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개념 해결의 법칙 고등 수학 (하) (15개정).pdf 다운로드 | 답지저장소
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정답과
해설
I 집합과 명제
1 | 집합
2 | 집합의 연산
3 | 명제
II 함수
4 | 함수
5 | 합성함수와 역함수
6 | 유리함수
7 | 무리함수
III 경우의 수
8 | 경우의 수
002
007
016
028
033
041
051
060
1 ⑴ {1}
⑵, ⑶ ‘잘하는’, ‘가까운’은 기준이 명확하지 않아 그 대상을 분명
하게 정할 수 없으므로 집합이 아니다.
2 10보다 작은 소수는 2, 3, 5, 7이므로
A={2, 3, 5, 7}
8쪽~10쪽
⑴ 1IA
⑷ 5GA
⑵ 2GA
⑸ 7GA
⑶ 3GA
⑹ 9IA
4 ⑴ {5, 10, 15, 20, …}이므로 무한집합이다.
⑵ 1보다 크고 3보다 작은 홀수는 없으므로 공집합이다.
또, 공집합은 유한집합이다.
⑶ {1}이므로 유한집합이다.
⑷ x=-'2이므로 x€=2를 만족시키는 정수는 없다.
따라서 주어진 집합은 공집합이다.
또, 공집합은 유한집합이다.
5 ⑴ A={0, 0}의 원소는 0, 0, 즉 2개이므로 n(A)=2
⑵ A={3, 6, 9, 12, 15, 18}이므로 n(A)=6
⑶ A={1, 2, 3, 4, …, 9}이므로 n(A)=9
⑷ |x|<3에서 -3<x<3
따라서 정수 x는 -2, -1, 0, 1, 2의 5개이므로 n(A)=5
| 집합1
1
집합의 뜻과 표현
개념 확인
1 ⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ _ ⑷ ◯
2 ⑴ I ⑵ I ⑶ G ⑷ I
3 ⑴ ① A={5, 6, 7, 8, 9}
3 ⑵ ② A={x|x는 4보다 크고 10보다 작은 자연수}
3 ⑵ ③
A
6
5
8
9
7
3 ⑵ ① B={1, 2, 3, 6}
3 ⑵ ② B={x|x는 6의 양의 약수}
3 ⑵ ③
B
2
1
3
6
4 ⑴ B, C ⑵ A ⑶ C
5 ⑴ 6 ⑵ 5 ⑶ 2
2 집합 A의 원소는 2, 4, 6이다.
4 0보다 크고 2보다 작은 짝수는 없으므로
C={x|x는 0보다 크고 2보다 작은 짝수}=0
따라서 집합 C는 공집합이면서 유한집합이다.
5 ⑵ 1 이상 10 이하의 2의 배수는 2, 4, 6, 8, 10이므로
A={2, 4, 6, 8, 10}
∴ n(A)=5
⑶ (x-2)(x-3)=0에서 x=2 또는 x=3
따라서 A={2, 3}이므로
n(A)=2
STEP
2
필수 유형
| 12쪽~15쪽 |
01-1 ⑤
|해결 전략 | 집합은 대상을 분명하게 정할 수 있는 것들의 모임이다.
⑤ ‘재미있는’은 기준이 명확하지 않아 그 대상을 분명하게 정할 수
없으므로 집합이 아니다.
01-2 ⑤
|해결 전략 | (원소)G(집합)임을 이용한다.
집합 A의 원소는 1, 2, {2, 3}, 4이다.
① 2는 집합 A의 원소이므로 2÷ BGA
③ 4는 집합 A의 원소이므로 4÷ BGA
④ {1, 2}는 집합 A의 원소가 아니므로 {1, 2}÷ BIA
⑤ {2, 3}은 집합 A의 원소이므로 {2, 3}GA
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
02-1 ②
|해결 전략 | 먼저 각 집합을 원소나열법으로 나타낸다.
① {2, 4, 6, 8}
② {1, 2, 4, 8}
STEP
1
개념 드릴
| 11쪽 |
② 3은 집합 A의 원소가 아니므로 3÷ BIA
1 ⑴ ◯ ⑵ _ ⑶ _ ⑷ ◯
2 ⑴ I ⑵ G ⑶ G ⑷ G ⑸ G ⑹ I
3 ⑴ A={1, 3, 5, 7, 9} ⑵ A={x|x는 1 이상 10 이하의 홀수}
3 ⑶
A
1
35
9
7
4 ⑴ 무 ⑵ 유, 공 ⑶ 유 ⑷ 유, 공
5 ⑴ 2 ⑵ 6 ⑶ 9 ⑷ 5
002 정답과 해설
③ {1, 2, 3, 4}
④ {2, 4, 6, 8, …}
⑤ {…, -3, -1, 1, 3, …}
따라서 집합 A={1, 2, 4, 8}과 같은 집합은 ②이다.
02-2 ③
|해결 전략 | 집합에 속하는 원소들이 갖는 공통된 성질과 집합에 속하는 모든 원
소가 일치하는지 확인한다.
③ {x|x는 1보다 크고 50보다 작은 짝수} ➡ {2, 4, 6, 8, …, B÷48}
2 C={2, 3, 5, 7}
03-1 {-7, -5, -3, -2, 0, 2, 3, 5, 7}
|해결 전략 | 표를 이용하여 A와 B의 원소를 하나씩 곱한다.
4 ⑴ 2›=16
⑵ 2›-1=15
참고
집합 A={-1, 0, 1}에 대하여
xGA이므로 x=-1, 0, 1
집합 B={2, 3, 5, 7}에 대하여
yGB이므로 y=2, 3, 5, 7
오른쪽 표에 의하여 xy의 값은
-7, -5, -3, -2, 0, 2, 3, 5, 7
이므로 집합 C를 원소나열법으로 나
타내면
C={-7, -5, -3, -2, 0, 2, 3, 5, 7}
y x -1
2 -2
3 -3
5 -5
7 -7
0
0
0
0
0
1
2
3
5
7
5 ⑴ 24-1=2‹=8
⑵ 24-2=2€=4
⑶ 24-1-2=2⁄=2
2
집합 사이의 포함 관계
개념 확인
1 ⑴ 0 ⑵ {1}, {2} ⑶ {1, 2}
2 ⑴ + ⑵ = ⑶ +
3 ⑴ 0, {2}, {4}, {2, 4} ⑵ 0, {2}, {4}
4 ⑴ 16 ⑵ 15
5 ⑴ 8 ⑵ 4 ⑶ 2
16쪽~19쪽
⑴ 집합 A={1, 2, 3, 4}의 부분집합을 모두 구하면 다음과 같다.
0, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4},
{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}
03-2 ⑤
|해결 전략 | 소인수분해했을 때 소인수가 2와 3뿐이면 A의 원소임을 이용한다.
①~④ 24=2‹_3, 36=2€_3€, 72=2‹_3€, 108=2€_3‹은 소인
수가 2와 3뿐이므로 집합 A의 원소이다.
⑤ 120=2‹_3_5는 5를 소인수로 가지므로 집합 A의 원소가 아니다.
따라서 집합 A의 원소가 아닌 것은 ⑤이다.
04-1 ㄴ, ㄷ
|해결 전략 | n(A)는 유한집합 A의 원소의 개수를 뜻한다.
ㄱ. n({a, b, 1, 2})=4
ㄴ. n(0)=0
ㄷ. 집합 {0}의 원소는 0, 즉 1개이므로
n({0})=1
ㄹ. n({2, 3, 4, 7})-n({3, 4, 7})=4-3=1
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
04-2 4
|해결 전략 | 먼저 세 집합 A, B, C를 원소나열법으로 나타낸다.
A={1, 3, 9, 27, 81}
(x-1)(x-3)<0에서 1<x<3
이것을 만족시키는 정수는 2뿐이므로 B={2}
STEP
1
개념 드릴
| 20쪽 |
1 ⑴ AEB, BEA ⑵ AAB, BEA ⑶ AAB, BEA
2 ⑴ A+B ⑵ A=B ⑶ A=B
3 ⑴ 부분집합: 0, {0}
진부분집합: 0
⑵ 부분집합: 0, {a}, {b}, {a, b}
진부분집합: 0, {a}, {b}
⑶ 부분집합: 0, {1}, {3}, {9}, {1, 3}, {1, 9}, {3, 9}, {1, 3, 9}
진부분집합: 0, {1}, {3}, {9}, {1, 3}, {1, 9}, {3, 9}
4 ⑴ 64 ⑵ 63 ⑶ 8 ⑷ 32
1 ⑴ 1GA이지만 1IB이므로 AEB
7GB이지만 7IA이므로 BEA
⑵ x€=1에서 x=-1
∴ A={-1, 1}
∴ AAB
0GB이지만 0IA이므로 BEA
⑶ B={1, 2, 4, 8}이므로 AAB
8GB이지만 8IA이므로 BEA
2 ⑴ B={2, 3}이므로 A+B
⑵ A={2, 4, 6, 8, …}, B={2, 4, 6, 8, …}이므로
1 집합 003
x€=-2를 만족시키는 실수 x는 존재하지 않으므로 C=0
A=B
∴ n(A)-n(B)+n(C)=5-1+0=4
⑶ B={1, 2, 4}이므로 A=B
STEP
2
필수 유형
| 21쪽~25쪽 |
03-1 3
|해결 전략 | A=B이면 집합 A의 원소와 집합 B의 원소가 모두 같음을 이용
02-2 -1<a<3
|해결 전략 | 집합이 부등식으로 표현되어 있을 때는 수직선을 이용하여 나타내고,
포함 관계가 성립할 조건을 찾는다.
0<x-a<2에서 a<x<a+2
∴ A={x|a<x<a+2}
x€-4x-5<0에서 (x+1)(x-5)<0, 즉 -1<x<5
∴ B={x|-1<x<5}
AAB가 되도록 두 집합 A, B를 수직
선 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같으
B
A
-1
a
a+2
5
x
므로
-1<a, a+2<5
∴ -1<a<3
한다.
6GA에서 6GB이어야 하므로
a€-a=6, a€-a-6=0
(a+2)(a-3)=0
∴ a=-2 또는 a=3
1 a=-2일 때
2 a=3일 때
A={-5, 3, 6}, B={5, 6, 8}이므로 A+B
A={5, 6, 8}, B={5, 6, 8}이므로 A=B
1, 2에서 구하는 a의 값은 3이다.
03-2 2
|해결 전략 | AAB, BAA이면 A=B임을 이용한다.
AAB, BAA이므로 A=B
2GA에서 2GB이어야 하므로
x€-x=2 또는 x-1=2
1 x€-x=2에서 x€-x-2=0
(x+1)(x-2)=0
∴ x=-1 또는 x=2
x=-1일 때, A={-2, 2}, B={-2, 2}이므로 A=B
x=2일 때, A={2, 4}, B={1, 2}이므로 A+B
2 x-1=2에서 x=3
x=3일 때, A={2, 6}, B={2, 6}이므로 A=B
1, 2에서 A=B를 만족시키는 x의 값은 -1 또는 3이므로 구하는
x의 값의 합은
-1+3=2
04-1 8
|해결 전략 | 원소의 개수가 n인 집합에 대하여 특정한 원소 k개는 반드시 원소로
갖고, m개는 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수는 2n-k-m임을 이용한다.
집합 A의 부분집합 중 1, 2는 반드시 원소로 갖고, 5, 7은 원소로 갖
4 A={3, 6, 9, 12, 15, 18}이므로
⑴ 2fl=64
⑵ 2fl-1=63
⑶ 26-3=2‹=8
⑷ 26-1=2fi=32
01-1 ⑤
|해결 전략 | 먼저 집합 A를 원소나열법으로 나타낸다.
A={1, 3, 5, 7}
① 5÷ BGA
② 2÷ BIA
③ {4, 6}÷ BEA
④ {5, 7}÷ BAA
⑤ 0은 모든 집합의 부분집합이므로 0AA
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
01-2 ③
|해결 전략 | (원소)G(집합), (부분집합)A(집합)임을 이용한다.
집합 X의 원소는 0, 1, 2, {1, 2}이므로
① 0GX
② 0은 모든 집합의 부분집합이므로 0AX
③ {0}÷ BAX
④ {1, 2}GX
⑤ {1, 2}A÷X
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
02-1 -4
|해결 전략 | AAB일 때, xGA이면 xGB임을 이용한다.
3GA에서 3GB이어야 하므로
a=3 또는 a€-13=3
1 a=3일 때
A={3, 4}, B={-4, 3, 11}이므로 AEB
2 a€-13=3, 즉 a=-4일 때
a=4이면
a=-4이면
004 정답과 해설
A={3, 11}, B={3, 4, 11}이므로 AAB
지 않는 부분집합은 집합 A에서 네 원소 1, 2, 5, 7을 제외한 집합
{3, 4, 6}의 부분집합에 두 원소 1, 2를 넣은 것과 같다.
A={3, 11}, B={-4, 3, 11}이므로 AAB
1, 2에서 구하는 a의 값은 -4이다.
따라서 구하는 부분집합의 개수는
27-2-2=23=8
04-2 8
|해결 전략 | {3, 9, 15}AX이므로 X는 3, 9, 15를 반드시 원소로 갖고, 1IX,
STEP
3
유형 드릴
| 26쪽~27쪽 |
13IX이므로 1, 13은 원소로 갖지 않는다.
집합 X는 {3, 9, 15}AX에서 3, 9, 15를 반드시 원소로 갖고,
1-1 ①, ③
|해결 전략 | 집합은 대상을 분명하게 정할 수 있는 것들의 모임이다.
1IX, 13IX에서 1, 13은 원소로 갖지 않는 집합 A의 부분집합이다.
①, ③ ‘충분히 큰’, ‘높은’은 기준이 명확하지 않아 그 대상을 분명하
즉, X는 집합 A에서 다섯 원소 1, 3, 9, 13, 15를 제외한 집합
게 정할 수 없으므로 집합이 아니다.
{5, 7, 11}에 세 원소 3, 9, 15를 넣은 것과 같다.
따라서 구하는 부분집합의 개수는
28-3-2=23=8
04-3 14
|해결 전략 | 구하는 부분집합의 개수는 집합 X의 부분집합의 개수에서 모두 짝수
가 아닌 원소로 이루어진 부분집합의 개수를 뺀 것임을 이용한다.
집합 X={1, 2, 4, 8}의 부분집합 중 적어도 한 개의 짝수를 원소로
갖는 부분집합은 집합 X의 부분집합 중 모두 짝수가 아닌 원소로 이
루어진 집합, 즉 {1}의 부분집합을 제외한 것과 같다.
따라서 구하는 부분집합의 개수는
2›-2⁄=16-2=14
05-1 8
|해결 전략 | AAXAB를 만족시키는 집합 X는 집합 B의 부분집합 중 집합 A
∴ a+b=1
의 모든 원소를 반드시 원소로 갖는 집합임을 이용한다.
집합 X는 집합 B의 부분집합 중 집합 A의 원소 1, 2, 3을 반드시 원
소로 갖는 집합이므로 구하는 집합 X의 개수는
26-3=23=8
05-2 4
|해결 전략 | AAXAB를 만족시키는 집합 X는 집합 B의 부분집합 중 집합 A
의 모든 원소를 반드시 원소로 갖는 집합임을 이용한다.
두 집합 A, B를 원소나열법으로 나타내면
A={1, 2, 3, 6}, B={1, 2, 3, 6, 9, 18}
집합 X는 집합 B의 부분집합 중 집합 A의 원소 1, 2, 3, 6을 반드시
원소로 갖는 집합이므로 구하는 집합 X의 개수는
26-4=2€=4
05-3 9
|해결 전략 | BAXAA를 만족시키는 집합 X는 집합 A의 부분집합 중 집합 B
의 모든 원소를 반드시 원소로 갖는 집합임을 이용한다.
A={1, 2, 3, …, k}
원소로 갖는 집합이다.
이때, 집합 X의 개수가 32이므로
2k-4=32=25, k-4=5
∴ k=9
1-2 ④
|해결 전략 | 집합은 대상을 분명하게 정할 수 있는 것들의 모임이다.
④ ‘작은’은 기준이 명확하지 않아 그 대상을 분명하게 정할 수 없으
므로 집합이 아니다.
⑤ 가장 작은 자연수의 모임은 {1}이므로 집합이다.
2-1 1
|해결 전략 | ax+by=5는 집합 A의 원소들이 갖는 공통된 성질임을 이용하여
연립방정식을 세운다.
(1, 3)GA이므로 a+3b=5
(-1, 2)GA이므로 -a+2b=5
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=2
…… ㉠
…… ㉡
2-2 10
|해결 전략 | 먼저 집합 C를 원소나열법으로 나타낸다.
집합 A={-1, 0, 1}에 대하여 xGA이므로 x=-1, 0, 1
집합 B={1, 2}에 대하여 yGB이므로 y=1, 2
오른쪽 표에 의하여 x+y+xy의 값
은 -1, 1, 2, 3, 5이므로 집합 C를
원소나열법으로 나타내면
C={-1, 1, 2, 3, 5}
따라서 집합 C의 모든 원소의 합은
-1+1+2+3+5=10
y x -1
1 -1
2 -1
0
1
2
1
3
5
3-1 ⑤
|해결 전략 | n(A)는 유한집합 A의 원소의 개수를 뜻한다.
① A={0}이면 n(A)=A1
② A={1}, B={2, 3}이면
n(A)<n(B)이지만AEB이다.
n(A)=A2
④ n({0})+n(0)=1+0=A1
⑤ A={1, 2, 3, 4}이면 n(A)=4
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
1 집합 005
집합 X는 집합 A의 부분집합 중 집합 B의 원소 1, 2, 3, 6을 반드시
③ A={a, {0, 1}}의 원소는 a, {0, 1}, 즉 2개이므로
3-2 ②
|해결 전략 | n(A)는 유한집합 A의 원소의 개수를 뜻한다.
3+1=4
따라서 실수 a의 최댓값은 3, 최솟값은 1이므로 그 합은
① n({3})=A1
② A=0이면 n(A)=n(0)=0
③ n({1, 2, 3})-n({1, 3})=3-2=A1
④ A={0, 1}, B={0, 1}이면
AAB이지만 n(A)=n(B)이다.
⑤ A={0}, B={1}이면
n(A)=n(B)이지만 A+B이다.
따라서 옳은 것은 ②이다.
4-1 ②
|해결 전략 | (원소)G(집합), (부분집합)A(집합)임을 이용한다.
① 0은 집합 {1, 2}의 원소가 아니므로 0÷ BI{1, 2}
② 0은 모든 집합의 부분집합이므로 0A{1, 2}
③ 0은 집합 {0}의 원소가 아니므로 0÷ BI{0}
④ 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이므로 {1, 2}÷ BA{1, 2}
⑤ {0}은 집합 {0, 1, 2}의 원소가 아니므로 {0}÷ BI{0, 1, 2}
따라서 옳은 것은 ②이다.
4-2 ④
|해결 전략 | (원소)G(집합), (부분집합)A(집합)임을 이용한다.
집합 A={0, a, {b}, c}의 원소는 0, a, {b}, c이다.
① 0은 집합 A의 원소이므로 0GA
② 0은 모든 집합의 부분집합이므로 0AA
③ a는 집합 A의 원소이므로 {a}는 집합 A의 부분집합이다.
∴ {a}AA
④ {b}는 집합 A의 원소이므로 {b}÷ BGA
⑤ {b}, c는 집합 A의 원소이므로 {{b}, c}는 집합 A의 부분집합이다.
∴ {{b}, c}AA
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
5-1 4
|해결 전략 | 두 집합 A, B를 수직선 위에 나타낸다.
-1<x+2<4에서 -3<x<2
∴ A={x|-3<x<2}
-2<x+a<5에서 -2-a<x<5-a
∴ B={x|-2-a<x<5-a}
AAB가 되도록 두 집합 A, B를 수
직선 위에 나타내면 오른쪽 그림과
같으므로
-2-a<-3, 5-a>2
∴ 1<a<3
006 정답과 해설
B
A
다른 풀이
-2-a
-3
2
5-a
x
∴ a=-1 또는 a=3
5-2 5
|해결 전략 | AAB일 때, xGA이면 xGB임을 이용한다.
2GA에서 2GB이어야 하므로
a=2 또는 a€-2a-1=2
1 a=2일 때
A={0, 2}, B={-1, 0, 2}이므로 AAB
2 a€-2a-1=2, 즉 a=-1 또는 a=3일 때
a€-2a-3=0, (a+1)(a-3)=0
a=-1이면
A={2, 3}, B={-1, 0, 2}이므로 AEB
a=3이면
A={2, 3}, B={0, 2, 3}이므로 AAB
1, 2에서 구하는 a의 값의 합은
2+3=5
6-1 a=2, n=3
|해결 전략 | AAB, BAA이면 A=B임을 이용한다.
AAB, BAA이므로 A=B
2GA에서 2GB이어야 하므로
2n+1=2 또는 a=2
∴ a=2
또, 7GA에서 7GB이므로
2n+1=7, 2n=6
∴ n=3
2n+1=2에서 2n=1을 만족시키는 정수 n은 없다.
6-2 -2
|해결 전략 | A=B이면 집합 A의 원소와 집합 B의 원소가 모두 같음을 이용
한다.
7GA에서 7GB이어야 하므로
a€-2a-1=7, a€-2a-8=0, (a+2)(a-4)=0
∴ a=-2 또는 a=4
1 a=-2일 때
2 a=4일 때
A={-3, 3, 7}, B={-3, 3, 7}이므로 A=B
A={3, 7, 9}, B={-3, 3, 7}이므로 A+B
1, 2에서 구하는 a의 값은 -2이다.
A=B이므로 {-3, 3}AB에서 {-3, 3}AA이어야 한다. 즉,
{-3, 3}={a-1, a+5}
이때, a-1<a+5이므로 a-1=-3, a+5=3
∴ a=-2
7-1 71
|해결 전략 | 원소의 개수가 n인 집합의 진부분집합의 개수는 2˜-1임을 이용한
다.
n(A)=6이므로 집합 A의 진부분집합의 개수는
2fl-1=63
∴ a=63
2
| 집합의 연산
또, 4는 반드시 원소로 갖고, 6, 12는 원소로 갖지 않는 부분집합은
집합 A에서 4, 6, 12를 제외한 집합 {1, 2, 3}의 부분집합에 원소 4
1
집합의 연산
를 넣은 것과 같다.
따라서 구하는 부분집합의 개수는
26-1-2=2‹=8
∴ b=8
∴ a+b=71
7-2 4
|해결 전략 | 원소의 최솟값이 3인 집합 A의 부분집합은 3은 반드시 원소로 갖고,
1, 2는 원소로 갖지 않아야 한다.
원소의 최솟값이 3인 집합 A의 부분집합은 3은 반드시 원소로 갖고,
1, 2는 원소로 갖지 않아야 하므로 집합 A에서 1, 2, 3을 제외한 집합
{4, 5}의 부분집합에 원소 3을 넣은 것과 같다.
따라서 구하는 부분집합의 개수는
25-1-2=22=4
8-1 4
|해결 전략| 먼저 집합 B를 원소나열법으로 나타낸다.
집합 B를 원소나열법으로 나타내면
B={1, 3, 5, 7}
집합 X는 집합 B의 부분집합 중 집합 A의 원소 3, 5를 반드시 원소
로 갖는 집합이므로 구하는 집합 X의 개수는
24-2=2€=4
8-2 16
|해결 전략 | 먼저 집합 B를 원소나열법으로 나타낸다.
집합 A={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15}에 대하여 xGA, yGA, x, y는 서
로 다른 소수이므로
x=2, 3, 5
y=2, 3, 5 (단, x+y)
오른쪽 표에 의하여 xy의 값은 6, 10,
15이므로 집합 B를 원소나열법으로
나타내면
B={6, 10, 15}
y x
2
3
5
2
6
10
3
6
15
5
10
15
따라서 집합 X는 집합 A의 부분집합 중 집합 B의 원소 6, 10, 15를
반드시 원소로 갖는 집합이므로 구하는 집합 X의 개수는
27-3=2›=16
주의
x, y는 서로 다른 소수이므로 표에서 x=y일 때의 xy의 값을 구하지 않도록
주의한다.
개념 확인
30쪽~31쪽
1 ⑴ ACB={1, 3, 5, 9}, ADB={1, 5}
⑵ ACB={a, i, n, o, r, s, w}, ADB={n}
2 ⑴ {6, 7} ⑵ {1, 3, 5, 7} ⑶ {1, 3, 5} ⑷ {6}
1 ⑴ A={1, 3, 5}, B={1, 5, 9}이므로
ACB={1, 3, 5, 9}, ADB={1, 5}
⑵ A={r, a, i, n}, B={s, n, o, w}이므로
ACB={a, i, n, o, r, s, w}, ADB={n}
2 U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A={1, 2, 3, 4, 5}, B={2, 4, 6}
⑴ AC={6, 7}
⑵ BC={1, 3, 5, 7}
⑶ A-B={1, 3, 5}
⑷ B-A={6}
STEP
1
개념 드릴
| 33쪽 |
1 ⑴ ACB={2, 3, 5, 6, 7}, ADB=0
⑵ ACB={1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}, ADB={1, 3, 5}
⑶ ACB={-6, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, ADB={6}
2 ⑴ _ ⑵ _ ⑶ ◯
3 ⑴ {3, 4, 6, 7, 8, 9}
⑵ {1, 2, 5, 10}
⑶ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
⑷ 0
4 ⑴ {4, 8, 10}
⑵ {1, 3}
⑶ {5, 7, 9, 11, 12}
⑷ {1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
1 ⑴ A={3, 6}, B={2, 5, 7}이므로
ACB={2, 3, 5, 6, 7}, ADB=0
⑵ A={1, 3, 5, 7, 9}, B={1, 2, 3, 4, 5}이므로
ACB={1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}, ADB={1, 3, 5}
⑶ A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B={-6, 6}이므로
ACB={-6, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, ADB={6}
2 집합의 연산 007
2 ⑴ ADB={3, 9}이므로 두 집합 A, B는 서로소가 아니다.
⑵ A={1, 2, 3, 5, 7}, B={2, 3, 5, 7}이므로
02-1 32
|해결 전략 | 주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타내어 집합 B를 구한다.
ADB={2, 3, 5, 7}
따라서 두 집합 A, B는 서로소가 아니다.
⑶ A={1, 3, 5, 7, 9}, B={4, 8}이므로
ADB=z
따라서 두 집합 A, B는 서로소이다.
3 U={1, 2, 3, …, 10}, A={1, 2, 5, 10}
⑴ AC={3, 4, 6, 7, 8, 9}
⑵ (AC)C=A={1, 2, 5, 10}
⑶ ACAC=U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
⑷ ADAC=z
4 U={1, 2, 3, …, 12}, A={2, 4, 6, 8, 10}, B={1, 2, 3, 6}
⑴ A-B={4, 8, 10}
⑵ B-A={1, 3}
⑶ ACB={1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}이므로
(ACB)C={5, 7, 9, 11, 12}
⑷ ADB={2, 6}이므로
(ADB)C={1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
LECTURE
STEP
2
필수 유형
| 34쪽~40쪽 |
01-1 8
|해결 전략 | 먼저 주어진 집합을 원소나열법으로 나타낸다.
A={1, 2, 5, 10}, B={1, 2, 3, 6}, C={1, 2, 3, 4, 5}에서
BCC={1, 2, 3, 4, 5, 6}이므로
AD(BCC) ={1, 2, 5, 10}D{1, 2, 3, 4, 5, 6}
={1, 2, 5}
따라서 AD(BCC)의 모든 원소의 합은
1+2+5=8
01-2 ③
|해결 전략 | 먼저 주어진 집합을 원소나열법으로 나타낸다.
A={3, 6, 9, 12}, B={1, 2, 3, 4}, C={1, 2, 3, 4, 6, 12}
③ ADB={3}이므로
(ADB)CC ={3}C{1, 2, 3, 4, 6, 12}
={1, 2, 3, 4, 6, 12}
④ ACB={1, 2, 3, 4, 6, 9, 12}이므로
(ACB)DC ={1, 2, 3, 4, 6, 9, 12}D{1, 2, 3, 4, 6, 12}
={1, 2, 3, 4, 6, 12}
⑤ BDC={1, 2, 3, 4}이므로
A={1, 3, 9}, ACB={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ADB=0이므로
오른쪽 벤다이어그램에서 집합 A와
서로소인 집합 B는
B={2, 4, 5, 6, 7, 8}
따라서 집합 B의 모든 원소의 합은
2+4+5+6+7+8=32
A
1
3
9
B
4
7
2
6
5
8
02-2 16
|해결 전략 | 집합 A의 부분집합을 X라 하면 XDB=z이다.
A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B={1, 2, 3, 4, 6, 12}이고,
조건을 만족시키는 집합을 X라 하면
XAA이고 XDB=z
즉, X는 집합 A의 부분집합 중 집합 B의 원소 1, 2, 3, 4, 6을 모두
원소로 갖지 않는 집합이다.
따라서 구하는 집합 X의 개수는
29-5=2›=16
조건을 만족시키는 집합 X는 오른쪽 그림
B
A
X
과 같으므로 A-B의 부분집합이다.
즉, 집합 X는 집합 A에서 1, 2, 3, 4, 6을
제외한 집합 {5, 7, 8, 9}의 부분집합이다.
03-1 {1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12}
|해결 전략 | 먼저 주어진 집합을 원소나열법으로 나타낸다.
U={1, 2, 3, y, 12}, A={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={4, 8, 12}에서
A-B={2, 6, 10}이므로
(A-B)C={1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12}
03-2 {2}
|해결 전략 | 먼저 주어진 집합을 원소나열법으로 나타낸다.
U={1, 2, 3, y, 15}, A={2, 3, 5, 7, 11, 13},
B={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}, C={5, 10, 15}에서
A-B={2}, A-C={2, 3, 7, 11, 13}이므로
(A-B)D(A-C) ={2}D{2, 3, 7, 11, 13}
={2}
04-1 {1, 3, 5, 7}
|해결 전략 | 주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타낸다.
B={2, 3, 9}, ADB={3},
ACB={1, 2, 3, 5, 7, 9}를 벤다이어그램
A
1
7
5
3
B
2
9
AC(BDC) ={3, 6, 9, 12}C{1, 2, 3, 4}
으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
={1, 2, 3, 4, 6, 9, 12}
∴ A={1, 3, 5, 7}
008 정답과 해설
04-2 {2, 4, 6, 8}
|해결 전략 | 주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타낸다.
U={1, 2, 3, y, 10},
A-B={4, 8}, B-A={1, 3},
ACCBC={1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10}을
벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그
U
5
7
9
10
A
4
8
2
6
B
1
3
과 같다.
① ACABC
06-1 ④
|해결 전략 | BAA를 만족시키도록 벤다이어그램으로 나타낸다.
BAA를 만족시키도록 두 집합 A, B를
U
벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림
A
B
림과 같다.
∴ A={2, 4, 6, 8}
② BAA이지만 B+A이면 A-B+z
③ ADBC=A-B+U
⑤ ACABC이므로 ACCBC=BC
05-1 {-3, 0, 3}
|해결 전략 | -3GB 또는 0GB임을 이용하여 a의 값을 먼저 구한다.
ACB={-3, 0, 1, 3}, B={1, 3, a€-1}이므로
-3GB 또는 0GB
즉, a€-1=-3 또는 a€-1=0
이때, a€-1=-3을 만족시키는 실수 a는 존재하지 않으므로
a€-1=0, a€=1
∴ a=-1
1 a=1일 때
A={-1, 2, 5}, B={0, 1, 3}이므로
ACB={-1, 0, 1, 2, 3, 5}가 되어 조건을 만족시키지 않는다.
2 a=-1일 때
A={-3, 0, 3}, B={0, 1, 3}이므로
ACB={-3, 0, 1, 3}이 되어 조건을 만족시킨다.
1, 2에서 a=-1이므로
A={-3, 0, 3}
05-2 2
|해결 전략 | A-B={5}이면 5GA, 5IB임을 이용한다.
A-B={5}이므로 1GB, 3GB, a€+a-2GB
이때, B={1, 4, a€-1}이므로
1 3GB일 때, a€-1=3
a€=4
∴ a=-2
2 a€+a-2GB일 때, a€+a-2=4
a€+a-6=0, (a+3)(a-2)=0
∴ a=-3 또는 a=2
1, 2에서 a=2
다른 풀이
A-B={5}이므로 3GB이어야 한다.
즉, a€-1=3이므로 a=-2
1 a=2일 때
A={1, 3, 4, 5}, B={1, 3, 4}이므로
A-B={5}가 되어 조건을 만족시킨다.
2 a=-2일 때
A={0, 1, 3, 5}, B={1, 3, 4}이므로
A-B={0, 5}가 되어 조건을 만족시키지 않는다.
1, 2에서 a=2
06-2 ②, ④
|해결 전략 | ACB=B가 나타내는 A, B 사이의 포함 관계를 알아본다.
ACB=B이므로 AAB
AAB를 만족시키도록 두 집합 A, B를
벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림
U
B
A
과 같다.
① ADB=A
③ B-A+U
② ADB=A이므로 AA(ADB)
④ ACB=B이므로 (ACB)AB
⑤ ADB=A이므로 (ADB)CB=ACB=B
07-1 16
|해결 전략 | 먼저 세 집합 A, B, X의 포함 관계를 알아본다.
A={1, 4}, B={1, 2, 3, 4, 6, 12}
ACX=X에서 AAX
BDX=X에서 XAB
∴ AAXAB
를 반드시 원소로 갖는 집합이다.
따라서 구하는 집합 X의 개수는
26-2=2›=16
즉, 집합 X는 집합 B={1, 2, 3, 4, 6, 12}의 부분집합 중에서 1, 4
07-2 8
|해결 전략 | 먼저 세 집합 B, B-A, X의 포함 관계를 알아본다.
BDX=X에서 XAB
(B-A)CX=X에서 (B-A)AX
∴ (B-A)AXAB
이때, B-A={2, 4}이므로 집합 X는 집합 B={1, 2, 3, 4, 5}의
부분집합 중에서 2, 4를 반드시 원소로 갖는 집합이다.
따라서 구하는 집합 X의 개수는
25-2=2‹=8
2 집합의 연산 009
ACB={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}의 부분집합 중에서 1, 2, 3을 반드시 원
⑷ (ACBC)C =ACDB
2 ⑴ ACDBC=(ACB)C이고 ACB={1, 3, 5, 7, 9}=U이므로
⑵ ACCBC=(ADB)C이고 ADB={5, 7}이므로
ACDBC=z
ACCBC={1, 3, 9}
⑶ (ACCB)C =ADBC
=A-B={1}
=B-A={3, 9}
07-3 16
|해결 전략 | 먼저 세 집합 ADB, ACB, X의 포함 관계를 알아본다.
(ADB)DX=ADB에서 (ADB)AX
(ACB)CX=ACB에서 XA(ACB)
∴ (ADB)AXA(ACB)
이때, ADB={1, 2, 3}이므로 집합 X는 집합
소로 갖는 집합이다.
따라서 구하는 집합 X의 개수는
27-3=2›=16
2
집합의 연산법칙
개념 확인
1 {1, 3, 4, 5}
2 U
3 ⑴ 6 ⑵ 2 ⑶ 3
1 AD(BCC) =(ADB)C(ADC)
={1, 3}C{3, 4, 5}
={1, 3, 4, 5}
2 (ACB)C(ACDBC) =(ACB)C(ACB)C
=U
3 ⑴ n(ACB) =n(A)+n(B)-n(ADB)
=3+4-1=6
⑵ n(AC)=n(U)-n(A)=8-6=2
⑶ n(A-B)=n(A)-n(ADB)=8-5=3
3 ⑴ n(ACB)=n(A)+n(B)-n(ADB)에서
n(ADB) =n(A)+n(B)-n(ACB)
⑵ n(ACB) =n(A)+n(B)-n(ADB)
=13+8-17=4
=5+9-0=14
41쪽~43쪽
⑶ n(ACB)=n(A)+n(B)-n(ADB)에서
n(B) =n(ACB)+n(ADB)-n(A)
=13+4-5=12
4 ⑴ n(AC)=n(U)-n(A)에서
n(A) =n(U)-n(AC)
⑵ n(A-B) =n(ACB)-n(B)
=15-7=8
=10-4=6
⑶ n(B-A)=n(B)-n(ADB)에서
n(ADB) =n(B)-n(B-A)
=6-3=3
STEP
1
개념 드릴
1 ⑴ {1, 2, 4, 6, 8} ⑵ {2, 4, 6}
2 ⑴ 0 ⑵ {1, 3, 9} ⑶ {1} ⑷ {3, 9}
3 ⑴ 4 ⑵ 14 ⑶ 12
4 ⑴ 8 ⑵ 6 ⑶ 3
1 ⑴ AC(BCC) =(ACB)CC
={2, 4, 6, 8}C{1, 2, 4, 6}
={1, 2, 4, 6, 8}
⑵ (ADC)C(BDC) =(ACB)DC
={2, 4, 6, 8}D{1, 2, 4, 6}
={2, 4, 6}
010 정답과 해설
STEP
2
필수 유형
| 45쪽~48쪽 |
| 44쪽 |
01-1 ⑴ ADB ⑵ B
|해결 전략 | 집합의 연산법칙과 드모르간의 법칙을 이용하여 식을 간단히 한다.
⑴ AD(A-B)C =AD(ADBC)C
⑵ (A-BC)C(ACDB) ={AD(BC)C}C(ACDB)
=AD(ACCB)
=(ADAC)C(ADB)
=zC(ADB)
=ADB
=(ADB)C(ACDB)
=(ACAC)DB
=UDB
=B
01-2 ①
|해결 전략 | 집합의 연산법칙과 드모르간의 법칙을 이용하여 식을 간단히 한다.
n(ACCBC) =n((ADB)C)
=n(U)-n(ADB)
(A-B)C(A-C) =(ADBC)C(ADCC)
=AD(BCCCC)
=AD(BDC)C
=A-(BDC)
이때, n(ACB)=n(A)+n(B)-n(ADB)에서
n(ADB) =n(A)+n(B)-n(ACB)
=25+30-40=15
∴ n(ACCBC) =n(U)-n(ADB)
=50-15=35
02-1 ④
|해결 전략 | 주어진 식의 좌변을 정리한 후 집합 A, B의 포함 관계를 알아본다.
