체크체크 수학 3-1
1. 제곱근과 무리수
2. 근호를 포함한 식의계산
3. 인수분해
4. 이차방정식의 풀이
5. 이차방정식의 활용
6. 이차함수와 그 그래프
7. 이차함수의 활용
8. 대푯값과 산포도
02
10
21
30
37
46
55
64
진도 교재
1
제곱근과 무리수
제곱근의 뜻과 표현
⑵ x¤ =49, x=7, -7
⑶ x¤ =0, x=0
⑷ x¤ =-81, x는 없다.
■개념 원리알기 | p. 10 ■
1-1 (cid:9000) ⑴ 9,, -9(cid:0) ⑵
,, -
(cid:0) ⑶ 0.8,, -0.8(cid:0) ⑷ 4, -4
;3@;
;3@;
(cid:9000) ⑸ 1,, -1(cid:0) ⑹ 없다.
1-2 (cid:9000) ⑴ 6,, -6(cid:0) ⑵ ;5@;,, -;5@;(cid:0) ⑶ 0.1,, -0.1(cid:0) ⑷ 0
(cid:9000) ⑸ 없다.(cid:0) ⑹ ;2#;,, -;2#;
0, —1, —'2, —2, —'6, —3, —'1å0, —4, —'1å9, —11, —12
■개념 원리알기 | p. 11 ■
2-1 (cid:9000) ⑴ —
'5 ⑵ —
'1å1 ⑶ —
Æ;3!; ⑷ —
'ƒ0.1
2-2 (cid:9000) ⑴ —
'3 ⑵ —
'1å3 ⑶ —
Æ;5#; ⑷ —
'∂0.6
3-1 (cid:9000) ⑴ '1å0 ⑵ -'1å0 ⑶ —
'1å0 ⑷ '1å0
3-2 (cid:9000) ⑴ '7 ⑵ —
'7 ⑶ -'7 ⑷ '7
4-1 (cid:9000) ⑴ —3 ⑵ 3 ⑶ -3 ⑷ 3
⑴ —'9=—3
⑶ -'9=-3
⑵ '9=3
⑷ '9=3
4-2 (cid:9000) ⑴ 5 ⑵ -5 ⑶ 5 ⑷ —5
⑴ '2å5=5
⑶ '2å5=5
⑵ -'2å5=-5
⑷ —'2å5=—5
01 ⑴ —8 ⑵ —5 ⑶ —3 ⑷ —
;4!; ⑸ —'5 ⑹ —0.3
02 ⑴ —
;5#; ⑵ —6 ⑶ —2 ⑷ —10 ⑸ —11 ⑹ —0.6
04 ⑴ 9 ⑵ —9 ⑶ —3
03 ⑴ 7 ⑵ —7 ⑶ —'7
05 ⑴ ◯ ⑵ _ ⑶ _ ⑷ _ ⑸ ◯ ⑹ _
08 14
07 -12
06 은규
02
체크체크 수학 3-1
01 ⑴ 64의 제곱근은 —'6å4=—8이다.
⑵ 5¤ =25이므로 5¤ 의 제곱근은 —'2å5=—5이다.
⑶ (-3)¤ =9이므로 (-3)¤ 의 제곱근은 —'9=—3이다.
⑷ ;1¡6;의 제곱근은 —;4!;이다.
⑸ '2å5=5이므로 '2å5의 제곱근은 —'5이다.
⑹ 0.09의 제곱근은 —'0∂.09=—0.3이다.
02 ⑶ '1å6=4이므로 '1å6의 제곱근은 —'4=—2이다.
03 ⑴ '4å9=7
⑵ —'4å9=—7
p. 10~11
⑶ 제곱근 49는 '4å9=7이므로
7의 제곱근은 —'7이다.
04 ⑴ '8å1=9
⑵ —'8å1=—9
⑶ 제곱근 81은 '8å1=9이므로
9의 제곱근은 —'9=—3이다.
05 ⑵ 0의 제곱근은 1개, 음수의 제곱근은 없다.
⑶ 0의 제곱근은 0이다.
⑷ x¤ =7에서 x는 7의 제곱근이므로 x=—'7이다.
⑸ 제곱근 16은 '1å6=4이다.
⑹ (-5)¤ =25이므로 (-5)¤ 의 제곱근은 —'2å5=—5이다.
06 수지：6의 양의제곱근은 '6이다.
성민：음수의 제곱근은 없다.
은수：음이 아닌 수 중에서 0의 제곱근은 0 하나뿐이다.
따라서 옳게 말한 학생은 은규이다.
07 제곱근 36은 '∂36=6, '1å6=4의 음의 제곱근은 -'4=-2이므
로 a=6, b=-2
∴ ab=6_(-2)=-12
08 (-9)¤ =81이므로 (-9)¤ 의 양의 제곱근은 '8å1=9 ∴ a=9
25의 음의제곱근은 -'2å5=-5 ∴ b=-5
∴ a-b=9-(-5)=14
제곱근의 성질
p. 12
p. 13~16
1-1 (cid:9000) ⑴ 8 ⑵ 7
⑶ 4
⑷ 10
⑸ -5(cid:0) ⑹ -;3!;(cid:0) ⑺ -11(cid:0) ⑻ -;4#;
1-2 (cid:9000) ⑴ 12 ⑵ 8 ⑶ 5 ⑷ 7
⑸ -13(cid:0) ⑹ -9(cid:0) ⑺ -7(cid:0) ⑻ -15
2-1 (cid:9000) ⑴ 8 ⑵ -5 ⑶ 1 ⑷ 30
⑴ "ç3¤ +"ç5¤ =3+5=8
⑵ (-'7 )¤ -'∂144=7-12=-5
⑶ '∂25÷"√(-5)¤ =5÷5=1
⑷ ('5 )¤ _(-'6)¤ =5_6=30
2-2 (cid:9000) ⑴ 11 ⑵ -3 ⑶ 3 ⑷ 1
⑴ "ç4¤ +"√(-7)¤ =4+7=11
⑵ (-'2 )¤ -(-'5)¤ =2-5=-3
⑶ "ç12¤ ÷"√(-4)¤ =12÷4=3
⑷ "ç5¤ _{-æ;5!; }2 =5_;5!;=1
3-1 (cid:9000) ⑴ 2a, >
⑵ 2a, -2a, <
⑶ -2a, 2a, < ⑷ -2a, >
14-x=9일 때, x=5
14-x=16일 때, x=-2
따라서 'ƒ14-x가 자연수가 되게 하는 자연수 x의 값은 5, 10,
13이다.
참고
14-x의 값이 14보다 큰 경우 x의 값이 음수가 되므로
'ƒ14-x가 자연수가 되기 위한 자연수 x의 값은 14-x의
값이 14보다 작은 제곱수에서 찾는다.
⑵ 'ƒ26-x가 자연수가 되기 위해서는 26-x=1, 4, 9, 16, 25
따라서 구하는 자연수 x의 값은 25, 22, 17, 10, 1이다.
6-2 (cid:9000) ⑴ 6개(cid:100)⑵ 3
⑴ 'ƒ42-x가 자연수가 되기 위해서는 근호 안의 수 42-x가 42
보다 작은 제곱수이어야 하므로 42-x=1, 4, 9, 16, 25, 36
따라서 구하는 자연수 x는 41, 38, 33, 26, 17, 6의 6개이다.
⑵ 'ƒ13+a가 자연수가 되기 위해서는 13+a가 13보다 큰 제곱
수이어야 하므로 13+a=16, 25, 36, y
따라서 자연수 a의 값은 3, 12, 23, y이고, 이 중 가장 작은 자
3-2 (cid:9000) ⑴ a ⑵ -a ⑶ a ⑷ -a
⑶ a>0일 때, -a<0이므로 "√(-a)¤ =-(-a)=a
⑷ a<0일 때, -a>0이므로 "√(-a)¤ =-a
4-1 (cid:9000) ⑴ a-2, > ⑵ a-2, -a+2, <
연수는 3이다.
■개념 적용하기 | p. 15 ■
7-2 (cid:9000) ⑴ <(cid:100)⑵ <(cid:100)⑶ <(cid:100)⑷ >(cid:100)⑸ <(cid:100)⑹ >
4-2 (cid:9000) ⑴ -x+3 ⑵ 3-x ⑶ -x+3 ⑷ 3-x
⑴ x<3일 때, x-3<0이므로
"√(x-3)¤ =-(x-3)=-x+3
⑵ x<3일 때, 3-x>0이므로
"√(3-x)¤ =3-x
⑶ x>3일 때, x-3>0이므로
-"√(x-3)¤ =-(x-3)=-x+3
⑷ x>3일 때, 3-x<0이므로
-"√(3-x)¤ =-{-(3-x)}=3-x
2, 3
5-1 (cid:9000) ⑴ 18=2_3¤ (cid:100)⑵ 2(cid:100)⑶ 2
5-2 (cid:9000) ⑴ 15(cid:100)⑵ 6
⑴ 135x=3‹ _5_x이므로 소인수의 지수를 짝수로 만드는 가장
작은 자연수 x의 값은 3_5=15이다.
24
⑵ =
x
2‹ _3
x
이므로 약분하여 분자의 소인수의 지수를 짝수
로 만드는 가장 작은 자연수 x의 값은 2_3=6이다.
6-1 (cid:9000) ⑴ 표(13, 10, 5), 5, 10, 13 ⑵ 1, 10, 17, 22, 25
⑴ 'ƒ14-x가 자연수가 되기 위해서는
14-x=1, 4, 9, 16, y
14-x=1일 때, x=13
14-x=4일 때, x=10
7-1 (cid:9000) ⑴ <(cid:100)⑵ >(cid:100)⑶ >(cid:100)⑷ >(cid:100)⑸ >(cid:100)⑹ <
<
>
'∂10
⑴ 8<10이므로 '8
⑵ '∂12<'∂14이므로 -'∂12 -'∂14
⑶ 5='∂25이므로 '∂29
⑷ 4='∂16이므로 '∂15<4(cid:100)(cid:100)∴ -'∂15 -4
>
⑸ ;2!;>;3!;이므로 Æ;2!;
Æ;3!;
>
>
5
⑹ 0.1='∂0.01이므로 0.1
<
'∂0.1
⑴ 12<17이므로 '∂12
<
'∂17
⑵ ;3!;>;4!;이므로 Æ;3!;>Æ;4!; ∴ -Æ;3!; -Æ;4!;
<
⑶ 3='9이므로 '8
⑷ 5='2å5이므로 5<'2å7 ∴ -5 -'∂27
>
<
3
⑸ ;2!;=æ;4!;이므로 ;2!;
<
æ;3@;
⑹ 0.5='∂0.25이므로 '∂0.5
>
0.5
8-1 (cid:9000) ㉠ 4 ㉡ 16 ㉢ 10, 11, 12, 13, 14, 15
각 변이 모두 양수이므로 각 변을 제곱하면
3¤ <('ßx)¤ <
(cid:8857) x는 9와
사이의 자연수
∴ 90이므로 -"≈a¤ =-a
㉡ 3a>0이므로 "√(3a)¤ =3a
㉢ -2a<0이므로 "√(-2a)¤ =-(-2a)=2a
㉣ 5a>0이므로 -"√25a¤ =-"√(5a)¤ =-5a
따라서 옳은것은㉠, ㉡이다.
⑵ a<0일 때, 4a<0, -7a>0이므로
⑴ "≈a¤ +"√16a¤ -"√(-7a)¤ ="≈a¤ +"√(4a)¤ -"√(-7a)¤
=-a-4a-(-7a)
=-a-4a+7a
=2a
07 x<2일 때, x-2<0, 2-x>0이므로
"√(x-2)¤ +"√(2-x)¤ =-(x-2)+(2-x)
=-x+2+2-x
=-2x+4
08 틀린 부분을 옳게 고치면 다음과 같다.
10, a-4<0이므로
"√(a-1)¤ +"√(a-4)¤ =(a-1)-(a-4)
=a-1-a+4
=3
09 'ƒ108a="√2¤ _3‹ _a가 자연수가 되려면 a=3_(제곱수)의 꼴이
어야 한다.
즉 a의 값은 차례로 3_1¤ , 3_2¤ , 3_3¤ , y이므로 작은 수부
터 차례로 3개 구하면 3, 12, 27이다.
=9-2_;2#;+6
=9-3+6=12
⇨ 소인수의 지수 중에 홀수가 있으므로 '∂48x는 자연수가 되지
11 'ƒ12-x가 정수가 되려면 12-x는 0 또는 12보다 작은 제곱수이
10 48=2› _3이므로
① x=3일 때, 48_3=2› _3¤
② x=12일 때, 48_12=2fl _3¤
③ x=18일 때, 48_18=2fi _3‹
않는다.
④ x=27일 때, 48_27=2› _3›
⑤ x=48일 때, 48_48=2° _3¤
어야 한다. 즉
12-x=0, 1, 4, 9
12-x=0일 때, x=12
12-x=1일 때, x=11
12-x=4일 때, x=8
12-x=9일 때, x=3
∴ x=3, 8, 11, 12
12 'ƒ36-x가 정수가 되려면 36-x는 0 또는 36보다 작은 제곱수이
어야 한다. 즉
36-x=0, 1, 4, 9, 16, 25
∴ x=36, 35, 32, 27, 20, 11
06 ⑴ a>0일 때, -3a<0이므로
따라서 가장 큰 값 M=36, 가장 작은 값 m=11이므로
⑴ "ça¤ -"√(-3a)¤ =a-{-(-3a)}=a-3a=-2a
M-m=36-11=25
04
체크체크 수학 3-1
13 -3=-'9<-'6이고,
2-2 (cid:9000) ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ ×
'∂20, Æ;2!;, '8, 4='∂16에서 Æ;2!;<'8<4<'∂20
⑴ -Æ…:¡2•:=-'9=-3이므로 유리수이다.
⑷ 분자, 분모가 정수((분모)+0)인 분수 꼴로 나타낼 수 있는수는
따라서 작은 수부터 차례로 쓰면 -3, -'6, Æ;2!;, '8, 4, '∂20
유리수이다.
이므로 네 번째에 오는 수는 '8이다.
14 ① -'3>-2=-'4
② "√(-3)¤ =3>"√(-2)¤ =2
③ -'∂12>-4=-'∂16
④ 3='9>'8
⑤ -Æ;3!;<-;2!;=-Æ;4!;
15 6<'3ån<8의 각 변을 제곱하면
36<3n<64 ∴ 12 ⑵ < ⑶ > ⑷ <
수 꼴로 나타낼 수 없다.
⑶ 근호가 있다고 해서 모두 무리수인 것은 아니다.
(cid:9066) '9=3 (유리수), '∂100=10 (유리수), y
⑸ '0=0이므로 유리수이다.
⑴ 양변에 1을 더하면
⑴ 3>'3 ∴ 2
⑵ 양변에서 1을 빼면
⑴ 3<'1å5 ∴ 4
>
'3-1
<
'1å5+1
1. 제곱근과 무리수
05
진도 교재
>
⑶ 양변에 3을 더하면
⑴ '7>'3 ∴ '7-3 -3+'3
⑷ '2=1.414y이므로
⑴ 1+'2=2.414y, 4-'2=2.585y
4-'2
⑴ ∴ 1+'2
<
6-2 (cid:9000) ⑴ < ⑵ < ⑶ > ⑷ >
1
<
<
⑴ 양변에 1을 더하면
⑴ '2<2 ∴ '2-1
⑵ 양변에서 3을 빼면
⑴ '2<2 ∴ '2+3
⑶ 양변에서 2를 빼면
⑴ '5>2 ∴ 2+'5
⑷ '3=1.732y이므로
⑴ 1+'3=2.732y, 4-'3=2.267y
4-'3
⑴ ∴ 1+'3
>
>
5
4
7-1 (cid:9000) ⑴ > ⑵ > ⑶ >
⑴ 양변에 '3을 더하면
'5>2 ∴ '5-'3
>
2-'3
⑵ 양변에서 3을 빼면
-'5>-'7 ∴ 3-'5
>
3-'7
⑶ 양변에서 '6을 빼면
3>'2 ∴ '6+3
>
'6+'2
7-2 (cid:9000) ⑴ < ⑵ < ⑶ <
⑴ 양변에서 3을 빼면
'3<'7 ∴ 3+'3
<
3+'7
⑵ 양변에서 '5를 빼면
-1<0 ∴ -1+'5
<
'5
⑶ 양변에서 '2å0을 빼면
-'7<-'6 ∴ '2å0-'7
<
'2å0-'6
02 ③ 순환소수는 유리수이다.
④ 예를 들어 '1å6=4로 나타낼 수 있다. 즉 근호 안의 수가 제곱인
수는 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 있으므로 유리수이다.
03 점 A에 대응하는 수는 0-'2=-'2 (㉣)
점 B에 대응하는 수는 2-'2 (㉢)
점 C에 대응하는 수는 0+'2='2 (㉡)
점 D에 대응하는 수는 2+'2 (㉠)
04 (cid:8772)ABCD=4_4-4_{;2!;_1_3}=10
이고 (cid:8772)ABCD는 정사각형이므로 AB”=AD”='∂10이다.
이때 AP”=AD”='∂10, AQ”=AB”='∂10이므로
점 P의 좌표는 P(1-'∂10),
점 Q의 좌표는 Q(1+'∂10)이다.
05 ① '3과 '5 사이에는 1개의 자연수 2가 있다.
② ;3!;과 ;2!; 사이에는 무수히 많은무리수가 있다.
③ -3과 '5 사이에는 무수히 많은 무리수가 있다.
⑤ '3-'2>0이므로 수직선위에서 원점의오른쪽에 있다.
06 ④ 서로다른두 유리수사이에는 무수히많은 유리수가 있다.
07 ① -2>1-'5의 양변에서 1을 빼면
② 2-'7<-1의 양변에서 2를 빼면
-3>-'5 (_)
-'7<-3 (_)
③ 1<'8-2의 양변에 2를 더하면
④ '1å1-'6<3-'6의 양변에 '6을 더하면
3<'8 (_)
'1å1<3 (_)
⑤ 3-'1å5>-1의 양변에서 3을 빼면
-'1å5>-4 (◯)
08 ① '2-1<'3-1의 양변에 1을 더하면 '2<'3 (◯)
② '1å5-'1å7<-'1å7+4의 양변에 '1å7을 더하면
'1å5<4 (◯)
p. 23
③ 6-'8<4의 양변에서 6을 빼면 -'8<-2 (◯)
⑤ '5-'2>2-'2의 양변에 '2를 더하면 '5>2 (◯)
1 2
2 ⑤
p. 24
02 ③, ④
01 ㉡, ㉣, ㉤
04 P(1-'1å0), Q(1+'1å0)
07 ⑤
08 ④
03 A：㉣, B：㉢, C：㉡, D：㉠
05 ①, ④
06 ④
01 ㉢ -'3å6=-"≈6¤ =-6 (유리수)
12-1
90
;9!0!; (유리수)
㉥ 0.1H2=
=
따라서 무리수는 ㉡, ㉣, ㉤이다.
06
체크체크 수학 3-1
1 f(93)은 '9å3 이하의 자연수의 개수이다.
9¤ <93<10¤ 이므로 9<'9å3<10(cid:0)
f(62)는 '6å2 이하의 자연수의 개수이다.
7¤ <62<8¤ 이므로 7<'6å2<8(cid:0)
∴ f(93)-f(62)=9-7=2
(cid:0) ∴ f(62)=7
(cid:0) ∴ f(93)=9
⑴ 'ƒ19-x가 자연수가 되려면 19-x는 19보다 작은 제곱수이어
야 한다. 즉19-x=1, 4, 9, 16
⑴ ∴ x=18, 15, 10, 3
⑴ 따라서 '1∂2x와 'ƒ19-x가 모두 자연수가 되도록 하는 자연수
x의 값은 3이다.
2 ⑤ '2+1=1.414+1=2.414이므로 '5보다 큰 무리수이다.
07 a>b>0에서
㉠ -3a<0이므로 "√(-3a)¤ =-(-3a)=3a
㉣ -a<0이므로 "√(-a)¤ =-(-a)=a
㉥ b-a<0이므로 "√(b-a)¤ =-(b-a)=a-b
따라서 옳은것은㉠, ㉡, ㉢, ㉤, ㉥의5개이다.
p. 25~26
01 ⑤
05 10
07 ⑤
12 -'2
03 0
02 ⑴ —5 ⑵ —2 ⑶ 7
04 ④
06 ⑴ 안방：'1∂2x m, 작은방：'ƒ19-x m ⑵ 3
08 2x-7
11 42
09 ④
13 a0, x-5<0이므로
(주어진 식)=x-2-{-(x-5)}
=x-2+x-5=2x-7
09 3<"√3(x-1)<6의 각 변을 제곱하면
9<3(x-1)<36
③ 양수 a에 대하여 제곱하여 a가 되는 수는 a의 제곱근이므로
각 변을 3으로 나누면 30, ab<0에서 a>b, ab<0이므로
a>0, b<0
∴ "≈a¤ -"√4b¤ +"√(a-b)¤ ="≈a¤ -"√(2b)¤ +"√(a-b)¤
03 "ç2› ='∂16="ç4¤ 이므로
(주어진 식)=4-3+6-7=0
04 ① "ç9¤ =9
② "√(-9)¤ =9
④ -('9 )¤ =-9
③ (-'9 )¤ =9
⑤ '8å1=9
따라서 나머지 넷과다른하나는 ④`이다.
18x
05 Æ… =æ≠
5
2_3¤ _x
5
에서 x=2_5_(자연수)¤ 의 꼴이어야 하
므로 가장 작은 자연수는 2_5=10이다.
06 ⑴ 안방은정사각형 모양이고 넓이가 12x m¤ 이므로 안방의 한 변
의 길이는 '1∂2x m이다.
⑴ 작은방은 정사각형 모양이고 넓이가 (19-x) m¤ 이므로 작은
방의 한 변의 길이는 'ƒ19-x m이다.
⑵ '1∂2x="√2¤ _3_x가 자연수가 되려면 x=3_(자연수)¤ 의 꼴
이어야 한다. 즉x=3_1¤ , 3_2¤ , 3_3¤ , y
⑴ ∴ x=3, 12, 27, y
=a-(-2b)+(a-b)
=a+2b+a-b
=2a+b
11 '1=1, '4=2, '9=3, '1å6=4, '2å5=5이므로
f(1)=0
f(2)=f(3)=f(4)=1
f(5)=f(6)=f(7)=f(8)=f(9)=2
f(10)=f(11)=f(12)=f(13)=f(14)=f(15)=f(16)=3
f(17)=f(18)=4
∴ f(1)+f(2)+f(3)+y+f(18)
=0+1_3+2_5+3_7+4_2
=42
12 점 P는 점 A를 기준점으로 하고 기준점의 오른쪽에 위치하므로
'2-1=(점 A에 대응하는 수)+'2
∴ (점 A에 대응하는 수)=-1
이때 정사각형 ABCD의 한 변의 길이가 1이므로 점 B에 대응하
는 수는 -1+1=0
따라서 점 Q에 대응하는 수는 0-'2=-'2
1. 제곱근과 무리수
07
진도 교재
13 ⁄ a와 c의 대소를비교하면
1, 2-'7-2
⁄ 2-'7
⁄ ∴ a0이므로 "≈a¤ =a, b>0이므로 "≈b¤ =b
⑵ a>0이므로 "≈a¤ =a, b<0이므로 "≈b¤ =-b
∴ "≈a¤ -"≈b¤ =a-(-b)=a+b
⑶ a<0이므로 "≈a¤ =-a, b>0이므로 "≈b¤ =b
∴ "≈a¤ -"≈b¤ =-a-b
⑷ a<0이므로 "≈a¤ =-a, b<0이므로 "≈b¤ =-b
∴ "≈a¤ -"≈b¤ =-a-(-b)=-a+b
(cid:9000) ⑴ a-b ⑵ a+b ⑶ -a-b ⑷ -a+b
03 영옥이가 보물이 있는 곳까지 찾아가는 경로는 다음과 같다.
(cid:8857)
(cid:8859)
(cid:8857)
(cid:8857)
(cid:8859)
(cid:8859)
(cid:8859)
(cid:8859)
(cid:8859)
(cid:8856)
(cid:8857)
(cid:9000) 풀이 참조
04 ⑴ ㉠에알맞은 수는 5이다.
이유：5="≈5¤ ='2å5이므로 5>'5
⑵ 0.5="ç0.5¤ ='∂0.25이고 0.25<0.5이므로 `0.5<'0ß.5
(cid:9000) ⑴ 5, 풀이 참조 ⑵ 풀이참조
02 9
07 ③
12 ④
01 ①
06 ⑤
11 6
15 ⑴ P(-2-'5 ) ⑵ Q(-2+'5 ) ⑶ 3-'5
03 ②
08 ③
13 ②
04 ②
09 ④
14 ⑴ -5 ⑵ 2x-1 ⑶ 5
05 6
10 ②
p. 27~28
p. 29~30
01 ⑴ 민혁：('5 )¤ =5, (-'5 )¤ =5이므로 5의 제곱근은 —'5이다.
01 ① '1å6=4이므로 '1å6의 제곱근은 —2이다.
따라서 바른 내용을 적은 학생은 민혁이다.
⑵ 주연：제곱근 5는 '5이다.
현수：64=8¤ 이므로 '6å4="≈8¤ =8
민지：(-7)¤ =49이므로 "√(-7)¤ ='4å9="≈7¤ =7
02 (-6)¤ =36, 'ß81=9이므로
a=(36의 음의 제곱근)=-6
b=(9의 양의 제곱근)=3
(cid:9000) ⑴ 민혁 ⑵ 풀이 참조
∴ b-a=3-(-6)=9
08
체크체크 수학 3-1
03 ① ('4 )¤ -"√(-6)¤ +'8å1=4-6+9=7
② '1å6-'9+'3å6=4-3+6=7
③ "√(-7)¤ +'1å6-(-'5 )¤ =7+4-5=6
④ (-'3 )¤ -"√(-2)¤ -'9=3-2-3=-2
⑤ ('5 )¤ +(-'1å4)¤ -"√(-2)¤ =5+14-2=17
04 a<0'3+'5의 양변에서 '5를 빼면
따라서구하는가장작은자연수는2_3=6
06 'ƒ20-x가 자연수가 되려면 20-x는 20보다 작은 제곱수이어야
한다. 즉
20-x=1, 4, 9, 16 ∴ x=19, 16, 11, 4
∴ a=19
20
Æ… =æ≠
y
2¤ _5
y
y=5, 2¤ _5 ∴ b=5
∴ a+b=19+5=24
이므로 Æ… 이 자연수가 되려면
20
y
07 ② '9<'1å0
③ -'∂15>-'∂16
⑤ Æ;8!; >Æ;9!;
08 4<'∂3x<6의 각 변을제곱하면
16<3x<36 ∴ :¡3§:'3 (_)
② 2+'3<4의 양변에서 2를 빼면
⑤ '3<2 (◯)
③ 3-'6<'5-'6의 양변에 '6을 더하면
⑤ 3<'5 (_)
④ '∂0.09+1>æ;4!;+1에서
⑤ 0.3+1>;2!;+1이므로 1.3>1.5 (_)
⑤ -'2-'7<-'7-2의 양변에 '7을 더하면
⑤ -'2<-2 (_)
14 ⑴ x<-2일 때, x+2<0, x-3<0이므로
"√(x+2)¤ -"√(x-3)¤ =-(x+2)-{-(x-3)}
=-x-2+x-3=-5
⑵ -20, x-3<0이므로
"√(x+2)¤ -"√(x-3)¤ =(x+2)-{-(x-3)}
=x+2+x-3=2x-1
⑶ x>3일 때, x+2>0, x-3>0이므로
"√(x+2)¤ -"√(x-3)¤ =(x+2)-(x-3)
=x+2-x+3=5
15 ⑴ (cid:8772)ABCD=3_3-4_{;2!;_1_2}=5
이고 (cid:8772)ABCD가 정사각형이므로 AD”=AB”='5
이때 AP”=AD”='5이므로 P(-2-'5 )
⑵ AQ”=AB”='5(cid:0)
⑶ QE”=1-(-2+'5 )=3-'5
(cid:0)∴ Q(-2+'5 )
1. 제곱근과 무리수
09
진도 교재
2
근호를 포함한 식의 계산
제곱근의 곱셈과 나눗셈
1-1 (cid:9000) ⑴ '1å4 ⑵ -'3å0 ⑶ 6'1å0 ⑷ '6
⑴ '7_'2='ƒ7_2='1å4
⑵ -'1å0'3=-'ƒ10_3=-'3å0
⑶ 3'2_2'5=3_2_'2_'5=6'1å0
⑷ Æ…:¡3¢:Æ;7(;=Æ…:¡3¢:_;7(;='6
1-2 (cid:9000) ⑴ '3å0 ⑵ '3å5 ⑶ 8'6 ⑷ 2
⑴ '2'3'5='ƒ2_3_5='3å0
⑵ (-'5)_(-'7 )='ƒ5_7='3å5
⑶ 2'3_4'2=2_4_'3_'2=8'6
⑷ '3Æ;3%;Æ;5$;=Æ…3_;3%;_;5$;='4=2
2-1 (cid:9000) ⑴ '2 ⑵ -3 ⑶ -2'6 ⑷ '2
⑴
'1å8
'9
=Ƭ:¡9•:='2
'6å3
⑵ '∂63÷(-'7)=- =-Ƭ:§7£:=-'9=-3
'7
⑶ -4'3å0÷2'5= Ƭ:£5º:=-2'6
-4
2
'6
⑷ ÷ = _
'2å0
'3
'5
'3
'5
'2å0
'6
=Ƭ;5#;_:™6º:='2
2-2 (cid:9000) ⑴ '2 ⑵ 4 ⑶ -2'2 ⑷ 2
⑴
'1å0
'5
=Ƭ:¡5º:='2
⑵ '∂48÷'3=Æ…:¢3•:='∂16=4
⑶ -2'1å2÷'6=-2Ƭ:¡6™:
=-2'2
⑷ Ƭ:¡3º:÷Æ;6%;=Ƭ:¡3º:_;5^;
='4=2
3-1 (cid:9000) ⑴ '6å3 ⑵ -'9å6 ⑶ Æ;9&;
⑴ 3'7="≈3¤ '7="√3¤ _7='6å3
⑵ -4'6=-"≈4¤ '6=-"√4¤ _6=-'9å6
⑷ -Æ…;1£6;
'7
3
'7
⑶ = =Æ;9&;
"√3¤
'3
⑷ - =-
4
'3
"√4¤
=-Æ…;1£6;
10
체크체크 수학 3-1
3-2 (cid:9000) ⑴ '7å2 ⑵ -'ƒ125 ⑶ -Æ…;2§5;
⑴ 6'2="≈6¤ '2="√6¤ _2='7å2
⑵ -5'5=-"≈5¤ '5=-"√5¤ _5=-'ƒ125
⑷ Æ…:™4¶:
'6
⑶ - =-
5
=-Æ…;2§5;
⑷
3'3
2
=
'ƒ9_3
"4
=
=Æ…:™4¶:
'6
"√5¤
"√3¤ '3
"√2¤
p. 36~39
4-1 (cid:9000) ⑴ 3'5 ⑵ 3'7 ⑶ -4'5 ⑷ -6'3 ⑸
'3
7
⑹
'7
10
4-2 (cid:9000) ⑴ 3'3 ⑵ 2'1å5 ⑶ -10'2 ⑷ -4'3 ⑸
'5
6
⑹
'1å1
10
⑴ '4å5="√3¤ _5="≈3¤ '5=3'5
⑵ '6å3="√3¤ _7="≈3¤ '7=3'7
⑶ -'8å0=-"√4¤ _5=-"≈4¤ '5=-4'5
⑷ -'ƒ108=-"√6¤ _3=-"≈6¤ '3=-6'3
'3
'4å9
⑸ Æ…;9§8;=Æ…;4£9;=
'3
7
=
⑹ 'ƒ0.07=Æ…;10&0;
=
'7
'ƒ100
=
'7
10
⑴ '2å7="√3¤ _3="≈3¤ '3=3'3
⑵ '6å0="√2¤ _15="≈2¤ '1å5=2'1å5
⑶ -'ƒ200=-"√10¤ _2=-"ç10¤ '2=-10'2
⑷ -'4å8=-"√4¤ _3=-"ç4¤ '3=-4'3
⑸ Æ…;1¡0∞8;=Æ…;3∞6;=
⑹ 'ƒ0.11=Æ…;1¡0¡0; =
=
'5
6
'5
'3å6
'1å1
'ƒ100
=
'1å1
10
5-1 (cid:9000) ⑴
'5
5
⑵ '2 ⑶ -
'∂21
7
⑷
'∂30
10
=
'5
5
1
⑴ =
'5
2
⑵ =
'2
1_'5
'5_'5
2_'2
'2_'2
= ='2
2'2
2
'3_'7
'7_'7
'3
'1å0
=
'3
⑶ - =-
'7
'3
'2'5
=
⑷
=-
'2å1
7
'3_'1å0
'1å0_'1å0
=
'3å0
10
5-2 (cid:9000) ⑴
'6
2
⑵ -
'∂15
5
⑶
2'7
7
⑷ 2'5
'3
⑴ =
'2
'3_'2
'2_'2
=
'6
2
⑵ -
=
-
'3
'5
'3_'5
'5_'5
=-
'1å5
5
2
⑶ =
'7
10
⑷ =
'5
2_'7
'7_'7
10_'5
'5_'5
=
2'7
7
=
10'5
5
=2'5
6-1 (cid:9000) ⑴
3'2
4
⑵ -
7'5
15
⑶
'3
12
⑷
2'3
9
⑴ æ;8(; = =
'9
'8
⑵ -
=-
7
3'5
⑶
⑷
'2
4'6
2
'2å7
=
=
'2
4'6
2
3'3
=
3
2'2
7_'5
3'5_'5
1
4'3
2_'3
3'3_'3
=
1
=
3
=
=
3'2
4
3_'2
2'2_'2
7'5
15
=-
=
'3
12
1_'3
4'3_'3
2'3
9
=
6-2 (cid:9000) ⑴
2'2
3
⑵ -
'2
6
⑶
'∂30
10
⑷
'∂22
6
4'2
= =
6
2'2
3
⑴
4
3'2
=
⑵ -
'3
3'6
4_'2
3'2_'2
'3
3'6
1
=-
1
=-
2
⑶
3'3
'9å0
=
⑷ Ƭ;1!8!;
=
3'3
'9å0
'1å1
'1å8
3
= =
'3å0
30
'1å1
3'2
=
=
=-
1
3'2
3_'3å0
'3å0_'3å0
'1å1_'2
3'2_'2
'2
3'2_'2
3'3å0
30
=
=-
'2
6
=
'3å0
10
=
'2å2
6
⑴ 차례로10, 10, 14.14
⑵ 차례로20, 10, 10, 0.4472
■개념 적용하기 | p. 39 ■
⑶ 차례로1.414, 2.828
7-1 (cid:9000) ⑴ 3.362(cid:100)⑵ 3.464
7-2 (cid:9000) ⑴ 3.493(cid:100)⑵ 3.240
8-1 (cid:9000) ⑴ 0.1732(cid:100)⑵ 0.5477(cid:100)⑶ 17.32(cid:100)⑷ 54.77
⑴ 'ƒ0.03=æ≠;10#0;= =
=0.1732
'3
10
'∂30
10
=
1.732
10
5.477
10
⑵ '∂0.3=æ≠;1£0º0;=
=0.5477
⑶ 'ƒ300='ƒ3_100=10'3=10_1.732=17.32
⑷ 'ƒ3000='ƒ30_100=10'∂30=10_5.477=54.77
8-2 (cid:9000) ⑴ 16.28(cid:100)⑵ 51.48(cid:100)⑶ 0.5148(cid:100)⑷ 0.1628
⑴ '∂265='ƒ2.65_100=10'ƒ2.65
=10_1.628=16.28
⑵ 'ƒ2650='ƒ26.5_100=10'ƒ26.5
=10_5.148=51.48
⑶ 'ƒ0.265=Æ…26.5_;10!0;=;1¡0;'ƒ26.5
=;1¡0;_5.148=0.5148
⑷ 'ƒ0.0265=Æ…2.65_;10!0;=;1¡0;'ƒ2.65
=;1¡0;_1.628=0.1628
p. 40
1 ⑴ 5, 5, 5, 10'3 ⑵ 7, 7, 7, 7'1å5
'3
3
2 '6, '6, '3,
3 ⑴ 2'3 ⑵ -24 ⑶ -3'1å0
3 ⑴ Æ;7^;÷Æ;7#;_'6=Æ…;7^;
1
2
_
_6
;3&;
1
1
='1å2=2'3
'3
⑵ 3'2_(-2'6)÷ =3'2_(-2'6 )_
2
2
2
'3
1
⑶
'1å5
'8
÷
'5
2'2
_(-'3å0)=
=3'2_(-2'2)_2
=3_(-2)_2_'2_'2
=-24
1
_(-'3å0)
'1å5
2'2
3
2'2
_
'5
1
1
='3_(-'3å0)
=-'9å0=-3'1å0
p. 41~42
01 ⑤
06 ②
02 ④
07 ③
03 ④
08 민지
04 69
05 ⑤
09 ⑴ ;5@; ⑵ ;2¡0; ⑶ 41
10 ⑴ ;1∞2; ⑵ ;5@; ⑶ 21
11 ⑴
'1å4
2
⑵ -
10'3
3
12 ⑴ 2'1å0 ⑵ '3
15 ④
16 ⑤
13
2'1å5
3
cm
14 5'5 cm
01 ① '∂300="√3_10¤ =10'3
② '3_'∂15='ƒ3_15="√3¤ _5=3'5
③ '∂24_Æ;3@;=Æ…24_;3@;='∂16=4
④ '∂24÷'3=Æ…:™3¢:='8=2'2
02 ① -3'2=-"√3¤ _2=-"ç
② '∂80="√4¤ _5= '5
③ '5_'∂10='∂50= '2
5
4
18
④ -4æ;2%;=-æ≠4¤ _;2%;=-"ç
40
⑤ 'ƒ108÷2'3=6'3_
=
3
1
2'3
03 '4å8="√4¤ _3=4'3이므로 a=4
5'2="√5¤ _2='5å0이므로 b=50
∴ 'aåb='ƒ4_50='∂200="√10¤ _2=10'2
2. 근호를 포함한 식의 계산
11
진도 교재
04 'ƒ180="√6¤ _5=6'5이므로 a=6
5'3="√5¤ _3='7å5이므로 b=75
∴ b-a=75-6=69
05 'ƒ216="√2‹ _3‹ =6'2'3=6ab
06 '∂60="√2¤ _3_5=2'3'5=2ab
07
=
'5
'3
'5_'3
'3_
'3
'1å5
3
= 이므로 a='3, b='1å5
∴ b÷a='1å5÷'3= ='5
'1å5
'3
08 민지：
'∂12
'∂18
'2
= =
'3
'2_'3
'3_
'3
=
'6
3
09 ⑴
=
2'2
'5
2'2_'5
'5_
'5
⑵ 'ƒ0.005=Æ…;10∞00;=Æ…;20!0;=
2'1å0
5
=
이므로 a=
;5@;
1
'ƒ200
=
1
10'2
=
'2
20
∴ b=
;2¡0;
⑶ 'ƒ22+c='6å3의 양변을제곱하면
22+c=63 ∴ c=41
10 ⑴ =
=
=
5
'4å8
5
4'3
5'3
12
2'5
5
⑶ 'ƒ11+z='3å2의 양변을 제곱하면
5_'3
4'3_
'3
2
'5
⑵ 'ƒ0.8=Æ…;1•0;=Æ;5$;= =
11+z=32 ∴z=21
이므로 x=
;1∞2;
∴ y
=;5@;
11 ⑴ Æ;2%;
'2
'3
÷Ƭ:¡3º:
_Ƭ:¡3¢:
_
_
=Æ;2&;
=
:¡3¢:
;1£0;
⑵ _(-2'5)÷
= _(-2'5 )_
'1å4
2
5
'1å0
=Æ…;2%;
'1å0
5
'2
'3
-10
'3
1
2'3
=
=-
10'3
3
12 ⑴ 4'5÷2'3_'6=4'5_
_'6=2'∂10
⑵ Æ;5$;÷'ƒ0.2_
=Æ;5$;÷Æ…;1™0;_Æ…;1ª2;
3
'1å2
=Æ…;5$;_:¡2º:_;1ª2;='3
13 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 x cm라 하면
p_x¤ _3'7=20'7p에서 x¤ =
∴ x=Æ…:™3º:=
2'5
'3
=
2'1å5
3
20'7
3'7
=
:™3º:
(cm) (∵ x>0)
12
체크체크 수학 3-1
14 직사각형의 세로의 길이를 x cm라 하면
(정사각형의 넓이)=(직사각형의 넓이)에서
(5'2 )¤ =2'5_x, 50=2'5x
25'5
5
=5'5 (cm)
∴ x=
25
= =
'5
50
2'5
15 ① 'ƒ600000='ƒ60_ƒ10000=100'∂60
② 'ƒ6000='ƒ60_100=10'∂60
'∂60
10
③ 'ƒ0.6=Æ…;1§0;=æ≠;1§0º0;=
④ 'ƒ0.06=æ≠;10^0;=
'6
10
⑤ 'ƒ0.006=æ≠;10§00;=æ≠;10§0º00;=
'∂60
100
16 ⑤ 'ƒ0.008=Æ…;10•00;=æ±
80
10000
=
'∂80
100
⑤ 'ƒ0.008=
;10!0;
_8.944=0.08944
제곱근의 덧셈과 뺄셈
⑴ 2'5 ⑵ 3'5 ⑶ 5'5 ⑷ 2'5+3'5=5'5
■개념 적용하기 | p. 43 ■
1-1 (cid:9000) ⑴ 10'2(cid:100)⑵ 5'2-4'3(cid:100)⑶ 12'5(cid:100)⑷ '2+4'5(cid:100)⑸ -'7
p. 43~46
⑶ 2'∂20-'5+3'∂45=4'5-'5+9'5=12'5
⑷ 2'8+'5-'1å8+'4å5=4'2+'5-3'2+3'5
⑶ 2'8+'5-'1å8+'4å5='2+4'5
⑸ -'∂28='7-2'7=-'7
7
'7
1-2 (cid:9000) ⑴ 4'2(cid:100)⑵ '2-11'5(cid:100)⑶ '2+5'3(cid:100)⑷ -6'2(cid:100)⑸ '3
⑶ 4'2-'2å7+2'4å8-3'2=4'2-3'3+8'3-3'2
='2+5'3
⑷ '∂18-'∂32-'∂50=3'2-4'2-5'2=-6'2
⑸ '2å7- =3'3-2'3='3
6
13
'3
2-1 (cid:9000) ⑴ -'ß15-5'3(cid:100)⑵ '6-'2(cid:100)⑶ 3-'2
⑴ -'5('3+'ß15)=-'ß15-'ß75=-'1å5-5'3
⑵ ('3-1)'2='6-'2
⑶ ('∂27-'6 )÷'3=
=
'2å7
'2å7-'6
11
11113
'3
'3
='9-'2=3-'2
-
'6
134
'3
2-2 (cid:9000) ⑴ -2'6+'3(cid:100)⑵ 5-2'5(cid:100)⑶ 2'5-'6
⑴ -'3('8-1)=-'3(2'2-1)=-2'6+'3
⑵ ('5-2)'5=5-2'5
⑶ (2'1å5-'1å8)÷'3=
⑶ (2'1å5-'1å8)÷'3=
2'∂15-'∂18
'3
2'1å5
'3
-
'1å8
'3
⑶ (2'1å5-'1å8)÷'3=2'5-'6
참고
⑶
5
-
2'1å5
'3
1
'1å8
'3
6
=2'5-'6과 같이 분모, 분자가 모두 약분
1
이 될 때에는 분모를 유리화하는 것보다 약분하여 계산하는
것이 편리하다.
3-1 (cid:9000) ⑴
2'3 -3
3
2-'3
'3
'3 +'6
'2
=
(cid:100)⑵
'6+2'3
2
(2-'3 )'3
'3'3
('3+'6 )'2
'2'2
=
=
2'3 -3
3
=
'6+'1å2
2
=
'6+2'3
2
3-2 (cid:9000) ⑴
(cid:100)⑵ 2'3-2
'2-2
2
1-'2
'2
6-'1å2
'3
=
=
'2-2
2
=
6'3-'3å6
3
(1-'2 )'2
'2'2
(6-'1å2)'3
'3'3
6'3-6
3
=
=
=2'3-2
4-1 (cid:9000) ⑴ 2-'3(cid:100)⑵
4'7+8
3
2-'3
(2+'3)(2-'3 )
4('7+2)
('7-2)('7+2)
⑴
⑵
1
2+'3
4
'7-2
=
=
=
=
2-'3
4-3
4'7+8
7-4
=2-'3
=
4'7+8
3
⑴
⑵
⑴
⑵
4-2 (cid:9000) ⑴
'5-'2
3
(cid:100)⑵ '6+'3
⑴
1
'5+'2
=
=
'5-'2
('5+'2 )('5-'2 )
'5-'2
'5-'2
3
5-2
=
⑵
'3
'2-1
=
=
'3('2+1)
('2-1)('2+1)
'6+'3
2-1
='6+'3
5-1 (cid:9000) ⑴ 2'3(cid:100)⑵ 3+3'2
⑴ 2'2_'6-'∂24÷'2=2'∂12-'∂12='∂12=2'3
⑵ '2 {'ß18- }+'ß18=6-3+3'2=3+3'2
3
'2
5-2 (cid:9000) ⑴ 0(cid:100)⑵ 3'2+3'6
⑴ '3_'6-6÷'2='∂18- =3'2-3'2=0
⑵ '2(5+2'3 )-
=5'2+2'6-(2'2-'6 )
6
13
'2
4-2'3
'2
=3'2+3'6
6-1 (cid:9000) ⑴ <(cid:100)⑵ >
⑴ 4-2'3-(3-'3)=4-2'3-3+'3
=1-'3<0
∴ 4-2'3
<
3-'3
⑵ '5å4-(2'6+1)=3'6-2'6-1
='6-1>0
∴ '5å4
>
2'6+1
6-2 (cid:9000) ⑴ >(cid:100)⑵ <
⑴ '2+2-(3'2-1)='2+2-3'2+1
=-2'2+3
=-'8+'9>0
∴ '2+2
>
3'2-1
⑵ 2'5+'6-('5+2'6 )=2'5+'6-'5-2'6
='5-'6<0
∴ 2'5+'6
<
'5+2'6
7-1 (cid:9000) 차례로 1, '2-1
7-2 (cid:9000) ⑴ 정수 부분：2, 소수 부분：'7-2
⑵ 정수 부분：3, 소수 부분：'∂13-3
⑴ '4<'7<'9에서 2<'7<3이므로
'7의 정수 부분은 2이고 소수 부분은 '7-2이다.
⑵ '9<'∂13<'∂16에서 3<'∂13<4이므로
'∂13의 정수 부분은 3이고 소수 부분은 '1å3-3이다.
8-1 (cid:9000) 차례로 3, '2-1
8-2 (cid:9000) ⑴ 정수 부분：2, 소수 부분：'2-1
⑵ 정수 부분：1, 소수 부분：'5-2
⑴ 1<'2<2에서 2<1+'2<3이므로
1+'2의 정수 부분은 2이고 소수 부분은
(1+'2)-2='2-1이다.
