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개념 해결의 법칙 고등 수학 (상) (15개정).pdf 다운로드 | 답지저장소
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정답과
해설
I 다항식
1 | 다항식의 연산
2 | 항등식과 나머지정리
3 | 인수분해
II 방정식과 부등식
4 | 복소수
5 | 이차방정식
6 | 이차방정식과 이차함수
7 | 삼차방정식과 사차방정식
8 | 연립방정식과 부정방정식
9 | 연립일차부등식
10 | 이차부등식과 연립이차부등식
III 도형의 방정식
11 | 평면좌표
12 | 직선의 방정식
13 | 원의 방정식
14 | 도형의 이동
002
010
017
022
029
039
048
056
064
072
083
089
101
114
⑵ A-2B =(x‹+x€-x-5)-2(2x‹-2x€+3x)
=x‹+x€-x-5-4x‹+4x€-6x
=-3x‹+5x€-7x-5
⑶ 2A+B =2(x‹+x€-x-5)+(2x‹-2x€+3x)
=2x‹+2x€-2x-10+2x‹-2x€+3x
=4x‹+x-10
⑷ 3A-B =3(x‹+x€-x-5)-(2x‹-2x€+3x)
=3x‹+3x€-3x-15-2x‹+2x€-3x
=x‹+5x€-6x-15
4 ⑴ A+3B =(-x€+3xy-5y€)+3(2x€+xy+3y€)
=-x€+3xy-5y€+6x€+3xy+9y€
=5x€+6xy+4y€
⑵ 2A-B =2(-x€+3xy-5y€)-(2x€+xy+3y€)
=-2x€+6xy-10y€-2x€-xy-3y€
=-4x€+5xy-13y€
⑶ 3A+B =3(-x€+3xy-5y€)+(2x€+xy+3y€)
=-3x€+9xy-15y€+2x€+xy+3y€
=-x€+10xy-12y€
⑷ 3A-2B =3(-x€+3xy-5y€)-2(2x€+xy+3y€)
=-3x€+9xy-15y€-4x€-2xy-6y€
=-7x€+7xy-21y€
1
| 다항식의 연산
1
다항식의 덧셈과 뺄셈
개념 확인
8쪽~9쪽
1 ⑴ 3x€y‹+2xy-5y€+1 ⑵ 1-5y€+2xy+3x€y‹
⑶ 3x€y‹-5y€+2xy+1 ⑷ 1+2xy-5y€+3x€y‹
2 ⑴ 3x€-2x+2 ⑵ 3x€-10x+7
2 ⑴ A+B =(2x€-4x+3)+(x€+2x-1)
=2x€-4x+3+x€+2x-1
=(2x€+x€)+(-4x+2x)+3-1
=3x€-2x+2
⑵ 2A-B =2(2x€-4x+3)-(x€+2x-1)
=4x€-8x+6-x€-2x+1
=(4x€-x€)+(-8x-2x)+6+1
=3x€-10x+7
STEP
1
개념 드릴
| 10쪽 |
1 ⑴ 3x€-x+1 ⑵ 4x‹+x€-5x+2
1 ⑶ -x€+(2y+1)x+3y€-5 ⑷ 2x€-4xy+y€+2
2 ⑴ 5+x-3x€ ⑵ 4-3x+2x€+x‹
1 ⑶ -2y-xy+4x€+x‹ ⑷ y€+(3y-1)x+2x€
3 ⑴ 5x‹-3x€+5x-5 ⑵ -3x‹+5x€-7x-5
1 ⑶ 4x‹+x-10 ⑷ x‹+5x€-6x-15
4 ⑴ 5x€+6xy+4y€ ⑵ -4x€+5xy-13y€
1 ⑶ -x€+10xy-12y€ ⑷ -7x€+7xy-21y€
STEP
2
필수 유형
| 11쪽 |
01-1 ⑴ -8x€+2xy+16y€ ⑵ 24x€-12xy-6y€
|해결 전략 | 먼저 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 간단히 정리한다.
1 ⑷ 동류항끼리 모아서 간단히 한 후 x에 대하여 내림차순으로 정리
2xy-1+2x€-6xy+3+y€ =-4xy+2+2x€+y€
-6xy
2xy
-1
+3
=2(3x€-2xy+4y€-5x€+3xy-y€-2x€+5y€)
=2{(3x€-2xy+4y€)-(5x€-3xy+y€)-(2x€-5y€)}
하면
하면
=2x€-4xy+y€+2
2 ⑷ 동류항끼리 모아서 간단히 한 후 x에 대하여 오름차순으로 정리
2x€-xy+y€+4xy-x =2x€+3xy+y€-x
-xy +4xy
=6A+2(-3A+2B+C)
=y€+(3y-1)x+2x€
=6A-6A+4B+2C
⑴ A-{B+2C-(A-B)}
=A-(B+2C-A+B)
=A-(-A+2B+2C)
=A+A-2B-2C
=2(A-B-C)
=2(-4x€+xy+8y€)
=-8x€+2xy+16y€
⑵ 6A+2{B+C-(3A-B)}
=6A+2(B+C-3A+B)
=4B+2C
=4(5x€-3xy+y€)+2(2x€-5y€)
=20x€-12xy+4y€+4x€-10y€
=24x€-12xy-6y€
3 ⑴ A+2B =(x‹+x€-x-5)+2(2x‹-2x€+3x)
=x‹+x€-x-5+4x‹-4x€+6x
=5x‹-3x€+5x-5
002 정답과 해설
주어진 식에 세 다항식 A, B, C를 바로 대입하여 계산해도 되지만, 주어진
식을 먼저 간단히 정리한 후 세 다항식 A, B, C를 대입하는 것이 계산 실수
참고
를 줄일 수 있다.
3 ⑴ ① a€+b€ =(a-b)€+2ab
=2€+2_(-1)=2
② a‹-b‹ =(a-b)‹+3ab(a-b)
=2‹+3_(-1)_2=2
01-2 -x‹+6x€-10x+10
|해결 전략 | X를 A, B에 대한 식으로 나타낸 후 다항식 X를 구한다.
⑵ a€+b€+c€ =(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)
=3€-2_2=5
개념 확인
12쪽~14쪽
3 ⑴ 4a€-4+
⑵ x€-25y€ ⑶ 6x€-x-2 ⑷ x›-16
1
a€
A-2(X-B)=3A에서
A-2X+2B=3A, 2X=-2A+2B
∴ X =-A+B
=-(x‹-3x€+x-4)+(3x€-9x+6)
=-x‹+3x€-x+4+3x€-9x+6
=-x‹+6x€-10x+10
2
다항식의 곱셈
1 ⑴ 6x€-13x-5 ⑵ 2x€+x€y+xy+2xy€-6y€
2 ⑴ a€+b€+4c€+2ab+4bc+4ca ⑵ x‹+9x€+27x+27
⑶ a‹-6a€b+12ab€-8b‹ ⑷ x‹+64
⑸ x‹+2x€-5x-6 ⑹ x›+x€+1
3 ⑴ ① 2 ② 2 ⑵ 5
1 ⑴ (2x-5)(3x+1)
=6x€+2x-15x-5
=6x€-13x-5
⑵ (x+2y)(2x+xy-3y)
=2x€+x€y-3xy+4xy+2xy€-6y€
=2x€+x€y+xy+2xy€-6y€
2 ⑴ (a+b+2c)€
=a€+b€+(2c)€+2_a_b+2_b_2c+2_2c_a
=a€+b€+4c€+2ab+4bc+4ca
⑵ (x+3)‹ =x‹+3_x€_3+3_x_3€+3‹
=x‹+9x€+27x+27
⑶ (a-2b)‹ =a‹-3_a€_2b+3_a_(2b)€-(2b)‹
=a‹-6a€b+12ab€-8b‹
⑷ (x+4)(x€-4x+16) =(x+4)(x€-4_x+4€)
=x‹+4‹
=x‹+64
⑸ (x+1)(x-2)(x+3)
STEP
1
개념 드릴
| 15쪽 |
1 ⑴ -a‡ ⑵ 12a›bfi ⑶ xflyfi ⑷ -27x°y›
2 ⑴ -2x‹+2x ⑵ -6xfi+3x›+3x€
2 ⑶ a‹b-2a€b-ab‹ ⑷ -2x‹+2x€y€+3xy-3y‹
2 ⑸ 3a€+8ab-3b€ ⑹ x‹-2x€y+2xy€-y‹
4 ⑴ a€+b€+4c€-2ab-4bc+4ca ⑵ 8a‹-12a€b+6ab€-b‹
2 ⑶ 8x‹-1 ⑷ x‹y‹+8 ⑸ a‹-b‹+c‹+3abc
2 ⑹ x›+4x€y€+16y›
1 ⑴ (-a)‹_a›=-a‹_a›=-a‡
⑵ (-2ab€)€_3a€b =4a€b›_3a€b
=12a›bfi
⑶ x€y‹_(-x€y)€=x€y‹_x›y€=xflyfi
⑷ (-xy)€_(-3x€)‹_y€ =x€y€_(-27xfl)_y€
=-27x°y›
2 ⑸ (3a-b)(a+3b)
=3a€+9ab-ab-3b€
=3a€+8ab-3b€
⑹ (x€-xy+y€)(x-y)
=x‹-x€y-x€y+xy€+xy€-y‹
=x‹-2x€y+2xy€-y‹
3 ⑴ {2a-;a!;}
€
€=(2a)€-2_2a_;a!;+{;a!;}
=4a€-4+
1
a€
⑵ (x+5y)(x-5y) =x€-(5y)€
=x€-25y€
=x‹+(1-2+3)x€+{1_(-2)+(-2)_3+3_1}x
⑶ (2x+1)(3x-2)
=x‹+2x€-5x-6
=6x€-x-2
⑹ (x€+x+1)(x€-x+1) =(x€+x_1+1€)(x€-x_1+1€)
⑷ (x-2)(x+2)(x€+4) =(x€-4)(x€+4)
+1_(-2)_3
=2_3_x€+{2_(-2)+1_3}x+1_(-2)
=x›+x€_1€+1›
=x›+x€+1
=(x€)€-4€
=x›-16
1 다항식의 연산 003
4 ⑴ (a-b+2c)€
=a€+(-b)€+(2c)€+2_a_(-b)
02-1 ⑴ x€+4y€+4xy-2x-4y+1
⑵ 27x‹+54x€y+36xy€+8y‹ ⑶ 8x‹-27
+2_(-b)_2c+2_2c_a
⑷ x‹+8y‹+27z‹-18xyz ⑸ x°-y°
=a€+b€+4c€-2ab-4bc+4ca
⑵ (2a-b)‹
|해결 전략 | 곱셈 공식을 이용하여 주어진 식을 전개한다.
⑴ (x+2y-1)€ =x€+(2y)€+(-1)€+2_x_2y
=(2a)‹-3_(2a)€_b+3_2a_b€-b‹
+2_2y_(-1)+2_(-1)_x
=8a‹-12a€b+6ab€-b‹
=x€+4y€+4xy-2x-4y+1
⑶ (2x-1)(4x€+2x+1) =(2x)‹-1‹
⑵ (3x+2y)‹=(3x)‹+3_(3x)€_2y+3_3x_(2y)€+(2y)‹
⑷ (xy+2)(x€y€-2xy+4) =(xy+2){(xy)€-xy_2+2€}
⑶ (2x-3)(4x€+6x+9) =(2x-3){(2x)€+2x_3+3€}
=27x‹+54x€y+36xy€+8y‹
=(2x)‹-3‹
=8x‹-27
⑸ (a-b+c)(a€+b€+c€+ab+bc-ca)
⑷ (x+2y+3z)(x€+4y€+9z€-2xy-6yz-3zx)
=(a-b+c){a€+(-b)€+c€-a_(-b)-(-b)_c-c_a}
=(x+2y+3z){x€+(2y)€+(3z)€-x_2y-2y_3z-3z_x}
=a‹+(-b)‹+c‹-3_a_(-b)_c
=x‹+(2y)‹+(3z)‹-3_x_2y_3z
=a‹-b‹+c‹+3abc
⑹ (x€+2xy+4y€)(x€-2xy+4y€)
=x‹+8y‹+27z‹-18xyz
⑸ (x-y)(x+y)(x€+y€)(x›+y›)
={x€+x_2y+(2y)€}{x€-x_2y+(2y)€}
=(x€-y€)(x€+y€)(x›+y›)
=x›+x€_(2y)€+(2y)›
=x›+4x€y€+16y›
=(x›-y›)(x›+y›)
=x°-y°
=8x‹-1
=(xy)‹+2‹
=x‹y‹+8
STEP
2
필수 유형
| 16쪽~21쪽 |
(x+2y)‹(x-y)
={x‹+3_x€_2y+3_x_(2y)€+(2y)‹}(x-y)
02-2 5
|해결 전략 | 먼저 (x+2y)‹을 전개한 후 주어진 식에서 x‹y의 계수를 구한다.
01-1 ⑴ -15 ⑵ -10
|해결 전략 | 특정항이 나오는 항들만 전개한다.
⑴ (x€-3x+5)(2x€-x+1)의 전개식에서
x‹항은 x€_(-x)-3x_2x€=-7x‹
x항은 -3x_1+5_(-x)=-8x
⑵ (x€-2x+4)(x‹-x€-3)의 전개식에서
x›항은 x€_(-x€)-2x_x‹=-3x›
∴ a=-7
∴ b=-8
∴ a+b=-15
∴ a=-3
∴ b=-7
∴ a+b=-10
01-2 6
|해결 전략 | x‹항이 나오는 항들만 전개한다.
x‹의 계수가 -5이므로
1-k=-5
∴ k=6
004 정답과 해설
x€항은 x€_(-3)+4_(-x€)=-7x€
=X€-2X-3
(x€-kx+3)(x‹+x€-2x+1)의 전개식에서
=x€-X€
x‹항은 x€_(-2x)-kx_x€+3_x‹=(1-k)x‹
=(x‹+6x€y+12xy€+8y‹)(x-y)
의 전개식에서 x‹y항은
x‹_(-y)+6x€y_x=5x‹y
따라서 x‹y의 계수는 5이다.
03-1 ⑴ x›+2x‹-x€-2x-3
⑶ x›+2x‹-11x€-12x
⑵ x€-y€-z€+2yz
|해결 전략 | ⑴, ⑵ 공통부분을 X로 치환하여 전개한다.
⑶ 공통부분이 생기도록 식을 변형한 후 치환하여 전개한다.
⑴ (x€+x+1)(x€+x-3)
=(X+1)(X-3)
x€+x=X로 치환
=(x€+x)€-2(x€+x)-3
X=x€+x 대입
=x›+2x‹+x€-2x€-2x-3
=x›+2x‹-x€-2x-3
⑵ (x+y-z)(x-y+z)
={x+(y-z)}{x-(y-z)}
=(x+X)(x-X)
y-z=X로 치환
=x€-(y-z)€
X=y-z 대입
=x€-(y€-2yz+z€)
=x€-y€-z€+2yz
⑶ x(x+1)(x-3)(x+4)
={x(x+1)}{(x-3)(x+4)}
=(x€+x)(x€+x-12)
=X(X-12)
x€+x=X로 치환
=X€-12X
=(x€+x)€-12(x€+x)
X=x€+x 대입
=x›+2x‹+x€-12x€-12x
=x›+2x‹-11x€-12x
04-1 ⑴ 4 ⑵ 13 ⑶ 20
|해결 전략 | ⑴ 곱셈 공식의 변형을 이용하여 식의 값을 구한다.
⑵, ⑶ 곱셈 공식의 변형을 이용하여 먼저 xy, ab의 값을 구한다.
⑴ a‹+b‹=(a+b)‹-3ab(a+b)에서
16=4‹-3ab_4, 12ab=48
∴ ab=4
⑵ x‹+y‹=(x+y)‹-3xy(x+y)에서
35=5‹-3xy_5, 15xy=90
∴ xy=6
∴ x€+y€ =(x+y)€-2xy
=5€-2_6=13
⑶ a€+b€=(a-b)€+2ab에서
8=2€+2ab, 2ab=4
∴ ab=2
∴ a‹-b‹ =(a-b)‹+3ab(a-b)
=2‹+3_2_2=20
04-2 ⑴ 'ß13 ⑵ 36
|해결 전략 | 곱셈 공식의 변형을 이용하여 식의 값을 구한다.
⑴ {x+;x!;}
€={x-;x!;}
€+4=3€+4=13
∴ x+;x!;='ß13 (∵ x>0)
⑵ x‹-
1
x‹
={x-;x!;}
‹+3{x-;x!;}=3‹+3_3=36
05-2 1
1
a
|해결 전략 |
ab+bc+ca의 값을 구한다.
+
+
=
1
c
ab+bc+ca
abc
1
b
이므로 곱셈 공식의 변형을 이용하여
a€+b€+c€=(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)에서
18=4€-2(ab+bc+ca)
∴ ab+bc+ca=-1
∴ 1
a
+
+
=
1
b
1
c
ab+bc+ca
abc
=
-1
-1
=1
06-1 999902
|해결 전략 | 반복되는 수를 같은 문자로 생각한다.
100=a로 놓으면
101_(10000-100+1)-99 =(a+1)(a€-a+1)-(a-1)
=(a‹+1)-(a-1)=a‹-a+2
=100‹-100+2=999902
06-2 ;1@2%8%;
|해결 전략 | (a-b)(a+b)=a€-b€을 이용하기 위하여 주어진 식에 2{1-;2!;}
주어진 식에 2{1-;2!;}=1을 곱하면
1
2› }=2{1-
2{1-;2!;}{1+;2!;}{1+
1
2€ }{1+
을 곱한다.
1
2› }
1
2€ }{1+
1
2› }
1
2€ }{1+
1
2› }{1+
1
2° }
2°-1
2°
=;1@2%8%;
=2{1-
=2{1-
=2_
3
다항식의 나눗셈
개념 확인
22쪽~23쪽
1 ⑴ 몫: x+3, 나머지: 2 ⑵ 몫: 2x+2, 나머지: -1
05-1 ⑴ -6 ⑵ 32 ⑶ 52
|해결 전략 | 곱셈 공식의 변형을 이용하여 식의 값을 구한다.
⑴ x€+y€+z€=(x+y+z)€-2(xy+yz+zx)에서
16=2€-2(xy+yz+zx)
∴ xy+yz+zx=-6
⑵ x‹+y‹+z‹ =(x+y+z)(x€+y€+z€-xy-yz-zx)+3xyz
=2{16-(-6)}+3_(-4)
=32
⑶ x€y€+y€z€+z€x€ =(xy)€+(yz)€+(zx)€
=(xy+yz+zx)€-2(xy€z+yz€x+zx€y)
=(xy+yz+zx)€-2xyz(x+y+z)
=(-6)€-2_(-4)_2
=52
2 ⑴ 몫: 2x€-2x+4, 나머지: -9
2 ⑵ 몫: ;3@;x€-x+1, 나머지: -2
1 ⑴
x +3
x+1œ∑x€+4x+5
x€+ x
3x+5
3x+3
2
∴ 몫: x+3, 나머지: 2
1 다항식의 연산 005
∑
∑
⑵
2x +2
x-1œ∑2x€
-3
2x€-2x
2x-3
2x-2
-1
∴ 몫: 2x+2, 나머지: -1
2 ⑴ -2 2
2
-4
2 -2
0 -1
4 -8
4 -9
∴ 몫: 2x€-2x+4, 나머지: -9
⑵ -2 2
1 -3
-4
2 -3
4
6 -6
3 -2
2x‹+x€-3x+4=(x+2)(2x€-3x+3)-2
=3(x+2){;3@;x€-x+1}-2
=(3x+6){;3@;x€-x+1}-2
∴ 몫: ;3@;x€-x+1, 나머지: -2
STEP
1
개념 드릴
1 풀이 참조
2 ⑸ 몫: x€-;2%;x, 나머지: -1
1 ⑴
x€
+4
x-2œ∑x‹-2x€+4x+1
x‹-2x€
4x+1
4x-8
9
Q=x€+4, R=9이므로
x‹-2x€+4x+1=(x-2)(x€+4)+9
⑵
4x€-5x + 5
x+2œ∑4x‹+3x€- 5x+ 2
4x‹+8x€
∑ -5x€- 5x
-5x€-10x
5x+ 2
5x+10
-8
Q=4x€-5x+5, R=-8이므로
4x‹+3x€-5x+2=(x+2)(4x€-5x+5)-8
006 정답과 해설
⑶
2x€+2x +5
x-1œ∑2x‹
+3x+4
2x‹-2x€
2x€+3x
2x€-2x
5x+4
5x-5
9
Q=2x€+2x+5, R=9이므로
2x‹+3x+4=(x-1)(2x€+2x+5)+9
⑷
2x +1
x€+x+1œ∑2x‹+3x€+2x-1
2x‹+2x€+2x
-1
x€
x€+ x+1
- x-2
Q=2x+1, R=-x-2이므로
2x‹+3x€+2x-1=(x€+x+1)(2x+1)-x-2
2 ⑴ -1 2 -3
-2
2 -5
4
1
5 -9
9 -8
∴ 몫: 2x€-5x+9, 나머지: -8
⑵ 2 1
0 -6
2
2 -2
8
4 -4
4
1
∴ 몫: x€+2x-2, 나머지: 4
⑶ 3 2 -5
6
1
2
2
0
9
3
3 11
| 24쪽 |
⑷ -2 1
0 -2
-2
1 -2
3
4 -4
2 -1
x‹-2x+3=(x+2)(x€-2x+2)-1
=2(x+2){;2!;x€-x+1}-1
=(2x+4){;2!;x€-x+1}-1
∴ 몫: ;2!;x€-x+1, 나머지: -1
⑸ 1 2 -7
2 -5
5 -1
0
0 -1
2 -5
2x‹-7x€+5x-1=(x-1)(2x€-5x)-1
=2(x-1){x€-;2%;x}-1
=(2x-2){x€-;2%;x}-1
∴ 몫 : x€-;2%;x, 나머지: -1
2 ⑴ 몫: 2x€-5x+9, 나머지: -8 ⑵ 몫: x€+2x-2, 나머지: 4
2 ⑶ 몫: 2x€+x+3, 나머지: 11 ⑷ 몫: ;2!;x€-x+1, 나머지: -1
∴ 몫: 2x€+x+3, 나머지: 11
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
STEP
2
필수 유형
| 25쪽~26쪽 |
3x‹-5x€+2x={x-;3@;}(3x€-3x)
01-1 a=-1, b=2
|해결 전략 | (x›-2x‹+x€-x+1)/(x€-x-1)을 직접 계산한다.
=3{x-;3@;}(x€-x)
=(3x-2)(x€-x)
∴ 몫: x€-x, 나머지: 0
한다.
02-2 몫: ;3!;Q(x), 나머지: R
|해결 전략 | ÷f(x)={x+;aB;}÷Q(x)+R=(ax+b)_;a!;÷Q(x)+R임을 이용
x€- x+1
x€-x-1œ∑x›-2x‹+ x€- x+1
x›- x‹- x€
∑ - x‹+2x€- x
- x‹+ x€+ x
x€-2x+1
x€- x-1
- x+2
따라서 몫이 x€-x+1, 나머지가 -x+2이므로
a=-1, b=2
÷f(x)={x+;3@;}÷Q(x)+R=;3!;(3x+2)Q(x)+R
=(3x+2)_;3!;Q(x)+R
∴ 몫: ;3!;Q(x), 나머지: R
01-2 몫: x-1, 나머지: -x
|해결 전략 | 다항식 A를 다항식 B로 나누었을 때의 몫을 Q, 나머지를 R라 하면
A=BQ+R임을 이용한다.
다항식 A를 x+2로 나누었을 때의 몫이 x€-2x-1, 나머지가 5이
따라서 다항식 A를 x€+x-3으로 나누었을 때의 몫과 나머지는
므로
A =(x+2)(x€-2x-1)+5
=x‹-5x+3
x -1
x€+x-3 œ∑x‹ -5x+3
x‹+x€-3x
∑ -x€-2x+3
-x€- x+3
- x
∴ 몫: x-1, 나머지: -x
02-1 ⑴ 몫: x€+2x-3, 나머지: -2
⑵ 몫: x€-x, 나머지: 0
|해결 전략 | 조립제법을 이용하여 몫과 나머지를 구한다.
⑴ 조립제법을 이용하여
2x‹+5x€-4x-5를 x+;2!;로
나누면 오른쪽과 같으므로
-;2!;
2
2
5 -4 -5
-1 -2
3
4 -6 -2
2x‹+5x€-4x-5={x+;2!;}(2x€+4x-6)-2
=2{x+;2!;}(x€+2x-3)-2
=(2x+1)(x€+2x-3)-2
∴ 몫: x€+2x-3, 나머지: -2
⑵ 조립제법을 이용하여
3x‹-5x€+2x를 x-;3@;로 나누면
오른쪽과 같으므로
;3@;
3 -5
2
2 -2
0
3 -3
0
0
0
STEP
3
유형 드릴
| 27쪽~29쪽 |
1-1 -x€+4x+7
|해결 전략 | 먼저 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 간단히 정리한다.
B-(C-2A) =B-C+2A
=2A+B-C
=2(2x+1)+(x€+2)-(2x€-3)
=4x+2+x€+2-2x€+3
=-x€+4x+7
참고
일반적으로 다항식의 연산의 결과는 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.
1-2 11x€-2xy+4y€
|해결 전략 | X를 A, B에 대한 식으로 나타낸 후 다항식 X를 구한다.
X+2(A-2B)=3A에서 X+2A-4B=3A
∴ X =A+4B
=(3x€+2xy-4y€)+4(2x€-xy+2y€)
=3x€+2xy-4y€+8x€-4xy+8y€
=11x€-2xy+4y€
2-1 12
|해결 전략 | x‹항이 나오는 항들만 전개한다.
x‹항은 2x€_3x+3x_2x€=12x‹
따라서 x‹의 계수는 12이다.
(2x€+3x-5)€, 즉 (2x€+3x-5)(2x€+3x-5)의 전개식에서
1 다항식의 연산 007
∑
∑
∑
2-2 5
|해결 전략 | x€, x‹항이 나오는 항들만 전개하여 a+b, ab의 값을 구한다.
(x‹+ax€+3)(x€+x+b)의 전개식에서
x€항은 ax€_b+3_x€=(ab+3)x€
x‹항은 x‹_b+ax€_x=(a+b)x‹
x€의 계수와 x‹의 계수가 모두 1이므로
ab+3=1, a+b=1
∴ a+b=1, ab=-2
∴ a€+b€=(a+b)€-2ab=1€-2_(-2)=5
3-1 ②
|해결 전략 | 좌변을 전개한 후 우변과 같은지 비교한다.
① (a-b)(a+b)=a€-b€
€-
② (3a+2)(4a-5) =12a€-15a+8a-10
=12a€-7a-10
③ (x-3y)‹ =x‹-3_x€_3y+3_x_(3y)€-(3y)‹
=x‹-A9x€y+27xy€-27y‹
④ (a+3)(a€-3a+9) =(a+3)(a€-a_3+3€)
‹+
=a‹+27
⑤ (x-2y+1)€=x€+(-2y)€+1€+2_x_(-2y)
=x€+4y€-4xy+A2x-4y+1
x-4y
따라서 옳은 것은 ②이다.
+2_(-2y)_1+2_1_x
3-2 ③
|해결 전략 | 좌변을 전개한 후 우변과 같은지 비교한다.
① (-2a+3b)(2a-3b) =-(2a-3b)€
② (x€-3x+5)(2x-1) =2x‹-x€-6x€+3x+10x-5
=-(4a€-12ab+9b€)
=-
=-4a€+12ab-9b€
+12ab
=2x‹-7x€+13x-5
13x
③ (3x-2y)‹ =(3x)‹-3_(3x)€_2y+3_3x_(2y)€-(2y)‹
=27x‹-54x€y+36xy€-8y‹
④ (a-4)(a€+4a+16) =(a-4)(a€+a_4+4€)
-64
=a‹-64
⑤ (a-1)(a+1)(a€-1)=(a€-1)€=a›-2a€+1
2a€+
따라서 옳은 것은 ③이다.
4-1 -1
|해결 전략 | 공통부분을 X로 치환하여 전개한다.
(2x€+x-5)(2x€+x+2)
=(X-5)(X+2)
2x€+x=X로 치환
=X€-3X-10
=(2x€+x)€-3(2x€+x)-10
X=2x€+x 대입
=4x›+4x‹+x€-6x€-3x-10
=4x›+4x‹-5x€-3x-10
따라서 a=4, b=-5이므로 a+b=-1
008 정답과 해설
다른 풀이
(2x€+x-5)(2x€+x+2)의 전개식에서
x‹항은 2x€_x+x_2x€=4x‹
∴ a=4
x€항은 2x€_2+x_x-5_2x€=-5x€
∴ b=-5
∴ a+b=-1
4-2 35
|해결 전략 | 공통부분이 생기도록 식을 변형한 후 치환하여 전개한다.
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}
=(x€+5x+4)(x€+5x+6)
=(X+4)(X+6)
x€+5x=X로 치환
=X€+10X+24
=(x€+5x)€+10(x€+5x)+24
X=x€+5x 대입
=x›+10x‹+25x€+10x€+50x+24
=x›+10x‹+35x€+50x+24
따라서 x€의 계수는 35이다.
5-1 26
|해결 전략 | 곱셈 공식의 변형을 이용하여 x‹+y‹의 값을 구한다.
x+y=2, xy=-3이므로
x‹+y‹ =(x+y)‹-3xy(x+y)
=2‹-3_(-3)_2=26
5-2 4
|해결 전략 | 곱셈 공식의 변형을 이용하여 먼저 (x-y)€의 값을 구한다.
x+y=6, xy=5이므로
(x-y)€ =(x+y)€-4xy
=6€-4_5=16
∴ x-y=4 (∵ x>y)
6-1 14
|해결 전략 | a+b, ab의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.
a=2+'3, b=2-'3이므로
a+b=4, ab=1
∴ ;bA;+;aB;=
a€+b€
ab
=
(a+b)€-2ab
ab
=
4€-2_1
1
=14
6-2 14
|해결 전략 | x-y, xy의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.
x='2+1, y='2-1이므로
x-y=2, xy=1
∴ x‹-y‹ =(x-y)‹+3xy(x-y)
=2‹+3_1_2=14
7-1 2'2
|해결 전략 | 곱셈 공식의 변형을 이용하여 먼저 {a+
€의 값을 구한다.
1
a }
{a+;a!;}
€={a-;a!;}
€+4=2€+4=8
∴ a+;a!;=2'2 (∵ a>0)
9-2 10
|해결 전략 | (a-b)(a+b)=a€-b€을 이용하기 위하여 주어진 식의 좌변에
;2!;(3-1)을 곱한다.
(3+1)(3€+1)(3›+1)=;2!;(3-1)(3+1)(3€+1)(3›+1)
;2!;(3-1)=1
=;2!;(3€-1)(3€+1)(3›+1)
의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.
따라서 a=2, b=8이므로 a+b=10
=;2!;(3›-1)(3›+1)
3°-1
2
=;2!;(3°-1)=
7-2 2'5
|해결 전략 | x+
1
x
{x+;x!;}
€=x€+
1
x€
+2=3+2=5
∴ x+;x!;='5 (∵ x>0)
∴ x‹+
1
x‹
‹-3{x+;x!;}
={x+;x!;}
=('5 )‹-3_'5=2'5
8-1 36
|해결 전략 | xy+yz+zx의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.
(x+y+z)€=x€+y€+z€+2(xy+yz+zx)에서
6€=14+2(xy+yz+zx)
∴ xy+yz+zx=11
∴ x‹+y‹+z‹ =(x+y+z)(x€+y€+z€-xy-yz-zx)+3xyz
=6_(14-11)+3_6
=36
8-2 4
|해결 전략 | xy+yz+zx의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.
xy+yz+zx
;x!;+;y!;+;z!;=0에서
xyz
xy+yz+zx=0 (5 xyz+0)
=0이므로
∴ x€+y€+z€ =(x+y+z)€-2(xy+yz+zx)
=2€-2_0=4
a⁄fl=100을 대입한다.
(a-1)(a+1)(a€+1)(a›+1)(a°+1)
=(a€-1)(a€+1)(a›+1)(a°+1)
=(a›-1)(a›+1)(a°+1)
=(a°-1)(a°+1)
=a⁄fl-1
이때, a⁄fl=100이므로
a⁄fl-1=100-1=99
10-1 3
|해결 전략 | 직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를 각각 a, b, c로 놓고 a,
c
b
a
b, c 사이의 관계식을 구한다.
직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를
각각 a, b, c라 하면 모든 모서리의 길이의 합
이 20이므로
4(a+b+c)=20
∴ a+b+c=5
또, 직육면체의 겉넓이가 16이므로
∴ ab+bc+ca=8
2(ab+bc+ca)=16
이때, 직육면체의 대각선의 길이는 "ƒa€+b€+c€이고
a€+b€+c€ =(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)
=5€-2_8=9
따라서 직육면체의 대각선의 길이는 '9=3
10-2 60
|해결 전략 | 직사각형의 가로의 길이를 a, 세로의 길이를 b로 놓고 a, b 사이의 관
계식을 구한다.
직사각형의 가로의 길이를 a, 세로의 길이를 b라 하면 직사각형의 대
각선의 길이가 13이므로
a€+b€=13€=169
또, 직사각형의 둘레의 길이가 34이므로
2(a+b)=34
∴ a+b=17
이때, a€+b€=(a+b)€-2ab에서
169=17€-2ab
∴ ab=60
따라서 직사각형의 넓이는 60이다.
x +1
x€+4xœ∑x‹+5x€+4x+3
x‹+4x€
x€+4x
x€+4x
3
따라서 몫이 x+1이므로 a=1, b=1
∴ a+b=2
1 다항식의 연산 009
9-1 99
|해결 전략 | (a-b)(a+b)=a€-b€을 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후
11-1 2
|해결 전략 | (x‹+5x€+4x+3)/(x€+4x)를 직접 계산한다.
∑
∑
11-2 x€+x-2
|해결 전략 | 다항식 2x‹+4x€-7을 다항식 A, 몫, 나머지를 이용하여 나타낸다.
2x‹+4x€-7=A(2x+2)+2x-3이므로
A(2x+2) =(2x‹+4x€-7)-(2x-3)
=2x‹+4x€-2x-4
즉, 다항식 A는 다항식 2x‹+4x€-2x-4를 2x+2로 나누었을 때
의 몫이다.
x€+ x -2
2x+2œ∑2x‹+4x€-2x-4
2x‹+2x€
2x€-2x
2x€+2x
-4x-4
-4x-4
0
∴ A=x€+x-2
참고
A=BQ+R이다.
머지는 6이다.
x-2로 나누었으므로 c=2
a+4=2이므로 a=-2
d=2c=2_2=4
e=1+d=1+4=5
b+10=6이므로 b=-4
다항식 A를 다항식 B(B+0)로 나누었을 때의 몫이 Q, 나머지가 R이면
이때, A-R=BQ이므로 B는 A-R를 Q로 나누었을 때의 몫이 된다.
12-1 5
|해결 전략 | 주어진 조립제법에서 각 문자에 해당되는 값을 찾는다.
a+3=b
∴ a=3
⑵ ① 계수비교법
조립제법을 이용하여 다항식
2x‹+ax€+x+b를 x-2로 나누었을 때의
몫과 나머지를 구하면 몫은 2x€+2x+e, 나
c 2 a 1
b
4 d 10
6
e
2
2
32쪽~33쪽
| 항등식과 나머지정리
2
1
항등식
개념 확인
1 ⑴ a=3, b=2 ⑵ a=2, b=-5
2 ⑴ ① a=3, b=6 ② a=3, b=6
2 ⑵ ① a=5, b=-3 ② a=5, b=-3
2 ⑴ ① 계수비교법
주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면
ax+a+3=3x+b
양변의 동류항의 계수를 비교하면
a=3, a+3=b
∴ a=3, b=6
② 수치대입법
등식의 양변에 x=-1을 대입하면
3=-3+b
∴ b=6
등식의 양변에 x=0을 대입하면
주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면
(a+b)x-a-2b=2x+1
양변의 동류항의 계수를 비교하면
a+b=2, -a-2b=1
두 식을 연립하여 풀면 a=5, b=-3
② 수치대입법
등식의 양변에 x=1을 대입하면
-b=3
∴ b=-3
등식의 양변에 x=2를 대입하면
∴ a+b+c+d+e=-2-4+2+4+5=5
a=5
12-2 몫: x€-x-3, 나머지: -4
|해결 전략 | 다항식 P(x)를 몫과 나머지에 대한 등식으로 나타낸다.
다항식 P(x)를 x-;2%;로 나누었을 때의 몫이 2x€-2x-6, 나머지가
-4이므로
STEP
1
개념 드릴
| 34쪽 |
P(x)={x-;2%;}(2x€-2x-6)-4
=2{x-;2%;}(x€-x-3)-4
=(2x-5)(x€-x-3)-4
-4이다.
010 정답과 해설
따라서 P(x)를 2x-5로 나누었을 때의 몫은 x€-x-3, 나머지는
1 ⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ _
2 ⑴ a=-2, b=-3 ⑵ a=-1, b=2, c=0
1 ⑶ a=2, b=4 ⑷ a=5, b=2, c=2
3 ⑴ ① a=2, b=3 ② a=2, b=3
1 ⑵ ① a=1, b=-1 ② a=1, b=-1
1 ⑶ ① a=1, b=2, c=5 ② a=1, b=2, c=5
∑
∑
∑
a+1=0, b-2=0, c=0
∴ a=-1, b=2, c=0
(2k-1)x+(k+3)y=3k-5의 좌변을 k에 대하여 정리하면
1 ⑴ 주어진 등식은 x=-3일 때에만 성립하므로 항등식이 아니다.
⑵ 주어진 등식은 x에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하므로 항
이 등식은 x에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하므로 항등식
등식이다.
⑶ 주어진 등식의 좌변을 전개하면
x€+2x+1=x€+2x+1
이다.
⑷ 주어진 등식의 우변을 전개하면
x€+x+2=x€-x-2
이 식을 정리하면 2x=-4
이 등식은 x=-2일 때에만 성립하므로 항등식이 아니다.
2 ⑴ (a+2)x+b+3=0에서
a+2=0, b+3=0
∴ a=-2, b=-3
⑵ (a+1)x€+(b-2)x+c=0에서
⑶ 3ax+2b=6x+8에서
3a=6, 2b=8
∴ a=2, b=4
⑷ (a-1)x€+(b-3)x+4c=4x€-x+8에서
a-1=4, b-3=-1, 4c=8
∴ a=5, b=2, c=2
3 ⑴ ① 계수비교법
주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면
ax€+(-2a+b)x+a-2b=2x€-x-4
양변의 동류항의 계수를 비교하면
a=2, -2a+b=-1, a-2b=-4
∴ a=2, b=3
② 수치대입법
등식의 양변에 x=1을 대입하면
-b=-3
∴ b=3
등식의 양변에 x=2를 대입하면
a=2
⑵ ① 계수비교법
주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면
ax€+(-a+b)x-2b=x€-2x+2
양변의 동류항의 계수를 비교하면
a=1, -a+b=-2, -2b=2
∴ a=1, b=-1
② 수치대입법
등식의 양변에 x=0을 대입하면 -2b=2
∴ b=-1
등식의 양변에 x=2를 대입하면 2a=2
∴ a=1
⑶ ① 계수비교법
주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면
ax€+(-2a+b)x-2b+c=x€+1
양변의 동류항의 계수를 비교하면
a=1, -2a+b=0, -2b+c=1
∴ a=1, b=2, c=5
② 수치대입법
등식의 양변에 x=0을 대입하면 -2b+c=1
등식의 양변에 x=1을 대입하면 -a-b+c=2
등식의 양변에 x=2를 대입하면 c=5
∴ a=1, b=2, c=5
STEP
2
필수 유형
| 35쪽~37쪽 |
01-1 x=2, y=-1
|해결 전략 | 주어진 식의 좌변을 (
)k+(
) 꼴로 정리한다.
(2x+y)k+(-x+3y)=3k-5
이 등식이 k에 대한 항등식이므로
2x+y=3, -x+3y=-5
∴ x=2, y=-1
01-2 a=3, b=1, c=-1
|해결 전략 | 주어진 식의 좌변을 (
)x+(
)y+(
) 꼴로 정리한다.
a(2x+y)+b(x-2y)-1=7x+y+c의 좌변을 x, y에 대하여 정
리하면
(2a+b)x+(a-2b)y-1=7x+y+c
이 등식이 x, y에 대한 항등식이므로
2a+b=7, a-2b=1, -1=c
∴ a=3, b=1, c=-1
02-1 ⑴ a=3, b=1, c=-2 ⑵ a=1, b=1, c=2
⑶ a=1, b=-2, c=2
|해결 전략 | 전개하기 쉬우면 계수비교법을, 어려우면 수치대입법을 이용한다.
⑴ 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면
3x€-5x=ax€-(2a-b)x+a-b+c
양변의 동류항의 계수를 비교하면
3=a, 5=2a-b, 0=a-b+c
∴ a=3, b=1, c=-2
⑵ 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면
x‹+x-2=ax‹+(b-a)x€+(c-b)x-c
양변의 동류항의 계수를 비교하면
1=a, 0=b-a, 1=c-b, 2=c
∴ a=1, b=1, c=2
⑶ 등식의 양변에 x=0을 대입하면 4=-2b
∴ b=-2
등식의 양변에 x=1을 대입하면 6=3c
∴ c=2
등식의 양변에 x=-2를 대입하면 6=6a
∴ a=1
참고
⑶ 계수비교법을 이용할 수도 있지만 우변을 전개하는 것이 복잡하므로 수치
대입법을 이용하는 것이 편리하다.
2 항등식과 나머지정리 011
03-1 a=3, b=6
|해결 전략 | 삼차식을 이차식으로 나누었을 때의 몫을 일차식으로 놓는다.
2
나머지정리와 인수정리
두 식 x‹+ax€+bx-2, x€+2x+3의 최고차항의 계수가 모두 1이
개념 확인
38쪽~39쪽
므로 x‹+ax€+bx-2를 x€+2x+3으로 나누었을 때의 몫을
1 ⑴ 0 ⑵ 6
2 4
1 ⑴ f(-1)=-2-3-1+6=0
⑵ f {;2!;}=;4!;-;4#;+;2!;+6=6
2 f(1)=0에서 1+2-a+1=0
∴ a=4
x+c (c는 상수)로 놓자.
이때, 나머지가 x-5이므로
x‹+ax€+bx-2=(x€+2x+3)(x+c)+x-5
우변을 전개하여 정리하면
x‹+ax€+bx-2=x‹+(c+2)x€+(2c+4)x+3c-5
이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교하면
a=c+2, b=2c+4, -2=3c-5
c=1이므로 a=3, b=6
LECTURE
라 하면
다항식 f(x)를 다항식 g(x)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)
f(x)=g(x)Q(x)+R(x) (단, (R(x)의 차수)<(g(x)의 차수))
이때, f(x)가 n차, g(x)가 m차이면 Q(x)는 (n-m)차이고, R(x)는
(m-1)차 이하의 식이다.
예를 들어 f(x)가 4차, g(x)가 2차이면 Q(x)=ax€+bx+c,
R(x)=px+q로 놓고 항등식의 성질을 이용하여 Q(x), R(x)를 구한다.
03-2 a=1, b=-1
|해결 전략 | x‹의 계수가 2인 삼차식을 x€의 계수가 1인 이차식으로 나누었으므
로 몫을 x의 계수가 2인 일차식으로 놓는다. 한편, 나누어떨어진다는 것은 나머지
가 0임을 뜻한다.
2x‹+x€+ax+b의 최고차항의 계수가 2이고 x€+x+1의 최고차
항의 계수가 1이므로 2x‹+x€+ax+b를 x€+x+1로 나누었을 때
2x‹+x€+ax+b=2x‹+(c+2)x€+(c+2)x+c
이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교하면
의 몫을 2x+c (c는 상수)로 놓자.
이때, 나머지가 0이므로
2x‹+x€+ax+b=(x€+x+1)(2x+c)
우변을 전개하여 정리하면
1=c+2, a=c+2, b=c
c=-1이므로 a=1, b=-1
다른 풀이
직접 나눗셈을 하여 나머지가 0인 것을 이용한다.
2x-1
x€+x+1 œ∑2x‹+ x€+
2x‹+2x€+
∑ - x€+(a-2)x+b
x-1
ax+b
2x
- x€-
(a-1)x+b+1
즉, (a-1)x+b+1=0
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
a-1=0, b+1=0
∴ a=1, b=-1
012 정답과 해설
STEP
1
개념 드릴
| 40쪽 |
1 ⑴ 3 ⑵ -25 ⑶ -:¡8∞:
2 ⑴ -10 ⑵ 11 ⑶ ;2!;
3 ⑴ 1 ⑵ 3 ⑶ -1
4 ⑴ 1 ⑵ -4 ⑶ -1
1 ⑴ f(1)=1+1+2-1=3
⑵ f(-3)=-27+9-6-1=-25
⑶ f {-;2!;}=-;8!;+;4!;-1-1=-:¡8∞:
2 ⑴ f(-1)=-2-3-4-1=-10
⑵ f(2)=16-12+8-1=11
⑶ f {;2!;}=;4!;-;4#;+2-1=;2!;
3 ⑴ f(-1)=1에서 -1+a+2-1=1
⑵ f(1)=3에서 2-a+4=3
∴ a=3
∴ a=1
⑶ f {-;3!;}=2에서 ;9!;+;9A;-3+5=2
;9A;=-;9!;
∴ a=-1
4 ⑴ f(-1)=0에서 -2-a+3=0
⑵ f(3)=0에서 27+9a+9=0
∴ a=1
∴ a=-4
⑶ f {;2!;}=0에서 ;2!;-;2A;-1=0
∴ a=-1
∑
STEP
2
필수 유형
| 41쪽~44쪽 |
03-1 5
|해결 전략 | f(ax+b)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 x 대신 a를 대입하여
01-1 a=10, b=1
|해결 전략 | 다항식 f(x)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 f(a)이다.
f(x)=x‹+ax€+bx-2라 하면 나머지정리에 의하여
f(1)=10, f(-1)=6
f(1)=10에서
1+a+b-2=10
∴ a+b=11
f(-1)=6에서
-1+a-b-2=6
∴ a-b=9
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=10, b=1
åå ㉠
åå ㉡
01-2 -10
|해결 전략 | 나머지정리에 의하여 f {-;3@;}=5임을 이용하여 먼저 상수 a의 값을
구한다.
f(x)=-9x‹+ax+1에서 나머지정리에 의하여 f {-;3@;}=5이므로
2a
3
2a
3
+1=5,
;3*;-
따라서 f(x)=-9x‹-2x+1을 x-1로 나누었을 때의 나머지는 나
∴ a=-2
=-;3$;
머지정리에 의하여
f(1)=-9-2+1=-10
÷f(aa+b)의 값을 구한다.
÷f(2x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는
÷f(2_1)=÷f(2)
3x-1이므로
÷f(x)를 2x€-3x-2로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가
÷÷f(x) =(2x€-3x-2)Q(x)+3x-1
=(2x+1)(x-2)Q(x)+3x-1
…… ㉠
㉠의 양변에 x=2를 대입하면
÷f(2)=3_2-1=5
다른 풀이
㉠의 양변에 x 대신 2x를 대입하면
÷f(2x) =(4x+1)(2x-2)Q(2x)+6x-1
=2(4x+1)(x-1)Q(2x)+6(x-1)+5
=(x-1){2(4x+1)Q(2x)+6}+5
따라서 ÷f(2x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 5이다.
03-2 20
|해결 전략 | f(ax+b)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 x 대신 a를 대입하여
÷f(aa+b)의 값을 구한다.
÷f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 나머지정리에 의
02-1 -x+4
|해결 전략 | 다항식 f(x)를 이차식으로 나누었을 때의 나머지를 ax+b (a, b는
상수)로 놓는다.
한편, xf(x-2)를 x-5로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R
…… ㉠
f(x)를 (x+4)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를
xf(x-2)=(x-5)Q(x)+R
하여
÷f(3)=4
라 하면
양변에 x=5를 대입하면
R=5÷f(3)=5_4=20 (∵ ㉠)
따라서 구하는 나머지는 20이다.
ax+b (a, b는 상수)라 하면
f(x)=(x+4)(x-2)Q(x)+ax+b
이때, 나머지정리에 의하여 f(-4)=8, f(2)=2
f(-4)=8에서 -4a+b=8
f(2)=2에서 2a+b=2
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=4
åå ㉠
åå ㉡
따라서 f(x)를 (x+4)(x-2)로 나누었을 때의 나머지는 -x+4
이다.
상수)로 놓는다.
02-2 2x+3
|해결 전략 | 다항식 f(x)를 이차식으로 나누었을 때의 나머지를 ax+b (a, b는
f(x)를 x€-x-6으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b
(a, b는 상수)라 하면
f(x) =(x€-x-6)Q(x)+ax+b
=(x+2)(x-3)Q(x)+ax+b
이때, 나머지정리에 의하여 f(-2)=-1, f(3)=9
f(-2)=-1에서 -2a+b=-1
f(3)=9에서 3a+b=9
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=3
04-1 a=-7, b=6
|해결 전략 | 다항식 ÷f(x)가 (x-a)(x-b)로 나누어떨어지면 ÷f(a)=0,
÷f(b)=0이다.
÷f(x)=x‹+ax+b라 하면 ÷f(x)가 (x-2)(x+3)으로 나누어떨어
지므로 ÷f(x)는 x-2, x+3으로 각각 나누어떨어진다.
따라서 인수정리에 의하여
÷f(2)=0, f(-3)=0
÷f(2)=0에서
8+2a+b=0
∴ 2a+b=-8
÷f(-3)=0에서
-27-3a+b=0
∴ 3a-b=-27
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-7, b=6
다른 풀이
åå ㉠
åå ㉡
åå ㉠
åå ㉡
다항식 x‹+ax+b가 (x-2)(x+3)으로 나누어떨어지므로 x‹+ax+b를
(x-2)(x+3)으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면
따라서 f(x)를 x€-x-6으로 나누었을 때의 나머지는 2x+3이다.
x‹+ax+b=(x-2)(x+3)Q(x)
따라서 조립제법을 이용하면
2 항등식과 나머지정리 013
2
-3
1
0
2
2
-3
1 -1
1
a
4
a+4
3
a+7
b
2a+8
2a+b+8
2a+b+8=0, a+7=0이므로
a=-7, b=6
÷04-2 a=-9, b=12
|해결 전략 | 다항식 ÷f(x)가 (x-a)(x-b)를 인수로 가지면 ÷f(a)=0, ÷f(b)=0
이다.
÷f(x)=x›+ax€+bx-4라 하면 ÷f(x)는 x€-3x+2, 즉
(x-1)(x-2)를 인수로 갖는다.
따라서 ÷f(x)는 x-1과 x-2로 각각 나누어떨어지므로 인수정리에
1-2 -9
|해결 전략 | x를 y에 대한 식으로 나타낸 후 ax€+by€+6y+3=0에 대입한다.
x-y=1에서 x=y+1
åå ㉠
㉠을 ax€+by€+6y+3=0에 대입하면
a(y+1)€+by€+6y+3=0
∴ (a+b)y€+(2a+6)y+a+3=0
이 등식이 y에 대한 항등식이므로
a+b=0, 2a+6=0, a+3=0
∴ a=-3, b=3
∴ ab=-9
2-1 -6
|해결 전략 | 좌변을 전개하여 양변의 동류항의 계수를 비교한다.
주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면
3x€+5x-2=(a+1)x€+(b-2)x+c-3
양변의 동류항의 계수를 비교하면
a+1=3, b-2=5, c-3=-2
따라서 a=2, b=7, c=1이므로 a-b-c=-6
åå ㉠
åå ㉡
다항식 x›+ax€+bx-4가 (x-1)(x-2)로 나누어떨어지므로
x›+ax€+bx-4를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면
의 계수를 비교한다.
2-2 9
|해결 전략 | 우변을 전개하여 x에 대한 내림차순으로 정리한 후 양변의 동류항
의하여
÷f(1)=0, f(2)=0
÷f(1)=0에서
1+a+b-4=0
∴ a+b=3
÷f(2)=0에서
16+4a+2b-4=0
∴ 2a+b=-6
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-9, b=12
다른 풀이
x›+ax€+bx-4=(x-1)(x-2)Q(x)
따라서 조립제법을 이용하면
1
2
1
1
1
a
1
0
1
1 a+1
2
3 a+7 3a+b+15
b
a+1
a+b+1
2a+14
6
-4
a+b+1
a+b-3
a+b-3=0, 3a+b+15=0이므로
a=-9, b=12
주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면
3x€-ax-1=(b+c)x€-2(b+c)x+c
양변의 동류항의 계수를 비교하면
b+c=3, 2(b+c)=a, c=-1
따라서 a=6, b=4, c=-1이므로 a+b+c=9
다른 풀이
등식의 양변에 x=0을 대입하면 -1=c
등식의 양변에 x=1을 대입하면 2-a=-b
등식의 양변에 x=2를 대입하면 11-2a=c
따라서 a=6, b=4, c=-1이므로 a+b+c=9
3-1 a=-3, b=4
|해결 전략 | x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-1, x=2를 대입한다.
등식의 양변에 x=-1을 대입하면
0=-1+a+b
∴ a+b=1
등식의 양변에 x=2를 대입하면
0=8+4a+b
∴ 4a+b=-8
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=4
다른 풀이
(x+1)(x-2)f(x)=x‹+ax€+b에서
(x€-x-2)f(x)=x‹+ax€+b
이때, f(x)=x+c (c는 상수)로 놓으면
(x€-x-2)(x+c)=x‹+ax€+b
좌변을 전개하여 정리하면
x‹+(c-1)x€-(c+2)x-2c=x‹+ax€+b
양변의 동류항의 계수를 비교하면
c-1=a, c+2=0, -2c=b
c=-2이므로 a=-3, b=4
…… ㉠
…… ㉡
| 45쪽~47쪽 |
(k+3)x+2(1+k)y+5k-1=0의 좌변을 k에 대하여 정리하면
)k+(
) 꼴로 정리한다.
STEP
3
유형 드릴
1-1 -1
|해결 전략 | 주어진 식의 좌변을 (
(x+2y+5)k+(3x+2y-1)=0
이 등식이 k에 대한 항등식이므로
x+2y+5=0, 3x+2y-1=0
∴ x=3, y=-4
∴ x+y=-1
014 정답과 해설
3-2 a=7, b=12
|해결 전략 | x에 대한 항등식이므로 양변에 x€=3, x=-2를 대입한다.
우변을 전개하여 정리하면
2x‹+ax€+bx+3=2x‹+(c+2)x€+(c-2)x+2c+1
이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교하면
등식의 양변에 x€=3을 대입하면
0=9-3a+b
∴ 3a-b=9
등식의 양변에 x=-2를 대입하면
0=16-4a+b
∴ 4a-b=16
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=7, b=12
…… ㉠
…… ㉡
a=c+2, b=c-2, 3=2c+1
c=1이므로 a=3, b=-1
∴ a+b=2
등식의 양변에 x=1을 대입하면 32=aº+a¡+a™+ … +a¡º
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=3
∴ ab=6
4-2 -40
|해결 전략 | 주어진 등식은 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 x에 대한 항등식
÷f(x)=x‹-(a+3)x+7이라 하면 나머지정리에 의하여
4-1 33
|해결 전략 | 주어진 등식은 임의의 실수 x에 대하여 성립하므로 x에 대한 항등
식이다.
주어진 등식은 x에 대한 항등식이다.
등식의 양변에 x=0을 대입하면 -1=aº
∴ a¡+a™+a£+ … +a¡º =32-aº
=32-(-1)=33
이다.
주어진 등식은 x에 대한 항등식이다.
등식의 양변에 x=1을 대입하면
1=aº+a¡+a™+ … +a¡™
등식의 양변에 x=-1을 대입하면
81=aº-a¡+a™- … +a¡™
㉠-㉡을 하면
-80=2(a¡+a£+a∞+a¶+aª+a¡¡)
∴ a¡+a£+a∞+a¶+aª+a¡¡=-40
…… ㉠
…… ㉡
5-1 5
|해결 전략 | 나눗셈에 대한 등식을 세우고 f(1)=1임을 이용한다.
다항식 f(x)를 2x€-ax+1로 나누었을 때의 몫이 x+4, 나머지가
8x+3이므로
÷f(x)=(2x€-ax+1)(x+4)+8x+3
이 등식의 양변에 x=1을 대입하면
÷f(1)=(3-a)_5+11
이때, f(1)=1이므로 -5a+26=1
-5a=-25
∴ a=5
5-2 2
|해결 전략 | x‹의 계수가 2인 삼차식을 x€의 계수가 1인 이차식으로 나누었으므
로 몫을 x의 계수가 2인 일차식으로 놓는다.
2x‹+ax€+bx+3의 최고차항의 계수가 2이고 x€+x+2의 최고차
항의 계수가 1이므로 2x‹+ax€+bx+3을 x€+x+2로 나누었을
때의 몫을 2x+c (c는 상수)로 놓자.
이때, 나머지가 -6x+1이므로
2x‹+ax€+bx+3=(x€+x+2)(2x+c)-6x+1
6-1 6
|해결 전략 | f(1)=2, ÷f(-1)=4임을 이용한다.
÷f(x)=x‹-ax+b에서 나머지정리에 의하여
÷f(1)=2, f(-1)=4
÷f(1)=2에서 1-a+b=2
∴ a-b=-1
÷f(-1)=4에서 -1+a+b=4
∴ a+b=5
…… ㉠
…… ㉡
6-2 25
|해결 전략 | ÷f(2)=f(4)임을 이용한다.
÷f(2)=f(4)이므로
8-2(a+3)+7=64-4(a+3)+7
2a=50
∴ a=25
7-1 0
|해결 전략 | ÷f(-2)=3임을 이용하여 먼저 a의 값을 구한다.
다항식 ÷f(x)=x‹+x€+ax+1에서 나머지정리에 의하여
÷f(-2)=3이므로
-8+4-2a+1=3, -2a=6
∴ a=-3
따라서 ÷f(x)=x‹+x€-3x+1을 x-1로 나누었을 때의 나머지는
f(1)=1+1-3+1=0
7-2 -4
|해결 전략 | 나머지정리를 이용하여 a의 값을 구한 후 Q(-1)의 값을 구한다.
다항식 x‹+ax€-5x+3을 x-1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머
지가 -2이므로
x‹+ax€-5x+3=(x-1)Q(x)-2
…… ㉠
㉠의 양변에 x=1을 대입하면
1+a-5+3=-2
∴ a=-1
따라서 ㉠은 x‹-x€-5x+3=(x-1)Q(x)-2
…… ㉡
이때, Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 Q(-1)이므로
㉡의 양변에 x=-1을 대입하면
-1-1+5+3=-2Q(-1)-2
2Q(-1)=-8
∴ Q(-1)=-4
따라서 Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 -4이다.
다른 풀이
오른쪽과 같이 조립제법을 이용하여
x‹-x€-5x+3을 x-1로 나누었을 때의 몫
Q(x)를 구하면
1 1 -1 -5
3
0 -5
1
0 -5 -2
1
2 항등식과 나머지정리 015
따라서 Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는
Q(x)=x€-5
Q(-1)=1-5=-4
8-1 -2x+1
|해결 전략 | 나머지를 ax+b (a, b는 상수)로 놓고 f(1)=-1, f(-2)=5임
을 이용한다.
÷f(x)를 x€+x-2로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b
(a, b는 상수)라 하면
÷f(x) =(x€+x-2)Q(x)+ax+b
=(x+2)(x-1)Q(x)+ax+b
이때, 나머지정리에 의하여 f(1)=-1, f(-2)=5
÷f(1)=-1에서 a+b=-1
÷f(-2)=5에서 -2a+b=5
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=1
따라서 f(x)를 x€+x-2로 나누었을 때의 나머지는 -2x+1이다.
8-2 -2
|해결 전략 | 나머지를 R(x)=ax+b (a, b는 상수)로 놓고 f(2)=-1,
f(-3)=-6임을 이용한다.
÷f(x)를 (x-2)(x+3)으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지
R(x)를 ax+b (a, b는 상수)라 하면
÷f(x)=(x-2)(x+3)Q(x)+ax+b
이때, 나머지정리에 의하여 f(2)=-1, f(-3)=-6
÷f(2)=-1에서 2a+b=-1
÷f(-3)=-6에서 -3a+b=-6
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-3
따라서 R(x)=x-3이므로
R(1)=-2
9-1 -x
|해결 전략 | 나머지를 ax+b (a, b는 상수)로 놓고 f(1), f(3)의 값을 이용한다.
f(x)를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q¡(x),
(x-2)(x-3)으로 나누었을 때의 몫을 Q™(x)라 하면
f(x)=(x-1)(x-2)Q¡(x)-2x+1
f(x)=(x-2)(x-3)Q™(x)-3
…… ㉠
…… ㉡
이때, f(x)를 x€-4x+3, 즉 (x-1)(x-3)으로 나누었을 때의 몫
을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면
f(x)=(x-1)(x-3)Q(x)+ax+b
㉠에서 f(1)=-1, ㉡에서 f(3)=-3이므로
f(1)=a+b=-1, f(3)=3a+b=-3
두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=0
따라서 구하는 나머지는 -x이다.
016 정답과 해설
9-2 x-2
|해결 전략 | 나머지를 ax+b (a, b는 상수)로 놓고 f(-2), f(2)의 값을 이용
한다.
f(x)를 x€+x-2, 즉 (x+2)(x-1)로 나누었을 때의 몫을 Q¡(x),
x€-7x+10, 즉 (x-2)(x-5)로 나누었을 때의 몫을 Q™(x)라 하면
f(x)=(x+2)(x-1)Q¡(x)+5x+6
f(x)=(x-2)(x-5)Q™(x)
…… ㉠
…… ㉡
이때, f(x)를 x€-4, 즉 (x+2)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x),
나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면
f(x)=(x+2)(x-2)Q(x)+ax+b
㉠에서 f(-2)=-4, ㉡에서 f(2)=0이므로
f(-2)=-2a+b=-4, f(2)=2a+b=0
두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-2
따라서 구하는 나머지는 x-2이다.
…… ㉠
…… ㉡
참고
x€+x-2=(x+2)(x-1), x€-7x+10=(x-2)(x-5)이므로 f(-2),
f(1), f(2), f(5)의 값을 알 수 있다.
10-1 8
|해결 전략 | f(ax+b)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 ÷f(aa+b)이다.
÷f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 2이므로 나머지정리에 의
한편, xf(x-3)을 x-4로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라
…… ㉠
하여
÷f(1)=2
하면
…… ㉠
…… ㉡
xf(x-3)=(x-4)Q(x)+R
양변에 x=4를 대입하면
R=4÷f(1)=4_2=8 (∵ ㉠)
따라서 구하는 나머지는 8이다.
10-2 6
|해결 전략 | f(ax+b)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 ÷f(aa+b)이다.
÷f(x)를 x€-3x+2로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면
÷f(x) =(x€-3x+2)Q(x)+5x-4
=(x-1)(x-2)Q(x)+5x-4
…… ㉠
한편, ÷÷f(3x+5)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는
÷f(3_(-1)+5)=÷f(2)
㉠에서 ÷÷f(2)=6이므로 구하는 나머지는 6이다.
다른 풀이
㉠의 양변에 x 대신 3x+5를 대입하면
÷f(3x+5) ={(3x+5)-1}{(3x+5)-2}Q(3x+5)+5(3x+5)-4
=(3x+4)(3x+3)Q(3x+5)+15x+21
=3(x+1)(3x+4)Q(3x+5)+15(x+1)+6
=(x+1){3(3x+4)Q(3x+5)+15}+6
따라서 ÷f(3x+5)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 6이다.
11-1 4
|해결 전략 | 다항식 f(x)가 x-a를 인수로 가지면 f(a)=0이다.
f(x)=x‹+ax+2가 x+2를 인수로 가지므로 인수정리에 의하여
f(-2)=0
-8-2a+2=0
∴ a=-3
따라서 f(x)=x‹-3x+2를 x-2로 나누었을 때의 나머지는
f(2)=8-6+2=4
3
| 인수분해
1
인수분해
개념 확인
1 ⑴ ab(5-3a€) ⑵ (1-a)(2-b) ⑶ (1+x)(1+y)
2 ⑴ (x+1)‹ ⑵ (x-3y)‹ ⑶ (x-2)(x€+2x+4)
50쪽~54쪽
11-2 4
|해결 전략 | f(x)=x‹+ax€-6x+b로 놓고 인수정리와 나머지정리에 의하여
⑷ (x+2y+z)€
f(2)=0, f(1)=-1임을 이용한다.
