(001~009)중3쎈_해설 2015.2.13 12:29 PM 페이지1 SinsagoHitec
수학 ➌(하)
정답및 풀이
빠른 정답 찾기
2~9
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14 피타고라스 정리
15 피타고라스 정리와 도형
16 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용
17 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용
자세한 풀이
통계Ⅴ
13 대푯값과 산포도
Ⅵ
피타고라스 정리
Ⅶ
삼각비
18 삼각비
19 삼각비의 활용
Ⅷ
원의 성질
20 원과 직선
21 원주각
22 원주각의 활용
10~120
10
18
28
35
47
59
73
83
96
108
(001~009)중3쎈_해설 2015.2.13 12:29 PM 페이지2 SinsagoHitec
13
대푯값과 산포도
14
피타고라스 정리
0001 평균:
, 중앙값: 3, 최빈값: 3
14
5
0002 평균: 8, 중앙값: 8, 최빈값: 8, 9
0003 평균: 5, 중앙값: 5.5, 최빈값: 없다.
0004 중앙값: 67회, 최빈값: 74회 0005 3
0006 중앙값: 4개, 최빈값: 3개, 5개
0007 10시간
0008 2시간, -2시간, 5시간, -1시간, -4시간
0009 -5
0010 67점
0011 41개
0012
576
7
0017
65
3
0018
개'1ß9ß5
3
0078 '1å1
0079 '5
0080 2
0081 5'2
0082 x=8, y='ß73
0083 x=3, y=4'5
0084 x=2'ß13, y=2'ß22
0085 x=12, y=2'ß11
0086 ㈎ BF”(cid:100)㈏ SAS(cid:100)㈐ △LBF
0087 25cm¤
0088 12cm
0089 36cm¤
0090 64cm¤
0091 ㈎ (cid:8772)AGHB(cid:100)㈏ (a+b)¤ (cid:100)㈐ a¤ +b¤
0092 5cm
0093 20cm
0094 25cm¤
0097 7, 49
0098 ㈎ (a+b)¤ (cid:100)㈏ c¤ (cid:100)㈐ a¤ +b¤
1
2
1
2
0099 ㈀, ㈂, ㈅
0013
개 0014 30점
0015
점 0016 9개
0095 ㈎ (cid:8772)CFGH(cid:100)㈏ (a-b)¤ (cid:100)㈐ a¤ +b¤
0096 2, 4
24'7
7
20'3
3
0019 ②
0020 ⑤
0021 2시간
0022 ④
0023 12
0024 13.5
0025 114
0026 ①
0027 157.5
0028 15
0029 ①
0030 ⑤
0031 ⑤
0032 1
0033 45kg
0034 ③
0035 ⑤
0036 78점
0037 47kg
0100 60cm¤
0101 ③
0102 ④
0038 ②
0039 10
0040 ⑤
0041 ②
0103 ③
0104 ③
0105 25cm 0106 ⑤
0042 102
0043 63
0044 -6
0045 ③
0107 17
0108 3자
0109 ③
0110 ③
0046 18
0047 4
0048 ②
0049 ⑤
0111 6cm
0112 ②
0113 ⑤
0114 12 cm
0050 415
0051 ②
0052 ①
0053 ④
0115 ④
0116 ②
0117 6'5 cm 0118 ③
0054 76
0055 ②
0056 ①
0057 '6
0119 4'6 cm 0120 ②
0121 ⑴ '3 ⑵ 3
0058 1반
0059 ①
0060 ②
0061 선환
0122 ④
0123 '6
0124 ④
0125 ②
0062 ④
0063 D
0064 ①
0065 B반
0126 4-2'3
0127 9+4'5
0128 ⑤
0129 ①
0130 ④
0131 5
0132 14'3 cm¤ 0133 ①
0134 4'ß15 cm 0135 ②
0136 4'2cm 0137 ③
0138 5'3 cm¤
0139 57cm¤
0140 ③
0141 50cm¤
0142 ②
0143 ⑤
0144
cm 0145 ①
8'5
5
0066 ④
0067 16
0068 412
0146 ③
0147 ③
0148 24
0149 ⑤
0069 ③
0070 ⑤
0071 ③
0072 11점
0150 8'5
0151 ②
0152 ④
0153 ③
0073 ③
0074 ⑤
0075 15살
0076 5
0154 ③
0155 ②
0156 ①
0157 45 cm¤
0158 2'ß17cm 0159
cm 0160 ④
10
3
0077
11
3
2 빠른 정답 찾기
(001~009)중3쎈_해설 2015.2.13 12:29 PM 페이지3 SinsagoHitec
0161 ⑴ 8 ⑵ 10'5
0162 ①
0163
169
3
cm¤
0227 ②
0228 ④
0164 ②
0165
0166 ⑤
0167 6cm
7
4
0229 ⑴ 790°인 둔각삼각형 0285
56
5
cm 0286 'ß97
0287 24'2 cm¤ 0288 8'3 cm¤
15
피타고라스 정리와 도형
0207 2, 10, 6, 2'∂13, 2, 2'∂13
0208 8'290°인 둔각삼각형
0370
cm 0371 ①
0372 ③
0373 6('3+3)
10'3
3
0374 ⑴ 2'ß13 cm(cid:100)⑵
39'3
2
cm¤
0375 2('3+12)cm¤
0376 10('3-1)m
0377 3(2+'2)cm
0378 ④
0379 ⑤
0380 18(p-2)cm¤
0381
cm¤ 0382 2
3'6
2
0383 ③
0384 ⑤
0385 -2
0386 ②
0387 ⑴ 2'∂10 ⑵ 20
0388 ②
0389 ④
0390 ③
0391 ③
0392 5
0393 ④
0394 ②
0395 ④
0396 'ß10
0397 5+3'5
0398 ①
0399 10'2 m 0400 ②
0401 20'2 cm 0402 ④
0403
84
25
cm¤
0404 5'3 cm 0405 ⑤
0406 ④
0407 3
0408 ⑤
0409 ③
0410 ③
0411 4('2-1)m
0412 2'5
0413 ②
0414 ①
0415 :;!4#:%;
0416 3 : 4
0417
25'3
2
cm¤
0418
81
5
0419 A{
5
3
,
2'∂14
3
}
0420 9('3+1)
0421 3+3'3
0422 40'5 cm
0329 2'∂37
0330 65 cm¤
0331 6'2
0332 2
0333 15
0334 ③
0335 ②
0336 10'2 cm 0337 ③
0338 3'6
0339 ④
0340 ②
0341 ④
0342
cm 0343
56
5
21
5
cm
0344 4cm
0345 ④
0346 '∂21 cm 0347 75'3 cm¤
0348 ①
0349 6'3 cm¤
0350 ⑴
cm¤ (cid:100)⑵
'3
4
3'3
2
cm¤
0351 ②
0352 3'3
0353 ③
0354 ④
0355 ⑴ 6'3 cm(cid:100)⑵ 18'3 cm¤ 0356 8 cm
0357 ④
0358 ②
0359 48
0360 72cm
0361 ⑤
17
피타고라스 정리의 입체도형에의 활용
0423 7'2 cm 0424 3'3 cm
0425 9 cm
0426 8'3 cm 0427 4
0428 3'3
0429 5
0430 2'3
0431 h=4'5cm, V=
256'5
3
p cm‹
0432 5'3 cm
0362 ①
0363 ⑤
0364 2'6
0365 'ß79 cm
0433 56p cm‹
0434 12 cm
0435 100`p cm‹ 0436 6'2
0366 ④
0367 ②
0368 54'2
0369 ②
0437 3'2
0438 3'7
0439 36'7
4 빠른 정답 찾기
(001~009)중3쎈_해설 2015.2.13 12:29 PM 페이지5 SinsagoHitec
0440 h='6, V=2'6
0441 h=2'2, V=
0507 ⑴ 'ß10 cm ⑵
cm 0508 8'5 cm 0509 ③
2'ß30
3
0442 ㈎ 3'3(cid:100)㈏ 2'3(cid:100)㈐ 2'6(cid:100)㈑ 9'3(cid:100)㈒ 18'2 0443
0510 ⑴
B
C
D
(cid:100)⑵ '8å9 cm
8'2
3
3
2
'6
4
0444 1
0445 '2
0446
0447
0448 '∂10
0449 144'2
0450
0451 18'2
0452 ⑴
A
D
(cid:100)⑵ 5'5 cm
3'3
4
3'6
2
5`cm
0453 ⑴
4π
(cid:100)⑵ 5p
B
7`cm
3`cm
C
G
B
F
3π
A
0454 'ß47cm 0455 ④
0456 (10+5'2 ) cm
0457 4'ß26 cm¤ 0458 48
0459 40 cm
0460 ②
0461 ④
0462 ③
0463 ⑤
0464 4'3p cm‹ 0465 ②
0466 ③
0467 144 cm¤
0468 ④
0469 5'2 cm 0470 ⑤
0471 ③
0472 ⑤
0473 ⑤
0474 6(2+'2 )
0475 2
0476 ③
0477 120°
0478 ④
0479 ②
0480 ⑤
0481 6(1+'5)cm
0482 36(1+'2)p cm¤
0483 ①
0484 ②
0485 ②
0486 ④
0487 9'3p cm‹ 0488 8 cm
0489
4'5
3
p
0490 2'ß14cm,
32'∂14
3
cm‹
0491 ⑤
M
2Â10·`cm
F
5`cm
G
H
2`cm
0511 15 cm
0512 ④
0513 2'3p cm
0514 20p cm 0515 ②
0516 ②
0517 9cm
0518 6'5 cm 0519 ①
0520 6'2 cm
0521 6'7
0522 ②
0523 ⑤
0524 '5배
0525 4'ß15cm‹ 0526 ①
0527 2'2
0528 36
0529 ⑤
0530 12'3
0531
2'3
3
0532 ⑤
0533 8'ß13 cm 0534 9'2p cm‹
0535 9(1+'3 )p
0536 12'ß11 cm¤
0537 4'2
0538 ⑴ 6가지(cid:100)⑵ 5'5, 3'1å3, '∂137(cid:100)⑶ 3'1å3
0539 2 cm
0540 '∂130cm
18
삼각비
0541 sin A= , cos A= , tan A=
12
13
5
13
12
5
0542 sin B= , cos B= , tan B=
0543 2'5
5
13
'5
5
12
13
2'5
5
5
12
1
2
0544 sin C= , cos C=
, tan C=
0545 15
0546 9
0547 ㈎ AC”
”(cid:100)㈏ AB”(cid:100)㈐ CD”
0492 64'2cm‹ 0493 36'2
0494 ④
0548 ㈎ AB”(cid:100)㈏ BD”(cid:100)㈐ AC”
0549 ㈎ AB”(cid:100)㈏ BD”(cid:100)㈐ CD”
0495 ⑴ (36+24'∂10)cm¤ (cid:100)⑵ 12'∂31cm‹
0496
cm‹
9
8
0550
5'3
6
0551 0
0552 1
0497 ②
0498 12'2 cm¤ 0499 ④
0500 ③
0501 ⑴ '3 : 1(cid:100)⑵ 3 : 1
0502 4 cm
0503 ③
0504
3'2
2
cm¤
0505 51p cm¤
0506 ④
0554 '2
0555 1
0556
9
4
0558 60°
0559 45°
0560 30°
0561 x=4, y=4'3
0562 x=2'2, y=4
0553 '2
0557 '3
빠른 정답 찾기 5
”
(001~009)중3쎈_해설 2015.2.13 12:29 PM 페이지6 SinsagoHitec
0676 ⑤
0677
0678 ②
'6
9
0679 ②
0680
0681 ⑤
0682 ②
8'5
5
0683 ③
0684 75('3-1)
0687
7
12
0688 ⑤
0685 ③
0689
15
17
0691 ⑴ AB”=5, BC”='6å5, CA”=4'5(cid:100)
⑵ AD”=4, CD”=8
⑶ sin A=
2'5
5
'5
, cos A= , tan A=2
5
0693
0694 y= x+ 0695 0
3
4
7
2
0697
cm¤ 0698 6'2+4'6
'∂23
11
9'3
2
0686 ②
0690 ③
0692
0696
5
13
11
12
0699 -'3
0563 0.5736
0564 0.8192
0565 0.7002
0566 0.8192
0567 0.5736
0568 2
0569 0
0570 1
0571 -1
0572 0
0573 <
0574 >
0575 =
0576 <
0577 >
0578 <
0579 <
0580 >
0581 <
0582 0.3907
0583 0.9272
0584 0.4663
0585 22
0586 25
0587 24
4
5
3
2
7
9
0588 ③
0589 ⑤
0590
0591 ④
0592 ②
0593
0594 ⑤
0595 ④
0596 14
0597 54
0598 ②
0600 ③
0601 ⑤
0602 6-2'5
0603 ③
0604
0605 ④
0606
5'ß13
13
'2
3
'ß11
6
0608 ②
0609
0610 -;1∞3;
0612
24
25
0613 ②
0614 ④
0599
'5
5
0607
23
17
0611 ③
0615 ④
0616 ⑤
0617
0618 ③
0619 ⑤
0620 ①
0621 2
0622 ③
0623 ③
0624 ③
0625 ②, ⑤
0626 1
0627 -4
0628 ③
0629 -2
0630 35°
0631 30°
0632 ②
0633 1
0634 ②
0635 ③
0636 ④
0637 8'6
19
삼각비의 활용
0700 ⑴ a sin B ⑵ ,
acosB ⑶ ,
c tan B
c
a
b
c
0638
9'6
2
0642 2'3
0639 5'7 cm 0640 ②
0641 ③
⑷ a sinC ⑸ ,
a cos C ⑹ ,
b tan C0700
b
a
c
b
0643 ①
0644 ③
0701 ⑴ 10, 5'3 ⑵ 10, 5
0645 ⑴ 2+'3(cid:100)⑵ 2-'3
0646 ⑤
0702 ⑴ 4, 4'2 ⑵ 4, 4
0703 x=3.84, y=4.62
0647 y=x-3 0648 60°
0649 ①
0650 ④
0704 x=5.74, y=3.99
0705 4'3 cm 0706 8cm
0651 ⑤
0652 ④
0653 ⑤
0654 ③
0707 4'7 cm 0708 12
0709 8'3
0655 ④
0656 ③
0657 ⑤
0658 ;2!;
0659
+1
0660 ④
0661 ⑤
0662 ③
'2
4
0663 ②
0664 ②
0665 ①
0666 ④
0667 ⑤
0668 0
0669 60°
0670 ②
0671 3.0734
0672 ⑤
0673 13.524
0674 36.325
0710 ㈎ '3(cid:100)㈏ 1(cid:100)㈐ 5('3-1) 0711 h
0712
'3
3
h
0713 3+'3
0714 14 cm¤
0715 15'2 cm¤
0716 ㈎ absin(180°-x) ㈏ absin(180°-x)
0717 21'2 cm¤
0718 55'3 cm¤
0719 ㈎
1
㈏ ab
2
0720 33'3 cm¤ 0721 16 cm¤
1
2
1
2
0675 1.3554
6 빠른 정답 찾기
(001~009)중3쎈_해설 2015.2.13 12:29 PM 페이지7 SinsagoHitec
0722 1.53
0723 ⑤
0724 ②, ③
20
원과 직선
0725 ②
0726 ①
0727 72'3p cm‹
0728 ②
0729 30.2m 0730 3.57m 0731 ③
0732 ②
0733 50'3 m 0734 ④
0735 ('3+1)m
0736 ⑤
0737 ②
0738 ④
0739 35초
0740 ②
0741 4'7 cm
0742 2'ß13
0743 ③
0744 ⑤
0745 ③
0746 14 cm
0747 ④
0748
5'2
8
0749 5'6 m
0750 ⑤
0751 ②
0752 26.199 m
0753 40('3-1)m
0754 3'3
0755 ③
0756 ⑤
0757 ④
0758 9(3+'3)cm¤
0759 ①
0760 ④
0761 45°
0762 6'2 cm¤
0763 ②
0764 ④
0765
27
4
0766 ④
0767 ①
0768 135°
0769 ②
0770 4p-3'3
0771 ④
0772 ①
0773 18+
21'2
2
0774 ④
0775 ②
0776 (2+'3)cm¤
0777 40+3'ß51 0778 ①
0779 32'2 cm¤ 0780 ⑤
0781 8'6 cm 0782 15'3
0783 ②
0784 ②
0785 ⑤
0786 45°
0787 27cm¤
0788 ②
0789 ⑤
0790 (10'3-6)m
0791 ②
0792 4('3+1)
0793 ④
0794 ②
0795 ④
0796
cm
7
4
0797
3
5
0798 ③
0799 ③
0800 ⑴ 20cm(cid:100)⑵ 4cm
0801
'ß15
3
0802 {3+
3'3
2
cm
}
0803 7 cm
0804
3'2
2
0805 99'3
0806 ㈎ OB” ㈏ RHS ㈐ BM” 0807 16
0808 4'∂14
0809 3
0810 10'2
0812 2
0816 7
0813 12
0814 6
0817 ㈃, ㈅
0811 7
0815 6
0818 ㈎ ∠PBO ㈏ OB” ㈐ RHS ㈑ PB”
0819 60°
0820 110°
0821 6cm
0822 2'∂13 cm 0823 8-x
0824 10-x
0825 3
0826 풀이 83쪽 0827 13
0828 AF”=5-r, CF”=12-r
0829 2
0830 10
0831 3
0832 ④
0833 ④
0834 2'ß21cm¤
0835 ④
0836 ④
0837 20p cm 0838
15
2
cm
0839 ②
0840 ④
0841 ⑤
0842 ⑤
0843 ①
0844 9'5 cm¤
0845 25p cm¤
0846 ⑤
0847 ④
0848
cm¤ 0849 5 cm
0850 10 cm
9'3
4
0851 ⑤
0852 ④
0853 12
0854 ③
0855 16 cm
0856 ④
0857 100°
0858 ③
0859 ③
0860 12p cm¤
0861 ④
0862 ④
0863 25p cm¤
0864 ③
0865 ③
0866 64°
0868 4'3 cm¤
0869 ②
0870 ①
0872 4'3 cm 0873 ③
0874 3'3 cm¤
0875
cm 0876 5cm
0877 ②
0878 12cm
0867 ③
0871 ⑤
16'5
5
0879 ③
0880 ②
0881 8'3 cm 0882 ③
0883 90°
0884 ③
0885 30cm
0886 ④
0887 32'∂15 cm¤
0888 10'6 cm¤ 0889 ⑤
0890 8'2 cm 0891 ②
0892 ③
0893 16
0894 ③
0895 7 cm
0896 ④
0897 ③
빠른 정답 찾기 7
(001~009)중3쎈_해설 2015.2.13 12:29 PM 페이지8 SinsagoHitec
0898 ①
0899 4p cm¤
0900 60 cm¤
0963 ①
0964 48°
0965 ③
0901 8cm
0902 ②
0903 16 cm
0904 ④
0966 ②
0967 ④
0968 ③
0969 ③
0905 ③
0906 54cm¤
0907 2'ß10 cm 0908 ③
0970 24°
0971 ④
0972 ④
0973 ①
0909 ④
0910 36 cm
0911 ③
0912 3.5 cm
0974 ④
0975 72°
0976 ⑤
0977 ③
0913 ②
0914 2cm
0915 2 cm
0916 4 cm
0978 ③
0979 ②
0980 70°
0981 ③
0917 ③
0918 2'2 cm
0919 ①
0920 12p-9'3 0921 ④
0922 9'3 cm¤
0923 ②
0924 ④
0925 ⑤
0926 1.5 cm 0927 ③
0928
21
10
0929 ④
0930 7cm
0931 (8+2p)cm
0932
36
7
cm
15
2
15
2
0939 {
16'3- p
}
cm¤
16
3
0940
cm 0941 6 cm
0942 3
0943 4
0944 {96-
576
25
p} cm¤
0945 6 cm¤
0946 36p cm¤
0933 ⑤
0934 8
0935 5p
0936 4'2
1018 20
1019 ⑤
1020 배
1021 100°
1
3
0937 80'5 cm¤
0938
cm
1022 ②
1023 ③
1024 ④
1025 113°
0982 40°
0983 ②
0984 30°
0985 50°
0986 ④
0987 ④
0988 ③
0989 75°
0990 70°
0991 ①
0992 ⑤
0993 65°
0994 16'2 cm 0995 ⑤
0996 ②
0997 ④
0998
2'3
7
0999 ②
1000 12+4'3 1001 3'3 cm
1002 ⑤
1003 30°
1004 ③
1005 125°
1006 ④
1007 36°
1008 60°
1009 ③
1010 ①
1011 60°
1012 ②
1013 ④
1014 9cm
1015 7p
1016 ③
1017 ①
1026 ⑤
1027 ④
1028 115°
1029 ②
1030 ④
1031 ①
1032 15 cm
1033 ⑤
1034 96°
1035 ③
1036 10°
1037 ②
1038 20°
1039 ④
1040 95°
1041 ③
1042 216°
1043 225°
1044 ②, ④
1045 ②
1046 100°
1047 ②
0947 30°
0948 47°
0949 60°
0951 ㈎ ∠PAO(cid:100)㈏ ∠BPO(cid:100)㈐ ∠APB(cid:100)㈑ ∠AOB
1048 ②
1049 2p
1050 ④
0952 33°
0953 23°
0954 90°
0955 35°
1051 ③
1052 ③
1053 80°
1054 ④
0956 35
0957 7
0958 54
0959 25
1055 9
1056 ②
1057 ⑤
1058 ③
0960 ㈎ (cid:100)㈏ (cid:100)㈐ 180°(cid:100)㈑ ∠DCE
0961 73°
1059 ②
p
1060 -1
2
1061 92°
1062
'3
2
1063 2'3 cm 1064 21°
1065 115°
1066 66°
21
원주각
0950 60°
1
2
1
2
0962 93°
8 빠른 정답 찾기
(001~009)중3쎈_해설 2015.2.13 12:29 PM 페이지9 SinsagoHitec
22
원주각의 활용
1176 ②
1177 ②
1178 6 cm
1179
20
3
cm
1067 ㈁, ㈃ 1068 38°
1069 20°
1180 10
1181 4'6
1182 2cm
1070 77°
1071 25°
1072 ㈁, ㈂ 1073 70°
1183 ②
1184 5cm
1185 ③
1074 65°
1075 68°
1076 55°
1077 72°
1186 ㈎ AH”(cid:100)㈏ ∠ABD(cid:100)㈐ ∠ADB
1187 ③
1188 ⑤
1189 65°
1190 ③
1191 ①
1192 3'5p
1193 ④
1194 ③
1195 60°
1196 73p
1197 8
1198
cm¤ 1199 ③
1200 ④
1201 24 cm¤
15
2
1202 ㈀, ㈂, ㈃
1203 77.5°
1204 30°
1205 105°
1206 84°
1207
'3
2
1208
55'3
2
1209 1
1210 100p cm¤ 1211 ⑴ 4cm(cid:100)⑵
54
25
cm¤
1099 ②, ⑤ 1100 ⑤
1101 ⑤
1102 ③
1103 ①
1104 50°
1105 ②, ④
1212 18p
1078 105°
1079 48°
1080 68°
1081 90°
1082 65°
1083 3
1084 6
1085 15
1086
31
5
1087 ㈎ ∠PBD ㈏ AA ㈐ PB”
1088 2, 16, 4 1089 6, 6, 6, 4
1090 4, 4, 4, 10, 2'∂14
1091 3
1092 4
1093 5
1097 8
1094 6
1098 9
1095 18
1096 3'5
1106 ②
1107 ②
1108 ㈎ ∠APB(cid:100)㈏ ∠CRD(cid:100)㈐ 360°(cid:100)㈑ 180°1109 ③
1110 ⑤
1111 6cm
1112 ①
1113 84°
1114 40°
1115 36°
1116 ④
1117 20°
1118 60°
1119 ⑤
1120 44°
1121 32°
1122 ②
1123 ②
1124 ④
1125 ②
1126 60°
1127 ⑤
1128 53°
1129 ④
1130 2'6 cm 1131 ⑤
1132 63°
1133 ①
1134 254°
1135 80°
1136 ②
1137 ①
1138 65°
1139 ③
1140 14
1141 3
1142 ④
1143
24
5
cm 1144 3'3 cm 1145 ⑤
1146 2'ß10 cm 1147 16p cm¤
1148 ⑤
1151 8'2p cm 1152 ⑤
1149 ②
1153 ④
1155 ②
1159 3
1156 4'ß22p
1157 ②
1160 ③
1161 ⑤
1150 ③
1154 3
1158 9
1162 ②
1163 2 cm
1164 ④
1165 4 cm
1166 ⑤
1167 6
1168 ①
1169 ㈀, ㈂, ㈃
1170 ④
1172 ④
1173 ②
1174 ①
1171
13
2
cm
1175 4'3å1
빠른 정답 찾기 9
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지10 SinsagoHitec
(cid:9120) 평균: 8, 중앙값: 8, 최빈값: 8, 9
0014
10_4+20_6+30_8+40_10+50_2
30
13
대푯값과 산포도
0001
(평균)
1+2+3+3+5
5
14
5
=
=
(중앙값)=3, (최빈값)=3
(cid:9120) 평균:
, 중앙값: 3, 최빈값: 3
14
5
0002
(평균)
9+7+8+9+8+5+10
7
56
= =
7
8
=
변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
5, 7, 8, 8, 9, 9, 10
따라서 중앙값은 8, 최빈값은 8, 9이다.
0003
(평균)
7+1+5+8+6+3
6
30
5
= =
6
=
변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면(cid:100)(cid:100)1, 3, 5, 6, 7, 8
따라서 중앙값은
5.5이고, 최빈값은 없다.
5+6
2
=
(cid:9120) 평균: 5, 중앙값: 5.5, 최빈값: 없다.
줄기와 잎 그림의 변량은 작은 값부터 순서대로 나열되
0004
어 있으므로 중앙에 있는 값은 67이다. 즉 중앙값은 67회이다.
또 가장 많이 나타난 값이 74이므로 최빈값은 74회이다.
(cid:9120) 중앙값: 67회, 최빈값: 74회
0005
3+6+5+x+5+2+4
7
4
=
25+x=28(cid:100)(cid:100)∴ x=3
(cid:9120) 3
0006
변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
2, 3, 3, 4, 5, 5, 6
따라서 중앙값은 4개, 최빈값은 3개, 5개이다.
(cid:9120) 중앙값: 4개, 최빈값: 3개, 5개
0007
0008
12+8+15+9+6
5
=
50
5
=10(시간)
(cid:9120) 10시간
평균이 10시간이므로 각 변량에 대한 편차를 구하면
2시간, -2시간, 5시간, -1시간, -4시간
(cid:9120) 2시간, -2시간, 5시간, -1시간, -4시간
0009
편차의 합이 0이므로
3+(-1)+2+x+1=0주어∴ x=-5
(cid:9120) -5
0010
학생 C의 영어 점수를 a점이라 하면
a-65=2주어∴ a=67
(cid:9120) 67점
0011
25+44+38+35+52+40+53
7
=
287
7
=41(개)
10 정답 및 풀이
평균이 41개이므로 분산은
{(25-41)¤ +(44-41)¤ +(38-41)¤ +(35-41)¤
+(52-41)¤ +(40-41)¤ +(53-41)¤ }
0012
1
7
=
576
7
0013
분산이
이므로 표준편차는
576
7
576
7
æ≠
24
= =
'7
24'7
7
(개)
(cid:9120)
576
7
(cid:9120)
24'7
7
개
(cid:9120) 30점
0015
점수
도수
(편차)¤
(편차)¤ _(도수)
=
900
30
=30(점)
편차
-20
-10
0
10
20
400
100
0
100
400
10
20
30
40
50
합계
4
6
8
10
2
30
(cid:100)(cid:100)∴ (표준편차)=æ≠
4000
30
=
20'3
3
(점)
(cid:9120)
20'3
3
점
0016
도수
계급값
(계급값)_(도수)
계급
0이상~ 4미만
4이상~ 8미만
8이상~ 12미만
12이상~ 16미만
16이상~ 20미만
합계
4
6
8
4
2
24
편차
-7
-3
1
5
9
2
6
10
14
18
4
6
8
4
2
합계
24
2
6
10
14
18
49
9
1
25
81
∴ (평균)=
=9(개)
216
24
(cid:9120) 9개
0017 계급값
도수
(편차)¤
(편차)¤ _(도수)
1600
600
0
1000
800
4000
8
36
80
56
36
216
196
54
8
100
162
520
(cid:9120) 41개
∴ (분산)=
520
24
=
65
3
(cid:9120)
65
3
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지11 SinsagoHitec
0018
분산이 이므로 표준편차는
65
3
'1ß9ß5
3
(cid:100)(cid:100)æ≠ =
65
3
(개)
(cid:9120)
개'1ß9ß5
3
0019
a, b, c의 평균이 10이므로(cid:100)(cid:100)
a+b+c
3
=10
∴ a+b+c=30
따라서 5개의 변량 7, a, b, c, 13의 평균은
7+a+b+c+13
5
=
20+a+b+c
5
=
20+30
5
50
= =10
5
본책 9~11쪽
1
3
대
푯
값
과
산
포
도
0024
1모둠의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
2, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 10, 11, 14
이므로 중앙값은(cid:100)(cid:100)
=7(개)(cid:100)(cid:100)∴ a=7
2모둠의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
1, 2, 3, 4, 6, 7, 7, 8, 9, 15
이므로 중앙값은 (cid:100)(cid:100)
=6.5(개)(cid:100)(cid:100)∴ b=6.5
7+7
2
6+7
2
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=13.5
0020
① 대푯값은 자료 전체의 특징을 대표적으로 나타내는
값이다.
② 대푯값은 평균, 중앙값, 최빈값 등이 있다.
③ 평균은 전체 변량의 총합을 변량의 개수로 나눈 값이다.
④ 평균은 모든 자료의 값을 포함하여 계산한다.
113+115
2
=114
0026
최빈값은 독서이다.
(cid:9120) 13.5
(cid:9120) 114
(cid:9120) ①
(cid:100)… ➊
(cid:100)… ➌
(cid:100)… ➍
(cid:9120) 157.5
30%
30%
30%
10%
(cid:9120) 15
(cid:9120) ②
0025
자료의 변량은 모두 18개이므로 중앙값은 변량을 작은
값부터 순서대로 나열할 때 9번째, 10번째 오는 두 값의 평균이
다. 즉 중앙값은
주어진 도수분포표에서 도수가 가장 큰 것은 독서이므로
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) 2시간
0027
주어진 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
56, 56, 58, 60, 62, 65, 68, 71, 71, 72,
75, 76, 77, 77, 77, 78, 80, 80, 80, 80,
83, 85, 86, 88, 88, 89, 92, 93, 94, 95
이므로 중앙값은(cid:100)(cid:100)
=77.5(점)(cid:100)(cid:100)∴ a=77.5 … ➋
77+78
2
최빈값은 80점이므로(cid:100)(cid:100)b=80
∴ a+b=77.5+80=157.5
➊ 변량을 작은 값부터 순서대로 나열할 수 있다.
➋ a의 값을 구할 수 있다.
➌ b의 값을 구할 수 있다.
➍ a+b의 값을 구할 수 있다.
(cid:9120) ④
0028
도수의 합이 25명이므로 중앙값은 변량을 작은 값부터
순서대로 나열할 때 13번째 오는 값이 속하는 계급, 즉 2시간 이
상 4시간 미만인 계급의 계급값이다.
yy ㉠(cid:100)(cid:100)… ➊
최빈값은 도수가 가장 큰 계급의 계급값이므로
∴ a=
2+4
2
=3
b=
4+6
2
=5
∴ ab=3_5=15
yy ㉡(cid:100)(cid:100)… ➋
㈁ 중앙값은 자료의 모든 정보를 활용한다고 볼 수 없다.
0029
㈂ 최빈값은 없을 수도 있고, 2개 이상일 수도 있다.
이상에서 옳은 것은 ㈀뿐이다.
(cid:9120) ①
… ➌
(cid:9120) 12
30%
30%
40%
0030
5회의 성적을 x점이라 하면
90+85+89+92+x
5
=90
356+x=450(cid:100)(cid:100)∴ x=94
(cid:9120) ⑤
13 대푯값과 산포도 11
0021
1+0+2+2+1+3+5
7
14
7
= =2(시간)
0022
a, b, c, d, e의 평균이 20이므로
a+b+c+d+e
5
=20
(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c+d+e=100
따라서 3a-4, 3b-1, 3c, 3d-1, 3e-4의 평균은
(cid:100)(cid:100)
(3a-4)+(3b-1)+3c+(3d-1)+(3e-4)
5
=
3(a+b+c+d+e)-(4+1+1+4)
5
=
3_100-10
5
=
290
5
=58
0023
도수의 합이 10명이므로
(cid:100)(cid:100)2+x+y+1=10(cid:100)(cid:100)∴ x+y=7
10명의 학생의 통학 시간의 평균이 18분이므로
5_2+15_x+25_y+35_1
10
=18
15x+25y=135
(cid:100)(cid:100)∴ 3x+5y=27
㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)x=4, y=3
(cid:100)(cid:100)∴ xy=12
➊ 도수의 합을 이용하여 x, y에 대한 식을 세울 수 있다.
➋ 평균을 이용하여 x, y에 대한 식을 세울 수 있다.
➌ xy의 값을 구할 수 있다.
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지12 SinsagoHitec
최빈값이 80점이므로(cid:100)(cid:100)x=80
0031
이때 4회까지의 평균은
100+60+80+80
4
=80(점)
따라서 C의 몸무게는
-5+52=47(kg)
5회까지의 평균은 80점에서 3점이 오른 83점이므로 5회의 성적
을 a점이라 하면
➊ C의 몸무게의 편차를 구할 수 있다.
➋ C의 몸무게를 구할 수 있다.
100+60+80+80+a
5
=83
(cid:100)(cid:100)320+a=415(cid:100)(cid:100)∴ a=95
(cid:9120) ⑤
… ➋
(cid:9120) 47kg
50%
50%
0032
주어진 자료의 평균이 45분이므로
46+36+30+x+41+90+30
7
=45
273+x=315
(cid:100)(cid:100)∴ x=42
변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
30, 30, 36, 41, 42, 46, 90
이므로(cid:100)(cid:100)y=41
∴ x-y=42-41=1
0033
동아리를 탈퇴한 학생의 몸무게를 x kg이라 하면
=50.1,탈퇴2550-x=2505
51_50-x
50
∴ x=45
0034
e cm라 하면
a+b+c+d+e
5
=163.5
∴ a+b+c+d+e=817.5
F의 키가 171 cm이므로
a+b+c+171+e
5
=164
a+b+c+171+e=820
yy ㉡㉠㉠
(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c+e=649
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)649+d=817.5
(cid:100)(cid:100)∴ d=168.5
이때 A, B, C, D, E의 중앙값이 163 cm이고 168.5>163,
171>163이므로 D 대신 F를 포함한 A, B, C, F, E의 키의 중
앙값은 163 cm로 변하지 않는다.
(cid:9120) ③
0035
4회의 편차를 x점이라 하면 편차의 합은 0이므로
0038
편차의 합은 0이므로
-3+(-1)+3+0+x=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1
따라서 분산은
(-3)¤ +(-1)¤ +3¤ +0¤ +1¤
5
=
:™5º:
=4
0039
주어진 자료의 평균은
4+3+7+12+11+5+7
7
49
7
= =7(회)
이므로 분산은
이므로 표준편차는(cid:100)(cid:100)'4=2 (cm)
(cid:9120) ②
(cid:9120) 1
(-3)¤ +(-4)¤ +0¤ +5¤ +4¤ +(-2)¤ +0¤
7
=
:¶7º:
=10
(cid:9120) 10
0040
주어진 변량의 평균이 8이므로
(cid:9120) 45kg
5+7+10+8+x
5
따라서 분산은
=8,(cid:100)(cid:100)30+x=40(cid:100)(cid:100)∴ x=10
yy ㉠㉠㉠
0041
변량 4, 10, x, y, 5의 평균이 6이므로
4+10+x+y+5
5
=6,(cid:100)(cid:100)x+y+19=30
yy ㉠㉠㉠
(cid:100)(cid:100) {(4-6)¤ +(10-6)¤ +(x-6)¤ +(y-6)¤ +(5-6)¤ }
∴ x+y=11
또 분산이 4.4이므로
1
5
(cid:100)=4.4
∴ x¤ +y¤ -12(x+y)+93=22
위의 식에 ㉠을 대입하면
x¤ +y¤ -12_11+93=22
∴ x¤ +y¤ =61
0042
세 수 x, y, z의 평균이 10이므로
x+y+z
3
=10㉠㉠∴ x+y+z=30
yy ㉠(cid:100)(cid:100)… ➊
(cid:9120) ②
또 x, y, z의 분산이 2이므로
(x-10)¤ +(y-10)¤ +(z-10)¤
3
=2
(x-10)¤ +(y-10)¤ +(z-10)¤ =6
∴ x¤ +y¤ +z¤ -20(x+y+z)+300=6
위의 식에 ㉠을 대입하면
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) 78점
A, B, C, D, E의 키를 각각 a cm, b cm, c cm, d cm,
(-3)¤ +(-1)¤ +2¤ +0¤ +2¤
5
=
:¡5•:
=3.6
(cid:9120) ⑤
C의 몸무게의 편차를 xkg이라 하면 편차의 합은 0이므로
0037
(cid:100)(cid:100)3+(-1)+x+2+1=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-5
… ➊
x¤ +y¤ +z¤ -20_30+300=6
∴ x¤ +y¤ +z¤ =306
… ➋
2+0+(-3)+x=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=1
따라서 4회의 수학 시험 점수는
1+84=85(점)
0036
3+75=78(점)
12 정답 및 풀이
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지13 SinsagoHitec
따라서 x¤ , y¤ , z¤ 의 평균은
x¤ +y¤ +z¤
3
=
306
3
=102
또 a+3, b+3, c+3, d+3, e+3의 분산은
… ➌
(cid:100)(cid:100) {(a+3-9)¤ +(b+3-9)¤ +(c+3-9)¤
(cid:9120) 102
+(d+3-9)¤ +(e+3-9)¤ }
1
5
1
5
= {(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ +(d-6)¤ +(e-6)¤ }
본책 12~14쪽
1
3
대
푯
값
과
산
포
도
➊ x+y+z의 값을 구할 수 있다.
➋ x¤ +y¤ +z¤ 의 값을 구할 수 있다.
➌ x¤ , y¤ , z¤ 의 평균을 구할 수 있다.
30%
50%
20%
=4 (∵ ㉡)
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
a+b+c
3
=10
따라서 구하는 평균은 9, 표준편차는 '4=2이다.
(평균)=6+3=9, (표준편차)=1_2=2
(cid:9120) ③
0046
a, b, c의 평균과 표준편차가 각각 10, 4이므로
(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤
3
=16
… ➊
이때 3a, 3b, 3c의 평균 m은
m=
3a+3b+3c
3
=3_
a+b+c
3
=3_10=30
3a, 3b, 3c의 분산 n¤ 은
n¤ =
(3a-30)¤ +(3b-30)¤ +(3c-30)¤
3
n¤ =
9{(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ }
3
n¤ =9_
(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤
3
=9_16=144
yy ㉠(cid:100)(cid:100)… ➊
∴ n='ƒ144=12
∴ m-n=30-12=18
0043
변량 10, 11, a, b, 13의 평균이 10이므로
10+11+a+b+13
5
=10,(cid:100)(cid:100)a+b+34=50
∴ a+b=16
또 분산이 4이므로
(cid:100)(cid:100) {(10-10)¤ +(11-10)¤ +(a-10)¤
+(b-10)¤ +(13-10)¤ }
1
5
=4
∴ a¤ +b¤ -20(a+b)+210=20
위의 식에 ㉠을 대입하면
a¤ +b¤ -20_16+210=20
∴ a¤ +b¤ =130
따라서 (a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab에 ㉠, ㉡을 대입하면
16¤ =130+2ab,(cid:100)(cid:100)2ab=126(cid:100)(cid:100)∴ ab=63
(cid:9120) 63
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
0044
편차의 합은 0이므로
a+4+(-2)+b+(-1)=0(cid:100)
∴ a+b=-1
분산이 6.8이므로
a¤ +4¤ +(-2)¤ +b¤ +(-1)¤
5
=6.8
a¤ +b¤ +21=34(cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ =13
yy ㉡(cid:100)(cid:100)… ➋
따라서 (a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab에 ㉠, ㉡을 대입하면
(-1)¤ =13+2ab,(cid:100)(cid:100)2ab=-12
∴ ab=-6
… ➋
… ➌
(cid:9120) 18
30%
50%
20%
➊ 평균과 표준편차를 이용하여 a, b, c에 대한 식을 세울 수 있다.
➋ m, n의 값을 구할 수 있다.
➌ m-n의 값을 구할 수 있다.
0047
변량 x¡, x™, y, x«의 평균을 m이라 하면
x¡+x™+y+x«
n
=m
또 변량 x¡, x™, y, x«의 표준편차가 2이므로
(x¡-m)¤ +(x™-m)¤ +y+(x«-m)¤
n
=4
변량 2x¡+1, 2x™+1, y, 2x«+1의 평균은
(2x¡+1)+(2x™+1)+y+(2x«+1)
n
(cid:100)(cid:100)
(cid:100)=
2(x¡+x™+y+x«)+n
n
=2m+1
변량 2x¡+1, 2x™+1, y, 2x«+1의 분산은
… ➌
(cid:9120) -6
20%
40%
40%
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
➊ a+b의 값을 구할 수 있다.
➋ a¤ +b¤``의 값을 구할 수 있다.
➌ ab의 값을 구할 수 있다.
0045
a, b, c, d, e의 평균이 6이므로
a+b+c+d+e
5
=6
∴ a+b+c+d+e=30
또 표준편차가 2이므로
1
5
=4
(cid:100)(cid:100) {(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ +(d-6)¤ +(e-6)¤ }
(cid:100)(cid:100) {(2x¡+1-2m-1)¤ +(2x™+1-2m-1)¤
a+3, b+3, c+3, d+3, e+3의 평균은
a+b+c+d+e+15
5
=
30+15
5
=9 (∵ ㉠)
(cid:100)=4_ {(x¡-m)¤ +(x™-m)¤ +y+(x«-m)¤ }=4_4=16
따라서 구하는 표준편차는 '1å6=4이다.
(cid:9120) 4
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100) +y+(2x«+1-2m-1)¤ }
1
n
1
n
13 대푯값과 산포도 13
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지14 SinsagoHitec
1
10
70
10
1
10
58
10
1
20
0048
주어진 자료의 평균은
2_1+6_2+10_5+14_10+18_2
20
=
240
20
=12(점)
계급값
도수
(편차)¤
(편차)¤ _(도수)
편차
-10
-6
-2
2
6
100
36
4
4
36
2
6
10
14
18
합계
1
2
5
10
2
20
100
72
20
40
72
304
따라서 분산은
6000
35
=
1200
7
이므로
B=7, C=1200
∴ A÷B_C=7÷7_1200=1200
주어진 히스토그램을 이용하여
0052
도수분포표를 만들면 오른쪽과 같다.
주어진 자료의 평균은
(cid:100)(cid:100) (4_2+6_4+8_2
+10_1+12_1)
따라서 분산은(cid:100)(cid:100)
=15.2
304
20
(cid:9120) ②
= =7(kg)
따라서 분산은
계급값(kg) 도수(개)
(cid:9120) ②
2
4
2
1
1
4
6
8
10
12
합계
10
0049
⑤ (표준편차)=æ≠
{(편차)¤ _(도수)}의 총합
(도수)의 총합
(cid:100)(cid:100) {(4-7)¤ _2+(6-7)¤ _4+(8-7)¤ _2
(cid:9120) ⑤
+(10-7)¤ _1+(12-7)¤ _1}
= =5.8
(cid:9120) ①
∴ a+b+c+d+e=25+75+17+289+9
=415
(cid:9120) 415
=
2400
20
=120
0 이상 10 미만인 계급의 계급값이 5, 편차가 -13이므로
이므로 표준편차는(cid:100)(cid:100)"ç120=2'∂30(kg)
(평균)=5-(-13)=18 (개)
a=25, b=25_3=75
0050
주어진 자료의 평균은
10+60+75+35
10
=
180
10
=18(개)
이므로(cid:100)(cid:100)c=35-18=17
∴ d=17¤ _1=289
따라서 분산은
338+36+147+289
10
=
810
10
=81
이므로(cid:100)(cid:100)e='8ß1 =9
0051
1+4+A+10+8+5=35이므로
28+A=35(cid:100)(cid:100)∴ A=7
주어진 자료의 평균은
=
2625
35
=75(점)
계급값
도수
(편차)¤
(편차)¤ _(도수)
편차
-30
-20
-10
0
10
20
900
400
100
0
100
400
45
55
65
75
85
95
1
4
7
8
5
10
합계
35
900
1600
700
0
800
2000
6000
14 정답 및 풀이
0053
주어진 자료의 평균은
(cid:100)(cid:100)
35_2+45_4+55_8+65_4+75_2
2+4+8+4+2
=
1100
20
=55(kg)
따라서 분산은
(cid:100)(cid:100) {(35-55)¤ _2+(45-55)¤ _4+(55-55)¤ _8
+(65-55)¤ _4+(75-55)¤ _2}
∴ a=30
0054
은 10명이므로
계급값이 75점인 계급의 도수를 x명이라 하면 도수의 합
1+2+x+2=10(cid:100)(cid:100)∴ x=5
… ➊
주어진 자료의 평균은
(cid:100)(cid:100) {(55-73)¤ _1+(65-73)¤ _2+(75-73)¤ _5
따라서 분산은
1
10
=
760
10
=76
+(85-73)¤ _2}
(cid:9120) ④
… ➌
(cid:9120) 76
20%
40%
40%
➊ 계급값이 75점인 계급의 도수를 구할 수 있다.
➋ 평균을 구할 수 있다.
➌ 분산을 구할 수 있다.
(cid:100)(cid:100)
45_1+55_4+65_7+75_10+85_8+95_5
35
(cid:100)(cid:100)
55_1+65_2+75_5+85_2
10
=
730
10
=73(점) … ➋
≠
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지15 SinsagoHitec
본책 14~18쪽
1
3
대
푯
값
과
산
포
도
0055
남학생과 여학생의 영어 성적의 평균이 같으므로
0061
점수의 변동이 가장 작은 선환이의 표준편차가 가장 작다.
(cid:9120) 선환
(분산)=
20_6¤ +20_4¤
40
=
1040
40
=26
∴ (표준편차)='2ß6 (점)
0056
남학생과 여학생의 점수의 평균이 같으므로
(분산)=
4_4+6_9
10
70
= =7
10
0057
a, b의 평균이 4이므로
(cid:9120) ②
(cid:9120) ①
=4(cid:100)(cid:100)∴ a+b=8
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
0062
표준편차가 작을수록 변량이 평균 주위에 더 집중된다.
따라서 성적이 가장 고른 학급은 표준편차가 가장 작은 D이다.
0063
주어진 표준편차에서 분산을 차례로 구해 보면
7¤ =49, (4'3 )¤ =48, (5'2 )¤ =50, (3'5 )¤ =45
키의 격차가 작을수록 표준편차와 분산이 작으므로 키의 격차가
가장 작은 반은 D이다.
=1(cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ -8(a+b)+32=2
위의 식에 ㉠을 대입하면(cid:100)(cid:100)a¤ +b¤ -8_8+32=2
0064
2반의 표준편차가 가장 크므로 2반 학생들의 성적이 1반
과 3반보다 넓게 퍼져 있다. 그러나 성적이 가장 우수한 학생이
속해 있는 학급이나 90점 이상인 학생 수는 알 수 없다.
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
이상에서 옳은 것은 ㈀뿐이다.
=6(cid:100)(cid:100)∴ c+d=12
yy ㉢(cid:100)(cid:100)
0065
A반 회원의 평균은
1_1+2_2+3_4+4_2+5_1
10
30
10
= =3(권)
=9(cid:100)(cid:100)∴ c¤ +d¤ -12(c+d)+72=18
B반 회원의 평균은
1_2+2_4+3_3+4_1
10
23
10
= =2.3(권)
… ➊
yy ㉣(cid:100)(cid:100)
따라서 B반 회원이 대여한 책의 수가 평균을 중심으로 더 모여
있으므로 더 고르다고 할 수 있다.
