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중3
정답과 해설
수 학
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책본
003~004P
1-1 중앙값：4시간, 최빈값：5시간
1-2 중앙값：19.5권, 최빈값：20권
2-1 4
3-2 ①, ⑤
5-2 '∂14.8
7-1 11
2-2 25
4-1 73점
5-3 11
7-2 :™2¡:
3-1 ①, ②
2-3 2
4-2 168 cm 5-1 ③
6-1 2'∂30점 6-2 8'3 분
1-1
주어진 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면
1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 8이므로
(중앙값)=4시간, (최빈값)=5시간
1-2
주어진 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면
8, 11, 18, 19, 20, 20, 25, 32이므로
(중앙값)=
=19.5(권), (최빈값)=20권
19+20
2
2-1
x를 제외한 자료에서 17의 도수가 3이고 그 이외의 자료의
값의 도수는 모두 1이므로 최빈값은 17이다.
즉, 평균이 17이므로
17+19+17+x+30+15+17
7
=17
x+115
7
=17, x+115=119(cid:100)(cid:100)∴ x=4
2-2
x를 제외한 자료에서 15의 도수가 3이고 그 이외의 자료의
값의 도수는 모두 1이므로 최빈값은 15이다.
즉, 평균이 15이므로
5+15+x+10+15+20+15
7
=15
x+80
7
=15, x+80=105(cid:100)(cid:100)∴ x=25
2-3
평균이 0이므로
-4+7+(-5)+a+0+b+4
7
=0, a+b+2=0
∴ a+b=-2
그런데 최빈값이 0이고, a, b를 제외한 자료에서 0의 도수는
1이므로 a, b 중 적어도 하나는 0이어야 한다.
이때, a>b이므로 a=0, b=-2
∴ a-b=0-(-2)=2
3-1
① 표준편차는 분산의 음이 아닌 제곱근이므로 음수일 수 없다.
② 대푯값에는 평균, 중앙값, 최빈값 등이 있고, 산포도에는
분산, 표준편차 등이 있다.
3-2
② 중앙값은 주어진 자료 중에 없을 수도 있다.
③ 분산은 편차를 제곱한 값의 평균이고, 표준편차는 분산의
음이 아닌 제곱근이다.
④ 편차의 합은 산포도가 아니다.
4-1
편차의 합은 항상 0이므로
3+5+x+(-2)+(-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-5
(변량)=(평균)+(편차)이므로 수학 성적은
78+(-5)=73(점)
통계Ⅳ.
1
대푯값과 산포도
1-1 ⑴ 평균：4, 중앙값：4, 최빈값：6
⑵ 평균：9, 중앙값：9, 최빈값：8, 10
1-2 중앙값：75점, 최빈값：85점
2-1 분산：2, 표준편차：'2회
2-2 분산：3.2, 표준편차：'∂3.2시간
개념check
002P
1-1
⑴ (평균)=
6+4+6+3+1
5
=:™5º:=4
주어진 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면
1, 3, 4, 6, 6이므로
(중앙값)=4
(최빈값)=6
⑵ (평균)=
8+10+8+11+7+10
6
=:∞6¢:=9
주어진 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면
7, 8, 8, 10, 10, 11이므로
(중앙값)=
8+10
2
=9
(최빈값)=8, 10
1-2
자료를 작은 값부터 크기순으로 나열할 때, 13번째 자료의 값
은 70점 이상 80점 미만인 계급에 속하므로 중앙값은 이 계급
의 계급값인 75점이다.
또, 도수가 가장 큰 계급은 80점 이상 90점 미만이므로 최빈
값은 이 계급의 계급값인 85점이다.
2-1
(평균)=
3+6+5+2+4
5
=:™5º:=4(회)이므로
(분산)=
(-1)¤ +2¤ +1¤ +(-2)¤ +0¤
5
=:¡5º:=2
(표준편차)='2(회)
2-2
계급`(시간) 도수`(명) 계급값 (계급값)_(도수) (편차) (편차)¤``_(도수)
0이상`~2미만
2이상`~4미만
4이상`~6미만
6이상`~8미만
1
1
5
3
합계
10
1
3
5
7
1
3
25
21
50
-4
-2
0
2
16
4
0
12
32
(평균)=;1%0);=5(시간)이므로
(분산)=;1#0@;=3.2
(표준편차)='∂3.2(시간)
02 수학❸- 2 _ 중간
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4-2
편차의 합은 항상 0이므로
3+(-5)+1+x+(-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3
(변량)=(평균)+(편차)이므로 학생 D의 키는
165+3=168(cm)
5-1
(평균)=
4+2+6+1+7
5
=:™5º:=4이므로
(분산)=
0¤ +(-2)¤ +2¤ +(-3)¤ +3¤
5
=:™5§:=5.2
∴ (표준편차)='∂5.2
5-2
(평균)=
4+15+10+13+8
5
=:∞5º:=10이므로
(분산)=
(-6)¤ +5¤ +0¤ +3¤ +(-2)¤
5
=:¶5¢:=14.8
∴ (표준편차)='∂14.8
5-3
편차의 합은 항상 0이므로
(-5)+x+2+1+(-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3
∴ (분산)=
(-5)¤ +3¤ +2¤ +1¤ +(-1)¤
5
=:¢5º:=8
따라서 y=8이므로 x+y=3+8=11
6-1
(평균)=
55_1+65_7+75_5+85_5+95_2
20
(평균)=:¡ 2%0)
º:=75(점)
(분산)=
(-20)¤ _1+(-10)¤ _7+0¤ _5+10¤ _5+20¤ _2
20
(평균)=:™ 2$0)
º:=120
∴ (표준편차)='ƒ120=2'∂30(점)
7-2
=4, a+b+11=20
평균이 4이므로
4+2+5+a+b
5
∴ a+b=9(cid:100)(cid:100)
분산이 5이므로
0¤ +(-2)¤ +1¤ +(a-4)¤ +(b-4)¤
5
yy`㉠
=5
(a-4)¤ +(b-4)¤ +5=25, a¤ +b¤ -8(a+b)+37=25
∴ a¤ +b¤ =8(a+b)-12(cid:100)(cid:100)yy`㉡
㉠`을 ㉡`에 대입하면
a¤ +b¤ =8_9-12=60
이때, (a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab이므로
9¤ =60+2ab(cid:100)(cid:100)∴ ab=:™2¡:
주제별
1 75점 2 6
6 160
8 25
3 11.5
4 bb이므로 a=8, b=5
∴ a-b=8-5=3
13
① 분산은 편차의 제곱의 평균이다.
② (편차)=(변량)-(평균)이므로 평균보다 작은 변량의 편차
는 음수이다.
③ 편차의 절댓값이 작을수록 변량은 평균에 가깝다.
14
ㄱ. (편차)=(변량)-(평균)
ㄴ. 자료의 개수와 표준편차의 크기는 서로 관계가 없다.
ㄹ. 각 자료의 값의 도수가 모두 같으면 최빈값은 없다.
15
16
편차의 합은 항상 0이므로
-3+1+5+0+x+4+(-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-5
편차의 합은 항상 0이므로
-2+4+5+x+(-3)+(-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-3
(변량)=(평균)+(편차)이므로 학생 D의 취미 활동 시간은
6+(-3)=3(시간)
17
(평균)=
1+4+2+3+4+2+5
7
=:™7¡:=3(시간)이므로
(분산)=
(-2)¤ +1¤ +(-1)¤ +0¤ +1¤ +(-1)¤ +2¤
7
=:¡7™:
18
① 편차의 합은 항상 0이므로
-2+4+x+1+0=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-3
② 점수가 가장 높은 학생은 편차가 가장 큰 B이다.
③ 평균을 a점이라 하면 A의 점수는 (a-2)점, D의 점수는
(a+1)점이므로 두 학생의 점수의 차는
(a+1)-(a-2)=3(점)
④ 평균보다 점수가 낮은 학생은 편차가 음수인 A와 C의 2명
이다.
⑤ (분산)=
(-2)¤ +4¤ +(-3)¤ +1¤ +0¤
5
=:£5º:=6
19
A=25-(4+5+4+3+1)=8
(평균)=
6_4+7_5+8_8+9_4+10_3+11_1
25
(평균)=:™2º5º:=8(초)
이므로
B=7-8=-1
C=(-1)¤ _5=5
=46
D=(-2)¤ _4+(-1)¤ _5+0¤ _8+1¤ _4+2¤ _3+3¤ _1
∴ A+B+C+D=8+(-1)+5+46=58
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20
D
25
(분산)= =;2$5^;=1.84
∴ (표준편차)='ƒ1.84(초)
21
(평균)=
5_1+15_2+25_3+35_2+45_4
12
(평균)=
=30(점)
;;£1§2º;;
∴ (분산)
∴ =:™ 1!2)
º:=175
∴ =
(-25)¤ _1+(-15)¤ _2+(-5)¤ _3+5¤ _2+15¤ _4
12
22
(평균)=
10_2+14_2+18_5+22_1
10
(평균)=;;¡1§0º;;=16(km)
(분산)=
(-6)¤ _2+(-2)¤ _2+2¤ _5+6¤ _1
10
(평균)=;;¡1£0§;;=13.6
∴ (표준편차)='ƒ13.6(km)
23
(분산)=
(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤
3
=2¤ 이므로
(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤ =12
24
=5, a+b+19=25
평균이 5이므로
6+a+8+b+5
5
∴ a+b=6(cid:100)(cid:100)
분산이 4이므로
1¤ +(a-5)¤ +3¤ +(b-5)¤ +0¤
5
yy`㉠
=4
(a-5)¤ +(b-5)¤ +10=20, a¤ +b¤ -10(a+b)+60=20
∴ a¤ +b¤ =10(a+b)-40(cid:100)(cid:100)yy`㉡
㉠`을 ㉡`에 대입하면
a¤ +b¤ =10_6-40=20
25
(평균)=
(15-a)+15+(15+a)
3
=:¢3∞:=15이므로
(분산)=
(분산)=
(15-a-15)¤ +(15-15)¤ +(15+a-15)¤
3
2a¤
3
(-a)¤ +0¤ +a¤
3
= =('6)¤
2a¤ =18, a¤ =9(cid:100)(cid:100)∴ a=3(∵ a>0)
26
평균이 3이므로
a+b+c+d
4
=3
∴ a+b+c+d=12
분산이 2이므로
(a-3)¤ +(b-3)¤ +(c-3)¤ +(d-3)¤
4
(a-3)¤ +(b-3)¤ +(c-3)¤ +(d-3)¤ =8
=2
yy`㉠
a¤ +b¤ +c¤ +d¤ -6(a+b+c+d)+36=8
∴ a¤ +b¤ +c¤ +d¤ =6(a+b+c+d)-28(cid:100)(cid:100)yy`㉡
㉠`을 ㉡`에 대입하면
a¤ +b¤ +c¤ +d¤ =6_12-28=44
따라서 a¤ , b¤ , c¤ , d¤ 의 평균은
a¤ +b¤ +c¤ +d¤
4
=:¢4¢:=11
27
잘못 본 두 개의 변량의 합과 실제 변량의 합이
4+6=3+7=10으로 같으므로 4개의 변량의 실제 평균도
6이다.
이때, 제대로 본 두 개의 변량의 (편차)¤ 의 합을 a라 하면
a+(4-6)¤ +(6-6)¤
4
a+4=12(cid:100)(cid:100)∴ a=8
=3
따라서 실제 분산은
8+(3-6)¤ +(7-6)¤
4
=:¡4•:=4.5
28
ㄱ. (A의 평균)=
ㄱ. (B의 평균)=
1+3+5+7+9
5
=:™5∞:=5,
4+6+8+10+12
5
=:¢5º:=8
ㄱ. 이므로 (B의 평균)=(A의 평균)+3
ㄴ. (A의 중앙값)=5, (B의 중앙값)=8이므로
ㄱ. (B의 중앙값)=(A의 중앙값)+3
ㄷ. (A의 분산)=
(-4)¤ +(-2)¤ +0¤ +2¤ +4¤
5
=:¢5º:=8
ㄱ. 이므로
ㄱ. (A의 표준편차)='8=2'2
ㄱ. (B의 분산)=
(-4)¤ +(-2)¤ +0¤ +2¤ +4¤
5
=:¢5º:=8
ㄱ. 이므로
ㄱ. (B의 표준편차)='8=2'2
ㄱ. ∴ (B의 표준편차)=(A의 표준편차)
[다른 풀이]
자료 B는 자료 A의 각각의 값에 3을 더한 것과 같으므로
ㄱ, ㄴ. 자료 B의 평균, 중앙값은 각각 자료 A의 평균, 중앙
값에 3을 더한 값과 같다.
ㄷ. 자료 B의 표준편차는 자료 A의 표준편차와 같다.
29
a, b, c의 평균이 3이고 분산이 4이므로
a+b+c
3
(a-3)¤ +(b-3)¤ +(c-3)¤
3
2a+1, 2b+1, 2c+1에 대하여
=3,
=4
(평균)=
(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)
3
(평균)=2_
+1=2_3+1=7
a+b+c
3
(분산)=
(2a+1-7)¤ +(2b+1-7)¤ +(2c+1-7)¤
3
(평균)=2¤ _
(a-3)¤ +(b-3)¤ +(c-3)¤
3
=4_4=16
[다른 풀이]
(구하는 평균)=2_(a, b, c의 평균)+1=2_3+1=7
(구하는 분산)=2¤ _(a, b, c의 분산)=4_4=16
정답과 해설 05
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30
① 편차의 합은 항상 0이므로 4개의 반 모두 같다.
(a-10)¤ +(11-a)¤ +1=42
② 점수가 가장 낮은 학생이 속한 반은 알 수 없다.
③ 과학 성적이 가장 우수한 반은 평균이 가장 높은 2반이다.
④ 점수가 평균으로부터 가장 멀리 흩어져 있는 반은 표준편
⑤ 편차가 더 작은 2반의 점수가 1반의 점수보다 고르게 분포
차가 가장 큰 1반이다.
되어 있다.
31
① A반의 표준편차가 B반의 표준편차보다 더 크다.
② 전체 1등인 학생이 속한 반은 알 수 없다.
③ B반의 그래프가 A반의 그래프보다 오른쪽에 더 치우쳐
있으므로 B반이 A반보다 성적이 더 우수하다.
④, ⑤ B반의 그래프가 A반의 그래프보다 평균에 더 집중되
어 있으므로 B반이 A반보다 성적의 분포 상태가 더 고르다.
100점 따라잡기
32
x가 자연수이므로 3x가 중앙값이 되도록 자료를 작은 값부터
크기순으로 나열하면
x, x¤ , 3x, x¤ +2x, x¤ +3x
이때, 최빈값도 3x이므로 x¤ =3x 또는 x¤ +2x=3x이다.
⁄ x¤ =3x인 경우
x¤ -3x=0, x(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3`(∵ x는 자연수)
이때, 주어진 자료는 3, 9, 9, 15, 18이므로 중앙값과 최빈
값이 모두 9가 되어 주어진 조건을 만족한다.
¤ x¤ +2x=3x인 경우
x¤ -x=0, x(x-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1`(∵ x는 자연수)
이때, 주어진 자료는 1, 1, 3, 3, 4이므로 중앙값은 3이지
만 최빈값은 1, 3이 되어 주어진 조건을 만족하지 않는다.
⁄, ¤에서 x=3
33
주어진 8개의 자료에서 (중앙값)=
=4, (최빈값)=4
ㄱ. 추가되는 변량을 a라 하고 9개의 자료를 작은 값부터 크
4+4
2
기순으로 나열하면
⁄ a<4인 경우 ⇨ 중앙값은 5번째 자료의 값인 4
¤ a=4인 경우 ⇨ 중앙값은 5번째 자료의 값인 4
‹ a>4인 경우 ⇨ 중앙값은 5번째 자료의 값인 4
즉, a의 값에 관계없이 9개의 자료의 중앙값은 4로 같으므
로 변하지 않는다.
ㄴ. 주어진 8개의 자료에서 4의 도수가 3이고 그 이외의 자료
의 값의 도수는 모두 1이므로 한 개의 변량이 추가되어도
주어진 자료의 최빈값은 4로 변하지 않는다.
ㄷ. 추가되는 변량의 값에 따라 주어진 자료의 평균은 변한다.
34
=10, a+b+9=30
중앙값이 9이므로 세 자연수 중 하나는 9이다.
나머지 두 수를 a, b라 하면 세 수의 평균이 10이므로
a+b+9
3
∴ b=21-a
또, 분산이 14이므로
(a-10)¤ +(21-a-10)¤ +(-1)¤
3
=14
06 수학❸- 2 _ 중간
2a¤ -42a+180=0, a¤ -21a+90=0
(a-6)(a-15)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=6 또는 a=15
a=6일 때 b=15이고, a=15일 때 b=6이므로 구하는 세
자연수는 6, 9, 15이다.
35
영화를 6편 이상 8편 미만으로 본 회원 수는
40-(3+6+8+6+4)=13(명)
(평균)=
3_3+5_6+7_13+9_8+11_6+13_4
40
=
(-5)¤ _3+(-3)¤ _6+(-1)¤ _13+1¤ _8+3¤ _6+5¤ _4
40
(평균)=:£4™0º:=8(편)이므로
(분산)
=:£4º0¢:=7.6
∴ (표준편차)='∂7.6(편)
유형별
010~011P
1 ⑴ 5 ⑵ 163 cm
2 ⑴ 승규：5.2, 성수：4.4 ⑵ 성수
3 평균：3, 중앙값：3, 최빈값：4
3-1 평균：4.7, 중앙값：4.5, 최빈값：4, 5
4 '5시간
6 평균：14, 분산：18
7
4-1 2'∂30 kg 5 87
기본
평균：6회, 분산：2, 표준편차：'2 회
'∂2.5 권
심화
5-1 124
6-1 평균：19, 분산：48
발전
'∂23점
1
⑴ 편차의 합은 항상 0이므로
-4+8+x+(-10)+1=0(cid:100)(cid:100)∴ x=5
⑵ (변량)=(평균)+(편차)이므로 준호의 키는
158+5=163(cm)
2
⑴ (승규의 점수의 평균)
=
4+7+10+5+9
5
(승규의 점수의 분산)
=:£5∞:=7(점)이므로
=
(-3)¤ +0¤ +3¤ +(-2)¤ +2¤
5
=:™5§:=5.2
(성수의 점수의 평균)
=
10+4+9+8+9
5
(성수의 점수의 분산)
=:¢5º:=8(점)이므로
=
2¤ +(-4)¤ +1¤ +0¤ +1¤
5
=:™5™:=4.4
⑵ 분산의 크기가 더 작은 성수의 점수가 더 고르다.
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3
(평균)=
4+1+4+0+3+4+8+1+2
9
(평균)=:™9¶:=3
주어진 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면
0, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 8이므로
중앙값은 5번째 자료의 값인 3
최빈값은 도수가 3으로 가장 큰 4
채점 요소
단계
①
②
③
평균 구하기
중앙값 구하기
최빈값 구하기
3-1
(평균)=
5+8+3+4+2+7+5+4+5+4
10
(평균)=;1$0&;=4.7
주어진 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면
2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8이므로
중앙값은 5번째 자료와 6번째 자료의 값의 평균인
4+5
2
=4.5
최빈값은 도수가 3으로 가장 큰 4, 5
채점 요소
단계
①
②
③
평균 구하기
중앙값 구하기
최빈값 구하기
yy ①
yy ②
yy ③
배점
4점
2점
2점
yy ①
yy ②
yy ③
배점
4점
2점
2점
4
(평균)=
1_4+3_7+5_5+7_3+9_1
20
(평균)=;2*0);=4(시간)
yy ①
(분산)=
(-3)¤ _4+(-1)¤ _7+1¤ _5+3¤ _3+5¤ _1
20
5
=4, a+b+10=20
평균이 4이므로
2+3+5+a+b
5
∴ a+b=10(cid:100)(cid:100)
표준편차가 3, 즉 분산이 9이므로
(-2)¤ +(-1)¤ +1¤ +(a-4)¤ +(b-4)¤
5
yy`㉠
=9
yy ①
(a-4)¤ +(b-4)¤ +6=45, a¤ +b¤ -8(a+b)+38=45
∴ a¤ +b¤ =8(a+b)+7(cid:100)(cid:100)yy`㉡
㉠`을 ㉡`에 대입하면
a¤ +b¤ =8_10+7=87
yy ②
yy ③
단계
①
②
③
채점 요소
a+b의 값 구하기
a¤ +b¤ 을 a+b에 대한 식으로 나타내기
a¤ +b¤ 의 값 구하기
5-1
=5, a+b+13=25
평균이 5이므로
1+4+8+a+b
5
∴ a+b=12(cid:100)(cid:100)
표준편차가 4, 즉 분산이 16이므로
(-4)¤ +(-1)¤ +3¤ +(a-5)¤ +(b-5)¤
5
yy`㉠
=16
yy ①
(a-5)¤ +(b-5)¤ +26=80, a¤ +b¤ -10(a+b)+76=80
yy ②
∴ a¤ +b¤ =10(a+b)+4(cid:100)(cid:100)yy`㉡
㉠`을 ㉡`에 대입하면
a¤ +b¤ =10_12+4=124
yy ③
단계
①
②
③
채점 요소
a+b의 값 구하기
a¤ +b¤ 을 a+b에 대한 식으로 나타내기
a¤ +b¤ 의 값 구하기
배점
2점
4점
2점
배점
2점
4점
2점
(평균)=:¡2º0º:=5
∴ (표준편차)='5(시간)
단계
①
②
③
평균 구하기
분산 구하기
표준편차 구하기
채점 요소
yy ②
6
yy ③
a, b, c, d의 평균이 4이고 분산이 2이므로
a+b+c+d
4
=4
배점
3점
3점
2점
(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤ +(d-4)¤
4
=2
3a+2, 3b+2, 3c+2, 3d+2에 대하여
(평균)=
(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)+(3d+2)
4
4-1
(평균)=
30_1+40_2+50_4+60_2+70_1
10
(평균)=3_
a+b+c+d
4
+2
(평균)=:∞1º0º:=50(kg)
yy ①
(평균)=3_4+2=14
yy ①
(분산)=
(-20)¤ _1+(-10)¤ _2+0¤ _4+10¤ _2+20¤ _1
10
(평균)=:¡ 1@0)
º:=120
∴ (표준편차)='∂120=2'∂30(kg)
채점 요소
단계
①
②
③
평균 구하기
분산 구하기
표준편차 구하기
yy ②
yy ③
배점
3점
3점
2점
(분산)
=
(3a+2-14)¤ +(3b+2-14)¤ +(3c+2-14)¤ +(3d+2-14)¤
4
=3¤ _
(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤ +(d-4)¤
4
=9_2=18
단계
①
②
평균 구하기
분산 구하기
채점 요소
yy ②
배점
3점
5점
정답과 해설 07
(01-28)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:29 PM 페이지8 MAC2 data.terabooks.co.kr
yy ①
=
92+88+84+88+90+88+90+90+86+84
10
6-1
a, b, c, d의 평균이 5이고 분산이 3이므로
a+b+c+d
4
=5
(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤
4
4a-1, 4b-1, 4c-1, 4d-1에 대하여
=3
(평균)=
(4a-1)+(4b-1)+(4c-1)+(4d-1)
4
(평균)=4_
a+b+c+d
4
-1
(평균)=4_5-1=19
(분산)
=
(4a-1-19)¤ +(4b-1-19)¤ +(4c-1-19)¤ +(4d-1-19)¤
4
=4¤ _
(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤
4
=16_3=48
단계
①
②
평균 구하기
분산 구하기
채점 요소
7
기본
(평균)=
8+6+5+4+7
5
=:£5º:=6(회)
yy ①
(분산)=
2¤ +0¤ +(-1)¤ +(-2)¤ +1¤
5
(표준편차)='2(회)
단계
①
②
③
평균 구하기
분산 구하기
표준편차 구하기
채점 요소
=:¡5º:=2 yy ②
yy ③
발전
편차의 합은 항상 0이므로
8+(-6)+(-3)+2+x+(-4)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=3
(분산)=
8¤ +(-6)¤ +(-3)¤ +2¤ +3¤ +(-4)¤
6
•:=23
(분산)=:¡ 6#
∴ (표준편차)='∂23(점)
단계
①
②
③
x의 값 구하기
분산 구하기
표준편차 구하기
채점 요소
심화
도수분포표에서 (편차)_(도수)의 총합은 항상 0이므로
(-3)_1+(-2)_x+0_5+1_5+2_4=0
-2x+10=0(cid:100)(cid:100)∴ x=5
(분산)=
(-3)¤ _1+(-2)¤ _5+0¤ _5+1¤ _5+2¤ _4
1+5+5+5+4
yy ②
배점
3점
5점
배점
2점
2점
1점
yy ①
yy ②
yy ③
배점
2점
4점
2점
yy ①
yy ②
yy ③
배점
3점
5점
2점
(분산)=;2%0);=2.5
∴ (표준편차)='∂2.5(권)
단계
①
②
③
x의 값 구하기
분산 구하기
표준편차 구하기
채점 요소
08 수학❸- 2 _ 중간
012~013P
1 ⑤
7 ④
2 ④
8 ②
3 ④
9 ⑤
4 ②
10 ④
5 ⑤
6 ②
11 8
12 'ƒ19.2 회
13 B, 해설 참조
중단원
주관식 문제
1
(평균)
=:•1•0º:
=88(회)
주어진 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면
84, 84, 86, 88, 88, 88, 90, 90, 90, 92이므로
(중앙값)=
=88(회)
88+88
2
(최빈값)=88회, 90회
2
평균이 5이므로
4+8+7+a+b+6+1
7
=5, a+b+26=35
∴ a+b=9
그런데 최빈값이 6이고, a, b를 제외한 자료에서 6의 도수는
1이므로 a, b 중 적어도 하나는 6이어야 한다.
