수학의 힘 γ(감마) 중2-2
정답과 해설
1
2
3
4
5
6
7
8
9
이등변삼각형
삼각형의 외심과 내심
평행사변형
여러 가지 사각형
도형의 닮음
평행선과 선분의 길이의 비
닮음의 활용
피타고라스 정리
경우의 수
10
확률
2
8
15
21
29
33
38
45
51
57
1
이등변삼각형
STEP
1
실력 문제
7쪽~10쪽
=71ù-38ù=33ù
33ù
001 △BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로
∠C=∠BDC=71ù
∴ ∠DBC=180ù-(71ù+71ù)=38ù
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC=∠C=71ù
∴ ∠ABD =∠ABC-∠DBC
002 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠B=∠C=
_(180ù-80ù)=50ù
;2!;
△BED에서 BDÓ=BEÓ이므로
∠BED=
_(180ù-50ù)=65ù
;2!;
△CFE에서 CEÓ=CFÓ이므로
∠CEF=
_(180ù-50ù)=65ù
;2!;
003 ADÓ는 BCÓ를 수직이등분하므로
∠ADB=90ù, BDÓ=CDÓ
이때 △ABD=12`cmÛ`이므로
_BDÓ_8=12
∴ BDÓ=3`(cm)
;2!;
∴ ∠x=180ù-(65ù+65ù)=50ù
50ù
∴ BCÓ=2BDÓ=2_3=6`(cm)
6`cm
A
x
D
2x
2x
C
x
x
B
004 오른쪽 그림과 같이 ∠A=∠x라 하면
△ABD에서 ADÓ=BDÓ이므로
∠DBA=∠A=∠x
∴ ∠BDC =∠A+∠DBA
=∠x+∠x=2∠x
△BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로
∠BCD=∠BDC=2∠x
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC=∠C=2∠x
이때 △ABC에서 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로
∠x+2∠x+2∠x=180ù
5∠x=180ù ∴ ∠x=36ù
∴ ∠ADB=180ù-2_36ù=108ù
108ù
005 오른쪽 그림과 같이 ∠B=∠x라
하면 △DBE에서 DBÓ=DEÓ이므로
∠DEB=∠DBE=∠x
∴ ∠ADE=∠x+∠x=2∠x
A
3x
36$
C
2x
x
2x
3x
E
D
x
B
2 | 정답과 해설
△EAD에서 EAÓ=EDÓ이므로
∠EAD=∠EDA=2∠x
△ABE에서
∠AEC=2∠x+∠x=3∠x
△AEC에서 AEÓ=ACÓ이므로
∠ACE=∠AEC=3∠x
이때 36ù+3∠x+3∠x=180ù이므로
6∠x=144ù ∴ ∠x=24ù
∴ ∠B=∠x=24ù
24ù
28ù
6 cm
006 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC=∠ACB=
(180ù-56ù)=62ù
;2!;_
∴ ∠DBC=
∠ABC=
62ù=31ù
;2!;
;2!;_
∠ACE=180ù-∠ACB=180ù-62ù=118ù이므로
∠DCE=
∠ACE=
118ù=59ù
;2!;
;2!;_
따라서 △DBC에서
∠BDC=59ù-31ù=28ù
007 ADÓ∥ECÓ이므로
∠ACE=∠DAC (엇각), ∠AEC=∠BAD (동위각)
즉 ∠ACE=∠AEC이므로 △ACE는 ACÓ=AEÓ인 이등변삼
각형이다.
∴ AEÓ=ACÓ=6 cm
008 ∠ABD=∠DBC=∠x라 하면
∠C=∠ABC=2∠x
△DBC에서 ∠x+2∠x=108ù이므로
∴ ∠x=36ù
3∠x=108ù
이때 ∠C=2_36ù=72ù이고
∠BDC=180ù-108ù=72ù이므로 ∠C=∠BDC
따라서 △BCD는 이등변삼각형이므로
BDÓ=BCÓ=8 cm
한편 △ABD에서
∠A=180ù-(36ù+108ù)=36ù이므로 ∠ABD=∠A
따라서 △ABD는 이등변삼각형이므로
ADÓ=BDÓ=8 cm
8 cm
009 ∠FEG=∠DEG (접은 각)
ADÓ∥BCÓ이므로 ∠FGE=∠DEG (엇각)
∴ ∠FEG=∠FGE
따라서 △EFG는 이등변삼각형이므로
FGÓ=EFÓ=10 cm
∴ △EFG=
_10_8=40 (cmÛ`)
;2!;
40 cmÛ`
016 △ADE에서
∠ AED=180ù-(90ù+32ù)=58ù
△ADE와 △ACE에서
∠ ADE=∠ACE=90ù, AEÓ는 공통, ADÓ=ACÓ
∴ △ADEª△ACE ( RHS 합동)
따라서 ∠AEC=∠AED=58ù이므로
70ù
∠ DEB=180ù-(58ù+58ù)=64ù
64ù
DEÓ=CEÓ=10`cm
017 △BCE와 △BDE에서
∠ BCE=∠BDE=90ù, BEÓ는 공통, BCÓ=BDÓ
따라서 △BCEª△BDE ( RHS 합동)이므로
한편 △ABC는 직각이등변삼각형이므로
∠BAC=45ù
즉 △ADE에서
∠ DEA=180ù-(90ù+45ù)=45ù
따라서 △ADE는 직각이등변삼각형이므로
DAÓ=DEÓ=10`cm
∴ △ADE=
_10_10=50`(cmÛ`)
;2!;
50`cmÛ`
018 △BMD와 △CME에서
∠BDM=∠CEM=90ù, MBÓ=MCÓ, MDÓ=MEÓ
따라서 △BMDª△CME ( RHS 합동)이므로
∠B=∠C (①), BDÓ=CEÓ (②)
△ABC에서 ∠B=∠C이므로 ABÓ=ACÓ (③)
∴ ADÓ =ABÓ-BDÓ =ACÓ-CEÓ=AEÓ (④)
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
⑤
010 ∠A=∠x라 하면
∠ DBE=∠A=∠x
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠C=∠ABC=∠x+30ù
3∠x=120ù
∴ ∠x=40ù
∴ ∠C=40ù+30ù=70ù
이때 ∠x+(∠x+30ù)+(∠x+30ù)=180ù이므로
011 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C
△ABD와 △ACE에서
ABÓ=ACÓ, ∠B=∠C, BDÓ=CEÓ
∴ △ABDª△ACE ( SAS 합동)
따라서 △ADE는 ADÓ=AEÓ인 이등변삼각형이므로
∠AED=
(180ù-52ù)=64ù
;2!;_
64ù
=∠B=71ù
71ù
012 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠B=∠C=
(180ù-38ù)=71ù
;2!;_
BDÓ=CEÓ, BEÓ=CFÓ, ∠DBE=∠ECF
△BED와 △CFE에서
∴ △BEDª△CFE ( SAS 합동)
따라서 ∠BDE=∠CEF이므로
∠DEF =180ù-(∠BED+∠CEF)
=180ù-(∠BED+∠BDE)
013 △ADB와 △BEC에서
∠ADB=∠BEC=90ù, ABÓ=BCÓ,
∠BAD=90ù-∠ABD=∠CBE
∴ △ADBª△BEC ( RHA 합동)
따라서 BEÓ=ADÓ=6 cm이므로
DBÓ=15-6=9 (cm)
∴ CEÓ=BDÓ=9 cm
014 △ADB와 △CEA에서
∠ADB=∠CEA=90ù, ABÓ=CAÓ,
∠DBA=90ù-∠DAB=∠EAC
∴ △ADBª△CEA ( RHA 합동)
따라서 ADÓ=CEÓ=5 cm, AEÓ=BDÓ=3 cm이므로
DEÓ=DAÓ+AEÓ=5+3=8 (cm)
∴ ( 사다리꼴 DBCE의 넓이)=
(3+5)_8
;2!;_
∴ ( 사다리꼴 DBCE의 넓이)=32 (cmÛ`)
32 cmÛ`
015 △ABD와 △CAE에서
∠ BDA=∠AEC=90ù, ABÓ=CAÓ,
∠ABD=90ù-∠BAD=∠CAE
∴ △ABDª△CAE ( RHA 합동)
따라서 AEÓ=BDÓ=12 cm, ADÓ=CEÓ=9 cm이므로
DEÓ=12-9=3 (cm)
9 cm
019 △AOP와 △BOP에서
∠PAO=∠PBO=90ù, OPÓ는 공통, PAÓ=PBÓ
따라서 △AOPª△BOP ( RHS 합동) (㉥)이므로
OAÓ=OBÓ (㉠),
∠AOP=∠BOP (㉢),
∠ APO=∠BPO (㉣)
따라서 옳지 않은 것은 ㉡, ㉤이다.
㉡, ㉤
20 cm
E
A
B
C
D
4 cm
020 오른쪽 그림과 같이 점 D에서
ABÓ에 내린 수선의 발을 E라 하면
△AED와 △ACD에서
∠ AED=∠ACD=90ù,
ADÓ는 공통, ∠EAD=∠CAD
∴ △AEDª△ACD ( RHA 합동)
따라서 DEÓ=DCÓ
Ó=4 cm이므로
3 cm
△ABD=
_20_4=40 (cmÛ`)
;2!;
40`cmÛ`
1. 이등변삼각형 | 3
STEP
2
심화 문제
11쪽~16쪽
즉 △POQ는 OPÓ=OQÓ인 직각이등변삼각형이다.
021 ∠BDE=∠BED=∠x, ∠CFE=∠CEF=∠y라 하면
∠B=180ù-2∠x, ∠C=180ù-2∠y
△ABC에서
86ù+(180ù-2∠x)+(180ù-2∠y)=180ù이므로
2(∠x+∠y)=266ù ∴ ∠x+∠y=133ù
∴ ∠DEF =180ù-(∠x+∠y)
=180ù-133ù=47ù
022 ∠EBD=∠x, ∠ABE=∠a, ∠DBC=∠b라 하면
∠a+∠x+∠b=130ù
△ABD, △CBE는 모두 이등변삼각형이므로
∠ADB=∠ABD=∠a+∠x, ∠CEB=∠CBE=∠b+∠x
△BDE에서
∠x+(∠a+∠x)+(∠b+∠x)=180ù
yy ㉡
yy ㉠
㉠, ㉡에서
130ù+2∠x=180ù, 2∠x=50ù
∴ ∠x=25ù
25ù
023 ∠BAD=∠x라 하면
∠BAC=3∠BAD=3∠x이므로 ∠DAC=2∠x
△AEC에서 ∠ACE=90ù-2∠x
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠B=∠ACB=(90ù-2∠x)+15ù=105ù-2∠x
이때 △ABC에서
3∠x+(105ù-2∠x)+(90ù-2∠x+15ù)=180ù
∴ ∠x=30ù
∴ ∠BAC=3∠x=3_30ù=90ù
90ù
024 AEÓ=ABÓ=ADÓ이므로 △AED는 AEÓ=ADÓ인 이등변삼각
형이다.
∠AED=∠ADE=∠a, ∠EAB=∠b라 하면
△AED에서
(∠b+90ù+∠a+∠a)=180ù
∴ 2∠a+∠b=90ù
또한 △AEB에서 ∠ABE=∠AEB=∠a+∠x이므로
∠b+(∠a+∠x)+(∠a+∠x)=180ù
yy ㉠
∴ 2∠a+∠b+2∠x=180ù
yy ㉡
㉠, ㉡에서
90ù+2∠x=180ù, 2∠x=90ù
∴ ∠x=45ù
45ù
∴ △POQ=
_8_8=32`(cmÛ`)
;2!;
32`cmÛ`
026 오른쪽 그림과 같이 회전시킨 것이
A'
므로 A'BÓ=ABÓ,
∠ABA'=∠CBC'=40ù,
∠C'=∠C=50ù
즉 △BAA'은 꼭지각의 크기가 40ù
A
50$
C'
40$
x
40$
B
50$
C
47ù
인 이등변삼각형이므로
20ù
yy ㉠
yy ㉡
∠A'=
_(180ù-40ù)=70ù
;2!;
따라서 △A'BC'에서
∠x=180ù-(70ù+40ù+50ù)=20ù
027 ∠A=∠x라 하면
△DAE에서 ∠DEA=∠A=∠x이므로
∠EDF=∠x+∠x=2∠x
△DEF에서 ∠EFD=∠EDF=2∠x이므로
∠DEF=180ù-4∠x
△FAE에서 ∠FEB=∠x+2∠x=3∠x
△FEB에서 ∠FBE=∠FEB=3∠x이므로
△FAB에서 ∠BFC=∠x+3∠x=4∠x
△FBC에서 ∠BCF=∠BFC=4∠x이므로
∠FBC=180ù-8∠x
㉠, ㉡에서
(180ù-4∠x)+(180ù-8∠x)=120ù
12∠x=240ù
∴ ∠x=20ù
∴ ∠A=∠x=20ù
20ù
028 △ACD는 정삼각형이므로 ∠CAD=60ù
∴ ∠BAD=30ù+60ù=90ù
즉 △ABD는 ABÓ=ADÓ인 직각이등변삼각형이므로
∠ABD=
_(180ù-90ù)=45ù
;2!;
따라서 △ABE에서
∠BEC=30ù+45ù=75ù
029 ∠B=∠C이므로 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다.
∴ ACÓ=ABÓ=14`cm
오른쪽 그림과 같이 APÓ를 그으면
△ABP+△ACP=△ABC이므로
;2!;_
14_PDÓ+
14_PEÓ=70
;2!;_
7(PDÓ+PEÓ)=70
75ù
A
14 cm
D
B
E
C
P
10`cm
025 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠B=∠C=
_(180ù-45ù)=67.5ù
;2!;
는 이등변삼각형이다.
이때 OBÓ=OPÓ=OQÓ=OCÓ=8`(cm)이므로 △OBP, △OCQ
∴ PDÓ+PEÓ=10 (cm)
∴ ∠OBP=∠OPB=∠OQC=∠OCQ=67.5ù
따라서 ∠POB=∠QOC=180ù-(2_67.5ù)=45ù이므로
∠POQ=180ù-(45ù+45ù)=90ù
030 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C
△FEC에서 ∠CF E=90ù-∠C=90ù-∠B=∠BDE
이때 ∠ADF=∠BDE (맞꼭지각)이므로 ∠AFD=∠ADF
4 | 정답과 해설
따라서 △AFD는 AFÓ=ADÓ인 이등변삼각형이다.
즉 AFÓ=x cm라 하면 ADÓ=AFÓ=x cm
BCÓ=ADÓ=18`cm이므로
EGÓ=BEÓ=BCÓ-CEÓ=18-13=5`(cm)
ABÓ=ACÓ이므로 x+6=14-x
2x=8 ∴ x=4
∴ AFÓ=4 cm
∴ (사다리꼴 EGCF의 넓이)=
_(5+13)_12=108`(cmÛ`)
;2!;
108 cmÛ`
4`cm
031
∠ABC=∠ACB이므로 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼
각형이다.
이때 ADÓ는 ∠A의 이등분선이므로
BDÓ=CDÓ, ∠BDE=∠CDE=90ù, EDÓ는 공통
ADÓ⊥BCÓ, BDÓ=CDÓ
△EBD와 △ECD에서
∴ △EBDª△ECD ( SAS 합동)
따라서 EBÓ=ECÓ이므로 △EBC는 직각이등변삼각형이다.
∴ ∠EBD=∠ECD=45ù
또 ∠BED=∠CED=180ù-(90ù+45ù)=45ù이므로
△EBD, △ECD는 모두 직각이등변삼각형이다.
∴ BDÓ=CDÓ=EDÓ=2 cm
이때 ABÓ : BDÓ=3 : 1이므로
ABÓ=3BDÓ=3_2=6 (cm)
∴ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ
∴ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BDÓ+CDÓ+CAÓ
=6+2+2+6
=16 (cm)
16`cm
032 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠C=∠ABC
즉 ACÓ=ABÓ=45`cm이므로
DCÓ=45-25=20`(cm)
한편 ABÓ∥DEÓ이므로
∠BDE=∠ABD (엇각), ∠DEC=∠ABE (동위각)
즉 △EDB, △DEC는 이등변삼각형이므로
BEÓ=DEÓ=DCÓ=20`cm
20`cm
033 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ ABC=∠C=
_(180ù-70ù)=55ù
;2!;
∴ ∠C'=∠C=55ù
이때 ∠CBD=∠C'BD=17ù (접은 각)이므로
△BCD에서 ∠BDA=17ù+55ù=72ù
따라서 △BDC'에서
17ù+(72ù+∠x)+55ù=180ù
∴ ∠x=36ù
035 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠B=∠C=
_(180ù-48ù)=66ù
;2!;
△BED와 △CFE에서
BDÓ=CEÓ, ∠B=∠C, BEÓ=CFÓ
∴ △BEDª△CFE ( SAS 합동)
이때 ∠BDE=∠CEF이므로
∠DEF =180ù-(∠BED+∠CEF)
=180ù-(∠BED+∠BDE)
=∠B=66ù
따라서 △DEF에서 DEÓ=EFÓ이므로
∠ FDE=
_(180ù-66ù)=57ù
;2!;
57ù
036 △ABD와 △DCE에서
ABÓ=DCÓ, ∠B=∠C,
∠BAD=∠ADC-∠B=∠ADC-∠ADE=∠CDE
∴ △ABDª△DCE ( ASA 합동)
따라서 BDÓ=CEÓ이므로
ACÓ : CEÓ=ABÓ : BDÓ=CDÓ : BDÓ=3 : 1
이때 CEÓ=k라 하면 ACÓ=3k이므로 AEÓ=3k-k=2k
∴ AEÓ : CEÓ=2k : k=2 : 1
2 : 1
037 오른쪽 그림과 같이 점 B를 지나고
EDÓ에 평행한 직선을 그어 ACÓ의 연장
A
34$
E
선과 만나는 점을 F라 하면
△ECD와 △FCB에서
∠ CDE=∠CBF (엇각),
DCÓ=BCÓ,
B
C
D
F
∠ ECD=∠FCB (맞꼭지각)
따라서 △ECDª△FCB ( ASA 합동)이므로 EDÓ=FBÓ
즉 △ABF는 BAÓ=BFÓ인 이등변삼각형이므로
∠F=∠A=34ù
∴ ∠CED=∠F=34ù (엇각)
34ù
36ù
038 △BCF와 △CDG에서
∠ BFC=∠CGD=90ù, BCÓ=CDÓ,
034 ∠ AFE=∠CFE (접은 각), ∠AFE=∠FEC ( 엇각 )이므로
∠ CFE=∠FEC
즉 △CFE는 이등변삼각형이므로 CEÓ=CFÓ=13`cm
한편 ABÓ=DCÓ=12`cm이므로
ABÓ : ADÓ=2 : 3에서 12 : ADÓ=2 : 3
2ADÓ=36
∴ ADÓ=18`(cm)
∠ FBC=90ù-∠BCF=∠GCD
∴ △BCFª△CDG ( RHA 합동)
따라서 CGÓ=BFÓ=4`cm, CFÓ=DGÓ=8`cm이므로
FGÓ=CFÓ-CGÓ=8-4=4`(cm)
∴ △DFG=
_4_8=16`(cmÛ`)
;2!;
16`cmÛ`
1. 이등변삼각형 | 5
∴ △ABM =
_(14-4)_7=35 (cmÛ`)
35`cmÛ`
;2!;
24=64-8x, 8x=40
∴ x=5
039 △BDM과 △CEM에서
∠BDM=∠CEM=90ù, BMÓ=CMÓ,
∠BMD=∠CME (맞꼭지각)
따라서 △BDMª△CEM ( RHA 합동)이므로
DMÓ=EMÓ=4 cm, BDÓ=CEÓ=7 cm
E
20 cm
A
D
C
040 오른쪽 그림과 같이 점 E에서 BCÓ
에 내린 수선의 발을 H라 하면
△EHF와 △FCD에서
∠EHF=∠FCD=90ù, EFÓ=FDÓ,
∠ HEF =90ù-∠EFH=∠CFD
따라서 △EHFª△FCD ( RHA 합동)이므로
EHÓ=FCÓ, HFÓ=CDÓ
B
FH
이때 EHÓ=FCÓ=x cm라 하면
CDÓ+FCÓ=12 cm이므로
HFÓ=CDÓ=(12-x) cm
한편 △ABC는 ACÓ=BCÓ인 직각이등변삼각형이므로
∠B=45ù
△EBH에서 ∠BEH=180ù-(45ù+90ù)=45ù
즉 △EBH는 BHÓ=EHÓ인 직각이등변삼각형이므로
BHÓ=EHÓ=x cm
이때 BCÓ=BHÓ+HFÓ+FCÓ
이므로
20=x+(12-x)+x
∴ x=8
즉 EHÓ
Ó=FCÓ=8`cm이므로
BFÓ=BCÓ-FCÓ=20-8=12 (cm)
041 △AED와 △CFD에서
∠A=∠DCF=90ù, DEÓ=DFÓ, DAÓ=DCÓ
∴ △AEDª△CFD ( RHS 합동)
따라서 ∠CDF=∠ADE=33ù이므로
∠EDF =∠EDC+∠CDF
=∠EDC+∠ADE=90ù
즉 △DEF는 DEÓ=DFÓ인 직각이등변삼각형이므로
∠ DFE=45ù
이때 △DCF에서 ∠DFC=180ù-(33ù+90ù)=57ù
∴ ∠EFB=57ù-45ù=12ù
12ù
따라서 △ABDª△AED ( RHA 합동)이므로
BDÓ=EDÓ
DCÓ=x cm라 하면 DEÓ=BDÓ=(8-x) cm
이때 △ABC=△ABD+△ADC이므로
_8_6=
_(8-x)_6+
_10_(8-x)
;2!;
;2!;
;2!;
∴ DCÓ=5 cm
5`cm
043 오른쪽 그림과 같이 점 E에서 ACÓ
에 내린 수선의 발을 F라 하면
△ABE와 △AFE에서
∠B=∠AFE=90ù, AEÓ는 공통,
A
B
F
E
D
C
∠ BAE=∠FAE
∴ △ABEª△AFE ( RHA 합동)
또 △AEF와 △CEF에서
∠ AFE=∠CFE=90ù, AEÓ=CEÓ, EFÓ는 공통
∴ △AEFª△CEF ( RHS 합동)
즉 △ABE=△AEF=△CEF이므로
(직사각형 ABCD의 넓이)
=2△ABC=2(△ABE+△AEF+△CEF)
=2_3△ABE
=6△ABE
따라서 직사각형 ABCD의 넓이와 △ABE의 넓이의 비는
6 : 1이다.
6 : 1
6 cm
P
A
D
F
B
C
E
11 cm
044 오른쪽 그림과 같이 점 P에서 ACÓ에
△PDA와 △PFA에서
∠PDA=∠PFA=90ù,
PAÓ는 공통, ∠PAD=∠PAF
따라서 △PDAª△PFA ( RHA 합동)이므로
PFÓ=PDÓ=6 cm
△PFC와 △PEC에서
∠PFC=∠PEC=90ù, PCÓ는 공통, ∠PCF=∠PCE
따라서 △PFCª△PEC ( RHA 합동)이므로
PEÓ=PFÓ
Ó=6 cm
이때 PBÓ를 그으면
△PBD와 △PBE에서
∠ PDB=∠PEB=90ù, PBÓ는 공통, PDÓ=PEÓ
∴ △PBDª△PBE ( RHS 합동)
∴ (사각형 PDBE의 넓이)
=△PDB+△PBE
=2△PBE
042 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ACÓ
에 내린 수선의 발을 E라 하면
△ABD와 △AED에서
∠B=∠AED=90ù,
ADÓ는 공통, ∠BAD=∠EAD
A
6 cm
10 cm
E
B
D
8 cm
C
=2_
_11_6
{;2!;
}
=66`(cmÛ`)
66`cmÛ`
6 | 정답과 해설
∴ △EBF=
_12_8=48 (cmÛ`)
;2!;
48`cmÛ`
내린 수선의 발을 F라 하면
∠CBF=∠CFB=∠A+∠FCA=4∠a
C
이때 ∠ABC=∠AB'C'이므로
STEP
3
고난도 문제
045 △ABE에서 ABÓ=AEÓ이므로
∠ABE=∠E=25ù
AEÓ∥BCÓ이므로
∠EBC=∠E=25ù (엇각)
∴ ∠ABC=∠ABE+∠EBC=25ù+25ù=50ù
△ABC에서 ACÓ=BCÓ이므로
∠CAB=∠ABC=50ù
또 △ABD에서 ABÓ=ADÓ이므로
∠D=∠ABC=50ù
따라서 △ABD에서
∠CAD=180ù-(50ù+50ù+50ù)=30ù
046 ADÓ=DEÓ=EFÓ=FCÓ=CBÓ이므로 △ADE,
△DFE, △EFC, △FBC는 모두 이등변삼각형
이다.
∠A=∠a라 하면 ∠DEA=∠A=∠a
∠EFD=∠EDF=∠A+∠DEA=2∠a
∠FCE=∠FEC=∠A+∠EFA=3∠a
이때 ABÓ=ACÓ이므로
∠ACB=∠B=4∠a
△ABC의 세 내각의 크기의 합이 180ù이므로
∠a+4∠a+4∠a=180ù
9∠a=180ù
∴ ∠a=20ù
한편 만들어지는 정다각형을 정 n각형이라 하면
n_20ù=360ù
∴ n=18
따라서 만들어지는 정다각형은 정십팔각형이므로
대각선의 총 개수는
18_(18-3)
2
=135
17쪽~18쪽
따라서 ∠CBE=∠CEB이므로 △EBC는 BCÓ=ECÓ인 이등변
=72ù-54ù =18ù
18ù
삼각형이다.
즉 DCÓ=ECÓ이므로 △DCE에서
∠CED=∠CDE=
_(180ù-36ù)=72ù
;2!;
∴ ∠DEB =∠CED-∠BEC
다른 풀이
∠DBE : ∠EBC=1 : 3이므로
∠DBE=
72ù=18ù
;4!;_
△EBC는 BCÓ=ECÓ인 이등변삼각형이므로
△DBC와 △DEC에서
∴ △DBCª△DEC ( SAS 합동)
따라서 DBÓ=DEÓ이므로
BCÓ=ECÓ, ∠DCB=∠DCE, DCÓ는 공통
∠DEB=∠DBE=18ù
048 ABÓ∥C'B'Ó이므로
∠ABD=∠DEB' (엇각),
∠BAD=∠DB'E (엇각)
30ù
A
a
D
2a
a
E
2a
3a
4a
4a
3a
F
B
∠ABD=∠DB'E=∠BAD=∠DEB'
따라서 △DAB, △DB'E는 모두 이등변삼각형이므로
ADÓ=BDÓ, DB'Ó=DEÓ
∴ ECÓ =BCÓ-(BDÓ+DEÓ)
=BCÓ-(ADÓ+DB'Ó)
=BCÓ-AB'Ó
=BCÓ-ABÓ
=11-6
=5`(cm)
135
049 ∠B=∠C이므로 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다.
오른쪽 그림과 같이 APÓ를 그으면
A
5`cm
3 cm
Q
B
H
R
P
5 cm
C
또 꼭짓점 B에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면
△ABC=
_ACÓ_BHÓ이므로
;2!;
4 ACÓ=
_ACÓ_BHÓ
;2!;
∴ BHÓ=8`(cm)
따라서 꼭짓점 B와 ACÓ 사이의 거리는 8`cm이다.
8`cm
1. 이등변삼각형 | 7
047 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC=∠ACB=
_(180ù-36ù)=72ù
;2!;
ABÓ=ACÓ이므로
△ABC=△ABP+△APC
∴ ∠ACD=∠DCB=
∠ACB=
_72ù=36ù
;2!;
;2!;
△DBC에서
∠BDC=180ù-(72ù+36ù)=72ù
따라서 ∠CBD=∠CDB이므로 △DBC는 BCÓ=DCÓ인 이등변
=
_ABÓ_3+
_ACÓ_5
;2!;
;2!;
=
ACÓ+
;2#;
;2%;
ACÓ
=4 ACÓ
삼각형이다.
이때 ∠DBE : ∠EBC=1 : 3이므로
∠EBC=
_72ù=54ù
;4#;
△EBC에서
∠BEC=180ù-(54ù+72ù)=54ù
ABÓ=ADÓ, AEÓ=ACÓ, ∠BAE=∠BAC+60ù=∠DAC
050 △ABE와 △ADC에서
∴ △ABE≡△ADC ( SAS 합동)
이때 △ABE, △ADC는 모두 이등변삼각형이므로
∠ABE=∠AEB=∠ADC=∠ACD
△ADG와 △BFG에서
∠ADG=∠GBF, ∠DGA=∠BGF (맞꼭지각)이므로
∠BFG=∠DAG=60ù
한편 △ABC에서 ∠ABC=∠ACB이므로
∠FBC =∠ABC-∠ABE
=∠ACB-∠ACD
=∠FCB
따라서 △FBC는 이등변삼각형이므로
∠FBC=
∠BFG=
_60ù=30ù
;2!;
;2!;
2
삼각형의 외심과 내심
STEP
1
실력 문제
21쪽~24쪽
053 ① OAÓ=OBÓ=OCÓ=(외접원 O의 반지름의 길이)
② ODÓ는 ABÓ의 수직이등분선이므로 ADÓ=BDÓ
③ ODÓ=OEÓ인지는 알 수 없다.
④ △OAFª△OCF (SAS 합동)이므로
∠OAF=∠OCF
⑤ △OBEª△OCE, △OCFª△OAF이지만
△OCEª△OCF인지는 알 수 없다.
30ù
따라서 옳지 않은 것은 ③, ⑤이다.
③, ⑤
054 점 O가 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ
△OAB의 둘레의 길이가 20 cm이므로
8+OAÓ+OBÓ=20
G
2 OAÓ=12
∴ OAÓ=6 (cm)
6`cm
055 △ABC에서 ∠C=2∠B이고 90ù+∠B+∠C=180ù이므로
90ù+∠B+2∠B=180ù
051 오른쪽 그림과 같이 점 G에서 ABÓ에
A
내린 수선의 발을 H라 하면
△DBE와 △GHD에서
∠DBE=∠GHD=90ù,
DEÓ=GDÓ,
∠DEB=90ù-∠BDE=∠GDH
따라서 △DBEª△GHD ( RHA 합동)이므로
GHÓ=DBÓ=x, HDÓ=BEÓ=y
이때 x+y=7이고 ABÓ=AHÓ+HDÓ+DBÓ이므로
11=AHÓ+y+x
11
H
D
x
B
F
C
y
E
11
11=AHÓ+7
한편 △AHG에서 ∠GAH=45ù이므로 △AHG는 직각이등변
∴ AHÓ=4
삼각형이다.
∴ GHÓ=AHÓ=4
따라서 x=4이고 x+y=7이므로 y=3
x=4, y=3
052 ∠C=∠a라 하면 ∠B : ∠C=2 : 1이므로 ∠B=2∠a
오른쪽 그림과 같이 ACÓ 위에
A
ABÓ=AEÓ가 되는 점 E를 잡으면
4 cm
7 cm
E
2a
a
a
C
2a
B
D
△ABD와 △AED에서
ABÓ=AEÓ, ADÓ는 공통,
∠BAD=∠EAD
∴ △ABDª△AED (SAS 합동)
따라서 ∠AED=2∠a이므로
∠EDC=2∠a-∠a=∠a
즉 ∠EDC=∠ECD이므로 △EDC는 이등변삼각형이다.
EDÓ=ECÓ=ACÓ-AEÓ=ACÓ-ABÓ=7-4=3`(cm)
8 | 정답과 해설
3∠B=90ù
∴ ∠B=30ù
∴ ∠C=2∠B=2_30ù=60ù
이때 △AOC에서 OAÓ=OCÓ이므로
∠OAC=∠C=60ù
∴ ∠AOC=180ù-(60ù+60ù)=60ù
따라서 △AOC는 정삼각형이므로
ACÓ=OAÓ=OCÓ=
BCÓ=
;2!;
∴ (△AOC의 둘레의 길이)=3_6=18 (cm)
;2!;_
12=6 (cm)
18`cm
056 △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OCB=
_(180ù-36ù)=72ù
;2!;
△OCA에서 OCÓ=OAÓ이므로
∠OCA=
_(180ù-64ù)=58ù
;2!;
∴ ∠BCA=72ù+58ù=130ù
130ù
057 OBÓ, OCÓ를 그으면 △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠OBA=∠OAB=35ù
△OCA에서 OCÓ=OAÓ이므로
∠OCA=∠OAC=25ù
이때 35ù+∠OBC+25ù=90ù이므로 ∠OBC=30ù
△OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OCB=∠OBC=30ù
따라서 ∠B=35ù+30ù=65ù, ∠C=30ù+25ù=55ù이므로
∴ BDÓ=EDÓ=3`cm
3`cm
∠B-∠C=65ù-55ù=10ù
10ù
058 ∠OAB+∠OBC+∠OCA=90ù이고
∠ OAB : ∠OBC : ∠OCA=2 : 3 : 4이므로
2
2+3+4
∠ OAB=90ù_
=90ù_
=20ù
;9@;
△OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠ OBA=∠OAB=20ù
064 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠IBA=∠IBC=25ù, ∠ICB=∠ICA=30ù
△ABC에서
∠ x=180ù-(50ù+60ù)=70ù
∠ y=90ù+
∠x=90ù+
_70ù=125ù
;2!;
;2!;
065 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠ BAI+35ù+25ù=90ù
∴ ∠BAI=30ù
∠ ABC=2∠IBC=2_35ù=70ù
△ABH에서
∠HAB=180ù-(70ù+90ù)=20ù
∴ ∠AOB=180ù-(20ù+20ù)=140ù
140ù
∴ ∠x+∠y=70ù+125ù=195ù
195ù
059 OBÓ를 그으면 ∠BOC=2∠A=2_52ù=104ù
△OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OCB=
_(180ù-104ù)=38ù
;2!;
38ù
060 △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠ OCB=∠OBC=50ù
∠ BOC =180ù-(50ù+50ù)=80ù
∴ ∠A=
∠BOC=
_80ù=40ù
;2!;
;2!;
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ ACB=
_(180ù-40ù)=70ù
;2!;
∴ ∠OCA=∠ACB-∠OCB=70ù-50ù=20ù
20ù
061 ① IDÓ=IEÓ=IFÓ=(내접원의 반지름의 길이)
② AFÓ=CFÓ인지는 알 수 없다.
③ ∠IBD=∠IBE, ∠ICE=∠ICF이지만 ∠IBE=∠ICE인지
는 알 수 없다.
④ IAÓ는 ∠A를 이등분하므로 ∠IAD=∠IAF
⑤ △IADª△IAF, △IBDª△IBE이지만
△IADª△IBD인지는 알 수 없다.
062 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠ACB=2∠ICA=2_33ù=66ù
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠ACB=66ù
따라서 ∠BAC=180ù-(66ù+66ù)=48ù이므로
∠IAC=
∠BAC=
_48ù=24ù
;2!;
;2!;
24ù
063 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠ IBC=∠IBA=28ù, ∠ICB=∠ICA=30ù
점 I'이 △IBC의 내심이므로
∠I'BC=
∠IBC=
_28ù=14ù
;2!;
;2!;
∠ I'CB=
∠ICB=
;2!;
△I'BC에서
∠BI'C=180ù-(14ù+15ù)=151ù
;2!;
_30ù=15ù
∴ ∠IAH=∠IAB-∠HAB=30ù-20ù=10ù
10ù
066 BEÓ=x cm라 하면 BDÓ=BEÓ=x cm
AFÓ=ADÓ=(13-x)`cm, CFÓ=CEÓ=(17-x) cm
이때 ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로
14=(13-x)+(17-x)
2x=16
∴ x=8
∴ BEÓ=8 cm
067 CFÓ=CEÓ=6`cm이므로
ADÓ=AFÓ=8-6=2`(cm)
BDÓ=BEÓ=4`cm이므로
ABÓ=ADÓ+BDÓ=2+4=6`(cm)
8`cm
∴ △ABC=
;2!;
_2_{6+(4+6)+8}=24`(cmÛ`)
24`cmÛ`
F
3 cm
I
E
D
B
C
068 오른쪽 그림과 같이 IEÓ를 그으면 사 A
DBÓ=BEÓ=IDÓ=3 cm
AFÓ=x cm라 하면
ADÓ=AFÓ=x cm
CEÓ=CFÓ=(17-x)`cm이므로
ABÓ=ADÓ+DBÓ=x+3`(cm)
BCÓ=BEÓ+ECÓ=3+(17-x)=20-x (cm)
∴ △ABC=
;2!;
_3_{(x+3)+(20-x)+17}=60`(cmÛ`)
069 오른쪽 그림과 같이 BIÓ, CIÓ를 그으
면 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB
DEÓ∥BCÓ이므로
∠ DIB=∠IBC (엇각), ∠EIC=∠ICB (엇각)
따라서 △DBI와 △EIC는 모두 이등변삼각형이므로
DBÓ=DIÓ, EIÓ=ECÓ
151ù
60`cmÛ`
A
I
4 cm
E
C
5 cm
D
B
6 cm
2. 삼각형의 외심과 내심 | 9
따라서 옳은 것은 ①, ④이다.
