개념편
정답 및 해설
Ⅰ 자연수의 성질
Ⅱ 정수와 유리수
Ⅲ 문자와 식
Ⅳ 좌표평면과 그래프
2
12
21
43
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1
표를 완성하면 다음과 같다.
수
약수
소수 또는 합성수
소수도 아니고 합성수도 아니다.
정답 및 해설
Ⅰ
1. 소인수분해
자연수의 성질
01
소인수분해
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1, 2
1, 3
1, 2, 4
1, 5
1, 2, 3, 6
1, 7
1, 2, 4, 8
1, 3, 9
10
1, 2, 5, 10
소수
소수
합성수
소수
합성수
소수
합성수
합성수
합성수
1은 소수도 합성수도 아니다.
1-1
소수: 13, 29, 37
합성수: 9, 21, 49, 51
2-1
① 2+2+2=2_3=6+2Ü`
② 3Ü`=3_3_3=27+9
③ 4Ü`=4_4_4=64+12
④ 5_5_5=5Ü`+3Þ`
⑤ 2_7_7_7=2_7Ü``(참)
3
⑴ 2 `
36
>ù
18
2 `
>ù
` 9
3 `
>ù
` 3
`
>ù
36=2 2 _3 2
⑵ 40
2
20
2
10 2
40=2 3 _ 5
5
2 | 정답 및 해설
3-1
⑴ 28=2_14= 2 `Û`_ 7
⑵ 45=3_15=3_3_5= 3 `Û`_ 5
⑶ 108 =2_54=2Û`_27=2Û`_3_9
=2Û`_3Û`_3= 2 `Û`_ 3 `Ü`
⑷ 360 =2_180=2Û`_90=2Ü`_45
=2Ü`_3_15= 2 `Ü`_ 3 `Û`_5
P.6
⑴ 2, 7 ⑵ 3, 5 ⑶ 2, 3 ⑷ 2, 3
4
⑴ 24=2_12=2Û`_6=2Ü`_3
⑵ 52=2_26=2Û`_13
⑶ 72 =2_36=2Û`_18=2Ü`_9=2Ü`_3Û`
⑷ 135=3_45=3Û`_15=3Ü`_5
⑴ 2Ü`_3 ⑵ 2Û`_13 ⑶ 2Ü`_3Û` ⑷ 3Ü`_5
4-1
ㄱ. 6=2_3
ㄷ. 42=2_3_7
이므로 ㄷ과 ㄹ의 소인수가 2, 3, 7로 같다.
ㄴ. 16=2Ý`
ㄹ. 168=2Ü`_3_7
⑤
P.8
⑤
P.7
( 1 +1)_( 1 +1)= 4 `이다.
y`
각 1이므로
5-1
⑴ 24= 2 `Ü`_ 3
_
1
3
_
1
2
2Û`
2Ü`
_
1
2
2Û`
1
1
3
1
1
2
4
8
1
1
2
4
5
5
15
3
3
6
12
24
3
3
6
12
3Û`
9
18
36
24의 약수의 개수는 (3+1)_(1+1)=8이다.
표참조, 약수의 개수: 8
⑵ 36= 2 `Û`_ 3 `Û`
소수: 13, 29, 37 합성수: 9, 21, 49, 51
5
⑴ 15를 소인수분해하면 15=3_5이고 약수의 개수를 구
하기 위해 표를 만들면 다음과 같다.
2
⑴ 2Û`_3 ⑵ 5Þ` ⑶ 2Û`_3Ü`_7Ý` ⑷
_
{;2!;}
{;5!;}
3`
4`
y`
⑵ 15=3_5의 약수의 개수는 소인수 3과 5의 지수가 각
⑴ 2, 2, 9, 3, 2, 2 ⑵ 2, 2, 5, 3, 5
표참조, 약수의 개수: 9
36의 약수의 개수는 (2+1)_(2+1)=9이다.
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ù
ù
ù
07
08
6
⑴ 16=2Ý`이므로 약수는 1, 2, 4, 8, 16이고 그 개수는 5
이다.
⑵ 100=2Û`_5Û`이므로 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25,
50, 100이고 그 개수는 9이다.
⑴ 약수: 1, 2, 4, 8, 16, 약수의 개수: 5
⑵ 약수: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 약수의 개수: 9
04
① 밑은 2, 지수는 4이다.
② 3Û`=3_3=9+6
③ a_a_a=aÜ`+3a
④ b+b+b=3b+bÜ`
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
7
150=2_3_5Û`이고 소인수 2, 3, 5의 지수가 각각 1, 1,
2이므로 약수의 개수는
(1+1)_(1+1)_(2+1)=12이다.
약수의 개수: 12
7-1
① 28=2Û`_7이므로 약수의 개수는
(2+1)_(1+1)=6이다.
② 36=2Û`_3Û`이므로 약수의 개수는
(2+1)_(2+1)=9이다.
③ 243=3Þ`이므로 약수의 개수는 5+1=6이다.
④ 5Ý`_7의 약수의 개수는 (4+1)_(1+1)=10이다.
⑤ 3Ü`_5Û`의 약수의 개수는 (3+1)_(2+1)=12이다.
05
_
1
2
2Û`
2Ü`
1
1
2
2Û`
2Ü`
3
3
2_3
2Û`_3
2Ü`_3
3Û`
3Û`
2_3Û`
2Û`_3Û`
2Ü`_3Û`
위의 표에서 ①~④는 모두 2Ü`_3Û`의 약수이고 ⑤ 2_3Ü`은
2Ü`_3Û`의 약수가 아니다.
06
각 자연수를 소인수분해하면
① 6=2_3
③ 16=2Ý`
⑤ 72=2Ü`_3Û`
② 12=2Û`_3
④ 36=2Û`_3Û`
⑤
이므로 ①, ②, ④, ⑤는 소인수가 2와 3이나 ③은 소인수
가 2뿐이다.
실력 다지기
PP.9~10
01 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
02 ③
03 2개
43, 47
06 ③
08 4개
07 ②
09 ⑴ 6 ⑵ 8 ⑶ 8 ⑷ 5
10 풀이 참조
04 ⑤
05 ⑤
01
지우고 남은 수가 소수이므로 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47이다.
① 자연수는 1과 소수와 합성수로 이루어져 있다.
02
② 소수는 약수가 2개인 수이다.
③ 20보다 작은 두 자리의 소수는 11, 13, 17, 19의 4개
이다.
④ 소수 2는 짝수이다.
⑤ 5의 배수 중 5는 소수이다.
따라서 옳은 것은 ③이다.
03
1은 소수도 합성수도 아니다.
49=7_7, 51=3_17, 117=3_3_13,
121=11_11, 133=7_19
따라서 소수는 19, 37의 2개이다.
525=3_175=3_5_35=3_5Û`_7에서 소인수는 3,
5, 7이므로 그 합은 15이다.
600을 소인수분해하면 600=2Ü`_3_5Û`이므로 600의 약
수 중 어떤 수의 제곱이 되는 수는 1Û`, 2Û`, 5Û`, 2Û`_5Û`으로 4
개이다.
소인수분해를 이용하여 약수의 개수를 구하면 다음과 같다.
09
⑴ 18=2_3Û`이므로 (1+1)_(2+1)=6
⑵ 24=2Ü`_3이므로 (3+1)_(1+1)=8
⑶ 2_3_7은 (1+1)_(1+1)_(1+1)=8
⑷ 5Ý`은 4+1=5
10
x+y의 값 중 가장 작은 값을 구하려면 x, y 모두 가장 작
은 수이어야 한다.
75_x=3_5Û`_x가 어떤 자연수의 제곱이 되려면 각 소
이다.
인수의 지수가 짝수가 되어야 하므로 가장 작은 수는 x=3
yy`❶
이때 3Û`_5Û`=(3_5)Û`=15Û`이므로 y=15이다. yy`❷
따라서 x+y=3+15=18이다.
yy`❸
단계
채점 기준
❶ 자연수의 제곱이 되는 x의 값을 구한다.
❷ y의 값을 구한다.
❸ x+y의 값을 구한다.
배 율
50`%
40`%
10`%
Ⅰ 자연수의 성질 | 3
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02
최대공약수와 최소공배수
1
16의 약수는 1, 2, 4, 8, 16이고, 28의 약수는 1, 2, 4, 7,
14, 28이다.
⑴ 16과 28의 공약수는 1, 2, 4이다.
⑵ 16과 28의 최대공약수는 4이다.
⑶ ⑴, ⑵에서 공약수는 최대공약수의 약수 임을 알 수 있다.
⑴ 1, 2, 4 ⑵ 4 ⑶ 약수
1-1
두 수 A, B의 공약수는 최대공약수 18의 약수이므로
1, 2, 3, 6, 9, 18이다.
1, 2, 3, 6, 9, 18
2
⑴ 두 수 4와 9는 최대공약수가 1이므로 서로소이다.
⑵ 모든 자연수와 서로소인 자연수는 1이다.
⑶ 4와 9는 각각 합성수이지만 서로소이다.
⑴ ⑵ ⑶ ×
2-1
③ 51=17_3에서 17과 51의 최대공약수는 17이므로
두 수는 서로소가 아니다.
2-2
① 두 수 5, 10의 최대공약수가 5이므로 서로소가 아니다.
② 두 수 6, 15의 최대공약수가 3이므로 서로소가 아니다.
③ 두 수 3, 27의 최대공약수가 3이므로 서로소가 아니다.
④ 두 수 11, 13의 최대공약수가 1이므로 서로소이다.
⑤ 두 수 9, 21의 최대공약수가 3이므로 서로소가 아니다.
P.11
④
4-1
`A=2Û`_3Û`_5
`B=2Ý`_3
(최대공약수)=2Û`_3
5
⑴ `15=2_3_5
`30=2_3_5
(최대공약수)= 3_5=15
⑵ `60=2Û`_3_5
`84=2Û`_3 _7
(최대공약수)=2Û`_3 =12
3
`15
>³
`5
`60
`30
2
2
>³
>³
`15
3
>³
`5
2
`30
>³
`15
3
>³
`5
`84
`42
2
>³
2
>³
`21
3
>³
`7
⑴ 15 ⑵ 12
다른 풀이
⑴ 3
`15 30
` 5 10
5
>³
`1 2
>³
>³
>³
⑵ 2
`60 84
2
`30 42
③
(최대공약수)=3_5=15
`15 21
3
>³
`5 7
(최대공약수)=2_2_3=12
5-1
`16=2Ý`
`24=2Ü`_3
`40=2Ü` _5
(최대공약수)=2Ü` =8
`16
` 8
2
2
>³
>³
` 4
2
>³
`2
2
2
`24
>³
`12
>³
` 6
2
>³
`3
2
2
`40
>³
`20
>³
`10
2
>³
`5
②
④
P.12
다른 풀이
`16 24 40
` 8 12 20
2
2
>³
>³
` 4 6 10
2
>³
`2 3 5
⑴ 6 ⑵ 30
(최대공약수)=2_2_2=8
참고 최대공약수를 구하는 방법
① 같은 소인수끼리 줄을 맞추어 쓴다.