이때, a>b이므로
a=6, b=3
따라서 주어진 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면
1, 3, 4, 6, 6, 7, 8이므로
(중앙값)=6
3
(평균)=
5_2+15_4+25_7+35_4+45_3
20
(분산)=:∞2™0º:
(분산)=26(점)
자료를 작은 값부터 크기순으로 나열할 때, 10번째와 11번째
자료의 값은 20점 이상 30점 미만인 계급에 속하므로 중앙값
은 이 계급의 계급값인 25점이다.
또, 도수가 가장 큰 계급은 20점 이상 30점 미만이므로 최빈
값은 이 계급의 계급값인 25점이다.
따라서 a=26, b=25, c=25이므로
a-b+c=26-25+25=26
4
① (편차)=(변량)-(평균)이므로 평균보다 큰 변량의 편차는
양수, 평균과 같은 변량의 편차는 0, 평균보다 작은 변량의
편차는 음수이다.
③ 분산의 음이 아닌 제곱근을 표준편차라고 한다.
④ 자료의 개수와 분산의 크기는 서로 관계가 없다.
⑤ 산포도에는 분산, 표준편차 등이 있고, 최빈값은 대푯값의
한 종류이다.
(01-28)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:29 PM 페이지9 MAC2 data.terabooks.co.kr
5
① 편차의 합은 항상 0이므로
-3+1+x+(-5)+3=0(cid:100)(cid:100)∴ x=4
② A의 나이는 22+(-3)=19(살)
③ B의 편차는 양수이므로 B는 평균보다 나이가 많다.
④ D의 편차가 가장 작으므로 D의 나이가 가장 적다.
⑤ 평균보다 나이가 많은 학생은 편차가 양수인 B, C, E의
3명이다.
6
(평균)=
1+3+2+7+2+4+3+2
8
=:™8¢:=3(권)이므로
(분산)=
(-2)¤ +0¤ +(-1)¤ +4¤ +(-1)¤ +1¤ +0¤ +(-1)¤
8
주관식 문제
11
a, b, c, d, e의 평균이 6이므로
a+b+c+d+e
5
=6
∴ a+b+c+d+e=30
따라서 a+3, b-2, c-4, d+7, e+6의 평균은
(a+3)+(b-2)+(c-4)+(d+7)+(e+6)
5
a+b+c+d+e+10
5
=
=
30+10
5
=8
(평균)=
100
10
(평균)=10(회)
12
(평균)=
2_1+6_2+10_4+14_2+18_1
10
(분산)=:™8¢:=3
∴ (표준편차)='3(권)
7
편차의 합은 항상 0이므로
-1+2+3+x+y=0(cid:100)(cid:100)
∴ x+y=-4(cid:100)(cid:100)yy`㉠
(분산)=
(-8)¤ _1+(-4)¤ _2+0¤ _4+4¤ _2+8¤ _1
10
(분산)=
(-1)¤ +2¤ +3¤ +x¤ +y¤
5
x¤ +y¤ +14=26(cid:100)(cid:100)
∴ x¤ +y¤ =12(cid:100)(cid:100)yy`㉡
이때, (x+y)¤ =x¤ +y¤ +2xy이므로 이 식에 ㉠, ㉡`을 대입
=5.2에서
하면
(-4)¤ =12+2xy, 2xy=4(cid:100)(cid:100)
∴ xy=2
(분산)=
192
10
(평균)=19.2
∴ (표준편차)='∂19.2(회)
단계
①
②
③
평균 구하기
분산 구하기
표준편차 구하기
채점 요소
yy ①
yy ②
yy ③
배점률
40`%
40`%
20`%
8
남학생과 여학생의 과학 성적의 평균이 같고, 남학생 6명의
(편차)¤ 의 총합은 4_6=24, 여학생 8명의 (편차)¤ 의 총합은
11_8=88이다.
13
(A의 평균)
=
1_2+4_1+5_3+6_1+7_2+9_1
10
따라서 구하는 분산은
24+88
6+8
=:¡1¡4™:=8
9
(A의 평균)=
(B의 평균)=
8+7+10+9+6
5
9+7+9+8+7
5
=:¢5º:=8(점)
=:¢5º:=8(점)
(A의 분산)=
0¤ +(-1)¤ +2¤ +1¤ +(-2)¤
5
1¤ +(-1)¤ +1¤ +0¤ +(-1)¤
5
①, ② A, B의 평균이 같으므로 두 선수의 기록은 똑같이 우
=;5$;=0.8
=:¡5º:=2
(B의 분산)=
수하다.
=
(-4)¤ _2+(-1)¤ _1+0¤ _3+1¤ _1+2¤ _2+4¤ _1
10
(B의 평균)=
2_2+3_2+5_1+6_2+7_1+8_2
10
=;1%0);=5(점)
이므로
(A의 분산)
=;1%0*;
=5.8
(B의 평균)=;1%0);=5(점)
이므로
(B의 분산)
=;1%0);
=5
정답과 해설 09
③, ④, ⑤ B의 분산이 A의 분산보다 더 작으므로 B의 기록
이 A의 기록보다 분포 상태가 더 고르다.
=
(-3)¤ _2+(-2)¤ _2+0¤ _1+1¤ _2+2¤ _1+3¤ _2
10
10
각 자료의 평균은 모두 5로 같다. 따라서 분산이 가장 작은 것
은 평균 5를 중심으로 자료가 흩어져 있는 정도가 가장 작은
④이다.
따라서 A, B 중 점수의 분포 상태가 더 고른 사람은 분산의
크기가 더 작은 B이다.
(01-28)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:29 PM 페이지10 MAC2 data.terabooks.co.kr
014P
Ⅴ.
피타고라스 정리
1
피타고라스 정리
개념check
015~016P
2-3 20 cm¤
2-2 49 cm¤
2-1 100 cm¤
1-1 5
3-1 ⑴, ⑶
4-1 ⑴ 둔각삼각형 ⑵ 예각삼각형 ⑶ 직각삼각형
5-1 ⑴ x=4, y=2'5, z=4'5 ⑵ x=2'∂15
5-2 ⑴ 3'3 ⑵ 5
5-3 ⑴ 25p cm¤ ⑵ 10 cm¤
④ (분산)=
(-3)¤ +(-3)¤ +(-1)¤ +1¤ +2¤ +4¤
6
1-1
x="√4¤ +3¤ =5
중단원
1 ④
2 ③, ⑤ 3 ⑤
1
주어진 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면
11, 11, 13, 15, 16, 18이므로
① (중앙값)=
13+15
2
=14
② (최빈값)=11
③ (평균)=
11+11+13+15+16+18
6
① (분산)=:•6¢:=14
① (분산)=:¢6º:=:™3º:
⑤ (표준편차)=æ–:™3º:
① (표준편차)=
2'5
'3
=
2'∂15
3
2
① (편차)=(변량)-(평균)이고, D의 편차는 0이므로 D의 키
는 평균과 같다.
② 편차의 합은 항상 0이므로
-7+4+x+0+(-2)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=5
따라서 키가 가장 큰 학생은 편차가 가장 큰 C이다.
③ E의 키는 평균보다 2 cm 작다.
④ 평균을 a cm라 하면
A의 키는 (a-7)cm, B의 키는 (a+4)cm
이므로 두 학생의 키의 차는
(a+4)-(a-7)=11(cm)
⑤ (분산)=
(-7)¤ +4¤ +5¤ +0¤ +(-2)¤
5
② (분산)=:ª5¢:
② (분산)=18.8
② 이므로 표준편차는 'ƒ18.8 cm이다.
3
잘못 본 두 개의 변량의 값의 합과 실제 값의 합이
5+10=6+9=15로 같으므로 5개의 변량의 실제 평균도
8이다.
이때, 제대로 본 3개의 변량의 (편차)¤ 의 합을 a라 하면
a+(5-8)¤ +(10-8)¤
5
=4
a+13=20(cid:100)(cid:100)
∴ a=7
따라서 실제 분산은
7+(6-8)¤ +(9-8)¤
5
=:¡5™:=2.4
10 수학❸- 2 _ 중간
2-1
△PBQ에서 PQ”="√8¤ +6¤ =10(cm)
이때, (cid:8772)PQRS는 정사각형이므로
¤ =10¤ =100(cm¤ )
(cid:8772)PQRS=PQ”
2-2
△ABP에서 BP”="√13¤ -5¤ =12(cm)
PQ”=BP”-BQ”=12-5=7(cm)이고
(cid:8772)PQRS는 정사각형이므로
(cid:8772)PQRS=PQ”
¤ =7¤ =49(cm¤ )
2-3
(cid:8772)AFGB=(cid:8772)ACDE+(cid:8772)BHIC
=4+16=20(cm¤ )
3-1
4-1
5-1
⑴ 9¤ +12¤ =15¤ 이므로 직각삼각형이다.
⑵ 2¤ +('5 )¤ +4¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
⑶ ('2 )¤ +3¤ =('∂11)¤ 이므로 직각삼각형이다.
⑴ 3¤ >2¤ +2¤ 이므로 둔각삼각형이다.
⑵ 12¤ <8¤ +9¤ 이므로 예각삼각형이다.
⑶ (2'∂13 )¤ =4¤ +6¤ 이므로 직각삼각형이다.
⑴ x¤ =2_8=16(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
(cid:100) y¤ =2_(2+8)=20(cid:100)(cid:100)∴ y=2'5 (∵ y>0)
(cid:100) z¤ =8_(8+2)=80(cid:100)(cid:100)∴ z=4'5 (∵ z>0)
⑵ 6¤ +7¤ =5¤ +x¤ , x¤ =60
∴ x=2'∂15 (∵ x>0)
5-2
⑴ 4¤ +6¤ =x¤ +5¤ , x¤ =27
(cid:100) ∴ x=3'3 (∵ x>0)
⑵ x¤ +(5'3 )¤ =6¤ +8¤ , x¤ =25
(cid:100) ∴ x=5 (∵ x>0)
5-3
⑴ (색칠한 부분의 넓이)=5p+20p=25p(cm¤ )
⑵ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC
=;2!;_5_4=10(cm¤ )
(01-28)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:29 PM 페이지11 MAC2 data.terabooks.co.kr
1-1 ⑤
2-2 ⑤
1-2 ④
2-3 12
1-3 '∂95 cm 2-1 ④
3-1 ②
3-2 '∂10 cm
4-1 :¡3º: cm 4-2 ①
4-3 ④
5-1 3 cm
5-2 20 cm
7-1 12
8-2 5 cm
5-3 ①
7-2 10
9-1 24 cm¤
6-2 ①, ⑤
6-1 ②
7-3 2'5, 2'∂13 8-1 2'∂10 cm
9-2 30 cm¤
1-1
x="√8¤ -6¤ ='∂28=2'7
1-2
x="√7¤ -5¤ ='∂24=2'6
1-3
점 G가 △ABC의 무게중심이므로 AG” : AD”=2 : 3
이때, AG”=4 cm이므로 AD”=6 cm
또, 점 D는 직각삼각형 ABC의 외심이므로
BD”=CD”=AD”=6 cm
따라서 △ABC에서 AB”="√(6+6)¤ -7¤ ='∂95(cm)
2-1
△ADC에서 AC”="√13¤ -5¤ =12(cm)
△ABC에서 x="√(11+5)¤ +12¤ =20
2-2
△ADC에서 CD”="√5¤ -3¤ =4(cm)
△ABC에서 x="√(5+4)¤ +3¤ ='∂90=3'∂10
2-3
△ABD에서 x="√10¤ -6¤ =8
△ADC에서 y="√(4'5 )¤ -8¤ =4
∴ x+y=8+4=12
3-1
△OAB에서 OB”="√1¤ +1¤ ='2(cm)
△OBC에서 OC”="√('2 )¤ +1¤ ='3(cm)
△OCD에서 OD”="√('3 )¤ +1¤ =2(cm)
△ODE에서 OE”="√2¤ +1¤ ='5(cm)
△OEF에서 OF”="√('5 )¤ +1¤ ='6(cm)
3-2
△OAB에서 OB”="√('2 )¤ +('2 )¤ =2(cm)
△OBC에서 OC”="√2¤ +('2 )¤ ='6(cm)
△OCD에서 OD”="√('6 )¤ +('2 )¤ ='8=2'2(cm)
△ODE에서 OE”="√(2'2 )¤ +('2 )¤ ='∂10(cm)
4-1
△AEF™△ADF이므로
EF”=DF”=x cm라 하면
CF”=(6-x) cm
A
10 cm
6 cm
10 cm
x cm
B
8 cm
CE
2 cm
D
x cm
F
(6-x) cm
AE”=AD”=10 cm이므로
△ABE에서 BE”="√10¤ -6¤ =8(cm)
∴ CE”=BC”-BE”=10-8=2(cm)
△CFE에서 2¤ +(6-x)¤ =x¤ , 12x=40
∴ x=;;¡3º;; (cm)
017~019P
4-2
△AEF™△ADF이므로
EF”=DF”=x cm라 하면
CF”=(5-x) cm
5 cm
A
B
AE”=AD”=13 cm이므로
△ABE에서 BE”="√13¤ -5¤ =12(cm)
∴ CE”=BC”-BE”=13-12=1(cm)
△CFE에서 1¤ +(5-x)¤ =x¤ , 10x=26
D
x cm
F
(5-x) cm
13 cm
13 cm
x cm
12 cm
C
E
1 cm
∴ x=;;¡5£;; (cm)
4-3
∠FBD=∠DBC(접은 각),
∠FDB=∠DBC(엇각)이므로
∠FBD=∠FDB
따라서 BF”=DF”=x cm라 하면
AF”=(8-x) cm
△ABF에서 (8-x)¤ +6¤ =x¤
16x=100(cid:100)(cid:100)∴ x=:™4∞:(cm)
∴ △FBD=;2!;_DF”_AB”
(8-x) cm
E
A
6 cm
F
x cm
x cm
D
B
8 cm
C
=;2!;_:™4∞:_6=:¶4∞:(cm¤ )
5-1
(cid:8772)ADEB=(cid:8772)ACHI+(cid:8772)BFGC이므로
45=(cid:8772)ACHI+36(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ACHI=9(cm¤ )
∴ AC”='9=3(cm) (∵ AC”>0)
5-2
(cid:8772)ABED=(cid:8772)ACHI+(cid:8772)BFGC이므로
500=100+(cid:8772)BFGC(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)BFGC=400(cm¤ )
∴ BC”='∂400=20(cm) (∵ BC”>0)
5-3
EB”∥DC”이므로 △AEB=△EBC
△EBC와 △ABF에서
EB”=AB”, BC”=BF”, ∠EBC=∠ABC+90˘=∠ABF
∴ △EBC™△ABF (SAS 합동)
또, BF”∥AM”이므로
△ABF=△BFL=;2!;(cid:8772)BFML=△LFM
∴ △AEB=△EBC=△ABF=;2!;(cid:8772)BFML=△LFM
6-1
6-2
① 2¤ +('3 )¤ +('5 )¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
② 2¤ +3¤ =('∂13 )¤ 이므로 직각삼각형이다.
③ 3¤ +('∂14 )¤ +4¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
④ 3¤ +5¤ +6¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
⑤ 5¤ +5¤ +7¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
① 1¤ +('3 )¤ =2¤ 이므로 직각삼각형이다.
② 2¤ +(2'5 )¤ +5¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
③ 2¤ +(2'3 )¤ +('∂14 )¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
④ 4¤ +4¤ +6¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
⑤ 8¤ +15¤ =17¤ 이므로 직각삼각형이다.
정답과 해설 11
(01-28)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:29 PM 페이지12 MAC2 data.terabooks.co.kr
7-1
x+3이 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형의 세 변의 길이 사
x="√12¤ -8¤ ='∂80=4'5
이의 관계에서
(x-3)+x>x+3(cid:100)(cid:100)∴ x>6
이 삼각형이 직각삼각형이 되려면
(x-3)¤ +x¤ =(x+3)¤ , x¤ -12x=0
x(x-12)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=12 (∵ x>6)
7-2
x+3이 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형의 세 변의 길이 사
이의 관계에서
(x-5)+(x+2)>x+3(cid:100)(cid:100)∴ x>6
이 삼각형이 직각삼각형이 되려면
(x-5)¤ +(x+2)¤ =(x+3)¤ , x¤ -12x+20=0
(x-2)(x-10)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=10 (∵ x>6)
7-3
⁄ 가장 긴 변의 길이가 6일 때,
4¤ +x¤ =6¤ , x¤ =20(cid:100)(cid:100)∴ x=2'5 (∵ x>0)
¤ 가장 긴 변의 길이가 x일 때,
4¤ +6¤ =x¤ , x¤ =52(cid:100)(cid:100)∴ x=2'∂13 (∵ x>0)
따라서 ⁄, ¤에서 x의 값은 2'5, 2'∂13
8-1
AB”
AB”
¤ +BC”
¤ =AD”
¤ +CD”
¤ +7¤ =5¤ +8¤
¤ =40(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2'∂10(cm) (∵ AB”>0)
¤ 이므로 AB”
8-2
AB”
CD”
¤ =AD”
¤ +CD”
¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ CD”=5(cm) (∵ CD”>0)
¤ 이므로 4¤ +CD”
¤ +BC”
¤ =(4'2 )¤ +3¤
9-1
△ABC에서 AB”="√10¤ -6¤ =8(cm)
∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC=;2!;_8_6=24(cm¤ )
9-2
△ABC에서 AB”="√13¤ -5¤ =12(cm)
∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC=;2!;_12_5=30(cm¤ )
주제별
020~025P
6 10 cm
17 32 cm¤
4 5
5 10
2 ⑤
3 ③
15 20
13 ③
19 ②
1 ②
7 4'3 cm 8 3'5 cm 9 5 cm 10 ② 11 4'5 cm
12 ④
18 1
22 72 cm¤
27 '∂340)
;2!;_AE”_DE”=20, ;2!; AE”
AE”
△ABE에서 AB”="√(2'∂10 )¤ -6¤ =2(cm)
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(AB”+CD”)_BC”
=;2!;_(2+6)_(6+2)=32(cm¤ )
19
① DH”=2 cm이므로 △AHD에서
(cid:100) AH”="√4¤ -2¤ ='∂12=2'3(cm)
② △ABE=;2!;_AE”_BE”=;2!;_2_2'3=2'3(cm¤ )
③ GH”=DG”-DH”=AH”-DH”=2('3-1) cm
⑤ (cid:8772)EFGH는 한 변의 길이가 2('3-1) cm인 정사각형이
므로
((cid:8772)EFGH의 둘레의 길이)=4_2('3-1)
=8('3-1)(cm)
20
(cid:8772)ABED+(cid:8772)ACHI=(cid:8772)BFGC이므로
(cid:8772)ABED+15=25(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABED=10(cm¤ )
∴ AB”='∂10(cm) (∵ AB”>0)
E
x cm
F
A
D
4 cm
B
(8-x) cm
8 cm
C
18
△ABF에서 BF”="√5¤ -4¤ =3
EF”=AF”-AE”=4-3=1
(cid:8772)EFGH는 정사각형이므로
(cid:8772)EFGH=EF”
¤ =1¤ =1
15
△AEH™△BFE™△CGF™△DHG(SAS 합동)이므로
HE”=EF”=FG”=GH”이고,
∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90˘
따라서 (cid:8772)EFGH는 정사각형이다.
AH”=AD”-DH”=6-4=2이므로 △AEH에서
EH”="√4¤ +2¤ ='∂20=2'5
∴ (cid:8772)EFGH=(2'5 )¤ =20
21
① △ABF와 △EBC에서
(cid:100) AB”=EB”, BF”=BC”,
(cid:100) ∠ABF=∠ABC+90˘
=∠EBC
(cid:100) 이므로
△ABF™△EBC(SAS 합동)
∴ AF”=EC”
E
H
D
B
F
A
L
M
I
C
G
정답과 해설 13
(01-28)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:29 PM 페이지14 MAC2 data.terabooks.co.kr
② △AEC와 △ABF는 합동이 아니다.
③ EB”∥DC”이므로 △AEB=△EBC
BF”∥AM”이므로 △ABF=△BFL
△AEB=△EBC=△ABF=△BFL
④ (cid:8772)ACHI=2△ACH=2△BCH=2△AGC
=2△LGC=(cid:8772)LMGC
⑤ (cid:8772)ADEB=(cid:8772)BFML, (cid:8772)ACHI=(cid:8772)LMGC이므로
(cid:8772)ADEB+(cid:8772)ACHI=(cid:8772)BFML+(cid:8772)LMGC
=(cid:8772)BFGC
22
△ABC에서
AC”="√20¤ -16¤ =12(cm)
△AGC≡△HBC(SAS 합동)
D
I
A
E
16 cm
H
28
x¤ =8_4=32(cid:100)(cid:100)∴ x=4'2 (∵ x>0)
y¤ =8_(8+4)=96(cid:100)(cid:100)∴ y=4'6 (∵ y>0)
z¤ =4_(4+8)=48(cid:100)(cid:100)∴ z=4'3 (∵ z>0)
29
AC”
¤ =CD”_CB”이므로 4¤ =2_BC”(cid:100)(cid:100)∴ BC”=8(cm)
¤ =BD”_BC”=(8-2)_8=48이므로
또, AB”
AB”=4'3(cm) (∵ AB”>0)
30
BE”
¤ +BC”
¤ =DE”
¤ 이므로
¤ +CD”
¤ +8¤ , DE”
7¤ +5¤ =DE”
∴ DE”='∂10(cm) (∵ DE”>0)
¤ =10
이므로
△AGC=△HBC=△HAC
△AGC=;2!;(cid:8772)ACHI=;2!;_12¤
△AGC=72(cm¤ )
B
20 cm C
31
두 점 D, E가 각각 BC”, AC”의 중점이므로
F
G
DE”
”=;2!; AB”=;2!;_12=6
∴ AD”
¤ +BE”
¤ =AB”
¤ +DE”
¤ =12¤ +6¤ =180
23
ㄱ. 2¤ +4¤ =(2'5 )¤ 이므로 직각삼각형이다.
ㄴ. 4¤ +('∂15 )¤ +6¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
ㄷ. 16¤ +20¤ +25¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
ㄹ. 5¤ +(2'∂14 )¤ =9¤ 이므로 직각삼각형이다.
따라서 직각삼각형인 것은 ㄱ, ㄹ이다.
