학
수
개념탑
중학수학
2 1
Ⅰ . 유리수와 순환소수
1 유리수와 순환소수
Ⅱ. 식의 계산
1 단항식의 계산
2 다항식의 계산
002
006
011
Ⅲ. 부등식과 연립방정식
1 부등식
2 연립방정식
Ⅳ. 일차함수
1 일차함수와 그 그래프
2 일차함수와 일차방정식의 관계
016
021
033
043
Ⅰ 유리수와 순환소수
1 유리수와 순환소수
1
CHECK
유리수와 순환소수
본문 10쪽
1 ⑴ 0.5, 유한소수 ⑵ 0.666y, 무한소수
⑶ 0.25, 유한소수 ⑷ 1.1666y, 무한소수
2 ⑴ 1, 0.H1 ⑵ 36, 0.H3H6 ⑶ 25, 0.0H2H5
⑷ 740, 1.H74H0
;2!;
;4!;
1 ⑴
=0.5`(유한소수) ⑵
=0.666y`(무한소수)
⑶
=0.25`(유한소수) ⑷
=1.1666y`(무한소수)
2 ⑴ 순환마디：1, 0.H1
⑵ 순환마디：36, 0.H3H6
⑶ 순환마디：25, 0.0H2H5 ⑷ 순환마디：740, 1.H74H0
;3@;
;6&;
;2%;
;3!0&;
C
순환소수의 표현
본문 12쪽
2 ①
;3&;
=2.333y ⇨ 순환마디 3`
②
=0.8333y ⇨ 순환마디 3
;6%;
;1¦2;
;1¥5;
;3!3);
③
=0.58333y ⇨ 순환마디 3
④
=0.5333y ⇨ 순환마디 3
⑤
=0.303030y ⇨ 순환마디 30
③, ④
3 ②
① 0.H2H0 ② 1.H24H5 ⑤ 0.3H4
3
;4@5^;
=0.5777y=0.5H7
⑴ 571428 ⑵ 7
4 ②
;7$;
A
유리수와 소수
본문 11쪽
D
소수점 아래 n번째 자리의 숫자 구하기
본문 12쪽
②, ③
1 ④
1 ①
;5#;
;2!0!;
;5@0!;
③
2 ⑤
③ 순환마디는 75이다.
2 Ⅰ . 유리수와 순환소수
① -5=-
`(유리수) ④
=0.125`(유한소수) ⑤ 0=
;1%;
;8!;
;1);
⑴
=0.571428571428y이므로 순환마디는 571428이다.
=0.6`(유한소수)
②
=2.5`(유한소수)
③
=0.55`(유한소수) ④
=0.5666y`(무한소수)
⑤
=0.42`(유한소수)
⑵ 50=6_8+2이므로 소수점 아래 50번째 자리의 숫자
는 순환마디의 2번째 숫자인 7이다.
4 순환소수 0.5H34H2의 순환마디는 342이고 100-1=3_33
이므로 소수점 아래 100번째 자리의 숫자는 순환마디의 마
지막 숫자인 2이다.
B
순환마디 구하기
본문 11쪽
유한소수로 나타낼 수 있는 분수 본문 13쪽
1 ⑴ 2, 2, 14, 0.14 ⑵ 5Û`, 5Û`, 75, 0.075
2
CHECK
2 ③, ④
;2!;
2 ②
⑤
=
9
2_3Û`
3
2_3_5
=
1
2_5
④
6
2Û`_7
=
3
2_7
;8@4@;
=
;4!2!;
=
11
2_3_7
이므로
_a가 유한소수가 되려면
;8@4@;
A
분수를 유한소수로 나타내기
본문 14쪽
=
=
7
8
7
2Ü`
875
1000
따라서 a=5Ü`=125, b=1000, c=0.875이므로
7_5Ü`
2Ü`_5Ü`
=0.875
=
a+bc=125+1000_0.875=1000
1
9
2_5Ü`
=
9_2Û`
2_5Ü`_2Û`
=
9_2Û`
2Ü`_5Ü`
=
=
;10#0^0;
36
10Ü`
따라서 a의 최솟값은 36, n의 최솟값은 3이므로 a+n의
최솟값은 36+3=39
②, ④
4 ③
1000
1 39
ㄷ, ㅁ
2 ⑤
21
3 18
B
유한소수로 나타낼 수 있는 분수 찾기
본문 14쪽
ㄱ.
=
;3!0#;
13
2_3_5
ㄴ.
;1ª1¤7;
=
=
;9@;
2
3Û`
ㄷ.
=
;1ª5¦0;
;5»0;
=
ㄹ.
9
2_5Û`
1
2_5Û`
;7!;
=
4
2Û`_7
14
3_5Û`_7
ㅁ.
9
2_3Û`_5Û`
2
3_5Û`
따라서 유한소수로 나타낼 수 있는 것은 ㄷ, ㅁ이다.
ㅂ.
=
=
2 ①
;6(;
=
;2#;
②
=
;2¢5;
4
5Û`
③
12
2_3_5
=
;5@;
④
=
;9!6%;
;3°2;
=
5
2Þ`
⑤
60
2Û`_5_11
=
;1£1;
따라서 유한소수로 나타낼 수 없는 것은 ⑤이다.
C
유한소수가 되게 하는 수 구하기 ⑴`
본문 15쪽
a는 3_7=21의 배수이어야 한다.
따라서 a의 값 중 가장 작은 자연수는 21이다.
개
념
탑
3
=
;45N0;
n
2_3Û`_5Û`
3Û`=9의 배수이어야 한다.
이므로
;45N0;
이 유한소수가 되려면 n은
따라서 n의 값 중 가장 작은 두 자리의 자연수는 9_2=18
D
유한소수가 되게 하는 수 구하기 ⑵
본문 15쪽
이 유한소수가 되려면 x는 소인수가 2나 5뿐인 수 또
7
2Ü`_x
는 7의 약수 또는 이들의 곱으로 이루어진 수이어야 한다.
따라서 x의 값이 될 수 있는 것은 ②, ④이다.
4
이 유한소수가 되려면 x는 소인수가 2나 5뿐인
3
2Û`_5_x
수 또는 3의 약수 또는 이들의 곱으로 이루어진 수이어야
한다.
따라서 x의 값이 될 수 없는 것은 ③ 9이다.
3
CHECK
순환소수를 분수로 나타내기
본문 16쪽
1 ⑴ 100, 99, 65,
⑵ 1000, 100, 900, 312,
;9^9%;
;7@5^;
2 ⑴
⑵
;9$;
⑶
⑷
;9*9$0!;
⑸
;;£9»9¥;;
;4@5^;
;9!9#;
⑹
;1$8)0&;
2 ⑴ 0.H4=
;9$;
⑵ 0.H1H3=
;9!9#;
⑶ 0.5H7=
⑷ 0.8H4H9=
⑸ 4.H0H2=
=
;4@5^;
;9%0@;
=
57-5
90
849-8
990
402-4
99
=
;9*9$0!;
=
;;£9»9¥;;
⑹ 2.26H1=
2261-226
900
=
;;ª9¼0£0°;;=;1$8)0&;
정답과 풀이 3
B
순환소수를 분수로 나타내기
본문 17쪽
따라서 한 자리의 자연수 a는 1, 2, 3, y, 8의 8개이다.
A
순환소수를 분수로 나타내는 계산식 찾기
본문 17쪽
④
1 ②
1000x=1257.575757y, 10x=12.575757y이므로 가장
편리한 식은 ④ 1000x-10x이다.
1 ① 1000x-10x ② 100x-10x ③ 1000x-x
④ 1000x-100x ⑤ 100x-x
③
2 ④
3 :ª7¢:
4 ①
③ 2.H3H6=
④ 0.3H7=
⑤ 0.1H4H5=
236-2
99
37-3
90
145-1
990
=
=
234
99
=
26
11
34
90
=
17
45
=
144
990
=
8
55
38-3
90
=
=
;9#0%;
;1¦8;
2 0.3H8=
따라서 a=18, b=7이므로 a-b=18-7=11
3 0.H7=
;9&;
이므로 a=
, 0.4H6=
;7(;
46-4
90
=
;1¶
¦5;
이므로 b=
:Á7°:
∴ a+b=
+
;7(;
:Á7°:
=
:ª7¢:
4 0.Ha=
=
;3@;
;9A;
∴ a=6
0.0Hb=
=
;9õ0;
;3Á0;
∴ b=3
∴ a-b=6-3=3
C
순환소수를 포함한 식 계산하기
본문 18쪽
④
5 5
4 Ⅰ . 유리수와 순환소수
6 8
7 ④
;4!;
É0.Hx<
에서
;6%;
É
<
,
;6%;
;3»6;
;9{;
;4!;
É 4x
36
<
;3#6);
이므로
9É4x<30 ∴
Éx<
;4(;
;;Á2°;;
따라서 한 자리의 자연수 x는 3, 4, 5, 6, 7의 5개이다.
5
;5@;
<0.HxÉ0.H8에서
<
É
,
;9*;
;4!5*;
<
;9{;
;5@;
;4%5{;
É
;4$5);
이므로
18<5xÉ40 ∴
<xÉ0.8
:Á5¥:
따라서 한 자리의 자연수 x는 4, 5, 6, 7, 8의 5개이다.
6
;11;
<0.H8H0에서
<
;11;
;9*9);
이므로
<
;9(9A;
;9*9);
, 9a<80
∴ a<
:¥9¼:
7 0.0H1H3=
;9Á9£0;
=13_
이므로 a=
=0.0H0H1
;99!0;
;99!0;
D
유리수와 순환소수
본문 19쪽
③, ⑤
8 ㄴ, ㄷ
① 모든 유한소수는 유리수이다.
② 무한소수 중 순환소수는 유리수이고, 순환하지 않는 무
한소수는 유리수가 아니다.
④ 무한소수 중에는 순환하지 않는 무한소수도 있다.
8 ㄱ. 모든 순환소수는 유리수이다.
ㄹ. 정수가 아닌 유리수 중에서 유한소수로 나타낼 수 없는
수도 있다. 예를 들어
=0.333y이므로 유한소수로
;3!;
나타낼 수 없다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
기본 다지기 문제
본문 22쪽
01 ④
05 ④
02 ②, ③ 03 ③
07 ④
06 ④
04 ④
08 ①, ③
=0.216216y이므로 순환마디는 216이다. ∴ a=3
=0.7H85714H2는 소수점 아래 둘째 자리부터 순환마디가
01
;3¥7;
;1°1;
∴ a+b=3+2=5
=0.454545y이므로 순환마디는 45이다. ∴ b=2
02 ② 1.292292292y=1.H29H2 ③ 3.131313y=3.H1H3
=
03
19
2_5Û`
19_2
2_5Û`_2
∴ a=2, b=38, c=0.38
;5!0(;
=
=
;1£0¥0;
=0.38
04 ①
=
;1!6%;
15
2Ý`
②
=
;5@;
;3!5$;
③
④
6
2_3Û`_5
=
1
3_5
⑤
=
;2£5;
3
5Û`
=
;1Á5¥0;
33
2_3_11
=
1
2
따라서 유한소수로 나타낼 수 없는 것은 ④이다.
05
;1Á0¦2;
=
=
;6!;
1
2_3
,
=
;11#0;
3
2_5_11
이므로 두 분수에 각
각 자연수 n을 곱하여 모두 유한소수가 되려면 n은 3과 11
의 공배수, 즉 3_11=33의 배수이어야 한다.
따라서 33의 배수 중 가장 작은 자연수 n은 33이다.
06 1000x=114.141414y, 10x=1.141414y이고
1000x-10x=113이므로 계산 결과가 정수인 것은
④ 1000x-10x이다.
07 어떤 자연수를 x라 하면
x_0.1H8-x_0.18=2
x-
;9!0&;
;1Á0¥0;
x=2,
;90*0;
x=2 ∴ x=225
08 ② 무한소수 중 순환소수만 유리수이다.
④ 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아니다.
⑤ 분모의 소인수가 2나 5뿐인 기약분수만 유한소수로 나
타낼 수 있다.
2 ⑴ 9 ⑵ 1065
1 ④
4 x=51, y=10
7 ① 유한소수, 9 ② 7과 9, 63 ③ 63
5 ④
3 ③
6 0.1H5
8 ① 1.3H8=
;1@8%;
, 0.H5=
②
③ a=5, b=2
;9%;
;5@;
1
;1!4!;
2 ⑴
;5°4;
시작된다. 따라서 40-1=6_6+3이므로 소수점 아래 40
번째 자리의 숫자는 순환마디의 세 번째 숫자인 7이다.
개
념
탑
=0.0H92H5이고 199=3_66+1이므로 A(200)=9
⑵ A(1)+A(2)+A(3)+y+A(200)
=(9+2+5)_66+9=1065
3 구하는 분수를
;3÷5;
이라 할 때,
=
;3÷5;
n
5_7
이 유한소수로
나타내어지려면 n은 7의 배수이어야 한다.
이때
=
,
;3¦5;
;7^;
;5!;
=
;3#5);
이므로 구하는 분수는
,
,
;3!5$;
;3@5!;
;3@5*;
의 3개이다.
4
;17{0;
=
x
2_5_17
이므로 x는 17의 배수이어야 하고, 기약
분수로 나타내면
이므로 x는 3의 배수이어야 한다.
;]#;
즉, x는` 17_3=51의 배수이고 두 자리의 자연수이므로
x=51
따라서
=
=
이므로 y=10
;17{0;
;1°7Á0;
;1£0;
46-4
90
=
=
;9$0@;
;1¦5;
5 0.4H6=
따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 ④ 50이다.
이므로 a는 15의 배수이어야 한다.
6 1.5H7=
157-15
90
=
=
:Á9¢0ª:
;4&5!;
이고 정은이는 분모를 바르게
보았으므로 기약분수의 분모는 45이다.
또, 0.1H2H7=
127-1
990
=
=
;9!9@0^;
;5¦5;
이고 용환이는 분자를 바
르게 보았으므로 기약분수의 분자는 7이다.
따라서 처음 기약분수를 순환소수로 나타내면
;4¦5;
=0.1555y=0.1H5
7 ① 분수
x
2_3Û`_5
x는 9의 배수이어야 한다.
를 소수로 나타내면 유한소수가 되므로
어야 한다.
③ 조건을 모두 만족하는 두 자리의 자연수 x는 63이다.
8 ① 1.3H8=
138-13
90
=
=
:Á9ª0°:
;1@8%;
, 0.H5=
;9%;
②
_
=
;9%;
;aB;
;1@8%;
이므로
=
_
;9%;
;aB;
;2!5*;
=
;5@;
③ ∴ a=5, b=2
정답과 풀이 5
실력 올리기 문제
본문 23~24쪽
② (가), (나)에 의해 x는 7과 9의 공배수, 즉 63의 배수이
ⅠⅠ 식의 계산
1 단항식의 계산
1
CHECK
지수법칙 ⑴ - 지수의 합, 곱
본문 28쪽
1 ⑴ 3à` ⑵ aß` ⑶ 5ß` ⑷ xà` ⑸ aÞ`bÞ` ⑹ xà`yÝ`
2 ⑴ 215 ⑵ aß` ⑶ 320 ⑷ x¡` ⑸ a22bÝ` ⑹ x19y10
1 ⑴ 3Þ`±Û`=3à
⑵ a2±4=aß`
⑶ 5Û`±Ú`±Ü`=5ß`
⑷ xÝ`±Ú`±Û`=xà
⑸ aÛ`±Ü`_bÝ`±Ú`=aÞ`bÞ` ⑹ xÛ`±Þ`yÚ`±Ü`=xà`yÝ`
2 ⑴ 25_3=2Ú`Þ`
⑵ a2_3=aß`
⑶ 3Ú`Û`_3¡`=3Ú`Û`±¡`=3Û`â`
⑷ xß`_xÛ`=xß`±Û`=x¡`
⑸ aÚ`Û`_bÝ`_aÚ`â`=aÚ`Û`±Ú`â`_bÝ`=aÛ`Û`bÝ`
⑹ x_yÚ`â`_xÚ`¡`=xÚ`±Ú`¡`_yÚ`â`=xÚ`á`yÚ`â
A
지수법칙 - 지수의 합
본문 29쪽
⑤
1 12
16=2Ý`이므로 2Þ`_16=2Þ`_2Ý`=2Þ`±Ý`=2á ∴ x=9
1 xÛ`_x`_xÝ`=x2+a+4=xÚ`â`이므로 2+a+4=10
xÜ`_yÞ`_xÛ`_yº`=x3+2y5+b=x`y¡`이므로 3+2=c, 5+b=8
∴ a=4
∴ b=3, c=5
∴ a+b+c=4+3+5=12
②
2 ③
6 ⅠⅠ . 식의 계산
(xÛ`)`_(yº`)Þ`_xÜ`_yÝ` =xÛ``_yÞ`º`_xÜ`_yÝ`=xÛ``±Ü`yÞ`º`±Ý`
=xà`yÚ`á`
이므로 2a+3=7, 5b+4=19 `∴ a=2, b=3
∴ a+b=2+3=5
2 25Ü`=(5Û`)Ü`=5ß`이므로 x+2=6 ∴ x=4
C
거듭제곱의 합을 간단히 나타내기
본문 30쪽
2Þ`+2Þ`+2Þ`+2Þ`=4_2Þ`=2Û`_2Þ`=2à`
3 3Ü`+3Ü`+3Ü`=3_3Ü`=3Ý`이므로 a=4
4Ý`+4Ý`+4Ý`+4Ý`=4_4Ý`=4Þ`이므로 b=5
∴ a+b=4+5=9
D
거듭제곱을 문자를 사용하여 나타내기`⑴
본문 30쪽
32¡`=(2Þ`)¡`=2Ý`â`=(2Ý`)Ú`â`=AÚ`â`
4 8Ý`=(2Ü`)Ý`=2Ú`Û`, 27ß`=(3Ü`)ß`=3Ú`¡`이므로
(3Û`)á`
(2Û`)ß`
27ß`
8Ý`
Bá`
Aß`
3Ú`¡`
2Ú`Û`
=
=
=
②
3 ③
⑤
4 ③
③
5 ⑤
B
지수법칙 - 지수의 곱
본문 29쪽
E
거듭제곱을 문자를 사용하여 나타내기`⑵
본문 31쪽
9Å`=(3Û`)Å`=3Û`Å`=(3Å`)Û`=aÛ`
5 a=3Å`_3이므로 3Å`=
;3A;
∴ 81Å`=(3Ý`)Å`=3Ý`Å`=(3Å`)Ý`=
Ý`=
{;3A;}
_
_
;3A;
;3A;
;3A;
_
;3A;
=
aÝ`
81
F
aÇ`의 일의 자리의 숫자 구하기
본문 31쪽
⑤
6 ②
3Ú`=3, 3Û`=9, 3Ü`=27, 3Ý`=81, 3Þ`=243, 3ß`=729, y이므
로 3의 거듭제곱의 일의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1의 숫자
4개가 반복된다. 이때 30=4_7+2이므로 3Ü`â`의 일의 자
리의 숫자는 2번째로 반복되는 숫자인 9이다.
6 7Ú`=7, 7Û`=49, 7Ü`=343, 7Ý`=2401, 7Þ`=16807,
7ß`=117649, y이므로 7의 거듭제곱의 일의 자리의 숫자
는 7, 9, 3, 1의 숫자 4개가 반복된다. 이때 55=4_13+3
이므로 7Þ`Þ`의 일의 자리의 숫자는 3번째로 반복되는 숫자인
3이다.
A
지수법칙 - 지수의 차
본문 33쪽
개
념
탑
(x¡`)Ü`Öxß`Ö(xÛ`)=xÛ`Ý`Öxß`Öx2_=xÚ`¡`Öx2_=xÛ`
이므로 2_=16 ∴ =8
1 aà`ÖaÜ`ÖaÛ`=aÝ`ÖaÛ`=aÛ`
① (주어진 식)=aà`Öa=aß` ② (주어진 식)=aà`ÖaÞ`=aÛ`
③ (주어진 식)=aà`_a=a¡` ④ (주어진 식)=aÞ`Öaà`=
1
aÛ`
⑤ (주어진 식)=aÜ`_
=
1
aÞ`
1
aÛ`
B
지수의 차의 응용
본문 33쪽
④
1 ②
②
2 ①
8Å`Ö4Û`= (2Ü`)Å`Ö(2Û`)Û`=2Ü`Å`Ö2Ý`=2Ü`Å`ÑÝ`=2¡`이므로
3x-4=8 ∴ x=4
2 (3Û`)Ü`_9Þ`Ö3`=3ß`_(3Û`)Þ`Ö3`=3ß`_3Ú`â`Ö3`=3ß`±Ú`â`Ñ`=3Ú`ß`Ñ`
27Ý`=(3Ü`)Ý`=3Ú`Û`
즉, 3Ú`ß`Ñ`=3Ú`Û`이므로 16-a=12 ∴ a=4
지수법칙 ⑵ - 지수의 차
본문 32쪽
2
CHECK
1
xÜ`
1
aß`
2 ⑴ x ⑵ 1 ⑶
⑷ xÜ
3
CHECK
1 ⑴ 5Ý` ⑵ 1 ⑶
⑷ 3Û` ⑸ x ⑹ 1
지수법칙 ⑶ - 지수의 분배
본문 34쪽
1 ⑴ 5à`ÑÜ`=5Ý`
⑵ 1
⑶
=
⑷ 3Ü`Ö3=3Ü`ÑÚ`=3Û`
1
xß`ÑÜ`
1
xÜ`
⑸ xÝ`ÖxÜ`=xÝ`ÑÜ`=x ⑹ aÝ`ÖaÝ`=1
2 ⑴ xÝ`ÖxÜ`=xÝ`ÑÜ`=x
⑵ aá`Öaá`=1
⑶ aÚ`Û`ÖaÚ`¡`=
1
aÚ`¡`ÑÚ`Û`
⑷ xÛ`Ú`ÖxÚ`â`Öx¡`=xÚ`Ú`Öx¡`=xÚ`Ú`Ñ¡`=xÜ`
1
aß`
=
1 ⑴ 125xÜ` ⑵
⑶ aÞ`bÞ` ⑷
16
aÝ`
2 ⑴ aß`bÜ` ⑵ 4xÛ`yß` ⑶
⑷ -
y¡`
xÚ`Û`
xÝ`yÝ`
81
bá`
8aÜ`
1 ⑷
(-xy)Ý`
3Ý`
2 ⑴ (aÛ`)Ü`_bÜ`=aß`bÜ`
xÝ`yÝ`
81
=
⑵ (-2)Û`_xÛ`_(yÜ`)Û`=4xÛ`yß`
⑶
(yÛ`)Ý`
(xÜ`)Ý`
=
y¡`
xÚ`Û`
⑷
(bÜ`)Ü`
(-2)Ü`_aÜ`
=-
bá
8aÜ`
정답과 풀이 7
A
지수법칙 - 곱으로 나타낸 수의 거듭제곱
본문 35쪽
3 ①, ②, ③, ④ aß`
⑤ (aÛ`_aÜ`)Û`Öaß`=(aÞ`)Û`Öaß`=aÚ`â`Öaß`=aÝ`
④
1 ㄷ, ㄹ
(-2x`yÜ`)º``=(-2)º`x`º`yÜ`º`=16x¡`y`이므로
(-2)º`=16=(-2)Ý`, ab=8, 3b=c
∴ a=2, b=4, c=12
∴ a+b+c=2+4+12=18
1 ㄱ. (-2xÛ`)Û`=4xÝ`
ㅁ. (-aÝ`bÛ`)Ü`=-aÚ`Û`bß`
ㄴ. (xÛ`yÜ`)Û`=xÝ`yß`
ㅂ. (3xy)Ü`=27xÜ`yÜ`
따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다.
D
자릿수 구하기
본문 36쪽
①
4 ②
2ß`_5¡`=2ß`_5ß`±Û`=2ß`_5ß`_5Û`=5Û`_(2_5)ß`=25_10ß`
따라서 2ß`_5¡`은 8자리의 자연수이므로 n=8
4 2Ü`_4Û`_5Þ` =2Ü`_(2Û`)Û`_5Þ`=2à`_5Þ`=2Û`_2Þ`_5Þ`
=2Û`_(2_5)Þ`
=4_10Þ`
따라서 2Ü`_4Û`_5Þ`은 6자리의 자연수이므로 n=6
B
지수법칙 - 분수로 나타낸 수의 거듭제곱
본문 35쪽
③
2 ⑤
Û`
aÛ`
aÅ` }
Û`
b´`
bÜ` }
{
{
[다른 풀이]
aÝ`bÛ`´`
aÛ`Å`bß`
bß`
aÝ`
=
, 즉
=
에서 2x-4=4 ∴ x=4
1
aÝ`
aÝ`
aÛ`Å`
1
aÝ`
=bß`, 즉
=bß`에서 2y-6=6 ∴ y=6
bÛ`´`
bß`
∴ x-y=4-6=-2
4
CHECK
단항식의 곱셈과 나눗셈
본문 37쪽
1 ⑴ 20xÜ`yÛ` ⑵ 6aÛ`b ⑶ -12xÝ`yÜ` ⑷ aÞ`bÝ`
2 ⑴
⑵ 20x ⑶ -5yÛ` ⑷ -
3x
y
1
xÛ`y
=
에서 aÝ`bÛ`´`_aÝ`=aÛ`Å`bß`_bß`, a¡`bÛ`´`=aÛ`Å`bÚ`Û`
1 ⑴ (주어진 식)=5_4_xÛ`_x_yÛ`=20xÜ`yÛ`
⑵ (주어진 식)=(-3)_(-2)_aÛ`_b=6aÛ`b
따라서 8=2x, 2y=12이므로 x=4, y=6
⑶ (주어진 식)=4_(-3)_x_xÜ`_yÛ`_y=-12xÝ`yÜ`
∴ x-y=4-6=-2
Ý`
-
2
{
2x`
yº` }
cxÚ`Û`
y¡`
4a=12, 4b=8, 2Ý`=c ∴ a=3, b=2, c=16
2Ý`xÝ``
yÝ`º`
이므로
=
=
∴ a+b+c=3+2+16=21
C
지수법칙에 관한 종합 문제
본문 36쪽
④
3 ⑤
④ (-2xyÛ`)Ü`=(-2)Ü`xÜ`yÛ`_Ü`=-8xÜ`yß`
8 ⅠⅠ . 식의 계산
⑤
1 ⑤
⑷ (주어진 식)=
_(-2)Ü`_aÛ`_aÜ`_b_bÜ`=aÞ`bÝ`
-
{
;8!;}
2 ⑴ (주어진 식)=
18xÛ`y
6xyÛ`
=
3x
y
⑵ (주어진 식)=8xÜ`_
=20x
5
2xÛ`
1
3yÛ`
⑶ (주어진 식)=30yÞ`_
⑷ (주어진 식)=
-
xy
_
}
;2%;
{
_
-
{
1
2y }
=-5yÛ`
8
5xÜ`yÝ`
_
=-
yÛ`
4
1
xÛ`y
A
단항식의 곱셈과 나눗셈
본문 38쪽
② (-aÛ`b)Ü`_3ab=-aß`bÜ`_3ab=-3aà`bÝ`
⑵ =
① 24xÞ`yÛ`Ö4xÜ`=
=6xÛ`yÛ`
24xÞ`yÛ`
4xÜ`
③ (-2ab)Û`Öab=
=4ab
4aÛ`bÛ`
ab
⑤ 8xÛ`yÜ`Ö2xÖ(-y)Ý`=8xÛ`yÜ`_
1
4yÛ`
1
yÝ`
_
;2Á[;
=
4x
y
2 ⑴ =24x¡`y¡`_
=3xÞ`yÝ`
1
8xÜ`yÝ`
y
3xÜ`
=
4xÛ`yÝ`
12xÞ`yÜ`
1
y¡`
xß`
y
9bß`
4aÛ`
_
;9$;
⑶ =yÝ`_
_xß`yÜ`=
④ 10xÛ`yÛ`_
-
{
;2Á];}
Û`_4xyÜ`=10xÛ`yÛ`_
_4xyÜ`=10xÜ`yÜ`
⑷ =-aÚ`Þ`bß`_
=-aÚ`Ü`bÚ`Û`
개
념
탑
A
단항식의 곱셈과 나눗셈의 혼합 계산 ⑴
본문 40쪽
1 ① 4xÜ`_(-6xÛ`)=-24xÞ`
② (-2xÛ`y)Ü`_(3xy)Û`=-8xß`yÜ`_9xÛ`yÛ`=-72x¡`yÞ`
③ -(2xÛ`)Û`Ö2xÝ`=-4xÝ`_
=-2
1
2xÝ`
④ 16xÛ`yÖ4xyÖ2x=16xÛ`y_
1
4xy
_
1
2x
=2
⑤ (-xÛ`yÜ`)Û`Ö
xy
Û`=xÝ`yß`Ö
}
;9!;
{;3!;
xÛ`yÛ`=xÝ`yß`_
=9xÛ`yÝ`
9
xÛ`yÛ`
B
단항식의 곱셈과 나눗셈의 활용
본문 38쪽
30aÝ`bÞ`
2 ④
(삼각기둥의 부피)=
_4aÛ`_5bÛ`
_3aÛ`bÜ`=30aÝ`bÞ`
{;2!;
}
2 가로의 길이를 x`cm라 하면
x_6aÛ`b=24aÜ`bÛ` ∴ x=24aÜ`bÛ`Ö6aÛ`b=
24aÜ`bÛ`
6aÛ`b
=4ab
따라서 가로의 길이는 4ab`cm이다.
5
CHECK
단항식의 곱셈과 나눗셈의 혼합 계산 본문 39쪽
1 ⑴ a ⑵ -3 ⑶ 36aÛ`bÛ` ⑷ 8xyÞ`
2 ⑴ 3xÞ`yÝ` ⑵
⑶
⑷ -aÚ`Ü`bÚ`Û`
y
3xÜ`
xß`
y
1 ⑴ (주어진 식)=3aÛ`_2b_
=a
;6a!b;
⑵ (주어진 식)=(-5xÛ`)_9x_
=-3
1
15xÜ`
9
aÛ`bÛ`
1
xÝ`yß`
_
;2!;
⑷ (주어진 식)=16xÝ`y¡`_
xyÜ`=8xyÞ`
②
1 ①
5
2 ④
② (-3xÛ`y)Ü`_5xyÖ(-9y)=(-27xß`yÜ`)_5xy_
-
{
1
9y }
③ (-2x)Ý`_3xÛ`Ö6x=16xÝ`_3xÛ`_
=8xÞ`
④ (-aÛ`b)Ü`Ö
ab_7bÜ`=-aß`bÜ`_
_7bÜ`=-14aÞ`bÞ`
;2!;
⑤ (4xÛ`)Ü`Ö(-xÜ`)Ö(2x)Û`=64xß`_
-
1
xÜ` }
_
1
4xÛ`
{
=15xà`yÜ`
1
6x
2
ab
=-16x
=-8aÝ`bÜ`
1 (-2aÛ`b)Ü`_(2aÛ`b)Û`Ö4aß`bÛ` =(-8aß`bÜ`)_4aÝ`bÛ`_
1
4aß`bÛ`
B
단항식의 곱셈과 나눗셈의 혼합 계산 ⑵
본문 40쪽
(-2xy)Ö8xÜ`y_(2xÛ`yÛ`)Û` =(-2xy)_
_4xÝ`yÝ`
1
8xÜ`y
=-xÛ`yÝ`
따라서 A=-1, B=2, C=4이므로
A+B+C=-1+2+4=5
2 (xy``)Û`ÖxÛ`y_3xõ` yÝ` =xÛ`yÛ```_
_3xõ` yÝ`=3xõ` yÛ```±Ü`
1
xÛ`y
3=C, B=3, 2A+3=5 ∴ A=1, B=3, C=3
∴ A+B+C=1+3+3=7
정답과 풀이 9
⑶ (주어진 식)=aÜ`b_
_4abÜ`=36aÛ`bÛ`
=CxÜ`yÞ`이므로
C
안에 알맞은 식 구하기
본문 41쪽
02 25Å``ÑÚ`=(5Û`)Å``ÑÚ`=5Û`Å``ÑÛ`이므로
2x-2=x+2 ∴ x=4
⑤
3 21xÚ`â`y¡`
=(-3aÜ`b)_
_4aÛ`bÛ`=3aÛ`b
1
-4aÜ`bÛ` }
{
3 xß`yá`Ö_9xÛ`yÛ`=
3yÜ`
7xÛ`
, xß`yá`_
_9xÛ`yÛ`=
3yÜ`
7xÛ`
9x¡`yÚ`Ú`
=
3yÜ`
7xÛ`
∴ =
=21xÚ`â`y¡`
1
63xÚ`â`yÚ`Ú`
3yÜ`
D
단항식의 곱셈과 나눗셈의 혼합 계산의
활용
본문 41쪽
2ab
4 5aÜ`bÛ`
이므로
(직육면체의 부피)=(가로의 길이)_(세로의 길이)_(높이)
12aÜ`bÜ`=3abÛ`_2a_(높이), 12aÜ`bÜ`=6aÛ`bÛ`_(높이)
∴ (높이)=
=2ab
12aÜ`bÜ`
6aÛ`bÛ`
4 (삼각기둥의 부피)=(밑넓이)_(높이)이므로
_2aÛ`_7ab_(높이), 35aß`bÜ`=7aÜ`b_(높이)
35aß`bÜ`=
∴ (높이)=
=5aÜ`bÛ`
;2!;
35aß`bÜ`
7aÜ`b
03 3Þ`=
1
A
이므로 27Ú`Þ`=(3Ü`)Ú`Þ`=3Ý`Þ`=(3Þ`)á`=
1
A }
á`=
1
Aá`
{
04 aÚ`Û`ÖaÞ`Ö(-a)Ý`=aÚ`Û`ÖaÞ`ÖaÝ`=a12-5-4=aÜ`
① aÝ`_(aÚ`Û`ÖaÞ`)=aÝ`_aà`=aÚ`Ú` `
② aÚ`Û`Ö(aÝ`_aÞ`)=aÚ`Û`Öaá`=aÜ`
③ aÚ`Û`ÖaÝ`_aÞ`=a¡`_aÞ`=aÚ`Ü`
④ aÚ`Û`Ö(aÞ`ÖaÝ`)=aÚ`Û`Öa=aÚ`Ú`
⑤ aÚ`Û`_(aÝ`ÖaÞ`)=aÚ`Û`_
=aÚ`Ú`
;a!;
05 [{(-3xÛ`)Ü`}Ý`]Þ` ={(-3xÛ`)12}Þ`=(-3xÛ`)60
=(-1)60_360x120=360x120
따라서 a=60, b=120이므로 b-a=60
Þ`
06
{
xyº`
x`yÜ` }
yÞ`
xÚ`â`
5a-5=10, 5b-15=5 ∴ a=3, b=4
xÞ`yÞ`º`
xÞ``yÚ`Þ`
=
=
이므로 xÞ``ÑÞ`=xÚ`â, yÞ`º`ÑÚ`Þ`=yÞ`에서
∴ a+b=3+4=7
07 ㄴ. -4xyÜ`_(-2xÜ`yÛ`)Û`=-4xyÜ`_4xß`yÝ`=-16xà`yà`
3
4x
ㄷ. 16xÝ`Ö
x=16xÝ`_
=12xÜ`
;3$;
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.
08 A=12aÜ`bÛ`Ö(-4ab)=-3aÛ`b, B=3abÛ`Ö4aÜ`b=
이므로
3b
4aÛ`
AB=(-3aÛ`b)_
3b
4aÛ`
=-
bÛ`
;4(;
09 BÖC=
B
C
=
A
C
=(-3x)Ü`Ö(3x)Û`
=-27xÜ`_
=-3x
Ö A
B
1
9xÛ`
AÖB=(3x)Û`=9xÛ`에서 B=
A
9xÛ`
AÖC=(-3x)Ü`=-27xÜ`에서 C=
∴ BÖC=
A
9xÛ`
Ö A
-27xÜ`
=
A
9xÛ`
_
=-3x
A
-27xÜ`
-27xÜ`
A
10 (-3xÞ`yß`)Ö=
-3xÞ`yß`
=
()Û`
-9xyÜ`
이므로
기본 다지기 문제
본문 44~45쪽
[다른 풀이]
01 ④
05 60
09 ②
02 ③
06 ①
10 ②
03 ③
04 ②
07 ㄱ, ㄹ 08 ②
12 ③
11 ④
01 ①, ②, ③, ⑤ 2
④ 3
10 ⅠⅠ . 식의 계산
()Ü`=27xß`yá`=(3xÛ`yÜ`)Ü`
∴ =3xÛ`yÜ`
11 (주어진 식)=xÛ`yÝ`_
1
xÜ`y
_(-64xÜ`yÜ`)_
=-8xyÞ`
1
8xy
12 (p_aÛ`)_b=
;3!;
_(p_bÛ`)_(높이)이므로
paÛ`b=
pbÛ`_(높이)
;3!;
∴ (높이)=paÛ`bÖ
pbÛ`=paÛ`b_
;3!;
3
pbÛ`
=
3aÛ`
b
개
념
탑
Vª=
_p_
;3!;
a
}
{;3@;
Û`_2a=
paÜ`
;2¥7;
∴ VÁ：Vª=
paÜ``:`
;9*;
paÜ`=
：
;9*;
;2¥7;
;2¥7;
=3：1
6 1 nm=
{;1Á0;}
Ü` lm=
Ü`_
{;1Á0;}
Ü` mm
{;1Á0;}
Ü`_
{;1Á0;}
{;1Á0;}
;1Á0;
cm
=
=
{;1Á0;}
Ü`_
à` cm
∴ 700 nm=7_10Û`_
à` cm=7_
Þ` cm
{;1Á0;}
{;1Á0;}
7 ① 4Ü`+4Ü`+4Ü`+4Ü`=4_4Ü`=4Ý`=(2Û`)Ý`=2¡`이므로 a=8
② 120Ü`=(2Ü`_3_5)Ü`이므로 b=3
③ (2º`_3_5)Ü`=2á`_3Ü`_5Ü`이므로 c=9
실력 올리기 문제
본문 46~47쪽
④ a+b-c=8+3-9=2
1 ①
5 3`:`1
7 ① 2¡`, 8 ② (2Ü`_3_5)Ü`, 3 ③ 2á`_3Ü`_5Ü`, 9
2 ③
6 ③
3 ④
4 ②
④ 8+3-9, 2
8 ① A_
bÛ`
3aÛ`
=9ab ②
③
27aÜ`
b
81aÞ`
bÜ`
8 ① A_
bÛ`
3aÛ`
=9ab
② A=9abÖ bÛ`
3aÛ`
=9ab_
3aÛ`
bÛ`
=
27aÜ`
b
③ 따라서 바르게 계산하면
Ö bÛ`
3aÛ`
27aÜ`
b
27aÜ`
b
=
_
3aÛ`
bÛ`
=
81aÞ`
bÜ`
1 1_2_3_4_5_6_7_8_9_10
=1_2_3_2Û`_5_(2_3)_7_2Ü`_3Û`_(2_5)
=2¡`_3Ý`_5Û`_7
따라서 a=8, b=4, c=1이므로 a+b-c=8+4-1=11
2 2Å`+2Å``±Ú`=2Å`+2Å`_2=2Å`(1+2)=3_2Å`=24이므로
2Å`=8=2Ü` ∴ x=3
3 2Ú`Ú`_3_5Ú`Ü`=3_5Û`_(2_5)Ú`Ú`=75_10Ú`Ú`
따라서 2Ú`Ú`_3_5Ú`Ü`은 13자리의 자연수이므로 n=13
4 ㉠ =3aÛ`bÖ6aÛ`bÛ`_(-12ab)=3aÛ`b_
1
6aÛ`bÛ`
_(-12ab)
=-6a
㉡=(-2aÛ`b)Û`_
aÖ3aÝ`bÛ`=4aÝ`bÛ`_
a_
=2a
;2#;
;2#;
1
3aÝ`bÛ`
∴ ㉠Ö㉡=(-6a)Ö2a=-3
5 VÁ=
;3!;
_p_(2a)Û`_
a=
paÜ`
;3@;
;9*;
2 다항식의 계산
1
CHECK
다항식의 덧셈과 뺄셈
본문 50쪽
1 ⑴ -3x+6 ⑵ 3a+7 ⑶
x-
;6%;
y
;1Á2;
⑷
a-
;6!;
b
:Á6Á:
2 ㄴ, ㄹ, ㅂ
1 ⑴ (주어진 식)=-6x+3x-2+8=-3x+6
⑵ (주어진 식)=7a-4a+2+5=3a+7
⑶ (주어진 식)=
x+
x-
y+
y=
x-
y
;1Á2;
;6%;
;4!;
;3!;
;3!;
;2!;
⑷ (주어진 식)=
a-
a-
b-
b=
a-
;3@;
;2!;
;3!;
;2#;
;6!;
b
:Á6Á:
정답과 풀이 11
2 다항식의 차수 중에서 가장 큰 항의 차수가 2인 다항식을 찾
(주어진 식) =5a-{3b-(a-4a-4b+1)}
ㄷ. 차수가 2인 항이 분모에 있으므로 이차식이 아니다.
ㅁ. 차수가 가장 큰 항의 차수가 3이므로 이차식이 아니다.
=5a-3a-7b+1=2a-7b+1
따라서 이차식인 것은 ㄴ, ㄹ, ㅂ이다.
A
다항식의 덧셈과 뺄셈
본문 51쪽
(주어진 식) =8a-2b+3-10a+5b-15
=-2a+3b-12
1 (주어진 식)=
3(x-2y)
6
-
2(2x-4y)
6
=
3x-6y-4x+8y
6
=
-x+2y
6
=-
x+
y
;3!;
;6!;
따라서 a=-
, b=
이므로 a+b=-
;6!;
;3!;
+
=
;3!;
;6!;
;6!;
B
이차식의 덧셈과 뺄셈
본문 51쪽
(주어진 식)=2xÛ`+6x-1+9xÛ`+x-5=11xÛ`+7x-6
따라서 xÛ`의 계수는 11, 상수항은 -6이므로 그 합은
11+(-6)=5
2 =(3xÛ`+2x-3)-(-2xÛ`+5x-4)
=3xÛ`+2x-3+2xÛ`-5x+4
=5xÛ`-3x+1
는다.
