최상위수학 라이트 중학 2 - 1 답지 (2019)

최 상 위 수 학 중 2 1 정 답 과 풀 이 Light 라이트 ② 63 3 ④ 1 ;1^5!; ① _ = ;7#; ;4!; = ;1¦2; 1 2Û` ② _ = ;7^; ;2!; ;1¦2; ③ _ = ;5#; ;1¦2; ;2¦0; = ④ _ = ;2&; ;1¦2; ;2$4(; = ⑤ _ = = ;8!; ;1£4; ;1¦2; 7 2Û`_5 49 2Ü`_3 1 2Ü` 가 된다. 것은 ④이다. I 수와 식 1 유리수와 순환소수 주제별 실력다지기 본문 8~18쪽 ④ ④ 5 6 ②, ③ 105 ③ 102 ② ② ③ ② ⑴ ㄷ ⑵ ㄴ ⑶ ㅂ ⑷ ㅁ ⑤ 3 ④ ② ⑤ ④ ③, ⑤ 52번 ⑤ 14 ⑤ 100, 99, ;9@9#; 100, 10, 90, 8 23 30 ② ③ 1 13 ① ① 33 ② ④ 24 ④ ;4¦5; 38 2 8.H2H7 ;5¦0; = 7 2_5Û` 14 2Û`_5Û` = = 7_ 2 2_5Û`_ 2 = 14 100 = 0.14 따라서 A=2, B=100, C=0.14이므로 A+BC =2+100_0.14=2+14=16 기약분수의 분모의 소인수가 2나 5뿐인 분수는 유한 소수로 나타내어진다. ㄱ. = ;1¦2; ㄴ. = ;7@2&; 7 2Û`_3 3 2Ü` = ;8#; ㄷ. ;1¢0ª5; = ;5@; ㄹ. 21 2Û`_3_5 진다. = 7 2Û`_5 ㅁ. 33 2Ü`_3_5 진다. = 11 2Ü`_5 ㅂ. 24 2Ü`_3_7 = ;7!; ㄷ, ㄹ, ㅁ`의 4개이다. 이므로 순환소수로 나타내어진다. 기약분수의 분모의 소인수가 2나 5뿐이면 유한소수 이므로 유한소수로 나타내어진다. 따라서 소수로 나타내었을 때, 유한소수가 되지 않는 이므로 유한소수로 나타내어진다. 이므로 유한소수로 나타내어 이므로 유한소수로 나타내어 = ;7!; ;2¢8; , ;4#; = ;2@8!; 이고 28=2Û`_7이므로 유한소수 로 나타낼 수 있으려면 분자는 7의 배수이어야 한다. 따라서 와 ;2¢8; ;2@8!; 사이의 분수 중에서 유한소수로 이므로 순환소수로 나타내어진다. 나타낼 수 있는 분수는 , ;2¦8; ;2!8$; 로 2개이다. 따라서 소수로 나타낼 때 유한소수가 되는 것은 ㄴ, 각 분수를 기약분수로 만든 후 분모의 소인수가 2나 5뿐이면 유한소수로 나타낼 수 있다. ㄱ. =  순환소수 ㄴ. =  유한소수 ㄷ. =  순환소수 4 15 9 60 3 42 9 225 = 4 3_5 3 20 1 14 1 25 = 3 2Û`_5 1 2_7 1 5Û` ㄹ. = =  유한소수 105 50_x = 3_5_7 2_5Û`_x = 3_7 2_5_x 값이 9일 때에만 주어진 분수는 이므로 보기 중 x의 3_7 2_5_9 = 7 2_5_3 이 되어 순환소수가 된다. ;2Á5¢2; _x= 2_7 2Û`_3Û`_7 1 2_3Û` _x= _x에서 x의 값 이 한 자리의 자연수 중 9이면 주어진 분수는 유한소 수가 되므로 순환소수가 되게 하는 가장 큰 x의 값은 따라서 유한소수로 나타낼 수 있는 것은 ㄴ, ㄹ이다. 8이다. 2 정답과 해설  ;5(0(; = 3Û`_11 2_5Û` , ;6(0(; = 3Û`_11 2Û`_3_5 = 3_11 2Û`_5 이므로 을 두 분수에 각각 곱하면 ;1Á0; _ 3Û`_11 2_5Û` 되어 두 분수는 모두 유한소수이다. 3Û`_11 2Û`_5Ü` 3_11 2Û`_5 ;1Á0; = _ , = ;1Á0; 3_11 2Û`_5Û` 이 을 두 분수에 각각 곱하면 ;1Á1; _ 3Û`_11 2_5Û` 어 두 분수는 모두 유한소수이다. 3_11 2Û`_5 3Û` 2_5Û` ;1Á1; = , _ 을 두 분수에 각각 곱하면 ;1Á2; _ 3Û`_11 2_5Û` 어 두 분수는 모두 유한소수이다. 3_11 2Ü`_5Û` 3_11 2Û`_5 ;1Á2; = , _ = ;1Á1; 3 2Û`_5 이 되 = ;1Á2; 11 2Ý`_5 이 되 따라서 구하는 가장 작은 두 자리의 자연수 x의 값은 13이다. ;4Á2¦0; _A= 17 2Û`_3_5_7 _A를 소수로 나타낼 때, 유한소수가 되도록 하려면 분모의 소인수가 2나 5뿐 이어야 하므로 A는 3_7, 즉 21의 배수이어야 한다. 따라서 21의 배수 중 가장 큰 두 자리의 자연수는 84 이다. ;6Ó0; = x 2Û`_3_5 102이다. 를 소수로 나타내면 유한소수가 되 므로 x는 3의 배수이다. 따라서 3의 배수 중 가장 작은 세 자리의 자연수는 1.2H6= 126-12 90 = = :Á9Á0¢: ;1!5(; = 19 3_5 이 수에 어떤 수를 곱하여 유한소수가 되게 하려면 그 수는 3의 배수이어야 한다. 따라서 곱해야 할 가장 작은 자연수는 3이다. _x= _x를 소수로 나타내면 유 34 2Ü`_3_17 또, 22 5_11Û` 1 2Û`_3 2 5_11 한소수가 되므로 x는 3의 배수이다. 한소수가 되므로 x는 11의 배수이다. 따라서 x의 값이 될 수 있는 수는 3과 11의 공배수인 33의 배수이므로 33, 66이다. ;3Á9Á6; _A= 11 2Û`_3Û`_11 1 2Û`_3Û` _A= _A를 유한소 ;21$0; _A= 4 2_3_5_7 _A= 2 3_5_7 _A를 유 한소수로 나타낼 수 있으려면 A는 3_7, 즉 21의 배 수이어야 한다. 따라서 A는 9와 21의 공배수, 즉 63의 배수이므로 가장 작은 A의 값은 63이다. 를 소수로 나타내면 유한소수이므 ;14{0; = x 2Û`_5_7 로 x는 7의 배수이다. 이때 10Éx<20이므로 x=14 따라서 = ;1Á4¢0; ;1Á0; 이므로 a=10 ∴ x+a=14+10=24 ;36A0; = a 2Ü`_3Û`_5 를 소수로 나타내면 유한소수이므 로 분모의 소인수는 2나 5뿐이어야 한다. 즉, a는 9 를 기약분수로 나타내면 이므로 a는 7의 ;b&; 따라서 a는 9와 7의 공배수, 즉 63의 배수이고 두 자 의 배수이다. 또, ;36A0; 배수이다. 리의 자연수이므로 a=63 = ;3¤6£0; ;4¦0; 이므로 b=40 ∴ a-b=63-40=23 ① 3. 03 03 03…=3.H0H3  2개 ② 0.1 52 52 52…=0.1H5H2  2개 ③ 0. 123 123 123…=0.H12H3  3개 ④ 3. 11415 11415…=3.H1141H5  5개 ⑤ 2. 500 500 500…=2.H50H0  3개 순환소수 0.H24H3의 순환마디는 243이므로 순환마디 의 숫자의 개수는 3이다. ∴ a=3 또한 100Ö3=33`…`1이므로 소수점 아래 100번째 ∴ b=2 ∴ a+b=3+2=5 ① 41.H5의 소수점 아래 30번째 자리의 숫자는 5이다. ② 2.H4H6  순환마디의 숫자 2개 _x= _x를 소수로 나타내면 유 자리의 숫자는 순환마디의 첫 번째 숫자인 2이다. 수로 나타낼 수 있으려면 A는 3Û`, 즉 9의 배수이어 30Ö2=15`…`0이므로 소수점 아래 30번째 자리 야 한다. 의 숫자는 순환마디의 마지막 숫자인 6이다. Ⅰ 수와 식 3 ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù  ③ 0.H47H3  순환마디의 숫자 3개 따라서 3은 순환되는 부분에서 50번 나오고, 일의 30Ö3=10`…`0이므로 소수점 아래 30번째 자리 자리와 소수점 아래 첫 번째 자리에서 각각 1번씩 나 의 숫자는 순환마디의 마지막 숫자인 3이다. 오므로 50+1+1=52(번) 나온다. ① 2.H1H2  순환마디의 숫자 2개 ∴ 4+(5+8+7)_16+5 =4+20_16+5 ④ 1.1H1H3  순환마디의 숫자 2개 소수점 아래 30번째 자리의 숫자는 순환하는 부 분만 생각할 때 29번째 숫자이다. 29Ö2=14`…`1이므로 순환마디의 첫 번째 숫자 인 1이다. ⑤ 0.6H91H5  순환마디의 숫자 3개 소수점 아래 30번째 자리의 숫자는 순환하는 부 분만 생각할 때 29번째 숫자이다. 29Ö3=9`…`2이므로 순환마디의 두 번째 숫자인 따라서 소수점 아래 30번째 자리의 숫자가 가장 큰 1이다. 것은 ②이다. 20Ö2=10`…`0이므로 소수점 아래 20번째 자리 의 숫자는 순환마디의 마지막 숫자인 2이다. ② 0.2H2H1  순환마디의 숫자 2개 소수점 아래 20번째 자리의 숫자는 순환하는 부 분만 생각할 때 19번째 숫자이다. 19Ö2=9`…`1이므로 순환마디의 첫 번째 숫자인 2이다. ③ 0.H42857H1  순환마디의 숫자 6개 20Ö6=3`…`2이므로 소수점 아래 20번째 자리 의 숫자는 순환마디의 두 번째 숫자인 2이다. ④ 0.H2H4  순환마디의 숫자 2개 20Ö2=10`…`0이므로 소수점 아래 20번째 자리 의 숫자는 순환마디의 마지막 숫자인 4이다. ⑤ 0.H12H3  순환마디의 숫자 3개 순환소수 1.H2345H6의 순환마디의 숫자는 5개이므로 소수점 아래 25번째 자리의 숫자는 25Ö5=5`…`0에 서 순환마디의 마지막 숫자인 6이고, 소수점 아래 52 번째 자리의 숫자는 52Ö5=10`…`2에서 순환마디 의 두 번째 숫자인 3이다. 따라서 두 숫자의 차는 6-3=3 0.4H58H7  순환마디의 숫자 3개 소수점 아래 50번째 자리의 숫자까지의 합은 소수점 아래 첫 번째 자리의 숫자인 4와 (50-1)Ö3=16`…`1 로부터 순환마디의 숫자인 5, 8, 7의 합을 16번 더한 후 순환마디의 첫 번째 숫자인 5를 더한 것이다. =329 =0.1666…=0.1H6이므로 소수점 아래 20번째 자 ;6!; 리의 숫자는 6이다. 따라서 a=6이므로 aÛ`-a=6Û`-6=30 ;1£1; =0.H2H7  순환마디의 숫자 2개 홀수 번째 자리의 숫자：2 짝수 번째 자리의 숫자：7 따라서 x100=7, x77=2이므로 x100-x77=7-2=5 20Ö3=6`…`2이므로 소수점 아래 20번째 자리 ;3»7; =0.H24H3  순환마디의 숫자 3개 의 숫자는 순환마디의 두 번째 숫자인 2이다. 100Ö3=33`…`1이므로 소수점 아래 100번째 자리 따라서 소수점 아래 20번째의 숫자가 2가 아닌 것은 의 숫자는 순환마디의 첫 번째 숫자인 2이다. ④이다. 또, 86Ö3=28`…`2이므로 소수점 아래 86번째 자리 의 숫자는 순환마디의 두 번째 숫자인 4이다. 따라서 두 숫자의 합은 2+4=6 3.3+0.03+0.007+0.0003+0.00007 +0.000003+0.0000007+… =3.3373737…=3.3H3H7 이므로 순환마디의 숫자는 2개이다. (101-1)Ö2=50`…`0이므로 소수점 아래 101번째 자리까지 순환마디는 50번 반복된다. 4 정답과 해설 0.2H1H7의 순환마디는 17이다. x=0.2171717… (가) 1000x =217.171717… …… ㉠ …… ㉡ 10x= (나) 2.171717…` …… ㉢  가장 편리한 계산식은 다음과 같다. 0.4+0.02+0.004+0.0002+…=0.4242…=0.H4H2 ㉡ -㉢을 하면 990x=215 ∴ x= = ;9@9!0%; ;1¢9£8; 0.H2H3=x라 하면 x=0.2323… 100 x=23.2323… - >³ x= 0.2323… 99 x=23 ∴ x= ;9@9#; 0.1H5=x라 하면 x=0.1555… - >³ 100 x=15.555… 10 x= 1.555… 90 x=14 ∴ x= = ;9!0$; ;4¦5; ① 1000x-10x ② 1000x-100x ③ 100x-10x ④ 10x-x ⑤ 100x-x ⑴ x=0.8555…`이므로 100x=85.555… - >³ 10x= 8.555… 90x=77  ㄷ ⑵ x=3.171717…`이므로 100x=317.1717… - >³ x= 3.1717… 99x=314  ㄴ ⑶ x=0.69555…`이므로 1000x=695.555… - >³ 100x= 69.555… 900x=626  ㅂ ⑷ x=16.2484848…`이므로 1000x=16248.4848… - >³ 10x= 162.4848… 990x=16086  ㅁ ① 8.H1H4= 814-8 99 ② 2.H13H4= ③ 1.0H5H7= ④ 0.0H91H3= 2134-2 999 1057-10 990 913 9990 ㄱ. 2.H3H7= ㄴ. 1.H5= 237-2 99 15-1 9 0.151515…`=0.H1H5= = ;9!9%; ;3°3; 따라서 분모와 분자의 합은 33+5=38 0.3H7H2= 372-3 990 = ;9#9^0(; 이므로 =a_369 ;9#9^0(; ∴ a= =0.0H0H1 ;99!0; ∴ (0.4+0.02+0.004+0.0002+…) ;2!; = ;2!; _0.H4H2= _ ;2!; ;9$9@; = ;3¦3; 따라서 = ;[&; ;3¦3; 이므로 x=33 ① 유리수는 분수의 꼴로 나타내어지는 수이므로 항 상 분수로 나타낼 수 있다. ④ =1.333…이므로 무한소수로 나타낼 수 있다. ;3$; ⑤ 0.345345는 유한소수이다. ① 무한소수 중 순환소수는 유리수이다. 즉, 무한소 수 중에는 유리수인 것도 있다. ② 무한소수 중 순환하지 않는 무한소수도 있다. ④ 소수의 정수 부분은 순환마디가 될 수 없다. 순환 마디는 소수점 아래에서 순환하는 한 부분이다. ⑤ 정수가 아닌 유리수는 항상 유한소수 또는 순환소 수로 나타낼 수 있다. ① 무한소수 중 순환소수는 유리수이지만 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아니다. ③ 0이 아닌 모든 유리수는 유한소수 또는 순환소수 로 나타낼 수 있다. ④ 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아니다. Ⅰ 수와 식 5  ⑤ 기약분수의 분모의 소인수가 2나 5뿐일 때는 유 한소수로 나타내어진다. ;1¥1¼1°1; = ;9&9@9$9%; =0.H724H5 0.H724H5=0.72457245…` 1<xÉ100이고 x는 정수이므로 = , ;2!; ;3!; ;[!; , …, ;10!0; 이 유한소수가 되므로 분모의 소인수가 2나 5뿐이 ;[!; 어야 한다. =0.7+0.02+0.004+0.0005+… = ;1¦0; + 2 10Û` + 4 10Ü` + 5 10Þ` +… 이므로 x1=7, x2=2, x3=4, x4=5, … 순환마디의 숫자가 4개이므로 99Ö4=24`…`3에서 x1-x2+x3-x4+…+x99의 값은 7-2+4-5를 24 Ú 분모가 2의 거듭제곱으로만 이루어진 경우 번 더한 후 7-2+4를 더한 것이다. Û 분모가 5의 거듭제곱으로만 이루어진 경우 ;2!; , 1 2Û` , …, 1 2ß` ``  6개 ;5!; , 1 5Û` `  2개 Ü 분모가 2와 5의 거듭제곱으로 이루어진 경우 1 2_5 , 1 2Û`_5 , 1 2Ü`_5 , 1 2Ý`_5 , 1 2_5Û` , 1 2Û`_5Û`  6개 따라서 x의 개수는 6+2+6=14이다. 75x-10=2a에서 75x=2a+10 ∴ x= 2a+10 75 = 2(a+5) 3_5Û` x가 유한소수이므로 a+5가 3의 배수이어야 한다. 그런데 a는 자연수이므로 a+5=6, 9, 12, 15, … ;7!; <0.Hx< 에서 ;3!; < < , ;3!; ;6»3; < ;9{; ;7!; ;6&3{; < ;6@3!; (a ◎ c) ◎ (d ◎ b)= 0.H2 ◎ { ◎ {;9%; ;9$;} ◎ 0.H3 } 0.H2 ◎ = ;9$; ◎ = ;9$; ;9$; ;9@; - ;9@; = ;9@; ◎ 0.H3= ◎ = ;9#; ;9%; ;9%; - ;9#; = ;9@; ;9%; ∴ { 0.H2 ◎ ◎ {;9%; ;9$;} ◎ 0.H3 = } ◎ =1 ;9@; ;9@; + 10a+b 99 11a+11b 99 a+b 9 = :Á9ª: 10b+a 99 = 13-1 9 = :Á9ª: , 11(a+b) 99 = :Á9ª: ∴ a+b=12 6 정답과 해설 ∴ x1-x2+x3-x4+…+x99 =(7-2+4-5)_24+(7-2+4) =4_24+9=105 어떤 유리수를 x라 하면 x_0.H1=x_0.1+1.H1 x_ =x_ + ;1Á0; 11-1 9 x_ =x_ + ;1Á0; :Á9¼: ;9!; ;9!; 양변에 90을 곱하면 10x=9x+100 ∴ x=100 주어진 조건을 식으로 나타내면 A_0.07=A_0.0H7-0.02 A_ ;10&0; =A_ - ;9¦0; ;10@0; ∴ A= :Á7¥: 현정：3.H1H8= 318-3 99 = = :£9Á9°: ;1#1%; 는 11이다. 나연：2.7H6= 276-27 90 = = :ª9¢0»: ;3*0#; 분자는 올바르게 보았으므로 처음 기약분수의 분자 는 83이다. 따라서 처음의 기약분수는 이다. ;1*1#; 민호：2.7H3= 273-27 90 = = :ª9¢0¤: ;1$5!; 는 15이다. 준우：1.H8H4= 184-1 99 = = :Á9¥9£: ;3^3!; 분자는 올바르게 보았으므로 처음 기약분수의 분자 는 61이다. 따라서 a가 될 수 있는 가장 작은 자연수는 1이다. 양변에 900을 곱하면 63A=70A-18, 7A=18` 즉, 9<7x<21을 만족하는 자연수 x의 값은 2이다. 분모는 올바르게 보았으므로 처음 기약분수의 분모 순환소수를 분수로 나타내어 계산하면 분모는 올바르게 보았으므로 처음 기약분수의 분모  따라서 처음의 기약분수는 이다. ;1^5!; 희영：0.20H2= 202-20 900 = = ;9!0*0@; ;4»5Á0; 나연이는 분모를 올바르게 보았으므로 처음 기약분 수의 분모는 11이다. 따라서 처음의 기약분수는 이므로 ;1(1!; 희영이는 분자를 올바르게 보았으므로 처음 기약분 =8 =8 ;1£1; ;9@9&; ;1(1!; =8.H2H7 수의 분자는 91이다. 나연：0.H2H7= = ;1£1; ;9@9&; 2 단항식의 계산 주제별 실력다지기 ③, ④ 본문 21~33쪽 ①, ③ ③, ⑤ A=- , 바르게 계산한 답 : -a11b5` aÞ`bÜ` 4 ⑤ ② 11 ⑤ ② ③ ⑤ ④ 2 ① ③ ② ④ ② ② ⑤ ③ ab 6 ③ ② ④ ② a10b8` bá 2a - ④ ① ① ③, ④ 1, 4 ⑤ ② a ① ④ ② ① ④ ③ ③ ① ③ 5 ④ ⑤ ⑤ h ;4#; ③ ② B, C, A ⑤ ④ ⑤ ① ⑤ 6 ② 2n_2n+1=2n+n+1=22n+1, (22)n+1=22(n+1)=22n+2이므로 2n_2n+1+(22)n+1 ⑤ 2n=2_2n-1이므로 2n-2n-1 =2_2n-1-2n-1 따라서 옳지 않은 것은 ②이다. ⑤ (93)5={(32)3}5=330, (275)2={(33)5}2=330이 =(2-1)_2n-1=2n-1 58Ö53Ö5a=58-3Ö5a=55Ö5a=1이므로 4Û`=(2Û`)Û`=2Ý`이므로 ① (32)3=36, (-3)6=36이므로 (32)3=(-3)6 ② (-35)2=(35)2=310 ③ (-73)5=-715이므로 715+(-73)5 ④ (82)3={(23)2}3=218, (23)3=29이므로 (82)3+(23)3 므로 (93)5=(275)2 따라서 옳지 않은 것은 ③, ④이다. (가) a12ÖaÖa4=a12--4=a5이므로 12--4=5 ∴ =3 (나) b8Öb5Öb=b8-5Öb=b3Öb=1이므로 (다) c6Öc4Öc4=c6-4Öc4=c2Öc4= 1 c4-2 = 1 c2 이므로 a=5 =3 =2 3+3+2=8 4Û`+4Û`+4Û`+4Û` =2Ý`+2Ý`+2Ý`+2Ý`=4_2Ý` =2Û`_2Ý`=2ß` Ú 자연수 n이 홀수일 때 (주어진 식)=(-1)홀수-(-1)홀수+(-1)짝수 =-1-(-1)+1=-1+1+1=1 Û 자연수 n이 짝수일 때 =-1-1+1=-1 Ⅰ 수와 식 7 따라서 (가), (나), (다)의  안에 알맞은 수들의 합은 (주어진 식)=(-1)홀수-(-1)짝수+(-1)짝수  먼저 주어진 식을 간단히 정리하면 32(n-2)Ö9n-3 =32(n-2)Ö(32)n-3 =32(n-2)Ö32(n-3) =32(n-2)-2(n-3) =32n-4-2n+6 =32 ∴ M(32(n-2)Ö9n-3)=M(32)=3+2=5 xx+3=x2x-1에서 Ú x+1일 때 밑이 같으면 지수가 같아야 등호가 성립하므로 x+3=2x-1 ∴ x=4 Û x=1일 때 1의 거듭제곱은 지수에 관계없이 항상 1이므로 x=1이면 등호가 성립한다. 11+3=12-1 ∴ 14=1 2x+5=4x+1에서 2x+5=(22)x+1, 2x+5=22x+2이므로 따라서 주어진 등식을 만족하는 x의 값은 1, 4이다. x+5=2x+2 ∴ x=3 52y+2=252y에서 52y+2=(52)2y, 52y+2=54y이므로 2y+2=4y, 2y=2 ∴ y=1 (평행사변형의 넓이)=(밑변의 길이)_(높이)이므로 (평행사변형의 넓이) =7aÛ`bÜ`_(-2aÜ`)Û` =7aÛ`bÜ`_4aß`=28a¡`bÜ` (좌변)=16x_322Ö26=(24)x_(25)2Ö26 =24x_210Ö26=24x+10-6=24x+4 (우변)=412=(22)12=224 따라서 24x+4=224이므로 4x+4=24, 4x=20 ∴ x=5 1252x-4=(52)x+4의 밑을 5로 통일하면 (53)2x-4=(52)x+4, 56x-12=52x+8 따라서 6x-12=2x+8이므로 4x=20 ` ∴ x=5 (좌변)=32x_(34)2x=32x_38x=310x (우변)=(32)7_(33)x=314_33x=314+3x 따라서 310x=314+3x이므로 10x=14+3x, 7x=14 ∴ x=2 32n+a=(25)n+a=25n+5a, 4Û`=(2Û`)Û`=24이므로 주어진 등식은 25n+aÖ25n+5a=24에서 25n+a-(5n+5a)=24이므로 2x+2+2x+1+2x=(2x_22)+(2x_2)+2x =4_2x+2_2x+2x =(4+2+1)_2x =7_2x 또, 448을 소인수분해하면 7_26이므로 7_2x=7_26 ∴ x=6 8 정답과 해설 =(가로의 길이)_(세로의 길이) _(높이)이므로 (직육면체의 부피) 높이를 h라 하면 18aÛ`bÛ`=3a_2b_h ∴ h= =3ab 18aÛ`bÛ` 6ab ① aÝ`_a=a4+=a9에서 4+=9 ∴ =5 ② (xÛ`)=x2_=x10에서 2_=10 ∴ =5 ③ (xyÛ`)Ü`_xÛ`=xÜ`y6_xÛ`=x5y6=xy6에서 =5 에서 -8=3 ④ a8Öa= 1 a-8 = 1 aÜ` ∴ =11 ⑤ aÖa5=1에서 =5 좌변의 괄호를 풀면 Ü`a12 b6c15 이므로 -64a12 b6c 에서 Ü`a12 b6c15 = 3=-64=(-4)Ü` ∴ =-4  c15=c ∴ =15 따라서  안에 알맞은 수들의 합은 ① 3Û`+3Û`+3Û`+3Û`=3Û`_4 ② 23_25+37_3=23+5+37+1=28+38 ③ 뺄셈에서 지수법칙은 적용되지 않는다. x19-x9=x9(x10-1) ④ {(-3aÛ`bÜ`)Û`}Û`=(9aÝ`b6)Û`=81a8b12 ⑤ (-5xÛ`y)_xyÜ`=-5_xÛ`_x_y_yÜ`=-5xÜ`yÝ` 5n+a-(5n+5a)=4, -4a=4 ∴ a=-1 -4+15=11  ① 2xÜ`_5xÛ`=(2_5)_x3+2=10x5 ② (3xÛ`)Û`_(-2xyÛ`)Ü`=9xÝ`_(-8xÜ`y6)=-72x7y6 ④ (-xÛ`y)Û`_4xy=xÝ`yÛ`_4xy=4x5yÜ` 6aÛ`_ 3a 2bÛ` _ - { =6aÛ`_ 3a 2bÛ` _ { 3 ;3õa;} bÜ` 27aÜ` } - =- 6_ _ { ;2#; ;2Á7;} _ aÛ`_a aÜ` _ bÜ` bÛ` =- b ;3!; (2xyÛ`)Ü`_(-4xyÝ`)_(-3xÛ`y)Û` =8xÜ`y6_(-4xyÝ`)_9xÝ`yÛ` =(-288)_x3+1+4_y6+4+2 =-288x8y12 따라서 a=-288, b=8, c=12이므로 a+b+c=-288+8+12=-268 a2xbx_ 1 a5b5 =a7b y, a2xbx=a7b y_a5b5` aÛ`xbx=a12b y+5 ∴ x+y=7 따라서 2x=12, x=y+5에서 x=6, y=1 72x10y7Ö(-3x2y3)2Ö - xy2 { ;3$; 2 } =72x10y7Ö9x4y6Ö x2y4 :Á9¤: =72x10y7_ 1 9xÝ`y6 _ 9 16xÛ`yÝ` = 9xÝ` 2yÜ` (aÛ`b)Ü`_aÜ`bÝ`Ö(ab)5_(abÛ`)Û` =a6bÜ`_aÜ`bÝ`_ 1 a5b5 _aÛ`bÝ` =a6b6 (xyÛ`z)Ü`Ö xyz _ =xÜ`y6zÜ`Ö 2 } xÛ`z 3y {;3!; xÛ`yÛ`zÛ` 9 9 xÛ`yÛ`zÛ` _ _ xÛ`z 3y xÛ`z 3y =xÜ`y6zÜ`_ =3xÜ`yÜ`zÛ` 따라서 a=3, b=3, c=3, d=2이므로 a+b+c+d=3+3+3+2=11 (-6xÜ`y)Û`Ö(6xÛ`y)Û`_ 36x6yÛ`Ö36xÝ`yÛ`_ =-6xÜ`yÛ` =-6xÜ`yÛ`에서 xÛ`_ =-6xÜ`yÛ` ∴ = -6xÜ`yÛ` xÛ` =-6xyÛ` 주어진 식을 변형하면 -2xÝ`y6 A AÛ` -4x5yÜ` = ∴ A=2xÜ`yÜ` AÜ`=(-2xÝ`y6)_(-4x5yÜ`)=8x9y9=(2xÜ`yÜ`)Ü` (-abÛ`)Ü`Ö{ Ö(3aÛ`b)Û`}_ aÝ`b =(-aÜ`b6)Ö( Ö9aÝ`bÛ`)_ aÝ`b =(-aÜ`b6)Ö { _ 1 9aÝ`bÛ` } _ aÝ`b ;9!; ;9!; ;9!; =(-aÜ`b6)Ö =(-aÜ`b6)_ =- a11b9 9aÝ`bÛ` 9aÝ`bÛ` _ aÝ`b ;9!; _ aÝ`b ;9!; 따라서 - =-ab이므로 a11b9 =a11b9_ =a10b8 ;aÁb; 2Ü`+2Ü` 9Û`+9Û`+9Û` _(3Û`+3Û`+3Û`)= _(3_3Û`) 2_2Ü` 3_9Û` = 2Ý` 3_(3Û`)Û` _3Ü`= 2Ý` 35 _3Ü`= 2Ý` 3Û` = :Á9¤: 어떤 식을 A로 놓으면 AÖ4aÛ`b=2aÛ`b7 ∴ A=2aÛ`b7_4aÛ`b=8aÝ`b8 따라서 A에 4aÛ`b를 곱하여 바르게 계산하면 A_4aÛ`b=8aÝ`b8_4aÛ`b=32a6b9 AÖ(-2aÜ`b)Û`=- 이므로 b 16a _(-2aÜ`b)Û`= - _4aß`bÛ` b 16a } { A= - { =- b 16a } a5bÜ`` 4 따라서 바르게 계산하면 A_(-2aÜ`b)Û`= - _4a6bÛ`=-a11b5 a5bÜ`` 4 } { Ⅰ 수와 식 9  m이 짝수, n이 홀수이므로 m+1은 홀수, mn은 짝 의 길이는 3x, 높이는 5y인 원뿔이 만들어지므로 A  B  bÝ`  -  -2abÜ`  4aÛ`bÛ` :ªb: 에서 나타나는 규칙은 연속하는 두 식의 곱이 그 다 따라서 원기둥의 부피를 원뿔의 부피의 x배라 하면 음 식과 같다. B _bÝ`=- 에서 :ªb: B = - { :ªb:} _ 1 b4 =- 2a b5 A _ B =bÝ`에서 A _ - =bÝ` ∴ A =bÝ`_ - =- b5 2a } { 2a b5 } { b9 2a 수, m-n은 홀수이다. (-a)m+1_(-1)mn ∴ am_(-1)m-n = (-1)_am+1_1 am_(-1) = = -am+1 -am -am_a -am =a 원뿔의 높이를 x라 하면 prÛ`_h= _p_(2r)Û`_x ;3!; prÛ`h= prÛ`x ;3$; ∴ x=prÛ`hÖ prÛ`=prÛ`h_ ;3$; 3 4prÛ` = h ;4#; 직사각형의 세로의 길이를 A라 하면 두 도형의 넓이 가 서로 같으므로 9xÛ`yÛ`_A= _3xÛ`yÜ`_6xÜ`y ;2!; ∴ A= _3xÛ`yÜ`_6xÜ`yÖ9xÛ`yÛ`=xÜ`yÛ` ;2!; 직육면체의 높이를 h라 하면 8aÛ`b_ ab5_h=32a5b6 ;4!; ∴ h=32a5b6Ö 8aÛ`b_ { ab5 } ;4!; =32a5b6Ö2aÜ`b6 = 32a5b6 2aÜ`b6 =16aÛ` 원기둥의 부피를 V1, 원뿔의 부피를 V2라 하면 V1=p_(2a)Û`_b=4paÛ`b 2pabÛ` 3 _pbÛ`_2a= V2= ;3!; 10 정답과 해설 V1=x_V2이므로 x=V1ÖV2=4paÛ`bÖ 2pabÛ` 3 =4paÛ`b_ 3 2pabÛ` = :¤b: `(배) ACÓ를 회전축으로 하여 1회전 시키면 밑면의 반지름 의 길이는 5y, 높이는 3x인 원뿔이 만들어지므로 V1= ;3!; _p_(5y)Û`_3x=25pxyÛ` BCÓ를 회전축으로 하여 1회전 시키면 밑면의 반지름 V2= _p_(3x)Û`_5y=15pxÛ`y ;3!; V1 V2 ∴ = 25pxyÛ` 15pxÛ`y = 5y 3x P=2Ý`이므로 3224의 밑을 2로 변형하면 3224=(25)24=2120=(24)30=P30 A=34이므로 9Ý`Ö97의 밑을 3으로 변형하면 9Ý`Ö97= = 1 9Ü` 1 (3Û`)Ü` = 1 36 = 1 3Û`_3Ý` = 1 9A 1 166 = 1 (2Ý`)6 = 1 2Û`Ý` = 1 (2Ü`)8 = 1 x8 251-249을 250을 포함하는 식으로 변형하면 251-249=250_2-250Ö2=250 { 2- ;2!;} =250_ ;2#; 250=a이므로 (주어진 식)=250_ = a ;2#; ;2#; 10 = 0.810= {;1¥0;} (23)10 1010 = 230 1010 = 210을 1000(=103)으로 계산하면 (210)3 1010 = (103)3 1010 = 109 1010 = ;1Á0; =0.1 210_3 1010 = (210)3 1010 a=3x-1=3xÖ3에서 3a=3x ∴ 9x =(32)x=32x=3x_2 =(3x)2=(3a)Û`=9aÛ` a=22x-1=22xÖ2에서 2a=22x ∴ 4x=(22)x=22x=2a a=5x+1=5x_5이므로 5x= ;5A;  A=9x=(32)x=32x, B=32x+1=32x_3이므로 리의 자연수이다. 