24
x+2가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형의 세 변의 길이 사
이의 관계에서
(x-2)+x>x+2(cid:100)(cid:100)∴ x>4
이 삼각형이 직각삼각형이 되려면
(x-2)¤ +x¤ =(x+2)¤ , x¤ -8x=0
x(x-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x>4)
추가하는 막대의 길이를 x cm라 하면
⁄ 가장 긴 막대의 길이가 8 cm일 때,
(cid:100) 6¤ +x¤ =8¤ , x¤ =28(cid:100)(cid:100)∴ x=2'7 (∵ x>0)
¤ 가장 긴 막대의 길이가 x cm일 때,
(cid:100) 6¤ +8¤ =x¤ , x¤ =100(cid:100)(cid:100)∴ x=10 (∵ x>0)
따라서 ⁄, ¤에서 막대의 길이는 2'7 cm 또는 10 cm이다.
① 5¤ >3¤ +3¤ 이므로 둔각삼각형이다.
② 7¤ <5¤ +6¤ 이므로 예각삼각형이다.
③ 13¤ =5¤ +12¤ 이므로 직각삼각형이다.
④ 3¤ >('3 )¤ +('5 )¤ 이므로 둔각삼각형이다.
⑤ 3¤ =1¤ +(2'2 )¤ 이므로 직각삼각형이다.
삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에서
5-35이므로 53¤ +5¤ , a¤ >34
∴ a>'∂34 (∵ a>0)(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100) yy ㉡
따라서 ㉠, ㉡에서 '∂340)
33
¤ +BC”
¤ +CD”
¤ =AD”
¤ 이므로
AB”
¤ +15¤ , AD”
(3'∂10 )¤ +13¤ =AD”
∴ AD”='∂34(cm) (∵ AD”>0)
△AOD에서
AO”="√('∂34 )¤ -5¤ =3(cm)
¤ =34
34
AP”
¤ +CP”
¤ =BP”
¤ 이므로
¤ =72
6¤ +10¤ =8¤ +DP”
∴ DP”=6'2(cm) (∵ DP”>0)
¤ +DP”
¤ , DP”
35
BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는
=;2(;p(cm¤ )
;2!;_p_{;2^;}
따라서 AB”를 지름으로 하는 반원의 넓이는
;2(;p+8p=:™2∞:p(cm¤ )
[다른 풀이]
AC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는
AC”
2
¤ =64
}
=8p이므로 AC”
;2!;_p_{
∴ AC”=8(cm) (∵ AC”>0)
△ABC에서 AB”
AB”를 지름으로 하는 반원의 넓이는
¤ =6¤ +8¤ =100이므로
;2!;_p_{
AB”
2
=
}
AB”
8
p=:;!8):);p=:™2∞:p(cm¤ )
36
(색칠한 부분의 넓이)=△ABC
=;2!;_8_4=16(cm¤ )
¤
¤
¤
¤
¤
(01-28)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:29 PM 페이지15 MAC2 data.terabooks.co.kr
100점 따라잡기
37
(cid:8772)ABCD=8 cm¤ 이므로
BC”='8=2'2(cm)
(cid:8772)ECGF=18 cm¤ 이므로
CG”='∂18=3'2(cm)
∴ BG”=BC”+CG”=2'2+3'2=5'2(cm)
△BGF에서
BF”="√(5'2 )¤ +(3'2 )¤ ='∂68=2'∂17(cm)
38
지면으로부터 대나무가 부러진 부분까
지의 높이를 x m라 하면 대나무의 높
이가 10 m이므로 대나무가 부러진 부
분으로부터 쓰러진 지점까지의 길이는
(10-x) m이다.
x¤ +3¤ =(10-x)¤ , 20x=91
∴ x=;2(0!;(m)
x m
(10-x) m
3 m
39
BC”=x m라 하면
AB”=40-(x+8)=32-x(m)
△ABC는 ∠C=90˘인 직각삼각형이므로
x¤ +8¤ =(32-x)¤ , 64x=960(cid:100)(cid:100)∴ x=15(m)
∴ (공원의 넓이)=;2!;_15_8=60(m¤ )
40
경사로의 수평 거리를 a cm라 하면
x cm
20 cm
a cm
(경사로의 기울기)
=
(경사로의 높이)
(경사로의 수평 거리)
=;1¡2;
이므로
20
a
=;1¡2;(cid:100)(cid:100)∴ a=240(cm)
즉, 빗변이 아닌 두 변의 길이가 각각 240 cm, 20 cm이므로
x="√240¤ +20¤ ='ƒ58000=20'∂145
41
△ABC에서
BC”="√6¤ +6¤ ='∂72
=6'2(cm)
∴ BD”=DE”=EC”=;3!; BC”
=;3!;_6'2=2'2(cm)
A
6 cm
6 cm
B
C
EH
D
2'2 cm
3
꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ABH는
직각이등변삼각형이므로
AH”=BH”=;2!; BC”=;2!;_6'2=3'2(cm)
따라서 DH”=BH”-BD”=3'2-2'2='2(cm)이므로
△ADH에서
AD”="√('2 )¤ +(3'2 )¤ ='∂20=2'5(cm)
42
AQ”=BQ”=x cm라 하면
CQ”=(8-x) cm
△AQC에서 (8-x)¤ +6¤ =x¤
A
P
x cm
6 cm
B
x cm
16x=100(cid:100)(cid:100)∴ x=:™4∞:(cm)
△ABC에서
AB”="√8¤ +6¤ =10(cm)이므로
AP”=;2!; AB”=;2!;_10=5(cm)
△APQ™△BPQ에서 △APQ는 직각삼각형이므로
CQ
(8-x) cm
PQ”=æ≠{:™4∞:}
¤ -5¤ =:¡4∞:(cm)
유형별
026~027P
1 ⑴ △BFL, △ABF, △EBC, △AEB, △ADE ⑵ 72 cm¤
2 ⑴ 8 cm ⑵ 2'∂41 cm
4 2'6, '∂74
6 6'7 cm¤
3
7
기본
3 ;2%; m
4-1 5'3, 5'5 5 4 cm
6-1 9'2 cm¤
발전
(12-6'3) cm
심화
'∂10 cm
3-1 :™
™8¡: m
5-1 3 cm
1
⑴ (cid:8772)BFML은 직사각형이므로 △BFL=△LFM
(cid:100) BF”∥AM”이므로 △ABF=△BFL
(cid:100) △EBC™△ABF(SAS 합동)이므로 △EBC=△ABF
(cid:100) EB”∥DC”이므로 △AEB=△EBC
(cid:100) (cid:8772)ADEB는 정사각형이므로 △ADE=△AEB
(cid:100) 따라서 △LFM과 넓이가 같은 삼각형은
(cid:100) △BFL, △ABF, △EBC, △AEB, △ADE이다.
⑵ △ABC에서 AB”="√15¤ -9¤ =12(cm)
(cid:100) ∴ △LFM=△AEB=;2!;_12¤ =72(cm¤ )
2
⑴ △ADC에서
AC”="√10¤ -6¤ =8(cm)
⑵ △ABC에서
(cid:100) AB”="√(4+6)¤ +8¤ ='∂164=2'∂41(cm)
지면으로부터 나무가 부러진 부분까지
의 높이를 x m라 하면 나무의 높이가
9 m이므로 나무가 부러진 부분으로부
터 쓰러진 지점까지의 길이는 (9-x) m이다.
x¤ +6¤ =(9-x)¤
x m
18x=45(cid:100)(cid:100)∴ x=;2%;(m)
(9-x) m
6 m
yy ①
yy ②
단계
①
②
채점 요소
부러진 부분까지의 높이를 x m로 놓고 나머지 부분을 x에 대한
식으로 나타내기
피타고라스 정리를 이용하여 x의 값 구하기
배점
4점
4점
정답과 해설 15
(01-28)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:29 PM 페이지16 MAC2 data.terabooks.co.kr
3-1
지면으로부터 전봇대가 부러진 부분까
지의 높이를 x m라 하면 전봇대의 높
이가 12 m이므로 전봇대가 부러진 부
분으로부터 쓰러진 지점까지의 길이는 (12-x) m이다.
x m
9 m
(12-x) m
6
△ABC에서
AC”="√8¤ -(2'7 )¤ ='∂36=6(cm)
∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC
x¤ +9¤ =(12-x)¤
24x=63(cid:100)(cid:100)∴ x=:™8¡:(m)
단계
①
②
채점 요소
부러진 부분까지의 높이를 x m로 놓고 나머지 부분을 x에 대한
식으로 나타내기
피타고라스 정리를 이용하여 x의 값 구하기
배점
4점
4점
4
⁄ 가장 긴 변의 길이가 7일 때,
(cid:100) 5¤ +a¤ =7¤ , a¤ =24(cid:100)(cid:100)∴ a=2'6 (∵ a>0) yy ①
¤ 가장 긴 변의 길이가 a일 때,
(cid:100) 5¤ +7¤ =a¤ , a¤ =74(cid:100)(cid:100)∴ a='∂74 (∵ a>0) yy ②
yy ③
따라서 ⁄, ¤에서 a의 값은 2'6, '∂74
yy ①
yy ②
yy ③
배점
3점
3점
2점
yy ①
yy ②
yy ③
배점
3점
3점
2점
배점
3점
2점
yy ①
yy ②
yy ②
yy ③
배점
2점
4점
2점
A
3 cm
G
E
b cm
=;2!;_2'7_6
=6'7(cm¤ )
채점 요소
AC”의 길이 구하기
(색칠한 부분의 넓이)=△ABC임을 알기
색칠한 부분의 넓이 구하기
단계
①
②
③
단계
①
②
③
단계
①
②
6-1
△ABC에서
AB”="√9¤ -3¤ ='∂72=6'2(cm)
∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC
=;2!;_6'2_3
=9'2(cm¤ )
채점 요소
AB”의 길이 구하기
(색칠한 부분의 넓이)=△ABC임을 알기
색칠한 부분의 넓이 구하기
7
기본
4¤ +x¤ =(x+2)¤ 에서
4x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=3
채점 요소
피타고라스 정리를 이용하여 식 세우기
x의 값 구하기
발전
△ABE™△ADF(RHS 합동)이므로
BE”=DF”=x cm라 하면
CE”=CF”=(6-x) cm
A
yy ①
6 cm
D
x cm
F
(6-x) cm
C
(6-x) cm
B
E
x cm
△ABE에서
¤ =6¤ +x¤
AE”
△CFE에서
EF”
¤ =(6-x)¤ +(6-x)¤
¤ 이므로
¤ =EF”
6¤ +x¤ =(6-x)¤ +(6-x)¤
AE”
x¤ -24x+36=0
∴ x=12-6'3(cm) (∵ 00)
¤ 가장 긴 변의 길이가 a일 때,
(cid:100) 5¤ +10¤ =a¤ , a¤ =125
(cid:100) ∴ a=5'5 (∵ a>0)
따라서 ⁄, ¤에서 a의 값은 5'3, 5'5
단계
①
②
③
채점 요소
가장 긴 변의 길이가 10일 때, a의 값 구하기
가장 긴 변의 길이가 a일 때, a의 값 구하기
답 구하기
¤ 이므로
¤ +CD”
¤ +BC”
¤ +7¤ , AD”
¤ =AD”
AB”
5¤ +(2'∂11 )¤ =AD”
∴ AD”=2'5(cm) (∵ AD”>0)
△AOD에서
OD”="√(2'5 )¤ -2¤ =4(cm)
¤ =20
단계
①
②
AD”의 길이 구하기
OD”의 길이 구하기
채점 요소
¤ 이므로
AB”
¤ +CD”
6¤ +7¤ =AD”
¤ +BC”
¤ =AD”
¤ +(2'∂15 )¤ , AD”
∴ AD”=5(cm) (∵ AD”>0)
△AOD에서
AO”="√5¤ -4¤ =3(cm)
¤ =25
단계
①
②
AD”의 길이 구하기
AO”의 길이 구하기
채점 요소
16 수학❸- 2 _ 중간
(01-28)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:29 PM 페이지17 MAC2 data.terabooks.co.kr
DH”=;2!; AC”=
3+b
2
(cm)
FH”=FC”-HC”=FC”-DG”
=a-
1+a
2
=
a-1
2
(cm)
△DEGª△DFH(AA 닮음)이므로
DG” : DH”=EG” : FH”에서
a+1
2
:
3+b
2
=
3-b
2
:
a-1
2
9-b¤
4
=
a¤ -1
4
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ =10
4
△AEF™△ADF이므로
EF”=DF”=x cm라 하면
CF”=(18-x) cm
A
30 cm
18 cm
30 cm
x cm
B
24 cm
D
x cm
F
(18-x) cm
C
E
6 cm
yy ①
yy ②
AE”=AD”=30 cm이므로
△ABE에서
BE”="√30¤ -18¤ ='∂576=24(cm)
∴ CE”=BC”-BE”=30-24=6(cm)
△CFE에서
6¤ +(18-x)¤ =x¤ , 36x=360
∴ x=10(cm)
△EFC에서 EF”="√a¤ +b¤ ='∂10(cm)
yy ③
∴ △AEF=;2!;_AE”_EF”
단계
①
②
③
채점 요소
CF”=a cm, CE”=b cm로 놓고 DG”, EG”, DH”, FH”의 길이
를 a, b에 대한 식으로 나타내기
삼각형의 닮음을 이용하여 비례식 세우기
EF”의 길이 구하기
배점
4점
3점
3점
5
6
7
8
9
=;2!;_30_10=150(cm¤ )
BF”=AE”=3 cm이므로 △ABF에서
AF”="√6¤ -3¤ ='∂27=3'3(cm)
∴ EF”=AF”-AE”=3('3-1)(cm)
따라서 (cid:8772)EFGH는 한 변의 길이가 3('3-1) cm인 정사각
형이므로
((cid:8772)EFGH의 둘레의 길이)=4_3('3-1)
=12('3-1)(cm)
(cid:8772)ADEB=(cid:8772)BFGC+(cid:8772)ACHI이므로
100=(cid:8772)BFGC+36(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)BFGC=64(cm¤ )
따라서 AB”='∂100=10(cm), AC”='∂36=6(cm),
BC”='∂64=8(cm)이므로
(△ABC의 둘레의 길이)=AB”+AC”+BC”
[다른 풀이]
AB”='∂100=10(cm), AC”='∂36=6(cm)이므로
△ABC에서 BC”="√10¤ -6¤ =8(cm)
∴ (△ABC의 둘레의 길이)=AB”+AC”+BC”
=10+6+8
=24(cm)
=10+6+8
=24(cm)
① 3¤ +('7 )¤ =4¤ 이므로 직각삼각형이다.
② 3¤ +3¤ =(3'2 )¤ 이므로 직각삼각형이다.
③ 2¤ +('∂14 )¤ =(3'2 )¤ 이므로 직각삼각형이다.
④ 7¤ +24¤ =25¤ 이므로 직각삼각형이다.
⑤ 8¤ +12¤ +15¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
9¤ >6¤ +5¤ 이므로 △ABC는 오른쪽 그
림과 같이 ∠B>90˘인 둔각삼각형이다.
C
5 cm
9 cm
A
6 cm
B
¤ =BD”_CD”=8_4=32
AD”
∴ AD”=4'2(cm) (∵ AD”>0)
AB”_AC”=BC”_AD”이므로
xy=(8+4)_4'2=48'2
정답과 해설 17
중단원
028~029P
1 ⑤
7 ⑤
2 ②
8 ⑤
3 ③
9 ①
5 ④
4 ⑤
10 ① 11 ⑤
6 ③
12 ②
주관식 문제
13 2'7 cm
14 13
15 '∂10 cm
16 6 cm
AC”="√9¤ -6¤ ='∂45=3'5(cm)
∴ △ABC=;2!;_6_3'5=9'5(cm¤ )
1
2
직각삼각형이 1개일 때, BO”="√1¤ +1¤ ='2
직각삼각형이 2개일 때, CO”="√('2 )¤ +1¤ ='3
직각삼각형이 3개일 때, DO”="√('3 )¤ +1¤ ='4
⋮
직각삼각형이 n개일 때,
(`n번째 직각삼각형의 빗변의 길이)='ƒn+1
따라서 'ƒn+1='∂12에서 n=11이므로 필요한 직각삼각형
의 개수는 11개이다.
3
두 꼭짓점 A, D에서 BC”에 내린 수
선의 발을 각각 H, H'이라 하면
HH'”=AD”=5 cm이므로
A
5 cm
D
4 cm
B
H
H'
C
9 cm
BH”=;2!;_(9-5)=2(cm)
△ABH에서 AH”="√4¤ -2¤ ='∂12=2'3(cm)
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(5+9)_2'3=14'3(cm¤ )
(01-28)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:29 PM 페이지18 MAC2 data.terabooks.co.kr
10
점 D, E가 각각 AB”, BC”의 중점이므로
AD”=;2!;_12=6(cm), CE”=;2!;_16=8(cm)
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해
2 20'∂14 cm¤
3 ;3*; cm¤ 4 4개
5 ③, ⑤
030~031P
중단원
1 ③
6 54
DE”=;2!; AC”
¤ +AC”
DE”
¤ =AD”
¤ +CE”
¤ 이므로
{;2!; AC”}
¤ +AC”
¤ =6¤ +8¤
¤ =100, AC”
;4%; AC”
∴ AC”=4'5(cm) (∵ AC”>0)
¤ =80
△EDC에서 DE”="√3¤ +2¤ ='∂13
¤ =AB”
∴ AD”
=(3'3 )¤ +('∂13 )¤ =40
¤ +DE”
¤ +BE”
11
12
AB”, AC”, BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이를 각각 P, Q,
R라 하면 P+Q=R이므로
(색칠한 부분의 넓이)=P+Q+R=2R
(색칠한 부분의 넓이)=2_{;2!;_p_3¤ }=9p(cm¤ )
14
x+1이 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형의 세 변의 길이 사
주관식 문제
13
△ADC에서
CD”="√4¤ -(2'3 )¤ =2(cm)
BD”=BC”-CD”=6-2=4(cm)이므로
△ABD에서
AB”="√4¤ +(2'3 )¤ ='∂28=2'7(cm)
이의 관계에서
(x-7)+x>x+1(cid:100)(cid:100)∴ x>8
이 삼각형이 직각삼각형이 되려면
(x-7)¤ +x¤ =(x+1)¤ , x¤ -16x+48=0
(x-4)(x-12)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=12 (∵ x>8)
따라서 직각삼각형의 빗변의 길이는
x+1=12+1=13
15
AP”
¤ 이므로
¤ +CP”
¤ +DP”
¤ =BP”
¤ =5¤ +7¤ , CP”
8¤ +CP”
∴ CP”='∂10(cm) (∵ CP”>0)
¤ =10
16
색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로
;2!;_AB”_2'5=4'5(cid:100)(cid:100)∴ AB”=4(cm)
따라서 △ABC에서
BC”="√4¤ +(2'5 )¤ =6(cm)
단계
①
②
AB”의 길이 구하기
BC”의 길이 구하기
채점 요소
yy ①
yy ②
배점률
60%
40%
18 수학❸- 2 _ 중간
x="√8¤ -('∂39 )¤ ='∂25=5
점 G가 △ABC의 무게중심이므로 AG” : AD”=2 : 3
이때, AG”=6 cm이므로 AD”=9 cm
또, 점 D는 직각삼각형 ABC의 외심이므로
BD”=CD”=AD”=9 cm
따라서 △ABC에서
AB”="√(9+9)¤ -10¤ ='∂224=4'∂14(cm)
∴ △ABC=;2!;_4'∂14_10=20'∂14(cm¤ )
AD”=AB”=8 cm이므로 △ADE에서
DE”="√10¤ -8¤ =6(cm)
∴ CE”=8-6=2(cm)
△ADEª△FCE(AA 닮음)이고 닮음비는
DE”：CE”=6：2=3：1이므로
AD”：CF”=3：1에서 8：CF”=3：1
∴ CF”=;3*;(cm)
∴ △CFE=;2!;_;3*;_2=;3*;(cm¤ )
ㄱ. 2¤ +6¤ =(2'∂10 )¤ 이므로 직각삼각형이다.
ㄴ. 2¤ +(2'2 )¤ =(2'3 )¤ 이므로 직각삼각형이다.
ㄷ. 6¤ +(2'7 )¤ =8¤ 이므로 직각삼각형이다.
ㄹ. 3¤ +('5 )¤ +('∂15 )¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
ㅁ. 4¤ +6¤ +8¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
ㅂ. 9¤ +12¤ =15¤ 이므로 직각삼각형이다.
따라서 직각삼각형인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㅂ의 4개이다.
1
2
3
4
5
⁄ 가장 긴 변의 길이가 5일 때,
(cid:100) 4¤ +a¤ =5¤ , a¤ =9
(cid:100) ∴ a=3 (∵ a>0)
¤ 가장 긴 변의 길이가 a일 때,
(cid:100) 4¤ +5¤ =a¤ , a¤ =41
(cid:100) ∴ a='∂41 (∵ a>0)
따라서 ⁄, ¤에서 a의 값은 3, '∂41
6
2x-3-(x+3)=x-6>0 (∵ x>6)이므로
2x-3>x+3
따라서 가장 긴 변의 길이는 2x-3이다.