3 ⑴ (a+b-1)€ ⑵ (x+1)(x-1)(x€-3)
f(x)=x‹+ax€-6x+b라 하면 인수정리와 나머지정리에 의하여
⑶ (x€+2x-2)(x€-2x-2)
4 ⑴ (a+b)(b+c) ⑵ (a-b)(a+c)
5 ㈎ x-1 ㈏ 3
f(2)=0, f(1)=-1
f(2)=0에서
8+4a-12+b=0
∴ 4a+b=4
f(1)=-1에서
1+a-6+b=-1
∴ a+b=4
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=4
∴ b-a=4
…… ㉠
…… ㉡
1 ⑴ 5ab-3a‹b=ab(5-3a€)
⑵ 2(1-a)+b(a-1) =2(1-a)-b(1-a)
⑶ 1+x+y+xy =(1+x)+y(1+x)
=(1-a)(2-b)
=(1+x)(1+y)
12-1 -3
|해결 전략 | f(x)=x‹+2x€+ax+b로 놓으면 f(x)가 (x+1)(x+2)로 나
누어떨어지므로 f(-1)=0, f(-2)=0이다.
÷f(x)=x‹+2x€+ax+b라 하면 f(x)가 (x+1)(x+2)로 나누어
떨어지므로
÷f(-1)=0, f(-2)=0
÷f(-1)=0에서
-1+2-a+b=0
∴ -a+b=-1
÷f(-2)=0에서
-8+8-2a+b=0
∴ -2a+b=0
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=-2
∴ a+b=-3
2 ⑴ x‹+3x€+3x+1 =x‹+3_x€_1+3_x_1€+1‹
=(x+1)‹
⑵ x‹-9x€y+27xy€-27y‹
=x‹-3_x€_3y+3_x_(3y)€-(3y)‹
=(x-3y)‹
⑶ x‹-8 =x‹-2‹
=(x-2)(x€+x_2+2€)
=(x-2)(x€+2x+4)
⑷ x€+4y€+z€+4xy+4yz+2zx
…… ㉠
…… ㉡
=x€+(2y)€+z€+2_x_2y+2_2y_z+2_z_x
=(x+2y+z)€
12-2 0
|해결 전략 | f(x)=x›+ax‹+bx€+3으로 놓으면 f(x)가 x€-1, 즉
(x+1)(x-1)로 나누어떨어지므로 f(-1)=0, f(1)=0이다.
÷f(x)=x›+ax‹+bx€+3이라 하면 f(x)가 x€-1, 즉 (x+1)(x-1)
=(X-1)€
로 나누어떨어지므로
÷f(-1)=0, f(1)=0
÷f(-1)=0에서
÷f(1)=0에서
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=-4
∴ ab=0
1-a+b+3=0
∴ -a+b=-4
…… ㉠
=(x€-1)(x€-3)
X=x€ 대입
1+a+b+3=0
∴ a+b=-4
…… ㉡
⑶ x›-8x€+4 =(x›-4x€+4)-4x€
3 ⑴ (a+b)€-2(a+b)+1 =X€-2X+1
a+b=X로 치환
=(a+b-1)€
X=a+b 대입
⑵ x›-4x€+3 =X€-4X+3
x€=X로 치환
=(X-1)(X-3)
=(x+1)(x-1)(x€-3)
=(x€-2)€-(2x)€
A€-B€ 꼴로 변형
=(x€+2x-2)(x€-2x-2)
3 인수분해 017
4 ⑴ ab+ac+b€+bc =a(b+c)+b(b+c)
⑵ a€-ab+ac-bc =c(a-b)+a(a-b)
=(a+b)(b+c)
=(a-b)(a+c)
⑵ (x-y)€-2(x-y)-3
=X€-2X-3
x-y=X로 치환
=(X+1)(X-3)
=(x-y+1)(x-y-3)
X=x-y 대입
⑶ (a€-a)€-4(a€-a)+4
=X€-4X+4
a€-a=X로 치환
=(X-2)€
=(a€-a-2)€
X=a€-a 대입
=(a+1)€(a-2)€
STEP
1
개념 드릴
4 ⑴ x›+x€-12 =X€+X-12
x€=X로 치환
| 55쪽 |
=(X+4)(X-3)
=(x€+4)(x€-3)
X=x€ 대입
1 ⑴ (2a-3b)€ ⑵ (6a+5b)(6a-5b) ⑶ (3a+2)(2a-1)
⑵ x›+5x€+4 =X€+5X+4
x€=X로 치환
2 ⑴ (2x+1)‹ ⑵ (5x-y)‹ ⑶ (a+4)(a€-4a+16)
⑷ (3x-2y)(9x€+6xy+4y€) ⑸ (x+2y+3z)€
⑹ (a+b+1)€
3 ⑴ (a+b+1)€ ⑵ (x-y+1)(x-y-3) ⑶ (a+1)€(a-2)€
4 ⑴ (x€+4)(x€-3) ⑵ (x€+1)(x€+4)
⑶ (x€+x-1)(x€-x-1)
5 ⑴ (a+b)(a-b+c) ⑵ (a-b)(a-b+c)
⑶ (a-2c)(a+b+2c)
1 ⑴ 4a€-12ab+9b€ =(2a)€-2_2a_3b+(3b)€
=(2a-3b)€
⑵ 36a€-25b€ =(6a)€-(5b)€
=(6a+5b)(6a-5b)
⑶ 6a€+a-2=(3a+2)(2a-1)
2 ⑴ 8x‹+12x€+6x+1 =(2x)‹+3_(2x)€_1+3_2x_1€+1‹
⑶ x›-3x€+1 =(x›-2x€+1)-x€
=(X+1)(X+4)
=(x€+1)(x€+4)
X=x€ 대입
=(x€-1)€-x€
A€-B€ 꼴로 변형
=(x€+x-1)(x€-x-1)
5 ⑴ a€-b€+ac+bc =c(a+b)+a€-b€
=c(a+b)+(a+b)(a-b)
=(a+b)(a-b+c)
⑵ a€+b€+ac-bc-2ab =c(a-b)+a€-2ab+b€
=c(a-b)+(a-b)€
=(a-b)(a-b+c)
⑶ a€+ab-2bc-4c€ =b(a-2c)+a€-4c€
=b(a-2c)+(a+2c)(a-2c)
=(a-2c)(a+b+2c)
=(2x+1)‹
⑵ 125x‹-75x€y+15xy€-y‹
=(5x)‹-3_(5x)€_y+3_5x_y€-y‹
=(5x-y)‹
⑶ a‹+64 =a‹+4‹
=(a+4)(a€-4a+16)
⑷ 27x‹-8y‹ =(3x)‹-(2y)‹
=(3x-2y)(9x€+6xy+4y€)
⑸ x€+4y€+9z€+4xy+12yz+6zx
=(x+2y+3z)€
⑹ a€+b€+2ab+2a+2b+1
=(a+b+1)€
3 ⑴ (a+b)€+2(a+b)+1
=X€+2X+1
a+b=X로 치환
=(X+1)€
=(a+b+1)€
X=a+b 대입
018 정답과 해설
=x€+(2y)€+(3z)€+2_x_2y+2_2y_3z+2_3z_x
STEP
2
필수 유형
| 56쪽~61쪽 |
=a€+b€+1€+2_a_b+2_b_1+2_1_a
01-1 ⑴ (a+b-c)(a€+b€+c€-ab-2bc+ca)
⑵ (x-3y)(x€+9y€+3xy-x+3y)
⑶ (2a-b+2c)€
⑷ (x+2y+4)(x€+4y€-2xy-4x-8y+16)
|해결 전략 | 공통인수로 묶고 인수분해 공식을 이용한다.
⑴ a‹+(b-c)‹ =(a+b-c){a€-a_(b-c)+(b-c)€}
=(a+b-c)(a€+b€+c€-ab-2bc+ca)
⑵ x‹-x€+6xy-27y‹-9y€
=x‹-(3y)‹-(x€-6xy+9y€)
=(x-3y){x€+x_3y+(3y)€}-(x-3y)€
=(x-3y){(x€+3xy+9y€)-(x-3y)}
=(x-3y)(x€+9y€+3xy-x+3y)
⑶ 4a€+b€+4c€-4ab-4bc+8ca
03-1 ⑴ (x€+2)(x+2)(x-2)
⑵ (x€+3x-6)(x€-3x-6)
⑶ (x€+3x+5)(x€-3x+5)
⑷ (x€+2xy+2y€)(x€-2xy+2y€)
|해결 전략 | x€=X로 치환하여 인수분해되지 않으면 A€-B€ 꼴로 변형하여
인수분해한다.
= (2a)€+(-b)€+(2c)€+2_2a_(-b)+2_(-b)_2c
⑴ x›-2x€-8 =X€-2X-8
x€=X로 치환
+2_2c_2a
=(X+2)(X-4)
=(2a-b+2c)€
⑷ x‹+8y‹-24xy+64
=(x€+2)(x€-4)
X=x€ 대입
=(x€+2)(x+2)(x-2)
=x‹+(2y)‹+4‹-3_x_2y_4
⑵ x›-21x€+36 =(x›-12x€+36)-9x€
=(x+2y+4)(x€+4y€-2xy-4x-8y+16)
=(x€+2x-4)(x€+2x-7)
X=x€+2x 대입
하고, 차수가 같으면 어느 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.
|해결 전략 | 문자의 차수가 다르면 낮은 차수의 문자에 대하여 내림차순으로 정리
02-1 ⑴ (x€+5x+8)(x€+5x-2)
⑵ (x€+2x-4)(x€+2x-7)
|해결 전략 | ⑴ 공통부분을 X로 치환한 후 인수분해한다.
⑵ 공통부분이 생기도록 식을 묶어 전개한 후 공통부분을 X로 치환한다.
⑴ (x€+5x+4)(x€+5x+2)-24
=(X+4)(X+2)-24
x€+5x=X로 치환
=X€+6X-16
=(X+8)(X-2)
=(x€+5x+8)(x€+5x-2)
X=x€+5x 대입
⑵ (x-1)(x-2)(x+3)(x+4)+4
={(x-1)(x+3)}{(x-2)(x+4)}+4
=(x€+2x-3)(x€+2x-8)+4
=(X-3)(X-8)+4
x€+2x=X로 치환
=X€-11X+28
=(X-4)(X-7)
02-2 9
|해결 전략 | 이차식 x€+bx+c가 완전제곱 꼴이 되려면 c={;2B;}
€
이어야 한다.
(x+1)(x+2)(x-4)(x-5)+k
={(x+1)(x-4)}{(x+2)(x-5)}+k
=(x€-3x-4)(x€-3x-10)+k
=(X-4)(X-10)+k
x€-3x=X로 치환
=X€-14X+40+k
…… ㉠
주어진 식이 x에 대한 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되려면
㉠이 X에 대한 완전제곱식이 되어야 하므로
40+k=7€
4 k=9
참고
k=9일 때
(주어진 식) =X€-14X+49
=(X-7)€
=(x€-3x-7)€
X=x€-3x 대입
이므로 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되는 것을 확인할 수 있다.
=(x€-6)€-(3x)€
A€-B€ 꼴로 변형
=(x€+3x-6)(x€-3x-6)
⑶ x›+x€+25 =(x›+10x€+25)-9x€
=(x€+5)€-(3x)€
A€-B€ 꼴로 변형
=(x€+3x+5)(x€-3x+5)
⑷ x›+4y› =(x›+4x€y€+4y›)-4x€y€
=(x€+2y€)€-(2xy)€
A€-B€ 꼴로 변형
=(x€+2xy+2y€)(x€-2xy+2y€)
04-1 ⑴ (a€+b)(c-ab)
⑵ (x+3y-2)(x+y+1)
⑶ (x-y)(x-y+2z)
⑷ (a+b)(b+c)(a-c)
⑴ a€c-ab€-a‹b+bc =(a€+b)c-ab€-a‹b
=(a€+b)c-ab(a€+b)
=(a€+b)(c-ab)
⑵ x€+4xy+3y€-x+y-2
=x€+(4y-1)x+3y€+y-2
=x€+(4y-1)x+(3y-2)(y+1)
=(x+3y-2)(x+y+1)
⑶ x€+y€-2yz+2zx-2xy
=2(x-y)z+x€-2xy+y€
=2(x-y)z+(x-y)€
=(x-y)(x-y+2z)
⑷ ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c-a)
=a€b+ab€-b€c-bc€-c€a+ca€
=(b+c)a€+(b€-c€)a-bc(b+c)
=(b+c)a€+(b-c)(b+c)a-bc(b+c)
=(b+c){a€+(b-c)a-bc}
=(b+c)(a+b)(a-c)
=(a+b)(b+c)(a-c)
3 인수분해 019
|해결 전략 | f(a)=0을 만족시키는 a의 값을 찾은 후 인수정리와 조립제법을 이
05-1 ⑴ (x-2)(x+2)(x-3)
⑵ (x-1)(x+3)(2x+1)
⑶ (x-1)(x+1)(x+2)(x+3)
용하여 인수분해한다.
⑴ f(x)=x‹-3x€-4x+12로 놓으면
f(2)=8-12-8+12=0
이므로 f(x)는 x-2를 인수로 갖는다.
따라서 오른쪽과 같이 조립제법을 이 2 1 -3 -4
용하여 f(x)를 인수분해하면
12
2 -2 -12
0
1 -1 -6
x‹-3x€-4x+12
STEP
3
유형 드릴
| 62쪽~63쪽 |
1-1 ③
|해결 전략 | 인수분해 공식을 이용하여 좌변을 인수분해한다.
③ 27x‹+8y‹ =(3x)‹+(2y)‹
=(3x+2y)(A9x€-6xy+A4y€)
=(x-2)(x€-x-6)
=(x-2)(x+2)(x-3)
⑵ f(x)=2x‹+5x€-4x-3으로 놓으면
f(1)=2+5-4-3=0
이므로 f(x)는 x-1을 인수로 갖는다.
따라서 오른쪽과 같이 조립제법을 이용
1 2
하여 f(x)를 인수분해하면
2x‹+5x€-4x-3
=(x-1)(2x€+7x+3)
=(x-1)(x+3)(2x+1)
1-2 ⑤
|해결 전략 | 인수분해 공식을 이용하여 좌변을 인수분해한다.
① ax-ay+3by-3bx =a(x-y)-3b(x-y)
=(x-y)(a-3b)
-
② (2a-3)‹=(2a)‹-3_(2a)€_3+3_2a_3€-3‹
5 -4 -3
3
7
2
0
3
7
2
=8a‹-36a€+54a-27
이므로
8a‹-12a€+27a-27+(2a-3)‹
③ 8x‹+1=(2x+1)(4x€-2x+1)
+
-
④ a€+b€+c€-2ab-2bc+2ca=(a-b+c)€
- +
⑶ f(x)=x›+5x‹+5x€-5x-6으로 놓으면
f(1)=1+5+5-5-6=0,
f(-1)=1-5+5+5-6=0
이므로 f(x)는 x-1, x+1을 인수로 갖는다.
따라서 오른쪽과 같이 조립제법
을 이용하여 f(x)를 인수분해
하면
x›+5x‹+5x€-5x-6
=(x-1)(x+1)(x€+5x+6)
=(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)
1 1
-1 1
1
5
1
6 11
5 -5 -6
6 11
6
0
6
-1 -5 -6
0
5
6
2-1 ⑤
|해결 전략 | 공통부분을 X로 치환한 후 인수분해한다.
(x€+x-5)(x€+x-3)-3
=(X-5)(X-3)-3
x€+x=X로 치환
=X€-8X+12
=(X-2)(X-6)
=(x€+x-2)(x€+x-6)
X=x€+x 대입
=(x-1)(x+2)(x-2)(x+3)
06-1 ⑴ 100 ⑵ -27
|해결 전략 | ⑴ 103=x로 놓은 후 인수분해 공식을 이용한다.
⑵ a€-b€=(a-b)(a+b)임을 이용한다.
x€-x+1
_ (x+1)(x€-x+1)
x€-x+1
⑴ 103=x로 놓으면
101€-1
103€-1
_ 103‹+1
103€-103+1
_ x‹+1
=
(x-2)€-1
x€-1
=
(x-1)(x-3)
(x-1)(x+1)
=x-3
=103-3=100
⑵ 2€-3€+4€-5€+6€-7€
=-1_(5+9+13)
=-27
020 정답과 해설
따라서 주어진 보기 중 (x€+x-5)(x€+x-3)-3의 인수가 아닌
것은 ⑤ (x-1)(x€+x-2)이다.
참고
(x-1)(x+2)(x-2)(x+3)에서
③ x€-4=(x+2)(x-2)이므로 인수이다.
④ (x+2)(x€+x-6)=(x+2)(x-2)(x+3)이므로 인수이다.
2-2 -6
|해결 전략 | 공통부분을 X로 치환한 후 인수분해한다.
(x€-x+1)€-16(x€-x)+23
=(X+1)€-16X+23
x€-x=X로 치환
=X€-14X+24
=(X-2)(X-12)
=(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)
4 a+b=-2+(-4)=-6
=(2-3)(2+3)+(4-5)(4+5)+(6-7)(6+7)
=(x€-x-2)(x€-x-12)
X=x€-x 대입
3-1 41
|해결 전략 | 공통부분이 나타나도록 식을 묶어 전개한 후 공통부분을 X로 치환
5-1 2a+b+3
|해결 전략 | 어느 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.
=(X+4)(X+6)-8
x€-5x=X로 치환
따라서 두 일차식의 합은
3-2 16
|해결 전략 | 이차식 x€+bx+c가 완전제곱 꼴이 되려면 c={;2B;}
€
이어야 한다.
=(x+3y+1)€
주어진 식이 x에 대한 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되려면
f(x)=x‹+ax€-7x+12로 놓으면 f(x)가 x-3을 인수로 가지므
6-1 3
|해결 전략 | f(x)=x‹+ax€-7x+12로 놓으면 f(x)는 x-3을 인수로 갖는
åå ㉠
다.
(주어진 식) =X€+22X+121
=(X+11)€
=(x€-8x+11)€
X=x€-8x 대입
이므로 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되는 것을 확인할 수 있다.
f(x)를 인수분해하면
f(x)=(x-3)(x€+x-4)
따라서 b=1이므로 b-a=3
다른 풀이
한다.
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-8
={(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-3)}-8
=(x€-5x+4)(x€-5x+6)-8
=X€+10X+16
=(X+2)(X+8)
=(x€-5x+2)(x€-5x+8)
X=x€-5x 대입
4 ac+bd=(-5)_(-5)+2_8=41
(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+k
={(x-1)(x-7)}{(x-3)(x-5)}+k
=(x€-8x+7)(x€-8x+15)+k
=(X+7)(X+15)+k
x€-8x=X로 치환
=X€+22X+105+k
㉠이 X에 대한 완전제곱식이 되어야 하므로
105+k=11€
4 k=16
참고
k=16일 때
4-1 9
|해결 전략 | x€항을 쪼개서 A€-B€ 꼴로 변형하여 인수분해한다.
x›-7x€+9 =(x›-6x€+9)-x€
=(x€-3)€-x€
A€-B€ 꼴로 변형
=(x€+x-3)(x€-x-3)
따라서 a=1, b=-3, c=-3이므로
abc=9
4-2 -1
|해결 전략 | x€항을 더하고 빼서 A€-B€ 꼴로 변형하여 인수분해한다.
x›+9x€+25 =(x›+10x€+25)-x€
=(x€+5)€-x€
A€-B€ 꼴로 변형
=(x€+x+5)(x€-x+5)
따라서 a=5, b=-1, c=5이므로
a+b-c=-1
a€+ab-2b€+3a+3b+2 =a€+(b+3)a-(2b€-3b-2)
=a€+(b+3)a-(b-2)(2b+1)
={a-(b-2)}{a+(2b+1)}
=(a-b+2)(a+2b+1)
(a-b+2)+(a+2b+1)=2a+b+3
5-2 4
|해결 전략 | 어느 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.
x€+9y€+1+6xy+2x+6y
=x€+2(3y+1)x+(9y€+6y+1)
=x€+2(3y+1)x+(3y+1)€
x€+2Ax+A€ 꼴
따라서 a=3, b=1이므로 a+b=4
로 f(3)=0에서
27+9a-21+12=0
4 a=-2
4 f(x)=x‹-2x€-7x+12
오른쪽과 같이 조립제법을 이용하여
3 1 -2 -7
12
3 -12
0
3
1 -4
1
x‹+ax€-7x+12=(x-3)(x€+bx-4)이므로 우변을 전개하면
x‹+ax€-7x+12=x‹+(b-3)x€-(3b+4)x+12
이 식은 x에 대한 항등식이므로 양변의 계수를 비교하면
a=b-3, 7=3b+4
두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=1이므로 b-a=3
6-2 -6
|해결 전략 | g(x)=2x›-5x‹-5x€+ax+3으로 놓으면 g(x)는 x-1, x+1
g(x)=2x›-5x‹-5x€+ax+3으로 놓으면 g(x)가 x-1, x+1을
을 인수로 갖는다.
인수로 가지므로
g(1)=0, g(-1)=0
g(1)=0에서 2-5-5+a+3=0
4 a=5
4 g(x)=2x›-5x‹-5x€+5x+3
오른쪽과 같이 조립제법을 이용하여
g(x)를 인수분해하면
g(x)=(x-1)(x+1)(2x€-5x-3)
따라서 f(x)=2x€-5x-3이므로
f(1)=2-5-3=-6
1 2 -5 -5
5
3
2 -3 -8 -3
0
-1 2 -3 -8 -3
3
-2
0
5
2 -5 -3
3 인수분해 021
주의
이다.
2x›-5x‹-5x€+5x+3=(x-1)(x+1)f(x)
…… ㉠
f(1)의 값을 구하기 위해 ㉠의 양변에 x=1을 대입하지 않도록 주의한다.
왜냐하면 x=1을 대입하면 0=0_f(1)이 되어 f(1)의 값을 구할 수 없기 때문
| 복소수4
7-1 111
|해결 전략 | 11=x로 놓은 후 인수분해 공식을 이용한다.
11=x로 놓으면
11›+11€+1
11_12+1
x›+x€+1
x(x+1)+1
=
=
(x€+x+1)(x€-x+1)
x€+x+1
=x€-x+1
=11€-11+1=111
참고
x›+x€+1=(x›+2x€+1)-x€
=(x€+1)€-x€
=(x€+x+1)(x€-x+1)
7-2 -180
|해결 전략 | a€-b€=(a-b)(a+b)임을 이용한다.
10€-12€+14€-16€+18€-20€
=(10€-12€)+(14€-16€)+(18€-20€)
= (10-12)(10+12)+(14-16)(14+16)+(18-20)(18+20)
=-2(22+30+38)=-180
8-1 a=c인 이등변삼각형
|해결 전략 | 좌변을 인수분해하여 a, b, c 사이의 관계식을 찾는다.
a‹+a€b-c€a-bc€ =b(a€-c€)+a(a€-c€)
=(a€-c€)(a+b)
=(a-c)(a+c)(a+b)
즉, (a-c)(a+c)(a+b)=0
이때, a>0, b>0, c>0에서 a+b+0, a+c+0이므로
a-c=0
4 a=c
따라서 1ABC는 a=c인 이등변삼각형이다.
8-2 ;2!;ac
|해결 전략 | 좌변을 인수분해하여 a, b, c 사이의 관계식을 찾는다.
a‹-b‹+a€b-ab€+ac€+bc€ =c€(a+b)+a‹+a€b-ab€-b‹
=c€(a+b)+a€(a+b)-b€(a+b)
=(a+b)(a€-b€+c€)
즉, (a+b)(a€-b€+c€)=0
이때, a>0, b>0에서 a+b+0이므로
a€-b€+c€=0
4 b€=a€+c€
따라서 1ABC는 b를 빗변의 길이로 하는 직각삼각형이므로 넓이는
;2!;ac이다.
022 정답과 해설
66쪽~70쪽
1
복소수의 뜻과 그 연산
개념 확인
1 ⑴ 실수부분: '5, 허수부분: 0
⑵ 실수부분: -1, 허수부분: -1
⑶ 실수부분: '2, 허수부분: 2
⑷ 실수부분: 0, 허수부분: -4
실수: ⑴, 허수: ⑵, ⑶, ⑷
2 x=0, y=-1
3 ⑴ 3+2i ⑵ -i-'2 ⑶ -2 ⑷ -5i
4 ⑴ 3+6i ⑵ 2-2i ⑶ -2+7i ⑷ -4
5 ⑴ -3+2i ⑵ 8+2i ⑶ 1+i ⑷ ;5!;-;5*;i
6 ⑴ 2 ⑵ 5
7 ⑴ 5-3i ⑵ 10-10i
1 ⑴ '5='5+0_i이므로 '5의 실수부분은 '5, 허수부분은 0이고,
⑵ -1-i의 실수부분은 -1, 허수부분은 -1이고, -1-i는 허
'5는 실수이다.
수이다.
⑶ '2+2i의 실수부분은 '2, 허수부분은 2이고, '2+2i는 허수이다.
⑷ -4i=0-4i이므로 -4i의 실수부분은 0, 허수부분은 -4이
고, -4i는 허수이다.
따라서 ⑴~⑷의 복소수 중 실수는 ⑴, 허수는 ⑵, ⑶, ⑷이다.
2 2x=0, y+1=0이므로 x=0, y=-1
3 ⑴ 3-2i’=3+2i
⑵ i-'2 ’=-i-'2
⑶ -2=-2+0_i이므로 -2’=-2
⑷ 5i=0+5i이므로 5i’=-5i
4 ⑴ (1+i)+(2+5i)=(1+2)+(1+5)i=3+6i
⑵ (3+i)+(-1-3i)=(3-1)+(1-3)i=2-2i
⑶ 2i-(2-5i)=(0-2)+(2+5)i=-2+7i
⑷ i-(4+i)=(0-4)+(1-1)i=-4
5 ⑴ i(2+3i)=2i+3i€=-3+2i
⑵ (1-i)(3+5i) =3+5i-3i-5i€
=3+5i-3i+5=8+2i
⑶
2
1-i
=
2(1+i)
(1-i)(1+i)
=
2(1+i)
1€-i€
=
2(1+i)
2
=1+i
⑷
2-3i
2+i
=
(2-3i)(2-i)
(2+i)(2-i)
=
4-2i-6i+3i€
2€-i€
=
1-8i
5
=;5!;-;5*;i
6 z=1+2i이므로 z“=1-2i
⑴ z+z“=(1+2i)+(1-2i)=2
⑵ zz“=(1+2i)(1-2i)=1-4i€=5
7 ⑴ z¡+z™’ =z¡’+z™’=(3+i)+(2-4i)
=(3+2)+(1-4)i=5-3i
⑵ z¡z™’ =z¡’_z™’=(3+i)(2-4i)
=6-12i+2i-4i€=10-10i
STEP
1
개념 드릴
| 71쪽~72쪽 |
1 ⑴ 실수부분: 3, 허수부분: 6
⑵ 실수부분: -'5, 허수부분: 2
⑶ 실수부분: -8, 허수부분: 0
⑷ 실수부분: 0, 허수부분: 4
⑸ 실수부분: 5, 허수부분: -2
⑹ 실수부분: 0, 허수부분: -3
2 ⑴ 5+'3, '2
3
⑵ 9i, -'5 i ⑶ '2+4i, i€-i
3 ⑴ x=-3, y=-4 ⑵ x=1, y=-;3!;
⑶ x=1, y=8 ⑷ x=-1, y=-4
4 ⑴ -3-11i ⑵ -9i+1 ⑶ 4
⑷ '2i ⑸ ;2!;-;3%;i ⑹ -3i-'2
5 ⑴ 5+2i ⑵ -4 ⑶ 7+4i
6 ⑴ 1+5i ⑵ -7-7i ⑶ 1-i
7 ⑴ -5+5i ⑵ 4+3i ⑶ 6
8 ⑴ -;1£3;+;1™3;i ⑵ '2-i ⑶ -;2!;+ '3
2
i ⑷ ;5!;-
2'6
5
i
1 ⑴ 3+6i의 실수부분은 3, 허수부분은 6이다.
⑵ -'5+2i의 실수부분은 -'5, 허수부분은 2이다.
⑶ -8=-8+0_i이므로 -8의 실수부분은 -8, 허수부분은 0
이다.
⑷ 'ß16i=0+4i이므로 'ß16i의 실수부분은 0, 허수부분은 4이다.
⑸ 5-2i의 실수부분은 5, 허수부분은 -2이다.
⑹ -3i=0-3i이므로 -3i의 실수부분은 0, 허수부분은 -3이다.
2 ⑶ i €-i=-1-i이므로 i €-i는 순허수가 아닌 허수이다.
3 ⑴ -x=3, y=-4이므로 x=-3, y=-4
⑵ x-1=0, 3y+1=0이므로 x=1, y=-;3!;
⑶ 2x+1=3, y-3=5이므로 x=1, y=8
⑷ x+y=-5, x-y=3이므로 x=-1, y=-4
4 ⑴ -3+11i’=-3-11i
⑵ 9i+1’=-9i+1
⑶ 4=4+0_i이므로 4“=4
⑷ -'2i=0-'2i이므로 -'2i’='2i
⑸ ;2!;+;3%;i
=;2!;-;3%;i
⑹ 3i-'2 ’=-3i-'2
5 ⑴ (3-i)+(2+3i)=(3+2)+(-1+3)i=5+2i
⑵ (4i-2)+(-2-4i) =(-2-2)+(4-4)i
=-4
⑶ 4-6i’+(3-2i) =(4+6i)+(3-2i)
=(4+3)+(6-2)i=7+4i
6 ⑴ (2+i)-(1-4i)=(2-1)+(1+4)i=1+5i
⑵ (-3-2i)-(4+5i) =(-3-4)+(-2-5)i
⑶ (5-4i)-4+3i’ =(5-4i)-(4-3i)
=-7-7i
=(5-4)+(-4+3)i=1-i
7 ⑴ (-1+3i)(2+i) =-2-i+6i+3i€
=-2-i+6i-3=-5+5i
⑵ (2-i)(1+2i) =2+4i-i-2i€
=2+4i-i+2=4+3i
⑶ (1+'5 i)(1-'5 i) =1€-('5 i)€=1-5i €
=1+5=6
8 ⑴
i
2-3i
=
i(2+3i)
(2-3i)(2+3i)
=
2i+3i€
2€-(3i)€
=
-3+2i
13
=-;1£3;+;1™3;i
⑵
3
'2+i
=
=
=
3('2-i)
('2+i)('2-i)
3('2-i)
3
='2-i
3('2-i)
('2 )€-i€
⑶
1+'3 i
1-'3 i
⑷ '3-'2 i
'3+'2 i
=
=
=
=-;2!;+ '3
(1+'3 i)€
(1-'3 i)(1+'3 i)
-2+2'3 i
4
('3-'2 i)€
('3+'2 i)('3-'2 i)
1-2'6 i
2'6
5
5
=;5!;-
2
i
=
=
i
1+2'3 i+3i €
1€-('3 i) €
=
3-2'6 i+2i €
('3 )€-('2 i) €
4 복소수 023
’
STEP
2
필수 유형
| 73쪽~78쪽 |
01-1 ⑴ 1+10i ⑵ 10 ⑶ 7+i
|해결 전략 | i를 문자처럼 생각하고 계산한 후 i€=-1임을 이용한다.
⑴ i-7+(2-5i)(-1+2i) =-7+i+(-2+4i+5i-10i €)
⑵ (3+2i)€-(2+3i)€ =(9+12i+4i€)-(4+12i+9i €)
=-7+i+(-2+4i+5i+10)
=-7+i+(8+9i)
=1+10i
=(9+12i-4)-(4+12i-9)
=(5+12i)-(-5+12i)
=10
⑶
3+i
1-i
=
(3+i)(1+i)
(1-i)(1+i)
=
3+3i+i+i€
1€-i€
=
2+4i
2
=1+2i
1+6i
i
=
(1+6i)i
i_i
=
i+6i€
i€
=
-6+i
-1
=6-i
⑵ z =(1-xi)(-4+i)
=-4+i+4xi-xi €
=(x-4)+(4x+1)i
z가 실수가 되려면 4x+1=0이어야 하므로
x=-;4!;
z가 순허수가 되려면 x-4=0, 4x+1+0이어야 하므로
∴ a=-;4!;
x=4
∴ b=4
02-2 1
|해결 전략 | a+bi (a, b는 실수)가 순허수일 때 a=0, b+0임을 이용한다.
z=(a€-1)+(a€+a)i가 순허수이려면
a€-1=0, a€+a+0이어야 하므로
a€-1=0에서 (a+1)(a-1)=0
∴ a=-1 또는 a=1
a€+a+0에서 a(a+1)+0
∴ a+-1이고 a+0
따라서 구하는 실수 a의 값은 1이다.
∴
3+i
1-i
+
1+6i
i
=1+2i+6-i=7+i
02-3 ;2#;
참고
|해결 전략 | z€이 음의 실수이면 z는 순허수임을 이용한다.
분모가 허수일 때, 분모와 분자에 각각 분모의 켤레복소수를 곱하여 분모를
z=-2x€+(1+i)x+3+i=(-2x€+x+3)+(x+1)i
제곱하여 음의 실수가 되는 복소수는 순허수이므로
실수화한다.
즉, a, b가 실수일 때,
1
a+bi
=
a-bi
(a+bi)(a-bi)
=
a-bi
a€+b€
로 계산한다.
01-2 -1-5i
|해결 전략 | i를 문자처럼 생각하고 계산한 후 i €=-1임을 이용한다.
(1-i)(3+2i’)+i(1+i)€ =(1-i)(3-2i)+i(1+i)€
-2x€+x+3=0, x+1+0
2x€-x-3=0, x+-1
(x+1)(2x-3)=0, x+-1
∴ x=;2#;
참고
복소수 z에 대하여
❶ z€이 음의 실수이면 ➡ z는 순허수
=(3-2i-3i+2i€)+i(1+2i+i€)
❷ z€이 양의 실수이면 ➡ z는 0이 아닌 실수
=(3-2i-3i-2)+i(1+2i-1)
=1-5i+i_2i
=1-5i+2i€
=1-5i-2
=-1-5i
03-1 ⑴ x=3, y=1 ⑵ x=3, y=-1
|해결 전략 | 좌변을 정리한 후 실수부분과 허수부분이 각각 같음을 이용한다.
|해결 전략 | 주어진 복소수를 (실수부분)+(허수부분)i 꼴로 정리한 후, 조건을
x+y=4, x-y=2
⑴ (1+i)x+(1-i)y=4+2i에서
x+xi+y-yi=4+2i
(x+y)+(x-y)i=4+2i
복소수가 서로 같을 조건에 의하여
두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=1
⑵ (x+2i)(1-i)=5+yi에서
x-xi+2i-2i€=5+yi
(x+2)+(-x+2)i=5+yi
복소수가 서로 같을 조건에 의하여
두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=-1
02-1 ⑴ a=4, b=6 ⑵ a=-;4!;, b=4
만족시키는 x의 값을 구한다.
⑴ z =x(1+i)-2(3+2i)
=(x-6)+(x-4)i
z가 실수가 되려면 x-4=0이어야 하므로
x=4
∴ a=4
x=6
∴ b=6
024 정답과 해설
z가 순허수가 되려면 x-6=0, x-4+0이어야 하므로
x+2=5, -x+2=y
03-2 80
|해결 전략 | 좌변을 정리한 후 실수부분과 허수부분이 각각 같음을 이용한다.
a=-1+2i, b=2-i이므로
a+a”=(-1+2i)+(-1-2i)=-2
b+b”=(2-i)+(2+i)=4
∴ ab”+a”b+ab+a” b” =(a+a”)(b+b”)
=-2_4=-8
x
1-i
+
y
1+i
=
x(1+i)+y(1-i)
(1-i)(1+i)
=
=
x+y+(x-y)i
2
x+y
2
+
x-y
2
i
즉,
x+y
2
+
x-y
2
하여
x+y
2
=4,
=5
x-y
2
∴ x+y=8, x-y=10
두 식을 연립하여 풀면 x=9, y=-1이므로
x€-y€=81-1=80
i=4+5i이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의
04-1 ⑴ ;7@; ⑵ 20
|해결 전략 | x+y, xy의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용하여 계산한다.
x+y=(-2+'3 i)+(-2-'3 i)=-4
xy=(-2+'3 i)(-2-'3 i)=4-3i€=4+3=7
⑴
x€+y€
(x+y)€-2xy
xy
x
y +
y
x =
xy =
(-4)€-2_7
7
=;7@;
=
⑵ x‹+y‹ =(x+y)‹-3xy(x+y)
=(-4)‹-3_7_(-4)=20
참고
곱셈 공식의 변형
❶ a€+b€=(a+b)€-2ab=(a-b)€+2ab
❷ a‹+b‹=(a+b)‹-3ab(a+b), a‹-b‹=(a-b)‹+3ab(a-b)
식을 만들어 해결한다.
x=-1+i에서 x+1=i
양변을 제곱하면
(x+1)€=i€, x€+2x+1=-1
∴ x€+2x+2=0
따라서 주어진 식의 값은
x‹+2x€+3x+2 =x(x€+2x+2)+x+2
=x_0+x+2
=x+2
=(-1+i)+2=1+i
05-2 5
|해결 전략 | 인수분해를 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 a-b, a-b’의 값을
대입한다.
aa”-a”b-ab”+bb”=a”(a-b)-b”(a-b)
=(a-b)(a”-b”)
=(a-b)(a-b’)
=(2+i)(2-i)=4+1=5
06-1 ⑴ 1-2i ⑵ 2-i
|해결 전략 | z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고 z, z”를 등식에 대입한다.
⑴ z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi
5z+2z” =5(a+bi)+2(a-bi)
=5a+5bi+2a-2bi
=7a+3bi
즉, 7a+3bi=7-6i이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여
7a=7, 3b=-6
∴ a=1, b=-2
∴ z=1-2i
⑵ z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi
(1-i)z”+2iz =(1-i)(a-bi)+2i(a+bi)
=a-bi-ai-b+2ai-2b
=(a-3b)+(a-b)i
에 의하여
a-3b=5, a-b=3
두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-1
∴ z=2-i
06-2 3+4i, 3-4i
|해결 전략 | z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고 z, z”를 각 등식에 대입한다.
z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi
04-2 1+i
|해결 전략 | 우변에 순허수만 남도록 식을 변형한 후 양변을 제곱하여 이차방정
즉, (a-3b)+(a-b)i=5+3i이므로 복소수가 서로 같을 조건
05-1 -8
|해결 전략 | 인수분해를 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 a+a’, b+b’의 값을
대입한다.
ab”+a”b+ab+a” b” =a(b+b”)+a”(b+b”)
=(a+a”)(b+b”)
z+z”=(a+bi)+(a-bi)=2a
즉, 2a=6이므로 a=3
zz”=(a+bi)(a-bi)=a€+b€
즉, a€+b€=25이고 a=3이므로
b€=16
∴ b=\4
따라서 구하는 복소수 z는
z=3+4i 또는 z=3-4i
4 복소수 025
2
i의 거듭제곱 및 음수의 제곱근
개념 확인
79쪽~81쪽
1 ⑴ -1 ⑵ -1 ⑶ -i
2 ⑴ '5i ⑵ 2'2 i ⑶ -4i ⑷ -5i
3 ⑴ \2i ⑵ \'6 i ⑶ \3'3 i ⑷ \6i
4 ⑴ -2'3 ⑵ -'7 i
1 ⑴ i⁄›=(i›)‹_i€=-1
⑵ (-i)⁄°=i ⁄°=(i ›)›_i €=i €=-1
⑶ i €‹=(i ›)fi_i ‹=i ‹=-i
2 ⑴ 'ß-5='5 i
⑵ 'ß-8='8i=2'2 i
⑶ -'ß-16=-'ß16 i=-4i
⑷ -'ß-25=-'ß25 i=-5i
3 ⑴ \'ß-4=\'4 i=\2i
⑵ \'ß-6=\'6 i
⑶ \'ß-27=\'ß27 i=\3'3 i
⑷ \'ß-36=\'ß36 i=\6i
4 ⑴ 'ß-4_'ß-3=-'ß4_3=-'ß12=-2'3
⑵ 'ß14
14
-2
'ß-2
=-'ß-7=-'7 i
=-æç
STEP
1
개념 드릴
| 82쪽 |
1 ⑴ i ⑵ 4'2 i ⑶ -i ⑷ 1 ⑸ 2 ⑹ -2i ⑺ 0
2 ⑴ 6i ⑵ -'ß10 ⑶ 6i ⑷ 3i ⑸ -'2i ⑹ 3
1 ⑴ i €fi=(i ›)fl_i=i
⑵ ('2 i)fi=('2 )fi_i fi=4'2_i ›_i=4'2 i
⑶ (-i)⁄‡=-i ⁄‡=-(i ›)›_i=-i
⑷ {
100
=
1
i }
1
i ⁄‚‚
=
1
(i ›)€fi
=1
⑸ i€‚+i›‚=(i›)fi+(i›)⁄‚=1+1=2
⑹ i ‡+(-i)· =i ‡-i ·=i›_i‹-(i›)€_i
=i‹-i=-i-i=-2i
⑺
+
+
+
=
-1-
+1=0
1
i
1
i €
1
i ‹
1
i ›
1
i
1
i
026 정답과 해설
2 ⑴ 'ß-4'9='ß(-4)_9='ß-36='ß36i=6i
⑵ 'ß-2'ß-5=-'ß2_5=-'ß10
⑶ '3'ß-12='ß3_(-12)='ß-36='ß36 i =6i
⑷ 'ß-27
'3
⑸ 'ß10
'ß-5
⑹ 'ß-18
'ß-2
=-'ß-2=-'2 i
='ß-9='9 i=3i
='9=3
-27
3
-18
-2
=-æ√
10
-5
=æ√
=æ√
STEP
2
필수 유형
| 83쪽~85쪽 |
01-1 ⑴ 10-10i ⑵ -2i
|해결 전략 | ⑴ 항을 네 개씩 묶어 간단히 한 후 계산한다.
⑵ 괄호 안의 식을 간단히 한 후 i의 거듭제곱을 계산한다.
⑴ i+2i€+3i‹+4i›+5ifi+ ! +20i 20
= (i+2i€+3i‹+4i›)+(5ifi+6ifl+7i‡+8i°)
= (i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)
+ ! +(17i 17+18i 18+19i 19+20i 20)
+ ! +(17i-18-19i+20)
=(2-2i)+(2-2i)+ ! +(2-2i)
=-i›_i+(i›)‹_i‹=-i+i‹
=-i-i=-2i
=5(2-2i)
=10-10i
⑵ 1-i
1+i
=
(1-i)€
(1+i)(1-i)
=
-2i
2
=-i
1+i
1-i
=
(1+i)€
(1-i)(1+i)
=
=i
2i
2
∴ {
5
1-i
1+i }
+{
1+i
1-i }
15
=(-i)fi+i 15
02-1 ⑴ -2'2+2i ⑵ -3+2i
|해결 전략 | a>0일 때, 'ß-a='a i임을 이용한다.
⑴ 'ß-2'ß-4+'2'ß-8+ '8
'å-2
8
-2
=-'8 +'ß-16-æ√
=-2'2+'ß16i-'4i
=-2'2+4i-2i
=-2'2+2i
⑵ 'ß-3'ß-12+'ß-5'5+ 'ß-27
'å-3
=-'ß36+'ß-25+æ√
-27
-3
-æ√
+ 'ß27
'å-3
27
-3
=-6+5i+'9-'9i
=-6+5i+3-3i
=-3+2i
02-2 10
|해결 전략 | a>0일 때, 'ß-a='a i임을 이용하여 좌변을 계산한다.
'ß-3'ß-27+(1+'ß-3)(1-'ß-3)+ 'ß32
'å-8
=-'ß81+(1+'3 i)(1-'3 i)-æ√
32
-8
=-9+1-3i€-'4 i
=-9+1+3-2i
=-5-2i
따라서 a=-5, b=-2이므로 ab=10
03-1 -a
|해결 전략 | 0이 아닌 두 실수 a, b에 대하여 'a'b=-'ßab일 때, a<0, b<0임
을 이용한다.
'a'b=-'ßab, a+0, b+0에서 a<0, b<0이므로
a+b<0
따라서 "ƒ(a+b)€=|a+b|=-(a+b), |b|=-b이므로
"ƒ(a+b)€-|b| =-(a+b)-(-b)
=-a-b+b
=-a
03-2 0
|해결 전략 | 0이 아닌 두 실수 a, b에 대하여 'a
'b
을 이용한다.
=-æ;bA;일 때, a>0, b<0임
=-æ;bA;, a+0, b+0에서 a>0, b<0이므로
'a
'b
a-b>0
따라서 |-a|=|a|=a, |b|=-b, "ƒ(a-b)€=|a-b|=a-b이
므로
|-a|+|b|-"ƒ(a-b)€ =a+(-b)-(a-b)
=a-b-a+b=0
1-2 8
|해결 전략 | z€이 음의 실수이면 z는 순허수임을 이용한다.
z=x€-(10+i)x+2(8+i)=(x€-10x+16)+(2-x)i
제곱하여 음의 실수가 되는 복소수는 순허수이므로
x€-10x+16=0, 2-x+0
(x-2)(x-8)=0, x+2
∴ x=8
2-1 1
|해결 전략 | a+bi=c+di (a, b, c, d는 실수)이면 a=c, b=d임을 이용한다.
(2+3i)x+(i-1)y=5(1+i)에서
(2x-y)+(3x+y)i=5+5i
복소수가 서로 같을 조건에 의하여
2x-y=5, 3x+y=5
두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=-1
∴ x+y=1
2-2 12
|해결 전략 | a+bi=0 (a, b는 실수)이면 a=0, b=0임을 이용한다.
(x-i)(2+6i)-(2-yi)=0에서
(2x+4)+(6x+y-2)i=0
복소수가 서로 같을 조건에 의하여
2x+4=0, 6x+y-2=0
두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=14
∴ x+y=12
3-1 20
|해결 전략 | a+b, ab의 값을 구한 후 인수분해를 이용하여 계산한다.
a=1+3i, b=1-3i에서
a+b=(1+3i)+(1-3i)=2
ab=(1+3i)(1-3i)=1+9=10
∴ a€b+ab€=ab(a+b)=10_2=20
STEP
3
유형 드릴
| 86쪽~87쪽 |
1-1 6
|해결 전략 | 주어진 복소수를 a+bi (a, b는 실수) 꼴로 정리한 후, a+bi가 실
수이면 b=0임을 이용한다.
(3+2ai)(1-4i)=(3+8a)+(2a-12)i
이 복소수가 실수가 되려면 (허수부분)=0이어야 하므로
2a-12=0
∴ a=6
3-2 -1
|해결 전략 | a+b, ab의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용하여 계산한다.
a=-1+'3 i, b=-1-'3 i에서
a+b=(-1+'3 i)+(-1-'3 i)=-2
ab=(-1+'3 i)(-1-'3 i)=1+3=4
(a+b)€-2ab
ab
a€+b€
ab
b
a
∴
a
b
=
+
=
=
(-2)€-2_4
4
=
4-8
4
=-1
4 복소수 027
4-1 -2i
|해결 전략 | 우변에 순허수만 남도록 식을 변형한 후 양변을 제곱하여 이차방정
6-1 1-2i
|해결 전략 | z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고, z, z”를 각 등식에 대입한다.
식을 만들어 해결한다.
x=1-2i에서 x-1=-2i
양변을 제곱하면 (x-1)€=(-2i)€
x€-2x+1=-4
∴ x€-2x+5=0
∴ x‹-2x€+6x-1 =x(x€-2x+5)+x-1
=x_0+x-1=x-1
=-2i
4-2 9
|해결 전략 | 복소수 x의 분모를 실수화한 등식의 우변에 순허수만 남도록 식을
변형한 후 양변을 제곱하여 이차방정식을 만들어 해결한다.
x=
5
2-i
=
5(2+i)
(2-i)(2+i)
=
5(2+i)
5
=2+i
즉, x=2+i에서 x-2=i
양변을 제곱하면 (x-2)€=i €
x€-4x+4=-1
∴ x€-4x+5=0
두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-1
∴ x‹-4x€+5x+9 =x(x€-4x+5)+9
∴ z=2-i
=x_0+9=9
z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi
z+z”=2에서 2a=2
∴ a=1
z-z”=-4i에서 2bi=-4i
∴ b=-2
∴ z=1-2i
6-2 2-i
|해결 전략 | z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고, z, z”를 등식에 대입한 후 복소수가
서로 같을 조건을 이용한다.
z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi
(3+i)z+2i z” =(3+i)(a+bi)+2i(a-bi)
=3a+3bi+ai-b+2ai+2b
=(3a+b)+(3a+3b)i
즉, (3a+b)+(3a+3b)i=5+3i이므로 복소수가 서로 같을 조건
에 의하여
3a+b=5, 3a+3b=3
7-1 -1
|해결 전략 | 좌변의 항을 네 개씩 묶어 간단히 한 후 계산한다.
1
i
+
+
+
+ … +
2
i €
3
i ‹
4
i ›
30
i ‹‚
={
1
i
+
+
+
2
i €
3
i ‹
4
i › }+{
5
i fi
6
i fl
+
+
+
7
i ‡
8
i ° }
+ … +{
25
i €fi
26
i €fl
+
+
+
27
i €‡
29
i €·
+
30
i ‹‚
28
i €° }+
= (-i-2+3i+4)+(-5i-6+7i+8)
+ … +(-25i-26+27i+28)-29i-30
=(2+2i)+(2+2i)+ … +(2+2i)-29i-30
=7(2+2i)-29i-30
=-16-15i
따라서 a=-16, b=-15이므로 a-b=-1
=
=
=-i,
=
=-1,
i
i€
i
-1
1
-1
=
1
-i
=
i
-i€
=i,
=;1!;=1이므로
1
i€
1
i›
❶
+
+
+
=-i-1+i+1=0
1
i›
❷
=
=
= … =
1
i4k+1 =-i
1
i€
1
ifi
1
ifl
1
i‡
1
i°
1
i‹
1
i·
1
i⁄‚
1
i⁄⁄
1
i⁄€
=
=
= … =
=
=
= … =
=
=
= … =
1
i4k+2 =-1
1
i4k+3 =i
1
i4k+4 =1 (단, k는 음이 아닌 정수)
참고
1
i
1
i‹
1
i
1
i
1
i€
1
i‹
1
i›
5-1 25
|해결 전략 | 인수분해를 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 a+b, a+b’의 값을
대입한다.
aa”+a”b+ab”+bb” =a”(a+b)+b”(a+b)
=(a+b)(a”+b”)
=(a+b)(a+b’)
a=2-3i, b=1+7i이므로
a+b=3+4i, a+b’=3-4i
∴ aa”+a”b+ab”+bb” =(a+b)(a+b’)
=(3+4i)(3-4i)
=9+16=25
5-2 12
|해결 전략 | 인수분해를 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 a+a’, b+b’의 값을
대입한다.
ab+ab”+a”b+ab’ =ab+ab”+a”b+a” b”
=a(b+b”)+a”(b+b”)
=(a+a”)(b+b”)
a=3-i, b=1+3i이므로
a+a”=(3-i)+(3+i)=6
b+b”=(1+3i)+(1-3i)=2
∴ ab+ab”+a”b+ab’ =(a+a”)(b+b”)
=6_2=12
028 정답과 해설
7-2 1
|해결 전략 | 처음 프로그램에 입력한 복소수를 z라 하고 입력하여 출력하는 과정
을 10번 시행했을 때의 결과를 계산한다.
처음 프로그램에 입력한 복소수를 z라 하고 z를 입력하여 출력하는
과정을 n번 시행하였을 때 출력되는 복소수를 zn이라 하면
입력하여 출력하는 과정을 1번 시행하여 나온 결과는
이와 같이 이 프로그램에 z를 입력하여 출력하는 과정을 10번 시행하
입력하여 출력하는 과정을 2번 시행하여 나온 결과는
입력하여 출력하는 과정을 3번 시행하여 나온 결과는
z¡=z(1+i)
z™=z¡(1+i)=z(1+i)€
z£=z™(1+i)=z(1+i)‹
⋮
여 나온 결과는 z(1+i)⁄‚이다.
∴ z(1+i)⁄‚=32 i
이때, (1+i)€=1+2 i-1=2i이므로
z(1+i)⁄‚=z{(1+i)€}fi=z(2 i)fi=2fii fiz=32 i_z
㉠에서 32i_z=32i이므로 z=1
따라서 이 프로그램에 처음 입력한 복소수는 1이다.
5
| 이차방정식
Review
일차방정식의 풀이
개념 확인
1 ⑴ 1 a+3일 때, x=-
2
a-3
2 a=3일 때, 해가 없다.
⑵ 1 a+-1일 때, x=a-1
2 a=-1일 때, 해가 무수히 많다.
2 ⑴ x=-2 또는 x=6 ⑵ x=;3!; 또는 x=1
…… ㉠
⑶ x=;2!; ⑷ x=-3 또는 x=2
90쪽~91쪽
8-1 ③
|해결 전략 | a+0, b+0일 때, 'a'b=-'ßab이면 a<0, b<0임을 이용한다.
a+0, b+0일 때, 'a'b=-'ßab이므로 a<0, b<0
① ab>0이므로 |ab|=ab
② "∂a€+|b|=|a|+|b|=-a-b
③ a+b<0이므로 |a+b|=-a-b
|a|+|b|=-a-b
∴ |a+b|=|a|+|b|
④ -a>0, b<0이므로 'ß-a'b='ß-ab
⑤ 'a
'b
=æç
a
b
8-2 ④
|해결 전략 | a+0, b+0일 때, 'a
'b
a+0, b+0일 때, 'a
'b
=-æç
a
b
=-æ;bA;이면 a>0, b<0임을 이용한다.
이므로 a>0, b<0
① 'a'b='ßab
② "∂a€"∂b€=|a|_|b|=a_(-b)=-ab
③ a>0, -b>0이므로 'a'ß-b='ß-ab
④ -a<0, -b>0이므로 'ß-a'ß-b='ßab
⑤ a-b>0이므로 "ƒ(a-b)€=|a-b|=a-b
1 ⑴ (a-3)x=-2에서
1 a-3+0, 즉 a+3일 때, x=-
2
a-3
2 a-3=0, 즉 a=3일 때, 0_x=-2
⑵ (a+1)x=(a+1)(a-1)에서
1 a+1+0, 즉 a+-1일 때,
x=
(a+1)(a-1)
a+1
=a-1
이를 만족시키는 x의 값은 존재하지 않으므로 해가 없다.
2 a+1=0,즉 a=-1일 때, 0_x=0
이를 만족시키는 x의 값은 무수히 많으므로 해가 무수히
많다.
2 ⑴ |x-2|=4에서 x-2=-4
∴ x=-2 또는 x=6
⑵ |2x-1|=x에서
1 x<;2!;일 때, 2x-1<0이므로
-(2x-1)=x, 3x=1
∴ x=;3!;
이때, x=;3!;은 x<;2!;을 만족시키므로 해이다.
2 x>;2!;일 때, 2x-1>0이므로
2x-1=x
∴ x=1
이때, x=1은 x>;2!;을 만족시키므로 해이다.
1, 2에서 구하는 해는 x=;3!; 또는 x=1
⑶ |x+1|=3x에서
1 x<-1일 때, x+1<0이므로
-(x+1)=3x, 4x=-1
∴ x=-;4!;
그런데 x=-;4!;은 x<-1을 만족시키지 않으므로 해가 아
니다.
5 이차방정식 029
1 ⑴ (x+1)(x-3)=0
⑵ (x+2)(x-2)=0
∴ x=-1 또는 x=3
∴ x=-2 또는 x=2
⑶ (x+1)(x-5)=0
∴ x=-1 또는 x=5
⑷ (x+2)(3x-2)=0
∴ x=-2 또는 x=;3@;
⑸ ;3$;x€-4x+3=0의 양변에 3을 곱하면
4x€-12x+9=0, (2x-3)€=0
∴ x=;2#; (중근)
⑹ (2x+5)(2x-5)=0
∴ x=-;2%; 또는 x=;2%;
2 ⑴ x=
-3\"∂3€-4_1_1
2_1
=
-3\'5
2
⑵ x=
-5\"∂5€-4_2_1
2_2
=
-5\'ß17
4
⑶ x=
-(-3)\"∂(-3)€-1_1
1
=3\2'2
⑷ x=
-1\"∂1€-1_3
1
=-1\'2i
⑸ ;2!;x€-2x-3=0의 양변에 2를 곱하면
x€-4x-6=0
∴ x=
-(-2)\"∂(-2)€-1_(-6)
1
=2\'ß10
⑹ x=
-(-1)\"∂(-1)€-1_5
1
=1\2i
2 x>-1일 때, x+1>0이므로
x+1=3x, 2x=1
∴ x=;2!;
이때, x=;2!;은 x>-1을 만족시키므로 해이다.
1, 2에서 구하는 해는 x=;2!;
⑷ |x+2|+|x-1|=5에서
1 x<-2일 때, x+2<0, x-1<0이므로
-(x+2)-(x-1)=5, -2x=6
∴ x=-3
이때, x=-3은 x<-2를 만족시키므로 해이다.
2 -2<x<1일 때, x+2>0, x-1<0이므로
(x+2)-(x-1)=5, 0_x=2
이를 만족시키는 x의 값은 존재하지 않으므로 해가 없다.
3 x>1일 때, x+2>0, x-1>0이므로
(x+2)+(x-1)=5, 2x=4
∴ x=2
이때, x=2는 x>1을 만족시키므로 해이다.
1, 2, 3에서 구하는 해는 x=-3 또는 x=2
1
이차방정식의 풀이
개념 확인
1 ⑴ x=-4 또는 x=2 ⑵ x=1-'3
92쪽
1 ⑴ (x+4)(x-2)=0
∴ x=-4 또는 x=2
⑵ x=
-(-1)-"ƒ(-1)€-1_(-2)
1
=1\'3
STEP
2
필수 유형
| 94쪽~97쪽 |
01-1 ⑴ x=-1 또는 x=4 ⑵ x=-1\i
⑶ x=-1 또는 x='2
|해결 전략 | 인수분해 또는 근의 공식을 이용하여 해를 구한다.
| 93쪽 |
⑴ x€+x=4(x+1)에서
x€+x=4x+4, x€-3x-4=0
(x+1)(x-4)=0
∴ x=-1 또는 x=4
⑵
(x-2)€
2
=-3x+1의 양변에 2를 곱하면
(x-2)€=-6x+2
x€-4x+4=-6x+2, x€+2x+2=0
∴ x=
-1-"ƒ1€-1_2
1
=-1\i
STEP
1
개념 드릴
1 ⑴ x=-1 또는 x=3 ⑵ x=-2 또는 x=2
⑶ x=-1 또는 x=5 ⑷ x=-2 또는 x=;3@;
⑸ x=;2#; (중근) ⑹ x=-;2%; 또는 x=;2%;
2 ⑴ x=
⑵ x=
-3\'5
2
-5\'ß17
4
⑶ x=3\2'2 ⑷ x=-1\'2i
⑸ x=2\'ß10 ⑹ x=1\2i
030 정답과 해설
⑶ ('2+1)x€-x-2-'2=0의 양변에 '2-1을 곱하면
('2+1)('2-1)x€-('2-1)x-(2+'2 )('2-1)=0
⑵ x€-4x+1=2|x-2|에서
1 x<2일 때
∴ x€-('2-1)x-'2=0
좌변을 실수의 범위에서 인수분해하면
(x+1)(x-'2 )=0
∴ x=-1 또는 x='2
02-1 ⑴ k=1, 다른 한 근: 2 ⑵ -4
|해결 전략 | 방정식 f(x)=0의 한 근이 a이면 f(a)=0을 만족시킨다.
⑴ x€+kx-3k-3=0에 x=-3을 대입하면
x€-4x+1=-2(x-2), x€-2x-3=0
(x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 (∵ x<2)
2 x>2일 때
x€-4x+1=2(x-2), x€-6x+5=0
(x-1)(x-5)=0
∴ x=5 (∵ x>2)
1, 2에서 구하는 해는 x=-1 또는 x=5
다른 풀이
⑴ x€+|x|-2=0에서 x€=|x|€이므로
|x|€+|x|-2=0, (|x|+2)(|x|-1)=0
∴ |x|=-2 또는 |x|=1
그런데 |x|>0이므로 |x|=1
∴ x=-1 또는 x=1
⑵ x€+(2a-1)x+a€-8=0에 x=1을 대입하면
범위를 나누어 절댓값 기호를 없앤 다음 푼다. 이때, 범위를 만족시키는 것만 주어
03-2 2-'2
|해결 전략 | 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 기준으로 x의 값의
(-3)€-3k-3k-3=0
-6k+6=0
∴ k=1
k=1을 주어진 방정식에 대입하면
x€+x-6=0, (x+3)(x-2)=0
∴ x=-3 또는 x=2
따라서 다른 한 근은 2이다.
1€+(2a-1)_1+a€-8=0
a€+2a-8=0, (a+4)(a-2)=0
∴ a=2 (∵ a>0)
a=2를 주어진 방정식에 대입하면
x€+3x-4=0, (x+4)(x-1)=0
∴ x=-4 또는 x=1
따라서 다른 한 근은 -4이다.
진 방정식의 해이다.
x€+|2x-1|-2=0에서
1 x<;2!;일 때
x€-(2x-1)-2=0, x€-2x-1=0
∴ x=1-'2 {
5 x<;2!;}
2 x>;2!;일 때
x€+(2x-1)-2=0, x€+2x-3=0
(x+3)(x-1)=0
∴ x=1 {
5 x>;2!;}
1, 2에서 방정식의 해는 x=1-'2 또는 x=1이므로 구하는 모든
근의 합은 2-'2이다.
04-1 400 m€
|해결 전략 | 처음 토지의 한 변의 길이를 x m로 놓고 방정식을 세운다.
처음 토지의 한 변의 길이를 x m
(x-3) m
(x>5)라 하면 길을 제외한 토지
3 m
의 모양은 오른쪽 그림과 같다.
(x-5) m
5 m
x€-8x+15=255, x€-8x-240=0
(x+12)(x-20)=0 ∴ x=20 (∵ x>5)
따라서 처음 토지의 한 변의 길이는 20 m이므로 처음 토지의 넓이는
400 m€이다.
04-2 24 cm
|해결 전략 | 직사각형의 가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길이는
5 이차방정식 031
03-1 ⑴ x=-1 또는 x=1 ⑵ x=-1 또는 x=5
|해결 전략 | 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 기준으로 x의 값의
범위를 나누어 절댓값 기호를 없앤 다음 푼다. 이때, 범위를 만족시키는 것만 주어
길을 제외한 토지의 넓이가
255 m€이므로
(x-3)(x-5)=255
진 방정식의 해이다.
⑴ x€+|x|-2=0에서
1 x<0일 때
x€-x-2=0, (x+1)(x-2)=0
∴ x=-1 (5 x<0)
2 x>0일 때
x€+x-2=0, (x+2)(x-1)=0
∴ x=1 (5 x>0)
1, 2에서 구하는 해는 x=-1 또는 x=1
(34-x) cm이다. 또, 직사각형의 대각선의 길이는 원의 지름의 길이와 같다.
02-2 -1
|해결 전략 | x=-2를 주어진 이차방정식에 대입하여 상수 k의 값을 구한다.
kx€-2x+k€=0에 x=-2를 대입하면
4k+4+k€=0, (k+2)€=0
∴ k=-2
k=-2를 주어진 방정식에 대입하면
-2x€-2x+4=0, x€+x-2=0
(x+2)(x-1)=0
∴ x=-2 또는 x=1
따라서 k=-2, a=1이므로 k+a=-1
STEP
1
개념 드릴
| 100쪽 |
직사각형의 가로의 길이를 x cm라 하
면 직사각형의 둘레의 길이가 68 cm
x cm
이므로 세로의 길이는 (34-x) cm
26 cm
(34-x) cm
이다.
직사각형의 대각선의 길이는 원의 지름의 길이와 같은 26 cm이므로
x€+(34-x)€=26€, x€+34€-68x+x€=26€
x€-34x+240=0, (x-10)(x-24)=0
∴ x=10 또는 x=24
하는 직사각형의 가로의 길이는 24 cm이다.