… ➋
a, b의 분산이 1이므로
(a-4)¤ +(b-4)¤
2
∴ a¤ +b¤ =34
c, d의 평균이 6이므로
a+b
2
c+d
2
c, d의 분산이 9이므로
(c-6)¤ +(d-6)¤
2
(cid:9120) ④
(cid:9120) D
(cid:9120) ①
(cid:9120) B반
60%
40%
위의 식에 ㉢을 대입하면(cid:100)(cid:100)c¤ +d¤ -12_12+72=18
∴ c¤ +d¤ =90
따라서 a, b, c, d의 평균은
(cid:100)(cid:100)
a+b+c+d
4
=
8+12
4
이고, 분산은
=5 (∵ ㉠, ㉢)
(cid:100)(cid:100)
(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤
4
a¤ +b¤ +c¤ +d¤ -10(a+b+c+d)+100
4
34+90-10(8+12)+100
4
(∵ ㉠, ㉡, ㉢, ㉣)
(cid:100)=
(cid:100)=
24
(cid:100)= =6
4
이므로 표준편차는 '6이다.
(cid:9120) '6
➊ A, B반의 평균을 구할 수 있다.
➋ 자료의 분포가 더 고른 반을 구할 수 있다.
0066
한다.
구하는 값을 x로 놓고 평균을 구하여 실제 평균과 비교
69점을 받은 과목을 제외한 11개 과목의 총점을 A점이라
하고, 69점을 x점으로 잘못 보았다고 하면
+1=
,㉠㉠A+69+12=A+x
A+x
12
A+69
12
∴ x=81
(cid:9120) ④
0058
단체 줄넘기의 횟수의 격차가 작을수록 표준편차가 작으
므로 두 반 중 단체 줄넘기의 횟수의 표준편차가 작은 반은 1반
이다.
(cid:9120) 1반
0067
두 구한다.
먼저 최빈값을 이용하여 a의 값이 될 수 있는 수를 모
주어진 자료에서 a를 제외한 7개의 변량을 작은 값부터 순
표준편차는 자료가 평균을 중심으로 흩어진 정도를 나타
0059
내므로 주어진 자료들 중에서 표준편차가 가장 큰 것은 ①이다.
서대로 나열하면
15, 16, 16, 20, 20, 24, 26
(cid:9120) ①
이때 최빈값이 a이므로
a=16 또는 a=20
0060
표준편차는 자료가 평균을 중심으로 흩어진 정도를 나타
내므로 A, B의 표준편차는 같고, C의 표준편차는 A, B의 표준
편차보다 크다.
⁄ a=16인 경우 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
(cid:100)(cid:100)15, 16, 16, 16, 20, 20, 24, 26
따라서 중앙값은
=18이고, a+2=18이므로 조건을
16+20
2
∴ a=b0)
㈀ 5¤ =3¤ +4¤ 이므로 직각삼각형이다.
0099
㈁ 6¤ +4¤ +5¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
㈂ 4¤ =(2'3)¤ +2¤ 이므로 직각삼각형이다.
㈃ 15¤ +10¤ +12¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
㈄ 12¤ +9¤ +8¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
㈅ (5'2)¤ =(2'ß10)¤ +('ß10)¤ 이므로 직각삼각형이다.
이상에서 직각삼각형인 것은 ㈀, ㈂, ㈅이다.
(cid:9120) ㈀, ㈂, ㈅
(cid:9120) '5
(cid:9120) 2
0081
10¤ =x¤ +x¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ =50
∴ x=5'2 (∵ x>0)
x="√10¤ -6¤ =8
0082
y="√3¤ +8¤ ='ß73
0083
x="√5¤ -4¤ =3
y="√4¤ +(3+5)¤ =4'5
0084
x="√6¤ +4¤ =2'ß13
y="√(2'ß13 )¤ +6¤ =2'ß22
x="√13¤ -5¤ =12
0085
y="√12¤ -10¤ =2'ß11
(cid:9120) 5'2
0100
AC”="√17¤ -8¤ =15(cm)이므로
△ABC= _8_15=60(cm¤ )
(cid:9120) 60 cm¤
1
2
(cid:9120) x=8, y='ß73
(cid:9120) x=3, y=4'5
0101
x="5√
¤ +5¤ =5'2
마름모의 두 대각선은 서로를 수직이등분하므로
0102
(cid:100)(cid:100)AC”⊥BD”, AO”=CO”, BO”=DO”
따라서 직각삼각형 ABO에서 AO”=9 cm, BO”=12 cm이므로
(cid:9120) x=2'ß13, y=2'ß22
AB”="√9¤ +12¤ =15(cm)
(cid:9120) x=12, y=2'ß11
오른쪽 그림에서 내접원의 반지
0103
름의 길이를 x cm라 하면
¤ +x¤ =3'2
"x√
2x¤ =18,(cid:100)(cid:100)x¤ =9
∴ x=3 (∵ x>0)
x`cm
O
x`cm
3Â2`cm
(cid:9120) ③
0086
0087
0089
0090
0091
(cid:9120) ㈎ BF”(cid:100)㈏ SAS(cid:100)㈐ △LBF
(cid:8772)BFGC=(cid:8772)ADEB+(cid:8772)ACHI
=9+16=25(cm¤ )
(cid:9120) 25 cm¤
AB”=3 cm, AC”=4 cm, BC”=5 cm이므로 △ABC의
0088
둘레의 길이는(cid:100)(cid:100)3+4+5=12(cm)
(cid:9120) 12 cm
(cid:8772)BFML=(cid:8772)ADEB=6¤ =36(cm¤ )
(cid:9120) 36 cm¤
(cid:8772)ADML=(cid:8772)ACHI=8¤ =64(cm¤ )
(cid:9120) 64 cm¤
(cid:9120) ㈎ (cid:8772)AGHB(cid:100)㈏ (a+b)¤ (cid:100)㈐ a¤ +b¤
0092
EH”="√4¤ +3¤ =5(cm)
(cid:9120) 5cm
(cid:8772)EFGH는 한 변의 길이가 5 cm인 정사각형이므로 구
0093
하는 둘레의 길이는(cid:100)(cid:100)4_5=20(cm)
(cid:9120) 20 cm
0094
(cid:8772)EFGH=5¤ =25(cm¤ )
(cid:9120) 25 cm¤
0095
(cid:9120) ㈎ (cid:8772)CFGH(cid:100)㈏ (a-b)¤ (cid:100)㈐ a¤ +b¤
x=6-4=2
0096
따라서 색칠한 부분의 넓이는(cid:100)(cid:100)2¤ =4
0097
따라서 색칠한 부분의 넓이는(cid:100)(cid:100)7¤ =49
"√13¤ -5¤ =12이므로(cid:100)(cid:100)x=12-5=7
18 정답 및 풀이
0104
AC”="√6¤ +3¤ =3'5(cm)
점 O가 직각삼각형 ABC의 외심이므로
(cid:100)(cid:100)OA”=OB”=OC”
∴ OB”= AC”=
(cm)
1
2
3'5
2
직각삼각형의 외심은 빗변의 중점과 일치하므로
(cid:100)(cid:100)(외접원의 반지름의 길이)=
_(빗변의 길이)
;2!;
(cid:8772)ABCD=25 cm¤ 이므로
0105
(cid:100)(cid:100)BC”='ß25=5(cm)
(cid:8772)ECGF=225 cm¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)CG”='ß225=15(cm)
따라서 △BGF에서
BF”="√(5+15)¤ +15¤ =25(cm)
(cid:9120) 2, 4
(cid:9120) 7, 49
➊ BC”의 길이를 구할 수 있다.
➋ CG”의 길이를 구할 수 있다.
➌ BF”의 길이를 구할 수 있다.
(cid:9120) ③
(cid:9120) ④
(cid:9120) ③
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 25 cm
30%
30%
40%
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지19 SinsagoHitec
1
4
피
타
고
라
스
정
리
본책 23~29쪽
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 12 cm
40%
40%
20%
0106
(x+4)¤ =x¤ +(x+2)¤ 이므로
x¤ +8x+16=x¤ +x¤ +4x+4
(cid:100)(cid:100)x¤ -4x-12=0,(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-6)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0)
△BCD에서(cid:100)(cid:100)CD”="√(4'5)¤ -8¤ =4(cm)
0114
△ADC에서(cid:100)(cid:100)AD”="√5¤ -4¤ =3(cm)
따라서 △ADC의 둘레의 길이는
(cid:9120) ⑤
3+4+5=12(cm)
0107
x¤ =(x-2)¤ +8¤ 이므로(cid:100)(cid:100)x¤ =x¤ -4x+4+64
4x=68(cid:100)(cid:100)∴ x=17
(cid:9120) 17
(x+1)¤ +(2x)¤ =5¤ 이므로
0108
(cid:100)(cid:100)x¤ +2x+1+4x¤ =25
5x¤ +2x-24=0,(cid:100)(cid:100)(5x+12)(x-2)=0
∴ x=2 (∵ x>0)
따라서‘현’을 제외한 나머지 두 변의 길이가 각각
x+1=2+1=3(자), 2x=2_2=4(자)
이므로‘구’의 길이는 3자이다.
(cid:9120) 3자
➊ CD”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AD”의 길이를 구할 수 있다.
➌ △ADC의 둘레의 길이를 구할 수 있다.
0115
△BCD= _5_BC”=30이므로
1
2
(cid:100)(cid:100)BC”=12(cm)
(cid:100)(cid:100)∴ BD”="√5¤ +12¤ =13(cm)
AD”=BD”=13cm이므로
(cid:100)(cid:100)AC”=13+5=18(cm)
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”="√18¤ +12¤ =6'ß13 (cm)
0109
수영장의 깊이를 x cm라 하
면 막대의 길이는 (x+50)cm이므로
50Â5`cm
50`cm
(x+50)¤ =(50'5)¤ +x¤
100x=10000
(cid:100)(cid:100)∴ x=100
따라서 수영장의 깊이는 100 cm이다.
{x+50}cm
CD”=x cm라 하면
0116
△ADC에서(cid:100)(cid:100)AC”
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”
따라서 9-x¤ =15-2'5x-x¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)2'5x=6(cid:100)(cid:100)∴ x=
¤ =3¤ -x¤
¤ =(2'5)¤ -('5+x)¤
3'5
5
x`cm
(cid:9120) ③
0110
직각삼각형 ABC에서(cid:100)(cid:100)a¤ +b¤ =64
△ABC= _a_b=4이므로(cid:100)(cid:100)ab=8
1
2
∴ (a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab=64+2_8=80
∴ a+b=4'5 (∵ a+b>0)
(cid:9120) ③
0111
AB”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)
BC”=24-(10+x)=14-x (cm)
△ABC는 ∠B=90°인 직각삼각형이므로
x¤ +(14-x)¤ =10¤
x¤ -14x+48=0,(cid:100)(cid:100)(x-6)(x-8)=0
∴ x=6 (∵ AB”0)
따라서 AB”=BC”=2 cm, AC”=2'2 cm이므로 △ABC의 둘
레의 길이는(cid:100)(cid:100)2+2+2'2=2(2+'2)cm
(cid:9120) ④
1
2
(cid:100)(cid:100)BD”=øπ5¤ +('7)¤ =4'2
AB” =AD”=x라 하면 △ABD에서
x¤ +x¤ =(4'2 )¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ =16
(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
오른쪽 그림과 같이 BD”를 그으
5Â3
0129
면 △ABD에서
(cid:100)(cid:100)BD”="√5¤ +(5'3)¤ =10
따라서 △BCD에서
(cid:100)(cid:100)BC”="√10¤ -6¤ =8
AA™”=AB¡”="√1¤ +1¤ ='2
0123
AA£”=AB™”="√('2)¤ +1¤ ='3
AA¢”=AB£”="√('3)¤ +1¤ =2
AA∞”=AB¢”="√2¤ +1¤ ='5
∴ AB∞”="√('5)¤ +1¤ ='6
OE”=OB”="√('2)¤ +('2)¤ =2
0124
OG”=OD”="√2¤ +('2)¤ ='6
OF”="√('6)¤ +('2)¤ =2'2
0125
AB”=x cm라 하면
BE”=BD”="√x¤ +x¤ ='2x (cm)
BG”=BF”="√('2x)¤ +x¤ ='3x(cm)
즉 '3x=3'3이므로(cid:100)(cid:100)x=3
20 정답 및 풀이
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에
0130
서 AD”에 내린 수선의 발을 H라 하면
8`cm H
4`cm
A
B
8`cm
C
DH”=12-8=4(cm)
△HCD에서
(cid:9120) '6
CH”="√8¤ -4¤ =4'3(cm)
1
∴ (cid:8772)ABCD= _(12+8)_4'3
2
=40'3(cm¤ )
(cid:9120) ④
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에
0131
서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
A
2
D
BH”=AD”=2
DH”=4이므로 △DHC에서
HC”="√5¤ -4¤ =3
∴ BC”=BH”+HC”=2+3=5
(cid:9120) ②
4
B
5
4
2
H
C
(cid:9120) 5
… ➊
… ➋
… ➌
… ➍
(cid:9120) 4-2'3
30%
30%
30%
10%
2Â5
D
x
(cid:9120) ⑤
D
Â7
C
D
6
C
(cid:9120) ①
D
8`cm
(cid:9120) ④
C
5
B
4
x
x
B
A
5
B
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지21 SinsagoHitec
1
4
피
타
고
라
스
정
리
본책 29~33쪽
(cid:9120) ③
… ➊
… ➋
… ➌
40%
40%
20%
(cid:9120) 5'3 cm¤
0132
오른쪽 그림과 같이 두 꼭
짓점 A, D에서 BC”에 내린 수선의
발을 각각 H, H'이라 하면
BH”=CH'”= _(9-5)
1
2
=2(cm)
A
5`cm
D
4`cm
B
2`cm
H
5`cm
H'
4`cm
C
2`cm
△ABH에서(cid:100)(cid:100)AH”="√4¤ -2¤ =2'3(cm)
1
2
∴ (cid:8772)ABCD= _(5+9)_2'3=14'3(cm¤ )
(cid:8772)AFGB=(cid:8772)ACDE+(cid:8772)BHIC이므로
0137
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ACDE=80-54=26
0138
(cid:8772)AFGB=(cid:8772)ACDE+(cid:8772)BHIC이므로
(cid:8772)BHIC=35-15=20(cm¤ )
(cid:100)(cid:100)∴ BC”='2å0=2'5(cm), AC”='1å5(cm)
∴ △ABC= _2'5_'ß15=5'3 (cm¤ )
1
2
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에
0133
서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
BH”=10-6=4(cm)
△ABH에서
(cid:100)(cid:100)AH”="√6¤ -4¤ =2'5(cm)
DC”=AH”=2'5cm이므로 △DBC에서
BD”="√10¤ +(2'5)¤ =2'ß30(cm)
(cid:9120) 14'3 cm¤
A
6`cm
6`cm
B
4`cm
H
6`cm
D
C
➊ (cid:8772)BHIC의 넓이를 구할 수 있다.
➋ BC”, AC’
”의 길이를 구할 수 있다.
➌ △ABC의 넓이를 구할 수 있다.
0139
(cid:8772)ADEB=25 cm¤ 에서 AB”=5 (cm)이므로
△ABC= _5_AC”=10(cid:100)(cid:100)∴ AC”=4(cm)
(cid:9120) ①
∴ (cid:8772)ACHI=4¤ =16 (cm¤ )
(cid:8772)BFGC=(cid:8772)ADEB+(cid:8772)ACHI이므로
(cid:8772)BFGC=25+16=41(cm¤ )
A
10`cm
D
따라서 구하는 넓이의 합은(cid:100)(cid:100)41+16=57(cm¤ )
0134
오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점
A, D에서 BC”에 내린 수선의 발을 각
각 H, H'이라 하면
10`cm
1
BH”=CH'”= _(14-10)
2
=2(cm)
… ➊
B
H
2`cm
10`cm
C
H'
2`cm
0140
△ABC에서(cid:100)(cid:100)
AC”="√10¤ -8¤ =6(cm)
△AGC™△HBC`(SAS 합동)이므로
△AGC=△HBC=△HAC
= (cid:8772)ACHI
= _6¤ =18(cm¤ )
(cid:9120) 57cm¤
E
A
8`cm
H
D
10`cm
B
F
I
C
G
(cid:9120) ③
△ABH에서
AH”="√10¤ -2¤ =4'6(cm)
따라서 △AHC에서
AC”="√(4'6)¤ +12¤ =4'ß15(cm)
➊ BH”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AH”의 길이를 구할 수 있다.
➌ AC”의 길이를 구할 수 있다.
(cid:100)… ➋
… ➌
(cid:9120) 4'ß15 cm
30%
30%
40%
B
2`m
0135
오른쪽 그림과 같이 차양의 세로
에 해당하는 한 변을 AB”라 하고, 꼭짓
점 B에서 벽에 내린 수선의 발을 H라
하면
A
1`m
H
2`m
AH”=3-2=1(m), BH”=3 m
3`m
△AHB에서
AB”="√1¤ +3¤ ='∂10 (m)
따라서 차양의 넓이는
8_'∂10=8'∂10 (m¤ )
0141
△BFL= (cid:8772)BFML= (cid:8772)ADEB
1
2
= _10¤ =50(cm¤ )
(cid:9120) 50cm¤
EB”∥DC”이므로(cid:100)(cid:100)△EBC=△EBA yy ㉠(cid:100)(cid:100)
0142
△EBC와 △ABF에서
EB”=AB”, BC”=BF”, ∠EBC=∠ABF
(cid:100)(cid:100)∴ △EBC™△ABF (SAS 합동)
BF”∥AK”이므로
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)△ABF=△JBF= (cid:8772)BFKJ
yy ㉢(cid:100)(cid:100)
1
2
(cid:9120) ②
㉠, ㉡, ㉢에서
0136
(cid:8772)AFGB=(cid:8772)ACDE+(cid:8772)BHIC
△EBC=△EBA=△ABF=△JBF= (cid:8772)BFKJ
1
2
=20+12=32 (cm¤ )
이상에서 △EBC와 넓이가 같은 것은 ㈀, ㈁, ㈅의 3개이다.
(cid:100)(cid:100)∴ AB”='3å2=4'2 (cm)
(cid:9120) 4'2 cm
(cid:9120) ②
14 피타고라스 정리 21
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지22 SinsagoHitec
① △BCH와 △GCA에서
0143
(cid:100) (cid:100)(cid:100)BC”=GC”, CH”=CA”, ∠BCH=∠GCA
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ △BCH™△GCA (SAS 합동)
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ BH”=GA”
② △EBC와 △ABF에서
(cid:100) (cid:100)(cid:100)EB”=AB”, BC”=BF”, ∠EBC=∠ABF
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ △EBC™△ABF (SAS 합동)
③ △ACH=△BCH=△GCA=△GCL=△LMC
④ △ADB=△EBA=△EBC=△ABF=△LBF
⑤ △ABC= _AB”_AC”, (cid:8772)ACHI=AC”
¤ 이므로
= (cid:8772)BFML
1
2
1
2
(cid:100)(cid:100)△ABC+ (cid:8772)ACHI
1
2
△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√4¤ +2¤ =2'5 (cm)
0144
(cid:8772)ADEB=(cid:8772)BFML이므로(cid:100)(cid:100)4¤ =2'5_FM”
(cid:100)(cid:100)∴ FM”=
(cm)
8'5
5
➊ BC”의 길이를 구할 수 있다.
➋ FM”의 길이를 구할 수 있다.
0145
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서
BC”, DE”에 내린 수선의 발을 각각 L, M이
라 하면
(cid:100)(cid:100)△ABD=△LBD= (cid:8772)BDML
= _8¤ =32(cm¤ )
8`cm
B
D
1
2
1
2
1
2
1
2
(cid:100)(cid:100)△AEC=△LEC= (cid:8772)LMEC
= _6¤ =18(cm¤ )
(cid:9120) ⑤
… ➊
… ➋
(cid:9120)
8'5
5
cm
30%
70%
A
L
6`cm
C
EM
△AEH™△BFE™△CGF™△DHG이므로
0147
(cid:8772)EFGH는 정사각형이다.
AH”=6-4=2(cm)이므로 △AEH에서
EH”="√4¤ +2¤ =2'5(cm)
∴ (cid:8772)EFGH=(2'5)¤ =20(cm¤ )
(cid:9120) ③
△EAD™△FBA™△GCB™△HDC이므로
0148
(cid:8772)ABCD는 정사각형이다.
∴ (cid:8772)ABCD=AB”
¤ =x¤ +y¤ =24
(cid:9120) 24
△AEH™△BFE™△CGF™△DHG이므로
0149
(cid:8772)EFGH는 정사각형이다.
즉 (cid:8772)EFGH=58이므로(cid:100)(cid:100)EH”='∂58
△AEH에서(cid:100)(cid:100)AH”="√('∂58)¤ -7¤ =3
따라서 AB”=7+3=10이므로
(cid:8772)ABCD=10¤ =100
△AEH™△BFE™△CGF™△DHG이므로
0150
(cid:8772)EFGH는 정사각형이다.
AH”=x라 하면 △AEH에서
(cid:100)(cid:100)x¤ +x¤ =10,(cid:100)(cid:100)x¤ =5(cid:100)(cid:100)∴ x='5 (∵ x>0)
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=2'5
따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는
4_2'5=8'5
➊ AD”의 길이를 구할 수 있다.
➋ (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이를 구할 수 있다.
△AEH™△BFE™△CGF™△DHG이므로
0151
(cid:8772)EFGH는 정사각형이다.
△AEH에서(cid:100)(cid:100)EH”="√3¤ +2¤ ='ß13
△HEG에서(cid:100)(cid:100)EG”="√('ß13)¤ +('ß13)¤ ='ß26
(cid:9120) ②
4개의 직각삼각형이 모두 합동이므로 (cid:8772)PQRS는 정사
(cid:9120) ⑤
… ➊
… ➋
(cid:9120) 8'5
70%
30%
따라서 색칠한 부분의 넓이는
(cid:100)(cid:100)△ABD+△AEC=32+18=50(cm¤ )
(cid:9120) ①
BC”="√8¤ +6¤ =10(cm)이고, 위의 그림에서
1
(cid:100)(cid:100)△ABD+△AEC= ((cid:8772)BDML+(cid:8772)LMEC)
2
1
= (cid:8772)BDEC= _10¤ =50(cm¤ )
2
1
2
0146
오른쪽 그림과 같이 AC”를 한
변으로 하는 정사각형 ACFG를 그리면
(cid:8772)ACFG=2△ACF=2△AEC
=2_32=64(cm¤ )
이므로(cid:100)(cid:100)AC”=8(cm)
따라서 직각삼각형 ABC에서
AB”="√12¤ -8¤ =4'5(cm)
B
D
A
12`cm
F
G
C
E
0152
각형이다.
BQ”=CR”=5 cm이므로 △ABQ에서
AQ”="√13¤ -5¤ =12(cm)
AP”=CR”=5 cm이므로
(cid:100)(cid:100)PQ”=12-5=7(cm)
0153
① EH”=DG”=2cm
② AH”="√4¤ -2¤ =2'3(cm)
③ CF”=BC”-BF”=2'3-2(cm)
④ △ABC= _2'3_2=2'3 (cm¤ )
⑤ (cid:8772)FGHC는 정사각형이므로
1
2
∴ (cid:8772)PQRS=7¤ =49(cm¤ )
(cid:9120) ④
(cid:9120) ③
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)FGHC=(2'3-2)¤ =16-8'3 (cm¤ )
(cid:9120) ③
22 정답 및 풀이
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지23 SinsagoHitec
4개의 직각삼각형이 모두 합동이므로 (cid:8772)ABCD는 정사
0159
AE”=AD”=10 cm이므로 △ABE에서
본책 33~36쪽
1
4
피
타
고
라
스
정
리
BE”="√10¤ -6¤ =8(cm)
∴ EC”=10-8=2(cm)
EF”=x cm라 하면 DF”=x cm이므로(cid:100)(cid:100)CF”=(6-x)cm
△FEC에서(cid:100)(cid:100)x¤ =2¤ +(6-x)¤
(cid:9120) ③
∴ x=
10
3
(cid:9120) :¡3º: cm
0154
각형이다.
(cid:100)(cid:100)∴ AB”='2å7=3'3
△ABE에서(cid:100)(cid:100)BE”="√(3'3 )¤ -3¤ =3'2
따라서 EF”=3'2-3이고 (cid:8772)EFGH가 정사각형이므로
(cid:8772)EFGH의 둘레의 길이는
4_(3'2-3)=12('2-1)
(cid:8772)ABCD와 (cid:8772)EFGH는 정사각형이고
0155
(cid:8772)ABCD=40, (cid:8772)EFGH=16이므로
(cid:100)(cid:100)AB” =2'∂10, EF”=4
△ABE에서 EB”=x+4이므로
x¤ +(x+4)¤ =(2'∂10)¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ +4x-12=0
(x+6)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
(cid:9120) ②
0156
△ABE™△ECD에서
AE”=ED”, ∠AED=90°
이므로 △AED는 직각이등변삼각형이다.
△AED=50 cm¤ 이므로
(cid:100)(cid:100) _AE”_ED”=50
1
2
¤ =100(cid:100)(cid:100)∴ AE”=10 (cm)
(cid:100)(cid:100)AE”
△ABE에서 BE”="√10¤ -6¤ =8(cm)이므로
(cid:8772)ABCD= _(6+8)_14=98(cm¤ )
1
2
△ABC™△DCE이므로(cid:100)(cid:100)AC”=DE”=9 cm
0157
△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√3¤ +9¤ =3'ß10 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ CE”=3'ß10 (cm)
∠BCE=90°이므로
△BCE= _3'ß10_3'ß10=45(cm¤ )
1
2
(cid:9120) ①
… ➊
… ➋
(cid:9120) 45 cm¤
60%
40%
➊ BC”, CE”의 길이를 구할 수 있다.
➋ △BCE의 넓이를 구할 수 있다.
△ABC™△CDE이므로
0158
(cid:100)(cid:100)BC”=3 cm, CD”=5 cm
(cid:100)(cid:100)∴ BD”=3+5=8(cm)
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 E에서
AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면
AH”=5-3=2(cm)
이므로 △AHE에서
(cid:100)(cid:100)AE”="√2¤ +8¤ =2'ß17(cm)
A
H
5`cm
E
3`cm
B
3`cm
C
5`cm
D
(cid:9120) 2'ß17cm
0160
EF”=x cm라 하면 AE”=x cm이므로
BE”=(10-x)cm
△EBF에서(cid:100)(cid:100)x¤ =(10-x)¤ +5¤
∴ x=
25
4
0161
⑴ AE”=AD”=20이므로 △ABE에서
(cid:100)(cid:100)BE”="√20¤ -16¤ =12(cid:100)(cid:100)∴ EC”=20-12=8
⑵ EF”=x라 하면 DF”=x이므로(cid:100)(cid:100)CF”=16-x
△FEC에서(cid:100)(cid:100)x¤ =8¤ +(16-x)¤
(cid:100)(cid:100)∴ x=10
△AEF에서(cid:100)(cid:100)AF”="√20¤ +10¤ =10'5
… ➋
… ➌
(cid:9120) ⑴ 8 ⑵ 10'5
➊ EC”의 길이를 구할 수 있다.
➋ EF”의 길이를 구할 수 있다.
➌ AF”의 길이를 구할 수 있다.
(cid:9120) ④
… ➊
40%
40%
20%
0162
BQ”=BC”=15 cm이므로 △ABQ에서
AQ”="√15¤ -12¤ =9(cm)(cid:100)(cid:100)∴ DQ”=15-9=6(cm)
DP”=x cm라 하면 PQ”=PC”=(12-x)cm이므로 △PDQ에서
(cid:100)(cid:100)(12-x)¤ =x¤ +6¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=
9
2
∴ △PDQ= _6_ = (cm¤ )
(cid:9120) ①
1
2
9
2
27
2
0163
DP”=AD”=13 cm이므로 △DPC에서
CP”="√13¤ -12¤ =5(cm)
∴ BP”=13-5=8(cm)
PQ”=x cm라 하면 AQ”=x cm이므로(cid:100)(cid:100)BQ”=(12-x)cm
△QBP에서(cid:100)(cid:100)x¤ =(12-x)¤ +8¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=
26
3
1
∴ △DQP= _ _13=
2
26
3
169
3
(cm¤ )
… ➊
… ➋
… ➌
40%
40%
20%
(cid:9120)
169
3
cm¤
14 피타고라스 정리 23
AC”=CE”="√5¤ +3¤ ='3å4(cm)이고 ∠ACE=90°이
므로 △ACE에서
(cid:100)(cid:100)AE”="√('3å4)¤ +('3å4)¤ =2'1å7(cm)
➊ BP”의 길이를 구할 수 있다.
➋ PQ”의 길이를 구할 수 있다.
➌ △DQP의 넓이를 구할 수 있다.
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지24 SinsagoHitec
9
5
5
3
15
4
8
5
0164
AP”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)BP”=DP”=(12-x)cm
0169
CF”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)DF”=BF”=(10-x)cm
△ABP에서(cid:100)(cid:100)(12-x)¤ =x¤ +8¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=
△DFC에서(cid:100)(cid:100)(10-x)¤ =x¤ +8¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=
10
∴ △ABP= _ _8= (cm¤ )
3
40
3
1
2
(cid:9120) ②
9
∴ △DFC= _ _8= (cm¤ )
5
36
5
1
2
(cid:9120) ③
0165
DE”=x라 하면(cid:100)(cid:100)CE”=AE”=8-x
△DEC에서(cid:100)(cid:100)(8-x)¤ =x¤ +6¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=
DR”=AB”=12 cm이므로 △QDR에서
0170
(cid:100)(cid:100)QR”="√13¤ -12¤ =5(cm)
AQ”=QR”=5 cm이므로
(cid:9120)
7
4
BC”=AD”=5+13=18(cm)
(cid:9120) ④
0166
AE”=x라 하면 EC”=x이므로(cid:100)(cid:100)DE”=4-x
△AED에서(cid:100)(cid:100)x¤ =(4-x)¤ +3¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=
0171
A'E”=x cm라 하면 AE”=x cm이므로
DE”=(25-x)cm
△ABC에서 AC”="√4¤ +3¤ =5이므로 △ACE의 둘레의 길이는
△A'ED에서(cid:100)(cid:100)(25-x)¤ =x¤ +15¤
5+ + =
25
8
25
8
45
4
(cid:9120) ⑤
∴ x=8
(cid:9120) ①
10
3
7
4
25
8
0167
BE”=x cm라 하면 DE”=x cm이므로(cid:100)(cid:100)
AE”=(10-x) cm
△ABE에서(cid:100)(cid:100)x¤ =(10-x)¤ +(4'5)¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=9
△BCD에서 BD”="√10¤ +(4'5)¤ =6'5(cm)이므로
BF”= BD”=3'5(cm)
1
2
따라서 △EBF에서(cid:100)(cid:100)EF”="√9¤ -(3'5)¤ =6(cm)
➊ BE”의 길이를 구할 수 있다.
➋ BF”의 길이를 구할 수 있다.
➌ EF”의 길이를 구할 수 있다.
0168
CE”=x cm라 하면 AE”=x cm이므로
DE”=(4-x) cm
△CDE에서(cid:100)(cid:100)x¤ =(4-x)¤ +2¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√4¤ +2¤ =2'5(cm)
오른쪽 그림과 같이 점 E에서 AC”에
내린 수선의 발을 H라 하면
CH”= AC”='5(cm)
1
2
△CEH에서
5
2
2
}
-('5)¤
EH”=æ≠{
'5
2
= (cm)
5
2
F
E
H
4`cm
A
B
2`cm
D
C
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 6 cm
50%
30%
20%
0172
DG”=x라 하면 AE”=A'E”=x이므로(cid:100)(cid:100)ED”=6-x
△A'ED에서(cid:100)(cid:100)(6-x)¤ =x¤ +4¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=
(cid:9120) ④
0173
DE”=x cm라 하면 AE”=x cm이므로
EB”=(6-x)cm
△EBD에서(cid:100)(cid:100)x¤ =(6-x)¤ +3¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=
(cid:9120) ③
0174
PB”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)PC”=PA”=(5-x)cm
△PBC에서(cid:100)(cid:100)(5-x)¤ =x¤ +3¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=
AE”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)DE”=BE”=(8-x)cm
0175
△AED에서(cid:100)(cid:100)(8-x)¤ =x¤ +4¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=3
∴ △AED= _3_4=6(cm¤ )
1
2
”의 길이를 구할 수 있다.
➊ AE”
➋ △AED의 넓이를 구할 수 있다.
㈀ ('5)¤ =1¤ +2¤ 이므로 직각삼각형이다.
0176
㈁ 3¤ +2¤ +('7)¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
㈂ 20¤ +12¤ +15¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
㈃ 8¤ =4¤ +(4'3)¤ 이므로 직각삼각형이다.
이상에서 직각삼각형인 것은 ㈀, ㈃이다.
∴ △ACE= _2'5_ = (cm¤ )
(cid:9120) ;2%; cm¤
1
2
'5
2
5
2
1
△ACE= _AE”_DC”
2
= _ _2= (cm¤ )
1
2
5
2
5
2
① 4¤ +2¤ +3¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
0177
② 7¤ +5¤ +6¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
③ 10¤ =6¤ +8¤ 이므로 직각삼각형이다.
④ 4¤ +(2'2)¤ +(2'3)¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
⑤ ('5)¤ +('3)¤ +2¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
24 정답 및 풀이
8
(cid:9120) cm
5
… ➊
… ➋
(cid:9120) 6 cm¤
70%
30%
(cid:9120) ②
(cid:9120) ③
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지25 SinsagoHitec
본책 37~40쪽
(cid:9120) ②
1
4
피
타
고
라
스
정
리
(5'6 )¤ =(3'ß10 )¤ +(2'ß15 )¤ 이므로 주어진 삼각형은
0178
빗변의 길이가 5'6인 직각삼각형이다.
따라서 구하는 삼각형의 넓이는
따라서 △ABC에서
(cid:100)(cid:100)AB”="√12¤ -8¤ =4'5(cm)
2x+1이 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되기 위한
1
2
_3'ß10_2'ß15=15'6
0179
조건에 의하여
(cid:100)(cid:100)2x+1<(x-1)+2x(cid:100)(cid:100)∴ x>2
직각삼각형이 되려면
(2x+1)¤ =(x-1)¤ +(2x)¤
x¤ -6x=0,(cid:100)(cid:100)x(x-6)=0
∴ x=6 (∵ x>2)
0180
(x+1)¤ =(x-1)¤ +6¤ 이므로
4x=36(cid:100)(cid:100)∴ x=9
(cid:9120) 9
0181
x+2가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되기 위한 조
건에 의하여(cid:100)(cid:100)x+23
1
2
1
2
직각삼각형이 되려면(cid:100)(cid:100)(x+2)¤ =x¤ +{ x+ }
1
2
1
2
x¤ +4x+4=x¤ + x¤ + x+ ,(cid:100)(cid:100)x¤ -14x-15=0
1
4
1
2
1
4
(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-15)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=15 (∵ x>3)
따라서 삼각형의 세 변의 길이는 15, 8, 17이므로 구하는 둘레의
길이는(cid:100)(cid:100)15+8+17=40
(cid:9120) ⑤
필요한 막대의 길이를 x cm라 하면
0182
⁄ 가장 긴 막대의 길이가 5 cm일 때,
삼각형이 되려면(cid:100)(cid:100)10)
0188
한다.
먼저 △EDAª△ECF임을 이용하여 CF”의 길이를 구
△EDA와 △ECF에서
(cid:100)(cid:100)∠AED=∠FEC (맞꼭지각), ∠EDA=∠ECF=90°
(cid:100)(cid:100)∴ △EDAª△ECF (AA 닮음)
ED”：EC”=DA”：CF”이므로(cid:100)(cid:100)8：4=12：CF”
(cid:100)(cid:100)∴ CF”=6
∠PAF=∠EAD=∠PFA이므로 △APF는 이등변삼각형이
다.
AP”=x라 하면 PF”=x이므로
(cid:100)(cid:100)BP”=BF”-PF”=(12+6)-x
=18-x
따라서 △ABP에서(cid:100)(cid:100)x¤ =12¤ +(18-x)¤
(cid:100)(cid:100)∴ x=13
(cid:9120) ②
(cid:9120) ④
0192
를 이용한다.
보조선을 그어 직각삼각형을 만든 후 피타고라스 정리
오른쪽 그림과 같이 보조선을 그으면
A
12`cm
BC”=20-12=8(cm)
△ABC에서
AC”="√10¤ -8¤ =6(cm)
∴ x=20-6=14
10`cm
B
8`cm
C
x`cm
(cid:9120) ④
20`cm
0193
이가 나머지 두 변을 각각 한 변으로 하는 두 정사각형의 넓이의 합과
직각삼각형에서 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓
같음을 이용한다.
△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√3¤ +4¤ =5(cm)
(cid:8772)EJNO+(cid:8772)DLMJ=(cid:8772)ADEB
(cid:8772)HPQK+(cid:8772)IKRS=(cid:8772)ACHI
(cid:8772)ADEB+(cid:8772)ACHI=(cid:8772)BFGC
따라서 색칠한 부분의 넓이는
2(cid:8772)ADEB+2(cid:8772)ACHI+(cid:8772)BFGC
(cid:100)=2((cid:8772)ADEB+(cid:8772)ACHI)+(cid:8772)BFGC
(cid:100)=2(cid:8772)BFGC+(cid:8772)BFGC
(cid:100)=3(cid:8772)BFGC=3_5¤ =75(cm¤ )
0189
AB”：AC”=BD”：DC”이다.
△ABC에서 AD”가 ∠A의 이등분선이면
DC”=x라 하면 AB”：AC”=BD”：DC”이므로
(cid:100)(cid:100)10：AC”=5：x(cid:100)(cid:100)∴ AC”=2x
△ABC에서 BC”=5+x이므로
10¤ =(5+x)¤ +(2x)¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-15=0
(x+5)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>0)
따라서 △ADC에서
(cid:100)(cid:100)AD”="√3¤ +6¤ =3'5
(cid:9120) 75 cm¤
0194
먼저 △AEC와 넓이가 같은 도형을 찾는다.
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”,
A
DE”에 내린 수선의 발을 각각 L, M이라 하면
△LEC=△AEC=50 cm¤
∴ (cid:8772)LMEC=2△LEC=100(cm¤ )
∴ (cid:8772)BDML=(cid:8772)BDEC-(cid:8772)LMEC
=15¤ -100=125(cm¤ )
B
L
15`cm
D
M
C
E
(cid:9120) ③
0190
의 길이를 x에 대한 식으로 나타낸다.
AB”=x로 놓고 피타고라스 정리를 이용하여 AC”, AD”
(cid:8772)BDML의 넓이는 AB”를 한 변으로 하는 정
사각형의 넓이와 같으므로(cid:100)(cid:100)AB”='ƒ125=5'5(cm) (cid:9120) ②
0195
m : n임을 이용한다.
닮은 두 도형의 넓이의 비가 m¤ : n¤ 이면 닮음비는
(cid:8772)ABCD와 (cid:8772)EFGH는 모두 정사각형이므로 닮음이다.
(cid:8772)ABCD：(cid:8772)EFGH=5：1이므로(cid:100)(cid:100)AB”
¤ : EF”
¤ =5 : 1
∴ AB”：EF”='5：1
EF”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)AB”='5x cm
BE”=(x+1) cm이므로 △ABE에서
따라서 △ADE에서 AD”=6, DE”=2'3이므로
AE”="√6¤ +(2'3)¤ =4'3
(cid:9120) ⑤
('5x)¤ =(x+1)¤ +1¤ ,(cid:100)(cid:100)2x¤ -x-1=0
(2x+1)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1 (∵ x>0)
(cid:9120) ③
AB”=x라 하면
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)AC”="√x¤ +x¤ ='2x
△ACD에서
(cid:100)(cid:100)AD”="√('2x)¤ +x¤ ='3x
△ADE= _x_'3x=6'3이므로
x¤ =12(cid:100)(cid:100)∴ x=2'3 (∵ x>0)
1
2
26 정답 및 풀이
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지27 SinsagoHitec
0196
AC”의 길이를 구한 후 삼각형의 닮음을 이용한다.
0201
평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등분한다.
△ACD에서
AC”="√12¤ +5¤ =13(cm)
12`cm
Q
13`cm
A
P
AP”=x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)PB”=PQ”=(5-x) cm
△APQ∽△CAD (AA 닮음)이므로
B
D
C
5`cm
AP”：CA”=PQ”：AD”
(cid:100)(cid:100)x：13=(5-x)：12
12x=65-13x(cid:100)(cid:100)∴ x=
(cid:9120) ③
AQ”=13-12=1(cm)이므로 △APQ에서
x¤ =(5-x)¤ +1¤`(cid:100)(cid:100)∴ x=
13
5
13
5
0197
리와 △ABC가 이등변삼각형임을 이용한다.
점 B에서 AC”의 연장선에 수선을 긋고 피타고라스 정
오른쪽 그림과 같이 점 B
에서 AC”의 연장선에 내린 수선
의 발을 H라 하면 △AHB에서
AH”="√10¤ -8¤ =6(cm)
△ABC에서 ∠ABC=∠ACB
이므로(cid:100)(cid:100)AC”=AB”=10 cm
따라서 CH”=16 (cm)이므로 △BCH에서
6`cm
H
10`cm
A
C
10`cm
8`cm
B
BC”="√16¤ +8¤ =8'5(cm)
(cid:9120) ①
0198
△ABC가 어떤 삼각형인지 알아본다.
¤ +AC”
¤ =AB”
25=16+9이므로(cid:100)(cid:100)BC”
즉 △ABC는 ∠A=90°인 직각삼각형이다.
BC”='∂25=5 (cm)이고, 점 M은 BC”의 중점이므로
AM”=BM”=CM”
∴ AM”= BC”= (cm)
1
2
5
2
0199
먼저 삼각형이 될 수 있는 경우의 개수를 구한다.
삼각형이 될 수 있는 경우는
(3, 4, 5), (3, 12, 13), (4, 12, 13), (5, 12, 13)의 4가지
이때 직각삼각형이 되는 경우는
(3, 4, 5), (5, 12, 13)
의 2가지이므로 구하는 확률은(cid:100)(cid:100) =
(cid:9120) ④
2
4
1
2
0200
삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계를 알아본다.
BC”
¤ +AB”
¤ =(a¤ -b¤ )¤ +(2ab)¤
=a› -2a¤ b¤ +b› +4a¤ b¤
=a› +2a¤ b¤ +b›
=(a¤ +b¤ )¤
¤`
=AC”
따라서 △ABC는 ∠B=90°인 직각삼각형이다.
본책 40~43쪽
1
4
피
타
고
라
스
정
리
A
2`cm
D
O
4`cm
C
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)AC”="4√
¤ -2¤ =2'3 (cm)
B
… ➊
평행사변형 ABCD의 두 대각선의
교점을 O라 하면 AO”=CO”, BO”=DO”이므로
(cid:100)(cid:100)AO”='3(cm)
△ABO에서(cid:100)(cid:100)BO”="√2¤ +('3)¤ ='7(cm)
(cid:100)(cid:100)∴ BD”=2'7(cm)
➊ AC”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AO”의 길이를 구할 수 있다.
➌ BO”의 길이를 구할 수 있다.
➍ BD”의 길이를 구할 수 있다.
먼저 각의 이등분선의 성질을 이용하여 DC”의 길이를
0202
구한다.
AD”는 ∠A의 이등분선이므로
(cid:100)(cid:100)AB”：AC”=BD”：DC”
12：9=4：DC”(cid:100)(cid:100)∴ DC”=3
… ➊
¤ =12¤ -(7+x)¤`
CH”=x라 하면 △ABH에서
(cid:100)(cid:100)AH”
△ACH에서
(cid:100)(cid:100)AH”
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)12¤ -(7+x)¤ =9¤ -x¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=1
¤ =9¤ -x¤
∴ AH”="√9¤ -1¤ =4'5
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
… ➋
… ➌
(cid:9120) 4'5
… ➋
… ➌
… ➍
(cid:9120) 2'7 cm
30%
20%
30%
20%
30%
40%
30%
B
80`m
… ➊
… ➋
(cid:9120) 5초
60%
40%
➊ DC”의 길이를 구할 수 있다.
➋ CH”의 길이를 구할 수 있다.
➌ AH”의 길이를 구할 수 있다.
(cid:9120) ②
0203
서 AB”에 수선을 긋고 피타고라스 정리를 이용한다.
독수리의 위치를 B, 나무 꼭대기를 C라 하고, 점 C에
오른쪽 그림과 같이 독수리의 위치
를 B, 나무 꼭대기를 C, 나무와 지면이
만나는 부분을 D라 하자. 점 C에서 AB”
에 내린 수선의 발을 H라 하면
BH”=90-10=80 (m),
CH”=DA”=60 m
이므로 △BCH에서(cid:100)(cid:100)BC”="√60¤ +80¤ =100(m)
따라서 독수리가 도착할 때까지 걸리는 시간은
(cid:100)(cid:100)
=5(초)
100
20
C
10`m
D
60`m
60`m
A
H
10`m
(cid:9120) ∠B=90°인 직각삼각형
➊ BC”의 길이를 구할 수 있다.
➋ 독수리가 도착할 때까지 걸리는 시간을 구할 수 있다.
14 피타고라스 정리 27
¤
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지28 SinsagoHitec
0204
용한다.
(cid:8772)BFGC=(cid:8772)EBMN, (cid:8772)ACHI=(cid:8772)NMAD임을 이
(cid:8772)ADEB=2(△EBN+△NAD)=2_(16+9)=50
… ➊
이므로(cid:100)(cid:100)AB”='ß50=5'2
(cid:8772)BFGC=2△EBN=2_16=32이므로
15
피타고라스 정리와 도형
0207
(cid:9120) 2, 10, 6, 2'∂13, 2, 2'∂13
… ➍(cid:100)(cid:9120) 12'2
30%
30%
30%
10%
(cid:9120)
125
6
cm¤
… ➊
… ➋
70%
30%
BC”='ß32=4'2
(cid:8772)ACHI=2△NAD=2_9=18이므로
AC”='ß18=3'2
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
5'2+4'2+3'2=12'2
➊ AB”의 길이를 구할 수 있다.
➋ BC”의 길이를 구할 수 있다.
➌ AC”의 길이를 구할 수 있다.
➍ △ABC의 둘레의 길이를 구할 수 있다.
0205
용한다.
BD”= BC”=10(cm)
2
3
EB”=x cm로 놓고 △EBD에서 피타고라스 정리를 이
EB”=x cm라 하면 ED”=AE”=(15-x)cm이므로 △EBD에서
(cid:100)(cid:100)(15-x)¤ =x¤ +10¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=
25
6
1
∴ △EBD= _10_ =
2
25
6
125
6
(cm¤ )
➊ EB”의 길이를 구할 수 있다.
➋ △EBD의 넓이를 구할 수 있다.
2x가 가장 긴 변의 길이일 때와 6이 가장 긴 변의 길이일
0206
때로 경우를 나누어 생각한다.
⁄ 2x>x+3, 즉 x>3일 때,
⁄ 2x가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되기 위한 조건에
의하여(cid:100)(cid:100)2x<6+(x+3)(cid:100)(cid:100)∴ x<9
직각삼각형이 되려면(cid:100)(cid:100)(2x)¤ =6¤ +(x+3)¤
(cid:100)(cid:100)x¤ -2x-15=0,(cid:100)(cid:100)(x+3)(x-5)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ 31
직각삼각형이 되려면(cid:100)(cid:100)6¤ =(x+3)¤ +(2x)¤
(cid:100)(cid:100)5x¤ +6x-27=0,(cid:100)(cid:100)(x+3)(5x-9)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x= (∵ 18¤ +8¤
∴ x>8'2 (∵ x>0)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)8'26¤ +8¤ 이므로 둔각삼각형이다.
0211
㈄ ('∂43)¤ >4¤ +5¤ 이므로 둔각삼각형이다.
