)
=36(cm)
∠BAD=90ù_
=40ù
;9$;
BDÓ=ADÓ이므로 ∠ABD=∠BAD=40ù
∴ ∠BDA=180ù-2_40ù=100ù
(cid:34)
(cid:20)(cid:23)(cid:177)
(cid:41) (cid:46)
직각삼각형의 빗변의 중점은
외심이므로
MAÓ=MBÓ=MCÓ
△MAC는 이등변삼각형이
므로
∠MAC=∠C=36ù
△AHC에서
∠CAH =90ù-∠MCA
=90ù-36ù=54ù
∴ ∠HAM =∠CAH-∠MAC
=54ù-36ù=18ù
△IADª △IAF `(RHA`합동)이므로
△IBDª △IBE `(RHA`합동)이므로
F라 하자.
IDÓ= IFÓ
IDÓ= IEÓ
△ICF와` △ICE에서
ICÓ는 공통,
IFÓ = IEÓ
,
∠IFC=∠IEC=90ù이므로 `
△ICFª△ICE (RHS`합동)
(cid:35)
(cid:20)(cid:23)(cid:177)
(cid:36)
∴ ∠ICF= ∠ICE
따라서 점 I는 ∠C의 이등분선 위에 있으므로 △ABC
의 세 내각의 이등분선은 한 점 I에서 만난다.
점 I는 △ABC의 내심이므로
① AIÓ=BIÓ인지 알 수 없다.
④ ∠IBE=∠IBD, ∠ICE=∠ICF
∠BIC=90ù+
;2!;∠A=90ù+
;2!;
_70ù=125ù
오른쪽 그림과 같이 직각삼각형
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
의 외심은 빗변의 중점에 위치
하므로
(외접원의 반지름의 길이)
=OAÓ=OBÓ=OCÓ
=
`cm
;2%;
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
∠IAB=∠IAC=∠y,
∠IBC=∠IBA=24ù
(cid:35)
(cid:48)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
∠ICB=∠ICA=32ù이므로
∠y+24ù+32ù=90ù
(cid:19)(cid:21)(cid:177)
(cid:19)(cid:21)(cid:177)
(cid:35)
(cid:20)(cid:19)(cid:177)
(cid:20)(cid:19)(cid:177)
(cid:36)
(cid:34)
(cid:90) (cid:90)
(cid:42)
(cid:89)
∴ ∠y=34ù
∠BAC=2_34ù=68ù
∴ (외접원의 둘레의 길이)=2p_
=5p(cm)
;2%;
또 ∠BIC=90ù+
;2!;∠BAC이므로
Ⅰ 삼각형의 성질 9
∠BIC=90ù+
_68ù=124ù ∴ ∠x=124ù
∴ r=3
;2!;
∴ ∠x+∠y=124ù+34ù=158ù
따라서 어두운 부분의 넓이는
∠BAC=2∠x,
∠ABC=2∠y라 하면
△ABE에서
2∠x+∠y+86ù=180ù
2∠x+∠y=94ù …… ㉠
△ABD에서 `
(cid:34)
(cid:89) (cid:89)
(cid:25)(cid:23)(cid:177) (cid:38)
(cid:42)
(cid:90)
(cid:90)
(cid:25)(cid:19)(cid:177)
(cid:37)
(cid:35)
∠x+2∠y+82ù=180ù, ∠x+2∠y=98ù …… ㉡
㉠, ㉡에서 ∠x=30ù, ∠y=34ù
△ABC에서 `60ù+68ù+∠C=180ù `
∴ ∠C=52ù
(cid:36)
(cid:34)
점 I가 △BCD의 내심이므로
∠IBD=∠IBC=
;2!;∠DBC
=
;2!;
_42ù=21ù
△DCA에서 DAÓ=DCÓ이므로
∠DAC=∠DCA이고
∠BDC=∠DAC+∠DCA=76ù이므로
∠DAC=
_76ù=38ù
;2!;
점 I'이 △DCA의 내심이므로
∠I'AD=∠I'AC=
;2!;∠DAC=
;2!;
_38ù=19ù
따라서 △ABP에서
∠IPI'=∠APB=180ù-(21ù+19ù)=140ù
△ABC의 내접원의 반지름
(cid:34)
의 길이를 r`cm라 하면
△ICA=
_r_12
;2!;
=6r(cmÛ`)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:42)
(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:26)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
△ABC=
_r_(7+9+12)
;2!;
=14r(cmÛ`)
∴ △ABC`:`△ICA=14r`:`6r=7`:`3
△ABC의 내접원의 반
(cid:34)
지름의 길이를 r`cm 라
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
하면
(cid:18)(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:42)
(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:18)(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
△ABC=
_15_8
;2!;
;2!;
10 정답과 풀이
△ABC-△IBC=
_15_8
-
_15_3
}
{;2!;
}
{;2!;
=
:¦2°:
(cmÛ`)
CEÓ=CFÓ=x`cm라 하면
(cid:34)
ADÓ=AFÓ=(13-x) cm,
BDÓ=BEÓ=(12-x) cm
ABÓ=ADÓ+BDÓ이므로
10=(13-x)+(12-x)
(cid:9)(cid:18)(cid:20)(cid:14)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:9)(cid:18)(cid:19)(cid:14)(cid:89)(cid:190)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:9)(cid:18)(cid:20)(cid:14)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:39)
(cid:42)
(cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:9)(cid:18)(cid:19)(cid:14)(cid:89)(cid:190)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
∴ x=
:Á2°:
∴ CFÓ=
cm
:Á2°:
(cid:37)
(cid:24)(cid:23)(cid:177)
(cid:49)
(cid:42)
(cid:42)(cid:8)
(cid:36)
(cid:35)
(cid:21)(cid:19)(cid:177)
ADÓ=AFÓ=5`cm
BEÓ=BDÓ=13-5=8(cm)
CFÓ=CEÓ=9-5=4(cm)
∴ BCÓ=8+4=12(cm)
(cid:34)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:42)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:39)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
FCÓ=ECÓ=3`cm
BDÓ=BEÓ=5`cm
AFÓ=ADÓ=9-5=4(cm)
ACÓ =4+3=7(cm)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:42)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:34)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:39)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
∴ △ABC=
_2_(9+8+7)
;2!;
=24(cmÛ`)
내접원의 반지름의 길이를 r`cm라
(cid:34)
(cid:68)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:67)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:42)
(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:36)
(cid:66)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
하면
prÛ`=16p, rÛ`=16
∴ r=4 (∵ r>0)
또 △ABC의 세 변의 길이를 각
각` a`cm, b`cm, c`cm라 하면
△ABC=
r(a+b+c)이므로
;2!;
80=
_4_(a+b+c)
;2!;
∴ a+b+c=40
따라서 △ABC의 둘레의 길이는 40 cm이다.
(cid:36)
내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
△ABC=
_BCÓ_ACÓ=
r(ABÓ+BCÓ+CAÓ)
;2!;
;2!;
=
_r_(8+15+17)
이므로
EIFD=△ACD=
_13_4=26(cmÛ`)
;2!;
△ADE=
r(ADÓ+DEÓ+AEÓ)
_12_5=
_r_(13+12+5)
;2!;
;2!;
30=15r ∴ r=2`(cm)
따라서 내접원 I의 넓이는 p_2Û`=4p(cmÛ`)
오른쪽 그림과 같이 점
I에서 ACÓ에 내린 수선
의 발을 H라 하자.
(cid:38)
(cid:49)
(cid:41)
(cid:42)
(cid:34)
(cid:35)
(cid:50)
(cid:37)
(cid:39)
(cid:36)
△PEA와 △PHI에서
∠PEA=∠PHI=90ù, ∠EPA=∠HPI`(맞꼭지
각)이므로 ∠EAP=∠HIP
또 IHÓ=AEÓ
∴ △PEAª△PHI`(ASA`합동)
△QFC와 △QHI에서
∠QFC=∠QHI=90ù, ∠FQC=∠HQI`(맞꼭지
각)이므로 ∠FCQ=∠HIQ
또 FCÓ=HIÓ
∴ △QFCª△QHI`(ASA`합동)
따라서 EIFD의 넓이는 △ACD의 넓이와 같으므로
점 I가 △ABC의 내심이므로
∠IBC=∠IBD=35ù
DEÓBCÓ이므로
∠BID=∠IBC=35ù (엇각)
(cid:35)
(cid:34)
(cid:20)(cid:22)(cid:177)
(cid:26)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:42)
(cid:20)(cid:22)(cid:177)
(cid:20)(cid:22)(cid:177)
∴ DBÓ=DIÓ
또 ∠ICB=∠ICE=25ù이고,
∠EIC=∠ICB=25ù (엇각)이므로
(cid:18)(cid:18)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:19)(cid:22)(cid:177)
(cid:36)
(cid:19)(cid:22)(cid:177)
∠EIC=∠ECI
∴ ECÓ=EIÓ
∴ (△ADE의 둘레의 길이)
=(ADÓ+DIÓ)+(AEÓ+EIÓ)
=(ADÓ+DBÓ)+(AEÓ+ECÓ)
=ABÓ+ACÓ=20(cm)
또 ∠ABC=70ù, ∠ACB=50ù이므로
∠A =180ù-(70ù+50ù)=60ù
점 I가 △ABC의 내심이므로
∠IBD=∠IBC이고,
∠IBC=∠DIB (엇각)이므로
∠IBD=∠DIB
∴ DBÓ=DIÓ
또 ∠ICE=∠ICB이고,
(cid:34)
(cid:42)
(cid:18)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:36)
(cid:18)(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:35)
∠ICB=∠EIC (엇각)이므로
∠ICE=∠EIC
∴ ECÓ=EIÓ
∴ (△ADE의 둘레의 길이)
=ADÓ+DEÓ+AEÓ
=ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+AEÓ
=ADÓ+(DBÓ+ECÓ)+AEÓ
=ABÓ+ACÓ
=18+16=34(cm)
DEÓ =DIÓ+EIÓ=DBÓ+ECÓ
=4+3=7(cm)
∴ DBCE=
_(7+10)_2=17(cmÛ`)
;2!;
점 I가 △ABC의 내심이므로
DBÓ=DIÓ, ECÓ=EIÓ
△ADE의 내접원의 반지름의
길이를 r`cm라 하면
(cid:34)
(cid:42)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:36)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:35)
;2!;
=
;2!;
=
;2!;
=
;2!;
=
;2!;
r(ADÓ+DIÓ+EIÓ+EAÓ)
r(ADÓ+DBÓ+ECÓ+EAÓ)
r(ABÓ+ACÓ)
r_18=18(cmÛ`)
∴ r=2
따라서 구하는 반지름의 길이는 2`cm이다.
(cid:34)
(cid:42)
(cid:35)
(cid:36)
(cid:37)
(cid:38)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
점 I가 △ABC의 내심이므로
∠IBD=∠IBA이고,
ABÓIDÓ이므로
∠IBA=∠BID`(엇각)
∴ IDÓ=DBÓ
또 ∠ICE=∠ICA이고,
ACÓIEÓ이므로
∠ICA=∠CIE`(엇각)
∴ EIÓ=ECÓ
∴ (△IDE의 둘레의 길이)
=IDÓ+DEÓ+IEÓ
=BDÓ+DEÓ+ECÓ
=BCÓ=8(cm)
Ⅰ 삼각형의 성질 11
(cid:34)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
이등변삼각형의 내심과 외심은 꼭지
각의 이등분선 위에 있으므로`
(cid:42)
(cid:48)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:35)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:36)
OBÓ=OCÓ, IBÓ=ICÓ
∴ ∠OBC=∠OCB
(cid:34)
(cid:48)
(cid:24)(cid:19)(cid:177)
(cid:42)
=
;2!;
_(180ù-72ù)=54ù
(cid:35)
(cid:36)
∠C=180ù-(60ù+50ù)=70ù
∠AOB =2∠C
=2_70ù=140ù
이므로
∠ABO=∠BAO
_(180ù-140ù)
=
;2!;
=20ù
∠BAI=∠CAI=
;2!;∠A=
;2!;
_60ù=30ù
이므로
∠OAI =∠BAI-∠BAO=30ù-20ù=10ù
∠B =180ù-(72ù+38ù)
(cid:34)
(cid:20)(cid:23)(cid:177)
=70ù
[그림 1]에서 점 I는 내심이므로
∠IAB=∠IAC=
;2!;∠A=36ù
(cid:18)(cid:26)(cid:177)
[그림 1]
(cid:42)
(cid:20)(cid:22)(cid:177)
(cid:20)(cid:22)(cid:177)
(cid:35)
(cid:36)
∠IBA=∠IBC=
;2!;∠B=35ù
∠ICB=∠ICA=
;2!;∠C=19ù
[그림 2]에서 점 O는 외심이므로
∠BOC=2∠A=144ù
∠COA=2∠B=140ù
∠AOB=2∠C=76ù
또, △OAB, △OBC, △OCA
는 각각 이등변삼각형이므로
(cid:34)
(cid:22)(cid:19)(cid:177)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:24)(cid:23)(cid:177)
(cid:18)(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:48)
(cid:18)(cid:21)(cid:21)(cid:177)
(cid:22)(cid:19)(cid:177)
(cid:35)
(cid:18)(cid:25)(cid:177)
(cid:18)(cid:25)(cid:177)
[그림 2]
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:36)
∠OAB=∠OBA=52ù, ∠OBC=∠OCB=18ù,
∠OCA=∠OAC=20ù
따라서
∠x=∠OAB-∠IAB=52ù-36ù=16ù
∠y=∠OBA-∠IBA=52ù-35ù=17ù
∠z=∠OCA-∠ICA=20ù-19ù=1ù
이므로
∠x+∠y+∠z=16ù+17ù+1ù=34ù
점 O가 △ABC의 외심이므로
∠BOC=2∠A, 100ù=2∠A
∴ ∠A=50ù
점 I가 △ABC의 내심이므로
∠BIC=90ù+
;2!;∠A
=90ù+
_50ù=115ù
;2!;
12 정답과 풀이
∠A=
;2!;∠BOC=
;2!;
_72ù=36ù
또 ∠BIC=90ù+
;2!;∠A이므로
∠BIC=90ù+
_36ù=108ù
;2!;
∠IBC=∠ICB=
_(180ù-108ù)=36ù
;2!;
∴ ∠OBI =∠OBC-∠IBC
=54ù-36ù=18ù
∠B=90ù-60ù=30ù
∠IBC=
;2!;∠B
=
;2!;
_30ù=15ù
(cid:34)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:48)
(cid:18)(cid:22)(cid:177)
(cid:35)
(cid:18)(cid:22)(cid:177)
(cid:42)(cid:49)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:36)
점 O는 △ABC의 외심이므로 `OBÓ=OCÓ
∴ ∠OCB=∠OBC=30ù
△PBC에서 ∠BPC=180ù-(15ù+30ù)=135ù
외접원의 지름의 길이가 13`cm이므로
(외접원의 둘레의 길이)=13p cm
내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
_12_5=
_r_(5+12+13) ∴ r=2
;2!;
;2!;
(내접원의 둘레의 길이)=4p cm
따라서 외접원과 내접원의 둘레의 길이의 합은
13p+4p=17p(cm)
내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 (cid:34)
하면
_8_6=
_r_(6+8+10)
;2!;
;2!;
∴ r=2
(cid:36)
(cid:39)
(cid:48)
(cid:37)
(cid:35)
(cid:42)
(cid:38)
DBEI는 한 변의 길이가 2`cm인 정사각형이므로
AFÓ=ADÓ=ABÓ-DBÓ=6-2=4(cm)
한편 AOÓ=5`cm이므로 `
FOÓ=AOÓ-AFÓ=5-4=1(cm)
ABÓ의 중점이 외심이므로
△BMN=4`cmÛ`이므로
△ABC는 ABÓ를 빗변으
로 하는 직각삼각형이다.
(cid:9)(cid:18)(cid:17)(cid:14)(cid:66)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:66)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:48)
(cid:42)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
(cid:39)
(cid:66)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
4`:`△ABD=1`:`4 `
∴ △ABD=16(cmÛ`)
∴ △ABC=32`cmÛ``
IFÓ를 그으면 IECF는
(cid:35)
(cid:9)(cid:18)(cid:17)(cid:14)(cid:66)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:36)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
또 BDÓ=DCÓ이므로 △ABD=△ACD=16 cmÛ`
정사각형이므로
ECÓ=FCÓ=2`cm
ADÓ=AFÓ=a`cm라 하면
BEÓ=BDÓ=ABÓ-ADÓ=10-a(cm)
△ABC`:`△ACD=3`:`2
ABÓ+BCÓ+CAÓ =10+(10-a+2)+(a+2)=24
18`:`△ACD=3`:`2
(cid:35)
(cid:36)
(cid:37)
BCÓ`:`CDÓ=3`:`2이므로
(cid:34)
(cid:38)
∴ △ABC=
_IEÓ_(ABÓ+BCÓ+CAÓ)
;2!;
=
;2!;
_2_24=24(cmÛ`)
BDÓ`:`DCÓ=1`:`2에서 BDÓ=
DCÓ이고,
DEÓ`:`ECÓ=2`:`1에서 ECÓ=
DCÓ이므로
;2!;
;3!;
△ABD`:`△AEC=BDÓ`:`ECÓ
=
;2!;
DCÓ`:`
DCÓ=3`:`2
;3!;
BMÓ=CMÓ이므로
△ABM=△ACM=
;2!;△ABC
또 ANÓ`:`NMÓ=3`:`2이므로
△ANC=
;5#;△ACM=
;1£0;△ABC
△BMN=
;5@;△ABM=
;5!;△ABC
∴ △ANC`:`△BMN=
;1£0;△ABC`:`
;5!;△ABC
=3`:`2
△ABP`:`△ACP=BPÓ`:`CPÓ=2`:`3이므로
△ACP=
△ABC=
_50=30(cmÛ`)
;5#;
3
2+3
또, AQÓ=CQÓ이므로 △APQ=△CPQ
∴ △APQ=
;2!;△ACP=
;2!;
_30=15(cmÛ`)
AMÓ=
ADÓ
;2!;
ANÓ`:`NDÓ=3`:`1이므로 ANÓ=
ADÓ
;4#;
MNÓ=ANÓ-AMÓ=
ADÓ-
ADÓ=
ADÓ
;4#;
;2!;
;4!;
△BMN`:`△ABD=MNÓ`:`ADÓ
=
;4!;
ADÓ`:`ADÓ=1`:`4
3△ACD=36
∴ △ACD=12(cmÛ`)
ACÓ DEÓ이므로 △ACE=△ACD
∴ ABCE =△ABC+△ACE
=△ABC+△ACD
=18+12=30(cmÛ`)
(cid:37)
(cid:34)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:39)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35) (cid:36)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
ACÓDEÓ이므로
△ACD=△ACE
∴ ABCD
=△ABC+△ACD
=△ABC+△ACE
=△ABE
=
_8_6
;2!;
=24(cmÛ`)
BMÓ=MEÓ이므로 △DBM=△DME
DCÓAEÓ이므로 △DCA=△DCE
∴ △DME =△DMC+△DCE
=△DMC+△DCA
=ADMC
ADÓEMÓ이므로
△EMD=△EMA
(cid:34)
(cid:38)
점 M이 BCÓ의 중점이므로
△BDE =△BME+△EMD
(cid:35)
(cid:36)
(cid:46) (cid:37)
=△BME+△EMA
=△ABM
=
;2!;△ABC
=;2!;_20=10(cmÛ`)
Ⅰ 삼각형의 성질 13
단원 종합 문제
④
140ù
③
56ù
④
③
②
③, ⑤
15ù
36ù
54ù
⑤
③
④
⑤
④
③, ⑤
②
본문 32~34쪽
②, ⑤ ∠ABC=∠ACB이므로 ∠CBP=∠BCP
90ù+3∠a+3∠a=180ù
따라서 △PBC는 BPÓ=CPÓ인 이등변삼각형이다.
6∠a=90ù ∴ ∠a=15ù
①, ④ △BADª△CAE (ASA 합동)이므로
∴ ∠A=15ù
BDÓ=CEÓ
△BCDª△CBE (ASA 합동)
③ △BPEª△CPD (ASA 합동)
∠B=∠C=
_(180ù-68ù)
;2!;
=56ù
이므로
∠BDE=∠BED=∠CEF
=∠CFE
(cid:34)
(cid:23)(cid:25)(cid:177)
(cid:39)
(cid:37)
(cid:22)(cid:23)(cid:177)
(cid:35)
(cid:38)
=
;2!;
_(180ù-56ù)=62ù
∴ ∠DEF=180ù-(62ù+62ù)=56ù
∠DCB=∠B=30ù이므로
△DBC에서
∠ADC =30ù+30ù=60ù
(cid:35)
또 ∠ACD=90ù-30ù=60ù
(cid:37)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
(cid:36)
정삼각형이다.
∴ ADÓ=ACÓ=5`cm
∠A=∠a라 하면
ABÓ=BCÓ이므로
(cid:35)
(cid:66)
(cid:19)(cid:66)
(cid:66)
(cid:19)(cid:66)
(cid:20)(cid:66)
(cid:36)
(cid:34)
(cid:37)
(cid:21)(cid:66)
(cid:20)(cid:66)
(cid:38)
∠BCA=∠a
△ABC에서
∠DBC=∠A+∠BCA=2∠a
또 △BCD에서 `BCÓ=CDÓ이므로
△ACD에서
∠CDB=∠CBD=2∠a
∠DCE=∠A+∠ADC=∠a+2∠a=3∠a
△DCE에서 CDÓ=DEÓ이므로
∠DEC=∠DCE=3∠a
14 정답과 풀이
∠EFG =∠CFG
=63ù (접은 각)
ADÓBCÓ이므로
∠CFG =∠EGF
=63ù (엇각)
(cid:37)(cid:8)
(cid:36)(cid:8)
(cid:34)
(cid:35)
(cid:40)
(cid:23)(cid:20)(cid:177)
(cid:23)(cid:20)(cid:177)
(cid:38)
(cid:23)(cid:20)(cid:177)
(cid:39)
(cid:37)
(cid:36)
∴ ∠C'EA =∠GEF=180ù-2_63ù=54ù
(cid:22)(cid:23)(cid:177)
(cid:36)
△BCD와 △CBE에서
CDÓ=BEÓ, BCÓ는 공통, ∠BDC=∠CEB=90ù이
므로
△BCDª△CBE`(RHS`합동)
즉 ∠ABC=∠ACB=
_(180ù-56ù)=62ù
;2!;
△ADB에서 ∠ABD=90ù-56ù=34ù이므로
∠DBC=∠ABC-∠ABD=62ù-34ù=28ù
△ABD와 △CAE에서
(cid:37)
ABÓ=CAÓ, ∠D=∠E=90ù,
(cid:18)(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
(cid:18)(cid:18)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:77)
(cid:38)
(cid:36)
이고,
∠BAD+∠CAE=90ù이므로
∠ABD=∠CAE
∴ △ABDª△CAE`(RHA`합동)
따라서 ADÓ=CEÓ, BDÓ=AEÓ이므로
BDÓ+CEÓ=AEÓ+ADÓ=DEÓ=15`cm
③ △AOFª△COF, △AODª△BOD
⑤ 점 O가 내심일 때 성립한다.