따라서 주어진 식은 끝에 오는 0의 개수가 15개이 고, 45는 두 자리의 수이므로 2+15=17, 즉 17자 ∴ 52x+1=52x_5=(5x)2_5 2 = {;5A;} _5= _5= aÛ` 25 aÛ` 5 a=2x+1=2x_2에서 2x= b=3x+1=3x_3에서 3x= ;2A; ;3B; ∴ 6x=(2_3)x=2x_3x= _ = ;3B; ;2A; ab 6 B=3A ∴ A+B =A+3A=4A 412_524 =(22)12_524=224_524 =(2_5)24=1024 따라서 주어진 식은 25자리의 자연수이다. 4_25_32_125 =2Û`_5Û`_2Þ`_5Ü` =2à`_5Þ`` =2Û`_2Þ`_5Þ`` =4_(2_5)Þ` =4_10Þ` 따라서 주어진 식은 끝에 오는 0의 개수가 5개이고, 4는 한 자리의 수이므로 1+5=6, 즉 6자리의 자연 수이다. ∴ n=6 213_58=25_28_58=32_(2_5)8=32_108 32는 두 자리의 수이므로 2+8=10, 즉 10자리의 자연수이다. ∴ n=10 ∴ nÛ`+n+1=10Û`+10+1=111 45_25x=(22)5_(52)x=210_52x 위의 식이 12자리의 자연수가 되려면 x>5이어야 하므로 a_1010(단, a는 두 자리의 자연수)의 꼴이 되어야 한다. 210_52x =210_52x-10_510 =52x-10_(2_5)10 =52x-10_1010 x=6일 때, 52_1010=25_1010  12자리 x=7일 때, 54_1010=625_1010  13자리 따라서 x=6이다. 229_1516 614 = = 229_(3_5)16 (2_3)14 229_316_516 214_314 =215_32_516 =32_5_215_515 =45_(2_5)15 =45_1015 28_25Ü` =28_(5Û`)Ü`=28_56 =2Û`_(2_5)6=4_106 즉, 4_106일 때 a가 최소가 된다. 따라서 a=4, n=6이므로 a+n=4+6=10 2x-1_5x+1 =2x-1_5(x-1)+2 =2x-1_5x-1_25 =25_(2_5)x-1 =25_10x-1 위의 식이 8자리의 자연수가 되려면 25_10x-1=25_106 이어야 하므로 x-1=6 ∴ x=7 =210_3Ü`_57 =2Ü`_3Ü`_27_57 =8_27_(2_5)7 =216_107 =21600`…`0 [ 7개 ∴ 2+1+6+7=16 a10=(32)10=320 3의 거듭제곱 수의 일의 자리의 숫자를 구해 보면 31  3, 3Û`  9, 3Ü`  7, 3Ý`  1, 35  3, …으로 4 개의 숫자 3, 9, 7, 1이 계속해서 반복된다. 따라서 320에서 20Ö4=5`…`0이므로 일의 자리의 숫자는 반복되는 수 중 마지막 숫자인 1이다. Ⅰ 수와 식 11 따라서 주어진 식은 끝에 오는 0의 개수가 8개이고, 2Ý`_57_12Ü` =2Ý`_57_(2Û`_3)Ü`=2Ý`_57_26_3Ü`  세 수의 밑을 같게 할 수 없으므로 지수를 같게 만든 C=510=(5Û`)5=255으로 변형하면 밑이 클수록 큰 다. 세 수의 지수의 최대공약수가 5이므로 세 수를 A=220=(2Ý`)5=165, B=315=(3Ü`)5=275, 수이므로 B>C>A이다. 따라서 큰 수부터 차례로 나열하면 B, C, A이다. 3 다항식의 계산 주제별 실력다지기 본문 35~38쪽 ⑤ ② ① ③ ③ ⑤ ① ③ ① ① ③ 14 ① - ;2@1(; ② ⑤ 2(xÛ`-3x-5)-a(xÛ`-2x-7) 따라서 바르게 계산한 식은 =2xÛ`-6x-10-axÛ`+2ax+7a -3xÛ`-7x+2+A =(2-a)xÛ`+(2a-6)x-10+7a =-3xÛ`-7x+2+(-10xÛ`-6x-1) 이 식이 일차식이 되려면 이차항이 없어야 하므로 =-3xÛ`-7x+2-10xÛ`-6x-1 2-a=0 ∴ a=2 =-13xÛ`-13x+1 =-3x+y+(-5x+2y) =-3x+y-5x+2y =-8x+3y 4-2{x-(xÛ`-3)+2xÛ`} =4-2(x-xÛ`+3+2xÛ`) ③ x(x-4y)= xÛ`-3xy ;4#; ;4#; =4-2(xÛ`+x+3) =4-2xÛ`-2x-6 =-2xÛ`-2x-2 =(6aÛ`bÜ`-3abÛ`+12aÛ`b)Ö ab =(6aÛ`bÜ`-3abÛ`+12aÛ`b)_ =4abÛ`-2b+8a ;2#; ;3a@b; 따라서 A=-2, B=-2, C=-2이므로 A-2B+C=-2+4-2=0 5x-[7x-2y-{-x+2y-(3x+7y)}] =5x-{7x-2y-(-x+2y-3x-7y)} =5x-{7x-2y-(-4x-5y)} =5x-(7x-2y+4x+5y) =5x-(11x+3y) =5x-11x-3y=-6x-3y 따라서 a=-6, b=-3이므로 = =2 a b -6 -3 (-3xÛ`-7x+2)-A=7xÛ`-x+3에서 A =(-3xÛ`-7x+2)-(7xÛ`-x+3) =-3xÛ`-7x+2-7xÛ`+x-3 =-10xÛ`-6x-1 12 정답과 해설 (15xÛ`-27xy)Ö3x+(30xy-15yÛ`)Ö(-5y) = 15xÛ`-27xy 3x + 30xy-15yÛ` -5y =5x-9y-6x+3y =-x-6y 따라서 x의 계수는 -1이다. (xÜ`yÛ`-8xÛ`yÜ`)Ö(-xy)Û`-(x-4)_2x xÜ`yÛ`-8xÛ`yÜ` (-xy)Û` xÜ`yÛ`-8xÛ`yÜ` xÛ`yÛ` = -2xÛ`+8x =x-8y-2xÛ`+8x =-2xÛ`+9x-8y 어떤 다항식을 A라 하면 = -(2xÛ`-8x)  -(3x-2y)_5xy+(8xÜ`yÛ`-4xÛ`yÜ`)Ö xy ;3@; ;2[#]; =-15xÛ`y+10xyÛ`+(8xÜ`yÛ`-4xÛ`yÜ`)_ =-15xÛ`y+10xyÛ`+12xÛ`y-6xyÛ` =-3xÛ`y+4xyÛ` 따라서 A=-3, B=4이므로 A+B=-3+4=1 3xy-4yz+2xz xyz = - ;z#; ;[$; + ;]@; 이때 x=- , y=- , z= 이므로 ;2!; ;3!; ;4!; =-2, =-3, =4 ;[!; ;]!; ;z!; ∴ - ;z#; ;[$; ;]@; + =3_4-4_(-2)+2_(-3) =12+8-6=14 (직육면체의 부피) =(가로의 길이)_(세로의 길이)_(높이)이므로 40aÛ`b-10abÛ`=4a_5b_(높이) ∴ (높이)= 40aÛ`b-10abÛ` 20ab =2a- b ;2!; x=2k, y=5k를 분자, 분모에 대입하면 (분자)=xÛ`+yÛ`=(2k)2+(5k)2=4k2+25k2=29k2 (분모)=xÛ`-yÛ`=(2k)Û`-(5k)Û`=4k2-25k2=-21k2 ∴ xÛ`+yÛ` xÛ`-yÛ` = 29kÛ` -21kÛ` =- ;2@1(; y=x+3을 -3x+7y-5에 대입하여 y를 없애면 x`:`y`:`z=1`:`2`:`3이므로 상수 k(k+0)에 대하여 -3x+7(x+3)-5 =-3x+7x+21-5 x=k, y=2k, z=3k라 하면 =4x+16 (5x+2y-2z)Û` xÛ`+yÛ`+zÛ` = (5k+2_2k-2_3k)Û` kÛ`+(2k)Û`+(3k)Û` (A+B)-(2A-B) =A+B-2A+B = = (5k+4k-6k)Û` kÛ`+4kÛ`+9kÛ` 9kÛ` 14kÛ` ;1»4; = =-A+2B =-(2x+y)+2(x-2y) =-2x-y+2x-4y =-5y 단원 종합 문제 ③ ⑤ ② ④ ④, ⑤ ④ ② ② 5.H6 a5 64bÜ` aÛ`+3ab-4b 본문 39~42쪽 ④ ④ ③, ⑤ 0.H9H3 -2배 ② 9 ⑤ 25 21 ④ ③ :Á8°: ④ ④ ② -1.H9=-2이므로 유리수이면서 정수이다. ③ 1.H31H2는 순환소수이므로 유리수이다. ⑤ 3.14159는 유한소수이므로 유리수이다. ④ 모든 순환소수는 분수로 나타낼 수 있다. ;25&0; = 7 2 _5Ü` = 7_ 2Û` 2 _5Û`_ 2Û` = 28 2Û`_5Û` 28 10 3 = ∴ A=2, B=4, C=28, D=3, E=0.028 = 0.028 ;10@0*0; = Ⅰ 수와 식 13  0.1+0.01+0.001+0.0001+…=0.1111…=0.H1 분모는 올바르게 보았으므로 처음 기약분수의 분모 각 분수를 기약분수로 만든 후 분모에 2나 5 이외의 소인수만 있으면 유한소수로 나타낼 수 있다. ① 1.H3_ = ;5#; = ;5$;  유한소수 :Á9ª:_;5#; 2 5Ü`  유한소수 ③ =3Ö0.2H6=3Ö ;9@0$; =3_ = ;2(4); :¢4°:= 45 2Û` ② = 14 5Ü`_7 3 0.2H6  유한소수 ④ ⑤ 9 2Þ`_3Ü`_5 21 3_5Û`_7 = 1 2Þ`_3_5 1 5Û` =  유한소수  무한소수 ∴ (0.1+0.01+0.001+0.0001+…) ;5!; = ;5!; _0.H1= _ = ;9!; ;5!; ;4Á5; 따라서 = ;[!; ;4Á5; 이므로 x=45 33 2x = 3_11 2x 이 순환소수가 되므로 기약분수로 나타 냈을 때, 분모에 2와 5 이외의 소인수가 존재해야 한 다. 따라서 분자가 3_11이므로 30보다 작은 자연수 중 x의 값이 될 수 있는 수는 7, 9, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 23, 26, 27, 28, 29이고, 이 중에서 홀수는 9개이다. ;1Á2; = 1 2Û`_3 , ;2£8; = 3 2Û`_7 장 작은 수는 21이다. 자연수 x에 대하여 É É 이라 하면 ;2!; ;5Ó6; ;7^; É É ;5@6*; ;5Ó6; ;5$6*; 이므로 28ÉxÉ48 이때 = ;5Ó6; x 2Ü`_7 이어야 한다. 가 유한소수이므로 x는 7의 배수 따라서 x=28, 35, 42이므로 구하는 합은 + ;5@6*; ;5#6%; + ;5$6@;=:Á5¼6°: :Á8°: = ;1¢1; =0.363636…`이므로 소수점 아래 홀수 번째 자 리의 숫자는 3이고, 짝수 번째 자리의 숫자는 6이다. 따라서 소수점 아래 68번째 자리의 숫자는 6이다. 14 정답과 해설 어떤 순환소수를 기약분수로 나타낸 수를 `(단, ;15K0; k는 상수)라 하면 = ;15K0; ;9¤0ð0; 이므로 이 순환소수는 a.bcHd의 형태이다. ④ 소수 셋째 자리의 숫자만 순환마디이다. ⑤ 이 순환소수를 기약분수로 나타내었을 때, 분자가 13이면 이 순환소수는 13 150 = 78 900 =0.08H6이다. 따라서 옳지 않은 것은 ④, ⑤이다. 선영：0.H3= = ;9#; ;3!; 는 3이다. 지영：1.H8= 18-1 9 = :Á9¦: 는 17이다. 분자는 올바르게 보았으므로 처음 기약분수의 분자 따라서 처음의 기약분수는 이므로 순환소수로 나 :Á3¦: 타내면 =17Ö3=5.666…`=5.H6 :Á3¦: a 60 = a 2Û`_3_5 를 소수로 나타내면 유한소수이므로 a는 3의 배수이고, 를 기약분수로 나타내면 이 a 60 3 b 므로 a는 9의 배수이다. 10ÉaÉ60인 수 중에서 9의 배수는 18, 27, 36, 45, 0.HxHy+0.HyHx= 11x+11y 99 = 10x+y 99 x+y 9 = 6 9 + 10y+x 99 6 9 = 이므로 에서 x+y=6 이때 x, y는 x>y인 한 자리의 자연수이므로 x=5, y=1 또는 x=4, y=2 따라서 0.HxHy로 가능한 수는 0.H5H1= , 0.H4H2= 51 99 42 99 이므로 그 합은 51 99 42 99 93 99 + = =0.H9H3 (주어진 식) =(-x)_(-y3)_x8_y2 =x1+8y3+2=x9y5 두 분수를 모두 유한소수로 나타낼 수 있게 하려면 54이므로 가능한 a, b의 값은 a=18, b=10 또는 두 분수에 3과 7의 공배수를 곱하면 된다. a=36, b=5 또는 a=45, b=4이다. 따라서 자연수 A는 21의 배수이므로 A의 값 중 가 ∴ a+b=28, 41, 49  3 = xa yb } x3a y3b = x18 y6 이므로 { 3a=18 ∴ a=6 3b=6 ∴ b=2 ∴ a-b=6-2=4 (xÝ`)Ü`Öx5Ö(xÛ`)Û` =x12Öx5ÖxÝ`=x12-5ÖxÝ` =x7ÖxÝ`=x7-4=xÜ` ① 2Ü`+2Ü`+2Ü`+2Ü`=4_2Ü`=2Û`_2Ü`=22+3=25 ② 4(2Ü`+2Ü`)=4_(2_2Ü`)=2Û`_21+3=22+4=26 ③ 2Û`_2Ü`=22+3=25` ④ (2Û`)Ý`Ö2Ü`=28Ö2Ü`=28-3=25 ⑤ 28Ö26_2Ü`=28-6_2Ü`=22+3=25 따라서 A=4xÛ`y5이므로 A 4xy = 4xÛ`y5 4xy =xyÝ` (가) 주어진 식의 밑을 2로 통일하면 82x-1_162xÖ45x+4 =(23)2x-1_(24)2xÖ(22)5x+4 =26x-3_28xÖ210x+8 =26x-3+8x-(10x+8) =24x-11 따라서 24x-11=29이므로 4x-11=9 4x=20 ∴ x=5 (나) 411_518 =(22)11_518=222_518 =24_218_518=16_(2_5)18 =16_1018 (직육면체의 부피)=(밑넓이)_(높이)이므로 이고 16은 두 자리의 수이므로 2+18=20, 즉 따라서 주어진 식은 끝에 오는 0의 개수가 18개 112aÛ`b=(4a)Û`_(높이)에서 (높이)=112aÛ`bÖ(4a)Û`=112aÛ`b_ =7b 1 16aÛ` 20자리의 자연수이다. ∴ y=20 ∴ x+y=5+20=25 주어진 식의 나눗셈을 곱셈으로 바꾸어 정리하면 a6bÛ`_ - { ;4!; 1 8aÛ`bÝ` } _ 1 =- :ªaõ: - { aÝ` 32bÛ` } _ 1 =- :ªaõ: 1 = - { :ªaõ:} Ö - { aÝ` 32bÛ` } = - { _ - { 32bÛ` aÝ` } = 64bÜ` a5 :ªaõ:} a5 64bÜ` ∴ = (가) xÛ`yÜ`_ A Ö4xÝ`y5=xyÛ`에서 A =xyÛ`_ =4xÜ`yÝ` 4xÝ`y5 xÛ`yÜ` ∴ a=4 (나) x5yÛ`Ö4xyÜ`_ B =-2xÝ`y7에서 B =-2xÝ`y7_ =-8y8` 4xyÜ` x5yÛ` ∴ b=-8 따라서 b는 a의 -2배이다. (-2xyÛ`)Ü`ÖA=-2xy에서 -8xÜ`y6_ =-2xy ;a!;; = ;a!;; -2xy -8xÜ`y6 = 1 4xÛ`y5 27_5Ý`=2Ü`_2Ý`_5Ý`=8_(2_5)Ý`=8_10Ý`=80000 따라서 주어진 자연수는 다섯 자리의 수이므로 n=5 816Ö49=(23)16Ö(22)9=248Ö218=248-18=230 210=A이므로 230=(210)3=A3 (9xÛ`-27xy)Ö(-3x)- 10xÛ`+5xy 5x = 9xÛ`-27xy -3x - 10xÛ`+5xy 5x =-3x+9y-(2x+y) =-3x+9y-2x-y =-5x+8y 따라서 A=-5, B=8이므로 A+B=-5+8=3 어떤 다항식을 A라 하면 A+(aÛ`-2ab+3b)=3aÛ`-ab+2b에서 A =3aÛ`-ab+2b-(aÛ`-2ab+3b) =2aÛ`+ab-b 따라서 바르게 계산한 식은 A-(aÛ`-2ab+3b) =2aÛ`+ab-b-aÛ`+2ab-3b =aÛ`+3ab-4b Ⅰ 수와 식 15 II 부등식 1 일차부등식 주제별 실력다지기 ④ -5<AÉ7 ②, ⑤ ③ -2 -3 ⑤ 2 -1 ① 3 - <3x-2y< ;2&; ;3%; 8<xy<24, 1< É3 ③ ⑴ x>1 ⑵ x¾1 ⑶ x<26 ④ ;[}; ① 5 x<-2 ③ ⑤ x<- -3 ;3%; 해가 없다 ④ ② ①, ② -1 ③ -2Éa<-1 0<aÉ1 -2<aÉ- ;4&; ④ ⑤ - ;4!; 6 본문 46~53쪽 ④ -9 ① -9 3Éx<6에서 6_(-2)<-2xÉ3_(-2) -12+1<-2x+1É-6+1 ∴ -11<AÉ-5 -4Éx<2에서 -4<-2xÉ8 -5<-2x-1É7 ∴ -5<AÉ7 -3Éa<2에서 (-3)_4É4a<2_4 -12+1É4a+1<8+1 ∴ -11ÉX<9 고, 최소 정수는 -11이므로 M=8, m=-11 ∴ M+m=8+(-11)=-3 -2Éx<2에서 -4<-2xÉ4 ∴ 1<-2x+5É9 이 부등식을 만족하는 X의 값 중 최대 정수는 8이 따라서 이 부등식을 만족하는 -2x+5의 값 중 가 장 작은 자연수는 2이다. -3<-2a+7É5에서 -3-7<-2aÉ5-7 -10<-2aÉ-2, Éa< -2 -2 -10 -2 ∴ 1Éa<5 -10É-3x+2<5에서 -10-2É-3x<5-2 -12É-3x<3 ∴ -1<xÉ4 따라서 a=-1, b=4이므로 a+b=-1+4=3 16 정답과 해설 ① [반례] a=-1, b=2이면 1 -1 < ;2!; 이므로 -1<2, 즉 ab ③ a<b에서 c>0이면 ac ;cA; ;cB; 의 양변에 cÛ`을 곱하면 ac>bc ⑤ a<b에서 c>0이면 < ;cB; ;cA; 1-3a<1-3b에서 -3a<-3b ∴ a>b ① a>b에서 4a>4b ③ a>b에서 -2a<-2b ④ a>b에서 9a>9b ∴ 9a-3>9b-3 ⑤ a>b에서 a+10>b+10 ① a<b에서 -c>0이므로 - <- ;cA; ` ;cB; ② a<b에서 -a>-b, c-a>c-b ∴ c-a 2 > c-b 2 ③ 0<a<b에서 > ;b!; ;a!; 이때 c<0이므로 < ;bC; ;aC; ④ 0<a<b에서 <1 ∴ -c<1-c ;bA; ;bA; ⑤ 0<a<b에서 aÛ`<bÛ`, -aÛ`>-bÛ` ∴ -aÛ`-c>-bÛ`-c x+y=2에서 y=2-x 조건에서 y¾0이므로 2-x¾0 ∴ xÉ2 또한 x¾0이므로 0ÉxÉ2 ∴ -2É-xÉ0 …… ㉠ 이때 a는 양수이므로 0ÉayÉ2a …… ㉡ 1< É3 ;[}; 마찬가지로 x+y=2에서 x=2-y x¾0이므로 2-y¾0 ∴ yÉ2 y¾0이므로 0ÉyÉ2 ㉠, ㉡에서 -2Éay-xÉ2a 따라서 ay-x의 최솟값은 -2이다. ① 1<x<4, 2<y<5에서 1+2<x+y<4+5 ∴ 3<x+y<9 ② 1<x<4, -5<-y<-2에서 ④ -4<-x<-1, 2<y<5에서 1-5<x-y<4-2 ∴ -4<x-y<2 ③ 1<x<4, 2<y<5에서 1_2<xy<4_5 ∴ 2<xy<20 2-4<y-x<5-1 ∴ -2<y-x<4 ⑤ 1<x<4, < < ;]!; ;2!; ;5!; 에서 1_ < <4_ ;5!; ;]{; ;2!; ∴ < ;5!; ;]{; <2 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 1ÉxÉ3, aÉyÉb에서 2É2xÉ6, -bÉ-yÉ-a ∴ 2-bÉ2x-yÉ6-a 따라서 2-b=2, 6-a=7이므로 a=-1, b=0 ∴ a+b=-1 - <x<1, <y<1이므로 ;3@; - <3x<3, -2<-2y<- ;3$; ;2!; ;2#; ∴ - <3x-2y< ;2&; ;3%; -3<-xÉ2, -12É-3yÉ3이므로 -15<-x-3yÉ5 2_4<xy<4_6에서 8<xy<24 < ;4!; ;[!; ;2!; É 이므로 _4< É _6에서 ;4!; ;[}; ;2!; ① -3x+7<-2에서 -3x<-9 ∴ x>3 ② 3x-20>x+6에서 2x>26 ∴ x>13 ③ -x+ <5에서 -x< ∴ x>- ;2!; ;2(; ④ -2x+7<3x+2에서 -5x<-5 ∴ x>1 ⑤ 4x-1<1-6x에서 10x<2 ∴ x< ;2(; ;5!; ⑴ 2(x-5)+5>-6x+3에서 2x-10+5>-6x+3 8x>8 ∴ x>1 ⑵ 0.3x+0.2É1.2x-0.7의 양변에 10을 곱하면 3x+2É12x-7, -9xÉ-9 ∴ x¾1 ⑶ 2x-1 3 < ;"2{; 곱하면 ∴ x<26 +4의 양변에 분모의 최소공배수 6을 2(2x-1)<3x+24, 4x-2<3x+24 6(x-4)-3É5x-(4x-3)에서 6x-24-3É5x-4x+3, 6x-27Éx+3 5xÉ30 ∴ xÉ6 + > ;3{; ;3!; 의 양변에 분모의 최소공배수 6을 곱 x-1 2 하면 3(x-1)+2x>2, 3x-3+2x>2 5x>5 ∴ x>1 따라서 1보다 큰 수는 모두 해가 된다. x-7 5 -0.3x>- 의 양변에 10을 곱하면 ;2#; 2(x-7)-3x>-15 2x-14-3x>-15 -x>-1 ∴ x<1 따라서 가장 큰 정수는 5, 가장 작은 정수는 -14가 따라서 1보다 작은 자연수는 없으므로 이 부등식을 되어 구하는 합은 -9이다. 만족하는 자연수 x는 없다. 즉, x의 개수는 0이다. Ⅱ 부등식 17  ax+2a>0에서 ax>-2a 이때 a<0이므로 x<-2 a<2,즉 a-2<0이므로 (a-2)x¾4(a-2)의 양변을 a-2로 나누면 xÉ 4(a-2) a-2 ∴ xÉ4 (2a-8)xÉ5a-20 에서 2(a-4)xÉ5(a-4) a<4,즉 a-4<0이므로 x¾ 5(a-4) 2(a-4) ∴ x¾ ;2%; ax+5>bx+9에서 (a-b)x>4 이때 a=b이므로 0_x>4 따라서 주어진 부등식을 만족하는 해가 없다. ax-1>4x+3a에서 (a-4)x>3a+1 부등식의 해가 없으므로 위의 부등식은 0_x>(0 또는 양수)의 꼴이어야 한다. 따라서 a-4=0이고 3a+1¾0이므로 a=4 따라서 이 부등식을 만족하는 정수 x의 최솟값은 3 이다. (2a+3b)x+(a+b)>0에서 (2a+3b)x>-a-b 주어진 부등식의 해가 x<- 로 부등호의 방향이 ;4!; a=5 a(x+2)<5x+3에서 ax+2a<5x+3 ∴ (a-5)x<3-2a 부등식을 만족하는 해가 없으려면 위의 부등식은 0_x<(0 또는 음수)의 꼴이어야 한다. 따라서 a-5=0이고 3-2aÉ0이므로 바뀌었으므로 2a+3b<0 …… ㉠ (2a+3b)x>-a-b에서 x< 따라서 -a-b 2a+3b =- 이므로 ;4!; -a-b 2a+3b 2a+3b=4(a+b), 2a+3b=4a+4b ∴ b=-2a …… ㉡ ㉡을 (a+2b)x+(2b-a)>0에 대입하면 (a-4a)x+(-4a-a)>0, -3ax>5a 이때 ㉡을 ㉠에 대입하면 2a-6a<0, -4a<0 ∴ a>0 -3ax>5a에서 a>0이므로 x< 5a -3a ∴ x<- ;3%; (a-1)x>b의 해가 x< 로 부등호의 방향이 바뀌 ;3!; 었으므로 a-1<0이다. (a-1)x>b에서 x< 이므로 b a-1 b a-1 = ;3!; ∴ a-1=3b …… ㉠ 이때 a-1<0이므로 3b<0 ∴ b<0 또 주어진 조건에서 bÛ`=1이므로 b=-1`(∵ b<0) b=-1을 ㉠에 대입하면 a-1=-3 ∴ a=-2 ∴ a+b=-2+(-1)=-3 18 정답과 해설 ax-1<3x+b에서 (a-3)x<b+1 부등식을 만족하는 해가 모든 수이려면 위의 부등식 은 0_x<(양수)의 꼴이어야 한다. 따라서 a-3=0, b+1>0이므로 a=3, b>-1 ax-4Éb(x-2)에서 ax-4Ébx-2b ∴ (a-b)xÉ4-2b …… ㉠ ① [반례] a=1, b=0이면 ㉠에서 xÉ4이므로 부등 식을 만족하는 자연수 x가 존재한다. ② a<b이면 a-b<0이므로 ㉠에서 x¾ ③ a>b이면 a-b>0이므로 ㉠에서 xÉ 4-2b a-b 4-2b a-b ④ a=b이면 a-b=0, bÉ2이면 4-2b¾0이므로 ㉠은 0_xÉ(0 또는 양수)의 꼴이 된다. 따라서 해는 모든 수이다. ⑤ a=b이면 a-b=0, b>2이면 4-2b<0이므로 ㉠은 0_xÉ(음수)의 꼴이 된다. 따라서 해가 없다. 2ax-8<0에서 2ax<8 ∴ ax<4 주어진 부등식의 해가 x>-4로 부등호의 방향이 바뀌었으므로 a<0이다.  ax<4에서 x> 이므로 =-4 ;a$; ;a$; ∴ a=-1 ax+4<3x+2a에서 (a-3)x<2a-4 …… ㉠ 주어진 부등식의 해가 x> 로 부등호의 방향 2a-4 a-3 이 바뀌었으므로 ㉠에서 x의 계수 a-3<0이다. ∴ a<3 x-3¾4x-3에서 -3x¾0 ∴ xÉ0 a-4x¾-3x+6에서 -x¾6-a ∴ xÉa-6 두 일차부등식의 해 xÉ0과 xÉa-6이 서로 같으 수가 없다. 므로 a-6=0 ∴ a=6 -a=2이면 x<2이므로 부등식을 만족하는 자연수 가 1개이다. 따라서 1<-aÉ2이므로 -2Éa<-1 2(x-a)<x-a+1에서 2x-2a<x-a+1 ∴ x<a+1 이 부등식을 만족하는 자연수 x가 1개이므로 a+1은 다음 그림과 같이 1과 2 사이의 값이 되어야 한다. (cid:18) (cid:66)(cid:12)(cid:18) (cid:19) a+1=1이면 x<1이므로 부등식을 만족하는 자연 a+1=2이면 x<2이므로 부등식을 만족하는 자연 수가 1개이다. 따라서 1<a+1É2이므로 0<aÉ1 x-1¾ x+2의 양변에 분모의 최소공배수 4를 ;2!; ;4#; 곱하면 2x-4¾3x+8, -x¾12 ∴ xÉ-12 따라서 ax-1¾2, 즉 ax¾3의 해는 xÉ-12이다. 이때 해의 부등호의 방향이 바뀌었으므로 a<0이다. 일차부등식을 풀면 4(x-a)¾5x+2에서 4x-4a¾5x+2 -x¾4a+2 ∴ xÉ-4a-2 …… ㉠ 즉, 부등식 ㉠을 만족하는 자연수 x가 5개이므로 -4a-2는 다음 그림과 같이 5와 6 사이의 값이 되 ax¾3에서 xÉ 이므로 =-12 ;a#; ;a#; 어야 한다. ∴ a=- ;4!; 0.3x-0.2(x-4)>0.4의 양변에 10을 곱하면 연수가 5개이다. 3x-2(x-4)>4, 3x-2x+8>4 -4a-2=6이면 xÉ6이므로 부등식을 만족하는 자 (cid:22) (cid:14)(cid:21)(cid:66)(cid:14)(cid:19) (cid:23) -4a-2=5이면 xÉ5이므로 부등식을 만족하는 자 ∴ x>-4 5x-a>-3+2x에서 3x>a-3 ∴ x> a-3 3 두 일차부등식의 해가 서로 같으므로 =-4, a-3=-12 a-3 3 ∴ a=-9 연수가 6개가 되어 성립하지 않는다. 따라서 5É-4a-2<6이므로 7É-4a<8 ∴ -2<aÉ- ;4&; -3(x+2)+3>-3(k+1)에서 -3x-6+3>-3k-3, -3x>-3k ∴ x2x에서 -x>a ∴ x<-a 이 부등식을 만족하는 자연수 x가 존재하지 않으려면 이 부등식을 만족하는 자연수 x가 1개이므로 -a는 k는 다음 그림과 같이 1보다 작은 값이 되어야 한다. 다음 그림과 같이 1과 2 사이의 값이 되어야 한다. (cid:18) (cid:14)(cid:66) (cid:19) 이때 k=1이면 x<1이므로 성립한다. (cid:76) (cid:18) -a=1이면 x<1이므로 부등식을 만족하는 자연수 따라서 구하는 k의 값의 범위는 kÉ1 가 없다. 그러므로 k의 값이 될 수 없는 것은 ⑤이다. Ⅱ 부등식 19  일차부등식을 풀면 3x-5 2 >2x-a에서 3x-5>4x-2a (cid:19)(cid:66)(cid:14)(cid:22) (cid:18) 2a-5=1이면 x<1이므로 부등식을 만족하는 자연 -x>5-2a ∴ x<2a-5 수가 없다. x<2a-5를 만족하는 자연수 x가 없어야 한다. 즉, 2a-5É1이므로 2aÉ6 ∴ aÉ3 따라서 2a-5가 다음 그림과 같이 1보다 작은 값이 이를 만족하는 자연수 a는 1, 2, 3이므로 구하는 합은 되어야 한다. 1+2+3=6 2 부등식의 활용 주제별 실력다지기 본문 55~65쪽 100`g 500`g 300`g 2개월 13750원 15000원 4`km 4시간 200`g ③ ② 20`% 38명 ③ 88점 ⑤ 6개 17 20`cm ⑤ ③ ④ ② ④ ③ ② ③ ④ ① ② ④ 6송이 ⑤ ② ① ⑤ 0<x<25 90분 초과 100분 이하 ③ ③ 4.4`km x>2 6`cmÉABÓÉ8`cm x`km까지 올라갔다 내려온다고 하면 2x+3+2xÉ9, 4xÉ6 ∴ xÉ1.5 (올라갈 때 걸리는 시간)+(내려올 때 걸리는 시간) 따라서 극장에서 1.5`km 이내의 식당을 이용해야 É(3시간 30분) 한다. 이므로 + ;3{; ;4{; É ;2&; 4x+3xÉ42, 7xÉ42 ∴ xÉ6 따라서 최대 6`km까지 올라갔다 내려올 수 있다. 고속버스 터미널에서 식당까지의 거리를 x`km라 하면 (식당까지 가는 시간)+(밥을 먹는 시간) +(터미널로 오는 시간)É(2시간) 집에서 x`km 떨어진 곳까지 갔다온다고 하면 (갈 때 걸리는 시간)+(올 때 걸리는 시간) 이므로 + + ;4#; ;5{; ;5{; É2 É(2시간 15분) 4x+15+4xÉ40, 8xÉ25 ∴ xÉ :ª8°: 따라서 고속버스 터미널에서 `km 이내의 식당을 :ª8°: 이므로 + ;3{; ;2{; É ;4(; 수 있다. 4x+6xÉ27, 10xÉ27 ∴ xÉ2.7 따라서 집에서 최대 2.7`km 떨어진 곳까지 갔다올 이용할 수 있다. 식당까지의 거리를 x`km라 하면 로 뛰어간 거리는 (12-x)`km이다. (식당까지 갈 때 걸리는 시간)+(점심 먹는 시간) (시속 3`km로 걸어간 시간) +(올 때 걸리는 시간)É(1시간 반) +(시속 5`km로 뛰어간 시간)É(3시간) 시속 3`km로 걸어간 거리를 x`km라 하면 시속 5`km 이므로 + + É ;2#; ;3{; ;2!; ;3{; 20 정답과 해설 이므로 + ;3{; 12-x 5 É3  5x+3(12-x)É45 4`%의 소금물 300`g에 들어 있는 소금의 양은 5x+36-3xÉ45, 2xÉ9 ∴ xÉ4.5 따라서 A지점으로부터 최대 4.5`km까지 시속 3`km 로 걸을 수 있다. _300=12`(g) ;10$0; 증발시킬 물의 양을 x`g이라 하면 12 300-x _100¾6 시속 4`km로 걸은 거리를 x`km라 하면 시속 3`km 1200¾6(300-x) 로 걸은 거리는 (10-x)`km이므로 1200¾1800-6x, 6x¾600 ` (시속 3`km로 걸은 시간) ∴ x¾100 +(시속 4`km로 걸은 시간)É(3시간) 따라서 100`g 이상의 물을 증발시켜야 6`% 이상의 이므로 10-x 3 + ;4{; É3 4(10-x)+3xÉ36, -xÉ-4 ∴ x¾4 소금물이 된다. 