주어진 식의 좌변을 정리하면
{(ADB)CB}C(A-B) =BC(A-B) (∵ (ADB)AB)
=BC(ADBC)
=(BCA)D(BCBC)
=(BCA)DU
=BCA
즉, ACB=B이므로 AAB
따라서 항상 옳은 것은 ④ A-B=z이다.
02-2 BAA
|해결 전략 | 주어진 식의 좌변을 정리한 후 집합 A, B의 포함 관계를 알아본다.
주어진 식의 좌변을 정리하면
{AD(ACCB)}C{BD(BCA)} ={(ADAC)C(ADB)}CB
03-1 17
|해결 전략 | 주어진 식을 n(ACB)를 포함한 식으로 나타낸다.
n(A-B)=n(ACB)-n(B)에서
n(ACB) =n(A-B)+n(B)
=8+9=17
다른 풀이
n(A-B)=n(A)-n(ADB)에서
n(ADB)=n(A)-n(A-B)=14-8=6
∴ n(ACB) =n(A)+n(B)-n(ADB)
=14+9-6=17
04-1 29
|해결 전략 | 먼저 주어진 조건을 집합으로 나타낸다.
수학 수업을 신청한 학생의 집합을 A, 영어 수업을 신청한 학생의 집
합을 B라 하면
n(A)=16, n(B)=19, n(ADB)=6
이때, 수학 수업 또는 영어 수업을 신청한 학생의 집합은 ACB이므
로 구하는 학생 수는
n(ACB) =n(A)+n(B)-n(ADB)
=16+19-6=29
는 학생의 집합을 B라 하면
n(A)=17, n(B)=8
또한, 21명 모두 적어도 하나의 기기를 가지고 있으므로
n(ACB)=21
이때, n(ACB) =n(A)+n(B)-n(ADB)에서
n(ADB) =n(A)+n(B)-n(ACB)
=17+8-21
=4
A
B
13
4
4
따라서 스마트폰만 가지고 있는 학생의 집합은 A-B이므로 구하는
학생 수는
다른 풀이
참고
n(A-B) =n(A)-n(ADB)
=17-4=13
n(A-B) =n(ACB)-n(B)
=21-8=13
={zC(ADB)}CB
=(ADB)CB
=B
04-2 13
|해결 전략 | 먼저 주어진 조건을 집합으로 나타낸다.
즉, B=ADB이므로 BAA
스마트폰을 가지고 있는 학생의 집합을 A, 태블릿 PC를 가지고 있
03-2 35
|해결 전략 | n(ADB)를 구한 후 주어진 식을 n(ADB)를 포함한 식으로 나
타낸다.
도 한 집합에 속하면
ACB=U, (ACB)C=0
전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 U의 모든 원소가 A, B 중 적어
2 집합의 연산 011
STEP
3
유형 드릴
| 49쪽~51쪽 |
3-1 ②
|해결 전략 | 먼저 주어진 집합을 원소나열법으로 나타낸다.
1-1 21
|해결 전략 | 먼저 주어진 집합을 원소나열법으로 나타낸다.
A={1, 2, 4, 8}, B={2, 4, 6, 8, 10, 12}, C={1, 2, 3, 6}에서
BDC={2, 6}
∴ AC(BDC)={1, 2, 4, 8}C{2, 6}={1, 2, 4, 6, 8}
따라서 AC(BDC)의 모든 원소의 합은
1+2+4+6+8=21
1-2 36
|해결 전략 | 먼저 주어진 집합을 원소나열법으로 나타낸다.
U={1, 2, 3, y, 20}, A={3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20},
B={1, 2, 3, 6, 9, 18}이므로
ADB={3, 6, 9, 18}
따라서 ADB의 모든 원소의 합은
3+6+9+18=36
2-1 ㄱ, ㄷ
|해결 전략 | 두 집합 A, B가 서로소이면 ADB=z이다.
ㄱ. ADB=z
ㄴ. A={1, 3, 9}, B={1, 2, 5, 10}이므로
ADB={1}
ㄷ. A={-1, 0}, B=z이므로
ADB=z
따라서 두 집합 A, B가 서로소인 것은 ㄱ, ㄷ이다.
2-2 ①, ④
|해결 전략 | ADB=z이면 두 집합 A, B는 서로소이다.
주어진 조건을 벤다이어그램으로 나타내면
U
A
B
오른쪽 그림과 같다.
① A-B=A
② B-A=B
③ ACDBC+0
n(ADB)=0이므로
n(ACB)=n(A)+n(B)
⑤ AC-BC =ACD(BC)C=ACDB
=B-A=B
따라서 항상 옳은 것은 ①, ④이다.
012 정답과 해설
U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A={1, 2, 4}, B={2, 3, 5, 7}
② B-A={3, 5, 7}
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
3-2 ④
|해결 전략 | 각 보기의 식의 좌변을 간단히 정리한 후 원소나열법으로 나타낸다.
③ ACDB=B-A={2}
④ ACB={1, 2, 3, 5}이므로
AC-B=ACDBC=(ACB)C={4, 6}
⑤ (ADB)C(ACCBC) =(ADB)C(ADB)C
=U
={1, 2, 3, 4, 5, 6}
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
4-1 {1, 4, 6, 7, 8}
|해결 전략 | 주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타낸다.
ACB={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
A-B={2, 3, 5}, B-A={4, 6, 8}을 벤
다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
A
B
2
3
5
1
7
4
8
6
∴ B={1, 4, 6, 7, 8}
4-2 {1, 2, 5, 9, 10}
|해결 전략 | 주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타낸다.
U={1, 2, 3, …, 10}, A={1, 2, 4, 7, 10},
ACB={1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10},
ADB={4, 7}을 벤다이어그램으로 나
타내면 오른쪽 그림과 같다.
∴ BC={1, 2, 5, 9, 10}
U
5
9
A
1
2
10
B
3
8
4
7
6
5-1 ④
|해결 전략 | 각 보기의 집합을 벤다이어그램으로 나타낸다.
U
A
U
A
U
A
D
=
B
C
B
C
B
C
A
B-C
AD(B-C)
④ n(ACB) =n(A)+n(B)-n(ADB)에서
① AD(B-C)
따라서 주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분을 나타내는 집합은
④ AD(B-C)C이다.
1 a=-1일 때
A={1, 2, 3}, B={-3, -1, 2}이므로 ADB={2}가 되어 조
② AD(C-B)
U
A
U
A
U
A
D
=
B
C
B
C
B
C
C-B
AD(C-B)
③ A-(BDC)
U
A
U
A
-
=
B
C
B
C
B
C
BDC
A-(BDC)
④ AD(B-C)C
U
A
U
A
D
=
B
C
B
C
B
C
(B-C)C
AD(B-C)C
⑤ AD(C-B)C
U
A
U
A
D
=
B
C
B
C
B
C
(C-B)C
AD(C-B)C
U
U
U
5-2 ④
|해결 전략 | 각 보기의 집합을 벤다이어그램으로 나타낸다.
① A-(B-C)
U
A
U
A
U
A
-
=
B
C
B
C
B
C
B-C
A-(B-C)
② B-(ADC)
U
U
A
U
A
-
=
B
C
B
C
B
C
ADC
B-(ADC)
③ (BCC)-A
U
U
A
U
A
-
=
B
C
B
C
B
C
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
A
④ (B-A)D(B-C)
U
U
A
A
U
A
D
=
B
C
B
C
B
C
B-A
B-C
(B-A)D(B-C)
⑤ (A-B)D(A-C)
U
U
A
A
U
A
D
=
B
C
B
C
B
C
A-B
A-C
(A-B)D(A-C)
따라서 주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분을 나타내는 집합은
④ (B-A)D(B-C)이다.
6-1 3
|해결 전략 | 3GA임을 이용하여 a의 값을 구한다.
ADB={1, 3}에서 3GA이므로
a€-2a=3, a€-2a-3=0
(a+1)(a-3)=0
∴ a=-1 또는 a=3
건을 만족시키지 않는다.
2 a=3일 때
을 만족시킨다.
1, 2에서 a=3
A={1, 2, 3}, B={1, 3, 6}이므로 ADB={1, 3}이 되어 조건
6-2 {5}
|해결 전략 | 3GA임을 이용하여 a의 값을 구한다.
A-B={3}, A={0, a, a+1}에서 3GA이므로
a=3 또는 a+1=3
1 a=3일 때
을 만족시키지 않는다.
2 a+1=3, 즉 a=2일 때
만족시킨다.
1, 2에서 a=2이므로
A={0, 3, 4}, B={1, 4, 5}이므로 A-B={0, 3}이 되어 조건
A={0, 2, 3}, B={0, 2, 5}이므로 A-B={3}이 되어 조건을
2 집합의 연산 013
BCC
A
(BCC)-A
B-A={0, 2, 5}-{0, 2, 3}={5}
7-1 ㄴ, ㄹ
|해결 전략 | 주어진 식을 이용하여 A, B 사이의 포함 관계를 알아본다.
8-2 64
|해결 전략 | 주어진 두 조건을 이용하여 집합 X에 포함되는 원소와 포함되지 않
A-(ADBC)=A, 즉 A-(A-B)=A에서 A-B=z이므로
는 원소를 구한다.
AAB
ㄱ. ACB=B
ㄴ. ADBC=A-B=z
ㄷ. AAB
ㄹ. AAB이므로 BCAAC
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.
다른 풀이
주어진 식의 좌변을 정리하면
A-(ADBC) =AD(ADBC)C
=AD(ACCB)
=(ADAC)C(ADB)
=zC(ADB)
=ADB
즉, ADB=A이므로 AAB
BAA
① B-A=z
② ACB=A
③ ADB=B
④ ACABC
따라서 옳은 것은 ⑤ ACBC=U이다.
다른 풀이
주어진 식의 좌변을 정리하면
(ACB)DAC =(ADAC)C(BDAC)
=zC(BDAC)
=BDAC
=B-A
즉, B-A=z이므로 BAA
7-2 ⑤
|해결 전략 | 주어진 식을 이용하여 A, B 사이의 포함 관계를 알아본다.
(ACB)DAC=z, 즉 (ACB)-A=z에서 ACB=A이므로
8-1 8
|해결 전략 | 먼저 세 집합 A, A-B, X의 포함 관계를 알아본다.
ADX=X에서 XAA
(A-B)CX=X에서 (A-B)AX
∴ (A-B)AXAA
이때, A-B={1, 3}이므로 집합 X는 집합 A={1, 3, 5, 7, 9}의
부분집합 중에서 1, 3을 반드시 원소로 갖는 집합이다.
따라서 구하는 집합 X의 개수는
25-2=2‹=8
014 정답과 해설
A={1, 3, 4}, ADX={3}에서 3은 집합 X의 원소이고, 1, 4는 집
합 X의 원소가 아니다.
B-A={2, 5, 9}, (B-A)CX={2, 3, 5, 9, 10}에서
3, 10은 집합 X의 원소이다.
즉, 집합 X는 전체집합 U={1, 2, 3, y, 10}의 부분집합 중에서 3,
10은 반드시 원소로 갖고, 1, 4는 원소로 갖지 않는 집합이다.
따라서 구하는 집합 X의 개수는
210-2-2=2fl=64
참고
개는 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수
➡ 2n-k-m (단, k+m<n)
원소의 개수가 n인 집합에 대하여 특정한 원소 k개는 반드시 원소로 갖고, m
9-1 ①
|해결 전략 | 집합의 연산법칙과 드모르간의 법칙을 이용하여 식을 간단히 한다.
(ACB)D(B-A)C =(ACB)D(BDAC)C
=(ACB)D(BCCA)
=AC(BDBC)
=ACz
=A
9-2 ④
|해결 전략 | 집합의 연산법칙과 드모르간의 법칙을 이용하여 식을 간단히 한다.
① AD(ACB)C =AD(ACDBC )
=(ADAC)DBC
=zDBC
=z
② AD(ACCB) =(ADAC)C(ADB)
=zC(ADB)
=ADB
=U
③ (ACB)C(ACDBC) =(ACB)C(ACB)C
④ {(ADB)CD(ACBC)}DA ={(ACCBC)D(ACBC)}DA
={(ACDA)CBC}DA
=(zCBC)DA
=BCDA
=A-B
⑤ (A-B)D(A-C) =(ADBC)D(ADCC)
=AD(BCDCC)
=AD(BCC)C
=A-(BCC)
따라서 항상 성립하는 것이 아닌 것은 ④이다.
10-1 ③
|해결 전략 | 주어진 식의 좌변을 정리한 후 집합 A, B의 포함 관계를 알아본다.
11-2 24
|해결 전략 | 주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분을 두 부분으로 나누어 생각한다.
주어진 식의 좌변을 정리하면
A-(A-B) =AD(ADBC)C
=AD(ACCB)
=(ADAC)C(ADB)
=zC(ADB)
=ADB
즉, ADB=ACB이므로 A=B
=15+21-30=6
10-2 ㄱ, ㅁ
|해결 전략 | 주어진 식의 좌변을 정리한 후 집합 A, B의 포함 관계를 알아본다.
U
U
A
B
A
B
주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분이 나타내는 집합의 원소의 개수
는 n((ACB)C)+n(ADB)이다.
n((ACB)C) =n(U)-n(ACB)
=48-30=18
n(ACB)=n(A)+n(B)-n(ADB)이므로
n(ADB) =n(A)+n(B)-n(ACB)
따라서 색칠한 부분을 나타내는 집합의 원소의 개수는
n((ACB)C)+n(ADB)=18+6=24
LECTURE
생각할 수 있다.
주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분은 다음과 같이 두 부분으로 나누어
(ACB)C
ADB
따라서 구하는 집합의 원소의 개수는
n((ACB)C)+n(ADB)
12-1 17
|해결 전략 | 먼저 주어진 조건을 집합으로 나타낸다.
아리에 가입한 학생의 집합을 B라 하면
n(A)=13, n(B)=9, n(ADB)=5
축구 동아리와 농구 동아리 중 적어도 하나의 동아리에 가입한 학생
의 집합은 ACB이므로 구하는 학생 수는
n(ACB) =n(A)+n(B)-n(ADB)
=13+9-5=17
12-2 4
|해결 전략 | 먼저 주어진 조건을 집합으로 나타낸다.
인성이네 반 학생 전체의 집합을 U, A 영화를 본 학생의 집합을 A,
B 영화를 본 학생의 집합을 B라 하면
n(U)=30, n(A)=13, n(B)=18, n(ACDBC)=3
이므로
n(ACB) =n(U)-n((ACB)C)
=n(U)-n(ACDBC)
=30-3=27
이때, A 영화와 B 영화를 모두 본 학생의 집합은 ADB이므로 구하
는 학생 수는
n(ADB) =n(A)+n(B)-n(ACB)
=13+18-27=4
2 집합의 연산 015
주어진 식의 좌변을 정리하면
(ACB)D(ACDB)C =(ACB)D(ACBC)
=AC(BDBC)
=ACz
=A
즉, A=ACB이므로 BAA
ㄴ. B+z이면 A-B+A
ㄷ. ACBC=U
ㄹ. ACABC
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㅁ이다.
11-1 14
|해결 전략 | 주어진 식을 n(ADB)를 포함한 식으로 나타낸다.
n(ACCBC) =n((ADB)C)
=n(U)-n(ADB)
이므로
n(ADB) =n(U)-n(ACCBC)
=40-33=7
∴ n(ADBC) =n(A-B)
=n(A)-n(ADB)
=21-7=14
전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여
❶ n(AC)=n(U)-n(A)
❷ n(A-B) =n(A)-n(ADB)
=n(ACB)-n(B)
참고
ㅁ. B-A=z이므로 B와 B-A는 서로소이다.
지후네 반 학생 중 축구 동아리에 가입한 학생의 집합을 A, 농구 동
| 명제3
1
명제와 조건
개념 확인
1 명제: ⑵ 거짓
7 ⑴ 가정: x>2이다., 결론: x>1이다.
p: x>2, q: x>1이라 하고 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P,
Q라 하면
P={x|x>2}, Q={x|x>1}
따라서 PAQ이므로 주어진 명제는 참이다.
⑵ 가정: x€=1이다., 결론: x=1이다.
p: x€=1, q: x=1이라 하고 두 조건 p, q의 진리집합을 각각
54쪽~58쪽
P, Q라 하면
P={-1, 1}, Q={1}
따라서 PEQ이므로 주어진 명제는 거짓이다.
8 ⑴ 부정: 모든 양수 x에 대하여 2x>x이다.
모든 양수 x에 대하여 x>0이므로
x+x>0+x
즉, 2x>x이다.
따라서 주어진 명제의 부정은 참이다.
⑵ 부정: 어떤 자연수 x에 대하여 x<1이다.
어떤 자연수 x에 대해서도 x>1이므로 x<1인 자연수는 존재
하지 않는다.
따라서 주어진 명제의 부정은 거짓이다.
STEP
1
개념 드릴
| 59쪽 |
1 ⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ _ ⑷ ◯
2 ⑴ 4는 짝수가 아니다. (거짓) ⑵ 2_5+10 (거짓)
⑶ 8은 3의 배수가 아니다. (참)
⑷ 정사각형은 직사각형이다. (참)
3 ⑴ x+y+0 ⑵ x+0 또는 y+0
⑶ 0<x<2 ⑷ x<3 또는 x>4
4 ⑴ {1, 2, 3, 4, 5} ⑵ {3, 6, 9}
⑶ {6, 7, 8, 9, 10} ⑷ {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}
5 ⑴ 가정: 1<x<2이다., 결론: 0<x<3이다. (참)
⑵ 가정: a+b는 자연수이다., 결론: a, b는 자연수이다. (거짓)
⑶ 가정: x€=4이다., 결론: x=2이다. (거짓)
⑷ 가정: 두 삼각형의 넓이가 같다., 결론: 두 삼각형은 합동이다.
(거짓)
1 ⑴ x의 값에 따라 참, 거짓이 달라지므로 명제가 아니다.
⑵ 1은 소수가 아니므로 거짓인 명제이다.
⑶ 참, 거짓을 판별할 수 없으므로 명제가 아니다.
⑷ 참인 명제이다.
2 주어진 명제의 부정은 다음과 같다.
⑴ 4는 짝수가 아니다. (거짓)
⑵ 2_5+10 (거짓)
⑶ 8은 3의 배수가 아니다. (참)
⑷ 정사각형은 직사각형이다. (참)
2 ⑴ 3은 짝수가 아니다. ⑵ -1>0
⑶ 4는 2의 배수가 아니다.
3 ⑴ x=5 ⑵ x+2 ⑶ x>4 ⑷ x<-3
4 ⑴ {1, 2, 4, 8} ⑵ {1, 2}
5 ⑴ {1, 2, 3, 4, 6} ⑵ {2, 6}
6 ⑴ x+-1 또는 x+2 ⑵ 1<x<3
7 ⑴ 가정: x>2이다., 결론: x>1이다. (참)
⑵ 가정: x€=1이다., 결론: x=1이다. (거짓)
8 ⑴ 모든 양수 x에 대하여 2x>x이다. (참)
⑵ 어떤 자연수 x에 대하여 x<1이다. (거짓)
1 ⑴ x의 값에 따라 참, 거짓이 달라지므로 명제가 아니다.
⑵ 9의 양의 약수는 1, 3, 9이므로 거짓인 명제이다.
⑶ 지구가 큰지 작은지는 보는 사람에 따라 다르므로 명제가 아니
다.
2 주어진 명제의 부정은 다음과 같다.
⑴ 3은 짝수가 아니다.
⑵ -1>0
⑶ 4는 2의 배수가 아니다.
3 주어진 조건의 부정은 다음과 같다.
⑴ x=5
⑵ x+2
⑶ x>4
⑷ x<-3
4 ⑴ 8의 양의 약수는 1, 2, 4, 8
따라서 주어진 조건의 진리집합은 {1, 2, 4, 8}
⑵ 4x-3<9에서 4x<12
4 x<3
따라서 주어진 조건의 진리집합은 {1, 2}
5 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q
U
라 하면
P={1, 2, 3, 6}, Q={2, 4, 6}
⑴ PCQ={1, 2, 3, 4, 6}
⑵ PDQ={2, 6}
5
P
Q
1
3
2
6
4
6 ⑴ ‘x=-1이고 x=2’
⑵ ‘x<1 또는 x>3’의 부정은 ‘x>1 그리고 x<3’이므로
부정
bad ‘x+-1 또는 x+2’
1<x<3
016 정답과 해설
3 ⑴ x+y=0
부정
bad x+y+0
⑵ ‘x=0이고 y=0’
부정
bad ‘x+0 또는 y+0’
⑶ ‘x<0 또는 x>2’의 부정은 ‘x>0 그리고 x<2’이므로
⑷ 3<x<4, 즉 ‘x>3 그리고 x<4’의 부정은
0<x<2
‘x<3 또는 x>4’
4 전체집합 U={1, 2, 3, …, 10}에 대하여 두 조건 p, q의 진리집합
을 각각 P, Q라 하면
⑴ p: 2x-1<9에서 2x<10, 즉 x<5
∴ P={1, 2, 3, 4, 5}
⑵ Q={3, 6, 9}
⑶ ~p의 진리집합은 PC이므로
PC={6, 7, 8, 9, 10}
⑷ ~q의 진리집합은 QC이므로 QC={1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}
5 ⑴ 가정: 1<x<2이다., 결론: 0<x<3이다.
p: 1<x<2, q: 0<x<3이라 하고, 두 조건 p, q의 진리집합
을 각각 P, Q라 하면
P={x|1<x<2},
Q
P
Q={x|0<x<3}
0
1
2
3
x
따라서 PAQ이므로 주어진 명제는 참이다.
⑵ 가정: a+b는 자연수이다., 결론: a, b는 자연수이다.
가 아니다.
따라서 주어진 명제는 거짓이다.
⑶ 가정: x€=4이다., 결론: x=2이다.
[반례] x=-2이면 x€=4이지만 x+2이다.
따라서 주어진 명제는 거짓이다.
⑷ 가정: 두 삼각형의 넓이가 같다., 결론: 두 삼각형은 합동이다.
[반례] 밑변의 길이가 4, 높이가 1인 삼각형과 밑변의 길이가 2,
높이가 2인 삼각형은 넓이가 2로 같지만 두 삼각형은 합
동이 아니다.
③ 9는 소수가 아니므로 거짓인 명제이다.
④ 참인 명제이다.
⑤ 참, 거짓을 판별할 수 없으므로 명제가 아니다.
01-2 ③
|해결 전략 | 명제가 거짓이면 명제의 부정은 참이다.
①, ②, ④, ⑤ 주어진 명제가 참이므로 그 부정은 거짓이다.
③ 주어진 명제가 거짓이므로 그 부정은 참이다.
02-1 {1, 4, 6}
|해결 전략 | 조건 p의 진리집합이 P이면 조건 ~p의 진리집합은 PC이다.
조건 p의 진리집합을 P라 하면
P={2, 3, 5, 7}
따라서 조건 ~p의 진리집합은
PC={1, 4, 6}
02-2 {1, 2}
|해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q에 대하여 조건 ‘~p 그리고 q’의 진리
집합은 PCDQ이다.
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
∴ P={-1, 0}
q: x(x-2)<0에서 0<x<2
∴ Q={0, 1, 2}
따라서 조건 ‘~p 그리고 q’의 진리집합은
PCDQ=Q-P={0, 1, 2}-{-1, 0}={1, 2}
03-1 ⑴ 거짓 ⑵ 거짓 ⑶ 참 ⑷ 거짓
|해결 전략 | 명제 p bd q가 참이면 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q에 대하여
⑴ [반례] x=12이면 x는 12의 양의 약수이지만 6의 양의 약수가 아
니다.
따라서 명제 p bd q는 거짓이다.
⑵ [반례] x=6이면 x는 3의 배수이지만 9의 배수가 아니다.
따라서 명제 p bd q는 거짓이다.
⑶ 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
[반례] a=;2!;, b=;2!;이면 a+b는 자연수이지만 a, b는 자연수
p: x€+x=0에서 x(x+1)=0
∴ x=-1 또는 x=0
따라서 주어진 명제는 거짓이다.
PAQ임을 보이고, 거짓이면 반례를 보인다.
STEP
2
필수 유형
01-1 ④
|해결 전략 | 명제는 참, 거짓을 판별할 수 있다.
① '2+'3+'5이므로 거짓인 명제이다.
② (-3)€=9, (-2)€=4, 즉 (-3)€>(-2)€이므로 거짓인 명제이
다.
| 60쪽~65쪽 |
p: x€-4x+3=0에서 (x-1)(x-3)=0
∴ x=1 또는 x=3
∴ P={1, 3}
q: 0<x<4에서 Q={x|0<x<4}
따라서 PAQ이므로 명제 p bd q는 참이다.
⑷ [반례] x=1, y=0이면 xy=0이지만 x€+y€+0이다.
따라서 명제 p bd q는 거짓이다.
3 명제 017
04-1 ④
|해결 전략 | 진리집합 P, Q의 포함 관계를 벤다이어그램으로 나타낸다.
명제 p bd ~q가 참이므로 PAQC
따라서 세 집합 U, P, Q를 벤다이어그램
Q
으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
U
P
① PCQ+Q
∴ 거짓
② Q-P=Q
∴ 거짓
③ PDQ=0
∴ 거짓
④ P-Q=P
⑤ PCQC=QC
∴ 참
∴ 거짓
따라서 옳은 것은 ④이다.
① p: |x|>x라 하고, 조건 p의 진리집합을 P라 하면
P={-2, -1, 0, 1, 2}
따라서 P=U이므로 주어진 명제는 참이다.
② p: x€>0이라 하고, 조건 p의 진리집합을 P라 하면
P={-2, -1, 1, 2}
따라서 P+U이므로 주어진 명제는 거짓이다.
③ p: (x-1)€>0이라 하고, 조건 p의 진리집합을 P라 하면
P={-2, -1, 0, 1, 2}
따라서 P+z이므로 주어진 명제는 참이다.
④ p: x<0이라 하고, 조건 p의 진리집합을 P라 하면
P={-2, -1, 0}
따라서 P+z이므로 주어진 명제는 참이다.
⑤ p: (x+1)€<0이라 하고, 조건 p의 진리집합을 P라 하면
04-2 ⑤
|해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q에 대하여 PAQ이면 명제 p bd q
P={-1}
따라서 P+z이므로 주어진 명제는 참이다.
가 참이다.
① PEQ이므로 명제 p bd q는 거짓
② PER이므로 명제 p bd r는 거짓
③ QEPC이므로 명제 q bd 〜p는 거짓
④ REQ이므로 명제 r bd q는 거짓
⑤ QAR이므로 명제 q bd r는 참
따라서 참인 명제는 ⑤이다.
05-1 5
|해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q에 대하여 PAQ가 되도록 수직선 위
에 나타낸다.
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
P={x|2<x<4}, Q={x|0<x<a}
명제 p bd q가 참이 되려면 PAQ이
어야 하므로 오른쪽 그림에서 a>4
Q
P
따라서 정수 a의 최솟값은 5이다.
0
2
4
a
x
06-2 ⑴ 명제: 참, 명제의 부정: 거짓
⑵ 명제: 거짓, 명제의 부정: 참
|해결 전략 | ‘모든’과 ‘어떤’에 주의하여 참, 거짓을 판별한다.
⑴ 모든 자연수 n에 대하여 n€+n, 즉 n(n+1)은 연속된 두 자연수
의 곱이므로 2의 배수이다. 따라서 주어진 명제는 참이다.
주어진 명제의 부정은 ‘어떤 자연수 n에 대하여 n€+n은 2의 배수
가 아니다.’이고 거짓이다.
⑵ n€이 짝수가 되는 홀수 n은 없으므로 주어진 명제는 거짓이다.
주어진 명제의 부정은 ‘모든 홀수 n에 대하여 n€은 짝수가 아니
다.’이고 항상 성립하므로 참이다.
참고
⑴ n이 홀수이면 n+1은 짝수, n이 짝수이면 n+1은 홀수이므로 n(n+1)
은 짝수, 즉 2의 배수이다.
⑵ n이 홀수이면 n€도 홀수, n이 짝수이면 n€도 짝수이다.
05-2 1<a<3
|해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q에 대하여 PAQC가 되도록 수직선
2
명제 사이의 관계
위에 나타낸다.
q: x<1 또는 x>6이므로 ~q: 1<x<6
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
P={x|a<x<a+3}, QC={x|1<x<6}
명제 p bd ~q가 참이 되려면
PAQC이어야 하므로 오른쪽 그림에서
a>1이고 a+3<6
∴ 1<a<3
QC
P
1
a
a+3
6
x
개념 확인
66쪽~68쪽
1 역: n이 3의 배수이면 n은 6의 배수이다. (거짓)
대우: n이 3의 배수가 아니면 n은 6의 배수가 아니다. (참)
2 ⑴ 충분조건 ⑵ 필요조건 ⑶ 필요충분조건
3 ⑴ 필요조건 ⑵ 충분조건 ⑶ 필요충분조건
1 역: n이 3의 배수이면 n은 6의 배수이다.
[반례] n=9이면 n은 3의 배수이지만 n은 6의 배수가 아니다.
따라서 역은 거짓이다.
06-1 ②
|해결 전략 | 명제 ‘모든 x에 대하여 p이다.’는 P=U일 때 참, 명제 ‘어떤 x에 대
대우: n이 3의 배수가 아니면 n은 6의 배수가 아니다.
주어진 명제 ‘n이 6의 배수이면 n은 3의 배수이다.’가 참이므로 그
하여 p이다.’는 P+z일 때 참임을 이용한다.
대우도 참이다.
018 정답과 해설
2 ⑴ 두 조건 p: x=0, q: x€=x에 대하여
p gm q, q fwm p
따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.
⑵ 두 조건 p: x>0, q: x>1에 대하여
p fwm q, q gm p
따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.
⑶ 두 조건 p: x=1, q: (x-1)€=0에 대하여
p gm q, q gm p
4 p lgm q
따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.
3 ⑴ x€=4에서 x=-2
P={-2, 2}, Q={2}
QAP이므로 q gm p
PAQ이므로 p gm q
따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.
⑶ x€-3x+2=0에서 (x-1)(x-2)=0
∴ x=1 또는 x=2
P={1, 2}, Q={1, 2}
P=Q이므로 p lgm q
따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.
따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.
⑶ 대우: a+b<2이면 a<1 또는 b<1이다.
⑵ P={4, 8, 12, 16, …}, Q={2, 4, 6, 8, …}
명제 ‘a>1이고 b>1이면 a+b>2이다.’가 참이므로 주어진
명제의 대우도 참이다.
⑶ 역: a+c=b+c이면 a=b이다.
a+c=b+c에서 a+c-c=b+c-c, 즉 a=b이므로 주어진
명제의 역은 참이다.
2 ⑴ 대우: x€>9이면 x>3이다.
x€>9에서 x€-9>0, (x+3)(x-3)>0
∴ x<-3 또는 x>3
따라서 주어진 명제의 대우는 거짓이다.
⑵ 대우: n이 홀수가 아니면 n은 소수가 아니다.
n=2이면 n은 홀수가 아니지만 소수이므로 주어진 명제의 대
우는 거짓이다.
3 ⑴ 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
P={5, 10, 15, 20, …}, Q={10, 20, 30, 40, …}
QAP이므로 q gm p
따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.
⑵ 두 조건 p, q의 진리집합을 각각
P, Q라 하면
P={x|0<x<1}, Q={x|x<2}
PAQ이므로 p gm q
따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.
Q
P
0
1
2
x
⑶ |x-1|=2에서 x-1=-2
∴ x=-1 또는 x=3
x€-2x-3=0에서 (x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.
⑷ 1 명제 p bd q, 즉 ‘0<a<b이면 a€<b€이다.’는 참이다.
2 명제 q bd p, 즉 ‘a€<b€이면 0<a<b이다.’는 거짓이다.
[반례] a=1, b=-2
1, 2에서 p ffm q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.
⑸ 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P,
평행사변형(P)
Q라 하면 오른쪽 그림에서
QAP이므로 q gm p
따라서 p는 q이기 위한 필요조건
마름모(Q)
STEP
1
개념 드릴
| 69쪽 |
P={-1, 3}, Q={-1, 3}
P=Q이므로 p lgm q
1 ⑴ x가 16의 양의 약수이면 x는 8의 양의 약수이다. (거짓)
⑵ 정삼각형이면 삼각형의 세 변의 길이가 같다. (참)
⑶ a+c=b+c이면 a=b이다. (참)
2 ⑴ x€>9이면 x>3이다. (거짓)
⑵ n이 홀수가 아니면 n은 소수가 아니다. (거짓)
⑶ a+b<2이면 a<1 또는 b<1이다. (참)
3 ⑴ 필요조건 ⑵ 충분조건 ⑶ 필요충분조건
⑷ 충분조건 ⑸ 필요조건 ⑹ 필요충분조건
1 ⑴ 역: x가 16의 양의 약수이면 x는 8의 양의 약수이다.
x=16이면 x는 16의 양의 약수이지만 8의 양의 약수는 아니므
이다.
로 주어진 명제의 역은 거짓이다.
⑵ 역: 정삼각형이면 삼각형의 세 변의 길이가 같다.
⑹ 1 명제 p bd q, 즉 ‘a=b=0이면 a+bi=0이다.’는 참이다.
2 명제 q bd p, 즉 ‘a+bi=0이면 a=b=0이다.’는 참이다.
1, 2에서 p ffm q이고 q ffm p, 즉 p lffm q이므로 p는 q이
주어진 명제의 역은 참이다.
기 위한 필요충분조건이다.
3 명제 019
| 70쪽~75쪽 |
∴ a=1 또는 a=2 또는 a=3
따라서 구하는 모든 상수 a의 값의 곱은
1_2_3=6
[반례] x=-2, y=3이면 x+y<4이지만 x<2, y>2이다.
즉, 두 명제 r bd ~q, ~q bd ~p가 모두 참이므로 명제
대우: x+y>4이면 x>2 또는 y>2이다. (참)
③ 역: x, y가 유리수이면 x+y, xy도 유리수이다. (참)
r bd ~p도 참이다.
따라서 명제 r bd p는 거짓이다.
대우: x, y가 유리수가 아니면 x+y 또는 xy가 유리수가 아니다.
따라서 항상 참인 것은 ㄱ이다.
STEP
2
필수 유형
01-1 풀이 참조
|해결 전략 | 명제 p bd q의 역은 q bd p, 대우는 ~q bd ~p이다.
⑴ 역: x=0 또는 y=0이면 x€+y€=0이다. (거짓)
[반례] x=0, y=1이면 x=0 또는 y=0이지만 x€+y€+0이다.
대우: x+0이고 y+0이면 x€+y€+0이다. (참)
⑵ 역: x>1이고 y>1이면 xy>1, x+y>2이다. (참)
대우: x<1 또는 y<1이면 xy<1 또는 x+y<2이다. (거짓)
[반례] x=;2%;, y=;2!;이면 x<1 또는 y<1이지만 xy>1, x+y>2
이다.
01-2 ③
|해결 전략 | 명제 p bd q의 역은 q bd p, 대우는 ~q bd ~p이다.
① 역: x>-1이면 x>1이다. (거짓)
[반례] x=0이면 x>-1이지만 x<1이다.
대우: x<-1이면 x<1이다. (참)
② 역: x+y<4이면 x<2, y<2이다. (거짓)
(거짓)
[반례] x='2, y=-'2이면 x, y는 유리수가 아니지만 x+y, xy
는 유리수이다.
④ 역: "ƒx€=x, x€+y>0이면 x>0, y>0이다. (거짓)
[반례] x=2, y=-1이면 "ƒx€=x, x€+y>0이지만 x>0, y<0
이다.
대우: "∂x€+x 또는 x€+y<0이면 x<0 또는 y<0이다. (참)
⑤ 역: 평행사변형이면 정사각형이다. (거짓)
대우: 평행사변형이 아니면 정사각형이 아니다. (참)
02-1 -1
|해결 전략 | 주어진 명제가 참이면 그 대우도 참이다.
주어진 명제의 대우는
‘x=1이면 x‹-3x€+(a+1)x+2=0이다.’
명제가 참이면 그 대우도 참이므로
x=1일 때, x‹-3x€+(a+1)x+2=0에서
1-3+(a+1)+2=0
∴ a=-1
02-2 6
|해결 전략 | 주어진 명제가 참이면 그 대우도 참이다.
주어진 명제의 대우는
‘x=a이면 (x-1)(x-2)(x-3)=0이다.’
명제가 참이면 그 대우도 참이므로
x=a일 때, (x-1)(x-2)(x-3)=0에서
(a-1)(a-2)(a-3)=0
020 정답과 해설
03-1 ①
|해결 전략 | 두 명제 p bd q와 q bd r가 모두 참이면 명제 p bd r가 참이다.
명제 ~p bd ~q가 참이므로 그 대우 q bd p도 참이다.
즉, 두 명제 q bd p, p bd r가 모두 참이므로 명제 q bd r도 참이다.
명제 q bd r가 참이므로 그 대우 ~r bd ~q도 참이다.
따라서 항상 참인 명제는 ① ~r bd ~q이다.
03-2 ㄱ
|해결 전략 | 두 명제 p bd q와 q bd r가 모두 참이면 명제 p bd r가 참이다.
ㄱ. 명제 r bd ~q가 참이므로 그 대우 q bd ~r도 참이다.
즉, 두 명제 p bd q, q bd ~r가 모두 참이므로 명제 p bd ~r
도 참이다.
ㄴ. 명제 q bd ~r가 참이므로 명제 q bd r는 거짓이다.
ㄷ. 명제 p bd q가 참이므로 그 대우 ~q bd ~p도 참이다.
04-1 ⑴, ⑵
|해결 전략 | 명제 p cd q에 대하여 p gm q이고 q gm p이면 p는 q이기 위한
필요충분조건이다.