∠AOB=80ù이므로
(∠AOB의 외각)
(cid:19)(cid:25)(cid:17)(cid:177)
(cid:48)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
=360ù-80ù=280ù이고,
(cid:34)
(∠AOB의 외각)
=2∠ACB이므로
(cid:35)
(cid:36)
∠ADC=∠ACD=∠A=60ù이므로 △ADC는
∠BAD+∠ABD=90ù
(cid:35)
280ù=2∠ACB
∴ ∠ACB=140ù
즉 △DBI는 이등변삼각형이므로 DBÓ=DIÓ
같은 방법으로 △EIC는 이등변삼각형이므로
다른 풀이 점 O가 △ABC의 외심이므로`
EIÓ=ECÓ
OBÓ=OCÓ=OAÓ
△OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OCB=
_(180ù-30ù)=75ù
△OAC에서` OAÓ=OCÓ이므로
∠OCA=
_(180ù-50ù)=65ù
;2!;
;2!;
∴ ∠ACB=∠OCB+∠OCA=75ù+65ù=140ù
∴ (△ADE의 둘레의 길이)
=ADÓ+DEÓ+EAÓ
=ADÓ+(DIÓ+IEÓ)+EAÓ
=ADÓ+(DBÓ+CEÓ)+EAÓ
=ABÓ+ACÓ
=7+8=15(cm)
(cid:34)
(cid:20)(cid:66)
(cid:19)(cid:66)
(cid:48)
(cid:20)(cid:66)
(cid:35)
(cid:19)(cid:66)
(cid:67)
(cid:36)
(cid:67)
∠BAO`:`∠CAO=2`:`3이므로
∠BAO=2∠a라 하면
∠CAO=3∠a
OAÓ=OBÓ=OCÓ이므로
∠ABO=∠BAO=2∠a
∠ACO=∠CAO=3∠a
∠OBC=∠OCB=∠b라 하면
∠ABC`:`∠ACB=3`:`4이므로
(2∠a+∠b)`:`(3∠a+∠b)=3`:`4
3(3∠a+∠b)=4(2∠a+∠b)
9∠a+3∠b=8∠a+4∠b
∴ ∠a=∠b
△ABC에서
(cid:34)
(cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:39)
(cid:36)
(cid:190)(cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:42)
(cid:38)
(cid:9)(cid:25)(cid:14)(cid:89)(cid:190)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:9)(cid:18)(cid:21)(cid:14)(cid:89)(cid:190)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:9)(cid:18)(cid:21)(cid:14)(cid:89)(cid:190)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
ADÓ=AFÓ=x`cm라
하면
BEÓ =BDÓ
=14-x(cm),
CEÓ =CFÓ
=8-x(cm)
BCÓ=BEÓ+CEÓ이므로
11=(14-x)+(8-x)
2x=11 ∴ x=
:Á2Á:
∴ ADÓ=
`cm
:Á2Á:
외심과 내심이 일치하는 삼각형은 정삼각형이다.
2∠a+∠b+3∠a=90ù이므로
6∠a=90ù ∴ ∠a=15ù
∴ ∠ABC=2∠a+∠b=3∠a=3_15ù=45ù
③ 내심은 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점이다.
⑤ 내심에서 삼각형의 세 변에 이르는 거리는 같다.
점 O가 △ABC의 외심이므로
∠A=
;2!;∠BOC=
점 I가 △ABC의 내심이므로
;2!;
_104ù=52ù
∠BIC=90ù+
;2!;∠A
=90ù+
_52ù=116ù
;2!;
∠IAB=∠IAC=40ù
∠IBA=∠IBC=32ù이므로
∠BAC=80ù, ∠ABC=64ù
∴ ∠C =180ù-(80ù+64ù)
(cid:34)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:42)
(cid:20)(cid:19)(cid:177)
(cid:20)(cid:19)(cid:177)
(cid:35)
=36ù
ACÓDEÓ이므로 △ACD=△ACE
∴ ABCD =△ABC+△ACD
=△ABC+△ACE
=△ABE=12(cmÛ`)
점 I가 △ABC의 내심이므로
∠DBI=∠CBI
DEÓBCÓ이므로
(cid:34)
(cid:42)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:35)
∠CBI=∠BID (엇각)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
∴ ∠DBI=∠BID
ACÓDEÓ이므로 △ACE=△ACD
ABCD =△ABC+△ACD
=△ABC+△ACE
이므로
42=25+△ACE
∴ △ACE=17(cmÛ`)
(cid:36)
(cid:36)
Ⅰ 삼각형의 성질 15
(가) ∠DCA (나) ACÓ (다) ASA (라) ABÓ=DCÓ
II 사각형의 성질
1
평행사변형
주제별 실력다지기
②
④
①
②
①
4`cmÛ`
140ù
50ù
③
1`:`2
25`cmÛ`
4`cmÛ`
②
18ù
③
⑤
②
4초
ㄱ, ㄷ, ㅁ
본문 37~47쪽
(가) ∠DFC (나) DFÓ (다) 평행사변형
3`cm
①
3개
28`cmÛ`
10`cmÛ`
90ù
④
④
12
②
9`cmÛ`
③
②
③
②
①
14`cmÛ`
④
35ù
⑤
③
평행사변형
40`cmÛ`
③
113ù
2`cm
③
①
②
평행사변형 ABCD에서 대각선 AC를 그으면
BCÓ=ADÓ=6`cm
△ABC와 △CDA에서 ABÓDCÓ이므로
∠BAC= ∠DCA (엇각)
ADÓBCÓ이므로
∠BCA=∠DAC (엇각)
`ACÓ 는 공통
따라서 △ABC≡△CDA ( ASA 합동)이므로
`ABÓ=DCÓ , ADÓ=BCÓ
∠PBC+∠PCB=
_(∠ABC+∠BCD)
;2!;
따라서 △BCO의 둘레의 길이는
BOÓ+BCÓ+COÓ=5+6+4=15(cm)
△AOP와 △COQ에서
AOÓ=COÓ, ∠AOP=∠COQ (맞꼭지각),
∠OAP=∠OCQ (엇각)이므로
△AOPª△COQ`(ASA`합동)
∴ POÓ=QOÓ, APÓ=CQÓ, ∠OPA=∠OQC
② ∠AOB=∠COD, ∠OPB=∠OQD
=
;2!;
_180ù=90ù
∠ADC=180ù-100ù=80ù이므로
∴ ∠BPC=180ù-(∠PBC+∠PCB)
∠ADE=∠CDE=40ù
=180ù-90ù=90ù
또 ADÓBCÓ이므로
평행사변형 ABCD에서 두 대각선의 교점을 O라 하
∴ ∠x=180ù-40ù=140ù
∠CED=∠ADE=40ù (엇각)
면 △ABO와 △CDO에서
ABÓ= CDÓ
ABÓDCÓ이므로
∠ABO= ∠CDO (엇각),
∠BAO=∠DCO ( 엇각 )
따라서 △ABO≡△CDO ( ASA 합동)이므로
AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ
ADÓBCÓ이므로 ∠BEA=∠DAE (엇각)
△ABE가 이등변삼각형이므로`
BEÓ=ABÓ=12`cm
∴ CEÓ=BCÓ-BEÓ=16-12=4(cm)
ADÓBCÓ이므로 ∠DAE=∠BEA (엇각)
즉 △ABE는 이등변삼각형이므로
④ ∠ABD=∠BDC (엇각), ∠BAC=∠ACD (엇
BEÓ=ABÓ=6`cm
각)이지만 ∠ABD=∠ACD는 알 수 없다.
∴ CEÓ=BCÓ-BEÓ=9-6=3(cm)
ADÓBCÓ이므로 ∠DFC=∠ADF (엇각)
평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하
즉 △CDF는 이등변삼각형이므로
므로 AOÓ=COÓ=4`cm, BOÓ=DOÓ=5`cm
CFÓ=CDÓ=6`cm
또 평행사변형의 두 대변의 길이는 각각 같으므로
∴ FEÓ=CFÓ-CEÓ=6-3=3(cm)
16 정답과 풀이
ABÓDEÓ이므로
∠BAE=∠DEA=55ù (엇각)
∠DAE=∠BAE=55ù이므로
∠BAD=55ù+55ù=110ù
∴ ∠BCD=∠BAD=110ù
△ABE는 이등변삼각형이
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:37)
(cid:34)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:39)
므로
∠AEB=∠B=70ù
∴ ∠BAE =180ù-2_70ù
(cid:35)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:38)
(cid:36)
=40ù
∠BAD=180ù-70ù=110ù이므로
ABÓCEÓ이므로 ∠ABE=∠CEB (엇각)
∠DAF=110ù-40ù=70ù
∠ABE=∠CBE이므로 ∠CBE=∠CEB
△AFD에서 ∠ADF=180ù-(90ù+70ù)=20ù
즉 △BCE는 이등변삼각형이므로
CEÓ=CBÓ=7`cm
∴ DEÓ=CEÓ-CDÓ=7-5=2(cm)
∠ADC=∠B=70ù이므로
∠CDF=70ù-20ù=50ù
ADÓBEÓ이므로
(cid:34)
(cid:37)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:35)
(cid:38)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:36)
∠DAE=∠E (엇각)
∴ ∠CAE=∠E
ABÓDCÓ이므로
∠DCE=∠B=70ù (동위각)
∴ ∠ACE=40ù+70ù=110ù
∴ ∠E=
_(180ù-110ù)=35ù
;2!;
ABÓDCÓ이므로
∠BAC=∠DCA=∠x
(cid:34)
(cid:90)
(cid:90)
(cid:89)
(cid:37)
(엇각)
(cid:35)
(cid:23)(cid:24)(cid:177)
(cid:90)
(cid:38)
(cid:89)
(cid:36)
ADÓBEÓ이므로
∠DAE=∠E=∠y (엇각)
∠BAD=∠x+2∠y이고
∠B+∠BAD=180ù이므로
67ù+∠x+2∠y=180ù
∴ ∠x+2∠y=113ù
②, ` ③ △ABE와 △CDF에서
ABÓ=CDÓ, ∠AEB=∠CFD=90ù
∠ABE=∠CDF (엇각)이므로
△ABEª△CDF (RHA`합동)
∴ BEÓ=DFÓ, △ABE=△CDF
④ ∠ADE=∠CBF (엇각), ∠DCF=∠BAE
⑤ △AED와 △CFB에서
ADÓ=CBÓ, ∠AED=∠CFB=90ù
∠ADE=∠CBF (엇각)이므로
△AEDª△CFB (RHA`합동)
ADÓ와 BEÓ의 연장선 (cid:34)
이 만나는 점을 P라
(cid:24)(cid:19)(cid:177)
하면 △BCE와
△PDE에서
(cid:35)
(cid:39)
(cid:37)
(cid:38)
(cid:36)
(cid:18)(cid:25)(cid:177)
(cid:49)
CEÓ=DEÓ, ∠BEC=∠PED (맞꼭지각)
APÓBCÓ이므로 ∠BCE=∠PDE (엇각)
따라서 △BCEª△PDE (ASA`합동)이므로
ADÓ=BCÓ=PDÓ
직각삼각형 AFP에서 ∠P=90ù-72ù=18ù이고 점 D
는 빗변의 중점, 즉 외심이므로 ADÓ=FDÓ=PDÓ이다.
따라서 △DFP는 이등변삼각형이므로
∠DFE=∠P=18ù
EDÓBFÓ이므로
∠EDF= ∠DFC (엇각)
이때 ∠DFC=∠EBF (동위각)이므로
EBÓ DFÓ
따라서 EBFD는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로
평행사변형 이다.
∠ABC=∠ADC이므로 ∠EBF=∠EDF
…… ㉠
또 ∠AEB=∠EBF (엇각), ∠CFD=∠EDF (엇
각)이므로
∠AEB=∠CFD, 즉 ∠DEB=∠BFD …… ㉡
㉠, ㉡에 의해 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로
EBFD는 평행사변형이다.
∴ EDÓ=BFÓ=5-3=2(cm)
① ∠D=360ù-(130ù+50ù+130ù)=50ù
즉 ∠A=∠C, ∠B=∠D이므로 두 쌍의 대각
Ⅱ 사각형의 성질 17
의 크기가 각각 같다. 따라서 ABCD는 평행사
ABÓ=CDÓ, ∠AEB=∠CFD=90ù,
변형이 된다.
ABÓDCÓ이므로 ∠BAE=∠DCF (엇각)
∴ △ABEª△CDF (RHA`합동)
③ 오른쪽 그림과 같이 ABÓ=CDÓ
(cid:34)
(cid:37)
∴ EBÓ=FDÓ …… ㉠
인 등변사다리꼴일 수도 있다.
(cid:48)
또 ∠BEF=∠DFE=90ù이므로
(cid:35)
EBÓFDÓ …… ㉡
① △AEHª△CGF (SAS`합동),
가 같으므로 EBFD는 평행사변형이다.
따라서 ㉠, ㉡에서 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이
△BEFª△DGH (SAS`합동)이므로
EHÓ=GFÓ, EFÓ=GHÓ
즉 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로
EFGH는 평행사변형이다.
② AECG와 HBFD가 각각 평행사변형이므로
PSÓQRÓ, PQÓSRÓ
즉, 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 PQRS는
평행사변형이다.
④ EDÓBFÓ이고 EDÓ=BFÓ
AQÓPCÓ가 되는 때는
APCQ가 평행사변
형이 될 때이다.
점 P가 점 A를 출발한
(cid:34)
(cid:21)(cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:49)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:50)
(cid:24)(cid:9)(cid:190)(cid:89)(cid:14)(cid:20)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
지 x초 후에 APCQ가 평행사변형이 된다고 하면
APÓ=4x`cm, CQÓ=7(x-3)`cm
이때 APÓ=CQÓ이어야 하므로
4x=7(x-3), 3x=21
(cid:36)
즉 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로
∴ x=7
EBFD는 평행사변형이다.
따라서 점 Q가 출발한 지 7-3=4(초) 후에
⑤ AFCE와 EBFD가 각각 평행사변형이므로
APCQ는 평행사변형이 된다.
GFÓEHÓ, EGÓHFÓ
평행사변형이다.
즉 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 EGFH는
△ABC와 △PBQ에서
ABÓ=PBÓ, BCÓ=BQÓ,
ABCD가 평행사변형이 되려면 ADÓBCÓ이고
ABÓCDÓ이어야 한다. 즉 각각의 엇각의 크기가 같
아야 하므로
∠x=∠DBC=35ù, ∠y=∠BAC=45ù
∴ ∠y-∠x=45ù-35ù=10ù
두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하는 사각형은 평
행사변형이므로
x=BOÓ=8, y=2COÓ=2_7=14
∴ x+y=8+14=22
OAÓ=OCÓ, OEÓ=OFÓ이므로 AECF는 평행사변
형이다.
따라서 AEÓ=FCÓ이고 △AOEª△COF이다.
③ ∠EAO=∠FCO (엇각),
∠FAO=∠ECO (엇각)
△ABE와 △CDF에서
18 정답과 풀이
∠ABC=∠QBC-∠QBA=60ù-∠QBA,
∠PBQ=∠PBA-∠QBA=60ù-∠QBA
이므로
∠ABC=∠PBQ
∴ △ABCª△PBQ`(SAS`합동)
∴ ACÓ=PQÓ
…… ㉠
또, △ABC와 △RQC에서
ACÓ=RCÓ, BCÓ=QCÓ,
∠ACB=∠QCB-∠QCA=60ù-∠QCA,
∠RCQ=∠RCA-∠QCA=60ù-∠QCA
이므로
∠ACB=∠RCQ
∴ △ABCª△RQC`(SAS`합동)
∴ ABÓ=RQÓ
…… ㉡
△RAC가 정삼각형이므로 ARÓ=ACÓ
∴ ARÓ=PQÓ (∵ ㉠) …… ㉢
△PAB가 정삼각형이므로 APÓ=ABÓ
∴ APÓ=RQÓ (∵ ㉡) …… ㉣
따라서 ㉢, ㉣에서 PARQ는 평행사변형이다.
그러므로 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㅁ이다.
ADÓBCÓ, ADÓ=BCÓ이므로
AHÓFCÓ, AHÓ=FCÓ
ABÓDCÓ, ABÓ=DCÓ이므로
AEÓGCÓ, AEÓ=GCÓ
따라서 AFCH는 평행사변형이다. …… ㉠
∴ △ABC=△BCD=25 cmÛ`
△AOD=
;4!;ABCD=8 cmÛ`이므로
ABCD=32(cmÛ`)
BEFD는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므
따라서 AECG는 평행사변형이다. …… ㉡
또 ㉠, ㉡에서 APÓQCÓ, AQÓPCÓ이므로
로 평행사변형이고,
APCQ는 평행사변형이다.
즉 평행사변형은 모두 3개이다.
△CBD=
;2!;ABCD=
BEFD=4△BCD=4_16=64(cmÛ`)
;2!;
_32=16(cmÛ`)이므로
AEÓ, ODÓ를 그어
AODE를 만들면
(cid:38)
(cid:37)
(cid:34)
(cid:39)
AOÓ=EDÓ, AOÓEDÓ이므로
(cid:18)(cid:17)
AODE는 평행사변형이다.
(cid:35)
(cid:36)
(cid:48)
(cid:18)(cid:21)
이때 EOÓ=DCÓ=10이므로`
OFÓ=EFÓ=5
ADÓ=BCÓ=14이므로 `AFÓ=DFÓ=7
∴ AFÓ+OFÓ=7+5=12
△PNM=
;4!;ABNM, △QMN=
;4!;MNCD
이므로
PNQM=△PNM+△QMN
=
;4!;ABNM+
;4!;MNCD
=
;4!;
(ABNM+MNCD)
=
;4!;ABCD
=
_48
;4!;
=12(cmÛ`)
△OAE와 △OCF에서
OAÓ=OCÓ, ∠AOE=∠COF (맞꼭지각),
∠OAE=∠OCF (엇각)이므로
△OAEª△OCF (ASA 합동)
따라서 어두운 부분의 넓이의 합은
△EOD+△OCF=△EOD+△OAE
=△OAD=
;4!;ABCD
=
;4!;
_160=40(cmÛ`)
BFED는 평행사변형이므로
① △DCF=
;4!;BEFD=
;4!;
_64=16(cmÛ`)
② △BEF=
;2!;BEFD=
;2!;
_64=32(cmÛ`)
④ ACFD=△ACD+△CDF
=
;2!;ABCD+
;4!;BEFD
=
_32+
_64
;2!;
;4!;
=32(cmÛ`)
ADÓ=BCÓ이고
AMÓ`:`MDÓ=2`:`1,
BNÓ`:`NCÓ=2`:`1이므로
AMÓ=BNÓ, DMÓ=CNÓ이다.
(cid:34)
(cid:38)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:39)
(cid:46)
(cid:50)
(cid:49)
(cid:36)
(cid:47)
따라서 ABNM, MNCD는 각각 평행사변형
이다.
점 E, F를 지나고 ADÓ와 평행한 직선이 MNÓ과 만
나는 점을 각각 P, Q라 하면 AEPM, EBNP,
MQFD, QNCF는 모두 평행사변형이므로
△MEP=△AEM, △ENP=△EBN,
△MQF=△MFD, △QNF=△FNC이다.
따라서 MENF=
;2!;ABCD이므로
MENF`:`ABCD=1`:`2
△ABP+△CDP=△ADP+△BCP이므로
32+△CDP=42+18
∴ △CDP=28(cmÛ`)
△APD+△BPC=
;2!;ABCD이므로
;2!;ABCD=6+8=14
∴ ABCD=28(cmÛ`)
△BCD=
;4!;BFED=
;4!;
_100=25(cmÛ`)
△PAB+△PCD=
;2!;ABCD
Ⅱ 사각형의 성질 19
=
_(10_8)
;2!;
=40(cmÛ`)
ABCD=8_5=40(cmÛ`)이고,
△PAD+△PBC=
;2!;ABCD이므로
△PAD+6=
_40
;2!;
∴ △PAD=14(cmÛ`)
ADÓBCÓ이므로 ∠DAE=∠BEA (엇각)
△ABE는 이등변삼각형이므로
BEÓ=ABÓ=4`cm
∴ ECÓ=BCÓ-BEÓ=6-4=2(cm)
그런데 높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의
길이의 비와 같으므로 높이가 같은 두 삼각형 ABE
와 DEC의 넓이의 비는 4`:`2=2`:`1
△ACE`:`△AED=CEÓ`:`EDÓ=2`:`3이므로
△ACE=
;5@;△ACD
△APR=
;2!;△APQ
=
;2!;
_4=2(cmÛ`)
점 P는 △ABC의 무게중심이
므로
(cid:34)
(cid:51)
(cid:50)
(cid:52)
(cid:49)
(cid:35)
(cid:46)
(cid:37)
(cid:47)
(cid:36)
△APR`:`△PRM=2`:`1
2`:`△PRM=2`:`1
∴ △PRM=1(cmÛ`)
점 R는 ACÓ의 중점이므로
△AMR=△CMR=3`cmÛ`
∴ PMSR=△PRM+△RMS=1+
=
;2%;
;2#;
(cmÛ`)
마찬가지로 RSNQ=
`cmÛ`
;2%;
∴ PMNQ=2PMSR=5(cmÛ`)
△ABC=
;2!;ABCD=
;2!;
_36=18(cmÛ`)
또, AOÓ=COÓ, BMÓ=CMÓ이므로 점 P는 △ABC의
무게중심이다.
=
_
;2!;ABCD
;5@;
=
;5!;ABCD
=
;5!;
_100=20(cmÛ`)
APÓ=PCÓ이므로
△APE=
;2!;△ACE=
;2!;
_20=10(cmÛ`)
△FBE와 △FCD에서
∠BEF=∠CDF (엇각)이므로
△FBEª△FCD`(ASA`합동)
∴ FEÓ=FDÓ, BFÓ=CFÓ
FEÓ=FDÓ이므로 △FEC=△FDC이고
△FDC=△AFC
또 BFÓ=CFÓ이므로
△AFC=
;2!;△ABC=
;2!;
_
;2!;ABCD
=
;4!;ABCD=
;4!;
_36=9(cmÛ`)
△RMS=△CMS=
;2!;△CMR=
;2!;
_3=
(cmÛ`)
;2#;
BEÓ=CDÓ, ∠FBE=∠FCD (엇각),
∴ △PBM=
;6!;△ABC=
;6!;
_18=3(cmÛ`)
∴ △FEC=△AFC=9`cmÛ`
△ADC=
;2!;ABCD=
;2!;
_60=30(cmÛ`)
APÓ=PQÓ=QCÓ이므로
△DPQ=
;3!;△ADC=
;3!;
_30=10(cmÛ`)
△BCD=
;2!;ABCD=
;2!;
_80=40(cmÛ`)
BPÓ`:`BDÓ=5`:`8에서 BPÓ`:`PDÓ=5`:`3이므로
△PBC`:`△PDC=BPÓ`:`PDÓ=5`:`3
∴ △PBC=
;8%;△BCD=
;8%;
_40=25(cmÛ`)
20 정답과 풀이
△ABD=
;2!;ABCD
=
_160
;2!;
=80(cmÛ`)
(cid:34)
(cid:38)
(cid:35)
(cid:39)
(cid:48)
(cid:37)
(cid:36)
△DEA`:`△EBD=AEÓ`:`EBÓ=3`:`2이므로
△EBD=
;5@;△ABD=
;5@;
_80=32(cmÛ`)
△EOD=
;2!;△EBD=
;2!;
_32=16(cmÛ`)
△OFD`:`△OFE=DFÓ`:`FEÓ=5`:`3이므로
△DFO=
;8%;△EOD=
;8%;
_16=10(cmÛ`)
점 P를 지나고 ABÓ에 평행한 선
(cid:34)
(cid:49)
(cid:37)
ABÓCDÓ이므로
분을 그으면 ABQP,
PQCD는 각각 평행사변형이
므로
(cid:35)
(cid:50)
(cid:36)
△BFD=△AFD=10`cmÛ`
BDÓEFÓ이므로
△BED=△BFD=10`cmÛ`
△PBQ=
;2!;ABQP
△PQC=
;2!;PQCD
∴ △PBC=△PBQ+△PQC
=
;2!;ABQP+
;2!;PQCD
=
;2!;
(ABQP+PQCD)
=
;2!;ABCD
=
_36
;2!;
=18(cmÛ`)
ABÓDCÓ, ABÓ=DCÓ이므로
△ABE=△BCD
△ABF+△BEF=△DFE+△BEF+△BCE
∴ △DFE =△ABF-△BCE
=20-16=4(cmÛ`)
△BCD=
;2!;ABCD=
;2!;
_28=14(cmÛ`)
△BFD=△BCD-△BCF=14-10=4(cmÛ`)
따라서 DEÓBCÓ이므로
△BED=△DCE
∴ △CEF=△BFD=4`cmÛ`
2
여러 가지 사각형
주제별 실력다지기
60ù
③
②
직사각형
①, ④
④
60ù
⑤
(가) 평행사변형 (나) ∠DEC (다) 이등변삼각형 (라) ABÓ=DCÓ ④
42`cm
8`cm
④
64`cmÛ`
④
45`cmÛ`
126ù
90ù
30ù
5`cmÛ`
13`cm
150ù
③
30ù
⑤
10`cm
①, ③
③, ⑤
ㄷ, ㄹ, ㅂ
ㄴ, ㄹ, ㅁ, ㅂ
84ù
④
24
⑤
④
40ù
(가) 180 (나) 90 (다) ∠C (라) ∠D ①, ⑤
정사각형 ㄱ, ㄷ, ㅁ
②, ⑤
②, ⑤
④
②, ③
②
②
본문 50~61쪽
④
65ù
③
③
③, ④
①, ⑤
ADÓBCÓ인 등변사다리꼴 ABCD의 꼭짓점 D에서
④ ACÓ⊥BDÓ가 아닐 수도 있다.