따라서 시속 4`km로 걸은 거리는 4`km 이상이다. 10`%의 소금물 500`g에 들어 있는 소금의 양은 도서관까지의 거리를 x`km라 하면 (갈 때 걸리는 시간)-(올 때 걸리는 시간)¾(30분) 더 넣는 물의 양을 x`g이라 하면 물을 더 넣어도 소 이므로 - ;3{; ;4{; ¾ ;2!; 4x-3x¾6 ∴ x¾6 따라서 도서관까지의 최소 거리는 6`km이다. 그러므로 도서관까지 갈 때와 돌아올 때 모두 시속 3`km로 걸었을 때 걸리는 최소 시간은 + ;3^; ;3^; =2+2=4(시간) 7`%의 소금물의 양을 x`g이라 하면 전체 소금의 양은 _200+ _x=6+0.07x`(g) ;10#0; ;10&0; 섞은 후의 소금물의 양은 (200+x)`g이므로 6+0.07x 200+x _100¾5 100(6+0.07x)¾5(200+x) 600+7x¾1000+5x 2x¾400 ∴ x¾200 따라서 7`%의 소금물은 200`g 이상 섞어야 한다. 16`%의 소금물의 양을 x`g이라 하면 전체 소금의 양은 _200+ _x=20+0.16x`(g) ;1Á0¼0; ;1Á0¤0; 섞은 후의 소금물의 양은 (200+x)`g이므로 20+0.16x 200+x _100¾12 100(20+0.16x)¾12(200+x) 2000+16x¾2400+12x, 4x¾400 ∴ x¾100 _500=50`(g) ;1Á0¼0; 금의 양은 변하지 않으므로 50 500+x _100É5 5000É5(500+x) 1000É500+x ∴ x¾500 따라서 최소 500`g의 물을 더 넣어야 한다. 더 넣어야 할 소금의 양을 x`g이라 하면 90+x 1000+x _100¾30 100(90+x)¾30(1000+x) 9000+100x¾30000+30x 70x¾21000 ∴ x¾300 따라서 300`g 이상의 소금을 더 넣어야 한다. x개월 후 언니의 예금액은 (30000+6000x)원, 동 생의 예금액은 (12000+5000x)원이므로 (30000+6000x)-(12000+5000x)¾20000 1000x¾2000 ∴ x¾2 따라서 언니와 동생의 예금액의 차가 20000원 이상 이 되는 것은 2개월 후부터이다. 야구 모자의 정가를 x원이라 하면 (정가의 1할을 할인한 금액)-(원가) 이어야 하므로 ¾(원가의 1할 5푼) Ⅱ 부등식 21 따라서 16`%의 소금물은 100`g 이상 섞었다. 0.9x-7200¾7200_0.15  0.9x¾1080+7200, 0.9x¾8280 1년에 x편의 프로그램을 다시 본다고 하면 비회원일 ∴ x¾9200 때 다시 보기 비용은 500x원이고, 회원일 때 다시 따라서 모자의 정가를 9200원 이상으로 정해야 한다. 보기 비용은 (2000+500_0.9_x)원이므로 옷의 정가를 x원이라 하면 (정가의 20`%를 할인한 금액)-(원가) ¾(원가의 10`%) 이어야 하므로 0.8x-10000¾10000_0.1 0.8x¾11000 ∴ x¾13750 따라서 정가를 13750원 이상으로 정해야 한다. 꽃다발의 원가를 x원이라 하면 (원가에 3할의 이익을 붙인 정가)-1500-(원가) ¾(원가의 20`%) ∴ x>20 리하다. 이어야 하므로 1.3x-1500-x¾0.2x 0.1x¾1500 ∴ x¾15000 따라서 원가의 최솟값은 15000원이다. 원가를 a원이라 하면 25`%의 이익을 붙여 정가를 정 일 때, B 요금제가 유리하다. 하므로 (정가)=a 1+ =1.25a(원) { ;1ª0°0;} 또한, 정가에서 x`% 할인한다고 하면 손해보지 않아 야 하므로 (정가에서 x`% 할인한 금액)¾(원가)이 어야 한다. 1.25a_ 1- { ;10{0;} ¾a, 1.25 1- { ;10{0;} ¾1 125 1- { ;10{0;} ¾100, 125- x¾100 ;4%; 컵을 x개 산다고 하면 동네 가게에서 살 때의 비용은 6500x원이고, 인터넷 쇼핑몰에서 살 때의 비용은 (2500+6000x)원이므로 6500x>2500+6000x 500x>2500 ∴ x>5 - x¾-25 ∴ xÉ20 ;4%; 할 수 있다. 따라서 손해를 보지 않으려면 최대 20`%까지 할인 입장객 수를 x명이라 하면 500x>2000+450x, 50x>2000 ∴ x>40 따라서 1년에 41편 이상 다시 보기를 할 때, 회원 가 입을 하는 것이 유리하다. x권을 빌린다고 하면 (기본 회비)+(할인된 대여료)<(일반 대여료)이 어야 기본 회비를 내는 것이 유리하므로 10000+500x<1000x -500x<-10000 따라서 21권 이상 빌려야 기본 회비를 내는 것이 유 한 달 평균 이동전화 사용 시간을 x분이라 하면 15000+180x>18000+120x 60x>3000 ∴ x>50 따라서 한 달 평균 이동전화 사용 시간이 50분 초과 x명의 학생이 미술관을 관람한다고 하면 (30명의 단체 요금)<(x명의 요금 총액)이어야 단 체 요금을 내는 것이 유리하므로 6000_0.8_30<6000x 0.8_3024 이 유리하다. 따라서 25명 이상이면 30명의 단체 요금을 내는 것 (30명의 단체권 요금)<(x명의 입장료)이므로 30_14000_0.7<14000x 30_0.721 따라서 22명 이상이면 단체권을 사는 것이 유리하다. 4명이 버스를 탔을 때 요금은 900_4=3600(원) 4명이 택시를 타고 x`km를 간다면 1`km마다 요금 따라서 컵을 6개 이상 살 때, 인터넷 쇼핑몰에서 사 이 500원씩 오르므로 택시비는 2400+500(x-2) 는 것이 유리하다. 원이다. 22 정답과 해설  3600>2400+500(x-2) 1200>500(x-2) x-2< ∴ x< =4.4 :Á5ª: :ª5ª: 따라서 4.4`km 미만까지는 택시를 타는 것이 유리 하다. 1인당 티켓 요금을 a원이라 하고, 20명 이상 40명 미만인 관객을 x명이라 하면 티켓 요금은 (x_a_0.85)원이고, 40명의 단체 티켓 요금은 (40_a_0.8)원이므로 0.85ax>40a_0.8, 0.85ax>32a ∴ x> =37.××× :¤1¢7¼: 700x+4000-400x<6000 300x<2000 ∴ x< =6.66××× :ª3¼: 따라서 장미는 최대 6송이까지 넣을 수 있다. 세로의 길이를 x`m라 하면 가로의 길이는 (x+14)`m이고, 직사각형의 둘레의 길이는 2(x+x+14)`m이므로 48É2(x+x+14)<56 24É2x+14<28 10É2x<14 ∴ 5Éx<7 따라서 세로의 길이는 5`m 이상 7`m 미만이다. 따라서 38명 이상일 때, 40명의 단체 티켓을 사는 것 이 유리하다. 직사각형의 가로의 길이를 x라 하면 세로의 길이는 처음 두 자리의 자연수의 십의 자리의 숫자를 x라 하 34É2(x+x-3)É36, 17É2x-3É18 면 일의 자리의 숫자는 8-x이다. 처음 수는 10x+(8-x)이고, 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 바꾼 수는 10(8-x)+x이므로 3{10x+(8-x)}<10(8-x)+x 3(9x+8)<80-10x+x, 27x+24<80-9x 36x<56 ∴ x< =1.55××× :Á9¢: 20É2xÉ21 ∴ 10ÉxÉ =10.5 :ª2Á: 따라서 가로의 길이는 자연수이므로 10이다. (가장 긴 변의 길이)<(나머지 두 변의 길이의 합) 따라서 부등식을 만족하는 자연수 x는 1이므로 처음 x+7<(x+2)+(x+3) ∴ x>2 자연수는 17이다. 현석이의 나이를 x세라 하면 (가)에서 성희의 나이는 (가장 긴 변의 길이)<(나머지 두 변의 길이의 합) x-3이므로 삼각형에서 이므로 삼각형에서 이므로 빵을 x개 산다고 하면 우유는 (20-x)개를 살 수 있 _(다른 대각선의 길이) (5x-35)세이다. (나)에서 4x¾(5x-35)+5 -x¾-30 ∴ xÉ30 따라서 현석이의 나이는 최대 30세이다. 고 (전체 가격)É9000이므로 500x+300(20-x)É9000 200xÉ3000 ∴ xÉ15 따라서 빵은 최대 15개까지 살 수 있다. 한 송이에 700원인 장미를 x송이 넣는다면 한 송이 에 400원인 카네이션은 (10-x)송이 넣을 수 있으 므로 700x+400(10-x)<6000 x+9<(x+1)+(x+3) ∴ x>5 (마름모의 넓이)= _(한 대각선의 길이) ;2!; 이므로 다른 대각선의 길이를 x`cm라 하면 _4_xÉ40, 2xÉ40 ;2!; ∴ xÉ20 따라서 다른 대각선의 길이의 최댓값은 20`cm이다. 사다리꼴의 넓이는 _(9+x)_4=2(9+x)이므로 ;2!; 2(9+x)É48, 9+xÉ24 ∴ xÉ15 따라서 아랫변의 길이의 최댓값은 15`cm이다. Ⅱ 부등식 23  (사다리꼴의 넓이) 80+3xÉ4(15+x), -xÉ-20 = _{(윗변의 길이)+(아랫변의 길이)}_(높이) ∴ x¾20 ;2!; 이므로 ;2!; ∴ x<25 ∴ 0<x<25 _(5+x)_4<60, 5+x<30 또한, 변의 길이는 항상 양수이므로 x>0이다. 물의 높이를 h`cm라 하면 5_7_h<300, 35h<300 ∴ h< =8.××× :¤7¼: 따라서 물의 높이가 될 수 없는 것은 ⑤이다. ABÓ의 길이를 x`cm라 하고, 변 CD를 회전축으로 하여 1회전하면 밑면의 반지름의 길이가 5`cm이고 높이가 x`cm인 원기둥이 만들어진다. 150pÉp_5Û`_xÉ200p ∴ 6ÉxÉ8 ∴ 6`cmÉABÓÉ8`cm 네 번째 수학 시험 점수를 x점이라 하면 70+86+76+x 4 ¾80 232+x¾320 ∴ x¾88 따라서 15+x¾35이므로 사진을 35장 이상 뽑으면 1장당 가격이 400원 이하이다. 전체 일의 양을 1이라 하면 남자 1명, 여자 1명이 하 루에 할 수 있는 일의 양은 각각 , ;8!; ;1Á2; 이다. 남자가 x명이라면 여자는 (9-x)명이므로 (9-x)¾1, 3x+2(9-x)¾24 x+ ;8!; ;1Á2; ∴ x¾6 따라서 남자는 최소 6명이 필요하다. 다섯 번째 시험 점수를 x점이라 하면 80É 84+86+83+72+x 5 <82 80É 325+x 5 <82 400É325+x<410 ∴ 75Éx<85 따라서 다섯 번째 시험에서 최소 75점을 받아야 한다. 지불한 주차 요금 4000원 중 2000원은 60분에 대한 기본 요금이고, 나머지 2000원은 60분이 초과한 시 간에 대한 요금이다. 주차 시간에서 60분을 뺀 시간을 x분이라 하면 따라서 평균이 80점 이상이 되려면 네 번째 수학 시 험에서 88점 이상을 받아야 한다. 3< ;1Ó0; É4 ∴ 30<xÉ40 15장 외에 x장을 더 뽑는다고 하면 사진은 총 (15+x)장이고, 전체 가격은 (8000+300x)원이므로 8000+300x 15+x É400, 8000+300xÉ400(15+x) 다. 전체 주차 시간은 30+60<x+60É40+60 ∴ 90(분)<(주차 시간)É100(분) 따라서 상범이는 90분 초과 100분 이하 동안 주차했 ③, ⑤ -12 xÉ-3a -6 ② ② 9 ㄴ, ㄹ, ㅂ 450`g 7개 ⑤ ③ ③ ③ 100`m 360`m ⑤ ⑤ 본문 66~68쪽 단원 종합 문제 ② ⑤ ④ 24 정답과 해설  ② b+3É8 3-2ax>x-6a에서 (-2a-1)x>-6a-3, (2a+1)x<3(2a+1) 이때 a<-1이므로 2a<-2, 2a+1<-1에서 x>3 ;4%; 이 같다. (x-a)É6- x의 양변에 각각 4를 곱하여 풀면 ;2A; 5(x-a)É24-2ax에서 (5+2a)xÉ24+5a 그런데 이 부등식의 해가 xÉ3이므로 부등호의 방향 그러므로 5+2a>0에서 a>- yy ㉠ ;2%; 따라서 xÉ 24+5a 5+2a 이므로 24+5a 5+2a =3에서 24+5a=3(5+2a), a=9이고, 이것은 ㉠을 만족하 므로 상수 a의 값은 9이다. ㄱ. a=-3, b=1, c=2일 때, a<0<b<c이지만 1Û`<2Û`<(-3)Û`이므로 bÛ`<cÛ`<aÛ`이다. ㄴ. b<c의 양변에 각각 -1을 곱하면 -b>-c이 고, 양변에 각각 a를 더하면 a-b>a-c이므로 ㄷ. b<c의 양변에서 각각 a를 빼면 a-c<a-b이다. -a+b<-a+c ㄹ. a<0, b>0이므로 a-b<0,-a+b>0이다. 따라서 a-b<-a+b이고, 양변에서 각각 c를 빼면 a-b-c<-a+b-c ㅁ. b<c의 양변을 각각 a로 나누면 a<0이므로 ㅂ. 0<b<c이므로 > 이고, 양변에서 각각 3을 ;b!; ;c!; 빼면 -3> -3 ;b!; ;c!; 따라서 항상 옳은 것은 ㄴ, ㄹ, ㅂ이다. ① a>b에서 a+1>b+1 ② a>b에서 a> b ;3%; ;3%; ∴ a-1> b-1 ;3%; ;3%; ③ a>b에서 a-3>b-3 ④ a>b에서 - <- ;2A; ;2B; ∴ - + <- + ;2A; ;5!; ;2B; ;5!; ⑤ a>b에서 -a<-b ∴ 3-a<3-b 1<x<2, -3<y<-1에서 1-3<x+y<2-1 ∴ -2<x+y<1 또한, 1<-y<3이므로 1+1<x-y<2+3 ∴ 2<x-y<5 따라서 a=-2, b=1, m=2, n=5이므로 ab-mn=-2-10=-12 3x-1<x+5에서 2x<6 ∴ x<3 4x-2É7x-8에서 -3xÉ-6 ∴ x¾2 따라서 a=3, b=2이므로 ab=6 a<0 에서 -a>0이므로 - É3의 양변에 -a를 곱하면 xÉ-3a ;a{; -3É-x<9 각 변에 -1을 곱하면 -9<xÉ3 따라서 a=-9, b=3이므로 a+b=-9+3=-6 -5É-x-2<7에서 -5+2É(-x-2)+2<7+2 > ;cA; ;aB; 2(2x-1)<3x+2, 4x-2<3x+2에서 x<4이므로 이를 만족하는 자연수는 1, 2, 3이고, x¾ a+7 8 이고, 7-3xÉ5x-a를 정리하면 -8xÉ-a-7에서 개수는 3이다. 2x-1 3 - 5x-3 4 면 >1의 양변에 각각 12를 곱하여 풀 이 부등식의 해 중에서 가장 작은 수가 2이므로 a+7 8 =2에서 a+7=16이므로 a=9 (a-1)x+3<a에서 (a-1)x<a-3이므로 부등식 4(2x-1)-3(5x-3)>12에서 의 해가 없으려면 0´x<(0 또는 음수)이어야 한다. 8x-4-15x+9>12, -7x>7, x<-1 따라서 a-1=0에서 a=1이고, 이때 이 부등식은 따라서 이를 만족하는 가장 큰 정수는 -2이다. 0´x<-2이 되어 부등식의 해는 없다. Ⅱ 부등식 25  분속 20`m로 걸은 거리를 x`m라 하면 분속 80`m로 -2xÉ-900 ∴ x¾450 뛴 거리는 (900-x)`m이다. 따라서 8`%의 소금물을 450`g 이상 섞어야 한다. x 20 + 900-x 80 É15에서 4x+900-xÉ1200 3xÉ300 ∴ xÉ100 따라서 분속 20`m로 걸어간 거리는 100`m 이하이다. 문구점에서 집까지의 거리를 x`m라 하면 (갈 때 걸리는 시간)+(색연필을 사는 시간) +(올 때 걸리는 시간)É(40분) 이므로 +10+ É40 ;3Ó0; ;2Ó0; 2x+600+3xÉ2400, 5xÉ1800 ∴ xÉ360 따라서 문구점은 집에서 360`m 이내에 있다. 역에서 상점까지의 거리를 x`km라 하면 과자를 x개 산다고 하면 사탕과 과자를 모두 합하여 12개를 사야 하므로 살 수 있는 사탕의 개수는 (12-x)이다. 200(12-x)+500xÉ4500을 풀면 2400-200x+500xÉ4500 300xÉ2100 ∴ xÉ7 따라서 과자를 최대 7개까지 살 수 있다. 책을 x권(단, x>3) 빌린다고 하면 7000É5000+800(x-3)É9000에서 7000É5000+800x-2400É9000 4400É800xÉ6400 ∴ ÉxÉ8 :Á2Á: 따라서 6권 이상 8권 이하의 책을 빌릴 수 있다. + ;4{; ;6@0); ;4{; + É1이고, 양변에 각각 12를 곱하여 풀면 입장객의 수를 x명이라 하면 3x+4+3xÉ12에서 6xÉ8 ∴ xÉ ;3$; (50명의 단체 입장료)<(x명의 입장료)이어야 하 므로 6000_0.75_50<6000x, 0.75_5037.5 한다. 따라서 38명 이상이 입장할 때, 50명의 단체 입장권 8`%의 소금물의 양을 x`g이라 하면 전체 소금의 양은 _450+ _x=54+0.08x`(g) ;1Á0ª0; ;10*0; 섞은 후의 소금물의 양은 (450+x)`g이고, (섞은 후의 소금물의 농도)É(10`%)이므로 54+0.08x 450+x _100É10 100(54+0.08x)É10(450+x) 5400+8xÉ4500+10x 을 사는 것이 유리하다. 도시락의 정가를 x원이라 하면 (정가의 20`%를 할인한 금액)-(원가) ¾(원가의 10`%) 이므로 0.8x-4000¾4000_0.1 0.8x¾4400 ∴ x¾5500 따라서 도시락의 정가를 5500원 이상으로 정해야 한다.  26 정답과 해설 III 연립방정식 1 일차방정식과 연립방정식 주제별 실력다지기 본문 73~88쪽 ②, ④ ①, ⑤ ④ ① 5 ③ (1, 3), (4, 2), (7, 1) x=2, y=5 x= ;2%; -38 4 ③ ④ ⑴ x=-1, y=6 ⑵ x=-2, y= ⑶ x=-10, y=-10 ⑷ x=-2, y=-1 ⑴ x=2, y=0 ⑵ x=4, y=13 ⑶ x=-1, y=-2 ⑷ x=- , y=-3 ;2%; ;3!; 5 -2 ③ ① ① ;2%; ;1@5*; ⑤ -11 -1 ② ③ ① 5 ① ④ ③ 0 ② ② ② 3 -3 -3 ① ⑤ ⑤ ⑤ ;1Á0; 10 ② -1 x=-3, y=- ;2!; m=-1, x=6, y=8 ⑤ ④ ② 14 -4 ④ ③ -3 ④ ③ 18 ③ ④ 3 ② ② ③ ① ② x=1, y=-1 ⑴ 해가 없다. ⑵ 해가 무수히 많다. x= , y=- ;3$; ④ ④ -1 -6 ③ ② ② 분모에 미지수가 있으므로 일차방정식이 아니다. 20`%의 소금물 x`g에 녹아 있는 소금의 양은 ③ 정리하면 3x-y+9=0이므로 x, y에 대한 일차 ④ xy항은 x, y에 대하여 2차이므로 일차방정식이 25`%의 소금물 y`g에 녹아 있는 소금의 양은 ⑤ 정리하면 x+y=0이므로 x, y에 대한 일차방정 따라서 두 미지수 x, y에 대한 일차방정식으로 나타 방정식이다. 아니다. 식이다. {;1ª0¼0; _x `g } {;1ª0°0; _y `g } 내면 x+ ;1ª0¼0; ;1ª0°0; y=15 주어진 일차방정식을 정리하면 (aÛ`-4)x+2y=0 이 방정식이 미지수가 2개인 일차방정식이 되려면 aÛ`-4+0이므로 a+-2, a+2 따라서 a의 값으로 적당하지 않은 것은 ①, ⑤이다. ① y= x이므로 미지수가 2개인 일차방정식이다. ;2%; ② 200x+500y=3600이므로 미지수가 2개인 일차 방정식이다. 3x+2y=33에서 x=11- y …… ㉠ ;3@; x가 자연수이려면 y는 3의 배수이어야 하므로 ㉠의 y에 3, 6, 9, …`를 차례로 대입하여 x의 값을 구하면 다음 표와 같다. x y 9 3 7 6 5 9 3 12 1 15 -1 y 18 y 이때 x도 자연수이므로 구하는 순서쌍 (x, y)는 (9, 3), (7, 6), (5, 9), (3, 12), (1, 15)이고, 개수는 5이다. ③ yÖx=6`…`5에서 y=6x+5이므로 미지수가 2 2x-y=3을 y에 대하여 풀면 y=2x-3이므로 개인 일차방정식이다. x=2일 때 y=1, x=3일 때 y=3, x=4일 때 y=5, ④ xy=90이므로 일차방정식이 아니다. x=5일 때 y=7, x=6일 때 y=9이다. ⑤ 2x+3y=40이므로 미지수가 2개인 일차방정식 따라서 구하는 순서쌍은 (2, 1), (3, 3), (4, 5), 이다. (5, 7), (6, 9)이고, 개수는 5이다. Ⅲ 연립방정식 27  y=15-3x의 x에 자연수 1, 2, 3, 4, 5, …를 차례 이때 a+0이므로 b+0이다. 로 대입하여 y의 값을 구하면 다음 표와 같다. x y 1 12 2 9 3 6 4 3 5 0 y y ∴ x= 10b 4b = ;2%; 이때 y도 자연수이므로 순서쌍 (x, y)는 (1, 12), (2, 9), (3, 6), (4, 3)이고, 개수는 4이다. x=1, y= 를 주어진 일차방정식에 대입하면 ;2A; 2(aÛ`+1)+4a { 1- ;2A;} -3=0, 4a-1=0 2x+y=2(5-y)+x, x+3y=10 ` a= , x=b, y=3을 주어진 일차방정식에 대입하면 x ◉ y=(5-y) ◉ x에서 ∴ x=10-3y y에 자연수 1, 2, 3, 4, …`를 차례로 대입하여 x의 값을 구하면 다음 표와 같다. x y 7 1 4 2 1 3 -2 y 4 y 이때 x도 자연수이므로 구하는 순서쌍 (x, y)는 (7, 1), (4, 2), (1, 3)이다. Ú x¾5일 때 2x-(x-5)=20-3y-2x 3x+3y=15 ∴ x+y=5 그런데 x¾5이고 x, y는 모두 자연수이므로 주 어진 식을 만족하는 해는 없다. Û x<5일 때 2x-{-(x-5)}=20-3y-2x 2x+x-5=20-3y-2x ∴ 5x+3y=25 그런데 x<5이고, x, y는 모두 자연수이므로 5x+3y=25를 만족하는 해는 x=2, y=5이다. 3x+ay=1에 x=-2, y=1을 대입하면 -6+a=1 ∴ a=7 3x+7y=1에 x=b, y=4를 대입하면 3b+28=1 ∴ b=-9 ∴ a+b=7+(-9)=-2 x=- , y=2이므로 대입하면 -b+ a-4a+6b=0 ;2!; ;2#; ;2%;a=5b ∴ a=2b a=2b를 일차방정식 ax-4b=3a-2bx에 대입하면 2bx-4b=3_2b-2bx, 4bx=10b 28 정답과 해설 ∴ a= ;4!; ;4!; 2 2 [{;4!;} +b +4_ (1-3)-3=0 ] ;4!; +2b-2-3=0, 2b= ∴ b= :£8»: ;1#6(; ;8!; ∴ 4a-16b=4_ -16_ ;4!; ;1#6(; =1-39=-38 x=3, y=b를 4x-3y=6에 대입하면 12-3b=6, 3b=6 ∴ b=2 따라서 이 연립방정식의 해는 x=3, y=2이므로 방 정식 ax+y=8에 대입해도 성립한다. 3a+2=8, 3a=6 ∴ a=2 ∴ ab=2_2=4 x=1, y=b를 방정식 3x-2y=-1에 대입하면 3-2b=-1, -2b=-4 ∴ b=2 따라서 주어진 연립방정식의 해는 x=1, y=2이다. x=1, y=2를 방정식 ax+3y=8에 대입하면 a+6=8 ∴ a=2 ∴ a-b=2-2=0 x=-2, y=1을 연립방정식의 두 일차방정식에 각 각 대입하면 2_(-2)-a=3 ∴ a=-7 -2b+3=5 ∴ b=-1 ⑴ x+y= 5 …… ㉠ + >³ x-y=-7 …… ㉡ 2x =-2 ∴ x=-1 x=-1을 ㉠에 대입하면 -1+y=5 ∴ y=6 일차방정식 (2b-3a)x-(2a-3b)y=0의 해가 x=-2, y=1은 일차방정식 -7x-y=c의 해이므로 (-7)_(-2)-1=c ∴ c=13 ⑵ x+2y= 3 …… ㉠ x=1, y=-1을 연립방정식에 대입하면 - >³ -2x 3x+2y=-1 …… ㉡ = 4 ∴ x=-2 x=-2를 ㉠에 대입하면 -2+2y=3 ∴ y= ;2%; ⑶ 3x-4y=10 …… ㉠ + -3x+2y=10 …… ㉡ >³ -2y=20 ∴ y=-10 y=-10을 ㉠에 대입하면 3x+40=10, 3x=-30 ∴ x=-10 ⑷ [ -3x+2y=4 …… ㉠ …… ㉡ 2x-7y=3 ㉠_2+㉡_3을 하면 -6x+ 4y=8 6x-21y=9 + >³ y=-1을 ㉠에 대입하면 -17y=17 ∴ y=-1 -3x-2=4, -3x=6 ∴ x=-2 ⑴ y=x-2를 5x-y=10에 대입하면 5x-(x-2)=10, 4x=8 ∴ x=2 x=2를 y=x-2에 대입하면 `y=0 ⑵ y=5x-7을 y=3x+1에 대입하면 5x-7=3x+1, 2x=8 ∴ x=4 x=4를 y=3x+1에 대입하면 `y=13 ⑶ x=2y+3을 3x=2y+1에 대입하면 3(2y+3)=2y+1, 6y+9=2y+1 4y=-8 ∴ y=-2 y=-2를 x=2y+3에 대입하면 `x=-1 ⑷ y=3x-2를 3x-2y=5에 대입하면 3x-2(3x-2)=5, 3x-6x+4=5 -3x=1 ∴ x=- ;3!; x=- 을 y=3x-2에 대입하면 `y=-3 ;3!; 두 일차방정식으로 만들어진 연립방정식 y=5x-1 [ 4x-3y=-8 의 해를 구하면 된다. y=5x-1을 4x-3y=-8에 대입하면 4x-3(5x-1)=-8, 11x=11 ∴ x=1 a-b=3 …… ㉠ -3b-a=1 …… ㉡ [ ㉠ +㉡을 하면 -4b=4 ∴ b=-1 b=-1을 ㉠에 대입하면 a-(-1)=3 ∴ a=2 ∴ ab=2_(-1)=-2 ay=x+14 …… ㉠ 3x+2ay=8 …… ㉡ [ ㉠을 ㉡에 대입하면 3x+2(x+14)=8, 5x=-20 ∴ x=-4 연립방정식의 해가 x=b, y= 이므로 b=-4 ;2%; x=-4, y= 를 ㉠에 대입하면 ;2%; a=10 ∴ a=4 ;2%; ∴ a-2b=4-2_(-4)=12 다른 풀이 x=b, y= 를 주어진 연립방정식에 대입 ;2%; 하면 a=b+14 …… ㉠ ;2%; 3b+5a=8 …… ㉡ [ ㉠을 b에 대하여 풀면 b= a-14 ;2%; …… ㉢ ㉢을 ㉡에 대입하면 a-14 +5a=8, a=50 ` } :ª2°: 3 {;2%; ∴ a=4 a=4를 ㉢에 대입하면 b=-4 ∴ a-2b=4-2_(-4)=12 -3x+2y-12=-5x에서 2x+2y=12 ` ∴ x+y=6 y의 값이 x의 값의 2배이므로 y=2x 따라서 x, y는 연립방정식 [ x+y=6 y=2x 를 만족하므로 이 연립방정식을 풀면 x=2, y=4 x=1을 y=5x-1에 대입하면 y=4 x의 값이 y의 값의 3배이므로 x=3y ∴ (1, 4) 주어진 연립방정식에 x=3y를 대입하면 Ⅲ 연립방정식 29 ㉠을 ㉡에 대입하면 3y=5-2y -10+6a=2, 6a=12 ∴ a=2 3y-y=a ∴ 2y=a …… ㉠ 2_3y+3y=15-3a, 9y=15-3a ∴ 3y=5-a ` …… ㉡ 5y=5 ∴ y=1 y=1을 ㉠에 대입하면 a=2 x, y의 값의 비가 4`:`5이므로 x`:`y=4`:`5 ∴ 5x=4y 따라서 연립방정식 [ 5x=4y 를 풀면 5x-2y=20 x=8, y=10 ∴ x+y=8+10=18 세 일차방정식이 한 개의 공통인 해를 가지므로 미지 수가 없는 두 일차방정식 6x-y=-4와 4x-y=0 을 연립하여 풀면 x=-2, y=-8 따라서 세 일차방정식의 공통인 해가 x=-2, y=-8이므로 ax+2y=-6에 대입하면 -2a-16=-6, 2a=-10 ∴ a=-5 x：y=3：1이므로 x=3y 따라서 연립방정식 [ x=3y x+3y=-6 를 풀면 x=-3, y=-1 x=-3, y=-1을 ax-2y=5에 대입하면 -3a+2=5, -3a=3 ∴ a=-1 두 연립방정식 중에서 x+2y=1과 x+3y=2를 연 립하여 풀면 x=-1, y=1 x=-1, y=1을 ax-y=3에 대입하면 -a-1=3 ∴ a=-4 x=-1, y=1을 3x+2by=5에 대입하면 -3+2b=5, 2b=8 ∴ b=4 ∴ a+b=-4+4=0 두 연립방정식 중에서 2x-y=4와 x+3y=9를 연 립하며 풀면 x=3, y=2 두 연립방정식 중에서 x+2y=7과 4x+3y=-2를 연립하여 풀면 x=-5, y=6 x=-5, y=6을 2x+ay=2에 대입하면 x=-5, y=6을 bx+y=1에 대입하면 -5b+6=1, -5b=-5 ∴ b=1 ∴ a+b=2+1=3 두 연립방정식 중에서 x+2y=4와 -x+3y=-9 를 연립하여 풀면 x=6, y=-1 x=6, y=-1을 ny-mx=9와 2x+ny=my에 각각 대입하면 정리하면 6m+n=-9, m-n=-12 이 두 방정식을 연립하여 풀면 m=-3, n=9 ∴ n m = 9 -3 =-3 연립방정식 [ x-3y=0 x-2y=2 를 풀면 x=6, y=2 x=6, y=2를 2x-ay=-4에 대입하면 12-2a=-4,`2a=16 ∴ a=8 x=6, y=2를 3x+by=8에 대입하면 18+2b=8,`2b=-10 ∴ b=-5 ∴ a+b=8+(-5)=3 잘못 본 ㉠의 x의 계수를 m이라 하면 연립방정식 을 만족하는 y의 값이 5이 mx+2y=6 …… ㉠' …… ㉡ 4x+3y=7 [ 므로 ㉡에 y=5를 대입하면 4x+15=7 ∴ x=-2 ㉠ '에 x=-2, y=5를 대입하면 -2m+10=6 ∴ m=2 따라서 x의 계수 3을 2로 잘못 보았다. 