② 공통인 소인수를 곱하고 지수는 같거나 작은 것을 택한다.
6
3의 배수는 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, y이고, 4의
배수는 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, y이다.
P.13
⑴ 9 ⑵ 21
⑴ 3과 4의 공배수는 12, 24, 36, y이다.
3
⑴ (최대공약수) 2_2_3
(최대공약수) 2_2_3_3
(최대공약수)=2_2_3 =6
⑵ (최대공약수) 2_3_5
(최대공약수) 2_3_5_7
(최대공약수)=2_3_5_ =30
4
⑴ (최대공약수) 2Û`_3Ü`
(최대공약수) 2Û` 3Û`_5
(최대공약수)= `3Û` =9
⑵ (최대공약수) 2_3_5Û`_7`
(최대공약수) 2_3Û`_5_7
(최대공약수)= 3 `_7=21
4 | 정답 및 해설
개념정답.indd 4
2017. 9. 15. 오후 5:50
개념편 ⑵ 3과 4의 최소공배수는 12이다.
⑵ `42=2_3` _7
⑶ ⑴, ⑵에서 공배수는 최소공배수의 배수 임을 알 수
`90=2_3Û`_5
있다.
⑴ 12, 24, y ⑵ 12 ⑶ 배수
` 2_3Û`_5_7=630
↑
최소공배수
2
`42
>³
`21
3
>³
`7
`90
`45
2
>³
3
>³
`15
3
>³
`5
⑴ 105 ⑵ 630
6-1
4의 배수는 4, 8, 12, 16, 20, 24, y이고
5의 배수는 5, 10, 15, 20, 25, 30, y이므로
4와 5의 공배수 중 가장 작은 수는 최소공배수인 20이다.
7
두 자연수 a, b의 공배수는 최소공배수인 12의 배수이므로
12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96의 8개이다.
7-1
두 자연수 a, b의 공배수는 최소공배수인 15의 배수이므로
15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, y 중 100에 가장 가까운
수는 105이다.
②
①
105
P.14
8
⑴ (최소공배수) 3_3_3
(최소공배수) 3_3 _5
(최소공배수)=3_3_3_5=135
⑵ (최소공배수) 2_2_3_3
(최소공배수) 2 _3_3_3_3
(최소공배수)=2_2_3_3_3_3=324
⑴ 135 ⑵ 324
다른 풀이
⑴ 3
`21 15
>³
`7 5
⑵ 2
`42 90
>³
3
`21 45
>³
`7 15
(최소공배수)=3_7_5=105
(최소공배수)=2_3_7_15=630
10-1
`10=2` `_5
`12=2Û`_3
`18=2`_3Û`
(최소공배수)=2Û`_3Û`_5=180
2
`10
>³
`5
2
`12
>³
` 6
2
>³
`3
2
`18
>³
` 9
3
>³
`3
다른 풀이
2
`10 12 18
>³
3
` 5 6 9
>³
`5 2 3
(최소공배수)=2_3_5_2_3=180
④
9
⑴ (최소공배수) 2`_3Ü`
(최소공배수) 2Û`_3
(최소공배수)=2Û`_3Ü`=108
⑵ (최소공배수) 2`_3Û`_5
(최소공배수) 2Û`_3Û` _7
(최소공배수)=2Û`_3Û`_5_7=1260
9-1
(최소) `A=2Ü` `_5_7
(최소) `B=2Û`_3Û`_5
(최소공배수)=2Ü`_3Û`_5_7
10
⑴ `21=3 _7
`15=3_5
` 3_5_7=105
↑
최소공배수
실력 다지기
PP.15~16
02 ㄴ, ㄷ
06 ④
01 ④
05 ②
10 풀이 참조
07 ③
03 ④
08 ③
04 ②
09 6
⑴ 108 ⑵ 1260
01
공약수는 최대공약수 15의 약수인 1, 3, 5, 15이다.
02
ㄱ. 3과 9는 서로 다른 두 홀수이나 서로소가 아니다.
ㄹ. 4와 9는 서로소이나 두 수 모두 소수가 아니다.
⑤
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
3
`21
>³
`7
3
`15
>³
`5
03
36과 60의 공약수는 최대공약수
인 12의 약수이다. 따라서 36과
60의 공약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12
의 6개이다.
`36=2Û`_3Û`
`60=2Û`_3`_5
` 2Û`_3` =12
↑
최대공약수
Ⅰ 자연수의 성질 | 5
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04
05
10
두 자연수의 공배수는 최소공배수의 배수이므로 100 이하
의 자연수 중 24의 배수의 개수를 구한다.
100Ö24=4y4이므로 4개이다.
단계
❶
채점 기준
배점 비율
최대공약수와 최소공배수를 구하는 식을
세운다.
❷ a, b, c의 값을 구한다.
❸ a+b+c의 값을 구한다.
60`%
30`%
10`%
A=2`_3Ü`
B=2Û`_3Û`_5
(최대공약수)=2`_3Û`
(최소공배수)=2Û`_3Ü`_5`
06
두 수의 공배수는 최소공배수인 15의 배수이다.
④ 100은 15의 배수가 아니므로 공배수가 아니다.
03
최대공약수와 최소공배수의 활용
07
세 수 10, 18, 45의 최
`10=2 `_5
`18=2_3Û`
소공배수는
90=2_3Û`_5이다. 공
배수는 소인수 2, 3, 5를
반드시 가지며 그 지수가 각각 1, 2, 1 이상이어야 한다.
`45= 3Û`_5
(최소공배수)=2_3Û`_5=90
08
`12=2Û`_3`
12와 18의 공배수는 12와
18의 최소공배수인 36의
배수이다. 따라서 200 이하
(최소공배수)=2Û`_3Û`=36
의 자연수 중 12와 18의 공배수는 36, 72, 108, 144, 180
의 5개이다.
`18=2`_3Û`
09
` 8_x=2Ü` _x
`10_x=2` _5_x
`12_x=2Û`_3 _x
(최소공배수)=2Ü`_3_5_x=120_x
최소공배수가 360이므로 120_x=360, x=3이다.
따라서 최대공약수를 구하면 6이다.
`24=2Ü`_3
`30=2`_3`_5
`36=2Û`_3Û`
(최대공약수)=2`_3 =6
일 때
2`_3Ü`_5
2Ü` `_5º`_c
(최대공약수)= 2Û` `_5
(최소공배수)= 2Ü`_3Ü`_5Û`_7
최대공약수 20=2Û`_5이고, 최소공배수가 2Ü`_3Ü`_5Û`_7
이므로 a=2, b=2, c
따라서 a+b+c=2+2+7=11이다.
7이다.
=
yy`❶
yy`❷
yy`❸
6 | 정답 및 해설
1
사람 수는 24와 32의 공약수이
`24=2Ü`_3
고, 가능한 한 많은 사람 수는 최
대공약수이다. 따라서 24와 32의
최대공약수인 8명에게 나누어 줄 수 있다.
`32=2Þ`
(최대공약수)=2Ü`
2
1-1
각 모둠에 속하는 남학생 수
`24=2Ü`_3
와 여학생 수를 같게 하려면
모둠의 수는 24와 20의 공약
수이어야 한다. 따라서 24와 20의 최대공약수인 4개의
`20=2Û` _5
(최대공약수)=2Û`
모둠까지 만들 수 있다.
되도록 많은 학생에게 남
`60=2Û`_3_5
김없이 똑같이 나누어 주
려면 학생 수는 60, 56,
48의 최대공약수이어야
하므로 a=4이다.
`56=2Ü` _7
`48=2Ý`_3`
(최대공약수)=2Û`
이때 b=60Ö4=15, c=56Ö4=14, d=48Ö4=12
이므로
a+b+c+d=4+15+14+12=45
3
분수 :°n¢:가 자연수가 되려면 n은 54의 약수이어야 하고,
분수 :Á;n);ª:가 자연수가 되려면 n은 102의 약수이어야 한
다. 따라서 n은 54와 102의 공약수이어야 하고, n의 값 중
가장 큰 수는 54와 102의 최대공약수이다.
`54=2_3Ü`
`102=2_3`_17
(최대공약수)=2_3 =6
따라서 가장 큰 n의 값은 6이다.
P.17
③
4개
45
6
개념정답.indd 6
2017. 9. 15. 오후 5:50
개념편 4
⑴ 정사각형 색종이의 한 변의 길
이는 12와 15의 공배수이어야
`12=2Û`_3
`15= `3_5
하고, 가능한 한 작은 정사각형
색종이이려면 12와 15의 최소
공배수이어야 한다. 12와 15의
최소공배수가 60이므로 정사각형 색종이의 한 변의 길이
는 60`cm이다.
` 2Û`_3_5=60
↑
최소공배수
⑵ 한 변의 길이가 60`cm가 되려면
가로 방향으로 60Ö12=5(장),
세로 방향으로 60Ö15=4(장)
의 직사각형 색종이가 필요하므로 모두 5_4=20(장)
이 필요하다.
⑴ 60`cm ⑵ 20장
P.18
P.19
(두 자연수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로
8
따라서 구하는 최소공배수는 240 이다.
4800= 20 _ 240 이다.
20, 240, 240
(두 자연수의 곱)=(최소공배수)_(최대공약수)이므로
84_A=420_12이다.
8-1
따라서 A=60이다.
8-2
(두 자연수의 곱)=(최소공배수)_(최대공약수)이므로
600=(최소공배수)_5이다.
따라서 최소공배수는 120이다.
두 톱니바퀴 A, B가 같은 톱니에서
`18=2`_3Û`
처음으로 다시 맞물릴 때까지 돌아간
톱니의 개수는 18과 24의 최소공배
수이다.
따라서 18과 24의 최소공배수를 구
하면 2Ü`_3Û`=72이므로 A는 72Ö18=4(바퀴)를 돌아야
`24=2Ü`_3
` 2Ü`_3Û`=72
↑
최소공배수
한다.
9
두 자연수 A, B의 최대공약수가 8이므로
A=8_a, B=8_b( a, b는 서로소)로 나타내고,
최소공배수가 56이므로 8_a_b=56에서 a_b=7이다.
두 수의 곱이 7이면 1_7 또는 7_1이므로
Ú a=1, b=7일 때, A=8, B=56이다.
Û a=7, b=1일 때, A=56, B=8이다.
4바퀴
따라서 A+B=64이다.