ABÓ와 평행한 직선이 BCÓ와 만나는 점을 E라 하면
ABED는 평행사변형 이다.
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점
(cid:34)
(cid:37)
∠B=∠C`(등변사다리꼴)
∠B= ∠DEC `(동위각)
……`㉠
……`㉡
D에서 ABÓ에 평행한 선분
을 그어 BCÓ와 만나는 점을
(cid:35)
(cid:20)(cid:19)(cid:177)
(cid:20)(cid:19)(cid:177)(cid:22)(cid:19)(cid:177)
(cid:23)(cid:21)(cid:177) (cid:23)(cid:21)(cid:177)
(cid:36)
(cid:38)
㉠, ㉡에 의해 ∠C= ∠DEC 이므로 △DEC는
E라 하면 ABED는 평
이등변삼각형 이다.
행사변형이고 ABÓ=ADÓ이므로 마름모이다.
따라서 ABCD에서 DEÓ=DCÓ이고 ABÓ=DEÓ이
∴ ABÓ=BEÓ=EDÓ=DAÓ
Ó, ∠BDE=∠DBE=32ù
므로 ABÓ=DCÓ 이다.
△BED에서
Ⅱ 사각형의 성질 21
∠DEC =∠DBE+∠BDE=32ù+32ù=64ù
△OAB =△ABC-△OBC
또 △DEC는 DEÓ=DCÓ인 이등변삼각형이므로
=30-20=10(cmÛ`)
∠DCE=∠DEC=64ù
AOÓ`:`OCÓ=△OAB`:`△OBC=10`:`20=1`:`2
∴ ∠EDC=180ù-2_64ù=52ù
또 △DOC=△OAB=10`cmÛ`이고,
∴ ∠BDC =∠BDE+∠EDC=32ù+52ù=84ù
△AOD`:`△DOC=AOÓ`:`OCÓ=1`:`2이므로
꼭짓점 D에서 BCÓ의 중점 E를
(cid:34)
(cid:37)
이으면 BEÓ=ECÓ=ADÓ
ADÓBEÓ이고 ADÓ=BEÓ이므로
(cid:35)
(cid:38)
(cid:36)
ABED는 평행사변형이다.
∴ ABÓ=DEÓ
따라서 △DEC는 정삼각형이므로
∠C=60ù
∠B=∠C=180ù-120ù=60ù
(cid:34)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
꼭짓점 A에서 CDÓ에 평행한
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
선분을 그어 BCÓ와의 교점을
(cid:35)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:36)
E라 하면
∠AEB=∠C=60ù (동위각)
따라서 △ABE는 정삼각형이므로
BEÓ=ABÓ=10`cm
또 AECD는 평행사변형이므로
△AOD`:`10=1`:`2 ∴ △AOD=5(cmÛ`)
ADÓBCÓ이므로
△ACD=△ABD=16`cmÛ`
또 △DOA`:`△DOC
=AOÓ`:`OCÓ=1`:`3이므로
(cid:34)
(cid:18)(cid:19)
(cid:37)
(cid:18)(cid:19)
(cid:21)
(cid:48)
(cid:20)(cid:23)
(cid:35)
(cid:36)
△DOA=
;4!;△ACD=
△AOB=△DOC=16-4=12(cmÛ`)
_16=4(cmÛ`)
;4!;
△AOB`:`△BOC=AOÓ`:`OCÓ이므로
12`:`△BOC=1`:`3에서 △BOC=36(cmÛ`)
∴ ABCD=4+12+12+36=64(cmÛ`)
∠ODC=∠ODA=30ù이므로 ∠ADC=60ù이고
ADÓ=CDÓ이므로 △ACD는 정삼각형이다.
즉 ACÓ=ADÓ=CDÓ=20`cm
∴ AOÓ=
ACÓ=
_20=10(cm)
;2!;
;2!;
ECÓ=ADÓ=6`cm ∴ BCÓ=10+6=16(cm)
∴ (ABCD의 둘레의 길이)
∠BAD=∠C=100ù이고, ∠PAD=60ù이므로
=ADÓ+2ABÓ+BCÓ
=6+2_10+16=42(cm)
꼭짓점 A에서 CDÓ에 평행한
선분을 그어 BCÓ와 만나는
점을 E라 하면
ABCD는
(cid:34)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:23)(cid:17)(cid:177) (cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:36)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:18)(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
∠BAP=100ù-60ù=40ù
또 APÓ=ADÓ=ABÓ이므로
△ABP는 이등변삼각형이다.
∴ ∠APB=
_(180ù-40ù)=70ù
;2!;
∠ABC=180ù-130ù=50ù이므로
∠B=∠C=60ù인 등변사다리꼴이므로
∠ABP=∠PBE=
;2!;∠ABC=
;2!;
_50ù=25ù
∠AEB=∠C=60ù (동위각)
△ABE는 정삼각형이므로
BEÓ=ABÓ=6`cm
∴ ECÓ=BCÓ-BEÓ=14-6=8(cm)
따라서 AECD는 평행사변형이므로
ADÓ=ECÓ=8`cm
△DBC=△ABC=30`cmÛ`이므로
△BOC =△DBC-△DOC
=30-12=18(cmÛ`)
22 정답과 풀이
따라서 △PBE에서
∠x =∠BPE=180ù-(∠PBE+∠PEB)
=180ù-(25ù+90ù)=65ù
BEÓ=
BCÓ, CFÓ=
CDÓ이고, BCÓ=CDÓ이므로
;3!;
;3!;
BEÓ=CFÓ
선분 AC를 그으면
ABCD는
∠BAD=120ù인 마름모
(cid:35)
(cid:38)
이므로
…… ㉠
(cid:34) (cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:37)
(cid:39)
(cid:36)
∠BAC=∠CAD=60ù
ABÓ에 평행한 PRÓ를 그으면 직 (cid:34)
즉 △ABC, △ACD는 모두 정삼각형이다.
사각형 ABRP에서 점 E, Q는
∴ ABÓ=ACÓ, ∠ABE=∠ACF=60ù …… ㉡
각각 ABÓ, PRÓ의 중점이므로
㉠, ㉡에서 △ABEª△ACF (SAS`합동)이므로
EBRQ`:`ABRP=1`:`2,
(cid:49)
(cid:50)
(cid:51)
(cid:38)
(cid:35)
=∠EAC+∠BAE
ABCD의 넓이는 어두운 부분의 넓이의 4배가 된다.
(cid:37)
(cid:39)
(cid:36)
(cid:37)
(cid:36)
△EBQ`:`EBRQ=1`:`2이다.
∴ ABRP=4△EBQ
다른 직사각형에서도 같은 방법으로 하면 직사각형
∴ ABCD=4_6=24
△AGB와 △AGD에서
ABÓ=ADÓ,
AGÓ는 공통,
(cid:21)(cid:22)(cid:177)
(cid:38)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:40)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:21)(cid:22)(cid:177)
(cid:34)
(cid:39)
(cid:35)
∠BAG=∠DAG=45ù
∴ △AGBª△AGD (SAS`합동)
∠ABG=∠ADG=20ù
∴ ∠AGB=180ù-(45ù+20ù)=115ù
③ △ABG에서 ∠BGC=45ù+20ù=65ù
AEÓ=AFÓ
또 ∠BAE=∠CAF이므로
∠EAF =∠EAC+∠CAF
=60ù
따라서 △AEF는 정삼각형이다.
∴ ∠AEF=60ù
ABCD=
_ACÓ_BDÓ
;2!;
;2!;
=
_12_20
=120(cmÛ`)
△ABC=
;2!;ABCD=
△ABP`:`△APC=BPÓ`:`PCÓ=1`:`3이므로
_120=60(cmÛ`)
;2!;
△APC=
;4#;△ABC=
;4#;
_60=45(cmÛ`)
△ABE와 △CBE에서
ABÓ=CBÓ, ∠ABE=∠CBE=45ù,
∠BAD=90ù이므로 ∠DAO=42ù
BEÓ는 공통이므로
AOÓ=DOÓ이므로 △AOD는 이등변삼각형이다.
△ABEª△CBE`(SAS`합동)
∴ ∠y=∠DAO=42ù
∴ ∠BEC=∠BEA=70ù
삼각형의 한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 내각의
△BCE에서
크기의 합과 같으므로
∠x=42ù+42ù=84ù
∴ ∠x+∠y=84ù+42ù=126ù
∠BCE=180ù-(45ù+70ù)=65ù
∴ ∠DCE=90ù-65ù=25ù
△ABE와 △BCF에서
OCÓ=ODÓ=4`cm, CDÓ=ABÓ=5`cm이므로
ABÓ=BCÓ, ∠ABE=∠BCF, BEÓ=CFÓ이므로
(△COD의 둘레의 길이)=4+4+5=13(cm)
△ABEª△BCF`(SAS`합동)
∠BAE=∠CBF이고, ∠BAE+∠BEA=90ù이
OAÓ=ODÓ이므로 ∠OAD=∠ODA=36ù
므로
∠BAD=90ù이므로
∠x=90ù-36ù=54ù
또 ACÓ=BDÓ이므로
y=
BDÓ=
_12=6(cm)
;2!;
;2!;
직사각형의 대각선의 길이는 같으므로
OCÓ=ABÓ=10`cm
따라서 원 O의 반지름의 길이는 OCÓ의 길이와 같으
므로 10`cm이다.
∠CBF+∠BEA=90ù
따라서 △BEG에서
∠BGE =180ù-(∠CBF+∠BEA)
=180ù-90ù=90ù
이므로
∠AGF=∠BGE=90ù
△ADE에서 ADÓ=EDÓ이므로
∠DEA=∠DAE=75ù
Ⅱ 사각형의 성질 23
∴ ∠ADE =180ù-2_75ù=30ù
③ 평행사변형이므로 항상 ∠BAD=∠BCD이다.
따라서 ∠CDE=90ù+30ù=120ù이고
④ ACÓ=BDÓ이면 직사각형이다.
△DEC는 DEÓ=DCÓ인 이등변삼각형이므로
∠ECD=
_(180ù-120ù)=30ù
;2!;
③ 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형은 마름
모이다.
이다.
∠PBC=∠PCB=60ù이므로
⑤ 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형은 직사각형
∠PBA=∠PCD=90ù-60ù=30ù
△BAP와 △CDP는 모두 이등변삼각형이므로
∠BPA=∠BAP=∠CPD=∠CDP
=
;2!;
_(180ù-30ù)=75ù
∴ ∠APD =360ù-(∠BPA+∠BPC+∠CPD)
에서
=360ù-(75ù+60ù+75ù)
=150ù
BOÓ= DOÓ , AOÓ 는 공통,
∠AOB=∠AOD= 90 ù
ACÓ⊥BDÓ인 평행사변형
ABCD의 △ABO와 △ADO
(cid:35)
(cid:37)
(cid:34)
(cid:48)
(cid:36)
ABCD는 정사각형이고
△EBC는 정삼각형이므로
BCÓ=BEÓ=CEÓ=CDÓ이다.
따라서 △BCD는 직각이등변삼
각형이고, △CDE는 이등변삼각
(cid:90)
(cid:38)
(cid:34)
(cid:35)
(cid:89)
(cid:37)
(cid:36)
형이다.
△BCD에서
∠x=∠EBC-∠DBC=60ù-45ù=15ù
또 △CDE에서
∠DCE=90ù-60ù=30ù이므로
∠CDE=
_(180ù-30ù)=75ù
;2!;
∴ ∠y=∠ADC-∠CDE=90ù-75ù=15ù
∴ ∠x+∠y=15ù+15ù=30ù
② 마름모는 직사각형이 아니고 직사각형도 마름모
가 아니다.
④ 평행사변형은 사다리꼴이다.
⑤ 등변사다리꼴은 사다리꼴이다.
이므로
△ABO≡△ADO ( SAS 합동)
∴ ABÓ= ADÓ
……`㉠
ABCD는 평행사변형이므로
ABÓ=CDÓ, BCÓ=ADÓ ……`㉡
따라서 ㉠, ㉡에서 ABÓ=BCÓ=CDÓ=DAÓ이므로
ABCD는 마름모이다.
평행사변형이 마름모가 되기 위해서는
③ 대각선이 서로 수직이거나
④ 이웃하는 두 변의 길이가 같아야 한다.
∠BAF+∠ABE=180ù이므로
△OAB에서 ∠OAB+∠OBA=90ù
∴ ∠AOB=90ù
따라서 ABEF는 두 대각선이 서로 수직인 평행
사변형이므로 마름모이다.
② AEÓ=BFÓ는 마름모의 성질이 아니다.
⑤ 등변사다리꼴은 평행사변형이 아니고 평행사변형
ACÓ를 그어 BDÓ와 만나는 점을
(cid:34)
(cid:37)
도 등변사다리꼴이 아니다.
O라 하자.
△AOP와 △COP에서
APÓ=CPÓ, POÓ는 공통,
(cid:49)
(cid:48)
(cid:35)
(cid:36)
③ 평행사변형이 직사각형이 되기 위해서는 한 내각의
크기가 90ù이거나 대각선의 길이가 같아야 한다.
AOÓ=COÓ이므로
① ∠BAD=∠ABC이면 직사각형이다.
따라서 ∠AOP=∠COP=90ù, 즉 ACÓ⊥BDÓ
Ó이므
② ACÓ⊥BDÓ이면 마름모이다.
로 ABCD는 마름모이다.
△AOPª△COP (SSS`합동)
24 정답과 풀이
ADÓBCÓ이므로 ∠ADB=∠CBD=40ù (엇각)
△AEH와 △BFE에서
(cid:41)
△AOD에서
∠AOD=180ù-(50ù+40ù)=90ù
AHÓ=BEÓ, ∠A=∠B,
AEÓ=BFÓ이므로
즉 ABCD는 두 대각선이 서로 수직인 평행사변
△AEHª△BFE`(SAS`합동)
(cid:34)
(cid:38)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:40)
(cid:36)
(cid:39)
형이므로 마름모이다.
∴ ∠BDC=∠DBC=40ù
∠A=90ù인 평행사변형 ABCD에서
∠A+∠B= 180 ù
∠A=90ù이므로` ∠B= 90 ù
또 ∠A= ∠C , ∠B= ∠D 이므로
∠A=∠B=∠C=∠D= 90 ù
따라서 ABCD는 직사각형이다.
평행사변형이 직사각형이 되기 위해서는
① 한 내각의 크기가 90ù이거나
⑤ 대각선의 길이가 같아야 한다.
평행사변형이 직사각형이 되기 위해서는
②, ④ 한 내각의 크기가 90ù이거나
③ 대각선의 길이가 같아야 한다.
∠EAB+∠EBA=90ù
∴ ∠HEF=∠AEB=180ù-90ù=90ù
같은 방법으로
△HBC에서 ∠EHG=90ù
△GCD에서 ∠HGF=90ù
△FDA에서 ∠EFG=90ù
따라서 EFGH는 네 내각의 크기가 모두 90ù이므
로 직사각형이다.
△ABM과 △DCM에서
ABÓ=DCÓ, AMÓ=DMÓ, MBÓ=MCÓ이므로
△ABMª△DCM`(SSS`합동)
따라서 ∠A=∠D이고, ∠A+∠D=180ù이므로
∠A=∠D=90ù
즉 ABCD는 직사각형이므로
∠MBC =∠MCB=90ù-30ù=60ù
따라서 △BMC에서
∠BMC=180ù-2_60ù=60ù
따라서 EHÓ=FEÓ이고, +×=90ù이므로
∠HEF=90ù이다.
같은 방법으로
△AEHª△BFEª△CGFª△DHG이므로
HEÓ=EFÓ=FGÓ=GHÓ이고,
∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90ù이므로
EFGH는 정사각형이다.
ㄱ. 평행사변형 ABCD에서 ABÓ=ADÓ이면 마름모
가 되고, 여기에 ∠BAD=∠ABC가 추가되면
정사각형이 된다.
ㄴ. 마름모가 된다.
사각형이 된다.
ㄹ. 직사각형이 된다.
ㄷ. 평행사변형 ABCD에서 ∠BAD=90ù이면 직
사각형이 되고, 여기에 ACÓ⊥BDÓ가 추가되면 정
ㅁ. 평행사변형 ABCD에서 AOÓ=BOÓ=COÓ=DOÓ
이면 직사각형이 되고, 여기에 ∠AOB=90ù가
추가되면 정사각형이 된다.
조건은 ㄱ, ㄷ, ㅁ이다.
② 직사각형 ⑤ 마름모
마름모가 정사각형이 되기 위해서는
② 두 대각선의 길이가 같거나
⑤ 한 내각의 크기가 90ù이어야 한다.
ABCD가 마름모이므로 ∠OBC=∠OBA
∠OBC=∠OAB이므로 ∠OBA=∠OAB
따라서 △ABO에서 OAÓ=OBÓ이므로 ABCD는
정사각형이다.
④ △AOD=
;4!;ABCD=
;4!;
_25=
(cmÛ`)
:ª4°:
직사각형이 정사각형이 되기 위해서는
① 이웃하는 두 변의 길이가 같거나
④ 두 대각선이 서로 수직이어야 한다.
Ⅱ 사각형의 성질 25
∠BAD+∠ABC=180ù이므로 △EAB에서
따라서 평행사변형 ABCD가 정사각형이 될 수 있는
∴ ∠BPQ=∠BQP=∠DSR=∠DRS
① 사각형
평행사변형
△APSª △CQR ( SAS 합동)
∴ ∠APS =∠ASP=∠CQR=∠CRQ
△BPQª △DSR ( SAS 합동)
PQRS에서
∠QPS =180ù-(∠APS+∠BPQ)
=∠PQR=∠QRS=∠RSP
따라서 PQRS는 직사각형 이다.
△APS ª△BPQª△CRQ
ª△DRS`(SAS`합동)
이므로
(cid:34)
(cid:49)
(cid:35)
(cid:52)
(cid:50)
(cid:37)
(cid:51)
(cid:36)
PSÓ=PQÓ=RQÓ=RSÓ
따라서 PQRS는 마름모이다.
③ 직사각형
마름모
④ 마름모
직사각형
⑤ 등변사다리꼴 마름모
PQRS는 마름모이므로 PQRS의 둘레의 길이는
4_SPÓ=4_4=16(cm)
단원 종합 문제
본문 62~64쪽
∠x=45ù, ∠y=100ù
⑴ ㄹ ⑵ ㄷ ⑶ ㅁ ⑷ ㄴ
8`cmÛ`
①
②, ④
②, ③
⑤
④
⑤
①
②
128ù
③
⑤
x=6, y=30
12`cmÛ`
65ù
⑤
평행사변형의 대각의 크기는 같으므로
∴ DFÓ=DCÓ+CFÓ=8+8=16(cm)
∠y=∠A=100ù
∠x=45ù
△BCD에서 ∠x+∠y+35ù=180ù이므로
∠BAD+∠D=180ù에서 ∠BAD=100ù이고
⑴ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사
변형이 된다.`(ㄹ)
⑵ ∠BCD=360ù-(100ù+80ù+80ù)=100ù
즉 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사
⑶ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평
⑷ 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형
변형이 된다.`(ㄷ)
행사변형이 된다.`(ㅁ)
이 된다.`(ㄴ)
△ABE와 △FCE에서
∠AEB=∠FEC (맞꼭지각),
△ABEª△FCE`(ASA`합동)
∴ CFÓ=BAÓ=8`cm
26 정답과 풀이
∠BAE`:`∠EAD=3`:`2이므로
∠BAE=
_100ù=60ù
3
3+2
ABÓDCÓ이므로 ∠AED=∠BAE=60ù (엇각)
∴ ∠AEC=180ù-60ù=120ù
∠BAD=180ù-∠ADC=180ù-50ù=130ù
∠FAD=180ù-(90ù+25ù)=65ù
∴ ∠BAF=130ù-65ù=65ù
△PAB+△PCD=
;2!;ABCD이므로
17+△PCD=25
∴ △PCD=8(cmÛ`)
따라서 옳은 것은 ②, ④이다.
∠EBA=∠ECF (엇각), BEÓ=CEÓ이므로
두 대각선이 서로 수직인 평행사변형은 마름모이다.
따라서 EFGH는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같
으므로 평행사변형 이다.
△GAB와 △GDF에서
ABÓ=DFÓ, ABÓEFÓ이므로
∠GAB=∠GDF (엇각),
∴ AGÓ=DGÓ
이므로 BHÓ=CHÓ
마름모이다.
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
∠ABG=∠DFG (엇각)
마름모의 네 변의 중점을 이어 만든 사각형은 직사각
∴ △GABª△GDF`(ASA`합동)
형이다.
따라서 직사각형에 대한 설명으로 옳지 않은 것은
마찬가지 방법으로 △ABHª△ECH`(ASA`합동)
②, ③이다.
따라서 ABHG는 네 변의 길이가 모두 같으므로
△ABO와 △CDO에서
꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수
(cid:34)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
선의 발을 F라 하면
FEÓ=ADÓ=4`cm
△ABFª△DCE이므로
즉 BOÓ=DOÓ
(cid:35)
(cid:39)
(cid:38)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
∴ △ABOª△CDO (ASA`합동)
(cid:34)
(cid:48)
(cid:36)
(cid:37)
(cid:35)
(cid:38)
ABÓ=CDÓ,
∠BAO=∠DCO=90ù,
∠AOB=∠COD
(맞꼭지각)이므로
∠ABO=∠CDO
따라서 BEDO는 이웃하는 두 변의 길이가 같은
평행사변형이므로 마름모이다.