잘못 본 a의 값을 m이라 하면 연립방정식 y=2x+m …… ㉠ 2x-3y=5 …… ㉡ [ 이므로 ㉡에 x=-2를 대입하면 을 만족하는 x의 값이 -2 x=3, y=2를 4x+5y=a에 대입하면 -4-3y=5 ∴ y=-3 12+10=a ∴ a=22 ㉠에 x=-2, y=-3을 대입하면 x=3, y=2를 bx-4y=1에 대입하면 -3=-4+m ∴ m=1 3b-8=1, 3b=9 ∴ b=3 따라서 a의 값을 1로 잘못 보았다. 30 정답과 해설  나연이는 a, b는 바르게 보았으므로 ax+by=3에 이 연립방정식을 풀면 a=1, b=2 의 해가 x=2, y=2이므로 대입하면 a, b를 바꾸어 놓은 연립방정식 bx+ay=5 [ ax+by=7 의 해가 ax+by=3 cx+5y=8 [ 2a+2b=3 …… ㉠ 2c+10=8 …… ㉡ [ ㉡에서 2c=-2 ∴ c=-1 x=-4, y=1을 대입하면 -4a+b=3 …… ㉢ ㉠, ㉢을 연립하여 풀면 a=- , b= ;1£0; ;5(; ∴ b-ac= - - { ;5(; ;1£0;} _(-1)= - ;5(; = ;2#; ;1£0; ax+by=5 cx-3y=7 [ 의 해가 x=2, y=1이므로 대입하면 은정이는 a, b는 바르게 보았으므로 ax+by=5에 [ 2a+b=5 …… ㉠ 2c-3=7 …… ㉡ ㉡에서 2c=10 ∴ c=5 x=1, y=3을 대입하면 a+3b=5 …… ㉢ ㉠, ㉢을 연립하여 풀면 a=2, b=1 ∴ ab-c=2_1-5=-3 m과 n을 바꾸어 놓은 연립방정식 [ 해가 x=-1, y=2이므로 대입하면 nx-my=3 mx+ny=14 의 -n-2m=3 [ -m+2n=14 m-n=-4-5=-9 x와 y를 바꾸어 놓은 연립방정식 [ 가 x=b, y=-5이므로 대입하면 y=ax+3 -2y-x=8 의 해 -5=ab+3 …… ㉠ …… ㉡ 10-b=8 [ ㉡에서 b=2 b=2를 ㉠에 대입하면 -5=2a+3, 2a=-8 ∴ a=-4 ∴ a+b=-4+2=-2 x=1, y=3이므로 대입하면 b+3a=5 [ a+3b=7 따라서 처음 연립방정식은 [ x+2y=5 2x+y=7 이므로 이 연립 방정식을 풀면 x=3, y=1 a와 b를 바꾸어 놓은 연립방정식 [ bx+ay=2 ax+by=-1 의 해가 x=0, y=-1이므로 대입하면 -a=2 [ -b=-1 ∴ a=-2,`b=1 따라서 처음 연립방정식은 [ -2x+y=2 x-2y=-1 이므로 이 연립방정식을 풀면 x=-1, y=0 a와 b를 바꾸어 놓은 연립방정식 bx+ay=8 [ ax+by=7 의 해 가 x=3, y=2이므로 대입하면 3b+2a=8 [ 3a+2b=7 이 연립방정식을 풀면 a=1, b=2 따라서 처음 연립방정식은 이므로 이 연 x+2y=8 [ 2x+y=7 립방정식을 풀면 x=2, y=3 따라서 m=2, n=3이므로 주어진 연립방정식을 정리하면 7x-5y=16 [ y=3x 이 연립방정식을 풀면 x=-2, y=-6 주어진 연립방정식을 정리하면 3x+2y=2 [ x+2y=14 이 연립방정식을 풀면 x=-6, y=10 따라서 m=-6, n=10이므로 m+n=-6+10=4 Ⅲ 연립방정식 31 이 연립방정식을 풀면 m=-4, n=5이므로 an-bm=1_3-2_2=3-4=-1  주어진 연립방정식을 정리하면 -3x+8y=a-1 …… ㉠ -2x+4y=-2 …… ㉡ [ x=b, y=2를 ㉡에 대입하면 -2b+8=-2 ∴ b=5 x=5, y=2를 ㉠에 대입하면 -15+16=a-1 ∴ a=2 x-2.8y=1.5 …… ㉠ 0.02x+0.04y=0.15 …… ㉡ [ 에서 ㉠ _10, ㉡_100을 하면 10x-28y=15 2x+4y=15 [ 이 연립방정식을 풀면 x=5, y= ;4%; x+ y= ;4!; ;2!; ;3!; …… ㉠ 에서 ( { x- y=4 ;2!; ;5#; ㉠ _12, ㉡_10을 하면 9 …… ㉡ 4x+3y=6 [ 5x-6y=40 이 연립방정식을 풀면 x=4, y=- ;;Á3¼;; ∴ x-3y=4-3_ - =14 { ;;Á3¼;;} ;3@; + y=-2 ;5{; -0.6x-1.7y=3.3 …… ㉡ …… ㉠ [ 에서 ㉠ _15, ㉡_10을 하면 3x+10y=-30 -6x-17y=33 [ 이 연립방정식을 풀면 x=20, y=-9 하면 5x-6y=-13 [ 3x+2y=-5 이 연립방정식을 풀면 x=-2, y= ;2!; 따라서 a=-2, b= 이므로 ;2!; ab=(-2)_ =-1 ;2!; 32 정답과 해설 <3, -2>ç<-x-1, y> =3(-x-1)-(-2)_y =-3x+2y-3=5 ∴ -3x+2y=8 < -1, 4>ç<x, -y+1> =(-1)_x-4(-y+1) =-x+4y-4=-3 ∴ -x+4y=1 따라서 연립방정식 [ -3x+2y=8 -x+4y=1 을 풀면 x=-3, y=- ;2!; 연립방정식 [ 2mx+y=-4 …… ㉠ -mx+y=14 …… ㉡ 에서 ㉠ +㉡_2를 하면 3y=24 ∴ y=8 그런데 주어진 조건에서 x, y의 최대공약수는 2이고 최소공배수는 24이므로 xy=2_24, 8x=48 따라서 x=6이므로 x=6, y=8을 ㉡에 대입하면 -6m+8=14, -6m=6 ∴ m=-1 =A, =B라 하면 주어진 연립방정식은 ;[!; ;]!; 2A+B=9 [ A+2B=12 이 연립방정식을 풀면 A=2, B=5 따라서 =2, =5이므로 x= , y= ;[!; ;]!; ;2!; ;5!; ∴ xy= _ = ;5!; ;2!; ;1Á0; =A, ;[!; =B라 하면 [ ;]!; 2A+3B=-1 A-4B=5 이 연립방정식을 풀면 A=1, B=-1 ` 따라서 =1, =-1이므로 ;[!; ;]!; x=1, y=-1 해는 A=1, B=-2이다. ㉠에 A=1, B=-2를 대입하면 a-(-2)=3 ∴ a=1 ㉡에 A=1, B=-2를 대입하면 4-2b=6 ∴ b=-1 ∴ a+b=1+(-1)=0 주어진 연립방정식의 두 식의 양변에 각각 10을 곱 =A, ;[!; =B라 하면 [ ;]!; aA-B=3 …… ㉠ 4A+bB=6 …… ㉡ 의  다른 풀이 x=1, y=- 을 주어진 연립방정식에 대 이 연립방정식을 풀면 x=-20, y=15 ;2!; 따라서 a=-20, b=15이므로 a+2b=-20+2_15=10 입하면 a+2=3 [ 4-2b=6 따라서 a=1,`b=-1이므로 a+b=1+(-1)=0 두 연립방정식의 해가 같으므로 미지수 a, b가 없는 3x-2y+1=x-5y+5 x-5y+5=-4y-3 에서 [ 2x+3y=4 x-y=-8 [ 이 연립방정식을 풀면 x=-4, y=4 따라서 x=-4, y=4를 2x+y=k에 대입하면 연립방정식 을 세운다. k=-8+4=-4 - =-1 ;[@; ;]^; + =3 ;]#; ;[$; ( { 9 =A, =B라 하면 [ ;]!; ;[!; 2A-6B=-1 4A+3B=3 이 연립방정식을 풀면 A= , B= ;2!; ;3!; 따라서 = , ;2!; ;]!; = ;3!; ;[!; 이므로 x=2, y=3 x=2, y=3을 나머지 일차방정식에 각각 대입하면 2a+3b=3 2a-3b=5 [ 이 연립방정식을 풀면 a=2, b=- ;3!; ∴ ;bA; ;b!; =a_ =2_(-3)=-6 2a+ab+2b=12 a-3ab+b=-1 [ 에서 [ 2(a+b)+ab=12 (a+b)-3ab=-1 a+b=A, ab=B라 하면 2A+B=12 [ A-3B=-1 이 연립방정식을 풀면 A=5, B=2 따라서 a+b=5, ab=2이므로 + ;a!; ;b!; = a+b ab = ;2%; [ [ 3x-2y+1=-4y-3 3x+2y=-4 x-5y+5=-4y-3 x-y=-8 에서 [ 이 연립방정식을 풀면 x=-4, y=4 ∴ xy=(-4)_4=-16 x-5=-13y-x 2x+13y=5 -13y-x=y+5 x+14y=-5 에서 [ 이 연립방정식을 풀면 x=9, y=-1 x=9, y=-1을 ax+4y=5에 대입하면 9a-4=5 ∴ a=1 3x+y=9x+9y 3x+y=x-2y+5 에서 [ 3x+4y=0 2x+3y=5 [ ax+2y=x+y+7 -15x+by=x+y+7 [ 에서 (a-1)x+y=7 …… ㉠ 16x+(1-b)y=-7 …… ㉡ [ ㉠에 x=2, y=-3을 대입하면 2(a-1)-3=7, 2(a-1)=10 a-1=5 ∴ a=6 ㉡에 x=2, y=-3을 대입하면 32-3(1-b)=-7, -3(1-b)=-39 1-b=13 ∴ b=-12 ∴ a-b=6-(-12)=18 다른 풀이 주어진 식에 x=2, y=-3을 대입하면 2a-6=-30-3b=2-3+7=6 2a-6=6에서 a=6 -30-3b=6에서 b=-12 ∴ a-b=6-(-12)=18 ( { x+2y 4 =1 2x+3y-6 3 =1 에서 [ x+2y=4 2x+3y=9 9 이 연립방정식을 풀면 x=6, y=-1 ∴ xy=6_(-1)=-6 연립방정식의 각 변에 10을 곱하면 2(x-y)-3y=16x+5y=12 2(x-y)-3y=12 2x-5y=12 [ 16x+5y=12 에서 [ 16x+5y=12 이 연립방정식을 풀면 x= , y=- ;3$; ;1@5*; 2x+3y=8x+11y 연립방정식 [ 2x+3y=k 에서 3x+4y=0 [ 2x+3y=k 의 해가 일차방정식 x+y=-5를 만족 Ⅲ 연립방정식 33  하므로 연립방정식 [ 3x+4y=0 x+y=-5 를 풀면 x=-20, y=15 x=-20, y=15를 2x+3y=k에 대입하면 k=2_(-20)+3_15=5 다른 풀이 2x+3y=k …… ㉠ 8x+11y=k …… ㉡ [ 에서 ㉠ _4-㉡을 하면 y=3k y=3k를 ㉠에 대입하면 2x+9k=k, 2x=-8k ` ∴ x=-4k x=-4k, y=3k를 x+y=-5에 대입하면 -4k+3k=-5 ∴ k=5 4x-2y=4 …… ㉠ 3x-4y+a=4 …… ㉡ -x+3y=4 …… ㉢ 2a-3b+1=4 …… ㉣ ( O { O 9 일차방정식 ㉠, ㉢을 연립하여 풀면 x=2, y=2 x=2, y=2를 ㉡에 대입하면 6-8+a=4 ∴ a=6 a=6을 ㉣에 대입하면 12-3b+1=4 ∴ b=3 ∴ a-b=6-3=3 2x-y=1 6x-3y=1 에서 [ 6x-3y=3 6x-3y=1 [ 이므로 해가 없다. 따라서 ㄱ과 ㄹ을 한 쌍으로 하면 해가 없다. 해가 없으려면 -2 4 = 5 -10 + -2 a 이어야 한다. ∴ a+4 해가 없으려면 -1 3 = 1 a + a+1 4 이어야 한다. - = 에서 a=-3 1 a ;3!; 34 정답과 해설 1 a + a+1 4 에 대입하면 - +- ;3!; ;2!; a=-3을 ∴ a=-3 의 해가 없으므로 연립방정식 [ -3x+6y=7 x+(a+1)y=3a -3 1 = + 이어야 한다. 7 3a 6 a+1 6 a+1 -3= 에서 a+1=-2 ∴ a=-3` 해가 없으려면 = ;1@; ;3^; + 2a-2 4a+5 이어야 하므로 2a-2 4a+5 +2, 8a+10+2a-2 6a+-12 ∴ a+-2 해가 존재하지 않으려면 1 -2 = -a -1 + 이어야 하므 ;b$; 로 a=- ;2!; +- 에서 b+-8 ;b$; ;2!; ① [ 3x-3y=3 3x-3y=-3 이므로 해가 없다. 이므로 해가 무수히 많다. ② x=1, y=0 ③ [ 2x+6y=2 2x+6y=2 ④ x=0, y=3 ⑤ [ 2x-4y=14 2x-4y=13 =- 에서 a=- ;2#; =- 에서 b=-6 ;3A; ;b#; ;2!; ;2!; ∴ 2a+b=2_ - +(-6)=-3-6=-9 { ;2#;} 해가 무수히 많으려면 1 -2 = 4 -6a = b 10 이어야 한다. - =- 에서 3a=4 ∴ a= ;3$; 2 3a ;2!; = ;2!; b 10 - 에서 b=-5 ∴ 3a+b=3_ +(-5)=4-5=-1 ;3$; 해가 무수히 많으려면 a-1 4 = 5 -b = -3 6 이어야 한 ⑴ [ x-y=-5 2x-2y=10 에서 2x-2y=-10 [ 2x-2y=10 이므로 해가 이므로 해가 없다. ⑵ [ x-3y=2 3x-9y=6 에서 3x-9y=6 [ 3x-9y=6 이므로 해가 무수 해가 무수히 많으려면 이어야 하므로 = ;3A; -2 4 = ;b#; 없다. 히 많다.  =- 에서 a-1=-2 ∴ a=-1 ;2!; 다. a-1 4 5 -b =- 에서 b=10 ;2!; ∴ a-b=-1-10=-11 따라서 = ;2!; 2k -12 = ;1¤2; 이어야 하므로 k -6 = ;2!; ∴ k=-3 연립방정식 [ ax+by+c=0 bx+cy+a=0 의 해가 무수히 많으므로 해가 무수히 많으려면 = ;1#; -12 a = -6 -2 이어야 하므 = = ;cB; ;bA; ;aC; 이어야 한다. 방정식 (2a+b+2)x+b-7=0에 a=-4를 대입 로 -12 a =3 ∴ a=-4 하면 (b-6)x+b-7=0 이어야 하므로 b=6 = = ;cB; ;bA; ;aC; =k`(k는 상수)라 하면 a=bk, b=ck, c=ak 세 식을 각 변끼리 더하면 a+b+c=(a+b+c)k k=1 ∴ a=b=c 따라서 ax+by+c=0에 b=a, c=a를 대입하면 이 방정식이 해를 갖지 않으려면 b-6=0, b-7+0 이때 a+b+c+0이므로 양변을 a+b+c로 나누면 두 일차방정식의 공통인 해가 무수히 많으므로 ;2!; ( { x+ky=3 x-4y=4 , 즉 [ x+2ky=6 2x-12y=12 의 해 연립방정식 ;3@; 가 무수히 많다. 9 ax+ay+a=0 a(x+y+1)=0 이때 a+0이므로 x+y+1=0 ∴ x+y=-1 2 연립방정식의 활용 주제별 실력다지기 본문 90~102쪽 ④ 27 41 남학생 : 10명, 여학생 : 30명 ② ③ 현정 : 15세, 어머니 : 40세, 할머니 : 68세 10`km 6`km 18`km ② 235 ① 12회 ④ 75개 ⑤ ④ ③ x=3, y=2 은정 : 6`km, 현정 : 10`km ③ ④ 나연 : 시속 6`km, 선영 : 시속 2`km ④ 100`m 초속 32`m 초속 45`m 550`m ⑤ 유람선 : 시속 9`km, 강물 : 시속 3`km 분속 40`m 시속 2`km 1.8`km ② ③ ③ 200`g 250`g ① A : 16`%, B : 2`% 10`% 10`%, 30`% 380명 ③ 3224명 3600원 12`kg 420명 10분 ④ A : 168`g, B : 32`g 10000원 18000원 A : 3000원, B : 4000원 12일 6분 3시간 70`g 5`g ③ ⑤ 처음 수의 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자 를 y라고 하면 이 수는 10x+y이고, 십의 자리의 숫 자와 일의 자리의 숫자를 바꾼 수는 10y+x이므로 x+y=7 [ 10y+x=(10x+y)+27 에서 [ x+y=7 x-y=-3 ∴ x=2, y=5 따라서 처음 수는 25이다. Ⅲ 연립방정식 35  처음 수의 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자 ∴ x=36, y=30 따라서 남자 회원 수는 36명, 여자 회원 수는 30명이다. 를 y라고 하면 x+y=9 [ 10y+x=3(10x+y)-9 ∴ x=2, y=7 따라서 처음 수는 27이다. `에서 [ x+y=9 29x-7y=9 두 자연수를 x, y`(x>y)라고 하면 x+y=50 [ x=4y+5 ∴ x=41, y=9 따라서 큰 수는 41이다. A=B+6 2A=3B+5 [ ` 이 연립방정식을 풀면 A=13, B=7 ∴ A+B=13+7=20 백의 자리의 숫자를 x, 십의 자리의 숫자를 y, 일의 자리의 숫자를 z라 하면 x+y+z=10 …… ㉠ …… ㉡ y+z=8 [ ㉠ -㉡을 하면 x=2 또, 일의 자리의 숫자를 백의 자리에 놓고 나머지 숫 자를 한 자리씩 내려쓴 수는 100z+10x+y이고, 이 수는 처음 수의 2배보다 53만큼 크므로 100z+10x+y=2(100x+10y+z)+53 이 식에 x=2를 대입하여 정리하면 -19y+98z=433 …… ㉢ ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 y=3, z=5 따라서 처음 세 자리의 자연수는 235이다. 생산된 합격품의 개수를 x개, 불량품의 개수를 y개 라고 하면 x+y=250 [ 100x-200y=2500 ∴ x=175, y=75 에서 [ x+y=250 x-2y=25 따라서 불량품의 개수는 75개이다. 이 단체의 남녀 회원 수를 각각 x명, y명이라고 하면 x+y=66 [ x+ y= ;5@; ;3!; ;1¢1; _66 에서 [ x+y=66 5x+6y=360 36 정답과 해설 세 과목의 평균 점수는 b점이므로 b= 75+a+90 3 ∴ 3b=a+165 …… ㉠ 평균 점수는 영어 점수보다 5점이 높으므로 b=a+5 …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=75, b=80 따라서 나연이의 평균 점수는 80점이다. 남학생의 수를 x명, 여학생의 수를 y명이라고 하면 x+y=40 남학생 x명의 평균이 72점이므로 남학생 전체의 점 수의 합은 72x점, 같은 방법으로 여학생 전체의 점 수의 합은 84y점, 전체 40명의 점수의 합은 81_40=3240(점) ∴ 72x+84y=3240 두 식을 간단히 하면 [ x+y=40 6x+7y=270 ∴ x=10, y=30 따라서 남학생의 수는 10명, 여학생의 수는 30명이다. 올해 어머니와 아들의 나이를 각각 x세, y세라고 하면 x-y=27 x-y=27 [ x+12=2(y+12) x-2y=12 에서 [ ∴ x=42, y=15 따라서 현재 어머니의 나이는 42세이다. 현재 아버지의 나이를 x세, 아들의 나이를 y세라고 하면 x=3y [ x+10=2(y+10)+4 ∴ x=42, y=14 x=3y 에서 [ x=2y+14 따라서 현재 아버지와 아들의 나이의 차는 x-y=42-14=28(세) 현재 현정이의 나이와 어머니의 나이를 각각 x세, y 세라 하면 할머니의 나이에서 4x+8=y+28 …… ㉠ 현정이의 나이가 현재 어머니의 나이가 되는 때는 (y-x)년 후이므로 그때의 어머니의 나이는  형이 이긴(동생이 진) 횟수를 x회, 동생이 이긴(형이 걸어간 거리를 x`km, 뛰어간 거리를 y`km라고 하면 y+(y-x)=2y-x(세)이고, 그때 어머니의 나이 (cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 는 현재 할머니의 나이보다 3세 더 적게 되므로 집 지영 (cid:89)(cid:65)(cid:76)(cid:78) (cid:90)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 시속 (cid:23)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 시속 (cid:21)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 도서관 (cid:19)시간 (cid:18)(cid:17)분 따라서 현재 현정이의 나이는 15세, 어머니의 나이 고, 총 2시간 10분, 즉 시간이 걸렸으므로 지영이가 시속 6`km로 걸은 거리를 x`km, 시속 4`km 로 걸은 거리를 y`km라고 하면 모두 10`km를 걸었 [ [ [ 희영이가 이긴(지영이가 진) 횟수를 x회, 지영이가 이긴(희영이가 진) 횟수를 y회라고 하면 2y-x=y+28-3 …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=15, y=40 는 40세, 할머니의 나이는 68세이다. 2x-y=15 -x+2y=6 ∴ x=12, y=9 따라서 희영이는 12회 이겼다. 진) 횟수를 y회라고 하면 3x-y=7 -x+3y=3 ∴ x=3, y=2 따라서 형이 이긴 횟수는 3회이다. 재현이가 10회 이겼으므로 동욱이는 10회 졌고, 동 욱이가 8회 이겼으므로 재현이는 8회 졌다. 10x-8y=14 8x-10y=4 에서 [ 5x-4y=7 4x-5y=2 ∴ x=3, y=2 (cid:34) (cid:18)(cid:20)(cid:65)(cid:76)(cid:78) (cid:89)(cid:65)(cid:76)(cid:78) (cid:49) (cid:35) (cid:90)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 시속 (cid:22)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 시속 (cid:19)(cid:65)(cid:76)(cid:78) (cid:20)시간 (cid:20)(cid:17)분 A에서 P까지의 거리를 x`km, P에서 B까지의 거리 시속 5`km로 걸은 시간은 시간, 시속 2`km로 걸 ;5{; 은 시간은 시간이고 모두 3시간 30분, 즉 시간 ;2&; 를 y`km라고 하면 x+y=13 ;2}; 이 걸렸으므로 + = ;2}; ;2&; ;5{; 두 식을 간단히 하면 [ x+y=13 2x+5y=35 ∴ x=10, y=3 따라서 A에서 P까지의 거리는 10`km이다. :Á6£: 에서 [ x+y=10 2x+3y=26 x+y=10 [ + = ;4}; ;6{; :Á6£: ∴ x=4, y=6 따라서 시속 4`km로 걸은 거리는 6`km이다. (cid:19)(cid:17)(cid:65)(cid:76)(cid:78) (cid:90)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 시속 (cid:25)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 도착 (cid:19)시간 (cid:21)(cid:22)분 시작 (cid:89)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 시속 (cid:21)(cid:65)(cid:76)(cid:78) x+y=20 총 2시간 45분, 즉 시간이 걸렸으므로 :Á4Á: + = ;8}; ;4{; :Á4Á: 두 식을 간단히 하면 [ x+y=20 2x+y=22 ∴ x=2, y=18 따라서 민선이가 뛰어간 거리는 18`km이다. (cid:89)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 시속 (cid:19)(cid:17)(cid:65)(cid:76)(cid:78) (cid:90)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 시속 (cid:21)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 시작 도착 y`km라고 하면 = ;4}; ;6(0^; + ;2Ó0; y=3x [ 에서 [ x+5y=32 y=3x ∴ x=2, y=6 따라서 케이블카를 탄 거리는 2`km이다. (cid:89)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 시속 (cid:21)(cid:65)(cid:76)(cid:78) (cid:34)코스 시작 (cid:90)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 시속 (cid:23)(cid:65)(cid:76)(cid:78) (cid:35)코스 도착 A, B 두 코스의 거리를 각각 x`km, y`km라고 하면 x+y=16 [ = + + ;4{; ;2!; ∴ x=2, y=14 ;6}; :Á3¼: 에서 [ x+y=16 3x+2y=34 ` Ⅲ 연립방정식 37 케이블카를 탄 거리를 x`km, 걸어서 내려온 거리를  따라서 A, B 두 코스의 거리의 차는 ∴ x=24, y=4 14-2=12`(km) 따라서 토끼는 출발한 지 4분 후에 거북이를 따라잡 은정 (cid:18)(cid:23)(cid:65)(cid:76)(cid:78) (cid:89)(cid:65)(cid:76)(cid:78) (cid:90)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 시속 (cid:20)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 시속 (cid:22)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 만난 지점 현정 은정이와 현정이가 만날 때까지 걸은 거리를 각각 시속 (cid:89)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 두 사람이 만날 때까지 걸은 시간은 같으므로 나연이와 선영이의 속력을 각각 시속 x`km, 시속 는다. 나연 선영 (cid:28)(cid:19)(cid:4)(cid:28)시간 시속 (cid:90)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 호수 (cid:28)(cid:21)(cid:4)(cid:28)시간 나연 선영 시속 (cid:90)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 호수 시속 (cid:89)(cid:65)(cid:76)(cid:78) [그림 1] [그림 2] y`km라고 하면 [그림 1]에서 45분, 즉 시간 동안 두 ;4#; 사람이 각각 움직인 거리의 합이 호수의 둘레의 길이 인 6`km이므로 x+ y=6 ;4#; ;4#; 또, [그림 2]에서 1시간 30분, 즉 시간 동안 나연이 ;2#; 따라서 은정이가 걸은 거리는 6`km이고, 현정이가 가 움직인 거리에서 선영이가 움직인 거리를 빼면 호 수의 둘레의 길이인 6`km이므로 x- y=6 ;2#; ;2#; 두 식을 간단히 하면 [ x+y=8 x-y=4 ` ∴ x=6, y=2 (cid:89)(cid:190)분 (cid:90)분 만난 지점 도둑이 도망간 시간을 x분, 형사가 쫓아간 시간을 y 따라서 나연이의 속력은 시속 6`km이고, 선영이의 속력은 시속 2`km이다. 도둑과 형사가 움직인 거리는 같으므로 x`km, y`km라고 하면 x+y=16 = ;5}; ;3{; 두 식을 간단히 하면 x+y=16 [ 5x=3y ` ∴ x=6, y=10 걸은 거리는 10`km이다. 도둑 (cid:18)(cid:22)분 후 형사 움직인 거리 분속 (cid:22)(cid:17)(cid:65)(cid:78) 분속 (cid:25)(cid:17)(cid:65)(cid:78) 분이라고 하면 x=y+15 50x=80y 두 식을 간단히 하면 x=y+15 [ 5x=8y ∴ x=40, y=25 현정이와 동진이의 속력을 각각 시속 x`km, 시속 y`km라고 하면 같은 방향으로 돌아서 1시간 후에 만났으므로 두 사람의 움직인 거리는 각각 x`km, y`km이고, 동진이보다 현정이가 더 빠르므로 현정 이가 움직인 거리가 더 많다. 즉, x-y=3 또, 반대 방향으로 돌아서 시간 후에 만났으므로 ;3!; 두 사람이 움직인 거리는 각각 `km, `km이다. ;3{; ;3}; 즉, + ;3{; ;3}; =3 두 식을 간단히 하면 [ x-y=3 x+y=9 ∴ x=6, y=3 따라서 현정이의 속력은 시속 6`km이다. (cid:89)(cid:65)(cid:78) (cid:89)(cid:65)(cid:78) (cid:9)(cid:22)(cid:17)(cid:17)(cid:12)(cid:89)(cid:190)(cid:10)(cid:65)(cid:78) 철교 (cid:22)(cid:17)(cid:17)(cid:65)(cid:78) 통과((cid:21)(cid:22)초) [그림 1] (cid:9)(cid:18)(cid:22)(cid:17)(cid:17)(cid:12)(cid:89)(cid:190)(cid:10)(cid:65)(cid:78) 터널 (cid:18)(cid:22)(cid:17)(cid:17)(cid:65)(cid:78) [그림 2] 통과((cid:18)(cid:19)(cid:17)초) 따라서 도둑이 도망간 시간은 40분이다. 출발점 거북이 (cid:19)(cid:17)분 후 토끼 이동한 거리 분속 (cid:22)(cid:65)(cid:78) 분속 (cid:20)(cid:17)(cid:65)(cid:78) (cid:89)(cid:190)분 (cid:90)분 만난 지점 y분이라고 하면 x=y+20 거북이와 토끼가 이동한 거리는 같으므로 5x=30y 두 식을 간단히 하면 [ x=y+20 x=6y 거북이가 이동한 시간을 x분, 토끼가 이동한 시간을 38 정답과 해설  기차의 길이를 x`m, 기차의 속력을 초속 y`m라고 하면 [그림 1]에서 기차가 철교에 들어서서 완전히 통 과할 때까지 움직인 거리는 (500+x)`m이고 45초 가 걸리므로 500+x=45y …… ㉠ (cid:89)(cid:65)(cid:78) (cid:9)(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:17)(cid:12)(cid:190)(cid:10)(cid:65)(cid:78) 터널(cid:3)(cid:34) (cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:17)(cid:65)(cid:78) 통과((cid:21)(cid:17)초) [그림 1] (cid:9)(cid:18)(cid:26)(cid:22)(cid:17)(cid:14)(cid:89)(cid:190)(cid:10)(cid:65)(cid:78) (cid:89)(cid:65)(cid:78) 터널(cid:3)(cid:35) (cid:18)(cid:26)(cid:22)(cid:17)(cid:65)(cid:78) [그림 2] 터널 속 ((cid:20)(cid:17)초) 기차의 길이를 x`m, 기차의 속력을 초속 y`m라고 또, [그림 2]에서 기차가 터널을 완전히 통과할 때까 하면 [그림 1]에서 기차가 터널 A를 완전히 통과할 때 지 움직인 거리는 (1500+x)`m이고 2분, 즉 120초 까지 움직인 거리는 (1200+x)`m이고 40초가 걸리 가 걸리므로 1500+x=120y …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=100, y= :¢3¼: 따라서 기차의 길이는 100`m이다. (cid:9)(cid:22)(cid:17)(cid:17)(cid:12)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:78) (cid:89)(cid:65)(cid:78) 터널 (cid:22)(cid:17)(cid:17)(cid:65)(cid:78) 통과((cid:21)(cid:22)초) [그림 1] (cid:89)(cid:190)(cid:65)(cid:78) 통과((cid:23)(cid:17)초) (cid:9)(cid:24)(cid:22)(cid:17)(cid:12)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:78) 다리 (cid:24)(cid:22)(cid:17)(cid:65)(cid:78) [그림 2] 기차의 길이를 x`m, 기차의 속력을 초속 y`m라고 하 면 [그림 1]에서 기차가 터널을 완전히 통과할 때까지 움직인 거리는 (500+x)`m이고 45초가 걸리므로 500+x=45y …… ㉠ [그림 2]에서 기차가 다리를 완전히 통과할 때까지 움 직인 거리는 (750+x)`m이고 1분, 즉 60초가 걸리 므로 750+x=60y …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=250, y= :°3¼: 따라서 기차의 길이는 250`m이다. 