⑴ 1 명제 p bd q, 즉 ‘AAB이면
ACB=B이다.’는 참이다.
2 명제 q bd p, 즉 ‘ACB=B이면
AAB이다.’는 참이다.
U
B
A
1, 2에 의하여 p lffm q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이
다.
다.
⑵ 1 명제 p bd q, 즉 ‘A-B=A이면
ADB=0이다.’는 참이다.
U
A
B
2 명제 q bd p, 즉 ‘ADB=0이면
A-B=A이다.’는 참이다.
1, 2에 의하여 p lffm q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이
⑶ 1 명제 p bd q, 즉 ‘ADB=0이면 ACB=0이다.’는 거짓이
다.
[반례] B=AC인 경우 ADB=0이지만 ACB=U이다.
2 명제 q bd p, 즉 ‘ACB=0이면 ADB=0이다.’는 참이다.
1, 2에 의하여 q ffm p이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.
05-1 a>5
|해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 할 때, p가 q이기 위한 필요
조건이면 QAP이다.
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
P={x|x<a}, Q={x|1<x<5}
p가 q이기 위한 필요조건이므로
q ffm p, 즉 QAP
따라서 ㉠을 만족시키도록 두 집합 P, Q
를 수직선 위에 나타내면 오른쪽 그림과
P
Q
같으므로
a>5
1
a5
x
05-2 2
|해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 할 때, p가 q이기 위한 충분
조건이면 PAQ, p가 q이기 위한 필요조건이면 QAP이다.
진리집합을 각각 P, Q, R라 하면
P={x|a<x<7}, Q={x|1<x<5}, R={x|b<x<3}
p는 q이기 위한 필요조건이므로
q ffm p, 즉 QAP
r는 q이기 위한 충분조건이므로
r ffm q, 즉 RAQ
yy ㉠
1 ⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ _
77쪽~78쪽
3
절대부등식
개념 확인
2 9
3 -5<3x+4y<5
아니다.
다.
1 ⑴ |x|>0은 x<0 또는 x>0일 때만 성립하므로 절대부등식이
⑵ x€+2>0은 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 절대부등식이
⑶ x€-2x+1>0, 즉 (x-1)€>0은 모든 실수 x에 대하여 성립
하므로 절대부등식이다.
2 x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
x+y>2'ßxy (단, 등호는 x=y일 때 성립)
6>2'ßxy, 'ßxy<3
따라서 xy의 최댓값은 9이다.
∴ xy<9
yy ㉠
yy ㉡
p: a<x<7, q: 1<x<5, r: b<x<3이라 하고 세 조건 p, q, r의
⑷ 2x>x+2는 x>2일 때만 성립하므로 절대부등식이 아니다.
따라서 ㉠, ㉡을 만족시키도록 세 집
합 P, Q, R를 수직선 위에 나타내면
P
Q
R
3 x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠 부등식에 의하여
(3€+4€)(x€+y€)>(3x+4y)€
a 1
b
3
5
x7
25_1>(3x+4y)€, (3x+4y)€<25
오른쪽 그림과 같으므로
a<1, 1<b<3
1+1=2
이때, a의 최댓값은 1, b의 최솟값은 1이므로 그 합은
4 -5<3x+4y<5 {단, 등호는 ;3X;=;4Y;, 즉 4x=3y일 때 성립}
06-1 ⑤
|해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 할 때, p가 q이기 위한 필요
조건이면 QAP이다.
p는 q이기 위한 필요조건이므로 QAP
① PCQ=P
② PDQ=Q
③ P-Q=PDQC+z
④ PEQ이므로 PCCQ+U
⑤ PCDQ=Q-P=z
LECTURE
전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여
AAB lfm ADB=A lfm ACB=B
lfm A-B=0 lfm BCAAC
| 79쪽 |
STEP
1
개념 드릴
1 ⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ _ ⑷ ◯
2 ⑴ 12 ⑵ 12 ⑶ 2 ⑷ ;5@;
3 ⑴ 6 ⑵ ;3$; ⑶ 2 ⑷ 1
4 ⑴ -'6<ax+by<'6 ⑵ -'ß10<x+y<'ß10
⑶ 3 ⑷ :¡5§:
1 ⑴ x<x+3, 즉 0<3은 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 절대
부등식이다.
06-2 ⑴ 충분 ⑵ 필요
|해결 전략 | 먼저 주어진 조건을 이용하여 P, Q의 포함 관계, P, R의 포함 관계
⑵ x€+4x>-4에서 x€+4x+4>0
즉, (x+2)€>0이므로 절대부등식이다.
를 알아낸다.
⑶ x€-6x+9>0은 x+3일 때만 성립하므로 절대부등식이 아니
⑴ P-Q=0에서 PAQ이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.
⑵ PDR=R에서 RAP이므로 PCARC
따라서 ~r는 ~p이기 위한 필요조건이다.
다.
다.
⑷ |x|+1>0은 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 절대부등식이
3 명제 021
2 ⑴ a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
2a+3b>2'ß6ab=2'ß6_6=12
(단, 등호는 2a=3b일 때 성립)
따라서 2a+3b의 최솟값은 12이다.
⑵ a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
3a+6b>2'ß18ab=2'ß18_2=12
(단, 등호는 3a=6b, 즉 a=2b일 때 성립)
따라서 3a+6b의 최솟값은 12이다.
⑶ a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
a+2b>2'ß2ab (단, 등호는 a=2b일 때 성립)
4 ab<2
4>2'ß2ab, 'ß2ab<2, 2ab<4
따라서 ab의 최댓값은 2이다.
⑷ a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
2a+5b>2'ß10ab (단, 등호는 2a=5b일 때 성립)
∴ ab<;5@;
4>2'ß10ab, 'ß10ab<2, 10ab<4
따라서 ab의 최댓값은 ;5@;이다.
3 ⑴ a>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
3a+;a#;>2Ƙ3a_;a#;=2_3=6
{단, 등호는 3a=;a#;, 즉 a=1일 때 성립}
따라서 구하는 최솟값은 6이다.
⑵ a>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
4a+;9¡a;>2Ƙ4a_;9¡a;=2_;3@;=;3$;
{단, 등호는 4a=;9¡a;, 즉 a=;6!;일 때 성립}
따라서 구하는 최솟값은 ;3$;이다.
⑶ ;aB;>0, ;bA;>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
;aB;+;bA;>2æ√;aB;_;bA;=2
{단, 등호는 ;aB;=;bA;, 즉 a=b일 때 성립}
따라서 구하는 최솟값은 2이다.
⑷ a
4b
>0, ;aB;>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
참고
a
4b
+;aB;>2æ√
a
4b
_;aB;=2_;2!;=1
{단, 등호는 a
4b
따라서 구하는 최솟값은 1이다.
=;aB;, 즉 a=2b일 때 성립}
4 ⑴ a, b, x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠 부등식에 의하여
(a€+b€)(x€+y€)>(ax+by)€
2_3>(ax+by)€, (ax+by)€<6
4 -'6<ax+by<'6
{단, 등호는 ;aX;=
, 즉 bx=ay일 때 성립}
y
b
022 정답과 해설
⑵ x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠 부등식에 의하여
(1€+1€)(x€+y€)>(x+y)€
2_5>(x+y)€, (x+y)€<10
4 -'ß10<x+y<'ß10 (단, 등호는 x=y일 때 성립)
⑶ a, b, x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠 부등식에 의하여
(a€+b€)(x€+y€)>(ax+by)€
1_9>(ax+by)€, (ax+by)€<9
4 -3<ax+by<3
{단, 등호는 ;aX;=
따라서 ax+by의 최댓값은 3이다.
(2€+1€)(x€+y€)>(2x+y)€
5(x€+y€)>16
⑷ x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠 부등식에 의하여
y
b
, 즉 bx=ay일 때 성립}
4 x€+y€>:¡5§: {단, 등호는 ;2X;=y, 즉 x=2y일 때 성립}
따라서 x€+y€의 최솟값은 :¡5§:이다.
STEP
2
필수 유형
| 80쪽~85쪽 |
01-1 풀이 참조
|해결 전략 | 주어진 명제의 대우가 참임을 보인다.
주어진 명제의 대우는
‘실수 x, y에 대하여 x<1이고 y<1이면 x+y<2이다.’
x<1이고 y<1이므로 x+y<2
따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제는 참이다.
01-2 풀이 참조
|해결 전략 | 주어진 명제의 대우가 참임을 보인다.
주어진 명제의 대우는
‘a, b가 실수일 때, a+0 또는 b+0이면 a€+b€+0이다.’
이때, a+0 또는 b+0이면 a€>0 또는 b€>0이다.
즉, a€+b€>0이므로 a€+b€+0이다.
따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제는 참이다.
1 a+0, b=0이면 a€>0, b€=0이므로 a€+b€=a€+0
2 a=0, b+0이면 a€=0, b€>0이므로 a€+b€=b€+0
3 a+0, b+0이면 a€>0, b€>0이므로 a€+b€+0
02-1 풀이 참조
|해결 전략 | 명제를 부정하여 '3+1이 유리수라고 가정한 후 모순이 됨을 보인다.
'3+1이 유리수라고 가정하면 '3+1=a (a는 유리수)로 나타낼 수
있다.
4 '3=a-1
이때, 유리수끼리의 뺄셈은 유리수이므로 우변의 a-1은 유리수이다.
그런데 좌변의 '3은 유리수가 아니므로 모순이다.
따라서 '3+1은 유리수가 아니다.
02-2 풀이 참조
|해결 전략 | 결론을 부정하여 b+0이라고 가정한 후 모순이 됨을 보인다.
05-1 16
|해결 전략 | 주어진 식을 전개하여 산술평균과 기하평균의 관계를 이용한다.
|a|+|b|>|a+b| (단, 등호는 |ab|=ab, 즉 ab>0일 때 성립)
과 기하평균의 관계에 의하여
-(1+a)=
>0
a€
4
a€-1
a
+
4a
a€-1
>2æ√
b+0이라고 가정하면 a+b'2=0에서 '2=-;bA;이다.
이때, a, b가 유리수이므로 -;bA;는 유리수이다.
그런데 좌변의 '2 는 유리수가 아니므로 모순이다.
4 b=0
또, b=0을 등식 a+b'2=0에 대입하면 a=0
따라서 주어진 명제는 참이다.
03-1 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
|해결 전략 | 양변의 제곱의 차를 조사한다.
⑴ (|a|+|b|)€-|a+b|€
=(|a|€+2|a||b|+|b|€)-(a+b)€
=(a€+2|a||b|+b€)-(a€+2ab+b€)
=2(|ab|-ab)
a, b가 실수일 때, |a||b|=|ab|
|ab|>ab이므로 2(|ab|-ab)>0, 즉
(|a|+|b|)€>|a+b|€
그런데 |a|+|b|>0, |a+b|>0이므로
⑵ {1+;2A;}
즉, {1+;2A;}
€-('ß1+a )€=1+a+
€>('ß1+a )€
a€
4
이때, 1+;2A;>0, 'ß1+a>0이므로
1+;2A;>'ß1+a
04-1 ;2!;
|해결 전략 | 산술평균과 기하평균의 관계를 이용한다.
a+b
ab
8
ab
=
a+b=8이므로 ;a!;+;b!;=
한편, a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
a+b>2'ßab (단, 등호는 a=b일 때 성립)
그런데 a+b=8이므로
8>2'ßab, 'ßab<4
따라서 8
ab
>;2!;이므로 구하는 최솟값은 ;2!;이다.
∴ ab<16
04-2 4
|해결 전략 | 산술평균과 기하평균의 관계를 이용한다.
0이 아닌 실수 a, b에 대하여 a€>0, b€>0이므로 산술평균과 기하
평균의 관계에 의하여
a€+b€>2"ƒa€b€=2|ab| (단, 등호는 a€=b€일 때 성립)
그런데 a€+b€=8이므로
8>2|ab|, |ab|<4
∴ -4<ab<4, ab+0
따라서 ab의 최댓값은 4이다.
(a+b){;a!;+;b(;}=1+
9a
b
=
9a
b
+;aB;+9
+;aB;+10
이때, 9a
b
>0, ;aB;>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
9a
b
+;aB;+10>2æ√
_;aB;+10=16
9a
b
{단, 등호는 9a
b
=;aB;, 즉 3a=b일 때 성립}
따라서 구하는 최솟값은 16이다.
05-2 4
|해결 전략 | 주어진 식을 변형하여 산술평균과 기하평균의 관계를 이용한다.
=
4a
a€-1
4a
a-;a!;+
a€-1
이때, a>1에서 a€>1, 즉 a€-1
a€-1
a
+
>0, 4a
a€-1
a
>0이므로 산술평균
_
=4
a€-1
4a
a
a€-1
{단, 등호는 a€-1
a
=
4a
a€-1
일 때 성립}
따라서 구하는 최솟값은 4이다.
06-1 7650
|해결 전략 | 코시-슈바르츠 부등식을 이용한다.
x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠 부등식에 의하여
€+{;5!;}
€
[{;3!;}
](x€+y€)>{;3X;+;5Y;}
€
그런데 ;3X;+;5Y;=34이므로 ;2£2¢5;(x€+y€)>34€
4 x€+y€>7650 (단, 등호는 3x=5y일 때 성립)
따라서 x€+y€의 최솟값은 7650이다.
06-2 5
|해결 전략 | 코시-슈바르츠 부등식을 이용하여 2x+y의 값의 범위를 구한다.
x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠 부등식에 의하여
(2€+1€)(x€+y€)>(2x+y)€
그런데 x€+y€=a이므로 5a>(2x+y)€
4 -'ß5a<2x+y<'ß5a {단, 등호는 ;2X;=y, 즉 x=2y일 때 성립}
따라서 2x+y의 최댓값은 'ß5a, 최솟값은 -'ß5a이고 그 차가 10이
므로
2'ß5a=10, 'ß5a=5, 5a=25
4 a=5
3 명제 023
STEP
3
유형 드릴
| 86쪽~89쪽 |
2-2 ①, ④
|해결 전략 | 명제 p bd q가 참임을 보일 때는 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q에
1-1 {2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10}
|해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합이 각각 P, Q일 때, 조건 ‘p 또는 ~q’의 진
리집합은 PCQC이다.
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
P={2, 3, 5, 7}, Q={1, 2, 3, 6}
이때, U={1, 2, 3, y, 10}이므로
QC={4, 5, 7, 8, 9, 10}
따라서 조건 ‘p 또는 ~q’의 진리집합은
PCQC ={2, 3, 5, 7}C{4, 5, 7, 8, 9, 10}
={2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10}
1-2 3
|해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합이 각각 P, Q일 때, 조건 ‘~p 그리고 ~q’
의 진리집합은 PCDQC이다.
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
p: x€-2x>0에서 x(x-2)>0
∴ x<0 또는 x>2
∴ P={-3, -2, -1, 3}
q: x€+2x<0에서 x(x+2)<0
∴ -2<x<0
∴ Q={-2, -1, 0}
이때, U={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}이므로
PC={0, 1, 2}, QC={-3, 1, 2, 3}
따라서 조건 ‘~p 그리고 ~q’의 진리집합은
PCDQC ={1, 2}
이므로 구하는 모든 원소의 합은
1+2=3
대하여 PAQ임을 보이고, 거짓임을 보일 때는 반례를 보인다.
① [반례] x=8이면 x는 8의 양의 약수이지만 4의 양의 약수가 아니다.
② 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
P={x||x|<5}={x|-5<x<5}, Q={x|-7<x<7}
따라서 PAQ이므로 명제 p bd q는 참이다.
③ 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
x€-3x-4=0에서 (x+1)(x-4)=0
4 x=-1 또는 x=4
4 P={-1, 4}
q: -5<x<5에서 Q={x|-5<x<5}
따라서 PAQ이므로 명제 p bd q는 참이다.
④ [반례] y=1이면 x€+y€>x€이지만 y>0이다.
⑤ 모든 14의 배수는 7의 배수이므로 주어진 명제 p bd q는 참이다.
따라서 명제 p bd q가 거짓인 것은 ①, ④이다.
3-1 ④
|해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q에 대하여 PAQ이면 명제 p bd q
가 참이다.
① RAQC이므로 명제 r bd ~q는 참
② RAPC이므로 명제 r bd ~p는 참
③ PARC이므로 명제 p bd ~r는 참
④ PEQC이므로 명제 p bd ~q는 거짓
⑤ QCAPC이므로 명제 ~q bd ~p는 참
2-1 ②, ④
|해결 전략 | 명제 p bd q가 참임을 보일 때는 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q에
대하여 PAQ임을 보이고, 거짓임을 보일 때는 반례를 보인다.
① [반례] x=6이면 x>3이지만 4<x<6은 아니다.
② p: x-3=5, q: x€-8x=0이라 하고, 두 조건 p, q의 진리집합
3-2 ④
|해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q에 대하여 PAQ이면 명제 p bd q
가 참이다.
RA(PDQ)이므로 RAP, RAQ
따라서 항상 참인 명제는 ④ r bd p이다.
을 각각 P, Q라 하면
P={8}, Q={0, 8}
따라서 PAQ이므로 주어진 명제는 참이다.
③ [반례] x='2, y='2이면 x, y는 무리수이지만 xy는 무리수가 아
니다.
④ x가 6으로 나누어떨어지면 x는 6의 배수이고 x가 3으로 나누어
떨어지면 x는 3의 배수이다.
모든 6의 배수는 3의 배수이므로 주어진 명제는 참이다.
⑤ [반례] ∠A=∠B=50^, ∠C=80^이면 △ABC는 이등변삼각형
이지만 정삼각형은 아니다.
따라서 참인 명제는 ②, ④이다.
LECTURE
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하고, 명제 p bd q가 거짓임을 보
이는 반례를 x라 하면 xGP, xIQ이다.
즉, x는 PDQC, 즉 P-Q의 원소이다.
024 정답과 해설
4-1 3
|해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q에 대하여 PAQ가 되도록 수직선 위
에 나타낸다.
q: |x-a|<3에서 -3<x-a<3
∴ a-3<x<a+3
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
P={x|0<x<2}, Q={x|a-3<x<a+3}
명제 p bd q가 참이려면 PAQ이어
야 하므로 오른쪽 그림에서
a-3<0이고 a+3>2
∴ -1<a<3
따라서 구하는 모든 정수 a의 값의 합은
0+1+2=3
Q
P
a-3
0
2
a+3
x
4-2 2
|해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q에 대하여 QCAP가 되도록 수직선
6-1 ⑤
|해결 전략 | 명제 p bd q의 역은 q bd p이다.
위에 나타낸다.
q: a-5<x<2a이므로 ~q: x<a-5 또는 x>2a
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
P={x|x<0 또는 x>6}, QC={x|x<a-5 또는 x>2a}
명제 ~q bd p가 참이려면
QCAP이어야 하므로 오른쪽 그림
P
QC
P
QC
에서
a-5<0이고 2a>6
∴ 3<a<5
따라서 구하는 정수 a는 3, 4의 2개이다.
① 역: x€>1이면 x>1이다. (거짓)
[반례] x=-2이면 x€>1이지만 x<1이다.
② 역: a>b이면 a€>b€이다. (거짓)
[반례] a=-1, b=-2이면 a>b이지만 a€<b€이다.
③ 역: x>0 또는 y>0이면 xy>0이다. (거짓)
a-5
0
6 2a
x
④ 역: x+y가 짝수이면 x, y도 짝수이다. (거짓)
[반례] x=1, y=-1이면 x>0 또는 y>0이지만 xy<0이다.
[반례] x=1, y=3이면 x+y는 짝수이지만 x, y는 짝수가 아니다.
⑤ 역: xy=0이면 x=0 또는 y=0이다. (참)
따라서 역이 참인 것은 ⑤이다.
③ 전체집합 U={x|x는 자연수}일 때, p: 2x+1=4라 하고, 조건
5-1 ④
|해결 전략 | ‘모든’과 ‘어떤’에 주의하여 참, 거짓을 판별한다.
① [반례] 2는 소수이지만 짝수이다.
② [반례] x=0이면 x€+1<2이다.
p의 진리집합을 P라 하면
2x+1=4에서 x=;2#;
4 P=z
따라서 주어진 명제는 거짓이다.
④ 전체집합 U={x|x는 음의 실수}일 때, p: x€+x<0이라 하고,
조건 p의 진리집합을 P라 하면
x€+x<0에서 x(x+1)<0
4 -1<x<0
4 P={x|-1<x<0}
따라서 P+z이므로 주어진 명제는 참이다.
⑤ [반례] x='3이면 '3x는 유리수이다.
따라서 참인 명제는 ④이다.
6-2 ㄷ, ㄹ
|해결 전략 | 명제 p bd q의 역은 q bd p, 대우는 ~q bd ~p이다.
ㄱ. 역: x=y이면 x€-y€=0이다. (참)
대우: x+y이면 x€-y€+0이다. (거짓)
[반례] x=-1, y=1이면 x+y이지만 x€-y€=0이다.
ㄴ. 역: x+y'2=0이면 x€+y€=0이다. (거짓)
[반례] x=2, y=-'2이면 x+y'2=0이지만 x€+y€+0이다.
대우: x+y'2+0이면 x€+y€+0이다. (참)
ㄷ. 역: a=0이고 b=0이면 |a|+|b|=0이다. (참)
대우: a+0 또는 b+0이면 |a|+|b|+0이다. (참)
ㄹ. 역: 두 집합 A, B에 대하여 ADB=A이면 AAB이다. (참)
대우: 두 집합 A, B에 대하여 ADB+A이면 AEB이다. (참)
따라서 역, 대우가 모두 참인 것은 ㄷ, ㄹ이다.
참고
ㄴ에서 x, y는 실수이므로 x+y'2=0의 해는 무수히 많다.
하지만 유리수 범위에서 x+y'2=0의 해는 x=0, y=0이다.
5-2 ③
|해결 전략 | ‘모든’과 ‘어떤’에 주의하여 참, 거짓을 판별한다.
① p: x-1<5라 하고, 조건 p의 진리집합을 P라 하면
x-1<5에서 x<6
4 P={1, 2, 3, 4, 5}
따라서 P=U이므로 주어진 명제는 참이다.
② x=2이면 x€-4=0이므로 주어진 명제는 참이다.
③ p: x€-x>2라 하고, 조건 p의 진리집합을 P라 하면
x€-x>2에서 x€-x-2>0
(x+1)(x-2)>0
4 P={2, 3, 4, 5}
따라서 P+U이므로 주어진 명제는 거짓이다.
4 x<-1 또는 x>2
주어진 명제의 대우는
④ x=1, y=2이면 x+y<3이므로 주어진 명제는 참이다.
x<4이고 y<a이면 x+y<a+4에서
⑤ x=1, y=3이면 x€+y€=10이므로 주어진 명제는 참이다.
a+4<3
∴ a<-1
따라서 거짓인 명제는 ③이다.
따라서 실수 a의 최댓값은 -1이다.
7-1 10
|해결 전략 | 주어진 명제가 참이면 그 대우도 참이다.
주어진 명제의 대우는
‘x=2이면 x‹+2x€-ax+4=0이다.’
명제가 참이면 그 대우도 참이므로
x=2일 때, x‹+2x€-ax+4=0에서
8+8-2a+4=0
∴ a=10
7-2 -1
|해결 전략 | 주어진 명제가 참이면 그 대우도 참이다.
‘x<4이고 y<a이면 x+y<3이다.’
명제가 참이면 그 대우도 참이므로
3 명제 025
8-1 ④
|해결 전략 | 두 명제 p bd q와 q bd r가 모두 참이면 명제 p bd r가 참이다.
명제 ~q bd r가 참이므로 그 대우 ~r bd q도 참이다.
두 명제 p bd ~r, ~r bd q가 모두 참이므로 명제 p bd q가 참
이다.
따라서 반드시 참인 명제는 ④ p bd q이다.
8-2 ㄱ, ㄷ, ㄹ
|해결 전략 | 두 명제 p bd q와 q bd r가 모두 참이면 명제 p bd r가 참이다.
ㄱ. 명제 p bd ~q가 참이므로 그 대우 q bd ~p도 참이다.
ㄴ. 두 명제 q bd ~p, ~p bd ~r가 모두 참이므로 명제
q bd ~r가 참이다. 따라서 명제 q bd r는 거짓이다.
ㄷ. 명제 ~p bd ~r가 참이므로 그 대우 r bd p도 참이다.
ㄹ. 두 명제 r bd p, p bd ~q가 모두 참이므로 명제 r bd ~q가
참이다.
따라서 참인 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
9-1 ③
|해결 전략 | 명제 q cd p가 참일 때, p는 q이기 위한 필요조건이다.
① x€-x=0에서 x(x-1)=0
∴ x=0 또는 x=1
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
P={1}, Q={0, 1}이므로 PAQ
따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.
② 1 명제 p bd q, 즉 ‘x+y=0이면 xy=0이다.’는 거짓이다.
[반례] x=1, y=-1이면 x+y=0이지만 xy+0이다.
2 명제 q bd p, 즉 ‘xy=0이면 x+y=0이다.’는 거짓이다.
[반례] x=1, y=0이면 xy=0이지만 x+y+0이다.
1, 2에 의하여 p는 q이기 위한 아무 조건도 아니다.
③ |x|<1에서 -1<x<1
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
P={x|x<1}, Q={x|-1<x<1}이므로 QAP
따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.
④ 1 명제 p bd q, 즉 ‘x<0, y>0이면 xy<0이다.’는 참이다.
2 명제 q bd p, 즉 ‘xy<0이면 x<0, y>0이다.’는 거짓이다.
[반례] x=2, y=-1이면 xy<0이지만 x>0, y<0이다.
1, 2에 의하여 p ffm q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.
⑤ 1 명제 p bd q, 즉 ‘ADB=A이면 ACB=B이다.’는 참이다.
2 명제 q bd p, 즉 ‘ACB=B이면 ADB=A이다.’는 참이다.
1, 2에 의하여 p lffm q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이
다.
① 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
P={1, 2}, Q={1}이므로 QAP
따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.
② 1 명제 p bd q, 즉 ‘xy=|xy|이면 x>0, y>0이다.’는 거짓
[반례] x=-1, y=-1이면 xy=|xy| 이지만 x<0, y<0
이다.
이다.
2 명제 q bd p, 즉 ‘x>0, y>0이면 xy=|xy|이다.’는 참이다.
1, 2에 의하여 q ffm p이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.
③ |x|>1에서 x<-1 또는 x>1
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
P={x|x>1}, Q={x|x<-1 또는 x>1}이므로 PAQ
따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.
④ x€+xy+y€=0에서 {x+;2Y;}
∴ x=0, y=0 (∵ x, y는 실수)
€
+;4#;y€=0
1 명제 p bd q, 즉 ‘x€+xy+y€=0이면 x=0, y=0이다.’는 참
2 명제 q bd p, 즉 ‘x=0, y=0이면 x€+xy+y€=0이다.’는 참
1, 2에 의하여 p lffm q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이
⑤ 1 명제 p bd q, 즉 ‘A-B=0이면 AAB이다.’는 참이다.
2 명제 q bd p, 즉 ‘AAB이면 A-B=0이다.’는 참이다.
1, 2에 의하여 p lffm q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건
이다.
이다.
다.
이다.
따라서 p가 q이기 위한 충분조건이지만 필요조건은 아닌 것은 ③이다.
10-1 1
|해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 할 때, p가 q이기 위한 충분
조건이면 PAQ이다.
p: |x|<1에서 -1<x<1
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
P={x|-1<x<1}, Q={x|x<a}
p가 q이기 위한 충분조건이므로
p ffm q, 즉 PAQ
따라서 ㉠을 만족시키도록 두 집합 P, Q
를 수직선 위에 나타내면 오른쪽 그림과
Q
P
같으므로 a>1
따라서 a의 최솟값은 1이다.
yy ㉠
-1
a1
x
10-2 6
|해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 할 때, p가 q이기 위한 충분
세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R라 하면
P={x|2<x<7}, Q={x|-1<x<a}, R={x|x>b}
따라서 p가 q이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아닌 것은 ③이다.
조건이면 PAQ, p가 q이기 위한 필요조건이면 QAP이다.
9-2 ③
|해결 전략 | 명제 p cd q가 참일 때, p는 q이기 위한 충분조건이다.
p는 q이기 위한 충분조건이므로
p ffm q, 즉 PAQ
yy ㉠
026 정답과 해설
①, ②, ③ [반례] a=-2, b=1
yy ㉡
④ a‹-b‹=(a-b)(a€+ab+b€)
이때, a<b에서 a-b<0
r는 q이기 위한 필요조건이므로
q ffm r, 즉 QAR
따라서 ㉠, ㉡을 만족시키도록 세
집합 P, Q, R를 수직선 위에 나타
내면 오른쪽 그림과 같으므로
a>7, b<-1
7+(-1)=6
이때, a의 최솟값은 7, b의 최댓값은 -1이므로 그 합은
R
Q
P
b -1
2
7
a
x
11-1 ㄱ, ㄴ
|해결 전략 | 먼저 주어진 조건을 이용하여 P, Q, R의 포함 관계를 알아본다.
ㄱ. PCAQC에서 QAP이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.
ㄴ. PCR=R에서 PAR이므로 p는 r이기 위한 충분조건이다.
ㄷ. QAP, PAR에서 QAPAR, 즉 QAR이므로 q는 r이기 위한
충분조건이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
참고
ㄷ. QAP, PAR이므로 q ffm p, p ffm r, 즉 q ffm p ffm r
따라서 q ffm r이므로 q는 r이기 위한 충분조건이다.
11-2 ㄴ
|해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 할 때, PAQ이면 p는 q이
기 위한 충분조건, QAP이면 p는 q이기 위한 필요조건이다.
ㄱ. PEQ, QEP이므로 p는 q이기 위한 아무 조건도 아니다.
ㄴ. RAP이므로 p는 r이기 위한 필요조건이다.
ㄷ. REQC, QCER이므로 r는 ~q이기 위한 아무 조건도 아니다.
따라서 옳은 것은 ㄴ이다.
12-1 ㈎ 모두 홀수 ㈏ 짝수 ㈐ 홀수
|해결 전략 | ‘적어도 하나는 짝수이다.’의 부정은 ‘모두 홀수이다.’이다.
양의 정수 a, b, c에 대하여 주어진 명제의 대우는
‘a, b, c가 모두 홀수 이면 a€+b€+c€이다.’
a, b, c가 모두 홀수 이면 a€, b€, c€도 모두 홀수 이므로 a€+b€은
짝수 이고, c€은 홀수 가 되어 a€+b€+c€이다.
따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다.
그 곱은
15_;3$;=20
12-2 ㈎ 유리수 ㈏ p
|해결 전략 | 'p를 유리수라고 가정하고 모순이 생기는지 확인한다.
'p가 유리수 라고 가정하면 'p=a (a는 유리수)로 나타낼 수 있다.
양변을 제곱하면 p=a€
이때, a는 유리수이므로 우변의 a€은 유리수 이다.
그런데 좌변의 p 는 유리수가 아니므로 모순이다.
따라서 'p는 유리수가 아니다.
13-1 ④
|해결 전략 | ④ a‹-b‹의 부호를 조사한다.
a€+ab+b€={a+;2B;}
a‹-b‹=(a-b)(a€+ab+b€)<0
€+;4#;b€>0이므로
∴ a‹<b‹
⑤ [반례] a=-2, b=-1
따라서 항상 성립하는 것은 ④이다.
13-2 ③
|해결 전략 | ③ a€=|a|€임을 이용한다.
① [반례] a=1, b=-2
②, ④, ⑤ [반례] a=-1, b=2
③ a€=|a|€, b€=|b|€이므로 |a|€<|b|€
이때, |a|>0, |b|>0이므로 |a|<|b|
따라서 항상 성립하는 것은 ③이다.
14-1 20
|해결 전략 | 주어진 식을 x-a+
1
x-a
꼴로 변형한다.
9x+
=9(x-1)+
1
x-1
1
x-1
+9
9(x-1)+
1
x-1
+9>2æ√9(x-1)_
1
x-1
+9
이때, 등호는 9(x-1)=
일 때 성립하므로
=6+9=15
1
x-1
9(x-1)€=1, (x-1)€=;9!;
x-1=;3!; (∵ x-1>0)
∴ x=;3$;
이때, x>1에서 x-1>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
따라서 9x+
1
x-1
의 최솟값은 15이고 그때의 x의 값은 ;3$;이므로
14-2 4
|해결 전략 | 산술평균과 기하평균의 관계를 이용한다.
a>0, b>0이고 a+2b=8이므로
('a+'ß2b )€ =a+2b+2'a'ß2b
=8+2'ß2ab
…… ㉠
…… ㉡
한편, a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
a+2b>2'ß2ab (단, 등호는 a=2b일 때 성립)
그런데 a+2b=8이므로
8>2'ß2ab
㉠, ㉡에 의하여
('a+'ß2b )€=8+2'ß2ab<8+8=16
∴ 'a+'ß2b<4
따라서 'a+'ß2b 의 최댓값은 4이다.
3 명제 027
| 함수4
함수1
개념 확인
1 ⑴ 집합 X의 각 원소에 집합 Y의 원소가 오직 하나씩 대응하므로
⑵ 집합 X의 원소 2에 대응하는 집합 Y의 원소가 a, c의 2개이므
⑶ 집합 X의 원소 3에 대응하는 집합 Y의 원소가 없으므로 함수
함수이다.
로 함수가 아니다.
가 아니다.
92쪽~95쪽
3 ⑴ f(x)=x+2에서
1 ⑴ 함수가 아니다. ⑵ 함수가 아니다. ⑶ 함수이다.
2 ⑴ 정의역: {1, 2, 3}, 공역: {0, 1, 2, 3, 4}, 치역: {0, 2, 4}
f(1)=3, f(2)=4, f(3)=5
이므로 함수 f 의 치역은 {3, 4, 5}이다.
⑵ 정의역: {1, 2, 3, 4}, 공역: {a, b, c, d}, 치역: {a, b, d}
⑵ f(x)=2x-1에서
3 ⑴ 서로 같은 함수가 아니다. ⑵ 서로 같은 함수이다.
f(1)=1, f(2)=3, f(3)=5
4 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
이므로 함수 f 의 치역은 {1, 3, 5}이다.
⑶ f(x)=x€+1에서
f(1)=2, f(2)=5, f(3)=10
이므로 함수 f 의 치역은 {2, 5, 10}이다.
1 ⑴ 집합 X의 원소 3에 대응하는 집합 Y의 원소가 없으므로 함수
⑵ 집합 X의 원소 2에 대응하는 집합 Y의 원소가 a, b의 2개이므
⑶ 집합 X의 각 원소에 집합 Y의 원소가 오직 하나씩 대응하므로
가 아니다.
로 함수가 아니다.
함수이다.
4 ⑴ f(x)=x, g(x)=x€에서
f(-1)=-1, g(-1)=1
아니다.
⑵ f(x)="ƒx€, g(x)=|x|에서
즉, f(-1)+g(-1)이므로 두 함수 f와 g는 서로 같은 함수가
이므로 두 함수 f와 g는 서로 같은 함수가 아니다.
f(-1)=g(-1)=1, f(0)=g(0)=0, f(1)=g(1)=1
이므로 두 함수 f와 g는 서로 같은 함수이다.
4 ⑴
⑵
y
y=2x-1
⑵ 정의역의 각 원소에 공역의 원소가 오직 하나씩 대응하므로 함
5 ⑴ 정의역의 원소 3에 대응하는 공역의 원소가 3, 5의 두 개이므로
함수의 그래프가 아니다.
수의 그래프이다.
3 ⑴ f(x)=x+1, g(x)=x-1에서
f(1)+g(1), f(2)+g(2), f(3)+g(3)
⑵ f(x)=|x|-1, g(x)=x-1에서
f(1)=g(1), f(2)=g(2), f(3)=g(3)
이므로 두 함수 f와 g는 서로 같은 함수이다.
y
5
3
1
O
-1
1 2 3
x
O
-1
(cid:14)(cid:17)(cid:198)(cid:14)
x
STEP
2
필수 유형
| 97쪽~100쪽 |
01-1 ④
|해결 전략 | 주어진 대응을 그림으로 나타낸 후 집합 X의 각 원소에 집합 Y의
원소가 오직 하나씩 대응하는지 살펴본다.
주어진 대응을 그림으로 나타내면 다음과 같다.
1
2
3
1
2
3
3
4
6
3
4
6
3
4
6
3
4
6
③
X
④
X
Y
2
Y
2
STEP
1
개념 드릴
| 96쪽 |
①
X
②
X
Y
2
Y
2
1 ⑴ 함수이다. ⑵ 함수가 아니다. ⑶ 함수가 아니다.
2 ⑴ 정의역: {1, 2, 3}, 공역: {a, b, c, d}, 치역: {a, c}
⑵ 정의역: {-1, 0, 1, 2}, 공역: {-2, -1, 0, 1, 2}
치역: {-2, -1, 2}
3 ⑴ {3, 4, 5} ⑵ {1, 3, 5} ⑶ {2, 5, 10}
4 ⑴ 서로 같은 함수가 아니다. ⑵ 서로 같은 함수이다.
5 ⑴ 함수의 그래프가 아니다. ⑵ 함수의 그래프이다.
028 정답과 해설
1
2
3
1
2
3
Y
2
3
4
6
⑤
X
1
2
3
가 아니다.
④는 집합 X의 원소 3에 대응하는 집합 Y의 원소가 없으므로 함수
01-2 3
|해결 전략 | 정의역의 각 원소에 대응하는 공역의 원소를 구한다.
f(x)=3x+1에서
f(-1)=-2GY, f(0)=1GY, f(1)=4GY이어야 하므로
Y={-2, 1, 4}
∴ a+b+c=3
02-1 20
|해결 전략 | 집합 X의 각 원소에 대한 함숫값을 구한다.
X={1, 2, 3, 6}에 대하여 f(x)=[
2x (x는 홀수)
x+1 (x는 짝수)
이므로
f(1)=2⁄=2, f(2)=2+1=3, f(3)=2‹=8, f(6)=6+1=7
즉, 함수 f의 치역은 {2, 3, 7, 8}이다.