△ODE와 △OBF에서
ADÓBCÓ이므로
∠ODE=∠OBF (엇각),
∠DOE=∠BOF=90ù, BOÓ=DOÓ
∴ △ODEª△OBF (ASA`합동)
즉 OEÓ=OFÓ
따라서 EBFD는 두 대각선이 서로 다른 것을 수
직이등분하므로 마름모이다.
따라서 옳지 않은 것은 ①이다.
∠EAF=90ù-14ù=76ù
∠AEF=∠CEF (접은 각)
(cid:34)
(cid:18)(cid:21)(cid:177)
(cid:24)(cid:23)(cid:177)
(cid:40)
(cid:39)
(cid:37)
(cid:36)
∠CEF=∠AFE (엇각)
(cid:35) (cid:38)
∴ ∠AEF=∠AFE
=
;2!;
_(180ù-76ù)=52ù
∴ ∠EFD=180ù-52ù=128ù
△OAD`:`△OAB=ODÓ`:`OBÓ=4`:`6=2`:`3
△OCD`:`△OBC=ODÓ`:`OBÓ이므로
8`:`△OBC=2`:`3
∴ △OBC=12(cmÛ`)
Ⅱ 사각형의 성질 27
BFÓ=CEÓ=
_(8-4)=2(cm)
;2!;
∴ BEÓ=BFÓ+FEÓ=2+4=6(cm)
△ABD에서 ABÓ=ADÓ이므로
∠ABD=∠ADB=35ù
∴ ∠BAD=180ù-2_35ù=110ù
ABCD가 등변사다리꼴이므로
∠ADC=∠DAB=110ù
∴ ∠BDC=110ù-35ù=75ù
∠x=∠OBA=25ù
마름모의 두 대각선은 서로 수직이므로
∠y=90ù
∴ ∠x+∠y=25ù+90ù=115ù
△AEHª △CGF (SAS 합동)이므로
△EBFª △GDH (SAS 합동)이므로
`EHÓ= GFÓ
`
EFÓ= GHÓ
ABÓ=BCÓ=CDÓ=DAÓ=6`cm이므로 x=6
대각선이 내각을 이등분하므로 ∠BAD=120ù
∴ ∠ADC=180ù-∠BAD=180ù-120ù=60ù
∠BDC=
;2!;∠ADC=
;2!;
_60ù=30ù
∴ y=30
ADÓBCÓ이므로
III 도형의 닮음
1
도형의 닮음
주제별 실력다지기
⑤
6
14`cm
⑤
③
②
본문 68~78쪽
ㄱ, ㄷ, ㅁ
④, ⑤
p`cmÛ`
5`cm
①
5`cm
18`cm
`cmÛ`
:ª;3);¼:
⑴ 8`cm ⑵ 10`cm ⑶
`cm ⑷
`cm
:£5ª:
:ª5¢:
`cm
:ª5£:
9`cm
`cm
;1^2%;
`cmÛ`
3`cm
:¦4°:
`cm
`cm
:ª4°:
2
4
55ù
:Á5¥:
`cm
:ª5¥:
6`cm
25`:`9
②
6
③
①
7
;4(;
⑤
④
③
77
⑤
②
:Á3¼:
④
두 닮은 도형의 대응각의 크기는 각각 같다.
주어진 삼각형의 나머지 한 내각의 크기는
또 대응변의 길이의 비, 대응하는 면의 넓이의 비는
180ù-(45ù+60ù)=75ù이므로 세 각 45ù, 60ù, 75ù
중 두 각의 크기가 같은 삼각형을 찾는다.
⑤ 닮음비는 두 닮은 도형에서 대응변의 길이의 비와
④, ⑤ AA 닮음
두 정다각형, 두 원, 두 직각이등변삼각형, 두 정다
△ABC»△A'B'C'
면체, 두 구 등은 각각 항상 닮음이다.
① 닮음비는 ABÓ`:`A'B'Ó=6`:`3=2`:`1
따라서 항상 닮은 도형인 것은 ㄷ, ㄹ, ㅅ, ㅇ의 4개
② ADÓ`:`A'D'Ó=2`:`1이므로
두 입체도형의 대응하는 면은 서로 닮음이므로
일정하다.
같다.
이다.
10`:`A'D'Ó=2`:`1 ∴ A'D'Ó=5
③ DFÓ=ACÓ=x이고 ACÓ`:`A'C'Ó=2`:`1이므로
x`:`4=2`:`1 ∴ x=8
④ △ABC»△D'E'F'이지만 넓이는 같지 않다.
ㄴ. ∠PQR=∠ABC이지만 크기는 알 수 없다.
⑤ D'E'Ó=A'B'Ó이므로 y=3 ∴ x+y=8+3=11
ABCD»PQRS이므로
ㄱ. ∠A=∠P=50ù
ㄷ. BCÓ`:`QRÓ=CDÓ`:`RSÓ=3`:`4이고
∠C=∠R이므로
△BCD»△QRS (SAS 닮음)
ㄹ. BDÓ`:`QSÓ=3`:`4이므로 9`:`QSÓ=3`:`4
∴ QSÓ=12(cm)
ㅁ. 닮음비는 ADÓ`:`PSÓ=6`:`8=3`:`4
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㅁ이다.
△ABC»△DFE이면 닮음비는
BCÓ`:`FEÓ=8`:`6=4`:`3이고
∠B=∠F=55ù, ∠E=∠C=80ù,
∠A=∠D=180ù-(55ù+80ù)=45ù
△ABC»△DFE (AA 닮음)
28 정답과 풀이
두 원기둥이 닮음이므로
6`:`8=x`:`2 ∴ x=
;2#;
따라서 작은 원기둥의 한 밑면의 넓이는
p_
Û`=
{;2#;}
;4(;
p(cmÛ`)
O'BÓ Û`p=16p이므로 O'BÓ=4
△AO'B»△AOC (AA 닮음)이므로
AO'Ó`:`AOÓ=O'BÓ`:`OCÓ
12`:`18=4`:`OCÓ ∴ OCÓ=6
∠B는 공통, ∠ACB=∠EDB
이므로 △ABC»△EBD (AA 닮음)
④
⑤
6
④ ∠B=∠F, ∠A=∠D이므로
△ABC와 △EBD에서
따라서 ABÓ`:`EBÓ=BCÓ`:`BDÓ이므로
ACÓ`:`ADÓ=6`:`4=3`:`2
18`:`8=(8+ECÓ)`:`12, 9`:`4=(8+ECÓ)`:`12
∠A는 공통
4(8+ECÓ)=108, 8+ECÓ=27
이므로 △ABC»△ACD (SAS 닮음)
∴ ECÓ=19
따라서 BCÓ`:`CDÓ=3`:`2이므로 `BCÓ`:`10=3`:`2
△ABC와 △ACD에서
∠A는 공통, ∠ABC=∠ACD
이므로 △ABC»△ACD (AA 닮음)
따라서 ABÓ`:`ACÓ=ACÓ`:`ADÓ이므로
∴ `BCÓ=15(cm)
△ABC와 △BDC에서
ACÓ`:`BCÓ=27`:`18=3`:`2
BCÓ`:`DCÓ=18`:`12=3`:`2
9`:`6=6`:`ADÓ ∴ ADÓ=4(cm)
∠C는 공통이므로
∴ BDÓ=ABÓ-ADÓ=9-4=5(cm)
△ABC»△BDC (SAS 닮음)
△ABC와 △AED에서
∠A는 공통, ABÓ`:`AEÓ=12`:`4=3`:`1,
ABÓ Û`=BHÓ_BCÓ이므로
△ABC와 △DAC에서
∠C는 공통, ∠ABC=∠DAC
이므로 △ABC»△DAC (AA 닮음)
따라서 BCÓ`:`ACÓ=ACÓ`:`DCÓ에서
ACÓ Û`=BCÓ_DCÓ이므로
8Û`=12_DCÓ ∴ DCÓ=
(cm)
:Á3¤:
△ABC와 △AED에서
ACÓ`:`ADÓ=8`:`4=2`:`1,
ABÓ`:`AEÓ=6`:`3=2`:`1, ∠A는 공통
이므로 △ABC»△AED (SAS 닮음)
따라서 BCÓ`:`DEÓ=2`:`1이므로 10`:`DEÓ=2`:`1
∴ DEÓ=5(cm)
ACÓ`:`ADÓ=15`:`5=3`:`1
이므로 △ABC»△AED (SAS 닮음)
따라서 CBÓ`:`DEÓ=3`:`1이므로
BCÓ`:`6=3`:`1 ∴ BCÓ=18(cm)
△ABC와 △EBD에서
ABÓ`:`EBÓ=10`:`5=2`:`1,
BCÓ`:`BDÓ=8`:`4=2`:`1, ∠B는 공통
이므로 △ABC»△EBD (SAS 닮음)
따라서 ACÓ`:`EDÓ=2`:`1이므로 ACÓ`:`3=2`:`1
∴ ACÓ=6
△ABC와 △ACD에서
ABÓ`:`ACÓ=9`:`6=3`:`2
따라서 ABÓ`:`BDÓ=3`:`2이므로 21`:`BDÓ=3`:`2
∴ BDÓ=14(cm)
ADÓ Û`=BDÓ_CDÓ이므로
12Û`=24_CDÓ ∴ CDÓ=6(cm)
ABÓ Û`=BDÓ_BCÓ이므로
10Û`=6_BCÓ ∴ BCÓ=
(cm)
:°3¼:
CDÓ=BCÓ-BDÓ=
-6=
(cm)
:°3¼:
:£3ª:
ADÓ Û`=BDÓ_CDÓ이므로
ADÓ Û`=6_
:£3ª:
=64 ∴ ADÓ=8(cm)
∴ △ABC=
_BCÓ_ADÓ
;2!;
=
_
;2!;
:°3¼:
_8=
:ª;3);¼:
(cmÛ`)
5Û`=3(3+x) ∴ x=
:Á3¤:
ACÓ Û`=CHÓ_CBÓ이므로
yÛ`=x(x+3)=
_
=
:Á3¤:
:ª3°:
:¢;9);¼:
∴ y=
:ª3¼:
∴ x+y=
+
:Á3¤:
:ª3¼:
=12
ABÓ_ACÓ=ADÓ_BCÓ이므로
15_20=12_(x+y)
∴ x+y=25
다른 풀이 ABÓ Û`=BDÓ_BCÓ이므로
x(x+y)=225
…… ㉠
ADÓ Û`=DBÓ_DCÓ이므로
xy=144
…… ㉡
Ⅲ 도형의 닮음 29
따라서 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면
x=9, y=16
∴ x+y=9+16=25
△ABC에서 ADÓ Û`=BDÓ_CDÓ이므로
4Û`=BDÓ_3 ∴ BDÓ=
(cm)
:Á3¤:
ABÓ Û`=BDÓ_BCÓ=
_
:Á3¤:
:ª3°:
=
400
9
∴ ABÓ=
(cm)
:ª3¼:
또 △ABD에서 DAÓ Û`=AEÓ_ABÓ이므로
4Û`=AEÓ_
∴ AEÓ=
(cm)
:ª3¼:
:Á5ª:
∴ ABÓ`:`AEÓ=
`:
:ª3¼:
`:Á5ª:
=25`:`9
⑴ ADÓ Û`=BDÓ_CDÓ이므로
ADÓ Û`=16_4=64 ∴ ADÓ=8(cm)
⑵ 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 점 M은
△ABC의 외심이다.
∴ AMÓ=BMÓ=CMÓ=
BCÓ
;2!;
=
;2!;
_20=10 (cm)
⑶ △DAM에서 DAÓ Û`=AHÓ_AMÓ이므로
8Û`=AHÓ_10 ∴ AHÓ=
(cm)
:£5ª:
⑷ CMÓ=10`cm이므로 DMÓ=10-4=6(cm)
△DAM에서 DAÓ_DMÓ=DHÓ_AMÓ이므로
8_6=DHÓ_10 ∴ DHÓ=
(cm)
:ª5¢:
△ABC에서 ADÓ Û`=BDÓ_CDÓ이므로
ADÓ Û`=5_20=100 ∴ ADÓ=10
또 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 점 M은
△ABC의 외심이다.
AMÓ=BMÓ=CMÓ=
BCÓ=
_25=
;2!;
;2!;
:ª2°:
DMÓ=BMÓ-BDÓ=
-5=
:ª2°:
:Á2°:
따라서 △ADM에서 ADÓ_DMÓ=DHÓ_AMÓ이므로
10_
=DHÓ_
:Á2°:
:ª2°:
∴ DHÓ=6
ADÓ Û`=BDÓ_CDÓ이므로
4Û`=BDÓ_8 ∴ BDÓ=2(cm)
30 정답과 풀이
이므로 AMÓ=BMÓ=CMÓ=5`cm
또 DMÓ=BMÓ-BDÓ=5-2=3(cm)
따라서 △ADM에서 ADÓ_DMÓ=DHÓ_AMÓ이므로
4_3=DHÓ_5 ∴ DHÓ=
(cm)
:Á5ª:
△BDF»△AEF»△ADC
»△BEC (AA 닮음)이므로
△BDF와 닮은 삼각형은 3개
이다.
(cid:35)
(cid:36)
(cid:38)
(cid:39)
(cid:34)
(cid:37)
△ACD와 △BCE에서
∠C는 공통, ∠ADC=∠BEC=90ù이므로
△ACD»△BCE (AA 닮음)
따라서 ACÓ`:`BCÓ=CDÓ`:`CEÓ이므로
16`:`12=8`:`CEÓ ∴ CEÓ=6
∴ AEÓ=ACÓ-CEÓ=16-6=10
△ABD와 △ACE에서
∠A는 공통, ∠ADB=∠AEC=90ù이므로
△ABD»△ACE (AA 닮음)
따라서 ABÓ`:`ACÓ=ADÓ`:`AEÓ이므로
10`:`9=6`:`AEÓ
∴ AEÓ=
(cm)
:ª5¦:
∴ BEÓ=ABÓ-AEÓ=10-
=
:ª5¦:
:ª5£:
(cm)
AFÓ=15-3=12(cm)
△AFD와 △EFC에서
∠AFD=∠EFC (맞꼭지각),
∠ADF=∠ECF=90ù이므로
△AFD»△EFC (AA 닮음)
따라서 AFÓ`:`EFÓ=FDÓ`:`FCÓ이므로
12`:`EFÓ=4`:`3
∴ EFÓ=9(cm)
오른쪽 그림과 같이 꼭짓
점 C가 점 E에 오도록 접
(cid:19)(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:39)
(cid:34)
(cid:38)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:36)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:40)
(cid:18)(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:19)(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
었으므로
∠CBD=∠EBD
(접은 각)
또 ADÓBCÓ이므로
BCÓ=10 cm이고, 점 M은 직각삼각형 ABC의 외심
∠CBD=∠ADB (엇각)
따라서 ∠FBD=∠FDB이므로 △FBD는
∠PC'D+∠AC'B=90ù이므로
FBÓ=FDÓ인 이등변삼각형이다.
∠ABC'=∠PC'D
∴ BGÓ=GDÓ=
_26=13(cm)
;2!;
또한 △FBG»△DBC (AA 닮음)이므로
BGÓ`:`BCÓ=FGÓ`:`DCÓ
∴ △ABC'»△DC'P (AA 닮음)
따라서 C'BÓ`:`PC'Ó=ABÓ`:`DC'Ó에서
10`:`PC'Ó=6`:`2 ∴ PC'Ó=
(cm)
:Á3¼:
13`:`24=FGÓ`:`10 ∴ FGÓ=
`cm
;1^2%;
∴ PCÓ=`PC'Ó=
`cm
:Á3¼:
다른 풀이 △FBG»△DBE (AA 닮음)임을 이용
해도 된다.
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C가 (cid:34)
(cid:36)(cid:8)
(cid:21)
즉 BGÓ`:`BEÓ=FGÓ`:`DEÓ이므로
점 C'에 오도록 접었으므로
13`:`24=FGÓ`:`10 ∴ FGÓ=
(cm)
;1^2%;
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
를 점 B'에 오도록 접었으므로
∠ACB=∠ACB' (접은 각)
ADÓBCÓ이므로
∠ACB=∠CAD (엇각)
(cid:35)(cid:8)
(cid:38)
(cid:37)
(cid:34)
(cid:35)
(cid:39)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
따라서 ∠EAC=∠ECA이므로 △EAC는
EAÓ=ECÓ인 이등변삼각형이다.
∴ AFÓ=FCÓ=
_10=5(cm)
;2!;
또 △CEF»△CAB (AA 닮음)이므로
CFÓ`:`CBÓ=EFÓ`:`ABÓ
5`:`8=EFÓ`:`6 ∴ EFÓ=
(cm)
:Á4°:
∴ △EAC=
_ACÓ_EFÓ
;2!;
;2!;
=
_10_
=
:Á4°:
:¦4°:
(cmÛ`)
△ADCª△ADE (RHA 합동)이므로
DEÓ=DCÓ=x cm라 하면 BDÓ=8-x(cm)
△BDE»△BAC (AA 닮음)이므로
BDÓ`:`BAÓ=DEÓ`:`ACÓ에서
(8-x)`:`10=x`:`6, 16x=48
∴ x=3
따라서 DEÓ의 길이는 3 cm이다.
(cid:37)
(cid:20)
(cid:49)
(cid:36)
BC'Ó=BCÓ
△BAC'»△C'DP (AA 닮음)
이므로 BAÓ : C'DÓ=AC'Ó : DPÓ에서
8 : 4=AC'Ó : 3 ∴ AC'Ó=6
(cid:25)
(cid:35)
∴ BC'Ó=BCÓ=ADÓ=AC'Ó+C'DÓ=6+4=10
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A가
(cid:34)
점 E에 오도록 접었으므로
DEÓ=DAÓ, FEÓ=FAÓ=21,
∠A=∠B=∠C=60ù이므로
(cid:35)
(cid:23)
(cid:38)
(cid:19)(cid:18)
(cid:39)
(cid:26)
(cid:36)
∠DEF=∠A=60ù
그런데 △DBE와 △ECF에서
∠BED+∠BDE=120ù이고,
∠BED+∠CEF=120ù이므로 ∠BDE=∠CEF
따라서 △DBE»△ECF (AA 닮음)이므로
BEÓ`:`CFÓ=DEÓ`:`EFÓ, 6`:`9=DEÓ`:`21
(cid:37)
∴ DEÓ=14
∴ ADÓ=DEÓ=14
△DBE»△ECF (AA 닮음)
(cid:34)
이므로 BEÓ`:`CFÓ=DBÓ`:`ECÓ
BEÓ=15-10=5 (cm)이므로
(cid:18)(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:39)
(cid:35)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
5`:`CFÓ=8`:`10
∴ CFÓ=
(cm)
:ª4°:
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점
C가 점 C'에 오도록 접었으
므로
BC'Ó=BCÓ=10`cm,
PCÓ=PC'Ó
또 ∠ABC'+∠AC'B=90ù이고
(cid:34)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)(cid:8)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:49)
(cid:36)
참고 △DBE와 △ECF에서
∠BED+∠BDE=120ù이고,
∠BED+∠CEF=120ù이므로
∠BDE=∠CEF
∴ △DBE»△ECF (AA 닮음)
△ABF»△EFC (AA 닮음)에서
ABÓ`:`EFÓ=AFÓ`:`ECÓ이고
Ⅲ 도형의 닮음 31
△DEF»△ABD (AA 닮음)에서
정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 d라 하면
△AFE»△ECD (AA 닮음)에서
△OBQ»△CBD (AA 닮음)
AFÓ`:`ECÓ=EFÓ`:`DCÓ
이므로
따라서 ABÓ`:`EFÓ=EFÓ`:`DCÓ이므로
OBÓ`:`CBÓ=OQÓ`:`CDÓ
(cid:49)
(cid:22)
(cid:34)
(cid:23)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:36)
(cid:48)
(cid:50)
(cid:25)
△ADE»△ABC (AA 닮음)에서
ABÓDCÓ이므로 △RAQ»△RCD (AA 닮음)이
DEÓ`:`BCÓ=ADÓ`:`ABÓ
고, 닮음비는 RQÓ`:`RDÓ=9`:`12=3`:`4이다.
따라서 AFÓ`:`ADÓ=ADÓ`:`ABÓ이므로
AQÓ=3k, CDÓ=4k라 하면 ABÓ=CDÓ이므로
이때 △PODª△QOB (ASA 합동)이므로
5`:`8=OQÓ`:`6
∴ OQÓ=
:Á4°:
OPÓ=OQÓ
∴ PQÓ=2OQÓ=2_
=
:Á4°:
:Á2°:
QBÓ =ABÓ-AQÓ=CDÓ-AQÓ
=4k-3k=k
또 QBÓDCÓ이므로 △QPB»△DPC (AA 닮음)
이고, 닮음비는 QBÓ`:`DCÓ=k`:`4k=1`:`4이다.
따라서 PQÓ`:`PDÓ=PQÓ`:`( PQÓ+9+12)=1`:`4이
므로
PQÓ+21=4PQÓ ∴ PQÓ=7
ABCD의 넓이는 dÛ`이다.
△DPH와 △DQC에서
∠PDB=45ù-∠BDQ=∠QDC이고
∠PHD=∠QCD=90ù이므로
△DPH»△DQC`(AA 닮음)
∴ PDÓ`:`QDÓ=DHÓ`:`DCÓ=11`:`d …… ㉠
△APD와 △GQD에서
∠PDA=45ù-∠PDB=∠QDG,
∠PAD=∠QGD=90ù이므로
△APD»△GQD`(AA 닮음)
∴ PDÓ`:`QDÓ=ADÓ`:`GDÓ=d`:`7
…… ㉡
㉠, ㉡에서 11`:`d=d`:`7이므로
dÛ`=7_11=77
2`:`EFÓ=EFÓ`:`8
EFÓ Û`=16 ∴ EFÓ=4
△AFE»△ADC (AA 닮음)에서
AFÓ`:`ADÓ=FEÓ`:`DCÓ
△FDE»△DBC (AA 닮음)에서
FEÓ`:`DCÓ=DEÓ`:`BCÓ
x`:`6=6`:`10 ∴ x=
:Á5¥:
DCÓ=14 cm이고 DFÓ`:`FCÓ=2`:`5이므로
DFÓ=
DCÓ=
_14=4(cm)
;7@;
2
2+5
FCÓ=14-4=10(cm)
또 △CFE»△CDB (AA 닮음)이므로
EFÓ`:`BDÓ=CFÓ`:`CDÓ=10`:`14=5`:`7
EFÓ`:`BDÓ=FDÓ`:`DAÓ이므로
5`:`7=4`:`DAÓ
∴ ADÓ=
(cm)
:ª5¥:
다른 풀이 BDÓEFÓ이므로
△CFE»△CDB (AA 닮음)이고
DFÓ`:`FCÓ=2`:`5이므로
CEÓ`:`EBÓ=CFÓ`:`FDÓ=5`:`2
ABÓDEÓ이므로
△CDE»△CAB (AA 닮음)이고
CDÓ`:`DAÓ=CEÓ`:`EBÓ=5`:`2에서
14`:`DAÓ=5`:`2 ∴ DAÓ=
(cm)
:ª5¥:
△BED»△BCA (AA 닮음)에서
따라서 ABCD의 넓이는 77이다.