①, ④
각형 DBEI는 정사각형이므로
17 cm
∴ (△ADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DEÓ+EAÓ
074 (외접원의 반지름의 길이)=
ABÓ=
;2!;
;2!;_
15=
`(cm)
:Á2°:
=ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+EAÓ
=(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+EAÓ)
=ABÓ+ACÓ
내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
_12_9=
_r_(15+12+9)에서
;2!;
;2!;
=5+4=9`(cm)
9`cm
54=18r
∴ r=3
따라서 외접원과 내접원의 반지름의 길이의 합은
A
+3=
`(cm)
:ª2Á:
:Á2°:
:ª2Á:
`cm
070 오른쪽 그림과 같이 BIÓ, CIÓ를 그
으면 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB
DEÓ∥BCÓ이므로
D
10 cm
I
E
4 cm
C
B
∠DIB=∠IBC (엇각), ∠EIC=∠ICB (엇각)
따라서 △DBI와 △EIC는 모두 이등변삼각형이므로
DBÓ=DIÓ, EIÓ=ECÓ
즉 DIÓ =DEÓ-EIÓ=DEÓ-ECÓ=10-4=6 (cm)이므로
DBÓ=DIÓ=6`cm
071 오른쪽 그림과 같이 BIÓ, CIÓ를
그으면 점 I가 △ABC의 내심이
므로
∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB
DEÓ∥BCÓ이므로
D
10 cm
B
6 cm
E
F
8 cm
C
30 cm
∠DIB=∠IBC (엇각), ∠EIC=∠ICB (엇각)
따라서 △DBI와 △EIC는 모두 이등변삼각형이므로
DBÓ=DIÓ, EIÓ=ECÓ
즉 DEÓ=DIÓ+IEÓ=10+8=18`(cm)이므로
STEP
2
심화 문제
25쪽~30쪽
6`cm
A
I
075 점 O가 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ
이때 △OADª△OBD ( RHS 합동),
△OBEª△OCE ( RHS 합동),
△OAFª△OCF ( RHS 합동)이므로
△ABC =△OAB+△OBC+△OCA
=2△OAD+2△OCE+2△OCF
즉 120=2_
8_6
+2(△OCE+△OCF)에서
{;2!;_
}
2(△OCE+△OCF)=72
∴ △OCE+△OCF=36`(cmÛ`)
따라서 색칠한 부분의 넓이는 36`cmÛ`이다.
(사다리꼴 DBCE의 넓이)=
_(18+30)_6=144`(cmÛ`)
;2!;
076 오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으면
△OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로
∠OCA=∠OAC=20ù
144`cmÛ`
36`cmÛ`
A
20∞
O
C
45ù
26ù
∴ ∠COD=20ù+20ù=40ù
한편 △OBC에서
∠BOC=∠BOD+∠DOC=50ù+40ù=90ù
이때 OBÓ=OCÓ이므로 △OBC는 직각이등변삼각형이다.
50∞
D
B
∴ ∠OBC=
_(180ù-90ù)=45ù
;2!;
077 점 M은 직각삼각형 ABC의 외심이므로 MAÓ=MBÓ=MCÓ
즉 △AMC는 MAÓ=MCÓ인 이등변삼각형이므로
∠MCA=∠A=32ù
∴ ∠CMH=32ù+32ù=64ù
따라서 △CMH에서
∠MCH=180ù-(90ù+64ù)=26ù
078 △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠OAB=∠OBA=32ù+20ù=52ù
△OCB에서 OCÓ=OBÓ이므로
∠OCB=∠OBC=20ù
△OCA에서 OCÓ=OAÓ이므로
∠OAC=∠OCA=∠x+20ù
∠BIC=90ù+
∠A=90ù+
_52ù=116ù
116ù
;2!;
;2!;
072 점 O가 △ABC의 외심이므로
∠A=
∠BOC=
_104ù=52ù
;2!;
;2!;
점 I가 △ABC의 내심이므로
073 점 O가 △ABC의 외심이므로
∠BOC=2∠A=2_48ù=96ù
△OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OBC=
_(180ù-96ù)=42ù
;2!;
한편 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC=
;2!;
점 I가 △ABC의 내심이므로
_(180ù-48ù)=66ù
∠IBC=
∠ABC=
_66ù=33ù
;2!;
;2!;
10 | 정답과 해설
∴ ∠OBI =∠OBC-∠IBC=42ù-33ù=9ù
9ù
따라서 △ABC에서
(∠x+20ù)+52ù+32ù+∠x=180ù
2∠x=76ù
∴ ∠x=38ù
079 오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 긋고
∠OCB=∠x, ∠OCA=∠y라 하면
△OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OBC=∠OCB=∠x
△OCA에서 OCÓ=OAÓ이므로
∠OAC=∠OCA=∠y
△ADC에서 ∠x+2∠y=100ù
△BCE에서 2∠x+∠y=95ù
㉠, ㉡에서 ∠x+∠y=65ù
∴ ∠C=∠x+∠y=65ù
080 오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면
△OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠ OAB=∠OBA=23ù
△OCA에서 OCÓ=OAÓ이므로
∠OAC=∠OCA=22ù
따라서 ∠BAC=23ù+22ù=45ù이므로
∠BOC=2∠BAC=2_45ù=90ù
100∞
x
B
O
D
38ù
A
y
95∞
E
y
x
C
yy ㉠
yy ㉡
65ù
다른 풀이
△ABC에서
∠ a=2∠B=2_58ù=116ù이므로
∠b=360ù-116ù=244ù
따라서 △ACD에서
∠ D=
∠b=
_244ù=122ù
;2!;
;2!;
A
a
b
O
58$
B
D
C
083 ∠PBQ=∠x, ∠QCP=∠y라 하면
△PBQ에서 PBÓ=PQÓ이므로 ∠PQB=∠PBQ=∠x
△QPC에서 QPÓ=QCÓ이므로 ∠QPC=∠QCP=∠y
오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면
A
△OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠OAB=∠OBA=∠x
△OCA에서 OCÓ=OAÓ이므로
∠OAC=∠OCA=∠y
x y
O
B
P
x
x
y
C
Q
y
A
O
4 cm
23$
B
22$
C
∴ ∠BAC=∠x+∠y
한편 ∠BOC=2∠BAC이므로
∠ POQ=∠BOC=2(∠x+∠y)`(맞꼭지각)
따라서 △OQP에서
2(∠x+∠y)+∠x+∠y=180ù
3(∠x+∠y)=180ù ∴ ∠x+∠y=60ù
∴ µ BC=2p_4_
2p (cm)
;3»6¼0;=
2p cm
084 △ABC에서 ∠BAC=180ù-(40ù+70ù)=70ù
081 외심 O가 BCÓ 위에 있으므로 △ABC는 ∠BAC=90ù인 직각
∠ IAC=∠IAB=
∠BAC=
_70ù=35ù
;2!;
;2!;
∴ ∠POQ =2(∠x+∠y)=2_60ù=120ù
120ù
삼각형이다.
∴ OBÓ=OAÓ=OCÓ
즉 △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠OAB=∠B=40ù
∴ ∠OAC=90ù-40ù=50ù
이때 점 O'이 △AOC의 외심이므로
∠OO'C =2∠OAC=2_50ù=100ù
따라서 △O'OC에서 O'OÓ=O'CÓ이므로
∠ O'OC=
_(180ù-100ù)=40ù
;2!;
082 오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OCÓ, ODÓ를
그으면
∠ AOC=2∠B=2_58ù=116ù
∠ ODA=∠x라 하면
△ODA에서 ODÓ=OAÓ이므로
∠ OAD=∠ODA=∠x
∠ ODC=∠y라 하면 △OCD에서 OCÓ=ODÓ이므로
∠OCD=∠ODC=∠y
58∞
B
사각형 AOCD에서
∠x+116ù+∠y+(∠x+∠y)=360ù이므로
2(∠x+∠y)=244ù ∴ ∠x+∠y=122ù
∴ ∠D=∠x+∠y=122ù
△AHC에서 ∠CAH=180ù-(90ù+70ù)=20ù
∴ ∠x=35ù-20ù=15ù
한편 ∠IBA=∠IBC=
∠ABC=
_40ù=20ù이므로
;2!;
;2!;
△ABI에서 ∠y=35ù+20ù=55ù
∴ ∠x+∠y=15ù+55ù=70ù
다른 풀이
점 I가 △ABC의 내심이므로
70ù
40ù
∠IBC=∠IBA=
∠ABC=
_40ù=20ù
;2!;
;2!;
△IBD에서 ∠IDH=∠DIB+∠IBD=∠y+20ù
△ADH에서 ∠x+(∠y+20ù)+90ù=180ù이므로
∠x+∠y=70ù
085 △ADC에서 DAÓ=DCÓ이므로 ∠DAC=∠DCA
A
x
O
x
D
y
y
C
∠ DAC+∠DCA=72ù이므로 ∠DAC=
_72ù=36ù
;2!;
점 I가 △ADC의 내심이므로
∠IAD=
∠DAC=
;2!;
점 I'이 △DBC의 내심이므로
;2!;
_36ù=18ù
∠I'BD=
∠DBC=
_52ù=26ù
;2!;
;2!;
122ù
따라서 △ABP에서
∠ x=180ù-(18ù+26ù)=136ù
136ù
2. 삼각형의 외심과 내심 | 11
086 △ABC에서 BAÓ=BCÓ이므로
따라서 △IDE는 정삼각형이므로 DBÓ=DIÓ=DEÓ=EIÓ=ECÓ
∠BCA=∠BAC=
(180ù-40ù)=70ù
;2!;_
∴ DEÓ=
BCÓ=
_12=4 (cm)
;3!;
;3!;
4`cm
점 I가 △ABC의 내심이므로
∠ ICB=
∠BCA=
_70ù=35ù
;2!;
;2!;
DAÓ∥BCÓ이므로 ∠DAB=∠ABC=40ù (엇각)
△DBA에서 DAÓ=DBÓ이므로 ∠DBA=∠DAB=40ù
점 I'이 △DBA의 내심이므로
∠I'BA=
∠DBA=
_40ù=20ù
;2!;
;2!;
따라서 △EBC에서
∠x=180ù-(20ù+40ù+35ù)=85ù
090 CSÓ=x cm라 하면
CQÓ=CSÓ=x cm
BPÓ =BQÓ=(10-x) cm
APÓ =ASÓ=(7-x) cm
이때 ABÓ=APÓ+BPÓ이므로
(7-x) cm
(7-x) cm
A
S
P
D
x cm
6 cm
(10-x) cm
I
R
B
(10-x) cm
Q E
x cm
C
6=(7-x)+(10-x), 2x=11
∴ x=
;;Á2Á;;
85ù
∴ (△CDE의 둘레의 길이) =CDÓ+DRÓ+REÓ+ECÓ
=CDÓ+DSÓ+QEÓ+ECÓ
087 △ABC에서
50ù+∠B+∠BCA=180ù
∴ ∠B+∠BCA=130ù
이때 ∠B：∠BCA=2 : 3이므로
∠B=130ù_
=52ù
;5@;
점 I가 △ABC의 내심이므로
∠ AIC=90ù+
∠B=90ù+
_52ù=116ù
116ù
;2!;
;2!;
088 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠ BIC=90ù+
∠A=90ù+
68ù=124ù
;2!;
;2!;_
∠ IBC=∠a, ∠ICB=∠b라 하면
△IBC에서
124ù+∠a+∠b=180ù
∴ ∠a+∠b=56ù
한편 ∠IBA=∠IBC=∠a, ∠ICA=∠ICB=∠b이므로
△ADC에서
∠x=68ù+∠b
△ABE에서
∠y=68ù+∠a
yy ㉠
yy ㉡
㉠, ㉡에서
=CSÓ+CQÓ=2x
=2_
=11`(cm)
11`cm
;;Á2Á;;
;2!;
091 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
_12_r=18에서 6r=18
∴ r=3
∴ △IAB=
_9_3=
(cmÛ`)
;2!;
:ª2¦:
이때 △IAB : △IBC=3 : 5이므로
: △IBC=3 : 5
∴ △IBC=
:ª2¦:
:¢2°:
∴ △ABC=△IAB+△IBC+△ICA
(cmÛ`)
∴ △ABC=
:ª2¦:+:¢2°:
+18=54 (cmÛ`)
54`cmÛ`
092 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
_12_5=
_r_(13+12+5)에서
;2!;
;2!;
30=15r
∴ r=2
∴ △IAB=
;2!;
한편 점 I가 △ABC의 내심이므로
_13_2=13 (cmÛ`)
∠ AIB=90ù+
∠C=90ù+
_90ù=135ù
;2!;
;2!;
∠ x+∠y =(68ù+∠b)+(68ù+∠a)
즉 반지름의 길이가 2 cm이고 중심각의 크기가 135ù인 부채꼴의
=136ù+(∠a+∠b)
=136ù+56ù=192ù
192ù
넓이는 p_2Û`_
;3!6#0%;=;2#;
p (cmÛ`)
∴ (색칠한 부분의 넓이)=13-
p (cmÛ`)
{
;2#;
13-
p
`cmÛ`
;2#;
}
089 오른쪽 그림과 같이 IBÓ, ICÓ를 그으면
점 I가 정삼각형 ABC의 내심이므로
∠ IBD=∠IBA=
60ù=30ù
;2!;_
ABÓ∥IDÓ이므로
∠ BID=∠IBA=30ù (엇각)
따라서 ∠IBD=∠BID이므로 DBÓ=DIÓ
마찬가지 방법으로 ECÓ=EIÓ
이때 △IBD에서 ∠IDE=30ù+30ù=60ù
△IEC에서 ∠IED=30ù+30ù=60ù
12 | 정답과 해설
A
I
12 cm
093 점 O는 △ABC의 외심이므로 ∠AOC=2∠B
점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠AIC=90ù+
∠B
;2!;
B
D
E
C
∠ AOC+∠AIC=280ù이므로
2∠B+
90ù+
∠B
=280ù,
∠B=190ù
∴ ∠B=76ù
{
;2!;
}
;2%;
따라서 ∠AOC=2∠B=2_76ù=152ù이고,
△AOC에서 OAÓ=OCÓ이므로
∠OAC=
_(180ù-152ù)=14ù
;2!;
14ù
094 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC=
;2!;
점 I가 △ABC의 내심이므로
_(180ù-76ù)=52ù
∠IBA=
∠ABC=
_52ù=26ù
;2!;
;2!;
점 O가 △ABC의 외심이므로 ∠ODB=90ù
따라서 △BED에서
∠BED=180ù-(90ù+26ù)=64ù
095 점 I가 △ABC의 내심이므로
90ù+
∠BAC=110ù
∴ ∠ BAC=40ù
;2!;
이때 ∠CAI=∠BAI이므로
∠CAI=
∠BAC=
_40ù=20ù
;2!;
;2!;
점 O는 △ABC의 외심이므로
∠AOC=2∠ABC=2_60ù=120ù
△OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로
∠OAC=∠OCA=
_(180ù-120ù)=30ù
;2!;
∴ ∠OAI =∠OAC-∠CAI=30ù-20ù=10ù
10ù
096 △ABC에서 ∠BAC=180ù-(35ù+65ù)=80ù
점 I가 △ABC의 내심이므로
∠IAB=
∠BAC=
_80ù=40ù
;2!;
;2!;
오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면
점 O가 △ABC의 외심이므로
∠AOB=2∠C=2_65ù=130ù
△OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
A
35∞
B
I
O 65∞
C
∠OAB=∠OBA=
_(180ù-130ù)=25ù
;2!;
∴ ∠OAI =∠IAB-∠OAB=40ù-25ù=15ù
15ù
097 △ABC에서 ∠BAC=180ù-(52ù+90ù)=38ù
점 I가 △ABC의 내심이므로
∠IAC=∠IAB=
∠BAC=
_38ù=19ù
;2!;
;2!;
점 M이 직각삼각형 ABC의 외심이므로 MAÓ=MBÓ=MCÓ
즉 △MCA에서 ∠MCA=∠MAC=38ù이므로
△APC에서 ∠APC=180ù-(19ù+38ù)=123ù
123ù
AFÓ=ADÓ=x`cm,
BEÓ=BDÓ=(10-x)`cm이므로
ACÓ=(x+2)`cm, BCÓ=(12-x)`cm
∴ △ABC=
;2!;
_2_{10+(12-x)+(x+2)}=24`(cmÛ`)
따라서 색칠한 부분의 넓이는
24-p_2Û`=24-4p`(cmÛ`)
(24-4p)`cmÛ`
64ù
STEP
3
고난도 문제
31쪽~32쪽
099 ∠OMN=∠x라 하면 ∠B=4∠x, ∠C=6∠x이므로
∠A=180ù-(4∠x+6∠x)=180ù-10∠x
또 ∠NOC=
∠BOC=∠A이고
;2!;
∠MOC=2∠B=8∠x이므로
∠MON=8∠x+(180ù-10∠x)=180ù-2∠x
∴ ∠ONM =180ù-(∠MON+∠OMN)
=180ù-(180ù-2∠x+∠x)
=∠x=∠OMN
따라서 △OMN은 이등변삼각형이므로
∠MON=180ù-(12ù+12ù)=156ù
156ù
100 ACÓ∥BDÓ이므로 ∠EAC=∠EDB=90ù (엇각)
즉 △AEC는 ∠EAC=90ù인 직각삼각형이므로 ECÓ의 중점을
O라 하면 점 O는 △AEC의 외심이다.
A
120$
B
E
D
O
C
오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면
OAÓ=OEÓ=OCÓ
∠OCA=∠a라 하면
∠OAC=∠OCA=∠a,
∠AOE=2∠a
이때 ECÓ=2ABÓ이므로 ABÓ=OEÓ=OAÓ
∴ ∠ABO=∠AOB=2∠a
따라서 △ABC에서
120ù+2∠a+∠a=180ù이므로
3∠a=60ù
∴ ∠a=20ù
098 점 O가 △ABC의 외심이므로
ABÓ=2OBÓ=2_5=10`(cm)
오른쪽 그림과 같이 내접원 I와 △ABC의
접점을 D, E, F라 하고 IFÓ를 그으면 사각
형 IECF는 정사각형이므로
CEÓ=CFÓ=IEÓ=2`cm
ADÓ=x`cm라 하면
5 cm
B
D
O
I
2 cm
E
A
F
C
101 오른쪽 그림과 같이 IAÓ, IBÓ, IEÓ를
그으면 IAÓ, IBÓ, IEÓ는 원 I의 반지름
A
8 cm
이다.
△IAB에서 IAÓ=IBÓ이므로
∠IAB=∠IBA
△IEA에서 IEÓ=IAÓ이므로 ∠IEA=∠IAE
B
E
I
D
12 cm
20ù
C
2. 삼각형의 외심과 내심 | 13
점 I가 △ABC의 내심이므로
∠ IAB=∠IAC, ∠IBA=∠IBC
∴ ∠IBC=∠IBA=∠IAB=∠IAE=∠IEA
즉 △ABC에서 ∠CAB=∠CBA이므로
ACÓ=BCÓ=12`cm
한편 △IAB와 △IAE에서
IAÓ는 공통, IBÓ=IEÓ,
∠ AIB =180ù-(∠IAB+∠IBA)
=180ù-(∠IAE+∠IEA)
=∠AIE
따라서 △IABª△IAE (SAS 합동)이므로
AEÓ=ABÓ=8 cm
∴ ECÓ=ACÓ-AEÓ=12-8=4 (cm)
4`cm
;2!;
;2!;
102 점 I'이 △ABC의 내심이므로
∠ BI'C=90ù+
∠A=90ù+
72ù=126ù
;2!;_
점 I"이 △I'BC의 내심이므로
∠BI"C=90ù+
∠BI'C=90ù+
126ù=153ù
;2!;_
이때 ∠ABC+∠ACB=180ù-72ù=108ù이고
∠IBC +∠ICB=
108ù=81ù이므로
;4#;_
△IBC에서
∠BIC =180ù-(∠IBC+∠ICB)=180ù-81ù=99ù
∴ ∠BIC : ∠BI'C : ∠BI"C =99ù : 126ù : 153ù
=11 : 14 : 17
11 : 14 : 17
103 오른쪽 그림과 같이 두 내접원의 중심
을 각각 I, I'이라 하고 점 I에서 ABÓ,
BCÓ에 내린 수선의 발을 각각 G, H라
하자. 또 점 I'에서 CDÓ, ADÓ에 내린 수
A
6 cm
G
B
Q
I′
D
P
C
E
I
H
F
8 cm
선의 발을 각각 P, Q라 하자.
BHÓ=GIÓ=2`cm이므로
또 PDÓ=I'QÓ=2`cm이므로
CPÓ=CDÓ-PDÓ=6-2=4`(cm)
∴ CFÓ=CPÓ=4`cm
∴ EFÓ=ECÓ-CFÓ=6-4=2`(cm)
2`cm
104 오른쪽 그림과 같이
APÓ=ADÓ=x`cm라 하면
BEÓ=BDÓ=(5-x) cm
CEÓ=CPÓ=(7-x) cm
이때 BCÓ=BEÓ+CEÓ이므로
F
x cm
A
D
5 cm
B
O
P
7 cm
Q
C
G
I
E
8 cm
8=(5-x)+(7-x)
∴ x=2
∴ APÓ=2 cm
또 AFÓ=AQÓ, CGÓ=CQÓ, BGÓ=BFÓ이므로
( △ABC의 둘레의 길이)=BFÓ+BGÓ에서
∴ BGÓ=10`(cm)
5+8+7=2BGÓ
14 | 정답과 해설
CQÓ=CGÓ=BGÓ-BCÓ=10-8=2`(cm)
∴ PQÓ=ACÓ-APÓ-CQÓ=7-2-2=3`(cm)
3`cm
105 △ABC와 △ACD가 모두 직각삼각형이므로 점 O는
D
I′
O
I
C
A
B
△ABC와 △ACD의 외심이다.
이등변삼각형의 외심과 내심은 꼭지각의
이등분선 위에 있으므로 오른쪽 그림과 같
이 BIÓ를 그으면 점 I는 BOÓ 위에 있고
∠ BOA=90ù
또 I'AÓ, I'DÓ 를 그으면 점 I'은 △ACD의
내심이므로
∠I'AC=∠I'AD
△I'AO와 △I'AD에서
I'AÓ는 공통, ∠I'AO=∠I'AD, AOÓ=ADÓ
따라서 △I'AOª△I'AD ( SAS 합동)이므로
∠I'OA=∠I'DA=
∠D=
90ù=45ù
;2!;
;2!;_
∴ ∠IOI'=∠IOA+∠I'OA=90ù+45ù=135ù
135ù
106 점 I는 △ABC의 내심이므로
∠IBA=∠IBC, ∠ICB=∠ICA
△BDE와 △BGE에서
∠EBD =∠EBG, BEÓ는 공통, ∠BED=∠BEG
따라서 △BDEª△BGE ( ASA 합동)이므로 DEÓ=GEÓ
또 △CDF와 △CHF에서
∠DCF=∠HCF, CFÓ는 공통, ∠CFD=∠CFH
따라서 △CDFª△CHF ( ASA 합동)이므로 DFÓ=HFÓ
따라서 △GDH에서 점 I는 GDÓ, HDÓ의 수직이등분선의 교점이
므로 △GDH의 외심이다.
이때 점 I는 △ABC의 내심이므로
∠BIC=90ù+
∠A=90ù+
_80ù=130ù
;2!;
;2!;
100ù
∠EDF=360ù-(130ù+90ù+90ù)=50ù
점 I는 △GDH의 외심이므로
∠GIH=2∠GDH=2_50ù=100ù
다른 풀이
BDÓ=BGÓ
△BDEª△BGE (ASA 합동)이므로
△CDFª△CHF (ASA 합동)이므로
△IBDª△IBG (SAS 합동)이므로
IDÓ=IGÓ, ∠IGB=∠IDB=90ù
△ICDª△ICH (SAS 합동)이므로
IDÓ=IHÓ, ∠IHC=∠IDC=90ù
CDÓ=CHÓ
따라서 사각형 AGIH에서
∠ GIH=360ù-(80ù+90ù+90ù)=100ù
HCÓ =BCÓ-BHÓ=8-2=6`(cm)
∴ ECÓ=HCÓ=6`cm
사각형 IEDF에서
3
평행사변형
114 ∠ADF=
∠ADC=
∠B=
_62ù=31ù
;2!;
;2!;
;2!;
△AFD에서 ∠DAF=180ù-(90ù+31ù)=59ù
이때 ∠BAD+∠B=180ù이므로
∠BAD=180ù-62ù=118ù
STEP
1
실력 문제
35쪽~38쪽
∴ ∠BAF =∠BAD-∠DAF
=118ù-59ù=59ù
59ù
107 ∠BAC=∠ACD=67ù (엇각)이므로
∠DAB+∠ABC=180ù에서
(∠x+67ù)+(44ù+∠y)=180ù
∴ ∠x+∠y=69ù
108 OCÓ=
ACÓ=
_12=6`(cm), CDÓ=ABÓ=7`cm
;2!;
;2!;
∠E=∠DAE=35ù (엇각)
35ù
115 ∠D=∠B=58ù이므로
△ACD에서 ∠DAC=180ù-(52ù+58ù)=70ù
69ù
즉 ∠DAE=
∠DAC=
_70ù=35ù이므로
;2!;
;2!;
DFÓ=DCÓ+FCÓ=9+9=18`(cm)
18`cm
117 ① 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
ODÓ=
BDÓ=
_16=8`(cm)
;2!;
;2!;
∴ (△OCD의 둘레의 길이) =OCÓ+CDÓ+DOÓ
=6+7+8=21`(cm) 21`cm
109 △ABE와 △FCE에서
BEÓ=CEÓ, ∠ABE=∠FCE (엇각),
∠AEB=∠FEC (맞꼭지각)
따라서 △ABEª△FCE (ASA 합동)이므로
FCÓ=ABÓ=9`cm
이때 DCÓ=ABÓ=9`cm이므로
110 ∠ADE=
∠ADC=
∠B=
75ù=50ù
;3@;
;3@;_
;3@;
△AED에서 ∠DAE=180ù-(50ù+50ù)=80ù
∴ ∠AEB=∠DAE=80ù (엇각)
111 ② ∠DAB=∠BCD, ∠ABC=∠CDA이지만
∠DAB=∠ABC인지는 알 수 없다.
②
112 △AOP와 △COQ에서
∠AOP=∠COQ (맞꼭지각) (①),
∠OAP=∠OCQ (엇각) (②), OAÓ=OCÓ (④)
따라서 △AOPª△COQ (ASA 합동) (⑤)이므로
OPÓ=OQÓ
113 ∠BAE=∠DAE, ∠AEB=∠DAE (엇각)이므로
∠BAE=∠AEB
즉 △BEA는 이등변삼각형이므로 BEÓ=ABÓ=7`cm
ECÓ=BCÓ-BEÓ=9-7=2`(cm)
이때 ∠B=∠D=74ù이므로 △BEA에서
∴ x=2
∠BEA=∠BAE=
_(180ù-74ù)=53ù
;2!;
즉 ∠AEC=180ù-53ù=127ù이므로 y=127
116 ∠FCD=∠AGF=64ù (엇각)이므로
∠BCD=2_64ù=128ù
∠ABC+∠BCD=180ù이므로
∠ABC=180ù-128ù=52ù
∴ ∠EBC=
∠ABC=
_52ù=26ù
;2!;
;2!;
이때 ∠AEB=∠EBC=26ù (엇각)이므로
∠x=180ù-26ù=154ù
154ù
①
118 ㉠ ADÓ∥BCÓ이므로 ∠A+∠B=180ù, ∠C+∠D=180ù
이때 ∠B=∠D이므로 ∠A=∠C
따라서 ABCD는 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행
80ù
사변형이다.
㉢ ∠DAC=∠ACB (엇각)이므로 ADÓ∥BCÓ
이때 ADÓ=BCÓ이므로 ABCD는 한 쌍의 대변이 평행하고
그 길이가 같으므로 평행사변형이다.
㉤ ∠A=∠C, ∠ADB=∠CBD이므로
∠ABD=∠CDB
∴ ∠B=∠D
따라서 ∠A=∠C, ∠B=∠D이므로 ABCD는 두 쌍의 대
③
각의 크기가 각각 같으므로 평행사변형이다.
따라서 ABCD가 평행사변형인 것은 ㉠, ㉢, ㉤이다.
㉠, ㉢, ㉤
119 ABCD에서 OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ이므로
OPÓ=
OAÓ=
OCÓ=ORÓ
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
OQÓ=
OBÓ=
ODÓ=OSÓ
따라서 PQRS는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평
④
3. 평행사변형 | 15
∴ x+y=2+127=129
129
행사변형이다.
120 BFED에서 BCÓ=ECÓ, DCÓ=FCÓ
즉 BFED는 평행사변형이므로 BDÓ=EFÓ=12
이때 ABCD는 평행사변형이므로
x=
BDÓ=
_12=6
;2!;
;2!;
또 ABCD는 평행사변형이므로 ADÓ∥BCÓ,ADÓ=BCÓ
∴ ADÓ∥CEÓ,ADÓ=CEÓ
즉 ACED는 평행사변형이므로 ACÓ=DEÓ=8
이때 ABCD는 평행사변형이므로
y=
ACÓ=
_8=4
;2!;
;2!;
∴ x+y=6+4=10
121 오른쪽 그림과 같이 ABCD에서
대각선 BD를 긋고 ACÓ와의 교점을 O
라 하면
OBÓ=ODÓ,
OPÓ =OAÓ-APÓ=OCÓ-CQÓ=OQÓ
즉 PBQD는 평행사변형이므로
∠BPD+∠PBQ=180ù
10
D
A
P
44$
O
B
Q
C
122 ABCD에서 ∠DAB=∠BCD이므로
∠FAE=
∠DAB=
∠BCD=∠ECF
;2!;
;2!;
∠AEB=∠FAE (엇각), ∠CFD=∠ECF (엇각)이므로
∠AEB=∠CFD
∠AEC =180ù-∠AEB=180ù-∠CFD=∠CFA
따라서 AECF는 평행사변형이므로
AEÓ=CFÓ=14`cm
한편 ∠AEB=∠FAE (엇각)이므로
∠BAE=∠AEB
즉 △BEA는 BEÓ=BAÓ=12`cm인 이등변삼각형이므로
ECÓ=AFÓ=BCÓ-BEÓ=18-12=6`(cm)
∴ (AECF의 둘레의 길이) =AEÓ+ECÓ+CFÓ+FAÓ
따라서 △OBFª△ODE (ASA 합동)이므로
△OBF=△ODE
∴ △OEA+△OBF=△OEA+△ODE
=△ODA
=
ABCD
;4!;
;4!;
=
_40=10`(cmÛ`)
10`cmÛ``
125 △BCD=2△OAB=2_9=18`(cmÛ`)
이때 BFED는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행
사변형이다.
∴ BFED =4△BCD
=4_18=72`(cmÛ`)
72`cmÛ``
126 △ACD=
;2!;
ABCD=
_124=62`(cmÛ`)이므로
;2!;
△PDA =△ACD-△PCD=62-41=21`(cmÛ`)
이때 △PDA+△PBC=
ABCD이므로
;2!;
21+△PBC=62
∴ △PBC=41`(cmÛ`)
41`cmÛ`
;2!;
;2!;
=
_(12_9)=54`(cmÛ`)
이때 △PAB=30`cmÛ`이므로
30+△PCD=54
∴ △PCD=24`(cmÛ`)
24`cmÛ`
STEP
2
심화 문제
39쪽~44쪽
128 ABCD가 평행사변형이므로 ADÓ∥BCÓ, ADÓ=BCÓ이다.
이때 ADÓ=BCÓ=8이므로 점 D의 좌표는 (8, 6)
두 점 B(-3, 0), D(8, 6)을 지나는 직선의 기울기는
∴ ∠BPD =180ù-44ù=136ù
136ù
127 △PAB+△PCD=
ABCD
=14+6+14+6
=40`(cm)
40`cm
6-0
8-(-3)
=
;1¤1;
123 ABCD가 평행사변형이므로 ADÓ=BCÓ
∴ AMÓ=MDÓ=BNÓ=NCÓ
이때 AMÓ∥NCÓ, AMÓ=NCÓ이므로 ANCM은 평행사변형이다.
∴ ∠MCN=∠MAN=60ù
또한 MDÓ∥BNÓ, MDÓ=BNÓ이므로 MBND는 평행사변형이다.
즉 MBÓ∥DNÓ이므로 ∠DNC =∠MBN=50ù (동위각)
∴ ∠MFN =50ù+60ù=110ù
110ù
구하는 일차함수의 식을 y=
x+b라 하고 x=-3, y=0을
;1¤1;
대입하면
0= -18
11
+b
∴ b=
;1!1*;
따라서 구하는 일차함수의 식은 y=
x+
;1!1*;
;1¤1;
y=
x+
;1¤1;
;1!1*;
124 △OBF와 △ODE에서
OBÓ=ODÓ, ∠BOF=∠DOE (맞꼭지각),
∠OBF=∠ODE (엇각)
16 | 정답과 해설
129 ABCD는 평행사변형이므로
∠DAE=∠E=54ù (엇각)
이때 ∠DAE : ∠CAE=3 : 1이므로
∠CAE=
∠DAE=
_54ù=18ù
;3!;
;3!;
또 ∠D=∠B=71ù이므로
△ACD에서
∠ACD=180ù-(71ù+54ù+18ù)=37ù
135 ∠ AEB=∠DAE (엇각)이므로 ∠BAE=∠AEB
즉 △BEA는 BEÓ=BAÓ인 이등변삼각형이므로
BEÓ=ABÓ=15`cm
37ù
130 ABCD가 평행사변형이므로 OAÓ=OCÓ
△AEC에서 ∠E의 이등분선이 ACÓ를 이등분하므로 △AEC는
EAÓ=ECÓ인 이등변삼각형이다. 즉
∠ECA=∠EAC=
_(180ù-2_28ù)=62ù
;2!;
∴ ∠DAC=∠ECA=62ù (엇각)
62ù`
131 APQR는 평행사변형이므로 ARÓ=PQÓ, APÓ=RQÓ
△ABC는 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C
이때 ACÓ∥PQÓ이므로 ∠PQB=∠C (동위각)
따라서 ∠B=∠PQB이므로 △PBQ는 PBÓ=PQÓ인 이등변삼각
형이다.
∴ (APQR의 둘레의 길이) =APÓ+PQÓ+QRÓ+RAÓ
=APÓ+PQÓ+APÓ+PQÓ
=2(APÓ+PQÓ)
=2(APÓ+PBÓ)
=2ABÓ
=2_19=38`(cm)
38`cm
133 △AEC는 ∠AEC=90ù인 직각삼각형이고 OAÓ=OCÓ이므로
132 ∠ FDB=∠BDC=36ù (접은 각)
∠FBD=∠BDC=36ù (엇각)
따라서 △FBD에서
∠x=180ù-(36ù+36ù)=108ù
점 O는 △AEC의 외심이다.
∴ OEÓ=OCÓ
따라서 △OEC에서
∠OEC=∠OCE=45ù
이때 ∠OBE=∠ODA=20ù (엇각)이므로
∠BOE=45ù-20ù=25ù
134 오른쪽 그림과 같이 BMÓ의 연장
선과 ADÓ의 연장선이 만나는 점을
F라 하면
△MBC와 △MFD에서
MCÓ=MDÓ,
A
B
D
M
C
25$
E
∠ MCB=∠MDF (엇각), ∠BMC=∠FMD (맞꼭지각)
따라서 △MBCª△MFD (ASA 합동)이므로
BCÓ=FDÓ
이때 ADÓ=BCÓ=DFÓ이므로 점 D는 직각삼각형 AEF의 외심이다.
∴ DEÓ=DFÓ
따라서 △DEF는 이등변삼각형이므로
∠DFE=∠DEF=25ù
∴ ∠ADE=25ù+25ù=50ù
50ù
이때 BEÓ : ECÓ=5 : 3이므로
15 : ECÓ=5 : 3
∴ ECÓ=9`(cm)
한편 ∠CEF=∠AEB (맞꼭지각), ∠CFE=∠BAE (엇각)
이므로 ∠CEF=∠CFE
따라서 △CEF는 CEÓ=CFÓ인 이등변삼각형이므로
CFÓ=CEÓ=9`cm
9`cm
다른 풀이
△ABE와 △FCE에서
∠CFE=∠BAE (엇각), ∠AEB=∠FEC (맞꼭지각)
∴ △ABE»△FCE (AA 닮음)
BAÓ : CFÓ=BEÓ : CEÓ에서
15 : CFÓ=5 : 3
∴ CFÓ=9`(cm)
136 ABCD는 평행사변형이므로
∠BPA=∠DAP (엇각)
따라서 △BPA는 BPÓ=BAÓ인 이등변삼각형이므로
BPÓ=BAÓ=7`cm
∴ PCÓ =BCÓ-BPÓ=ADÓ-BPÓ
=11-7=4`(cm)
또 ∠CQA=∠DAQ (엇각)이므로 ∠CAQ=∠CQA
즉 △CQA는 CQÓ=CAÓ인 이등변삼각형이므로
CQÓ=ACÓ=10`cm
108ù
∴ PQÓ=PCÓ+CQÓ=4+10=14`(cm)
14`cm
137 △APD에서 ∠DAP+∠ADP=90ù이고
∠BAD+∠ADC=180ù이므로
∠CDP=∠ADP
25ù
F
∠ BPA=∠DAP (엇각)이므로 ∠BAP=∠BPA
즉 △BPA는 BPÓ=BAÓ인 이등변삼각형이다.
또 ∠CPD=∠ADP (엇각)이므로 ∠CDP=∠CPD
즉 △CDP는 CDÓ=CPÓ인 이등변삼각형이다.
따라서 BPÓ=BAÓ=CDÓ=CPÓ이므로
BPÓ=
BCÓ=
ADÓ=
_8=4`(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
4`cm
138 ABÓ : ADÓ=7 : 9이므로 ABÓ=7k, ADÓ=9k(k>0)라 하면
∠ AEB=∠DAE (엇각)이므로 ∠BAE=∠AEB
즉 △BEA는 BEÓ=BAÓ인 이등변삼각형이므로
BEÓ=BAÓ=7k
∴ ECÓ=ADÓ-BEÓ=9k-7k=2k
또 ∠DFC=∠FDA (엇각)이므로 ∠CDF=∠DFC
즉 △CDF는 CDÓ=CFÓ인 이등변삼각형이므로
CFÓ=CDÓ=7k
3. 평행사변형 | 17
∴ FEÓ=FCÓ-ECÓ=7k-2k=5k
한편 ABCD의 높이를 h`cm라 하면 ABCD의 넓이가
이때 BFÓ=BEÓ-FEÓ=7k-5k=2k이므로
60`cmÛ`이므로
BFÓ : FEÓ : ECÓ=2k : 5k : 2k=2 : 5 : 2
2 : 5 : 2
_15_h=60
∴ h=8
;2!;
139 ∠ BAE=∠a, ∠ABF=∠b라 하면
△ABE에서 ∠GEC=∠a+2∠b
△ABF에서 ∠GFD=2∠a+∠b
이때 ∠DAB+∠ABC=180ù이므로
2∠a+2∠b=180ù
∴ ∠a+∠b=90ù
∴ AECF=
_4_8=16`(cmÛ`)
16`cmÛ`
;2!;
143 ADÓ=BCÓ=CEÓ, ABÓ=DCÓ=CFÓ, ABÓ∥DFÓ, ADÓ∥BEÓ
Ú ABFC는 ABÓ∥CFÓ, ABÓ=CFÓ이므로 평행사변형이다. (㉤)
∴ ∠GEC+∠GFD =(∠a+2∠b)+(2∠a+∠b)
Û ACED는 ADÓ∥CEÓ, ADÓ=CEÓ이므로 평행사변형이다. (㉤)
=3(∠a+∠b)
=3_90ù=270ù
Ü BFED는 BCÓ=CEÓ, DCÓ=CFÓ이므로 평행사변형이다. (㉣)
270ù
ABFC - ㉤, ACED - ㉤, BFED - ㉣
140 오른쪽 그림과 같이 BAÓ의 연장선과
CEÓ의 연장선의 교점을 G라 하면
△GBF와 △CBF에서
∠GBF=∠CBF, BFÓ는 공통,
G
A
E
F
D
6
B
C
9
∠ BFG=∠BFC=90ù
따라서 △GBFª△CBF (ASA 합동)이므로
BGÓ=BCÓ=9, ∠BGF=∠BCF
이때 ∠GEA=∠GCB (동위각)이므로
∠AGE=∠GEA
따라서 △AEG는 AEÓ=AGÓ인 이등변삼각형이므로
AEÓ=AGÓ=GBÓ-ABÓ=9-6=3
∴ AEÓ : EDÓ=3 : (9-3)=1 : 2
1 : 2
다른 풀이
△BCF에서 ∠FBC+∠FCB=90ù이고
∠ABC+∠BCD=180ù이므로
∠FCB=∠FCD
이때 ∠DEC=∠BCE (엇각)이므로 ∠DCE=∠DEC
즉 △DEC는 DCÓ=DEÓ=6인 이등변삼각형이다.