0212
(2'6 )¤ =8x이므로(cid:100)(cid:100)x=3
y¤ =5_8=40이므로(cid:100)(cid:100)y=2'∂10 (∵ y>0)
(cid:9120) ㈁, ㈅
(cid:9120) ㈀, ㈃
(cid:9120) ㈂, ㈄
(cid:9120) x=3, y=2'∂10
x¤ =2_6=12이므로(cid:100)(cid:100)x=2'3 (∵ x>0)
0213
y¤ =2_8=16이므로(cid:100)(cid:100)y=4 (∵ y>0)
(cid:100)(cid:100)
(cid:9120) x=2'3, y=4
0214
4_3=5x이므로(cid:100)(cid:100)x=
12
5
0215
2'5_4=6x이므로(cid:100)(cid:100)x=
4'5
3
(cid:9120)
12
5
(cid:9120)
4'5
3
0216
(cid:9120) ㈎ DE”
¤ (cid:100)㈏ BC”
¤ (cid:100)㈐ BE”
¤ (cid:100)㈑ CD”
¤ (cid:100)
… ➊
0217
(cid:9120) ㈎ a¤ +b¤ (cid:100)㈏ b¤ +c¤ (cid:100)㈐ c¤ +d¤ (cid:100)㈑ a¤ +d¤ (cid:100)
6¤ +5¤ =x¤ +7¤ 이므로(cid:100)(cid:100)x¤ =12
0218
(cid:100)(cid:100)∴ x=2'3 (∵ x>0)
4¤ +10¤ =x¤ +2¤ 이므로(cid:100)(cid:100)x¤ =112
0219
(cid:100)(cid:100)∴ x=4'7 (∵ x>0)
0220
(cid:9120) ㈎ CP”
¤ (cid:100)㈏ a¤ +c¤ (cid:100)㈐ b¤ +c¤ (cid:100)㈑ DP”
(cid:9120) 2'3
(cid:9120) 4'7
➊ 2x가 가장 긴 변의 길이일 때, x의 값을 구할 수 있다.
➋ 6이 가장 긴 변의 길이일 때, x의 값을 구할 수 있다.
➌ 모든 x의 값의 곱을 구할 수 있다.
40%
40%
20%
0221
('∂11 )¤ +3¤ =2¤ +x¤ 이므로(cid:100)(cid:100)x¤ =16
∴ x=4 (∵ x>0)
(cid:9120) 4
28 정답 및 풀이
¤
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지29 SinsagoHitec
1
5
피
타
고
라
스
정
리
와
도
형
0222
x¤ +(4'2 )¤ =6¤ +(2'6 )¤ 이므로(cid:100)(cid:100)x¤ =28
∴ x=2'7 (∵ x>0)
0223
30-17=13 (cm¤ )
0224
9+5=14 (cm¤ )
0225
12+10=22(cm¤ )
0226
_6_8=24(cm¤ )
1
2
(cid:9120) 2'7
(cid:9120) 13 cm¤
(cid:9120) 14 cm¤
(cid:9120) 22 cm¤
(cid:9120) 24 cm¤
90°<∠A<180°이므로 x가 가장 긴 변의 길이이고, 삼각
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
0227
형이 되기 위한 조건에 의하여(cid:100)(cid:100)53¤ +5¤
∴ x>'ß34 (∵ x>0)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)'ß340이므로(cid:100)(cid:100)c¤ >a¤ +b¤
(cid:9120) ④
x가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되기 위한 조건
0229
에 의하여
(cid:100)(cid:100)70)
(cid:100) ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)74¤ +7¤
yy ㉠(cid:100)(cid:100)… ➊
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
… ➋
(cid:100)(cid:100)∴ x>'ß65 (∵ x>0)
㉠, ㉢에서(cid:100)(cid:100)'ß656¤ +9¤
∴ a>3'∂13 (∵ a>0)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)3'∂130)
⁄ ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)82'7 (∵ BC”>0)
⁄ ㉢, ㉣에서(cid:100)(cid:100)2'74¤ +6¤
④ 7¤ <5¤ +6¤
(cid:9120) ②
㈀ 5¤ >2¤ +4¤
0234
㈂ 7¤ <4¤ +6¤
㈄ 11¤ >7¤ +8¤
이상에서 예각삼각형은 ㈁, ㈂의 2개이다.
㈁ ('ß21)¤ <('ß10)¤ +(2'3)¤
㈃ 6¤ =3¤ +(3'3 )¤
㈅ 13¤ >4¤ +12¤
(cid:9120) 2
① 7¤ >5¤ +(3'2 )¤ 이므로 △ABC는 둔각삼각형이다.
0235
② 7¤ <5¤ +5¤ 이므로 △ABC는 예각삼각형이다.
③ 7¤ =5¤ +(2'6 )¤ 이므로 △ABC는 직각삼각형이다.
④ (5'2)¤ <5¤ +7¤ 이므로 △ABC는 예각삼각형이다.
⑤ (5'3)¤ >5¤ +7¤ 이므로 △ABC는 둔각삼각형이다.
(cid:9120) ⑤
0236
① 세 변의 길이를 2k, 3k, 4k(k>0)라 하면
(4k)¤ >(2k)¤ +(3k)¤ 이므로 둔각삼각형이다.
② 세 변의 길이를 3k, 4k, 5k(k>0)라 하면
(5k)¤ =(3k)¤ +(4k)¤ 이므로 직각삼각형이다.
③ 세 변의 길이를 4k, 5k, 6k(k>0)라 하면
(6k)¤ <(4k)¤ +(5k)¤ 이므로 예각삼각형이다.
④ 세 변의 길이를 5k, 6k, 7k(k>0)라 하면
∴ x>5'5 (∵ x>0)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)5'50)라 하면
(cid:9120) ③
(8k)¤ <(5k)¤ +(7k)¤ 이므로 예각삼각형이다.
(cid:9120) ①
15 피타고라스 정리와 도형 29
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지30 SinsagoHitec
0237
△ACD에서 6¤ >3¤ +5¤ 이므로 △ACD는 둔각삼각형이다.
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√10¤ -8¤ =6
0245
직각삼각형의 빗변의 중점은 외심이므로
AM”=BM”=CM”
(cid:9120) ⑤
(cid:100)(cid:100)∴ AM”= BC”= _20=10(cm)
1
2
0238
③ a¤ c¤ 이면 ∠C<90°이지만 ∠B>90°인지는 알 수 없다.
(cid:9120) ③, ⑤
MH”=10-4=6(cm)이므로 △AMH에서
(cid:100)(cid:100)AH”="√10¤ -6¤ =8(cm)
AH”
¤ =AQ”_AM”이므로(cid:100)(cid:100)8¤ =AQ”_10
(cid:100)(cid:100)∴ AQ”= (cm)
(cid:9120)
cm
32
5
1
2
32
5
0239
AH”
BH”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)CH”=(8-x) cm
¤ =BH”_CH”이므로(cid:100)(cid:100)(2'3)¤ =x(8-x)
x¤ -8x+12=0,(cid:100)(cid:100)(x-2)(x-6)=0
∴ x=6 (∵ BH”>CH”)
△ABH에서(cid:100)(cid:100)AB”="√6¤ +(2'3 )¤ =4'3 (cm)
(cid:9120) ④
0240
AB”
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√9¤ +12¤ =15(cm)
¤ =AD”_AC”이므로(cid:100)(cid:100)9¤ =AD”_15
∴ AD”= (cm)
27
5
(cid:9120)
cm
27
5
0246
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”="√18¤ -12¤ =6'5(cm)
AB”_AC”=BC”_AD”이므로(cid:100)(cid:100)6'5_12=18_AD”(cid:100)(cid:100)
∴ AD”=4'5(cm)
(cid:9120) 4'5 cm
0247
AC”=2k, BC”=3k(k>0)라 하면 △ABC에서
AB”="√(2k)¤ +(3k)¤ ='ß13k
AC”_BC”=AB”_CD”이므로
(cid:100)(cid:100)2k_3k='ß13k_2'2
='ß26
2'ß26k
2k
∴ 3k=
0248
△ABC에서(cid:100)(cid:100)x="√25¤ -20¤ =15
AC”_BC”=AB”_CH”이므로
(cid:100)(cid:100)20_15=25_y(cid:100)(cid:100)∴ y=12
BC”
¤ =BH”_AB”이므로
(cid:100)(cid:100)15¤ =z_25(cid:100)(cid:100)∴ z=9
(cid:100)(cid:100)∴ x+y+z=15+12+9=36
➊ x의 값을 구할 수 있다.
➋ y의 값을 구할 수 있다.
➌ z의 값을 구할 수 있다.
➍ x+y+z의 값을 구할 수 있다.
0249
(cid:100)(cid:100)DE”
(cid:100)(cid:100)DE”
¤ 이므로
¤ =BE”
¤ +CD”
¤ +BC”
DE”
¤ +9¤ =8¤ +6¤
¤ =19(cid:100)(cid:100)∴ DE”='ß19(cm)
(cid:9120) ①
… ➊
… ➋
(cid:9120) 10
70%
30%
(cid:9120) ③
… ➊
… ➋
… ➌
… ➍
(cid:9120) 36
30%
30%
30%
10%
(cid:9120) ①
(cid:9120) 61
(cid:9120) ②
0250
AC”
¤ +DE”
¤ =AE”
¤ +CD”
¤ =5¤ +6¤ =61
0251
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여
DE”= AC”= _6=3
1
2
¤ +CD”
1
2
¤ =DE”
∴ AE”
¤ +AC”
¤ =3¤ +6¤ =45
(cid:9120) ③
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 한 변과 평행하고,
(cid:9120) '2 cm¤
그 길이는 나머지 한 변의 길이의 ;2!;이다.
¤ =AD”_AB”이므로(cid:100)(cid:100)x¤ =3_5=15
AC”
0241
(cid:100)(cid:100)∴ x='∂15 (∵ x>0)
△ADC에서(cid:100)(cid:100)y="√('∂15 )¤ -3¤ ='6
△CDB에서(cid:100)(cid:100)z="√('6 )¤ +2¤ ='∂10
∴ xyz='∂15_'6_'∂10=30
0242
BH”=k, AH”=3k (k>0)라 하면
¤ =AH”_BH”이므로(cid:100)(cid:100)(5'3)¤ =3k_k
CH”
(cid:100)(cid:100)k¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ k=5 (∵ k>0)(cid:100)(cid:100)∴ BH”=5
△BCH에서(cid:100)(cid:100)BC”="√5¤ +(5'3)¤ =10
➊ BH”의 길이를 구할 수 있다.
➋ BC”의 길이를 구할 수 있다.
0243
AC”
△AHC에서(cid:100)(cid:100)AH”="√4¤ -2¤ =2'3(cm)
¤ =CH”_BC”이므로(cid:100)(cid:100)4¤ =2_BC”
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=8(cm)
∴ △ABC= _8_2'3=8'3(cm¤ )
1
2
AC”
¤ =CH”_BC”이므로(cid:100)(cid:100)BC”=8(cm)
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”="√8¤ -4¤ =4'3(cm)
∴ △ABC= _4'3_4=8'3(cm¤ )
1
2
0244
AD”=xcm라 하면 AB”
¤ =AD”_AC”이므로
3¤ =x(x+8),(cid:100)(cid:100)x¤ +8x-9=0
(x+9)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1 (∵ x>0)
△ABD에서(cid:100)(cid:100)BD”="√3¤ -1¤ =2'2(cm)
∴ △ABD= _1_2'2='2(cm¤ )
1
2
30 정답 및 풀이
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지31 SinsagoHitec
(cid:9120) 13
30%
70%
(cid:9120) ②
(cid:9120) ④
(cid:9120) ④
… ➊
… ➋
… ➌
15
2
60%
20%
20%
0252
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”="√4¤ +3¤ =5
¤ 이므로(cid:100)(cid:100)DE”
DE”
¤ +AB”
¤ =AD”
¤ -DE”
¤ +BE”
¤ =13
∴ BE”
… ➊
¤ +5¤ =(2'3)¤ +BE”
… ➋
0261
60¤ +20¤ =x¤ +(10'ß15)¤ 이므로
x¤ =2500(cid:100)(cid:100)∴ x=50 (∵ x>0)
시속 4km로 걸으므로 걸리는 시간은
50
4000
_60_60=45(초)
➊ x의 값을 구할 수 있다.
➋ 놀이터까지 가는 데 걸리는 시간을 구할 수 있다.
➊ AB”의 길이를 구할 수 있다.
➋ BE”
¤ 의 값을 구할 수 있다.
¤ -DE”
0253
AB”
BC”
¤ +CD”
¤ =(3'3)¤ +4¤ =43
¤ +AD”
¤ =BC”
¤ =121(cid:100)(cid:100)∴ AD”=11
AD”
¤ 이므로(cid:100)(cid:100)10¤ +8¤ =43+AD”
0262
S£= _p_5¤ = p
25
2
1
2
S¡+S™=S£이므로(cid:100)(cid:100)S¡+S™+S£=2S£=25p
(cid:9120) 25p
0254
AB”
¤ +CD”
¤ =BC”
x¤ +7¤ =4¤ +y¤ (cid:100)(cid:100)∴ y¤ -x¤ =33
¤ +AD”
¤ 이므로
S¡+S™=15p+25p=40p
0263
따라서 BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이가 40p이므로
본책 49~54쪽
… ➊
… ➋
(cid:9120) 45초
60%
40%
1
5
피
타
고
라
스
정
리
와
도
형
¤ +BC”
¤ =4¤ +13=29
(cid:9120) 29
¤ =AB”
¤ +AC”
¤ =120+200=320
0255
AB”=CD”이고 AB”
¤ +CD”
¤ =('∂17)¤ +9¤ ,(cid:100)(cid:100)AB”
¤ =AD”
¤ =49
2AB”
∴ AB”=7
¤ +BC”
¤ 이므로
0256
BC”
∴ AB”
¤ =2¤ +3¤ =13
¤ =AD”
¤ +CD”
0257
¤ +CD”
¤ 이므로
¤ =BC”
AB”
¤ +(2'2)¤ =2¤ +3¤ (cid:100)(cid:100)∴ AB”
¤ +AD”
¤ =5
AB”
△ABO에서(cid:100)(cid:100)x¤ +('3)¤ =5,(cid:100)(cid:100)x¤ =2
(cid:100)(cid:100)∴ x='2 (∵ x>0)
0258
⑴ AB”
¤ +CD”
¤ =AD”
¤ +BC”
¤ 이므로
¤ +15¤
¤ =34(cid:100)(cid:100)∴ AD”='ß34
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(3'ß10)¤ +13¤ =AD”
(cid:100) (cid:100)(cid:100)AD”
⑵ △AOD에서(cid:100)(cid:100)OD”=øπ
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ △AOD= _3_5=
1
2
π('∂34)¤ -3¤ =5
15
2
➊ AD”의 길이를 구할 수 있다.
➋ OD”의 길이를 구할 수 있다.
➌ △AOD의 넓이를 구할 수 있다.
AP”
¤ +CP”
0259
(cid:100)(cid:100)5¤ +3¤ =4¤ +DP”
¤ =BP”
¤ +DP”
¤ 이므로(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)DP”
¤ =18(cid:100)(cid:100)∴ DP”=3'2(cm)
0260
AP”
¤ +CP”
(2'3)¤ +y¤ =('3)¤ +x¤
¤ =BP”
(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -y¤ =9
¤ +DP”
¤ 이므로
=40p,(cid:100)(cid:100)BC”
¤ =320(cid:100)(cid:100)
=15p이므로(cid:100)(cid:100)AB”
¤ =120
(cid:9120) ④
=25p이므로(cid:100)(cid:100)AC”
¤ =200
2
}
1
BC”
(cid:100)(cid:100) _p_{
2
2
∴ BC”=8'5
1
2
_p_{
AB”
2
2
}
1
2
_p_{
AC”
2
2
}
△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”
∴ BC”=8'5
0264
1
2
AC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는
_p_{
3
2
2
}
9
8
= p (cm¤ )
(cid:9120) '2
따라서 AB”를 지름으로 하는 반원의 넓이는
(cid:100)(cid:100)9p+ p= p (cm¤ )
9
8
81
8
(cid:9120)
p cm¤
81
8
0265
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√13¤ -12¤ =5(cm)
색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로
_12_5=30(cm¤ )
(cid:9120) ③
0266
1
2
1
2
1
2
(cid:9120) ⑴ 'ß34(cid:100)⑵
_15_AC”=60(cid:100)(cid:100)∴ AC”=8(cm)
색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로
△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√15¤ +8¤ =17(cm)
(cid:9120) ②
0267
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”
¤ +AC”
¤ =20¤
AB”=AC”이므로(cid:100)(cid:100)2AB”
∴ AB”=10'2(cm)
¤ =400,(cid:100)(cid:100)AB”
¤ =200
색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로
(cid:9120) ③
_10'2_10'2=100(cm¤ )
(cid:9120) ①
➊ AB”의 길이를 구할 수 있다.
➋ 색칠한 부분의 넓이를 구할 수 있다.
… ➊
… ➋
40%
60%
(cid:9120) 100 cm¤
15 피타고라스 정리와 도형 31
¤
¤
¤
”
”
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지32 SinsagoHitec
0272
길이를 구한다.
먼저 삼각형이 되기 위한 조건을 만족시키는 세 변의
△ABC의 외심 O가 AB”의 중점이므로
0268
(cid:100)(cid:100)∠ACB=90°
색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로
△ABC=2p+6p=8p
△ABC= _16_CH”=8_CH”이므로
1
2
(cid:100)(cid:100)8_CH”=8p(cid:100)(cid:100)∴ CH”=p
(cid:9120) p
색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로
0269
1
2
_AB”_4'5=20(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2'5(cm)
△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√(2'5 )¤ +(4'5 )¤ =10(cm)
AB”_AC”=BC”_AH”이므로
2'5_4'5=10_AH”(cid:100)(cid:100)∴ AH”=4(cm)
(cid:9120) ②
0270
오른쪽 그림에서
S¡+S™=△ABC= _12_10
1
2
=60(cm¤ )
따라서 색칠한 부분의 넓이는
1
(cid:100)(cid:100) _p_6¤ + _p_5¤ -(S¡+S™)
2
1
2
A
S¡
10`cm
12`cm
B
S™
C
⁄ 세 변의 길이가 2 cm, 3 cm, 4 cm인 경우
(cid:100) 가장 긴 변의 길이가 4 cm이므로(cid:100)(cid:100)4¤ >2¤ +3¤
(cid:100) 따라서 둔각삼각형이다.
¤ 세 변의 길이가 2 cm, 4 cm, 5 cm인 경우
(cid:100) 가장 긴 변의 길이가 5 cm이므로(cid:100)(cid:100)5¤ >2¤ +4¤
(cid:100) 따라서 둔각삼각형이다.
‹ 세 변의 길이가 2 cm, 5 cm, 6 cm인 경우
(cid:100) 가장 긴 변의 길이가 6 cm이므로(cid:100)(cid:100)6¤ >2¤ +5¤
(cid:100) 따라서 둔각삼각형이다.
› 세 변의 길이가 3 cm, 4 cm, 5 cm인 경우
(cid:100) 가장 긴 변의 길이가 5 cm이므로(cid:100)(cid:100)5¤ =3¤ +4¤
(cid:100) 따라서 직각삼각형이다.
fi 세 변의 길이가 3 cm, 4 cm, 6 cm인 경우
(cid:100) 가장 긴 변의 길이가 6 cm이므로(cid:100)(cid:100)6¤ >3¤ +4¤
(cid:100) 따라서 둔각삼각형이다.
fl 세 변의 길이가 3 cm, 5 cm, 6 cm인 경우
(cid:100) 가장 긴 변의 길이가 6 cm이므로(cid:100)(cid:100)6¤ >3¤ +5¤
(cid:100) 따라서 둔각삼각형이다.
‡ 세 변의 길이가 4 cm, 5 cm, 6 cm인 경우
(cid:100) 가장 긴 변의 길이가 6 cm이므로(cid:100)(cid:100)6¤ <4¤ +5¤
(cid:100) 따라서 예각삼각형이다.
이상에서 a=1, b=5이므로(cid:100)(cid:100)b-a=4
(cid:9120) ④
(cid:100)=18p+ p-60
25
2
(cid:100)= p-60(cm¤ )
61
2
(cid:9120) {
61
2
p-60} cm¤
0273
길이를 구한다.
직각삼각형의 빗변의 중점은 외심임을 이용하여 BC”의
△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√12¤ +10¤ =2'∂61(cm)
점 D는 직각삼각형 ABC의 외심이므로
BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는
2'∂61
2
1
(cid:100)(cid:100) _p_
2
¤ = p(cm¤ )
}
61
2
{
따라서 색칠한 부분의 넓이는(cid:100)(cid:100){
p-60} cm¤
61
2
(cid:100)(cid:100)AD”=BD”=CD”=12cm
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=2AD”=24(cm)
¤ =CE”_BC”이므로
AC”
(cid:100)(cid:100)(8'3)¤ =CE”_24
(cid:100)(cid:100)∴ CE”=8(cm)
DE”=12-8=4(cm)이고 DE”
¤ =DF”_AD”이므로
삼각형에서 가장 긴 변의 길이의 제곱과 나머지 두 변
(cid:100)(cid:100)4¤ =DF”_12
0271
의 길이의 제곱의 합의 대소를 비교한다.
c가 가장 긴 변의 길이이므로
㈀ (4k)¤ >('6k)¤ +(3k)¤
(cid:100) 따라서 둔각삼각형이다.
㈁ (k+5)¤ =k¤ +10k+25, (k+3)¤ +(k+4)¤ =2k¤ +14k+25
0274
한다.
(cid:100)(cid:100)∴ DF”=;3$; (cm)
(cid:9120) ;3$; cm
두 점 A, B의 좌표를 이용하여 OA”, OB”의 길이를 구
(cid:100)(cid:100)∴ (k+5)¤ <(k+3)¤ +(k+4)¤
(cid:100) 따라서 예각삼각형이다.
㈂ (k¤ +1)¤ =k› +2k¤ +1, (k¤ -1)¤ +(2k)¤ =k› +2k¤ +1
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ (k¤ +1)¤ =(k¤ -1)¤ +(2k)¤
(cid:100) 따라서 직각삼각형이다.
㈃ (2k+1)¤ =4k¤ +4k+1, (2k-1)¤ +(2'ßk )¤ =4k¤ +1
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ (2k+1)¤ >(2k-1)¤ +(2'ßk )¤
(cid:100) 따라서 둔각삼각형이다.
이상에서 둔각삼각형은 ㈀, ㈃의 2개이다.
y=-2x+4에 x=0을 대입하면
y=4(cid:100)(cid:100)∴ A(0, 4)
y=-2x+4에 y=0을 대입하면
x=2(cid:100)(cid:100)∴ B(2, 0)
따라서 OA”=4, OB”=2이므로
(cid:100)(cid:100)AB”="√4¤ +2¤ =2'5
△AOB에서 OA”
”_OB”=AB”
”_OH”이므로
4'5
5
(cid:9120) ③
4_2=2'5_OH”(cid:100)(cid:100)∴ OH”=
(cid:9120) ④
32 정답 및 풀이
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지33 SinsagoHitec
PQ”와 평행한 직선 P'D를 그으면 PQ”=P'D”이므로
AC”=k, BC”=3k (k>0)로 놓고 S™=S¡+S£임을 이
0275
a, b, c 사이의 관계식을 구한다.
a+b+c=20에서(cid:100)(cid:100)b+c=20-a
양변을 제곱하면
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)b¤ +2bc+c¤ =400-40a+a¤
△ABC에서 a¤ =b¤ +c¤ 이고 bc=4a이므로 이것을 ㉠에 대입하면
(cid:100)(cid:100)a¤ +8a=400-40a+a¤
(cid:100)(cid:100)48a=400(cid:100)(cid:100)∴ a=:™3∞:
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_:™3∞:_4=:∞3º:
(cid:9120)
50
3
0276
P'D”의 길이를 구한다.
오른쪽 그림과 같이 PQ”와 평행한
직선 P'D를 그어 대각선 AC와 P'D”가
만나는 점을 R라 하면 △ACD에서
A
12
AC”="√16¤ +12¤ =20
AD”_CD”=AC”_DR”이므로
R
B
P P'
D
C
본책 54~56쪽
0279
S¡=S™+S£임을 이용한다.
세 반원 P, Q, R의 넓이를 각각 S¡, S™, S£이라 하면
반원 Q의 반지름의 길이를 r라 하면 Q의 넓이는
1
2
_p_r¤
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
두 반원 P, R의 넓이가 각각 40p, 10p이므로 반원 Q의 넓이는
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
40p-10p=30p
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100) pr¤ =30p
1
2
(cid:100)(cid:100)r¤ =60(cid:100)(cid:100)∴ r=2'∂15 (∵ r>0)
(cid:9120) ②
16
Q
AC”=k, BC”=3k`(k>0)라 하면
1
S™= _p_{
2
3k
2
2
9k¤
= p
8
}
1
S£= _p_{
2
k
2
2
k¤
= p
8
}
k¤
8
9k¤
8
k¤
8
따라서 S¡=S™-S£= p- p=k¤ p이므로(cid:100)(cid:100)
S¡ : S£=k¤ p :
p=8 : 1
(cid:9120) ④
AC”=k, BC”=3k`(k>0)라 하면
AB”="√(3k)¤ -k¤ =2'2k
(cid:9120) ③
AB”：AC”=2'2：1이므로(cid:100)(cid:100)S¡：S£=(2'2)¤ ：1¤ =8：1
BC”=x, CA”=y로 놓고 x, y에 대한 연립방정식을 세
1
5
피
타
고
라
스
정
리
와
도
형
DE”를 그어 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성
AD”= AC”=3(cm), BE”= BC”=4(cm)
BC”=x, CA”=y라 하면 △ABC에서
x¤ +y¤ =16¤ =256
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로
xy=57(cid:100)(cid:100)∴ xy=114
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
A
6`cm
D
B
E
8`cm
¤ =AD”
¤ +BE”
¤ 이므로
C
(x+y)¤ =x¤ +2xy+y¤ 이므로 ㉠, ㉡을 이 식에 대입하면
(x+y)¤ =256+2_114=484
∴ x+y=22 (∵ x+y>0)
(cid:9120) ⑤
0280
용한다.
0281
운다.
1
2
48
5
1
2
16_12=20_DR”(cid:100)(cid:100)∴ DR”=
△CDP'에서 CD”
¤ =DR”_DP'”이므로
12¤ = _DP'”(cid:100)(cid:100)∴ DP'”
”=15
48
5
(cid:8772)QPP'D는 평행사변형이므로
(cid:100)(cid:100)PQ”=P'D”=15
0277
질을 이용한다.
1
2
오른쪽 그림과 같이 DE”를 긋고
DE”=x cm라 하면 삼각형의 두 변의
중점을 연결한 선분의 성질에 의하여
AB”=2DE”=2x(cm)
¤ +DE”
(cid:8772)ABED에서 AB”
(cid:100)(cid:100)(2x)¤ +x¤ =3¤ +4¤
x¤ =5(cid:100)(cid:100)∴ x='5 (∵ x>0)
∴ AB”=2'5 (cm)
0278
AH”
AH”, BH”, CH”의 길이를 구한 후
¤ +CH”
¤ =BH”
¤ +DH”
¤ 임을 이용한다.
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√2¤ +(2'3 )¤ =4
AB”_BC”=AC”_BH”이므로
(cid:100)(cid:100)2_2'3=4_BH”(cid:100)(cid:100)∴ BH”='3
AB”
(cid:100)(cid:100)2¤ =AH”_4(cid:100)(cid:100)∴ AH”=1
¤ =AH”_AC”이므로
AH”
∴ CH”=4-1=3
¤ +CH”
¤ +DH”
¤ =BH”
1¤ +3¤ =('3 )¤ +DH”
∴ DH”='7
¤ 이므로
¤ ,(cid:100)(cid:100)DH”
¤ =7
0282
BD”를 긋고 색칠한 부분과 넓이가 같은 도형을 찾는다.
(cid:9120) ③
오른쪽 그림과 같이 BD”를 그으면
△ABD, △BCD는 각각 직각삼각형이
므로
S¡+S™=△ABD
S£+S¢=△BCD
∴ S¡+S™+S£+S¢
=△ABD+△BCD=(cid:8772)ABCD
=10_9=90
(색칠한 부분의 넓이)
S™
10
S¢
A
S¡
9
B
S£
D
C
(cid:9120) 90
(cid:100)`=(전체 넓이)-(가운데 큰 원의 넓이)
9
2
2
}
+10_9]-p_{
'∂181
2
2
}
(cid:100)`=[p_5¤ +p_{
(cid:100)`=90
(cid:9120) '7
15 피타고라스 정리와 도형 33
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지34 SinsagoHitec
a cm가 가장 긴 변의 길이일 때와 4 cm가 가장 긴 변
AO”, CO”, BC”의 길이를 차례대로 구한 후
0283
의 길이일 때로 경우를 나누어 생각한다.
⁄ a cm가 가장 긴 변의 길이일 때,
삼각형이 되기 위한 조건에 의하여(cid:100)(cid:100)43¤ +4¤ (cid:100)
(cid:100)(cid:100)∴ a>5 (∵ a>0)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)53¤ +a¤
(cid:100)(cid:100)∴ 00)
㉢, ㉣에서(cid:100)(cid:100)1(2'ß21)¤ +6¤ 이므로 △ABC는 ∠A>90°인
… ➌
둔각삼각형이다.
(cid:9120) ∠A>90°인 둔각삼각형
… ➊
➊ AH”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AB”의 길이를 구할 수 있다.
➌ △ABC가 어떤 삼각형인지 구할 수 있다.
20%
20%
60%
0286
AB”
¤ +CD”
¤ =BC”
¤ +DA”
¤ 임을 이용한다.
△ABO에서(cid:100)(cid:100)AO”="√(3'2)¤ -3¤ =3
CO”=3AO”이므로
(cid:100)(cid:100)CO”=9
△BCO에서
(cid:100)(cid:100)BC”="√3¤ +9¤ =3'∂10
¤ +DA”
¤ =BC”
AB”
¤ +CD”
¤ 이므로
(3'2)¤ +13¤ =(3'ß10)¤ +x¤
x¤ =97(cid:100)(cid:100)∴ x='ß97 (∵ x>0)
➊ CO”의 길이를 구할 수 있다.
➋ BC”의 길이를 구할 수 있다.
➌ x의 값을 구할 수 있다.
0287
주어진 넓이를 이용하여 AB”, AC”의 길이를 구한다.
1
AB”
S¡= _p_{
2
2
∴ AB”=4'3(cm)
}
2
=6p에서(cid:100)(cid:100)AB”
¤ =48
S™=S£-S¡=18p-6p=12p(cm¤ )이므로
2
}
AC”
2
=12p,(cid:100)(cid:100)AC”
1
(cid:100)(cid:100) _p_{
2
∴ AC”=4'6(cm)
∴ △ABC= _4'3_4'6=24'2(cm¤ )
¤ =96
1
2
(cid:9120) 24'2 cm¤
➊ AB”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AC”의 길이를 구할 수 있다.
➌ △ABC의 넓이를 구할 수 있다.
0285
(cid:8772)BFGC=(cid:8772)ADEB+(cid:8772)ACHI임을 이용한다.
(cid:8772)BFGC=(cid:8772)ADEB+(cid:8772)ACHI이므로
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ADEB=100-36=64(cm¤ )
(cid:100)(cid:100)∴ AB”='∂64=8(cm)
BC”='∂100=10(cm), AC”='∂36=6(cm)이고
AB”_AC”=BC”_AK”이므로
(cid:100)(cid:100)8_6=10_AK”(cid:100)(cid:100)∴ AK”= (cm)
… ➋
24
5
0288
한다.
… ➊
AB”
¤ =BK”_BC”이므로(cid:100)(cid:100)8¤ =BK”_10
(cid:100)(cid:100)∴ BK”= (cm)
32
5
24
(cid:100)(cid:100)∴ AK”+BK”= + = (cm)
5
56
5
32
5
먼저 AC”
¤ =CH”_BC”임을 이용하여 CH”의 길이를 구
¤ =CH”_BC”이므로
CH”=xcm라 하면 AC”
(4'3)¤ =x(x+2),(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-48=0
(x+8)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0)
¤ =BH”_CH”이므로
¤ =2_6=12
∴ AH”=2'3 (cm)
∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC
AH”
(cid:100)(cid:100)AH”
1
2
= _8_2'3
=8'3(cm¤ )
➊ CH”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AH”의 길이를 구할 수 있다.
➌ 색칠한 부분의 넓이를 구할 수 있다.
… ➌
… ➍
(cid:9120)
cm
56
5
30%
30%
30%
10%
… ➌
(cid:9120) 8'3 cm¤
40%
30%
30%
➊ AB”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AK”의 길이를 구할 수 있다.
➌ BK”의 길이를 구할 수 있다.
➍ AK”+BK”의 길이를 구할 수 있다.
34 정답 및 풀이
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 'ß97
30%
20%
50%
… ➊
… ➋
… ➌
30%
50%
20%
… ➊
… ➋
”
”
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지35 SinsagoHitec
16
피타고라스 정리의 평면도형에의 활용
x : 7=1 : 1이므로(cid:100)(cid:100)x=7
0306
7 : y=1 : '2이므로(cid:100)(cid:100)y=7'2
본책 57~61쪽
(cid:9120) x=7, y=7'2
0289
"√4¤ +6¤ =2'ß13(cm)
0290
'2_7=7'2(cm)
0291
x="√8¤ -4¤ =4'3
0292
'2x=2'5(cid:100)(cid:100)∴ x='∂10
0293
AD”="√11¤ -(6'2 )¤ =7
0294
(cid:8772)ABCD=7_6'2=42'2
0295
h= _2='3(cm)
0296
h= _4'3=6(cm)
S= _(4'3)¤ =12'3(cm¤ )
'3
2
'3
2
'3
4
'3
4
'3
2
(cid:9120) 2'ß13 cm
(cid:9120) 7'2 cm
(cid:9120) 4'3
(cid:9120) 'ß10
(cid:9120) 7
(cid:9120) 42'2
0307
y :
x : 9=1 : '2이므로(cid:100)(cid:100)x=
9'2
2
=1 : 1이므로(cid:100)(cid:100)y=
9'2
2
9'2
2
(cid:9120) x=
, y=
9'2
2
9'2
2
x : 4=1 : 2이므로(cid:100)(cid:100)x=2
0308
2 : y=1 : '3이므로(cid:100)(cid:100)y=2'3
0309
6 : y=1 : 2이므로(cid:100)(cid:100)y=12
6 : x=1 : '3이므로(cid:100)(cid:100)x=6'3
(cid:9120) x=2, y=2'3
(cid:9120) x=6'3, y=12
0310
10'3
3
x : 10=1 : '3이므로(cid:100)(cid:100)x=
20'3
3
: y=1 : 2이므로(cid:100)(cid:100)y=
10'3
3
(cid:9120) x=
, y=
10'3
3
20'3
3
1
6
피
타
고
라
스
정
리
의
평
면
도
형
에
의
활
용
S= _2¤ ='3(cm¤ )
(cid:9120) h='3 cm, S='3 cm¤
(cid:9120) h=6cm, S=12'3 cm¤
3 : x=1 : 1이므로(cid:100)(cid:100)x=3
0311
y : 3=1 : '3이므로(cid:100)(cid:100)y='3
(cid:9120) x=3, y='3
0297
정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면
a=6'2(cid:100)(cid:100)∴ a=4'6
(cid:9120) 4'6 cm
x : 12='3 : 2이므로(cid:100)(cid:100)x=6'3
0312
6'3 : y=1 : '2이므로(cid:100)(cid:100)y=6'6
(cid:9120) x=6'3, y=6'6
0313
(cid:9120) 4
0314
(cid:9120) 4
0298
정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면
a¤ =15'3,(cid:100)(cid:100)a¤ =60
'3
4
∴ a=2'∂15 (∵ a>0)
0299
1
BH”= BC”= _16=8(cm)
2
1
2
0300
△ABH에서
AH”="√10¤ -8¤ =6(cm)
(cid:9120) 2'∂15 cm
(cid:9120) 8cm
0315
PQ”="√4¤ +4¤ =4'2
0316
"√3¤ +1¤ ='∂10
0317
"√2¤ +(-8)¤ =2'∂17
(cid:9120) 6cm
0318
"√(-1)¤ +7¤ =5'2
0301
△ABC= _16_6=48(cm¤ )
(cid:9120) 48cm¤
0302
(cid:9120) ㈎ 25-x¤ (cid:100)㈏ 6-x(cid:100)㈐ (6-x)¤ (cid:100)㈑
15
4
0319
"√(-6)¤ +(-3)¤ =3'5
0320
"√(3'2 )¤ +(-'7 )¤ =5
0321
AB”="√6¤ +4¤ =2'ß13
1
2
1
2
0303
AH”="√25-x¤ =æ≠25-{
15
4
2
}
=Æ…
175
16
=
5'7
4
0304
△ABC= _6_
5'7
4
=
15'7
4
0305
y : 3=1 : 1이므로(cid:100)(cid:100)y=3
x : 3'2=1 : '2이므로(cid:100)(cid:100)x=3
(cid:9120)
5'7
4
(cid:9120)
15'7
4
0322
CD”="√(-4+3)¤ +(-3)¤ ='ß10
0323
EF”="√(-2-7)¤ +(2-5)¤ =3'ß10
0324
GH”="√(-7+1)¤ +(8-9)¤ ='ß37
(cid:9120) x=3, y=3
0325
IJ”="√(-4-2)¤ +(5+3)¤ =10
(cid:9120) 4'2
(cid:9120) 'ß10
(cid:9120) 2'ß17
(cid:9120) 5'2
(cid:9120) 3'5
(cid:9120) 5
(cid:9120) 2'ß13
(cid:9120) 'ß10
(cid:9120) 3'ß10
(cid:9120) 'ß37
(cid:9120) 10
16 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 35
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지36 SinsagoHitec
0326
(cid:9120)
y
4
2
O
A-2
C
2
B
4
6
x
AB”="√(5-1)¤ +(1+1)¤ =2'5
0327
BC”="√(4-5)¤ +(4-1)¤ ='ß10
CA”="√(1-4)¤ +(-1-4)¤ ='ß34
(cid:9120) AB”=2'5, BC”='∂10, CA”='∂34
0328
('∂34 )¤ >(2'5)¤ +('∂10 )¤ , 즉 CA”
로 △ABC는 ∠B>90°인 둔각삼각형이다.
¤ >AB”
¤ +BC”
¤ 이므
(cid:9120) ∠B>90°인 둔각삼각형
0334
OD”=AD”이므로
(cid:100)(cid:100)OD”= OA”=8(cm)
1
2
CD”=x cm라 하면 OC”=OA”=16 cm이므로
(cid:100)(cid:100)8¤ +x¤ =16¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ =192
(cid:100)(cid:100)∴ x=8'3 (∵ x>0)
따라서 (cid:8772)ODCE의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2_(8+8'3 )=16(1+'3 )(cm)
0335
이는 2r이므로
'2_2r=3'2(cid:100)(cid:100)∴ r=
3
2
따라서 원의 넓이는
p_{
3
2
2
}
9
= p
4
원의 반지름의 길이를 r라 하면 정사각형의 한 변의 길
△ABC에서 AB”=c, BC”=a, CA”=b이고 c가 가장 긴 변의 길이
일 때,
① c¤ a¤ +b¤ ` (cid:8825) ∠C>90° (cid:8825) △ABC는 둔각삼각형
0336
비스킷의 한 변의 길이를 a cm라 하면
5'2
2
'2a=5(cid:100)(cid:100)∴ a=
따라서 비스킷의 둘레의 길이는
5'2
2
_4=10'2(cm)
(cid:9120) 10'2 cm
AE”=10-6=4이므로 △ABE에서
0329
(cid:100)(cid:100)AB”="8√
¤ -4¤ =4'3
(cid:100)(cid:100)∴ BD”="√10¤ +(4'3 )¤ =2'∂37
버리는 부분이 최소가 되도록 하려면 정사각형의 대각선
0337
과 원의 지름이 일치해야 한다.
따라서 정사각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면
(cid:9120) 2'∂37
'2a=24(cid:100)(cid:100)∴ a=12'2
0330
(cid:8772)BEFD=BD”
¤ =4¤ +7¤ =65(cm¤ )
(cid:9120) 65 cm¤
BC”=3a, CD”=2a (a>0)라 하면
0331
(cid:100)(cid:100)(3a)¤ +(2a)¤ =(2'∂26 )¤ ,(cid:100)(cid:100)13a¤ =104
(cid:100)(cid:100)a¤ =8(cid:100)(cid:100)∴ a=2'2 (∵ a>0)
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=3a=3_2'2=6'2
0332
(3'5)¤ +(3a)¤ =(4a+1)¤ 에서
7a¤ +8a-44=0,(cid:100)(cid:100)(7a+22)(a-2)=0
∴ a=2 (∵ a>0)
정사각형의 한 변의 길이를 x라 하면
0333
(cid:100)(cid:100)(3x)¤ +x¤ =(15'2 )¤ ,(cid:100)(cid:100)10x¤ =450
(cid:100)(cid:100)x¤ =45(cid:100)(cid:100)∴ x=3'5 (∵ x>0)
(cid:100)(cid:100)∴ AC”="√(6'5 )¤ +(3'5 )¤
=15
➊ 정사각형의 한 변의 길이를 구할 수 있다.
➋ AC”의 길이를 구할 수 있다.
36 정답 및 풀이
0338
AC”='2_'3='6, CH”="√4¤ +(2'2)¤ =2'6
∴ AC”+CH”=3'6
0339
블록의 한 모서리의 길이를 acm라 하면
AB”='2a=5'2(cid:100)(cid:100)∴ a=5
∴ AC”="√15¤ +10¤
=5'ß13(cm)
(cid:8772)ABCD의 한 변의 길이를 a라 하면
0340
(cid:100)(cid:100)AC”='2 a, CE”=a
(cid:100)(cid:100)∴ AE”="√('2a)¤ +a¤
="√3a¤ ='3 a
(cid:8772)ABCD와 (cid:8772)AEFG의 둘레의 길이의 비는 각 정사각형의 한
변의 길이의 비와 같으므로 구하는 비는
(cid:100)(cid:100)a：'3 a=1：'3
(cid:9120) ②
닮음인 두 평면도형의 닮음비가 m：n이면
① 둘레의 길이의 비 (cid:8825) m：n
② 넓이의 비 (cid:8825) m¤ ：n¤
(cid:9120) 6'2
(cid:9120) 2
… ➊
… ➋
(cid:9120) 15
50%
50%
(cid:9120) ③
(cid:9120) ②
(cid:9120) ③
(cid:9120) 3'6
(cid:9120) ④
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지37 SinsagoHitec
0341
AD”_DC”=AC”_DH”이므로(cid:100)(cid:100)12_5=13_DH”
AC”="√5¤ +12¤ =13(cm)
따라서 △ABE에서
(cid:100)(cid:100)BE”=øπ(2'3 )¤ +3¤ ='∂21 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ DH”= (cm)
0342
AB”_AD”=BD”_AH”이므로(cid:100)(cid:100)8_6=10_AH”
BD”="√6¤ +8¤ =10(cm)
➊ AB”의 길이를 구할 수 있다.
➋ ∠BAE의 크기를 구할 수 있다.
➌ BE”의 길이를 구할 수 있다.
본책 61~65쪽
… ➌
(cid:9120) '∂21 cm
40%
30%
30%
(cid:9120) ④
… ➊
… ➋
… ➌
… ➍
30%
30%
30%
10%
60
13
24
5
32
5
27
5
27
5
(cid:100)(cid:100)∴ AH”= (cm)
AB”
¤ =BH”_BD”이므로(cid:100)(cid:100)8¤ =BH”_10
(cid:100)(cid:100)∴ BH”= (cm)
∴ AH”+BH”= + = (cm)
24
5
32
5
56
5
➊ BD”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AH”의 길이를 구할 수 있다.
➌ BH”의 길이를 구할 수 있다.
➍ AH”+BH”의 길이를 구할 수 있다.
0343
AB”
BD”="√9¤ +12¤ =15(cm)
¤ =BE”_BD”이므로 9¤ =BE”_15
(cid:100)(cid:100)∴ BE”= (cm)
0347
오른쪽 그림과 같이 AO”의 연장선
과 BC”가 만나는 점을 D라 하면 점 O는
△ABC의 무게중심이므로
A
10`cm
(cid:100)(cid:100)AD”= AO”= _10
3
2
3
2
=15(cm)
△ABC의 한 변의 길이를 a cm라 하면
(cid:9120)
cm
56
5
O
D
B
C
a=15(cid:100)(cid:100)∴ a=10'3
'3
4
∴ △ABC= _(10'3)¤ =75'3(cm¤ )
(cid:9120) 75'3 cm¤
0348
정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면
a=9(cid:100)(cid:100)∴ a=6'3
따라서 정삼각형의 넓이는
'3
2
'3
2
'3
4
1
6
피
타
고
라
스
정
리
의
평
면
도
형
에
의
활
용
또 CD”
¤ =DF”_DB”이므로(cid:100)(cid:100)9¤ =DF”_15
_(6'3)¤ =27'3(cm¤ )
(cid:9120) ①
(cid:100)(cid:100)∴ DF”= (cm)
∴ EF”=BD”-BE”-DF”
27
=15- - = (cm)
5
27
5
21
5
(cid:9120)
cm
21
5
AD”는 정삼각형 ABC의 중선이므로 △ABC의 높이이
0344
다.
AD”= _4'3=6(cm)이므로
'3
2
AG”= AD”= _6=4(cm)
2
3
2
3
0345
AD”=a cm라 하면(cid:100)(cid:100)'2a=7'6
∴ a=7'3
따라서 △EAD의 높이는
'3
2
21
_7'3= (cm)
2
0346
므로
'3
2
(cid:100)(cid:100) a=3(cid:100)(cid:100)∴ a=2'3
∠BAE=∠BAD+∠DAE
=30°+60°=90°
AB”=a cm라 하면 △ABC에서 AD”= a (cm)이
'3
2
0349
△ABC에서
AC”=øπ(2'ß10)¤ -4¤ =2'6(cm)
'3
∴ △ACD= _(2'6)¤ =6'3(cm¤ )
4
(cid:9120) 6'3 cm¤
0350
⑴ BE”=EC”=CF”= _2=1(cm)
1
2
(cid:9120) 4cm
∠GEC=∠GCE=60°이므로 △GEC는 한 변의 길이가
1cm인 정삼각형이다.
'3
(cid:100)(cid:100)∴ △GEC= _1¤ = (cm¤ )
4
'3
4
… ➊
'3
⑵ △ABC= _2¤ ='3 (cm¤ )
4
따라서 색칠한 부분의 넓이는
(cid:9120) ④
(cid:100)(cid:100)2(△ABC-△GEC)=2_{'3- }
=
3'3
2
(cm¤ )
'3
4
'3
4
(cid:9120) ⑴
cm¤ (cid:100)⑵
cm¤
3'3
2
… ➊
… ➋
➊ △GEC의 넓이를 구할 수 있다.
➋ △ABC의 넓이를 구할 수 있다.
➌ 색칠한 부분의 넓이를 구할 수 있다.
… ➋
… ➌
40%
20%
40%
16 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 37
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지38 SinsagoHitec
0351
AD”= _4=2'3(cm)이므로
'3
2
(cid:100)(cid:100)AF”= _2'3=3(cm)
'3
2
(cid:100)(cid:100)∴ △AFG= _3¤ =
(cm¤ )
'3
4
9'3
4
(cid:9120) ②
오른쪽 그림과 같이 AP”를 그으면
0352
△ABC=△ABP+△APC이므로
A
'3
(cid:100)(cid:100) _6¤
4
(cid:100)= _6_PQ”+ _6_PR”
1
2
1
2
따라서 9'3=3PQ”+3PR”이므로
(cid:100)(cid:100)PQ”+PR”=3'3
6
Q
B
주어진 정육각형은 한 변의 길이가 10cm인 정삼각형 6
0353
개로 이루어져 있으므로 구하는 넓이는
6_{ _10¤ }=150'3(cm¤ )
'3
4
0354
정육각형의 한 변의 길이를 acm라 하면
'3
4
6_ a¤ =12'3,(cid:100)(cid:100)a¤ =8(cid:100)(cid:100)∴ a=2'2 (∵ a>0)
따라서 정육각형의 둘레의 길이는
6_2'2=12'2(cm)
0355
⑴ 오른쪽 그림과 같이 두 대
각선 AC와 BD의 교점을 O라 하
면 △ABD는 한 변의 길이가 6cm
인 정삼각형이므로
'3
⑴ (cid:100)(cid:100)AO”= _6=3'3(cm)
2
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=2AO”=6'3(cm)
'3
4
6`cm
A
60æ
D
60æ
O
60æ
B
⑵ (cid:8772)ABCD=2△ABD=2_{ _6¤ }=18'3(cm¤ ) … ➌
(cid:9120) ⑴ 6'3 cm(cid:100)⑵ 18'3 cm¤
R
C
P
(cid:9120) 3'3
(cid:9120) ③
(cid:9120) ④
C
… ➊
… ➋
40%
20%
40%
➊ AO”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AC”의 길이를 구할 수 있다.