므로 1200+x=40y …… ㉠ 또, [그림 2]에서 기차 전체가 터널 B 속에 있을 때 움 직인 거리는 (1950-x)`m이고 30초 동안이므로 1950-x=30y …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=600, y=45 따라서 기차의 속력은 초속 45`m이다. 새마을호 (cid:20)(cid:22)(cid:17)(cid:65)(cid:78) (cid:44)(cid:53)(cid:57) (cid:18)(cid:24)(cid:17)(cid:65)(cid:78) (cid:9)(cid:190)(cid:89)(cid:12)(cid:20)(cid:22)(cid:17)(cid:10)(cid:65)(cid:78) 다리 (cid:89)(cid:190)(cid:65)(cid:78) 통과((cid:18)(cid:22)초) [그림 1] (cid:9)(cid:190)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:24)(cid:17)(cid:10)(cid:65)(cid:78) 다리 (cid:89)(cid:190)(cid:65)(cid:78) [그림 2] 통과((cid:25)초) 다리의 길이를 x`m, 새마을호의 속력을 초속 y`m라 고 하면 KTX의 속력은 새마을호의 1.5배이므로 초 속 y`m이다. ;2#; [그림 1]에서 새마을호가 다리를 완전히 통과할 때까 지 움직인 거리는 (x+350)`m이고 15초가 걸리므로 x+350=15y …… ㉠ 또, [그림 2]에서 KTX가 다리를 완전히 통과할 때까 지 움직인 거리는 (x+170)`m이고 8초가 걸리므로 (cid:89)(cid:65)(cid:78) (cid:9)(cid:25)(cid:17)(cid:17)(cid:12)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:78) 다리 (cid:25)(cid:17)(cid:17)(cid:65)(cid:78) (cid:89)(cid:65)(cid:78) 통과((cid:20)(cid:17)초) (cid:34) 통과((cid:22)초) [그림 1] [그림 2] x+170=8_ y ` ;2#; ∴ x+170=12y …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 열차의 길이를 x`m, 열차의 속력을 초속 y`m라고 하 x=550, y=60 면 [그림 1]에서 열차가 다리를 완전히 통과할 때까지 따라서 다리의 길이는 550`m이다. 움직인 거리가 (800+x)`m이고 30초가 걸리므로 800+x=30y …… ㉠ 또, [그림 2]에서 열차가 한 지점 A를 통과할 때까지 움직인 거리는 열차의 길이 x`m이고 5초가 걸리므로 x=5y …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=160, y=32 거슬러 올라갈 때 하류 (cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)시간 (cid:22)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 시속 (cid:9)(cid:89)(cid:190)(cid:14)(cid:90)(cid:10)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 시속 (cid:9)(cid:190)(cid:89)(cid:12)(cid:90)(cid:10)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 상류 (cid:28)(cid:23)(cid:6)(cid:28)시간 내려갈 때 정지한 물에서의 배의 속력을 시속 x`km, 강물의 속 력을 시속 y`km라고 하면 배가 강을 거슬러 올라갈 따라서 열차의 속력은 초속 32`m이다. 때의 속력은 시속 (x-y)`km이고, 배가 강을 따라 Ⅲ 연립방정식 39  정지한 물에서의 배의 속력을 시속 x`km, 강물의 40`m이다. 내려올 때의 속력은 시속 (x+y)`km이다. 거슬러 올라간 거리와 내려온 거리는 모두 5`km이 므로 ( { ;6%; ;2!; (x-y)=5 (x+y)=5 9 ∴ x=8, y=2 에서 [ x-y=6 x+y=10 따라서 정지한 물에서의 배의 속력은 시속 8`km이다. 거슬러 올라갈 때 하류 (cid:28)(cid:19)(cid:4)(cid:28)시간 (cid:19)(cid:21)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 시속 (cid:9)(cid:89)(cid:190)(cid:14)(cid:90)(cid:10)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 시속 (cid:9)(cid:190)(cid:89)(cid:12)(cid:90)(cid:10)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 상류 (cid:19)시간 내려갈 때 속력을 시속 y`km라고 하면 강을 거슬러 올라갈 때의 배의 속력은 시속 (x-y) km이고 총 2시간이 걸렸으므로 2(x-y)=24 또, 강을 내려올 때의 배의 속력은 시속 (x+y)`km 이고 ;2#; 총 시간이 걸렸으므로 (x+y)=24 ;2#; 두 식을 간단히 정리하면 x-y=12 [ x+y=16 ∴ x=14, y=2 따라서 강물의 속력은 시속 2`km이다. 거슬러 올라갈 때 하류 (cid:28)(cid:23)(cid:6)(cid:28)시간 (cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 시속 (cid:9)(cid:89)(cid:190)(cid:14)(cid:90)(cid:10)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 시속 (cid:9)(cid:190)(cid:89)(cid:12)(cid:90)(cid:10)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 상류 (cid:28)(cid:20)(cid:6)(cid:28)시간 내려갈 때 정지한 물에서의 유람선의 속력을 시속 x`km, 강물 의 속력을 시속 y`km라고 하면 유람선이 강을 거슬 러 올라갈 때의 속력은 시속 (x-y)`km이고, 강을 거슬러 올라갈 때 하류 (cid:23)분 (cid:20)(cid:17)(cid:17)(cid:65)(cid:78) 분속 (cid:9)(cid:89)(cid:190)(cid:14)(cid:90)(cid:10)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 분속 (cid:9)(cid:190)(cid:89)(cid:12)(cid:90)(cid:10)(cid:65)(cid:76)(cid:78) 상류 (cid:18)(cid:17)분 내려올 때 정지한 물에서의 은정이의 수영 속력을 분속 x`m, 강물의 속력을 분속 y`m라고 하면 은정이가 강을 거 슬러 올라갈 때의 속력은 분속 (x-y)`m, 강을 내 려올 때의 속력은 분속 (x+y)`m이다. 거슬러 올라간 거리와 내려온 거리는 모두 300`m이 므로 10(x-y)=300 6(x+y)=300 에서 [ x-y=30 x+y=50 [ ∴ x=40, y=10 따라서 정지한 물에서의 은정이의 수영 속력은 분속 현정이의 수영 속력과 강물의 속력을 각각 시속 x`km, 시속 y`km라 하고, 상류에서 A 지점까지의 거리를 z`km라고 하면 튜브에 누워 내려온 속력은 강물의 속력 시속 y`km 와 같고 총 2시간이 걸렸으므로 2y=z …… ㉠ 또, 수영으로 강을 거슬러 올라갈 때의 속력은 시속 (x-y)`km이고, 총 3시간이 걸렸으므로 3(x-y)=z …… ㉡ 다시 수영을 하여 강을 내려올 때의 속력은 시속 (x+y)`km이고, 총 시간 동안 (z-1)`km를 갔 ;3!; 으므로 (x+y)=z-1 ;3!; ㉠, ㉡, ㉢에 의해 …… ㉢ 2y=3(x-y)= (x+y)+1이고 ;3!; 연립방정식 [ 2y=3(x-y) 2y= (x+y)+1 ;3!; 에서 [ 3x-5y=0 x-5y=-3 따라 내려올 때의 속력은 시속 (x+y)`km이다. 따라서 상류에서 A 지점까지의 거리는 거슬러 올라간 거리와 내려온 거리는 모두 10`km이 ∴ x= , y= ;2#; ;1»0; z=2y=2_ =1.8(km) ;1»0; 므로 ( { ;3%; ;6%; (x-y)=10 (x+y)=10 9 `∴ x=9, y=3 에서 [ x-y=6 x+y=12 40 정답과 해설 따라서 정지한 물에서의 유람선의 속력은 시속 각각 x`g, y`g이고, 그 합은 12`%의 소금 ;10*0; ;1Á0¢0; 9`km, 강물의 속력은 시속 3`km이다. 물 600`g에 들어 있는 소금의 양과 같으므로 8`%, 14`%의 소금물의 양을 각각 x`g, y`g이라고 하면 8`%, 14`%의 소금물에 들어 있는 소금의 양은 x+y=600 [ ;10*0; x+ y= ;1Á0¢0; ;1Á0ª0; _600 에서 x+y=600 4x+7y=3600 [ ` ∴ x=200, y=400 따라서 섞어야 하는 14`%의 소금물의 양은 400`g이다. 5`%, 10`%의 설탕물의 양을 각각 x`g, y`g이라고 하면 5`%, 10`%의 설탕물에 녹아 있는 설탕의 양은 각각 x`g, y`g이고, 그 합은 8`%의 설탕물 ;10%0; ;1Á0¼0; 500`g에 녹아 있는 설탕의 양과 같으므로 x+y=500 [ ;10%0; x+ y= ;1Á0¼0; ;10*0; _500 에서 x+y=500 x+2y=800 [ ∴ x=200, y=300 따라서 5`%의 설탕물의 양은 200`g이다. 3`%, 7`%의 소금물의 양을 각각 x`g, y`g이라고 하면 3`%의 소금물에 들어 있는 소금의 양은 7`%의 소금물에 들어 있는 소금의 양은 x`g, ;10#0; y`g ;10&0; 이고, 그 합은 5`%의 소금물 500`g에 들어 있는 소 ;10#0; x+ y= ;10&0; ;10%0; _500 에서 금의 양과 같으므로 x+y=500 [ [ x+y=500 3x+7y=2500 ∴ x=250,`y=250 따라서 3`%의 소금물은 250`g을 섞어야 한다. 6`%, 11`%의 소금물의 양을 각각 x`g, y`g이라고 하면 6`%, 11`%의 소금물에 녹아 있는 소금의 양은 각각 x`g, y`g이고, 그 합은 9`%의 소금물 ;10^0; ;1Á0Á0; 600`g에 녹아 있는 소금의 양과 같으므로 x+y+100=600 [ ;10^0; x+ y= ;1Á0Á0; ;10(0; _600 에서 x+y=500 6x+11y=5400 [ ` ∴ x=20, y=480 3`%, 8`%의 소금물의 양을 각각 x`g, y`g이라고 하 면 더 넣은 소금의 양은 3`%의 소금물의 양의 이 ;4!; 므로 x`g이다. ;4!; 따라서 3`%, 8`%의 소금물에 녹아 있는 소금의 양 x`g, y`g과 더 넣은 소금의 양 x`g의 합 ;10#0; ;10*0; ;4!; 이 10`%의 소금물 630`g에 녹아 있는 소금의 양과 에서 y+ x= ;4!; ;1Á0¼0; _630 같으므로 ( { 9 [ x+y+ x=630 ;4!; x+ ;10#0; ;10*0; 5x+4y=2520 14x+4y=3150 ∴ x=70, y= ;;Á;;¼2¥;;°;; 따라서 3`%의 소금물의 양은 70`g이다. 두 소금물 A, B의 농도를 각각 x`%, y`%라고 하면 소금물 A 80`g, 소금물 B 60`g에 녹아 있는 소금의 양은 각각 {;10{0; _80 `g, } {;10}0; } _60 `g이고 그 합 은 10`%의 소금물 140`g에 녹아 있는 소금의 양과 같으므로 ;10{0; _80+ ;10}0; _60= _140 ;1Á0¼0; 또, 소금물 A 60`g, 소금물 B 80`g에 녹아 있는 소 금의 양은 각각 {;10{0; _60 `g, } {;10}0; _80 `g이고 } 그 합은 8`%의 소금물 140`g에 녹아 있는 소금의 양 과 같으므로 _60+ _80= _140 ;10{0; ;10}0; ;10*0; 두 식을 간단히 하면 [ 4x+3y=70 3x+4y=56 따라서 소금물 A의 농도는 16`%, 소금물 B의 농도 ∴ x=16, y=2 는 2`%이다. 소금물 A, B의 농도를 각각 x`%, y`%라고 하면 ;10{0; _40+ ;10}0; _60= _100 ;10&0; 에서 ;10}0; _40= _100 ;10*0; ( { 9 _60+ ;10{0; 2x+3y=35 3x+2y=40 ∴ x=10, y=5 [ Ⅲ 연립방정식 41 따라서 6`%의 소금물의 양은 20`g이다. 따라서 소금물 A의 농도는 10`%이다.  두 시럽 A, B의 농도를 각각 x`%, y`%라고 하면 시 14K와 24K의 양을 각각 x`g, y`g이라고 하면 각각 럽 A 500`mL, 시럽 B 300`mL에 섞여 있는 타미플 에 포함된 금의 양은 x`g, y`g이므로 ;1¤0¼0; 루의 양은 각각 {;10{0; _500 `mL, } {;10}0; _300 `mL } x+y=8 이고 그 합은 10`%의 시럽 800`mL에 섞여 있는 타 에서 [ x+y=8 3x+5y=30 _300+ _500= _800 ;10{0; ;10}0; ;1Á0ª0; 따라서 합금 B는 9`kg이 필요하다. 미플루의 양과 같으므로 _500+ _300= _800 ;10{0; ;10}0; ;1Á0¼0; 나머지 시럽 A 300`mL, 시럽 B 500`mL에 섞여 있 는 타미플루의 양은 각각 _300 `mL, {;10{0; } _500 `mL이고 그 합은 12`%의 시럽 {;10}0; } 800`mL에 섞여 있는 타미플루의 양과 같으므로 두 식을 간단히 하면 5x+3y=80 [ 3x+5y=96 ∴ x=7, y=15 따라서 시럽 B의 농도는 15`%이다. 녹아 있는 소금의 양은 ;10{0; _150+ ;10}0; _50= _200 ;1Á0°0; 서로 바꾸어 넣은 후 25`%의 소금물에 녹아 있는 소 금의 양은 ;10}0; _150+ ;10{0; _50= _200 ;1ª0°0; 두 식을 간단히 하면 [ 3x+y=60 x+3y=100 ∴ x=10, y=30 [ ;1¤0¼0; x+y= _8 ;1¦0°0; ∴ x=5, y=3 따라서 14K는 5`g이 필요하다. 필요한 합금 A, B의 양을 각각 x`kg, y`kg이라 하면 ( { x+ ;1¦0¼0; ;1¢0¼0; y=5 x+ ;1£0¼0; ;1¤0¼0; 9 ∴ x=2, y=9 y=6 에서 [ 7x+4y=50 x+2y=20 합금 A, B의 양을 각각 x`g, y`g이라고 하면 합금 A 에 들어 있는 구리와 니켈의 양은 각각 x`g, x`g ;3!; ;3@; 이고, 합금 B에 들어 있는 구리와 니켈의 양은 각각 y`g이므로 ;4!; y`g, ;4#; x+y=200 x+y=200 [ 4x-21y=0 `∴ x=168, y=32 따라서 합금 A는 168`g, 합금 B는 32`g이 필요하다. 나연이와 현정이가 받는 한 달 용돈의 비가 3`:`5이 므로 나연이와 현정이의 한 달 용돈을 각각 3k원, 5k원(k는 자연수)이라 하고, 지출하는 돈의 비가 1`:`2이므로 나연이와 현정이의 지출액을 각각 m원, 농도가 다른 처음의 두 소금물의 농도를 각각 x`%, y`%라 하면 서로 바꾸어 넣은 후 15`%의 소금물에 [ x+ y : ;4!; } {;3!; {;3@; x+ ;4#; } y =3`:`2 에서 따라서 처음 두 소금물의 농도는 각각 10`%, 30`% 2m원(m은 자연수)이라 하자. 이다. 두 사람 모두 용돈을 지출하고 남은 돈이 5000원이 두 합금 X, Y의 양을 각각 x`kg, y`kg이라고 하면 합금 X 안에 들어 있는 구리의 양은 x`kg이고, ;1£0¼0; ;1¥0¼0; 합금 Y 안에 들어 있는 구리의 양은 y`kg이므로 x+y=30 [ ;1£0¼0; x+ y= ;1¥0¼0; ;1°0¼0; _30 ∴ x=18, y=12 에서 [ x+y=30 3x+8y=150 따라서 합금 Y는 12`kg이 필요하다. 42 정답과 해설 므로 3k-m=5000 [ 5k-2m=5000 ∴ k=5000, m=10000 즉, 나연이의 용돈은 3k=3_5000=15000(원) 현정이의 용돈은 5k=5_5000=25000(원) 따라서 두 사람의 용돈의 차는 25000-15000=10000(원)  작년의 남녀 학생 수를 각각 x명, y명이라고 하면 x+y=50 …… ㉠ 올해 증가한 남학생 수는 x명이고, 올해 감소한 ;10*0; 여 학생 수는 y명이므로 ;10%0; x+y=600 [ x- ;10*0; ;10%0; y=-4 ∴ x=200, y=400 따라서 올해의 여학생 수는 x+y=600 에서 [ 8x-5y=-400 1- { ;10%0;} y= ;1»0°0; _400=380(명) A 지우개 한 개의 이익금은 500_0.3=150(원) B 지우개 한 개의 이익금은 400_0.2=80(원) 총 5400원의 이익이 남았으므로 150x+80y=5400 …… ㉡ ㉠, ㉡을 간단히 하면 x+y=50 [ 15x+8y=540 ∴ x=20, y=30 A, B 두 마을의 작년 인구를 각각 x명, y명이라고 따라서 A 지우개는 20개 팔았다. 하자. 올해 A 마을의 인구는 4`% 증가했으므로 x명이 두 상품 A, B의 원가를 각각 x원, y원이라고 하면 ;10$0; 늘었고, B 마을의 인구는 6`% 감소했으므로 y ;10^0; 명이 줄어 들어 결국 작년보다 총 인구가 82명 증가 x+y=20000 A 상품의 이익금은 0.2x원, B 상품의 할인액은 0.3y 원이고 3000원의 이익이 생겼으므로 했다. ∴ [ x+y=3800 x- ;10$0; ;10^0; y=82 이 식을 간단히 하면` x+y=3800 [ 2x-3y=4100 ∴ x=3100, y=700 따라서 A 마을의 올해 인구는 1+ { ;10$0;} x= ;1!0)0$; _3100=3224(명) 작년의 남녀 학생 수를 각각 x명, y명이라고 하면 올 해 증가한 남학생 수는 x명이고, 올해 증가한 여 ;10%0; 학생 수는 ;10*0; x+y=1200 y명이므로 [ ;10%0; x+ y= ;10*0; ;10&0; _1200 에서 x+y=1200 5x+8y=8400 [ ∴ x=400, y=800 따라서 올해의 남학생 수는 1+ { ;10%0;} x= ;1!0)0%; _400=420(명) 0.2x-0.3y=3000 두 식을 간단히 하면 x+y=20000 [ 2x-3y=30000 ∴ x=18000, y=2000 따라서 A 상품의 원가는 18000원이다. 두 상품 A, B의 원가를 각각 x원, y원이라고 하면 x+y=7000 [ { 1+ ;1ª0¼0;} x= 1- { ;1Á0¼0;} y 에서 따라서 A 상품의 원가는 3000원, B 상품의 원가는 A 상품의 원가를 x원, B 상품의 원가를 y원이라고 x+y=7000 4x=3y [ ∴ x=3000, y=4000 4000원이다. 하면 x+y=5000 [ 0.2x+0.3y=1300 에서 x+y=5000 2x+3y=13000 [ ∴ x=2000, y=3000 따라서 B 상품의 정가는 Ⅲ 연립방정식 43 판매한 지우개 A, B의 개수를 각각 x개, y개라고 하면 (1+0.3)y=1.3_3000=3900(원)  두 샤프펜슬 중 더 비싼 샤프펜슬을 A, 더 싼 샤프펜 따라서 동현이와 재석이가 혼자서 일을 끝낼 때 걸리 전체 일의 양을 1이라고 하고, 지훈이와 유진이가 하 루에 할 수 있는 일의 양을 각각 x, y라 하면 는 시간의 차는 12-6=6(시간) 4x+6y=1 8x+3y=1 [ ∴ x= , y= ;1Á2; ;9!; 따라서 지훈이가 하루에 할 수 있는 일의 양은 이 ;1Á2; 므로 지훈이가 혼자서 이 일을 하면 12일이 걸린다. 물통에 물을 가득 채웠을 때 물의 양을 1이라고 하 고, A, B 호스로 1분 동안 채울 수 있는 물의 양을 슬을 B라 하고 각각의 원가를 x원, y원이라고 하면 A, B 두 샤프펜슬에 20`%의 이익을 붙였으므로 정 x-y=2000 가는 각각 { 1+ ;1ª0¼0;} x, { 1+ ;1ª0¼0;} y이다. ∴ x+ ;1!0@0); ;1!0@0); y=4800 두 식을 간단히 하면 x-y=2000 x+y=4000 [ ∴ x=3000, y=1000 따라서 더 비싼 샤프펜슬의 정가는 1+ { ;1ª0¼0;} x= ;1!0@0); _3000=3600(원) 전체 일의 양을 1이라고 하고, A, B가 1분 동안 할 수 있는 일의 양을 각각 x, y라 하면 5x+5y=1 [ 4x+6y=1 ∴ x= , y= ;1Á0; ;1Á0; 따라서 B 호스로 1분 동안 채울 수 있는 물의 양이 이므로 B 호스로만 물통을 가득 채우려면 6분이 물탱크에 가득 채워진 물의 양을 1이라고 하고, A, B 호스로 1시간 동안 채울 수 있는 물의 양을 각각 따라서 B가 1분 동안 할 수 있는 일의 양은 이므 ;1Á0; 로 B 혼자 교실 정리를 한다면 10분이 걸린다. ;6!; 걸린다. 전체 일의 양을 1이라고 하고, 동현이와 재석이가 1 시간 동안 할 수 있는 일의 양을 각각 x, y라 하면 4x+4y=1 2x+5y=1 [ ∴ x= , y= ;1Á2; ;6!; 동현이와 재석이가 1시간 동안 할 수 있는 일의 양이 따라서 A 호스로 1시간 동안 채울 수 있는 물의 양 각각 , ;1Á2; ;6!; 이므로 두 사람이 혼자서 일을 끝낼 때 은 이므로 A 호스로만 물을 가득 채우려면 3시간 걸리는 시간은 각각 12시간, 6시간이다. 각각 x, y라 하면 2x+2y=1 [ x+4y=1 ∴ x= , y= ;3!; ;6!; x, y라 하면 x+6y=1 [ 2x+3y=1 ∴ x= , y= ;3!; ;9!; ;3!; 이 걸린다. 44 정답과 해설 단원 종합 문제 본문 103~106쪽 ② ④ -1 5개 ② ② ③ ② ⑤ ;2!; ① ① ⑤ x=-2, y=3 x=-8, y=-7 ⑤ 4 x=- , y= ;4!; ;4#; x=3, y=1 -12 ⑤ ④ ⑤ 96 24분 100`m 영서 : 분속 40`m, 선정 : 분속 30`m 안경 : 76개, 콘택트렌즈 : 25개 4000원 24일 ①, ③ 등식이 아니므로 방정식이 아니다. y=-2x-1을 4x+7y=13에 대입하면 ④ 이차방정식이다. 4x+7(-2x-1)=13 ⑤ 이항하여 정리하면 x가 소거되므로 미지수가 1개 10x=-20 ∴ x=-2 인 일차방정식이다. x=-2를 `y=-2x-1에 대입하면 y=3 x=1, 2, 3, …`일 때 y=5, 12, 19, …이므로 해 주어진 연립방정식의 두 식의 양변에 각각 10을 곱 ① 7x-y=2에서 y=7x-2 가 무수히 많다. ② 4x+5y=10에서 y=2- x ;5$; 하면 3x-2y=-10 4x-5y=3 [ x=5, 10, 15, …`일 때 y=-2, -6, -10, … 이 연립방정식을 풀면 x=-8, y=-7 이므로 x와 y가 모두 자연수인 해는 없다. ③ 3x+4y=20에서 y=5- x ;4#; x=4, 8, 12, …`일 때 y=2, -1, -4, …이므로 x, y가 자연수인 해는 (4, 2)이다. ④ x+y=5에서 y=5-x x=1, 2, 3, 4, 5, …일 때 y=4, 3, 2, 1, 0, …이 므로 x, y가 자연수인 해는 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)이다. ⑤ x+2y=6에서 y=3- ;2{; x=2, 4, 6, …`일 때 y=2, 1, 0, …이므로 x, y 가 자연수인 해는 (2, 2), (4, 1)이다. 3x-y=5 …… ㉠ 2x+2y=1 …… ㉡ [ ㉠ _2+㉡을 하면 8x=11 ∴ x= :Á8Á: x= 을 `㉠에 대입하면 :Á8Á: -y=5 ∴ y=- ;8&; :£8£: 따라서 a= , b=- 이므로 :Á8Á: ;8&; a+b= + - { ;8&;} = ;2!; :Á8Á: x의 값이 y의 값의 5배이므로 x=5y 연립방정식 [ 0.4x-0.5y=9 …… ㉠ …… ㉡ x=5y 에서 ㉠ _10을 하면 [ x=5y 4x-5y=90 이 연립방정식을 풀면 x=30, y=6 2(x-3y)+5y=9m을 정리하면 2x-y=9m이므로 x=30, y=6을 대입하면 60-6=9m ∴ m=6 연립방정식 3x+2(y-1)=-4 -2(x-y)+5y=-7 [ 의 해가 (a, b) 이므로 괄호를 풀어 정리하면 3x+2y=-2 [ -2x+7y=-7 이 연립방정식을 풀면 x=0, y=-1 따라서 a=0, b=-1이므로 a-4b=0+4=4 2x+y 2 =4 2x+y=8 에서 [ [ 이 연립방정식을 풀면 x=12, y=-16 3x+2y=4 3x+2y=4 Ⅲ 연립방정식 45 4x-y+7=5y-9 3(x+y)+13=5y-9 에서 [ 2x-3y=-8 3x-2y=-22 [ 이 연립방정식을 풀면 x=-10, y=-4 따라서 a=-10, b=-4이므로 a+b=-10+(-4)=-14 =A, =B라 하면 주어진 연립방정식은 ;[!; ;]!; A-2B=-7 3A-B=4 [ 이 연립방정식을 풀면 A=3, B=5 따라서 =3, =5이므로 x= , y= ;[!; ;]!; ;3!; ;5!; ∴ 6x-5y=6_ -5_ =1 ;3!; ;5!; 1 x+y 1 x-y =m, =n이라고 하면 ∴ m=2, n=-1 에서 [ x+y= ;2!; x-y=-1 2m+3n=1 [ 2m+n=3 =2 ( { 1 x+y 1 x-y 9 ∴ x=- =-1 , y= ;4!; ;4#; x`:`y=2`:`5이므로 2y=5x 5x+2y=30 연립방정식 [ 2y=5x 를 풀면 x=3, y= :Á2°: ∴ x-2y=3-2_ =-12 :Á2°: 이므로 해는 1개이다. ① + ;3!; ② = ;4@; 2 -2 -3 -6 + -5 1 이므로 해가 없다. ③ 3 -2 = -6 4 ;3@; + 이므로 해가 없다. ④ + ;5!; ;7@; 이므로 해는 1개이다. ⑤ [ x+2y=-6 3x+6y=-18 에서 = = ;6@; ;3!; -6 -18 이므로 해가 무수히 많다. 따라서 해의 개수가 가장 많은 연립방정식은 ⑤이다. =7에서 a=14, =7에서 b=-14 ;2A; -b 2 ∴ = ;bA; 14 -14 =-1 주어진 연립방정식을 정리하면 2x+y=a [ 2x+y=-1 a+-1 해가 없으려면 이어야 하므로 = ;2@; ;1!; + a -1 연립방정식 [ (a+3)x+2y-5=0 -3x+3y-1=0 의 해가 없으므로 = ;3@; + -5 -1 이어야 한다. = ;3@; 에서 a+3=-2 ` a+3 -3 a+3 -3 ∴ a=-5 연립방정식 [ x+2y=6 x-3y=1 을 풀면 x=4, y=1 x=4, y=1을 2x-by=5에 대입하면 2_4-b_1=5 ∴ b=3 x=4, y=1을 ax-y=-5에 대입하면 a_4-1=-5 ∴ a=-1 ∴ b-a=3-(-1)=4 상수항 a, b를 바꾼 식 [ 2x-y=b 3x+y=a 에 x=3, y=-4 처음 수의 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자 를 대입하면 a=5, b=10이므로 2x-y=5 3x+y=10 을 풀면 연립방정식 [ x=3, y=1 를 y라고 하면 x+y=13 [ 10y+x=(10x+y)-45 에서 x+y=13 [ x-y=5 ∴ x=9, y=4 따라서 처음 수는 94이다. 