이때, 직사각형의 가로의 길이가 세로의 길이보다 길어야 하므로 구
3 ⑴ k>-2 ⑵ k=-2 ⑶ k<-2
1 ⑴ 서로 다른 두 실근 ⑵ 서로 다른 두 허근
⑶ 서로 다른 두 실근 ⑷ 중근
⑸ 서로 다른 두 허근 ⑹ 중근
⑺ 서로 다른 두 허근
2 ⑴ k<-;4#; ⑵ k=-;4#; ⑶ k>-;4#;
1 ⑴ x€-3x-2=0의 판별식을 D라 하면
D=(-3)€-4_1_(-2)=17>0
이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
⑵ x€-3x+3=0의 판별식을 D라 하면
D=(-3)€-4_1_3=-3<0
이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.
⑶ 3x€+6x+2=0의 판별식을 D라 하면
;;4Î;;=3€-3_2=3>0
이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
⑷ 9x€+6x+1=0의 판별식을 D라 하면
;;4Î;;=3€-9_1=0
이므로 중근을 갖는다.
이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.
⑹ x€-4'2x+8=0의 판별식을 D라 하면
;;4Î;;=(-2'2 )€-1_8=0
이므로 중근을 갖는다.
⑺ 2x€-2x+1=0의 판별식을 D라 하면
;;4Î;;=(-1)€-2_1=-1<0
이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.
1 ⑴ 서로 다른 두 실근 ⑵ 중근 ⑶ 서로 다른 두 허근
;;4Î;;=1€-5_1=-4<0
98쪽~99쪽
⑸ 5x€+2x+1=0의 판별식을 D라 하면
2
이차방정식의 판별식
개념 확인
2 ⑴ -1, 7 ⑵ 3
1 ⑴ 2x€-2x-1=0의 판별식을 D라 하면
;;4Î;;=(-1)€-2_(-1)=3>0
이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
⑵ x€-4x+4=0의 판별식을 D라 하면
;;4Î;;=(-2)€-1_4=0
이므로 중근을 갖는다.
⑶ x€-x+2=0의 판별식을 D라 하면
D=(-1)€-4_1_2=-7<0
이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.
2 ⑴ 주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식
x€+(k+1)x+2(k+1)=0의 판별식을 D라 할 때
D=(k+1)€-4_1_2(k+1)=0
k€-6k-7=0, (k+1)(k-7)=0
∴ k=-1 또는 k=7
⑵ 주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 x에 대한 이차방정식
x€-2kx+k€-2k+6=0의 판별식을 D라 할 때
;;4Î;;=(-k)€-1_(k€-2k+6)=0
∴ k=3
2k-6=0
032 정답과 해설
2 x€-3x+k+3=0의 판별식을 D라 하면
D=(-3)€-4_1_(k+3)=-4k-3
⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 D>0이어야 하므로
-4k-3>0
∴ k<-;4#;
⑵ 중근을 가지려면 D=0이어야 하므로
-4k-3=0
∴ k=-;4#;
⑶ 서로 다른 두 허근을 가지려면 D<0이어야 하므로
-4k-3<0
∴ k>-;4#;
3 2x€+4x-k=0의 판별식을 D라 하면
;;4Î;;=2€-2_(-k)=4+2k
4+2k>0
∴ k>-2
⑵ 중근을 가지려면 ;;4Î;;=0이어야 하므로
4+2k=0
∴ k=-2
4+2k<0
∴ k<-2
⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 ;;4Î;;>0이어야 하므로
⑶ 서로 다른 두 허근을 가지려면 ;;4Î;;<0이어야 하므로
⑶ 서로 다른 두 허근을 가지려면 ;;4Î;;<0이어야 하므로
|해결 전략 | 이차식이 완전제곱식이 된다는 것은 (이차식)=0이 중근을 가진다
⑵ 중근을 가지려면 ;;4Î;;=0이어야 하므로
-6k+4=0
∴ k=;3@;
-6k+4<0
∴ k>;3@;
02-1 ⑴ 2, 10 ⑵ ;3&;
는 뜻이므로 판별식 D=0이다.
⑴ 주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식
x€+(k-4)x+k-1=0이 중근을 가져야 하므로 판별식을 D라
할 때
D=(k-4)€-4(k-1)=0
k€-12k+20=0, (k-2)(k-10)=0
∴ k=2 또는 k=10
⑵ (k+3)x€+(k+3)x+k-1이 이차식이므로
k+3+0
∴ k+-3
주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식
(k+3)x€+(k+3)x+k-1=0이 중근을 가져야 하므로 판별식
을 D라 할 때
D=(k+3)€-4(k+3)(k-1)=0
| 101쪽~102쪽 |
(k+3){k+3-4(k-1)}=0
STEP
2
필수 유형
01-1 a=0, b=1
|해결 전략 | 이차방정식이 k의 값에 관계없이 중근을 가지면 판별식 D=0은 k
에 대한 항등식이다.
x€+2(k+a)x+k€+a€+b-1=0의 판별식을 D라 하면
(k+3)(-3k+7)=0
∴ k=-3 또는 k=;3&;
그런데 k+-3이므로 k=;3&;
;;4Î;;=(k+a)€-(k€+a€+b-1)=2ak-b+1
중근을 가지려면 D=0이어야 하므로
2ak-b+1=0
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
2a=0, -b+1=0
∴ a=0, b=1
01-2 ⑴ k<-2 또는 -2<k<;3@; ⑵ k=;3@; ⑶ k>;3@;
|해결 전략 | 이차방정식 ax€+bx+c=0에서 실근, 허근을 따질 경우는 판별식
D=b€-4ac의 부호를 조사한다. 이때, a+0임에 주의한다.
(k+2)x€-2(k-2)x+k=0이 이차방정식이므로
k+2+0
∴ k+-2
(k+2)x€-2(k-2)x+k=0의 판별식을 D라 하면
;;4Î;;=(k-2)€-(k+2)_k=-6k+4
⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 ;;4Î;;>0이어야 하므로
-6k+4>0
∴ k<;3@;
그런데 k+-2이므로 k<-2 또는 -2<k<;3@;
3
이차방정식의 근과 계수의 관계
개념 확인
103쪽~105쪽
1 ⑴ a+b=-2, ab=;2!; ⑵ a+b=;2#;, ab=-;2%;
2 ⑴ x€-4x+3=0 ⑵ x€-2x-1=0
3 (x-1-3i)(x-1+3i)
4 ⑴ 1+'3 ⑵ -2-'2
5 ⑴ 1-2i ⑵ -3-2i
이므로 구하는 이차방정식은 x€-4x+3=0
2 ⑴ (두 근의 합)=4, (두 근의 곱)=3
⑵ (두 근의 합)=(1+'2 )+(1-'2 )=2,
(두 근의 곱)=(1+'2 )(1-'2 )=-1
이므로 구하는 이차방정식은 x€-2x-1=0
5 이차방정식 033
3 x€-2x+10=0의 근을 구하면
-(-1)-"ƒ(-1)€-1_10
1
x=
=1-3i
STEP
2
필수 유형
| 107쪽~112쪽 |
∴ x€-2x+10 ={x-(1+3i)}{x-(1-3i)}
01-1 ⑴ -;3$; ⑵ 22 ⑶ 100
9
⑷ 18
=(x-1-3i)(x-1+3i)
|해결 전략 | 주어진 식을 a+b, ab를 포함하는 식으로 변형한다.
STEP
1
개념 드릴
| 106쪽 |
⑵ a€+b€=(a+b)€-2ab=4€-2_(-3)=16+6=22
x€-4x-3=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=4, ab=-3
⑴ {a+
1
b }{b+
1
a }=ab+1+1+
1
ab
=-3+2-;3!;=-;3$;
⑶
b
a€
+ a
b€
=
a‹+b‹
a€b€
=
(a+b)‹-3ab(a+b)
(ab)€
4‹-3_(-3)_4
100
(-3)€
9
⑷ (a€-3a)(b€-3b) =a€b€-3a€b-3ab€+9ab
64+36
9
=
=
=
=ab{ab-3(a+b)+9}
=-3_{-3-3_4+9}
=-3_(-6)=18
다른 풀이
⑷ x€-4x-3=0의 두 근이 a, b이므로
a€-4a-3=0, b€-4b-3=0
따라서 a€-3a=a+3, b€-3b=b+3이므로
(a€-3a)(b€-3b) =(a+3)(b+3)=ab+3(a+b)+9
=-3+12+9=18
02-1 a=1, b=-4
|해결 전략 | 이차방정식 2x€+bx-6=0의 두 근이 a+b, ab이므로
(a+b)+ab=-
, (a+b)ab=-3이다.
b
2
x€+ax+3=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
2x€+bx-6=0의 두 근이 a+b, ab이므로 근과 계수의 관계에 의
a+b=-a, ab=3
하여
(a+b)+ab=-;2B;, (a+b)ab=-3
㉠을 ㉡에 대입하면
-a+3=-;2B;, -3a=-3
∴ a=1, b=-4
åå ㉠
åå ㉡
02-2 a=4, b=2
|해결 전략 | 이차방정식 2x€+ax-b=0의 두 근이 a+1, b+1이므로
(a+1)+(b+1)=-;2A;, (a+1)(b+1)=-;2B;이다.
x€+ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-a, ab=b
åå ㉠
1 ⑴ a+b=-2, ab=-5 ⑵ a+b=;2#;, ab=2
⑶ a+b=;3!;, ab=;3!; ⑷ a+b=-'2, ab=;2#;
2 ⑴ x€-3x-4=0 ⑵ x€+;6&;x-;2!;=0
⑶ x€-4x+1=0 ⑷ x€-6x+13=0
3 ⑴ (x-1-'6 )(x-1+'6 )
⑵ (x+3-'2 i)(x+3+'2 i)
1+'2 i
2
⑶ 4{x-
}{x-
1-'2 i
2
}
4 ⑴ 3+'6 ⑵ -1+'5 ⑶ -'3-4
5 ⑴ -1+2i ⑵ i+5 ⑶ -'5 i-'3
2 ⑴ (두 근의 합)=3, (두 근의 곱)=-4
이므로 구하는 이차방정식은 x€-3x-4=0
⑵ (두 근의 합)=-;2#;+;3!;=-;6&;,
(두 근의 곱)=-;2#;_;3!;=-;2!;
이므로 구하는 이차방정식은 x€+;6&;x-;2!;=0
⑶ (두 근의 합)=(2+'3 )+(2-'3 )=4,
(두 근의 곱)=(2+'3 )(2-'3 )=1
이므로 구하는 이차방정식은 x€-4x+1=0
⑷ (두 근의 합)=(3+2i)+(3-2i)=6,
(두 근의 곱)=(3+2i)(3-2i)=13
이므로 구하는 이차방정식은 x€-6x+13=0
3 ⑴ x€-2x-5=0의 근을 구하면 x=1\'6
∴ x€-2x-5 ={x-(1+'6 )}{x-(1-'6 )}
=(x-1-'6 )(x-1+'6 )
⑵ x€+6x+11=0의 근을 구하면 x=-3-'2 i
∴ x€+6x+11 ={x-(-3+'2 i)}{x-(-3-'2 i)}
=(x+3-'2 i)(x+3+'2 i)
⑶ 4x€-4x+3=0의 근을 구하면
x=
2-2'2 i
4
=
1-'2 i
2
∴ 4x€-4x+3=4{x-
1+'2 i
2
}{x-
1-'2 i
2
}
034 정답과 해설
2x€+ax-b=0의 두 근이 a+1, b+1이므로 근과 계수의 관계에
⑴ 두 근 a-1, b-1의 합과 곱을 구하면
x€-6x-k=0의 두 근의 비가 1 : 2이므로 두 근을 a, 2a (a+0)라
을 두 근으로 하고 x€의 계수가 2인 이차방정식은
의하여
(a+1)+(b+1)=-;2A;, (a+1)(b+1)=-;2B;
∴ a+b+2=-;2A;, ab+(a+b)+1=-;2B;
㉠을 ㉡에 대입하면
-a+2=-;2A;, b-a+1=-;2B;
∴ a=4, b=2
03-1 -8
|해결 전략 | 이차방정식의 두 근을 a, 2a (a+0)로 놓는다.
하면 근과 계수의 관계에 의하여
(두 근의 합)=a+2a=6에서
3a=6
∴ a=2
(두 근의 곱)=a_2a=-k에서
k=-2a€=-2_2€=-8
åå ㉡
따라서 a-1, b-1을 두 근으로 하고 x€의 계수가 2인 이차방정
(a-1)+(b-1)=a+b-2=3-2=1
(a-1)(b-1) =ab-(a+b)+1
=-2-3+1=-4
식은
2(x€-x-4)=0
⑵ 두 근 1
a
, 1
b
= a+b
ab
+
1
a
1
a
1
b
1
b
_
=
=
따라서 1
a
1
ab
, 1
b
∴ 2x€-2x-8=0
의 합과 곱을 구하면
=
3
-2
=-;2#;
1
-2
=-;2!;
2{x€+;2#;x-;2!;}=0
∴ 2x€+3x-1=0
03-2 -2
|해결 전략 | 이차방정식의 두 근을 a, a+3으로 놓는다.
x€-5x+2k+8=0의 두 근의 차가 3이므로 두 근을 a, a+3이라
하면 근과 계수의 관계에 의하여
(두 근의 합)=a+(a+3)=5에서
2a=2
∴ a=1
(두 근의 곱)=a(a+3)=2k+8에서
2k+8=4
∴ k=-2
참고
두 근을 a, a-3으로 놓고 풀어도 결과는 같다.
a+(a-3)=5에서 2a-3=5
∴ a=4
a(a-3)=2k+8에서 2k+8=4
∴ k=-2
05-1 2
|해결 전략 | 이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이면 f(ax+b)=0 (a+0)의
…… ㉠
두 근은
a-b
a
,
b-b
a
이다.
이차방정식 f(x)=0의 두 근을 a, b라 하면
f(a)=0, f(b)=0
두 근의 합이 2이므로 a+b=2
㉠에 의하여 이차방정식 f(4x-3)=0의 두 근은
4x-3=a 또는 4x-3=b
∴ x= a+3
또는 x= b+3
4
4
따라서 이차방정식 f(4x-3)=0의 두 근의 합은
a+3
4
+ b+3
4
= a+b+6
4
=
2+6
4
=2
04-1 x€-5x+6=0
|해결 전략 | 두 근이 a, b이고 x€의 계수가 1인 이차방정식은
x€-(a+b)x+ab=0이다.
05-2 ;3%;
두 근은
a-b
a
,
b-b
a
이다.
|해결 전략 | 이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이면 f(ax+b)=0 (a+0)의
x€-2x+3=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=2, ab=3
이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이므로
이차방정식 f(3x-1)=0의 두 근은
두 근 a+b, ab의 합과 곱을 구하면
(a+b)+ab=5, (a+b)ab=6
따라서 a+b, ab를 두 근으로 하고 x€의 계수가 1인 이차방정식은
x€-5x+6=0
3x-1=a 또는 3x-1=b
∴ x= a+1
또는 x= b+1
3
3
따라서 이차방정식 f(3x-1)=0의 두 근의 곱은
a+1
3
_ b+1
3
= ab+a+b+1
9
=
6+8+1
9
=;3%;
04-2 ⑴ 2x€-2x-8=0 ⑵ 2x€+3x-1=0
|해결 전략 | 근과 계수의 관계를 이용하여 a+b, ab의 값을 구한 후 주어진 두
x€-3x-2=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
근의 합과 곱을 구한다.
a+b=3, ab=-2
06-1 ⑴ a=2, b=-2 ⑵ a=4, b=-1
|해결 전략 | 계수가 유리수인 이차방정식의 한 근이 p+q'ßm이면 다른 한 근은
p-q'ßm이다.
5 이차방정식 035
이차방정식 x€+ax+b=0에서 a, b가 유리수이고
⑴ 한 근이 -1-'3 이므로 다른 한 근은 -1+'3
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
(두 근의 합)=(-1-'3 )+(-1+'3 )=-a
(두 근의 곱)=(-1-'3 )(-1+'3 )=b
∴ b=-2
⑵ 한 근이 '5-2, 즉 -2+'5 이므로 다른 한 근은 -2-'5
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
(두 근의 합)=(-2+'5 )+(-2-'5 )=-a
(두 근의 곱)=(-2+'5 )(-2-'5 )=b
참고
∴ b=-1
∴ a=2
∴ a=4
켤레근의 성질을 이용하지 않고 주어진 근을 직접 이차방정식에 대입하여 a,
b의 값을 구해도 된다.
예를 들어 ⑴의 경우 x=-1-'3 을 x€+ax+b=0에 대입하면
(-1-'3 )€+a(-1-'3 )+b=0
(-a+b+4)+(2-a)'3=0
이때, a, b는 유리수이므로
-a+b+4=0, 2-a=0
∴ a=2, b=-2
그러나 켤레근의 성질을 이용하는 것이 더 간단하다.
06-2 ⑴ a=-2, b=5 ⑵ a=-4, b=13
|해결 전략 | 계수가 실수인 이차방정식의 한 근이 p+qi이면 다른 한 근은
p-qi이다.
이차방정식 x€+ax+b=0에서 a, b가 실수이고
⑴ 한 근이 1+2i이므로 다른 한 근은 1-2i
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
(두 근의 합)=(1+2i)+(1-2i)=-a
∴ a=-2
(두 근의 곱)=(1+2i)(1-2i)=b
∴ b=5
⑵ 한 근이 3i+2, 즉 2+3i이므로 다른 한 근은 2-3i
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
(두 근의 합)=(2+3i)+(2-3i)=-a
∴ a=-4
(두 근의 곱)=(2+3i)(2-3i)=b
∴ b=13
1-2 x=-'3 또는 x='3-1
|해결 전략 | 이차항의 계수를 유리수로 만든 후 해를 구한다.
('3+1)x€+('3+1)x-2'3=0의 양변에 '3-1을 곱하면
('3+1)('3-1)x€+('3+1)('3-1)x-2'3 ('3-1)=0
2x€+2x-2'3 ('3-1)=0
∴ x€+x-'3 ('3-1)=0
좌변을 실수의 범위에서 인수분해하면
(x+'3 )(x-'3+1)=0
∴ x=-'3 또는 x='3-1
2-1 -3
|해결 전략 | x=1을 주어진 이차방정식에 대입하여 상수 a의 값을 구한다.
x€-ax+2a+1=0에 x=1을 대입하면
1-a+2a+1=0
∴ a=-2
a=-2를 주어진 방정식에 대입하면
x€+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0
∴ x=-3 또는 x=1
따라서 다른 한 근은 -3이다.
2-2 4
|해결 전략 | x=5를 주어진 이차방정식에 대입하여 상수 m의 값을 구한다.
x€-2mx+m+2=0에 x=5를 대입하면
25-10m+m+2=0
∴ m=3
m=3을 주어진 방정식에 대입하면
x€-6x+5=0, (x-1)(x-5)=0
∴ x=1 또는 x=5
따라서 다른 한 근은 1이므로 a=1
∴ m+a=3+1=4
3-1 x=-1 또는 x=2
|해결 전략 | 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 기준으로 범위를 나
| 113쪽~115쪽 |
x€-|x+1|-1=0에서
누어 푼다.
1 x<-1일 때
x€+(x+1)-1=0, x€+x=0
x(x+1)=0
∴ x=0 또는 x=-1
그런데 x=0, x=-1은 x<-1을 만족시키지 않으므로 해가 아
니다.
2 x>-1일 때
x€-(x+1)-1=0, x€-x-2=0
(x+1)(x-2)=0
∴ x=-1 또는 x=2
1, 2에서 구하는 해는 x=-1 또는 x=2
STEP
3
유형 드릴
1-1 x=-'3 또는 x=-1
|해결 전략 | 이차항의 계수를 유리수로 만든 후 해를 구한다.
('3-1)x€+2x+3-'3=0의 양변에 '3+1을 곱하면
('3-1)('3+1)x€+2('3+1)x+(3-'3 )('3+1)=0
2x€+2('3+1)x+2'3=0
∴ x€+('3+1)x+'3=0
좌변을 실수의 범위에서 인수분해하면
(x+'3 )(x+1)=0
∴ x=-'3 또는 x=-1
036 정답과 해설
3-2 x=3\2'3
|해결 전략 | 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 기준으로 범위를 나
5-2 1
|해결 전략 | 이차방정식이 k의 값에 관계없이 중근을 가지면 판별식 D=0은 k
누어 푼다.
x€-5x=|x+3|에서
1 x<-3일 때
x€-5x=-(x+3), x€-4x+3=0
(x-1)(x-3)=0
∴ x=1 또는 x=3
그런데 x=1, x=3은 x<-3을 만족시키지 않으므로 해가 아니
다.
2 x>-3일 때
x€-5x=x+3, x€-6x-3=0
∴ x=-(-3)-"ƒ(-3)€-1_(-3)=3-2'3
1, 2에서 구하는 해는 x=3\2'3
에 대한 항등식이다.
x€-2(k-a)x+(k-1)€-b=0의 판별식을 D라 하면
D
4
=(k-a)€-(k-1)€+b=2(1-a)k+a€+b-1
중근을 가지려면 D=0이어야 하므로
2(1-a)k+a€+b-1=0
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
1-a=0, a€+b-1=0
∴ a=1, b=0
∴ a+b=1
6-1 -1
|해결 전략 | 이차식이 완전제곱식이 된다는 것은 (이차식)=0이 중근을 가진다
는 뜻이므로 판별식 D=0이다.
주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 x에 대한 이차방정식
x€+2(a+1)x+a€-1=0이 중근을 가져야 하므로 판별식을 D라
4-1 25 cm€
|해결 전략 | 처음 정사각형의 한 변의 길이를 x cm로 놓고 이차방정식을 세운다.
처음 정사각형의 한 변의 길이를 x cm (x>1)라 하면 가로의 길이
=(a+1)€-(a€-1)=0
를 1 cm 줄이고 세로의 길이를 3 cm 늘인 직사각형의 넓이가
2a+2=0
∴ a=-1
할 때
D
4
32 cm€이므로
(x-1)(x+3)=32, x€+2x-35=0
(x+7)(x-5)=0
∴ x=5 (∵ x>1)
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 5 cm이므로 구하는 넓이는
25 cm€이다.
4-2 3 m
|해결 전략 | 길의 폭을 x m로 놓고 공원의 넓이를 이용하여 이차방정식을 세운다.
길의 폭을 x m (0<x<10)라 하면 처음 공원의 넓이는 150 m€, 길
의 넓이는 (15x+10x-x€) m€, 길을 제외한 공원의 넓이는 84 m€
이므로
150-(25x-x€)=84, x€-25x+66=0
(x-3)(x-22)=0
∴ x=3 (∵ 0<x<10)
따라서 길의 폭은 3 m이다.
5-1 k<-1
|해결 전략 | 이차방정식이 실근을 가지면 판별식 D>0이다.
x€-2x+2k+3=0의 판별식을 D라 하면
=(-1)€-(2k+3)=-2k-2
D
4
실근을 가지려면 D>0이어야 하므로
-2k-2>0, 2k<-2
∴ k<-1
6-2 c를 빗변의 길이로 하는 직각삼각형
|해결 전략 | (이차식)=0이 중근을 가져야 하므로 판별식 D=0일 때, a, b, c 사
이의 관계식을 구한다.
주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식
(c-b)x€+2ax+b+c=0이 중근을 가져야 하므로 판별식을 D라
할 때
D
4
=a€-(c-b)(b+c)=0
a€-(c€-b€)=0, a€-c€+b€=0
∴ c€=a€+b€
따라서 주어진 삼각형은 c를 빗변의 길이로 하는 직각삼각형이다.
7-1 ⑴ -16 ⑵ 7
|해결 전략 | 근과 계수의 관계를 이용하여 주어진 식의 값을 구한다.
x€-2x+4=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=2, ab=4
⑴ a‹b+ab‹=ab(a€+b€)이고
a€+b€=(a+b)€-2ab=2€-2_4=-4
∴ a‹b+ab‹=ab(a€+b€)=4_(-4)=-16
⑵ x€-2x+4=0의 두 근이 a, b이므로
a€-2a+4=0, b€-2b+4=0
∴ (a€-3a+3)(b€-3b+3)
={(a€-2a+4)-a-1}{(b€-2b+4)-b-1}
=(-a-1)(-b-1)
=ab+(a+b)+1
=4+2+1=7
5 이차방정식 037
7-2 7
|해결 전략 | f(x)=0의 근이 a, b이면 f(a)=0, f(b)=0이다.
x€+3x+1=0의 두 근이 a, b이므로
a€+3a+1=0, b€+3b+1=0
또, 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-3, ab=1
∴
b
a€+4a+1
+
a
b€+4b+1
=
b
(a€+3a+1)+a
+
a
(b€+3b+1)+b
=
+
=
b
a
a
b
a€+b€
ab
=
(a+b)€-2ab
ab
=
(-3)€-2_1
1
=7
x€-5x+6k=0의 두 근의 차가 1이므로 두 근을 a, a+1이라 하면
근과 계수의 관계에 의하여
(두 근의 합)=a+(a+1)=5에서
2a+1=5
∴ a=2
(두 근의 곱)=a(a+1)=6k에서
6k=6
∴ k=1
9-2 4
|해결 전략 | 한 근이 다른 한 근의 3배이므로 두 근을 a, 3a (a+0)로 놓고 근과
계수의 관계를 이용한다.
x€-4x+2k-5=0의 한 근이 다른 한 근의 3배이므로 두 근을 a,
3a (a+0)라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
(두 근의 합)=a+3a=4에서
4a=4
∴ a=1
(두 근의 곱)=a_3a=2k-5에서
2k-5=3
∴ k=4
8-1 -8
|해결 전략 | 두 이차방정식에서 근과 계수의 관계를 이용한다.
x€-2ax+6=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
x€+bx+12=0의 두 근이 a+b, ab이므로 근과 계수의 관계에 의
(a+b)+ab=-b, (a+b)ab=12
…… ㉡
a+b=2a, ab=6
하여
㉠을 ㉡에 대입하면
∴ ab=-8
2a+6=-b, 12a=12
∴ a=1, b=-8
10-1 x€-6x+6=0
|해결 전략 | (a+1)+(b+1), (a+1)(b+1)의 값을 구하여 이차방정식을 구
한다.
…… ㉠
x€-4x+1=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=4, ab=1
두 근 a+1, b+1의 합과 곱을 구하면
(a+1)+(b+1) =a+b+2
(a+1)(b+1) =ab+(a+b)+1
=4+2=6
=1+4+1=6
따라서 a+1, b+1을 두 근으로 하고 x€의 계수가 1인 이차방정식은
x€-6x+6=0
8-2 1
|해결 전략 | 두 이차방정식에서 근과 계수의 관계를 이용한다.
x€-ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
10-2 2x€-42x+8=0
|해결 전략 | a€+b€, a€b€의 값을 구하여 이차방정식을 구한다.
x€+5x+2=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
x€+ax-b=0의 두 근이 a-1, b-1이므로 근과 계수의 관계에 의
…… ㉠
a+b=-5, ab=2
a+b=a, ab=b
하여
(a-1)+(b-1)=-a, (a-1)(b-1)=-b
∴ a+b-2=-a, ab-(a+b)+1=-b
…… ㉡
a-2=-a, b-a+1=-b
∴ a=1, b=0
㉠을 ㉡에 대입하면
∴ a+b=1
9-1 1
|해결 전략 | 두 근의 차가 1이므로 두 근을 a, a+1로 놓고 근과 계수의 관계를
은
a
a
,
b
a
이다.
이용한다.
038 정답과 해설
두 근 a€, b€의 합과 곱을 구하면
a€+b€ =(a+b)€-2ab
=(-5)€-2_2=21
a€b€=(ab)€=2€=4
따라서 a€, b€을 두 근으로 하고 x€의 계수가 2인 이차방정식은
2(x€-21x+4)=0
∴ 2x€-42x+8=0
11-1 3
|해결 전략 | 이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이면 f(ax)=0 (a+0)의 두 근
이차방정식 f(x)=0의 두 근을 a, b라 하면
f(a)=0, f(b)=0
…… ㉠
두 근의 합이 9이므로 a+b=9
㉠에 의하여 이차방정식 f(3x)=0의 두 근은
3x=a 또는 3x=b
∴ x= a
3
또는 x= b
3
따라서 이차방정식 f(3x)=0의 두 근의 합은
a
3
+ b
3
= a+b
3
=;3(;=3
11-2 -2
|해결 전략 | 이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이면 f(ax+b)=0 (a+0)의
두 근은
a-b
a
,
b-b
a
이다.
이차방정식 f(x)=0의 두 근을 a, b라 하면
f(a)=0, f(b)=0
…… ㉠
두 근의 합이 -6, 두 근의 곱이 1이므로
a+b=-6, ab=1
㉠에 의하여 이차방정식 f(2x-3)=0의 두 근은
2x-3=a 또는 2x-3=b
∴ x= a+3
또는 x= b+3
2
2
a+3
2
_ b+3
2
=
ab+3(a+b)+9
4
=
1+3_(-6)+9
4
=-2
12-1 16
|해결 전략 | 계수가 실수인 이차방정식의 한 근이 p+qi이면 다른 한 근은
p-qi이다.
이차방정식 x€-ax+b=0에서 a, b가 실수이고 한 근이 3-i이므
로 다른 한 근은 3+i이다.
이때, 근과 계수의 관계에 의하여
a=(3-i)+(3+i)=6
b=(3-i)(3+i)=10
∴ a+b=16
12-2 2
|해결 전략 | f(x)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 f(a)이다.
2i
1+i
=
2i(1-i)
(1+i)(1-i)
=i(1-i)=1+i
| 이차방정식과 이차함수
Review
이차함수의 그래프
6
개념 확인
1 풀이 참조
2 k<0
3 ⑴ a<0 ⑵ b>0 ⑶ c>0 ⑷ a-b+c<0
⑸ 4a+2b+c<0 ⑹ a+3b+9c>0
4 ⑴ y=4x€-8x+3 ⑵ y=x€+4x+5
⑶ y=-x€+6x-5 ⑷ y=x€+x
1 y =-3x€-6x-1
=-3(x€+2x)-1
=-3(x€+2x+1)+2
=-3(x+1)€+2
118쪽~120쪽
y
2
이므로 꼭짓점의 좌표는 (-1, 2), 축의
방정식은 x=-1이고, y절편은 -1이
-1
x
O
-1
따라서 그 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
y=-3x2-6x-1
2 y =x€-2kx+k€+4
=(x€-2kx+k€)+4
=(x-k)€+4
따라서 주어진 함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
이때, 꼭짓점 (k, 4)가 제2사분면 위에 있으므로
(k, 4)
k<0
3 ⑴ 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
b
2a
⑵ 축 x=-
가 y축의 오른쪽에 있으므로 -
>0
b
2a
즉, a, b는 서로 다른 부호이다.
따라서 a<0이므로 b>0
⑶ y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
따라서 이차방정식 f(2x-3)=0의 두 근의 곱은
다.
즉, 이차방정식 x€+ax+b=0에서 a, b가 실수이고 한 근이 1+i이
⑷ a-b+c는 x=-1일 때의 함숫값이므로
므로 다른 한 근은 1-i이다.
이때, 근과 계수의 관계에 의하여
-a=(1+i)+(1-i)=2
∴ a=-2
b=(1+i)(1-i)=2
따라서 f(x)=x€-2x+2를 x-2로 나누었을 때의 나머지는
f(2)=2€-2_2+2=2
⑸ 4a+2b+c는 x=2일 때의 함숫값이므로
a-b+c<0
4a+2b+c<0
⑹ x=;3!;일 때 y>0이므로 ;9!;a+;3!;b+c>0, 즉
;9!;(a+3b+9c)>0이므로 a+3b+9c>0
6 이차방정식과 이차함수 039
4 ⑴ 꼭짓점의 좌표가 (1, -1)이므로 이차함수의 식은
y=a(x-1)€-1
함수의 그래프가 점 (2, 3)을 지나므로
3=a(2-1)€-1, 3=a-1
4 a=4
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=4(x-1)€-1
4 y=4x€-8x+3
⑶ 이차방정식 3x€-18x+27=0에서
3(x-3)€=0
4 x=3
따라서 교점의 x좌표는 3
2 ⑴ 이차방정식 x€+3x-3=0의 판별식을 D라 하면
D=3€-4_1_(-3)=21>0
⑵ 축의 방정식이 x=-2이므로 이차함수의 식은
이므로 서로 다른 두 점에서 만난다.
y=a(x+2)€+n
⑵ 이차방정식 9x€+6x+1=0의 판별식을 D라 하면
함수의 그래프가 두 점 (-1, 2), (1, 10)을 지나므로
2=a+n, 10=9a+n
두 식을 연립하여 풀면 a=1, n=1
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=(x+2)€+1
4 y=x€+4x+5
⑶ x축과 두 점 (1, 0), (5, 0)에서 만나므로 이차함수의 식은
;;4Î;;=3€-9_1=0
이므로 한 점에서 만난다.
⑶ 이차방정식 -3x€+4x-2=0의 판별식을 D라 하면
;;4Î;;=2€-(-3)_(-2)=-2<0
이므로 만나지 않는다.
y=a(x-1)(x-5)
함수의 그래프가 점 (0, -5)를 지나므로
-5=a_(-1)_(-5)
4 a=-1
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=-(x-1)(x-5)
4 y=-x€+6x-5
⑷ 세 점이 주어진 이차함수의 식은
y=ax€+bx+c
점 (0, 0)을 지나므로 c=0
즉, 이차함수 y=ax€+bx의 그래프가 두 점 (-3, 6), (1, 2)
를 지나므로
6=9a-3b, 2=a+b
두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=1
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=x€+x
1
이차함수와 이차방정식의 관계
개념 확인
1 ⑴ -4, 3 ⑵ -;2#;, 1 ⑶ 3
2 ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⑵ 한 점에서 만난다.
121쪽~123쪽
3 ⑴ 만나지 않는다. ⑵ 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑶ 만나지 않는다.
⑶ 한 점에서 만난다.
1 ⑴ 이차방정식 x€+x-12=0에서
(x+4)(x-3)=0
4 x=-4 또는 x=3
따라서 교점의 x좌표는 -4, 3
⑵ 이차방정식 -2x€-x+3=0에서
2x€+x-3=0, (2x+3)(x-1)=0
4 x=-;2#; 또는 x=1
따라서 교점의 x좌표는 -;2#;, 1
040 정답과 해설
3 ⑴ 이차방정식 x€+2x-1=3x-2, 즉 x€-x+1=0의 판별식
⑵ 이차방정식 2x€-3x-4=-x+2, 즉 2x€-2x-6=0의 판
을 D라 하면
D=(-1)€-4_1_1=-3<0
이므로 만나지 않는다.
별식을 D라 하면
;;4Î;;=(-1)€-2_(-6)=13>0
이므로 서로 다른 두 점에서 만난다.
판별식을 D라 하면
;;4Î;;=3€-3_3=0
이므로 한 점에서 만난다.
⑶ 이차방정식 -3x€-2x-2=4x+1, 즉 3x€+6x+3=0의
STEP
1
개념 드릴
| 124쪽 |
1 ⑴ -3, 1 ⑵ 2, 4 ⑶ -4, 0
2 ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⑵ 한 점에서 만난다.
⑶ 만나지 않는다.
3 ⑴ -2, 1 ⑵ -1 ⑶ 3
4 ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⑵ 만나지 않는다.
⑶ 한 점에서 만난다.
1 ⑴ 이차방정식 x€+2x-3=0에서
(x+3)(x-1)=0
4 x=-3 또는 x=1
따라서 교점의 x좌표는 -3, 1
⑵ 이차방정식 -x€+6x-8=0에서
x€-6x+8=0, (x-2)(x-4)=0
4 x=2 또는 x=4
따라서 교점의 x좌표는 2, 4
⑶ 이차방정식 -(x+2)€+4=0, 즉 x€+4x=0에서
x(x+4)=0
4 x=-4 또는 x=0
따라서 교점의 x좌표는 -4, 0
2 ⑴ 이차방정식 x€-5x+5=0의 판별식을 D라 하면
D=(-5)€-4_1_5=5>0
이므로 서로 다른 두 점에서 만난다.
01-2 a=4, b=-6
|해결 전략 | 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는 이차방정식의 실근과
같다.
⑵ 이차방정식 -2x€+16x-32=0, 즉 x€-8x+16=0의 판별
이차함수 y=2x€+ax+b의 그래프와 x축의 교점의 x좌표가 -3,
⑶ 이차방정식 -(x-2)€+4=-2x+9, 즉 x€-6x+9=0에
;;4Î;;={-(k-1)}€-(k€+5)=-2k-4
식을 D라 하면
D
4
=(-4)€-1_16=0
이므로 한 점에서 만난다.
⑶ 이차방정식 -3x€-5x-3=0의 판별식을 D라 하면
D=(-5)€-4_(-3)_(-3)=-11<0
다른 풀이
이므로 만나지 않는다.
3 ⑴ 이차방정식 -3x€-x+7=2x+1, 즉 3x€+3x-6=0에서
4 x=-2 또는 x=1
3(x+2)(x-1)=0
따라서 교점의 x좌표는 -2, 1
⑵ 이차방정식 2x€+3x+4=-x+2, 즉 2x€+4x+2=0에서
호를 조사한다.
2(x+1)€=0
4 x=-1
따라서 교점의 x좌표는 -1
서
(x-3)€=0
4 x=3
따라서 교점의 x좌표는 3
별식을 D라 하면
D
4
=2€-2_4=-4<0
이므로 만나지 않는다.
식을 D라 하면
D
4
=2€-1_4=0
이므로 한 점에서 만난다.
4 ⑴ 이차방정식 x€-x-2=2x-3, 즉 x€-3x+1=0의 판별식
을 D라 하면
D=(-3)€-4_1_1=5>0
이므로 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑵ 이차방정식 2x€+3x+1=-x-3, 즉 2x€+4x+4=0의 판
⑶ 이차방정식 x€+x-1=-3x-5, 즉 x€+4x+4=0의 판별
1이므로 이차방정식 2x€+ax+b=0의 두 실근이 -3, 1이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
-3+1=-;2A;, -3_1=;2B;
4 a=4, b=-6
두 근이 -3, 1이고 x€의 계수가 2인 이차방정식은
2(x+3)(x-1)=0, 즉 2x€+4x-6=0
이 방정식이 2x€+ax+b=0과 같으므로 a=4, b=-6
02-1 ⑴ k<-2 ⑵ k=-2 ⑶ k>-2
|해결 전략 | 이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계는 이차방정식의 판별식의 부
이차방정식 x€-2(k-1)x+k€+5=0의 판별식을 D라 하면
⑴ 서로 다른 두 점에서 만나려면 D>0이어야 하므로
-2k-4>0
4 k<-2
⑵ 한 점에서 만나려면 D=0이어야 하므로
-2k-4=0
4 k=-2
⑶ 만나지 않으려면 D<0이어야 하므로
-2k-4<0
4 k>-2
02-2 24
|해결 전략 | x축과 접하므로 판별식 D=0이다.
이차방정식 2x€+mx+3m+2=0의 판별식을 D라 하면
D=m€-4_2_(3m+2)=m€-24m-16
이차함수의 그래프가 x축과 접하려면 D=0이어야 하므로
m€-24m-16=0을 만족시키는 모든 실수 m의 값의 합은 근과 계
수의 관계에 의하여 24이다.
03-1 a=0, b=9
|해결 전략 | 이차함수의 식과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식의 두 실근이
-1, 5이다.
이차방정식 x€+ax+4=4x+b, 즉 x€+(a-4)x+4-b=0의 두
실근이 -1, 5이므로 근과 계수의 관계에 의하여
STEP
2
필수 유형
| 125쪽~129쪽 |
-1+5=-(a-4), -1_5=4-b
4 a=0, b=9
01-1 a=-1, b=3
|해결 전략 | 이차방정식 x€+ax-6=0의 두 실근이 -2, b이다.
이차함수 y=x€+ax-6의 그래프와 x축의 교점의 x좌표가 -2, b
03-2 7
|해결 전략 | 이차함수의 그래프와 직선의 교점의 x좌표는 -3, 1이다.
이므로 이차방정식 x€+ax-6=0의 두 실근이 -2, b이다.
주어진 그래프에서 이차함수 y=x€+ax+1의 그래프와 직선
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
y=x+b의 교점의 x좌표가 -3, 1이므로 이차방정식
-2+b=-a, -2b=-6
4 a=-1, b=3
x€+ax+1=x+b, 즉 x€+(a-1)x+1-b=0의 두 실근이 -3, 1
이다.
6 이차방정식과 이차함수 041
04-2 -2
|해결 전략 | 이차함수의 그래프와 직선이 만나므로 판별식 D>0임을 이용한다.
이차방정식 x€+2x-1=3x+k+1, 즉 x€-x-k-2=0의 판별식을
2 ⑴ -3<x<2일 때, y=(x+1)€-6의
그래프는 오른쪽 그림과 같고, 꼭짓점
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
-3+1=-(a-1), -3_1=1-b
따라서 a=3, b=4이므로 a+b=7
04-1 2
|해결 전략 | 이차함수의 식과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식의 판별식을 이
이차방정식 x€-2x+2=2x-k, 즉 x€-4x+2+k=0의 판별식
;;4Î;;=(-2)€-(2+k)=2-k
이차함수 y=x€-2x+2의 그래프와 직선 y=2x-k가 접하려면
용한다.
을 D라 하면
D=0이어야 하므로
2-k=0
4 k=2
D라 하면
D=(-1)€-4_1_(-k-2)=4k+9
이차함수 y=x€+2x-1의 그래프와 직선 y=3x+k+1이 만나려
면 D>0이어야 하므로
4k+9>0
4 k>-;4(;
따라서 정수 k의 최솟값은 -2이다.
참고
만나야 한다.
이차함수의 그래프와 직선이 만나려면 서로 다른 두 점에서 만나거나 한 점에서
즉, 이차함수의 식과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식의 판별식을 D라 할
때, D>0 또는 D=0 ➡ D>0
05-1 a=2, b=-2
|해결 전략 | 평행한 두 직선의 기울기는 같다.
직선 y=ax+b가 직선 y=2x+3에 평행하므로 a=2
직선 y=2x+b가 이차함수 y=x€-1의 그래프와 접하므로 이차방
정식 x€-1=2x+b, 즉 x€-2x-b-1=0의 판별식을 D라 하면
D
4
=(-1)€-(-b-1)=0
4 b=-2
05-2 m=0, n=-1
|해결 전략 | 이차함수의 그래프가 직선과 접하므로 판별식 D=0이다.
이차방정식 x€-2kx+k€-1=mx+n, 즉
x€-(2k+m)x+k€-n-1=0의 판별식을 D라 하면
D={-(2k+m)}€-4_1_(k€-n-1)=0
4 4mk+m€+4n+4=0
위 식은 k에 대한 항등식이므로 4m=0, m€+4n+4=0
4 m=0, n=-1
042 정답과 해설
2
이차함수의 최대·최소
개념 확인
130쪽~131쪽
1 ⑴ 최댓값: 없다, 최솟값: 3 ⑵ 최댓값: -5, 최솟값: 없다.
1 ⑶ 최댓값: 없다, 최솟값: -
13
4
⑷ 최댓값: ;8(;, 최솟값: 없다.
2 ⑴ 최댓값: 3, 최솟값: -6 ⑵ 최댓값: 2, 최솟값: -6
1 ⑴ x=1일 때 최솟값은 3, 최댓값은 없다.
⑵ x=-2일 때 최댓값은 -5, 최솟값은 없다.
⑶ y=x€+5x+3={x+;2%;}
€-
13
4
따라서 x=-;2%;일 때 최솟값은 -:¡4£:, 최댓값은 없다.
⑷ y=-2x€+x+1=-2{x-;4!;}
€+;8(;
따라서 x=;4!;일 때 최댓값은 ;8(;, 최솟값은 없다.
의 x좌표 -1이 -3<x<2에 포함되
므로 f(-3)=-2, f(-1)=-6,
f(2)=3을 비교하면 최댓값은 3, 최
솟값은 -6이다.
⑵ 2<x<4일 때, y=-(x-1)€+3의
그래프는 오른쪽 그림과 같고, 꼭짓점
의 x좌표 1이 2<x<4에 포함되지 않
으므로 f(2)=2, f(4)=-6을 비교하
면 최댓값은 2, 최솟값은 -6이다.
y
3
-3
-1
y
3
2
-6
O
2
x
-2
-6
4
O
1 2
x
STEP
1
개념 드릴
| 132쪽 |
1 ⑴ 최댓값: 4, 최솟값: 없다. ⑵ 최댓값: 없다, 최솟값: 3
⑶ 최댓값: 없다, 최솟값: 1 ⑷ 최댓값: -1, 최솟값: 없다.
⑸ 최댓값: 없다, 최솟값: 4
2 ⑴ 최댓값: 2, 최솟값: -2 ⑵ 최댓값: 6, 최솟값: -2
⑶ 최댓값: 4, 최솟값: -4 ⑷ 최댓값: 8, 최솟값: -4
⑸ 최댓값: 5, 최솟값: -3
1 ⑴ x=0일 때 최댓값은 4, 최솟값은 없다.
⑵ x=0일 때 최솟값은 3, 최댓값은 없다.
⑶ y=x€+2x+2=(x+1)€+1
따라서 x=-1일 때 최솟값은 1, 최댓값은 없다.
⑷ y=-x€+4x-5=-(x-2)€-1
따라서 x=2일 때 최댓값은 -1, 최솟값은 없다.
⑸ y=;3!;x€+2x+7=;3!;(x+3)€+4
따라서 x=-3일 때 최솟값은 4, 최댓값은 없다.
2 ⑴ y=x€-2x-1=(x-1)€-2이므
로 -1<x<2일 때, 주어진 함수의
그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 f(-1)=2, f(1)=-2,
f(2)=-1이므로 최댓값은 2, 최솟
값은 -2이다.
⑵ y=x€+8x+13=(x+4)€-3이므
로 -3<x<-1일 때, 주어진 함수
의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 f(-3)=-2, f(-1)=6이
므로 최댓값은 6, 최솟값은 -2이다.
⑶ y=-x€-4x+1=-(x+2)€+5
이므로 -5<x<-3일 때, 주어진
함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같
다.
따라서 f(-5)=-4, f(-3)=4이
므로 최댓값은 4, 최솟값은 -4이다.
⑷ y=-3x€+6x+5=-3(x-1)€+8
이므로 0<x<3일 때, 주어진 함수의
그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 f(0)=5, f(1)=8,
f(3)=-4이므로 최댓값은 8, 최솟값
은 -4이다.
⑸ y=2x€-4x-1=2(x-1)€-3이므로
-1<x<1일 때, 주어진 함수의 그래프
는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 f(-1)=5, f(1)=-3이므로 최
댓값은 5, 최솟값은 -3이다.
01-2 최댓값: 9, 최솟값: 없다.
|해결 전략 | 이차함수의 최대*최소는 y=a(x-m)€+n 꼴로 변형하여 구한다.
y
2
-1
O
-1
-2
1 2
x
y =x€-4x+a=(x-2)€+a-4
x=2일 때 최솟값은 a-4이므로
a-4=-6
4 a=-2
따라서
y
6
y =ax€-8x+1=-2x€-8x+1
=-2(x+2)€+9
y
9
-3
-4
은 없다.
이므로 x=-2일 때 최댓값 9를 갖고, 최솟값
-2
O
x
-1
O x
-2
-3
y
5
4
02-1 6
|해결 전략 | y=a(x-m)€+n 꼴로 변형해 꼭짓점의 x좌표가 제한된 범위에
포함되는지 확인한다.
-5
O
-2-3
x
y=x€+8x-3k+1=(x+4)€-3k-15이고, 꼭짓점의 x좌표 -4
가 -3<x<-1에 포함되지 않으므로 x=-3일 때 최솟값
-3k-14를 갖는다.
-4
즉, -3k-14=-2이므로 k=-4
따라서 주어진 함수는 y=(x+4)€-3이고, 최댓값은 x=-1일 때
6이다.
3
O
1
x
02-2 -2
|해결 전략 | 꼭짓점의 x좌표가 제한된 범위에 포함되면 범위의 양 끝에서의 함숫
값과 꼭짓점의 y좌표를 비교한다.
y=-x€+2x+m-3=-(x-1)€+m-2이고, 꼭짓점의 x좌표
1이 -1<x<2에 포함되므로 x=1일 때 최댓값 m-2를 갖는다.
즉, m-2=2이므로 m=4
따라서 주어진 함수는 y=-(x-1)€+2이고,
x=-1일 때 y=-2,
x
x=2일 때 y=1
이므로 최솟값은 x=-1일 때 -2이다.
03-1 ⑴ 최댓값: 32, 최솟값: -4 ⑵ 최댓값: 12, 최솟값: -4
|해결 전략 | 공통부분을 t로 치환하여 구한다.
y
8
5
-4
y
5
1
O
-1
-3
STEP
2
필수 유형
| 133쪽~138쪽 |
⑴ x€-2x=t로 놓으면
t=(x-1)€-1
01-1 ⑴ -5 ⑵ a=3, b=-1
|해결 전략 | 이차함수의 최대*최소는 y=a(x-m)€+n 꼴로 변형하여 구한다.
⑴ y =-x€-6x+k
=-(x+3)€+k+9
x=-3일 때 최댓값은 k+9이므로
k+9=4
4 k=-5
⑵ y=x€-2ax+8
=(x-a)€-a€+8
x=a일 때 최솟값은 -a€+8이므로
a=3, b=-a€+8
4 a=3, b=-3€+8=-1
y
4
-3
O
x
y
3
x
O
-1
-2<x<2이므로 [그림 1]에서
-1<t<8
이때, 주어진 함수를 t에 대한 함수로 나타내면
y =t€-4t
=(t-2)€-4 (-1<t<8)
이므로 [그림 2]에서
t=-1일 때 y=5,
t=2일 때 y=-4,
t=8일 때 y=32
따라서 최댓값은 32, 최솟값은 -4이다.
t
8
1
O
-2-1
2
x
[그림 1]
y
32
5
2-1
O
-4
8
t
[그림 2]
6 이차방정식과 이차함수 043
05-1 9
|해결 전략 | x, y에 대한 완전제곱식 꼴, 즉 ( )€+( )€+m 꼴로 변형하여
(실수)€>0임을 이용한다.
2x€+2y€+8x-8y+k
=2(x€+4x+4)+2(y€-4y+4)+k-16
=2(x+2)€+2(y-2)€+k-16
이때, x, y는 실수이므로 (x+2)€>0, (y-2)€>0
4 2x€+2y€+8x-8y+k>k-16
주어진 식의 최솟값이 -7이므로 k-16=-7
4 k=9
05-2 -24
|해결 전략 | x, y에 대한 완전제곱식 꼴, 즉 ( )€+( )€+m 꼴로 변형하여
(실수)€>0임을 이용한다.
6x-4y-x€-y€-9 =-(x€-6x+9)-(y€+4y+4)+4
=-(x-3)€-(y+2)€+4
이때, x, y는 실수이므로 (x-3)€>0, (y+2)€>0
4 6x-4y-x€-y€-9<4
따라서 주어진 식은 x=3, y=-2일 때 최댓값 4를 갖는다.
⑵ x€-2x+3=t로 놓으면
t=(x-1)€+2
-1<x<2이므로 [그림 1]에서
2<t<6
이때, 주어진 함수를 t에 대한 함수로
=-(t-2)€+12 (2<t<6)
나타내면
y =-t€+4t+8
이므로 [그림 2]에서
t=2일 때 y=12,
t=6일 때 y=-4
따라서 최댓값은 12, 최솟값은 -4이다.
6
t
3
2
O
1
2
x
-1
[그림 1]
y
12
6
t
O
2
-4
[그림 2]
03-2 3
|해결 전략 | x€+2x-1=t로 치환하여 최솟값을 가질 때의 t의 값을 구한다.
x€+2x-1=t로 놓으면
t=(x+1)€-2
4 t>-2
y =t€+6(t+1)+6
=t€+6t+12
=(t+3)€+3 (t>-2)
이므로 t=-2일 때 최솟값 4를 갖는다.
t=-2일 때, x€+2x-1=-2이므로
x€+2x+1=0, (x+1)€=0
4 x=-1
따라서 a=-1, b=4이므로 a+b=3
이때, 주어진 함수를 t에 대한 함수로 나타내면
y
즉, a=3, b=-2, c=4이므로 abc=-24
4
3
-2-3
O t
06-1 45 m
|해결 전략 | 주어진 이차함수의 최댓값을 구한다.
y=-5t€+30t=-5(t-3)€+45 (0<t<6)
즉, t=3일 때 최댓값은 45이므로 물체가 가장 높이 올라갔을 때의
높이는 45 m이다.
04-1 최댓값: 6, 최솟값: -2
|해결 전략 | 주어진 조건식을 이차식에 대입하여 최댓값과 최솟값을 구한다.
y=x-4를 x€+xy에 대입하면
x€+x(x-4) =2x€-4x
=2(x-1)€-2 (1<x<3)
x€+xy=t라 하면 t=2(x-1)€-2이고,
1<x<3에서 이 이차함수의 그래프는 오른쪽
그림과 같으므로
x=1일 때 t=-2, x=3일 때 t=6
따라서 x€+xy의 최댓값은 6, 최솟값은 -2이다.
t
6
O
-2
06-2 20 cm€
|해결 전략 | AB’=x cm, AD’=y cm라 하고 식을 세운다.
오른쪽 그림과 같이
F
AB’=x cm, AD’=y cm라 하면
△FAD6△FBE이므로
FA’：FB’=AD’：BE’에서
(10-x)：10=y：8
1
3
x
A
y cm
D
10 cm
x cm
B
E
C
8 cm
04-2 3
|해결 전략 | 조건식을 한 문자에 대하여 정리한 후 이차식에 대입한다.
2x+y+3=0, 즉 y=-2x-3을 2x€+y€에 대입하면
2x€+(-2x-3)€ =6x€+12x+9
=6(x+1)€+3
2x€+y€=t라 하면 t=6(x+1)€+3이고,
x=-1일 때 t=3
따라서 2x€+y€의 최솟값은 3이다.
044 정답과 해설
8(10-x)=10y
4 y=8-;5$;x
이때, 변의 길이는 양수이므로 x>0, y>0, 즉
x>0, 8-;5$;x>0
직사각형 ABCD의 넓이를 S cm€라 하면
4 0<x<10
S=xy=x{8-;5$;x}=-;5$;x€+8x
=-;5$;(x-5)€+20 (0<x<10)
따라서 오른쪽 그림에서 S는 x=5일 때 최댓
값 20을 가지므로 직사각형 ABCD의 넓이의
최댓값은 20 cm€이다.
S
20
O
5
10
x
다른 풀이
1FAD61FBE이므로
FA’：AD’=FB’：BE’=10：8=5：4
이때, FA’=5x, AD’=4x(0<x<2)라 하면
AB’=10-5x
직사각형 ABCD의 넓이를 S cm€라 하면
S =4x(10-5x)=-20x€+40x
=-20(x-1)€+20 (0<x<2)
댓값은 20 cm€이다.
LECTURE
삼각형에 내접하는 직사각형의 넓이의 최댓값은 삼각형의 넓이의 ;2!;이다.
따라서 S는 x=1일 때 최댓값 20을 가지므로 직사각형 ABCD의 넓이의 최
2k+5>0
4 k>-;2%;
따라서 정수 k의 최솟값은 -2이다.
2-2 -2
|해결 전략 | 이차함수의 그래프가 x축과 만나려면 판별식 D>0이어야 한다.
이차방정식 x€-2(k+1)x+k€-4=0의 판별식을 D라 하면
;;4Î;;={-(k+1)}€-(k€-4)=2k+5
이차함수의 그래프가 x축과 만나려면 D>0이어야 하므로
STEP
3
유형 드릴
| 139쪽~141쪽 |
4 a+b=3+16=19
3-1 19
|해결 전략 | 이차함수의 식과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식의 두 실근이
-5, 3이다.
이차방정식 x€+ax+1=x+b, 즉 x€+(a-1)x-b+1=0의 두
실근이 -5, 3이므로 근과 계수의 관계에 의하여
-5+3=-(a-1), -5_3=-b+1
4 a=3, b=16
3-2 5
|해결 전략 | 이차함수의 그래프와 직선의 교점의 x좌표는 1, 3이다.
이차방정식 -x€+3mx+1=-x+n, 즉 x€-(3m+1)x+n-1=0
의 두 실근이 1, 3이므로 근과 계수의 관계에 의하여
1+3=3m+1, 1_3=n-1
4 m=1, n=4
4 m+n=1+4=5
4-1 k>4
|해결 전략 | 이차함수의 식과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식의 판별식을 구
한다.
라 하면
;;4Î;;=(-1)€-1_(-k+5)=k-4
이차함수 y=x€+5의 그래프와 직선 y=2x+k가 서로 다른 두 점
에서 만나려면 D>0이어야 하므로
k-4>0
4 k>4
4-2 -2
|해결 전략 | 이차함수의 그래프가 직선과 접하므로 판별식 D=0이다.
이차함수 y=-2x€-x+a의 그래프가 점 (-1, 3)을 지나므로
3=-2_(-1)€-(-1)+a
4 a=4
이차방정식 -2x€-x+4=3x+b, 즉 2x€+4x+b-4=0의 판별
;;4Î;;=2€-2_(b-4)=-2b+12
이차함수 y=-2x€-x+4의 그래프와 직선 y=3x+b가 접하려면
6 이차방정식과 이차함수 045
1-1 -2
|해결 전략 | 이차함수 y=x€+x+k의 그래프와 x축의 교점의 x좌표를 a, a+3
으로 놓는다.
이차함수 y=x€+x+k의 그래프와 x축의 교점의 x좌표를 a, a+3
이라 하면 이차방정식 x€+x+k=0의 두 실근이 a, a+3이다.
이때, 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
a+(a+3)=-1, a(a+3)=k
4 a=-2, k=-2
1-2 a=2, b=4
|해결 전략 | 이차방정식 -x€+2ax=0의 두 실근이 0, b이다.
므로 이차방정식 -x€+2ax=0의 두 실근이 0, b이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
0+b=2a
4 b=2a
이차함수 y=-x€+2ax=-(x-a)€+a€의 꼭짓점 B의 좌표는
(a, a€)이고, 삼각형 OAB의 넓이가 8이므로
;2!;_b_a€=8
이때, b=2a이므로
;2!;_2a_a€=8, a‹=8
4 b=2a=4
4 a=2 (5 a는 실수)
2-1 -4
|해결 전략 | 이차함수의 그래프가 x축과 접하려면 판별식 D=0이어야 한다.
식을 D라 하면
이차방정식 x€-ax+2-a=0의 판별식을 D라 하면
D=(-a)€-4_1_(2-a)=a€+4a-8
이차함수의 그래프가 x축과 접하려면 D=0이어야 하므로
a€+4a-8=0을 만족시키는 모든 실수 a의 값의 합은 근과 계수의
관계에 의하여 -4이다.
D=0이어야 하므로
-2b+12=0
4 b=6
4 a-b=4-6=-2
이차함수 y=-x€+2ax의 그래프와 x축의 교점의 x좌표가 0, b이
이차방정식 x€+5=2x+k, 즉 x€-2x-k+5=0의 판별식을 D
5-1 a=5, k=-;8(;
|해결 전략 | 두 직선 y=ax+b, y=a'x+b'이 평행하면 a=a'임을 이용한다.
4 a+b=-2
즉, 3a+b=4, -a+b=-8이므로 a=3, b=-5
직선 y=ax+k가 직선 y=5x-2에 평행하므로 a=5
직선 y=5x+k가 이차함수 y=-x€+2x+3k의 그래프와 접하므
로 이차방정식 -x€+2x+3k=5x+k, 즉 x€+3x-2k=0의 판
별식을 D라 하면
D=3€-4_1_(-2k)=0, 8k+9=0
4 k=-;8(;
8-1 13
|해결 전략 | 공통부분을 t로 치환하여 최솟값을 구한다.
x€+2=t로 놓으면 t>2
이때, 주어진 함수를 t에 대한 함수로 나타내면
y
13
y=t€+4t+1=(t+2)€-3 (t>2)
따라서 최솟값은 t=2일 때 13이다.
5-2 m=0, n=-3
|해결 전략 | 이차함수의 그래프가 직선과 접하므로 판별식 D=0이다.
이차방정식 x€+4kx+4k€-3=mx+n, 즉
x€+(4k-m)x+4k€-n-3=0의 판별식을 D라 하면
D=(4k-m)€-4_1_(4k€-n-3)=0
4 -8mk+m€+4n+12=0
위 식은 k에 대한 항등식이므로 -8m=0, m€+4n+12=0
4 m=0, n=-3
6-1 4
|해결 전략 | y=a(x-m)€+n 꼴로 변형하여 최댓값을 구한다.
y=-x€-4kx+8k+8=-(x+2k)€+4k€+8k+8은 x=-2k
일 때 최댓값 4k€+8k+8을 갖는다.
4 f(k) =4k€+8k+8=4(k+1)€+4
따라서 f(k)의 최솟값은 k=-1일 때 4이다.
6-2 3
|해결 전략 | y=a(x-m)€+n 꼴로 변형하여 최솟값을 구한다.
y=x€-2kx+2k+2=(x-k)€-k€+2k+2는 x=k일 때 최솟값
-k€+2k+2를 갖는다.
4 f(k) =-k€+2k+2=-(k-1)€+3
따라서 f(k)의 최댓값은 k=1일 때 3이다.
y =-2x€-4x+5
=-2(x+1)€+7
이므로 -1<x<2에서 x=-1일 때 최댓값
7, x=2일 때 최솟값 -11을 갖는다.
따라서 최댓값과 최솟값의 합은
7+(-11)=-4
y
7
-1
2
O
x
-11
7-2 -2
|해결 전략 | y=a(x-m)€+n 꼴로 변형하여 최댓값과 최솟값을 구한다.
a>0이므로 0<x<3에서 x=3일 때 최댓값 3a+b, x=1일 때 최
y =ax€-2ax+b
=a(x-1)€-a+b
솟값 -a+b를 갖는다.
046 정답과 해설
-2
1
2
O
-3
t
t
5
2
1
y
4
O 1
-4
-5
4 5
t
[그림 2]
이때, 주어진 함수를 t에 대한 함수로 나타내면
-1-2
O1
x
y =t€-8(t-2)-5=t€-8t+11
=(t-4)€-5 (1<t<5)
[그림 1]
8-2 -20
|해결 전략 | x€+2x+2=t로 치환한다.
x€+2x+2=t로 놓으면
t =(x+1)€+1
-2<x<1이므로 [그림 1]에서
1<t<5
따라서 최댓값은 4, 최솟값은 -5이므로 최댓
이므로 [그림 2]에서
t=1일 때 y=4,
t=4일 때 y=-5,
t=5일 때 y=-4
값과 최솟값의 곱은
4_(-5)=-20
참고
x€+2x=t로 치환해도 답은 같다.
t=x€+2x=(x+1)€-1
-2<x<1에서 -1<t<3
이때, 주어진 함수는
9-1 1
|해결 전략 | y€+2x=2를 변형한 식을 x€+y€+4x에 대입한다.
y€+2x=2에서 y€=-2x+2
y€>0이므로 -2x+2>0
4 x<1
y€=-2x+2를 x€+y€+4x에 대입하면
x€+y€+4x =x€-2x+2+4x=x€+2x+2
=(x+1)€+1 (x<1)
t=(x+1)2+1
x€+y€+4x=t라 하면
t=(x+1)€+1이고, x<1에서 이 이
차함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같으
므로 x€+y€+4x의 최솟값은 1이다.
t
5
2
1
O-1
1
x
7-1 -4
|해결 전략 | y=a(x-m)€+n 꼴로 변형하여 최댓값과 최솟값을 구한다.
y =(t+2)€-8t-5=t€-4t-1=(t-2)€-5 (-1<t<3)
이므로 -5<y<4
9-2 8
|해결 전략 | 2x-y-4=0을 변형한 식을 4x€+y€에 대입한다.
2x-y-4=0, 즉 y=2x-4를 4x€+y€에 대입하면
4x€+y€ =4x€+(2x-4)€
=8x€-16x+16
=8(x-1)€+8
4x€+y€=t라 하면 t=8(x-1)€+8이고,
x=1일 때 t=8
따라서 4x€+y€의 최솟값은 8이다.