따라서 치역의 모든 원소의 합은 2+3+7+8=20
f(3)=g(3)이므로 -9+3a=b
∴ 3a-b=9
…… ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, b=6
04-1 ①
|해결 전략 | y축에 평행한 직선을 그어 본다.
주어진 그래프에서 정의역의 각 원소 a에 대하여 y축에 평행한 직선
x=a를 그어 교점을 나타내면 다음 그림과 같다.
①
y
② y
O
a
x
x=a
y
O
a
x
x=a
③ y
④
O
x
a
x=a
x
a
x
x=a
a
O
x=a
y
O
⑤
02-2 4
|해결 전략 | 집합 X의 각 원소에 대한 함숫값을 구한다.
f(x)=ax-1에서
①의 그래프는 y축에 평행한 직선을 그었을 때 오직 한 점에서 만나
므로 함수의 그래프이다.
②, ③, ④, ⑤의 그래프는 y축에 평행한 직선을 그었을 때 2개 이상
f(-1)=-a-1, f(0)=-1, f(1)=a-1, f(2)=2a-1
의 점에서 만나는 경우가 있으므로 함수의 그래프가 아니다.
a=0이면 f(-1)=f(0)=f(1)=f(2)=-1이므로 치역은 {-1}
따라서 함수의 그래프인 것은 ①이다.
이다.
않는다.
이때, 치역의 모든 원소의 합은 -1이므로 주어진 조건을 만족시키지
y축에 평행한 직선을 그었을 때 2개 이상의 점에서 만난다는 것은 정의역의
한 원소에 2개 이상의 원소가 대응한다는 것이므로 함수가 아니다.
a+0이면 f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)이므로 치역의 모든 원소의
합은 f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=2a-4
따라서 2a-4=4이므로 a=4
03-1 ㄴ
|해결 전략 | f=g이면 정의역의 각 원소 x에 대하여 f(x)=g(x)이다.
ㄱ. f(x)=x€, g(x)=x‹에서 f(-1)=1, g(-1)=-1
즉, f(-1)+g(-1)이므로 f+g
ㄴ. f(x)=
[
-2 (x=-1)
x€-1
x+1 (x+-1)
, g(x)=x-1에서
f(-1)=g(-1)=-2, f(0)=g(0)=-1, f(1)=g(1)=0
이므로 f=g
즉, f(-1)+g(-1)이므로 f+g
따라서 f=g인 것은 ㄴ뿐이다.
03-2 a=5, b=6
|해결 전략 | f(2)=g(2), f(3)=g(3)임을 이용한다.
f(x)=-x€+ax, g(x)=b|2x-5|에서
f(2)=g(2)이므로 -4+2a=b
∴ 2a-b=4
…… ㉠
은 아니다.
참고
2
여러 가지 함수
개념 확인
1 ⑴ ㄴ, ㄷ ⑵ ㄴ, ㄷ ⑶ ㄷ ⑷ ㄹ
102쪽
1 ㄱ은 정의역의 원소 2, 3에 대응하는 공역의 원소가 3으로 같으므
로 함수이지만 일대일함수는 아니다.
1 ⑴ ㄱ, ㄴ, ㄷ ⑵ ㄱ, ㄷ ⑶ ㄱ ⑷ ㄹ
2 ⑴ ㄱ, ㄷ ⑵ ㄱ, ㄷ ⑶ ㄷ ⑷ ㄴ
3 ⑴ ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅁ ⑵ ㄱ, ㄴ, ㄹ ⑶ ㄴ ⑷ ㄷ
1 ㄴ은 일대일함수이지만 치역과 공역이 같지 않으므로 일대일대응
4 함수 029
ㄷ. f(x)=2x, g(x)=-2x에서 f(-1)=-2, g(-1)=2
STEP
1
개념 드릴
| 103쪽 |
2 ㄹ은 정의역의 원소 1, 3에 대응하는 공역의 원소가 3으로 같으므
로 함수이지만 일대일함수는 아니다.
02-1 a=-;2!;, b=;2#;
|해결 전략 | 일대일대응이려면 치역과 공역이 같아야 한다.
3 주어진 함수의 그래프에 치역의 각 원소 b에 대하여 x축에 평행한
직선 y=b를 그어 교점을 나타내면 다음 그림과 같다.
f(x)=ax+b에서 a<0이므로 함수 f 가 일
대일대응이려면 y=f(x)의 그래프는 오른
y
2
f(-1)=2에서 -a+b=2
O-1
쪽 그림과 같아야 한다.
f(3)=0에서 3a+b=0
…… ㉠
…… ㉡
x
3
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-;2!;, b=;2#;
02-2 10
|해결 전략 | 일대일대응이려면 치역과 공역이 같아야 한다.
f(x) =x€-6x+a
=(x-3)€+a-9 (x>3)
함수 f 가 일대일대응이려면
y
a-9
O
치역 {y|y>a-9}와 공역 Y={y|y>1}
이 같아야 하므로 a-9=1
∴ a=10
3
x
03-1 7
|해결 전략 | 함수 g는 항등함수이므로 g(2)=2이다.
함수 g는 항등함수이므로 g(2)=2
∴ f(3)=g(2)=h(1)=2
한편, 함수 h는 상수함수이므로 h(1)=h(2)=h(3)=2
또, f(1)-f(2)=f(3)=2이고 함수 f 는 일대일대응이므로
f(1)=1이면 f(1)-f(2)=f(3)에서 1-f(2)=2
∴ f(2)=-1IX
f(1)=3, f(2)=1
∴ f(1)+g(2)+h(3)=3+2+2=7
참고
즉, f는 함수가 아니다.
03-2 45
|해결 전략 | 함수 g는 항등함수이므로 g(3)=3이다.
한편, 함수 h는 상수함수이므로 h(1)=h(3)=h(5)=3
또, 함수 f는 일대일대응이므로 f(1)=1 또는 f(1)=5
이때, f(1)g(3)h(5)의 값은 1_3_3=9 또는 5_3_3=45
따라서 f(1)g(3)h(5)의 최댓값은 45이다.
04-1 37
|해결 전략 | 정의역의 각 원소에 대응할 수 있는 공역의 원소의 개수를 이용한다.
집합 X={a, b, c}에 대하여 X에서 X로의
함수의 개수는 p=3‹=27
일대일대응의 개수는 q=3_2_1=6
항등함수의 개수는 r=1
상수함수의 개수는 s=3
∴ p+q+r+s=37
ㄴ.
y=b
b
y
1
O 1
x
ㄹ.
y
y=b b
O
x
ㄱ. y
b
O
ㄷ.
y=b
x
x
y=b
y
O
b
ㅁ.
y
y=b b
O
x
⑴ 일대일함수의 그래프는 치역의 각 원소 b에 대하여 직선 y=b
와 오직 한 점에서 만나므로 ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅁ이다.
⑵ 일대일대응은 일대일함수 중에서 치역과 공역이 같은 함수이므
로 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.
⑶ 항등함수는 그 그래프가 직선 y=x인 함수이므로 ㄴ이다.
⑷ 상수함수는 치역의 원소가 1개이므로 ㄷ이다.
01-1 ㄴ
|해결 전략 | 주어진 함수의 그래프를 그려 x축에 평행한 직선을 그어 본다.
주어진 함수의 그래프에 치역의 각 원소 b에 대하여 x축에 평행한 직
선 y=b를 그어 교점을 나타내면 다음 그림과 같다.
x
ㄴ.
-
5
2
y
b
5
y=b
O
x
ㄷ.
ㄹ.
y
b
1
y=b
-1
O x
ㄱ.
y=b
y
3
O
y
b
y=b
O
x
030 정답과 해설
직선 y=b와 오직 한 점에서 만나고 치역과 공역이 같은 함수의 그래
프는 ㄴ이므로 일대일대응인 것은 ㄴ뿐이다.
한다.
04-2 24
|해결 전략 | 집합 X의 원소 3, 4, 5에 대응할 수 있는 공역의 원소의 개수를 이용
STEP
2
필수 유형
| 104쪽~107쪽 |
함수 g는 항등함수이므로 g(3)=3
∴ f(3)=g(3)=h(3)=3
집합 X={1, 2, 3, 4, 5}에서 집합 Y={2, 4, 6, 8, 10, 12}로의 함
수 f 는 일대일함수이고, f(1)=2, f(2)=10이므로
f(3)의 값이 될 수 있는 것은 4, 6, 8, 12 중 하나이므로 4개
f(4)의 값이 될 수 있는 것은 4, 6, 8, 12 중 f(3)의 값을 제외한 3개
f(5)의 값이 될 수 있는 것은 4, 6, 8, 12 중 f(3), f(4)의 값을 제외
한 2개
따라서 함수 f 의 개수는 4_3_2=24
2-1 9
|해결 전략 | 집합 X의 각 원소에 대한 함숫값을 구한다.
X={2, 3, 4, 6}에 대하여 f(x)=(x의 양의 약수의 개수)이므로
f(2)=2, f(3)=2, f(4)=3, f(6)=4
즉, 함수 f의 치역은 {2, 3, 4}이다.
따라서 치역의 모든 원소의 합은 2+3+4=9
2-2 2-'3
|해결 전략 | 2, 1+'3에 대한 함숫값을 구한다.
2x-1 (x는 유리수)
-x (x는 무리수)
f(x)=[
에서
3-1 7
|해결 전략 | -2<x<2에서 f(x)의 값의 범위를 구한다.
f(x)=x€+2x=(x+1)€-1 (-2<x<2)에서
f(-2)=0, f(-1)=-1, f(2)=8이므로 -1<f(x)<8
따라서 a=-1, b=8이므로 a+b=7
3-2 ;2!;
|해결 전략 | f(0)GX, f(1)GX, f(2)GX임을 이용한다.
함수 f(x)=ax€-ax+1이 X에서 X로의 함수이므로
f(0)GX, f(1)GX, f(2)GX이어야 한다.
이때, f(0)=1GX, f(1)=1GX이므로 f(2)는 0, 1, 2 중 하나이
면 된다.
1 f(2)=0이면 2a+1=0
2 f(2)=1이면 2a+1=1
∴ a=-;2!;
∴ a=0
3 f(2)=2이면 2a+1=2
∴ a=;2!;
1, 2, 3에서 a는 양수이므로 a=;2!;
STEP
3
유형 드릴
| 108쪽~109쪽 |
f(2)=2_2-1=3, f(1+'3 )=-(1+'3 )=-1-'3
∴ f(2)+f(1+'3 )=2-'3
1-1 ③
|해결 전략 | 주어진 대응을 그림으로 나타낸 후 집합 X의 각 원소에 집합 Y의
원소가 오직 하나씩 대응하는지 살펴본다.
주어진 대응을 그림으로 나타내면 다음과 같다.
②
X
-2
④
X
-2
0
2
0
2
Y
1
2
3
4
5
Y
1
2
3
4
5
①
X
-2
③
X
-2
⑤
X
-2
0
2
0
2
0
2
Y
1
2
3
4
5
Y
1
2
3
4
5
Y
1
2
3
4
5
ㄷ.
X
-1
0
1
0
1
0
1
0
1
X
-1
위의 그림에서 집합 X의 각 원소에 집합 Y의 원소가 오직 하나씩 대
응하는 함수는 ③이다.
1-2 ㄱ, ㄷ
|해결 전략 | 주어진 대응을 그림으로 나타낸 후 집합 X의 각 원소에 집합 X의
원소가 오직 하나씩 대응하는지 살펴본다.
4-1 -2
|해결 전략 | f(-1)=g(-1), f(1)=g(1)임을 이용한다.
f(x)=x+a, g(x)=x€-bx+1에서
보기의 대응을 그림으로 나타내면 다음과 같다.
f(-1)=g(-1)이므로
ㄱ.
X
-1
X
-1
ㄴ.
X
-1
X
-1
0
1
0
1
-1+a=1+b+1
∴ a-b=3
f(1)=g(1)이므로
1+a=1-b+1
∴ a+b=1
…… ㉠
…… ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-1
∴ ab=-2
위의 그림에서 집합 X의 각 원소에 집합 X의 원소가 오직 하나씩 대
즉, f(x)=x€-ax-1, g(x)=b|x|-1이므로
응하는 함수는 ㄱ, ㄷ이다.
f(-2)=g(-2)에서
4-2 0
|해결 전략 | f(-2)=g(-2), f(0)=g(0), f(2)=g(2)임을 이용한다.
f(x)=x€-ax-1, g(x)=b|x|+c에서
f(0)=g(0)이므로 c=-1
4 함수 031
4+2a-1=2b-1
∴ a-b=-2
…… ㉠
직선 y=ax+4의 기울기가 음수이어야 하므로 a<0
f(2)=g(2)에서
또, 직선 y=ax+4가 점 (1, b-1)을 지나야 하므로
4-2a-1=2b-1
∴ a+b=2
…… ㉡
a+4=b-1
∴ a=b-5
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=2
∴ abc=0
5-1 3
|해결 전략 | x축에 평행한 직선을 그어 본다.
주어진 함수의 그래프에 치역의 각 원소 b에 대하여 x축에 평행한 직
선 y=b를 그어 교점을 나타내면 다음 그림과 같다.
ㄱ. y
b
y=b
ㄴ.
O
x
y=b
y
O
b
x
ㄷ.
y
b1
y=b
ㄹ.
y
y=b b
O
x
O
x
일대일함수의 그래프인 것은 ㄴ, ㄹ이므로 p=2
일대일대응의 그래프인 것은 ㄹ뿐이므로 q=1
∴ p+q=3
참고
ㄴ은 일대일함수이지만 치역과 공역이 같지 않으므로 일대일대응은 아니다.
a<0에서 b-5<0
∴ b<5
따라서 정수 b의 최댓값은 4이다.
6-2 a>2
|해결 전략 | 일대일대응이 되도록 함수 y=f(x)의 그래프를 그려 본다.
함수 f(x)=[
(a-2)x+4 (x<0)
(x>0)
x+4
가 일대일
대응이려면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그
직선 y=(a-2)x+4의 기울기가 양수이어
림과 같아야 한다.
야 하므로
a-2>0
∴ a>2
y y=x+4
4
O
x
y=(a-2)x+4
7-1 8
|해결 전략 | 함수 f 는 항등함수이므로 f(3)=3이다.
함수 f 는 항등함수이므로 f(3)=3
∴ f(3)=g(7)=3
한편, 함수 g는 상수함수이므로 g(4)=g(7)=3
∴ f(5)+g(4)=5+3=8
7-2 3
|해결 전략 | 함수 g는 항등함수이므로 g(2)=2이다.
5-2 2
|해결 전략 | 주어진 함수의 그래프를 그려 x축에 평행한 직선을 그어 본다.
주어진 함수의 그래프에 치역의 각 원소 b에 대하여 x축에 평행한 직
선 y=b를 그어 교점을 나타내면 다음 그림과 같다.
함수 g는 항등함수이므로 g(2)=2
∴ f(5)=g(2)=h(10)=2
한편, 함수 h는 상수함수이므로
h(2)=h(5)=h(10)=2
ㄱ.
ㄷ.
y
2
O
y
b
b y=b
2
x
y=b
O
x
ㄴ.
ㄹ.
y
7
O
y
b
y=b
x
y=b
O-1
1
x
-1
또, f(2)f(5)=f(10)이고 함수 f는 일대일대응이므로
2f(2)=f(10)에서 f(2)=5, f(10)=10
∴ f(2)-h(5)=5-2=3
8-1 29
|해결 전략 | 정의역의 각 원소에 대응할 수 있는 공역의 원소의 개수를 이용한다.
집합 X={1, 2, 3, 4}에 대하여 X에서 X로의
항등함수의 개수는 a=1
상수함수의 개수는 b=4
직선 y=b와 오직 한 점에서 만나고 치역과 공역이 같은 함수의 그래
일대일대응의 개수는 c=4_3_2_1=24
프는 ㄱ, ㄷ이므로 일대일대응인 함수의 개수는 2이다.
∴ a+b+c=29
8-2 9
|해결 전략 | f(1)의 값은 3, 4, 5 중 하나이다.
6-1 4
|해결 전략 | 일대일대응이 되도록 함수 y=f(x)의 그래프를 그려 본다.
f(x)=[
x€-2x+b (x<1)
ax+4 (x>1)
에서
x€-2x+b=(x-1)€+b-1
이므로 함수 f 가 일대일대응이려면
y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같
y
b-1
O 1
x
집합 X={1, 2, 3}에서 집합 Y={1, 2, 3, 4, 5}로의 함수 f에 대하
y=(x-1)2+b-1
여 f(2)=2, f(1)>f(2)이고 일대일함수이려면
f(1)의 값이 될 수 있는 것은 3, 4, 5 중 하나이므로 3개
f(3)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3, 4, 5 중 f(1), f(2)의 값을 제외
y=ax+4
한 3개
따라서 구하는 일대일함수의 개수는 3_3=9
아야 한다.
032 정답과 해설
5
| 합성함수와 역함수
1
합성함수
개념 확인
1 ⑴ 7 ⑵ 8 ⑶ 6
2 ⑴ -3 ⑵ 1
1 ⑴ (g@f )(1)=g( f(1))=g(a)=7
⑵ (g@f )(2) =g( f(2))=g(c)=8
⑶ (g@f )(3) =g( f(3))=g(b)=6
2 f(x)=x-2, g(x)=3x에서
⑴ f(1)=-1이므로
(g@f )(1) =g( f(1))=g(-1)=-3
⑵ g(1)=3이므로
( f@g)(1) =f(g(1))=f(3)=1
STEP
1
개념 드릴
1 ⑴ 6 ⑵ 8 ⑶ 5
2 ⑴ 4 ⑵ 3 ⑶ 2
3 ⑴ -1 ⑵ 7 ⑶ (f@g)(x)=2x€-3
⑷ (g@f )(x)=4x€+4x-1
4 ⑴ -15 ⑵ 10 ⑶ (h@(g@f ))(x)=9x€+36x+37
⑷ ((h@g)@f )(x)=9x€+36x+37
1 ⑴ g(f(2))=g(d)=6
⑵ (g@f)(3)=g(f(3))=g(c)=8
⑶ (g@f)(4)=g(f(4))=g(a)=5
2 ⑴ (g@f )(1) =g( f(1))=g(1)=4
⑵ (g@f )(2) =g( f(2))=g(2)=3
⑶ (g@f )(3) =g( f(3))=g(3)=2
3 f(x)=2x+1, g(x)=x€-2에서
⑴ g(1)=-1이므로
⑵ f(1)=3이므로
(g@f )(1)=g(f(1))=g(3)=7
⑶ (f@g)(x) =f(g(x))=f(x€-2)
4 f(x)=x+2, g(x)=-3x, h(x)=x€+1에서
⑴ (g@h)(2) =g(h(2))=g(5)=-15
⑵ (h@g@f )(-1) =h(g( f(-1)))=h(g(1))
=h(-3)=10
⑶ (g@f )(x)=g( f(x))=g(x+2)=-3x-6이므로
(h@(g@f ))(x) =h((g@f )(x))=h(-3x-6)
=(-3x-6)€+1=9x€+36x+37
112쪽~113쪽
⑷ (h@g)(x)=h(g(x))=h(-3x)=9x€+1이므로
((h@g)@f )(x) =(h@g)( f(x))=(h@g)(x+2)
=9(x+2)€+1=9x€+36x+37
참고
⑶, ⑷의 결과가 같음을 이용하여 결합법칙이 성립함을 확인할 수 있다.
STEP
2
필수 유형
| 115쪽~118쪽 |
01-1 15
|해결 전략 | (g@f )(x)=g( f(x))임을 이용한다.
| 114쪽 |
f(x)=x€-2, g(x)=[
g(-1)=4이므로
-x+3 (x>1)
4
(x<1)
에서
( f@g)(-1) =f(g(-1))
=f(4)=14
f(2)=2이므로
(g@f )(2) =g( f(2))
=g(2)=-2+3=1
∴ ( f@g)(-1)+(g@f )(2)=14+1=15
01-2 15
|해결 전략 | 합성함수에서 결합법칙이 성립함을 이용한다.
(( f@g)@h)(-1) =( f@(g@h))(-1)
=f((g@h)(-1))
=f(7)=15
02-1 4
|해결 전략 | f@g, g@f를 각각 구하여 동류항의 계수를 비교한다.
f(x)=-x-a, g(x)=ax+6에서
(f@g)(x) =f(g(x))=f(ax+6)
(g@f)(x) =g( f(x))=g(-x-a)
=a(-x-a)+6=-ax-a€+6
f@g=g@f이므로
( f@g)(1)=f(g(1))=f(-1)=-1
=-(ax+6)-a=-ax-a-6
=2(x€-2)+1=2x€-3
-a-6=-a€+6, a€-a-12=0
⑷ (g@f)(x) =g(f(x))=g(2x+1)
(a+3)(a-4)=0
∴ a=-3 또는 a=4
=(2x+1)€-2=4x€+4x-1
따라서 구하는 양수 a의 값은 4이다.
5 합성함수와 역함수 033
02-2 -1
|해결 전략 | f@g, g@f를 각각 구하여 동류항의 계수를 비교한다.
즉, f n(x)는 -x+3, x가 이 순서대로 반복된다.
따라서 f €‚(x)=x이므로 f €‚(8)=8
f(x)=2x+1, g(x)=3x+a에서
( f@g)(x) =f(g(x))=f(3x+a)
=2(3x+a)+1=6x+2a+1
(g@f )(x) =g( f(x))=g(2x+1)
=3(2x+1)+a=6x+a+3
f@g=g@f이므로 2a+1=a+3
∴ a=2
따라서 g(x)=3x+2이므로 g(-1)=-1
03-1 ⑴ h(x)=-x+2 ⑵ h(x)=-x-2
|해결 전략 | ⑴ f(x)의 x 대신에 h(x)를 대입한다.
⑵ h(x)의 x 대신에 g(x)를 대입한 후 g(x)=t로 치환한다.
f(x)=2x-3, g(x)=-2x+1에서
⑴ ( f@h)(x)=f(h(x))=2h(x)-3
( f@h)(x)=g(x)이므로 2h(x)-3=-2x+1
2h(x)=-2x+4
∴ h(x)=-x+2
⑵ (h@g)(x)=h(g(x))=h(-2x+1)
(h@g)(x)=f(x)이므로 h(-2x+1)=2x-3
이때, -2x+1=t라 하면 x=
이므로
1-t
2
h(t)=2_
-3=-t-2
∴ h(x)=-x-2
1-t
2
03-2 1
|해결 전략 | h(x)의 x 대신에 g(x)를 대입한 후 g(x)=t로 치환한다.
f(x)=2x€-1, g(x)=3x+2에서
(h@g)(x)=h(g(x))=h(3x+2)
(h@g)(x)=f(x)이므로 h(3x+2)=2x€-1
이때, 3x+2=t라 하면 x=
이므로
t-2
3
h(t)=2{
t-2
3 }
€-1
∴ h(5)=2-1=1
h(3x+2)=2x€-1에서 3x+2=5일 때, x=1이므로
다른 풀이
h(5)=2_1€-1=1
04-1 8
n
|해결 전략 | f €, f ‹, f ›, …를 구하여 규칙을 찾아 f
을 구한다.
f ⁄(x)=f(x)=-x+3
f €(x) =( f@f )(x)=f( f(x))
=f(-x+3)=-(-x+3)+3=x
f ‹(x) =( f@f €)(x)=f( f €(x))
=f(x)=-x+3
f ›(x) =( f@f ‹)(x)=f( f ‹(x))
⋮
034 정답과 해설
참고
자연수 n에 대하여
f ⁄(x)=f ‹(x)= … =f 2n-1(x)=-x+3
f €(x)=f ›(x)= … =f 2n(x)=x
04-2 5
|해결 전략 | 주어진 그림을 이용하여 f n(2), f n(3)의 규칙을 찾는다.
f ⁄(2)=f(2)=1
f €(2)=f (f(2))=f(1)=3
f ‹(2)=f (f €(2))=f(3)=2
f ›(2)=f (f ‹(2))=f(2)=1
⋮
즉, f n(2)의 값은 1, 3, 2가 이 순서대로 반복된다.
이때, 50=3_16+2이므로 f fi‚(2)=f €(2)=3
f ⁄(3)=f(3)=2
f €(3)=f(f(3))=f(2)=1
f ‹(3)=f(f €(3))=f(1)=3
f ›(3)=f(f ‹(3))=f(3)=2
⋮
즉, f n(3)의 값은 2, 1, 3이 이 순서대로 반복된다.
이때, 100=3_33+1이므로 f ⁄‚‚(3)=f(3)=2
∴ f fi‚(2)+f ⁄‚‚(3)=3+2=5
다른 풀이
f ⁄, f €, f ‹의 대응 관계를 그림으로 나타내면 다음과 같다.
f
f
f
X
1
2
3
X
1
2
3
X
1
2
3
X
1
2
3
즉, f ‹(x)=x이므로
f fi‚(2)=f 3_16+2(2)=f €(2)=3
f ⁄‚‚(3)=f 3_33+1(3)=f(3)=2
∴ f fi‚(2)+f ⁄‚‚(3)=5
2
역함수
개념 확인
1 ㄷ
2 ⑴ y=-2x+2 ⑵ y=;3!;x+;3@; (x>-2)
3 ⑴ 3 ⑵ 7 ⑶ 3 ⑷ 5
4 풀이 참조
5 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
119쪽~123쪽
=f(-x+3)=-(-x+3)+3=x
1 역함수가 존재하려면 일대일대응이어야 하므로 역함수가 존재하
는 것은 ㄷ뿐이다.
2 ⑴ 함수 y=-;2!;x+1은 일대일대응이므로 역함수가 존재한다.
| 124쪽 |
⑵ 함수 y=3x-2 (x>0)는 일대일대응이므로 역함수가 존재한다.
4 ⑴ y=;4!;x-;4%; ⑵ y=-;2!;x-;2#; ⑶ y=3x+3 (x>0)
y=-;2!;x+1에서 x를 y로 나타내면
2y=-x+2
∴ x=-2y+2
x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는
y=-2x+2
y=3x-2에서 x를 y로 나타내면
3x=y+2
∴ x=;3!;y+;3@;
이때, 함수 y=3x-2 (x>0)의 치역이 {y|y>-2}이므로
역함수의 정의역은 {x|x>-2}이다.
따라서 x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는
y=;3!;x+;3@; (x>-2)
3 ⑴ ( f -1)(1)=3
⑵ ( f -1)-1(2)=f(2)=7
⑶ ( f -1@f )(3)=f -1( f(3))=f -1(1)=3
⑷ ( f@f -1)(5)=f( f -1(5))=f(4)=5
4 f(x)=-2x, g(x)=x+3에서
(g@f)(x)=g( f(x))=g(-2x)=-2x+3
y=-2x+3으로 놓고 x를 y로 나타내면 x=-;2!;y+;2#;
x와 y를 서로 바꾸면 y=-;2!;x+;2#;이므로
(g@f)-1(x)=-;2!;x+;2#;
또, 두 함수 f, g에서
y=-2x로 놓고 x를 y로 나타내면 x=-;2!;y
x와 y를 서로 바꾸면 y=-;2!;x이므로 f -1(x)=-;2!;x
y=x+3으로 놓고 x를 y로 나타내면 x=y-3
x와 y를 서로 바꾸면 y=x-3이므로 g-1(x)=x-3
∴ ( f -1@g-1)(x)=f -1(g-1(x))=f -1(x-3)
STEP
1
개념 드릴
1 ㄹ
2 ㄱ
3 ⑴ 6 ⑵ 2 ⑶ 4 ⑷ 3
1 역함수가 존재하려면 일대일대응이어야 하므로 역함수가 존재하
는 것은 ㄹ뿐이다.
2 역함수를 가지려면 일대일대응이어야 한다.
보기의 그래프 중 함수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이고, 이 중 일대일대응을
나타내는 그래프는 ㄱ뿐이다.
3 ⑴ f -1(0)=6
⑵ ( f -1)-1(5)=f(5)=2
⑶ ( f -1@f )(4) =f -1( f(4))=f -1(1)=4
⑷ ( f@f -1)(3) =f( f -1(3))=f(7)=3
4 ⑴ 함수 y=4x+5는 일대일대응이므로 역함수가 존재한다.
y=4x+5에서 x를 y로 나타내면
…… ㉠
4x=y-5
∴ x=;4!;y-;4%;
x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는
y=;4!;x-;4%;
⑵ 함수 y=-2x-3은 일대일대응이므로 역함수가 존재한다.
y=-2x-3에서 x를 y로 나타내면
2x=-y-3
∴ x=-;2!;y-;2#;
x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는
y=-;2!;x-;2#;
=-;2!;(x-3)=-;2!;x+;2#;
…… ㉡
따라서 ㉠, ㉡에서 (g@f )-1=f -1@g-1
⑶ 함수 y=;3!;x-1 (x>3)은 일대일대응이므로 역함수가 존재한다.
y=;3!;x-1에서 x를 y로 나타내면
y=x
;3!;x=y+1
∴ x=3y+3
5 ⑴
y=x
⑵
1
y= x-1
2
-4
-2
O
2
x
4
-4
-2
O
2
x
4
y
4
2
-2
-4
y
4
2
-2
-4
이때, 함수 y=;3!;x-1 (x>3)의 치역이 {y|y>0}이므로 역
함수의 정의역은 {x|x>0}이다.
따라서 x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는
y=-2x+2
y=3x+3 (x>0)
5 합성함수와 역함수 035
STEP
2
필수 유형
| 125쪽~130쪽 |
f(x)=|3x-1|+kx-6에서
01-1 5
|해결 전략 | 함수 f(x)와 그 역함수 f -1(x)에 대하여 f -1(b)=a이면 f(a)=b
임을 이용한다.
f -1(3)=m이라 하면 f(m)=3이므로
m+1=3
∴ m=2
g-1(3)=n이라 하면 g(n)=3이므로
2n-3=3
∴ f -1(3)+g-1(3)=2+3=5
∴ n=3
01-2 -3
|해결 전략 | 함수 f(x)와 그 역함수 f -1(x)에 대하여 f -1(b)=a이면 f(a)=b
임을 이용한다.
f -1(2)=1에서 f(1)=2이므로
a+b=2
f -1(5)=-2에서 f(-2)=5이므로
-2a+b=5
∴ ab=-3
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=3
01-3 10
|해결 전략 | ( f@g-1)(k)=7을 g-1(k)에 대한 식으로 나타낸다.
( f@g-1)(k)=f(g-1(k))=4g-1(k)-5
이때, ( f@g-1)(k)=7이므로
4g-1(k)-5=7, 4g-1(k)=12
∴ g-1(k)=3
따라서 g(3)=k이므로
3_3+1=k
∴ k=10
f(x)=-(3x-1)+kx-6=(k-3)x-5
1 x<;3!;일 때
2 x>;3!;일 때
f(x)=3x-1+kx-6=(k+3)x-7
1, 2에서 함수 f(x)가 일대일대응이 되려면 x<;3!;인 부분과
x>;3!;인 부분에서의 두 직선의 기울기가 같은 부호이어야 하므로
(k-3)(k+3)>0
∴ k<-3 또는 k>3
03-1 -;1¡6;
|해결 전략 | y=f(x)에서 x를 y로 나타낸 후 x와 y를 서로 바꾸어 y=f -1(x)
를 구한다.
f(x)=ax+b에서 y=ax+b로 놓고 x를 y로 나타내면
…… ㉠
…… ㉡
ax=y-b
∴ x=;a!;y-;aB;
x와 y를 서로 바꾸면 y=;a!;x-;aB;
∴ f -1(x)=;a!;x-;aB;
따라서 ;a!;x-;aB;=-4x+1이므로
;a!;=-4, -;aB;=1
∴ a=-;4!;, b=;4!;
∴ ab=-;1¡6;
다른 풀이
f -1(x)=-4x+1에서 y=-4x+1로 놓고 x를 y로 나타내면
02-1 5
|해결 전략 | 함수 f(x)의 역함수가 존재하면 f(x)는 일대일대응이다.
X={x|-2<x<3}에서
Y={y|-3<y<7}로의 함수
f(x)=ax+b의 역함수가 존재하므로
f(x)는 일대일대응이다.
이때, a>0이므로 y=f(x)의 그래프는 오
y
7
-2
x
3
O
-3
4x=-y+1
∴ x=-;4!;y+;4!;
x와 y를 서로 바꾸면 y=-;4!;x+;4!;
y=f(x)
즉, (f -1)-1(x)=f(x)=-;4!;x+;4!;이므로
a=-;4!;, b=;4!;
∴ ab=-;1¡6;
른쪽 그림과 같다.
즉, f(-2)=-3, f(3)=7이다.
f(-2)=-3에서 -2a+b=-3
f(3)=7에서 3a+b=7
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=1
∴ 2a+b=5
03-2 h-1(x)=-;2!;x+3
|해결 전략 | (g@f )(x)=g( f(x))임을 이용하여 h(x)를 구한 후 h-1(x)를
…… ㉠
…… ㉡
구한다.
h(x) =(g@f )(x)=g(f(x))=g(2x-3)
=-(2x-3)+3=-2x+6
y=-2x+6으로 놓고 x를 y로 나타내면
02-2 k<-3 또는 k>3
|해결 전략 | 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되게 하는 x의 값을 기준으로 구간
을 나눈 후 일대일대응임을 이용한다.
함수 f(x)의 역함수가 존재하므로 f(x)는 실수 전체의 집합 R에서
2x=-y+6
∴ x=-;2!;y+3
x와 y를 서로 바꾸면 y=-;2!;x+3
∴ h-1(x)=-;2!;x+3
R로의 일대일대응이다.
036 정답과 해설
f(x)=2x-1에서 y=2x-1로 놓고 x를 y로 나타내면
선 y=x의 교점의 좌표와 같다.
05-2 3'2
|해결 전략 | f(x)=x€-2x (x>1)의 그래프와 y=f -1(x)의 그래프의 교점
은 f(x)=x€-2x (x>1)의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같다.
함수 f(x)=x€-2x (x>1)의 그래프
와 그 역함수 y=f -1(x)의 그래프는
직선 y=x에 대하여 대칭이므로 교점
의 좌표는 함수
y
y=f(x)
y=x
y=f -1(x)
f(x)=x€-2x (x>1)의 그래프와 직
x
1
O
1
-1
-1
x€-2x=x에서
x€-3x=0, x(x-3)=0
∴ x=3 (∵ x>1)
따라서 교점 P의 좌표는 (3, 3)이므로
OP’="ƒ3€+3€=3'2
06-1 ⑴ a+d ⑵ b
|해결 전략 | 직선 y=x를 이용하여 y축과 점선이 만나는 점의 y좌표를 표시
한다.
주어진 그래프에서
f(a)=b, f(b)=c, f(c)=d
⑴ ( f@f )(b) =f( f(b))
=f(c)=d
f -1(b)=k라 하면 f(k)=b이므로
y
d
c
b
O
y=f(x)
y=x
a
b
c
d
x
k=a
∴ f -1(b)=a
∴ ( f@f )(b)+f -1(b)=a+d
⑵ ( f@f )-1(d)=( f -1@f -1)(d)=f -1( f -1(d))에서
f -1(d)=m이라 하면 f(m)=d이므로 m=c
즉, f -1( f -1(d))=f -1(c)
f -1(c)=n이라 하면 f(n)=c이므로 n=b
∴ ( f@f )-1(d) =f -1( f -1(d))
=f -1(c)=b
03-3 ;4!;
|해결 전략 | f(2x+1)=4x+1에서 2x+1=t로 놓고 f(x)를 구한 후
f -1(x)를 구한다.
f(2x+1)=4x+1에서 2x+1=t로 놓으면 x=
이므로
t-1
2
f(t)=4_
+1=2t-1
t-1
2
∴ f(x)=2x-1
2x=y+1
∴ x=;2!;y+;2!;
x와 y를 서로 바꾸면 y=;2!;x+;2!;
∴ f -1(x)=;2!;x+;2!;
따라서 a=;2!;, b=;2!;이므로 ab=;4!;
04-1 14
|해결 전략 | ( g@f )-1=f -1@g-1임을 이용한다.
( f@g-1)-1(a) =(g@f -1)(a)
=g( f -1(a))=2f -1(a)-5
이때, ( f@g-1)-1(a)=3이므로
2f -1(a)-5=3
∴ f -1(a)=4
따라서 f(4)=a이므로
a=3_4+2=14
04-2 8
|해결 전략 | ( g@f )-1=f -1@g-1, f -1@f=I임을 이용한다.
( f@( f@g)-1@f )(1) =(f@(g-1@f -1)@f )(1)
=( f@g-1@( f -1@f ))(1)
=( f@g-1)(1)=f(g-1(1))
g-1(1)=a라 하면 g(a)=1에서
1 a<1일 때
2 a>1일 때
g(a)=-a-1=1
∴ a=-2
g(a)=-3a+1=1
∴ a=0
그런데 a>1이므로 이를 만족시키는 a의 값은 없다.
1, 2에서 a=-2, 즉 g-1(1)=-2이므로
( f@( f@g)-1@f )(1) =f(g-1(1))
=f(-2)=8
STEP
3
유형 드릴
| 131쪽~133쪽 |
1-1 11
|해결 전략 | ( f@g)(x)=f(g(x)), (g@f )(x)=g( f(x))임을 이용한다.
05-1 -2
|해결 전략 | f(x)=2x+a의 그래프와 y=f -1(x)의 그래프의 교점은
f(x)=2x+a의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같다.
함수 f(x)=2x+a의 그래프와 그 역함수 y=f -1(x)의 그래프는
직선 y=x에 대하여 대칭이므로 교점의 x좌표는 함수
f(x)=2x+a의 그래프와 직선 y=x의 교점의 x좌표와 같다.