➌ (cid:8772)ABCD의 넓이를 구할 수 있다.
⑵ (cid:8772)ABCD= _AC”_BD”
1
2
1
2
= _6'3_6=18'3(cm¤ )
AB”=a cm라 하면 (cid:8772)ABCD=3△ABM이므로
'3
(cid:100)(cid:100)48'3=3_ a¤ ,(cid:100)(cid:100)a¤ =64
4
(cid:100)(cid:100)∴ a=8 (∵ a>0)
정육각형의 한 내각의 크기는
0357
120°이므로
∠GBA=∠GAB=60°
∴ ∠BGA=60°
(cid:9120) 8 cm
60æ
A
G
F
J
B
60æ
E
H
C
D
따라서 △GBA는 한 변의 길이가 12 cm
인 정삼각형이다.
또 같은 방법으로 하면 △IDC, △JFE는 한 변의 길이가 12 cm
인 정삼각형이므로 △GIJ는 한 변의 길이가 12_3=36(cm)인
정삼각형이다.
또 △HED는 한 변의 길이가 12 cm인 정삼각형이므로
I
'3
(cid:100)(cid:100)GH”= _36+ _12=24'3 (cm)
2
'3
2
(cid:9120) ④
정n각형의 한 내각의 크기는(cid:100)(cid:100)
180°_(n-2)
n
0358
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에
서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
BH”=4cm이므로 △ABH에서
AH”="√6¤ -4¤ =2'5(cm)
1
∴ △ABC= _8_2'5=8'5(cm¤ )
2
B
A
6`cm
6`cm
4`cm
4`cm
H
C
(cid:9120) ②
0359
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A
에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
BH”=8이므로 △ABH에서
AH”="√10¤ -8¤ =6
A
10
10
B
8
H
8
C
따라서 구하는 삼각형의 넓이는(cid:100)(cid:100) _16_6=48
(cid:9120) 48
1
2
0360
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서
BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ABC
의 넓이가 240cm¤ 이므로
A
1
2
_20_AH”=240
∴ AH”=24(cm)
… ➊
이때 BH”=10cm이므로 △ABH에서
AB”="√10¤ +24¤ =26(cm)
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
AB”+BC”+CA”=26+20+26=72(cm)
B
10`cm 10`cm
H
C
… ➋
… ➌
(cid:9120) 72cm
40%
40%
20%
0356
오른쪽 그림과 같이 BC”의 중점
을 M이라 하고, AM”, DM”을 그으면
△ABM, △AMD, △DMC는 모두
합동인 정삼각형이다.
A
D
B
M
C
➊ △ABC의 높이를 구할 수 있다.
➋ AB”의 길이를 구할 수 있다.
➌ △ABC의 둘레의 길이를 구할 수 있다.
38 정답 및 풀이
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지39 SinsagoHitec
△ABH에서(cid:100)(cid:100)BH”="√12¤ -9¤ =3'7(cm)
0366
△ABD에서(cid:100)(cid:100)AB” : BD”=1 : '2
0361
CH”=BH”=3'7cm이므로
(cid:100)(cid:100)BC”=2_3'7=6'7(cm)
∴ △ABC= _6'7_9=27'7(cm¤ )
(cid:9120) ⑤
1
2
5 : BD”=1 : '2
(cid:100)(cid:100)∴ BD”=5'2(cm)
△BCD에서(cid:100)(cid:100)BC” : BD”='3 : 2
BC” : 5'2='3 : 2
(cm)
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=
5'6
2
본책 65~68쪽
(cid:9120) ④
0367
① △ABD에서(cid:100)(cid:100)BD” : AB”=1 : '3
(cid:100) BD” : 5'3=1 : '3
(cid:100)(cid:100)(cid:100) ∴ BD”=5(cm)
② △ABC에서 BC”=AB”=5'3cm이므로
(cid:100)(cid:100)DC”=BC”-BD”=5'3-5(cm)
③ △ABD에서(cid:100)(cid:100)BD” : AD”=1 : 2
(cid:100)(cid:100)5 : AD”=1 : 2
(cid:100)(cid:100)(cid:100) ∴ AD”=10(cm)
④ △ABC에서(cid:100)(cid:100)AB” : AC”=1 : '2
(cid:100)(cid:100)5'3 : AC”=1 : '2
(cid:100)(cid:100)(cid:100) ∴ AC”=5'6(cm)
⑤ △ABC= _5'3_5'3= (cm¤ )
이상에서 옳지 않은 것은 ②이다.
75
2
1
2
(cid:9120) ⑤
0368
△DBC에서(cid:100)(cid:100)CD” : BC”=1 : '3
6 : y=1 : '3
(cid:100)(cid:100)∴ y=6'3
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AB” : BC”=1 : '2
x : 6'3=1 : '2
(cid:100)(cid:100)∴ x=3'6
∴ xy=3'6_6'3=54'2
5
7
B
x
H
6-x
C
➊ y의 값을 구할 수 있다.
➋ x의 값을 구할 수 있다.
➌ xy의 값을 구할 수 있다.
(cid:9120) 2'6
B
E
5
C
5
8Â3
A
D
(cid:9120) ①
A
15
13
B
x
H
14-x
C
오른쪽 그림과 같이 AD”와 BC”의
0362
교점을 E라 하면 △BDC에서
'3
2
DE”= _10=5'3
∴ AE”=AD”-DE”=8'3-5'3
=3'3
BE”=5이므로 △ABE에서
AB”=øπ5¤ +(3'3)¤ =2'∂13
0363
오른쪽 그림과 같이 △ABC의 꼭
짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라
하고 BH”=x라 하면
CH”=14-x
△ABH와 △AHC에서
¤ =13¤ -x¤ =15¤ -(14-x)¤
AH”
28x=140(cid:100)(cid:100)∴ x=5
따라서 AH”="√13¤ -5¤ =12이므로
1
△ABC= _14_12=84
2
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서
A
0364
BC”에 내린 수선의 발을 H라 하고
BH”=x라 하면(cid:100)(cid:100)CH”=6-x
△ABH와 △AHC에서
¤ =5¤ -x¤ =7¤ -(6-x)¤
AH”
12x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=1
∴ AH”="√5¤ -1¤ =2'6
BH”=xcm라 하면
0365
(cid:100)(cid:100)CH”=(10-x)cm
△ABH와 △AHC에서
¤ =8¤ -x¤ =12¤ -(10-x)¤
AH”
20x=20(cid:100)(cid:100)∴ x=1
∴ AH”="√8¤ -1¤ =3'7(cm)
∴ HM”=5-1=4(cm)
➊ BH”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AH”, HM”의 길이를 구할 수 있다.
➌ AM”의 길이를 구할 수 있다.
△AHM에서(cid:100)(cid:100)AM”="√(3'7)¤ +4¤ ='ß79(cm)
0369
△BCH에서(cid:100)(cid:100)BH” : BC”='3 : 2
2'3 : BC”='3 : 2(cid:100)(cid:100)∴ BC”=4
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC” : BC”=1 : '3
AC” : 4=1 : '3(cid:100)(cid:100)∴ AC”=
4'3
3
… ➊
… ➋
… ➌
40%
40%
20%
(cid:9120) 'ß79 cm
0370
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC” : AB”=1 : 2
AC” : 10=1 : 2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=5(cm)
∠BAD=∠DAC이고 ∠BAC=60°이므로(cid:100)(cid:100)∠DAC=30°
△ADC에서(cid:100)(cid:100)∠ADC=60°
따라서 AC” : AD”='3 : 2이므로
(cid:100)(cid:100)5 : AD”='3 : 2
10'3
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=
3
10'3
3
(cm)
(cid:9120)
cm
16 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 39
1
6
피
타
고
라
스
정
리
의
평
면
도
형
에
의
활
용
(cid:9120) ②
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 54'2
40%
40%
20%
(cid:9120) ②
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지40 SinsagoHitec
0371
△DCE에서(cid:100)(cid:100)CE” : CD”='3 : 2
2'3
3
1 : CD”='3 : 2(cid:100)(cid:100)∴ CD”=
△ACD에서(cid:100)(cid:100)CD” : AC”=1 : '2
2'3
3
: AC”=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=
△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC” : AC”=1 : '3
BC” :
2'6
3
=1 : '3(cid:100)(cid:100)∴ BC”=
2'2
3
2'6
3
1
2
_
=
∴ △ABC= _
2'6
3
2'2
3
4'3
9
0372
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A
에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하
면 △ABH에서
AH” : AB”='3 : 2
AH” : 7='3 : 2(cid:100)(cid:100)∴ AH”=
7'3
2
∴ (cid:8772)ABCD=6'2_
=21'6
7'3
2
0375
오른쪽 그림과 같이 두 점
A, D에서 BC”에 내린 수선의 발을
각각 H, I라 하면
△DIC에서
A
3Â3`cm
D
60æ
B
H
2Â6`cm
45æ
C
I
DI”：DC”=1：'2
DI”：2'6=1：'2
∴ DI”=2'3(cm)(cid:100)(cid:100)∴ IC”=DI”=2'3 cm
또 AH”=DI”이므로 △ABH에서
(cid:9120) ①
BH”：AH”=1：'3
BH”：2'3=1：'3
∴ BH”=2(cm)
A
6Â2
D
7
B
60æ
H
C
따라서 BC”=BH”+HI”+IC”이므로
BC”=2+3'3+2'3=2+5'3 (cm)
1
2
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD= _{3'3+(2+5'3 )}_2'3
=2('3+12)(cm¤ )
(cid:9120) 2('3+12)cm¤
(cid:9120) ③
45æ
C
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에
0373
서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
△ABH에서
AB” : AH”=2 : '3
A
4Â3
30æ
45æ
60æ
B
H
(cid:100)(cid:100)4'3 : AH”=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ AH”=6
또 AB” : BH”=2 : 1이므로(cid:100)(cid:100)4'3 : BH”=2 : 1
(cid:100)(cid:100)∴ BH”=2'3
△AHC에서 AH” : CH”=1 : 1이므로
(cid:100)(cid:100)CH”=AH”=6(cid:100)(cid:100)∴ BC”=2'3+6
1
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC= _(2'3+6)_6=6('3+3) (cid:9120) 6('3+3)
2
D
6`cm
60æ
C
H
8`cm
0374
A
⑴ 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점
D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라
하면 △DHC에서
(cid:100)(cid:100)DH” : DC”='3 : 2
(cid:100)(cid:100)DH” : 6='3 : 2
(cid:100)(cid:100)∴ DH”=3'3(cm)
또 HC” : DC”=1 : 2이므로(cid:100)(cid:100)HC” : 6=1 : 2
(cid:100)(cid:100)∴ HC”=3(cm)(cid:100)(cid:100)∴ BH”=8-3=5(cm)
따라서 △BHD에서
B
(cid:100)(cid:100)BD”="√5¤ +(3'3)¤ =2'ß13(cm)
1
⑵ (cid:8772)ABCD= _(5+8)_3'3=
2
39'3
2
(cm¤ )
(cid:9120) ⑴ 2'ß13 cm(cid:100)⑵
39'3
2
cm¤
… ➊
… ➋
… ➌
… ➍
20%
30%
20%
30%
➊ DH”의 길이를 구할 수 있다.
➋ BH”의 길이를 구할 수 있다.
➌ BD”의 길이를 구할 수 있다.
➍ (cid:8772)ABCD의 넓이를 구할 수 있다.
40 정답 및 풀이
A
45æ
60æ
B
{10-x}`m x`m
H
C
0376
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에
서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하고
CH”=xm라 하면
BH”=AH”=(10-x)m
△AHC에서(cid:100)(cid:100)CH” : AH”=1 : '3
x : AH”=1 : '3
(cid:100)(cid:100)∴ AH”='3x(m)
즉 10-x='3x이므로(cid:100)(cid:100)('3+1)x=10
(cid:100)(cid:100)∴ x=5('3-1)
” : AC”=1 : 2이므로
CH”
(cid:100)(cid:100)5('3-1) : AC”=1 : 2
∴ AC”=10('3-1)(m)
(cid:9120) 10('3-1)m
x`cm
45æ
3Â2`cm
0377
(cid:100)(cid:100)
정팔각형의 한 내각의 크기는
180°_(8-2)
8
=135°
이때 잘라 낸 삼각형은 오른쪽 그림과 같고, 한
끝 각이 직각인 변의 길이를 xcm라 하면
x : 3'2=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ x=3
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는
2x+3'2=6+3'2
=3(2+'2)(cm)
(cid:9120) 3(2+'2)cm
0378
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AB” : BC”='3 : 2
AB” : 6='3 : 2
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=3'3(cm)
또 AC” : BC”=1 : 2이므로(cid:100)(cid:100)AC” : 6=1 : 2
∴ AC”=3(cm)
∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC= _3'3_3
1
2
=
9'3
2
(cm¤ )
(cid:9120) ④
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지41 SinsagoHitec
0379
∠BAP=∠PAQ=∠QAD= ∠BAD=30°
1
3
△ABP에서(cid:100)(cid:100)BP” : AB”=1 : '3
4'3 : AB”=1 : '3(cid:100)(cid:100)∴ AB”=12
DQ”=12-3=9이므로 △AQD에서
DQ” : AD”=1 : '3,(cid:100)(cid:100)9 : AD”=1 : '3
∴ AD”=9'3
∴ (cid:8772)ABCD=9'3_12=108'3
△COD에서(cid:100)(cid:100)CD”：OC”=1：'2
0380
(cid:100)(cid:100)CD”：12=1：'2(cid:100)(cid:100)∴ CD”=6'2 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ OD”=CD”=6'2 cm
(cid:100)(cid:100)∴ (색칠한 부분의 넓이)
(cid:100)(cid:100)=p_12¤ _
45
360
=18p-36=18(p-2)(cm¤ )
- _6'2_6'2
1
2
0381
△BCD에서(cid:100)(cid:100)BC” : BD”='3 : 2
3 : BD”='3 : 2(cid:100)(cid:100)∴ BD”=2'3(cm)
또 DC” : BC”=1 : '3이므로(cid:100)(cid:100)DC” : 3=1 : '3
(cid:100)(cid:100)∴ DC”='3(cm)
△BFE에서(cid:100)(cid:100)BE”="√(2'3)¤ +('3)¤ ='ß15(cm)
△BHG에서(cid:100)(cid:100)BG”="√('ß15)¤ +('3)¤ =3'2(cm)
즉 BI”=BG”=3'2 cm이므로
1
2
△BIG= _3'2_'3=
3'6
2
(cm¤ )
(cid:9120)
3'6
2
cm¤
0382
PQ”=2'ß13이므로(cid:100)(cid:100)PQ”
¤ =(2'∂13 )¤ =52`
(a+2)¤ +(-1-5)¤ =52,(cid:100)(cid:100)a¤ +4a-12=0
(a+6)(a-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-6 또는 a=2
이때 점 Q는 제 4사분면 위의 점이므로(cid:100)(cid:100)a>0
∴ a=2
(cid:9120) 2
두 점 사이의 거리를 구하면 다음과 같다.
0383
① "√(3+1)¤ +(1-2)¤ ='ß17
② "√(-2)¤ +(4-6)¤ ='8
③ "√(-1-3)¤ +(6-2)¤ ='ß32
④ "√(6-4)¤ +(3-7)¤ ='ß20
⑤ "√(12-13)¤ +(9-7)¤ ='5
그려지는 원의 지름의 길이를 구하면 다음과 같다.
0384
① "√(-2-1)¤ +(4-3)¤ ='ß10
② "√(-1-1)¤ +√(-1-3)¤ ='ß20
③ "√(3-1)¤ +(1-3)¤ ='8
④ "√(4-1)¤ +(-1-3)¤ ='ß25
⑤ "√(6-1)¤ +(1-3)¤ ='ß29
따라서 넓이가 가장 큰 원은 지름의 길이가 가장 긴 ⑤이다.
본책 68~70쪽
0385
¤ =(5'2)¤ =50
AB”=5'2이므로(cid:100)(cid:100)AB”
(4-a-1)¤ +(2-2a-6)¤ =50
(3-a)¤ +(-2a-4)¤ =50,(cid:100)(cid:100)5a¤ +10a-25=0
∴ a¤ +2a-5=0
… ➊
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 a의 값의 합은
-2이다.
… ➋
(cid:9120) -2
(cid:9120) ⑤
➊ a에 대한 이차방정식을 세울 수 있다.
➋ a의 값의 합을 구할 수 있다.
60%
40%
이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근을 a, b라 할 때,
a+b=-
, ab=
;aB;
;aC;
(cid:9120) 18(p-2)cm¤
1
6
피
타
고
라
스
정
리
의
평
면
도
형
에
의
활
용
0386
x=2, y=a를 y=3x-2에 대입하면
a=6-2=4
x=b, y=-5를 y=3x-2에 대입하면
(cid:100)(cid:100)-5=3b-2(cid:100)(cid:100)∴ b=-1
따라서 A(2, 4), B(-1, -5)이므로
AB”="√(-1-2)¤ +√(-5-4)¤ =3'∂10
0387
⑴ AC”="√(7-1)¤ +(3-5)¤ =2'∂10
⑵ (cid:8772)ABCD= _AC”_BD”= _2'∂10_2'∂10
1
2
1
2
=20
➊ AC”의 길이를 구할 수 있다.
➋ (cid:8772)ABCD의 넓이를 구할 수 있다.
(cid:9120) ②
… ➊
… ➋
50%
50%
(cid:9120) ⑴ 2'∂10 ⑵ 20
0388
학교를 좌표평면 위의 원점, 동쪽을 x축의 양의 방향, 북
쪽을 y축의 양의 방향이라 하고 은지네 집과 도서관의 위치를 각
각 좌표로 나타내면
(cid:9120) ③
(400, 300), (-200, -500)
따라서 두 지점 사이의 거리는
(cid:100)(cid:100)"√(-200-400)¤ +√(-500-300)¤ =1000(m)
=1(km)
(cid:9120) ②
두 점 P(5, -4), Q(-1, 2)에서 같은 거리에 있는 x축
0389
위의 점의 좌표를 (a, 0)이라 하면
(a-5)¤ +4¤ =(a+1)¤ +(-2)¤
a¤ -10a+41=a¤ +2a+5
12a=36(cid:100)(cid:100)∴ a=3
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ④
16 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 41
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지42 SinsagoHitec
(cid:9120) ②
(cid:9120) ④
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 'ß10
40%
20%
40%
AB”="√(5+1)¤ +(-2-2)¤ ='ß52
0390
BC”="√(1-5)¤ +(5+2)¤ ='ß65
CA”="√(-1-1)¤ +(2-5)¤ ='ß13
따라서 AB”
삼각형이다.
¤ +CA”
¤ =BC”
¤ 이므로 △ABC는 ∠A=90°인 직각
(cid:9120) ③
0394
표는(cid:100)(cid:100)(-2, -2)
따라서 꼭짓점과 원점 사이의 거리는
"√(-2)¤ +(-2)¤ =2'2
y=x¤ +4x+2=(x+2)¤ -2의 그래프의 꼭짓점의 좌
AB”="√(5+1)¤ +(1-3)¤ ='ß40
0391
BC”="√(3-5)¤ +(5-1)¤ ='ß20
CA”="√(-1-3)¤ +(3-5)¤ ='ß20
¤ +CA”
BC”=CA”이고 BC”
인 직각이등변삼각형이다.
이상에서 △ABC에 해당되는 것은 ㈀, ㈃이다.
¤ =AB”
0395
y=- x¤ +x-1=- (x-1)¤ - 의 그래프의 꼭
1
2
1
2
짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100){1, - }
1
2
9
2
1
2
1
2
¤ 이므로 △ABC는 ∠C=90°
y=2x¤ -2x+5=2{x- }
2
+ 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(cid:9120) ③
1
2
9
2
,
(cid:100)(cid:100){
따라서 두 꼭짓점 사이의 거리는
}
2
1
æ≠{ -1}
2
9
+{≠ + }
2
1
2
2
=
'∂101
2
… ➌
(cid:9120) 5
40%
30%
30%
AB”="√(-1)¤ +(6-3)¤ ='ß10
0392
BC”="√(2+1)¤ +(7-6)¤ ='ß10
CA”="√(-2)¤ +√(3-7)¤ ='ß20
¤ =CA”
¤ +BC”
AB”=BC”이고 AB”
인 직각이등변삼각형이다.
1
∴ △ABC= _'ß10_'ß10=5
2
… ➊
¤ 이므로 △ABC는 ∠B=90°
… ➋
➊ AB”, BC”, CA”의 길이를 구할 수 있다.
➋ △ABC가 직각이등변삼각형임을 알 수 있다.
➌ △ABC의 넓이를 구할 수 있다.
① AB”="√(-1+2)¤ +√(-1+4)¤ ='ß10
0393
② BC”="√(1+1)¤ +(-3+1)¤ =2'2
③ AC”="√(1+2)¤ +(-3+4)¤ ='ß10
∴ AB”=AC”
④ △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이지만
AB”
¤ 0)
따라서 직사각형의 가로, 세로의 길이는 각각 8'2 cm, 2'2 cm
이므로 직사각형의 둘레의 길이는
2_(8'2+2'2)=20'2 (cm)
(cid:9120) 20'2 cm
내접하는 원과 외접하는 원의 반지름의 길이를 각각 구
내접하는 원의 지름의 길이가 10이므로 반지름의 길이는
0402
한다.
(cid:100)(cid:100) _10=5
1
2
정사각형의 대각선의 길이는 10'2이므로 외접하는 원의 반지름
1
의 길이는(cid:100)(cid:100) _10'2=5'2
2
∴ (색칠한 부분의 넓이)=p_(5'2)¤ -10¤ +p_5¤
=75p-100
=25(3p-4)
본책 71~73쪽
직각삼각형 ABD에서 AB”_AD”=BD”_AE”,
0403
AB”
¤ =BE”_BD”임을 이용한다.
BD”="√3¤ +4¤ =5(cm)
AB”_AD”=BD”_AE”이므로(cid:100)(cid:100)3_4=5_AE”
∴ AE”= (cm)
또 AB”
¤ =BE”_BD”이므로(cid:100)(cid:100)3¤ =BE”_5
12
5
9
5
9
DF”=BE”= cm이므로
5
9
EF”=5-2_ = (cm)
5
7
5
D
7`m
D'
B
D
C
-2
O
2
P
4
x
12
∴ (cid:8772)AECF=2△AEF=2_{ _ _ }
5
7
5
1
2
= (cm¤ )
84
25
(cid:9120)
cm¤
84
25
△ABE=△EBC=△AFD=△FCD이므로
(cid:8772)AECF=(cid:8772)ABCD-△ABE-△EBC-△AFD
=-△FCD
=(cid:8772)ABCD-4△ABE
1
12
=3_4-4_{ _ _ }
2
5
9
5
=12-
= (cm¤ )
216
25
84
25
1
6
피
타
고
라
스
정
리
의
평
면
도
형
에
의
활
용
0404
△ABC=△PAB+△PBC+△PCA임을 이용한다.
△ABC=△PAB+△PBC+△PCA이므로
'3
4
_10¤ = _10_PD”+ _10_PE”
1
2
1
2
+ _10_PF”
1
2
25'3=5(PD”+PE”+PF”)
∴ PD”+PE”+PF”=5'3(cm)
(cid:9120) 5'3 cm
0405
각형인지 알아본다.
접은 각과 엇각의 성질을 이용하여 △ABC가 어떤 삼
오른쪽 그림에서
∠BAC=∠DAC(접은 각)
= _(180°-60°)
1
2
=60°
∠ACB=∠DAC=60°(엇각)
9`cm
D
60æ
60æ
A
60æ
60æ
B
C
이므로 △ABC는 정삼각형이다.
△ABC의 한 변의 길이를 a cm라 하면 △ABC의 높이가 9cm
이므로
'3
2
a=9(cid:100)(cid:100)∴ a=6'3
'3
4
(cid:9120) ④
∴ △ABC= _(6'3)¤ =27'3(cm¤ )
(cid:9120) ⑤
16 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 43
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지44 SinsagoHitec
0406
직각삼각형으로 나누어 생각한다.
점 A에서 BC”에 수선의 발을 내려 △AMC를 두 개의
0409
가 30°, 60°, 90°인 삼각형의 변의 길이의 비를 이용한다.
원 O'의 중심에서 OA”에 수선을 긋고 세 내각의 크기
(cid:9120) ④
∴ r=
10
3
15`cm
C
M
x`cm {14-x}`cm
B
H
A
13`cm
¤ =13¤ -x¤ =15¤ -(14-x)¤
오른쪽 그림과 같이 점 A에
서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하
고 MH”=x cm라 하면 △AMH
와 △AHC에서
(cid:100)(cid:100)AH”
(cid:100)(cid:100)28x=140(cid:100)(cid:100)∴ x=5
따라서
(cid:100)(cid:100)AH”="√13¤ -5¤ =12(cm), BH”=14+5=19(cm)
이므로 △ABH에서
(cid:100)(cid:100)AB”="√12¤ +19¤ ='∂505 (cm)
14`cm
0407
을 이용한다.
△GFC가 세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 삼각형임
DE”=GF”=x라 하면 △GFC에서
(cid:100)(cid:100)GF”：GC”=1：2,(cid:100)(cid:100)x：GC”=1：2
(cid:100)(cid:100)∴ GC”=2x
(cid:100)(cid:100)(cid:100) AG”=AC”-GC”=8-2x
△ADGª△ABC (AA 닮음)이므로
(cid:100)(cid:100)AG”：AC”=DG”：BC”,(cid:100)(cid:100)(8-2x)：8=DG”：10
5
2
5
2
(cid:100)(cid:100)∴ DG”=10- x
(cid:8772)DEFG=x{10- x}= 이므로
(cid:100)(cid:100)x¤ -4x+3=0,(cid:100)(cid:100)(x-1)(x-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>1)
15
2
(cid:9120) 3
0408
60°, 90°인 삼각형의 변의 길이의 비를 이용한다.
점 E에서 CF”에 수선을 긋고 세 내각의 크기가 30°,
D
60æ
A
45æ
60æ
B
45æ
60æ
30æ
C
30æ
4Â3`cm
E
60æ 60æ
H
F
30æ
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC” : BC”='3：2
(cid:100)(cid:100)AC”：4'3='3：2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=6(cm)
△ACD에서(cid:100)(cid:100)CD” : AC”=1：'2
CD”：6=1：'2(cid:100)(cid:100)∴ CD”=3'2(cm)
(cid:100)(cid:100)∴ CE”=CD”=3'2 cm
점 E에서 CF”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ECH에서
(cid:100)(cid:100)CH” : CE”='3：2,(cid:100)(cid:100)CH”：3'2='3：2
(cid:100)(cid:100)∴ CH”=
(cm)
3'6
2
(cid:100)(cid:100)∴ CF”=2_
3'6
2
=3'6(cm)
또 EH” : CE”=1：2이므로(cid:100)(cid:100)EH”=
(cm)
(cid:100)(cid:100)∴ △ECF= _3'6_
1
2
3'2
2
=
(cm¤ )
(cid:9120) ⑤
3'2
2
9'3
2
44 정답 및 풀이
오른쪽 그림과 같이 원 O'의 중심
에서 OA”에 내린 수선의 발을 H, 원 O'
의 반지름의 길이를 r cm라 하면
OH”=(10-r)cm,
OO'”=(10+r)cm
△OO'H에서 OH”：OO'”=1：2이므로
(10-r)：(10+r)=1：2
20-2r=10+r,(cid:100)(cid:100)3r=10
10`cm
A
H
60æ
O
B
O'
따라서 원 O'의 반지름의 길이는 `cm이다.
(cid:9120) ③
10
3
0410
(cid:8772)ABED=△DAC+△DCE+△ECB임을 이용한다.
AC”=2cm이므로
CB”=2AC”=4(cm)
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서
CE”에 내린 수선의 발을 F라 하면
△DCF에서
E
D
60æ
2`cm
F
C
4`cm
B
A
2`cm
DF” : DC”='3 : 2
DF” : 2='3 : 2
∴ DF”='3(cm)
∴ (cid:8772)ABED=△DAC+△DCE+△ECB
'3
4
'3
4
1
2
= _2¤ + _4_'3+ _4¤
='3+2'3+4'3
=7'3(cm¤ )
(cid:9120) ③
0411
길이의 비를 이용한다.
세 내각의 크기가 45°, 45°, 90°인 삼각형의 세 변의
정팔각형의 한 변의 길이를 xm라
하면 오른쪽 그림의 △ABC에서
45æ
4`m
A
C
x`m
135æ
B
4`m
AC” : BC”=1 : '2
AC” : x=1 : '2
'2
∴ AC”= x(m)
2
정사각형 모양의 땅의 한 변의 길이가 4m이므로
'2
2
'2
x+x+ x=4
2
(cid:100)(cid:100)('2+1)x=4
∴ x=
4
'2+1
=4('2-1)
(cid:9120) 4('2-1)m
0412
(cid:8825) "√(x™-x¡)¤ +(y™-y¡√)¤
두 점 (x¡, y¡), (x™, y™) 사이의 거리
AB”="√(-2-1)¤ +(3-9)¤ =3'5
AB”=3BC”이므로(cid:100)(cid:100)BC”='5(cid:100)(cid:100)∴ BC”
¤ =('5)¤ =5
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지45 SinsagoHitec
즉 (a+2)¤ +(4-a-3)¤ =5 에서
(a+2)¤ +(1-a)¤ =5
(cid:100)(cid:100)2a¤ +2a+5=5
a¤ +a=0,(cid:100)(cid:100)a(a+1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=-1 (∵ a+0)
따라서 C(-1, 5)이므로
AC”="√(-1-1)¤ +(5-9)¤ =2'5
(cid:9120) 2'5
0413
사이의 관계를 알아본다.
AB”, BC”, CD”, DA”의 길이를 구한 후 네 변의 길이
네 점 A, B, C, D를 좌표평면 위
y
4
A
B
-3
¤ +(√1-4ç)¤ =5
¤ +(√-5√-1)¤
에 나타내면 오른쪽 그림과 같고
(cid:100)(cid:100)AB”="(√-2√-2)√
(cid:100)(cid:100)BC”="(√-3√+2)√
='ß37
(cid:100)(cid:100)CD”="(√1√+3)√
¤ +(√-2√+5)¤ =5
(cid:100)(cid:100)DA”="√(2-1)¤ +(4+2)¤ ='ß37
따라서 AB”=CD”, BC”=AD”이므로 (cid:8772)ABCD는 평행사변형이
다.
11
O 2
D
-2
-2
(cid:9120) ②
-5
C
x
0414
이용한다.
점 B의 좌표를 (a, a¤ )으로 놓고 OB”
¤ =OA”
¤ +AB”
¤ 임을
점 B의 좌표를 (a, a¤ )(a>0)이라 하면 △AOB에서
¤ 이므로
¤ =OA”
¤ +AB”
OB”
(cid:100)(cid:100)a¤ +a› ={(-1)¤ +1¤ }+{(a+1)¤ +(a¤ -1)¤ }
(cid:100)(cid:100)a¤ -a-2=0,(cid:100)(cid:100)(a+1)(a-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=2(∵ a>0)
(cid:100)(cid:100)∴ B(2, 4)
0415
△ABE에서 피타고라스 정리를 이용한다.
BE”의 길이를 AE”의 길이에 대한 식으로 나타낸 후
AC”="√12¤ +9¤ =15
∠ACE=∠DAC=∠EAC이므로 △AEC에서
(cid:100)(cid:100)AE”=CE”
AE”=x라 하면
(cid:100)(cid:100)BE”=BC”-EC”=12-x
△ABE에서(cid:100)(cid:100)x¤ =(12-x)¤ +9¤`
(cid:100)(cid:100)24x=225(cid:100)(cid:100)∴ x=:¶8∞:
따라서 △AEC의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100):¶8∞:+:¶8∞:+15=:;!4#:%;
➊ AC”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AE”=CE”임을 알 수 있다.
➌ AE”의 길이를 구할 수 있다.
➍ △AEC의 둘레의 길이를 구할 수 있다.
… ➊
… ➋
… ➌
… ➍
(cid:9120) :;!4#:%;
20%
20%
40%
20%
본책 73~75쪽
0416
한 변의 길이가 b인 정삼각형의 높이 (cid:8825) b
한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선의 길이 (cid:8825) '2 a
'3
2
정사각형의 한 변의 길이를 a라 하면
'2a='6(cid:100)(cid:100)∴ a='3
정삼각형의 한 변의 길이를 b라 하면
'3
2
b='6(cid:100)(cid:100)∴ b=2'2
따라서 정사각형과 정삼각형의 넓이는
A=('3)¤ =3, B= _(2'2)¤ =2'3
∴ A¤ : B¤ =3¤ : (2'3)¤ =9 : 12=3 : 4
'3
4
➊ 정사각형의 한 변의 길이를 구할 수 있다.
➋ 정삼각형의 한 변의 길이를 구할 수 있다.
➌ A¤ : B¤ 을 가장 간단한 자연수의 비로 나타낼 수 있다.
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 3 : 4
30%
30%
40%
0417
솟값 q를 갖는다.
a>0일 때, 이차함수 y=a(x-p)¤ +q는 x=p에서 최
y= x¤ + (10-x)¤ = (2x¤ -20x+100)
큰 정삼각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 작은 정삼각형
의 한 변의 길이는 (10-x)cm이므로 두 정삼각형의 넓이의 합을
y cm¤ 라 하면
'3
4
'3
2
'3
2
= (x¤ -10x+50)
= (x-5)¤ +
'3
4
'3
4
… ➊
25'3
2
25'3
2
따라서 두 정삼각형의 넓이의 합의 최솟값은(cid:100)(cid:100)
cm¤ … ➋
25'3
2
(cid:9120)
25'3
2
cm¤
➊ 두 정삼각형의 넓이의 합을 식으로 나타낼 수 있다.
➋ 넓이의 합의 최솟값을 구할 수 있다.
60%
40%
0418
은 밑변을 이등분함을 이용하여 AD”의 길이를 구한다.
이등변삼각형의 꼭지각의 꼭짓점에서 밑변에 그은 수선
△ABD에서 BD”= BC”=6이므로
1
2
AD”="√(3'ß13)¤ -6¤ =9
1
∴ △ABD= _6_9=27
2
△ABD에서 BE”：EA”=BD”：DA”=6：9=2：3이므로
△AED= △ABD= _27=
3
5
81
5
3
5
… ➊
… ➋
(cid:9120)
81
5
16 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 45
(cid:9120) ①
즉 y는 x=5에서 최솟값
을 갖는다.
1
6
피
타
고
라
스
정
리
의
평
면
도
형
에
의
활
용
(010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지46 SinsagoHitec
➊ △ABD의 넓이를 구할 수 있다.
➋ △AED의 넓이를 구할 수 있다.
50%
50%
➊ AC”의 길이를 구할 수 있다.
➋ △ABD의 넓이를 구할 수 있다.
70%
30%
A
0421
△ABE™△ADF임을 이용하여 EC”의 길이를 구한다.
삼각형의 내각의 이등분선과 변의 길이
△ABC에서 ∠A의 이등분선이 BC”와
만나는 점을 D라 하면
AB”：AC”=BD”：CD”
B
D
C
0419
눈 후 피타고라스 정리를 이용한다.
점 A에서 OB”에 수선을 그어 2개의 직각삼각형으로 나
오른쪽 그림과 같이 점 A의 x좌
표를 a라 하고, 점 A에서 x축에 내린
수선의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)BH”=6-a
△AOH와 △AHB에서
(cid:100)(cid:100)AH”
¤ =3¤ -a¤ =5¤ -(6-a)¤
(cid:100)(cid:100)12a=20(cid:100)(cid:100)∴ a=
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=æ≠3¤ -
5
3
}
{
5
3
¤``
=
5
3
,
2'∂14
3
2'∂14
3
따라서 점 A의 좌표는 {
}이다.
➊ 점 A의 x좌표를 구할 수 있다.
➋ 점 A의 y좌표를 구할 수 있다.
➌ 점 A의 좌표를 구할 수 있다.
y
A
3
5
O
a
H 6-a
x
B
… ➊
… ➋
… ➌
50%
30%
20%
(cid:9120) A{
5
3
,
2'∂14
3
}
0420
길이의 비를 이용한다.
△ADC와 △ABC에서 특수한 직각삼각형의 세 변의
∠ADC=180°-135°=45°
AC”=x라 하면 △ADC에서 AC” : DC”=1 : 1이므로
DC”=x
△ABC에서 AC” : BC”=1 : '3이므로
x : (6+x)=1 : '3
(cid:100)(cid:100)'3x=6+x
('3-1)x=6
∴ x=
6
'3-1
=3('3+1)
1
∴ △ABD= _6_3('3+1)
2
=9('3+1)
46 정답 및 풀이
△ABE와 △ADF에서
(cid:100)(cid:100)∠ABE=∠ADF=90°, AE”=AF”, AB”=AD”
(cid:100)(cid:100)∴ △ABE™△ADF(RHS 합동)
따라서 BE”=DF”이므로
(cid:100)(cid:100)CE”=CF”
즉 △CFE는 직각이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)CE” : EF”=1 : '2
(cid:100)(cid:100)CE” : 6'2=1 : '2
(cid:100)(cid:100)∴ CE”=6
AB”=x라 하면 BE”=x-6이므로 △ABE에서
(cid:100)(cid:100)x¤ +(x-6)¤ =(6'2)¤
(cid:100)(cid:100)x¤ -6x-18=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=3+3'3 (∵ x>0)
따라서 정사각형의 한 변의 길이는 3+3'3이다.
➊ CE”=CF”임을 알 수 있다.
➋ CE”의 길이를 구할 수 있다.
➌ 정사각형의 한 변의 길이를 구할 수 있다.
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 3+3'3
30%
30%
40%
서로 다른 두 점 사이의 최단 거리는 두 점을 잇는 선
0422
분의 길이와 같음을 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 점 P
를 AB”에 대하여 대칭이동한 점
을 P', 점 Q를 CD”에 대하여 대
칭이동한 점을 Q'이라 하면 달
팽이가 움직인 최단 거리는 P'Q'”
의 길이와 같다.
… ➊
(cid:100)(cid:100)∴ P'Q'”="√40¤ +80¤
=40'5(cm) … ➋
(cid:9120) 40'5 cm
20`cm
A
20`cm
P
C
40`cm
P'
M
B
30`cm
Q
15`cm
D
15`cm
Q'
N
달팽이가 움직인 거리는
(cid:100)(cid:100)PM”+MN”+NQ”
이므로
… ➊
PM”+MN”+NQ”=P'M”+MN”+NQ'”
æP'Q'”
… ➋
(cid:9120) 9('3+1)
➊ 최단 거리와 같은 길이의 선분을 찾을 수 있다.
➋ 최단 거리를 구할 수 있다.
70%
30%
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지47 SinsagoHitec
17
피타고라스 정리의 입체도형에의 활용
0423
"√3¤ +5¤ +8¤ =7'2 (cm)
0424
'3_3=3'3 (cm)
0425
"√('1å5)¤ +(4'3)√
¤ +(3'2)¤ =9(cm)
0426
'3_8=8'3 (cm)
0427
"√6¤ +8¤ +x¤ =2'∂29이므로
"√x¤ +100='∂116,(cid:100)(cid:100)x¤ +100=116
x¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
0428
'3x=9이므로
3x¤ =81,(cid:100)(cid:100)x¤ =27
(cid:100)(cid:100)∴ x=3'3 (∵ x>0)
본책 75~79쪽
(cid:9120) 3'7
(cid:9120) 36'7
0438
△OBH에서
¤ -BH”
(cid:100)(cid:100)OH”=øπOB”
(cid:100)(cid:100)OH="√9¤ -(3'2)¤ =3'7
0439
1
3
_6¤ _3'7=36'7
(cid:9120) 7'2 cm
(cid:9120) 3'3 cm
(cid:9120) 9 cm
(cid:9120) 8'3 cm
BD”='2_'6=2'3이므로(cid:100)(cid:100)BH”='3
0440
(cid:100)(cid:100)∴ h="√3¤ -('3 )¤ ='6
1
(cid:100)(cid:100) V= _('6 )¤ _'6=2'6
3
(cid:9120) h='6, V=2'6
(cid:9120) 4
BD”='2_2=2'2이므로(cid:100)(cid:100)BH”='2
0441
(cid:100)(cid:100)∴ h="√('1å0)¤ -('2)¤ =2'2
1
(cid:100)(cid:100) V= _2¤ _2'2=
3
8'2
3
(cid:9120) h=2'2, V=
8'2
3
정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
0429
(cid:100)(cid:100)'3a=5'3(cid:100)(cid:100)∴ a=5
0430
정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
(cid:100)(cid:100)'3a=6(cid:100)(cid:100)∴ a= =2'3
(cid:9120) 2'3
6
'3
0431
h="√12¤ -8¤ =4'5 (cm)
256'5
3
V= _p_8¤ _4'5=
1
3
p(cm‹ )
(cid:9120) 3'3
0442
'3
DM”= _6=
2
3'3
이므로
(cid:9120) 5
(cid:100)(cid:100)DH”= DM”= _3'3=
2'3
2
3
2
3
△AHD에서(cid:100)(cid:100)h=øπ6¤ -(
'3
4
또 △BCD= _6¤ =
9'3
2'3
)¤ =
2'6
이므로
(cid:100)(cid:100)V= _
9'3
_
2'6
=
18'2
1
3
(cid:9120) h=4'5cm, V=
256'5
3
p cm‹
0443
CM”은 정삼각형 ABC의 높이이므로
'3
CM”= _'3=
2
3
2
0432
"√10¤ -5¤ =5'3 (cm)
(cid:9120) 5'3 cm
0433
(높이)="√8¤ -(2'7)¤ =6(cm)
(cid:100)(cid:100)∴ (부피)= _p_(2'7 )¤ _6=56p (cm‹ )
1
3
0444
점 H는 정삼각형 ABC의 무게중심이므로
CH”= CM”= _ =1
2
3
3
2
2
3
주어진 전개도로 원뿔을 만들면 오
0434
른쪽 그림과 같다.
원뿔의 높이를 hcm라 하면
h="√13¤ -5¤ =12
h`cm
13`cm
(cid:9120) 12 cm
5`cm
0435
_p_5¤ _12=100p(cm‹ )
(cid:9120) 100`p cm‹
1
3
(cid:9120) 56p cm‹
0445
△OHC에서
¤ -CH”
OH”=øπOC”
OH”="√('3)¤ -1¤ ='2
0446
'3
△ABC= _('3 )¤ =
4
3'3
4
0447
1
3
_
3'3
4
_'2=
'6
4
0436
BD”='2_6=6'2
(cid:9120) 6'2
0448
_'∂15='∂10
0437
1
BH”= BD”= _6'2=3'2
2
1
2
(cid:9120) 3'2
0449
_12‹ =144'2
'6
3
'2
12
(cid:9120) ㈎ 3'3(cid:100)㈏ 2'3(cid:100)㈐ 2'6(cid:100)㈑ 9'3(cid:100)㈒ 18'2
1
7
피
타
고
라
스
정
리
의
입
체
도
형
에
의
활
용
(cid:9120)
3
2
(cid:9120) 1
(cid:9120) '2
(cid:9120)
3'3
4
(cid:9120) '6
4
(cid:9120) '∂10
(cid:9120) 144'2
17 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 47
¤
¤
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지48 SinsagoHitec
'6
3
'6
3
'2
12
(cid:100)(cid:100) a=2'6(cid:100)(cid:100)∴ a=6
따라서 정사면체의 부피는
(cid:100)(cid:100) _6‹ =18'2
0450
정사면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
0457
DH”=a cm라 하면
(cid:100)(cid:100) a=3(cid:100)(cid:100)∴ a= =
9
'6
3'6
2
(cid:9120)
3'6
2
"√4¤ +6¤ +a¤ =2'ß15,(cid:100)(cid:100)a¤ +52=60
a¤ =8(cid:100)(cid:100)∴ a=2'2 (∵ a>0)
FH”="√4¤ +6¤ =2'ß13(cm)이므로
0451
정사면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
(cid:8772)BFHD=2'2_2'ß13=4'ß26(cm¤ )
(cid:9120) 4'ß26 cm¤
0458
직육면체의 세 모서리의 길이를 k, 2k, 3k(k>0)라 하면
(cid:9120) 18'2
"√k¤ +(2k)¤ +(3k)¤ =2'ß14
14k¤ =56,(cid:100)(cid:100)k¤ =4
(cid:100)(cid:100)∴ k=2 (∵ k>0)
따라서 세 모서리의 길이는 2, 4, 6이므로
(부피)=2_4_6=48
자루걸레의 길이가 청소 도구함의 대각선의 길이와 같을
0459
때 청소 도구함의 밑면의 한 변의 길이가 최소이다.
밑면의 한 변의 길이를 x cm라 하면
4π
B
"√x¤ +x¤ +80¤ =40'6
2x¤ +6400=9600,(cid:100)(cid:100)2x¤ =3200
x¤ =1600(cid:100)(cid:100)∴ x=40 (∵ x>0)
따라서 밑면의 한 변의 길이는 최소 40 cm이어야 한다.
(cid:9120) 40 cm
0452
⑴ 오른쪽 전개도에서 구하는 최단
A
거리는 DF”의 길이이다.
⑵ DF”="√5¤ +(7+3)¤
=5'5(cm)
(cid:9120) 풀이 참조
B
F
5`cm
D
C
G
7`cm
3`cm
0453
⑴ 오른쪽 전개도에서 구하는 최
단 거리는 AB”의 길이이다.
또 원기둥의 밑면의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2p_2=4p
⑵ AB”="√(4p)¤ +(3p)¤ =5p
3π
A
BF”=x cm라 하면
0454
(cid:100)(cid:100)"√6¤ +5¤ +x¤ =6'3
"√x¤ +61 ='∂108,(cid:100)(cid:100)x¤ +61=108
x¤ =47(cid:100)(cid:100)∴ x='ß47 (∵ x>0)
(cid:9120) 'ß47cm
(cid:9120) 풀이 참조
0460
EG”='2_4=4'2(cm)
AG”="√4¤ +4¤ +6¤ =2'ß17(cm)
△AEG에서 AE”_EG”=AG”_EI”이므로
(cid:100)(cid:100)6_4'2=2'ß17_EI”
(cm)
∴ EI”=
12'ß34
17
㈀ "√2¤ +(2'5)¤
√+(2'6)¤ =4'3
0455
㈁ "√3¤ +2¤ +6¤ =7
㈂ "√4¤ +5¤ +('7)¤ =4'3
㈃ "√('ß10)¤ +(3√'2)¤ +(2'5)¤ =4'3
이상에서 대각선의 길이가 4'3인 것은 ㈀, ㈂, ㈃이다.
△AHD에서(cid:100)(cid:100)AH”="√3¤ +4¤ =5(cm)
0456
또 BH”="√3¤ +4¤ +5¤ =5'2(cm)이므로
△ABH의 둘레의 길이는
5+5+5'2=10+5'2(cm)
(cid:9120) ④
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) (10+5'2 ) cm
➊ AH”의 길이를 구할 수 있다.
➋ BH”의 길이를 구할 수 있다.
➌ △ABH의 둘레의 길이를 구할 수 있다.
48 정답 및 풀이
MF”=FN”=ND”=DM”이므로 (cid:8772)MFND는 마름모이다.