기차와 전동차는 45와 12의 공
`45= ` 3Û`_5
배수가 되는 시각마다 동시에
`12=2Û`_3
출발한다. 따라서 바로 다음
에 동시에 출발하는 시각은 45
와 12의 최소공배수 180이므로
180분, 즉 3시간 후인 오전 10시이다.
` 2Û`_3Û`_5=180
↑
최소공배수
오전 10시
9-1
두 자연수 A, B의 최대공약수가 12이므로
A=12_a, B=12_b (a, b는 서로소)로 나타내고,
최소공배수가 168이므로 12_a_b=168에서 a_b=14
이다.
두 수의 곱이 14이고 A>B>12이므로 a=7, b=2이다.
따라서 A=84, B=24이므로 A-B=60이다.
60
120
③
②
7
⑴ 정육면체의 한 모서리의 길
이는 10, 8, 6의 공배수이다.
`10=2` _5
` 8=2Ü`
가장 작은 정육면체의 한 모
` 6=2`_3
서리의 길이는 최소공배수이
고, 10, 8, 6의 최소공배수는
120이므로 한 모서리의 길이
는 120`cm이다.
` 2Ü`_3_5=120
↑
최소공배수
⑵ 한 모서리의 길이가 120`cm인 정육면체를 만들려면
가로로는 120Ö10=12이므로 12개,
세로로는 120Ö8=15이므로 15개,
높이로는 120Ö6=20이므로 20개의 나무토막이 필요
하므로, 전체적으로는 12_15_20=3600(개)의 나무
토막이 필요하다.
실력 다지기
PP.20~21
01 a=8, b=63
05 ②
06 ①
09 풀이 참조
02 12`m 03 ③
04 6명
07 A: 7번, B: 9번 08 ⑤
10 A=16, B=24
01
구하는 정사각형 모양의 타일의 한 변의 길이는 56과 72의
최대공약수이므로 8`cm이다.
`56=2Ü` `_7
`56 72
2
`72=2Ü`_3Û``
(최대공약수)=2Ü` `=8
>³
>³
2
`28 36
>³
`14 18
2
` ```7 8
Ⅰ 자연수의 성질 | 7
⑴ 120`cm ⑵ 3600
(최대공약수)=2_2_2=8
5
6
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2017. 9. 15. 오후 5:50
한 변의 길이가 8`cm인 정사각형 모양의 타일이
가로로는 56Ö8=7이므로 7개,
세로로는 72Ö8=9이므로 9개의 타일이 필요하고,
전체적으로는 7_9=63(개)의 타일이 필요하다.
따라서 a=8, b=63이다.
02
나무를 되도록 적게 심으려면 나무 사이의 간격을 84와 60
의 최대공약수인 12`m로 하면 된다.
`84=2Û`_3_7
`60=2Û`_3_5`
(최대공약수)=2Û`_3 `=12
`84 60
`42 30
2
2
>³
>³
`21 15
3
>³
` ``7 5
(최대공약수)=2_2_3=12
03
48, 36, 72의 최대공약수는
12이므로 나무토막의 한 모
서리의 길이는 12`cm이다.
`48=2Ý`_3
`36=2Û`_3Û`
`72=2Ü`_3Û`
(최대공약수)=2Û`_3`=12
이때 가로로는
48Ö 12=4(개), 세로로는 36Ö 12=3(개), 높이로는
72Ö12=6(개)를 만들 수 있으므로 만들어지는 나무토막
전체의 개수는 4_3_6=72이다.
04
`18=2_3Û`
`30=2_3`_5
초콜릿은 5개가 남았고,
귤은 4개가 남았으므로 초
콜릿은 35-5=30(개),
(최대공약수)=2_3 `=6
귤은 22-4=18(개)를 최대한 많은 학생에게 똑같이 나누
어 준 것이다. 이때 학생 수는 30, 18의 최대공약수인 6이
므로 6명의 학생에게 나누어 준 것이다.
06
07
`108=2Û`_3Ü`
`84=2Û`_3`_7
(최소공배수)=2Û`_3Ü`_7=756
`108 84
` 54 42
2
2
>³
>³
3
` 27 21
>³
`9 7
(최소공배수)=2_2_3_9_7=756
따라서 톱니바퀴 A는 756Ö108=7이므로 7번, 톱니바퀴
B는 756Ö84=9이므로 9번을 회전해야 한다.
08
두 분수를 자연수로 만들려면
(두 분수의 분모의 최소공배수)
(두 분수의 분자의 최대공약수)
`를 곱해야 한다.
따라서 곱하는 분수 ;aB;에서 a는 28과 35의 최대공약수이어
야 하고, b는 15와 18의 최소공배수이어야 한다.
`28=2Û` `_7
`15= 3`_5
`35= 5_7
`18=2_3Û`
(최대공약수)= ``7
(최소공배수)=2_3Û`_5=90
따라서 구하는 분수는
이고 a=7, b=90이므로
:»7¼:
a+b=97이다.
09
4로 나누면 3이 남는다. ⇨ 1이 모자란다.
5로 나누면 4가 남는다. ⇨ 1이 모자란다.
6으로 나누면 5가 남는다. ⇨ 1이 모자란다.
yy`❶
구하는 수를 x라고 하면 x는 4, 5, 6의 공배수보다 1이 작
은 수이어야 한다.
따라서 x=(4, 5, 6의 공배수)-1이다.
yy`❷
`4=2Û`
`5= `_5
`6=2`_3
(최소공배수)=2Û`_3_5=60
x =(60-1), (120-1), (180-1), y
yy`❸
이 중 가장 작은 세 자리의 자연수는 119이다. yy`❹
단계
채점 기준
배점 비율
❶ 남는 것을 모자라는 것으로 표현한다.
❷ 구하는 수가 어떤 수인지를 안다.
❸ 최소공배수를 구한다.
❹ 세 자리의 자연수 중 가장 작은 수를 구한다.
30`%
20`%
30`%
20`%
다른 풀이
구하는 수를 x라고 하면
x+1은 4, 5, 6의 공배수이다.
4, 5, 6의 최소공배수는 60이므로
x+1=60, 120, 180, y
x=59, 119, 179, y
yy`❶
yy`❷
;6!;_
가 자연수가 되려
05
면 는 6의 배수이어야
` 6=2_3
`15= 3_5
하고,
가 자연수
;1Á5;_
(최소공배수)=2_3_5=30
=59, 119, 179, y
가 되려면 는 15의 배수이어야 한다. 따라서 자연수
는 6과 15의 공배수이어야 하고, 6과 15의 최소공배수가
30이므로 구하는 자연수는 100 이하의 30의 배수인 30,
60, 90의 3개이다.
두 사람이 처음으로 다시 만
날 때까지 걸리는 시간은 16
과 20의 최소공배수인 80이
므로 80분 후이다.
`16=2Ý`
`20=2Û`_5`
(최소공배수)=2Ý`_5=80
두 톱니바퀴가 같은 톱니에서 처음으로 다시 맞물리려면,
두 톱니의 수인 108, 84의 최소공배수가 756이므로 756
개의 톱니가 돌아가야 한다.
이 중 가장 작은 세 자리의 자연수는 119이다. yy`❸
8 | 정답 및 해설
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개념편 단계
채점 기준
배점 비율
❶ 구하는 수는 (4, 5, 6의 공배수)-1임을 안다.
❷ 4, 5, 6의 최소공배수를 구한다.
❸ 세 자리의 자연수 중 가장 작은 수를 구한다.
50`%
30`%
20`%
04
② 18=2_3Û`
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
중단원 마무리
PP.22~25
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.
두 자연수 A와 B의 최대공약수가 8이므로
10
A=8_a, B=8_b (단, a, b는 서로소)
A_B=8_a_8_b=384에서 a_b=6
a, b가 서로소이고 A³
>³
5
` 35
>³
` 7
03
① aÞ``=a_a_a_a_a+5_a
② 2Ü`=2_2_2=8+6
③ 10000=10Ý`+10Þ`
④ 3_3_3_3_3=3Þ`+3_5`
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
05
① 소수는 2, 5, 13, 41의 4개이다. (참)
② 합성수는 9, 21, 49, 51, 63의 5개이다. (거짓)
③ 49의 약수는 1, 7, 49의 3개이다. (참)
④ 9와 13은 최대공약수가 1이므로 서로소이다. (참)
⑤ 63=3Û`_7이므로 63에 7을 곱하면
63=3Û`_7_7=3Û`_7Û`=21Û`, 즉 21의 제곱이 된다.
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
06
ㄱ. 2_3_5는 A의 약수이다. (참)
ㄴ. A의 배수는 k_2Ü`_3Û`_5(k는 자연수)이므로 2Ü`_3Ü`
은 A의 배수가 아니다. (거짓)
ㄷ. 5Û`과 A는 최대공약수가 5이므로 서로소가 아니다.
ㄹ. A의 약수의 개수는
(3+1)_(2+1)_(1+1)=24이다. (참)
(참)
(거짓)
07
24_x=2Ü`_3_x가 어떤 수 y의 제곱이 되려면 24의
소인수의 지수가 모두 짝수이어야 한다.
따라서 가장 작은 수 x는 x=2_3=6이다.
24_(2_3)=yÛ`, 144=yÛ`
이때 12Û`=144이므로 y=12이다.
08
1_2_3_4_y_9_10을 소인수분해하면
2_5
1_2_3_
10
2Û`_5_
4
2_3_7_
3Û`_
9
2Ü`_
8
6
=2¡`_3Ý`_5Û`_7
이므로 2의 지수는 8이다.
2Ü`의 약수의 개수가 4이고 2Ü`_의 약수의 개수가 12이므
로 12=4_3에서 의 약수의 개수는 3이다.
그런데 =2Û`일 때, 2Ü`_2Û`=2Þ`의 약수의 개수는 6이므
로 =aÛ`에서 a는 2 이외의 소수이어야 한다.
따라서 ② 3Û`=9, ④ 5Û`=25이다.
(최대공약수) 2`_3Û`_5
(최대공약수) 2Û`_3º`_5
(최대공약수)=2`_3`_5=30
지수가 같다.
Å
지수가
작은 것
Å
Z
지수가
작은 것
최대공약수가 2_3_5이므로 a=1, b=1이다.
Ⅰ 자연수의 성질 | 9
09
10
개념정답.indd 9
2017. 9. 15. 오후 5:50
³
³
³
³
³
11
따라서 구하는 공배수는 180의 배수이고, 이 중 세 자리의
수는 180, 360, 540, 720, 900의 5개이다.
15
(최대공약수) 2`_3Û`_5
(최대공약수) 2Û`_3`_5
(최소공배수)=2Û`_3Û`_5=180
지수가 같다.
Å
지수가
큰 것
Z
Å
지수가
큰 것
(최대공약수) 2`_3Û` _11
(최대공약수) 2Ü`_3º`_5
(최대공약수)=2Û`_3`
(최소공배수)=2Ü`_3Ý`_5_d
a=2, b=4, c=2, d=11이므로
a+b+c+d=19이다.