BDÓ`:`BAÓ=DEÓ`:`ACÓ
△DHE»△ADC (AA 닮음)에서
△CED는 이등변삼각형이므로
DEÓ`:`ACÓ=EHÓ`:`CDÓ
∠CDE=∠CED
따라서 BDÓ`:`BAÓ=EHÓ`:`CDÓ이므로
∠AEC=180ù-∠CED이고
6`:`(6+3)=4`:`CDÓ ∴ CDÓ=6(cm)
∠ADB=180ù-∠CDE이므로
∠AEC=∠ADB
32 정답과 풀이
그런데 △ABD와 △ACE에서
∠BAD=∠CAE이므로
△ABD»△ACE`(AA 닮음)
따라서 ABÓ`:`ACÓ=ADÓ`:`AEÓ이므로
12`:`9=8`:`AEÓ ∴ AEÓ=6
∴ DEÓ=ADÓ-AEÓ=8-6=2
∠ABC=∠AED=85ù
∠BAC=∠EAD=20ù
∴ ∠BAE=20ù+∠CAE=∠CAD
그런데 △ABE와 △ACD에서
ABÓ`:`ACÓ=AEÓ`:`ADÓ이므로
△ABE»△ACD`(SAS 닮음)
따라서 ∠ABE=∠ACE=30ù이므로
∠AED=180ù-(20ù+75ù)=85ù이고,
∠CBE =∠ABC-∠ABE
△ABC»△AED이므로
=85ù-30ù=55ù
15`cm
5`cm
⑴ 2`:`3 ⑵ 5`:`3 ⑶ 2`:`5
`cm
;2&;
④
:¢3¼:
①
6`m
3`:`1
30ù
④
8`cmÛ`
④
③
8
2
6`cm
③
24`cm
④
8`cmÛ`
③
2
평행선과 선분의 길이의 비
주제별 실력다지기
③
③
3`cm
②, ③
②, ④
60`cmÛ`
75`cmÛ`
⑤
12
9
⑤
③
40`cmÛ`
72`cmÛ`
8`cm
:¢3¼:
3`cm
;2#;
①
①
③
④
①
④
ADÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ECÓ이므로
8`:`x=6`:`3 ∴ x=4
AEÓ`:`ACÓ=DEÓ`:`BCÓ이므로
6`:`9=4`:`y ∴ y=6
∴ xy=4_6=24
ABÓ`:`DEÓ=ACÓ`:`DCÓ이므로
(14-x)`:`x=10`:`4
∴ x=4 `
27`cm
3
4
:ª2£:
19`cm
15`cm
②
④
⑤
③
본문 83~103쪽
3`cm
②
②
⑤
5`cm
①
22`cm
36`cm
4`cmÛ`
⑤
:ª5¢:
`cm
:£5¤:
2`:`3
③
②
②
③
24`cm
10`cmÛ`
20`cmÛ`
40
②
10
②
③
④
②
①
③
14`cm
16`cmÛ`
ADÓECÓ이므로 AFÓ`:`CFÓ=ADÓ`:`CEÓ이므로
10`:`8=15`:`CEÓ ∴ CEÓ=12(cm)
∴ BEÓ=BCÓ-CEÓ=15-12=3(cm)
ABÓ`:`ADÓ=BCÓ`:`DEÓ이므로
2`:`ADÓ=4`:`10 ∴ ADÓ=5(cm)
7`:`10=GFÓ`:`5 ∴ FGÓ=
(cm)
;2&;
Ⅲ 도형의 닮음 33
CDÓ=x cm라 하면 ACÓ=(14-x) cm이고
또 EFÓ`:`EDÓ=GFÓ`:`ADÓ이므로
△ABQ에서 APÓ`:`AQÓ=DPÓ`:`BQÓ=6`:`8=3`:`4
CFÓ`:`FAÓ=CEÓ`:`EBÓ=3`:`4이므로 ABÓFEÓ이고
△AQC에서 APÓ`:`AQÓ=PEÓ`:`QCÓ이므로
3`:`4=PEÓ`:`4 ∴ PEÓ=3
△CFE»△CAB이다.
∴ ∠BAC=∠EFC
따라서 옳은 것은 ②, ④이다.
△CAB에서 FCÓ`:`BCÓ=EFÓ`:`ABÓ이므로
ADÓ에 평행한 직선과` BAÓ의 연장선과의 교점을 E
∠BAD=∠DAC인 △ABC에서 점 C를 지나고
DBFE는 평행사변형이므로
EFÓ=DBÓ=2`cm, BFÓ=DEÓ=6`cm
FCÓ`:`(6+FCÓ)=2`:`6, 4FCÓ=12
∴ FCÓ=3(cm)
△EAD에서 EFÓ`:`EAÓ=FGÓ`:`ADÓ이므로
3`:`5=FGÓ`:`6 ∴ FGÓ=
:Á5¥:
또 △FHC에서 FGÓ`:`GHÓ=FEÓ`:`ECÓ이므로
`:`GHÓ=3`:`4 ∴ GHÓ=
:Á5¥:
:ª5¢:
오른쪽 그림과 같이 점 D를 지
나면서 ACÓ와 평행한 직선이
BPÓ와 만나는 점을 Q라 하면
(cid:34)
(cid:38)
(cid:49)
(cid:18)(cid:19)
(cid:50)
(cid:46)
△MQDª△MPA
(cid:35)
(cid:37)
(cid:39)
(cid:36)
이므로
(ASA 합동)
APÓ=DQÓ, PMÓ=QMÓ
△BCP에서 BQÓ`:`QPÓ=BDÓ`:`CDÓ=3`:`2이므로
BMÓ`:`PMÓ=(BQÓ+QMÓ)`:`(QPÓ-QMÓ)=4`:`1
△ABP에서 EMÓ`:`APÓ=BMÓ`:`BPÓ=4`:`5이므로
12`:`APÓ=4`:`5 `
∴ APÓ=15
DQÓ=APÓ=15이고
15`:`CPÓ=3`:`5
∴ CPÓ=25
△BCP에서 DQÓ`:`CPÓ=BDÓ`:`BCÓ=3`:`5이므로
∴ ACÓ=APÓ+CPÓ=15+25=40
① ADÓ`:`ABÓ+AEÓ`:`ACÓ이므로 BCÓ와 DEÓ는 평행
② ADÓ`:`ABÓ=AEÓ`:`ACÓ=2`:`3이므로 DEÓBCÓ
③ ADÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ECÓ=1`:`2이므로 DEÓBCÓ
④ AEÓ`:`ECÓ+ADÓ`:`DBÓ이므로 BCÓ와 DEÓ는 평행
⑤ ADÓ`:`ABÓ+DEÓ`:`BCÓ이므로 BCÓ와 DEÓ는 평행
하지 않다.
하지 않다.
하지 않다.
34 정답과 풀이
라 하면
DAÓCEÓ이므로
∠BAD= ∠AEC (동위각),
∠DAC= ∠ACE (엇각),
∠BAD= ∠DAC 이므로
∠AEC = ∠ACE
따라서 △ACE는 이등변삼각형 이므로
ACÓ= AEÓ
……`㉠
또 DAÓCEÓ이므로
BAÓ`:`AEÓ=BDÓ`:`DCÓ
……`㉡
따라서 ㉠, ㉡에서 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이다.
ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로
BDÓ`:`CDÓ=16`:`12=4`:`3
∴ BDÓ=
BCÓ=
_20=
(cm)
;7$;
;7$;
:¥7¼:
또한 △ABD`:`△ACD=BDÓ`:`CDÓ=4`:`3
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.
ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로
8`:`10=BDÓ`:`5 ∴ BDÓ=4(cm)
∴ (△ABC의 둘레의 길이) =8+10+4+5
=27(cm)
ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ에서
12`:`9=BDÓ`:`CDÓ이므로
BDÓ`:`CDÓ=4`:`3
또 △ABC=△ABD+△ADC이고,
△ABD`:`△ADC=BDÓ`:`CDÓ=4`:`3이므로
△ABD=
△ABC
4
4+3
=
;7$;
_35=20(cmÛ`)
ABÓ`:`ACÓ=BEÓ`:`ECÓ에서
18`:`12=BEÓ`:`ECÓ이므로 BEÓ`:`ECÓ=3`:`2
또 △BCA에서 BEÓ`:`BCÓ=DEÓ`:`ACÓ이므로
3`:`5=DEÓ`:`12 ∴ DEÓ=
(cm)
:£5¤:
ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로
14`:`ACÓ=4`:`3 ∴ ACÓ=
:ª2Á:
AEÓ=x라 하면 BAÓ`:`BCÓ=AEÓ`:`CEÓ이므로
14`:`7=x`:`
{:ª2Á:
-x
∴ x=7
}
점 I가 △ABC의 내심이므로 ADÓ는 ∠A의 이등분
ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로
20`:`x=48`:`(48-16)=3`:`2
∴ x=
:¢3¼:
ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로
6 : 3=(4+CDÓ) : CDÓ
∴ CDÓ=4
선이다.
ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로
9`:`6=BDÓ`:`(12-BDÓ)
∴ BDÓ=
(cm)
:£5¤:
또 BEÓ는 ∠B의 이등분선이므로
BAÓ`:`BDÓ=AIÓ`:`IDÓ에서
9`:`
:£5¤:
=AIÓ`:`IDÓ
∴ AIÓ`:`IDÓ=5`:`4
△ABC»△EAC (AA 닮음)이고 닮음비는
BCÓ`:`ACÓ=6`:`3=2`:`1이므로
ACÓ`:`ECÓ=2`:`1, 3`:`ECÓ=2`:`1 ∴ ECÓ=
;2#;
점 C를 지나고 ADÓ에 평행한 직선이` ABÓ와 만나는
∴ BEÓ=6-
=
;2#;
;2(;
△ABE에서 ABÓ`:`AEÓ=2`:`1이고
ADÓ가 ∠BAE의 이등분선이므로
BDÓ`:`DEÓ=2`:`1
∴ DEÓ=
BEÓ=
;3!;
_
=
;2(;
;3!;
;2#;
점을 F라 하면
ADÓFCÓ이므로
∠EAD= ∠AFC (동위각),
∠DAC= ∠ACF `(엇각),
∠EAD=∠DAC이므로
∠AFC = ∠ACF
따라서 △AFC는 이등변삼각형이므로
AFÓ=ACÓ
…… ㉠
또 △ABD에서 ADÓFCÓ이므로
ABÓ`:` AFÓ =BDÓ`:`CDÓ …… ㉡
따라서 ㉠, ㉡에서 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이다.
ADÓ가 ∠A의 외각의 이등분선이므로
ACÓ`:`ABÓ=CDÓ`:`BDÓ에서
8`:`6=(BCÓ+7)`:`7
∴ BCÓ=
;3&;
BDÓ`:`CDÓ=ABÓ`:`ACÓ=20`:`12=5`:`3
∴ △ABC`:`△ACD=BCÓ`:`CDÓ=2`:`3
△ABC에서 APÓ가 ∠BAC의 이등분선이므로
ABÓ`:`ACÓ=BPÓ`:`CPÓ에서
6`:`4=3`:`CPÓ ∴ CPÓ=2
또 AQÓ가 ∠A의 외각의 이등분선이므로
ABÓ`:`ACÓ=BQÓ`:`CQÓ에서
6`:`4=(5+CQÓ)`:`CQÓ ∴ CQÓ=10
△ABC에서 ADÓ가 ∠A의 이등분선이므로
ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ에서
12`:`8=BDÓ`:`4 ∴ BDÓ=6(cm)
또 AEÓ가 ∠A의 외각의 이등분선이므로
ABÓ`:`ACÓ=BEÓ`:`CEÓ에서
12`:`8=(10+CEÓ)`:`CEÓ ∴ CEÓ=20(cm)
따라서 △ABD`:`△ADE=BDÓ`:`DEÓ이므로
15`:`△ADE=6`:`24
∴ △ADE=60(cmÛ`)
△ABC에서 APÓ가 ∠A의 이등분선이므로
ABÓ`:`ACÓ=BPÓ`:`CPÓ에서
9`:`12=BPÓ`:`2 ∴ BPÓ=
;2#;
또 AQÓ가 ∠A의 외각의 이등분선이므로
ACÓ`:`ABÓ=CQÓ`:`BQÓ에서
12`:`9=
+BQÓ
}
{;2&;
`:`BQÓ
∴ BQÓ=
:ª2Á:
Ⅲ 도형의 닮음 35
∴ PQÓ=BPÓ+BQÓ=
+
;2#;
:ª2Á:
=12
△ABC에서 ADÓ가 ∠A의 외각의 이등분선이므로
BDÓ`:`CDÓ=ABÓ`:`ACÓ=8`:`4=2`:`1
따라서 BCÓ=CDÓ이므로 △ABC=
;2!;△ABD
AEÓ가 ∠BAC의 이등분선이므로
ABÓ`:`ACÓ=BEÓ`:`ECÓ에서
8`:`4=4`:`ECÓ ∴ ECÓ=2
또 BFÓ가 ∠B의 이등분선이므로
AFÓ`:`CFÓ=ABÓ`:`BCÓ=8`:`(4+2)=4`:`3
따라서 △ABC`:`△ABF=CAÓ`:`AFÓ=7`:`4이므로
△ABF=
;7$;△ABC
=
_
;2!;△ABD
;7$;
=
;7@;△ABD
=
_28=8
;7@;
직선 a를 a'으로 평행이동
(cid:66)(cid:8)
(cid:66)
하면
8`:`4=x`:`3
∴ x=6
(cid:21)
(cid:77)
(cid:78)
(cid:79)
(cid:25)
(cid:20)
(cid:89)
직선 a를 a'으로 평행이
동하면
3`:`x=4`:`6이므로
(cid:77)
(cid:78)
(cid:79)
(cid:22)
(cid:21)
(cid:21)
(cid:22)
(cid:23)
(cid:22)
(cid:23)
(cid:22)
(cid:20)
(cid:89)
(cid:90)(cid:14)(cid:22)
4x=18 ∴ x=
;2(;
(cid:18)(cid:17)
(cid:66)
(cid:66)(cid:8)
4`:`(4+6)=(y-5)`:`5이므로
10y=70 ∴ y=7 `
∴ x+y=
+7=
;2(;
:ª2£:
다른 풀이 공식에 의해
y=
4_10+6_5
4+6
=
;1&0);
=7
직선 a를 a'로 평행이동하면
(cid:66)(cid:8) (cid:66)
(cid:20)
8`:`6=y`:`7이므로
(cid:77)
(cid:78)
(cid:79)
(cid:25)
(cid:23)
(cid:90)
(cid:24)
(cid:19)
(cid:20)
(cid:20)
(cid:89)(cid:14)(cid:20)
6y=56 ∴ y=
:ª3¥:
8`:`14=2`:`(x-3)이므로
8x=52 ∴ x=
:Á2£:
∴ 3xy=3_
_
:Á2£:
:ª3¥:
=182
36 정답과 풀이
다른 풀이 공식에 의해
8_x+6_3
8+6
=5 ∴ x=
:Á2£:
ABÓ=AMÓ+MBÓ
=
_54
+
}
{;2!;
{;2!;
_48
}
=27+24=51(cm)
(cid:34)
(cid:46)
(cid:35)
(cid:21)(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:22)(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:19)(cid:17)
(cid:38)
(cid:21)(cid:17)
(cid:35)
(cid:39)
(cid:49)
(cid:20)(cid:17)
(cid:20)(cid:17)
(cid:50)
(cid:20)(cid:17)
(cid:36)
(cid:19)(cid:17)
(cid:38)
(cid:21)(cid:17)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:39)
(cid:36)
(cid:49)
(cid:23)(cid:17)
점 A에서 DCÓ에 평행한 선을 그어
(cid:34)
(cid:20)(cid:17)
(cid:37)
EFÓ, BCÓ와 만나는 점을 각각 P,
Q라 하면 PQCF는 평행사변형
이므로
PFÓ=QCÓ=ADÓ=30
△ABQ에서 AEÓ`:`ABÓ=EPÓ`:`BQÓ이므로
20`:`60=EPÓ`:`30 ∴ EPÓ=10
∴ EFÓ=EPÓ+PFÓ=10+30=40
다른 풀이 대각선 AC를 그으면
(cid:34)
(cid:20)(cid:17)
△ABC에서
AEÓ`:`ABÓ=EPÓ`:`BCÓ이므로
20`:`60=EPÓ`:`60
∴ EPÓ=20
또 △CDA에서 CFÓ`:`CDÓ=PFÓ`:`ADÓ이고
CFÓ`:`CDÓ=BEÓ`:`BAÓ=40`:`60=2`:`3이므로
PFÓ`:`30=2`:`3 ∴ PFÓ=20
∴ EFÓ=EPÓ+PFÓ=20+20=40
다른 풀이 공식에 의해
EFÓ=
20_60+40_30
20+40
=40
CFÓ`:`FDÓ=BEÓ`:`EAÓ=2`:`1
대각선 AC를 그으면 △CDA에서
CFÓ`:`CDÓ=PFÓ`:`ADÓ이므로
2`:`3=PFÓ`:`6 ∴ PFÓ=4
∴ PEÓ=EFÓ-PFÓ=8-4=4
또 △ABC에서
AEÓ`:`ABÓ=EPÓ`:`BCÓ이므로
1`:`3=4`:`BCÓ ∴ BCÓ=12
(cid:34)
(cid:38)
(cid:23)
(cid:49)
(cid:25)
(cid:37)
(cid:39)
(cid:35)
(cid:36)
다른 풀이 점 A에서 DCÓ에 평행한
선을 그어 EFÓ, BCÓ와 만나는 점을
각각 P, Q라 하면 PQCF는 평
(cid:34)
(cid:49)
(cid:38)
(cid:23)
(cid:25)
(cid:37)
(cid:39)
(cid:19)
(cid:23)
(cid:35)
(cid:36)
(cid:50)
(cid:23)
행사변형이므로
PFÓ=QCÓ=ADÓ=6,
EPÓ=EFÓ-PFÓ=8-6=2
△DBC에서 DOÓ`:`DBÓ=OQÓ`:`BCÓ이므로 `
⑶ BFÓ`:`BCÓ=BEÓ`:`BDÓ=2`:`5
다른 풀이 AOÓ`:`COÓ=ADÓ`:`CBÓ=10`:`20=1`:`2
∴ CPÓ`:`PAÓ=3`:`1
△ABQ에서
AEÓ`:`ABÓ=EPÓ`:`BQÓ이므로
1`:`3=2`:`BQÓ ∴ BQÓ=6
∴ BCÓ=BQÓ+QCÓ=6+6=12
다른 풀이 공식에 의해
1_BCÓ+2_6
1+2
=8 ∴ BCÓ=12
△ODA»△OBC (AA 닮음)이고,
닮음비는 10`:`20=1`:`2이다.
△ABC에서 AOÓ`:`ACÓ=POÓ`:`BCÓ이므로 `
1`:`3=POÓ`:`20 ∴ POÓ=
:ª3¼:
:ª3¼:
1`:`3=OQÓ`:`20 ∴ OQÓ=
∴ PQÓ=POÓ+OQÓ=
+
=
:ª3¼:
:ª3¼:
:¢3¼:
이므로
APÓ`:`PBÓ=AOÓ`:`COÓ=1`:`2
∴ PQÓ=
1_20+2_10
1+2
=
:¢3¼:
△ABC에서
AEÓ`:`ABÓ=EOÓ`:`BCÓ=6`:`18=1`:`3
△BDA에서
EBÓ`:`ABÓ=EOÓ`:`ADÓ이므로
2`:`3=6`:`ADÓ ∴ ADÓ=9(cm)
또 △DBC에서
OFÓ`:`BCÓ=DOÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ABÓ=1`:`3
OFÓ`:`18=1`:`3 ∴ OFÓ=6(cm)
∴ ADÓ+OFÓ=9+6=15(cm)
△ABC에서
AEÓ`:`ABÓ=EHÓ`:`BCÓ이므로
3`:`5=EHÓ`:`15 ∴ EHÓ=9(cm)
또 △BDA에서
BEÓ`:`BAÓ=EGÓ`:`ADÓ이므로
2`:`5=EGÓ`:`10 ∴ EGÓ=4(cm)
∴ GHÓ=EHÓ-EGÓ=9-4=5(cm)
다른 풀이 공식에 의해
EFÓ=
3_15+2_10
3+2
=13(cm)
BEÓ`:`BAÓ=EGÓ`:`ADÓ이므로
2`:`5=EGÓ`:`10 ∴ EGÓ=4(cm)
△CDA에서
CFÓ`:`CDÓ=HFÓ`:`ADÓ이므로
2`:`5=HFÓ`:`10 ∴ HFÓ=4(cm)
∴ GHÓ =EFÓ-EGÓ-HFÓ
=13-4-4=5(cm)
⑴ BEÓ`:`DEÓ =ABÓ`:`CDÓ
=12`:`18=2`:`3
⑵ CAÓ`:`CEÓ =CBÓ`:`CFÓ=DBÓ`:`DEÓ
=(2+3)`:`3=5`:`3
△ACB에서
CPÓ`:`CAÓ=PQÓ`:`ABÓ=9`:`12=3`:`4
△ACD에서
APÓ`:`ACÓ=PQÓ`:`CDÓ이므로
1`:`4=9`:`CDÓ
∴ CDÓ=36
다른 풀이 DCÓ=x라 하면 공식에 의해
PQÓ=
12_x
12+x
=9에서 x=36
점 P에서 BCÓ에 내린 수
(cid:37)
선의 발을 H라 하면
ABÓPHÓDCÓ이므로
BPÓ`:`DPÓ =ABÓ`:`CDÓ
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
(cid:35)
(cid:49)
(cid:18)(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:41)
(cid:19)(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
=10`:`15=2`:`3
즉 △BCD에서 BPÓ`:`BDÓ=PHÓ`:`DCÓ이므로
2`:`5=PHÓ`:`15
∴ PHÓ=6(cm)
∴ △PBC=
_25_6=75(cmÛ`)
다른 풀이 PHÓ=
=6(cm)
10_15
10+15
∴ △PBC=
_25_6=75(cmÛ`)
;2!;
;2!;
점 E에서 BCÓ에 수직인 직
선을 그어 ACÓ와 만나는
점을 H라 하면
(cid:37)
(cid:34)
(cid:41)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:40)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:38)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:39)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
Ⅲ 도형의 닮음 37
△BDA에서
ABÓHEÓGFÓDCÓ이므
로 △ABC에서
HEÓ`:`ABÓ=CEÓ`:`CBÓ
HEÓ`:`6=8`:`10
∴ HEÓ=
(cm)
:ª5¢:
EGÓ`:`DGÓ=HEÓ`:`CDÓ=
`:`8=3`:`5이므로
:ª5¢:
EGÓ`:`EDÓ=GFÓ`:`DCÓ에서 3`:`8=GFÓ`:`8
∴ GFÓ=3(cm)
점 G를 지나고 CDÓ에 평행한 직 (cid:34)
(cid:38)
선이 ADÓ와 만나는 점을 H라 하
(cid:23)
(cid:20)
(cid:35)
(cid:39)
면 AGÓ`:`ACÓ=GHÓ`:`CDÓ이므로
6`:`10=GHÓ`:`10
∴ GHÓ=6
GFÓ`:`FBÓ=GHÓ`:`BAÓ=6`:`3=2`:`1이므로
GFÓ`:`GBÓ=EFÓ`:`ABÓ에서 `2`:`3=EFÓ`:`3
∴ EFÓ=2
(cid:40)
(cid:21)
(cid:36)
(cid:41)
(cid:37)
(cid:18)(cid:17)
오른쪽 그림과
(cid:37)
같이 A 지점의
가로등의 꼭대
기를 D, B 지점
(cid:21)(cid:65)(cid:78)
(cid:38)
(cid:20)(cid:65)(cid:78)
(cid:18)(cid:65)(cid:78)
(cid:51)
(cid:36)
EFÓ=
ABÓ=
_10=5(cm)
;2!;
;2!;
∴ (△DEF의 둘레의 길이)
=DFÓ+DEÓ+EFÓ
=8+6+5=19(cm)
△ABC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분
따라서 △DBC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결
의 성질에 의해
BCÓ=2 MNÓ=2_5=10(cm)
한 선분의 성질에 의해
PQÓ=
BCÓ=
_10=5(cm)
;2!;
;2!;
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해
ABÓ=2 EFÓ=2_2=4(cm)
ADEF는 평행사변형이므로
ADÓ=EFÓ=2`cm
∴ BDÓ=ABÓ-ADÓ=4-2=2(cm)
△BDF에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분
의 성질에 의해
(cid:34)
(cid:50)
(cid:49)
(cid:35)
DFÓ=2 CGÓ=2_6=12(cm)
의 가로등의 꼭대기를 E, 나무의 꼭대기를 R라 하
또 △AGC에서 EFÓCGÓ
Ó이고, AEÓ`:`ECÓ=2`:`1이
고, A 지점의 가로등에 의해 생기는 그림자의 끝을
므로
P, B 지점의 가로등에 의해 생기는 그림자의 끝을
AEÓ`:`ACÓ=EFÓ`:`CGÓ, 2`:`3=EFÓ`:`6
Q라 하자.