10-1 1
|해결 전략 | x, y에 대한 완전제곱식 꼴, 즉 ( )€+( )€+m 꼴로 변형하여
(실수)€>0임을 이용한다.
x€-2x+2y€-4y+k€-k+1
=(x€-2x+1)+2(y€-2y+1)+k€-k-2
=(x-1)€+2(y-1)€+k€-k-2
이때, x, y는 실수이므로 (x-1)€>0, (y-1)€>0
4 x€-2x+2y€-4y+k€-k+1>k€-k-2
주어진 식의 최솟값이 0이므로 k€-k-2=0
따라서 모든 k의 값의 합은 근과 계수의 관계에 의하여 1이다.
10-2 12
|해결 전략 | x, y에 대한 완전제곱식 꼴, 즉 ( )€+( )€+m 꼴로 변형하여
(실수)€>0임을 이용한다.
6x-8y-x€-2y€-6
=-(x€-6x+9)-2(y€+4y+4)+11
=-(x-3)€-2(y+2)€+11
이때, x, y는 실수이므로 (x-3)€>0, (y+2)€>0
4 6x-8y-x€-2y€-6<11
따라서 주어진 식은 x=3, y=-2일 때 최댓값 11을 갖는다.
즉, a=3, b=-2, c=11이므로 a+b+c=12
11-2 2
|해결 전략 | 이차방정식 x€+4x+3=0의 실근을 이용하여 두 점 A, B의 좌표
를 구한다.
C(0, 3)이고, x축과 만나는 두 점이 A, B이므로
x€+4x+3=0, (x+3)(x+1)=0
x=-3 또는 x=-1, 즉 A(-3, 0), B(-1, 0)
한편, 점 P(a, b)는 y=x€+4x+3의 그래프 위의 점이므로
b=a€+4a+3 (-3<a<0)
4 -2a+b =-2a+a€+4a+3
=a€+2a+3
=(a+1)€+2
-2a+b=t라 하면 t=(a+1)€+2이고,
꼭짓점의 a좌표가 -3<a<0에 포함되
므로 구하는 최솟값은 2이다.
t=(a+1)2+2
t
6
3
2
-3 -1
O
a
12-1 225원
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 함수식을 세운다.
지우개 한 개의 가격을 x원 인상하면 판매량은 2x개 감소하므로
(지우개 한 개의 가격)=200+x(원)
(지우개 판매량)=500-2x(개) (단, 0<x<250)
이때, 하루 총 판매 금액을 y원이라 하면
y =(200+x)(500-2x)
=-2x€+100x+100000
=-2(x€-50x+625)+101250
=-2(x-25)€+101250
따라서 y의 최댓값은 x=25일 때 101250이므로 구하는 지우개 한
개의 가격은
200+25=225(원)
11-1 12
|해결 전략 | 점 C의 좌표를 (k, 0)으로 놓는다.
점 C의 좌표를 (k, 0) (0<k<'5 )이라
하면
y
5
BC’=2k, CD’=-k€+5
직사각형 ABCD의 둘레의 길이를 l이라
A
D
하면
l =2(BC’+CD’)
=2{2k+(-k€+5)}
=-2k€+4k+10
=-2(k-1)€+12
B
O
x
C
k
y=-x2+5
12-2 1900원
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 함수식을 세운다.
참가비를 100x원 내리면 신청 학생 수는 10x명 증가하므로
(참가비)=3000-100x(원)
(신청 학생 수)=80+10x(명) (단, 0<x<30)
이때, 참가비 총액을 y원이라 하면
y =(3000-100x)(80+10x)
=-1000x€+22000x+240000
=-1000(x€-22x+121)+361000
=-1000(x-11)€+361000
따라서 y의 최댓값은 x=11일 때 361000이므로 구하는 참가비는
따라서 직사각형 ABCD의 둘레의 길이의 최댓값은 12이다.
3000-100_11=1900(원)
6 이차방정식과 이차함수 047
STEP
1
개념 드릴
| 146쪽 |
즉, (x+1)(x-2)(x-3)=0에서
x=-1 또는 x=2 또는 x=3
7
| 삼차방정식과 사차방정식
1
삼차방정식과 사차방정식의 풀이
개념 확인
1 ⑴ x=-2 또는 x=3 또는 x=5 ⑵ x=1 또는 x=2-'2
144쪽
1 ⑴ x+2=0 또는 x-3=0 또는 x-5=0
4 x=-2 또는 x=3 또는 x=5
⑵ x-1=0 또는 x€-4x+2=0
4 x=1 또는 x=2\'2
1 ⑴ x=-7 또는 x=1 또는 x=4 ⑵ x=0 또는 x=\'3 i
⑶ x=-5 또는 x=
3\3'5
2
2 ⑴ x=-1 또는 x=-'5 ⑵ x=1 또는 x=- '2
2
⑶ x=-2 또는 x=1 또는 x=4
i
⑷ x=-1 또는 x=2 또는 x=3
3 ⑴ x=-1 또는 x=1 또는 x=3 또는 x=5
⑵ x=-5 또는 x=-2 또는 x=-1 또는 x=2
⑶ x=-2 또는 x=-1 또는 x=3 또는 x=4
4 ⑴ x=-2i 또는 x=-'3 ⑵ x=-i 또는 x=-2i
또는 x=
⑶ x=
-3\'ß17
2
3\'ß17
2
⑷ x=-1\2i 또는 x=1\2i
1 ⑴ x+7=0 또는 x-1=0 또는 x-4=0
4 x=-7 또는 x=1 또는 x=4
⑵ x=0 또는 x€+3=0
4 x=0 또는 x=\'3 i
⑶ x+5=0 또는 x€-3x-9=0
3\3'5
2
4 x=-5 또는 x=
2 ⑴ x‹+x€-5x-5=0에서
x€(x+1)-5(x+1)=0
(x+1)(x€-5)=0
x=-1 또는 x€=5
4 x=-1 또는 x=-'5
048 정답과 해설
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)
1 1 -3 -6
8
1 -2 -8
0
1 -2 -8
⑵ 2x‹-2x€+x-1=0에서
2x€(x-1)+(x-1)=0
(x-1)(2x€+1)=0
x=1 또는 x€=-;2!;
4 x=1 또는 x=- '2
2
i
⑶ f(x)=x‹-3x€-6x+8로 놓으면
f(1)=1-3-6+8=0
를 인수분해하면
f(x) =(x-1)(x€-2x-8)
=(x-1)(x+2)(x-4)
즉, (x+2)(x-1)(x-4)=0에서
x=-2 또는 x=1 또는 x=4
⑷ f(x)=x‹-4x€+x+6으로 놓으면
f(-1)=-1-4-1+6=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)
를 인수분해하면
f(x) =(x+1)(x€-5x+6)
=(x+1)(x-2)(x-3)
-1 1 -4
-1
1 -5
1
6
5 -6
0
6
3 ⑴ (x€-4x)€-2(x€-4x)=15에서 x€-4x=X로 놓으면
X€-2X-15=0, (X+3)(X-5)=0
1, 2에서 x=-1 또는 x=1 또는 x=3 또는 x=5
⑵ (x€+3x)€-8(x€+3x)-20=0에서 x€+3x=X로 놓으면
4 X=-3 또는 X=5
1 X=-3일 때, x€-4x=-3에서
x€-4x+3=0, (x-1)(x-3)=0
4 x=1 또는 x=3
2 X=5일 때, x€-4x=5에서
x€-4x-5=0, (x+1)(x-5)=0
4 x=-1 또는 x=5
X€-8X-20=0, (X+2)(X-10)=0
4 X=-2 또는 X=10
1 X=-2일 때, x€+3x=-2에서
x€+3x+2=0, (x+2)(x+1)=0
4 x=-2 또는 x=-1
2 X=10일 때, x€+3x=10에서
x€+3x-10=0, (x+5)(x-2)=0
4 x=-5 또는 x=2
1, 2에서 x=-5 또는 x=-2 또는 x=-1 또는 x=2
⑶ (x€-2x)€-11(x€-2x)+24=0에서 x€-2x=X로 놓으면
X€-11X+24=0, (X-3)(X-8)=0
4 X=3 또는 X=8
1 X=3일 때, x€-2x=3에서
⑴ f(x)=x‹+2x€-16으로 놓으면
x€-2x-3=0, (x+1)(x-3)=0
f(2)=8+8-16=0
4 x=-1 또는 x=3
2 X=8일 때, x€-2x=8에서
x€-2x-8=0, (x+2)(x-4)=0
4 x=-2 또는 x=4
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를
인수분해하면
f(x)=(x-2)(x€+4x+8)
즉, (x-2)(x€+4x+8)=0에서
2 1
1
2
2
4
0 -16
16
8
0
8
1, 2에서 x=-2 또는 x=-1 또는 x=3 또는 x=4
x=2 또는 x€+4x+8=0
1 X=-4일 때, x€=-4
4 x=-2i
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를
;2!; 2
2
1 -3
1
1
2 -2
1 -1
0
4 ⑴ x€=X로 놓으면
X€+X-12=0, (X+4)(X-3)=0
4 X=-4 또는 X=3
2 X=3일 때, x€=3
4 x=-'3
1, 2에서 x=-2i 또는 x=-'3
⑵ x€=X로 놓으면
X€+5X+4=0, (X+1)(X+4)=0
4 X=-1 또는 X=-4
1 X=-1일 때, x€=-1
2 X=-4일 때, x€=-4
4 x=-i
4 x=-2i
1, 2에서 x=-i 또는 x=-2i
⑶ x›-13x€+4=0에서
(x›-4x€+4)-9x€=0, (x€-2)€-(3x)€=0
(x€+3x-2)(x€-3x-2)=0
4 x€+3x-2=0 또는 x€-3x-2=0
1 x€+3x-2=0에서 x=
2 x€-3x-2=0에서 x=
-3\'ß17
2
3\'ß17
2
1, 2에서 x=
-3\'ß17
2
또는 x=
3\'ß17
2
⑷ x›+6x€+25=0에서
(x›+10x€+25)-4x€=0, (x€+5)€-(2x)€=0
(x€+2x+5)(x€-2x+5)=0
4 x€+2x+5=0 또는 x€-2x+5=0
1 x€+2x+5=0에서 x=-1+2i
2 x€-2x+5=0에서 x=1+2i
1, 2에서 x=-1+2i 또는 x=1+2i
4 x=2 또는 x=-2\2i
⑵ f(x)=2x‹+x€-3x+1로 놓으면
f {;2!;}=;4!;+;4!;-;2#;+1=0
인수분해하면
f(x)={x-;2!;}(2x€+2x-2)
=2 {x-;2!;}(x€+x-1)
즉, 2 {x-;2!;}(x€+x-1)=0에서
x=;2!; 또는 x€+x-1=0
-1+
2
4 x=;2!; 또는 x=
'5
⑶ f(x)=x›+x‹-3x€-x+2로 놓으면
f(1)=1+1-3-1+2=0,
f(-1)=1-1-3+1+2=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
1 1
-1 1
1 -3 -1 2
2 -1 -2
1
2 -1 -2
0
-1 -1 2
0
1 -2
1
f(x) =(x-1)(x+1)(x€+x-2)
=(x-1)€(x+1)(x+2)
즉, (x-1)€(x+1)(x+2)=0에서
x=-2 또는 x=-1 또는 x=1 (중근)
⑷ f(x)=x›+x‹+2x-4로 놓으면
f(1)=1+1+2-4=0,
f(-2)=16-8-4-4=0
1 1
1
1
2
-2
0
1
0
2 -4
4
2
2
0
4
2
0 -4
0
2
f(x)=(x-1)(x+2)(x€+2)
즉, (x-1)(x+2)(x€+2)=0에서
x=1 또는 x=-2 또는 x€+2=0
4 x=-2 또는 x=1 또는 x=+
'2 i
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
STEP
2
필수 유형
| 147쪽~151쪽 |
-2 1
01-1 ⑴ x=2 또는 x=-2\2i ⑵ x=;2!; 또는 x= -1\'5
⑶ x=-2 또는 x=-1 또는 x=1 (중근)
⑷ x=-2 또는 x=1 또는 x=+
2
'2 i
|해결 전략 | 인수정리와 조립제법을 이용하여 주어진 방정식의 좌변을 인수분해
한 후 근을 구한다.
7 삼차방정식과 사차방정식 049
02-1 ⑴ x=-3 또는 x=-2 또는 x=1 또는 x=2
⑵ x=-6 또는 x=-2 또는 x=-4-'6
⑶ x›+x€+1=0에서
(x›+2x€+1)-x€=0, (x€+1)€-x€=0
|해결 전략 | ⑴ 공통부분을 치환하여 주어진 방정식의 좌변을 인수분해한 후 근
(x€+x+1)(x€-x+1)=0
을 구한다.
⑵ 공통부분이 생기도록 식을 묶어 전개한 후 공통부분을 치환한다.
⑴ (x€+x+2)€-12(x€+x)+8=0에서 x€+x=X로 놓으면
(X+2)€-12X+8=0, X€-8X+12=0
(X-2)(X-6)=0
4 X=2 또는 X=6
1 X=2일 때, x€+x=2, x€+x-2=0
1 x€+x+1=0에서 x=
4 x€+x+1=0 또는 x€-x+1=0
-1\'3i
2
1\'3i
2
2 x€-x+1=0에서 x=
1, 2에서 x=
또는 x=
-1\'3i
2
1\'3i
2
(x+2)(x-1)=0
4 x=-2 또는 x=1
⑷ x›-15x€+25=0에서
2 X=6일 때, x€+x=6, x€+x-6=0
(x›+10x€+25)-25x€=0, (x€+5)€-(5x)€=0
(x+3)(x-2)=0
4 x=-3 또는 x=2
(x€+5x+5)(x€-5x+5)=0
1, 2에서 x=-3 또는 x=-2 또는 x=1 또는 x=2
4 x€+5x+5=0 또는 x€-5x+5=0
⑵ (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)=-15에서
{(x+1)(x+7)}{(x+3)(x+5)}=-15
(x€+8x+7)(x€+8x+15)=-15
x€+8x=X로 놓으면
(X+7)(X+15)=-15
X€+22X+120=0, (X+12)(X+10)=0
4 X=-12 또는 X=-10
1 X=-12일 때, x€+8x=-12
x€+8x+12=0, (x+6)(x+2)=0
4 x=-6 또는 x=-2
2 X=-10일 때, x€+8x=-10
x€+8x+10=0
1, 2에서 x=-6 또는 x=-2 또는 x=-4\'6
4 x=-4\'6
03-1 ⑴ x=+2i 또는 x=+
'7
⑵ x=-1\'2 또는 x=1\'2
⑶ x=
또는 x=
-1\'3i
2
-5\'5
2
1\'3i
2
5\'5
2
⑷ x=
또는 x=
⑴ x€=X로 놓으면
X€-3X-28=0, (X+4)(X-7)=0
4 X=-4 또는 X=7
1 X=-4일 때, x€=-4
4 x=\2i
2 X=7일 때, x€=7
1, 2에서 x=\2i 또는 x=\'7
⑵ x›-6x€+1=0에서
4 x=\'7
(x€+2x-1)(x€-2x-1)=0
4 x€+2x-1=0 또는 x€-2x-1=0
1 x€+2x-1=0에서 x=-1+
2 x€-2x-1=0에서 x=1+
'2
1, 2에서 x=-1\'2 또는 x=1\'2
'2
050 정답과 해설
1 x€+5x+5=0에서 x=
2 x€-5x+5=0에서 x=
-5\'5
2
5\'5
2
1, 2에서 x=
또는 x=
-5\'5
2
5\'5
2
04-1 k=4, 두 근의 곱: -1
|해결 전략 | 주어진 근을 방정식에 대입하여 미정계수를 구한 후 방정식의 좌변
을 인수분해한다.
x‹-kx€+(k-1)x+2=0의 한 근이 2이므로 x=2를 대입하면
8-4k+2k-2+2=0
4 k=4
따라서 주어진 방정식은
x‹-4x€+3x+2=0이고 이 방정식의 한
근이 2이므로 조립제법을 이용하여 좌변을
2 1 -4
3
2
2 -4 -2
0
1 -2 -1
인수분해하면
(x-2)(x€-2x-1)=0
이때, 주어진 방정식의 나머지 두 근은 이차방정식 x€-2x-1=0의
근이므로 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 두 근의 곱은 -1이다.
참고
이차방정식 ax€+bx+c=0의 두 근을 a, b라 하면
04-2 a=9, b=-3, 두 근의 합: 0
|해결 전략 | 주어진 근을 방정식에 대입하여 미정계수를 구한 후 방정식의 좌변
x›+x‹-ax€+bx+18=0의 두 근이 -3, 2이므로
을 인수분해한다.
x=-3을 대입하면
x=2를 대입하면
16+8-4a+2b+18=0
4 2a-b=21
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=9, b=-3
따라서 주어진 방정식은 x›+x‹-9x€-3x+18=0이고 이 방정식
의 두 근이 -3, 2이므로 조립제법을 이용하여 좌변을 인수분해하면
|해결 전략 | x€=X로 치환하여 좌변이 인수분해되면 인수분해하여 근을 구하
고, 인수분해되지 않으면 A€-B€=0 꼴로 변형하여 인수분해한 후 근을 구한다.
➡ a+b=-;aB;, ab=;aC;
(x›-2x€+1)-4x€=0, (x€-1)€-(2x)€=0
81-27-9a-3b+18=0
4 3a+b=24
yy ㉠
1 -9 -3
-3 1
6
2 1 -2 -3
18
9 -18
0
-3
6
0 -6
0
2
0 -3
1
(x+3)(x-2)(x€-3)=0
2 x‹-(1+2+5)x€+(1_2+2_5+5_1)x-1_2_5=0
4 x‹-8x€+17x-10=0
3 삼차방정식의 모든 계수가 유리수이므로 1-'2가 근이면 1+'2
도 근이다.
이때, 주어진 방정식의 나머지 두 근은 이차방정식 x€-3=0의 근이
므로 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 두 근의 합은 0이다.
05-1 k>-1
|해결 전략 | f(x)=x‹+x€+kx-k-2로 놓고 f(x)를 인수분해한 후
f(x)=0이 허근을 가질 조건을 구한다.
f(x)=x‹+x€+kx-k-2로 놓으면 f(1)=0이므로 조립제법을
4 x‹=1, x€+x+1=0이므로
⑴ x+x€=-1
⑵ x⁄€=(x‹)›=1
⑶ x‹+xfl=x‹+(x‹)€=1+1€=2
이용하여 f(x)를 인수분해하면
1 1
1
1
1
2
k -k-2
k+2
2
0
k+2
f(x)=(x-1)(x€+2x+k+2)
이때, 방정식 f(x)=0이 허근을 가지려면 이차방정식
x€+2x+k+2=0이 허근을 가져야 한다.
따라서 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
=1-(k+2)=-k-1<0
D
4
4 k>-1
05-2 k<-;4!;
|해결 전략 | f(x)=x‹+3kx+3k+1로 놓고 f(x)를 인수분해한 후 f(x)=0
의 근이 모두 실수일 조건을 구한다.
f(x)=x‹+3kx+3k+1로 놓으면 f(-1)=0이므로 조립제법을
이때, 방정식 f(x)=0의 근이 모두 실수가 되려면 이차방정식
이용하여 f(x)를 인수분해하면
-1 1
1
0
-1
-1
3k
3k+1
1 -3k-1
0
3k+1
f(x)=(x+1)(x€-x+3k+1)
x€-x+3k+1=0이 실근을 가져야 한다.
따라서 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D=1-4(3k+1)=-12k-3>0
4 k<-;4!;
2
삼차방정식의 근과 계수의 관계
개념 확인
1 ⑴ -;2#;
⑵ -6 ⑶ ;2%;
2 x‹-8x€+17x-10=0
3 1+'2
4 ⑴ -1 ⑵ 1 ⑶ 2
152쪽~154쪽
| 155쪽 |
STEP
1
개념 드릴
1 ⑴ 2
⑵ 0 ⑶ -5
2 ⑴ x‹-6x€+5x=0 ⑵ x‹-4x€+x+6=0
⑶ x‹-5x€+3x+1=0 ⑷ x‹-4x€+6x-4=0
3 ⑴ a=0, b=-6, c=-4 ⑵ a=-1, b=0, c=2
⑶ a=-8, b=25, c=-26
4 ⑴ 1 ⑵ -1 ⑶ 0 ⑷ -1
2 ⑴ (세 근의 합)=0+1+5=6
(두 근끼리의 곱의 합)=0_1+1_5+5_0=5
(세 근의 곱)=0_1_5=0
x‹의 계수가 1이므로 x‹-6x€+5x=0
⑵ (세 근의 합)=-1+2+3=4
(두 근끼리의 곱의 합)=-1_2+2_3+3_(-1)=1
(세 근의 곱)=-1_2_3=-6
x‹의 계수가 1이므로 x‹-4x€+x+6=0
⑶ (세 근의 합)=(2+'5 )+(2-'5 )+1=5
(두 근끼리의 곱의 합)
=(2+'5 )(2-'5 )+(2-'5 )_1+1_(2+'5 )=3
(세 근의 곱)=(2+'5 )_(2-'5 )_1=-1
x‹의 계수가 1이므로 x‹-5x€+3x+1=0
⑷ (세 근의 합)=(1+i)+(1-i)+2=4
(두 근끼리의 곱의 합)
=(1+i)(1-i)+(1-i)_2+2_(1+i)=6
(세 근의 곱)=(1+i)_(1-i)_2=4
x‹의 계수가 1이므로 x‹-4x€+6x-4=0
7 삼차방정식과 사차방정식 051
3 ⑴ 삼차방정식의 모든 계수가 유리수이므로 1+'3이 근이면
1-'3 도 근이다.
-2+(1+'3 )+(1-'3 )=-a
-2(1+'3 )+(1+'3 )(1-'3 )-2(1-'3 )=b 4 b=-6
-2(1+'3 )(1-'3 )=-c
4 c=-4
4 a=0
⑵ 삼차방정식의 모든 계수가 실수이므로 1+i가 근이면 1-i도
-1+(1+i)+(1-i)=-a
4 a=-1
-(1+i)+(1+i)(1-i)-(1-i)=b
4 b=0
-(1+i)(1-i)=-c
4 c=2
⑶ 삼차방정식의 모든 계수가 실수이므로 3-2i가 근이면 3+2i
근이다.
도 근이다.
01-2 -2
|해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 주어진 식을 변형한다.
삼차방정식 x‹-2x+k=0에서 근과 계수의 관계에 의하여
a+b+c=0, abc=-k
이때, a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b이므로
(a+b)(b+c)(c+a) =(-c)_(-a)_(-b)=-abc=-2
4 k=-abc=-2
02-1 x‹-5x€-2x+1=0
|해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여
,
을 세 근으로
1
a
,
1
b
1
c
하는 삼차방정식의 각 항의 계수를 구한다.
2+(3-2i)+(3+2i)=-a
4 a=-8
삼차방정식 x‹-2x€-5x+1=0의 세 근이 a, b, c이므로 삼차방정
2(3-2i)+(3-2i)(3+2i)+2(3+2i)=b
4 b=25
식의 근과 계수의 관계에 의하여
2(3-2i)(3+2i)=-c
4 c=-26
4 x‹=1, x€+x+1=0이므로
⑴ x·=(x‹)‹=1‹=1
⑵ x°+x‡=(x‹)€_x€+(x‹)€_x=x€+x=-1
⑶ x⁄‚+xfi+1 =(x‹)‹_x+x‹_x€+1
⑷ x€+
=
1
x€
=
x‹_x+1
x€
=x+x€+1=0
x›+1
x€
x+1
x€
=
=-1
=
-x€
x€
STEP
2
필수 유형
| 156쪽~159쪽 |
01-1 ⑴ 0 ⑵ 15
|해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 식의 값을 구한다.
삼차방정식 x‹-3x€+x+1=0에서 근과 계수의 관계에 의하여
a+b+c=3, ab+bc+ca=1, abc=-1
⑴ (1-a)(1-b)(1-c)
=1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc
=1-3+1-(-1)=0
⑵ a‹+b‹+c‹
=(a+b+c)(a€+b€+c€-ab-bc-ca)+3abc
= (a+b+c){(a+b+c)€-3(ab+bc+ca)} +3abc
=3(3€-3_1)+3_(-1)=15
⑴ x-a, x-b, x-c가 모두 x‹-3x€+x+1의 인수이므로
x‹-3x€+x+1=(x-a)(x-b)(x-c)
yy ㉠
x=1을 ㉠에 대입하면 (1-a)(1-b)(1-c)=0
⑵ a‹+b‹+c‹-3abc=(a+b+c)(a€+b€+c€-ab-bc-ca)
다른 풀이
참고
052 정답과 해설
a+b+c=2, ab+bc+ca=-5, abc=-1
구하는 삼차방정식의 세 근이 1
a
, 1
b
, 1
c
이므로
(세 근의 합)=
+
+
=
1
a
1
b
1
c
bc+ca+ab
abc
=
-5
-1
=5
(두 근끼리의 곱의 합)=
+
+
=
1
ab
1
bc
1
ca
c+a+b
abc
=
2
-1
=-2
(세 근의 곱)=
1
abc
=
1
-1
=-1
따라서 구하는 삼차방정식은 x‹-5x€-2x+1=0
02-2 x‹-2x-1=0
|해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 ab, bc, ca를 세 근으로
하는 삼차방정식의 각 항의 계수를 구한다.
삼차방정식 x‹+2x€-1=0의 세 근이 a, b, c이므로 삼차방정식의
근과 계수의 관계에 의하여
a+b+c=-2, ab+bc+ca=0, abc=1
구하는 삼차방정식의 세 근이 ab, bc, ca이므로
(세 근의 합)=ab+bc+ca=0
(두 근끼리의 곱의 합) =ab€c+bc€a+ca€b
=abc(a+b+c)=-2
(세 근의 곱)=ab_bc_ca=(abc)€=1
따라서 구하는 삼차방정식은 x‹-2x-1=0
03-1 -2
|해결 전략 | 켤레근의 성질과 근과 계수의 관계를 이용하여 미정계수를 구한다.
계수가 유리수이고 한 근이 '3 -1이므로 -'3 -1도 근이다.
따라서 나머지 한 근을 a라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
('3 -1)+(-'3 -1)+a=-1에서 a=1
('3 -1)(-'3 -1)+a('3 -1)+a(-'3 -1)=a에서
a=-2-2a=-4
a('3 -1)(-'3 -1)=-b에서 b=2a=2
4 a+b=-2
다른 풀이
x='3-1을 x‹+x€+ax+b=0에 대입하면
('3-1)‹+('3-1)€+a('3-1)+b=0
4 (-a+b-6)+(a+4)'3=0
a, b가 유리수이므로
-a+b-6=0, a+4=0
4 a+b=-2
4 a=-4, b=2
STEP
3
유형 드릴
| 160쪽~161쪽 |
1-1 4
|해결 전략 | 주어진 방정식의 좌변을 인수분해한 후 근을 구한다.
03-2 -35
|해결 전략 | 켤레근의 성질과 근과 계수의 관계를 이용하여 미정계수를 구한다.
계수가 실수이고 한 근이 1+2i이므로 1-2i도 근이다.
따라서 나머지 한 근을 a라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
x‹-2x€-x+2=0에서
x€(x-2)-(x-2)=0
(x€-1)(x-2)=0
(x+1)(x-1)(x-2)=0
4 x=-1 또는 x=1 또는 x=2
4 |a|+|b|+|c|=1+1+2=4
(1+2i)+(1-2i)+a=3에서 a=1
(1+2i)(1-2i)+a(1+2i)+a(1-2i)=a에서
a=5+2a=7
a(1+2i)(1-2i)=-b에서 b=-5a=-5
4 ab=-35
다른 풀이
x=1+2i를 x‹-3x€+ax+b=0에 대입하면
(1+2i)‹-3(1+2i)€+a(1+2i)+b=0
4 (a+b-2)+(2a-14)i=0
a, b가 실수이므로
a+b-2=0, 2a-14=0
4 ab=-35
4 a=7, b=-5
04-1 ⑴ -1 ⑵ 1
|해결 전략 | 방정식 x‹=1의 허근의 성질을 이용한다.
⑴ x‹=1, x€+x+1=0이므로
x⁄‚+
=(x‹)‹_x+
1
x⁄‚
1
(x‹)‹_x
=x+
=
1
x
x€+1
x
x⁄‚+ =
=-1
-x
x
⑵ x€+x+1=0의 한 허근이 x이므로 다른 한 허근은 x”이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 x+x”=-1, xx”=1
4
1
1+x
+
1
1+x”
=
(1+x”)+(1+x)
(1+x)(1+x”)
=
2+(x+x”)
1+(x+x”)+xx”
=1
04-2 ⑴ 1 ⑵ 1
|해결 전략 | 방정식 x‹=-1의 허근의 성질을 이용한다.
⑴ x‹+1=0에서 (x+1)(x€-x+1)=0
4 x‹=-1, x€-x+1=0
4 x‹›+x‹fl
=
x‹fi
(x‹)⁄⁄_x+(x‹)⁄€
(x‹)⁄⁄_x€
=
-x+1
-x€
=
-x€
-x€
=1
⑵ x€-x+1=0의 한 허근이 x이므로 다른 한 허근은 x”이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 x+x”=1, xx”=1
4
1
1-x
+
1
1-x”
=
(1-x”)+(1-x)
(1-x)(1-x”)
=
2-(x+x”)
1-(x+x”)+xx”
=1
1-2 1
|해결 전략 | 인수정리와 조립제법을 이용하여 주어진 방정식의 좌변을 인수분해
한 후 근과 계수의 관계를 이용한다.
f(x)=x‹+2x€+x+12로 놓으면
f(-3)=-27+18-3+12=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)
-3 1
를 인수분해하면
f(x)=(x+3)(x€-x+4)
2
-3
1 -1
12
1
3 -12
0
4
즉, (x+3)(x€-x+4)=0에서 x+3=0 또는 x€-x+4=0
이때, 실근 a=-3이고, 두 허근 b, c는 방정식 x€-x+4=0의 두
근이므로 근과 계수의 관계에 의하여 bc=4
4 a+bc=-3+4=1
2-1 -5
|해결 전략 | 공통부분을 치환하여 인수분해한다.
x€+3x=X로 놓으면 주어진 방정식은
X€+6X+5=0, (X+5)(X+1)=0
4 X=-5 또는 X=-1
1 X=-5일 때, x€+3x=-5
x€+3x+5=0의 판별식을 D¡이라 하면
D¡=3€-4_1_5=-11<0
이므로 이 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다.
2 X=-1일 때, x€+3x=-1
x€+3x+1=0의 판별식을 D™라 하면
D™=3€-4_1_1=5>0
이므로 이 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
1, 2에서 한 허근 a는 방정식 x€+3x+5=0의 근이므로
a€+3a+5=0
4 a€+3a=-5
2-2 -7
|해결 전략 | 공통부분이 생기도록 식을 변형한 후 공통부분을 치환하여 인수분
해한다.
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3에서
{(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}=3
7 삼차방정식과 사차방정식 053
따라서 방정식 x›+x‹-7x€-x+6=0의 네 근이 -1, 2, -3, 1이
므로 나머지 두 근의 곱은 -3_1=-3
4-1 k>;8!;
|해결 전략 | f(x)=x‹+(2k-1)x-2k로 놓고 f(x)를 인수분해한 후
f(x)=0이 허근을 가질 조건을 구한다.
(x€+5x+4)(x€+5x+6)=3
x€+5x=X로 놓으면
(X+4)(X+6)=3, X€+10X+21=0
(X+7)(X+3)=0
4 X=-7 또는 X=-3
1 X=-7일 때, x€+5x=-7
x€+5x+7=0의 판별식을 D¡이라 하면
D¡=5€-4_1_7=-3<0
2 X=-3일 때, x€+5x=-3
x€+5x+3=0의 판별식을 D™라 하면
D™=5€-4_1_3=13>0
이므로 이 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
이므로 이 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다.
f(x)=x‹+(2k-1)x-2k로 놓으면 f(1)=0이므로 조립제법을
이용하여 f(x)를 인수분해하면
1 1
1
0
1
1
2k-1 -2k
2k
0
1
2k
x€+x+2k=0이 허근을 가져야 한다.
따라서 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
1, 2에서 한 허근 a는 방정식 x€+5x+7=0의 근이므로
f(x)=(x-1)(x€+x+2k)
a€+5a+7=0
4 a€+5a=-7
이때, 방정식 f(x)=0이 허근을 가지려면 이차방정식
3-1 5
|해결 전략 | x=1을 주어진 방정식에 대입하여 미정계수를 구한 후 방정식의 좌
변을 인수분해한다.
x‹-6x€+ax-6=0의 한 근이 1이므로 x=1을 대입하면
D=1-8k<0
4 k>;8!;
1-6+a-6=0
4 a=11
따라서 주어진 방정식은
x‹-6x€+11x-6=0이고 이 방정식의
1 1 -6
1 -5
1 -5 6
11 -6
6
0
한 근이 1이므로 조립제법을 이용하여
f(x)=0이 중근을 가질 조건을 구한다.
4-2 ;4!;
|해결 전략 | f(x)=x‹-2x€+(k+1)x-k로 놓고 f(x)를 인수분해한 후
f(x)=x‹-2x€+(k+1)x-k로 놓으면 f(1)=0이므로 조립제법
좌변을 인수분해하면
(x-1)(x€-5x+6)=0
4 (x-1)(x-2)(x-3)=0
a=3, b=2
4 a€-b€=3€-2€=5
따라서 방정식 x‹-6x€+11x-6=0의 세 근이 1, 2, 3이므로
3-2 -3
|해결 전략 | 주어진 근을 방정식에 대입하여 미정계수를 구한 후 방정식의 좌변
을 인수분해한다.
x›+x‹+ax€-x+b=0의 두 근이 -1, 2이므로
x=-1을 대입하면
1-1+a+1+b=0
4 a+b=-1
x=2를 대입하면
16+8+4a-2+b=0
4 4a+b=-22
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-7, b=6
yy ㉠
yy ㉡
따라서 주어진 방정식은 x›+x‹-7x€-x+6=0이고 이 방정식의
두 근이 -1, 2이므로 조립제법을 이용하여 좌변을 인수분해하면
-1 1
2 1
1
-1
1 -7 -1
0
0 -7
2
2 -3
6
7 -6
6
0
4 -6
0
(x+1)(x-2)(x€+2x-3)=0
4 (x+1)(x-2)(x+3)(x-1)=0
054 정답과 해설
을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
1 1 -2 k+1 -k
k
1 -1
1 -1
0
k
f(x)=(x-1)(x€-x+k)
이때, 방정식 f(x)=0이 중근을 가지려면
1 이차방정식 x€-x+k=0이 x=1을 근으로 갖는 경우
1-1+k=0
4 k=0
2 이차방정식 x€-x+k=0이 중근을 갖는 경우
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D=1-4k=0
4 k=;4!;
1, 2에서 구하는 모든 실수 k의 값의 합은 0+;4!;=;4!;
5-1 4
|해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 식의 값을 구한다.
삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
a+b+c=-1, ab+bc+ca=-6, abc=-3
+ c+a
4 a+b
ca
ab
= c(a+b)+a(b+c)+b(c+a)
abc
+ b+c
bc
=
2(ab+bc+ca)
abc
=
2_(-6)
-3
=4
5-2 4
|해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 식의 값을 구한다.
7-1 a=9, b=-5, 실근: 1
|해결 전략 | 켤레근의 성질과 근과 계수의 관계를 이용하여 미정계수를 구한다.
삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
a+b+c=2, ab+bc+ca=0, abc=-4
이때, a+b+c=2이므로
a+b=2-c, b+c=2-a, c+a=2-b
4 (a+b)(b+c)(c+a)
=(2-c)(2-a)(2-b)
=8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc
=8-4_2+2_0-(-4)=4
6-1 ;2!;
|해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여
을 세 근으로
1
a
,
1
b
,
1
c
하는 삼차방정식의 각 항의 계수를 구한다.
삼차방정식 x‹+2x€-x+4=0의 세 근이 a, b, c이므로 삼차방정
식의 근과 계수의 관계에 의하여
a+b+c=-2, ab+bc+ca=-1, abc=-4
구하는 삼차방정식의 세 근이
,
,
이므로
1
a
1
b
1
c
1
a
1
ab
+
+
=
1
b
1
c
bc+ca+ab
abc
=
-1
-4
=;4!;
+
+
=
1
ca
c+a+b
abc
=
-2
-4
=;2!;
1
bc
1
abc
=
1
-4
=-;4!;
따라서 구하는 삼차방정식은 x‹-;4!;x€+;2!;x+;4!;=0이므로
a=-;4!;, b=;2!;, c=;4!;
4 a+b+c=-;4!;+;2!;+;4!;=;2!;
6-2 a=1, b=-1, c=4
|해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 a+b+c,
ab+bc+ca, abc의 값을 a, b, c로 나타낸다.
삼차방정식 x‹+ax€-2x+2=0의 세 근이 a, b, c이므로 삼차방정
식의 근과 계수의 관계에 의하여
a+b+c=-a, ab+bc+ca=-2, abc=-2
…… ㉠
삼차방정식 x‹-2x€+bx+c=0의 세 근이 a+1, b+1, c+1이므로
(a+1)+(b+1)+(c+1)=2에서 a+b+c=-1
(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)=b에서
ab+bc+ca+2(a+b+c)+3=b
4 ab+bc+ca=b-1
(a+1)(b+1)(c+1)=-c에서
abc+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+1=-c
4 abc=-b-c+1
이때, ㉠에 의하여
-1=-a, b-1=-2, -b-c+1=-2
4 a=1, b=-1, c=4
계수가 실수이고 한 근이 2+i이므로 2-i도 근이다.
따라서 나머지 한 근을 a라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에
의하여
(2+i)+(2-i)+a=5
4 a=1
(2+i)(2-i)+(2-i)_1+1_(2+i)=a
4 a=9
(2+i)_(2-i)_1=-b
4 b=-5
7-2 8
|해결 전략 | 켤레근의 성질과 근과 계수의 관계를 이용하여 미정계수를 구한다.
계수가 실수이고 한 근이 1-'2 i이므로 1+'2 i도 근이다.
따라서 나머지 한 근을 a라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에
의하여
(1-'2 i)+(1+'2 i)+a=-a에서
2+a=-a
(1-'2 i)(1+'2 i)+a(1-'2 i)+a(1+'2 i)=b에서
3+2a=b
a(1-'2 i)(1+'2 i)=3에서 a=1
a=1을 ㉠, ㉡에 대입하면 a=-3, b=5
4 b-a=5-(-3)=8
åå ㉠
åå ㉡
8-1 4
|해결 전략 | 방정식 x‹=1의 한 허근이 x일 때 x‹=1, x€+x+1=0이다.
방정식 x‹=1의 한 허근이 x이므로
x‹=1, x€+x+1=0
x€+x+1=0에서 x+1=-x€, x€+1=-x
4 (x+1)(x€+1)(x‹+1)(x›+1)(xfi+1)(xfl+1)
=(x+1)(x€+1)(1+1)(x+1)(x€+1)(1+1)
={(x+1)(x€+1)_2}€
={(-x€)_(-x)_2}€
=(2x‹)€=4
8-2 -2
|해결 전략 | 방정식 x‹=-1의 한 허근이 x일 때 x“도 주어진 방정식의 근이다.
x‹+1=0에서 (x+1)(x€-x+1)=0
x€-x+1=0의 한 허근이 x이므로 다른 한 허근은 x”이다.
x€-x+1=0, x” €-x”+1=0에서
1-x=-x€, 1-x”=-x” €
-x €
x€
=-1-1=-2
1-x
x€
x” €
1-x”
x” €
-x”€
4
+
+
=
7 삼차방정식과 사차방정식 055
8
| 연립방정식과 부정방정식
Review
연립일차방정식
개념 확인
164쪽~165쪽
1 ⑴ x=2, y=-1 ⑵ x=1, y=-1
2 ⑴ x=2, y=1 ⑵ x=1, y=3
1 ⑴
[
x-2y=4
3x-y=7
㉠에서 x=2y+4
㉢을 ㉡에 대입하면 3(2y+4)-y=7
5y=-5
∴ y=-1
y=-1을 ㉢에 대입하면 x=2_(-1)+4=2
따라서 연립방정식의 해는 x=2, y=-1
x+2y=-1
⑵
[
2x-y=3
㉠에서 x=-2y-1
㉢을 ㉡에 대입하면 2(-2y-1)-y=3
5y=-5
∴ y=-1
y=-1을 ㉢에 대입하면 x=-2_(-1)-1=1
따라서 연립방정식의 해는 x=1, y=-1
5x-4y=6
2 ⑴
[
2x-y=3
㉠-4_㉡을 하면 -3x=-6
∴ x=2
x=2를 ㉡에 대입하면 4-y=3
∴ y=1
따라서 연립방정식의 해는 x=2, y=1
⑵
[
2x+y=5
3x-2y=-3
2_㉠+㉡을 하면 7x=7
∴ x=1
x=1을 ㉠에 대입하면 2+y=5
∴ y=3
따라서 연립방정식의 해는 x=1, y=3
…… ㉠
…… ㉡
…… ㉢
…… ㉠
…… ㉡
…… ㉢
…… ㉠
…… ㉡
…… ㉠
…… ㉡
…… ㉠
…… ㉡
…… ㉢
1 ⑴
[
x-y=2
x€+y€=10
㉠에서 y=x-2
㉢을 ㉡에 대입하면
x€+(x-2)€=10, 2x€-4x+4=10
x€-2x-3=0, (x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3
1 x=-1을 ㉢에 대입하면 y=-3
2 x=3을 ㉢에 대입하면 y=1
x=-1
1, 2에서 연립방정식의 해는
[
y=-3
(x-y)(x+y)=0
x€+xy+2y€=8
⑵
[
또는
[
x=3
y=1
…… ㉠
…… ㉡
㉠에서 y=x 또는 y=-x
1 y=x를 ㉡에 대입하면
x€+x€+2x€=8, x€=2
∴ x=-'2, y=-'2 (복호동순)
∴ x=-'2
2 y=-x를 ㉡에 대입하면
x€-x€+2x€=8, x€=4
∴ x=-2
∴ x=-2, y=_2 (복호동순)
1, 2에서 연립방정식의 해는
[
x='2
y='2
또는
[
x=-'2
y=-'2
또는
[
x=2
y=-2
또는
[
x=-2
y=2
2 ⑴ x+y=-1, xy=-6이므로 x, y는 t에 대한 이차방정식
t€+t-6=0의 두 근이다.
(t+3)(t-2)=0에서 t=-3 또는 t=2
x=-3
y=2
∴
[
또는
[
x=2
y=-3
⑵ x+y=p, xy=q라 하면 주어진 연립방정식은
p+2q=10
[
3p-q=9
㉠+2_㉡을 하면 7p=28
∴ p=4
p=4를 ㉠에 대입하면 q=3
…… ㉠
…… ㉡
따라서 x, y는 t에 대한 이차방정식 t€-4t+3=0의 두 근이므로
(t-1)(t-3)=0에서 t=1 또는 t=3
x=1
y=3
∴
[
또는
[
x=3
y=1
1
연립이차방정식
개념 확인
1 ⑴ [
x=-1
y=-3
또는 [
x=3
y=1
또는 [
또는 [
2 ⑵ [
2 ⑴ [
x='2
y='2
x=-3
y=2
x=-'2
y=-'2
x=2
y=-3
또는 [
⑵ [
x=2
y=-2
x=1
y=3
또는 [
x=-2
y=2
또는 [
x=3
y=1
2
3 ⑴ x=-1 ⑵ x=-3
056 정답과 해설
166쪽~169쪽
x=-1 또는 x=2
3 ⑴ x€+x=0, 즉 x(x+1)=0의 근은
x=0 또는 x=-1
x€-x-2=0, 즉 (x+1)(x-2)=0의 근은
따라서 두 이차방정식의 공통근은 x=-1
⑵ x€+x-6=0, 즉 (x+3)(x-2)=0의 근은
x=-3 또는 x=2
x€+5x+6=0, 즉 (x+2)(x+3)=0의 근은
x=-2 또는 x=-3
따라서 두 이차방정식의 공통근은 x=-3
STEP
1
개념 드릴
| 170쪽 |
1 ⑴ [
x=-1
y=-2
또는 [
x=2
y=1
⑵ [
x=-3
y=-5
또는 [
x=5
y=3
1 ⑶ [
x=-2
y=-6
또는 [
x=6
y=2
⑷ [
x=0
y=-4
또는 [
x=1
y=-1
1 ⑸ [
x=-1
y=-4
또는 [
x=2
y=-1
2 ⑴ [
또는 [
x='3
y=-'3
또는 [
x=4'3
y=2'3
또는 [
x=-4'3
y=-2'3
1 ⑵ [
또는 [
또는 [
x=1
y=-1
또는 [
x=-1
y=1
x=-'3
y='3
x='2
y='2
x=1
y=1
x=-'2
y=-'2
x=-1
y=-1
1 ⑶ [
또는 [
또는 [
1 ⑷ [
1 ⑸ [
x=1
y=1
x=2
y=1
또는 [
x=-1
y=-1
또는 [
또는 [
x=-2
y=-1
또는 [
x=-'5
y=3'5
x=-3'3
y=-'3
또는 [
x='5
y=-3'5
x=3'3
y='3
x=1
y=3
또는 [
또는 [
x=-1
y=-3
1 ⑴
y=x-1
x€+y€=5
[
㉠을 ㉡에 대입하면
x€+(x-1)€=5, 2x€-2x+1=5
x€-x-2=0, (x+1)(x-2)=0
∴ x=-1 또는 x=2
1 x=-1을 ㉠에 대입하면 y=-2
2 x=2를 ㉠에 대입하면 y=1
x=-1
1, 2에서 연립방정식의 해는
[
y=-2
또는
[
x=2
y=1
⑵ [
y=x-2
x€+y€=34
㉠을 ㉡에 대입하면
x€+(x-2)€=34, 2x€-4x+4=34
x€-2x-15=0, (x+3)(x-5)=0
∴ x=-3 또는 x=5
1 x=-3을 ㉠에 대입하면 y=-5
2 x=5를 ㉠에 대입하면 y=3
x=-3
1, 2에서 연립방정식의 해는
[
y=-5
또는
[
x=5
y=3
⑶ [
x-y=4
x€+y€=40
㉠에서 y=x-4
㉢을 ㉡에 대입하면
x€+(x-4)€=40, 2x€-8x+16=40
x€-4x-12=0, (x+2)(x-6)=0
∴ x=-2 또는 x=6
1 x=-2를 ㉢에 대입하면 y=-6
2 x=6을 ㉢에 대입하면 y=2
x=-2
1, 2에서 연립방정식의 해는
[
y=-6
또는
[
x=6
y=2
⑷ [
y-3x=-4
x€+2x-y=4
㉠에서 y=3x-4
㉢을 ㉡에 대입하면
x€+2x-(3x-4)=4, x€-x=0
x(x-1)=0
∴ x=0 또는 x=1
1 x=0을 ㉢에 대입하면 y=-4
2 x=1을 ㉢에 대입하면 y=-1
1, 2에서 연립방정식의 해는
[
x=0
y=-4
또는
[
x=1
y=-1
⑸ [
x-y=3
2x€+3x-5y=19
㉠에서 y=x-3
㉢을 ㉡에 대입하면
…… ㉠
…… ㉡
2x€+3x-5(x-3)=19, x€-x-2=0
(x+1)(x-2)=0
∴ x=-1 또는 x=2
1 x=-1을 ㉢에 대입하면 y=-4
2 x=2를 ㉢에 대입하면 y=-1
1, 2에서 연립방정식의 해는
[
x=-1
y=-4
또는
[
x=2
y=-1
…… ㉠
…… ㉡
…… ㉢
…… ㉠
…… ㉡
…… ㉢
…… ㉠
…… ㉡
(x+y)(x-2y)=0
x€-2xy+y€=12
2 ⑴ [
㉠에서 x=-y 또는 x=2y
1 x=-y를 ㉡에 대입하면
…… ㉠
…… ㉡
y€+2y€+y€=12, y€=3
∴ x=_'3, y=\'3 (복호동순)
∴ y=\'3
2 x=2y를 ㉡에 대입하면
4y€-4y€+y€=12, y€=12
∴ x=\4'3, y=\2'3 (복호동순)
1, 2에서 연립방정식의 해는
∴ y=\2'3
x='3
y=-'3
[
또는 [
x=-'3
y='3
(x-y)(x+y)=0
2x€-xy+y€=4
⑵ [
㉠에서 y=x 또는 y=-x
1 y=x를 ㉡에 대입하면
또는 [
x=4'3
y=2'3
또는 [
x=-4'3
y=-2'3
…… ㉠
…… ㉡
…… ㉠
…… ㉡
…… ㉢
2x€-x€+x€=4, x€=2
∴ x=-'2, y=-'2 (복호동순)
2 y=-x를 ㉡에 대입하면
∴ x=-'2
2x€+x€+x€=4, x€=1
∴ x=-1
∴ x=-1, y=_1 (복호동순)
1, 2에서 연립방정식의 해는
[
또는
[
x=-'2
y=-'2
x='2
y='2
x€+3xy+y€=5
(x-y)(3x+y)=0
⑶ [
㉡에서 y=x 또는 y=-3x
x=1
또는
[
y=-1
또는
[
x=-1
y=1
…… ㉠
…… ㉡
8 연립방정식과 부정방정식 057
1 y=x를 ㉠에 대입하면
x€+3x€+x€=5, x€=1
∴ x=-1
∴ x=-1, y=-1 (복호동순)
2 y=-3x를 ㉠에 대입하면
x€-9x€+9x€=5, x€=5
∴ x=-'5, y=_3'5 (복호동순)
1, 2에서 연립방정식의 해는
∴ x=-'5
x=1
y=1
x=-1
또는
[
y=-1
[
또는
[
x='5
y=-3'5
x=-'5
또는
[
y=3'5
⑷ [
x€-4xy+3y€=0
x€-3xy-y€=-3
㉠의 좌변을 인수분해하면
(x-y)(x-3y)=0
∴ x=y 또는 x=3y
1 x=y를 ㉡에 대입하면
y€-3y€-y€=-3, y€=1
∴ y=-1
∴ x=-1, y=-1 (복호동순)
2 x=3y를 ㉡에 대입하면
9y€-9y€-y€=-3, y€=3
∴ x=-3'3, y=-'3 (복호동순)
1, 2에서 연립방정식의 해는
∴ y=-'3
x=1
y=1
[
또는
[
x=-1
y=-1
또는
[
x=3'3
y='3
또는
[
x=-3'3
y=-'3
⑸ [
2x€-2xy+y€=5
3x€-7xy+2y€=0
㉡의 좌변을 인수분해하면
(x-2y)(3x-y)=0
∴ x=2y 또는 y=3x
1 x=2y를 ㉠에 대입하면
8y€-4y€+y€=5, y€=1
∴ y=-1
∴ x=-2, y=-1 (복호동순)
2 y=3x를 ㉠에 대입하면
2x€-6x€+9x€=5, x€=1
∴ x=-1
∴ x=-1, y=-3 (복호동순)
1, 2에서 연립방정식의 해는
x=2
[
y=1
또는
[
x=-2
y=-1
x=1
또는
[
y=3
또는
[
x=-1
y=-3
1 y=0을 ㉢에 대입하면 x=-2
2 y=1을 ㉢에 대입하면 x=-1
1, 2에서 연립방정식의 해는 [
x=-2
y=0
또는 [
x=-1
y=1
⑵ [
x-2y=-6
x€+y€=20
㉠에서 x=2y-6
…… ㉠
…… ㉡
åå ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면 (2y-6)€+y€=20, 5y€-24y+16=0
…… ㉠
…… ㉡
(5y-4)(y-4)=0
∴ y=;5$; 또는 y=4
1 y=;5$;를 ㉢에 대입하면 x=-;;™5™;;
2 y=4를 ㉢에 대입하면 x=2
x=-;;™5™;;
y=;5$;
또는 [
x=2
y=4
1, 2에서 연립방정식의 해는
[
참고
⑴에서 y=x+2를 ㉡에 대입해도 되고,
⑵에서 y=;2!;x+3을 ㉡에 대입해도 된다.
01-2 5
|해결 전략 | 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한 후 이차방정식에 대입한다.
…… ㉠
…… ㉡
x-y=1
x€-2y€=1
[
㉠에서 x=y+1
㉢을 ㉡에 대입하면
…… ㉠
…… ㉡
åå ㉢
(y+1)€-2y€=1, -y€+2y=0
y(y-2)=0
∴ y=0 또는 y=2
1 y=0을 ㉢에 대입하면 x=1
2 y=2를 ㉢에 대입하면 x=3
1, 2에서 연립방정식의 해는 [
x=1
y=0
또는 [
x=3
y=2
이때, a, b는 자연수이므로 a=3, b=2
∴ a+b=5
02-1 ⑴ [
x=2
y=2
또는 [
x=-2
y=-2
또는 [
x=-'2
y='2
또는 [
x='2
y=-'2
⑵ [
x=-3'2
y=-'2
|해결 전략 | 한 이차방정식을 인수분해하여 얻은 각각의 일차방정식과 다른 이차
x=3'2
y='2
또는 [
방정식을 연립한다.
⑴ [
x€-y€=0
x€-xy+2y€=8
㉠의 좌변을 인수분해하면
…… ㉠
…… ㉡
STEP
2
필수 유형
| 171쪽~175쪽 |
01-1 ⑴ [
x=-2
y=0
또는 [
x=-1
y=1
⑵ [
x=-;;™5™;;
y=;5$;
또는 [
x=2
y=4
|해결 전략 | 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한 후 이차방정식에 대입한다.
(x-y)(x+y)=0
∴ x=y 또는 x=-y
1 x=y를 ㉡에 대입하면
…… ㉠
…… ㉡
åå ㉢
y€-y€+2y€=8, y€=4
∴ y=\2
∴ x=\2, y=+2 (복호동순)
2 x=-y를 ㉡에 대입하면
㉢을 ㉡에 대입하면 (y-2)€-y(y-2)+2y€=4, 2y€-2y=0
y(y-1)=0
∴ y=0 또는 y=1
y€+y€+2y€=8, y€=2
∴ y=\'2
∴ x==
'2, y=\'2 (복호동순)
⑴ [
x-y=-2
x€-xy+2y€=4
㉠에서 x=y-2
058 정답과 해설
따라서 x, y는 이차방정식 t€-4t+3=0의 두 근이므로
(t-1)(t-3)=0에서 t=1 또는 t=3
…… ㉠
…… ㉡
⑵ x+y=p, xy=q라 하면 주어진 연립방정식은
∴ [
x=1
y=3
또는 [
x=3
y=1
p€-2q=61
q=30
[
åå ㉠
åå ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 p€-60=61, p€=121
∴ p=\11
1 p=11, q=30, 즉 x+y=11, xy=30일 때
x, y는 이차방정식 t€-11t+30=0의 두 근이므로
(t-5)(t-6)=0에서 t=5 또는 t=6
x=6
y=5
x=5
y=6
또는 [
∴ [
2 p=-11, q=30, 즉 x+y=-11, xy=30일 때
x, y는 이차방정식 t€+11t+30=0의 두 근이므로
(t+5)(t+6)=0에서 t=-5 또는 t=-6
∴ [
x=-5
y=-6
또는 [
x=-6
y=-5
1, 2에서 연립방정식의 해는
x=5
y=6
[
또는 [
x=6
y=5
또는 [
x=-5
y=-6
또는 [
x=-6
y=-5
…… ㉠
…… ㉡
다른 풀이
⑵ xy=30에서 y=
을 x€+y€=61에 대입하면
30
x
x€+
=61, 즉 x›-61x€+900=0이므로
900
x€
(x›-60x€+900)-x€=0, (x€-30)€-x€=0
(x€+x-30)(x€-x-30)=0
(x+6)(x-5)(x-6)(x+5)=0
∴ x=-6 또는 x=5 또는 x=6 또는 x=-5
∴ [
x=5
y=6
또는 [
x=6
y=5
또는 [
x=-5
y=-6
또는 [
x=-6
y=-5
1, 2에서 연립방정식의 해는
[
x=2
y=2
또는 [
x=-2
y=-2
또는 [
x=-'2
y='2
또는 [
x='2
y=-'2
⑵ [
x€+xy=24
x€-2xy-3y€=0
㉡의 좌변을 인수분해하면
(x+y)(x-3y)=0
∴ x=-y 또는 x=3y
1 x=-y를 ㉠에 대입하면
y€-y€=24, 0_y€=24
이를 만족시키는 y의 값은 없다. 즉, 해가 없다.
2 x=3y를 ㉠에 대입하면
∴ y=\'2
9y€+3y€=24, y€=2
∴ x=\3'2, y=\'2 (복호동순)
x=3'2
y='2
1, 2에서 연립방정식의 해는 [
또는 [
x=-3'2
y=-'2
02-2 4
|해결 전략 | 한 이차방정식을 인수분해하여 얻은 각각의 일차방정식과 다른 이차
방정식을 연립한다.
x€-xy-2y€=0
x€+y€=10
[
㉠의 좌변을 인수분해하면
(x+y)(x-2y)=0
∴ x=-y 또는 x=2y
1 x=-y를 ㉡에 대입하면
∴ y=\'5
y€+y€=10, y€=5
∴ x=_'5 , y=\'5 (복호동순)
2 x=2y를 ㉡에 대입하면
[
∴ y=\'2
4y€+y€=10, y€=2
∴ x=\2'2, y=\'2 (복호동순)
1, 2에서 연립방정식의 해는
x=-'5
y='5
따라서 xy의 값은
-'5_'5=-5 또는 '5_(-'5 )=-5
또는 2'2_'2=4 또는 -2'2_(-'2 )=4
이므로 xy의 최댓값은 4이다.
x='5
y=-'5
x=2'2
y='2
또는 [
또는 [
또는 [
x=-2'2
y=-'2
04-1 4 cm
|해결 전략 | 두 정사각형의 한 변의 길이를 각각 x cm, y cm라 하고, 주어진 조
건을 이용하여 x, y에 대한 연립방정식을 세운다.
두 정사각형의 한 변의 길이를 각각 x cm, y cm라 하면
4x+4y=80
x€+y€=272
[
㉠에서 x+y=20
∴y=-x+20
㉢을 ㉡에 대입하면
x€+(-x+20)€=272, 2x€-40x+400=272
åå ㉠
åå ㉡
åå ㉢
x€-20x+64=0, (x-4)(x-16)=0
∴ x=4 또는 x=16
㉢에서 [
x=4
y=16
또는 [
x=16
y=4
따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 4 cm이다.
x+y=p, xy=q로 놓고 [
4p=80
p€-2q=272
를 풀어도 된다.
이때, p=20, q=64이므로 x, y는 이차방정식 t€-20t+64=0의 두 근이다.
05-1 k=-;4#;, 공통근: x=-1
|해결 전략 | 공통근을 a라 하고 두 이차방정식에 x=a를 대입하여 연립한다.
8 연립방정식과 부정방정식 059
03-1 ⑴ [
x=1
y=3
또는 [
x=3
y=1
⑵ [
x=5
y=6
또는 [
x=6
y=5
또는 [
x=-5
y=-6
또는 [
x=-6
y=-5
한다.
|해결 전략 | x+y=p, xy=q라 하고 x, y는 t€-pt+q=0의 두 근임을 이용
참고
⑴ x+y=p, xy=q라 하면 주어진 연립방정식은
[
p+q=7
2p-q=5
㉠+㉡을 하면 3p=12
∴ p=4
p=4를 ㉠에 대입하면 q=3
…… ㉠
…… ㉡
두 이차방정식의 공통근을 a라 하면
a€+4ka-4=0
åå ㉠, a€+4a-4k=0
åå ㉡
㉠-㉡을 하면 4a(k-1)+4(k-1)=0
4(k-1)(a+1)=0
∴ k=1 또는 a=-1
1 k=1일 때, 두 방정식이 x€+4x-4=0으로 일치하므로 공통근
은 2개이다. 즉, 오직 하나의 공통근을 갖는다는 조건에 모순이다.
2 a=-1일 때, 이 값을 ㉠에 대입하면 1-4k-4=0 ∴ k=-;4#;
1, 2에서 k=-;4#;이고 그때의 공통근은 x=-1이다.
참고
k=-;4#;일 때, 두 이차방정식은 x€-3x-4=0, x€+4x+3=0
즉, (x+1)(x-4)=0, (x+3)(x+1)=0이므로 공통근은 x=-1이다.
LECTURE
두 방정식 f(x)=0, g(x)=0의 공통근을 a라 하면
➡ x-a는 두 다항식 f(x), g(x)의 공통인수
05-2 -2, 0
|해결 전략 | 공통근을 a라 하고 두 이차방정식에 x=a를 대입하여 연립한다.
두 이차방정식의 공통근을 a라 하면
a€+(k-1)a+2k=0 åå ㉠, a€-(k-3)a-2k=0 åå ㉡
㉠+㉡을 하면 a€+a=0, a(a+1)=0
∴ a=-1 또는 a=0
1 a=-1일 때, 이 값을 ㉠에 대입하면
(-1)€-(k-1)+2k=0
∴ k=-2
2 a=0일 때, 이 값을 ㉠에 대입하면 k=0
1, 2에서 k=-2 또는 k=0
따라서 실수 k의 값을 모두 구하면 -2, 0이다.
1 ⑵
x
y-1
-2
-1
-1
-2
1
2
2
1
∴ [
x=-2
y=0
또는 [
x=-1
y=-1
또는 [
x=1
y=3
또는 [
x=2
y=2
⑶ x-1
y+2
-2
1
-1
2
1
-2
2
-1
∴ [
x=-1
y=-1
또는 [
x=0
y=0
또는 [
x=2
y=-4
또는 [
x=3
y=-3
⑷ xy-x+y=5에서 x(y-1)+(y-1)=4
∴(x+1)(y-1)=4
이때, x, y는 정수이므로 x+1, y-1의 값은 다음 표와 같다.
x+1 -4
y-1 -1
-2
-2
-1
-4
1
4
2
2
4
1
∴ [
x=-5
y=0
또는 [
x=-3
y=-1
또는 [
x=-2
y=-3
또는 [
x=0
y=5
또는 [
x=1
y=3
또는 [
x=3
y=2
⑸ xy-3x+2y=0에서 x(y-3)+2(y-3)=-6
∴(x+2)(y-3)=-6
이때, x, y는 정수이므로 x+2, y-3의 값은 다음 표와 같다.
x+2 -6 -3 -2 -1
1
2
3
6
y-3
1
2
3
6 -6 -3 -2 -1
∴ [
x=-8
y=4
또는 [
x=-5
y=5
또는 [
x=-4
y=6
또는 [
x=-3
y=9
또는 [
x=-1
y=-3
또는 [
x=0
y=0
또는 [
x=1
y=1
또는 [
x=4
y=2
2
부정방정식
STEP
1
개념 드릴
1 ⑴ [
x=-3
y=1
또는 [
1 ⑵ [
x=-2
y=0
또는 [
x=-1
y=3
x=-1
y=-1
또는 [
x=1
y=-3
또는 [
x=3
y=-1
또는 [
x=1
y=3
또는 [
x=2
y=2
1 ⑶ [
x=-1
y=-1
또는 [
x=0
y=0
또는 [
x=2
y=-4
또는 [
x=3
y=-3
1 ⑷ [
x=-5
y=0
또는 [
x=-3
y=-1
또는 [
x=-2
y=-3
또는 [
x=0
y=5
1
또는 [
x=1
y=3
또는 [
x=3
y=2
1 ⑸ [
x=-8
y=4
또는 [
x=-5
y=5
또는 [
x=-4
y=6
또는 [
x=-3
y=9
1
또는 [
x=-1
y=-3
또는 [
x=0
y=0
또는 [
x=1
y=1
또는 [
x=4
y=2
2 ⑴ x=-1, y=1 ⑵ x=-1, y=2 ⑶ x=1, y=1
⑷ x=-3, y=4 ⑸ x=2, y=-1
060 정답과 해설
2 ⑷ x€+y€+6x-8y+25=0에서
(x€+6x+9)+(y€-8y+16)=0
∴ (x+3)€+(y-4)€=0
이때, x, y는 실수이므로 x+3=0, y-4=0
| 177쪽 |
∴ x=-3, y=4
⑸ x€+y€-4x+2y+5=0에서
(x€-4x+4)+(y€+2y+1)=0
∴ (x-2)€+(y+1)€=0
이때, x, y는 실수이므로 x-2=0, y+1=0
∴ x=2, y=-1
다른 풀이
⑷ x€+y€+6x-8y+25=0에서 x€+6x+(y€-8y+25)=0 åå ㉠
⑷ 이때, x는 실수이므로 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면
⑷ :4Î:=3€-(y€-8y+25)=-(y€-8y+16)>0
⑷ 즉, (y-4)€<0이므로 y-4=0
∴ y=4
⑷ y=4를 ㉠에 대입하면 x€+6x+9=0, (x+3)€=0
∴ x=-3
⑸ x€+y€-4x+2y+5=0에서 x€-4x+(y€+2y+5)=0
åå ㉠
⑷ 이때, x는 실수이므로 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면
⑷ :4Î:=(-2)€-(y€+2y+5)=-(y€+2y+1)>0
⑷ 즉, (y+1)€<0이므로 y+1=0
∴ y=-1
⑷ y=-1을 ㉠에 대입하면 x€-4x+4=0, (x-2)€=0
∴ x=2
STEP
2
필수 유형
| 178~179쪽 |
02-2 x=1, y=-1
|해결 전략 | x에 대하여 내림차순으로 정리한 후 이차방정식의 판별식 D>0임
01-1 [
x=-2
y=1
또는 [
x=2
y=-3
또는 [
x=4
y=7
또는 [
x=8
y=3
|해결 전략 | 주어진 방정식을 (일차식)_(일차식)=(정수) 꼴로 변형한다.
xy-2x-3y+1=0에서 x(y-2)-3(y-2)-5=0
∴ (x-3)(y-2)=5
이때, x, y는 정수이므로 x-3, y-2의 값은 다음 표와 같다.
x-3
y-2
-5
-1
-1
-5
1
5
5
1
x=-2
y=1
∴ [
또는 [
x=2
y=-3
또는 [
x=4
y=7
또는 [
x=8
y=3
01-2 x=1, y=2
|해결 전략 | 주어진 방정식을 (일차식)_(일차식)=(정수) 꼴로 변형한다.