0461
MN”=AC”='2_6=6'2(cm)
DF”='3_6=6'3(cm)
1
∴ (cid:8772)MFND= _6'2_6'3
2
=18'6(cm¤ )
△NFG와 △NDC에서
FG”=DC”, NG”=NC”, ∠FGN=∠DCN
∴ △NFG≡△NDC(SAS 합동)
같은 방법으로 하면
△NFG≡△NDC≡△MDA≡△MFE
∴ FN”=ND”=DM”=MF”
0462
정육면체의 한 모서리의 길이를 acm라 하면
30%
40%
30%
'3a=9(cid:100)(cid:100)∴ a=3'3
따라서 정육면체의 부피는
(3'3 )‹ =81'3(cm‹ )
(cid:9120) 48
(cid:9120) ②
(cid:9120) ④
(cid:9120) ③
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지49 SinsagoHitec
0463
정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
한편 △AFC는 한 변의 길이가 12'2 cm인 정삼각형이므로
0464
구의 반지름의 길이는
정육면체의 대각선의 길이는 '3_2=2'3(cm)이므로
6a¤ =108,(cid:100)(cid:100)a¤ =18
∴ a=3'2 (∵ a>0)
'3_3'2=3'6(cm)
따라서 정육면체의 대각선의 길이는
_2'3='3(cm)
따라서 구의 부피는
p_('3 )‹ =4'3p(cm‹ )
1
2
4
3
➊ 구의 반지름의 길이를 구할 수 있다.
➋ 구의 부피를 구할 수 있다.
(cid:9120) ⑤
… ➊
… ➋
60%
40%
0465
정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
'3a=12(cid:100)(cid:100)∴ a=4'3
△EFG에서
EG”='2_4'3=4'6(cm)
1
∴ △AEG= _4'3_4'6
2
=24'2(cm¤ )
AF”='2_10=10'2(cm)
0466
DF”='3_10=10'3(cm)
△AFD에서 AD”_AF”=DF”_AI”이므로
(cid:100)(cid:100)10_10'2=10'3_AI”
∴ AI”=
(cm)
10'6
3
0467
정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
MN”=BD”='2_a='2a(cm)
AG”='3_a='3a(cm)
(cid:8772)AMGN= _'2a_'3a= a¤
1
2
'6
2
'6
2
a¤ =12'6에서(cid:100)(cid:100)a¤ =24
∴ a=2'6 (∵ a>0)
따라서 정육면체의 겉넓이는
6_(2'6)¤ =144(cm¤ )
0468
1
3
삼각뿔 F-ABC의 부피는
1
_△ABC_BF”= _{ _12_12}_12
3
=288(cm‹ )
1
2
'3
△AFC= _(12'2)¤
4
=72'3(cm¤ )
삼각뿔 B-AFC의 부피는
1
3
_△AFC_BI”= _72'3_BI”
1
3
=24'3_BI”
따라서 24'3_BI”=288이므로
BI”=4'3(cm)
본책 79~83쪽
(cid:9120) ④
0469
정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
(cid:9120) 4'3p cm‹
△AFH는 한 변의 길이가 '2a cm인 정삼각형이므로(cid:100)(cid:100)
AF”='2_a ='2a (cm)
_('2a)¤ =25'3,(cid:100)(cid:100)a¤ =50
'3
4
∴ a=5'2 (∵ a>0)
(cid:9120) 5'2 cm
0470
BD”="√16¤ +12¤ =20(cm)
1
2
DM”= BF”=15(cm)이므로 △BMD에서
BM”="√20¤ +15¤ =25(cm)
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ②
0471
FH”='2_10=10'2(cm)이므로
OH”= FH”=5'2(cm)
1
2
△DOH에서
(cid:100)(cid:100)DO”="√10¤ +(5'2)¤ =5'6(cm)
또 DH”_OH”=DO”_HI”이므로
(cid:100)(cid:100)10_5'2=5'6_HI”
(cm)
∴ HI”=
10'3
3
(cid:9120) ③
(cid:9120) ③
1
7
피
타
고
라
스
정
리
의
입
체
도
형
에
의
활
용
DE”=DG”="√4¤ +6¤ =2'ß13(cm)
0473
EG”='2_4=4'2(cm)
오른쪽 그림과 같이 이등변삼각형
DEG의 꼭짓점 D에서 EG”에 내린 수
선의 발을 I라 하면
D
2Â13·`cm
2Â13·`cm
(cid:9120) 144 cm¤
DI”="√(2'ß13)¤ -(2'2)¤
=2'ß11(cm)
1
∴ △DEG= _4'2_2'ß11
2
=4'ß22(cm¤ )
E
G
I
2Â2`cm 2Â2`cm
(cid:9120) ⑤
17 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 49
(cid:8772)AMGN은 AM”=MG”=GN”=NA”인 마름모이므로
△BFD= _8_15=60(cm¤ )
(cid:9120) ⑤
0472
△BFD는 ∠BFD=90°인 직각삼각형이므로
△BEF에서(cid:100)(cid:100)BF”="√12¤ +9¤ =15 (cm)
1
2
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지50 SinsagoHitec
Â5x`cm
Â5x`cm
(cid:100)(cid:100) _p_3¤ _h=18p
원뿔의 높이를 h cm라 하면
0481
1
3
M
Â2`
2
x`cm
I
N
Â2`
2
x`cm
(cid:100)(cid:100)∴ h=6
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=AC”="√3¤ +6¤ =3'5 (cm)
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
3'5 +6+3'5 =6(1+'5)(cm)
BD”=FH”='2_6=6'2이므로
0474
(cid:100)(cid:100)FIÚ=HIÚ=3'2(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)∴ BIÚ=DIÚ="√(3'2)¤ +(3'2)¤ =6
따라서 △BID의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)6+6+6'2=6(2+'2 )
➊ BD”의 길이를 구할 수 있다.
➋ BI”, DI”의 길이를 구할 수 있다.
➌ △BID의 둘레의 길이를 구할 수 있다.
… ➊
… ➋
… ➌
20%
60%
20%
(cid:9120) 6(2+'2 )
DM”=DN”="√(2x)¤ +x¤ ='5x (cm)
0475
MN”="√x¤ +x¤ ='2x (cm)
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서
MN”에 내린 수선의 발을 I라 하면
D
DI”=æ≠('5x)¤ -
{
'2
2
x
}
DI”=
x (cm)
3'2
2
△DMN=6 cm¤ 이므로(cid:100)(cid:100)
1
2
_'2x_
(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
3'2
2
x=6,(cid:100)(cid:100)x¤ =4
밑면의 반지름의 길이를 rcm, 높
h`cm
0476
이를 hcm라 하면
pr¤ =9p
(cid:100)(cid:100)∴ r=3 (∵ r>0)
따라서 원뿔의 높이는
h="√6¤ -3¤ =3'3
(cid:9120) ③
0477
원뿔의 모선의 길이를 l cm라 하면
l="√3¤ +(6'2)¤ =9
오른쪽 그림의 전개도에서 부채꼴의 중
심각의 크기를 ∠x라 하면
9`cm
x
2p_9_
∠x
360°
∴ ∠x=120°
=2p_3
… ➋
(cid:9120) 120°
➊ 원뿔의 모선의 길이를 구할 수 있다.
➋ 옆면인 부채꼴의 중심각의 크기를 구할 수 있다.
(cid:9120) 2
6`cm
r`cm
… ➊
3`cm
40%
60%
0478
원뿔대의 높이를 h cm라 하면
h="√5¤ -4¤ =3
(cid:9120) ④
2`cm
h`cm
2`cm
5`cm
4`cm
50 정답 및 풀이
OA”=OC”=13cm이므로
0479
(cid:100)(cid:100)OH”=18-13=5(cm)
△OHC에서(cid:100)(cid:100)HC”="√13¤ -5¤ =12(cm)
따라서 △AHC에서
AC”="√18¤ +12¤ =6'∂13(cm)
(cid:9120) ②
△OBA에서 AB” : OA”=1 : 2이므로
0480
(cid:100)(cid:100)AB” : 10=1 : 2(cid:100)(cid:100)∴ AB”=5(cm)
또 AB” : OB”=1 : '3이므로(cid:100)(cid:100)5 : OB”=1 : '3
∴ OB”=5'3(cm)
따라서 원뿔의 부피는
1
3
_p_5¤ _5'3=
125'3
3
p(cm‹ )
(cid:9120) ⑤
A
h`cm
C
B
O
3`cm
(cid:9120) 6(1+'5)cm
… ➊
… ➋
30%
20%
50%
l
h`cm
원뿔의 높이를 hcm, 모선의 길
h`cm
0482
이를 lcm라 하면
l`cm
6`cm
1
3
_p_6¤ _h=72p
∴ h=6
∴ l="√6¤ +6¤ =6'2
원뿔의 밑넓이는
(cid:100)(cid:100)p_6¤ =36p(cm¤ )
원뿔의 옆넓이는
(cid:100)(cid:100)p_6_6'2=36'2p(cm¤ )
따라서 원뿔의 겉넓이는
➊ 원뿔의 높이를 구할 수 있다.
➋ 원뿔의 모선의 길이를 구할 수 있다.
➌ 원뿔의 겉넓이를 구할 수 있다.
36p+36'2p=36(1+'2)p (cm¤ )
… ➌
(cid:9120) 36(1+'2)p cm¤
0483
주어진 직각삼각형을 직선 l을 회전
축으로 하여 한 바퀴 회전시킬 때 생기는 입
체도형은 오른쪽 그림과 같은 원뿔이다.
원뿔의 높이를 hcm라 하면
h="√17¤ -8¤ =15
따라서 원뿔의 부피는
17`cm
8`cm
1
3
_p_8¤ _15=320p(cm‹ )
(cid:9120) ①
¤
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지51 SinsagoHitec
0484
OH”=9-5=4(cm)이므로 △OHB에서
0488
원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 rcm라 하면
HB”="√5¤ -4¤ =3(cm)
원뿔의 부피는
1
3
4
3
(cid:100)(cid:100) _p_3¤ _9=27p (cm‹ )
구의 부피는
(cid:100)(cid:100) _p_5‹ =
p (cm‹ )
500
3
따라서 원뿔과 구의 부피의 비는
27p：
p=81：500
500
3
이므로(cid:100)(cid:100)k=81
0485
원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 rcm라 하면
120
2p_9_ =2pr
360
(cid:100)(cid:100)∴ r=3
주어진 전개도로 원뿔을 만들면 오른쪽 그림
과 같으므로 원뿔의 높이를 hcm라 하면
h`cm
h="√9¤ -3¤ =6'2
따라서 원뿔의 부피는
1
3
_p_3¤ _6'2=18'2p(cm‹ )
본책 83~85쪽
10`cm
h`cm
… ➊
… ➋
6`cm
(cid:9120) 8 cm
30%
30%
40%
h
l
1
l3
A
2pr=12p(cid:100)(cid:100)∴ r=6
모선의 길이를 lcm라 하면
p_6_l=60p(cid:100)(cid:100)∴ l=10
주어진 전개도로 원뿔을 만들면 오른쪽
그림과 같으므로 원뿔의 높이를 hcm라
하면
h="√10¤ -6¤ =8
… ➌
(cid:9120) ②
➊ 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 구할 수 있다.
➋ 원뿔의 모선의 길이를 구할 수 있다.
➌ 원뿔의 높이를 구할 수 있다.
0489
원의 반지름의 길이를 l이라 하고, 원뿔
A의 밑면의 반지름의 길이를 r, 높이를 h라 하면
9`cm
2pl_
=2pr
120
360
1
3
(cid:100)(cid:100)∴ r= l
3`cm
(cid:9120) ②
∴ h=æ≠l¤ -{
2
=
2'2
3
l
원뿔 A의 부피가
p이므로
1
l}
3
2'2
3
0486
△OAB에서 OA”=OB”이므로 OA”=l이라 하면
"√l¤ +l¤ =4'2,(cid:100)(cid:100)'2l=4'2
(cid:100)(cid:100)∴ l=4
밑면의 반지름의 길이를 r라 하면
90
2p_4_ =2pr
360
(cid:100)(cid:100)∴ r=1
주어진 전개도로 원뿔을 만들면 오른쪽 그림과 같
으므로 원뿔의 높이를 h라 하면
h
4
h="√4¤ -1¤ ='ß15
(cid:9120) ④
1
0487
원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 rcm라 하면
1
3
_p_{
1
3
2
_
l}
2'2
3
l=
2'2
3
p
l‹ =27(cid:100)(cid:100)∴ l=3
원뿔 B의 밑면의 반지름의 길이를 r',
높이를 h'이라 하면
2p_3_
=2pr'
240
360
∴ r'=2
∴ h'="√3¤ -2¤ ='5
따라서 원뿔 B의 부피는
1
3
_p_2¤ _'5=
4'5
3
p
1
7
피
타
고
라
스
정
리
의
입
체
도
형
에
의
활
용
3
2
h'
B
(cid:9120)
4'5
3
p
2pr=6p(cid:100)(cid:100)∴ r=3
OA”=lcm라 하면
2p_l_
=6p
180
360
(cid:100)(cid:100)∴ l=6
주어진 전개도로 원뿔을 만들면 오른쪽 그
림과 같으므로 원뿔의 높이를 hcm라 하면
h="√6¤ -3¤ =3'3
따라서 원뿔의 부피는
1
3
_p_3¤ _3'3=9'3p (cm‹ )
0490
BD”='2_4=4'2(cm)이므로
DH”= BD”=2'2(cm)
1
2
△OHD에서
(cid:100)(cid:100)OH”="√8¤ -(2'2)¤ =2'ß14(cm)
따라서 정사각뿔의 부피는
3`cm
(cid:100)(cid:100) _4¤ _2'∂14=
1
3
32'∂14
3
(cm‹ )
h`cm
6`cm
(cid:9120) 9'3p cm‹
(cid:9120) 2'ß14cm,
32'∂14
3
cm‹
17 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 51
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지52 SinsagoHitec
0491
AC”='2_2'2=4(cm)이므로
CH”= AC”=2(cm)
1
2
△OHC에서(cid:100)(cid:100)OH”="√6¤ -2¤ =4'2 (cm)
∴ △OHC= _2_4'2=4'2 (cm¤ )
1
2
(cid:9120) ⑤
⑵ 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 O에서
(cid:8772)ABCD에 내린 수선의 발을 H라
하면 △OHE에서
(cid:100)(cid:100)OH”="√(2'∂10)¤ -3¤
='ß31(cm)
따라서 정사각뿔의 부피는
(cid:100)(cid:100) _6¤ _'ß31=12'ß31(cm‹ )
1
3
O
2Â10·`cm
A
7`cm
D
B
H
E
C
(cid:9120) ⑴ (36+24'∂10)cm¤ (cid:100)⑵ 12'∂31cm‹
주어진 전개도로 만들어지는
0492
정사각뿔은 오른쪽 그림과 같다.
BD”='2_8=8'2(cm)이므로
DH”= BD”=4'2(cm)
1
2
O
H
A
5Â2`cm
D
8`cm
B
8`cm
C
➊ 정사각뿔의 겉넓이를 구할 수 있다.
➋ 정사각뿔의 부피를 구할 수 있다.
… ➋
50%
50%
△OHD에서
OH”="√(5'2)¤ -(4'2)¤
=3'2(cm)
따라서 정사각뿔의 부피는
1
3
_8¤ _3'2=64'2(cm‹ )
(cid:9120) 64'2cm‹
0493
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 O
에서 (cid:8772)ABCD에 내린 수선의 발을 H
라 하면 BD”='2_12=12'2이므로
… ➊
DH”= BD”=6'2
1
2
O
12
A
M
B
H
12
12
C
D
N
△OHD에서
(cid:100)(cid:100)OH”="√12¤ -(6'2)¤ =6'2
∴ △OMN= _12_6'2=36'2
1
2
➊ DH”의 길이를 구할 수 있다.
➋ OH”의 길이를 구할 수 있다.
➌ △OMN의 넓이를 구할 수 있다.
0494
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 O
에서 CD”에 내린 수선의 발을 E라 하면
O
2Â6
HE”= BC”=2'2이므로 △OHE에서
1
2
D
A
4Â2
H
E
C
B
(cid:100)(cid:100)OE”=ø∑(2'6 )¤ +∑(2'2 )¤
=4'2
따라서 정사각뿔의 겉넓이는
(4'2 )¤ +4_{ _4'2_4'2 }=96
1
2
(cid:9120) ④
… ➋
… ➌
(cid:9120) 36'2
40%
40%
20%
0495
⑴ △OED에서
(cid:100)(cid:100)ED”="√7¤ -(2'ß10)¤ =3(cm)
(cid:100)(cid:100)∴ CD”=2ED”=6(cm)
따라서 정사각뿔의 겉넓이는
1
2
52 정답 및 풀이
0496
정사면체의 한 모서리의 길이를 acm라 하면
3'2
2
'6
3
a='3(cid:100)(cid:100)∴ a=
따라서 정사면체의 부피는
3'2
2
'2
12
_{
9
8
}
3
= (cm‹ )
9
(cid:9120) cm‹
8
0497
정사면체의 한 모서리의 길이를 acm라 하면
a‹ =18'2,(cid:100)(cid:100)a‹ =216
'2
12
'6
3
∴ a=6
따라서 정사면체의 높이는
_6=2'6(cm)
0498
'3
정삼각형 BCD에서 DM”= _12=6'3(cm)이므로
2
1
MH”= DM”= _6'3=2'3(cm)
3
1
3
AH”= _12=4'6(cm)이므로
'6
3
△AMH= _2'3_4'6=12'2(cm¤ )
1
2
(cid:9120) ②
… ➊
… ➋
… ➌
50%
30%
20%
(cid:9120) 12'2 cm¤
➊ MH”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AH”의 길이를 구할 수 있다.
➌ △AMH의 넓이를 구할 수 있다.
0499
DM”= DH”= _6=9(cm)
3
2
3
2
정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
a=9(cid:100)(cid:100)∴ a=6'3
따라서 정사면체의 부피는
'3
2
'2
12
(cid:100)(cid:100)6¤ +4_{ _6_2'∂10 }=36+24'∂10 (cm¤ )
… ➊
_(6'3)‹ =54'6(cm‹ )
(cid:9120) ④
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지53 SinsagoHitec
0500
① 오른쪽 그림과 같이 BC”의 중
A
B
9'3
2
H
M
C
점을 M이라 하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)DM”= _9=
(cm)
'3
2
2
3
9'3
2
2
3
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ DH”= DM”= _
=3'3(cm)
② AH”= _9=3'6(cm)
'6
3
1
③ △AHD= _3'3_3'6=
2
27'2
2
(cm¤ )
'3
4
④ (겉넓이)=4△ABC=4_{ _9¤ }
=81'3(cm¤ )
'2
12
⑤ (부피)= _9‹ =
243'2
4
(cm‹ )
9`cm
D
(cid:9120) ③
정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면 정사면체의 한
0501
모서리의 길이는 '2a이다.
⑴ 정육면체의 겉넓이는(cid:100)(cid:100)6_(a_a)=6a¤
정사면체의 겉넓이는(cid:100)(cid:100)4_[ _('2a)¤ ]=2'3a¤
따라서 정육면체와 정사면체의 겉넓이의 비는
(cid:100)(cid:100)6a¤ : 2'3a¤ ='3 : 1
'3
4
⑵ 정육면체의 부피는(cid:100)(cid:100)a_a_a=a‹
정사면체의 부피는(cid:100)(cid:100) _('2a)‹ = a‹
따라서 정육면체와 정사면체의 부피의 비는
1
3
'2
12
(cid:100)(cid:100)a‹ :
a‹ =3 : 1
1
3
(cid:9120) ⑴ '3 : 1(cid:100)⑵ 3 : 1
… ➋
50%
50%
➊ 정육면체와 정사면체의 겉넓이의 비를 구할 수 있다.
➋ 정육면체와 정사면체의 부피의 비를 구할 수 있다.
0502
PC”, PD”는 각각 정삼각형 ABC, ABD의 높이이므로
'3
(cid:100)(cid:100)PC”=PD”= _4'2=2'6(cm)
2
△PCD는 이등변삼각형이므로 오른쪽
그림에서
P
2Â6`cm
2Â6`cm
PQ”="√(2'6)¤ -(2'2)¤
=4(cm)
(cid:9120) 4 cm
C
Q
2Â2`cm 2Â2`cm
D
△OAC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성
0503
질에 의하여
BP”, BQ”는 각각 정삼각형 OAB, OBC의 높이이므로
1
PQ”= AC”= _8=4(cm)
2
1
2
BP”=BQ”= _8=4'3(cm)
'3
2
오른쪽 그림과 같이 이등변삼각형 PBQ의
꼭짓점 B에서 PQ”에 내린 수선의 발을 H
라 하면
BH”="√(4'3)¤ -2¤ =2'ß11(cm)
1
∴ △PBQ= _4_2'ß11
2
=4'ß11(cm¤ )
본책 86~88쪽
2`cm
P
H
2`cm
Q
4Â3`cm
4Â3`cm
B
(cid:9120) ③
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질
△ABC에서 AM”=BM”, AN”=CN”이면
A
MN”∥BC”, MN”=;2!; BC”
M
N
B
C
0504
AM”, DM”은 각각 정삼각형 ABC, BCD의 높이이므로
(cid:100)(cid:100)AM”=DM”= _'6
'3
2
3'2
2
=
(cm)
… ➊
오른쪽 그림과 같이 이등변삼각형
AMD의 꼭짓점 M에서 AD”에 내린
수선의 발을 H라 하면
M
cm3Â2
2
cm3Â2
2
A
cmÂ6
2
H
cmÂ6
2
D
MH”=æ–
–{
3'2
2
2
}
–-{
'6
2
2
}
∴ △AMD= _'6_'3
='3 (cm)
1
2
3'2
2
=
(cm¤ )
단면인 원의 반지름의 길이는
0505
(cid:100)(cid:100)"√10¤ -7¤ ='ß51(cm)
따라서 원의 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_('ß51)¤ =51p(cm¤ )
1
7
피
타
고
라
스
정
리
의
입
체
도
형
에
의
활
용
(cid:9120)
3'2
2
cm¤
(cid:9120) 51p cm¤
0506
단면인 원의 반지름의 길이를 rcm라 하면
2pr=2'7p(cid:100)(cid:100)∴ r='7
즉 AH”='7 cm이므로 △OAH에서
OH”="√4¤ -('7)¤ =3(cm)
(cid:9120) ④
0507
⑴ 오른쪽 그림과 같이 단면
인 원의 반지름의 길이를 rcm라
하면
cmR
2
(cid:100) pr¤ =10p
(cid:100)(cid:100)(cid:100) ∴ r='ß10 (∵ r>0) … ➊
O
R`cm
A
M
B
r`cm
17 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 53
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지54 SinsagoHitec
(cid:9120) 8'5 cm
(cid:9120) 2'3p cm
… ➋
… ➌
30%
50%
20%
8`cm
A
E
D
2`cm
C
4`cm
G
2`cm
H
4`cm
D'
⑵ 구의 반지름의 길이를 Rcm라 하면 △OMB에서
(cid:100) {
R
2
2
}
+('ß10)¤ =R¤
(cid:100) R¤ =10(cid:100)(cid:100) ∴ R=
(∵ R>0)
2'ß30
3
3
4
(cid:9120) ⑴ 'ß10 cm ⑵
2'ß30
3
cm
➊ 단면인 원의 반지름의 길이를 구할 수 있다.
➋ 구의 반지름의 길이에 대한 식을 세울 수 있다.
➌ 구의 반지름의 길이를 구할 수 있다.
0508
오른쪽 그림의 전개도
에서 구하는 최단 거리는 BE”
의 길이이므로
BE”="√(6+4+6)¤ +8¤
=8'5(cm)
B
F
C
D
6`cm
G
6`cm
H
4`cm
오른쪽 그림의 전개도에서 구하는
0509
최단 거리는 AD'”의 길이이므로
AD'”="√4¤ +(2+4+2+4)¤
=4'ß10(cm)
(cid:9120) ③
A
B
F
E
4`cm
A'
0510
⑴ 오른쪽 그림의 전개도에서 구
B
C
D
하는 최단 거리는 FM”의 길이이다.
1
2
⑵ MH”= DH”=2'∂10(cm)이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)FM”="√7¤ +(2'1å0)¤
='∂89 (cm)
M
2Â10·`cm
(cid:9120) 풀이 참조
5`cm
G
F
H
2`cm
0511
△ABC에서
BC”="√5¤ +(2'6 )¤ =7(cm)
오른쪽 그림의 전개도에서 구하는 최단
거리는 AF”의 길이이므로
… ➋
AF”="√(5+7)¤ +9¤
=15(cm)
… ➊
A
B
C
9`cm
… ➌
(cid:9120) 15 cm
D
5`cm 7`cm
E
F
➊ BC”의 길이를 구할 수 있다.
➋ 전개도에 최단 거리를 나타낼 수 있다.
➌ 최단 거리를 구할 수 있다.
54 정답 및 풀이
B
A
B
A
0512
밑면의 반지름의 길이를 rcm라 하면
pr¤ =20p(cid:100)(cid:100)∴ r=2'5 (∵ r>0)
밑면의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2p_2'5=4'5p(cm)
오른쪽 그림의 전개도에서 구하는 최
단 거리는 AB'”의 길이이므로
AB'”="√(4'5p)¤ +(10p)¤
=6'5p(cm)
(cid:9120) ④
B
A
10π`cm
B'
A'
4Â5π`cm
밑면의 둘레의 길이는
0513
(cid:100)(cid:100)2p_3=6p(cm)
원기둥의 높이를 hcm라 하면 오른
쪽 그림의 전개도에서
h="√(4'3p)¤ -(6p)¤
=2'3p
B'
A'
h`cm
4Â3π`cm
6π`cm
밑면의 둘레의 길이는
0514
(cid:100)(cid:100)2p_4=8p(cm)
오른쪽 그림의 전개도에서 구하는 최
단 거리는 AB''”의 길이이므로
(cid:100)(cid:100)AB''”
(cid:100)="√(12p)¤ +(8p+8p)¤
(cid:100)=20p(cm)
B'
B''
12π`cm
8π`cm 8π`cm
A'
A''
(cid:9120) 20p cm
밑면의 둘레의 길이는
0515
(cid:100)(cid:100)2p_6=12p (cm)
오른쪽 그림의 전개도에서
CA'”= _12p=9p(cm)
3
4
따라서 구하는 최단 거리는 CE'”
의 길이이므로
A
E
CE'”="√(9p)¤ +(6p)¤ =3'ß13p(cm)
C
B
D
F
12π`cm
6π`cm
A'
E'
(cid:9120) ②
0516
원뿔의 전개도에서 부채꼴의 중심각의 크기를 ∠x라 하면
=2p_4(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=120°
(cid:100)(cid:100)2p_12_
∠x
360°
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 O에서
AA'”에 내린 수선의 발을 P라 하면
△OPA'에서
A
O
P
60æ
12`cm
A'
PA'” : OA'”='3 : 2
PA'” : 12='3 : 2
∴ PA'”=6'3(cm)
20%
50%
30%
따라서 구하는 최단 거리는 AA'”의 길이이므로
AA'”=2PA'”=12'3(cm)
4`cm
(cid:9120) ②
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지55 SinsagoHitec
본책 88~91쪽
오른쪽 그림의 전개도에서
0517
(cid:8772)OBCA는 마름모이므로
AB”⊥OC”
B
AB”와 OC”의 교점을 H라 하면
△OCA는 정삼각형이므로
9
'3
2
2
AH”= _3'3= (cm)
한 모서리의 길이가 a인 정육면체의 대각선의 길이
3Â3`cm
A
O
H
C
0522
(cid:8825) '3a
4
3
구의 반지름의 길이를 rcm라 하면
pr‹ =36p,(cid:100)(cid:100)r‹ =27(cid:100)(cid:100)∴ r=3
정육면체의 대각선의 길이는 구의 지름의 길이와 같으므로
2_3=6(cm)
따라서 구하는 최단 거리는 AB”의 길이이므로
따라서 정육면체의 한 모서리의 길이를 acm라 하면
AB”=2AH”=9(cm)
(cid:9120) 9cm
'3a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=2'3
(cid:9120) ②
➊ 부채꼴의 중심각의 크기를 구할 수 있다.
➋ 최단 거리를 구할 수 있다.
0519
오른쪽 그림의 전개도에서
∠MAC=30°, ∠CAD=60°
△ABC에서
'3
2
AM”= _8=4'3(cm)
따라서 구하는 최단 거리는 DM”의
길이이므로 △AMD에서
0520
오른쪽 그림의 전개도에서
∠BOC=180°-(75°+75°)
=30°
이므로
∠AOD=3_30°
=90°
오른쪽 그림의 전개도에서 부
0518
채꼴의 중심각의 크기를 ∠x라 하면
12`cm
A
x
6`cm
M
B
B'
2p_12_
=2p_3
∠x
360°
∴ ∠x=90°
… ➊
따라서 구하는 최단 거리는 BM”의 길
이이므로 △ABM에서
BM”="√12¤ +6¤ =6'5(cm)
0523
이를 구하는 공식을 이용하여 두 꼭짓점 사이의 거리를 구해 본다.
직사각형, 정사각형, 직육면체, 정육면체의 대각선의 길
오른쪽 그림에서
AC”='2_2=2'2
AG”='3_2=2'3
AI”="√(2+2)¤ +2¤ =2'5
AK”="√(2+2)¤ +2¤ +2¤
=2'6
A
E
B
F
D
C
H
2
2
G
J
2
L
I
K
따라서 두 꼭짓점 사이의 거리가 될 수 없는 것은 ⑤이다. (cid:9120) ⑤
0524
를 이용한다.
보조선을 그어 직각삼각형을 만든 후 피타고라스 정리
오른쪽 그림과 같이 점 O에서 AB”에
내린 수선의 발을 P, 점 P에서 EF”에 내린
수선의 발을 Q라 하자. 정육면체의 한 모
서리의 길이를 a라 하면 △PQO에서
OP”=æ≠a¤ +
{;2A;}
'5
¤ = a
2
∴ △ABO= _a_ a= a¤
1
2
'5
4
'5
2
1
4
1
1
2
2
의 넓이의 '5배이다.
D
H
A
P
E
Q
B
F
O
a
C
G
(cid:9120) '5배
△EFO= _a_ a= a¤ 이므로 △ABO의 넓이는 △EFO
3`cm
… ➋
(cid:9120) 6'5 cm
50%
50%
30æ
8`cm
A
60æ
D
B
M
C
O
1
7
피
타
고
라
스
정
리
의
입
체
도
형
에
의
활
용
DM”="√(4'3)¤ +8¤ =4'7(cm)
(cid:9120) ①
6`cm
6`cm
30æ
30æ
30æ
A
D
75æ
B
75æ
C
0525
한다.
△AEM이 정삼각형이므로 AE”=EM”=MA”임을 이용
CM”=xcm라 하면
AM”="√4¤ +x¤ (cm), AE”="√2¤ +(2x)¤ (cm)
따라서 구하는 최단 거리는 AD”의 길이이므로 △OAD에서
AD”="√6¤ +6¤ =6'2(cm)
(cid:9120) 6'2 cm
세 모서리의 길이가 각각 a, b, c인 직육면체의 대각선
0521
의 길이 (cid:8825) "√a¤ +b¤ +c¤
BC”=2x라 하면
AB”=AC”="√x¤ +6¤ +(3'3)¤ ="√x¤ +63
△ABC에서(cid:100)(cid:100)("√x¤ +63 )¤ +("√x¤ +63 )¤ =(2x)¤
(cid:100)(cid:100)2(x¤ +63)=4x¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ =63
∴ x=3'7 (∵ x>0)
∴ BC”=2x=6'7
△AEM이 정삼각형이므로
¤ =AE”
¤ ,(cid:100)(cid:100)16+x¤ =4+4x¤
AM”
x¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
EM”=AM”="√4¤ +2¤ =2'5(cm)이므로
EF”="√(2'5)¤ -2¤ =4(cm)
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서 AB”에 내린
수선의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)CH”="√4¤ -1¤ ='ß15(cm)
1
∴ △ABC= _2_'ß15
2
='ß15(cm¤ )
(cid:9120) 6'7
따라서 삼각기둥의 부피는
'ß15_4=4'ß15(cm‹ )
C
4`cm
4`cm
A
1`cm
H
B
1`cm
(cid:9120) 4'ß15cm‹
17 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 55
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지56 SinsagoHitec
0526
BH”
¤ =OB”
¤ -OH”
¤ =AB”
¤ -AH”
¤ 임을 이용한다.
0529
한 모서리의 길이가 a인 정사면체의 부피 (cid:8825)
'2
12
a‹
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
△AEF와 △AEG에서
(cid:100)(cid:100)EF”=EG”="√2¤ -1¤ ='3
△ACD에서 두 점 F, G는 각각 AC”, AD”의 중점이므로 삼각
형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여
△OBH에서
¤ =6¤ -OH”
(cid:100)(cid:100)BH”
△ABH에서
(cid:100)(cid:100)BH”
¤ =(6'3)¤ -(6+OH”)¤
㉠, ㉡에서
(cid:100)(cid:100)6¤ -OH”
¤ =(6'3)¤ -(6+OH”)¤
12OH”=36(cid:100)(cid:100)∴ OH”=3(cm)
㉠에서(cid:100)(cid:100)BH”="√6¤ -3¤ =3'3(cm)
따라서 원뿔의 부피는
1
3
_p_(3'3)¤ _(6+3)=81p(cm‹ )
(cid:9120) ①
(cid:100)(cid:100)FH”= FG”=1
1
2
1
FG”= CD”=2
2
오른쪽 그림과 같이 점 E에서 FG”에 내
린 수선의 발을 H라 하면 △EFG는 이
등변삼각형이므로
△EFH에서(cid:100)(cid:100)EH”="√('3)¤ -1 ='2
따라서 삼각뿔 A
2
_{ _2_'2}_1=
EFG의 부피는
'2
3
1
2
1
3
이므로 구하는 입체도형의 부피는
'2
3
(cid:100)(cid:100) _4‹ - =5'2
'2
12
A
1
E
2
2
G
H
F
D
B
4
C
(cid:9120) ⑤
0530
EF”의 길이를 구한다.
△ACD에서 AE”：AC”=EF”：CD”=1：3임을 이용하여
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에
서 AC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
A
4
E
H
2
F
6
C
D
B
6Â3
12
(cid:100)(cid:100)AH”=CH”= AC”=6
1
2
△BCH에서
(cid:100)(cid:100)BH”="√12¤ -6¤ =6'3
또 AE”= AC”=4이므로
1
3
(cid:100)(cid:100)EH”=6-4=2
△BHE에서
BE”="√(6'3 )¤ +2¤ =4'7
(cid:100)(cid:100)∴ BF”=BE”=4'7
한편 △ACD에서
0527
와 같음을 이용한다.
사각뿔대의 높이는 점 A에서 EG”에 내린 수선의 길이
A
4
B
4
E
60æ
A'
F
B'
60æ
[그림 1]
A
B
D
H
4
C
G
F
P
8
[그림 2]
[그림 1]과 같이 꼭짓점 A, B에서
EF”에 내린 수선의 발을 각각 A', B'이
라 하면 AE” : EA'”=2 : 1이므로
(cid:100)(cid:100)4 : EA'”=2 : 1
(cid:100)(cid:100)∴ EA'”=2
FB'”=EA'”=2이므로
(cid:100)(cid:100)EF”=2+4+2=8
(cid:8772)ABCD, (cid:8772)EFGH에서
AC”='2_4=4'2
(cid:100)(cid:100)EG”='2_8=8'2
[그림 2]와 같이 꼭짓점 A에서 EG”
에 내린 수선의 발을 P라 하면 AP”
의 길이는 사각뿔대의 높이와 같다.
이때
E
(cid:100)(cid:100)EP”= _(EG”-AC”)
1
2
1
= _(8'2-4'2)
2
=2'2
이므로 △AEP에서
AP”="√4¤ -(2'2)¤ =2'2
(cid:9120) 2'2
EF”：12=AE”：AC”=1：3(cid:100)(cid:100)∴ EF”=4
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에서 EF”에 내린 수
선의 발을 M이라 하면
B
0528
(정팔면체의 부피)=2_(정사각뿔의 부피)
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서
(cid:8772)BCDE에 내린 수선의 발을 H라 하면
BM”="√(4'7)¤ -2¤ =6'3
1
∴ △BEF= _4_6'3=12'3
2
4Â7
4Â7
(cid:9120) 12'3
E
F
2
2M
B
D
A
E
H
C
F
0531
(사면체 V
2
ABC의 부피)=(사면체 A
2
BCV의 부피)
△ABV, △ACV, △BCV는 직각이등변삼각형이므로
AB”=BC”=CA”="√2¤ +2¤ =2'2
(cid:9120) 36
따라서 △ABC는 정삼각형이므로
'3
(cid:100)(cid:100)△ABC= _(2'2)¤ =2'3
4
1
AH”= _6=3
2
1
HD”= _6=3
2
△AHD에서
AD”="√3¤ +3¤ =3'2
따라서 구하는 정팔면체의 부피는
2_[ _(3'2)¤ _3]=36
1
3
56 정답 및 풀이
¤
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지57 SinsagoHitec
본책 91~93쪽
10%
30%
40%
20%
6
l
A
30æ
45æ
C
B
H
… ➋
… ➌
20%
20%
20%
40%
사면체의 부피는
(cid:100)(cid:100) _2'3_VH”= _{ _2_2}_2
1
3
1
2
1
3
∴ VH”=
2'3
3
➊ VO”의 길이를 구할 수 있다.
➋ VH”의 길이를 구할 수 있다.
➌ 구의 반지름의 길이를 구할 수 있다.
➍ 구의 부피를 구할 수 있다.
(cid:9120)
2'3
3
0532
선이 지나는 면의 전개도를 그려 본다.
오른쪽 그림의 전개도에서
∠ACD=∠ADC=75°이므로
∠CAD=30°
∴ ∠CAC'=3∠CAD=90°
따라서 구하는 최단 거리는 CC'”의 길
이이므로 AC”=x cm라 하면
△ACC'에서
A
30æ
30æ
30æ
x`cm
75æ
C
75æ
D
B
6Â2`cm
C'
"√x¤ +x¤ =6'2,(cid:100)(cid:100)'2x =6'2(cid:100)(cid:100)∴ x=6
AB”=AC”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=6cm
(cid:9120) ⑤
0533
길이와 같음을 이용한다.
원뿔의 전개도에서 부채꼴의 호의 길이는 밑면의 둘레의
0535
밑면의 반지름의 길이와 높이를 구한다.
구하는 부피는 두 원뿔의 부피의 합이므로 각 원뿔의
주어진 삼각형을 직선 l을 회전축으로 하
여 1회전 시킬 때 생기는 입체도형은 오른쪽 그
림과 같다.
점 B에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 하면
△ABH에서 AH”：AB”='3：2이므로
(cid:100)(cid:100)AH”：6='3：2
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=3'3
또 BH” : AB”=1：2이므로
(cid:100)(cid:100)BH”：6=1：2
(cid:100)(cid:100)∴ BH”=3
△BCH에서 BH”：CH”=1：1이므로
(cid:100)(cid:100)CH”=3
… ➊
x`cm
A
O
y
16`cm
B
A'
M
B'
(cid:100)(cid:100)∴ (부피)={ _p_3¤ _3'3 }+{ _p_3¤ _3}
1
3
1
3
=9(1+'3)p
… ➍
(cid:9120) 9(1+'3 )p
오른쪽 그림의 원뿔대의 옆면의
전개도에서 OA”=xcm, 부채꼴의 중
심각의 크기를 ∠y라 하면 원뿔대의
두 밑면의 반지름의 길이의 비가
2 : 6=1 : 3이므로
x : (x+16)=1 : 3
(cid:100)(cid:100)∴ x=8
®AA'=2p_2=4p(cm)이므로
∠y
360°
2p_8_
=4p(cid:100)(cid:100)∴ ∠y=90°
➊ AH”의 길이를 구할 수 있다.
➋ BH”의 길이를 구할 수 있다.
➌ CH”의 길이를 구할 수 있다.
➍ 1회전 시킬 때 생기는 입체도형의 부피를 구할 수 있다.
따라서 구하는 최단 거리는 BM”의 길이이므로 △OBM에서
BM”="√(16+8)¤ +(8+8)¤ =8'ß13(cm)
(cid:9120) 8'ß13 cm
0534
을 이용한다.
구의 중심에서 원뿔의 옆면에 내린 수선의 발이 접점임
0536
(cid:8772)MBCN이 등변사다리꼴임을 이용한다.
'3
MB”=NC”= _8=4'3(cm)
2
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여
△VOB에서
VO”="√9¤ -3¤ =6'2(cm)
오른쪽 그림과 같이 구의 중심 P에서 VB”
에 내린 수선의 발을 H라 하면
△POB™△PHB (RHS 합동)이므로
BH”=BO”=3cm
∴ VH”=9-3=6(cm)
구의 반지름의 길이를 rcm라 하면
△VPH에서
(cid:100)(cid:100)(6'2-r)¤ =6¤ +r¤ ,(cid:100)(cid:100)12'2r=36
(cid:100)(cid:100)∴ r=
3'2
2
따라서 구의 부피는
3'2
2
_p_
4
3
{
‹ =9'2p (cm‹ )
}
… ➋
Q
r`cm H
P
A
O
B
3`cm
… ➌
… ➍
(cid:9120) 9'2p cm‹
… ➊
V
MN”= AD”=4(cm)
1
2
오른쪽 그림과 같이 두 점 M, N에
서 BC”에 내린 수선의 발을 각각
M', N'이라 하면
… ➊
M
4`cm
N
4Â3`cm
4Â3`cm
9`cm
BM'”=CN'”=2cm
따라서 △MBM'에서
B
C
M'
N'
8`cm
MM'”="√(4'3)¤ -2¤
=2'ß11(cm)
1
∴ (cid:8772)MBCN= _(4+8)_2'ß11
2
=12'ß11(cm¤ )
➊ MB”, MN”의 길이를 구할 수 있다.
➋ MM'”의 길이를 구할 수 있다.
➌ (cid:8772)MBCN의 넓이를 구할 수 있다.
… ➋
… ➌
(cid:9120) 12'ß11 cm¤
40%
40%
20%
17 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 57
1
7
피
타
고
라
스
정
리
의
입
체
도
형
에
의
활
용
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지58 SinsagoHitec
0537
△OPC에서 OP”_CP”=OC”_PQ”임을 이용한다.
'6
3
OP”= _12=4'6
… ➊
0539
를 구한다.
최단 거리를 이용하여 옆면인 부채꼴의 중심각의 크기
오른쪽 그림의 전개도에서 최단
O
6`cm
6`cm
A
3Â3`cm
H
A'
'3
2
정삼각형 ABC에서(cid:100)(cid:100)CM”= _12=6'3
2
3
∴ CP”= CM”= _6'3=4'3
△OPC에서(cid:100)(cid:100)OP”_CP”=OC”_PQ”
2
3
4'6_4'3=12_PQ”(cid:100)(cid:100)∴ PQ”=4'2
거리는 AA'”의 길이이다.
꼭짓점 O에서 AA'”에 내린 수선의 발
을 H라 하면 △OAH에서
(cid:100)(cid:100)OA” : AH”=6 : 3'3=2 : '3
따라서 ∠AOH=60°이므로
(cid:100)(cid:100)∠AOA'=2∠AOH=120°
밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면
(cid:100)(cid:100)2p_6_
=2p_r
120
360
(cid:100)(cid:100)∴ r=2
… ➋
… ➌
(cid:9120) 4'2
20%
30%
50%
각 경우의 선이 지나는 부분을 전개도 위에 선분으로
➋ 밑면의 반지름의 길이를 구할 수 있다.
➊ 전개도에서 부채꼴의 중심각의 크기를 구할 수 있다.
⑴ 모서리 AD, CD, AE, CG, EF, FG 위의 한 점을 지
나서 가는 방법이 각각 1가지씩이므로 모두 6가지이다. … ➊
0540
선분을 찾는다.
⑵ ⁄ 모서리 AD 또는 FG를 지나서 가는 경우
전개도를 이용하여 AP”+PO”의 최솟값과 길이가 같은
➊ OP”의 길이를 구할 수 있다.
➋ CP”의 길이를 구할 수 있다.
➌ PQ”의 길이를 구할 수 있다.
0538
나타낸다.
r`cm
… ➊
… ➋
(cid:9120) 2 cm
60%
40%
… ➊
O
Â34°`cm
Q
DP
B
R
3`cm
A
6`cm
… ➋
… ➌
(cid:9120) '∂130cm
30%
50%
20%
DH”= BD”= _('2_6)=3'2(cm)이므로
1
2
1
2
OD”="√4¤ +(3'2)¤ ='ß34(cm)
오른쪽 그림의 전개도에서 AP”+PO”의
최솟값은 AO”의 길이이다.
꼭짓점 O에서 CD”에 내린 수선의 발을
Q, BA”에 내린 수선의 발을 R라 하면
△OQD에서
C
6`cm
OQ”="√('ß34)¤ -3¤
=5(cm)
∴ OR”=5+6=11(cm)
△ORA에서
AO”="√3¤ +11¤ ='∂130(cm)
➊ OD”의 길이를 구할 수 있다.
➋ OR”의 길이를 구할 수 있다.
➌ AP”+PO”의 길이의 최솟값을 구할 수 있다.
E
(cid:100)
A
D
6
H
A
B
H
6
D
4
C
B
F
E
C
6
G
4
H
B
5`
5`
`최단 거리는
`(cid:100)(cid:100)BH”="√5¤ +(6+4)¤ =5'5
(cid:100) ¤ 모서리 AE 또는 CG를 지나서 가는 경우
A
B
B
C
5
E
4
F
F
5
G
4
`최단 거리는
`(cid:100)(cid:100)BH”="√(5+4)¤ +6¤ =3'ß13
(cid:100) ‹ 모서리 CD 또는 EF를 지나서 가는 경우
D
E
H
4
G
H
G
5
C
6
5
F
6
`최단 거리는
`(cid:100)(cid:100)BH”="√(5+6)¤ +4¤ ='∂137
⑶ ⑵에서 구하는 최단 거리는 3'ß13이다.
➊ 한 모서리 위의 한 점을 지나서 가는 방법의 수를 구할 수 있다.
➋ 각 경우의 최단 거리를 구할 수 있다.
➌ 최단 거리를 구할 수 있다.
58 정답 및 풀이
D
6
H
A
4
B
… ➋
… ➌
(cid:9120) 풀이 참조
30%
60%
10%
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지59 SinsagoHitec
18
삼각비
0541
(cid:9120) sin A= , cos A= , tan A=
12
13
5
13
5
13
12
13
12
5
5
12
0542
(cid:9120) sin B= , cos B= , tan B=
0543
BC”="√2¤ +4¤ =2'5
(cid:9120) 2'5
0544
sin C=
= , cos C=
=
2
2'5
'5
5
tan C= =
2
4
1
2
'5
(cid:9120) sin C= , cos C=
5
, tan C=
1
2
4
2'5
,
2'5
5
2'5
5
(cid:9120) 15
(cid:9120) 9
A
x
D
x
B
C
0545
cos A=
= (cid:100)(cid:100)∴ AB”=15
12
AB”
4
5
0546
BC”="√15¤ -12¤ =9
[0547~0549]
△ABC와 △DAC에서
∠C는 공통,
∠BAC=∠ADC=90°
∴ △ABC ª△DAC (AA 닮음)
∴ ∠DAC=∠ABC=x
△ABC, △DBA, △DAC에서
0547
sin x=
AC”
BC”
=
=
AD”
AB”
CD”
AC”
(cid:9120) ㈎ AC”
”(cid:100)㈏ AB”(cid:100)㈐ CD”
0548
cos x=
AB”
BC”
=
BD”
AB”
=
AD”
AC”
(cid:9120) ㈎ AB”(cid:100)㈏ BD”(cid:100)㈐ AC”
0554
tan 45°÷sin 45°=1÷ =1_'2='2
(cid:9120) '2
'2
2
본책 93~99쪽
1
8
삼
각
비
0555
sin¤ 30°+cos¤ 30°={
1
2
2
}
+{
'3
2
2
}
1
4
= + =1
3
4
(cid:9120) 1
(cid:9120) '3
(cid:9120) 60°
(cid:9120) 45°
(cid:9120) 30°
0556
(sin 30°+1)(cos 60°+1)={ +1} { +1}
= _ =
3
2
(cid:9120)
9
4
1
2
3
2
'3
2
1
2
9
4
'3
2
0557
sin 60°_tan 45°+cos 30°= _1+ ='3
'3
2
'2
2
'3
3
0558
sin 60°= 이므로(cid:100)(cid:100)x=60°
0559
cos 45°= 이므로(cid:100)(cid:100)x=45°
0560
tan 30°= 이므로(cid:100)(cid:100)x=30°
0561
sin 30°= = (cid:100)(cid:100)∴ x=4
x
8
'3
cos 30°= = (cid:100)(cid:100)∴ y=4'3
2
1
2
y
8
(cid:9120) x=4, y=4'3
0562
tan 45°=
=1(cid:100)(cid:100)∴ x=2'2
x
2'2
'2
2
2'2
y
cos 45°=
= (cid:100)(cid:100)∴ y=4
(cid:9120) x=2'2, y=4
0563
sin 35°=
0.5736
1
=0.5736
0564
cos 35°=
=0.8192
0565
tan 35°=
=0.7002
0.8192
1
0.7002
1
0549
tan x=
AC”
AB”
=
AD”
BD”
=
CD”
AD”
(cid:9120) ㈎ AB”(cid:100)㈏ BD”(cid:100)㈐ CD”
0566
sin 55°=
0.8192
1
=0.8192
0550
sin 60°+tan 30°= + =
5'3
6
(cid:9120)
5'3
6
0567
cos 55°=
0.5736
1
=0.5736
0551
cos 45°-sin 45°= - =0
'3
3
'2
2
'3
2
'2
2
'3
3
0568
sin 90°+cos 0°=1+1=2
0569
tan 0°-cos 90°=0-0=0
(cid:9120) 0
(cid:9120) 1
0552
tan 30°_tan 60°= _'3=1
0570
sin 0°+cos 0°-tan 0°=0+1-0=1
0553
'2
cos 45°÷sin 30°= ÷ = _2='2
2
'2
2
1
2
(cid:9120) '2
0571
cos 90°_tan 0°-sin 90°_cos 0°
=0_0-1_1=-1
(cid:9120) -1
(cid:9120) 0.5736
(cid:9120) 0.8192
(cid:9120) 0.7002
(cid:9120) 0.8192
(cid:9120) 0.5736
(cid:9120) 2
(cid:9120) 0
(cid:9120) 1
18 삼각비 59
”
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지60 SinsagoHitec
0572
sin 0°_cos 55°+sin 90°_tan 0°
=0_cos 55°+1_0=0
0589
AB”=c라 하면
(cid:9120) 0
△ABC에서 BC”=a, AC”=b,
0573
sin 0°=0, sin 90°=1이므로
sin 0°
<
sin 90°
0574
sin 30°= , cos 90°=0이므로(cid:100)
1
2
sin 30°
>
cos 90°
0575
tan 45°=1, cos 0°=1이므로(cid:100)
tan 45°
=
cos 0°
[0576~0578]
0°…x<90°인 범위에서 x의 값이 증가하면
sin x, tan x의 값은 각각 증가하고, cos x의 값은 감소한다.