12
최대공약수가 60이므로 60을 소인수분해하면
60=2Û`_3_5이다.
이므로 a=2Û`=4이다.
` 360=2Ü`_3Û`_5
` a`_3`_5Û`
(최대공약수)=60=2Û`_3`_5
(최대공약수) 2Ü`_3Û`_5
(최대공약수) 2Û`_3`_5Û`
(최소공배수)=2Ü`_3Û`_5Û`=1800
따라서 최소공배수는 1800이다.
13
세 자연수의 비가
3`:`4`:`6이므로 세 자
연수를 3_x, 4_x,
6_x라고 하자.
(최대공약수) ` 3_x
(최대공약수) 2Û` _x
(최대공약수) 2`_3_x
(최소공배수)=2Û`_3_x`=168
최소공배수가
2Û`_3_x=168
이므로 x=14이다.
`42=2`_3_7
`56=2Ü` _7
`84=2Û`_3_7
따라서 세 자연수는 42,
56, 84이고, 이들의 최대공약수는 14이다.
(최대공약수)=2 `_7=14
참고
세 자연수의 최소공배수가 168임을 이용하여 x를 구하는
과정에서 x=14가 바로 세 자연수의 최대공약수임을 알
수 있다.
두 자연수 A, B의 최대공약수가 16이므로
14
A=16_a, B=16_b(a, b는 서로소)
최소공배수가 96이므로 16_a_b=96에서 a_b=6
a, b가 서로소이므로 a=1, b=6 또는 a=2, b=3 또는
a=3, b=2 또는 a=6, b=1이다.
10 | 정답 및 해설
따라서 A=16 , B=96 또는 A=32 , B=48 또는
A=48, B=32 또는 A=96, B=16이므로
두 수 A와 B의 차는 96-16=80 또는 48-32=16이다.
따라서 A와 B의 차는 16, 80이다.
2로 나누면 1이 남는다. ⇨ 1이 모자란다.
3으로 나누면 2가 남는다. ⇨ 1이 모자란다.
4로 나누면 3이 남는다. ⇨ 1이 모자란다.
구하는 자연수를 x라고 하면 x는 2, 3, 4의 공배수보다 1
이 작아야 나머지가 나누는 수보다 1이 작게 나온다.
따라서 x=(2, 3, 4의 공배수)-1이다.
` 2=2`
` 3= `3
` 4=2Û`
(최소공배수)=2Û`_3=12
즉, x =(12-1), (24-1), (36-1), y
이때 두 자리의 자연수 중 가장 큰 수는
96-1=95이다.
다른 풀이
구하는 수를 x라고 하면 x+1은 2, 3, 4의 공배수이고,
2, 3, 4의 최소공배수는 12이다.
즉, x+1=12, 24, 36, y
이때 x+1 중 가장 큰 두 자리의 자연수는 96이므로
x=95이다.
16
구하는 자연수를 x라고 하
면 x는 4, 6, 9의 공배수보
다 2가 커야 하므로
x=(4, 6, 9의 공배수)+2
` 4=2Û``
` 6=2`_3
` 9= ` 3Û`
(최소공배수)=2Û`_3Û`=36
이다.
따라서 x = (36+2), (72+2), (108+2), y
이므로 100에 가장 가까운 수는 110이다.
다른 풀이
구하는 자연수를 x라고 하면 x-2는 4, 6, 9의 공배수이
고, 4, 6, 9의 최소공배수가 36이므로
x-2=0, 36, 72, 108, y이고
x=2, 38, 74, 110, y이다.
따라서 100에 가장 가까운 수는 110이다.
`12=2Û`_3
`36=2Û`_3Û`
17
구하는 분수를 ;aB;라고 하면
a는 세 수의 분자인 12, 36,
15의 최대공약수이어야 하므
로 a=3이다.
b는 세 수의 분모인 7, 5, 4의 최소공배수이어야 하므로
b=140이다.
`15= `3`_5
(최대공약수)= `3
따라서 a=3, b=140이다.
개념정답.indd 10
2017. 9. 15. 오후 5:50
개념편 18
A, B 두 노선버스는 12분,
18분의 공배수에서 동시에
`12=2Û`_3
`18=2`_3Û`
가 84이므로 a_3_7=84
이때 a=4이므로 A=7_4=28이다.
yy`❷
20
21
(최소공배수)=2Û`_3Û`=36
출발한다.
12와 18의 최소공배수는 36이므로 두 노선버스는 36분
간격으로 동시에 출발한다.
따라서 오전 6시부터 오전 12시까지의 360분 동안
360Ö36=10(번) 더 동시에 출발한다.
(두 자연수의 곱)=(최소공배수)_(최대공약수)
19
이므로 192=(최소공배수)_4
따라서 두 수 A, B의 최소공배수는 48이다.
32, 40의 최대공약수를 구하
면 8이므로 c=8,
a=32Ö8=4,
b=40Ö8=5이다.
`32=2Þ`
`40=2Ü`_5
(최대공약수)=2Ü` =8
따라서 a+b+c=4+5+8=17이다.
` 4=2Û``
` 5= `_5
` 6=2`_3
(최소공배수)=2Û`_3_5=60
구하는 학생 수를 x명이
라고 하면 x-3은 4, 5,
6의 공배수이고, 4, 5, 6
의 최소공배수가 60이
므로 x-3=60, 120, y
그런데 학생 수가 100명 미만이므로
x-3=60에서 x=63이다.
따라서 대회에 참여한 학생 수는 63명이다.
22
⑴
2Ü` `_5Ü`_7
2Û`_3Û`_5Ü`
(최대공약수)= 2Û` ` _5Ü`=500
yy`❶
⑵ 공약수는 최대공약수의 약수이므로 공약수의 개수는
최대공약수의 약수의 개수와 같다.
따라서 두 수의 공약수의 개수는
(2+1)_(3+1)=12이다.
단계
채점 기준
❶ ⑴ 최대공약수를 구한다.
❷ ⑵ 두 수의 공약수의 개수를 구한다.
yy`❷
배점 비율
60`%
40`%
23
⑴ A와 21=3_7의 최대공약수가 7이므로 A는 7의 배
수이지만 3의 배수는 아니다.
따라서 A의 개수는 100 미만의 자연수에서
(7의 배수의 개수)-(7과 3의 공배수의 개수)
=14-4=10
21의 배수
yy`❶
⑵ A=a_7 ( a와 3은
A=a _7
서로소) 라고 하면
A와 21의 최소공배수
`21= 3_7
(최소공배수)=a_3_7=84
다른 풀이
⑵ (두 자연수의 곱)=(최소공배수)_(최대공약수)
이므로 A_21=84_7
따라서 A=28이다.
단계
채점 기준
❶ ⑴ 자연수 A의 개수를 구한다.
❷ ⑵ 자연수 A의 값을 구한다.
배점 비율
50`%
50`%
24
⑴ 가능한 한 큰 정
`98=2 _7Û`
육면체의 한 모서
리의 길이는 98,
70, 42의 최대공
약수와 같으므로 14`cm이다.
`70=2 _5_7
`42=2_3 _7
(최대공약수)=2 _7=14
yy`❶
⑵ 정육면체 모양으로 자른 나무토막의 한 모서리의 길이
가 14`cm이므로
가로로는 98Ö14=7이므로 7개,
세로로는 70Ö14=5이므로 5개,
높이로는 42Ö14=3이므로 3개의 나무토막을 만들 수
있다.
따라서 전체적으로 7_5_3=105(개)의 나무토막을
yy`❷
만들 수 있다.
단계
❶
❷
채점 기준
배점 비율
⑴ 정육면체 모양으로 자른 나무토막의 한 모
서리의 최대 길이를 구한다.
⑵ ⑴과 같은 크기의 나무토막의 개수를 구한
60`%
40`%
다.
25
` 노란 등이 한 번 켜진 후
`12=2Û`_3`
다음 번 켜지는데 걸리
`20=2Û` _5
는 시간은
6+6=12(초), 파란 등
은 12+8=20(초), 빨간 등은 10+5=15(초)이다.
`15=2`_3_5
(최소공배수)=2Û`_3_5=60
yy`❶
따라서 12, 20, 15의 최소공배수는 60이므로 yy`❷
세 가지 등이 다시 동시에 켜지는 데 걸리는 시간은 60초
yy`❸
이다.
단계
❶
채점 기준
배점 비율
노란 등, 파란 등, 빨간 등이 다음 번 켜지는
데 걸리는 시간을 각각 구한다.
❷ 12, 20, 15의 최소공배수를 구한다.
❸
세 가지 등이 동시에 켜지는 데 걸리는 시간
을 구한다.
50`%
30`%
20`%
Ⅰ 자연수의 성질 | 11
개념정답.indd 11
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Ⅱ
정수와 유리수
1. 정수와 유리수
01
정수와 유리수의 뜻
5
A
B
C
-5-4 -3-2 -1
0
+1
+2 +3
+4
+5
5-1
⑷
⑵
⑶
⑴
P.28
-4
-3
-2
-1
0
+1
+2
+4+3
P.30
풀이 참조
풀이 참조
1
⑴ 이익과 손해는 서로 반대되는 개념이므로 손해 50만 원
은 -50만 원으로 나타낸다.
⑵ 영상과 영하는 서로 반대되는 개념이므로 영하 10`¾는
-10`¾로 나타낸다.
⑴ -50만 원 ⑵ -10`¾
1-1
⑴ 해발과 해저는 서로 반대되는 개념이므로 해저 1500`m
는 -1500`m로 나타낸다.
⑵ 인상과 인하는 서로 반대되는 개념이므로 인상 10`%는
+10`%로 나타낸다.
음수
음수
음수
양수
6
⑴ +8의 절댓값은 8이다.
⑵ -9의 절댓값은 9이다.
⑶
|+;3!;|=;3!;
⑷
|-;2!;|=;2!;
▲
부호를 떼면
▲
부호를 떼면
⑴ 8 ⑵ 9 ⑶
⑷
;3!;
;2!;
⑴ -1500`m ⑵ +10`%
6-1
⑴ 절댓값이 3인 수는 -3, +3이다.
⑵ 절댓값이 7인 수는 -7과 +7이고, 그중 음수는 -7
2
양수는 양의 부호 +를 사용하여 나타낸 수이므로
이다.
+
,
;3@;
+
2.5, +5
음수는 음의 부호 -를 사용하여 나타낸 수이므로
-6, -3, -0.25, -1
양수: +
,
+
;3@;
2.5, +5, 음수: -6, -3, -0.25, -1
2-1
⑴ 0보다 큰 수는
, +3.5, +4이다.
▲
▲
+;2*;
▲
⑵ 0보다 작은 수는
-;2£0;
▲
, -3, -2.1이다.