ㄱ. 일차식
②
1 ③
5
2 ④
①
3 ④
12 ⅠⅠ . 식의 계산
=5a-{3b-(-3a-4b+1)}
=5a-(3b+3a+4b-1)
=5a-(3a+7b-1)
따라서 A=2, B=-7, C=1이므로
A+B+C=2+(-7)+1=-4
3 (주어진 식) =x-{xÛ`-2x-(x-xÛ`+x-1)}
=x-{xÛ`-2x-(-xÛ`+2x-1)}
=x-(xÛ`-2x+xÛ`-2x+1)
=x-(2xÛ`-4x+1)
=x-2xÛ`+4x-1
=-2xÛ`+5x-1
따라서 일차항의 계수는 5이다.
D
잘못 계산한 식에서 바른 답 구하기
본문 52쪽
②
4 -4xÛ`+9x-7
어떤 식을 A라 하면 x-3y+5+A=5x-4y+7
∴ A =5x-4y+7-(x-3y+5)
=5x-4y+7-x+3y-5
=4x-y+2
따라서 바르게 계산한 답은
x-3y+5-(4x-y+2) =x-3y+5-4x+y-2
=-3x-2y+3
4 어떤 식을 A라 하면 A-(-3xÛ`+2x-4)=2xÛ`+5x+1
∴ A=2xÛ`+5x+1+(-3xÛ`+2x-4)=-xÛ`+7x-3
따라서 바르게 계산한 답은
-xÛ`+7x-3+(-3xÛ`+2x-4)=-4xÛ`+9x-7
다항식의 곱셈과 나눗셈
본문 53쪽
2
CHECK
⑷ -30a-10b+15
2 ⑴ 2xÛ`-5xy+4x-2yÛ` ⑵
x-
y
;2#;
:Á4£:
C
여러 가지 괄호가 있는 식 계산하기
본문 52쪽
1 ⑴ 10aÛ`+15ab ⑵ -8xÛ`+2x ⑶ 5x-3
1 ⑴ (주어진 식)=5a_2a+5a_3b=10aÛ`+15ab
⑵ (주어진 식) =4x_(-2x)-1_(-2x)
=-8xÛ`+2x
⑶ (주어진 식)=
10xÛ`-6x
2x
=5x-3
⑷ (주어진 식)=(12ab+4bÛ`-6b)_
-
5
2b }
{
2 ⑴ (주어진 식) =2xÛ`-2xy+4x-3xy-2yÛ`
=-30a-10b+15
=2xÛ`-5xy+4x-2yÛ`
⑵ (주어진 식)=
3xy
y
-
yÛ`
y
-
yÛ`-
xy
_
}
;4!;
;]!;
{;2!;
=3x-y-
y+
x=
x-
y
;2#;
:Á4£:
;4!;
;2!;
(주어진 식) =
8xÜ`+4xÛ`y
4xÛ`
-
12yÛ`-21xy
3y
=2x+y-4y+7x
=9x-3y
개
념
탑
3 (주어진 식)
=-10aÛ`-15ab-(18aÝ`bÛ`-9aÜ`bÜ`)_
4
9aÛ`bÛ`
=-10aÛ`-15ab-
18aÝ`bÛ`_
-9aÜ`bÜ`_
{
4
9aÛ`bÛ`
`4
9aÛ`bÛ` }
=-10aÛ`-15ab-8aÛ`+4ab
=-18aÛ`-11ab
A
단항식과 다항식의 곱셈
본문 54쪽
D
사칙연산이 혼합된 식 계산하기 ⑵
본문 55쪽
B
다항식과 단항식의 나눗셈
본문 54쪽
E
단항식과 다항식의 곱셈, 나눗셈의
활용 ⑴
본문 56쪽
①
1 11
②
2 ①
(주어진 식)=10xÛ`-20x-3xÛ`+6x=7xÛ`-14x
따라서 xÛ`의 계수는 7, x의 계수는 -14이므로
a=7, b=-14
∴ a+b=7+(-14)=-7
1 (주어진 식)=-2xÛ`+10x+4xÛ`-x=2xÛ`+9x
따라서 A=2, B=9이므로 A+B=2+9=11
② (-15aÛ`b+10abÛ`)Ö5a =
-15aÛ`b+10abÛ`
5a
=-3ab+2bÛ`
2 =(-6xÛ`yÛ`+3xy)_
=-4xyÛ`+2y
2
3x
④
3 -18aÛ`-11ab
①
4 ②
(주어진 식) =-20xy+40xÛ`-(-6xÛ`yÛ`+14xyÜ`)Öxy
=-20xy+40xÛ`+6xy-14yÛ`
=40xÛ`-14xy-14yÛ`
따라서 xy의 계수는 -14이다.
4 (주어진 식)=-x-6y+4x+12y=3x+6y
따라서 A=3, B=6이므로 A+B=3+6=9
⑴ -4x+2 ⑵ aÛ`
5 ⑴ 2a+5b ⑵ 10xÜ`yÛ`-30xÛ`yÜ`
⑴ 4x(+x) =-18xÛ`+5x+3x(2x+1)
=-18xÛ`+5x+6xÛ`+3x=-12xÛ`+8x
+x=
=-3x+2
-12xÛ`+8x
4x
∴ =-3x+2-x=-4x+2
⑵ -2ab+4a=(2a-4b+8)_
a=aÛ`-2ab+4a
;2!;
5 ⑴ -2a(7a-) =-5ab-5a(2a-3b)
=-5ab-10aÛ`+15ab=10ab-10aÛ`
정답과 풀이 13
C
사칙연산이 혼합된 식 계산하기 ⑴`
본문 55쪽
∴ =aÛ`-2ab+4a-(-2ab+4a)=aÛ`
7a-=
10ab-10aÛ`
-2a
=-5b+5a
∴ =7a-(-5b+5a)=2a+5b
⑵ +10xÛ`yÜ` =(-2xÛ`y+4xyÛ`)_(-5xy)
=10xÜ`yÛ`-20xÛ`yÜ`
∴ =10xÜ`yÛ`-20xÛ`yÜ`-10xÛ`yÜ`=10xÜ`yÛ`-30xÛ`yÜ`
F
단항식과 다항식의 곱셈, 나눗셈의
활용 ⑵
본문 56쪽
3a-4bÛ`
6 6x
(원기둥의 부피)=(밑넓이)_(높이)이므로
12paÜ`-16paÛ`bÛ`=p_(2a)Û`_(높이)
12paÜ`-16paÛ`bÛ`=4paÛ`_(높이)
∴ (높이)=
12paÜ`-16paÛ`bÛ`
4paÛ`
=3a-4bÛ`
6 윗변의 길이를 라 하면
_(+2xÛ`)_3yÛ`=9xyÛ`+3xÛ`yÛ`
;2!;
(+2xÛ`)_
yÛ`=9xyÛ`+3xÛ`yÛ`
;2#;
+2xÛ`=(9xyÛ`+3xÛ`yÛ`)_
=6x+2xÛ`
2
3yÛ`
∴ =6x+2xÛ`-2xÛ`=6x
01 ⑤
05 ①
09 ⑤
12 6xÛ`y-4xyÛ
02 ①
06 ③
10 ④
03 ①
07 8
11 ③
04 ②
08 1
01 (주어진 식) =8x+{3y-5x+(2y+4x-y)}
=8x+{3y-5x+(4x+y)}
=8x+(3y-5x+4x+y)
=8x+(-x+4y)=7x+4y
14 ⅠⅠ . 식의 계산
02 6a-[2b+a-{-a-(+b)}]
=6a-{2b+a-(-a--b)}
=6a-(2b+a+a++b)
=6a-(2a+3b+)=4a-3b-
4a-3b-=9a-3b이므로
=4a-3b-(9a-3b)=-5a
03 A+(4xÛ`-5x+2)=-2xÛ`+3x+1
A =-2xÛ`+3x+1-(4xÛ`-5x+2)
=-2xÛ`+3x+1-4xÛ`+5x-2
=-6xÛ`+8x-1
04 A=(-3x+1)+(xÛ`+3x-1)=xÛ`
B =2xÛ`-2x+1+A
=2xÛ`-2x+1+xÛ`
=3xÛ`-2x+1
05 6A-4B=6_
x-y
3
-4_
3x-2y
2
=2(x-y)-2(3x-2y)
=2x-2y-6x+4y=-4x+2y
06 2(A-B)+3(A+B) =5A+B
=5(2x-3y)+(x+4y)
=10x-15y+x+4y=11x-11y
따라서 x의 계수는 11, y의 계수는 -11이므로 그 합은
11+(-11)=0
07 -2x(x+2y-5)=-2xÛ`-4xy+10x
따라서 xÛ`의 계수는 -2, x의 계수는 10이므로 그 합은
08 ax(2x+4y)-3y(2x+4y) =2axÛ`+4axy-6xy-12yÛ`
=2axÛ`+(4a-6)xy-12yÛ`
xy의 계수가 -2이므로 4a-6=-2 ∴ a=1
09 ① 2x(x-3)=2xÛ`-6x
② xy(x-5y)=xÛ`y-5xyÛ`
③ xÛ`(xÜ`+4)=xÞ`+4xÛ`
④ -5(4x+y-1)=-20x-5y+5
10 (주어진 식) =10aÛ`b+15abÛ`+(8b-20aÛ`)_
;2B;
기본 다지기 문제
본문 57~58쪽
-2+10=8
따라서 a=7, b=4이므로 a+b=7+4=11
=10aÛ`b+15abÛ`+4bÛ`-10aÛ`b=15abÛ`+4bÛ`
11 (주어진 식)=
4xÛ`yÛ`+5xyÜ`
xyÛ`
=4x+5y-6x+2y
-2(3x-y)
=-2x+7y
따라서 a=-2, b=7이므로 a+b=-2+7=5
∴ A=
6aÜ`bÛ`+
aÛ`bÛ`-4abÜ`
Ö
-
abÛ`
=
6aÜ`bÛ`+
aÛ`bÛ`-4abÜ`
_
-
{
{
;6!;
;6!;
;4!;
=-9aÛ`-
a+6b
}
}
{
{
;3@;
}
3
2abÛ` }
개
념
탑
12 (부피)=5x_4y_
{;1£0;
x-
y
}
;5!;
=20xy_
{;1£0;
x-
y
}
;5!;
=6xÛ`y-4xyÛ
4 어떤 다항식을 라 하면
=-3a(4a-b+2)+5b
=-12aÛ`+3ab-6a+5b
5 (겉넓이) =2{(2x_3y)+2x(x+2y)+3y(x+2y)}
=2(6xy+2xÛ`+4xy+3xy+6yÛ`)
=2(2xÛ`+13xy+6yÛ`)
=4xÛ`+26xy+12yÛ`
6 △AEF=ABCD-△ABE-△AFD-△ECF
=4a_5b-
_4a_2b-
_5b_(4a-b)
;2!;
;2!;
=20ab-4ab-10ab+
bÛ`-
bÛ`
;2#;
;2%;
=6ab+bÛ`
-
_(5b-2b)_b
;2!;
7 ① 두 번째 줄의 가운데 식을 A라 하면
aÛ`-a+5+A+7aÛ`+5a+3=12aÛ`+6a+12이므로
∴ A=4aÛ`+2a+4
② 세 번째 줄의 가운데 식을 B라 하면
3aÛ`+a+1+B+7aÛ`+5a+3=12aÛ`+6a+12이므로
10aÛ`+6a+4+B=12aÛ`+6a+12
∴ B=2aÛ`+8
③ ㉠+4aÛ`+2a+4+2aÛ`+8=12aÛ`+6a+12이므로
㉠+6aÛ`+2a+12=12aÛ`+6a+12
∴ ㉠=6aÛ`+4a
8 ① ax(3x+1)-4(3x+1)=3axÛ`+(a-12)x-4에서
x의 계수가 -5이므로 a-12=-5
② x(5x+b)-4(5x+b)=5xÛ`+(b-20)x-4b에서
x의 계수가 -13이므로 b-20=-13
∴ a=7
∴ b=7
③ ∴ a+b=7+7=14
정답과 풀이 15
실력 올리기 문제
본문 59~60쪽
1 ④
2 -2
3 -9aÛ`-
a+6b
;4!;
4 -12aÛ`+3ab-6a+5b 5 4xÛ`+26xy+12yÛ`
6 6ab+bÛ`
7 ① 7aÛ`+5a+3, 8aÛ`+4a+8, 4aÛ`+2a+4
② 3aÛ`+a+1, 10aÛ`+6a+4, 2aÛ`+8
8 ① 7 ② 7 ③ 14
1 어떤 식을 A라 하면
A-(4xÛ`-x+3)+(x+2)=-2xÛ`-2x+3
∴ A=-2xÛ`-2x+3+(4xÛ`-x+3)-(x+2) `
=-2xÛ`-2x+3+4xÛ`-x+3-x-2
=2xÛ`-4x+4
2 (주어진 식)=
4
x
{
-
3
2y }
_(-4xy)-8_
2xÛ`y-xyÛ`
xy
=-16y+6x-8(2x-y)
=-16y+6x-16x+8y=-10x-8y
따라서 a=-10, b=-8이므로
a-b=-10-(-8)=-2
3 A_
-
{
;3@;
}
abÛ`
=6aÜ`bÛ`+
aÛ`bÛ`-4abÜ`
;6!;
③ 4aÛ`+2a+4, 2aÛ`+8, 6aÛ`+2a+12, 6aÛ`+4a
8aÛ`+4a+8+A=12aÛ`+6a+12
ⅠⅠⅠ 부등식과 연립방정식
1 부등식
부등식의 뜻
1
CHECK
1 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ ×
2 ㄴ, ㄷ, ㄹ
본문 64쪽
2 x=1을 각 부등식에 대입하면
ㄱ. 2_1+1<3 (거짓)
ㄴ. 1-1¾0 (참)
ㄷ. 3_1+4>7-1 (참)
ㄹ. 1+1É5 (참)
따라서 x=1이 해가 되는 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.
A
부등식으로 나타내기
본문 65쪽
⑤
1 ②
⑤ 4x+5¾36
1 매분 1`L씩 물을 넣으므로 x분 동안 x`L만큼 물이 늘어난다.
따라서 3`L의 물이 들어 있는 물통에 물을 넣으면 25`L가
넘지 않으므로 3+xÉ25
⑤
1 ③
②
2 ①, ②
⑤ 1-0<2 (참)
이다.
16 ⅠⅠⅠ . 부등식과 연립방정식
각각의 부등식에 주어진 수를 대입하면
① 3_3-5<7 (참)
② 2-3_(-1)>6 (거짓)
③ 2-1¾1 (참)
④ 1¾-2_1 (참)
따라서 [ ] 안의 수가 주어진 부등식의 해가 아닌 것은 ②
2 x의 값을 주어진 부등식에 차례로 대입하면
2_(-2)+3É1`(참), 2_(-1)+3É1`(참),
2_0+3É1`(거짓), 2_1+3É1`(거짓), 2_2+3É1`(거짓)
따라서 부등식의 해는 -2, -1이다.
2
CHECK
부등식의 성질
본문 66쪽
1 ⑴ < ⑵ > ⑶ > ⑷ <
2 ⑴ 2Éx+3<5 ⑵ -3É3x<6 ``
⑶ -3É2x-1<3 ⑷ -5<-3x+1É4
1 ⑷ 2a<2b이므로 2a-5<2b-5
2 ⑴ -1Éx<2의 각 변에 3을 더하면 2Éx+3<5
⑵ -1Éx<2의 각 변에 3을 곱하면 -3É3x<6
⑶ -1Éx<2의 각 변에 2를 곱하면 -2É2x<4
각 변에서 1을 빼면 -3É2x-1<3
⑷ -1Éx<2의 각 변에 -3을 곱하면 -6<-3xÉ3
각 변에 1을 더하면 -5<-3x+1É4
A
부등식의 성질
본문 67쪽
① a>b에서 -5a<-5b이므로 4-5a<4-5b
② a>b에서 2a>2b이므로 -7+2a>-7+2b
④ a>b에서 -
<-
이므로 -
-8<
;3A;
;3B;
;3A;
-8
-;3B;
⑤ a>b에서 3a>3b이므로 3a-2>3b-2
1 ① a>b에서 a+4>b+4
② a>b에서
>
이므로
;4A;
;4B;
+2>
+2
;4B;
;4A;
③ a<b에서 2a<2b이므로 2a-1<2b-1
④ a<b에서 -2a>-2b이므로 3-2a>3-2b
⑤ a<b에서 -a>-b이므로 -a+
>-b+
;2!;
;2!;
B
부등식의 해 찾기
본문 65쪽
③ a>b에서
;4A;>;4B;
이므로
;4A;+1>;4B;+1
B
부등식의 성질을 이용하여 식의 값의
범위 구하기
본문 67쪽
A
일차부등식
본문 69쪽
②, ③
1 ⑤
개
념
탑
-4<xÉ2의 각 변에 -1을 곱하면 -2É-x<4
② 3-xÉ2x+1에서 -3x+2É0이므로 일차부등식이다.
1ÉA<7
2 ①
각 변에 3을 더하면 1É3-x<7
∴ 1ÉA<7
2 3<5-2x<11의 각 변에서 5를 빼면 -2<-2x<6
각 변을 -2로 나누면 -3<x<1
따라서 a=-3, b=1이므로 a+b=-3+1=-2
따라서 일차부등식은 ②, ③이다.
① x+3<5+x에서 -2<0이므로 일차부등식이 아니다.
③ xÛ`+1¾2-x+xÛ`에서 x-1¾0이므로 일차부등식이다.
④ 2(1-x)¾3-2x에서 2-2x¾3-2x, -1¾0이므로
⑤ 4-xÛ`<3+2x에서 -xÛ`-2x+1<0이므로 일차부등
일차부등식이 아니다.
식이 아니다.
1 2x-5¾ax에서 (2-a)x-5¾0이 x에 대한 일차부등식
이므로
2-a+0 ∴ a+2
B
부등식의 해를 수직선 위에 나타내기
본문 69쪽
③
2 ②, ⑤
이다.
1-2x¾5의 양변에서 1을 빼면 -2x¾4
양변을 -2로 나누면 xÉ-2
따라서 부등식의 해를 수직선 위에 바르게 나타낸 것은 ③
2 수직선이 나타내는 해는 x¾2이다.
① x-1¾-3의 양변에 1을 더하면 x¾-2
② 2x¾4의 양변을 2로 나누면 x¾2
③ 3x>6의 양변을 3으로 나누면 x>2
④ -3x¾6의 양변을 -3으로 나누면 xÉ-2
⑤ -xÉ-2의 양변에 -1을 곱하면 x¾2
따라서 x¾2인 해는 ②, ⑤이다.
3
CHECK
일차부등식과 그 해
본문 68쪽
1 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ ×
2 ⑴ x>3 ⑵ x¾4 ⑶ xÉ7 ⑷ x>-3
3 풀이 참조
1 ⑴ x-3Éx+1에서 -4É0이므로 일차부등식이 아니다.
⑵ 5x>2에서 5x-2>0이므로 일차부등식이다.
⑶ x(x+1)<xÛ`+3에서 x-3<0이므로 일차부등식이다.
⑷
É-1에서
+1É0이므로 일차부등식이 아니다.
;[!;
;[!;
2 ⑴ x-2>1의 양변에 2를 더하면 x>3
⑵ x+1¾5의 양변에서 1을 빼면 x¾4
⑶ 2xÉ14의 양변을 2로 나누면 xÉ7
⑷ -
<1의 양변에 -3을 곱하면 x>-3
;3{;
3 ⑴ x+3>2의 양변에서 3을 빼면 x>-1
따라서 해를 수직선 위에 나타내면 다음과 같다.
(cid:14)(cid:18)
(cid:14)(cid:19)
⑵ 3xÉ-6의 양변을 3으로 나누면 xÉ-2
일차부등식의 풀이
본문 70쪽
따라서 해를 수직선 위에 나타내면 다음과 같다.
1 ⑴ xÉ1 ⑵ x>8 ⑶ x>4 ⑷ x¾2
4
CHECK
2 ⑴ x>6 ⑵ x¾5
정답과 풀이 17
1 ⑴ x+6É7에서 xÉ1
⑵ 3x-1>2x+7에서 x>8
주어진 부등식의 양변에 분모의 최소공배수인 6을 곱하면
2x-6¾3(x-4), 2x-6¾3x-12, -x¾-6
⑶ 2(x-6)>-x에서 2x-12>-x, 3x>12
∴ xÉ6
따라서 xÉ6을 만족하는 자연수 x는 1, 2, 3, 4, 5, 6의
⑷ 2x-(x-3)¾5에서 2x-x+3¾5
6개이다.
∴ x>4
∴ x¾2
2 ⑴ 양변에 분모의 최소공배수인 4를 곱하면 `
2(x-1)>x+4, 2x-2>x+4 ∴ x>6
2 주어진 부등식의 양변에 10을 곱하면 3(x-2)>4x-20
3x-6>4x-20, -x>-14 ∴ x<14
⑵ 양변에 10을 곱하면`
따라서 부등식을 만족하는 가장 큰 자연수 x의 값은 13이다.
2x+1¾x+6 ∴ x¾5
A
일차부등식의 해
본문 71쪽
C
계수가 미지수인 일차부등식
본문 72쪽
④
1 ④
① 3x<9에서 x<3
② 2x+3>3x에서 -x>-3 ∴ x<3
③ -4x>2x-18에서 -6x>-18 ∴ x<3
④ -2x+2>8-4x에서 2x>6 ∴ x>3
⑤ 4x-3<3x에서 x<3
따라서 해가 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다.
1 수직선이 나타내는 해는 x¾1이다.
① 2x-3<-1에서 2x<2 ∴ x<1
② 4x>2(x+1)에서 4x>2x+2, 2x>2 ∴ x>1
③ x+1É2(x-1)에서 x+1É2x-2,
-xÉ-3 ∴ x¾3
④ -x+2É4x-3에서 -5xÉ-5 ∴ x¾1
⑤ 6x-(4x+1)É1에서
6x-4x-1É1, 2xÉ2 ∴ xÉ1
따라서 x¾1인 해는 ④이다.
B
계수가 분수 또는 소수인 일차부등식
본문 71쪽
6개
2 ④
18 ⅠⅠⅠ . 부등식과 연립방정식
3-ax<4에서 -ax<1
-a>0이므로 x<-
;a!;
3 ax-a>x-1에서 (a-1)x>a-1
a-1>0이므로 x>1
D
해 또는 해의 조건이 주어진 경우
미지수 구하기
본문 72쪽
3(x-1)-2xÉk에서
3x-3-2xÉk ∴ xÉk+3
수직선이 나타내는 해는 xÉ5이므로 k+3=5
∴ k=2
4 2(3-x)¾a-1에서
6-2x¾a-1, -2x¾a-7 ∴ xÉ 7-a
2
이때 해 중 가장 큰 수가 5이므로
7-a
2
=5, 7-a=10 ∴ a=-3
③
3 ③
④
4 ②
일차부등식의 활용
본문 73쪽
20명 미만의 단체 x명이 입장한다고 하면
5
CHECK
1 8-x, É, 8-x, É, 4, 4, 4, 4, 4, 4
2 86+89+x, ¾, 3, ¾, 95, 95, 95, 95
5000x>5000_20_0.8, 5000x>80000 ∴ x>16
따라서 최소 17명 이상일 때, 20명의 단체 입장료를 사는
것이 유리하다.
개
념
탑
A
수에 관한 문제
7, 8, 9
1 4
3 물건을 x개 산다고 하면 1200x>1000x+2500
본문 74쪽
200x>2500 ∴ x>12.5
따라서 최소 13개 이상 살 경우 인터넷 쇼핑몰에서 사는 것
이 유리하다.
연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면
(x-1)+x+(x+1)<27, 3x<27 ∴ x<9
따라서 x의 값 중 가장 큰 자연수는 8이므로 구하는 세 자
연수는 7, 8, 9이다.
1 어떤 정수를 x라 하면 x+5>2x, -x>-5 ∴ x<5
따라서 구하는 가장 큰 정수는 4이다.
3`km
4 6`km
B
최대 개수에 관한 문제
본문 74쪽
사과를 x개 산다고 하면 귤은 (10-x)개 사므로
500(10-x)+800xÉ7400, 5000-500x+800xÉ7400
수 있다.
300xÉ2400 ∴ xÉ8
따라서 사과는 최대 8개까지 살 수 있다.
2 어른이 x명 입장한다고 하면 청소년은 (20-x)명 입장할
수 있으므로
3000x+1800(20-x)É50000, 1200xÉ14000
어야 한다.
∴ xÉ
(=11.6y)
:£3°:
따라서 어른은 최대 11명까지 입장할 수 있다.
D
거리, 속력, 시간에 관한 문제
본문 75쪽
서울역에서 x`km 이내에 있는 상점을 이용한다고 하면
시속 4`km로
상점까지 가는 시간}
{
+
{
물건을
사는 시간}
+
{
시속 4`km로
되돌아오는 시간}
É(2시간)
이므로
+
;4{;
;6#0);
+
;4{;
É2,
É
∴ xÉ3
;2{;
;2#;
따라서 서울역에서 최대 3`km 이내에 있는 상점을 이용할
4 시속 6`km로 달리는 거리를 x`km라 하면 시속 4`km로
걷는 거리는 (10-x)`km이다.
+
;6{;
10-x
4
-xÉ-6 ∴ x¾6
É2, 2x+3(10-x)É24, 2x+30-3xÉ24
따라서 시속 6`km로 달리는 거리는 적어도 6`km 이상이
C
유리한 방법을 선택하는 문제
본문 74쪽
E
농도에 관한 문제
본문 75쪽
100`g
5 50`g
정답과 풀이 19
8개
2 11명
17명
3 13개
농도가 5`%인 소금물의 양을 x`g이라 하면
;10*0;
_200+
;10%0;
_xÉ
;10&0;
_(200+x)
06 a(x-1)>2(x-1)에서
ax-a>2x-2, (a-2)x>a-2
1600+5xÉ1400+7x, -2xÉ-200 ∴ x¾100
이때 a<2에서 a-2<0이므로 x<
a-2
a-2
따라서 농도가 5`%인 소금물을 적어도 100`g 이상 섞어야
한다.
∴ x<1
이다.
따라서 주어진 부등식을 만족하는 가장 큰 정수 x의 값은 0
5 x`g의 물을 증발시킨다고 하면
_(300-x)
_300¾
;1Á0¼0;
;1Á0ª0;
3000¾3600-12x, 12x¾600 ∴ x¾50
따라서 적어도 50`g 이상의 물을 증발시켜야 한다.
07 ax-9<3에서 ax<12
이때 부등식의 해가 x>-2이므로 a<0
따라서 x>
이므로
=-2
12
a
12
a
∴ a=-6
x-3
2
É 4x-2
3
08
에서 3(x-3)É2(4x-2)
3x-9É8x-4, -5xÉ5 ∴ x¾-1
7x-5¾a+2x에서 5x¾a+5 ∴ x¾ a+5
5
두 일차부등식의 해가 같으므로
=-1, a+5=-5
a+5
5
∴ a=-10
09 연속하는 세 짝수를 x-2, x, x+2라 하면
45É(x-2)+x+(x+2)<51, 45É3x<51
∴ 15Éx<17
이때 x는 짝수이므로 x=16
따라서 구하는 세 짝수는 14, 16, 18이다.
10 x분 동안 주차한다고 하면
3000+300(x-30)É6000, 300x-6000É6000
300xÉ12000 ∴ xÉ40
따라서 최대 40분까지 주차할 수 있다.
기본 다지기 문제
본문 78~79쪽
01 ③
05 ①
09 14, 16, 18
12 1`km
02 ①, ④ 03 2<x<4 04 ④
07 ②
06 ③
10 ②
08 -10
11 ③
01 ① xÉ4 ② 2x+3>3x ④ x-5<4
⑤ 500x+1500É5000
02 ① -3a>-3b이므로 -3a+
④ 7a<7b이므로 7a-(-1)<7b-(-1)
>-3b+
;4!;
;4!;
03 -1<3x-7<5에서 6<3x<12 ∴ 2<x<4
04 -3(x+2)¾2x-1에서-3x-6¾2x-1
-5x¾5 ∴ xÉ-1
11 30명 미만의 단체 x명이 입장한다고 하면
5000x>5000_30_0.7, 5000x>105000 ∴ x>21
따라서 적어도 22명 이상일 때 30명의 단체 입장권을 사는
이를 수직선 위에 나타내면 오른쪽
그림과 같다.
(cid:14)(cid:18)
것이 유리하다.
05 주어진 부등식의 양변에 분모의 최소공배수인 12를 곱하면
3x-8<-x+12, 4x<20 ∴ x<5
12 A`지점과 B`지점 사이의 거리를 x`km라 하면
, 3x+2(7-x)É15 ∴ xÉ1
+
É
x
2
7-x
3
;2%;
따라서 만족하는 자연수 x는 1, 2, 3, 4이므로 4개이다.
따라서 A`지점과 B`지점 사이의 거리는 1`km 이하이다.
20 ⅠⅠⅠ . 부등식과 연립방정식
실력 올리기 문제
본문 80~81쪽
6 10`%의 소금물을 x`g 섞었다고 하면
200¾
x+
(x+200)
;1Á0¼0;
;1Á0¤0;_
;1Á0ª0;_
10x+3200¾12x+2400 ∴ xÉ400
따라서 10`%의 소금물을 400`g 이하로 섞었다.
② 10-x-3 / 15 / x<5 / 1, 2, 3, 4 / 4
7 ① 5x-7É2x+2에서 5x-2xÉ2+7, 3xÉ9
1 ③
5 a¾2
7 ① 9 / xÉ3 / 1, 2, 3 / 3
2 ④
6 400`g
3 ③
4 ①
③ 4-3=1
8 ① 56-2x ② 44É56-2xÉ50, 3ÉxÉ6
③ 3`cm 이상 6`cm 이하
1
;2!;
x-7¾ax-6+
x에서
;2#;
;2!;
x-ax-
x-7+6¾0
;2#;
(-a-1)x-1¾0 …… ㉠
㉠이 일차부등식이려면 -a-1+0이어야 하므로
a+-1
2 6-ax¾9에서 -ax¾3
이 부등식의 해가 xÉ-3이므로 -a<0 ∴ a>0
따라서 xÉ-
이므로 -
=-3 ∴ ``a=1
;a#;
;a#;
3 9-7x¾2x-3a에서 -9x¾-3a-9
∴ xÉ a+3
xÉ 3a+9
9
3
이 부등식을 만족하는 자연수 x가 존재하지 않으므로
a+3
3
<1, a+3<3 ∴ a<0
4 9.5É
4p-5
2
<10.5에서
19É4p-5<21, 24É4p<26 ∴ 6Ép<
;;Á2£;;
따라서 p는 정수이므로 p=6
5 x-2=
x+a
3
에서 3(x-2)=x+a
3x-6=x+a, 2x=a+6 ∴ x=
a+6
2
x-2=
의 해가 4보다 작지 않아야 하므로
x+a
3
¾4
a+6
2
a+6
2
¾4에서 a+6¾8 ∴ a¾2
개
념
탑
따라서 일차부등식 5x-7É2x+2를 만족하는 x는 1,
∴ xÉ3
2, 3이므로 a=3
② 2(x-4)<10-(x+3)에서 2x-8<10-x-3
2x+x<10-3+8, 3x<15 ∴ x<5
따라서 일차부등식 2(x-4)<10-(x+3)을 만족하는
x는 1, 2, 3, 4이므로 b=4
③ ∴ b-a=4-3=1
8 ① BPÓ=x`cm라 하면 CPÓ=(14-x) cm이므로
△APM
=14_8-
_x_8+
_(14-x)_4+
_14_4
[;2!;
;2!;
;2!;
]
=112-(4x+28-2x+28)=56-2x
② △APM의 넓이가 44 cmÛ` 이상 50 cmÛ` 이하이므로
44É56-2xÉ50, -12É-2xÉ-6
∴ 3ÉxÉ6
③ 따라서 BPÓ의 길이의 범위는 3`cm 이상 6`cm 이하이다.
2 연립방정식
1
CHECK
미지수가 2개인 일차방정식
본문 84쪽
1 ⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ ×
2 6, 3, 0, -3 / (1, 6), (2, 3)
1 ⑶ -2x=0이므로 미지수가 2개인 일차방정식이 아니다.
⑷ y가 분모에 있으므로 미지수가 2개인 일차방정식이
아니다.
2 일차방정식 3x+y-9=0의 해는 (1, 6), (2, 3)이다.
정답과 풀이 21
A
미지수가 2개인 일차방정식
본문 85쪽
③, ④
1 ①
① 일차식
② x의 차수가 2이므로 미지수가 2개인 일차방정식이 아니다.
③ 3(x+y)=2(x-y)에서 3x+3y=2x-2y, x+5y=0
이므로 미지수가 2개인 일차방정식이다.
④ 3x+4=-y+5에서 3x+y-1=0이므로 미지수가 2
⑤ x가 분모에 있으므로 미지수가 2개인 일차방정식이 아
개인 일차방정식이다.
니다.
1 ⑴ ㉠
㉡
x
y
x
y
1
7
1
3
2
6
2
4
3
5
3
5
4
4
4
6
y
y
y
y
⑵ 연립방정식의 해는 두 일차방정식을 모두 만족하는
x, y의 값이므로 x=3, y=5
2 x=-1, y=5를 ax+2y=7에 대입하면
-a+10=7 ∴ a=3
x=-1, y=5를 bx+y=4에 대입하면
-b+5=4 ∴ b=1
A
연립방정식의 해
본문 87쪽
1 x+(a-2)y+3=2x-4y에서 -x+(a+2)y+3=0이
므로 이 식이 x, y에 대한 일차방정식이 되려면 a+2+0
∴ a+-2
③
1 ⑤
B
미지수가 2개인 일차방정식의 해
본문 85쪽
④
2 ㄱ, ㄹ, ㅂ
① 0-3_(-4)=12
② 3-3_(-3)=12
③ 6-3_(-2)=12 ④ 8-3_(-1)+12
⑤ 12-3_0=12
2 ㄱ. 2_(-1)+9=7
ㄴ. 2_
+5+7
;2!;
ㄷ. 2_1+4+7
ㄹ. 2_
-
+8=7
{
;2!;}
ㅁ. 2_2+2+7
ㅂ. 2_0+7=7
따라서 2x+y=7의 해는 ㄱ, ㄹ, ㅂ이다.
x, y가 자연수일 때, 각각의 일차방정식의 해를 표로 나타
내면 다음과 같다.
x+y=5
x-y=1
x
y
x
y
1
4
2
1
2
3
3
2
3
2
4
3
4
1
5
4
y
y
따라서 공통인 해는 (3, 2)이므로 연립방정식의 해는
(3, 2)이다.
1 x, y가 자연수일 때, 각각의 일차방정식의 해를 표로 나타
내면 다음과 같다.
2x+y=9
3x-y=1
x
y
x
y
1
7
1
2
2
5
2
5
3
3
3
8
4
1
4
11
y
y
따라서 공통인 해는 x=2, y=5이므로 p=2, q=5이다.
∴ p+q=2+5=7
미지수가 2개인 연립일차방정식 본문 86쪽
B
계수가 문자로 주어진 연립방정식
본문 87쪽
2
CHECK
2 a=3, b=1
22 ⅠⅠⅠ . 부등식과 연립방정식
1 ⑴ ㉠ 7, 6, 5, 4 ㉡ 3, 4, 5, 6 ⑵ x=3, y=5
③
2 0
2x+ay=6에 x=-3, y=-4를 대입하면
-6-4a=6, -4a=12 ∴ a=-3
bx+2y=1에 x=-3, y=-4를 대입하면
-3b-8=1, -3b=9 ∴ b=-3
∴ a-b=-3-(-3)=0
2 y=1을 2x-y=3에 대입하면
2x-1=3, 2x=4 ∴ x=2
따라서 연립방정식의 해는 x=2, y=1이므로
x-2y=k에 x=2, y=1을 대입하면
2-2_1=k ∴ k=0
3
CHECK
연립방정식의 풀이 ⑴ - 가감법 본문 88쪽
1 -2, -2, x-6, 7, 7, -2
2 ⑴ x=2, y=-2 ⑵ x=4, y=3
2 ⑴
[
2x+y=2 yy ㉠
3x-y=8 yy ㉡
㉠+㉡을 하면 5x=10 ∴ x=2
x=2를 ㉠에 대입하면 4+y=2 ∴ y=-2
⑵
[
x-y=1 yy ㉠
3x-y=9 yy ㉡
㉠-㉡을 하면 -2x=-8 ∴ x=4
x=4를 ㉠에 대입하면 4-y=1 ∴ y=3
A
가감법에서 미지수를 소거하기
본문 89쪽
③
1 ㄴ, ㄷ
㉠_3+㉡_2를 하면 17x=17
즉, y가 소거된다.
B
가감법을 이용하여 연립방정식 풀기
본문 89쪽
⑤
2 ①
개
념
탑
x+2y=8 yy ㉠
2x+y=13 yy ㉡
[
에서
㉠_2-㉡을 하면 3y=3 ∴ y=1
y=1을 ㉠에 대입하면 x+2_1=8 ∴ x=6
따라서 연립방정식의 해는 x=6, y=1이므로
a=6, b=1이다.
∴ a+b=6+1=7
2
[
x+2y=12 yy ㉠
3x-4y=-4 yy ㉡
에서
㉠_2+㉡을 하면 5x=20 ∴ x=4
x=4를 ㉠에 대입하면 4+2y=12 ∴ y=4
따라서 연립방정식의 해는 x=4, y=4이므로
2x-3y=k에 x=4, y=4를 대입하면
8-12=k ∴ k=-4
연립방정식의 풀이 ⑵ - 대입법 본문 90쪽
1 y+1, 8, 2, 2, 2, 3, 3, 2
2 ⑴ x=5, y=4 ⑵ x=0, y=-1
㉠을 ㉡에 대입하면 x-1=2x-6 ∴ x=5
2 ⑴
[
y=x-1 yy ㉠
y=2x-6 yy ㉡
x=5를 ㉠에 대입하면 y=4
⑵
[
2x-y=1 yy ㉠
y=x-1 yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 2x-(x-1)=1, x+1=1
4
CHECK
정답과 풀이 23
1 x를 소거하려면 ㉠_3-㉡, y를 소거하려면 ㉠+㉡_2
따라서 필요한 식은 ㄴ, ㄷ이다.
∴ x=0
x=0을 ㉡에 대입하면 y=-1
④
1 ④
3
2 ③
A
대입법을 이용하여 연립방정식 풀기
본문 91쪽
y=-2x-11을 3x-2y=1에 대입하면
3x-2(-2x-11)=1, 3x+4x+22=1
7x=-21 ∴ x=-3
x=-3을 y=-2x-11에 대입하면
y=-2_(-3)-11=-5
따라서 a=-3, b=-5이므로
a-b=-3-(-5)=2
x-y=-1 yy ㉠
y
x=
1
[
㉡을 ㉠에 대입하면
;2!;
yy ㉡
;2!;
y=2를 ㉡에 대입하면 x=1
y-y=-1, -
y=-1 ∴ y=2
;2!;
B
해가 주어진 경우 미지수 구하기
본문 91쪽
x=b, y=-1을 주어진 연립방정식에 대입하면
3b+1=a
b+a=5
[
, 즉
[
a-3b=1 yy ㉠
a+b=5 yy ㉡
㉠-㉡을 하면 -4b=-4 ∴ b=1
b=1을 ㉡에 대입하면 a=4
∴ a-b=4-1=3
2 x=4, y=-1을 주어진 연립방정식에 대입하면
4a-b=7
4b+a=6
[
, 즉
[
4a-b=7 yy ㉠
a+4b=6 yy ㉡
㉠-㉡_4를 하면 -17b=-17 ∴ b=1
b=1을 ㉡에 대입하면 a+4=6 ∴ a=2
C
해에 대한 조건이 주어진 경우
미지수 구하기
2
3 4
24 ⅠⅠⅠ . 부등식과 연립방정식
주어진 연립방정식의 해는 세 방정식을 모두 만족하므로
연립방정식
[
x+3y=10 yy ㉠
5x-3y=-4 yy ㉡
의 해와 같다.