6xy+4x-3y-10=0에서 2x(3y+2)-(3y+2)-8=0
∴ (2x-1)(3y+2)=8
이때, x, y는 자연수이므로
2x-1=1, 3y+2=8 (5 2x-1>1, 3y+2>5)
∴ x=1, y=2
01-3 [
x=1
y=4
또는 [
x=3
y=4
또는 [
x=7
y=7
|해결 전략 | 주어진 방정식을 (일차식)_(일차식)=(정수) 꼴로 변형한다.
xy=x€-y+7에서 xy+y-x€=7, y(x+1)-(x€-1)=8
y(x+1)-(x+1)(x-1)=8
∴ (x+1)(y-x+1)=8
이때, x, y는 자연수이므로 x+1>2, y-x+1>1이다.
x-y=8
x€+y€=40
[
㉠에서 x=y+8
x+1
y-x+1
2
4
4
2
8
1
∴ [
x=1
y=4
또는 [
x=3
y=4
또는 [
x=7
y=7
을 이용한다.
x€+xy+y€-x+y+1=0에서
x€+(y-1)x+y€+y+1=0
åå ㉠
이때, x는 실수이므로 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면
D =(y-1)€-4(y€+y+1)=-3(y€+2y+1)>0
즉, (y+1)€<0이므로 y+1=0
∴ y=-1
y=-1을 ㉠에 대입하면
x€-2x+1=0, (x-1)€=0
∴ x=1
다른 풀이
주어진 방정식의 양변에 2를 곱하면 2x€+2xy+2y€-2x+2y+2=0
(x€+2xy+y€)+(x€-2x+1)+(y€+2y+1)=0
∴ (x+y)€+(x-1)€+(y+1)€=0
이때, x, y는 실수이므로
x+y=0, x-1=0, y+1=0
∴ x=1, y=-1
STEP
3
유형 드릴
| 180쪽~181쪽 |
1-1 32
|해결 전략 | 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한 후 이차방정식에 대입한다.
㉢을 ㉡에 대입하면 (y+8)€+y€=40, 2y€+16y+64=40
y€+8y+12=0, (y+6)(y+2)=0
∴ y=-6 또는 y=-2
1 y=-6을 ㉢에 대입하면 x=2
2 y=-2를 ㉢에 대입하면 x=6
1, 2에서 연립방정식의 해는 [
x=2
y=-6
또는 [
x=6
y=-2
∴ |a€-b€|=32
1-2 19
|해결 전략 | 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한 후 이차방정식에 대입한다.
2x-y=1
[
3x€-y€=-6
㉠에서 y=2x-1
åå ㉠
åå ㉡
åå ㉢
…… ㉠
…… ㉡
…… ㉢
02-1 x=3, y=1
|해결 전략 | A€+B€=0 꼴로 정리한 후 A=0, B=0임을 이용한다.
2x€-6xy+9y€-6x+9=0에서
(x€-6xy+9y€)+(x€-6x+9)=0
∴ (x-3y)€+(x-3)€=0
다른 풀이
2x€-6xy+9y€-6x+9=0에서
2x€-6(y+1)x+9(y€+1)=0
이때, x, y는 실수이므로 x-3y=0, x-3=0
∴ x=3, y=1
x€-4x-5=0, (x+1)(x-5)=0
∴ x=-1 또는 x=5
㉢을 ㉡에 대입하면 3x€-(2x-1)€=-6, -x€+4x-1=-6
이때, x는 실수이므로 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면
=9(y+1)€-18(y€+1)=-9(y€-2y+1)>0
D
4
즉, (y-1)€<0이므로 y-1=0
∴ y=1
y=1을 ㉠에 대입하면 2x€-12x+18=0, 2(x-3)€=0
∴ x=3
이므로 a=5, b=9
∴ 2a+b=19
1 x=-1을 ㉢에 대입하면 y=-3
2 x=5를 ㉢에 대입하면 y=9
åå ㉠
1, 2에서 연립방정식의 해는
[
x=-1
y=-3
또는
[
x=5
y=9
따라서 주어진 연립방정식을 만족시키는 자연수 x, y는 x=5, y=9
8 연립방정식과 부정방정식 061
2-1 6
|해결 전략 | 한 이차방정식을 인수분해하여 얻은 각각의 일차방정식과 다른 이차
2 p=-3, q=2, 즉 x+y=-3, xy=2일 때
x, y는 이차방정식 t€+3t+2=0의 두 근이므로
(t+2)(t+1)=0에서 t=-2 또는 t=-1
…… ㉠
…… ㉡
∴ [
x=-2
y=-1
또는 [
x=-1
y=-2
1, 2에서 연립방정식의 해는
x=1
y=2
x=2
y=1
또는 [
또는 [
x=-2
y=-1
[
또는 [
x=-1
y=-2
따라서 x-y의 최댓값 M=1, 최솟값 m=-1이므로
M-m=2
참고
xy=2에서 y=;x@; 또는 x=;y@; 를 x€+y€=5에 대입해서 풀어도 된다.
방정식을 연립한다.
x€-3xy+2y€=0
5y€-x€=4
[
㉠의 좌변을 인수분해하면
(x-y)(x-2y)=0
∴ x=y 또는 x=2y
1 x=y를 ㉡에 대입하면
5y€-y€=4, y€=1
∴ y=-1
∴ x=-1, y=-1 (복호동순)
2 x=2y를 ㉡에 대입하면
5y€-4y€=4, y€=4
∴ y=-2
∴ x=-4, y=-2 (복호동순)
1, 2에서 연립방정식의 해는
x=1
y=1
x=-1
y=-1
또는 [
또는 [
[
x=4
y=2
따라서 x+y의 최댓값은 6이다.
또는 [
x=-4
y=-2
3-2 (-1, 2), (2, -1)
|해결 전략 | x+y=p, xy=q라 하고 x, y는 t€-pt+q=0의 두 근임을 이용
한다.
x+y=p, xy=q라 하면 주어진 연립방정식은
2-2 4
|해결 전략 | 한 이차방정식을 인수분해하여 얻은 각각의 일차방정식과 다른 이차
p€+p-2=0
q=-2
[
㉠의 좌변을 인수분해하면
…… ㉠
…… ㉡
åå ㉠
åå ㉡
방정식을 연립한다.
x€-2xy-3y€=0
x€+xy+y€=13
[
㉠의 좌변을 인수분해하면
(x+y)(x-3y)=0
∴ x=-y 또는 x=3y
1 x=-y를 ㉡에 대입하면
y€-y€+y€=13, y€=13
∴ y=\'ß13
∴ x==
'ß13, y=\'ß13 (복호동순)
2 x=3y를 ㉡에 대입하면
9y€+3y€+y€=13, y€=1
∴ y=\1
∴ x=\3, y=\1 (복호동순)
1, 2에서 연립방정식의 해는
[
x=-'ß13
y='ß13
또는 [
x='ß13
y=-'ß13
또는 [
x=3
y=1
또는 [
x=-3
y=-1
따라서 주어진 연립방정식을 만족시키는 자연수 x, y는
x=3, y=1
∴ x+y=4
3-1 2
|해결 전략 | x+y=p, xy=q라 하고 x, y는 t€-pt+q=0의 두 근임을 이용
x+y=p, xy=q라 하면 주어진 연립방정식은
한다.
p€-2q=5
q=2
[
㉡을 ㉠에 대입하면 p€=9
∴ p=\3
1 p=3, q=2, 즉 x+y=3, xy=2일 때
x, y는 이차방정식 t€-3t+2=0의 두 근이므로
(t-1)(t-2)=0에서 t=1 또는 t=2
∴ [
x=1
y=2
또는 [
x=2
y=1
062 정답과 해설
(p+2)(p-1)=0
∴ p=-2 또는 p=1
1 p=-2, q=-2, 즉 x+y=-2, xy=-2일 때
x, y는 이차방정식 t€+2t-2=0의 두 근이므로
t=-1-'3
∴
[
x=-1+'3
y=-1-'3
또는
[
x=-1-'3
y=-1+'3
2 p=1, q=-2, 즉 x+y=1, xy=-2일 때
x, y는 이차방정식 t€-t-2=0의 두 근이므로
(t+1)(t-2)=0에서 t=-1 또는 t=2
∴ [
x=-1
y=2
또는
[
x=2
y=-1
1, 2에서 연립방정식의 해는
x=-1+'3
y=-1-'3
따라서 주어진 연립방정식을 만족시키는 정수 x, y의 순서쌍 (x, y)
x=-1-'3
y=-1+'3
x=-1
y=2
x=2
y=-1
또는
[
또는
[
또는
[
[
는 (-1, 2), (2, -1)이다.
åå ㉠
åå ㉡
길이가 5 m이므로
4-1 12 m€
|해결 전략 | 처음 땅의 가로의 길이를 x m, 세로의 길이를 y m라 하고, 주어진
조건을 이용하여 x, y에 대한 연립방정식을 세운다.
처음 땅의 가로의 길이를 x m, 세로의 길이를 y m라 하면 대각선의
x€+y€=5€
∴ x€+y€=25
…… ㉠
처음 땅의 넓이는 xy m€이고, 가로의 길이를 2 m 늘이고 세로의 길
이를 1 m 줄인 땅의 넓이는 (x+2)(y-1) m€이므로
(x+2)(y-1)=xy+3, xy-x+2y-2=xy+3
∴ -x+2y=5
㉡에서 x=2y-5를 ㉠에 대입하면
…… ㉡
(2y-5)€+y€=25, 5y€-20y=0
5y(y-4)=0
∴ y=4 (∵ y>1)
y=4를 ㉡에 대입하면 x=3
y-1>0에서 y>1
따라서 처음 땅의 넓이는 3_4=12 (m€)
4-2 8 cm
|해결 전략 | 원에 내접하는 직사각형의 가로의 길이를 x cm, 세로의 길이를
y cm라 하고, 주어진 조건을 이용하여 x, y에 대한 연립방정식을 세운다.
원에 내접하는 직사각형의 가로의 길이를 x cm,
세로의 길이를 y cm라 하면 직사각형의 대각선
의 길이는 원의 지름의 길이와 같으므로
x€+y€=10€
∴ x€+y€=100
…… ㉠
x cm
y cm
10 cm
직사각형의 둘레의 길이는 28 cm이므로
2(x+y)=28
∴ x+y=14
㉡에서 y=14-x를 ㉠에 대입하면
x€+(14-x)€=100, 2x€-28x+96=0
x€-14x+48=0, (x-6)(x-8)=0
∴ x=6 또는 x=8
㉡에서 [
x=6
y=8
또는 [
x=8
y=6
따라서 직사각형의 긴 변의 길이는 8 cm이다.
참고
p€-2q=100
x+y=p, xy=q로 놓고 [
이때, q=48이므로 x, y는 이차방정식 t€-14t+48=0의 두 근이다.
를 풀어도 된다.
p=14
5-1 5
|해결 전략 | 공통근을 a라 하고 두 이차방정식에 x=a를 대입하여 연립한다.
두 이차방정식의 공통근을 a라 하면
a€+(k-3)a-7k=0
a€+(k-1)a-9k=0
㉠-㉡을 하면 -2a+2k=0
∴ a=k
a=k를 ㉠에 대입하면
k€+(k-3)k-7k=0, k€-5k=0
k(k-5)=0
∴ k=5 (5 k+0)
참고
k=5일 때, 두 이차방정식은 x€+2x-35=0, x€+4x-45=0
즉, (x+7)(x-5)=0, (x+9)(x-5)=0이므로 공통근은 x=5이다.
6-1 13
|해결 전략 | 주어진 방정식을 (일차식)_(일차식)=(정수) 꼴로 변형한다.
xy-4x-3y+7=0에서
x(y-4)-3(y-4)-5=0
∴ (x-3)(y-4)=5
이때, x, y는 자연수이므로 x-3>-2, y-4>-3이다.
x-3
y-4
1
5
∴ x+y=13
5
1
x=4
y=9
∴ [
또는 [
x=8
y=5
6-2 6
|해결 전략 | 주어진 방정식을 (일차식)_(일차식)=(정수) 꼴로 변형한다.
…… ㉡
a!;+;b!;=;3!;에서
a+b
ab
=;3!;
3(a+b)=ab, ab-3a-3b=0
a(b-3)-3(b-3)-9=0
∴ (a-3)(b-3)=9
이때, a, b는 정수이므로 a-3, b-3의 값은 다음 표와 같다.
a-3 -9
b-3 -1
-3
-3
-1
-9
1
9
3
3
9
1
따라서 주어진 방정식을 만족시키는 정수 a, b의 순서쌍 (a, b)는
(-6, 2), (0, 0), (2, -6), (4, 12), (6, 6), (12, 4)의 6개이다.
7-1 8
|해결 전략 | 이차방정식의 두 근을 a, b라 하고 근과 계수의 관계를 이용하여 a,
x€+(m-2)x+m=0의 두 근을 a, b라 하면 이차방정식의 근과
åå ㉠
åå ㉡
åå ㉠
åå ㉡
b에 대한 방정식을 세운다.
계수의 관계에 의하여
a+b=2-m
ab=m
[
㉠+㉡을 하면
a+b+ab=2, a(b+1)+(b+1)=3
∴ (a+1)(b+1)=3
이때, a, b는 정수이므로 a+1, b+1의 값은 다음 표와 같다.
a+1 -3
b+1 -1
-1
-3
1
3
3
1
5-2 -1
|해결 전략 | 공통근을 a라 하고 두 이차방정식에 x=a를 대입하여 연립한다.
두 이차방정식의 공통근을 a라 하면
a=-4
b=-2
a=-2
∴ [
b=-4
∴ m=ab=8 (5 m+0)
또는 [
또는 [
a=0
b=2
또는 [
a=2
b=0
a€-2ka-k=0
åå ㉠, a€-a+k-1=0
åå ㉡
LECTURE
㉠-㉡을 하면 (1-2k)a+(1-2k)=0
이차방정식의 근과 계수의 관계
(1-2k)(a+1)=0
∴ k=;2!; 또는 a=-1
1 k=;2!;일 때, 두 방정식이 x€-x-;2!;=0으로 일치하므로 공통근
은 2개이다. 즉, 오직 하나의 공통근을 갖는다는 조건에 모순이다.
이차방정식 ax€+bx+c=0의 두 근을 a, b라 하면
⑴ a+b=-;aB;
⑵ ab=;aC;
2 a=-1일 때, 이 값을 ㉠에 대입하면
1+2k-k=0
∴ k=-1
1, 2에서 k=-1
7-2 17
|해결 전략 | 이차방정식의 두 근을 a, b라 하고 근과 계수의 관계를 이용하여 a,
b에 대한 방정식을 세운다.
8 연립방정식과 부정방정식 063
x€-(n-2)x+n+1=0의 두 근을 a, b라 하면 이차방정식의 근과
계수의 관계에 의하여
a+b=n-2
ab=n+1
[
㉡-㉠을 하면
åå ㉠
åå ㉡
9
| 연립일차부등식
ab-a-b=3, a(b-1)-(b-1)=4
∴ (a-1)(b-1)=4
이때, a, b는 자연수이므로 a-1>0, b-1>0이다.
1
일차부등식
a-1
b-1
1
4
2
2
4
1
∴ [
a=2
b=5 또는
[
a=3
b=3 또는
[
a=2, b=5 또는 a=5, b=2일 때, n=9
a=5
b=2
a=3, b=3일 때, n=8
따라서 모든 정수 n의 값의 합은 9+8=17
8-1 4
|해결 전략 | A€+B€=0 꼴로 정리한 후 A=0, B=0임을 이용한다.
x€+2y€-2xy+4y+4=0에서
(x€-2xy+y€)+(y€+4y+4)=0
∴ (x-y)€+(y+2)€=0
이때, x, y는 실수이므로
∴ xy=4
다른 풀이
D라 하면
:4Î:=y€-(2y€+4y+4)=-(y€+4y+4)>0
∴ y=-2
즉, (y+2)€<0이므로 y+2=0
y=-2를 주어진 방정식에 대입하면
x€+4x+4=0, (x+2)€=0
∴ x=-2
184쪽~185쪽
개념 확인
1 ㄴ, ㅁ
2 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
1 a>b일 때
ㄴ. a-2>b-2
ㅁ. c>0이면 ac>bc, c<0이면 ac<bc
2 ⑴ 1 a-3>0, 즉 a>3일 때, x>
2 a-3<0, 즉 a<3일 때, x<
1
a-3
1
a-3
2
a+1
2
a+1
3 a-3=0, 즉 a=3일 때, 0_x>1이므로 해는 없다.
⑵ 1 a+1>0, 즉 a>-1일 때, x<
STEP
1
개념 드릴
| 186쪽 |
1 ⑴ 1<2x-5<7 ⑵ 1<-;3X;+3<2
⑶ 11<3x+2<20 ⑷ -11<-2x+1<-5
x-y=0, y+2=0 ∴ x=-2, y=-2
2 a+1<0, 즉 a<-1일 때, x>
x€-2yx+2y€+4y+4=0에서 x는 실수이므로 이 이차방정식의 판별식을
이다.
3 a+1=0, 즉 a=-1일 때, 0_x<2이므로 해는 모든 실수
8-2 5
|해결 전략 | x에 대하여 내림차순으로 정리한 후 이차방정식의 판별식 D>0임
2 ⑴ x<:¡2¡: ⑵ x>-2 ⑶ x>1
3 ⑴ x>-1 ⑵ x<9 ⑶ x<10
4 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 ⑶ 풀이 참조
을 이용한다.
x€-4xy+5y€+2x-8y+5=0에서
x€-2(2y-1)x+5y€-8y+5=0
…… ㉠
이때, x는 실수이므로 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면
1 3<x<6에서
⑴ 6<2x<12 ∫ 1<2x-5<7
:4Î:=(2y-1)€-(5y€-8y+5)=-(y€-4y+4)>0
즉, (y-2)€<0이므로 y-2=0
∴ y=2
y=2를 ㉠에 대입하면
x€-6x+9=0, (x-3)€=0
∴ x=3
∴ x+y=5
다른 풀이
x€-4xy+5y€+2x-8y+5=0에서
{x€-2(2y-1)x+(2y-1)€}+(y€-4y+4)=0
∴ (x-2y+1)€+(y-2)€=0
이때, x, y는 실수이므로 x-2y+1=0, y-2=0
따라서 x=3, y=2이므로 x+y=5
064 정답과 해설
⑵ -2<-;3X;<-1 ∴ 1<-;3X;+3<2
⑶ 9<3x<18 ∴ 11<3x+2<20
⑷ -12<-2x<-6 ∴ -11<-2x+1<-5
2 ⑴ 2x+7>4x-4에서
-2x>-11
∴ x<:¡2¡:
⑵ 3x-1<5x+3에서
-2x<4 ∴ x>-2
⑶ 4-2x<3x-1에서
-5x<-5 ∴ x>1
2x+10>5x-20, -3x>-30
∴ x<10
3 a-1=0, 즉 a=1일 때, 0_x>0이므로 해는 없다.
3 ⑴ ;2!;x+1>;6!;x+;3@; 의 양변에 6을 곱하면
∴ x>-1
3x+6>x+4, 2x>-2
⑵ ;3!;x-2<
x-4
5
의 양변에 15를 곱하면
5x-30<3(x-4), 2x<18
∴ x<9
⑶ 0.2x+1>0.5x-2의 양변에 10을 곱하면
4 ⑴ ax+2>2x+1에서 (a-2)x>-1
1 a-2>0, 즉 a>2일 때, x>-
2 a-2<0, 즉 a<2일 때, x<-
이다.
⑵ ax-a<-x-1에서 (a+1)x<a-1
1 a+1>0, 즉 a>-1일 때, x<
2 a+1<0, 즉 a<-1일 때, x>
1
a-2
1
a-2
a-1
a+1
a-1
a+1
3 a-2=0, 즉 a=2일 때, 0_x>-1이므로 해는 모든 실수
이 부등식의 해가 x<-3이므로 a<0
3 a+1=0, 즉 a=-1일 때, 0_x<-2이므로 해는 없다.
(a+3a)x-(a-3a)>0, 4ax-(-2a)>0
⑶ 3x-2a>-ax+6에서 (a+3)x>2a+6
1 a+3>0, 즉 a>-3일 때, x>2
2 a+3<0, 즉 a<-3일 때, x<2
3 a+3=0, 즉 a=-3일 때, 0_x>0이므로 해는 없다.
02-1 풀이 참조
|해결 전략 | x의 계수가 양수, 음수, 0인 경우로 나누어 해를 구한다.
ax+a>a€+x에서 ax-x>a€-a
(a-1)x>a(a-1)
1 a-1>0, 즉 a>1일 때, x>a
2 a-1<0, 즉 a<1일 때, x<a
02-2 x<-;2!;
|해결 전략 | 주어진 부등식의 부등호의 방향과 해의 부등호의 방향이 다르면 x의
계수는 음수이다.
ax+b>0에서 ax>-b
㉠의 양변을 a로 나누면 x<-;aB;
㉡과 x<-3이 일치하므로
åå ㉠
åå ㉡
∴ b=3a
-;aB;=-3
부등식 (a+b)x-(a-b)>0에 b=3a를 대입하여 풀면
4ax>-2a
∴ x<-;2!; (5 a<0)
STEP
2
필수 유형
| 187쪽~188쪽 |
01-1 ㄱ, ㄷ, ㄹ
|해결 전략 | 부등식의 성질을 이용한다.
ㄴ. a=-1, b=-2이면 a>b이지만 |a|<|b|
ㄷ. a>b, d>0이므로 a
d
ㄷ. c>d, cd>0이므로 c
cd
∴ 1
d
d
cd
b
d
>
>
>
1
c
ㄷ. 이때, b>0이므로 b
d
>
ㄷ. ㉠, ㉡에서 a
d
>
>
b
d
b
c
∴ a
d
>
b
c
ㄹ. a‹-b‹=(a-b)(a€+ab+b€)
b
c
=(a-b)[{a+
b
2 }
€+;4#;b€]
이때, a>b이므로 a-b>0, {a+
b
2 }
€+;4#;b€>0
따라서 a>b이면 a‹-b‹>0, 즉 a‹>b‹이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
참고
ㄹ. a>b이면 a=b=0일 수 없으므로 {a+;2B;}
€+;4#;b€>0이다.
yy ㉠
2 ⑴ -1<x<4 ⑵ -3<x<1 ⑶ x<4
yy ㉡
2
연립일차부등식
개념 확인
1 ⑴ -1, -1<x<1 ⑵ x=5
-2<x-1
x-1<3
2 ⑴ [
-2<x-1에서 x>-1
x-1<3에서 x<4
따라서 연립부등식의 해는
-1<x<4
⑵ [
-3<2x+3
2x+3<5
-3<2x+3에서 x>-3
2x+3<5에서 x<1
따라서 연립부등식의 해는
-3<x<1
189쪽~190쪽
åå ㉠
åå ㉡
㉡
㉠
-1
4
x
åå ㉠
åå ㉡
㉡
㉠
-3
1
x
9 연립일차부등식 065
⑶ [
2x-3<x+1
x+1<6
2x-3<x+1에서 x<4
x+1<6에서 x<5
따라서 연립부등식의 해는
x<4
STEP
1
개념 드릴
1 ⑴ 1<x<3 ⑵ 해는 없다. ⑶ x=-2
⑷ 1<x<2 ⑸ x>4 ⑹ 해는 없다.
2 ⑴ -3<x<2 ⑵ -4<x<2 ⑶ -4<x<5
⑷ -4<x<1 ⑸ -3<x<2 ⑹ 3<x<5
1 ⑴ x+3>4에서 x>1
-2x>-6에서 x<3
따라서 연립부등식의 해는
1<x<3
x-5<3x+1
3x+1<7
2 ⑴ [
åå ㉠
åå ㉡
x-5<3x+1에서 -2x<6
∴ x>-3
3x+1<7에서 3x<6
∴ x<2
åå ㉠
åå ㉡
㉡
㉠
따라서 연립부등식의 해는
-3<x<2
4
5
x
| 191쪽 |
⑵ [
-8<3x+4
3x+4<x+8
㉡
㉠
-3
2
x
㉡
㉠
-4
2
x
-8<3x+4에서 -3x<12
∴ x>-4
3x+4<x+8에서 2x<4
∴ x<2
åå ㉠
åå ㉡
따라서 연립부등식의 해는
-4<x<2
⑶ [
2x-5<3x-1
3x-1<x+9
2x-5<3x-1에서 -x<4
∴ x>-4
3x-1<x+9에서 2x<10
∴ x<5
åå ㉠
åå ㉡
따라서 연립부등식의 해는
-4<x<5
㉡
㉠
-4
5
x
⑵ 3x-2>1에서 x>1
-x+2>4에서 -x>2
∴ x<-2
따라서 연립부등식의 해는 없다.
㉡
㉠
⑷ [
3x-16<6x-4
6x-4<2x
-2
1
x
3x-16<6x-4에서 -3x<12
∴ x>-4
6x-4<2x에서 4x<4
∴ x<1
åå ㉠
åå ㉡
⑶ 4x+7>-1에서 4x>-8
∴ x>-2
x-4>3x에서 -2x>4
∴ x<-2
따라서 연립부등식의 해는
x=-2
⑷ 2(x-1)<2에서 2x-2<2
2x<4
∴ x<2
1-3x<-2에서 -3x<-3
∴ x>1
따라서 연립부등식의 해는
1<x<2
⑸ 0.2x+0.2>1의 양변에 10을 곱하면
2x+2>10에서 2x>8
∴ x>4
5x-7>3에서 5x>10
∴ x>2
따라서 연립부등식의 해는
x>4
⑹ ;2!;x-;4!;>;4!;x-;2!;의 양변에 4를 곱하면
2x-1>x-2에서 x>-1
x+2<1에서 x<-1
따라서 연립부등식의 해는 없다.
066 정답과 해설
따라서 연립부등식의 해는
-4<x<1
⑸ [
0.2x-0.1<0.1x+0.1
0.1x+0.1<0.3x+0.7
㉡
㉠
-4
1
x
0.2x-0.1<0.1x+0.1의 양변에 10을 곱하면
2x-1<x+1에서 x<2
åå ㉠
0.1x+0.1<0.3x+0.7의 양변에 10을 곱하면
x+1<3x+7에서 -2x<6
∴ x>-3
åå ㉡
따라서 연립부등식의 해는
-3<x<2
㉡
㉠
-3
2
x
åå ㉠
åå ㉡
㉠
㉡
⑹
[
;2#;x+1<;2%;x-2
;2%;x-2<x+:¡2¡:
2
4
x
;2#;x+1<;2%;x-2의 양변에 2를 곱하면
3x+2<5x-4에서 -2x<-6
∴ x>3
åå ㉠
;2%;x-2<x+:¡2¡:의 양변에 2를 곱하면
5x-4<2x+11에서 3x<15
∴ x<5
åå ㉡
따라서 연립부등식의 해는
3<x<5
㉡
㉠
3
5
x
åå ㉠
åå ㉡
㉠
㉡
-1
x
㉡
㉠
1
åå ㉠
åå ㉡
3
x
åå ㉠
åå ㉡
åå ㉠
åå ㉡
㉠
㉡
-2
x
åå ㉠
åå ㉡
㉠
㉡
1
2
x
STEP
2
필수 유형
| 192쪽~197쪽 |
03-1 ⑴ -6<x<8 ⑵ -2<x<4
|해결 전략 | A<B<C 꼴은 [
2(x-2)+1<3x+3
3x+3<2x+11
⑴ [
A<B
B<C
꼴로 바꾸어 푼다.
2(x-2)+1<3x+3에서 -x<6
∴ x>-6
01-1 ⑴ 3<x<6 ⑵ x<2
|해결 전략 | 각 부등식의 해를 구한 후 공통 범위를 구한다.
⑴ 2(x-4)<x-2에서 2x-8<x-2
∴ x<6
…… ㉠
7+3x>2(x+5)에서 7+3x>2x+10
∴ x>3 …… ㉡
따라서 연립부등식의 해는
㉠
3x+3<2x+11에서 x<8
따라서 연립부등식의 해는
3<x<6
㉡
-6<x<8
3
6
x
⑵ 1.5x-1<0.6x+0.8의 양변에 10을 곱하면
15x-10<6x+8, 9x<18
∴ x<2
…… ㉠
2-
x-2
4
>
x-1
2
의 양변에 4를 곱하면
8-(x-2)>2(x-1), 8-x+2>2x-2
-3x>-12
∴ x<4
따라서 연립부등식의 해는
x<2
…… ㉡
㉠
㉡
-2x+2
3 <;2X;+3
;2X;+3<-x+9
⑵
[
-2x+2
3
<;2X;+3에서 -4x+4<3x+18
-7x<14
∴ x>-2
;2X;+3<-x+9에서 x+6<-2x+18
3x<12
∴ x<4
2
4
x
따라서 연립부등식의 해는
-2<x<4
…… ㉠
…… ㉡
㉡
㉠
-6
8
x
…… ㉠
…… ㉡
㉡
㉠
-2
4
x
01-2 40
|해결 전략 | 연립부등식의 해를 구한 후 해의 범위에 포함되는 정수를 생각한다.
3(x-2)-1>1+x에서 3x-6-1>1+x
2x>8
∴ x>4
2x-7
3
<
x-3
2
2(2x-7)<3(x-3)+6
+1의 양변에 6을 곱하면
…… ㉠
03-2 9
|해결 전략 | 연립부등식의 해를 구한 후 정수인 해의 합을 구한다.
4x-14<3x-9+6
∴ x<11
…… ㉡
따라서 연립부등식의 해는 4<x<11이므로
㉡
㉠
M=10, m=4
∴ Mm=10_4=40
3x+1
2
<2x-1
[
2x-1<
4x+7
3
4
11
x
3x+1
2
<2x-1에서 3x+1<2(2x-1)
-x<-3
∴ x>3
2x-1<
에서 3(2x-1)<4x+7
4x+7
3
2x<10
∴ x<5
…… ㉠
…… ㉡
따라서 연립부등식의 해는 3<x<5이므
로 구하는 모든 정수 x의 값의 합은
㉡
㉠
3(x+3)<-2(x-5)에서 3x+9<-2x+10
4+5=9
3
5
x
02-1 ⑴ 해는 없다. ⑵ x=1
|해결 전략 | 각 부등식의 해를 구한 후 공통 범위를 구한다.
⑴ ;5!;x+1<x+0.6에서 x+5<5x+3
-4x<-2
∴ x>;2!;
5x<1
∴ x<;5!;
따라서 연립부등식의 해는 없다.
⑵ 0.4x<x-;5#;에서 2x<5x-3
-3x<-3
∴ x>1
-4+x>3(x-2)에서 -4+x>3x-6
-2x>-2
∴ x<1
따라서 연립부등식의 해는
x=1
…… ㉠
…… ㉡
㉡
㉠
;5!;
;2!;
x
04-1 a=1, b=7
|해결 전략 | 각 부등식의 해를 구한 후 주어진 해와 비교하여 a, b의 값을 구한다.
…… ㉠
3x-a<11에서 3x<a+11
∴ x<
…… ㉡
㉠
㉡
x-b<3(x-3)에서 -2x<b-9
∴ x>
이때, 연립부등식의 해가 1<x<4이므로
1
x
a+11
3
=4, b-9
-2
=1
∴ a=1, b=7
a+11
3
b-9
-2
9 연립일차부등식 067
04-2 a=2, b=1
|해결 전략 | 연립부등식의 해를 구한 후 주어진 해와 비교하여 a, b의 값을 구한다.
-1<
<0, -2<a-3<0
∴ 1<a<3
a-3
2
3x-a<5x-8
5x-8<4x+b
[
3x-a<5x-8에서 -2x<a-8
∴ x>
a-8
-2
5x-8<4x+b에서 x<b+8
이때, 연립부등식의 해가 3<x<9이므로
a-8
-2
=3, b+8=9
∴ a=2, b=1
05-1 a<-5
|해결 전략 | 연립부등식이 해를 가지려면 공통부분이 있어야 한다.
1-x
3
>1에서 1-x>3
∴ x<-2
3x+a<5x-1에서 -2x<-a-1
∴ x>
a+1
2
이때, 연립부등식이 해를 가지려면
오른쪽 그림과 같아야 하므로
<-2
∴ a<-5
a+1
2
-2
x
a+1
2
참고
a+1
2
=-2이면 [
x<-2
x>-2
가 되어 연립부등식은 해를 갖지 않는다.
05-2 0
|해결 전략 | 연립부등식의 해가 없으려면 공통부분이 없어야 한다.
참고
a-3
2
=0이면 [
x<2
x>0
이 되어 연립부등식은 정수인 해를 1개만 갖는다.
06-1 10
|해결 전략 | 상자의 개수를 x로 놓고 주어진 조건을 이용하여 연립부등식을 세운다.
상자의 개수를 x라 하면
50x+40<740
75x-10>740
[
㉠에서 50x<700
∴ x<14
㉡에서 75x>750
∴ x>10
…… ㉠
…… ㉡
…… ㉠
…… ㉡
즉, 10<x<14이므로 상자의 최소 개수는 10이다.
06-2 10
|해결 전략 | 연속하는 세 자연수를 x, x+1, x+2로 놓고 주어진 조건을 이용하
여 연립부등식을 세운다.
연속하는 세 자연수를 x, x+1, x+2라 하면
x+(x+1)+(x+2)>30
x+(x+1)-(x+2)<9
[
㉠에서 3x+3>30
∴ x>9
㉡에서 x-1<9
∴ x<10
즉, 9<x<10이므로 x=9
따라서 세 자연수는 9, 10, 11이므로 가운데 수는 10이다.
LECTURE
연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1로 놓고 풀어도 된다.
(x-1)+x+(x+1)>30
(x-1)+x-(x+1)<9
[
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 10<x<11이므로 x=10
…… ㉠
…… ㉡
2-x>a에서 x<2-a
x
3
+
5-x
2
<2에서 2x+3(5-x)<12
2x+15-3x<12
∴ x>3
이때, 연립부등식의 해가 없으려면
오른쪽 그림과 같아야 하므로
2-a<3
∴ a>-1
참고
2-a=3이면 [
x<3
x>3
2-a
3
x
3
절댓값 기호를 포함한 일차부등식
따라서 조건을 만족시키는 정수 a의 최솟값은 0이다.
STEP
1
개념 드릴
| 199쪽 |
이 되어 연립부등식은 x=3을 해로 갖는다.
1 ⑴ x<-;2!; 또는 x>;2!; ⑵ -5<x<5 ⑶ x<-4 또는 x>4
05-3 1<a<3
|해결 전략 | 각 부등식의 해를 구한 후 정수인 해가 2개가 되도록 하는 a의 값의
범위를 구한다.
0.3(x+1)>x-1.1의 양변에 10을 곱하면
3(x+1)>10x-11에서 -7x>-14
∴ x<2
4x+3>2x+a에서 2x>a-3
∴ x>
a-3
2
이때, 연립부등식이 정수인 해를 2개 가지
려면 오른쪽 그림과 같아야 하므로
0
1
2
x
a-3
2
068 정답과 해설
2 ⑴ x<-4 또는 x>2 ⑵ -4<x<-1 ⑶ -;3@;<x<2
3 ⑴ x<1 ⑵ x>;2#; ⑶ x<3
4 ⑴ -;2#;<x<;2&; ⑵ x<-2 또는 x>1
1 ⑴ |2x|>1에서
2x<-1 또는 2x>1
∴ x<-;2!; 또는 x>;2!;
⑵ |x|-5<0, 즉 |x|<5에서 -5<x<5
⑶ |2x|-8>0, 즉 |2x|>8에서
2x<-8 또는 2x>8
∴ x<-4 또는 x>4
⑶ |2x+3|>3x에서
1 x<-;2#; 일 때, -(2x+3)>3x
-5x>3
∴ x<-;5#;
그런데 x<-;2#;이므로 x<-;2#;
2 x>-;2#; 일 때, 2x+3>3x
-x>-3
∴ x<3
그런데 x>-;2#;이므로 -;2#;<x<3
1, 2에서 구한 해를 합하면 x<3
4 ⑴ |x|+|x-2|<5에서
1 x<0일 때, -x-(x-2)<5
-2x<3
∴ x>-;2#;
그런데 x<0이므로 -;2#;<x<0
2 0<x<2일 때, x-(x-2)<5
0_x<3이므로 해는 모든 실수이다.
그런데 0<x<2이므로 0<x<2
3 x>2일 때, x+x-2<5
2x<7
∴ x<;2&;
그런데 x>2이므로 2<x<;2&;
1, 2, 3에서 구한 해를 합하면 -;2#;<x<;2&;
⑵ |x+2|+|x-1|>3에서
1 x<-2일 때, -(x+2)-(x-1)>3
-2x>4
∴ x<-2
그런데 x<-2이므로 x<-2
2 -2<x<1일 때, (x+2)-(x-1)>3
0_x>0이므로 해는 없다.
3 x>1일 때, (x+2)+(x-1)>3
2x>2
∴ x>1
그런데 x>1이므로 x>1
1, 2, 3에서 구한 해를 합하면 x<-2 또는 x>1
2 ⑴ |x+1|>3에서
1 x<-1일 때, -(x+1)>3
-x>4
∴ x<-4
그런데 x<-1이므로 x<-4
2 x>-1일 때, x+1>3
∴ x>2
그런데 x>-1이므로 x>2
1, 2에서 구한 해를 합하면 x<-4 또는 x>2
⑵ |2x+5|<3에서
1 x<-;2%; 일 때, -(2x+5)<3
∴ x>-4
-2x<8
그런데 x<-;2%; 이므로 -4<x<-;2%;
2 x>-;2%; 일 때, 2x+5<3
∴ x<-1
2x<-2
그런데 x>-;2%; 이므로 -;2%;<x<-1
1, 2에서 구한 해를 합하면 -4<x<-1
⑶ |3x-2|<4에서
1 x<;3@; 일 때, -(3x-2)<4
-3x<2
∴ x>-;3@;
그런데 x<;3@; 이므로 -;3@;<x<;3@;
2 x>;3@; 일 때, 3x-2<4
∴ x<2
3x<6
그런데 x>;3@; 이므로 ;3@;<x<2
1, 2에서 구한 해를 합하면 -;3@;<x<2
3 ⑴ |x+1|>2x에서
1 x<-1일 때, -(x+1)>2x
-3x>1
∴ x<-;3!;
그런데 x<-1이므로 x<-1
2 x>-1일 때, x+1>2x
-x>-1
∴ x<1
그런데 x>-1이므로 -1<x<1
1, 2에서 구한 해를 합하면 x<1
⑵ |x-3|<x에서
1 x<3일 때, -(x-3)<x
-2x<-3
∴ x>;2#;
그런데 x<3이므로 ;2#;<x<3
2 x>3일 때, x-3<x
0_x<3이므로 해는 모든 실수이다.
그런데 x>3이므로 x>3
1, 2에서 구한 해를 합하면 x>;2#;
다.
STEP
2
필수 유형
| 200쪽~201쪽 |
01-1 ⑴ -3<x<-1 또는 2<x<4 ⑵ 1<x<3
|해결 전략 | 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 경계로 범위를 나눈
9 연립일차부등식 069
⑴ 3<|2x-1|<7에서
1 x<;2!;일 때, 3<-(2x-1)<7
3<-2x+1<7, 2<-2x<6
∴ -3<x<-1
2 -1<x<3일 때, x+1<2+3-x
2x<4
∴ x<2
그런데 -1<x<3이므로 -1<x<2
3 x>3일 때, x+1<2-(3-x)
0_x<-2이므로 해는 없다.
1, 2, 3에서 x<2
02-1 -8
|해결 전략 | 절댓값 기호를 2개 포함하는 일차부등식은 x의 값의 범위를 3개로
그런데 x<;2!;이므로 -3<x<-1
2 x>;2!;일 때, 3<2x-1<7
∴ 2<x<4
4<2x<8
그런데 x>;2!;이므로 2<x<4
1, 2에서 -3<x<-1 또는 2<x<4
⑵ x+|2x-5|<4에서
1 x<;2%;일 때, x-(2x-5)<4
-x<-1
∴ x>1
그런데 x<;2%;이므로 1<x<;2%;
2 x>;2%;일 때, x+(2x-5)<4
∴ x<3
3x<9
그런데 x>;2%;이므로 ;2%;<x<3
1, 2에서 1<x<3
나누어 푼다.
|x+2|+|x-4|<8에서
1 x<-2일 때, -(x+2)-(x-4)<8
-2x<6
∴ x>-3
그런데 x<-2이므로 -3<x<-2
2 -2<x<4일 때, (x+2)-(x-4)<8
0_x<2이므로 해는 모든 실수이다.
그런데 -2<x<4이므로 -2<x<4
3 x>4일 때, (x+2)+(x-4)<8
2x<10
∴ x<5
그런데 x>4이므로 4<x<5
1, 2, 3에서 -3<x<5
따라서 a=-3, b=5이므로
a-b=-3-5=-8
나누어 푼다.
|x+1|<2+|3-x|에서
1 x<-1일 때, -(x+1)<2+3-x
0_x<6이므로 해는 모든 실수이다.
그런데 x<-1이므로 x<-1
070 정답과 해설
| 202쪽~203쪽 |
STEP
3
유형 드릴
1-1 ㄴ
|해결 전략 | 부등식의 성질을 이용한다.
ㄱ. a=-2, b=1이면 a<b이지만 a€>b€
ㄴ. a<b이므로 -2a>-2b
∴ -2a+3>-2b+3
ㄷ. a<b이므로
<
∴
-2<
-2
a
6
b
6
a
6
b
6
따라서 옳은 것은 ㄴ이다.
1-2 ㄱ, ㄷ
|해결 전략 | 부등식의 성질을 이용한다.
ㄱ. a>b이므로 3a>3b
∴ 3a-2>3b-2
ㄴ. a<b, c<0이므로
>
∴
+1>
+1
a
c
b
c
a
c
b
c
ㄷ. a>b이므로 a+c>b+c
c>d이므로 b+c>b+d
∴ a+c>b+d
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
2-1 -2
|해결 전략 | 주어진 부등식의 부등호의 방향과 해의 부등호의 방향이 다르면 x의
계수는 음수이다.
ax+1<7에서 ax<6
이 부등식의 해가 x>-3이므로 a<0
즉, ax<6에서 x>;a^;
㉠과 x>-3이 일치하므로
;a^;=-3
∴ a=-2
부등식 (a-2)x>a€(a-2)의 해가 x<9이므로 a-2<0
주어진 부등식의 양변을 a-2로 나누면
x<a€
㉠과 x<9가 일치하므로
a€=9
∴ a=-3 (5 a-2<0)
åå ㉠
åå ㉠
02-2 x<2
|해결 전략 | 절댓값 기호를 2개 포함하는 일차부등식은 x의 값의 범위를 3개로
계수는 음수이다.
2-2 -3
|해결 전략 | 주어진 부등식의 부등호의 방향과 해의 부등호의 방향이 다르면 x의
3-1 8
|해결 전략 | 연립부등식의 해를 구한 후 해의 범위에 포함되는 정수를 생각한다.
3x-1>2x+1에서 x>2
2x-4>4x-15에서 -2x>-11
∴ x<:¡2¡:
…… ㉠
…… ㉡
이때, 연립부등식의 해가 x>1이려면
오른쪽 그림과 같아야 하므로
-a-4
2
<1
∴ a>-6
-a-4
2
1
x
따라서 연립부등식의 해는 2<x<:¡2¡:이므로
a=3, b=5
㉡
㉠
∴ a+b=3+5=8
2
x
;;¡2¡;;
한다.
5-2 :¡2∞:
|해결 전략 | 각 부등식을 변형하여 수직선 위에 나타낸 연립부등식의 해와 비교
ax-1<2x+1에서 (a-2)x<2
x-6<bx+2에서 (1-b)x<8
åå ㉠
åå ㉡
이때, 수직선 위에 나타낸 연립부등식의 해가 -2<x<4이므로
…… ㉠
㉠에서 x<
이므로
=4
∴ a=;2%;
a-2>0, 1-b<0
2
a-2
8
1-b
2
a-2
8
1-b
㉡에서 x>
이므로
=-2
∴ b=5
…… ㉡
∴ a+b=;2%;+5=:¡2∞:
1
4
x
6-1 -4
|해결 전략 | 각 부등식의 해를 구한 후 해가 오직 1개가 되도록 하는 a의 값을 구
3-2 6
|해결 전략 | 연립부등식의 해를 구한 후 정수인 해의 합을 구한다.
3(2-x)>x-10에서 6-3x>x-10
-4x>-16
∴ x<4
5+x
3
>
x+3
2
∴ x>1
에서 3(x+3)>2(5+x)
따라서 연립부등식의 해는 1<x<4이므
로 구하는 모든 정수 x의 값의 합은
㉠
㉡
1+2+3=6
4-1 6
5x+1<2x-5
2x-5<3x-2
[
|해결 전략 | A<B<C 꼴은 [
꼴로 바꾸어 푼다.
A<B
B<C
5x+1<2x-5에서 3x<-6
∴ x<-2
2x-5<3x-2에서 -x<3
∴ x>-3
따라서 연립부등식의 해는 -3<x<-2
이므로
a=-3, b=-2
∴ ab=(-3)_(-2)=6
…… ㉠
…… ㉡
㉠
㉡
-3
-2
x
5x-3<7x+1
7x+1<6x
[
5x-3<7x+1에서 -2x<4
∴ x>-2
7x+1<6x에서 x<-1
…… ㉠
…… ㉡
따라서 연립부등식의 해는 -2<x<-1
이므로 정수 x의 값은 -2이다.
㉡
㉠
x=-2가 방정식 x+2=2x+a의 해이
-2
-1
x
므로 이 방정식에 x=-2를 대입하면
-2+2=2_(-2)+a
∴ a=4
5-1 a>-6
|해결 전략 | 각 부등식의 해를 구한 후 주어진 해와 비교하여 a의 값의 범위를 구
한다.
7x-4>2x+1에서 5x>5
∴ x>1
4(x+1)>2x-a에서 2x>-a-4
∴ x>
-a-4
2
4-2 4
|해결 전략 | 연립부등식의 해를 구한 후 정수인 해를 방정식에 대입한다.
x-4
3
<a에서 x<3a+4
한다.
x+7>3(x-1)에서 -2x>-10
∴ x<5
5x+a>4x+1에서 x>1-a
이때, 연립부등식의 해가 오직 1개이므로
1-a=5
∴ a=-4
참고
a=-4이면 [
x<5
x>5
가 되어 연립부등식의 해는 x=5로 오직 1개이다.
6-2 -3
|해결 전략 | 연립부등식이 해를 갖지 않으려면 공통부분이 없어야 한다.
2(x-3)<5(x+1)+4에서 -3x<15
∴ x>-5
이때, 연립부등식의 해가 없으려면 오른쪽
그림과 같아야 하므로
3a+4 -5
x
3a+4<-5, 3a<-9
∴ a<-3
따라서 정수 a의 최댓값은 -3이다.
7-1 9송이
|해결 전략 | 구입하는 카네이션을 x송이로 놓고 주어진 조건을 이용하여 부등식
을 세운다.
카네이션을 x송이 산다고 하면 장미는 (15-x)송이를 사야 하므로
…… ㉠
…… ㉡
x>15-x
[
1500x+1200(15-x)<21000
㉠에서 2x>15
∴ x>:¡2∞:
㉡에서 300x<3000
∴ x<10
즉, :¡2∞:<x<10이므로 카네이션은 최대 9송이까지 살 수 있다.
9 연립일차부등식 071
7-2 바구니의 개수: 9, 사과의 개수: 57
|해결 전략 | 바구니의 개수를 x로 놓고 사과의 개수를 x를 사용하여 나타낸다.
바구니의 개수를 x라 하면 사과의 개수는 (5x+12)이다.
사과를 7개씩 담으면 마지막 바구니에 1개 이상 3개 미만 담기므로
10
| 이차부등식과 연립이차부등식
7(x-1)+1<5x+12<7(x-1)+3
∴ [
7(x-1)+1<5x+12
5x+12<7(x-1)+3
㉠에서 2x<18
∴ x<9
㉡에서 -2x<-16
∴ x>8
즉, 8<x<9이므로 바구니의 개수는 9이고, 사과의 개수는
5_9+12=57이다.
åå ㉠
åå ㉡
1
이차부등식
개념 확인
206쪽~209쪽
1 ⑴ x<-3 또는 x>1 ⑵ -3<x<1
2 ⑴ x<3 또는 x>5 ⑵ -2<x<8 ⑶ x=5
⑷ x+2인 모든 실수 ⑸ 모든 실수 ⑹ 해는 없다.
3 ⑴ x€-6x+8<0 ⑵ x€+2x-8>0
4 ⑴ -4<k<4 ⑵ -2<k<2
1 ⑴ y=x€+2x-3의 그래프에서 y>0인 x의 값의 범위는
x<-3 또는 x>1
⑵ y=x€+2x-3의 그래프에서 y<0인 x의 값의 범위는
-3<x<1
2 ⑴ 이차함수 y=(x-3)(x-5)의 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
따라서 (x-3)(x-5)>0의 해는
x<3 또는 x>5
⑵ 이차함수 y=(x+2)(x-8)의 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
따라서 (x+2)(x-8)<0의 해는
-2<x<8
⑶ 이차함수 y=(x-5)€의 그래프는
⑷ 이차함수 y=(x-2)€의 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
따라서 (x-5)€<0의 해는
x=5
오른쪽 그림과 같다.
따라서 (x-2)€>0의 해는
x+2인 모든 실수
⑸ 이차함수 y=x€-3x+4={x-;2#;}
의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
€+;4&;
따라서 x€-3x+4>0의 해는
모든 실수
⑹ 이차함수 y=x€-6x+10=(x-3)€+1
의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 x€-6x+10<0의 해는 없다.
3
5
x
-2
8
x
5
2
3
2
3
x
x
x
x
3 ⑴ 해가 2<x<4이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은
∴ x€-6x+8<0
(x-2)(x-4)<0
⑵ 해가 x<-4 또는 x>2이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은
(x+4)(x-2)>0
∴ x€+2x-8>0
8-1 4
|해결 전략 | 절댓값 기호를 2개 포함하는 일차부등식은 x의 값의 범위를 3개로
나누어 푼다.
|x-1|+|x-2|<x+2에서
1 x<1일 때, -(x-1)-(x-2)<x+2
-3x<-1
∴ x>;3!;
그런데 x<1이므로 ;3!;<x<1
2 1<x<2일 때, x-1-(x-2)<x+2
-x<1
∴ x>-1
그런데 1<x<2이므로 1<x<2
3 x>2일 때, x-1+x-2<x+2
∴ x<5
그런데 x>2이므로 2<x<5
1, 2, 3에서 ;3!;<x<5
따라서 정수 x는 1, 2, 3, 4의 4개이다.
8-2 0
|해결 전략 | 절댓값 기호를 2개 포함하는 일차부등식은 x의 값의 범위를 3개로
나누어 푼다.
2|x+3|+x<3|x-4|에서
1 x<-3일 때, -2(x+3)+x<-3(x-4)
2x<18
∴ x<9
그런데 x<-3이므로 x<-3
2 -3<x<4일 때, 2(x+3)+x<-3(x-4)
6x<6
∴ x<1
그런데 -3<x<4이므로 -3<x<1
3 x>4일 때, 2(x+3)+x<3(x-4)
0_x<-18이므로 해는 없다.
1, 2, 3에서 x<1
따라서 정수 x의 최댓값은 0이다.
072 정답과 해설
4 ⑴ 모든 실수 x에 대하여 이차부등식 x€-kx+4>0이 성립하려
면 이차함수 y=x€-kx+4의 그래프가 x축에 접하거나 x축
⑷ 이차함수 y=2(x+2)€의 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
따라서 2(x+2)€<0의 해는
따라서 x€-kx+4=0의 판별식을 D라 하면 D<0이어야 하
x=-2
보다 위쪽에 있어야 한다.
므로
D=(-k)€-4_1_4<0
k€-16<0, (k+4)(k-4)<0
∴ -4<k<4
⑵ 모든 실수 x에 대하여 이차부등식 -x€+kx-1<0이 성립하
려면 이차함수 y=-x€+kx-1의 그래프가 x축에 접하거나
x축보다 아래쪽에 있어야 한다.
따라서 -x€+kx-1=0의 판별식을 D라 하면 D<0이어야
하므로
D=k€-4_(-1)_(-1)<0
k€-4<0, (k+2)(k-2)<0
∴ -2<k<2
-2
x
x
5
2
-1
5
x
⑸ 이차함수 y=x€-5x+7={x-;2%;}
의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
€+;4#;
따라서 x€-5x+7<0의 해는 없다.
⑹ -x€+4x+5>0에서 x€-4x-5<0
이차함수 y=x€-4x-5=(x+1)(x-5)
의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 x€-4x-5<0의 해는
-1<x<5
⑺ -x€-3x-5<0에서 x€+3x+5>0
이차함수 y=x€+3x+5={x+;2#;}
의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
€+:¡4¡:
따라서 x€+3x+5>0의 해는
모든 실수
-
3
2
x
2 ⑴ 해가 1<x<3이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은
∴ x€-4x+3<0
(x-1)(x-3)<0
⑵ 해가 x<2 또는 x>5이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은
(x-2)(x-5)>0
∴ x€-7x+10>0
⑶ 해가 -2<x<0이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은
x(x+2)<0
∴ x€+2x<0
⑷ 해가 x<-2 또는 x>1이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은
(x+2)(x-1)>0
∴ x€+x-2>0
3 ⑴ 이차방정식 x€-2kx+4=0의 판별식을 D라 하면 D<0이어
=(-k)€-4<0, (k+2)(k-2)<0
∴ -2<k<2
야 하므로
=1€-k<0
∴ k>1
어야 하므로
=(-3)€-(-1)_(-3k)<0
D
4
D
4
D
4
STEP
1
개념 드릴
| 210쪽 |
1 ⑴ x<2 또는 x>3 ⑵ x+4인 모든 실수 ⑶ -1<x<1
야 하므로
1 ⑷ x=-2 ⑸ 해는 없다. ⑹ -1<x<5 ⑺ 모든 실수
2 ⑴ x€-4x+3<0 ⑵ x€-7x+10>0
2 ⑶ x€+2x<0 ⑷ x€+x-2>0
3 ⑴ -2<k<2 ⑵ k>1 ⑶ k>3 ⑷ -6<k<6
⑵ 이차방정식 x€+2x+k=0의 판별식을 D라 하면 D<0이어
따라서 (x-2)(x-3)>0의 해는
2
3
x
⑶ 이차방정식 -x€-6x-3k=0의 판별식을 D라 하면 D<0이
1 ⑴ 이차함수 y=(x-2)(x-3)의 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
x<2 또는 x>3
⑵ 이차함수 y=(x-4)€의 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
따라서 (x-4)€>0의 해는
x+4인 모든 실수
9-3k<0
∴ k>3
4
x
⑷ 이차방정식 -x€+kx-9=0의 판별식을 D라 하면 D<0이
⑶ 이차함수 y=2(x+1)(x-1)의 그래프는
어야 하므로
오른쪽 그림과 같다.
따라서 2(x+1)(x-1)<0의 해는
-1
1 x
-1<x<1
D=k€-4_(-1)_(-9)<0
k€-36<0, (k+6)(k-6)<0
∴ -6<k<6
10 이차부등식과 연립이차부등식 073
| 211쪽~216쪽 |
02-2 -5<x<5
|해결 전략 | 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 경계로 범위를 나누
|해결 전략 | ⑴ 부등식 f(x)>g(x)의 해는 y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의
x€+4x-5<0, (x+5)(x-1)<0
STEP
2
필수 유형
01-1 ⑴ x<-1 또는 x>3
⑵ x<-2 또는 -;2!;<x<2 또는 x>5
그래프와 만나거나 위쪽에 있는 x의 값의 범위와 같다.
⑵ 부등식 ÷f(x)g(x)<0의 해는 ÷f(x)>0, g(x)<0 또는 ÷f(x)<0, g(x)>0
을 만족시키는 x의 값의 범위와 같다.
⑴ y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프와 만나거나 위쪽에 있는
부분의 x의 값의 범위는 x<-1 또는 x>3
⑵ 주어진 부등식의 해는 f(x)>0, g(x)<0 또는 f(x)<0, g(x)>0
을 만족시키는 x의 값의 범위이다.
1 ÷f(x)>0, g(x)<0일 때
f(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는
x<-;2!; 또는 x>5
g(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는
x<-2 또는 x>2
어 이차부등식의 해를 구한다.
x€-4|x|-5<0에서
1 x<0일 때
∴ -5<x<1
그런데 x<0이므로 -5<x<0
2 x>0일 때
x€-4x-5<0, (x+1)(x-5)<0
∴ -1<x<5
그런데 x>0이므로 0<x<5
1, 2에서 주어진 부등식의 해는
-5<x<5
다른 풀이
…… ㉠
x€-4|x|-5<0에서 x€=|x|€이므로
|x|€-4|x|-5<0, (|x|+1)(|x|-5)<0
…… ㉡
|x|+1>0이므로 |x|-5<0
|x|<5
∴ -5<x<5
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 x<-2 또는 x>5
2 ÷f(x)<0, g(x)>0일 때
참고
f(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는 -;2!;<x<5 …… ㉢
g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는 -2<x<2 …… ㉣
용하여 풀 수도 있다.
절댓값을 포함한 부등식은 일반적으로 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는
x의 값을 경계로 범위를 나누어 풀지만 부등식의 형태에 따라 x€=|x|€을 이
㉢, ㉣의 공통부분을 구하면 -;2!;<x<2
1, 2에서 구하는 부등식의 해는
x<-2 또는 -;2!;<x<2 또는 x>5
02-1
⑴ 1<x<4 ⑵ 해는 없다. ⑶ x='3 ⑷ 해는 없다.
|해결 전략 | 부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리한 후 해를 구한다.
⑴ x-x€>4(1-x)에서 x€-5x+4<0
(x-1)(x-4)<0
∴ 1<x<4
⑵ 4x-2>1+4x€에서 4x€-4x+3<0
€
+2<0
∴ 해는 없다.
4{x-;2!;}
⑶ x€+3<2'3x에서 x€-2'3x+3<0
(x-'3 )€<0
⑷ -2x€+4x-6>0에서 2x€-4x+6<0
∴ x='3
2(x-1)€+4<0
∴ 해는 없다.
03-1 a=-1, b=6
|해결 전략 | 주어진 해를 이용하여 x€의 계수가 1인 이차부등식을 작성한 후 주
어진 부등식과 비교한다.
해가 x<-2 또는 x>3이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은
(x+2)(x-3)>0
∴ x€-x-6>0
…… ㉠
이때, ㉠과 주어진 이차부등식의 부등호의 방향이 다르므로
a<0
㉠의 양변에 a를 곱하면
ax€-ax-6a<0
이 부등식이 ax€+x+b<0과 일치하므로
-a=1, -6a=b
∴ a=-1, b=6
참고
⑴
⑶
1
4 x
'3
x
074 정답과 해설
⑵
⑷
x
03-2 x<1 또는 x>5
|해결 전략 | 주어진 해를 이용하여 x€의 계수가 1인 이차부등식을 작성한 후 주
어진 부등식과 비교한다.
;2!;
해가 ;2#;<x<4이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은
∴ x€-:¡2¡:x+6<0
{x-;2#;}(x-4)<0
이때, ㉠과 이차부등식 ax€-11x+b<0의 부등호의 방향이 같으므로
…… ㉠
1
x
a>0
㉠의 양변에 a를 곱하면
참고
ax€-:¡2¡:ax+6a<0
이 부등식이 ax€-11x+b<0과 일치하므로
:¡2¡:a=11, 6a=b
㉡을 ax€-bx+10>0에 대입하면
∴ a=2, b=12
2x€-12x+10>0, 2(x-1)(x-5)>0
∴ x<1 또는 x>5
문제에서 이차부등식이라는 조건이 주어진 경우 이차항의 계수는 0이 아니
다. 즉, 이차부등식이라는 조건이 주어지면
⑴의 답은 1<a<4, ⑵의 답은 - '2
2
<a< '2
2
…… ㉡
가 된다.
04-2 3
|해결 전략 | 이차부등식 ax€+bx+c<0(a<0)이 항상 성립할 조건은 이차방
정식 ax€+bx+c=0의 판별식 D<0임을 이용한다.
-x€+2(n-3)x<1, 즉 -x€+2(n-3)x-1<0이 모든 실수 x
에 대하여 성립하려면 이차방정식 -x€+2(n-3)x-1=0의 판별
식을 D라 할 때, D<0이어야 한다.
=(n-3)€-1<0
D
4
n€-6n+8<0, (n-2)(n-4)<0
∴ 2<n<4
따라서 자연수 n은 2, 3, 4의 3개이다.
라 하면 D<0이어야 하므로
D
4
=(a-1)€-3(a-1)<0, a€-5a+4<0
의 그래프를 그려서 푼다.
05-1 k>
15
4
|해결 전략 | 주어진 범위에서 이차부등식 f(x)<0이 항상 성립할 때의 y=f(x)
(a-1)(a-4)<0
∴ 1<a<4
åå ㉡
f(x)=x€-4x-4k+3이라 하면
y
y=f(x)
04-1 ⑴ 1<a<4 ⑵ - '2
2
|해결 전략 | 이차항의 계수가 0일 때와 0이 아닐 때로 나누어 푼다.
<a< '2
2
0_x€-2_0_x+3>0에서 3>0이므로 모든 실수 x에 대
⑴ 1 a-1=0, 즉 a=1일 때
하여 성립한다.
2 a-1+0, 즉 a+1일 때
주어진 부등식이 모든 실수 x에 대하면 성립하려면
a-1>0
∴ a>1
åå ㉠
또, 이차방정식 (a-1)x€-2(a-1)x+3=0의 판별식을 D
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 1<a<4
1, 2에서 구하는 a의 값의 범위는
1<a<4
⑵ ax€+2ax-a<x€+1에서
(a-1)x€+2ax-a-1<0
1 a-1=0, 즉 a=1일 때
0_x€+2_1_x-1-1<0에서
2x-2<0
∴ x<1
따라서 a=1이면 x<1인 범위에서만 부등식이 성립한다.