⑵ 2<'5<3에서 1<'5-1<2이므로
'5-1의 정수 부분은 1이고 소수 부분은
('5-1)-1='5-2이다.
2. 근호를 포함한 식의 계산
13
진도 교재
9-1 (cid:9000) 차례로 2, 3-'5
9-2 (cid:9000) ⑴ 3 ⑵ 2-'2 ⑶ 1+'2
⑴ 1<'2<2에서 -2<-'2<-1
∴ 3<5-'2<4
따라서 5-'2의 정수부분은 3이므로 a=3
⑵ b=(5-'2 )-3=2-'2
⑶ a-b=3-(2-'2 )=1+'2
1 ⑴ 13+4'3 ⑵ 18 ⑶ -3-2'5 ⑷ -9+7'5
2 풀이 참조
'3
3
2'3-6
3
⑷ 2'3+3
7'5
10
3 ⑴
⑵
⑶
⑸ '1å5+2'3 ⑹
7-3'5
2
⑺ 4 ⑻
-15+7'7
2
1 ⑴ (2'3+1)¤ =(2'3 )¤ +2_2'3_1+1¤
⑴ (2'3-1)¤ =12+4'3+1=13+4'3
⑵ (2'5-'2)(2'5+'2)=(2'5 )¤ -('2 )¤
=20-2=18
⑶ ('5-4)('5+2)=('5 )¤ +(-4+2)'5-8
=5-2'5-8=-3-2'5
⑷ (2+3'5)(3-'5)=6-2'5+9'5-15
=-9+7'5
2 ⑴ =
=
'2_
'3
'3_ '3
'5_
'2
2'2_ '2
'6
3
=
'1å0
4
=
'2
'3
'5
2'2
1
'3-1
'2
3+2'2
=
'3+1
=
'3+1
2
)
'3+1
3-2'2
)
3-2'2
('3-1)(
'2 (
(3+2'2)(
3'2-4
=
=
)
3 ⑴
=
2
2'3
7
2'5
2
'1å2
7
'2å0
2(1-'3 )
'3
=
1
= =
'3
'3
3
=
=
7'5
2'5 '5
(2-2'3 )'3
'3'3
2'3 -6
3
=
=
7'5
10
14
체크체크 수학 3-1
⑵
⑶
⑷
⑷
⑵
⑶
⑶
⑷
⑷
⑸
⑸
'3
2-'3
'3
'5-2
=
=
=2'3+3
'3(2+'3 )
(2-'3)(2+'3 )
2'3+3
4-3
'3('5+2)
('5-2)('5+2)
'1å5+2'3
5-4
=
=
='1å5+2'3
7-3'5
2
⑹
⑺
⑹
=
=
=
+
3-'5
3+'5
'3
2'3-3
(3-'5 )¤
(3+'5)(3-'5 )
14-6'5
4
'3
2'3+3
'3(2'3+3)
(2'3-3)(2'3+3)
6+3'3
6-3'3
12-9
12-9
⑹ =2+'3+2-'3=4
⑹ =
⑹ =
+
+
2+3'7
3+'7
⑻
⑻
⑻
=
=
=
(2+3'7)(3-'7 )
(3+'7)(3-'7 )
6+7'7-21
9-7
-15+7'7
2
=
9-6'5+5
9-5
'3(2'3-3)
(2'3+3)(2'3-3)
p. 47
p. 48~50
01 ①, ③
02 ④
04 ⑴ 10 ⑵ -;3!; ⑶ 7
03 ⑴ '2+2'3 ⑵ 7'2 ⑶ 2+2'3
05 '1å5 cm 06 2'2
07 ⑴ 7-4'3 ⑵ 9+4'5
08 ②
09 ⑴
10 ⑴
5'6
6
'3
2
11 ④
16 ⑤
21 6'3-1
⑵
5'6
6
⑶ 8'2-2'1å5 ⑷ '1å0-5'1å5
⑵ 7-2'6 ⑶ '6+'3 ⑷ 7'3-4'6
14 1
19 30
13 -1
18 ⑤
12 B
17 19
22 ①
15 ①
20 —'2
01 ① '3+'1å2='3+2'3=3'3
② '2+'8='2+2'2=3'2='1å8
④ 2'2å0+'4å5=4'5+3'5=7'5
⑤ 9'2-'7å2=9'2-6'2=3'2
02 ① '8+'4=2'2+2
② '9-'4=3-2=1
07 ⑴
2-'3
2+'3
'5+2
'5-2
=
=
(2-'3 )¤
(2+'3)(2-'3 )
('5+2)¤
('5-2)('5+2)
=
=
4-4'3+3
4-3
5+4'5+4
5-4
=7-4'3
=9+4'5
⑵
08 (주어진 식)=
-
(2-'3)¤
(2+'3)(2-'3)
(주어진 식)=(4-4'3+3)-(4+4'3+3)
(주어진 식)=(7-4'3)-(7+4'3)
(주어진 식)=-8'3
(2+'3)¤
(2-'3)(2+'3)
③ "√2¤ +3¤ ='1å3
⑤ '1å8-'2=3'2-'2=2'2
03 ⑴ '∂50-4'2-2'3+'∂48
=5'2-4'2-2'3+4'3
='2+2'3
⑵ 2'∂50-6'2+
12
'8
=2_5'2-6'2+
12
2'2
⑶
+
=10'2-6'2+3'2=7'2
'∂12-'3
'3
'2å4+'2
'2
='4-1+'1å2+1
=2-1+2'3+1
=2+2'3
04 ⑴ 3'3+5'1å2-'2å7=3'3+10'3-3'3=10'3
∴ a=10
'3
2
1
'2
⑵ + - -'2= + - -'2
'2
2
'3
2
'3
3
1
'3
={;2!;-1}'2+{;2!;-;3!;}'3
'2
=- +
2
'3
6
따라서 a=
-;2!;
, b=
;6!;이므로
a+b=
⑶ '7å5-
-;2!;+;6!;=-;6@;=-;3!;
2'1å0
'2
'6+'1å0
'2
-
=5'3-2'5-('3+'5 )
=5'3-2'5-'3-'5
=4'3-3'5
따라서 a=4, b=-3이므로
a-b=4-(-3)=7
05 (삼각형의 넓이)=
;2!;
_(밑변의 길이)_(높이)
_('5+'2å0)_2'5
(삼각형의 넓이)=;2!;
(삼각형의 넓이)='5('5+'2å0)
(삼각형의 넓이)=5+10=15 (cm¤ )
따라서넓이가 15 cm¤ 인 정사각형의 한 변의길이는 '1å5 cm이다.
06 P(3-'2 ), Q(3+'2 )이므로
PQ”=3+'2-(3-'2)=2'2
1
1
09 ⑴ '3 { - }+'2 { + }
13
13
'3
'3
1
13
'2
1
13
'2
'3
= -1+1+
13
'2
'6
132
= + =
'6
133
'2
13
'3
5'6
116
'∂18-'3
'2
⑵ '∂24-æ;3*; +
-3
=2'6-
2'6
3
'6
+3- -3
2
=
5'6
6
⑶ '9å8-3'5÷'3+
2-'3å0
'2
2
+ -
'2
'3å0
'2
=7'2-
3'5
'3
=7'2-'1å5+'2-'1å5
=8'2-2'1å5
⑷ '5(2'2-'1å2)-
'3å0+9'5
'3
=2'1å0-2'1å5-('1å0+3'1å5)
=2'1å0-2'1å5-'1å0-3'1å5
='1å0-5'1å5
10 ⑴ '6÷
4'2
3
-
'∂12
4
+
3
4'3
='6_
3
4'2
-
2'3
4
+
3'3
12
=
3'3
4
-
2'3
4
'3
+ =
4
'3
2
⑵ ('2å7-3'2 )÷'3+'2('8-'3 )
=
'2å7-3'2
'3
+'1å6-'6
=3-'6+4-'6=7-2'6
9
+ }
'6
⑶ '2å4+'4å8-'2 {
9
=2'6+4'3-{ + }
'3
=2'6+4'3-('6+3'3 )
='6+'3
6
'1å2
6
'6
2. 근호를 포함한 식의 계산
15
진도 교재
⑷
2'3
3
(3-5'2 )+
15-'8
'3
=2'3-
=2'3-
10'6
3
10'6
3
15
+ -
'3
+5'3-
'8
'3
2'6
3
=7'3-4'6
11 ① 2'5+'2-('2+2'6 )=2'5-2'6
=2('5-'6)<0
∴ 2'5+'2<'2+2'6
② 3-'3-(4-2'3)=3-'3-4+2'3
∴ 3-'3>4-2'3
③ 3'2-5-('8-3)=3'2-5-2'2+3
=-1+'3
='3-'1>0
='2-2
='2-'4 <0
∴ 3'2-5<'8-3
④ 2'6+1-'5å4=2'6+1-3'6
=1-'6 <0
∴ 2'6+1<'5å4
⑤ '2+2-(3'2-1)='2+2-3'2+1
=3-2'2
='9-'8>0
∴ '2+2>3'2-1
12 3'2-5-(3-4'2)=7'2-8
='9å8-'6å4>0
즉 3'2-5>3-4'2이므로 왼쪽으로 이동한다.
2'5-('5+2'3 )='5-2'3
='5-'1å2<0(cid:100)
즉 2'5<'5+2'3이므로 오른쪽으로 이동한다.
따라서 보물이 있는 곳은 B이다.
13 x='3+5에서 x-5='3
양변을 제곱하면 (x-5)¤ =('3 )¤
x¤ -10x+25=3, x¤ -10x=-22
∴ x¤ -10x+21=-22+21=-1
14 x=1+'2에서 x-1='2
양변을 제곱하면 (x-1)¤ =('2 )¤
x¤ -2x+1=2 ∴ x¤ -2x=1
15 (x-y)¤ =(x+y)¤ -4xy=(2'2 )¤ -4_1=4
∴ x-y=2 (∵ x>y)
16
체크체크 수학 3-1
16 x¤ +y¤ =(x-y)¤ +2xy=(3'2 )¤ +2_(-3)=12
17 x=
y=
1
'5-2
1
'5+2
=
=
'5+2
('5-2)('5+2)
'5-2
('5+2)('5-2)
='5+2
='5-2
이때 x+y=('5+2)+('5-2)=2'5
xy=('5+2)('5-2)=('5 )¤ -2¤ =1
∴ x¤ +xy+y¤ =(x+y)¤ -xy=(2'5 )¤ -1
=20-1=19
18 x+y=(2-'2)+(2+'2)=4
xy=(2-'2)(2+'2)=2¤ -('2 )¤ =2
∴ x¤ +3xy+y¤ =(x+y)¤ +xy=4¤ +2
=16+2=18
1
19 x¤ + ={x-
x¤
;[!;}
¤ +2=(2'7 )¤ +2
=28+2=30
20 {x-
;[!;}
¤ ={x+
=6-4=2
;[!;}
¤ -4=('6 )¤ -4
∴ x-
=—'2
;[!;
21 1<'3<2에서 5<4+'3<6이므로
a=5, b=(4+'3)-5='3-1
∴ '3a+b=5'3+'3-1=6'3-1
22 2<'5<3에서 4<'5+2<5이므로
a=4, b=('5+2)-4='5-2
4('5+2)
('5-2)('5+2)
4
'5-2
∴ ;bA;
=
=
=8+4'5
p. 51~52
1 -9
2 2
'3
3 -1
2
4 8
1 (3+'2)(3'2+a)=9'2+3a+6+a'2
=3a+6+(9+a)'2
이것이 유리수가 되려면 9+a=0
∴ a=-9
2 (좌변)=5a+6'5-2a'5-12
=5a-12+(6-2a)'5
이므로 5a-12=8, 6-2a=b
∴ a=4, b=-2
∴ a+b=4+(-2)=2
3 ;a!;æ≠ -
;b@;Æ;aB;
3a
b
3a
=æ≠ _ -æ≠ _
b
1
a¤
4
b¤
b
a
4
=æ≠ -æ≠ =æ;4#;-æ;4$;
ab
3
ab
'3
= -1
2
4 f(x)=
1
'ƒx+1+'ßx
=
=
'ƒx+1-'x
('ƒx+1+'ßx )('ƒx+1-'ßx )
'ƒx+1-'ßx
x+1-x
='ƒx+1-'x
∴ f(1)+f(2)+y+f(80)
=('2-'1)+('3-'2 )+y+('8å1-'8å0)
=-'1+'8å1=-1+9=8
01 ②
02 2
03 ㉠ '1å0 ㉡ 2'5 ㉢
06 -2
04 ④
05 ①
09 ⑴ a=2-'5, b=2+'5 ⑵ -4
11 2'5+3
13 1-'5
12 ③
15 ⑴ 3 ⑵ 2-'3 ⑶ 9
07 7
10 ③, ④
14 ⑤
01 ① æ;5$;÷'8_'∂10=æ;5$;_ _'∂10
1
'8
① æ;5$;÷'8_'∂10=æ≠;5$;_;8!;_10=1
'5
② æ;4#;_ ÷æ≠;1™0;=æ≠
3
② æ;4#;_ ÷æ≠;1™0;=
≠;4#;_;9%;_:¡2º:=æ≠;1@2%;
5'3
6
=
3'3
'2
÷
÷
③
③
'∂15
'8
'6
÷ =
'5
_
_
2'2
'∂15
'5
'6
÷ = ='6
5
2'3
3'3
'2
6
'6
④ '8_'∂28_æ;4#;_2æ;7#;=2æ≠8_28_;4#;_;7#;
④ '8_'∂28_æ;4#;_2æ;7#;=2'∂72=12'2
⑤ '2'4'8'∂16='2_2_2'2_4=32
02 '2_'3_'a_'1å2_'2åa=24에서
'2_'3_'a_2'3_'2_'a=24
'2_'2_'3_2'3_'a_'a=24
12a=24 ∴ a=2
03 '6_ _㉠`=2'5이므로
_㉠`=2'5
'3
3
'5
5
'1å8
3
2'5
'2
'3å0
5
5'6
3
=
'2_㉠`=2'5 ∴ ㉠`=
'3
3
_㉡`_'3=2'5이므로 ㉡`=2'5
='1å0
'6_ _㉢`=2'5이므로
_㉢`=2'5
∴ ㉢`=2'5_
=
5
'3å0
10
'6
04 ① '∂0.02=Æ…;10@0;
= =0.1414
'2
10
3'2
10
② '0∂.18=Æ…;1¡0•0;
=
=
;1£0;
_1.414=0.4242
1
③ '∂0.5=Æ;2!;= = =0.707
'2
'2
2
6'5
10
3'5
5
④ '∂1.8=Æ…;1!0*0);
⑤ '5å0=5'2=5_1.414=7.07
= = 이므로제곱근의값을구할수없다.
07 (좌변)=6'2+2'3-3'2+2'3=3'2+4'3
이므로 a=3, b=4 ∴ a+b=3+4=7
08 (3-4'3)(2+m'3)=6+3m'3-8'3-12m
=6-12m+(3m-8)'3
이것이 유리수가 되려면 3m-8=0
∴ m=
;3*;
09 ⑴ (cid:8772)ABCD=3_3-4_{;2!;_2_1}=5
(cid:8772)ABCD가 정사각형이므로 CB”=CD”='5
이때 CP”=CB”='5, CQ”=CD”='5이므로
a=2-'5, b=2+'5
⑵ ;a!;
+
;b!;
=
⑵ ;a!;
+
;b!;
=
b+a
ab
4
4-5
=-4
=
2+'5+2-'5
(2-'5)(2+'5 )
2. 근호를 포함한 식의 계산
17
p. 53~54
5'6
3
08 ③
05 'ƒ27000-'ƒ0.27=100'∂2.7-
;1¡0;'2å7=100a-
;1ı0;
06 '2-3='2-'9<0, 5-'2='2å5-'2>0이므로
øπ('2-3)¤ -øπ(5-'2 )¤ =-('2-3)-(5-'2 )
=-'2+3-5+'2
=-2
10 ① x¤ =('2-1)¤ =2-2'2+1=3-2'2 (무리수)
15 ⑴ 1<'3<2에서 -2<-'3<-1이므로
3<5-'3<4 ∴ a=3
⑵ b=(5-'3)-3=2-'3
⑶ a+3b+3'3=3+3(2-'3)+3'3
=3+6-3'3+3'3=9
진도 교재
② '2x='2('2-1)=2-'2 (무리수)
③ x='2-1이므로 x+1='2
(x+1)¤ =2, x¤ +2x+1=2
∴ x¤ +2x=1 (유리수)
④ x-
;[!;
⑤ x+
;[!;
='2-1-
='2-1-
1
'2-1
='2-1-'2-1=-2 (유리수)
1
'2-1
='2-1+'2+1=2'2 (무리수)
='2-1+
='2-1+
'2+1
2-1
'2+1
2-1
x+'5=A로 치환
11 (x+'5-'2)(x+'5+'2 )
=(A-'2)(A+'2 )
=A¤ -2
=(x+'5 )¤ -2
=x¤ +2'5x+3
따라서 x의 계수는 2'5, 상수항은 3이므로 그 합은2'5+3
A=x+'5를 대입
12 x=
=
('3+1)¤
('3-1)('3+1)
'3+1
'3-1
4+2'3
2
x=
=2+'3
∴ x-
;[!;
=2+'3-
1
2+'3
=2+'3-(2-'3 )
=2+'3-2+'3
=2'3
13 f(x)='ƒx+1-'x일 때
1
f(x)
=
∴
1
f(1)
1
'ƒx+1-'x
1
f(2)
+
-
='ƒx+1+'x
1
f(3)
-
1
f(4)
14 'ƒ4ab-aæ;aB;
+
=2'aåb-æ≠a¤
_;aB;
1
+Æ… _
b¤
9b
a
'9åb
b'a
3
'aåb
=2'aåb-'aåb+
=2'3-'3+
3
'3
=2'3-'3+'3=2'3
18
체크체크 수학 3-1
∴ =('2+'1)-('3+'2)+('4+'3)-('5+'4 )
∴ ='2+1-'3-'2+2+'3-'5-2
∴ =1-'5
p. 55~56
01 ⑴ 'ƒ9.8_h에 h=200을 대입하면
'ƒ9.8_200='ƒ1960="√14¤ _10=14'1å0
따라서 A지역에서 발생한 지진 해일의 속력은 초속 14'1å0 m
이다.
⑵ 'ƒ9.8_h에 h=800을 대입하면
'ƒ9.8_800='ƒ7840="√28¤ _10=28'1å0
따라서 B지역에서 발생한 지진 해일의 속력은 초속 28'1å0 m
이다.
28'1å0
14'1å0
지역에서 발생한 지진 해일의 속력의 2배이다.
=2이므로 B지역에서 발생한 지진 해일의 속력은 A
⑶
(cid:9000) ⑴ 초속 14'1å0 m ⑵ 초속 28'1å0 m ⑶ 2배
02 ⑴ 민지：-2_'2=-2'2
⇨ -2'2+'3å2=-2'2+4'2=2'2
⇨ 2'2_3'2=12
⑴ 현수：4_'2=4'2
3
⇨ 4'2- =4'2-
'2
3'2
2
=
⑴ 주리：'5÷'1å0='5_ = =
1
'1å0
1
'2
5'2
2
'2
2
⇨ _3'2=3
'2
2
⑴ 성운：2'5÷'1å0=2'5_ = ='2
2
'2
⇨ '2+'3å2='2+4'2=5'2
1
'1å0
3
⇨ 5'2- =5'2-
'2
3'2
2
=
7'2
2
⑵ 계산결과가 유리수인 사람은 민지, 주리이다.
5'2
2
(cid:9000) ⑴ 민지：12, 현수：
, 주리：3, 성운：
7'2
2
03 ⑴ AP”='4å8=4'3 (m)
⑵ PQ”='2å7=3'3 (m)
⑶ QB”='1å2=2'3 (m)
⑷ AB”=4'3+3'3+2'3=9'3 (m)
⑵ 민지, 주리
(cid:9000) ⑴ 4'3 m ⑵ 3'3 m ⑶ 2'3 m ⑷ 9'3 m
(cid:8859)
04 1-('2-1)=2-'2>0이므로 1>'2-1 ((cid:8859))
6-('5+3)=3-'5>0이므로 6>'5+3 ((cid:8859))
7-(4+2'2 )=3-2'2='9-'8>0이므로
7>4+2'2 ( )
3+'5-(3+'7 )='5-'7<0이므로
3+'5<3+'7 ((cid:8857))
2-'5-('6-'5 )=2-'6<0이므로
2-'5<'6-'5 ((cid:8859))
1-'2<0 ( )
따라서 먹게 되는 간식은 순대이다.
(cid:8859)
④ 'ƒ0.07=Æ…;10&0;=
'7
10
=
;1¡0;
_2.646=0.2646
⑤ 'ƒ0.007=Æ…;10¶0º00;=
=
;10!0;_
8.367=0.08367
'7å0
100
05 '2å7-'4å5-
+ =3'3-3'5-
6
2'3
10
'5
6'3
6
+
10'5
5
=3'3-3'5-'3+2'5
=2'3-'5
(cid:9000) 순대
따라서 a=2, b=-1이므로
a-2b=2-2_(-1)=4
1
06 ①'3 { + }-'5 { -'3}
'5
1
'3
1
'5
'3
①=1+ -1+'1å5
'5
①=
'1å5
5
+'1å5=
6'1å5
5
p. 57~58
01 ①
06 ①
11 -
'5
2
02 ①
07 ③
12 ⑤
03 ③
08 6-'5
13 1+'2
04 ②
09 ⑤
05 ④
10 ⑤
14 10+'2
15 ⑴ 5-2'6 ⑵ 5+2'6 ⑶ x+y=10, xy=1
16 ⑴ a-b ⑵ 2+'5>'5+'3
'2
2
1
01 ① 2'2+ =2'2+ =
'2
5'2
2
② '∂50-'8=5'2-2'2=3'2
③ '3_'6='∂18=3'2
④ 3'6÷'3=3'2
⑤
6'3
'6
6
= =
'2
6'2
'2'2
=3'2
02 '8å4=2'2å1=2'3'7=2xy
03 ① '∂3.40=1.844
② '∂333='∂100_3.33=10'∂3.33=10_1.825=18.25
③ 'ƒ3430='ƒ100_34.3=10'∂34.3이고, '∂34.3은 주어진 제곱
근표에 없으므로 구할 수 없다.
④ 'ƒ0.0322=æ≠
3.22
100
=
'∂3.22
10
=
1.794
10
=0.1794
⑤ '∂3.31=1.819
04 ① 'ƒ700=10'7=10_2.646=26.46
② 'ƒ7000=10'7å0=10_8.367=83.67
③ 'ƒ0.7=Æ…;1¶0º0;
=
'7å0
10
=
;1¡0;
_8.367=0.8367
②(2'3-3'2)÷'6-'2= - -'2
2
'2
3
'3
①(2'3-3'2)÷'6-'2='2-'3-'2=-'3
③('3å0-'1å5)÷'3+'2('1å0-'5)
①='1å0-'5+2'5-'1å0='5
4
④'3('1å2-'6)+ ='3å6-'1å8+2'2
'2
①'3('1å2-'6)+ =6-3'2+2'2=6-'2
⑤2'2å8-'6å3=4'7-3'7='7
07 ①
=2-'3
=
=
=
②
1
2+'3
'5-1
'5
'5
'5-2
1
④ =
'2
③
'2
'2'2
2
'5-'3
=
=
5-'5
5
2-'3
(2+'3)(2-'3 )
('5-1)'5
'5'5
'5('5+2)
('5-2)('5+2)
'2
2
2('5+'3 )
('5-'3 )('5+'3 )
=
=
⑤
③
='5+'3
5+2'5
5-4
=5+2'5
=
2('5+'3 )
5-3
08 (cid:8772)ABCD=3_3-4_{;2!;_2_1}=5이므로
∴ AP”=AQ”='5
AB”=AD”='5
즉 P(2-'5), Q(2+'5 )이므로 a=2-'5, b=2+'5
∴ 2a+b=2(2-'5 )+(2+'5 )
=4-2'5+2+'5
=6-'5
2. 근호를 포함한 식의 계산
19
진도 교재
09 '3(2+'3 )-
=2'3+3-('3-'4 )
'6-'8
'2
=2'3+3-'3+2
='3+5
13 3<'1å4<4이므로 a=3
1<'2<2에서 -2<-'2<-1이므로
2<4-'2<3
∴ a-b=3-(2-'2)=1+'2
∴ b=(4-'2)-2=2-'2
10 ① -æ;4!; >-æ;2!;이므로 -
>-
;2!;
1
'2
② 3'2-2-(2'3-2)=3'2-2'3='∂18-'∂12>0이므로
14 CP”=CA”='2이므로 p=4-'2
BQ”=BD”='2이므로 q=3+'2
∴ pq=(4-'2)(3+'2)=12+4'2-3'2-2
3'2-2>2'3-2
③ '3+1-('2+1)='3-'2>0이므로
'3+1>'2+1
④ 4-('5+1)=3-'5>0이므로
⑤ 7-'2-(1+3'2)=6-4'2='∂36-'∂32>0이므로
4>'5+1
7-'2>1+3'2
11 ;[!;+;]!;=
3+'5-3+'5
(-3+'5)(3+'5 )
=
y+x
xy
2'5
5-9
=
=-
'5
2
=10+'2
채점 기준
p의 값 구하기
q의 값 구하기
pq의 값 구하기
15 ⑴ x=
=
⑵ y=
1
5+2'6
1
5-2'6
5-2'6
(5+2'6)(5-2'6 )
5+2'6
(5-2'6)(5+2'6 )
⑶ x+y=(5-2'6)+(5+2'6)=10
⑷ xy=(5-2'6)(5+2'6)=25-24=1
=
=5-2'6
=5+2'6
`2점
`2점
`3점
배점
2점
2점
3점
12 x=4-'5에서 x-4=-'5
(x-4)¤ =5, x¤ -8x+16=5, x¤ -8x=-11
∴ x¤ -8x+15=-11+15=4
16 ⑴
안에들어갈 식은 a-b이다.
⑵ 2+'5 -('5+'3 )=2-'3='4-'3>0이므로
2+'5>'5+'3
20
체크체크 수학 3-1
3
인수분해
인수분해의 뜻과 공식
1-1 (cid:9000) ⑴ a(a-1)
⑵ m(a+b+c)
⑶ 2x(y-2x) ⑷ xy(5x+3)
1-2 (cid:9000) ⑴ x(x+6)
⑶ 4a(a-2)
⑵ x(a-b+c)
⑷ 4x(y+2z)
p. 64~68
2-1 (cid:9000) ⑴ 1, a, x-y, a(x-y)
⑵ 1, x, y, x-y, xy, x(x-y), y(x-y), xy(x-y)
⑶ 1, x-y
⑴ ax-ay=a(x-y)이므로 인수는
1, a, x-y, a(x-y)
⑵ x¤ y-xy¤ =xy(x-y)이므로 인수는
1, x, y, x-y, xy, x(x-y), y(x-y), xy(x-y)
2-2 (cid:9000) ⑤
x¤ y-xy=xy(x-1)이므로 인수는
1, x, y, x-1, xy, x(x-1), y(x-1), xy(x-1)
따라서 인수가 아닌것은⑤ x¤ -1이다.
3-1 (cid:9000) ⑴ (x+4)¤ ⑵ (3y-1)¤ ⑶ (x-7y)¤ ⑷ 2(x-5)¤
⑷ 2x¤ -20x+50=2(x¤ -10x+25)=2(x-5)¤
3-2 (cid:9000) ⑴ (x+8)¤ ⑵ (a-6b)¤ ⑶ (2x+5y)¤ ⑷ 3(x+3)¤
⑷ 3x¤ +18x+27=3(x¤ +6x+9)=3(x+3)¤
4-1 (cid:9000) ⑴ 81 ⑵ —12xy ⑶ —24xy
⑴ (cid:8641)={
-18
1132
}2 =(-9)¤ =81
⑵ (cid:8641)=2_x_(—6y)=—12xy
⑶ 9x¤ +(cid:8641)+16y¤ =(3x—4y)¤
∴ (cid:8641)=2_3x_(—4y)=—24xy
4-2 (cid:9000) ⑴ —8x ⑵ —14xy ⑶ 9
⑴ (cid:8641)=2_x_(—4)=—8x
⑵ (cid:8641)=2_x_(—7y)=—14xy
5-1 (cid:9000) ⑴ (2x+1)(2x-1)
⑶ 2(x+2)(x-2)
⑵ (2m+3n)(2m-3n)
⑷ 6(x+2y)(x-2y)
⑸ (2+x)(2-x)
⑹ (5b+2a)(5b-2a)
⑴ 4x¤ -1=(2x)¤ -1¤ =(2x+1)(2x-1)
⑵ 4m¤ -9n¤ =(2m)¤ -(3n)¤
=(2m+3n)(2m-3n)
⑶ 2x¤ -8=2(x¤ -4)=2(x+2)(x-2)
⑷ 6x¤ -24y¤ =6(x¤ -4y¤ )=6(x+2y)(x-2y)
⑸ -x¤ +4=2¤ -x¤ =(2+x)(2-x)
⑹ -4a¤ +25b¤ =(5b)¤ -(2a)¤ =(5b+2a)(5b-2a)
5-2 (cid:9000) ⑴ (2a+7)(2a-7)
⑶ 3(a+3)(a-3)
⑵ (a+3b)(a-3b)
⑷ 5(x+3y)(x-3y)
⑸ (2y+9x)(2y-9x) ⑹ (2x+y)(2x-y)
⑴ 4a¤ -49=(2a)¤ -7¤ =(2a+7)(2a-7)
⑵ a¤ -9b¤ =a¤ -(3b)¤ =(a+3b)(a-3b)
⑶ 3a¤ -27=3(a¤ -9)=3(a+3)(a-3)
⑷ 5x¤ -45y¤ =5(x¤ -9y¤ )=5(x+3y)(x-3y)
⑸ -81x¤ +4y¤ =(2y)¤ -(9x)¤ =(2y+9x)(2y-9x)
⑹ -y¤ +4x¤ =(2x)¤ -y¤ =(2x+y)(2x-y)
6-1 (cid:9000) 풀이 참조
x¤ -3x+2=(x- )(x- )
2
1
x
⁄1
1
x
⁄
-1
-2
1⁄
1⁄
-x
-2x
-3x
(+
6-2 (cid:9000) 풀이 참조
x¤ +5xy+6y¤ =(x+
2y
)(x+
3y
)
x
⁄1
1
x
⁄
2y
3y
1⁄
1⁄
2xy
3xy
5xy
(+
7-1 (cid:9000) ⑴ (x-1)(x-3)
⑵ (x-3)(x+1)
⑶ (x+3y)(x+6y)
⑷ (x-10y)(x+3y)
⑶ x¤ +9xy+18y¤ =x¤ +9y_x+18y¤
=x¤ +(3y+6y)x+3y_6y
=(x+3y)(x+6y)
⑷ x¤ -7xy-30y¤ =x¤ -7y_x-30y¤
=x¤ +(-10y+3y)x+(-10y)_3y
=(x-10y)(x+3y)
⑶ 4x¤ -12x+(cid:8641)=(2x)¤ +2_2x_(-3)+(cid:8641)=(2x-3)¤
7-2 (cid:9000) ⑴ (x-2)(x-7)
⑵ (x-3)(x+5)
∴ (cid:8641)=(-3)¤ =9
⑶ (x+3y)(x-2y)
⑷ (x-4y)(x+y)
3. 인수분해
21
2x¤ +xy-6y¤ =(x+2y)(
2
x-
3y
)
⑼ (2x-5)(3x+2)
진도 교재
⑶ x¤ +xy-6y¤ =x¤ +y_x-6y¤
⑷ x¤ -3xy-4y¤ =x¤ -3y_x-4y¤
=x¤ +(3y-2y)x+3y_(-2y)
=(x+3y)(x-2y)
=x¤ +(-4y+y)x+(-4y)_y
=(x-4y)(x+y)
8-1 (cid:9000) 풀이 참조
6x¤ +5x-4=(
2
x- )(3x+ )
1
4
2
⁄1
1
3
⁄
-1
4
1⁄
1⁄
-3
8
5
(+
8-2 (cid:9000) 풀이 참조
1
⁄1
1
2
⁄
2y
-3y
1⁄
1⁄
4y
y
-3y
(+
9-1 (cid:9000) ⑴ (x+2)(3x+2)
⑶ (2x+1)(4x-1)
⑵ (x-5)(2x-1)
⑷ (3x-2)(4x+1)
⑸ (2x+y)(3x+4y) ⑹ (x+2y)(5x-3y)
⑴ 3x¤ +8x+4=(x+2)(3x+2)
3x+8x+ 2
1 ⁄1
⁄
3x+ 8x+ 2
1⁄
1⁄
6x
8x
2x (+
⑵ 2x¤ -11x+5=(x-5)(2x-1)
3x¤ -16x-5
1 ⁄1
⁄
2x -16x-1
1⁄
1⁄
-10x
-x (+
-11x
⑶ 8x¤ +2x-1=(2x+1)(4x-1)
2x +8x 1
1 ⁄1
⁄
4x + 8x -1
1⁄
1⁄ -2x (+
4x
2x
⑷ 12x¤ -5x-2=(3x-2)(4x+1)
3x¤ -16x-2
1 ⁄1
⁄
4x -16x-1
1⁄
1⁄
-8x
-3x (+
-5x
⑸ 6x¤ +11xy+4y¤ =(2x+y)(3x+4y)
2x¤ +11xy+ y
1 ⁄1
⁄
3x+11xy+4y
1⁄ 3xy
1⁄
8xy(+
11xy
⑹ 5x¤ +7xy-6y¤ =(x+2y)(5x-3y)
5x¤ +7xy-2y
1 ⁄1
5x¤ +7xy-3y
⁄
1⁄
1⁄
10xy
-3xy(+
7xy
22
체크체크 수학 3-1
9-2 (cid:9000) ⑴ (x+2)(2x+1)
⑶ (3x-1)(3x-2)
⑵ (2x-1)(3x-2)
⑷ (x-4)(5x+9)
⑸ (x+y)(3x+2y)
⑹ (a-b)(9a-4b)
p. 69
01 ⑴ (x-3)¤
⑵ (2x+1)(3x+1)
⑶ {;2!;x+;3!;y}{;2!;x-;3!;y} ⑷ (4x-5)¤
⑸ (a+2)(a-12)
⑹ 2(x+5)(x-5)
⑺ {a-;2!;}
⑻ 2(x+3)(x-1)
02 ⑴5(x-2y)¤
⑶ 2(2x+y)¤
03 ⑴-(x-1)¤
⑶ -(4x+y)(3x-5y)
⑽ {;4!;x+y}{;4!;x-y}
⑵ (2x+5y)(2x-3y)
⑷ (3x+y)(x-5y)
⑵-3(a+3b)¤
⑷ -(2x+5y)(3x+4y)
01 ⑹ 2x¤ -50=2(x¤ -25)=2(x+5)(x-5)
⑺ a¤ -a+
=a¤ +2_a_{-;2!;}+{-;2!;}
;4!;
¤ ={a-;2!;}
⑻ 2x¤ +4x-6=2(x¤ +2x-3)=2(x+3)(x-1)
⑽ -y¤ + = -y¤ ={;4!;x+y}{;4!;x-y}
x¤
16
x¤
16
02 ⑴ 5x¤ -20xy+20y¤ =5(x¤ -4xy+4y¤ )=5(x-2y)¤
⑶ 8x¤ +8xy+2y¤ =2(4x¤ +4xy+y¤ )=2(2x+y)¤
03 ⑶ -12x¤ +17xy+5y¤ =-(12x¤ -17xy-5y¤ )
=-(4x+y)(3x-5y)
⑷ -6x¤ -23xy-20y¤ =-(6x¤ +23xy+20y¤ )
=-(2x+5y)(3x+4y)
02 ⑤
01 ③
05 1, x-4 06 x-3y
10 ④
15 ⑤
11 7
16 8x+4
p. 70~71
03 1
07 5x+2
12 0
04 a=14, b=36
08 11x-y
13 ④
09 ①, ③
14 ④
01 x¤ y+xy¤ =xy(x+y)이므로 x¤ y+xy¤ 의 인수는
1, x, y, x+y, xy, x(x+y), y(x+y), xy(x+y)
따라서 인수가 아닌 것은 ③ x¤ y이다.
¤
¤
02 a(a+1)(a-1)의 인수는
1, a, a+1, a-1, a(a+1), a(a-1),
(a+1)(a-1), a(a+1)(a-1)
따라서 인수가 아닌 것은 ⑤ a¤ +1이다.
03 x¤ -8x+p+10이 완전제곱식이 되려면
p+10={
-8
2
¤ =16 ∴ p=6
}
x¤ -qx+
={;4!;x}
;9!;
;1¡6;
¤ -qx+{;3!;}
이므로
완전제곱식이 되려면 -qx=—2_
x_
=—
;4!;
;3!;
x
;6!;
이때 q>0이므로 q=
;6!;
∴ pq=6_
=1
;6!;
04 x¤ +ax+49에서
a=2_'4å9=2_7=14 (∵ a>0)
x¤ +12x+b에서
¤ =36
}
b={
12
122
05 x¤ -6x+8=(x-2)(x-4)=1_(x-2)(x-4)
2x¤ -7x-4=(x-4)(2x+1)=1_(x-4)(2x+1)
따라서 두 다항식의 공통인수는 1, x-4이다.
06 x¤ -5xy+6y¤ =(x-2y)(x-3y)
3x¤ +3xy-36y¤ =3(x¤ +xy-12y¤ )=3(x+4y)(x-3y)
따라서 두 다항식의 1이 아닌공통인수는 x-3y이다.
07 6x¤ +7x-3=(2x+3)(3x-1)
2x¤ +7x-3
⁄1
1
3x¤ +7x-1
⁄
1⁄
1⁄
-9x
-2x (+
- 7x
따라서 두 일차식의 합은
(2x+3)+(3x-1)=5x+2
08 18x¤ -23xy-6y¤ =(9x+2y)(2x-3y)이므로 두 일차식의
합은 (9x+2y)+(2x-3y)=11x-y
09 ① x¤ -9=(x+3)(x-3)
② x¤ -6x+9=(x-3)¤
③ 9x¤ +22x-15=(x+3)(9x-5)
④ 5x¤ +x-22=(x-2)(5x+11)
⑤ 10x¤ -5x-15=5(2x¤ -x-3)=5(2x-3)(x+1)
10 ① x¤ -3x-4=(x-4)(x+1)
② x¤ +2xy-8y¤ =(x-2y)(x+4y)
③ 6x¤ +xy-2y¤ =(2x-y)(3x+2y)
⑤ -4x¤ +20xy-25y¤ =-(2x-5y)¤
11 8x¤ -ax-3=(2x+b)(cx-3)에서
8x¤ -ax-3=2cx¤ +(-6+bc)x-3b이므로
8=2c, -a=-6+bc, -3=-3b
이때 a=2, b=1, c=4이므로
a+b+c=7
12 ax¤ -x-6=(2x+3)(x+b)에서
ax¤ -x-6=2x¤ +(2b+3)x+3b이므로
a=2, 3b=-6(cid:100)(cid:100)∴ b=-2
∴ a+b=2+(-2)=0
13 (4x+3)(x-5)+30=4x¤ -20x+3x-15+30
14 (2x+7)(5x-1)+16=10x¤ -2x+35x-7+16
=4x¤ -17x+15
=(4x-5)(x-3)
=10x¤ +33x+9
=(10x+3)(x+3)
따라서 두 일차식의 합은
(10x+3)+(x+3)=11x+6
15 2x¤ +7x+3=(x+3)(2x+1)이므로 세로의 길이는2x+1
∴ (둘레의 길이)=2(x+3+2x+1)=6x+8
16 하나로 만든큰 직사각형의 넓이는
3_x¤ +4_x+1_1=3x¤ +4x+1=(x+1)(3x+1)
이때 (가로의 길이)+(세로의 길이)=x+1+3x+1
=4x+2
이므로 직사각형의 둘레의 길이는
2(4x+2)=8x+4
3. 인수분해
23
¤
진도 교재
인수분해의 활용
1-1 (cid:9000) ⑴ x(x+1)(x-1)
⑵ 3y(x+1)(x+3)
⑶ (x+1)(y+1)
⑷ (x-1)(x+1)
⑴ x‹ -x=x(x¤ -1)=x(x+1)(x-1)
⑵ 3x¤ y+12xy+9y=3y(x¤ +4x+3)
=3y(x+1)(x+3)
⑶ x(y+1)+(y+1)=(x+1)(y+1)
⑷ (x-1)¤ -2(1-x)=(x-1)¤ +2(x-1)
=(x-1){(x-1)+2}
=(x-1)(x+1)
3-1 (cid:9000) ⑴ (x-y)(a-b) ⑵ (x+1)(x+2)(x-2)
⑴ ax-ay-bx+by=a(x-y)-b(x-y)
p. 72~74
=(x-y)(a-b)
⑵ x‹ +x¤ -4x-4=x¤ (x+1)-4(x+1)
⑶ x‹ +x¤ -4x-4=(x+1)(x¤ -4)
⑶ x‹ +x¤ -4x-4=(x+1)(x+2)(x-2)
3-2 (cid:9000) ⑴ (x-1)(y-1) ⑵ (x+y)(x-y+2)
⑴ xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1)
⑵ x¤ +2x+2y-y¤ =x¤ -y¤ +2x+2y
=(x+y)(x-y)+2(x+y)
=(x+y)(x-y+2)
1-2 (cid:9000) ⑴ 2x(y+3)(y-4)
⑵ ab(2a+1)(2a-1)
⑶ (y-2)(x+z)
⑷ (x-1)(a-1)
⑴ 2xy¤ -2xy-24x=2x(y¤ -y-12)
=2x(y+3)(y-4)
⑵ 4a‹ b-ab=ab(4a¤ -1)=ab(2a+1)(2a-1)
⑷ (x-1)a+(1-x)=(x-1)a-(x-1)=(x-1)(a-1)
4-1 (cid:9000) ⑴ (x+y-3)(x-y-3) ⑵ (x+y+2)(x+y-2)
⑴ x¤ -6x+9-y¤ =(x-3)¤ -y¤
=(x-3+y)(x-3-y)
=(x+y-3)(x-y-3)
⑵ x¤ +2xy+y¤ -4=(x+y)¤ -2¤
=(x+y+2)(x+y-2)
2-1 (cid:9000) ⑴ (3x-4)¤ ⑵ (a+3)(a-3) ⑶ (5x-3)(x+7)
⑷ (주어진 식)=A¤ -B¤ =(A+B)(A-B)
5-1 (cid:9000) ⑴ 1000 ⑵ 36 ⑶ 400 ⑷ 100
={(3x+2)+(2x-5)}{(3x+2)-(2x-5)}
⑴ 55¤ -45¤ =(55+45)(55-45)=100_10=1000
⑴ 3x-2=A로 놓으면
(주어진 식)=A¤ -4A+4=(A-2)¤
=(3x-2-2)¤ =(3x-4)¤
⑵ a+2=A로 놓으면
⑵ (주어진 식)=A¤ -4A-5
⑵ (주어진 식)=(A+1)(A-5)
⑵ (주어진 식)=(a+2+1)(a+2-5)
⑵ (주어진 식)=(a+3)(a-3)
⑶ 3x+2=A, 2x-5=B로 놓으면
=(5x-3)(x+7)
2-2 (cid:9000) ⑴ (a+b-1)¤ ⑵ x(x+6) ⑶ (x-y+z)(x-y-z)
⑴ a+b=A로 놓으면
⑷ (주어진 식)=A¤ -2A+1=(A-1)¤
⑷ (주어진 식)=(a+b-1)¤
⑵ x+1=A로 놓으면
⑶ x-y=A로 놓으면
(주어진 식)=A¤ -z¤ =(A+z)(A-z)
=(x-y+z)(x-y-z)
24
체크체크 수학 3-1
4-2 (cid:9000) ⑴ (x+y-2)(x-y-2) ⑵ (1+x-y)(1-x+y)
⑴ x¤ -4x+4-y¤ =(x-2)¤ -y¤
=(x-2+y)(x-2-y)
=(x+y-2)(x-y-2)
⑵ 1-x¤ -y¤ +2xy=1-(x¤ +y¤ -2xy)
=1-(x-y)¤
={1+(x-y)}{1-(x-y)}
=(1+x-y)(1-x+y)
⑵ 18_25-18_23=18_(25-23)=18_2=36
⑶ 21¤ -2_21+1=(21-1)¤ =20¤ =400
⑷ "√103¤ -6_103+9="√103¤ -2_103√_3+3¤
="√(103-3)¤ ="√100¤ =100
5-2 (cid:9000) ⑴ 99 ⑵ 32 ⑶ 10000 ⑷ 100
⑴ 50¤ -49¤ =(50+49)(50-49)=99_1=99
=(101-1)¤ =100¤ =10000
⑷ "√95¤ +95_10+5¤ ="√95¤ +2_95_5+5¤
="√(95+5)¤ ="√100¤ =100
(주어진 식)=A¤ +4A-5=(A-1)(A+5)
⑵ 16_15-16_13=16_(15-13)=16_2=32
=(x+1-1)(x+1+5)=x(x+6)
⑶ 101¤ -202+1=101¤ -2_101_1+1¤
6-1 (cid:9000) ⑴ 2500 ⑵ 3 ⑶ 8'3
⑴ n¤ +12n+36=(n+6)¤ =(44+6)¤ =50¤ =2500
⑵ a¤ +6a+9=(a+3)¤ =(-3+'3+3)¤ =('3 )¤ =3
⑶ x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)
=(2+'3+2-'3)(2+'3-2+'3 )
=4_2'3=8'3
6-2 (cid:9000) ⑴ 10000 ⑵ 8 ⑶ -4'5
⑴ x¤ +8x+16=(x+4)¤ =(96+4)¤ =100¤ =10000
⑵ x¤ -6x+9=(x-3)¤ =(3-2'2-3)¤ =(-2'2 )¤ =8
⑶ x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)
=(-1+'5+1+'5)(-1+'5-1-'5 )
=2'5_(-2)=-4'5
02 16
01 ⑤
03 ⑴ (a+b-1)(a+b-4) ⑵ 4(x-6)(x+1) ⑶ (x-4)(x-8)
04 ⑴ (x+y+1)(x+y-3) ⑵ (2x+y+4)¤ ⑶ (2x-11)(x-4)
05 ③
10 100
09 ①, ④
14 1
08 ④
13 23
06 ⑤
11 2
07 ④
12 ②
01 2x+y=A로 놓으면
(주어진 식)=A¤ +8A-20=(A+10)(A-2)
=(2x+y+10)(2x+y-2)
∴ (2x+y+10)+(2x+y-2)=4x+2y+8
02 x-3=A로 놓으면
(x-3)¤ +2(x-3)-8
=A¤ +2A-8
4
=(A+ )(A-2)
={(x-3)+ }{(x-3)- }
4
2
=(x+ )(x- )
5
1
따라서 (cid:8641) 안에 들어갈 수들의 합은
4+4+2+1+5=16
03 ⑴ a+b=A로 놓으면
(주어진 식)=A(A-5)+4=A¤ -5A+4
=(A-1)(A-4)
=(a+b-1)(a+b-4)
⑵ x-2=A, x+2=B로 놓으면
⑶ x-3=A로 놓으면
(주어진 식)=A¤ -6A+5=(A-1)(A-5)
=(x-3-1)(x-3-5)
=(x-4)(x-8)
04 ⑴ x+y=A로 놓으면
(주어진 식)=A(A-2)-3=A¤ -2A-3
=(A+1)(A-3)
=(x+y+1)(x+y-3)
⑵ 2x+1=A, y+3=B로 놓으면
(주어진 식)
=(2x+1)¤ +(2x+1)_2(y+3)+(y+3)¤
=A¤ +2AB+B¤ =(A+B)¤
=(2x+1+y+3)¤ =(2x+y+4)¤
⑶ x-5=A로 놓으면
p. 75~76
(주어진 식)=2(x-5)¤ +(x-5)-1
=2A¤ +A-1
=(2A-1)(A+1)
={2(x-5)-1}(x-5+1)
=(2x-11)(x-4)
05 a¤ +ab-a-b=a(a+b)-(a+b)=(a+b)(a-1)
a¤ (a-b)+(b-a)=a¤ (a-b)-(a-b)
=(a-b)(a¤ -1)
=(a-b)(a+1)(a-1)
(a-b)a¤ -3a(a-b)=(a-b)(a¤ -3a)
=a(a-b)(a-3)
06 ① ax¤ -a+bx¤ -b=x¤ (a+b)-(a+b)
② x‹ +x¤ -9x-9=x¤ (x+1)-9(x+1)
=(a+b)(x¤ -1)
=(a+b)(x+1)(x-1)
=(x+1)(x¤ -9)
=(x+1)(x+3)(x-3)
③ xy+2z-xz-2y=x(y-z)-2(y-z)
=(y-z)(x-2)
④ (2x+y)¤ -3(2x+y)=(2x+y)(2x+y-3)
⑤ x¤ +ax-bx-ab=x(x+a)-b(x+a)
=(x+a)(x-b)
(주어진 식)=2A¤ +5AB-3B¤ =(2A-B)(A+3B)
07 a¤ +2a+1-b¤ =(a+1)¤ -b¤ =(a+1+b)(a+1-b)
={2(x-2)-(x+2)}{x-2+3(x+2)}
=(a+b+1)(a-b+1)
=(2x-4-x-2)(x-2+3x+6)
a¤ -ab+a=a(a-b+1)
=(x-6)(4x+4)=4(x-6)(x+1)
따라서 공통인수는 ④ a-b+1이다.