㉠+㉡을 하면 6x=6 ∴ x=1
x=1을 ㉠에 대입하면 1+3y=10 ∴ y=3
따라서 x=1, y=3을 2x+ky=8에 대입하면
2+3k=8 ∴ k=2
3 연립방정식
[
2x-y=5 yy ㉠
yy ㉡
x=3y
에서 ㉡을 ㉠에 대입하면
6y-y=5, 5y=5 ∴ y=1
y=1을 ㉡에 대입하면 x=3
따라서 x=3, y=1을 x+y=k에 대입하면
3+1=k ∴ k=4
D
해가 서로 같은 두 연립방정식에서
미지수 구하기
본문 92쪽
7
4 a=1, b=3
연립방정식
[
x+y=1 yy ㉠
3x+2y=4 yy ㉡
에서
㉠_2-㉡을 하면 -x=-2 ∴ x=2
x=2를 ㉠에 대입하면 2+y=1 ∴ y=-1
따라서 x=2, y=-1을 2x-y=m, x+ny=0에 각각 대
입하면
4+1=m, 2-n=0에서 m=5, n=2
∴ m+n=5+2=7
본문 92쪽
y=-3을 ㉡에 대입하면 x+3=1 ∴ x=-2
4 연립방정식
[
x-2y=4 yy ㉠
yy ㉡
x-y=1
에서
㉠-㉡을 하면 -y=3 ∴ y=-3
따라서 x=-2, y=-3을
ax+y=-5, 4x-by=1에 각각 대입하면
-2a-3=-5, -8+3b=1
∴ a=1, b=3
5
CHECK
여러 가지 연립방정식
1 ⑴ x=2, y=1 ⑵ x=2, y=-3
2 x=-1, y=2
본문 93쪽
B
계수가 분수 또는 소수인 연립방정식
본문 94쪽
개
념
탑
1 ⑴
(
{
9
x-
y=
;2#;
yy ㉠
x-y=
yy ㉡
;4#;
;2!;
;2!;
[
2x-3y=1 yy ㉢
3x-4y=2 yy ㉣
에서 ㉠_2, ㉡_4를 하면
㉢_3-㉣_2를 하면 -y=-1 ∴ y=1
y=1을 ㉢에 대입하면 2x-3=1 ∴ x=2
⑵
[
0.2x+0.3y=-0.5 yy ㉠
0.2x-0.3y=1.3 yy ㉡
에서
㉠_10, ㉡_10을 하면
[
2x+3y=-5 yy ㉢
2x-3y=13 yy ㉣
㉢+㉣을 하면 4x=8 ∴ x=2
x=2를 ㉢에 대입하면 4+3y=-5, 3y=-9
③
2 -3
0.3x+0.4y=2 yy ㉠
x-1
3
+y=3 yy ㉡
[
㉠_10, ㉡_3을 하면
3x+4y=20
x-1+3y=9
[
,
[
3x+4y=20 yy ㉢
x+3y=10 yy ㉣
㉢-㉣_3을 하면 -5y=-10 ∴ y=2
y=2를 ㉣에 대입하면 x+6=10 ∴ x=4
2
[
x+0.9y=-0.8
x=y+3
에서
x+0.9y=-0.8의 양변에 10을 곱하면
10x+9y=-8 yy ㉠
yy ㉡
x=y+3
[
㉡을 ㉠에 대입하면 10(y+3)+9y=-8
19y=-38 ∴ y=-2
∴ y=-3
-x+y=3 yy ㉠
x+2y=3 yy ㉡
2
[
3y=6 ∴ y=2
에서 ㉠+㉡을 하면
y=-2를 ㉡에 대입하면 x=-2+3=1
따라서 x=1, y=-2를 x+2y=k에 대입하면
1-4=k ∴ k=-3
y=2를 ㉠에 대입하면 -x+2=3 ∴ x=-1
A
괄호가 있는 연립방정식
본문 94쪽
C
비례식을 포함한 연립방정식
본문 95쪽
⑤
1 2
;2%;
3 ⑤
주어진 연립방정식을 정리하면
[
yy ㉠
x+4y=20
3x-2y=-10 yy ㉡
㉠+㉡_2를 하면 7x=0 ∴ x=0
x：y=3：2에서 2x=3y이므로
2(x+3)=12-3y
2x=3y
[
, 즉
[
2x+3y=6 yy ㉠
yy ㉡
2x=3y
x=0을 ㉠에 대입하면 4y=20 ∴ y=5
㉡을 ㉠에 대입하면 3y+3y=6 ∴ y=1
따라서 p=0, q=5이므로 p+q=0+5=5
1 주어진 연립방정식을 정리하면
[
3x+2y=5 yy ㉠
5x-4y=1 yy ㉡
y=1을 ㉡에 대입하면 2x=3 ∴ x=
;2#;
따라서 m=
, n=1이므로 m+n=
+1=
;2#;
;2%;
;2#;
㉠_2+㉡을 하면 11x=11 ∴ x=1
x=1을 ㉠에 대입하면 3+2y=5 ∴ y=1
3 x：y=3：1에서 x=3y이므로
[
yy ㉠
x=3y
x-2y=3 yy ㉡
따라서 x=1, y=1을 3x-y=a에 대입하면
㉠을 ㉡에 대입하면 3y-2y=3 ∴ y=3
3-1=a ∴ a=2
y=3을 ㉠에 대입하면 x=9
정답과 풀이 25
D
A=B=C 꼴의 연립방정식
본문 95쪽
A
해가 무수히 많은 연립방정식
본문 97쪽
3x-2y-5=-y
3x-y=5 yy ㉠
[
4(x-1)-3y=-y
2x-y=2 yy ㉡
에서
[
-4x+ay=2
bx-3y=-1
[
, 즉
-4x+ay=2
-2bx+6y=2
[
의 해가 무수히 많으
㉠-㉡을 하면 x=3
므로 -4=-2b, a=6에서 a=6, b=2
x=3을 ㉡에 대입하면 6-y=2 ∴ y=4
∴ a-b=6-2=4
1
[
-x+2y=3
2x+ky=-6
, 즉
[
2x-4y=-6
2x+ky=-6
의 해가 무수히 많으므로
k=-4
따라서 a=3, b=4이므로 a+b=3+4=7
4 x=2, y=1을 연립방정식에 대입하면
2a+b-2=6b+a+5=-b
2a+b-2=-b
6b+a+5=-b
[
에서
[
yy ㉠
a+b=1
a+7b=-5 yy ㉡
㉠-㉡을 하면 -6b=6 ∴ b=-1
b=-1을 ㉠에 대입하면 a-1=1 ∴ a=2
∴ a+b=2+(-1)=1
B
해가 없는 연립방정식
본문 97쪽
4
1 -4
④
2 ②
해가 특수한 연립방정식
본문 96쪽
2 ①
[
6x-12y=6
6x-12y=6
이므로 해가 무수히 많다.
1 ⑴ 해가 무수히 많다. ⑵ 해가 무수히 많다.
⑶ 해가 없다.
⑷ 해가 없다.
④
4 1
6
CHECK
2 6
2x-ay=3
8x-4y=b
[
, 즉
[
8x-4ay=12
8x-4y=b
의 해가 없으므로
-4a=-4, 12+b ∴ a=1, b+12
②
[
2x-4y=4
2x-4y=2
이므로 해가 없다.
③
[
x-y=2
3x-3y=6
에서
[
3x-3y=6
3x-3y=6
④ x=3, y=1
⑤ x=2, y=2
이므로 해가 무수히 많다.
7
CHECK
연립방정식의 활용 ⑴
본문 98쪽
1 11, 600, 800, 7400, 7, 4, 7, 4, 7, 4, 4, 7, 4, 7400
2 x, y, 13, 3, 47, 7, 47, 7, 47, 7, 47, 7, 47, 3, 7
1 ⑴
[
2x-4y=2
2x-4y=2
⑵
[
3x+3y=6
3x+3y=6
⑶
[
4x+2y=14
4x+2y=15
이므로 해가 무수히 많다.
이므로 해가 무수히 많다.
이므로 해가 없다.
⑷
[
6x-2y+10=0
6x-2y+5=0
이므로 해가 없다.
3x+y=6
ax+2y=15
2
[
에서
[
6x+2y=12
ax+2y=15
따라서 해가 없으려면 x의 계수는 같고 상수항은 달라
야 하므로 a=6
26 ⅠⅠⅠ . 부등식과 연립방정식
A
개수, 나이에 관한 문제
본문 99쪽
21마리
1 5세
염소가 x마리, 오리가 y마리 있다고 하면
x+y=35
4x+2y=112
[
에서
[
x+y=35
2x+y=56
∴ x=21, y=14
따라서 염소는 21마리이다.
1 현재 아버지의 나이를 x세, 딸의 나이를 y세라고 하면
x+y=44
x+15=3(y+15)-6
[
에서
[
x+y=44
x-3y=24
∴ x=39, y=5
따라서 현재 딸의 나이는 5세이다.
전체 일의 양을 1로 놓고, 태희가 하루 동안 하는 일의 양
을 x, 민정이가 하루 동안 하는 일의 양을 y라 하면
3x+3y=1
2x+4y=1
[
∴ x=
, y=
;6!;
;6!;
따라서 민정이가 혼자 하면 6일이 걸린다.
개
념
탑
3 물탱크를 가득 채우는 물의 양을 1이라 하고, A 호스와 `B
호스로 1시간 동안 채울 수 있는 물의 양을 각각 `x, y라 하
면
[
9x+2y=1
3x+6y=1
∴ x=
, y=
;1Á2;
;8!;
따라서 A 호스로만 물탱크를 가득 채우려면 12시간이 걸
D
증감에 관한 문제
본문 100쪽
린다.
④
4 260명
본문 99쪽
작년의 남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이라 하면
x+y=766-6
-
x+
;10#0;
[
∴ x=400, y=360
;10%0;
y=6
에서
[
x+y=760
-3x+5y=600
처음 두 자리의 자연수의 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리
따라서 올해 남학생 수는 400-400_
=388(명)
;10#0;
B
수에 관한 문제
37
2 ⑤
의 숫자를 y라 하면
4(x+y)=(10x+y)+3
10y+x=(10x+y)+36
[
에서
2x-y=-1
x-y=-4
[
∴ x=3, y=7
따라서 처음 자연수는 37이다.
4 작년의 남자 회원 수를 x명, 여자 회원 수를 y명이라 하면
x+y=450
x+
;10$0;
[
∴ x=250, y=200
;10#0;
y=16
에서
[
x+y=450
4x+3y=1600
따라서 올해 남자 회원 수는 250+250_
=260(명)
;10$0;
8
CHECK
연립방정식의 활용 ⑵ - 공식의 이용 본문 101쪽
1 ⑴ ㉠ x+y=800 ㉡
+
=250
;2{;
;5};
⑵ 걸어간 거리：300`m, 달려간 거리：500`m
x+y=400
2 ⑴
[
;10^0;
x+
y=
;1Á0¼0;
;10(0;
_400
⑵ 6`%의 소금물의 양：100`g,
10`%의 소금물의 양：300`g
정답과 풀이 27
2 진희의 수학 점수를 x점, 영어 점수를 y점이라 하면
x+y=176
x+y
2
=88
에서
[
x=y+6
[
따라서 진희의 수학 점수는 91점이다.
x-y=6
∴ x=91, y=85
C
일에 관한 문제
본문 100쪽
6일
3 12시간
1 ⑴ ㉠은 거리에 관한 식이므로 x+y=800
용화의 속력을 분속 x`m, 민희의 속력을 분속 y`m라 하면
㉡은 시간에 관한 식이므로
+
=250
;2{;
;5};
x+y=800
+
⑵
[
∴ x=300, y=500
=250
에서
[
;2{;
;5};
x+y=800
5x+2y=2500
따라서 걸어간 거리는 300`m, 달려간 거리는 500`m
10x-10y=500
2x+2y=500
[
에서
[
x-y=50
x+y=250
∴ x=150, y=100
따라서 용화의 속력은 분속 150`m이다.
이다.
x+y=400
2 ⑵
[
∴ x=100, y=300
;1Á0¼0;
;10^0;
x+
y=
;10(0;
의 양은 300`g이다.
_400
에서
[
x+y=400
3x+5y=1800
따라서 6`%의 소금물의 양은 100`g, 10`%의 소금물
2 A와 B가 만날 때까지 A가 걸은 거리를 x`km, B가 달린
거리를 y`km라 하면
x+y=24
에서
[
x+y=24
5x=3y
;5};
;3{;
=
[
따라서 A는 9`km를 걸었고, B는 15`km를 달렸으므로 B
∴ x=9, y=15
는 A보다 15-9=6(km) 더 이동하였다.
1 시속 2`km로 걸은 거리를 x`km, 시속 3`km로 걸은 거리
정지한 물에서의 배의 속력을 시속 x`km, 강물의 속력을
를 y`km라 하면
시속 y`km라 하면
A
속력에 관한 문제`
-`도중에 속력이 바뀌는 경우
본문 102쪽
6`km
1 2시간
올라간 거리를 x`km, 내려온 거리를 y`km라 하면
y=x+2
에서
[
y=x+2
4x+3y=48
;3{;
;4};
+
=4
[
따라서 올라간 거리는 6`km이다.
∴ x=6, y=8
x+y=8
[
;2{;
+
;3};
=3
에서
[
x+y=8
3x+2y=18
∴ x=2, y=6
따라서 시속 3`km로 걸은 시간은
=
=2(시간)
;3};
;3^;
B
속력에 관한 문제`-`트랙을 도는 경우
본문 102쪽
분속 150`m
2 6`km
28 ⅠⅠⅠ . 부등식과 연립방정식
C
속력에 관한 문제`
-`강물 위의 배, 기차의 길이
시속 5`km
본문 103쪽
3 배：시속
`km, 강물：시속
:Á4°:
4 분속 500`m
5 길이：320`m, 속력：초속 80`m
`km
;4%;
3(x-y)=12
2(x+y)=12
[
에서
[
x-y=4
x+y=6
∴ x=5, y=1
따라서 정지한 물에서의 배의 속력은 시속 5`km이다.
3 정지한 물에서의 배의 속력을 시속 x`km, 강물의 속력을
시속 y`km라 하면
2(x+y)=10
4(x-y)=10
[
에서
[
x+y=5
2x-2y=5
∴ x=
, y=
:Á4°:
;4%;
따라서 배의 속력은 시속
`km, 강물의 속력은 시속
`km
:Á4°:
;4%;
이다.
4 기차의 길이를 x`m, 기차의 속력을 분속 y`m라 하면
1200+x=3y
700+x=2y
[
∴ x=300, y=500
따라서 기차의 속력은 분속 500`m이다.
E
농도에 관한 문제 ⑵
A：10`%, B：4`%
8 ①
본문 104쪽
개
념
탑
5 열차의 길이를 x`m, 속력을 초속 y`m라 하면
x+4000=54y
x+2000=29y
[
∴ x=320, y=80
따라서 열차의 길이는 320`m, 속력은 초속 80`m이다.
소금물 A의 농도를 x`%, 소금물 `B의 농도를 y`%라 하면
_100`+`
_200=
_300
_200`+`
_100=
_300
;10}0;
;10}0;
;10^0;
;10*0;
에서
(
{
;10{0;
;10{0;
9
x+2y=18
2x+y=24
[
∴ `x=10,` y=4
이다.
따라서 소금물 A의 농도는 10`%, 소금물 B의 농도는 4`%
8 소금물 A의 농도를 x`%, 소금물 B의 농도를 y`%라 하면
(
{
;10{0;
;10{0;
_200+
_100=
_300
_100+
_200=
_300
;10}0;
;10}0;
;10^0;
;10&0;
에서
9
2x+y=18
x+2y=21
[
∴ x=5, y=8
따라서 소금물 A의 농도는 5`%이다.
D
농도에 관한 문제 ⑴
본문 104쪽
①
6 3`%：180`g, 8`%：120`g
7 200`g
섞은 소금물의 양이 200`g이므로 x+y=200
소금의 양은 변하지 않으므로
;10*0;
x+
y=
;1Á0ª0;
;10(0;
_200
따라서 연립방정식을 세우면
x+y=200
x+y=200
[
;10*0;
x+
;1Á0ª0;
y=
;10(0;
_200
x+
y=18
;2£5;
;2ª5;
에서
[
6 3`%의 소금물을 x`g, 8`%의 소금물을 y`g 섞는다고 하면
_300
에서
[
x+y=300
3x+8y=1500
x+y=300
x+
;10#0;
[
∴ x=180, y=120
;10*0;
y=
;10%0;
야 한다.
하면
x+y=1000
y=
x+
;10*0;
[
∴ x=600, y=400
;1Á0£0;
;1Á0¼0:
따라서 3`%의 소금물 180`g, 8`%의 소금물 120`g을 섞어
A：250`g, B：200`g
F
비율에 관한 문제
본문 105쪽
7 8`%의 소금물의 양을 x`g, 13`%의 소금물의 양을 y`g이라
필요한 합금 A의 양을 x`g, 합금 B의 양을 `y`g이라 하면
9 A：80`kg, B：40`kg
10 20명
_1000
에서
[
x+y=1000
8x+13y=10000
(
{
9
;5@;
;5#;
x+
y=200
x+
y=250
;2!;
;2!;
∴ x=250, y=200
에서
[
4x+5y=2000
6x+5y=2500
따라서 8`%의 소금물의 양은 600`g, 13`%의 소금물의 양
따라서 필요한 합금 A의 양은 250`g, 합금 B의 양은 200`g
은 400`g이므로 구하는 차는 600-400=200(g)
이다.
정답과 풀이 29
9 합금 A의 양을 x`kg, 합금 B의 양을 y`kg이라 하면
03 x=4, y=3을 각 연립방정식에 대입하면
;1Á0°0;
x+
;1¢0°0;
y=30
x+
;1ª0¼0;
;1Á0¼0;
y=20
(
{
9
∴ x=80, y=40
에서
[
x+3y=200
2x+y=200
따라서 합금 A는 80`kg, 합금 B는 40`kg이 필요하다.
10 남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이라 하면
x+y=36
8x+5y=240
x+y=36
에서
[
y=36_
;3@;
x+
;1¥0¼0;
[
∴ x=20,` y=16`
;1°0¼0;
따라서 이 학급의 남학생 수는 20명이다.
∴ a-b=0
기본 다지기 문제
본문 108~110쪽
02 ②
06 3
10 ④
03 ②
07 4
11 x=1, y=-4
04 ③
08 -9
01 ③
05 ③
09 ②
12 -
;4#;
13 ⑴ 어머니：(x+13)세, 아들：(y+13)세
⑵ ㉠ x+y=32 `㉡ x+13=2(y+13)+4
⑶ 어머니의 나이：27세, 아들의 나이：5세
14 15회
15 423명
16 400`m
01 ㄱ. x의 차수가 2이므로 미지수가 2개인 일차방정식이 아
니다.
ㄹ. xy가 있으므로 미지수가 2개인 일차방정식이 아니다.
ㅁ. x+2y+1=0이므로 미지수가 2개인 일차방정식이다.
따라서 미지수가 2개인 일차방정식은 ㄴ, ㄷ, ㅁ의 3개이다.
02 x=p, y=2p를 방정식 3x-2y=4에 대입하면
3p-4p=4, -p=4 ∴ p=-4
30 ⅠⅠⅠ . 부등식과 연립방정식
①
[
3_4-3+12
4+3+3
③
[
4+2_3=10
4-3+2
⑤
[
2_4-3+3
4+2_3=10
②
[
3_4+3=15
4+3=7
④
[
4+3=7
5_4-2_3+4
04 x=1, y=b를 3x-y=1에 대입하면
3-b=1 ∴ b=2
x=1, y=2를 x+ay=5에 대입하면
1+2a=5, 2a=4 ∴ a=2
05 ㉠_3+㉡_2를 하면 19x=-38
즉, y가 소거된다.
06 상수항 7을 a로 잘못 보고 풀었다고 하면
x+2y=a yy`㉢
x=-1을 ㉠에 대입하면 -2+3y=4, 3y=6 ∴ y=2
x=-1, y=2를 ㉢에 대입하면 -1+4=a ∴ a=3
따라서 상수항 7을 3으로 잘못 보고 풀었다.
07 x`:`y=1`:`3에서 y=3x
4x-y=2 yy`㉠
y=3x yy`㉡
[
∴ a=4
08
[
2x+3y=11 yy`㉠
2x+y=5 yy`㉡
∴ y=3
㉡을 ㉠에 대입하면 4x-3x=2 ∴ x=2
x=2를 ㉡에 대입하면 y=6
따라서 x=2, y=6을 5x-y=a에 대입하면 10-6=a
에서 ㉠-㉡을 하면 2y=6
y=3을 ㉡에 대입하면 2x+3=5, 2x=2 ∴ x=1
x=1, y=3을 ax-y=-5, bx+ay=1에 각각 대입하면
a-3=-5, b+3a=1 ∴ a=-2, b=7
∴ a-b=(-2)-7=-9
09
[
2(x+2y)-3y=-1
5x-2(3x-y)=4-y
에서
2x+y=-1 yy`㉠
-x+3y=4 yy`㉡
[
㉠+㉡_2를 하면 7y=7 ∴ y=1
∴ x=450, y=550
y=1을 ㉡에 대입하면 -x+3=4 ∴ x=-1
따라서 p=-1, q=1이므로
p+q=(-1)+1=0
따라서 올해 남자 신입생의 수는 450-450_
=423(명)
;10^0;
16 형진이가 걸어간 거리를 x`m, 달려간 거리를 y`m라 하면
개
념
탑
[
x+y=1000
+
;4Ó0;
;8Õ0;
=20
에서
[
x+y=1000
2x+y=1600
∴ x=600, y=400
따라서 형진이가 달려간 거리는 400`m이다.
10 1.6x-2=0.9y+2.1의 양변에 10을 곱하면
16x-20=9y+21, 16x-9y=41
yy ㉠
x-
y=
의 양변에 2를 곱하면 2x-3y=7 yy ㉡
;2#;
;2&;
㉠-㉡_3을 하면 10x=20 ∴ x=2
x=2를 ㉡에 대입하면 4-3y=7 ∴ y=-1
따라서 a=2, b=-1이므로 a+b=2+(-1)=1
x-2y
3
2x-y
2
=3
=3
(
11
{
9
에서
[
x-2y=9 yy ㉠
2x-y=6 yy ㉡
㉠_2-㉡을 하면 -3y=12 ∴ y=-4
y=-4를 ㉠에 대입하면 x+8=9 ∴ x=1
12
[
2x-5y=-3
-x+(1-2k)y=1
에서
[
2x-5y=-3
2x-2(1-2k)y=-2
의 해가
없으므로
-5=-2(1-2k), -5=-2+4k ∴ k=-
;4#;
13 ⑶
[
x+y=32
x+13=2(y+13)+4
에서
[
x+y=32
x-2y=17
∴ x=27, y=5 `
이다.
따라서 현재 어머니의 나이는 27세, 아들의 나이는 5세
14 지성이가 이긴 횟수를 x회, 보영이가 이긴 횟수를 y회라
하면 지성이가 진 횟수는 y회, 보영이가 진 횟수는 x회이
므로
3x-2y=19
3y-2x=9
[
에서
[
3x-2y=19
-2x+3y=9
∴ x=15, y=13
따라서 지성이가 이긴 횟수는 15회이다.
15 작년의 남자 신입생의 수를 x명, 여자 신입생의 수를 y명
이라 하면
x+y=1000
[
-
x+
;10^0;
;10$0;
y=-5
에서
[
x+y=1000
-3x+2y=-250
실력 올리기 문제
본문 111~112쪽
2 -2
3 ④
1 -1
4 x=3, y=1
5 20분
7 ① 3, -6, 6, 6, -18, 10, 6, 10
6 ⑤
② 6, 10, 6a+40, -5 ③ -5+6+10, 11
8 ① x=2, y=1 ② a=-4, b=-7 ③ 3
1 x=k, y=-1을 5x+3y=7에 대입하면
5k-3=7, 5k=10 ∴ k=2
x=2, y=-1을 -x+ay=-1에 대입하면
-2-a=-1 ∴ a=-1
=
x-y
4
x=3y
2
[
y+4
6
에서
3(x-y)=2(y+4)
x=3y
[
,
[
3x-5y=8 yy ㉠
yy ㉡
x=3y
㉡을 ㉠에 대입하면 9y-5y=8, 4y=8 ∴ y=2
y=2를 ㉡에 대입하면 x=3_2=6
따라서 x=6, y=2를 ax=2-7y에 대입하면
6a=2-14 ∴ a=-2
정답과 풀이 31
3 ㄷ. 3x-2y-1=0 ㄹ. 3x+2y-1=0
따라서 ㄴ, ㄹ을 한 쌍으로 하는 연립방정식을 만들면 해가
무수히 많다.
4
[
bx+ay=-5
ax+by=1
에 x=1, y=3을 대입하면
3a+b=-5 yy ㉠
a+3b=1 yy ㉡
[
6 4`%의 소금물의 양을 x`g, 증발한 물의 양을 y`g이라 하면
x-y=400
_x=
;10$0;
[
따라서 증발한 물의 양은 300`g이다.
;10&0;
_400 ∴ x=700, y=300
7 ①
[
4x-3y=-6 yy ㉠
-3x+2y=2 yy ㉡
-x=-6 ∴ x=6
에서 ㉠_2+㉡_3을 하면
x=6을 ㉡에 대입하면 -18+2y=2 ∴ y=10
㉠-㉡_3을 하면 -8b=-8 ∴ b=1
∴ p=6, q=10
b=1을 ㉡에 대입하면 a+3=1 ∴ a=-2
② x=6, y=10을 ax+4y=10에 대입하면
따라서 처음 연립방정식은
[
-2x+y=-5 yy ㉢
yy ㉣
x-2y=1
6a+40=10 ∴ a=-5
③ a+p+q=-5+6+10=11
㉢+㉣_2를 하면 -3y=-3 ∴ y=1
y=1을 ㉣에 대입하면 x-2=1 ∴ x=3
5 물탱크에 물을 가득 채웠을 때의 물의 양을 1로 놓고 1분
동안 수도꼭지 A, B에서 나오는 물의 양을 각각 x, y라 하
면
30x+10(x+y)=1
60x+5y=1
[
에서
[
40x+10y=1
60x+5y=1
∴ x=
, y=
;8Á0;
;2Á0;
채울 수 있다.
8 ①
[
2x-3y=1 yy ㉠
3x+4y=10 yy ㉡
에서
㉠_3-㉡_2를 하면 -17y=-17 ∴ y=1
y=1을 ㉠에 대입하면
2x-3=1, 2x=4 ∴ x=2
② x=2, y=1을 나머지 두 식에 대입하면
2a=b-1 yy ㉢
4a-3b=5 yy ㉣
[
㉢을 ㉣에 대입하면
2(b-1)-3b=5, -b=7 ∴ b=-7
③ ∴ a-b=-4-(-7)=3
따라서 B 수도꼭지를 20분 동안 틀면 물탱크에 물을 가득
b=-7을 ㉢에 대입하면 2a=-8 ∴ a=-4
32 ⅠⅠⅠ . 부등식과 연립방정식
ⅠV 일차함수
1 일차함수와 그 그래프
함수의 뜻
1
CHECK
⑴ f(4)=-2_4+3=-8+3=-5
⑵ f(-1)=-2_(-1)+3=2+3=5
개
념
탑
2 `f(-2)=-
6
-2
=3, f(1)=-
=-6
;1^;
∴ f(-2)+f(1)=3+(-6)=-3
본문 116쪽
1 ⑴ × ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ×
3 `f(7)=3, f(14)=2 ∴ f(7)+f(14)=3+2=5
⑴ x=2일 때, y=3, 5, 7, y이므로 y의 값이 하나로 정
해지지 않는다. 따라서 y는 x의 함수가 아니다.
⑵ y=10-x ⑶ y=
⑷ y=1000x ⑸ y=
:£[¼:
:¢[¼:
⑹ x=3일 때, y=1, 2, 4, y이므로 y의 값이 하나로 정
②
4 ①
C
함숫값을 이용하여 미지수 구하기
본문 118쪽
해지지 않는다. 따라서 y는 x의 함수가 아니다.
f(2)=a_2-5=9에서 2a-5=9, 2a=14 ∴ a=7
A
함수인지 판별하기
본문 117쪽
ㄹ, ㅂ
1 ④
ㄱ. y=24-x ㄴ. y=6x ㄷ. y=
1500
x
ㄹ. x=2일 때, y=-2 또는 y=2이므로 y의 값이 하나로
정해지지 않는다. 따라서 함수가 아니다.
ㅁ. 어떤 자연수이든 약수의 개수는 하나로 정해지므로 함
수이다.
ㅂ. x=3일 때, y=1 또는 y=2이므로 y의 값이 하나로 정
해지지 않는다. 따라서 함수가 아니다.
따라서 함수가 아닌 것은 ㄹ, ㅂ이다.
1 ④ x=2일 때, y=3, 4, 5, y이므로 y의 값이 하나로 정
해지지 않는다. 따라서 함수가 아니다.
4 f(-5)=
a
-5
a
-5
=2이므로
=2에서 a=-10
⑤
5 ④
D
함수의 식 구하기
본문 118쪽
f(-4)=a_(-4)=12에서 -4a=12 ∴ a=-3
따라서 f(x)=-3x이므로 f(-5)=-3_(-5)=15
5 `f(2)=-
;2A;
=-4에서 a=8
따라서 f(x)=-
이므로 f(-8)=-
;[*;
8
-8
=1
2
CHECK
일차함수의 뜻
본문 119쪽
1 ⑴ ⑵ ⑶ × ⑷ ⑸ ⑹ ×
B
함숫값 구하기
⑴ -5 ⑵ 5
2 -3
3 5
본문 117쪽
2 ⑴ y=10x, 일차함수이다.
⑵ y=
, 일차함수가 아니다.
⑶ y=
x, 일차함수이다.
;[@;
;5!;
정답과 풀이 33
A
일차함수인지 판별하기
본문 120쪽
C
일차함수의 함숫값 구하기
본문 121쪽
①, ⑤
1 ㄷ, ㅂ
① xy=1에서 y=
(일차함수가 아니다.)
;[!;
② 3x+y=2x-1에서 y=-x-1 (일차함수)
③ y=-
(일차함수)
;3{;
2x-7
5
④ y=
에서 y=
x-
(일차함수)
;5@;
;5&;
⑤ x=2(y-x)+3x에서 y=0 (일차함수가 아니다.)
따라서 일차함수가 아닌 것은 ①, ⑤이다.
1 ㄱ. y=-6 (일차함수가 아니다.)
(일차함수가 아니다.)
ㄴ. y=
;[!;
ㄷ. y=
x-
(일차함수)
;3!;
;3@;
ㄹ. y=xÛ`+2x (일차함수가 아니다.)
ㅁ. x=
(일차함수가 아니다.)
;3!;
ㅂ. y=3x-5 (일차함수)
따라서 일차함수인 것은 ㄷ, ㅂ이다.
②, ③
2 ①, ⑤
24
x
① y=
② y=10x ③ y=3x
④ y=xÜ`
⑤ y=
12
x
따라서 일차함수인 것은 ②, ③이다.
x(x-3)
2
=
xÛ`-
x
;2#;
;2!;
2 ① y=
② y=180_(x-2)=180x-360
③ x=
_300 ∴ y=
x
;3!;
y
100
⑤ 300_
=y ∴ y=
;[!;
300
x
따라서 일차함수가 아닌 것은 ①, ⑤이다.
34 ⅠV . 일차함수
B
일차함수의 뜻에 관한 문장제 문제
본문 120쪽
①
3 ②
4 14
5 10
f(-2)=6이므로 f(-2)=-2a-4=6
∴ a=-5
따라서 f(x)=-5x-4이므로
f(-1)=-5_(-1)-4=1
3 f(a)=5a+3=-7이므로 5a=-10 ∴ a=-2
4 f(-1)=2_(-1)+a=4이므로 -2+a=4
∴ a=6
따라서 f(x)=2x+6이므로
f(3)=2_3+6=12, f(-2)=2_(-2)+6=2
∴ f(3)+f(-2)=12+2=14
5 f(2)=3, f(6)=-1이므로
2a+b=3
6a+b=-1
[
∴ a=-1, b=5
따라서 f(x)=-x+5이므로
f(5)=-5+5=0, f(0)=0+5=5
∴ f(5)+2f(0)=0+2_5=10
일차함수의 그래프
본문 122쪽
3
CHECK
1 풀이 참조
2 y=-3x+2
1
x
2x
y
y
-2 -1
-4 -2
2x+3 y
-1
1
0
0
3
1
2
5
2
4
7
y
y
y
(cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:20)
(cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)
(cid:90)
(cid:23)
(cid:21)
(cid:19)
(cid:21)
(cid:89)
(cid:19)
(cid:48)
(cid:14)(cid:19)
(cid:14)(cid:21)
(cid:14)(cid:23)
④ 2000_x+1000_y=10000 ∴ y=-2x+10
(cid:14)(cid:21)
(cid:14)(cid:19)
A
함수 y=ax (a+0)의 그래프
본문 123쪽
3 y=-x+5의 그래프를 y축의 방향으로 -2만큼 평행이동
⑤
1 b<a<d<c
① 오른쪽 아래로 향하는 직선이다.
② 제2사분면, 제4사분면을 지난다.
③ 점 (2, -1)을 지난다.
④ x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
1 a<0, b<0이고 (a의 절댓값)<(b의 절댓값)
∴ b<a<0
c>0, d>0이고 (c의 절댓값)>(d의 절댓값)
이 함수의 그래프가 y=ax+b의 그래프와 같으므로
개
념
탑
한 그래프의 식은
y=-x+5-2=-x+3
a=-1, b=3
∴ a+b=-1+3=2
4 y=ax-4의 그래프를 y축의 방향으로 k만큼 평행이동한
그래프의 식은
y=ax-4+k
이 함수의 그래프가 y=8x+3의 그래프와 같으므로
a=8, -4+k=3 ∴ a=8, k=7
∴ a-k=8-7=1
B
일차함수 y=ax+b의 그래프 위의 점
본문 123쪽
D
평행이동한 그래프가 지나는 점
본문 124쪽
∴ 0<d<c
∴ b<a<d<c
-3
2 -9
y=-2x+a의 그래프가 점 (-1, 3)을 지나므로
3=-2_(-1)+a ∴ a=1
y=-2x+1의 그래프가 점 (2, k)를 지나므로
k=-2_2+1=-3
2 y=5x-1의 그래프가 점 (-2, p)를 지나므로
p=5_(-2)-1=-11
또, y=5x-1의 그래프가 점 (q, 9)를 지나므로
9=5q-1 ∴ q=2
∴ p+q=-11+2=-9
C
평행이동한 그래프의 식
본문 124쪽
1
3 2
4 1
일차함수 y=4x-1의 그래프를 y축의 방향으로 a만큼 평
행이동한 그래프의 식은
y=4x-1+a
이 함수의 그래프가 y=4x의 그래프와 같으므로
-1+a=0 ∴ a=1
2
5 4
;2#;
;2#;
y=-
x+3의 그래프가 점 (k, 0)을 지나므로
0=-
k+3,
k=3 ∴ k=2
;2#;
5 y=-7x+2+k의 그래프가 점 (1, -1)을 지나므로
-1=-7_1+2+k
∴ k=4
일차함수의 그래프의 절편
본문 125쪽
4
CHECK
1 ⑴ (8, 0) ⑵ 8 ⑶ (0, 4) ⑷ 4
2 ⑴ x절편 : -1, y절편 : -2
⑵ x절편 : 3, y절편 : 3
⑶ x절편 : -2, y절편 : 2
⑷ x절편 : 0, y절편 : 0
3 x절편 : 10, y절편 : 4
정답과 풀이 35
A
x절편, y절편 구하기
본문 126쪽
3 y=-
x+4에 y=0을 대입하면
;5@;
x=10이므로 x절편은 10이다.
또, y=-
x+4에 x=0을 대입하면
;5@;
y=4이므로 y절편은 4이다.
-
;;Á3¢;;
1 ②
2 ③
3 5
y=-6x-4에 y=0을 대입하면
0=-6x-4 ∴ x=-
;3@;
y=-6x-4에 x=0을 대입하면 y=-4
따라서 y=-6x-4의 그래프의 x절편은 -
, y절편은
;3@;
-4이므로 a=-
, b=-4
;3@;
∴ a+b=-
+(-4)=-
;3@;
;;Á3¢;;
1 ① x절편：1, y절편：-1
③ x절편：1, y절편：-3
② x절편：3, y절편：3
④ x절편：
, y절편：1
;3!;
⑤ x절편：1, y절편：3
따라서 x절편과 y절편이 서로 같은 것은 ②이다.
2 y=
;3!;
;2!;
한 그래프의 식은
x+
의 그래프를 y축의 방향으로
만큼 평행이동
;2!;
y=
x+
+
;2!;
;2!;
;3!;
=
x+1
;3!;
∴ ab=-3_1=-3
이 그래프의 x절편은 -3, y절편은 1이므로 a=-3, b=1
B
x절편, y절편을 이용하여 미지수의 값
구하기
본문 127쪽
-24
4 ①
4
5 9
y=6x+a에 x=4, y=0을 대입하면
0=6_4+a ∴ a=-24
따라서 y절편은 -24이다.
4 y=-4x+2의 그래프의 x절편은
이고
;2!;
y=
x+1-2k의 그래프의 y절편은 1-2k이므로
;5@;
;2!;
=1-2k ∴ k=
;4!;
C
x절편, y절편을 이용하여 삼각형의
넓이 구하기
본문 127쪽
y=2x-4의 그래프의 x절편은 2, y절편은
-4이므로 그 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
y
O
2
x
따라서 구하는 넓이는
_2_4=4
-4
;2!;
x+3의 그래프의 x절편은 6,
y절편은 3이므로 그 그래프는 오른쪽
5 y=-
;2!;
그림과 같다.
y
3
O
6
x
따라서 구하는 넓이는
_6_3=9
;2!;
3 y=-
x+
에 y=0을 대입하면
0=-
x+
∴ x=2
;4#;
;4#;
;4#;
;2#;
;2#;
;2#;
이므로 p=2, q=
∴ p+2q=2+2_
=5
;2#;
;2#;
36 ⅠV . 일차함수
y=-
x+
에 x=0을 대입하면 y=
;2#;
일차함수의 그래프의 기울기 본문 128쪽
따라서 y=-
x+
의 그래프의 x절편은 2, y절편은
;4#;
;2#;
;2#;
1 ⑴ 기울기 : 2, y의 값의 증가량 : -4
5
CHECK
⑵ 기울기 : -
, y의 값의 증가량 : -
;4#;
;4#;
2 ⑴ 3 ⑵ -1
2 ⑴ (기울기)=
(y의 값의 증가량)
(x의 값의 증가량)
=
6-0
4-2
=3
⑵ (기울기)=
(y의 값의 증가량)
(x의 값의 증가량)
=
3-1
-2-0
=-1
A
일차함수의 그래프의 기울기
본문 129쪽
⑴ -3 ⑵ 18
1 ②
2 ③
3 10
⑴ a=
=-3
-6
3-1
⑵ (기울기)=
(y의 값의 증가량)
-6
=-3
∴ (y의 값의 증가량)=18
1 (기울기)=
(y의 값의 증가량)
(x의 값의 증가량)
=
=
;2!;
;6#;
따라서 기울기가
인 것은 ②이다.
;2!;
3-k
2
2
=-
이므로
;2!;
3-k=-1 ∴ k=4
3
`f(3)-f(6)
3-6
=(기울기)=10
3
4 ;7^;
-7-k
3-(-2)
=-2이므로
-7-k
5
=-2
-7-k=-10 ∴ k=3
4 그래프가 두 점 (0, 3), (7, 0)을 지나므로
a=
=-
0-3
7-0
;7#;
(y의 값의 증가량)
-2
따라서
=-
이므로
;7#;
(y의 값의 증가량)=-
_(-2)=
;7#;
;7^;
개
념
탑
C
세 점이 한 직선 위에 있을 조건
본문 130쪽
③
5 ;3%;
므로
2-a
4
주어진 그래프가 세 점 (-2, a), (2, 2), (8, -1)을 지나
2-a
2-(-2)
=
-1-2
8-2
=-
, 2-a=-2 ∴ a=4
;2!;
5
4-1
1-(-5)
=
2k+1-4
k-1
이므로
=
;2!;
2k-3
k-1
k-1=4k-6 ∴ k=
;3%;
일차함수의 그래프의 성질
본문 131쪽
6
CHECK
1 ㄱ, ㅁ
2 a<0, b>0
1 y=ax+b에서 a>0인 것은 ㄱ, ㅁ이다.
2 오른쪽 아래로 향하는 직선이므로 a<0
y절편이 양수이므로 b>0
⑤
1 ④
⑤ x의 값이 4만큼 증가하면 y의 값은 6만큼 감소한다.
1 기울기의 절댓값이 가장 작은 것을 고르면 되므로 ④이다.
B
a, b의 부호와 일차함수 y=ax+b의
그래프
본문 132쪽
⑤
2 제3사분면
정답과 풀이 37
B
두 점을 지나는 일차함수의 그래프의 기울기
본문 130쪽
A
일차함수의 그래프의 성질
본문 132쪽
-a<0, b<0이므로
(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:66)(cid:89)(cid:12)(cid:67)
(cid:90)
y=-ax+b의 그래프는 오른쪽 그
림과 같다.
따라서 제2, 3, 4사분면을 지난다.
(cid:48)
(cid:89)
a=-
2 ac<0, bc>0이므로 y=acx+bc의
그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 지나지 않는 사분면은 제3사분면
(cid:90)
(cid:48)
(cid:89)
(cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:68)(cid:89)(cid:12)(cid:67)(cid:68)
이다.
7
CHECK
1 ⑤
2 ④
-1
1 1
;3%;
2 ③
38 ⅠV . 일차함수
일차함수의 그래프의 평행과 일치 본문 133쪽
3 ⑴ a=-
, b+1 ⑵ a=-
, b=1
;2!;
;2!;
1 기울기가 -3이고, y절편이 2가 아닌 일차함수를 찾는다.
2 기울기가
이고, y절편이 3이 아닌 일차함수를 찾는다.
;2!;
A
두 일차함수의 그래프가 일치할 조건
본문 134쪽
2a=-
, -2=3b이므로 a=-
, b=-
;3!;
;3@;
;3@;
∴ a+b=-
+
-
{
;3!;
;3@;}
=-1
1 y=3ax+2의 그래프를 y축의 방향으로 -4만큼 평행이동
한 그래프의 식은 y=3ax+2-4 ∴ y=3ax-2
y=3ax-2의 그래프와 y=9x+b의 그래프가 일치하므로
3a=9, -2=b ∴ a=3, b=-2
∴ a+b=3+(-2)=1
y=ax+1과 y=-
x+3의 그래프가 평행하므로
;3!;
y=-
x+1의 그래프가 점 (-3, b)를 지나므로
;3!;
;3!;
;3!;
b=-
_(-3)+1=2
∴ a+b=-
+2=
;3!;
;3%;
2 주어진 그래프의 식은 y=
y절편은 -2이다.
;3!;
x-2이므로 기울기는
이고
;3!;
따라서 기울기가
이 아닌 일차함수를 찾는다.
;3!;
① (기울기)=
, (y절편)=5
② (기울기)=
, (y절편)=4
;3!;
;3!;
2-0
0-(-3)
4-2
6-0
=
;3!;
③ (기울기)=
=
;3@;
, (y절편)=2
④ (기울기)=
, (y절편)=2
⑤ (기울기)=
, (y절편)=-1
;3!;
따라서 평행하지 않은 것은 ③이다.