2 a-1+0, 즉 a+1일 때
주어진 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면
a-1<0
∴ a<1
åå ㉠
또, 이차방정식 (a-1)x€+2ax-a-1=0의 판별식을 D라
하면 D<0이어야 하므로
D
4
=a€-(a-1)(-a-1)<0
2a€-1<0, ('2a+1)('2a-1)<0
∴ - '2
2
<a< '2
2
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 - '2
2
<a< '2
2
1, 2에서 구하는 a의 값의 범위는
- '2
2
<a< '2
2
f(x)=(x-2)€-4k-1
-2<x<5에서 f(x)<0이 항상 성립하
려면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과
2-2
O
5
x
같아야 한다.
-2<x<5에서 함수 f(x)는 x=-2일
때 최대이므로 ÷f(-2)<0에서
4+8-4k+3<0
∴ k>
15
4
05-2 -1<a<2
|해결 전략 | 주어진 범위에서 이차부등식 f(x)<0이 항상 성립할 때의 y=f(x)
의 그래프를 그려서 푼다.
f(x)=x€+ax+a€-7이라 하자.
y=f(x)
-2<x<1에서 f(x)<0이 항상 성립하려
면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같
-2
1
x
아야 한다.
åå ㉡
1 f(-2)<0에서 4-2a+a€-7<0, a€-2a-3<0
(a+1)(a-3)<0
∴ -1<a<3
2 f(1)<0에서 1+a+a€-7<0, a€+a-6<0
(a+3)(a-2)<0
∴ -3<a<2
1, 2에서 구하는 a의 값의 범위는
-1<a<2
10 이차부등식과 연립이차부등식 075
06-1 500명 이상 1000명 이하
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 근로자의 수 x에 대한 이차부등식을 세운다.
면
근로자의 수 x에 대한 수익 A만 원이 10억 원 이상이어야 하므로
-0.2x€+300x>100000
x€-1500x+500000<0, (x-500)(x-1000)<0
∴ 500<x<1000
따라서 필요한 근로자는 500명 이상 1000명 이하이다.
2 이차방정식 x€+2x+k-3=0의 두 근을 a, b, 판별식을 D라 하
1 ;;4Î;;=1€-(k-3)>0, -k+4>0
2 a+b=-2<0
3 ab=k-3>0
∴ k>3
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
3<k<4
∴ k<4
…… ㉠
…… ㉡
㉡
㉠
3
4
k
06-2 10 m 이상 60 m 이하
|해결 전략 | 꽃밭의 한 변의 길이를 x m라 하고 주어진 조건을 이용하여 x에 대
한 이차부등식을 세운다.
이다.
꽃밭의 한 변의 길이를 x m라 하면 다른 한 변의 길이는 (70-x) m
이때, 꽃밭의 넓이가 600 m€ 이상이어야 하므로
x(70-x)>600, -x€+70x-600>0
x€-70x+600<0, (x-10)(x-60)<0
∴ 10<x<60
따라서 꽃밭의 한 변의 길이의 범위는 10 m 이상 60 m 이하이다.
3 이차방정식 2x€-3x-4k+3=0의 두 근을 a, b라 하면
ab=
-4k+3
2
<0, -4k+3<0
∴ k>;4#;
4 ÷f(x)=x€+kx+2k라 하면
÷f(x)=0의 두 근이 모두 -1보다 크므로
y=÷f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
1 ÷f(x)=0의 판별식을 D라 하면
D=k€-8k>0
k(k-8)>0
∴ k<0 또는 k>8
2 ÷f(-1)=1-k+2k=k+1>0 ∴ k>-1
3 y=÷f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=-;2K;이므로
-;2K;>-1에서 k<2
㉠, ㉡, ㉢의 공통부분을 구하면
-1<k<0
-1
x
y=f(x)
…… ㉠
…… ㉡
…… ㉢
㉢
㉠
㉡
㉠
-1
20
8
k
2
연립이차부등식
개념 확인
217쪽~219쪽
1 ⑴ 2<x<5 ⑵ -3<x<-1 또는 0<x<2
2 3<k<4
3 k>;4#;
4 -1<k<0
åå ㉠
åå ㉡
㉡
㉠
åå ㉠
0
2
5
x
STEP
1
개념 드릴
| 220쪽 |
1 ⑴ 2<x<4 ⑵ x>2 ⑶ x<-2 ⑷ -5<x<0
(x+3)(x-2)<0
∴ -3<x<2
åå ㉡
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
-3<x<-1 또는 0<x<2
㉡
㉠
㉠
-3
-1 0
2
x
2 ⑸ -;3!;<x<2
2 ⑴ -2<x<-1 또는 2<x<3
2 ⑵ -6<x<-5 또는 2<x<3
2 ⑶ -2<x<-1 또는 3<x<4
2 ⑷ x<-1 또는 4<x<5
2 ⑸ x>2
1 ⑴ x+1>3에서 x>2
x(x-5)<0에서 0<x<5
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
2<x<5
⑵ 0<x€+x<6 ➡ [
0<x€+x
x€+x<6
0<x€+x에서 x(x+1)>0
∴ x<-1 또는 x>0
x€+x<6에서 x€+x-6<0
076 정답과 해설
1 ⑴ x-1>1에서 x>2
(x-1)(x-4)<0에서 1<x<4
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
㉡
2<x<4
⑵ 2x+1>5에서 2x>4
∴ x>2
(x+2)(x+1)>0에서 x<-2 또는 x>-1
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
x>2
㉡
㉡
-2 -1
⑶ 2x-4<0에서 2x<4
∴ x<2
x€-4x-12>0에서 (x+2)(x-6)>0
∴ x<-2 또는 x>6
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
㉡
x<-2
㉠
-2
2
1
2
x€-2x<8에서 x€-2x-8<0
(x+1)(x-3)>0
∴ x<-1 또는 x>3
…… ㉠
…… ㉠
…… ㉡
㉠
4
x
…… ㉠
…… ㉡
㉠
2
x
…… ㉠
…… ㉡
㉡
6
x
…… ㉠
…… ㉡
㉡
…… ㉠
…… ㉡
⑶ 3<x€-2x<8 ➡
[
3<x€-2x
x€-2x<8
3<x€-2x에서 x€-2x-3>0
(x+2)(x-4)<0
∴ -2<x<4
…… ㉡
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
㉡
-2<x<-1 또는
3<x<4
㉠
-2-1
㉠
43
x
⑷ 4x-1<3x+4<x€ ➡
[
4x-1<3x+4
3x+4<x€
4x-1<3x+4에서 x<5
3x+4<x€에서 x€-3x-4>0
(x+1)(x-4)>0
∴ x<-1 또는 x>4
…… ㉡
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
x<-1 또는 4<x<5
㉡
-1
㉡
㉠
4
5
x
…… ㉠
…… ㉠
(x+1)(2x-3)>0
∴ x<-1 또는 x>;2#;
…… ㉡
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
x>2
㉡
-1
㉠
㉡
x
2
3
2
⑷ (x+5)(x-2)<0에서 -5<x<2
x(x-4)>0에서 x<0 또는 x>4
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
㉠
-5<x<0
㉡
-5
0
2
4
x
⑸ 7-x<x+3<2x€ ➡
[
7-x<x+3
x+3<2x€
7-x<x+3에서 x>2
x+3<2x€에서 2x€-x-3>0
⑸ (3x+1)(x-2)<0에서 -;3!;<x<2
x€+2x-8<0에서 (x+4)(x-2)<0
∴ -4<x<2
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
-;3!;<x<2
㉡
㉠
-4
-;3!;
x
2
2 ⑴ 2<x€-x<6 ➡
[
2<x€-x
x€-x<6
2<x€-x에서 x€-x-2>0
(x+1)(x-2)>0
∴ x<-1 또는 x>2
…… ㉠
x€-x<6에서 x€-x-6<0
(x+2)(x-3)<0
∴ -2<x<3
…… ㉡
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
-2<x<-1 또는
2<x<3
㉠
㉡
㉠
-2
-1
2
3
x
10<x€+3x
⑵ 10<x€+3x<18 ➡
[
x€+3x<18
10<x€+3x에서 x€+3x-10>0
STEP
2
필수 유형
| 221쪽~226쪽 |
01-1 ⑴ -3<x<0 또는 1<x<2 ⑵ 2<x<8
|해결 전략 | 각 부등식의 해를 수직선 위에 나타내어 공통부분을 찾는다.
⑴ x€<6-x에서 x€+x-6<0
(x+5)(x-2)>0
∴ x<-5 또는 x>2
…… ㉠
(x+3)(x-2)<0
∴ -3<x<2
x€+3x<18에서 x€+3x-18<0
x€-x>0에서 x(x-1)>0
(x+6)(x-3)<0
∴ -6<x<3
…… ㉡
∴ x<0 또는 x>1
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
-6<x<-5 또는 2<x<3
㉡
㉠
㉠
-6-5
2
3
x
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
㉠
-3<x<0 또는 1<x<2
㉡
-3
åå ㉠
åå ㉡
㉡
0 1
2
x
10 이차부등식과 연립이차부등식 077
⑵ x€-3x<x€-6에서 -3x<-6
∴ x>2
x€-6<7x+2에서 x€-7x-8<0
(x+1)(x-8)<0
∴ -1<x<8
åå ㉡
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
2<x<8
㉡
㉠
-1
2
8
x
01-2 ⑴ -1<x<4 ⑵ -1<x<3
|해결 전략 | ⑵ 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 경계로 범위를 나
åå ㉠
02-2 -1<k<6
|해결 전략 | 주어진 조건을 만족시키도록 각 부등식의 해를 수직선 위에 나타낸다.
åå ㉠
åå ㉡
㉠에서 x(x-5)>0
∴ x<0 또는 x>5
x€-5x>0
x€-(k+7)x+7k<0
[
㉡에서 (x-k)(x-7)<0
1 k<7일 때, k<x<7
2 k=7일 때, 해는 없다.
3 k>7일 때, 7<x<k
연립부등식을 만족시키는 정수가
㉡
6뿐이도록 ㉠, ㉡의 해를 수직선
㉠
위에 나타내면 오른쪽 그림과 같
0
k
5 6
7
㉠
x
(x+1)(x-5)<0
∴ -1<x<5
åå ㉡
åå ㉠
으므로 부등식 ㉡의 해는 k<x<7
따라서 실수 k의 값의 범위는
㉡
㉠
-1<k<6
참고
x+1-(x-2)<5에서 3<5이므로 해는 모든 실수이다.
그런데 -1<x<2이므로 -1<x<2
누어 부등식의 해를 구한다.
⑴ |x-1|<3에서 -3<x-1<3
∴ -2<x<4
-x€+4x+5>0에서 x€-4x-5<0
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
-1<x<4
⑵ |x+1|+|x-2|<5에서
1 x<-1일 때
-(x+1)-(x-2)<5에서 x>-2
그런데 x<-1이므로 -2<x<-1
2 -1<x<2일 때
3 x>2일 때
x+1+x-2<5에서 x<3
그런데 x>2이므로 2<x<3
1, 2, 3에서 -2<x<3
x€-3x-4<0에서 (x+1)(x-4)<0
∴ -1<x<4
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
-1<x<3
x€-2x-8<0
x€-(2k-1)x-2k>0
[
㉠에서 (x+2)(x-4)<0
∴ -2<x<4
㉡에서 (x+1)(x-2k)>0
1 2k<-1일 때, x<2k 또는 x>-1
2 2k=-1일 때, 모든 실수
3 2k>-1일 때, x<-1 또는 x>2k
연립부등식의 해가 -1<x<4가 되
도록 ㉠, ㉡의 해를 수직선 위에 나
타내면 오른쪽 그림과 같으므로 부
등식 ㉡의 해는 x<2k 또는 x>-1
따라서 2k<-2이므로 k<-1
078 정답과 해설
-2
-1
4
5
x
k=-1일 때, 연립부등식의 해는 -1<x<0 또는 5<x<7이므로 연립부
등식을 만족시키는 정수는 6뿐이다.
k=6일 때, 연립부등식의 해는 6<x<7이므로 연립부등식을 만족시키는 정
수는 없다.
03-1 4 이상 5 이하
|해결 전략 | 직사각형의 가로의 길이를 x라 하고 주어진 조건을 이용하여 x에 대
한 연립이차부등식을 세운다.
로고가 들어갈 직사각형의 가로의 길이를 x라 하면 세로의 길이는
x-3이다.
이때, 직사각형의 넓이는 4 이상 10 이하이므로
4<x(x-3)<10
∴ 4<x€-3x<10
4<x€-3x에서 x€-3x-4>0
(x+1)(x-4)>0
∴ x<-1 또는 x>4
åå ㉠
åå ㉡
㉡
㉠
그런데 x-3>0, 즉 x>3이므로 x>4
…… ㉠
x€-3x<10에서 x€-3x-10<0
-2
-1
3
4
x
(x+2)(x-5)<0
∴ -2<x<5
그런데 x-3>0, 즉 x>3이므로 3<x<5
…… ㉡
03-2 2<x<12
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 x에 대한 연립이차부등식을 세운다.
삼각형이 되려면
3x+1<(3x-1)+x
∴ x>2
…… ㉠
또한, 둔각삼각형이 되려면 (3x+1)€>(3x-1)€+x€
9x€+6x+1>10x€-6x+1, x€-12x<0
x(x-12)<0
∴ 0<x<12
그런데 3x-1>0, 즉 x>;3!;이므로 ;3!;<x<12
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
…… ㉡
2<x<12
㉡
㉠
㉡
2k -1-2
4
x
02-1 k<-1
|해결 전략 | 주어진 조건을 만족시키도록 각 부등식의 해를 수직선 위에 나타낸다.
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
4<x<5
åå ㉠
åå ㉡
따라서 로고가 들어갈 직사각형의 가로의 길이는 4 이상 5 이하이다.
참고
가장 긴 변의 길이가 c이고 나머지 두 변의 길이가 a, b인 삼각형이
❶ 둔각삼각형일 때 ➡ a€+b€<c€
❷ 직각삼각형일 때 ➡ a€+b€=c€
❸ 예각삼각형일 때 ➡ a€+b€>c€
2 a+b=-
-2(k-2)
k-2
=2>0
3 ab=
>0
∴ k<2
-7
k-2
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
k<-5
…… ㉡
㉠
㉠
㉡
-5
2
k
04-1 '3 <a<5
|해결 전략 | 이차방정식이 허근을 가질 때 판별식 D<0임을 이용한다.
두 이차방정식 x€+2ax+a+20=0, x€-2x+a€-2=0이 모두
허근을 가지므로 판별식을 각각 D¡, D™라 하면
(두 근의 합)=0이다.
05-2 -3
|해결 전략 | 두 근이 서로 다른 부호이고 절댓값이 같으면 (두 근의 곱)<0,
이차방정식 x€-(9-k€)x+k€+3k-10=0의 두 근을 a, b라 하면
04-2 -7<a<-3
|해결 전략 | 이차방정식이 허근을 가질 때는 판별식 D<0, 서로 다른 두 실근을
림과 같다.
가질 때는 판별식 D>0임을 이용한다.
1 f(x)=0의 판별식을 D라 하면
이차방정식 x€+(a+1)x-a+2=0이 허근을 갖고, 이차방정식
x€+2ax+a+12=0이 서로 다른 두 실근을 가지므로 두 이차방정
;;4Î;;=(k+1)€-(2k+5)>0
k€-4>0, (k+2)(k-2)>0
∴ k<-2 또는 k>2
D¡
4
=a€-(a+20)<0이므로
a€-a-20<0, (a+4)(a-5)<0
∴ -4<a<5
=(-1)€-(a€-2)<0이므로
D™
4
a€-3>0, (a+'3 )(a-'3 )>0
∴ a<-'3 또는 a>'3
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
-4<a<-'3 또는 '3<a<5
∴ '3<a<5 (∵ a>0)
식의 판별식을 각각 D¡, D™라 하면
D¡=(a+1)€-4(-a+2)<0이므로
a€+6a-7<0, (a+7)(a-1)<0
∴ -7<a<1
D™
4
=a€-(a+12)>0이므로
a€-a-12>0, (a+3)(a-4)>0
∴ a<-3 또는 a>4
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
-7<a<-3
05-1 k<-5
|해결 전략 | 서로 다른 두 근이 모두 양수일 조건은 (판별식)>0, (두 근의 합)>0,
이차방정식 (k-2)x€-2(k-2)x-7=0의 서로 다른 두 근을 a, b,
(두 근의 곱)>0이다.
판별식을 D라 하면
1
D
4
={-(k-2)}€-(k-2)_(-7)>0
k€+3k-10>0, (k+5)(k-2)>0
∴ k<-5 또는 k>2
1 ab=k€+3k-10=(k+5)(k-2)<0
åå ㉠
∴ -5<k<2
2 a+b=9-k€=-(k+3)(k-3)=0
∴ k=-3 또는 k=3
1, 2에서 구하는 k의 값은 -3
åå ㉡
06-1 ⑴ k>2 ⑵ k>1 ⑶ k>1
|해결 전략 | 판별식의 부호, 경곗값의 부호, 축의 위치를 조사한다.
⑴ ÷f(x)=x€-2(k+1)x+2k+5라 하
y=f(x)
면 ÷f(x)=0의 두 근이 모두 1보다 크
므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그
1
x
2 f(1)=1-2(k+1)+2k+5=4>0이므로 항상 성립한다.
…… ㉠
3 y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=k+1이므로
…… ㉡
⑵ ÷f(x)=x€+2kx+2-k라 하면
y=f(x)
k+1>1
∴ k>0
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
k>2
÷ f(x)=0의 두 근이 모두 1보다 작으므로
y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
1 f(x)=0의 판별식을 D라 하면
;;4Î;;=k€-(2-k)>0
k€+k-2>0, (k+2)(k-1)>0
∴ k<-2 또는 k>1
2 f(1)=1+2k+2-k>0에서
k>-3
3 y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=-k이므로
-k<1
∴ k>-1
㉠, ㉡, ㉢의 공통부분을 구하면
…… ㉠
k>1
10 이차부등식과 연립이차부등식 079
åå ㉠
åå ㉡
x1
åå ㉠
åå ㉡
åå ㉢
⑶ ÷f(x)=x€-2kx+3k-6이라 하면
y=f(x)
f(x)=0의 두 근 사이에 3이 있으므로
y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같
따라서 ÷f(3)<0이어야 하므로
f(3)=9-6k+3k-6<0, -3k+3<0
다.
∴ k>1
2-1 -;3!;<x<2
|해결 전략 | 부등식의 양변을 a로 나누어 푼다.
3
x
a<0이므로 3ax€-5ax-2a>0의 양변을 a로 나누면
3x€-5x-2<0, (3x+1)(x-2)<0
∴ -;3!;<x<2
2-2 ⑤
|해결 전략 | 부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리한 후 해를 구한다.
① x€-2x<2-2x에서 x€-2<0
(x+'2 )(x-'2 )<0
② x€-3x>3(x-3)에서 x€-6x+9>0
∴ -'2<x<'2
(x-3)€>0
∴ 모든 실수
③ x€+4x+5>-1에서 x€+4x+6>0
(x+2)€+2>0
∴ 모든 실수
④ -3x€+1>-2x€+2x+2에서 x€+2x+1<0
(x+1)€<0
∴ x=-1
⑤ 4x€+8x<4x-1에서 4x€+4x+1<0
(2x+1)€<0
∴ 해는 없다.
따라서 해가 없는 부등식은 ⑤이다.
3-1 x<-1 또는 x>3
|해결 전략 | 주어진 해를 이용하여 x€의 계수가 1인 이차부등식을 작성한다.
해가 -1<x<2이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은
(x+1)(x-2)<0
∴ x€-x-2<0
이 부등식이 x€+ax+b<0과 일치하므로
åå ㉠
a=-1, b=-2
㉠을 x€+bx+3a>0에 대입하면
x€-2x-3>0, (x+1)(x-3)>0
∴ x<-1 또는 x>3
3-2 -5<x<1
|해결 전략 | 주어진 해를 이용하여 x€의 계수가 1인 이차부등식을 작성한 후 주
어진 부등식과 비교한다.
해가 x<-1 또는 x>4이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은
(x+1)(x-4)>0
∴ x€-3x-4>0
åå ㉠
이때, ㉠과 주어진 이차부등식의 부등호의 방향이 다르므로
㉠의 양변에 a를 곱하면
ax€-3ax-4a<0
이 부등식이 ax€+3x+b<0과 일치하므로
-3a=3, -4a=b
∴ a=-1, b=4
åå ㉡
㉡을 ax€-bx+5>0에 대입하면
-x€-4x+5>0, x€+4x-5<0
(x+5)(x-1)<0
∴ -5<x<1
STEP
3
유형 드릴
| 227쪽~229쪽 |
1-1 ;2%;<x<5
|해결 전략 | 부등식 f(x)<0<g(x)의 해는 f(x)<0, g(x)>0을 만족시키는
즉, 주어진 부등식의 해는 ÷f(x)<0, g(x)>0을 만족시키는 x의 값
x의 값의 범위와 같다.
부등식 ÷f(x)<0<g(x)에서 [
÷f(x)<0
0<g(x)
의 범위이다.
-1<x<5
1 f(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는
2 g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는
x>;2%;
1, 2에서 구하는 부등식의 해는
;2%;<x<5
1-2 x<-2 또는 x>3
|해결 전략 | 부등식 f(x)g(x)<0의 해는 f(x)>0, g(x)<0 또는 ÷f(x)<0,
g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위와 같다.
주어진 부등식의 해는 ÷f(x)>0, g(x)<0 또는 ÷f(x)<0, g(x)>0
a<0
을 만족시키는 x의 값의 범위이다.
1 f(x)>0, g(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는
주어진 그래프에서 g(x)>0이므로 존재하지 않는다.
2 f(x)<0, g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는
x<-2 또는 x>3
1, 2에서 구하는 부등식의 해는
x<-2 또는 x>3
080 정답과 해설
4-1 9
|해결 전략 | 근호 안의 식의 이차항의 계수가 0일 때와 0이 아닐 때로 나누어 푼다.
5-2 k>7
|해결 전략 | 주어진 범위에서 이차부등식 f(x)<0이 항상 성립할 때의 y=f(x)
모든 실수 x에 대하여 "ƒ(2-a)x€-2(2-a)x-3이 허수가 되려면
(2-a)x€-2(2-a)x-3<0이어야 한다.
의 그래프를 그려서 푼다.
f(x)=x€-kx-3k+3이라 하자.
y=f(x)
-2<x<3에서 f(x)<0이 항상 성립하려면
0_x€-2_0_x-3<0에서 -3<0이므로 모든 실수 x에 대하
y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같아야
-2
3
x
1 2-a=0, 즉 a=2일 때
여 성립한다.
2 2-a+0, 즉 a+2일 때
부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면
2-a<0
∴ a>2
åå ㉠
2 f(3)<0에서 9-3k-3k+3<0
또, 이차방정식 (2-a)x€-2(2-a)x-3=0의 판별식을 D라
D
4
하면 D<0이어야 하므로
=(2-a)€-(2-a)_(-3)<0
(a-2)(a-5)<0
∴ 2<a<5
åå ㉡
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 2<a<5
1, 2에서 a의 값의 범위는 2<a<5
따라서 구하는 모든 정수 a의 값의 합은 2+3+4=9
LECTURE
❶ 'a가 실수이면 ➡ a>0
❷ 'a가 허수이면 ➡ a<0
1 f(-2)<0에서 4+2k-3k+3<0
-k+7<0
∴ k>7
-6k+12<0
∴ k>2
1, 2에서 구하는 k의 값의 범위는
한다.
k>7
6-1 80
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 x에 대한 이차부등식을 세운다.
정지거리가 80 m 이하이어야 하므로
;10!0;x€+;5!;x<80, x€+20x-8000<0
(x+100)(x-80)<0
∴ -100<x<80
그런데 x>0이므로 0<x<80
따라서 자동차의 최대 속력은 시속 80 km이다.
4-2 3
|해결 전략 | 이차부등식 ax€+bx+c<0이 항상 성립할 조건은 a<0이고 이차
∴ a=80
방정식 ax€+bx+c=0의 판별식 D<0임을 이용한다.
이차부등식 (a-1)x€+(a-1)x-1<0이 모든 실수 x에 대하여
성립하려면
a-1<0
∴ a<1
또, 이차방정식 (a-1)x€+(a-1)x-1=0의 판별식을 D라 하면
åå ㉠
D<0이어야 하므로
D=(a-1)€-4_(a-1)_(-1)<0
(a+3)(a-1)<0
∴ -3<a<1
åå ㉡
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -3<a<1
따라서 구하는 정수 a는 -2, -1, 0의 3개이다.
6-2 0<x<5
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 x에 대한 이차부등식을 세운다.
액자 틀의 넓이가 600 cm€ 이하가 되어야 하므로
(30+2x)(20+2x)-30_20<600
4x€+100x-600<0, x€+25x-150<0
(x+30)(x-5)<0
∴ -30<x<5
그런데 x>0이므로 x의 값의 범위는 0<x<5
5-1 -6
|해결 전략 | 주어진 범위에서 이차부등식 f(x)>0이 항상 성립할 때의 y=f(x)
|해결 전략 | 주어진 부등식을 [
꼴로 변형하여 푼다.
f(x)<g(x)
g(x)<h(x)
의 그래프를 그려서 푼다.
x+2<2x€-1에서 2x€-x-3>0
7-1 9
f(x)=-x€+2x+2-k라 하면
y
f(x)=-(x-1)€+3-k
0<x<4에서 f(x)>0이 항상 성립하려면
y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같아야
0<x<4에서 함수 f(x)는 x=4일 때 최소이므로
한다.
f(4)>0에서
-16+8+2-k>0
∴ k<-6
따라서 구하는 정수 k의 최댓값은 -6이다.
O 1
4
x
∴ -1<x<4
y=f(x)
(x+1)(2x-3)>0
∴ x<-1 또는 x>;2#;
…… ㉠
2x€-1<6x+7에서 2x€-6x-8<0
x€-3x-4<0, (x+1)(x-4)<0
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
;2#;<x<4
따라서 정수 x의 값은 2, 3, 4이므로
구하는 합은 2+3+4=9
…… ㉡
㉠
4
x
㉠
-1
㉡
;2#;
10 이차부등식과 연립이차부등식 081
7-2 1
|해결 전략 | 각 부등식의 해를 수직선 위에 나타내어 공통부분을 찾는다.
x€+4x+4<2x€+2x+1, x€-2x-3>0
(x+1)(x-3)>0
∴ x<-1 또는 x>3
x€+x-6<0에서 (x+3)(x-2)<0
∴ -3<x<2
2x€-3x-5<0에서 (x+1)(2x-5)<0
∴ -1<x<;2%;
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
-1<x<2
따라서 a=-1, b=2이므로 a+b=1
-3 -1
x
2
;2%;
그런데 x>0이므로 x>3
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
x>3
…… ㉡
9-2 4<a<8
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 a에 대한 연립이차부등식을 세운다.
8-1 k<-1
|해결 전략 | 주어진 조건을 만족시키도록 각 부등식의 해를 수직선 위에 나타낸다.
이때, 직사각형 PQCR의 넓이가 32 이상 36 이하이므로
…… ㉠
…… ㉡
㉡
㉠
åå ㉠
åå ㉡
QC’=a이므로 0<a<12
이때, △APR는 직각이등변삼각형이므로
AR’=PR’=a, RC’=12-a
직사각형 PQCR의 넓이는 a(12-a)
32<a(12-a)<36
1 32<a(12-a)에서 a€-12a+32<0
(a-4)(a-8)<0 ∴ 4<a<8
2 a(12-a)<36에서 a€-12a+36>0
(a-6)€>0이므로 항상 성립한다.
1, 2에서 구하는 a의 값의 범위는 4<a<8
10-1 9
|해결 전략 | 이차방정식이 실근을 가질 때는 판별식 D>0, 허근을 가질 때는 판
㉡
㉠
별식 D<0임을 이용한다.
k -1 1
6
x
두 이차방정식 x€+2kx+9=0, x€+kx+k+3=0의 판별식을 각
8-2 a>-1
|해결 전략 | 주어진 조건을 만족시키도록 각 부등식의 해를 수직선 위에 나타낸다.
각 D¡, D™라 하면
D¡
4
=k€-9>0이므로
(k+3)(k-3)>0
∴ k<-3 또는 k>3
D™=k€-4(k+3)<0이므로
k€-4k-12<0, (k+2)(k-6)<0
åå ㉠
åå ㉡
∴ -2<k<6
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 3<k<6
따라서 a=3, b=6이므로 a+b=9
[
x€-5x-6<0
(x-k)(x-1)>0
㉠에서 (x+1)(x-6)<0
∴ -1<x<6
㉡에서
1 k<1일 때, x<k 또는 x>1
2 k=1일 때, 모든 실수
3 k>1일 때, x<1 또는 x>k
연립부등식의 해가 1<x<6이 되도록
㉡
㉠, ㉡의 해를 수직선 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같으므로 부등식 ㉡의
해는 x<k 또는 x>1
∴ k<-1
[
x€-5x+4<0
x€+(a-3)x-3a>0
㉠에서 (x-1)(x-4)<0
∴ 1<x<4
㉡에서 (x+a)(x-3)>0
1 -a<3일 때, x<-a 또는 x>3
2 -a=3일 때, x+3인 모든 실수
3 -a>3일 때, x<3 또는 x>-a
㉠, ㉡의 해를 수직선 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같으므로 부등식 ㉡의
해는 x<-a 또는 x>3
따라서 -a<1이므로 a>-1
연립부등식의 해가 3<x<4가 되도록
㉡
㉡
㉠
각각 D¡, D™라 하면
-a 1
3
4
x
=a€-(-a+6)<0이므로
10-2 3
|해결 전략 | 이차방정식이 허근을 가질 때 판별식 D<0임을 이용한다.
두 이차방정식 x€+2ax-a+6=0, x€-2ax+4=0의 판별식을
D¡
4
D™
4
a€+a-6<0, (a+3)(a-2)<0
∴ -3<a<2
=a€-4<0이므로
(a+2)(a-2)<0
∴ -2<a<2
9-1 x>3
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 x에 대한 연립이차부등식을 세운다.
삼각형이 되려면 x+2<x+(x+1)
∴ x>1
…… ㉠
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -2<a<2
또, 예각삼각형이 되려면 (x+2)€<x€+(x+1)€
따라서 정수 a는 -1, 0, 1의 3개이다.
082 정답과 해설
åå ㉠
åå ㉡
åå ㉠
åå ㉡
11-1 5
|해결 전략 | 두 근이 서로 다른 부호일 조건은 (두 근의 곱)<0이다.
이차방정식 x€-2(k-2)x+k€-5k+4=0의 두 근을 a, b라 하면
ab=k€-5k+4=(k-1)(k-4)<0
∴ 1<k<4
11
| 평면좌표
따라서 정수 k의 값은 2, 3이므로 구하는 합은 2+3=5
1
두 점 사이의 거리
11-2 3
|해결 전략 | 두 근이 서로 다른 부호이고, 절댓값이 같으면 (두 근의 곱)<0,
이차방정식 x€-(k€-k-6)x+k€-4k-12=0의 두 근을 a, b라
(두 근의 합)=0이다.
하면
1 ab=k€-4k-12=(k+2)(k-6)<0
∴ -2<k<6
2 a+b=k€-k-6=(k+2)(k-3)=0
∴ k=-2 또는 k=3
1, 2에서 구하는 k의 값은 3
개념 확인
1 ⑴ 7 ⑵ 5
232쪽
1 ⑴ AB’=|-2-5|=7
⑵ AB’="ƒ(1-4)€+{2-(-2)}€ =5
STEP
1
개념 드릴
| 233쪽 |
1 ⑴ 12 ⑵ ;2#; ⑶ 6 ⑷ 7 ⑸ 3+'2
2 ⑴ 'ß29 ⑵ 'ß10 ⑶ 5 ⑷ 3'ß13 ⑸ 5
12-1 2<k<3
|해결 전략 | 이차방정식 f(x)=0의 근의 조건에 따라 판별식의 부호, f(-1)의
값의 부호, 축의 위치를 이용하여 부등식을 세운다.
f(x)=x€+2kx+k+2라 하면 f(x)=0의 두
y=f(x)
1 ⑴ AB’=|-5-7|=12
⑵ AB’=|;2!;-2|=;2#;
⑶ AB’=|-1-5|=6
근이 모두 -1보다 작으므로
y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
1 f(x)=0의 판별식을 D라 하면
:4Î:=k€-(k+2)>0
k€-k-2>0, (k+1)(k-2)>0
∴ k<-1 또는 k>2
2 f(-1)=1-2k+k+2>0
∴ k<3
3 y=÷f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=-k이므로
-k<-1
∴ k>1
㉠, ㉡, ㉢의 공통부분을 구하면
2<k<3
㉡
㉠
åå ㉠
åå ㉡
åå ㉢
㉢
㉠
-1 x
⑷ AB’=|4-(-3)|=7
⑸ AB’=|3-(-'2 )|=3+'2
2 ⑴ AB’="ƒ2€+5€='ß29
⑵ AB’="ƒ(-3)€+1€='ß10
⑶ AB’="ƒ(4-1)€+(-3-1)€=5
⑷ AB’="ƒ(-6-3)€+{4-(-2)}€='ß117=3'ß13
⑸ AB’="ƒ{1-(-3)}€+{2-(-1)}€=5
-1
1
2
3
k
STEP
2
필수 유형
| 234쪽~237쪽 |
12-2 -2
|해결 전략 | 이차방정식 f(x)=0의 두 근 사이에 1이 있을 때 f(1)<0임을 이
01-1 3
|해결 전략 | 두 점 사이의 거리 공식을 이용한다.
용한다.
f(x)=x€+a€x+a-7이라 하면 f(x)=0의
y=f(x)
1
x
두 점 A(1, 3), B(a+1, 2) 사이의 거리가 'ß10이므로
"ƒ(a+1-1)€+(2-3)€='ß10
양변을 제곱하면
a€+1=10, a€-9=0
(a+3)(a-3)=0
4 a=3 (5 a>0)
두 근 사이에 1이 있으므로 y=f(x)의 그래프
는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 ÷f(1)<0이어야 하므로
f(1)=1+a€+a-7<0, a€+a-6<0
(a+3)(a-2)<0
∴ -3<a<2
따라서 구하는 정수 a의 최솟값은 -2이다.
01-2 2
|해결 전략 | AB’=BC’임을 이용한다.
11 평면좌표 083
세 점 A(0, -1), B(x, 3), C(6, 1)에 대하여 AB’=BC’이므로
"ƒx€+(3+1)€="ƒ(6-x)€+(1-3)€
양변을 제곱하면
x€+16=(6-x)€+4, x€+16=x€-12x+40
12x=24
4 x=2
04-1 최솟값: 13, P(3, 0)
|해결 전략 | x축 위의 점 P의 좌표를 (a, 0)으로 놓고 AP’ €+BP’ €을 구한다.
x축 위의 점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하면
AP’ €+BP’ € ={(a-5)€+(0+1)€}+{(a-1)€+(0+2)€}
=2a€-12a+31
=2(a-3)€+13
02-1 3A=90^인 직각이등변삼각형
|해결 전략 | 세 변 AB, BC, CA의 길이를 구한 후 세 변의 길이 사이의 관계를 알
좌표는 (3, 0)이다.
따라서 AP’ €+BP’ €은 a=3일 때 최솟값 13을 갖고, 그때의 점 P의
아본다.
AB’="ƒ(4+1)€+(-2-1)€='ß34
BC’="ƒ(2-4)€+(6+2)€='ß68
CA’="ƒ(-1-2)€+(1-6)€='ß34
4 AB’=CA’, BC’€=AB’€+CA’€
따라서 1ABC는 3A=90^인 직각이등변삼각형이다.
02-2 3
|해결 전략 | 삼각형 ABC가 ∠A=90^인 직각삼각형이면
BC’ €=AB’ €+CA’ €이다.
AB’="ƒ(-5-3)€+(-1+5)€='ß80
BC’="ƒ(7+5)€+(a+1)€="ƒa€+2a+145
CA’="ƒ(3-7)€+(-5-a)€="ƒa€+10a+41
1ABC가3A=90^인 직각삼각형이므로
BC’€=AB’€+CA’€에서 a€+2a+145=80+a€+10a+41
8a=24
4 a=3
03-1 P(0, 3)
|해결 전략 | y축 위의 점 P의 좌표를 (0, a)로 놓는다.
y축 위의 점 P의 좌표를 (0, a)라 하면
AP’="ƒ(0+2)€+(a-0)€="ƒa€+4
BP’="ƒ(0-3)€+(a-1)€="ƒa€-2a+10
AP’=BP’에서 AP’€=BP’€이므로
a€+4=a€-2a+10, 2a=6
4 a=3
4 P(0, 3)
03-2 P(2, 2)
|해결 전략 | 직선 y=3x-4 위의 점 P의 좌표를 (a, 3a-4)로 놓는다.
직선 y=3x-4 위의 점 P의 좌표를 (a, 3a-4)라 하면
AP’ ="ƒ(a+1)€+(3a-4-1)€
="ƒ(a+1)€+(3a-5)€
="ƒ10a€-28a+26
BP’ ="ƒ(a-3)€+(3a-4-5)€
="ƒ(a-3)€+(3a-9)€
="ƒ10a€-60a+90
AP’=BP’에서 AP’€=BP’€이므로
10a€-28a+26=10a€-60a+90
32a=64
4 a=2
4 P(2, 2)
084 정답과 해설
04-2 P {;2%;, ;2#;}
|해결 전략 | 직선 y=x-1 위의 점 P의 좌표를 (a, a-1)로 놓고 AP’ €+BP’ €
을 구한다.
직선 y=x-1 위의 점 P의 좌표를 (a, a-1)이라 하면
AP’ €+BP’ € ={(a+2)€+(a-1-3)€}+{(a-3)€+(a-1-4)€}
=(a+2)€+(a-4)€+(a-3)€+(a-5)€
=4a€-20a+54
€+29
=4 {a-;2%;}
따라서 AP’ €+BP’ €은 a=;2%;일 때 최솟값 29를 갖고, 그때의 점 P의
좌표는 {;2%;, ;2#;}이다.
238쪽~241쪽
2
선분의 내분점과 외분점
개념 확인
1 ⑴ 2, 1 ⑵ 외분 ⑶ B
2 ⑴ P {
14
5 } ⑵ Q(18)
3 ⑴ P {4, ;3%;} ⑵ Q(8, -1)
4 ⑴ G(2, 3) ⑵ G(1,-1)
2 ⑴ P {
3_6+2_(-2)
3+2
}
4 P {
14
5 }
⑵ Q {
5_6-3_(-2)
5-3
}
4 Q(18)
3 ⑴ P {
2_5+1_2
2+1
, 2_1+1_3
2+1
}
4 P {4, ;3%;}
⑵ Q {
2_5-1_2
2-1
, 2_1-1_3
2-1
}
4 Q(8, -1)
4 ⑴ G {
-1+4+3
3
, 3+1+5
3
}
4 G(2, 3)
⑵ G {
2-3+4
3
, -1+2-4
3
}
4 G(1, -1)
STEP
1
개념 드릴
| 242쪽 |
STEP
2
필수 유형
| 243쪽~247쪽 |
1 ⑴ P(6) ⑵ Q(-8) ⑶ M {;2(;}
2 ⑴ P {;2%;, 4} ⑵ Q(5, -1) ⑶ M(3, 3)
한다.
01-1 15'2
|해결 전략 | 주어진 조건에 맞게 두 점 P, Q의 좌표를 구한 후 PQ’의 길이를 구
3 ⑴ P(2, -4) ⑵ Q {:¡2¶:, -:™2¡:} ⑶ M(1, -3)
4 ⑴ G(1, 2) ⑵ G(1, 1) ⑶ G(5, 5)
1 ⑴ P {
4_7+1_2
4+1
}
4 P(6)
⑵ Q {
2_7-3_2
2-3
}
4 Q(-8)
⑶ M {
2+7
2
}
4 M {;2(;}
선분 AB를 1：2로 내분하는 점 P의 좌표는
1_8+2_(-1)
1+2
{
,
1_7+2_(-2)
1+2
}
즉, P(2, 1)
선분 AB를 2：1로 외분하는 점 Q의 좌표는
2_8-1_(-1)
2-1
{
,
2_7-1_(-2)
2-1
}
즉, Q(17, 16)
4 PQ’="ƒ(17-2)€+(16-1)€ =15'2
2 ⑴ P {
3_2+1_4
3+1
, 3_5+1_1
3+1
}
다.
4 P {;2%;, 4}
⑵ Q {
1_2-3_4
1-3
, 1_5-3_1
1-3
}
4 Q(5, -1)
⑶ M {
4+2
2
, 1+5
2
}
4 M(3, 3)
3_6+2_(-4)
3+2
, 3_(-8)+2_2
3+2
}
3 ⑴ P {
4 P(2, -4)
⑵ Q {
5_6-1_(-4)
5-1
, 5_(-8)-1_2
5-1
}
4 Q {:¡2¶:, -:™2¡:}
⑶ M {
-4+6
2
, 2-8
2
}
4 M(1, -3)
4 ⑴ G {
3+2-2
3
, 2-1+5
3
}
4 G(1, 2)
⑵ G {
-2+2+3
3
, 0+0+3
3
}
4 G(1, 1)
⑶ G {
1+6+8
3
, 1+5+9
3
}
4 G(5, 5)
01-2 P(3, 2) 또는 P(7, 6)
|해결 전략 | AP’=2BP’이므로 점 P는 AB’를 2：1로 내분 또는 외분하는 점이
AP’=2BP’, 즉 AP’：BP’=2：1이므로 점 P는 AB’를 2：1로 내분
1
P
외분점
2
P
B
1
2
A
내분점
하는 점 또는 2：1로 외분하는 점이다.
1 점 P가 AB’를 2：1로 내분하는 점일 때
P {
2_4+1_1
2+1
, 2_3+1_0
2+1
}
4 P(3, 2)
2 점 P가 AB’를 2：1로 외분하는 점일 때
P {
2_4-1_1
2-1
, 2_3-1_0
2-1
}
4 P(7, 6)
1, 2에서
P(3, 2) 또는 P(7, 6)
02-1 ;6!;<t<;5#;
|해결 전략 | 점 P의 좌표를 t에 대한 식으로 나타낸 후 x좌표와 y좌표의 부호
를 이용한다.
선분 AB를 (1-t)：t로 내분하는 점 P의 좌표는
(1-t)_(-3)+t_2
(1-t)+t
{
,
(1-t)_(-1)+t_5
(1-t)+t
}
즉, P(5t-3, 6t-1)
점 P가 제2사분면 위에 있으므로
5t-3<0, 6t-1>0
4 ;6!;<t<;5#;
또, 점 P는 선분 AB를 (1-t)：t로 내분하므로
1-t>0, t>0
4 0<t<1
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면
;6!;<t<;5#;
åå ㉠
åå ㉡
11 평면좌표 085
02-2 3
|해결 전략 | 외분점의 좌표를 구한 후 주어진 직선의 방정식에 대입한다.
04-1 4'5
|해결 전략 | 꼭짓점 D의 좌표를 (a, b)라 하고 평행사변형의 두 대각선은 서로 다
03-1 4
|해결 전략 | AO’：AB’=OC’：BC’임을 이용하여 점 C의 좌표를 구한다.
E
B(-4, 1)
C(3, 2)
선분 AB를 1：t로 외분하는 점의 좌표는
1_3-t_(-1)
1-t
{
,
1_6-t_(-2)
1-t
}
즉, {
t+3
1-t
,
2t+6
1-t }
이 점이 직선 y=x-3 위에 있으므로
2t+6
1-t
=
t+3
1-t
-3
2t+6=t+3-3(1-t)
2t=6
4 t=3
AC’가 3A의 이등분선이므로
AO’：AB’=OC’：BC’
이때,
AO’="ƒ3€+4€=5,
AB’="ƒ(7-3)€+(1-4)€=5
이므로
OC’：BC’=AO’：AB’=1：1
즉, 점 C는 선분 OB의 중점이므로 C {;2&;, ;2!;}
따라서 a=;2&;, b=;2!;이므로
a+b=4
03-2 4
|해결 전략 | AB’：AC’=BD’：CD’임을 이용하여 점 D의 좌표를 구한다.
AD’가 3A의 이등분선이므로
y
O
B(-2, -1)
A(4, 5)
D
C(7, 2)
x
AB’：AC’=BD’：CD’
이때,
AB’ ="ƒ(-2-4)€+(-1-5)€
AC’ ="ƒ(7-4)€+(2-5)€
=6'2,
=3'2
이므로
BD’：CD’=AB’：AC’=2：1
즉, 점 D는 선분 BC를 2：1로 내분하는 점이므로
2_7+1_(-2)
2+1
,
2_2+1_(-1)
2+1
}
D {
4 D(4, 1)
따라서 선분 AD의 길이는
AD’="ƒ(4-4)€+(1-5)€=4
086 정답과 해설
른 것을 이등분함을 이용하여 점 D의 좌표를 구한다.
점 D의 좌표를 (a, b)라 하면 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른
것을 이등분하므로 AC’의 중점과 BD’의 중점이 일치한다.
즉, {
-3+3
2
, 4+2
2
a-4=0, b+1=6
-4+a
2
}={
4 a=4, b=5
, 1+b
2
}에서
따라서 D(4, 5)이므로 대각선 BD의 길이는
BD’="ƒ(4+4)€+(5-1)€ =4'5
다른 풀이
평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 두 대각선의 교점은
두 대각선 AC와 BD의 교점을 E라 하면
A(-3, 4)
D
각 대각선의 중점이다.
점 E는 AC’의 중점이므로
4 E(0, 3)
,
-3+3
2
4+2
E {
2 }
이때, BD’=2BE’이고
BE’="ƒ(0+4)€+(3-1)€=2'5
4 BD’=4'5
04-2 a=7, b=3
|해결 전략 | 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분함을 이용한다.
마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므로 AC’의 중점
과 BD’의 중점이 일치한다.
즉, {
1+a
2
, 1+3
2
5+b
2
}={
4 a-b=4
, -1+5
2
}에서
1+a=5+b
마름모의 정의에 의하여 AB’=BC’, 즉 AB’ €=BC’ €이므로
åå ㉠
(5-1)€+(-1-1)€=(a-5)€+(3+1)€
a€-10a+21=0, (a-3)(a-7)=0
4 a=3 또는 a=7
이것을 ㉠에 대입하면
a=3, b=-1 또는 a=7, b=3
4 a=7, b=3 (5 b>0)
05-1 7
|해결 전략 | 1ABC의 무게중심의 좌표를 a, b에 대한 식으로 나타낸다.
1ABC의 무게중심의 좌표가 (3, -1)이므로
-1+4+b
3
=3, a-7+3
=-1
3
따라서 a=1, b=6이므로
a+b=7
05-2 (2, -2)
|해결 전략 | 1ABC의 무게중심과 1DEF의 무게중심은 일치함을 이용한다.
1ABC의 무게중심과 1DEF의 무게중심은 일치하므로 1ABC
의 무게중심의 좌표를 (a, b)라 하면
a=
3+4-1
3
=2, b=
1-2-5
3
=-2
따라서 1ABC의 무게중심의 좌표는 (2, -2)이다.
LECTURE
세 변의 내분점으로 만들어지는 삼각형의 무게중심
1ABC의 세 꼭짓점의 좌표를 각각 A(x¡, y¡), B(x™, y™), C(x£, y£)이라
하고, 세 변 AB, BC, CA를 각각 m：n으로 내분하는 점 P, Q, R의 좌표
를 구하면
P {
Q {
mx™+nx¡
m+n
mx£+nx™
m+n
mx¡+nx£
m+n
,
,
my™+ny¡
m+n }
my£+ny™
m+n }
my¡+ny£
,
R {
이므로 1PQR의 무게중심의 좌표는
m+n }
(m+n)(x¡+x™+x£)
m+n
3
{
(m+n)(y¡+y™+y£)
m+n
3
}
,
x¡+x™+x£
3
y¡+y™+y£
3
즉, {
의 무게중심은 1ABC의 무게중심과 일치한다.
따라서 1PQR의 무게중심은 1ABC의 무게중심과 일치한다.
1PQR의 무게중심은
의 무게중심은
의 무게중심은
의 무게중심은
의 무게중심은
의 무게중심은
의 무게중심은
의 무게중심은
의 무게중심은
의 무게중심은
의 무게중심은
의 무게중심은
의 무게중심은
의 무게중심은
의 무게중심은
의 무게중심은
,
}
2-1 3'3
|해결 전략 | 세 변 AB, BC, CA의 길이를 구한 후 세 변의 길이 사이의 관계를
알아본다.
AB’="ƒ(1+2)€+('3-0)€=2'3
BC’="ƒ(1-1)€+(-'3-'3 )€=2'3
CA’="ƒ(-2-1)€+(0+'3 )€=2'3
따라서 1ABC는 AB’=BC’=CA’인 정삼각형이므로 구하는 넓이는
'3
4
_(2'3 )€=3'3
참고
한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이는 '3
4
a€이다.
2-2 AB’=CA’인 이등변삼각형
|해결 전략 | 세 변 AB, BC, CA의 길이를 구한 후 세 변의 길이 사이의 관계를
알아본다.
AB’="ƒ(1-3)€+(3+2)€='ß29
BC’="ƒ(-2-1)€+(0-3)€=3'2
CA’="ƒ(3+2)€+(-2-0)€='ß29
따라서 1ABC는 AB’=CA’인 이등변삼각형이다.
STEP
3
유형 드릴
| 248쪽~249쪽 |
1-1 0, 4
|해결 전략 | 두 점 사이의 거리 공식을 이용한다.
두 점 A(3, a), B(-1, 2) 사이의 거리가 2'5이므로
"ƒ(-1-3)€+(2-a)€=2'5
양변을 제곱하면
a€-4a=0, a(a-4)=0
4 a=0 또는 a=4
따라서 a의 값을 모두 구하면 0, 4이다.
1-2 -8
|해결 전략 | 두 점 사이의 거리 공식을 이용한다.
두 점 A(a, -2), B(-4, 6) 사이의 거리가 10이므로
"ƒ(-4-a)€+(6+2)€=10
양변을 제곱하면
a€+8a-20=0, (a+10)(a-2)=0
4 a=-10 또는 a=2
따라서 모든 a의 값의 합은
-10+2=-8
3-1 P(-3, -3)
|해결 전략 | 직선 y=x 위의 점 P의 좌표를 (a, a)로 놓는다.
직선 y=x 위의 점 P의 좌표를 (a, a)라 하면
AP’=BP’에서 AP’ €=BP’ €이므로
(a+3)€+(a-2)€=(a-1)€+(a-0)€
2a€+2a+13=2a€-2a+1
4a=-12
4 a=-3
4 P(-3, -3)
3-2 {-;4!;, ;4%;}
|해결 전략 | 문화센터가 건설되는 지점을 점 P라 하면 AP’=BP’=CP’이다.
문화센터가 건설되는 지점을 점 P(x, y)라 하면
AP’=BP’=CP’
AP’=BP’에서 AP’ €=BP’ €이므로
(x+2)€+(y-4)€=(x-3)€+(y-1)€
x€+4x+y€-8y+20=x€-6x+y€-2y+10
10x-6y+10=0
또, BP’=CP’에서 BP’ €=CP’ €이므로
4 5x-3y=-5
(x-3)€+(y-1)€=(x-0)€+(y+2)€
x€-6x+y€-2y+10=x€+y€+4y+4
…… ㉠
-6x-6y+6=0
4 x+y=1
…… ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
x=-;4!;, y=;4%;
따라서 문화센터가 건설되는 지점의 좌표는 {-;4!;, ;4%;}이다.
11 평면좌표 087
4-1 13
|해결 전략 | x축 위의 점 P의 좌표를 (a, 0)으로 놓고 AP’ €+BP ’ €을 구한다.
6-1 ;6!;<t<1
|해결 전략 | 점 P의 좌표를 t에 대한 식으로 나타낸 후 x좌표와 y좌표의 부호
x축 위의 점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하면
AP’ €+BP’
’ € ={(a-2)€+(0-2)€}+{(a-6)€+(0-1)€}
를 이용한다.
=2a€-16a+45
=2(a-4)€+13
따라서 AP’ €+BP’
’ €은 a=4일 때 최솟값 13을 갖는다.
4-2 1
|해결 전략 | 직선 y=x+2 위의 점 P의 좌표를 (a, a+2)로 놓고 AP’ €+BP’ €
을 구한다.
직선 y=x+2 위의 점 P의 좌표를 (a, a+2)라 하면
AP’ €+BP’ € ={(a-1)€+(a+2+2)€}+{(a-5)€+(a+2-4)€}
=(a-1)€+(a+4)€+(a-5)€+(a-2)€
=4a€-8a+46
=4(a-1)€+42
따라서 AP’ €+BP’ €은 a=1일 때 최솟값 42를 가지므로 구하는 점 P
의 x좌표는 1이다.
5-1 3'ß10
|해결 전략 | 선분 AB를 2 : 1로 외분하는 점의 좌표를 a, b에 대한 식으로 나타
낸다.
선분 AB를 2 : 1로 외분하는 점의 좌표가 (-5, 15)이므로
2_(-2)-1_a
2-1
=-5,
2_b-1_(-3)
2-1
=15
4 a=1, b=6
따라서 A(1, -3), B(-2, 6)이므로
AB’="ƒ(-2-1)€+(6+3)€=3'ß10
선분 AB를 t：(1-t)로 내분하는 점의 좌표는
t_5+(1-t)_(-1)
t+(1-t)
{
,
t_(-1)+(1-t)_(-2)
t+(1-t)
}
4 (6t-1, t-2)
이 점이 제4사분면 위에 있으므로
6t-1>0, t-2<0
4
;6!;<t<2
또, 이 점이 선분 AB를 t：(1-t)로 내분하므로
t>0, 1-t>0
4 0<t<1
åå ㉠
åå ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;6!;<t<1
6-2 9
|해결 전략 | 내분점의 좌표를 구한 후 주어진 직선의 방정식에 대입한다.
선분 AB를 3 : t로 내분하는 점의 좌표는
3_0+t_3
3+t
, 3_5+t_0
3+t
}
{
4 {
3t
3+t
, 15
3+t }
이 점이 직선 y=x-1 위에 있으므로
15
3+t
=
3t
3+t
-1, 15=3t-3-t
2t=18
4 t=9
7-1 1
|해결 전략 | 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분함을 이용한다.
두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로
{
,
5+7
2
a+b
2
1+3
2 }={
4 a+b=12, c=5
마름모의 정의에 의하여 AB’=BC’, 즉 AB’ €=BC’ €이므로
-1+c
2
,
}
yy ㉠
(a-5)€+(-1-1)€=(7-a)€+(3+1)€
5-2 C(6, -11)
|해결 전략 | AC’=2BC’이므로 점 C는 AB’를 2：1로 외분하는 점이다.
AC’=2BC’, 즉 AC’：BC’=2：1이고 점 C가
AB’의 연장선 위에 있으므로 점 C는 AB’를
A
2
B
1
C
a€-10a+29=a€-14a+65
4a=36
4 a=9
이것을 ㉠에 대입하면 b=3
4 a-b-c=9-3-5=1
AC’=2BC’에서 점 B는 AC’를 1：1로 내분하는 점, 즉 AC’의 중점이다.
2：1로 외분하는 점이다.
따라서 점 C의 좌표는
2_5-1_4
2-1
{
,
2_(-5)-1_1
2-1
}
즉, C(6, -11)
다른 풀이
점 C의 좌표를 (a, b)라 하면
4+a
2
=5,
1+b
2
=-5
4 a=6, b=-11
4 C(6, -11)
088 정답과 해설
7-2 C(8, -10)
|해결 전략 | 꼭짓점 B, D의 좌표를 구한 후 평행사변형의 성질을 이용하여 꼭짓
점 C의 좌표를 구한다.
B(a, b)라 하면 변 AB의 중점의 좌표는 {
-2+a
2
, 4+b
2
}이므로
-2+a
2
=0, 4+b
=0
2
4 a=2, b=-4
4 B(2, -4)
D(c, d)라 하면 변 AD의 중점의 좌표는 {
-2+c
2
, 4+d
2
}이므로
12
| 직선의 방정식
C(x, y)라 하면 두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로
1
직선의 방정식
-2+c
2
=1, 4+d
=1
2
4 c=4, d=-2
4 D(4, -2)
-2+x
2
, 4+y
2
{
}={
2+4
2
, -4-2
2
}
4 x=8, y=-10
4 C(8, -10)
3 ⑴ 2x+y-3=0에서
y=-2x+3
åå ㉠
이 직선은 기울기가 -2, y절편이 3이
므로 오른쪽 그림과 같다.
y
3
O
2x+y-3=0
3
2
x
x¡+x™+x£
3
,
y¡+y™+y£
3
}이므로
8-1 C(3, -12)
|해결 전략 | A(x¡, y¡), B(x™, y™), C(x£, y£)으로 놓고 변 AB의 중점,
1ABC의 무게중심의 좌표를 식으로 나타낸다.
A(x¡, y¡), B(x™, y™), C(x£, y£)이라 하면
변 AB의 중점의 좌표는 {
x¡+x™
2
,
y¡+y™
2
}이므로
x¡+x™
2
=0,
y¡+y™
2
=3
4 x¡+x™=0, y¡+y™=6
1ABC의 무게중심의 좌표는 {
y¡+y™+y£
x¡+x™+x£
3
3
=1,
=-2
㉠, ㉡에서
x£=3, y£=-12
4 C(3, -12)
4 x¡+x™+x£=3, y¡+y™+y£=-6
åå ㉡
8-2 (1, 3)
|해결 전략 | 1ABC의 무게중심과 1PQR의 무게중심은 일치한다.
1PQR의 무게중심은 1ABC의 무게중심과 일치하므로
-1+1+3
3
, 1+5+3
3
}
{
4 (1, 3)
다른 풀이
세 점 P, Q, R의 좌표를 각각 구하면 다음과 같다.
P {
1_1+2_(-1)
1+2
,
1_5+2_1
1+2
}, 즉 P {-;3!;, ;3&;}
Q {
1_3+2_1
1+2
,
1_3+2_5
1+2
}, 즉 Q {;3%;,
13
3 }
R {
1_(-1)+2_3
1+2
,
1_1+2_3
1+2
}, 즉 R {;3%;, ;3&;}
따라서 1PQR의 무게중심의 좌표는
{ -;3!;+;3%;+;3%;
3
,
;3&;+
+;3&;
13
3
3
}, 즉 (1, 3)
252쪽~254쪽
개념 확인
1 ⑴ y=2x-3 ⑵ y=-3x+7
2 ⑴ y=-x ⑵ y=x+3
3 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 ⑶ 풀이 참조
1 ⑵ y-1=-3(x-2)
∴ y=-3x+7
2 ⑴ y-1=
-2-1
2-(-1)
{x-(-1)}
∴ y=-x
⑵ x
-3
y
3
+
=1
∴ y=x+3
⑵ 3x+5=0에서 x=-;3%;
3x+5=0
y
이 직선은 점 {-;3%;, 0}을 지나고 y축에
평행하므로 오른쪽 그림과 같다.
⑶ y-4=0에서 y=4
이 직선은 점 (0, 4)를 지나고 x축에
y-4=0
평행하므로 오른쪽 그림과 같다.
-
5
3
O
x
y
4
O
x
STEP
1
개념 드릴
| 255쪽 |
1 ⑴ y=2x+4 ⑵ y=-3x+13
1 ⑶ y=3x+9 ⑷ y=-5x+20
2 ⑴ y=-4x+5 ⑵ y=-x-2 ⑶ x=4 ⑷ y=2
3 ⑴ y=2x-6 ⑵ y=2x+4 ⑶ y=-;4!;x-1
4 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 ⑶ 풀이 참조
12 직선의 방정식 089
1 ⑴ y-2=2{x-(-1)}
⑵ y-1=-3(x-4)
∴ y=2x+4
∴ y=-3x+13
⑶ y-0=3{x-(-3)}
∴ y=3x+9
⑷ y-0=-5(x-4)
∴ y=-5x+20
2 ⑴ y-1=
-3-1
2-1
(x-1)
∴ y=-4x+5
⑵ y-3=
{x-(-5)}
∴ y=-x-2
-1-3
-1-(-5)
⑶ y의 값에 관계없이 x의 값이 일정하므
x=4
로 주어진 두 점을 지나는 직선은 y축
에 평행하다.
따라서 구하는 직선의 방정식은
x=4
⑷ x의 값에 관계없이 y의 값이 일정하므
로 주어진 두 점을 지나는 직선은 x축
y
1
O
-3
y=2
4
x
y
2
=1
∴ y=2x-6
+
=1
∴ y=2x+4
y
-6
y
4
+
3 ⑴ x
3
⑵ x
-2
⑶ x
-4
+
y
-1
=1
∴ y=-;4!;x-1
STEP
2
필수 유형
| 256쪽~259쪽 |
01-1 ⑴ y= '3
3
|해결 전략 | ⑴ 직선의 기울기는 tan 30^이다.
x-'3 ⑵ y=-;2!;x+3 ⑶ x=-5
⑵ 직선 x+2y+2=0의 기울기를 구한다.
⑶ x축에 수직인 직선의 방정식은 x=a 꼴이다.
⑴ x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 30^이므로
(기울기)=tan 30^= '3
3
따라서 x절편이 3, 즉 점 (3, 0)을 지나고 기울기가 '3
3
인 직선의
방정식은
y-0= '3
3
∴ y= '3
3
(x-3)
x-'3
⑵ x+2y+2=0에서 y=-;2!;x-1이므로 기울기는 -;2!;이다.
따라서 점 (-2, 4)를 지나고 기울기가 -;2!;인 직선의 방정식은
∴ y=-;2!;x+3
⑶ x축에 수직인 직선은 y축에 평행한 직선이고, 점 (-5, 4)를 지나
므로 구하는 직선의 방정식은
x=-5
02-1 -;2%;
|해결 전략 | 직선의 방정식을 구하여 x절편과 y절편을 구한다.
두 점 (-1, 2), (3, 4)를 지나는 직선의 방정식은
y-2=
4-2
3-(-1)
{x-(-1)}
따라서 구하는 직선의 방정식은
-5
O
2
x
y-4=-;2!;{x-(-2)}
에 평행하다.
y=2
4 ⑴ x-2y+3=0에서
y=;2!;x+;2#;
x-2y+3=0
∴ y=;2!;x+;2%;
y
3
2
따라서 x절편은 -5, y절편은 ;2%;이므로
이 직선은 기울기가 ;2!;, y절편이 ;2#;
이므로 오른쪽 그림과 같다.
-3
O
x
a=-5, b=;2%;
∴ a+b=-5+;2%;=-;2%;
-2x+5=0
x
5
2
y
O
x
3y+6=0
-2
⑵ -2x+5=0에서 x=;2%;
이 직선은 점 {;2%;, 0}을 지나고 y축에
평행하므로 오른쪽 그림과 같다.
y
O
⑶ 3y+6=0에서 y=-2
이 직선은 점 (0, -2)를 지나고 x축에
평행하므로 오른쪽 그림과 같다.
090 정답과 해설
02-2 3
|해결 전략 | 직선의 방정식을 구하여 x=-2, y=6을 대입한다.
x절편이 2이고 y절편이 a인 직선의 방정식은
x
2
+
=1
y
a
이 직선이 점 (-2, 6)을 지나므로
-1+;a^;=1
∴ a=3
03-1 5, 17
|해결 전략 | (직선 AC의 기울기)=(직선 BC의 기울기)임을 이용한다.
2
두 직선의 위치 관계
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 직선 AC의 기울기와 직선
개념 확인
260쪽~262쪽
BC의 기울기가 같아야 한다.
(직선 AC의 기울기)=
(직선 BC의 기울기)=
13-a
9-1
=
13-a
8
13-9
9-a
=
4
9-a
즉,
13-a
8
=
4
9-a
이므로 (13-a)(9-a)=32
a€-22a+85=0, (a-5)(a-17)=0
∴ a=5 또는 a=17
03-2 y=x+1
|해결 전략 | (직선 AC의 기울기)=(직선 BC의 기울기)임을 이용하여 먼저 a
의 값을 구한다.
세 점 A, B, C가 한 직선 l 위에 있으려면 직선 AC의 기울기와 직선
BC의 기울기가 같아야 한다.