3. 인수분해
25
진도 교재
08 x¤ -6xy+9y¤ -25=(x-3y)¤ -5¤
=(x-3y+5)(x-3y-5)
이때 a=-3, b=5이므로 a+b=-3+5=2
10 11.3¤ -2_11.3_1.3+1.3¤
=(11.3-1.3)¤ =10¤ =100
11 x=
y=
1
'2-1
1
'2+1
=
=
'2+1
('2-1)('2+1)
'2-1
('2+1)('2-1)
='2+1
='2-1
∴ x¤ y-xy¤ =xy(x-y)
=('2+1)('2-1){('2+1)-('2-1)}
=1_2=2
12 x¤ y+xy¤ =xy(x+y)
=(2+'3)(2-'3)(2+'3+2-'3 )
=1_4=4
13 x=
1
5+2'6
=
5-2'6
(5+2'6)(5-2'6 )
=5-2'6
∴ x¤ -10x+24=(x-4)(x-6)
=(5-2'6-4)(5-2'6-6)
=(1-2'6)(-1-2'6 )
=(-2'6 )¤ -1¤ =24-1=23
14 x¤ +2x-3=(x-1)(x+3)
=('5-1-1)('5-1+3)
=('5-2)('5+2)=('5 )¤ -2¤
=5-4=1
다른 풀이
x='5-1에서 x+1='5
양변을 제곱하면 (x+1)¤ =('5 )¤
x¤ +2x+1=5 ∴ x¤ +2x=4
∴ x¤ +2x-3=4-3=1
⑶ (x-2y)(x+1)
⑸ (x+y-5)(x-y+5)
⑺ (x+y-2)(x-y+2)
01 ⑴ (a+3b+2)(a+3b-2) ⑵ (b-c)(a-1)
⑷ (x+1)(x¤ +1)
⑹ (b-2)(a+3)
⑻ (a+b+c)(a-b-c)
⑵ (x-2)(x+y-3)
⑷ (x-2y+2)(x-2y-6)
02 ⑴ (a-1)(a+b+2)
⑶ (a+b+3)(a+b-2)
26
체크체크 수학 3-1
01 ⑴ a¤ +6ab-4+9b¤ =(a+3b)¤ -4
=(a+3b+2)(a+3b-2)
⑵ ab-ac-b+c=a(b-c)-(b-c)
=(b-c)(a-1)
⑶ x¤ -2xy+x-2y=x(x-2y)+(x-2y)
=(x-2y)(x+1)
⑷ x‹ +x¤ +x+1=x¤ (x+1)+(x+1)
=(x+1)(x¤ +1)
⑸ x¤ -25-y¤ +10y=x¤ -(y¤ -10y+25)
=x¤ -(y-5)¤
=(x+y-5)(x-y+5)
⑹ ab-6+3b-2a=a(b-2)+3(b-2)
=(b-2)(a+3)
⑺ x¤ -y¤ +4y-4=x¤ -(y¤ -4y+4)
⑻ a¤ -b¤ -c¤ -2bc=a¤ -(b¤ +2bc+c¤ )
=x¤ -(y-2)¤
=(x+y-2)(x-y+2)
=a¤ -(b+c)¤
=(a+b+c)(a-b-c)
02 ⑴ a¤ +ab+a-b-2=b(a-1)+a¤ +a-2
=b(a-1)+(a+2)(a-1)
=(a-1)(b+a+2)
=(a-1)(a+b+2)
⑵ x¤ +xy-5x-2y+6
=y(x-2)+x¤ -5x+6
=y(x-2)+(x-2)(x-3)
=(x-2)(y+x-3)
=(x-2)(x+y-3)
⑶ a¤ +2ab+b¤ +a+b-6
=(a+b)¤ +(a+b)-6
=A¤ +A-6
=(A+3)(A-2)
=(a+b+3)(a+b-2)
⑷ x¤ -4xy+4y¤ -4x+8y-12
=(x-2y)¤ -4(x-2y)-12
=A¤ -4A-12
=(A+2)(A-6)
a+b=A로 치환
A=a+b 대입
x-2y=A로 치환
A=x-2y 대입
p. 77
=(x-2y+2)(x-2y-6)
1 -5
2 -6
3 12
p. 78
1 다항식 2x¤ +ax-3이 x-3으로 나누어떨어지므로 x-3을 인
수로 갖는다. 이때 x¤ 의 계수에 의하여
2x¤ +ax-3=(x-3)(2x+(cid:8641))로 놓으면
-3_(cid:8641)=-3에서 (cid:8641)=1
즉 (x-3)(2x+1)=2x¤ -5x-3이므로
a=-5
2 다항식 4x¤ -5x+k가 x-2를 인수로 가지므로
4x¤ -5x+k=(x-2)(4x+(cid:8641))로 놓으면
-5=-2_4+(cid:8641)에서 (cid:8641)=3
즉 (x-2)(4x+3)=4x¤ -5x-6이므로
k=-6
3 x¤ +7x+n=(x+a)(x+b)
=x¤ +(a+b)x+ab
에서 a+b=7, ab=n
04 ① 4x¤ -25y¤ =(2x+5y)(2x-5y)
② 6x¤ +10x-4=2(x+2)(3x-1)
④ -x¤ +y¤ =y¤ -x¤ =(y+x)(y-x)
⑤ 2x¤ -4x-30=2(x-5)(x+3)
05 ⑴ x¤ +Ax-27=(x+3)(x+(cid:8641))로 놓으면
-27=3_(cid:8641) ∴ (cid:8641)=-9
즉 (x+3)(x-9)=x¤ -6x-27이므로 A=-6
⑵ 6x¤ -19x+B=(x+3)(6x+(cid:8641))로 놓으면
-19=3_6+(cid:8641) ∴ (cid:8641)=-37
즉 (x+3)(6x-37)=6x¤ -19x-111이므로 B=-111
⑶ 6x¤ -19x-111을 인수분해하면
(x+3)(6x-37)이다.
a+b=7을 만족하는 두 자연수 a, b의 값을표로나타내면 다음
과 같다.
06 x¤ +8x+k=(x+a)(x+b)
=x¤ +(a+b)x+ab
a
b
1
6
2
5
3
4
4
3
5
2
6
1
이때 n=ab의 최댓값은 3_4=12이다.
이때 a, b는 자연수이므로 두 수의 합이 8이 되는 두 자연수 a,
b를 순서쌍 (a, b)로 나타내면 (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4),
(5, 3), (6, 2), (7, 1)이다.
따라서 두 수의 곱 k의 최솟값은
`
1_7=7
02 6
01 ③
05 ⑴ -6 ⑵ -111 ⑶ (x+3)(6x-37)
07 ⑴ 풀이 참조 ⑵ A=-4, B=-12
03 ⑤
⑶ 처음 이차식：x¤ -4x-12, (x-6)(x+2)
04 ③
06 ③
08 ②
12 3011
09 ④
13 -72
10 ①
11 ③
14 (x¤ +5x+5)¤ 15 2
01 4x¤ +Axy+25y¤ =(2x)¤ +Axy+(5y)¤ 이므로
4x¤ +Axy+25y¤ =(2x+5y)¤
따라서 B=2, C=5, A=2_2_5=20이므로
A+B+C=20+2+5=27
02 "√a¤ +4a+4+"√a¤ -8a+16
="√(a+2)¤ +"√(a-4)¤
=(a+2)-(a-4)
20, a-4<0
=6
03 x› -16=(x¤ )¤ -4¤ =(x¤ +4)(x¤ -4)
=(x¤ +4)(x+2)(x-2)
p. 79~80
07 ⑴
민석이가 제대로 본 것
기철이가 제대로 본 것
◯
x의 계수
상수항
◯
⑵ (x-3)(x+4)=x¤ +x-12
민석이는 상수항을 바르게 보았으므로 B=-12
(x-5)(x+1)=x¤ -4x-5
기철이는 x의 계수를 바르게 보았으므로 A=-4
⑶ x¤ -4x-12=(x-6)(x+2)
08 a¤ +ab-a+b-2
b
=ab+ +(a¤ +
-a
-2)
=b(
a+1
)+(
a-2
)(a+1)
=(a+1)(
a+b-2
)
09
2014_2015+2014
2015¤ -1
=
2014_(2015+1)
2015¤ -1
=
(2015-1)(2015+1)
(2015+1)(2015-1)
=1
3. 인수분해
27
진도 교재
10 x¤ y+2x+xy¤ +2y
=x¤ y+xy¤ +2x+2y
=xy(x+y)+2(x+y)
=(x+y)(xy+2)
5(xy+2)=20
xy+2=4 ∴ xy=2
∴ x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy
=5¤ -2_2
=21
=
5x+10
x+2
=
5(x+2)
x+2
=5
이때 (x+y)(xy+2)=20이고 x+y=5이므로
p. 81~82
01 ⑴ 12x¤ +17x+6=(4x+3)(3x+2)
⑵ 평면도의 넓이가 (4x+3)(3x+2)이고 가로의 길이가 4x+3
이므로 세로의 길이는 3x+2이다.
(cid:9000) ⑴ (4x+3)(3x+2) ⑵ 3x+2
02 큰 피자한 조각의 넓이는
_(p_23¤ )=
(cm¤ )
작은 피자 한 조각의 넓이는
_(p_13¤ )=
(cm¤ )
23¤ p
6
13¤ p
6
;6!;
;6!;
차는
23¤ p
6
-
13¤ p
6
=;6“;(23¤ -13¤ )
11
x‹ +2x¤ +10
x+2
=
x(x¤ +2x)+10
x+2
x¤ +2x=5 대입
따라서 큰 피자 한 조각의 넓이와 작은 피자 한 조각의 넓이의
12 3010_3012+1=(3011-1)_(3011+1)+1
=3011¤ -1+1
=3011¤
∴ a=3011
=;6“;(23+13)(23-13)
=;6“;_36_10
=60p (cm¤ )
(cid:9000) 60p cm¤
13 1¤ -3¤ +5¤ -7¤ +9¤ -11¤
=(1+3)(1-3)+(5+7)(5-7)+(9+11)(9-11)
03 ⑴ 처음이차식을 x¤ +Ax+B라 하면
⑴ (x-3)(x+4)=x¤ +x-12
=-2(4+12+20)
=-72
채점 기준
답 구하기
인수분해 공식을 이용하여 나타내기
`4점
`2점
배점
4점
2점
⑴ 수지는 상수항을 바르게 보았으므로 B=-12
⑴ (x+3)(x-7)=x¤ -4x-21
⑴ 종석이는 x의 계수를 바르게 보았으므로 A=-4
⑴ 따라서 처음 이차식은 x¤ -4x-12
⑵ x¤ -4x-12=(x+2)(x-6)
(cid:9000) ⑴ x¤ -4x-12 ⑵ (x+2)(x-6)
14 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1
=(x¤ +5x+4)(x¤ +5x+6)+1
=(A+4)(A+6)+1
x¤ +5x=A로 치환
=A¤ +10A+25
=(A+5)¤
=(x¤ +5x+5)¤
A=x¤ +5x 대입
15 280-1=(240+1)(220+1)(210+1)(2fi +1)(2fi -1)
2fi +1, 2fi -1, 즉 33, 31은 자연수 280-1의 인수이고 30과 40
사이의 자연수이므로 두 자연수의 차는
33-31=2
28
체크체크 수학 3-1
04 ⑴ 3599=3600-1
=60¤ -1¤
=(60+1)(60-1)
=61_59
⑴ 따라서 필요한 두 소수는 59, 61이다.
⑵ 9991=10000-9
=100¤ -3¤
=(100+3)(100-3)
=103_97
⑴ 따라서 필요한 두 소수는 97, 103이다.
(cid:9000) ⑴ 59, 61 ⑵ 97, 103
p. 83~84
=(y-z)(x-y+z-x)
=-(y-z)(y-z)
=-(y-z)¤
13 ⑴ x¤ -2¤ ⑵ A(x-2) ⑶ x+2
09 ⑴ a+1=A로 놓으면
04 ④
03 ②
08 ①
02 ①
07 ②
01 ⑤
06 ②
09 ⑴ (a-2)(2a+3) ⑵ (x-y-8)(x-y+3)
11 ④
14 ⑴ ㉡ ⑵ 3
12 1
05 ①
10 ④
01 ⑤ x‹ +xy=x(x¤ +y)이므로 x¤ 은 x‹ +xy의 인수가 아니다.
02 Æ…a¤ +…a+;4!;+Æ…a¤ -…a+;4!;=æ≠{a+;2!;}
¤ +æ≠{a-;2!;}
00, a-;2!;<0
∴ (주어진 식)={a+;2!;}-{a-;2!;}
∴ (주어진 식)=;2!;+;2!;=1
03 ;4!;
a¤ +(cid:8641)+
b¤ ={;2!;a}
;9!;
¤ +(cid:8641)+{—;3!;b}
에서
(cid:8641)=2_
a_{—
b}=—
;3!;
;2!;
;3!;
ab
04 ④ 2x¤ -2x-4=2(x¤ -x-2)=2(x+1)(x-2)
05 2x¤ +ax-15=(x-b)(cx+5)에서
2x¤ +ax-15=cx¤ +(5-bc)x-5b이므로
c=2, -5b=-15 ∴ b=3
a=5-bc=5-3_2=-1
∴ abc=(-1)_3_2=-6
06 ㉠ ax-2a=a(x-2)
㉡ 4x¤ -9=(2x+3)(2x-3)
㉢ x¤ +x-6=(x+3)(x-2)
㉣ x¤ -2x+1=(x-1)¤
따라서 x-2를 인수로 갖는 것은 ㉠, ㉢이다.
07 x¤ +ax-8=(x-4)(x+(cid:8641))로 놓으면
-8=-4_(cid:8641) ∴ (cid:8641)=2
(x-4)(x+2)=x¤ -2x-8이므로 a=-2
2x¤ -7x+b=(x-4)(2x+(cid:8641))로 놓으면
-7=-4_2+(cid:8641) ∴ (cid:8641)=1
(x-4)(2x+1)=2x¤ -7x-4이므로 b=-4
∴ a-b=-2-(-4)=2
08 (x-y)(y-z)-(z-y)(z-x)
=(x-y)(y-z)+(y-z)(z-x)
(주어진 식)=2A¤ -5A-3=(A-3)(2A+1)
=(a+1-3)(2a+2+1)
=(a-2)(2a+3)
⑵ x-y=A로 놓으면
(주어진 식)=A(A-5)-24
=A¤ -5A-24=(A-8)(A+3)
=(x-y-8)(x-y+3)
10 1982¤ +2_1982_18+18¤ =(1982+18)¤
=2000¤
=4000000
=4_10fl
11 (화장지의 부피)=(p_7.75¤ -p_2.25¤ )_10
=p_(7.75¤ -2.25¤ )_10
=p_(7.75+2.25)_(7.75-2.25)_10
=p_10_5.5_10
=550p (cm‹ )
12 (주어진 식)=
x(x¤ +x)+2
x+2
x¤ +x=1 대입
(주어진 식)=
x+2
x+2
(주어진 식)=1
13 ⑴ x¤ -2¤
⑵ A(x-2)
⑶ x¤ -2¤ =A(x-2)
⑶ (x+2)(x-2)=A(x-2)
⑶ ∴ A=x+2
⑶ 따라서 ㈏의 가로의 길이는 x+2이다.
14 ⑴ a+4=A로 놓으면
⑶ (a+4)¤ -4(a+4)+4=A¤ -4A+4
=(A-2)¤
=(a+4-2)¤
=(a+2)¤
⑶ 따라서 이용되는 인수분해 공식은 ㉡이다.
⑵ (주어진식)=(a+2)¤
=('3-2+2)¤
=('3 )¤ =3
3. 인수분해
29
¤
¤
진도 교재
4
이차방정식의 풀이
이차방정식과 그 해
1-1 (cid:9000) ⑴ a=3,, b=-2 ⑵ a=1,, b=-1
⑴ 3x¤ -2x-1=0(cid:100)(cid:100)∴ a=3, b=-2
⑵ x¤ +x-2=2x-1, x¤ -x-1=0(cid:100)(cid:100)∴ a=1,, b=-1
p. 90~91
1-2 (cid:9000) ⑴ b=-4, c=3 ⑵ b=3, c=0
⑴ x¤ -4x+3=0 ∴ b=-4, c=3
⑵ x¤ +3x=0 ∴ b=3, c=0
2-1 (cid:9000) ㉠, ㉣
㉠ x¤ +1 (이차식)
㉣ x¤ -x=x¤ +1, -x-1=0 (일차방정식)
㉤ x‹ +2x=x‹ -x¤ , x¤ +2x=0 (이차방정식)
2-2 (cid:9000) ㉡, ㉤
㉡ x¤ -1=0 (이차방정식)
㉢ 2x¤ -x+3 (이차식)
3-1 (cid:9000)
x
-2
x¤ +x-2
0
(cid:9000) x=-2 또는 x=1
-1
-2
0
-2
1
0
2
4
3-2 (cid:9000) x=2
x=0일 때, 0¤ +0-6+0이므로 거짓
x=1일 때, 1¤ +1-6+0이므로 거짓
x=2일 때, 2¤ +2-6=0이므로 참
x=3일 때, 3¤ +3-6+0이므로 거짓
따라서 해는 x=2이다.
4-1 (cid:9000) ㉡, ㉢
4-2 (cid:9000) ⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ × ⑸ ◯
⑴ (-2)¤ +2_(-2)=0
⑵ 1¤ -2_1+1=0
⑶ 0¤ +0+1=1+0
⑷ 2_(-1)¤ -(-1)=3+0
⑸ 4_1¤ -3_1-1=0
p. 92
04 a+2
05 ④
01 ㉠, ㉡
06 ⑤
02 ③
07 5
03 a+3
08 1
01 ㉠ 3x¤ -3=0 (이차방정식)
㉡ -2x¤ -3x=0 (이차방정식)
㉢ -5x+y+1=0 (미지수가 2개인 일차방정식)
㉣ (좌변)=(우변)이므로 항등식
㉤ a+0이어야 한다.
02 ① x¤ -x=0 (이차방정식)
② -x¤ =0 (이차방정식)
③ (좌변)=(우변)이므로 항등식
④ x¤ +4x-4=0 (이차방정식)
04 (ax+1)(x+3)=2x¤ 에서
ax¤ +3ax+x+3=2x¤
(a-2)x¤ +(3a+1)x+3=0
이때 (이차항의 계수)+0이어야 하므로
a-2+0 ∴ a+2
05 ① 1¤ +0
② 3¤ +3_3=18+0
④ 0¤ -2_0=0
③ 1¤ +2_1+1=4+0
⑤ 2_(-1)¤ -3_(-1)+1=6+0
따라서 이차방정식의 해가 되는 것은 ④이다.
㉠ x‹ +x¤ -4=0 (이차방정식이 아니다.)
⑤ 3x¤ +4=x¤ +2x+1, 2x¤ -2x+3=0 (이차방정식)
㉣ x¤ =x¤ +2x+1, -2x-1=0 (일차방정식)
㉤ 3x¤ -1=2x-x¤ , 4x¤ -2x-1=0 (이차방정식)
이때 (이차항의 계수)+0이어야 하므로
a-3+0(cid:100)(cid:100)∴ a+3
03 (a-1)x¤ -3=2x¤ -5x-3에서 (a-3)x¤ +5x=0
주어진 방정식에 x=2를 대입하여 등식이 성립하는 것을 찾는다.
㉠ 2¤ =4+2
㉡ 2¤ -2_2=0
㉣ 2¤ -3_2+1=-1+0
㉢ 2¤ -4=0
㉤ 2¤ -4_2=-4+0
06 ① (1+3)(1+1)=8+0
② 1¤ +4_1-3=2+0
③ 2_1¤ +1-15=-12+0
④ (1-1)(1+1)=0+2
⑤ 1¤ -7_1+6=0
따라서 x=2를 해로갖는것은㉡, ㉢이다.
따라서 x=1을 해로 갖는 이차방정식은 ⑤이다.
30
체크체크 수학 3-1
07 x=
;3!;을 3x¤ +ax-2=0에 대입하면
3_
+
a-2=0
;9!;
;3!;
1+a-6=0(cid:100)(cid:100)∴ a=5
08 x=-2를 x¤ -px-6=0에 대입하면
(-2)¤ -p_(-2)-6=0
4+2p-6=0, 2p=2 ∴ p=1
인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이
■개념 적용하기 | p. 93 ■
⑴ x=0 또는 x=-3
⑶ x=-1 또는 x=4
⑸ x=-1 (중근)
⑵ x=2 또는 x=3
⑷ x=3 (중근)
⑹ x=-
;2!; (중근)
1-1 (cid:9000) ⑴ x=0 또는 x=-1 ⑵ x=2 또는 x=3
p. 94
(cid:9000) ⑶ x=3 또는 x=-;3$; ⑷ x=4 또는 x=-;2#;
⑴ x¤ +x=0에서 x(x+1)=0(cid:0)
(cid:0) ∴ x=0 또는 x=-1
⑵ x¤ -5x+6=0에서 (x-2)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=2 또는 x=3
⑶ 3x¤ -5x-12=0에서 (x-3)(3x+4)=0
(cid:0) ∴ x=3 또는 x=-;3$;
⑷ 2x¤ =5x+12에서 2x¤ -5x-12=0
(x-4)(2x+3)=0(cid:0)
(cid:0) ∴ x=4 또는 x=-;2#;
1-2 (cid:9000) ⑴ x=0 또는 x=10
⑵ x=-3 또는 x=-5
(cid:9000) ⑶ x=-3 또는 x=3 ⑷ x=2 또는 x=5
⑴ x¤ -10x=0에서 x(x-10)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=0 또는 x=10
⑵ x¤ +8x+15=0에서 (x+3)(x+5)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-3 또는 x=-5
⑶ x¤ -9=0에서 (x+3)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-3 또는 x=3
⑷ -3x¤ +21x-30=0에서 x¤ -7x+10=0
(x-2)(x-5)=0(cid:0)
(cid:0)∴ x=2 또는 x=5
2-1 (cid:9000) ⑴ x=5 (중근) ⑵ x=-1 (중근)
(cid:9000) ⑶ x=;2!; (중근) ⑷ x=7 (중근)
⑴ x¤ -10x+25=0에서 (x-5)¤ =0
(cid:100) ∴ x=5 (중근)
⑵ 3x¤ +6x+3=0에서 x¤ +2x+1=0
(x+1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 (중근)
⑶ 4x¤ -4x+1=0에서 (2x-1)¤ =0
(cid:100) ∴ x=;2!; (중근)
⑷ x¤ -14x+49=0에서 (x-7)¤ =0
(cid:100) ∴ x=7 (중근)
2-2 (cid:9000) ⑴ x=-4 (중근) ⑵ x=;2#; (중근)
(cid:9000) ⑶ x=;5!; (중근) ⑷ x=-;4#; (중근)
⑴ x¤ +8x+16=0에서 (x+4)¤ =0
(cid:100) ∴ x=-4 (중근)
⑵ 4x¤ -12x+9=0에서 (2x-3)¤ =0
(cid:100) ∴ x=;2#; (중근)
⑶ 25x¤ -10x+1=0에서 (5x-1)¤ =0
(cid:100) ∴ x=;5!; (중근)
⑷ 16x¤ +24x+9=0에서 (4x+3)¤ =0
(cid:100) ∴ x=-;4#; (중근)
3-1 (cid:9000) ⑴ 36 ⑵ —6
⑴ k={
-12
2
¤ =36
}
⑵ {;2K;}2 =9에서 k¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ k=—6
3-2 (cid:9000) ⑴ 5 ⑵ —4
-6
2
⑴ 14-k={
}
에서 14-k=9(cid:100)(cid:100)∴ k=5
⑵ {;2A;}2 =4에서 a¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ a=—4
p. 95~96
01 미라
02 ⑤
03 ⑴ x=0 또는 x=6
⑵ x=
;5#; 또는 x=-1 ⑶ x=-3 또는 x=5 ⑷ x=-2 (중근)
04 ⑴ x=3 또는 x=
;2!; ⑵ x=-
;2!; 또는 x=
;3@; ⑶ x=
;3@; (중근)
⑷ x=-
;2!; (중근)
08 ③
13 5
09 3
14 7
05 x=1
10 ④
06 5
11 ④
07 -1
12 ④
4. 이차방정식의 풀이
31
(cid:0)
¤
진도 교재
01 x¤ +3x-4=0에서 (x+4)(x-1)=0
∴ x=-4 또는 x=1
02 주어진 이차방정식의 해를 각각 구하면 다음과 같다.
① x=-;3!; 또는 x=3
③ x=-1 또는 x=-3
⑤ x=;3!; 또는 x=-3
② x=;3!; 또는 x=3
④ x=1 또는 x=-3
03 ⑴ -x¤ +6x=0에서 -x(x-6)=0
∴ x=0 또는 x=6
⑵ 5x¤ +2x-3=0에서 (5x-3)(x+1)=0
⑵ ∴ x=;5#; 또는 x=-1
⑶ x(x-5)=-3(x-5)에서 x¤ -5x=-3x+15
x¤ -2x-15=0, (x+3)(x-5)=0
∴ x=-3 또는 x=5
⑷ x(x+4)=-4에서 x¤ +4x=-4
x¤ +4x+4=0, (x+2)¤ =0
∴ x=-2 (중근)
04 ⑴ 2x¤ -7x+3=0에서 (x-3)(2x-1)=0
⑵ ∴ x=3 또는 x=;2!;
⑵ -6x¤ +x=-2에서 6x¤ -x-2=0
⑵ (2x+1)(3x-2)=0 ∴ x=-;2!; 또는 x=;3@;
⑶ 9x¤ -12x+4=0에서 (3x-2)¤ =0
⑵ ∴ x=;3@; (중근)
⑷ x¤ +x+;4!;=0에서 {x+;2!;}2 =0
⑵ ∴ x=-;2!; (중근)
05 x¤ +4x-5=0에서 (x+5)(x-1)=0
∴ x=-5 또는 x=1
2x¤ +x-3=0에서 (2x+3)(x-1)=0
∴ x=-;2#; 또는 x=1
따라서 공통근은 x=1이다.
06 x¤ +x-30=0에서 (x+6)(x-5)=0
∴ x=-6 또는 x=5
x¤ -12x+35=0에서 (x-5)(x-7)=0
∴ x=5 또는 x=7
따라서 두 이차방정식을 동시에 만족하는 x의 값은 5이다.
32
체크체크 수학 3-1
07 x=3을 x¤ +ax-3=0에 대입하면
9+3a-3=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
즉 x¤ -2x-3=0이므로 (x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3
따라서 다른 한 근은-1이다.
08 x=-2를 2x¤ +(a+1)x-2a-2=0에 대입하면
8-2(a+1)-2a-2=0
-4a=-4 ∴ a=1
∴ x=-2 또는 x=1
따라서 다른 한 근은1이다.
즉 2x¤ +2x-4=0이므로 x¤ +x-2=0, (x+2)(x-1)=0
09 3x¤ -x-10=0에서 (x-2)(3x+5)=0
∴ x=2 또는 x=-
;3%;
이때 양수인 근은 2이므로
x=2를 x¤ -2ax+5+a=0에 대입하면
4-4a+5+a=0, 9=3a(cid:100)(cid:100)∴ a=3
10 x¤ +2x-3=0에서 (x+3)(x-1)=0
∴ x=-3 또는 x=1
이때두 근 중 큰 근 은 1이므로
x=1을 2x¤ -4x+a=0에 대입하면
2-4+a=0(cid:0)
(cid:0) ∴ a=2
11 ④ (x-4)¤ =0 ∴ x=4 (중근)
12 ① (3x-1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=;3!; (중근)
② (x+6)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=-6 (중근)
③ (x-5)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (중근)
④ (x-1)(9x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x=;9$;
⑤ (x-7)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=7 (중근)
13 x¤ -2x+a=4x-7, 즉 x¤ -6x+a+7=0이 중근을 가지려면
¤ , a+7=9(cid:100)(cid:100)∴ a=2
-6
2
a+7={
a=2를 주어진 방정식에 대입하면
}
x¤ -6x+9=0, (x-3)¤ =0(cid:100)(cid:100)
∴ x=3 (중근), 즉 m=3
∴ a+m=2+3=5
14 (x-4)¤ =k-3, 즉 x¤ -8x+19-k=0이 중근을가지려면
19-k={
-8
2
¤ , 19-k=16 ∴ k=3
}
k=3을 주어진 방정식에 대입하면
x¤ -8x+16=0, (x-4)¤ =0
∴ x=4(중근), 즉 m=4
∴ k+m=3+4=7
3-1 (cid:9000) 차례로 2, 2, 9, 11, 3, 11, -3—
'1å1
x¤ 의 계수가 1이 되도록
양변을 3으로 나눈다.
p. 97~98
3-2 (cid:9000) 차례로 4, 4, 2, 7, 2—
'7
3x¤ +18x-6=0
x¤ +6x- =0
2
x¤ +6x=
2
x¤ +6x+ =
9
11
11
(x+ )¤ =
3
x+3=—'1å1
∴ x=
-3—'1å1
x¤ -4x-3=0
x¤ -4x=3
x¤ -4x+ =3+
4
4
(x- )¤ =
2
7
x-2=—'7
2—
∴ x=
'7
제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이
1-1 (cid:9000) ⑴ x=—1 ⑵ x=—
'7 ⑷ x=—
;4#;
⑶ 3x¤ =21에서 x¤ =7(cid:0)
⑷ 16x¤ =9에서 x¤ =;1ª6;(cid:0)
'5 ⑶ x=—
(cid:0) ∴ x=—'7
(cid:0) ∴ x=—;4#;
1-2 (cid:9000) ⑴ x=—
'6 ⑵ x=—2'2 ⑶ x=—
'5 ⑷ x=—
;2&;
⑶ 3x¤ =15에서 x¤ =5(cid:0)
(cid:0) ∴ x=—'5
⑷ 4x¤ =49에서 x¤ =:¢4ª:(cid:0)
(cid:0) ∴ x=—;2&;
2-1 (cid:9000) ⑴ x=-2—
(cid:9000) ⑶ x=1—
'2 ⑵ x=-5 또는 x=4
5—
'6
3
'5 ⑷ x=
⑴ (x+2)¤ -2=0에서 (x+2)¤ =2
⑵ x+2=—'2 ∴ x=-2—'2
⑵ (2x+1)¤ =81에서 2x+1=—9
2x=-1—9 ∴ x=-5 또는 x=4
⑶ 4(x-1)¤ =20에서 (x-1)¤ =5
⑵ x-1=—'5 ∴ x=1—'5
⑷ (3x-5)¤ =6에서 3x-5=—'6
⑵ 3x=5—'6 ∴ x=
5—'6
3
2-2 (cid:9000) ⑴ x=2 또는 x=4 ⑵ x=5—
'∂10
1—2'2
2
(cid:9000) ⑶ x=-1 또는 x=3 ⑷ x=
⑴ (x-3)¤ =1에서 x-3=—1
x=3—1(cid:100)(cid:100)∴ x=2 또는 x=4
(x-5)¤ =5에서 (x-5)¤ =10
⑵ ;2!;
⑵ x-5=—'1å0(cid:100)(cid:100)∴ x=5—'1å0
⑶ 3(x-1)¤ =12에서 (x-1)¤ =4
⑷ (2x-1)¤ =8에서 2x-1=—2'2
1—2'2
2
⑵ 2x=1—2'2 ∴ x=
x-1=—2, x=1—2 ∴ x=-1 또는 x=3
4-1 (cid:9000) ⑴ x=-4—
'3 ⑵ x=2—
'6
⑴ x¤ +8x+13=0에서 x¤ +8x=-13
x¤ +8x+16=-13+16, (x+4)¤ =3
x+4=—'3(cid:0)
(cid:0) ∴ x=-4—'3
⑵ 3x¤ -12x-6=0에서 x¤ -4x-2=0
x¤ -4x=2, x¤ -4x+4=2+4
(x-2)¤ =6, x-2=—'6(cid:0)
(cid:0)∴ x=2—'6
4-2 (cid:9000) ⑴ x=-1—
'5 ⑵ x=-3—
⑴ x¤ +2x-4=0에서 x¤ +2x=4
'2
x¤ +2x+1=4+1, (x+1)¤ =5
(cid:0) ∴ x=-1—'5
x+1=—'5(cid:0)
⑵ 2x¤ +12x+14=0에서 x¤ +6x+7=0
x¤ +6x=-7, x¤ +6x+9=-7+9
(x+3)¤ =2, x+3=—'2(cid:0)
(cid:0)∴ x=-3—'2
p. 99~100
01 0
06 ①
02 2
03 5
04 1
05 ③
07 a=1, b=1, c=
, d=6
;2#;
08 a=4, b=2, c=12, d=3
09 a=1, b=
;2%;
10 a=-2, b=11
11 6
12 6
13 ⑴ x=-2—'7 ⑵ x=1 또는 x=5 ⑶ x=—
⑷ x=1—'6
2'3
3
14 ⑴ x=3—'1å3 ⑵ x=—
'3
2
⑶ x=
3—'7
2
⑷ x=-3—'1å0
4. 이차방정식의 풀이
33
진도 교재
01 2(x+2)¤ =4에서 (x+2)¤ =2
x+2=—'2 ∴ x=-2—'2
즉 a=-2, b=2이므로 a+b=0
02 (x+3)¤ =5에서 x+3=—'5
∴ x=-3—'5
즉 a=-3, b=5이므로 a+b=2
03 (x+a)¤ =7에서 x+a=±'7
∴ x=-a—'7
이때 -a—'7=2—'b이므로 a=-2, b=7
∴ a+b=-2+7=5
04 2(x+3)¤ =a에서 (x+3)¤ =
;2A;
x+3=—Æ;2A;
∴ x=-3—Æ;2A;
이때 -3—Æ;2A;
∴ a+b=4+(-3)=1
=b—'2이므로 a=4, b=-3
05 (x+p)¤ =q에서 x+p=—'q
∴ x=-p—'q
이때 x=-p—'q가 존재하려면 qæ0이어야 한다.
06 (x-2)¤ =3+k에서 x-2=—'ƒ3+k
∴ x=2—'ƒ3+k
따라서 근이 존재하려면 3+kæ0
∴ kæ-3
07 2x¤ +4x-1=0에서 x¤ +2x-
=0
;2!;
a
a
x¤ +2x=;2!;, x¤ +2x+1=;2!;+1
(x+1)¤ =
;2#;
b
∴ x=-1—
b
, x+1=—Æ;2#;=—
c
'6
2
d
'6
2
08 x¤ +4x-8=0에서 x¤ +4x=8
x¤ +4x+4=8+4, (x+2)¤ =12
a
a
x+2=—'1å2=—2'3(cid:0)
b
c
(cid:0) ∴ x=-2—2'3
b
d
09 2x¤ -4x-3=0에서 x¤ -2x-
=0
;2#;
x¤ -2x=;2#;, x¤ -2x+1=;2#;+1
(x-1)¤ =;2%;(cid:100)(cid:100)∴ a=1, b=;2%;
34
체크체크 수학 3-1
10 x¤ +4x-7=0에서 x¤ +4x=7
x¤ +4x+4=7+4, (x+2)¤ =11(cid:0)
(cid:0)∴ a=-2, b=11
11 3x¤ +2x-2=0에서 x¤ +
x-
=0
;3@;
;3@;
x¤ +;3@;x=;3@;, x¤ +;3@;x+;9!;=;3@;+;9!;
{x+;3!;}2 =;9&;, x+;3!;=—Æ;9&;
-1—'7
3
∴ x=-;3!;— =
'7
3
즉 a=-1, b=7이므로 a+b=6
12 x¤ -5x+8=3x에서 x¤ -8x=-8
x¤ -8x+16=-8+16, (x-4)¤ =8
(cid:0) ∴ x=4—2'2
x-4=—'8(cid:0)
즉 a=4, b=2이므로 a+b=6
13 ⑴ 2x¤ +8x=6에서 x¤ +4x=3
⑴ x¤ +4x+4=3+4, (x+2)¤ =7
⑴ x+2=—'7 ∴ x=-2—'7
⑵ (x-2)(x-4)=3에서 x¤ -6x=-5
⑴ x¤ -6x+9=-5+9, (x-3)¤ =4
⑴ x-3=—'4, x=3—2(cid:0)
⑶ 4-3x¤ =0에서 -3x¤ =-4
2'3
⑴ x¤ =;3$;
3
⑷ 2x(x-2)=10에서 2x¤ -4x=10
∴ x=—Æ;3$;=—
(cid:0) ∴ x=1 또는 x=5
⑴ x¤ -2x=5, x¤ -2x+1=5+1
⑴ (x-1)¤ =6, x-1=—'6(cid:0)
다른 풀이
(cid:0) ∴ x=1—'6
⑵ (x-2)(x-4)=3에서 x¤ -6x+5=0
(x-1)(x-5)=0 ∴ x=1 또는 x=5
14 ⑴ x(x-6)=4에서 x¤ -6x=4
x¤ -6x+9=4+9, (x-3)¤ =13
x-3=—'1å3 ∴ x=3—'1å3
⑵ 4x¤ -3=0에서 4x¤ =3
'3
2
⑴ x¤ =;4#;
∴ x=—
⑶ x¤ -3x+
=0에서 x¤ -3x=-
;2!;
;2!;
⑴ x¤ -3x+;4(;=-
+;4(;, {x-
;2!;
⑴ x-
=—Æ;4&;
;2#;
∴ x=
⑷ x¤ +6x-1=0에서 x¤ +6x=1
;2#;}2 =;4&;
3—'7
2
x¤ +6x+9=1+9, (x+3)¤ =10
x+3=—'1å0 ∴ x=-3—'1å0
01 16
06 ⑴ 5 ⑵ 26
02 14
03 ③
07 ⑤
04 ①, ⑤
08 11
p. 101
05 2
⑵ a=5를 주어진 식에 대입하면
x¤ -25x-26=0, (x+1)(x-26)=0
∴ x=-1 또는 x=26
따라서 나머지 한 근은 26이다.
01 x=m을 x¤ +2x-4=0에 대입하면
m¤ +2m-4=0
∴ m¤ +2m=4
x=n을 x¤ -2x-3=0에 대입하면
n¤ -2n-3=0에서 n¤ -2n=3
∴ n¤ -2n+1=3+1=4
∴ (m¤ +2m)(n¤ -2n+1)=4_4=16
02 x=n을 x¤ -4x+1=0에 대입하면
n¤ -4n+1=0
n+0이므로 양변을 n으로 나누면
=0 ∴ n+
=4
;n!;
n-4+
;n!;
1
∴ n¤ + ={n+
n¤
;n!;}2 -2=16-2=14
03 (x-1)(x-b)=0에서
x=1 또는 x=b
이때 두 이차방정식의 해가 같으므로
x=1을 x¤ -3x+a=0에 대입하면
1-3+a=0 ∴ a=2
즉 x¤ -3x+2=0에서
㉠과 ㉡이 같으므로 b=2
∴ a-b=2-2=0
04 x¤ +2ax-8a+20=0이 중근을 가지려면
{:™2Å:}2 =-8a+20
a¤ +8a-20=0, (a+10)(a-2)=0
∴ a=-10 또는 a=2
yy㉠
(x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2
yy㉡
05 a¤ -4ab+4b¤ =0에서 (a-2b)¤ =0(cid:0)
(cid:0)∴ a=2b
따라서 a=2b를 주어진 식에 대입하면
4a¤ -4b¤
3ab
=
4_(2b)¤ -4b¤
3_2b_b
=
12b¤
6b¤
=2
07 x=3을 x¤ +2x+a=0에 대입하면
9+6+a=0 ∴ a=-15
즉 x¤ +2x-15=0에서 (x+5)(x-3)=0
∴ x=-5 또는 x=3
따라서 다른 한 해가 -5이므로 x=-5를 x¤ +bx+35=0에 대
입하면
25-5b+35=0 ∴ b=12
∴ b-a=12-(-15)=27
08 ;3!;(x+a)¤ -2=0에서 ;3!;(x+a)¤ =2, (x+a)¤ =6
x+a=—'6 ∴ x=-a—'6
이때 -a—'6=-5—'b이므로 a=5, b=6
∴ a+b=5+6=11
p. 102
01 (정사각형의 넓이)
=(x+ )¤
2
=5+ =
4
9
(정사각형의 한 변의길이)
=x+ =
2
3
∴ x=
1
(cid:9000) ㉠ 2 ㉡ 4 ㉢ 9 ㉣ 3 ㉤ 1
02 x¤ -2x-(cid:8641)=0에서 x¤ -2x+1=(cid:8641)+1
(x-1)¤ =(cid:8641)+1
x-1=—"√(cid:8641)+1
∴ x=1—"√(cid:8641)+1
이때 x는 자연수이어야 하므로 (cid:8641)+1은 제곱수이어야 한다.
즉 (cid:8641)+1=1, 4, 9, 16, y
한편 (cid:8641)는 1에서 16까지의 자연수이므로 (cid:8641)=3, 8, 15
06 ⑴ x=-1을 x¤ -a¤ x-(4a+6)=0에 대입하면
1+a¤ -4a-6=0, a¤ -4a-5=0
이때 가장 큰 자연수인 해가 나오는 경우는
(cid:8641)=15일 때 x=5 또는 x=-3
(a+1)(a-5)=0(cid:0)
(cid:0) ∴ a=-1 또는 a=5
따라서 원판의 15를 맞혀야 가장 많은 상품을 받을 수 있다.
이때 조건에서 a>0이므로 a=5
(cid:9000) 15
4. 이차방정식의 풀이
35
진도 교재
01 ⑤
06 5
11 ②
02 ②
07 ①
12 ②
03 ③
08 ②
13 풀이 참조 14 3
04 ⑤
09 -1
05 ④
10 14
9-27+b=0(cid:100)(cid:100)∴ b=18
∴ a+b=-4+18=14
p. 103~104
10 두 이차방정식에 x=3을 각각 대입하면
18+3a-6=0, 3a=-12(cid:100)(cid:100)∴ a=-4
15 x=1 또는 x=-
;7%;
01 ④ 6x¤ +2x-1=0 (이차방정식)
⑤ -x+1=0 (일차방정식)
02 2ax¤ -ax+2x-1=-x¤ +2x
(2a+1)x¤ -ax-1=0
이때 (이차항의 계수)+0이어야 하므로
2a+1+0(cid:0)
(cid:0)∴ a+-;2!;(cid:100)
03 ③ 2_{;2!;}
¤ +3_;2!;-2=0
04 2x¤ +12x-6=0에서 x¤ +6x-3=0
x¤ +6x=3, x¤ +6x+9=3+9(cid:100)(cid:100)∴ (x+3)¤ =12
즉 p=3, q=12이므로 p+q=15
05 2(x+1)(x-2)=(x+4)¤ +4에서
2(x¤ -x-2)=x¤ +8x+16+4
2x¤ -2x-4=x¤ +8x+20, x¤ -10x-24=0
(x+2)(x-12)=0(cid:0)
(cid:0)∴ x=-2 또는 x=12
06 x=a를 x¤ -2x-5=0에 대입하면
a¤ -2a-5=0(cid:100)(cid:100)∴ a¤ -2a=5
07 2x¤ -11x-21=0에서 (2x+3)(x-7)=0
∴ x=-
;2#; 또는 x=7
이때 두 근 중 양수인 근은 7이므로
x=7을 x¤ -ax+7=0에 대입하면(cid:100)(cid:100)
49-7a+7=0(cid:100)(cid:100)∴ a=8
08 x=-1을 3x¤ +(a+1)x-4a+3=0에 대입하면
3-(a+1)-4a+3=0
-5a=-5(cid:100)(cid:100)∴ a=1
09 x=-2를 x¤ +x+a=0에 대입하면
4-2+a=0(cid:0)
(cid:0) ∴ a=-2
x¤ +x-2=0에서 (x+2)(x-1)=0
∴ x=-2 또는 x=1, 즉 b=1
∴ a+b=-2+1=-1
36
체크체크 수학 3-1
11 ㉠ (x+3)¤ =8(cid:100)(cid:100)∴ x=-3—2'2
㉡ x¤ =9(cid:100)(cid:100)∴ x=—3
㉢ x¤ -12x+36=0, (x-6)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (중근)
㉣ x¤ +4x+3=0, (x+3)(x+1)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-3 또는 x=-1
㉤ x+3=—4(cid:100)(cid:100)∴ x=-7 또는 x=1
㉥ x=0 (중근)
따라서 중근을 갖는 것은 ㉢, ㉥의 2개이다.