즉, 2x+a=x를 만족시키는 x의 값이 2이므로
4+a=2
∴ a=-2
f(x)=x+3, g(x)=x€-1에서
( f@g)(-1) =f(g(-1))
=f(0)=3
(g@f )(0) =g( f(0))
=g(3)=8
∴ ( f@g)(-1)+(g@f )(0)=3+8=11
5 합성함수와 역함수 037
1-2 4
|해결 전략 | ( f@f@f )(x)=f( f( f(x)))임을 이용한다.
f(x)=[
;2X; (x는 짝수)
x+3 (x는 홀수)
에서
( f@f@f )(10)=f( f( f(10)))
=f( f(5))
=f(8)=4
2-1 3
|해결 전략 | (h@(g@f ))(x)=((h@g)@f )(x)임을 이용한다.
f(x)=2x+3, (h@g)(5)=3에서
(h@(g@f ))(1) =((h@g)@f )(1)
=(h@g)( f(1))
=(h@g)(5)=3
2-2 1
|해결 전략 | (h@(g@f ))(x)=((h@g)@f )(x)임을 이용한다.
(h@(g@f ))(a) =((h@g)@f )(a)
=(h@g)(f (a))
=(h@g)(-4a+1)
=3(-4a+1)+6
=-12a+9
-12a+9=-3이므로
12a=12
∴ a=1
3-1 (3, 3)
|해결 전략 | f@g, g@f를 각각 구하여 동류항의 계수를 비교한다.
f(x)=2x-3, g(x)=ax+b에서
( f@g)(x) =f(g(x))=f(ax+b)
=2(ax+b)-3=2ax+2b-3
(g@f )(x) =g( f(x))=g(2x-3)
=a(2x-3)+b=2ax-3a+b
f@g=g@f이므로
2b-3=-3a+b
∴ b=-3a+3
(g@f )(x) =g( f(x))=g(3x-8)
=a(3x-8)+b=3ax-8a+b
f@g=g@f이므로
3b-8=-8a+b
∴ 4a+b=4
이때, a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
4a+b>2'ß4ab (단, 등호는 4a=b일 때 성립)
4>4'ßab, 'ßab<1
양변을 제곱하면 ab<1
따라서 ab의 최댓값은 1이다.
LECTURE
산술평균과 기하평균의 관계
a>0, b>0일 때
a+b>2'ßab (단, 등호는 a=b일 때 성립)
4-1 1
|해결 전략 | f(x)의 x 대신에 h(x)를 대입한다.
f(x)=3x-1, g(x)=-3x+5에서
( f@h)(x) =f(h(x))=3h(x)-1
( f@h)(x)=g(x)이므로
3h(x)-1=-3x+5, 3h(x)=-3x+6
∴ h(x)=-x+2
∴ h(1)=1
4-2 1
|해결 전략 | h(x)의 x 대신에 f(x)를 대입한 후 f(x)=t로 치환한다.
f(x)=-2x+3, g(x)=4x+1에서
(h@f )(x) =h( f(x))=h(-2x+3)
(h@f )(x)=g(x)이므로
h(-2x+3)=4x+1
이때, -2x+3=t라 하면 x=
이므로
3-t
2
h(t)=4_
+1=-2t+7
3-t
2
∴ h(3)=-2_3+7=1
h(-2x+3)=4x+1에서 -2x+3=3일 때, x=0이므로
다른 풀이
h(3)=4_0+1=1
이때, g(x)=ax+b=ax-3a+3=a(x-3)+3이므로
y=g(x)의 그래프는 a의 값에 관계없이 항상 점 (3, 3)을 지난다.
y=a(x-3)+3에서 a(x-3)+(3-y)=0
이 식이 a의 값에 관계없이 항상 성립한다는 것은 a에 대한 항등식이라는 것
5-1 1
|해결 전략 | f ⁄(3), f €(3), f ‹(3), f ›(3), …의 값을 구하여 규칙을 찾아 f ⁄‚(3)
참고
이므로
038 정답과 해설
x-3=0, 3-y=0
∴ x=3, y=3
3-2 1
|해결 전략 | f@g, g@f를 각각 구하여 동류항의 계수를 비교한다.
f(x)=3x-8, g(x)=ax+b에서
( f@g)(x) =f(g(x))=f(ax+b)
의 값을 구한다.
x+1 (x<2)
1 (x=3)
f(x)=[
f ⁄(3)=f(3)=1
에서
f €(3)=f( f(3))=f(1)=2
f ‹(3)=f( f €(3))=f(2)=3
f ›(3)=f( f ‹(3))=f(3)=1
=3(ax+b)-8=3ax+3b-8
⋮
즉, f n(3)의 값은 1, 2, 3이 이 순서대로 반복된다.
이때, 10=3_3+1이므로
f ⁄‚(3)=f(3)=1
참고
f n(3)의 값은 1, 2, 3이 이 순서대로 반복되므로
f n(3)=
[
1 (n=3k-2)
2 (n=3k-1)
3 (n=3k)
과 같이 나타낼 수 있다.
(단, k는 자연수)
5-2 2
|해결 전략 | h=g@f 라 하면 hn(x)=(g@f )n(x)이므로 hn(x)=x가 성립하
는 n의 값을 찾는다.
h(x)=(g@f )(x)라 하면
h(1)=(g@f )(1)=g( f(1))=g(2)=1
h(2)=(g@f )(2)=g( f(2))=g(3)=3
h(3)=(g@f )(3)=g( f(3))=g(1)=2
(g@f )n(x)=hn(x)이고
h€(1)=h(h(1))=h(1)=1
h€(2)=h(h(2))=h(3)=2
h€(3)=h(h(3))=h(2)=3
따라서 h€(x)=x, 즉 (g@f)€(x)=x이므로 (g@f )n=I를 만족시
키는 자연수 n의 최솟값은 2이다.
6-1 1
|해결 전략 | 함수 f(x)와 그 역함수 f -1(x)에 대하여 f -1(b)=a이면 f(a)=b
임을 이용한다.
f -1(-1)=2에서 f(2)=-1이므로
7-1 -2
|해결 전략 | 함수 f(x)의 역함수가 존재하면 f(x)는 일대일대응이다.
X={x|1<x<a}에서 Y={y|-1<y<b}
로의 함수 f(x)=-3x+8의 역함수가 존재하
y
b
므로 f(x)는 일대일대응이다.
이때, 직선 y=f(x)의 기울기가 음수이므로
f(1)=b, f(a)=-1
f(1)=b에서 b=5
∴ a-b=-2
f(a)=-1에서 -3a+8=-1
∴ a=3
y=f(x)
O
-1
1
a
x
7-2 3
|해결 전략 | 함수 f(x)의 역함수가 존재하려면 f(x)는 일대일대응이어야 한다.
x-2
(x>0)
(4-k€)x-2 (x<0)
함수 f(x)=[
대응이어야 하므로 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같아야 한다.
의 역함수가 존재하려면 일대일
y
O
-2
y=x-2
x
y=(4-k2)x-2
즉, 두 직선 y=x-2, y=(4-k€)x-2의 기울기의 부호가 같아야
하므로
4-k€>0, k€-4<0
(k+2)(k-2)<0
∴ -2<k<2
따라서 구하는 정수 k는 -1, 0, 1의 3개이다.
2a+b=-1
f -1(7)=-2에서 f(-2)=7이므로
-2a+b=7
∴ a+b=1
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=3
…… ㉠
…… ㉡
8-1 f -1(x)=;3!;x-;2!;
|해결 전략 | f {
f -1(x)를 구한다.
2x-1
2
}=3x에서
2x-1
2
=t로 치환하여 f(x)를 구한 후
2x-1
2
f {
}=3x에서
2x-1
2
=t로 놓으면 x=
이므로
2t+1
2
6-2 1
|해결 전략 | 함수 f(x)와 그 역함수 f -1(x)에 대하여 f -1(b)=a이면 f(a)=b
임을 이용한다.
f(t)=3_
2t+1
2
=3t+;2#;
∴ f(x)=3x+;2#;
=t로 놓으면 x=2t-1이므로
f(x)=3x+;2#;에서 y=3x+;2#;으로 놓고 x를 y로 나타내면
x+1
2
f {
}=x-3에서
x+1
2
f(t)=(2t-1)-3=2t-4
∴ f(x)=2x-4
f -1(-2)=k라 하면 f(k)=-2이므로
2k-4=-2
∴ f -1(-2)=1
∴ k=1
다른 풀이
f -1(-2)=k라 하면 f(k)=-2이므로
x+1
2
}=x-3에서
f {
따라서 x=1, k=1이므로 f -1(-2)=1
=k, x-3=-2
x+1
2
3x=y-;2#;
∴ x=;3!;y-;2!;
x와 y를 서로 바꾸면 y=;3!;x-;2!;
∴ f -1(x)=;3!;x-;2!;
8-2 h-1(x)=-2x+5
|해결 전략 | (g@f )(x)=g( f(x))임을 이용하여 h(x)를 구한 후 h-1(x)를
구한다.
5 합성함수와 역함수 039
h(x)=(g@f )(x)=g(f(x))=g(-x+3)
=;2!;(-x+3)+1=-;2!;x+;2%;
y=-;2!;x+;2%;로 놓고 x를 y로 나타내면
;2!;x=-y+;2%;
∴ x=-2y+5
x와 y를 서로 바꾸면 y=-2x+5
∴ h-1(x)=-2x+5
9-1 1
|해결 전략 | ( g@f )-1=f -1@g-1, f -1@f=I임을 이용한다.
( f -1@(g@f -1)-1)(5) =( f -1@f@g-1)(5)
=g-1(5)
이때, g-1(5)=a라 하면 g(a)=5이므로
∴ a=1
a+4=5
∴ ( f -1@(g@f -1)-1)(5)=g-1(5)=1
다른 풀이
g(x)=x+4에서 g-1(x)=x-4이므로
(f -1@(g@f -1)-1)(5)=g-1(5)=1
9-2 -1
|해결 전략 | ( g@f )-1=f -1@g-1, f -1@f=I임을 이용한다.
( f@( f@g)-1@f )(2) =(f@g-1@f -1@f )(2)
=( f@g-1)(2)
=f(g-1(2))
g-1(2)=a라 하면 g(a)=2에서
1 a<1일 때
g(a)=a€-2a-1=2
a€-2a-3=0, (a+1)(a-3)=0
∴ a=-1 (∵ a<1)
2 a>1일 때
g(a)=-3a+1=2
∴ a=-;3!;
그런데 a>1이므로 이를 만족시키는 a의 값은 없다.
1, 2에서 a=-1, 즉 g-1(2)=-1이므로
( f@( f@g)-1@f )(2) =f(g-1(2))
=f(-1)=-1
10-1 2
|해결 전략 | f(x)=ax-3의 그래프와 y=f -1(x)의 그래프의 교점은
f(x)=ax-3의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같다.
함수 f(x)=ax-3의 그래프와 그 역함수 y=f -1(x)의 그래프는
직선 y=x에 대하여 대칭이므로 교점의 x좌표는 함수
f(x)=ax-3의 그래프와 직선 y=x의 교점의 x좌표와 같다.
즉, ax-3=x를 만족시키는 x의 값이 3이므로
3a-3=3
∴ a=2
040 정답과 해설
10-2 '2
|해결 전략 | f(x)=;3!;x€+;3@; (x>0)의 그래프와 y=g(x)의 그래프의 교점
은 f(x)=;3!;x€+;3@; (x>0)의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같다.
함수 f(x)=;3!;x€+;3@; (x>0)의 그래프와 그 역함수 y=g(x)의 그
래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 교점의 좌표는 함수
f(x)=;3!;x€+;3@; (x>0)의 그래프와 직선 y=x의 교점의 좌표와 같
다.
;3!;x€+;3@;=x에서
x€+2=3x, x€-3x+2=0
(x-1)(x-2)=0
∴ x=1 또는 x=2
따라서 두 교점의 좌표는 (1, 1), (2, 2)이므로 두 교점 사이의 거리는
"ƒ(2-1)€+(2-1)€='2
11-1 13
|해결 전략 | 직선 y=x를 이용하여 y축과 점선이 만나는 점의 y좌표를 표시한
y
10
8
5
y=f(x)
y=x
O 3 5
8
x
다.
주어진 그래프에서
f(3)=5, f(5)=8
( f@f )(5) =f( f(5))
=f(8)=10
( f@f )-1(8) =( f -1@f -1)(8)
=f -1(f -1(8))에서
f -1(8)=k라 하면 f(k)=8이므로 k=5
즉, f -1(f -1(8))=f -1(5)
f -1(5)=l이라 하면 f(l)=5이므로 l=3
∴ ( f@f )-1(8) =f -1( f -1(8))=f -1(5)=3
∴ ( f@f )(5)+( f@f )-1(8)=10+3=13
11-2 ㄱ, ㄴ, ㄷ
|해결 전략 | 직선 y=x를 이용하여 y축과 점선이 만나는 점의 y좌표를 표시한
y=f(x)
y=x
a
b
c
d
x
다.
주어진 그래프에서
f(a)=b, f(b)=c, f(c)=d
ㄱ. ( f@f@f )(a) =f( f( f(a)))
=f( f(b))
=f(c)=d
y
d
c
b
O
ㄴ. ( f -1@f )-1(c)=( f -1@f )(c)=c
ㄷ. ( f@f )-1(d) =( f -1@f -1)(d)
=f -1( f -1(d))에서
f -1(d)=k라 하면 f(k)=d이므로 k=c
즉, f -1(f -1(d))=f -1(c)
f -1(c)=l이라 하면 f(l)=c이므로 l=b
∴ ( f@f )-1(d)=f -1(f -1(d))=f -1(c)=b
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
4 ⑴
1
(x+1)(x+2)
+
1
(x+2)(x+3)
=
1
(x+2)-(x+1) {
1
x+1
-
1
x+2 }
+
1
(x+3)-(x+2) {
1
x+2
-
1
x+3 }
={
1
x+1
-
1
x+2 }+{
1
x+2
-
1
x+3 }
136쪽~138쪽
=
1
x+1
-
1
x+3
=
2
(x+1)(x+3)
⑵
x
1
1-x
=
x
(1-x)-1
1-x
=
x
-x
1-x
1-
=
=-(1-x)=x-1
x(1-x)
-x
STEP
1
개념 드릴
| 139쪽 |
1 ⑴
x€
,
x(x+1)
1
x(x+1)
⑵
1
,
x(x+2)
2x
x(x+2)
⑶
3(x+2)
(x-2)(x+2)(x+3)
,
(x+3)€
(x-2)(x+2)(x+3)
2 ⑴
x+4
2x+1
⑵
x+2
3x+1
⑶ x€-x+1
3 ⑴
2x+3
x(x+1)(x+3)
⑵
6x-1
3x+1
⑶
1
4(x+1)
⑷ x-2
1 ⑴
1
x€+x
=
1
x(x+1)
이므로
두 식 x
,
1
x€+x
x+1
을 통분하면
x€
x(x+1)
,
1
x(x+1)
⑵
1
x€+2x
=
1
x(x+2)
이므로
두 식
1
x€+2x
, 2
x+2
를 통분하면
6
| 유리함수
1
유리식
개념 확인
x
x(x-2)
1 ⑴
,
2
x(x-2)
⑵
3(x+2)
(x-1)(x+1)(x+2)
,
x+1
(x-1)(x+1)(x+2)
2 ⑴ x-1 ⑵
x-4
x-2
3 ⑴
3x
(x-1)(x+2)
⑵ -
1
x(x-1)
⑶ ;6X; ⑷
1
x+1
4 ⑴
2
(x+1)(x+3)
⑵ x-1
1 ⑴
2
x€-2x
=
2
x(x-2)
이므로
두 식
1
x-2
,
2
x€-2x
를 통분하면
x
x(x-2)
,
2
x(x-2)
⑵
3
x€-1
=
3
,
(x-1)(x+1)
1
x€+x-2
=
1
(x-1)(x+2)
이므로
두 식
3
,
x€-1
1
x€+x-2
을 통분하면
2 ⑴ x€-1
x+1
=
(x-1)(x+1)
x+1
=x-1
⑵ x€-2x-8
=
x€-4
(x-4)(x+2)
(x-2)(x+2)
=
x-4
x-2
3 ⑴ 1
x-1
+
2
x+2
=
x+2
(x-1)(x+2)
+
2(x-1)
(x-1)(x+2)
=
x+2+2x-2
(x-1)(x+2)
=
3x
(x-1)(x+2)
1
x(x+2)
,
2x
x(x+2)
⑵ 1
x
-
1
x-1
=
x-1
x(x-1)
-
x
x(x-1)
=
x-1-x
x(x-1)
=-
1
x(x-1)
⑶ 2x
3x+6
_
x+2
4
=
2x
3(x+2)
_
x+2
4
=
x
6
⑷ 1
x
/
x+1
x
=
_
1
x
x
x+1
=
1
x+1
⑶
3
x€+x-6
=
3
(x-2)(x+3)
,
x+3
x€-4
=
x+3
(x-2)(x+2)
이므로
두 식
3
x€+x-6
, x+3
x€-4
을 통분하면
3(x+2)
,
(x-2)(x+2)(x+3)
(x+3)€
(x-2)(x+2)(x+3)
6 유리함수 041
3(x+2)
,
(x-1)(x+1)(x+2)
x+1
(x-1)(x+1)(x+2)
4 ⑴
4
(x+1)(x+5)
⑵ x+1
2 ⑴ x€+2x-8
2x€-3x-2
=
(x+4)(x-2)
(2x+1)(x-2)
=
x+4
2x+1
⑵ x€+3x+2
3x€+4x+1
=
(x+1)(x+2)
(3x+1)(x+1)
=
x+2
3x+1
⑶
x‹+1
x+1
=
(x+1)(x€-x+1)
x+1
=x€-x+1
⑵
x€-5x+6
x€-x-12
_
x€-9
x€+2x-8
/
x-3
x-4
=
(x-2)(x-3)
(x-4)(x+3)
_
(x+3)(x-3)
(x-2)(x+4)
_
x-4
x-3
=
x-3
x+4
3 ⑴
1
x€+x
+
1
x€+4x+3
=
1
x(x+1)
+
1
(x+1)(x+3)
=
(x+3)+x
x(x+1)(x+3)
=
2x+3
x(x+1)(x+3)
⑵ 2-
3
3x+1
=
2(3x+1)-3
3x+1
=
6x-1
3x+1
⑶
x-1
4x
_
x
x€-1
=
x-1
4x
_
x
(x+1)(x-1)
=
1
4(x+1)
⑷
x€-3x+2
x+2
/
x-1
x+2
=
(x-1)(x-2)
x+2
_
x+2
x-1
=x-2
4 ⑴
2
(x+1)(x+3)
+
2
(x+3)(x+5)
=
2
(x+3)-(x+1) {
1
x+1
-
1
x+3 }
+
2
(x+5)-(x+3) {
1
x+3
-
1
x+5 }
={
1
x+1
1
-
x+3 }+{
1
x+3
-
1
x+5 }
=
1
x+1
-
1
x+5
=
4
(x+1)(x+5)
⑵
=
x-;x!;
1-;x!;
x€-1
x
x-1
x
=
x(x€-1)
x(x-1)
=
(x+1)(x-1)
x-1
=x+1
나눗셈은 약분을 이용하여 계산한다.
⑴
1
x+1
+
2
x€+x
-
x
x€+3x+2
=
1
x+1
+
2
x(x+1)
-
x
(x+1)(x+2)
=
x(x+2)+2(x+2)-x€
x(x+1)(x+2)
=
4(x+1)
x(x+1)(x+2)
=
4
x(x+2)
042 정답과 해설
02-1 3
|해결 전략 | 좌변을 통분한 후 양변의 분자의 동류항의 계수를 비교한다.
즉,
(a+2b)x-a+b
(2x+1)(x-1)
=
x-7
(2x+1)(x-1)
이 x에 대한 항등식이므
주어진 식의 좌변을 통분하여 정리하면
a
2x+1
+
b
x-1
=
a(x-1)+b(2x+1)
(2x+1)(x-1)
=
(a+2b)x-a+b
(2x+1)(x-1)
로 양변의 분자의 동류항의 계수를 비교하면
a+2b=1, -a+b=-7
두 식을 연립하여 풀면 a=5, b=-2
4 a+b=3
다른 풀이
주어진 식의 양변에 (2x+1)(x-1)을 곱하면
a(x-1)+b(2x+1)=x-7
4 (a+2b)x-a+b=x-7
이 식이 x에 대한 항등식이므로
a+2b=1, -a+b=-7
두 식을 연립하여 풀면 a=5, b=-2
4 a+b=3
02-2 4
|해결 전략 | 좌변을 통분한 후 양변의 분자의 동류항의 계수를 비교한다.
주어진 식의 좌변을 통분하여 정리하면
a
x€-5x+6
+
1
x€-x-2
=
a
(x-2)(x-3)
+
1
(x-2)(x+1)
=
a(x+1)+(x-3)
(x-3)(x-2)(x+1)
=
(a+1)x+a-3
(x-3)(x-2)(x+1)
x€-5x+6=(x-2)(x-3), x€-x-2=(x-2)(x+1)이므로 주어진 식
4 ab=4
다른 풀이
의 양변에 (x-2)(x-3)(x+1)을 곱하면
a(x+1)+(x-3)=b
4 (a+1)x+a-3=b
이 식이 x에 대한 항등식이므로
a+1=0, a-3=b
4 ab=4
4 a=-1, b=-4
STEP
2
필수 유형
| 140쪽~144쪽 |
즉,
(a+1)x+a-3
(x-3)(x-2)(x+1)
=
b
(x-3)(x-2)(x+1)
가 x에 대한
01-1 ⑴
|해결 전략 | 분모, 분자를 각각 인수분해한 후 덧셈, 뺄셈은 통분을 이용하고, 곱셈,
⑵
4
x(x+2)
x-3
x+4
항등식이므로 양변의 분자의 동류항의 계수를 비교하면
a+1=0, a-3=b
4 a=-1, b=-4
|해결 전략 | 부분분수로의 변형을 이용하여 계산한다.
|해결 전략 | x：y：z를 구하여 각 문자를 비례상수 k에 대한 식으로 나타낸 후 주
03-1
6
(x+1)(x+7)
1
(x+1)(x+2)
+
2
(x+2)(x+4)
+
3
(x+4)(x+7)
=
1
(x+2)-(x+1) {
1
x+1
-
1
x+2 }
+
2
(x+4)-(x+2) {
1
x+2
-
1
x+4 }
+
3
(x+7)-(x+4) {
1
x+4
-
1
x+7 }
={
1
x+1
1
-
x+2 }+{
1
x+2
1
-
x+4 }+{
1
x+4
-
1
x+7 }
=
1
x+1
-
1
x+7
=
6
(x+1)(x+7)
03-2 ;5#5^;
|해결 전략 | 부분분수로의 변형을 이용하여 계산한다.
1
1_3
+
1
2_4
+
1
3_5
+ y +
1
9_11
=;2!; {1-;3!;}+;2!; {;2!;-;4!;}+;2!; {;3!;-;5!;}+ y +;2!; {;9!;-;1¡1;}
=;2!; [{1-;3!;}+{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}+ y +{;8!;-;1¡0;}+{;9!;-;1¡1;}]
=;2!; {1+;2!;-;1¡0;-;1¡1;}=;5#5^;
04-1
-3x+5
(x+1)(x-3)
|해결 전략 | 먼저 분자를 분모로 나누어 간단한 꼴로 변형한다.
x€+x-2
x+1
-
x€-3x+1
x-3
=
x(x+1)-2
x+1
-
x(x-3)+1
x-3
2
1
={x-
x+1 }-{x+
x-3 }=-
2
x+1
-
1
x-3
=
-2(x-3)-(x+1)
(x+1)(x-3)
=
-3x+5
(x+1)(x-3)
04-2 x
|해결 전략 | 번분수식을 간단히 할 때는 유리식의 성질을 차례대로 적용한다.
1-
=1-
=1-
1aaaacb
1
1- aaa
1
1-a
x
1aaaacb
1
1- aaa
x-1aab
x
1aaaaab
(x-1)-x
aaaaa
xx-1
1aaaacc
x
1- aaCC
x-1
=1-
x-1
-1
=1-
=1+x-1=x
05-1 -;7$;
어진 유리식에 대입한다.
4x=y에서 x=;4Y;, 2y=3z에서 z=;3@;y
4 x：y：z=;4Y;：y：;3@;y=3：12：8
x=3k, y=12k, z=8k (k+0)로 놓으면
xy-z€
(x-y+2z)€
=
3k_12k-(8k)€
(3k-12k+2_8k)€
=-
28k€
49k€
=-;7$;
05-2 6
|해결 전략 | 각 문자를 비례상수 k에 대한 식으로 나타낸 후 주어진 유리식에 대
입한다.
하면
x+y=3k, y+z=4k, z+x=5k (k+0)로 놓고 세 식을 변끼리 더
2(x+y+z)=12k
4 x+y+z=6k
yy ㉠
㉠에 위의 세 식을 각각 대입하여 정리하면
x=2k, y=k, z=3k
4
x‹+y‹+z‹
xyz
=
(2k)‹+k‹+(3k)‹
2k_k_3k
=
36k‹
6k‹
=6
2
유리함수
개념 확인
1 ⑴ {x|x+1인 실수} ⑵ [x|x+-;2#;인 실수]
1 ⑶ {x|x+0인 실수} ⑷ {x|x는 실수}
2 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
3 그래프: 풀이 참조 ⑴ {x|x+-2인 실수}
⑵ {y|y+3인 실수} ⑶ x=-2, y=3
1 ⑴ x-1+0에서 x+1
따라서 주어진 함수의 정의역은
{x|x+1인 실수}
⑵ 2x+3+0에서 x+-;2#;
따라서 주어진 함수의 정의역은
[x|x+-;2#;인 실수]
⑶ x€+0에서 x+0
따라서 주어진 함수의 정의역은
{x|x+0인 실수}
⑷ 모든 실수 x에 대하여 x€+4>0이므로
주어진 함수의 정의역은
{x|x는 실수}
145쪽~147쪽
6 유리함수 043
1 ⑴ [x|x+;3$;인 실수] ⑵ {x|x는 실수}
⑶ {x|x+\3인 실수}
2 그래프: 풀이 참조 ⑴ {x|x+-1인 실수}
⑵ {y|y+2인 실수} ⑶ x=-1, y=2
3 그래프: 풀이 참조 ⑴ {x|x+1인 실수}
⑵ {y|y+-3인 실수} ⑶ x=1, y=-3
4 ⑴ y=
+1 ⑵ y=
5
x+3
-1
⑶ y=-
+2 ⑷ y=-
7
x-2
-4
3
x-2
1
x-1
1 ⑴ 3x-4+0에서 x+;3$;
따라서 주어진 함수의 정의역은
[x|x+;3$;인 실수]
⑵ 모든 실수 x에 대하여 2x€+1>0이므로
주어진 함수의 정의역은
{x|x는 실수}
⑶ x€-9+0에서 x+\3
따라서 주어진 함수의 정의역은
{x|x+\3인 실수}
2 ⑴
3
y=
⑵
y
y
3
1
O
1
3
x
O
-1
-4
1
4
x
y=-;x$;
3 y=-
1
x+2
+3의 그래프는
y=-
의 그래프를 x축의 방
1
x
향으로 -2만큼, y축의 방향으
로 3만큼 평행이동한 것이므로
오른쪽 그림과 같다.
y
;2%;
3
y=-
1
x+2
+3
-;3%;
O-2
x
STEP
1
개념 드릴
| 148쪽 |
3 y=-
2
x-1
-3의 그래프는
y=-;x@;의 그래프를 x축의 방향
으로 1만큼, y축의 방향으로 -3
만큼 평행이동한 것이므로 오른
쪽 그림과 같다.
;3!;
1
x
y
O
-1
-3
y=-
2
x-1
-3
4 ⑴ y=
x+1
x-2
= (x-2)+3
x-2
=
3
x-2
+1
⑵ y=
2-x
x+3
=
-(x+3)+5
x+3
=
5
x+3
-1
⑶ y=
2x-3
x-1
=
2(x-1)-1
x-1
=-
1
x-1
+2
⑷ y=
1-4x
x-2
=
-4(x-2)-7
x-2
=-
7
x-2
-4
STEP
2
필수 유형
| 149쪽~154쪽 |
01-1 -4
|해결 전략 | y=
이동을 생각한다.
2x-3
x+1
을 y=
k
x-p
+q 꼴로 고쳐서 y=;xK;의 그래프의 평행
y=
2x-3
x+1
=
2(x+1)-5
x+1
=-
5
x+1
+2
이므로 y=
2x-3
x+1
의 그래프는 y=-;x%;의 그래프를 x축의 방향으로
-1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.
따라서 p=-1, q=2, k=-5이므로
p+q+k=-4
01-2 3
|해결 전략 | 주어진 두 유리함수를 y=
y=
x+1
x-1
=
(x-1)+2
x-1
=
2
x-1-1
+1,
+1
k
x-m
+n 꼴로 변형하여 비교한다.
y=
6x+8
x+1
=
6(x+1)+2
x+1
=
2
x+1
+6=
2
(x+2)-1-1
+1
+1+5
2 y=
1
x+1
+2의 그래프는 y=;x!;
의 그래프를 x축의 방향으로 -1
만큼, y축의 방향으로 2만큼 평
행이동한 것이므로 오른쪽 그림
과 같다.
y
3
2
044 정답과 해설
y=
1
x+1
+2
이므로 y=
의 그래프는 y=
의 그래프를 x축의 방향으
6x+8
x+1
x+1
x-1
로 -2만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동한 것이다.
따라서 p=-2, q=5이므로
-1
O
x
-;2#;
p+q=3
+1의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평
오른쪽 그림과 같고,
이때, a>3, 즉 a-3>0이므로
0<x<1에서 y=
의 그래프는
3x+a
x+1
0+a
0+1
y
a
3
3+a
2
x=0일 때 최댓값
=a,
-1
O 1
x
…… ㉠
…… ㉡
x=1일 때 최솟값
3+a
1+1
=
3+a
2
를 갖는다.
따라서 a=5이므로 구하는 최솟값은 4이다.
=
(x-1)+2
x-1
=
2
x-1
+1
다른 풀이
y=
y=
x+1
x-1
2
x-1
행이동하면
y=
2
(x-p)-1
+1+q=
2
x-(p+1)
+q+1
한편, y=
6x+8
x+1
=
6(x+1)+2
x+1
=
2
x+1
+6
이때, ㉠, ㉡이 일치해야 하므로
2
x-(p+1)
+q+1=
+6에서
2
x+1
4 p=-2, q=5
-(p+1)=1, q+1=6
4 p+q=3
LECTURE
두 유리함수의 그래프가 서로 겹쳐지기 위한 조건
y=
와 y=
+q에서
k
x
a
x-p
1 a=k이면
평행이동을 하여 두 그래프를 서로 겹쳐지게 할 수 있다.
2 a=-k이면
평행이동과 대칭이동을 하여 두 그래프를 서로 겹쳐지게 할 수 있다.
02-1 [y|;2&;<y<5]
|해결 전략 | 주어진 정의역에서의 함수의 그래프를 이용한다.
y=
3x-4
x-1
=
3(x-1)-1
x-1
=-
1
x-1
+3
이므로 y=
의 그래프는 y=-
의 그래프를 x축의 방향으
3x-4
x-1
1
x
로 1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.
x=-1일 때 y=
-3-4
-1-1
=;2&;,
x=;2!;일 때 y=
;2#;-4
;2!;-1
=5
y
5
4
3
이므로 정의역이 [x|-1<x<;2!;]일 때
의 그래프는 오른쪽 그림과
O
-1
;3$;
1
;2!;
y=
3x-4
x-1
같다.
따라서 구하는 치역은 [y|;2&;<y<5]
03-1 ;3&;
|해결 전략 | 유리함수의 그래프는 두 점근선의 교점에 대하여 대칭이다.
y=
6x+5
3x-1
=
2(3x-1)+7
3x-1
=
7
3x-1
+2=
7
+2
3{x-;3!;}
이므로 주어진 함수의 그래프는 두 점근선 x=;3!;, y=2의 교점 {;3!;, 2}
에 대하여 대칭이다.
따라서 a=;3!;, b=2이므로
a+b=;3&;
03-2 a=1, b=-5
|해결 전략 | 유리함수의 그래프는 두 점근선의 교점을 지나고 기울기가 \1인 두
직선에 대하여 각각 대칭이다.
y=
-3x+7
x-2
=
-3(x-2)+1
x-2
=
1
x-2
-3
에서 점근선의 방정식은 x=2, y=-3이
므로 그 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
주어진 함수의 그래프는 두 점근선의 교점
(2, -3)을 지나고 기울기가 1 또는 -1인
y=ax+b
x
y
O
-3
2
(cid:14)(cid:18)(cid:6)(cid:14)
(cid:12)(cid:14)(cid:17)(cid:6)(cid:14)
04-1 -5
|해결 전략 | 점근선의 방정식과 그래프가 지나는 한 점의 좌표를 이용하여 유리함
주어진 함수의 그래프의 점근선의 방정식이 x=-1, y=-2이므로
수의 미정계수를 구한다.
주어진 함수는
y=
k
x+1
-2 (k+0)
㉠의 그래프가 점 (-2, 0)을 지나므로
0=
k
-2+1
-2
4 k=-2
따라서 p=-1, q=-2, k=-2이므로
…… ㉠
6 유리함수 045
;2&;
직선에 대하여 각각 대칭이다.
이때, a>0이므로 a=1
따라서 직선 y=x+b가 점 (2, -3)을 지나므로
x
-3=2+b
4 b=-5
02-2 4
|해결 전략 | a>3일 때의 그래프를 그려 a의 값을 구한 후 최솟값을 구한다.
y=
3x+a
x+1
=
3(x+1)+a-3
x+1
=
a-3
x+1
+3
이므로 y=
의 그래프는 y=
의 그래프를 x축의 방향
3x+a
x+1
a-3
x
으로 -1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.
p+q+k=-5
04-2 13
|해결 전략 | 점근선의 방정식을 이용하여 주어진 유리함수를 y=
k
x-p
+q
(k+0)로 놓은 후 그래프가 지나는 점의 좌표를 대입하여 미정계수를 구한다.
점근선의 방정식이 x=-2, y=3인 유리함수는
따라서 자연수 k에 대하여
f(2)=f ‹(2)=f fi(2)= y =f 2k-1(2)=0
f €(2)=f ›(2)=f fl(2)= y =f 2k(2)=2
4 f €‚‚(2)=f €_⁄‚‚(2)=f €(2)=2
다른 풀이
…… ㉠
주어진 유리함수의 그래프의 점근선의 방정식이 x=-1, y=-1이므로
yy ㉠
f(x)=
-1 (k+0)
k
x+1
로 놓을 수 있다.
㉠의 그래프가 점 (2, 0)을 지나므로
0=;3K;-1
4 k=3
k=3을 ㉠에 대입하면
f(x)=
-1=
3
x+1
-x+2
x+1
f €(x)=( f@f )(x)=f( f(x))
=
-
-x+2
x+1
-x+2
x+1
+2
=
+1
x-2+2x+2
x+1
-x+2+x+1
x+1
f ‹(x)=( f@f €)(x)=f( f €(x))=f(x)=
=x
-x+2
x+1
f ›(x)=( f@f ‹)(x)=f( f ‹(x))=f( f(x))=x
⋮
따라서 자연수 k에 대하여
f(x)=f ‹(x)=f fi(x)= y =f 2k-1(x)=
-x+2
x+1
f €(x)=f ›(x)=f fl(x)= y =f 2k(x)=x
즉, f €‚‚(x)=f €_⁄‚‚(x)=f €(x)=x이므로
f €‚‚(2)=2
06-1 1
|해결 전략 | y=
x+k
2x-3
구한다.
y=
x+k
2x-3
에서 x를 y로 나타내면
(2x-3)y=x+k, (2y-1)x=3y+k
x와 y를 서로 바꾸면 역함수는
4 x=
3y+k
2y-1
y=
3x+k
2x-1
에서 x를 y로 나타내고, x와 y를 서로 바꾸어 역함수를
y=
k
x+2
+3 (k+0)
㉠의 그래프가 점 (1, 5)를 지나므로
5=
k
1+2
+3에서 ;3K;=2
4 k=6
k=6을 ㉠에 대입하면
y=
6
x+2
+3=
3(x+2)+6
x+2
=
3x+12
x+2
따라서 a=3, b=12, c=2이므로
a+b-c=13
다른 풀이
y=
ax+b
x+c
=
a(x+c)-ac+b
x+c
=
-ac+b
x+c
+a
이므로 그래프의 점근선의 방정식은 x=-c, y=a
4 a=3, c=2
또, y=
의 그래프가 점 (1, 5)를 지나므로
3x+b
x+2
5=
3+b
3
4 b=12
4 a+b-c=13
05-1 4
|해결 전략 | f €(x), f ‹(x), f ›(x), y를 차례로 구한다.
f(x)=1-;2¡x;에 대하여
f €(x)=( f@f )(x)=f( f(x))
=1-
=1-
x
2x-1
=
x-1
2x-1
1
2-;x!;
f ‹(x)=( f@f €)(x)=f( f €(x))
=1-
1
2(x-1)
2x-1
=1-
2x-1
2(x-1)
=
-1
2(x-1)
f ›(x)=( f@f ‹)(x)=f( f ‹(x))
=1-
=1+x-1=x
1
-1
x-1
⋮
따라서 f n(x)=x를 만족시키는 n의 최솟값은 4이다.
주어진 그래프에서 f(2)=0, f(0)=2이므로
f €(2)=( f@f )(2)=f( f(2))=f(0)=2
f ‹(2)=( f@f €)(2)=f( f €(2))=f(2)=0
f ›(2)=( f@f ‹)(2)=f( f ‹(2))=f(0)=2
⋮
046 정답과 해설
05-2 2
|해결 전략 | f €(2), f ‹(2), f ›(2), y의 값을 차례로 구해서 규칙을 찾는다.