해가 무수히 많으려면 4a 8 = -2b 4 = ;1&; 이어야 하므로 를 y라고 하면 처음 수의 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자 46 정답과 해설  6(x+y)+6=10x+y [ 10y+x=(10x+y)-27 에서 [ 4x-5y=6 x-y=3 ∴ x=9, y=6 따라서 처음 수는 96이다. 오렌지의 개수를 x개, 사과의 개수를 y개라고 하면 x+y=12 [ 700x+800y=9100 에서 [ x+y=12 7x+8y=91 ∴ x=5, y=7 따라서 오렌지는 5개를 샀다. 지석이가 이긴 횟수를 x회, 민영이가 이긴 횟수를 y 회라고 하면 3x-2y=15 [ -2x+3y=5 ∴ x=11, y=9 따라서 지석이가 이긴 횟수는 11회이다. 규리와 현지가 맞힌 문제의 개수를 각각 x개, y개라 고 하면 규리와 현지가 맞히지 못한 문제의 개수는 각각 y개, x개이다. 두 사람의 최종 점수로부터 [ 2x-y=8 -x+2y=2 ∴ x=6, y=4 따라서 규리는 6문제를 맞혔다. 동생 (cid:18)(cid:23)분 후 형 움직인 거리 분속 (cid:21)(cid:17)(cid:65)(cid:78) 분속 (cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:65)(cid:78) 학교 정문 (cid:89)분 (cid:90)분 두 사람이 만날 때까지 걸은 시간은 같으므로 = ;1Ó5; ;2Õ0; 두 식을 간단히 하면 x+y=700 [ 4x=3y ∴ x=300, y=400 따라서 두 사람이 걸은 거리의 차는 400-300=100(m) 영서 선정 분속 (cid:190)(cid:89)(cid:65)(cid:78) 트랙 분속 (cid:90)(cid:65)(cid:78) (cid:26)분 영서와 선정이의 속력을 각각 분속 x`m, 분속 y`m 라고 하면 영서가 160`m 를 걷는 동안 선정이는 120`m를 걸으므로 x`:`y=160`:`120 길이인 630`m이므로 9x+9y=630 두 사람이 9분 동안 걸은 거리의 합은 트랙의 둘레의 두 식을 간단히 하면 [ 3x=4y x+y=70 ∴ x=40, y=30 따라서 영서의 속력은 분속 40`m, 선정이의 속력은 분속 30`m이다. 5`%, 9`%의 소금물에 녹아 있는 소금의 양은 각각 ;10%0; x`g, ;10(0; y`g이고, 그 합은 8`%의 소금물 600`g 동생이 걸은 시간을 x분, 형이 자전거를 타고 간 시 에 녹아 있는 소금의 양과 같으므로 간을 y분이라고 하면 동생이 출발한 지 16분 후에 형 이 출발했고, 동생과 형이 움직인 거리는 같으므로 x=y+16 [ 40x=120y 에서 [ x=y+16 x=3y ∴ x=24, y=8 따라서 동생이 학교까지 가는 데 걸린 시간은 24분 x+y=600 [ ;10%0; x+ y= ;10(0; ;10*0; _600 에서 x+y=600 5x+9y=4800 [ ∴ y-x=450-150=300 ∴ x=150, y=450 이다. (cid:34) 선영 하면 x+y=700 (cid:24)(cid:17)(cid:17)(cid:65)(cid:78) (cid:89)(cid:190)(cid:65)(cid:78) (cid:90)(cid:65)(cid:78) 분속 (cid:18)(cid:22)(cid:65)(cid:78) 분속 (cid:19)(cid:17)(cid:65)(cid:78) 만난 지점 (cid:35) 민재 선영이와 민재가 걸은 거리를 각각 x`m, y`m라고 어제 판매한 안경과 콘택트렌즈의 개수를 각각 x개, y개라고 하면 합하여 100개를 팔았으므로 x+y=100 …… ㉠ 오늘 덜 팔린 안경의 개수는 x개, 더 팔린 콘택 ;10%0; 트렌즈의 개수는 5개이고 전체적으로는 1개 더 팔렸 으므로 - x+5=1에서 x=80이고, ㉠에서 ;10%0; y=20 Ⅲ 연립방정식 47  따라서 오늘 판매한 안경의 개수는 전체 일의 양을 1이라고 하고, 민선, 상범이가 하루 x= ;1»0°0; ;1»0°0; _80=76(개)이고, 콘택트렌즈의 개수는 y+5=20+5=25(개)이다. 에 할 수 있는 일의 양을 각각 x, y라 하면 8x+8y=1 [ 5x+14y=1 ∴ x= , y= ;1Á2; ;2Á4; 두 상품 A, B의 원가를 각각 x원, y원이라고 하면 A, B 두 상품의 이익금은 각각 0.25x원, 0.3y원이 따라서 상범이가 하루에 할 수 있는 일의 양은 이 ;2Á4; 므로 전체 1만큼의 일을 혼자서 마치려면 24일이 걸 린다. 므로 x+y=5800 [ 0.25x+0.3y=1580 ∴ x=3200, y=2600 에서 [ x+y=5800 5x+6y=31600 따라서 A 상품의 판매가는 (1+0.25)x=1.25_3200=4000(원) 48 정답과 해설 IV 일차함수 1 함수 주제별 실력다지기 본문 109~114쪽 (a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e) ㄱ, ㄷ, ㄹ ②, ④ ② 5 ④ 14 -3 ③ ③ ⑤ 2 ④ 5 ④ -2 ④ ① 22 ③ 0 ④ 2 ③ ⑤ 15 ④ ① ④ 28 x의 문자 a, b를 순서쌍의 앞자리에 넣은 후 그 각각 ① x=3일 때, y=3이 되어 주어진 y의 값 중 대응 에 대해 y의 문자 c, d, e를 하나하나 짝지어 순서쌍 되는 값이 없으므로 함수가 아니다. 의 뒷자리에 넣으면 되므로 구하는 순서쌍은 (a, c), ② x=1일 때, y=1-2=-1이므로 주어진 y의 값 (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e)이다. 에 대응된다. ③ æ x가 6일 때, y의 값은 2, 3, 5로 하나로 정해지지 않으므로 함수가 아니다. ① y=8x ② y=2_p_x=2px ③ y= x ;10*0; ④ x가 8일 때, y의 값은 1, 3, 5, 7, 9, …로 하나로 정해지지 않으므로 함수가 아니다. ⑤ 자연수 x보다 작은 홀수의 개수` y는 하나씩 정해 지므로` 함수이다. ㄱ. y=700x ㄷ. y= x ㄹ. y= ;10&0; :ª;[);¼: ㄴ. x가 4일 때, y의 값은 1, 2, 3으로 하나로 정해지 지 않으므로 함수가 아니다. x=2일 때, y=2-2=0이므로 주어진 y의 값에 x=3일 때, y=3-2=1이므로 주어진 y의 값에 대응된다. 대응된다. 에 대응된다. 에 대응된다. 에 대응된다. ③ x=2일 때, y=-4+1=-3이 되어 주어진 y의 값 중 대응되는 값이 없으므로 함수가 아니다. ④ x=1일 때, y=-1+3=2이므로 주어진 y의 값 x=2일 때, y=-2+3=1이므로 주어진 y의 값 x=3일 때, y=-3+3=0이므로 주어진 y의 값 ⑤ x=1일 때, y= =6이 되어 주어진 y의 값 중 ;1^; ㅁ. 둘레의 길이가 같은 두 삼각형이라도 밑변의 길 대응되는 값이 없으므로 함수가 아니다. 이와 높이에 따라 넓이가 달라질 수 있다. 즉, 둘 레의 길이가 x`cm인 삼각형의 넓이 `y`cmÛ`는 하 나로 정해지지 않으므로 함수가 아니다. `f(3)=- _3+5=4 ;3!; ㄱ. 약수의 개수가 2개인 자연수는` y=2, 3, 5, …로 하나로 정해지지 않으므로 함수가 아니다. ㄴ. y=1000x이므로 함수이다. ㄷ. x와` y는 관계가 없으므로 함수가 아니다. ㄹ. 자연수 x보다 큰 수` y는 무수히 많으므로 함수 가 아니다. ㅁ. y=5x이므로 함수이다. 따라서 함수는 ㄴ, ㅁ으로 개수는 2이다. `f(-8)=- =2, g(3)= -3=-1 ;3^; -8 4 ∴ f(-8)+g(3)=2+(-1)=1 `f(a)=3이므로 2a-7=3, 2a=10 ∴ a=5 3x-4=11, 3x=15 ∴ x=5 -2a+1=-5, -2a=-6 ∴ a=3 ④ x가 0.5일 때, y의 값은 0, 1로 하나로 정해지지 f(1)=-2_1+1=-2+1=-1 ∴ b=-1 않으므로 함수가 아니다. ∴ ab=3_(-1)=-3 Ⅳ 일차함수 49  g(8)= = ;4#; ;8^; 이므로 a= ;4#; 2f(3)-2f(8)=2_ - -2_ { :Á3ª:} {-:Á8ª:} ∴ f(a)=f {;4#;} =- _ =-1 ;3$; ;4#; =-8+3=-5 `f(5)+f(12)=1+0=1 `f(4)-f(-7)= - - { ;4A; ;7A;} = ;2!8!; a=11에서 x가 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10이고, `f(1)=0, f(2)=0, f(3)=1, f(4)=2, f(5)=2, 따라서 f(x)= 이므로 `f(6)=3, f(7)=3, f(8)=4, f(9)=4, f(10)=4 이므로 f(x)=3을 만족하는 x는 6, 7로 개수는 2이 f(2)= =14 28 2 a=11이므로 a=28 ;2!8!; 28 x 다. 이다. f(x)É3에서 f(x)=1, 2, 3이므로 Ú f(x)=1, 즉 약수의 개수가 1개인 수는 1뿐이다. Û f(x)=2, 즉 약수의 개수가 2개인 수는 소수이 므로 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29의 10개 Ü f(x)=3, 즉 약수의 개수가 3개인 수는 소수의 제곱인 수이므로 4, 9, 25의 3개이다. 따라서 Ú, Û, Ü에서 x의 개수는 14이다. f(1)=2이므로 5_1+k=2 ∴ k=-3 따라서 f(x)=5x-3이므로 f(a)=-18에서 5a-3=-18, 5a=-15 ∴ a=-3 `f(5)=-1이므로 5a+4=-1 ∴ a=-1 따라서 f(x)=-x+4이므로 `f(-2)=-(-2)+4=6 `f(x)=ax+3에 대하여 f(1)=-1이므로 `a+3=-1 ∴ a=-4 `f(x)=-4x+3에서 f { - ;2!;} =2+3=5 ∴ b=5 ∴ a-b=-4-5=-9 `f(2)=1이므로 2_2+k=1에서 k=-3 `f(x)=ax-2에 대하여 f(2)=4이므로 `f(2)=2a-2=4에서 2a-2=4 ∴ a=3 따라서 `f(n)=3n-2, g(n)=n+8에 대하여` `f(n)=g(n)이므로 3n-2=n+8, 2n=10 ∴ n=5 1-x 3 =1일 때 1-x=3 ∴ x=-2 따라서 등호의 양쪽의 x에 각각 -2를 대입하면 1-(-2) 3 } f { =f(1)=2_(-2)+1=-3 -2x+3 2 =a일 때 x-2=- 이므로 ;2%; x=- +2=- ;2%; ;2!; 따라서 -2x+3 2 =a에 x=- 을 대입하면 ;2!; a= -2_ +3 {-;2!;} 2 = =2 ;2$; f(3)=-3+2=-1, g(2)= +1=2이므로 ;2@; f(g(2)-2f(3)) =f(2-2_(-1))=f(4) =-4+2=-2 `f(-2)=-5_(-2)+3=13, `f(-1)=-5_(-1)+3=8, ∴ f(x)=2x-3 `f(0)=-5_0+3=3, f(1)=-5_1+3=-2 `f(2a)-f(a-1)=(2_2a-3)-{2(a-1)-3}=2 따라서 구하는 함숫값의 합은 13+8+3+(-2)=22 (4a-3)-(2a-5)=2, 2a+2=2 ∴ a=0 `f(-2)=6이므로 =6 ∴ k=-12 따라서 f(x)=- 이므로 a=9 k -2 12 x `f(-1)=2_(-1)-3=-5, `f(2)=2_2-3=1, f(5)=2_5-3=7 따라서 함숫값은 -5, 1, 7이므로 4-a=-5에서 50 정답과 해설  y=2일 때, 2= 에서 x= =6 :Á2ª: y=2일 때, 2= +1에서 1= , x=4 y=3일 때, 3= 에서 x= =4 y=3일 때, 3= +1에서 2= , x=8 y=4일 때, 4= 에서 x= =3 y=5일 때, 5= +1에서 4= , x=16 ;4{; ;4{; ;4{; ;4{; ;4{; ;4{; :Á[ª: :Á[ª: :Á[ª: :Á[ª: :Á3ª: :Á4ª: :Á6ª: 따라서 구하는 x의 값들의 합은 4+8+16=28 y=6일 때, 6= 에서 x= =2 따라서 구하는 x의 값들의 합은 2+3+4+6=15 2 일차함수와 그 그래프 주제별 실력다지기 -5 -5 -24, 4 -6, 6 ② 15 ⑤ a=-2, b= ;2!; ⑤ ④ - ;3!; n=3m-9 P , {;5^; ;5^;} a=-1, b=1 ② ① 1 -6 1 -22 ③ 9 ② ;5!; ④ ② ⑤ ⑤ 2 ① -5 ① 0 A(0, -4) a=1, b=4 ④ 8 a= , b+-3 ;3$; a=- , b=18 ;3@; ①, ④ ③ -7 a>0, b>0 -11 - ;2%; 3 ③ ④ 본문 118~132쪽 -18 (3, 0) 2 6 ⑤ 0 a=2, b=5 ac<0 -2 ④ ④ 제2사분면 제1사분면 -1ÉyÉ5 ⑴ y=9x(0<xÉ4) ⑵ 27`cmÛ` ⑴ y=0.4x(0<xÉ50) ⑵ 25초 ⑴ y=-4x+48(0Éx<12) ⑵ 40`cmÛ`` ⑤ ⑴ 풀이 참조 ⑵ 168`cmÛ` 5분 초속 329`m y=40-3x { 0ÉxÉ :¢3¼:} ④ 128분 x와 y 사이의 관계식을 구하고 `f(4)=3_4-1=11 y=ax+b(a+0, a, b는 상수)의 꼴로 나타내어진 `f(-1)=3_(-1)-1=-4 것을 찾는다. ㄱ. y=5x  일차함수이다. ㄴ. y=  분모에 x가 있으므로 일차함수가 아니다. ;[#; ㄷ. y=xÛ`  이차함수이다. ㄹ. x+y=24 ∴ y=-x+24  일차함수이다. ㅁ. y=pxÛ`  이차함수이다. `f(3)=3_3-1=8 ∴ `f(4)-f(-1) 5-f(3) = 11-(-4) 5-8 = 15 -3 =-5 `f(x)= x+a에서 f(3)=0이므로 `f(3)= _3+a=0에서 2+a=0 ` ;3@; ;3@; ∴ a=-2 따라서 보기 중 일차함수인 것은 ㄱ, ㄹ이다. g(x)=bx-7에서 g(2)=5이므로 Ⅳ 일차함수 51 g(2)=2b-7=5에서 2b=12 ` ∴ b=6 따라서 f(x)= x-2, g(x)=6x-7이므로 ;3@; `f(-3)+g(1)= _(-3)-2 +(6_1-7) [;3@; ] =-4+(-1)=-5 y=2x+4에 x=b, y=5를 대입하면 5=2b+4, 2b=1 ∴ b= ;2!; y=ax+6에 x= , y=5를 대입하면 ;2!; 5= a+6, a=-1 ` ;2!; ;2!; ∴ a=-2 일차함수 f(x)=ax+b라 하면 `f(-1)=2이므로 -a+b=2 `f(2)=-7이므로 2a+b=-7 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=-3, b=-1 따라서 f(x)=-3x-1이므로 `f(5)=-3_5-1=-16 x의 값이 -2, -1, 0, 1, 2이므로 x=-2일 때, y=2_(-2)-1=-5 x=-1일 때, y=2_(-1)-1=-3 x=0일 때, y=2_0-1=-1 x=1일 때, y=2_1-1=1 x=2일 때, y=2_2-1=3 따라서 y의 값은 -5, -3, -1, 1, 3이다. y=-5x+k에 x=k, y=8을 대입하면 8=-5k+k, 4k=-8 ∴ k=-2 y=3x+1에 x=-2, y=a를 대입하면 a=3_(-2)+1=-5 또, x=-2b, y=7을 대입하면 7=3_(-2b)+1, 6b=-6 ` ∴ b=-1 ∴ a-5b=-5-5_(-1)=0 x=-3, y=2를 대입하면 2=-2_(-3)+b, 2=6+b ` ∴ b=-4 y=-x+m에 x=3, y=n을 대입하면 n=-3+m ∴ m-n=3 …… ㉠ 또, x=2m, y=2n을 대입하면 2n=-2m+m ∴ m+2n=0 …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m=2, n=-1 ∴ mn=2_(-1)=-2 y=-5x+1에서 y=0일 때 0=-5x+1, 5x=1 ` ∴ x= ;5!; a= , b=1 ;5!; 따라서 x절편은 , y절편은 1이므로 ;5!; 기울기는 x의 계수이므로 c=-5 ∴ abc= _1_(-5)=-1 ;5!; y=ax+b에서 y절편이 b이므로 b=12 y=ax+12의 그래프의 x절편이 -8이므로 x=-8, y=0을 대입하면 0=-8a+12 ∴ a= ;2#; ∴ ab= _12=18 ;2#; x절편이 -5이므로 주어진 일차함수 y=- x+a에 ;5$; 0=- _(-5)+a ∴ a=-4 ;5$; 따라서 y=- x-4의 y절편은 -4이므로 구하는 ;5$; 점 (-3, 2)가 y=-2x+b의 그래프 위에 있으므로 (-5, 0)을 대입하면 따라서 주어진 일차함수의 식은 y=-2x-4이다. 좌표는 A(0, -4) 또, 점 (5, a)가 이 그래프 위에 있으므로 a=-2_5-4=-14 y=-4x+k에 x=2, y=4를 대입하면 ∴ a+b=-14+(-4)=-18 4=-4_2+k ∴ k=12 52 정답과 해설 즉, x절편은 a, y절편도 a이므로 그래프는 두 점 형의 넓이는 _3_6=9 ;2!; y=-x+a에서 y=0일 때 0=-x+a ∴ x=a (a, 0), (0, a)를 지난다. Ú a>0일 때 _a_a=18, aÛ`=36 ;2!; a>0이므로 a=6 Û a<0일 때 (cid:90) (cid:66) (cid:48) (cid:89) (cid:66) (cid:90) (cid:66) (cid:90) (cid:35) (cid:25) (cid:34) (cid:48) (cid:89) _|a|_|a|=18, aÛ`=36 (cid:66) (cid:48) (cid:89) ;2!; a<0이므로 a=-6 Ú, Û에 의하여 a의 값은 -6, 6이다. y=ax+8`(a>0)의 그래프가 x축과 만나는 점을 A, y축과 만나는 점을 B라 하자. y절편이 8이므로 B(0, 8)이다. 오른쪽 그림에서 △AOB의 넓 이가 16이므로 △AOB= _OAÓ_8=16 ;2!; OAÓ=4 ∴ A(-4, 0) 따라서 y=ax+8의 그래프는 점 (-4, 0)을 지나므 로 x=-4, y=0을 대입하면 (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:190)(cid:12)(cid:22) 0=-4a+8, 4a=8 ∴ a=2 y=ax+b의 그래프의 x절편은 - 이고, y절편은 ;aB; b이다. 이때 a, b는 6 이하의 자연수이므로 - <0, b>0이다. ;aB; y=ax+b의 그래프와 x축, y 축으로 둘러싸인 도형은 오른 쪽 그림과 같은 삼각형이므로 (cid:90) (cid:48) (cid:67) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:190)(cid:12)(cid:67) (cid:89) (cid:14) (cid:26)(cid:64)(cid:33)(cid:26) y=-4x+12에 y=0을 대입하면 0=-4x+12 ∴ x=3 따라서 x축과 만나는 점의 좌표는 (3, 0)이다. 일차함수 y=ax+5의 그래프가 점 (-3, -1)을 지나므로 x=-3, y=-1을 대입하면 -1=-3a+5, 3a=6 ∴ a=2 y=3x+b의 그래프와 x축에서 만나므로 두 직선의 x절편이 같다. y=2x+5에 y=0을 대입하면 0=2x+5, 2x=-5 ∴ x=- y=3x+b에 y=0을 대입하면 0=3x+b, 3x=-b ∴ x=- ;2%; ;3B; - =- 이므로 b= ;3B; ;2%; :Á2°: ∴ ab=2_ =15 :Á2°: y=2x+k에서 y=0일 때 0=2x+k ∴ x=- ;2K; 따라서 점 B의 좌표는 { - ;2K; , 0 이다. } y=-x+5의 그래프는 오른쪽 (cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:76) 그림과 같고, ABÓ=7이 되기 위한 점 B는 오른 그림과 같이 (cid:35)(cid:132) (cid:34) (cid:48) (cid:22) (cid:35)(cid:109) (cid:89) 점 B1과 B2의 2가지가 있다. (cid:90) (cid:22) Ú AB1Ó=5- - =7 { ;2K;} =2 ∴ k=4 ;2K; Û AB2Ó= - { ;2K;} -5=7, =-12 ;2K; ∴ k=-24 Ú, Û에 의하여 k의 값은 4, -24이다. y=-2x+6의 그래프의 x절편은 0=-2x+6에서 2x=6 ∴ x=3 과 같다. 따라서 x절편은 3이고, y절편은 6이므로 그래프는 오른쪽 그림 (cid:90) (cid:23) 넓이는 (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:190)(cid:12)(cid:23) _ ;2!; ;aB; _b= bÛ`` 2a 일차함수 y=-2x+6의 그래 (cid:48) (cid:20) (cid:89) 프와 x축, y축으로 둘러싸인 도 따라서 =8이므로 =16 bÛ`` 2a bÛ`` a 이때 a, b는 주사위의 눈의 수이므로 형은 오른쪽 그림의 어두운 삼각형이므로 구하는 도 a=1, b=4 Ⅳ 일차함수 53  y=7x의 그래프를 y축의 방향으로 a만큼 평행이동 y=-x+6+m에서 y=0일 때 0=-x+6+m ∴ x=m+6 y= x+3+m에서 y=0일 때 0= x+3+m, x=-m-3 ;2!; ;2!; ;2!; 따라서 m+6=-2m-6이므로 3m=-12 ∴ m=-4 y=4x-3의 그래프를 y축의 방향으로 m만큼 평행 `∴ x=-2m-6 이동하면 y=4x-3+m 따라서 a=4, -3+m=7이므로 m=10 ∴ a+m=4+10=14 y=ax+1의 그래프를 y축의 방향으로 5만큼 평행이 y=ax-5의 그래프가 점 (3, 7)을 지나므로 하면 y=7x+a 따라서 a=-5, b=7이므로 a+b=-5+7=2 동하면 y=ax+1+5 ∴ y=ax+6 따라서 a=2, b=6이므로 a+b=8 ;4#; ;2#; 평행이동하면 y= x- -4 ;4#; ;2#; ∴ y= x- ;4#; :Á2Á: 대입하면 a= a- ;4#; :Á2Á: , 4a=3a-22 ∴ a=-22 y= x- 의 그래프를 y축의 음의 방향으로 4만큼 이 그래프가 점 (a, a)를 지나므로 x=a, y=a를 y=3x-a의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평 y=4x-5의 그래프를 y축의 방향으로 2만큼 평행이 7=3a-5, 3a=12 ∴ a=4 동하면 y=4x-5+2 ∴ y=4x-3 이 그래프가 점 (2m, m+4)를 지나므로 m+4=4_2m-3, m+4=8m-3 -7m=-7 ∴ m=1 행이동하면 y=3x-a-3 이 그래프의 y절편이 6이므로 -a-3=6, -a=9 ∴ a=-9 y=3x+6에 y=0을 대입하면 0=3x+6, -3x=6 ∴ x=-2 따라서 b=-2이므로 a+b=-9+(-2)=-11 y=2x의 그래프를 y축의 방향으로 -1, -5만큼 평 행이동하면 각각 y=2x-1, y=2x-5이다. y=2x-1에서 y=0일 때 0=2x-1 ∴ x= ;2!; 즉, x절편은 이고 y절편은 -1이다. ;2!; 또, y=2x-5에서 y=0일 때 y=ax의 그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평행이동 이 그래프가 두 점 (1, -2), (3, -4)를 지나므로 하면 y=ax+b -2=a+b, -4=3a+b 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=-1 ∴ ab=(-1)_(-1)=1 y=-x+6과 y= x+3의 그래프를 y축의 방향으 ;2!; 로 m만큼 평행이동하면 각각 y=-x+6+m, y= x+3+m ;2!; 이때 두 그래프가 x축에서 만나므로 x절편이 같다. 0=2x-5 ∴ x= ;2%; 54 정답과 해설  따라서 y=ax+b의 그래프를 (가)와 같이 평행 로 a=-2이다. 즉, x절편은 이고 y절편은 -5이다. ;2%; 두 그래프를 그리면 오른 쪽 그림과 같다. 따라서 두 그래프와 x축, (cid:90) (cid:48) (cid:14)(cid:18) (cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:22) (cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28) (cid:28)(cid:19)(cid:6)(cid:28) (cid:89) y축으로 둘러싸인 부분의 (cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:18) (cid:14)(cid:22) 넓이는 _ _5 - {;2!; ;2%; } _ _1 ;2!; } {;2!; = - = ;4!; :ª4°: :ª4¢: =6 (가) y=-3x-5=(-3x+1)-6이므로 y=-3x+1의 그래프를 y축의 방향으로 -6만 큼 평행이동한 것이다. 이동하면 y=ax+b-6 이 그래프가 점 (3, -1)을 지나므로 -1=3a+b-6 ∴ 3a+b=5 …… ㉠ (나) y=2(x-2)=2x-4=(2x-7)+3이므로 y=2x-7의 그래프를 y축의 방향으로 3만큼 이동하면 y=ax+b+3 이 그래프가 점 (0, 0)을 지나므로 ㉡을 ㉠에 대입하면 3a-3=5 ∴ a= ∴ a+b= +(-3)=- ;3*; ;3!; ;3*; 두 점 (-1, 5), (6, 8)을 지나는 일차함수의 그래 프의 기울기는 8-5 6-(-1) = ;7#; (y의 값의 증가량) -1-(-4) = ;7#; 이므로 (y의 값의 증가량)= _3= ;7#; ;7(; -5= (a+10)-a (x의 값의 증가량) 이므로 (x의 값의 증가량)_(-5)=10 ∴ (x의 값의 증가량)=-2 또, 일차함수 y=-2x+1이 점 (b, 7)을 지나므로 7=-2b+1 ∴ b=-3 ∴ ab=2_(-3)=-6 a=(기울기)= (y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) = -5 3 =- ;3%; y=- x+b의 그래프가 점 (3, -2)를 지나므로 -2=- _3+b, -2=-5+b ∴ b=3 ;3%; ;3%; ∴ ab=- _3=-5 ;3%; `f(n)-f(m) n-m = (y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) =(기울기)이므 `f(x)=-2x+b에서 f(2)=6이므로 `f(2)=-2_2+b=6에서 -4+b=6 ∴ b=10 따라서 f(x)=-2x+10이므로 `f(1)=-2+10=8 =- ;2%; `f(m)-f(n) m-n `f(m)-f(n) m-n 의 기울기이므로 a=- ;2%; 다른 풀이 2 f(m)-2 f(n) =2(am+b)-2(an+b) =2am-2an 2am-2an=-5m+5n이므로 2a(m-n)=-5(m-n) m+n이므로 양변을 m-n으로 나누면 2a=-5 ∴ a=- ;2%; 두 점 A(5, -3), B(2, 6)을 지나는 직선의 기울기는 6-(-3) 2-5 = 9 -3 =-3 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으므로 두 점 B(2, 6), C(p, p-4)를 지나는 직선의 기울기도 =-3에서 -3(p-2)=p-10 -3이다. (p-4)-6 p-2 ∴ p=4 Ⅳ 일차함수 55 평행이동한 것이다. 2 f(m)-2 f(n)=-5m+5n에서 따라서 y=ax+b의 그래프를 (나)와 같이 평행 2{ f(m)-f(n)}=-5(m-n) 0=b+3 ∴ b=-3 …… ㉡ 은 일차함수 f(x)=ax+b의 그래프 주어진 일차함수의 기울기는 =-2이므로 a=2 -3p+6=p-10, -4p=-16 -8 4  두 점 A(2, -3), B(5, 6)을 지나는 직선의 기울기는 교점이 없으므로 두 일차함수의 그래프는 평행하다. 6-(-3) 5-2 = =3 ;3(; 세 점이 한 직선 위에 있으므로 두 점 B(5, 6), C(m, n)을 지나는 직선의 기울기도 3이다. 즉, n-6 m-5 =3에서 이때 y절편은 다르므로 기울기가 같으면 평행하다. 3a-7=a-1, 2a=6 ∴ a=3 3(m-5)=n-6, 3m-15=n-6 행하므로 기울기가 같다. ∴ n=3m-9 주어진 그래프는 두 점 (1, 1), (0, -3)을 지나므로 일차함수 y=ax-1의 그래프는 주어진 그래프와 평 두 점 (1, 3), (k, -1)을 지나는 직선의 기울기는 -1-3 k-1 = -4 k-1 세 점 (1, 3), (k, -1), (-k+1, 2)가 한 직선 위 에 있으므로 두 점 (1, 3), (-k+1, 2)를 지나는 직선의 기울기도 이다. -4 k-1 = -4 k-1 에서 , 4k=-k+1 즉, -1 -k 2-3 (-k+1)-1 -4 k-1 = 5k=1 ∴ k= ;5!; (기울기)= =4 -3-1 0-1 ∴ a=4 또한, y=4x-1의 그래프는 y=bx+1의 그래프와 x축에서 만나므로 두 그래프의 x절편은 같다. y=4x-1에 y=0을 대입하면 0=4x-1 ∴ x= ;4!; y=bx+1에 y=0을 대입하면 0=bx+1 ∴ x=- ;b!; 따라서 =- 이므로 b=-4 ;4!; ;b!; ∴ a+b=4+(-4)=0 서로 다른 네 점 A, B, C, D가 한 직선 위에 있으므 로 (직선 AC의 기울기)=(직선 BC의 기울기), 즉 일차함수 y=- x+3의 그래프가 점 P(a, b)를 ;2#; -1-1 5-(-k-2) -4 -2 5-k k+7 = = -1-3 5-k 에서 , -4k-28=2k-10 6k=-18 ∴ k=-3 따라서 직선 BC의 기울기는 -1-3 5-(-3) = -4 8 =- ;2!; 직선 CD의 기울기도 - 이므로 ;2!; m- -(-1) ;2!; -m-5 =- 에서 ;2!; 2 m+ { ;2!;} =m+5 2m+1=m+5 ∴ m=4 ∴ k+m=-3+4=1 y절편은 달라야 하므로 = ;9$; ;3A; ∴ a= ;3$; -2b+6 ∴ b+-3 56 정답과 해설 지나므로 x=a, y=b를 대입하면 b=- a+3 …… ㉠ ;2#; 또, 두 일차함수 y=- x+3과 y=- ;2#; x+ 의 ;b#; ;2#bA; 그래프가 서로 평행하므로 - =- , 3+ 에서 a=b+1 ;2#; ;2#bA; ;b#; a=b를 ㉠에 대입하면 b=- b+3, b=3 ∴ b= ;2#; ;2%; ;5^; 따라서 a=b=;5^; 이므로 P , {;5^; ;5^;} 이다. 