12 x¤ +6x+15-k=0이 중근을 가지려면
¤ =15-k이어야 하므로 9=15-k(cid:0)
{;2^;}
(cid:0) ∴ k=6
즉 x¤ +6x+9=0에서 (x+3)¤ =0(cid:0)
(cid:0)∴ x=-3 (중근)
13 x¤ -10x-4=0에서
좌변의 -4를 우변으로 이항하면 x¤ -10x=
4
양변에
25
를 더하면 x¤ -10x+
25
4
= +
25
좌변을 완전제곱식으로 고치면
(x-5)¤
=
29
제곱근을 구하면
x-5=—'2å9
∴ x=
5—'2å9
14 x=a를 x¤ -3x+1=0에 대입하면
a¤ -3a+1=0
a+0이므로 양변을 a로 나누면
a-3+
=0
;å!;
∴ a+
=3
;å!;
채점 기준
주어진 방정식에 x=a를 대입하기
a+ 의 값 구하기
1
a
15 x¤ -8x+k=0이 중근을 가지려면
k={
-8
2
}2 =16
k=16을 (k-9)x¤ -2x=k-11에 대입하면
(16-9)x¤ -2x=16-11, 즉 7x¤ -2x-5=0
(x-1)(7x+5)=0(cid:0)
∴ x=1 또는 x=-
;7%;
채점 기준
상수 k의 값 구하기
k의 값을 대입하여 이차방정식 구하기
이차방정식의 근 구하기
2점
4점
배점
2점
4점
2점
2점
2점
배점
2점
2점
2점
(cid:0)
5
이차방정식의 활용
이차방정식의 근의 공식
1-1 (cid:9000) ⑴ x=
-3—2'3
1111111133
3
⑵ x=-4 또는 x=1
⑴ a=3, b=6, c=-1이므로
⑴ x=
⑴ x=
-6—"√6¤ -4_3_(-1)
11111111112
2_3
-6—4'3
11112
6
-3—2'3
11112
3
=
⑵ a=1, b=3, c=-4이므로
(cid:0) x=
(cid:0) x=
-3—"√3¤ -4_1_(-4)
111111111142
2_1
-3—'∂25
11112
2
-3—5
124122
=
(cid:0) ∴ x=-4 또는 x=1
다른 풀이
⑴ x=
⑴ x=
-3—"√3¤ -3_(-1)
111111111
3
-3—'∂12
111213
-3—2'3
111213
=
1-2 (cid:9000) ⑴ x=-2 또는 x=3 ⑵ x=
5—
'2å1
111111222
⑴ a=1, b=-1, c=-6이므로
⑴ x=
⑴ x=
-(-1)—"√(-1√)¤ -√4_1√_√(-6)
111111111111211
2_1
1—'2å5
11312
1—5
1122
=
(cid:0) ∴ x=-2 또는 x=3
⑵ a=1, b=-5, c=1이므로
(cid:0) x=
(cid:0) x=
-(-5)—"√(-5)¤ -4_1_1
1111111111112
2_1
5—'∂21
11123
2
⑴ 짝수공식을 이용하면 a=3, b'=
=3, c=-1이므로
;2^;
2-1 (cid:9000) ⑴ x=-3 또는 x=;2!; ⑵ x=
5—
'∂22
111111223
⑶ x=1`(중근)
⑴ ;5!;x¤ +;2!;x-;1£0;=0의 양변에 10을 곱하면
⑴ 2x¤ +5x-3=0, (x+3)(2x-1)=0
⑴ ∴ x=-3 또는 x=
;2!;
⑵ 0.3x¤ =x-0.1의 양변에 10을 곱하면
⑴ 3x¤ =10x-1, 3x¤ -10x+1=0
⑴ ∴ x=
-(-5)—"√(-5)¤ -3_1
111111111113
3
⑴ ∴ x=
5—'∂22
1112
3
⑶ 4(x¤ -1)=(x-1)(3x+5)에서
p. 100~101
p. 110~111
⑴ 4x¤ -4=3x¤ +2x-5
⑴ x¤ -2x+1=0, (x-1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=1 (중근)
=
-6—'∂48
111216
2-2 (cid:9000) ⑴ x=
-2—
6
"2Ω2
⑵ x=
5—
"3Ω1
2
⑶ x=
1—
"1Ω3
2
⑴ ;2!;x¤ +;3!;x-;4!;=0의 양변에 12를 곱하면
⑴ 6x¤ +4x-3=0
⑴ ∴ x=
-2—"√2¤ -6_(-3)
6
⑴ ∴ x=
-2—"2Ω2
6
⑵ 0.2x(x-5)=0.3의 양변에 10을 곱하면
⑴ 2x(x-5)=3, 2x¤ -10x-3=0
⑴ ∴ x=
-(-5)—"√(-5)¤ -2_(-3)
2
⑴ ∴ x=
5—"3Ω1
2
⑶ x(1-x)=(x+2)(x-3)에서
(cid:100) x-x¤ =x¤ -x-6, 2x¤ -2x-6=0, x¤ -x-3=0
⑴ ∴ x=
-(-1)—"√(-1)¤ -4_1_√(-3)
2
⑴ ∴ x=
1—"1Ω3
2
3-1 (cid:9000) ⑴ x=-7 또는 x=-2 ⑵ x=;3!; 또는 x=2
⑴ x+5=A로 놓으면 주어진 식은
(cid:0) A¤ -A-6=0, (A+2)(A-3)=0
(cid:0) ∴ A=-2 또는 A=3
(cid:0) 즉 x+5=-2 또는 x+5=3
(cid:0) ∴ x=-7 또는 x=-2
⑵ x-1=A로 놓으면 주어진 식은
3A¤ -A-2=0, (3A+2)(A-1)=0
(cid:0) ∴ A=-;3@; 또는 A=1
(cid:0) 즉 x-1=-;3@; 또는 x-1=1
(cid:0) ∴ x=;3!; 또는 x=2
5. 이차방정식의 활용
37
(cid:0)
진도 교재
다른 풀이
치환을 이용하지 않고 식을 모두 전개하여 풀 수도있다.
⑴ (x+5)¤ -(x+5)-6=0을 전개하여 정리하면
x¤ +9x+14=0, (x+7)(x+2)=0
∴ x=-7 또는 x=-2
3-2 (cid:9000) ⑴ x=-;2%; 또는 x=1 ⑵ x=-2 또는 x=6
⑴ x+2=A로 놓으면 주어진 식은
⑴ 2A¤ -5A-3=0, (2A+1)(A-3)=0
⑴ ∴ A=-;2!; 또는 A=3
⑴ 즉 x+2=-;2!; 또는 x+2=3
⑴ ∴ x=-
;2%; 또는 x=1
⑵ x-1=A로 놓으면 주어진 식은
⑴ A¤ -2A-15=0, (A+3)(A-5)=0
⑴ ∴ A=-3 또는 A=5
⑴ 즉 x-1=-3 또는 x-1=5
⑴ ∴ x=-2 또는 x=6
01 ⑴ x=
(cid:0) ⑵ x=
(cid:0) ⑶ x=
1—'2å1
2
7—'1å3
6
5—'3å3
4
⑷ x=5 또는 x=-;3@;
02 풀이 참조
03 ⑴ x=-2 또는 x=;2%; ⑵ x=
-3±'5å7
4
⑶ x=3—'5
⑷ x=2—'7 ⑸ x=2—2'3 ⑹ x=-8 또는 x=4
01 ⑴ x=
-(-1)—"√(-1)¤ -4_1√_(-5)
2_1
⑵ x=
-(-7)—"√(-7)¤ -4_3√_3
2_3
⑶ x=
-(-5)—"√(-5)¤ -4_2√_(-1)
2_2
⑴ x=
1—'∂21
2
⑴ x=
7—'∂13
6
⑴ x=
5—'∂33
4
⑷ (x-5)(3x+2)=0 ∴ x=5 또는 x=-;3@;
38
체크체크 수학 3-1
02 ⑴ ① 근의 공식
a=4, b=6, c=-3이므로
(cid:0) x=
-6—"√6¤ -4_4_√(-3)
2_4
(cid:0) x=
-6—'8å4
8
=
-3—'∂21
4
(cid:0) ② 짝수 공식
a=4, b'=3, c=-3이므로
-3—"√3¤ -4_(-3)
4
(cid:0) x=
=
-3—'∂21
4
⑵ ① 근의 공식
a=1, b=6, c=1이므로
(cid:0) x=
-6—"√6¤ -4_1_1
2_1
(cid:0) x=
-6—'3å2
2
=-3—2'2
(cid:0) ② 짝수 공식
a=1, b'=3, c=1이므로
(cid:0) x=-3—"√3¤ -1_1=-3—2'2
03 ⑴ 0.2x¤ -0.1x-1=0의 양변에 10을 곱하면
⑴ 2x¤ -x-10=0, (x+2)(2x-5)=0
⑴ ∴ x=-2 또는 x=;2%;
p. 112
x-1=0의 양변에 6을 곱하면
x¤ +
⑵ ;3!;
⑴ 2x¤ +3x-6=0
;2!;
⑴ ∴ x=
-3—"√3¤ -4_2_(-6)
2_2
=
-3—'∂57
4
⑶ 주어진 식을 전개하면
3x¤ -12x+12=x¤ +4
2x¤ -12x+8=0, x¤ -6x+4=0
∴ x=-(-3)—"√(-3)¤ -1_4=3—'5
x-0.5=0의 양변에 6을 곱하면
x¤ -
⑷ ;6!;
⑴ x¤ -4x-3=0
;3@;
∴ x=-(-2)—"√(-2)¤ -1_(-3)=2—'7
⑸ 주어진 식을 전개하면
5x¤ -10x+5+7x=6x¤ -7x-3
x¤ -4x-8=0
∴ x=-(-2)—"√(-2)¤ -1_(-8)=2—2'3
⑹ x-1=A로 놓으면 주어진 식은
A¤ +6A-27=0
(A+9)(A-3)=0
∴ A=-9 또는 A=3
즉 x-1=-9 또는 x-1=3
∴ x=-8 또는 x=4
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
01 24
06 6
02 68
07 8
03 13
08 -1 또는 6
04 ③
05 10
01 3x¤ -10x+2=0에서 짝수 공식을 이용하면
a=3, b'=
=-5, c=2이므로
-10
2
x=
-(-5)—"√(-5)¤ -3_2
3
=
5—'∂19
3
따라서 A=5, B=19이므로 A+B=5+19=24
02 a=2, b=5, c=-6이므로
x=
-5—"√5¤ -4_2_(-6)
2_2
=
-5—'∂73
4
따라서 A=-5, B=73이므로 A+B=-5+73=68
03 ax¤ -2x-3=0에서 짝수 공식을 이용하면
=
1—"√1+3a
a
x=
이때
-(-1)—"√(-1)¤ -a_(-3)
a
1—"b
3
1—"√1+3a
a
이므로
=
a=3, b=1+3a ∴ b=10
∴ a+b=3+10=13
04 2x¤ -2x-k=0에서 짝수 공식을 이용하면
x=
-(-1)—"√(-1)¤ -2_(-k)
2
=
1—"√1+2k
2
이때
1—"√1+2k
2
=
A—'7
2
이므로
A=1, 1+2k=7(cid:0)
(cid:0) ∴ k=3
05 ;2#;
x¤ -
x-
=0의 양변에 6을 곱하면
;3!;
;6!;
9x¤ -2x-1=0
∴ x=
-(-1)—"√(-1)¤ -9_(-1)
9
=
1—'∂10
9
∴ A=10
06 ;2!;x¤ -x+
;3!;
=0의 양변에 6을 곱하면
3x¤ -6x+2=0
∴ x=
-(-3)—"√(-3)¤ -3_2
3
=
3—'3
3
따라서 A=3, B=3이므로 A+B=6
07 x-y=A로 놓으면 주어진 식은
(A-7)A-8=0, A¤ -7A-8=0
(A+1)(A-8)=0
∴ A=-1 또는 A=8
이때 x>y이므로 A>0(cid:100)(cid:100)∴ x-y=A=8
p. 113
08 x+y=A로 놓으면 주어진 식은
A(A-5)-6=0, A¤ -5A-6=0
(A+1)(A-6)=0
∴ A=-1 또는 A=6
∴ x+y=-1 또는 x+y=6
이차방정식의 근과 계수의 관계
ax¤ +bx+c=0
a, b, c의 값
■개념 적용하기 | p. 114 ■
b¤ -4ac
근의
의 부호
개수
근
3x¤ -7x+2=0
a=3, b=-7, c=2
x¤ -6x+9=0
a=1, b=-6, c=9
2x¤ +x+3=0
a=2, b=1, c=3
+
0
-
2개
x=2 또는 x=
;3!;
1개
0개
x=3(중근)
없다.
p. 114~116
1-1 (cid:9000) ⑴ k<;4%; ⑵ k=;4%; ⑶ k>;4%;
a=1, b=-3, c=k+1이므로
b¤ -4ac=(-3)¤ -4_1_(k+1)=5-4k
⑴ 5-4k>0에서 k<
⑵ 5-4k=0에서 k=
⑶ 5-4k<0에서 k>
;4%;
;4%;
;4%;
1-2 (cid:9000) ⑴ k<9 ⑵ k=9 ⑶ k>9
a=1, b'=
=3, c=k이므로
;2^;
b'¤ -ac=3¤ -1_k=9-k
⑴ 9-k>0에서 k<9
⑵ 9-k=0에서 k=9
⑶ 9-k<0에서 k>9
2-1 (cid:9000) ⑴ ;3@; ⑵ -;3%;
2-2 (cid:9000) ⑴ 두 근의 합 : 5, 두 근의 곱 : 2
(cid:9000) ⑵ 두 근의 합 : -;2!;, 두 근의 곱 : 0
3-1 (cid:9000) ⑴ 9 ⑵ a=2, b=-8
⑴ (두 근의 합)=-
=
;3A;, (두 근의 곱)=
;3B;이므로
-a
3
=5에서 a=15, ;3B;
⑴ ;3A;
⑴ ∴ a-b=15-6=9
=2에서 b=6
⑵ (두 근의 합)=-(-a)=a, (두 근의곱)=b이고
⑴ 두 근이 -2, 4이므로
⑴ a=-2+4=2, b=(-2)_4=-8
5. 이차방정식의 활용
39
진도 교재
3-2 (cid:9000) ⑴ -16 ⑵ -7
⑴ (두 근의 합)=-a, (두 근의곱)=b이므로
⑴ -a=4에서 a=-4, b=-12
⑴ ∴ a+b=-4+(-12)=-16
⑵ (두 근의 합)=-a, (두 근의곱)=b이고
⑴ 두 근이 -2, 5이므로
⑴ -a=-2+5에서 a=-3, b=(-2)_5=-10
⑴ ∴ b-a=-10-(-3)=-7
■개념 적용하기 | p. 116 ■
[방법 1] 두 근이 2, 3이므로
[방법 1] (x- )(x- )=0
2
3
[방법 1] ∴ x¤ - x+ =0
6
5
[방법 2] 근과 계수의 관계를 이용하면
두 근의 합이 , 두근 의 곱이 이므로
6
5
[방법 1] x¤ - x+ =0
5
6
4-1 (cid:9000) ⑴ 3x¤ -12x-15=0 ⑵ x¤ -2x-4=0
(cid:9000) ⑶ -x¤ +4x-4=0
⑴ 3(x+1)(x-5)=0(cid:0)
(cid:0) ∴ 3x¤ -12x-15=0
⑶ -(x-2)¤ =0(cid:0)
(cid:0) ∴ -x¤ +4x-4=0
⑶ x¤ -10x+25=0
⑴ 2(x-3)(x+4)=0(cid:100)(cid:100)∴ 2x¤ +2x-24=0
⑵ -2(x¤ -5x+4)=0(cid:100)(cid:100)∴ -2x¤ +10x-8=0
⑶ (x-5)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -10x+25=0
5-1 (cid:9000) 2+'5, a=4
x¤ -ax-1=0의 한 근이 2-'5이므로 다른 한 근은2+'5이다.
-(-a)=(2-'5 )+(2+'5 )=4(cid:100)(cid:100)∴ a=4
5-2 (cid:9000) 2-'7, a=-3
x¤ -4x+a=0의 한 근이 2+'7이므로 다른 한 근은2-'7이다.
∴ a=(2+'7 )(2-'7 )=-3
01 x¤ -2x+2+k=0이 서로다른두 근을가지려면
(-2)¤ -4_1_(2+k)>0, 4-8-4k>0
-4k>4(cid:0)
(cid:0) ∴ k<-1
02 ① b¤ -4ac=(-9)¤ -4_6_2=33>0
⇨ 서로다른두 근을 갖는다.
② b'¤ -ac=(-2)¤ -2_(-1)=6>0
② ⇨ 서로다른두 근을 갖는다.
③ b¤ -4ac=1¤ -4_1_1=-3<0
⇨ 근이 없다.
④ b'¤ -ac=(-2)¤ -1_4=0
② ⇨ 한 개의 근(중근)을 갖는다.
⑤ b¤ -4ac=(-3)¤ -4_1_(-2)=17>0
⇨ 서로다른두 근을 갖는다.
03 6x¤ +ax+b=0의 두 근이 ;2!;, -
;3!;이므로
+{-
;3!;}=-
;6A;에서 ;6!;
;2!;
=-
;6A;(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
_{-
;3!;}=
;6B;에서 -
;2!;
;6!;
=
;6B;(cid:100)(cid:100)∴ b=-1
∴ a+b=-1+(-1)=-2
-1+3=-
;2A;에서 2=-
;2A;(cid:100)(cid:100)∴ a=-4
-1_3=
;2B;에서 -3=
∴ ab=-4_(-6)=24
;2B;(cid:100)(cid:100)∴ b=-6
05 2x¤ +ax+b=0의 두 근이 -1, 2이므로
-1+2=-
;2A;에서 1=-
;2A;(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
-1_2=
;2B;에서 -2=
;2B;(cid:100)(cid:100)∴ b=-4
이때 ax¤ +bx+2=0, 즉 -2x¤ -4x+2=0의 두 근의 합은
-
-4
-2
=-2
06 6x¤ +ax+b=0의 두 근이 -
;2!;, ;3@;이므로
-;2!;+;3@;=-
;/6A;에서 ;6!;
=-
;6A;(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
4-2 (cid:9000) ⑴ 2x¤ +2x-24=0 ⑵ -2x¤ +10x-8=0
04 2x¤ +ax+b=0의 두 근이 -1, 3이므로
p. 117~118
;6B;에서 -
-;2!;_;3@;=
이때 bx¤ +ax+1=0, 즉 -2x¤ -x+1=0의 두 근의 합은
;6B;(cid:100)(cid:100)∴ b=-2
=
;3!;
03 -2
08 -7
04 24
05 -2
09 x¤ -4x+1=0
-
-1
-2
=-
;2!;
12 -2
11 4
14 2x¤ -5x+2=0
16 x=-4 또는 x=6
07 x¤ +5x+1=0의 두 근의 곱이 1이므로
x=1을 x¤ +ax+a-17=0에 대입하면
1+a+a-17=0, 2a=16(cid:100)(cid:100)∴ a=8
01 ①
06 -
;2!;
02 ③
07 8
10 x¤ -2x-4=0
13 3x¤ +6x-1=0
15 x¤ +7x-28=0
40
체크체크 수학 3-1
08 8x¤ -4x-16=0의 두 근의 곱은
=-2이므로
-16
8
15 수연이는 상수항을 제대로 보았으므로
x=-2를 x¤ -5x+2k=0에 대입하면
4+10+2k=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-7
09 다른 한 근은 2-'3이므로
(두 근의 합)=(2+'3)+(2-'3)=4
(두 근의 곱)=(2+'3 )(2-'3 )=1
따라서 구하는 이차방정식은 x¤ -4x+1=0
10 다른 한 근은 1+'5이므로
(두 근의 합)=(1-'5 )+(1+'5 )=2
(두 근의 곱)=(1-'5 )(1+'5 )=-4
따라서 구하는 이차방정식은 x¤ -2x-4=0
11
=
=2+'3
1
2+'3
(2-'3)(2+'3 )
2-'3
즉 ax¤ -8x+b=0의 한 근이 2+'3이므로
다른 한 근은 2-'3이다.
(2+'3 )+(2-'3 )=
;a*;에서 4=
;a*;(cid:0)
(cid:0) ∴ a=2
(2+'3 )(2-'3 )=
∴ a+b=2+2=4
;aB;에서 1=
;2B;(cid:0)
(cid:0) ∴ b=2
12 2x¤ +ax+7b=0의 한 근이 1+2'2이므로
다른 한 근은 1-2'2이다.
(1+2'2 )+(1-2'2 )=-
(1+2'2 )(1-2'2 )=
∴ a-b=-4-(-2)=-2
;2A;에서 2=-
;2A;(cid:0)
(cid:0) ∴ a=-4
:¶2ı:에서 -7=
:¶2ı:(cid:0)
(cid:0) ∴ b=-2
13 x¤ -6x-3=0에서 근과 계수의 관계에 의해
a+b=-(-6)=6, ab=-3
이때 , 을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 3인 이차방정식은
1
a
1
b
(두 근의 합)= + =
b+a
ab
=
6
-3
=-2
(두 근의 곱)= _ = =-
1
ab
;3!;
1
a
1
a
1
b
1
b
이므로 3{x¤ +2x-
;3!;}=0, 즉 3x¤ +6x-1=0
14 2x¤ -4x+1=0에서 근과 계수의 관계에 의해
a+b=-
-4
2
=2, ab=;2!;
이때 2와 ;2!;을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식은
(두 근의 합)=2+
, (두 근의 곱)=2_
=1이므로
=
;2!;
;2%;
;2!;
(x+4)(x-7)=0, x¤ -3x-28=0에서 상수항은 -28이다.
은희는 x의 계수를 제대로 보았으므로
(x+8)(x-1)=0, x¤ +7x-8=0에서 x의 계수는 7이다.
따라서 원래 주어진 이차방정식은
x¤ +7x-28=0
16 (x+2)(x-4)=0, x¤ -2x-8=0에서
x의 계수를 바르게 보았으므로 x의 계수는 -2이다.
(x-3)(x+8)=0, x¤ +5x-24=0에서
상수항을 바르게 보았으므로 상수항은 -24이다.
따라서 원래 주어진 이차방정식은 x¤ -2x-24=0이므로
(x+4)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-4 또는 x=6
이차방정식의 활용
p. 119
p. 100~101
1-1 (cid:9000) ② x+1 ③ x+1 ④ -6, 5 ⑤ 5, 5, 6
④ x¤ +(x+1)¤ =61에서 2x¤ +2x-60=0
x¤ +x-30=0, (x+6)(x-5)=0
∴ x=-6 또는 x=5
1-2 (cid:9000) ③ x¤ =2x+15 ④ -3, 5 ⑤ 5
④ x¤ =2x+15에서 x¤ -2x-15=0
(x+3)(x-5)=0(cid:0)
(cid:0) ∴ x=-3 또는 x=5
p. 120~121
01 ⑴ x-2, x+2, (x+2)¤ =3x(x-2)+4 ⑵ 3, 5, 7
02 ⑴ x-1, x+1, 20x=(x-1)¤ +(x+1)¤ -24 ⑵ 10, 11, 12
03 ⑴ x(x-4)=96 ⑵ 12명
04 ⑴ x(x+2)=120 ⑵ 10개
05 5 cm
10 4 m
12 ⑴ 2초 후 또는 6초 후 ⑵ 8초 후
06 7 cm
08 8 m
07 1 cm
11 ⑴ 5초 후 또는 7초 후 ⑵ 12초 후
09 2
01 ⑵ (x+2)¤ =3x(x-2)+4에서
(cid:0) x¤ +4x+4=3x¤ -6x+4
2x¤ -10x=0, 2x(x-5)=0
(cid:0) ∴ x=0 또는 x=5
(cid:0) 이때 x는 홀수이므로 x=5
5. 이차방정식의 활용
41
2{x¤ -;2%;x+1}=0, 즉 2x¤ -5x+2=0
(cid:0) 따라서 연속하는 세 홀수는 3, 5, 7이다.
(cid:0)
진도 교재
02 ⑵ 20x=(x-1)¤ +(x+1)¤ -24에서
20x=x¤ -2x+1+x¤ +2x+1-24
2x¤ -20x-22=0
(cid:0) x¤ -10x-11=0, (x+1)(x-11)=0
(cid:0) ∴ x=-1 또는 x=11
(cid:0) 이때 x는 자연수이므로 x=11
(cid:0) 따라서 연속하는 세 자연수는 10, 11, 12이다.
07 처음 원의 반지름의 길이를 x cm라 하면
p(x+2)¤ =9px¤
(x+2)¤ =9x¤ , 8x¤ -4x-4=0
2x¤ -x-1=0, (x-1)(2x+1)=0
∴ x=1 또는 x=-;2!;
x`cm
2`cm
이때 x>0이므로 처음 원의 반지름의 길이는 1 cm이다.
03 ⑴ 학생 수를 x명이라 하면 한 학생에게 돌아가는 사탕의 개수는
08 처음 꽃밭의 한 변의길이를 x m라 하면
(x-4)개이다.
(cid:0) 이때 (전체 사탕의 개수)
(x+2)(x-3)=50
x¤ -x-56=0, (x+7)(x-8)=0(cid:100)(cid:100)
이때 =(학생 수)_(한 학생에게 돌아가는 사탕의 개수)
∴ x=-7 또는 x=8
이므로 x(x-4)=96
⑵ x(x-4)=96에서 x¤ -4x-96=0
(x+8)(x-12)=0
(cid:0) ∴ x=-8 또는 x=12
(cid:0) 이때 x는 자연수이므로 학생 수는 12명이다.
04 ⑴ 한 학급에 돌아가는 농구공의 개수를 x개라 하면 학급의 수는
(x+2)학급이다.
(cid:0) 이때 (전체 농구공의 개수)
이때 =(한 학급에 돌아가는 농구공의 개수)_(학급의 수)
(cid:0) 이므로 x(x+2)=120
⑵ x(x+2)=120에서 x¤ +2x-120=0
(cid:100) (x+12)(x-10)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-12 또는 x=10
이때 x는 자연수이므로 농구공의 개수는 10개이다.
이때 x>3이므로 처음 꽃밭의 한 변의길이는 8 m이다.
09 길을 제외한 잔디밭의 가로의 길이는 (18-x) m, 세로의 길이
는 (10-x) m이므로
(18-x)(10-x)=128
x¤ -28x+52=0, (x-2)(x-26)=0
∴ x=2 또는 x=26
이때 00이므로 구하는 길이는 7 cm이다.
42
체크체크 수학 3-1
⑵ 공이땅에떨어질 때의 높이는 0 m이므로
60t-5t¤ =0에서 t¤ -12t=0
t(t-12)=0(cid:0)
⑴ ∴ t=0 또는 t=12
⑴ 따라서 공이 다시 땅에 떨어지는 것은 12초 후이다.
다.
참고
•쏘아 올린 물체의 높이가 h m인 경우
는 올라갈 때, 내려올 때로 두 번 생긴
다. (단, 최고 높이는 한 번만생긴다.)
•물체가 지면에 떨어질 때의 높이는
0 m이다.
h`m
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
12 ⑴ t초 후의 높이가 60 m이므로
40t-5t¤ =60에서 t¤ -8t+12=0
⑴ (t-2)(t-6)=0(cid:100)(cid:100)
∴ t=2 또는 t=6
따라서 공의 높이가 60 m가 되는 것은 2초 후 또는 6초 후이
07 ②
01 ③
02 3개
03 ①, ④
04 ⑴ x¤ -2x+
=0 ⑵ x¤ -6x+1=0 05 -12
06 ③
;2!;
p. 123
다.
⑵ 공이땅에떨어질 때의 높이는 0 m이므로
⑴ 40t-5t¤ =0에서 t¤ -8t=0
⑴ t(t-8)=0
⑴ ∴ t=0 또는 t=8
⑴ 따라서 공이 다시 땅에 떨어지는 것은 8초 후이다.
01 3x¤ -px+q=0에서
x=
-(-p)—"√(-p)¤ -4_√3_q
2_3
=
p—"√p¤ -12q
6
이때
p—"√p¤ -12q
6
=
4—'1å9
6
이므로
p=4, p¤ -12q=19 ∴ q=-;4!;
∴ pq=4_{-;4!;}=-1
1 ⑴ -
;3$; ⑵ 7 ⑶ 10 ⑷ 6
2 -5
3 16
1 a+b=2, ab=-
;2#;이므로
⑴ ;å!;
+
;∫!;
=
a+b
ab
=2÷{-;2#;}=-
;3$;
⑵ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=2¤ -2_{-;2#;}=7
⑶ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=2¤ -4_{-;2#;}=10
b
a+1
+
a
b+1
=
b(b+1)+a(a+1)
(a+1)(b+1)
⑷
⑷
⑷
+
+
=
=
b¤ +b+a¤ +a
ab+a+b+1
7+2
=6
-
+2+1
;2#;
2 4x¤ +8x+k=0의 두 근을 a, a+3으로 놓으면
(두 근의 합)=a+(a+3)=-
;4*;에서
2a=-5(cid:0)
(cid:0) ∴ a=-
;2%;
(두 근의 곱)=a_(a+3)=
;4K;에서
k=4a(a+3)=4_{-;2%;}_{-;2%;+3}=-5
(두 근의 합)=2a+a=-
-12
2
에서
3a=6(cid:0)
(cid:0) ∴ a=2
(두 근의 곱)=2a_a=
;2K;에서
k=4a¤ =4_2¤ =16
p. 122
02 x¤ +4x+1=0에서
x=-2—"√2¤ -1_1=-2—'3
이때 두 근 -2-'3, -2+'3 사이에 있는 정수는 -3, -2,
-1의 3개이다.
03 ① a+b=-3
② ab=-1
③ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=(-3)¤ -2_(-1)=11
④ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=(-3)¤ -4_(-1)=13
⑤ + =
1
a
1
b
a+b
ab
=
-3
-1
=3
04 x¤ -4x+2=0에서 근과 계수의 관계에 의해
a+b=4, ab=2
⑴ ;å!;
+
;∫!;
=
a+b
ab
=;2$;=2
_
;å!;
;∫!;
1
= =;2!;
ab
(cid:0) 따라서 구하는 이차방정식은 x¤ -2x+
=0
;2!;
⑵ + =
b
a
a
b
b¤ +a¤
ab
=
(a+b)¤ -2ab
ab
+ =
4¤ -2_2
2
=
:¡2™:
=6
b
a
a
_ =1
b
(cid:0) 따라서 구하는 이차방정식은 x¤ -6x+1=0
(두 근의 합)=a+(a+5)=- 에서
-2
2
2a+5=1 ∴ a=-2
(두 근의 곱)=a(a+5)
=;2K;에서
k=2a(a+5)=2_(-2)_3=-12
5. 이차방정식의 활용
43
3 2x¤ -12x+k=0의 두 근을 2a, a(a+0)로 놓으면
05 두 근의 차가 5이므로 두 근을a, a+5로 놓으면
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
06 언니의 나이를 x살이라 하면 동생의 나이는 (x-4)살이므로
p. 125~126
진도 교재
x¤ =2(x-4)¤ -4
x¤ =2(x¤ -8x+16)-4
x¤ =2x¤ -16x+28
x¤ -16x+28=0
(x-2)(x-14)=0
∴ x=2 또는 x=14
이때 x>4이므로 x=14
따라서 언니의 나이는 14살이다.
(8+2x)(10-x)=8_10
2x¤ -12x=0
2x(x-6)=0
∴ x=0 또는 x=6
07 x초 후에넓이가 처음과 같아진다고 할 때, x초 후의가로의 길이는
(8+2x) cm, 세로의 길이는 (10-x) cm이므로
이때 x>0이므로 넓이가 같아지는 것은 6초 후이다.
01 ⑤
06 15
02 ④
07 -18
03 ③
08 ②
04 -2
05 ①
09 ①
10
2'2å2
3
11 3 cm
12 -3
13 x=-
;3!; 또는 x=
;2!;
14 2초 후
01 x¤ +10x+3=0에서
a=1, b=
10
, c=3이므로
근의 공식에 대입하면
-10—øπ
10
¤ -4_1_
3
x=
2
x=-5—øπ
22
02 0.3x¤ -
x+
;2!;
;1¡0;
=0의 양변에 10을 곱하면
3x¤ -5x+1=0
∴ x=
-(-5)—"√(-5)¤ -4_3_1
2_3
∴ x=
5—'1å3
6
따라서 a=13, b=6이므로
a-b=13-6=7
03 (x-2)(x-3)=8-3x에서
x¤ -5x+6=8-3x
p. 124
x¤ -2x-2=0
∴ x=
-(-1)—"√(-1)¤ -1_(-2)
1
∴ x=1—'3
04 x¤ -3x-k=0이 서로다른두 근을 가지려면
(-3)¤ -4_1_(-k)=9+4k>0 ∴ k>-;4(;
따라서 가장 작은 정수 k의 값은 -2이다.
05 4x¤ -4x-k=0이 중근을 가지려면
(-4)¤ -4_4_(-k)=0
16+16k=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-1
이때 kx¤ -3x-2=0, 즉 -x¤ -3x-2=0의 두 근의 합은
01 숲 속에있는원숭이의 수를 x마리라 하면 x의 ;8!;의 제곱에 12를
더하면 x가 되므로
¤ +12=x
{;8!;x}
x¤ -x+12=0
;6¡4;
x¤ -64x+768=0
(x-16)(x-48)=0
∴ x=16 또는 x=48
길이는 (x-6)이므로
x¤ +(x-6)¤ =468
x¤ -6x-216=0
(x+12)(x-18)=0
∴ x=-12 또는 x=18
따라서 원숭이의 수는 16마리 또는 48마리이다.
(cid:9000) 16마리 또는 48마리
02 큰 정사각형의 한 변의길이를 x라 하면작은정사각형의 한 변의
-
-3
-1
=-3
06 x¤ -3x-2=0에서
(두 근의 합)=3, (두 근의곱)=-2이므로
3과 -2는 3x¤ +ax+b=0의 두 근이다.
3+(-2)=-
;3A;에서 1=-
;3A;(cid:100)(cid:100)∴ a=-3
3_(-2)=
;3B;에서 -6=
;3B;(cid:100)(cid:100)∴ b=-18
(cid:9000) 18, 12
∴ a-b=-3-(-18)=15
이때 x>6이므로 큰 정사각형의 한 변의길이는 18이고, 작은 정
사각형의 한 변의길이는 12이다.
44
체크체크 수학 3-1
다른 풀이
x¤ -3x-2=0에서 (두 근의 합)=3, (두 근의곱)=-2
즉 3x¤ +ax+b=0은 이차항의 계수가 3이고 두 근이 3, -2인
11 늘인 길이를 x cm라 하면
(9+x)(6+x)=2_9_6
이차방정식이므로
3(x-3)(x+2)=0, 3(x¤ -x-6)=0
3x¤ -3x-18=0
따라서 a=-3, b=-18이므로
a-b=-3-(-18)=15
07 이차방정식 6x¤ +px+q=0의 한 근이 2+'3이므로 다른 한 근
은 2-'3이다.
(2+'3 )+(2-'3 )=-
;6P;에서 -
;6P;
=4(cid:100)(cid:100)∴ p=-24
(2+'3 )(2-'3 )=
∴ p+q=-24+6=-18
;6Q;에서 ;6Q;
=1(cid:100)(cid:100)∴ q=6
08 큰 근이 작은 근의 3배이므로 두 근을a, 3a(a+0)로 놓으면
(두 근의 합)=a+3a=4에서 4a=4 ∴ a=1
즉 두 근은 1, 3이다.
이때 이차방정식 x¤ +ax+b=0의
두 근의 합 -a=4이므로 a=-4
두 근의 곱 b=1_3=3
∴ 2a-b=2_(-4)-3=-11
09 a+b=-2, ab=-1이므로
b
a
a
+ =
b
a¤ +b¤
ab
=
(a+b)¤ -2ab
ab
+ =
(-2)¤ -2_(-1)
-1
+ =
=-6
4+2
-1
x¤ +15x-54=0
(x+18)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-18 또는 x=3
이때 x>0이므로 늘인 길이는 3 cm이다.
12 3x¤ +4x+p=0을 근의공식으로 풀면
x=
-2—'ƒ4-3p
3
즉 q=-2, 4-3p=7이므로
p=-1, q=-2
∴ p+q=-1+(-2)=-3
채점 기준
근의 공식을 이용하여 해 구하기
p, q의 값 구하기
p+q의 값 구하기
13 x¤ +ax+b=0에서 근과 계수의 관계에 의해
-3+2=-a ∴ a=1
(-3)_2=b ∴ b=-6
이때 bx¤ +ax+1=0, 즉 -6x¤ +x+1=0에서
6x¤ -x-1=0
(3x+1)(2x-1)=0
∴ x=-
;3!; 또는 x=
;2!;
채점 기준
a의 값 구하기
b의 값 구하기
이차방정식 bx¤ +ax+1=0 풀기
10 ;4!;
x¤ -
x-
;3!;
;2!;=
0의 양변에 12를 곱하면
3x¤ -4x-6=0
이때 a+b=-
-4
3
=
, ab=
;3$;
-6
3
=-2이므로
(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab
(a-b)¤ ={;3$;}
¤ -4_(-2)
(a-b)¤ =
+8=
:¡9§:
:•9•:
2'2å2
3
∴ a-b=Æ…:•9•:
=
(∵ a-b>0)
14 바닥에 떨어질 때의 공의 높이는 0 m이므로
-2t¤ +3t+2=0
2t¤ -3t-2=0
(2t+1)(t-2)=0
∴ t=-;2!; 또는 t=2
이때 t>0이므로 2초 후에바닥에 떨어진다.
채점 기준
이차방정식 세우기
이차방정식 풀기
답 구하기
`2점
`2점
`2점
배점
2점
2점
2점
`2점
`2점
`3점
배점
2점
2점
3점
`2점
`3점
`2점
배점
2점
3점
2점
5. 이차방정식의 활용
45
⑴ `f(-1)=(-1)¤ -3_(-1)+1=1+3+1=5
축의 방정식
x=0
x=0
x=0
진도 교재
6
이차함수와 그 그래프
이차함수 y=ax¤ 의 그래프
1-1 (cid:9000) ㉠, ㉣, ㉥
㉢ y=2(x-4)¤ =2x¤ -16x+32 (이차함수)
㉣ y=(x-3)¤ -x¤ +2x=-4x+9 (일차함수)
㉥ 이차식
1-2 (cid:9000) ㉠, ㉢
㉡, ㉤ 일차함수
㉢ y=x(x+3)=x¤ +3x (이차함수)
㉣ 이차방정식
㉥ y=x¤ -x(x-2)=2x (일차함수)
2-1 (cid:9000) ⑴ 5 ⑵ 1 ⑶ -1 ⑷ 1
⑵ `f(0)=0¤ -3_0+1=1
⑶ `f(2)=2¤ -3_2+1=4-6+1=-1
⑷ f(3)=3¤ -3_3+1=9-9+1=1
2-2 (cid:9000) ⑴ -16 ⑵ -4 ⑶ -20
⑴ f(-2)=-2_(-2)¤ +3_(-2)-2
=-8-6-2=-16
⑵ f(2)=-2_2¤ +3_2-2=-8+6-2=-4
⑶ f(-2)+f(2)=-16+(-4)=-20
3-1 (cid:9000) 풀이 참조
x
x¤
2x¤
y
y
y
;2!;x¤ y
-3
9
18
;2(;
-2
4
8
2
-1
1
2
;2!;
0
0
0
0
1
1
2
;2!;
2
4
8
2
3
9
18
;2(;
y
y
y
y
y=2x¤
y=x¤
y= x¤
1
2
y
10
8
6
4
2
-4
-2
O
2
4
x
46
체크체크 수학 3-1
p. 100~101
p. 132~136
-4
-2
O
2
4
x
-4
-2
O
2
4
x
4-1 (cid:9000) 풀이 참조
4-2 (cid:9000) 풀이 참조
y=3x¤
y= x¤
1
3
y=2x¤
y= x¤
1
2
y
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
y=-2x¤
y=- x¤
1
2
y
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
y=-3x¤
y=- x¤
1
3
■개념 적용하기 | p. 135 ■
y=ax¤
① y=-;2!;x¤ ② y=;5!;x¤ ③ y=-;4#;x¤ ④ y=-4x¤
⑤ y=;3!;x¤
a의 값
-;2!;
;5!;
-;4#;
-4
;3!;
볼록한 방향
위로 볼록
아래로 볼록
위로 볼록
위로 볼록
아래로 볼록
꼭짓점의 좌표
(0, 0)
(0, 0)
(0, 0)
(0, 0)
(0, 0)
x=0
y
y
O
y
O
y
O
x
xO
x
x
x=0
y
xO
x<0
x>0
x<0
x<0
x>0
y=;2!;x¤
y=-;5!;x¤
y=;4#;x¤
y=4x¤
y=-;3!;x¤
그래프의 모양
x의 값이 증가
할 때 y의 값도
증가하는 x의
값의 범위
x축에 대칭인
그래프의 식
⑴ ④ ⑵ ②
5-1 (cid:9000) 풀이 참조
•꼭짓점의 좌표는
(0, 0)
이다.
•y=
x¤ 의 그래프와 축에 대칭
x
-;3@;
이다.
은
증가
한다.
5-2 (cid:9000) 풀이 참조
x의 값이증가할 때,
•x>0일 때, x의 값이증가하면 y의 값
-2 O
2
x
x<0인 범위에서 y의 값은
증가
하고,
-2 O
2
x
x>0인 범위에서 y의 값은
감소
한다.
y
6
4
2
y
-2
-4
-6
6-1 (cid:9000) -4
y=-;4!;x¤ 에 x=-4, y=k를 대입하면
k=-;4!;_(-4)¤ =-4
6-2 (cid:9000) ;2!;
y=ax¤ 에 x=-2, y=2를 대입하면
2=4a ∴ a=;2!;
7-1 (cid:9000) ⑴ ㉡ (cid:0) ⑵ ㉢ (cid:0) ⑶ ㉠
이차함수 y=ax¤ 의 그래프에서 a의 절댓값이 클수록 그래프의
폭이 좁아진다.
7-2 (cid:9000) ㉤
㉠, ㉡은 a>0이고, ㉢, ㉣, ㉤은 a<0이다.
이때 a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아지고 음수는 절댓
값이 클수록 작으므로 a의 값이 가장 작은 것은 ㉤이다.
01 ① y=4x
② =5이므로 y=
xy
23452
10
2345x
③ y=x(x+2)=x¤ +2x
④ y=x‹
⑤ y=2x
02 ① y=px¤
② y=
2000
21345x
③ y=2x¤
④ y=5px¤
⑤ 세로의 길이는 (10-x) cm이므로
y=x(10-x)=-x¤ +10x
03 f(1)=1¤ -5_1+4=0
f(2)=2¤ -5_2+4=-2
∴ 3f(1)-f(2)=3_0-(-2)=2
8-1 (cid:9000) ⑴ ㉠, ㉢, ㉣ ⑵ ㉣ ⑶ ㉠과 ㉥, ㉢과 ㉤
⑴ y=ax¤ 의 그래프에서 a>0이면 아래로 볼록하므로 ㉠, ㉢, ㉣
04 f(1)=-1¤ +3_1+a=a+2=3이므로 a=1
즉 f(x)=-x¤ +3x+1이므로
f(-2)=-(-2)¤ +3_(-2)+1=-9
⑵ y=ax¤ 의 그래프에서 a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁
으므로 a의 절댓값이 가장 큰 것은㉣이다.
⑶ y=ax¤ 의 그래프와 x축에 대칭인 그래프의 식은 y=-ax¤ 이
므로 ㉠과 ㉥, ㉢과 ㉤이다.
05 ⑴ 꼭짓점의 좌표 : (0, 0)
(cid:100) 축의 방정식 : x=0
⑵ y=-
x¤
;4!;
y
6
4
2
O
-2
⑶ x>0인 범위에서 x의 값이증가할
-4
-2
2
x
4
때, y의 값도증가한다.
이다.
다.
8-2 (cid:9000) ⑴ ㉠, ㉢, ㉤ ⑵ ㉡ ⑶ ㉢과 ㉣
⑴ y=ax¤ 의 그래프에서 a<0이면 위로 볼록하므로 ㉠, ㉢, ㉤이
⑵ y=ax¤ 의 그래프에서 a의 절댓값이 작을수록 그래프의 폭이
넓으므로 a의 절댓값이 가장 작은 것은 ㉡이다.
06 ⑤ 제3, 4 사분면을 지난다.
07 y=ax¤ 에 x=2, y=-2를 대입하면
-2=4a(cid:100)(cid:100)∴ a=-;2!;, 즉 y=-;2!;x¤
y=-;2!;x¤ 에 x=-4, y=b를 대입하면
b=-;2!;_(-4)¤ =-8
∴ ab=-;2!;_(-8)=4
01 ③
06 ⑤
11 ①
02 ②
07 4
03 2
08 2
12 ㉠, ㉣, ㉢, ㉡
04 ③
09 -1
13 ④
p. 137~138
05 풀이 참조
10 y=
x¤
;3!;
14 ;2!;
0이고 y=ax¤ 의 그래프가 y=
x¤ 의 그래프와 y=3x¤ 의 그
;2!;
래프 사이에 있으므로 ;2!;-2
5-1 (cid:9000) ⑴ 꼭짓점의 좌표：(2,, 1)
축의 방정식：x=2
(cid:9000) ⑵ 꼭짓점의 좌표：(-1,, -3)
축의 방정식：x=-1
-2
2
x
4
7-2 (cid:9000) ⑴ y=3(x+4)¤ ⑵ y=-2(x-3)¤ +5
⑴ 꼭짓점의 좌표가 (-4, 0)이므로 y=a(x+4)¤ 으로 놓고
⑵ 꼭짓점의 좌표가 (3, 5)이므로 y=a(x-3)¤ +5로 놓고
x=-2, y=12를 대입하면
12=4a(cid:0)
(cid:0) ∴ a=3
∴ y=3(x+4)¤
x=1, y=-3을 대입하면
-3=4a+5(cid:0)
(cid:0) ∴ a=-2
∴ y=-2(x-3)¤ +5
8-1 (cid:9000) ⑴ y=-;3@;(x-3)¤ ⑵ y=(x-2)¤ +1
⑴ 꼭짓점의 좌표가 (3, 0)이고 점 (0, -6)을 지나므로
⑴ y=a(x-3)¤ 으로 놓고 x=0, y=-6을 대입하면
(2)
⑵ 꼭짓점의 좌표가 (2, 1)이고 점 (0, 5)를 지나므로
y=a(x-2)¤ +1로 놓고 x=0, y=5를 대입하면
O-2
-2
2
4
6
x
⑴ -6=9a(cid:0)
(cid:0) ∴ a=-;3@;
⑴ ∴ y=-
(x-3)¤
;3@;
5=4a+1(cid:0)
(cid:0) ∴ a=1
∴ y=(x-2)¤ +1
2
y
O
-2
-4
-6
-8
(1)
y
8
6
4
2
(2)
(1)
⑴ y=-2(x-2)¤ +1의 그래프는 y=-2x¤ 의 그래프를 x축의
방향으로 2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
⑵ y=-2(x+1)¤ -3의 그래프는 y=-2x¤ 의 그래프를 x축의
방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것
이다.
5-2 (cid:9000) ⑴ 꼭짓점의 좌표：(3, 2)
축의 방정식：x=3
(cid:9000) ⑵ 꼭짓점의 좌표：(2, -3)
축의 방정식：x=2
⑴ y=(x-3)¤ +2의 그래프는 y=x¤ 의 그래프를 x축의 방향으
로 3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.
⑵ y=(x-2)¤ -3의 그래프는 y=x¤ 의 그래프를 x축의 방향으
로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다.