∴ AEÓ : EDÓ=(9-6) : 6=1 : 2
141 ∠ BAE=∠EFC (엇각), ∠BAE=∠MAE (접은 각)이므로
∠MAE=∠EFC
즉 △MAF는 MAÓ=MFÓ인 이등변삼각형이므로
MFÓ=MAÓ=ABÓ=7`cm
MCÓ=
DCÓ=
ABÓ=
`(cm)
;2!;
;2!;
;2&;
∴ CFÓ=MFÓ-MCÓ=7-
=
`(cm)
;2&;
;2&;
;2&;
`cm
142 ECÓ=x`cm라 하면 BEÓ=15-x`(cm)
∠ BEA=∠EAF (엇각)이므로 ∠BAE=∠BEA
즉 △BEA는 BAÓ=BEÓ인 이등변삼각형이므로
BAÓ=BEÓ=(15-x)`cm
이때 ABCD는 평행사변형이므로
15-x=11
∴ x=4
18 | 정답과 해설
144 오른쪽 그림과 같이 AEÓ, ODÓ를 그
으면
E
D
A
F
AOÓ=EDÓ, AOÓ∥EDÓ이므로
AODE는 평행사변형이다.
이때 ADÓ=BCÓ=20`cm이므로
14 cm
O
B
20 cm
C
∴ FDÓ+FOÓ=10+7=17`(cm)
17`cm
FDÓ=FAÓ=
ADÓ=
_20=10`(cm)
;2!;
;2!;
또 EOÓ=DCÓ=14`cm이므로
FOÓ=FEÓ=
EOÓ=
_14=7`(cm)
;2!;
;2!;
다른 풀이 OCDE는 평행사변형이므로
EDÓ=OCÓ=OAÓ, EDÓ∥OCÓ
△AOF와 △DEF에서
OAÓ=EDÓ, ∠AOF=∠DEF (엇각),
∠FAO=∠FDE (엇각)
따라서 △AOFª△DEF (ASA 합동)이므로
FDÓ=FAÓ=
ADÓ=
BCÓ=
_20=10`(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
FOÓ=FEÓ=
OEÓ=
CDÓ=
ABÓ=
_14=7`(cm)
;2!;
∴ FDÓ+FOÓ=10+7=17`(cm)
145 점 E는 △ABD의 내심이므로
또 점 F는 △CDB의 내심이므로
∠ DFB=90ù+
∠C
이때 ∠A=∠C이므로 ∠BED=∠DFB
한편 ∠EBF=
∠ABC이고
;2!;
;2!;
;2!;
∠BDF=∠CDF이므로 ∠EDF=
∠ADC
;2!;
이때 ∠ABC=∠ADC이므로 ∠EBF=∠EDF
따라서 EBFD는 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사
변형이다.
평행사변형
이때 점 M은 DCÓ의 중점이므로
∠BED=90ù+
∠A
146 ⑴ Ú △ABC와 △DBE에서
ABÓ=DBÓ, BCÓ=BEÓ,
∠ABC=60ù-∠EBA=∠DBE
∴ △ABCª△DBE (SAS 합동)
Û △ABC와 △FEC에서
ACÓ=FCÓ, BCÓ=ECÓ,
∠ACB=60ù-∠ECA=∠FCE
∴ △ABCª△FEC (SAS 합동)
⑵ △ABCª△DBEª△FEC이므로
DEÓ=ACÓ=AFÓ, EFÓ=BAÓ=DAÓ
따라서 DAFE는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행
사변형이다.
⑶ ∠DEF =∠DAF=360ù-(60ù+105ù+60ù)=135ù
⑴ △ABCª△DBE (SAS 합동),
△ABCª△FEC (SAS 합동)
⑵ 풀이 참조 ⑶ 135ù
다.
147 DEÓ∥BCÓ, FGÓ∥ACÓ, HIÓ∥BAÓ에서 AFPI, DBHP,
PGCE는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 모두 평행사변형이
사변형이므로
AFPI에서 FPÓ=AIÓ, IPÓ=AFÓ
DBHP에서 DPÓ=BHÓ, PHÓ=DBÓ
PGCE에서 PEÓ=GCÓ, PGÓ=ECÓ
따라서 색칠한 세 삼각형의 둘레의 길이의 합은 △ABC의 둘레
=
ABCD
의 길이와 같으므로
10+8+7=25`(cm)
25`cm
;2!;
;2!;
;2!;
따라서 △APMª△BCM (ASA 합동)이므로
△APM=△BCM=
MBCN
;2!;
=
_60=30`(cmÛ`)
;2!;
마찬가지 방법으로 △DNQª△CNB (ASA 합동)이므로
△DNQ=△CNB=
MBCN
;2!;
=
_60=30`(cmÛ`)
;2!;
∴ △OQP =△MON+△APM+AMND+△DNQ
=15+30+60+30=135`(cmÛ`)
135`cmÛ`
150 오른쪽 그림과 같이 EFÓ를 긋고
두 점 G, H를 각각 지나며 ADÓ에 평
행한 두 직선이 EFÓ와 만나는 점을
A
G
E
P
Q
D
H
각각 P, Q라 하면 DEÓ∥CFÓ,
B
F
C
DEÓ=CFÓ이므로 EFCD는 평행
사변형이다.
∴ ABÓ∥EFÓ∥DCÓ
따라서 AGPE, GBFP, QFCH, EQHD는 모두 평행
(색칠한 부분의 넓이)
=△AGE+△BFG+△CHF+△DEH
=
(AGPE+GBFP+QFCH+EQHD)
=
_48=24`(cmÛ`)
24`cmÛ`
151 △ABP+△CDP=
ABCD이므로
;2!;
148 PDÓ∥BQÓ이므로 PDÓ=BQÓ이면 PBQD는 평행사변형이 된다.
점 Q가 출발한 지 x초 후
60+△CDP=
_180
∴ △CDP=30`(cmÛ`)
;2!;
EFÓ∥DCÓ, EDÓ∥PGÓ∥FCÓ이므로 EPGD, PFCG는 모두 평
PDÓ=60-3(x+2)=54-3x`(cm),
BQÓ=60-4x`(cm)이므로
54-3x=60-4x
∴ x=6
행사변형이다.
따라서 △EPD=△DPG, △PFC=△PCG이므로
△EPD+△PFC =△DPG+△PCG
따라서 PBQD가 평행사변형이 되는 것은 점 Q가 출발한 지 6초
후이다.
6초
=△CDP
=30`cmÛ`
30`cmÛ`
149 AMND=MBCN=
ABCD
;2!;
=
_120=60`(cmÛ`)
;2!;
△MON=
MBCN
;4!;
;4!;
=
_60=15`(cmÛ`)
△APM과 △BCM에서
AMÓ=BMÓ, ∠PMA=∠CMB (맞꼭지각),
∠MAP=∠MBC (엇각)
STEP
3
고난도 문제
45쪽 ~46쪽
152 정오각형의 한 내각의 크기는
180ù_(5-2)
5
=108ù
∴ ∠EDC=108ù
3. 평행사변형 | 19
이때 △DEC는 DEÓ=DCÓ인 이등변삼각형이므로
ABCD
∠DEC=
_(180ù-108ù)=36ù
;2!;
∴ ∠ECF=∠DEC=36ù (엇각)
한편 △EAC는 EAÓ=ECÓ인 이등변삼각형이므로
∠ECA=∠EAC
이때 ∠EAC=∠ACB (엇각)이므로 ∠ECA=∠ACB
∴ ∠x=
∠ECF=
_36ù=18ù
;2!;
;2!;
B
H15$
y
C
O
30$
153 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A
에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H
A
라 하고 OHÓ를 그으면
OAÓ=OCÓ이므로 점 O는 직각삼
각형 AHC의 외심이다.
∴ OAÓ=OHÓ=OCÓ
△OHC에서 ∠OHC=∠OCH=30ù이므로
∠ AOH=30ù+30ù=60ù
△AHO에서
∠OAH=∠OHA=
_(180ù-60ù)=60ù
;2!;
OAÓ=AHÓ=OHÓ
따라서 △AHO는 정삼각형이므로
△OBC에서
∠AOB=15ù+30ù=45ù, ∠BOH=60ù-45ù=15ù
따라서 △BHO에서 ∠OBH=∠BOH=15ù이므로
즉 △ABH는 ∠BHA=90ù인 직각이등변삼각형이므로
∠BAH=∠ABH=45ù, ∠ABO=45ù-15ù=30ù
BHÓ=OHÓ=AHÓ
∴ ∠x=∠ABO=30ù (엇각),
∠y=∠BAO=45ù+60ù=105ù (엇각)
=AA'D'D+DD'C'C-(AA'B'B+BB'C'C)
=
_(12+16)_8+
(16+10)_12
;2!;
;2!;_
-
[;2!;
_(12+6)_12+
_(6+10)_8
;2!;
]
=112+156-(108+64)
=96`(cmÛ`)
96`cmÛ`
18ù
D
x
155
10 cm
B
A
12 cm
D
Q¡
C
Q™
14 cm
위의 그림과 같이 점 P가 두 점 B, C의 위치에 있을 때 ∠DAB의
이등분선과 BCÓ의 교점을 QÁ, ∠DAC의 이등분선과 BCÓ의 교점
을 Qª라 하면 ∠BAQÁ=∠DAQÁ=∠BQÁA (엇각)이므로
△BQÁA는 이등변삼각형이다.
∴ BQÁÓ=ABÓ=10`cm
또 ∠CAQª=∠DAQª=∠AQªC (엇각)이므로 △CQªA는 이등
변삼각형이다.
∴ CQªÓ=ACÓ=12`cm
따라서 점 Q가 움직인 거리는
QÁQªÓ =BQªÓ-BQÁÓ
=BCÓ+CQªÓ-BQÁÓ
=14+12-10
=16`(cm)
∠x=30ù, ∠y=105ù
156 오른쪽 그림과 같이 BCÓ의 중점을 N
이라 하고 MNÓ, NEÓ를 그으면
A
M
D
D
MNCD는 평행사변형이다.
MDÓ∥NCÓ, MDÓ=NCÓ이므로
B
N
A
12 cm
E 4 cm
C
4 cm
B
8 cm
6 cm
A'
D'
8 cm
B'
12 cm
F
10 cm
l
C'
이때 ADÓ=2ABÓ이므로
AMÓ=MDÓ=DCÓ=NCÓ=MNÓ
점 N은 직각삼각형 BEC의 외심이므로
NEÓ=NBÓ=NCÓ
㉠, ㉡에서
MNÓ=NCÓ=NEÓ
16`cm
C
32$
E
…… ㉠
…… ㉡
∠NME=∠MED=32ù (엇각)이므로
△NEM에서
∠NEM=∠NME=32ù
△NEC에서
∠NCE=∠NEC=32ù+32ù=64ù
따라서 ∠D=∠NCE=64ù (동위각)이고
∠AMN=∠D=64ù (동위각)이므로
∠ AME=64ù+32ù=96ù
96ù
154 오른쪽 그림과 같이 두 점 A,
B에서 DD'Ó, CC'Ó에 내린 수선
의 발을 각각 E, F라 하면
△AED와 △BFC에서
∠AED=∠BFC=90ù,
ADÓ=BCÓ,
ADÓ∥BCÓ, AEÓ∥BFÓ∥l이므로
∠DAE=∠CBF
∴ △AEDª△BFC (RHA 합동)
따라서 BFÓ=AEÓ=A'D'Ó=8`cm,
D'B'Ó =D'C'Ó-B'C'Ó=D'C'Ó-BFÓ
=12-8=4`(cm),
DEÓ =CFÓ=CC'Ó-FC'Ó=CC'Ó-BB'Ó
=10-6=4`(cm)
이므로
20 | 정답과 해설
ABÓ=DBÓ, BCÓ=BEÓ, ∠ABC=60ù+∠ABE=∠DBE
4
여러 가지 사각형
yy ㉠
BCÓ=ECÓ, ACÓ=FCÓ, ∠ACB=60ù-∠ECA=∠FCE
STEP
1
실력 문제
49쪽~54쪽
157 △ABC와 △DBE에서
∴ △ABCª△DBE (SAS 합동)
∴ DEÓ=ACÓ=AFÓ
또 △ABC와 △FEC에서
∴ △ABCª△FEC (SAS 합동)
∴ EFÓ=BAÓ=DAÓ
행사변형이다.
이때 ∠BDE=∠BAC=75ù이므로
∠ADE=∠AFE=75ù-60ù=15ù
∴ ∠ADE+∠AFE=15ù+15ù=30ù
㉠, ㉡에서 AFED는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평
yy ㉡
160 ACÓ=BDÓ이므로 2OAÓ=BDÓ에서
2(2x+1)=6x-2, 4x+2=6x-2
∴ x=2
-2x=-4
△OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OBC=∠OCB=35ù
∠ABO=90ù-35ù=55ù ∴ y=55
30ù
∴ xy=2_55=110
110
158 AMÓ∥NCÓ, AMÓ=NCÓ이므로 ANCM은 평행사변형이다.
오른쪽 그림과 같이 MNÓ 을 긋고,
M
A
D
MNÓ과 BDÓ의 교점을 O라 하면
OMÓ=ONÓ
△OEN과 △OFM에서
ONÓ=OMÓ, ∠EON=∠FOM (맞꼭지각),
F
E
O
B
N
C
또 MDÓ∥NCÓ, MDÓ=NCÓ이므로 MNCD는 평행사변형이다.
∠ENO=∠FMO (엇각)
∴ △OENª△OFM (ASA 합동)
∴ ENCF=△OEN+ ONCF
=△OFM+ ONCF
=△MNC=
MNCD
;2!;
=
_
;2!;
;2!;
ABCD
=
ABCD
;4!;
=
_100
;4!;
=25`(cmÛ`)
159 △ABD=
ABCD,
;2!;
△ABP+△PCD=△APD+△PBC
=
ABCD
;2!;
이므로
△ABD=△APD+△PBC=△APD+12
∴△BPD =△APD+△ABP-△ABD
=△APD+26-(△APD+12)
=26-12
=14`(cmÛ`)
161 △AEC에서 AEÓ=CEÓ이므로
∠EAC=∠ECA
또 ∠CAD=∠ECA (엇각)이므로
∠BAE=∠EAC=∠CAD=
_90ù=30ù
;3!;
따라서 △ABE에서
∠x=180ù-(30ù+90ù)=60ù
60ù
162 ② 평행사변형 ABCD가 마름모가 되기 위한 조건이다. ②
163 BCÓ=CDÓ이므로 ∠x=
_(180ù-132ù)=24ù
;2!;
△OBP에서 ∠BOP=180ù-(24ù+90ù)=66ù
∴ ∠y=∠BOP=66ù (맞꼭지각)
∠x=24ù, ∠y=66ù
164 ∠ODC=∠ODA=30ù이므로
∠ADC=2_30ù=60ù
DAÓ=DCÓ이므로
25`cmÛ`
∠DCA=∠DAC=
_(180ù-60ù)=60ù
;2!;
따라서 △ACD는 정삼각형이므로
ACÓ=DAÓ=DCÓ=ABÓ=32`cm
∴ OAÓ=
ACÓ=
_32=16`(cm)
;2!;
;2!;
16`cm
165 △ABP와 △ADQ에서
∠APB=∠AQD=90ù, ABÓ=ADÓ, ∠B=∠D
따라서 △ABPª△ADQ (RHA 합동)이므로
∠BAP=∠DAQ=180ù-(54ù+90ù)=36ù
이때 ∠BAD=180ù-54ù=126ù이므로
∠PAQ=126ù-(36ù+36ù)=54ù
또 △APQ는 APÓ=AQÓ인 이등변삼각형이므로
14`cmÛ`
∠APQ=
_(180ù-54ù)=63ù
;2!;
63ù
4. 여러 가지 사각형 | 21
166 ㉢ ∠AOB=90ù이면 ACÓ⊥BDÓ, 즉 평행사변형 ABCD는 두
대각선이 서로 수직이므로 마름모이다.
㉥ ∠BAC=∠BCA이면 ABÓ=BCÓ, 즉 평행사변형 ABCD는
173 Ú △ABC와 △DCB에서
ABÓ=DCÓ, ∠ABC=∠DCB, BCÓ는 공통
∴ △ABCª△DCB (SAS 합동) ➡ ㉢, ㉤
이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 마름모이다.
㉢, ㉥
Û △ABD와 △DCA에서
ADÓ는 공통, ABÓ=DCÓ, BDÓ=CAÓ
∴ △ABDª△DCA (SSS 합동) ➡ ㉣
Ü △ABO와 △DCO에서
∠OAB=∠ODC, ABÓ=DCÓ, ∠ABO=∠DCO
∴ △ABOª△DCO (ASA 합동) ➡ ㉡
⑴ ㉢, ㉤ ⑵ ㉠, ㉣
따라서 옳은 것은 ㉡, ㉢, ㉣, ㉤이다.
㉡, ㉢, ㉣, ㉤
167 ⑴ 직사각형이 정사각형이 되려면 이웃하는 두 변의 길이가 같
거나 두 대각선이 서로 수직이어야 한다.
⑵ 마름모가 정사각형이 되려면 한 내각이 직각이거나 두 대각선
의 길이가 같아야 한다.
168 △ADE는 ADÓ=AEÓ인 이등변삼각형이므로
∠DAE=180ù-(78ù+78ù)=24ù
∴ ∠BAE=90ù+24ù=114ù
이때 △ABE는 ABÓ=AEÓ인 이등변삼각형이므로
∠x=
_(180ù-114ù)=33ù
;2!;
33ù
169 △APD가 정삼각형이므로
∠APD=60ù, ∠BAP=∠CDP=90ù-60ù=30ù
△ABP에서 ABÓ=APÓ이므로
∠APB=
_(180ù-30ù)=75ù
;2!;
△DPC에서 DPÓ=DCÓ이므로
∠DPC=
_(180ù-30ù)=75ù
;2!;
∴ ∠BPC=360ù-(75ù+60ù+75ù)=150ù
150ù
170 ∠ BDC=45ù
△PBC가 정삼각형이므로 ∠PCB=60ù
∴ ∠PCD=90ù-60ù=30ù
이때 PCÓ=BCÓ=DCÓ이므로 △CDP는 이등변삼각형이다.
∴ ∠CDP=
_(180ù-30ù)=75ù
;2!;
∴ ∠x =∠CDP-∠BDC=75ù-45ù=30ù
30ù
ADÓ=CDÓ, ∠ADE=∠CDE=45ù, DEÓ는 공통
171 △AED와 △CED에서
따라서 △AEDª△CED (SAS 합동)이므로
∠ CED=∠AED=65ù
이때 ∠EBC=45ù이므로 ∠BCE=65ù-45ù=20ù
20ù
172 △EBC와 △FCD에서
EBÓ=FCÓ, ∠EBC=∠FCD=90ù, BCÓ=CDÓ
따라서 △EBCª△FCD (SAS 합동)이므로
∠ BEC=∠CFD
이때 ∠ECB+∠BEC=∠ECB+∠CFD=180ù-90ù=90ù
이므로 △FCG에서
∠FGC =180ù-(∠GFC+∠GCF)
=180ù-90ù=90ù
22 | 정답과 해설
174 ∠DAC=∠ACB=35ù (엇각)
△DAC는 DAÓ=DCÓ인 이등변삼각형이므로
∠ DCA=∠DAC=35ù
ABCD는 등변사다리꼴이므로
∠B=∠DCB=35ù+35ù=70ù
따라서 △ABC에서
∠BAC =180ù-(70ù+35ù)=75ù
75ù
B
E
C
F
14 cm
175 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서 BCÓ에
A
8 cm
D
내린 수선의 발을 F라 하면
EFÓ=ADÓ=8`cm
△ABE와 △DCF에서
∠AEB=∠DFC=90ù, ABÓ=DCÓ,
∠B=∠C
따라서 △ABEª△DCF (RHA 합동)이므로
BEÓ=CFÓ
∴ BEÓ=
_(14-8)=3`(cm)
;2!;
3 cm
176 오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나고
ABÓ에 평행한 직선을 그어 BCÓ와 만나
A
5 cm
D
7 cm
60$
60$
60$
60$
B
E
C
는 점을 E라 하면
∠DEC=∠B=60ù (동위각)
∠ C=∠B=60ù이므로 △DEC에서
∠EDC=180ù-(60ù+60ù)=60ù
즉 △DEC는 정삼각형이므로
ECÓ=DCÓ=ABÓ=7`cm
또 ABED는 평행사변형이므로
BEÓ=ADÓ=5`cm
∴ (ABCD의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CDÓ+DAÓ
=7+(5+7)+7+5
=31`(cm)
31 cm
90ù
177 ② 마름모는 직사각형이 아니고, 직사각형도 마름모가 아니다.
②
178 ㉠ ACÓ=BDÓ이면 ABCD는 직사각형이다.
㉣ ABÓ=ADÓ이면 ABCD는 마름모이다.
따라서 옳은 것은 ㉡, ㉢, ㉤이다.
㉡, ㉢, ㉤
179 ∠BAD+∠ABC=180ù이므로 (⑤)
∠AEB=90ù (③)
∴ ∠HEF=∠AEB=90ù (맞꼭지각)
마찬가지 방법으로
∠ EFG=∠FGH=∠GHE=90ù (④)
따라서 EFGH는 직사각형이므로 EFÓ=HGÓ (①)
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
②
AOÓ=COÓ, ∠AOE=∠COF=90ù, ∠EAO=∠FCO (엇각)
180 △AOE와 △COF에서
따라서 △AOEª△COF (ASA 합동)이므로
EOÓ=FOÓ
즉 AFCE는 ACÓ⊥EFÓ, AOÓ=COÓ, EOÓ=FOÓ이므로 마름모
이다.
∴ AFÓ=FCÓ =BCÓ-BFÓ=10-3=7`(cm)
7`cm
181 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하는 사각형은 ㉡, ㉢, ㉣, ㉤
의 4개이므로 x=4
두 대각선의 길이가 같은 사각형은 ㉣, ㉤, ㉥의 3개이므로 y=3
두 대각선이 서로 수직인 사각형은 ㉢, ㉤의 2개이므로 z=2
∴ x+y-z=4+3-2=5
5
APÓ=CRÓ, ∠A=∠C, ASÓ=CQÓ
182 △APS와 △CRQ에서
따라서 △APSª△CRQ (SAS 합동)이므로
마찬가지로 △BQPª△DSR (SAS 합동)이므로
PQÓ=RSÓ
PSÓ=RQÓ
따라서 PQRS는 평행사변형이므로 옳은 것은
③ ∠SPQ=∠SRQ이다.
이때 △AEC=
_4_5=10`(cmÛ`)이므로
;2!;
185 ACÓ∥DEÓ이므로 △ACD=△ACE
∴ ABCD =△ABC+△ACD
=△ABC+△ACE
=△ABE
=
_(9+3)_6
;2!;
=36`(cmÛ`)
186 ① △ABE=
_6_5=15`(cmÛ`)
;2!;
② AEÓ∥DCÓ이므로
△AED=△AEC
ABED=△ABE+△AED
=△ABE+△AEC
=15+10=25`(cmÛ`)
③ △AOD =△AED-△AEO
=△AEC-△AEO
=△ECO
④ AEÓ∥DCÓ이므로 △DAC=△DEC
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
187 오른쪽 그림과 같이 DFÓ를 그으면
BEÓ : EFÓ=3 : 5이므로
△DEF=
;3%;△DBE
=
_9=15`(cmÛ`)
;3%;
DCÓ∥AFÓ이므로
△ADC=△FDC
∴ ADEC =△DEC+△ADC
=△DEC+△FDC
=△DEF=15`cmÛ`
188 AEÓ : ECÓ=3 : 2이므로
△ADC=
△EDC
36`cmÛ`
⑤
A
D
B
E
C
F
15`cmÛ`
;2%;
;2%;
③
=
_10=25`(cmÛ`)
BDÓ : DCÓ=4 : 1이므로
△ABC =5△ADC
183 등변사다리꼴의 각 변의 중점을 차례로 연결하여 만든 사각형은
마름모이다.
=5_25=125`(cmÛ`)
125`cmÛ`
따라서 마름모에 대한 설명으로 옳은 것은 ㉠, ㉡, ㉣, ㉥이다.
189 △ABD=△CDB
㉠, ㉡, ㉣, ㉥
184 ACÓ∥DEÓ이므로 △ACE=△ACD
∴ △ACE =△ACD
=ABCD-△ABC
=36-20=16`(cmÛ`)
△AMN=
;3!;△ABD
16`cmÛ`
=
_48=16`(cmÛ`)
;3!;
=
ABCD
;2!;
;2!;
=
_96=48`(cmÛ`)
4. 여러 가지 사각형 | 23
190 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면
A
D
△CNM=
;3!;△CDB
=
_48=16`(cmÛ`)
;3!;
∴ AMCN =△AMN+△CNM
=16+16=32`(cmÛ`)
△ABC=
ABCD
;2!;
=
_60=30`(cmÛ`)
;2!;
△AEC =△ABC-△ABE
=30-12=18`(cmÛ`)
∴ BEÓ : ECÓ =△ABE : △AEC
191 △ABC=△DBC에서
△ABO+△OBC=△OCD+△OBC
∴ △ABO=△OCD=20`cmÛ`
이때 BOÓ : DOÓ=3 : 2이므로
△ABO : △AOD=3 : 2
∴ △AOD=
;3@;△ABO
ABÓ=ECÓ=3k, BEÓ=CFÓ=2k, ∠B=∠C=90ù
△ABE와 △ECF에서
따라서 △ABEª△ECF (SAS 합동)이므로
AEÓ=EFÓ, ∠AEB=∠EFC
32`cmÛ`
∴ ∠AEF=180ù-(∠AEB+∠FEC)
=180ù-(∠EFC+∠FEC)
=180ù-90ù=90ù
따라서 △AEF는 ∠AEF=90ù이고, AEÓ=EFÓ인 직각이등변
B
E
C
삼각형이므로
∠AFE=
_(180ù-90ù)=45ù
;2!;
45ù
195 오른쪽 그림과 같이 점 E를 지나고
ABÓ에 평행한 직선이 ADÓ, BCÓ와 만나
는 점을 각각 F, G라 하면 두 점 M, E
는 각각 ABÓ, FGÓ의 중점이므로
F
A
M
E
B
G
D
N
C
△AME=
AMEF
=
ABGF
;2!;
;4!;
다른 색칠한 부분의 넓이도 마찬가지 방법으로 구할 수 있다.
따라서 직사각형 ABCD의 넓이는 색칠한 부분의 넓이의 합의
=12 : 18=2 : 3
2:3
=
_20=
`(cmÛ`)
;3@;
:¢3¼:
:¢3¼:
`cmÛ`
4배이므로
ABCD=4_9=36`(cmÛ`)
36`cmÛ`
192 OBÓ : ODÓ=△ABO : △AOD=30 : 15=2 : 1이고
△DOC=△ABO=30`cmÛ`이므로
△BCO : △DOC=OBÓ : ODÓ=2 : 1에서
△BCO : 30=2 : 1
∴ △DBC =△DOC+△BCO
=30+60=90`(cmÛ`)
∴ △BCO=60`(cmÛ`)
196 ∠BAD=∠C=96ù
이때 △ABP가 정삼각형이므로 ∠BAP=60ù
∴ ∠PAD=96ù-60ù=36ù
또한 APÓ=ABÓ=ADÓ이므로 △APD는 이등변삼각형이다.
90`cmÛ`
∴ ∠APD=
_(180ù-36ù)=72ù
;2!;
72ù
197 ∠BCF=∠DEF (엇각), ∠BFC=∠DFE (맞꼭지각)이고,
△DEF에서 ∠DEF=∠DFE이므로
∠BCF=∠BFC
따라서 △BCF는 이등변삼각형이므로
BFÓ=BCÓ=CDÓ=12`cm
이때 DFÓ=DEÓ=12-5=7`(cm)이므로
BDÓ=BFÓ+DFÓ=12+7=19`(cm)
19`cm
198 △AEB에서 AEÓ=ABÓ이므로
∠AEB=∠ABE=55ù
∴ ∠EAB=180ù-(55ù+55ù)=70ù
한편 AEÓ=ABÓ=ADÓ이므로 △AED는 AEÓ=ADÓ인 이등변삼
각형이다.
즉 ∠EAD=70ù+90ù=160ù이므로
∠ADE=∠AED=
_(180ù-160ù)=10ù
;2!;
D
F
2k
C
B
2k
E
3k
5k
따라서 △DAF에서
∠DFB=10ù+90ù=100ù
100ù
STEP
2
심화 문제
55쪽~60쪽
∠DFE=180ù-57ù=123ù
123ù
193 △ABE에서
∠AEB=180ù-(24ù+90ù)=66ù이고
∠AEF=∠FEC (접은 각)이므로
∠FEC=
_(180ù-66ù)=57ù
;2!;
이때 ∠AFE=∠FEC=57ù (엇각)이므로
194 오른쪽 그림과 같이 AEÓ를 긋고
ABÓ=3k라 하면 CFÓ=2k
ABÓ : BCÓ=3 : 5이므로 BCÓ=5k
A
3k
BEÓ : ECÓ=2 : 3이므로
BEÓ=2k, ECÓ=3k
24 | 정답과 해설
∠x=80ù, ∠y=20ù
199 ∠ DBC=45ù이므로
△EBF에서 ∠x=45ù+35ù=80ù
한편 △ABE와 △CBE에서
따라서 △ABEª△CBE (SAS 합동)이므로
∠ BEC=∠BEA=80ù
ABÓ=CBÓ, ∠ABE=∠CBE=45ù, BEÓ는 공통
∴ ∠y=180ù-(80ù+80ù)=20ù
200 △OBE와 △OCF에서
∠ BOE=90ù-∠EOC=∠COF, OBÓ=OCÓ,
∠ OBE=∠OCF=45ù
따라서 △OBEª△OCF (ASA 합동)이므로
OECF=△OEC+△OCF
=△OEC+△OBE
=△OBC
=
ABCD
;4!;
;4!;
=
_10_10=25`(cmÛ`)
∴ (색칠한 부분의 넓이) =ABCD-OECF
=10_10-25=75`(cmÛ`) 75`cmÛ`
201 GBÓ=BCÓ=CGÓ이므로 △GBC는 정삼각형이다.
즉 ∠GBC=60ù
이때 접은 각의 크기는 같으므로
∠ABH=∠GBH=
∠ABG=
_(90ù-60ù)=15ù
;2!;
;2!;
△HBG에서
∠GHB=180ù-(90ù+15ù)=75ù
∠ AHB=∠GHB=75ù (접은 각)
∴ ∠EHG=180ù-(75ù+75ù)=30ù
30ù
202 오른쪽 그림과 같이 CDÓ의 연장선 위에
BEÓ=DGÓ가 되도록 점 G를 잡으면
△ABE와 △ADG에서
ABÓ=ADÓ, BEÓ=DGÓ,
∠ABE=∠ADG=90ù
따라서 △ABEª△ADG (SAS 합동)이
므로 AEÓ=AGÓ, ∠BAE=∠DAG
A
B
45$
66$
E
△AFG와 △AFE에서
AGÓ=AEÓ, AFÓ는 공통,
∠GAF =∠GAD+∠DAF
=∠EAB+∠DAF
=90ù-45ù=45ù
=∠EAF
따라서 △AFGª△AFE (SAS 합동)이므로
∠AFD=∠AFE=180ù-(66ù+45ù)=69ù
G
D
F
C
203 ∠ DCA=∠x라 하면
ADÓ=DCÓ이므로 ∠DAC=∠DCA=∠x
ADÓ∥BCÓ이므로 ∠ACB=∠DAC=∠x (엇각)
이때 ABCD는 등변사다리꼴이므로
∠ B=∠DCB=∠x+∠x=2∠x
△ABC에서 ACÓ=BCÓ이므로
∠CAB=∠B=2∠x
따라서 △ABC에서 2∠x+2∠x+∠x=180ù이므로
∴ ∠x=36ù
5∠x=180ù
∴ ∠B+∠DCA =2∠x+∠x=3∠x
=3_36ù=108ù
108ù
204 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ABÓ
와 평행한 직선을 그어 BCÓ와 만나는
A
D
점을 E라 하면 ABED는 평행사변
B
C
O
E
형이다.
또 ABÓ=ADÓ, BCÓ=2ADÓ이므로 ABED는 마름모, △DEC는
정삼각형이다. 이때 ∠DEC=60ù이므로
∠ ABE=∠DEC=60ù (동위각)
∴ ∠ABD=∠DBC=30ù
△ABD와 △DCA에서
ABÓ=DCÓ, ∠BAD=∠CDA, ADÓ는 공통
따라서 △ABDª△DCA (SAS 합동)이므로
∠DCA=∠ABD=30ù
∴ ∠ACE=60ù-30ù=30ù
따라서 △OBC에서
∠AOB=30ù+30ù=60ù
60ù
36ù
205 마름모 ABCD에서 ACÓ=BDÓ이므로 ABCD는 정사각형
이다.
따라서 ∠BAC=45ù, ∠BCA=45ù이므로
∠EAC=45ù-27ù=18ù
이때 △AEC는 AEÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로
∠ ACE=
_(180ù-18ù)=81ù
;2!;
∴ ∠BCE=81ù-45ù=36ù
206 △ABH와 △DFH에서
ABÓ=DFÓ, ∠ABH=∠DFH (엇각),
∠BAH=∠FDH (엇각)
따라서 △ABHª△DFH (ASA 합동)이므로
마찬가지 방법으로 △ABGª△ECG (ASA 합동)이므로
AHÓ=DHÓ
BGÓ=CGÓ
이때 ADÓ=BCÓ이므로 AHÓ=BGÓ
ADÓ=2ABÓ이므로 AHÓ=ABÓ
∴ ABÓ=AHÓ=BGÓ=GHÓ
69ù
따라서 ABGH는 마름모이다.
4. 여러 가지 사각형 | 25
△ABP에서 ∠APB=90ù이므로
∠BAP=180ù-(40ù+90ù)=50ù
∴ ∠E=∠BAP=50ù (엇각)
50ù
207 ⑴ ∠DBC=∠EDB=∠x (엇각),
∠EBD=∠DBC=∠x (접은 각)이므로
△EBD에서
∠x+∠x=44ù, 2∠x=44ù
∴ ∠x=22ù
⑵ △C'ED에서
∠C'DE=180ù-(90ù+44ù)=46ù
∠AEB=∠C'ED=44ù (맞꼭지각)이므로
△ABE에서
∠ABE=180ù-(90ù+44ù)=46ù
△ABE와 △C'DE에서
ABÓ=C'DÓ, ∠EAB=∠EC'D=90ù,
∠ABE=∠C'DE=46ù
따라서 △ABEª△C'DE (ASA 합동)이므로
AEÓ=C'EÓ
△AEC'에서
∠EAC'=∠EC'A이고, ∠EAC'+∠EC'A=44ù이므로
∠EAC'=∠EC'A=22ù
이때 ∠EAC'=∠EDB=22ù이므로
AC'Ó∥BDÓ
또 ∠ABD=∠C'DB=46ù+22ù=68ù
따라서 ABDC'은 등변사다리꼴이다.
D
210 ② ABÓ∥CDÓ이므로 △DEB=△CEB
③ BDÓ∥EFÓ이므로 △EBD=△FBD
④ BDÓ∥EFÓ이므로 △FED=△FEB
∴ △AED =△AEF+△FED
=△AEF+△FEB
=△ABF
따라서 옳지 않은 것은 ①, ⑤이다.