두 그래프가 일치하려면 기울기가 같고, y절편도 같 아야 하므로 a+b=2a+1 ∴ a-b=-1　 …… ㉠ a-3b=b+2 ∴ a-4b=2　 …… ㉡ 그래프의 교점이 무수히 많으므로 두 일차함수의 그 두 일차함수의 그래프가 평행하려면 기울기는 같고 ㉠ `, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=-1 ∴ ab=-2_(-1)=2  래프는 일치한다. 즉, 기울기가 같고, y절편도 같으 ㄹ이다. 므로 - = ;3!; ;2A; ∴ a=- ;3@; …… ㉠ =- ∴ ab=-12 …… ㉡ ;b@; ;6A; ㉠을 ㉡에 대입하면 - b=-12 ∴ b=12_ =18 ;3@; ;2#; y=-x+3의 그래프를 y축의 방향으로 a만큼 평행 이동하면 y=-x+3+a 이 그래프와 y=bx-3의 그래프가 일치하므로 따라서 a=3, b=2이므로 a+b=3+2=5 ① x=2, y=0을 대입하면 0=3_2-6 따라서 점 (2, 0)을 지난다. ② 일차함수 y=3x의 그래프를 y축의 방향으로 -6 만큼 평행이동한 것이다. ③ y=-5x의 그래프보다 기울기의 절댓값이 작으 므로 y=-5x의 그래프가 y축에 더 가깝다. ④ 기울기가 양수이므로 오른쪽 위로 향하고, y절편이 음수이므로 y축 과 음의 부분에서 만난다. 따라서 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 제2사분면을 지나지 않는다. (cid:90) (cid:48) (cid:89) y=2ax+1의 그래프를 y축의 방향으로 -6만큼 평 ⑤ 기울기가 양수이므로 x의 값이 증가할 때 y의 값 도 증가한다. y=2ax-5와 y=-8x+b의 그래프가 일치하므로 일차함수 y=-a(x-b)=-ax+ab의 그래프가 b=-1, 3+a=-3 ∴ a=-6 ∴ a+b=-6+(-1)=-7 행이동하면 y=2ax+1-6 ∴ y=2ax-5 2a=-8, b=-5 따라서 a=-4, b=-5이므로 b-a=-5-(-4)=-1 두 일차함수 y=ax-b와 y=- x의 그래프가 서 ;2!; 로 수직이므로 a_ - =-1 ∴ a=2 { ;2!;} 따라서 y=2x-b가 점 (2, -1)을 지나므로 대입하 면 -1=2_2-b ∴ b=5 두 일차함수 y=ax-a+1과 y=(b-2)x의 그래프 또, 두 일차함수 y=ax-a+1과 y=-ax+3의 그 가 평행하므로 a=b-2, -a+1+0 ∴ b=a+2, a+1　　yy ㉠ 래프가 서로 수직이므로 a_(-a)=-1에서 aÛ`=1 ∴ a=-1 또는 a=1 그런데 ㉠에서 a+1이므로 a=-1, b=-1+2=1 그래프가 오른쪽 아래로 향하는 것은 기울기가 음수 인 그래프이므로 ㄱ, ㄹ, ㅂ이고, y축과 양의 부분에 서 만나는 것은 y절편이 양수인 그래프이므로 ㄷ, 오른쪽 아래로 향하므로 (기울기)=-a<0 ∴ a>0 또한, y축과 음의 부분에서 만나므로 (y절편)=ab<0 이때 a>0이므로 b<0 일차함수 y=ax+b의 그래프가 제 (cid:90) 1, 2, 3사분면을 지나므로 그래프 는 오른쪽 그림과 같다. 그래프가 오른쪽 위로 향하므로 (cid:48) (cid:89) (기울기)=a>0이고, y축과 양의 부분에서 만나므 로 (y절편)=b>0이다. 일차함수 y=- x- 의 그래프가 오른쪽 위로 향 ;bA; ;bC; 하므로 (기울기)=- >0이고, y축과 음의 부분에 ;bA; 서 만나므로 (y절편)=- <0 ;bC; ∴ <0, >0 ;bA; ;bC; 므로 ac<0이다. 따라서 a>0, b<0, c<0 또는 a<0, b>0, c>0이 일차함수 y=ax-b의 그래프가 오른쪽 아래로 향하 Ⅳ 일차함수 57 므로 (기울기)=a<0이고, y축과 음의 부분에서 만 7=a+6 ∴ a=1 나므로 (y절편)=-b<0 ∴ a<0, b>0 이때 a=-1, b=1이라 하면 ③ a+b=-1+1=0 ④ a-b=-1-1=-2 ⑤ b-a=1-(-1)=2 y=ax+6에서 a<0이므로 x=4일 때 y는 최솟값 ∴ ab=1_6=6 -2를 갖는다. 즉, -2=4a+6, 4a=-8 ∴ a=-2 따라서 가장 작은 값은 ④이다. y=-2x+a에서 x=-2일 때 y=5b이므로 5b=-2_(-2)+a ∴ 5b=4+a …… ㉠ ab<0에서 a, b는 서로 다른 부호이고, x=1일 때 y=-b이므로 a-b>0에서 a>b이므로 a>0, b<0이다. -b=-2_1+a ∴ -b=-2+a …… ㉡ 따라서 y=ax+b의 그래프는 오른쪽 위로 향하고 y ㉠ -㉡을 하면 6b=6 ∴ b=1 축과 음의 부분에서 만나므로 ④와 같다. 따라서 y의 값의 범위는 -bÉyÉ5b, 즉 -1ÉyÉ5이다. 일차함수 y= x- 의 그래프가 오른쪽 위로 향하 ;aB; ;aC; 만큼 이동한다. 일차함수 y=-ax+a-b의 그래프가 오른쪽 위로 향하므로 (기울기)=-a>0이고, y축과 양의 부분 에서 만나므로 (y절편)=a-b>0 즉, a<0, a>b이므로 a<0, b<0 y=-bx+b+a에서 (기울기)=-b>0, (y절편)=b+a<0 따라서 그래프는 오른쪽 그림과 같 으므로 y=-bx+b+a의 그래프 (cid:89) 는 제2사분면을 지나지 않는다. (cid:90) (cid:48) 므로 (기울기)= >0 ∴ ab>0 ;aB; 또, y축과 양의 부분에서 만나므로 (y절편)=- >0, <0 ∴ ac<0 ;aC; ;aC; ∴ a>0, b>0, c<0 또는 a<0, b<0, c>0 y=acx+bc에서 (기울기)=ac<0, (y절편)=bc<0이므로 그래프는 (cid:90) (cid:48) (cid:89) 오른쪽 그림과 같다. 따라서 y=acx+bc의 그래프는 제 1사분면을 지나지 않는다. ⑴ 점 P는 출발한 지 x초 후에는 3x`cm만큼 움직이 므로 y= _3x_6=9x ;2!; 이때 점 P에 의해 △ABP가 만들어져야 하므로 0<3xÉ12 ∴ 0<xÉ4 ∴ y=9x`(0<xÉ4) ⑵ y=9x에 x=3을 대입하면 y=9_3=27(cmÛ`) ⑴ 점 P는 점 B를 출발하여 매초 0.2`cm의 속력으 로 점 C를 향해 움직이므로 x초 후에는 0.2x`cm ∴ y= _0.2x_4=0.4x ;2!; 점 P에 의해 △ABP가 만들어져야 하므로 0<0.2xÉ10, 0<2xÉ100 ∴ 0<xÉ50 따라서 x와 y 사이의 관계식은 y=0.4x`(0<xÉ50)이다. ⑵ y=0.4x에 y=10을 대입하면 10=0.4x ∴ x=25 10`cmÛ`가 된다. 따라서 출발한 지 25초 후에 △ABP의 넓이가 y=x+b의 그래프의 기울기가 양수이므로 x=-3일 때 y=3이고, x=a일 때 y=7이다. 3=-3+b ∴ b=6 ⑴ PCÓ=(12-x)`cm이므로 y= _(12-x)_8=-4x+48 ;2!; 58 정답과 해설 (cid:35) (cid:19)(cid:89)(cid:190) (cid:49) ∴ y=40-3x` 0ÉxÉ { :¢3¼:} BCÓ=12`cm이므로 0Éx<12 ∴ y=-4x+48(0Éx<12) y=-4_2+48=40(cmÛ`) ⑵ y=-4x+48에 x=2를 대입하면 ∴ x=5(분) 물의 온도가 18`¾가 되는 것은 y=18일 때이므로 18=15+0.6x, 0.6x=3 점 P는 출발한 지 x초 후에는 0.2x`cm만큼 움직이 가한다. 온도가 x`¾ 오른 후의 소리의 속력을 초속 온도가 x`¾ 오르면 소리의 속력은 초속 0.4x`m 증 므로 ;2!; y= _(4+0.2x)_14=28+1.4x 이때 점 P에 의해 사각형 ABCP가 만들어져야 하므로 0<0.2xÉ4 ∴ 0<xÉ20 ∴ y=28+1.4x(0<xÉ20) ⑴ 점 P가 출발한 지 x초 후에는 2x`cm만큼 움직인다. 점 P의 위치에 따라 △ABP의 넓이가 변화하므 로 다음과 같이 경우를 나누어 생각한다. Ú 0<2xÉ8일 때, y= _2x_6 ;2!; =6x Û 8<2xÉ14일 때, y= _6_8 ;2!; =24 (cid:25) (cid:25) (cid:37) (cid:36) (cid:37) (cid:49) (cid:36) (cid:37) (cid:36) (cid:34) (cid:23) (cid:34) (cid:23) (cid:35) (cid:23) (cid:35) (cid:90) (cid:19)(cid:21) Ü 14<2x<22일 때, BCÓ+CDÓ+DPÓ=2x이므로 (cid:19)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:89) (cid:49) (cid:34) APÓ=22-2x ∴ y= _6_(22-2x) ;2!; =-6x+66 Ú, Û, Ü에 의하여 ( { 0<xÉ4일 때, y=6x 4<xÉ7일 때, y=24 7<x<11일 때, y=-6x+66 9 좌표평면 위에 나타내면 오른 쪽 그림과 같다. ⑵ (구하는 넓이)= _(3+11)_24 ;2!; =168(cmÛ`) 물의 온도가 매분 0.6`¾씩 높아지므로 x분 후에는 0.6x`¾ 높아진다. y=15+0.6x 열을 가한 지 x분 후의 물의 온도를 y`¾라 하면 y`m라 하면 y=325+0.4x 온도가 10`¾일 때 x=10이므로 y=325+0.4_10=325+4=329 따라서 온도가 10`¾ 일 때 소리의 속력은 초속 329`m이다. 기차가 출발한 지 x분 후에는 3x`km를 움직이므로 y=40-3x y=0일 때 B역에 도착하므로 0=40-3x ∴ x= :¢3¼: 길이가 14`cm인 양초는 1분마다 0.3`cm씩 짧아지 므로 x분 후에는 0.3x`cm 짧아진다. 또, 길이가 20`cm인 양초는 1분마다 0.5`cm씩 짧아 지므로 x분 후에는 0.5x`cm 짧아진다. x분 후에 남은 양초의 길이를 y`cm라 하면 길이가 14`cm인 양초의 남은 길이는 y=14-0.3x이고, 길 이가 20`cm인 양초의 남은 길이는 y=20-0.5x이 다. 두 양초의 길이가 같아질 때는 14-0.3x=20-0.5x일 때이므로 0.2x=6 ∴ x=30 따라서 30분 후에 두 양초의 길이가 같아진다. 석유 45`L가 난로를 켠 지 180분 만에 소모되므로 x분 후에는 x`L가 소모되므로 ;4!; y=45- x(0ÉxÉ180) ;4!; 석유 13`L가 남을 때 y=13이므로 13=45-;4!;x, ∴ x=128 ;4!;x=32 따라서 난로를 켠 지 128분 후에 석유 13`L가 남는다. Ⅳ 일차함수 59 (cid:48) (cid:21) (cid:24) (cid:18)(cid:18) (cid:89) ;1¢8°0; = ;4!; , 즉 1분에 `L씩 소모된다. ;4!; 3 일차함수와 일차방정식의 관계 주제별 실력다지기 ⑴ ㄷ, ㅂ ⑵ ㄱ, ㄹ ⑶ ㄱ, ㄹ ⑷ ㄷ, ㅂ 80 y=7 -6 제3사분면 -2, - , - ;2!; ;4&; ;5!; ① a=0, b<0 y=- x-3 ;2#; -12 y=- x+ :Á3¼: ;3!; -8 a=-1, b=5 3 ⑤ ① ① 3 ⑤ ③ ④ ⑤ ③ 0 ;3!; 5 ⑤ ;4#; ;2#; 30 -2 -16 제3사분면 ÉaÉ5 - ;2!; ÉaÉ2 -2<m<2 9 -2 ① -2 ② 4ÉkÉ7 3 ① 27 y=- x+5 ;6%; , 0 } {;3!; 6 ⑤ ④ ;3@; a= , b=2 ;3@; ③ ①, ③ 본문 135~147쪽 ①, ③ ③ y= x-6 ;2#; y=-x-1 -4 ④ ;2!; 4x+2y-10=0에서 2y=-4x+10 이 식이 주어진 일차방정식 2ax+by+4=0과 같으 ② y=0이면 0=-2x+5, 2x=5 ∴ x= ;2%; ax+by=-15에서 by=-ax-15 ∴ y=-2x+5 ① x=2, y=-1을 대입하면 -1+-2_2+5 따라서 점 (2, -1)을 지나지 않는다. 따라서 x절편은 이다. ;2%; ④ 기울기가 음수이고 y절편이 양수 이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 따라서 제3사분면을 지나 지 않는다. (cid:90) (cid:48) ⑤ 2y=-4x-1에서 y=-2x- ;2!; 따라서 기울기가 같고, y절편이 다르므로 평행하 다. 즉, 만나지 않는다. 2ax+by+4=0에서 y=- 2a b x- ;b$; - =-6, - =4이므로 ;b$; 2a b a=-3, b=-1 ∴ a-3b=-3-3_(-1)=0 므로 2a=-6 ∴ a=-3, b=-1 ∴ a-3b=-3-3_(-1)=0 ∴ y=- x- ;bA; :Áb°: 따라서 - =-3, - =5이므로 ;bA; :Áb°: a=-9, b=-3 (cid:89) ∴ a-b=-9-(-3)=-6 다른 풀이 기울기가 -3, y절편이 5인 직선을 그래 프로 하는 일차함수의 식은 y=-3x+5 즉, 두 직선 ax+by=-15, 3x+y=5가 일치하므로 = = ;1B; ;3A; -15 5 따라서 a=-9, b=-3이므로 a-b=-9-(-3)=-6 x+py+q=0에서 py=-x-q ∴ y=- x- ;p!; ;pQ; 그래프가 오른쪽 위로 향하므로 (기울기)>0 다른 풀이 기울기가 -6이고, y축과 점 (0, 4)에서 만나는, 즉 y절편이 4인 직선의 방정식은 y=-6x+4이므로 -6x-y+4=0 - >0 ∴ p<0 ;p!; 60 정답과 해설 14 ;3!; 1 - ;3@;  y축과 양의 부분에서 만나므로 (y절편)>0 네 직선은 모두 축에 평행하므 - >0 ∴ ;pQ; <0 ;pQ; 그런데 p<0이므로 q>0이다. 따라서 y=px+q의 그래프는 기울 기 p가 음수이고 y절편 q가 양수이 므로 오른쪽 그림과 같다. 따라서 제3사분면을 지나지 않는다. (cid:90) (cid:48) (cid:89) ( { 2x+y-3=0 …… ㉠ ax-y+2=0 …… ㉡ x+2y+6=0 …… ㉢ 9 ㉠과 ㉢은 (cid:90) (cid:21) (cid:90)(cid:30)(cid:21) (cid:14)(cid:20) (cid:48) (cid:22) (cid:89) (cid:14)(cid:23) (cid:89)(cid:30)(cid:14)(cid:20) (cid:89)(cid:30)(cid:22) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:23) 로 좌표평면에 나타내면 오른 쪽 그림과 같다. 따라서 구하는 도형은 직사각 형이므로 넓이는 (3+5)_(4+6) =8_10=80 5x-1=0에서 x= ;5!; 직선 x= 에 수직인 직선의 방정식은 y=k의 꼴이 ;5!; 고 점 (-1, 7)을 지나므로 구하는 직선의 방정식은 + , 즉 한 점에서 만나므로 세 그래프 ;1@; ;2!; y=7이다. 에 의하여 삼각형이 만들어지지 않으려면 세 직선 중 두 직선이 평행하거나 세 직선이 한 점에서 만나야 두 직선의 교점은 연립방정식 x-y+2=0 [ 2x+y-14=0 의 해 Û ㉡, ㉢이 평행한 경우 y축에 수직인 직선은 y=k의 꼴이므로 구하는 직선 와 같으므로 위의 연립방정식을 풀면 x=4, y=6 따라서 점 (4, 6)을 지난다. 의 방정식은 y=6이다. ㉠, ㉢이 한 점에서 만나므로 직선 ㉡이 ㉠, ㉢의 x축에 평행한 직선 위의 점은 y좌표가 모두 같으므로 -2a+1=5a-6, -7a=-7 ∴ a=1 한다. Ú ㉠, ㉡이 평행한 경우 ;a@;= 1 -1 + -3 2 ∴ a=-2 = ;1A; -1 2 + ∴ a=- ;6@; ;2!; Ü 세 직선이 한 점에서 만나는 경우 교점을 지나야 한다. ㉠, ㉢을 연립하여 풀면 x=4, y=-5 ㉡에 x=4, y=-5를 대입하면 4a+5+2=0 ∴ a=- ;4&; 따라서 Ú, Û, Ü에 의하여 a=-2, - , - ;4&; ;2!; 주어진 그래프는 점 (0, -3)을 지나고 x축에 평행 ① y축에 평행하고 점 (-2, 3)을 지나므로 직선의 방정식은 x=-2이다. ③ 점 (3, 0)을 지나지 않는다. ㄷ. 3y-9=0에서 3y=9 ∴ y=3 ㄹ. x+5=2에서 x=-3 ㅂ. 2x-2y=2x+1에서 -2y=1 ∴ y=- ;2!; ⑴ x축에 평행한 직선은 y=k의 꼴이므로 ㄷ, ㅂ이다. ⑵ y축에 평행한 직선은 x=k의 꼴이므로 ㄱ, ㄹ이다. ⑶ y=1에 수직인 직선은 x=k의 꼴이므로 ㄱ, ㄹ이다. ⑷ x=-4에 수직인 직선은 y=k의 꼴이므로 ㄷ, ㅂ이다. y축에 평행한 직선 위의 점은 x좌표가 모두 같으므로 -3a+8=a-4, -4a=-12 ∴ a=3 하므로 직선의 방정식은 y=-3이다. ax+by+1=0에서 by=-ax-1 ∴ y=- x- ;bA; ;b!; 따라서 - =0, - =-3이므로 a=0, b= ;bA; ;b!; ;3!; ∴ a+b=0+ = ;3!; ;3!; 주어진 그래프는 직선 x=5이다. ax-by=1에서 ax=by+1 ∴ x= y+ ;aB; ;a!; 따라서 =0, =5이므로 a= , b=0 ;aB; ;a!; ;5!; ∴ a+b= +0= ;5!; ;5!; Ⅳ 일차함수 61  ax+by+2=0의 그래프가 x축에 평행하므로 y=k ⑤ 기울기가 음수이고 y절편도 음 의 꼴이다. ax+by+2=0에서 by=-ax-2 ∴ y=- x- ;bA; ;b@; - =0이므로 a=0 ;bA; ∴ y=- ;b@; 이 그래프가 제1, 2사분면을 지나야 하므로 - >0 ∴ b<0 ;b@; 따라서 구하는 조건은 a=0, b<0이다. 또, 점 (1, -2)를 지나므로 x=1, y=-2를 대입 일차함수의 식을 y=ax+b라 하면 a= =-3 ∴ y=-3x+b -3 1 하면 -2=-3+b ∴ b=1 y=-3x+1에 y=0을 대입하면 0=-3x+1, 3x=1 ∴ x= ;3!; 따라서 x축과 만나는 점의 좌표는 , 0 이다. {;3!; } 구하는 일차함수의 식을 y=ax+b라 하면 y=- x+1의 그래프와 평행하므로 기울기가 같다. ∴ a=- ;3@; ;3@; ;3@; y=- x+b의 그래프가 점 (1, -1)을 지나므로 x=1, y=-1을 대입하면 -1=- +b ∴ b=- ;3@; ;3!; 따라서 구하는 일차함수의 식은 y=- x- 이다. ;3@; ;3!; ① 기울기는 x의 계수이므로 - 이다. ;3@; ② x=-2, y=1을 대입하면 1=- _(-2)- ;3@; ;3!; 따라서 점 (-2, 1)을 지난다. ③ y=0을 대입하면 0=- x- , ;3!; ;3@; ;3@; x=- ;3!; ④ y절편은 - 이다. ;3!; 62 정답과 해설 수이므로 그래프는 오른쪽 그림 과 같다. 따라서 제2, 3, 4사분 면을 지난다. (cid:90) (cid:48) (cid:89) 구하는 일차함수의 식을 y=ax+b라 하면 주어진 그래프와 평행하므로 기울기가 같다. ∴ a= ;2#; y= x+b의 그래프가 점 (2, -3)을 지나므로 ;2#; x=2, y=-3을 대입하면 -3= _2+b ∴ b=-6 ;2#; 따라서 일차함수의 식은 y= x-6이다. ;2#; 구하는 일차함수의 식을 y=ax+b라 하면 주어진 그 래프와 평행하므로 기울기가 같다. ∴ a=- ;3!; 또, y=x+2의 그래프와 y축에서 만나므로 y절편이 같다. ∴ b=2 따라서 일차함수의 식은 y=- x+2이므로 각각 ;3!; 의 점의 좌표를 식에 대입하면 ① =- _5+2` ② 1=- _3+2` ;3!; ;3%; ;3!; ;3!; ;3!; 다. ③ =- _1+2` ④ 2=- _0+2` ⑤ 2+- _(-3)+2=3` 따라서 y=f(x)의 그래프 위의 점이 아닌 것은 ⑤이 ;3!; ;3!; f(x)=5x+a, g(x)=bx-3이라 하자. `f(-1)=3이므로 3=-5+a ∴ a=8 `g(1)=2이므로 2=b-3 ∴ b=5 따라서 f(x)=5x+8, g(x)=5x-3이므로 `f(1)+g(-1)=(5+8)+(-5-3)=5 주어진 일차함수의 그래프가 두 점 (-4, 0), (0, 5)를 지나므로 (기울기)= 5-0 0-(-4) = ;4%; y절편이 5이므로 일차함수의 식은 y= x+5이다. ;4%; 이 일차함수의 그래프가 점 (-8, k)를 지나므로 k= _(-8)+5=-10+5=-5 ;4%; 따라서 x=- 이므로 x절편은 - 이다. ;2!; ;2!; x=-8, y=k를 대입하면  일차함수 y= x+1의 그래프와 x축에서 만나면 x ;2!; y=-3x+q의 그래프가 점 (2, -7)을 지나므로 절편이 같으므로 y=0을 대입하면 0= x+1 ∴ x=-2 ;2!; x=2, y=-7을 대입하면 -7=-3_2+q ∴ q=-1 따라서 그래프로 주어진 일차함수의 식은 따라서 구하는 일차함수의 그래프의 x절편은 -2이다. y=-3x-1이므로 이 일차함수의 그래프를 y축의 또, y=4x-3의 그래프와 y축에서 만나면 y절편이 방향으로 5만큼 평행이동하면 같으므로 y절편은 -3이다. y=-3x-1+5 ∴ y=-3x+4 x절편이 -2이고, y절편이 -3인 일차함수의 그래 즉, a=-3, b=4이므로 ab=-12 일차함수 y=ax+b의 그래프가 두 점 { - ;2#; , 0 , } y=- x+b의 그래프가 점 (1, 3)을 지나므로 프는 두 점 (-2, 0), (0, -3)을 지나므로 (기울기)= -3-0 0-(-2) =- ;2#; 그러므로 구하는 일차함수의 식은 y=- x-3이다. ;2#; 일차함수의 식을 y=ax+k라 하면 두 점 (3, 0), (1, 4)를 지나므로 a= 4-0 1-3 = 4 -2 =-2 ∴ y=-2x+k 점 (3, 0)을 지나므로 x=3, y=0을 대입하면 0=-2_3+k ∴ k=6 (0, 3)을 지나므로 a= 3-0 =2 0- {-;2#;} y절편이 3이므로 b=3 이때 y=bx-a=3x-2의 그래프는 y절편이 -2이므 로 점 (0, -2)를 지나고, y=0일 때, x= 이므로 점 , 0 을 지난다. {;3@; } 따라서 y=3x-2의 그래프는 오른 쪽 그림과 같으므로 구하는 넓이는 _ _2= ;2!; ;3@; ;3@; ;3@; (cid:90) (cid:48) (cid:14)(cid:19) (cid:28)(cid:20)(cid:33)(cid:28) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:190)(cid:89)(cid:14)(cid:19) 구하는 일차함수의 식을 y=ax+b라 하면 a= -5-1 4-(-2) = -6 6 =-1 ∴ y=-x+b 점 (-2, 1)을 지나므로 x=-2, y=1을 대입하면 1=-(-2)+b ∴ b=-1 따라서 구하는 일차함수의 식은 y=-x-1이다. 점 (k, 4)가 일차함수 y=- x+3의 그래프 위에 ;2!; 있으므로 x=k, y=4를 대입하면 4=- k+3, k=-1 ∴ k=-2 ;2!; ;2!; 두 점 (1, 3), (-2, 4)를 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 y=ax+b라 하면 a= 4-3 -2-1 =- ;3!; ∴ y=- x+b ;3!; ;3!; ;3!; x=1, y=3을 대입하면 3=- +b ∴ b= :Á3¼: 따라서 구하는 일차함수의 식은 y=- x+ 이다. ;3!; :Á3¼: 현석이가 잘못 본 일차함수의 식을 y=ax+c라 하면 a= 8-(-2) -1-1 = 10 -2 =-5 ∴ y=-5x+c y=-5x+c의 그래프가 점 (1, -2)를 지나므로 x=1, y=-2를 대입하면 -2=-5+c ∴ c=3 따라서 잘못 본 일차함수의 식은 y=-5x+3이므로 현석이가 잘못 본 y절편은 3이다. 호영이는 y절편은 올바르게 보았으므로 두 점 (3, 4), (0, 5)를 지나는 직선의 y절편은 5이다. ∴ b=5 두 점 (-3, 8), (2, -7)을 지나는 직선을 그래프 유라는 기울기는 올바르게 보았으므로 두 점 (3, 2), 로 하는 일차함수의 식을 y=px+q라 하면 p= -7-8 2-(-3) = -15 5 =-3 ∴ y=-3x+q (1, -1)을 지나는 직선의 기울기는 -1-2 1-3 = -3 -2 = ;2#; ∴ a= ;2#; Ⅳ 일차함수 63  따라서 y= x+5의 그래프가 점 (6, k)를 지나므 ;2#; 로 x=6, y=k를 대입하면 k= _6+5=14 ;2#; 2x-y+1=0, x-y-1=0을 연립하여 풀면 x=-2, y=-3 따라서 세 직선이 점 (-2, -3)에서 만나므로 3x-y+k=0에 x=-2, y=-3을 대입하면 -6+3+k=0 ∴ k=3 점 B의 y좌표가 b이므로 y= x에 y=b를 대입하면 ;3!; b= x ∴ x=3b ;3!; 즉, B(3b, b)이고, ACÓ=3BCÓ=3b이므로 A(3b, 3b) 두 일차방정식 x+y-4=0, 2x-3y-3=0을 연립 하여 풀면 x=3, y=1 따라서 두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표는 (3,`1)이고 mx+y-2=0의 그래프도 점 (3,`1)을 y=ax+b에 x=3b, y=3b를 대입하면 지나므로 x=3, y=1을 대입하면 3b=3ab+b, 2b=3ab b+0이므로 2=3a ∴ a= ;3@; 3m+1-2=0, 3m-1=0 ∴ m= ;3!; 이때 y= x+b의 그래프가 점 (-6, -2)를 지나 므로 x=-6, y=-2를 대입하면 -2= _(-6)+b, -2=-4+b ∴ b=2 ;3@; ;3@; x+2y+1=0 2ax+(a+6)y+3=0 은 한 쌍의 해를 연립방정식 [ 갖는다. 즉, 두 일차방정식의 그래프는 한 점에서 만나므로 주어진 그래프의 교점의 좌표가 (2, 3)이므로 연립 방정식 [ -2x=y+a …… ㉠ …… ㉡ bx-y=3 의 해는 x=2, y=3이다. x=2, y=3을 ㉠, ㉡에 대입하면 -4=3+a, 2b-3=3 ∴ a=-7, b=3 ∴ a+b=-7+3=-4 x=-1, y=b를 x+y=-5에 대입하면 -1+b=-5 ∴ b=-4 x=-1, y=-4를 2x-y=a에 대입하면 ∴ y=2x-4 a=2_(-1)-(-4)=2 ∴ ab=2_(-4)=-8 + ;2Áa; 2 a+6 , 4a+a+6 3a+6 ∴ a+2 두 그래프의 교점이 없으려면 평행해야 하므로 그래 프의 기울기가 같고, y절편이 다른 두 일차방정식을 찾는다. ㄱ. x-2y+1=0에서 2y=x+1 ∴ y= x+ ;2!; ;2!; ㄴ. = ;2{; ;4}; +1에서 2x=y+4 ㄷ. 2x-4y=3에서 4y=2x-3 ∴ y= x- ;4#; ;2!; ㅁ. 4x-2y+8=0에서 2y=4x+8 두 그래프가 만나는 점의 x좌표가 1이므로 ∴ y=2x+4 2x-y+2=0에 x=1을 대입하면 2-y+2=0 ∴ y=4 ㅂ. 3x-y-4=0에서 y=3x-4 따라서 기울기가 같고, y절편이 다른 두 일차방정식 그러므로 두 그래프의 교점의 좌표는 (1, 4)이다. 은 각각 ㄱ과 ㄷ, ㄴ과 ㅁ이다. ax-y+b=0, 즉 y=ax+b의 그래프의 y절편이 5 따라서 y=ax+5이고, 점 (1, 4)를 지나므로 x=1, 두 일차방정식의 그래프가 만나지 않으므로 평행하다. 따라서 -8 2 = m -3 + 이므로 ;5@; 2m=24 ∴ m=12 이므로 b=5 y=4를 대입하면 4=a+5 ∴ a=-1 64 정답과 해설  연립방정식의 해가 존재하지 않으므로 두 일차방정 해가 무수히 많으면 두 직선은 일치하므로 식의 그래프는 서로 평행하다 따라서 -2 aÛ` = -2 aÛ` 3 -6 = 3 -6 + -1 -a 이므로 에서 3aÛ`=12, aÛ`=4 ∴ a=2 또는 a=-2 에서 a+-2 + ;a!; 3 -6 ∴ a=2 5x-ay+4=0 연립방정식 [ y= x-2 ;7%; 에서 두 그래프의 교점이 없으므로 두 일차방정식의 그래프는 서로 평행하다. y= x-2에서 5x-7y-14=0 ;7%; 5x-ay+4=0, 5x-7y-14=0에서 = ;5%; -a -7 + 4 -14 이므로 a=7 ax+y+b=0의 그래프는 4x-3y-1=0의 그래프 와 만나지 않으므로 두 일차방정식의 그래프는 평행 하다. 따라서 = ;4A; 1 -3 + b -1 이므로 a=- ;3$; ax+y+b=0의 그래프와 5x-3y+2=0의 그래프 가 y축에서 만나므로 y절편이 같다. 5x-3y+2=0에서 x=0일 때, -3y+2=0, 3y=2 ∴ y= ;3@; ax+y+b=0에서 y=-ax-b이므로 -b= ∴ b=- ;3@; ;3@; ∴ a+b=- - =- =-2 ;3$; ;3@; ;3^; 해가 무수히 많으면 두 직선은 일치하므로 = ;b#; 1 -3 = -a 6 따라서 a=2, b=-9이므로 ab=2_(-9)=-18 두 일차방정식의 그래프의 교점이 무수히 많으면 두 직선은 일치한다. 