이 삼각형이 직각삼각형이 되려면
x¤ +(x+3)¤ =(2x-3)¤
x¤ -9x=0, x(x-9)=0
∴ x=9 (∵ x>6)
따라서 세 변의 길이는 각각 9, 12, 15이므로
(삼각형의 넓이)=;2!;_9_12=54
¤
(01-28)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:29 PM 페이지19 MAC2 data.terabooks.co.kr
2
피타고라스 정리의 활용
7-1
개념check
032~033P
1-1 ⑴ 10 cm ⑵ 3'2 cm
2-1 높이：2'3 cm, 넓이：4'3 cm¤
2-2 ⑴ 4 cm ⑵ 12 cm¤
3-1 ⑴ x=3, y=3'2 ⑵ x=2'3, y=2
4-1 ⑴ 2'5 ⑵ '∂29
6-1 높이：2'6 cm, 부피：18'2 cm‹
16'∂17
3
7-1 ⑴ 높이：'∂17 cm, 부피：
cm‹
⑵ 높이：12 cm, 부피：100p cm‹
8-1 5'5
5-1 ⑴ 5'2 ⑵ 5'3
1-1
⑴ (대각선의 길이)="√6¤ +8¤ =10(cm)
⑵ (대각선의 길이)='2_3=3'2(cm)
2-1
(높이)= _4=2'3(cm)
(넓이)= _4¤ =4'3(cm¤ )
'3
2
'3
4
2-2
3-1
⑴ BH”=;2!; BC”=;2!;_6=3(cm)
(cid:100) △ABH에서 AH”="√5¤ -3¤ =4(cm)
⑵ △ABC=;2!;_6_4=12(cm¤ )
⑴ 3：x=1：1(cid:100)(cid:100)∴ x=3
(cid:100) 3：y=1：'2(cid:100)(cid:100)∴ y=3'2
⑵ x：4='3：2(cid:100)(cid:100)∴ x=2'3
(cid:100) y：4=1：2(cid:100)(cid:100)∴ y=2
4-1
⑴ OP”="√4¤ +2¤ ='∂20=2'5
⑵ PQ”="√{-3-(-1)}¤ +√(-1-4)¤ ='∂29
5-1
⑴ (대각선의 길이)="√5¤ +4¤ +3¤ ='∂50=5'2
⑵ (대각선의 길이)='3_5=5'3
'6
3
'2
12
6-1
(높이)= _6=2'6(cm)
(부피)= _6‹ =18'2(cm‹ )
[다른 풀이]
'3
2
BM”= _6=3'3(cm)
BH”=;3@; BM”=;3@;_3'3=2'3(cm)
△ABH에서
(높이)=AH”="√6¤ -(2'3 )¤ ='∂24=2'6(cm)
△BCD= _6¤ =9'3(cm¤ )이므로
'3
4
(부피)=;3!;_9'3_2'6=18'2(cm‹ )
⑴ AC”='2_4=4'2(cm)
(cid:100) AH”=;2!; AC”=;2!;_4'2=2'2(cm)
(cid:100) ∴ (높이)=øπ5¤ -(2'2 )¤ ='∂17(cm),
(cid:100) (cid:100) (부피)=;3!;_4¤ _'∂17=
16'∂17
3
(cm‹ )
⑵ (높이)="√13¤ -5¤ =12(cm)
(cid:100) (부피)=;3!;_p_5¤ _12=100p(cm‹ )
8-1
오른쪽 전개도에서 구하는 최단 거리는
BH”의 길이이므로
BH”="√(6+4)¤ +5¤ ='∂125=5'5
A
B
D
H
5
G
6
C
4
7-1 2'3 cm 7-2
cm 8-1 144'2 cm‹
034~037P
1-3 ③
3-2 '6
5-1 ①
6-2 ④
2-1 6'6 cm¤
4-1 ③
5-2 ⑤
6-3 ④
8-3 ②
9-1
32'7
3
cm‹
p cm‹
10-1
98'∂30
3
11-1 18'2 p cm‹
1-1 ⑤
2-2 84 cm¤
4-2 ②
5-3 ④
1-2 ④
3-1 ④
4-3 ⑤
6-1 ②
8'3
3
8-2
128'2
3
cm‹
9-2 12'∂46 cm‹
10-2 81'7p cm‹
32'5
3
11-2
p cm‹
1-1
(넓이)= _6¤ =9'3(cm¤ )
1-2
(넓이)= _8¤ =16'3(cm¤ )
'3
4
'3
4
'3
2
1-3
AD”= _10=5'3(cm)
'3
∴ △ADE= _(5'3 )¤ =
4
75'3
4
(cm¤ )
A
B
6 cm
D
H M
C
2-1
꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선
의 발을 H라 하고 BH”=x cm
A
라 하면
CH”=(6-x) cm
5 cm
7 cm
x cm
(6-x) cm
B
H
C
6 cm
△ABH와 △AHC에서
AH”
¤ =5¤ -x¤ =7¤ -(6-x)¤
12x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=1(cm)
따라서 AH”="√5¤ -1¤ ='∂24=2'6(cm)이므로
△ABC=;2!;_6_2'6=6'6(cm¤ )
정답과 해설 19
(01-28)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:29 PM 페이지20 MAC2 data.terabooks.co.kr
2-2
꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선
의 발을 H라 하고 BH”=x cm
A
라 하면
CH”=(14-x) cm
△ABH와 △AHC에서
AH”
¤ =13¤ -x¤ =15¤ -(14-x)¤
28x=140(cid:100)(cid:100)∴ x=5(cm)
따라서 AH”="√13¤ -5¤ =12(cm)이므로
△ABC=;2!;_14_12=84(cm¤ )
13 cm
15 cm
x cm
(14-x) cm
B
C
H
14 cm
3-1
△ABC에서 AC”：12='3：2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=6'3(cm)
△ACD에서 x：6'3=1：'2(cid:100)(cid:100)∴ x=3'6
3-2
△ABC에서 AC”：4=1：'2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=2'2(cm)
△ACD에서 x：2'2='3：2(cid:100)(cid:100)∴ x='6
4-1
AB”="√{2-(-3)}¤
√+(-3-1)¤ ='∂41
4-2
AB”="√(3-2)¤ +√{5-(-1)}¤ ='∂37
4-3
① AB”="√(-1-3)¤ +√(1-3)¤ ='∂20=2'5
② AC”="√(1-3)¤ +√(-3-3)¤ ='∂40=2'∂10
③, ④ BC”="√{1-(-1)}¤
(cid:100) 즉, AB”=BC”이고 AC”
√+(-3-1)¤ ='∂20=2'5
¤ =AB”
¤ +BC”
¤ 이므로 △ABC는
∠B=90˘인 직각이등변삼각형이다.
A
⑤ △ABC=;2!;_2'5_2'5=10
5-1
(대각선의 길이)="√6¤ +5¤ +4¤ ='∂77(cm)
5-2
(대각선의 길이)="√8¤ +5¤ +6¤ ='∂125=5'5(cm)
5-3
BF”=x cm라 하면
"√4¤ +3¤ +x¤ =5'2이므로 25+x¤ =50
x¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ x=5(cm) (∵ x>0)
6-1
정육면체의 한 모서리의 길이를 x cm라 하면
'3x='6(cid:100)(cid:100)∴ x='2(cm)
6-2
정육면체의 한 모서리의 길이를 x cm라 하면
'3x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=4'3(cm)
6-3
AG”='3_3=3'3(cm)
AF”를 그으면 AF”='2_3=3'2(cm)
△AFG에서 AF”_FG”=AG”_FI”이므로
3'2_3=3'3_FI”(cid:100)(cid:100)∴ FI”='6(cm)
20 수학❸- 2 _ 중간
7-1
(삼각뿔 D-BGC의 부피)=;3!;_△BGC_DC”
=;3!;_{;2!;_6_6}_6
=36(cm‹ )
△BGD는 한 변의 길이가 6'2 cm인 정삼각형이므로
△BGD= _(6'2 )¤ =18'3(cm¤ )
'3
4
(삼각뿔 C-BGD의 부피)=;3!;_△BGD_CI”
=;3!;_18'3_CI”
=6'3 CI”(cm‹ )
(삼각뿔 C-`BGD의 부피)=(삼각뿔 D-`BGC의 부피)이므로
6'3 CI”=36(cid:100)(cid:100)∴ CI”=2'3(cm)
7-2
(삼각뿔 D-BGC의 부피)=;3!;_△BGC_DC”
=;3!;_{;2!;_8_8}_8
=:;@3%:^;(cm‹ )
△BGD는 한 변의 길이가 8'2 cm인 정삼각형이므로
△BGD= _(8'2 )¤ =32'3(cm¤ )
'3
4
(삼각뿔 C-BGD의 부피)=;3!;_△BGD_CI”
=;3!;_32'3_CI”
=
32'3
3
CI”(cm‹ )
8-1
(부피)= _12‹ =144'2(cm‹ )
'2
12
[다른 풀이]
'3
2
CD”= _12=6'3(cm)
CH”=;3@; CD”=;3@;_6'3=4'3(cm)
△OCH에서 OH”="√12¤ -(4'3 )¤ =4'6(cm)
∴ (부피)=;3!;_{ _12¤ }_4'6=144'2(cm‹ )
'3
4
8-2
'2
(부피)= _8‹ =
12
128'2
3
(cm‹ )
[다른 풀이]
'3
2
CD”= _8=4'3(cm)
CH”=;3@; CD”=;3@;_4'3=
(cm)
△OCH에서 OH”=æ≠8¤ -{
∴ (부피)=;3!;_{ _8¤ }_
'3
4
¤ =
}
(cm)
8'6
3
128'2
3
=
(cm‹ )
8'3
3
8'3
3
8'6
3
12 cm
A
D
H
B
O
O
8 cm
A
D
H
B
C
C
2'5
B
2
10
C
2'5
(삼각뿔 C-`BGD의 부피)=(삼각뿔 D-`BGC의 부피)이므로
32'3
3
CI”=:;@3%:^;(cid:100)(cid:100)∴ CI”=
8'3
3
(cm)
(01-28)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:29 PM 페이지21 MAC2 data.terabooks.co.kr
8-3
정삼각형 ABC에서 CM”= _6=3'3(cm)
점 H는 △ABC의 무게중심이므로
'3
2
HM”=;3!; CM”=;3!;_3'3='3(cm)
OH”= _6=2'6(cm)
'6
3
∴ △OMH=;2!;_'3_2'6=3'2(cm¤ )
[다른 풀이]
'3
OM”=CM”= _6=3'3(cm)
2
HM”=;3!; CM”=;3!;_3'3='3(cm)
△OMH에서
OH”="√(3'3 )¤ -('3 )¤ ='∂24=2'6(cm)
∴ △OMH=;2!;_'3_2'6=3'2(cm¤ )
9-1
AC”='2_4=4'2(cm)이므로
CH”=;2!; AC”=;2!;_4'2=2'2(cm)
△OHC에서 OH”="√6¤ -(2'2 )¤ ='∂28=2'7(cm)
∴ (부피)=;3!;_4¤ _2'7=
32'7
3
(cm‹ )
9-2
AC”='2_6=6'2(cm)이므로
CH”=;2!; AC”=;2!;_6'2=3'2(cm)
△OHC에서 OH”=øπ8¤ -(3'2)¤ ='∂46(cm)
∴ (부피)=;3!;_6¤ _'∂46=12'∂46(cm‹ )
10-1
(높이)="√13¤ -7¤ =2'∂30(cm)
∴ (부피)=;3!;_p_7¤ _2'∂30=
98'∂30
3
p(cm‹ )
10-2
(높이)="√12¤ -9¤ ='∂63=3'7(cm)
∴ (부피)=;3!;_p_9¤ _3'7=81'7p(cm‹ )
11-1
원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면
2pr=2p_9_;3!6@0);(cid:100)(cid:100)∴ r=3(cm)
주어진 전개도로 만들어지는 원뿔은 오른쪽
그림과 같으므로
(높이)="√9¤ -3¤ ='∂72=6'2(cm)
∴ (부피)=;3!;_p_3¤ _6'2=18'2p(cm‹ )
11-2
원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면
2pr=2p_6_;3@6$0);(cid:100)(cid:100)∴ r=4(cm)
주어진 전개도로 만들어지는 원뿔은 오른
쪽 그림과 같으므로
(높이)="√6¤ -4¤ ='∂20=2'5(cm)
∴ (부피)=;3!;_p_4¤ _2'5=
32'5
3
p(cm‹ )
주제별
038~045P
1 '∂61 cm 2 78 cm¤ 3 '6 cm 4
4'5
5
cm
5 ③
8 ④
7 ①
13 x=9'2, y=3'6 14 12('3-1) cm
9 ⑤
10 ③ 11 4'3
6 ⑤
12 2'3
15 3'3 cm
20 ② 21 예각삼각형
25 ③ 26 4'3 cm
16 ①
17 10
18 6
19 ③
22 ③ 23 ④ 24 ②
27 3'6 cm
28 2'6 cm¤
29
4'3
3
cm
30 ③
31 54'6 cm‹
35 ② 36 ④ 37 ④
39 24p cm‹
42 4'5 cm
46 6'3 cm
100점 따라잡기
32 ④ 33 6'2 cm
38 48p cm¤
34 ④
40 36'5 p cm‹
41 81'7p cm‹
43 ② 44 ① 45 4'∂10p cm
47 ⑤
48 18'2 49 1
52 288 cm‹
50 13 km
53 60p cm‹
51 10'∂142 cm
1
2
3
4
BD”="√6¤ +5¤ ='∂61(cm)
가로, 세로의 길이를 각각 3k cm, 2k cm(k>0)라 하면
"√(3k)¤ +(2k)¤ =13, '∂13k=13(cid:100)(cid:100)∴ k='∂13
∴ (넓이)=3'∂13_2'∂13=78(cm¤ )
정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
'2x=2'3(cid:100)(cid:100)∴ x='6(cm)
BD”="√2¤ +4¤ ='∂20=2'5(cm)
AB”_AD”=BD”_AH”이므로
2_4=2'5_AH”(cid:100)(cid:100)∴ AH”=
4'5
5
(cm)
5
(높이)= _4'3=6(cm)
(넓이)= _(4'3 )¤ =12'3(cm¤ )
'3
2
'3
4
'3
2
6
AD”= _12=6'3(cm)
9 cm
∴ △ADE= _(6'3 )¤ =27'3(cm¤ )
'3
4
3 cm
7
_8¤ =;2!;_8_PQ”+;2!;_8_PR”
△ABC=△ABP+△APC이므로
'3
4
16'3=4PQ”+4 PR”
∴ PQ”+PR”=4'3(cm)
A
8 cm
Q
B
P
R
C
6 cm
8
정육각형의 한 변의 길이는
4 cm
;2!;_12=6(cm)
12 cm
O
∴ (넓이)=6_{ _6¤ }=54'3(cm¤ )
'3
4
정답과 해설 21
(01-28)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:29 PM 페이지22 MAC2 data.terabooks.co.kr
9
꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을
H라 하면
19
x¤ =x+2에서 x¤ -x-2=0
(x+1)(x-2)=0
BH”=;2!; BC”=;2!;_10=5(cm)
△ABH에서 AH”="√7¤ -5¤ ='∂24=2'6(cm)
∴ △ABC=;2!;_10_2'6=10'6(cm¤ )
B
∴ x=-1 또는 x=2
x=-1일 때 y=1, x=2일 때 y=4이므로
A(-1, 1), B(2, 4) 또는 A(2, 4), B(-1, 1)
√+(4-1)¤ ='∂18=3'2
∴ AB”="√{2-(-1)}¤
7 cm
7 cm
5 cm
H
C
A
A
10
꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의
발을 H라 하고 BH”=x cm라 하면
CH”=(9-x) cm
△ABH와 △AHC에서
AH”
¤ =(2'∂13 )¤ -x¤ =5¤ -(9-x)¤
2
13`cm
B
x cm
H
9 cm
5 cm
C
(9-x) cm
18x=108(cid:100)(cid:100)∴ x=6(cm)
따라서 AH”="√(2'∂13 )¤ -6¤ ='∂16=4(cm)이므로
△ABC=;2!;_9_4=18(cm¤ )
△ABD에서 4'2：BD”=1：'2(cid:100)(cid:100)∴ BD”=8(cm)
△BCD에서 x：8='3：2(cid:100)(cid:100)∴ x=4'3
△ADC에서 3：AD”=1：1(cid:100)(cid:100)∴ AD”=3(cm)
△ABD에서 3：x='3：2(cid:100)(cid:100)∴ x=2'3
△ABC에서 9：x=1：'2(cid:100)(cid:100)∴ x=9'2
△BCD에서 y：9'2=1：'3(cid:100)(cid:100)∴ y=3'6
△ABC에서 12：BC”=1：'3(cid:100)(cid:100)∴ BC”=12'3(cm)
△ABD에서 ∠ADC=30˘+15˘=45˘이므로
△ADC에서 12：CD”=1：1(cid:100)(cid:100)∴ CD”=12(cm)
∴ BD”=BC”-CD”=12'3-12=12('3-1)(cm)
11
12
13
14
15
△ABC에서 BC”：12='3：2(cid:100)(cid:100)∴ BC”=6'3(cm)
△BCH에서 CH”：6'3=1：2(cid:100)(cid:100)∴ CH”=3'3(cm)
16
정팔각형의 한 외각의 크기는
360˘
8
=45˘
이므로 오른쪽 그림에서 △ABC는 세
내각의 크기가 각각 45˘, 45˘, 90˘인 직각
이등변삼각형이다.
정팔각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
6 cm
C
F
x cm
45˘
A
B
D
E
△ABC에서 AC”：x=1：'2이므로 AC”= x(cm)
같은 방법으로 하면 △DEF에서 DF”= x(cm)
'2
2
'2
2
'2
AD”=6 cm이므로 x+x+ x=6
2
('2+1)x=6(cid:100)(cid:100)∴ x=6('2-1)(cm)
'2
2
17
AB”="√(-3-3)¤
√+(-5-3)¤ ='∂100=10
18
√+(a-3)¤ ='∂10이므로
AB”="√(-2-1)¤
a¤ -6a+18=10, a¤ -6a+8=0
(a-2)(a-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=2 또는 a=4
따라서 a의 값의 합은 2+4=6
22 수학❸- 2 _ 중간
20
점 A와 x축에 대하여 대칭인 점을 A'이
라 하면 A'(-2, -1)
이때, AP”=A'P”이므로
AP”+BP”=A'P”+BP”æA'B”
y
4
1
A
B
-2
-1
A'
O
x
3
P
="√{3-(-2)}¤
='∂50=5'2
√+{4-(-1)}¤
따라서 AP”+BP”의 최솟값은 5'2이다.
21
22
AB”="√{-3-(-1)}¤
BC”="√{3-(-3)}¤
CA”="√(-1-3)¤
¤ +BC”
¤ 0)
25
정육면체의 한 모서리의 길이를 x cm라 하면
'3x=9(cid:100)(cid:100)∴ x=3'3(cm)
26
정육면체의 대각선의 길이는 구의 지름과 같으므로
(구의 반지름의 길이)=;2!;_('3_8)=4'3(cm)
27
AG”='3_9=9'3(cm)
EG”를 그으면 EG”='2_9=9'2(cm)
△AEG에서 AE”_EG”=AG”_EI”이므로
9_9'2=9'3_EI”
∴ EI”=3'6(cm)
28
AM”=MG”=GN”=NA”이므로 (cid:8772)AMGN은 마름모이다.
MN”=BD”=2'2 cm, AG”=2'3 cm이므로
(cid:8772)AMGN=;2!;_2'2_2'3=2'6 (cm¤ )
¤
(01-28)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:29 PM 페이지23 MAC2 data.terabooks.co.kr
29
(삼각뿔 A-BFC의 부피)=
_△BFC_AB”
;3!;
;;£3™;;
△AFC는 한 변의 길이가 4'2 cm인 정삼각형이므로
;3!;
_{;2!;
_4_4}_4=
=
(cm‹ )
△AFC= _(4'2 )¤ =8'3 (cm¤ )
'3
4
(삼각뿔 B-AFC의 부피)=
_△AFC_BI”
;3!;
=
;3!;
_8'3_BI”=
8'3
3
BI” (cm‹ )
(삼각뿔 B-AFC의 부피)=(삼각뿔 A-BFC의 부피)이므로
8'3
4'3
3
3
;;£3™;;(cid:100)(cid:100)∴ BI”=
(cm)
BI”=
30
AC”='2_6=6'2(cm)
AF”, CF”를 그으면 △AFC는 한 변의
길이가 6'2 cm인 정삼각형이고, 점 M
은 AC”의 중점이므로 FM”⊥AC”이다.
∴ FM”= _6'2=3'6(cm)
A
M
C
6 cm
D
H
E
G
B
F
'3
2
'2
12
[다른 풀이]
'3
2
CD”= _6'3=9(cm)
CH”=;3@; CD”=;3@;_9=6(cm)
△OCH에서
OH”="√(6'3 )¤ -6¤ =6'2(cm)
O
6'3 cm
A
D
H
B
C
∴ (부피)=;3!;_[ _(6'3 )¤ ]_6'2=54'6(cm‹ )
'3
4
32
정삼각형 ABC에서 CM”= _4=2'3(cm)
'3
2
점 H는 △ABC의 무게중심이므로
HM”=;3!; CM”=;3!;_2'3=
2'3
3
(cm)
'6
OH”= _4=
3
(cm)
4'6
3
2'3
3
∴ △OMH=;2!;_
_
4'6
3
=
4'2
3
(cm¤ )
(cid:100) △OAH에서 OH”="√5¤ -(3'2 )¤ ='7(cm)
③ 꼭짓점 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 M이라 하면
(cid:100) AM”=;2!; AB”=;2!;_6=3(cm)이므로 △OAM에서
(cid:100) OM”="√5¤ -3¤ =4(cm)
(cid:100) ∴ △OAB=;2!;_6_4=12(cm¤ )
④ (정사각뿔의 겉넓이)=4△OAB+(cid:8772)ABCD
=4_12+6_6=84(cm¤ )
⑤ (정사각뿔의 부피)=;3!;_6¤ _'7=12'7(cm‹ )
35
주어진 전개도로 만들어지는 정사각뿔
O
은 오른쪽 그림과 같다.
BD”='2_4=4'2(cm)이므로
DH”=;2!; BD”=;2!;_4'2=2'2(cm)
△OHD에서 OH”="√4¤ -(2'2 )¤ ='8=2'2(cm)
4 cm
A
H
B
∴ (부피)=;3!;_4¤ _2'2=
32'2
3
(cm‹ )
4 cm
D
4 cm
C
△ODC에서 두 점 M, N은 각각 OD”, OC”의 중점이므로
MN”=;2!; DC”=;2!;_8=4(cm), MN”∥DC”∥AB”
따라서 (cid:8772)MABN은 등변사다리꼴이다.
(cid:8772)MABN의 두 꼭짓점 M, N에
서 AB”에 내린 수선의 발을 각각
H, H'이라 하면
HH'”=MN”=4 cm
2 cm
4 cm
4'3 cm
4 cm
M
A
H
H'
8 cm
B
AH”=BH'”=;2!;_(8-4)=2(cm)
△MAH에서 MH”="√(4'3 )¤ -2¤ ='∂44=2'∂11(cm)
∴ (cid:8772)MABN=;2!;_(4+8)_2'∂11=12'∂11(cm¤ )
N
4'3 cm
37
(높이)="√6¤ -3¤ ='∂27=3'3(cm)
(부피)=;3!;_p_3¤ _3'3=9'3p(cm‹ )
38
△ABO에서 AB”="√8¤ -4¤ ='∂48=4'3(cm)
∴ (단면인 원의 넓이)=p_(4'3 )¤ =48p(cm¤ )
31
(부피)= _(6'3 )‹ =54'6(cm‹ )
36
'3
AM”=BN”= _8=4'3(cm)
2
33
BM”, CM”를 그으면 BM”=CM”이므로
△MBC는 이등변삼각형이고, 점 N은
BC”의 중점이므로 MN”⊥BC”이다.
BM”= _12=6'3(cm)
'3
2
M
12 cm
39
A
C
N
O
B
BN”=;2!; BC”=;2!;_12=6(cm)
△MBN에서 MN”="√(6'3 )¤ -6¤ ='∂72=6'2(cm)
34
① AC”='2_6=6'2(cm)
② AH”=;2!; AC”=;2!;_6'2=3'2(cm)
OH”=x cm라 하면 OB”=OA”=4 cm이
므로 △OBH에서
BH”
¤ =4¤ -x¤ =16-x¤ (cid:100)(cid:100)yy ㉠
또, △ABH에서
BH”
¤ =(4'3 )¤ -(4+x)¤
=32-8x-x¤ (cid:100)(cid:100)(cid:100) yy ㉡
4'3 cm
A
4 cm
4 cm
O
B
H
x cm
㉠, ㉡에서 16-x¤ =32-8x-x¤ , 8x=16(cid:100)(cid:100)∴ x=2(cm)
BH”="√4¤ -2¤ ='∂12=2'3(cm)이므로
(원뿔의 부피)=;3!;_p_(2'3 )¤ _(4+2)=24p(cm‹ )
정답과 해설 23
(01-28)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:29 PM 페이지24 MAC2 data.terabooks.co.kr
A
B
D
H
4 cm
5 cm
C
3 cm
G
8 cm
E
6 cm
6 cm
F
H G
3 cm
A
8p cm
A'
6p cm
4p cm
A
6p cm
A'
6p cm
A''
40
원뿔의 모선의 길이가 9 cm, 밑면의 반지
름의 길이가 6 cm이므로
(높이)="√9¤ -6¤ ='∂45=3'5(cm)
∴ (부피)=;3!;_p_6¤ _3'5=36'5p(cm‹ )
41
원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면
2pr=2p_12_;3@6&0);(cid:100)(cid:100)∴ r=9(cm)
주어진 전개도로 만들어지는 원뿔은 오른
쪽 그림과 같으므로
(높이)="√12¤ -9¤ ='∂63=3'7(cm)
∴ (부피)=;3!;_p_9¤ _3'7=81'7p(cm‹ )
42
BH”="√(5+3)¤ +4¤ ='∂80
=4'5 (cm)
43
AF”="√(6+3+6)¤ +8¤ =17(cm)
A
CD
B
9 cm
100점 따라잡기
6 cm
48
(cid:8772)ABCD의 대각선의 길이는 2_6=12(cm)이므로
'2x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=6'2
(cid:8772)EFGH의 한 변의 길이는 2_6=12(cm)이므로
y='2_12=12'2
∴ x+y=6'2+12'2=18'2
49
BH”=a cm라 하면 CH”=(6-a) cm
△DBH와 △DHC에서
DH”
¤ =(2'7 )¤ -a¤ =4¤ -(6-a)¤
12 cm
9 cm
12a=48(cid:100)(cid:100)∴ a=4(cm)
y=18-(x+6)=12-x이고, HC”=6-4=2(cm)이므로
△ABH와 △AHC에서
AH”
¤ =x¤ -4¤ =(12-x)¤ -2¤ , 24x=156(cid:100)(cid:100)∴ x=:¡2£:
따라서 y=12-:¡2£:=:¡2¡:이므로 x-y=:¡2£:-:¡2¡:=1
50
하수 처리장의 위치를 P라 하고
점 A와 강가에 대칭인 점을 A'
이라 하면 AP”=A'P”이므로
AP”+BP”=A'P”+BP”æA'B”
A
2 km
2 km
P
A'
12 km
B
3 km
2 km
H
="√12¤ +(3+2)¤
=13(km)
따라서 구하는 최단 거리는 13 km이다.