▲
▲
⑴
, +3.5, +4 ⑵
, -3, -2.1
+;2*;
-;2£0;
⑶ 절댓값이
;4#;
⑷ 절댓값이 0인 수는 0뿐이다.
;4#;
인 수는 -
,
이다.
+;4#;
⑴ -3, +3 ⑵ -7 ⑶
-;4#;
,
+;4#;
⑷ 0
P.31
7
⑴ 양수는 절댓값이 클수록 크므로 +6`>`+4이다.
⑵ 양수가 음수보다 크므로 +3`>`-5이다.
⑶ 음수는 0보다 작으므로 -2`<`0이다.
⑷ 음수는 절댓값이 작을수록 크므로 -
`>`-
이다.
;4!;
;4#;
⑸ 양수가 음수보다 크므로 -
`<`2.1이다.
;4%;
3
⑴ +1,
+;3@;
, +3 ⑵ -1,
-;2^;
,
-;2!;
⑶ +1, 0, -1, +3,
-;2^;
⑷
+;3@;
,
-;2!;
-3
3-1
-;4*;
=-2이므로
도 음의 정수이다.
-;4*;
4
①, ②, ④는 정수이고 ③, ⑤는 정수가 아닌 유리수이다.
P.29
⑹ 양수는 0보다 크므로
`>`0이다.
;5!;
⑴ > ⑵ > ⑶ < ⑷ > ⑸ < ⑹ >
7-1
③ 음수는 절댓값이 작을수록 크므로 -3<-
이다.
;5!;
③
-;4*;
, -4
③, ⑤
8
⑴ x는 3보다 작다. ⇨ x<3
⑵ x는 3 이상이다. ⇨ x¾3
⑶ x는 -2보다 크고 2보다 작다. ⇨ -20이다.
또한 (나), (다)에서 c는 음의 정수이므로 b0, b<0이고 |a|는 |b|의 3배이므로 두 수 a, b를 수
직선 위에 나타내면 다음과 같다.
14
B
b
O
0
A
a
yy`❶
개념정답.indd 20
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개념편 단계
채점 기준
배점 비율
는 (60_x)`km
또, 수직선 위에서 a, b에 대응하는 두 점 A, B 사이의 거
리가 14이므로 두 점 B, O 사이의 거리는
문자와 식Ⅲ
1. 문자의 사용과 식의 계산
yy`❷
14
_;4!;=;2&;
a
3=
, b
=;2&;_
:ª2Á:
=-;2&;
따라서 a+b
=:ª2Á:+{-;2&;}=
7이다.
yy`❸
단계
채점 기준
배점 비율
❶ 두 수 a, b를 수직선 위에 나타낸다.
❷ 두 점 B, O 사이의 거리를 구한다.
❸ a+b의 값을 구한다.
30`%
30`%
40`%
17
어떤 유리수를 라고 하면
-{-;3@;}=;6&;
=;6&;-;3@;=;6&;-;6$;=;2!;
따라서 바르게 계산한 값은
;2!;+{-;3@;}=;6#;+{-;6$;}=-;;6!;
❶ 어떤 유리수를 구하는 식을 세운다.
❷ 어떤 유리수의 값을 구한다.
❸ 바르게 계산한 값을 구한다.
yy`❶
yy`❷
yy`❸
30`%
30`%
40`%
18
,
-;2%;
-;4!;
, 2.4의 역수는 각각
, -4,
yy`❶
-;5@;
;1°2;
=:Á5ª:
이므로 보이지 않는 면에 적힌 세 수의 곱은
{-;5@;}
;1°2;=+{;5@;_
;1°2;}=;3@;
_(-4)_
4_
yy`❷
단계
❶
채점 기준
,
-;2%;
-;4!;
, 2.4의 역수를 각각 구한다.
❷ 세 수의 곱을 구한다.
배점 비율
80`%
20`%
절댓값이 가장 큰 수, b는 절댓값이 가장 작은 수이면 된
yy`❶
다.
즉, a
, b
=;5#;
=;2!;
이다.
따라서 aÖb
Ö
=;5#;Ö
;2!;=;5#;_
=;5^;
2
이다.
단계
채점 기준
배점 비율
❶ aÖb의 값이 어떨 때 가장 큰 수인지 안다.
❷ a, b의 값을 구한다.
❸ aÖb의 값을 구한다.
yy`❷
yy`❸
40`%
40`%
20`%
문자의 사용과 식의 값
01
100원짜리 동전이 1개이면 (100_1)원, 2개이면 (100_2)원,
3개이면 (100_3)원, y, x개이면 (100_x)원
P.50
1
⑴ 100원짜리 동전 x개의 금액을 식으로 나타내면
(100_x)원
⑵ 색종이의 수는
(봉투 1개에 들어 있는 색종이의 수)_(봉투의 수)이므로
(15_x)장
⑶ 6년 후의 동생의 나이는 (현재의 나이)+6이므로
현재 x살이므로 1년 후는 (x+1)살, 2년 후는 (x+2)살,
3년 후는 (x+3)살, y, 6년 후는 (x+6)살
(x+6)살
⑷ 500원짜리 과자 x개의 가격은 (500_x)원이고
300원짜리 껌 2개의 가격은 300_2=600(원)이므로
가격은 (500_x+600)원
⑸ 어떤 수 x의 3배는 x_3이므로 x_3+12
⑹ (거리)=(속력)_(시간)이므로 자동차를 타고 달린 거리
⑴ (100_x)원 ⑵ (15_x)장 ⑶ (x+6)살
⑷ (500_x+600)원 ⑸ x_3+12 ⑹ (60_x)`km
1-1
⑴ (평균)=(과목 점수의 합)Ö(과목의 수)이므로
{(p+q)Ö2}점
⑵ a`%는 ;10A0;이므로
{
70_
;10A0;}
명
⑴ {(p+q)Ö2}점 ⑵
{
70_
;10A0;}
명
1-2
⑴ (거스름돈)=(지불한 돈)-(물건의 값)이므로
⑵ (가격의 총합)=(치킨의 가격)+(음료수의 가격)이므로
(500-a_7)원
⑶ (시간)=
이므로 (120Öx)시간
(거리)
(속력)
⑷ 백의 자리의 숫자가 a이면 100_a,
십의 자리의 숫자가 b이면 10_b,
일의 자리의 숫자가 c이면 1_c이므로
세 자리의 자연수는
100_a+10_b+c
⑴ (500-a_7)원 ⑵ (1000_x+500_y)원
⑶ (120Öx)시간 ⑷ 100_a+10_b+c
2
직육면체의 부피는
(가로의 길이)_(세로의 길이)_(높이)이므로
(a_2_b)cmÜ`
(a_2_b)cmÜ`
Ⅲ 문자와 식 | 21
19
aÖb의 값 중 가장 큰 수는 a, b의 부호가 같으면서 a는
(1000_x+500_y)원
개념정답.indd 21
2017. 9. 15. 오후 5:50
3
⑴ a_3=3a
⑵ (-1)_b_a=-ab
•-`수는 문자 앞에
•-`1은 생략, 문자는 알파벳 순으로
⑶ 8-5_x_x=8-5xÛ`
•-`같은 문자의 곱은 거듭제곱의 꼴로
⑷ x_(-0.1)_y=-0.1xy
•-`0.1은 생략할 수 없다.
⑸ a_b_b_(-1)=-abÛ`
⑹ x_y_y_2_x_x=2xÜ`yÛ`
⑴ 3a ⑵ -ab ⑶ 8-5xÛ`
⑷ -0.1xy ⑸ -abÛ` ⑹ 2xÜ`yÛ`
3-1
ㄴ. 0.1_b=0.1b
ㄹ. a_2+3=2a+3
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㅁ이다.
ㄱ, ㄷ, ㅁ
4
⑴ aÖ4=a
_;4!;=;4A;
⑵ 3aÖ(-5)=3a_
⑶ (x-y)Ö3=(x-y)_
=
{-;5!;}=-:£5:
x-y
3
;3!;
⑷ xÖ
y
{;3@;
}=
xÖ
;;ª3Õ;;=
x_
;2£];=;2#]{;
⑸ aÖ(b+5)=a_
1
b+5
=
a
b+5
⑹ (a-b)_5-2_aÖb
=5(a-b)-
2_a_
;b!;}
=5(a-b)-
{
:ªb:
⑴ ;4A; ⑵
x-y
3
-:£5: ⑶
a
b+5
⑷ ;2#]{; ⑸
⑹ 5(a-b)-
:ªb:
4-1
⑴ aÖbÖc=a
_;b!;_;c!;=;b
Åc;
⑵ -5Ö(x+y)=-5_
=-
1
x+y
5
x+y
⑶ aÖ3+bÖ7=a_
+b_
=
;3!;
;7!;
;3A;+;7B;
⑷ (x-y)Ö4+9Öz=(x-y)_
+9_
;4!;
;z!;
⑷ (x-y)Ö2+9Öz=
x-y
4
+
;z(;
⑴ ;b
Åc; ⑵ -
⑶ ;3A;+;7B; ⑷
5
x+y
x-y
4
+
;z(;
5
주어진 식에 x=3을 대입하면
⑴ x-3=3-3=0
⑵ 3-2x=3-2_3=3-6=-3
수와 문자 사이에 생략된
곱셈 기호 _를 다시 쓴다.
22 | 정답 및 해설
P.51
⑶ xÛ`-8=3Û`-8=9-8=1
⑷ x-xÛ`=3-3Û`=3-9=-6
⑴ 0 ⑵ -3 ⑶ 1 ⑷ -6
5-1
주어진 식에 x=-2를 대입하면
⑴ x+5=(-2)+5=3
⑵ -x+5=-(-2)+5=2+5=7
⑶ xÛ`=(-2)Û`=(-2)_(-2)=4
대입하는 수가 음수
이면 괄호 ( )를 쓰
고 대입한다.
⑷ xÜ`=(-2)Ü`=(-2)_(-2)_(-2)=-8
▲
음수를 짝수 번 곱하면 양수가,
음수를 홀수 번 곱하면 음수가
된다.