0576
sin 50°
<
sin 70°
0578
tan 35°
<
tan 65°
[0579~0581]
45°
cos 80°
0581
sin 48°
<
tan 48°
0582
(cid:9120) 0.3907
0583
(cid:9120) 0.9272
(cid:9120) >
(cid:9120) =
(cid:9120) <
(cid:9120) <
(cid:9120) <
(cid:9120) >
(cid:9120) <
(cid:9120) <
sin B= , cos B= , tan B=
B
a
sin A= , cos A= , tan A=
a
c
b
c
b
c
a
c
a
b
b
a
∴ cos A=sin B
sin A=cos B, tan A=
1
tan B
0590
BC”="√(4'6)¤ -8¤ =4'2이므로
'3
3
= , cos A=
sin A=
=
'6
3
4'2
4'6
∴ sin A_cos A= _ =
'3
3
'6
3
8
4'6
'2
3
➊ BC”의 길이를 구할 수 있다.
➋ sin A, cos A의 값을 구할 수 있다.
➌ sin A_cos A의 값을 구할 수 있다.
AC”="√('3k)¤ -k¤ ='2k
'2k
'3k
∴ sin B=
'6
3
=
직각삼각형 DBC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√10¤ -6¤ =8
0592
직각삼각형 ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√17¤ -8¤ =15
∴ tan x=
BC”
AC”
=
8
15
0593
직각삼각형 ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√(2'∂13)¤ -4¤ =6
1
2
BD”= BC”=3이므로 직각삼각형 ABD에서
(cid:100)(cid:100)AD”="√3¤ +4¤ =5
(cid:100)(cid:100)∴ cos x=
AB”
AD”
=
4
5
0594
AH”=h라 하면
0577
cos 20°
>
cos 40°
(cid:9120) >
0591
AB”=k, BC”='3k (k>0)로 놓으면
0584
(cid:9120) 0.4663
0585
(cid:9120) 22
직각삼각형 ABH에서(cid:100)(cid:100)sin B=
=
0586
(cid:9120) 25
0587
(cid:9120) 24
직각삼각형 ACH에서(cid:100)(cid:100)sin C=
=
0588
AC”="√2¤ +('5)¤ =3
① sin A=
② cos A=
③ tan A=
'5
3
2
3
2
3
'5
3
④ sin C=
⑤ cos C=
'5
2
(cid:9120) ③
∴
sin B
sin C
h
c
= _ =
b
h
b
c
0595
tan B=
AC”
6
∴ AB”="√9¤ +6¤ =3'ß13(cm)
3
2
= 에서(cid:100)(cid:100)AC”=9(cm)
AH”
AB”
AH”
AC”
h
c
h
b
60 정답 및 풀이
c
A
b
C
(cid:9120) ⑤
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) '2
3
30%
50%
20%
(cid:9120) ④
(cid:9120) ②
(cid:9120) ;5$;
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ④
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지61 SinsagoHitec
= 에서(cid:100)(cid:100)x=8
0596
2'7
x
cos A=
'7
4
(cid:100)(cid:100)∴ y="√8¤ -(2'7)¤ =6
(cid:100)(cid:100)∴ x+y=8+6=14
0597
sin A=
= 에서(cid:100)(cid:100)BC”=9
BC”
15
3
5
∴ AB”="√15¤ -9¤ =12
1
∴ △ABC= _12_9=54
2
➊ BC”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AB”의 길이를 구할 수 있다.
➌ △ABC의 넓이를 구할 수 있다.
0598
tan A=
='3에서(cid:100)(cid:100)BC”='3
BC”
1
AC”="√1¤ +('3 )¤ =2이므로(cid:100)(cid:100)cos A=
(cid:9120) ②
1
2
0599
sin B=
8
BC”
=
2'5
5
에서(cid:100)(cid:100)BC”=4'5
AB”="√(4'5)¤ -8¤ =4이므로
4
4'5
sin C=
'5
5
=
0600
cos B=
4
BC”
'2
3
= 에서(cid:100)(cid:100)BC”=6'2
AC”="√(6'2)¤ -4¤ =2'ß14이므로
4
2'ß14
cos C_tan C=
2'ß14
6'2
_
=
'2
3
0601
△ABH에서(cid:100)(cid:100)cos B=
= (cid:100)(cid:100)∴ BH”=8
BH”
12
2
3
(cid:9120) 14
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 54
40%
40%
20%
(cid:9120) '5
5
(cid:9120) ③
(cid:9120) ⑤
… ➊
AH”="√12¤ -8¤ =4'5이므로 △ACH에서
(cid:100)(cid:100)sin C=
4'5
10
=
2'5
5
0602
△ABC에서(cid:100)(cid:100)tan B=
=2
AC”
3
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=6
△ADE와 △ABC에서
(cid:100)(cid:100)∠A는 공통, ∠AED=∠ACB=90°
(cid:100)(cid:100)∴ △ADEª△ABC (AA 닮음)
따라서 DE” : BC”=AE” : AC”이므로
(cid:100)(cid:100)'5 : 3=AE” : 6(cid:100)(cid:100)∴ AE”=2'5
∴ EC”=AC”-AE”=6-2'5
➊ AC”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AE”의 길이를 구할 수 있다.
➌ EC”의 길이를 구할 수 있다.
1
8
삼
각
비
본책 99~103쪽
7
A
=25
(cid:9120) ③
0603
sin A= 이므로 오른쪽 그림과
5
7
같이 ∠B=90°, AC”=7, BC”=5인 직각삼
각형 ABC를 생각할 수 있다.
이때 AB”="√7¤ -5¤ =2'6이므로
2'6
5
7
2'6
∴ 35 cos A_tan A=35_
, tan A=
cos A=
_
2'6
7
5
2'6
0604
∠B=90°, tan A= 이므로 오른쪽
3
2
그림과 같이 AB”=2, BC”=3으로 놓으면
(cid:100)(cid:100)AC”="√2¤ +3¤ ='ß13
따라서 sin A=
, cos A=
이므로
sin A+cos A=
+
3
'ß13
2
'ß13
2
'ß13
=
5'ß13
13
A
2
(cid:9120)
5'ß13
13
3
'ß13
3
5
0605
sin A= 이므로 오른쪽 그림과
같이 AC”=5, BC”=3으로 놓으면
AB”="√5¤ -3¤ =4
sin A
5
cos A
4
= _ =
3
5
3
4
④
⑤ sin¤ A+cos¤ A=
3
5
¤ +
}
{
4
5
¤ =1
}
{
0606
6 cos A-5=0에서(cid:100)(cid:100)cos A=
5
6
따라서 오른쪽 그림과 같이 ∠B=90°,
AB”=5, AC”=6인 직각삼각형 ABC를 생
각할 수 있다.
… ➋
이때 BC”="√6¤ -5¤ ='ß11이므로
'ß11
6
sin A=
5
A
6
5
A
C
5
B
C
3
B
C
3
B
(cid:9120) ④
… ➊
C
B
… ➌
(cid:9120) 'ß11
6
20%
50%
30%
C
8
B
8
15
➊ cos A의 값을 구할 수 있다.
➋ 조건을 만족시키는 직각삼각형을 그릴 수 있다.
➌ sin A의 값을 구할 수 있다.
0607
sin A= 이므로 오른쪽 그림
8
17
과 같이 ∠B=90°, AC”=17, BC”=8인
직각삼각형 ABC를 생각할 수 있다.
17
A
15
17
… ➋
… ➌
(cid:9120) 6-2'5
30%
50%
20%
이때 AB”="√17¤ -8¤ =15이므로(cid:100)(cid:100)cos A= , tan A=
∴ cos¤ A+sin¤ A={
15
17
2
+{
}
8
17
2
}
=1
cos A_tan A+cos A= _ + =
15
17
8
15
15
17
23
17
∴
cos A_tan A+cos A
cos¤ A+sin¤ A
=
23
17
(cid:9120)
23
17
18 삼각비 61
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지62 SinsagoHitec
➊ 직선이 x축, y축과 만나는 점의 좌표를 구할 수 있다.
➋ tan a의 값을 구할 수 있다.
② △ADC에서(cid:100)(cid:100)cos x=
③ △ABD에서(cid:100)(cid:100)tan x=
일차방정식 3x-4y+12=0의 그래프가 x축, y축과 만
0608
나는 점을 각각 A, B라 하자.
3x-4y+12=0에 y=0, x=0을 각각 대입하면
A(-4, 0), B(0, 3)
따라서 직각삼각형 AOB에서
OA”=4, OB”=3, AB”="√4¤ +3¤ =5
∴ sin a-cos a= - =-
3
5
4
5
1
5
직선 y= x+1이 x축, y축과 만나는 점을 각각 A, B
0609
라 하면
3
2
2
(cid:100)(cid:100)A{- , 0}, B(0, 1)
3
따라서 직각삼각형 AOB에서
2
(cid:100)(cid:100)OA”= , OB”=1
3
∴ tan a=
OB”
OA”
=
3
2
B
y
2
O
0610
일차방정식 2x+3y-6=0의 그
래프가 오른쪽 그림과 같으므로 직각삼각
형 ABO에서
OA”=3, OB”=2
AB”="√3¤ +2¤ ='∂13
따라서 sin a=
, cos a=
이므로
2
'ß13
3
'ß13
sin¤ a-cos¤ a= - =-
4
13
9
13
5
13
a
A
3
2x+3y-6=0
x
(cid:9120) -;1∞3;
9 x y
12
x
C
A
D
△ABC와 △DBA에서
0611
(cid:100)(cid:100)∠B는 공통,
(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BDA=90°
이므로
(cid:100)(cid:100)△ABCª△DBA (AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠BCA=∠BAD=x
마찬가지로 △ABCª△DAC (AA 닮음)이므로
(cid:100)(cid:100)∠ABC=∠DAC=y
△ABC에서 BC”="√9¤ +12¤ =15이므로
B
y
cos x=
cos y=
AC”
BC”
AB”
BC”
12
= =
15
4
5
9
= =
15
3
5
∴ cos x+cos y= + =
4
5
3
5
7
5
62 정답 및 풀이
△ABC와 △DBA에서
0612
(cid:100)(cid:100)∠B는 공통,
(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BDA=90°
이므로(cid:100)(cid:100)△ABCª△DBA (AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠BCA=∠BAD=x
B
24
25
∴ sin x=
AB”
BC”
=
24
25
(cid:9120) ②
0613
△ABC와 △CBD에서
(cid:100)(cid:100)∠B는 공통, ∠ACB=∠CDB=90°
이므로(cid:100)(cid:100)△ABCª△CBD (AA 닮음)
∴ ∠BAC=∠BCD=x
B
△ABC에서
… ➊
(cid:100)(cid:100)tan x=
='2(cid:100)(cid:100)∴ BC”=6'2
BC”
6
A
x
x
7
C
D
(cid:9120)
24
25
A
6
C
D x
x
∴ AB”="√(6'2)¤ +6¤ =6'3
(cid:9120) ②
△ABCª△DBA (AA 닮음)
0614
이므로(cid:100)(cid:100)∠BCA=∠BAD=x
① △ABC에서(cid:100)(cid:100)sin x=
B
x
C
A
x
D
… ➋
(cid:9120)
3
2
40%
60%
④ △ABD에서(cid:100)(cid:100)cos x=
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=AB” cos x
⑤ △ADC에서(cid:100)(cid:100)tan x=
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=CD” tan x
0615
△ABD와 △HAD에서
(cid:100)(cid:100)∠D는 공통, ∠BAD=∠AHD=90°
이므로(cid:100)(cid:100)△ABDª△HAD (AA 닮음)
∴ ∠ABD=∠HAD=x
△ABD에서 BD”="√12¤ +16¤ =20이므로
16
20
4
= = , cos x=
5
sin x=
AD”
BD”
AB”
BD”
x
A
12
B
x
H
16
12
= =
20
3
5
∴ sin x-cos x= - =
4
5
3
5
1
5
△ABC와 △EBD에서
0616
(cid:100)(cid:100)∠B는 공통,
(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BED=90°
이므로
(cid:100)(cid:100)△ABCª△EBD (AA 닮음)
∴ ∠BCA=∠BDE=x
D
x
E
13
B
(cid:9120) ④
D
C
(cid:9120) ④
A
x
5
C
(cid:9120) ⑤
△ABC에서 AB”="√13¤ -5¤ =12이므로
12
13
sin x=
=
AB”
BC”
(cid:9120) ③
AB”
BC”
CD”
AC”
BD”
AD”
AD”
AB”
AD”
CD”
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지63 SinsagoHitec
0617
△ABC와 △DEC에서
(cid:100)(cid:100)∠C는 공통, ∠ABC=∠DEC=90°
이므로(cid:100)(cid:100)△ABC ª△DEC (AA 닮음)
A
x
∴ ∠CDE=∠CAB=x
… ➊
△EDC에서 CE”="√9¤ -7¤ =4'2이므로
E
C
7
x
9
B
D
cos x=
tan x=
'2
2
EG”
AG”
AE”
EG”
=
=
5
5'2
5
= =1
5
∴ sin x+cos x-tan x= + -1
'2
2
'2
2
='2-1
본책 103~105쪽
1
8
삼
각
비
sin x=
tan x=
CE”
DC”
=
4'2
9
CE”
DE”
=
4'2
7
∴
sin x
tan x
=
4'2
9
_
7
4'2
=
7
9
➊ ∠CDE=∠CAB=x임을 알 수 있다.
➋ sin x, tan x의 값을 구할 수 있다.
➌
sin x
tan x
의 값을 구할 수 있다.
0618
∠ABC=∠EDC
=∠EAD=x
① △ADE에서(cid:100)(cid:100)tan x=
x
B
② △ABC에서(cid:100)(cid:100)tan x=
③ △ABD에서(cid:100)(cid:100)tan x=
④ △ADC에서(cid:100)(cid:100)tan x=
DE”
AE”
AC”
AB”
AD”
BD”
CD”
AD”
CE”
DE”
⑤ △DCE에서(cid:100)(cid:100)tan x=
(cid:9120) ③
△BFH에서 ∠BFH=90°
B
0619
이고
FH”='2_3=3'2(cm)
BH”='3_3=3'3(cm)
3'2
FH”
3'3
BH”
'6
3
∴ cos x=
=
=
3`cm
F
3Â3`cm
x
H
3Â2`cm
(cid:9120) ⑤
… ➋
… ➌
(cid:9120)
7
9
40%
40%
20%
A
x
D
E
x
C
0621
△CEG에서 ∠CGE=90°이고
CG”=4
EG”='2_4=4'2
CE”='3_4=4'3
이므로
… ➊
E
x
4Â3
4Â2
sin x=
CG”
CE”
=
=
'3
3
cos x=
=
=
4
4'3
4'2
4'3
4
4'2
EG”
CE”
CG”
EG”
tan x=
=
=
'6
3
'2
2
(cid:100)(cid:100)∴
cosx
sinx_tan x
'6
3
3
= _ _ =2
'3
2
'2
➊ CG”, EG”, CE”의 길이를 구할 수 있다.
➋ sin x, cos x, tan x의 값을 구할 수 있다.
➌ 식의 값을 구할 수 있다.
0622
△OHQ에서
OQ”=OA”-AQ”=5-1=4
OH”=5
이므로
(cid:100)(cid:100)QH”="√5¤ -4¤ =3
따라서 △PQH에서
tan x=
PH”
QH”
12
= =4
3
0623
BM”은 정삼각형 BCD의 높이이
'3
므로(cid:100)(cid:100)BM”= _6=3'3(cm)
2
꼭짓점 A에서 밑면에 내린 수선의 발을
H라 하면 점 H는 △BCD의 무게중심
2
이므로(cid:100)(cid:100)BH”= BM”=2'3(cm)
3
AH”는 정사면체의 높이이므로
(cid:9120) ①
C
4
G
… ➋
… ➌
(cid:9120) 2
30%
60%
10%
P
A
Q
x
O
H
B
(cid:9120) ③
A
x
B
6`cm
D
MH
C
(cid:9120) ③
18 삼각비 63
0620
△AEG에서 ∠AEG=90°이고
A
AE”=5 cm
EG”="√3¤ +4¤ =5(cm)
AG”="√3¤ +4¤ +5¤ =5'2(cm)
이므로
sin x=
AE”
AG”
=
5
5'2
= '2
2
5`cm
5Â2`cm
E
5`cm
x
G
(cid:100)(cid:100)AH”= _6=2'6(cm)
'6
3
∴ tan x=
AH”
BH”
=
2'6
2'3
='2
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지64 SinsagoHitec
0624
cos 30°_sin 45°-cos 45°_tan 30°
'3
2
'6
4
'2
= _ - _
2
'6
6
= - =
'2
2
'6
12
'3
3
0625
① sin 30°_tan 60°÷cos 45°
'2
= _'3÷ = _'2=
2
'3
2
1
2
'6
2
'2
2
4'3
3
'3
2
'3
2
② 2sin 60°-'2 sin 45°+tan 30°
=2_ -'2_ +
'3
3
='3-1+ =
'3
3
-1
③ '3 cos 30°='3_ =
3
2
1+cos 60°=1+ =
1
2
3
2
(cid:100)(cid:100)∴ '3 cos 30°=1+cos 60°
④ tan 30°= =
1
tan 60°
⑤ tan 45°÷cos 45°=1÷ =1_'2='2
'2
2
sin 45°=
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ tan 45°÷cos 45°+sin 45°
(cid:9120) ②, ⑤
0626
'3 sin 60°-
'3 cos 30°_tan 45°
'3 tan 60°
'3
2
1
'3_'3
='3_ -{'3_ _1}_
1
'3
'2
2
'3
2
1
2
= - =1
3
2
0627
sin 30°=
1
2
1
2
1
}2 -a_ -3=0
2
(cid:100)(cid:100) a=-2(cid:100)(cid:100)∴ a=-4
(cid:100)(cid:100)4_{
1
2
➊ sin 30°의 값을 구할 수 있다.
➋ a의 값을 구할 수 있다.
근과 계수의 관계에서
3
(cid:100)(cid:100) _k=- (cid:100)(cid:100)∴ k=-
4
1
2
3
2
(cid:100)(cid:100) +{- }= (cid:100)(cid:100)∴ a=-4
3
2
a
4
1
2
64 정답 및 풀이
0628
A=sin 60°+cos 30° = + ='3
B=tan 45°-cos 45° =1- =
'3
2
'3
2
2-'2
2
'2
2
2-'2
2
2
}
(cid:9120) ③
∴ A¤ +B¤ =('3)¤ +{
=3+
6-4'2
4
9
= -'2
2
(cid:9120) ③
(cid:9120) -2
0629
sin A+cos A=sin 60°+cos 60°=
sin A-cos A=sin 60°-cos 60°=
∴
1
sin A+cos A
-
1
sin A-cos A
'3+1
2
'3-1
2
=
=
-
2
'3-1
2
'3+1
2('3-1)-2('3+1)
('3+1)('3-1)
=-2
1
sin A+cos A
-
1
sin A-cos A
=
=
(sin A-cos A)-(sin A+cos A)
(sin A+cos A)(sin A-cos A)
-2 cos 60°
sin¤ 60°-cos¤ 60°
2
2
-2 cos A
sin¤ A-cos¤ A
=
1
2
={-2_ }÷[{
=(-1)_2=-2
'3
2
-{
}
1
2
}
]
0630
20°0
∴ "√(1-tan A)¤ =1-tan A
0667
0°0
∴ "√(cos x-1)¤ +"√(cos x+1)¤
=-(cos x-1)+(cos x+1)
=-cos x+1+cos x+1
=2
0668
0°0, sin A-cos A<0
∴ "√(cos A-sin A)¤ -"√(sin A-cos A)¤
=(cos A-sin A)-{-(sin A-cos A)}
=cos A-sin A+sin A-cos A
=0
(cid:9120) ①
(cid:9120) ④
(cid:9120) ⑤
… ➊
… ➋
(cid:9120) 0
40%
60%
18 삼각비 67
0661
⑤ tan A의 최솟값은 tan 0°=0이지만 tan 90°의 값은
정할 수 없으므로 tan A의 최댓값은 알 수 없다.
➊ cos A-sin A, sin A-cos A의 값의 부호를 알 수 있다.
(cid:9120) ⑤
➋ 식을 간단히 할 수 있다.
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지68 SinsagoHitec
0669
45°0, sin x-cos x>0
∴ "√(1-sin x)¤ +"√(sin x-cos x)¤
=(1-sin x)+(sin x-cos x)=1-cos x
즉 1-cos x= 이므로(cid:100)(cid:100)cos x=
1
2
1
2
∴ x=60°
0670
주어진 삼각비의 표에서
sin 74°=0.9613, tan 72°=3.0777
이므로(cid:100)(cid:100)x=74°, y=72°
∴ x+y=74°+72°=146°
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서
BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
△ABH에서
=
'3
2
sin B=
AH”
10
∴ AH”=5'3
∴ cos C=
CH”
AC”
=
'6
9
△ACH에서(cid:100)(cid:100)CH”="√9¤ -(5'3)¤ ='6
(cid:9120) 60°
A
H
10
9
B
C
(cid:9120) ②
0678
sin, cos의 뜻을 이용하여 직각삼각형을 그려 본다.
0671
cos 73°+tan 75°-sin 72°
sin A：cos A=
=0.2924+3.7321-0.9511=3.0734
(cid:9120) 3.0734
AB”
AC”
：
BC”
AC”
=BC”：AB”
=7：24
A
24
0672
⑤ tan 46°-sin 49°=1.0355-0.7547=0.2808 (cid:9120) ⑤
0673
sin 62°= =0.8829에서(cid:100)(cid:100)x=8.829
cos 62°= =0.4695에서(cid:100)(cid:100)y=4.695
x
10
y
10
∴ x+y=8.829+4.695=13.524
(cid:9120) 13.524
이므로 위의 그림과 같이
(cid:100)(cid:100)∠B=90°, AB”=24, BC”=7
인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있다.
(cid:100)(cid:100)∴ tan A=
7
24
∠A=54°이므로(cid:100)(cid:100)∠B=90°-54°=36°
0674
주어진 삼각비의 표에서 tan 36°=0.7265이므로
tan 36°=
=0.7265
AC”
50
∴ AC”=50_0.7265=36.325
… ➊
0679
의 좌표를 구한다.
tan A의 값과 △AOB의 넓이를 이용하여 두 점 A, B
tan A= 이므로 OA”=3k, OB”=4k(k>0)로 놓으면
4
3
직각삼각형 AOB에서
… ➋
(cid:9120) 36.325
AB”="√(3k)¤ +(4k)¤ =5k
OA”_OB”=AB”_OH”이므로
➊ ∠B의 크기를 구할 수 있다.
➋ AC”의 길이를 구할 수 있다.
20%
80%
OB”=cos x=0.7986
0675
주어진 삼각비의 표에서 cos 37°=0.7986이므로(cid:100)(cid:100)x=37°
AB”=sin 37°=0.6018, CD”=tan 37°=0.7536이므로
AB”+CD”=0.6018+0.7536=1.3554
(cid:9120) 1.3554
0676
∠BEF=∠HEF임을 이용한다.
점 F에서 AD”에 내린 수선의 발을 H라 하고
오른쪽 그림과 같이 점 F에서
AD”에 내린 수선의 발을 H라 하면
△BFE가 이등변삼각형이므로
BF”=BE”=ED”=4
BC'”=DC”=2이므로 △BC'F에서
A
B
C'
E
x
x
4
H
x
F
D
2
C
C'F”="√4¤ -2¤ =2'3
HD”=FC”=C'F”=2'3이므로(cid:100)(cid:100)EH”=ED”-HD”=4-2'3
따라서 △EFH에서
tan x=
HF”
EH”
=
2
4-2'3
=2+'3
68 정답 및 풀이
3k_4k=5k_1(cid:100)(cid:100)∴ k=
5
12
OA”=3k= , OB”=4k= 이므로
5
4
5
4
A{- , 0}, B{0,
5
3
5
3
}
따라서 직선의 방정식은(cid:100)(cid:100)y= x+
4
3
5
3
4
∴ a+b= + =3
3
5
3
△AOH에서(cid:100)(cid:100)tan A=
OH”
AH”
=
1
AH”
=
4
3
∴ AH”= (cid:100)(cid:100)∴ OA”=æ≠1¤ +
3
4
3
4
¤ =
}
5
4
{
△AOB에서(cid:100)(cid:100)tan A=
OB”
OA”
=
4
3
4
∴ OB”= _ =
3
5
4
5
3
5
따라서 A{- , 0}, B{0,
4
5
3
}이므로 직선의 방정식은
(cid:9120) ⑤
(cid:100)(cid:100)y= x+ (cid:100)(cid:100)∴ a+b= + =3
4
3
5
3
4
3
5
3
(cid:9120) '6
9
C
7
B
(cid:9120) ②
(cid:9120) ②
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지69 SinsagoHitec
먼저 DE”
¤ =AE”_CE”임을 이용하여 DE”의 길이를 구
삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°임을 이용하여 A
0683
의 크기를 구한다.
본책 112~115쪽
1
8
삼
각
비
삼각형의 세 내각의 크기를 a, 2a, 3a(a>0)라 하면 삼각
A
x y
16
E
4
C
y x
x
D
형의 세 내각의 크기의 합은 180°이므로
a+2a+3a=180°(cid:100)(cid:100)∴ a=30°
따라서 A=30°이므로
sin A : cos A : tan A=sin 30° : cos 30° : tan 30°
1
= :
2
'3
2
:
'3
3
='3 : 3 : 2
(cid:9120) ③
0684
점 E에서 BC”에 수선을 그어 △EBC의 높이를 구한다.
0680
한다.
직각삼각형 ADC에서
¤ =16_4=64
DE”
∴ DE”=8
B
직각삼각형 EDC에서
(cid:100)(cid:100)DC”="√8¤ +4¤ =4'å5
∠DCE=∠ADE=∠BAD=x, ∠EDC=∠EAD=y이므로
2'5
5
sin x=
=
=
DE”
DC”
=
8
4'5
8
4'5
8
= =2
4
=
2'5
5
cos y=
tan x=
DE”
DC”
DE”
CE”
∴ (sin x+cos y)tan x={
2'5
5
+
2'5
5
}_2=
8'5
5
(cid:9120)
8'5
5
직각삼각형의 닮음을 이용한 성질
① c¤ =ax
② b¤ =ay
③ h¤ =xy
c
x
A
b
h
y
C
D
a
B
0681
두 점 M, C에서 각각 BC”, BM”에 수선을 긋는다.
'3
BM”=CM”= _12=6'3
2
점 M에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하
면
MH”="√(6'3 )¤ -6¤ =6'2
점 C에서 BM”에 내린 수선의 발을 I라 하면
A
M
x
D
12
I
B
H
C
1
△BCM= _BC”_MH”
2
= _BM”_CI”
1
2
1
_12_6'2= _6'3_CI”
2
이므로
1
2
∴ CI”=4'6
∴ sin x=
CI”
CM”
=
4'6
6'3
=
2'2
3
OA”=OC”이므로 △PAO에서
=
OP”
OA”
tan 30°=
OP”
OC”
∴ OP” : OC”=1 : '3
=
1
'3
0682
△PAO에서 tan 30°를 선분의 길이의 비로 나타낸다.
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ②
D
A
E
60æ
60æ
x
45æ
H
10
C
△DBC에서
BC”
10
(cid:100)(cid:100)tan 60°= ='3(cid:100)(cid:100)∴ BC”=10'3
오른쪽 그림과 같이 점 E에서 BC”에
내린 수선의 발을 H라 하고 EH”=x
라 하면 △ECH에서
tan 45°=
=1
x
CH”
B
이므로
(cid:100)(cid:100)CH”=x(cid:100)(cid:100)∴ BH”=10'3-x
△EBH에서
(cid:100)(cid:100)tan 60°=
BH”
EH”
=
10'3-x
x
='3
10'3-x='3x,(cid:100)(cid:100)('3+1)x=10'3
∴ x=
=5(3-'3)
10'3
'3+1
1
2
∴ △EBC= _10'3_5(3-'3)
=75('3-1)
0685
이를 구한다.
오른쪽 그림과 같이 두 점
A, D에서 BC”에 내린 수선의 발
을 각각 E, F라 하자.
△ABE에서
=
AE”
10
sin 60°=
'3
2
(cid:100)(cid:100)∴ AE”=5'3(cm)
1
2
또 cos 60°=
BE”
10
(cid:100)(cid:100)BE”=5(cm)
CF”=BE”=5cm이므로
= 이므로
AD”=EF”=20-2_5=10(cm)
1
∴ (cid:8772)ABCD= _(10+20)_5'3
2
=75'3(cm¤ )
두 점 A, D에서 BC”에 수선을 그어 등변사다리꼴의 높
(cid:9120) 75('3-1)
A
10`cm
D
5Â3`cm
E
10`cm
F
C
5`cm
10`cm
60æ
B
5`cm
(cid:9120) ③
18 삼각비 69
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지70 SinsagoHitec
0686
크기가 75°인 각이 있는 직각삼각형을 찾는다.
△CAB에서
tan 30°=
4
AB”
∴ AB”=4'3
=
'3
3
△BAE에서 AE”=BE”이므로
∠BAE=∠ABE=45°
sin 45°=
= 이므로
'2
2
BE”
4'3
BE”=2'6
△CFB에서
C
F
4
B
45æ
45æ
45æ
G
30æ
45æ
D
A
③ tan x=
=DE”, tan y=
DE”
BD”
BD”
DE”
=
1
DE”
이므로
(cid:100)(cid:100)tan x_tan y=DE”_
1
DE”
④ x의 크기가 작아지면 y의 크기는 커지므로 tan y의 값은 커
=1
진다.
E
⑤ y의 크기가 커지면 x의 크기는 작아지므로 sin x의 값은 작
(cid:9120) ⑤
아진다.
△EBD에서(cid:100)(cid:100)x+y=90°
따라서 x의 크기가 커지면 y의 크기는 작아지고, x의 크기가 작
아지면 y의 크기는 커진다.
(cid:100)(cid:100)sin 45°=
CF”
4
'2
2
= (cid:100)(cid:100)∴ CF”=2'2
∴ CD”=CF”+FD”=CF”+BE”
=2'2+2'6=2('2+'6)
AE”=BE”=2'6, DE”=FB”=CF”=2'2이므로
(cid:100)(cid:100)AD”=AE”-DE”=2'6-2'2=2('6-'2)
△CAD에서
tan 75°=
CD”
AD”
=
2('6+'2)
2('6-'2)
=2+'3
(cid:9120) ②
0687
sin 30°, cos 30°의 값을 주어진 일차방정식에 대입한다.
sin 30°= , cos 30°= 을 주어진 일차방정식에 각각
1
2
'3
2
대입하여 정리하면
2
'3
(cid:100)(cid:100)2x+ y=2(cid:100)(cid:100)∴ y=-'3x+'3
오른쪽 그림에서
tan a=
OB”
OA”
이므로(cid:100)(cid:100)a=60°
='3
sin¤ a+cos (a-60°)
tan¤ a
∴
=
sin¤ 60°+cos 0°
tan¤ 60°
2
=[{
'3
2
+1]_
}
1
('3 )¤
=
7
12
y
B
Â3
y=-Â3x+Â3
1a
A
x
O
0688
길이의 비로 나타낸다.
∠BAC=∠BED임을 이용하여 삼각비의 값을 선분의
AC”∥ED”이므로(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BED=y (동위각)
① cos y=cos (∠BAC)=
=AC”
② cos x=
=BC”
BC”
AB”
sin y=sin (∠BAC)=
=BC”
(cid:100)(cid:100)∴ cos x=sin y
AC”
AB”
BC”
AB”
70 정답 및 풀이
0689
하여 주어진 식을 간단히 한다.
삼각비의 값의 대소를 비교한 후 제곱근의 성질을 이용
45°0, cos A-sin A<0
∴ "√(sin A+cos A)¤ +"√(cos A-sin A)¤
=(sin A+cos A)-(cos A-sin A)
=sin A+cos A-cos A+sin A
=2 sin A=
∴ sin A=
30
17
15
17
45°0)로 놓으면
(cid:100)(cid:100)OA”="√(5k)¤ -(3k)¤ =4k
일차함수의 그래프의 기울기는
(cid:100)(cid:100)
OB”
OA”
3k
= =
4k
3
4
… ➍
(cid:9120) 풀이 참조
3
구하는 일차함수의 식을 y= x+b로 놓으면 이 그래프가 점
4
(cid:100) (cid:100)(cid:100)CD”
⑵ AD”=x라 하면 BD”=5-x이므로
¤ =(4'5)¤ -x¤
=('ß65)¤ -(5-x)¤
(cid:100) (cid:100)(cid:100)10x=40(cid:100)(cid:100)∴ x=4
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ CD”="√(4'5)¤ -4¤
=8
⑶ sin A=
(cid:100) cos A=
(cid:100) tan A=
2'5
5
'5
5
CD”
AC”
AD”
AC”
CD”
AD”
=
=
=
8
4'5
4
4'5
8
= =2
4
=
➊ AB”, BC”, CA”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AD”의 길이를 구할 수 있다.
➌ CD”의 길이를 구할 수 있다.
➍ sin A, cos A, tan A의 값을 구할 수 있다.
0692
먼저 tan x=;3@;임을 이용하여 BC”의 길이를 구한다.
(cid:100)(cid:100)y= x+
7
2
△ABC에서(cid:100)(cid:100)tan x=
12
BC”
=
2
3
∴ BC”=18
AD”=BD”=a라 하면 CD”=18-a이므로 △ADC에서
a¤ =(18-a)¤ +12¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=13
∴ AD”=BD”=13, CD”=5
(cid:100)(cid:100)∴ cos y=
CD”
AD”
=
5
13
0695
직각삼각형의 닮음을 이용하여 크기가 같은 각을 찾는다.
30%
30%
10%
30%
(2, 5)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)5= +b
(cid:100)(cid:100)∴ b=
7
2
따라서 구하는 일차함수의 식은
3
2
3
4
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120)
5
13
40%
40%
20%
… ➋
(cid:9120) '∂23
11
70%
30%
➊ 일차함수의 그래프의 기울기를 구할 수 있다.
➋ 일차함수의 그래프의 y절편을 구할 수 있다.
➌ 일차함수의 식을 구할 수 있다.
△ABCª△EBD (AA 닮음)이므로
직각삼각형 ABC에서
BC”="√9¤ +12¤ =15
∠BCA=∠BDE=x
∴ cos x=
AC”
BC”
=
12
15
△ABCª△GFC (AA 닮음)이므로
∠ABC=∠GFC=y
∴ sin y=
AC”
BC”
=
12
15
=
4
5
=
4
5
∴ cos x-sin y= - =0
4
5
4
5
➊ BC”의 길이를 구할 수 있다.
➋ cos x의 값을 구할 수 있다.
➌ sin y의 값을 구할 수 있다.
➍ cos x-sin y의 값을 구할 수 있다.
(cid:9120) y= x+
3
4
7
2
… ➊
… ➋
… ➌
50%
30%
20%
… ➊
… ➋
… ➌
… ➍
(cid:9120) 0
10%
40%
40%
10%
18 삼각비 71
➊ BC”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AD”, CD”의 길이를 구할 수 있다.
➌ cos y의 값을 구할 수 있다.
0693
sin(90°-A)=;1!2!;을 만족시키는 직각삼각형을 그린다.
11
sin (90°-A)= 이므로 오른쪽
12
그림과 같이
∠B=90°, AB”=11, AC”=12
인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있다.
이때 BC”="√12¤ -11¤ ='ß23이므로
'ß23
11
(cid:100)(cid:100)tan A=
90æ-A
12
11
C
B
… ➊
A
➊ 조건을 만족시키는 직각삼각형을 그릴 수 있다.
➋ tan A의 값을 구할 수 있다.
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지72 SinsagoHitec
0696
삼각형의 내심의 성질을 이용하여 ∠A의 크기를 구한다.
특수한 각의 삼각비를 이용하여 변의 길이를 구할 수
점 I가 △ABC의 내심이므로
∠BIC=90°+ ∠A
105°=90°+ ∠A
1
2
1
2
∴ ∠A=30°
∴ sin A+cos¤ A-tan¤ A
`=sin 30°+cos¤ 30°-tan¤ 30°
1
= +{
2
'3
2
2
}
-{
'3
3
2
}
=
11
12
➊ ∠A의 크기를 구할 수 있다.
➋ sin A+cos¤ A-tan¤ A의 값을 구할 수 있다.
삼각형의 내심의 활용
점 I가 삼각형 ABC의 내심일 때,
(cid:100)(cid:100)∠BIC=90°+
∠A
;2!;
A
I
B
C
0697
길이를 구한다.
30°의 삼각비의 값을 이용하여 AD”, AC”, AB”, BC”의
△EAD에서(cid:100)(cid:100)cos 30°=
AD”
8
=
'3
2
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=4'3(cm)
△DAC에서(cid:100)(cid:100)cos 30°=
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=6(cm)
△CAB에서(cid:100)(cid:100)cos 30°=
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=3'3(cm)
△CAB에서(cid:100)(cid:100)sin 30°=
=
'3
2
AC”
4'3
AB”
6
=
'3
2
BC”
6
=
1
2
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=3(cm)
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC= _3'3_3=
1
2
9'3
2
(cm¤ )
➊ AD”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AC”의 길이를 구할 수 있다.
➌ AB”의 길이를 구할 수 있다.
➍ BC”의 길이를 구할 수 있다.
➎ △ABC의 넓이를 구할 수 있다.
72 정답 및 풀이
E
60æ
C
45æ
A
60æ
6
45æ
H
F
B
60æ
D
… ➊
0698
있도록 점 B에서 AF”에 수선을 긋는다.
오른쪽 그림과 같이 점 B에서 AF”에
내린 수선의 발을 H라 하면 △AHB에서
'2
2
= (cid:100)(cid:100)∴ AH”=3'2
cos 45°=
AH”
6
sin 45°=
BH”
6
'2
2
= (cid:100)(cid:100)∴ BH”=3'2
또 △BHF에서
(cid:100)(cid:100)tan 60°=
3'2
FH”
(cid:100)(cid:100)∴ AF”=AH”+FH”=3'2+'6
△ABC에서
='3(cid:100)(cid:100)∴ FH”='6(cid:100)(cid:100)
='3
(cid:100)(cid:100)tan 60°=
AC”
6
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=6'3
△EACª△FAB(AA 닮음)이므로
(cid:100)(cid:100)AC” : AB”=EA” : FA”
(cid:100)(cid:100)6'3 : 6=EA” : (3'2+'6)
(cid:100)(cid:100)∴ EA”=3'2+3'6
(cid:100)(cid:100)∴ EF”=EA”+AF”
=(3'2+3'6)+(3'2+'6)
=6'2+4'6
➊ AF”의 길이를 구할 수 있다.
➋ EA”의 길이를 구할 수 있다.
➌ EF”의 길이를 구할 수 있다.
0699
만족시키는 A의 크기를 구한다.
주어진 이차방정식을 풀어 sin A의 값을 구한 후, 이를
2x¤ +x-1=0에서(cid:100)(cid:100)(x+1)(2x-1)=0
0°0)
라 하면
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABCD=2a_3a_sin 45°
7
(cid:9120) cm
4
'2
=2a_3a_ =3'2a¤ (cm¤ )
2
3'2a¤ =8'2에서(cid:100)(cid:100)a¤ =
2'6
3
(cid:100)(cid:100)∴ a=
(∵ a>0)
8
3
따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는
2'6
3
2(2a+3a)=10a=10_
=
20'6
3
(cm)
0800
긋는다.
추가 가장 높이 올라갔을 때의 지점에서 AB”에 수선을
⑴ 오른쪽 그림과 같이 점 C에서 AB”에
내린 수선의 발을 H라 하면 AB”에서 추까
지의 수평 거리는 CH”의 길이와 같으므로
(cid:100)(cid:100)CH”=40 sin 30°
(cid:9120) ③
A
H
B
30æ
40`cm
C
… ➊
19 삼각비의 활용 81
(cid:9120)
3
5
=40_
1
2
=20(cm)
(047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지82 SinsagoHitec
⑵ 오른쪽 그림에서 추의 높이는 BH”의 길이와
A
0803
△ABC의 넓이를 이용하여 AB”의 길이를 구한다.
같다. 이때
(cid:100)(cid:100)AH”=40 cos 25°=40_0.9=36(cm)
이므로(cid:100)(cid:100)BH”=40-36=4(cm) … ➋
(cid:9120) ⑴ 20cm(cid:100)⑵ 4cm
40`cm
40`cm
25æ
H
C
B
➊ 가장 높이 올라갔을 때의 수평 거리를 구할 수 있다.
➋ 오른쪽으로 25°만큼 움직였을 때의 추의 높이를 구할 수 있다.
40%
60%
0801
△AFC가 어떤 삼각형인지 알아본다.
△DGH에서(cid:100)(cid:100)DH”=6 tan 60°=6'3
△CFG에서 CG”=DH”=6'3이므로
=6'3_'2=6'6
AB”=GH”=6, BC”=FG”=CG”=6'3이므로 △ABC에서
6'3
sin 45°
FC”=
… ➊
AC”="√6¤ +(6'3)¤ =12
마찬가지로 △ABF에서 AF”=12이므로 △AFC는 이등변삼각
형이다. 오른쪽 그림과 같이 점 A에서
FC”에 내린 수선의 발을 M이라 하면
(cid:100)(cid:100)FM”=CM”=3'6
△AFM에서
(cid:100)(cid:100)AM”="√12¤ -(3'6)¤ =3'∂10 … ➌
M
6Â6
… ➋
12
12
A
C
F
x
∴ tan x=
AM”
FM”
=
3'∂10
3'6
=
'ß15
3
➊ FC”의 길이를 구할 수 있다.
➋ FM”의 길이를 구할 수 있다.
➌ AM”의 길이를 구할 수 있다.
➍ tan x의 값을 구할 수 있다.
0802
로 나타낸다.
AH”=h cm로 놓고 BH”, CH”의 길이를 h에 대한 식으
AH”=h cm라 하면 ∠BAH=60°, ∠CAH=45°이므로
BH”=h tan 60°='3h (cm)
CH”=h tan 45°=h (cm)
'3h-h=3이므로(cid:100)(cid:100)('3-1)h=3
3('3+1)
2
∴ h=
… ➊
… ➋
∴ MH”=MC”+CH”= +
3
2
3('3+1)
2
=3+
(cm)
3'3
2
… ➌
(cid:9120) {3+
3'3
2
cm
}
… ➍
(cid:9120) 'ß15
3
20%
40%
20%
20%
△ABC= _5_AB”_sin 60°=10'3이므로
1
2
(cid:100)(cid:100)
5'3
4
AB”=10'3(cid:100)(cid:100)∴ AB”=8(cm)
오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에 내린 수
선의 발을 H라 하면
… ➊
A
AH”=8 sin 60°=8_ =4'3(cm)
BH”=8 cos 60°=8_ =4(cm)
'3
2
1
2
8`cm
B
60æ
5`cm
C
H
CH”=5-4=1(cm)이므로
AC”="√(4'3)¤ +1¤ =7(cm)
➊ AB”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AC”의 길이를 구할 수 있다.
평행사변형의 이웃하는 두 내각의 크기의 합은 180°임
0804
을 이용하여 ∠A, ∠D의 크기를 구한다.
∠A : ∠D=3 : 1이므로
∠A=180°_ =135°, ∠D=180°_ =45°
… ➊
1
4
∴ △OCD= (cid:8772)ABCD
3
4
1
4
1
4
1
4
= _(3_4_sin 45°)
= _{3_4_ }=
'2
2
3'2
2
➊ ∠A, ∠D의 크기를 구할 수 있다.
➋ △OCD의 넓이를 구할 수 있다.
0805
△AOD의 넓이를 이용하여 AO”의 길이를 구한다.
∠AOD=180°-120°=60°이므로
△AOD= _AO”_6_sin 60°=18'3
1
2
3'3
2
AO”=18'3(cid:100)(cid:100)∴ AO”=12
AC”=12+6=18, AC”+BD”=40이므로(cid:100)(cid:100)BD”=22
∴ (cid:8772)ABCD= _18_22_sin 60°
1
2
1
2
= _18_22_ =99'3
'3
2
… ➋
(cid:9120) 7 cm
40%
60%
… ➋
(cid:9120)
3'2
2
40%
60%
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 99'3
40%
20%
40%
➊ BH”, CH”의 길이를 h에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
➋ h의 값을 구할 수 있다.
➌ MH”의 길이를 구할 수 있다.
20%
50%
30%
➊ AO”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AC”, BD”의 길이를 구할 수 있다.
➌ (cid:8772)ABCD의 넓이를 구할 수 있다.
82 정답 및 풀이
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:31 PM 페이지83 SinsagoHitec
원과 직선
20
0806
(cid:9120) ㈎ OB” ㈏ RHS ㈐ BM”
0807
AH”="√10¤ -6¤ =8(cm)이므로
x=2_8=16
0808
AH”="√9¤ -5¤ =2'∂14(cm)이므로
x=2_2'∂14=4'∂14
0809
AH”= _8=4(cm)이므로
1
2
x="√5¤ -4¤ =3
0810
AH”= _20=10(cm)이므로
1
2
x="√10¤ +10¤ =10'2
0824
CE”=CF”=AC”-AF”=AC”-AD”=10-x
본책 135~142쪽
(cid:9120) 10-x
2
0
원
과
직
선
0825
BC”=BE”+CE”이므로
12=(8-x)+(10-x),(cid:100)(cid:100)2x=6(cid:100)(cid:100)∴ x=3
(cid:9120) 3
∠ODB=∠OEB=90°이므로 (cid:8772)DBEO는 직사각형이
0826
고, OD”=OE”=r에서 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로
(cid:8772)DBEO는 정사각형이다.