44
AA'”=2p_4=8p(cm)이므로
AB'”="√(8p)¤ +(6p)¤ =10p(cm)
B
B'
51
도구함에 넣을 수 있는 가장 긴 막대의 길이는 직육면체의 대
각선의 길이와 같다.
∴ (대각선의 길이)="√60¤ +50¤ +90¤ =10'∂142(cm)
B
B'
B''
정팔면체의 마주 보는 두 꼭짓점 사이의 거리는 정육면체의
52
정팔면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
45
AA'”=A'A"”=2p_3
=6p(cm)이므로
AB"”="√(6p+6p)¤ +(4p)¤
='∂160p=4'∂10p(cm)
46
원뿔의 전개도에서 부채꼴의 중심각의 크기를 x˘라 하면
2p_6_
=2p_2(cid:100)(cid:100)∴ x=120
x
360
△OAH에서 AH”：6='3：2
∴ AH”=3'3(cm)
따라서 구하는 최단 거리는
AA'”=2AH”=2_3'3=6'3(cm)
6 cm
60˚ 60˚
6 cm
A
A'
O
H
47
원뿔의 전개도에서 부채꼴의 중심각의 크기를 x˘라 하면
2p_8_
=2p_2(cid:100)(cid:100)∴ x=90
x
360
따라서 구하는 최단 거리는
BM”="√8¤ +4¤ ='∂80=4'5(cm)
A
4 cm
M
B'
8 cm
B
24 수학❸- 2 _ 중간
한 모서리의 길이와 같으므로
'2a=12(cid:100)(cid:100)∴ a=6'2(cm)
오른쪽 그림과 같이 모든 모서리의
길이가 6'2 cm인 정사각뿔에서
AC”='2_6'2=12(cm)이므로
CH”=;2!; AC”=;2!;_12=6(cm)
O
D
H
6'2 cm
C
6'2 cm
A
6'2 cm
B
OH”="√(6'2 )¤ -6¤ =6(cm)
∴ (정사각뿔의 부피)=;3!;_(6'2 )¤ _6=144(cm‹ )
(정팔면체의 부피)=2_(정사각뿔의 부피)이므로
(정팔면체의 부피)=2_144=288(cm‹ )
53
△ABC를 직선 l을 회전축으로 하여 1
회전시킬 때 생기는 입체도형은 오른쪽
그림과 같다.
△ABD에서 AD”="√10¤ -6¤ =8(cm)
∴ (부피)=;3!;_p_6¤ _8-;3!;_p_6¤ _3
10 cm
B
6 cm
=96p-36p=60p(cm‹ )
l
A
C
D
3 cm
(01-28)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:29 PM 페이지25 MAC2 data.terabooks.co.kr
유형별
046~047P
∴ △ABC=;2!;_AB”_CA”=;2!;_2'∂13_'∂13=13
1 ⑴ 5 cm ⑵ 12 cm ⑶ 126 cm¤
2 ⑴ CD”=9'3 cm, DH”=3'3 cm ⑵ 6'6 cm ⑶ 27'2 cm¤
3 2'6 cm
5 4'3 cm
5-1 '6 cm
3-1 3'6 cm 4 13
4-1 :¡2£:
단계
①
②
채점 요소
AB”, BC”, CA”의 길이 구하기
△ABC의 넓이 구하기
6 높이：8'2 cm, 부피：
128'2
3
p cm‹
6-1 높이：2'∂15 cm, 부피：
8'∂15
3
p cm‹
7
기본
심화
높이：6'2 cm, 넓이：24'3 cm¤
9'3 cm¤
발전
3'3 cm
형이다.
4-1
AB”="√{-3-(-4)}¤
BC”="√{-1-(-3)}¤
CA”="√{-4-(-1)}¤
AB”
¤ +CA”
¤ =BC”
√+{1-(-4)}¤ ='∂26
√+(-2-1)¤ ='∂13
√+{-4-(-2)}¤ ='∂13
yy ①
¤ 이므로 △ABC는 ∠C=90˘인 직각삼각
∴ △ABC=;2!;_BC”_CA”=;2!;_'∂13_'∂13=:¡2£:
yy ②
배점
4점
4점
yy ②
배점
4점
4점
1
¤ =13¤ -x¤ =20¤ -(21-x)¤
⑴ BH”=x cm라 하면 CH”=(21-x) cm
(cid:100) △ABH와 △AHC에서
(cid:100) AH”
(cid:100) 42x=210(cid:100)(cid:100)∴ x=5(cm)
⑵ AH”="√13¤ -5¤ =12(cm)
⑶ △ABC=;2!;_21_12=126(cm¤ )
2
⑴ △ABC는 정삼각형이므로
(cid:100) CD”= _18=9'3(cm)
(cid:100) 점 H는 △ABC의 무게중심이므로
(cid:100) DH”=;3!; CD”=;3!;_9'3=3'3(cm)
⑵ OH”= _18=6'6(cm)
'3
2
'6
3
⑶ △ODH=;2!;_3'3_6'6=27'2(cm¤ )
3
△ABC에서 4：BC”=1：'3
∴ BC”=4'3(cm)
△BCD에서 CD”：4'3=1：'2
∴ CD”=2'6(cm)
채점 요소
BC”의 길이 구하기
CD”의 길이 구하기
3-1
△BCD에서 BC”：12='3：2
∴ BC”=6'3(cm)
△ABC에서 AB”：6'3=1：'2
∴ AB”=3'6(cm)
채점 요소
BC”의 길이 구하기
AB”의 길이 구하기
단계
①
②
단계
①
②
yy ①
yy ②
배점
4점
4점
배점
4점
4점
yy ①
yy ②
4
AB”="√{5-(-1)}¤
BC”="√(1-5)¤
CA”="√(-1-1)¤
¤ +CA”
¤ =AB”
BC”
형이다.
√+(-1-3)¤ ='∂52=2'∂13
√+{6-(-1)}¤ ='∂65
yy ①
√+(3-6)¤ ='∂13
¤ 이므로 △ABC는 ∠A=90˘인 직각삼각
단계
①
②
채점 요소
AB”, BC”, CA”의 길이 구하기
△ABC의 넓이 구하기
5
(삼각뿔 D-BGC의 부피)=;3!;_△BGC_CD”
=;3!;_{;2!;_12_12}_12
=288(cm‹ )
yy ①
△BGD는 한 변의 길이가 12'2 cm인 정삼각형이므로
△BGD= _(12'2 )¤ =72'3(cm¤ )
yy ②
'3
4
(삼각뿔 C-BGD의 부피)=;3!;_△BGD_CI”
=;3!;_72'3_CI”=24'3 CI”
(삼각뿔 C-BGD의 부피)=(삼각뿔 D-BGC의 부피)이므로
24'3 CI”=288(cid:100)(cid:100)∴ CI”=4'3(cm)
따라서 CI”의 길이는 4'3 cm이다.
yy ③
단계
①
②
③
채점 요소
삼각뿔 D-BGC의 부피 구하기
△BGD의 넓이 구하기
CI”의 길이 구하기
배점
3점
2점
3점
5-1
(삼각뿔 D-BGC의 부피)=;3!;_△BGC_CD”
=;3!;_{;2!;_3'2_3'2}_3'2
=9'2(cm‹ )
yy ①
△BGD는 한 변의 길이가 6 cm인 정삼각형이므로
△BGD= _6¤ =9'3(cm¤ )
'3
4
yy ②
(삼각뿔 C-BGD의 부피)=;3!;_△BGD_CI”
=;3!;_9'3_CI”=3'3 CI”
(삼각뿔 C-BGD의 부피)=(삼각뿔 D-BGC의 부피)이므로
3'3 CI”=9'2(cid:100)(cid:100)∴ CI”='6(cm)
정답과 해설 25
(01-28)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:29 PM 페이지26 MAC2 data.terabooks.co.kr
따라서 CI”의 길이는 '6 cm이다.
단계
①
②
③
채점 요소
삼각뿔 D-BGC의 부피 구하기
△BGD의 넓이 구하기
CI”의 길이 구하기
yy ③
배점
3점
2점
3점
AD”= _8=4'3(cm), AF”= _4'3=6(cm)
'3
2
'3
2
△AFG는 한 변의 길이가 6 cm인 정삼각형이므로
△AFG= _6¤ =9'3(cm¤ )
'3
4
단계
①
②
③
채점 요소
△ABC의 한 변의 길이 구하기
AD”, AF”의 길이 구하기
△AFG의 넓이 구하기
yy ②
yy ③
배점
3점
4점
3점
6
원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면
2pr=2p_12_;3!6@0);(cid:100)(cid:100)∴ r=4(cm)
주어진 전개도로 만들어지는 원뿔은 오른쪽
yy ①
6-1
원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면
주관식 문제
yy ①
13 x=4'3, y=3'2 14 2'∂119 cm
16 정육각형, 54'3 cm¤
15 둔각삼각형
그림과 같으므로 원뿔의 높이는
"√12¤ -4¤ ='∂128=8'2(cm)
따라서 원뿔의 부피는
;3!;_p_4¤ _8'2=
128'2
3
단계
①
②
③
밑면의 반지름의 길이 구하기
원뿔의 높이 구하기
원뿔의 부피 구하기
yy ②
p(cm‹ )yy ③
채점 요소
2pr=2p_8_;3ª6º0;(cid:100)(cid:100)∴ r=2(cm)
주어진 전개도로 만들어지는 원뿔은 오른쪽
그림과 같으므로 원뿔의 높이는
"√8¤ -2¤ ='∂60=2'∂15(cm)
따라서 원뿔의 부피는
yy ②
;3!;_p_2¤ _2'∂15=
p(cm‹ )yy ③
8'∂15
3
채점 요소
밑면의 반지름의 길이 구하기
원뿔의 높이 구하기
원뿔의 부피 구하기
단계
①
②
③
단계
①
②
단계
①
②
심화
'3
4
'3
2
'3
4
채점 요소
정삼각형의 넓이는 _(4'6 )¤ =24'3(cm¤ ) yy ②
AP”를 그으면 △ABC=△ABP+△APC이므로
정삼각형의 높이 구하기
정삼각형의 넓이 구하기
_6¤ =;2!;_6_PQ”+;2!;_6_PR”
발전
'3
4
9'3=3PQ”+3PR”
∴ PQ”+PR”=3'3(cm)
채점 요소
△ABC=△ABP+△APC임을 이용하여 식 세우기
PQ”+PR”의 값 구하기
정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 x cm라 하면
12 cm
4 cm
배점
3점
2점
3점
8 cm
2 cm
배점
3점
2점
3점
배점
2점
3점
yy ①
yy ②
배점
4점
4점
yy ①
x¤ =16'3, x¤ =64
∴ x=8(cm) (∵ x>0)
26 수학❸- 2 _ 중간
중단원
048~049P
1 ②
7 ④
2 ④
8 ①
3 ④
9 ⑤
5 ③
4 ③
10 ③ 11 ⑤
6 ②
12 ④
1
정사각형 ABCD의 대각선의 길이는
AC”=2AO”=2_20=40(cm)
정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 x cm라 하면
'2x=40(cid:100)(cid:100)∴ x=20'2(cm)
2
AC”="√8¤ +6¤ =10(cm)
AB”
¤ =AE”_AC”이므로 6¤ =AE”_10(cid:100)(cid:100)∴ AE”=;;¡5•;;(cm)
¤ =CF”_CA”이므로 6¤ =CF”_10(cid:100)(cid:100)∴ CF”=;;¡5•;;(cm)
DC”
3
4
정삼각형 ADE의 한 변의 길이를 a cm라 하면
'3
4
a¤ =12'3, a¤ =48(cid:100)(cid:100)∴ a=4'3(cm) (∵ a>0)
정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 x cm라 하면
'3
2
x=4'3(cid:100)(cid:100)∴ x=8(cm)
A
7 cm
B
9 cm
x cm
(8-x) cm
H
8 cm
C
오른쪽 그림과 같이 △ABC의 꼭짓점
A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H,
BH”=x cm라 하면 CH”=(8-x) cm
△ABH와 △AHC에서
AH”
¤ =7¤ -x¤ =9¤ -(8-x)¤
16x=32(cid:100)(cid:100)∴ x=2(cm)
AH”="√7¤ -2¤ ='∂45=3'5(cm)이므로
△ABC=;2!;_8_3'5=12'5(cm¤ )
7
기본
정삼각형의 높이는 _4'6=6'2(cm) yy ①
∴ EF”=10-2_;;¡5•;;=;;¡5¢;;(cm)
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9
BG”=GD”=DB”='2_6'2=12(cm)이므로 △BGD는 정
삼각형이다.
단계
①
②
채점 요소
AB”, BC”, CA”의 길이 구하기
△ABC가 어떤 삼각형인지 구하기
5
AB”="√(a-3)¤ +(4-1)¤ ='∂34이므로
a¤ -6a-16=0, (a+2)(a-8)=0
∴ a=-2 또는 a=8
그런데 점 B는 제2사분면 위의 점이므로 a=-2
6
점 C와 AB”에 대하여 대칭인 점
을 C'이라 하면 CP”=C'P”이므
로
CP”+DP”=C'P”+DP”æC'D”
P
C
3 cm
A
3 cm
C'
15 cm
D
5 cm
B
3 cm
H
=øπ15¤ +(5+3)¤ =17(cm)
따라서 구하는 최솟값은 17 cm이다.
7
8
AG”="√8¤ +6¤ +5¤ ='∂125=5'5(cm)
EG”를 그으면 EG”="√8¤ +6¤ =10(cm)
△AEG에서 AE”_EG”=AG”_EI”이므로
5_10=5'5_EI”(cid:100)(cid:100)∴ EI”=2'5(cm)
(cid:8772)AMGN은 마름모이고
MN”=8'2 cm, AG”=8'3 cm이므로
(cid:8772)AMGN=;2!;_8'2_8'3=32'6(cm¤ )
∴ △BGD= _12¤ =36'3(cm¤ )
'3
4
10
① CD”= _4'3=6(cm)
② OH”= _4'3=4'2(cm)
'3
2
'6
3
③ CH”=;3@; CD”=;3@;_6=4(cm)
④ (정사면체의 겉넓이)=4△ABC
'3
4
=4_[ _(4'3 )¤ ]
=48'3(cm¤ )
'2
⑤ (정사면체의 부피)= _(4'3 )‹ =16'6(cm‹ )
12
D
11
6 cm
꼭짓점 A에서 (cid:8772)BCDE에 내린 수선
의 발을 H라 하면
BD”='2_6=6'2(cm)이므로
BH”=;2!; BD”=;2!;_6'2=3'2(cm)
△ABH에서
AH”="√6¤ -(3'2 )¤ ='∂18=3'2(cm)이므로
(정사각뿔 A-BCDE의 부피)=;3!;_6_6_3'2
B
H
E
A
C
F
∴ (정팔면체의 부피)=2_36'2=72'2(cm‹ )
=36'2(cm‹ )
12
AH”="√(2+4+2)¤ +4¤
='∂80
=4'5(cm)
주관식 문제
D
C
G
H
4 cm
A
B
2 cm
4 cm
E
F
2 cm
13
△ACD에서 2'3：x=1：2(cid:100)(cid:100)∴ x=4'3
2'3：AC”=1：'3(cid:100)(cid:100)∴ AC”=6(cm)
△ABC에서 y：6=1：'2(cid:100)(cid:100)∴ y=3'2
14
원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면
2pr=2p_24_;3!6%0);(cid:100)(cid:100)∴ r=10(cm)
주어진 전개도로 만들어지는 원뿔은 오른쪽
그림과 같으므로
(높이)=øπ24¤ -10¤ ='∂476=2'∂119(cm)
15
AB”="√(-2-2)¤
BC”="√{1-(-2)}¤
CA”="√(2-1)¤
¤ >BC”
AB”
¤ +CA”
√+(-1-4)¤ ='∂41
√+{0-(-1)}¤ ='∂10
√+(4-0)¤ ='∂17
¤ 이므로 △ABC는 둔각삼각형이다.
24 cm
10 cm
yy ①
yy ②
배점률
60%
40%
16
평면에 겹치지 않게 빈틈없이 채울 수 있는 정다각
형은 정삼각형, 정사각형, 정육각형의 3가지이다.
⁄ 타일의 모양이 정삼각형일 때
(cid:100) (한 변의 길이)=36÷3=12(cm)
'3
4
(cid:100) ∴ (타일 1개의 넓이)= _12¤ =36'3(cm¤ )
¤ 타일의 모양이 정사각형일 때
(cid:100) (한 변의 길이)=36÷4=9(cm)
(cid:100) ∴ (타일 1개의 넓이)=9_9=81(cm¤ )
‹ 타일의 모양이 정육각형일 때
(cid:100) (한 변의 길이)=36÷6=6(cm)
'3
4
(cid:100) ∴ (타일 1개의 넓이)=6_{ _6¤ }=54'3(cm¤ )
⁄, ¤, ‹에서 넓이가 최대일 때의 타일의 모양은 정육각형
이고, 타일 1개의 넓이는 54'3 cm¤ 이다.
중단원
1 ④
125'2
6
5
2 12
cm‹
3 (8+4'3 ) cm
4 ⑤
6 3'∂11 cm¤
050~051P
정답과 해설 27
(01-28)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:29 PM 페이지28 MAC2 data.terabooks.co.kr
3：x=1：2(cid:100)(cid:100)∴ x=6
3：y=1：'3(cid:100)(cid:100)∴ y=3'3
∴ xy=6_3'3=18'3
삼각비Ⅵ.
1
삼각비
△ABC에서 3'6：AC”=1：'2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=6'3(cm)
△ACD에서 6'3：x='3：2(cid:100)(cid:100)∴ x=12
개념check
052P
AC”와 BE”의 교점을 H라 하면 오른쪽 그
림에서 △ABH는 세 내각의 크기가 각각
30˘, 60˘, 90˘인 직각삼각형이다.
△ABH에서 AH”：4='3：2
∴ AH”=2'3(cm)
AC”=2AH”=2_2'3=4'3(cm),
AD”=2_4=8(cm)이므로
AC”+AD”=4'3+8(cm)
A
4 cm
B
60˘
30˘
F
C
E
H
D
1-1 ⑴ ;5#; ⑵ ;5$; ⑶ ;4#;
2-1 ⑴ 1 ⑵ 0 ⑶ ;2!; ⑷ ;2!;
3-1 ⑴ 0.77 ⑵ 0.64 ⑶ 1.19
3-2 2
4-1 ⑴ 0.7986 ⑵ 0.6293 ⑶ 1.2799
1
2
3
4
BD”='2_2'6=4'3(cm)이므로
DH”=;2!; BD”=;2!;_4'3=2'3(cm)
△OHD에서
OH”="√6¤ -(2'3 )¤
='∂24=2'6(cm)
O
A
6 cm
D
2'6 cm
B
H
2'6 cm
C
∴ (부피)=;3!;_(2'6 )¤ _2'6=16'6(cm‹ )
5
주어진 전개도로 만들어지는 정사각뿔
은 오른쪽 그림과 같다.
BD”='2_5=5'2(cm)이므로
5'2
DH”=;2!; BD”=;2!;_5'2=
2
△OHD에서
(cm)
O
5 cm
D
5 cm
A
B
H
5 cm C
OH”=æ≠5¤ -{
=æ–:∞4º:=
}
(cm)
5'2
2
∴ (부피)=;3!;_5¤ _
5'2
2
=
(cm‹ )
5'2
2
125'2
6
6
'3
BM”=CN”= _4=2'3(cm)
2
△OAD에서 두 점 M, N은 각각 OA”, OD”의 중점이므로
MN”=;2!; AD”=;2!;_4=2(cm), MN”∥AD”∥BC”
따라서 (cid:8772)MBCN은 등변사다리꼴이다.
(cid:8772)MBCN의 두 꼭짓점 M, N에
서 BC”에 내린 수선의 발을 각각
H, H'이라 하면
HH'”=MN”=2 cm
1 cm
2 cm
2'3 cm
2 cm
M
N
2'3 cm
B
H
H'
4 cm
C
BH”=CH'”=;2!;_(4-2)=1(cm)
△MBH에서
MH”="√(2'3 )¤ -1¤ ='∂11(cm)
∴ (cid:8772)MBCN=;2!;_(2+4)_'∂11=3'∂11(cm¤ )
28 수학❸- 2 _ 중간
1-1
⑴ sin A=
⑵ cos A=
⑶ tan A=
B’C’
AC”
AB”
AC”
B’C’
AB”
=;5#;
=;5$;
=;4#;
2-1
⑵ sin 45˘-cos 45˘= - =0
⑴ sin 30˘+cos 60˘=;2!;+;2!;=1
'2
2
'3
3
⑶ cos 30˘_tan 30˘= _ =;2!;
⑷ sin 60˘÷tan 60˘= ÷'3=;2!;
'2
2
'3
2
'3
2
3-1
⑴ sin 50˘=
⑵ cos 50˘=
⑶ tan 50˘=
AB”
OA”
OB”
OA”
CD”
OD”
=
0.77
1
=
=
0.64
1
1.19
1
=0.77
=0.64
=1.19
3-2
sin 90˘+cos 0˘-tan 0˘=1+1-0=2
053~054P
1-1 ①
3-1 ;5^;
4-2 ⑤
6-1 ②
1-2 ②
3-2 1
5-1 5
6-2 ④
2-1 ;2ª0;
3-3 ;9&;
5-2 4'2
6-3 1.41
2-2 ;4#;
4-1 ④
5-3 4'3-4
1-1
BC”="√13¤ -5¤ =12
② cos A=;1∞3;(cid:100)(cid:100)③ tan A=:¡5™:
④ sin B=;1∞3;(cid:100)(cid:100)⑤ cos B=;1!3@;
¤
(29-48)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:30 PM 페이지29 MAC2 data.terabooks.co.kr
1-2
BC”="√17¤ -8¤ =15
① sin A=;1!7%;(cid:100)(cid:100)③ sin B=;1•7;
④ cos B=;1!7%;(cid:100)(cid:100)⑤ tan B=;1•5;
3-3
△ABCª△EBD`(AA 닮음)이므로
∠BCA=∠BDE=∠x
△ABC에서 B’C’=øπ7¤ +(4'2)¤ =9이므로
sin x=
AB”
B’C’
=;9&;
2-1
∠B=90˘이고 cos A=;5$;이므로 오른쪽
그림과 같이 AC”=5k, AB”=4k(k>0)
인 직각삼각형 ABC를 그릴 수 있다.
B’C’="√(5k)¤ -(4k)¤ =3k이므로
5k
A
4k
B
C
4-1
① cos 0˘+cos 90˘=1+0=1
② tan 60˘_cos 60˘='3_;2!;=
'3
2
sin A= =;5#;
tan A= =;4#;
3k
5k
3k
4k
∴ sin A_tan A=;5#;_;4#;=;2ª0;
2-2
∠B=90˘이고 sin A=;4#;이므로 오른쪽
그림과 같이 AC”=4k, B’C’=3k(k>0)
인 직각삼각형 ABC를 그릴 수 있다.