일차함수의 식 구하기 ⑴
본문 135쪽
8
CHECK
1 ⑴ y=-3x+10 ⑵ y=
x-8
;2!;
2 y=-2x+7
3 ⑴ y=4x+6 ⑵ y=-x+3
1 ⑵ 그래프가 y축과 점 (0, -8)에서 만나므로 y절편이
-8이다. ∴ y=
x-8
;2!;
2 y=-2x+b로 놓으면 그래프가 점 (3, 1)을 지나므로
1=-2_3+b에서 b=7 ∴ y=-2x+7
3 ⑴ y=4x+b로 놓으면 그래프가 점 (-1, 2)를 지나므
⑵ (기울기)=
=-1
-3
3
y=-x+b로 놓으면 그래프가 점 (-2, 5)를 지나
므로 5=2+b에서 b=3 ∴ y=-x+3
B
두 일차함수의 그래프가 평행할 조건
본문 134쪽
로 2=4_(-1)+b에서 b=6 ∴ y=4x+6
A
기울기와 y절편을 알 때 일차함수의
식 구하기
본문 136쪽
1 ⑴ (기울기)=
=2이므로 y=2x+b로 놓고
6-2
1-(-1)
x=-1, y=2를 대입하면
16
1 y=
x+3
;3@;
y=-
x-5의 그래프가 점 (3a, -1-a)를 지나므로
;4!;
-1-a=-
_3a-5,
a=4 ∴ a=16
;4!;
;4!;
1 주어진 직선이 두 점 (3, 0), (0, -2)를 지나므로
(기울기)=
=
-2-0
0-3
;3@;
따라서 기울기가
이고 y절편이 3인 직선을 그래프로 하는
;3@;
일차함수의 식은 y=
x+3
;3@;
B
기울기와 한 점을 알 때 일차함수의 식
구하기
본문 136쪽
7
2 ①
a=
6
4-1
=2
y=2x+b의 그래프가 점 (-2, 1)을 지나므로 `
1=2_(-2)+b ∴ b=5
∴ a+b=2+5=7
2 y=-
;3!;
;3!;
1=-
_(-6)+b ∴ b=-1
따라서 구하는 일차함수의 식은 y=-
x-1
;3!;
①
=-
_(-5)-1
;3@;
;3!;
2=-2+b ∴ b=4` ∴ y=2x+4
⑵ (기울기)=
=-1이므로 y=-x+b로
0-3
-1-(-4)
개
념
탑
놓고 x=-1, y=0을 대입하면
0=1+b ∴ b=-1 ∴ y=-x-1
2 ⑴ 두 점 (3, 0), (0, -1)을 지나므로
(기울기)=
-1-0
0-3
=
;3!;
, (y절편)=-1
∴ y=
x-1
;3!;
⑵ 두 점 (-2, 0), (0, 10)을 지나므로
(기울기)=
=5, (y절편)=10
10-0
0-(-2)
∴ y=5x+10
A
서로 다른 두 점을 알 때 일차함수의 식
구하기
본문 138쪽
6
1 ;2#;
두 점 (-1, 9), (2, 3)을 지나는 직선의 기울기는
3-9
2-(-1)
=-2
y=-2x+b로 놓으면 그래프가 점 (2, 3)을 지나므로
3=-2_2+b ∴ b=7
즉, y=-2x+7의 그래프를 y축의 방향으로 -5만큼 평
행이동한 그래프의 일차함수의 식은
이 그래프가 점 (-2, k)를 지나므로
k=-2_(-2)+2=6
1 두 점 (-2, 5), (2, -3)을 지나므로
-3-5
2-(-2)
(기울기)=
=-2
x+b로 놓으면 그래프가 점 (-6, 1)을 지나므로
y=-2x+7-5=-2x+2
9
CHECK
일차함수의 식 구하기 ⑵
1 ⑴ y=2x+4 ⑵ y=-x-1
2 ⑴ y=
x-1 ⑵ y=5x+10
;3!;
y=-2x+b로 놓으면 그래프가 점 (2, -3)을 지나므로
-3=-2_2+b ∴ b=1
본문 137쪽
즉, y=-2x+1의 그래프의 x절편은
, y절편은 1이므로
;2!;
p=
, q=1
;2!;
∴ p+q=
+1=
;2!;
;2#;
정답과 풀이 39
B
x절편, y절편을 알 때 일차함수의 식
구하기
본문 138쪽
14
2 -12
y=ax+b의 그래프가 두 점 (-6, 0), (0, 12)를 지나므로
a=
12-0
0-(-6)
=2, b=12
∴ a+b=2+12=14
2 평행이동한 그래프의 식은 y=ax-1+b
한편, 주어진 그래프는 두 점 (5, 0), (0, 3)을 지나므로
(기울기)=
3-0
0-5
=-
;5#;
⑵ x=5000일 때, y=10-0.006_5000=-20
따라서 높이가 5`km인 곳의 기온은 영하 20`¾이다.
⑶ y=7일 때, 7=10-0.006x ∴ x=500
따라서 기온이 7`¾인 곳의 높이는 500`m이다.
1 6분 동안 물의 온도가 90-77=13(¾)`내려갔으므로 1분
마다 물의 온도가
`¾씩 내려간다.
:Á6£:
x분 후의 물의 온도를 y`¾라 하면 y=90-
x
:Á6£:
x=15일 때, y=90-
_15=57.5
:Á6£:
따라서 15분 후의 물의 온도는 57.5`¾이다.
B
길이에 관한 일차함수의 활용
본문 140쪽
따라서 a=-
, -1+b=3이므로 a=-
, b=4
;5#;
;5#;
∴ 5ab=5_
-
_4=-12
{
;5#;}
12분
2 23.5`cm
양초의 길이는 1분에
`cm씩 짧아지므로
;3@;
x분 후의 양초의 길이를 y`cm라 하면 y=25-
x
;3@;
일차함수의 활용
본문 139쪽
y=17일 때, 17=25-
x,
x=8 ∴ x=12
;3@;
;3@;
따라서 양초의 길이가 17`cm가 되는 것은 12분 후이다.
10
CHECK
1 ⑴ y=4x+40 ⑵ 100`¾
2 y=120-3x
2 1`g마다 용수철의 길이가
;8!;
`cm씩 늘어나므로 무게가 x`g
1 ⑴ 처음 물의 온도가 40`¾이고, 1분마다 온도가 4`¾씩
인 물체를 달았을 때, 용수철의 길이를 y`cm라 하면
⑵ x=15일 때, y=4_15+40=100이므로 15분 후의
올라가므로 y=4x+40
물의 온도는 100`¾이다.
y=
x+16
;8!;
x=60일 때, y=
_60+16=23.5
;8!;
2 매분 3`L씩 물이 흘러나오므로 x분 동안 3x`L의 물이
따라서 무게가 60`g인 물체를 달았을 때, 용수철의 길이는
흘러나온다. `
∴ y=120-3x
23.5`cm이다.
A
온도에 관한 일차함수의 활용
본문 140쪽
⑴ y=10-0.006x ⑵ 영하 20`¾ ⑶ 500`m
3 15분
1 57.5`¾
y=10-0.006x
40 ⅠV . 일차함수
C
속력에 관한 일차함수의 활용
본문 141쪽
⑴ y=3-0.2x ⑵ 10분
⑴ 연우는 1분 동안 0.2`km를 뛰어가므로 y=3-0.2x
⑵ y=1일 때, 1=3-0.2x, 0.2x=2 ∴ x=10
것은 출발한 지 10분 후이다.
⑴ 1`m 높아질 때마다 기온이 0.006`¾씩 내려가므로
따라서 연우가 학교에서 1`km 떨어진 지점을 지나는
3 누나가 출발한 지 x분 후에 누나와 동생의 집에서부터의
거리를 y`m라 하면
누나는 y=80x
동생은 y=300(x-11)
이때 누나와 동생이 만나려면 집에서부터의 거리가 같아야
하므로
80x=300(x-11) ∴ x=15
01 ① y=500x
② y=
;10{0;
_200 ∴ y=2x
③ x=1일 때, 1보다 1만큼 작은 수는 0이므로 자연수가
아니다. 따라서 y의 값이 존재하지 않으므로 함수가 아
개
념
탑
따라서 두 사람은 누나가 출발한 지 15분 후에 만난다.
⑤ x=4일 때, 4보다 작은 소수 y는 2, 3의 2개이므로 함
D
도형에 관한 일차함수의 활용
본문 141쪽
4초
4 10`cm
점 P는 1초에 2`cm씩 움직이므로 x초 후에 BPÓ=2x`cm
APCD의 넓이를 y`cmÛ`라 하면
y=
_{12+(12-2x)}_10 ∴ y=120-10x
;2!;
y=80일 때, 80=120-10x ∴ x=4
따라서 APCD의 넓이가 80`cmÛ`가 되는 것은 점 P가 점
B를 출발한 지 4초 후이다.
_(20-x)_14에서 y=140-7x
4 △APC=
;2!;
y=70일 때, 70=140-7x ∴ x=10
따라서 BPÓ의 길이는 10`cm이다.
기본 다지기 문제
본문 144~145쪽
01 ③, ⑤ 02 2개
03 -3
04 5
05 ⑤
06 ⑤
07 ;5!;
Ék<2
08 ①
11 82`¾
09 제1사분면
12 ④
10 -5
니다.
④ y=
_x_6 ∴ y=3x
;2!;
수가 아니다.
02 ㄴ. y=xÛ`+x이므로 일차함수가 아니다.
ㄷ. y=-5이므로 일차함수가 아니다.
ㅁ. y=1+
이므로 일차함수가 아니다.
;[!;
ㅂ. x=2이므로 일차함수가 아니다.
따라서 일차함수인 것은 ㄱ, ㄹ의 2개이다.
03 f(3)=3에서 3a-
;2#;
=3 ∴ a=
;2#;
∴ f(x)=
x-
;2#;
;2#;
f(-2)=
_(-2)-
=-
이므로 b=-
;2#;
;2#;
;2(;
;2(;
∴ a+b=
+
;2#;
{-;2(;}
=-3
04 y=ax+7의 그래프를 y축의 방향으로 4만큼 평행이동한
그래프의 식은 y=ax+7+4=ax+11
y=ax+11의 그래프가 점 (-2, 1)을 지나므로
1=a_(-2)+11 ∴ a=5
05 일차함수 y=-2x+4의 그래프의 x절편과 y절편은 각각
2, 4이다.
따라서 일차함수 y=-2x+4의 그래프와 x축, y축으로
둘러싸인 직각삼각형의 밑변의 길이는 2이고 높이는 4이므
로 구하는 회전체의 부피는
_p_2Û`_4=
p이다.
;3!;
:Á3¤:
06 (가)에서 기울기가 음수이고 (나)에서 기울기의 절댓값이
보다 작아야 하므로 조건을 만족하는 일차함
, 즉
-
|
;2!;|
;2!;
수의 식은 ⑤이다.
07 일차함수 y=(k-2)x-(1-5k)=(k-2)x-1+5k의
그래프가 제3사분면을 지나지 않으려면
정답과 풀이 41
k-2<0, -1+5k¾0 ∴
Ék<2
;5!;
08 두 점 (1, 2), (2, 5)를 지나므로
5-2
2-1
(기울기)=
=3
f(x)=3x+b로 놓으면 y=f(x)의 그래프가 점 (1, 2)를
지나므로 2=3_1+b ∴ b=-1
∴ f(x)=3x-1
따라서 y=3x-1의 그래프는 오른쪽 그림
(cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:89)(cid:14)(cid:18)
과 같으므로 옳지 않은 것은 ①이다.
(cid:48)
(cid:14)(cid:18)
(cid:26)(cid:18)(cid:197)(cid:26)
(cid:89)
실력 올리기 문제
본문 146~147쪽
1 ④
5 ④
2 ③
6 60초
3 ;4!;
4 2
7 ① x절편,
,
;3!;
;3!;
②
{;3!;
, 0
, -
a
}
;3!;
③ y절편, -6, -6, -
_(-6), 2
;3!;
8 ① x절편 :
;a@;
, y절편 : 2 ② 8 ③
;4!;
1 ② f(8)=f(23)=3
③ f(11)=f(1)=1
09 주어진 그래프에서 (기울기)=a>0, (y절편)=b<0
<0, -a<0이므로
즉,
④ f(27)=2, f(33)=3이므로 f(27)+f(33)
⑤ f(37)+f(38)+f(39)=2+3+4=9
;b!;
;b!;
y=
x-a의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 제1사분면을 지나지 않는다.
(cid:90)
(cid:90)(cid:30)
(cid:89)(cid:14)(cid:66)
(cid:26)(cid:65)(cid:197)(cid:26)
(cid:48)
(cid:89)
2 (a-1)xÛ`+x+by=3y-2에서
(3-b)y=(a-1)xÛ`+x+2
10 두 점 (1, 0), (0, 4)를 지나는 직선의 기울기는
=-4
4-0
0-1
y=ax-4의 그래프가 두 점 (1, 0), (0, 4)를 지나는 직
선과 평행하므로 a=-4
y=0을 y=-4x-4에 대입하면 0=-4x-4
∴ x=-1
즉, x절편이 -1이므로 k=-1
∴ a+k=-4+(-1)=-5
이 식이 일차함수이려면 xÛ`의 계수는 0이고 y의 계수는 0
이 아니어야 하므로 a-1=0, 3-b+0 ∴ a=1, b+3
3 y=(-2a+2)x+3b-1의 그래프와
y=(-2b+1)x+a-2의 그래프가 일치하므로
-2a+2=-2b+1에서 2a-2b=1 yy ㉠
3b-1=a-2에서 a-3b=1
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=
, b=-
;4!;
;4!;
따라서 y=8ax+4b=2x-1의 그래프와
x축 및 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는
y=2x-1
x
;2!;
y
O
-1
11 1분마다 물의 온도는
;5^;
`¾씩 내려가므로 x분 후의 물의
_
_1=
;2!;
;2!;
;4!;
온도를 y`¾라 하면 y=100-
x
;5^;
x=15일 때, y=100-
_15=82
;5^;
4 일차함수 y=ax+b의 그래프가 점 (-2, 6)을 지나므로
6=-2a+b ∴ b=2a+6 yy ㉠
따라서 15분 후의 물의 온도는 82`¾이다.
x절편과 y절편의 비가 3：4이므로 x절편을 3k, y절편을
_8_(높이)=40에서 (높이)=10`cm
y=ax+b의 그래프가 두 점 (3k, 0), (0, 4k)를 지나므로
△ABP의 밑변의 길이는 (8-x)`cm, 높이는 10`cm이므로
△ABP=
_(8-x)_10=40-5x
;2!;
a=-
를 ㉠에 대입하면 b=2_
-
+6=
{
;3$;}
:Á3¼:
;3$;
4k(k+0)라 하자.
a=
4k-0
0-3k
=
4k
-3k
=-
;3$;
∴ a+b=-
+
;3$;
:Á3¼:
=2
12 △ABC=
;2!;
∴ y=40-5x
42 ⅠV . 일차함수
5 y=ax+b와 y=2x-6의 그래프가 y축 위에서 만나므로
y절편이 같다. ∴ b=-6
y=2x-6의 그래프가 x축과 만날 때 y=0이므로
2 일차함수와 일차방정식의 관계
개
념
탑
따라서 y=ax-6의 그래프가 점 A(-3, 0)을 지나므로
일차함수와 일차방정식
본문 150쪽
0=2x-6 ∴ x=3 ∴ B(3, 0)
이때 OAÓ=OBÓ이므로 A(-3, 0)이다.
0=-3a-6 ∴ a=-2
∴ a-b=-2-(-6)=4
6 출발한 지 x초 후에 혜주의 출발선에서부터 혜주의 위치까
지는 6x`m이고, 진석이의 위치까지는 (120+4x)`m이므
로 두 사람 사이의 거리를 y`m라 하면
y=(120+4x)-6x=120-2x
y=0일 때, 0=120-2x ∴ x=60
따라서 혜주가 진석이를 따라잡는 데 걸리는 시간은 60초
이다.
7 ① 두 일차함수 y=ax+b, y=-3x+1의 그래프가 x축
위에서 만나므로 두 그래프의 x절편이 같다.
y=-3x+1의 그래프의 x절편이
이므로
;3!;
y=ax+b의 x절편도
이다.
;3!;
;3!;
② y=ax+b의 그래프가 점
, 0
을 지나므로
{;3!;
}
0=
a+b에서 b=-
a yy ㉠
;3!;
③ 두 일차함수 y=bx+a, y=7x-6의 그래프가 y축 위
에서 만나므로 두 그래프의 y절편이 같다.
y=7x-6의 그래프의 y절편은 -6이므로 a=-6
이를 ㉠에 대입하면 b=-
_(-6)=2
;3!;
8 ① y=-ax+2에 y=0을 대입하면
0=-ax+2, ax=2 ∴ x=
;a@;
y=-ax+2에 x=0을 대입하면 y=2
1
CHECK
(cid:25)
(cid:23)
(cid:21)
(cid:19)
;2#;
;3!;
1 ⑴
(cid:90)
⑵
(cid:90)
(cid:21)
(cid:19)
(cid:48)
(cid:14)(cid:19)
(cid:14)(cid:21)
(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:21)(cid:14)(cid:23)
(cid:89)
(cid:14)(cid:19)
(cid:48)
(cid:19)
(cid:21)
(cid:89)
(cid:23)
2 ③
1 ⑴ y=-
x+6이므로 그래프는 기울기가 -
이고
;2#;
y절편이 6인 직선이다.
⑵ y=
x+2이므로 그래프는 기울기가
이고
;3!;
y절편이 2인 직선이다.
2 두 점 (0, 2), (5, -3)을 지나므로
(기울기)=
-3-2
5-0
=
-5
5
=-1, (y절편)=2
y=-x+2에서 `x+y-2=0
A
일차함수와 일차방정식의 관계
본문 151쪽
8
1 ①
2x+y-10=0에서 y=-2x+10
이 일차방정식의 그래프가 일차함수 y=ax+b의 그래프
와 일치하므로 a=-2, b=10 ∴ a+b=-2+10=8
즉, y=-ax+2`(a>0)의 x절편은
, y절편은 2이다.
;a@;
② y=-ax+2의 그래프는 오른쪽 그림
1 x+ay+b=0에서 `y=-
x-
;aB;
;a!;
(기울기)=-
<0 ⇨ a>0, (y절편)=-
<0 ⇨ b>0
;aB;
과 같다.
y=-ax+2와 x축 및 y축으로
둘러싸인 도형의 넓이가 8이므로
_
;2!;
;a@;
_2=8
③
=8 ∴ a=
;a@;
;4!;
y
2
O
x
;a@;
;a!;
-3
2 ③
B
일차방정식의 미지수의 값 구하기
본문 151쪽
정답과 풀이 43
x=a, y=2a-1을 4x-y+5=0에 대입하면
4a-(2a-1)+5=0, 4a-2a+1+5=0
∴ a=-3
A
축에 평행한`(수직인) 직선의 방정식
구하기
본문 153쪽
⑴ y=7 ⑵ x=-1 ⑶ x=3 ⑷ y=-5
2 ax+4y-b=0에서 y=-
x+
;4A;
;4B;
1 ②
주어진 직선의 기울기는
, y절편은 -3이므로
;4#;
⑴ x축에 평행한 직선이므로 y=q의 꼴이고 주어진 점의
-
=
,
;4#;
;4B;
;4A;
=-3에서 a=-3, b=-12
∴ a-b=-3-(-12)=9
⑵ y축에 평행한 직선이므로 x=p의 꼴이고 주어진 점의
⑶ x축에 수직인 직선이므로 x=p의 꼴이고 주어진 점의
y좌표가 7이므로 y=7
x좌표가 -1이므로 x=-1
x좌표가 3이므로 x=3
y좌표가 -5이므로 y=-5
⑷ y축에 수직인 직선이므로 y=q의 꼴이고 주어진 점의
1 직선 x=2에 수직이므로 직선의 방정식은 y=q의 꼴이고
점 (4, -2)를 지나므로 구하는 직선의 방정식은 y=-2
B
축에 평행한`(수직인) 조건을 이용하여
미지수의 값 구하기
본문 153쪽
③
2 1
x축에 평행한 직선은 y=q의 꼴이므로 두 점의 x좌표는
다르고 y좌표는 같아야 한다.
2a+9-a, 5b+1=2b-5 ∴ a+3, b=-2
2 주어진 직선의 방정식은 y=3이므로 ax+by=1에서 a=0
by=1에서 y=
=3이므로 b=
;b!;
;3!;
연립방정식의 해의 개수와 그래프 본문 154쪽
3
CHECK
1 x=2, y=3
2 ⑴ a+-3 ⑵ a=-3, b+-2
⑶ a=-3, b=-2
축에 평행한(수직인) 직선의 방정식 본문 152쪽
2
CHECK
1
⑵
2
⑵
⑴
(cid:90)
(cid:21)
(cid:19)
(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:21)
(cid:19)
(cid:21)
(cid:89)
⑴
(cid:89)
(cid:48)
(cid:14)(cid:19)
(cid:14)(cid:21)
(cid:90)
(cid:21)
(cid:19)
(cid:48)
(cid:14)(cid:19)
(cid:14)(cid:21)
(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:21)
(cid:19)
(cid:21)
3 ⑴ x=2 ⑵ y=6
1 ⑴ 점 (3, 0)을 지나고 y축에 평행한(x축에 수직인) 직
2 ⑴ x=4이므로 점 (4, 0)을 지나고 y축에 평행한(x축
⑵ y=3이므로 점 (0, 3)을 지나고 x축에 평행한(y축
3 ⑴ y축에 평행한 직선이므로 x=p의 꼴이고 주어진 점
선이다.
직선이다.
에 수직인) 직선이다.
에 수직인) 직선이다.
의 x좌표가 2이므로 x=2
의 y좌표가 6이므로 y=6
⑵ x축에 평행한 직선이므로 y=q의 꼴이고 주어진 점
44 ⅠV . 일차함수
⑵ 점 (0, -2)를 지나고 x축에 평행한(y축에 수직인)
∴ a+3b=0+3_
=1
;3!;
1 교점의 좌표가 (2, 3)이므로 연립방정식의 해는
x=2, y=3
2 ax+y+2=0에서 y=-ax-2
3x-y+b=0에서 y=3x+b
⑴ 해가 한 쌍이려면 두 그래프가 한 점에서 만나야 하
므로 -a+3 ∴ a+-3
⑵ 해가 없으려면 두 그래프가 평행해야 하므로
⑶ 해가 무수히 많으려면 두 그래프가 일치해야 하므로
-a=3, -2+b
∴ a=-3, b+-2
-a=3, -2=b
∴ a=-3, b=-2
연립방정식
[
3x-y=1
2x+3y=8
을 풀면 x=1, y=2
따라서 점 (1, 2)를 지나고 x축에 평행한 직선의 방정식은
y=2
개
념
탑
2 연립방정식
[
2x+y+9=0
3x-2y+10=0
을 풀면 x=-4, y=-1
두 점 (-4, -1), (0, 1)을 지나는 직선의 기울기는
1-(-1)
0-(-4)
=
;2!;
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=
x+1, 즉
;2!;
x-2y+2=0이다.
A
두 직선의 교점의 좌표를 이용하여
미지수의 값 구하기
본문 155쪽
⑴ x=3, y=-2 ⑵ a=2, b=1
1 -
;4%;
C
연립방정식의 해의 개수와 그래프
본문 156쪽
⑤
3 -2
ax+y=2에서 y=-ax+2
2x-3y=b에서 y=
x-
;3@;
;3B;
⑴ 두 직선의 교점의 좌표가 (3, -2)이므로 주어진 연립
방정식의 해는 x=3, y=-2
연립방정식의 해가 무수히 많으려면 두 그래프가 일치해야
⑵ x=3, y=-2를 ax-3y=12에 대입하면
하므로
3a+6=12 ∴ a=2
x=3, y=-2를 2x+by=4에 대입하면
6-2b=4 ∴ b=1
-a=
에서 a=-
, 2=-
에서 b=-6
;3@;
;3B;
;3@;
∴ a-b=-
-(-6)=
;3@;
;;Á3¤;;
1 교점의 y좌표를 b라 하고 x=2, y=b를 x+2y=1에 대입
하면 2+2b=1 ∴ b=-
;2!;
따라서 x=2, y=-
을 ax+y=-3에 대입하면
3 x+2y=3에서 y=-
x+
;2!;
;2#;
ax-4y=6에서 y=
x-
;4A;
;2#;
연립방정식의 해가 존재하지 않으려면 두 그래프가 평행해
2a-
=-3, 2a=-
∴ a=-
;2!;
;4%;
야 하므로 -
∴ a=-2
=
;2!;
;4A;
;2!;
;2%;
B
두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식
구하기
본문 155쪽
D
직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 구하기
본문 156쪽
y=2
2 ①
12
4 5
정답과 풀이 45
연립방정식
[
y=x+2
y=-2x+2
를 풀면 x=0, y=2
03 ④ 2_1+3_(-2)=-4+-1
∴ A(0, 2)
∴ B(-4, -2)
∴ C(2, -2)
y=x+2에 y=-2를 대입하면 x=-4
y=-2x+2에 y=-2를 대입하면 x=2
∴ △ABC=
_6_4=12
;2!;
4 연립방정식
[
y=2x-1
y=-
x+4
;2!;
를 풀면
x=2, y=3이므로 두 그래프의 교점 y
4
3
의 좌표는 (2, 3)이다.
따라서 오른쪽 그림에서 구하는 도형
의 넓이는
_5_2=5
;2!;
04 ax+by+2=0의 그래프가 점 (-1, 0)을 지나므로
-a+0+2=0 ∴ a=2
즉, 2x+by+2=0의 그래프가 점 (2, -6)을 지나므로
4-6b+2=0 ∴ b=1
∴ a+b=2+1=3
05 x=
;2#;
, y=0을 (a+1)x-3y=6에 대입하면
(a+1)_
=6, a+1=4 ∴ a=3
;2#;
y=2x-1
x=0, y=b를 4x-3y=6에 대입하면
O
-1
2
x
x+4
y=-
;2!;
-3b=6 ∴ b=-2
∴ ab=3_(-2)=-6
06 x=a, y=0을 y=-
;2!;
x+1에 대입하면
0=-
a+1 ∴ a=2
;2!;
따라서 점 (2, 0)을 지나고 y축에 평행한 직선의 방정식은
x=2이다.
07 Ú 두 직선 2x-y+2=0과 2x=4의
교점은 2x-y+2=0에 x=2를 대
(cid:90)
(cid:23)
(cid:89)(cid:30)(cid:19)
입하면 y=6 ∴ (2, 6)
Û 두 직선 `2x-y+2=0과 y+2=0의
(cid:14)(cid:19)
(cid:14)(cid:19)
(cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:19)
(cid:48)
(cid:19)
(cid:89)
(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19)
교점은 2x-y+2=0에 y=-2를
대입하면 x=-2 ∴ (-2, -2)
Ü 두 직선 2x=4, y+2=0의 교점은 x=2, y=-2에서
(2, -2)
Ú, Û, Ü에서 구하는 세 꼭짓점의 좌표는
08 연립방정식의 해가 x=-1, y=0이므로
x=-1, y=0을 두 방정식에 각각 대입하면
-a=-3에서 a=3
-1=b에서 b=-1
09 연립방정식
[
2x-5y=6
4x-y=3
을 풀면 x=
, y=-1
;2!;
직선 ax-4y=5가 점
, -1
을 지나므로
{;2!;
}
10 ①
(2, 6), (-2, -2), (2, -2)
기본 다지기 문제
본문 157~158쪽
01 ⑤
02 -
;2!;
03 ④
04 3
06 x=2
05 -6
07 (2, 6), (-2, -2), (2, -2)
09 8
08 a=3, b=-1
12 ⑤
11 y=3x-11
01 2x+y-3=0에서 y=-2x+3
⑤ 일차함수 y=-2x의 그래프와 평행하다.
02 3x-2y+1=0에서 y=
x+
;2#;
;2!;
기울기가
, x절편이 -
이므로 a=
, b=-
;3!;
;2#;
;3!;
;2#;
∴ ab=
_
-
{
;2#;
;3!;}
=-
;2!;
46 ⅠV . 일차함수
직선 2x+by=-5가 점
, -1
을 지나므로
{;2!;
}
;2!;
a+4=5 ∴ a=2
1-b=-5 ∴ b=6
∴ a+b=2+6=8
10 교점의 x좌표를 b라 하고 x=b, y=3을 x+y=5에 대입
하면 b+3=5 ∴ b=2
따라서 x=2, y=3을 ax-2y=-3에 대입하면
2a-6=-3, 2a=3 ∴ a=
;2#;
11 x-2y=2, 2x+3y=11을 연립하여 풀면 x=4, y=1
두 점 (4, 1)과 (2, -5)를 지나는 직선을 y=ax+b라 하면
a=
-5-1
2-4
=3
∴ b=-11
y=3x+b에 x=2, y=-5를 대입하면 -5=6+b
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=3x-11
12 -2x+ay=3에서 y=
x+
;a#;
;a@;
6x+3y=b에서 y=-2x+
;3B;
1 y=kx-2k-1의 그래프가 k=1일 때, k=2일 때 모두 점
(m, n)을 지나므로
n=m-3
n=2m-5
[
에서 m=2, n=-1
개
념
탑
따라서 점 (2, -1)을 지나고 x축에 평행한 직선의 방정식
은 y=-1이다.
2 y=
;2#;
, x=2, y=-1, x=-a의
그래프는 오른쪽 그림과 같다.
색칠한 부분의 넓이가 10이므로
(2+a)_
=10, 2+a=4
;2%;
∴ a=2
y
;2#;
y=
;2#;
2
x
y=-1
-a
O
-1
x=-a
x=2
3 연립방정식
[
x-3y+3=0
2x+y-a=0
을 풀면
, y=
a+6
7
3a-3
7
3a-3
7
x=
점
{
3a-3
7
,
a+6
7
a+6
7
<0,
>0
즉, a<1, a>-6이므로 -6<a<1
이 제2사분면 위에 있으므로
}
두 직선의 교점이 무수히 많으려면 두 직선이 일치해야 하므
4 두 그래프의 교점의 좌표가 (-2, 3)이므로 x=-2, y=3
로
=-2에서 a=-1,
;a@;
=
;3B;
;a#;
에서 b=-9
∴ a-b=-1-(-9)=8
을 주어진 연립방정식에 대입하면
-6-6+a=0
-6+12-b=0
[
∴ a=12, b=6
실력 올리기 문제
본문 159~160쪽
Ú 두 직선 x-y+2=0, ax-y+3=0이 서로 평행할 때,
1 y=-1
2 2
3 -6<a<1
Û 두 직선 2x+y=0, ax-y+3=0이 서로 평행할 때,
a=1
a=-2
4 ②
5 ①, ③
6 -
;6%;
7 ① -3, 2, (-3, 2) ② 3x+b
③ 3x+b, -3, 2, 11, y=3x+11
8 ① 2 ② y=-
x+
③ -
;3@;
;3&;
;3@;
3x-2y+12=0에 y=0을 대입하면 x=-4
∴ A(-4, 0)
3x+4y-6=0에 y=0을 대입하면 x=2 ∴ B(2, 0)
따라서 ABÓ의 길이는 6이다.
5 연립방정식
[
x-y+2=0
2x+y=0
을 풀면 x=-
, y=
;3@;
;3$;
Ü 세 직선이 한 점에서 만날 때, 교점의 좌표가
-
{
;3@;
,
;3$;}
이므로 -
a-
+3=0 ∴ a=
;3@;
;3$;
;2%;
Ú, Û, Ü에서 a=-2 또는 a=1 또는 a=
이므로 a의
;2%;
값이 될 수 없는 것은 ①, ③이다.
정답과 풀이 47
l
y
A
5
k
C
B
-6
O
x
8 ① 일차방정식 ax+5y-2a=0의 그래프의 x절편이 k이
므로
x=k, y=0을 ax+5y-2a=0에 대입하면
ak-2a=0 ∴ k=2 (∵ a+0)
② kx+(2k-1)y+1-4k=0에서 k=2를 대입하면
2x+3y-7=0
2x+3y-7=0에서 y=-
x+
;3@;
;3&;
③ 따라서 구하는 기울기는 -
이다.
;3@;
6 직선 l의 방정식은 y=
직선 l이 y축, x축과 만나는 점을 각각
x+5
;6%;
y=mx
A, B라 하면
△ABO=
_6_5=15
;2!;
두 직선 l과 y=mx의 교점을 C라 하자.
△CBO=
이므로 점 C의 y좌표를 k라 하면
:Á2°:
;2!;
_6_k=
∴ k=
:Á2°:
;2%;
y=
x+5에 y=
를 대입하면 x=-3
;6%;
;2%;
즉, 직선 y=mx가 점
{
-3,
;2%;}
를 지나므로
;2%;
=-3m ∴ m=-
;6%;
7 ① 두 일차방정식 2x+3y=0, x+y+1=0을 연립하여 풀
면 x=-3, y=2이므로 두 직선의 교점의 좌표는
(-3, 2)이다.
② 직선 y=3x+4와 평행하므로 구하는 직선의 방정식은
y절편이 b인 y=3x+b로 놓을 수 있다.
③ y=3x+b에 x=-3, y=2를 대입하면 b=11
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=3x+11이다.
48 ⅠV . 일차함수
학
수
중학수학
2 1
개념익힘탑
I. 유리수와 순환소수
1 유리수와 순환소수
II. 식의 계산
1 단항식의 계산
2 다항식의 계산
III. 부등식과 연립방정식
050
1 부등식
2 연립방정식
054
058
IV. 일차함수
1 일차함수와 그 그래프
2 일차함수와 일차방정식의 관계
중간 모의고사
기말 모의고사
063
068
079
088
092
094
I 유리수와 순환소수
1 유리수와 순환소수
개념익힘문제
개념익힘탑 2~7쪽
01 ②, ④ 02 ⑤
05 3
06 ②
08 ⑴ 04 ⑵ 0.H0H4
10 은숙, H1.3H2 → 1.H32H1
12 ⑴ 2 ⑵ 2 ⑶ 4 ⑷ 7
15 135
18 ②, ④ 19 ④
22 ㄴ, ㄷ 23 ⑤
26 a=12, b=25
28 ③
32 ④
03 ①, ④ 04 ③
07 6
09 ②
11 ④
13 6
16 3, 3, 5, 3, 1000
20 ③
24 ③
27 2, 4, 5, 6, 8
29 7
30 45
33 ①, ④ 34 ④
14 ⑤
17 4
21 ②
25 ⑤
31 ②
35 ①
36 ②
40 99
44 ⑤
37 :ª9¢9¥:
41 ②
38 ③
39 4.2H7
42 ②, ⑤ 43 ①
01 ① -
=-3
② -
=-
;2!;
;2^;
;4@;
⑤
=3
:ª7Á:
따라서 정수가 아닌 유리수는 ②, ④이다.
04 ① 54 ② 231 ④ 21 ⑤ 346
05
;9!;
=0.111y이므로 순환마디는 1
=0.5222y이므로 순환마디는 2
;9$0&;
따라서 a=1, b=2이므로 a+b=1+2=3
06 ①
;3@;
=0.666y이므로 순환마디는 6의 1개
②
=0.571428571428y이므로 순환마디는 571428의
;7$;
6개
;9%;
;1¢1;
;1!5!;
③
=0.555y이므로 순환마디는 5의 1개
④
=0.363636y이므로 순환마디는 27의 2개
⑤
=0.7333y이므로 순환마디는 3의 1개
=0.272727y이므로 순환마디는 27 ∴ x=2
=0.675675y이므로 순환마디는 675 ∴ y=3
07
;1£1;
;3@7%;
∴ xy=2_3=6
08 ⑴
;9¢9;
=0.040404y이므로 순환마디는 04
⑵
=0.H0H4
;9¢9;
09 ② 2.020202y=2.H0H2
10 은숙, 1.321321321y=1.H32H1
11
;3!7);
=0.270270270y=0.H27H0
02 ①
;2£0;
=0.15`(유한소수) ②
=0.24`(유한소수)
12 ⑴ 20=2_10이므로 소수점 아래 20번째 자리의 숫자는
③
=0.875`(유한소수) ④
=0.016`(유한소수)
순환마디의 마지막 숫자인 2이다.
⑵ 20=3_6+2이므로 소수점 아래 20번째 자리의 숫자
;2¤5;
;12@5;
⑤
=0.151515y`(무한소수)
는 순환마디의 2번째 숫자인 2이다.
;8&;
;3°3;
03 ①
;3!;
=0.333y ④
=0.0444y`(무한소수)
;4ª5;
⑤
=0.41666y`(무한소수)
;1°2;
50 I . 유리수와 순환소수
⑶ 20=4_5이므로 소수점 아래 20번째 자리의 숫자는
순환마디의 마지막 숫자인 4이다.
⑷ 20-1=2_9+1이므로 소수점 아래 20번째 자리의
숫자는 순환마디의 1번째 숫자인 7이다.
;1°3;
13
=0.H38461H5이므로 순환마디의 숫자의 개수는 6이다.
따라서 100=6_16+4이므로 소수점 아래 100번째 자리
의 숫자는 순환마디의 4번째 숫자인 6이다.
22 ㄱ.
=
;7!5&;
17
3_5Û`
ㄷ.
42
2Ü`_5_7
=
3
2Û`_5
ㄹ.
1
2Û`_5
ㄴ.
=
=
;2Á2Á0;
;2Á0;
22
2Û`_3_5_11
=
1
2_3_5
따라서 유한소수로 나타낼 수 있는 것은 ㄴ, ㄷ이다.
14 소수점 아래 20번째 자리의 숫자는
② 20-1=2_9+1에서 순환마디의 첫번째 숫자인 3
③ 20=3_6+2에서 순환마디의 두번째 숫자인 0
⑤ 20-1=2_9+1에서 순환마디의 첫번째 숫자인 5
=0.H14285H7이고 30=6_5이므로
AÁ+Aª+A£+y+Aª»+A£¼
=(1+4+2+8+5+7)_5
;7!;
15
=135
16
=
;4£0;
3
2Ü`_5
=
3_5Þ`
2Þ`_5_5Û`
=
75
(2_5)Ü`
=
=0.075
;10&0%0;
따라서 안에 알맞은 수는 차례대로 3, 3, 5, 3, 1000이다.
=
17
따라서 a=4, b=28, c=0.028이므로
7_2Û`
2_5Ü`_2Û`
7
2_5Ü`
;10@0*0;
;25&0;
=
=
=0.028
a+b-1000c=4+28-1000_0.028=4
18 ①
=
;2£0;
②
=
;2°1;
③
=
;2¦5;
3
2Û`_5
5
3_7
7
5Û`
=
④
=
;3!0!;
11
2_3_5
=
3_5
2Þ`_5Û`
=
;1Á0°0;
=0.15
7_2Û`
5Û`_2Û`
=
;1ª0¥0;
=0.28
⑤
=
;4!0&;
17
2Ü`_5
=
17_5Û`
2Ü`_5Ü`
=
=0.425
;1¢0ª0°0;
=
;2!0!;
11
2Û`_5
=
11_5
2Û`_5_5
=
55
10Û`
19 ①
따라서 a의 최솟값은 55, n의 최솟값은 2이므로 a+n의
최솟값은 55+2=57
20 ①
=
;1¦2;
7
2Û`_3
④
=
;3¥0;
;1¢5;
=
③
=
;2!0&;
⑤
=
;6¦0;
17
2Û`_5
7
2Û`_3_5
14
5Ü`_11
③
④
⑤
3
2Û`_5
1
2Û`_5
21 ②
4
3_5
13
2_5Û`
a
23
70
=
a
2_5_7
a
70
이므로
가 유한소수가 되려면 a는 7의
배수이어야 한다.
따라서 a의 값으로 알맞은 것은 ⑤이다.
개
념
익
힘
탑
24
=
1
3_5_7
;10!5;
이므로
_x가 유한소수가 되려면
;10!5;
x는 21의 배수이어야 한다.
따라서 두 자리의 자연수 중에서 21의 배수는 21, 42, 63,
84의 4개이다.
25 두 분수가 모두 유한소수가 되려면 a는 11의 배수인 동시
에 7의 배수이어야 한다.
따라서 a는 11_7=77의 배수이므로 a의 값 중 가장 작은
자연수는 77이다.
a
26
75
=
a
3_5Û`
수이어야 한다.
a
75
이므로
가 유한소수가 되려면 a는 3의 배
또, 기약분수로 나타내면
이므로 a는 4의 배수이어야
;b$;
따라서 a는 3_4=12의 배수이고 10<a<20이므로
=
=
;7!5@;
;2¢5;
이므로 b=25
27
=3,
,
;2#;
;3#;
;1#;
=1,
=
;4#;
,
,
=
,
;2!;
;7#;
,
;8#;
;6#;
;5#;
=
3
2Û`
3
2Ü`
,
따라서 구하는 n의 값은 2, 4, 5, 6, 8이다.
한다.
a=12
a
75
=
;9#;
;3!;
28
=
28
2Û`_5_x
5뿐인 수 또는 7의 약수 또는 이들의 곱으로 이루어진 수
이 유한소수가 되려면 x는 소인수가 2나
7
5_x
이어야 한다.
정답과 풀이 51
따라서 유한소수로 나타낼 수 없는 것은 ②이다.
따라서 x의 값이 될 수 없는 것은 ③ 12이다.
29
6
5_x
이 유한소수가 되려면 x는 소인수가 2나 5뿐인 수
39 a=
;9%9$;
, b=
이므로
;;ª9Á;;
또는 6의 약수 또는 이들의 곱으로 이루어진 수이어야 한다.
따라서 x의 값이 될 수 있는 한 자리의 자연수는 1, 2, 3,
=
;aB;
;;ª9Á;;Ö;9%9$;=;;ª9Á;;_;5(4(;=;1&8&;
=4.2777y=4.2H7
4, 5, 6, 8의 7개이다.
40 0.1H2=
11
90
=
11
2_3Û`_5
이므로 a는 3Û`=9의 배수이어야
30 (가)에서 A는 2를 소인수로 가지지 않는다.
(다)에서 A는 소인수가 5뿐인 수 또는 9의 약수 또는 이들
한다.
의 곱으로 이루어진 수이므로 30 이상 50 미만인 자연수
99이다.
A는 5_9=45
31 100x=1267.676767y, x=12.676767y이므로 가장 편
리한 식은 ② 100x-x이다.