(cid:9120) 풀이 참조
(cid:9120) 16
(cid:9120) 4'∂14
0827
AC”="√12¤ +5¤ =13
0828
DB”=EB”=r이므로
(cid:9120) 3
AF”=AD”=5-r, CF”=CE”=12-r
0829
AC”=AF”
”+CF”이므로
(cid:9120) 10'2
13=(5-r)+(12-r),(cid:100)(cid:100)2r=4(cid:100)(cid:100)∴ r=2
(cid:9120) 2
(cid:9120) AF”=5-r, CF”=12-r
0811
(cid:9120) 7
0812
(cid:9120) 2
x+12=7+15이므로(cid:100)(cid:100)x=10
0813
x=2_6=12
(cid:9120) 12
7+11=x+15이므로(cid:100)(cid:100)x=3
0830
0831
0814
2x=12이므로(cid:100)(cid:100)x=6
AB”=CD”=2_4=8(cm)이므로(cid:100)(cid:100)x=6
CD”=2_8=16(cm)이므로(cid:100)(cid:100)x=7
(cid:9120) 6
(cid:9120) 6
(cid:9120) 7
점 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 직각삼각
0832
형 AHO에서(cid:100)(cid:100)AH”="√7¤ -3¤ =2'ß10(cm)
∴ AB”=2 AH”=4'ß10(cm)
0833
AH”= AB”=5(cm)이므로 원 O의 반지름의 길이를
1
2
㈀ AB”=2 AM”=2DN”=CD”
0817
㈁ AB”=CD”이므로(cid:100)(cid:100)OM”=ON”
㈂ AB”=CD”이므로(cid:100)(cid:100)∠AOB=∠COD
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ μAB=μ CD
rcm라 하면 직각삼각형 OAH에서
r="√5¤ +5¤ =5'2
따라서 원 O의 둘레의 길이는
2p_5'2=10'2p(cm)
㈄ △OAB= _AB”_OM”= _CD”_ON”=△OCD
1
2
1
2
이상에서 옳지 않은 것은 ㈃, ㈅이다.
(cid:9120) ㈃, ㈅
오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에
0834
서 CD”에 내린 수선의 발을 E라 하면
(cid:9120) 13
(cid:9120) 10
(cid:9120) 3
(cid:9120) ④
(cid:9120) ④
∠PAO=∠PBO=90°이므로 (cid:8772)APBO에서
직각삼각형 COE에서
(cid:9120) ㈎ ∠PBO ㈏ OB” ㈐ RHS ㈑ PB”
90°+∠x+90°+120°=360°
∴ ∠x=60°
0820
∠PAO=∠PBO=90°이므로 (cid:8772)APBO에서
90°+70°+90°+∠x=360°
∴ ∠x=110°
0821
PT”=PT'”=6cm
0822
△TPO는 직각삼각형이므로
PO”="√6¤ +4¤ =2'∂13(cm)
0823
BE”=BD”=8-x
(cid:9120) 60°
(cid:9120) 110°
(cid:9120) 6cm
(cid:9120) 2'∂13 cm
(cid:9120) 8-x
OC”=5cm
CE”= CD”=2(cm)
1
2
OE”="√5¤ -2¤ ='ß21(cm)
1
∴ △COD= _4_'ß21=2'ß21(cm¤ )
2
➊ OE”의 길이를 구할 수 있다.
➋ △COD의 넓이를 구할 수 있다.
구하는 거리는 오른쪽 그림에서 OH”
0835
의 길이와 같으므로 직각삼각형 OAH에서
15`cm
O
OH”="√15¤ -9¤ =12(cm)
C
E
D
2`cm
A
O
10`cm
B
… ➊
… ➋
(cid:9120) 2'ß21cm¤
70%
30%
9`cm
B
H
(cid:9120) ④
A
9`cm
20 원과 직선 83
0815
0816
0818
0819
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:31 PM 페이지84 SinsagoHitec
0836
DN”= CD”=4이므로 직각삼각형 DON에서
CM”=x cm라 하면 직각삼
C
x`cm
(cid:100)(cid:100)OD”="√2¤ +4¤ =2'5
OA”=OD”=2'5이므로 직각삼각형 AMO에서
AM”="√(2'5)¤ -3¤ ='∂11
∴ AB”=2AM”=2'∂11
각형 AOM에서
15¤ =(15-x)¤ +12¤
x¤ -30x+144=0
(x-6)(x-24)=0
∴ x=6 (∵ 00)
r
2
2
}
+6¤
1
2
1
2
1
2
8`cm
O
A
4`cm
M
B
(cid:9120) ⑤
6`cm
A
M
r`cm
B
O
cmr
2
(cid:9120) ④
P
Q
B
M
3`cm
A
6`cm
O
오른쪽 그림과 같이 원의 중심
0843
을 O라 하면 직각삼각형 AOM에서
OM”="√15¤ -12¤ =9(cm)
∴ CM”=15-9=6(cm)
12`cm
A
15`cm
C
O
M
0848
원 O의 반지름의 길이가 6cm이므로
B
OA”=6cm, OM”= OA”=3(cm)
직각삼각형 AOM에서
(cid:9120) ①
AM”="√6¤ -3¤ =3'3(cm)
… ➊
84 정답 및 풀이
84 정답 및 풀이
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:31 PM 페이지85 SinsagoHitec
PQ”=MQ”= OM”= (cm)이므로
1
2
3
2
△PAQ= _ _3'3=
1
2
3
2
9'3
4
(cm¤ )
➊ AM”의 길이를 구할 수 있다.
➋ PQ”의 길이를 구할 수 있다.
➌ △PAQ의 넓이를 구할 수 있다.
(cid:9120)
9'3
4
cm¤
… ➋
… ➌
50%
30%
20%
따라서 CD”=2DN”=12(cm)이므로
△OCD= _12_8=48(cm¤ )
(cid:9120) ③
본책 142~146쪽
2
0
원
과
직
선
0855
오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O
에서 CD”에 내린 수선의 발을 M이라 하면
A
(cid:100)(cid:100)CM”= CD”=6(cm)
… ➊
B
1
2
10`cm
O
20`cm
OC”=10 cm이므로 직각삼각형 OMC에서
OM”="√10¤ -6¤ =8(cm)
따라서 두 현 사이의 거리는 16 cm이다.
C
6`cm
M
D
… ➋
… ➌
(cid:9120) 16 cm
30%
50%
20%
1
2
1
2
오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에
0849
서 AB”에 내린 수선의 발을 M이라 하면
AM”= AB”=12(cm)
CM”= CD”=7(cm)
O
M
A
C
B
D
∴ AC”=AM”-CM”=12-7=5(cm)
(cid:9120) 5 cm
➊ CM”의 길이를 구할 수 있다.
➋ OM”의 길이를 구할 수 있다.
➌ 두 현 사이의 거리를 구할 수 있다.
OM”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=AC”
0856
즉 △ABC가 이등변삼각형이므로
∠ABC= _(180°-50°)=65°
(cid:9120) ④
0850
AB” : CD”=2 : 1이므로
40 : CD”=2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ CD”=20(cm)
오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 AB”에
내린 수선의 발을 M이라 하면
BM”= AB”=20(cm)
DM”= CD”=10(cm)
O
A
C
M
D
B
OM”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=AC”
0857
즉 △ABC가 이등변삼각형이므로
∠BAC=180°-2_50°=80°
따라서 (cid:8772)AMON에서
∴ BD”=BM”-DM”=20-10=10(cm)
(cid:9120) 10 cm
∠MON=360°-(80°+90°+90°)=100°
(cid:9120) 100°
1
2
1
2
1
2
1
2
0851
OB”=OA”=7cm이므로 직각삼각형 OMB에서
MB”="√7¤ -2¤ =3'5(cm)
MD”=3'5-'5=2'5(cm)이므로 직각삼각형 OMD에서
OD”="√2¤ +(2'5)¤ =2'6(cm)
따라서 작은 원의 넓이는
p_(2'6)¤ =24p(cm¤ )
0852
직각삼각형 AMO에서(cid:100)(cid:100)AM”="√(3'2)¤ -3¤ =3(cm)
∴ AB”=2 AM”=6(cm)
이때 OM”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)CD”=AB”=6 cm
(cid:9120) ④
0853
AM”=BM”이므로(cid:100)(cid:100)x=4
OM”=ON”에서 CD”=AB”이므로(cid:100)(cid:100)y=8
∴ x+y=12
0854
오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O
에서 CD”에 내린 수선의 발을 N이라 하
면 AB”=CD”이므로
A
M
10`cm
8`cm
O
B
ON”=OM”=8cm
직각삼각형 OND에서
DN”="√10¤ -8¤ =6(cm)
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) 12
D
N
C
△ABC에서 AM”=BM”, AN”=CN”이므로 삼각형의
0858
두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여
BC”=2MN”=12(cm)
OM”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=AC”=2AM”=10(cm)
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
AB”+BC”+AC”=10+12+10=32(cm)
(cid:9120) ③
0859
OM”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=AC”
1
∴ ∠ABC=∠ACB= _(180°-60°)=60°
2
즉 △ABC는 정삼각형이다.
③ BM”=6 cm이므로 직각삼각형 OMB에서
(cid:100)(cid:100)BM” : OB”='3 : 2,(cid:100)(cid:100)6 : OB”='3 : 2
(cid:100)(cid:100)∴ OB”=4'3 (cm)
④ OM” : BM”=1 : '3에서(cid:100)(cid:100)OM” : 6=1 : '3
(cid:100)(cid:100)∴ OM”=2'3 (cm)
'3
4
⑤ △ABC= _12¤ =36'3 (cm¤ )
한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이는(cid:100)(cid:100) a¤
'3
4
(cid:9120) ③
20 원과 직선 85
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:31 PM 페이지86 SinsagoHitec
0860
OD”=OE”=OF”이므로
AB”=BC”=CA”
즉 △ABC는 정삼각형이다.
∠BAC=60°이므로
(cid:100)(cid:100)∠DAO= _60°=30°
1
2
… ➊
30æ
A
6`cm
D
F
O
E
B
C
AD”= AB”=3(cm)이고 직각삼각형 ADO에서
1
2
AD”：AO”='3：2,(cid:100)(cid:100)3：AO”='3：2
(cid:100)(cid:100)∴ AO”=2'3 (cm)
따라서 구하는 원 O의 넓이는
p_(2'3)¤ =12p(cm¤ )
0864
오른쪽 그림에서
OT”=5'3 cm, ∠PTO=90°
∠POT=2_30°=60°
이므로 △OPT에서
(cid:100)(cid:100)OT” : PT”=1 : '3
(cid:100)(cid:100)5'3 : PT”=1 : '3
(cid:100)(cid:100)∴ PT”=15(cm)
B
5Â3`cm
O
30æ
A
60æ
30æ
T
P
(cid:9120) ③
… ➋
∠PAC=90°이므로(cid:100)(cid:100)∠PAB=90°-18°=72°
0865
이때 PA”=PB”에서 △APB는 이등변삼각형이므로
∠APB=180°-2_72°=36°
(cid:9120) ③
0866
PA”=PB”에서 △APB는 이등변삼각형이므로
∠PAB= _(180°-52°)=64°
(cid:9120) 64°
1
2
… ➌
(cid:9120) 12p cm¤
30%
50%
20%
➊ △ABC가 정삼각형임을 알 수 있다.
➋ 원 O의 반지름의 길이를 구할 수 있다.
➌ 원 O의 넓이를 구할 수 있다.
AE”= _6=3'3 (cm)
'3
2
점 O는 정삼각형 ABC의 무게중심이므로
AO”= AE”=2'3 (cm)
2
3
따라서 구하는 원 O의 넓이는 12p cm¤ 이다.
삼각형의 무게중심은 세 중선의 길이를 각 꼭짓점으로부터 2：1로
나눈다.
오른쪽 그림에서 ∠PTO=90°
0861
이므로 원 O의 반지름의 길이를 rcm라
하면 직각삼각형 OPT에서
(r+6)¤ =r¤ +12¤
12r=108(cid:100)(cid:100)∴ r=9
6`cm r`cm
A
P
12`cm
O
r`cm
T
∠OTP=90°이고 OT”=6cm이므로 직각삼각형 OPT
0862
에서
(cid:100)(cid:100)PT”="√8¤ -6¤ =2'7(cm)
0863
1
2
1
2
△OPT는 ∠OTP=90°인 직각삼각형이므로
_PT”_OT”=5'6
즉 _2'6_OT”=5'6이므로(cid:100)(cid:100)OT”=5(cm)
따라서 원 O의 넓이는(cid:100)(cid:100)p_5¤ =25p(cm¤ )
(cid:9120) ④
(cid:9120) ④
… ➊
… ➋
(cid:9120) 25p cm¤
70%
30%
➊ OT”의 길이를 구할 수 있다.
➋ 원 O의 넓이를 구할 수 있다.
86 정답 및 풀이
0867
① PB”=PA”=8cm
② ∠PAO=∠PBO=90°
③ AB”의 길이는 알 수 없다.
④ ∠PAO=∠PBO=90°이므로 (cid:8772)APBO에서
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∠AOB+∠APB=360°-(90°+90°)=180°
⑤ △APO와 △BPO에서
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∠PAO=∠PBO=90°,
(cid:100) (cid:100)(cid:100)PO”는 공통, OA”=OB”
(cid:100) 이므로(cid:100)(cid:100)△APO≡△BPO(RHS 합동)
0868
PA”=PB”에서 △APB는 이등변삼각형이므로
1
∠PAB=∠PBA= _(180°-60°)=60°
2
즉 △APB는 정삼각형이므로
△APB= _4¤ =4'3(cm¤ )
'3
4
(cid:9120) ③
(cid:9120) 4'3 cm¤
… ➊
… ➋
70%
30%
➊ △APB가 정삼각형임을 알 수 있다.
➋ △APB의 넓이를 구할 수 있다.
△APB= _4_4_sin60°=4'3(cm¤ )
1
2
∠OTP=∠OT'P=90°이므로
0869
(cid:100)(cid:100)∠TOT'=180°-70°=110°
따라서 색칠한 부채꼴의 중심각의 크기는 360°-110°=250°이
므로 구하는 넓이는(cid:100)(cid:100)p_6¤ _
=25p (cm¤ )
(cid:9120) ②
250
360
오른쪽 그림에서
0870
∠PAO=90°이므로
∠CAO=90°-35°=55°
이때 AC”=BC”이고 OA”=OB”이므로
P
C
110æ
O
A
35æ
55æ
B
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:31 PM 페이지87 SinsagoHitec
(cid:8772)ACBO에서(cid:100)(cid:100)∠CAO=∠CBO
∴ ∠AOB=360°-(55°+110°+55°)
=140°
∴ ∠APB=180°-140°=40°
(cid:9120) ①
△ACB는 AC”=BC”인 이등변삼각형이므로
∠CAB= _(180°-110°)=35°
1
2
∠PAB=35°+35°=70°이고 △APB는 이등변삼각형이므로
∠APB=180°-2_70°=40°
∠PAO=90°이므로 직각삼각형 APO에서
0875
(cid:100)(cid:100)PO”="√8¤ +4¤ =4'5(cm)
또 PO”⊥AH”이므로
(cid:100)(cid:100)AP”_AO”=PO”_AH”,(cid:100)(cid:100)8_4=4'5_AH”
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=
(cm)
8'5
5
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2AH”=
(cm)
16'5
5
직각삼각형 APO에서 PO”=13cm, OA”=OB”=5cm
0871
이므로(cid:100)(cid:100)PA” ="√13¤ -5¤ =12 (cm)
(cid:9120) ⑤
➊ PO”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AH”의 길이를 구할 수 있다.
➌ AB”의 길이를 구할 수 있다.
2
0
원
과
직
선
본책 146~150쪽
… ➊
… ➋
… ➌
40%
40%
20%
(cid:9120)
16'5
5
cm
∠APB=60°, PA”=PB”이므로 △APB는 정삼각형이다.
CF”=xcm라 하면 CE”=CF”=xcm이므로
① (cid:8772)OAPB는 정사각형이므로
(cid:100)(cid:100)CE”=CF”
A
B
3
3
P
0878
CE”=CA”, DE”=DB”이므로 △PCD의 둘레의 길이는
PC”+PD”+CD”=PA”+PB”=2PB”
=2_(4+2)=12(cm)
(cid:9120) 12cm
∠AOP=60°, ∠PAO=90°이
0872
므로 직각삼각형 APO에서
AO” : PA”=1 : '3
4 : PA”=1 : '3
∴ PA”=4'3(cm)
60æ
P
4`cm
60æ
O
60æ
A
B
∴ AB”=PA”=4'3 cm
오른쪽 그림과 같이 원의 중심
O에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)∠AOH=60°
△OAH에서(cid:100)(cid:100)AH” : OA”='3 : 2
P
AH” : 4= '3 :2
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=2'3(cm)(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2AH”=4'3(cm)
0873
(cid:100) (cid:100)(cid:100)OP”='2_3=3'2
② OA”=PB”=3
1
2
③ △APB= _3_3=
9
2
④ μAB=2p_3_
90
360
3
= p
2
⑤ (cid:8772)OAPB=3_3=9
(cid:9120) 4'3 cm
A
60æ
O
4`cm
H
B
O
(cid:9120) ③
A
∠OAP=90°, ∠OPA=30°이
0874
므로 직각삼각형 AOP에서
OA”：AP”=1：'3
OA”：6=1：'3
∴ OA”=2'3(cm)
∴ △AOB=(cid:8772)AOBP-△ABP=2△AOP-△ABP
6`cm
30æ
O
B
P
1
2
'3
=2_{ _2'3_6}- _6¤
4
=12'3-9'3=3'3(cm¤ )
∠AOB=120°이므로
(cid:9120) 3'3 cm¤
△AOB= _2'3_2'3_sin(180°-120°)
= _2'3_2'3_ =3'3 (cm¤ )
'3
2
1
2
1
2
0876
BD”=BE”, CF”=CE”이므로
AD”+AF”=AB”+BC”+CA”=11+8+9=28(cm)
AD”=AF”이므로(cid:100)(cid:100)AF”=14(cm)
∴ CF”=AF”-AC”=14-9=5(cm)
(cid:9120) 5cm
(cid:100)(cid:100)BD”=BE”=(8-x)cm
∴ AD”=11+(8-x)=19-x(cm)
AF”=(9+x)cm이고 AD”=AF”이므로
19-x=9+x,(cid:100)(cid:100)2x=10(cid:100)(cid:100)∴ x=5
㈀ 점 A에서 원 O에 그은 두 접선의 길이는 같으므로
0877
(cid:100) (cid:100)(cid:100)AD”=AF”
㈃ 점 C에서 원 O에 그은 두 접선의 길이는 같으므로
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈃이다.
(cid:9120) ②
0879
PY”=PX”=5cm이므로
BY”=PY”-PB”=5-4=1(cm)
∴ BC”=BY”=1cm
또 AX”=PX”-PA”=5-3=2(cm)이므로
AC”=AX”=2cm
∴ AB”=AC”+BC”=2+1=3(cm)
AC”=AX”, BC”=BY”이므로
(cid:9120) ③
PA”+PB”+AB”=PX”+PY”=2PX”=2_5=10(cm)
3+4+AB”=10(cid:100)(cid:100)∴ AB”=3(cm)
∠OPC=90°이므로 직각삼각형 POC에서
0880
(cid:100)(cid:100)PC”="√12¤ -6¤ =6'3(cm)
AR”=AP”, BR”=BQ”이므로 △ABC의 둘레의 길이는
AB”+BC”+CA”=CP”+CQ”=2CP”
=2_6'3=12'3(cm)
(cid:9120) ②
20 원과 직선 87
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:31 PM 페이지88 SinsagoHitec
반원 O와 CD”의 접점을 E라 하면 AD”=DE”, BC”=CE”
0885
이므로
(cid:100)(cid:100)AD”+BC”=DC”=11cm
따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는
8`cm
FC
AB”+BC”+CD”+DA”=8+11+11=30(cm)
E
B
M
O
30æ
A
… ➊
△OAE™△OAF (RHS 합동)
0881
이므로(cid:100)(cid:100)∠OAE=∠OAF=30°
직각삼각형 OAE에서
AE”：AO”='3：2
AE”：8='3：2
∴ AE”=4'3(cm)
BC”와 원 O의 접점을 M이라 하면
BM”=BE”, CM”=CF”
이므로 △ABC의 둘레의 길이는
AB”+BC”+CA”=AE”+AF”=2AE”
=2_4'3=8'3(cm)
➊ AE”의 길이를 구할 수 있다.
➋ △ABC의 둘레의 길이를 구할 수 있다.
… ➋
(cid:9120) 8'3 cm
50%
50%
C
D
4`cm
13`cm
E
오른쪽 그림과 같이 반원 O
0882
와 CD”의 접점을 E라 하면
DE”=AD”=4cm, CE”=BC”=9cm
이므로
(cid:100)(cid:100)DC”=4+9=13(cm)
꼭짓점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 직각삼각형
CDH에서
(cid:100)(cid:100)AB”=DH”="√13¤ -5¤ =12(cm)
따라서 반원 O의 지름의 길이는 12cm이다.
5`cm
H
4`cm
(cid:9120) ③
A
O
B
오른쪽 그림에서 △AOC™△EOC,
0883
△BOD™△EOD (RHS 합동)이므로
∠AOC=∠EOC, ∠BOD=∠EOD
∴ ∠COD=∠EOC+∠EOD
A
C
E
O
= ∠AOE+ ∠BOE
B
D
1
2
= ∠AOB
1
2
1
2
1
2
= _180°=90°
(cid:9120) 90°
오른쪽 그림과 같이 반원 O와 AB”의
3`cmA
D
0884
접점을 P라 하면
AP”=AD”=3cm, BP”=BC”=6cm
이므로(cid:100)(cid:100)AB”=3+6=9(cm)
꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라
하면 직각삼각형 ABH에서
(cid:100)(cid:100)AH”="√9¤ -3¤ =6'2(cm)
따라서 직각삼각형 AHC에서
P
9`cm
O
C
H
B
3`cm 3`cm
AC”="√(6'2)¤ +3¤ =9(cm)
(cid:9120) ③
AH”⊥BC”, BH”=CH”이므로 △ABC는 이등변삼각형
이다.
∴ AC”=AB”=9cm
88 정답 및 풀이
AC”=xcm라 하면
0886
(cid:100)(cid:100)PC”=AC”=xcm, PD”=BD”=10 cm
(cid:100)(cid:100)∴ CD”=(10+x)cm
오른쪽 그림과 같이 점 C에서 BD”에 내
린 수선의 발을 H라 하면 직각삼각형
CDH에서
(10+x)¤ =12¤ +(10-x)¤
40x=144(cid:100)(cid:100)∴ x=3.6
(cid:9120) ④
6`cm
O
A
C
P
0887
DE”=DA”=6cm, CE”=CB”=10cm이므로
DC”=6+10=16(cm)
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서
BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
직각삼각형 CDH에서
DH”="√16¤ -4¤
16`cm
E
O
6`cm
D
A
=4'∂15 (cm)
1
∴ (cid:8772)ABCD= _(6+10)_4'∂15
2
… ➋
=32'∂15 (cm¤ )
(cid:9120) 30cm
B
H
10`cm
D
… ➊
C
4`cm
H
6`cm
B
… ➌
(cid:9120) 32'∂15 cm¤
30%
50%
20%
PC”=AC”=6 cm, PD”=BD”=4 cm이므로
➊ DC”의 길이를 구할 수 있다.
➋ DH”의 길이를 구할 수 있다.
➌ (cid:8772)ABCD의 넓이를 구할 수 있다.
0888
(cid:100)(cid:100)CD”=6+4=10(cm)
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서
AC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
직각삼각형 CHD에서
(cid:100)(cid:100)AB”=DH”="1√0¤ -≈2¤
C
2`cm
H
4`cm
A
10`cm
P
O
D
B
4`cm
따라서 OP”= AB”=2'6 (cm)이므로
=4'6 (cm)
1
2
1
2
△COD= _10_2'6=10'6 (cm¤ )
(cid:9120) 10'6 cm¤
0889
오른쪽 그림과 같이 원의 중심
O에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라
하면 직각삼각형 OAH에서
AH”="√5¤ -3¤ =4(cm)
∴ AB”=2AH”=8(cm)
5`cm
A
O
H
3`cm
B
(cid:9120) ⑤
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:31 PM 페이지89 SinsagoHitec
본책 150~153쪽
A
D
B
{3-r}cm
F
5`cm
O
r`cm
E
{4-r}cm
C
2
0
원
과
직
선
OQ”⊥AB”이고 OA”=2+4=6(cm)이므로 직각삼각형
0890
AQO에서(cid:100)(cid:100)AQ”="√6¤ -2¤ =4'2(cm)
∴ AB”=2AQ”=8'2(cm)
(cid:9120) 8'2 cm
0891
큰 원의 반지름의 길이를 rcm,
작은 원의 반지름의 길이를 r'cm라 하면
r¤ =r'¤ +3¤ (cid:100)(cid:100)∴ r¤ -r'¤ =9
이때 색칠한 부분의 넓이는 큰 원의 넓
이에서 작은 원의 넓이를 뺀 것과 같으
므로
O
r'`cm
B
r`cm
A
3`cm
pr¤ -pr'¤ =p(r¤ -r'¤ )=9p(cm¤ )
(cid:9120) ②
0892
AD”=AF”=x cm라 하면
BE”=BD”=(12-x)cm, CE”=CF”=(10-x)cm
BC”=BE”+CE”이므로(cid:100)(cid:100)14=(12-x)+(10-x)
0897
AB”="√5¤ -4¤ =3(cm)
오른쪽 그림과 같이 원 O의 반지름
의 길이를 r cm라 하면
BD”=BE”=r cm
AF”=AD”=(3-r) cm
CF”=CE”=(4-r) cm
AC”=AF”+CF”이므로
AB”=3 cm이므로
△ABC= _4_3=6 (cm¤ )
1
2
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
(cid:100)(cid:100) _r_(3+4+5)=6(cid:100)(cid:100)∴ r=1
1
2
AF”=AD”=2, BD”=BE”=4, CE”=CF”=2이므로(cid:100)(cid:100)
AB”=(x+3)cm, AC”=(x+2)cm
(cid:9120) ③
CF”=CE”=2 cm, BD”=BE”=3 cm이므로
0898
AD”=AF”=x cm라 하면
2x=8(cid:100)(cid:100)∴ x=4
0893
△ABC의 둘레의 길이는
AB”+BC”+CA”=2(AD”+BE”+CF”)
=2_(2+4+2)=16
(cid:9120) 16
직각삼각형 ABC에서
(x+3)¤ =(x+2)¤ +5¤
2x=20(cid:100)(cid:100)∴ x=10
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
5=(3-r)+(4-r),(cid:100)(cid:100)2r=2(cid:100)(cid:100)∴ r=1
(cid:9120) ③
∠C=180°-(70°+50°)=60°
0894
CE”=CF”이므로 △CEF는 정삼각형이다.
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=60°
BE”=BD”=4 cm, CE”=CF”=7cm이므로
0895
AD”=AF”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)
2(x+4+7)=28,(cid:100)(cid:100)2x+22=28
2x=6(cid:100)(cid:100)∴ x=3
∴ AB”=3+4=7(cm)
A
D
3`cm
O
F
3`cm
B
3`cm
E
C
➊ AD”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AB”의 길이를 구할 수 있다.
0896
오른쪽 그림에서
1
△ABC= _AB”_3
2
=+ _BC”_3
=+ _CA”_3
1
2
1
2
3
2
= (AB”+BC”+CA”)=48
∴ AB”+BC”+CA”=32(cm)
AD”=AF”, BD”=BE”, CE”=CF”이므로
1
AD”+BE”+CF”= (AB”+BC”+CA”)
2
= _32=16(cm)
(cid:9120) ④
1
2
AB”+BC”+CA”=13+5+12=30(cm)
(cid:9120) ①
(cid:9120) ③
오른쪽 그림에서 원 O의 반
0899
지름의 길이를 r cm라 하면
(cid:8772)ADOF가 정사각형이므로
AD”=AF”=r cm
A
F
D
O
r`cm
B
4`cm
E
6`cm
C
… ➊
… ➋
(cid:9120) 7 cm
또 BD”=BE”=4 cm, CF”=CE”=6 cm이므로
AB”=(4+r)cm, AC”=(6+r)cm
직각삼각형 ABC에서
10¤ =(4+r)¤ +(6+r)¤
r¤ +10r-24=0,(cid:100)(cid:100)(r+12)(r-2)=0
80%
20%
(cid:100)(cid:100)∴ r=2 (∵ r>0)
따라서 원 O의 넓이는(cid:100)(cid:100)p_2¤ =4p(cm¤ )
➊ 원 O의 반지름의 길이에 대한 식을 세울 수 있다.
➋ 원 O의 반지름의 길이를 구할 수 있다.
➌ 원 O의 넓이를 구할 수 있다.
D
A
0900
△ABC의 내접원의 중심을 O, 접
점을 D, E, F라 하면 (cid:8772)ADOF는 정사각
형이므로(cid:100)(cid:100)AD”=AF”=OD”=3 cm
직각삼각형 ABC의 외심은 BC”의 중점
이므로 BC”는 △ABC의 외접원의 지름
이다.
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=17 cm
BD”=BE”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)CF”=CE”=(17-x)cm
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=(x+3)cm, AC”=(20-x)cm
O
E
B
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 4p cm¤
50%
30%
20%
F
C
20 원과 직선 89
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:31 PM 페이지90 SinsagoHitec
직각삼각형 ABC에서
(cid:100)(cid:100)17¤ =(x+3)¤ +(20-x)¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ -17x+60=0
(x-5)(x-12)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=5 또는 x=12
따라서 AB”, AC”의 길이가 8cm, 15 cm이므로
(cid:100)(cid:100)△ABC= _8_15=60(cm¤ )
(cid:9120) 60 cm¤
1
2
0901
AB”+DC”=AD”+BC”이므로
8+2+CG”=6+12(cid:100)(cid:100)∴ CG”=8(cm)
(cid:9120) 8cm
오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점 A, D
에서 BC”에 내린 수선의 발을 각각
H, H'이라 하면
BH”= _(16-10)=3(cm)
1
2
직각삼각형 ABH에서
(cid:100)(cid:100)AH”="√13¤ -3¤ =4'ß10(cm)
따라서 원 O의 반지름의 길이는
1
2
_4'ß10=2'ß10(cm)
0902
AB”+DC”=AD”+BC”이므로
(2x-3)+(x+1)=(x+4)+x
3x-2=2x+4(cid:100)(cid:100)∴ x=6
(cid:9120) ②
오른쪽 그림과 같이 점 O에서
0908
AB”에 내린 수선의 발을 F라 하면
(cid:8772)OFBE는 정사각형이다.
OE”=r cm라 하면 BE”=r cm이므로
AB”+DC”=AD”+BC”이고 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이가
0903
46 cm이므로
AD”+BC”= _46=23(cm)
1
2
∴ BP”+CR”=BQ”+CQ”=BC”
=23-7=16(cm)
(cid:9120) 16 cm
5+8=6+(r+4)
∴ r=3
따라서 원 O의 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_3¤ =9p(cm¤ )
10`cm
A
D
13`cm
B
3`cm
O
H
10`cm
H'
C
3`cm
(cid:9120) 2'ß10 cm
D
6`cm
A
F
5`cm
8`cm
O
r`cm
B
E
4`cm
C
(cid:9120) ③
0904
DG”=DH”=2cm이므로(cid:100)(cid:100)DC”=5cm
AB”+DC”=AD”+BC”이므로 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는
AB”+BC”+CD”+DA”=2(AB”+DC”)=2_(9+5)
=28(cm)
(cid:9120) ④
0905
AB”+DC”=AD”+BC”이므로
AD”+BC”=11+10=21(cm)
∴ BC”=21_
=14(cm)
;3@;
0906
AB”+DC”=AD”+BC”이므로
A
8+7=AD”+9
∴ AD”=6(cm)
오른쪽 그림에서
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABCD
(cid:100)=△OAB+△OBC+△OCD
D
… ➊
8`cm
O
7`cm
C
3.6`cm
9`cm
B
원의 지름의 길이가 10cm이므로(cid:100)(cid:100)DC”=10cm
0909
AB”+DC”=AD”+BC”이므로
AD”+BC”=13+10=23(cm)
∴ (cid:8772)ABCD= _23_10=115(cm¤ )
(cid:9120) ④
1
2
오른쪽 그림에서 원 O의 반
0910
지름의 길이는
AE”=AF”=BF”=BG”=4cm
4`cm
A
DE
x`cm
x`cm
8`cm
F
O
8`cm
… ➊
B
4`cm
G H
8`cm
C
(cid:9120) ③
DE”=xcm라 하면 직각삼각형
CDH에서
(x+8)¤ =8¤ +(8-x)¤`
32x=64(cid:100)(cid:100)∴ x=2
따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)AB”+BC”+CD”+DA”=2(AD”+BC”)
=2_(6+12)=36(cm)
= _8_3.6+ _9_3.6+ _7_3.6+ _6_3.6
1
2
1
2
1
2
➊ 내접원의 반지름의 길이를 구할 수 있다.
➋ DE”의 길이를 구할 수 있다.
➌ (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이를 구할 수 있다.
+△ODA
1
2
=54(cm¤ )
… ➋
(cid:9120) 54cm¤
40%
60%
0911
직각삼각형 DEC에서
CE”="√5¤ -4¤ =3(cm)
BE”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)AD”=BC”=(x+3)cm
(cid:8772)ABED가 원 O에 외접하므로
AB”+DE”=AD”+BE”
4+5=(x+3)+x,(cid:100)(cid:100)2x=6(cid:100)(cid:100)∴ x=3
… ➋
… ➌
(cid:9120) 36 cm
20%
50%
30%
(cid:9120) ③
➊ AD”의 길이를 구할 수 있다.
➋ (cid:8772)ABCD의 넓이를 구할 수 있다.
0907
AB”=DC”이고 AB”+DC”=AD”+BC”이므로
2AB”=26(cid:100)(cid:100)∴ AB”=13 (cm)
90 정답 및 풀이
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:31 PM 페이지91 SinsagoHitec
원 O가 BC”, CD”와 접하는 점
A
E
0912
을 각각 G, H라 하면
반원 P의 반지름의 길이를
0916
r cm라 하면
GC”=CH”=DH”= DC”
1
2
= AB”=2.5(cm)
1
2
∴ BF”=BG”=BC”-GC”
D
H
C
5`cm
B
F
O
G
6`cm
PQ”=(3+r)cm
OP”=(6-r)cm
직각삼각형 OPQ에서
(3+r)¤ =3¤ +(6-r)¤
18r=36(cid:100)(cid:100)∴ r=2
=6-2.5=3.5(cm)
(cid:9120) 3.5 cm
따라서 반원 P의 지름의 길이는 4 cm이다.
(cid:9120) 4 cm
본책 153~156쪽
6`cm
Q
3`cm
O
P
r`cm
2
0
원
과
직
선
BE”=BF”=6, AH”=AE”=6이므로
0913
(cid:100)(cid:100)DG”=DH”=15-6=9
FI”=IG”=x라 하면(cid:100)(cid:100)DI”=9+x, IC”=9-x
직각삼각형 DIC에서
(9+x)¤ =(9-x)¤ +12¤
36x=144(cid:100)(cid:100)∴ x=4
∴ DI”=9+4=13
DI”=x라 하면 (cid:8772)ABID는 원 O에 외접하므로
12+x=15+BI”(cid:100)(cid:100)∴ BI”=x-3
따라서 CI”=15-(x-3)=18-x이므로 직각삼각형 DIC에서
(cid:100)(cid:100)x¤ =(18-x)¤ +12¤
36x=468(cid:100)(cid:100)∴ x=13
0914
AF”=x cm라 하면
FD”=(5-x) cm
직각삼각형 BCE에서 BE”=4 cm
이므로
x`cm
F
A
{5-x}cm
x`cm
E
CE”="√5¤ -4¤
=3(cm)
… ➊
5`cm
따라서 직각삼각형 CDF에서(cid:100)(cid:100)(3+x)¤ =(5-x)¤ +4¤
16x=32(cid:100)(cid:100)∴ x=2
4`cm
B
(cid:9120) ②
3`cm
D
C
… ➋
(cid:9120) 2cm
40%
60%
➊ CE”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AF”의 길이를 구할 수 있다.
10`cm
D
A
O
C
r`cm
O'
E
B
오른쪽 그림과 같이 부채꼴
0917
AOB와 원 O'의 접점을 C, D, E라 하
고 원 O'의 반지름의 길이를 r cm라 하
면 (cid:8772)DOEO'이 정사각형이므로
OO'”='2r cm, O'C”=r cm
이때 OC”=10 cm이므로
'2r+r=10,(cid:100)(cid:100)('2+1)r=10
∴ r=
=10('2-1)
10
'2+1
따라서 원 O'의 넓이는
p_{10('2-1)}¤ =100(3-2'2)p (cm¤ )
(cid:9120) ③
오른쪽 그림의 △APO와
0918
△BPO'에서
∠APO=∠BPO',
∠PAO=∠PBO'
이므로
△APOª△BPO' (AA 닮음)
8`cm
B
A
8`cm
P
O
M
O'
이고 그 닮음비는(cid:100)(cid:100)PA” : PB”=8 : 16=1 : 2
점 O에서 O'B”에 내린 수선의 발을 M이라 하고 원 O의 반지름
의 길이를 r cm라 하면 원 O'의 반지름의 길이는 2r cm이므로
OO'”=r+2r=3r(cm), O'M”=2r-r=r(cm),
OM”=AB”=8 cm
직각삼각형 OO'M에서(cid:100)(cid:100)(3r)¤ =8¤ +r¤
r¤ =8(cid:100)(cid:100)∴ r=2'2 (∵ r>0)
(cid:9120) 2'2 cm
0915
오른쪽 그림과 같이 원 O'
의 반지름의 길이를 x cm라 하고
BC”와 원 O, O'의 접점을 각각 P,
Q라 하자.
점 O'에서 OP”에 내린 수선의 발
을 H라 하면 원 O의 반지름의 길
이는 8cm이므로
A
B
OO'”=(8+x)cm, OH”=(8-x)cm,
O'H”=18-(8+x)=10-x (cm)
직각삼각형 OHO'에서
(8+x)¤ =(8-x)¤ +(10-x)¤
x¤ -52x+100=0,(cid:100)(cid:100)(x-2)(x-50)=0
∴ x=2 (∵ 00)
따라서 색칠한 부분의 둘레의 길이는
BD”+BE”+μ DE=4+4+2p_4_
90
360
=8+2p (cm)
(cid:9120) (8+2p)cm
0932
△ABC=△ABO+△ACO임을 이용한다.
구하는 반지름의 길이를 r cm로 놓고
직각삼각형 ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√15¤ -12¤ =9(cm)
반원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면(cid:100)(cid:100)OD”=OE”=r cm
△ABC=△ABO+△ACO이므로
(cid:9120) ;1@0!;
1
2
1
2
_12_9= _12_r+ _9_r(cid:100)(cid:100)∴ r=
1
2
36
7
36
7
(cid:9120)
cm
36
7
따라서 반원 O의 반지름의 길이는
cm이다.
0933
음을 이용한다.
원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같
(cid:8772)ABCD의 둘레의 길이가 70 cm이므로
0929
리를 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 원의 중심
O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 H
라 하고, 큰 원의 반지름의 길이를
r cm, 작은 원의 반지름의 길이를
r'cm라 하면 색칠한 부분의 넓이는
pr¤ -pr'¤ =72p
(cid:100)(cid:100)∴ r¤ -r'¤ =72
한편 직각삼각형 OAH에서
AH”
¤ =r¤ -r'¤ =72
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=6'2 (cm)
∴ AB”=2AH”=12'2 (cm)
r`cm
AB”+BC”=35(cm)
r'`cm
O
H
A
B
BE”=BF”=5 cm이므로 AE”=x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)AG”=AE”=x cm, CG”=CF”=(25-x)cm
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=AG”+CG”=25(cm)
직각삼각형 ABC에서(cid:100)(cid:100)(x+5)¤ +(30-x)¤ =25¤
(cid:100)(cid:100)x¤ -25x+150=0,(cid:100)(cid:100)(x-10)(x-15)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=10 (∵ AG”=CH”, AG”+CH”0)
2_12=3_(3+x)(cid:100)(cid:100)∴ x=5
1094
PB”=4+3=7, PD”=2+2x이므로
4_7=2_(2+2x)(cid:100)(cid:100)∴ x=6
1076
∠x=∠BAE=55°
(cid:9120) 55°
1093
PA”=7-5=2, PB”=7+5=12이므로
1079
1080
∠x=∠BAP=180°-(36°+96°)=48°
(cid:9120) 48°
∠x=∠APT=180°-(54°+58°)=68°
(cid:9120) 68°
1095
PT”
¤ =PA”_PB”이므로
6¤ =2_x(cid:100)(cid:100)∴ x=18
1081
AB”가 원 O의 지름이므로
∠APB=90°
(cid:9120) 90°
1096
PT”
¤ =PA”_PB”이므로
x¤ =3_15(cid:100)(cid:100)∴ x=3'5 (∵ x>0)
108 정답 및 풀이
(cid:9120) 65°
(cid:9120) 3
(cid:9120) 6
(cid:9120) 15
(cid:9120)
31
5
(cid:9120) 3
(cid:9120) 4
(cid:9120) 5
(cid:9120) 6
(cid:9120) 18
(cid:9120) 3'5
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지109 SinsagoHitec
본책 179~184쪽
1097
PT”
¤ =PA”_PB”이므로
x¤ =4_(4+12)(cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x>0)
(cid:9120) 8
1098
PT”
¤ =PA”_PB”이므로
6¤ =3_(3+x)(cid:100)(cid:100)∴ x=9
① ∠BAC+∠BDC
1099
② ∠ACB=∠ADB=45°
③ ∠BDC=85°-40°=45°이므로(cid:100)(cid:100)∠BAC+∠BDC
④ ∠ADB=100°-30°=70°이므로(cid:100)(cid:100)∠ADB+∠ACB
⑤ ∠DAC=25°+10°=35°이므로
(cid:100)(cid:100)∠DAC=∠DBC=35°
이상에서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것은 ②, ⑤이
다.
(cid:9120) ②, ⑤
1105
① ∠BAC+∠BDC
② ∠BAD=180°-65°=115°이므로
(cid:100)(cid:100)∠BAD=∠DCE
③ ∠BAD=180°-70°=110°, ∠DCE=70°이므로
(cid:9120) 9
(cid:100)(cid:100)∠BAD+∠DCE
④ △ABC에서
(cid:100)(cid:100)∠ABC=180°-(60°+40°)=80°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ABC+∠ADC=80°+100°=180°
⑤ ∠ABC=180°-60°=120°
∠ADC=180°-70°=110°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ABC+∠ADC+180°
이상에서 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하는 것은 ②, ④이다.
(cid:9120) ②, ④
1100
네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
㈁ 직사각형의 네 내각의 크기는 모두 90°이므로 대각의 크기의
1106
㈀ 정사각형의 네 내각의 크기는 모두 90°이므로 대각의
크기의 합이 180°이다.
합이 180°이다.
(cid:9120) ⑤
㈅ 등변사다리꼴의 아랫변의 양 끝 각의 크기가 서로 같고 윗변
의 양 끝 각의 크기가 서로 같으므로 대각의 크기의 합이
180°이다.
이상에서 항상 원에 내접하는 사각형은 ㈀, ㈁, ㈅이다.
(cid:9120) ②
2
2
원
주
각
의
활
용
∠BDC=∠BAC=80°
∴ ∠x=80°+25°=105°
1101
네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
∠ADB=∠ACB=30°
∴ ∠x=∠BDC=∠ADC-∠ADB
=105°-30°=75°
(cid:9120) ⑤
1102
① ∠APB=180°-95°=85°
② △PCD에서(cid:100)(cid:100)∠PDC=95°-75°=20°
③ △PAB에서(cid:100)(cid:100)∠PBA=95°-20°=75°
④ ∠CPD=∠APB=85° (맞꼭지각)
⑤ ∠BAC=∠BDC=20°이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원
위에 있다.
이상에서 옳지 않은 것은 ③이다.
(cid:9120) ③
1103
네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
∠y=∠ACB=20°
△DPB에서(cid:100)(cid:100)∠x=45°+20°=65°
∴ ∠x+∠y=65°+20°=85°
(cid:9120) ①
1104
∠BEC=∠BDC이므로 네 점 B, C, D, E는 한 원 위
에 있다. 이때 ∠BEC=90°, BM”=CM”이므로 점 M은 원의 중
… ➊
심이다.
△ABD에서(cid:100)(cid:100)∠ABD=90°-65°=25°
… ➋
(cid:100)(cid:100)∴ ∠EMD=2∠EBD=2_25°=50°
… ➌
(cid:9120) 50°
∠ADB=∠ACB=27°이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접
1107
한다.
즉 ∠ABC+∠ADC=180°이므로
∠ABC=180°-(27°+71°)=82°
(cid:9120) ②
1108
(cid:9120) ㈎ ∠APB(cid:100)㈏ ∠CRD(cid:100)㈐ 360°(cid:100)㈑ 180°
1109
①, ④ (cid:8772)ADOF에서 ∠ADO+∠AFO=180°이므로
(cid:8772)ADOF는 원에 내접한다.
마찬가지 방법으로 (cid:8772)OECF도 원에 내접한다.
②, ⑤ ∠AFB=∠AEB=90°이므로 네 점 A, B, E, F는 한
원 위에 있다. 즉 (cid:8772)ABEF는 원에 내접한다.
마찬가지 방법으로 (cid:8772)DBCF도 원에 내접한다.
이상에서 원에 내접하지 않는 사각형은 ③이다.
(cid:9120) ③
1110
∠BAC=∠CBD=65°이므로
∠BOC=2∠BAC=2_65°=130°
△OBC는 OB”=OC”인 이등변삼각형이므로
∠OCB= _(180°-130°)=25°
(cid:9120) ⑤
1
2
∠OBD=90°이므로(cid:100)(cid:100)∠OBC=90°-65°=25°
△OBC가 이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠OCB=∠OBC=25°
➊ 네 점 B, C, D, E가 중심이 M인 한 원 위에 있음을 알 수 있다.
➋ ∠ABD의 크기를 구할 수 있다.
➌ ∠EMD의 크기를 구할 수 있다.
∠PAB=∠BPT'=∠APB이므로 △APB는
40%
30%
30%
1111
PB”=AB”인 이등변삼각형이다.
∴ AB”=PB”=6cm
(cid:9120) 6cm
22 원주각의 활용 109
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지110 SinsagoHitec
△BAT에서(cid:100)(cid:100)∠BAT=65°-25°=40°
1112
직선 AT는 원 O의 접선이므로
∠ACB=∠BAT=40°
➊ ∠ADB의 크기를 구할 수 있다.
➋ ∠ADC의 크기를 구할 수 있다.
➌ ∠BDC의 크기를 구할 수 있다.
40%
40%
20%
1113
△PTB가 이등변삼각형이므로
∠PBT=∠PTB=42°
직선 PT가 원의 접선이므로
∠APT=∠PBT=42°
△PTA에서
∠PAB=∠PTA+∠APT
=42°+42°=84°
➊ ∠PBT의 크기를 구할 수 있다.
➋ ∠APT의 크기를 구할 수 있다.
➌ ∠PAB의 크기를 구할 수 있다.