AB”="√(4k)¤ -(3k)¤ ='7k이므로
'7
4
cos A=
'7k
4k
=
tan A=
3k
'7k
=
3'7
7
∴ cos A_tan A= _
'7
4
3'7
7
=;4#;
3-1
△ABCª△HBA`(AA 닮음)이므로
∠ACB=∠HAB=∠x
△ABCª△HAC`(AA 닮음)이므로
∠ABC=∠HAC=∠y
△ABC에서 B’C’="√8¤ +6¤ =10이므로
AC”
B’C’
AC”
B’C’
cos x=cos C=
sin y=sin B=
=;1§0;=;5#;
=;1§0;=;5#;
∴ cos x+sin y=;5#;+;5#;=;5^;
3-2
△ABCª△HBA`(AA 닮음)이므로
∠ACB=∠HAB=∠x
△ABCª△HAC`(AA 닮음)이므로
∠ABC=∠HAC=∠y
△ABC에서 B’C’=øπ('3)¤ +3¤ =2'3이므로
'3
B
y
A
x y
H
3
x
C
=
AB”
B’C’
sin x=sin C=
'3
2'3
'3
2'3
∴ sin x+cos y=;2!;+;2!;=1
cos y=cos B=
AB”
B’C’
=
=;2!;
=;2!;
③ sin 90˘_sin 30˘-tan 0˘=1_;2!;-0=;2!;
④ cos 45˘_tan 45˘+sin 45˘_sin 0˘
'2
2
④ = _1+ _0=
'2
2
'2
2
⑤ tan 30˘÷sin 60˘-cos 30˘_cos 90˘
'3
2
'3
⑤ = ÷ - _0=;3@;
2
'3
3
4-2
① sin 90˘+tan 0˘=1+0=1
② tan 45˘_cos 90˘=1_0=0
③ cos 30˘_tan 60˘-cos 0˘= _'3-1=;2!;
'3
2
'3
2
④ '3 tan 30˘-2 cos 60˘+2'3 sin 60˘
④ ='3_ -2_;2!;+2'3_ =3
'3
3
⑤ cos 0˘_sin 45˘+sin 30˘_cos 45˘
④ =1_ +;2!;_ =
'2
2
3'2
4
'2
2
C
3k
B
4k
A
8
y
B
A
x y
H
6
x
C
5-1
sin 30˘=
=;2!;(cid:100)(cid:100)∴ x=5
;1”0;
5-2
sin 45˘=
= (cid:100)(cid:100)∴ x=4'2
;8{;
'2
2
5-3
△ABC에서 tan 30˘=
4
B’C’
4
CD”
∴ BD”=B’C’-CD”=4'3-4
△ADC에서 tan 45˘=
'3
3
= (cid:100)(cid:100)∴ B’C’=4'3
=1(cid:100)(cid:100)∴ CD”=4
6-1
② cos x=
AB”
AC”
=
AB”
1
=AB”
⑤ sin z=sin y=
AB”
AC”
=
AB”
1
=AB”
6-2
④ ∠ACB=50˘이므로 sin 50˘=
AB”
AC”
=
AB”
1
=AB”
6-3
sin 52˘=
AB”
OA”
=
AB”
1
=0.79
∠OAB=180˘-(90˘+52˘)=38˘이므로
sin 38˘=
OB”
OA”
=
OB”
1
=0.62
∴ sin 52˘+sin 38˘=0.79+0.62=1.41
정답과 해설 29
(29-48)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:30 PM 페이지30 MAC2 data.terabooks.co.kr
주제별
055~059P
6
1 ①
'2
5
7
2 ⑤
8 ⑤
3 ④
9 ④
4 ;3*;
5 ;3!;
6 ②
10 ④ 11 ③
12 2'2
16 40˘
13 ③, ④ 14 -;4%; 15 ③
19 '3-1 20 3'6 21 2-'3 22 ④ 23 1.78 24 ③
25 ④ 26 ⑤ 27 ①
30 0.3410
28 113˘ 29 ①
18 ③
17 ④
100점 따라잡기
31 3
32 8'3 33
'2+'6
4
34
3'3
8
1
sin A=;1!5@;=;5$;, tan B=;1ª2;=;4#;이므로
sin A_tan B=;5$;_;4#;=;5#;
2
AB”="√4¤ +2¤ ='∂20=2'5
4
2'5
① sin A=
2'5
5
=
③ tan A=;2$;=2(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100) ④ sin B=
=
(cid:100)(cid:100)② cos A=
=
2
2'5
2
2'5
'5
5
'5
5
⑤ cos B=
=
2'5
5
4
2'5
3
sin B=
=;4#;에서 AC”=9
AC”
12
∴ B’C’="√12¤ -9¤ ='∂63=3'7
∠B=90˘이고 cos A=;3!;이므로 오른쪽 그림과
같이 AC”=3k, AB”=k(k>0)인 직각삼각형
ABC를 그릴 수 있다.
BC”="√(3k)¤ -k¤ =2'2k이므로
C
3k
tan A=
2'2k
k
=2'2, sin A=
2'2
3
∴ tan A_sin A=2'2_
=;3*;
2'2k
3k
=
2'2
3
A
B
k
4
5
y
B
1
x-2y+2=0
a
A
-2
O
x
x-2y+2=0의 그래프가 x축, y축과
만나는 점을 각각 A, B라 하자.
x-2y+2=0에
y=0을 대입하면 x=-2(cid:100)(cid:100)
∴ A(-2, 0)
x=0을 대입하면 y=1(cid:100)(cid:100)
∴ B(0, 1)
즉, 직각삼각형 AOB에서 AO”=2, BO”=1이므로
tan a=
BO”
AO”
=;2!;
[다른 풀이]
x-2y+2=0에서 y=;2!;x+1
∴ tan a=(직선의 기울기)=;2!;
7
△ABM에서 sin x=
3
AM”
=;3!;(cid:100)(cid:100)
∴ AM”=9
∴ AB”="√9¤ -3¤ ='∂72=6'2
△ABM ª△CDM`(AA 닮음)이므로
AM”：CM”=BM”：DM”에서
9：3=3：DM”
∴ DM”=1
AM”：CM”=AB”：CD”에서
9：3=6'2：CD”
∴ CD”=2'2
따라서 AD”=AM”+DM”=9+1=10이므로 △ADC에서
tan y=
CD”
AD”
=
2'2
10
=
'2
5
[다른 풀이]
△ABM에서 sin x=
3
AM”
=;3!;(cid:100)(cid:100)
∴ AM”=9
△ABM ª△CDM`(AA 닮음)이므로
∠DCM=∠BAM=∠x
sin x=
DM”
3
=;3!;에서 DM”=1
∴ AD”=9+1=10
△CMD에서 CD”="√3¤ -1¤ ='8=2'2
∴ tan y=
CD”
AD”
=
2'2
10
= '2
5
C
2k
8
∠B=90˘이고 tan A=2이므로 오른쪽 그림
과 같이 AB”=k, BC”=2k(k>0)인 직각삼
각형 ABC를 그릴 수 있다.
AC”="√k¤ +(2k)¤ ='5k이므로
sin A= =
, cos A= =
'5
sin C= = , cos C= =
5
2'5
5
2'5
5
2k
'5k
k
'5k
sin A-cos A
sin C+cos C
∴
k
'5k
2k
'5k
'5
5
5
3'5
=;3!;
={
2'5
5
'5
= _
5
- }÷{ +
'5
5
2'5
5
}
A
k
B
'5
5
x
C
4
A
△ABCª△HBA`(AA 닮음)이므로
∠ACB=∠HAB=∠x
△ABCª△HAC`(AA 닮음)이므로
∠ABC=∠HAC=∠y
△ABC에서 AC”="√4¤ -2¤ ='∂12=2'3이므로
2 x
y
H
B
y
cos x=cos C=
=
=
'3
2
'3
2
AC”
B’C”
AC”
B’C”
'3
2
2'3
4
2'3
4
'3
2
sin y=sin B=
=
=
∴ cos x+sin y= + ='3
30 수학❸- 2 _ 중간
(29-48)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:30 PM 페이지31 MAC2 data.terabooks.co.kr
9
△ABCª△EBD`(AA 닮음)이므로
∠BDE=∠BCA=∠x
△BED에서 BE”="√6¤ -4¤ ='∂20=2'5이므로
= '5
2
2'5
4
tan x=
=
BE”
DE”
10
△ABD ª△HAD`(AA 닮음)이므로
∠ABD=∠HAD=∠x
△ABD에서 BD”="√9¤ +12¤ =15이므로
sin x=
=;1!5@;=;5$;, cos x=
=;1ª5;=;5#;
AD”
BD”
AB”
BD”
∴ sin x+cos x=;5$;+;5#;=;5&;
11
12
AG”='3_2=2'3, EG”='2_2=2'2
= '6
3
△AEG에서 cos x=
=
EG”
AG”
2'2
2'3
'3
CM”= _6=3'3
2
꼭짓점 O에서 △ABC에 내린 수선의
발을 H라 하면 점 H는 △ABC의 무게
중심이므로
MH”=;3!; CM”=;3!;_3'3='3
O
6
A
x
HM
B
또, OH”= _6=2'6이므로 △OMH에서
'6
3
tan x=
OH”
MH”
=
2'6
'3
=2'2
13
① cos 30˘_tan 30˘= _ =;2!;
'3
2
'3
3
② sin 90˘-cos 90˘+cos 0˘=1-0+1=2
③ (1+tan 45˘)(1-tan 45˘)=1¤ -(tan 45˘)¤ =1-1=0
④ sin 30˘+cos 60˘+tan 0˘_tan 60˘
③ =;2!;+;2!;+0_'3=1
⑤ sin 45˘_sin 0˘+sin 60˘÷cos 45˘
'3
⑤ = _0+ ÷ = '6
2
2
'2
2
'2
2
14
(sin 60˘+cos 0˘)(cos 30˘-sin 90˘)-'3 tan 30˘
={ +1} { -1}-'3_ ={;4#;-1}-1=-;4%;
'3
2
'3
2
'3
3
15
∠B=180˘_
=60˘이므로
3
2+3+4
sin B_cos B_tan B=sin 60˘_cos 60˘_tan 60˘
'3
2
sin B_cos B_tan B= _;2!;_'3=;4#;
16
cos 60˘=;2!;이므로 2x-20˘=60˘(cid:100)(cid:100)
2x=80˘(cid:100)(cid:100)∴ x=40˘
17
cos 60˘=
=;2!;(cid:100)(cid:100)∴ BC”=12
6
B’C’
18
△ABD에서 sin 30˘=
=;2!;(cid:100)(cid:100)∴ AD”=3
△ADC에서 sin 45˘=
= (cid:100)(cid:100)∴ AC”=3'2
19
△ABC에서 cos 45˘=
= (cid:100)(cid:100)∴ B’C’='3
= (cid:100)(cid:100)∴ AC”='3
'2
2
sin 45˘=
AC”
'6
△ADC에서 tan 60˘=
'3
CD”
∴ BD”=B’C’-CD”='3-1
='3(cid:100)(cid:100)∴ CD”=1
20
△ABC에서 tan 60˘=
='3(cid:100)(cid:100)∴ B’C’=3'3
△BCD에서 sin 45˘=
'2
2
= (cid:100)(cid:100)∴ BD”=3'6
'2
2
'2
2
AD”
6
3
A’C’
B’C’
'6
B’C’
3
3'3
BD”
C
21
△ABD에서
∠BAD=30˘-15˘=15˘이므로
AD”=BD”=4
15˘
15˘
30˘
B
4
D
A
C
△ADC에서
sin 30˘=
=;2!;(cid:100)(cid:100)∴ AC”=2
cos 30˘=
= (cid:100)(cid:100)∴ CD”=2'3
'3
2
AC”
4
CD”
4
따라서 △ABC에서
tan 15˘=
AC”
B’C’
=
2
4+2'3
=
1
2+'3
=2-'3
22
ㄷ. cos y=
AB”
OA”
=
AB”
1
=AB”
ㄹ. tan y=tan z=
=
OD”
CD”
AB”
OA”
1
CD”
AB”
1
ㅂ. cos z=cos y=
=
=AB”
23
∠OAB=180˘-(90˘+48˘)=42˘이므로
sin 42˘=
OB”
OA”
=
OB”
1
=0.67
또, tan 48˘=
=1.11이므로
CD”
OD”
=
CD”
1
sin 42˘+tan 48˘=0.67+1.11=1.78
24
③ tan x=
CD”
OD”
=
CD”
1
=CD”
25
④ cos A의 최솟값은 0, 최댓값은 1이다.
정답과 해설 31
(29-48)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:30 PM 페이지32 MAC2 data.terabooks.co.kr
26
45˘cos 70˘
yy`㉢
yy`㉡
㉠, ㉡, ㉢에서
tan 0˘0)인 직각삼각형
ABC를 그릴 수 있다.
AC”="√(8k)¤ +(15k)¤ =17k이므로
yy ①
A
8k
B
2
yy ②
8k
cos A= =;1•7;
17k
sin A=
15k
17k
=;1!7%;
∴
cos A-sin A
cos A+sin A
={;1•7;-;1!7%;}÷{;1•7;+;1!7%;}
배점
2점
1점
2점
C
15k
1
① sin A=;3@;
③ sin B=
'5
3
④ cos B=;3@;
⑤ tan B= '5
2
3k
A
C
k
B
sin A=;3!;이므로 오른쪽 그림과 같이
AC”=3k, BC”=k(k>0)인 직각삼각
형 ABC를 그릴 수 있다.
AB”="√(3k)¤ -k¤ =2'2k이므로
cos A=
tan A=
2'2k
3k
k
2'2k
=
2'2
3
=
'2
4
∴ cos A+tan A=
∴ cos A+tan A=
2'2
3
+
'2
4
11'2
12
x
A
y
x
H
5
C
3
△ABCª△HBA`(AA 닮음)이므로
∠ACB=∠HAB=∠x
△ABCª△HAC(AA 닮음)이므로
∠ABC=∠HAC=∠y
△ABC에서 BC”=øπ(5'3)¤ +5¤ =10이므로
B
5'3
y
sin x=sin C=
=
5'3
10
=
'3
2
AB”
BC”
AC”
BC”
sin y=sin B=
=;1∞0;=;2!;
∴ sin x-sin y= '3-1
2
yy ③
yy ④
배점
2점
1점
3점
2점
yy ①
yy ③
배점
4점
4점
2점
={-;1¶7;}_;2!3&;
=-;2¶3;
채점 요소
단계
①
②
③
④
주어진 조건을 만족하는 삼각형 그리기
AC”의 길이를 k에 대한 식으로 나타내기
cos A, sin A의 값 구하기
답 구하기
심화
△BCM에서
sin x=
2
BM”
=;2!;(cid:100)(cid:100)
∴ BM”=4
∴ BC”="√4¤ -2¤ ='∂12=2'3
△BCMª△ADM`(AA 닮음)이므로
BM”：AM”=CM”：DM”에서
4：2=2：DM”
∴ DM”=1
tan y=
AD”
BD”
=
'3
5
채점 요소
단계
①
②
③
BM”, BC”의 길이 구하기
DM”, AD”의 길이 구하기
tan y의 값 구하기
34 수학❸- 2 _ 중간
BM”：AM”=BC”：AD”에서
4：2=2'3：AD”
∴ AD”='3
따라서 BD”=B’M”+D’M”=4+1=5이므로 △ABD에서
yy ②
4
① tan 45˘-cos 90˘+sin 0˘=1-0+0=1
② tan 30˘_cos 60˘÷sin 45˘= _;2!;÷ =
'3
3
'2
2
'6
6
③ (1-sin 60˘)(1+cos 30˘)={1- } {1+ }
'3
2
'3
2
=1-;4#;=;4!;
④ cos 45˘_tan 0˘-tan 60˘_cos 0˘
④ = _0-'3_1=-'3
'2
2
(29-48)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:30 PM 페이지35 MAC2 data.terabooks.co.kr
⑤ 4 sin 30˘-'3 cos 30˘-
⑤ =4_;2!;-'3_ -;2!;
'3
2
sin 90˘
2
⑤ =2-;2#;-;2!;=0
5
sin 60˘= 이므로 x+15˘=60˘(cid:100)(cid:100)
'3
2
∴ x=45˘
∴ sin x+cos x=sin 45˘+cos 45˘
'2
2
= + ='2
'2
2
6
△ABC에서 sin 45˘=
BC”
6
'2
= (cid:100)(cid:100)
2
∴ BC”=3'2
△BCD에서 tan 60˘=
∴ CD”='6
3'2
CD”
='3(cid:100)(cid:100)
7
△ABD에서 BD”=AD”이므로
∠ABD=∠BAD=;2!;_45˘=22.5˘
△ADC에서
sin 45˘=
∴ AC”=1
cos 45˘=
AC”
'2
1
= (cid:100)(cid:100)
'2
CD”
'2
1
= (cid:100)(cid:100)
'2
∴ CD”=1
따라서 △ABC에서
tan 22.5˘=
AC”
BC”
=
1
'2+1
='2-1
8
sin 55˘=
AB”
OA”
=
AB”
1
=0.82
∠OAB=180˘-(90˘+55˘)=35˘이므로
cos 35˘=
AB”
OA”
=
AB”
1
=0.82
∴ sin 55˘+cos 35˘=0.82+0.82=1.64
9
'2
sin 45˘=cos 45˘= , tan 45˘=1이고
2
45˘1
10
∠B=90˘-52˘=38˘이므로
cos 38˘= =0.7880(cid:100)(cid:100)
B’C’
10
∴ B’C’=7.880
주관식 문제
11
4x-3y+12=0의 그래프가 x축,
y축과 만나는 점을 각각 A, B라
y
4
4x-3y+12=0
B
aA
O-3
x
하자.
4x-3y+12=0에
y=0을 대입하면 x=-3(cid:100)(cid:100)
∴ A(-3, 0)
x=0을 대입하면 y=4(cid:100)(cid:100)
∴ B(0, 4)
즉, 직각삼각형 AOB에서 AO”=3, BO”=4이므로
AB”="√3¤ +4¤ =5(cid:100)(cid:100)
∴ sin a=
BO”
AB”
=;5$;
12
0˘0, sin x-1<0
∴ "√(sin x+1)¤ -"√(sin x-1)¤
∴ =(sin x+1)-{-(sin x-1)}
∴ =sin x+1+sin x-1
∴ =2 sin x
13
CM”은 정삼각형 ABC의 높이이므로
O
CM”= a
'3
2
yy ①
A
a
x
C
꼭짓점 O에서 △ABC에 내린 수선의
발을 H라 하면 점 H는 △ABC의 무게
중심이므로
CH”=;3@; CM”=3@;_ a= a
'3
2
△OHC에서
cos x=
= a÷a=
CH”
OC”
'3
3
'3
3
'3
3
채점 요소
단계
①
②
③
CM”의 길이를 a에 대한 식으로 나타내기
CH”의 길이를 a에 대한 식으로 나타내기
cos x의 값 구하기
M
H
B
yy ②
yy ③
배점률
30`%
30`%
40`%
중단원
064~065P
1 ③
2 ③
3
3+'5
2
4 ⑤
5 ②
6
3-'3
3
1
AB”="√12¤ +4¤ =4'∂10이므로
= '∂10
10
cos A=
=
AC”
AB”
4
4'∂10
정답과 해설 35
(29-48)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:30 PM 페이지36 MAC2 data.terabooks.co.kr
2
∠B=90˘이고 sin A=;3@;이므로 오른쪽
그림과 같이 AC”=3k, BC”=2k(k>0)
인 직각삼각형 ABC를 그릴 수 있다.
AB”="√(3k)¤ -(2k)¤ ='5k이므로
'5
3
'5
2
'5k
3k
'5k
2k
cos A=
tan C=
=
=
∴ cos A_tan C= _ =;6%;
'5
3
'5
2
3
점 Q에서 AD”에 내린 수선의 발을 H
라 하자.
∠APQ=∠PQC(엇각)
=∠CPQ(접은 각)
=∠x
이므로 △CPQ는 이등변삼각형이다.