-1=
4 k=1
0+k
0-1
이때, 역함수 y=
의 그래프가 점 (0, -1)을 지나므로
3x+k
2x-1
함수 y=
의 역함수의 그래프가 점 (0, -1)을 지나면 함수
다른 풀이
x+k
2x-3
y=
x+k
2x-3
0=
-1+k
-2-3
의 그래프는 점 (-1, 0)을 지나므로
4 k=1
에서 x를 y로 나타내고, x와 y를 서로 바꾸어 역함수를
1-2 -2
|해결 전략 | 분모, 분자를 각각 인수분해한 후 약분을 이용하여 계산한다.
x€-3x+2
2x€+x-3
_
2x+3
2x€-8x+8
=
(x-1)(x-2)
(2x+3)(x-1)
_
2x+3
2(x-2)€/
=
1
2(x-2)
=
1
2x-4
…… ㉠
따라서 a=2, b=-4이므로
a+b=-2
06-2 -7
|해결 전략 | y=
ax+b
2x+1
구한다.
f(1)=
a+b
3
=2
함수 y=f(x)의 그래프가 점 (1, 2)를 지나므로
y=
ax+b
2x+1
로 놓고 x를 y로 나타내면
(2x+1)y=ax+b, (2y-a)x=-y+b
4 x=
-y+b
2y-a
x와 y를 서로 바꾸면 y=
-x+b
2x-a
4 f -1(x)=
-x+b
2x-a
f=f -1이므로
ax+b
2x+1
=
-x+b
2x-a
이것을 ㉠에 대입하면
=2
4 b=7
-1+b
3
4 a=-1
4 ab=-7
다른 풀이
f(1)=
a+b
3
=2
함수 y=f(x)의 그래프가 점 (1, 2)를 지나므로
f=f -1이므로 함수 y=f -1(x)의 그래프도 점 (1, 2)를 지난다.
즉, f -1(1)=2이므로 f(2)=1
4
2a+b
5
=1
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=7
4 ab=-7
…… ㉠
곱하면
…… ㉡
a(x+3)+b=x+5
4 ax+(3a+b)=x+5
이 식이 x에 대한 항등식이므로
a=1, 3a+b=5
4 a+b=3
4 a=1, b=2
2-1 3
|해결 전략 | 좌변을 통분한 후 양변의 분자의 동류항의 계수를 비교한다.
주어진 식의 좌변을 통분하여 정리하면
a
x+1
+
b
x€+4x+3
=
a
x+1
+
b
(x+1)(x+3)
=
a(x+3)+b
(x+1)(x+3)
=
ax+(3a+b)
x€+4x+3
가 x에 대한 항등식이므로
즉,
ax+(3a+b)
x€+4x+3
a=1, 3a+b=5
=
x+5
x€+4x+3
4 a=1, b=2
4 a+b=3
다른 풀이
x€+4x+3=(x+1)(x+3)이므로 주어진 식의 양변에 (x+1)(x+3)을
2-2 a=3, b=1
|해결 전략 | 좌변을 통분한 후 우변의 식의 형태로 만든다.
주어진 식의 좌변을 통분하여 정리하면
x€
x€-2x+1
+
2x-4
x-1
=
x€
(x-1)€
+
2x-4
x-1
=
x€+(2x-4)(x-1)
(x-1)€
=
3x€-6x+4
(x-1)€
=
3(x€-2x+1)-3+4
(x-1)€
=
3(x-1)€+1
(x-1)€
=3+
1
(x-1)€
STEP
3
유형 드릴
| 155쪽~157쪽 |
1-1 ⑤
|해결 전략 | 분모를 인수분해한 후 통분을 이용하여 계산한다.
2x
x€-1
-
1
x+1
=
2x
(x+1)(x-1)
-
1
x+1
=
2x-(x-1)
(x+1)(x-1)
=
x+1÷
(x+1÷)(x-1)
=
1
x-1
즉, 3+
1
(x-1)€
=a+
b
(x-1)€
가 x에 대한 항등식이므로
x€-2x+1=(x-1)€이므로 주어진 식의 양변에 (x-1)€을 곱하면
a=3, b=1
다른 풀이
x€+(2x-4)(x-1)=a(x-1)€+b
4 3x€-6x+4=ax€-2ax+a+b
이 식이 x에 대한 항등식이므로
a=3, a+b=4
4 a=3, b=1
6 유리함수 047
3-1 4
|해결 전략 |
1
AB
=
1
B-A {
1
A
-
1
B }임을 이용하여 각 항을 변형한다.
1
(x-2)(x-1)
+
2
(x-1)(x+1)
+
1
(x+1)(x+2)
=
1
(x-1)-(x-2) {
1
x-2
-
1
x-1 }
1-
=1-
=1-
2aaaacb
1
1- aaa
1
1+a
x
2aaaacc
x
1- aab
x+1
2aaaacb
1
1- aaa
x+1aab
x
2aaaaa
x+1-x
aaaac
xx+1
=1-
=1-2(x+1)=-2x-1
+
2
(x+1)-(x-1) {
1
x-1
1
-
x+1 }(1x-1 -1x+1)
5-1 7
|해결 전략 | 각 문자를 비례상수 k에 대한 식으로 나타낸 후 주어진 유리식에 대
+
1
(x+2)-(x+1) {
1
x+1
-
1
x+2 }
={
1
x-2
1
-
x-1 }+{
1
x-1
1
-
x+1 }+{
1
x+1
-
1
x+2 }
입한다.
더하면
x+y=12k, y+z=13k, z+x=5k (k+0)로 놓고 세 식을 변끼리
=
1
x-2
-
1
x+2
=
4
(x-2)(x+2)
2(x+y+z)=30k
4 x+y+z=15k
yy ㉠
㉠에 위의 세 식을 각각 대입하여 정리하면
따라서 a=-2, b=2, c=4 또는 a=2, b=-2, c=4이므로
x=2k, y=10k, z=3k
a+b+c=4
3-2 2
|해결 전략 |
1
AB
=
1
B-A {
1
A
-
1
B }임을 이용하여 좌변을 간단히 나타낸다.
입한다.
주어진 식의 좌변을 정리하면
1
a(a+2)
+
1
(a+2)(a+4)
+
1
(a+4)(a+6)
=
1
(a+2)-a {
1
a
1
-
a+2 }+
1
(a+4)-(a+2) {
1
a+2
-
1
a+4 }
+
1
(a+6)-(a+4) {
1
a+4
-
1
a+6 }
=;2!; {
-
1
a+2 }+;2!; {
1
a+2
-
1
a+4 }+;2!; {
1
a+4
-
1
a+6 }
1
a
1
a
=;2!; {
-
a+6 }=
1
3
a(a+6)
즉,
3
a(a+6)
=;1£6;이므로 a(a+6)=16
a€+6a-16=0, (a-2)(a+8)=0
4 a=2 (5 a>0)
4-1 12
|해결 전략 | 번분수가 포함된 형태로 좌변의 수를 변형한다.
좌변을 변형하면
47
13
8
13
=3+
=3+
=3+
1ab
13ac
8
1aabc
5
1+a
8
즉, 3+
=a+
이므로
1aabc
5
1+a
8
1aabc
5
b+a
c
a=3, b=1, c=8
4 a+b+c=12
4-2 -2x-1
|해결 전략 | 번분수식을 간단히 할 때는 유리식의 성질을 차례대로 적용한다.
048 정답과 해설
4
y€-z€
x€+z€
=
(10k)€-(3k)€
(2k)€+(3k)€
=
91k€
13k€
=7
5-2 6
|해결 전략 | 각 문자를 비례상수 k에 대한 식으로 나타낸 후 주어진 유리식에 대
x+y
3
=
y+z
5
=
z+x
4
=k (k+0)로 놓으면
x+y=3k, y+z=5k, z+x=4k
위의 세 식을 변끼리 더하면
2(x+y+z)=12k
4 x+y+z=6k
yy ㉠
㉠에 위의 세 식을 각각 대입하여 정리하면
x=k, y=2k, z=3k
(x+y+z)‹
x‹+y‹+z‹
4
=
(6k)‹
k‹+(2k)‹+(3k)‹
=
216k‹
36k‹
=6
6-1 ④
|해결 전략 | 보기의 유리함수를 y=
k
x-p
찾는다.
③ y=
-x+1
2x
=
1
2x
-;2!;
+q 꼴로 변형했을 때, k=4인 경우를
이므로 y=
의 그래프는 y=
의 그래프를 y축의 방향
-x+1
2x
1
2x
으로 -;2!;만큼 평행이동한 것이다.
4
x-1
(x-1)+4
x-1
x+3
x-1
④ y=
=
=
이므로 y=
의 그래프는 y=
의 그래프를 x축의 방향으로
1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
⑤ y=
2x+2
2x-1
=
(2x-1)+3
2x-1
=
3
2x-1
+1=
3
2{x-;2!;}
+1
이므로 y=
의 그래프는 y=
의 그래프를 x축의 방향
x+3
x-1
2x+2
2x-1
+1
4
x
3
2x
으로 ;2!;만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
따라서 함수 y=;x$;의 그래프와 겹쳐질 수 있는 것은 ④이다.
6-2 ㄴ, ㄷ
|해결 전략 | 주어진 유리함수를 y=
k
x-p
y=
x
x-1
=
(x-1)+1
x-1
=
1
x-1
+1
+q 꼴로 변형하여 비교한다.
이므로 y=
의 그래프는 y=
의 그래프를 x축의 방향으로 1
x
x-1
1
x
만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
ㄱ. y=
x-2
x-1
=
(x-1)-1
x-1
=-
1
x-1
+1
이므로 y=
의 그래프는 y=-
의 그래프를 x축의 방향
x-2
x-1
으로 1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
ㄴ. y=
의 그래프는 y=
의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼
1
x-1
1
x
y=
2x-5
x-3
=
2(x-3)+1
x-3
=
1
x-3
+2
이므로 y=
의 그래프는 y=
의 그래프를 x축의 방향으로 3
2x-5
x-3
1
x
만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.
따라서 정의역이 {x|0<x<2}인
의 그래프는 오른쪽 그림과
y=
2x-5
x-3
같으므로
y
2
1
O
;3%;
최댓값은 x=0일 때
=;3%;
2
3
x
0-5
0-3
4-5
2-3
최솟값은 x=2일 때
=1
평행이동한 것이다.
ㄷ. y=
3x+4
x+1
=
3(x+1)+1
x+1
=
1
x+1
+3
8-1 a=-1, b=0
|해결 전략 | 유리함수의 그래프는 두 점근선의 교점을 지나고 기울기가 \1인
두 직선에 대하여 각각 대칭이다.
이므로 y=
의 그래프는 y=
의 그래프를 x축의 방향으로
3x+4
x+1
1
x
y=
3x+8
x+3
=
3(x+3)-1
x+3
=-
1
x+3
+3
이므로 y=
의 그래프는 y=-
의 그래프를 x축의 방향
점 (-3, 3)을 지나고 기울기가 1 또는
-1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.
ㄹ. y=
2x-3
x+1
=
2(x+1)-5
x+1
=-
5
x+1
+2
2x-3
x+1
x
x-1
ㄴ, ㄷ이다.
으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.
따라서 함수 y=
의 그래프를 평행이동하여 겹칠 수 있는 것은
에서 점근선의 방정식은 x=-3, y=3
y=ax+b
이므로 그 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
주어진 함수의 그래프는 두 점근선의 교
y
3
-1인 직선에 대하여 각각 대칭이다.
이때, a<0이므로 a=-1
따라서 직선 y=-x+b가 점 (-3, 3)을 지나므로
3=-(-3)+b
4 b=0
(cid:14)(cid:18)(cid:9)(cid:14)
-3
O
x
(cid:12)(cid:14)(cid:18)(cid:9)(cid:14)
1
x
5
x
7-1 1
|해결 전략 | 유리함수의 최대, 최소를 구할 때는 그래프를 그려 본다.
y=
2x-1
x+1
=
2(x+1)-3
x+1
=-
3
x+1
+2
이므로 y=
의 그래프는 y=-
의 그래프를 x축의 방향으
2x-1
x+1
3
x
로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.
따라서 1<x<a에서 y=
의 그래
y
2x-1
x+1
프는 오른쪽 그림과 같다.
최댓값은 x=a일 때
이므로
2a-1
a+1
2a-1
a+1
=1, 2a-1=a+1
4 a=2
최솟값은 x=1일 때
2-1
1+1
=;2!;이므로 b=;2!;
4 ab=1
2
1
O 1
b
-1
a
x
8-2 -3
|해결 전략 | 유리함수의 그래프는 두 점근선의 교점을 지나고 기울기가 \1인
두 직선에 대하여 각각 대칭이다.
y=
bx+3
x+a
=
b(x+a)-ab+3
x+a
=
3-ab
x+a
+b
에서 점근선의 방정식이 x=-a,
y
y=x-3
y=b이므로 주어진 함수의 그래프는
두 점근선의 교점 (-a, b)를 지나고
기울기가 1 또는 -1인 직선에 대하여
1
-a
1
O
b
3
x
각각 대칭이다.
-3
이때, 두 직선 y=-x+1, y=x-3
y=-x+1
의 교점의 좌표가 (2, -1)이므로
a=-2, b=-1
4 a+b=-3
9-1 ⑤
|해결 전략 | y=-
본다.
7-2 최댓값: ;3%;, 최솟값: 1
|해결 전략 | 유리함수의 최대, 최소를 구할 때는 그래프를 그려 본다.
y=-
2x
x+1
=
-2(x+1)+2
x+1
=
2
x+1
-2
2x
x+1
k
x-p
를 y=
+q 꼴로 변형하여 그래프의 성질을 알아
6 유리함수 049
따라서 y=-
2x
x+1
의 그래프는 y=;x@;
의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y
축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이
므로 오른쪽 그림과 같다.
① 정의역은 {x|x+-1인 실수}이다.
② 치역은 {y|y+-2인 실수}이다.
③ x=0을 대입하면 y=-
=0이므로 그래프는 점 (0, 0)을
0
0+1
지난다.
④ 점근선의 방정식은 x=-1, y=-2이다.
⑤ y=-
의 그래프는 두 점근선의 교점 (-1, -2)를 지나고
2x
x+1
기울기가 1인 직선 y+2=x+1, 즉 y=x-1에 대하여 대칭이다.
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
y
-2
O-1
x
10-2 5
|해결 전략 | 점근선의 방정식을 이용하여 주어진 유리함수를 y=
k
x-p
+q
(k+0)로 놓은 후 그래프가 지나는 점의 좌표를 대입하여 미정계수를 구한다.
주어진 함수의 그래프의 점근선의 방정식이 x=-1, y=1이므로 주
…… ㉠
어진 함수는
y=
k
x+1
+1 (k+0)
㉠의 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로
3=
k
0+1
+1
4 k=2
k=2를 ㉠에 대입하면
y=
2
x+1
+1=
(x+1)+2
x+1
=
x+3
x+1
따라서 a=1, b=3, c=1이므로
a+b+c=5
x+2
x+1
k
x-p
를 y=
+q 꼴로 변형하여 그래프의 성질을 알아
11-1 :¡9¡:
|해결 전략 | f €(x), f ‹(x), f ›(x), y를 차례로 구해서 규칙을 찾는다.
9-2 ①
|해결 전략 | y=
본다.
y=
x+2
x+1
=
(x+1)+1
x+1
=
1
x+1
+1
따라서 y=
의 그래프는 y=
의
x+2
x+1
1
x
그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축
의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로
오른쪽 그림과 같다.
ㄱ. 두 점근선의 방정식은 x=-1, y=1
ㄴ. 제1, 2, 3사분면을 지난다.
이다.
x+2
x+1
다.
따라서 옳은 것은 ㄱ이다.
점근선의 방정식이 x=1, y=3인 유리함수는
y=
k
x-1
+3 (k+0)
㉠의 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로
1=
k
0-1
+3에서 -k=-2
4 k=2
k=2를 ㉠에 대입하면
y=
2
x-1
+3=
3(x-1)+2
x-1
=
3x-1
x-1
따라서 a=3, b=-1, c=-1이므로
a+b+c=1
050 정답과 해설
ㄷ. y=
의 그래프는 두 점근선의 교점 (-1, 1)을 지나고 기울
기가 -1인 직선 y-1=-(x+1), 즉 y=-x에 대하여 대칭이
10-1 1
|해결 전략 | 점근선의 방정식을 이용하여 주어진 유리함수를 y=
k
x-p
+q
f(x)=
에 대하여
1
1-x
(k+0)로 놓은 후 그래프가 지나는 점의 좌표를 대입하여 미정계수를 구한다.
f €(x)=( f@f )(x)=f( f(x))=
f(x)=
에 대하여
x+1
x-1
f €(x)=( f@f )(x)=f( f(x))=
=
=x
x+1
x-1
x+1
x-1
+1
-1
2x
x-1
2
x-1
y
2
1
f ‹(x)=( f@f €)(x)=f( f €(x))=f(x)=
-2
-1
O
x
f ›(x)=( f@f ‹)(x)=f( f ‹(x))=f( f(x))=x
x+1
x-1
x+1
x-1
⋮
따라서 자연수 k에 대하여
f(x)=f ‹(x)=f fi(x)= y =f 2k-1(x)=
f €(x)=f ›(x)=f fl(x)= y =f 2k(x)=x
4 f ‹‚‹(10)=f(10)=
10+1
10-1
=:¡9¡:
11-2 3
|해결 전략 | f €(x), f ‹(x), f ›(x), y를 차례로 구해서 규칙을 찾는다.
…… ㉠
1
1
1-x
=
1
(1-x)-1
1-x
1-
=
x-1
x
f ‹(x)=( f@f €)(x)=f( f €(x))=
=
1
x-1
x
1
x-(x-1)
x
=x
1-
f ›(x)=( f@f ‹)(x)=f( f ‹(x))=f(x)=
⋮
따라서 자연수 k에 대하여
f(x)=f ›(x)=f ‡(x)= y =f 3k-2(x)=
1
1-x
1
1-x
에서 x를 y로 나타내고, x와 y를 서로 바꾸어 역함수를
함수 y=f(x)의 그래프가 점 (1, -1)을 지나므로
…… ㉠
1 ⑴ x>;2!; ⑵ x>-2
2 ⑴ 'ßx+2+'x ⑵ 'ßx+3-'x
160쪽~161쪽
f €(x)=f fi(x)=f °(x)= y =f 3k-1(x)=
x-1
x
f ‹(x)=f fl(x)=f ·(x)= y =f 3k(x)=x
4 f ⁄fi‚(3)=f 3_50(3)=f ‹(3)=3
12-1 2
|해결 전략 | y=
ax+b
x+2
구한다.
f(1)=
=-1
a+b
3
y=
ax+b
x+2
로 놓고 x를 y로 나타내면
(x+2)y=ax+b, (y-a)x=-2y+b
4 x=
-2y+b
y-a
x와 y를 서로 바꾸면 y=
따라서 역함수는 f -1(x)=
-2x+b
x-a
-2x+b
x-a
f=f -1이므로
ax+b
x+2
=
-2x+b
x-a
이것을 ㉠에 대입하면
=-1
4 b=-1
-2+b
3
4 a=-2
4 ab=2
다른 풀이
함수 y=f(x)의 그래프가 점 (1, -1)을 지나므로
f(1)=
=-1
a+b
3
f=f -1이므로 함수 y=f -1(x)의 그래프도 점 (1, -1)을 지난다.
즉, f -1(1)=-1이므로 f(-1)=1
4 -a+b=1
yy ㉠
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=-1
4 ab=2
12-2 -60
|해결 전략 | 두 함수의 그래프가 직선 y=x에 대하여 대칭이면 두 함수는 서로
역함수이다.
두 함수 y=
ax+2
x+5
, y=
bx+c
x-6
의 그래프가 직선 y=x에 대하여
대칭이므로 두 함수는 서로 역함수이다.
y=
ax+2
x+5
에서 x를 y로 나타내면
(x+5)y=ax+2, (y-a)x=-5y+2
4 x=
-5y+2
y-a
x와 y를 서로 바꾸면 y=
-5x+2
x-a
따라서
-5x+2
x-a
=
bx+c
x-6
4 abc=-60
7
| 무리함수
1
무리식
개념 확인
1 ⑴ (근호 안의 식의 값)>0이어야 하므로
2x-1>0
4 x>;2!;
⑵ (근호 안의 식의 값)>0이고 (분모)+0이어야 하므로
x+2>0
4 x>-2
2 ⑴
2
'ßx+2-'x
⑵
3
'ßx+3+'x
=
=
2('ßx+2+'x )
('ßx+2-'x )('ßx+2+'x )
2('ßx+2+'x)
(x+2)-x
='ßx+2+'x
=
=
3('ßx+3-'x )
('ßx+3+'x )('ßx+3-'x )
3('ßx+3-'x )
(x+3)-x
='ßx+3-'x
STEP
1
개념 드릴
| 162쪽 |
1 ⑴ x<;2#; ⑵ x<1 또는 x>2 ⑶ x>-;2!; ⑷ -1<x<;2!;
2 ⑴ x+3 ⑵ -x+5 ⑶ x-2
3 ⑴ 'x+'ßx-1 ⑵ 'ß2x+1-'ß2x ⑶ 'ßx+2+'ßx-2
⑷ 'ßx+3+'ßx-3
⑸ 'ßx+1-1 ⑹ 'ßx+1+'ß1-x
2
1 ⑴ (근호 안의 식의 값)>0이어야 하므로
3-2x>0
4 x<;2#;
⑵ (근호 안의 식의 값)>0이어야 하므로
x€-3x+2>0, (x-1)(x-2)>0
4 x<1 또는 x>2
2x+1>0
4 x>-;2!;
7 무리함수 051
이므로 a=6, b=-5, c=2
⑶ (근호 안의 식의 값)>0이고 (분모)+0이어야 하므로
⑷ (근호 안의 식의 값)>0이고 (분모)+0이어야 하므로
-2x€-x+1>0, 2x€+x-1<0
STEP
2
필수 유형
| 163쪽~164쪽 |
(2x-1)(x+1)<0
4 -1<x<;2!;
2 ⑴ x>-3에서 x+3>0이므로
"ƒ(x+3)€=|x+3|=x+3
⑵ x<5에서 x-5<0이므로
"ƒ(x-5)€=|x-5|=-x+5
⑶ x>2에서 x-2>0이므로
"ƒ(x-2)€=|x-2|=x-2
3 ⑴
1
'x-'ßx-1
=
'x+'ßx-1
('x-'ßx-1)('x+'ßx-1)
⑵
1
'ß2x+1+'ß2x
=
'ß2x+1-'ß2x
('ß2x+1+'ß2x)('ß2x+1-'ß2x)
= 'x+'ßx-1
x-(x-1)
='x+'ßx-1
= 'ß2x+1-'ß2x
(2x+1)-2x
='ß2x+1-'ß2x
⑶
4
'ßx+2-'ßx-2
=
⑷
3
'ßx+3-'ßx-3
4('ßx+2+'ßx-2)
('ßx+2-'ßx-2)('ßx+2+'ßx-2)
4('ßx+2+'ßx-2)
(x+2)-(x-2)
=
='ßx+2+'ßx-2
=
=
3('ßx+3+'ßx-3)
('ßx+3-'ßx-3)('ßx+3+'ßx-3)
3('ßx+3+'ßx-3)
(x+3)-(x-3)
= 'ßx+3+'ßx-3
2
⑸
x
1+'ßx+1
=
=
x(1-'ßx+1)
(1+'ßx+1)(1-'ßx+1)
x(1-'ßx+1)
1-(x+1)
=
x(1-'ßx+1)
-x
='ßx+1-1
⑹
2x
'ßx+1-'ß1-x
=
=
2x('ßx+1+'ß1-x)
('ßx+1-'ß1-x )('ßx+1+'ß1-x )
2x('ßx+1+'ß1-x)
(x+1)-(1-x)
=
2x('ßx+1+'ß1-x)
2x
='ßx+1+'ß1-x
052 정답과 해설
01-1 ⑴ x>;2!; ⑵ -;3!;<x<1
|해결 전략 | (근호 안의 식의 값)>0이고 (분모)+0이어야 한다.
⑴ 2x-1>0에서 x>;2!;
x+1>0에서 x>-1
4 x>;2!;
⑵ 3x+1>0에서 x>-;3!;
1-x€>0에서 x€-1<0
(x+1)(x-1)<0
4 -1<x<1
4 -;3!;<x<1
01-2 -3<k<1
|해결 전략 | (근호 안의 식의 값)>0임을 이용한다.
"ƒx€-2kx-2k+3의 값이 모든 실수 x에 대하여 항상 실수가 되려
면 이차부등식 x€-2kx-2k+3>0이 항상 성립해야 한다.
이차방정식 x€-2kx-2k+3=0의 판별식을 D라 하면 D<0이어
야 하므로
D
4
LECTURE
=(-k)€-(-2k+3)<0, k€+2k-3<0
(k+3)(k-1)<0
4 -3<k<1
이차방정식 ax€+bx+c=0의 판별식을 D라 할 때, 이차부등식이 항상
이차부등식이 항상 성립할 조건
성립할 조건은 다음과 같다.
⑴ ax€+bx+c>0 ➡ a>0, D<0
⑵ ax€+bx+c>0 ➡ a>0, D<0
⑶ ax€+bx+c<0 ➡ a<0, D<0
⑷ ax€+bx+c<0 ➡ a<0, D<0
02-1 -2-'6
|해결 전략 | 먼저 식을 간단히 한 후 수를 대입한다.
1
1+'ß1-x
+
1
1-'ß1-x
=
=
(1-'ß1-x)+(1+'ß1-x)
(1+'ß1-x)(1-'ß1-x)
=
2
1-(1-x)
2
x
=
=
2
2-'6
2(2+'6 )
4-6
=-2-'6
=
2(2+'6 )
(2-'6 )(2+'6 )
02-2 '2+1
|해결 전략 | x+y, x-y, xy의 값을 구한 후 분모를 유리화한 식에 대입한다.
'x+'y
'x-'y
=
('x+'y )€
('x-'y )('x+'y )
=
x+y+2'ßxy
x-y
이때, x+y=2'2, x-y=2, xy=1이므로
x+y+2'ßxy
x-y
(주어진 식)=
=
2'2+2'1
2
='2+1
1 ⑴ 함수 y='ß5x의 그래프는 점 (1, '5 )를
지나므로 오른쪽 그림과 같다.
y='ß5x
2
무리함수
개념 확인
165쪽~167쪽
⑵ 함수 y=-'ß5x의 그래프는 점
(1, -'5 )를 지나므로 오른쪽 그림과
같다.
1 ⑴ {x|x>2} ⑵ [x|x<;2#;] ⑶ [x|x>-;3!;]
2 풀이 참조
3 그래프: 풀이 참조 ⑴ {x|x>-2} ⑵ {y|y<-1}
⑶ 함수 y='ß-5x의 그래프는 점
(-1, '5 )를 지나므로 오른쪽 그림과
같다.
y='ß-ß5x
y
y
'5
O
1
y
O
1
-'5
x
x
y=-'ß5x
'5
-1
O x
y
-1
O x
-'5
1 ⑴ x-2>0에서 x>2
4 {x|x>2}
⑵ 3-2x>0에서 x<;2#;
4 [x|x<;2#;]
⑶ 3x+1>0에서 x>-;3!;
4 [x|x>-;3!;]
2
(3) y= -2x
(1) y= 2x
y
2
O-2
2
x
-2
(4) y=- -2x (2) y=- 2x
3 함수 y=-'ßx+2-1의 그래프는
y=-'x의 그래프를 x축의 방향으
로 -2만큼, y축의 방향으로 -1만큼
평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과
y
O-2
-1
-'2-1
같다.
y=- x+2-1
⑵ 함수 y=-'ß2(x+2)+1의 그
래프는 y=-'ß2x의 그래프를
x축의 방향으로-2만큼, y축
x
의 방향으로 1만큼 평행이동한
-1
-2
x
것이므로 오른쪽 그림과 같다.
y=- 2(x+2)+1
⑷ 함수 y=-'ß-5x의 그래프는 점
(-1, -'5 )를 지나므로 오른쪽 그림과
같다.
y=-'ß-ß5x
2 ⑴ 함수 y='ß-(x-1)+2의 그래
프는 y='ß-x의 그래프를 x축
의 방향으로 1만큼, y축의 방향
y
3
y= -(x-1)+2
2
으로 2만큼 평행이동한 것이므
로 오른쪽 그림과 같다.
O
1
x
⑶ y='ß2x-1+3=æ√2 {x-;2!;}+3
즉, 함수 y='ß2x-1+3의 그래프
는 y='ß2x의 그래프를 x축의 방
향으로 ;2!;만큼, y축의 방향으로 3만
큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그
림과 같다.
⑷ y=-'ß4-2x+1=-'ß-2(x-2)+1
즉, 함수 y=-'ß4-2x+1의 그
래프는 y=-'ß-2x의 그래프
를 x축의 방향으로 2만큼, y축
의 방향으로 1만큼 평행이동한
것이므로 오른쪽 그림과 같다.
y=- 4-2x+1
y
1
O
y
3
y= 2x-1+3
O
;2!;
x
y
1
O
2
x
-1
7 무리함수 053
STEP
1
개념 드릴
1 그래프: 풀이 참조 ⑴ ① {x|x>0} ② {y|y>0}
2 그래프: 풀이 참조 ⑴ ① {x|x<1} ② {y|y>2}
⑵ ① {x|x>0} ② {y|y<0}
⑶ ① {x|x<0} ② {y|y>0}
⑷ ① {x|x<0} ② {y|y<0}
⑵ ① {x|x>-2} ② {y|y<1}
⑶ ① [x|x>;2!;] ② {y|y>3}
⑷ ① {x|x<2} ② {y|y<1}
| 168쪽 |
STEP
2
필수 유형
| 169쪽~174쪽 |
따라서 -6<x<0일 때 ㉠의 그래프
y= -2x+a-1
01-1 3
|해결 전략 | 함수 y='ßax의 그래프를 평행이동해도 a의 값은 변하지 않는다.
함수 y='ßax+4+3의 그래프는 y='ß2x의 그래프를 평행이동한 것
이므로 a=2
이때, y='ß2x+4+3='ß2(x+2)+3이므로 함수 y='ß2x+4+3의
그래프는 y='ß2x의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향
으로 3만큼 평행이동한 것이다.
따라서 m=-2, n=3이므로
a+m+n=2+(-2)+3=3
ß3x+c와 비교한다.
01-2 27
|해결 전략 | 함수 y='ßax+1의 그래프를 평행이동하고 대칭이동한 후 함수
y=-'ß
함수 y='ßax+1의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으
로 b만큼 평행이동하면
y="ƒa(x-3)+1+b
이 그래프를 x축에 대하여 대칭이동하면
-y="ƒa(x-3)+1+b
y=-'ßax-3a-b-1의 그래프는 y=-'ß3x+c의 그래프와 겹쳐
지므로
4 y=-'ßax-3a-b-1
a=3, -3a=c, -b-1=0
4 a=3, b=-1, c=-9
4 abc=27
02-1 -1
|해결 전략 | 무리함수를 y="ƒa(x-p)+q 꼴로 변형하고 그래프를 그려 본다.
y='ß-3x+a+2=Ƙ-3{x-;3A;}+2
yy ㉠
는 오른쪽 그림과 같다.
즉, x=-6일 때 최대이고, 그때의 최
댓값이 3이므로
'ß12+a-1=3, 12+a=16
4 a=4
y
O
-1
;2A;
x
-6
또, x=0일 때 최소이고, 그때의 최솟값이 b이므로
b='a-1='4-1=1
4 a+b=5
참고
함수 y='ß-2x 는 오른쪽 그림과 같이 x의 값이
커질수록 y의 값은 작아지는 함수이므로
y='ß-2x 를 평행이동한 y='ß-2x+a-1도
x의 값이 커질수록 y의 값은 작아지는 함수이다.
y
y= -2x
따라서 -6<x<0일 때, x=-6에서 최댓값
O
x
을 가지고 x=0에서 최솟값을 갖는다.
03-1 0
|해결 전략 | 주어진 함수의 그래프는 y=-'ßax (a>0)의 그래프를 평행이동
한 것이다.
주어진 함수의 그래프는 y=-'ßax (a>0)의 그래프를 x축의 방향
으로 2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로
y=-'ßa(x-2)+2
이때, ㉠의 그래프가 점 (4, 0)을 지나므로
0=-'ß2a+2에서 'ß2a=2
4 a=2
2a=4
…… ㉠
a=2를 ㉠에 대입하면
y=-'ß2(x-2)+2=-'ß2x-4+2
즉, y=-'ßax+b+c=-'ß2x-4+2이므로
b=-4, c=2
㉠의 그래프는 y='ß-3x의 그래프를 x축의 방향으로 ;3A;만큼, y축
의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이고, 'ß-3x+a>0이므로 y>2
이다.
4 a+b+c=0
참고
따라서 함수의 정의역은 [x|x<;3A;], 치
역은 {y|y>2}이므로 ㉠의 그래프는 오
른쪽 그림과 같다.
이때, 주어진 정의역이 {x|x<-1}, 치
역이 {y|y>b}이므로
;3A;=-1에서 a=-3이고 b=2
4 a+b=-1
y= -3x+a+2
y
2
O x
;3A;
그래프를 보고 무리함수의 식을 구하는 방법
1 기준이 되는 무리함수의 식을 정한다. ➡ y=-'ßax
2 시작점 (p, q)를 기준으로 y=-'ßa(x-p)+q로 놓는다.
3 주어진 그래프가 지나는 점의 좌표를 함수식에 대입한다.
03-2 4
|해결 전략 | 무리함수의 정의역은 (근호 안의 식의 값)>0이 되도록 하는 실수
전체의 집합이다.
ax+6>0에서
02-2 5
|해결 전략 | 무리함수를 y='ß
ßa(x-p)+q 꼴로 변형하고 그래프를 그려 본다.
y='ß-2x+a-1=Ƙ-2 {x-;2A;}-1
…… ㉠
㉠의 그래프는 y='ß-2x의 그래프를 x축의 방향으로 ;2A;만큼, y축의
방향으로 -1만큼 평행이동한 것이고, 'ß-2x+a>0이므로 y>-1
이다.
a>0이면 x>-;a^;, a<0이면 x<-;a^;
이때, 주어진 함수의 정의역이 {x|x>-2}이므로 a>0이어야 한다.
즉, -;a^;=-2이므로 a=3
또, 함수 y=-'ß3x+6+b에서 'ß3x+6>0이므로 치역은
{y|y<b}
4 a+b=4
4 b=1
054 정답과 해설
04-1 k=;4%; 또는 k<1
|해결 전략 | y='ß1-x의 그래프와 직선 y=-x+k를 그려 보고 한 점에서 만
나는 경우를 알아본다.
y='ßx+2-1에서 x를 y로 나타내면
y+1='ßx+2, (y+1)€=x+2
x=(y+1)€-2
x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는
y=(x+1)€-2 (x>-1)
4 y=x€+2x-1 (x>-1)
따라서 a=2, b=-1, c=-1이므로 abc=2
1
2
y
y=-x+k
y= 1-x
O
1
x
함수 y='ß1-x의 그래프와 직선
y=-x+k는 오른쪽 그림과 같다.
1 y='ß1-x의 그래프와 직선
y=-x+k가 접할 때
'ß1-x=-x+k의 양변을 제곱하
여 정리하면
x€-(2k-1)x+k€-1=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D=(2k-1)€-4(k€-1)=0
-4k+5=0
4 k=;4%;
2 직선 y=-x+k가 점 (1, 0)을 지날 때
4 k=1
0=-1+k
1, 2에서 구하는 실수 k의 값의 범위는
k=;4%; 또는 k<1
04-2 0<m<;4!;
|해결 전략 | y='ßx-4의 그래프와 직선 y=mx를 그려 보고 서로 다른 두 점에
서 만나는 경우를 알아본다.
m<0일 때, 오른쪽 그림과 같이 함
수 y='ßx-4의 그래프와 직선
y=mx는 만나지 않는다.
y
y=mx
O
4
y= x-4
x
1
2
O 4
y=mx
y= x-4
x
m>0일 때, 함수 y='ßx-4의 그
래프와 직선 y=mx는 오른쪽 그
y
림과 같다.
1 y='ßx-4의 그래프와 직선
y=mx가 접할 때
'ßx-4=mx의 양변을 제곱하여 정리하면
m€x€-x+4=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D=(-1)€-16m€=0
16m€=1
4 m=;4!; (∵ m>0)
2 직선 y=mx가 점 (4, 0)을 지날 때
4 m=0
0=4m
1, 2에서 구하는 실수 m의 값의 범위는
0<m<;4!;
05-1 2
|해결 전략 | 주어진 함수에서 x를 y로 나타낸 후 x와 y를 서로 바꾸어 역함수를
구한다. 이때, 원래 함수의 치역은 역함수의 정의역이 된다.
05-2 ;2!;
|해결 전략 | 주어진 함수에서 x를 y로 나타낸 후 x와 y를 서로 바꾸어 역함수를
구한다. 이때, 원래 함수의 치역은 역함수의 정의역이 된다.
함수 y='ß2x-a+1의 치역이 {y|y>1}이므로 역함수의 정의역은
{x|x>1}이다.
y='ß2x-a+1에서 x를 y로 나타내면
y-1='ß2x-a, (y-1)€=2x-a
x=;2!;(y-1)€+;2A;
x와 y를 서로 바꾸면
y=;2!;(x-1)€+;2A;
4 g(x)=;2!;(x-1)€+;2A; (x>1)
이때, g(2)=1이므로
;2!;(2-1)€+;2A;=1, ;2A;=;2!;
4 a=1
4 g(1)=;2!;(1-1)€+;2!;=;2!;
다른 풀이
f(x)='ß2x-a+1이라 하면 f(x)의 역함수가 g(x)이고 g(2)=1이므로
f(1)=2
즉, f(1)='ß2-a+1=2이므로
4 a=1
'ß2-a=1, 2-a=1
4 f(x)='ß2x-1+1
g(1)=k라 하면 f(k)=1이므로
f(k)='ß2k-1+1=1, 'ß2k-1=0
4 k=;2!;
4 g(1)=;2!;
06-1 2
|해결 전략 | y=f(x)의 그래프와 y=f -1(x)의 그래프의 교점은 y=f(x)의
그래프와 직선 y=x의 교점과 같다.
함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수
y=f -1(x)의 그래프는 직선 y=x에 대
y=f(x)
y
y=x
하여 대칭이다.
따라서 두 함수의 그래프의 교점은 함수
f(x)='ß-2x+3의 그래프와 직선 y=x
의 교점과 같다.