⑴ 3 ⑵ 7 ⑶ 4 ⑷ -8
6
주어진 식에 x=-1, y=2를 대입하면
⑴ x+y=(-1)+2=1
⑵ 3x+2y=3_(-1)+2_2=(-3)+4=1
⑶ xy=(-1)_2=-2
⑷ yÛ`-xÜ`=2Û`-(-1)Ü`=4-(-1)=5
⑴ 1 ⑵ 1 ⑶ -2 ⑷ 5
6-1
주어진 식에 x=3, y=-2를 대입하면
⑴ x-y=3-(-2)=3+2=5
⑵
xy=
_3_(-2)=-3
;2!;
;2!;
⑶
x+1
y+4
=
3+1
(-2)+4
=
=2
;2$;
⑷ ;[!;-;]!;=;3!;-
(-2)=;3!;+;2!;=;6%;
1
⑴ 5 ⑵ -3 ⑶ 2 ⑷ ;6%;
실력 다지기
PP.53~54
01 ②
02 ⑴ 2x ⑵ -3x ⑶ -
⑷ -2x(y-3) ⑸ -a+ab ⑹
+2(y-3)
03 ㉠
06 ③
(a+b)h
2
04 ⑴
⑵ ;2#;
07 ⑴ (a-6)¾ ⑵ 14`¾ 08 풀이 참조
y 05 ①
x+
;2%;
;2#cA;
x+2
5
01
① 1분은 60초이므로 x분 20초는 (60x+20)초이다.
② 1`m는 100`cm이므로 a`m`b`cm는 (100a+b)`cm
이다.
④ 정육면체에서 6개의 각 면의 넓이는 xÛ``cmÛ`로 모두 같
으므로 정육면체의 겉넓이는 6xÛ``cmÛ`이다.
P.52
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
02
⑴ 2_x=2x
⑵ x_(-3)=-3x
개념정답.indd 22
2017. 9. 15. 오후 5:50
개념편 ⑶ aÖ
Öc=a
{-;3@;}
_{-;2#;}_;c!;=-;2#cA;
⑷ x_(y-3)Ö
x(y-3)_(-2)
⑷ x_(y-3)Ö
=-2x(y-3)
{-;2!;}=
{-;2!;}
⑸ (-1)_a+aÖ
=-a+a_b=-a+ab
;b!;
1은 생략하고 알파벳 순으로 정리한다.
x+2
5
⑹ (x+2)Ö5+(y-3)_2=
+2(y-3)
03
2xÖ
z=2x_yÖz=2xy_
;]!;Ö
2xy
z
;z!;=
따라서 처음으로 잘못된 부분은 ㉠이다.
04
⑴ (사다리꼴의 넓이)
={(윗변의 길이)+(아랫변의 길이)}_(높이)Ö2
=(a+b)_hÖ2=
(a+b)h
2
⑵ (도형의 넓이)
= (위 삼각형의 넓이)+(아래 삼각형의 넓이)
=5_yÖ2+x_3Ö2
=
+
:°2Õ:
:£2Ó:
=
x+
y
;2%;
;2#;
05
주어진 식에 a=-2 를 대입하면
① aÜ`=(-2)Ü`=-8
음수를 괄호를 써서 대입한다.
② -aÜ`=-(-2)Ü` =-(-8)=8
③ (-a)Ü` ={-(-2)}Ü`=2Ü`=8
④ 2aÛ`=2_(-2)Û`=2_4=8
⑤ -2Û`a=-2Û`_(-2)=(-4)_(-2)=8
따라서 식의 값이 다른 하나는 ① aÜ`이다.
06
주어진 식에 x=-5, y=2를 대입하면
xÛ`-3xy=(-5)Û`-3_(-5)_2=25+30=55
07
⑴ 지표면에서부터 100`m 높아질 때마다 0.6`¾씩 낮아지
므로 1000`m 높이에서는 6`¾ 낮아진다.
따라서 지표면의 온도가 a`¾일 때, 1000`m 높이에서
기온은 (a-6)¾이다.
⑵ ⑴의 식에 a=20을 대입하면 20-6=14`(¾)이다.
08
한 변의 길이가 a`m인 정사각형 모양의 꽃밭의 넓이는
aÛ``mÛ` 이고, 길의 넓이는 ab`mÛ`이므로
S=aÛ`-ab이다.
또, a=10, b=2일 때, 길을 제외한 꽃밭의 넓이는
yy`❶
10Û`-10_2=100-20=80`(mÛ`)
yy`❷
단계
채점 기준
❶ S를 a, b에 대한 식으로 나타낸다.
❷
a=10, b=2일 때, 길을 제외한 꽃밭의 넓이
를 구한다.
배점 비율
50`%
50`%
02
일차식의 계산
1
⑴ 3x, -2y, 7 ⑵ 7 ⑶ 3 ⑷ -2
P.55
1-1
3x-4
3x, -4
항
상수항
-4
2xÛ`+x-5
2xÛ`, x, -5 -5
계수
x의 계수: 3
xÛ`의 계수: 2
x의 계수: 1
2
단항식이 아닌 다항식은 항의 개수가 2개 이상이므로 항의
개수를 각각 구하면
① x_yÖ2=
:Ó2Õ:이므로 1개이다.
② 2개 ③ 1개 ④ 3개 ⑤ 3개
②, ④, ⑤
2-1
ㄱ. 항이 2개이므로 다항식이다.
ㄴ. 항이 1개이므로 단항식이다.
ㄷ. ;[!;은 항이 아니므로 단항식이 아니다.
ㄹ. 항이 3개이므로 다항식이다.
ㅁ. 항이 1개이므로 단항식이다.
ㅂ. 항이 2개이므로 다항식이다.
따라서 단항식은 ㄴ, ㅁ이다.
①
P.56
참고
1
x+1
;[!;,
니다. 따라서 일차식도 아니다.
과 같이 분모에 문자가 포함된 식은 다항식이 아
3
⑴ -2xÛ`, x, 3, 2, 1 ⑵ 2, 2
각 다항식에서 차수가 가장 큰 항의 차수가 그 다항식의 차
3-1
수이다.
⑴ 2x, -7에서 문자가 곱하여진 개수는 각각 1, 0이므로
2x-7의 차수는 1이다.
⑵ ;3{;, 1에서 문자가 곱하여진 개수는 각각 1, 0이므로 ;3{;+
의 차수는 1이다.
1
Ⅲ 문자와 식 | 23
개념정답.indd 23
2017. 9. 15. 오후 5:51
⑶ 5, 3a, aÛ`에서 문자가 곱하여진 개수는 각각 0, 1, 2이
므로 5+3a+aÛ`의 차수는 2이다.
⑷ x, -xÛ`, 3에서 문자가 곱하여진 개수는 각각 1, 2, 0이
므로 x-xÛ`+3의 차수는 2이다.
⑴ 1 ⑵ 1 ⑶ 2 ⑷ 2
4
③ 0_x+1=1이므로 차수가 0이다. 즉, 일차식이 아니다.
④ ;[$;는 다항식이 아니므로 일차식이 아니다.
⑤ xÛ`-1은 차수가 2인 다항식이므로 일차식이 아니다.
따라서 x에 대한 일차식은 ①, ②이다.
분모에 문자가 포함된 식은 다항식이 아니다.
따라서 일차식도 아니다.
①, ②
4-1
-4는 다항식이 아니므로 일차식이 아니다.
;[@;
x-xÛ`은 차수가 2이므로 일차식이 아니다.
0.3xÛ`-2는 차수가 2이므로 일차식이 아니다.
따라서 일차식은 -0.1x+0.1,
-;3!;
x+4, ;3{;의 3개이다.
3
7
⑶ (6a-9)Ö3=(6a-9)_
⑶ (6a-9)Ö3=6a_
;3!;
⑶ (6a-9)Ö3=2a-3
⑷ (8a-12)Ö
;3!;
-9_
;3!;
=(8a-12)_
{-;4%;}
{-;5$;}
{-;5$;}
{-;5$;}
⑷ (8a-12)Ö
=8a_
{-;4%;}-
{-;4%;}
12_
⑷ (8a-12)Ö
=-10a+15
⑴ 10x-4 ⑵ -2x
⑶ 2a-3 ⑷ -10a+15
+;2!;
6-1
{
-2x+
Ö
;3!;}
{-;6!;}
{
=
-2x+
_(-6)
;3!;}
;3!;}
{-;6!;}
=-2x_(-6)+
_(-6)
;3!;
-2x+
-2x+
{
{
Ö
Ö
;3!;}
{-;6!;}
=12x-2
문자는 x, 차수는 2인 항을 찾는다.
2xÛ`과 문자도 같고 그 문자에 대한 차수도 같은 항은
P.57
-5xÛ`,
이다.
2xÛ`
5
-5xÛ`,
2xÛ`
5
문자는 a, 차수는 1인 항을 찾는다.
7-1
a와 문자도 같고 그 문자에 대한 차수도 같은 항은
;5A;, -4a이다.
따라서 a와 동류항인 것은 ㄱ, ㄴ이다.
⑴ 10a ⑵ -28a ⑶ 6x ⑷ -
x
;5@;
3(2x-5)-(6x+9)
8
=6x-15-6x-9
=6x-6x-15-9
=-24
«분배법칙을 이용하여 괄호를 푼다.
ª
«동류항끼리 모은다.
ª
«동류항끼리 간단히 한다.
ª
③
P.58
②
⑤
5
⑴ 2_5a=(2_5)_a=10a
⑵ -4a_7=(-4_7)_a=-28a
⑶ 12xÖ2=12x_
=
12_
;2!;
{
;2!;}
_x=6x
⑷
xÖ
x
;3@;
Ö{-;3%;}=;3@;
_{-;5#;}
⑷
xÖ
;3@;
Ö{-;3%;}=[;3@;_{-;5#;}]
_x
⑷
xÖ
;3@;
Ö{-;3%;}=-;5@;
x
5-1
⑴ 3x_4=(3_4)_x=12x
⑵ -2x_
=
-2_
_x=-
;6!;
{
;6!;}
x
;3!;
⑶ 9xÖ3=9x_
;3!;={
9_
;3!;}
_x=3x
⑷ 28xÖ
{-;5&;}=
{-;7%;}
28x_
⑷ 28xÖ
=
28_
{-;5&;}
[
{-;7%;}]
_x
⑷ 28xÖ
=-20x
{-;5&;}
⑴ 12x ⑵ -
x ⑶ 3x ⑷ -20x
;3!;
6
⑴ 2(5x-2)=2_5x-2_2=10x-4
⑵ -
6x-
6x-
;3!;{
;2#;}=-;3!;_
{-;3!;}_;2#;
⑵ -
6x-
=-2x+
;3!;{
;2#;}
;2!;
24 | 정답 및 해설
8-1
⑴ (2x+8)+(3x-1) =2x+8+3x-1
⑵ (4x-5)-(2x-7) =4x-5-2x+7
=2x+3x+8-1
=5x+7
=4x-2x-5+7
=2x+2
⑶
6x+12`
3
+
4x-6`
2
=
:¤3Ó:+:Á3ª:+:¢2Ó:-;2^;
=2x+4+2x-3
=2x+2x+4-3
=4x+1
각 분모로 나눈다.
«
f;aB;의 꼴로 분리한다.
ª
«
f
ª
«동류항끼리 모은다.
ª
«동류항끼리 간단히 한다.