∴ EFÓ=4(cm)
CPÓ=CQÓ이므로 CPÓ=CQÓ=d라 하면
∴ EDÓ=DFÓ-EFÓ=12-4=8(cm)
ADÓCRÓBEÓ이므로
CPÓ`:`APÓ=CRÓ`:`ADÓ=1`:`4에서
d`:`APÓ=1`:`4 ∴ APÓ=4d
∴ ACÓ=APÓ-CPÓ=4d-d=3d
CQÓ`:`BQÓ=CRÓ`:`BEÓ=1`:`3에서
d`:`BQÓ=1`:`3 ∴ BQÓ=3d
∴ BCÓ=BQÓ-CQÓ=3d-d=2d
ABÓ=ACÓ+BCÓ=3d+2d=5d이고, ABÓ=10이므로
5d=10 ∴ d=2
∴ ACÓ=3d=3_2=6
따라서 A 지점에서 C 지점까지의 거리는 6`m이다.
DEÓ=
ACÓ=
_12=6(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
DFÓ=
BCÓ=
_16=8(cm)
38 정답과 풀이
FDÓ를 그으면 △AFD에서 삼
(cid:34)
각형의 두 변의 중점을 연결한
(cid:38)
(cid:20)
(cid:40)
(cid:39)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:36)
선분의 성질에 의해
EGÓFDÓ
FDÓ=2 EGÓ=2_3=6
의 성질의 응용에 의해
ECÓ=2 FDÓ=2_6=12
∴ GCÓ=ECÓ-EGÓ=12-3=9
△BCE에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분
점 A에서 BCÓ에 평행한 선을 그
(cid:37)
△AMFª△CME (ASA 합동)
이므로 AFÓ=CEÓ
△DBE에서 삼각형의 두 변의
(cid:34)
(cid:39)
(cid:46)
(cid:35)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:36)
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해
어 DEÓ와 만나는 점을 F라 하면
중점을 연결한 선분의 성질에 의해
AFÓ=
BEÓ=
_8=4(cm)
;2!;
;2!;
MQÓ=
BCÓ=
_8=4(cm)
;2!;
;2!;
또 △BDA에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 성
∴ BCÓ=BEÓ+CEÓ=BEÓ+AFÓ=8+4=12(cm)
분의 성질의 응용에 의해
점 E를 지나고 BCÓ에 평행한
(cid:34)
MPÓ=
ADÓ=
_6=3(cm)
;2!;
;2!;
∴ PQÓ=MQÓ-MPÓ=4-3=1(cm)
(cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:40)
(cid:39)
(cid:36)
(cid:19)(cid:190)(cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:18)(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
직선이 ABÓ와 만나는 점을 G라
하면
△FDB≡△FEG`(ASA`합동)
이므로 BDÓ=GEÓ
BDÓ=GEÓ=x`cm라 하면
BCÓ=2 GEÓ=2x cm 이므로
△ABC에서
△ABC에서
DCÓ=3x=18 ∴ x=6
∴ BDÓ=6 cm
점 M을 지나면서 ANÓ과 평행
한 직선이 BCÓ와 만나는 점을
Q라 하면 △ABN에서 삼각형
(cid:46)
의 두 변의 중점을 연결한 선분
(cid:35)
(cid:34)
(cid:49)
의 성질의 응용에 의해
BQÓ=QNÓ이고, ANÓ=2 QMÓ
△MQC에서 QNÓ`:`NCÓ=1`:`1이고, MQÓPNÓ이므로
PNÓ=
QMÓ
;2!;
∴ APÓ=ANÓ-PNÓ=2 QMÓ-
QMÓ=
QMÓ
;2!;
;2#;
∴ APÓ`:`PNÓ=
QMÓ`:`
QMÓ=3`:`1
;2#;
;2!;
ADÓMNÓBCÓ이므로 BDÓ를
(cid:34)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
그으면 △ABD와 △DBC에서
삼각형의 두 변의 중점을 연결한
선분의 성질의 응용에 의해
(cid:46)
(cid:35)
(cid:47)
(cid:36)
(cid:49)
(cid:18)(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
PMÓ=
ADÓ=
_12=6(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
PNÓ=
BCÓ=
_18=9(cm)
∴ MNÓ=PMÓ+PNÓ=6+9=15(cm)
다른 풀이 공식에 의해
MNÓ=
(ADÓ+BCÓ)=
(12+18)=15(cm)
;2!;
;2!;
ADÓMNÓBCÓ이므로 △ABD에서 삼각형의 두
변의 중점을 연결한 선분의 성질의 응용에 의해
MEÓ=
ADÓ=
_6=3(cm)
;2!;
;2!;
ENÓ=6`cm
따라서 △BCD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결
한 선분의 성질의 응용에 의해
BCÓ=2 ENÓ=2_6=12(cm)
ADÓMNÓBCÓ이므로 △ABD에서 삼각형의 두
변의 중점을 연결한 선분의 성질의 응용에 의해
MPÓ=
ADÓ=
_8=4(cm)
;2!;
;2!;
또 △ABC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선
ADÓRSÓBCÓ이므로 BDÓ를 그
으면 △ABD와 △DBC에서 삼
(cid:18)(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:47)
(cid:34)
(cid:49)
각형의 두 변의 중점을 연결한
(cid:46)
(cid:37)
(cid:50)
(cid:52)
(cid:54)
(cid:36)
(cid:51)
(cid:53)
(cid:35)
(cid:20)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
선분의 성질의 응용에 의해
RMÓ=
ADÓ=
_18=9(cm)
MSÓ=
BCÓ=
_30=15(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
∴ RSÓ=RMÓ+MSÓ=9+15=24(cm)
ADÓPQÓRSÓ이므로 RDÓ를 그으면 △ARD와
△DRS에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분
의 성질의 응용에 의해
PNÓ=
ADÓ=
_18=9(cm)
;2!;
;2!;
NQÓ=
RSÓ=
_24=12(cm)
∴ PQÓ=PNÓ+NQÓ=9+12=21(cm)
다른 풀이 ABCD에서
RSÓ=
(ADÓ+BCÓ)=
(18+30)=24(cm)
;2!;
;2!;
Ⅲ 도형의 닮음 39
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
ADÓMNÓBCÓ이므로 △ABC에서 삼각형의 두
ARSD에서
변의 중점을 연결한 선분의 성질의 응용에 의해
PQÓ=
(ADÓ+RSÓ)=
(18+24)=21(cm)
(cid:50)
(cid:47)
(cid:36)
분의 성질의 응용에 의해
BCÓ=2MQÓ=2_7=14(cm)
△ABC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분
PQÓ=SRÓ=
ACÓ=
_10=5(cm)
;2!;
;2!;
의 성질에 의해
ENÓ=
BCÓ=
_14=7
;2!;
;2!;
ADÓENÓBCÓ이므로 △ABD에서 삼각형의 두 변
의 중점을 연결한 선분의 성질의 응용에 의해
EMÓ=
ADÓ=
_8=4
;2!;
;2!;
∴ MNÓ=ENÓ-EMÓ=7-4=3
△ABC와 △ACD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연
결한 선분의 성질에 의해
QRÓ=
ABÓ, PQÓ=
CDÓ
;2!;
;2!;
형이다.
∴ ∠PQR =180ù-2_20ù=140ù
△ABC와 △ACD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연
결한 선분의 성질에 의해
PRÓ=
ABÓ, PQÓ=
CDÓ
;2!;
;2!;
ABÓ=CDÓ이므로 PRÓ=PQÓ
즉 △PQR는 이등변삼각형이다.
PRÓABÓ이므로 ∠RPC=∠BAC=85ù (동위각)
∴ ∠APR=180ù-85ù=95ù
∴ (PQRS의 둘레의 길이) =2_(5+6)
=22(cm)
△ABD와 △CDA에서
PSÓ=QRÓ=
ADÓ, PSÓADÓQRÓ
;2!;
따라서 PRQS는 평행사변형이다.
△ABD와 △CDB에서
(cid:34)
(cid:41)
(cid:37)
EHÓ=FGÓ=
BDÓ
;2!;
=
;2!;
_10=5(cm)
(cid:38)
(cid:35)
(cid:40)
(cid:36)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:39)
사다리꼴이므로 두 대각선의 길이는 같다.
즉 ACÓ=BDÓ=10`cm이고, △BCA와 △DAC에서
EFÓ=HGÓ=
ACÓ=
_10=5(cm)
;2!;
;2!;
따라서 EFGH는 한 변의 길이가 5`cm인 마름모
이고, 둘레의 길이는 4_5=20(cm)
△ABD와 △CDB에서
EHÓ=FGÓ=
BDÓ=
_16=8(cm)
;2!;
;2!;
△BCA와 △DAC에서
ABÓ=CDÓ이므로 △QPR는 QPÓ=QRÓ인 이등변삼각
ABCD에 대각선 AC를 그으면 ABCD가 등변
또 QPÓDCÓ이므로 ∠APQ=∠ACD=25ù (동위각)
EFÓ=HGÓ=
ACÓ=
_10=5(cm)
;2!;
;2!;
따라서 △PQR에서
∠QPR=∠APQ+∠APR=25ù+95ù=120ù이므로
∠PQR=
_(180ù-120ù)=30ù
;2!;
이므로
∠HEF=90ù
또 ACÓ⊥BDÓ이고 EHÓBDÓFGÓ, EFÓACÓHGÓ
따라서 EFGH는 한 내각의 크기가 90ù인 평행사
ABCD에 대각선 AC를 그으면 △ABC에서 점
E, F는 각각 ABÓ, BCÓ의 중점이므로
변형이므로 직사각형이다.
∴ EFGH=8_5=40(cmÛ`)
EFÓ ACÓ , EFÓ= ;2!;
ACÓ
……`㉠
△ACD에서 점 G, H는 각각 CDÓ, DAÓ의 중점이므로
HGÓ ACÓ, HGÓ=
ACÓ
……`㉡
;2!;
따라서 ㉠, ㉡에서 EFÓ HGÓ, EFÓ=HGÓ이므로
EFGH는 평행사변형이다.
△ABD와 △CDB에서
PSÓ=QRÓ=
BDÓ=
_12=6(cm)
;2!;
;2!;
△BCA와 △DAC에서
40 정답과 풀이
AECG=
ABCD=
_40=20(cmÛ`)
;2!;
;2!;
EQÓ=a cm라 하면
△ABP에서 APÓ=2EQÓ=2a cm
△ASD에서 PSÓ=APÓ=2a`cm
PQRS는 PQÓSRÓ, PSÓQRÓ이므로 평행사변형
이다.
QRÓ=PSÓ=2a`cm
△CQB에서 RCÓ=QRÓ=2a`cm
따라서 EQÓ`:`QRÓ`:`RCÓ=a`:`2a`:`2a=1`:`2`:`2이
므로 AEQP와 SRCG를 붙인 사각형과
PQRS의 넓이의 비는 3`:`2이다.
∴ PQRS=
_20=8(cmÛ`)
;5@;
점 G'이 △GBC의 무게중심이므로 GMÓ은 △GBC
의 중선이다.
∴ BMÓ=MCÓ=
_18=9(cm)
;2!;
또 △GBC는 직각삼각형이고 점 M이 빗변의 중점
이므로 외심이다.
MGÓ=MBÓ=MCÓ=9 cm
∴ GG'Ó=
GMÓ=
_9=6(cm)
;3@;
;3@;
점 G가 △ABC의 무게중심이므로
AGÓ=2 GMÓ=2_9=18(cm)
∴ AG'Ó=AGÓ+GG'Ó=18+6=24(cm)
△ABC에서
GDÓ=
ADÓ=
_18=6(cm)
;3!;
;3!;
△GBC에서
GG'Ó=
GDÓ=
_6=4(cm)
;3@;
;3@;
GDÓ=
ADÓ=
_27=9(cm)
;3!;
;3!;
△GFE»△GDC (AA 닮음)이므로
GEÓ`:`GCÓ=GFÓ`:`GDÓ에서 1`:`2=GFÓ`:`9
∴ GFÓ=
(cm)
;2(;
△BCE에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의
GEÓ=
BGÓ=
_8=4(cm)
;2!;
;2!;
BEÓ=BGÓ+GEÓ=8+4=12(cm)
성질에 의해
DFÓ=
BEÓ=
_12=6(cm)
;2!;
;2!;
△ABD에서 ADÓ=2EFÓ=2_6=12(cm)
점 G가 △ABC의 무게중심이므로
AGÓ`:`GDÓ=2`:`1
∴ AGÓ=
ADÓ=
_12=8(cm)
;3@;
;3@;
점 D가 직각삼각형 ABC의 외심이므로
ADÓ=BDÓ=CDÓ=
BCÓ=
_30=15(cm)
;2!;
∴ AGÓ=
ADÓ=
_15=10(cm)
;3@;
;2!;
;3@;
④ GFÓ=GEÓ인지 알 수 없다.
DBFG=△DBG+△BFG
=
;6!;△ABC+
;6!;△ABC
=
;3!;△ABC
=
;3!;
_24=8(cmÛ`)
△ABC=6△GBD=6_4=24(cmÛ`)
△GBD=
;6!;△ABC=
;6!;
_72=12(cmÛ`)
△GFB»△GME (AA`닮음)이므로
GBÓ`:`GEÓ=GFÓ`:`GMÓ에서
2`:`1=GFÓ`:`6 ∴ GFÓ=12(cm)
따라서 GCÓ=2 GFÓ=2_12=24(cm)이므로
FCÓ=FGÓ+GCÓ=12+24=36(cm)
GMÓ`:`BMÓ=1`:`2이므로
△GMD`:`△MBD=1`:`2
∴ △GMD=
;3!;△GBD
=
;3!;
_12=4(cmÛ`)
△AGG'과 △AEF에서
AGÓ`:`AEÓ=AG'Ó`:`AFÓ=2`:`3이고 ∠A는 공통이
AGÓ를 그으면
(cid:34)
△GAB =△GBC=△GCA
므로 △AGG'»△AEF`(SAS`닮음)
따라서 AGÓ`:`AEÓ=GG'Ó`:`EFÓ이므로
2`:`3=8`:`EFÓ ∴ EFÓ=12(cm)
또 BEÓ=EDÓ, DFÓ=FCÓ이므로
BCÓ=2 EFÓ=2_12=24(cm)
=
;3!;
△ABC
이므로
△AEG=
△GAB
;2!;
(cid:40)
(cid:38)
(cid:39)
(cid:35)
(cid:36)
=
_
;3!;△ABC=
;6!;
;2!;
△ABC
Ⅲ 도형의 닮음 41
△GCA=
;3!;△ABC=
;3!;
_72=24(cmÛ`)
따라서 △CDB에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결
△AGF=
△GCA=
;2!;
_
;3!;△ABC
;2!;
=
;6!;
△ABC
ABCD가 평행사변형이므로 OAÓ=OCÓ
즉 점 E는 중선의 교점이므로 △ACD의 무게중심
이다.
∴ (어두운 부분의 넓이)=△AEG+△AGF
따라서 ODÓ=OBÓ=15, DEÓ`:`OEÓ=2`:`1이므로
=
;6!;△ABC+
;6!;△ABC
=
;3!;
△ABC
=
;3!;
_30=10(cmÛ`)
△GBG'=
;3@;△GBD이므로
△GBD=
;2#;△GBG'=
;2#;
_8=12(cmÛ`)
△ABC=6△GBD=6_12=72(cmÛ`)이므로
△BCE=
;2!;△ABC
△EBD=
;2!;△BCE=
;2!;
_
;2!;△ABC=
;4!;△ABC
점 G는 △ABC의 무게중심이므로 △EBD에서
BGÓ`:`GEÓ=2`:`1
△GDE=
;3!;△EBD=
;3!;
_
;4!;△ABC
=
△ABC=6
;1Á2;
∴ △ABC=72(cmÛ`)
△AED에서 AGÓ`:`GDÓ=2`:`1이므로
△ABD에서 AEÓ`:`EBÓ=AGÓ`:`GDÓ=2`:`1이므로
△EDG=
;3!;△AED=5
∴ △AED=15(cmÛ`)
△AED`:`△EBD=2`:`1
15`:`△EBD=2`:`1
∴ △EBD=
(cmÛ`)
:Á2°:
△ABD=
;2!;△ABC=
점 G는 △ABC의 무게중심이므로
;2!;
_72=36(cmÛ`)
△APD`:`△PBD=APÓ`:`PBÓ=AGÓ`:`GDÓ=2`:`1
∴ △APD=
;3@;△ABD=
;3@;
_36=24(cmÛ`)
또 △APG`:`△GPD=2`:`1이므로
△GPD=
;3!;△APD=
;3!;
_24=8(cmÛ`)
42 정답과 풀이
OEÓ=
ODÓ=
_15=5
;3!;
;3!;
대각선 AC를 긋고 ACÓ와 BDÓ
(cid:34)
의 교점을 O라 하면 점 P, Q
는 각각 △ABC, △ACD의
(cid:35)
(cid:37)
(cid:47)
(cid:36)
(cid:50)
(cid:21)
(cid:48)
(cid:49)
(cid:46)
무게중심이므로
BPÓ`:`POÓ=2`:`1,
DQÓ`:`QOÓ=2`:`1, OBÓ=ODÓ이므로
BPÓ=PQÓ=QDÓ=4 ∴ BDÓ=12
한 선분의 성질에 의해
MNÓ=
BDÓ=
_12=6
;2!;
;2!;
대각선 AC를 그으면 ABCD
(cid:34)
(cid:37)
(cid:50)
는 평행사변형이므로
OBÓ=ODÓ
점 P, Q는 각각 △ABC와
△ACD의 무게중심이므로
(cid:49)
(cid:48)
(cid:46)
(cid:35)
(cid:47)
(cid:36)
BPÓ`:`POÓ=2`:`1, DQÓ`:`QOÓ=2`:`1
따라서 BPÓ=PQÓ=QDÓ이므로
△ABP=△APQ=△AQD=12`cmÛ`
∴ △ABD=36`cmÛ`
따라서 △ABD=△CDB이므로
ABCD =2△ABD
=2_36=72(cmÛ`)
점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심이므로
PMCO=△PMC+△PCO
=
;6!;△ABC+
;6!;△ABC
=
;3!;△ABC=
;3!;
_
;2!;ABCD
=
;6!;ABCD
=
;6!;
_60=10(cmÛ`)
마찬가지로 QOCN=10`cmÛ`
∴ (어두운 부분의 넓이) =PMCO+QOCN
=10+10=20(cmÛ`)
△ABD=
;2!;ABCD
=
;2!;
_12_8=48(cmÛ`)
AEÓ=EDÓ, BOÓ=ODÓ이므로 점 G는 △ABD의 무
게중심이다.
∴ GODE=△GDE+△GOD
FRÓ`:`RDÓ=1`:`2
형이다.`
∴ EDÓBGÓ
=
;6!;△ABD+
;6!;△ABD
APÓ=PQÓ
△PFD에서 FQÓ`:`QPÓ=FRÓ`:`RDÓ=1`:`2
또한 △ABQ에서 AEÓ=EBÓ이고 EPÓBQÓ이므로
EBGD는 EBÓDGÓ, EBÓ=DGÓ이므로 평행사변
=
;3!;△ABD
=
;3!;
_48=16(cmÛ`)
따라서 APÓ`:`PQÓ`:`QFÓ=2`:`2`:`1이므로
AQÓ`:`QFÓ=4`:`1, AQÓ`:`2=4`:`1
∴ AQÓ=8(cm)
오른쪽 그림과 같이 DFÓ와 BGÓ
의 교점을 R라 하자.
점 R는 △DBC의 무게중심이
(cid:35)
(cid:34)
(cid:38)
(cid:49)
(cid:51)
(cid:50) (cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:39)
(cid:37)
(cid:40)
(cid:36)
므로
3
닮음의 활용
주제별 실력다지기
④
⑤
③
6`m
③
2`:`1
③
③
본문 105~111쪽
25`:`9
12`cmÛ`
135`cmÛ`
48`cmÛ`
⑤
①
1`:`3
①
④
130
10.5`m
⑤
③
27`:`64
⑤
②
②
③
②
④
△ABC»△AED (AA 닮음)이고, 닮음비는
ACÓ`:`ADÓ=12`:`6=2`:`1이므로
△ABC`:`△AED=2Û``:`1Û`=4`:`1
△ABC`:`9=4`:`1
∴ △ABC=36(cmÛ`)
∴ DBCE =△ABC-△AED
=36-9=27(cmÛ`)
△ABC»△ACD (AA 닮음)이고, 닮음비는
이므로
ACÓ`:`ADÓ=10`:`6=5`:`3이므로
△ABC`:`△CBD =`5Û``:`3Û`
△ABC`:`△ACD=5Û``:`3Û`=25`:`9
△ABC`:`24=25`:`9
∴ △ABC=
(cmÛ`)
;:@3):);
∴ △DBC =△ABC-△ACD
=
;:@3):);
-24=
;:!3@:*;
(cmÛ`)
△ABC»△CBD (AA`닮음)이
고, 닮음비는 ABÓ`:`CBÓ=5`:`3
=25`:`9
(cid:35)
(cid:36)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
Ⅲ 도형의 닮음 43
△ABC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분
12`:`△PDA=1`:`4 `
의 성질에 의해
∴ △APD=48(cmÛ`)
ACÓMNÓ, MNÓ=
ACÓ
;2!;
…… ㉠
ACÓMPÓ이므로 ∠MPA=∠CAQ (엇각)
즉 △MPA는 이등변삼각형이므로
MPÓ=MAÓ=MBÓ=ACÓ
…… ㉡
△ABE와 △BCF에서
ABÓ=BCÓ, BEÓ=CFÓ, ∠B=∠C
이므로 △ABEª△BCF (SAS 합동)
이때 △GBE와 △CBF에서 ∠GEB=∠CFB이고
㉠, ㉡에 의하여 NPÓ=
ACÓ
;2!;
∠B는 공통이므로
△NPQ»△CAQ (AA 닮음)이고 닮음비는
△GBE»△CBF (AA 닮음)이고, 닮음비는
NPÓ`:`CAÓ=1`:`2이므로
△NPQ`:`△CAQ=1Û``:`2Û`=1`:`4
1`:`△CAQ=1`:`4 ∴ △CAQ=4(cmÛ`)
BQÓ`:`QCÓ=ABÓ`:`ACÓ=2`:`1이므로
△ABQ=2△CAQ=2_4=8(cmÛ`)
∴ △ABC=△ABQ+△CAQ=8+4=12(cmÛ`)
BEÓ`:`BFÓ=3`:`5이다.