6-1 (cid:9000) ⑴ y=;2#;(x+2)¤ -1 ⑵ (-2,, -1)
(cid:9000) ⑶ x=-2
⑷ x>-2
6-2 (cid:9000) ⑴ y=-(x-2)¤ +1 ⑵ (2, 1)
(cid:9000) ⑶ x=2
⑷ x<2
7-1 (cid:9000) ⑴ y=-3x¤ +5 ⑵ y=;2!;(x+2)¤ -3
⑴ 꼭짓점의 좌표가 (0, 5)이므로 y=ax¤ +5로 놓고
⑵ 꼭짓점의 좌표가 (-2, -3)이므로 y=a(x+2)¤ -3으로 놓
x=1, y=2를 대입하면
2=a+5(cid:0)
(cid:0) ∴ a=-3
∴ y=-3x¤ +5
고 x=2, y=5를 대입하면
5=16a-3(cid:0)
(cid:0) ∴ a=;2!;
∴ y=
(x+2)¤ -3
;2!;
8-2 (cid:9000) ⑴ y=2x¤ -3 ⑵ y=-;2!;(x+3)¤ +4
⑴ 꼭짓점의 좌표가 (0, -3)이고 점 (1, -1)을 지나므로
y=ax¤ -3으로 놓고 x=1, y=-1을 대입하면
-1=a-3(cid:0)
(cid:0) ∴ a=2
∴ y=2x¤ -3
⑵ 꼭짓점의 좌표가 (-3, 4)이고 점 (-1, 2)를 지나므로
y=a(x+3)¤ +4로 놓고 x=-1, y=2를 대입하면
⑵ 2=4a+4(cid:0)
(cid:0) ∴ a=-;2!;
⑵ ∴ y=-
(x+3)¤ +4
;2!;
9-1 (cid:9000) a<0, p>0, q>0
위로 볼록하므로 a<0
꼭짓점 (p, q)가 제 1``사분면 위에 있으므로
`p>0, q>0
9-2 (cid:9000) a>0, p>0, q<0
아래로 볼록하므로 a>0
꼭짓점 (p, q)가 제 4`사분면 위에 있으므로
`p>0, q<0
6. 이차함수와 그 그래프
49
진도 교재
1 ⑴ (0, 0), x=0 ⑵ (0, 0), x=0 ⑶ (0, -1), x=0
⑷ (0, 5), x=0 ⑸ {;2!;, 0}, x=
;2!; ⑹ (-2, 0), x=-2
⑺ {;2!;, 1}, x=
;2!; ⑻ {-3, -;2!;}, x=-3 ⑼ {;3$;
, ;5&;}, x=
;3$;
p. 144
07 y=2(x-3)¤ 의 그래프는 오른쪽 그림과 같
으므로 제`1, 2사분면을 지난다. (⑤)
y
① y=2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 3만
① 큼 평행이동한 그래프이다.
② 꼭짓점의 좌표는 (3, 0)이다.
③ 축의방정식은 x=3이다.
O
3
x
④ x=2일 때, y=2_(2-3)¤ =2이므로 점 (2, 2)를 지난다.
08 y=(x+2)¤ 의 그래프는 오른쪽 그림과
같다.
미진：y=(x+2)¤ 에서 x=0일 때,
y=2¤ =4이므로 그래프가 y축과
만나는 점의 좌표는 (0, 4)이다.
y
4
-2
xO
09 y=3(x+2)¤ +4의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-2, 4)
다른 풀이
y=3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의
y=3x¤ 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, 0)
(0, 0)
x축의 방향으로 m만큼,
1111211112⁄
y축의 방향으로 n만큼 평행이동
(-2, 4)
이때 m=-2, n=4이므로
m+n=-2+4=2
방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=3(x-m)¤ +n
이때 이 식이y=3(x+2)¤ +4와 같으므로
-m=2, n=4(cid:0)
(cid:0) ∴ m=-2, n=4
∴ m+n=-2+4=2
p. 145~147
05 ⑤
10 -2
01 ③
06 ②
11 ③
02 ①
07 ④, ⑤
12 ④
03 4
08 미진
13 ②
04 2
09 2
14 ③
15 y=-
;2!;
(x+1)¤ +2
16 (0, -1) 17 1
18 6
19 a>0, p=0, q<0
20 a<0, p>0, q>0
01 꼭짓점의 좌표가 (-1, 0)이고 아래로 볼록한 것을 찾으면 ③이
다.
02 꼭짓점의 좌표가 (0, 1)이고 위로 볼록한 것을 찾으면 ①이다.
03 y=2x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 -4만큼 평행이동한 그래프
의 식은 y=2x¤ -4
이 그래프가 점 (2, k)를 지나므로
k=2_2¤ -4=4
04 y=;2!;x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 그래
만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=-(x+3)¤ +2
10 y=-x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 2
프의 식은 y=;2!;(x+2)¤
이 그래프가 점 (-4, k)를 지나므로
k=;2!;_(-4+2)¤ =2
이 그래프가 점 (-1, a)를 지나므로
a=-(-1+3)¤ +2=-4+2=-2
11 y=
;2!;
(x+3)¤ -1의 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
05 y=-x¤ -
;4!;의 그래프는 오른쪽 그림과 같
③ 제 1, 2, 3 사분면만 지난다.
-3
⑤ x>0일 때, x의 값이증가하면 y의 값은
다.
감소한다.
y
O
x
-
1
4
y
7
2
O
x
-1
06 ① y=3x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 그래
③ y=-2(x+4)¤ +7에 x=0을 대입하면
12 ① 위로볼록한 포물선이다.
② 꼭짓점의 좌표는 (-4, 7)이다.
y=-2(0+4)¤ +7=-25
즉 y축과 만나는 점의 좌표는 (0, -25)이다.
⑤ y=-2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -4만큼, y축의 방향
으로 7만큼 평행이동한 그래프이다.
프이다.
③ 꼭짓점의 좌표는 (0, -3)이다.
④ 축의방정식은 x=0이다.
⑤ y=x¤ -3의 그래프보다 폭이 좁다.
50
체크체크 수학 3-1
19 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
꼭짓점의 x좌표가 0이므로 p=0
꼭짓점의 y좌표가 원점 아래에 있으므로 q<0
20 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
꼭짓점 (-p, q)가 제2사분면 위에 있으므로
-p<0, q>0(cid:0)
(cid:0) ∴ p>0, q>0
13 y=
;2!;
(x+2)¤ -3의 그래프는 오른쪽
y
그림과 같이 아래로 볼록하고 축의 방
정식이 x=-2이다. 따라서 x<-2
일 때, x의 값이증가하면 y의 값은 감
소한다.
참고
-2
x
O
-1
-3
x=-2
이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프의 증가·감소
⑴ a>0인 경우
⑵ a<0인 경우
+
증가
감소
-
+
+
x=p
x
증가
+
+
+
-
감소
x=p
x
⇨ 꼭짓점의 x좌표가 기준이 된다.
14 y=-3(x-1)¤ +1의 그래프는 오른쪽
그림과 같이 위로 볼록하고 축의 방정식
이 x=1이다. 따라서 x<1일 때, x의 값
이 증가하면 y의 값도증가한다.
y
1
O
-2
1 ⑴ y=-;2!;(x+1)¤ +2
⑵ y=-;2!;(x-1)¤ -1
⑶ y=-;2!;(x+1)¤ -1
2 `4
1
x
x=1
⑵ y=-;3!;(x-2)¤
3 `⑴ y=;3!;(x+2)¤
4 ⑴ `y=-3(x-1)¤ +2 ⑵ y=3(x+1)¤ -2
15 꼭짓점의 좌표가 (-1, 2)이므로 y=a(x+1)¤ +2로 놓고
p. 148
x=1, y=0을 대입하면
0=4a+2(cid:0)
(cid:0) ∴ a=-;2!;
∴ y=-
(x+1)¤ +2
;2!;
x=1, y=-6을 대입하면
-6=9a+3 ∴ a=-1
∴ y=-(x+2)¤ +3
위의 식에 x=0을 대입하면 y=-1
16 꼭짓점의 좌표가 (-2, 3)이므로 y=a(x+2)¤ +3으로 놓고
따라서 포물선이 y축과 만나는 점의 좌표는 (0, -1)이다.
17 주어진 그래프에서 꼭짓점의 좌표가 (2, -2)이므로
y=a(x-p)¤ +q에서 p=2, q=-2
이때 y=a(x-2)¤ -2의 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로
2=4a-2 ∴ a=1
∴ a+p+q=1+2+(-2)=1
18 주어진 그래프에서 꼭짓점의 좌표가 (-2, 9)이므로
y=a(x-p)¤ +q에서 p=-2, q=9
이때 y=a(x+2)¤ +9의 그래프가 점 (0, 5)를 지나므로
5=4a+9(cid:0)
(cid:0) ∴ a=-1
∴ a+p+q=-1+(-2)+9=6
2 y=2(x+1)¤ -3의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방
향으로 -1만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=2(x+1-2)¤ -3-1, 즉 y=2(x-1)¤ -4
이 그래프가 점 (3, m)을 지나므로
m=2_(3-1)¤ -4=4
3 ⑴ -y=-
;3!;
(x+2)¤
(cid:0) ∴ y=
(x+2)¤
;3!;
⑵ y=-
(-x+2)¤
(cid:0) ∴ y=-
(x-2)¤
;3!;
;3!;
4 ⑴ -y=3(x-1)¤ -2(cid:0)
⑵ y=3(-x-1)¤ -2(cid:0)
(cid:0) ∴ y=-3(x-1)¤ +2
(cid:0) ∴ y=3(x+1)¤ -2
p. 149~150
04 ④
07 ⑤
11 2
01 a+-1이고 a+1
05 ②
02 ②
03 3
06 ⑴ (3, 1) ⑵ 아래 ⑶ 3, 1 ⑷ x>3
08 y=-;2!;(x-1)¤ +2
12 0
13 6
09 ④
14 9
10 ②
01 a¤ -1+0이므로 (a+1)(a-1)+0
∴ a+-1이고 a+1
6. 이차함수와 그 그래프
51
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
진도 교재
02 ㉠ y=24-x ㉡ y=80x ㉢ y=2x¤
㉣ y=3px¤
`㉤ y=6x
03 y=-3x¤ 의 그래프와 x축에 대칭인 그래프를 나타내는 이차함
수의 식은 y=3x¤
이 그래프가 점 (1, k)를 지나므로
k=3_1¤ =3
0+m=-3에서 m=-3
-1+n=-4에서 n=-3
∴ m-n=-3-(-3)=0
12 y=2x¤ -1의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, -1)
y=2(x+3)¤ -4의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-3, -4)
(0, -1)
x축의 방향으로 m만큼,
1111211112⁄
y축의 방향으로 n만큼 평행이동
(-3, -4)
다른 풀이
y=2x¤ -1의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축
의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=2(x-m)¤ -1+n
이때 이 식이y=2(x+3)¤ -4와 같으므로
-m=3, -1+n=-4 ∴ m=-3, n=-3
∴ m-n=0
13 A(2, 6), C(2, 0)이므로 AC”=6, OC”=2
∴ △ABC=;2!;_AC”_OC”=;2!;_6_2=6
14 A(1, 3), B(4, 3)
두 이차함수는 x¤ 의 계수가
같으므로 그래프의 모양과
y
3
A
폭이 같다.
따라서 오른쪽 그림에서 ㉠
과 ㉡의 넓이가 같으므로 구
하는 넓이는 (cid:8772)ACDB의 넓이와 같다.
∴ (cid:8772)ACDB=AC”_AB”=3_3=9
B
D
4
㉠
㉡
C
1
O
x
p. 151~152
따라서 성일이가 도착하게 되는 곳은 ㈐`이다.
(cid:9000) ㈐
01 y=-3x(이차함수가 아니다. (cid:8859))
y=(x-4)¤ =x¤ -8x+16(이차함수이다. ⇨)
y=5x-3x¤ (이차함수이다. ⇨)
y= (이차함수가 아니다. (cid:8859))
2
x¤
y=
-;6!;
x¤ (이차함수이다. ⇨)
02 동희：풍선 A의 좌표는 (-8, 6)이므로
y=ax¤ 에 x=-8, y=6을 대입하면
6=64a ∴ a=
;3£2;
영옥：풍선 B의 좌표는 (6, 9)이므로
y=ax¤ 에 x=6, y=9를 대입하면
9=36a ∴ a=
;4!;
04 y=-
;5$;
x¤ 의 그래프는 원점을 지나고 위로 볼록하다.
또한 |-
;5$;|>|-
;3@;|이므로 y=-
;3@;
x¤ 의 그래프보다 폭이 좁다.
따라서 y=-
x¤ 의 그래프로 적당한 것은 ④이다.
;5$;
05 x¤ 의 계수의 절댓값이 큰 것부터 차례로 나열하면
㉡ -5 ㉠ ;3&; ㉢ 2 ㉣ -1 ㉤ -;2!;
06 ⑷ y=2(x-3)¤ +1의 그래프는 아래로 볼록하고 축의 방정식이
x=3이므로 x>3일 때, x의 값이중가하면 y의 값도 증가한
다.
07 ㉠ 아래로 볼록한 포물선이다.
㉡ 꼭짓점의 좌표는 (-2, -1)이다.
㉥ x>-2일 때, x의 값이증가하면 y의 값도증가한다.
08 y=;2!;x¤ 의 그래프를 x축에 대칭이동한 그래프의 식은
y=-;2!;x¤
y=-;2!;x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 2
만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=-;2!;(x-1)¤ +2
09 y=a(x-p)¤ +q의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (3, 0)이므로
p=3, q=0
이때 y=a(x-3)¤ 의 그래프가 점 (4, -2)를 지나므로
-2=a(4-3)¤ ∴ a=-2
∴ a+p+q=-2+3+0=1
10 축의 방정식이 x=1이고 그래프가 위로 볼록한 것을 찾으면 ②
이다.
11 y=-(x-2)¤ -1의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (2, -1)
(2, -1)
x축의 방향으로 -3만큼,
1111211112⁄
y축의 방향으로 4만큼 평행이동
(p, q)
2-3=p에서 p=-1, -1+4=q에서 q=3
(cid:100)(cid:100)∴ p+q=-1+3=2
52
체크체크 수학 3-1
④ y=x(x+3)=x¤ +3x
⑤ y=4x¤ -(3x+2x¤ )=2x¤ -3x
따라서 이차함수가 아닌 것은 ①`이다.
02 위로 볼록한 그래프는 ①, ②, ⑤이고 이 중 x¤ 의 계수의 절댓값이
가장 큰 것은②이다.
성욱：풍선 C의 좌표는 (-4, -4)이므로
y=ax¤ 에 x=-4, y=-4를 대입하면
-4=16a ∴ a=
-;4!;
미진：풍선 D의 좌표는 (2, -8)이므로
y=ax¤ 에 x=2, y=-8을 대입하면
-8=4a ∴ a=-2
치면 다음과 같다.
소희：x=-3을 축으로 하는 포물선이다.
승희：y=
(x+3)¤ -2에 x=0을 대입하면
;4!;
;4!;
y=
_9-2
=;4!;
즉 y축과 만나는 점의 좌표는 {0, ;4!;}이다.
(cid:9000) 동희：
영옥：
, 성욱：
, 미진：-2
;3£2;,
;4!;
-;4!;
03 f(1)=3_1¤ -1+a=2이므로 a+2=2
03 잘못 말한 학생은 소희, 승희이다. 따라서 틀린 부분을 바르게 고
∴ a=0
04 ① 위로볼록한 포물선이다.
③ y축에 대칭이다.
④ y=-x¤ 의 그래프보다 폭이 좁다.
(cid:9000) 풀이 참조
05 ;2!;
5일 때, x의 값이증가하면 y의 값은감소한다.
따라서 (cid:8641) 안에알맞은 것은 x<5이다.
(cid:9000) ⑴ y=-2(x-5)¤ +3 ⑵ (5, 3) ⑶ x<5
프의 식은 y=ax¤ +5+q
즉 y=ax¤ +5+q가 y=-2x¤ -3과 같으므로
a=-2, 5+q=-3(cid:100)(cid:100)∴ q=-8
∴ a-q=-2-(-8)=6
07 주어진 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 각각 구하면 다음
과 같다.
① (-1, 0) ② (-2, -3) ③ (4, -2)
④ (1, 4) ⑤ (-3, 5)
따라서 꼭짓점이 제2 사분면 위에 있는 것은 ⑤이다.
08 y=-2(x-3)¤ +2의 그래프는 위로 볼록하고 축의 방정식이
x=3이므로 x>3일 때, x의 값이증가하면 y의 값은감소한다.
01 ①
06 6
11 ⑤
14 12
02 ②
07 ⑤
12 2
15 a<0, p<0, q>0
05 ④
03 ③
08 ①
10 ②, ⑤
13 ⑴ ㉠, ㉣, ㉥ ⑵ ㉣ ⑶ ㉤ ⑷ ㉡`과㉥
04 ②, ⑤
09 ④
01 ① y=60x
② y=(x+1)(x+3)=x¤ +4x+3
③ y=x(5-x)=-x¤ +5x
p. 153~154
09 x¤ 의 계수가 같아야 평행이동하여 포갤 수 있다.
④ y=2(1-x)¤ +1=2x¤ -4x+3
⑤ y=2(5-x)(2+x)=-2x¤ +6x+20
10 ① y=-2x¤``의 그래프를 x축의 방향으로
-1만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행
이동한 그래프이다.
③ 그래프는 제 3, 4 사분면을 지난다.
④ 축의방정식은 x=-1이다.
따라서 옳은 것은 ②, ⑤이다.
y
-1
O
x
-5
6. 이차함수와 그 그래프
53
11 y=3(x-1)¤ -2의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의
14 y=-x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3
진도 교재
방향으로 3만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=3(x-1+2)¤ -2+3, 즉 y=3(x+1)¤ +1
y=3(x+1)¤ +1에 x=1, y=a를 대입하면
a=3_2¤ +1=13
12 꼭짓점의 좌표가 (1, 2)이므로
p=1, q=2
즉 y=a(x-1)¤ +2의 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로
1=a+2 ∴ a=-1
∴ a+p+q=-1+1+2=2
y=-(x+2)¤ +3의 그래프가 두 점 (1, a), (b, 3)을 지나므로
만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-(x+2)¤ +3
a=-(1+2)¤ +3에서 a=-6
3=-(b+2)¤ +3에서 b=-2
∴ ab=-6_(-2)=12
채점 기준
평행이동한 그래프의 식 구하기
a, b의 값 구하기
ab의 값 구하기
`2점
`2점
`1점
배점
2점
각 1점
1점
`2점
`1점
`4점
배점
2점
1점
각 2점
13 ⑴ x¤ 의 계수가 양수인 것을 찾으면 ㉠, ㉣, ㉥`이다.
⑵ x¤ 의 계수의 절댓값이 가장 작은 것을 찾으면 ㉣`이다.
⑶ 위로볼록한 그래프는 ㉡, ㉢, ㉤`이고
㉡, ㉢, ㉤ 중 x¤ 의 계수의 절댓값이 가장 큰 것을찾으면 ㉤`이
다.
⑷ x축에 서로 대칭인 그래프는 ㉡`과 ㉥`이다.
채점 기준
a의 부호 정하기
꼭짓점의 좌표 구하기
p, q의 부호 정하기
15 위로 볼록하므로 a<0
꼭짓점 (-p, q)가 제1 사분면 위에 있으므로
-p>0, q>0 ∴ p<0, q>0
54
체크체크 수학 3-1
7
이차함수의 활용
⑵ y=2x¤ -20x
⑵ y=2(x¤ -10x+25-25)
=2(x-5)¤ -50
⑶ y=-;3!;x¤ -2x+1
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프
⑶ y=-;3!;(x¤ +6x+9-9)+1
p. 100~101
p. 161~163
⑶ y=-;3!;(x+3)¤ +4
⑷ y=3x¤ -8x+3
따라서 이차함수 y=-x¤ +6x-5의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(
3
,
4
)이다.
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
1-1 (cid:9000) 풀이 참조
y=
x¤ -4x+10
y=
(x¤ -
8x
)+10
y=
(x¤ -
8x
+
16
-
16
)+10
y=
(x¤ -
8x
+
16
8
)- +10
y=
(x- )¤ +
4
2
1-2 (cid:9000) 풀이 참조
y=-x¤ +6x-5
y=-(x¤ -
6x
)-5
y=-(x¤ -
6x
+ - )-5
9
9
y=-(x¤ -
6x
+ )+ -5
9
9
y=-(x-3)¤ +
4
㉣ 5
㉣ 0
㉣ 1
㉣ 3
2-1 (cid:9000) ⑴ ㉠ y=-3(x+2)¤ +17 ㉡ (-2, 17)
(cid:9000) ⑵ ㉠ y=2(x-5)¤ -50
㉡ (5, -50)
㉢ x=-2
㉢ x=5
(cid:9000) ⑶ ㉠ y=-;3!;(x+3)¤ +4 ㉡ (-3, 4)
(cid:9000) ⑶ ㉢ x=-3
(cid:9000) ⑷ ㉠ y=3{x-;3$;}2
`
(cid:9000) ⑶ ㉢ x=;3$;
(cid:9000) ⑸ ㉠ y=-2(x+5)¤ +15 ㉡ (-5, 15)
(cid:9000) ⑶ ㉢ x=-5
㉣ -35
(cid:9000) ⑹ ㉠ y=;2!;(x-3)¤ -2
㉡ (3, -2)
(cid:9000) ⑶ ㉢ x=3
㉣ ;2%;
⑴ y=-3x¤ -12x+5
=-3(x¤ +4x+4-4)+5
=-3(x+2)¤ +17
⑶ y=3 {x¤ -;3*;x+:¡9§:-:¡9§:}+3
⑶ y=3 {x-;3$;}2
⑸ y=-2x¤ -20x-35
-;3&;
=-2(x¤ +10x+25-25)-35
=-2(x+5)¤ +15
⑹ y=
x¤ -3x+
;2%;
⑹ y=
(x¤ -6x+9-9)+
;2%;
⑹ y=
(x-3)¤ -2
;2!;
;2!;
;2!;
3-1 (cid:9000) 그림 참조
y=x¤ +4x-5
=(x¤ +4x+4-4)-5
=(x+2)¤ -9
이때 꼭짓점의 좌표는 (-2, -9),
y절편은 -5이므로 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
3-2 (cid:9000) 그림 참조
y=-2x¤ -8x-1
=-2(x¤ +4x+4-4)-1
=-2(x+2)¤ +7
이때 꼭짓점의 좌표는 (-2, 7),
-4-6 -2
2
4
x
y
4
2
O
-2
-4
-6
-8
-10
y
8
6
4
2
O-2
-2
-4
4-1 (cid:9000) ⑴ y=2x¤ -4x+4 ⑵ y=-x¤ -2x+1
⑷ y=-x¤ +x+6
(cid:9000) ⑶ y=3x¤ -x
⑴ y=a(x-1)¤ +2에 x=2, y=4를 대입하면
⑴ 4=a+2 ∴ a=2
⑴ ∴ y=2(x-1)¤ +2=2x¤ -4x+4
⑵ y=a(x+1)¤ +q에 두 점 (-1, 2), (1, -2)의 좌표를 각
각 대입하면 2=q, -2=4a+q ∴ a=-1, q=2
⑴ ∴ y=-(x+1)¤ +2=-x¤ -2x+1
7. 이차함수의 활용
55
-;3&;
㉡ {;3$;, -;3&;}
그림과 같다.
y절편은 -1이므로 그래프는 오른쪽
-4-6
2
4
x
2
진도 교재
⑶ 점 (0, 0)을 지나므로 y=ax¤ +bx yy`㉠
⑴ ㉠에 두 점 (1, 2), (-1, 4)의 좌표를 각각 대입하면
⑴ 2=a+b, 4=a-b(cid:100)(cid:100)∴ a=3, b=-1
⑴ ∴ y=3x¤ -x
⑷ y=a(x-3)(x+2)에 x=0, y=6을 대입하면
⑴ 6=-6a(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
⑴ ∴ y=-(x-3)(x+2)=-x¤ +x+6
4-2 (cid:9000) ⑴ y=-x¤ -4x-1 ⑵ y=-x¤ +4x+4
(cid:9000) ⑶ y=9x¤ +4x-5 ⑷ y=-x¤ +2x+3
⑴ y=a(x+2)¤ +3에 x=1, y=-6을 대입하면
⑴ -6=9a+3 ∴ a=-1
⑴ ∴ y=-(x+2)¤ +3=-x¤ -4x-1
⑵ y=a(x-2)¤ +q에 두 점 (1, 7), (0, 4)의 좌표를 각각 대
입하면
⑴ 7=a+q, 4=4a+q(cid:100)(cid:100)∴ a=-1, q=8
⑴ ∴ y=-(x-2)¤ +8=-x¤ +4x+4
⑶ 점 (0, -5)를 지나므로 y=ax¤ +bx-5 yy`㉠
⑶ ㉠`에 두 점 (-1, 0), (1, 8)의 좌표를 각각 대입하면
⑶ 0=a-b-5, 8=a+b-5(cid:100)(cid:100)∴ a=9, b=4
⑶ ∴ y=9x¤ +4x-5
⑷ y=a(x+1)(x-3)에 x=0, y=3을 대입하면
⑶ 3=-3a(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
⑶ ∴ y=-(x+1)(x-3)=-x¤ +2x+3
5-1 (cid:9000) ⑴ y=2x¤ +8x+5 ⑵ y=-2x¤ +2x+4
⑴ 꼭짓점의 좌표가 (-2, -3)이므로
⑴ y=a(x+2)¤ -3에 x=0, y=5를 대입하면
5=4a-3 (cid:100)(cid:100)∴ a=2
⑴ ∴ y=2(x+2)¤ -3=2x¤ +8x+5
⑵ x축과 두 점 (-1, 0), (2, 0)에서 만나므로
⑴ y=a(x+1)(x-2)에 x=0, y=4를 대입하면
⑴ 4=-2a(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
⑴ ∴ y=-2(x+1)(x-2)=-2x¤ +2x+4
5-2 (cid:9000) ⑴ y=2x¤ -4x+2 ⑵ y=-3x¤ -6x+2
⑴ 꼭짓점의 좌표가 (1, 0)이므로
⑴ y=a(x-1)¤ 에 x=0, y=2를 대입하면 a=2
(cid:100) ∴ y=2(x-1)¤ =2x¤ -4x+2
⑵ 꼭짓점의 좌표가 (-1, 5)이므로
⑴ y=a(x+1)¤ +5에 x=0, y=2를 대입하면
(cid:100) 2=a+5(cid:100)(cid:100)∴ a=-3
(cid:100) ∴ y=-3(x+1)¤ +5=-3x¤ -6x+2
6-1 (cid:9000) ⑴ 아래, > ⑵ 오른, 다른, < ⑶ 아래, <
56
체크체크 수학 3-1
7-1 (cid:9000) ⑴ a<0, b<0, c<0 ⑵ a>0, b<0, c=0
⑴ 위로볼록하므로 a<0
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 b<0
y절편이 음수이므로 c<0
⑵ 아래로 볼록하므로 a>0
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 b<0
y절편이 0이므로 c=0
⑴ 아래로 볼록하므로 a>0
⑴ 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 b>0
⑴ y절편이 양수이므로 c>0
⑵ 위로볼록하므로 a<0
⑴ 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 b>0
⑴ y절편이 음수이므로 c<0
7-2 (cid:9000) ⑴ a>0, b>0, c>0 ⑵ a<0, b>0, c<0
02 ⑴ - ㉡, ⑵ - ㉢, ⑶ - ㉠ 03 3
07 ②
06 ④
08 ①
12 6
11 10
01 ⑤
05 ③
10 ①
13 ⑴ (2, 6) ⑵ (4, 9) ⑶ m=2, n=3 14 ②
17 y=x¤ -2x-2
18 -3
16 ②
20 20
21 ④
22 ①
p. 164~166
04 2
09 5
15 ④
19 4
01 y=2x¤ +12x+14=2(x¤ +6x+9-9)+14=2(x+3)¤ -4
이므로 꼭짓점의 좌표는 (-3, -4), y절편은 14이다.
따라서 a=-3, b=-4, c=14이므로
a+b+c=(-3)+(-4)+14=7
02 ⑴ y=x¤ -4x+5=(x¤ -4x+4-4)+5=(x-2)¤ +1
이므로 꼭짓점의 좌표는 (2, 1)이다. ⇨ ㉡
⑵ y=
-;2!;
x¤ -2x+6=
(x¤ +4x+4-4)+6
-;2!;
⑵ y=
-;2!;
(x+2)¤ +8
⑵ 이므로 꼭짓점의 좌표는 (-2, 8)이다. ⇨ ㉢
⑶ y=2x¤ -4x+3=2(x¤ -2x+1-1)+3=2(x-1)¤ +1
이므로 꼭짓점의 좌표는 (1, 1)이다. ⇨ ㉠
03 y=-2x¤ +4x+a=-2(x¤ -2x+1-1)+a
=-2(x-1)¤ +a+2 ⇨ 꼭짓점의 좌표：(1, a+2)
y=x¤ -2bx+1=(x¤ -2bx+b¤ -b¤ )+1
=(x-b)¤ -b¤ +1 ⇨ 꼭짓점의 좌표：(b, -b¤ +1)
이때 두 그래프의 꼭짓점의 좌표가 일치하므로
1=b, a+2=-b¤ +1에서 a+2=0(cid:0)
(cid:0) ∴ a=-2
6-2 (cid:9000) ⑴ 위, < ⑵ 왼, 같은, < ⑶ 위, >
∴ b-a=1-(-2)=3
04 y=-3x¤ +6x+m=-3(x¤ -2x+1-1)+m
11 y=-x¤ +3x+4의 그래프에서 y절편은 4이므로 C(0, 4)
=-3(x-1)¤ +m+3 ⇨ 꼭짓점의 좌표：(1, m+3)
-x¤ +3x+4=0에서 x¤ -3x-4=0
이때 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (p, 4)이므로
p=1, m+3=4에서 m=1 ∴ p+m=2
05 y=-x¤ -10x-7=-(x¤ +10x+25-25)-7
(x+1)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=4
즉 A(-1, 0), B(4, 0)이므로
△ABC=;2!;_AB”_CO”=;2!;_5_4=10
y=-;3!;(x¤ +6x+9-9)+1
증가
감소
14 y=x¤ +2x+3=(x+1)¤ +2의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
x=-3
이 꼭짓점을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 -3만큼
평행이동하면 꼭짓점의 좌표는 (-1-1, 2-3), 즉 (-2, -1)
=-(x+5)¤ +18
이때 꼭짓점의 좌표는 (-5, 18)이므로
꼭짓점은 제 2`사분면 위에 있고, 위로
볼록하며, y절편이 -7이다. 따라서 그
래프의 모양은 오른쪽 그림과 같다.
06 y=
x¤ +2x=;2!;(x¤ +4x+4-4)
;2!;
;2!;
y=
(x+2)¤ -2
이때 꼭짓점의 좌표는 (-2, -2)이고
y절편이 0이므로 그래프는 오른쪽 그림
과 같다. 따라서그래프는 제4`사분면을
지나지 않는다.
07 y=-;3!;x¤ -2x+1
y=-;3!;(x+3)¤ +4
이므로 x>-3일 때, x의 값이 증가하
면 y의 값은감소한다.
08 y=
x¤ -6x-3
;2!;
;2!;
;2!;
y=
(x¤ -12x+36-36)-3
감소
증가
y=
(x-6)¤ -21
x=6
이므로 x>6일 때, x의 값이증가하면 y의 값도증가한다.
09 y=x¤ +2ax+5a-4=(x¤ +2ax+a¤ -a¤ )+5a-4
=(x+a)¤ -a¤ +5a-4
이때 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-a, -a¤ +5a-4)이므로 이
꼭짓점이 x축 위에있으려면 (꼭짓점의 y좌표)=0이어야 한다. 즉
-a¤ +5a-4=0, a¤ -5a+4=0
(a-1)(a-4)=0 ∴ a=1 또는 a=4
따라서 모든 a의 값의 합은 1+4=5
10 y=-3x¤ +6x-2a+5=-3(x¤ -2x+1-1)-2a+5
=-3(x-1)¤ -2a+8
y
O
x
12 y=-x¤ -2x+3의 그래프에서 y절편은 3이므로 A(0, 3)
-x¤ -2x+3=0에서 x¤ +2x-3=0
(x+3)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=1
즉 B(-3, 0), C(1, 0)이므로
△ABC=
_BC”_AO”=
_4_3=6
;2!;
;2!;
13 ⑴ y=-x¤ +4x+2=-(x-2)¤ +6(cid:100) (cid:100)
y
(cid:100) ∴ 꼭짓점의 좌표 : (2, 6)
-2
O
x
-2
⑵ y=-x¤ +8x-7=-(x-4)¤ +9(cid:100)(cid:100)
∴ 꼭짓점의 좌표 : (4, 9)
⑶ 꼭짓점이 (2, 6)에서 (4, 9)로 이동하였으므로 x축의 방향으
로 2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.
∴ m=2, n=3
(-1, 2)이다.
이 된다.
따라서 평행이동한 그래프의 식은
y=(x+2)¤ -1=x¤ +4x+3
15 y=-
x¤ -x+
;2%;
;2!;
;2!;
;2!;
y=-
(x¤ +2x+1-1)+
;2%;
y=-
(x+1)¤ +3
16 y=2x¤ +8x+5
y=2(x¤ +4x+4-4)+5
y=2(x+2)¤ -3
① 아래로 볼록한 포물선이다.
③ 축의방정식은 x=-2이다.
④ y=-
x¤ 의 그래프를 x축의 방
;2!;
(cid:0) 향으로 -1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.
-1`
O
x
y
3
5
2
y
5
-2
x
O
-3
7. 이차함수의 활용
57
이 그래프가 x축과 한 점에서 만나려면 꼭짓점의 y좌표가 0이어
④ y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 5)
야 하므로 -2a+8=0(cid:100)(cid:100)∴ a=4
이다.
진도 교재
⑤ y=2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로
이차함수의 최댓값과 최솟값
-3만큼 평행이동한 것이다.
⑴ x=0일 때, 최댓값 2
⑶ x=2일 때, 최솟값 0
⑸ x=2일 때, 최솟값 1
⑵ x=0일 때, 최솟값 2
⑷ x=-2일 때, 최댓값 0
⑹ x=-1일 때, 최댓값 3
■개념 적용하기 | p. 167 ■
17 주어진 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, -3)이므로 그래프의 식
은 y=a(x-1)¤ -3
이때 점 (0, -2)를 지나므로 -2=a(0-1)¤ -3
a-3=-2 ∴ a=1
∴ y=(x-1)¤ -3=x¤ -2x-2
18 y=ax¤ +bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (2, 1)이므로
y=a(x-2)¤ +1
이때 점 (4, 3)을 지나므로 3=a(4-2)¤ +1
p. 168~169
1-1 (cid:9000) ⑴ x=0일 때, 최댓값 0
⑵ x=0일 때, 최솟값 6
(cid:9000) ⑶ x=-5일 때, 최솟값 -2 ⑷ x=5일 때, 최댓값 0
(cid:9000) ⑸ x=1일 때, 최댓값 5
⑹ x=-1일 때, 최솟값 -:™3∞:
20 주어진 포물선이 세 점 (1, 0), (0, -4), (4, 0)을 지나므로
(cid:9000) ⑸ x=3일 때, 최솟값 -2
⑹ x=-2일 때, 최댓값 3
1-2 (cid:9000) ⑴ x=0일 때, 최댓값 5
(cid:9000) ⑶ x=2일 때, 최댓값 8
⑵ x=3일 때, 최댓값 4
⑷ x=-2일 때, 최솟값 0
4a=2 ∴ a=
;2!;
∴ y=
;2!;
(x-2)¤ +1=
x¤ -2x+3
;2!;
따라서 a=
, b=-2, c=3이므로
;2!;
abc=
_(-2)_3=-3
;2!;
19 y=ax¤ +bx+c에 세 점의 좌표를 각각 대입하면
(-2, 5) ⇨ 4a-2b+c=5
(0, 1) ⇨ c=1
(1, -4) ⇨ a+b+c=-4
㉠, ㉢에 c=1을 대입하면
4a-2b=4, a+b=-5
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
두 식을연립하여 풀면 a=-1, b=-4
∴ a-b+c=-1-(-4)+1=4
y=a(x-1)(x-4)에 x=0, y=-4를 대입하면
-4=a(0-1)(0-4)(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
∴ y=-(x-1)(x-4)
=-(x¤ -5x+4)
=-x¤ +5x-4
따라서 a=-1, b=5, c=-4이므로
abc=-1_5_(-4)=20
21 위로 볼록하므로 a<0
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 b>0
y절편이 음수이므로 c<0
22 아래로 볼록하므로 a>0
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 -b>0(cid:100)(cid:100)∴ b<0
y절편이 음수이므로 c<0
58
체크체크 수학 3-1
⑸ y=-2x¤ +4x+3
=-2(x¤ -2x+1-1)+3
=-2(x-1)¤ +5
⑹ 따라서 x=1일 때, 최댓값5
⑹ y=;3!;(x-4)(x+6)
⑹ y=;3!;(x¤ +2x-24)
⑹ y=;3!;(x¤ +2x+1-1-24)
⑹ y=;3!;(x+1)¤ -:™3∞:
⑹ 따라서 x=-1일 때, 최솟값-:™3∞:
⑶ y=-2x¤ +8x
=-2(x¤ -4x+4-4)
=-2(x-2)¤ +8
⑹ 따라서 x=2일 때, 최댓값8
⑸ y=2x¤ -12x+16
=2(x¤ -6x+9-9)+16
=2(x-3)¤ -2
⑹ 따라서 x=3일 때, 최솟값-2
⑹ y=-;3!;(x-1)(x+5)
⑹ y=-;3!;(x¤ +4x-5)
⑹ y=-;3!;(x¤ +4x+4-4-5)
⑹ y=-;3!;(x+2)¤ +3
⑹ 따라서 x=-2일 때, 최댓값3
2-1 (cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 5
⑴ y=-
x¤ -2x+k
;2!;
;2!;
;2!;
⑹ y=-
(x¤ +4x+4-4)+k
⑹ y=-
(x+2)¤ +2+k
⑴ 즉 2+k=8이므로 k=6
⑵ y=2x¤ -4x+k-1
=2(x¤ -2x+1-1)+k-1
=2(x-1)¤ +k-3
⑴ 즉 k-3=2이므로 k=5
2-2 (cid:9000) ⑴ 8 ⑵ 0
⑴ y=3x¤ -6x+k
=3(x¤ -2x+1-1)+k
=3(x-1)¤ +k-3
⑴ 즉 k-3=5이므로 k=8
⑵ y=-x¤ +4x+k-1
=-(x¤ -4x+4-4)+k-1
=-(x-2)¤ +k+3
⑴ 즉 k+3=3이므로 k=0
x¤ 의 계수가 1이고 x=-1일 때, 최솟값3을 가지므로
y=(x+1)¤ +3=x¤ +2x+4
따라서 a=2, b=4이므로
a+b=2+4=6
3-1 (cid:9000) 6
3-2 (cid:9000) 4
x¤ 의 계수가 -2이고 x=3일 때, 최댓값10을 가지므로
y=-2(x-3)¤ +10=-2x¤ +12x-8
따라서 a=12, b=-8이므로
a+b=12+(-8)=4
4-1 (cid:9000) 16-x, x(16-x), 16, 8, 64, 8, 64, 64, 8, 8
4-2 (cid:9000) ⑴ y=x(x-8) ⑵ -16 ⑶ 4, -4
⑴ 큰 수가 x이므로 작은 수는 x-8이다.
⑵ 따라서 두 수의 곱 y는 y=x(x-8)
⑵ y=x(x-8)
=x¤ -8x
=x¤ -8x+16-16
=(x-4)¤ -16
⑵ 이므로 두 수의곱의최솟값은 -16이다.
⑶ 곱이최소일 때, 두 수는 4, -4이다.
5-1 (cid:9000) 4초
y=-;2!;x¤ +4x
y=-;2!;(x¤ -8x+16-16)
y=-;2!;(x-4)¤ +8
5-2 (cid:9000) 80 m
y=-5x¤ +30x+35
=-5(x¤ -6x+9-9)+35
=-5(x-3)¤ +80
따라서 물체의 최고 높이는 80 m이다.
따라서축구공이 가장 높이 올라갈 때까지 걸리는 시간은 4초이다.
01 4, 1, 5, x=-1일 때, 최댓값 5
02 ㉠ x=-2, ㉡ 최솟값, ㉢ 1
p. 170~171
03 :¢4ª:
07 —1
10 5 m
14 ⑤
04 -4
05 y=
;2!;
x¤ -x-
;2!;
06 1
08 (-3, 3) 09 가로의 길이：9 cm, 세로의 길이：9 cm
13 ⑴ 200개 ⑵ 1000만 원
11 20
12 144 cm¤
01 y=-4x¤ -8x+1
=-4(x¤ +2x)+1
=-4(x¤ +2x+1-1)+1
=-4(x¤ +2x+1)+ +1
4
=-4(x+ )¤ +
1
5
따라서 x=-1일 때, 최댓값은5이다.
02 y=2x¤ +8x+9=2(x+2)¤ +1이므로
x=-2일 때, 최솟값은1이다.
∴ ㉠ x=-2, ㉡ 최솟값, ㉢ 1
03 y=-x¤ +ax+b의 그래프가 두 점 (0, 6), (6, 0)을 지나므로
6=0+0+b(cid:100)(cid:100)∴ b=6
0=-36+6a+6에서 6a=30(cid:100)(cid:100)∴ a=5
¤ +:¢4ª:
∴ y=-x¤ +5x+6=-{x-;2%;}
따라서 최댓값은 :¢4ª:이다.
04 y=x¤ +ax-3의 그래프가 점 (-3, 0)을 지나므로
0=9-3a-3(cid:100)(cid:100)∴ a=2
∴ y=x¤ +2x-3=(x+1)¤ -4
따라서 최솟값은 -4이다.
05 y=;2!;(x-1)¤ -1=;2!;x¤ -x-;2!;
7. 이차함수의 활용
59
06 y=a(x+2)¤ +4에 x=0, y=3을 대입하면
14 h=48t-16t¤ =-16(t¤ -3t)=-16 {t-
+36
;2#;}2
따라서 ;2#;초 후에 공이 지상에서 가장 높이 올라가고, 그때의 높
이는 36 m이다.
진도 교재
3=4a+4 ∴ a=-;4!;
즉 y=-;4!;(x+2)¤ +4=-;4!;x¤ -x+3이므로
b=-1, c=3(cid:100)(cid:100)
∴ 4a+b+c=-1+(-1)+3=1
07 y=-x¤ -4ax+1=-(x+2a)¤ +4a¤ +1
이때 최댓값이 5이므로 4a¤ +1=5
a¤ =1(cid:100)(cid:100)∴ a=—1
08 y=x¤ -2ax+a¤ -a=(x-a)¤ -a
이때 최솟값이 3이므로 -a=3(cid:100)(cid:100)∴ a=-3
즉 y=(x+3)¤ +3이므로 이 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌
표는 (-3, 3)이다.
09 가로의 길이를 x cm라 하면세로의 길이는 (18-x) cm이므로
직사각형의 넓이를 y cm¤ 라 하면
y=x(18-x)=-x¤ +18x=-(x-9)¤ +81
따라서 x=9일 때, 넓이가 최대가 되므로 구하는 가로의 길이는
9 cm, 세로의 길이는 9 cm이다.
10 철망의 양쪽을 x m씩 구부렸다고 하면 울타리의 가로의 길이는
(20-2x) m이므로 울타리 안의 넓이를 y m¤ 라 하면
y=x(20-2x)=-2x¤ +20x=-2(x-5)¤ +50
따라서 양쪽을 5 m씩 구부리면 넓이가 최대가 된다.
12 새로운 직사각형의 넓이를 y cm¤ 라 하면
y=(10+x)(14-x)
=-x¤ +4x+140
=-(x-2)¤ +144
따라서 x=2일 때, 직사각형의넓이의 최댓값은 144 cm¤ 이다.
13 ⑴ y=-;2¡0;x¤ +20x-1000
p. 172~173
1 ⑴ (3, 3k-16) ⑵ ;3%; ⑶ -11
3 ⑴ y=(x-3k)¤ -9k¤ +18k-1 ⑵ (3k, -9k¤ +18k-1)
2 ④
⑶ m=-9k¤ +18k-1 ⑷ 8
4 aæ
;4!;
1 ⑴ y=2x¤ -12x+3k+2
=2(x¤ -6x+9-9)+3k+2
=2(x-3)¤ +3k-16
따라서 꼭짓점의 좌표는 (3, 3k-16)이다.
⑵ 꼭짓점이 직선 y=-3x-2 위에 있으므로
3k-16=-3_3-2
3k=5 ∴ k=
;3%;
⑶ y=2(x-3)¤ +3k-16에 k=
;3%;를 대입하면
y=2(x-3)¤ +3_
-16
;3%;
y=2(x-3)¤ -11
2 ① 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
② 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 a와 b는 같은부호이다.
③ 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표가 양수이므로 c>0
④ x=1을 대입하면 y=a+b+c
그래프에서 x=1일 때 y의 값은음수이므로
⑤ x=-1을 대입하면 y=a-b+c
그래프에서 x=-1일 때 y의 값은양수이므로
a+b+c<0
a-b+c>0
11 색칠한부분의 넓이를 y cm¤ 라 하면색칠한 부분의 가로의 길이는
(cid:0) 따라서 이 이차함수의 최솟값은 -11이다.
(80-2x) cm이므로
y=x(80-2x)=-2x¤ +80x
=-2(x-20)¤ +800
따라서 x=20일 때, 색칠한부분의 넓이는 800 cm¤ 로 최대가 된다.
∴ b<0
⑴ y=-;2¡0;(x¤ -400x+40000-40000)-1000
3 ⑴ y=x¤ -6kx+18k-1
⑴ y=-;2¡0;(x-200)¤ +1000
⑴ 따라서 이익을 최대로 하려면 하루에 200개의 제품을 생산해
=(x¤ -6kx+9k¤ -9k¤ )+18k-1
=(x-3k)¤ -9k¤ +18k-1
⑵ 꼭짓점의 좌표는 (3k, -9k¤ +18k-1)이다.
⑶ 그래프가 아래로 볼록하므로 최솟값 m은
m=-9k¤ +18k-1
야 한다.
⑵ 최대이익금은 1000만 원이다.
60
체크체크 수학 3-1
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
⑷ m=-9k¤ +18k-1
=-9(k¤ -2k+1-1)-1
=-9(k-1)¤ +8
(cid:0) 따라서 k=1일 때, m의 최댓값은 8이다.
03 y=x¤ +2x+2m-1=(x+1)¤ +2m-2
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (`-1, 2m-2)이므로
2x+y=2에 x=-1, y=2m-2를 대입하면
-2+2m-2=2(cid:100)(cid:100)∴ m=3
4 y=ax¤ +bx+c는 x=2일 때, 최솟값-1을 가지므로
04 y=x¤ -4kx+4k¤ -3k-2=(x-2k)¤ -3k-2
y=a(x-2)¤ -1
이때 최솟값을 가지므로 아래로 볼록한 그래프이고, 그래프는 a
의 값에 따라 다음 그림과같이 3가지의 경우로 그려진다.
y
㉢ ㉡ ㉠
이므로 꼭짓점의 좌표는 (2k, -3k-2)
이때 꼭짓점이 제`3사분면 위에 있으므로
2k<0, -3k-2<0 ∴ -;3@;
0
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 b<0
y절편이 음수이므로 c<0
따라서 y=cx¤ +bx+a의 그래프는
위로 볼록하고(c<0), 축은 y축의 왼쪽에 있으며 (`b<0), y축과
의 교점은 x축보다 위쪽에 있다(a>0).