따라서 a의 값이 될 수 있는 가장 큰 두 자리의 자연수는
41 0.H3H6=
;9#9^;
=36_
이므로 a=
=0.H0H1
;9Á9;
;9Á9;
42 ① 순환소수는 무한소수이다.
③ 0은
과 같이 분수로 나타낼 수 있다.
;2);
④ 유리수는 정수 또는 유한소수 또는 순환소수로 나타낼
수 있다.
타낼 수 없다.
43 ① 무한소수 중에서 순환하지 않는 무한소수는 분수로 나
⑤ 분수로 나타낼 때, 가장 편리한 식은 10000x-100x
44
;bA;
는 유리수이므로 순환하지 않는 무한소수는 될 수 없다.
32
-
>³
1000x=327.2727y
10
x=
3.
272
7y
990x=324
따라서 계산 결과가 정수인 것은 ④이다.
33 ② 순환마디는 02이다.
③ 순환소수는 분수로 나타낼 수 있다.
이다.
34 ④ 1.H12H3=
⑤ 1.4H2H5=
;;Á9Á9ª9ª;;=;3#3&3$;
=
1123-1
999
1425-14
990
=
;;Á9¢9Á0Á;;
35 0.H5H4=
=
;9%9$;
;1¤1;
∴ A=11
=7Ö33=0.212121y =0.H2H1이므로 `a=2, b=1
;3¦3;
36
∴ 0.HbHa=0.H1H2=
=
;9!9@;
;3¢3;
37 (주어진 식) =2+(0.5+0.005+0.00005+y)
=2.50505y
250-2
99
=2.H5H0=
;;ª9¢9¥;;
=
38 0.Hx=
;9{;
이므로
<0.HxÉ
에서
;5#;
;9*;
<
É
,
;9*;
;4@5&;
<
;9{;
;5#;
;4%5{;
É
;4$5);
∴ 27<5xÉ40
따라서 한 자리의 자연수 x는 6, 7, 8의 3개이다.
52 I . 유리수와 순환소수
실전연습문제
개념익힘탑 8~9쪽
02 ②
01 ④
05 ①, ④ 06 ④
10 ②
09 16
14 0.91H6
13 ⑤
03 ③
07 ③
11 ④
04 ④
08 ③
12 ⑤
=0.428571428571y이므로 순환마디는 428571의
01 ①
;7#;
6개이다.
②
=0.9333y이므로 순환마디는 3의 1개이다.
③
=0.541666y이므로 순환마디는 6의 1개이다.
④
=0.484848y이므로 순환마디는 48의 2개이다.
⑤
=0.540540540y이므로 순환마디는 540의 3개이다.
;1!5$;
;2!4#;
;3!3^;
;3@7);
³
³
³
³
10 구하는 분수를
a
36
라 할 때,
a
36
=
a
2Û`_3Û`
가 유한소수로
나타내어지려면 a는 3Û`=9의 배수이어야 한다.
=0.18H24H3은 소수점 아래 셋째 자리부터 순환마디가
이때
=
;4!;
,
;3»6;
;9*;
=
;3#6@;
이므로 구하는 분수는
,
;3!6*;
;3@6&;
의
2개이다.
따라서 50-2=3_16이므로 소수점 아래 50번째 자리의
숫자는 순환마디의 마지막 숫자인 3이다.
11
x
135
=
x
3Ü`_5
이므로 x는 3Ü`=27의 배수이어야 하고, 기약
분수로 나타내면
이므로 x는 2의 배수이어야 한다.
;]@;
따라서 x는 27_2=54의 배수이고, 두 자리의 자연수이
개
념
익
힘
탑
②
=
;1£4;
3
2_7
④
=
;6@0&;
;2»0;
=
9
2Û`_5
므로 x=54
즉,
x
135
=
54
135
=
;5@;
이므로 y=5
∴ x+y=54+5=59
02 ② 1.010101y=1.H0H1
03
;1ª4¦8;
시작된다.
04 ④ 65
05 ①
12
2_3_5Û`
=
2
5Û`
③
6
2Û`_3Û`
=
1
2_3
⑤
=
;9#1%;
;1°3;
따라서 유한소수로 나타낼 수 있는 것은 ①, ④이다.
06
;5£4;
=
;1Á8;
=
1
2_3Û`
,
=
;7#0&;
37
2_5_7
이므로 두 분수에 각각
자연수 n을 곱하여 두 분수 모두 유한소수가 되려면 n은
3Û`과 7의 공배수, 즉 3Û`_7=63의 배수이어야 한다.
따라서 63의 배수 중 가장 작은 자연수 n은 63이다.
12 어떤 자연수를 x라 하면 x_0.H5-x_0.5=1
x=1 ∴ x=18
x=1,
x-
;9%;
;2!;
;1Á8;
13 ① 순환소수는 유리수이다.
② 무한소수 중 순환소수만 유리수이다.
③ 무한소수는 순환소수와 순환하지 않는 무한소수로 이
07
36
2Û`_3_5_a
2나 5뿐인 수 또는 3의 약수 또는 이들의 곱으로 이루어진
이 유한소수가 되려면 a는 소인수가
3
5_a
=
루어져 있다.
낼 수 있다.
④ 정수가 아닌 유리수는 유한소수 또는 순환소수로 나타
따라서 10보다 크고 20보다 작은 자연수 a는 12, 15, 16
수이어야 한다.
의 3개이다.
08 1000x=173.173173y, x=0.173173y이므로 가장 편리
한 식은 ③ 1000x-x이다.
09 1.777y=1.H7=
17-1
9
=
;;Á9¤;;
∴ a=16
=0.91H6
;1!2!;
14 0.58H3=
=
;9%0@0%;
;1¦2;
이고 지연이는 분모를 바르게 보았으므
로 기약분수의 분모는 12이다.
0.7H3=
=
;9^0^;
;1!5!;
이고 지준이는 분자를 바르게 보았으므로
기약분수의 분자는 11이다.
따라서 처음 기약분수를 순환소수로 나타내면
정답과 풀이 53
II 식의 계산
1 단항식의 계산
개념익힘문제
개념익힘탑 10~18쪽
04 223 bit
08 ③
12 ②
16 ③
20 ④
24 ③
03 ④
02 ④
01 ③
07 ④
05 ③, ⑤ 06 ③
11 ②
10 7
09 ①
15 ③
14 ④
13 ④
19 ⑤
18 16aÝ`
17 ②
23 ③
22 ⑤
21 ③
26 ②, ④ 27 A=aÛ`, B=aÛ`
25 ①
31 ②
30 3
29 4
28 7
35 ③
34 ③
33 7
32 ④
37 ④
36 x=8, y=16
38 ②
41 ②, ④ 42 ②
39 ⑤
40 ③
46 5
45 ①
43 13
44 ④
48 ⑤
47 ②
50 5
49 -25
52 6xÜ`yÞ`zÝ` 53 30aÝ`bÞ` 54 4aÛ`bÜ`
51 ③
57 yÚ`Þ`
xÛ`
61 ④
65 ④
62 ⑤
66 3a
55 ③
56 ③
58 ④
59 ⑤
63 ②
67 4abÝ`
60 19
64 ②
68 ②
01 2Þ`_2Ý`_64`=2Þ`_2Ý`_2ß`=2Ú`Þ`이므로 =15
02 3x+4=3x_3Ý`=3x_81이므로 =81
03 (부피)=aÜ`_aÜ`_aÜ`=aá`
04 1`MB=2Ú`â`_2Ú`â`_2Ü`=2Û`Ü``bit
05 ① 2Þ`+2Þ`=2_2Þ`=2ß`
② 2Þ`-2Ý`=2Ý`(2-1)=2Ý`
④ (2Û`)Ü`=2ß`
54 II . 식의 계산
06 27Ý`=(3Ü`)Ý`=312이므로 3x+2=312
따라서 x+2=12이므로 x=10
07 {(aÛ`)Ý`}Þ`=(a8)Þ`=a40
08 (xÞ`)a_(yb)Ü`_(zc)à`=x5a_y3b_z7c=x15y12z21이므로
5a=15에서 a=3, 3b=12에서 b=4, 7c=21에서 c=3
∴ a+b+c=3+4+3=10
09 5Ü`+5Ü`+5Ü`+5Ü`+5Ü`=5_5Ü`=5Ý`이므로 =4
10 2Ü`+2Ü`=2_2Ü`=2Ý`이므로 a=4
3Û`+3Û`+3Û`=3_3Û`=3Ü`이므로 b=3
∴ a+b=4+3=7
11 2Ý`_(4_4Û`)=2Ý`_2Û`_(2Û`)Û`=2Ý`_2Û`_2Ý`=210이므로
a=10
12
9Ü`+9Ü`
8Û`+8Û`+8Û`+8Û`
=
2_9Ü`
4_8Û`
=
2_(3Û`)Ü`
2Û`_(2Ü`)Û`
=
2_3ß`
28 =
3ß`
2à`
15 45Ú`â`=(3Û`_5)Ú`â`=3Û`â`_5Ú`â`=(3Ý`)Þ`_(5Û`)Þ`=AÞ`BÞ`
13 8Ý`=(2Ü`)Ý`=(2Ý`)Ü`=AÜ`
14
1
9Ú`â`
=
1
(3Û`)Ú`â`
=
1
(3Ú`â`)Û`
=
1
AÛ`
16 30Ü`â` =(2_3_5)Ü`â`
=2Ü`â`_3Ü`â`_5Ü`â`
=(2Û`)Ú`Þ`_(3Ü`)Ú`â`_(5Þ`)ß`
=AÚ`Þ`BÚ`â`Cß`
17 49x=(7Û`)x=(7x)Û`=aÛ`
18 a=3xÖ2이므로 3x=2a
∴ 81x=(3Ý`)x=(3x)Ý`=(2a)Ý`=16aÝ`
19 A=3x+2=3x_9이므로 3x=
Ü`=
27x=(3Ü`)x=(3x)Ü`=
A
9 }
{
A
9
A
9
_
_
=
A
9
A
9
AÜ`
729
개
념
익
힘
탑
20 a=5x-1=5x_
;5!;
이므로 5x=5a,
b=21+x=2_2x이므로 2x=
;2B;
80x=(2Ý`_5)x=24x_5x
5abÝ`
16
Ý`_5a=
{;2B;}
=
21 2의 거듭제곱의 일의 자리의 숫자는 2, 4, 8, 6의 숫자 4개
가 반복된다. 이때 50=4_12+2이므로 2Þ`â`의 일의 자리의
숫자는 2번째로 반복되는 숫자인 4이다.
22 3Ú`=3, 3Û`=9, 3Ü`=27, 3Ý`=81, y이므로 3의 거듭제곱의
일의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1의 숫자 4개가 반복된다. 이
때 22=4_5+2이므로 3Û`Û`의 일의 자리의 숫자는 2번째로
반복되는 숫자인 9이다.
23 7Ú`=7, 7Û`=49, 7Ü`=343, 7Ý`=2401, y이므로 7의 거듭제
곱의 일의 자리의 숫자는 7, 9, 3, 1의 숫자 4개가 반복
된다. 이때 65=4_16+1이므로 7ß`Þ`의 일의 자리의 숫자
는 첫 번째로 반복되는 숫자인 7이다.
24 81Ü`=(3Ý`)Ü`=3Ú`Û`, 9Þ`=(3Û`)Þ`=3Ú`â`이므로
81Ü`Ö9Þ`=3Ú`Û`Ö3Ú`â`=3Û`
25 (xÞ`)Ý`Ö(xÜ`)Ü`Ö(xÛ`)Ý`=xÛ`â`Öxá`Öx8=xÚ`Ú`Öx8=xÜ`
26 xá`Öxß`ÖxÜ`=xÜ`ÖxÜ`=1
① xá`Öxß`_xÜ`=xÜ`_xÜ`=xß`
② xá`Ö(xß`_xÜ`)=xá`Öxá`=1
③ xá`Ö(xß`ÖxÜ`)=xá`ÖxÜ`=xß`
④ (xá`Öxß`)ÖxÜ`=xÜ`ÖxÜ`=1
⑤ xá`_(xß`Öxß`)=xá`_1=xá`
27 B=aß`ÖaÝ`=aÛ`
A=aÝ`ÖB=aÝ`ÖaÛ`=aÛ`
28 32=2Þ`이므로 2x-2=2Þ`
따라서 x-2=5이므로 x=7
29 xÚ`â`ÖxÖxÜ`=xÜ`에서 x10--3=xÜ`이므로
10--3=3 ∴ =4
32x-1
3-x+4 =32x-1-(-x+4)=33x-5
30
즉, 33x-5=3Ý`이므로
3x-5=4 ∴ x=3
31 8a+2=(2Ü`)a+2=23a+6=2Ú`Þ`이므로
3a+6=15 ∴ a=3
(2Ý`)Ý`
16Ý`
2b =
2b =
16-b=15 ∴ b=1
2Ú`ß`
2b =2Ú`Þ`이므로
∴ a+b=3+1=4
32 2Þ`_3Þ`=(2_3)Þ`=6Þ`이므로 =5
33 x9ay3b=x27y12이므로 9a=27, 3b=12
따라서 a=3, b=4이므로 a+b=3+4=7
34 (4am)n=4namn=4Ü`a12이므로 n=3, mn=12
∴ m=4, n=3
∴ m+n=4+3=7
35 48Ý`=(2Ý`_3)Ý`=2Ú`ß`_3Ý`이므로 x=4, y=16
∴ x+y=4+16=20
36
a
bÛ` }
b
a8 }
{
{
Ý`=
Û`=
aÝ`
b8 이므로 x=8
bÛ`
aÚ`ß`
이므로 y=16
37 ④
{
Ü`
xyÛ`
3 }
= xÜ`yß`
27
b
3xa
y }
= 3bxab
yb =
27xá`
yc 이므로
38
{
3b=27=3Ü`에서 b=3
yb=yc에서 c=b=3
xab=xá`에서 ab=9, 3a=9 ∴ a=3
∴ a+b+c=3+3+3=9
39
(aÛ`b)Ü`
(abÛ`)m = aß`bÜ`
an
bÞ`
n=6-m, 5=2m-3 ∴ m=4, n=2
amb2m =
a6-m
b2m-3
이므로
an
bÞ`
=
∴ m+n=4+2=6
40 ③ aÚ`â`ÖaÞ`=a10-5=aÞ`
41 ② aÜ`Öaß`_aÛ`=
④ (xÛ`)ß`Ö(xÜ`)Ý`=xÚ`Û`ÖxÚ`Û`=1
_aÛ`=
;a!;
1
aÜ`
정답과 풀이 55
42 ①, ③, ④, ⑤ xÚ`Þ`
② x28
43 (aÛ`_aß`)Û`Öa =(a8)Û`Öa =a16Öa =a16-=aÜ`이므로
16-=3 ∴ =13
44 216_520=216_(516_5Ý`)=5Ý`_(2_5)16=625_1016
따라서 216_520은 19자리의 자연수이므로 n=19
45 210_3_58 =22+8_3_58=2Û`_28_3_58
`
=2Û`_3_(2_5)8=12_108
따라서 210_3_58은 10자리의 자연수이므로 n=10
46 4Ü`_5Ý` =(2Û`)Ü`_5Ý`=2ß`_5Ý`=2Û`_2Ý`_5Ý`
=2Û`_(2_5)Ý`=4_10Ý`
따라서 4Ü`_5Ý`은 5자리의 자연수이므로 n=5
47
231_1520
1810
=
231_(3_5)Û`â`
(2_3Û`)10 =
231_320_520
210_3Û`â`
=221_520
=2_220_520=2_(2_5)20=2_1020
따라서
은 21자리의 자연수이다.
231_1520
1810
48 ⑤ (주어진 식)=(-xy)_
1
5xÛ`
_
-
{
1
4yÜ` }
=
1
20xyÛ`
49 3xyÛ`_16xß`yÛ`_(-xß`yß`)=-48x13y10=axbyc이므로
a=-48, b=13, c=10
∴ a+b+c=-48+13+10=-25
50 (-abx)Û`_2ayb=aÛ`b2x_2ayb=2a2+yb2x+1=2aÝ`bà`이므로
2+y=4, 2x+1=7에서 x=3, y=2
∴ x+y=3+2=5
51
a16-4B
a16b4A
b20-4A =
a4Bb20 =
16-4B=12, 20-4A=8
a12
b8 이므로
따라서 A=3, B=1이므로 A+B=3+1=4
52 (부피)=3xÛ`z_2xyÜ`_yÛ`zÜ`=6xÜ`yÞ`zÝ`
53 (부피)=
{;2!;
=30aÝ`bÞ`
_3aÛ`_4bÛ`
_5aÛ`bÜ`
}
56 II . 식의 계산
(cid:20)(cid:89)(cid:154) (cid:90)(cid:153)
(cid:19)(cid:89)(cid:90)
54 (가로의 길이)_8abÛ`=32aÜ`bÞ`에서
(가로의 길이)=32aÜ`bÞ`_
=4aÛ`bÜ`
1
8abÛ`
55 회전체는 오른쪽 그림과 같다.
(부피) =
_p_(2xy)Û`_3xÜ`yÛ`
;3!;
=
;3!;
=4pxÞ`yÝ`
_p_4xÛ`yÛ`_3xÜ`yÛ`
56 (주어진 식)=
xÛ`yÛ`_
xÜ`y_
;4#;
;2!5^;
5
9xyÜ`
=
xÝ`
;1¢5;
57 (주어진 식)=x8y8_
1
x18yá`
_x8y16=
yÚ`Þ`
xÛ`
58 ① 6xÛ`y_
_(-2xÜ`)=-
12xÝ`
yÜ`
② xÝ`yß`_
_x8yÝ`=xá`yÝ`
1
xyÝ`
1
xÜ`yß`
③
xÛ`y_
-
{
;1¢5;
5
6xyÜ` }
_4xÛ`yÛ`=-
xÜ`
;9*;
④ (-8aß`)_4bÞ`_
-
=32aÜ`bÛ`
⑤ xÝ`yß`_(-8xÜ`yÜ`)_
=-16xÜ`yÞ`
{
1
aÜ`bÜ` }
2
xÝ`yÝ`
59 (주어진 식) =(-1)ax3aya_
1
2xby
_10xÞ`yÛ`
=(-1)a_5_x3a-b+5_ya+1
=cxÛ`yÜ`
이므로 (-1)a_5=c, 3a-b+5=2, a+1=3
따라서 a=2, b=9, c=5이므로 a+b+c=2+9+5=16
60 (-3xÛ`yÜ`)aÖ12xÞ`yb_4xÛ`yÞ`
=(-3)ax2ay3a_
1
12xÞ`y b _4xÛ`yÞ`
=
x2a-3y3a-b+5
(-3)a
3
따라서
=c, 2a-3=3, 3a-b+5=7이므로
(-3)a
3
a=3, b=7, c=-9
∴ a+b-c=3+7-(-9)=19
61 (-xÛ`yÜ`)Ü`Ö
x
yÛ` }
{
Ü`_xyÛ` =-xß`yá`Ö xÜ`
yß`
yß`
xÜ`
=-xß`yá`_
_xyÛ`
_xyÛ`
=-xÝ`yÚ`à`
따라서 a=4, b=17이므로 b-a=17-4=13
62
-
{
;3$;
xyÛ`
}
Û`_(-18xyÛ`)Ö(-2y)Ü`
=
xÛ`yÝ`_(-18xyÛ`)Ö(-8yÜ`)
=
xÛ`yÝ`_(-18xyÛ`)_
-
1
8yÜ` }
{
:Á9¤:
:Á9¤:
=4xÜ`yÜ`
따라서 a=4, b=3, c=3이므로
a-b+c=4-3+3=4
63 (3xÛ`y)Ü`Ö_(-xÛ`y)=3xÞ`y에서
27xß`yÜ`Ö_(-xÛ`y)=3xÞ`y
∴ =
27xß`yÜ`_(-xÛ`y)
3xÞ`y
=-9xÜ`yÜ`
64 ① =-3xÜ`y_
-
{
_2xyÛ`=xÜ`y
② =
_aÚ`Þ`bß`_
=aÚ`â`bÚ`Ú`
9bß`
4aÛ`
③ =24xy_
_
=3xÛ`
④ =xÛ`y_
_(-2xÝ`yÜ`)=-2xÜ`yÛ`
1
4yÛ`
1
xÜ`yÛ`
⑤ =8xá`yÜ`_xÜ`yß`_
=2xß`yß`
65 ㉠ =(-9xÛ`yÛ`)_
1
36xyÛ`
_4xÛ`y=-xÜ`y
㉡ =(-8xß`)_xÛ`yÝ`_
=-4xß`yÜ`
∴ ㉠_㉡=(-xÜ`y)_(-4xß`yÜ`)=4xá`yÝ`
1
6xyÛ` }
4
9aÜ`b
xy
2
1
4xß`yÜ`
1
2xÛ`y
66 (직육면체의 부피)
=(가로의 길이)_(세로의 길이)_(높이)이므로
45aÛ`b=3a_5b_(높이), 45aÛ`b=15ab_(높이)
∴ (높이)=45aÛ`b_
=3a
1
15ab
67 (직사각형 A의 넓이)=3abÛ`_4aÛ`bÜ`=12aÜ`bÞ`이므로
(평행사변형 B의 넓이)=3aÛ`b_(높이)=12aÜ`bÞ`
∴ (평행사변형 B의 높이)=12aÜ`bÞ`_
=4abÝ`
1
3aÛ`b
68 60xÜ`yÝ`=
;2!;
_5x_6xy_(높이)에서
(높이)=60xÜ`yÝ`_2_
1
5x
_
1
6xy
=4xyÜ`
실전연습문제
개념익힘탑 19~20쪽
01 ③
05 ④
09 34
02 ③
06 ③
10 ③
03 ④
07 ④
11 ③
04 ④
08 8
12 ;]{;
13 -
14 ⑤
15 2a : 3b 16 5aÜ`bÛ`
8bÝ`
5aÛ`
개
념
익
힘
탑
01 3x+3=3x_3Ü`=3x_27 ∴ `=27
02 2x+3+2x+2+2x+1=2x+1(2Û`+2+1)=7_2x+1=448
이므로 2x+1=64=2ß`
따라서 x+1=6이므로 x=5
03 ① 5 ② 7 ③ 6 ④ 11 ⑤ 5
04 (주어진 식)
= 2_2Û`_(2_3)_2Ü`_(2_5)_(2Û`_3)_(2_7)
_2Ý`_(2_3Û`)_(2Û`_5)
=218_3Ý`_5Û`_7
따라서 a=18, b=4, c=2, d=1이므로
a+b+c+d=18+4+2+1=25
05 A=
1
2Ý`
이므로
=
1
4ß`
1
(2Û`)ß`
=
=
1
2Ú`Û`
1
(2Ý`)Ü`
=
{
1
2Ý` }
Ü`=AÜ`
06 (aÝ`)Þ`Ö(aÜ`)Û`Ö(aÛ`)Ý`=aÛ`â`Öaß`Öa8=aÚ`Ý`Öa8=aß`
m
3yl
xÜ` }
07
∴ l=1, m=4, n=12
3mylm
x3m =
=
{
81yÝ`
xn 이므로 3m=81, lm=4, 3m=n
∴ l+m+n=1+4+12=17
08 2à`_3Ü`_5Þ`=2Û`_3Ü`_(2_5)Þ`=108_10Þ`
따라서 2à`_3Ü`_5Þ`은 8자리의 자연수이므로 n=8
3ß`+3ß`+3ß`
09
5ß`+5ß`+5ß`+5ß`+5ß`
이므로 a=7, b=7
=
3_3ß`
5_5ß`
=
3à`
5à`
80Ý`=(2Ý`_5)Ý`=2Ú`ß`_5Ý`이므로 c=4, d=16
∴ a+b+c+d=7+7+4+16=34
정답과 풀이 57
10 ② 8xÜ`_9yÝ`=72xÜ`yÝ`
③ 30xÝ`yÜ`_
=25xyÛ`
④ 25xß`y8_
5
6xÜ`y
8xß`
125yÜ`
=
;5*;
xÚ`Û`yÞ`
1
4xyÛ`
⑤ 64xÝ`yß`_xÝ`yÛ`_
=16xà`yß`
B
11 AB=8xÜ`yÝ`,
C
AC=ABÖ B
C
[다른 풀이]
=4y이므로
=8xÜ`yÝ`Ö4y=8xÜ`yÝ`_
=2xÜ`yÜ`
1
4y
AB=8xÜ`yÝ`에서 A=
=4y에서 C=
8xÜ`yÝ`
B
,
;cB;
B
4y
∴ AC=
8xÜ`yÝ`
B
_
B
4y
=2xÜ`yÜ`
12 AÖ 1
4xÝ`yÜ`
=16xá`yÞ`에서
A=16xá`yÞ`_
=4xÞ`yÛ`
1
4xÝ`yÜ`
따라서 바르게 계산하면
4xÞ`yÛ`_
1
4xÝ`yÜ`
=
;]{;
14 ㉠ =15bÞ`_
㉡ =(3a)Û`_(-2abÛ`)Ü`Ö(-12aÞ`bÛ`)
=5abÝ`
aÛ`bÛ`_
;3!;
1
abÜ`
=9aÛ`_(-8aÜ`bß`)_
-
=6bÝ`
{
1
12aÞ`bÛ` }
1
6bÝ`
=
a
;6%;
∴ ㉠Ö㉡=5abÝ`Ö6bÝ`=5abÝ`_
15 VÁ=p_(2a)Û`_3b=12aÛ`bp,
Vª=p_(3b)Û`_2a=18abÛ`p이므로
VÁ：Vª=12aÛ`bp：18abÛ`p=2a : 3b
16 (높이)=
(직육면체의 부피)
(밑넓이)
=
100a8bÝ`
4aÛ`bÛ`_5aÜ`
=
100a8bÝ`
20aÞ`bÛ`
=5aÜ`bÛ`
58 II . 식의 계산
2 다항식의 계산
개념익힘문제
개념익힘탑 21~25쪽
03 ①
01 5x+12y 02 ③
05 ⑤
04 -4a-4b-3
08 -3xÛ`+9x-10
07 -3
10 -2
12 ③
11 5
13 ⑴ 5a+4b+6 ⑵ -3a-7b-4
14 -2x-3y+4
16 -2
15 -8xÛ`+x-1
17 ⑴ 6xÛ`+9x ⑵ -3xÜ`+xÛ`-7x
06 ②
09 ④
⑶ -8aÛ`-4ab ⑷ -12xÛ`y+10xyÛ`+2xy
20 6a+36aÛ`b
19 -6
18 ②
21 ⑴ 2x+3 ⑵ abÛ`+3a ⑶ 12x-8
25 ⑤
24 ②
23 ④
27 ②
26 -6aÛ`+2ab
31 -33
29 ③
33 ①
32 aÛ`-4a+2
34 ⑴ 4ab ⑵ 2a ⑶ 20ab ⑷ 3y
30 -3
22 ③
28 ②
35 ④
01 (주어진 식)=8x+6y-3x+6y=5x+12y
02
3x-2y
2
+
-5x+3y
4
=
6x-4y
4
+
-5x+3y
4
=
x-
y
;4!;
;4!;
따라서 A=
, B=-
이므로 A+B=
;4!;
;4!;
+
-
{
;4!;
;4!;}
=0
03 (주어진 식)=-2x+4y-3-4x+y-6=-6x+5y-9
따라서 x의 계수는 -6, 상수항은 -9이므로 구하는 합은
-6+(-9)=-15
04 =3a-5b-2-(7a-b+1)=-4a-4b-3
05 ④ xÛ`-3x-xÛ`+2=-3x+2이므로 일차식이다.
⑤ -2yÛ`+1은 y에 대한 이차식이다.
13 (주어진 식)=(-10aÞ`bÜ`)_
4aÛ`
25bÛ`
_
bÜ`
aá`
=- 8bÝ`
5aÛ`
36 2a+b 37 5x+2y 38 7bÛ`-
:£aõ: 39 7x+2y
06 (주어진 식)=
xÛ`-
x+
;4&;
;1@5*;
;4#;
13 ⑴ 어떤 식을 라 하면
따라서 A=
, B=-
, C=
이므로
;4#;
;1@5*;
;4&;
A+15B-C=
+15_
-
-
=-29
;4#;
{
;1@5*;}
;4&;
(2a-3b+2)+=7a+b+8
∴ =7a+b+8-(2a-3b+2)
=7a+b+8-2a+3b-2
=5a+4b+6
07 (주어진 식) =axÛ`-5x+3-2xÛ`+bx-1
=(a-2)xÛ`+(b-5)x+2
a-2=b-5이므로 a-b=-3
⑵ (2a-3b+2)-(5a+4b+6)
=2a-3b+2-5a-4b-6
=-3a-7b-4
개
념
익
힘
탑
따라서 a=1, b=3이므로 a-b=1-3=-2
∴ =(5xÛ`-6x+1)-(8xÛ`-2x-4)
08 =-4xÛ`+7x-2-(-xÛ`-2x+8)
=-4xÛ`+7x-2+xÛ`+2x-8
=-3xÛ`+9x-10
09 (주어진 식) =4xÛ`-{2x-1-(3-xÛ`-x)}
=4xÛ`-(2x-1-3+xÛ`+x)
=4xÛ`-(xÛ`+3x-4)
=4xÛ`-xÛ`-3x+4
=3xÛ`-3x+4
10 (주어진 식) =2y-{4x-(5x-y)-2y}
=2y-(4x-5x+y-2y)
=2y-(-x-y)=x+3y
11 (주어진 식) =a-5b-{-2a-(a-b+3a+4b)}
=a-5b-{-2a-(4a+3b)}
=a-5b-(-2a-4a-3b)
=a-5b-(-6a-3b)
=a-5b+6a+3b
=7a-2b
따라서 a의 계수는 7, b의 계수는 -2이므로 그 합은
7+(-2)=5
12 ㄱ. (주어진 식) =7y-{3x-y-(-x+5y)}
=7y-(3x-y+x-5y)
ㄴ. (주어진 식) =4x-{x+3y-(x-10y)}
=7y-(4x-6y)
=-4x+13y
=4x-(x+3y-x+10y)
=4x-13y
∴ `(-4x+13y)+(4x-13y)=0
14 어떤 식을 라 하면
x-3y+5-=4x-3y+6에서
=x-3y+5-(4x-3y+6)=-3x-1
따라서 바르게 계산하면
x-3y+5+(-3x-1)=-2x-3y+4
15 어떤 식을 라 하면
-3xÛ`-2x+5+=2xÛ`-5x+11에서
=2xÛ`-5x+11-(-3xÛ`-2x+5)=5xÛ`-3x+6
따라서 바르게 계산하면
-3xÛ`-2x+5-(5xÛ`-3x+6)=-8xÛ`+x-1
16 어떤 식을 라 하면
(5xÛ`-6x+1)-=8xÛ`-2x-4
=5xÛ`-6x+1-8xÛ`+2x+4
=-3xÛ`-4x+5
바르게 계산하면
5xÛ`-6x+1+(-3xÛ`-4x+5)=2xÛ`-10x+6
따라서 A=2, B=-10, C=6이므로
A+B+C=2+(-10)+6=-2
18 (주어진 식) =12aÛ`-6ab-3aÛ`-6ab
=9aÛ`-12ab
따라서 ab의 계수는 -12이다.
19 xy항이 나오는 부분만 전개하면
xy-axy=(1-a)xy이므로 1-a=7 ∴ a=-6
20 어떤 식을 라 하면 Ö3a=
+4b이므로
;3ªa;
=
+4b
_3a=2+12ab
{;3ªa;
}
따라서 바르게 계산한 답은
(2+12ab)_3a=6a+36aÛ`b
정답과 풀이 59
26 (주어진 식) =-5aÛ`+3ab-aÛ`-ab
⑷ x++2=
2xÛ`y+6xyÛ`+4xy
2xy
=x+3y+2
24
4aÝ`-aÜ`
aÜ`
-
5aÛ`-8a
a
=4a-1-(5a-8)
34 ⑴ 6aÛ`+=(3a+2b)_2a=6aÛ`+4ab
21 ⑴ 2x+3 ⑵ abÛ`+3a
⑶ (주어진 식) =(6xÛ`-4x)_
=12x-8
;[@;
22 (주어진 식)=3x-5y-(-3x+4y)=6x-9y
23 ④ (주어진 식) =5x-2y-(2y-3x)
=5x-2y-2y+3x
=8x-4y
=4a-1-5a+8
=-a+7
25 (주어진 식) =
xy-
xÛ`-
;3!;
xy-
xÛ`
;4!;
}
{;3@;
;3*;
=2xy-
xÛ`
;1Á2;
=-6aÛ`+2ab
27 ① (주어진 식)=x-
② (주어진 식)=2xÛ`+6xy+xÛ`-xy=3xÛ`+5xy
;3@;
y
③ (주어진 식)=-6aÛ`+9ab-15a
④ (주어진 식)=-a+2bÛ`-1
⑤ (주어진 식)=-a+3b+2b+a=5b
28 (주어진 식) =5
{
3xÛ`+3x+6-
x
-14x-7xÛ`
;5@;
}
=15xÛ`+15x+30-2x-14x-7xÛ`
=8xÛ`-x+30
따라서 a=8, b=-1, c=30이므로
a+b-c=8+(-1)-30=-23
29 (주어진 식)=3x-4y+(-xy+3y)=3x-y-xy
따라서 y의 계수는 -1이다.
30 (주어진 식)=-3a+4b-8a+4b=-11a+8b
따라서 A=-11, B=8이므로
A+B=-11+8=-3
-
{
;2£[;}
-
12xy+
yÛ`
_
}
;2(;
;3ª];
{
31 (주어진 식)
=(2xÛ`-4xy)_
=-3x+6y-(8x+3y)
=-3x+6y-8x-3y=-11x+3y
따라서 a=-11, b=3이므로
ab=-11_3=-33
60 II . 식의 계산
32 6a-2+=2a+aÛ`이므로
=2a+aÛ`-(6a-2)
=aÛ`-4a+2
A+2ab
2a
33
=2a-3b+1에서
A+2ab=(2a-3b+1)_2a=4aÛ`-6ab+2a
∴ A=4aÛ`-6ab+2a-2ab=4aÛ`-8ab+2a
⑵ -4b+3=
10aÛ`-20ab+15a
5a
=2a-4b+3
⑶ 15aÛ`-=(-3a+4b)_(-5a)=15aÛ`-20ab
∴ =4ab
∴ =2a
∴ =20ab
∴ =3y
35 (주어진 식) =A+{2xÛ`-(-2xÛ`+3x)}
=A+(4xÛ`-3x)=4xÛ`-3이므로
A=4xÛ`-3-(4xÛ`-3x)=3x-3
36 (직육면체의 부피)
=(가로의 길이)_(세로의 길이)_(높이)이므로
4aÛ`b+2abÛ`=2a_b_(높이)
∴ (높이)=
4aÛ`b+2abÛ`
2ab
=2a+b
37 (원기둥의 부피)=(밑넓이)_(높이)이므로
20pxÜ`+8pxÛ`y=p_(2x)Û`_(높이)
∴ (높이)=
20pxÜ`+8pxÛ`y
4pxÛ`
=5x+2y
38 원뿔의 높이를 h라 하면
_p_(3a)Û`_h =21paÛ`bÛ`-9pab,
;3!;
3paÛ`h=21paÛ`bÛ`-9pab
∴ h =
21paÛ`bÛ`-9pab
3paÛ`
=7bÛ`-
;;£aõ;;
39 h=(큰 직육면체의 높이)+(작은 직육면체의 높이)이므로
h ={(24xÛ`+18xy)Ö6x}+{(9xÛ`-3xy)Ö3x}
=(4x+3y)+(3x-y)
=7x+2y
실전연습문제
개념익힘탑 26~27쪽
01 ④
03 ②, ④ 04 4
02 ;3!;
06 6x-4y+8
05 ②
07 7x-4y+4
09 ③
13 ④
16 8aÜ`-6aÛ`b
10 0
14 13
08 7xÛ`-14xy
11 ②
15 9xÛ`y-6xy
12 1
06 두 번째 줄의 가운데 식을 B라 하면
(2x+4)+B+(4x-2y+6)=9x-3y+15이므로
B=3x-y+5
두 번째 줄의 첫 번째 식을 C라 하면
C+(3x-y+5)+(5x-3y+7)=9x-3y+15이므로
(2x+4)+(x+y+3)+A=9x-3y+15이므로
C=x+y+3
A=6x-4y+8
개
념
익
힘
탑
01 [2a+b-{-2b-(3a+)}]-3a
={2a+b-(-2b-3a-)}-3a
=(2a+b+2b+3a+)-3a=2a+3b+
2a+3b+=4a+b이므로 =2a-2b
02 2(A+2B)-(A+3B)
=2A+4B-A-3B=A+B
=
a+2b
6
+
-3a+b
2
=
a+2b+3(-3a+b)
6
=
-8a+5b
6
=-
a+
b
;6%;
;3$;
∴ (a의 계수)+2_(b의 계수)=-
+2_
=
;3$;
;6%;
;3!;
03 ④ 2x이므로 x에 대한 일차식
⑤ -2xÛ`+1이므로 x에 대한 이차식
04 (주어진 식) =axÛ`+4x-3+xÛ`-3x-5
=(a+1)xÛ`+x-8
즉, xÛ`의 계수는 a+1, 상수항은 -8이므로
(a+1)+(-8)=-3
a-7=-3 ∴ a=4
05 어떤 식을 A라 하면
A-(xÛ`-3x+2)=-3xÛ`+6x-3
∴ A=-3xÛ`+6x-3+(xÛ`-3x+2)=-2xÛ`+3x-1
따라서 바르게 계산한 답은
A+(xÛ`-3x+2) =(-2xÛ`+3x-1)+(xÛ`-3x+2)
=-xÛ`+1
07 평행한 두 면의 식의 합은
(2x+y+3)+(x-6y+1)=3x-5y+4이므로
(-4x-y)+A=3x-5y+4
∴ A =3x-5y+4-(-4x-y)
=3x-5y+4+4x+y
=7x-4y+4
08 2x(4x-8y)+(2xÜ`yÛ`-xÝ`y)ÖxÛ`y
=8xÛ`-16xy+
2xÜ`yÛ`-xÝ`y
xÛ`y
=8xÛ`-16xy+2xy-xÛ`
=7xÛ`-14xy
09 (주어진 식) =3x-4y-(4x-2y)
=3x-4y-4x+2y
=-x-2y
따라서 a=-1, b=-2이므로 a+b=-1+(-2)=-3
10
6xÛ`y-12xyÛ`
2xy
-
25xy-40yÛ`
5y
=3x-6y-5x+8y
=-2x+2y
즉, a=-2, b=2이므로 a+b=-2+2=0
11 A(1-y)-By+2=(-A-B)y+A+2=2y-5
즉, -A-B=2, A+2=-5이므로 A=-7, B=5
∴ A-B=-7-5=-12
12 135Ü`=(3Ü`_5)Ü`=(3Ü`)Ü`_5Ü`=3á`_5Ü`이므로
x=3, y=9
따라서
xy-2xÛ`
y
=
Ö y
x
yÛ`-2xy
y
3_9-2_3Û`
9
=
=1
yÛ`-2xy
y
_
=
x
y
xy-2xÛ`
y
이므로
정답과 풀이 61
13 x(-x+ay)+y(-x+ay)=-xÛ`+(a-1)xy+ayÛ`에서
xy의 계수가 3이므로
a-1=3 ∴ a=4
15 (색칠한 부분의 넓이) =2x(5xy-3y)-xÛ`y
=10xÛ`y-6xy-xÛ`y
=9xÛ`y-6xy
14 ax(5x-3)+4(5x-3)=5axÛ`+(-3a+20)x-12에서
x의 계수가 -1이므로
-3a+20=-1 ∴ a=7
계수가 10이므로
16-b=10 ∴ b=6
∴ a+b=7+6=13
x(4x-b)+4(4x-b)=4xÛ`+(16-b)x-4b에서 x의
16 (넓이)=
;2!;
_{(a+2b)+(3a-5b)}_4aÛ`
=
;2!;
_(4a-3b)_4aÛ`
=8aÜ`-6aÛ`b
62 II . 식의 계산
III 부등식과 연립방정식
1 부등식
개념익힘문제
개념익힘탑 28~36쪽
03 ③
02 ③
06 -1, 0 07 ④
01 ⑤
05 ⑤
09 ②, ⑤ 10 ⑤
11 ⑴ 4a-2É10 ⑵ 5a+1É16 ⑶ -2a+1¾-5
04 ⑤
08 ③
⑷ -
+1¾
;5A;
;5@;
12 ⑴ -3É2x-1<1 ⑵ -1É4x+3<7
⑶ 4<-x+5É6 ⑷ 1<3-2xÉ5
14 ④
18 ②
22 ②
26 ②
16 15
13 4
20 ④
17 ⑤
24 ④
21 ④
28 ③
25 ④
29 ⑴ x¾4 ⑵ xÉ4 ⑶ x>-11 ⑷ x¾-11
30 ②
15 ④
19 ⑤
23 ①
27 1
31 ②
32 ④
⑵ x<
⑶ x<-
33 ⑴ xÉ
;a!;
;a#;
35 x¾-2 36 x¾2
;a$;
37 ⑤
34 xÉ
;a*;
38 1
39 ③
40 x<
41 -10
42 ②
;2!;
43 4Ék<6 44 ②
47 23, 25, 27
50 8개
51 ③
45 5
46 ①
48 ④, ⑤ 49 ③
53 ③
52 5개
54 9자루
55 17명
56 800`m 57 ;3$;
`km
58 ③
62 200`g
59 840`m 60 ③
63 37.5`g
61 200`g
01 ⑤ x는 양수가 아니다. ⇨ xÉ0
02 500x+400_5¾5000 ∴ 500x+2000¾5000
03 ③ 10x¾3000
개
념
익
힘
탑
04 x=2를 각 부등식에 대입하면
① 2_2+3¾8`(거짓)
② -2+1>1`(거짓)
③ 2_2-1>3_2`(거짓) ④ 4-2_2¾3_2`(거짓)
⑤ 2+1¾3`(참)
따라서 x=2가 해가 되는 것은 ⑤이다.