∴ CQ”=CP”=AP”=6
또, CB'”=AB”=4이므로 △CQB'에서
B'Q”="√6¤ -4¤ ='∂20=2'5
따라서 AH”=BQ”=B'Q”=2'5이므로
HP”=AP”-AH”=6-2'5
이때, HQ”=AB”=4이므로 △QPH에서
tan x=
tan x=
=
HQ”
HP”
4
6-2'5
4(6+2'5)
(6-2'5)(6+2'5)
=
3+'5
2
4
① cos 0˘+tan 45˘=1+1=2
② tan 0˘_sin 90˘=0_1=0
'2
2
'2
2
③ sin 45˘÷cos 45˘= ÷ =1
④ sin 30˘_tan 60˘=;2!:_'3= '3
2
={1+2_ } (3_'3-0)-9_
'3
2
=(1+'3)_3'3-3'3
=3'3+9-3'3=9
'3
3
6
∠A=180˘_
=30˘이므로
1
1+2+3
tan A
sin A+cos A
=
= ÷{;2!;+ }
tan 30˘
sin 30˘+cos 30˘
'3
'3
3
2
'3
2
= _
3
1+'3
2'3_('3-1)
3('3+1)('3-1)
3-'3
3
=
=
36 수학❸- 2 _ 중간
5
(sin 90˘+2 cos 30˘)(3 tan 60˘-cos 90˘)-9 tan 30˘
2
삼각비의 활용
3k
A
C
2k
B
개념check
066~067P
1-1 6.16 cm
2-1 ⑴ 3 cm ⑵ 3 cm ⑶ 2 cm ⑷ '∂13 cm
4'6
2-2 ⑴ 60˘ ⑵ 2'2 cm ⑶
3
3-1 ⑴ BH”=h tan 30˘ cm, CH”=h tan 45˘ cm ⑵ 3(3-'3)
3-2 ⑴ BH”=h tan 45˘ cm, CH”=h tan 30˘ cm ⑵ 2(3+'3)
cm
A
4
B
6
P
H
xx
x
Q
D
C
cm¤ ⑵ 6'3 cm¤
4-1 ⑴
35'2
2
5-1 ⑴ 24'3 ⑵ 54
5-2 ⑴ 14'2 ⑵ 35'3
B'
B’C’=8 cos 40˘=8_0.77=6.16(cm)
1-1
2-1
⑴ △ABH에서 AH”=3'2 sin 45˘=3(cm)
⑵ △ABH에서 BH”=3'2 cos 45˘=3(cm)
⑶ CH”=B’C’-BH”=5-3=2(cm)
⑷ △AHC에서 AC”="√3¤ +2¤ ='∂13(cm)
2-2
⑴ △ABC에서 ∠A=180˘-(45˘+75˘)=60˘
⑵ △BCH에서 CH”=4 sin 45˘=2'2(cm)
2
'3
⑶ △AHC에서 AC”=
=2'2_ =
2'2
sin 60˘
4'6
3
(cm)
3-1
⑴ ∠BAH=30˘, ∠CAH=45˘이므로
BH”=h tan 30˘(cm), CH”=h tan 45˘(cm)
⑵ B’C’=h tan 30˘+h tan 45˘= h+h=6(cm)이므로
'3
3
'3+3
3
h=6(cid:100)(cid:100)∴ h=3(3-'3)
3-2
⑴ ∠BAH=45˘, ∠CAH=30˘이므로
BH”=h tan 45˘(cm), CH”=h tan 30˘(cm)
⑵ B’C’=h tan 45˘-h tan 30˘=h- h=4(cm)이므로
'3
3
3-'3
3
h=4(cid:100)(cid:100)∴ h=2(3+'3)
4-1
⑴ △ABC=;2!;_7_10_sin 45˘=
35'2
2
(cm¤ )
⑵ △ABC=;2!;_6_4_sin(180˘-120˘)=6'3(cm¤ )
5-1
⑴ (cid:8772)ABCD=6_8_sin 60˘=24'3
⑵ (cid:8772)ABCD=9_12_sin(180˘-150˘)=54
5-2
⑴ (cid:8772)ABCD=;2!;_7_8_sin 45˘=14'2
⑵ (cid:8772)ABCD=;2!;_14_10_sin(180˘-120˘)
(cid:8772)ABCD=35'3
(29-48)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:30 PM 페이지37 MAC2 data.terabooks.co.kr
1-2 53 m
1-3 8.8 m
1-1 11.9 m
2-2 16'3 m
2-1 60('3+1)m
3-1 4'6 cm 3-2 5'2 cm 4-1 20'2 cm¤
4-2
27'3
2
cm¤
4-3
12'3
7
cm
5-1 22'3 cm¤ 5-2 30'2 cm¤ 6-1 4'3 cm¤ 6-2 ①
6-3 72'2 cm¤
AC”=10 tan 50˘=10_1.19=11.9(m)
AC”=100 tan 28˘=100_0.53=53(m)
△ABC에서 B’C’=10 tan 36˘=10_0.73=7.3(m)
∴ BD”=1.5+7.3=8.8(m)
△ADC에서 CD”=60 tan 60˘=60'3(m)
△ABD에서 BD”=60 tan 45˘=60(m)
∴ B’C’=CD”+BD”=60'3+60=60('3+1)(m)
1-1
1-2
1-3
2-1
2-2
△ADC에서 CD”=12 tan 60˘=12'3(m)
△ABD에서 BD”=12 tan 30˘=4'3(m)
∴ B’C’=CD”+BD”=12'3+4'3=16'3(m)
3-1
△ABH에서
AH”=12 sin 45˘=6'2(cm)
△AHC에서
6'2
sin 60˘
AC”=
2
'3
B
=6'2_ =4'6(cm)
12 cm
45˚
3-2
△ABH에서
AH”=10 sin 30˘=5(cm)
△AHC에서
AC”=
5
sin 45˘
=5_ =5'2(cm)
2
'2
10 cm
30˘
B
4-1
△ABC=;2!;_8_10_sin 45˘=20'2(cm¤ )
4-2
△ABC=;2!;_6_9_sin 60˘=
27'3
2
(cm¤ )
60˚
C
H
A
A
H
068~069P
5-1
△ABC=;2!;_8_11_sin(180˘-120˘)=22'3(cm¤ )
5-2
△ABC=;2!;_10_12_sin(180˘-135˘)=30'2(cm¤ )
6-1
AC”를 그으면
(cid:8772)ABCD
=△ABC+△ACD
6-2
AC”를 그으면
(cid:8772)ABCD
=△ABC+△ACD
=;2!;_2'3_2'3_sin 60˘+;2!;_2_2_sin(180˘-120˘)
=3'3+'3=4'3(cm¤ )
=;2!;_6_8_sin 60˘+;2!;_2'3_4_sin(180˘-150˘)
=12'3+2'3=14'3(cm¤ )
6-3
오른쪽 그림과 같이 정팔각형은 8개의
합동인 삼각형으로 나누어지고
360˘
8
=45˘이므로
∠AOB=
(정팔각형의 넓이)
=8_{;2!;_6_6_sin 45˘}=72'2(cm¤ )
A
6 cm
45˘
6 cm
B
O
070~073P
2 5.55 m 3 ②
4 10('3+3)m
6 5 cm 7 4'7 m 8 14 cm 9 3'6 cm
11 6('3+1)cm
12 20(3-'3)m
45˘
C
13 100('3+1) m 14 ④
15 ②
16
40'3
9
cm
18 6 cm 19 (12p-9'3)cm¤
21 ④
22 ④ 23 ;5#;
25 10'3 cm¤
26 ③
27 4(2-'3)cm 28
2'3
5
km/s
29 42'3 cm¤
주제별
1 ①
5 (4-2'3)m
100'6
3
10
m
17 27 cm¤
20 7 cm¤
24 12'2 cm¤
100점 따라잡기
30
16'3
3
cm¤
4-3
AD”=x cm라 하면 △ABC=△ABD+△ADC이고
∠BAD=∠DAC=30˘이므로
;2!;_4_3_sin 60˘
=;2!;_4_x_sin 30˘+;2!;_x_3_sin 30˘
12'3
7
3'3=x+;4#; x, ;4&;x=3'3(cid:100)(cid:100)∴ x=
(cm)
1
2
3
sin 44˘=
에서 AC”=9 sin 44˘
AC”
9
AC”=5 tan 48˘=5_1.11=5.55(m)
△ABC에서 AC”=12 sin 55˘=12_0.82=9.84(m)
∴ AD”=AC”+CD”=9.84+1.8=11.64(m)
정답과 해설 37
(29-48)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:30 PM 페이지38 MAC2 data.terabooks.co.kr
4
△ABD에서 AD”=
30
tan 45˘
=30(m)
△ADC에서 CD”=30 tan 30˘=10'3(m)
∴ B’C’=CD”+BD”=10'3+30=10('3+3)(m)
5
OH”=4 cos 30˘=2'3(m)
따라서 그네의 최고 높이와 최저 높이의
차는
HA”=OA”-OH”=4-2'3(m)
O
H
A
A
△AHC에서
AH”=4'2 sin 45˘=4(cm)
CH”=4'2 cos 45˘=4(cm)
따라서 BH”=7-4=3(cm)이므로
△ABH에서
AB”="√3¤ +4¤ =5(cm)
12
CH”=h m라 하면
△ACH에서
AH”=h tan 45˘=h(m)
△BCH에서
BH”=h tan 30˘= h(m)
'3
3
C
45˚
30˚
h m
45˚
A
60˚
B
H
40 m
30˚
30˚
4 m
AB”=AH”+BH”에서 40=h+ h
'3
3
4'2 cm
13
B
H
7 cm
45˘
C
60˚
D
45˚
h m
A
30˚
200 m
B
45˚
C
3+'3
3
h=40
∴ h=20(3-'3)(m)
CD”=h m라 하면
△ACD에서 ∠ADC=60˘이므로
AC”=h tan 60˘='3h(m)
△BCD에서 ∠BDC=45˘이므로
B’C’=h tan 45˘=h(m)
AB”=AC”-B’C’에서 200='3h-h
('3-1)h=200(cid:100)(cid:100)
∴ `h=100('3+1)(m)
6
7
8
9
10
11
△ABH에서
AH”=8 sin 60˘=4'3(m)
BH”=8 cos 60˘=4(m)
따라서 CH”=12-4=8(m)이므로
△AHC에서
AC”=øπ(4'3)¤ +8¤ ='∂112=4'7(m)
A
8 m
60˘
B
H
12 m
∠DCH=60˘이므로 △DCH에서
DH”=6 sin 60˘=3'3(cm)
CH”=6 cos 60˘=3(cm)
A
6 cm
120˘
B
10 cm
C
H
C
D
∴ BH”=B’C’+CH”=10+3=13(cm)
따라서 △BHD에서
BD”=øπ13¤ +(3'3)¤ =14(cm)
△ABH에서
AH”=6 sin 60˘=3'3(cm)
△AHC에서
3'3
sin 45˘
=3'3_
AC”=
2
'2
AC=3'6(cm)
∠A=180˘-(75˘+45˘)=60˘
△BCH에서
BH”=100 sin 45˘=50'2(m)
△ABH에서
50'2
sin 60˘
100'6
3
AB”=
(m)
=
A
6 cm
60˚
B
H
45˚
C
A
60˚
H
75˚
B
45˚
C
100 m
A
12 cm
∠C=180˘-(60˘+75˘)=45˘
△ABH에서
AH”=12 sin 60˘=6'3(cm)
BH”=12 cos 60˘=6(cm)
6'3
tan 45˘
∴ B’C’=BH”+CH”=6+6'3=6('3+1)(cm)
△AHC에서 CH”=
=6'3(cm)
60˚
H
B
75˚
45˚
C
38 수학❸- 2 _ 중간
14
△ABC=;2!;_6_8_sin 30˘=12(cm¤ )
15
△ABH에서
cos B=
BH”
9
=;3!;이므로
A
9 cm
B
H
10 cm
C
BH”=3 cm
∴ AH”="√9¤ -3¤ ='∂72=6'2(cm)
∴ △ABC=;2!;_B’C’_AH”
∴ △ABC=;2!;_10_6'2=30'2(cm¤ )
[다른 풀이]
cos B=;3!;이므로 오른쪽 그림과 같이 ∠C'=90˘
이고 A'B”=3k, BC'”=k(k>0)인 직각삼각형
A'BC'을 그리면
A'C'”="√(3k)¤ -k¤ =2'2k
따라서 sin B=
2'2k
3k
=
2'2
3
이므로
A'
3k
B
k
C'
△ABC=;2!;_9_10_sin B
2'2
3
△ABC=;2!;_9_10_
=30'2(cm¤ )
16
AD”=x cm라 하면 △ABC=△ABD+△ADC이고
∠BAD=∠DAC=30˘이므로
;2!;_10_8_sin 60˘
=;2!;_10_x_sin 30˘+;2!;_x_8_sin 30˘
20'3=;2%; x+2x, ;2(;x=20'3(cid:100)(cid:100)
∴ x=
(cm)
40'3
9
(29-48)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:30 PM 페이지39 MAC2 data.terabooks.co.kr
17
△ABC=;2!;_12_9_sin (180˘-150˘)=27(cm¤ )
100점 따라잡기
18
△ABC=;2!;_10_AC”_sin(180˘-135˘)=15'2(cm¤ )
5'2
2
AC”=15'2
∴ AC”=6(cm)
19
OA”=OC”에서
∠OCA=∠OAC=30˘이므로
∠AOC=180˘-(30˘+30˘)=120˘
C
B
30˘
120˘
A
30˘
6 cm
O
∴ (색칠한 부분의 넓이)
∴ =(부채꼴 AOC의 넓이)-△AOC
∴ =p_6¤ _;3!6@0);-;2!;_6_6_sin(180˘-120˘)
∴ =12p-9'3(cm¤ )
20
AC”를 그으면
(cid:8772)ABCD
=△ABC+△ACD
=;2!;_'2_2_sin(180˘-135˘)+;2!;_3'2_4_sin 45˘
=1+6=7(cm¤ )
21
△ABC에서 AC”=6 tan 60˘=6'3(cm)
∴ (cid:8772)ABCD=△ABC+△ACD
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_6_6'3+;2!;_6'3_10_sin 30˘
∴ (cid:8772)ABCD=18'3+15'3=33'3(cm¤ )
22
오른쪽 그림과 같이 정육각형은 6개의 합동
인 삼각형으로 나누어지고
360˘
6
∠AOB=
=60˘이므로
(정육각형의 넓이)
=6_{;2!;_4_4_sin 60˘}=24'3(cm¤ )
23
BM”=BN”="√4¤ +2¤ ='∂20=2'5(cm)
△MBN=(cid:8772)ABCD-△ABM-△BCN-△MND에서
;2!;_2'5_2'5_sin x
=4_4-;2!;_4_2-;2!;_4_2-;2!;_2_2
10 sin x=6(cid:100)(cid:100)
∴ sin x=;5#;
24
(cid:8772)ABCD=4_6_sin 45˘=12'2(cm¤ )
27
BH”=;2!;B’C’=;2!;_8=4(cm)
△ABH에서
AH”=4 tan 30˘=
(cm)
4'3
3
30˘
B
C
A
O
H
8 cm
AB”=
=4_ =
(cm)
4
cos 30˘
2
'3
8'3
3
내접원 O의 반지름의 길이를 x cm라 하면
△ABC=;2!;_x_(AB”+B’C’+CA”)=;2!;_B’C’_AH”
에서
;2!;_x_{
8'3
3
+8+
8'3
3
}=;2!;_8_
4'3
3
4(2'3+3)
3
x=
16'3
3
∴ x=4(2-'3)(cm)
28
민수의 위치를 A, 비행기의 처음 위
치를 B, 10초 후의 위치를 C로 놓고
주어진 상황을 그림으로 나타내면
C
B
60˘
6 km
30˘
A D
E
오른쪽 그림과 같다.
△AEB에서
6
tan 30˘
AE”=
△ADC에서
6
tan 60˘
AD”=
3
'3
1
'3
=6_ =6'3(km)
=6_ =2'3(km)
29
AC”∥DE”이므로 △ACD=△ACE
∴ (cid:8772)ABCD=△ABC+△ACD
=△ABC+△ACE
=△ABE
=;2!;_12_(9+5)_sin 60˘
=42'3(cm¤ )
30
BH”=4 cm이므로 △BCH에서
sin(∠BCH)=;8$;=;2!;
∴ ∠BCH=30˘
∴ ∠ABC=∠CBD(접은 각)
=∠ACB(엇각)=30˘
4 cm 4 cm
8 cm
H
A
B
C
D
A
4 cm
60˘
4 cm
B
O
∴ `B’C’=DE”=AE”-AD”=6'3-2'3=4'3(km)
따라서 비행기의 평균 속력은
2'3
5
4'3÷10=
(km/s)
25
△DBM=;4!;(cid:8772)ABCD=;4!;_{8_10_sin(180˘-120˘)}
∴ ∠BAH=30˘+30˘=60˘
△DBM=10'3(cm¤ )
26
(cid:8772)ABCD=;2!;_10_12_sin 60˘=30'3(cm¤ )
△AHB에서 AB”=
=4_ =
(cm)
4
sin 60˘
∴ △ABC=;2!;_
8'3
3
_8_sin 30˘=
(cm¤ )
2
'3
8'3
3
16'3
3
정답과 해설 39
(29-48)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:30 PM 페이지40 MAC2 data.terabooks.co.kr
유형별
074~075P
4-1
1 ⑴ '3 cm ⑵ 3 cm ⑶ 12'3 cm‹
2 ⑴ AH”=2'3 cm, BH”=6 cm ⑵ 4 cm ⑶ 2'7 cm
3 7 m
4-1 4(3+'3) cm
4 3'3 cm
5 11 cm
3-1 3.6 m
5-1 4'2 cm 6 :¡5•: cm
6-1 ;3*; cm
7
기본
48'3 cm¤
발전
85'3 cm¤
심화
;5#;
1
⑴ △HCG에서
⑴ CG”=2'3 cos 60˘='3(cm)
⑵ △HCG에서
⑴ GH”=2'3 sin 60˘=3(cm)
⑶ (직육면체의 부피)=4_3_'3=12'3(cm‹ )
2
⑴ △ABH에서
AH”=4'3 sin 30˘=2'3(cm),
BH”=4'3 cos 30˘=6(cm)
⑵ CH”=B’C’-BH”=10-6=4(cm)
⑶ △AHC에서
AC”=øπ(2'3)¤ +4¤ ='∂28=2'7(cm)
3
△ABC에서
B’C’=6 tan 42˘=6_0.9=5.4(m)
∴ BD”=CD”+B’C’=1.6+5.4=7(m)
채점 요소
B’C’의 길이 구하기
탑의 높이 구하기
3-1
△ABC에서
B’C’=5 tan 20˘=5_0.36=1.8(m)
∴ BD”=CD”+B’C’=1.8+1.8=3.6(m)
채점 요소
B’C’의 길이 구하기
나무의 높이 구하기
단계
①
②
단계
①
②
4
AH”=h cm라 하면
△ABH에서 ∠BAH=60˘이므로
BH”=h tan 60˘='3h(cm)
yy ①
△ACH에서 ∠CAH=30˘이므로
CH”=h tan 30˘= h(cm)
'3
3
B’C’=BH”-CH”이므로 6='3h- h
'3
3
2'3
3
단계
①
②
③
h=6(cid:100)(cid:100)∴ `h=3'3(cm)
채점 요소
BH”의 길이를 h에 대한 식으로 나타내기
CH”의 길이를 h에 대한 식으로 나타내기
AH”의 길이 구하기
40 수학❸- 2 _ 중간
yy ①
yy ②
배점
5점
3점
yy ①
yy ②
배점
5점
3점
A
yy ③
배점
2점
2점
4점
60˚
30˚
h cm
B
30˚
6 cm C
60˚
H
A
45˚
30˚
h cm
B
45˚
8 cm
C
60˚
H
yy ②
AH”=h cm라 하면
△ABH에서 ∠BAH=45˘이므로
BH”=h tan 45˘=h(cm) yy ①
△ACH에서 ∠CAH=30˘이므로
CH”=h tan 30˘= h(cm)
'3
3
B’C’=BH”-CH”이므로 8=h- h
'3
3
3-'3
3
h=8(cid:100)(cid:100)
∴ `h=4(3+'3)(cm)
단계
①
②
③
채점 요소
BH”의 길이를 h에 대한 식으로 나타내기
CH”의 길이를 h에 대한 식으로 나타내기
AH”의 길이 구하기
5
△ABC=;2!;_8_B’C’_sin 60˘=22'3(cm¤ )에서yy ①
2'3 B’C’=22'3(cid:100)(cid:100)
∴ B’C’=11(cm)
yy ②
단계
①
②
△ABC의 넓이를 이용하여 식 세우기
채점 요소
B’C’의 길이 구하기
5-1
△ABC=;2!;_6_B’C’_sin 45˘=12(cm¤ )에서 yy ①
3'2
2
B’C’=12(cid:100)(cid:100)
∴ B’C’=4'2(cm)
단계
①
②
△ABC의 넓이를 이용하여 식 세우기
채점 요소
B’C’의 길이 구하기
6
AD”=x cm라 하면 △ABC=△ABD+△ADC에서
;2!;_6_9_sin(180˘-120˘)
=;2!;_6_x_sin 60˘+;2!;_x_9_sin 60˘
27'3
9'3
27'3
2
4
2
15'3
4
3'3
2
x=
x+
x,
=
∴ x=:¡5•:(cm)
단계
①
②
△ABC의 넓이를 이용하여 식 세우기
채점 요소
AD”의 길이 구하기
=;2!;_4_x_sin 60˘+;2!;_x_8_sin 60˘
8'3='3x+2'3x, 3'3x=8'3(cid:100)(cid:100)
∴ x=;3*;(cm)
단계
①
②
△ABC의 넓이를 이용하여 식 세우기
채점 요소
AD”의 길이 구하기
6-1
AD”=x cm라 하면 △ABC=△ABD+△ADC에서
yy ②
;2!;_4_8_sin(180˘-120˘)
yy ③
배점
2점
2점
4점
배점
4점
4점
yy ②
배점
4점
4점
yy ①
yy ②
배점
4점
4점
yy ①
yy ②
배점
4점
4점
(29-48)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:30 PM 페이지41 MAC2 data.terabooks.co.kr
7
기본
AC”를 그으면
(cid:8772)ABCD=△ABC+△ACD
=;2!;_4'3_4'3_sin(180˘-120˘)
+;2!;_12_12_sin 60˘(cid:100)(cid:100)yy ①
yy ②
=12'3+36'3=48'3(cm¤ )
단계
①
②
식 세우기
(cid:8772)ABCD의 넓이 구하기
채점 요소
△ABC에서
발전
`AC”=10 tan 60˘=10'3(cm)
∴ (cid:8772)ABCD=△ABC+△ACD
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_10_10'3 +;2!;_10'3_14_sin 30˘
∴ (cid:8772)ABCD=50'3 +35'3
∴ (cid:8772)ABCD=85'3(cm¤ )
yy`②
단계
①
②
AC”의 길이 구하기
(cid:8772)ABCD의 넓이 구하기
채점 요소
심화
DM”=DN”="√6¤ +3¤ ='∂45=3'5(cm)
yy`①
△DMN=(cid:8772)ABCD-△AMD-△MBN-△DNC에서
=6_6-;2!;_6_3-;2!;_3_3-;2!;_6_3
yy`②
;2!;_3'5_3'5_sin x
:¢2∞: sin x=:™2¶:(cid:100)(cid:100)
∴ sin x=;5#;
단계
①
②
③
채점 요소
DM”,` DN”의 길이 구하기
△DMN의 넓이를 이용하여 식 세우기
sin x의 값 구하기
yy`①
배점
3점
2점
배점
3점
5점
배점
3점
4점
3점
중단원
076~077P
1 ⑤
7 ③
2 ③
8 ⑤
3 ③
9 ①
5 ③
4 ④
10 ③ 11 ②
6 ②
주관식 문제
12 3('3-1)cm 13 15 cm
14 200(tan 59˘-tan 50˘)m, 200{
1
tan 31˘
-
1
tan 40˘
} m
1
△AHB에서
AH”=6 sin 60˘=3'3(cm), BH”=6 cos 60˘=3(cm)
∴ (원뿔의 부피)=;3!;_p_3¤ _3'3=9'3p(cm‹ )
2
오른쪽 그림의 △ABC에서
B’C’=5 sin 34˘=5_0.56=2.8(m)
따라서 지면에서 연까지의 높이는
BD”=B’C’+CD”=2.8+1.5=4.3(m)
5 m
A
34˘
1.5 m
3
△ABH에서
AH”=20 sin 60˘=10'3(m)
BH”=20 cos 60˘=10(m)
따라서 CH”=30-10=20(m)이므로
△AHC에서
AC”=øπ(10'3)¤ +20¤ ='ƒ700=10'7(m)
A
20 m
H
30 m
60˘
B
B
C
D
C
4
△ABH에서
AH”=12 sin 30˘=6(cm)
△AHC에서
AC”=
6
sin 45˘
=6_ =6'2(cm)
2
'2
12 cm
30˘
B
A
H
45˘
C
5
CH”=h m라 하면
△ACH에서 ∠ACH=58˘이므로
AH”=h tan 58˘(m)
△BCH에서 ∠BCH=38˘이므로
BH”=h tan 38˘(m)
C
58˚
38˚
h m
A
32˚
20 m
52˚
B
H
AB”=AH”-BH”에서 20=h tan 58˘-h tan 38˘
(tan 58˘-tan 38˘)h=20
∴ h=
20
tan 58˘-tan 38˘
(m)
;2!;_5_4_sin 60˘
=;2!;_5_x_sin 30˘+;2!;_x_4_sin 30˘
5'3=;4%;x+x, ;4(;x=5'3(cid:100)(cid:100)
∴ x=
(cm)
20'3
9
7
OA”=OC”에서
∠OCA=∠OAC=30˘이므로
∠AOC=180˘-(30˘+30˘)=120˘
∴ (색칠한 부분의 넓이)
∴ =(부채꼴 AOC의 넓이)-△AOC
C
30˘
A
120˘
30˘
4'3 cm
O
B
∴ =p_(4'3)¤ _;3!6@0);-;2!;_4'3_4'3_sin(180˘-120˘)
∴ =16p-12'3(cm¤ )
8
AC”를 그으면
(cid:8772)ABCD
=△ABC+△ACD
=;2!;_6'2_8_sin 45˘+;2!;_4_2'2_sin(180˘-135˘)
=24+4=28(cm¤ )
정답과 해설 41
yy ③
6
AD”=x cm라 하면 △ABC=△ABD+△ADC이고
∠BAD=∠DAC=30˘이므로
1
42-(29-48)152-3중간알찬수학.ps 2015.6.9 03:15 PM 페이지42 MAC5
9
오른쪽 그림과 같이 정십이각형은 12개
의 합동인 삼각형으로 나누어지고
∠AOB=
=30˘이므로
360˘
12
(정십이각형의 넓이)
=12_{;2!;_3_3_sin 30˘}=27(cm¤ )
3 cm
A
30˘
O
B
3 cm
10
마름모 ABCD의 한 변의 길이를 a cm라 하면
(cid:8772)ABCD=a_a_sin 45˘=18'2(cm¤ )이므로
'2
2
a¤ =18'2, a¤ =36(cid:100)(cid:100)
∴ `a=6(cm)(∵ a>0)
∴ (마름모 ABCD의 둘레의 길이)=4_6=24(cm)
11
(cid:8772)ABCD=;2!;_6_8_sin 45˘
(cid:8772)ABCD=12'2(cm¤ )
주관식 문제
12
E’F’=h cm라 하면
△EBF에서 ∠BEF=45˘이므로
B’F’=h tan 45˘=h(cm)
△EFC에서 ∠CEF=60˘이므로
CF”=h tan 60˘='3h(cm)
B’C’=BF”+CF”이므로 6=h+'3h
('3+1)h=6(cid:100)(cid:100)∴ `h=3('3-1)(cm)
D
A
E
60˘
45˘
B
30˘
C
45˘
h cm
F
6 cm
13
△ABC=;2!;_12_B’C’_sin 60˘=45'3(cm¤ )에서
3'3 B’C’=45'3
∴ B’C’=15(cm)
단계
①
②
△ABC의 넓이를 이용하여 식 세우기
채점 요소
B’C’의 길이 구하기
yy ①
yy ②
배점
50`%
50`%
14
A'
B'
A
B
31˘
40˘
D
C
200 m
⁄ ∠ADC=90˘-31˘=59˘이므로
△DAC에서 AC”=200 tan 59˘(m)
∠BDC=90˘-40˘=50˘이므로
△DBC에서 BC”=200 tan 50˘(m)
∴ AB”=AC”-BC”=200 tan 59˘-200 tan 50˘
=200(tan 59˘-tan 50˘)(m)
42 수학❸- 2 _ 중간
¤ ∠ADA'=31˘이므로
△ADA'에서 AC”=A'D”=
200
tan 31˘
(m)
∠BDB'=40˘이므로
△BDB'에서 B’C’=B'D”=
∴ AB”=AC”-B’C’=
200
tan 40˘
(m)
200
tan 31˘
-
200
tan 40˘
∴ AB=200 {
1
tan 31˘
-
1
tan 40˘
} (m)
중단원
1 33.5 m 2 20('3+1)m
6 12'3 cm¤
078~079P
3 50초 4 ⑤
5 12 cm
1
2
3
4
5
6
AC”=50 tan 34˘=50_0.67=33.5(m)
△ADC에서 CD”=20 tan 45˘=20(m)
△ABD에서 BD”=20 tan 60˘=20'3 (m)
∴ B’C’=CD”+BD”=20+20'3=20('3+1)(m)
∠ABC=33˘(엇각)이므로 △ABC에서
1950
0.65
1950
tan 33˘
=3000(m)
B’C’=
=
따라서 이 비행기가 착륙하는 데 걸리는 시간은
3000÷60=50(초)
△ABC=;2!;_6'3_10_sin (180˘-120˘)=45(cm¤ )
△ABC=3△GBC=3_8'2=24'2(cm¤ )에서
;2!;_8_AC”_sin 45˘=24'2
2'2 AC”=24'2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=12(cm)
AE”를 그으면
△ADE와 △AB'E에서
∠ADE=∠AB'E=90˘,
AE”는 공통,
AD”=AB'”이므로
△ADE™△AB'E`(RHS 합동)
C'
E
C
D'
D
30˘
30˘
30˘
6 cm
B'
B
A
∴ ∠EAD=∠EAB'=;2!;_(90˘-∠B'AB)
∴ ∠EAD=;2!;_(90˘-30˘)=30˘
△AB'E에서 EB'”=6 tan 30˘=2'3(cm)
∴ (cid:8772)AB'ED=△ADE+△AB'E=2△AB'E
∴ (cid:8772)AB'ED=2_{;2!;_6_2'3 }=12'3(cm¤ )
(29-48)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:30 PM 페이지43 MAC2 data.terabooks.co.kr
통계Ⅳ.