06 y=x¤ +2x+k-7
=(x+1)¤ +k-8
이때 그래프가 아래로 볼록하므로 x축
과 만나지 않으려면
k-8>0(cid:100)(cid:100)∴ k>8
y
k-8
O-1
x
A
4
O
3
3
B
1
1
C
2
p. 174~175
07 y=x¤ -2x-3=(x-1)¤ -4이므로
꼭짓점 C의 좌표는 (1, -4)
y=0일 때, x¤ -2x-3=0
(x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3, 즉 A(3, 0)
x=0일 때, y=-3이므로 B(0, -3)
∴ △ABC=3_4-{;2!;_3_3+;2!;_1_1+;2!;_2_4}=3
08 ① 아래로 볼록하므로 a>0
② 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 b<0 ∴ -b>0
③ x=2일 때 y=0이므로 4a+2b+c=0
④ x=-1일 때 y=0이므로 a-b+c=0
⑤ a>0, b<0, c<0이므로 abc>0
09 y=-x¤ -2x+k=-(x¤ +2x+1-1)+k
=-(x+1)¤ +k+1
에서 축이 직선 x=-1이고 AB”=6이므로
y
A(-4, 0), B(2, 0)
이때 y=-(x+1)¤ +k+1에
x=2, y=0을 대입하면
0=-9+k+1 ∴ k=8
-1
3
3
O
A
B x
7. 이차함수의 활용
61
진도 교재
10 y=a(x-2)¤ +8에 x=1, y=6을 대입하면
6=a+8(cid:0)
(cid:0) ∴ a=-2, 즉 y=-2(x-2)¤ +8
∴ f(0)=-2(0-2)¤ +8=0
11 ⑴ y=x¤ -6x-4p¤ +8p=(x¤ -6x+9-9)-4p¤ +8p
=(x-3)¤ -4p¤ +8p-9
(cid:100) ∴ m=-4p¤ +8p-9
⑵ m=-4p¤ +8p-9=-4(p¤ -2p+1-1)-9
=-4(p-1)¤ -5
따라서 p=1일 때, m의 최댓값은 -5이다.
12 x¤ 의 계수가 -1이고 x=2일 때, 최댓값k를 가지므로
y=-(x-2)¤ +k=-x¤ +4x-4+k
즉 2(a-3)=4, -5=-4+k이므로 a=5, k=-1
y
3
13 x=-1일 때, 최댓값3을 가지므로
y=a(x+1)¤ +3의 그래프는 오른쪽 그
림과 같다. 이때 이 함수의 그래프가 제`1`
사분면을 지나지 않으려면 ( y절편)…0이
어야 하므로 a(0+1)¤ +3…0
a+3…0(cid:0)
(cid:0) ∴ a…-3
14 점 B의 좌표를 (a, 0)으로 놓으면
A(-a, 0), C(a, -a¤ +4)이므로
AB”=a-(-a)=2a, BC”=-a¤ +4
∴ ((cid:8772)ABCD의 둘레의 길이)=2(AB”+BC”)
=2{2a+(-a¤ +4)}
=-2a¤ +4a+8
=-2(a-1)¤ +10
따라서 이차함수 y=-2x¤ +4x+3의 그래프의 꼭짓점의 좌
표는 (1, 5)이고 최댓값은 5이다.
⑵ 잘못된 부분을 바르게 고치면 다음과 같다.
y=3x¤ -6x+4
=3(x¤ -2x)+4
=3(x¤ -2x+1-1)+4
=3(x-1)¤ +1
따라서 이차함수 y=3x¤ -6x+4의 그래프의 꼭짓점의 좌표
는 (1, 1)이고 최솟값은 1이다.
(cid:9000) 풀이 참조
02 ⑴ 구하는 이차함수의 식은 y=a(x+1)(x-3)
y=a(x+1)(x-3)의 그래프가 점 (2, -6)을 지나므로
-6=a_3_(-1) ∴ a=2
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=2(x+1)(x-3)=2x¤ -4x-6
⑵ 지성：x¤ 의 계수가 양수이므로 아래로 볼록한 포물선이다.
현진：y=2x¤ -4x-6=2(x-1)¤ -8이므로 최솟값은 -8
이다.
즉 y축과 만나는 점의 좌표는 (0, -6)이다.
미정：꼭짓점의 좌표는 (1, -8)이다.
따라서 잘못 설명한 학생은 현진, 미정이다.
(cid:9000) ⑴ y=2x¤ -4x-6 ⑵ 현진, 미정
-1
O
x
성철：y=2x¤ -4x-6에 x=0을 대입하면 y=-6
따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이의 최댓값은 10이다.
15 AC”=x cm라 하면 `BC”=(12-x) cm이고
두 정사각형의 넓이의 합을 y `cm¤ 라 하면
y=x¤ +(12-x)¤ =2x¤ -24x+144
따라서 AC”=6 cm일 때, 두 정사각형의 넓이의 합은 72 cm¤ 로
=2(x-6)¤ +72
최소가 된다.
01 ②
02 ⑤
03 ③
04 -14
08 0
07 ①, ③
12 10 m
06 -4
11 ③
13 ⑴ 8 ⑵ (-2, -5) ⑶ x=-2일 때, 최솟값 -5
14 ⑴ A(-1, 0), B(3, 0) ⑵ P(1, 4) ⑶ 8
09 ⑤
p. 177~178
05 -;2#;
10 ④
15 3초, 23 m
01 y=-3x¤ +6x-1=-3(x-1)¤ +2
따라서 위로 볼록하고 꼭짓점의 좌표가 (1, 2), y절편이 -1인
그래프를 찾으면 ②이다.
02 y=ax¤ +bx+c의 그래프에서 a<0이면 위로 볼록하고 a의 절댓
값이 작을수록 폭이 넓으므로 이를 만족하는 것을 찾으면 ⑤이다.
p. 176
03 y=-2x¤ +4x+16=-2(x-1)¤ +18
① 축의방정식은 x=1이다.
② y절편이 16이므로 y축과 점 (0, 16)에서 만난다.
④ x=1일 때, 최댓값18을 갖는다.
⑤ 꼭짓점의 좌표는 (1, 18)이므로 제1사분면 위에 있다.
01 ⑴ 잘못된 부분을 바르게 고치면 다음과 같다.
y=-2x¤ +4x+3
=-2(x¤ -2x)+3
=-2(x¤ -2x+1-1)+3
=-2(x-1)¤ +5
62
체크체크 수학 3-1
04 y=2x¤ -4x+3=2(x-1)¤ +1
y=2x¤ -12x+3=2(x-3)¤ -15
10 y=x¤ +4x+2k+1=(x+2)¤ +2k-3
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-2, 2k-3)이므로
즉 꼭짓점이 (1, 1)에서 (3, -15)로 이동하였으므로
3x-y=12에 x=-2, y=2k-3을 대입하면
1=4a+3(cid:100)(cid:100)∴ a=-;2!;
11 y=-x¤ +2ax-4a=-(x-a)¤ +a¤ -4a이므로
p=3-1=2, q=-15-1=-16(cid:100)(cid:100)
∴ p+q=2+(-16)=-14
05 꼭짓점의 좌표가 (-2, 3)이므로
y=a(x+2)¤ +3이고 점 (0, 1)을 지나므로
즉 y=-;2!;(x+2)¤ +3=-;2!;x¤ -2x+1이므로
a=-;2!;, b=-2, c=1
∴ a+b+c=
+(-2)+1=-;2#;
-;2!;
06 점 (0, 1)을 지나므로 0+0+c=1 ∴ c=1
yy`㉠
점 (1, 4)를 지나므로 a+b+1=4 ∴ a+b=3
점 (4, 1)을 지나므로 16a+4b+1=1 ∴ 4a+b=0 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=4
∴ a-b+c=-1-4+1=-4
07 ① 아래로 볼록하므로 a>0
② 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 b>0
③ y절편이 양수이므로 c>0
④ a>0, b>0이므로 ab>0
⑤ x=-1일 때 y<0이므로 a-b+c<0
08 y=2x¤ -8x+k=2(x-2)¤ +k-8이므로 x=2일 때, 최솟값
k-8을 갖는다.
즉 p=2, k-8=-7이므로 k=1
∴ p-2k=2-2_1=0
09 ㈎, ㈏`에서 꼭짓점의 좌표가 (2, 5)이므로
y=a(x-2)¤ +5
한편 y=;2!;x¤ -x+;2%;=;2!;(x-1)¤ +2이므로 이 그래프의 꼭
짓점의 좌표는 (1, 2)이다.
y=a(x-2)¤ +5에 x=1, y=2를 대입하면
2=a(1-2)¤ +5 ∴ a=-3
∴ y=-3(x-2)¤ +5=-3x¤ +12x-7
-6-(2k-3)=12 ∴ k=-:¡2∞:
따라서 이 이차함수의 최솟값은
2k-3=2_{-:¡2∞:}-3=-18
M=a¤ -4a=(a-2)¤ -4
따라서 M의 최솟값은 -4이다.
12 철망의 양쪽을 x m씩 구부린다고 하면 닭장의 세로의 길이는
(40-2x) m이므로 닭장 안의 넓이를 y m¤ 라 하면
y=x(40-2x)=-2x¤ +40x=-2(x-10)¤ +200
따라서 양쪽 철망을 10 m씩 구부리면 넓이가 최대가 된다.
13 ⑴ y=2x¤ +kx+3에 x=-3, y=-3을 대입하면
⑴ -3=18-3k+3 ∴ k=8
⑵ y=2x¤ +8x+3=2(x+2)¤ -5이므로 이 함수의 그래프의
꼭짓점의 좌표는 (-2, -5)이다.
⑶ 주어진 이차함수는 x=-2일 때, 최솟값-5를 갖는다.
14 ⑴ y=-x¤ +2x+3에 y=0을 대입하면
⑵ -x¤ +2x+3=0, x¤ -2x-3=0
(x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3
⑵ ∴ A(-1, 0), B(3, 0)
⑵ y=-x¤ +2x+3=-(x-1)¤ +4이므로(cid:100)(cid:100)
P(1, 4)
⑶ △PAB=;2!;_4_4=8
15 y=-2x¤ +12x+5=-2(x¤ -6x+9-9)+5
=-2(x-3)¤ +23
따라서 3초 후에 공의 높이는 23 m로 최대가 된다.
2점
2점
채점 기준
y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타내기
가장 높이 올라갈 때까지 걸리는 시간 구하기
최대 높이 구하기
`2점
배점
2점
2점
2점
7. 이차함수의 활용
63
p. 184~185
진도 교재
대푯값
8
대푯값과 산포도
1-1 (cid:9000) 16점
(평균)=
11+17+19+15+18+16
6
(평균)=
=16(점)
:ª6§:
1-2 (cid:9000) 9
(평균)=
9+8+7+9+10+11+9
7
(평균)=
=9
:§7£:
2-1 (cid:9000) ⑴ 1, 1, 4, 5, 6, 7, 8 ⑵ 4, 5
2-2 (cid:9000) ⑴ 2, 4, 5, 7, 9, 15 ⑵ 3, 4, 6
3-1 (cid:9000) ⑴ 77점 ⑵ 78점
⑴ 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면
10, 71, 72, 74, 77, 78, 78, 83, 87
⑵ 78점이 2개이고 다른 자료는 모두 다르므로 최빈값은 78점이
다.
다.
3-2 (cid:9000) ⑴ 14.5권 ⑵ 없다.
⑴ 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면
6, 8, 10, 12, 14, 15, 22, 23, 28, 30
자료의 개수가 10개이므로 중앙값은 5번째와 6번째 자료의 값
의 평균이다.
∴
14+15
2
=
:™2ª:
=14.5(권)
⑵ 자료의 값이 모두 다르므로 최빈값은 없다.
중앙값은 자료의 개수가 홀수인 경우 한가운데 값을 사용하지
만 자료의 개수가 짝수인 경우 한가운데 놓이는 두 값의평균을
참고
사용한다.
64
체크체크 수학 3-1
p. 186~187
01 ⑴ 평균 : 23회, 중앙값 : 26회 ⑵ 중앙값
02 ⑴ 평균 : 28인치, 중앙값 : 28.5인치, 최빈값 : 29인치 ⑵ 29인치
03 평균：8.3점, 중앙값：8.5점, 최빈값：9점
04 평균：260 mm, 중앙값：260 mm, 최빈값：260 mm
05 평균：66점, 중앙값：65점, 최빈값：75점
06 평균：12.4점, 중앙값：10점, 최빈값：18점
07 7
11 4
09 ⑴ 5 ⑵ 10 10 ⑴ 80 ⑵ 68
13 70점
08 8
12 84
14 70점
01 ⑴ (평균)=
26+25+28+30+1+24+27
7
161
⑴ (평균)= =23(회)
7
자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면
1, 24, 25, 26, 27, 28, 30
이므로 중앙값은 4번째 자료의 값인 26회이다.
⑵ 극단적인 값인 1이 있으므로 중앙값을 대푯값으로 사용하는
것이 적당하다.
02 ⑴ (평균)=
29+31+27+26+29+25+29+28
8
224
⑴ (평균)= =28(인치)
8
자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면
25, 26, 27, 28, 29, 29, 29, 31이므로
(중앙값)=
=28.5(인치)
28+29
2
(최빈값)=29(인치)
03 (평균)=
6_1+7_4+8_5+9_8+10_2
20
(평균)=
=8.3(점)
166
20
중앙값은 10번째와 11번째 자료의 값의 평균이므로
8+9
2
=8.5(점)
최빈값은 학생 수가 가장 많은 9점이다.
04 (평균)=
250_1+255_2+260_3+265_2+270_1
9
(평균)=
=260 (mm)
2340
9
중앙값은 5번째 자료의 값인 260 mm이다.
최빈값은 학생 수가 가장 많은 260 mm이다.
자료의 개수가 9개이므로 중앙값은 5번째 자료의 값인 77점이
⑵ 최빈값인 29인치의 바지를 가장 많이 준비해야 한다.
05 (평균)=
45_5+55_7+65_5+75_8+85_3+95_2
30
10 ⑴
63+80+70+67+x+72
6
=72에서
(평균)=
=66(점)
1980
30
크기순으로 15번째, 16번째 자료의 값은 모두 60점 이상 70점 미
만인 계급에 속하므로 이 계급의 계급값인 65점이 중앙값이다.
또 도수가 가장 큰 계급은 70점 이상 80점 미만인 계급이므로 이
계급의 계급값인 75점이 최빈값이다.
x+352=432
∴ x=80
⑵ 중앙값이 69점이므로
63, 67, 70, 72, 80에서 67 ⑸ > ⑹ > ⑺ > ⑻ > ⑼ > ⑽ <
5
⑾ > ⑿ >
12 ⑴ -'2, -'0ß.5, 0, '0ß.3, 1 ⑵ -'2, -1, 0, Æ ;2!;, '3
13 ⑴ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ⑵ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ⑶ 5, 6, 7, 8 ⑷ 2, 3, 4
7 ⑴ (주어진식)=a+2+a-3=2a-1
⑵ (주어진식)=-(a-3)-(a+1)=-2a+2
⑶ (주어진식)=a+5+a-5=2a
⑷ (주어진식)=a+2+2-a=4
9 ⑴ 20-n=1, 4, 9, 16
⑵ ∴ n=19, 16, 11, 4 ⇨ 4개
⑵ 37-a=0, 1, 4, 9, 16, 25, 36
⑵ ∴ a=37, 36, 33, 28, 21, 12, 1 ⇨ 7개
⑶ 10+x>10이므로 10+x=16, 25, y
⑵ ∴ x=6, 15, y ⇨ 가장작은자연수는 6
⑷ 109+x>109이므로 109+x=121, 144, y
⑵ ∴ x=12, 35, y ⇨ 가장작은자연수는 12
10 ⑵ 12x=2¤ _3_x ∴x=3
⑶ 120x=2‹ _3_5_x ∴x=2_3_5=30
18
⑷ =
x
2_3¤
x
⑸ :ª[§:
108
x
⑹
=
2fi _3
x
=
2¤ _3‹
x
∴ x=2
∴ x=2_3=6
∴ x=3
⑺ :•3º:
x=
2› _ 5 _x
3
∴ x=3_5=15
13 ⑴ 각 변을 제곱하면 10, a-1<0
"(√1-a)¤ =1-a, "(√a-1)¤ =-(a-1)=-a+1
∴ (주어진 식)=(1-a)-(-a+1)=0
채점 기준
1-a, a-1의 부호 알기
주어진 식 간단히 하기
2점
4점
배점
2점
4점
1. 제곱근과 무리수
75
01 ③
07 ③
03 ①
02 ①
08 2개 09 -6x
04 ④
05 ④
06 15
02 ① 3 ② -3 ③ -3 ④ -3 ⑤ -3
∴ x=16, 13, 8, 1
따라서 구하는 합은
16+13+8+1=38
p. 10
06 0<17-x<17이므로 17-x=1, 4, 9, 16
개념 드릴
무리수와 실수
p. 12~14
1 ⑴ 무 ⑵ 유 ⑶ 유 ⑷ 무 ⑸ 유 ⑹ 무 ⑺ 유 ⑻ 유 ⑼ 무 ⑽ 유
⑾ 유 ⑿ 유 ⒀ 유 ⒁ 유 ⒂ 유
2 ⑴ × ⑵ × ⑶ (cid:8776) ⑷ × ⑸ (cid:8776)
3 ㉢, ㉧, ㉨
4 ⑴ P：'2, Q：-'2 ⑵ 3-'2 ⑶ P：2+'2, Q：3-'2
⑷ 점 C ⑸ -2+'2 ⑹ '5 ⑺ P：-1+'5, Q：-1-'5
5 ⑴ (cid:9066) 4, ;2&;, :¡4£: ⑵ (cid:9066) ;1∞2;, ;8#;, ;4!8&;
6 ⑴ × ⑵ × ⑶ (cid:8776) ⑷ (cid:8776) ⑸ (cid:8776) ⑹ (cid:8776)
7 ⑴ > ⑵ > ⑶ > ⑷ < ⑸ < ⑹ > ⑺ > ⑻ < ⑼ > ⑽ > ⑾ <
8 ⑴ a>c ⑵ b4-1, '∂10>3이므로
'∂10+1>4
07 a와 b의 대소를 비교하면 '6+2
'8+2, '6
<
'8
∴ ac
양변에서 2를 뺀다.
4, '6
>
2
양변에서 2를 뺀다.
∴ c0.6
07 a와 b의 대소를 비교하면 2
'6-3, 5
>
'6
a와 c의 대소를 비교하면 2
4-'3, -2 -'3
<
양변에 3을 더한다.
양변에서 4를 뺀다.
∴ a>b
∴ a0, 4-a<0이므로
(주어진 식)=a-4-(4-a)=2a-8
09 a<0이므로 "≈a¤ =-a, "(√-2a)¤ =-2a,
"1ç6a¤ ="(√4a)¤ =-4a
∴ (주어진식)=-a+(-2a)-(-4a)=a
채점 기준
"≈a¤ , "(√-2a)¤ , "1ç6a¤ 의 근호 벗기기
주어진 식 간단히 하기
3점
3점
배점
3점
3점
㉠ a
㉡ -3b
01 a>0이므로 "√(-a)¤ ="≈a¤ =
b<0이므로 "ç9b¤ ="√(3b)¤ =
㉢ >
a>0, b<0이므로 a-b
즉 "√(a-b)¤ =
이므로
"√(-a)¤ -"ç9b¤ +"√(a-b)¤ =
=
㉣ a-b
0
㉤ 2a+2b
㉠ a
-(
㉡ -3b
)+(
㉣ a-b
)
10 순환하지 않는 무한소수는 무리수이므로 'ƒ0.064 , '2-2, '∂0.4
의 3개이다.
11 ① 2와 '3의 평균은
2+'3
2
이므로 무리수이다.
③ 두 유리수 사이에는 무수히 많은 유리수가 존재하므로 1에 가
장 가까운 유리수를 찾을 수 없다.
12 0<3-'6<1, 4<1+'1å0<5
이므로 두 수 사이에 있는 정수는 1, 2, 3, 4이다.
13 ①, ② (cid:8772)ABCD=2_2=4, (cid:8772)EFGH=4-4_{;2!;_1_1}=2
02 a-b<0이므로 "√(a-b)¤ =-(a-b)=b-a
a-b<0에서 b-a>0이므로 "√(b-a)¤ =b-a
a-b<0, ab<0에서 a<0, b>0이므로
"≈a¤ =-a, "ç4b¤ ="√(2b)¤ =2b
∴ (주어진식)=(b-a)-2(b-a)-(-a)+2b
=2a+b
채점 기준
"√(a-b)¤ , "√(b-a)¤ , "ça¤ , "ç4b¤ 의 근호 벗기기
주어진 식 간단히 하기
(cid:0) ∴ (cid:8772)EFGH=;2!;(cid:8772)ABCD
03 (cid:8772)OPQR=
㉠ 4_4
-4_{;2!;_3_1}=10
⑤ FJ”=FE”='2이므로 점 J에 대응하는 수는 1-'2이다.
(cid:8772)OPQR는 정사각형이므로 OR”=OP”=
㉡ '1å0
14 ① '2>1
② 5='∂25이므로 5>'∂24(cid:100)(cid:100)∴ -5<-'∂24
③ '5-1-1='5-2>0(cid:100)(cid:100)∴ '5-1>1
④ 5-'3-(5-'2)=-'3+'2<0(cid:100)(cid:100)∴ 5-'3<5-'2
⑤ 4-'2-3=1-'2<0(cid:100)(cid:100)∴ 4-'2<3
OA”=OP”=
이므로
㉡ '1å0
=
㉡ '1å0
=
a=0+
㉡ '1å0
㉢ '1å0
OB”=OR”=
b=0-
㉡ '1å0
이므로
㉣ -'1å0
04 ⑴ (cid:8772)ABCD=3_3-4_{;2!;_2_1}=5
(cid:9000) a='1å0, b=-'1å0
15 5<'3å0<6이므로 부등식 20
∴ (주어진식)=-a-3b-a+b=-2a-2b
이다.
3-'5
3+'5
2점
2점
2점
"≈a¤ =-a, "9çb¤ =3b, "(√a-b)¤ =-(a-b)=-a+b
(cid:0) AQ”=AB”='5이므로 점 Q에 대응하는 수는
⑶ AP”=AD”='5이므로 점 P에 대응하는 수는
(cid:9000) ⑴ 5 ⑵ '5 ⑶ P：3-'5, Q：3+'5
1. 제곱근과 무리수
77
(cid:0)
(cid:0)
개념 드릴
2
근호를 포함한 식의 계산
제곱근의 곱셈과 나눗셈
p. 20~22
1 ⑴ '3å5 ⑵ -4 ⑶ 6 ⑷ '3 ⑸ -10'6
⑹ 6'1å0 ⑺ 8'6 ⑻ '5 ⑼ '1∂05 ⑽ 10
2 ⑴ '3 ⑵ 2 ⑶ '5 ⑷ '5 ⑸ 3 ⑹ '1å5 ⑺ -2'2 ⑻ 2'3 ⑼ 3 ⑽ 2
3 ⑴ '2å0 ⑵ '7å5 ⑶ -'9å0 ⑷ -'2å8 ⑸ Æ;4%; ⑹ -Æ;9&; ⑺ '2 ⑻ Ƭ;2§5;
4 ⑴ 2'2 ⑵ 3'2 ⑶ -4'2 ⑷ -5'2 ⑸ 4'6 ⑹ 10'1å0 ⑺ 3'6
'6
10
4 ⑻ 7'3 ⑼
'1å1
9
'1å0
10
'5
6
'3
4
'5
8
⑽
⑾
⑿
⒀
⒁
5 ⑴
'6
6
⑵
'1å5
5
⑶
'1å5
15
'6
⑷⑸
2
'1å4
14
4 ⑹
'1å5
3
⑺ -
3'3
2
⑻
'6
2
⑼ '1å0 ⑽
'6
9
6 ⑴ '2 ⑵ '5 ⑶ 3 ⑷ '2 ⑸ 2 ⑹ '1å0
4 ⑺ -6 ⑻ -
⑼ 8 ⑽ 12'3å5
9'5
10
7 ⑴ 26.46 ⑵ 83.67 ⑶ 264.6 ⑷ 0.8367 ⑸ 0.2646 ⑹ 0.08367
8 ⑴ 15.36 ⑵ 48.58 ⑶ 153.6 ⑷ 0.4858 ⑸ 0.1536 ⑹ 0.04858
6 ⑻ 2'6_(-3'3 )÷4'1å0=
=-
9
2'5
9'5
10
5
3
1
2'6_(-3'3 )
4'1å0
2
9'5
2'5'5
4
=8
=-
=-
16
'8å0_'1å2
'1å5
3 1
⑼ '8å0_'1å2÷'1å5=
⑽ '6_'1å5_2'1å4='2_'3_'3_'5_2_'2_'7
=2_'2_'2_'3_'3_'5_'7
=12'3å5
03 ②
04 ③
05 ④
p. 23
06
4'3
3
01 ③
07 1
02
'3
2
08 ⑤
01 ③ '2_'7='1å4
02 (주어진 식)=Æ…:¡8•:_;3%;_;1£5;=Æ;4#;=
'3
2
03 'ß50='ƒ2_5_5='2'5'5=ab¤
04 '∂108="√2¤ _3‹ ="√(2_3)¤ _3=6'3(cid:100)(cid:100)∴ a=6
4'2='ƒ16_2='3å2 ∴ b=32
∴ a+b=38
78
체크체크 수학 3-1
05 ① =
'3
'7
'2
③ =
'5
'∂21
7
'∂10
5
②
'2
= (cid:100)
3
⑤ = (cid:100)
'7
7
2
3'2
1
'7
06 (주어진 식)= _ _2'2= =
2
'3
1
'2
4
'3
4'3
3
=A'2(cid:100)(cid:100)∴ A=;6%;
07
=
=
5'2
6
5
3'2
'3
6
5
'ß18
1
2'3
∴ A+B=;6%;+;6!;=1
= =B'3(cid:100)(cid:100)∴ B=;6!;
채점 기준
A의 값 구하기
B의 값 구하기
A+B의 값 구하기
08 ⑤ 'ƒ50000=100'5=223.6
2점
2점
2점
배점
2점
2점
2점
p. 24
01 ⑤
06 -
10'3
3
02 2'2
03 ①
04 ③
05 ③
07 ;3@;
08 ㉠, ㉣
01 ⑤ '2'5'7='7å0
02 (주어진 식)=
2
_
'2å4
3'3
2
'3å0
_
'1å2
1
2
3'6
='8=2'2
'1å5
1
03 '1å0="(√'3)¤
√+('7)¤ ="√a¤ +b¤
(cid:0) ∴ a=2
04 '1å2=2'3(cid:0)
3'2='1å8(cid:0)
∴ 'aåb='ƒ2_18='3å6=6
(cid:0) ∴ b=18
05 ③ =
10
'2
10_'2
'2_
'2
=5'2
06
÷
'1å0
5
'2
'3
_(-2'5 )= _
_(-2'5)
'2
'3
5
'1å0
10
=- =-
'3
10'3
'3'3
=-
10'3
3
07
4
3'1å2
4
6'3
2
3'3
=
=
=
2'3
3'3'3
=
2'3
9
∴ a=
;9@;
2점
15
= =
'5
15'5
'5'5
=
15'5
5
=3'5
15'2
'1å0
∴ b=3
4 ⑸ (주어진식)=
='3-2'3=-'3
'∂12
2
-
6
'3
⑹ (주어진 식)=3'2-3'2+2=2
∴ ab=
_3=
;9@;
;3@;
채점 기준
a의 값 구하기
b의 값 구하기
ab의 값 구하기
08 ㉠ '∂0.6=Æ…;1§0º0;= =0.7746
㉣ 'ƒ6000=10'6å0=77.46
'6å0
10
2점
2점
배점
2점
2점
2점
7 ⑴ (주어진식))=
3'3
3
+10'3=11'3
⑵ (주어진식)=2'3+3'3=5'3
⑶ (주어진식)='2-10'2=-9'2
⑷ (주어진식)=6'2-2'2=4'2
⑸ (주어진식)=3'2-'2+5'2=7'2
제곱근의 덧셈과 뺄셈
p. 25~27
8 ⑸ (5'6-3'5 )-('5+2'6 )=5'6-3'5-'5-2'6
⑹ (주어진식)=
'3('6+'2 )
('6-'2 )('6+'2 )
'1å8-'6
'1å8+'6
4
4
-
-
=
'3('6-'2 )
('6+'2 )('6-'2 )
'6
2
=
⑺ (주어진식)=3+12-24+1=-8
⑻ (주어진식)=
+6'2_('2+1)
2'2-4'2
2
=-'2+12+6'2
=5'2+12
=3'6-4'5
='5å4-'8å0<0
(cid:0) ∴ 5'6-3'5<'5+2'6
⑹ (2'3+1)-(3'2+2)='1å2-'1å8-1<0
(cid:0) ∴ 2'3+1<3'2+2
9 ⑵ a=3, b='1å0-3
a
b+3
(cid:100) ∴
=
⑶ x=2, y='1å1-3
3
('1å0-3)+3
=
3
'1å0
=
3'1å0
10
01 ①
07 0
02 ④
08 2+'6
03 ⑤
04 ③
05 ②
06 ③
p. 28
01 (주어진 식)=3'3-'3+5'3=7'3(cid:100)(cid:100)∴ a=7
02 (주어진 식)=2'3-6+'3-2'3='3-6
03 (부피)=('6+'3 )_'6_2'2=12+12'2
2. 근호를 포함한 식의 계산
79
⑸ 5+2'6 ⑹ 9+4'5 ⑺ 3'2+4 ⑻ 17-12'2
∴ x+y=2+'1å1-3='1å1-1
1 ⑴ 2'3 ⑵ -8'3 ⑶ '7 ⑷ -2'5 ⑸ 5'6-3'1å0
2 ⑴ 7'3 ⑵ 3'2 ⑶
⑷ 8'2 ⑸ 8'2-7'3 ⑹
3'2
2
8'5
5
3 ⑴ 5'2-3'6 ⑵ 2'2å1-'3å5 ⑶ 12-6'1å0 ⑷ -3'2
⑸ 3'5-5 ⑹ 5'7+4 ⑺ 9 ⑻ -2'6+12
5'2-2'5
10
'6-3'2
6
4 ⑴ 2 ⑵ -6 ⑶
⑷
5 ⑴ 3+2'2 ⑵ 5-2'6 ⑶ 19-6'2 ⑷ 1
⑸ 7 ⑹ -11 ⑺ -1-2'2 ⑻ -1+'∂10
6 ⑴ '2-1 ⑵ 4+2'3 ⑶
4-'2
14
⑷ '6+2
`⑸ -'3 ⑹ 2
7 ⑴ 11'3 ⑵ 5'3 ⑶ -9'2 ⑷ 4'2
⑺ -8 ⑻ 5'2+12
8 ⑴ < ⑵ > ⑶ > ⑷ > ⑸ < ⑹ <
⑸ 7'2 ⑹
'6
2
9 ⑴ a=1, b='2-1 ⑵
⑶ '1å1-1 ⑷ x=3, y='3-1
3'1å0
10
2 ⑷ (주어진식)=6'2+3'2-'2=8'2
⑸ (주어진식)=3'2-4'3+5'2-3'3=8'2-7'3
⑹ (주어진식)=-4'5+6'5-
2'5
5
=
8'5
5
3 ⑸ (주어진식)=4'5-5+2'5-3'5=3'5-5
⑹ (주어진식)=4'7-2'7+4+3'7=5'7+4
⑺ (주어진식)=6-15+18=9
⑻ (주어진식)=4'6-6'6+12=-2'6+12
개념 드릴
04 ① '8-1
5, '8
<
② '1å0+'3
3+'3, '1å0
③ (8-'2å7)-(2'3-1)=8-3'3-2'3+1
6='3å6
>
3='9
=9-5'3='8å1-'7å5>0
(cid:0) ∴ 8-'2å7>2'3-1
④ 3+'5
⑤ '5+'3
'5+'8, '9=3
'5+'2, '3
>
'8
>
'2
05
'3-1
'3+1
-
'3+1
'3-1
=
('3-1)¤
2
-
('3+1)¤
2
=
(3-2'3+1)-(3+2'3+1)
2
=-2'3
06 x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy=(2'5 )¤ -2_3=20-6=14
07 x=2+'3에서 x-2='3의 양변을 제곱하면
x¤ -4x+4=3 ∴ x¤ -4x+1=0
08 2<'5<3이므로 a=2
2<'6<3이므로 b='6-2
∴ 2a+b=4+'6-2=2+'6
채점 기준
a의 값 구하기
b의 값 구하기
2a+b의 값 구하기
02 ⑤
01 ⑤
06 ⑴ 24 ⑵ 2'6
03 ②
07 ①
05 10
04 ⑤
08 -1+'2
01 (주어진 식)=4'2-3'3-5'2+4'3+6'2=5'2+'3
02 (좌변)=3'3-2'2-2'2+2'3=-4'2+5'3
따라서 a=-4, b=5이므로 ab=(-4)_5=-20
03 AC”=OB”='2이므로 P(1-'2 ), Q('2 )
∴ `PQ”='2-(1-'2 )=2'2-1
04 ① ('3+'2 )-(3'2-'3 )=2'3-2'2='1å2-'8>0
(cid:0) ∴ '3+'2>3'2-'3
② 2'2-3'3-('2+'3 )='2-4'3='2-'4å8<0
(cid:0) ∴ 2'2-3'3<'2+'3
③ '1å8-3-('8-4)=3'2-2'2+1='2+1>0
(cid:0) ∴ '1å8-3>'8-4
80
체크체크 수학 3-1
2점
2점
2점
배점
2점
2점
2점
p. 29
④ 4'3-3-(2'3-1)=2'3-2='1å2-'4>0
(cid:0) ∴ 4'3-3>2'3-1
⑤ '2å4-('6+1)=2'6-'6-1='6-1>0
(cid:0) ∴ '2å4>'6+1
05 (주어진 식)=
(1-'3 )(2-'3 )
(2+'3 )(2-'3 )
+
(1+'3 )(2+'3 )
(2-'3 )(2+'3 )
=(2-3'3+3)+(2+3'3+3)=10
06 ⑴ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=16+8=24
⑵ a>b이므로 a-b='2å4=2'6
07 x=
=
=
y=
=-2+'5
1
2+'5
1
2-'5
2-'5
(2+'5 )(2-'5 )
2+'5
(2-'5 )(2+'5 )
이때 x+y=(-2+'5 )+(-2-'5 )=-4,
xy=(-2+'5 )(-2-'5 )=-1
이므로 x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy=16+2=18
=-2-'5
08 1<'2<2이므로 1<3-'2<2
∴ a=1
b=(3-'2 )-1=2-'2
∴ a-b=1-(2-'2 )=-1+'2
채점 기준
a의 값 구하기
b의 값 구하기
a-b의 값 구하기
2점
2점
2점
배점
2점
2점
2점
01 '6
07 ⑤
13 ②
02 ④
03 ③
04 ⑤
05 ④
08 ②
14 ②
10 ①
09 ;6!;
15 4-'3 16 1
11 ③
12 4
p. 30~31
06
1-'6
2
01 (주어진 식)=æ≠:™2¶:_;6%;_;1•5;='6
02 2'∂48+2'8-3'∂27-'∂18=8'3+4'2-9'3-3'2
=-'3+'2
따라서 a=-1, b=1이므로 a+2b=1
03 '∂48-
-2'3=4'3- -2'3=
'3
4
7'3
4
3
4'3
04 ① 2'2+2(cid:100)② 2'3+6(cid:100)③
2'5
5
+1(cid:100)④
4'3
3
05 '1∂50=5'6=5'2'3=5ab
06 (주어진 식)=
('2-3'3 )'3
2'3'3
-
(2'2-2'3 )'3
'3'3
=
'6-9
6
-
2'6-6
3
'6
= -
6
2'6
- +2
3
;2#;
'6
=- +
2
=
;2!;
1-'6
2
07 ⑤ 100'2=141.4
08 ①
'∂7.45
10
=0.2729
(cid:0) 의 값을 구할 수 없다.
③ 10'ƒ7.45=27.29
④ 100'ƒ7.45=272.9
⑤ 1000'ƒ7.45=2729
② 'ƒ0.745=
이므로 'ƒ7.45=2.729임을 이용하여 제곱근
'∂74.5
10
09 (2+3'3 )(4a-'3 )=8a-2'3+12a'3-9
=(8a-9)-2(1-6a)'3
이것이 유리수가 되려면 1-6a=0이어야 한다.
∴ a=
;6!;
채점 기준
주어진 식을 m+n'3의 꼴로 정리하기
a의 값 구하기
3점
3점
배점
3점
3점
10
1
2'2-3
-
1
2'2+3
=
2'2+3
8-9
-
2'2-3
8-9
=-2'2-3+2'2-3=-6
따라서 a=-6, b=0이므로 a+b=-6
11 (cid:8772)ABCD=9-4_{;2!;_1_2}=5이므로
AB”=AD”='5(cid:0)
따라서 구하는 곱은 (-1+'5 )(-1-'5 )=1-5=-4
(cid:0) ∴ P(-1+'5 ), Q(-1-'5 )
12 x=1+'3에서 x-1='3이므로 양변을 제곱하면
(cid:0) ∴ x¤ -2x+2=4
x¤ -2x+1=3, x¤ -2x=2(cid:0)
13 x=
y=
'1å0-3
('1å0+3)('1å0-3)
'1å0+3
('1å0-3)('1å0+3)
='1å0-3,
='1å0+3이므로
x+y=('1å0-3)+('1å0+3)=2'1å0
xy=('1å0-3)('1å0+3)=1
∴ x¤ +xy+y¤ =(x+y)¤ -xy=(2'1å0)¤ -1=39
14 ① 5'3-3'5='∂75-'∂45>0(cid:100)(cid:100)∴ 5'3>3'5
② '∂10+1-4='∂10-3='∂10-'9>0(cid:100)(cid:100)∴ '∂10+1>4
③ 2'7-'3-('3+'7 )='7-2'3='7-'∂12<0
(cid:0) ∴ 2'7-'3<'3+'7
④ 5-'5-('5+1)=4-2'5='∂16-'∂20<0
(cid:0) ∴ 5-'5<'5+1
⑤ 3-'6-(3-2'2 )=-'6+2'2=-'6+'8>0
(cid:0) ∴ 3-'6>3-2'2
15 1<'3<2이므로 3<2+'3<4(cid:100)(cid:100)∴ a=3, b='3-1
∴ a-b=3-('3-1)=4-'3
16 ;a(;Æ ;bA;
9¤
=æ≠ _;bA;
a¤
=Æ;¬a*b!;
=Æ;8*
˚1!;
=1
p. 32
(cid:9000) 16
01 x¤ -xy+y¤ =(x-y)¤ +
㉠ xy
x-y=(1+'5 )-(1-'5 )=
xy=(1+'5 )(1-'5 )=1¤ -(
)¤ +(
∴ x¤ -xy+y¤ =(
㉡ 2'5
㉢ '5
㉣ -4
)
)¤ =
㉣ -4
㉡ 2'5
㉤ 16
=
02 ⑴ x+y=('7+2)+('7-2)=2'7
⑵ xy=('7+2)('7-2)=('7 )¤ -2¤ =7-4=3
⑶ + =
y
x
x
y
x¤ +y¤
xy
=
(x+y)¤ -2xy
xy
⑶ + =
(2'7 )¤ -2_3
3
=
:™3™:
(cid:9000) ⑴ 2'7 ⑵ 3 ⑶ :™3™:
03 ⑴
㉠ 1
<'3<2이므로 -2<-'3<
㉡ -1
㉢ 4
⑴ ∴ 3<5-'3<
⑴ 즉 a= 이므로 b=(5-'3 )-a=
㉥ 1+'3
⑵ a-b= -(
㉤ 2-'3
㉣ 3
㉣ 3
)=
㉤ 2-'3
(cid:9000) ⑴ a=3, b=2-'3 ⑵ 1+'3
04 ⑴
=
1
2+'5
2-'5
(2+'5 )(2-'5 )
⑵ 2<'5<3이므로 0<'5-2<1
⑶ ∴ a=0, b='5-2
=
2-'5
4-5
='5-2
(cid:9000) ⑴ '5-2 ⑵ a=0, b='5-2
2. 근호를 포함한 식의 계산
81
인수분해의 뜻과 공식
p. 33~36
∴ A+B=5 또는 45
개념 드릴
3
인수분해
1 ⑴ x ⑵ 2x, 3y
2 ⑴ x(a+b) ⑵ 2a(a+2b) ⑶ xy(x-y)
⑷ 3x(3a+b+2c) ⑸ 5b(-x+3b+10y)
3 ⑴ 2, 1, 1 ⑵ 2, 3, 3 ⑶ (a+4)¤ ⑷ (x-12)¤
⑸ (a+5b)¤ ⑹ (x-6y)¤
4 ⑴ 2, 5, 5 ⑵ 2, 4, 4 ⑶ (4b+3)¤ ⑷ (5m-2n)¤
⑸ 3(2y-1)¤ ⑹ 2(3n+2)¤
5 ⑴ (x+3)¤ ⑵ (x-2)¤ ⑶ (1+2x)¤ ⑷ (5x-y)¤
⑸ 2(x-4)¤ ⑹ a(x-6)¤ ⑺ {x+
;2#;}2 ⑻ {x-
;4%;}2
6 ⑴ 4 ⑵ 16 ⑶ 36 ⑷ 49
7 ⑴ —10x ⑵ —16x ⑶ —4x
⑷ —24x ⑸ —16xy ⑹ 49x¤
8 ⑴ 4, 4 ⑵ 2y, 3x, 2y
9 ⑴ (x+5)(x-5) ⑵ (a+10)(a-10)
⑶ (8+x)(8-x) ⑷ (7b+a)(7b-a)
⑸ (6x+5y)(6x-5y) ⑹ {x+
y}{x-
y}
;2!;
;2!;
10 ⑴ 2(x+4)(x-4)
`⑵ 3(2a+5)(2a-5)
⑶ 2(3a+7)(3a-7) ⑷ 25(a+2)(a-2)
11 ⑴ 2, 2x, 5, 5x, (x+2)(x+5)
⑵ 3, 3x, -5, -5x, (x+3)(x-5)
⑺ (x-1)(x-5) `⑻ (x-4)(x-6)
13 ⑴ (x+y)(x+3y)
⑵ (x+3y)(x-4y)
⑶ (x-2y)(x+3y) ⑷ (x-3y)(x-7y)
14 ⑴ x, -1, -2x, -5x, -7x, (x-1)(2x-5)
⑵ -9xy, 3x, 5y, 5xy, -4xy, (x-3y)(3x+5y)
⑶ 4, 2, 2x, -3, -3x, 4(x+2)(x-3)
⑷ -, -y, -3xy, 2y, 2xy, -(x-y)(3x+2y)
15 ⑴ (x+1)(2x+3)
⑵ (x+1)(2x-3)
⑶ (2x-1)(3x+2) ⑷ (2x-3)(3x+1)
⑸ (x-3)(3x-2)
⑹ (3x+1)(5x-2)
16 ⑴ (x-5y)(3x+2y) ⑵ (x+y)(2x-3y)
⑶ (x-2y)(3x-4y) ⑷ 3(a+2b)(3a-4b)
⑺ (3x+5y)¤ ⑻ (3+4x)¤
18 ⑴ 5(x+3y)(x-3y) ⑵ 2(x-3)(x-4)
⑶ 2(x+3y)¤ ⑷ {;2#;x+;5$;y}{;2#;x-;5$;y}
⑸ -(x-y)(2x+3y) ⑹ (2x+3y)(3x+5y)
82
체크체크 수학 3-1
12 ⑴ (x+1)(x+2) ⑵ (x+1)(x+4) ⑶ (x-1)(x+2)
⑷ (x-1)(x+3) ⑸ (x+5)(x-9) ⑹ (x+3)(x-6)
p. 37
3점
2점
배점
3점
2점
01 ①
07 ④
02 ④
08 ②
03 2x+5 04 ③
05 ⑤
06 ④
02 A={:¡2º:}
¤ =25, B=—2_2_5=—20
03 x¤ +5x+6=(x+2)(x+3)
따라서 두 일차식의 합은
(x+2)+(x+3)=2x+5
채점 기준
x¤ +5x+6을 인수분해하기
두 일차식의 합 구하기
04 x¤ -3x-18=(x+3)(x-6)
x¤ -7x+6=(x-1)(x-6)
05 A=B+2, 2B=-6이므로
A=-1, B=-3(cid:100)(cid:100)∴ A+B=-4
06 ① (x+2y)(2x-5y)
③ (2x+7)(2x-7)
② (2x-3y)¤
⑤ ab(a-b+1)
07 ① (x+3)(x+2)
③ (x+3)(2x-1)
⑤ 3(x+3)(x-2)
② (x+3)(x-1)
④ (4x+1)(x-3)
08 5x¤ -29x-6=(x-6)(5x+1)
이므로 축구장의 세로의 길이는 x-6이다.
따라서 축구장의 둘레의 길이는
2{(5x+1)+(x-6)}=12x-10
01 ①
07 ②
02 ④
08 ③
03 ①
04 ④
05 2
06 ⑤
p. 38
01 a-a‹ =a(1-a¤ )=a(1+a)(1-a)
에서 a, a+1, -a+1은 인수이다.
또 a(1+a)(1-a)=-a(a+1)(a-1)
이므로 -(a+1)도 인수이다.
(cid:8641)=—2_
a_
b=—
ab
;2!;
;4!;
;4!;
03 2x¤ +5x-18=(x-2)(2x+9)
이므로 두 일차식의 합은
(x-2)+(2x+9)=3x+7
17 ⑴ (x+3)(x-3) ⑵ (2x+5y)(2x-5y) ⑶ (a+7)¤
⑷ -(x-1)¤ ⑸ (x-y)(x-2y) ⑹ (a+2b)(a-10b)
02 ;4!;
a¤ +(cid:8641)+;1¡6;b¤ ={;2!;a}2 +(cid:8641)+{;4!;
b}2 이므로
4점
2점
배점
4점
2점
04 x¤ -2x-8=(x+2)(x-4)
2x¤ -5x-12=(x-4)(2x+3)
따라서 공통인수는 ④ x-4이다.
05 ax¤ -x-4=3x¤ +(3b-4)x-4b에서
a=3, -4=-4b이므로 b=1
∴ a-b=3-1=2
채점 기준
a, b의 값 각각 구하기
a-b의 값 구하기
06 ① (a-1)(a-4)
③ -(x+5)¤
② (x+2)(x-2)
④ (y+1)(y-6)
07 ㉠ (x+3)(x-4)
㉢ (x-1)(3x-2)
㉡ 4(x+2)(x-2)
㉣ (x-2)¤
따라서 인수가 아닌 것은 ② x-3이다.