①, ⑤
211 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면
△AED= 2
2+5
_△ABD
A
E
B
F
C
=
_
;7@;
;2!;
ABCD
=
ABCD
;7!;
△DFC= 1
4+1
_△DBC
=
_
;5!;
;2!;
ABCD
=
;1Á0;
ABCD
∴ △AED : △DFC=
ABCD :
ABCD
;1Á0;
;7!;
=10 : 7
10:7
⑴ 22ù ⑵ 등변사다리꼴
212 오른쪽 그림과 같이 ACÓ, BDÓ, DEÓ
를 그으면
A
D
△ABE=
;2!;△ABC
B
E
F
C
208 ACÓ∥DEÓ이므로
∠DEC=∠ACB (동위각), ∠EDC=∠ACD (엇각)
따라서 △CED는 이등변삼각형이므로
한편 △ABC의 높이를 h`cm라 하면
CEÓ=CDÓ=8`cm
_10_h=20
∴ h=4
∴ ABCD=△ABC+△ACD
=△ABC+△ACE
=20+
_8_4
;2!;
;2!;
209 △AED=△BED이므로
△AFD=△BEF
△ABD=△ABF+△AFD
△BCD =△BCE+△BEF+△DFE
이때 △ABD=△BCD이므로
△ABF+△AFD=△BCE+△BEF+△DFE
16=13+△DFE
∴ △DFE=3
26 | 정답과 해설
=
_
;2!;
;2!;
ABCD
=
ABCD
=
_80=20`(cmÛ`)
;4!;
;4!;
△AFD=
;4#;△ACD
=
_
;4#;
;2!;
ABCD=
ABCD
;8#;
=
_80=30`(cmÛ`)
;8#;
=
_
;2!;△DBC=
;8!;△DBC
;4!;
=
_
;8!;
;2!;
ABCD=
ABCD
;1Á6;
=
;1Á6;
_80=5`(cmÛ`)
∴ △AEF=ABCD-(△ABE+△AFD+△ECF)
3
=80-(20+30+5)
=25`(cmÛ`)`
25`cmÛ`
=20+16=36`(cmÛ`)
36`cmÛ`
△ECF=
;4!;△DEC
213 ADÓ : DBÓ=2 : 3이므로
△DBC=
3
2+3 △ABC=
;5#;
_35=21`(cmÛ`)
BCÓ∥DEÓ이므로 △DBC=△EBC
∴ △OCE =△EBC-△OBC
=△DBC-△OBC
=△DBO=
2
2+5 △DBC
=
_21=6`(cmÛ`)
;7@;
6`cmÛ`
214 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면
AFÓ∥BCÓ이므로
△DBF=△DCF
∴ △DBE =△DBF-△DEF
=△DCF-△DEF
=△ECF=4`cmÛ`
A
F
D
E
B
C
이때 △DBE : △EBC=DEÓ : CEÓ=1 : 3이므로
△EBC=3△DBE=3_4=12`(cmÛ`)
즉 △DBC=△DBE+△EBC=4+12=16`(cmÛ`)이므로
ABCD=2△DBC=2_16=32`(cmÛ`)
32`cmÛ`
215 △ABE=AECF=△AFD이므로
△ABE=AECF=△AFD=
ABCD
;3!;
오른쪽 그림과 같이 대각선 AC를 그
A
15 cm
D
으면
△ABE=
ABCD
;3!;
;3!;
=
_2△ABC=
△ABC
;3@;
BEÓ : BCÓ=△ABE : △ABC=2 : 3이므로
BEÓ=
BCÓ=
_15=10`(cm)
;3@;
;3@;
12 cm
F
B
E
C
△AFD=
ABCD=
_2△ACD=
△ACD
;3!;
;3@;
FDÓ : CDÓ=△AFD : △ACD=2 : 3이므로
;3!;
FDÓ=
CDÓ=
_12=8`(cm)
;3@;
;3@;
∴ BEÓ+FDÓ=10+8=18`(cm)
18`cm
216 오른쪽 그림과 같이 AEÓ를 그어
서 CDÓ와 만나는 점을 F라 하면
A
D
F
△AFD와 △EFC에서
ADÓ=ECÓ,
∠DAF=∠CEF (엇각),
∠ADF=∠ECF (엇각)
따라서 △AFDª△EFC (ASA 합동)이므로
△AFD=△EFC
B
M
C
E
∴ ABCD =ABCF+△AFD
=ABCF+△EFC
=△ABE
이때 BMÓ=MEÓ이므로
△ABM=△AME=
ABCD
;2!;
=
_40=20`(cmÛ`)
;2!;
∴ AMCD=AMCF+△AFD
=AMCF+△EFC
=△AME=20`cmÛ`
STEP
3
고난도 문제
217 색종이를 2번 접었더니 오른쪽 그림
과 같이 완전히 포개어졌으므로
A
∠ABE=∠EBG=∠GBC
=
∠ABC=
_90ù=30ù
;3!;
;3!;
GCÓ를 그으면 ∠BGC=90ù이므로
△GBC에서
∠GCB=180ù-(90ù+30ù)=60ù
∴ ∠GCF=90ù-60ù=30ù
이때 △EDF와 △EGF에서
∠EDF=∠EGF=90ù, EFÓ는 공통,
20`cmÛ`
61쪽~62쪽
30∞
E
30∞
D
F
30∞
30∞
30∞
B
G
60∞
30∞
C
GBÓ=DCÓ, ∠BGE=∠CDE=90ù, ∠EBG=∠ECD=30ù
∠DEF=∠GEF=∠GCF=30ù
이므로 △EDFª△EGF (RHA 합동)
또 △EGF와 △CGF는 접은 도형이므로 △EGFª△CGF
따라서 △EDF=a라 하면 △ECD=3△EDF=3a
한편 △EBG와 △ECD에서
이므로 △EBGª△ECD ( ASA 합동)
∴ △EBG=△ECD=3a
이때 △EBAª△CBGª△EBG이므로
ABCE=3△EBG=3_3a=9a
∴ ABCD=ABCE+△ECD=9a+3a=12a
이때 12a=120이므로 a=10
∴ EBFD =△EBG+△EGF+△EDF
=3a+a+a=5a=5_10=50
218 오른쪽 그림과 같이 PAÓ, PBÓ, PCÓ, PDÓ
A
H
를 그으면
ABCD
= △PAB+△PBC+△PCD+△PDA
P
15
E
18
B F
=
_15_PEÓ
+
_15_PFÓ
}
{;2!;
}
{;2!;
+
{;2!;
_15_PGÓ
+
_15_PHÓ
}
{;2!;
=
(PEÓ+PFÓ+PGÓ+PHÓ)
:Á2°:
50
D
G
24
C
}
4. 여러 가지 사각형 | 27
이때 ABCD=
_24_18=216이므로
;2!;
(PEÓ+PFÓ+PGÓ+PHÓ)=216
:Á2°:
∴ PEÓ+PFÓ+PGÓ+PHÓ= 144
5
219 오른쪽 그림과 같이 DAÓ의 연장선 위에
CEÓ=AGÓ가 되도록 점 G를 잡으면
AG
F
△GBA와 △EBC에서
GAÓ=ECÓ, ABÓ=CBÓ, ∠GAB=∠ECB=90ù
따라서 △GBAª△EBC (SAS 합동)이므로
△GBF와 △EBF에서
GBÓ=EBÓ, BFÓ는 공통,
GBÓ=EBÓ, ∠GBA=∠EBC
∠GBF =∠GBA+∠ABF
=∠EBC+∠ABF
=90ù-45ù=45ù=∠EBF
∴ △GBFª△EBF`(SAS 합동)
따라서 EFÓ=GFÓ=GAÓ+AFÓ=ECÓ+AFÓ이므로
(△DFE의 둘레의 길이) =DFÓ+FEÓ+EDÓ
=DFÓ+(ECÓ+AFÓ)+EDÓ
=(DFÓ+AFÓ)+(ECÓ+EDÓ)
=ADÓ+DCÓ
=10+10=20`(cm)
20`cm
222 ACÓ∥BFÓ이므로 △ABC=△AFC
ADÓ∥EGÓ이므로 △ADE=△ADG
∴ (오각형 ABCDE의 넓이)
=△ABC+△ACD+△ADE
=△AFC+△ACD+△ADG
=△AFG
이때 △AFG=24`cmÛ`이고 FCÓ=CDÓ=DGÓ이므로
△AFC=△ACD=△ADG=
;3!;△AFG
=
_24=8`(cmÛ`)
;3!;
∴ ABCD =△AFD=△AFC+△ACD
144
5
D
E
C
45$
B
=8+8=16`(cmÛ`)
16`cmÛ`
D
P
C
A
B
Q
O
223 오른쪽 그림과 같이 QCÓ를 긋고
△QOC=a, △QCP=b라 하면
OAÓ=OCÓ이므로
△AOQ=△QOC=a
△QCD에서 CPÓ : PDÓ=1 : 3이므로
△QPD=3△QCP=3b
또 △ACD에서 CPÓ : PDÓ=1 : 3이므로
△APD=3△ACP=3(2a+b)=6a+3b
△APD=△AQD+△QPD에서
이때 △AOD=△AOQ+△AQD=a+6a=7a이고
6a+3b=△AQD+3b
∴ △AQD=6a
220 △PAD+△PBC=△PAB+△PCD이므로
△AOD=
;4!;
ABCD=
_168=42이므로
△PAD+△PBC=
ABCD
;2!;
또 △PAD+△PED=△AED=
ABCD이므로
;2!;
△PAD+△PBC=△PAD+△PED
∴ △PED=△PBC=24`cmÛ`
한편 △PAD : △PED=APÓ : PEÓ=2 : 3이므로
△PAD : 24=2 : 3
∴ △PAD=16`(cmÛ`) 16`cmÛ`
7a=42
∴ a=6
한편 △DOC=a+4b=6+4b이고
△DOC=
;4!;
ABCD=
_168=42이므로
;4!;
;4!;
6+4b=42, 4b=36
∴ OCPQ =△QOC+△QCP
=a+b=6+9=15
∴ b=9
221 AEÓ : EDÓ=1 : 2이므로 AEÓ=18_ 1
1+2
=6`(cm)
오른쪽 그림과 같이 EGÓ와 CGÓ를
18 cm
E
A
그으면
12 cm
G
EFÓ=CFÓ이므로
△EGF=△FGC
AGFE=GBCF에서
△AGE+△EGF=△FGC+△GBC
∴ △AGE=△GBC
이때 GBÓ=x`cm라 하면 AGÓ=(12-x)`cm이므로
B
F
D
C
_6_(12-x)=
_18_x
;2!;
;2!;
36-3x=9x, 12x=36
∴ x=3
∴ GBÓ=3`cm
3`cm
224 오른쪽 그림과 같이 APÓ를 긋고
△AEP=x, △APD=y라 하면
△PBC`:`△PCD =21 : 14=3 : 2
이므로 BPÓ : PDÓ=3 : 2
즉 △ABP : △APD=3 : 2이므로
또 △BPE`:`△BCP=7 : 21=1 : 3이므로
즉 △AEP : △APC=1 : 3이므로
∴ 2(7+x)=3y
x : (y+14)=1 : 3
(7+x) : y=3 : 2
∴ 3x=y+14
EPÓ : PCÓ=1 : 3
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 x=8, y=10
∴ AEPD =△AEP+△APD
=x+y=8+10=18
15
A
P
D
E
B
C
yy ㉠
yy ㉡
18
28 | 정답과 해설
5
도형의 닮음
STEP
1
실력 문제
65쪽~67쪽
225 ㉠ CDÓ : GHÓ=BCÓ : FGÓ에서
CDÓ : 6=12 : 8
∴ CDÓ=9
㉡ ∠G의 크기는 알 수 없다.
㉣ BCÓ : FGÓ=12 : 8=3 : 2이므로 ABCD와 EFGH의 닮
음비는 3 : 2이다.
따라서 옳은 것은 ㉢, ㉣이다.
㉢, ㉣
226 CDÓ : 12=2 : 3에서 CDÓ=8`(cm)
즉 ABCD의 둘레의 길이는
6+8+8+4=26`(cm)
이때 EFGH의 둘레의 길이를 x`cm라 하면
26 : x=2 : 3 ∴ x=39
따라서 EFGH의 둘레의 길이는 39`cm이다.
39`cm
227 △ABC와 △ACD의 닮음비는
ABÓ : ACÓ=9 : 6=3 : 2이므로
BCÓ : CDÓ=3 : 2에서 12 : CDÓ=3 : 2
∴ CDÓ=8
ACÓ : ADÓ=3 : 2에서 6 : ADÓ=3 : 2
∴ ADÓ=4
따라서 BDÓ=ABÓ-ADÓ=9-4=5이므로
(△BCD의 둘레의 길이) =BCÓ+CDÓ+BDÓ
=12+8+5=25
231 △ABC와 △AED에서
∠A는 공통, ABÓ : AEÓ=ACÓ : ADÓ=2 : 1
∴ △ABC»△AED (SAS 닮음)
BCÓ : EDÓ=2 : 1에서 x : 6=2 : 1
∴ x=12
12
232 △ABC와 △EBD에서
∠B는 공통, ∠BCA=∠BDE
∴ △ABC»△EBD (AA 닮음)
ABÓ : EBÓ=BCÓ : BDÓ에서 20 : 10=(10+x) : 12
10(10+x)=240, 10x=140
∴ x=14
ACÓ : EDÓ=ABÓ : EBÓ에서
y : 6=20 : 10
∴ y=12
x=14, y=12
233 △ABC와 △DEC에서
∠BAC=∠EDC=90ù, ∠C는 공통
∴ △ABC»△DEC (AA 닮음)
ACÓ : DCÓ=BCÓ : ECÓ에서 (AEÓ+5) : 4=(6+4) : 5
5(AEÓ+5)=40, 5AEÓ=15
∴ AEÓ=3`(cm)
3`cm
234 △ABD»△ACE»△FBE
»△FCD (AA 닮음)
따라서 나머지 네 개의 삼각형과 닮은 삼
각형이 아닌 것은 ③ △BCD이다.
E
A
F
B
D
C
③
235 ABÓ Û`=BDÓ_BCÓ에서 15Û`=9_BCÓ
이때 CDÓ=BCÓ-BDÓ=25-9=16
∴ BCÓ=25
25
ACÓ Û`=CDÓ_CBÓ에서 ACÓ Û`=16_25=400
∴ ACÓ=20 (∵ ACÓ>0)
20
① ABÓ : A'B'Ó=6 : 3=2 : 1이므로 두 삼각기둥의 닮음비는
228
2 : 1이다.
② 면 ADEB에 대응하는 면은 면 A'D'E'B'이다.
③ ADÓ : A'D'Ó=2 : 1에서 10 : A'D'Ó=2 : 1
∴ A'D'Ó=5
④ BCÓ : B'C'Ó=2 : 1에서 BCÓ : 2=2 : 1
∴ BCÓ=4
⑤ ACÓ : A'C'Ó=2 : 1에서 ACÓ : 4=2 : 1
∴ ACÓ=8 ②
229 처음 원뿔과 밑면에 평행한 평면으로 잘랐을 때 생기는 작은 원
236 ABÓ Û`=BDÓ_BCÓ에서
4Û`=BDÓ_8
∴ BDÓ=2
이때 CDÓ=BCÓ-BDÓ=8-2=6
△ABC와 △EDC에서
∠BAC=∠DEC=90ù, ∠C는 공통
∴ △ABC»△EDC (AA 닮음)
ABÓ : DEÓ=BCÓ : DCÓ에서
뿔의 닮음비는 (20+15) : 20=7 : 4
4 : DEÓ=8 : 6
∴ DEÓ=3
3
처음 원뿔의 밑면인 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
r : 8=7 : 4
∴ r=14
따라서 처음 원뿔의 밑면인 원의 반지름의 길이는 14`cm이므로
237 △ABC에서 AGÓ Û`=GBÓ_GCÓ이므로
AGÓ Û`=16_4=64
∴ AGÓ=8 (∵ AGÓ>0)
구하는 넓이는 p_14Û`=196p`(cmÛ`)
196p`cmÛ`
점 M이 직각삼각형 ABC의 외심이므로
230 ① △ABC에서 ∠A=80ù이면
∠C=180ù-(80ù+45ù)=55ù
따라서 ∠C=∠F=55ù, ∠B=∠E=45ù이므로
△ABC»△DEF (AA 닮음)
MAÓ=MBÓ=MCÓ=
BCÓ=
_(16+4)=10
;2!;
;2!;
∴ MGÓ=BGÓ-MBÓ=16-10=6
이때 △AMG에서 MGÓ_AGÓ=AMÓ_GHÓ이므로
①
6_8=10_GHÓ
∴ GHÓ=
:ª5¢:
:ª5¢:
5. 도형의 닮음 | 29
Ó=7+8=15`(cm)
238 ADÓ=EDÓ=7`cm이므로 ABÓ
∴ ECÓ=BCÓ-BEÓ=15-5=10`(cm)
△DBE와 △ECF에서
∠B=∠C=60ù, ∠BDE =180ù-(60ù+∠BED)=∠CEF
∴ △DBE»△ECF (AA 닮음)
DBÓ : ECÓ=DEÓ : EFÓ에서
243 ABCD가 마름모이므로 BCÓ=ABÓ=15 cm
∴ CEÓ=BCÓ-BEÓ=15-12=3`(cm)
△ABE와 △FCE에서
∠BAE=∠CFE (엇각), ∠ABE=∠FCE (엇각)
∴ △ABE»△FCE (AA 닮음)
ABÓ : FCÓ=BEÓ : CEÓ에서
8 : 10=7 : EFÓ
∴ EFÓ=
`(cm)
:£4°:
15 : FCÓ=12 : 3
∴ FCÓ=
`(cm)
:Á4°:
:Á4°:
`cm
길이를 b라 하면 A4 용지의 짧
b
A4
∴ (△DEF의 둘레의 길이)=DEÓ+EFÓ+DFÓ
∴ AFÓ=EFÓ=
cm
:£4°:`
:£4°:
`cm
239 △ABC'과 △DC'E에서
∠A=∠D=90ù, ∠ABC'=90ù-∠AC'B=∠DC'E
∴ △ABC'»△DC'E (AA 닮음)
ABÓ : DC'Ó=AC'Ó : DEÓ에서
8 : 4=AC'Ó : (8-5)
∴ AC'Ó=6
∴ BCÓ=ADÓ=AC'Ó+C'DÓ=6+4=10
10
68쪽~71쪽
a
1
2
1
4
1
4
b
b
b
A5
A7
A8
1
8
a
A6
1
4
a
STEP
2
심화 문제
240 오른쪽 그림과 같이 A3 용지
의 긴 변의 길이를 a, 짧은 변의
은 변의 길이는
a, 긴 변의 길
;2!;
이는 b이다.
이때 A8 용지의 짧은 변의 길이
1
2
a
는
a, 긴 변의 길이는
b이므로 구하는 닮음비는
;8!;
;4!;
a :
a=b :
b=4 : 1
;2!;
;8!;
;4!;
4 : 1
241 물의 높이는 18_
=12 (cm)
;3@;
그릇과 물이 담긴 부분의 닮음비는 3 : 2이므로
수면이 이루는 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
12 : r=3 : 2
∴ r=8
따라서 수면이 이루는 원의 반지름의 길이는 8`cm이므로
물의 부피는
p_8Û`_12=256p`(cmÜ`)
256p`cmÜ`
;3!;_
242 △ABC와 △BDC에서
∠C는 공통, ACÓ : BCÓ=BCÓ : DCÓ=3 : 2
∴ △ABC»△BDC (SAS 닮음)
ABÓ : BDÓ=3 : 2에서
30 | 정답과 해설
∠A는 공통, BCÓ∥FEÓ이므로 ∠ABC=∠AFE (동위각)
244 △ABC와 △AFE에서
∴ △ABC»△AFE ( AA 닮음)
BFÓ=FEÓ=x`cm라 하면 AFÓ=(10-x)`cm이고
ABÓ : AFÓ=BCÓ : FEÓ에서 10 : (10-x)=14 : x
10x=14(10-x), 24x=140
∴ x=
:£6°:
∴ BFÓ=
`cm
:£6°:
:£6°:
`cm
245 △ABC와 △DEF에서
∠EDF =∠DAB+∠ABD =∠DAB+∠CAF=∠BAC
∠DEF =∠EBC+∠BCE=∠EBC+∠ABD=∠ABC
∴ △ABC»△DEF (AA 닮음)
따라서 △ABC와 △DEF의 닮음비는 ACÓ : DFÓ=5 : 2이므로
8 : DEÓ=5 : 2
∴ DEÓ=
9 : EFÓ=5 : 2
∴ EFÓ=
:Á5¤:
:Á5¥:
=
+
:Á5¤:
:Á5¥:
+2
=
:¢5¢:
:¢5¢:
Ó인 이등변삼각형이므로
246 △AED가 AEÓ=ADÓ
∠AED =∠ADE
△ABE와 △CBD에서
∠ABE =∠CBD,
∠AEB =180ù-∠AED=180ù-∠ADE=∠CDB
∴ △ABE»△CBD (AA 닮음)
ABÓ : CBÓ=BEÓ : BDÓ에서
8 : 12=BEÓ : 9
∴ BEÓ=6
∴ EDÓ=BDÓ-BEÓ=9-6=3
3
247 △EBD와 △DCA에서
∠EBD=∠DCA=60ù,
∠BED=180ù-(60ù+∠EDB)=∠CDA
∴ △EBD»△DCA ( AA 닮음)
CDÓ=k라 하면 BDÓ=4k
24 : BDÓ=3 : 2
∴ BDÓ=16
16
∴ ACÓ=BCÓ=BDÓ+CDÓ=4k+k=5k
BDÓ : CAÓ=BEÓ : CDÓ에서 4k : 5k=BEÓ : k
5BEÓ=4k
∴ BEÓ=
k
;5$;
따라서 AEÓ=ABÓ-BEÓ=5k-
k=
k이므로
;5$;
:ª5Á:
따라서 △AMC»△BME이므로
AMÓ : BMÓ=MCÓ : MEÓ에서
(AEÓ+3) : 4=4 : 3
3(AEÓ+3)=16, 3AEÓ=7
AEÓ : BEÓ=
k :
k=21 : 4
:ª5Á:
;5$;
21 : 4
∴ AEÓ=
;3&;
;3&;
248 △ABC»△DCE이므로 △ABC와 △DCE의 닮음비는
BCÓ : CEÓ=12 : 8=3 : 2
ABÓ : DCÓ=3 : 2에서 15 : DCÓ=3 : 2
∴ DCÓ=10`(cm)
△ACF와 △EDF에서
∠AFC=∠EFD (맞꼭지각),
∠ACF =180ù-(∠ACB+∠DCE)
=180ù-(∠DEC+∠DCE)
=∠EDF
∴ △ACF»△EDF ( AA 닮음)
이때 DFÓ=x`cm라 하면 CFÓ=(10-x)`cm이므로
CFÓ : DFÓ=ACÓ : EDÓ에서 (10-x) : x=3 : 2
3x=2(10-x), 5x=20
∴ x=4
∴ DFÓ=4`cm
4`cm
249 △ABC와 △FEC에서
∠C는 공통,
A
D
6 cm
∠ABC=∠FEC=90ù
∴ △ABC»△FEC (AA 닮음)
이때 DBEF의 한 변의 길이를 x`cm라 하면
B
(12-x) cm
C
F
x cm
E
12 cm
ABÓ : FEÓ=BCÓ : ECÓ에서 6 : x=12 : (12-x)
12x=6(12-x), 18x=72
∴ x=4
∴ DBEF=4_4=16`(cmÛ`)
16`cmÛ`
250 BOÓ=
BDÓ=
_12=6`(cm)
;2!;
;2!;
이때 △BOE와 △BCD에서
∠B는 공통, ∠BOE=∠BCD=90ù
∴ △BOE»△BCD (AA 닮음)
BOÓ : BCÓ=BEÓ : BDÓ에서
252 △ABC에서 BCÓ Û`=BDÓ_BAÓ이므로
3Û`=BDÓ_5 ∴ BDÓ=
`(cm)
;5(;
△ABC에서 BCÓ_ACÓ=ABÓ_CDÓ이므로
3_4=5_CDÓ
∴ CDÓ=
`(cm)
;;Á5ª;;
△DBC에서 BDÓ_CDÓ=BCÓ_DEÓ이므로
_
=3_DEÓ ∴ DEÓ=
;5(;
;;Á5ª;;
;2#5^;
△DBE에서 DEÓ Û`=DFÓ_DBÓ이므로
`(cm)
{;2#5^;}
=
DFÓ_
;5(;
∴ DFÓ=
`(cm)
;'1!2$5$;
;'1!2$5$;
`cm
2`
253 GBÓ=
BDÓ=
_10=2`(cm)
;5!;
;5!;
q
r
s
_10=8`(cm)
GDÓ=
BDÓ=
;5$;
;5$;
이때 △ABD에서
Û`=GBÓ_GDÓ이므로
Û`=2_8=16
∴ ABCD=2△ABD
AGÓ
AGÓ
∴ AGÓ=4`(cm) (∵ AGÓ>0)
10 cm
G
=2_
_10_4
}
{;2!;
=40`(cmÛ`)
40`cmÛ`
p
A
B
p
A
B
D
C
D
C
q
r
s
E
10 cm
F
G
다른 풀이
△DEF와 △DAG에서
∠D는 공통,
∠EFD=∠AGD (동위각)
∴ △DEF»△DAG (AA 닮음)
EFÓ : AGÓ=DFÓ : DGÓ=1 : 4이므로
EFÓ=k, AGÓ=4k (k>0)라 하면
△DEF와 △ABG에서
∠EFD=∠BGA=90ù,
∠FDC=∠GBA (엇각)이므로
6 : 10=BEÓ : 12
∴ BEÓ=
`(cm)
:£5¤:
:£5¤:
`cm
251 △AMC와 △ADE에서
∠MAC는 공통, ∠AMC=∠ADE=90ù
∴ △AMC»△ADE (AA 닮음)
△ADE와 △BME에서
∠ADE=∠BME=90ù, ∠AED=∠BEM (맞꼭지각)
∴ △ADE»△BME (AA 닮음)
∠FED=90ù-∠EDF=∠FDC=∠GBA
∴ △DEF»△ABG (AA 닮음)
이때 DFÓ=BGÓ=
BDÓ=
_10=2`(cm)이므로
;5!;
;5!;
EFÓ : BGÓ=DFÓ : AGÓ에서
k : 2=2 : 4k, kÛ`=1
∴ k=1 (∵ k>0)
즉 AGÓ=4k=4`(cm)이므로
ABCD=2△ABD
=2_
_10_4
=40`(cmÛ`)
{;2!;
}
5. 도형의 닮음 | 31
254 △EBFª△EDF이므로 ∠EFB=∠EFD=90ù
BCÓ=
_12=3`(cm)
FBÓ=FDÓ=
BDÓ=
;4!;
;2!;
;4!;
△ABC와 △FBE에서
∠BAC=∠BFE=90ù, ∠B는 공통
∴ △ABC»△FBE (AA 닮음)
ABÓ : FBÓ=BCÓ : BEÓ에서
9 : 3=12 : BEÓ
∴ BEÓ=4`(cm)
4`cm
255 ∠EBD=∠DBC (접은 각), ∠EDB=∠DBC (엇각)이므로
∠EBD=∠EDB
따라서 △EBD는 EBÓ=EDÓ인 이등변삼각형이다.
C'
오른쪽 그림과 같이 점 E에서 BDÓ에
E
내린 수선의 발을 H라 하면
BHÓ=DHÓ=
BDÓ=
;2!;
10
;2!;_
6 cm
H
10 cm
=5`(cm)
8 cm
A
B
D
C
△EBH와 △DBC에서
∠EBH=∠DBC, ∠EHB=∠DCB=90ù
∴ △EBH»△DBC (AA 닮음)
BHÓ : BCÓ=EHÓ : DCÓ
Ó에서
5 : 8=EHÓ : 6
∴ EHÓ=
`(cm)
:Á4°:
∴ △EBD=
_10_
=
:Á4°:
:¦4°:
;2!;
`(cmÛ`)
:¦4°:
`cmÛ`
257 △ADG와 △AEC에서
∠EAC는 공통, ∠DGA=∠ECA=90ù
∴ △ADG»△AEC (AA 닮음)
AGÓ : ACÓ=DGÓ : ECÓ에서
AGÓ : 24=6 : 8
∴ AGÓ=18
∴ GCÓ=ACÓ-AGÓ=24-18=6
한편 △DBE=30이므로
△DBE=
;2!;_
BEÓ_6=30
∴ BEÓ=10
△FDG와 △FBC에서
∠BFC는 공통, ∠DGF=∠BCF=90ù
∴ △FDG»△FBC (AA 닮음)
FGÓ : FCÓ=DGÓ : BCÓ에서 FGÓ : (FGÓ+6)=6 : (10+8)
18FGÓ=6(FGÓ+6), 12 FGÓ=36
∴ FGÓ=3
3
258 △ABE와 △AQF에서
∠ABE=∠AQF=90ù, ∠BAE =45ù-∠EAP=∠QAF
∴ △ABE»△AQF (AA 닮음)
즉 ABÓ : AQÓ=AEÓ : AFÓ
△AEP와 △AFD에서
∠APE=∠ADF=90ù, ∠EAP=45ù-∠PAF=∠FAD
∴ △AEP»△AFD (AA 닮음)
즉 AEÓ : AFÓ=APÓ : ADÓ
yy ㉡
yy ㉠
㉠, ㉡에서 ABÓ : AQÓ=APÓ : ADÓ이므로
ABÓ : AQÓ=6 : ADÓ, 즉 6AQÓ=ABÓ_ADÓ
이때 정사각형 ABCD의 넓이가 48`cmÛ`이므로
ABÓ_ADÓ=48
즉 6AQÓ=48
∴ AQÓ=8`(cm)
∴ PQÓ=AQÓ-APÓ=8-6=2`(cm)
2`cm
259 CFÓ : FEÓ=1 : 2이므로
72쪽
CFÓ=
CEÓ=
_
=
`(cm)
;3!;`
;3!;
:Á2°:
;2%;
FEÓ=CEÓ-CFÓ=
-
:Á2°:
;2%;
=5`(cm)
△BFE와 △CFD에서
∠BEF=∠CDF=90ù, ∠EFB=∠DFC (맞꼭지각)
∴ △BFE»△CFD (AA 닮음)
BFÓ : CFÓ=FEÓ : FDÓ에서 BFÓ :
=5 : 2
;2%;
2BFÓ=
:ª2°:
∴ BFÓ=
`(cm)
:ª4°:
∴ BDÓ=BFÓ+FDÓ=
+2=
`(cm)
:ª4°:
:£4£:
또 △ABD와 △ACE에서
∠A는 공통, ∠ADB=∠AEC=90ù
∴ △ABD»△ACE (AA 닮음)
STEP
3
고난도 문제
256 오른쪽 그림의 △ABC와 △DCE
에서
D
1
E
1
4
∠BAC=∠CDE=90ù,
∠ABC=90ù-∠ACB=∠DCE
∴ △ABC»△DCE ( AA 닮음)
따라서 ACÓ=x라 하면
ABÓ : DCÓ=ACÓ : DEÓ에서
1
4
A
B
1
C
1
4
1
1
1
4
: x=x : 1이므로 xÛ`=
∴ x=
(∵ x>0)
;4!;
;2!;
;4!;
즉 처음 정사각형의 한 변의 길이는
2x+
+1=2_
;4!;
+
=
;4%;
;4(;
;2!;
이므로 색칠한 부분의 넓이는
{;4(;}
-4_
_
_
+
;2!;
;2!;
;4!;
_
;2!;
_1
}
{;2!;
=
2`
;1*6!;
-
=
;1@6);
;1^6!;
32 | 정답과 해설
ADÓ : AEÓ=BDÓ : CEÓ에서 11 : AEÓ=
:
:£4£:
:Á2°:
즉 11 : AEÓ=33 : 30이므로
;1^6!;
33AEÓ=330
∴ AEÓ=10`(cm)
10`cm
6
평행선과 선분의 길이의 비
266 ① BDÓ`:`DAÓ=3`:`2, BFÓ`:`FCÓ=5`:`2
따라서 DFÓ와 ACÓ는 평행하지 않다.
② CEÓ`:`EAÓ=3`:`2, CFÓ`:`FBÓ=2`:`5
따라서 EFÓ와 ABÓ는 평행하지 않다.
③ DFÓ와 ACÓ가 평행하지 않으므로 △BFD와 △BCA는 닮은
STEP
1
실력 문제
75쪽~78쪽
도형이 아니다.
260 ABÓ`:`4=6`:`3에서 ABÓ=8 (cm)
BCÓ`:`5=6`:`3에서 BCÓ=10 (cm)
∴ (△ABC의 둘레의 길이) =8+10+6
=24 (cm)
④ ADÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ECÓ=2`:`3이므로 DEÓ∥BCÓ
∴ △ABC»△ADE
⑤ ADÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ECÓ=2`:`3이므로 DEÓ∥BCÓ
24`cm
∴ DEÓ`:`BCÓ=AEÓ`:`ACÓ=2`:`5
④
다른 풀이
△ABC»△ADE`(AA 닮음)이고
닮음비는 ACÓ`:`AEÓ=6`:`3=2`:`1
이때 △ADE의 둘레의 길이는 4+5+3=12 (cm)
(△ABC의 둘레의 길이)`:`(△ADE의 둘레의 길이)=2`:`1이므로
(△ABC의 둘레의 길이)=2_12=24 (cm)
261 BCÓ∥DEÓ이므로 ABÓ`:`BDÓ=ACÓ`:`CEÓ에서
∴ x=6
18`:`9=12`:`x
BCÓ∥FGÓ이므로ABÓ
Ó`:`AFÓ=ACÓ`:`AGÓ에서
18`:`y=12`:`4
∴ y=6
∴ x-y=6-6=0
262 BCÓ∥DEÓ이므로
ADÓ : ABÓ=DFÓ : BGÓ=AFÓ : AGÓ=FEÓ : GCÓ
ADÓ : ABÓ=FEÓ : GCÓ에서 x : (x+8)=10 : 15
15x=10(x+8), 5x=80
∴ x=16
DFÓ : BGÓ=FEÓ : GCÓ에서 16 : y=10 : 15
∴ y=24
267 ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ이므로 BDÓ : CDÓ=12 : 9=4 : 3
따라서 △ABD : △ACD =BDÓ : CDÓ=4 : 3이므로
△ABD : 21=4 : 3
∴ △ABD=28`(cmÛ`) 28`cmÛ`
268 ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ에서
6 : 10=x : 5
∴ x=3
BAÓ : BCÓ=AEÓ : CEÓ에서
6 : (3+5)=y : (10-y)
0
269 ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ에서
12 : 8=6 : CDÓ
∴ CDÓ=4
ADÓ∥ECÓ이므로
BAÓ : AEÓ=BDÓ : DCÓ에서
6(10-y)=8y, 14y=60
∴ y=
:£7¼:
x=3, y=
:£7¼:
12 : AEÓ=6 : 4
∴ AEÓ=8
AEÓ=8, CDÓ=4
x=16, y=24
270 ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ에서
4 : 3=(3+x) : x
4x=3(3+x)
∴ x=9
9
271 BDÓ : CDÓ=ABÓ : ACÓ=5 : 3이므로
CDÓ=
BCÓ=
_4=
;8#;
;8#;
;2#;
이때 ABÓ : ACÓ=BEÓ : CEÓ에서 5 : 3=(4+CEÓ) : CEÓ
∴ DEÓ=DCÓ+CEÓ=
+6=
;2#;
:Á2°:
:Á2°:
4`:`3=(4+3)`:`ECÓ
∴ ECÓ=
:ª4Á:
:ª4Á:
5CEÓ=3(4+CEÓ), 2CEÓ=12
∴ CEÓ=6
263 △ABE에서 BEÓ∥DFÓ이므로
ADÓ`:`DBÓ=AFÓ`:`FEÓ=4`:`3
△ABC에서 BCÓ∥DEÓ이므로
ADÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ECÓ
264 △ABC에서 ACÓ∥DEÓ이므로
BEÓ : BCÓ=BDÓ : BAÓ
BEÓ : 15=6 : (6+4)
△ABE에서 AEÓ∥DFÓ이므로
BEÓ : EFÓ=BAÓ : ADÓ
∴ BEÓ=9 (cm)
272 12 : 8=x : 6에서
∴ x=9
8x=72
8 : y=6 : 3에서
6y=24
∴ y=4
9 : EFÓ=(6+4) : 4
∴ EFÓ=
(cm)
:Á5¥:
:Á5¥:
cm
∴ x+y=9+4=13
13
265 ㉠ 8 : 4=10 : 5
㉢ (3+3) : 3+7 : 3
㉡ 6 : 3=8 : 4
㉣ 6 : 4+7 : 3
273 6 : 8=x : 12에서
∴ x=9
8x=72
㉤ 12 : 6=14 : 7
㉥ 10 : 15=8 : 12
6 : 8=(y-16) : 16에서
따라서 BCÓ∥DEÓ인 것은 ㉠, ㉡, ㉤, ㉥이다.