△CBF=
_4_3=6 (cmÛ`) 이므로
;2!;
△GBE`:`△CBF=3Û``:`5Û`=9`:`25에서
△GBE`:`6=9`:`25
∴ △GBE=
(cmÛ`)
;2%5$;
△OAD»△OCB (AA 닮음)이고, 닮음비는
△ABC에서 점 Q는 △ABC의 무게중심이므로
△OAD`:`△OCD=AOÓ`:`OCÓ=1`:`2이므로
PRÓ`:`PCÓ=1`:`3
ADÓ`:`CBÓ=8`:`16=1`:`2
△DAC에서
△OAD`:`30=1`:`2
∴ △OAD=15(cmÛ`)
PQÓ`:`PBÓ=1`:`3
△BCD에서 점 R는 △BCD의 무게중심이므로
△PQR와 △PBC에서
PQÓ`:`PBÓ=PRÓ`:`PCÓ=1`:`3이고,
또 ADÓBCÓ이므로 △ABD=△DCA에서
∠BPC가 공통이므로
△OAB=△OCD=30`cmÛ`
△OAD`:`△OBC=1Û``:`2Û`=1`:`4
△PQR»△PBC (SAS 닮음)
△PQR`:`△PBC=1Û``:`3Û`=1`:`9
15`:`△OBC=1`:`4
∴ △OBC=60(cmÛ`)
∴ ABCD
=15+30+60+30
=135(cmÛ`)
=△OAD+△OAB+△OBC+△OCD
4`:`△PBC=1`:`9 ∴ △PBC=3(cmÛ`)
∴ ABCD =4△PBC
=4_36=144(cmÛ`)
두 직사각형 모양의 액자의 가로, 세로의 길이의 비
가 40`:`30=120`:`90=4`:`3이므로 두 액자는 닮음
이고, 닮음비는 40`:`120=1`:`3이다.
△PAD»△PCB (AA 닮음)에서
따라서 두 액자의 넓이의 비는 1Û``:`3Û`=1`:`9이므로
PDÓ`:`PBÓ=ADÓ`:`CBÓ=8`:`10=4`:`5이므로
5`:`(큰 액자의 가격)=1`:`9
PDÓ=4k, PBÓ=5k (k>0)라 하면 BDÓ=9k이다.
∴ (큰 액자의 가격)=45(만 원)
또 △BMQ»△BAD (AA 닮음)이므로
BQÓ`:`BDÓ=BMÓ`:`BAÓ=1`:`3
오른쪽 그림에서 A4 용지의
(cid:66)
(cid:66)
이때 BQÓ=
BDÓ=
_9k=3k이므로
;3!;
;3!;
PQÓ=PBÓ-BQÓ=5k-3k=2k
따라서 △PQR»△PDA (AA 닮음)이고, 닮음비가
PQÓ`:`PDÓ=2k`:`4k=1`:`2이므로
△PQR`:`△PDA=1Û``:`2Û`=1`:`4
44 정답과 풀이
가로와 세로의 길이를 각각 a,
(cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)(cid:67)
(cid:34)(cid:22)
b라 하면
A4»A6이고, 닮음비는 `
a`:`
a=b`:`
;2!;
b
;2!;
=2`:`1
(cid:67)
(cid:34)(cid:21)
(cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)(cid:67)
(cid:34)(cid:23)
(cid:34)(cid:24)
⋮
(cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)(cid:66) (cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)(cid:66)
두 정사면체의 닮음비는 1`:`
=3`:`2이므로
;3@;
겉넓이의 비는 3Û``:`2Û`=9`:`4이다.
따라서 정사면체 A-BCD의 겉넓이를 S1, 정사면
체 A-EFG의 겉넓이를 S2라 하면
S1`:`Sª=9`:`4, 60`:`Sª=9`:`4
∴ Sª=
(cmÛ`)
:¥3¼:
따라서 정사면체 A-EFG의 겉넓이는
`cmÛ`이다.
:¥3¼:
두 정육면체 A, B의 닮음비가 1`:`3이므로 겉넓이의
비는 1Û``:`3Û`, 즉 1`:`9이다.
(A에 사용되는 색종이의 넓이)`:`(B에 사용되는 색
종이의 넓이)=1`:`9이므로
15`:`(B에 사용되는 색종이의 넓이)=1`:`9
∴ (B에 사용되는 색종이의 넓이)=135(cmÛ`)
두 정육면체 A와 B의 부피의 비가 8`:`27=2Ü``:`3Ü`
이므로 닮음비는 2`:`3이다.
또 두 정육면체 B와 C의 겉넓이의 비가
16`:`9=4Û``:`3Û`이므로 닮음비는 4`:`3이다.
따라서 세 정육면체 A, B, C의 닮음비는 8`:`12`:`9
이므로 A와 C의 닮음비는 8`:`9이다.
A 상자와 B 상자에 들어 있는 구슬 한 개의 반지름
의 길이를 각각 r1, rª라 하면 두 정육면체의 한 변의
길이는 같으므로 2r1=6rª이다.
즉 r1`:`rª=3`:`1이므로 A 상자와 B 상자에 들어 있
는 구슬 1개의 겉넓이의 비는 3Û``:`1Û`=9`:`1이다.
그런데 A 상자와 B 상자에 들어 있는 구슬은 각각 1
개, 27개이므로 두 상자 A, B에 들어 있는 구슬 전
체의 겉넓이의 비는
(9_1)`:`(1_27)=9`:`27=1`:`3
b=
500p
100p
=5
∴ a+b=125+5=130
두 원뿔 A, B의 겉넓이의 비가 9`:`16=3Û``:`4Û`이므
로 닮음비는 3`:`4이다.
따라서 두 원뿔 A, B의 부피의 비는
3Ü``:`4Ü`=27`:`64
△ABC를 ACÓ를 축으로 1회전
(cid:34)
하여 생기는 회전체는 원뿔이고
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
오른쪽 그림과 같다.
ADÓ를 모선으로 하는 원뿔과
ABÓ를 모선으로 하는 원뿔은 닮
(cid:37)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:38)
(cid:37)(cid:8)
(cid:36)
(cid:35)(cid:8)
음이고, 닮음비가 ADÓ`:`ABÓ=6`:`9=2`:`3이므로
부피의 비는 2Ü``:`3Ü`=8`:`27
즉 ADÓ를 모선으로 하는 원뿔의 부피를 V1, ABÓ를
모선으로 하는 원뿔의 부피를 Vª라 하면
V1`:`Vª=8`:`27이므로 V1`:`54=8`:`27
∴ V1=16(cmÜ`)
따라서 구하는 부피는
Vª-V1=54-16=38 (cmÜ`)
오른쪽 그림에서 나누어진 세 부분
의 부피를 각각 V1, Vª, V£라 하면
V1, (V1+Vª), (V1+Vª+V£)의
닮음비가 1`:`2`:`3이므로 부피의 비는
1Ü``:`2Ü``:`3Ü`=1`:`8`:`27이다.
따라서 `V1, Vª, V£의 부피의 비는
1`:`(8-1)`:`(27-8)=1`:`7`:`19
(cid:55)(cid:132)
(cid:55)(cid:109)
(cid:55)(cid:102)
이고, 처음 원뿔의 부피가 81`cmÜ`이므로 원뿔대 Vª
의 부피는
Vª=
_81=21(cmÜ`)
;2¦7;
작은 원뿔과 큰 원뿔은 서로 닮음이고, 닮음비가
8`:`20=2`:`5이므로 부피의 비는 2Ü``:`5Ü`=8`:`125
큰 금구슬과 작은 금구슬의 닮음비가 5`:`1이므로 부
피의 비는 5Ü``:`1Ü`=125`:`1이다.
즉 반지름의 길이가 5`cm인 금구슬 1개로 반지름의
길이가 1`cm인 금구슬 125개를 만들 수 있으므로
이다.
a=125
또 반지름의 길이가 5`cm인 금구슬의 겉넓이는
4p_5Û`=100p(cmÛ`)
(작은 원뿔을 채우는 데 걸리는 시간)`
:`(큰 원뿔을 채우는 데 걸리는 시간)
=(작은 원뿔의 부피)`:`(큰 원뿔의 부피)
이고, 반지름의 길이가 1`cm인 금구슬 125개의 겉
넓이는 (4p_1Û`)_125=500p(cmÛ`) 이므로
=8`:`125
이므로
Ⅲ 도형의 닮음 45
16`:`(큰 원뿔을 채우는 데 걸리는 시간)=8`:`125
오른쪽 그림과 같이 나무의
벽
∴ (큰 원뿔을 채우는 데 걸리는 시간)=250(초)
꼭대기를 A, 나무의 바닥을
(cid:34)
따라서 남은 부분을 채우는 데 걸리는 시간은
250-16=234(초), 즉 3분 54초이다.
B, 벽에 생긴 나무 그림자의
꼭대기를 C, 벽의 바닥을 D,
ACÓ의 연장선이 지면과 만나
(cid:36)
(cid:19)(cid:65)(cid:78)
(cid:35)
(cid:22)(cid:65)(cid:78)
(cid:37)
(cid:49)
작은 원뿔과 큰 원뿔은 서로 닮음이고, 닮음비는
는 점을 P라 하면
△PCD»△PAB (AA 닮음)
`:`1=3`:`4이므로 부피의 비는 3Ü``:`4Ü`=27`:`64이다.
;4#;
막대와 막대의 그림자의 길이의 비가 4`:`5이므로
현재 들어 있는 물의 부피와 더 채워야 하는 물의 부
CDÓ`:`DPÓ=4`:`5, 2`:`DPÓ=4`:`5
피의 비가 27`:`(64-27)=27`:`37이므로 물을 가
∴ DPÓ=2.5(m)
득 채우는 데 더 걸리는 시간을 x분이라 하면
즉 BPÓ=BDÓ+DPÓ=5+2.5=7.5(m)이고
27`:`37=54`:`x
∴ x=74
ABÓ`:`BPÓ=4`:`5이므로
ABÓ`:`7.5=4`:`5 ∴ ABÓ=6(m)
따라서 그릇에 물을 가득 채우려면 74분이 더 걸린다.
따라서 나무의 높이는 6`m이다.
△CAB»△CED (AA 닮음)이므로
CBÓ`:`CDÓ=ABÓ`:`EDÓ
12`:`4=ABÓ`:`3
∴ ABÓ=9(m)
(cid:20)(cid:65)(cid:78)
(cid:37)
(cid:38)
(cid:22)(cid:65)(cid:78)
(cid:21)(cid:65)(cid:78)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:78)
(cid:36)
(cid:35)
(cid:34)
△OAB»△ODC (AA 닮음)이므로
OBÓ`:`OCÓ=ABÓ`:`DCÓ
15`:`6=ABÓ`:`8 ∴ ABÓ=20(m)
BCÓ`:`EFÓ=ACÓ`:`DFÓ에서
1500`:`5=ACÓ`:`3
∴ ACÓ=900(cm)=9(m)
따라서 건물의 실제 높이는
(나연이의 눈높이)+ACÓ=1.5+9=10.5(m)
나무의 끝과 막대의 끝을 선분
으로 연결하면 오른쪽 그림과
같이 그림자의 끝과 만난다.
△APB»△CPD (AA 닮음)
(cid:49)
(cid:36)
(cid:37)
(cid:34)
(cid:25)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:19)(cid:65)(cid:78)
(cid:35)
(cid:23)(cid:65)(cid:78)
이므로
PBÓ`:`PDÓ=ABÓ`:`CDÓ
2`:`8=0.8`:`CDÓ
∴ CDÓ =3.2(m)
따라서 나무의 높이는 3.2`m이다.
46 정답과 풀이
축척은 (지도에서의 거리)`:`(실제 거리) 또는
(지도에서의 거리)
(실제 거리)
로 표시되므로 두 지점 A, B 사
이의 지도에서의 거리를 ABÓ라 하면
20`km=2000000`cm이므로
1`:`100000=ABÓ`:`2000000
∴ ABÓ=20(cm)
축척이
이므로
;200!00;
(지도에서의 거리)`:`(실제 거리)=1`:`20000에서
4`:`(실제 거리)=1`:`20000
따라서 구하는 시간은
`
0.8
3
시간=
시간=16분
;1¢5;
축척이
이므로 닮음비는 1`:`5000이고, 넓이의
;50Á00;
비는 1Û``:`5000Û`=1`:`25000000이다.
즉 실제 넓이가
2.5`kmÛ`=(25_10Þ`) mÛ`=(25_10á`) cmÛ`이고,
(지도에서의 넓이)`:`(실제 넓이)=1`:`25000000
이므로
(지도에서의 넓이)`:`25_10á`=1`:`25000000
∴ (지도에서의 넓이)=1000(cmÛ`)
△ABC»△DEF (AA 닮음)이므로
∴ (실제 거리)=80000`cm=800`m=0.8`km
단원 종합 문제
②
③
12
⑤
①
128
3`cm
12`cm
②
18`cmÛ`
(가) 1`:`2 `(나) SAS `(다) DEÓ`BCÓ `(라)
12`cm
144`m
④
③, ⑤
36`cmÛ`
32`cmÛ`
①
①
100`cmÛ`
405`cmÜ`
3배
②
;2!;
3
③
③
;4!;
②
①
③
본문 112~116쪽
△ABC와 △EDA에서
(cid:34)
(cid:23)
(cid:37)
따라서 ECÓ=12`cm이다.
ACÓ`:`EAÓ=BCÓ`:`DAÓ에서
② △ACE와 △ABD에서
(AEÓ+2)`:`AEÓ=8`:`6 ∴ AEÓ=6
∠A는 공통, ∠AEC=∠ADB=90ù이므로
ABÓ Û`=BDÓ_BCÓ이므로
6Û`=4_BCÓ ∴ BCÓ=9(cm)
∴ CDÓ=BCÓ-BDÓ=9-4=5(cm)
△ACE»△ABD (AA 닮음)
ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로
8`:`6=4`:`x ∴ x=3
ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로
4`:`3=(BCÓ+5)`:`5
3 BCÓ=5 ∴ BCÓ=
;3%;
따라서 BDÓ=
+5=
이므로
;3%;
:ª3¼:
BCÓ
BDÓ
=
;3%;
Ö
:ª3¼:
=
_
;3%;
;2£0;
=
;4!;
△ABM=2△ABD=2_9=18
∴ △ABC=2△ABM=2_18=36
ADÓBCÓ이므로
∠DAE=∠ACB (엇각)
ABÓDEÓ이므로
∠BAC=∠DEA (엇각)
(cid:38) (cid:19)
(cid:36)
(cid:35)
(cid:25)
따라서 △ABC»△EDA (AA 닮음)이므로
AEÓ`:`ACÓ=DEÓ`:`BCÓ이므로
8`:`12=x`:`16 ∴ x=
:£3ª:
AEÓ`:`ECÓ=ADÓ`:`DBÓ이므로
8`:`4=y`:`6 ∴ y=12
∴ xy=
_12=128
:£3ª:
△FAE와 △FCB에서 ADÓBCÓ이므로
∠FAE=∠FCB (엇각), ∠FEA=∠FBC (엇각)
∴ △FAE»△FCB (AA 닮음)
FAÓ`:`FCÓ=AEÓ`:`CBÓ에서
6`:`8=AEÓ`:`12 ∴ AEÓ=9(cm)
∴ DEÓ=ADÓ-AEÓ=12-9=3(cm)
△EBF와 △ECD에서
(cid:18)(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
(cid:37)
AFÓCDÓ이므로
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:9)(cid:18)(cid:25)(cid:14)(cid:89)(cid:190)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
∠BFE=∠CDE (엇각)
또 ∠BEF=∠CED
(cid:35)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:39)
(맞꼭지각)이므로
△EBF»△ECD (AA 닮음)
∴ BEÓ`:`CEÓ=BFÓ`:`CDÓ
△ABM=
△ABC=
_60=30(cmÛ`)
;2!;
;2!;
(cid:38)
(cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
△BPM=△CPM=12`cmÛ`
∴ △ABP =△ABM-△BPM
=30-12=18(cmÛ`)
ECÓ=x cm라 하면 BEÓ=(18-x) cm이므로
△ADE와 △ABC에서
(18-x)`:`x=5`:`10, 15x=180
ADÓ : ABÓ=AEÓ : ACÓ=1`:`2 이고,
∴ x=12
∠A는 공통이므로
ADÓ=DBÓ, AEÓ=ECÓ인 △ABC의
Ⅲ 도형의 닮음 47
△ADE»△ABC ( SAS 닮음)
다른 풀이 사다리꼴의 두 변의 중점을 연결한 선분의
따라서 ∠ADE=∠ABC (동위각)이므로
성질에 의해
`DEÓBCÓ 이고,
DEÓ : BCÓ= 1`:`2 이므로 DEÓ= ;2!; _BCÓ
MNÓ=
(ADÓ+BCÓ)이므로
;2!;
;2!;
16=
_(ADÓ+20) ∴ ADÓ=12(cm)
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해
CGÓ`:`CAÓ=BEÓ`:`BAÓ=
`:`
;2#;
;2(;
=1`:`3이므로
ADÓ=DBÓ, AEÓ=ECÓ이므로 삼각형의 두 변의 중점
을 연결한 선분의 성질에 의해
DEÓBCÓ, DEÓ=
`BCÓ
;2!;
따라서 △GED»△GBC (AA 닮음)이고, 닮음비
는 1`:`2이므로
△GED`:`△GBC=1Û``:`2Û`=1`:`4
6`:`△GBC=1`:`4
∴ △GBC=24(cmÛ`)
DEÓ=
ACÓ, EFÓ=
ABÓ, DFÓ=
BCÓ
;2!;
;2!;
;2!;
∴ (△DEF의 둘레의 길이)
=DEÓ+EFÓ+DFÓ
=
;2!;
=
;2!;
(ACÓ+ABÓ+BCÓ)
_16=8(cm)
△BCD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분
의 성질에 의해
BDÓEFÓ, BDÓ=2 EFÓ=2_9=18
△AEF에서 AGÓ`:`GEÓ=2`:`1이므로
AGÓ`:`AEÓ=GDÓ`:`EFÓ
2`:`3=GDÓ`:`9 ∴ GDÓ=6
∴ BGÓ=BDÓ-GDÓ=18-6=12
오른쪽 그림과 같이 ACÓ를
(cid:34)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
그어 EFÓ와 만나는 점을 G라
하면 △ABC에서
AEÓ`:`ABÓ=EGÓ`:`BCÓ
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:26)(cid:17)(cid:196)(cid:26)
(cid:40)
(cid:26)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:39)
(cid:36)
이므로
3`:`
=EGÓ`:`9
;2(;
∴ EGÓ=6(cm)
또 △CDA에서 CGÓ`:`CAÓ=GFÓ`:`ADÓ이고,
1`:`3=GFÓ`:`6 ∴ GFÓ=2(cm)
∴ EFÓ=EGÓ+GFÓ=6+2=8(cm)
다른 풀이 오른쪽 그림과 같이
(cid:66)
(cid:37)
(cid:34)
(cid:78)
(cid:38)
(cid:79)
(cid:35)
(cid:39)
(cid:36)
(cid:67)
ADÓEFÓ
ÓBCÓ인 사다리꼴
ABCD에서
EFÓ
Ó=
mb+na
m+n
이므로
EFÓ=
=
=8(cm)
3_9+
_6
;2#;
;2#;
3+
36
;2(;
△ABD와 △CDB에서 삼각형의 두 변의 중점을 연
결한 선분의 성질에 의해
PSÓ=QRÓ=
BDÓ, PSÓBDÓQRÓ
;2!;
이므로 PQRS는 평행사변형이다.
오른쪽 그림과 같이 대각선 AC
(cid:34)
(cid:37)
를 그어 MNÓ과 만나는 점을 P라
(cid:46)
하면 ADÓMNÓBCÓ이므로
△ABC에서 삼각형의 두 변의
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:47)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:49)
(cid:35)
(cid:36)
(cid:19)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
중점을 연결한 선분의 성질의 응용에 의해
△ABP»△DCP (AA 닮음)이므로
BPÓ`:`CPÓ=ABÓ`:`DCÓ=10`:`15=2`:`3
또 △BDC에서 BPÓ`:`BCÓ=PQÓ`:`CDÓ이므로
2`:`5=PQÓ`:`15 ∴ PQÓ=6
MPÓ=
BCÓ=
_20=10(cm)
;2!;
;2!;
△ODA»△OBC (AA 닮음)이고, 닮음비는
따라서 PNÓ=MNÓ-MPÓ=16-10=6(cm)이므로
ADÓ`:`CBÓ=6`:`15=2`:`5이므로
△CDA에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분
△ODA`:`△OBC=2Û``:`5Û`=4`:`25
의 성질의 응용에 의해
ADÓ=2 PNÓ=2_6=12(cm)
48 정답과 풀이
16`:`△OBC=4`:`25`
∴ △OBC=100(cmÛ`)
ABCD는 평행사변형이므로 OBÓ=ODÓ
지도 위의 직사각형의 넓이가 2_6=12 (cmÛ`)이므로
점 P, Q는 각각 △ABC와 △ACD의 무게중심이므
(실제 넓이)`:`12=400000000`:`1`
로
∴ (실제 넓이) =4800000000`cmÛ`
BPÓ`:`POÓ=2`:`1, DQÓ`:`QOÓ=2`:`1
따라서 BPÓ=PQÓ=QDÓ이고, POÓ=QOÓ이므로
BDÓ=6 POÓ=6_2=12(cm)
=480000`mÛ`
=0.48`kmÛ`
① 닮은 두 입체도형에서 대응하는 면은 닮은 도형이
따라서 (A의 부피)`:`(B의 부피)=8`:`27에서
므로 대응각의 크기는 각각 같다.
120`:`(B의 부피)=8`:`27
∴ (B의 부피)=405(cmÜ`)
닮음비가 2`:`3이므로 부피의 비는 2Ü``:`3Ü`=8`:`27
△ABB'»△ACC'»△ADD' (AA 닮음)이고, 닮
음비는 3`:`(3+2)`:`(3+2+1)=3`:`5`:`6이므로
넓이의 비는 3Û``:`5Û``:`6Û`=9`:`25`:`36
△ABC»△DEF이므로
ACÓ`:`DFÓ=BCÓ`:`EFÓ에서
ACÓ`:`6=12000`:`5
∴ ACÓ=14400`cm=144`m
작은 원과 큰 원은 서로 닮음이고, 닮음비는 1`:`2이
므로 넓이의 비는 1Û``:`2Û`=1`:`4이다.