08 왼쪽 도형에서 색칠한 부분의 넓이는
(2a)¤ -b¤ =(2a+b)(2a-b)
이므로 A=2a-b
인수분해의 활용
p. 39~41
1 ⑴ y(x+2y)(x+5y) ⑵ a(2a+b)(3a-2b) ⑶ x(a+2)(a+6)
⑷ 3a(a+2)(a-2) ⑸ 2a(x-2)(x+3) ⑹ ab(a-2)¤
2 ⑴ (x+y)(-3x+2y) ⑵ (a-3b)(3a+b)
⑶ (a+b)(x+y)(x-y) ⑷ (x+2)(x+4)
⑸ 2(a+b)(x-1) ⑹ (a-b)(x+y)(x-y)
3 ⑴ A¤ -3A-10, (A+2)(A-5), (a+1+2)(a+1-5),
⑵ A¤ -B¤ , (A+B)(A-B), (2x-3+x+3)(2x-3-x-3),
(a+3)(a-4)
3x(x-6)
4 ⑴ (x+2)¤ ⑵ (4a+3b)(2a-b)
⑶ (x+2y+2)(x+2y-6) ⑷ (x+y+5)(x+y-5)
5 ⑴ a-b, c, (a-b)(a+c) ⑵ (x+1)(x+y)
⑶ x-3, (x+y-3)(x-y-3) ⑷ (a+b-2)(a-b+2)
6 ⑴ (x+1)(y-1) ⑵ (x-y)(x+y-2)
⑶ (b-c)(a-c) ⑷ (x-3)(x+2)(x-2)
7 ⑴ (x+y+5)(x+y-5) `⑵ (a-b+1)(a-b-1)
⑶ (a+b+1)(a-b-1) ⑷ (z+3x-y)(z-3x+y)
8 ⑴ (x-3)(x-y-3)
⑵ (a-b)(a-b+2c)
⑶ (a-b+3)(a-b-2) ⑷ (2x+y+4)(2x+y-3)
9 ⑴ ma+mb=m(a+b), 1500
⑵ a¤ +2ab+b¤ =(a+b)¤ , 10000
⑶ a¤ -b¤ =(a+b)(a-b), 2800
⑷ a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤ , 100
10 ⑴ 10000 ⑵ 100 ⑶ 143 ⑷ 9800
11 ⑴ 3, 23, 3, 400
⑵ x+y, x-y, 2+'5, 2-'5, 2+'5, 2-'5, 8'5
12 ⑴ 8 ⑵ 3 ⑶ 6 ⑷ 4 ⑸ 8'3 ⑹ 12
2 ⑹ (a-b)x¤ +(b-a)y¤ =(a-b)x¤ -(a-b)y¤
=(a-b)(x¤ -y¤ )
=(a-b)(x+y)(x-y)
6 ⑷ x‹ -3x¤ -4x+12=x¤ (x-3)-4(x-3)
=(x-3)(x¤ -4)
=(x-3)(x+2)(x-2)
7 ⑷ z¤ -9x¤ +6xy-y¤ =z¤ -(3x-y)¤
=(z+3x-y)(z-3x+y)
8 ⑴ (주어진식)=(x-3)¤ -y(x-3)
=(x-3)(x-3-y)
=(x-3)(x-y-3)
⑵ (주어진식)=(a-b)¤ +2c(a-b)
⑵ (주어진식)=(a-b)(a-b+2c)
⑶ (주어진식)=(a-b)¤ +(a-b)-6
⑵ (주어진식)=(a-b+3)(a-b-2)
⑷ (주어진식)=(2x+y)¤ +(2x+y)-12
⑵ (주어진식)=(2x+y+4)(2x+y-3)
10 ⑴ (주어진식)=(105-5)¤ =10000
⑵ (주어진식)=(7.3+2.7)¤ =100
⑶ (주어진식)=(72+71)(72-71)=143
⑷ (주어진식)=(99+1)(99-1)=9800
12 ⑴ x¤ -4x+4=(x-2)¤ =(2-2'2-2)¤ =8
⑵ x¤ +2x+1=(x+1)¤ =(-1+'3+1)¤ =3
⑶ 2a¤ -8a+8=2(a¤ -4a+4)
=2(a-2)¤
=2(2-'3-2)¤
=6
⑷ a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤ =('2+1-'2+1)¤ =4
⑸ a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
=(1+2'3+1-2'3 )(1+2'3-1+2'3 )
=2_4'3
=8'3
1
2-'3
2+'3
(2-'3 )(2+'3 )
4x¤ -16x+16=4(x¤ -4x+4)
=2+'3이므로
=
⑹ x=
=4(x-2)¤
=4(2+'3-2)¤
=12
3. 인수분해
83
(cid:0)
개념 드릴
02 -5
01 ④
07 ⑴ a¤ -b¤ =(a+b)(a-b) ⑵ 9400
03 ④
04 ③
06 ⑤
05 ⑤
08 8'3
01 ②
07 ⑤
02 ③
08 -4'2
03 ③
04 ③, ④ 05 ③
06 ④
p. 42
p. 43
01 x-2=A로 놓으면
(주어진 식)=A¤ -A-6
=(A+2)(A-3)
=(x-2+2)(x-2-3)
=x(x-5)
02 2x-1=A, x+2=B로 놓으면
(주어진 식)=A¤ -B¤
=(A+B)(A-B)
=(2x-1+x+2)(2x-1-x-2)
=(3x+1)(x-3)
∴ a=1, b=-3 ∴ a+2b=-5
03 a+2b=A로 놓으면
(주어진 식)=A(A-1)-12
=A¤ -A-12
=(A-4)(A+3)
=(a+2b-4)(a+2b+3)
04 4a¤ +b¤ -1-4a¤ b¤ =4a¤ -4a¤ b¤ -(1-b¤ )
=4a¤ (1-b¤ )-(1-b¤ )
=(1-b¤ )(4a¤ -1)
=(1+b)(1-b)(2a+1)(2a-1)
05 a¤ -ab+a-b=a(a-b)+(a-b)
=(a-b)(a+1)
2a¤ b-2ab¤ =2ab(a-b)
06 a¤ -2a+1-b¤ =(a-1)¤ -b¤
=(a-1+b)(a-1-b)
=(a+b-1)(a-b-1)
07 ⑴ 이용되는 인수분해 공식은 a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
⑵ 97¤ -3¤ =(97+3)(97-3)=100_94=9400
08 x=
1
2-'3
1
2+'3
∴ x‹ y-xy‹
y=
=
=
2+'3
(2-'3 )(2+'3 )
2-'3
(2+'3 )(2-'3 )
=2+'3
=2-'3
=xy(x¤ -y¤ )
01 x+3=A로 놓으면
(주어진 식)=A¤ -A-2
=(A+1)(A-2)
=(x+3+1)(x+3-2)
=(x+4)(x+1)
따라서 a=4, b=1 또는 a=1 또는 b=4이므로 |a-b|=3
02 2x+3=A, x-4=B로 놓으면
(주어진 식)=A¤ -B¤
=(A+B)(A-B)
=(2x+3+x-4)(2x+3-x+4)
=(3x-1)(x+7)
03 a+2b=A로 놓으면
(주어진 식)=A(A-3)-4
=A¤ -3A-4
=(A+1)(A-4)
=(a+2b+1)(a+2b-4)
04 a‹ -a¤ b-ac¤ +bc¤ =a¤ (a-b)-c¤ (a-b)
=(a-b)(a¤ -c¤ )
=(a-b)(a+c)(a-c)
05 6x¤ -9xy-15y¤ =3(2x¤ -3xy-5y¤ )
=3(x+y)(2x-5y)
(3a+b)x¤ -3ay¤ -by¤ =(3a+b)x¤ -y¤ (3a+b)
=(3a+b)(x¤ -y¤ )
=(3a+b)(x+y)(x-y)
06 x¤ -y¤ +8y-16=x¤ -(y¤ -8y+16)
=x¤ -(y-4)¤
=(x+y-4)(x-y+4)
따라서 두 일차식의 합은
(x+y-4)+(x-y+4)=2x
07 3.2_6.5¤ -3.2_3.5¤ =3.2(6.5¤ -3.5¤ )
=3.2(6.5+3.5)(6.5-3.5)
=3.2_10_3=96
=xy(x+y)(x-y)
=(2+'3 )(2-'3 )(2+'3+2-'3 )(2+'3-2+'3 )
=1_4_2'3=8'3
08 x=
y=
1
'2+1
1
'2-1
=
=
'2-1
('2+1)('2-1)
'2+1
('2-1)('2+1)
='2-1
='2+1
2점
2점
84
체크체크 수학 3-1
∴ x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)
=('2-1+'2+1)('2-1-'2-1)
=-4'2
채점 기준
x의 분모를 유리화하기
y의 분모를 유리화하기
x¤ -y¤ 을 인수분해한 후 식의 값 구하기
3점
배점
2점
2점
3점
07 범필：(x-2)(x+3)=x¤ +x-6
⇨ 제대로 본 x¤ 의 계수는 1, 상수항은 -6
경민：(x+2)(x+3)=x¤ +5x+6
⇨ 제대로 본 x¤ 의 계수는 1, x의 계수는 5
따라서 처음 이차식은 x¤ +5x-6이므로
x¤ +5x-6=(x-1)(x+6)
08 x(a-b)+xy(b-a)=x(a-b)-xy(a-b)
=x(a-b)(1-y)
09 ② xy-xz-y+z=x(y-z)-(y-z)
=(x-1)(y-z)
p. 44~45
04 16
10 ③
05 6a-6b 06 ④
12 ②
11 ①
10 a¤ b+2ab-35b=b(a¤ +2a-35)
=b(a-5)(a+7)
01 ④
07 ③
13 -21
02 ①
08 ②
14 ②
03 -2x
09 ②
15 40
01 a={
-10
2
}2 =25
b=2_1_2=4 (∵ b>0)
∴ a-b=21
02 (cid:8641) 안에들어갈 수는 각각 다음과 같다.
① 36 ② 1 ③ 20 ④ 16 ⑤ 16
03 00이므로
(주어진 식)="√(x-2)¤ -"√(x+2)¤
(주어진 식)=-(x-2)-(x+2)
(주어진 식)=-2x
04 x¤ +Ax-6=(x+3)(x+(cid:8641))로 놓으면
3_(cid:8641)=-6에서 (cid:8641)=-2
(x+3)(x-2)=x¤ +x-6이므로 A=1
2x¤ +11x+B=(x+3)(2x+(cid:8641))로 놓으면
(cid:8641)+3_2=11에서 (cid:8641)=5
(x+3)(2x+5)=2x¤ +11x+15이므로 B=15
채점 기준
∴ A+B=1+15=16
05 2a¤ -5ab+2b¤ =(2a-b)(a-2b)이므로 꽃밭의 세로의 길이
는 a-2b이다.
∴ (둘레의길이)=2{(가로의 길이)+(세로의 길이)}
∴ (둘레의길이)=2(2a-b+a-2b)
∴ (둘레의길이)=6a-6b
06 x¤ +11x+k=(x+a)(x+b)=x¤ +(a+b)x+ab
∴ a+b=11, ab=k
이때 a, b는 자연수이므로 합이 11이 되는두 자연수는
1, 10 또는 2, 9 또는 3, 8 또는 4, 7또는 5, 6이다.
따라서 k=ab의 최댓값은 5_6=30이다.
따라서 <보기> 중 인수인 것은
b, a-5, a+7, a¤ +2a-35의 4개이다.
11 (주어진 식)=x(x+1)(x-1)(x+2)+1
=(x¤ +x)(x¤ +x-2)+1
x¤ +x=A로 치환
=A(A-2)+1
=A¤ -2A+1
=(A-1)¤
=(x¤ +x-1)¤
따라서 a=1, b=-1이므로 a+b=0
12 0.999¤ _10-0.001¤ _10
=10(0.999¤ -0.001¤ )
=10(0.999+0.001)(0.999-0.001)
=10_1_0.998=9.98
4점
2점
배점
4점
2점
13 1¤ -2¤ +3¤ -4¤ +5¤ -6¤
=-3-7-11=-21
=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+(5+6)(5-6)
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)를 이용하여 주어진 식 변형하기
주어진 식의 값 구하기
14 x=
y=
'2+1
'2-1
'2-1
'2+1
=
=
('2+1)¤
('2-1)('2+1)
('2-1)¤
('2+1)('2-1)
=3+2'2
=3-2'2
∴ x¤ -2xy+y¤ =(x-y)¤
15 x¤ -y¤ +5x-5y=(x+y)(x-y)+5(x-y)
=(3+2'2-3+2'2 )¤
=32
=(x-y)(x+y+5)
=5_(3+5)=40
3. 인수분해
85
개념 드릴
01 3x¤ +Ax-7=(x-1)(3x+(cid:8641))로 놓으면
-1_(cid:8641)=-7 ∴ (cid:8641)=
㉠ 7
이때 (x-1)(3x+7)=
㉡ 3x¤ +4x-7
이므로
A=
㉢ 4
02 x¤ -ax+18=(x-3)(x+b)이므로
-a=-3+b, 18=-3b
18=-3b에서 b=-6
-a=-3+b에서 -a=-3-6=-9
∴ a=9
∴ a+b=9+(-6)=3
채점 기준
b의 값 구하기
a의 값 구하기
a+b의 값 구하기
p. 46
(cid:9000) 4
2점
2점
1점
(cid:9000) 3
배점
2점
2점
1점
4
이차방정식의 풀이
이차방정식과 그 해
p. 47~48
1 ⑴ (cid:8776) ⑵ _ ⑶ _ ⑷ (cid:8776) ⑸ _ ⑹ (cid:8776) ⑺ _ ⑻ _ ⑼ (cid:8776)
2 등식의 우변에 있는 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하였을 때,
ax¤ +bx+c=0 (a, b, c는 상수, a+0)으로 나타내어지는 방정식
3 ⑴ a=3, b=-2, c=7 ⑵ a=8, b=-14, c=3
⑶ a=1, b=-1, c=-1 ⑷ a=1, b=-2, c=-3
⑸ a=3, b=-2, c=-8
4 ⑴ x=0 ⑵ x=-2 ⑶ x=2 ⑷ 해가 없다.
5 ⑴ x=0 ⑵ 해가 없다. ⑶ x=1 ⑷ x=1 ⑸ x=-1
6 ⑴ (cid:8776) ⑵ (cid:8776) ⑶ (cid:8776) ⑷ _ ⑸ _ ⑹ _ ⑺ (cid:8776) ⑻ (cid:8776) ⑼ (cid:8776) ⑽ (cid:8776)
⑾ _
03 지환：(x+2)(x+6)=
㉠ x¤ +8x+12
상수항은 바르게 보았으므로 상수항은
㉡ 12
민채：(x-10)(x+3)=
㉢ x¤ -7x-30
x의 계수는 바르게 보았으므로 x의 계수는
㉣ -7
따라서 처음에 주어진 이차식은
㉤ x¤ -7x+12
이므로
㉤ x¤ -7x+12
=
㉥ (x-3)(x-4)
03 60
04 ①
05 ④
06 ④
p. 49
01 ③, ④ 02 ⑤
08 2
07 -14
03 3x¤ -3x-6+2x¤ -7x=0
5x¤ -10x-6=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-10, b=-6
(cid:9000) (x-3)(x-4)
∴ ab=60
04 ⑴ 현주：(x+9)(x-1)=x¤ +8x-9
x의 계수는 바르게 보았으므로 A=8
⑵ 준희：(x-3)(x-5)=x¤ -8x+15
상수항은 바르게 보았으므로 B=15
⑶ 처음에 주어진 이차식은 x¤ +8x+15이므로
x¤ +8x+15=(x+3)(x+5)
(cid:9000) ⑴ 8 ⑵ 15 ⑶ (x+3)(x+5)
06 3(x+1)¤ =ax¤ -3x+5를 정리하면
(3-a)x¤ +9x-2=0
이차방정식이 되기 위해서는 3-a+0(cid:100)(cid:100)∴ a+3
07 x=-3을 2x¤ +mx-6=0에 대입하면
2_(-3)¤ +m_(-3)-6=0
18-3m-6=0, -3m=-12(cid:100)(cid:100)∴ m=4
x=-3을 x¤ -3x-n=0에 대입하면
(-3)¤ -3_(-3)-n=0
9+9-n=0(cid:100)(cid:100)∴ n=18
∴ m-n=4-18=-14
08 x=2를 x¤ -2ax+4=0에 대입하면
2¤ -4a+4=0
-4a=-8(cid:100)(cid:100)∴ a=2
x=2를 주어진 방정식에 대입하기
채점 기준
a의 값 구하기
3점
2점
배점
3점
2점
86
체크체크 수학 3-1
01 ⑤
06 ②
02 ③
03 ⑤
07 a=2, b=-4
04 x=-1 또는 x=2 05 ⑤
08 2
03 3x¤ -12x+12-x-5+x¤ =0, 4x¤ -13x+7=0
∴ a=-13, b=7(cid:100)(cid:100)∴ a+b=-6
05 x=-2를 x¤ -5x=a에 대입하면
(-2)¤ -5_(-2)=a, 4+10=a(cid:100)(cid:100)∴ a=14
p. 50
4 ⑵ 25={
}2 , 25= , m¤ =100 ∴ m=—10
m
2
m¤
4
⑶ 11-m={;2*;}2 , 11-m=16 ∴ m=-5
⑷ m-1={
⑸ x¤ -5x+12+x-m=0, 즉 x¤ -4x+12-m=0에서
;4(; ∴ m=
}2 , m-1=
:¡4£:
⑶ 12-m={
}2 , 12-m=4 ∴ m=8
-3
2
-4
2
06 a-2+0이어야 하므로 a+2
07 x=2를 x¤ +ax-8=0에 대입하면
2¤ +2a-8=0, 2a=4(cid:100)(cid:100)∴ a=2
x=2를 x¤ -4x-b=0에 대입하면
2¤ -4_2-b=0(cid:100)(cid:100)∴ b=-4
08 x=3을 x¤ -3ax+2a+5=0에 대입하면
3¤ -3a_3+2a+5=0
9-9a+2a+5=0, 14=7a(cid:100)(cid:100)∴ a=2
x=3을 주어진 방정식에 대입하기
채점 기준
a의 값 구하기
01 ①
07 ②
03 ⑤
02 ②
08 x=2 또는 x=10
04 ①
05 ②, ⑤ 06 12
p. 53
02 2x¤ +3x-2=0에서 (x+2)(2x-1)=0
∴ x=-2 또는 x=
;2!;
03 x=1을 대입하면 1+2a-a-3=0 ∴ a=2
a=2를 대입하면 x¤ +4x-5=0에서
(x+5)(x-1)=0 ∴ x=-5 또는 x=1
따라서 다른 한 근은-5이다.
3점
2점
배점
3점
2점
04 x¤ -5x+6=0에서 (x-2)(x-3)=0
∴ x=2 또는 x=3
x=3을 x¤ +ax-2a-3=0에 대입하면
3¤ +3a-2a-3=0 ∴ a=-6
05 ② {x-;3!;}2 =0(cid:100)(cid:100)∴ x=;3!; (중근)
⑤ (2x+1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=-;2!; (중근)
06 k=2_1_6=12 (∵ k>0)
07 x¤ +8x+15-m=0이 중근을 가지려면
15-m={;2*;}
¤ 이어야 하므로 15-m=16(cid:100)(cid:100)∴ m=-1
08 x¤ -12x+20=0에서 (x-2)(x-10)=0
∴ x=2 또는 x=10
인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이
p. 51~52
1 ⑴ x=2 또는 x=-4 ⑵ x=-3 또는 x=
;2#;
⑶ x=0 또는 x=3 ⑷ a=
-;3!; 또는 a=
2 ⑴ x=0 또는 x=4 ⑵ x=-4 또는 x=3
;3!;
⑶ x=
;2!; 또는 x=1 ⑷ x=-3 또는 x=
;2!;
⑸ x=-2 또는 x=2 ⑹ x=-
;4#; 또는 x=
⑺ x=-2 또는 x=5 ⑻ x=-7 또는 x=4
;4#;
⑼ x=-2 또는 x=10 ⑽ x=-1 또는 x=-
;2%;
⑾ x=-1 또는 x=
;3%; ⑿ x=-1 또는 x=
;5#;
⒀ x=5 또는 x=
;2!; ⒁ x=-
;2#; 또는 x=
;3@;
2 ⑺ x¤ -3x-4=6, x¤ -3x-10=0
⑶ (x+2)(x-5)=0 ∴ x=-2 또는 x=5
3 ⑴ (cid:8776) ⑵ (cid:8776) ⑶ _ ⑷ (cid:8776) ⑸ _ ⑹ (cid:8776) ⑺ (cid:8776) ⑻ (cid:8776) ⑼ _ ⑽ (cid:8776)
4 ⑴ 9 ⑵ —10 ⑶ -5 ⑷ :¡4£: ⑸ 8
채점 기준
주어진 이차방정식의 좌변을 인수분해하기
이차방정식의 해 구하기
3 ⑷ x¤ -4=2x-5, x¤ -2x+1=0 ∴ (x-1)¤ =0
01 ①
02 ①
03 -;5!;
04 ②
05 ③
06 7
⑺ x¤ -8x+16=0 ∴ (x-4)¤ =0
⑽ 2(x¤ -2x+1)=0 ∴ 2(x-1)¤ =0
07 ⑤
08 x=-
;3&; 또는 x=2
3점
3점
배점
3점
3점
p. 54
4. 이차방정식의 풀이
87
개념 드릴
02 x(x+3)=10에서 x¤ +3x-10=0
(x+5)(x-2)=0 ∴ x=-5 또는 x=2
03 x=1을 대입하면 a+4+a+6=0 ∴ a=-5
a=-5를 대입하면 -5x¤ +4x+1=0에서
5x¤ -4x-1=0, (5x+1)(x-1)=0
∴ x=-
;5!; 또는 x=1
따라서 다른 한 근은-
;5!;이다.
04 x¤ -3x-10=0에서 (x+2)(x-5)=0
∴ x=-2 또는 x=5
x=-2를 x¤ -ax+2a=0에 대입하면
(-2)¤ +2a+2a=0(cid:0)
(cid:0) ∴ a=-1
05 ① (x-2)¤ =0(cid:0)
(cid:0) ∴ x=2 (중근)
② x=-3 (중근)
③ (x+4)(x-4)=0(cid:0)
(cid:0) ∴ x=-4 또는 x=4
④ (x-3)¤ =0(cid:0)
(cid:0) ∴ x=3 (중근)
⑤ (x-4)¤ =0(cid:0)
(cid:0) ∴ x=4 (중근)
06 a=2_1_7=14 (∵ a>0)
x¤ +14x+49=0에서 (x+7)¤ =0 ∴ x=-7 (중근)
따라서 구하는 합은 14+(-7)=7
07 x¤ +6x+2m-1=0이 중근을 가지려면
2m-1={;2^;}2 이어야 하므로 2m-1=9 ∴ m=5
08 3x¤ +x-14=0에서 (3x+7)(x-2)=0
∴ x=-
;3&; 또는 x=2
채점 기준
주어진 이차방정식의 좌변을 인수분해하기
이차방정식의 해 구하기
제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이
p. 55~56
1 ⑴ `x=—'7 ⑵ `x=—'6 ⑶ `x=—3'2 ⑷ `x=—11
⑹ x=—2'3 ⑺ x=—
⑸ x=—
2'3
3
'3
2
2 ⑴ x=-4—'5 ⑵ x=6—'3 ⑶ x=3—2'2
⑷ x=-3 또는 x=5 ⑸ x=-2—'6 ⑹ x=3—2'2
⑺ x=5—3'2 ⑻ x=-7—2'2 ⑼ x=-1 또는 x=9
⑽ x=
-2—'5
3
3 ⑴ 차례로 4, 4, 2, 5, 2, 5, -2—'5
⑵ 차례로 ;1¡6;, ;1¡6;, ;4!;, ;1#6#;, ;4!;, ;1#6#;,
1—'3å3
4
4 ⑴ x=3—'2 ⑵ x=4—'1å3 ⑶ x=-2—'7 ⑷ x=2— '6å6
3
88
체크체크 수학 3-1
4 ⑴ x¤ -6x=-7, x¤ -6x+9=2, (x-3)¤ =2
⑴ ∴ x=3—'2
⑵ x¤ -8x=-3, x¤ -8x+16=13, (x-4)¤ =13
⑴ ∴ x=4—'1å3
⑶ x¤ +4x=3, x¤ +4x+4=7, (x+2)¤ =7
⑴ ∴ x=-2—'7
⑷ x¤ -4x=
, x¤ -4x+4=
+4, (x-2)¤ =
:¡3º:
:¡3º:
:™3™:
⑴ ∴ x=2—Ƭ:™3™:
=2— '6å6
3
01 ⑤
02 ③
03 ②
04 ①
05 ③
06 ⑤
p. 57
07 x=
3—'3
2
01 x=3—'6
∴ a+b=(3+'6 )+(3-'6 )=6
02 x=-2—'3(cid:100)(cid:100)∴ a=-2, b=3
∴ a+b=-2+3=1
03 4(x+3)¤ =5에서 (x+3)¤ =;4%;
'5
x+3=— (cid:100)(cid:100)∴ x=
2
-6—'5
2
04 x=-A—'ßB=-3—'1å5(cid:100)(cid:100)∴ A=3, B=15
3점
3점
배점
3점
3점
∴ A+B=18
05 ③ ㈐：-2
∴ p+q=14
07 -2x¤ +6x-3=0에서
06 x¤ -6x=2에서 (x-3)¤ =11(cid:100)(cid:100)∴ p=3, q=11
x¤ -3x+;2#;=0
x¤ -3x=-;2#;
-3
2
x¤ -3x+{
}2 =-;2#;+{
-3
2
}2
{x-;2#;}2 =;4#;
'3
x-;2#;=— (cid:100)(cid:100)∴ x=
2
3—'3
2
채점 기준
주어진 이차방정식의 좌변을 완전제곱식으로 만들기
제곱근을 이용하여 이차방정식의 해 구하기
3점
3점
배점
3점
3점
01 ③
02 ④
3 ④
04 3
06 ⑴ (x+1)¤ =2 ⑵ x=-1—'2 07 x=
05 ③
-b—"√b¤ -4ac
2a
01 x+a=—2'3(cid:100)(cid:100)∴ x=-a—2'3
따라서 x=-a—2'3=1—2'b에서 a=-1, b=3
∴ a+b=2
03 4(x-1)¤ =20에서 (x-1)¤ =5(cid:100)(cid:100)∴ x=1—'5
04 -3x¤ +6x+9=0에서 x¤ -2x-3=0
x¤ -2x=3, x¤ -2x+1=3+1
∴ (x-1)¤ =4(cid:100)(cid:100)
즉 a=-1, b=4이므로 a+b=3
06 ⑴ 3x¤ +6x-3=0에서 x¤ +2x-1=0
(cid:0) x¤ +2x=1, x¤ +2x+1=1+1(cid:100)(cid:100)∴ (x+1)¤ =2
⑵ x+1=—'2(cid:100)(cid:100)∴ x=-1—'2
07 ax¤ +bx+c=0에서
+{
;aC;
b
2a
}2
;aC;
b
2a
}2 =-
b¤ -4ac
4a¤
x¤ +
x+
=0
;aC;
x¤ +
x=-
;aB;
;aB;
x¤ +
x+{
;aB;
b
{x+ }2 =
2a
b
x+ =—æ≠
2a
∴ x=- —
b¤ -4ac
4a¤
"√b¤ -4ac
2a
-b—"√b¤ -4ac
2a
b
2a
=
채점 기준
주어진 이차방정식의 좌변을 완전제곱식으로 만들기
제곱근을 이용하여 이차방정식의 해 구하기
p. 58
02 ② x=-1을 대입하면
2_(-1)¤ +3_(-1)+1=2-3+1=0
03 x=2를 x¤ +ax-(a+1)=0에 대입하면
2¤ +2a-(a+1)=0 ∴ a=-3
즉 x¤ -3x+2=0에서 (x-1)(x-2)=0
∴ x=1 또는 x=2
따라서 다른 한 근은1이다.
04 x=3을 x¤ -4x+a=0에 대입하면
3¤ -12+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=3
즉 x¤ -4x+3=0에서 (x-1)(x-3)=0
∴ x=1 또는 x=3
따라서 다른 한 근은1이므로 b=1
∴ a+b=4
05 x=3을 x¤ +ax-6=0에 대입하면
3¤ +3a-6=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
즉 x¤ -x-6=0에서 (x+2)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-2 또는 x=3
따라서 다른 한 근은-2이다.
x=-2를 2x¤ +8x+b=0에 대입하면
2_(-2)¤ +8_(-2)+b=0(cid:100)(cid:100)∴ b=8
4점
∴ a+b=7
06 2x¤ +x-1=0에서 (x+1)(2x-1)=0
∴ x=-1 또는 x=;2!;
x=-1을 x¤ +mx+2(m-1)=0에 대입하면
1-m+2(m-1)=0, m-1=0(cid:100)(cid:100)∴ m=1
07 x=-1을 x¤ -x+a=0에 대입하면
1-(-1)+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
x=-1을 x¤ -bx+3=0에 대입하면
1-(-b)+3=0(cid:100)(cid:100)∴ b=-4
3점
배점
4점
3점
∴ a+b=-6
채점 기준
a의 값 구하기
b의 값 구하기
a+b의 값 구하기
3점
3점
1점
배점
3점
3점
1점
01 ①, ③ 02 ②
07 -6
08 ①
14 ⑤
13 ③
03 1
09 ①
15 -4
04 4
10 ⑤
05 ③
11 ①
p. 59~60
06 1
12 -11
01 ② 이차식
③ 6x¤ +7x-20=0`(이차방정식)
④ -6x+14=0`(일차방정식)
08 x¤ +x-2=0에서 (x+2)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-2 또는 x=1
2x¤ +3x-2=0에서 (x+2)(2x-1)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-2 또는 x=;2!;
∴ a=-2
4. 이차방정식의 풀이
89
(cid:0)
개념 드릴
09 x¤ +kx+9=-7에서 x¤ +kx+16=0 yy㉠
중근을 가지려면 ㉠의 좌변이 완전제곱식이 되어야 하므로
{;2K;}2 =16, k¤ =64(cid:100)(cid:100)∴ k=—8
따라서 구하는 합은 8+(-8)=0
10 x¤ +6x+11-k=0이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되
어야 하므로
{;2^;}2 =11-k, 9=11-k ∴ k=2
x¤ +6x+11-2=0에서 x¤ +6x+9=0
(x+3)¤ =0 ∴ x=-3 (중근), 즉 m=-3
∴ k-m=2-(-3)=5
11 2x¤ +4x-7=0에서 x¤ +2x-
=0
;2&;
x¤ +2x+1=
+1, (x+1)¤ =;2(;
;2&;
∴ a=1, b=;2(;
∴ a+b=1+;2(;=:¡2¡:
12 x¤ -6x=1+2x¤ 에서
2x¤ -x¤ +6x=-1, x¤ +6x=-1
x¤ +6x+9=-1+9, (x+3)¤ =8
∴ p=-3, q=8
∴ p-q=-3-8=-11
13 2(x-1)¤ =8에서 (x-1)¤ =4
x-1=—2(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=3
즉 a=3, b=-1 (∵ a>b)이므로 2a-b=7
14 (x+a)¤ =b에서 x+a=—'b
x=-a—'b=3—'5이므로
a=-3, b=5
∴ b-a=5-(-3)=8
15 (3x-5)¤ =3k에서 3x-5=—'∂3k
x=
5—'∂3k
3
=A—'3이므로
A=;3%;,
='3에서 k=9
'∂3k
3
∴ 3A-k=5-9=-4
채점 기준
제곱근을 이용하여 근 구하기
A, k의 값 구하기
3A-k의 값 구하기
90
체크체크 수학 3-1
01 ⑴ 중근을 가지려면 3m={
}2 이어야 하므로 m=
㉡ ;3$;
㉠ 4
2
⑵ m=
㉡ ;3$;
를 x¤ +4x+3m=0에 대입하면
⑵ x¤ +4x+ =0
㉢ 4
⑵ (
㉣ x+2
)¤ =0
⑵ ∴ x=
㉤ -2
(중근)
02 x¤ -6x+k-1=0이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되
(cid:9000) ⑴ ;3$; ⑵ x=-2
p. 61
2점
1점
2점
1점
배점
2점
1점
2점
1점
(cid:9000) x=-3 또는 x=5
k=10을 x¤ -2x-(k+5)=0에 대입하면
-6
어야 하므로 k-1={
2
k-1=9 ∴ k=10
}2
x¤ -2x-15=0
(x+3)(x-5)=0
∴ x=-3 또는 x=5
k의 값을 x¤ -2x-(k+5)=0에 대입하기
채점 기준
k의 값 구하기
좌변을 인수분해하기
이차방정식의 해 구하기
03 양변을
㉠ 2
로 나누면 x¤ +
x-
=0
;2!;
;2#;
상수항을 우변으로 이항하면 x¤ +
x=
;2#;
;2!;
양변에
㉡ ;1ª6;
를 더하면
x¤ +
x+
;2#;
㉡ ;1ª6;
=
+
㉡ ;1ª6;
;2!;
{x+;4#;}2 =
㉢ ;1!6&;
x+
=
;4#;
∴ x=
㉤
㉣ — '1å7
4
-3—'1å7
4
(cid:9000) x=
-3—'1å7
4
3점
2점
2점
배점
3점
2점
2점
04 ⑴ ;2!;x¤ -3x-6=0에서 x¤ -6x-12=0
⑶ x¤ -6x=12, x¤ -6x+9=12+9
⑶ (x-3)¤ =21 ∴ a=-3, b=21
⑵ (x-3)¤ =21에서 x-3=—'2å1
⑶ ∴ x=3—'2å1
(cid:9000) ⑴ a=-3, b=21 ⑵ x=3—'2å1
이차방정식의 근의 공식
p. 62~63
⑷ x+1=A로 놓으면
5
이차방정식의 활용
1 ⑴ x=
⑵ x=
1—'4å1
4
⑶ x=
-3—'1å7
2
⑷ x=
(cid:0) ⑸ x=5—'3å7
2 ⑴ x=
(cid:0) ⑵ x=
-3—'1å9
2
(cid:0) ⑶ x=3—'2å9(cid:0)
1—'1å3
2
2—'1å4
2
2—'3å4
3
;4!; 또는 x=2(cid:0) ⑹ x=1 또는 x=8
⑷ x=-4—2'5(cid:0) ⑸ x=
⑺ x=-1 또는 x=5(cid:0) ⑻ x=1—2'6(cid:0) ⑼ x=-3—'1å5
⑽ x=-7—2'1å0(cid:0) ⑾ x=
-;2#; 또는 x=5
3 ⑴ x=
;2%; 또는 x=
;3&;(cid:0) ⑵ x=-4 또는 x=5
⑶ x=1 또는 x=7(cid:0) ⑷ x=-
;3$; 또는 x=0(cid:0) ⑸ x=0 또는 x=
;2!;
2 ⑴ 3x¤ -4x-10=0(cid:100)(cid:100)∴ x=
2—'∂34
3
-3—'∂19
2
⑵ 2x¤ +6x-5=0(cid:100)(cid:100)∴ x=
⑶ 3x¤ -18x-60=0, x¤ -6x-20=0
∴ x=3—'∂29
⑷ x¤ +8x-4=0 ∴ x=-4—2'5
9—7
8
9—7
2
⑸ 4x¤ -9x+2=0, x=
(cid:100)(cid:100)∴ x=;4!; 또는 x=2
⑹ x¤ -9x+8=0, x=
(cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x=8
⑺ x¤ -4x-5=0, x=2—3(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=5
⑻ x¤ -2x-23=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1—2'6
⑼ x¤ +6x-6=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-3—'∂15
⑽ 3(x¤ -2x-3)=4(x¤ +2x)
x¤ +14x+9=0 ∴ x=-7—2'∂10
⑾ 3(x¤ -x)=5(x¤ -2x-3), 2x¤ -7x-15=0
x=
7—13
4
∴ x=-;2#; 또는 x=5
3 ⑴ x-2=A로 놓으면
⑴ 6A¤ -5A+1=0, (2A-1)(3A-1)=0
⑴ ∴ A=;2!; 또는 A=;3!;
⑴ 즉 x-2=
;2!; 또는 x-2=
;3!;에서 x=;2%; 또는 x=;3&;
⑵ x+1=A로 놓으면
⑴ A¤ -3A-18=0, (A+3)(A-6)=0
⑴ ∴ A=-3 또는 A=6
⑴ 즉 x+1=-3 또는 x+1=6에서 x=-4 또는 x=5
⑶ x-2=A로 놓으면
A¤ -4A-5=0, (A+1)(A-5)=0
∴ A=-1 또는 A=5
즉 x-2=-1 또는 x-2=5에서 x=1 또는 x=7
A¤ -
A-
=0, 3A¤ -2A-1=0
;2!;
;3!;
;6!;
(3A+1)(A-1)=0 ∴ A=-
;3!; 또는 A=1
즉 x+1=-
;3!; 또는 x+1=1에서 x=
-;3$; 또는 x=0
⑸ 2x+1=A로 놓으면
A¤ -3A+2=0, (A-1)(A-2)=0
∴ A=1 또는 A=2
즉 2x+1=1 또는 2x+1=2에서 x=0 또는 x=
;2!;
p. 64
01 ㈎ {
b
2a
}
{또는
b¤
4a¤
} ㈏
-b—"√b¤ -4ac
2a
02 5 03 ②
04 ①
05 ①
06 x=-1 또는 x=10
07 ⑴ x=
⑷ x=
-;2!; 또는 x=
1—'5
2
;3%; ⑵ x=—
-1—'7
3
⑸ x=
;2%; ⑶ x=-1 또는 x=
;2!;
02 x=
-(-3)—"√(-3)¤ -4_1_1
2_1
=
3—'5
2
∴ A=5
03 x=
-(-3)—"√(-3)¤ -3_(-1)
3
=
3—2'3
3
따라서 양수인 해는 x=
3+2'3
3
이다.
04 x=
-1—'ƒ1-8a
4
=
b—'∂41
4
이므로
b=-1, 41=1-8a(cid:100)(cid:100)∴ a=-5
∴ a+b=-6
05 4x-
x¤ +1
3
=2(x-1)의 양변에 3을 곱하면
12x-(x¤ +1)=6(x-1), x¤ -6x-5=0
∴ x=3—'∂14
06 x-3=A로 놓으면 A¤ -3A-28=0
(A+4)(A-7)=0
∴ A=-4 또는 A=7
즉 x-3=-4 또는 x-3=7에서
x=-1 또는 x=10
``2점
``2점
``2점
91
5. 이차방정식의 활용
¤
개념 드릴
x-3=A로 놓고 A에 대한 이차방정식으로 정리하기
채점 기준
A에 대한 이차방정식 풀기
이차방정식의 해 구하기
배점
2점
2점
2점
④ x=-(-1)—"√(-1)¤ -1_(-6)=1—'7
⑤ x¤ +x-1=0
∴ x=
-1—"√1¤ -4_1_(-1)
2
=
-1—'5
2
07 ⑶ (x+1)(2x-1)=0 ∴ x=-1 또는 x=
⑷ 2x-1=—'5, 2x=1—'5 ∴ x=
⑸ x=
-1—"√1¤ -3_(-2)
3
=
-1—'7
3
;2!;
1—'5
2
01 ③
06 x=-3 또는 x=0
02 ③
03 ②
07 ②
04 ④
05 ①
01 x=
-5—"√5¤ -4_3_(-1)
2_3
=
-5—'3å7
6
02 x=
-1—"√1¤ -4_√3_(-1)
2_3
=
-1—'1å3
6
따라서 A=-1, B=13이므로 A+B=12
03 x=
-1—"√1¤ -1_(-1)
1
=-1—'2
이 중 양수인 근은 x=-1+'2이다.
04 x=
-a—"√a¤ +4
2
=
1—'b
2
이므로
a=-1, b=a¤ +4 ∴ b=5
∴ a+b=4
05 0.1x¤ -0.3x=
-;5!;의 양변에 10을 곱하면
x¤ -3x=-2, x¤ -3x+2=0
(x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2
06 3x+2=A로 놓으면 A¤ +5A-14=0
(A+7)(A-2)=0
∴ A=-7 또는 A=2
즉 3x+2=-7 또는 3x+2=2에서
x=-3 또는 x=0
채점 기준
A에 대한 이차방정식 풀기
이차방정식의 해 구하기
3x+2=A로 놓고 A에 대한 이차방정식으로 정리하기
07 ① x=2—'6
② (x+2)¤ =6 ∴ x=-2—'6
③ x¤ -6x-2=0
∴ x=-(-3)—"√(-3)¤ -1_(-2)=3—'1å1
92
체크체크 수학 3-1
``2점
``2점
``2점
배점
2점
2점
2점
이차방정식의 근과 계수의 관계
p. 66~67
1 ⑴ 1개 ⑵ 2개 ⑶ 2개 ⑷ 2개 ⑸ 1개 ⑹ 0개 ⑺ 2개
2 ⑴ :¢8¡: ⑵ k>
;1¡2; ⑶ k>-8
p. 65
3 ⑴ -2, -3 ⑵ 6, -1 ⑶ ;6&;, -;2!; ⑷ -;2#;, -;2%; ⑸ -;3@;, -;3%;
⑹ 8, 12 ⑺ -;2#;, -;5^; ⑻ -;2!;, 0 ⑼ -4, -1
4 ⑴ 4, 4, 12 ⑵ 4, 8, 8
5 ⑴ x¤ +3x+2=0 ⑵ -3x¤ +16x+12=0
⑶ x¤ -8x+16=0 ⑷ -3x¤ -2x-
=0
;3!;
6 ⑴ 2x¤ +6x-14=0 ⑵ -3x¤ +
x+1=0
;2#;
⑶ x¤ -6x+7=0 ⑷ 2x¤ +4x-2=0
1 ⑴ b'¤ -ac=4-4=0(cid:100)(cid:100)∴ 1개
⑵ b¤ -4ac=9+8=17>0(cid:100)(cid:100)∴ 2개
⑶ b'¤ -ac=1+2=3>0(cid:100)(cid:100)∴ 2개
⑷ b¤ -4ac=9+84=93>0(cid:100)(cid:100)∴ 2개
⑸ b'¤ -ac=36-36=0(cid:100)(cid:100)∴ 1개
⑹ b'¤ -ac=1-4=-3<0(cid:100)(cid:100)∴ 0개
⑺ b¤ -4ac=25-24=1>0(cid:100)(cid:100)∴ 2개
2 ⑴ b¤ -4ac=1-8(k-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ k=:¢8¡:
⑵ b¤ -4ac=1-12k<0(cid:100)(cid:100)∴ k>;1¡2;
⑶ b'¤ -ac=16+2k>0(cid:100)(cid:100)∴ k>-8
3 ⑹ 양변에 10을 곱하면 x¤ -8x+12=0
∴ a+b=8, ab=12
⑺ 양변에 분모의 최소공배수 30을 곱하면
10x¤ +15x-12=0
∴ a+b=
-;2#;, ab=
⑼ x¤ +6x+9=2x+10, x¤ +4x-1=0
-;5^;
∴ a+b=-4, ab=-1
4 이차방정식 x¤ -4x+2=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관
계에 의해
a+b=4, ab=2
⑴ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=4¤ -4=12
⑵ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=4¤ -8=8
5 ⑴ 두 근의 합：-3, 두 근의 곱：2
⑴ ∴ x¤ +3x+2=0
⑵ 두 근의 합：:¡3§:, 두 근의 곱：-4
01 ②
02 ②
05 4x¤ -16x+1=0
03 ⑤
06 ⑤
04 ②
07 -4
08 196
p. 69
⑴ ∴ -3 {x¤ -:¡3§:x-4}=0, 즉 -3x¤ +16x+12=0
01 2¤ -3_a=0, 4-3a=0 ∴ a=
;3$;
6 ⑴ 2(x¤ +3x-7)=0 ∴ 2x¤ +6x-14=0
⑵ -3 {x¤ -;2!;x-;3!;}=0 ∴ -3x¤ +;2#;x+1=0
⑶ 다른 한 근：3-'2, 두 근의합：6, 두 근의곱：7
⑶ ∴ x¤ -6x+7=0
⑷ 다른 한 근：-1+'2, 두 근의합：-2, 두 근의곱：-1
⑶ 2(x¤ +2x-1)=0 ∴ 2x¤ +4x-2=0
02 2+3=
-;2A;에서 a=-10, 2_3=
;2B;에서 b=12
∴ a+b=-10+12=2
03 ① x¤ -x-2=0에서 두 근의합은1
② x¤ -x=0에서 두 근의합은1
③ 두 근의 합은 0
④ x¤ -2x-3=0에서 두 근의합은2
04 두 근의 합이 3이므로 x=3을 x¤ -2x+k=0에 대입하면
p. 68
3¤ -2_3+k=0 ∴ k=-3
02 ①
01 ②
05 -x¤ +8x-15=0
08 21
03 ⑤
04 ①
06 x¤ -7x+12=0
07 ⑤
01 b'¤ -ac=1-k>0(cid:100)(cid:100)∴ k<1
따라서 가장 큰 정수는 0이다.
02 -3+4=-a에서 a=-1
-3_4=b에서 b=-12
∴ a+b=-1+(-12)=-13
03 ⑤ x¤ +5x-6=0에서 두 근의 합은 -5이다.
04 두 근의 합이 3이므로 x=3을 x¤ +4x+m=0에 대입하면
3¤ +4_3+m=0 ∴ m=-21
05 두 근의 합이 8, 두 근의곱이15이므로
-(x¤ -8x+15)=0(cid:100)(cid:100)∴ -x¤ +8x-15=0
06 a+b=4, ab=3이므로 두 근이 4, 3이고 이차항의 계수가 1인
이차방정식은 x¤ -7x+12=0
07 x¤ -4x+k=0의 계수가 모두 유리수이고 한 근이
2-'2이므로 다른 한 근은2+'2이다.
∴ k=(2-'2)(2+'2)=2
08 근과 계수의 관계에 의해
a+b=-5, ab=2
∴ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab
=(-5)¤ -2_2=21
채점 기준
근과 계수의 관계를 이용하여 a+b, ab의 값 구하기
곱셈 공식의 변형을 이용하여 a¤ +b¤ 의 값 구하기
05 4 {x¤ -4x+;4!;}=0 ∴ 4x¤ -16x+1=0
06 p+q=-
-5
2
, pq
=;2%;
=-;2#;
이차방정식 4x¤ +ax+b=0에서 x¤ 의 계수가 4이므로
4 {x-;2%;}{x+;2#;}=0
4 {x¤ -x-:¡4∞:}=0 ∴ 4x¤ -4x-15=0
따라서 a=-4, b=-15이므로 a+b=-4+(-15)=-19
07 다른 한 근은-1-'5이므로
m=(-1+'5)(-1-'5)=1-5=-4
08 근과 계수의 관계에 의해
a+b=2, ab=-48
∴ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab
=2¤ -4_(-48)=196
채점 기준
근과 계수의 관계를 이용하여 a+b, ab의 값 구하기
곱셈 공식의 변형을 이용하여 (a-b)¤ 의 값 구하기
``3점
``3점
배점
3점
3점
``3점
``3점
배점
3점
3점
이차방정식의 활용
p. 70~71
1 x¤ =2x+48, 8
3 x¤ =(x+1)¤ -(x-1)¤ , 12
2 (x+1)¤ +x¤ =25, 12
4 x(x+2)=255, 32
5
n(n+1)
2
=231, 21
6
n(n-3)
2
=44, 십일각형
7 40x-5x¤ =80, 4초 후
9 (40-x)(25-x)=700, 5
8 (x+5)(x-2)=98, 9 cm
10 2(x-4)¤ =72, 10 cm
5. 이차방정식의 활용
93
개념 드릴
1 어떤 자연수를 x라 하면
x¤ =2x+48, x¤ -2x-48=0
(x+6)(x-8)=0
∴ x=8 (∵ x>0)
2 연속하는 두 자연수를 x, x+1이라 하면
(x+1)¤ +x¤ =25, x¤ +x-12=0
(x+4)(x-3)=0 ∴ x=3 (∵ x>0)
∴ (두자연수의 곱)=3_4=12
3 연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면
x¤ =(x+1)¤ -(x-1)¤ , x¤ -4x=0
x(x-4)=0 ∴ x=4 (∵ x>1)
∴ (세자연수의 합)=3+4+5=12
4 연속하는 두 홀수를 x, x+2라 하면
x(x+2)=255, x¤ +2x-255=0
(x+17)(x-15)=0 ∴ x=15 (∵ x>0)
∴ (두홀수의 합)=15+17=32
5
n(n+1)
2
=231, n(n+1)=462
n¤ +n-462=0, (n+22)(n-21)=0
∴ n=21 (∵ n은 자연수)
6
n(n-3)
2
=44, n(n-3)=88
n¤ -3n-88=0, (n+8)(n-11)=0
∴ n=11 (∵ n>3)
따라서 구하는 다각형은 십일각형이다.