㉠, ㉡, ㉤, ㉥
8(y-16)=96, 8y=224
∴ y=28
x=9, y=28
6. 평행선과 선분의 길이의 비 | 33
274 오른쪽 그림과 같이 세 직선 l, m, n
과 평행한 직선 p를 그으면
8`:`6=x`:`5, 6x=40
∴ x=
;;ª3¼;;
6`:`y=5`:`4, 5y=24
∴ y=
;;ª5¢;;
275 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서
DCÓ에 평행한 직선을 그어 EFÓ, BCÓ와
만나는 점을 각각 G, H라 하면
GFÓ=HCÓ=ADÓ=10 cm이므로
BHÓ=17-10=7 (cm)
△ABH에서 AEÓ : ABÓ=EGÓ : BHÓ이므로
∴ EGÓ=4 (cm)
8 : (8+6)=EGÓ : 7
l
m
p
n
8
x
5
y
6
4
x=
, y=
;;ª5¢;;
;;ª3¼;;
10 cm
A
D
8 cm
E
6 cm
B
G
H
17 cm
F
C
∴ EFÓ=EGÓ+GFÓ=4+10=14 (cm)
14 cm
2 : (2+1)=ENÓ : 15
276 △ABC에서 AEÓ : ABÓ=ENÓ : BCÓ이므로
∴ ENÓ=10 (cm)
△ABD에서 BEÓ : BAÓ=EMÓ : ADÓ이므로
∴ EMÓ=4 (cm)
1 : (1+2)=EMÓ : 12
∴ MNÓ=ENÓ-EMÓ=10-4=6 (cm)
6 cm
277 AEÓ : EBÓ=APÓ : PCÓ=4 : 3이므로
△CDA에서 CPÓ : CAÓ=PFÓ : ADÓ
3 : (3+4)=PFÓ : 7
∴ PFÓ=3 (cm)
3 cm
278 △AOD»△COB ( AA 닮음)이므로
△ABC에서 AOÓ : ACÓ=EOÓ : BCÓ이므로
AOÓ : COÓ=DOÓ : BOÓ=ADÓ : CBÓ=12 : 20=3 : 5
3 : (3+5)=EOÓ : 20
∴ EOÓ=
△DBC에서 DOÓ : DBÓ=OFÓ : BCÓ이므로
3 : (3+5)=OFÓ : 20
∴ OFÓ=
:Á2°:
:Á2°:
∴ EFÓ=EOÓ+OFÓ=
:Á2°:+:Á2°:=
15
15
279 △ABE»△CDE ( AA 닮음)이므로
AEÓ : CEÓ =ABÓ : CDÓ
=10 : 15=2 : 3
△ABC에서 CBÓ : BFÓ=CAÓ : AEÓ이므로
20 : x=(3+2) : 2
∴ x=8
CEÓ : CAÓ=EFÓ : ABÓ이므로
3 : (3+2)=y : 10
∴ y=6
∴ x+y=8+6=14
34 | 정답과 해설
ABÓ∥EFÓ∥DCÓ
280 ABÓ, DCÓ, EFÓ가 모두 BCÓ에 수직이므로
이때 △ABE»△CDE ( AA 닮음)이므로
AEÓ : CEÓ=ABÓ : CDÓ=6 : 12=1 : 2
△ABC에서 CEÓ : CAÓ=EFÓ : ABÓ이므로
∴ EFÓ=4 (cm)
2 : (2+1)=EFÓ : 6
∴ △EBC=
BCÓ_EFÓ
;2!;_
∴ △EBC=
15_4
;2!;_
∴ △EBC=30`(cmÛ`)
30`cmÛ`
79쪽~83쪽
A
B
x
G
6
x
12
D
C
6
E
8
F
15
S
R
C
A
P
D
5 cm
Q
H
15 cm
STEP
2
심화 문제
281 오른쪽 그림과 같이 점 A에서
BEÓ에 평행한 직선을 그어 CDÓ의
연장선과 만나는 점을 G, EFÓ의
연장선과 만나는 점을 H라 하면
H
AHEB와 GHEC는 모두
평행사변형이므로
AHÓ=BEÓ=x, GHÓ=CEÓ=6
이때 △AHF에서 GDÓ∥HFÓ이므로
AHÓ : GHÓ=AFÓ : DFÓ
x : 6=(12+8) : 8
∴ x=15
282 PQÓ : QRÓ=1 : 3이므로
PQÓ=k`cm, PSÓ=3k`cm라 하고
AHÓ와 PSÓ의 교점을 D라 하면
B
PSÓ∥BCÓ이므로
ADÓ : AHÓ=APÓ : ABÓ=PSÓ : BCÓ에서
(5-k) : 5=3k : 15
15(5-k)=15k
30k=75
∴ k=
;2%;
∴ QRÓ=PSÓ=3_
=
;2%;
:Á2°:
`(cm)
:Á2°:
cm
283 PEÓ∥DFÓ이므로 APÓ`:`PDÓ=AEÓ`:`EFÓ에서
∴ EFÓ=24`(cm)
4`:`3=32`:`EFÓ
DFÓ∥BEÓ이므로 CDÓ`:`DBÓ=CFÓ`:`FEÓ에서
3`:`4=CFÓ`:`24
∴ CFÓ=18`(cm)
18`cm
BCÓ∥DEÓ이므로 ADÓ`:`ABÓ=DEÓ`:`BCÓ에서
14
1`:`4=DEÓ`:`12
∴ DEÓ=3`(cm)
284
이때 DBFE와 DGCE가 평행사변형이므로
BFÓ=DEÓ=3`cm, GCÓ=DEÓ=3`cm
∴ FGÓ =BCÓ-BFÓ-GCÓ
=12-3-3 =6`(cm)
285 3ADÓ=ABÓ이므로 ADÓ : ABÓ=1 : 3
BCÓ∥DEÓ이므로 AEÓ : ACÓ=ADÓ : ABÓ에서
AEÓ : 24=1 : 3
∴ AEÓ=8 (cm)
ACÓ∥DFÓ이므로 BCÓ : FCÓ=BAÓ : DAÓ=3 : 1
ABÓ∥GFÓ이므로 ACÓ : GCÓ=BCÓ : FCÓ에서
24 : GCÓ=3 : 1
∴ GCÓ=8 (cm)
∴ EGÓ =ACÓ-AEÓ-GCÓ
=24-8-8=8 (cm)
286 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BCÓ에
평행한 직선을 그어 AEÓ와 만나는 점을
G라 하자.
BEÓ : ECÓ=4 : 3이므로
10
B
BEÓ=4k, ECÓ=3k라 하면
△AEC에서 ADÓ : ACÓ=GDÓ : ECÓ이므로
2 : (2+3)=GDÓ : 3k
∴ GDÓ=
k
;5^;
이때 GDÓ∥BEÓ이므로 △BEF»△DGF ( AA 닮음)
BFÓ : DFÓ=BEÓ : DGÓ에서
10 : DFÓ=4k :
k
∴ DFÓ=3
;5^;
3
DEÓ : BCÓ=AEÓ : ACÓ=18 : (18+9)=18 : 27=2 : 3
287 DEÓ∥BCÓ이므로
이때 △FDE와 △ECB에서
∠FED=∠DEB, ∠DEB=∠EBC (엇각)이므로
∠FDE=∠DBC (동위각), ∠DBC=∠ECB이므로
∠FED=∠EBC
∠FDE=∠ECB
∴ △FDE»△ECB ( AA 닮음)
따라서 FDÓ : ECÓ=DEÓ : CBÓ=2 : 3에서
FDÓ : 9=2 : 3
∴ FDÓ=6`(cm)
6`cm
288 ABÓ : ACÓ=BEÓ : CEÓ이므로
BEÓ : CEÓ=9 : 6=3 : 2
따라서 △ABE : △ACE=BEÓ : CEÓ=3 : 2이므로
△ABE : 30=3 : 2
한편 ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ이므로
∴ △ABE=45`(cmÛ`)
BDÓ : CDÓ=9 : 6=3 : 2
따라서 △ABD : △ADC=BDÓ : CDÓ=3 : 2이고
△ABC=△ABE-△ACE=45-30=15`(cmÛ`)이므로
△ADC=
;5@;△ABC=
;5@;
_15=6`(cmÛ`)
∴ △ADE =△ADC+△ACE
=6+30=36`(cmÛ`)
289 △ABC=
;2!;
_ABÓ_ACÓ=
_BCÓ_ADÓ이므로
;2!;
_20_15=
_25_ADÓ
∴ ADÓ=12`(cm)
6`cm
또 ABÓ
;2!;
;2!;
Û`=BDÓ_BCÓ이므로
20Û`=BDÓ_25
∴ BDÓ=16`(cm)
△ABD에서 DEÓ는 ∠BDA의 이등분선이므로
AEÓ`:`BEÓ=DAÓ`:`DBÓ=12`:`16=3`:`4
∴ AEÓ=
ABÓ=
_20=
(cm)
;7#;
;7#;
;;¤7¼;;`
;;¤7¼;;
`cm
8`cm
A
G
F
E
D
C
290 BDÓ : CDÓ=ABÓ : ACÓ=10 : 15=2 : 3
△EBD와 △FCD에서
∠BED=∠CFD=90ù, ∠EDB=∠FDC (맞꼭지각)
∴ △EBD»△FCD ( AA 닮음)
따라서 EDÓ : FDÓ=BDÓ : CDÓ에서
EDÓ : 2=2 : 3
∴ EDÓ=
(cm)
;3$;
또 △ABE와 △ACF에서
∠BAE=∠CAF, ∠BEA=∠CFA=90ù
∴ △ABE»△ACF ( AA 닮음)
따라서 AEÓ : AFÓ=ABÓ : ACÓ에서
AEÓ :
{
AEÓ+
+2
=2 : 3
;3$;
}
3AEÓ=2
AEÓ+
{
:Á3¼:}
∴ AEÓ=
(cm)
:ª3¼:
∴ ADÓ=AEÓ+EDÓ=
+
:ª3¼:
;3$;
=8 (cm)
8`cm
291 점 I는 △ABC의 내심이므로 BDÓ는 ∠B의 이등분선이다.
즉 CDÓ : ADÓ =BCÓ : BAÓ =12 : 8=3 : 2이므로
ADÓ=
ACÓ=
_15=6
;5@;
;5@;
오른쪽 그림과 같이 AIÓ를 그으면 AIÓ는
∠A의 이등분선이므로 △ABD에서
BIÓ : DIÓ =ABÓ : ADÓ
=8 : 6=4 : 3
△DBC에서 IEÓ∥BCÓ이므로
DIÓ : DBÓ=IEÓ : BCÓ
A
8
B
D
15
E
I
12
C
3 : (3+4)=IEÓ : 12
∴ IEÓ=
:£7¤:
:£7¤:
292 ACÓ
Û`=CDÓ_CBÓ이므로 8Û`=CDÓ_10
∴ CDÓ=
(cm)
;;£5ª;;`
△AEC와 △DFC에서
∠EAC=∠FDC=90ù, ∠ACE=∠DCF
∴ △AEC»△DFC ( AA 닮음)
따라서 ECÓ`:`FCÓ=ACÓ`:`DCÓ=8`:
=5`:`4이므로
;;£5ª;;
EFÓ`:`FCÓ=1`:`4
한편 CEÓ가 ∠C의 이등분선이므로
36`cmÛ`
AEÓ`:`BEÓ=CAÓ`:`CBÓ=8`:`10=4`:`5
6. 평행선과 선분의 길이의 비 | 35
따라서 AEÓ=
ABÓ=
_6=
`(cm)이므로
;9$;
;9$;
;3*;
△AEC=
_
;2!;
;3*;
_8=
:£3ª:
`(cmÛ`)
△AJC에서 ABÓ : ACÓ=IBÓ : JCÓ이므로
1 : (1+2)=(2+x) : (2+7)
3(2+x)=9, 3x=3
∴ x=1
1
∴ △AEF=
;5!;△AEC=
;5!;
_
=
:£3ª:
;1#5@;`
(cmÛ`) ;1#5@;`
cmÛ`
다른 풀이
ACÓ
Û`=CDÓ_CBÓ이므로 8Û`=CDÓ_10
∴ CDÓ=
(cm)
:£5ª:`
이때 BDÓ=BCÓ-CDÓ=10-
=
:£5ª:
:Á5¥:`
(cm)이므로
295 x : 5=6 : 10이므로
∴ x=3
10x=30
y : 6=6 : 10이므로
10y=36
∴ y=3.6
(5+6) : 10=12.1 : z이므로
11z=121
∴ z=11
∴ x+10y+z=3+36+11=50
50
296 △ABC에서 AEÓ : ABÓ=EPÓ : BCÓ이므로
(4-x) : 4=EPÓ : 6, 4EPÓ=24-6x
A
F
6 cm
E
B
8 cm
∴ EPÓ=6-
x`(cm)
;2#;
D
10 cm
C
△ACD에서 CPÓ : CAÓ=PFÓ : ADÓ이므로
x : 4=PFÓ : 5, 4PFÓ=5x
BDÓ`:`CDÓ=
`:`
=9`:`16
:£5ª:
△ADC에서 CFÓ는 ∠C의 이등분선이므로
:Á5¥:
AFÓ : DFÓ=CAÓ : CDÓ=8 :
=5 : 4
:£5ª:
또 △ABC에서 CEÓ는 ∠C의 이등분선이므로
AEÓ : BEÓ=CAÓ : CBÓ=8 : 10=4 : 5
오른쪽 그림과 같이 EDÓ를 그으면
△AEF=
;9%;△AED
=
_
;9$;△ABD
;9%;
=
_
_
;2»5;△ABC
;9$;
;9%;
=
_
_
;9$;
;9%;
;2»5;
_
{;2!;
_6_8
}
=
`(cmÛ`)
;1#5@;
293 △ABD와 △CBA에서
∠B는 공통, ∠DAB=∠ACB
∴ △ABD»△CBA ( AA 닮음)
ABÓ : CBÓ=BDÓ : BAÓ에서
9 : 18=BDÓ : 9
∴ BDÓ=
(cm)
;2(;
∴ DCÓ=18-
;2(;=:ª2¦:
(cm)
ABÓ : CBÓ=ADÓ : CAÓ에서
9 : 18=ADÓ : 14
∴ ADÓ=7 (cm)
한편 △ADC에서 AEÓ는 ∠DAC의 이등분선이므로
DEÓ : CEÓ=ADÓ : ACÓ=7 : 14=1 : 2
∴ CEÓ=
DCÓ=
;3@;
;3@;_:ª2¦:
=9 (cm)
9`cm
294 오른쪽 그림과 같이 점 A를 지나
고 DFÓ와 평행한 직선 AJ를 그으
면
IEÓ=JFÓ=ADÓ=2
이때 △ACG에서
ABÓ : BCÓ =GHÓ : HCÓ
=3 : 6=1 : 2
l
m
A
2
D
I
BE
x
G
3
H
J F
n
7
6
C
36 | 정답과 해설
∴ PFÓ=
x`(cm)
;4%;
이때 EPÓ : PFÓ=2 : 1에서 EPÓ=2PFÓ
6-
x=2_
x, 4x=6
∴ x=
;2#;
;4%;
;2#;
;2#;
297 △ABD에서 BRÓ : BAÓ=RGÓ : ADÓ이므로
2 : (2+3+1)=RGÓ : 6
∴ RGÓ
Ó=2
(1+3) : (1+3+2)=8 : x
∴ GSÓ=RSÓ-RGÓ=10-2=8
△DBC에서 DGÓ : DBÓ=GSÓ : BCÓ이므로
∴ x=12
△ABD에서 BPÓ : BAÓ=PFÓ : ADÓ이므로
∴ PFÓ
△ABC에서 APÓ : ABÓ=PEÓ : BCÓ이므로
(2+3) : (2+3+1)=PFÓ : 6
1 : (1+3+2)=PEÓ : 12
∴ PEÓ
Ó=2
Ó=5
∴ y=EFÓ=PFÓ-PEÓ=5-2=3
x=12, y=3
298 오른쪽 그림과 같이 점 G를 지
나고 CDÓ에 평행한 직선을 그어
A
H
E
C
8 cm
6 cm
B
F
10 cm
G
6 cm
D
BCÓ와 만나는 점을 H라 하면
△BGH»△BDC (AA 닮음)이므로
BGÓ : BDÓ=HGÓ : CDÓ에서
∴ HGÓ
10 : (10+6)=HGÓ : 8
이때 △ABE»△GHE ( AA 닮음)이므로
△BGH에서 BEÓ : BHÓ=EFÓ : HGÓ이므로
BEÓ : HEÓ=ABÓ : GHÓ=6 : 5
Ó=5 (cm)
6 : (6+5)=EFÓ : 5
∴ EFÓ
Ó=
(cm)
;1#1);
;1#1);
cm
299 오른쪽 그림과 같이 점 E를 지나고
ACÓ에 평행한 직선을 그어 BCÓ와 만나는
점을 P라 하면
△ABC»△EBP (AA 닮음)이므로
ABÓ : EBÓ=ACÓ : EPÓ에서
6 cm
C
P
G
A
4 cm
E
F
8 cm
B
12 cm
D
오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나고 ECÓ에
평행한 직선이 ABÓ와 만나는 점을 G라 하
A
G
D
고 GDÓ=x`cm라 하면
△AEC에서 GDÓ∥ECÓ이므로
ADÓ : ACÓ=GDÓ : ECÓ에서
E
F
B
C
(4+8)`:`8=6 : EPÓ
∴ EPÓ=4`(cm)
이때 △EGP»△DGB (AA 닮음)이므로
EGÓ : DGÓ=EPÓ : DBÓ=4`:`12=1`:`3
△EBD에서 EGÓ : EDÓ=FGÓ : BDÓ이므로
1`:`(1+3)=FGÓ`:`12
∴ FGÓ=3`(cm)
1 : (1+2)=x : ECÓ
∴ ECÓ=3x`(cm)
한편 AEÓ : EBÓ=3 : 1이고
AGÓ : AEÓ=ADÓ : ACÓ=1 : 3이므로 AGÓ=BEÓ
△BDG에서 EFÓ∥GDÓ이므로
BEÓ : BGÓ=EFÓ : GDÓ에서
(cid:9000) 3`cm
300 ABÓ, EFÓ, DCÓ가 모두 BCÓ에 수직이므로 ABÓ∥EFÓ∥DCÓ
△ABE»△CDE ( AA 닮음)이므로
BEÓ : DEÓ=ABÓ : CDÓ=20 : 30=2 : 3
△EBF»△DBC ( AA 닮음)이므로
EFÓ : DCÓ=BEÓ : BDÓ에서
EFÓ : 30=2 : 5
∴ EFÓ=12`(cm)
BFÓ : BCÓ=BEÓ : BDÓ에서
BFÓ : 25=2 : 5
∴ BFÓ=10`(cm)
∴ △BFE=
_10_12=60`(cmÛ`)
;2!;
△AED=△ABD-△ABE
=
_20_25-
_20_10=150`(cmÛ`)
;2!;
;2!;
∴ △AED-△BFE=150-60=90`(cmÛ`)
(cid:9000) 90`cmÛ`
STEP
3
고난도 문제
301 오른쪽 그림과 같이 점 B를 지나고
ADÓ에 평행한 직선이 CAÓ의 연장선과
E
70$
만나는 점을 E라 하면
∠BAE =180ù-(∠BAD+∠DAC)
B
=180ù-(40ù+70ù)=70ù
ADÓ∥EBÓ이므로 ∠BEA=∠DAC=70ù (동위각)
따라서 ∠BAE=∠BEA=70ù이므로 △BAE는 BAÓ=BEÓ인
84쪽
A
6 cm
70$
C
70$
40$
D
이등변삼각형이다.
이때 △CEB에서 ADÓ∥EBÓ이므로
CDÓ : CBÓ=ADÓ : EBÓ에서
3 : (3+5)=6 : EBÓ
∴ EBÓ=16`(cm)
∴ ABÓ=EBÓ=16`cm
302 DCÓ=2ADÓ이므로 ADÓ : DCÓ=1 : 2
AEÓ=3EBÓ이므로 AEÓ : EBÓ=3 : 1
1 : (1+2)=EFÓ : x, 3EFÓ=x
∴ EFÓ=
`(cm)
;3{;
FCÓ=ECÓ-EFÓ=3x-
x`(cm)이므로
=
;3{;
;3*;
EFÓ : FCÓ=
:
x=1 : 8
;3{;
;3*;
△EBF : △FBC=EFÓ : FCÓ이므로
4 : △FBC=1 : 8
∴ △FBC=32`(cmÛ`)
(cid:9000) 32`cmÛ`
303
오른쪽 그림과 같이 EGÓ와 FHÓ의 교점을
O, ACÓ와 FHÓ의 교점을 P라 하면
AFÓ`:`FBÓ=DHÓ`:`HCÓ=2`:`3이므로
10 cm
DE
A
F
P
O
H
ADÓ∥FHÓ∥BCÓ
△ABC에서 AFÓ`:`ABÓ=FPÓ`:`BCÓ이므로
∴ EGÓ⊥FHÓ
16 cm
B
G
22 cm
C
2`:`(2+3)=FPÓ`:`22
∴ FPÓ=
(cm)
:¢5¢:`
△ACD에서 CHÓ`:`CDÓ=PHÓ`:`ADÓ이므로
∴ PHÓ=6`(cm)
3`:`(3+2)=PHÓ`:`10
∴ FHÓ=FPÓ+PHÓ=
:¦5¢:`
∴ (cid:8772)EFGH=△EFH+△GHF
+6=
:¢5¢:
(cm)
=
;2!;
=
;2!;
_FHÓ_EOÓ+
_FHÓ_GOÓ
;2!;
_FHÓ_(EOÓ+GOÓ)=
_FHÓ_EGÓ
;2!;
=
_
;2!;
:¦5¢:
_16=
;:%5(:@;
`(cmÛ`)
(cid:9000) ;:%5(:@;
`cmÛ`
304 △AGB»△DGC (AA 닮음)이므로
△DBA에서 GHÓ∥ABÓ이므로 DGÓ : DAÓ=GHÓ : ABÓ
AGÓ : DGÓ=ABÓ : DCÓ=3 : 4
4 : (4+3)=GHÓ : 3
∴ GHÓ=
:Á7ª:
△BCD에서 PFÓ∥CDÓ이므로 BFÓ : BDÓ=PFÓ : CDÓ
(cid:9000) 16`cm
1 : (1+3+2)=PFÓ : 4
∴ PFÓ=
;3@;
△DBA에서 QJÓ∥ABÓ이므로 DJÓ : DBÓ=QJÓ : ABÓ
2 : (2+3+1)=QJÓ : 3
∴ QJÓ=1
∴ GHÓ_PFÓ_QJÓ=
_
:Á7ª:
;3@;
_1=
;7*;
(cid:9000) ;7*;
6. 평행선과 선분의 길이의 비 | 37
7
닮음의 활용
STEP
1
실력 문제
87쪽~92쪽
DFÓ=2 GEÓ=2_6=12
305 △ADF에서 AGÓ=GDÓ, GEÓ∥DFÓ이므로
△CEB에서 BDÓ=DCÓ, BEÓ∥DFÓ이므로
BEÓ=2 DFÓ=2_12=24
∴ BGÓ=BEÓ-GEÓ=24-6=18
18
309 DEÓ=
ACÓ=
;2!;
;2!;_
10=5, EFÓ=
ABÓ=
8=4
;2!;
;2!;_
DFÓ=
BCÓ=
12=6
;2!;
;2!;_
∴ (△DEF의 둘레의 길이) =DEÓ+EFÓ+DFÓ
=5+4+6=15
15
310 EFÓ=HGÓ
Ó=
ACÓ=
;2!;
;2!;_
14=7 (cm)
EHÓ=FGÓ=
BDÓ=
18=9 (cm)
;2!;
;2!;_
∴ ( EFGH의 둘레의 길이) =EFÓ+FGÓ+HGÓ
Ó+EHÓ
=7+9+7+9
=32 (cm)
32`cm
306 △ABD에서 AFÓ=FBÓ, AEÓ=EDÓ이므로 FEÓ∥BDÓ
△CEF에서 CDÓ=DEÓ, GDÓ∥FEÓ
FEÓ=x cm라 하면 BDÓ=2FEÓ=2x cm
GDÓ=
FEÓ=
x (cm)
;2!;
;2!;
BDÓ=BGÓ+GDÓ에서
311 EFGH는 직사각형이고
EHÓ=
BDÓ=
20=10 (cm)
;2!;
;2!;_
EFÓ=
ACÓ=
;2!;
;2!;_
16=8 (cm)
∴ EFGH=EHÓ_EFÓ=10_8=80 (cmÛ`)
80 cmÛ`
2x=18+
x,
x=18 ∴ x=12
;2!;
;2#;
312 오른쪽 그림과 같이 대각선 AC를 그어
13 cm
∴ FEÓ=12`cm
12`cm
MNÓ과 만나는 점을 P라 하면
307 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ에
평행한 직선을 그어 DFÓ와 만나는 점을
G라 하고 FCÓ=x cm라 하면
D
A
G
E
ADÓ∥MNÓ∥BCÓ이므로
△ABC에서
MPÓ=
BCÓ=
;2!;
;2!;_
15=
(cm)
:Á2°:
△CDA에서
B
F
15 cm
C
PNÓ=
ADÓ=
;2!;
;2!;_
13=
(cm)
:Á2£:
A
M
B
P
15 cm
D
N
C
AGÓ=
FCÓ=
x (cm)
;2!;
;2!;
△EAG와 △EBF에서
EAÓ=EBÓ, ∠EAG=∠EBF (엇각),
∠GEA=∠FEB (맞꼭지각)
따라서 △EAGª△EBF ( ASA 합동)이므로
BFÓ=AGÓ=
x cm
;2!;
BCÓ=BFÓ+FCÓ에서
15=
x+x,
x=15 ∴ x=10
;2!;
;2#;
∴ FCÓ=10 cm
∴ MNÓ=MPÓ+PNÓ=
+
:Á2°:
:Á2£:
=14 (cm)
14 cm
313 △ABC에서 EQÓ=
BCÓ=
_18=9 (cm)
;2!;
;2!;
△ABD에서 EPÓ=
ADÓ=
;2!;
;2!;_
12=6 (cm)
∴ PQÓ=EQÓ-EPÓ=9-6=3 (cm)
3 cm
308 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BFÓ에 평행
한 직선을 그어 ACÓ와 만나는 점을 G라 하면
A
△DEG와 △FEC에서
∠DEG=∠FEC (맞꼭지각),
DEÓ=FEÓ, ∠EDG=∠EFC (엇각)
따라서 △DEGª△FEC ( ASA 합동)이
B
므로 GEÓ=CEÓ
△ABC에서 AGÓ=GCÓ이므로
AEÓ=AGÓ+GEÓ=GCÓ+GEÓ=2CEÓ+CEÓ=3CEÓ
E
C
F
10`cm
314 △ABC에서 MQÓ=
BCÓ=
_26=13
;2!;
;2!;
MPÓ=MQÓ-PQÓ=13-5=8
△ABD에서 ADÓ=2
MPÓ=2_8=16
16
D
18 cm
G
315 △ABD=
;2!;△ABC=
;2!;_
36=18 (cmÛ`)
∴ △BFE=
;3!;△ABD=
;3!;
_18=6 (cmÛ`)
6 cmÛ`
316 △AEC : △ADC=AEÓ : ADÓ=2 : (2+5)이므로
5 : △ADC=2 : 7
∴ △ADC=
`(cmÛ`)
:£2°:
즉 3CEÓ=18이므로 CEÓ=6`(cm)
6`cm
∴ △ABC=2△ADC=2_
=35 (cmÛ`)
35 cmÛ`
:£2°:
38 | 정답과 해설
317 ADÓ가 △ABC의 중선이므로
△ABC=2△ABD=2_36=72`(cmÛ`)
이때 AHÓ⊥ BCÓ이므로
;2!; _
16_AHÓ=72 ∴ AHÓ=9`(cm)
9 cm
318 GDÓ=
ADÓ=
_9=3`(cm)
;3!;
;3!;
∴ GG'Ó=
GDÓ=
3=2 (cm)
;3@;
;3@;_
2 cm
319 GDÓ=3 G'DÓ=3_3=9 (cm)
∴ BGÓ=2 GDÓ=2_9=18 (cm)
18 cm
G'DÓ=k라 하면 GG'Ó=2G'DÓ=2k, GDÓ=3 G'DÓ=3k
320 점 G'은 △GBC의 무게중심이므로
또 점 G는 △ABC의 무게중심이므로
AGÓ=2GDÓ=2_3k=6k
∴ AGÓ : GG'Ó=6k : 2k=3 : 1
이때 BEÓ=EDÓ, DFÓ=FCÓ이므로
BCÓ =BDÓ+DCÓ=2 EDÓ+2 DFÓ
=2(EDÓ+DFÓ)=2 EFÓ
=2_6=12 (cm)
326 △ABC =3△AGC=3
=9△ADE=9
_3△ADE
_
4=36 (cmÛ`)
BGÓ : GEÓ=2 : 1이므로
327
△DBE=3△GED=3_6=18 (cmÛ`)
∴ △ADE=△DBE=18 cmÛ`
12 cm
36 cmÛ`
18 cmÛ`
328 (색칠한 부분의 넓이)=△AMG+△ANG
(색칠한 부분의 넓이) =
;2!;△ABG+
;2!;△ACG
(색칠한 부분의 넓이) =
;2!;_;3!;△ABC+
;2!;_;3!;△ABC
321 점 D는 △GBC의 외심이므로
(색칠한 부분의 넓이) =
;3!;△ABC
GDÓ=BDÓ=CDÓ=
BCÓ=
_10=5 (cm)
;2!;
;2!;
(색칠한 부분의 넓이) =
27=9 (cmÛ`)
9 cmÛ`
;3!;_
3 : 1
(색칠한 부분의 넓이) =
;6!;△ABC+
;6!;△ABC
4 : FGÓ=2 : 1
∴ FGÓ=2 (cm)
2 cm
BPÓ=
BOÓ=
;3@;
;3@;_
12=8 (cm)
8 cm
∴ AGÓ=2 GDÓ=2_5=10 (cm)
10 cm
322 △BCE에서 BDÓ=DCÓ, BEÓ∥DFÓ이므로
BEÓ=2DFÓ=2_9=18 (cm)
∴ GEÓ=
BEÓ=
_18=6 (cm)
;3!;
;3!;
6 cm
323 GDÓ=
ADÓ=
_12=4 (cm)
;3!;
;3!;
△GBD와 △GEF에서
∠GBD=∠GEF (엇각), ∠GDB=∠GFE (엇각)
∴ △GBD»△GEF (AA 닮음)
DGÓ : FGÓ=BGÓ : EGÓ=2 : 1에서
324 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
GDÓ=
AGÓ=
;2!;
;2!;_
12=6 (cm)
△ABC에서 AFÓ=BFÓ, AEÓ=CEÓ이므로 FEÓ∥BCÓ
△GBD와△GEH에서
∠GBD=∠GEH (엇각), ∠GDB=∠GHE (엇각)
∴ △GBD∽△GEH (AA 닮음)
DGÓ : HGÓ=BGÓ : EGÓ=2 : 1에서
6 : HGÓ=2 : 1
∴ HGÓ=3 (cm)
3 cm
AGÓ : AEÓ=AG'Ó : AFÓ=2 : 3, ∠EAF는 공통
325 △AGG'과 △AEF에서
∴ △AGG'»△AEF ( SAS 닮음)
따라서 GG'Ó : EFÓ=2 : 3이므로
4 : EFÓ=2 : 3
∴ EFÓ=6 (cm)
329
(색칠한 부분의 넓이)=△GBG'+△GG'C
(색칠한 부분의 넓이)
=
;3!;△GBC+
;3!;△GBC
(색칠한 부분의 넓이) =
;3@;△GBC=
;3@;_;3!;△ABC
(색칠한 부분의 넓이)
=
;9@;△ABC
(색칠한 부분의 넓이) =
90=20 (cmÛ`)
20 cmÛ`
;9@;_
330 BOÓ=
BDÓ=
;2!;
;2!;_
24=12 (cm)
점 P는 △ABC의 무게중심이므로
331 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면 두
점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의
무게중심이므로
BPÓ=PQÓ=QDÓ
A
4 cm
Q
D
N
P
M
B
C
∴ BDÓ=3PQÓ=3_4=12 (cm)
△BCD에서 CMÓ=MBÓ, CNÓ=NDÓ이므로
MNÓ=
BDÓ=
_12=6 (cm)
;2!;
;2!;
332 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면 두
점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의
무게중심이므로
A
P
BPÓ=PQÓ=QDÓ
∴ ABCD =2△ABD=2_3△APQ
B
E
C
=6△APQ=6_20=120 (cmÛ`) 120 cmÛ`
6 cm
Q
D
F
7. 닮음의 활용 | 39
333 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그어 대각
선 BD와 만나는 점을 O라 하면 두 점 P,
Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중
심이다.
A
Q
P
O
D
F
B
E
C
∴ (색칠한 부분의 넓이) =(cid:8772)PECO+(cid:8772)OCFQ
STEP
2
심화 문제
340 △ABD에서
93쪽~98쪽
AFÓ=FDÓ=
ADÓ=
_10=5`(cm)
;2!;
;2!;
EFÓ=
BDÓ=
_4=2`(cm)
;2!;
;2!;
△PFE와 △PDC에서
∠FEP=∠DCP (엇각), ∠EFP=∠CDP (엇각)
따라서 △PFE»△PDC (AA 닮음)이므로
PFÓ ：PDÓ=EFÓ ：CDÓ=2 ：8=1 ：4
=
;3!;_
30=10 (cmÛ`)
10 cmÛ`
∴ PDÓ=
FDÓ=
_5=4`(cm)
;5$;
;5$;
4`cm
341 오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나고
ABÓ에 평행한 직선을 그어 CFÓ와 만나는
점을 H라 하면
100 cmÛ`
△AEF와 △DEH에서
∠AEF=∠DEH (맞꼭지각),
A
F
4 cm
E
D
H
B
C
∴
∴
=
;3!;△ABC+
;3!;△ACD
=
(cid:8772)ABCD+
(cid:8772)ABCD
;6!;
;6!;
=
(cid:8772)ABCD
;3!;
ADÓ : CBÓ=8 : 20=2 : 5
334 △ODA»△OBC (AA 닮음)이므로 닮음비는
따라서 △ODA : △OBC=2Û` : 5Û`=4 : 25이므로
16 : △OBC=4 : 25
∴ △OBC=100 (cmÛ`)
335 두 구 A, B의 겉넓이의 비가 16 : 9=4Û` : 3Û`이므로 닮음비는
4 : 3이다.
따라서 부피의 비는 4Ü` : 3Ü`=64 : 27이므로 구 A의 부피를
x cmÜ`라 하면
x : 54p=64 : 27
∴ x=128p
따라서 구 A의 부피는 128p cmÜ`이다.
128p cmÜ`
336 세 원뿔 A, (A+B), (A+B+C)의 닮음비가 1 : 2 : 3이므로
부피의 비는 1Ü` : 2Ü` : 3Ü`=1 : 8 : 27
따라서 세 입체도형 A, B, C의 부피의 비는
1 : (8-1) : (27-8)=1 : 7 : 19
입체도형 C의 부피를 x cmÜ`라 하면
4p : x=1 : 19
∴ x=76p
따라서 입체도형 C의 부피는 76p cmÜ`이다.
76p`cmÜ`
337 △ACB»△ECD (AA 닮음)이므로
ABÓ : EDÓ=BCÓ : DCÓ
ABÓ : 8=60 : 15
∴ ABÓ=32 (m)
32 m
∠EAF=∠EDH (엇각), AEÓ=DEÓ
따라서 △AEFª△DEH ( ASA 합동)이므로
이때 △CFB에서 BDÓ=CDÓ, DHÓ∥BFÓ이므로
CHÓ=HFÓ=4+4=8 (cm)
EHÓ=EFÓ=4 cm
∴ ECÓ=EHÓ+HCÓ=4+8=12 (cm)
12 cm
342 △ABD에서 EGÓ=
ABÓ
;2!;
△BCD에서 GFÓ=
CDÓ
;2!;
이때 ABÓ=CDÓ이므로 EGÓ=GFÓ
즉 △EGF는 EGÓ=GFÓ인 이등변삼각형이므로
∠EGF=180ù-2_32ù=116ù
116ù
343 ABÓ=2FEÓ=2_2IGÓ=4IGÓ
BCÓ=2DFÓ=2_2GHÓ=4GHÓ
338 실제 땅의 가로의 길이는
6 (cm)_10000 =60000 (cm)=600 (m)=0.6 (km)
CAÓ=2EDÓ=2_2HIÓ=4HIÓ
∴ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ
실제 땅의 세로의 길이는
4 (cm)_10000 =40000 (cm)=400 (m)=0.4 (km)
따라서 실제 땅의 둘레의 길이는
0.6+0.4+0.6+0.4=2 (km)
2 km
=4IGÓ+4GHÓ+4HIÓ
=4(IGÓ+GHÓ+HIÓ)
=4_(△GHI의 둘레의 길이)
=4_12=48`(cm)
48 cm
339 (축척)=
5 cm
3`km
=
5 cm
300000`cm
=
;600!00;
실제 밭의 가로의 길이는
344 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A를
지나고 CDÓ에 평행한 직선을 그어
30 (cm)_60000 =1800000 (cm)=18000 (m)=18 (km)
PQÓ, RSÓ, BCÓ와 만나는 점을 각각 E,
실제 밭의 세로의 길이는
F, G라 하면
40 (cm)_60000 =2400000 (cm)=24000 (m)=24`(km)
EQÓ=GCÓ=ADÓ=16이므로
∴ (실제 밭의 넓이)=18_24=432 (kmÛ`)
432`kmÛ`
BGÓ=BCÓ-GCÓ=28-16=12
16
A
P
E
F
G
28
R
T
B
D
Q
S
U
C
40 | 정답과 해설
△ABG에서 ARÓ=RBÓ, RFÓ∥BGÓ이므로
348 점 G는 △ABC의 무게중심이므로
RFÓ=
BGÓ=
12=6
;2!;
;2!;_
△ARF에서 APÓ=PRÓ, PEÓ∥RFÓ이므로
PEÓ=
RFÓ=
;2!;
;2!;_
6=3
∴ PQÓ=PEÓ+EQÓ=3+16=19
19
345 EFGH에서 EFÓ=HGÓ=
ACÓ, EHÓ=FGÓ=
BDÓ이고
;2!;
;2!;
ACÓ=BDÓ이므로 EFGH는 마름모이다.
오른쪽 그림과 같이 EGÓ, HFÓ를 그
으면 EGÓ⊥HFÓ이고 ADÓ∥EGÓ∥BCÓ
12 cm
H
A
D
따라서 HFÓ∥DIÓ이므로
HFÓ=DIÓ=10`cm
한편 등변사다리꼴 ABCD에서 두
점 E, G는 각각 ABÓ, CDÓ의 중점이
E
B
10 cm
G
F
20 cm
I
C
므로
EGÓ=
(ADÓ+BCÓ)=
_(12+20)=16`(cm)
;2!;
;2!;
∴ EFGH=
_EGÓ_HFÓ
∴ EFGH=
_16_10=80`(cmÛ`)
80`cmÛ`
346 두 점 M, N은 각각 ABÓ, CDÓ의 중점이므로 ADÓ∥MNÓ∥BCÓ이고
MNÓ=
(ADÓ+BCÓ)=
_(4+6)=5`(cm)
;2!;
;2!;
오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ에 내
A
4 cm
D
린 수선의 발을 E, AEÓ와 MNÓ의 교점을
F라 하자.
AMÓ=MBÓ, MFÓ∥BEÓ이므로 AFÓ=FEÓ
이때 AFÓ=FEÓ=h`cm라 하면
M
F
B
E
6 cm
N
C
AMND=
_(4+5)_h=9
∴ h=2
∴ MBCN=
_(5+6)_2=11`(cmÛ`)
11`cmÛ`
347 △ABD에서 ABÓ∥MPÓ이고 MPÓ=
ABÓ
;2!;
△BCD에서 PNÓ∥DCÓ이고 PNÓ=
DCÓ
;2!;
이때 ABÓ=DCÓ이므로 MPÓ=PNÓ
즉 △PNM은 MPÓ=PNÓ인 이등변삼각형이다.