'ß-2x+3=x의 양변을 제곱하면
-2x+3=x€, x€+2x-3=0
;2#;
O
;2#;
x
y=f-1(x)
7 무리함수 055
함수 y='ßx+2-1의 치역이 {y|y>-1}이므로 역함수의 정의역
은 {x|x>-1}이다.
(x+3)(x-1)=0
4 x=-3 또는 x=1
그런데 위의 그림에서 x>0이므로 x=1
따라서 두 교점의 좌표는 (1, 1), (2, 2)이므로 두 점 사이의 거리는
"ƒ(2-1)€+(2-1)€='2
2-2 3
|해결 전략 | 먼저 f(n)의 분모를 유리화하여 간단히 한다.
따라서 교점의 좌표는 (1, 1)이므로
a=1, b=1
4 a+b=2
참고
무리함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=g(x)의 교
점을 살필 때는 그래프를 직접 그려 보는 것이 바
람직하다.
이때, 접하는 경우는
f(x)=g(x), 즉 f(x)-g(x)=0
의 판별식 D=0임을 이용하는데, 무리함수
y=f(x)의 그래프는 포물선의 반이므로 구한 해가 적합한지를 반드시 확인
해야 한다.
06-2 '2
|해결 전략 | y=f(x)의 그래프와 y=f -1(x)의 그래프의 교점은 y=f(x)의
그래프와 직선 y=x의 교점과 같다.
함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수
y=f -1(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같
이 직선 y=x에 대하여 대칭이다.
따라서 두 함수의 그래프의 교점은 함수
f(x)='ßx-1+1의 그래프와 직선 y=x
의 교점과 같다.
'ßx-1+1=x, 즉 'ßx-1=x-1의 양변을 제곱하면
x-1=(x-1)€, x€-3x+2=0
O 1
(x-1)(x-2)=0
4 x=1 또는 x=2
y=f-1(x)
y=x
y=f(x)
x
y
O
y
1
LECTURE
⑴ 두 점 A(x¡, y¡), B(x™, y™) 사이의 거리
➡ AB’="ƒ(x™-x¡)€+(y™-y¡)€
⑵ 원점 O와 점 A(x¡, y¡) 사이의 거리
➡ OA’="ƒx¡€+y¡€
1-2 0<k<4
|해결 전략 | (근호 안의 식의 값)>0임을 이용한다.
"ƒkx€+2kx+4의 값이 실수가 되려면 kx€+2kx+4>0이어야 한다.
1 k=0일 때
y=g(x)
y=f(x)
4>0이므로 항상 성립한다.
x
2 k+0일 때
이차방정식 kx€+2kx+4=0의 판별식을 D라 하면 k>0, D<0
이어야 하므로
D
4
=k€-4k<0
k(k-4)<0
4 0<k<4 (5 k>0)
1, 2에 의하여 구하는 k의 값의 범위는 0<k<4
2-1 ④
|해결 전략 | 통분하는 과정에서 분모의 유리화가 이루어진다.
x
1+'ßx+1
-
x
1-'ßx+1
=
=
x(1-'ßx+1)-x(1+'ßx+1)
(1+'ßx+1)(1-'ßx+1)
x(1-'ßx+1-1-'ßx+1)
1-(x+1)
=
x(-2'ßx+1)
-x
=2'ßx+1
f(n)=
1
'ßn+1+'n
=
'ßn+1-'n
('ßn+1+'n)('ßn+1-'n)
= 'ßn+1-'n
(n+1)-n
='ßn+1-'n
4 f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(15)
=('2-1)+('3-'2 )+('4-'3 )+ … +('ß16-'ß15)
='ß16-1=3
3-1 2'2
|해결 전략 | 먼저 식을 간단히 한 후 수를 대입한다.
ß1+x)€
= ('ß
ß1-x)€+('ß
'ß1+x 'ß1-x
(1-x)+(1+x)
"ƒ1-x€
x= '2
2
일 때,
1-x>0, 1+x>0
=
=
=
=
2
"ƒ1-x€
2
æ√1-{
2
1
'2
'2
2 }
=2'2
2
2 =
æ√1-;2!;
STEP
3
유형 드릴
| 175쪽~177쪽 |
'ß1-x
'ß1+x
+ 'ß1+x
'ß1-x
1-1 0
|해결 전략 | (근호 안의 식의 값)>0이고 (분모)+0이어야 한다.
3-x>0에서 x<3
2x+6>0에서 x>-3
4-x+0에서 x+4
4 -3<x<3
따라서 M=3, m=-3이므로
M+m=0
056 정답과 해설
3-2 6
|해결 전략 | 수를 간단히 한 후 x+y, xy의 값을 구하여 주어진 식에 대입힌다.
따라서 -4<x<0일 때 ㉠의 그래프
y= a-3x+b
는 오른쪽 그림과 같다.
즉, x=-4일 때 최대이고, 그때의 최
댓값이 5이므로
'ßa+12+b=5, 'ßa+12=5-b
4 a+12=b€-10b+25
…… ㉡
-4
x
;3A;
또, x=0일 때 최소이고, 그때의 최솟값이 3이므로
'a+b=3, 'a=3-b
4 a=b€-6b+9
…… ㉢
x>0, y>0
㉢을 ㉡에 대입하면
b€-6b+9+12=b€-10b+25
4b=4
4 b=1
b=1을 ㉢에 대입하면
a=1-6+9=4
4 ab=4
x= '2+1
'2-1
y= '2-1
'2+1
=
=
('2+1)€
('2-1)('2+1)
('2-1)€
('2+1)('2-1)
=3+2'2,
=3-2'2
이므로
x+y=(3+2'2 )+(3-2'2 )=6
xy=(3+2'2 )(3-2'2 )=9-8=1
∫ 'y
'x
('y )€+('x )€
'x 'y
=6
+ 'x
'y
=
=
=
x+y
'ßxy
6
'1
4-1 2
|해결 전략 | 함수 y='ß2x+4+3의 그래프를 평행이동하고 대칭이동한 후 함수
y=-'ß-2x-6과 비교한다.
함수 y='ß2x+4+3의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향
으로 q만큼 평행이동하면
y='ß2(x-p)+4+3+q
이 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하면
-y=" ∂2(-x-p)+4+3+q
이 그래프가 y=-'ß-2x-6의 그래프와 일치하므로
-2p+4=-6, -3-q=0
4 y=-'ß-2x-2p+4-3-q
4 p=5, q=-3
4 p+q=2
4-2 3
|해결 전략 | 점 C를 평행이동하면 점 A가 됨을 이용한다.
점 C를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동하
면 점 A가 된다.
즉, 점 A가 그리는 도형의 방정식은 y='x의 그래프를 x축의 방향
으로 -1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
4 y='ßx+1+1
따라서 a=1, b=1, c=1이므로 a+b+c=3
다른 풀이
점 C의 좌표를 (t, 't )라 하면 점 A의 좌표는
(t-1, 't+1)
이때, x=t-1, y='t+1로 놓으면 t=x+1, 't=y-1이므로
'ßx+1=y-1
즉, 점 A가 그리는 도형의 방정식은 y='ßx+1+1이므로
a=1, b=1, c=1
4 a+b+c=3
4 y='ßx+1+1
5-1 4
|해결 전략 | 무리함수를 y="ƒa(x-p)+q 꼴로 변형하고 그래프를 그려 본다.
y='ßa-3x+b=æ√-3{x-;3A;}+b
…… ㉠
y
b
O
y
5
a
5-2 ;;™4ª;;
|해결 전략 | 무리함수를 y='ßa(x-p)+q 꼴로 변형하고 그래프를 그려 본다.
…… ㉠
y= 1-4x+5
y='ß1-4x+5=æ√-4{x-;4!;}+5
㉠의 그래프는 y='ß-4x의 그래프를
x축의 방향으로 ;4!;만큼, y축의 방향으
로 5만큼 평행이동한 것이므로
-2<x<a 일 때 오른쪽 그림과 같다.
즉, x=-2일 때 최대이고, 그때의 최
댓값이 b이므로
b='ß1+8+5=8
또, x=a일 때 최소이고, 그때의 최솟값이 7이므로
'ß1-4a+5=7, 1-4a=4
4 a=-;4#;
4 a+b=-;4#;+8=
29
4
O-2
x
;4!;
6-1 3
|해결 전략 | 주어진 함수의 그래프는 y=-'ßax (a<0)의 그래프를 평행이동
한 것이다.
주어진 함수의 그래프는 y=-'ßax (a<0)의 그래프를 x축의 방향
으로 2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로
y=-"ƒa(x-2)+1
이때, ㉠의 그래프가 점 (0, -1)을 지나므로
-1=-'ß-2a+1에서 'ß-2a=2
4 a=-2
-2a=4
…… ㉠
7 무리함수 057
㉠의 그래프는 y='ß-3x의 그래프를 x축의 방향으로 ;3A;만큼, y축의
방향으로 b만큼 평행이동한 것이고, 'ßa-3x>0이므로 y>b이다.
a=-2를 ㉠에 대입하면
y=-"ƒ-2(x-2)+1=-'ß-2x+4+1
즉, y=-'ßax+b+c=-'ß-2x+4+1이므로
a=-2, b=4, c=1
4 a+b+c=3
6-2 ;2#;
|해결 전략 | 주어진 함수의 그래프는 y='ßax (a>0)의 그래프를 평행이동한 것
이다.
주어진 함수의 그래프는 y='ßax (a>0)의 그래프를 x축의 방향으로
;2#;만큼 평행이동한 것이므로
① 2x>0에서 x>0이므로 정의역은
x
따라서 함수 y=-'ß2x+1의 그래프는 오
른쪽 그림과 같다.
{x|x÷>0}이다.
>
② -'ß2x<0에서 y<1이므로 치역은
{y|y÷<1}이다.
<
y
1
O
;2!;
y=- 2x+1
1, 4사분면을 지난다.
③ 그래프는 제1, 4사분면을 지난다.
④ 함수 y=-'ß2x+1의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동하면
-y=-'ß2x+1, 즉 y='ß2x-1
⑤ 함수 y=-'ß2x+1의 치역이 {y|y<1}이므로 역함수의 정의역
은 {x|x<1}이다.
y=æ√a {x-;2#;}
이때, ㉠의 그래프가 점 (6, 3)을 지나므로
…… ㉠
y=-'ß2x+1에서 x를 y로 나타내면
y-1=-'ß2x, (y-1)€=2x, x=;2!;(y-1)€
3=æ√a {6-;2#;}에서 9=;2(;a
4 a=2
a=2를 ㉠에 대입하면 y='ß2x-3
즉, y='ßax+b+c='ß2x-3이므로 a=2, b=-3, c=0
따라서 함수 y=
의 두 점근선의 교점의 좌표는
1
2x-3
=
1
2 {x-;2#;}
{;2#;, 0}이다.
4 p=;2#;, q=0
4 p+q=;2#;
7-1 ⑤
|해결 전략 | y='ß-x+1-2를 y='ßa(x-p)+q 꼴로 변형하여 그래프를 그
린 다음 그 성질을 알아본다.
y='ß-x+1-2='ß-(x-1)-2이므로 함수 y='ß-x+1-2의
그래프는 y='ß-x의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향
으로 -2만큼 평행이동한 것이다.
따라서 함수 y='ß-x+1-2의 그래프
는 오른쪽 그림과 같다.
y
y= -x+1-2
① x=-3을 대입하면
y='ß3+1-2=0
다.
따라서 그래프는 점 (-3, 0)을 지난
O 1
x
-3
-1
-2
② -x+1>0에서 x<1이므로 정의역은 {x|x<1}이다.
③ 'ß-x+1>0에서 y>-2이므로 치역은 {y|y>-2}이다.
④ 그래프는 제1사분면을 지나지 않는다.
⑤ y='ß-x의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 D-2
만큼 평행이동한 것이다.
이상에서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
x와 y를 바꾸면 구하는 역함수는 y=;2!;(x -1)€ (x<1)
1)
이상에서 옳은 것은 ④이다.
-
8-1 -1<k<-;4#;
|해결 전략 | y='ßx-1의 그래프와 직선 y=x+k를 그려 보고 두 점에서 만나
는 경우를 알아본다.
y
1
2
y=x+k
y= x-1
x
O
1
함수 y='ßx-1의 그래프와 직선
y=x+k는 오른쪽 그림과 같다.
1 y='ßx-1의 그래프와 직선
y=x+k가 접할 때
'ßx-1=x+k의 양변을 제곱하여
정리하면
x€+(2k-1)x+k€+1=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D=(2k-1)€-4(k€+1)=0
-4k-3=0
4 k=-;4#;
2 직선 y=x+k가 점 (1, 0)을 지날 때
0=1+k
4 k=-1
1, 2에서 구하는 실수 k의 값의 범위는
-1<k<-;4#;
8-2 -3
|해결 전략 | n(ADB)=1이려면 두 함수 y='ß3-x, y=x+k의 그래프의 교
점이 하나이어야 한다.
n(ADB)=1이려면 함수 y='ß3-x의 그래프와 직선 y=x+k는
한 점에서 만나야 한다.
이때, 함수 y='ß3-x의 그래프와 직선
y=x+k의 교점이 하나이면서 실수 k가
y= 3-x
y=x+k
y
최솟값을 갖는 경우는 오른쪽 그림과 같다.
즉, 직선 y=x+k가 점 (3, 0)을 지나야
O
3
x
7-2 ④
|해결 전략 | y=-'ß2x+1의 그래프를 그린 다음 그 성질을 알아본다.
함수 y=-'ß2x+1의 그래프는 y=-'ß2x의 그래프를 y축의 방향
으로 1만큼 평행이동한 것이다.
하므로
0=3+k
4 k=-3
058 정답과 해설
9-1 g(x)=(x-3)€+2 (x>3)
|해결 전략 | f(g(x))=g(f(x))=x이면 f(x)와 g(x)는 서로 역함수 관계이다.
그런데 그림에서 x>1이므로 x=5
따라서 교점의 좌표는 (5, 5)이다.
함수 f(x)에 대하여 f(g(x))=g(f(x))=x를 만족시키는 함수
g(x)는 함수 f(x)의 역함수이다.
즉, g(x)=f -1(x)
함수 f(x)='ßx-2+3의 치역이 {y|y>3}이므로 역함수의 정의역
은 {x|x>3}이다.
이때, y='ßx-2+3으로 놓고 x를 y로 나타내면
y-3='ßx-2, (y-3)€=x-2
x=(y-3)€+2
x와 y를 서로 바꾸면
y=(x-3)€+2
4 g(x)=(x-3)€+2 (x>3)
9-2 -;2%;
|해결 전략 | 주어진 함수에서 x를 y로 나타낸 후 x와 y를 서로 바꾸어 역함수를
구한다. 이때, 원래 함수의 치역은 역함수의 정의역이 된다.
함수 f(x)=-'ß2x+4-3의 치역이 {y|y<-3}이므로 역함수의
정의역은 {x|x<-3}이다.
이때, y=-'ß2x+4-3으로 놓고 x를 y로 나타내면
y+3=-'ß2x+4, (y+3)€=2x+4
x=;2!;(y+3)€-2
x와 y를 서로 바꾸면
y=;2!;(x+3)€-2, 즉 y=;2!;x€+3x+;2%;
4 g(x)=;2!;x€+3x+;2%; (x<-3)
따라서 p=3, q=;2%;, r=-3이므로
p-q+r=-;2%;
10-2 '2
|해결 전략 | y='ßx+1-1과 x='ßy+1-1은 서로 역함수 관계이다.
오른쪽 그림과 같이 두 함수
y='ßx+1-1, x='ßy+1-1의 그
래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이
y
x= y+1-1
y= x+1-1
x
-1
O
-1
y=x
므로 두 그래프의 교점은 함수
y='ßx+1-1의 그래프와 직선 y=x
의 교점과 같다.
'ßx+1-1=x, 즉 'ßx+1=x+1의
양변을 제곱하면
x+1=(x+1)€, x€+x=0
x(x+1)=0
4 x=-1 또는 x=0
따라서 두 교점의 좌표는 (-1, -1), (0, 0)이므로 두 교점 사이의
거리는
"ƒ1€+1€='2
참고
일대일대응인 두 함수 y='ßx+1-1, x='ßy+1-1은 x와 y의 위치가 바뀌
어 있으므로 서로 역함수 관계이다.
11-1 7
|해결 전략 | (g@f -1)-1=f@g-1임을 이용한다.
(g@f -1)-1('5 ) =(f@g-1)('5 )
=f(g-1('5 ))
이때, g-1('5 )=k라 하면 g(k)='5이므로
'ß3k-1='5, 3k-1=5
4 (g@f -1)-1('5 )=f(g-1('5 ))
4 k=2
=f(2)=
2_2+3
2-1
=7
10-1 (5, 5)
|해결 전략 | y=f(x)의 그래프와 y=f -1(x)의 그래프의 교점은 y=f(x)의
그래프와 직선 y=x의 교점과 같다.
함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수
y=f -1(x)의 그래프는 직선 y=x에
y=f(x)
y
1
O-3
1
x
-3
y=x
y=f-1(x)
대하여 대칭이다.
따라서 두 함수의 그래프의 교점은 함수
f(x)='ß2x+6+1의 그래프와 직선
y=x의 교점과 같다.
'ß2x+6+1=x, 즉 'ß2x+6=x-1의
양변을 제곱하면
2x+6=(x-1)€, x€-4x-5=0
(x+1)(x-5)=0
4 x=-1 또는 x=5
11-2 ;2%;
|해결 전략 | (g@f )-1=f -1@g-1, f@f -1=I임을 이용한다.
f(2)=
=2이므로
2
2-1
(f@(g@f )-1@f )(2)=(f@( f -1@g-1)@f )(2)
=(( f@f -1)@g-1@f )(2)
=(g-1@f )(2)
=g-1(f(2))
=g-1(2)
이때, g-1(2)=k라 하면 g(k)=2이므로
'ß2k-1=2, 2k-1=4
4 k=;2%;
4 (f@(g@f )-1@f )(2)=g-1(2)=;2%;
7 무리함수 059
2 공에 적힌 수가 7의 배수인 경우는
7, 14, 21, 28의 4가지
1, 2는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는 합의
법칙에 의하여
5+4=9
⑸ 세 개의 주사위에서 나온 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면
1 세 눈의 수의 합이 4인 경우는
2 12
3 8
180 쪽~181쪽
(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)의 3가지
2 세 눈의 수의 합이 3인 경우는
(1, 1, 1)의 1가지
1 3의 배수는 3, 6, 9이고, 5의 배수는 5, 10이므로 구하는 경우의 수
1, 2는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는 합의
는 합의 법칙에 의하여
3+2=5
법칙에 의하여
3+1=4
2 햄버거가 4종류이고, 그 각각에 대하여 선택하는 음료수가 3종류
이므로 구하는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여
2 ⑴ 중학생 한 명을 뽑는 방법은 8가지이고, 그 각각에 대하여 고등
학생 한 명을 뽑는 방법은 7가지이므로 구하는 방법의 수는 곱
8
| 경우의 수
1
경우의 수
개념 확인
1 5
4_3=12
4_2=8
3 상의가 4가지이고, 그 각각에 대하여 입는 하의가 2가지이므로 구
⑵ 자음이 3가지이고, 그 각각에 대하여 짝 지을 수 있는 모음이 4
하는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여
가지이므로 만들 수 있는 글자의 수는 곱의 법칙에 의하여
의 법칙에 의하여
8_7=56
3_4=12
3_3=9
3_5=15
⑶ 나온 눈의 수의 곱이 홀수이려면 (홀수)_(홀수)이어야 하고
홀수는 1, 3, 5이므로 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여
⑷ 십의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 3, 6, 9의 3개이고, 일의 자
리의 숫자가 될 수 있는 것은 1, 3, 5, 7, 9의 5개이므로 구하는
| 182쪽 |
자연수의 개수는 곱의 법칙에 의하여
⑸ 커피를 고르는 방법은 6가지, 생과일주스를 고르는 방법은 4가
지, 조각 케이크를 고르는 방법은 5가지이므로 구하는 방법의
수는 곱의 법칙에 의하여
6_4_5=120
STEP
1
개념 드릴
1 ⑴ 9 ⑵ 6 ⑶ 9 ⑷ 9 ⑸ 4
2 ⑴ 56 ⑵ 12 ⑶ 9 ⑷ 15 ⑸ 120
1 ⑴ 합의 법칙에 의하여 3+4+2=9
⑵ 1 카드에 적힌 수가 소수인 경우는
2 카드에 적힌 수가 4의 배수인 경우는
2, 3, 5, 7의 4가지
4, 8의 2가지
1, 2는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는 합의
법칙에 의하여
4+2=6
STEP
2
필수 유형
| 183쪽~188쪽 |
01-1 13
|해결 전략 | 동시에 일어나지 않는 두 사건 A, B가 일어나는 경우의 수가 각각
⑶ 두 개의 주사위에서 나온 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면
m, n일 때, 사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수는 m+n이다.
1 두 눈의 수의 합이 7인 경우는
두 개의 주머니에서 꺼낸 공에 적힌 수를 순서쌍으로 나타내면
(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)의 6가지
1 공에 적힌 수의 차가 0인 경우는
2 두 눈의 수의 합이 10인 경우는
(4, 6), (5, 5), (6, 4)의 3가지
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)의 5가지
2 공에 적힌 수의 차가 1인 경우는
1, 2는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는 합의
(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 4), (4, 3), (3, 2), (2, 1)의
1, 2는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는 합의 법칙
법칙에 의하여
6+3=9
⑷ 1 공에 적힌 수가 6의 배수인 경우는
6, 12, 18, 24, 30의 5가지
060 정답과 해설
8가지
에 의하여
5+8=13
01-2 47
|해결 전략 | 두 사건 A, B가 일어나는 경우의 수가 각각 m, n이고, 두 사건 A,
100원짜리, 500원짜리, 1000원짜리 학용품을 각각 x개, y개, z개 산
다고 할 때, 그 금액의 합이 4000원이므로
B가 동시에 일어나는 경우의 수가 l일 때, 사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우
100x+500y+1000z=4000
의 수는 m+n-l이다.
카드에 적힌 수가 3의 배수인 경우는
3, 6, 9, …, 99의 33가지
카드에 적힌 수가 5의 배수인 경우는
5, 10, 15, …, 100의 20가지
∴ x+5y+10z=40
…… ㉠
이때, 3종류의 학용품을 적어도 하나씩 사야 하므로 x, y, z는 x>1,
y>1, z>1인 자연수이다.
따라서 구하는 방법의 수는 방정식 ㉠을 만족시키는 세 자연수 x, y, z
의 순서쌍 (x, y, z)의 개수와 같다.
카드에 적힌 수가 3과 5의 최소공배수인 15의 배수인 경우는
㉠에서 z의 계수의 절댓값이 가장 크므로 z가 될 수 있는 자연수를 구
15, 30, 45, 60, 75, 90의 6가지
하면
따라서 구하는 경우의 수는 33+20-6=47
10z<40에서 z=1 또는 z=2 또는 z=3
주어진 부등식에서 x의 계수의 절댓값이 더 크므로 x가 될 수 있
는 자연수를 구하면
⑵ (a+b)€(x+y)‹=(a€+2ab+b€)(x‹+3x€y+3xy€+y‹)에서
a€, 2ab, b€ 중 어느 하나를 택하면 그 각각에 대하여 x‹, 3x€y,
3xy€, y‹의 4가지 중 하나를 선택할 수 있으므로 구하는 항의 개
2x<10에서 x=1 또는 x=2 또는 x=3 또는 x=4
수는 곱의 법칙에 의하여
02-1 ⑴ 9 ⑵ 16
|해결 전략 | 계수의 절댓값이 가장 큰 문자부터 값을 정한다.
⑴ x, y, z가 음이 아닌 정수이므로 x>0, y>0, z>0
주어진 방정식에서 z의 계수의 절대값이 가장 크므로 z가 될 수 있
는 음이 아닌 정수를 구하면
4z<9에서 z=0 또는 z=1 또는 z=2
1 z=0일 때, x+2y=9이므로 순서쌍 (x, y)는
(9, 0), (7, 1), (5, 2), (3, 3), (1, 4)의 5개
2 z=1일 때, x+2y=5이므로 순서쌍 (x, y)는
(5, 0), (3, 1), (1, 2)의 3개
3 z=2일 때, x+2y=1이므로 순서쌍 (x, y)는
(1, 0)의 1개
따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는
5+3+1=9
⑵ x, y가 자연수이므로 x>1, y>1
1 x=1일 때, y<8이므로 y는
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7의 7가지
2 x=2일 때, y<6이므로 y는
1, 2, 3, 4, 5의 5가지
3 x=3일 때, y<4이므로 y는
4 x=4일 때, y<2이므로 y는
1, 2, 3의 3가지
1의 1가지
따라서 구하는 순서쌍 (x, y)의 개수는
7+5+3+1=16
1 z=1일 때, x+5y=30이므로 순서쌍 (x, y)는
(25, 1), (20, 2), (15, 3), (10, 4), (5, 5)의 5개
2 z=2일 때, x+5y=20이므로 순서쌍 (x, y)는
(15, 1), (10, 2), (5, 3)의 3개
3 z=3일 때, x+5y=10이므로 순서쌍 (x, y)는
(5, 1)의 1개
따라서 구하는 방법의 수는
5+3+1=9
03-1 ⑴ 24 ⑵ 12
|해결 전략 | 곱의 법칙을 이용하여 서로 다른 항의 개수를 구한다.
⑴ (a+b)(p+q+r+s)(x+y+z)에서
a, b 중 어느 하나를 택하면 그 각각에 대하여 p, q, r, s의 4가지
중 하나를 선택할 수 있고, 또 그 각각에 대하여 x, y, z의 3가지
중 하나를 선택할 수 있으므로 구하는 항의 개수는 곱의 법칙에
의하여
2_4_3=24
3_4=12
LECTURE
⑵에서 주어진 식을 (a+b)(a+b)(x+y)(x+y)(x+y)로 변형하면
각 항이 모두 다른 문자가 아니므로 곱의 법칙을 바로 적용할 수 없다.
하지만 주어진 식을 (a€+2ab+b€)(x‹+3x€y+3xy€+y‹)으로 변형
하면 각 항이 모두 다른 문자이므로 바로 곱의 법칙을 적용하여 서로 다
른 항의 개수를 구할 수 있다.
03-2 3
p
b
|해결 전략 | 자연수 N=a
의 약수의 개수는 (p+1)(q+1)(r+1)이다.
2›_3x_5€의 양의 약수의 개수는
q
r
(a, b, c는 서로 다른 소수, p, q, r는 자연수)의 양
c
8 경우의 수 061
02-2 9
|해결 전략 | 100원짜리, 500원짜리, 1000원짜리 학용품을 각각 x개, y개, z개 산
다고 하고 방정식을 세운다.
(4+1)(x+1)(2+1)
즉, 15(x+1)=60에서
x+1=4
∴ x=3
1 a-b의 경우: 남은 것은 a, c 두 개이므로 a-c와 c-a 둘 다 가
는 합의 법칙에 의하여 4+6=10이다.
마찬가지로 B지점에서 A지점으로 가는 방법의 수도 10이므로 구하는 방법
2 a-c의 경우: 남은 것은 a, b 두 개이므로 a-b와 b-a 둘 다 가
의 수는 곱의 법칙에 의하여
10_10=100
1 A → C → B → C → A로 가는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여
2 A → D → B → D → A로 가는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여
3 A → C → B → D → A로 가는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여
4 A → D → B → C → A로 가는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여
1~4는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 방법의 수는 합의 법칙
2_2_2_2=16
3_2_2_3=36
2_2_2_3=24
3_2_2_2=24
에 의하여
다른 풀이
16+36+24+24=100
1 A → C → B로 가는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여 2_2=4
2 A → D → B로 가는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여 3_2=6
1, 2는 동시에 일어날 수 없으므로 A지점에서 B지점으로 가는 방법의 수
04-1 2
|해결 전략 | 수형도를 이용하여 경우의 수를 구한다.
a¡+1, a™+2, a£+3인 경우는 다음과 같다.
Ba¡
Ba™
Ba£
2 ba 3 ba 1
3 ba 1 ba 2
따라서 구하는 자연수의 개수는 2이다.
04-2 6
|해결 전략 | a, b, c를 각각 가지의 시작으로 수형도를 그린다.
a, b, c를 각각 가지의 시작으로 a 뒤에는 b와 c가, b 뒤에는 a와 c가,
그리고 c 뒤에는 a와 b가 각각 올 수 있다.
a
b
c
b
a
c
c
a
b
능하다.
능하다.
가능하다.
가능하다.
3 b-a의 경우: 남은 것은 a, c 두 개이고 같은 문자끼리는 이웃할
수 없으므로 c-a만 가능하다.
4 b-c의 경우: 남은 것은 a, a이고 이것은 이웃할 수 없으므로 불
5 c-a의 경우: 남은 것은 a, b 두 개이고 같은 문자끼리는 이웃할
수 없으므로 b-a만 가능하다.
6 c-b의 경우: 남은 것은 a, a이고 이것은 이웃할 수 없으므로 불
b
a
a aa c ⇨ abac
c aa a ⇨ abca
a aa b ⇨ acab
b aa a ⇨ acba
b aa a aa c aa a ⇨ baca
c aa a aa b aa a ⇨ caba
c
따라서 구하는 경우의 수는 6이다.
05-1 26
|해결 전략 | B도시를 먼저 지나고 C도시를 지날 때와 C도시를 먼저 지나고 B도
시를 지날 때로 나누어 생각한다.
1 A → B → C → D로 가는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여
2 A → C → B → D로 가는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여
06-1 48
|해결 전략 | 이웃하는 영역이 가장 많은 영역부터 칠한다.
B에 칠할 수 있는 색 ➡ 4가지
C에 칠할 수 있는 색 ➡ 4-1=3(가지)
A에 칠할 수 있는 색 ➡ 4-2=2(가지)
D에 칠할 수 있는 색 ➡ 4-2=2(가지)
B에 칠한 색 제외
B와 C에 칠한 색 제외
B와 C에 칠한 색 제외
따라서 구하는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여
4_3_2_2=48
06-2 540
|해결 전략 | 이웃하는 영역이 가장 많은 영역부터 칠한다.
A에 칠할 수 있는 색 ➡ 5가지
B에 칠할 수 있는 색 ➡ 5-1=4(가지)
D에 칠할 수 있는 색 ➡ 5-2=3(가지)
E에 칠할 수 있는 색 ➡ 5-2=3(가지)
A에 칠한 색 제외
A와 B에 칠한 색 제외
A와 C에 칠한 색 제외
A와 D에 칠한 색 제외
2_2_2=8
3_2_3=18
에 의하여
8+18=26
062 정답과 해설
1, 2는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 방법의 수는 합의 법칙
C에 칠할 수 있는 색 ➡ 5-2=3(가지)
05-2 100
|해결 전략 | C지점 또는 D지점만 지나서 A지점으로 돌아올 때와 C지점과 D지
따라서 구하는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여
점을 모두 한 번씩 지나 A지점으로 돌아올 때로 나누어 생각한다.
5_4_3_3_3=540
순열2
개념 확인
1 ⑴ 120 ⑵ 8
2 ⑴ 720 ⑵ 336
1 ⑴ §P£=6_5_4=120
⑵ 8P1=8
2 ⑴ 6!=6_5_4_3_2_1=720
⑵ 8P3=
8!
(8-3)!
=
8!
5!
=
8_7_6_5_4_3_2_1
5_4_3_2_1
=8_7_6=336
STEP
2
필수 유형
| 192쪽~198쪽 |
189쪽~190쪽
01-1 ⑴ 7 ⑵ 9
|해결 전략 | nPr=n(n-1)(n-2) … (n-r+1)임을 이용한다.
⑴ nP¢=20nP™에서
n(n-1)(n-2)(n-3)=20n(n-1)
n>4이므로 양변을 n(n-1)로 나누면
(n-2)(n-3)=20, n€-5n-14=0
(n+2)(n-7)=0
∴ n=7 (∵ n>4)
⑵ n+1P™+nP™=162에서
(n+1)n+n(n-1)=162
2n€-162=0, n€-81=0
(n+9)(n-9)=0
∴ n=9 (∵ n>2)
01-2 8
|해결 전략 | a : b=c : d이면 ad=bc이다.
nP£ : n-1P™=8 : 1에서 nP£=8n-1P™
n(n-1)(n-2)=8(n-1)(n-2)
n>3이므로 양변을 (n-1)(n-2)로 나누면
STEP
1
개념 드릴
1 ⑴ ∞P™ ⑵ ªP∞ ⑶ £ºP£º ⑷ ™∞P¢ ⑸ ¶P£
2 ⑴ 5040 ⑵ 120 ⑶ 360 ⑷ 420
3 ⑴ 7 ⑵ 5 ⑶ 3 ⑷ 4
1 ⑴ 서로 다른 5개에서 2개를 택하는 순열의 수와 같으므로 ∞P™
⑵ 서로 다른 9개에서 5개를 택하는 순열의 수와 같으므로 ªP∞
⑶ 서로 다른 30개에서 30개를 택하는 순열의 수와 같으므로 £ºP£º
⑷ 서로 다른 25개에서 4개를 택하는 순열의 수와 같으므로 ™∞P¢
⑸ 서로 다른 7개에서 3개를 택하는 순열의 수와 같으므로 ¶P£
2 ⑴ 7!=7_6_5_4_3_2_1=5040
⑵ 6!
3!
6_5_4_3_2_1
3_2_1
=120
=
⑶ §P¢=6_5_4_3=360
⑷ ¶P£_2!=(7_6_5)_(2_1)=420
3 ⑴ nP2=n(n-1)=42=7_6이므로
n=7
⑵ nP3=n(n-1)(n-2)=60=5_4_3이므로
n=5
⑶ ¢Pr=24=4_3_2이므로 r=3
⑷ §Pr=360=6_5_4_3이므로 r=4
n=8
이다.
| 191쪽 |
02-1 ⑴ 24 ⑵ 1320
|해결 전략 | 서로 다른 n개에서 r개를 택하여 일렬로 나열하는 방법의 수는 nPr
⑴ 4명을 일렬로 세우는 방법의 수와 같으므로
4!=4_3_2_1=24
⑵ 12개의 팀 중에서 3팀을 뽑아 일렬로 세우는 방법의 수와 같으므로
¡™P£=12_11_10=1320
02-2 7
|해결 전략 | 순열의 수를 이용하여 식을 세우고 210=7_6_5임을 이용하여
n의 값을 구한다.
서로 다른 n권의 책 중에서 3권을 뽑아 책꽂이에 일렬로 꽂는 방법의
수는 서로 다른 n개에서 3개를 택하는 순열의 수와 같으므로
nP£=210, n(n-1)(n-2)=7_6_5
∴ n=7
03-1 ⑴ 240 ⑵ 480
|해결 전략 | ⑴ 이웃하는 것을 하나로 묶어서 생각한다. 이때, 묶음 안의 순서도
고려한다.
⑵ 이웃해도 되는 것을 먼저 나열하고, 그 사이사이와 양 끝에 이웃하지 않아야 하
는 것을 나열하는 경우의 수를 구한다.
8 경우의 수 063
⑴ 영어책 2권을 한 권으로 생각하여 5권을 일렬로 꽂는 방법의 수는
이때, o와 n이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는
5!=5_4_3_2_1=120
영어 영어
수학 수학 수학 수학
그 각각에 대하여 영어책끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는
2!=2_1=2
따라서 구하는 방법의 수는
120_2=240
⑵ 수학책 4권을 책꽂이에 꽂는 방법의 수는
4!=4_3_2_1=24
2!=2_1=2
따라서 구하는 경우의 수는
12_6_2=144
04-2 288
|해결 전략 | 양 끝에 자음을 먼저 나열한 후 그 사이에 나머지 문자를 나열한다.
자음 g, r, n, d 중에서 2개를 택하여 양 끝에 나열하는 경우의 수는
¢P™=4_3=12
양 끝의 자음을 제외한 나머지 4개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의
수학책 사이사이와 양 끝의 5개의 자리 중에서 2개의 자리에 영어
수는
수학
수학
수학
수학
4!=4_3_2_1=24
따라서 구하는 경우의 수는
12_24=288
책을 꽂는 방법의 수는
∞P™=5_4=20
따라서 구하는 방법의 수는
24_20=480
다른 풀이
의 수를 뺀 것과 같으므로
6!-240=720-240=480
면 된다.
수는
4!=4_3_2_1=24
따라서 구하는 방법의 수는
6_24=144
⑵ 영어책 2권이 서로 이웃하지 않게 꽂는 방법의 수는 수학책 4권과 영어책
5개의 숫자를 일렬로 나열하는 경우의 수는
2권을 꽂는 전체 방법의 수에서 영어책 2권이 서로 이웃하도록 꽂는 방법
5!=5_4_3_2_1=120
03-2 144
|해결 전략 | 어른 3명이 일렬로 서고, 그 사이사이와 양 끝에 어린이 4명을 세우
수는
3!=3_2_1=6
어른 3명이 일렬로 서는 방법의 수는 3!=3_2_1=6
어른 사이사이와 양 끝의 4개의 자
리에 어린이 4명을 세우는 방법의
어른
어른
어른
120-36=84
다른 풀이
05-1 84
|해결 전략 | 다섯 개의 숫자를 일렬로 나열하는 경우의 수에서 양 끝이 모두 홀수
인 경우의 수를 뺀다.
양 끝에 홀수 1, 3, 5 중에서 2개를 택하여 나열하는 경우의 수는
£P™=3_2=6
양 끝의 홀수를 제외한 나머지 숫자 3개를 일렬로 나열하는 경우의
양 끝이 모두 홀수인 경우의 수는 6_6=36
따라서 구하는 경우의 수는
1 왼쪽 끝이 짝수, 오른쪽 끝이 홀수인 경우의 수는
2_3_3!=2_3_6=36
2 왼쪽 끝이 홀수, 오른쪽 끝이 짝수인 경우의 수는
3_2_3!=3_2_6=36
3 양 끝이 모두 짝수인 경우의 수는
™P™_3!=2_6=12
1, 2, 3에서 구하는 경우의 수는 36+36+12=84
04-1 ⑴ 24 ⑵ 144
|해결 전략 | ⑴ o와 e를 먼저 나열한다.