05 부등식의 x에 주어진 값을 각각 대입하면
① 3_(-2)+1É4`(참)
② 3_(-1)+1É4`(참)
③ 3_0+1É4`(참)
④ 3_1+1É4`(참)
⑤ 3_2+1É4`(거짓)
06 x=-1일 때, -4_(-1)+5>1`(참)
x=0일 때, -4_0+5>1`(참)
x=1일 때, -4_1+5>1`(거짓)
x=2일 때, -4_2+5>1`(거짓)
따라서 부등식의 해는 -1, 0이다.
07 부등식의 x에 주어진 값을 대입하면
① 3_(-2)-7>3`(거짓)
② -1<2_(-1)-4`(거짓)
③ 5_1-4<0`(거짓)
④ 2-3_2<5`(참)
⑤ -2_(-3)+3<1`(거짓)
08 ① a<b에서 3a<3b이므로 3a+2<3b+2
② a<b에서 -a>-b이므로 -a+2>-b+2
③ a<b에서 -3a>-3b이므로 -3a-2>-3b-2
④ a<b에서
<
이므로
-6<
-6
;5A;
;5B;
;5A;
;5B;
⑤ a<b에서 -
>-
이므로 -
+3>-
+3
;4A;
;4B;
;4A;
;4B;
09 1-3a<1-3b에서 -3a<-3b이므로 a>b
④ a>b에서 9a>9b이므로 9a-3>9b-3
⑤ a>b에서 a+10>b+10
10 ① 2a-5>2b-5, 2a>2b ∴ a>b
② 1-3a<1-3b, -3a<-3b ∴ a>b
③ -4+2a>-4+2b, 2a>2b ∴ a>b
④ -3a+
<-3b+
, -3a<-3b ∴ a>b
;5!;
;5!;
⑤ -2a+3>-2b+3, -2a>-2b ∴ a<b
정답과 풀이 63
11 ⑴ 4aÉ12 ∴ 4a-2É10
⑵ 5aÉ15 ∴ 5a+1É16
19 4x-3É(a-1)x-2에서 (5-a)x-1É0이 일차부등식
이므로
⑶ -2a¾-6 ∴ -2a+1¾-5
5-a+0 ∴ a+5
⑷ -
¾-
∴ -
+1¾
;5A;
;5#;
;5A;
;5@;
12 ⑴ -1Éx<1의 각 변에 2를 곱하면 -2É2x<2
각 변에서 1을 빼면 -3É2x-1<1
⑵ -1Éx<1의 각 변에 4를 곱하면 -4É4x<4
각 변에 3을 더하면 -1É4x+3<7
⑶ -1Éx<1의 각 변에 -1을 곱하면 -1<-xÉ1
각 변에 5를 더하면 4<-x+5É6
⑷ -1Éx<1의 각 변에 -2를 곱하면 -2<-2xÉ2
각 변에 3을 더하면 1<3-2xÉ5
13 3ÉxÉ5의 각 변에 -2를 곱하면 -10É-2xÉ-6
각 변에 9를 더하면 -1É-2x+9É3
따라서 a=-1, b=3이므로 b-a=3-(-1)=4
14 -1Éa<2에서 -8<-4aÉ4
∴ -10<-2-4aÉ2
따라서 -2-4a의 값의 범위에 속하는 정수는 -9, -8,
-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2의 12개이다.
15 2x-y=1에서 y=2x-1
즉, -1<y<9이므로 a=-1, b=9
∴ a+b=-1+9=8
16 -3É2x-1É3에서 -2É2xÉ4 ∴ -1ÉxÉ2
-1ÉxÉ2에서 -5É5xÉ10 ∴ -2É5x+3É13
따라서 M=13, m=-2이므로
M-m=13-(-2)=15
20 -xÉ2의 양변에 -1을 곱하면` x¾-2
따라서 x¾-2를 수직선 위에 바르게 나타낸 것은 ④이다.
21 수직선이 나타내는 해는 xÉ-1이다.
① x-2¾-3의 양변에 2를 더하면 x¾-1
② 2x¾-2의 양변을 2로 나누면 x¾-1
③ 3x<-3의 양변을 3으로 나누면 x<-1
④ -4x¾4의 양변을 -4로 나누면 xÉ-1
⑤ -xÉ1의 양변에 -1을 곱하면 xÉ-1
따라서 해가 주어진 그림과 같은 것은 ④이다.
22 5x<10의 양변을 5로 나누면 x<2
따라서 x<2를 수직선 위에 바르게 나타낸 것은 ④이다.
23 3x-2<5x+6에서 -2x<8 ∴ x>-4
24 ① x+1<1에서 x<0
② 3-x<1에서 -x<-2 ∴ x>2
③ 5x-10<5에서 5x<15 ∴ x<3
④ 1-3x>-5에서 -3x>-6 ∴ x<2
⑤ 2x-1<-3에서 2x<-2 ∴ x<-1
25 3x-5Éx+3에서 2xÉ8 ∴ `xÉ4
따라서 xÉ4를 만족하는 자연수 x는 `1, 2, 3, 4의 4개이다.
26 6x+2>4x-12, 2x>-14 ∴ x>-7
따라서 x>-7을 수직선 위에 바르게 나타낸 것은 ②이다.
27 8-x-2¾6x-2, -7x¾-8 ∴ xÉ
따라서 주어진 부등식을 만족하는 가장 큰 정수 x의 값은
;7*;
0<x<5에서 0<2x<10 ∴ -1<2x-1<9
따라서 해가 x<2인 것은 ④이다.
17 ① 2xÉ2(x+1)에서 -2É0이므로 일차부등식이 아니다.
② 0.3x+1<2에서 0.3x-1<0이므로 일차부등식이다.
1이다.
③ xÛ`-4>0은 일차부등식이 아니다.
④ 6>-8에서 14>0이므로 일차부등식이 아니다.
28 2◎(x ◎ 1)=2◎(3x-1)=3_2-(3x-1)=-3x+7
즉, -3x+7>4이므로
⑤ 5x-7>4x+2에서 x-9>0이므로 일차부등식이다.
-3x>-3 ∴ x<1
따라서 일차부등식인 것은 ②, ⑤이다.
18 ㄱ. 등식 ㄴ. xÛ`-4x-1<0 ㄷ. 5x-7>0
ㄹ. 3x+3¾0 ㅁ. 2xÛ`+7É0
29 ⑴ 5x-4¾2x+8, 3x¾12 ∴ x¾4
⑵ 6+3x¾5x-2, -2x¾-8 ∴ xÉ4
⑶ 3(x-1)-2(2x+1)<6, -x<11 ∴ x>-11
따라서 일차부등식은 ㄷ, ㄹ의 2개이다.
⑷ 3(x+3)¾2(x-1), 3x+9¾2x-2 ∴ x¾-11
64 III . 부등식과 연립방정식
30 13(2x-3)¾35x+15, 26x-39¾35x+15
-9x¾54 ∴ xÉ-6
x-2
4
-
2x-1
5
31
<0에서 5(x-2)-4(2x-1)<0
따라서 이를 만족하는 x의 값 중 가장 작은 정수는 `-1이다.
5x-10-8x+4<0, -3x<6 ∴ x>-2
따라서
=-1이므로 a+5=-5 ∴ a=-10
a+5
5
41
x-3
2
¾ 4x-2
3
에서 3(x-3)¾2(4x-2)
3x-9¾8x-4, -5x¾5 ∴ xÉ-1
6x-5Éa+x에서 5xÉa+5 ∴ xÉ a+5
5
32 양변에 6을 곱하면
3x-6Éx+3
2xÉ9 ∴ xÉ
33 ⑴ xÉ
;a!;
⑵ x<
;2(;
;a#;
⑶ -a>0이므로 x<-
;a$;
34 9-ax¾1에서 -ax¾-8
따라서 -a<0이므로 `xÉ
;a*;
35 3a-2axÉ7a에서 -2axÉ4a
따라서 -2a<0이므로 x¾ 4a
-2a
∴ x¾-2
36 (a-3)x-2(a-3)É0, (a-3)xÉ2(a-3)
a-3<0이므로 x¾2
37 4x¾7x-a에서 -3x¾-a ∴ xÉ
;3A;
따라서
=3이므로 a=9
;3A;
38 2x-3<3x+a에서 -x<a+3 ∴ x>-a-3
따라서 -a-3=-4이므로 a=1
39 양변에 2를 곱하면
2x-2-3(x-3)¾2a, 2x-2-3x+9¾2a
-x¾2a-7 ∴ xÉ-2a+7
x-3
6
¾
42
-x¾6a+3 ∴ xÉ-6a-3
+a에서 x-3¾2x+6a
;3{;
따라서 -6a-3=3이므로 -6a=6 ∴ a=-1
개
념
익
힘
탑
43 2xÉk+2 ∴ xÉ k+2
2
이때 부등식을 만족하는 자연수
x가 1, 2, 3이려면
3É k+2
2
<4, 6Ék+2<8
∴ 4Ék<6
(cid:17)
(cid:18)
(cid:19)
(cid:20)
(cid:21)
(cid:76)(cid:12)(cid:19)
(cid:19)
44 1.5x-4.5É0.5(x+a)의 양변에 10을 곱하면
15x-45É5(x+a), 15x-45É5x+5a
10xÉ5a+45 ∴ xÉ a+9
2
즉,
<1, a+9<2 ∴ a<-7
a+9
2
따라서 정수 a의 최댓값은 -8이다.
45 두 자연수를 x, x+4라 하면
x+(x+4)É14, 2xÉ10 ∴ xÉ5
따라서 작은 수의 최댓값은 5이다.
이때 주어진 수직선 위의 해는 xÉ1이므로 -2a+7=1
-2a=-6 ∴ a=3
46 연속하는 두 짝수를 x, x+2라 하면
4x-8¾2(x+2), 4x-8¾2x+4
40 2x-5>4a에서 2x>4a+5 ∴ x>
4a+5
2
즉,
=-1, 4a+5=-2, 4a=-7
4a+5
2
∴ a=-
;4&;
a=-
을 4x+a<
에 대입하면
;4&;
;4!;
4x-
<
;4&;
;4!;
, 4x<2 ∴ x<
;2!;
2x¾12 ∴ x¾6
x의 최솟값이 6이므로 두 수의 최솟값의 합은 6+8=14
47 연속하는 세 홀수를 x-2, x, x+2라 하면
(x-2)+x+(x+2)<79, 3x<79 ∴ x<
:¦3»:
따라서 x의 값 중 가장 큰 홀수는 25이므로 구하는 세 자
연수는 23, 25, 27이다.
정답과 풀이 65
48 주사위의 눈의 수를 x라 하면
4x>2(x+4), 4x>2x+8,
2x>8 ∴ x>4
따라서 주사위의 눈의 수는 5, 6이다.
49 공책을 x권 산다고 하면
800x+50_4É5000, 800xÉ4800 ∴ xÉ6
따라서 공책은 최대 6권까지 살 수 있다.
50 감을 x개 산다고 하면 `귤은 (14-x)개를 사므로
700x+400(14-x)É8000, 7x+4(14-x)É80
7x+56-4xÉ80, 3xÉ24 ∴ xÉ8
따라서 감은 최대 8개까지 살 수 있다.
51 상자를 x개 싣는다고 하면
60+20xÉ400, 20xÉ340 ∴ xÉ17
따라서 상자는 최대 17개까지 실을 수 있다.
52 배를 x개 산다고 하면 사과는 (12-x)개 살 수 있으므로
1000(12-x)+1200x+2000É15000
200xÉ1000 ∴ xÉ5
따라서 배는 최대 5개까지 살 수 있다.
53 공책을 x권 산다고 하면
700x>500x+1000, 200x>1000 ∴ x>5
따라서 공책을 적어도 6권 이상 살 경우 대형 할인점에서
사는 것이 유리하다.
54 샤프펜슬을 x자루 산다고 하면
1000x>800x+1600, 200x>1600 ∴ x>8
따라서 샤프펜슬을 적어도 9자루 이상 살 경우 할인매장에
서 사는 것이 유리하다.
55 x명이 입장한다고 하면
6000x>6000_20_0.8, 6x>96 ∴ x>16
따라서 적어도 17명 이상일 때 20명의 단체 입장권을 구
입하는 것이 유리하다.
x
80
+
1300-x
100
∴ xÉ800
É15, 10x+8(1300-x)É12000
따라서 분속 80`m로 걸은 거리는 최대 800`m 이하이다.
57 역에서 x`km 이내에 있는 상점을 이용한다고 하면
É1, 3x+4+3xÉ12, 6xÉ8 ∴ xÉ
+
+
;4{;
;6@0);
;4{;
;3$;
따라서 역에서 최대
`km 이내에 있는 상점을 이용할 수
;3$;
있다.
58 x분 후에 광현이와 가영이의 이동 거리가 1.6`km 이상 떨
어진다고 하면
170x+150x¾1600, 320x¾1600 ∴ x¾5
따라서 최소 5분이 경과해야 한다.
59 집과 서점 사이의 거리를 x`m라고 하면
<14, 4x-3x<840 ∴ x<840
-
;1Ó5;
;2Ó0;
따라서 집과 서점 사이의 거리는 840`m 미만이어야 한다.
60 20`%의 소금물을 x`g 섞는다고 하면
_(600-x)¾
_x+
;1ª0¼0;
;1£0ª0;
_600
;1ª0¢0;
20x+19200-32x¾14400, -12x¾-4800
∴ xÉ400
따라서 20`%의 소금물은 최대 400`g까지 섞을 수 있다.
61 물을 x`g 넣는다고 하면
4500É2700+9x, 9x¾1800 ∴ x¾200
;1Á0°0;
_300É
_(300+x)
;10(0;
따라서 물을 적어도 200`g 이상 넣어야 한다.
62 x`g의 물을 증발시킨다고 하면
_600¾
;10*0;
;1Á0ª0;
12x¾2400 ∴ x¾200
_(600-x), 4800¾7200-12x
따라서 적어도 200`g 이상의 물을 증발시켜야 한다.
63 14`%의 설탕물 500`g에 들어 있는 설탕의 양은
_500=70(g)
x`g의 설탕을 더 넣는다고 하면
_100¾20, 7000+100x¾10000+20x
;1Á0¢0;
70+x
500+x
56 분속 80`m로 걸은 거리를 x`m라 하면 분속 100`m로 걸
80x¾3000 ∴ x¾37.5
은 거리는 (1300-x)`m이므로
따라서 37.5`g 이상의 설탕을 더 넣어야 한다.
66 III . 부등식과 연립방정식
실전연습문제
개념익힘탑 37~38쪽
01 ⑴ 2x+2¾50 ⑵ 100x+200yÉ2000 ⑶ 4x>10
02 ⑤
06 -1
10 8
04 ①
08 -18
12 ⑤
03 ④
07 ②
11 ③
05 ②
09 9
13 17
02 -2ÉxÉ3에서 -4É2xÉ6 ∴ -9É2x-5É1
따라서 -9ÉAÉ1이므로 A의 최댓값은 1이다.
03 -3x-2<7에서 -3x<9 `∴ x>-3
따라서 수직선 위에 바르게 나타낸 것은 ④이다.
04 (1-a)x+a>x+5a에서 -ax>4a
4a
이때 a>0에서 -a<0이므로 x<
-a
05 x-3<2x+2에서 -x<5 ∴ x>-5
따라서 정수 x의 최솟값은 -4이다.
08 14.5É
5-3p
4
<15.5에서 58É5-3p<62
53É-3p<57 ∴ -19<pÉ-
:°3£:
따라서 p는 정수이므로 p=-18
x+1
2
-
<
;3{;
;3$;
에서
3(x+1)-2x<8, 3x+3-2x<8 `∴ x<5
6(x-1)<2x+a+5에서
6x-6<2x+a+5, 4x<a+11 `∴ x<
a+11
4
개
념
익
힘
탑
09
이때 두 일차부등식의 해가 같으므로
a+11
4
=5, a+11=20 `∴ a=9
10 일차부등식을 풀면 -xÉ4 ∴ x¾-4
x¾-4의 양변에 -1을 곱하면 -xÉ4
양변에 4를 더하면 4-xÉ8
11 40명 미만의 단체 x명이 입장한다고 하면
800x>800_40_0.8, 800x>25600 ∴ x>32
따라서 적어도 33명 이상일 때, 40명의 단체 입장권을 사
는 것이 유리하다.
∴ x<-4
따라서 A의 값 중 가장 큰 정수는 8이다.
+a에서 4-2xÉx+2a, -3xÉ2a-4
06 2-xÉ
∴ x¾ 4-2a
;2{;
3
12 진수가 올라갈 때 걸은 거리를 x`km라 하면 내려올 때 걸
은 거리는 (x+1)`km이므로
이때 해 중 가장 작은 수가 2이므로
=2에서
É2, 4x+3(x+1)É24, 7xÉ21 ∴ xÉ3
4-2a
3
+
;3{;
x+1
4
4-2a=6, -2a=2 ∴ a=-1
따라서 진수가 걸은 거리는 최대 3+4=7(km)
07 a+3(x-1)<-2x에서 a+3x-3<-2x,
5x<3-a ∴ x<
3-a
5
이 부등식을 만족하는 자연수 x가 존재하지 않으므로
É1, 3-aÉ5,` -aÉ2 ∴ a¾-2
3-a
5
따라서 a의 최솟값은 -2이다.
13 연속하는 세 홀수를 x-2, x, x+2라 하면
44<(x-2)+x+(x+2)<48, 44<3x<48
∴
<x<16
:¢3¢:
이때 x는 홀수이므로 x=15
따라서 세 홀수는 13, 15, 17이므로 구하는 가장 큰 수는
17이다.
정답과 풀이 67
2 연립방정식
개념익힘문제
개념익힘탑 39~55쪽
02 ⑤
06 ④
01 ④
03 ⑴ 4x+5y=90 ⑵ 50x+100y=500 04 ⑤
05 ④
08 ㄱ, ㄴ, ㄹ
11 ①
15 ①
18 ④
22 2
26 -1
29 ③
32 a=1, b=5
07 ⑤
09 ④
13 6
17 m=-3, n=3
21 5
20 ⑤
24 ⑤
25 1
28 x=1, y=1
31 4
33 a=-1, b=4
12 ④
16 ④
19 3
23 ②
27 ③
30 ①
10 ⑤
14 ②
34 x=
, y=-
;5@;
:Á5Á:
35 ⑴ a=4, b=3 ⑵ x=-5, y=6
36 ④
37 6
38 x=
, y=2
;2!;
42 5
45 6
48 ④
52 ①
56 ④
59 5
40 ④
44 a=2, b=1
41 ①
39 -4
43 5
46 a=3, b=2
49 ③
53 ②
50 -4
54 -
;2#;
47 ②
51 ②
55 ④
58 ①
57 x=2, y=-1
60 17
62 ③
66 풀이 참조
69 ②
71 5000원 72 ①
74 ③
78 6, 46
82 8분
84 남학생 432명, 여학생 437명
75 20세
79 ③
83 6시간
61 ⑴ x=-3, y=5 ⑵ x=2, y=-1
63 4
64 ④
67 ⑤
70 자장면 3500원, 짬뽕 4000원
65 -13
68 ④
73 꿩 23마리, 토끼 12마리
76 68
80 6시간
77 62`kg
81 6일
85 160명
68 III . 부등식과 연립방정식
86 남자 관객 893명, 여자 관객 162명
87 올라간 거리 4`km, 내려온 거리 6`km 88 9`km
90 300`m 91 15분
89 1`km
93 3`km
94 4`km
95 은재: 분속 500`m, 재희: 분속 300`m
92 8분
96 시속 12`km
97 130
9
`km
98 길이: 100`m, 속력: 분속 800`m
101 180`g 102 ②
100 ④
103 A: 14`%, B: 4`%
105 25`g 106 120`g 107 22`kg
108 우유 400`g, 달걀 100`g
104 A: 2`%, B: 5`%
99 1분
01 ① 등호가 없으므로 방정식이 아니다.
② 미지수가 1개인 일차방정식이다.
③ 4yÛ`의 차수가 2이므로 미지수가 2개인 일차방정식이 아
니다.
④ -x+2y+5=0이므로 미지수가 2개인 일차방정식이다.
⑤ xy가 있으므로 미지수가 2개인 일차방정식이 아니다.
02 6xÛ`-x+3=axÛ`+bx+y-3,
(a-6)xÛ`+(b+1)x+y-6=0
따라서 a-6=0, b+1+0이어야 하므로
a=6, b+-1
04
x
100
y
100
20
100
_200+
_100=
_300 ∴ 2x+y=60
05
15x+20y
15+20
=80,
x+
;3!5%;
;3@5);
y=80 ∴
x+
y=80
;7$;
;7#;
06 ④ 2x+2y=20
07 각 일차방정식에 x=-1, y=2를 대입하면
① -1+2+3
② -1-3_2+3
③ 4_(-1)+3_2-12+0 ④ -1-2_2+1
⑤ 7_(-1)-2+9=0
따라서 순서쌍 (-1, 2)를 해로 갖는 것은 ⑤이다.
08 ㄷ. 6+2_1=8 ㅁ. 3+2_4=11 ㅂ. 2+2_5=12
따라서 일차방정식 x+2y=10의 해인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.
09 (1, 4), (3, 3), (5, 2), (7, 1)의 4개
10 ① 해가 없다.
② (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)의 5개
③ (1, 5), (2, 3), (3, 1)의 3개
④ (1, 3), (4, 1)의 2개
18 x+ay=5에 x=1, y=4를 대입하면
1+4a=5, 4a=4 ∴ a=1
bx-y=3에 x=1, y=4를 대입하면
b-4=3 ∴ b=7
⑤ (1, 16), (2, 13), (3, 10), (4, 7), (5, 4), (6, 1)의
∴ a+b=1+7=8
19 x=m+1, y=m-2를 2x-y=5에 대입하면
2m+2-m+2=5 ∴ m=1
x=2, y=-1을 3x-ny=4에 대입하면
개
념
익
힘
탑
6개
11 x=2, y=-3을 x-ay+4=0에 대입하면
2+3a+4=0, 3a=-6 ∴ a=-2
12 x=1, y=2를 ax+2y=1에 대입하면
a+4=1 ∴ a=-3
x=b, y=-1을 -3x+2y=1에 대입하면
-3b-2=1, 3b=-3 ∴ b=-1
∴ b-a=-1-(-3)=2
13 x=3k, y=2k로 놓고 3x+2y=78에 대입하면
9k+4k=78, 13k=78 ∴ k=6
따라서 x=18, y=12이므로 x-y=18-12=6
14 x, y가 자연수일 때,
2x-y=-1의 해는 (1, 3), (2, 5), (3, 7), y
x-3y=-13의 해는 (2, 5), (5, 6), (8, 7), y
따라서 연립방정식의 해는 (2, 5)이다.
15 x, y가 자연수일 때,
-3x+2y=10의 해는 (2, 8), (4, 11), (6, 14), y
3x-y=-2의 해는 (1, 5), (2, 8), (3, 11), y
따라서 연립방정식의 해는 (2, 8)이므로 p=2, q=8
∴ p+q=2+8=10
16 x=-1, y=2를 보기의 일차방정식에 각각 대입하면
ㄱ. 2_(-1)+2=0+5
ㄴ. 3_(-1)-2=-5
ㄷ. -(-1)+2=3+1
ㄹ. -2_(-1)+3_2=8
6+n=4 ∴ n=-2
∴ m-n=1-(-2)=3
20 ㉠ _5+㉡_2를 하면 29x=29
즉, y가 없어진다.
21
[
2x-y=7 yy ㉠
3x-4y=3 yy ㉡
㉠ _4-㉡을 하면 5x=25
∴ a=5
22 ㉠ -㉡_2를 하면 ax-5y-2(x+3y)=3-14
(a-2)x-11y=-11
이때 x가 없어졌으므로 a-2=0 ∴ a=2
23
[
x+y=2
yy ㉠
3x+4y=6 yy ㉡
㉠_4-㉡을 하면 x=2
x=2를 ㉠에 대입하면 `2+y=2 ∴ y=0
따라서 a=2, b=0이므로 `a+2b=2+2_0=2
24 ①, ②, ③, ④ x=1, y=2 ⑤ x=-1, y=0
25
[
3x-2y=5 yy ㉠
x-4y=5 yy ㉡
㉠ -㉡_3을 하면 10y=-10 ∴ y=-1
y=-1을 ㉡에 대입하면 x+4=5 ∴ x=1
2x+y=2-1=1
26
[
2x+y=1 yy ㉠
3x-2y=5 yy ㉡
17 x+my=5에 x=2, y=-1을 대입하면
2-m=5 ∴ m=-3
㉠ _2+㉡을 하면 7x=7 ∴ x=1
x=1을 ㉠에 대입하면 2+y=1 ∴ y=-1
nx-y=7에 x=2, y=-1을 대입하면
따라서 x=1, y=-1을 ax-4y=3에 대입하면
2n+1=7, 2n=6 ∴ n=3
a+4=3 ∴ a=-1
정답과 풀이 69
27 x=2, y=-3과 x=4, y=-1을 ax+by=5에 각각 대
34
[
bx+ay=3
ax-by=4
에 x=1, y=2를 대입하면
입하면
2a-3b=5 yy ㉠
[
4a-b=5 yy ㉡
㉠ -3_㉡을 하면
-10a=-10 ∴ a=1
a=1을 ㉠에 대입하면
2-3b=5, -3b=3 ∴ b=-1
∴ a+b=1+(-1)=0
28
[
3x+2y=5 yy ㉠
4x-2y=2 yy ㉡
㉠ +㉡을 하면 7x=7 ∴ x=1
x=1을 ㉠에 대입하면
3+2y=5, 2y=2 ∴ y=1
29 ㉠을 ㉡에 대입하면
∴ a=7
3x+2(2x+1)=10, 7x=8 ∴ 7x-8=0
30
[
y=2x+5 yy ㉠
y=-3x-10 yy ㉡
에서 ㉠을 ㉡에 대입하면
2x+5=-3x-10, 5x=-15 ∴ x=-3
x=-3을 ㉠에 대입하면 y=-6+5=-1
따라서 a=-3, b=-1이므로 a-b=-3-(-1)=-2
31
[
4x=3y+1 yy ㉠
y=5x+7 yy ㉡
에서 ㉡을 ㉠에 대입하면
4x=3(5x+7)+1, 4x=15x+21+1, -11x=22
∴ x=-2
x=-2를 ㉡에 대입하면 y=-10+7=-3
따라서 p=-2, q=-3이므로
p-2q=-2-2_(-3)=4
32 x=2, y=1을 ax+y=3에 대입하면
2a+1=3, 2a=2 ∴ a=1
x=2, y=1을 2x+by=9에 대입하면
4+b=9 ∴ b=5
33 x=b, y=11을 2x-y=-3에 대입하면
2b-11=-3, 2b=8 ∴ b=4
x=4, y=11을 4x+ay=5에 대입하면
16+11a=5, 11a=-11 ∴ a=-1
70 III . 부등식과 연립방정식
2a+b=3 yy ㉠
[
a-2b=4 yy ㉡
㉠ -㉡_2를 하면 5b=-5 ∴ b=-1
b=-1을 ㉡에 대입하면 a+2=4 ∴ a=2
따라서 처음 연립방정식은
[
2x-y=3 yy ㉢
-x-2y=4 yy ㉣
㉢ +㉣_2를 하면 -5y=11 ∴ y=-
:Á5Á:
y=-
을 ㉢에 대입하면
:Á5Á:
2x+
=3, 2x=
∴ x=
:Á5Á:
;5$;
;5@;
35 ⑴ x=1, y=2는 2x+by=8의 해이므로 x=1, y=2를
2x+by=8에 대입하면
2+2b=8, 2b=6 ∴ b=3
x=-2, y=2는 ax+3y=-2의 해이므로
x=-2, y=2를 ax+3y=-2에 대입하면
-2a+6=-2, -2a=-8 ∴ a=4
⑵
[
4x+3y=-2 yy ㉠
2x+3y=8 yy ㉡
㉠-㉡을 하면 2x=-10 ∴ x=-5
x=-5를 ㉡에 대입하면
-10+3y=8, 3y=18 ∴ y=6
36 4와 6의 최대공약수는 2이므로 x=2이고 4와 6의 최소공
배수는 12이므로 y=12이다.
x=2, y=12를 연립방정식에 대입하면
2a-24=b
2a-b=24 yy ㉠
[
2b+12=a-6
에서
[
a-2b=18 yy ㉡
㉠ -㉡_2를 하면 3b=-12 ∴ b=-4
b=-4를 ㉠에 대입하면
2a+4=24, 2a=20 ∴ a=10
∴ a-b=10-(-4)=14
37
ax+by=5
[
cx+y=7
의 해가 x=1, y=3이므로
연립방정식에 대입하면
a+3b=5 yy ㉠
[
c+3=7 yy ㉡
, ㉡에서 c=4
ax+by=5
[
dx+y=7
의 해가 x=3, y=4이므로
연립방정식에 대입하면
42
[
2x+y=5 yy ㉠
x+y=4 yy ㉡
㉠ -㉡을 하면 x=1
, ㉣에서 3d=3 ∴ d=1
x=1을 ㉡에 대입하면 1+y=4 ∴ y=3
x=1, y=3을 ax+3y=14에 대입하면
3a+4b=5 yy ㉢
3d+4=7 yy ㉣
a+3b=5 yy ㉠
3a+4b=5 yy ㉢
[
[
㉠ _3-㉡을 하면 5b=10 ∴ b=2
b=2를 ㉠에 대입하면 a+6=5 ∴ a=-1
∴ a+b+c+d=-1+2+4+1=6
2x-3y=-2y-1
2x-y=-1 yy ㉠
38
[
y=4x
,
[
y=4x
yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
2x-4x=-1, -2x=-1 ∴ x=
;2!;
x=
을 ㉡에 대입하면 y=2
;2!;
39
[
4x+y=-14 yy ㉠
x=y-6 yy ㉡
4(y-6)+y=-14, 5y=10 ∴ y=2
y=2를 ㉡에 대입하면 x=2-6=-4
따라서 x=-4, y=2를 x-2y=a-4에 대입하면
-4-4=a-4 ∴ a=-4
40 x：y=3：1이므로 x=3y
주어진 연립방정식에 x=3y를 대입하면
3y-y=a
2y=a yy ㉠
[
6y+3y=15-3a
3y=5-a yy ㉡
,
[
㉠을 ㉡에 대입하면 3y=5-2y, 5y=5 ∴ y=1
y=1을 ㉠에 대입하면 a=2
개
념
익
힘
탑
a+9=14 ∴ a=5
43
[
x+2y=3k yy ㉠
x-y=5-k yy ㉡
㉠ -㉡을 하면 3y=4k-5 ∴ y=
4k-5
3
를 ㉡에 대입하면
=5-k ∴ x=
10+k
3
y=
x-
x=
4k-5
3
4k-5
3
10+k
3
, y=
4k-5
3
를 x+y=10에 대입하면
10+k
3
+
4k-5
3
=10, 5k+5=30, 5k=25 ∴ k=5
44
[
x-y=-8 yy ㉠
2x-y=-10 yy ㉡
㉠ -㉡을 하면 -x=2 ∴ x=-2
x=-2를 ㉠에 대입하면 -2-y=-8 ∴ y=6
각각 대입하면
-4+6=a, -2+6b=4 ∴ a=2, b=1
45
[
x-3y=-1 yy ㉠
3x+y=7 yy ㉡
㉠ _3-㉡을 하면 -10y=-10 ∴ y=1
y=1을 ㉠에 대입하면
x-3=-1 ∴ x=2
x=2, y=1을 ax-5y=1에 대입하면
2a-5=1, 2a=6 ∴ a=3
x=2, y=1을 4x-by=5에 대입하면
8-b=5 ∴ b=3
∴ a+b=3+3=6
46
[
x+3y=9 yy ㉠
2x-y=-10 yy ㉡
41
[
x-2y=13 yy ㉠
2x-3y=22 yy ㉡
㉠ _2-㉡을 하면 7y=28 ∴ y=4
y=4를 ㉠에 대입하면 x+12=9 ∴ x=-3
㉠ _2-㉡을 하면 -y=4 ∴ y=-4
x=-3, y=4를 ax+2y=-1, -x+by=11에
y=-4를 ㉠에 대입하면 x+8=13 ∴ x=5
각각 대입하면
따라서 x=5, y=-4를 3x+4y=a에 대입하면
-3a+8=-1, 3+4b=11이므로 -3a=-9, 4b=8
15-16=a ∴ a=-1
∴ a=3, b=2
정답과 풀이 71
에서 ㉡을 ㉠에 대입하면
따라서 x=-2, y=6을 `2x+y=a, x+by=4에
47
[
x-2y=10 yy ㉠
2x+5y=-7 yy ㉡
㉠ _2-㉡을 하면 -9y=27 ∴ y=-3
y=-3을 ㉠에 대입하면 x+6=10 ∴ x=4
따라서 x=4, y=-3을
[
ax+by=18
-2bx-ay=25
에 각각 대입
53
[
2(x-3y)-10y=-20
x-8y=-10 yy ㉠
-4x+3(3-y)=14
-4x-3y=5 yy ㉡
에서
[
㉠ _4+㉡을 하면 -35y=-35 ∴ y=1
y=1을 ㉠에 대입하면 x-8=-10 ∴ x=-2
따라서 a=-2, b=1이므로 a+b=-2+1=-1
㉢ _3-㉣_4를 하면 23b=-46 ∴ b=-2
b=-2를 ㉢에 대입하면 4a+6=18, 4a=12 ∴ a=3
하면
4a-3b=18 yy ㉢
[
3a-8b=25 yy ㉣
∴ a+2b=3-4=-1
48
[
2x+5y=15 yy ㉠
x-6y=-1 yy ㉡
㉠ -㉡_2를 하면 17y=17 ∴ y=1
y=1을 ㉡에 대입하면
x-6=-1 ∴ x=5
5(2x-1)+y=4
10x+y=9 yy ㉠
49
[
3x-y=4
에서
[
3x-y=4 yy ㉡
따라서 p=1, q=-1이므로 p+q=1+(-1)=0
50
[
x=2y
5(x-2y)-2x+y=30
x-3y=10 yy ㉠
에서
[
x=2y yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 2y-3y=10 ∴ y=-10
y=-10을 ㉡에 대입하면 x=-20
따라서 x=-20, y=-10을 x+ay=20에 대입하면
-20-10a=20, -10a=40 ∴ a=-4
0.2x+0.7y=1.3
2x+7y=13 yy ㉠
54
[
x=y+2
에서
[
x=y+2 yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
2(y+2)+7y=13, 9y=9 ∴ y=1
y=1을 ㉡에 대입하면 x=3
따라서 x=3, y=1을
x-
y=k에 대입하면
;3!;
;2%;
1-
=k ∴ k=-
;2%;
;2#;
55
[
4x+5y=13
4x+5y=13 yy ㉠
2(x+1)+3y=9
2x+3y=7 yy ㉡
에서
[
㉠ -㉡_2를 하면 -y=-1 ∴ y=1
y=1을 ㉡에 대입하면 2x+3=7, 2x=4 ∴ x=2
56 2x+
;2#;
;2(;
y=
의 양변에 2를 곱하면 4x+3y=9 yy ㉠
y=-
x이므로 ㉠에 대입하면
;3!;
4x+3_
-
x
=9, 3x=9 ∴ x=3
{
;3!;
}
x=3을 ㉠에 대입하면
12+3y=9, 3y=-3 ∴ y=-1
㉠ +㉡을 하면 13x=13 ∴ x=1
따라서 x=2, y=1을 kx+y=5에 대입하면
x=1을 ㉡에 대입하면 3-y=4 ∴ y=-1
2k+1=5, 2k=4 ∴ k=2
51 주어진 연립방정식을 정리하면
[
3x+2y=6 yy ㉠
4x-3y=8 yy ㉡
x=3, y=-1을 3x+y-a(x+y)=4에 대입하면
9-1-a(3-1)=4, 8-2a=4
㉠ _3+㉡_2를 하면 17x=34 ∴ x=2
-2a=-4 ∴ a=2
x=2를 ㉠에 대입하면 6+2y=6, 2y=0 ∴ y=0
52 주어진 연립방정식을 정리하면
[
10x+3y=-16 yy ㉠
5x+y=3
yy ㉡
㉠ -㉡_2를 하면 y=-22
y=-22를 ㉡에 대입하면
따라서 a=5, b=-22이므로
a+b=5+(-22)=-17
72 III . 부등식과 연립방정식
57 주어진 연립방정식을 정리하면
y=
x-
;9!;
;9@;
;9$;
(
{
»
x-
y=
;9@;
;9%;
:Á9ª:
에서
[
x-2y=4 yy ㉠
5x-2y=12 yy ㉡
x=2를 ㉠에 대입하면
2-2y=4, -2y=2 ∴ y=-1
5x-22=3, 5x=25 ∴ x=5
㉡ -㉠을 하면 4x=8 ∴ x=2
58
[
2(x+3y)=3x+7
-x+6y=7 yy ㉠
4x`:`5y=2`:`1
2x-5y=0 yy ㉡
에서
[
㉠ _2+㉡을 하면 7y=14 ∴ y=2
y=2를 ㉠에 대입하면 -x+12=7 ∴ x=5
∴ x-2y=5-2_2=1
4(x+1)=3(y+1)
4x-3y=-1 yy ㉠
59
[
4x-y=5
에서
[
4x-y=5 yy ㉡
㉠ -㉡을 하면 -2y=-6 ∴ y=3
y=3을 ㉡에 대입하면 4x-3=5, 4x=8 ∴ x=2
따라서 m=2, n=3이므로 m+n=2+3=5
60 (2x+9)：(3y-1)=1：2에서 4x-3y=-19 yy ㉠
yy ㉡
(x+y)：(x-y)=3：5에서 x=-4y
㉡을 ㉠에 대입하면
-16y-3y=-19, -19y=-19 ∴ y=1
y=1을 ㉡에 대입하면 x=-4
∴ xÛ`+yÛ`=16+1=17
61 ⑴
[
4x-y+16=x+2
3x-y=-14 yy ㉠
2x+2y-5=x+2
x+2y=7 yy ㉡
에서
[
⑵
[
3x-4y=2x+y+7
x-5y=7 yy ㉠
3x-4y=4x+4y+6
-x-8y=6 yy ㉡
에서
[
㉠+㉡을 하면 -13y=13 ∴ y=-1
y=-1을 ㉠에 대입하면 x+5=7 ∴ x=2
62
[
3x+y=-2x+2
5x+y=2 yy ㉠
2x-y-5=-2x+2
4x-y=7 yy ㉡
에서
[
㉠ +㉡을 하면 9x=9 ∴ x=1
x=1을 ㉠에 대입하면 5+y=2 ∴ y=-3
따라서 a=1, b=-3이므로 6a+b=6-3=3
63
=
x+1
2
3x-by
4
=
ax+y
5
x+1
2
(
{
»
3a+1
5
3+1
2
=
=
3+1
2
9-b
4
∴ a+b=3+1=4
에 x=3, y=1을 대입하면
, 3a+1=10, 3a=9 ∴ a=3
, 8=9-b ∴ b=1
64 ④
[
x-2y=4
-2x+4y=-8
-2x+8=-4y
-2x+4y=-8
에서
[
이므로
해가 무수히 많다.
x+3y=a
5x+15y=5a
65
[
5x-by=10
, 즉
[
5x-by=10
의 해가 무수히 많으므로
15=-b, 5a=10 ∴ a=2, b=-15
∴ a+b=2+(-15)=-13
66 -x+y=3(1-x)를 정리하면 2x+y=3이므로 연립방정
식의 두 방정식이 서로 같다.
따라서 이 연립방정식의 해는 무수히 많다.
즉, 상현이는 연립방정식의 해가 항상 단 하나뿐이라는 것
은 아니라는 사실을 생각하지 못했다.
67 ⑤
[
-2x+y=2
4x-2y=-4
4x-2y=3
4x-2y=3
에서
[
이므로 해가 없다.
개
념
익
힘
탑
68
[
x+3y=a
4x+12y=4a
4x+12y=8
4x+12y=8
, 즉
[
의 해가 없으므로
4a+8 ∴ a+2
69
[
3x-2y=4
6x-4y=8
6x+ay=b
6x+ay=b
, 즉
[
의 해가 없으므로
70 자장면 한 그릇의 가격을 x원, 짬뽕 한 그릇의 가격을 y원
이라 하면
4x+3y=26000
[
y=x+500
∴ x=3500, y=4000
따라서 자장면은 3500원, 짬뽕은 4000원이다.
71 돈가스의 원래 가격을 x원, 잔치국수의 원래 가격을 y원이
라 하면
0.8x+0.8y=6400
x+y=8000
[
y=x-2000
에서
[
y=x-2000
∴ x=5000,` y=3000
따라서 돈가스의 원래 가격은 5000원이다.
72 자동차가 x대, 자전거가 y대라 하면
x+y=30
[
4x+2y=80
에서
[
x+y=30
2x+y=40
∴ x=10, y=20
따라서 자동차는 10대, 자전거는 20대이다.
정답과 풀이 73
㉠_2+㉡을 하면 7x=-21 ∴ x=-3
x=-3을 ㉠에 대입하면 -9-y=-14 ∴ y=5
a=-4, b+8
73 바구니에 들어 있는 꿩을 x마리, 토끼를 y마리라 하면
x+y=35
[
2x+4y=94
에서
[
x+y=35
x+2y=47
∴ x=23, y=12
따라서 꿩은 23마리, 토끼는 12마리가 있다.
(x+10)+y=48
x+y=38
[
x+2y=56
에서
[
x+2y=56
∴ x=20, y=18
따라서 A팀이 전반전에서 얻은 점수는
x+10=20+10=30(점)
74 현재 삼촌의 나이를 x세, 조카의 나이를 y세라 하면
x+y=28
[
x+3=2(y+3)+4
에서
[
x+y=28
x-2y=7
∴ x=21, y=7
따라서 현재 조카의 나이는 7세이다.