따라서 = ;a#; -1 2 = ;b%; ∴ a+b=-6-10=-16 이므로 a=-6, b=-10 = ;a!; -2 4 = -5 b =- 에서 a=-2 ;a!; ;2!; - = ;2!; -5 b 에서 b=10 일차함수 y=ax+b, 즉 y=-2x+10의 그래프는 기울기가 음수이고, y절편이 양수 이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같 다. 따라서 제3사분면을 지나지 않 (cid:90) (cid:48) 는다. (cid:89) 해가 무수히 많으면 두 직선은 일치하므로 = = ;1@; ;n%; m-2 m m-2 m =2에서 m-2=2m ∴ m=-2 =2에서 2n=5 ∴ n= ;2%; ;n%; ∴ m+n=-2+ = ;2!; ;2%; Ú y=ax의 그래프가 점 A(1, 3) 을 지날 때, 3=a_1 ∴ a=3 (cid:140) (cid:34) (cid:90) (cid:20) (cid:19) (cid:141) (cid:35) Û y=ax의 그래프가 점 B(2, 2) (cid:48) (cid:18) (cid:19) (cid:89) 를 지날 때, 2=2a ∴ a=1 따라서 a의 값의 범위는 1ÉaÉ3이다. y=ax-1의 그래프가 ABÓ와 만 나려면 오른쪽 그림과 같이 Ú 의 직선의 기울기보다는 작거나 같고, Û의 직선의 기울기보다 크거나 같아야 한다. (cid:140) (cid:34) (cid:90) (cid:21) (cid:19) (cid:48) (cid:18) (cid:14)(cid:18) (cid:141) (cid:35) (cid:21) (cid:89) Ú y=ax-1의 그래프가 점 A(1, 4)를 지날 때, 4=a-1 ∴ a=5 Û y=ax-1의 그래프가 점 B(4, 2)를 지날 때, 2=4a-1, 4a=3 ∴ a= ;4#; 따라서 a의 값의 범위는 ÉaÉ5이다. ;4#; Ⅳ 일차함수 65  Ú y=ax+1의 그래프가 점 제2사분면을 지나지 않고 기울기 (cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:190)(cid:89) (cid:141) (cid:35) (cid:90) (cid:24) (cid:18) (cid:34) (cid:20) (cid:19) (cid:48) (cid:89) (cid:140) A(2, 0)을 지날 때, 0=2a+1, 2a=-1 ∴ a=- ;2!; Û y=ax+1의 그래프가 점 B(3, 7)을 지날 때, 7=3a+1, 3a=6 ∴ a=2 따라서 a의 값의 범위는 - ÉaÉ2이다. ;2!; Ú y=ax-3의 그래프가 점 A(1, 5)를 지날 때, 5=a-3 ∴ a=8 Û y=ax-3의 그래프가 점 (cid:90) (cid:140) (cid:22) (cid:34) (cid:48) (cid:14)(cid:18) (cid:18) (cid:14)(cid:20) (cid:19) (cid:35) (cid:141) (cid:89) B(2, -1)을 지날 때, -1=2a-3, 2a=2 ∴ a=1 따라서 a의 값의 범위는 1ÉaÉ8이므로 a의 값이 될 수 없는 것은 ① 이다. ;2!; Ú y=x+k의 그래프가 점 A(-3, 4)를 지날 때, 4=-3+k ∴ k=7 Û y=x+k의 그래프가 점 B(-3, 1)을 지날 때, 1=-3+k ∴ k=4 (cid:90) (cid:140) (cid:141) (cid:34) (cid:35) (cid:14)(cid:20) (cid:48) (cid:89) (cid:21) (cid:18) (cid:90) 가 최대가 되는 경우는 원점을 지 (cid:14)(cid:19) 날 때이므로 y=ax에 x=-2, y=-3을 대입하면 (cid:89) (cid:48) (cid:14)(cid:20) -3=a_(-2) ∴ a= ;2#; 연립방정식 [ x+y=m x-y=2 를 풀면 x= m+2 2 , y= m-2 2 이 점이 제4사분면 위에 있으므로 m+2 2 >0, m-2 <0 2 따라서 m>-2, m<2이므로 -2<m<2 즉, 두 직선의 교점의 좌표는 { m+2 2 , m-2 2 이고, } △ABC를 좌표평면 위에 나 (cid:90) (cid:140) (cid:36)(cid:9)(cid:22)(cid:13)(cid:65)(cid:23)(cid:10) 타내면 오른쪽 그림과 같다. (cid:34)(cid:9)(cid:19)(cid:13)(cid:65)(cid:21)(cid:10) 일차함수 y=ax-2의 그래 프는 점 (0, -2)를 지나는 직선이므로 △ABC와 만나 (cid:48) (cid:14)(cid:19) (cid:35)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:18)(cid:10) (cid:141) (cid:89) 려면 기울기 a는 점 A를 지나는 직선의 기울기보다 작거나 같고 점 B를 지나는 직선의 기울기보다 크거 나 같아야 한다. Ú y=ax-2의 그래프가 점 A(2, 4)를 지날 때, Û y=ax-2의 그래프가 점 B(3, -1)을 지날 때, 따라서 k의 값의 범위는 4ÉkÉ7이다. 4=2a-2 ∴ a=3 y=(m-1)x-2m+4의 그래프 가 제1, 2, 3사분면을 모두 지나려 면 오른쪽 그림과 같아야 하므로 (기울기)=m-1>0 ∴ m>1 (y절편)=-2m+4>0 ∴ m<2 ∴ 1<m<2 따라서 a=1, b=2이므로 a+b=1+2=3 y=(k-2)x+5k의 그래프가 제3사 분면을 지나지 않으려면 오른쪽 그 림과 같아야 하므로 (기울기)=k-2É0 ∴ kÉ2 (y절편)=5k¾0 ∴ k¾0 (cid:90) (cid:48) ∴ 0ÉkÉ2 66 정답과 해설 -1=3a-2 ∴ a= ;3!; ;3!; (cid:48) (cid:89) 따라서 ÉaÉ3이므로 m= , n=3 ;3!; ∴ mn= _3=1 ;3!; 오른쪽 그림에서 어두운 부분의 넓이가 20이므로 두 그래프의 교점의 x좌표를 k라 하면 (cid:90) (cid:20) (cid:90)(cid:30)(cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)(cid:89)(cid:12)(cid:20) (cid:48)(cid:76) (cid:89) _(3+7)_|k|=20 ;2!; 5|k|=20, |k|=4 (cid:89) 이때 k<0이므로 k=-4 (cid:14)(cid:24) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:190)(cid:89)(cid:14)(cid:24) x=-4를 y= x+3에 대입하면 ;2!; y= _(-4)+3=1 ;2!;  따라서 y=ax-7의 그래프가 점 (-4, 1)을 지나므 세 직선을 좌표평면 위에 (cid:19)(cid:190)(cid:89)(cid:12)(cid:90)(cid:12)(cid:20)(cid:30)(cid:17) (cid:90) 로 x=-4, y=1을 대입하면 나타내면 오른쪽 그림과 (cid:14)(cid:22) (cid:14)(cid:18) (cid:18) (cid:48) (cid:14)(cid:18) (cid:89) 1=-4a-7, 4a=-8 ∴ a=-2 같으므로 구하는 도형의 넓이는 _(1+5)_4=12 ;2!; (cid:90)(cid:12)(cid:22)(cid:30)(cid:17) (cid:14)(cid:22) (cid:89)(cid:14)(cid:90)(cid:30)(cid:17) 3x-y+6=0에 y=0을 대입하면 3x+6=0, 즉 x=-2이므로 x절편은 -2이다. x+y-2=0에 y=0을 대입하면 x-2=0, 즉 x=2 이므로 x절편은 2이다. 두 일차방정식 3x-y+6=0, x+y-2=0을 연립하여 풀면 x=-1, y=3 따라서 오른쪽 그림과 같이 두 직선의 교점의 좌표는 일차함수 + ;b}; ;a{; =1에서 x절편은 y=0일 때 x의 값이므로 (cid:90) (cid:20) (cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:19) (cid:48) (cid:19) (cid:89) (cid:20)(cid:190)(cid:89)(cid:14)(cid:90)(cid:12)(cid:23)(cid:30)(cid:17) (cid:89)(cid:12)(cid:90)(cid:14)(cid:19)(cid:30)(cid:17) =1 ∴ y=b =1 ∴ x=a y절편은 x=0일 때 y의 값이므로 ;a{; ;b}; 따라서 x절편이 a, y절편이 b이므로 (-1, 3)이므로 구하는 도형의 넓이는 _(2+2)_3=6 ;2!; △OAB= _a_b=15 ;2!; ∴ ab=30 x-y+7=0에서 y=0이면 x+7=0 ∴ x=-7 2x+y-4=0에서 y=0이면 2x-4=0 ∴ x=2 따라서 두 일차방정식의 그래프가 x축과 만나는 점 의 좌표는 각각 (-7, 0), (2, 0)이다. 또, 연립방정식 [ x-y+7=0 2x+y-4=0 을 풀면 점 B, C의 좌표를 각각 (cid:90) (m, 0), (n, 0)이라고 하면 두 점 A, D의 좌표 는 각각 (m, 3m), (n, -3n+15)이다. 이때 점 A와 D의 y좌표 가 같으므로 (cid:9)(cid:78)(cid:13)(cid:65)(cid:20)(cid:78)(cid:10) (cid:34) (cid:37) (cid:9)(cid:79)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:20)(cid:79)(cid:12)(cid:18)(cid:22)(cid:10) (cid:48) (cid:36)(cid:35) (cid:9)(cid:78)(cid:13)(cid:65)(cid:17)(cid:10) (cid:9)(cid:79)(cid:13)(cid:65)(cid:17)(cid:10) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:20)(cid:89)(cid:190)(cid:12)(cid:18)(cid:22) 3m=-3n+15 ∴ m+n=5 …… ㉠ 또 BCÓ=ABÓ이므로 x=-1, y=6 (-1, 6)이다. 이므로 두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표는 n-m=3m ∴ n=4m …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m=1, n=4 두 직선과 x축으로 둘러싸 (cid:90) (cid:89)(cid:14)(cid:90)(cid:12)(cid:24)(cid:30)(cid:17) 따라서 사각형 ABCD는 한 변의 길이가 (cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:90)(cid:14)(cid:21)(cid:30)(cid:17) 오른쪽 그림과 같이 인 도형은 오른쪽 그림과 같으므로 구하는 도형의 넓 (cid:23) (cid:19) 이는 (cid:14)(cid:24) (cid:14)(cid:18) (cid:48) (cid:89) _(7+2)_6=27 ;2!; 두 직선 2x+y+3=0과 y+5=0의 교점의 좌표는 (1, -5)이고, 두 직선 x-y=0과 y+5=0의 교점 의 좌표는 (-5, -5)이다. 또, 연립방정식 [ x-y=0 을 풀면 2x+y+3=0 x=-1, y=-1 따라서 두 직선 2x+y+3=0과 x-y=0의 교점의 좌표는 (-1, -1)이다. 3m=3_1=3인 정사각형이므로 구하는 넓이는 3_3=9 직선 2x-y+12=0이 x축과 만 나는 점을 A, y축과 만나는 점을 B라 하면 ∴ x=-6 y=0일 때, 2x+12=0 (cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:90)(cid:12)(cid:18)(cid:19)(cid:30)(cid:17) (cid:90)(cid:30)(cid:78)(cid:89)(cid:190) (cid:90) (cid:35) (cid:18)(cid:19) (cid:67) (cid:46) (cid:34) (cid:14)(cid:23) (cid:66) (cid:48) (cid:89) 즉, 점 A(-6, 0)이다. x=0일 때, -y+12=0 ∴ y=12 즉, 점 B(0, 12)이다. ∴ △AOB= _6_12=36 ;2!; Ⅳ 일차함수 67  두 직선의 교점을 M(a, b)라 하면 오른쪽 그림과 같이 두 직선 △MAO= _6_b=18 ;2!; 3b=18 ∴ b=6 2x-y+12=0에 x=a, y=6을 대입하면 2a-6+12=0, 2a=-6 ∴ a=-3 y=mx와 y=2의 교점을 M(a, 2)라 하면 △AOM= _(a-2)_2 ;2!; =1 따라서 직선 y=mx가 점 M(-3, 6)을 지나므로 a-2=1 ∴ a=3 (cid:90) (cid:19) (cid:90)(cid:30)(cid:190)(cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:190)(cid:78)(cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)(cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:19) (cid:34) (cid:46) (cid:35) (cid:48) (cid:19) (cid:21)(cid:66) (cid:89) x=-3, y=6을 대입하면 6=-3m ∴ m=-2 다른 풀이 두 직선의 교점을 M이라 하면 △AMO=△BMO이고 높이가 같으므로 AMÓ=BMÓ이다. 따라서 y=mx는 원점과 ABÓ의 중 점을 지나는 직선이다. ABÓ의 중점의 좌표는 { -6+0 2 , 0+12 2 } , 즉 (-3, 6)이다. 6=-3m ∴ m=-2 오른쪽 그림과 같이 직선 y= x-4가 x축과 만나 ;3@; 는 점을 A, y축과 만나는 점을 B라 하면 (cid:90) (cid:66) (cid:48) (cid:67) (cid:46)(cid:35) (cid:14)(cid:21) (cid:90)(cid:30)(cid:28)(cid:20)(cid:33)(cid:28)(cid:89)(cid:14)(cid:21) (cid:34) (cid:23) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:78)(cid:89)(cid:190) y=0일 때, 0= x-4 ∴ x=6 ;3@; 즉, 점 A(6, 0)이다. 따라서 직선 y=mx가 점 M(3, 2)를 지나므로 x=3, y=2를 대입하면 2=3m ∴ m= ;3@; 오른쪽 그림과 같이 점 A, B의 x좌표가 각각 2, 6이므로 점 D의 y좌표는 (cid:90) (cid:21) (cid:19) (cid:48) (cid:90)(cid:30)(cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)(cid:89)(cid:12)(cid:18) (cid:36) (cid:35) (cid:23) (cid:49) (cid:37) (cid:34) (cid:19) (cid:66) (cid:89) (cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)(cid:66)(cid:12)(cid:18) y= _2+1=2 ∴ D(2, 2) ;2!; 점 C의 y좌표는 y= _6+1=4 ∴ C(6, 4) ;2!; 이때 사각형 ABCD는 사다리꼴이므로 넓이는 _(2+4)_(6-2)=12 ;2!; 구하는 직선과 직선 y= x+1의 교점을 P라 하면 ;2!; ;2!; △PBC의 넓이는 12_ =6이어야 한다. 점 P의 x좌표를 a라 하면 점 P는 직선 y= x+1 ;2!; x=0일 때, y=-4, 즉 점 B(0, -4)이다. 위에 있으므로 P a, a+1 { ;2!; } y= x-4에 x=3, y=b를 대입하면 구하는 직선의 방정식을 y=px+q라 하면 두 점 ∴ △AOB= _6_4=12 ;2!; 두 직선의 교점을 M(a, b)라 하면 △OBM= _4_a=6에서 ;2!; 2a=6 ∴ a=3 ;3@; ;3@; b= _3-4=-2 x=3, y=-2를 대입하면 -2=3m ∴ m=- ;3@; 따라서 직선 y=mx가 점 M(3, -2)를 지나므로 두 직선 y=2와 y=x의 교점 A의 좌표는 (2, 2)이 고, 직선 y=2와 y= x의 교점 B의 좌표는 (4, 2) ;2!; ∴ △AOB= _2_2=2 ;2!; 이다. 68 정답과 해설 △PBC의 밑변을 BCÓ라 하면 (높이)=6-a이므로 △PBC= _4_(6-a)=2(6-a)=6 ;2!; 6-a=3 ∴ a=3 그러므로 점 P의 좌표는 { 3, ;2%;} 이다. P 3, { ;2%;} , B(6, 0)을 지나므로 p= 0- ;2%; 6-3 = - ;2%; 3 x=6, y=0을 대입하면 =- ∴ y=- x+q ;6%; ;6%; 0=- _6+q, 0=-5+q ∴ q=5 ;6%; 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=- x+5이다. ;6%; 본문 148~152쪽 -5 ④ ② -5 ⑤ -3 ① ② ⑤ ③ ③ ② ④ ① ⑤ 3 단원 종합 문제 ③, ④ ② ⑤ ④ ⑤ ① 18 1 ① ⑤ ⑤ 21 ② ③ ① aÉ-5 ④ - :Á5ª: y=240-16x(0ÉxÉ15) ⑤ x가 2일 때, y의 값은 2, 4, 6, …으로 하나로 정 해지지 않으므로 함수가 아니다. y=-1일 때, -1=- 에서 x=6 ;[^; y=1일 때, 1=- 에서 x=-6 y=2일 때, 2=- 에서 x=- =-3 ;[^; ;[^; ;[^; ;2^; ;3^; 따라서 구하는 x의 값들의 합은 6+(-6)+(-3)+(-2)=-5 ① x가 6일 때, y의 값은 1, 2, 3, 6으로 하나로 정해 지지 않으므로 함수가 아니다. y=3일 때, 3=- 에서 x=- =-2 ② x가 4일 때, y의 값은 1, 2, 4로 하나로 정해지지 않으므로 함수가 아니다. ③ y=60x에서 x의 값이 정해짐에 따라 그에 대응 하는 y의 값이 하나씩 정해지므로` y는 x의 함수 이다. ;2!; ① y=70x ② y=p_4x=4px ④ _x_y=10, 즉` y= 에서 x의 값이 정해 ③ 양초가 1분에 0.3`cm씩 타므로 y=20-0.3x :ª[¼: 짐에 따라 그에 대응하는 y의 값이 하나씩 정해지 ④ y=10x ⑤ x가 2일 때, y의 값은 -2, 2로 하나로 정해지지 므로 y는 x의 함수이다. 않으므로 함수가 아니다. ⑤ xy=30 ∴ y= :£[¼: 분모에 x가 있으므로 일차함수가 아니다. `f(4)=3이므로 - _4+k=3에서 -2+k=3 ∴ k=5 따라서 f(x)=- x+5이므로 ;2!; ;2!; `f(2)=- _2+5=-1+5=4 ∴ a=4 y=x-3에 y=0을 대입하면 0=x-3 ∴ x=3 y=-3x+p에 y=0을 대입하면 0=-3x+p, 3x=p ∴ x= ;3P; 두 일차함수의 그래프의 x절편이 같으므로 `f(b)=- _b+5=1에서 - _b=-4 ;2!; =3 ∴ p=9 ;3P; ;2!; ;2!; ∴ b=8 ∴ bÖa=8Ö4=2 ② x=-1, y=1을 대입하면 1=-4_(-1)-3 따라서 점 (-1, 1)을 지난다. 1의 약수는 1 하나뿐이므로 f(1)=1 소수는 약수가 1과 자신의 2개뿐이므로 ③ 기울기가 음수이고, y절편이 음수 (cid:90) `f(2)=1+2=3, f(3)=1+3=4, f(5)=1+5=6 이므로 그래프는 오른쪽 그림과 4의 약수는 1, 2, 4이므로 f(4)=1+2+4=7 같다. 따라서 구하는 함숫값의 합은 1+3+4+6+7=21 따라서 제2, 3, 4사분면을 지난다. (cid:48) (cid:89) Ⅳ 일차함수 69  ④ (기울기)= =-4이므로 x의 (y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) 값이 2만큼 증가할 때 y의 값은 8만큼 감소한다. ⑤ 기울기가 음수이므로 오른쪽 아래로 향하는 직선 y=- x+k의 그래프를 y축의 방향으로 -6만큼 이다. ;4!; 평행이동하면 y=- x+k-6 ;4!; 을 대입하면 ;4!; ∴ k=4 -3=- _4+k-6, -3=-1+k-6 따라서 x절편은 y=0일 때 x의 값이므로 0=6x-5, 6x=5 ∴ x= ;6%; y=-2x-1에서 x=0일 때, y=-2_0-1=-1 x=3일 때, y=-2_3-1=-7 따라서 y의 값의 범위는 -7ÉyÉ-1이다. 2ax-y-a+5=0에서 y=2ax-a+5 하면 0=6a-a+5, 5a=-5 ∴ a=-1 따라서 y절편은 -a+5=-(-1)+5=6 이 그래프가 점 (4, -3)을 지나므로 x=4, y=-3 이 직선이 점 (3, 0)을 지나므로 x=3, y=0을 대입 y=- x+k의 그래프를 y축의 방향으로 -5만큼 ;3@; 평행이동하면 y=-;3@;x+k-5이므로 k-5=-4 ∴ k=1 주어진 그래프는 오른쪽 위로 향하고, y축과 양의 부 분에서 만나므로 (기울기)=-a>0이고, (y절편)=-b>0이다. ∴ a<0, b<0 y=-x+5의 그래프를 y축의 방향으로 평행이동하 면 y=-x+5+a, 즉 제`1사분면을 지나지 않으므 로 5+aÉ0 ∴ aÉ-5 기울기가 양수인 ㉢, ㉣ 중에서 기울기가 더 큰 것은 y축에 더 가까운 ㉢이고, 기울기가 음수인 ㉠, ㉡ 중 에서 기울기가 더 작은 것은 y축에 더 가까운 ㉡이 다. 따라서 기울기가 가장 큰 것은 ㉢이고, 작은 것 은 ㉡이다. a=(기울기)= (y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) 이므로 a= 3-(-1) 2 = ;2$; =2 `f(3)-f(-1) 4 = `f(3)-f(-1) 3-(-1) 의 값은 f(x)=-3x+k의 그래프의 기울기를 뜻하므로 -3이다. y=ax+b의 그래프는 오른쪽 아래로 향하고, y축과 음의 부분에서 만나므로 a<0, b<0이다. y=-ax-b에서 -a>0, -b>0이므로 기울기는 양수이고 y절편도 양수이다. 따라서 y=-ax-b의 그래프는 오른쪽 그림과 같으 므로 제4사분면을 지나지 않는다. 따라서 (기울기)=a<0, (y절편)=-b>0이므로 y=ax-b의 그래프가 제1, 2, 4사 분면을 지나면 오른쪽 그림과 같은 그래프이므로 오른쪽 아래로 향하 고, y축과 양의 부분에서 만난다. a<0, b<0 따라서 y=bx-a에서 (기울기)=b<0, (y절편)=-a>0 이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같 다. 즉, y=bx-a의 그래프는 제1, (cid:90) (cid:48) (cid:90) (cid:48) (cid:89) (cid:89) 2, 4사분면을 지나므로 제3사분면을 지나지 않는다. y=-2x-3에서 기울기는 -2이고, y절편은 -3이 므로 a=-2, b=-3 y =abx+(a+b)=(-2)_(-3)x+(-2-3) =6x-5 70 정답과 해설 주어진 직선의 방정식은 점 (-2, 0)을 지나고 y축 에 평행하므로 x=-2이다. ax+by=1에서 ax=-by+1 점 (6, -7)을 지나므로 x=6, y=-7을 대입하면 ⑤ 4= _3+ (참) -7=- _6+b, -7=-2+b ∴ b=-5 그러므로 직선 위에 있는 점은 ⑤이다. ;3!; 따라서 구하는 일차함수의 식은 y=- x-5이다. ;3!; 두 점 (0, 5), (-3, 0)을 지나는 직선의 기울기는 ∴ x=- y+ ;aB; ;a!; 따라서 - =0, =-2이므로 ;aB; ;a!; a=- , b=0 ;2!; ∴ a+b=- ;2!; 두 점 (3, 0), (0, -1)을 지나므로 (기울기)= -1-0 0-3 = ;3!; y절편이 -1이므로 일차함수의 식은 y= x-1이 ;3!; 고 이 그래프가 점 (2k, k+1)을 지나므로 x=2k, y=k+1을 대입하면 k+1= _2k-1 ;3!; 3k+3=2k-3 ∴ k=-6 구하는 일차함수의 식을 y=ax+b라 하면 a= =- ∴ y=- x+b -4 12 ;3!; ;3!; 구하는 일차함수의 식을 y=ax+b라 하면 일차함수 y=-2x+5의 그래프와 평행하므로 기울기 a=-2 이다. ∴ y=-2x+b 점 (3, 1)을 지나므로 x=3, y=1을 대입하면 1=-2_3+b ∴ b=7 따라서 일차함수 y=-2x+7의 그래프의 y절편은 7이다. ;2!; ;2!; 를 지나므로 a= 4-0 2-6 = 4 -4 ∴ y=-x+b =-1 점 (6, 0)을 지나므로 x=6, y=0을 대입하면 0=-6+b ∴ b=6 ∴ ab=-1_6=-6 일차함수의 식을 y=ax+b라 하면 a= 4-2 3-(-1) = = ;4@; ;2!; ∴ y= x+b ;2!; y= x+b의 그래프가 점 (-1, 2)를 지나므로 ;2!; x=-1, y=2를 대입하면 2=- +b ∴ b= ;2!; ;2%; 따라서 구하는 일차함수의 식은 y= x+ 이다. ;2!; ;2%; 각각의 점의 좌표를 대입하면 ① 1+ _(-5)+ =0 (거짓) ;2!; ;2%; ② + ;2#; ;2!; _(-4)+ = (거짓) ;2%; ;2!; ③ + ;5@; ;2!; _0+ = ;2%; ;2%; (거짓) ④ 2+ _1+ =3 (거짓) ;2!; ;2!; ;2%; ;2%; 0-5 -3-0 = -5 -3 = ;3%; 따라서 두 점 (-3, 0), (a, 1)을 지나는 직선의 기 울기도 이다. ;3%; 1-0 a-(-3) = ;3%; 에서 1 a+3 = ;3%; a+3= ∴ a=- ;5#; :Á5ª: 두 점 (3, -2), (5, -4)를 지나는 직선의 기울기는 -4-(-2) 5-3 = -2 2 =-1 두 일차방정식의 그래프의 교점은 연립방정식의 해 이므로 교점의 좌표 (-1, 3), 즉 x=-1, y=3을 두 일차방정식에 각각 대입하면 Ⅳ 일차함수 71 y=- x+3의 그래프와 x축에서 만나면 x절편이 따라서 두 점 (5, -4), (a, b)를 지나는 직선의 기 같으므로 y=- x+3에 y=0을 대입하면 ;2!; 0=- x+3 ∴ x=6 따라서 y=ax+b의 그래프는 두 점 (6, 0), (2, 4) 울기도 -1이다. b-(-4) a-5 =-1에서 b+4 a-5 =-1 b+4=-a+5 ∴ a+b=1  두 그래프가 서로 만나지 않으려면 평행해야 하므로 0=-x+3 ∴ x=3 -3-3a=2, 3a=-5 ∴ a=- ;3%; -2b+3=-3, -2b=-6 ∴ b=3 ∴ ab=- _3=-5 ;3%; 두 직선의 기울기가 같아야 한다. 3-2 -5-2m =-1, 5+2m=1 2m=-4 `∴ m=-2 x+4y-4=0에서 4y=-x+4 ∴ y=- x+1 ;4!; y= x+3에 y=0을 대입하면 ;3!; ;3!; 0= x+3, x=-3 ∴ x=-9 ;3!; 즉, x절편은 -9이고, y절편은 3이다. y=-x+3에 y=0을 대입하면 즉, x절편은 3이고, y절편도 3이다. 따라서 오른쪽 그림과 같이 (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:12)(cid:20) (cid:90) 두 그래프와 x축으로 둘러 (cid:90)(cid:30)(cid:28)(cid:20)(cid:197)(cid:28)(cid:89)(cid:12)(cid:20) (cid:20) 싸인 도형의 넓이는 _(9+3)_3=18 ;2!; (cid:14)(cid:26) (cid:48) (cid:20) (cid:89) 1분마다 0.3`cm씩 짧아지므로 x분 후에는 0.3x`cm x분 후에 타고 남은 양초의 길이를 y`cm라 하면 해가 존재하지 않으려면 두 일차방정식의 그래프의 교점이 없어야 하므로 서로 평행해야 한다. 짧아진다. 따라서 y=- x+1의 그래프와 기울기는 같고, y ;4!; y=30-0.3x 절편은 달라야 하므로 ②이다. y=15일 때, 15=30-0.3x, 0.3x=15 ∴ x=50 x-y+1=0에 y=0을 대입하면 따라서 양초의 길이가 15`cm가 될 때까지 걸리는 시 x+1=0, 즉 x=-1이므로 x절편은 -1이다. 간은 50분이다. 2x-4=0, 즉 x=2이므로 x절편은 2이다. 물통에서 3분 동안 48`L의 물이 흘러 나오므로 1분 2x+y-4=0에 y=0을 대입하면 x-y+1=0 2x+y-4=0 을 풀면 연립방정식 [ x=1, y=2 직선의 교점의 좌표는 (1, 2) 이므로 구하는 도형의 넓이는 _(1+2)_2=3 ;2!; (cid:90) (cid:19) 동안 16`L의 물이 흘러 나온다. 즉, x분 동안 16x`L 의 물이 흘러 나오므로 y=240-16x 로 15분이 지나면 물통에 남은 물이 없게 된다. 그러므로 x의 값의 범위가 0ÉxÉ15이다. (cid:14)(cid:18) (cid:48) (cid:18) (cid:19) (cid:89) 따라서 x와 y 사이의 관계식은 (cid:19)(cid:190)(cid:89)(cid:12)(cid:90)(cid:14)(cid:21)(cid:30)(cid:17) y=240-16x(0ÉxÉ15) 따라서 오른쪽 그림과 같이 두 (cid:89)(cid:14)(cid:90)(cid:12)(cid:18)(cid:30)(cid:17) 또, y=0을 대입하면 0=240-16x에서 x=15이므 72 정답과 해설