(직선 AC의 기울기)=
-1-a
-2-2
=
a+1
4
(직선 BC의 기울기)=
-1-(-2)
-2-(-a)
=
1
a-2
즉,
a+1
4
=
1
a-2
이므로 (a+1)(a-2)=4
a€-a-6=0, (a+2)(a-3)=0
∴ a=3 (5 a>0)
따라서 직선 l은 점 A(2, 3)을 지나고 기울기가 1이므로
y-3=x-2
∴ y=x+1
1 2
3 ⑴ -;3$; ⑵ 3
5 5x+4y=0
2 ;3!;
4 (2, 1)
1 두 직선 y=2x+3, y=mx-3이 평행하므로 m=2
2 직선 y=-3x+1에 수직인 직선의 기울기를 m이라 하면
(-3)_m=-1
∴ m=;3!;
3 ⑴ 2
a
=
-3
2
+
1
-1
∴ a=-;3$;
⑵ 2a+(-3)_2=0
∴ a=3
4 y-1-k(x-2)=0이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
y-1=0, x-2=0
따라서 구하는 점의 좌표는 (2, 1)
∴ x=2, y=1
5 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을
x-y-3+k(2x+y-1)=0 (k는 실수)
으로 놓으면 이 직선이 원점을 지나므로
…… ㉠
-3-k=0
∴ k=-3
k=-3을 ㉠에 대입하면
x-y-3-3(2x+y-1)=0
∴ 5x+4y=0
04-1 ⑴ 제2, 3사분면 ⑵ 제1, 2, 4사분면
|해결 전략 | 직선 ax+by+c=0의 기울기와 y절편의 부호를 조사한다.
⑴ a+0, b=0이므로 ax+by+c=0에서
x=-;aC;
a>0, c>0에서 -;aC;<0
따라서 직선 ax+by+c=0의 개형은 오른
쪽 그림과 같으므로 제 2, 3사분면을 지난다.
⑵ b+0이므로 ax+by+c=0에서
y=-;bA;x-;bC;
y
STEP
1
개념 드릴
| 263쪽 |
O
x
1 ⑴ 1 ⑵ -1 ⑶ -8 ⑷ -;3&;
2 ⑴ -;2!; ⑵ ;3@; ⑶ -10 ⑷ 3
3 ⑴ (3, 2) ⑵ (-1, -1) ⑶ {-3, ;2!;}
4 ⑴ x-3y=0 ⑵ x+7y-15=0 ⑶ 5x-y+6=0
ab>0이므로 (기울기)=-;bA;<0
;cB;<0이므로 (y절편)=-;bC;>0
따라서 직선 ax+by+c=0의 개형은 오
른쪽 그림과 같으므로 제1, 2, 4사분면을
지난다.
y
O
1 ⑴ -2=5k-7
⑵ 5=3k+8
∴ k=1
∴ k=-1
⑶ k
6
=
4
-3
0
1
+
∴ k=-8
x
⑷ -2
k+1
=;2#;+
3
-1
∴ k=-;3&;
12 직선의 방정식 091
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
y-5=2(x-1)
∴ y=2x+3
3 ⑴ 3x-4y-1+k(x-y-1)=0이 k의 값에 관계없이 항상 성립
y=-x+1
⑵ (2x+3y+5)k+2x+y+3=0이 k의 값에 관계없이 항상 성립
2 ⑴ ;3@;_3k=-1
∴ k=-;2!;
⑵ -3_
=-1
∴ k=;3@;
k
2
⑶ (k-2)_1+4_3=0
∴ k=-10
⑷ y=x+2에서 x-y+2=0
k_1+3_(-1)=0
∴ k=3
3x-4y-1=0, x-y-1=0
두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=2
따라서 구하는 점의 좌표는 (3, 2)이다.
하므로
하므로
2x+3y+5=0, 2x+y+3=0
두 식을 연립하여 풀면 x=-1, y=-1
따라서 구하는 점의 좌표는 (-1, -1)이다.
⑶ 주어진 식을 k에 대하여 정리하면
-2y+1+k(x+3)=0
-2y+1=0, x+3=0
∴ x=-3, y=;2!;
따라서 구하는 점의 좌표는 {-3, ;2!;}이다.
4 ⑴ 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을
x+2y-3+k(2x-y-3)=0 (k는 실수)
으로 놓으면 이 직선이 점 (0, 0)을 지나므로
-3-3k=0
∴ k=-1
k=-1을 ㉠에 대입하면
x+2y-3-(2x-y-3)=0
∴ x-3y=0
⑵ 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을
x-y+5+k(x+3y-5)=0 (k는 실수)
…… ㉠
으로 놓으면 이 직선이 점 (1, 2)를 지나므로
⑶ 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을
2x+y+4+k(3x-2y+2)=0 (k는 실수)
…… ㉠
으로 놓으면 이 직선이 점 (-1, 1)을 지나므로
4+2k=0
∴ k=-2
k=-2를 ㉠에 대입하면
x-y+5-2(x+3y-5)=0
∴ x+7y-15=0
3-3k=0
∴ k=1
k=1을 ㉠에 대입하면
2x+y+4+3x-2y+2=0
∴ 5x-y+6=0
092 정답과 해설
STEP
2
필수 유형
| 264쪽~269쪽 |
01-1 y=-x+1
|해결 전략 | 두 직선이 평행하면 두 직선의 기울기가 같음을 이용한다.
두 점 A(-1, 2), B(4, -3)을 지나는 직선의 기울기는
-3-2
4-(-1)
=-1
따라서 기울기가 -1이고 y절편이 1인 직선의 방정식은
01-2 y=2x+3
|해결 전략 | 두 직선이 서로 수직이면 두 직선의 기울기의 곱이 -1임을 이용한다.
y=-;2!;x+1
직선 x+2y-2=0의 기울기는 -;2!;이므로 이 직선에 수직인 직선의
기울기를 m이라 하면
∴ m=2
-;2!;m=-1
따라서 점 (1, 5)를 지나고 기울기가 2인 직선의 방정식은
02-1 ⑴ -1 ⑵ 4
|해결 전략 | 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0이 평행하면
a
a'
b
b'
c
c'
=
+
이고, 수직이면 aa'+bb'=0이다.
…… ㉠
⑴ 두 직선이 평행하므로
a-1
2
=
1
-a-2
+
-1
2
åå ㉠
a-1
2
=
1
-a-2
에서 (a-1)(-a-2)=2
a€+a=0, a(a+1)=0
∴ a=-1 또는 a=0
이때, ㉠에서
a-1
2
+
-1
2
이므로 a+0
∴ a=-1
⑵ 두 직선이 수직이려면
(a-1)_2+1_{-(a+2)}=0
2a-2-a-2=0
∴ a=4
02-2 19
|해결 전략 | 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0의 수직, 평행 조건을 이
용한다.
두 직선 x+ay+1=0, 3x-by+1=0이 서로 수직이므로
1_3+a_(-b)=0
∴ ab=3
두 직선 x+ay+1=0, x-(b-5)y-1=0이 서로 평행하므로
1
1
1
1
=
a
-b+5
+
1
-1
=
a
-b+5
에서 a=-b+5
∴ a+b=5
∴ a€+b€=(a+b)€-2ab=5€-2_3=19
03-1 -1
|해결 전략 | AB’의 수직이등분선은 직선 AB와 수직이고 선분 AB의 중점을 지
난다.
직선 AB의 기울기는
=2이므로 AB’에 수직인 직선의 기
2-(-2)
5-3
울기는 -;2!;이다.
또, AB’의 중점의 좌표는
3+5
2
,
-2+2
2
{
}, 즉 (4, 0)
따라서 선분 AB의 수직이등분선은 기울기가 -;2!;이고 점 (4, 0)을 지
나는 직선이므로
y-0=-;2!;(x-4)
∴ y=-;2!;x+2
따라서 a=-;2!;, b=2이므로 ab=-1
두 직선 y=-x+2, y=;2#;x-3이 평행하지 않으므로 주어진 세 직선
이 삼각형을 이루지 않으려면 세 직선 중 두 직선이 평행하거나 세 직
선이 한 점에서 만나야 한다.
1 세 직선 중 두 직선이 평행할 때
직선 y=ax-6이 직선 y=-x+2 또는 y=;2#;x-3과 평행해야
하므로
a=-1 또는 a=;2#;
2 세 직선이 한 점에서 만날 때
직선 y=ax-6이 두 직선 y=-x+2, y=;2#;x-3의 교점을 지
나야 한다.
y=-x+2, y=;2#;x-3을 연립하여 풀면
x=2, y=0
따라서 직선 y=ax-6이 점 (2, 0)을 지나야 하므로
0=2a-6
∴ a=3
1, 2에서 a=-1 또는 a=;2#; 또는 a=3
04-2 -1, 2
|해결 전략 | 세 직선 l, m, n이 한 점에서 만나는 경우는 직선 n이 두 직선 l, m
의 교점을 지날 때이다.
주어진 세 직선이 한 점에서 만나려면 직선 kx+y-1=0이 두 직선
x-y+1=0, x-2y+k=0의 교점을 지나야 한다.
x-y+1=0, x-2y+k=0을 연립하여 풀면
03-2 -;3@;
|해결 전략 | AB’의 수직이등분선은 직선 AB와 수직이고 선분 AB의 중점을 지
x=k-2, y=k-1
난다.
따라서 직선 kx+y-1=0이 점 (k-2, k-1)을 지나야 하므로
k(k-2)+(k-1)-1=0, k€-k-2=0
직선 AB의 기울기는
=3이므로 AB’에 수직인 직선의
-2-4
-3-(-1)
(k+1)(k-2)=0
∴ k=-1 또는 k=2
기울기는 -;3!;이다.
또, AB’의 중점의 좌표는
-1-3
,
2
{
4-2
2 }, 즉 (-2, 1)
05-1 P(-1, -2)
|해결 전략 | 주어진 직선의 방정식을 k에 대하여 정리한 후 이 등식이 k에 대한
항등식임을 이용한다.
따라서 선분 AB의 수직이등분선은 기울기가 -;3!;이고 점 (-2, 1)을
(5-3k)x+(k+1)y=k-7을 k에 대하여 정리하면
지나는 직선이므로
y-1=-;3!;{x-(-2)}
∴ y=-;3!;x+;3!;
이때, 직선 y=-;3!;x+;3!;이 점 (3, a)를 지나므로
a=-;3!;_3+;3!;=-;3@;
5x+y+7+k(-3x+y-1)=0
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
5x+y+7=0, -3x+y-1=0
두 식을 연립하여 풀면
x=-1, y=-2
따라서 점 P의 좌표는 (-1, -2)이다.
04-1 -1, ;2#;, 3
|해결 전략 | 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 세 직선이 모두 평행할 때, 세
05-2 y=-;2#;x+;2&;
|해결 전략 | 주어진 직선의 방정식을 k에 대하여 정리한 후 이 등식이 k에 대한
직선 중 두 직선이 평행할 때, 세 직선이 한 점에서 만날 때이다.
항등식임을 이용한다.
12 직선의 방정식 093
(2k+1)x-(k+3)y+5=0을 k에 대하여 정리하면
이 직선이 직선 x-2y+1=0에 수직이므로
x-3y+5+k(2x-y)=0
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
x-3y+5=0, 2x-y=0
두 식을 연립하여 풀면
x=1, y=2
즉, 주어진 직선은 k의 값에 관계없이 항상 점 (1, 2)를 지난다.
따라서 두 점 (1, 2), (3, -1)을 지나는 직선의 방정식은
y-2=
(x-1)
-1-2
3-1
∴ y=-;2#;x+;2&;
1_(k+2)-2_(-2k-1)=0
5k+4=0
∴ k=-;5$;
k=-;5$; 를 ㉠에 대입하면
;5^;x+;5#;y-;5(;=0
∴ 2x+y-3=0
다른 풀이
두 직선의 방정식 2x-y-1=0, x-2y+1=0을 연립하여 풀면
x=1, y=1이므로 두 직선의 교점의 좌표는 (1, 1)이다.
한편, 직선 x-2y+1=0의 기울기가 ;2!;이므로 이 직선에 수직인 직선의 기울기
는 -2이다.
따라서 점 (1, 1)을 지나고 기울기가 -2인 직선의 방정식은
y-1=-2(x-1)
∴ 2x+y-3=0
(k+2)x+(-3k-1)y+(-5k+5)=0
åå ㉠
3
점과 직선 사이의 거리
06-1 x+2y+10=0
|해결 전략 | 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0의 교점을 지나는 직선
의 방정식을 ax+by+c+k(a'x+b'y+c')=0 (k는 실수)으로 놓는다.
두 직선 2x-y+5=0, x-3y-5=0의 교점을 지나는 직선의 방정
식을
으로 놓으면
2x-y+5+k(x-3y-5)=0 (k는 실수)
이 직선의 기울기가 -;2!;이므로
-
k+2
-3k-1
=-;2!;, 2(k+2)=-3k-1
5k=-5
∴ k=-1
k=-1을 ㉠에 대입하면
x+2y+10=0
다른 풀이
x=-4, y=-3
기울기가 -;2!;인 직선의 방정식은
y-(-3)=-;2!;{x-(-4)}
∴ x+2y+10=0
두 직선의 방정식 2x-y+5=0, x-3y-5=0을 연립하여 풀면
따라서 두 직선의 교점의 좌표가 (-4, -3)이므로 점 (-4, -3)을 지나고
STEP
1
개념 드릴
| 271쪽 |
1 ⑴ ;5@; ⑵ 2'5 ⑶ 'ß13 ⑷ '5 ⑸ 'ß10
2
2 ⑴ 2'2 ⑵ 2'5 ⑶ '5 ⑷ '5 ⑸ 2
1 ⑴ |-2|
"ƒ3€+4€
=;5@;
⑵ |2_(-2)-1-5|
"ƒ2€+(-1)€
⑶ |2_3-3_(-1)+4|
=
10
'5
=
"ƒ2€+(-3)€
=2'5
13
'ß13
='ß13
⑷ y=;2!;x에서 x-2y=0이므로 구하는 거리는
5
'5
|3-2_4|
"ƒ1€+(-2)€
='5
=
⑸ y=3x+5에서 3x-y+5=0이므로 구하는 거리는
|3-3+5|
"ƒ3€+(-1)€
=
5
'ß10
= 'ß10
2
2 ⑴ 직선 x+y-1=0 위의 한 점 (1, 0)과 직선 x+y+3=0 사
06-2 2x+y-3=0
|해결 전략 | 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구한 후 수직 조건을 이
두 직선 2x-y-1=0, x-2y+1=0의 교점을 지나는 직선의 방정
2x-y-1+k(x-2y+1)=0 (k는 실수)
(k+2)x+(-2k-1)y+k-1=0
åå ㉠
용한다.
식을
으로 놓으면
094 정답과 해설
이의 거리와 같으므로
|1+0+3|
"ƒ1€+1€
=
4
'2
=2'2
다른 풀이
|-1-3|
"ƒ1€+1€
=
4
'2
=2'2
⑸ 직선 3x+4y+1=0 위의 한 점 (1, -1)과 직선
두 직선 x+y-4=0, 2x-y+1=0의 교점을 지나는 직선의 방정식을
⑵ 직선 x-2y+4=0 위의 한 점 (0, 2)와 직선 x-2y-6=0
⑶ 직선 x+2y-3=0 위의 한 점 (1, 1)과 직선 x+2y+2=0
⑷ 직선 2x-y-3=0 위의 한 점 (0, -3)과 직선 2x-y+2=0
사이의 거리와 같으므로
|0-2_2-6|
"ƒ1€+(-2)€
=
10
'5
=2'5
다른 풀이
|4-(-6)|
"ƒ1€+(-2)€
=
10
'5
=2'5
사이의 거리와 같으므로
|1+2+2|
"ƒ1€+2€
=
5
'5
='5
다른 풀이
|-3-2|
"ƒ1€+2€
=
5
'5
='5
사이의 거리와 같으므로
|2_0-(-3)+2|
"ƒ2€+(-1)€
=
5
'5
='5
다른 풀이
|-3-2|
"ƒ2€+(-1)€
=
5
'5
='5
3x+4y-9=0 사이의 거리와 같으므로
|3+4_(-1)-9|
"ƒ3€+4€
=
=2
10
5
다른 풀이
|1-(-9)|
"ƒ3€+4€
=
=2
10
5
STEP
2
필수 유형
| 272쪽~274쪽 |
01-1 -1
|해결 전략 | 주어진 직선의 기울기를 이용하여 직선의 방정식을 세운 후 점과 직
선 사이의 거리 공식을 이용한다.
직선 4x+3y-5=0, 즉 y=-;3$;x+;3%;의 기울기는 -;3$;이므로 이 직
선에 수직인 직선의 기울기는 ;4#;이다.
따라서 구하는 직선의 방정식을 y=;4#;x+n, 즉 3x-4y+4n=0으
로 놓으면 점 (1, 1)과 이 직선 사이의 거리가 1이므로
|3-4+4n|
"ƒ3€+(-4)€
4n-1=-5
=1, |4n-1|=5
∴ n=-1 또는 n=;2#;
이때, y절편은 음수이므로 -1이다.
01-2 4x-3y+5=0
|해결 전략 | 주어진 두 직선의 교점을 구하고 점과 직선 사이의 거리 공식을 이
용한다.
x=1, y=3
x+y-4=0, 2x-y+1=0을 연립하여 풀면
따라서 두 직선 x+y-4=0, 2x-y+1=0의 교점 (1, 3)을 지나
는 직선의 기울기를 m이라 하면 직선의 방정식은
åå ㉠
åå ㉠
y-3=m(x-1)
∴ mx-y-m+3=0
원점과 직선 ㉠ 사이의 거리가 1이므로
|-m+3|
"ƒm€+(-1)€
양변을 제곱하면
=1, |m-3|="ƒm€+1
(m-3)€=m€+1, m€-6m+9=m€+1
6m=8
∴ m=;3$;
m=;3$;를 ㉠에 대입하면
;3$;x-y+;3%;=0
∴ 4x-3y+5=0
다른 풀이
x+y-4+k(2x-y+1)=0 (k는 실수)
으로 놓으면
(2k+1)x+(-k+1)y+k-4=0
원점과 직선 ㉠ 사이의 거리가 1이므로
=1
|k-4|
"ƒ(2k+1)€+(-k+1)€
|k-4|="ƒ(2k+1)€+(-k+1)€
양변을 제곱하면
(k-4)€=(2k+1)€+(-k+1)€
k€-8k+16=4k€+4k+1+k€-2k+1
2k€+5k-7=0, (2k+7)(k-1)=0
∴ 4x-3y+5=0
∴ k=-;2&; 또는 k=1
k=-;2&;을 ㉠에 대입하면
-6x+;2(;y-:¡2∞:=0
k=1을 ㉠에 대입하면
3x-3=0
∴ x=1
이때, x=1은 y축에 평행한 직선이다.
따라서 구하는 직선의 방정식은
4x-3y+5=0
02-1 15
|해결 전략 | 직선 3x+4y+5=0 위의 점을 택하여 이 점과 직선 3x+4y+k=0
사이의 거리가 2임을 이용한다.
두 직선 3x+4y+5=0, 3x+4y+k=0 사이의 거리는 직선
3x+4y+5=0 위의 한 점 (-3, 1)과 직선 3x+4y+k=0 사이의
거리와 같으므로
12 직선의 방정식 095
|3_(-3)+4_1+k|
"ƒ3€+4€
|k-5|=10, k-5=-10
=
∴ k=-5 또는 k=15
|k-5|
5
=2
따라서 구하는 양수 k의 값은 15이다.
점 C(a, -1)과 직선 AB 사이의 거리는
|5_a+3_(-1)-6|
"ƒ5€+3€
=
|5a-9|
'ß34
이때, 삼각형 ABC의 넓이가 8이므로
;2!;_'ß34_
|5a-9|
'ß34
=8, |5a-9|=16
5a-9=-16
∴ a=5 (∵ a는 정수)
STEP
3
유형 드릴
| 275쪽~277쪽 |
1-1 2
|해결 전략 | 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 h일 때, 직선의 기울
기는 tan h임을 이용한다.
x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 45^이므로
(기울기)=tan 45^=1
즉, 점 (1, 3)을 지나고 기울기가 1인 직선의 방정식은
y-3=x-1
∴ y=x+2
따라서 구하는 y절편은 2이다.
02-2
4'5
5
의 거리를 구한다.
|해결 전략 | 두 직선이 서로 평행할 때의 m의 값을 구한 후 평행한 두 직선 사이
두 직선 x-2y+1=0, mx+(m€-3)y-3=0이 서로 평행하므로
åå ㉠
따라서 두 직선 x-2y+1=0, x-2y-3=0 사이의 거리는 직선
x-2y+1=0 위의 한 점 (-1, 0)과 직선 x-2y-3=0 사이의 거리
=
-2
m€ -3
+
1
-3
1
m
1
m
=
-2
m€-3
에서 m€-3=-2m
m€+2m-3=0, (m+3)(m-1)=0
∴ m=-3 또는 m=1
이때, ㉠에서 m+-3이므로 m=1
와 같으므로
|-1-2_0-3|
"ƒ1€+(-2)€
=
=
4
'5
4'5
5
거리이다.
선분 OA의 길이는
OA’="ƒ2€+(-4)€=2'5
직선 OA의 방정식은
y=-2x
∴ 2x+y=0
|2_(-4)+(-2)|
"ƒ2€+1€
=
10
'5
따라서 삼각형 OAB의 넓이는
=2'5
;2!;_2'5 _2'5 =10
03-1 10
|해결 전략 | △OAB의 밑변을 OA’라 하면 높이는 점 B에서 직선 OA까지의
1-2 ;2!;
|해결 전략 | 두 점 (x¡, y¡), (x™, y™)를 이은 선분의 중점의 좌표는
점 B(-4, -2)와 직선 OA 사이의 거리는
B(-4, -2)
A(2, -4)
즉, 점 (3, 1)을 지나고 기울기가 -2인 직선의 방정식은
y
O
x
x¡+x™
2
,
y¡+y™
2
{
}이다.
두 점 (4, 3), (2, -1)을 이은 선분의 중점의 좌표는
4+2
2
{
, 3-1
2 } ∴ (3, 1)
y-1=-2(x-3)
∴ y=-2x+7
이 직선이 점 (a, 6)을 지나므로
6=-2a+7
∴ a=;2!;
03-2 5
|해결 전략 | △ABC의 밑변을 AB’라 하면 높이는 점 C에서 직선 AB까지의 거
나는 직선의 방정식을 구한다.
두 점 A(-4, 1), B(2, -2)에 대하여 AB’를 1：2로 내분하는 점의
2-1 2
|해결 전략 | AB’를 1 : 2로 내분하는 점의 좌표를 구한 후 이 점과 점 (1, 3)을 지
리이다.
선분 AB의 길이는
AB’="ƒ(3-0)€+(-3-2)€='ß34
직선 AB의 방정식은
y-2=
(x-0)
∴ 5x+3y-6=0
-3-2
3-0
096 정답과 해설
좌표는
1_2+2_(-4)
1+2
, 1_(-2)+2_1
1+2
}
{
∴ (-2, 0)
즉, 두 점 (-2, 0), (1, 3)을 지나는 직선의 방정식은
y-0= 3-0
1-(-2)
{x-(-2)}
∴ y=x+2
따라서 a=1, b=2이므로
참고
두 점 A(x¡, y¡), B(x™, y™)를 이은 선분 AB를 m : n (m>0, n>0)으로
ab=2
참고
내분하는 점의 좌표
➡ {
mx™+nx¡
m+n
,
my™+ny¡
m+n }
이차방정식 ax€+bx+c=0의 두 근을 a, b라 하면
a+b=-;aB;, ab=;aC;
4-1 제4사분면
|해결 전략 | 직선 ax+by+c=0의 기울기와 y절편의 부호를 조사한다.
주어진 그림에서 b+0이므로 ax+by+c=0에서
y=- a
b
x- c
b
이때, (기울기)<0이므로 -;bA;<0
즉, ;bA;>0이므로 a와 b는 같은 부호이다.
åå ㉠
(y절편)>0이므로 -;bC;>0
즉, ;bC;<0이므로 b와 c는 다른 부호이다.
c+0이므로 bx+cy+a=0에서
y=-;cB;x-;cA;
이때, ㉠, ㉡에서 a, b는 같은 부호이고 c는
(기울기)=-;cB;>0, (y절편)=-;cA;>0
따라서 직선 bx+cy+a=0의 개형은 오른쪽
그림과 같으므로 제4사분면을 지나지 않는다.
O
a+b
x
y=-x+a+b
다른 부호이므로
2-2 12
|해결 전략 | 직선과 x축 및 y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는
;2!;_|(x절편)|_|(y절편)|이다.
두 점 (a, b), (b, a)를 지나는 직선의 방정식은
y-b=
(x-a), y-b=
a-b
b-a
a-b
-(a-b)
(x-a)
∴ y=-x+a+b
åå ㉠
이때, 직선 ㉠과 x축 및 y축으로 둘러싸인
y
a+b
삼각형의 넓이가 6이므로
;2!;_(a+b)_(a+b)=6
∴ (a+b)€=12
3-1 -1
|해결 전략 | (직선 AB의 기울기)=(직선 BC의 기울기)임을 이용한다.
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 직선 AB와 직선 BC의 기
울기가 같아야 한다.
(직선 AB의 기울기)=
(직선 BC의 기울기)=
5-(-1)
1-(-2)
=2
(k+2)-5
k-1
=
k-3
k-1
즉, 2=
이므로 2k-2=k-3
∴ k=-1
k-3
k-1
4-2 제1, 2, 3사분면
|해결 전략 | 직선 ax+by+c=0의 기울기와 y절편의 부호를 조사한다.
ac>0에서 a와 c의 부호는 서로 같고, bc<0에서 b와 c의 부호는 서
로 다르다.
즉, a와 b의 부호는 서로 다르므로 ab<0
b+0이므로 ax+by+c=0에서
y=-;bA;x-;bC;
ab<0이므로 (기울기)=-;bA;>0
3-2 -3
|해결 전략 | (직선 AB의 기울기)=(직선 AC의 기울기)임을 이용한다.
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 직선 AB의 기울기와 직선
bc<0이므로 (y절편)=-;bC;>0
따라서 직선 ax+by+c=0의 개형은 오른쪽
그림과 같으므로 제1, 2, 3사분면을 지난다.
AC의 기울기가 같아야 한다.
(직선 AB의 기울기)=
(직선 AC의 기울기)=
즉, 4
a+2
=
a+1
8
이므로
5-1
a-(-2)
=
4
a+2
(a+2)-1
6-(-2)
=
a+1
8
(a+1)(a+2)=32, a€+3a-30=0
따라서 실수 a의 값의 합은 근과 계수의 관계에 의하여 -3이다.
5-1 16
|해결 전략 | 두 직선이 서로 수직이면 두 직선의 기울기의 곱이 -1임을 이용한다.
두 점 A(2, 0), B(0, 4)에 대하여 AB’를 2：1로 외분하는 점의 좌표는
2_0-1_2
2-1
, 2_4-1_0
2-1
}
{
∴ (-2, 8)
12 직선의 방정식 097
åå ㉡
y
O x
y
O
x
=-2이므로 직선 AB에 수직인 직
에서 b-3=-1
∴ b=2
1
b-3
=
-1
1
∴ a+b=-1+2=1
즉, 점 (-2, 8)을 지나고 기울기가 ;2!;인 직선의 방정식은
또, 직선 AB의 기울기는 4-0
0-2
선의 기울기는 ;2!;이다.
y-8=;2!;{x-(-2)}
∴ x-2y+18=0
따라서 a=-2, b=18이므로
a+b=16
참고
으로 외분하는 점의 좌표
➡ {
mx™-nx¡
m-n
,
my™-ny¡
m-n }
두 점 A(x¡, y¡), B(x™, y™)를 이은 선분 AB를 m : n (m>0, n>0, m+n)
(a+1)_2+1_(-a+2)=0
∴ a=-4
6-2 -4
|해결 전략 | 두 직선 mx+ny+c=0, m'x+n'y+c'=0이 서로 수직이면
mm'+nn'=0, 서로 평행하면
m
m'
=
n
n'
+
c
c'
이다.
두 직선 (a+1)x+y+3=0, 2x-(a-2)y+a+2=0에 대하여
두 직선이 서로 수직이면
두 직선이 서로 평행하면
a+1
2
=
1
-a+2 +
3
a+2
a+1
2
=
1
-a+2
에서 (a+1)(-a+2)=2
a€-a=0, a(a-1)=0
∴ a=0 또는 a=1
åå ㉠
5-2 -;3*;
|해결 전략 | x절편이 4, y절편이 6인 직선 l¡과 수직이면서 점 (4, 0)을 지나는 직
이때, ㉠에서
1
-a+2 +
3
a+2
, a+2+3(-a+2), 즉 a+1이므로
선 l™의 방정식을 구한다.
직선 l¡이 점 (4, 0)을 지나므로 직선 l¡의 x절편은 4이다.
즉, x절편이 4, y절편이 6인 직선 l¡의 방정식은
따라서 a=-4, b=0이므로
a=0
a+b=-4
직선 l¡의 기울기가 -;2#;이므로 직선 l¡에 수직인 직선의 기울기는 ;3@;
이다.
난다.
즉, 점 (4, 0)을 지나고 기울기가 ;3@;인 직선 l™의 방정식은
x
4
+ y
6
=1
∴ y=-;2#;x+6
y-0=;3@;(x-4)
∴ y=;3@;x-;3*;
따라서 직선 l™의 y절편은 -;3*;이다.
6-1 1
|해결 전략 | 두 직선 mx+ny+c=0, m'x+n'y+c'=0이 서로 수직이면
mm'+nn'=0, 서로 평행하면
m
m'
=
n
n' +
c
c' 이다.
직선 x+ay+5=0이 직선 x+y+2=0과 수직이므로
또, 직선 x+ay+5=0, 즉 x-y+5=0이 직선
(b-3)x+y-1=0과 평행하므로
1_1+a_1=0
∴ a=-1
1
b-3
=
-1
1
+
5
-1
098 정답과 해설
7-1 -4
|해결 전략 | AB’의 수직이등분선은 직선 AB에 수직이고 선분 AB의 중점을 지
두 점 A(2, 0), B(4, 2)에 대하여 직선 AB의 기울기는 2-0
4-2
=1이
므로 직선 AB에 수직인 직선의 기울기는 -1이다.
또, AB’의 수직이등분선은 AB’의 중점 {
2+4
2
, 0+2
2 }, 즉 (3, 1)을
지나므로 구하는 수직이등분선의 방정식은
y-1=-(x-3)
∴ y=-x+4
따라서 m=-1, n=4이므로
mn=-4
7-2 y=2x-;2%;
|해결 전략 | 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분함을 이용한다.
마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므로 대각선 BD
는 대각선 AC와 수직이고, 대각선 AC의 중점을 지난다.
두 점 A(-2, 1), C(4, -2)를 지나는 직선의 기울기는
-2-1
4-(-2)
=-;2!;이므로 대각선 BD의 기울기는 2이다.
또, 대각선 AC의 중점은
-2+4
2
{
,
1-2
2 }, 즉 {1, -;2!;}
따라서 구하는 직선의 방정식은
y-{-;2!;}=2(x-1)
∴ y=2x-;2%;
8-1 -3
|해결 전략 | 서로 다른 세 직선이 좌표평면을 네 부분으로 나눌 때, 세 직선은 모
두 평행하다.
서로 다른 세 직선이 좌표평면을 네 부분으로 나누려면 세 직선이 모
두 평행해야 한다.
x-3y+4=0, (a+1)x-4y+1=0에서
a+1
1
=
-4
-3 +;4!;
∴ a=;3!;
x-3y+4=0, 3x+by-4=0에서
;1#;=
b
-3 +
-4
4
∴ b=-9
∴ ab=;3!;_(-9)=-3
다른 풀이
x-3y+4=0에서 y=;3!;x+;3$;
(a+1)x-4y+1=0에서 y=
a+1
4
x+;4!;
3x+by-4=0에서 y=-;b#;x+;b$;
따라서 ;3!;=
a+1
4
=-;b#;이므로 a=;3!;, b=-9
∴ ab=;3!;_(-9)=-3
세 직선이 모두 평행해야 하므로 세 직선의 기울기는 모두 같아야 한다.
8-2 -3, 1, 3
|해결 전략 | 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 세 직선이 모두 평행할 때, 세
직선 중 두 직선이 평행할 때, 세 직선이 한 점에서 만날 때이다.
두 직선 y=x-3, y=3x-5가 평행하지 않으므로 주어진 세 직선
이 삼각형을 이루지 않으려면 세 직선 중 두 직선이 평행하거나 세 직
선이 한 점에서 만나야 한다.
1 세 직선 중 두 직선이 평행할 때
므로
a=1 또는 a=3
2 세 직선이 한 점에서 만날 때
9-1 (-2, 1)
|해결 전략 | 주어진 직선의 방정식을 k에 대하여 정리한 후 이 등식이 k에 대한
항등식임을 이용한다.
(2k-1)x+(k+2)y+3k-4=0을 k에 대하여 정리하면
-x+2y-4+k(2x+y+3)=0
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
-x+2y-4=0, 2x+y+3=0
두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=1
따라서 주어진 직선은 k의 값에 관계없이 항상 점 (-2, 1)을 지난다.
9-2 'ß17
|해결 전략 | 주어진 직선의 방정식을 k에 대하여 정리한 후 이 등식이 k에 대한
åå ㉠
항등식임을 이용한다.
kx-y-5k+4=0
을 k에 대하여 정리하면
-y+4+k(x-5)=0
-y+4=0, x-5=0
∴ x=5, y=4
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
을 k에 대하여 정리하면
x+y-4+k(2x-y+1)=0
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
x+y-4=0, 2x-y+1=0
두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=3
따라서 직선 ㉠은 k의 값에 관계없이 항상 점 P(5, 4)를 지난다.
(2k+1)x+(1-k)y-(4-k)=0
åå ㉡
따라서 직선 ㉡은 k의 값에 관계없이 항상 점 Q(1, 3)을 지난다.
∴ PQ’="ƒ(1-5)€+(3-4)€='ß17
10-1 -3
|해결 전략 | 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구한 후 x=4, y=-1
을 대입한다.
정식을
2x+y-4+k(2x-3y+4)=0 (k는 실수)
åå ㉠
으로 놓으면 이 직선이 점 (4, -1)을 지나므로
직선 y=ax+1이 직선 y=x-3 또는 y=3x-5와 평행해야 하
두 직선 2x+y-4=0, 2x-3y+4=0의 교점을 지나는 직선의 방
직선 y=ax+1이 두 직선 y=x-3, y=3x-5의 교점을 지나
y=x-3, y=3x-5를 연립하여 풀면
야 한다.
x=1, y=-2
따라서 직선 y=ax+1이 점 (1, -2)를 지나야 하므로
-2=a+1
∴ a=-3
1, 2에서 a=-3 또는 a=1 또는 a=3
8-1-4+k(8+3+4)=0
15k=-3
∴ k=-;5!;
k=-;5!;을 ㉠에 대입하면
2x+y-4-;5!;(2x-3y+4)=0
∴ x+y-3=0
12 직선의 방정식 099
이 직선이 점 (a, 6)을 지나므로
a+6-3=0
∴ a=-3
다른 풀이
x=1, y=2
두 직선의 방정식 2x+y-4=0, 2x-3y+4=0을 연립하여 풀면
따라서 두 점 (1, 2), (4, -1)을 지나는 직선의 방정식은
y-2=
(x-1)
∴ y=-x+3
-1-2
4-1
이 직선이 점 (a, 6)을 지나므로
a=-3
10-2 1
|해결 전략 | 두 직선 mx+ny+c=0, m'x+n'y+c'=0이 서로 수직이면
두 직선 2x-y+2=0, x-2y+1=0의 교점을 지나는 직선의 방정
mm'+nn'=0이다.
식을
으로 놓으면
2x-y+2+k(x-2y+1)=0 (k는 실수)
(k+2)x-(2k+1)y+k+2=0
åå ㉠
이 직선이 직선 y=x, 즉 x-y=0과 수직이므로
(k+2)_1+(-2k-1)_(-1)=0
∴ k=-1
k=-1을 ㉠에 대입하면
x+y+1=0
∴ y=-x-1
따라서 a=-1, b=-1이므로
ab=1
11-2 1
|해결 전략 | 직선 y=mx+n (m+0)에 수직인 직선의 기울기는 -
1
m 이다.
직선 3x+4y-1=0의 기울기는 -;4#;이므로 이 직선에 수직인 직선
의 y절편을 n이라 하면 직선의 방정식은
…… ㉠
∴ 4x-3y+3n=0
y=;3$;x+n
원점과 직선 ㉠ 사이의 거리가 2이므로
=2, |3n|=10
|3n|
"ƒ4€+(-3)€
∴ 3n=-10
이를 ㉠에 대입하면
4x-3y+10=0 또는 4x-3y-10=0
∴ ;5$;x-;5#;y+2=0 또는 -;5$;x+;5#;y+2=0
따라서 a=;5$;, b=-;5#; 또는 a=-;5$;, b=;5#;이므로
a€+b€=1
12-1 -2
|해결 전략 | 직선 2x-3y+1=0 위의 점을 택하여 이 점과 직선 2x-3y-a=0
사이의 거리가 'ß13임을 이용한다.
두 직선 2x-3y+1=0, 2x-3y-a=0 사이의 거리는 직선
2x-3y+1=0 위의 한 점 (1, 1)과 직선 2x-3y-a=0 사이의 거리
와 같으므로
|2-3-a|
"ƒ2€+(-3)€
a+1=\13
= |a+1|
'ß13
='ß13, |a+1|=13
∴ a=-14 또는 a=12
따라서 모든 실수 a의 값의 합은
-14+12=-2
11-1 3x-4y+5=0
|해결 전략 | 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용한다.
점 (1, 2)를 지나는 직선의 기울기를 m이라 하면 직선의 방정식은
12-2 2
|해결 전략 | 주어진 두 직선은 서로 평행하므로 정사각형의 한 변의 길이는 두 직
선 사이의 거리이다.
두 직선 ax+y+5=0, ax+y-1=0은 서로 평행하므로 정사각형
ABCD의 한 변의 길이는 두 직선 사이의 거리와 같다.
직선 ax+y-1=0 위의 한 점 (0, 1)과 직선 ax+y+5=0 사이의
åå ㉠
거리는
y-2=m(x-1)
∴ mx-y-m+2=0
원점과 직선 ㉠ 사이의 거리가 1이므로
|-m+2|
"ƒm€+(-1)€
양변을 제곱하면 (m-2)€=m€+1
=1, |m-2|="ƒm€+1
m€-4m+4=m€+1, 4m=3
∴ m=;4#;
m=;4#; 을 ㉠에 대입하면
;4#;x-y+;4%;=0
∴ 3x-4y+5=0
100 정답과 해설
= 6
|1+5|
"ƒa€+1
정사각형 ABCD의 넓이가 :£5§:이므로 한 변의 길이는
"ƒa€+1
æ√
36
5
= 6
'5
즉,
6
"ƒa€+1
= 6
'5
양변을 제곱하면 a€+1=5, a€=4
에서 "ƒa€+1='5
∴ a=2 (∵ a>0)
280쪽~281쪽
4 중심의 좌표: (-1, 2), 반지름의 길이: 1
3 ⑴ x€+y€-2x=8에서
(x€-2x+1)+y€=9
(x-1)€+y€=3€
4 중심의 좌표: (1, 0), 반지름의 길이: 3
⑵ x€+y€+2x-4y+4=0에서
(x€+2x+1)+(y€-4y+4)=1
(x+1)€+(y-2)€=1€
⑶ x€+y€-4x+2y-11=0에서
(x€-4x+4)+(y€+2y+1)=16
(x-2)€+(y+1)€=4€
4 중심의 좌표: (2, -1), 반지름의 길이: 4
⑷ 2x€+2y€+20x-8y+50=0에서
2(x€+10x+25)+2(y€-4y+4)=8
(x+5)€+(y-2)€=2€
4 중심의 좌표: (-5, 2), 반지름의 길이: 2
13
| 원의 방정식
1
원의 방정식
개념 확인
1 (x-1)€+(y+2)€=25
2 ⑴ 중심의 좌표: (3, -2), 반지름의 길이: 3
⑵ 중심의 좌표: (-1, 2), 반지름의 길이: 2
3 ⑴ 2 ⑵ 3 ⑶ 1
1 (x-1)€+{y-(-2)}€=5€
4 (x-1)€+(y+2)€=25
2 ⑴ (x-3)€+(y+2)€=3€에서
중심의 좌표: (3, -2), 반지름의 길이: 3
⑵ x€+y€+2x-4y+1=0에서
(x€+2x+1)+(y€-4y+4)=4
(x+1)€+(y-2)€=2€
4 중심의 좌표: (-1, 2), 반지름의 길이: 2
4 ⑴ 중심이 점 (5, 2)이고 x축에 접하는 원의 반지름의 길이는
|2|=2이므로 원의 방정식은
(x-5)€+(y-2)€=2€
4 (x-5)€+(y-2)€=4
⑵ 중심이 점 (-3, -2)이고 y축에 접하는 원의 반지름의 길이는
3 ⑴ x축에 접하는 원의 반지름의 길이는 중심의 y좌표의 절댓값과
|-3|=3이므로 원의 방정식은
같으므로 원의 반지름의 길이는 |-2|=2
⑵ y축에 접하는 원의 반지름의 길이는 중심의 x좌표의 절댓값과
(x+3)€+(y+2)€=3€
4 (x+3)€+(y+2)€=9
같으므로 원의 반지름의 길이는 |-3|=3
⑶ 중심이 점 (-2, 2)이고 x축, y축에 동시에 접하는 원의 반지
⑶ x축, y축에 동시에 접하는 원의 반지름의 길이는 중심의 x좌표,
름의 길이는 |-2|=|2|=2이므로 원의 방정식은
y좌표의 절댓값과 같으므로 원의 반지름의 길이는
|-1|=|1|=1
(x+2)€+(y-2)€=2€
4 (x+2)€+(y-2)€=4
⑷ 중심이 점 (3, -3)이고 x축, y축에 동시에 접하는 원의 반지
름의 길이는 |3|=|-3|=3이므로 원의 방정식은
(x-3)€+(y+3)€=3€
4 (x-3)€+(y+3)€=9
STEP
1
개념 드릴
| 282쪽 |
1 ⑴ x€+y€=4 ⑵ (x-2)€+(y-3)€=16
⑶ (x+2)€+(y-1)€=1 ⑷ (x-1)€+(y-2)€=3
2 ⑴ 중심의 좌표: (0, 0), 반지름의 길이: 4
⑵ 중심의 좌표: (-1, 0), 반지름의 길이: 1
⑶ 중심의 좌표: (0, 2), 반지름의 길이: 2
⑷ 중심의 좌표: (3, -4), 반지름의 길이: 3
3 ⑴ 중심의 좌표: (1, 0), 반지름의 길이: 3
⑵ 중심의 좌표: (-1, 2), 반지름의 길이: 1
⑶ 중심의 좌표: (2, -1), 반지름의 길이: 4
⑷ 중심의 좌표: (-5, 2), 반지름의 길이: 2
4 ⑴ (x-5)€+(y-2)€=4 ⑵ (x+3)€+(y+2)€=9
⑶ (x+2)€+(y-2)€=4 ⑷ (x-3)€+(y+3)€=9
STEP
2
필수 유형
| 283쪽~289쪽 |
01-1 (x-1)€+(y-2)€=13
|해결 전략 | 중심이점(a,b)이고반지름의길이가r인원의방정식은
(x-a)€+(y-b)€=r€이다.
반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은
(x-1)€+(y-2)€=r€
이 원이 점 (3, 5)를 지나므로
(3-1)€+(5-2)€=r€
4 r€=13
4 (x-1)€+(y-2)€=13
13 원의 방정식 101
01-2 x€+(y-1)€=10
|해결 전략 | 원의중심의좌표와반지름의길이를구해(x-a)€+(y-b)€=r€
25p이다.
따라서 원의 방정식은 (x-4)€+y€=25이므로 구하는 원의 넓이는
02-1 (x-1)€+(y+3)€=20
|해결 전략 | 중심이직선y=-3x위에있으므로중심의좌표를(a,-3a)로
원의방정식을구한다.
03-2 5
|해결 전략 | x€+y€+Ax+By+C=0에세점O,A,B의좌표를대입하여
구하는 원의 중심은 AB’의 중점이므로 원의 중심의 좌표는
을이용한다.
1-1
2
{
,
4-2
2
}, 즉 (0, 1)
원의 중심을 P라 하면 원의 반지름의 길이는 AP’ 또는 BP’이므로
AP’="ƒ(-1)€+(1-4)€='ß10
따라서 중심의 좌표가 (0, 1)이고 반지름의 길이가 'ß10인 원의 방정
식은 x€+(y-1)€=10
다른 풀이
오른쪽 그림과 같이 원 위의 임의의 점을
P(x, y)
A(1, 4)
P(x, y)라 하면 지름에 대한 원주각의 크기
는 90^이므로
3APB=90^
즉, AP’€+BP’€=AB’€에서
(x-1)€+(y-4)€+(x+1)€+(y+2)€=(-1-1)€+(-2-4)€
B(-1, -2)
x€+y€-2y=9
4 x€+(y-1)€=10
놓는다.
원의 중심이 직선 y=-3x 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를
(a, -3a)라 하고 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은
(x-a)€+{y-(-3a)}€=r€
4 (x-a)€+(y+3a)€=r€
이 원이 두 점 (-1, 1), (3, 1)을 지나므로
(-1-a)€+(1+3a)€=r€에서 10a€+8a+2=r€
(3-a)€+(1+3a)€=r€에서 10a€+10=r€
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, r€=20
따라서 구하는 원의 방정식은 (x-1)€+(y+3)€=20
다른 풀이
yy ㉠
yy ㉡
원의 중심의 좌표를 (a, -3a)라 하면 점 (a, -3a)에서 두 점 (-1, 1),
(3, 1)에 이르는 거리가 반지름의 길이로 같으므로
"ƒ(a+1)€+(-3a-1)€="ƒ(a-3)€+(-3a-1)€
양변을 제곱하여 정리하면 10a€+8a+2=10a€+10
8a=8
4 a=1
즉, 원의 중심의 좌표는 (1, -3)이고 반지름의 길이는
"ƒ(1+1)€+(-3-1)€=2'5
이므로 구하는 원의 방정식은 (x-1)€+(y+3)€=20
02-2 25p
|해결 전략 | 중심이x축위에있으므로중심의좌표를(a,0)으로놓는다.
åå ㉠
åå ㉡
åå ㉢
åå ㉠
åå ㉡
åå ㉢
03-1 x€+y€-11x+7y=0
|해결 전략 | x€+y€+Ax+By+C=0에주어진세점의좌표를대입하여원
의방정식을구한다.
원의 방정식을 x€+y€+Ax+By+C=0이라 하면
세 점 O(0, 0), A(-1, -3), B(2, 2)를 지나므로
C=0
1+9-A-3B+C=0
4+4+2A+2B+C=0
㉠을 ㉡과 ㉢에 대입하여 정리하면
A+3B=10, A+B=-4
두 식을 연립하여 풀면 A=-11, B=7
따라서 구하는 원의 방정식은
x€+y€-11x+7y=0
원의 방정식을 x€+y€+Ax+By+C=0이라 하면
세 점 O(0, 0), A(2, -1), B(-1, 3)을 지나므로
C=0
4+1+2A-B+C=0
1+9-A+3B+C=0
㉠을 ㉡과 ㉢에 대입하여 정리하면
2A-B=-5, A-3B=10
두 식을 연립하여 풀면 A=-5, B=-5
따라서 원의 방정식은 x€+y€-5x-5y=0
이때, 점 C(5, k)가 이 원 위의 점이므로
25+k€-25-5k=0, k(k-5)=0
4 k=5 (5 k>0)
04-1 ⑴ k<-2 또는 k>1 ⑵ -1<k<3
|해결 전략 | 주어진방정식을표준형으로나타낸후(반지름의길이)€>0임을이
용한다.
⑴ x€+y€-2kx+2ky-2k+4=0에서
(x€-2kx+k€)+(y€+2ky+k€)-2k€-2k+4=0
(x-k)€+(y+k)€=2k€+2k-4
이 방정식이 원을 나타내려면
2k€+2k-4>0, k€+k-2>0
원의 중심이 x축 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를 (a, 0)이라 하고
(k+2)(k-1)>0
4 k<-2 또는 k>1
반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은
⑵ x€+y€-2(k+1)x-2y+2k€-1=0에서
(x-a)€+y€=r€
이 원이 두 점 (0, -3), (1, 4)를 지나므로
(-a)€+(-3)€=r€에서 a€+9=r€
(1-a)€+4€=r€에서 a€-2a+17=r€
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, r€=25
102 정답과 해설
{x€-2(k+1)x+(k+1)€}+(y€-2y+1)-(k+1)€+2k€-2=0
yy ㉠
yy ㉡
{x-(k+1)}€+(y-1)€=-k€+2k+3
이 방정식이 원을 나타내려면
-k€+2k+3>0, k€-2k-3<0
(k+1)(k-3)<0
4 -1<k<3
a€+2a+1+9=a€, 2a=-10
4 a=-5
1, 2에서 중심이 직선 y=-3x+10 위에 있고 x축과 y축에 동시
04-2 2
|해결 전략 | 주어진방정식을표준형으로나타낸후(반지름의길이)€>0임을이
이 원이 점 (-1, 2)를 지나므로
(-1+r)€+(2-r)€=r€
용한다.
x€+y€-2ax+4ay+7a€-3a-2=0에서
(x€-2ax+a€)+(y€+4ay+4a€)+2a€-3a-2=0
(x-a)€+(y+2a)€=-2a€+3a+2
이 방정식이 원을 나타내려면
-2a€+3a+2>0, 2a€-3a-2<0
(2a+1)(a-2)<0
4 -;2!;<a<2
따라서 구하는 정수 a는 0, 1의 2개이다.
r€-6r+5=0, (r-1)(r-5)=0
4 r=1 또는 r=5
따라서 구하는 원의 방정식은
(x+1)€+(y-1)€=1 또는 (x+5)€+(y-5)€=25
06-2 {x-;2%;}
|해결 전략 | x축,y축에동시에접하는원의중심은직선y=x또는y=-x위
또는 (x-5)€+(y+5)€=25
€+{y-;2%;}
€=
25
4
에있음을이용한다.
x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심은 직선 y=x 또는 y=-x 위
05-1 (x+5)€+(y-3)€=25
|해결 전략 | 중심의좌표를(a,3)으로놓고y축에접하는원의반지름의길이는
에 있다.
1 직선 y=-3x+10과 직선 y=x의 교점의 x좌표는
점 (0, 3)에서 y축에 접하므로 원의 중심의 좌표를 (a, 3)이라 하면
|a|임을이용한다.
반지름의 길이는 |a|이다.
4 (x-a)€+(y-3)€=a€
이 원이 점 (-1, 0)을 지나므로
(-1-a)€+(0-3)€=a€
따라서 구하는 원의 방정식은
(x+5)€+(y-3)€=25
05-2 (x-2)€+(y-1)€=1 또는 (x-6)€+(y-5)€=25
|해결 전략 | 중심이직선y=x-1위에있으므로중심의좌표를(a,a-1)로
놓고x축에접하는원의반지름의길이는|a-1|임을이용한다.
원의 중심이 직선 y=x-1 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를
(a, a-1)이라 하자.
이 원이 x축에 접하므로 원의 반지름의 길이는 |a-1|이다.
4 (x-a)€+(y-a+1)€=(a-1)€
이 원이 점 (3, 1)을 지나므로
(3-a)€+(1-a+1)€=(a-1)€
a€-6a+9+a€-4a+4=a€-2a+1
a€-8a+12=0, (a-2)(a-6)=0
4 a=2 또는 a=6
따라서 구하는 원의 방정식은
(x-2)€+(y-1)€=1 또는 (x-6)€+(y-5)€=25
06-1 (x+1)€+(y-1)€=1 또는 (x+5)€+(y-5)€=25
|해결 전략 | x축,y축에동시에접하면서제2사분면위의점을지나는원의중심
은제2사분면위에있음을이용한다.
x축과 y축에 동시에 접하는 원이 점
y
(-1, 2)를 지나므로 원의 중심이 제2사
분면 위에 있어야 한다.
즉, 원의 반지름의 길이를 r라 하면 중심
(-1, 2)
의 좌표는 (-r, r)이므로 원의 방정식은
(x+r)€+(y-r)€=r€
-3x+10=x에서 x=;2%;
따라서 원의 중심의 좌표는 {;2%;, ;2%;}
2 직선 y=-3x+10과 직선 y=-x의 교점의 x좌표는
-3x+10=-x에서 x=5
따라서 원의 중심의 좌표는 (5, -5)
또는 (x-5)€+(y+5)€=25
에 접하는 원의 방정식은
€+{y-;2%;}
{x-;2%;}
€=
25
4
다른 풀이
(a, -3a+10)이라 하자.
원의 중심이 직선 y=-3x+10 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를
이 원이 x축과 y축에 동시에 접하므로 원의 반지름의 길이는
|a|=|-3a+10|이다.
4 (x-a)€+(y+3a-10)€=a€
|a|=|-3a+10|의 양변을 제곱하면
a€=9a€-60a+100, 2a€-15a+25=0
(2a-5)(a-5)=0
4 a=;2%; 또는 a=5
따라서 구하는 원의 방정식은
{x-;2%;}
€+{y-;2%;}
€=:™4∞: 또는 (x-5)€+(y+5)€=25
07-1 (x+2)€+(y+1)€=8
|해결 전략 | 점P의좌표를(x,y)라하고AP’：BP’=1：2임을이용한다.
AP’：BP’=1：2이므로 2AP’=BP’
4 4AP’ €=BP’ €
점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
4{(x+1)€+y€}=(x-2)€+(y-3)€
3x€+3y€+12x+6y-9=0, x€+y€+4x+2y-3=0
4 (x+2)€+(y+1)€=8
다른 풀이
주어진 조건을 만족시키는 점 P가 그리는 도형은 AB’를 1：2로 내분하는 점
M과 1：2로 외분하는 점 N을 지름의 양 끝점으로 하는 원이다.
M {
1_2+2_(-1)
1+2
,
1_3+2_0
1+2
}, 즉 M(0, 1)
O
x
N {
1_2-2_(-1)
1-2
,
1_3-2_0
1-2
}, 즉 N(-4, -3)
13 원의 방정식 103
이때, 두 점 M(0, 1), N(-4, -3)을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 중심의
좌표는 (-2, -1), 반지름의 길이는 2'2 이므로 점 P가 그리는 도형의 방정
식은 (x+2)€+(y+1)€=8
07-2 15
|해결 전략 | 점P의좌표를(x,y)라하고AP’：BP’=2：3임을이용한다.
AP’：BP’=2：3이므로 3AP’=2BP’
4 9AP’ €=4BP’ €
만난다.
⑵ 원의 중심 (0, 0)과 직선 x-y+1=0 사이의 거리 d는
d=
|1|
"ƒ1€+(-1)€
= '2
2
이때, 원의 반지름의 길이는 '2 이고 '2
2
<'2
따라서 원 x€+y€=2와 직선 y=x+1은 서로 다른 두 점에서
점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
9{(x+3)€+y€}=4{(x-2)€+y€}
5x€+5y€+70x+65=0, x€+y€+14x+13=0
4 (x+7)€+y€=36
점 P가 그리는 도형은 중심의 좌표가
y
P
6
-7
A
-3
B
2 x
O
(-7, 0), 반지름의 길이가 6인 원이고,
1PAB의 넓이가 최대가 될 때는 오른
쪽 그림과 같이 높이가 원의 반지름의
길이와 같을 때이다.
따라서 1PAB의 넓이의 최댓값은
;2!;_5_6=15
2
원과 직선
개념 확인
1 ⑴ x+y=0 ⑵ x€+y€-x+y=0
2 ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⑵ 서로 다른 두 점에서 만난다.
290쪽~291쪽
⑵ 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은
x€+y€+2x-1-(x€+y€-2x+4y)=0
4 4x-4y-1=0
⑶ 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은
x€+y€-2x+k(x€+y€+2y)=0 (k+-1)
åå ㉠
2 ⑴ 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은
x€+y€-2x+k(x€+y€-4x-6y+8)=0 (k+-1) å ㉠
STEP
1
개념 드릴
| 292쪽 |
1 ⑴ x-2y+4=0 ⑵ 4x-4y-1=0 ⑶ 8x-y=0
2 ⑴ x€+y€-x+3y-4=0 ⑵ x€+y€-9x-12y-10=0
3 ⑴ 만나지 않는다. ⑵ 서로 다른 두 점에서 만난다.
4 ⑴ 한 점에서 만난다. ⑵ 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑶ x€+y€-y-20=0
⑶ 한 점에서 만난다.
⑶ 만나지 않는다.
1 ⑴ 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은
x€+y€-4-(x€+y€+2x-4y+4)=0
-2x+4y-8=0
4 x-2y+4=0
(x+3)€+(y+1)€-10-[(x-1)€+{y+;2#;}
€-:¡4£:]=0
x€+y€+6x+2y-(x€+y€-2x+3y)=0
4 8x-y=0
이 원이 점 A(0, 1)을 지나므로
1+k(1-6+8)=0, 1+3k=0
4 k=-;3!;
k=-;3!; 을 ㉠에 대입하면
x€+y€-2x-;3!;(x€+y€-4x-6y+8)=0
;3@;x€+;3@; y€-;3@;x+2y-;3*;=0
4 x€+y€-x+3y-4=0
⑵ 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은
1 두 원 x€+y€-2x=0, x€+y€+2y=0에 대하여
⑴ 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은
x€+y€-2x-(x€+y€+2y)=0
4 x+y=0
⑵ 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은
이 원이 점 (1, 0)을 지나므로
1-2+k=0
4 k=1
k=1을 ㉠에 대입하면
x€+y€-2x+(x€+y€+2y)=0
4 x€+y€-x+y=0
2 ⑴ y=x+1을 x€+y€=2에 대입하면
x€+(x+1)€=2, 2x€+2x-1=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
=1€-2_(-1)=3>0
D
4
만난다.
104 정답과 해설
따라서 원 x€+y€=2와 직선 y=x+1은 서로 다른 두 점에서
이 원이 점 A(-1, 0)을 지나므로
x€+y€-4+k(x€+y€-6x-8y-8)=0 (k+-1) åå ㉠
1-4+k(1+6-8)=0, -3-k=0
4 k=-3
k=-3을 ㉠에 대입하면
따라서 원 (x-1)€+(y+2)€=5와 직선 y=-x-3은 서로
x€+y€-4-3(x€+y€-6x-8y-8)=0
다른 두 점에서 만난다.
-2x€-2y€+18x+24y+20=0
4 x€+y€-9x-12y-10=0
⑶ x€+y€+2x-2y-2=0에서 (x+1)€+(y-1)€=4
원의 중심 (-1, 1)과 직선 y=2x-2, 즉 2x-y-2=0 사이
⑶ 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은
의 거리 d는
(x-2)€+(y+3)€-25+k{(x+2)€+(y-4)€-48}=0
(k+-1) åå ㉠
d=
|2_(-1)-1-2|
"ƒ2€+(-1)€
='5
지 않는다.
이때, 원의 반지름의 길이는 2이고 '5>2
따라서 원 x€+y€+2x-2y-2=0과 직선 y=2x-2는 만나
이 원이 점 A(0, 5)를 지나므로
4+64-25+k(4+1-48)=0, 43-43k=0
4 k=1
k=1을 ㉠에 대입하면
(x-2)€+(y+3)€-25+{(x+2)€+(y-4)€-48}=0
x€+y€-4x+6y-12+(x€+y€+4x-8y-28)=0
2x€+2y€-2y-40=0
4 x€+y€-y-20=0
따라서 원 x€+y€=9와 직선 y=x-2는 서로 다른 두 점에서
⑶ x-y-4=0, 즉 y=x-4를 x€+y€=8에 대입하면
x€+y€+ax+by+c+k(x€+y€+a'x+b'y+c')=0(k+-1)이다.
따라서 원 x€+y€=1과 직선 y=-2x+3은 만나지 않는다.
3 ⑴ y=-2x+3을 x€+y€=1에 대입하면
x€+(-2x+3)€=1
4 5x€-12x+8=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
=(-6)€-5_8=-4<0
D
4
⑵ y=x-2를 x€+y€=9에 대입하면
x€+(x-2)€=9
4 2x€-4x-5=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
4
=(-2)€-2_(-5)=14>0
만난다.
x€+(x-4)€=8
4 x€-4x+4=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
=(-2)€-1_4=0
D
4
따라서 원 x€+y€=8과 직선 x-y-4=0은 한 점에서 만난다.
4 ⑴ 원의 중심 (0, 0)과 직선 x-3y-10=0 사이의 거리 d는
d=
|-10|
"ƒ1€+(-3)€
='ß10
이때, 원의 반지름의 길이는 'ß10이고 'ß10='ß10
따라서 원 x€+y€=10과 직선 x-3y-10=0은 한 점에서 만
난다.
의 거리 d는
d=
|1-2+3|
"ƒ1€+1€
='2
이때, 원의 반지름의 길이는 '5이고 '2<'5
식을이용한다.
⑵ 원의 중심 (1, -2)와 직선 y=-x-3, 즉 x+y+3=0 사이
4 a=6 (5 a>0)
STEP
2
필수 유형
| 293쪽~297쪽 |
01-1 5
|해결 전략 | 두원x€+y€+ax+by+c=0,x€+y€+a'x+b'y+c'=0의교
점을지나는직선의방정식은
x€+y€+ax+by+c-(x€+y€+a'x+b'y+c')=0이다.
두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은
x€+y€-2y-2-(x€+y€-2x+4y-4)=0
2x-6y+2=0
4 x-3y+1=0
이 직선이 점 (k, 2)를 지나므로
k-6+1=0
4 k=5
01-2 6
|해결 전략 | 두원x€+y€+ax+by+c=0,x€+y€+a'x+b'y+c'=0의교
점을지나는원의방정식은
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은
x€+y€+ax+2y-2+k(x€+y€-2y)=0 (k+-1)
åå ㉠
이 원이 점 (0, 1)을 지나므로
1+2-2+k(1-2)=0, 1-k=0
4 k=1
k=1을 ㉠에 대입하면
x€+y€+ax+2y-2+(x€+y€-2y)=0
2x€+2y€+ax-2=0
x€+y€+;2A;x-1=0
€+y€=
4 {x+;4A;}
a€+16
16
이 원의 넓이가 :¡4£:p이므로
a€+16=52, a€=36
a€+16
16
=:¡4£:에서
02-1 ⑴ -4<k<4
|해결 전략 | 원의방정식과직선의방정식을연립하여얻은이차방정식의판별
⑶ k<-4 또는 k>4
⑵ k=-4
13 원의 방정식 105
y='3x+k를 x€+y€=4에 대입하면
x€+('3x+k)€=4
4 4x€+2'3kx+k€-4=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
4
=('3k)€-4(k€-4)=-k€+16
⑴ 서로 다른 두 점에서 만나려면
=-k€+16>0에서 k€-16<0
(k+4)(k-4)<0
4 -4<k<4
D
4
D
4
D
4
⑵ 접하려면
=-k€+16=0에서
k€=16
4 k=\4
⑶ 만나지 않으려면
=-k€+16<0에서 k€-16>0
(k+4)(k-4)>0
4 k<-4 또는 k>4
다른 풀이
원 x€+y€=4의 중심 (0, 0)과 직선 '3x-y+k=0 사이의 거리 d는
d=
=
|k|
"ƒ('3 )€+(-1)€
|k|
2
⑴ 서로 다른 두 점에서 만나려면
<
< 2에서 |k|<4
4 -4<k<4
⑵ 접하려면
⑶ 만나지 않으려면
|k|
2
|k|
2
|k|
2
=
= 2에서 |k|=4
4k=-4
>
>2에서 |k|>4
4 k<-4 또는 k>4
y
2
-2
O
-2
(1)
(2)
(3)
2
x
-5
H
B
5
x
5
y
A
O
-5
03-1 8
|해결 전략 | 원의중심에서현에내린수선은그현을수직이등분한다.
오른쪽 그림과 같이 원과 직선의 두 교점을
각각 A, B라 하고, 원의 중심 O에서 현
AB에 내린 수선의 발을 H라 하면
AB’=2A”H’
원의 중심 O(0, 0)과 직선
4x+3y-15=0 사이의 거리는
O”H’=
=3
|-15|
"ƒ4€+3€
O”A’=5이고 1OHA는 직각삼각형이므로
A”H’="ƒ O”A’€-O”H’
AH’="ƒ5€-3€=4
따라서 구하는 현의 길이는 AB’=2AH’=8
’€
❶ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 수직이등분한다.