75 현재 손녀의 나이를 x세, 할머니의 나이를 y세라 하면
4(x-5)=y-5
4x-y=15
[
2(x+25)=y+25
2x-y=-25
에서
[
∴ x=20, y=65
따라서 현재 손녀의 나이는 20세이다.
76 처음 두 자리의 자연수의 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리
의 숫자를 y라 하면
x+y=14
[
10y+x=(10x+y)+18
x-y=-2
에서``
[
x+y=14
∴ x=6, y=8
따라서 처음 수는 68이다.
77 정희와 민규의 몸무게를 각각 x`kg, y`kg이라 하면
x+68+y
3
=66
y=x+6
(
{
»
∴ x=62, y=68
에서``
x+y=130
[
y=x+6
따라서 정희의 몸무게는 62`kg이다.
80 전체 작업의 양을 1이라 하고, 윤하와 지은이가 1시간 동
안 하는 작업의 양을 각각 x, y라 하면
4x+4y=1
[
2x+8y=1
∴ x=
, y=
;6!;
;1Á2;
따라서 윤하가 혼자서 작업을 하면 끝내는 데 6시간이 걸
린다.
81 전체 일의 양을 1이라 하고 수진이와 승재가 일한 날을 각
각 x일, y일이라 하면
x+y=8
x+
;5!;
;1Á0;
y=1
(
{
»
에서
[
x+y=8
2x+y=10
따라서 승재가 일한 날은 6일이다.
∴ x=2, y=6
82 욕조에 물을 가득 채웠을 때의 물의 양을 1이라 하고, A
수도꼭지, B 수도꼭지로 1분 동안 채울 수 있는 물의 양을
각각 x, y라 하면
2x+18y=1
[
4x+12y=1
∴ x=
, y=
;8!;
;2Á4;
따라서 A 수도꼭지로만 욕조에 물을 가득 채우려면 8분이
83 수영장에 물이 가득 차 있을 때의 물의 양을 1로 놓고, A,
B`호스로 1시간 동안 뺄 수 있는 물의 양을 각각 x, y라
∴ x=
, y=
;6!;
;6!;
따라서 B`호스만으로 수영장의 물을 빼는 데는 6시간이
걸린다.
하면
2x+4y=1
[
4x+2y=1
걸린다.
78 큰 수를 x, 작은 수를` y라 하면
x=7y+4
[
2x=15y+2
∴ x=46, y=6
따라서 두 수는 6, 46이다.
79 B팀이 전반전에서 얻은 점수
를 x점, A팀이 후반전에서
얻은 점수를 y점이라 하면 두
팀의 점수는 오른쪽 표와 같다.
74 III . 부등식과 연립방정식
84 작년의 남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이라 하면
x+y=869-9
x-
;10*0;
;10%0;
y=9
(
{
»
에서
[
x+y=860
8x-5y=900
A팀(점) B팀(점)
∴ x=400, y=460
전반전 x+10
후반전
y
x
2y
따라서 올해 남학생 수는 400+400_
=432(명),
;10*0;
올해 여학생 수는 460-460_
=437(명)
;10%0;
(
{
»
(
{
»
(
{
»
(
{
»
(
{
»
85 지난달 남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이라 하면
91 수진이가 출발한 지 x분 후에, 민수가 출발한 지 y분 후에
x+y=450
-
;1ª0¼0;
x+
;1Á0¤0;
y=0
∴ x=200, y=250
에서
[
x+y=450
-5x+4y=0
따라서 이번 달 남학생 수는 200-200_
=160(명)
;1ª0¼0;
86 어제 남자 관객 수를 x명, 여자 관객 수를 y명이라 하면
x+y=1100
-
;10^0;
x+
;10*0;
y=-45
x+y=1100
에서
[
-3x+4y=-2250
따라서 오늘 남자 관객 수는 950-950_
=893(명),
;10^0;
여자 관객 수는 150+150_
=162(명)
;10*0;
87 올라간 거리를 x`km, 내려온 거리를 y`km라 하면
x+y=10
+
=
;4};
;2&;
;2{;
에서
[
x+y=10
2x+y=14
∴ x=4, y=6
따라서 올라간 거리는 4`km, 내려온 거리는 6`km이다.
개
념
익
힘
탑
수진이와 민수가 만난다고 하면
x=y+10
[
300x=500y
에서
[
x=y+10
3x=5y
∴ x=25, y=15
따라서 두 사람이 만난 시간은 민수가 출발한 지 15분 후
이다.
하면
92 영락이가 걸은 시간을 x분, 영현이가 걸은 시간을 y분이라
y=x-17
[
80x=250y
에서
[
y=x-17
8x=25y
∴ x=25, y=8
따라서 영현이는 출발한 지 8분 후에 영락이를 만났다.
93 지섭이가 걸은 거리를 x`km, 효진이가 걸은 거리를 y`km
라 하면
x+y=5
(
{
»
=
;4};
;6{;
에서
[
x+y=5
2x-3y=0
∴ x=3, y=2
따라서 지섭이가 걸은 거리는 3`km이다.
88 올라간 거리를 x`km, 내려온 거리를 y`km라 하면
y=x-3
+
;3{;
y
4.5
y=x-3
에서
[
=6
3x+2y=54
따라서 내려온 거리는 9`km이다.
∴ x=12, y=9
하면
94 진희의 속력을 시속 x`km, 민아의 속력을 시속 y`km라
x`:`y=3`:`2
3y=2x
[
2x+2y=20
에서
[
2x+2y=20
∴ x=6, y=4
따라서 민아가 1시간 동안 뛴 거리는 4`km이다.
89 시속 3`km로 걸은 거리를 x`km, 시속 6`km로 달린 거리
를 y`km라 하면
x+y=4
에서
[
x+y=4
2x+y=7
+
+
=
;3{;
;3$;
따라서 명지가 달린 거리는 1`km이다.
;6};
;6!;
∴ x=3, y=1
90 갑의 속력을 분속 x`m, 을의 속력을` 분속 y`m라 하면
x<y이므로
6y-6x=1800
-x+y=300
[
2x+2y=1800
에서
[
x+y=900
∴ x=300, y=600
95 은재의 속력을 분속 x`m, 재희의 속력을 분속 y`m라 하면
2x-2y=400
x+
y=400
;2!;
;2!;
(
{
»
∴ x=500, y=300
에서
[
x-y=200
x+y=800
따라서 은재의 속력은 분속 500`m, 재희의 속력은 분속
300`m이다.
96 정지한 물에서의 배의 속력을 시속 x`km, 강물의 속력을`
시속 y`km라 하면
3(x-y)=36
x-y=12
[
x+y=36
에서
[
x+y=36
∴ x=24, y=12
정답과 풀이 75
따라서 갑의 속력이 분속 300`m이므로 1분 동안 300`m를
달릴 수 있다.
따라서 강물의 속력은 시속 12`km이다.
97 정지한 강물에서의 여객선의 속력을 시속 x`km, 강물의
102 10`%의 설탕물의 양을 x`g, 5`%의 설탕물의 양을 `y`g
속력을 시속 y`km라 하면
2(x-y)=20
x-y=10
[
x+y=20
에서
[
x+y=20
∴ x=15, y=5
이때 강의 A 지점에서 B 지점까지의 거리를 a`km라 하면
이라 하면
x+y=500
(
{
»
;1Á0¼0;
x+
y=
;10%0;
;10*0;
_500
∴ x=300, y=200
에서
[
x+y=500
2x+y=800
, 6a+20+3a=150,
따라서 5`%의 설탕물의 양은 200`g이다.
a
15-5
+
;6@0);
+
a
15+5
=
;2%;
9a=130 ∴ a=
130
9
따라서 A 지점에서 B 지점까지의 거리는
`km이다.
130
9
98 기차의 길이를` x`m, 기차의 속력을 분속` y`m라 하면
∴ `x=100, y=800
1500+x=2y
[
700+x=y
800`m이다.
99 기차의 길이를 x`m, 속력을 분속 y`m라 하면
x+5800=2y
[
x+4300=1.5y
∴ x=200, y=3000
따라서 길이가 200`m인 기차가 분속 3000`m의 속력으로
길이가 2800`m인 터널을 완전히 통과하는 데 걸리는 시간
은
200+2800
3000
=1(분)이다.
103 소금물 A의 농도를 x`%, 소금물 B의 농도를 y`%라
하면
_300+
_200=
_500
_200+
_300=
_500
;1Á0¼0;
;10*0;
에서
;10}0;
;10}0;
;10{0;
;10{0;
(
{
»
[
3x+2y=50
2x+3y=40
∴ x=14, y=4
4`%이다.
(
{
»
;10{0;
;10{0;
x+2y=12
[
2x+y=9
이다.
104 소금물 A의 농도를 x`%, 소금물 B의 농도를 y`%라 하면
_400=
_200+
_600
;10}0;
;10}0;
;10$0;
;10#0;
_200+
_100=
_300
에서
∴ x=2, y=5
따라서 소금물 A의 농도는 2`%, 소금물 B의 농도는 5`%
따라서 기차의 길이는 100`m이고, 기차의 속력은 분속
따라서 소금물 A의 농도는 14`%, 소금물 B의 농도는
100 6`%의 소금물의 양을 x`g, 2`%의 소금물의 양을 `y`g이
105 덜어낸 6`%의 소금물의 양을 x`g, 더 넣은 2`%의 소금
라 하면
x+y=600
(
{
»
;10^0;
x+
y=
;10@0;
;10%0;
_600
∴ x=450, y=150
에서
[
x+y=600
3x+y=1500
따라서 6`%의 소금물의 양은 450`g이다.
물의 양을 y`g이라 하면
200-x+y=350
;10^0;
(200-x)+
y=
;10@0;
;10$0;
_350
에서
-x+y=150
-3x+y=100
∴ x=25, y=175
따라서 덜어낸 6`%의 소금물의 양은 25`g이다.
101 5`%의 소금물의 양을 x`g, 15`%의 소금물의 양을 `y`g
106 금이 60`% 포함된 합금의 양을 x`g, 금이 85`% 포함된
이라 하면
x+y=300
(
{
»
x+
;10%0;
;1Á0°0;
y=27
∴ x=180, y=120
에서
[
x+y=300
x+3y=540
합금의 양을 y`g이라 하면
x+y=300
;1¤0¼0;
x+
y=
;1¥0°0;
;1¦0¼0;
_300
∴ x=180, y=120
x+y=300
에서
[
12x+17y=4200
따라서 5`%의 소금물의 양은 180`g이다.
따라서 금이 85`% 포함된 합금은 120`g을 섞어야 한다.
76 III . 부등식과 연립방정식
(
{
»
[
(
{
»
107 필요한 합금 A의 양을 x`kg, 합금 B의 양을 `y`kg이라
04 주어진 연립방정식의 계수를 정수로 고치면
하면
x+
;1¢0¼0;
;1Á0¼0;
y=3
x+
;1Á0¼0;
;1¢0¼0;
y=9
(
{
»
∴ x=2, y=22
에서
[
4x+y=30
x+4y=90
따라서 합금 B는 22`kg이 필요하다.
30x=-2y-59
30x+2y=-59 yy ㉠
[
x+2y=-1
에서
[
x+2y=-1 yy ㉡
㉠ -㉡을 하면 29x=-58 `∴ x=-2
x=-2를 ㉡에 대입하면
-2+2y=-1 ∴ y=
;2!;
108 먹어야 하는 우유의 양을 x`g, 달걀의 양을 y`g이라 하면
(
{
»
x+
;1¤0¼0;
;1!0^0);
y=400
x+
;10#0;
;1Á0ª0;
y=24
∴ x=400, y=100
에서
[
3x+8y=2000
x+4y=800
따라서 우유 400`g, 달걀 100`g을 먹어야 한다.
05
[
2ax-y=4
ax+2by=1
에 x=1, y=2를 대입하면
[
2a-2=4
a+4b=1
2a-2=4에서 2a=6 ∴ a=3
a=3을 a+4b=1에 대입하면
3+4b=1, 4b=-2 ∴ b=-
;2!;
∴ a-2b=3-2_
-
=4
{
;2!;}
개
념
익
힘
탑
실전연습문제
개념익힘탑 56~57쪽
01 ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ × ⑷ ◯
04 풀이 참조
03 ⑤
07 7
06 -3
11 ①
10 6
15 x=2, y=8
14 30분
08 25
12 8회
02 2
05 4
09 7
13 300`m
06
[
x+5y=3 yy ㉠
3x+7y=1 yy ㉡
㉠ _3-㉡을 하면 8y=8 ∴ y=1
y=1을 ㉠에 대입하면 x+5=3 ∴ x=-2
따라서 x=-2, y=1을 2x+y=a에 대입하면
-4+1=a ∴ a=-3``
01 ⑵ x가 분모에 있으므로 미지수가 2개인 일차방정식이 아
니다.
⑶ x-xy+y=x+3에서 -xy+y-3=0이므로 미지수
2a-b=-1 yy ㉠
[
-a+2b=8 yy ㉡
07
[
bx+ay=-1
ax+by=8
에 x=-1, y=2를 대입하면
가 2개인 일차방정식이 아니다.
㉠ +㉡_2를 하면 3b=15 ∴ b=5
⑷ 6x+xÛ`=xÛ`-y에서 6x+y=0이므로 미지수가 2개인
b=5를 ㉠에 대입하면 2a-5=-1, 2a=4 ∴ a=2
일차방정식이다.
∴ a+b=2+5=7
02 x=1, y=3을 ax+3y-11=0에 대입하면
a+9-11=0 ∴ a=2
03 ㉠_4-㉡_3을 하면 -17y=-17
즉, x가 없어진다.
08
[
x-y+7=3x+y+5
x+y=1
yy ㉠
x-y+7=2x-3y
-x+2y=-7 yy ㉡
에서
[
㉠ +㉡을 하면 3y=-6 ∴ y=-2
y=-2를 ㉠에 대입하면 x-2=1 ∴ x=3
따라서 p=3, q=-2이므로 (p-q)Û`={3-(-2)}Û`=25
정답과 풀이 77
09
[
x-2y-3=0 yy ㉠
x+y=0 yy ㉡
㉠ -㉡을 하면 -3y-3=0, -3y=3 ∴ y=-1
y=-1을 ㉡에 대입하면 x-1=0 ∴ x=1
∴ p=1, q=-1
x=1, y=-1을 2x-ky-9=0에 대입하면
2+k-9=0 ∴ k=7
∴ p+q+k=1+(-1)+7=7
10
[
x+y=4 yy ㉠
2x+3y=9 yy ㉡
㉠ _2-㉡을 하면 -y=-1 ∴ y=1
y=1을 ㉠에 대입하면 x+1=4 ∴ x=3
x=3, y=1을 ax-y=2에 대입하면
3a-1=2, 3a=3 ∴ a=1
x=3, y=1을 x-by=-2에 대입하면
3-b=-2 ∴ b=5
∴ a+b=1+5=6
12 A가 이긴 횟수를 x회, B가 이긴 횟수를 y회라 하면 A가
진 횟수는 y회, B가 진 횟수는 x회이므로
2x-y=6
[
2y-x=9
에서
[
2x-y=6
-x+2y=9
따라서 B가 이긴 횟수는 8회이다.
∴ x=7, y=8
13 준호가 걸어간 거리를 x`m, 달려간 거리를 y`m라 하면
x+y=1200
+
;6Ó0;
;18}0;
=10
(
{
»
∴ x=300, y=900
에서
[
x+y=1200
3x+y=1800
따라서 준호가 걸어간 거리는 300`m이다.
14 전체 청소의 양을 1이라 하고 수아와 준우가 1분 동안 할
수 있는 청소의 양을 각각 x, y라 하면
20x+20y=1
[
10x+25y=1
∴ x=
, y=
;6Á0;
;3Á0;
따라서 준우가 혼자서 교실 청소를 하면 30분이 걸린다.
11 ㄱ. x-y=5
ㄷ. 5x-2y=-1
ㄴ. 3x-3y=5
ㄹ. x+3y=2
따라서 계수의 비는 같고 상수항의 비가 다른 두 방정식
ㄱ, ㄴ을 한 쌍으로 하는 연립방정식을 만들면 해가 없다.
15
;10{0;
;10{0;
(
{
»
[
x+y=10
2x+y=12
_100+
_100=
_200
;10}0;
;10}0;
;10%0;
;10$0;
_200+
_100=
_300
에서
∴ x=2, y=8
78 III . 부등식과 연립방정식
IV 함수
1 일차함수와 그 그래프
개념익힘문제
개념익힘탑 58~72쪽
02 ①, ③ 03 ⑴ 8 ⑵ -4
07 -12
11 3
15 ①
01 ⑤
04 ⑴ -4 ⑵ 9 ⑶ 2 ⑷ -1
06 1
10 50
14 7
17 ㄱ, ㄷ, ㅂ
20 15
24 ④
28 -11
32 y=4x+7
35 ⑤
21 9
25 ③
29 ②
36 10
05 ⑤
09 -4
13 ①
08 ⑤
12 ②
16 ④
18 ②, ④ 19 ②
23 5
22 ②
27 ②
26 ①
31 ⑤
30 -5
34 6
33 ⑤
38 -10
37 -4
39 0
40 A(5, 0), B(0, 2)
42 x절편: 2, y절편: 4
43 22
41 -
;8#;
44 ;3@;
48 -
;2!;
46 ;2#;
50 :ª2£:
53 ⑤
56 ;2#;
47 ①
51 ㄴ, ㄹ, ㅂ
54 a=-2, k=-8
57 -6
58 ;3!;
45 4
49 :Á2£:
52 ④
55 ④
59 ④
62 18
61 ④
60 ;5^;
64 ①, ② 65 ②, ⑤ 66 ③
69 ③
68 ③
63 ③
67 제2사분면
70 ;3@;
71 ②
72 -3
73 ㄷ, ㅁ
74 -
;3@;
75 -
;2%;
76 ⑤
77 ②
78 y=;3@;x+5
81 5
79 2
82 ⑤
83 ⑤
80 2
84 ③
86 ⑤
85 ;3*;
89 -3
92 95`ùF
96 ①
99 28초
101 y=2400-40x
103 y=60-5x, 3초
;2%;
88 -
87 ;2#;
91 ⑴ y=25x+16 ⑵ 66`¾
90 ②
93 3`km
94 90분
97 y=4x+10, 10`cm
100 y=400-25x, 16초
95 75분
98 ④
개
념
익
힘
탑
102 ②
01 ① y=6x ② y=300x ③ y=5x ④ y=
⑤ x=2일 때, 자연수 2의 배수`y는 2, 4, 6, 8, y
20
x
즉, 하나의 x의 값에 대하여 y의 값이 하나로 정해지지
않으므로 함수가 아니다.
02 ① x=6일 때, y=2, 4이므로 함수가 아니다.
(소금의 양)
② (농도)=
(소금물의 양)
_100이므로
y=
;20{0;
_100=
x
;2!;
③ x=
일 때, y=0, 1이므로 함수가 아니다.
;2!;
④ y=20-x
⑤ y=2_p_x=2px
03 ⑴ f(2)=4_2=8
⑵ f(-1)=4_(-1)=-4
04 ⑴ y=-2_2=-4
⑶ y=
=2
;2$;
⑵ y=5_2-1=9
⑷ y=-
=-1
;2@;
05 f(2)=-6_2=-12
f(4)=-6_4=-24
∴ f(2)-f(4)=-12-(-24)=-12+24=12
06 f(-4)=
∴ f(-4)+f(3)=-3+4=1
=-3, f(3)=
12
-4
:Á3ª:
=4
정답과 풀이 79
07 y=
;[A;
에서 x=3일 때, y=-4이므로
-4=
∴ a=-12
;3A;
08 f(k)=-5k이므로 -5k=-20 ∴ k=4
09 f(x)=2x+3에서 f
a+3=-1 ∴ a=-4
{;2A;}
=2_
+3=-1
;2A;
10 y가 x에 정비례하므로 f(x)=3x이고, f(k)=150이므로
f(k)=3k=150 ∴ k=50
11 f(3)=-5이므로
a_3+1=-5, 3a=-6 ∴ a=-2
따라서 f(x)=-2x+1이므로
f(-1)=-2_(-1)+1=3
12 f(-3)=4이므로 4=
12
x
따라서 `f(x)=-
a
-3
∴ a=-12
이므로 f(6)=-
=-2
12
6
13 f(-1)=
a
-1
+1=2, -a=1 ∴ a=-1
즉, f(x)=-
+1
;[!;
f(b)=-
+1=3, -
=2 ∴ b=-
;b!;
;b!;
;2!;
∴ a+b=-1-
=-
;2!;
;2#;
=-2 ∴ a=10
14 g(5)=-
;5A;
∴ a-b=10-3=7
f(b)=3b+1=10, 3b=9 ∴ b=3
15 ① y=
x-
;3@;
;3%;
④ y=-
;[!;
③ y=-xÛ`+2x
⑤ y=-6
18 ① y=pxÛ`
③ y=xÛ`
⑤ y=
300
x
② y=600x
④ y=100-4x
19 ① y=80x
x
② y=
200+x
_100=
100x
200+x
③ y=10000-500_x=-500x+10000
④ y=24-x
⑤ 2(x+y)=40에서 y=-x+20
20 f(3)=3_3+2=11, f(-2)=3_(-2)+2=-4
∴ f(3)-f(-2)=11-(-4)=15
21 f(1)=a+3=5 ∴ a=2
따라서 f(x)=2x+3이므로 f(3)=2_3+3=9
22 f(2)=-3_2+b=-4이므로 b=2
따라서 f(x)=-3x+2이므로
f(p)=-3p+2=-7
∴ p=3
23 f(-2)=-2a+b=3
f(1)=a+b=6
yy`㉠
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=5
따라서 f(x)=x+5이므로 f(0)=0+5=5
24 ④ a의 절댓값이 클수록 y축에 가까워진다. 즉, 일차함수
y=-2x의 그래프가 일차함수 y=x의 그래프보다
y축에 가깝다.
25
;2!;
<a<2
26 ① x=1일 때 y=a이므로 점 (1, a)를 지난다.
27 ② -3_
-
{
;2!;}
+7+
:Á2°:
16 ㄷ. y=-3 ㄹ. y=-
따라서 일차함수가 아닌 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ의 4개이다.
ㅁ. y=-1
15
x
28 y=
;2!;
x+b의 그래프가 점 (3, -1)을 지나므로
-1=
_3+b ∴ b=-
;2!;
;2%;
17 ㄷ. y=6x-2 ㄹ. y=xÛ`+x ㅁ. y=-6
따라서 일차함수인 것은 ㄱ, ㄷ, ㅂ이다.
80 IV . 함수
따라서 y=
x-
의 그래프가 점 (p, -8)을 지나므로
;2!;
;2%;
-8=
p-
,
;2%;
;2!;
;2!;
p=-
:Á2Á:
∴ p=-11
29 x=a, y=a-1을 y=3x+1에 대입하면
a-1=3a+1, 2a=-2 ∴ a=-1
x=b, y=b+3을 y=3x+1에 대입하면
b+3=3b+1, 2b=2 ∴ b=1
36 y=2x-8의 그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평행이동한
그래프의 식은
y=2x-8+b
y=2x-8+b의 그래프가 점 (-3, -1)을 지나므로
∴ a-b=-1-1=-2
-1=2_(-3)-8+b ∴ b=13
30 y=3x+2의 그래프가 점 (-2, k)를 지나므로
k=3_(-2)+2=-4
따라서 y=-ax-2의 그래프가 점 (-2, -4)를 지나므로
-4=-a_(-2)-2, 2a=-2 ∴ a=-1
∴ a+k=-1+(-4)=-5
즉, y=2x+5의 그래프가 점 (a+1, 1-2a)를 지나므로
1-2a=2(a+1)+5 ∴ a=-
;2#;
∴ 2a+b=2_
-
+13=10
{
;2#;}
개
념
익
힘
탑
37 y=ax+
;4!;
의 그래프가 점 (5, -1)을 지나므로
31 ⑤ y=
;2%;
x의 그래프를 y축의 방향으로 1만큼 평행이동하
-1=5a+
∴ a=-
;4!;
;4!;
면 y=
x+1의 그래프와 겹쳐진다.
;2%;
즉, y=-
x+
+b의 그래프가 점 (4, 1)을 지나므로
;4!;
;4!;
32 y=4x+b의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동
1=-
_4+
+b ∴ b=
;4!;
;4!;
;4&;
한 그래프의 식은
y=4x+b-3
이 함수의 그래프가 y=4x-1의 그래프와 겹쳐지므로
b-3=-1 ∴ b=2
따라서 구하는 그래프의 식은 y=4x+2+5
∴ y=4x+7
33 y=ax-2의 그래프를 y축의 방향으로 p만큼 평행이동한
그래프의 식은
y=ax-2+p이므로
a=
, -2+p=3 ∴ a=
, p=5
;2!;
;2!;
∴ 2a+p=2_
+5=6
;2!;
34 y=-2x의 그래프를 y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한
그래프의 식은
y=-2x-2
이 함수의 그래프가 점 (-4, a)를 지나므로
y=-2x-2에 x=-4, y=a를 대입하면
a=-2_(-4)-2=6
35 y=-3x+1의 그래프를 y축의 방향으로 k만큼 평행이동
한 그래프의 식은
y=-3x+1+k
이 함수의 그래프가 점 (3, 7)을 지나므로
y=-3x+1+k에 x=3, y=7을 대입하면
7=-3_3+1+k ∴ k=15
∴ 2a-2b=2_
-
-2_
=-4
{
;4!;}
;4&;
38 y=ax+b의 그래프가 두 점 (2, 1), (-3, 11)을 지나므로
1=2a+b, 11=-3a+b
위의 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=5
∴ ab=-2_5=-10
39 y=3ax-2의 그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평행이동
한 그래프의 식은
y=3ax-2+b
이 그래프가 두 점 (2, 10), (-1, -8)을 지나므로
10=6a-2+b, -8=-3a-2+b,
즉 6a+b=12, 3a-b=6
두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=0
∴ ab=2_0=0
x+2의 그래프의 x절편은 5, y절편은 2이므로
40 y=-
;5@;
A(5, 0), B(0, 2)
41 y=ax+3의 그래프가 점
{
-
;4!;
}
, 1
을 지나므로
1=-
a+3 ∴ a=8
;4!;
즉, y=8x+3이므로 0=8x+3에서 x=-
따라서 y=8x+3의 그래프의 x절편은
이다.
;8#;
-;8#;
정답과 풀이 81
42 y=ax+4의 그래프가 점 (1, 2)를 지나므로
2=a+4 ∴ a=-2 ∴ y=-2x+4
y=0을 y=-2x+4에 대입하면
0=-2x+4 ∴ x=2
x=0을 y=-2x+4에 대입하면 y=4
48 y=ax+5의 그래프의 x절편은
-
, y절편은 5이므로
;a%;
△ OPQ=
_
-
{
;2!;
;a%;}
_5=25
(cid:50)
(cid:90)
(cid:22)
(cid:48)
(cid:49)
(cid:14)
(cid:26)(cid:64)(cid:5)(cid:26)
(cid:89)
(cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:12)(cid:22)
따라서 y=-2x+4의 그래프의 x절편은 2, y절편은 4이다.
∴ a=-
;2!;
43 y=
;7$;
x의 그래프를 y축의 방향으로 -8만큼 평행이동한
49 y=-
;3$;
x+2의 그래프의 x절편은
, y절편은 2이고,
;2#;
그래프의 식은
y=
x-8
;7$;
;7$;
;7$;
y=0을 y=
x-8에 대입하면 0=
x-8 ∴ x=14
;7$;
x=0을 y=
x-8에 대입하면 y=-8
따라서 a=14, b=-8이므로
a-b=14-(-8)=22
44 x절편이 -2이므로 0=-2a+b
점 (1, -2)를 지나므로 -2=a+b …… ㉡
…… ㉠
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-
, b=-
;3@;
;3$;
∴ a-b=-
-
-
{
;3@;
;3$;}
=
;3@;
y=
x+2의 x절편은 -5,
;5@;
y절편은 2이므로 그 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
따라서 구하는 넓이는
_
;2!;
{;2#;
+5
_2=
}
:Á2£:
(cid:90)
(cid:19)
(cid:90)(cid:30)(cid:28)(cid:22)(cid:33)(cid:28)(cid:89)(cid:12)(cid:19)
(cid:28)(cid:19)(cid:4)(cid:28)
(cid:89)
(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:28)(cid:20)(cid:5)(cid:28)(cid:89)(cid:12)(cid:19)
(cid:14)(cid:22)
(cid:48)
50 y=-
;3!;
x-3의 그래프의 x절편은 -9, y절편은 -3이고,
y=-x-2의 그래프의 x절편
(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:14)(cid:19)
(cid:90)
은 -2, y절편은 -2이므로 그
그래프는 오른쪽 그림과 같다.
(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:28)(cid:20)(cid:197)(cid:28)(cid:89)(cid:14)(cid:20)
(cid:14)(cid:26)
(cid:14)(cid:19)
(cid:48)
(cid:89)
(cid:14)(cid:19)
(cid:14)(cid:20)
따라서 구하는 넓이는
_9_3-
_2_2=
;2!;
;2!;
:ª2£:
45 x절편이 -2이므로 0=-2a+1 ∴ a=
;2!;
즉, y=
x+1의 그래프가 점 (-8, m)을 지나므로
;2!;
(y의 값의 증가량)
51 (기울기)=
(x의 값의 증가량)
따라서 기울기가 -2인 것은 ㄴ, ㄹ, ㅂ이다.
-6
3
=-2
=
m=
_(-8)+1=-3
;2!;
∴ 2a-m=2_
-(-3)=4
;2!;
46 y=0을 y=
;4!;
x-1에 대입하면
0=
x-1 ∴ x=4
;4!;
x=0을 y=
x+2k+1에 대입하면
;3!;
y=2k+1
따라서 4=2k+1이므로 k=
;2#;
47 y=ax-1에 x=-3, y=5를 대입하면
5=-3a-1 ∴ a=-2
52 (기울기)=
∴ (y의 값의 증가량)=-12
(y의 값의 증가량)
1-(-3)
=
(y의 값의 증가량)
4
=-3
53 x절편이 -
;2!;
이므로 0=-
a+2 ∴ a=4
즉, 기울기가 4이므로
=4 ∴ k=-20
;2!;
k
-3-2
∴ a-k=4-(-20)=24
54 y=ax+3의 그래프가 점 (2, -1)을 지나므로
-1=2a+3 ∴ a=-2
즉, 기울기가 -2이므로
k
2-(-2)
=-2 ∴ k=-8
55 (기울기)=
2k-4
-2-k
(2k-3)-1
-2-k
=-
이므로
;5^;
=-
, 10k-20=12+6k
;5^;
이때 두 일차함수 y=-2x-1과 y=
x+b의 그래프가
;2!;
y축 위에서 만나므로 y절편이 같다.
∴ b=-1
82 IV . 함수
∴ a+b=-2+(-1)=-3
4k=32 ∴ k=8
56 (기울기)=
3-4
-1-1
(y의 값의 증가량)
-4-(-7)
=
;2!;
=
;2!;
이므로
∴ (y의 값의 증가량)=
;;2#;
65 평행이동한 그래프의 일차함수의 식은 y=
① 오른쪽 위로 향하는 직선이다.
x+
;5#;
;2!;
③ x의 값이 5만큼 증가하면 y의 값은 3만큼 증가한다.
④ 점
{
-5, -
를 지난다.
;2%;}
57 그래프가 두 점 (-3, 0), (0, a)를 지나므로
(기울기)=
=-2
a-0
0-(-3)
∴ a=-6
66 일차함수 y=-ax+ab의 그래프의 (기울기)>0,
(y절편)<0이므로
-a>0, ab<0 ∴ a<0, b>0
개
념
익
힘
탑
58 y=f(x)의 그래프가 두 점 (0, -1), (3, 2)를 지나므로
m=
=1
2-(-1)
3-0
y=g(x)의 그래프가 두 점 (3, 2), (6, 0)을 지나므로
n=
0-2
6-3
=-
;3@;
∴ m+n=1+
-
=
;3!;
;3@;}
{
-7-1
-3-1
59
∴ a=7
=
a-1
4-1
이므로 2=
, a-1=6
a-1
3
60
a-(-3)
2-(-1)
a+3
3
=
(3a-1)-a
3-2
이므로
=2a-1, a+3=6a-3
5a=6 ∴ a=
;5^;
(k+1)-1
2k-k
61
∴ k=1
=
(k+2)-(k+1)
3k-2k
이므로 1=
;k!;
62 직선 AB의 기울기와 직선 BC의 기울기가 같으므로
, a(b-1)=6(3-a)
=
=
,
3-a
b-1
;6A;
3-a
b-1
a-0
1-(-5)
ab-a=18-6a ∴ ab+5a=18
63 기울기의 절댓값이 작을수록 x축에 가깝다.
<
|;3!;|
-
<
|
;2!;|
|;2#;|
<|2|<|-3|이므로 그래프가 x축
에 가장 가까운 것은 ③이다.
67 y=-ax-
;bA;
의 그래프의
(기울기)<0, (y절편)>0이므로
-a<0, -
>0 ∴ a>0, b<0
;bA;
따라서 y=ax+b의 그래프는 오른쪽
그림과 같으므로 제2사분면을 지나지
않는다.
(cid:90)
(cid:48)
(cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:12)(cid:67)
(cid:89)
68 y=ax+b의 그래프에서 a>0, b>0
y=mx+n의 그래프에서 m<0, n<0
① ab>0 ② am<0 ④ b-n>0 ⑤
>0
;nM;
69 -3a=12, 8=2b이므로 a=-4, b=4
∴ a-b=-4-4=-8
70 2p-1=p-q+1, p-4q+3=q+1에서
p+q=2, p-5q=-2
두 식을 연립하여 풀면 p=
, q=
;3$;
;3@;
∴ p-q=
-
=
;3@;
;3$;
;3@;
71 y=2ax+4와 y=6x-b가 일치하므로
2a=6, 4=-b ∴ a=3, b=-4
∴ a+b=3+(-4)=-1
72 y=-2x+b-3의 그래프와 y=-2x+1의 그래프가 일
치하므로
b-3=1 ∴ b=4
y=-2x+4-5=-2x-1의 그래프와 y=mx+n의 그
64 기울기가 음수인 그래프는 ①, ②이고 이 중 기울기가
더 작은 함수는 ①이다.
래프가 일치하므로
m=-2, n=-1
또한, y절편이 가장 큰 그래프는 ②이다.
∴ m+n=-2+(-1)=-3
정답과 풀이 83
73 기울기가 같고 y절편이 다른 두 일차함수의 그래프는 서로
평행하므로 y=3x+1의 그래프와 평행한 것은 ㄷ, ㅁ이
80 y=f(x)의 그래프의 기울기가
;3@;
, y절편이 2이므로
74 두 일차함수의 그래프가 평행하려면 기울기가 같아야 하
다.
므로
3a=-2 ∴ a=
-;3@;
f(x)=
x+2
;3@;
따라서 f(2)=
_2+2=
;3@;
,
;;Á3¼;;
;3$;
f(-1)=
_(-1)+2=
이므로
;3@;
f(2)-f(-1)=
;;Á3¼;;-;3$;
=2
75 y=2ax+3과 y=-3x+2의 그래프가 서로 평행하므로
2a=-3 ∴ a=-
;2#;
즉, y=-3x+3의 그래프가 점 (k, -2)를 지나므로
81 y=-2x+b로 놓고 x=3, y=-1을 대입하면
-1=-2_3+b에서 b=5
∴ (y절편)=b=5
-2=-3k+3 ∴ k=
;3%;
∴ ak=-
_
=
;3%;
;2#;
-;2%;
76 y=-ax+2의 그래프와 y=5x-1의 그래프가 평행하므로
-a=5 ∴ a=-5
82 주어진 일차함수의 식은 y=-2x+3의 그래프와 평행하
므로 y=-2x+b로 놓고 이 그래프가 점 (-1, 4)를 지
나므로
y=-2x+b에 x=-1, y=4를 대입하면
4=-2_(-1)+b ∴ b=2
y=-ax+2의 그래프의 x절편
와 y=bx-6의 그래프
∴ y=-2x+2
;a@;
⑤ x=5일 때, y=-2_5+2=-8+-6
의 x절편
이 같으므로
;b^;
=
;b^;
;a@;
, -
;5@;
=
;b^;
∴ b=-15
∴ a-b=-5-(-15)=10
77 기울기가 5이고 y절편이 -4인 일차함수
의 그래프를 나타내는 식은 y=5x-4
즉, 오른쪽 그림과 같으므로 제2사분면을
지나지 않는다.
(cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:22)(cid:89)(cid:14)(cid:21)
(cid:48)
(cid:28)(cid:22)(cid:5)(cid:28)
(cid:89)
(cid:14)(cid:21)
83 주어진 직선의 기울기는 2이므로 a=2
즉, y=2x+b의 그래프가 점 (-1, 1)을 지나므로
1=2_(-1)+b ∴ b=3
∴ a+b=2+3=5
84 y=2x+b의 그래프가 점 (2, 8)을 지나므로
8=4+b ∴ b=4
78 주어진 일차함수의 그래프의 기울기가
;3@;
이므로 기울기가
이 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로
이고 y절편이 5인 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식은
∴ y=2x+4
구하는 넓이는
_2_4=4
;2!;
(cid:90)
(cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:21)
(cid:21)
(cid:14)(cid:19)
(cid:48)
(cid:89)
이고, y절편이 2인 직선을 그래프로 하는
;3@;
y=
x+5
;3@;
79 기울기가 -
;2#;
일차함수의 식은
y=-
x+2
;2#;
이 직선이 점 (2a, -2a)를 지나므로
-2a=-
_2a+2 ∴ a=2
;2#;
84 IV . 함수
85 (기울기)=
10-1
2-(-1)
=3
y=3x+b의 그래프가 점 (-1, 1)을 지나므로
1=3_(-1)+b ∴ b=4 ∴ y=3x+4
y=3x+4의 그래프의 x절편이 -
, y절편이 4이므로
;3$;
a=-
, b=4 ∴ a+b=-
+4=
;3$;
;3*;
;3$;
86 (기울기)=
-3-7
-1-(-3)
=-5
y=-5x+b의 그래프가 점 (-1, -3)을 지나므로
-3=-5_(-1)+b ∴ b=-8
따라서 y=-5x-8의 그래프의 x절편은 -
이다.
⑤ y=
x+4의 그래프의 x절편도 -
이므로 두 그래프
;2%;
는 x축 위에서 만난다.
;5*;
;5*;
91 ⑴ 1`km 내려갈 때마다 온도가 25`¾씩 올라가므로
y=25x+16
⑵ x=2일 때, y=25_2+16=66
따라서 지하 2`km에서의 온도는 66`¾이다.
92 섭씨온도가 0`¾일 때 화씨온도가 32`¾이고,
섭씨온도가 1`¾ 증가할 때, 화씨온도는
`ùF 증가하므로
;5(;
섭씨온도가 x`¾일 때, 화씨온도를 y`ùF라 하면
개
념
익
힘
탑
87 선영이가 그린 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식은
y=
x+32
;5(;
세은이가 그린 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식은
x=35일 때, y=
_35+32=95
;5(;
y=x-2
y=
x-
;4&;
;2!;
점 (2, k)를 지나므로
k=;2&;-2=
;2#;
따라서 원래의 일차함수는 y=
x-2이고 이 그래프가
;4&;
88 두 점 (8, 0), (0, -2)를 지나므로
-2-0
∴ y=
0-8
(기울기)=
=
;4!;
x-2
;4!;
y=
x-2의 그래프가 점 (-2, k)를 지나므로
;4!;
;4!;
k=
_(-2)-2=
-;2%;
89 두 점 (-1, 0), (0, -5)를 지나므로
-5-0
0-(-1)
(기울기)=
=-5 ∴ y=-5x-5
이 직선을 y축의 방향으로 -10만큼 평행이동한 직선을
그래프로 하는 일차함수의 식은
y=-5x-5-10=-5x-15
y=-5x-15에 y=0을 대입하면
0=-5x-15 ∴ x=-3
90 x절편이 2, y절편이 -1인 직선의 기울기는
이므로
;2!;
y=
x-1
;2!;
즉, a=
, b=-1이므로 ab=-
, a+b=-
;2!;
;2!;
;2!;
∴ y=-abx+a+b=
x-
;2!;
;2!;
따라서 섭씨온도가 35`¾일 때, 화씨온도는 95`ùF이다.
93 1`m 높아질 때마다 기온이 0.006`¾씩 내려가므로 지면으
로부터 높이가 x`m인 지점의 기온을 y`¾라 하면
y=-3일 때, -3=15-0.006x ∴ x=3000
따라서 기온이 -3`¾인 지점의 지면으로부터의 높이는
y=15-0.006x
3`km이다.
94 1분마다
;3!;
`cm씩 짧아지므로 불을 붙인 지 x분 후의 양초
의 길이를 y`cm라 하면
y=30-
x
;3!;
y=0일 때, 0=30-
x ∴ x=90
;3!;
따라서 양초가 모두 타는 데 걸리는 시간은 90분이다.
`cm씩 짧아지므로 x분 후의 얼
95 얼음의 높이가 1분마다
음의 높이를 y`cm라 하면
;5$;
y=80-
x
;5$;
따라서 얼음의 높이가 20`cm가 되는 것은 75분 후이다.
96 1`g마다 0.5`cm씩 늘어나므로 x`g의 추를 달았을 때 용수
철의 길이를 y`cm라 하면
y=0.5x+10
x=20일 때, y=0.5_20+10=20
따라서 20`g의 추를 달았을 때, 용수철의 길이는 20`cm
정답과 풀이 85
따라서 y=-5x-15의 그래프의 x절편은 -3이다.
y=20일 때, 20=80-
x ∴ x=75
;5$;
따라서 이 그래프의 x절편은 1, y절편은 -
이므로 ②이다.
;2!;
이다.
97 5분 후에 30`cm, 10분 후에 50`cm가 되므로 5분 동안
20`cm, 즉 1분에 4`cm씩 높아진다. 처음 들어 있던 물의
높이를 a`cm라 하면 x분 후의 물의 높이는 y=4x+a
즉, y=60-5x
y=45일 때, 45=60-5x ∴ x=3
따라서 △DMP의 넓이가 45`cmÛ`가 되는 것은 점 P가
꼭짓점 C를 출발한 지 3초 후이다.
x=10, y=50을 y=4x+a에 대입하면
50=40+a ∴ a=10
따라서 y=4x+10이고 처음에 들어 있던 물의 높이는
10`cm이다.