ª
개념정답.indd 24
2017. 9. 15. 오후 5:51
개념편 ⑷ 2(2x-1)-
(16x-8)=4x-2-4x+2
⑷ 2(2x-1)-
(16x-8) =4x-4x-2+2=0
;4!;
;4!;
⑴ 5x+7 ⑵ 2x+2 ⑶ 4x+1 ⑷ 0
실력 다지기
PP.59~60
02 ③
06 ⑤
03 a=-3, 7x+11 04 ①
01 ⑤
05 ③
07 ⑴ -5a-4 ⑵ 11x+12 ⑶ x+6 ⑷ -x-5
08 ③
09 풀이 참조
01
① 상수항은 -5이다.
② 차수가 가장 큰 항은 3xÛ`이므로 차수가 2인 다항식이다.
③ x의 계수는 -1이다.
④ 항은 3xÛ`, -x, -5의 3개이다.
⑤ xÛ`의 계수는 3이고 x의 계수는 -1이므로 합은 2이다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
02
① aÛ`+3a는 aÛ`이 있으므로 이차식이다.
② x가 분모에 있으므로 일차식이 아니다.
④ xÛ`-3x+2는 차수가 2이므로 이차식이다.
⑤ 0_x-2=-2이므로 일차식이 아니다.
(4-a)x+(3+a)xÛ`+5-2a가 일차식이므로 xÛ`의
03
계수가 0이어야 한다.
즉, 3+a=0이므로 a=-3이다.
따라서 주어진 식에 a=-3을 대입하면
{4-(-3)}x+{3+(-3)}xÛ`+5-2_(-3)
=7x+0+5+6=7x+11
① 문자는 x, 차수는 1이므로 동류항이다.
04
② 문자는 x이지만 차수가 1과 3으로 다르므로 동류항이
아니다.
③ 문자가 a, ab로 다르므로 동류항이 아니다.
④ 문자가 x, y로 다르므로 동류항이 아니다.
⑤ ;]#;은 문자가 분모에 있으므로 다항식이 아니다.
05
① 4_(-2x)={4_(-2)}_x=-8x
② (-10x)Ö(-5)=(-10x)_
{-;5!;}
(-10)_
_x=2x
{-;5!;}]
② (-10x)Ö(-5)
=[
④ (-8x+6)Ö(-2)
=(-8x+6)_
{-;2!;}
=(-8x)_
+6_
{-;2!;}
{-;2!;}
=4x-3
⑤ (4x-6)_
따라서 옳은 것은 ③이다.
=4x_
-6_
=6x-9
;2#;
;2#;
;2#;
06
-3(4x-1)=-3_4x-(-3)_1=-12x+3이므로
① (-3x-1)_3=-3x_3-1_3=-9x-3
② (16x+4)Ö4=(16x+4)_
;4!;
② (16x+4)Ö4=16x_
+4_
=4x+1
;4!;
;4!;
③ -
(18x-3)=-
_18x-
-
_3
;2!;
{
;2!;}
;2!;
;2!;
③ -
(18x-3)=-9x+
;2#;
④ (6x-3)Ö
=(6x-3)_3
④ (6x-3)Ö
=6x_3-3_3=18x-9
⑤
{
2x-
;2!;}
{-;6!;}={
;2!;}
2x-
_(-6)
;3!;
;3!;
Ö
Ö
Ö
;2!;}
{-;6!;}
=2x_(-6)-
_(-6)
;2!;
;2!;}
{-;6!;}
=-12x+3
따라서 간단히 한 결과가 다항식 -3(4x-1)과 같은 것
⑤
{
2x-
⑤
{
2x-
은 ⑤이다.
07
⑴ (-2a-5)+(-3a+1) =-2a-5-3a+1
=-2a-3a-5+1
=-5a-4
=5x+6x+15-3
=11x+12
⑵ 5(x+3)-3(1-2x) =5x+15-3+6x
⑶ -
(4x-8)+
(9x+6)=-2x+4+3x+2
⑶ -
(4x-8)+
(9x+6) =-2x+3x+4+2
;2!;
;2!;
;3!;
;3!;
=x+6
4x-6`
2
15x+10`
5
=
⑷
⑷
-
-
:¢2Ó:-;2^;-{:Á;5%;;Ó:+:Á5¼:}
=2x-3-(3x+2)
=2x-3x-3-2
=-x-5
2x+4`
3
08
x-3`
4
=
:ª3Ó:+;3$;-{;4{;-;4#;}
-
-
-
-
=
x+
;3@;
;3$;-;4!;
x+
;4#;
x
=;3@;
-;4!;
x+
+
;3$;
;4#;
=
;1°2;
x+
;1@2%;
Ⅲ 문자와 식 | 25
개념정답.indd 25
2017. 9. 15. 오후 5:51
따라서 x의 계수는
이고 상수항은
이므로
;1°2;
;1@2%;
7과목의 평균은
3a+2b+2c`
7
점이다.
로 놓고 식을 세운다.
③ -aÜ`=-(-2)Ü`=-(-8)=8
;1°2;+;1@2%;=;1#2);=;2%;
09
어떤 일차식을
라고 하면
, ;;;;.
+(-2x+5)=3x-1
, ;;;;.
, ;;;;.
=3x-1-(-2x+5)
=3x-1+2x-5
=3x+2x-1-5
=5x-6
어떤 일차식이 5x-6이므로 바르게 계산한 식을 구하면
(5x-6)-(-2x+5) =5x-6+2x-5
=5x+2x-6-5
=7x-11
단계
채점 기준
❶ 어떤 일차식을
, ;;;;.
❷ 어떤 일차식을 구한다.
❸ 바르게 계산한 식을 구한다.
yy`❶
yy`❷
yy`❸
배점 비율
40`%
30`%
30`%
중단원 마무리
PP.61~63
02
01 ⑤
3a+2b+2c`
7
06 95`ùF 07 ①
05 ②
10 ④
12 ②
11 ②
14 (4200+50x)원 15 ⑤
17~20 풀이 참조
점 03 ②
04 ②
09 ③
08 ②
13 ④
16 4x+4
01
ㄱ. 공책 두 권이 800원이므로 공책 한 권의 가격은 400원
이다. 따라서 공책 x권의 가격은 400x원이다. (거짓)
ㄴ. (거리)=(속력)_(시간)이므로 70x`km이다. (참)
ㄷ. 십의 자리의 숫자가 a, 일의 자리의 숫자가 b인 자연수
는 10a+b이다. (거짓)
ㄹ. 가로의 길이가 a, 세로의 길이가 b인 직사각형의 둘레
의 길이는 2a+2b이다. (참)
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.
=2(a+b)
02
첫째 날 시험 본 3과목의 평균이 a점이므로 첫째 날 시험
본 총점은 3a점이다.
둘째 날 시험 본 2과목의 평균이 b점이므로 둘째 날 시험
본 총점은 2b점이다.
셋째 날 시험 본 2과목의 평균이 c점이므로 셋째 날 시험
본 총점은 2c점이다.
따라서 시험 본 7과목의 총점은 (3a+2b+2c)점이므로
26 | 정답 및 해설
03
① aÖbÖc=a_
;b!;_;c!;=;bc;
② a+bÖ2=a+b_
=a+
③ 2Ö(x+5)=2_
=
;2!;
1
x+5
;2B;
2
x+5
④ 7_y_y_x_y =7_x_y_y_y=7xyÜ`
⑤ (-0.1)_b_a+2_c =(-0.1)_a_b+2_c
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
=-0.1ab+2c
aÝ`=
04
①
② -2aÛ`=-2_(-2)Û`=-2_4=-8
_(-2)Ý`=
_16=8
;2!;
;2!;
;2!;
④ -4a=-4_(-2)=8
⑤ aÛ`-2a=(-2)Û`-2_(-2)=4+4=8
따라서 식의 값이 다른 하나는 ②이다.
x+y`
xy
이므로
05
;[!;+;]!;을 통분하면 ;[!;+;]!;=
x+y=5, xy=2를 대입하면
x+y`
;[!;+;]!;=
xy =;2%;
06
;5(;
a+32에 a=35를 대입하면
a+32=
_35+32=95`(ùF)
;5(;
따라서 섭씨온도 35`¾æ는 화씨온도로 95``ùF이다.
;5(;
07
① 일차식이다.
따라서 옳지 않은 것은 ①이다.
x에 대해서나 y에 대해서나 일차식이다.
xÛ`의 계수는 6이므로 a=6
08
상수항은 -4이므로 c=-4
x의 계수는 -3이므로 b=-3
따라서 a+b+c=6+(-3)+(-4)=-1이다.
09
① -(4x+1)=-4x-1
② 3(2x-5)=6x-15
④ (-4x+8)Ö(-4)=x-2
⑤ (15x-9)Ö(-3)=-5x+3
따라서 옳은 것은 ③이다.
10
(-18x+12)Ö
=(-18x+12)_
=-12x+8
;2#;
;3@;
개념정답.indd 26
2017. 9. 15. 오후 5:51
개념편 7x-[2x-{2-(6-5x)}]
11
=7x-{2x-(2-6+5x)}
①
=7x-{2x-(-4+5x)}
②
③
=7x-(2x+4-5x)
④
=7x-(-3x+4)
⑤
=7x+3x-4
⑥
=10x-4
▲
①~⑥의 순서로
간단히 한다.
12
어떤 일차식을
라고 하면
, ;;;;.
+(2x-5)=5x-7
, ;;;;.
, ;;;;.
=5x-7-(2x-5)
=5x-7-2x+5
=5x-2x-7+5
=3x-2
이때 바르게 계산한 식은
(3x-2)-(2x-5) =3x-2-2x+5
=3x-2x-2+5
=x+3
13
-2A+B+3(A-2B) =-2A+B+3A-6B
=A-5B
=(x-2)-5(-3x+1)
=x-2+15x-5
=16x-7
정가는 원가 5000원인 티셔츠에 x`%의 이익을 붙여 정하
14
므로 5000+5000_
=5000+50x(원)이다.
;10{0;
이때 정가에서 800원을 할인하여 판매하였으므로 판매 가격
은 (5000+50x)-800=4200+50x(원)
15
6개의 타일이 추가로 붙이는 1개의 타일과 겹치는 경우는
다음 3가지가 있다.
Ú 한 변이 겹치는 경우
14a+4a-2a=16a
한 변 a가 1번 겹치므로 겹쳐지는
둘레의 길이에서 2a를 뺀다.
▲
▲
▲
겹쳐지는 둘레의 길이
추가된 타일의 둘레의 길이
원래 타일의 둘레의 길이
16
15
1
5
2
4
3
14
13
10
11
12
6
7
9
8
Û 두 변이 겹치는 경우
14a+4a-4a=14a
13
1
5
2
4
3
8
9
11
10
14
12
12
11
10
9
6
7
8
6
7
4
5
Ü 세 변이 겹치는 경우
14a+4a-6a=12a
1
2
3
한 변 a가 3번 겹치므로 겹쳐지는
둘레의 길이에서 6a를 뺀다.