ABÓ∥MPÓ이므로 ∠MPD=∠ABD=30ù (동위각)
PNÓ∥DCÓ이므로 ∠BPN=∠BDC=70ù (동위각)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
AGÓ=
ADÓ=
_8=
`(cm)
;3@;
:Á3¤:
;3@;
또 ADÓ는 △ABC의 중선이므로
BDÓ=CDÓ=
BCÓ=
_12=6`(cm)
;2!;
;2!;
오른쪽 그림과 같이 BIÓ를 그으면 점 I는
△ABC의 내심이므로
8 cm
A
10 cm
∠ABI=∠DBI
따라서 BAÓ ：BDÓ=AIÓ ：DIÓ이므로
B
C
I
G
D
12 cm
AIÓ ：DIÓ=10 ：6=5 ：3
AIÓ=
ADÓ=
_8=5`(cm)이므로
;8%;
;8%;
IGÓ=AGÓ-AIÓ=
-5=
`(cm)
:Á3¤:
;3!;
;3!;
`cm
349 AGÓ : GLÓ=2 : 1이므로
GLÓ=
ALÓ=
_9=3`(cm)
;3!;
;3!;
BGÓ : GMÓ=2 : 1이므로
BGÓ=
BMÓ=
_11=
`(cm)
;3@;
;3@;
:ª3ª:
이때 GKÓ=KBÓ이므로
GKÓ=
BGÓ=
_
=
`(cm)
;2!;
:ª3ª:
:Á3Á:
;2!;
CGÓ : GNÓ=2 : 1이므로
CGÓ=
CNÓ=
;3@;
;3@;
이때 △BCG에서
_8=
`(cm)
:Á3¤:
KLÓ=
GCÓ=
_
=
`(cm)
;2!;
:Á3¤:
∴ (△GKL의 둘레의 길이)=GLÓ+GKÓ+KLÓ
;3*;
;2!;
=3+
+
:Á3Á:
;3*;
=
:ª3¥:
`(cm)
:ª3¥:
`cm
350 오른쪽 그림에서 점 G가 △ABC의 무
게중심이므로 GDÓ=2r라 하면
AGÓ=4r
따라서 ADÓ, AGÓ, GDÓ를 지름으로 하는 원
A
O4r
G
2r
D
의 넓이를 각각 구하면
B
C
( ADÓ를 지름으로 하는 원의 넓이)
=p_(3r)Û`=9prÛ`
( AGÓ를 지름으로 하는 원의 넓이)
=p_(2r)Û`=4prÛ`
( GDÓ를 지름으로 하는 원의 넓이)
따라서 ∠DPN=180ù-∠BPN=180ù-70ù=110ù이므로
=p_rÛ`=prÛ`
∠ MPN=∠MPD+∠DPN=30ù+110ù=140ù
∴ (색칠한 부분의 넓이) =9prÛ`-(4prÛ`+prÛ`)
∴ ∠PNM=
_(180ù-∠MPN)
=
_(180ù-140ù)=20ù
20ù
=9prÛ`-5prÛ`=4prÛ`
따라서 GDÓ를 지름으로 하는 원의 넓이와 색칠한 부분의 넓이의
비는 prÛ` : 4prÛ`=1 : 4
1 : 4
7. 닮음의 활용 | 41
351 △ADC에서 AEÓ와 CGÓ는 각각 중선이므로 점 F는 △ADC
의 무게중심이다.
즉 AFÓ : FEÓ=2 : 1이므로 △AFC : △FEC=2 : 1
△AFC : 2=2 : 1
∴ △AEC=△AFC+△FEC=4+2=6`(cmÛ`)
이때 BDÓ=DEÓ=ECÓ이므로
△ABC=3△AEC=3_6=18`(cmÛ`)
∴ △AFC=4`(cmÛ`)
18`cmÛ`
8 : △GDF=2 : 1
∴ △GDF=4 (cmÛ`)
352 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 AGÓ : GDÓ=2 : 1
즉 △GFA : △GDF=2 : 1이므로
∴ △ADF =△GFA+△GDF=8+4=12 (cmÛ`)
이때 △ADC에서 GFÓ∥DCÓ이므로
AFÓ : FCÓ=AGÓ : GDÓ=2 : 1
즉 △ADF : △FDC=2 : 1이므로
∴ △FDC=6 (cmÛ`)
12 : △FDC=2 : 1
353 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면 점
G는 △BCD의 무게중심이므로
△GBE=
;6!;△BCD
△GBE=
ABCD
;6!;_;2!;
△GBE=
_72=6 (cmÛ`)
;1Á2;
355 △BCE와 △CDF에서
BCÓ=CDÓ, ∠BCE=∠CDF=90ù, CEÓ=DFÓ
따라서 △BCEª△CDF ( SAS 합동)이므로
∠EBC=∠FCD, BEÓ=CFÓ=5`cm
△BCE와 △CGE에서
∠EBC=∠ECG, ∠BEC는 공통
따라서 △BCE»△CGE ( AA 닮음)이고 닮음비는
△BCE : △CGE=5Û` : 3Û`=25 : 9
BEÓ : CEÓ=5 : 3이므로
△BCE=
_4_3=6 (cmÛ`)이므로
;2!;
6 : △CEG=25 : 9
∴ △CEG=
(cmÛ`) ;2%5$;
cmÛ`
;2%5$;
6 cmÛ`
A
D
G
F
B
E
C
AEÓ : ABÓ=1 : 2
356 △AEH»△ABD ( SAS 닮음)이고 닮음비는
따라서 △AEH : △ABD=1Û` : 2Û`=1 : 4
∴ △ABD=4△AEH=4_4=16 (cmÛ`)
△CGF»△CDB ( SAS 닮음)이고 닮음비는
따라서 △CGF : △CDB=1Û` : 2Û`=1 : 4
∴ △CDB=4△CGF=4_10=40 (cmÛ`)
오른쪽 그림과 같이 ACÓ와 EHÓ가 만나
CGÓ : CDÓ=1 : 2
는 점을 P, BDÓ와 EFÓ, HGÓ가 만나는
6 cmÛ`
점을 각각 Q, R라 하면
△AEP와 △EBQ에서
∠AEP=∠EBQ (동위각),
A
E
B
P
Q
H
D
R
G
F
C
354 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그어 대
각선 BD와 만나는 점을 O라 하면 두
점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의
무게중심이므로
A
P
Q
O
D
N
B
M
C
(오각형 PMCNQ의 넓이) =PMCO+OCNQ
=
;3!;△ABC+
;3!;△ACD
=
_
;3!;
;2!;
ABCD
+
_
;3!;
;2!;
ABCD
=
ABCD+
ABCD
;6!;
;3!;
;6!;
;3!;
=
ABCD=
_48=16`(cmÛ`)
한편 BNÓ을 그으면
△MCN=
;2!;△NBC=
;2!;
_
;2!;△DBC
=
_
;4!;
;2!;
ABCD=
ABCD
;8!;
=
_48=6`(cmÛ`)
;8!;
∴ PMNQ =(오각형 PMCNQ의 넓이)-△MCN
=16-6=10`(cmÛ`)
10`cmÛ`
42 | 정답과 해설
AEÓ=EBÓ, ∠EAP=∠BEQ (동위각)
∴ △AEPª△EBQ ( ASA 합동)
마찬가지 방법으로 △APHª△HRD ( ASA 합동)
∴ EQRH=△ABD-(△AEH+△EBQ+△HRD)
∴ EQRH=△ABD-(△AEH+△AEP+△APH)
∴ EQRH =△ABD-2△AEH
=16-2_4=8 (cmÛ`)
마찬가지 방법으로
QFGR =△CDB-2△CGF=40-2_10=20 (cmÛ`)
∴ EFGH =EQRH+QFGR=8+20=28 (cmÛ`)
28 cmÛ`
357 주어진 그림에서 처음 정사각형의 한 변의 길이를 a라 하자.
[1단계]에서 잘라 내는 정사각형의 한 변의 길이는
;3!;
a
2단계]에서 잘라 내는 정사각형의 한 변의 길이는
{;3!;}
a
2`
이와 같은 방법으로 n단계에서 잘라 내는 정사각형의 한 변의
길이는
a이므로 [3단계], [4단계]에서 잘라 내는 정사각형의
{;3!;}
n`
한 변의 길이는 각각
a,
{;3!;}
{;3!;}
a이다.
3`
4`
[
따라서 [3단계]에서 잘라 내는 정사각형과 [4단계]에서 잘라 내는
정사각형의 닮음비는
=3 : 1이므로 넓이의 비는
3Û` : 1Û`=9 : 1`
9 : 1`
:
{;3!;}
{;3!;}
3`
4`
362 두 지점 A, B 사이의 실제 거리는
6 (cm)_200000 =1200000 (cm)
=12000 (m)=12 (km)
(9_1) : (1_27)=9 : 27=1 : 3
1 : 3
위의 그림과 같이 벽면이 그림자를 가리지 않았다고 할 때, ADÓ의
따라서 두 지점 A, B 사이를 시속 3 km로 갈 때 걸리는 시간은
=4(시간)이므로 왕복하는 데 걸리는 시간은
8시간
:Á3ª:
4_2=8(시간)
363
A
D
1.5 m
A'
1 m
B
3.6 m
C
E
B'
1.2 m
C'
연장선과 BCÓ의 연장선의 교점을 E라 하면
△DCE»△A'B'C' (AA 닮음)이므로
CEÓ : B'C'Ó=DCÓ : A'B'Ó
CEÓ : 1.2=1.5 : 1 ∴ CEÓ=1.8 (m)
또 △ABE»△A'B'C' (AA 닮음)이므로
ABÓ : A'B'Ó=BEÓ : B'C'Ó
ABÓ : 1=(3.6+1.8) : 1.2
∴ ABÓ=4.5 (m)
따라서 나무의 높이는 4.5`m이다.
4.5`m
358 정육면체 모양의 상자의 한 모서리의 길이를 a라 하면 상자 A
에 들어 있는 공 1개의 지름의 길이는 a, 상자 B에 들어 있는 공
1개의 지름의 길이는
a이다.
;3!;
이때 두 상자 A, B에 들어 있는 공 1개의 지름의 길이의 비는
a :
a=3 : 1이므로 겉넓이의 비는 3Û` : 1Û`=9 : 1
;3!;
따라서 두 상자 A, B에 들어 있는 공의 개수는 각각 1개, 27개이
므로 두 상자에 들어 있는 공 전체의 겉넓이의 비는
359 △DGH»△DEF (AA 닮음)이고 닮음비는
따라서 △DGH : △DEF=1Û` : 4Û`=1 : 16이므로
DGÓ : DEÓ=1 : (1+3)=1 : 4
△DGH=
;1Á6;△DEF
∴ (색칠한 입체도형의 부피)=(삼각뿔 A-DGH의 부피)
=
;3!;
_△DGH_ADÓ
=
_
;1Á6;△DEF_ADÓ
;3!;
=
_(삼각기둥의 부피)
;4Á8;
=
;4Á8;
_192=4`(cmÜ`) 4`cmÜ`
STEP
3
고난도 문제
364 오른쪽 그림과 같이 점 M을 지나고 BCÓ
에 평행한 직선이 ACÓ와 만나는 점을 E라
360 작은 컵에 전체 높이의
만큼의 물 27 mL가 들어 있으므로
;3!;
작은 컵에 물을 가득 채우면 81 mL가 들어간다. 작은 컵의 높이가
하면
큰 컵의 높이의
이므로 작은 컵과 큰 컵의 닮음비는 3 : 4이다.
;4#;
AMÓ=MBÓ, MEÓ∥BCÓ이므로 AEÓ=ECÓ
이때 DEÓ를 그으면 점 E는 직각삼각형 ADC
따라서 작은 컵과 큰 컵의 부피의 비는 3Ü` : 4Ü`=27 : 64
의 외심이므로 AEÓ=CEÓ=DEÓ
큰 컵에 물을 가득 채우기 위해 필요한 물의 양을 x mL라 하면
∴ ∠ADE=∠A
99쪽~100쪽
A
M
E
D
B
C
4 cm
27 : 64=81 : x
∴ x=192
따라서 큰 컵에 물을 가득 채우기 위해 필요한 물의 양은 192 mL
이다.
192`mL
361 아래 원뿔에 비어 있는 작은 원뿔의 높이와 전체 원뿔의 높이의
비는 1 : 2이므로 부피의 비는 1Ü` : 2Ü`=1 : 8이다.
한편 MEÓ∥BCÓ이므로 ∠AME=∠B=2∠A (동위각)
따라서 △MDE에서 ∠AME=∠MDE+∠MED이므로
∴ ∠MED=∠A
따라서 △MDE에서 ∠MDE=∠MED이므로
2∠A=∠A+∠MED
MDÓ=MEÓ=
BCÓ=
_4=2`(cm)
2`cm
;2!;
;2!;
현재 위에 남아 있는 물이 아래로 모두 떨어지는 데 걸리는 시간을
t분이라 하면 위의 원뿔에 가득 차 있는 물이 아래로 모두 떨어지
365 AEÓ∥GCÓ, AEÓ=GCÓ이고 HDÓ∥BFÓ, HDÓ=BFÓ이므로
AECG와 HBFD는 평행사변형이다.
는 데 걸리는 시간이 한 시간, 즉 60분이므로
따라서 PSÓ∥QRÓ, PQÓ∥SRÓ이므로 PQRS는 평행사변형이다.
t : 60=1 : 8
∴ t=7.5
따라서 현재 위에 남아 있는 물이 아래로 모두 떨어지는 데 7.5분
이 걸린다.
7.5분
∴ SRÓ=PQÓ
△DRC에서 DGÓ=GCÓ, SGÓ∥RCÓ이므로
DSÓ=SRÓ
yy ㉠
yy ㉡
7. 닮음의 활용 | 43
또 △ABP에서 AEÓ=EBÓ, APÓ∥EQÓ이므로
PQÓ=QBÓ
마찬가지 방법으로 HGÓ : GEÓ=1 : 2
yy ㉢
한편 AGÓ : GDÓ=2 : 1이므로
㉠, ㉡, ㉢에서 DSÓ=SRÓ=PQÓ=QBÓ
또 △BCQ에서 BFÓ=FCÓ, QBÓ∥RFÓ이므로 QRÓ=RCÓ
∴ QBÓ=2RFÓ
∴ DFÓ =DSÓ+SRÓ+RFÓ
△GDE=
;2!;△GEA=
;2!;_;6!;△ABC
△GDE=
;1Á2;△ABC=
또 FGÓ : GDÓ=1 : 2, HGÓ : GEÓ=1 : 2이므로
_192=16 (cmÛ`)
;1Á2;
=QBÓ+QBÓ+RFÓ
=2QBÓ+RFÓ
=2_2RFÓ+RFÓ=5RFÓ
즉 DFÓ : RFÓ=5 : 1이므로
△RFC=
;5!;△DFC=
;5!;
_
;2!;△BCD
=
_
;2!;ABCD
;1Á0;
=
;2Á0;
_40=2`(cmÛ )
366 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
GMÓ=
AMÓ=
_24=8`(cm)
;3!;
;3!;
오른쪽 그림과 같이 AG'Ó, MG'Ó의 연
A
장선이 BMÓ, ABÓ와 만나는 점을 각각
D, E라 하면
AEÓ=BEÓ
MEÓ는 △ABM의 중선이므로
M
36 cm
AMÓ은 이등변삼각형 ABC의 중선이므로 △ABM은
∠AMB=90ù인 직각삼각형이다.
D
B
즉 점 E는 직각삼각형 ABM의 외심이므로
30 cm
E
30 cm
G
24 cm
G′
MEÓ=
ABÓ=
_30=15`(cm)
;2!;
;2!;
이때 점 G'은 △ABM의 무게중심이므로
MG'Ó=
MEÓ=
_15=10`(cm)
;3@;
;3@;
이때 △AG'G»△ADM (SAS 닮음)이므로 닮음비는
G'GÓ ：DMÓ=AG'Ó ：ADÓ=2 ：3
한편 BMÓ=CMÓ=
BCÓ=
_36=18`(cm)이므로
;2!;
;2!;
DMÓ=
BMÓ=
_18=9`(cm)
;2!;
;2!;
즉 G'GÓ ：9=2 ：3이므로 G'GÓ=6`(cm)
∴ (△G'MG의 둘레의 길이) =MG'Ó+GMÓ+G'GÓ
△GHD=△GEF=
;2!;△GDE=
;2!;_
16=8 (cmÛ`)
또 △GFH=
;2!;△GHD=
;2!;_
8=4 (cmÛ`)
∴ DEFH =△GDE+△GEF+△GFH+△GHD
=16+8+4+8
=36 (cmÛ`)
36 cmÛ`
2`cmÛ`
368 ⑴ BMÓ=MCÓ=
BCÓ=
;2!;
;2!;_
12=6 (cm)
오른쪽 그림과 같이 점 N을 지나
12 cm
고 MCÓ에 평행한 직선을 그어 DMÓ
과 만나는 점을 G라 하면
△DMC에서
10 cm
A
B
D
N
C
E
G
F
M
GNÓ=
MCÓ=
6=3 (cm)
;2!;
;2!;_
이때 △AED»△NEG (AA 닮음)이므로
AEÓ : NEÓ=ADÓ : NGÓ=12 : 3=4 : 1
C
⑵ △DMC=
6
10=30 (cmÛ`)
;2!;_
_
AEÓ : NEÓ=4 : 1이고
DNÓ=NCÓ=
DCÓ=
10=5 (cm)이므로
;2!;
;2!;_
△DEN=
;5!;△AND
△DEN =
;5!;_{;2!;_
}
12_5
=6 (cmÛ`)
10 cm
A
B
12 cm
F
M
E
D
N
C
오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으
면 점 F는 △DBC의 무게중심이
므로
△FMC=
;6!;△DBC
△FMC =
;6!;_{;2!;_
△FMC =10 (cmÛ`)
12_10
}
=10+8+6=24`(cm) 24`cm
⑴ 4 : 1 ⑵ 14`cmÛ`
∴ EFCN =△DMC-△DEN-△FMC
=30-6-10=14 (cmÛ`)
367 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 GDÓ=a cm라 하면
ADÓ=3 GDÓ=3a (cm), FDÓ=
ADÓ=
;2!;_3a=
;2#;a (cm)
∴ FGÓ=FDÓ-GDÓ=
a-a=
a (cm)
;2#;
;2!;
;2!;
369 오른쪽 그림과 같이 BCÓ, CDÓ의 중점
을 각각 M, N이라 하면 두 점 F, G는
각각 △ABC, △ACD의 무게중심이
고 △AFG»△AMN ( SAS 닮음)이
므로 닮음비는 AFÓ : AMÓ=2 : 3
A
H
B
F
E
M
G
D
N
C
∴ FGÓ : GDÓ=
a : a=1 : 2
;2!;
BDÓ=a라 하면 MNÓ=
BDÓ=
a이므로
;2!;
;2!;
44 | 정답과 해설
FGÓ : MNÓ=2 : 3에서
FGÓ :
a=2 : 3
∴ FGÓ=
;2!;
a
;3!;
따라서 정사면체 A-BCD와 정사면체 E-FGH의 닮음비는
BDÓ : FGÓ=a :
a=3 : 1이므로
;3!;
부피의 비는 3Ü` : 1Ü`=27 : 1
216 : (정사면체 E-FGH의 부피)=27 : 1
∴ (정사면체 E-FGH의 부피)=8
8
B
D
F
A
C
E
370 원뿔대 모양의 그릇의 두 밑면의 넓이의 비가
9 : 4=3Û` : 2Û`이므로 오른쪽 그림에서
ABÓ : EFÓ=3 : 2
ABÓ=3a, EFÓ=2a라 하면
AEFB에서 CDÓ=
(3a+2a)Ó=
;2!;
a
;2%;
∴ ABÓ : CDÓ : EFÓ=3a :
a : 2a
;2%;
=6 : 5 : 4
피의 비는 6Ü` : 5Ü` : 4Ü`=216 : 125 : 64
더 넣어야 하는 물의 양을 x mL라 하면
122 : x=(125-64) : (216-125)
122 : x=61 : 91
∴ x=182
따라서 ABÓ, CDÓ, EFÓ를 각각 밑면의 반지름으로 하는 원뿔의 부
따라서 더 넣어야 하는 물의 양은 182 mL이다.
182`mL
371 오른쪽 그림과 같이 가로
등의 꼭대기를 O, 가로등 바
로 밑의 지면을 H라 하면
D
OHÓ=3.2`m
정은이가 A 지점에 있을 때,
Q
B
1.6 m
1.6 m
O
P
3.2 m
AC
4.5 m
H
1.5 m
정은이의 머리 끝을 P, 이때 그림자의 끝을 C라 하면
PAÓ=1.6`m, AHÓ=1.5`m
△CHO에서 PAÓ∥OHÓ이므로
CAÓ : CHÓ=PAÓ : OHÓ=1.6 : 3.2=1 : 2
즉 CAÓ : AHÓ=1 : 1이므로 CAÓ=AHÓ=1.5`m
따라서 정은이가 A 지점에 있을 때의 그림자의 길이는 1.5 m
정은이가 B 지점에 있을 때, 정은이의 머리 끝을 Q, 이때 그림자의
이다.
끝을 D라 하면
8 피타고라스 정리
104쪽~108쪽
STEP
1
실력 문제
xÛ
372 △ADC에서
=12Û
=13Û
△ABC에서
+12Û
=16Û
-5Û
yÛ
`
`
`
`
`
`
`
`
∴ x=12 (∵ x>0)
=20Û
∴ y=20 (∵ y>0)
∴ x+y=12+20=32
32
ADÓ
=15Û
373 △ABD에서
-9Û
`
△ADC에서
-12Û
=20Û
DCÓ
`
`
=12Û
`
∴ ADÓ=12
(cm) (∵ ADÓ>0)
`
`
따라서 BCÓ=9+16=25
`
`
`
=16Û
∴ DCÓ=16
`
(cm)이므로
`
△ABC=
;2!;
_25_12=150
(cmÛ
)
`
`
(cm) (∵ DCÓ>0)
150
cmÛ
`
`
374 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서
BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면
9 cm
D
A
B
10 cm
C
H
15 cm
(cm)
=8Û
`
`
HCÓ=15-9=6
△DHC에서
-6Û
=10Û
DHÓ
`
∴ DHÓ=8
`
`
즉 ABÓ=DHÓ=8
(cm) (∵ DHÓ>0)
`
cm이므로 △ABC에서
∴ ACÓ=17
`
=17Û
ACÓ
=8Û
+15Û
`
`
`
`
(cm) (∵ ACÓ>0)
`
17
cm
`
`
BDÓ
=25Û
=15Û
375 BDÓ를 그으면 △ABD에서
+20Û
`
△BCD에서
∴ BCÓ=7
`
∴ ABCD=△ABD+△BCD
=25Û
-24Û
=7Û
BCÓ
`
`
`
`
`
`
∴ BDÓ=25
(cm) (∵ BDÓ>0)
`
(cm) (∵ BCÓ>0)
=
_15_20+
_7_24
;2!;
;2!;
=234
(cmÛ
`
`
)
234
cmÛ
`
`
`
ABÓ Û
`
ACÓ Û
`
8. 피타고라스 정리 | 45
QBÓ=1.6 m, BHÓ=4.5 m
△DHO에서 QBÓ∥OHÓ이므로
DBÓ : DHÓ=QBÓ : OHÓ=1.6 : 3.2=1 : 2
즉 DBÓ : BHÓ=1 : 1이므로 DBÓ=BHÓ=4.5`m
따라서 정은이가 B 지점에 있을 때의 그림자의 길이는 4.5 m이다.
그러므로 B 지점에 있을 때의 그림자의 길이는 A 지점에 있을 때
376 △ABC에서
=5Û
=3Û
+4Û
BCÓ
`
`
`
∴ BCÓ=5 (∵ BCÓ>0)
=BHÓ_BCÓ에서 3Û
=x_5
∴ x=
=CHÓ_CBÓ에서 4Û
=y_5
∴ y=
`
`
;5(;
:Á5¤:
의 그림자의 길이보다 4.5-1.5=3`(m) 더 길어졌다. 3`m
∴ yÛ
-xÛ
=
`
`
{:Á5¤:}
`
{;5(;}
`
-
=7
7
Û
Û
Û
Û
Û
2
2
Û
Û
377 △ABC에서
=8Û
`
ACÓ
`
이때 점 M은 빗변의 중점이므로 외심이다.
∴ ACÓ=10
=10Û
+6Û
`
`
`
(cm) (∵ ACÓ>0)
+2Û
383 ㉠ 5Û
㉣ 19Û
`
+8Û
+4Û
`
`
+15Û
㉡ 7Û
`
㉤ 15Û
+4Û
+6Û
`
=9Û
`
+12Û
`
`
`
`
`
`
㉢ 13Û
㉥ 26Û
=5Û
`
=10Û
+12Û
`
+24Û
`
`
따라서 직각삼각형인 것은 ㉢, ㉤, ㉥이다.
`
`
㉢, ㉤, ㉥
∴ AMÓ=BMÓ=CMÓ=
ACÓ=
_10=5 (cm)
;2!;
BAÓ
`=ADÓ_ACÓ에서 6Û
=ADÓ_10 ∴ ADÓ=
(cm)
:Á5¥:
∴ DMÓ=AMÓ-ADÓ=5-
=
:Á5¥:
;5&;`
(cm)
;5&;`
cm
;2!;
`
378 △BFJ=△BFA, △EBA=△EBC이고
△BFAª△BCE (SAS 합동)이므로
△BFJ=△EBA=
ADEB=
_4Û
=8
(cmÛ
)
;2!;
`
`
`
;2!;
또 △ABC에서
=5Û
=4Û
+3Û
BCÓ
`
따라서 BFÓ=BCÓ=5
`
`
`
∴ BCÓ=5
(cm) (∵ BCÓ>0)
`
cm이므로
`
8=
_5_BJÓ
∴ BJÓ=
(cm)
;2!;
:Á5¤:
:Á5¤:
cm
379 △AEHª△BFEª△CGFª△DHG ( SAS 합동)이므로
EHÓ=FEÓ=GFÓ=HGÓ
384 ACÓ를 그으면 △ACD에서
+6Û
`
`=8Û
ACÓ Û
=10Û
`
`
이때 △ABC는 26Û
다.
`
∴ ACÓ=10
(cm) (∵ ACÓ>0)
`
=24Û
+10Û
이므로 ∠C=90ù인 직각삼각형이
`
`
∴ ABCD=△ABC+△ACD
∴ ABCD=
_24_10+
_8_6
;2!;
∴ ABCD=120+24=144
(cmÛ`)
;2!;
`
144
cmÛ
`
`
385 Ú 가장 긴 변의 길이가 x일 때
=61
xÛ
=5Û
+6Û
Û 가장 긴 변의 길이가 6일 때
`
`
`
`
`
6Û
=5Û
+xÛ
∴ xÛ
`
`
=11
Ú, Û에서 직각삼각형이 되도록 하는 xÛ
의 값은 11, 61이다.
`
386 x가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 될 수 있는 조건에 의하여
yy ㉠
9<x<9+6 ∴ 9<x<15
∠A<90ù이므로 xÛ
<9Û
+6Û
`
`
`
13
∴ xÛ
<117
`
㉠, ㉡에서 자연수 x의 값은 10이다.
11, 61
yy ㉡
10
즉 EFGH는 정사각형이다.
AEÓ=5-3=2이므로
△AEH에서 EHÓ
+2Û
∴ EFGH=EHÓ Û`=13
=3Û
`
`
`
=13
380 △ABPª△BCQª△CDRª△DAS ( SAS 합동)이므로
① DSÓ=CRÓ=8
② △ABP에서
BPÓ
=17Û
-8Û
=15Û
∴ BPÓ=15 (∵ BPÓ>0)
`
`
③ △DRC=
`
;2!;
_8_15=60
`
④ RSÓ=DRÓ-DSÓ=15-8=7
⑤ PQRS=RSÓ
`=7Û
`
=49
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
cm이므로
(cm) (∵ FCÓ>0)
381 △DFC에서 DFÓ=DAÓ=10
-8Û
∴ FCÓ=6
=10Û
=6Û
FCÓ
`
`
`
`
`
`
이때 BFÓ=10-6=4
△EBF»△FCD ( AA 닮음)이므로
EBÓ：FCÓ=BFÓ：CDÓ에서
(cm)이고,
`
EBÓ：6=4：8
∴ EBÓ=3
(cm)
∴ △EBF=
_3_4=6
(cmÛ`)
;2!;
6
cmÛ
`
`
`
`
382 ABÓ=BCÓ=16
`
AEÓ=ABÓ-EBÓ=16-6=10
cm이므로
이때 DEÓ=AEÓ=10
`
(cm)
cm이므로 △EBD에서
∴ BDÓ=8
`
(cm) (∵ BDÓ>0)
BDÓ
=10Û
-6Û
=8Û
`
∴ DCÓ=BCÓ-BDÓ=16-8=8
`
`
`
`
(cm)
`
46 | 정답과 해설
➡ 둔각삼각형
`
➡ 직각삼각형
>4Û
387 ① 8Û
② 10Û
`
=6Û
`
+6Û
`
+8Û
`
+12Û
`
`
③ 13Û
=5Û
➡ 직각삼각형
④ 6Û
➡ 예각삼각형
⑤ 7Û
<5Û
+6Û
➡ 예각삼각형
`
<4Û
`
+5Û
`
`
`
`
`
`
따라서 바르게 짝 지어지지 않은 것은 ④이다.
④
⑤
388 △ADE에서
DEÓ Û`=2Û
=20
∴ BEÓ Û`+CDÓ Û`=DEÓ Û`+BCÓ Û`=20+8Û
+4Û
`
`
=84
`
84
389 △OBC에서 OCÓ=OBÓ=4이므로
=32
=4Û
+4Û
BCÓ
∴ ABÓ
`
`
`
+CDÓ
`
=ADÓ
`
`
+BCÓ
=3Û
+32=41
`
`
+CPÓ
390 APÓ
CPÓ
`
-DPÓ
=BPÓ
+DPÓ
`
=BPÓ
`
`
`
-APÓ
`
에서
`
=7Û
-6Û
`
`
`
=13
41
13
391 R=
;2!;
_p_10Û
=50p (cmÛ`)
`
P+Q=R이므로
8
cm
`
Q=50p-32p=18p
(cmÛ`)
`
18p
cmÛ
`
`
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
392 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로
30=
_5_ACÓ ∴ ACÓ=12
(cm)
;2!;
따라서 △ABC에서
`
=13Û
+12Û
=5Û
BCÓ
`
`
`
∴ BCÓ=13
(cm) (∵ BCÓ>0)
`
`
13
cm
`
393 ABÓ=ACÓ=x cm라 하면
△ABC에서 xÛ
∴ xÛ
`
`
∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC
+xÛ
=8Û
`
`
=32
=
_xÛ
`
;2!;
=
_32=16
(cmÛ`)
;2!;
`
16
cmÛ
`
`
=25p에서
`
394 p_BOÓ
BOÓ
=25
따라서 △ABO에서
=12Û
=13Û
AOÓ
-5Û
`
`
`
`
`
`
∴ BOÓ=5
(cm) (∵ BOÓ>0)
∴ AOÓ=12
(cm) (∵ AOÓ>0)
395
;3!;
_(p_8Û
)_ACÓ=320p에서
`
ACÓ=15
(cm)
`
따라서 △ABC에서
=17Û
=8Û
`
+15Û
ABÓ
`
`
`
∴ ABÓ=17
(cm) (∵ ABÓ>0)
396 원뿔의 밑면인 원의 반지름의 길이를 r
cm라 하면
`
12
cm
`
17
cm
`
`
`
2p_15_
=2pr
∴ r=9
;3@6!0^;
이때 원뿔의 높이를 h
cm라 하면
hÛ
=15Û
-9Û
=12Û
`
`
`
`
`
∴ h=12 (∵ h>0)
∴ (원뿔의 부피)=
_(p_9Û
)_12
;3!;
`
=324p
(cmÜ`)
`
397 오른쪽 그림과 같이 점 D를 ABÓ에
대칭이동한 점을 D'이라 하면
CPÓ+PDÓ =CPÓ+PD'Ó¾CD'Ó
△CED'에서
CD'Ó
=(2+4)Û
`
∴ CD'Ó=10 (∵ CD'Ó>0)
=10Û
+8Û
`
`
`
따라서 CPÓ+PDÓ의 최솟값은 10이다.
398 오른쪽 그림의 전개도에서 구
하는 최단 거리는 BF'Ó의 길이와
AB
CD
B'
같다.
△BFF'에서
`
∴ BF'Ó=13
BF'Ó
`
=(2+4+2+4)Û
+5Û
=13Û
`
`
(cm) (∵ BF'Ó>0)
`
F
4 cm
E
GH
2 cm
2 cm
4 cm
F'
399 오른쪽 그림의 전개도에서 최단 거리는
AB'Ó의 길이와 같으므로 AB'Ó=17p
△AA'B'에서
=(17p)Û
-(15p)Û
=(8p)Û
AA'Ó
cm
`
`
`
`
`
(cm) (∵ AA'Ó>0)
∴ AA'Ó=8p
`
이때 밑면인 원의 반지름의 길이를 r
A
cm라 하면
`
2pr=8p ∴ r=4
17
cm
p
B
B′
15
cm
p
A′
따라서 원기둥의 밑면인 원의 반지름의 길이는 4
cm이다.
`
4
cm
`
STEP
2
심화 문제
109쪽~114쪽
400 점 G는 △ABC의 무게중심이므로
`
(cm)
ADÓ=3GDÓ=3_5=15
이때 ADÓ는 △ABC의 중선이므로 점 D는 직각삼각형 ABC의
빗변의 중점이다. 즉 점 D는 △ABC의 외심이므로
BCÓ=2ADÓ=2_15=30
(cm)
따라서 △ABC에서
=18Û
=30Û
-24Û
ACÓ
`
`
`
`
`
∴ ACÓ=18
(cm) (∵ ACÓ>0)
`
18
cm
`
401 △ABC에서
=13Û
-5Û
BCÓ
`
`
=12Û
`
`
오른쪽 그림과 같이 ABÓ의 연장선과
A
∴ BCÓ=12
cm (∵ BCÓ>0)
`
점 D를 지나면서 BCÓ와 평행한 직선
의 교점을 E라 하면
△AED에서 EDÓ=BCÓ=12
고 AEÓ=5+4=9
(cm)이므로
`
cm이
ADÓ
=12Û
+9Û
`
`
=15Û
`
`
5 cm
B
4 cm
E
13 cm
C
4 cm
12 cm
D
∴ ADÓ=15
(cm) (∵ ADÓ>0)
`
15
cm
`
`
`
324p
cmÜ
`
`
C
2
A
4
E
P
8
8
D
4
B
4
D′
5 cm
402 ABCD의 한 변의 길이를 x라 하면
=ACÓ
=2xÛ
+xÛ
=xÛ
AEÓ
AGÓ
AIÓ
`
AKÓ
=AFÓ
`
=AHÓ
`
=AJÓ
`
`
=2xÛ
`
=3xÛ
`
=4xÛ
`
+xÛ
`
+xÛ
`
+xÛ
`
=3xÛ
`
=4xÛ
`
=5xÛ
`
`
`
10
`
즉 5xÛ
`
`
=45이므로
`
=9
xÛ
`
∴ x=3 (∵ x>0)
3
cm이므로
403 OCÓ를 그으면 OCÓ=OAÓ=17
△ECO에서
`=17Û`-15Û`=8Û`
ECÓ Û
`
따라서 OECD의 둘레의 길이는
∴ ECÓ=8
(cm)
(∵ ECÓ>0)
`
`
따라서 최단 거리는 13
cm이다.
`
13
cm
`
15+8+15+8=46
(cm)
`
46
cm
`
8. 피타고라스 정리 | 47
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
404 △ABC에서
-12Û
=20Û
BCÓ
`
`
`
`
=16Û
∴ BCÓ=16 (∵ BCÓ>0)
이때 BDÓ : CDÓ=ABÓ : ACÓ=20 : 12=5 : 3이므로
_16=6
CDÓ=
BCÓ=
;8#;
;8#;
따라서 △ADC에서
=6Û`+12Û
=180
ADÓ
`
`
405 BCÓ=ADÓ=6이므로 ECÓ=
BCÓ=
_6=4
;3@;
;3@;
한편 CDÓ=x라 하면
△DBC에서 DBÓ
△DEC에서 DEÓ
㉠ -㉡ 을 하면
`
`
=6Û
`
=4Û
`
+xÛ
`
+xÛ
`
DBÓ
-DEÓ
=6Û
-4Û
=20
`
`
`
`
406 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ에
내린 수선의 발을 H라 하면
BHÓ=CHÓ=
BCÓ=
_10=5
;2!;
;2!;
△AHC에서
-5Û
=13Û
AHÓ
`
∴ AHÓ=12 (∵ AHÓ>0)
`
`
=12Û
`
∴ △ABC=
_10_12=60
;2!;
180
yy ㉠
yy ㉡
20
A
P
H
10
13
E
C
13
D
B
이때 APÓ를 그으면 △ABC=△ABP+△APC에서
60=
_13_PDÓ+
_13_PEÓ
;2!;
60=
(PDÓ+PEÓ)
∴ PDÓ+PEÓ=
:Á1ª3¼:
:Á1ª3¼:
407 △AEDª△BCE이므로 AEÓ=BCÓ=12
△DAE에서
+12Û
∴ DEÓ=13
=13Û
=5Û
DEÓ
`
`
`
(∵ DEÓ>0)
`
이때 CEÓ=DEÓ=13이고, △DEC는 ∠DEC=90ù인 직각이등
변삼각형이므로
CDÓ
=13Û
+13Û
=338
`
따라서 CDÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이는
CDÓ
2 }
=
;2!;
_p_
CDÓ Û`
4
_p_
_p_
;2!;
;2!;
2`
=
}
2`
_p_
=
:£;4#:*;
:Á;4^:(;
p
;2!;
p
:Á;4^:(;
408 △ABD에서
=9Û
+12Û
BDÓ
`
이때 ABÓ
`
=15Û
`
`
=BPÓ_BDÓ에서
∴ BDÓ=15
(cm) (∵ BDÓ>0)
`
;2!;
:Á2£:
`
`
`
{
{
`
9Û
=BPÓ_15 ∴ BPÓ=
(cm)
:ª5¦:`
`
한편 △ABPª△CDQ ( RHA 합동)이므로
DQÓ=BPÓ=
cm
:ª5¦:`
48 | 정답과 해설
409 y=-
;4#;
x+6에 x=0을 대입하면 y=6
∴ A(0, 6)
y=-
x+6에 y=0을 대입하면 x=8
∴ B(8, 0)
;4#;
△AOB에서
+6Û
ABÓ
=8Û
`
이때 OAÓ_OBÓ=ABÓ_OHÓ에서
`
`
=10Û
`
∴ ABÓ=10 (∵ ABÓ>0)
6_8=10_OHÓ ∴ OHÓ=
:ª5¢:
:ª5¢:
410 점 M은 BCÓ의 중점이므로 △ABC의 외심이다.