❷ 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지난다.
LECTURE
현의성질
106 정답과 해설
03-2 -5
|해결 전략 | 원의중심에서현에내린수선은그현을수직이등분한다.
원 x€+y€+4x-6y+k=0, 즉
(x+2)€+(y-3)€=13-k와 x축의 두 교점
C(-2, 3)
을 각각 A, B라 하고, 원의 중심 C(-2, 3)에
서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하면
A
H
B
x
A”H’=;2!;AB’=;2!;_6=3
CH’=3이고 1CAH는 직각삼각형이므로
CA’ ="ƒ
A”H’ €+CH’ €
="ƒ3€+3€=3'2
이때, 원의 반지름의 길이가 'ß13-k 이므로
4 k=-5
'ß13-k=3'2, 13-k=18
다른 풀이
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-4, ab=k
주어진 조건에서 |a-b|=6이고
(a-b)€=(a+b)€-4ab이므로
6€=(-4)€-4k, 4k=-20
4 k=-5
원 x€+y€+4x-6y+k=0이 x축과 만나는 두 점의 y좌표는 0이므로
x€+4x+k=0
yy ㉠
이때, 두 점의 x좌표를 각각 a, b라 하면 a, b는 이차방정식 ㉠의 두 근이므로
03-3 2'3
|해결 전략 | 공통현의방정식을구한후원의중심과직선사이의거리를이용
한다.
두 원의 공통현의 방정식은
x€+y€-4-(x€+y€-4x+3y-9)=0
4 4x-3y+5=0
오른쪽 그림과 같이 두 원의 교점을 각
각 A, B라 하고, 원 x€+y€=4의 중심
O(0, 0)에서 공통현에 내린 수선의 발
을 H라 하면
O”H’=
|5|
"ƒ4€+(-3)€
=1
O”A’=2이고 1OHA는 직각삼각형이
므로
AH’="ƒ O”A’ €-O”H’ €="ƒ2€-1€='3
4 AB’=2AH’=2'3
y
2
A
H
-2
B
-2
O
2
x
04-1 5
|해결 전략 | 원의접선과반지름이서로수직임을이용하여접선의길이를구한다.
x€+y€-2x-2y-13=0에서
T
(x-1)€+(y-1)€=15
원의 중심을 C(1, 1)이라 하면
CP’="ƒ(7-1)€+(3-1)€ =2'ß10
C(1, 1)
P(7, 3)
원 (x-2)€+(y-2)€=4 위의 점
P(x, y)에서 AB’에 내린 수선의 발을 H
라 하자.
1ABP의 넓이가 최소이려면 오른쪽 그
림과 같이 PH’의 길이가 최소이어야 한다.
y
2
O
-3
A
H
P
2
x
두 점 A(-3, 0), B(0, -4)를 지나는 직
B-4
O
H
r
P
l
선의 방정식은
x
-3
+
y
-4
=1
4 4x+3y+12=0
원의 중심 (2, 2)와 직선 4x+3y+12=0 사이의 거리는
|4_2+3_2+12|
"ƒ4€+3€
=
26
5
이때, 원의 반지름의 길이는 2이므로 PH’의 길이의 최솟값은
16
5
-2=
26
5
또, AB’="ƒ(0+3)€+(-4-0)€=5이므로 1ABP의 넓이의 최솟
값은
y
O
;2!;_5_
16
5
=8
A
P(5, 6)
참고
C(2, 3)
B
x
은 ;2!;_5_:£5§:=18
1ABP의 넓이가 최대이려면 PH’의 길이가 최대이어야 한다.
이때, PH’의 길이의 최댓값은 :™5§:+2=:£5§:이므로 1ABP의 넓이의 최댓값
직각삼각형 CPT에서
PT’ ="ƒ CP’ €-CT’ €
="ƒ(2'ß10)€-('ß15)€ =5
LECTURE
접선의성질
원 O의 접선 l에 대하여
❶ OH’-l
❷ OP’ €=PH’ €+OH’ €
즉, 원 밖의 점 P에서 원에 그은 접선의 길이는
PH’="ƒ PO’ €-r€
이용한다.
x€+y€-4x-6y+9=0에서
(x-2)€+(y-3)€=4
원의 중심을 C(2, 3)이라 하면
CP’="ƒ(5-2)€+(6-3)€=3'2
직각삼각형 ACP에서
PA’="ƒ CP’ €-CA’ €
="ƒ(3'2 )€-2€='ß14
4 ACBP=21ACP
=2_;2!;_PA’_CA’
=2_;2!;_'ß14_2=2'ß14
04-2 2'ß14
|해결 전략 | 원의중심과점P를이은선분이색칠된부분의넓이를이등분함을
05-1 최댓값: 5+2'2, 최솟값: 5-2'2
|해결 전략 | 원의중심과원점사이의거리와반지름의길이를이용한다.
3
원의 접선의 방정식
x€+y€-6x-8y+17=0에서
(x-3)€+(y-4)€=8
원의 중심 (3, 4)와 원점 O 사이의 거리를 d라 하면
d="ƒ3€+4€=5
따라서 오른쪽 그림에서 원 위의 점과 원점
O 사이의 거리의
최댓값은 O”A’=d+r=5+2'2
최솟값은 OB’=d-r=5-2'2
A
r
y
4
B
d
O
3
x
05-2 8
|해결 전략 | 점P와직선AB사이의거리가최소일때삼각형의넓이가최소
이다.
개념 확인
1 ⑴ y=-x\'2 ⑵ y=2x\3'5
2 ⑴ x-y-2=0 ⑵ x+y-3=0 ⑶ 2x+y-5=0
298쪽~300쪽
1 ⑴ y=-1_x\"ƒ(-1)€+1
⑵ y=2x\3"ƒ2€+1
4 y=2x\3'5
4 y=-x\'2
2 ⑴ 1_x+(-1)_y=2
⑵ (3-2)(x-2)+(0+1)(y+1)=2
4 x-y-2=0
x-2+y+1-2=0
4 x+y-3=0
⑶ 3_x+(-1)_y-2_
+4_
3+x
2
-1+y
2
=0
3x-y-(3+x)+2(-1+y)=0
4 2x+y-5=0
13 원의 방정식 107
STEP
1
개념 드릴
| 301쪽 |
방정식은
⑵ 접선의 기울기를 m이라 하면 점 (1, -3)을 지나므로 접선의
y-(-3)=m(x-1)
4 y=mx-m-3
yy ㉠
1 ⑴ y=2x\'5 ⑵ y=-3x\3'ß10 ⑶ y='5x\6
2 ⑴ 3x+2y-13=0 ⑵ x+y+1=0 ⑶ x-2y+3=0
㉠ 을 x€+y€=2에 대입하면
x€+(mx-m-3)€=2
⑷ x+y+1=0 ⑸ 3x-4y+26=0
3 ⑴ y=-x-2 또는 y=7x-10
⑵ y=-x-2 또는 y=7x-10
⑶ y=-x-2 또는 y=7x-10
4 y=2x\'5
1 ⑴ y=2x\"ƒ2€+1
⑵ y=-3x\3"ƒ(-3)€+1
⑶ y='5x\'6 "ƒ('5 )€+1
4 y=-3x\3'ß10
4 y='5x\6
2 ⑴ 3_x+2_y=13
4 3x+2y-13=0
⑵ (2-1)(x-1)+(-3+4)(y+4)=2
⑶ (-1+2)(x+2)+(1-3)(y-3)=5
x-1+y+4-2=0
4 x+y+1=0
x+2-2y+6-5=0
4 x-2y+3=0
⑷ 0_x+(-1)_y+4_
+6_
+5=0
0+x
2
-1+y
2
-y+2x+3(-1+y)+5=0
4 x+y+1=0
⑸ -2_x+5_y-2_
-2_
-23=0
-2+x
2
5+y
2
-2x+5y-(-2+x)-(5+y)-23=0
4 3x-4y+26=0
4 (m€+1)x€-2(m€+3m)x+m€+6m+7=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=0이므로
:4Î:=(m€+3m)€-(m€+1)(m€+6m+7)=0
m›+6m‹+9m€-(m›+6m‹+8m€+6m+7)=0
m€-6m-7=0, (m+1)(m-7)=0
4 m=-1 또는 m=7
이것을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은
y=-x-2 또는 y=7x-10
⑶ 접선의 기울기를 m이라 하면 점 (1, -3)을 지나므로 접선의 방
정식은
y-(-3)=m(x-1)
4 mx-y-m-3=0 åå ㉠
원의 중심 (0, 0)과 직선 ㉠ 사이의 거리가 반지름의 길이 '2와
같으므로
|-m-3|
"ƒm€+(-1)€
='2
|-m-3|="ƒ2m€+2
양변을 제곱하여 정리하면
m€-6m-7=0
(m+1)(m-7)=0
4 m=-1 또는 m=7
이것을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은
x+y+2=0 또는 7x-y-10=0
4 y=-x-2 또는 y=7x-10
3 ⑴ 접점의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면
이 접선이 점 (1, -3)을 지나
접선의 방정식은
x¡x+y¡y=2
므로
x¡-3y¡=2
4 x¡=3y¡+2
y
'2
-'2
O
'2
x
-'2
(1, -3)
또, 점 (x¡, y¡)은 원 위의 점이므로 x¡€+y¡€=2
㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면
5y¡€+6y¡+1=0, (y¡+1)(5y¡+1)=0
4 y¡=-1 또는 y¡=-;5!;
이것을 ㉠에 대입하면
x¡=-1, y¡=-1 또는 x¡=;5&;, y¡=-;5!;
따라서 구하는 접선의 방정식은
-x-y=2 또는 ;5&;x-;5!; y=2
4 y=-x-2 또는 y=7x-10
108 정답과 해설
STEP
2
필수 유형
| 302쪽~304쪽 |
åå ㉠
åå ㉡
01-1 y=x\2
|해결 전략 | y=mx\r"ƒm€+1을이용한다.
구하는 접선의 기울기를 m이라 하면
m=tan 45^=1
원 x€+y€=2의 반지름의 길이가 '2 이므로 구하는 직선의 방정식은
y=x-"2 "ƒ1€+1
다른 풀이
4 y=x\2
① 구하는 직선의 방정식을 y=x+n이라 하고, 이것을 원의 방정식에 대입하면
4 2x€+2nx+n€-2=0
x€+(x+n)€=2
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=0이어야 하므로
D
4
=n€-2(n€-2)=0, n€=4
4 n=\2
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=x\2
② 구하는 직선의 방정식을 y=x+n이라 하면 원의 중심 (0, 0)과 직선
x-y+n=0 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 '2 와 같으므로
02-2 8
|해결 전략 | x€대신x¡x,y€대신y¡y,x대신
x¡+x
2
,y대신
y¡+y
2 를대입
30^
45^
60^
90^
따라서 x절편은 y=0일 때 x=4, y절편은 x=0일 때 y=4이므로
|n|
"ƒ1€+(-1)€
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=x\2
='2, |n|=2
4 n=\2
특수한각의삼각비의값
LECTURE
A
삼각비
sin A
cos A
tan A
0^
0
1
0
1
2
'3
2
'3
3
'2
2
'2
2
1
'3
2
1
2
'3
1
0
01-2 y=-3x-4 또는 y=-3x+16
|해결 전략 | 원의중심과접선사이의거리가반지름의길이와같음을이용한다.
직선 x-3y-2=0, 즉 y=;3!;x-;3@;의 기울기가 ;3!;이므로 이 직선에
수직인 직선의 기울기는 -3이다.
따라서 기울기가 -3인 접선의 방정식을 y=-3x+n이라 하면
원의 중심 (1, 3)과 직선 y=-3x+n, 즉 3x+y-n=0 사이의 거
리가 원의 반지름의 길이 'ß10 과 같으므로
|3_1+1_3-n|
"ƒ3€+1€
6-n=\10
='ß10, |6-n|=10
4 n=-4 또는 n=16
기울기가 -3인 접선의 방정식을 y=-3x+n이라 하고, 이것을 원의 방정
따라서 구하는 직선의 방정식은
y=-3x-4 또는 y=-3x+16
다른 풀이
식에 대입하면
(x-1)€+(-3x+n-3)€=10
4 10x€-2(3n-8)x+n€-6n=0
D
4
=(3n-8)€-10(n€-6n)=0
n€-12n-64=0, (n+4)(n-16)=0
4 n=-4 또는 n=16
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=-3x-4 또는 y=-3x+16
주의
기울기가 주어진 원의 접선의 방정식의 공식 y=mx\r"ƒm€+1은 원의 중
심의 좌표가 (0, 0)일 때만 적용할 수 있다.
02-1 -1
|해결 전략 | x¡x+y¡y=r€을이용한다.
1_x+(-2)_y=5
4 x-2y-5=0
이 직선이 점 (3, a)를 지나므로
3-2a-5=0, -2a=2
4 a=-1
한다.
3_x+1_y-2_
+2_
-6=0
3+x
2
1+y
2
3x+y-(3+x)+(1+y)-6=0
4 x+y-4=0
x절편과 y절편의 합은 4+4=8
다른 풀이
① x€+y€-2x+2y-6=0에서 (x-1)€+(y+1)€=8
따라서 원 위의 점 (3, 1)에서의 접선의 방정식은
(3-1)(x-1)+(1+1)(y+1)=8
4 x+y=4
② 원의 중심 (1, -1)과 점 (3, 1)을 지나는 직선의 기울기
=1이므로 접선의 기울기는 -1이다.
(3, 1)
따라서 기울기가 -1이고 점 (3, 1)을 지나는 직선의
(1, -1)
는
1-(-1)
3-1
방정식은
y-1=-(x-3)
4 y=-x+4
03-1 x=-1 또는 3x+4y-5=0
|해결 전략 | 접선의기울기를m이라하고원의중심과접선사이의거리가반지
름의길이와같음을이용한다.
접선의 기울기를 m이라 하면 점 (-1, 2)를 지나므로 접선의 방정식은
y-2=m(x+1)
4 mx-y+m+2=0
yy ㉠
원의 중심 (0, 0)과 직선 ㉠ 사이의 거리가 반지름의 길이 1과 같으므로
=1, |m+2|="ƒm€+1
|m+2|
"ƒm€+(-1)€
양변을 제곱하여 정리하면 4m=-3
4 m=-;4#;
이것을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방
정식은 3x+4y-5=0
(-1, 2)
그런데 원 밖의 한 점에서 원에 그은 접
선은 두 개이므로 오른쪽 그림에서 다른
y
1
O
-1
-1
1
x
원 밖의 한 점에서 원에 그은 접선은 항상 2개이므로 1개만 나오는 경우, 반드
시 원과 접선을 그려서 다른 접선의 방정식을 구한다.
접점의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면 접선의 방정식은
이 접선이 점 (-1, 2)를 지나므로
4 x¡=2y¡-1
-x¡+2y¡=1
또, 점 (x¡, y¡)은 원 위의 점이므로
x¡€+y¡€=1
4 y¡=0 또는 y¡=;5$;
㉠ 을 ㉡에 대입하여 정리하면 5y¡€-4y¡=0, y¡(5y¡-4)=0
이것을 ㉠에 대입하면 x¡=-1, y¡=0 또는 x¡=;5#;, y¡=;5$;
따라서 구하는 접선의 방정식은 x=-1 또는 3x+4y-5=0
yy ㉠
yy ㉡
주의
다른 풀이
x¡ x+y¡ y=1
13 원의 방정식 109
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=0이어야 하므로
접선의 방정식은 x=-1
03-2 ;3*;
|해결 전략 | 접선의기울기를m이라하고원의중심과접선사이의거리가반지
원의 중심이 직선 y=-x-1 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를
(a, -a-1)이라 하고 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은
름의길이와같음을이용한다.
접선의 기울기를 m이라 하면 점 (1, -1)을 지나므로 접선의 방정식은
y-(-1)=m(x-1)
4 mx-y-m-1=0
åå ㉠
(x-a)€+{y-(-a-1)}€=r€
4 (x-a)€+(y+a+1)€=r€
이 원이 두 점 (1, -1), (1, 3)을 지나므로
원의 중심 (-1, 2)와 직선 ㉠ 사이의 거
리가 반지름의 길이 1과 같으므로
=1
|-m-2-m-1|
"ƒm€+(-1)€
|-2m-3|="ƒm€+1
양변을 제곱하여 정리하면
3m€+12m+8=0
곱은 ;3*;이다.
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 두 접선의 기울기의
(1-a)€+(-1+a+1)€=r€에서 2a€-2a+1=r€
yy ㉠
(1-a)€+(3+a+1)€=r€에서 2a€+6a+17=r€
yy ㉡
y
2
O
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, r€=13
따라서 구하는 원의 방정식은
(x+2)€+(y-1)€=13
-1
x
(1, -1)
다른 풀이
원의 중심의 좌표를 (a, -a-1)이라 하면 점 (a, -a-1)에서 두 점
(1, -1), (1, 3)에 이르는 거리가 반지름의 길이로 같으므로
"ƒ(a-1)€+a€="ƒ(a-1)€+(-a-4)€
양변을 제곱하여 정리하면 8a=-16
4 a=-2
즉, 원의 중심의 좌표는 (-2, 1)이고 반지름의 길이는
"ƒ(-2-1)€+(1+1)€='ß13
이므로 구하는 원의 방정식은
(x+2)€+(y-1)€=13
STEP
3
유형 드릴
| 305쪽~307쪽 |
름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은
1-1 (x-4)€+(y-2)€=25
|해결 전략 | 두점A,B를지름의양끝점으로하는원의중심은AB’의중점이
구하는 원의 중심은 AB’의 중점이므로 원의 중심의 좌표는
고반지름의길이는;2!;AB’이다.
0+8
2
{
,
-1+5
2
}, 즉 (4, 2)
원의 중심을 P라 하면 원의 반지름의 길이는 AP’ 또는 BP’이므로
AP’="ƒ(4-0)€+(2+1)€=5
따라서 중심의 좌표가 (4, 2)이고 반지름의 길이가 5인 원의 방정식은
(x-4)€+(y-2)€=25
2-2 (x-1)€+y€=5
|해결 전략 | 중심이x축위에있으므로중심의좌표를(a,0)으로놓는다.
원의 중심이 x축 위에 있으므로 중심의 좌표를 (a, 0)이라 하고 반지
(x-a)€+y€=r€
이 원이 두 점 (0, 2), (3, 1)을 지나므로
a€+4=r€
(3-a)€+1€=r€에서 a€-6a+10=r€
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, r€=5
따라서 구하는 원의 방정식은
(x-1)€+y€=5
yy ㉠
yy ㉡
3-1 k<2
|해결 전략 | 주어진방정식을표준형으로나타낸후(반지름의길이)€>0임을이
용한다.
1-2 -5
|해결 전략 | 중심이점(a,b)이고반지름의길이가r인원의방정식은
x€+y€+2x-4y+k+3=0에서
(x€+2x+1)+(y€-4y+4)+k-2=0
(x-a)€+(y-b)€=r€이다.
중심이 점 (1, -2)이고 반지름의 길이가 'ß10인 원의 방정식은
(x-1)€+(y+2)€=10
(x+1)€+(y-2)€=2-k
이 방정식이 원을 나타내려면
2-k>0
4 k<2
이 원이 점 (2, a)를 지나므로
(2-1)€+(a+2)€=10, a€+4a-5=0
(a+5)(a-1)=0
4 a=-5 또는 a=1
그런데 a는 음수이므로 a=-5
2-1 (x+2)€+(y-1)€=13
|해결 전략 | 중심이직선y=-x-1위에있으므로중심의좌표를(a,-a-1)
로놓는다.
110 정답과 해설
3-2 1
|해결 전략 | 주어진방정식을표준형으로나타낸후반지름의길이를k에대하
여나타낸다.
x€+y€-2kx+2y+k=0에서
(x€-2kx+k€)+(y€+2y+1)-k€+k-1=0
(x-k)€+(y+1)€=k€-k+1
이 방정식이 반지름의 길이가 '7 인 원을 나타내려면
"ƒk€-k+1='7
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실수 k의 값의
4 k€-k-6=0
두 원의 공통현의 방정식은
x€+y€-x+ay+14-(x€+y€-2x+8y+3)=0
4 x+(a-8)y+11=0
또, x€+y€-2x+8y+3=0에서
(x-1)€+(y+4)€=14
yy ㉠
yy ㉡
€
k€-k+1={k-;2!;}
이므로 모든 실수 k에 대하여 방정식 (x-k)€+(y+1)€=k€-k+1은 원이
+;4#;>0
따라서 직선 ㉠이 원 ㉡의 중심 (1, -4)를 지나야 하므로
1-4(a-8)+11=0, 4a=44
4 a=11
합은 1이다.
참고
된다.
4-1 8'2
|해결 전략 | 중심이직선y=x+2위에있으므로중심의좌표를(a,a+2)로놓
고x축에접하는원의반지름의길이는|a+2|임을이용한다.
원의 중심이 직선 y=x+2 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를
(a, a+2)라 하자.
이 원이 x축에 접하므로 원의 반지름의 길이는 |a+2|이다.
5-2 7
|해결 전략 | 두원x€+y€+ax+by+c=0,x€+y€+a'x+b'y+c'=0의교
점을지나는원의방정식은
(x€+y€+ax+by+c)+k(x€+y€+a'x+b'y+c')=0(k+-1)이다.
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은
x€+y€+4x-6y-48+k(x€+y€-18x-8y+48)=0 (k+-1)
yy ㉠
4 (x-a)€+(y-a-2)€=(a+2)€
이 원이 점 (2, 2)를 지나므로
(2-a)€+(2-a-2)€=(a+2)€
4-4a+a€+a€=a€+4a+4
a€-8a=0, a(a-8)=0
4 a=0 또는 a=8
리는
"ƒ(8-0)€+(10-2)€=8'2
따라서 두 원의 중심의 좌표는 (0, 2), (8, 10)이므로 중심 사이의 거
4-2 16
|해결 전략 | x축,y축에동시에접하면서제1사분면위의점을지나는원의중심
은제1사분면위에있음을이용한다.
x축과 y축에 동시에 접하는 원이 점 (3, 5)를 지나므로 원의 중심이
제1사분면 위에 있어야 한다.
방정식은
(x-r)€+(y-r)€=r€
이 원이 점 (3, 5)를 지나므로
(3-r)€+(5-r)€=r€
4 r€-16r+34=0
지름의 길이의 합은 16이다.
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 두 원의 반
이 원이 원점을 지나므로
-48+48k=0
4 k=1
k=1을 ㉠에 대입하여 정리하면
x€+y€-7x-7y=0
4 {x-;2&;}
+{y-;2&;}
=:¢2ª:
€
€
따라서 a=;2&;, b=;2&;이므로 a+b=7
6-1 9
|해결 전략 | 원과직선이서로다른두점에서만날때,원의중심과직선사이의
거리는반지름의길이보다작다.
x€+y€-4x=0에서 (x-2)€+y€=4
원의 중심 (2, 0)과 직선 x-2y+k=0 사이의 거리는
|2+k|
"ƒ1€+(-2)€
원의 반지름의 길이는 2이고, 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나
|k+2|
'5
=
므로
|k+2|
'5
<2, |k+2|<2'5
-2'5<k+2<2'5
따라서 조건을 만족시키는 정수 k는 -6, -5, å, 2의 9개이다.
4 -2-2'5<k<-2+2'5
참고
'ß16<'ß20<'ß25, 즉 4<2'5<5이므로 2'5=4.___이다.
-2-2'5<k<-2+2'5 에서
-2-4.___<k<-2+4.___, -6.___<k<2.___
따라서 조건을 만족시키는 정수 k는 -6, -5, y, 2이다.
즉, 원의 반지름의 길이를 r라 하면 중심의 좌표는 (r, r)이므로 원의
려면 (원의 중심과 직선 사이의 거리)<(반지름의 길이)이어야 하
5-1 11
|해결 전략 | 원O가원O'의둘레를이등분하면두원의공통현은원O'의지름
다른 풀이
x-2y+k=0에서 x=2y-k를 x€+y€-4x=0에 대입하면
임을이용한다.
름이어야 한다.
원 x€+y€-x+ay+14=0이 원 x€+y€-2x+8y+3=0의 둘레
를 이등분하려면 두 원의 공통현이 원 x€+y€-2x+8y+3=0의 지
(2y-k)€+y€-4(2y-k)=0
4 5y€-4(k+2)y+k€+4k=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
4
={-2(k+2)}€-5(k€+4k)=-k€-4k+16
13 원의 방정식 111
이때, 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면
>0에서
D
4
-k€-4k+16>0, k€+4k-16<0
{k-(-2-2'5 )}{k-(-2+2'5 )}<0
4 -2-2'5<k<-2+2'5
따라서 조건을 만족시키는 정수 k는 -6, -5, y, 2의 9개이다.
7-2 2'7
|해결 전략 | 공통현의방정식을구한후원의중심과직선사이의거리를이용
한다.
두 원의 공통현의 방정식은
x€+y€-16-(x€+y€+8x+6y+14)=0
4 4x+3y+15=0
오른쪽 그림과 같이 두 원의 교점을 각
y
6-2 6
|해결 전략 | 원과직선이접할때,원의중심과직선사이의거리는반지름의길
각 A, B라 하고 원 x€+y€=16의 중심
O(0, 0)에서 공통현에 내린 수선의 발
이와같다.
x€+y€-6y-7=0에서 x€+(y-3)€=16
원의 중심 (0, 3)과 직선 y='3x+k, 즉 '3x-y+k=0 사이의 거
리는
|-3+k|
"ƒ('3 )€+(-1)€
원의 반지름의 길이는 4이고, 직선이 원에 접하려면
|k-3|
2
=
(원의 중심과 직선 사이의 거리)=(반지름의 길이)이어야 하므로
을 H라 하면
O”H’=
|15|
"ƒ4€+3€
=3
O”A’=4이고 1OAH는 직각삼각형이
므로
A”H’="ƒ O”A’ €-O”H’ €="ƒ4€-3€='7
4 AB’=2AH’=2'7
O
x
A
H
B
8-1 4
|해결 전략 | 원의접선과반지름이서로수직임을이용하여접선의길이를구한다.
x€+y€-12x-6y+36=0에서
(x-6)€+(y-3)€=9
원의 중심을 C(6, 3)이라 하면
CP’="ƒ(3-6)€+(-1-3)€=5
직각삼각형 CPT에서
PT’="ƒ CP’ €-CT’
’ €="ƒ5€-3€=4
C(6, 3)
P(3, -1) T
8-2 2'3
|해결 전략 | 원의중심과점P를이은선분이사각형OAPB의넓이를이등분
|k-3|
2
=4, |k-3|=8
k-3=\8
4 k=-5 또는 k=11
따라서 모든 실수 k의 값의 합은 6이다.
다른 풀이
y='3x+k를 x€+y€-6y-7=0에 대입하면
x€+('3x+k)€-6('3x+k)-7=0
4 4x€+2'3(k-3)x+k€-6k-7=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
4
={'3(k-3)}€-4(k€-6k-7)=-k€+6k+55
D
4
이때, 원과 직선이 접하려면
=0에서
-k€+6k+55=0
4 k€-6k-55=0
오른쪽 그림과 같이 원과 직선의 두 교점을
각각 A, B라 하고 원의 중심 O(0, 0)에서
직선 y=x+k, 즉 x-y+k=0에 내린 수
선의 발을 H라 하면
=
O”H’=
|k|
'2
åå ㉠
|k|
"ƒ1€+(-1)€
A”H’=;2!;AB’=;2!;_2'3='3
O”A’=2이고 1OAH는 직각삼각형이므로
’ €
O”H’="ƒ O”A’ €-A”H’
="ƒ2€-('3 )€=1
|k|
'2
=1, |k|='2
㉠, ㉡에서
4 k=-'2 (∵ k<0)
112 정답과 해설
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실수 k의 값의 합은 6
이다.
7-1 -'2
|해결 전략 | 원의중심에서현에내린수선은그현을수직이등분한다.
함을이용한다.
원의 중심 O(0, 0)과 점 P(3, 2) 사
이의 거리는
OP’="ƒ3€+2€='ß13
직각삼각형 AOP에서
AP’="ƒ OP’ €-OA’ €
="ƒ('ß13 )€-1€=2'3
4 OAPB=21AOP
=2_;2!;_AP’_OA’
=2_;2!;_2'3_1=2'3
-2
B
2
x
y
2
O
H
A -2
y
1
A
1
B
-1
O
-1
P(3, 2)
x
9-1 10
|해결 전략 | 원의중심과직선사이의거리와반지름의길이를이용한다.
åå ㉡
x€+y€-4x+2y-4=0에서 (x-2)€+(y+1)€=9
원의 중심 (2, -1)과 직선 3x-4y+15=0 사이의 거리는
|3_2-4_(-1)+15|
"ƒ3€+(-4)€
=5
이때, 원의 반지름의 길이는 3이므로
3x-4y+15=0
오른쪽 그림에서
M=5+3=8
m=5-3=2
4 M+m=10
10-2 20
|해결 전략 | 원의중심과접선사이의거리가반지름의길이와같음을이용한다.
5
3
기울기가 2인 접선의 방정식을 y=2x+k라 하면 원의 중심 (1, -3)
과 직선 y=2x+k, 즉 2x-y+k=0 사이의 거리가 원의 반지름의
(2, -1)
3
(x-2)2+(y+1)2=9
길이 1과 같으므로
|2_1-(-3)+k|
"ƒ2€+(-1)€
=1, |k+5|='5
4 k=-5-'5
k+5=-'5
이때, k는 직선의 y절편이므로 구하는 두 직선의 y절편의 곱은
(-5+'5 )(-5-'5 )=20
9-2 11
|해결 전략 | 점P와직선AB사이의거리가최대일때삼각형의넓이가최대
이다.
원 x€+y€=4 위의 점 P(x, y)에서 AB’에
내린 수선의 발을 H라 하자.
1ABP의 넓이가 최대이려면 오른쪽 그
림과 같이 PH’의 길이가 최대이어야 한다.
두 점 A(3, 0), B(0, -4)를 지나는 직
선의 방정식은
x
3
+
y
-4
=1
4 4x-3y-12=0
x
A
2 3
H
y
2
P
-2
O
-2
-4 B
원의 중심 (0, 0)과 직선 4x-3y-12=0 사이의 거리는
|-12|
"ƒ4€+(-3)€
이때, 원의 반지름의 길이는 2이므로 PH’의 길이의 최댓값은
=:¡5™:
:¡5™:+2=:™5™:
또, AB’="ƒ(0-3)€+(-4-0)€=5이므로 1ABP의 넓이의 최댓
값은
;2!;_5_:™5™:=11
참고
;2!;_5_;5@;=1
1ABP의 넓이가 최소이려면 PH’의 길이가 최소이어야 한다.
이때, PH’의 길이의 최솟값은 :¡5™:-2=;5@;이므로 1ABP의 넓이의 최솟값은
10-1 6'ß10
|해결 전략 | y=mx\r"ƒm€+1을이용한다.
직선 3x+y+7=0, 즉 y=-3x-7의 기울기가 -3이므로 이 직선
에 수직인 직선의 기울기는 ;3!;이다.
기울기가 ;3!;인 접선의 방정식은
y=;3!;x\3Ƙ{;3!;}
€+1
4 y=;3!;x\'ß10
11-1 4
|해결 전략 | x€대신x¡x,y€대신y¡y,x대신
x¡+x
2
,y대신
y¡+y
2 를대입
한다.
1_x+1_y+2_
-8_
+4=0
1+x
2
1+y
2
x+y+(1+x)-4(1+y)+4=0
4 2x-3y+1=0
이 직선이 점 (a, 3)을 지나므로
2a-9+1=0
4 a=4
다른 풀이
x€+y€+2x-8y+4=0에서
(x+1)€+(y-4)€=13
따라서 원 위의 점 (1, 1)에서의 접선의 방정식은
(1+1)(x+1)+(1-4)(y-4)=13
4 2x-3y+1=0
이 직선이 점 (a, 3)을 지나므로
2a-9+1=0
4 a=4
11-2 45
|해결 전략 | x¡x+y¡y=r€을이용한다.
원 x€+y€=20 위의 점 (2, 4)
에서의 접선의 방정식은
x+2y=10
y
P
6
2x+4y=20
4 x+2y=10
이 접선이 x축과 만나는 점은
-5
-2
O
B
A
10
x
A(10, 0)이다.
원 x€+y€=20 위의 점 (-4, 2)
에서의 접선의 방정식은
2x-y=-10
-4x+2y=20
4 2x-y=-10
이 접선이 x축과 만나는 점은 B(-5, 0)이다.
또, x+2y=10, 2x-y=-10을 연립하여 풀면 x=-2, y=6이므
이때, 직선 y=;3!;x-'ß10과 직선 y=;3!;x+'ß10이 x축과 만나는 두
점은 각각 (3'ß10, 0), (-3'ß10, 0)이므로 구하는 두 점 사이의 거리는
|3'ß10-(-3'ß10)|=6'ß10
로 두 접선의 교점 P의 좌표는 (-2, 6)이다.
따라서 위의 그림에서 삼각형 PAB의 넓이는
;2!;_15_6=45
13 원의 방정식 113
12-1 -;5^;
|해결 전략 | 접선의 기울기를 m이라 하고 원의 중심과 접선 사이의 거리가 반지
름의 길이와 같음을 이용한다.
접선의 기울기를 m이라 하면 점 (-3, 1)을 지나므로 접선의 방정식은
14
| 도형의 이동
y-1=m(x+3)
4 mx-y+3m+1=0
원의 중심 (0, 0)과 직선 ㉠ 사이의 거리가
원의 반지름의 길이 2와 같으므로
=2
|3m+1|
"ƒm€+(-1)€
|3m+1|=2"ƒm€+1
양변을 제곱하여 정리하면
5m€+6m-3=0
합은 -;5^;이다.
yy ㉠
1
평행이동
(-3, 1)
y
2
O
-2
2
x
-2
개념 확인
310쪽
1 ⑴ (2, 2) ⑵ 2x-y-5=0 ⑶ (x-3)€+(y+2)€=4
⑷ y+2=f(x-3) ⑸ f(x-3, y+2)=0
1 ⑴ (-1+3, 4-2), 즉 (2, 2)
⑵ 2(x-3)-(y+2)+3=0
STEP
1
개념 드릴
| 311쪽 |
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 두 접선의 기울기의
4 2x-y-5=0
12-2 l: x+'3 y-8=0, m: x-'3 y-8=0
|해결 전략 | 두 직선 l, m은 점 (8, 0)에서 원 x€+y€=16에 그은 접선이다.
직선 l, m의 방정식은 점 (8, 0)에서 원 x€+y€=16에 그은 접선의 방
정식이다.
y=m(x-8)
4 mx-y-8m=0
접선의 기울기를 m이라 하면 점 (8, 0)을 지나므로 접선의 방정식은
원의 중심 (0, 0)과 직선 ㉠ 사이의 거리가 반지름의 길이 4와 같으므로
yy ㉠
|-8m|
"ƒm€+(-1)€
양변을 제곱하면
=4, |-8m|=4"ƒm€+1
64m€=16m€+16, 48m€=16
1
'3
4 m=-
m€=;3!;
이것을 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은
x-'3y-8=0 또는 x+'3y-8=0
이때, 직선 l의 기울기는 음, 직선 m의 기울기는 양이므로
l: x+'3y-8=0, m: x-'3y-8=0
다른 풀이
접점의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면 접선의 방정식은
x¡x+y¡y=16
이 접선이 점 (8, 0)을 지나므로
8x¡=16
4 x¡=2
또, 점 (x¡, y¡)은 원 위의 점이므로
x¡€+y¡€=16
㉠을 ㉡에 대입하면
4 y¡=-2'3
4+y¡€=16, y¡€=12
따라서 접점의 좌표는 (2, 2'3 ), (2, -2'3 )이므로 접선의 방정식은
2x+2'3y=16 또는 2x-2'3y=16
4 x+'3y=8 또는 x-'3y=8
이때, 직선 l의 기울기는 음, 직선 m의 기울기는 양이므로
l: x+'3y=8, m: x-'3y=8
114 정답과 해설
1 ⑴ (5, -1) ⑵ (-1, 1) ⑶ (0, -4)
2 ⑴ (3, -1)
⑵ (6, 4) ⑶ (1, 3)
3 ⑴ x+2y+2=0
⑵ y=x€+2x-6
⑶ (x-1)€+(y+5)€=16
4 ⑴ 3x-2y+15=0 ⑵ y=x€+6x+7
⑶ (x+2)€+(y-1)€=4
1 ⑴ (3+2, 2-3), 즉 (5, -1)
⑵ (-3+2, 4-3), 즉 (-1, 1)
⑶ (-2+2, -1-3), 즉 (0, -4)
2 ⑴ (0+3, 0-1), 즉 (3, -1)
⑵ (3+3, 5-1), 즉 (6, 4)
⑶ (-2+3, 4-1), 즉 (1, 3)
3 x 대신 x+1, y 대신 y+2를 대입하면
⑴ (x+1)+2(y+2)-3=0
4 x+2y+2=0
⑵ y+2=(x+1)€-5
4 y=x€+2x-6
⑶ {(x+1)-2}€+{(y+2)+3}€=16
4 (x-1)€+(y+5)€=16
⑴ 3(x+2)-2(y-4)+1=0
4 3x-2y+15=0
⑵ y-4={(x+2)+1}€-6
y=(x+3)€-2
4 y=x€+6x+7
…… ㉠
4 주어진 평행이동은 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 4만
…… ㉡
큼 평행이동하는 것이다.
따라서 x 대신 x+2, y 대신 y-4를 대입하면
⑶ (x+2)€+{(y-4)+3}€=4
4 (x+2)€+(y-1)€=4
STEP
2
필수 유형
| 312쪽~315쪽 |
방향으로 -1만큼 평행이동하는 것이므로 ㉠에 x 대신 x-2, y 대신
01-1 (-3, 5)
|해결 전략 | 점 (3, 1)을 점 (2, 3)으로 옮기는 평행이동을 먼저 구한다.
점 (3, 1)을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동
한 점의 좌표가 (2, 3)이라 하면
3+a=2, 1+b=3
4 a=-1, b=2
만큼 평행이동하는 것이다.
(-2-1, 3+2), 즉 (-3, 5)
즉, 주어진 평행이동은 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2
(2+2, -2-1), 즉 (4, -3)
따라서 이 평행이동에 의하여 점 (-2, 3)이 옮겨지는 점의 좌표는
01-2 4
|해결 전략 | 점 (a, -2)가 옮겨지는 점의 좌표를 구한다.
평행이동 (x, y) bd (x-1, y+3)은 x축의 방향으로 -1만큼, y
축의 방향으로 3만큼 평행이동하는 것이므로 이 평행이동에 의하여
점 (a, -2)가 옮겨지는 점의 좌표는
(a-1, -2+3), 즉 (a-1, 1)
이 점이 직선 y=2x-5 위에 있으므로
1=2(a-1)-5
4 a=4
03-1 a=-8, b=13
|해결 전략 | 포물선의 방정식에 x 대신 x-2, y 대신 y+1을 대입한다.
y=x€-4x+2에서
y=(x-2)€-2
yy ㉠
평행이동 (x, y) bd (x+2, y-1)은 x축의 방향으로 2만큼, y축의
y+1을 대입하면
y+1=(x-2-2)€-2, y=(x-4)€-3
4 y=x€-8x+13
이 포물선이 y=x€+ax+b와 일치하므로
a=-8, b=13
다른 풀이
포물선 y=x€-4x+2, 즉 y=(x-2)€-2의 꼭짓점 (2, -2)를 x축의 방향
으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 점의 좌표는
따라서 x€의 계수가 1이고 꼭짓점의 좌표가 (4, -3)인 포물선의 방정식은
y=(x-4)€-3
4 y=x€-8x+13
a=-8, b=13
이 포물선이 y=x€+ax+b와 일치하므로
03-2 -7
|해결 전략 | 포물선의 방정식에 x 대신 x-p, y 대신 y-(p+3)을 대입한다.
y=3x€+6x+7에서 y=3(x+1)€+4
이 포물선을 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 p+3만큼 평행
이동한 포물선의 방정식은
y-(p+3)=3(x-p+1)€+4
4 y=3(x-p+1)€+p+7
이 포물선의 꼭짓점 (p-1, p+7)이 x축 위에 있으므로 y좌표는 0
02-1 -8
|해결 전략 | 도형 f(x, y)=0을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼
평행이동한 도형의 방정식은 f(x-a, y-b)=0이다.
p+7=0
4 p=-7
이다.
다른 풀이
2x-y+k=0에 x 대신 x+3, y 대신 y-4를 대입하면
2(x+3)-(y-4)+k=0
4 2x-y+k+10=0
이 직선이 직선 2x-y+2=0과 일치하므로
k+10=2
4 k=-8
포물선 y=3x€+6x+7, 즉 y=3(x+1)€+4의 꼭짓점 (-1, 4)를 x축의
방향으로 p만큼, y축의 방향으로 p+3만큼 평행이동한 점의 좌표는
(-1+p, 4+p+3), 즉 (p-1, p+7)
이때, 이 점이 x축 위에 있으므로 y좌표는 0이다.
p+7=0
4 p=-7
02-2 3x-y+7=0
|해결 전략 | 점 (2, -2)를 점 (1, 1)로 옮기는 평행이동을 먼저 구한다.
04-1 a=-3, b=2, c=10
|해결 전략 | 원의 방정식에 x 대신 x-a, y 대신 y-b를 대입한다.
점 (2, -2)를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이
원 (x+2)€+(y+1)€=16을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으
동한 점의 좌표가 (1, 1)이라 하면
2+a=1, -2+b=1
4 a=-1, b=3
만큼 평행이동하는 것이다.
3(x+1)-(y-3)+1=0
4 3x-y+7=0
즉, 주어진 평행이동은 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 3
따라서 이 평행이동에 의하여 직선 3x-y+1=0이 옮겨지는 직선의
방정식은 x 대신 x+1, y 대신 y-3을 대입하면
4 a=-3, b=2, c=10
다른 풀이
로 b만큼 평행이동한 원의 방정식은
(x-a+2)€+(y-b+1)€=16
이 원이 원 x€+y€+10x-2y+c=0, 즉
(x+5)€+(y-1)€=26-c와 일치하므로
-a+2=5, b-1=1, 16=26-c
원 (x+2)€+(y+1)€=16의 중심 (-2, -1)을 x축의 방향으로 a만큼, y
축의 방향으로 b만큼 평행이동한 점의 좌표는
14 도형의 이동 115
(-2+a, -1+b)
심 (-5, 1)과 같으므로
이 점이 원 x€+y€+10x-2y+c=0, 즉 (x+5)€+(y-1)€=26-c의 중
-2+a=-5, -1+b=1
4 a=-3, b=2
또, 원을 평행이동해도 반지름의 길이는 변하지 않으므로
4='ß26-c, 16=26-c
4 c=10
04-2 a=3, b=-2
|해결 전략 | 원을 평행이동하면 원의 중심은 평행이동된 원의 중심으로 옮겨진다.
x€+y€+6x-4y+9=0에서
(x+3)€+(y-2)€=4
원의 방정식은
a-3=0, b+2=0
4 a=3, b=-2
다른 풀이
원 x€+y€+6x-4y+9=0, 즉 (x+3)€+(y-2)€=4의 중심 (-3, 2)를
x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 점의 좌표는
(-3+a, 2+b)
이 점이 원점과 같으므로
-3+a=0, 2+b=0
4 a=3, b=-2
4 점 P(2, -1)을 직선 y=-x+3에 대
하여 대칭이동한 점을 P'(a, b)라 하면
선분 PP'의 중점 M의 좌표는
{
2+a
2
,
-1+b
2
}
y=-x+3
P'(a, b)
M
P(2, -1)
이때, 중점 M이 직선 y=-x+3 위의 점이므로
-1+b
2
=-
+3
2+a
2
-1+b=-2-a+6
4 a+b=5
b-(-1)
a-2
_(-1)=-1
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=1
따라서 구하는 점의 좌표는 (4, 1)이다.
yy ㉠
yy ㉡
이 원을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한
또, 직선 PP'과 직선 y=-x+3이 서로 수직이므로
(x-a+3)€+(y-b-2)€=4
yy ㉠
b+1=a-2
원 ㉠의 중심의 좌표는 (a-3, b+2)이고, 이 점이 원점이어야 하므로
4 a-b=3
STEP
1
개념 드릴
| 320쪽 |
2
대칭이동
개념 확인
3 (6, 7)
4 (4, 1)
1 ⑴ (2, -3) ⑵ (-2, 3) ⑶ (-2, -3) ⑷ (3, 2)
2 ⑴ 2x+y+3=0 ⑵ 2x+y-3=0
⑶ 2x-y-3=0 ⑷ x-2y-3=0
316쪽~319쪽
1 ⑴ (-5, -3) ⑵ (5, 3) ⑶ (5, -3) ⑷ (3, -5)
2 ⑴ x+3y-2=0
⑵ x+3y+2=0
⑶ x-3y+2=0 ⑷ 3x-y+2=0
3 ⑴ (x-2)€+(y-3)€=4 ⑵ (x+2)€+(y+3)€=4
⑶ (x+2)€+(y-3)€=4 ⑷ (x+3)€+(y-2)€=4
4 ⑴ Q(1, -1) ⑵ Q(-5, -5)
⑶ Q(0, 4) ⑷ Q(-2, -4)
2 ⑴ 2x-(-y)+3=0
4 2x+y+3=0
⑵ 2_(-x)-y+3=0
4 2x+y-3=0
⑶ 2_(-x)-(-y)+3=0
4 2x-y-3=0
⑷ 2y-x+3=0
4 x-2y-3=0
3 점 P(2, -1)을 점 (4, 3)에 대하여 대칭이
P'(x', y')
동한 점을 P'(x', y')이라 하면
선분 PP'의 중점이 (4, 3)이므로
2+x'
2
=4,
-1+y'
2
=3
4 x'=6, y'=7
따라서 구하는 점의 좌표는 (6, 7)이다.
116 정답과 해설
(4, 3)
P(2, -1)
2 ⑴ x-3_(-y)-2=0
∴ x+3y-2=0
⑵ -x-3y-2=0
∴ x+3y+2=0
⑶ -x-3_(-y)-2=0
∴ x-3y+2=0
⑷ y-3x-2=0
∴ 3x-y+2=0
3 ⑴ (x-2)€+(-y+3)€=4
4 (x-2)€+(y-3)€=4
⑵ (-x-2)€+(y+3)€=4
4 (x+2)€+(y+3)€=4
⑶ (-x-2)€+(-y+3)€=4
4 (x+2)€+(y-3)€=4
⑷ (y-2)€+(x+3)€=4
4 (x+3)€+(y-2)€=4
4 점 Q의 좌표를 (a, b)라 하면
⑴ 점 (2, 0)은 두 점 P(3, 1), Q(a, b)의 중점이므로
01-2 y=-;2!;x+;2%;
|해결 전략 | 점 (a, b)를 x축에 대하여 대칭이동하면 (a, -b), 직선 y=x에 대
하여 대칭이동하면 (b, a)이다.
점 P(3, -1)을 x축에 대하여 대칭이동한 점 A의 좌표는
(3, 1)
(-1, 3)
점 P(3, -1)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점 B의 좌표는
따라서 두 점 A(3, 1), B(-1, 3)을 지나는 직선의 방정식은
y-1=
3-1
-1-3
(x-3)
4 y=-;2!;x+;2%;
3+a
2
=2, 1+b
=0
2
4 a=1, b=-1
따라서 점 Q의 좌표는 (1, -1)이다.
⑵ 점 (-1, -2)는 두 점 P(3, 1), Q(a, b)의 중점이므로
3+a
2
=-1, 1+b
=-2
2
4 a=-5, b=-5
따라서 점 Q의 좌표는 (-5, -5)이다.
⑶ 두 점 P(3, 1), Q(a, b)에 대하여 PQ’의 중점 {
가 직선 y=x+1 위의 점이므로
3+a
2
, 1+b
2
}
1+b
2
=
3+a
2
4 a-b=-4
+1, 1+b=3+a+2
또, 직선 PQ와 직선 y=x+1은 서로 수직이므로
02-1 a=-1, b=3
|해결 전략 | 포물선을 대칭이동하면 꼭짓점은 대칭이동된 포물선의 꼭짓점으로
옮겨진다.
yy ㉠
y=x€+2ax+b에서 y=(x+a)€+b-a€
이 포물선의 꼭짓점 (-a, b-a€)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동
_1=-1, b-1=-a+3
b-1
a-3
4 a+b=4
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=0, b=4
따라서 점 Q의 좌표는 (0, 4)이다.
한 점의 좌표는
(b-a€, -a)
yy ㉡
이 점이 점 (2, 1)과 일치하므로
b-a€=2, -a=1
4 a=-1, b=3
⑷ 두 점 P(3, 1), Q(a, b)에 대하여 PQ’의 중점 {
가 직선 y=-x-1 위의 점이므로
3+a
2
, 1+b
2
}
=-
1+b
2
3+a
2
4 a+b=-6
-1, 1+b=-3-a-2
02-2 ;2!;
|해결 전략 | 원의 넓이를 이등분하는 직선은 원의 중심을 지나는 직선이다.
yy ㉠
직선 y=mx+3을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은
또, 직선 PQ와 직선 y=-x-1은 서로 수직이므로
-y=mx+3
4 y=-mx-3
yy ㉠
b-1
a-3
_(-1)=-1
4 a-b=2
yy ㉡
x€+y€-4x+8y+4=0에서
(x-2)€+(y+4)€=16
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=-2, b=-4
따라서 점 Q의 좌표는 (-2, -4)이다.
직선 ㉠이 주어진 원의 넓이를 이등분하려면 원의 중심 (2, -4)를
지나야 하므로
-4=-2m-3
4 m=;2!;
LECTURE
도형의 넓이를 이등분하는 직선
❶ 원: 중심을 지나는 직선
❷ 평행사변형: 두 대각선의 교점을 지나는 직선
STEP
2
필수 유형
| 321쪽~326쪽 |
01-1 1
|해결 전략 | 점 (a, b)를 y축에 대하여 대칭이동하면 (-a, b), 직선 y=-x에
03-1 a=0, b=5
|해결 전략 | 문제에 제시된 순서대로 평행이동한 후 대칭이동한다.
대하여 대칭이동하면 (-b, -a)이다.
점 (a, -2)를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행
점 (-4, 1)을 y축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는
이동한 점의 좌표는
이 점을 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는
이 점을 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는
(4, 1)
(-1, -4)
이 점이 포물선 y=x€+ax-4 위에 있으므로
-4=1-a-4
4 a=1
(a+2, -2-3), 즉 (a+2, -5)
(-a-2, 5)
이 점이 점 (-2, b)와 일치하므로
-a-2=-2, 5=b
4 a=0, b=5
14 도형의 이동 117
03-2 2
|해결 전략 | 문제에 제시된 순서대로 대칭이동한 후 평행이동한다.
06-1 5
|해결 전략 | 점 A를 x축에 대하여 대칭이동하여 최솟값을 구한다.
직선 x+2y-1=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선의 방정
점 A(-1, 1)을 x축에 대하여 대칭이
식은
y+2x-1=0
4 2x+y-1=0
동한 점을 A'이라 하면
A'(-1, -1)
이 직선을 y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 직선의 방정식은
이때, AP’=A”'P’이므로 오른쪽 그림에서
-1
P
3
x
2x+(y-n)-1=0
4 2x+y-n-1=0
AP’+BP’=A”'P’+BP’
B
y
2
O
A
1
-1
A'
이 직선이 점 (1, 1)을 지나므로
2+1-n-1=0
4 n=2
>A”'B’
="ƒ(3+1)€+(2+1)€=5
따라서 AP’+BP’의 최솟값은 5이다.
04-1 7
|해결 전략 | 점 P를 점 A에 대하여 대칭이동한 점을 P'이라 하면 점 A는 선분
PP'의 중점이다.
두 점 (a, -8), (-1, b)를 이은 선분의 중점 (-1, b)
이 점 (2, -3)이므로
a-1
2
=2,
-8+b
2
=-3
4 a=5, b=2
4 a+b=7
06-2 'ß10
|해결 전략 | 점 A를 직선 y=x에 대하여 대칭이동하여 최솟값을 구한다.
점 A(2, 3)을 직선 y=x에 대하여 대칭
이동한 점을 A'이라 하면
A'(3, 2)
B
A
y=x
P
y
5
3
2
O
2
3
x
(2, -3)
이때, AP’=A'P’이므로 오른쪽 그림에서
A'
(a, -8)
AP’+BP’=A'P’+BP’
>A'B’
="ƒ(2-3)€+(5-2)€='ß10
따라서 AP’+BP’의 최솟값은 'ß10이다.
04-2 0
|해결 전략 | 원을 대칭이동하면 원의 중심은 대칭이동된 원의 중심으로 옮겨진다.
x€+y€-2x-8y+16=0에서
(x-1)€+(y-4)€=1
원의 중심 (1, 4)를 점 (3, a)에 대하여 대
칭이동한 점의 좌표가 (b, 6)이다.
따라서 두 점 (1, 4), (b, 6)을 이은 선분
의 중점이 점 (3, a)이므로
1+b
2
=3,
4+6
2
4 a-b=0
=a
4 a=5, b=5
(b, 6)
(3, a)
(1, 4)
STEP
3
유형 드릴
| 327쪽~328쪽 |
1-1 10
|해결 전략 | 점 (-6, 5)가 평행이동에 의하여 옮겨지는 점의 좌표를 구한다.
점 (-6, 5)를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행
이동한 점의 좌표는
(-6+a, 5-3), 즉 (-6+a, 2)
이 점이 점 (2, b)와 일치하므로
-6+a=2, 2=b
4 a=8, b=2
4 a+b=10
05-1 2
|해결 전략 | 두 원이 직선 l에 대하여 대칭이면 두 원의 중심도 직선 l에 대하여
대칭이다.
두 원의 중심 (0, 0), (-1, a)를 이은 선분의 중점 {-
, ;2A;}가 직선
1
2
y=mx+1 위의 점이므로
;2A;=-;2!;m+1
또, 두 원의 중심 (0, 0), (-1, a)를 지나는 직선과 직선 y=mx+1
4 a+m=2
yy ㉠
위에 있다.
점 (4, 1)을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이
1-2 -6
|해결 전략 | 점 (4, 1)이 평행이동에 의하여 옮겨진 점이 직선 3x-2y+4=0
_m=-1
4 am=1
yy ㉡
은 서로 수직이므로
a-0
-1-0
4 a€+m€ =(a+m)€-2am
=2€-2=2 (5 ㉠, ㉡)
118 정답과 해설
동한 점의 좌표는
(4+a, 1-2), 즉 (4+a, -1)
이 점이 직선 3x-2y+4=0 위에 있으므로
3(4+a)-2_(-1)+4=0, 3a=-18
4 a=-6
2-1 2x-y-4=0
|해결 전략 | 직선 l의 방정식을 ax+by+c=0으로 놓고 평행이동한다.
3-2 6
|해결 전략 | 점 P를 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동한 세 점 A, B, C의 좌표를
직선 l의 방정식을 ax+by+c=0이라 하자.
구하고 좌표평면 위에 나타낸다.
직선 l을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동
점 P(-3, -1)을
x축에 대하여 대칭이동한 점 A의 좌표는 (-3, 1)
y축에 대하여 대칭이동한 점 B의 좌표는 (3, -1)
원점에 대하여 대칭이동한 점 C의 좌표는 (3, 1)
따라서 오른쪽 그림에서 1ABC의 넓이는
;2!;_6_2=6
y
1
O
-1
A
-3
P
C
x
3
B
4-1 -6
|해결 전략 | 도형 f(x, y)=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식
직선 2x-3y+1=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선의 방
은 f(y, x)=0이다.
정식은
2y-3x+1=0, 즉 3x-2y-1=0
이 직선이 직선 ax+by-1=0과 일치하므로
a=3, b=-2
4 ab=-6
4-2 2
|해결 전략 | 원의 넓이를 이등분하는 직선은 원의 중심을 지난다.
한 직선의 방정식은
a(x-1)+b(y+2)+c=0
4 ax+by-a+2b+c=0
이 직선이 직선 2x-y-8=0과 일치하므로
a=2, b=-1, -a+2b+c=-8
-2-2+c=-8에서 c=-4
따라서 직선 l의 방정식은 2x-y-4=0
직선 2x-y-8=0을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행
따라서 2x-y-8=0에 x 대신 x+1, y 대신 y-2를 대입하면 직선 l의 방
이동하면 직선 l이 된다.
다른 풀이
정식은
2(x+1)-(y-2)-8=0
4 2x-y-4=0
2-2 17
|해결 전략 | 원의 방정식을 표준형으로 고친 후 평행이동한 원의 방정식을 구한다.
이 원을 x축의 방향으로 -4만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동한
x€+y€-6x+2ay+8=0에서
(x-3)€+(y+a)€=a€+1
원의 방정식은
(x+4-3)€+(y-5+a)€=a€+1
한편, x€+y€+2bx-8y+c=0에서
(x+b)€+(y-4)€=b€-c+16
㉠과 ㉡이 일치하므로
b=1, -4=-5+a, b€-c+16=a€+1
4 a=1, b=1, c=15
4 a+b+c=17
다른 풀이
4 (x+1)€+(y-5+a)€=a€+1
yy ㉠
직선 y=mx+4를 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은
y=-mx+4
yy ㉠
yy ㉡
x€+y€-6x+4y-3=0에서
(x-3)€+(y+2)€=16
직선 ㉠이 주어진 원의 넓이를 이등분하려면 원의 중심 (3, -2)를
지나야 하므로
-2=-3m+4
4 m=2
원 (x-3)€+(y+a)€=a€+1의 중심 (3, -a)를 x축의 방향으로 -4만큼,
y축의 방향으로 5만큼 평행이동한 점의 좌표는
(3-4, -a+5), 즉 (-1, -a+5)
5-1 1
|해결 전략 | 문제에 제시된 순서대로 평행이동한 후 대칭이동한다.
이 점이 원 (x+b)€+(y-4)€=b€-c+16의 중심 (-b, 4)와 일치하므로
직선 3x+y+1=0을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -2
-1=-b, -a+5=4
4 a=1, b=1
또, 평행이동한 원의 반지름의 길이는 변하지 않으므로
4 c=15
"ƒa€+1="ƒb€-c+16 에서 '2 ='ß17-c
4 a+b+c=17
3-1 2'ß13
|해결 전략 | 점 (a, b)를 y축에 대하여 대칭이동하면 (-a, b), 원점에 대하여 대
칭이동하면 (-a, -b)이다.
점 A(3, 2)를 y축에 대하여 대칭이동한 점 P의 좌표는
(-3, 2)
점 P(-3, 2)를 원점에 대하여 대칭이동한 점 Q의 좌표는
(3, -2)
4 PQ’="ƒ(3+3)€+(-2-2)€=2'ß13
만큼 평행이동한 직선의 방정식은
3(x-1)+(y+2)+1=0
4 3x+y=0
3x-y=0
이 직선이 점 (k, 3)을 지나므로
3k-3=0
4 k=1
이 직선을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은
5-2 1
|해결 전략 | 문제에 제시된 순서대로 대칭이동한 후 평행이동한다.
원 (x+1)€+(y-1)€=2를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 원의
방정식은
14 도형의 이동 119
이 원을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한
따라서 원의 중심은 점 (-1, 2)이고, 이 점이 직선 y=mx+3 위에
(y+1)€+(x-1)€=2
4 (x-1)€+(y+1)€=2
원의 방정식은
(x+2-1)€+(y-3+1)€=2
4 (x+1)€+(y-2)€=2
2=-m+3
4 m=1
있으므로
다른 풀이
한 점의 좌표는 (1, -1)
점의 좌표는
(1-2, -1+3), 즉 (-1, 2)
원 (x+1)€+(y-1)€=2의 중심 (-1, 1)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동
점 (1, -1)을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한
또, 두 점 A(-4, 2), B(-2, 6)을 이은 선분의 중점
-4-2
2
{
,
2+6
2 }, 즉 (-3, 4)는 직선 y=ax+b 위의 점이므로
4=-3a+b에서
4=-3_{-;2!;}+b
4 b=;2%;
7-2 29
|해결 전략 | 두 원의 중심이 직선 y=ax+b에 대하여 대칭이다.
(x-8)€+(y-4)€=4
x€+y€-8x-4y+c=0에서
(x-4)€+(y-2)€=20-c
yy ㉠
yy ㉡
원 ㉠과 원 ㉡이 직선 y=ax+b에 대하여 대칭이므로 원 ㉠의 중심
(8, 4)와 원 ㉡의 중심 (4, 2)가 직선 y=ax+b에 대하여 대칭이
다.
2-4
4-8
는 서로 수직이므로
_a=-1
4 a=-2
따라서 점 (-1, 2)가 직선 y=mx+3 위에 있으므로
2=-m+3
4 m=1
따라서 두 원의 중심 (8, 4), (4, 2)를 지나는 직선과 직선 y=ax+b
6-1 22
|해결 전략 | 점 (3, -5)가 두 점 P, Q를 이은 선분의 중점임을 이용한다.
두 점 P(-1, 5), Q(a, b)를 이은 선분의 중점이 점 (3, -5)이므로
-1+a
2
=3,
5+b
2 =-5 4 a=7, b=-15
4 a-b=7-(-15)=22
또, 두 원의 중심 (8, 4), (4, 2)를 이은 선분의 중점 {
즉 (6, 3)이 직선 y=ax+b 위의 점이므로 3=6a+b에서
8+4
2
,
4+2
2 },
3=-12+b
4 b=15
이때, 원 ㉠의 반지름의 길이와 원 ㉡의 반지름의 길이는 같으므로
'4 ='ß20-c
4 a+b+c=-2+15+16=29
4 c=16
6-2 -2
|해결 전략 | 포물선 y=-x€+4x-7의 꼭짓점을 점 (-1, a)에 대하여 대칭이
동한 점의 좌표가 (b, 7)이다.
8-1 5
|해결 전략 | 점 A를 y축에 대하여 대칭이동하여 최솟값을 구한다.
y=-x€+4x-7에서 y=-(x-2)€-3
점 A(2, 7)을 y축에 대하여 대칭이동
포물선의 꼭짓점 (2, -3)을 점 (-1, a)에 대하여 대칭이동한 점의
한 점을 A'이라 하면
즉, 두 점 (2, -3), (b, 7)을 이은 선분의 중점이 점 (-1, a)이므로
이때, AP’=A'P’이므로 오른쪽 그림
좌표가 (b, 7)이다.
4 a+b=-2
LECTURE
2+b
2
=-1,
-3+7
2
=a
4 a=2, b=-4
대칭이동에 의하여 도형은 합동인 도형으로 옮겨진다.
즉, 원은 원, 포물선은 포물선으로 옮겨진다.
이때, (중심) d (중심), (꼭짓점) d (꼭짓점), (대칭축) d (대칭축)으
로 옮겨지고, 원의 경우 반지름의 길이는 변하지 않는다.
A'(-2, 7)
에서
AP’+BP’=A”'P’+BP’
>A'B’
="ƒ(1+2)€+(3-7)€=5
따라서 AP’+BP’의 최솟값은 5이다.
7-1 a=-;2!;, b=;2%;
|해결 전략 | 직선 AB와 직선 y=ax+b는 서로 수직이고, 선분 AB의 중점은
이동한 점을 A'이라 하면
A'(0, 1)
두 점 A(-4, 2), B(-2, 6)을 지나는 직선과 직선 y=ax+b는 서
직선 y=ax+b 위의 점이다.
로 수직이므로
6-2
-2+4
_a=-1
4 a=-;2!;
120 정답과 해설
8-2 'ß26
|해결 전략 | 점 A를 직선 y=x에 대하여 대칭이동하여 최솟값을 구한다.
점 A(1, 0)을 직선 y=x에 대하여 대칭
y
y=x
P
2
A'
1
A
O
1
B
5
x
이때, AP’=A'P’이므로 오른쪽 그림에서
AP’+BP’ =A'P’+BP’
AP’+BP>A'B’
ß26
AP’+BP’="ƒ5€+(2-1)€='å
ß26 이다.
따라서 AP’+BP’의 최솟값은 'å
A'(-2, 7)
A(2, 7)
y
P
O
B(1, 3)
x
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