98 1분에 60`m, 즉 0.06`km를 걸으므로
y=3-0.06x
99 1초에 5`m를 내려오므로 엘리베이터가 출발한 지 x초 후
의 지면으로부터 엘리베이터까지의 높이를
y`m라 하면 y=260-5x
y=120일 때, 120=260-5x ∴ x=28
따라서 높이가 120`m인 순간은 출발한 지 28초 후이다.
100 A 지점에서 출발한 자동차와 B 지점에서 출발한 자동차
가 x초 동안 움직인 거리는 각각 10x`m, 15x`m이다.
따라서 두 자동차 사이의 거리는
y=400-(10x+15x), 즉 y=400-25x
또, 두 자동차가 만나려면 y=0이므로
0=400-25x, 25x=400 ∴ x=16
101 점 P가 움직이기 시작한 지 x초 후에
BPÓ=2x`cm, PCÓ=(60-2x)`cm이므로
y=
_{60+(60-2x)}_40 ∴ y=2400-40x
102 x초 후의 삼각형 APC의 넓이를 y`cmÛ`라 하면
CPÓ=(12-x)`cm이므로
y=
_(12-x)_10=60-5x
y=40일 때, 40=60-5x ∴ x=4
따라서 삼각형 APC의 넓이가 40`cmÛ`가 되는 것은 점 P
가 꼭짓점 B를 출발한 지 4초 후이다.
;2!;
;2!;
103 CPÓ=2x`cm이므로
y= (사각형 ABCD의 넓이)
-△AMD-△MBP-△DPC
= 12_10-
_12_5-
_(12-2x)_5
;2!;
;2!;
실전연습문제
개념익힘탑 73~74쪽
01 ①, ② 02 ②, ④ 03 2
04 y=-
x+1
;3@;
07 -11
08 16
05 ②
09 ②
06 ④
10 y=-
x+
;2%;
;4#;
11 4
12 -3
14 y=800-100x
15 20분
13 :ª2¦:
16 y=80-2x, 15초
01 ① x=6일 때, 6의 약수 y는 1, 2, 3, 6의 4개이므로 함수
가 아니다.
② x=2일 때, 2와 서로소인 자연수 y는 3, 5, 7, y이므
③ 모든 정수 x에 대하여 x의 절댓값은 오직 하나 존재하
므로 y는 x의 함수이다.
02 ① y=xÛ`
② y=500x+1500
③
_y=5 ∴ y=
;10{0;
500
x
④ xÖy=3 ∴ y=
⑤ xy=100 ∴ y=
;3{;
100
x
03 y=ax+8의 그래프가 점 (4, 16)을 지나므로
16=4a+8, 4a=8 ∴ a=2
따라서 y=2x+8의 그래프가 점 (-3, k)를 지나므로
k=2_(-3)+8=2
04 y=2xÛ`+(3ax+1)x+(1-b)x=(2+3a)xÛ`+(2-b)x
이때 xÛ`의 계수는 0이고 x의 계수는 1이어야 하므로
즉, 두 자동차는 출발한 지 16초 후에 만난다.
로 함수가 아니다.
86 IV . 함수
-
_2x_10
;2!;
2+3a=0에서 a=-
;3@;
따라서 기울기가 -
이고 y절편이 1인 일차함수의 식은
∴ x=-3 ∴ A(-3, 0)
0=-
x-1
;3!;
2-b=1에서 b=1
;3@;
y=-
x+1이다.
;3@;
05 ②
(cid:90)
(cid:21)
(cid:28)(cid:20)(cid:5)(cid:28)
(cid:48)
(cid:89)
(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:20)(cid:89)(cid:12)(cid:21)
이때 OAÓ=OBÓ이므로 B(3, 0)이다.
따라서 y=ax-1의 그래프가 점 B(3, 0)을 지나므로
0=3a-1
∴ a=
∴ ab=
_(-1)=-
;3!;
;3!;
;3!;
10 직선이 두 점 (-2, 4), (2, 1)을 지나므로
(기울기)=
=-
1-4
2-(-2)
;4#;
y=-
x+b로 놓고 x=2, y=1을 대입하면
;4#;
;4#;
1=-
_2+b ∴ b=
;2%;
개
념
익
힘
탑
(cid:89)
(cid:18)(cid:25)
(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:28)(cid:20)(cid:197)(cid:28)(cid:89)(cid:12)(cid:23)
∴ y=-
x+
;4#;
;2%;
06 일차함수 y=-
;3!;
x+6의 그래프
는 오른쪽 그림과 같다.
(cid:90)
(cid:23)
(cid:48)
④
|
-
;3!;|
>
|;4!;|
;4!;
이므로 y=
x-1의 그래프가 y=-
x+6의 그래프
;3!;
보다 x축에 가깝다.
07 y=
;2!;
x-6의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동
한 그래프의 식은
y=
x-6-3=
x-9
;2!;
a=
_(-4)-9=-11
;2!;
;2!;
;2!;
y=
x-9의 그래프가 점 (-4, a)를 지나므로
08 y=-4ax+1의 그래프는 y=8x-2의 그래프와 평행하
므로 -4a=8 ∴ a=-2
y=8x+1의 그래프와 y=(b-2)x+2의 그래프가 x축
위에서 만나므로 두 그래프의 x절편이 같다.
y=8x+1의 그래프의 x절편은 -
이고,
;8!;
y=(b-2)x+2의 그래프의 x절편은
-2
b-2
이므로 -
=
;8!;
-2
b-2
, b-2=16 ∴ `b=18
∴ a+b=-2+18=16
x-1과 y=ax+b의 그래프가 y축 위에서 만나
09 y=-
;3!;
므로 y절편이 같다.
∴ b=-1
11 y=ax-2+m의 그래프의 y절편이 1이므로
-2+m=1 ∴ m=3
따라서 y=ax+1의 그래프의 x절편이 -2이므로
0=-2a+1 ∴ a=
;2!;
∴ 2a+m=2_
+3=4
;2!;
12 두 점 (-8, -7), (2, -2)를 지나는 직선과 평행하므로
이고, y절편이 -6이므
=
(기울기)=
=
-2-(-7)
2-(-8)
;1°0;
;2!;
로 구하는 일차함수의 식은 y=
x-6
따라서 a=
, b=-6이므로 ab=
_(-6)=-3
;2!;
;2!;
;2!;
13 y=3x+b로 놓으면 그래프가 점 (2, -3)을 지나므로
`-3=3_2+b ∴ b=-9 ∴ y=3x-9
이 함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므
로 구하는 넓이는
_3_9=
;2!;
:ª2¦:
14 지선이가 매분 400`m를 가는 동안 성모가 매분 500`m를
가므로 두 사람 사이의 거리는 1분마다 100`m씩 줄어든다.
처음에 성모가 출발할 때 지선이와의 거리는 800`m이므로
(cid:20)
(cid:89)
(cid:90)
(cid:48)
(cid:14)(cid:26)
정답과 풀이 87
y=-
x-1의 그래프가 x축과 만날 때 y=0이므로
;3!;
y=800-100x
15 1분마다 0.2`cm씩 짧아지므로 x분 후에 남은 초의 길이를
02 8x+9y+36=0에서 y=-
x-4
;9*;
2 일차함수와 일차방정식의 관계
04 x=-
;3%;
, y=0을 6x-3y+2b-1=0에 대입하면
6_
-
{
;3%;}
+2b-1=0, 2b=11 ∴ b=
:Á2Á:
y`cm라고 하면
y=20-0.2x
y=16일 때, 16=20-0.2x, 0.2x=4 ∴ x=20
따라서 초의 길이가 16`cm가 되는 것은 20분 후이다.
16 점 P가 출발한 지 x초 후의 PCÓ의 길이는 (10-0.5x)`cm
이므로
;2!;
y=
_(10+10-0.5x)_8 ∴ y=80-2x
y=50일 때, 50=80-2x ∴ x=15
따라서 사다리꼴 APCD의 넓이가 50`cmÛ`가 되는 것은
점 P가 출발한 지 15초 후이다.
개념익힘문제
개념익힘탑 75~78쪽
01 ②, ③ 02 9
03 제1사분면
04 :Á2Á:
05 ⑤
06 ③
07 ㄹ, ㅁ
08 x=7
09 ②, ④ 10 6
13 ②
17 -1
14 2
18 ④
11 ;2%;
15 7
19 ③
21 y=-
x-4
;3%;
22 ⑴ m=2, n+-5 ⑵ m=2, n=-5 ⑶ m+2
23 m+6, n=3
24 -4
25 ⑤
26 20
27 :¤4£:
28 ③
12 1
16 ①
20 ④
01 x-3y+3=0에서 y=
① x절편은 -3이다.
x+1
;3!;
④ 일차함수 y=
x의 그래프와 평행
;3!;
하다.
(cid:90)
(cid:18)
(cid:48)
(cid:14)(cid:20)
(cid:89)
⑤ 점
{
-1,
;3@;}
를 지난다.
88 IV . 함수
따라서 y=-
x-4의 그래프는 오른쪽
;9*;
그림과 같으므로 구하는 도형의 넓이는
_
;2(;
;2!;
_4=9
(cid:90)
(cid:14)(cid:28)(cid:19)(cid:9)(cid:28) (cid:48)
(cid:89)
(cid:14)(cid:21)
03 점 (a-b, ab)가 제3사분면 위의 점이므로
a-b<0, ab<0 ∴ a<0, b>0`
ax-by-1=0에서 y=
x-
;bA;
;b!;
따라서
<0, -
<0이므로
;bA;
;b!;
y=
x-
;bA;
;b!;
의 그래프는 오른쪽 그림과 같
이 제1사분면을 지나지 않는다.
(cid:90)
(cid:48)
(cid:89)
05 주어진 두 점을 지나는 직선의 기울기는
6-(-3)
4-(-2)
=
;2#;
ax-2y+4=0에서 2y=ax+4, y=
x+2
;2A;
따라서
=
;2#;
;2A;
이므로 a=3
06 ax+2y+b=0에서 2y=-ax-b, y=-
x-
;2B;
;2A;
직선 l의 기울기는
, 직선 m의 y절편은 -2이므로
;2!;
y=-
x-
의 그래프의 기울기는
, y절편은 -2이다.
;2A;
;2B;
;2!;
즉, -
=
;2!;
;2A;
;2B;
, -
=-2이므로 a=-1, b=4
∴ a+b=-1+4=3
07 ㄱ. x=
;5$;
ㄹ. y=7
ㄴ. y=
x
;4%;
ㅁ. y=-
;4#;
ㄷ. y=2x
ㅂ. y=x-13
따라서 x축에 평행한 직선의 방정식은 ㄹ, ㅁ이다.
08 3y+6=0에서 y=-2
직선 y=-2에 수직인 직선은 y축에 평행하므로 x=p의
꼴이고 점 (7, -2)를 지나므로 구하는 직선의 방정식은
x=7
12 점 (5, 3)을 지나고 y축에 평행한 직선의 방정식은 x=5
또, 점 (-2, 4)를 지나고 x축에 평행한 직선의 방정식은
y=1
y=4
따라서 m=5, n=4이므로 m-n=5-4=1
09 ① x축에 평행한 직선이다.
③ 제3, 4사분면을 지난다.
⑤ 직선 y=2와 평행하다.
10 a=b=3이므로 a+b=3+3=6
11 두 점의 x좌표가 같아야 하므로
2a=4a-5 ∴ a=
;2%;
13 주어진 그림에서 직선의 방정식은 y=4이므로
ax+by=-2에서 a=0
by=-2에서 y=-
=4이므로 b=-
;b@;
;2!;
∴ a+b=-
;2!;
14 x+y=-3에 y=-7을 대입하면
x-7=-3 ∴ x=4
ax+y=1에 x=4, y=-7을 대입하면
4a-7=1 ∴ a=2
15 2x+y=a가 점 (2, 5)를 지나므로
4+5=a ∴ a=9
bx-y=-1이 점 (2, 5)를 지나므로
2b-5=-1 ∴ b=2
∴ a-b=9-2=7
16 직선 -x+y=6이 점 (k, 2)를 지나므로
-k+2=6 ∴ k=-4
직선 2x+2y=m이 점 (-4, 2)를 지나므로
-8+4=m ∴ m=-4
∴ k+m=-4+(-4)=-8
17 직선 l은 기울기가
;2!;
, y절편이 2이므로
y=
x+2 ∴ x-2y+4=0
;2!;
직선 m은 기울기가 -1, y절편이 -1이므로
y=-x-1 ∴ x+y+1=0
연립방정식
[
x-2y+4=0
x+y+1=0
을 풀면 x=-2, y=1
따라서 a=-2, b=1이므로 a+b=-2+1=-1
개
념
익
힘
탑
18 x-y-4=0, x+y-6=0을 연립하여 풀면 x=5, y=1
따라서 점 (5, 1)을 지나고 x축에 평행한 직선의 방정식은
19 연립방정식
[
3x+4y=1
2x-3y=-5
를 풀면 x=-1, y=1
따라서 점 (-1, 1)을 지나고 y축에 평행한 직선의 방정
식은 x=-1이다.
20 연립방정식
[
x-2y+3=0
3x+y-5=0
을 풀면 x=1, y=2
직선 4x-y=1, 즉 y=4x-1과 평행하므로 구하는 직선
의 방정식을 y=4x+b로 놓고 x=1, y=2를 대입하면
2=4+b에서 b=-2 ∴ y=4x-2
④ 4_4-2=14
21 2x+y+5=0, x-2y+5=0을 연립하여 풀면
x=-3, y=1
5x+3y=0, 즉 y=-
x의 그래프와 평행하므로
;3%;
기울기는 -
;3%;
따라서 y=-
x+b라 놓고 x=-3, y=1을 대입하면
;3%;
1=5+b ∴ b=-4
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=-
x-4
;3%;
23 두 그래프가 평행하려면 두 그래프의 기울기는 같고 y절편
은 달라야 하므로
3=n, m+2n ∴ m+6, n=3
정답과 풀이 89
24 2x-3y=-1에서 y=
x+
;3@;
;3!;
ax+6y=3에서 y=-
x+
;6A;
;2!;
두 직선이 평행하므로
=-
∴ a=-4
;3@;
;6A;
25 -2x+ay=3에서 y=
x+
;a#;
;a@;
6x+3y=b에서 y=-2x+
;3B;
두 직선이 일치하므로
=-2,
=
;3B;
;a#;
;a@;
∴ a=-1, b=-9
∴ ab=(-1)_(-9)=9
26 연립방정식 (
{
»
y=2x+2
y=-
x-3
;2!;
을 풀면
x=-2, y=-2 ∴ A(-2, -2)
y=2x+2에 x=2를 대입하면 y=6 ∴ B(2, 6)
y=-
x-3에 x=2를 대입하면 y=-4
;2!;
∴ C(2, -4)
∴ △ABC=
_10_4=20
;2!;
27 연립방정식
[
x-y-5=0
2x+5y+11=0
을 풀면 x=2, y=-3
두 직선 x-y-5=0,
2x+5y+11=0의 x절편은
각각 5,-
이므로 구하는
:Á2Á:
도형의 넓이는
_
;2!;
:ª2Á:
_3=
:¤4£:
(cid:90)
(cid:89)(cid:14)(cid:90)(cid:14)(cid:22)(cid:30)(cid:17)
(cid:48) (cid:19)
(cid:22)
(cid:89)
(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:22)(cid:90)(cid:12)(cid:18)(cid:18)(cid:30)(cid:17)
(cid:18)(cid:18)
(cid:14)(cid:28)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:28)
(cid:14)(cid:20)
28 직선 l의 방정식은 y=
직선 m의 방정식은 y=-x+4, 즉 x+y-4=0
, 즉 3x-2y+3=0
x+
;2#;
;2#;
연립방정식
[
3x-2y+3=0
x+y-4=0
을 풀면 x=1, y=3
따라서 두 직선의 교점의 좌표는 (1, 3)이므로 구하는 도
형의 넓이는
_5_3=
;2!;
;;Á2°;;
90 IV . 함수
실전연습문제
개념익힘탑 79~80쪽
01 ④
05 ③
02 ⑤
06 (-2, -4)
03 ④
08 ②
09 a=-5, b=1
04 -3
07 3
10 a>
;2!;
11 y=-x+2
12 -8
13 :ª8¦:
14 ②, ④ 15 -
;3!;
01 ④ 기울기가 -2, y절편이 4이므로 y=-2x+4
즉, 2x+y-4=0의 그래프이다.
02 3x+2y-6=0에서 y=-
x+3
;2#;
(기울기)=a=-
, (y절편)=b=3이므로
;2#;
a+b=-
+3=
;2#;
;2#;
03 ① -2+(-3)=-5+-1
② 2_2-(-3)=7+1
③ 2_2+4_(-3)=-8+-6
④ 3_2-2_(-3)=12
⑤ 4_2-3_(-3)=17+-1
04 x=1, y=-5를 ax-y=2에 대입하면
a-(-5)=2 ∴ a=-3
따라서 -3x-y=2에서 y=-3x-2이므로 이 그래프의
기울기는 -3이다.
05 5x+2y-3=0에서 y=-
x+
이므로
;2%;
;2#;
주어진 일차방정식의 그래프는 오른쪽 그
(cid:90)
(cid:28)(cid:19)(cid:4)(cid:28)
림과 같다.
따라서 제3사분면을 지나지 않는다.
(cid:48)
(cid:28)(cid:22)(cid:4)(cid:28)
(cid:89)
06 점 (1, -4)를 지나면서 x축에 평행한 직선의 방정식은
y=-4
점 (-2, 3)을 지나면서 x축에 수직인 직선의 방정식은
x=-2
따라서 두 직선의 교점의 좌표는 (-2, -4)
07 x=-1, x=3, y=-2,
y=2a-1의 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
색칠한 도형의 넓이가 28이므로
{(2a-1)+2}_4=28
8a+4=28 ∴ a=3
(cid:90)
(cid:19)(cid:66)(cid:14)(cid:18)
(cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:66)(cid:14)(cid:18)
(cid:14)(cid:18)
(cid:20)
(cid:89)
(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19)
(cid:48)
(cid:14)(cid:19)
(cid:89)(cid:30)(cid:14)(cid:18)
(cid:89)(cid:30)(cid:20)
08 연립방정식
[
x-y=-4
x+3y=0
을 풀면`
x=-3, y=1 yy ㉠
㉠을 (a+1)x-ay=-1에 대입하면
-3a-3-a=-1 ∴ a=-
;2!;
09 연립방정식의 해가 x=-1, y=2이므로 각 일차방정식에
대입하면
-1-4=a에서 a=-5, -b+2=1에서 b=1
10 연립방정식
[
2x-2y+1=0
x+3y+a=0
을 풀면
, y=
x=
-2a-3
8
-2a-3
점
{
8
-2a-3
8
<0,
,
-2a+1
8
-2a+1
8
-2a+1
8
<0
이 제3사분면 위에 있으므로
}
11 점 P의 좌표를 (a, b)라 하면
y=-kx-k+3의 그래프가 k=1일 때, k=2일 때 모두
점 (a, b)를 지나므로
b=-a+2
[
b=-2a+1
에서 a=-1, b=3 ∴ P(-1, 3)
따라서 y=-x+c의 그래프가 점 (-1, 3)을 지나므로
3=-(-1)+c에서 c=2
∴ y=-x+2
12 ax+2y=-1에서 y=-
x-
;2!;
;2A;
6x+by=3에서 y=-
x+
;b^;
;b#;
두 직선이 일치하므로
-
=-
;2A;
, -
=
;2!;
;b^;
;b#;
∴ a=-2, b=-6
∴ a+b=-2+(-6)=-8
y=2x-4
y=-x+
;2!;
을 풀면
13 연립방정식 (
{
»
x=
, y=-1
;2#;
두 일차함수 y=2x-4, y=-x+
의 그래프의 y절편은 각각 -4,
이므로
구하는 도형의 넓이는
_
;2!;
_
=
;2#;
;2(;
;;ª8¦;;
;2!;
;2!;
(cid:90)
(cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)
(cid:48)
(cid:14)(cid:18)
(cid:14)(cid:21)
(cid:28)(cid:19)(cid:197)(cid:28)
(cid:28)(cid:19)(cid:4)(cid:28)
(cid:19)
(cid:89)
개
념
익
힘
탑
14 Ú 두 직선 x+y-5=0, 2x+ay+4=0이 서로 평행할 때,
Û 두 직선 2x-y-4=0, 2x+ay+4=0이 서로 평행할 때,
a=2
a=-1
Ü 세 직선이 한 점에서 만날 때, 교점의 좌표가 (3, 2)이
므로 6+2a+4=0
∴ `a=-5
Ú, Û, Ü에서 a=-5 또는 a=-1 또는 a=2
15 y=-
;3!;
x+2에 y=0을 대입하면
0=-
x+2에서 x=6
∴ A(6, 0)
;3!;
;3!;
(cid:90)
(cid:76)
(cid:48)
(cid:35)(cid:9)(cid:17)(cid:13)(cid:65)(cid:19)(cid:10)
(cid:66)(cid:89)(cid:12)(cid:90)(cid:30)(cid:17)
(cid:36)
(cid:34)(cid:9)(cid:23)(cid:13)(cid:65)(cid:17)(cid:10)
(cid:89)
(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:28)(cid:20)(cid:197)(cid:28)(cid:89)(cid:12)(cid:19)
y=2 ∴ B(0, 2)
∴ △ABO=
_6_2=6
;2!;
;3!;
두 직선 y=-
x+2와 ax+y=0의 교점을 C라 하면
△ ACO=3이므로 점 C의 y좌표를 k라 하면
_6_k=3 ∴ k=1
;2!;
y=-
x+2에 y=1을 대입하면 x=3
;3!;
즉, 직선 ax+y=0이 점 (3, 1)을 지나므로
3a+1=0 ∴ a=
-;3!;
정답과 풀이 91
-2a-3<0, -2a+1<0 ∴ a>
;2!;
y=-
x+2에 x=0을 대입하면
2 ① 0.H0H2 ③ 0.3H3H8 ④ 1.H23H1 ⑤ 1.H65H1
a=42일 때,
=
;2¢8ª0;
;2£0;
이므로 b=20
따라서 a=42, b=20이므로 a-b=42-20=22 yy`③
중간 모의고사
개념익힘탑 81~84쪽
1 ④
5 19
9 22
13 ②
17 ③
21 ③
25 ④
29 3
2 ②
6 ②, ⑤
10 ③
14 ③
18 ⑤
22 ①
26 ②
30 ④
3 ③
7 ③
11 ⑤
15 :Á8Á:
19 ⑤
23 13
27 ④
4 222
8 ②, ③
12 ④
16 ③, ④
20 ①
24 1:2
28 ②
1 ④ p는
(정수)
(0이 아닌 정수)
아니다.
꼴로 나타낼 수 없으므로 유리수가
②
=0.H2 ⇨ 1개
;9@;
④
:ª9£:
=2.H5 ⇨ 1개
3 ①
;3%;
=1.H6 ⇨ 1개
③
=0.H2H7 ⇨ 2개
⑤
=0.H6 ⇨ 1개
;1£1;
;3@;
=0.H42857H1
;7#;
4
50=6_8+2이므로 소수점 아래 50번째 자리의 숫자는
순환마디의 2번째 숫자인 2이다.
yy`②
따라서 소수점 아래 첫째 자리의 숫자부터 소수점 아래 50
번째 자리의 숫자까지의 합은
(4+2+8+5+7+1)_8+4+2=222
yy`③
채점 기준
을 순환소수로 나타내기
;7#;
소수점 아래 50번째 자리의 숫자 구하기
단계
①
②
③
소수점 아래 첫째 자리의 숫자부터 소수점 아래 50번째
자리의 숫자까지의 합 구하기
비율
20`%
40`%
40`%
5
;12@5;
=
2
5Ü`
=
2_2Ü`
5Ü`_2Ü`
=
16
10Ü`
솟값은 3이다.
따라서 a+n의 최솟값은 16+3=19
이므로 a의 최솟값은 16, n의 최
6 ①
=
;3!0!;
11
2_3_5
②
④
4
2Û`_3
=
;3!;
⑤
;1ª0Á5;
36
2_3Û`_5Ü`
=
2
5Ü`
=
;5!;
③
=
;7@;
;9@1^;
92 중간 모의고사
7
;3÷0;
=
n
2_3_5
배수이어야 한다.
이므로
이 유한소수가 되려면 n은 3의
;3÷0;
따라서 1에서 29까지의 자연수 중에서 3의 배수는 3, 6, 9,
y, 27의 9개이므로 유한소수가 되는 분수는 9개이다.
8
이 유한소수가 되려면 a는 소인수가 2나 5뿐인 수 또
21
5Ü`_a
는 21의 약수 또는 이들의 곱으로 이루어진 수이어야 한다.
따라서 a의 값이 될 수 있는 것은 ②, ③이다.
9
;28A0;
=
a
2Ü`_5_7
이므로 a는 7의 배수이어야 하고 기약분수
로 고치면
이므로 a는 3의 배수이어야 한다.
;b#;
즉, a는 7_3=21의 배수이고 50 이하의 짝수이므로
a=42
yy`①
yy`②
비율
70`%
20`%
10`%
채점 기준
단계
①
②
③
a의 값 구하기
b의 값 구하기
a-b의 값 구하기
yy`①
10 ③ 90
11 1000x=245.555y, 100x=24.555y이므로
가장 편리한 식은 ⑤ 1000x-100x이다.
12 ① 0.H4H7=
;9$9&;
③ 0.H2H6=;9@9^;
② 0.H34H5=
=
;9#9$9%;
;3!3!3%;
④ 1.H8H9=
189-1
99
=
;;;Á9¥9;*;
⑤ 0.5H3H6=
536-5
990
=
=
;9%9#0!;
;1°1»0;
13 ② x=0.1H1H7이고 100-1=2_49+1이므로 소수점 아래
100번째 자리의 숫자는 순환마디의 첫 번째 숫자인 1이다.
③ 1000x=117.1717y, 10x=1.1717y이므로
1000x-10x의 값은 정수이다.
④ 0.1H1H7=
117-1
990
=
=
;9!9!0^;
;4°9¥5;
따라서 유한소수로 나타낼 수 있는 것은 ②, ⑤이다.
⑤ x는 순환소수이므로 유리수이다.
45-4
90
=
;9$0!;
=
41
2_3Û`_5
14 0.4H5=
a는 9이다.
24 원기둥 A의 부피는
원기둥 B의 부피는
따라서 a는 3Û`=9의 배수이어야 하므로 가장 작은 자연수
p_(ab)Û`_9aÛ`=p_aÛ`bÛ`_9aÛ`=9paÝ`bÛ`
yy`①
15 x=0.H2H7=
=
;9@9&;
;1£1;
이므로
=
;[!;
:Á3Á:
, 1-
=1-
;[!;
=-
,
;3*;
:Á3Á:
=-
;8#;
1
1-
;[!;
∴ 1-
=1-
-
{
;8#;}
=1+
=
;8#;
:Á8Á:
1
1-
;[!;
16 ③ 정수가 아닌 유리수에는 유한소수와 순환소수가 있다.
④ 정수는 모두 유리수이다.
17 ① aÛ`_aÞ`=aà`
④ (abÛ`)Ü`=aÜ`bß`
② (aÜ`)Ý`=aÚ`Û`
⑤
{:£b:}
Û`=
9aÛ`
bÛ`
18 8x+2=(2Ü`)x+2=23x+6=2ß`_23x=2ß`_(2x)Ü`=64aÜ`
b
-2xa
(-2)bxab
19
{
(-2)b=-8, ab=6, 3b=c ∴ a=2, b=3, c=9
y3b =
-8xß`
yc 이므로
yÜ` }
=
20 2Þ`_58=2Þ`_5Þ`_5Ü`=5Ü`_(2_5)Þ`=125_10Þ`
따라서 2Þ`_58은 8자리의 자연수이므로 n=8
p_(3aÛ`)Û`_2bÛ`=p_9aÝ`_2bÛ`=18paÝ`bÛ`
yy`②
따라서 두 원기둥의 부피의 비는
9paÝ`bÛ`：18paÝ`bÛ`=1`:`2
yy`③
단계
①
②
③
채점 기준
원기둥 A의 부피 구하기
원기둥 B의 부피 구하기
두 원기둥의 부피의 비 구하기
개
념
익
힘
탑
비율
40`%
40`%
20`%
25 (a+2)x+(-3-b)y+23=-5x+10y+c이므로
a+2=-5, -3-b=10, 23=c
따라서 a=-7, b=-13, c=23이므로
a+b+c=-7+(-13)+23=3
26 어떤 식을 라 하면
-(2xÛ`+3x-2)=-6xÛ`+4x-3
∴ =-6xÛ`+4x-3+(2xÛ`+3x-2)=-4xÛ`+7x-5
따라서 바르게 계산하면
-4xÛ`+7x-5+(2xÛ`+3x-2)=-2xÛ`+10x-7
27 (주어진 식)
=12xÛ`-{3x-1-(-8xÛ`+x+5)}
=12xÛ`-(3x-1+8xÛ`-x-5)
=12xÛ`-(8xÛ`+2x-6)
=12xÛ`-8xÛ`-2x+6
∴ a+b+c=2+3+9=14
=12xÛ`-{3x-1-(6-2x-8xÛ`+5x-1-2x)}
21 ㄱ. (aÜ`)Þ`_aÛ`=aÚ`Þ`_aÛ`=aÚ`à`
ㄷ. (-2xyÛ`)Ý`=16xÝ`y8
ㅁ. (6aÛ`bÜ`)Û`Ö(-3abÛ`)Ü`=36aÝ`bß`_
-
1
27aÜ`bß` }
=-
a
;3$;
{
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.
=4xÛ`-2x+6
28 (주어진 식)=
3xÜ`-6xÛ`+3x
-3x
-(x-2)(-3x)
=-xÛ`+2x-1+3xÛ`-6x=2xÛ`-4x-1
따라서 a=2, b=-4이므로 a+b=2+(-4)=-2
aá`b3x
a2yb8 =aÜ`bà`이므로
22 (aÜ`bx)Ü`Ö(aybÝ`)Û`=
9-2y=3 ∴ y=3
3x-8=7 ∴ x=5
∴ x+y=5+3=8
29 (주어진 식)
=(6xÛ`-3xy)_
-
{
2
3x }
-
6xy+
yÛ`
_
-
;3$;
{
{
3
2y }
=-4x+2y+9x+2y=5x+4y
=5_(-1)+4_2=3
1
23 (주어진 식)=(-8xÜ`yá`)_
-4xÜ`yÛ`
따라서 a=18, b=4, c=1이므로
_
9xÝ`
yß`
=18xÝ`y
a-b-c=18-4-1=13
30 (부피)=(가로의 길이)_(세로의 길이)_(높이)이므로
36xÛ`yÛ`-90xÛ`y=3x_2y_(높이)
∴ (높이)=
36xÛ`yÛ`-90xÛ`y
6xy
=6xy-15x
정답과 풀이 93
}
기말 모의고사
개념익힘탑 85~88쪽
1 ⑤
5 ②
9 ④
12 x=1, y=2
2 ①
6 ⑤
10 ①
3 ③
7 ④
11 ④
13 ⑤
`km 16 200`g 17 ③
20 -2
21 ②
4 ②
8 ②
14 87점
18 ⑤
22 ③
23 -1
24 ②
27 ①
ÉaÉ4
25 ;5@;
28 ①
29 ②
15 ;6&;
19 ①
26 ①
30 ④
1 ⑤ 부등식의 양변을 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀌
>
므로 a<b, c<0이면
이다.
;cA;
;cB;
2 -2<x<4의 각 변에 -2를 곱하면 -8<-2x<4
각 변에 1을 더하면 -7<1-2x<5
따라서 a=-7, b=5이므로 a+b=-7+5=-2
3 ㄱ. 3x-9<0
ㄷ. -2x-1¾0
ㅁ. xÛ`+1¾0
ㄴ. 10¾0
ㄹ. 2xÛ`-4x>0
ㅂ. -x-2<0
따라서 일차부등식은 ㄱ, ㄷ, ㅂ의 3개이다.
3x-2É5x+4에서 -2xÉ6 ∴ x¾-3
4
따라서 해를 수직선 위에 바르게 나타낸 것은 ②이다.
8-x¾8(x-2)에서 8-x¾8x-16
5
-9x¾-24 ∴ xÉ
;3*;
8-9xÉa-3x에서 -6xÉa-8 ∴ x¾ 8-a
6
이때 해 중 가장 작은 수가 1이므로
6
8-a
6
=1, 8-a=6 ∴ a=2
7 공책을 x권 산다고 하면
700x>600x+2000, 100x>2000 ∴ x>20
따라서 공책을 적어도 21권 이상 살 경우 할인매장에서 사
는 것이 유리하다.
94 기말 모의고사
8 x곡을 내려받는다고 하면 2000+80(x-30)É3000
2000+80x-2400É3000, 80xÉ3400 ∴ xÉ
:¥2°:
따라서 최대 42곡까지 내려받을 수 있다.
9
x, y가 자연수일 때, 3x+2y=20의 해는
(2, 7), (4, 4), (6, 1)의 3개이다.
=
;2{;
y-2
3
10 (
{
»
5(x+y)=3(x-3)
에서
[
3x-2y=-4 yy ㉠
2x+5y=-9 yy ㉡
㉠ _2-㉡_3을 하면 -19y=19 ∴ y=-1
y=-1을 ㉠에 대입하면
3x+2=-4, 3x=-6 ∴ x=-2
따라서 x=-2, y=-1을 x-y=a-2에 대입하면
-2-(-1)=a-2 ∴ a=1
11
[
7x-y-1=5x+2
2x-y=3 yy ㉠
5x+2=4x+y+2
x-y=0 yy ㉡
에서
[
㉠ -㉡을 하면 x=3
x=3을 ㉡에 대입하면 y=3
따라서 x=3, y=3을 2x+ay=12에 대입하면
6+3a=12 ∴ a=2
12
[
bx+ay=0
ax+by=-3
에 x=2, y=1을 대입하면
a+2b=0 yy ㉠
[
2a+b=-3 yy ㉡
㉠ _2-㉡을 하면 3b=3 ∴ b=1
즉, a=-2, b=1
yy`①
따라서 처음 연립방정식은
[
-2x+y=0 yy ㉢
x-2y=-3 yy ㉣
㉢ +㉣_2를 하면 -3y=-6 ∴ y=2
y=2를 ㉣에 대입하면 x-4=-3 ∴ x=1
따라서 처음 연립방정식의 해는 x=1, y=2이다. yy`②
단계
①
②
채점 기준
a, b의 값 구하기
처음 연립방정식의 해 구하기
비율
60`%
40`%
따라서 xÉ
을 만족하는 자연수 x는 1, 2의 2개이다.
b=1을 ㉠에 대입하면 a+2=0 ∴ a=-2
;3*;
13
[
ax+4y+1=0
ax+4y+1=0
3x-(b+2)y-1=0
-3x+(b+2)y+1=0
에서
[
따라서 a=-3, 4=b+2에서 a=-3, b=2
∴ a-b=-3-2=-5
14 민정이의 중간고사와 기말고사의 수학 점수를 각각 x점,
y점이라 하면
y-x=4
x+y
2
=89
(
{
»
에서
[
-x+y=4
x+y=178
∴ x=87, y=91
따라서 중간고사 수학점수는 87점이다.
15 희수가 걸은 거리를 x`km, 달린 거리를 y`km라 하면
x+y=
;2%;
+
=
;7};
;2!;
;4{;
(
{
»
에서
[
2x+2y=5
7x+4y=14
∴ x=
, y=
;3$;
;6&;
따라서 희수가 달린 거리는
`km이다.
;6&;
16 6`%인 소금물의 양을 x`g, 증발시킨 물의 양을 y`g이라 하면
x-y=400
(
{
»
x=
;10^0;
;10(0;
_400
∴ x=600, y=200
x-y=400
에서
[
x=600
따라서 물 200`g을 증발시키면 된다.
17 15를 3으로 나눈 나머지는 0이므로 f(15)=0
16을 3으로 나눈 나머지는 1이므로 f(16)=1
17을 3으로 나눈 나머지는 2이므로 f(17)=2
∴ f(15)+f(16)+f(17)=0+1+2=3
18 ① y=x_2=2x
② y=x_3=3x
③ y=
;1£0¼0;
x=
x
;1£0;
⑤
_x_y=10에서 y=
;2!;
20
x
따라서 일차함수가 아닌 것은 ⑤이다.
19 y=-x+2의 그래프의 y절편은 2이고, y=
x-10의 그
;4%;
래프의 x절편은 8이므로 구하는 일차함수의 그래프는 두
점 (8, 0), (0, 2)를 지난다.
(기울기)=
=-
이므로 일차함수의 식은
2-0
0-8
;4!;
y=-
x+2이다.
;4!;
① 3=-
_(-4)+2
;4!;
x-4의 그래프의 x절편은 6,
(cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:14)(cid:21)
(cid:90)
20 y=
;3@;
y절편은 -4이고,
(cid:90)(cid:30)(cid:28)(cid:20)(cid:33)(cid:28)(cid:89)(cid:14)(cid:21)
(cid:23)
(cid:89)
(cid:48)
(cid:26)(cid:64)(cid:4)(cid:26)
(cid:14)(cid:21)
y=ax-4의 그래프의 x절편은
,
;a$;
y절편은 -4이므로 그래프는 오른
쪽 그림과 같다.
따라서 구하는 도형의 넓이는 색칠한 부분이므로
_
6-
;2!;
{
;a$;}
_4=16 ∴ a=-2
개
념
익
힘
탑
21 f(x+2)-f(x-1)=-12이므로
`f(x+2)-f(x-1)
(x+2)-(x-1)
`f(x+2)-f(x-1)
3
=
=
-12
3
=-4
즉, y=f(x)의 그래프의 기울기는 -4이고, f(0)=5이므로
y절편은 5이다.
∴ f(x)=-4x+5
22 y=ax+b의 그래프가 두 점 (-3, 5), (5, 1)을 지나므로
5=-3a+b
[
1=5a+b
∴ a=-
, b=
;2!;
;2&;
따라서 y=
x-
의 그래프가 점 (3, -2k)를 지나므로
;2&;
;2!;
-2k=
_3-
∴ k=-5
;2&;
;2!;
23 y=-4x+a-5의 그래프가 점 (-2, 2)를 지나므로
2=-4_(-2)+a-5, 2=3+a ∴ a=-1 yy`①
따라서 y=-4x-6의 그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평
행이동한 그래프의 식은 y=-4x-6+b
이때 y=-4x-6+b의 그래프가 y=cx-2의 그래프와
일치하므로
∴ a+b+c=-1+4+(-4)=-1
채점 기준
a의 값 구하기
b, c의 값 구하기
a+b+c의 값 구하기
yy`②
yy`③
비율
30`%
60`%
10`%
24 주어진 직선은 두 점 (5, 0), (0, 3)을 지나므로 기울기는
이고 y절편이 3이다. 따라서 이 직선을 그래프로 하는
-
일차함수의 식은
y=-
x+3
;5#;
yy ㉠
정답과 풀이 95
단계
①
②
③
;5#;
④ 52=x_5+y에서 y=-5x+52
-4=c, -6+b=-2 ∴ b=4, c=-4
또, y=(a-1)x-3의 그래프를 y축의 방향으로 m만큼
평행이동하면
y=(a-1)x-3+m yy ㉡
㉠, ㉡이 일치하므로
27 ax+by-1=0의 그래프가 y축에 수직이므로
a=0 ∴ y=
;b!;
이 그래프가 제1사분면과 제2사분면을 지나려면
a-1=-
, -3+m=3 ∴ a=
, m=6
;5#;
;5@;
>0 ∴ b>0
;b!;
28 x-2y=1에서 y=
x-
;2!;
;2!;
ax+4y=4에서 y=-
x+1
;4A;
(cid:14)(cid:22)
(cid:14)(cid:18)
(cid:140)
(cid:89)
두 직선이 평행하므로
yy`①
=-
∴ a=-2
;2!;
;4A;
∴ am=
_6=
;5@;
:Á5ª:
25 Ú 직선 y=ax가
점 (-5, -2)를 지날 때,
-2=-5a
∴ a=
;5@;
Û 직선 y=ax가
점 (-1, -4)를 지날 때,
-4=-a
∴ a=4
Ú, Û에서
ÉaÉ4
;5@;
채점 기준
단계
①
②
③
(cid:90)
(cid:141)
(cid:48)
(cid:14)(cid:19)
(cid:14)(cid:21)
yy`②
yy`③
비율
40`%
29 기온이 x`¾일 때, 소리의 속력을 초속 y`m라 하면 5`¾에
초속 3`m씩 증가하므로 1`¾에 초속
`m씩 증가한다.
;5#;
∴ y=
x+331
;5#;
x=25일 때, y=
_25+331=346
;5#;
직선 y=ax가 점 (-5, -2)를 지날 때, a의 값 구하기 30`%
따라서 현재 기온이 25`¾일 때 소리의 속력은 초속 346`m
직선 y=ax가 점 (-1, -4)를 지날 때, a의 값 구하기 30`%
이다.
a의 값의 범위 구하기
26 ax-by-c=0에서 y=
x-
;bA;
;bC;
주어진 그래프에서
<0,
=0, 즉
<0, c=0
;bA;
;bA;
cx+by+a=0에서 y=-
;bC;
;bA;
;bA;
30 무게가 1`g인 추를 달 때마다 0.2`cm씩 늘어나므로
무게가 x`g인 추를 달았을 때의 용수철의 길이를 y`cm라
하면
y=0.2x+10
x=50일 때, y=0.2_50+10=20
이때 -
>0이므로 y=-
의 그래프는 제1사분면과
;bA;
따라서 무게가 50`g인 추를 달았을 때의 용수철의 길이는
제2사분면을 지난다.
20`cm이다.
96 기말 모의고사
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