즉 AMÓ=BMÓ=CMÓ이므로
BCÓ=2AMÓ=2_
=5
;2%;
△ABC에서
-3Û
ABÓ
=5Û
`
이때 ABÓ_ACÓ=ADÓ_BCÓ에서
`
`
=4Û
`
∴ ABÓ=4 (∵ ABÓ>0)
4_3=ADÓ_5
∴ ADÓ=
:Á5ª:
또 △DAM에서
ADÓ
=AEÓ_AMÓ이므로
`
2`
{:Á5ª:}
=AEÓ_
;2%;
∴ AEÓ=
;1@2*5*;
;1@2*5*;
H
I
C
A
J
G
K
B
F
411 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ
에 내린 수선의 발을 J, 그 연장선과
D
E
FGÓ가 만나는 점을 K라 하면
△ABF=△JBF이므로
BFKJ =2△JBF=2△ABF
`
(cmÛ`)
=2_24=48
또 △BCHª△GCA (SAS 합동)이고,
△GCA=△GCJ이므로 △BCH=△GCJ
JKGC =2△GCJ=2△BCH
=2_8=16 (cmÛ`)
∴ BFGC =BFKJ+JKGC
=48+16=64 (cmÛ`)
그런데 BFGC는 정사각형이므로
BCÓ
=64
∴ BCÓ=8
(cm) (∵ BCÓ>0)
`
`
8
cm
`
S¶
S§
S∞
4
C
S¡
A
S™ S£
3
B
5
S¢
412 오른쪽 그림과 같이 색칠한 각 정
사각형의 넓이를 SÁ, Sª, S£, y, S¦
이라 하면
SÁ+Sª=S£, S¤+S¦=S°,
S£+S°=S¢이므로
SÁ+Sª+S£+S¢+S°+S¤+S¦
=S£+S¢+S¢+S°
=S¢+S¢+S¢
=3S¢
=3_5Û`=75
∴ PQÓ=15-
+
=
(cm)
{:ª5¦:
:ª5¦:}
:ª5Á:`
:ª5Á:`
cm
75
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
413 △ABC에서
+12Û
=16Û
ACÓ
`
`
=20Û
`
`
∴ ACÓ=20
(cm) (∵ ACÓ>0)
`
DCÓ=ADÓ=
ACÓ=
_20=10
(cm)
;2!;
;2!;
`
이때 △AEDª△CED ( SAS 닮음)이므로 ∠ADE=90ù
따라서 △ABC»△EDC ( AA 닮음)이므로
ACÓ：ECÓ=BCÓ：DCÓ에서
20：ECÓ=16：10
∴ ECÓ=
(cm)
:ª2°:`
따라서 BEÓ=16-
=
:ª2°:
;2&;`
(cm)이므로
△ABE=
_
_12=21
;2!;
;2&;
(cmÛ
`
`
)
21
cmÛ
`
`
414 ① 서로 다른 길이의 선분 3개를 골라 삼각형을 만들 수 있는 경
cm), (4
우는 (4
cm, 10
cm),
cm, 8
cm, 6
cm, 8
(6
`
cm, 8
`
cm, 8
`
cm, 10
`
cm, 10
`
`
cm)의 3가지이다.
`
`
cm를 고르면 10Û
=6Û
`
`
② 6
`
`
빗변으로 하는 직각삼각형을 만들 수 있다.
+8Û
이므로 10
cm를
`
`
③, ④ 4
cm, 6
cm, 8
cm를 고르면 8Û
>4Û
+6Û
이므로 둔각삼각
`
`
`
`
`
`
`
`
형을 만들 수 있다.
4
cm, 8
cm, 10
`
`
`
을 만들 수 있다.
cm를 고르면 10Û
>4Û
+8Û
이므로 둔각삼각형
`
`
`
따라서 예각삼각형은 만들 수 없고, 둔각삼각형은 만들 수 있다.
⑤ 삼각형을 항상 만들 수 있는 것은 아니다.
따라서 옳은 것은 ①, ④이다.
①, ④
415 △ABC에서 DEÓ∥BCÓ이므로
ADÓ : ABÓ=DEÓ : BCÓ
1 ：3=DEÓ : 18
∴ BEÓ Û
`+CDÓ Û
`
=DEÓ Û
∴ DEÓ=6
`+BCÓ Û
`=6Û
`
416 오른쪽 그림과 같이 △ABP를
△DCP'으로 평행이동하면
DQCP'의 두 대각선은 서로 수
직이므로
`
A
B
DQÓ
+CP'Ó
=DP'Ó
+CQÓ
`
`
-CQÓ
`
`
`
-CP'Ó
=DP'Ó
`
`
∴ DQÓ
=7Û
-6Û
=13
`
`
`
+18Û
=360
360
P Q
7
6
D
C
7
6
P′
13
417 오른쪽 그림과 같이 MNÓ을 긋고
ACÓ=x라 하면 MNÓ은 삼각형의 두
변의 중점을 연결한 선분이므로
A
7
x
N
9
C
7
B
M
x
2
9
MNÓ=
;2{;
또 AMÓ=MBÓ=
ABÓ=
_14=7,
;2!;
;2!;
CNÓ=NBÓ=
BCÓ=
_18=9이므로 AMNC에서
;2!;
;2!;
AMÓ
+CNÓ
=ACÓ
+MNÓ
`
`
`
Û`,
`
`
7Û
+9Û
=xÛ
+
`
`
{;2{;}
;4%;
`
xÛ
=130
∴ xÛ
=104
`
418 ABÓ=x라 하면 BDÓ=2x
△ABD에서 ABÓ Û`=BEÓ_BDÓ이므로
xÛ
=BEÓ_2x ∴ BEÓ=
x (∵ x+0)
;2!;
`
DEÓ=2x-
x=
x
;2#;
;2!;
한편 △ABE에서
AEÓ
=xÛ`-
x
=
xÛ
이므로
`
{;2!;
AEÓ Û`+CEÓ Û`=BEÓ Û`+DEÓ Û`에서
;4#;
}
2`
`
xÛ
+28=
x
}
+
x
}
{;2#;
{;2!;
;4#;
;4&;
`
`
xÛ
=28, xÛ
`
2`
2`
=16 ∴ x=4 (∵ x>0)
따라서 ABÓ의 길이는 4이다.
4
419 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로
_ABÓ_12=54 ∴ ABÓ=9
(cm)
`
;2!;
△ABC에서
BCÓ
=9Û
+12Û
=15Û
`
이때 ABÓ_ACÓ=BCÓ_AHÓ에서
`
`
`
`
∴ BCÓ=15
(cm) (∵ BCÓ>0)
9_12=15_AHÓ ∴ AHÓ=
(cm)
:£5¤:`
:£5¤:`
cm
420 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 긋고 색칠한
각 부분의 넓이를 SÁ, Sª, S£, S¢라 하면
SÁ+Sª=△ABC
S£+S¢=△ACD
∴
`
SÁ+Sª+S£+S¢
=△ABC+△ACD
=ABCD
=5_7=35
(cmÛ
)
`
`
421 직선 l을 축으로 하여 1회전 시킬 때 만
들어지는 입체도형은 오른쪽 그림과 같다.
△ADB에서
-6Û
ADÓ Û
=8Û
`=10Û
`
∴ ADÓ=8
`
`
`
(cm) (∵ ADÓ>0)
A
S¢
D
S¡
S£
O
7 cm
5 cm
B
C
S™
35
cmÛ
`
`
A
C 10 cm
D
B
6 cm
이때 CDÓ=ACÓ=
ADÓ=
_8=4
(cm)이므로
;2!;
;2!;
`
구하는 입체도형의 부피는
_(p_6Û`)_8-
_(p_6Û`)_4
;3!;
;3!;
=96p-48p=48p`(cmÜ`)
422 오른쪽 그림과 같이 점 P를 BCÓ
에 대칭이동한 점을 P', 점 S를 ADÓ
에 대칭이동한 점을 S'이라 하면
PQÓ+QRÓ+RSÓ의 최솟값은 P'S'Ó의
A
P
x
B
P′
48p
cmÜ
`
`
R
x
S′
D
S
11
C
E
Q 20
20
8. 피타고라스 정리 | 49
따라서 ACÓ
의 값은 104이다.
`
104
길이와 같으므로 P'S'Ó=25
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
△S'P'E에서
-20Û
=25Û
S'EÓ
`
`
`
`
=15Û
∴ S'EÓ=15 (∵ S'EÓ>0)
이때 PBÓ=SDÓ=x라 하면 CEÓ=BP'Ó=S'DÓ=x이므로
S'EÓ=2x+11
즉 2x+11=15이므로 x=2
∴ PBÓ=2
423 오른쪽 그림의 전개도에서 구하는 최
단 거리는 ABÓ의 길이와 같다.
AA'Ó=2p_4=8p (cm)
A'A''Ó=
_2p_4=4p (cm)
;2!;
이므로
ABÓ
Û`=(12p)Û
∴ ABÓ=15p
+(9p)Û
=(15p)Û
`
`
(cm) (∵ ABÓ>0)
`
`
BCÓ
426 △ABC에서
+12Û
=16Û
∴ BCÓ=20
`
`
△ABC»△DBE ( AA 닮음)이므로
ABÓ : DBÓ=BCÓ : BEÓ에서
=20Û
`
`
`
(cm)
(∵ BCÓ>0)
`
16 : DBÓ=20 : 7 ∴ DBÓ=
(cm)
:ª5¥:`
∴ ADÓ=ABÓ-DBÓ=16-
=
:ª5¥:
:°5ª:`
(cm)
또 ACÓ : DEÓ=BCÓ : BEÓ에서
12 : DEÓ=20 : 7 ∴ DEÓ=
(cm)
:ª5Á:`
2
B
9
cm
p
A
cm
A′
8
p
A″
cm
4
p
∴ ADEF=
_
:°5ª:
:ª5Á:
=
;:!2)5(:@;`
(cmÛ
)
`
;:!2)5(:@;`
cmÛ
`
427 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서
PQÓ와 평행한 직선을 그어 ADÓ, BDÓ와
A
P
R
D
6
S
Q
C
8
6
B
15p cm
만나는 점을 각각 R, S라 하면
`△BCD에서
+6Û
=8Û
BDÓ
`
=10Û
`
`
`
∴ BDÓ=10 (∵ BDÓ>0)
CSÓ⊥BDÓ이므로 BCÓ_CDÓ=CSÓ_BDÓ에서
8_6=CSÓ_10
`△CDR에서 CDÓ Û
=
6Û
_CRÓ
`
:ª5¢:
∴ CSÓ=
:ª5¢:
`=CSÓ_CRÓ이므로
∴ CRÓ=
:Á2°:
이때 PQCR는 평행사변형이므로
STEP
3
고난도 문제
115쪽~116쪽
424 BMÓ=CMÓ=
ACÓ=x라 하면
;2!;
BCÓ=6, MNÓ=CNÓ=
CMÓ=3
;2!;
AMÓ이 ∠BAN의 이등분선이므로 ABÓ：ANÓ=BMÓ：NMÓ에서
PQÓ=CRÓ=
:Á2°:
:Á2°:
yy ㉠
yy ㉡
428 △ABC에서
=4Û
=5Û
ABÓ
-3Û
`
`
`
`
∴ ABÓ=4
(cm) (∵ ABÓ>0)
`
오른쪽 그림과 같이 점 G에서 HCÓ의 연
D
장선에 내린 수선의 발을 K라 하면
△ABCª△KGC ( RHA 합동)
이때 KGÓ=ABÓ=4
cm이므로
6
△CGH=
_CHÓ_KGÓ
;2!;
=
;2!;
_3_4=6
(cmÛ
)
`
`
E
A
4 cm
3 cm
H
I
C
5 cm
K
G
6
cmÛ
`
`
다른 풀이
△ABC에서
-3Û
=5Û
ABÓ
`
오른쪽 그림과 같이 점 H에서 GCÓ의 연
∴ ABÓ=4
=4Û
`
`
`
`
(cm) (∵ ABÓ>0)
D
장선에 내린 수선의 발을 J라 하면
△ABC»△JHC ( AA 닮음)
cm이므로
이때 HCÓ=ACÓ=3
ABÓ：JHÓ=BCÓ：HCÓ에서
4：JHÓ=5：3
∴ JHÓ=
(cm)
:Á5ª:`
E
4 cm
I
3 cm
A
J
H
5 cm
C
G
B
F
B
F
`
`
ABÓ：ANÓ=6：3=2：1
ABÓ=2k, ANÓ=k라 하면
△ABC에서 ACÓ
`
△ANC에서 ACÓ
㉠, ㉡에서 (2k)Û
`
=(2k)Û
-12Û
`
-3Û
`
=kÛ
`
-3Û
=kÛ
`
-12Û
4kÛ
-144=kÛ
`
`
따라서 ACÓ
`
`
-9, 3kÛ
`
=135
`
=45-9=36이므로
`
∴ kÛ
=45
`
`
ACÓ=6 (∵ ACÓ>0)
425 △ADC=
_9_12=54
(cmÛ
)이고
`
`
;2!;
cmÛ
△DBC=42
이므로
`
△ABC=△ADC+△DBC=54+42=96
cm라 하면
BDÓ=x
`
`
(cmÛ
)
`
`
;2!;
_12_(x+9)=96, x+9=16
∴ x=7
BCÓ Û
△ABC에서
`=(7+9)Û
`
∴ BCÓ=20
(cm)
`
이때 △DBC=42
`
+12Û
=20Û
`
`
(∵ BCÓ>0)
cmÛ
이므로
`
`
50 | 정답과 해설
_20_DEÓ=42
∴ DEÓ=
(cm)
:ª5Á:`
;2!;
:ª5Á:`
cm
∴ △CGH=
_CGÓ_JHÓ=
_5_
;2!;
=6
(cmÛ
)
:Á5ª:
`
`
;2!;
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
=10Û
429 D'FÓ=DFÓ=18-8=10이므로
△FD'C에서CD'Ó
=6Û
`
∴CD'Ó=6(∵CD'Ó>0)
△FD'C»△D'GB(AA닮음)이므로
FD'Ó:D'GÓ=CFÓ:BD'Ó에서
-8Û
`
`
`
4
A′
3
A
E
G
B
18
10
15
12
D′
6
D
H
F
8
C
9
경우의 수
10:D'GÓ=8:12 ∴D'GÓ=15
∴A'GÓ=18-15=3
또△FD'C»△EGA'(AA닮음)이므로
D'CÓ:GA'Ó=FCÓ:EA'Ó에서
6:3=8:EA'Ó ∴EA'Ó=4
∴AEÓ=A'EÓ=4
점E에서DFÓ에내린수선의발을H라하면
DHÓ=AEÓ=4이므로HFÓ=10-4=6
따라서△EFH에서EFÓ
=18Û
+6Û
`
`
`
=360
430 오른쪽그림과같이점B를x축에대칭
이동한점을B'이라하면B'(5,-3)
APÓ+BPÓ=APÓ+B'PÓ¾AB'Ó
즉 APÓ+BPÓ의 최솟값은 AB'Ó의 길이와
같다.
△ACB'에서
STEP
1
실력 문제
119쪽~122쪽
432 10의 약수가 적힌 공이 나오는 경우는 1, 2, 5, 10이므로 구하는
경우의 수는 4이다.
4
433 ⑴ 두 눈의 수의 합이 5가 되는 경우는 (1, 4), (2, 3), (3, 2),
(4, 1)이므로 구하는 경우의 수는 4이다.
⑵ 두 눈의 수의 차가 2가 되는 경우는 (1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5),
(4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4)이므로 구하는 경우의 수는 8이다.
360
⑴ 4 ⑵ 8
y
A 5
3
-1
O
P
C
-3
B
5
x
B′
434 음료수의 값을 지불하는 방법은 다음 표와 같다.
500원(개)
100원(개)
50원(개)
1
2
0
1
1
2
1
0
4
0
6
2
따라서 구하는 방법의 수는 5이다.
ACÓ=5-(-3)=8,B'CÓ=5-(-1)=6이므로
435 4+3+2=9
AB'Ó
=6Û
+8Û
=10Û
∴ AB'Ó=10(∵AB'Ó>0)
`
`
`
`
이때두점A(-1,5),B'(5,-3)을지나는직선의방정식은
(기울기)=
-3-5
5-(-1)
=-
;3$;
이므로y=-
x+b로놓고x=-1,y=5를대입하면
;3$;
5=
+b ∴b=
;3$;
:Á3Á:
∴y=-
x+
;3$;
:Á3Á:
436 두 눈의 수의 합이 4가 되는 경우는
(1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지
두 눈의 수의 합이 8이 되는 경우는
(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)의 5가지
따라서 구하는 경우의 수는 3+5=8
8
437 3의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우는 3, 6, 9, 12, 15, 18의 6
가지
따라서x절편은
이므로점P의좌표는P
:Á4Á:
,0
이다.
{:Á4Á:
}
5의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우는 5, 10, 15, 20의 4가지
이때 3의 배수이면서 5의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우는 15의
10, P
{:Á4Á:
, 0
}
1가지
따라서 구하는 경우의 수는 6+4-1=9
4
A
B′
M
438 동전이 서로 다른 면이 나오는 경우는 (앞, 뒤), (뒤, 앞)의 2가지
주사위가 4의 약수의 눈이 나오는 경우는 1, 2, 4의 3가지
A′
따라서 구하는 경우의 수는 2_3=6
0
5
4
5
9
9
6
431 오른쪽 그림의 전개도에서 구하
는실의최소길이는AMÓ의길이와
O
x∞
4
B
같다.
원뿔대의두밑면인원의반지름의
길이의비가1:2이므로
OBÓ:(OBÓ+4)=1:2
∴ OBÓ=4
이때부채꼴의중심각의크기를xù라하면
2p_8_
=2p_2 ∴x=90
B'MÓ=
B'A'Ó=2이므로OMÓ=4+2=6
x
360
;2!;
△OAM에서
+6Û
AMÓ
=8Û
`
`
`
`
=10Û
∴ AMÓ=10(∵AMÓ>0)
이때 전구가 모두 꺼진 경우는 신호로 보지 않으므로 구하는 신호
따라서필요한실의최소길이는10이다.
10
의 개수는 32-1=31(개)
31개
439 집에서 문구점을 지나지 않고 학교로 가는 경우는 2가지
집에서 문구점을 지나 학교로 가는 경우는 4_3=12(가지)
따라서 구하는 경우의 수는 2+12=14
14
440 각 전구가 나타낼 수 있는 경우는 불이 켜진 경우와 꺼진 경우의
2가지가 있으므로 5개의 전구가 나타낼 수 있는 모든 경우의 수는
2_2_2_2_2=32
9. 경우의 수 | 51
Û
Û
Û
Û
441 5_4_3_2=120
120
448 10개의 반 중에서 순서를 생각하지 않고 2개의 반을 뽑는 경
442 부모님을 제외한 나머지 3명을 한 줄로 세우는 경우의 수는
3_2_1=6
이때 부모님이 양 끝에 서는 경우는 2가지이므로 구하는 경우의 수
우의 수와 같으므로
10_9
2_1
=45
따라서 경기는 모두 45번 치러진다.
45번
는 6_2=12
12
449 6명 중에서 자격이 같은 2명의 대표를 뽑는 경우의 수는
443 ⑴ C와 D를 제외한 4명 중에서 A와 B를 1명으로 생각하면
3명을 한 줄로 세우는 경우의 수는 3_2_1=6
이때 A와 B가 자리를 바꾸는 경우는 2가지, C와 D가 양 끝에
서는 경우는 2가지이므로 구하는 경우의 수는 6_2_2=24
⑵ A와 B 사이에 4명 중에서 한 사람이 서는 경우는 4가지
A, B, A와 B 사이에 선 한 사람을 1명으로 생각하면
4명을 한 줄로 세우는 경우의 수는 4_3_2_1=24
이때 A와 B가 자리를 바꾸는 경우는 2가지이므로 구하는 경우
의 수는 4_24_2=192
⑴ 24 ⑵ 192
444 홀수가 되려면 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 1 또는 3 또는 5
이다.
Ú
Û
Ü
1인 경우 : 4_3=12(개)
3인 경우 : 4_3=12(개)
5인 경우 : 4_3=12(개)
6_5
2_1
=15
3_2
2_1
=3
15-3=12
남학생 3명 중에서 자격이 같은 2명의 대표를 뽑는 경우의 수는
따라서 구하는 경우의 수는
12
450 6개의 점 중에서 2개의 점을 연결하여 만들 수 있는 선분의 개수
는 6개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 2개의 점을 선택하는 경
우의 수와 같으므로
=15
∴ a=15
6개의 점 중에서 3개의 점을 연결하여 만들 수 있는 삼각형의 개수
는 6개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 3개의 점을 선택하는 경
우의 수와 같으므로
=20
∴ b=20
6_5
2_1
6_5_4
3_2_1
∴ a+b=15+20=35
35
Ú~ Ü에서 만들 수 있는 세 자리의 자연수 중 홀수의 개수는
12+12+12=36
36
451 6개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 3개의 점을 선택하는 경
445 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 5가지
십의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리에 놓인 숫자를 제외한
일의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리와 십의 자리에 놓인 숫자
따라서 구하는 세 자리의 자연수의 개수는
100
⑴ 짝수가 되려면 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 0 또는 2 또는
5가지
를 제외한 4가지
5_5_4=100
446
4이다.
Ú
Û
Ü
0인 경우 : 10, 20, 30, 40의 4개
2인 경우 : 12, 32, 42의 3개
4인 경우 : 14, 24, 34의 3개
우의 수는
=20
6_5_4
3_2_1
이때 삼각형이 만들어지지 않는 경우는 ABÓ, BCÓ, CAÓ 위의 세 점
을 선택하는 경우의 3가지
따라서 만들 수 있는 삼각형의 개수는
20-3=17
452 ⑴ A 지점에서 P 지점까지 최단 거리로 가
는 경우는 3가지
P 지점에서 B 지점까지 최단 거리로 가는
경우는 2가지
따라서 구하는 경우의 수는 3_2=6
⑵ A 지점에서 B 지점까지 최단 거리로 가는
경우는 10가지이므로 구하는 경우의 수는
Ú~ Ü에서 만들 수 있는 짝수의 개수는 4+3+3=10
⑵ Ú 3 2 인 경우 : 324의 1개
10-6=4
Û 3 4 인 경우 : 340, 341, 342의 3개
Ü 4
인 경우 : 4_3=12(개)
Ú~ Ü에서 321보다 큰 자연수의 개수는
1+3+12=16
⑴ 10 ⑵ 16
447 ⑴ 6명 중에서 자격이 다른 3명의 대표를 뽑는 경우의 수이므로
6_5_4=120
⑵ A를 제외한 5명 중에서 자격이 같은 2명의 대표를 뽑는 경우의
수이므로
=10
5_4
2_1
⑴ 120 ⑵ 10
52 | 정답과 해설
453 Ú A 지점에서 출발하여 B 지점을
지나 D 지점까지 가는 경우는
4_3=12(가지)
17
B
2
1
3
P
1
1
2
4
2
B
10
3
P
6
3
1
1
⑴ 6 ⑵ 4
2
1
D
3
1
1
1
A
1
1
1
A
B
4
3
2
1
1
1
1
1
A
Û A 지점에서 출발하여 C 지점을 지
나 D 지점까지 가는 경우는
3_4=12(가지)
Ú, Û에서 구하는 경우의 수는
12+12=24
1
A
2
1
3
C
1
1
1
1
D
4
3
2
1
457 A에서 B까지 4계단을 올라가야 하므로
Ú 1계단씩 4번 올라가는 경우 : (1, 1, 1, 1)의 1가지
Û 1계단씩 2번, 2계단씩 1번 올라가는 경우 : (1, 1, 2),
(1, 2, 1), (2, 1, 1)의 3가지
Ü 1계단씩 1번, 3계단씩 1번 올라가는 경우 : (1, 3), (3, 1)의
2가지
24
Ý 2계단씩 2번 올라가는 경우 : (2, 2)의 1가지
Ú~ Ý에서 구하는 경우의 수는 1+3+2+1=7
7
STEP
2
심화 문제
123쪽~128쪽
(2점, 3점, 1점), (3점, 1점, 2점), (3점, 2점, 1점),
454 삼각형이 만들어지려면 가장 긴 변의 길이가 나머지 두 변의 길
이의 합보다 작아야 한다.
따라서 주어진 5개의 막대로 삼각형을 만들 수 있는 경우는
(5`cm, 8`cm, 10`cm), (5`cm, 8`cm, 12`cm),
(5`cm, 10`cm, 12`cm), (5`cm, 12`cm, 15`cm),
(8`cm, 10`cm, 12`cm), (8`cm, 10`cm, 15`cm),
458 Ú 점수의 합이 6점인 경우
(1점, 2점, 3점), (1점, 3점, 2점), (2점, 1점, 3점),
(2점, 2점, 2점)의 7가지
Û 점수의 합이 8점인 경우
(2점, 3점, 3점), (3점, 2점, 3점), (3점, 3점, 2점)의 3가지
Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 7+3=10
10
459 a+b가 홀수인 경우는 a가 홀수이고 b가 짝수이거나 a가 짝수
(8`cm, 12`cm, 15`cm), (10`cm, 12`cm, 15`cm)이므로 경우
이고 b가 홀수일 때이다.
455 A, B, C, D의 우산을 각각 a, b, c, d라 하고 자기 우산을 든 학
생이 한 명도 없는 경우를 나뭇가지 모양의 그림으로 나타내면 다
8
Ú a가 홀수이고 b가 짝수인 경우 : 4_6=24(가지)
Û a가 짝수이고 b가 홀수인 경우 : 4_6=24(가지)
Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 24+24=48
48
460 500원짜리 동전을 지불하는 방법은 0개, 1개, 2개의 3가지, 100
원짜리 동전을 지불하는 방법은 0개, 1개, 2개, 3개, 4개의 5가지,
10원짜리 동전을 지불하는 방법은 0개, 1개, 2개, 3개의 4가지이
고 0원을 지불하는 경우는 제외하므로 지불할 수 있는 금액의 가짓
수는 3_5_4-1=59(가지)
59가지
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500원짜리 동전 2개를 100원짜리 동전 10개로 생각하면 문제는
100원짜리 동전 14개와 10원짜리 동전 3개로 지불할 수 있는 금액
의 가짓수를 구하는 것과 같다. 즉 100원짜리 동전으로 지불할 수
있는 방법은 15가지, 10원짜리 동전으로 지불할 수 있는 방법은 4
가지이고, 0원을 지불하는 경우는 제외하므로 지불할 수 있는 금액
따라서 구하는 경우의 수는 9이다.
9
의 가짓수는 15_4-1=59(가지)
456 a<b<c가 되는 경우를 순서쌍 (a, b, c)로 나타내면
Ú c=1, 2일 때, a<b<c가 되는 순서쌍 (a, b, c)는 없다.
461 A, B, C 세 사람이 가위바위보를 할 때 일어나는 모든 경우의
Û c=3일 때, (1, 2, 3)의 1가지
수는 3_3_3=27
Ü c=4일 때, (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4)의 3가지
이때 비기는 경우를 순서쌍 (A, B, C)로 나타내면 다음과 같다.
Ý c=5일 때, (1, 2, 5), (1, 3, 5), (1, 4, 5), (2, 3, 5),
Ú 세 사람이 모두 같은 것을 내는 경우
(2, 4, 5), (3, 4, 5)의 6가지
(가위, 가위, 가위), (바위, 바위, 바위), (보, 보, 보)의 3가지
Þ c=6일 때, (1, 2, 6), (1, 3, 6), (1, 4, 6), (1, 5, 6),
Û 세 사람이 모두 다른 것을 내는 경우
(2, 3, 6), (2, 4, 6), (2, 5, 6), (3, 4, 6), (3, 5, 6), (4, 5, 6)
(가위, 바위, 보), (가위, 보, 바위), (바위, 가위, 보),
의 10가지
Ú~ Þ에서 구하는 경우의 수는
1+3+6+10=20
(바위, 보, 가위), (보, 가위, 바위), (보, 바위, 가위)의 6가지
Ú, Û에서 비기는 경우의 수는 3+6=9
20
따라서 구하는 경우의 수는 27-9=18
18
9. 경우의 수 | 53
의 수는 8이다.
음과 같다.
A
B
C D
b
c
d
a
c
d
a
d
a
c
d
d
a
d
a
b
b
a
b
c
a
c
b
b
a
c
b
a
462 A → B → C → D → E의 순서로 색을 칠하면
A에 칠할 수 있는 색은 5가지
B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 4가지
C에 칠할 수 있는 색은 A, B에 칠한 색을 제외한 3가지
Ú D에 B와 다른 색을 칠하는 경우
466 Ú A
Û B A
Ü B C
인 경우 : 4_3_2_1=24(개)
인 경우 : 3_2_1=6(개)
인 경우 : 3_2_1=6(개)
Ý B D A
인 경우 : 2_1=2(개)
Þ B D C
인 경우 : 2_1=2(개)
D에 칠할 수 있는 색은 A, B, C에 칠한 색을 제외한 2가지, E
Ú~ Þ에서 BDEAC 앞에 배열되는 단어는
에 칠할 수 있는 색은 B, C, D에 칠한 색을 제외한 2가지이므
24+6+6+2+2=40(개)
로 5_4_3_2_2=240(가지)
Û D에 B와 같은 색을 칠하는 경우
D에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색과 같으므로 1가지, E에 칠
할 수 있는 색은 B(또는 D), C에 칠한 색을 제외한 3가지이므
로 5_4_3_1_3=180(가지)
Ú, Û에서 구하는 경우의 수는
240+180=420
420
따라서 BDEAC는 41번째 단어이다.
41번째
467 Ú D
Û D
인 경우 : 4_3_2_1=24(가지)
인 경우 : D 앞에 E를 제외한 3명 중에서 한 명
을 세우고, D 뒤에 나머지 3명을 한 줄로 세우면 되므로
3_(3_2_1)=18(가지)
Ü
D
인 경우 : D 앞에 E를 제외한 3명 중에서 2명을
한 줄로 세우고, D 뒤에 나머지 2명을 한 줄로 세우면 되므로
463 여학생 3명과 남학생 4명을 각각 1명으로 생각하면 2명을 일렬
(3_2)_(2_1)=12(가지)
로 세우는 경우의 수는 2_1=2
이때 여학생끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는
3_2_1=6
Ý
D 인 경우 : D 앞에 E를 제외한 3명을 한 줄로 세
우고, D 뒤에 E를 세우면 되므로
3_2_1=6(가지)
남학생끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는
Ú~ Ý에서 구하는 경우의 수는
24+18+12+6=60
60
464 1학년 학생 4명과 2학년 학생 2명을 한 줄로 세우는 경우의 수
288
468 Ú 1
Û 2
인 경우 : 4_3=12(개)
인 경우 : 4_3=12(개)
Ü 3
인 경우 : 4_3=12(개)
2학년 학생 2명을 1명으로 생각하면 5명을 한 줄로 세우는 경우의
12+12+12=36(개)
Ú ~ Ü에서 백의 자리의 숫자가 1 또는 2 또는 3인 수는
이때 2학년 학생끼리 자리를 바꾸는 경우는 2가지이므로 2학년 학
생끼리 이웃하여 세우는 경우의 수는 120_2=240
따라서 42번째에 오는 수는 백의 자리의 숫자가 4인 수 중에서 6번
째에 오는 수이다. 백의 자리의 숫자가 4인 수를 작은 수부터 차례
로 나열하면 401, 402, 403, 410, 412, 413, …이므로 42번째에 오
는 수는 413이다.
413
480
469 3의 배수는 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수이다.
Ú 각 자리의 숫자의 합이 3인 경우 : 12, 21, 30의 3개
Û 각 자리의 숫자의 합이 6인 경우 : 15, 24, 42, 51의 4개
2학년 학생끼리 이웃하지 않도록 세우려면 1학년 학생 사이에 2학
년 학생을 세우면 된다.
1학년 학생 4명을 한 줄로 세우는 경우의 수는 4_3_2_1=24
Ü 각 자리의 숫자의 합이 9인 경우 : 45, 54의 2개
이때 2학년 학생은
1 1 1 1 의 5개의 자리 중에서
Ú~Ü에서 구하는 3의 배수의 개수는
2 개를 택하여 한 명씩 세우면 되므로 그 경우의 수는 5_4=20
3+4+2=9
9
따라서 구하는 경우의 수는 24_20=480
465 B가 C에게 바통을 넘겨야 하므로 B 바로 다음 주자는 C이다.
이때 B는 첫 번째 주자로 뛰지 않으므로 구하는 경우는 다음과 같
다.
470 서로 다른 숫자로 이루어진 네 자리의 자연수의 개수는
9_9_8_7=4536
Ú 10
인 경우 : 8_7=56(개)
Û 120 인 경우 : 7개
Ú BC
인 경우 : 3_2_1=6(가지)
Ü 123 인 경우 : 1230, 1234의 2개
Û
Ü
BC 인 경우 : 3_2_1=6(가지)
BC인 경우 : 3_2_1=6(가지)
Ú ~ Ü에서 1234 이하의 네 자리의 자연수는
56+7+2=65(개)
Ú~ Ü에서 구하는 경우의 수는
따라서 구하는 자연수의 개수는
6+6+6=18
18
4536-65=4471
4471
4_3_2_1=24
따라서 구하는 경우의 수는
2_6_24=288
는 6_5_4_3_2_1=720
수는 5_4_3_2_1=120
따라서 구하는 경우의 수는
720-240=480
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54 | 정답과 해설
471 Ú 남학생을 회장으로 뽑는 경우
남학생 3명 중에서 회장 1명을 뽑는 경우의 수는 3
따라서 만들 수 있는 서로 다른 직선의 개수는
28-6+1=23
∴ a=23
회장으로 뽑힌 1명을 제외한 남학생 2명과 여학생 5명 중에서
8개의 점 중에서 3개의 점을 선택하는 경우의 수는
남자 부회장, 여자 부회장을 각각 1명씩 뽑는 경우의 수는
8_7_6
3_2_1
=56
수는
4_3_2
3_2_1
=4
이때 지름 위에 있는 4개의 점 중에서 3개의 점을 선택하는 경우의
여학생 5명 중에서 회장 1명을 뽑는 경우의 수는 5
따라서 만들 수 있는 삼각형의 개수는
남학생 3명과 회장으로 뽑힌 1명을 제외한 여학생 4명 중에서
56-4=52
∴ b=52
남자 부회장, 여자 부회장을 각각 1명씩 뽑는 경우의 수는
∴ b-a=52-23=29
29
2_5=10이므로
3_10=30
Û 여학생을 회장으로 뽑는 경우
3_4=12이므로
5_12=60
Ú, Û에서 구하는 경우의 수는
30+60=90
475 가로 방향의 평행한 직선 2개, 세로 방향의 평행한 직선 2개로
한 개의 직사각형을 만들 수 있다.
90
가로 방향의 평행한 직선 5개 중에서 2개를 선택하는 경우의 수는
세로 방향의 평행한 직선 6개 중에서 2개를 선택하는 경우의 수는
5_4
2_1
=10
6_5
2_1
=15
10_15=150
따라서 만들 수 있는 직사각형의 개수는
3번
476 A 지점에서 B 지점까지 최단 거리로
가는 경우는 A 지점에서 C 지점을 지
나고 D 지점을 지난 후 B 지점까지 가
Ú A 지점에서 C 지점까지 가는 경우
는 6가지
Û C 지점에서 D 지점까지 가는 경우는 1가지
Ü D 지점에서 B 지점까지 가는 경우는 2가지
Ú ~ Ü에서 구하는 경우의 수는
6_1_2=12
477 Ú A → C → B로 가는 경우
2_1=2(가지)
1
2
C
472 모임에 참석한 사람을 n명이라 하면 악수를 하는 경우의 수는 n
명 중에서 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로
n_(n-1)
2_1
=45, n(n-1)=90
이때 90=10_9이므로 n=10
따라서 모임에 참석한 사람은 10명이다.
이때 유미는 자신을 제외한 9명과 악수를 해야 하므로 앞으로 3번
의 악수를 더 해야 한다.
또는 (3명, 3명) 또는 (4명, 2명)이다.
Ú (2명, 4명)으로 나누어 타는 경우
6명 중에서 A 택시에 탈 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로
6_5
2_1
=15(가지)
Û (3명, 3명)으로 나누어 타는 경우
6명 중에서 A 택시에 탈 3명을 뽑는 경우의 수와 같으므로
6_5_4
3_2_1
=20(가지)
Ü (4명, 2명)으로 나누어 타는 경우
6명 중에서 B 택시에 탈 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로
6_5
2_1
=15(가지)
473 A, B 두 택시에 탈 학생 수를 순서쌍으로 나타내면 (2명, 4명)
는 경우이다.
Ú~ Ü에서 구하는 경우의 수는
15+20+15=50
Û A → D → B로 가는 경우
50
2_2=4(가지)
474 8개의 점 중에서 2개의 점을 선택하는 경우의 수는
지름 위에 있는 4개의 점 중에서 2개의 점을 선택하는 경우의 수는
8_7
2_1
=28
4_3
2_1
=6
Ü A → E → B로 가는 경우
2_1=2(가지)
이때 지름 위에 있는 4개의 점으로 만들 수 있는 직선은 1개
Ú~ Ü에서 구하는 경우의 수는 2+4+2=8
150
B
1
D
2
1
1
1
A
C
6
3
3
2
1
1
12
1
B
2
B
1
1
B
8
1
1
2
D
1
1
1
A
A
A
1
1
1
2
E
9. 경우의 수 | 55
고난도 문제
129쪽~130쪽
이때
의 값이 같으면 같은 직선이므로
의 값이 같은 경우를
;bA;
;bA;
STEP
3
478
이등변삼각형이 만들어지려면 두 변의 길이가 같고, 가장 긴 변
의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 작아야 한다.