7 40x-5x¤ =80, x¤ -8x+16=0
(x-4)¤ =0 ∴ x=4
따라서 높이가 80 m가 되는 것은 4초 후이다.
8 처음 정사각형의 한 변의길이를 x cm라 하면
(x+5)(x-2)=98, x¤ +3x-108=0
(x+12)(x-9)=0
∴ x=9 (∵ x>2)
9 (40-x)(25-x)=700, x¤ -65x+300=0
(x-5)(x-60)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ 04)
따라서 처음 정사각형의 한 변의길이는 10 cm이다.
94
체크체크 수학 3-1
p. 72
05 8 cm
01 7
02 ④
06 (2+2'2 ) cm
03 ③
07 2
04 ①
08 8 cm
01 연속하는 세 자연수를 n-1, n, n+1이라 하면
(n-1)¤ +(n+1)=n+26, n¤ -2n-24=0
(n+4)(n-6)=0
∴ n=6 (∵ n>1)
따라서 가장 큰 자연수는 7이다.
02 ;2!;n(n-3)=20, n¤ -3n-40=0
(n+5)(n-8)=0
∴ n=8 (∵ n>3)
따라서 구하는 다각형은 팔각형이다.
03
n(n+1)
2
=78, n¤ +n-156=0
(n-12)(n+13)=0
∴ n=12 (∵ n은 자연수)
04 80x-5x¤ =0, 5x(x-16)=0
∴ x=16 (∵ x>0)
따라서 물체가 지면에 떨어지는 것은 16초 후이다.
05 처음 정사각형의 한 변의길이를 x cm라 하면
(x+2)(x-2)=60, x¤ =64
∴ x=8 (∵ x>2)
따라서 처음 정사각형의 한 변의길이는 8 cm이다.
06 작은 원의 반지름의 길이를 x cm라 하면
p(x+2)¤ =2px¤ , x¤ +4x+4=2x¤
x¤ -4x-4=0 ∴ x=2+2'2 (∵ x>0)
따라서 작은 원의 반지름의 길이는 (2+2'2 ) cm이다.
07 (30-x)(20-x)=504, x¤ -50x+96=0
(x-2)(x-48)=0 ∴ x=2 (∵ 0BP”)
따라서 AP”의 길이는 8 cm이다.
채점 기준
AP”=x cm로 놓고 이차방정식 세우기
이차방정식을 풀어 AP”의 길이 구하기
``3점
````3점
배점
3점
3점
따라서 처음 정사각형의 한 변의길이는 9 cm이다.
08 AP”의 길이를 x cm라 하면 BP”=(13-x) cm이므로
p. 73
04 ③
05 8 m
p. 74~75
03 ⑤
02 ⑤
07 x=-6 또는 x=7
11 -4
12 ⑤
04 ①
08 ④
13 3 cm
05 ⑤
09 ⑤
14 ④
01 ⑤
06 ①
10 ⑤
15 4
01 ⑤
06 3
02 ④
07 3 m
03 9
08 12개
01 어떤 정수를 x라 하면
(3x-7)(x+5)=45, 3x¤ +8x-80=0
(x-4)(3x+20)=0 ∴ x=4 (∵ x는 정수)
02 구하는 다각형을 n각형이라 하면
n(n-3)
2
=65, n¤ -3n-130=0
(n+10)(n-13)=0 ∴ n=13 (∵ n>3)
따라서 구하는 다각형은 십삼각형이다.
03 연속하는 두 홀수를 x, x+2라 하면
x¤ +(x+2)¤ =130, 2x¤ +4x-126=0
x¤ +2x-63=0, (x+9)(x-7)=0
∴ x=7 (∵ x>0)
따라서 두 홀수 중 큰 수는 7+2=9이다.
04 40x-5x¤ =75, 5x¤ -40x+75=0
x¤ -8x+15=0, (x-3)(x-5)=0
∴ x=3 또는 x=5
05 처음 꽃밭의 한 변의길이를 x m라 하면
(x+4)(x-2)=72, x¤ +2x-80=0
(x+10)(x-8)=0 ∴ x=8 (∵ x>2)
따라서 처음 꽃밭의 한 변의길이는 8 m이다.
06 p(x+5)¤ -25p=39p, x¤ +10x-39=0
(x+13)(x-3)=0 ∴ x=3 (∵ x>0)
07 길의 폭을 x m라 하면
(17-x)(17-x)=196, (17-x)¤ =196
17-x=—14 ∴ x=3 (∵ 00)
따라서 주머니의 개수는 12개이다.
채점 기준
주머니의 개수를 x개로 놓고 이차방정식 세우기
이차방정식을 풀어 주머니의 개수 구하기
따라서높이가처음으로75 m가되는때는쏘아올린지3초후이다.
01 ;4!;x¤ -;2!;x-;3!;=0의 양변에 12를 곱하면
3x¤ -6x-4=0 ∴ x=
3—'∂21
3
02 2x¤ -3x+p=0에서
x=
3—'ƒ9-8p
4
=
q—'ß17
4
따라서 q=3, 9-8p=17이므로 p=-1
∴ p+q=-1+3=2
03 x¤ -10x+(15-m)=0의 근이존재하려면
(-5)¤ -(15-m)æ0, 25-15+mæ0
∴ mæ-10
따라서 m의 값으로 알맞은 것은 ⑤ -5이다.
04 9x¤ +6x+k-3=0이 중근을 가지려면
3¤ -9(k-3)=0, 9-9k+27=0(cid:100)(cid:100)∴ k=4
05 x¤ -8x-4k=0이 중근을 가지므로
(-4)¤ +4k=0, 16+4k=0 ∴ k=-4
x¤ +(7+k)x-1=0에서 x¤ +3x-1=0
∴ x=
-3—'ƒ9+4
-3—'ß13
2
2
따라서 a=-3, b=13이므로
=
=
a—'b
2
a+b=-3+13=10
06 이차방정식 x¤ +6x+k-1=0의 해가없으므로
3¤ -(k-1)<0, 9-k+1<0 `∴ k>10
따라서 k의 값으로 적당하지 않은 것은 ① 10이다.
07 x+1=A로 놓으면
A¤ -3A-40=0, (A+5)(A-8)=0
∴ A=-5 또는 A=8
즉 x+1=-5 또는 x+1=8에서 x=-6 또는 x=7
08 3x¤ +2x-1=0의 두 근이 a, b이므로
a+b=-;3@;, ab=-;3!;
∴ ;å!;
+
;∫!;
=
a+b
ab
=(a+b)÷ab=-;3@;÷{-;3!;}
∴ ;å!;
+
;∫!;
=
-;3@;
_(-3)=2
``3점
```3점
배점
3점
3점
5. 이차방정식의 활용
95
bx¤ +ax-4=0, 즉 ;6!;x¤ -;6%;x-4=0의 두 근을 a, b라 하면
a+b=5, ab=-24
(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=25+96=121
01 (두 근의 합)=
(두근의곱)=
㉠ -a
=-4+2이므로 a=
㉡ 2
㉢ b
=-4_2이므로b=
㉣ -8
∴ a-b=
㉡ 2
-(
㉣ -8
)=
㉤ 10
09 x¤ -(m+2)x=-2m, 즉 x¤ -(m+2)x+2m=0의 두 근을
15 (50-x)(30-x)=1196
a, 2a (a+0)라 하면근과계수의 관계에 의해
a+2a=m+2에서 3a=m+2
x¤ -80x+304=0, (x-4)(x-76)=0
∴ x=4 (∵ 00)
14 (x+4)¤ =2(x+4), x¤ +6x+8=0
(x+4)(x+2)=0
∴ x=-4 또는 x=-2
따라서 모든 x의 값의 곱은
-4_(-2)=8
96
체크체크 수학 3-1
```2점
```4점
배점
2점
4점
p. 76
(cid:9000) 10
02 ⑴ (두 근의 합)=-a=-1+3이므로 a=-2
(두 근의 곱)=b=-1_3이므로 b=-3
⑵ x¤ -bx+2a=0에 a=-2, b=-3을 대입하면
x¤ +3x-4=0, (x+4)(x-1)=0
∴ x=-4 또는 x=1
(cid:9000) ⑴ a=-2, b=-3 ⑵ x=-4 또는 x=1
03 x초 후의높이가 0 m이므로
55+50x-5x¤ =
㉠ 0
양변을-5로나누면x¤ -10x-11=0
(x+1)
㉡ (x-11)
=0
∴ x=-1 또는x=
㉢ 11
이때x>0이므로x=
㉣ 11
따라서물체가지면에떨어지는것은
㉤ 11
초후이다.
(cid:9000) 11초 후
⑵ 100+20x-5x¤ =40에서 5x¤ -20x-60=0
x¤ -4x-12=0, (x+2)(x-6)=0
∴ x=-2 또는 x=6
⑶ x>0이므로 x=6
따라서 공의 높이가 40 m가 되는 것은 6초 후이다.
(cid:9000) ⑴ 100+20x-5x¤ =40 ⑵ x=-2 또는 x=6 ⑶ 6초 후
따라서 처음 원의 반지름의 길이는 3 cm이다.
100+20x-5x¤ =40
04 ⑴ x초 후의 공의 높이가 40 m이므로
6
이차함수와 그 그래프
01 ④, ⑤
06 ③
02 ②, ⑤
07 ④
03 15
08 ④
p. 80
04 ④
05 20
02 ① y=8x ② y=px¤ ③ y=x‹ ④ y=8x+8 ⑤ y=4px¤
03 f(-1)-f(2)=(-2+3+1)-(-8-6+1)=15
이차함수 y=ax¤ 의 그래프
p. 77~78
1 ⑴ ◯ ⑵ _ ⑶ ◯ ⑷ _ ⑸ _ ⑹ ◯
2 ⑴ y=3x, 이차함수가아니다. ⑵ y=2x¤ , 이차함수이다.
⑶ y=x¤ , 이차함수이다.
⑷ y=500x, 이차함수가 아니다.
04 ① x>0일 때, x의 값이증가하면 y의 값은감소한다.
3 ⑴ -6 ⑵ 2 ⑶ -12 ⑷ -16
4 `⑴ 80 m ⑵ 5초
② 꼭짓점의 좌표는 (0, 0)이다.
5 ⑴ 1, 1, 4, 2, 2, 8 ⑵ ① y, 0, 0 ② 아래 ③ 2x¤ , ;2!;
6
(1)
x¤
(2)
(3)
7 ⑴ ㉠, ㉣, ㉥ ⑵ ㉡, ㉢, ㉤
⑶ ㉣, ㉢, ㉠, ㉡, ㉤, ㉥
8 ⑴ ㉢, ㉣, ㉥ ⑵ ㉢
⑶ ㉣`과 ㉤
③ 이차함수 y=-2x¤ 의 그래프보다 폭이 좁다.
⑤ 이차함수 y=3x¤ 의 그래프와 x축에 대칭이다.
05 y=ax¤ 에 x=-2, y=8을 대입하면 8=4a ∴ a=2
y=2x¤ 에 x=3, y=b를 대입하면 b=18 ∴ a+b=20
06 x¤ 의 계수의 절댓값이 가장 큰 것은③ y=-5x¤ 이다.
-4
-2
O
2
4
x
07 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
y=
x¤ 의 그래프보다 폭이 좁고 y=2x¤ 의 그래프보다 폭이 넓
;3!;
으므로 ;3!;
0이고 ④, ⑤`는 a<0이다.
①, ②, ③ 중 a의 값이클수록 y축에 가까우므로 a의 값이 가장 큰
그래프는 ①`이다.
4 ⑴ (0, 3), x=0 ⑵ (0, -1), x=0 ⑶ (0, -4), x=0
⑷ (0, 1), x=0 ⑸ (0, 5), x=0 ⑹ (0, -4), x=0
(2)
(3)
(1)
08 ⑤ 그래프가 x축보다 아래쪽에서 나타나지 않는 것은 ㉠, ㉢`이다.
5 ⑴ y=2x¤ +3 ⑵ y=-x¤ -2 ⑶ y=-3x¤ +1 ⑷ y=
x¤ -4
-;3!;
6. 이차함수와 그래프
97
6 ⑴ -x¤ , x, 3 ⑵ 3, 0 ⑶ x, 3 ⑷
⑸ x>3, x<3
-4
-2
2
4
x
y
O
-2
-4
12 ⑴ y=(x-2)¤ +3
⑵ y=
(x+1)¤ +4
;2!;
⑶ y=
-;3!;
(x-3)¤ -2 ⑷ y=;4#;{x+;2!;}
¤ -
;4!;
13 ① 2, -2 ② 0, 4, ;2#;,(cid:0) y=
;2#;
(x-2)¤ -2
14 ⑴ y=-2(x-2)¤ +1 ⑵ y=-2(x-3)¤ ⑶ y=
(x-2)¤ -3
;2!;
15 ⑴ a>0, p>0, q>0 ⑵ a<0, p<0, q>0
⑶ a>0, p>0, q<0 ⑷ a<0, p>0, q>0
14 ⑴ y=a(x-2)¤ +1로 놓고 x=0, y=-7을 대입하면
⑵ y=a(x-3)¤ 으로 놓고 x=1, y=-8을 대입하면
⑶ y=a(x-2)¤ -3으로 놓고 x=0, y=-1을 대입하면
-7=4a+1 ∴ a=-2
∴ y=-2(x-2)¤ +1
-8=4a ∴ a=-2
∴ y=-2(x-3)¤
-1=4a-3 ∴ a=
;2!;
∴ y=
(x-2)¤ -3
;2!;
개념 드릴
7
(1)
(3)
(2)
y
6
4
2
O
-2
-4
-6
-4
-2
2
4
x
(6)
(5)
(4)
8 ⑴ (2, 0), x=2 ⑵ (-1, 0), x=-1 ⑶ (-2, 0), x=-2
⑷ (3, 0), x=3 ⑸ (-4, 0), x=-4 ⑹ {;2!;, 0}, x=
;2!;
9 ⑴ y=2(x-2)¤ ⑵ y=
(x+5)¤ ⑶ y=-3(x-1)¤
;4!;
⑷ y=
(x+4)¤
-;3!;
10 ⑴ 2x¤ , 2, 3 ⑵ 2, 3 ⑶ x, 2 ⑷ 0, 11
O-2
2
4 x
⑵
⑷
y
4
2
O
-2
-4
y
4
2
-2
-4
-4
-2
2
-4
-2
2
x
4
x
4
① (1, 1) ② x=1 ③ 2
① (-2, 3) ② x=-2 ③ -1
-4
-2
2
4
x
-2
O
2
4
x
① (1, -4) ② x=1 ③ -2
① (2, -3) ② x=2 ③ -1
11 ⑴
⑸
⑶
⑸
y
6
4
2
y
4
2
O
-2
-4
y
4
2
O
-2
-4
y
4
2
O
-2
-4
① {-1, ;3&;} ② x=-1 ③ 2
98
체크체크 수학 3-1
-4
-2
2
x
②, ⑤ 이차함수 y=-2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼
p. 85
04 ③, ④
05 -9
04 ① 점 (-3, 0)을 꼭짓점으로 하고, 직선 x=-3을 축으로 하는
01 4
06 -10
02 ⑤
07 ①
03 ②
08 ④
01 y=2x¤ -3+k=2x¤ +1이므로
-3+k=1 ∴ k=4
포물선이다.
평행이동한 것이다.
05 y=-2(x-2)¤ -1에 x=0, y=a를 대입하면
a=-8-1=-9
06 꼭짓점의 좌표가 (2, 5)이므로
p=2, q=5
y=a(x-2)¤ +5에 x=0, y=1을 대입하면
07 ③ x=0일 때, y
=-;2!;
(0+1)¤ +4=
;2&;
따라서 y축과의 교점의 좌표는 {0, ;2&;}이다.
``2점
``2점
``1점
배점
2점
2점
1점
1=4a+5(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
∴ apq=-1_2_5=-10
채점 기준
꼭짓점의 좌표를 이용하여 p, q의 값 구하기
점 (0, 1)을 지남을 이용하여 a의 값 구하기
apq의 값 구하기
07 ① 대칭축은 직선 x=1이다.
08 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
꼭짓점 (p, q)가 제 3사분면 위에 있으므로 p<0, q<0
p. 87~88
05 ⑤
10 ②
15 3'3
02 ⑤
01 ⑤
07 5
06 ⑤
11 2 또는 4 12 ④
03 ①
08 ③
13 ①
04 5
09 ③
14 ②
01 y=2x¤ +1-x(ax+1)=(2-a)x¤ -x+1
이것이 이차함수가 되려면 2-a+0이어야 한다.
∴ a+2
02 그래프 ㉠`이 아래로 볼록하므로 x¤ 의 계수는 양수이고 a의 절댓값
보다 커야 한다. 그런데 a<0이므로 ㉠을 나타내는 이차함수의 식
으로 적당한 것은 ⑤ y=-2ax¤ 이다.
p. 86
05 4
03 y=ax¤ 의 그래프가 점 (3, -3)을 지나므로
-3=9a, a=
-;3!; ∴ y=
-;3!;
x¤
따라서 y=
x¤ 의 그래프와 x축에 대칭인 그래프를 나타내는
-;3!;
이차함수의 식은 y=
x¤ 이다.
;3!;
04 ① y=3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.
04 ㉠은 x¤ 의 계수가 양수인 y=;5!;x¤ , y=2x¤ 의 그래프 중 폭이넓은
y=;5!;x¤ `의 그래프이다.
⑤ x의 값이증가할 때, y의 값이감소하는 x의 값의 범위는 x<2
y=;5!;x¤ `에 x=5, y=a를 대입하면 a=;5!;_5¤ =5
01 ①
06 -2
02 ②
07 ③
03 ①
08 a<0, q>0
04 ④
01 y=-3(x-3)¤ 에 x=p, y=-3을 대입하면
-3=-3(p-3)¤ , (p-3)¤ =1, p-3=—1
∴ p=2 또는 p=4
02 ② y=-ax¤ -q의 그래프와 x축에 대칭이다.
② 꼭짓점의 좌표는 (2, 0)이다.
③ y=-2x¤ 의 그래프보다 폭이 좁다.
이다.
05 y=-3(x-2)¤ +3에 x=a, y=-9를 대입하면
-9=-3(a-2)¤ +3, (a-2)¤ =4, a-2=—2
∴ a=4 (∵ a>2)
06 꼭짓점의 좌표가 (-2, 1)이므로
p=-2, q=1
y=a(x+2)¤ +1에 x=0, y=5를 대입하면
5=4a+1 ∴ a=1
∴ a+p-q=1+(-2)-1=-2
채점 기준
꼭짓점의 좌표를 이용하여 p, q의 값 구하기
점 (0, 5)를 지남을 이용하여 a의 값 구하기
a+p-q의 값 구하기
05 y=-3x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 ;2!;만큼 평행이동한 그래프
의 식은 y=-3x¤ +;2!;
⑤ y=-3x¤ +
;2!;에 x=;2#;, y=:™2∞:를 대입하면
:™2∞:+-3_{;2#;}2 +;2!;
06 y=;3!;(x+2)¤ -4+1
y=;3!;(x+2)¤ -3
따라서 그래프는 오른쪽 그림과 같으
므로 모든 사분면을 지난다.
``2점
``2점
``1점
배점
2점
2점
1점
y
-3
-2
O
x
6. 이차함수와 그래프
99
채점기준
점 A의 좌표 구하기
두 점 B, C의 좌표 구하기
△ABC의 넓이 구하기
개념 드릴
07 꼭짓점의 좌표가 (0, -3)이므로 q=-3
y=ax¤ -3에 x=1, y=-1을 대입하면
-1=a-3 ∴ a=2
∴ a-q=2-(-3)=5
08 x의 값이증가할 때, y의 값이감소하는 x의 값의범위는 각각 다
음과 같다.
㉠ x>0 ㉡ x<0 ㉢ x<0 ㉣ x>0 ㉤ x>-1
따라서 ㉠, ㉣, ㉤의 3개이다.
09 이차항의 계수가 같은 것을 모두 고르면 ㉠, ㉡, ㉥`의 3개이다.
10 y=-2(x-k)¤ +4의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (k, 4)이므로
y=3(x-1)¤ +1에 x=k, y=4를 대입하면
4=3(k-1)¤ +1, (k-1)¤ =1
k-1=—1(cid:0)
(cid:0) ∴ k=2 (∵ k>0)
01 ⑴ 이차함수 y=3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼 평행이
동하면
㉠ y=3(x+1)¤
⑵
㉠ y=3(x+1)¤
에x=
㉡ 1
, y=
㉢ k
를대입하면
k=
㉣ 12
(cid:9000) ⑴ y=3(x+1)¤ ⑵ 12
11 y=-2x¤ +3의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으
02 이차함수 y=
;3!;
x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 m만큼 평행이동
로 1만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-2(x-3)¤ +3+1, 즉 y=-2(x-3)¤ +4
따라서 y=-2(x-3)¤ +4에 x=a, y=2를 대입하면
2=-2(a-3)¤ +4, (a-3)¤ =1
a-3=—1 ∴ a=2 또는 a=4
하면 y=
x¤ +m
;3!;
y=
x¤ +m에 x=3, y=7을 대입하면
;3!;
;3!;
7=
_9+m ∴ m=4
12 이차함수 y=-2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방
향으로 -4만큼 평행이동하면 y=-2(x-1)¤ -4
이 함수의 그래프를 x축에 대칭이동하면
y=2(x-1)¤ +4
채점 기준
평행이동한 그래프의 식 구하기
m의 값 구하기
03 이차함수 y=2(x-1)¤ -3의 그래프를 x축의 방향으로 -2만
큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 그래프의 식은
13 일차함수의 그래프가 오른쪽 아래로 향하므로 a<0
㉠ y=2(x+1)¤ -8
y절편이 양수이므로 b>0
㉠ y=2(x+1)¤ -8
에x=a, y=10을대입하면
따라서 이차함수 y=b(x+a)¤ +b의 그래프는 x¤ 의 계수가 b, 꼭
10=2(a+1)¤ -8
짓점의 좌표가 (-a, b)이므로 아래로 볼록하고 꼭짓점이 제`1`사
분면 위에 있다.
(a+1)¤ =
㉡ 9
, a+1=
㉢ —3
∴ a=
㉣ 2
(∵ a>0)
14 x¤ -4=0에서 (x+2)(x-2)=0
∴ x=-2 또는 x=2
이때 A(-2, 0), B(2, 0)이라 하면 AB”=4
15 꼭짓점의 좌표가 (-2, 3)이므로 A(-2, 3)
-(x+2)¤ +3=0에서 (x+2)¤ =3, x+2=—'3
∴ x=-2—'3
즉 B(-2-'3, 0), C(-2+'3, 0)이므로
△ABC=;2!;_2'3_3=3'3
``2점
``3점
``2점
100 체크체크 수학 3-1
04 ⑴ 이차함수 y=
;2!;
(x+3)¤ -2의 그래프를 x축의 방향으로 -1
만큼, y축의 방향으로 -4만큼 평행이동하면
y=
{x+3-(-1)}¤ -2-4
∴ y=
(x+4)¤ -6
;2!;
;2!;
;2!;
a=
;2!;_
2¤ -6=-4
⑵ y=
(x+4)¤ -6에 x=-2, y=a를 대입하면
(cid:9000) ⑴ y=
(x+4)¤ -6 ⑵ -4
;2!;
배점
2점
3점
2점
p. 89
`3점
`2점
(cid:9000) 4
배점
3점
2점
(cid:9000) 2
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프
p. 90~92
1 ⑴ 4, 4, 4, 8, 2, 1 ① (2, 1) ② (0, 9) ③
7
이차함수의 활용
y
6
4
2
O
⑵ 1, 1, 1, 1, 1, 6 ① (-1, 6) ② (0, 5) ③
03 y=2 {x¤ -3x+;4(;}-;2(;+1
y=2 {x-;2#;}2 -;2&;
따라서 제`3사분면을 지나지 않는다.
y
3
2
1
O
-
7
2
04 y=x¤ -2x-8=(x-1)¤ -9이므로 C(1, -9)
x¤ -2x-8=0에서 (x+2)(x-4)=0
∴ x=-2 또는 x=4
∴ A(-2, 0), B(4, 0)
2
4
6
x
∴ △ABC=;2!;_6_9=27
y
6
4
2
채점 기준
점 C의 좌표 구하기
점 A, B의 좌표 구하기
△ABC의 넓이 구하기
-2-4
O
2
x
05 y=-2(x¤ -2x+1)+3=-2(x-1)¤ +3
① 위로볼록하다.
② 꼭짓점의 좌표는 (1, 3)이다.
③ 모든사분면을 지난다.
④ x>1일 때, x의 값이증가하면 y의 값은감소한다.
x
2점
2점
2점
배점
2점
2점
2점
3 ⑴ y=-2x¤ +8x-4 ⑵ y=5x¤ -10x+3
⑷ y=2x¤ -4x-1 ⑸ y=4x¤ -6x+7
⑶ y=2x¤ -16x
⑹ y=x¤ -4x+3
⑺ y=-x¤ -2x+3 ⑻ y=-2x¤ +6x+8
4 ⑴ y=
;4!;
x¤ +x+1 ⑵ y=-2x¤ +12x-18 ⑶ y=
x¤ -2x-1
;2!;
06 y=a(x-2)¤ +2에 x=0, y=4를 대입하면 a=
;2!;
즉 y=
(x-2)¤ +2=
x¤ -2x+4이므로
;2!;
;2!;
a=
;2!;, b=-2, c=4 ∴ a+b+c=
;2%;
x¤ +2x+3 ⑹ y=-x¤ -2x+3
07 y=a(x+2)¤ -2의 그래프가 점 (-1, 0)을 지나므로 a=2
2 ⑴ (-2, 2), x=-2 ⑵ (-1, 1), x=-1
⑶ {;2!;, ;2#;}, x=;2!;
⑷ (-3, 2), x=-3
⑸ {-;2#;, ;2#;}, x=-;2#; ⑹ (-1, 2), x=-1
⑺ (-2, 3), x=-2
⑻ (5, 10), x=5
⑷ y=-2x¤ -4x-1 ⑸ y=
-;2!;
5 ⑴ ① < ② 같은, < ③ 아래, <
⑵ ① > ② 다른, < ③ 아래, <
6 ⑴ a>0, b=0, c>0 ⑵ a<0, b=0, c>0
⑶ a>0, b<0, c>0 ⑷ a>0, b>0, c<0
⑸ a<0, b<0, c>0 ⑹ a<0, b>0, c<0
⑺ a<0, b>0, c>0 ⑻ a>0, b<0, c>0
08 아래로 볼록하므로 a>0
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 -b>0 ∴ b<0
y절편이 음수이므로 -c<0(cid:100)(cid:100)∴ c>0
p. 93
04 27
05 ⑤
01 4
06 ③
02 ②
07 2
03 ③
08 ②
01 y=2(x-3)¤ -4=2x¤ -12x+14
따라서 a=2, b=-12, c=14이므로
a+b+c=2+(-12)+14=4
p. 94
04 8
01 8
05 ⑤
02 A(4, 5), B(0, -3)
06 ③
07 15
03 ②
08 ①
01 y=-2(x+1)¤ +3=-2x¤ -4x+1
따라서 a=-2, b=-4, c=1이므로 abc=8
02 y=-2(x¤ -4x)-1=-2(x-2)¤ +7이므로
p=2, q=7(cid:100)(cid:100)∴ pq=14
02 y=
-;2!;
x¤ +4x-3=
(x¤ -8x)-3=-
(x-4)¤ +5
-;2!;
;2!;
∴ A(4, 5), B(0, -3)
7. 이차함수의 활용
101
개념 드릴
03 y=2x¤ +8x+7=2(x+2)¤ -1의 그래프의 꼭짓점의 좌표가
(-2, -1)이고 y축과 만나는 점의 좌표가 (0, 7)이므로 ②`이다.
04 y=-x¤ -2x+3=-(x+1)¤ +4이므로 C(-1, 4)
-x¤ -2x+3=0에서 (x+3)(x-1)=0
∴ x=-3 또는 x=1
∴ A(-3, 0), B(1, 0)
∴ △ABC=
_4_4=8
;2!;
채점 기준
점 C의 좌표 구하기
점 A, B의 좌표 구하기
△ABC의 넓이 구하기
05 y=-x¤ +6x-11=-(x-3)¤ -2
① 위로볼록한 포물선이다.
② 축의방정식은 x=3이다.
③ 꼭짓점의 좌표는 (3, -2)이다.
④ y축과 점 (0, -11)에서 만난다.
06 y=a(x-1)¤ +2의 그래프가 점 (0, 0)을 지나므로 a=-2
즉 y=-2(x-1)¤ +2=-2x¤ +4x이므로
a=-2, b=4, c=0 ∴ c+b-a=0+4-(-2)=6
07 y=a(x-1)¤ +3의 그래프가 점 (0, 6)을 지나므로 a=3
즉 y=3(x-1)¤ +3=3x¤ -6x+6이므로 a=3, b=-6, c=6
∴ a-b+c=3-(-6)+6=15
08 a>0이므로 아래로 볼록하고
a>0, b>0이므로 축이 y축의 왼쪽에 있으며
4 ⑴ x=1일 때, 최솟값 -1 ⑵ x=-1일 때, 최댓값 5
⑶ x=3일 때, 최댓값 ;2&; ⑷ x=
;2(;일 때, 최댓값 :™2∞:
5 ⑴ 2 ⑵ 2
6 ① 12-x ② x(12-x) ③ 6, 36, 6, 36, 6, 6, 36
7 -5, 2, 32, 2, 32, 2, 32
8 ⑴ y=x(x+10) ⑵ -25 ⑶ -5, 5
9 ⑴ y=x(20-x) ⑵ 100 cm¤` ⑶ 10 cm
10 ⑴ y=
(6-x)(4+x) ⑵ :™2∞:
;2!;
cm¤ ⑶ 5 cm 11 2초
5 ⑴ y=x¤ -4x+a=(x-2)¤ -4+a
-4+a=-2이므로 a=2
⑵ y=-x¤ +2ax=-(x-a)¤ +a¤
a¤ =4이므로 a=2 (∵ a>0)
2점
2점
2점
배점
2점
2점
2점
01 ③
06 ⑤
02 8
03 ⑤
07 12 cm, 12 cm
04 ④
05 ①
08 ⑴ 45 m ⑵ 5초
p. 97
02 y=2x¤ +4x+c=2(x+1)¤ +c-2에서
c-2=6이므로 c=8
03 두 점 (0, 5), (5, 0)을 지나므로
b=5, 0=-25+5a+b ∴ a=4, b=5
즉 y=-x¤ +4x+5=-(x-2)¤ +9이므로 최댓값은 9이다.
04 y=-(x-2)¤ +7이므로 a=2, b=7 ∴ ab=14
06 두 수를 x, x-14로 놓고두 수의 곱을 y라 하면
y=x(x-14)=x¤ -14x=(x-7)¤ -49
따라서 x=7일 때, 두 수의 곱이 최소가되 므로두 수 는 7, -7
07 직사각형의 가로의 길이를 x cm라 하면세로의 길이는
(24-x) cm이고, 직사각형의 넓이를 y cm¤ 라 하면
y=x(24-x)=-x¤ +24x=-(x-12)¤ +144
∴ (가로의 길이)=12 cm, (세로의 길이)=12 cm
08 ⑴ h=25+20t-5t¤ =-5(t-2)¤ +45
따라서 최고 도달 높이는 45 m이다.
⑵ 물체가 땅에 떨어질 때는 h=0이므로 0=25+20t-5t¤ 에서
(t+1)(t-5)=0 ∴ t=5(초) (∵ t>0)
c<0이므로 x축보다 아래쪽에서 y축과 만나는 그래프를 찾으면
05 y=(x-1)¤ +2=x¤ -2x+3이므로 a=-2, b=3
①이다.
∴ a-b=-2-3=-5
이차함수의 최댓값과 최솟값
p. 95~96
이다.
1 ⑴ ① (3, -4) ② 없다. ③ -4
⑵ ① (2, 8) ② 8 ③ 없다.
2 ⑴ x=1일 때, 최솟값 0 ⑵ x=-3일 때, 최댓값 0
⑶ x=0일 때, 최솟값 3
⑷ x=0일 때, 최댓값 1
⑸ x=2일 때, 최솟값 2
⑹ x=-1일 때, 최댓값 -1
3 ⑴ y=(x-2)¤ -1
⑵
y
⑶ x=2일 때, 최솟값 -1
3
O
-1
2
x
102 체크체크 수학 3-1
01 4
05 b=4, c=-1
02 ③
03 4
06 ③
04 4
07 225
08 ⑤
∴ a+b=-11
p. 98
이때 y=2x¤ +8x-1=2(x+2)¤ -9이므로
-1-a=2, -1+b=-9에서 a=-3, b=-8
01 y=-x¤ -4x+2=-(x+2)¤ +6이므로 M=6
y=2x¤ +8x+6=2(x+2)¤ -2이므로 m=-2
∴ M+m=6+(-2)=4
02 y=-2(x-3)¤ +k+18에서 k+18=26 ∴ k=8
03 y=-(x+3)(x-1)=-x¤ -2x+3=-(x+1)¤ +4
따라서 최댓값은 4이다.
04 y=-2x¤ +4x+1=-2(x-1)¤ +3 ∴ a=1, b=3
∴ a+b=4
05 y=-(x-2)¤ +3=-x¤ +4x-1 ∴ b=4, c=-1
02 y=3x¤ -2x+;3!;=3 {x¤ -;3@;x+;9!;/}=3 {x-;3!;}2 이므로
꼭짓점의 좌표는 {;3!;, 0}이다.
y=mx-2의 그래프가 점 {;3!;, 0}을 지나므로
0=;3!;m-2 ∴ m=6
03 꼭짓점의 좌표가 (2, 1)이므로 y=a(x-2)¤ +1
이때 그래프가 제 2사분면을 지나지 않으려면
a<0이고 x=0일 때 y…0이어야 한다.
즉 a(0-2)¤ +1…0, 4a…-1 ∴ a…-;4!;
06 한 수를 x라 하면 다른 수는 8-x이고, 그 제곱의 합을 y라 하면
y=x¤ +(8-x)¤ =2x¤ -16x+64=2(x-4)¤ +32
따라서 두 수는4, 4이므로 그 곱은16이다.
04 y=-2x+4의 그래프이므로 a=-2, b=4
즉 y=-2x¤ +4x+3=-2(x-1)¤ +5
따라서 꼭짓점의 좌표는 (1, 5)이다.
07 직사각형의 가로의 길이를 x라 하면 세로의 길이는 30-x이고,
05 y=-2x¤ +x-2a=-2{x-;4!;}
¤ -2a+;8!;
직사각형의 넓이를 y라 하면
y=x(30-x)
=-x¤ +30x=-(x-15)¤ +225
따라서 넓이의 최댓값은 225이다.
직사각형의 가로의 길이를 x, 넓이를 y로 놓고 x, y의 관계식 구하기
채점 기준
넓이의 최댓값 구하기
3점
3점
배점
3점
3점
x축과 두 점에서 만나려면 꼭짓점의 y좌표가 0보다 커야 하므로
-2a+
>0 ∴ a<
;8!;
;1¡6;
06 y=-2x¤ -8x+a-3=-2(x+2)¤ +a+5
x축과 만나지 않으려면 꼭짓점의 y좌표가 0보다 작아야 하므로
a+5<0 ∴ a<-5
08 h=50t-5t¤ +30=-5(t-5)¤ +155
따라서 5초 후의높이가 155 m로 가장 높다.
07 ① a>0, b<0이므로 ab<0
③ x=1일 때 y<0이므로 a+b+c<0
④ x=2일 때 y>0이므로 4a+2b+c>0
⑤ a>0, c>0이므로 ac>0
08 y=-x¤ +2x+2=-(x-1)¤ +3 ∴ A(1, 3)
y=-x¤ +8x-13=-(x-4)¤ +3 ∴ B(4, 3)
따라서 색칠한 부분의 넓이는 오른쪽
그림에서 빗금친 직사각형의 넓이와
y
3
A
B
같으므로 3_3=9
O
1
4
x
p. 99~100
04 (1, 5)
09 -1
05 ①
10 -6
01 ③
06 a<-5
11 ②
02 6
07 ②
12 ;4&;
03 ④
08 9
13 9
15 ⑴ 1000개 ⑵ 9700만 원 16
14 10
225
2
cm¤ , x=
:¡2∞:
01 y=2x¤ -4x+1=2(x-1)¤ -1의 그래프를 x축의 방향으로 a
09 y=x¤ -2ax+11=(x-a)¤ -a¤ +11은 x=4일 때, 최솟값 k
만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 그래프의 식은
를 가지므로
y=2(x-1-a)¤ -1+b
a=4, k=-a¤ +11=-5 ∴ a+k=-1
7. 이차함수의 활용
103
개념 드릴
10 y=-;2!;x¤ +kx+k=-;2!;(x-k)¤ +;2!;k¤ +k
x=k일 때, 최댓값이;2!;k¤ +k이므로
;2!;k¤ +k=12, k¤ +2k-24=0, (k+6)(k-4)=0
∴ k=-6 (∵ k<0)
11 y=-x¤ +2mx+4m+3=-(x-m)¤ +m¤ +4m+3이므로
M=m¤ +4m+3=(m+2)¤ -1
따라서 M의 최솟값은 -1이다.
12 f(-1)=0, f(3)=0이므로 f(x)=ax¤ +bx+c의 그래프는
두 점 (-1, 0), (3, 0)을 지난다.
따라서 이차함수의 식은
y=a(x+1)(x-3)=a(x¤ -2x-3)
=a(x-1)¤ -4a
즉 -4a=-7에서 a=
;4&;
13 점 P의 x좌표를 a라 하면 P(a, -a+6)
(cid:8772)OQPR의 넓이를 b라 하면
b=a(-a+6)=-a¤ +6a=-(a-3)¤ +9
따라서 넓이의 최댓값은 9이다.
14 y=-x¤ +8x-12=-(x-4)¤ +4에서
꼭짓점의 좌표는 (4, 4)이고 축의 방정식은 x=4이다.
한편 점 B의 좌표를 (a, 0)이라 하
면 A(a, -a¤ +8a-12)
점 B에서 점 (4, 0)까지의 거리는
y
4
4-a이므로
BC”=2(4-a)=8-2a
∴ ((cid:8772)ABCD의 둘레의 길이)
∴ =2{8-2a+(-a¤ +8a-12)}
=-2a¤ +12a-8=-2(a-3)¤ +10
따라서 둘레의 길이의 최댓값은 10이다.
A
D
O
B 4
C
x
따라서 서랍 앞부분의 넓이의 최댓값은
cm¤ 이고, 그때의 x
225
2
의 값은 :¡2∞:이다.
p. 101
01 ⑴ y=-3x¤ +6x-6
=-3(x¤ -2x)-6
=-3(x¤ -2x+
㉠ 1
-
㉡ 1
)-6
=-3(x-1)¤ -
㉢ 3
⑵꼭짓점의좌표는
㉣ (1, -3)
⑶축의방정식은
㉤ x=1
⑷주어진이차함수는x=1일때,
㉥ 최댓값
은
㉦ -3
이다.
(cid:9000) ⑴ y=-3(x-1)¤ -3 ⑵ (1, -3) ⑶ x=1 ⑷ 최댓값 -3
02 ⑴ y=
x¤ +3x+1
y=
(x¤ +6x)+1
;2!;
;2!;
;2!;
y=
(x¤ +6x+9-9)+1
y
=;2!;
(x+3)¤ -
;2&;
따라서 꼭짓점의 좌표는 {-3, -;2&;}이다.
⑵ 축의방정식은 x=-3
⑶ 주어진 이차함수는 x=-3일 때, 최솟값은-;2&;이다.
(cid:9000) ⑴ {-3,
-;2&;} ⑵ x=-3 ⑶ 최솟값 -;2&;
03 x=2일 때, 최솟값이-3이므로 구하는 이차함수의 식은
y=a(
㉠ x-2
)¤ -3
yy`①
x=1, y=-2를 ①`에대입하면 a=
㉡ 1
a=
㉡ 1
을 ①`에 대입하여 정리하면
y=
㉢ x¤ -4x+1
∴ b=
㉣ -4
, c=
㉤ 1
(cid:9000) a=1, b=-4, c=1
15 ⑴ y=
-;10!0;
x¤ +20x-300=
(x-1000)¤ +9700
-;10!0;
x=1000일 때, 최댓값을 가지므로 하루에 1000개의 제품을
생산하면 된다.
이차함수의 식은
y=-(x+2)¤ -1
04 x¤ 의 계수가 -1이고, x=-2일 때, 최댓값이 -1이므로 구하는
⑵ x=1000일 때, 최댓값은 9700이므로 이익이 최대일 때의 이
즉 y=-x¤ -4x-5이므로 b=-4, c=-5
익금은 9700만 원이다.
∴ b+c=-4+(-5)=-9
16 서랍 앞부분의 넓이를 y cm¤ 라 하면
y=x(30-2x)=-2x¤ +30x
y=-2 {x-:¡2∞:}
¤ +
225
2
x cm
y cm¤
x cm
x cm
(30-2x) cm
채점 기준
이차함수의 식 구하기
b, c의 값 구하기
b+c의 값 구하기
104 체크체크 수학 3-1
`4점
`3점
`1점
(cid:9000) -9
배점
4점
3점
1점
8
대푯값과 산포도
05 (평균)=
(-5)+6+(-2)+5+a+b
7
=0 ∴ a+b=-4
최빈값도 0이고 a>b이므로 a=0, b=-4 ∴ a-b=4
06 진희가 다음 시험에서 받아야 하는 점수를 x점이라 하면
p. 102~103
76+72+80+85+x
5
=80 ∴ x=87(점)
대푯값
1 ⑴ 7 ⑵ 23 ⑶ 21
2 12건
5 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 13.9 g 6 35개
8 ⑴ 중앙값：9, 최빈값：9 ⑵ 중앙값：19, 최빈값：21
⑶ 중앙값：11, 최빈값：9 ⑷ 중앙값：11, 최빈값：11
3 15회
7 ⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ _
4 2.3시간
9 ⑴ 6.5점 ⑵ 6점
11 ⑴ 6.3시간 ⑵ 7시간 ⑶ 5시간
10 야구
12 ⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ _
5 ⑴ 딸기의 무게 (g) 도수`(개) 계급값 (g)
(계급값)_(도수)
18이상~10미만
10이상~12미만
12이상~14미만
14이상~16미만
16이상~18미만
합계
1
3
4
10
2
20
9
11
13
15
17
9_1=9
11_3=33
13_4=52
15_10=150
17_2=34
278
02 ①
01 ③, ④
04 ⑴ 12 ⑵ 13
08 75.5점
03 ⑴ 7 ⑵ 7.5시간 ⑶ 7시간
05 ⑤
06 87점
07 3
02 A=
:¶9™:
=8, B=8, C=10 ∴ A=B0)
06
1+3+5+x+y
5
=4에서 x+y=11 ∴ y=11-x
(-3)¤ +(-1)¤ +1¤ +(x-4)¤ +(7-x)¤
5
=2¤ =4에서
x¤ -11x+28=0, (x-4)(x-7)=0 ∴ x=4 또는 x=7
이때 xb>c)의 중앙값이 7이므로 b=7
a+7+c
3
평균이 6이므로
=6, a+c=11
∴ c=11-a
분산이 14이므로
(a-6)¤ +(7-6)¤ +(c-6)¤
3
=14
(a-6)¤ +(11-a-6)¤ =41, a¤ -11a+10=0
(a-1)(a-10)=0 ∴ a=1 또는 a=10
이때 a>b>c이므로 a=10, c=1
07
a+b+c
3
=4,
(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤
3
=('2)¤ =2
이때 3a-1, 3b-1, 3c-1에서
(평균)=
(3a-1)+(3b-1)+(3c-1)
3
(평균)=
3(a+b+c)-3
3
=3_4-1=11
3점
(분산)=
(3a-1-11)¤ +(3b-1-11)¤ +(3c-1-11)¤
3
(평균)=
3¤ {(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤ }
3
=3¤ _2=18
(표준편차)='1å8=3'2
3점
8. 대푯값과 산포도
107
개념 드릴
채점 기준
평균 구하기
표준편차 구하기
배점
3점
3점
02 ⑴ (평균)=
7+9+12+7+8+7+8+6
8
=8
⑵ 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면
08 두 모둠 학생들의 수행평가 점수의 평균이 같으므로 전체 학생의
수행평가 점수의 평균도 같다.
이때 (A모둠 학생 4명의 편차의 제곱의 합)=4_5=20
6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 12
이므로 중앙값은 4번째와 5번째 자료의 값의 평균이다.
∴ (중앙값)=
7+8
2
=
:¡2∞:
=7.5
(B모둠 학생 6명의 편차의 제곱의 합)=6_10=60
⑶ 최빈값은 자료의 값이 가장 많은 7이다.
따라서 전체 학생 10명의 분산은
20+60
10
=8
(cid:9000) ⑴ 8 ⑵ 7.5 ⑶ 7
03 ⑴ (평균)=
92+84+66+90+68
5
=
㉠ 80
(점)
⑵편차는
㉡ 12, 4, -14, 10, -12
이므로
(분산)=
12¤ +4¤ +(-14)¤ +10¤ +(-12)¤
㉢ 5
㉤ 2'3å0
⑶(표준편차)="√(분산)=
=
㉣ 120
(점)
(cid:9000) ⑴ 80점 ⑵ 120 ⑶ 2'3å0점
p. 112
01 (평균)=
7+14+14+9+13+16+13+9+13
=12(개)
㉠ 9
자료를작은값에서부터크기순으로나열하면
7, 9, 9, 13, 13, 13, 14, 14, 16
04 ⑴ 편차의 합은 0이므로 -6+5+(-4)+x+3=0
-2+x=0 ∴ x=2
⑵ (분산)=
(-6)¤ +5¤ +(-4)¤ +2¤ +3¤
5
=
=18
:ª5º;
이므로중앙값은
㉡ 13
개이고최빈값은
㉢ 13
개이다.
⑶ (표준편차)="√(분산)='1å8=3'2(점)
(cid:9000) 평균：12개, 중앙값：13개, 최빈값：13개
(cid:9000) ⑴ 2 ⑵ 18 ⑶ 3'2점
108 체크체크 수학 3-1
새로운 강의 패러다임 체크체크
p99999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
새로운 강의 패러다임 체크체크
p99999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
새로운 강의 패러다임 체크체크
p99999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
새로운 강의 패러다임 체크체크
p99999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