(cid:9120) ①
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 84°
20%
50%
30%
1114
원주각의 크기는 호의 길이에 정비례하므로
∠ACB : ∠BAC : ∠ABC=μAB : μ BC : μ CA
2
따라서 ∠ABC= _180°=40°이므로
9
=4 : 3 : 2
∠ACT=∠ABC=40°
(cid:9120) 40°
1115
1
∠AOB= _360°=72°
5
μAB를 제외한 원 O 위의 임의의 한 점을 P
라 하면 ∠APB는 μAB에 대한 원주각이므로
P
O
∠APB= ∠AOB= _72°=36°
1
2
1
2
∴ ∠BAT=∠APB=36°
∠OAB= _(180°-72°)=54°
1
2
∠OAT=90°이므로(cid:100)(cid:100)∠BAT=90°-54°=36°
B
A
T
(cid:9120) 36°
직선 PT가 원 O의 접선이므로(cid:100)(cid:100)∠BTP=∠BAT
1116
△TAC에서(cid:100)(cid:100)∠TAC+∠ATC=70°
∠ATC=∠CTB이므로
∠CTP=∠CTB+∠BTP
=∠ATC+∠BAT=70°
(cid:9120) ④
오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으
1117
면 직선 BE는 원 O의 접선이므로
∠ADB=∠ABE=30°
… ➊
호 AC에 대하여
∠ADC= ∠AOC
30æ
O
D
A
100æ
E 30æ
B
C
1
2
1
2
= _100°=50°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠BDC=50°-30°=20°
110 정답 및 풀이
1118
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠BCD=180°-85°=95°
△BCD에서
(cid:100)(cid:100)∠CBD=180°-(25°+95°)=60°
∴ ∠x=∠CBD=60°
(cid:9120) 60°
1119
(cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
∠PBC=∠ADC=87°
△BPC에서 ∠BCP=180°-(43°+87°)=50°이므로
∠BAC=∠BCP=50°
△ABC에서
∠BCA=∠PBC-∠BAC
=87°-50°=37°
μAB=μ BC이므로
1120
(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠ACB=40°
(cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠DAC=180°-(40°+40°+56°)=44°
직선 PT가 원 O의 접선이므로
∠DCT=∠DAC=44°
➊ ∠BAC의 크기를 구할 수 있다.
➋ ∠DAC의 크기를 구할 수 있다.
➌ ∠DCT의 크기를 구할 수 있다.
(cid:9120) ⑤
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 44°
30%
40%
30%
1121
오른쪽 그림과 같이 CT”를
그으면 (cid:8772)ACTB가 원 O에 내접하
므로
∠PCT=∠ABT=112°
직선 PT는 원 O의 접선이므로(cid:100)(cid:100)
∠CTP=∠CAT=36°
△CPT에서
A
36æ
112æ
B
C
P
O
T
∠APT=180°-(112°+36°)=32°
(cid:9120) 32°
오른쪽 그림과 같이 EC”를 그으
1122
면 (cid:8772)ABCE가 원에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠AEC=180°-128°=52°
∠AED=∠AEC+∠CED이므로
(cid:100)(cid:100)∠CED=100°-52°=48°
직선 CT가 원의 접선이므로
(cid:100)(cid:100)∠DCT=∠CED=48°
E
52æ 48æ
A
B
128æ
C
D
T
(cid:9120) ②
… ➋
… ➌
(cid:9120) 20°
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지111 SinsagoHitec
본책 184~187쪽
오른쪽 그림과 같이 BD”를 그으
1123
면 μAB : μAD=7 : 4이므로
∠ADB : ∠ABD=7 : 4
△ABD에서
(cid:100)(cid:100)∠ADB+∠ABD=180°-59°
A
59æ
T
D
B
O
C
∠PBT=∠PTA=30°, ∠ATB=90°이므로
1129
△ATB에서
AT”=AB” sin 30°=10_ =5(cm)
BT”=AB” cos 30°=10_ =5'3(cm)
1
2
'3
2
1
∴ △ATB= _5_5'3=
2
25'3
2
(cm¤ )
(cid:9120) ④
=121°
4
11
이므로(cid:100)(cid:100)∠ABD= _121°=44°
AT”는 원 O의 접선이므로
∠DAT=∠ABD=44°
오른쪽 그림과 같이 AT”를 그으면
1124
∠ATB=90°이므로
∠ATP=180°-(90°+62°)=28°
또 ∠BAT=∠BTC=62°이므로
△APT에서
∠x=62°-28°=34°
O
62æ
A
x
P
62æ
28æ
T
C
(cid:9120) ④
1125
(cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
∠BAD=180°-123°=57°
오른쪽 그림과 같이 BD”를 그으면
∠ABD=90°이므로
∠ABT=∠ADB=90°-57°
=33°
D
C
O
123æ
B
A
T
(cid:9120) ②
B
오른쪽 그림과 같이 AT”를 그
1130
으면 △AHT와 △ATB에서
∠AHT=∠ATB
∠ATH=∠ABT
∴ △AHTª△ATB (AA 닮음)
… ➊
따라서 AH” : AT”=AT” : AB”이므로
¤ =40
4 : AT”=AT” : 10,(cid:100)(cid:100)AT”
∴ AT”=2'ß10(cm)
△AHT에서
(cid:100)(cid:100)HT”="√(2'ß10)¤ -4¤ =2'6(cm)
➊ △AHT∽△ATB임을 알 수 있다.
(cid:9120) ②
➋ AT”의 길이를 구할 수 있다.
➌ HT”의 길이를 구할 수 있다.
10`cm
B
A
4`cm
H
O
T
2
2
원
주
각
의
활
용
… ➋
… ➌
(cid:9120) 2'6 cm
40%
30%
30%
B
90æ-x
O
A
x
P
x
C
T
1131
접선과 현이 이루는 각의 성질에 의하여
∠EDF=∠FEC=∠EFC= _(180°-54°)=63°
1
2
따라서 △DEF에서
∠DFE=180°-(48°+63°)=69°
(cid:9120) ⑤
오른쪽 그림과 같이 AC”를 그
1126
으면 ∠ACB=90°이고
∠BAC=∠BCT=∠x이므로
∠ABC=90°-∠x
BC”=PC”이므로
∠APC=∠ABC=90°-∠x
△BPC에서
(cid:100)(cid:100)∠x=(90°-∠x)+(90°-∠x)
∴ ∠x=60°
(cid:9120) 60°
1127
∠ABT=∠ATP=25°이고 ∠BTA=90°이므로
∠BAT=90°-25°=65°
호의 길이는 원주각의 크기에 정비례하므로
μAT : μ BT=∠ABT : ∠BAT
=25 : 65=5 : 13
(cid:9120) ⑤
1132
접선과 현이 이루는 각의 성질에 의하여
∠AQB=∠BAP=∠ABP
= _(180°-30°)=75°
… ➊
△AQB에서(cid:100)(cid:100)∠ABQ+∠QAB=180°-75°=105°
μAQ：μ QB=3：2이므로
1
2
3
5
∠ABQ：∠QAB=3：2
∴ ∠x= _105°=63°
… ➋
(cid:9120) 63°
40%
60%
오른쪽 그림과 같이 BC”를 그으면
D
➊ ∠AQB의 크기를 구할 수 있다.
➋ ∠x의 크기를 구할 수 있다.
C
1128
(cid:100)(cid:100)∠ACB=∠ABE=37°
AC”는 원 O의 지름이므로
(cid:100)(cid:100)∠ABC=90°
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)∠BAC=90°-37°=53°
∴ ∠BDC=∠BAC=53°
A
O
E 37æ
B
1133
접선과 현이 이루는 각의 성질에 의하여
∠DEC=∠EDC=∠EFD=54°
∴ ∠ECD=180°-(54°+54°)=72°
(cid:9120) 53°
△ABC에서(cid:100)(cid:100)∠ABC=180°-(58°+72°)=50°
(cid:9120) ①
22 원주각의 활용 111
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지112 SinsagoHitec
1134
∠ADE=∠ABE=42°이므로 △AFD에서
1139
CP”=x cm라 하면 DP”=(13-x) cm이므로
∠a=90°+42°=132°
(cid:8772)EBCD에서 ∠EBC+∠EDC=180°이므로
(42°+∠b)+68°=180°(cid:100)(cid:100)∴ ∠b=70°
△DCP에서 PD”=PC”이므로
∠c=∠DCP= _(180°-76°)=52°
1
2
∴ ∠a+∠b+∠c=132°+70°+52°=254°
(cid:9120) 254°
∠DCT=∠PTD=∠BTQ=∠BAT=40°이므로
1135
△DTC에서(cid:100)(cid:100)∠DTC=180°-(40°+60°)=80°
(cid:9120) 80°
① ∠ABP=∠APE=∠CPF=∠PDC
1136
② ∠BAP=∠BPF=∠EPD=∠PCD
③ ①에서 ∠ABP=∠PDC(엇각)이므로(cid:100)(cid:100)AB”∥CD”
④ △ABP와 △CDP에서
(cid:100)(cid:100)∠ABP=∠CDP, ∠APB=∠CPD
(cid:100)(cid:100)∴ △ABPª△CDP (AA 닮음)
⑤ △ABPª△CDP이므로(cid:100)(cid:100)AP” : CP”=BP” : DP”
이상에서 옳지 않은 것은 ②이다.
(cid:9120) ②
1137
① ∠CAB=∠CBT=48°
(cid:100) ∠CAB+∠DCA에서 엇각의 크기가
D
다르므로 AB”∦CD”이다.
42æ
C
A
48æ
6_5=x_(13-x),(cid:100)(cid:100)x¤ -13x+30=0
(x-3)(x-10)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 또는 x=10
CP”0, 즉 x>0이므로(cid:100)(cid:100)x=3
(cid:9120) 3
② ∠BAT=∠BTQ=∠PTD=∠TCD이므로
(cid:100)(cid:100)∠BAT=∠TCD
따라서 엇각의 크기가 같으므로 AB”∥CD”이다.
B
48æ
T
1142
PB”=x라 하면 AP”=2x이므로
2x_x=3_8,(cid:100)(cid:100)x¤ =12
(cid:100)(cid:100)∴ x=2'3 (∵ x>0)
③ 오른쪽 그림에서
(cid:100)(cid:100)∠PAB=∠PQC=∠EDC
(cid:100)(cid:100)∴ ∠PAB=∠EDC
따라서 동위각의 크기가 같으므
로 AB”∥CD”이다.
④ (cid:8772)ABQP에서
(cid:100)(cid:100)∠BAP=∠PQD
(cid:100) μPD에 대하여
(cid:100)(cid:100)∠PQD=∠PCD
(cid:100)(cid:100)∴ ∠BAP=∠PCD
A
B
P
Q
ED
C
1143
의 교점을 E라 하면
∠AEB=90°
오른쪽 그림과 같이 BC”와 원 O
A
이등변삼각형의 성질에 의하여 AE”는
BC”를 이등분하므로
BE”=CE”=6 cm
따라서 CD”_15=6_12이므로
24
CD”= (cm)
5
A
B
P
Q
D
C
(cid:9120) ④
15`cm
O
15`cm
D
B
C
E 6`cm
(cid:9120)
cm
24
5
따라서 엇각의 크기가 같으므로 AB”
⑤ ∠BAT=∠BTQ=∠CDT이므로
”∥CD”이다.
(cid:100)(cid:100)∠BAT=∠CDT
따라서 동위각의 크기가 같으므로 AB”
”∥CD”이다.
(cid:9120) ①
1138
(cid:100)(cid:100)∠x=110°-45°=65°
∠PBD=∠CPT'=∠PAC=45°이므로 △BDP에서
(cid:9120) 65°
∠BDP=180°-110°=70°이므로
∠BPT=∠BDP=70°
1144
오른쪽 그림과 같이 나머지 반
원을 그려서 원 O를 완성하고 CD”의 연
장선과 원 O가 만나는 점을 E라 하자.
CD”=x cm라 하면
DE”=CD”=x cm
또 DB”=DO”+OB”=3+6=9(cm)이
므로
(cid:100)(cid:100)3_9=x¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=3'3 (∵ x>0)
O
D
6`cm
B
A
3`cm
C
E
(cid:9120) 3'3 cm
∠CPT'=∠CAP=45°이므로(cid:100)(cid:100)45°+∠x+70°=180°
OD”=3 cm, OC”=6 cm이므로 △CDO에서
(cid:100)(cid:100)CD”=øπ6¤ -3¤ =3'3(cm)
∴ ∠x=65°
112 정답 및 풀이
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지113 SinsagoHitec
1145
PC”=x cm라 하면
x¤ =6_(30-6)=144(cid:100)(cid:100)∴ x=12 (∵ x>0)
∴ CD”=2PC”=24 (cm)
(cid:9120) ⑤
OA”=9이므로 OA”의 연장선이 원 O와 만나는 점을 D
1152
라 하면(cid:100)(cid:100)PD”=9+7=16
따라서 2_16=4_PC”이므로(cid:100)(cid:100)PC”=8
1146
AB”=2_7=14(cm)이고 AP”：PB”=5：2이므로
원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 PD”=2r+2이므로
1153
(cid:100)(cid:100)3_(3+6)=2_(2r+2)
본책 187~191쪽
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ④
PB”= _14=4(cm)
2
7
PC”
¤ =PA”_PB”=(14-4)_4=40이므로
PC”=2'ß10 (cm)
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
1147
(cid:100)(cid:100)PB”=(2r-7) cm
7_(2r-7)=('7 )¤ 이므로
2r-7=1(cid:100)(cid:100)∴ r=4
따라서 원 O의 넓이는
p_4¤ =16p (cm¤ )
➊ 원 O의 반지름의 길이를 구할 수 있다.
➋ 원 O의 넓이를 구할 수 있다.
OP”=x cm라 하면 PA”=(6+x) cm, PB”=(6-x) cm
1148
이므로
(6+x)(6-x)=4_5,(cid:100)(cid:100)x¤ =16
∴ x=4 (∵ x>0)
1149
PB”=(2x-4) cm이므로
4_(2x-4)=8_5(cid:100)(cid:100)∴ x=7
1150
CP”=3k, DP”=4k (k>0)라 하면
(5+2)_3=3k_4k
'7
2
k¤ = (cid:100)(cid:100)∴ k=
7
4
∴ DP”=4_ =2'7
'7
2
(∵ k>0)
1151
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
PA”=r+ r= r(cm), PB”= r (cm)
1
2
3
2
1
2
이므로(cid:100)(cid:100) r_ r=8_3,(cid:100)(cid:100) r¤ =24
3
2
1
2
3
4
r¤ =32(cid:100)(cid:100)∴ r=4'2 (∵ r>0)
따라서 원 O의 둘레의 길이는
2p_4'2=8'2p(cm)
4r=23(cid:100)(cid:100)∴ r=
23
4
(cid:9120) 2'ß10 cm
1154
PA”=x라 하면 PB”=x+12이므로
x_(x+12)=5_(5+4),(cid:100)(cid:100)x¤ +12x-45=0
(x+15)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>0)
(cid:9120) 3
… ➊
1155
∠AOB=60°이므로
△OAB는 OA”=OB”인 이등변삼각형이고
1
∠OAB=∠OBA= _(180°-60°)=60°
2
… ➋
(cid:9120) 16p cm¤
70%
30%
즉 △OAB는 정삼각형이므로
OA”=OB”=AB”=5 cm
오른쪽 그림과 같이 CO”의 연장선이 원 O
와 만나는 점을 D라 하면
CD”=2OC”=2AB”
D
=2_5=10(cm)
PB”=x cm라 하면 PB”_PA”=PC”_PD”
이므로
O
60æ
5`cm
A
C
B
2`cm
P
2
2
원
주
각
의
활
용
(cid:9120) ⑤
x_(x+5)=2_(2+10)
(cid:100)(cid:100)x¤ +5x-24=0
(x+8)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>0)
(cid:9120) ②
(cid:9120) ②
1156
원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
PC”=14-r, PD”=14+r
이므로(cid:100)(cid:100)6_(6+12)=(14-r)(14+r)
r¤ =88(cid:100)(cid:100)∴ r=2'ß22 (∵ r>0)
따라서 원 O의 둘레의 길이는(cid:100)
2p_2'ß22=4'ß22p
(cid:9120) ③
➊ 원 O의 반지름의 길이를 구할 수 있다.
➋ 원 O의 둘레의 길이를 구할 수 있다.
1157
직각삼각형 DPO에서 PO”=7+5=12(cm)이므로
PD”="√5¤ +12¤ =13(cm)
또 PB”=7+5+5=17(cm)이므로 CD”=x cm라 하면
… ➊
7_17=(13-x)_13
13x=50(cid:100)(cid:100)∴ x=
50
13
… ➋
(cid:9120) 8'2p cm
… ➊
… ➋
(cid:9120) 4'ß22p
70%
30%
(cid:9120) ②
(cid:9120) 9
22 원주각의 활용 113
➊ 원 O의 반지름의 길이를 구할 수 있다.
➋ 원 O의 둘레의 길이를 구할 수 있다.
1158
CD”=x라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로
70%
30%
9_2=6_(x-6),(cid:100)(cid:100)6x=54
∴ x=9
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지114 SinsagoHitec
1159
PB”=x라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로
(6+2)_x=2_(9+x),(cid:100)(cid:100)6x=18
∴ x=3
(cid:9120) 3
1160
PA”=x라 하면 PA”_PB”=PE”_PF”이므로
x_(x+9)=4_(4+5),(cid:100)(cid:100)x¤ +9x-36=0
(cid:100)(cid:100)(x+12)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>0)
(cid:9120) ③
오른쪽 그림에서
1168
(cid:100)(cid:100)4¤ =x_(x+6)
(cid:100)(cid:100)x¤ +6x-16=0
(cid:100)(cid:100)(x+8)(x-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
A
x
P
(cid:9120) ①
4
T
6
O
B
O
A
P
75æ
75æ
T
15æ
Q
㈀ AB”는 원 O의 지름이므로
1169
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∠ATB=90°
(cid:100) ∠BAT=∠BTQ=75°이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∠ABT=90°-75°=15°
㈁ △BPT에서
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∠PBT+∠BPT=∠BTQ
(cid:100) (cid:100)(cid:100)15°+∠BPT=75°(cid:100)(cid:100)∴ ∠BPT=60°
㈂ 호의 길이는 원주각의 크기에 정비례하므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)μAT：μ TB=15：75=1：5
㈃ PT”는 원 O의 접선이므로
¤ =PA”_PB”
(cid:100) (cid:100)(cid:100)PT”
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈂, ㈃이다.
(cid:9120) ②
… ➊
… ➋
(cid:9120) 2 cm
40%
60%
(cid:9120) ④
(cid:9120) ㈀, ㈂, ㈃
원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
1170
① r=øπ5¤ -3¤ =4
② 1_(2r-1)=('7 )¤ 이므로(cid:100)(cid:100)2r=8(cid:100) (cid:100)∴ r=4
③ r_ r=4_3이므로(cid:100)(cid:100)r¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ r=4 (∵ r>0)
3
2
1
2
④ (6-r)(6+r)=3_8이므로
(cid:100)(cid:100)r¤ =12(cid:100)(cid:100)∴ r=2'3 (∵ r>0)
⑤ (2'5)¤ =(10-2r)_10이므로
(cid:100)(cid:100)2r=8(cid:100)(cid:100)∴ r=4
(cid:9120) ④
1171
PQ”는 원 O의 접선이므로(cid:100)(cid:100)PT”
¤ =3_(3+7)=30
∴ PT”='ß30(cm)
… ➊
원 O의 반지름의 길이를 rcm라 하면 QT”=PT”='ß30 cm이므로
(cid:100)(cid:100)('ß30)¤ =2_(2+2r)
13
4r=26(cid:100)(cid:100)∴ r=
2
… ➋
➊ PT”의 길이를 구할 수 있다.
➋ 원 O의 반지름의 길이를 구할 수 있다.
BT”를 그으면(cid:100)(cid:100)∠ATB=90°
1172
△ABT에서
(cid:100)(cid:100)BT”=AB”sin30°=3(cm)
∠BTP=∠BAT=30°이고
∠ABT=60°이므로 △BPT에서
(cid:100)(cid:100)∠BPT=60°-30°=30°
따라서 BP”=BT”=3 cm이므로
(cid:100)(cid:100)PT”
(cid:100)(cid:100)∴ PT”=3'3 (cm)
¤ =PB”_PA”=3_(3+6)=27
(cid:9120)
cm
13
2
40%
60%
A
6`cm
O
30æ
(cid:9120) ④
B
30æ
P
30æ
T
∠ATP=∠ABT=∠APT이므로 △APT는
1161
AP”=AT”인 이등변삼각형이다.
∴ PA”=AT”=5
¤ =5_(5+10)=75이므로(cid:100)(cid:100)PT”=5'3
PT”
(cid:9120) ⑤
1162
PT”
¤ =PC”_PD”이므로
PT”
¤ =4_(4+5)=36(cid:100)(cid:100)∴ PT”=6
PT”
¤ =PA”_PB”이므로
6¤ =3_(3+AB”)(cid:100)(cid:100)∴ AB”=9
∴ AB”+PT”=15
PA”_PB”=PC”_PD”임을 이용하여 AB”의 길이를 구할
수도 있다.
원 O'에서(cid:100)(cid:100)PQ”=PT”=6 cm
1163
AQ”=x cm라 하면 원 O에서
(cid:100)(cid:100)6¤ =(6-x)_(6+3)(cid:100)(cid:100)∴ x=2
➊ PQ”의 길이를 구할 수 있다.
➋ AQ”의 길이를 구할 수 있다.
PT”
¤ =4_(4+6)=40이므로(cid:100)(cid:100)PT”=2'ß10
1164
PT”는 원 O의 접선이므로(cid:100)(cid:100)∠BTP=90°
△BPT에서(cid:100)(cid:100)BT”="√10¤ -(2'∂10 )¤ =2'∂15
∴ △BPT= _2'ß15_2'ß10=10'6
1
2
△OAH에서(cid:100)(cid:100)AH”="√5¤ -4¤ =3(cm)
1165
AB”⊥OH”이므로(cid:100)(cid:100)BH”=AH”=3 cm
따라서 PT”
¤ =2_(2+6)=16이므로
PT”=4(cm)
(cid:9120) 4 cm
1166
(2'5)¤ =2_(2+AB”)이므로
AB”=8
1
2
AH”= AB”=4이므로 △OHA에서
OA”="√4¤ +3¤ =5
(cid:9120) ⑤
3
O
H
T
2Â5
P
A
2
B
1167
원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
8¤ =4_(4+2r),(cid:100)(cid:100)8r=48(cid:100)(cid:100)∴ r=6
(cid:9120) 6
114 정답 및 풀이
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지115 SinsagoHitec
EA”_4=2_6이므로(cid:100)(cid:100)EA”=3(cm)
1173
PT”는 원의 접선이므로 PA”=x cm라 하면
(2'∂15)¤ =x_(x+3+4),(cid:100)(cid:100)x¤ +7x-60=0
(cid:100)(cid:100)(x+12)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0)
(cid:9120) ②
➊ △EBPª△DAP임을 알 수 있다.
➋ BP”의 길이를 구할 수 있다.
➌ PC”의 길이를 구할 수 있다.
본책 191~196쪽
40%
30%
30%
1174
AD”=BD”이고 AD”_BD”=3_4=12이므로
PA”=AD”=BD”=2'3
∴ PT”
¤ =PA”_PB”=PA”_3PA”
=2'3_6'3=36
(cid:100)(cid:100)∴ PT”=6
1175
OQ”=7-4=3이므로
(7+3)_4=AQ”_5(cid:100)(cid:100)∴ AQ”=8
¤ =12_(12+8+5)=300이므로(cid:100)(cid:100)PT”=10'3
PT”
△PCT는 ∠PTC=90°인 직각삼각형이므로
PC”="√(10'3)¤ +14¤ =4'ß31
➊ AQ”의 길이를 구할 수 있다.
➋ PT”의 길이를 구할 수 있다.
➌ PC”의 길이를 구할 수 있다.
PT”
1176
△PTA ª△PBT(AA 닮음)이므로
¤ =3_(3+9)=36이므로(cid:100)(cid:100)PT”=6
PA” : PT”=TA” : BT”
3 : 6=5 : BT”(cid:100)(cid:100)∴ BT”=10
1177
① PT”가 원 O의 접선이므로
(cid:100)(cid:100)∠ABT=∠ATP
③ ∠P는 공통, ∠ATP=∠TBP이므로
(cid:100)(cid:100)△PTA∽△PBT(AA 닮음)
④ 할선과 접선 사이의 관계에 의하여
¤ =PA”_PB”
(cid:100)(cid:100)PT”
⑤ △PTAª△PBT이므로
(cid:100)(cid:100)∠BTP=∠TAP
1178
PA”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)6¤ =x_(x+9)
x¤ +9x-36=0,(cid:100)(cid:100)(x+12)(x-3)=0
∴ x=3 (∵ x>0)
△PTA ª△PBT(AA 닮음)이므로
1179
△EBP와 △DAP에서
∠EPB=∠DPA, ∠EBP=∠DAP
이므로(cid:100)(cid:100)△EBPª△DAP (AA 닮음)
EP”：DP”=BP”：AP”에서(cid:100)(cid:100)8：12=BP”：15
∴ BP”=10(cm)
따라서 10¤ =PC”_15이므로(cid:100)(cid:100)PC”= (cm)
20
3
PA” : PT”=AT” : TB”,(cid:100)(cid:100)3 : 6=AT” : 12
∴ AT”=6(cm)
(cid:9120) 6 cm
1180
PT”=PT'”이므로(cid:100)(cid:100)x=4
원 O에서(cid:100)(cid:100)4¤ =2_(2+y)(cid:100)(cid:100)∴ y=6
∴ x+y=4+6=10
(cid:9120) 10
(cid:9120) ①
1181
원 O에서(cid:100)(cid:100)PT”
¤ =3_(3+5)=24
∴ PT”=2'6
PT”=PT'”이므로(cid:100)(cid:100)PT”+PT'”=2PT”=4'6
(cid:9120) 4'6
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 4'3å1
40%
40%
20%
(cid:9120) ②
TT'”=4'3 cm이므로(cid:100)(cid:100)PT”=PT'”=2'3 cm
1182
PA”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)(2'3)¤ =x_(x+4)
x¤ +4x-12=0,(cid:100)(cid:100)(x+6)(x-2)=0
∴ x=2 (∵ x>0)
(cid:9120) 2 cm
1183
원 O'의 반지름의 길이를 r라 하면
5_(5+4)=3_(3+2r),(cid:100)(cid:100)6r=36(cid:100)(cid:100)∴ r=6
따라서 원 O'의 넓이는(cid:100)(cid:100)p_6¤ =36p
(cid:9120) ②
오른쪽 그림과 같이 EC”를 그으
1184
면 △ABD와 △AEC에서
∠BAD=∠EAC,
∠ABD=∠AEC
∴ △ABD ª△AEC (AA 닮음)
A
8`cm
5`cm
B
C
3`cm
D
E
따라서 AB” : AE”=AD” : AC”이므로 AD”=x cm라 하면
8 : (x+3)=x : 5,(cid:100)(cid:100)x¤ +3x-40=0
(x+8)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0)
(cid:9120) 5 cm
2
2
원
주
각
의
활
용
오른쪽 그림과 같이 EC”를 그으면
(cid:9120) ②
1185
△ABD와 △AEC에서
∠BAD=∠EAC,
∠ABD=∠AEC
(cid:100)(cid:100)∴ △ABDª△AEC (AA 닮음)
따라서 AB” : AE”=AD” : AC”이므로
7
C
A
D
6
4
E
AB” : (6+4)=6 : 7(cid:100)(cid:100)∴ AB”=
(cid:9120) ③
B
60
7
(cid:9120) ㈎ AH”(cid:100)㈏ ∠ABD(cid:100)㈐ ∠ADB
1186
1187
네 점 C, O, P, D가 한 원 위에 있음을 이용한다.
∠OCP=∠ODP=12°이므로 네
… ➊
… ➋
… ➌
점 C, O, P, D는 한 원 위에 있다.
△COP에서
∠CPO=40°-12°=28°
(cid:9120)
cm
20
3
μ CO에 대하여
∠CDO=∠CPO=28°
C
12æ
12æ
A
40æ
O P
D
B
22 원주각의 활용 115
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지116 SinsagoHitec
한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같은 사각형은 원
이므로 직각삼각형 AB'T에서
△COD에서 OC”=OD”이므로
∠DCO=∠CDO=28°
∴ ∠DCP=28°-12°=16°
∴ ∠DOB=∠DOP=∠DCP=16°
1188
에 내접함을 이용한다.
△APB에서
(cid:100)(cid:100)∠ABP=180°-(80°+32°)=68°
∠ADC=22°+46°=68°이므로
(cid:100)(cid:100)∠ABP=∠ADC
따라서 (cid:8772)ABCD는 원에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BDC=46°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠DAC=180°-(80°+46°)=54°
△AED에서
(cid:100)(cid:100)∠DEC=22°+54°=76°
1189
∠AED=∠a+∠b임을 이용한다.
∠ABC=∠a, ∠ADE=∠b라 하면 △EBD에서
∠ABC=∠a, ∠ADE=∠b
라 하면
∠CAD=∠ABC=∠a
∠ADE=∠EDC=∠b
△ABD에서
(50°+∠a)+∠a+2∠b=180°
∴ ∠a+∠b=65°
50æ
E
O
a
A
a
C
B
b
b
D
△EBD에서(cid:100)(cid:100)∠AED=∠a+∠b=65°
(cid:9120) 65°
1190
든 후 삼각비를 이용한다.
원의 중심 O에서 AB”에 수선을 그어 직각삼각형을 만
∠ACB=∠ABP=60°이므로
∠AOB=2∠ACB=120°
오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서
AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면
△AHO에서(cid:100)(cid:100)AH” : AO”='3 : 2
2 : AO”='3 : 2
∴ AO”=
4'3
3
(cm)
따라서 원 O의 둘레의 길이는
2p_
4'3
3
=
8'3
3
p(cm)
(cid:100)(cid:100)∠BCT=180°-2_32°=116°
오른쪽 그림과 같이 AT”를 그으면
(cid:8772)ATCB가 원에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠BAT=180°-116°=64°
△APT에서
(cid:100)(cid:100)∠ATP=64°-44°=20°
∴ ∠ABT=∠ATP=20°
116 정답 및 풀이
A
2`cm
60æ
60æ
C
O
H
P
60æ
B
(cid:9120) ③
B
A
32æ
C
P
T
44æ
(cid:9120) ①
1191
호의 길이가 같으면 원주각의 크기가 같음을 이용한다.
∠CBT=∠BTC=32°이므로 △BTC에서
1192
원주각의 크기를 이용한다.
원의 중심을 지나는 직각삼각형을 그리고, μAT에 대한
오른쪽 그림과 같이 원 O의 지름
(cid:9120) ③
AB'을 그으면
∠AB'T=∠ABT=∠ATP=x
B
x
x
B'
A
P
O
3
x
T
tan x=
3
B'T”
=
1
2
(cid:100)(cid:100)∴ B'T”=6
AB'”="√3¤ +6¤ =3'5이므로 원 O의 둘레의 길이는
p_3'5=3'5p
(cid:9120) 3'5p
(cid:9120) ⑤
1193
원 O'에서 ∠BEC=90°임을 이용한다.
BC”가 원 O'의 지름이므로
(cid:100)(cid:100)∠BEC=90°
∠EBC=∠x라 하면 △BCE에서
(cid:100)(cid:100)∠ECB=90°-∠x
AE”는 원 O'의 접선이므로
∠AEB=∠ECB=90°-∠x
△EAB에서(cid:100)(cid:100)∠x=34°+(90°-∠x)
∴ ∠x=62°
(cid:9120) ④
1194
선과 현이 이루는 각의 성질을 이용하여 닮음인 도형을 찾는다.
점 P를 지나는 두 원에 공통인 접선 TT'을 그어서 접
오른쪽 그림과 같이 점 P를 지나
는 두 원에 공통인 접선 TT'을 그으면
△PAB와 △PCD에서
(cid:100)(cid:100)∠BAP=∠BPT'=∠TPD
=∠DCP,
(cid:100)(cid:100)∠APB=∠CPD
∴ △PABª△PCD (AA 닮음)
따라서 PA” : PC”=PB” : PD”이므로
A
4`cm
O
5`cm
T
3`cm
D
P
O'
C
T'
B
4 : PC”=5 : 3(cid:100)(cid:100)∴ PC”= (cm)
(cid:9120) ③
12
5
1195
을 이용한다.
PQ”를 그어서 ∠APQ=∠QAB, ∠BPQ=∠QBA임
O'
25æ
B
P
O
35æ
오른쪽 그림과 같이 PQ”를 그으면 직
선 AB가 두 원 O, O'의 공통인 접선이므로
원 O에서
(cid:100)(cid:100)∠APQ=∠QAB
원 O'에서
(cid:100)(cid:100)∠BPQ=∠QBA
△ABP에서
(cid:100)(cid:100)∠APB+(35°+∠QAB)+(25°+∠QBA)=180°
(cid:100)(cid:100)∠APB+(35°+∠APQ)+(25°+∠BPQ)=180°
(cid:100)(cid:100)2∠APB+60°=180°
∴ ∠APB=60°
A
Q
(cid:9120) 60°
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지117 SinsagoHitec
본책 196~198쪽
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:9120) ④
1196
형임을 이용하여 원의 반지름의 길이를 구한다.
PC”의 길이를 구한 후 △ACP와 △ACD가 직각삼각
1200
PT”
¤ =PA”_PB”, AH”_BH”=TH”
¤ 임을 이용한다.
4¤ =2_PB”이므로(cid:100)(cid:100)PB”=8(cm)
D
C
7
∴ AB”=8-2=6(cm)
AB”⊥TH”이므로 AH”=x cm라 하면
O
x_(6-x)=TH”
또 직각삼각형 TPH에서
¤ =4¤ -(2+x)¤
(cid:100)(cid:100)TH”
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)x(6-x)=4¤ -(2+x)¤
P
60æ
8
B
10
A
10x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=
6
5
이것을 ㉠에 대입하면
6
TH”=æ≠ _{6- }
5
6
5
= (cm)
12
5
PC”=x라 하면
(cid:100)(cid:100)x_(x+7)=8_(8+10)
(cid:100)(cid:100)x¤ +7x-144=0
(cid:100)(cid:100)(x+16)(x-9)=0(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)∴ x=9 (∵ x>0)
1
2
9
18
= = =cos 60°이므로
PC”
PA”
△PAC는 ∠PCA=90°인 직각삼각형이다.
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=PA” sin 60°=9'3
또 ∠ACD=90°이므로 AD”는 원 O의 지름이다.
△ACD에서
(cid:100)(cid:100)AD”=øπ(9'3)¤ +7¤ =2'7å3
이므로 원 O의 반지름의 길이는
(cid:100)(cid:100);2!;_2'∂73='∂73
따라서 구하는 원의 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_('7å3)¤ =73p
1197
관계를 이용한다.
원 O의 반지름의 길이를 r로 놓고 원 O'에서의 비례
원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
OB”=r, OC”=r-6, OE”=r-4
원 O'에서 OO'”은 현 EF를 수직이등분하므로
OF”=OE”=r-4
원 O'에서(cid:100)(cid:100)(r-6)_r=(r-4)¤
(cid:100)(cid:100)r¤ -6r=r¤ -8r+16
2r=16(cid:100)(cid:100)∴ r=8
1198
구한다.
먼저 할선과 접선 사이의 관계를 이용하여 PB”의 길이를
6¤ =4_PB”이므로(cid:100)(cid:100)PB”=9(cm)
∴ △ATB=△PBT-△PAT
=;2!;_6_9_sin30°-;2!;_6_4_sin30°
=:™2¶:-6=:¡2∞: (cm¤ )
(cid:9120) :¡2∞: cm¤
1201
를 구한 후 △PAT：△ABT=PA”：AB”임을 이용한다.
할선과 접선 사이의 관계를 이용하여 PT”, PA”의 길이
(cid:9120) 73p
PT”=PT'”이고 TT'”=8 cm이므로
(cid:100)(cid:100)PT”=4 (cm)
PA”=x cm라 하면 PT”
¤ =PA”_PB”이므로
4¤ =x_(x+6),(cid:100)(cid:100)x¤ +6x-16=0
(x+8)(x-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=2(∵ x>0)
△PAT=△PAT'이고 △ATT'=6 cm¤ 이므로
△PAT=3 cm¤
이때 두 삼각형 PAT, ABT의 높이는 같고
PA” : AB”=2 : 6=1 : 3
(cid:9120) 8
이므로(cid:100)(cid:100)△ABT=3△PAT=3_3=9(cm¤ )
∴ △BTT'=2(△PAT+△ABT)
=2_(3+9)=24(cm¤ )
1202
원주각의 성질을 이용하여 크기가 같은 각을 찾는다.
㈀ 오른쪽 그림과 같이 BE”, CE”를 그
A
으면
(cid:100)(cid:100)∠BCE=∠BAE
=∠EAC
=∠EBC
(cid:9120) 24 cm¤
B
O
D
C
E
1199
계를 이용한다.
꼭짓점 D에서 BC”에 수선을 긋고 할선과 접선 사이의 관
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서
3`cm
A
D
BC”에 내린 수선의 발을 F라 하면
따라서 △BEC는 BE”=CE”인 이등변
삼각형이다.
㈂ △ADC와 △BDE에서
(cid:100)(cid:100)∠DAC=∠DBE, ∠DCA=∠DEB
이므로(cid:100)(cid:100)△ADCª△BDE (AA 닮음)
BE”
BF”=AD”=3 cm
¤ =3_9=27이므로
BE”=3'3 (cm)
AE”=BE”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=6'3 cm
∴ (cid:8772)ABCD= _(3+9)_6'3=36'3(cm¤ )
1
2
E
B
F
9`cm
C
O
㈃ △ABE와 △BDE에서
(cid:100)(cid:100)∠BAE=∠DBE, ∠BEA=∠DEB
이므로(cid:100)(cid:100)△ABEª△BDE (AA 닮음)
(cid:100) 따라서 AB” : BD”=AE” : BE”이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)AB”_BE”=AE”_BD”
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈂, ㈃`이다.
(cid:9120) ③
(cid:9120) ㈀, ㈂, ㈃
22 원주각의 활용 117
2
2
원
주
각
의
활
용
¤
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지118 SinsagoHitec
1203
네 점 A, B, P, Q가 한 원 위에 있음을 이용한다.
∠APB=∠AQB=90°이므로 네
점 A, B, P, Q는 점 M이 중심인 한 원
… ➊
위에 있다.
μ PQ에 대하여
1
∠PAQ= ∠QMP
2
= _25°=12.5°
1
2
△APC에서
∠ACB=90°-12.5°=77.5°
➊ 네 점 A, B, P, Q가 중심이 M인 한 원 위에 있음을 알 수 있다.
➋ ∠PAQ의 크기를 구할 수 있다.
➌ ∠ACB의 크기를 구할 수 있다.
A
Q
C
P
… ➋
… ➌
(cid:9120) 77.5°
30%
50%
20%
접선 TT'과 두 원의 현이 이루는 각, 접선 BC와 작은
M
R25æ
B
➊ ∠BCP의 크기를 ∠ABC에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
➋ ∠ABC의 크기를 구할 수 있다.
➌ ∠ADC의 크기를 구할 수 있다.
1206
CD”를 긋고 ∠BCD=90°임을 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 CD”를 그으면
A
B
P
O
E
28æ
C
(cid:100)(cid:100)∠BCD=90°
∠BDC=∠BCE=28°이므로
(cid:100)(cid:100)∠CBD=90°-28°
=62°
… ➊
∠CAD=∠CBD=62°이고 AD”∥EC”
이므로
(cid:100)(cid:100)∠ACE=∠CAD=62° (엇각)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠PCB=62°-28°=34°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠APD=∠BPC
=180°-(62°+34°)
=84°
1204
원의 현이 이루는 각을 찾는다.
∠y=∠BAT'=70°
오른쪽 그림과 같이 DE”를 그으면
∠EDA=∠CAT=∠CBA=30°
∠CDE=∠DAC=∠x
△DCA에서
∠x+∠y+∠x+30°=180°
∴ ∠x=40°
∴ ∠y-∠x=70°-40°=30°
… ➋
➊ ∠y의 크기를 구할 수 있다.
➋ ∠x의 크기를 구할 수 있다.
➌ ∠y-∠x의 크기를 구할 수 있다.
∠ABC=∠a라 하면
(cid:100)(cid:100)∠ACB=∠ABC=∠a
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)∠BAC=180°-2∠a
직선 PC는 원의 접선이므로
∠BCP=∠BAC=180°-2∠a
△BPC에서
이므로
∠ABC=∠BPC+∠BCP
∠a=45°+(180°-2∠a)
∴ ∠a=75°
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠ADC=180°-75°=105°
118 정답 및 풀이
1205
∠ABC=∠ACB=∠a로 놓고 식을 세운다.
… ➊
B
30æ
➊ ∠CBD의 크기를 구할 수 있다.
➋ ∠PCB의 크기를 구할 수 있다.
➌ ∠APD의 크기를 구할 수 있다.
1207
BC”를 긋고 △APC와 닮음인 삼각형을 찾는다.
BC”를 그으면 △APC와 △ACB에서
x
y
D
30æ
x
C
E
T
A
70æ
T'
… ➌
(cid:9120) 30°
30%
50%
20%
A
180æ-2a
a
a
B
45æ
P
180æ-2a
C
D
… ➊
(cid:100)(cid:100)∠APC=∠ACB=90°,
∠ACP=∠ABC
이므로
(cid:100)(cid:100)△APCª△ACB (AA 닮음)
따라서 AP” : AC”=AC” : AB”이므로
(cid:100)(cid:100)9 : AC”=AC” : 12
¤ =9_12=108
(cid:100)(cid:100)AC”
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=6'3 (cm)
△APC에서
(cid:100)(cid:100)cos x=
AP”
AC”
9
6'3
=
=
'3
2
➊ △APC∽△ACB임을 알 수 있다.
➋ AC”의 길이를 구할 수 있다.
➌ cos x의 값을 구할 수 있다.
1208
원에서의 비례 관계를 이용하여 PD”의 길이를 구한다.
… ➋
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
PA”_PC”=PB”_PD”
… ➌
(cid:9120) 105°
(cid:100)(cid:100)6_4=8_PD”
(cid:100)(cid:100)∴ PD”=3
30%
40%
30%
D
… ➋
… ➌
(cid:9120) 84°
40%
30%
30%
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) '3
2
40%
30%
30%
… ➊
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지119 SinsagoHitec
∴ (cid:8772)ABCD= _(6+4)_(8+3)_sin 60°
PT”의 길이를 구한 후 닮음인 두 삼각형을 찾아 TH”,
= _10_11_
'3
2
1
2
1
2
55'3
2
=
1211
HO”의 길이를 구한다.
⑴ PT”
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =2_(2+6)=16
(cid:100)(cid:100)PT”
(cid:100)(cid:100)∴ PT”=4(cm)
⑵ △POT와 △TOH에서
본책 198~199쪽
… ➊
➊ PD”의 길이를 구할 수 있다.
➋ (cid:8772)ABCD의 넓이를 구할 수 있다.
1209
미지수에 대한 식으로 나타낸다.
QB”, AQ”의 길이를 한 미지수로 나타낸 후 S¡, S™를 그
QB”=2k(k>0)라 하면 AQ”=8k이므로
1
S¡= p_(5k)¤ - p_(4k)¤ - p_k¤
2
1
2
1
2
=4k¤ p
오른쪽 그림과 같이 나머지 반원을 그려서
원 O를 완성하고, PQ”의 연장선과 원 O가
만나는 점을 R라 하면 PQ”=QR”이므로
(cid:100)(cid:100)PQ”
¤ =8k_2k=16k¤
∴ PQ”=4k (∵ k>0)
따라서 S™=p_(2k)¤ =4k¤ p이므로
S™
S¡
=
4k¤ p
4k¤ p
=1
➊ S¡을 식으로 나타낼 수 있다.
➋ S™를 식으로 나타낼 수 있다.
➌ 의 값을 구할 수 있다.
S™
S¡
… ➋
(cid:9120)
55'3
2
50%
50%
… ➊
P
R
… ➋
… ➌
(cid:9120) 1
40%
40%
20%
(cid:100)(cid:100)∠OTP=∠OHT=90°, ∠O는 공통
이므로(cid:100)(cid:100)△POTª△TOH`(AA 닮음)
따라서 PO” : TO”=PT” : TH”이므로
12
5
9
5
(cid:100)(cid:100)5 : 3=4 : TH”(cid:100)(cid:100)∴ TH”= (cm)
… ➋
또 PO” : TO”=TO” : HO”이므로
(cid:100)(cid:100)5 : 3=3 : HO”(cid:100)(cid:100)∴ HO”= (cm)
… ➌
(cid:100)(cid:100)∴ △THO= _ _
9
5
12
5
1
2
54
25
= (cm¤ )
… ➍
(cid:9120) ⑴ 4 cm(cid:100)⑵
cm¤
54
25
A
O
8k
Q
2k
B
➊ PT”의 길이를 구할 수 있다.
➋ TH”의 길이를 구할 수 있다.
➌ HO”의 길이를 구할 수 있다.
➍ △THO의 넓이를 구할 수 있다.
2
2
원
주
각
의
활
용
30%
30%
30%
10%
1212
QC”를 긋고 △ABH와 닮음인 삼각형을 찾는다.
오른쪽 그림과 같이 QC”를 그으면
△ABH와 △AQC에서
∠ABH=∠AQC
∠AHB=∠ACQ=90°
A
6
8
O
B
PH2
C
이므로
(cid:100)(cid:100)△ABHª△AQC`(AA 닮음) … ➊
AB”：AQ”=AH”：AC”이고 △ABH에서 AH”="√6¤ -2¤ =4'2
이므로
Q
1210
△AOB가 어떤 삼각형인지 알아본다.
PT”는 원 O의 접선이므로
(cid:100)(cid:100)12¤ =8_(8+AB”),(cid:100)(cid:100)8AB”=80
∴ AB”=10 (cm)
오른쪽 그림과 같이 OA”, OB”를 그으면
∠ATB=30°이므로
(cid:100)(cid:100)∠AOB=2∠ATB=60°
즉 △AOB는 정삼각형이므로
OA”=OB”=AB”=10 cm
… ➋
… ➊
B
A
8`cm
O
30æ
P
12`cm
T
따라서 원 O의 넓이는
p_10¤ =100p (cm¤ )
6：AQ”=4'2：8
(cid:100)(cid:100)∴ AQ”=6'2
따라서 원 O의 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_(3'2 )¤ =18p
➊ △ABHª△AQC임을 알 수 있다.
➋ AQ”의 길이를 구할 수 있다.
➌ 원 O의 넓이를 구할 수 있다.
➊ AB”의 길이를 구할 수 있다.
➋ 원 O의 반지름의 길이를 구할 수 있다.
➌ 원 O의 넓이를 구할 수 있다.
… ➌
(cid:9120) 100p cm¤
40%
50%
10%
… ➋
… ➌
(cid:9120) 18p
50%
30%
20%
22 원주각의 활용 119
(083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지120 SinsagoHitec
130쪽
10
12
+++--+
16
23
62
7
8=100
주어진 수들은 거꾸로 보아도 처음 수와 같아지는 수를
132쪽
작은 것부터 순서대로 나열한 것이다.
따라서 구하는 수는 111이다.
155쪽
101-10¤ =1
36쪽
54쪽
▲÷2=(cid:8778)에서(cid:100)(cid:100)▲=2_(cid:8778)
이것을 ▲+(cid:8778)=12에 대입하면(cid:100)(cid:100)(cid:8778)=4
(cid:100)(cid:100)∴ ▲=2_4=8
▲=8을 11-(cid:8774)=▲에 대입하면(cid:100)(cid:100)(cid:8774)=3
72쪽
피타고라스의 제자의 수를 x명이라 하면
(cid:100)(cid:100);2!; x+;4!; x+;7!; x+3=x
양변에 28을 곱하여 정리하면(cid:100)(cid:100)3x=84
(cid:100)(cid:100)∴ x=28
83쪽
오른쪽 그림과 같이 나누면 각 부
분에 속하는 두 수의 합은 13으로 같게 된
다.
10
9
8
12 1
11
7
5
6
2
4
3
(3+3)÷(3+3)=1
174쪽
(3÷3)+(3÷3)=2
(3+3+3)÷3=3
(3_3+3)÷3=4
{(3+3)÷3}+3=5
병 A에 들어 있는 짚신벌레가 2μ 마리가 될 때, 병 A가
125쪽
가득 찬다고 하자. 이때 2마리가 들어 있던 병 B에 짚신벌레가
가득 차는 데 3시간이 걸리므로 병 A에 짚신벌레가 가득 차는
데 걸리는 시간은 다음과 같이 생각할 수 있다.
1
3분
2⁄
2
3분
2⁄
2¤
3분
2⁄
2‹
y
3분
2⁄
3시간
3분
2⁄
2μ —⁄
3분
2⁄
2μ
따라서 병 A가 짚신벌레로 가득 차는 데 걸리는 시간은 3시간 3
분이다.
188쪽
한 층 올라가는 데 걸리는 시간은 ;4%;초이고, 1층에서 60
층까지 올라가려면 59층을 더 올라가야 하므로
(cid:100)(cid:100);4%;_59=
295
4
(초)
120 정답 및 풀이