Ú 길이가 같은 두 변의 길이가 1인 경우
(1, 1, 1)의 1가지
Û 길이가 같은 두 변의 길이가 2인 경우
(2, 2, 1), (2, 2, 2), (2, 2, 3)의 3가지
Ü 길이가 같은 두 변의 길이가 3인 경우
(3, 3, 1), (3, 3, 2), (3, 3, 3), (3, 3, 4), (3, 3, 5)의 5가지
Ý 길이가 같은 두 변의 길이가 4인 경우
(4, 4, 1), (4, 4, 2), (4, 4, 3), (4, 4, 4), (4, 4, 5), (4, 4, 6)
Þ 길이가 같은 두 변의 길이가 5인 경우
(5, 5, 1), (5, 5, 2), (5, 5, 3), (5, 5, 4), (5, 5, 5), (5, 5, 6)
ß 길이가 같은 두 변의 길이가 6인 경우
(6, 6, 1), (6, 6, 2), (6, 6, 3), (6, 6, 4), (6, 6, 5), (6, 6, 6)
의 6가지
의 6가지
의 6가지
Ú~ ß에서 구하는 이등변삼각형의 개수는
1+3+5+6+6+6=27
27
479 Ú 한 자리 수 중 2가 한 번만 쓰인 경우
2의 1개
Û 두 자리 수 중 2가 한 번만 쓰인 경우
Ý 네 자리 수 중 천의 자리의 숫자가 1이고 2가 한 번만 쓰인 경우
Ü 세 자리 수 중 2가 한 번만 쓰인 경우
2
➡ 9개
2 ➡ 8개
∴ 9+8=17(개)
2
➡ 9_9=81(개)
2
➡ 8_9=72(개)
2 ➡ 8_9=72(개)
∴ 81+72+72=225(개)
12
➡ 9_9=81(개)
1 2
➡ 9_9=81(개)
1
2 ➡ 9_9=81(개)
∴ 81+81+81=243(개)
200
➡ 9개
201
➡ 9개
∴ 9+9=18(개)
Þ 네 자리 수 중 천의 자리의 숫자만 2인 경우
(2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)의 5개
나타내면 다음과 같다.
Ú (1, 1)인 경우와 같은 경우
Û (1, 2)인 경우와 같은 경우
(2, 4), (3, 6)의 2개
Ü (1, 3)인 경우와 같은 경우
(2, 6)의 1개
Ý (2, 1)인 경우와 같은 경우
(4, 2), (6, 3)의 2개
Þ (2, 3)인 경우와 같은 경우
ß (3, 1)인 경우와 같은 경우
(4, 6)의 1개
(6, 2)의 1개
(6, 4)의 1개
à (3, 2)인 경우와 같은 경우
Ú ~ à에서 5+2+1+2+1+1+1=13(개)
따라서 구하는 직선의 개수는
36-13=23
23
481 a, b, c를 여러 번 사용하여 4개의 문자로 된 암호를 만드는 경우
이 중에서 b가 연속으로 나열되는 경우는 다음과 같다.
의 수는
3_3_3_3=81
Ú b가 4개인 경우
bbbb의 1가지
Û b가 3개, a가 1개인 경우
bbba, bbab, babb, abbb의 4가지
Ü b가 3개, c가 1개인 경우
bbbc, bbcb, bcbb, cbbb의 4가지
Ý b가 2개, a가 2개인 경우
bbaa, abba, aabb의 3가지
Þ b가 2개, c가 2개인 경우
bbcc, cbbc, ccbb의 3가지
ß b가 2개, a가 1개, c가 1개인 경우
bbac, bbca, abbc, cbba, acbb, cabb의 6가지
Ú~ ß에서 b가 연속으로 나열되는 암호는
1+4+4+3+3+6=21(개)
따라서 전송 가능한 암호의 개수는
81-21=60
60
482 Ú A 지점에서 시작하는 경우
A 지점에서 선택할 수 있는 길은 2가지, B 지점에서 선택할 수
있는 길은 4가지, 다시 B 지점으로 돌아와서 선택할 수 있는 길
Ú~Þ에서 구하는 자연수의 개수는
1+17+225+243+18=504
504
480 모든 순서쌍 (a, b)의 개수는 6_6=36
ax-by=b에서 by=ax-b
∴ y=
x-1
;bA;
은 2가지이므로 2_4_2=16
56 | 정답과 해설
Û B 지점에서 시작하는 경우
B 지점에서 선택할 수 있는 길은 4가지, 다시 B 지점으로 돌아
와서 선택할 수 있는 길은 2가지, A 지점에서 선택할 수 있는
10
확률
길은 2가지이므로 4_2_2=16
Ú, Û에서 구하는 경우의 수는
16+16=32
483 12개의 점 중에서 3개의 점을 선택하는 경우의 수는
12_11_10
3_2_1
=220
이때 오른쪽 그림과 같이 세 점 ⑤
⑥
⑦
이 한 직선 위에 있을 때에는 삼
각형이 만들어지지 않는다.
Ú 직선 ㉠~㉢ 위에 세 점이 있
는 경우
3_
4_3_2
3_2_1
=12(가지)
Û 직선 ①~⑧ 위에 세 점이 있는 경우
Ú, Û에서 삼각형이 만들어지지 않는 경우의 수는
따라서 구하는 삼각형의 개수는
STEP
1
실력 문제
32
133쪽~136쪽
486 모든 경우의 수는 5_5=25
짝수가 되는 경우는 일의 자리의 숫자가 0 또는 2 또는 4인 경우
이다.
Ú
0인 경우 : 10, 20, 30, 40, 50의 5개
Û
2인 경우 : 12, 32, 42, 52의 4개
Ü
4인 경우 : 14, 24, 34, 54의 4개
Ú ~ Ü에서 짝수의 개수는 5+4+4=13
⑧
㉠
㉡
㉢
487 모든 경우의 수는
6_5_4
3_2_1
=20
A가 뽑히는 경우의 수는 A를 제외한 5명 중에서 자격이 같은 대
표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로
5_4
2_1
=10
①
②
③
④
따라서 구하는 확률은
;2!5#;
(cid:9000) ;2!5#;
484 9개의 점 중에서 3개의 점을 선택하여 삼각형을 만드는 경우
이때 구각형의 두 변과 겹치는 삼각형은 9개이고, 한 변과 겹치는
200
따라서 구하는 확률은
=
;2!0);
;2!;
488 전체 공의 개수는 6+4+x=10+x
이때 빨간 공이 나올 확률이
이므로
;8#;
=
6
10+x
3(10+x)=48, 3x=18
;8#;
∴ x=6
8_1=8(가지)
12+8=20
220-20=200
의 수는
9_8_7
3_2_1
=84
삼각형은
9_(9-4)=45(개)
(cid:9000) ;2!;
(cid:9000) 6
(cid:9000) ⑤
489
⑤ 사건 A가 일어날 확률을 p라 하면 사건 A가 일어나지 않을
확률은 1-p이다.
30
490 ㉠ 모든 경우의 수는 2_2=4
모두 뒷면이 나오는 경우는 (뒤, 뒤)의 1가지이므로 그 확률은
따라서 구하는 삼각형의 개수는
84-(9+45)=30
485 평행사변형이 아닌 사다리꼴이 만들어지려면 사다리꼴의 윗변
과 아랫변은 평행선에서 선택하고, 나머지 두 변은 평행하지 않은
;4!;
직선에서 각각 하나씩 선택해야 한다.
Ú 3개의 평행선에서 2개, 4개의 평행선에서 1개, 5개의 평행선에
Û 3개의 평행선에서 1개, 4개의 평행선에서 2개, 5개의 평행선에
Ü 3개의 평행선에서 1개, 4개의 평행선에서 1개, 5개의 평행선에
서 1개를 선택하는 경우
3_2
2_1
_4_5=60(개)
서 1개를 선택하는 경우
3_
_5=90(개)
4_3
2_1
서 2개를 선택하는 경우
3_4_
=120(개)
5_4
2_1
60+90+120=270
Ú~ Ü에서 평행사변형이 아닌 사다리꼴의 개수는
㉢ 모든 경우의 수는 3_3=9
A, B가 내는 것을 순서쌍 (A, B)로 나타내면 A가 이기는 경
우는 (가위, 보), (바위, 가위), (보, 바위)의 3가지이므로 그 확률
은
=
;9#;
;3!;
따라서 확률이 1인 것은 ㉡, ㉣이다.
(cid:9000) ㉡, ㉣
491 모든 경우의 수는
7_6
2_1
=21
두 명 모두 남학생이 뽑히는 경우의 수는
=3이므로 그 확
3_2
2_1
률은
=
;2£1;
;7!;
∴ (여학생이 적어도 한 명 뽑힐 확률)
=1-(두 명 모두 남학생이 뽑힐 확률)
270
=1-
=
;7!;
;7^;
(cid:9000) ;7^;
10. 확률 | 57
492 모든 경우의 수는 6_6=36
두 눈의 수의 합이 6인 경우는 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2),
(5, 1)의 5가지이므로 그 확률은
;3°6;
두 눈의 수의 차가 5인 경우는 (1, 6), (6, 1)의 2가지이므로 그 확
497 동전은 앞면이 나오고 주사위는 홀수의 눈이 나올 확률은
동전은 뒷면이 나오고 주사위는 6의 약수의 눈이 나올 확률은
_
=
;6#;
;2!;
;1£2;
_
=
;6$;
;2!;
;1¢2;
따라서 구하는 확률은
+
=
;1£2;
;1¢2;
;1¦2;
;3¦6;
률은
;3ª6;
따라서 구하는 확률은
+
=
;3°6;
;3ª6;
;3¦6;
493 모든 경우의 수는 3_3_3=27
A, B, C가 내는 것을 순서쌍 (A, B, C)로 나타내면
Ú A만 이기는 경우
(가위, 보, 보), (바위, 가위, 가위), (보, 바위, 바위)의 3가지이
므로 그 확률은
;2£7;
Û A와 B가 함께 이기는 경우
그 확률은
;2£7;
Ü A와 C가 함께 이기는 경우
그 확률은
;2£7;
Ú ~ Ü에서 구하는 확률은
(가위, 가위, 보), (바위, 바위, 가위), (보, 보, 바위)의 3가지이므로
(가위, 보, 가위), (바위, 가위, 바위), (보, 바위, 보)의 3가지이므로
498 a+b가 짝수인 경우는 a, b가 모두 짝수이거나 모두 홀수인 경
1-
{
;4#;}
_
1-
{
=
_
;4!;
;3@;
=
;1ª2;
;3!;}
우이다.
Ú a, b가 모두 짝수일 확률
Û a, b가 모두 홀수일 확률
_
;4#;
;3!;
=
;1£2;
Ú, Û에서 구하는 확률은
+
=
;1ª2;
;1£2;
;1°2;
499 A 상자에서 흰 구슬, B 상자에서 검은 구슬을 꺼낼 확률은
+
+
=
;2£7;
;2£7;
;2£7;
;2»7;
;3!;
=
;3!;
A 상자에서 검은 구슬, B 상자에서 흰 구슬을 꺼낼 확률은
_
=
;6!;
;4#;
;2£4;
_
=
;6%;
;4!;
;2°4;
따라서 구하는 확률은
+
=
;2£4;
;2°4;
;2¥4;
;3!;
=
;1¦2;
;1°2;
;3!;
;1ª5;
;1£0;
500 화요일에 비가 오고 수요일에 비가 올 확률은
_
=
;4!;
;4!;
;1Á6;
화요일에 비가 오지 않고 수요일에 비가 올 확률은
1-
_
=
;8#;
;4#;
_
;8#;
=
;3»2;
;4!;}
{
따라서 구하는 확률은
+
=
;1Á6;
;3»2;
;3!2!;
;3!2!;
494 A 주머니에서 파란 공이 나올 확률은
;6@;
=
;3!;
B 주머니에서 노란 공이 나올 확률은
;5@;
따라서 구하는 확률은
_
=
;5@;
;3!;
;1ª5;
495 A가 합격하지 못할 확률은 1-
=
;4!;
;4#;
B가 합격하지 못할 확률은 1-
=
;2!;
;2!;
따라서 구하는 확률은
_
_
;2!;
;4#;
;5$;
=
;1£0;
496 태희가 약속을 지킬 확률은 1-
=
;5@;
;5#;
두 사람이 모두 약속을 지킬 확률은
_
=
;8%;
;5#;
;8#;
∴ (두 사람이 만나지 못할 확률)
=(적어도 한 사람이 약속을 지키지 못할 확률)
=1-
=
;8#;
;8%;
58 | 정답과 해설
=1-(두 사람이 모두 약속을 지킬 확률)
따라서 구하는 확률은
;8%;
_
=
;5$;
;5!;
;2¢5;
;2¢5;
501 연희가 당첨 제비를 뽑을 확률은
=
;1£5;
;5!;
서준이가 당첨 제비를 뽑지 않을 확률은
;1!5@;=;5$;
502 첫 번째에 빨간 구슬을 꺼낼 확률은
두 번째에 빨간 구슬을 꺼낼 확률은
;9$;
;8#;
따라서 2개 모두 빨간 구슬을 꺼낼 확률은
_
=
;8#;
;6!;
;9$;
∴ (적어도 한 개는 노란 구슬을 꺼낼 확률)
=1-(2개 모두 빨간 구슬을 꺼낼 확률)
=1-
=
;6!;
;6%;
(cid:9000) ;6%;
503 Ú 두 사람 모두 빨간 공을 꺼낼 확률은
Û 두 사람 모두 파란 공을 꺼낼 확률은
_
=
;7$;
;8%;
;5@6);
_
=
;7@;
;8#;
;5¤6;
Ú, Û에서 구하는 확률은
+
=
=
;5@6);
;5¤6;
;5@6^;
;2!8#;
504 노란색 부분을 맞힐 확률은
파란색 부분을 맞힐 확률은
;1¢6;
;1£6;
따라서 구하는 확률은
+
=
;1¢6;
;1£6;
;1¦6;
508 두 주사위 A, B를 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수는
4_8=32
Ú a+b¾9를 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 8), (2, 7), (2, 8),
(3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)의 10가
지이므로 그 확률은
;3!2);
Û abÉ6을 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 1), (1, 2), (1, 3),
(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2),
(4, 1)의 12가지이므로 그 확률은
;3!2@;
Ú, Û에서 구하는 확률은
+
=
=
;3!2);
;3!2@;
;3@2@;
;1!6!;
(cid:9000) ;1!6!;
(cid:9000) ;2!8#;
STEP
2
심화 문제
137쪽~142쪽
509 6개의 선분 중 3개를 택하는 경우의 수는
6_5_4
3_2_1
=20
삼각형이 만들어지는 경우는 (2`cm, 3`cm, 4`cm),
(cid:9000) ;1¦6;
(2`cm, 4`cm, 5`cm), (2`cm, 5`cm, 6`cm),
(3`cm, 4`cm, 5`cm), (3`cm, 4`cm, 6`cm),
(3`cm, 5`cm, 6`cm), (4`cm, 5`cm, 6`cm)의 7가지
505 원판 A의 바늘이 1이 적힌 부분을 가리킬 확률은
따라서 구하는 확률은
;2¦0;
원판 B의 바늘이 1이 적힌 부분을 가리킬 확률은
=
510 집에서 출발하여 학교까지 최단 거리로
가는 경우는 20가지
;3!;
;8$;
;2!;
(cid:9000) ;6!;
주어진 연립방정식의 해가 없으려면
=
+
;b!;
;3!;
;6A;
이어야 하므로
단 거리로 가는 경우는
집에서 출발하여 서점을 지나 학교까지 최
위의 조건을 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 3), (3, 3), (4, 3),
3_3=9(가지)
따라서 구하는 확률은
;2»0;
(cid:9000) ;3°6;
따라서 구하는 확률은
_
=
;2!;'
;3!;
;6!;
506 모든 경우의 수는 6_6=36
a+2, b=3
(5, 3), (6, 3)의 5가지
따라서 구하는 확률은
;3°6;
2a+b=9
3가지
=
;3£6;
;1Á2;
따라서 구하는 확률은
4_3_2
3_2_1
=4
따라서 구하는 확률은
(cid:9000) ;1Á2;
=
;2¢4;
;6!;
507 모든 경우의 수는 6_6=36
x=2, y=1을 일차방정식 ax+by=9에 대입하면
위의 식을 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (2, 5), (3, 3), (4, 1)의
511 4명 중 3명을 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수는
4_3_2=24
키가 큰 순서대로 서는 경우의 수는 4명 중에서 순서를 생각하지
않고 3명을 뽑는 경우의 수와 같으므로
1
1
1
1
1
(cid:9000) ;2¦0;
학교
4
10
3
6
서점
3
2
20
10
4
집
1
1
1
1
2
3
1
서점
2
집
1
학교
3
1
(cid:9000) ;2»0;
(cid:9000) ;6!;
10. 확률 | 59
512 10개의 점 중 3개의 점을 선택하는 경우의 수는
Û 두 명 모두 B형인 경우는
=15(가지)
10_9_8
3_2_1
=120
Ú 직선 l 위의 5개의 점 중 2개, 직선 m 위의 5개의 점 중 1개를
선택하는 경우의 수는
_5=50
5_4
2_1
Û 직선 l 위의 5개의 점 중 1개, 직선 m 위의 5개의 점 중 2개를
선택하는 경우의 수는 5_
=50
5_4
2_1
Ú, Û에서 그릴 수 있는 삼각형의 개수는
따라서 구하는 확률은
=
;1!2)0);
;6%;
;6%;
10개의 점 중 3개의 점을 선택하는 경우의 수는
Ú 직선 l 위의 5개의 점 중 3개를 선택하는 경우의 수는
Û 직선 m 위의 5개의 점 중 3개를 선택하는 경우의 수는
50+50=100
다른 풀이
10_9_8
3_2_1
=120
5_4_3
3_2_1
=10
5_4_3
3_2_1
=10
Ú, Û에서 그릴 수 있는 삼각형의 개수는
120-10-10=100
따라서 구하는 확률은
=
;1!2)0);
;6%;
513 전체 구슬의 개수는 6+x+y
빨간 구슬이 나올 확률이
이므로
;1£0;
=
6
6+x+y
3(6+x+y)=60, 3x+3y=42
;1£0;
또 파란 구슬이 나올 확률이
이므로
;5@;
=
y
6+x+y
2(6+x+y)=5y
;5@;
∴ 2x-3y=-12
…… ㉡
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 x=6, y=8
x=6, y=8
517
514 A형, B형, O형, AB형인 사람의
비율이 2 : 3 : 4 : 1이므로 각 혈액형
에 해당하는 사람 수를 구하면 오른
쪽 표와 같다.
모든 경우의 수는
20_19
2_1
=190
혈액형
사람 수 (명)
A
B
O
20_
=4
;1ª0;
20_
=6
;1£0;
20_
=8
;1¢0;
AB
20_
=2
;1Á0;
이때 두 명을 임의로 뽑을 때, 혈액형
이 같은 사람이 뽑히는 경우는 다음
과 같다.
Ú 두 명 모두 A형인 경우는
=6(가지)
4_3
2_1
60 | 정답과 해설
6_5
2_1
8_7
2_1
2_1
2_1
Ü 두 명 모두 O형인 경우는
=28(가지)
Ý 두 명 모두 AB형인 경우는
=1(가지)
Ú~Ý에서 혈액형이 같은 사람이 뽑히는 경우는
6+15+28+1=50(가지)
∴ (혈액형이 다른 사람이 뽑힐 확률)
=1-(혈액형이 같은 사람이 뽑힐 확률)
=1-
=
;1°9¼0;
;1!9$;
;1!9$;
515 모든 경우의 수는 6_6=36
점 P가 꼭짓점 D에 오게 되는 경우는 두 눈의 수의 합이 3 또는
Ú 두 눈의 수의 합이 3인 경우는 (1, 2), (2, 1)의 2가지이므로
8인 경우이다.
그 확률은
;3ª6;
Û 두 눈의 수의 합이 8인 경우는 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3),
(6, 2)의 5가지이므로 그 확률은
;3°6;
Ú, Û에서 구하는 확률은
+
=
;3ª6;
;3°6;
;3¦6;
;3¦6;
516 모든 경우의 수는 2_2_2_2=16
점 P가 원점보다 오른쪽에 있는 경우는 앞면이 3번, 뒷면이 1번
나오거나 앞면이 4번 나오는 경우이다.
Ú 앞면이 3번, 뒷면이 1번 나오는 경우는 (앞, 앞, 앞, 뒤),
(앞, 앞, 뒤, 앞), (앞, 뒤, 앞, 앞), (뒤, 앞, 앞, 앞)의 4가지이므로
그 확률은
;1¢6;
확률은
;1Á6;
Ú, Û에서 구하는 확률은
+
=
;1¢6;
;1Á6;
;1°6;
결승
①
②
A
B
C
D
E
F
G
H
A팀과 H팀이 결승에서 만나려면 A팀은 ①의 자리까지, H팀은
②의 자리까지 동시에 올라가야 한다.
A팀이 ①의 자리까지 올라갈 확률은
_
=
;2!;
;2!;
;4!;
H팀이 ②의 자리까지 올라갈 확률은
_
=
;2!;
;2!;
;4!;
따라서 구하는 확률은
_
=
;4!;
;4!;
';1Á6;
;1°6;
;1Á6;
∴ x+y=14
…… ㉠
Û 앞면이 4번 나오는 경우는 (앞, 앞, 앞, 앞)의 1가지이므로 그
518 Ú 주머니에서 흰 공을 꺼내고 동전의 앞면이 2번 나올 확률
521 혜주가 B 문제를 맞힐 확률을 p라 하면 B 문제를 맞히지 못할
주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률은
;5@;
동전을 2번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 2_2=4
이때 앞면이 2번 나오는 경우는 (앞, 앞)의 1가지이므로 그
확률은 1-p이므로
1-
{
;5#;}
_(1-p)=
;9@;
이때 앞면이 2번 나오는 경우는 (앞, 앞, 뒤), (앞, 뒤, 앞),
522 현우가 월요일에 지각했을 때, 같은 주 화요일부터 금요일까지
따라서 주머니에서 흰 공을 꺼내고 동전의 앞면이 2번 나올 확
확률은
;4!;
률은
_
;5@;
;4!;
=
;1Á0;
Û 주머니에서 검은 공을 꺼내고 동전의 앞면이 2번 나올 확률
주머니에서 검은 공을 꺼낼 확률은
;5#;
동전을 3번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 2_2_2=8
(뒤, 앞, 앞)의 3가지이므로 그 확률은
;8#;
따라서 주머니에서 검은 공을 꺼내고 동전의 앞면이 2번 나올
확률은
_
;5#;
;8#;
=
;4»0;
Ú, Û에서 구하는 확률은
_(1-p)=
, 1-p=
∴ p=
;5@;
;9@;
;9%;
;9$;
이때 A 문제는 맞히고 B 문제는 맞히지 못할 확률은
_
1-
;5#;
{
=
_
;5#;
;9%;
=
;4!5%;
;9$;}
A 문제는 맞히지 못하고 B 문제는 맞힐 확률은
1-
_
=
;9$;
;5@;
_
;9$;
=
;4¥5;
;5#;}
{
따라서 구하는 확률은
+
=
;4!5%;
;4¥5;
;4@5#;
;4@5#;
한 번만 지각하는 경우를 표로 나타내면 다음과 같다.
월
지각
지각
지각
지각
화
지각
정상
정상
정상
수
정상
지각
정상
정상
목
정상
정상
지각
정상
금
정상
정상
정상
지각
Ú
Û
Ü
Ý
1-
_
{
;4!;
1-
_
{
;4!;}
1-
_
{
;3!;}
;3!;}
=
;4!;
_
;4#;
_
;3@;
_
;3@;
=
;1Á2;
Û 수요일만 지각할 확률은
1-
_
_
1-
;4!;}
;3!;
{
_
1-
;4!;}
{
;3!;}
=
_
_
_
=
;3@;
;4#;
;8!;
;3!;
;4#;
{
Ü 목요일만 지각할 확률은
+
=
+
=
;1Á0;
;4»0;
;4¢0;
;4»0;
;4!0#;
;4!0#;
Ú 화요일만 지각할 확률은
519 Ú A가 8을 뽑을 경우 B는 1, 3, 5, 7 중 어느 것을 뽑아도 되므
로 그 확률은
_
=
;4$;
;4!;
;1¢6;
_
=
;4#;
;4!;
;1£6;
_
=
;4@;
;4!;
;1ª6;
_
=
;4!;
;4!;
;1Á6;
Û A가 6을 뽑을 경우 B는 1, 3, 5 중 하나를 뽑으면 되므로 그 확률은
1-
_
1-
;4!;}
{
;3!;}
{
_
_
1-
;3!;
{
;4!;}
=
_
_
_
=
;4#;
;8!;
;3!;
;3@;
;4#;
Ü A가 4를 뽑을 경우 B는 1, 3 중 하나를 뽑으면 되므로 그 확률은
1-
_
1-
;4!;}
{
_
1-
;3!;}
{
;3!;}
_
=
_
_
_
=
;3!;
;3@;
;9!;
;3@;
;4#;
;3!;
{
Ý 금요일만 지각할 확률은
Ú ~ Ý에서 구하는 확률은
Ý A가 2를 뽑을 경우 B는 1을 뽑으면 되므로 그 확률은
+
+
+
=
;9!;
;8!;
;8!;
;7¤2;
+
;1Á2;
;7»2;
+
;7»2;
+
;7¥2;
Ú~ Ý에서 구하는 확률은
+
+
+
=
;1¢6;
;1£6;
;1ª6;
;1Á6;
;1!6);
;8%;
=
;8%;
=
=
;9$;
;7#2@;
;9$;
523 2번의 시합을 A가 이겼으므로 A가 승리하려면 나머지 세 경기
중 한 번만 더 이기면 된다.
Ú A가 3번째 시합에서 이길 확률은
;3@;
520 전구에 불이 켜지지 않는 경우는 두 스위치 A, B가 모두 열리는
Û A가 3번째 시합에서 지고 4번째 시합에서 이길 확률은
경우이므로 그 확률은
1-
_
1-
;5#;}
{
=
_
;5@;
;3!;
=
;1ª5;
;3@;}
{
∴ (전구에 불이 켜질 확률)=1-(전구에 불이 켜지지 않을 확률)
1-
{
;3@;}
_
;3@;
=
;3!;
_
;3@;
=
;9@;
Ü A가 3번째, 4번째 시합에서 지고 5번째 시합에서 이길 확률은
1-
{
;3@;}
_
1-
{
_
=
_
;3!;
;3!;
;3@;
_
;3@;
=
;2ª7;
;3@;}
Ú ~ Ü에서 구하는 확률은
;1!5#;
+
+
;9@;
;3@;
;2ª7;
=
;2!7*;
+
;2¤7;
+
;2ª7;
=
;2@7^;
;2@7^;
=1-
;1ª5;
=
;1!5#;
10. 확률 | 61
524 한 개의 주사위를 한 번 던질 때, 3의 배수의 눈이 나오는 경우
528 Ú 1회에서 승부가 가려질 확률은
이때 4회 이내에 B가 이기려면 2회 또는 4회에 처음으로 3의 배수
Û 2회에서 승부가 가려질 확률은
=
;9#;
;3!;
_
=
;9#;
;9@;
;9^;
Ü 3회에서 승부가 가려질 확률은
_
_
;9^;
;9#;
;9^;
=
;2¢7;
Ú ~ Ü에서 구하는 확률은
+
+
;9@;
;3!;
;2¢7;
=
;2»7;
+
;2¤7;
+
;2¢7;
=
;2!7(;
;2!7(;
529 세 원의 반지름의 길이를 작은 것부터 차례로 r, 2r, 3r라 하면
(과녁 전체의 넓이)=p_(3r)Û`=9prÛ`
(
1점이 적힌 부분의 넓이) =p_(3r)Û`-p_(2r)Û`
(2점이 적힌 부분의 넓이) =p_(2r)Û`-p_rÛ`
=9prÛ`-4prÛ`=5prÛ`
=4prÛ`-prÛ`=3prÛ`
(3점이 적힌 부분의 넓이) =p_rÛ`=prÛ`
따라서 1점, 2점, 3점을 얻을 확률은 차례로
=
5prÛ`
9prÛ`
prÛ`
9prÛ`
이때 화살을 2번 쏘아 점수의 합이 5점이 나오는 경우는
3prÛ`
9prÛ`
=
=
;3!;
;9!;
;9%;
,
,
(2점, 3점), (3점, 2점)을 맞히는 경우이다.
Ú (2점, 3점)을 맞힐 확률은
는 3, 6의 2가지이므로 그 확률은
=
;6@;
;3!;
의 눈이 나와야 한다.
Ú 2회에서 B가 이길 확률은
1-
_
=
_
=
;3!;
;3@;
;9@;
;3!;
;3!;}
{
Û 4회에서 B가 이길 확률은
1-
_
1-
;3!;}
{
_
1-
;3!;}
{
;3!;}
_
=
;3!;
;3@;
_
;3@;
_
;3@;
_
;3!;
{
Ú, Û에서 구하는 확률은
=
;8¥1;
+
;9@;
;8¥1;
=
+
=
;8!1*;
;8¥1;
;8@1^;
;8@1^;
525 Ú A만 당첨 제비를 뽑을 확률은
_
;1¢0;
;9^;
_
;8%;
=
;6!;
Û B만 당첨 제비를 뽑을 확률은
;1¤0;
_
;9$;
_
;8%;
=
;6!;
Ü C만 당첨 제비를 뽑을 확률은
;1¤0;
_
;9%;
_
;8$;
=
;6!;
Ú ~ Ü에서 구하는 확률은
+
+
;6!;
;6!;
;6!;
=
;6#;
=
;2!;
로 빨간 구슬을 꺼내야 한다.
Ú 첫 번째에 빨간 구슬을 꺼낼 확률은
;8#;
Û 세 번째에 처음으로 빨간 구슬을 꺼낼 확률은
_
;8%;
;7$;
_
;6#;
=
;2°8;
Ü 다섯 번째에 처음으로 빨간 구슬을 꺼낼 확률은
_
;8%;
;7$;
_
;6#;
_
;5@;
_
;4#;
=
;5£6;
Ú ~ Ü에서 구하는 확률은
526 준수가 이기려면 첫 번째 또는 세 번째 또는 다섯 번째에 처음으
Û (3점, 2점)을 맞힐 확률은
;2!;
_
;3!;
;9!;
=
;2Á7;
_
;9!;
;3!;
=
;2Á7;
Ú, Û에서 구하는 확률은
+
=
;2Á7;
;2Á7;
;2ª7;
530 모든 경우의 수는 6_6=36
x=-1을 주어진 두 직선의 방정식에 각각 대입하면
-a+y=0에서 y=a
-1+2y-b=0
+
;8#;
;2°8;
+
=
;5£6;
;5@6!;
;5!6);
;5£6;
;5#6$;
;2!8&;
+
+
=
=
;2!8&;
㉠ 을 ㉡에 대입하면 b=2a-1
527 2개의 공을 연속하여 꺼낼 때 적어도 한 개는 흰 공이 나올 확률
3가지
b=2a-1을 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 1), (2, 3), (3, 5)의
이
이므로 모두 검은 공이 나올 확률은
;1!5!;
1-
=
;1!5!;
;1¢5;
이때 검은 공의 개수를 n이라 하면
_
;1÷5;
n-1
14
=
;1¢5;
, n(n-1)=56
이때 56=8_7이므로 n=8
따라서 검은 공은 모두 8개이다.
62 | 정답과 해설
따라서 구하는 확률은
=
;3£6;
;1Á2;
531 모든 경우의 수는 6_6=36
y=0을 y=ax+b에 대입하면
8개
0=ax+b, -ax=b
∴ x=-
;aB;
;2ª7;
yy ㉠
yy ㉡
;1Á2;
즉 점 P의 좌표는 P
-
, 0
이므로 POÓ=
{
;aB;
}
;aB;
x=0을 y=ax+b에 대입하면 y=b
즉 점 Q의 좌표는 Q(0, b)이므로 QOÓ=b
∴ △POQ=
_
;2!;
;aB;
_b=
bÛ`
2a
534 닫혀 있는 문이 1개이려면 주사위를 세 번 던질 때, 바닥에 닿은
면에 적힌 수가 모두 다른 수가 나와야 한다.
모든 경우의 수는
4_4_4=64
모두 다른 수가 나오는 경우의 수는 4개 중에서 3개를 뽑아 한 줄
¾4, 즉 bÛ`¾8a를 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 3), (1, 4),
bÛ`
2a
(1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 6)의
로 나열하는 경우의 수와 같으므로
4_3_2=24
따라서 구하는 확률은
=
;6@4$;
;8#;
(cid:9000) ;8#;
따라서 구하는 확률은
10가지
=
;3!6);
;1°8;
(cid:9000) ;1°8;
535 조건 ㈏에서 네 자리의 자연수가 2의 배수이어야 하므로 일의
자리에 들어갈 수 있는 숫자는 0, 2, 4, 6, 8이다.
조건 ㈎에서 천의 자리의 숫자가 3, 십의 자리의 숫자가 5이므로
532 모든 경우의 수는 6_6=36
일차함수 y=
x의 그래프가 항상
;aB;
원점 O를 지나므로 선분 AB와 만
y
2
나기 위해서는 오른쪽 그림의 색칠
Ú
Û
A
B
비밀번호는 다음 중 하나이다.
Ú 3
50, 3
52인 경우는 조건 ㈐를 만족하지 않는다.
Û 3
54인 경우 조건 ㈐를 만족하는 네 자리의 자연수는
3854, 3954의 2가지
O
3
4
x
Ü 3
56인 경우 조건 ㈐를 만족하는 네 자리의 자연수는
한 부분에 있어야 한다.
Ú 점 A(3, 2)를 지날 때
2=
_3
∴
=
;aB;
;3@;
Û 점 B(4, 2)를 지날 때
2=
_4
∴
=
;aB;
;2!;
;aB;
;aB;
3656, 3756, 3856, 3956의 4가지
Ý 3
58인 경우 조건 ㈐를 만족하는 네 자리의 자연수는
3458, 3558, 3658, 3758, 3858, 3958의 6가지
Ú~Ý에서 비밀번호가 될 수 있는 모든 경우의 수는
2+4+6=12
Ú, Û에서
É
É
;aB;
;2!;
;3@;
이므로 이를 만족하는 순서쌍 (a, b)는
따라서 첫 번째 시도에서 로그인 할 확률은
;1Á2;
(cid:9000)
;1Á2;
(2, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 3), (6, 3), (6, 4)의 6가지
따라서 구하는 확률은
=
;3¤6;
;6!;
536 모든 경우의 수는
5_4
2_1
=10
(cid:9000) ;6!;
이때 두 수의 차가 7 미만일 확률이
이므로 두 수의 차가 7
=
;5$;
;1¥0;
이상일 확률은 1-
=
;1¥0;
;1ª0;
이다.
즉 두 수의 차가 7 이상인 경우가 2가지인 a의 값을 찾으면 된다.
Ú a=9이면 두 수의 차가 7 이상인 경우는 (1, 9)의 1가지
Û a=11이면 두 수의 차가 7 이상인 경우는 (1, 11), (3, 11)의
STEP
3
고난도 문제
143쪽~144쪽
이때 a>7인 홀수이므로
533 바구니에 공을 넣는 경우의 수는 4_3_2_1=24
A 바구니에 들어 있는 공에 적힌 수가 C 바구니에 들어 있는 공에
2가지
적힌 수보다 크고, B 바구니에 들어 있는 공에 적힌 수가 D 바구니
Ü a가 13 이상인 홀수이면 두 수의 차가 7 이상인 경우는 (1, a),
에 들어 있는 공에 적힌 수보다 큰 경우를 나뭇가지 모양의 그림으
(3, a), (5, a), y의 3가지 이상이다.
로 나타내면 다음과 같이 6가지이다.
Ú~Ü에서 a=11
(cid:9000) 11
A
2
3
4
C
B D
1
1
2
1
2
3
4
4
4
3
3
2
3
2
1
2
1
1
따라서 구하는 확률은
=
;2¤4;
;4!;
(cid:9000) ;4!;
따라서 구하는 확률은
;1¥9£0;
537 20명의 어린이 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
20_19
2_1
=190
나이 차가 2세 이상인 경우는 (8, 10), (8, 11), (8, 12), (9, 11),
(9, 12), (10, 12)이므로 그 경우의 수는
3_4+3_5+3_2+6_5+6_2+4_2=83
(cid:9000)
;1¥9£0;
10. 확률 | 63
538 모든 경우의 수는 3_3_3_3=81
Ú 1이 없는 경우
2와 3을 사용하여 네 자리의 자연수를 만드는 경우는
2_2_2_2=16(가지)이므로 그 확률은
;8!1^;
Û 1이 1개 들어 있는 경우
1
인 경우 : 2_2_2=8(가지)
1
인 경우 : 2_2_2=8(가지)
1 인 경우 : 2_2_2=8(가지)
1인 경우 : 2_2_2=8(가지)
따라서 1이 1개 들어 있는 네 자리의 자연수를 만드는 경우는
8+8+8+8=32(가지)이므로 그 확률은
;8#1@;
Ú, Û에서 구하는 확률은
+
=
=
;8!1^;
;8#1@;
;8$1*;
;2!7^;
;2!7^;
539 Ú 검사가 2번에 끝나는 경우는 (불량, 불량)이므로 그 확률은
_
=
;5ª0;
;4Á9;
;12Á25;
Û 검사가 3번에 끝나는 경우는 (정상, 불량, 불량) 또는
(불량, 정상, 불량)이므로 그 확률은
_
_
+
_
_
;5$0*;
;4ª9;
;4Á8;
;5ª0;
;4$9*;
;4Á8;
;12Á25;
;12Á25;
=
+
Ú, Û에서 구하는 확률은
+
;12Á25;
;12ª25;
=
;12£25;
540 한 변의 길이가 1`cm인 정사각
형 안에 임의의 한 점을 찍을 때, 이
점으로부터 정사각형의 네 꼭짓점
까지의 거리가 모두
보다 큰 경우
;2!;
는 오른쪽 그림의 색칠한 부분에 점
을 찍었을 때이다.
따라서 구하는 확률은
=
;12ª25;
1 cm
2
1 cm
2
;12£25;
1 cm
1-4_
_p_
[;4!;
{;2!;}
]
=1-
`(cmÛ`)
;4Ò;
1-
{
;4Ò;}
`cmÛ`
2`
64 | 정답과 해설
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