082~083P
1 ①
7 ②
2 ⑤
8 ④
3 ④
9 ⑤
4 ②, ③ 5 ⑤
10 ⑤
6 ①
주관식 문제
11 172
12 63
13 'ƒ10.8 명
14 9
1
(평균)=
9+4+8+2+9+1+8+6+4+9
10
=;1^0);=6
자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 1, 2, 4, 4, 6,
8, 8, 9, 9, 9이므로 (중앙값)=
=7, (최빈값)=9
6+8
2
따라서 a=6, b=7, c=9이므로 a+b-c=4
주관식 문제
2
3
4
5
yy`㉠
3, 6, a의 중앙값이 6이므로 aæ6
9, 10, a의 중앙값이 9이므로 a…9 yy`㉡
따라서 ㉠, ㉡에서 6…a…9
-5+7+(-2)+a+4+b+0
7
=0(cid:100)(cid:100)∴ a+b=-4
a, b를 제외한 자료에서 0의 도수는 1이므로 a, b 중 적어도
하나는 0이어야 한다.
이때, a>b이므로 a=0, b=-4(cid:100)(cid:100)∴ a-b=4
② 중앙값은 자료의 값 중에 없을 수도 있다.
③ 편차는 변량에서 평균을 뺀 값이다.
편차의 합은 항상 0이므로
1+x+(-3)+1+(-4)+3=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2
∴ 20+2=22(시간)
6
(평균)=
2+5+3+1+3+4+0+6
8
=:™8¢:=3(시간)이므로
(분산)=
(-1)¤ +2¤ +0¤ +(-2)¤ +0¤ +1¤ +(-3)¤ +3¤
8
=3.5
7
(평균)=
10_1+20_5+30_12+40_7
25
=:¶2∞5º:=30(개)
(분산)=
(-20)¤ _1+(-10)¤ _5+0¤ _12+10¤ _7
25
=64
14
∴ (표준편차)='∂64=8(개)
8
a+b+c+d
4
=8(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c+d=32
(a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤ +(d-8)¤
4
=5
∴ (a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤ +(d-8)¤ =20
(평균)=
(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)+(3d+1)
4
(평균)=
3(a+b+c+d)+4
4
=25
록부
(분산)
=
=
{(3a+1)-25}¤ +{(3b+1)-25}¤ +{(3c+1)-25}¤ +{(3d+1)-25}¤
4
9{(a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤ +(d-8)¤ }
4
=45
따라서 구하는 평균과 분산의 합은 25+45=70
9
① 성적이 평균적으로 가장 우수한 반은 5반이다.
②, ③, ④ 알 수 없다.
⑤ 2반의 표준편차가 3반의 표준편차보다 작으므로 2반 성적
이 3반 성적보다 더 고르다.
10
각 자료에 대한 평균은 모두 3이므로 표준편차가 가장 큰 자
료는 평균을 중심으로 변량의 흩어진 정도가 가장 큰 ⑤이다.
11
작은 값에서부터 크기순으로 나열할 때, 25번째와 26번째 자
료는 86 cm 이상 90 cm 미만인 계급에 속하므로 a=88
또, 도수가 가장 큰 계급은 82 cm 이상 86 cm 미만이므로
b=84(cid:100)(cid:100)∴ a+b=172
12
10+11+a+b+13
5
=10(cid:100)(cid:100)∴ a+b=16
0¤ +1¤ +(a-10)¤ +(b-10)¤ +3¤
5
=2¤
(a-10)¤ +(b-10)¤ +10=20
∴ a¤ +b¤ =20(a+b)-190=20_16-190=130
이때, (a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab이므로
16¤ =130+2ab(cid:100)(cid:100)∴ ab=63
13
편차의 합은 항상 0이므로
4+x+(-2)+0+3=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-5
(분산)=
4¤ +(-5)¤ +(-2)¤ +0¤ +3¤
5
∴ (표준편차)='ƒ10.8(명)
채점 요소
단계
①
②
③
x의 값 구하기
분산 구하기
표준편차 구하기
=10.8
yy ②
yy ①
yy ③
배점
4점
4점
2점
9+11=20이고 12+8=20으로 같으므로 실제 평균도 12이
다. 제대로 측정한 4개 자료의 (편차)¤ 의 총합을 a라 하면 잘
못 측정한 결과의 분산이 10이므로
a+(12-12)¤ +(8-12)¤
6
=10(cid:100)(cid:100)∴ a=44
yy ①
∴ (자료의 실제 분산)=
44+(9-12)¤ +(11-12)¤
6
∴ (자료의 실제 분산)=:∞6¢:=9
단계
①
②
채점 요소
제대로 측정한 4개 자료의 (편차)¤ 의 총합 구하기
자료의 실제 분산 구하기
yy ②
배점
7점
3점
정답과 해설 43
(29-48)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:30 PM 페이지44 MAC2 data.terabooks.co.kr
Ⅴ.
피타고라스 정리
084~086P
따라서 AH”=øπ(4'2)¤ -4¤ =4(cm)이므로
△ABC=;2!;_7_4=14(cm¤ )
1 ②
7 ②
13 ②
2 ③
8 ②
14 ②
3 ⑤
9 ⑤
15 ①
5 ③
4 ①
10 ① 11 ①
17 ③
16 ②
6 ①, ⑤
12 ⑤
18 ③
주관식 문제
19 20 cm¤
20 10
21 15
22 2'3 cm
1
B’C’의 중점을 D라 하면
AG”：AD”=2：3이므로 AD”=:¡2∞: cm
점 D는 직각삼각형 ABC의 외심이므로
B
BD”=CD”=AD”=:¡2∞: cm
5 cm
A
7 cm
C
G
D
△ABC에서 AB”=æ≠{:¡2∞:+:¡2∞:}
¤ -7¤ =4'∂11(cm)
△ABD에서 AB”="√10¤ -6¤ =8(cm)(cid:100)(cid:100)∴ x=8
△ABC에서 AC”="√(6+9)¤ +8¤ =17(cm)(cid:100)(cid:100)∴ y=17
∴ x+y=25
AC”="√2¤ +1¤ ='5(cm), AD”=øπ('5)¤ +1¤ ='6(cm)
AE”=øπ('6)¤ +1¤ ='7(cm)
AF”=øπ('7)¤ +1¤ =2'2(cm)
∴ AG”=øπ(2'2)¤ +1¤ =3(cm)
11
12
14
15
△ABD에서 AD”： 3'6=1`：'2(cid:100)(cid:100)∴ AD”=3'3(cm)
△ACD에서 AC”`：`3'3=2：'3(cid:100)(cid:100)∴ AC”=6(cm)
AB”="√(1-2)¤ +(-2-5)¤ =5'2
BC”="√(-2-1)¤ +√{2-(-2)}¤ =5
AC”="√(-2-2)¤ +(2-5)¤ =5
¤ =B’C’
따라서 B’C’=AC”이고 AB”
∠C=90˘인 직각이등변삼각형이다.
¤ +AC”
¤ 이므로 △ABC는
13
(대각선의 길이)="√2¤ +4¤ +5¤ =3'5(cm)
정육면체의 한 모서리의 길이를 x cm라 하면
'3x=3(cid:100)(cid:100)∴ x='3(cm)
'3
2
'3
3
정삼각형 ABC에서 CM”= _2='3(cm)
점 H는 △ABC의 무게중심이므로
HM”=;3!;CM”=;3!;_'3= (cm)
'6
OH”= _2=
3
(cm)
∴ △OMH=;2!;_ _
2'6
3
'2
3
= (cm¤ )
2'6
3
'3
3
4
BF”=DF”=x cm라 하면
AF”=(12-x)cm
△ABF에서 (12-x)¤ +6¤ =x¤
24x=180(cid:100)(cid:100)∴ x=:¡2∞:(cm)
(12-x) cm
E
F
6 cm
A
B
D
C
x cm
12 cm
∴ △FBD=;2!;_DF”_AB”=;2!;_:¡2∞:_6=:¢2∞:(cm¤ )
16
AC”='2_4'2=8(cm)이므로
CH”=;2!; AC”=;2!;_8=4(cm)
△OCH에서 OH”="√5¤ -4¤ =3(cm)
∴ (부피)=;3!;_(4'2)¤ _3=32(cm‹ )
¤ +25=45에서 AB”
AB”
∴ AB”=2'5(cm)(∵ AB”>0)
¤ =20
① 1¤ +2¤ =('5)¤
④ 6¤ +9¤ +13¤ (cid:100)(cid:100) ⑤ ('∂14)¤ +(3'2)¤ =(4'2)¤
② 5¤ +11¤ +12¤ (cid:100)(cid:100)③ 3¤ +4¤ +6¤
(3'∂10)¤ +13¤ =('∂34)¤ +B’C’
∴ B’C’=15(cm)(∵ B’C’ >0)
¤ , B’C’
¤ =225
(대각선의 길이)=øπ6¤ +(2'3)¤ =4'3(cm)
AD”= _8=4'3(cm), AF”= _4'3=6(cm)
'3
2
'3
2
∴ △AFG= _6¤ =9'3(cm¤ )
'3
4
17
원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면
2p_5_;3@6!0^;=2pr(cid:100)(cid:100)∴ r=3(cm)
주어진 부채꼴을 옆면으로 하는 원뿔은 오
른쪽 그림과 같으므로
(높이)="√5¤ -3¤ =4(cm)
∴ (부피)=;3!;_(p_3¤ )_4=12p(cm‹ )
5 cm
3 cm
18
선이 지나는 부분의 전개도는 오른쪽
A
D
H
그림과 같으므로 구하는 최단 거리는
BH”="√(6+4)¤ +5¤ =5'5(cm)
5 cm
B
6 cm
C
4 cm
G
주관식 문제
10
BH”=x cm라 하면
CH”=(7-x)cm
A
4'2 cm
AH”
¤ =(4'2)¤ -x¤ =5¤ -(7-x)¤
B
14x=56(cid:100)(cid:100)∴ x=4(cm)
x cm
H
7 cm
5 cm
C
(7-x) cm
19
△ABC에서 AB”=øπ10¤ -(2'5)¤ =4'5(cm)
∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC
∴ (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_4'5_2'5=20(cm¤ )
2
3
5
6
7
8
9
44 수학❸- 2 _ 중간
(29-48)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:30 PM 페이지45 MAC2 data.terabooks.co.kr
20
AB”="√{-4-(-2)}¤ +√(a-5)¤ =2'∂10이므로
a¤ -10a+29=40, a¤ -10a-11=0
(a+1)(a-11)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-1 또는 a=11
따라서 모든 a의 값의 합은 -1+11=10
21
x+2가 가장 긴 변의 길이이므로
(x-7)+x>x+2(cid:100)(cid:100)∴ x>9
이 삼각형이 직각삼각형이 되려면
(x-7)¤ +x¤ =(x+2)¤
x¤ -18x+45=0, (x-3)(x-15)=0
∴ x=15(∵ x>9)
yy ①
yy ②
yy ③
단계
①
②
③
채점 요소
삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계를 이용하여 x의 값의 범위
구하기
직각삼각형이 되기 위한 조건을 이용하여 식 세우기
x의 값 구하기
배점
2점
3점
2점
22
AF”=FC”=CA”=6'2 cm이므로 △AFC는 정삼각형이다.
yy ①
∴ △AFC= _(6'2)¤ =18'3(cm¤ )
(삼각뿔 B-AFC의 부피)=(삼각뿔 A-BFC의 부피)이므로
'3
4
;3!;_18'3_B’I’=;3!;_{;2!;_6_6}_6
6'3_B’I’=36(cid:100)(cid:100)∴ B’I’=2'3(cm)
단계
①
②
△AFC의 넓이 구하기
B’I’의 길이 구하기
채점 요소
삼각비Ⅵ.
주관식 문제
19
'6
3
1 ②
7 ⑤
13 ⑤
2 ⑤
8 ③
14 ③
3 ③
9 ③
15 ②
4 ③
10 ③ 11 ②
17 ④
16 ③
5 ②, ④ 6 ⑤
12 ⑤
18 ②
20 4('3+3)m
21 2-'3 22 2(4p-3'3)cm¤
1
AC”="√7¤ -6¤ ='∂13
① sin A=;7^;
③ tan A=
④ sin B=
'∂13
7
⑤ cos B=;7^;
=
6'∂13
13
6
'∂13
2
오른쪽 그림에서
B’C’="√(3k)¤ -(2k)¤ ='5k(k>0)
'5
'5k
3
2k
∴ tan A-sin A= - = '5
6
= , tan A=
'5k
3k
sin A=
'5
3
'5
2
=
'5
2
3k
A
2k
B
yy ②
배점
3점
4점
087~089P
8
9
2
y
B
A
x
1
y
x
C
H
4
△ABC에서 B’C’="√2¤ +1¤ ='5
tan x=
sin y=
AB”
AC”
=;1@;=2
AC”
B’C’
1
= =
'5
∴ tan x_sin y=2_ =
'5
5
'5
5
2'5
5
'3
2
5
① -'3=- (cid:100)(cid:100)② '2_ -'3_ =0
'3
2
'3
2
'2
2
③ ;2!;_0+;2!;=;2!;(cid:100)(cid:100) ④ +1_0=
⑤ { -1} { +1}={
-1¤ =-;2!;
'2
2
'3
3
'2
2
}
'3
3
3'3
B’C’
3'3
CD”
6
△ABC에서 tan 30˘=
= (cid:100)(cid:100)∴ BC”=9
△ADC에서 tan 45˘=
=1(cid:100)(cid:100)∴ CD”=3'3
∴ BD”=B’C’-CD”=9-3'3=3(3-'3)
7
∠OAB=180˘-(56˘+90˘)=34˘
① sin 56˘=
=0.83 ② cos 56˘=
=0.56
③ tan 56˘=
=1.48 ④ sin 34˘=
=0.56
'2
2
'3
3
OB”
OA”
OB”
OA”
① cos 0˘=1(cid:100)(cid:100) ② 01
④ 00)
㉠, ㉡에서 50)
9
(높이)= _4=2'3(cm)
(넓이)= _4¤ =4'3(cm¤ )
'3
2
'3
4
10
BH”=x cm라 하면 CH”=(9-x)cm
¤ =6¤ -x¤ =(3'7)¤ -(9-x)¤
AH”
18x=54(cid:100)(cid:100)∴ x=3(cm)
∴ AH”="√6¤ -3¤ =3'3(cm)(cid:100)(cid:100)
27'3
2
∴ △ABC=;2!;_9_3'3=
(cm¤ )
A
6 cm
3'7 cm
x cm (9-x) cm
B
C
H
9 cm
1
47-(29-48)152-3중간알찬수학.ps 2015.6.9 03:16 PM 페이지47 MAC5
11
AB”="√(2-4)¤ +(√-1-5)¤ =2'∂10
12
AF”=4'2 cm, DF”=4'3 cm
△AFD에서 AD”_AF”=DF”_A’I’이므로
4_4'2=4'3_A’I’(cid:100)(cid:100)∴ A’I’=
4'6
3
(cm)
13
sin C=;1•7;, cos C=;1!7%;이므로
sin C-cos C=-;1¶7;
14
∠A=180˘_
=30˘이므로
1
1+2+3
cos A÷tan A_sin A=cos 30˘÷tan 30˘_sin 30˘
'3
2
cos A÷tan A_sin A= ÷ _;2!;=;4#;
'3
3
15
⑤ tan y=
OC”
CD”
=
1
CD”
16
17
18
cos 15˘=0.9659, tan 16˘=0.2867이므로 x=15˘, y=16˘
∴ x+y=15˘+16˘=31˘
AH”=8 sin 60˘=4'3(cm)
BH”=8 cos 60˘=4(cm)
CH”=B’C’-BH”=14-4=10(cm)
A
8 cm
B
60˘
H
14 cm
C
△ACH에서 AC”=øπ10¤ +(4'3)¤ =2'∂37(cm)
AH”=h m라 하면
BH”=h tan 45˘=h(m)
CH”=h tan 60˘='3h(m)
60=h+'3h(cid:100)(cid:100)
∴ h=30('3-1)(m)
A
60˘
45˘
h m
H
60 m
45˘
B
30˘
C
19
△ABC=;2!;_12_9_sin(180˘-135˘)=27'2(cm¤ )
20
(정팔각형의 넓이)
=8△AOB=8_{;2!;_6_6_sin 45˘}
O
6 cm
45˘
A
B
=72'2(cm¤ )
주관식 문제
21
2+3+5+a+b
5
=4에서 a+b+10=20(cid:100)(cid:100)∴ a+b=10
(-2)¤ +(-1)¤ +1¤ +(a-4)¤ +(b-4)¤
5
=9에서
(a-4)¤ +(b-4)¤ +6=45(cid:100)(cid:100)
∴ a¤ +b¤ =8(a+b)+7=8_10+7=87
22
CE”=4'2 cm이므로 CH”=;2!; CE”=2'2(cm)
△AHC에서 AH”=øπ6¤ -(2'2)¤ =2'7(cm)
∴ (부피)=;3!;_(4_4)_2'7=
32'7
3
(cm‹ )
23
△ABCª△EBD`(AA 닮음)이므로
∠BDE=∠x
△BED에서 BE”="√5¤ -3¤ =4이므로
A
5
B
D
x
3
E
x
C
tan x=
BE”
DE”
=;3$;
24
ED”=AD”=15 cm이므로 △DEC에서
CE”="√15¤ -9¤ =12(cm)
∴ BE”=15-12=3(cm)
AF”=EF”=x cm라 하면 BF”=(9-x)cm
△FBE에서 x¤ =(9-x)¤ +3¤
18x=90(cid:100)(cid:100)∴ x=5(cm)
채점 요소
CE”의 길이 구하기
BE”의 길이 구하기
EF”의 길이 구하기
25
△ABC에서 AC”=8 sin 33˘=8_0.55=4.4(m) yy ①
yy ②
∴ AD”=AC”+CD”=4.4+1.5=5.9(m)
채점 요소
AC”의 길이 구하기
지면으로부터 열기구까지의 높이 구하기
yy ①
yy ②
yy ③
배점
1점
1점
2점
배점
2점
2점
093~095P
2 ①, ③ 3 ②
9 ⑤
8 ③
14 ④
15 ③
20 ②
4 ①
5 ①
10 ② 11 ④
16 ②
6 ②
12 ⑤
17 ①, ③ 18 ④
21 7
22 :™5¢: m
23 ;2!;
24 32'3 cm¤
단계
①
②
③
단계
①
②
2회
1 ⑤
7 ①
13 ⑤
19 ③
주관식 문제
25 400'2 m
1
2
x를 제외한 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면
10, 12, 13, 15, 17
중앙값이 13.5이므로
=13.5(cid:100)(cid:100)∴ x=14
13+x
2
② 대푯값에는 평균, 중앙값, 최빈값 등이 있다.
④ 분산은 편차를 제곱한 값의 평균이고, 표준편차는 분산의
양의 제곱근이다.
⑤ 편차의 절댓값이 작을수록 그 변량은 평균에 가깝다.
3
편차의 합은 항상 0이므로
3+(-1)+0+(-3)+x=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1
(분산)=
3¤ +(-1)¤ +0¤ +(-3)¤ +1¤
5
=:™5º:=4
∴ (표준편차)='4=2(cm)
정답과 해설 47
(29-48)152-3중간알찬수학정.ps 2015.6.8 8:30 PM 페이지48 MAC2 data.terabooks.co.kr
4
(평균)=
(5-3a)+5+(5+3a)
3
=:¡3∞:=5
(분산)=
(5-3a-5)¤ +(5-5)¤ +(5+3a-5)¤
3
18a¤
3
6a¤ =(6'6)¤ =216, a¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ a=6(∵ a>0)
=
=6a¤
17
cos 52˘=
에서 B’C’=10 cos 52˘
∠BAC=38˘이므로
sin 38˘=
에서 B’C’=10 sin 38˘
B’C’
10
B’C’
10
4 cm
B
H
8 cm
C
22
지면으로부터 나무가 부러진 부분까지의 높이를 x m라 하면
나무의 높이가 15 m이므로 나무가 부러진 부분으로부터 쓰
러진 지점까지의 길이는 (15-x)m이다.
5
6
7
8
9
11
12
13
15
16
△ABD에서 x="√10¤ -8¤ =6
△ADC에서 y="√8¤ -6¤ =2'7
EB”∥DC”이므로 △EBA=△EBC
△EBC™△ABF`(SAS 합동)
또, B’F’∥AM”이므로 △ABF=△BFL
x+5가 가장 긴 변의 길이이므로
(x+5)¤ =(x+1)¤ +(x+3)¤ 에서
x¤ -2x-15=0, (x-5)(x+3)=0
∴ x=5(∵ x>0)
AP”
DP”
¤ =BP”
¤ +CP”
¤ +DP”
¤ =33(cid:100)(cid:100)∴ DP”='∂33(∵ DP”>0)
¤ 이므로 7¤ +3¤ =5¤ +DP”
△ACD에서 AC”="√8¤ +6¤ =10(cm)
AD”_CD”=AC”_DH”이므로 8_6=10_DH”
∴ DH”=:™5¢: (cm)
10
△ABH에서 AH”="√6¤ -4¤ =2'5(cm)
∴ △ABC=;2!;_8_2'5=8'5(cm¤ )
A
6 cm
6 cm
① AC”="√{2-(-3)}¤ +√(3-3)¤ =5
② AB”="√{1-(-3)}¤ +√(1-3)¤ =2'5
③, ④ B’C’="√{(2-1)¤ +(3-1)¤ ='5이므로
③, AB”
③, 따라서 △ABC는 ∠B=90˘인 직각삼각형이다.
¤ =AC”
¤ +B’C’
⑤ △ABC=;2!;_2'5_'5=5
△ABC에서 6：B’C’=1：'3(cid:100)(cid:100)∴ B’C’=6'3(cm)
△BCD에서 6'3：CD”='2：1(cid:100)(cid:100)∴ CD”=3'6(cm)
(높이)="√10¤ -7¤ ='∂51(cm)
∴ (부피)=;3!;_p_7¤ _'∂51=
49'∂51
3
p(cm‹ )
14
tan A=
=3'3에서 B’C’=9
B’C’
'3
∴ AC”=øπ('3)¤ +9¤ =2'∂21
③ 0˘…A<45˘일 때, sin A