(작은 원의 넓이)`:`(큰 원의 넓이)=1`:`4이므로
12`:`(큰 원의 넓이)=1`:`4
∴ (큰 원의 넓이)=48(cmÛ`)
∴ (어두운 부분의 넓이)
=(큰 원의 넓이)-(작은 원의 넓이)
=48-12
=36(cmÛ`)
그림을 80`% 축소하면 닮음비는 1`:`0.8
즉 5`:`4이므로
=5Û``:`4Û`=25`:`16
에서
50`:`(축소 복사된 그림의 넓이)=25`:`16
∴ (축소 복사된 그림의 넓이)=32(cmÛ`)
800`m=80000`cm이므로
(실제 거리)`:`(지도에서의 거리) =80000`:`4
=20000`:`1
∴ (실제 넓이)`:`(지도에서의 넓이)
=20000Û``:`1Û`
=400000000`:`1
큰 쇠구슬과 작은 쇠구슬의 닮음비는 1`:`
=3`:`1
;3!;
이므로 부피의 비는 3Ü``:`1Ü`=27`:`1이다.
즉 큰 쇠구슬 1개로 작은 쇠구슬 27개를 만들 수 있
다.
또 큰 쇠구슬과 작은 쇠구슬의 겉넓이의 비는
3Û``:`1Û`=9`:`1이므로 큰 쇠구슬 1개의 겉넓이를 9S
라 하면 작은 쇠구슬 1개의 겉넓이는 S이다.
따라서 27개의 작은 쇠구슬의 겉넓이의 합은 27S이
므로 큰 쇠구슬의 겉넓이 9S의 3배가 된다.
OAÓ, OBÓ, OCÓ를 각각 높이로 하는 세 원뿔의 닮음
비가 1`:`2`:`3이므로 부피의 비는
1Ü``:`2Ü``:`3Ü`=1`:`8`:`27
따라서 잘려진 세 부분의 부피의 비는
1`:`(8-1)`:`(27-8)=1`:`7`:`19
작은 원뿔과 큰 원뿔은 서로 닮음이고, 닮음비가
18`:`30=3`:`5이므로 부피의 비는
3Ü``:`5Ü`=27`:`125
(물의 부피)=
_(그릇의 부피)
;1ª2¦5;
따라서 물의 부피는 그릇의 부피의
배이다.
;1ª2¦5;
Ⅲ 도형의 닮음 49
(원래 그림의 넓이)`:`(축소 복사된 그림의 넓이)
즉 (물의 부피)`:`(그릇의 부피)=27`:`125이므로
본문 123~148쪽
③
15 cm
⑤
6 m
4개
③, ⑤
③
ㄷ, ㅂ
196 cmÛ`
72`cmÛ`
50 cmÛ`
40 cmÛ`
㈎ AGHB ㈏ CDEF ㈐
ab ㈑ cÛ`
;2!;
⑴ 90ù ⑵ 50`cmÛ`
⑴ 정사각형 ⑵ 49`cmÛ`
ㄴ, ㄷ, ㅂ ③
A
,
{:Á5¤:
:Á5ª:}
③, ④
8p`cmÛ`
5
56
①
:ª2°:
③
③
5
③
③
3
55
5
④
2개
⑤
ㄱ, ㄹ
②
③
②
6
④
④
④
②
①
8`cm
24`cmÛ`
③
3
①
①
③
③
④
⑤
④
④
③
⑤
④
③
ㄱ, ㅂ
②, ⑤
84 cmÛ`
52
26`cm
10p`cm
256
3
p`cmÜ`
IV 피타고라스 정리
1
피타고라스 정리
주제별 실력다지기
248
30 cmÛ`
④
①
④
②
①
80
②
68
④
①, ④
②
②
45
④
①
③
②
⑤
②
12
③
④
20
125
①
①, ⑤
cmÛ`
;2*5$;
cm
;1^3);
15`cm
48 cmÛ`
∠B=90ù인 직각이등변삼각형, 5
10
13 cm
17`cm
13p`cm
20`cm
75p`cmÛ`
xÛ`=2Û`+3Û`=13, yÛ`=3Û`+1Û`=10
17Û`=8Û`+zÛ`에서 zÛ`=289-64=225
∴ xÛ`+yÛ`+zÛ`=13+10+225=248
△ABC에서 xÛ`=5Û`+12Û`=169 ∴ x=13
△DEF에서 5Û`=3Û`+yÛ`, yÛ`=16 ∴ y=4
따라서 x+y=13+4=17
△ABC에서 ACÓ Û`=3Û`+4Û`=9+16=25이므로
△ACD에서 xÛ`=ACÓ Û`+12Û`=25+144=169
∴ x=13
오른쪽 그림과 같이 대각선
BD를 그으면 △BCD에서
BDÓ Û`=3Û`+1Û`=10
따라서 △ABD에서
ABÓ Û`=BDÓ Û`-ADÓ Û`=10-2Û`=6
(cid:35)
오른쪽 그림과 같이
CDEB가 직사각형이
되도록 보조선을 그으면
DEÓ=CBÓ=12 cm,
(cid:36)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
50 정답과 풀이
(cid:34)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:36)
(cid:18)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
BEÓ=CDÓ=4 cm이므로
△ADE에서
ADÓ Û`=12Û`+(5+4)Û`=144+81=225
∴ ADÓ =15(cm)
yÛ`=6Û`+xÛ`이고 yÛ`=xÛ`+4x+4이므로
xÛ`+4x+4=36+xÛ`, 4x=32 ∴ x=8
피타고라스의 수 중에서 한 변의 길이가 8 m가 되는
경우는 (6, 8, 10)과 (8, 15, 17)의 두 가지이고, 이
중 나머지 두 변의 길이의 합이 16 m인 경우는 6, 8,
따라서 벽면의 C지점에서 A지점까지의 거리는 6 m
10이다.
이다.
ㄱ. 4Û`+2Û`+3Û`
ㄴ. 6Û`+4Û`+5Û`
ㄷ. 13Û`=5Û`+12Û` ㄹ. 15Û`=9Û`+12Û`
ㅁ. 17Û`=8Û`+15Û` ㅂ. 25Û`=7Û`+24Û`
따라서 직각삼각형인 것은 ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ의 4개이다.
13Û`=5Û`+12Û`이므로 이 삼각형은 빗
변의 길이가 13 cm인 직각삼각형이
(cid:18)(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
다.
따라서 구하는 삼각형의 넓이는
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
_5_12=30(cmÛ`)
;2!;
∠B=90ù이면 ACÓ Û`=ABÓ Û`+BCÓ Û`이므로
yÛ`=8Û`+xÛ`에서 xÛ`+8x+16=64+xÛ`
8x=48 ∴ x=6
추가하는 선분의 길이를 x cm라 하면
Ú 가장 긴 선분의 길이가 x cm일 때
xÛ`=4Û`+6Û`=52
Û 가장 긴 선분의 길이가 6 cm일 때
6Û`=xÛ`+4Û`, xÛ`=6Û`-4Û`=20
Ú, Û에 의하여 직각삼각형이 될 수 있는 것은 ㄱ,
ㄷ이다.
Ú 가장 긴 변의 길이가 x cm일 때
xÛ`=3Û`+5Û`=34
Û 가장 긴 변의 길이가 5 cm일 때
5Û`=xÛ`+3Û`, xÛ`=5Û`-3Û`=16
Ú, Û에 의하여 xÛ`=34 또는 xÛ`=16
③ △LAF
ㄱ. △BCHª△GCA`(SAS 합동)이므로
△BCH=△GCA
ㄴ. △ACH=△BCH=△GCA=△GCL이므로
ACHI=LMGC
ㄹ. △AIH=△ACH=△CGL=△CGM
ㅁ. △BCE=△BFA=△BFL=
;2!;BFML
따라서 옳지 않은 것은 ㄷ, ㅂ이다.
ADEB+ACFG =ABÓ Û`+ACÓ Û`=BCÓ Û`
=14Û`=196(cmÛ`)
△ABC에서 ABÓ Û`=13Û`-5Û`=144
∴ ABÓ=12(cm)
ADEB=BFML이므로
△LFM =
;2!;BFML=
;2!;ADEB
=
;2!;
_12Û`=72(cmÛ`)
△ABFª△EBC이고 △EBC=△EBA이므로
ADEB=2_△EBA=2_△ABF=48(cmÛ`)
또 ACHI=ACÓ Û`=16(cmÛ`)이므로
BFGC =ADEB+ACHI
=48+16=64(cmÛ`)
다른 풀이 오른쪽 그림에서
(cid:37)
△ABF =△LBF
(cid:38)
(cid:42)
(cid:34)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:41)
(cid:36)
(cid:45)
(cid:40)
(cid:46)
(cid:35)
(cid:39)
=
;2!;BFML
=24 cmÛ`
∴ BFML=48(cmÛ`)
또 LMGC =ACHI
=4Û`=16(cmÛ`)이므로
BFGC =BFML+LMGC
=48+16=64(cmÛ`)
△ABC에서 BCÓ Û`=6Û`+8Û`=100
∴ BCÓ=10(cm)
△ABD=△FBD=
;2!;BDGF
△ACE=△FCE=
;2!;CFGE
∴ △ABD+△ACE=
;2!;BDGF+
;2!;CFGE
_BCÓ Û`
=
;2!;BDEC=
;2!;
=
;2!;
_10Û`=50(cmÛ`)
DLME+DKJF=ABEF
GPQH+GINO=ACIH
∴ (어두운 부분의 넓이) =2ABEF+2ACIH
=2_ABÓ Û`+2_ACÓ Û`
=2_2Û`+2_4Û`=40(cmÛ`)
(cid:37)
(cid:40)
△AEHª△BFEª△CGF
(cid:34)
(cid:41)
ª△DHG`(SAS 합동)
이므로 오른쪽 그림에서
EFGH는 정사각형이다.
EFGH=25 cmÛ`에서
EFÓ Û`=25 ∴ EFÓ=5(cm)
(cid:38)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
△BFE에서
BFÓ Û`=5Û`-3Û`=16 ∴ BFÓ=4(cm)
(cid:35)
(cid:39)
(cid:36)
Ⅳ 피타고라스 정리 51
따라서 ABCD의 한 변의 길이는
BFÓ+FCÓ=4+3=7(cm)
⑴ Ú 네 내각의 크기가 모두 90ù로 같다.
Û △ABCª△FCDª△GDEª△HEB이므로
ACÓ=FDÓ=GEÓ=HBÓ이고
ABÓ=FCÓ=GDÓ=HEÓ
즉 ACÓ-FCÓ =FDÓ-GDÓ=GEÓ-HEÓ
=HBÓ-ABÓ
이므로 AFÓ=FGÓ=GHÓ=HAÓ
Ú, Û에 의해 AFGH는 정사각형이다.
⑵ △ABC에서
ACÓ Û`=13Û`-5Û`=144 ∴ ACÓ=12(cm)
또 FCÓ=ABÓ=5 cm이므로
AFÓ=ACÓ-FCÓ=12-5=7(cm)
∴ AFGH=AFÓ Û`=7Û`=49(cmÛ`)
① △ABC에서 ACÓ=DGÓ=b, ABÓ=BDÓ=c이므로
피타고라스 정리에 의해 aÛ`+bÛ`=cÛ`
② BFÓ=DGÓ=b이므로 CFÓ=a-b
③ CFGH의 넓이가 점점 커지도록 작도하면
△ABC의 넓이는 점점 작아진다.
따라서 CFGH와 △ABC의 넓이가 항상 같지
는 않다.
④ CFGH에서
CFÓ=FGÓ=GHÓ=HCÓ=a-b이고
∠C=∠F=∠G=∠H=90ù이므로
CFGH는 정사각형이다.
⑤ △ABCª△BDFª△DEGª△EAH
∴ ABDE=CFGH+△ABC_4
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
⑴ △ABC에서
(cid:38)
∠CAB+∠ACB=90ù
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
(cid:35)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
(cid:37)
이고,
△ABCª△CDE이므로
∠CAB=∠ECD
따라서 ∠ECD+∠ACB=90ù이므로
∠ACE=90ù
⑵ △ABCª△CDE이므로
BCÓ=DEÓ=8 cm
△ABC에서
52 정답과 풀이
ACÓ Û`=ABÓ Û`+BCÓ Û`=6Û`+8Û`=100
∴ ACÓ=10(cm)
따라서 ACÓ=CEÓ=10 cm, ∠ACE=90ù이므로
△ACE=
_10_10=50(cmÛ`)
;2!;
(cid:38)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
△ACE=
_ACÓ Û`
;2!;
=
:ª2°:
이므로 ACÓ Û`=25
∴ ACÓ=5(cm)
△ABC에서
ABÓ Û` =ACÓ Û`-BCÓ Û`
=5Û`-4Û`=9
∴ ABÓ=3(cm)
따라서 CDÓ=ABÓ=3 cm, DEÓ=BCÓ=4 cm이므로
ABDE=
_(3+4)_7=
(cmÛ`)
;2!;
:¢2»:
ADÓ Û`+BCÓ Û`=5Û`+7Û`=74
xÛ`+7Û`=5Û`+yÛ`이므로
xÛ`-yÛ`=5Û`-7Û`=-24
△OBC에서 BCÓ Û`=3Û`+4Û`=25
ABCD에서 8Û`+CDÓ Û`=25+10Û`
∴ CDÓ Û`=61
ABÓ Û`+8Û`=3Û`+9Û`에서 ABÓ Û`=26
△ABO에서 ABÓ Û`=xÛ`+1, 26=xÛ`+1
xÛ`=25 ∴ x=5
△COD에서 CDÓ Û`=5Û`+6Û`=61
ABCD에서 ABÓ Û`+61=ADÓ Û`+8Û`
∴ ABÓ Û`-ADÓ Û`=8Û`-61=3
PAÓ Û`+54=9Û`+3Û`이므로
PAÓ Û`=36 ∴ PAÓ=6
6Û`+yÛ`=xÛ`+2Û`이므로
xÛ`-yÛ`=6Û`-2Û`=32
CDÓ=ABÓ=5이므로
△DPC에서
PCÓ Û`=5Û`-3Û`=16 ∴ PCÓ=4
ABCD에서 PAÓ Û`+PCÓ Û`=PBÓ Û`+PDÓ Û`이므로
PAÓ Û`+4Û`=7Û`+3Û` ∴ PAÓ Û`=42
ABÓ=a라 하면
ACÓ Û`=2aÛ`, ADÓ Û`=3aÛ`, y, AHÓ Û`=7aÛ`이므로
7aÛ`=63, aÛ`=9 ∴ a=3
따라서 ABÓ의 길이는 3이다.
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해
DEÓ Û`+BCÓ Û`=BEÓ Û`+CDÓ Û`이므로
DEÓ Û`+8Û`=5Û`+7Û` ∴ DEÓ Û`=10
DEÓ Û`+BCÓ Û`=BEÓ Û`+CDÓ Û`이므로
4Û`+BCÓ Û`=6Û`+8Û` ∴ BCÓ Û`=84
DEÓ=
BCÓ=
_8=4
;2!;
;2!;
또 DEÓ Û`+BCÓ Û`=BEÓ Û`+CDÓ Û`이므로
4Û`+8Û`=BEÓ Û`+CDÓ Û`
∴ BEÓ Û`+CDÓ Û`=80
△CDE에서 DEÓ Û`=3Û`+4Û`=25
또 ABÓ Û`+DEÓ Û`=ADÓ Û`+BEÓ Û`이므로
ABÓ Û`+25=9Û`+BEÓ Û`에서
ABÓ Û`-BEÓ Û`=81-25=56
△ADE에서 DEÓ Û`=3Û`+4Û`=25
△BDE의 넓이는 10이므로
_BDÓ_AEÓ=10
_BDÓ_4=10 ∴ BDÓ=5
;2!;
;2!;
△ABE에서
BEÓ Û`=ABÓ Û`+AEÓ Û`=8Û`+4Û`=80
따라서 DEÓ Û`+BCÓ Û`=BEÓ Û`+CDÓ Û`이므로
BCÓ Û`-CDÓ Û`=BEÓ Û`-DEÓ Û`=80-5Û`=55
다른 풀이 △ABC에서 BCÓ Û`=ABÓ Û`+ACÓ Û`이고,
△ACD에서 CDÓ Û`=ADÓ Û`+ACÓ Û`이므로
BCÓ Û`-CDÓ Û` =(ABÓ Û`+ACÓ Û`)-(ADÓ Û`+ACÓ Û`)
=ABÓ Û`-ADÓ Û`
=8Û`-3Û`=55
△ABC에서 ACÓ Û`=1Û`+1Û`=2
△ACD에서 ADÓ Û`=2+1Û`=3
△ADE에서 AEÓ Û`=3+1Û`=4
△AEF에서 AFÓ Û`=4+1Û`=5
△AFG에서 AGÓ Û`=5+1Û`=6
△ABC에서 ACÓ Û`=2Û`+3Û`=13
ADÓ Û`=13+4Û`=29
△ADE에서 AEÓ=29+5Û`=54
△ACD에서 ACÓ Û`=2Û`+2Û`=8
∴ AFÓ Û`=ACÓ Û`=8
△AEF에서 AEÓ Û`=8+2Û`=12
∴ AGÓ Û`=AEÓ Û`=12
OBÓ Û`=OA'Ó Û`=1Û`+1Û`=2, OCÓ Û`=OB'Ó Û`=2+1Û`=3
ODÓ Û`=OC'Ó Û`=3+1Û`=4, OEÓ Û`=OD'Ó Û`=4+1Û`=5
OE'Ó Û`=5+1Û`=6
따라서 원점 O로부터 거리가 2인 점은 점 C', 점 D
이다.
OAÓ=OÕPÕ=a라 하면
OÕA'Ó Û`=2aÛ`, OÕB'Õ Û`=3aÛ`, OÕC'Õ Û`=4aÛ`, OÕD'Õ Û`=5aÛ`
이므로
OÕD'Õ Û`=10에서 5aÛ`=10 ∴ aÛ`=2
∴ OAA'P=aÛ`=2
△ACD에서 ADÓ Û`=10Û`-6Û`=64
△ABD에서 BDÓ Û`=9Û`-64=17
△ACH에서 CHÓ=6Û`-4Û`=20
△BCH에서 BCÓ Û`=CHÓ Û`+BHÓ Û`=20+5=25
∴ BCÓ=5
BÕDÕ=x, DCÓ=a라 하면
△ACD에서
(cid:18)(cid:22)
aÛ`=90-9Û`=9 ∴ a=3
(cid:34)
(cid:26)
△ABC에서
(cid:35)
(cid:89)
(cid:66)
(cid:37)
(cid:36)
(x+3)Û`=15Û`-9Û`=144이므로
x+3=12 ∴ x=9
따라서 BDÓ의 길이는 9이다.
점 O가 직각삼각형 ABC의 외심이므로
Ⅳ 피타고라스 정리 53
BOÓ=COÓ=AOÓ=5 cm
∴ BCÓ=5+5=10(cm)
△ABC에서 ACÓ Û`=10Û`-6Û`=64
∴ ACÓ=8(cm)
△ABC에서 BCÓ Û`=12Û`+16Û`=400
∴ BCÓ=20(cm)
점 G가 △ABC의 무게중심이므로 BMÓ=CMÓ
즉 점 M은 △ABC의 외심이므로
AÕMÓ=BÕMÓ=CMÓ=10 cm
∴ AGÓ=
AMÓ=
_10=
(cm)
;3@;
;3@;
:ª3¼:
△ABC에서 ACÓ Û`=15Û`-9Û`=144
∴ ACÓ=12(cm)
∴ AEÓ=ACÓ-CEÓ=12-2=10(cm)
이때 △ADE와 △ACB에서
∠ADE=∠ACB=90ù, ∠A는 공통이므로
△ADE»△ACB`(AA 닮음)
따라서 AEÓ`:`ABÓ=ADÓ`:`ACÓ에서
10`:`15=ADÓ`:`12
∴ ADÓ=8(cm)
△ABC에서 BCÓ Û`=10Û`-6Û`=64 ∴ BCÓ=8
이때 ADÓ가 ∠A의 이등분선이므로
ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ에서
BDÓ`:`CDÓ=6`:`10=3`:`5
∴ BDÓ=
BCÓ=
_8=3
;8#;
;8#;
따라서 △ABD에서 ADÓ Û`=6Û`+3Û`=45
△ABP와 △CAQ에서
ABÓ=CAÓ, ∠APB=∠CQA=90ù
∠ABP=90ù-∠BAP=∠CAQ이므로
△ABPª△CAQ`(RHA 합동)
AQÓ=BPÓ=8, APÓ=CQÓ=6이므로
PQÓ=AQÓ-APÓ=8-6=2
따라서 △PBQ에서 BQÓ Û`=8Û`+2Û`=68
P+Q =(BÕCÕ를 지름으로 하는 반원의 넓이)
=
;2!;
_p_4Û`=8p(cmÛ`)
=18p(cmÛ`)
이므로
_p_
;2!;
AÕCÕ
Û`=18p
}
{;2!;
ACÓ Û`=144 ∴ AÕCÕ=12(cm)
(반원 Q의 넓이)=
_p_2Û`=2p(cmÛ`)
;2!;
따라서 (반원 P의 넓이)+2p=32p이므로
(반원 P의 넓이)=32p-2p=30p(cmÛ`)
△ABC에서 ABÓ Û`=10Û`-6Û`=64
∴ ABÓ=8(cm)
∴ (어두운 부분의 넓이) =△ABC=
_8_6
;2!;
=24(cmÛ`)
S1+S2=△ABC=7p cmÛ`이므로
(빗금친 부분의 넓이)
=(BÕCÕ를 지름으로 하는 반원의 넓이)-△ABC
=
_p_8Û`-7p=25p(cmÛ`)
;2!;
△ABD에서
ADÓ Û`=10Û`-6Û`=64
(cid:34)
(cid:35)
(cid:52)(cid:132)
(cid:52)(cid:102)
∴ ADÓ=8(cm)
(cid:52)(cid:109)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
두 직각삼각형 ABD와 BCD
에서
S1+S2=△ABD
S3+S4=△BCD
∴ S1+S2+S3+S4 =△ABD+△BCD
(cid:52)(cid:101)
(cid:37)
(cid:36)
=ABCD
=8_6=48(cmÛ`)
다른 풀이 (어두운 부분의 넓이)
=2_{(ABÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이)
+(ADÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이)}+ABCD
-(BDÓ를 지름으로 하는 원의 넓이)
=2_
_9p+
_16p
+48-25p
{;2!;
;2!;
}
=48(cmÛ`)
ㄴ. bÛ`=ay
ㄷ. cÛ`=ax
ㅂ. hÛ`=xy
(ACÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이) =24p-6p
따라서 옳지 않은 것은 ㄴ, ㄷ, ㅂ이다.
54 정답과 풀이
ADÓ Û`=BDÓ_CDÓ이므로
yÛ`=3_2=6
또 ABÓ Û`=BDÓ_BCÓ이므로
xÛ`=3_5=15
∴ (xy)Û`=xÛ`yÛ`=15_6=90
이때 △ABC=
_6_8=24(cmÛ`)이므로
△BHM =△ABC_
HMÓ
ACÓ
=24_
=24_
_
=
(cmÛ`)
;5&;
;1Á0;
;2*5$;
;2!;
;5&;
10
ABÓ`:`ACÓ=3`:`4이므로 ABÓ=3a라 하면 ACÓ=4a
△ABC에서 BCÓ Û`=(3a)Û`+(4a)Û`=25aÛ``
∴ BCÓ=5a
ABÓ_ACÓ=AHÓ_BCÓ이므로
3a_4a=6_5a, 2aÛ`-5a=0에서 a+0이므로
∠A>90ù이므로 aÛ`>bÛ`+cÛ`
∠B<90ù이므로 bÛ`
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