⑵ o와 n 사이에 2개의 문자를 나열한 후 이를 한 묶음으로 생각한다.
05-2 432
|해결 전략 | 여섯 개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수에서 양 끝이 모두 자음
⑴ o로 시작하여 e로 끝나는 경우는 o와 e를
o
e
인 경우의 수를 뺀다.
제외한 나머지 4개의 문자를 o와 e 사이
에 일렬로 나열하는 경우와 같으므로 구하는 경우의 수는
6개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는
6!=6_5_4_3_2_1=720
4!=4_3_2_1=24
⑵ o와 n을 제외한 나머지 4개의 문자
중에서 2개를 택하여 o와 n 사이에
일렬로 나열하는 경우의 수는
¢P™=4_3=12
o
o
n
n
양 끝에 자음 x, p, r, t 중에서 2개를 택하여 나열하는 경우의 수는
¢P™=4_3=12
양 끝의 자음을 제외한 나머지 문자 4개를 일렬로 나열하는 경우의
o ☐☐ n 을 한 문자로 생각하고, 3개의 문자를 일렬로 나열하는
양 끝이 모두 자음인 경우의 수는 12_24=288
수는
4!=4_3_2_1=24
따라서 구하는 경우의 수는
720-288=432
경우의 수는
3!=3_2_1=6
064 정답과 해설
다른 풀이
1 왼쪽 끝이 자음, 오른쪽 끝이 모음인 경우의 수는
4_2_4!=4_2_24=192
2 왼쪽 끝이 모음, 오른쪽 끝이 자음인 경우의 수는
2_4_4!=2_4_24=192
3 양 끝이 모두 모음인 경우의 수는
™P™_4!=2_24=48
1, 2, 3에서 구하는 경우의 수는 192+192+48=432
a ☐ ☐ ☐ 꼴인 문자열의 개수 ➡ 3!=6
h☐ ☐ ☐ 꼴인 문자열의 개수 ➡ 3!=6
이때, math는 ma☐ ☐ 꼴에서 두 번째에 오는 문자열이므로
6+6+2=14(번째)
에 오는 문자열이다.
07-2 84
|해결 전략 | 2 4☐ ☐ ☐ 꼴인 자연수부터 5☐ ☐ ☐ ☐ 꼴인 자연수까지의 배열
06-1 ⑴ 156 ⑵ 108
|해결 전략 | ⑴ 일의 자리의 숫자가 0인 경우와 2 또는 4인 경우로 나누어 생각
을 생각한다.
한다.
⑵ 일의 자리의 숫자가 0인 경우와 5인 경우로 나누어 생각한다.
2 4☐ ☐ ☐ 꼴인 자연수의 개수 ➡ 3!=6
2 5 ☐ ☐ ☐ 꼴인 자연수의 개수 ➡ 3!=6
⑴ 짝수는 일의 자리의 숫자가 0, 2, 4이므로 ☐ ☐ ☐0, ☐ ☐ ☐2,
3☐ ☐ ☐ ☐ 꼴인 자연수의 개수 ➡ 4!=24
4☐ ☐ ☐ ☐ 꼴인 자연수의 개수 ➡ 4!=24
5☐ ☐ ☐ ☐ 꼴인 자연수의 개수 ➡ 4!=24
천의 자리, 백의 자리, 십의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수는 1,
따라서 24000보다 큰 자연수의 개수는
2, 3, 4, 5의 5개의 숫자 중에서 3개를 택하여 일렬로 나열하는
6+6+24+24+24=84
☐ ☐ ☐4 꼴이다.
1 ☐ ☐ ☐0 꼴
순열의 수와 같으므로
∞P£=5_4_3=60
2 ☐ ☐ ☐2, ☐ ☐ ☐4 꼴
⑵ 5의 배수는 일의 자리의 숫자가 0, 5이므로 ☐ ☐ ☐0 , ☐ ☐ ☐5
199쪽~200쪽
천의 자리에 올 수 있는 숫자는 0과 일의
자리에 온 숫자를 제외한 4개의 숫자 중
하나이고, 그 각각에 대하여 백의 자리,
십의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수는
천 백 십
2
¢P™(cid:28)4
나머지 4개의 숫자 중에서 2개를 택하여 일렬로 나열하는 순열
의 수 ¢P™와 같으므로
2_4_¢P™=96
1, 2에서 구하는 짝수의 개수는
60+96=156
꼴이다.
1 ☐ ☐ ☐0 꼴
순열의 수와 같으므로
∞P£=5_4_3=60
2 ☐ ☐ ☐5 꼴
천의 자리, 백의 자리, 십의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수는 1,
2, 3, 4, 5의 5개의 숫자 중에서 3개를 택하여 일렬로 나열하는
조합3
개념 확인
1 ⑴ 10 ⑵ 4 ⑶ 4 ⑷ 35
2 ⑴ 15 ⑵ 28 ⑶ 6 ⑷ 20
1 ⑴ ∞C™=
=
5_4
2_1
=10
⑵ ¢C£=
=
4_3_2
3_2_1
=4
∞P™
2!
¢P£
3!
¢P¡
1!
¶P¢
4!
천의 자리에 올 수 있는 숫자는 0과 5를 제외한 4개의 숫자 중
⑶ ¢C¡=
=4
하나이고, 그 각각에 대하여 백의 자리, 십의 자리에 올 수 있는
숫자의 개수는 나머지 4개의 숫자 중에서 2개를 택하여 일렬로
⑷ ¶C¢=
=
7_6_5_4
4_3_2_1
=35
나열하는 순열의 수 ¢P™와 같으므로
4_¢P™=48
60+48=108
1, 2에서 구하는 5의 배수의 개수는
07-1 14번째
|해결 전략 | a☐☐☐ 꼴인 문자열부터 ma☐☐ 꼴인 문자열까지의 배열을 생
각한다.
2 ⑴ §C¢=§C™=
§P™
2!
⑵ 8C§=8C™= 8P™
2!
=
6_5
2_1
=15
=
8_7
2_1
=28
⑶ £C™+£C¡=¢C™=
⑷ ∞C£+∞C™=§C£=
¢P™
2!
§P£
3!
=
4_3
2_1
=6
=
6_5_4
3_2_1
=20
8 경우의 수 065
STEP
1
개념 드릴
| 201쪽 |
STEP
2
필수 유형
| 202쪽~208쪽 |
1 ⑴ ¡ºC¢ ⑵ ¶C™ ⑶ ¡™C£_¡£C™ ⑷ §C¡_¢C™ ⑸ ¢C¡_£C¡_§C¢
2 ⑴ 21 ⑵ 1 ⑶ 1 ⑷ 7 ⑸ 35 ⑹ 84
3 ⑴ 7 ⑵ 11 ⑶ 4
01-1 12
|해결 전략 | 조합의 수를 식으로 나타낸다.
n+2Cn=n+2Cn+2-n=n+2C™,
n+1Cn-1=n+1Cn+1-(n-1)=n+1C™이므로
1 ⑴ 서로 다른 10개에서 4개를 택하는 조합의 수와 같으므로 ¡ºC¢
⑵ 서로 다른 7개에서 2개를 택하는 조합의 수와 같으므로 ¶C™
⑶ 남학생 12명 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는 ¡™C£
n+2Cn+n+1Cn-1=169, 즉 n+2C2+n+1C™=169에서
(n+2)(n+1)
2_1
+
(n+1)n
2_1
=169
여학생 13명 중에서 2명을 뽑는 방법의 수는 ¡£C™
(n+2)(n+1)+n(n+1)=338
따라서 구하는 방법의 수는 ¡™C£_¡£C™
n€+3n+2+n€+n=338
⑷ 빨간색 공 6개 중에서 1개를 뽑는 방법의 수는 §C¡
n€+2n+1=169, (n+1)€=169
파란색 공 4개 중에서 2개를 뽑는 방법의 수는 ¢C™
n+1=13 (∵ n+1>2)
따라서 구하는 방법의 수는 §C¡_¢C™
∴ n=12
⑸ 볼펜 4자루 중에서 1자루를 뽑는 방법의 수는 ¢C¡
연필 3자루 중에서 1자루를 뽑는 방법의 수는 £C¡
샤프 6자루 중에서 4자루를 뽑는 방법의 수는 §C¢
따라서 구하는 방법의 수는 ¢C¡_£C¡_§C¢
2 ⑴ ¶C™=
¶P™
2!
=
7_6
2_1
=21
⑵ ¡™Cº=1
⑶ 8C8=1
⑷ ¶C§=¶C¡=7
⑸ §C¢+§C£=¶C¢=¶C£=
¶P£
3!
=
7_6_5
3_2_1
=35
⑹ 8C£+8C™=ªC£=
ªP£
3!
=
9_8_7
3_2_1
=84
3 ⑴ nC2=21에서
n(n-1)
2_1
=21, n(n-1)=42
이때, 42=7_6이므로 n=7
=165, n(n-1)(n-2)=990
이때, 990=11_10_9이므로 n=11
⑵ nC3=165에서
n(n-1)(n-2)
3_2_1
⑶ 8Cr=70에서
8!
r!(8-r)!
=70, 70_r!(8-r)!=8!
7_5_2_r!(8-r)!=8_7_6_5_4_3_2_1
r!(8-r)!=8_6_4_3_1
r!(8-r)!=(4_3_2_1)_(4_3_2_1)
∴ r=4
066 정답과 해설
01-2 8
|해결 전략 | 조합의 수와 순열의 수를 식으로 나타낸다.
nC™+n+1C£=2nP™에서
n(n-1)
2_1
+
(n+1)n(n-1)
3_2_1
=2n(n-1)
n>2이므로 양변을 n(n-1)로 나누면
=2, 3+n+1=12
n+1
6
;2!;+
∴ n=8
02-1 360
|해결 전략 | n명 중에서 r명을 뽑는 방법의 수는 nCr이다.
10명 중에서 회장 1명을 뽑는 방법의 수는
¡ºC¡=10
회장 1명을 제외한 나머지 9명 중에서 부회장 2명을 뽑는 방법의 수는
ªC™=
9_8
2_1
=36
따라서 구하는 방법의 수는
10_36=360
한다.
§C™=
6_5
2_1
=15
¢C™=
4_3
2_1
=6
따라서 구하는 방법의 수는
15+6=21
02-2 21
|해결 전략 | 모두 남학생을 뽑는 방법의 수와 모두 여학생을 뽑는 방법의 수를 구
남학생 6명 중에서 2명의 대표를 뽑는 방법의 수는
여학생 4명 중에서 2명의 대표를 뽑는 방법의 수는
03-1 ⑴ 1 ⑵ 10
|해결 전략 | ⑵ 서로 다른 n개에서 r개를 뽑을 때, 특정한 k개가 포함되지 않는 경
우의 수는 (n-k)개에서 r개를 뽑는 경우의 수와 같다.
⑴ A, B, C가 모두 포함되는 경우의 수는 1
2 농구 동아리 학생 5명 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는
⑵ A, B, C를 제외한 나머지 5명 중에서 3명을 뽑으면 되므로 구하
∞C£=∞C™=
=10
5_4
2_1
는 경우의 수는
∞C£=∞C™=
5_4
2_1
=10
참고
서로 다른 n개에서 r개를 뽑을 때
❶ 특정한 k개를 포함하여 뽑는 방법의 수 ➡ n-kCr-k
❷ 특정한 k개를 제외하고 뽑는 방법의 수 ➡ n-kCr
1, 2에서 야구 동아리에 가입한 학생만 3명을 뽑거나 농구 동아리
에 가입한 학생만 3명을 뽑는 방법의 수는
84+10=94
따라서 구하는 방법의 수는
364-94=270
05-1 960
|해결 전략 | 4권의 책을 뽑는 방법의 수와 일렬로 꽂는 방법의 수를 구한다.
03-2 15
|해결 전략 | A는 포함되므로 나머지 9명 중에서 B, C, D가 포함되지 않게 2명
A를 먼저 뽑고, B, C, D를 제외한 나머지 6명 중에서 2명을 뽑으면
을 뽑는다.
되므로 구하는 경우의 수는
§C™=
6_5
2_1
=15
5권의 소설책 중에서 3권을 뽑는 방법의 수는
∞C£=∞C™=
5_4
2_1
=10
4권의 시집 중에서 1권을 뽑는 방법의 수는
¢C¡=4
뽑힌 4권을 일렬로 꽂는 방법의 수는
04-1 74
|해결 전략 | 전체 경우의 수에서 모두 소수가 아닌 카드를 뽑는 경우의 수를 뺀다.
9장의 카드 중에서 3장을 뽑는 경우의 수는
서로 다른 n개에서 r개, 서로 다른 k개에서 l개를 뽑아 일렬로 나열하는 방법
소수가 아닌 수, 즉 1, 4, 6, 8, 9의 숫자가 적힌 5장의 카드 중에서 3장
ªC£=
9_8_7
3_2_1
=84
을 뽑는 경우의 수는
∞C£=∞C™=
5_4
2_1
=10
따라서 구하는 경우의 수는
84-10=74
다른 풀이
소수 2, 3, 5, 7이 적힌 카드 4장, 소수가 아닌 수 1, 4, 6, 8, 9가 적힌 카드 5장
중에서 소수가 적힌 카드를 적어도 1장 뽑는 경우는
1 소수가 적힌 카드 1장, 소수가 아닌 수가 적힌 카드 2장을 뽑는 경우
2 소수가 적힌 카드 2장, 소수가 아닌 수가 적힌 카드 1장을 뽑는 경우
¢C¡_∞C™=4_
=40
5_4
2_1
¢C™_∞C¡=
_5=30
4_3
2_1
3 소수가 적힌 카드 3장을 뽑는 경우 ¢C£=¢C¡=4
1, 2, 3에서 구하는 경우의 수는
40+30+4=74
4!=4_3_2_1=24
따라서 구하는 방법의 수는
10_4_24=960
참고
의 수 ➡ nCr_kCl_(r+l)!
법의 수는
§C™=
6_5
2_1
=15
수는 2!이므로
3!_2!=12
따라서 구하는 방법의 수는
15_12=180
05-2 180
|해결 전략 | A, B를 이미 뽑았다고 생각하고 나머지 6명 중에서 2명을 뽑는다.
A, B를 이미 뽑았다고 생각하고 나머지 6명 중에서 2명을 뽑는 방
A, B를 한 사람으로 생각하여 3명을 일렬로 세우는 방법의 수는 3!
이고, 그 각각의 경우에 대하여 A, B가 서로 자리를 바꾸는 방법의
06-1 17
|해결 전략 | 일직선 위에 있는 점 중에서 2개의 점을 이어 만드는 직선은 모두 같
은 직선이다.
8개의 점 중에서 2개를 택하는 방법의 수는
04-2 270
|해결 전략 | 야구 동아리 학생만 뽑는 방법의 수와 농구 동아리 학생만 뽑는 방법
8C™=
8_7
2_1
=28
의 수를 구하여 전체 방법의 수에서 뺀다.
일직선 위에 있는 3개의 점 중에서 2개를 택하는 방법의 수는
전체 14명의 학생 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는
1 야구 동아리 학생 9명 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는
¡¢C£=
14_13_12
3_2_1
=364
ªC£=
9_8_7
3_2_1
=84
일직선 위에 있는 5개의 점 중에서 2개를 택하는 방법의 수는
£C™=£C¡=3
∞C™=
5_4
2_1
=10
이때, 일직선 위에 있는 점으로 만들 수 있는 직선은 1개뿐이므로 구
하는 직선의 개수는 28-3-10+1+1=17
8 경우의 수 067
06-2 72
|해결 전략 | 일직선 위에 있는 점들로는 삼각형이 만들어지지 않는다.
1-2 30
|해결 전략 | 2의 배수이면서 5의 배수인 수는 10의 배수이다.
9개의 점 중에서 3개의 점을 택하는 방법의 수는
카드에 적힌 수가 2의 배수인 경우는
세로로 그어진 6개의 평행선에서 2개를 택하는 방법의 수는
주어진 방정식에서 x의 계수의 절댓값이 가장 크므로 x가 될 수 있는
ªC£=
9_8_7
3_2_1
=84
¢C£=¢C¡=4
일직선 위에 있는 4개의 점 중에서 3개의 점을 택하는 방법의 수는
이때, 일직선 위에 4개의 점이 있는 경우는 3가지이므로 구하는 삼각
형의 개수는 84-3_4=72
07-1 90
|해결 전략 | m개의 평행선과 이와 평행하지 않은 n개의 평행선으로 만들 수 있는
평행사변형의 개수는 mC™_nC™이다.
가로로 그어진 4개의 평행선에서 2개를 택하는 방법의 수는
¢C™=
4_3
2_1
=6
§C™=
6_5
2_1
=15
따라서 구하는 평행사변형의 개수는 6_15=90
07-2 ⑴ 36 ⑵ 22
|해결 전략 | ⑵ 가로선과 세로선 사이의 간격을 1이라 하면 한 변의 길이가 1, 2, 3
인 정사각형이 만들어진다.
⑴ 가로선 4개 중 2개, 세로선 4개 중 2개를 택하면 하나의 직사각형
이 만들어지므로 구하는 직사각형의 개수는
¢C™_¢C™=
4_3
2_1
_
4_3
2_1
=36
⑵ 가로선과 세로선 사이의 간격이 일정하므로 간
1
격을 1이라 하면 이 선들로 한 변의 길이가 1,
1
2, 3인 정사각형이 각각 9개, 4개, 1개 만들어
진다.
따라서 정사각형의 개수는 9+4+1=14이므
로 정사각형이 아닌 직사각형의 개수는
36-14=22
2, 4, 6, …, 50의 25가지
카드에 적힌 수가 5의 배수인 경우는
5, 10, 15, …, 50의 10가지
10, 20, 30, 40, 50의 5가지
따라서 구하는 경우의 수는
25+10-5=30
카드에 적힌 수가 2와 5의 최소공배수인 10의 배수인 경우는
2-1 12
|해결 전략 | x의 값이 1, 2, 3, 4일 때로 각각 나누어 생각한다.
x, y, z가 자연수이므로 x>1, y>1, z>1
자연수를 구하면
3x<15에서 x=1 또는 x=2 또는 x=3 또는 x=4
1 x=1일 때, y+2z=12이므로 순서쌍 (y, z)는
(10, 1), (8, 2), (6, 3), (4, 4), (2, 5)의 5개
2 x=2일 때, y+2z=9이므로 순서쌍 (y, z)는
(7, 1), (5, 2), (3, 3), (1, 4)의 4개
3 x=3일 때, y+2z=6이므로 순서쌍 (y, z)는
(4, 1), (2, 2)의 2개
4 x=4일 때, y+2z=3이므로 순서쌍 (y, z)는
따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는
(1, 1)의 1개
5+4+2+1=12
LECTURE
면 다음과 같다.
3x
+
x, y, z를 기준으로 할 때, 각각 몇 가지 경우로 나누어야 하는지 따져 보
y
+
2z
=
15
x가 기준이면
x=1, 2, 3, 4
즉, 4가지 경우에
대하여 y, z의
값을 찾는다.
y가 기준이면
y=1, 2, …, 14
즉, 14가지 경우에
대하여 x, z의
값을 찾는다.
z가 기준이면
z=1, 2, …, 7
즉, 7가지 경우에
대하여 x, y의
값을 찾는다.
각각의 미지수에
대하여 최대
14가지 경우가
있음을 알 수
있다.
STEP
3
유형 드릴
| 209쪽~212쪽 |
즉, 여러 미지수 중에서 계수의 절댓값이 가장 큰 미지수의 값을 먼저 정
하여 푸는 것이 간편하다.
1-1 6
|해결 전략 | 두 눈의 수의 합이 6의 배수인 경우는 6 또는 12이다.
두 눈의 수의 합이 6의 배수가 되는 경우는 다음과 같다.
1 눈의 수의 합이 6인 경우는
2-2 20
|해결 전략 | y의 값이 0, 1, 2, 3일 때로 각각 나누어 생각한다.
(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)의 5가지
x, y가 음이 아닌 정수이므로 x>0, y>0
주어진 부등식에서 y의 계수의 절댓값이 더 크므로 y가 될 수 있는
1, 2는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는 합의 법칙
2y<7에서 y=0 또는 y=1 또는 y=2 또는 y=3
음이 아닌 정수를 구하면
1 y=0일 때, x<7이므로 x는
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7의 8가지
2 눈의 수의 합이 12인 경우는
(6, 6)의 1가지
에 의하여
5+1=6
068 정답과 해설
2 y=1일 때, x<5이므로 x는
0, 1, 2, 3, 4, 5의 6가지
3 y=2일 때, x<3이므로 x는
0, 1, 2, 3의 4가지
4 y=3일 때, x<1이므로 x는
0, 1의 2가지
따라서 구하는 순서쌍 (x, y)의 개수는
8+6+4+2=20
3 A → C → B → A로 가는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여
4 A → B → C → B → A로 가는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여
1~4는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 방법의 수는 합의 법칙
2_2_3=12
3_2_2_3=36
에 의하여
4+12+12+36=64
3-1 9
|해결 전략 | 곱의 법칙을 이용하여 서로 다른 항의 개수를 구한다.
(a+b)€(x+y+z)=(a€+2ab+b€)(x+y+z)에서 a€, 2ab, b€
중 어느 하나를 택하면 그 각각에 대하여 x, y, z의 3가지 중 하나를
선택할 수 있으므로 구하는 항의 개수는 곱의 법칙에 의하여
5-1 48
|해결 전략 | 이웃하는 영역이 가장 많은 영역부터 칠한다.
B에 칠할 수 있는 색 ➡ 4가지
A에 칠할 수 있는 색 ➡ 4-1=3(가지)
C에 칠할 수 있는 색 ➡ 4-2=2(가지)
D에 칠할 수 있는 색 ➡ 4-2=2(가지)
B에 칠한 색 제외
A와 B에 칠한 색 제외
B와 C에 칠한 색 제외
따라서 구하는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여
3_3=9
의하여
2_2=4
의 법칙에 의하여
2_3=6
4+6=10
3-2 10
|해결 전략 | 곱의 법칙과 합의 법칙을 이용하여 서로 다른 항의 개수를 구한다.
(a+b)(p-q)에서 a, b 중 어느 하나를 택하면 그 각각에 대하여 p,
4_3_2_2=48
-q의 2가지 중 하나를 선택할 수 있으므로 항의 개수는 곱의 법칙에
참고
B, C 모두 이웃하는 영역이 3개이므로 C를 먼저 칠해도 같은 방법의 수를 구
할 수 있다.
(c-d)(x+y+z)에서 c, -d 중 어느 하나를 택하면 그 각각에 대
하여 x, y, z의 3가지 중 하나를 선택할 수 있으므로 항의 개수는 곱
이때, 곱해지는 각 항이 모두 서로 다른 문자이므로 동류항은 없다.
따라서 구하는 항의 개수는 합의 법칙에 의하여
5-2 420
|해결 전략 | A, B, C, D, E 순으로 색을 칠할 때, E에 칠할 수 있는 색은 B와 D
에 칠한 색이 같은 경우와 서로 다른 경우에 따라 달라진다. 따라서 B, D에 같은 색
을 칠할 경우와 서로 다른 색을 칠할 경우로 나누어 생각한다.
4-1 12
|해결 전략 | A도시에서 출발하여 B도시를 지나 C도시로 갈 때와 D도시를 지나
C도시로 갈 때로 나누어 생각한다.
C에 칠할 수 있는 색 ➡ 5-2=3(가지)
1, 2는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 방법의 수는 합의 법칙
5_4_3_1_3=180
1 A → B → C로 가는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여
2 A → D → C로 가는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여
3_2=6
2_3=6
에 의하여 6+6=12
4-2 64
|해결 전략 | 갈 때와 돌아올 때 모두 B도시를 지나지 않을 때, 갈 때만 또는 돌아
올 때만 B도시를 지날 때, 갈 때와 돌아올 때 모두 B도시를 지날 때로 나누어 생
1 A → C → A로 가는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여
각한다.
2_2=4
3_2_2=12
1 B, D에 같은 색을 칠할 경우 (B=D)
A에 칠할 수 있는 색 ➡ 5가지
B에 칠할 수 있는 색 ➡ 5-1=4(가지)
A에 칠한 색 제외
A와 B에 칠한 색 제외
D에 칠할 수 있는 색 ➡ 1가지
E에 칠할 수 있는 색 ➡ 5-2=3(가지)
따라서 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여
A와 B(D)에 칠한 색 제외
2 B, D에 서로 다른 색을 칠할 경우 (B+D)
A에 칠할 수 있는 색 ➡ 5가지
B에 칠할 수 있는 색 ➡ 5-1=4(가지)
C에 칠할 수 있는 색 ➡ 5-2=3(가지)
D에 칠할 수 있는 색 ➡ 5-3=2(가지)
E에 칠할 수 있는 색 ➡ 5-3=2(가지)
A에 칠한 색 제외
A와 B에 칠한 색 제외
A와 B와 C에 칠한 색 제외
A와 B와 D에 칠한 색 제외
5_4_3_2_2=240
8 경우의 수 069
2 A → B → C → A로 가는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여
따라서 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여
1, 2는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 방법의 수는 합의 법칙
에 의하여 180+240=420
참고
주의
7-2 문제를
(6명을 일렬로 세우는 방법의 수)-(A와 B가 이웃하게 서는 방법의 수)
C, E에 같은 색을 칠할 경우와 C, E에 서로 다른 색을 칠할 경우로 나누어도
로 풀면 안 된다.
같은 방법의 수를 구할 수 있다.
왜냐하면 이 경우는 A가 맨 앞에 서는 조건을 생각하지 않았기 때문이다.
6-1 288
|해결 전략 | 이웃하는 것을 하나로 묶어서 생각한다. 이때, 묶음 안의 순서도 고
8-1 36
|해결 전략 | 모든 학생 중에서 반장, 부반장을 뽑는 경우의 수에서 반장, 부반장 모
려한다.
두 남학생이 뽑히는 경우의 수를 뺀다.
국어책 2권을 한 권으로, 영어책 3권을 한 권으로 생각하여 4권을 일
7명의 학생 중에서 반장 1명, 부반장 1명을 뽑는 경우의 수는
렬로 꽂는 방법의 수는
4!=4_3_2_1=24
국어 국어
영어 영어 영어 수학 수학
그 각각에 대하여
국어책 2권의 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2_1=2
영어책 3권의 자리를 바꾸는 방법의 수는 3!=3_2_1=6
따라서 구하는 방법의 수는
24_2_6=288
6-2 1440
|해결 전략 | 이웃해도 되는 것을 먼저 나열하고 그 사이사이와 양 끝에 이웃하지
않아야 하는 것을 나열한다.
¶P™=7_6=42
반장, 부반장 모두 남학생이 뽑히는 경우의 수는
£P™=3_2=6
따라서 구하는 경우의 수는
42-6=36
8-2 576
|해결 전략 | 모든 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수에서 a, b, c가 서로 이웃하지
않도록 나열하는 방법의 수를 뺀다.
6개의 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수는
6!=6_5_4_3_2_1=720
a, b, c를 제외한 나머지 3개의 문자를 나열하는 방법의 수는 3!=6
이고, 이 세 문자 사이사이와 양 끝의 4개의 자리 중에서 3개의 자리
홀수 1, 3, 5, 7을 일렬로 나열하는 방법의 수는
를 택하여 a, b, c를 나열하는 방법의 수는 ¢P£=24이므로 a, b, c가
홀
홀
홀
홀
서로 이웃하지 않도록 나열하는 방법의 수는
6_24=144
따라서 구하는 방법의 수는
720-144=576
4!=4_3_2_1=24
홀수 사이사이와 양 끝의 5개의 자리 중
에서 3개의 자리를 택하여 짝수를 나
열하는 방법의 수는
∞P£=5_4_3=60
따라서 구하는 방법의 수는
24_60=1440
7-1 20
|해결 전략 | j를 맨 앞에 두고 2개의 문자를 이어서 나열한다.
의 수는
∞P™=5_4=20
4_4!=96
070 정답과 해설
7-2 96
|해결 전략 | 두 번째에 학생 B를 세울 수 없음을 생각한다.
학생 A를 맨 앞에 세우고 B는 A와 이
A
웃하지 않게 세우는 경우는 두 번째에
B를 포함한 4명
학생 B를 제외한 4명 중 한 명을 세우
고, 나머지 4명을 일렬로 세우는 경우
B를 제외한
4명 중 1명
와 같으므로 구하는 방법의 수는
9-1 52
|해결 전략 | 일의 자리의 숫자가 0인 경우와 2 또는 4인 경우로 나누어 생각한다.
짝수는 일의 자리의 숫자가 0, 2, 4이므로 ☐ ☐0 , ☐ ☐2 , ☐☐4 꼴
이다.
1 ☐ ☐0 꼴
∞P™=5_4=20
2 ☐ ☐2 , ☐ ☐4 꼴
백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0과 일의 자리에 온 숫자를 제외한
4개의 숫자 중 하나이고, 그 각각에 대하여 십의 자리에 올 수 있
는 숫자는 4개이므로
2_4_4=32
1, 2에서 구하는 짝수의 개수는
20+32=52
9-2 36
|해결 전략 | 일의 자리의 숫자는 1 또는 3임을 생각한다.
맨 앞에 j가 오도록 나열하는 경우는 j를 제외한 나머지 5개의 문자
백의 자리, 십의 자리에는 1, 2, 3, 4, 5의 5개의 숫자 중에서 2개
중에서 2개를 택하여 일렬로 나열하는 경우와 같으므로 구하는 방법
를 택하여 나열하면 되므로
홀수는 일의 자리의 숫자가 1, 3이므로 ☐☐☐1 , ☐☐☐3 꼴이다.
천의 자리에 올 수 있는 숫자는 0과 일의 자리에 온 숫자를 제외한 3
개의 숫자 중 하나이고, 그 각각에 대하여 백의 자리, 십의 자리에 올
12-1 37
|해결 전략 | 원소의 개수가 1, 2, 3일 때로 나누어 생각한다.
1 원소의 개수가 1일 때, 부분집합의 개수는
수 있는 숫자는 나머지 3개의 숫자 중에서 2개를 택하여 나열하면 되
{1}의 1
므로 구하는 홀수의 개수는
2_3_£P™=36
2 원소의 개수가 2일 때, 1을 제외한 8개의 원소 중에서 1개를 택하
10-1 144
|해결 전략 | 45☐☐ 꼴인 자연수부터 6☐☐☐ 꼴인 자연수까지의 배열을 생
3 원소의 개수가 3일 때, 1을 제외한 8개의 원소 중에서 2개를 택하
10-2 61번째
|해결 전략 | a☐☐☐☐ 꼴인 문자열부터 cd☐☐☐ 꼴인 문자열까지의 배열
n(A)=4이고, 집합 A의 원소 중 가장 큰 원소는 8이므로
1, 2, 3, …, 7 중에서 원소 3개를 선택하면 된다.
이때, cdabe는 cd☐☐☐ 꼴에서 첫 번째에 오는 문자열이므로
24+24+6+6+1=61(번째)
에 오는 문자열이다.
13-1 195
|해결 전략 | 전체 경우의 수에서 20대만 뽑는 경우의 수를 뺀다.
각한다.
45☐☐ 꼴인 자연수의 개수 ➡ ¢P™=12
46☐☐ 꼴인 자연수의 개수 ➡ ¢P™=12
5☐☐☐ 꼴인 자연수의 개수 ➡ ∞P£=60
6☐☐☐ 꼴인 자연수의 개수 ➡ ∞P£=60
따라서 4400보다 큰 자연수의 개수는
12+12+60+60=144
을 생각한다.
a☐☐☐☐ 꼴인 문자열의 개수 ➡ 4!=24
b☐☐☐☐ 꼴인 문자열의 개수 ➡ 4!=24
c a☐☐☐ 꼴인 문자열의 개수 ➡ 3!=6
c b☐☐☐ 꼴인 문자열의 개수 ➡ 3!=6
11-1 5
|해결 전략 | 순열의 수와 조합의 수를 식으로 나타낸다.
n+1Cn-1=n+1Cn+1-(n-1)=n+¡C™이므로
n-1P™+3=n+1Cn-1, 즉 n-1P™+3=n+1C2 에서
(n-1)(n-2)+3=
(n+1)n
2
2n€-6n+4+6=n€+n
n€-7n+10=0, (n-2)(n-5)=0
∴ n=5 (∵ n>3)
11-2 5
|해결 전략 | 순열의 수와 조합의 수를 식으로 나타낸다.
nP™+4nC£=nP3에서
n(n-1)+4_
=n(n-1)(n-2)
n(n-1)(n-2)
3_2_1
n>3이므로 양변을 n(n-1)로 나누면
1+
2(n-2)
3
∴ n=5
=n-2, 3+2n-4=3n-6
면 되므로 부분집합의 개수는
8C¡=8
면 되므로 부분집합의 개수는
8C™=
8_7
2_1
=28
1+8+28=37
1, 2, 3에서 구하는 부분집합의 개수는
12-2 35
|해결 전략 | 8보다 작은 원소 중 3개를 선택한다.
따라서 구하는 집합 A의 개수는
¶C£=
7_6_5
3_2_1
=35
전체 10명 중에서 4명을 뽑는 경우의 수는
¡ºC¢=
10_9_8_7
4_3_2_1
=210
20대 6명 중에서 4명을 뽑는 경우의 수는
§C¢=§C™=
=15
6_5
2_1
따라서 구하는 경우의 수는
210-15=195
13-2 120
|해결 전략 | 남학생만 뽑는 방법의 수와 여학생만 뽑는 방법의 수를 구한다.
전체 9명의 학생 중에서 4명을 뽑는 방법의 수는
ªC¢=
9_8_7_6
4_3_2_1
=126
1 남학생 5명 중에서 4명을 뽑는 방법의 수는 ∞C¢=∞C¡=5
2 여학생 4명 중에서 4명을 뽑는 방법의 수는 ¢C¢=1
1, 2에서 남학생만 4명을 뽑거나 여학생만 4명을 뽑는 방법의 수는
5+1=6
따라서 구하는 방법의 수는
126-6=120
8 경우의 수 071
14-1 3600
|해결 전략 | 풍선과 깃발을 각각 뽑아서 나열한다.
15-2 52
|해결 전략 | 일직선 위에 있는 점 중에서 3개의 점을 택하면 삼각형을 만들 수 없다.
5개의 풍선에서 3개의 풍선을 택하는 경우의 수는
8개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는
3개의 깃발에서 2개의 깃발을 택하는 경우의 수는
일직선 위에 있는 3개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는
8C£=
8_7_6
3_2_1
=56
£C£=1
개수는
56-4_1=52
일직선 위에 3개의 점이 있는 경우는 4가지이므로 구하는 삼각형의
∞C£=∞C™=
5_4
2_1 =10
£C™=£C¡=3
5개를 일렬로 나열하는 경우의 수는
5!=5_4_3_2_1=120
따라서 구하는 신호의 가짓수는
10_3_120=3600
A, B를 포함하여 뽑힌 6명을 일렬로 세우는 경우의 수는
일직선 위에 있는 4개의 점 중에서 4개를 택하는 방법의 수는
16-1 185
|해결 전략 | 일직선 위에 있는 점 중에서 3개 또는 4개의 점을 택하면 사각형을
만들 수 없다.
10개의 점 중에서 4개를 택하는 방법의 수는
¡ºC¢=
10_9_8_7
4_3_2_1
=210
일직선 위에 있는 3개의 점과 곡선 위에 있는 1개의 점을 택하는 방
¢C¢=1
법의 수는
¢C£_6=¢C¡_6=4_6=24
따라서 구하는 사각형의 개수는
210-1-24=185
참고
어느 세 점도 일직선 위에 있지 않은 서로 다른 n개의 점 중에서 m개의 점을
꼭짓점으로 하는 m각형의 개수 ➡ nCm
14-2 21600
|해결 전략 | A, B는 포함되므로 나머지 학생 중에서 2명씩 뽑는다.
A를 제외한 남학생 5명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
∞C™=
5_4
2_1 =10
£C™=£C¡=3
B를 제외한 여학생 3명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
6!=6_5_4_3_2_1=720
따라서 구하는 경우의 수는
10_3_720=21600
15-1 80
|해결 전략 | 원에서 지름에 대한 원주각의 크기는 90^임을 이용하여 직각삼각형
정십각형의 10개의 꼭짓점 중에서 3개의 점을 선택하여 만들 수 있
의 개수를 구한다.
는 삼각형의 개수는
¡ºC£=
10_9_8
3_2_1
=120
정십각형에 외접하는 외접원에 대하여 10개의 점으로 만들 수 있는
지름은 5개이고, 1개의 지름에 대하여 8개의 직각삼각형을 만들 수
있으므로 만들 수 있는 직각삼각형의 개수는
따라서 구하는 삼각형의 개수는
5_8=40
120-40=80
LECTURE
오른쪽 그림과 같이 선분 AF를 그으면 8
개의 점을 다른 꼭짓점으로 하는 직각삼각
A
J
B
형 8개를 만들 수 있다.
선분 BG, CH, DI, EJ에 대하여도 마찬가
지로 생각할 수 있으므로 직각삼각형의 개
C
D
수는 8_5=40
I
H
072 정답과 해설
16-2 40
|해결 전략 | 가로로 놓인 선 중에서 2개, 세로로 놓인 선 중에서 2개를 택하면 직
사각형이 만들어진다.
직사각형은 가로로 놓인 선 4개 중에서 2개를 택하고, 세로로 놓인
선 5개 중에서 2개를 택하면 만들어지므로 직사각형의 개수는
¢C™_∞C™=
4_3
2_1
_
5_4
2_1
=6_10=60
이때, 가장 작은 정사각형의 한 변의 길이를 1이라 하면 한 변의 길이가
1, 2, 3인 정사각형의 개수는 각각 12, 6, 2이므로 정사각형의 개수는
E
F
G
따라서 정사각형이 아닌 직사각형의 개수는
12+6+2=20
60-20=40
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