16
Ú, Û, Ü에 의하여 타일로 만들 수 있는 도형의 둘레의
길이는 16a, 14a, 12a이므로 그 합은
16a+14a+12a=42a이다.
[1단계] 네 귀퉁이에 4개의 스티커를 붙이고 각 변마다 네
귀퉁이 사이에 1개씩의 스티커를 붙이므로 스티커의 개수는
4+4_1(개)
[2단계] 네 귀퉁이에 4개의 스티커를 붙이고 각 변마다 네
귀퉁이 사이에 2개씩의 스티커를 붙이므로 스티커의 개수는
4+4_2(개)
[3단계] 네 귀퉁이에 4개의 스티커를 붙이고 각 변마다 네
귀퉁이 사이에 3개씩의 스티커를 붙이므로 스티커의 개수는
4+4_3(개)
`⋮
[x단계] 네 귀퉁이에 4개의 스티커를 붙이고 각 변마다 네
귀퉁이 사이에 x개씩의 스티커를 붙이므로 스티커의 개수는
4+4_x(개)
따라서 x단계에 필요한 스티커의 개수는 4x+4이다.
다른 풀이
[1단계] 첫째 줄과 마지막 줄에 스티커를 3개씩 붙이고, 그
사이에 스티커를 1_2개 붙이므로 스티커의 개수는
3+3+2(개)
[2단계] 첫째 줄과 마지막 줄에 스티커를 4개씩 붙이고, 그
사이에 스티커를 2_2개 붙이므로 스티커의 개수는
4+4+4(개)
[3단계] 첫째 줄과 마지막 줄에 스티커를 5개씩 붙이고, 그
사이에 스티커를 3_2개 붙이므로 스티커의 개수는
5+5+6(개)
[4단계] 첫째 줄과 마지막 줄에 스티커를 6개씩 붙이고, 그
사이에 스티커를 4_2개 붙이므로 스티커의 개수는
6+6+8(개)
`⋮
[x단계] (x+2)+(x+2)+2x, 즉 4x+4(개)의 스티커
Ⅲ 문자와 식 | 27
한 변 a가 2번 겹치므로 겹쳐지는
둘레의 길이에서 4a를 뺀다.
가 필요하다.
개념정답.indd 27
2017. 9. 15. 오후 5:51
3(-2x-3)
12
yy`❶
⑶ 색종이 2장을 이어 붙일 때
yy`❶
색종이 3장을 이어 붙일 때
=30-2x`(cm)
(둘레의 길이) =5_2+2(5_3-2x)
=40-4x`(cm)
색종이 4장을 이어 붙일 때
(둘레의 길이) =5_2+2(5_4-3x)
=50-6x`(cm)
yy`❶
⑵ 색종이 12장을 이어 붙일 때
(둘레의 길이) =5_2+2(5_12-11x)
=10+2(60-11x)
=10+120-22x
=130-22x`(cm)
yy`❷
(넓이)=5(5_2-x)`(cmÛ`)
색종이 3장을 이어 붙일 때
(넓이)=5(5_3-2x)`(cmÛ`)
색종이 4장을 이어 붙일 때
(넓이)=5(5_4-3x)`(cmÛ`)
⋮
따라서 색종이 12장을 이어 붙일 때
(넓이) =5(5_12-11x)
=5(60-11x)
=300-55x`(cmÛ`)
채점 기준
yy`❸
배점 비율
색종이를 2장, 3장, 4장 이어 붙일 때의 둘레
의 길이를 구한다.
색종이의 둘레의 길이를 x를 사용한 식으로
나타낸다.
색종이의 넓이를 x를 사용한 식으로 나타낸
다.
30`%
40`%
30`%
단계
❶
❷
❸
S=ah이다.
17
⑴ (평행사변형의 넓이)=(밑변의 길이)_(높이)이므로
⑵ S=ah에 a=5, h=6을 대입하면
S=5_6=30`(cmÛ`)이다.
단계
❶
❷
채점 기준
⑴ 평행사변형의 넓이 S를 a, h에 대한 식으
로 나타낸다.
를 구한다.
⑵ a=5, h=6일 때, 평행사변형의 넓이 S
yy`❷
배점 비율
50`%
50`%
18
분모인 3, 2, 4의 최소공배수 12로 주어진 식을 통분하면
(주어진 식)
=
=
=
=
=
+
+
-
-
8x-16
12
4(2x-4)
12
6(x-5)
12
-6x-9
6x-30
12
12
8x-16-6x+30-6x-9
12
(8-6-6)x-16+30-9
12
-4x
12
-4x+5
12
;1°2;
=
+
x
=-;3!;
+;1°2;
따라서 a=-
, b
이다.
;3!;
=;1°2;
단계
채점 기준
배점 비율
❶ 주어진 식을 통분한다.
❷ 주어진 식을 간단히 한다.
❸ a, b의 값을 구한다.
yy`❷
yy`❸
30`%
50`%
20`%
A 중학교의 작년 남학생 수가 x명이므로 작년 여학생 수는
(300-x)명이다.
yy`❶
19
이때 올해 남학생 수는
x-0.08x=0.92x(명)
올해 여학생 수는
(300-x)+(300-x)_0.06
=300-x+18-0.06x
=318-1.06x(명)
따라서 올해 학생 수는
2. 일차방정식
yy`❷
01
방정식과 그 해
0.92x+(318-1.06x)=318-0.14x(명) yy`❸
단계
채점 기준
배점 비율
❶ 작년 여학생 수를 x를 사용하여 나타낸다.
❷
올해 남학생 수와 여학생 수를 x를 사용하여
나타낸다.
❸ 올해 학생 수를 x를 사용하여 나타낸다.
10`%
60`%
30`%
1
① 등식이 아니고 일차식이다.
② 등식이다.
③ 등식이 아니다.
④ 등식이 아니고 일차식이다.
⑤ 등식이다.
P.64
②, ⑤
20
⑴ 색종이 2장을 이어 붙일 때
(둘레의 길이) =5_2+2(5_2-x)
28 | 정답 및 해설
1-1
등식은 등호 ‘=’를 사용하여 수나 식이 서로 같음을 나타
낸 식이다.
개념정답.indd 28
2017. 9. 15. 오후 5:51
개념편 따라서 등식은 ㄴ, ㄹ이다.
4
⑴ 방정식 ⑵ 항등식
ㄴ, ㄹ
⑴ 3x-2=7, 좌변: 3x-2, 우변: 7
⑵ 2a+2b=16, 좌변: 2a+2b, 우변: 16
립하므로
2
⑴ 어떤 수 x의
;3!;
배에서 2를 뺀 것은
x-2이고 어떤 수
;3!;
x에 6을 더한 것은 x+6이므로 등식은
x-2=x+6
;3!;
⑵ 3명이 a원씩 낸 금액은 3a원이므로 등식은
3a-b=2500
⑴
x-2=x+6 ⑵ 3a-b=2500
;3!;
2-1
⑴ 어떤 수 x의 3배에서 2를 뺀 값은 3x-2이므로
등식은 3x-2=7이고,
좌변은 3x-2, 우변은 7이다.
⑵ (가로의 길이)_2+(세로의 길이)_2
= (직사각형의 둘레의 길이)이므로
등식은 2a+2b=16이고,
좌변은 2a+2b, 우변은 16이다.
3
x의 값
3x-2=4
좌변
우변
참`/`거짓
-2
-1
0
1
2
3_(-2)-2=-8
3_(-1)-2=-5
3_0-2=-2
3_1-2=1
3_2-2=4
4
4
4
4
4
거짓
거짓
거짓
거짓
참
3-1
⑴
x의 값
3x+1=-2
좌변
-1
3_(-1)+1=-2 -2
0
1
3_0+1=1
3_1+1=4
우변
-2
-2
참`/`거짓
참
거짓
거짓
따라서 구하는 해는 x=-1이다.
⑵
x의 값
2x-1=5x-4
좌변
우변
참`/`거짓
4-1
식을 정리하였을 때, 좌변과 우변이 같으면 항등식이다.
① 좌변과 우변이 다르므로 항등식이 아니다.
② 3x-2=3(x-1)에서 3x-2==3x-3이다.
따라서 좌변과 우변이 다르므로 항등식이 아니다.
③ 좌변과 우변이 다르므로 항등식이 아니다.
④ 좌변과 우변이 다르므로 항등식이 아니다.
⑤ x+1=2x+1-x에서 x+1=x+1이다.
따라서 좌변과 우변이 같으므로 항등식이다.
⑤
P.66
5
⑴ 등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립하므로
⑵ 등식의 양변에서 같은 수를 빼어도 등식은 성립하므로
a=b일 때, a+c= b+c
a=b일 때, a-c= b-c
⑶ 등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립하므로
a=b일 때, ac =bc
⑷ 등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성
a=b일 때,
;cA; =;cB; (단, c+0)
⑴ b+c ⑵ b-c ⑶ ac ⑷ ;cA;
5-1
ㄱ. a=b의 양변에 b를 더하면 a+b=2b이다. (거짓)
ㄴ. -;2A;=-;2B;의 양변에 -2를 곱하면
(-2)=
-;2A;_
즉, a=b이다. (참)
(-2)
-;2B;_
ㄷ. 5x=5y의 양변을 5로 나누면 :°5Ó:
=
:°5Õ:
즉, x=y이다.
x=y의 양변에 1을 더하면 x+1=y+1이다. (참)
ㄹ. x+3=y의 양변에서 3을 빼면 x+3-3=y-3
즉, x=y-3이다. (거짓)
ㄴ, ㄷ
6
⑴ 주어진 등식의 양변에 3을 더하면 x-3+3=10+3
⑵ 주어진 등식의 양변에서 5를 빼면 x+5-5=9-5
따라서 x=13이다.
-1
0
1
2_(-1)-1
=-3
5_(-1)-4
=-9
거짓
2_0-1=-1 5_0-4=-4 거짓
2_1-1=1
5_1-4=1
참
따라서 x=4이다.
⑶ 주어진 등식의 양변에 2를 더하면
3x-2+2=13+2, 3x=15
따라서 구하는 해는 x=1이다.
⑴ x=-1 ⑵ x=1
이 등식의 양변을 3으로 나누면 :£3Ó:
따라서 x=5이다.
=
:Á3°:
Ⅲ 문자와 식 | 29
개념정답.indd 29
2017. 9. 15. 오후 5:51
⑴ x=13 ⑵ x=4 ⑶ x=5 ⑷ x=-4
⑷ 주어진 등식의 양변에서 1을 빼면
1-2x-1=9-1, -2x=8이다.
이 등식의 양변을 -2로 나누면
-2x`
-2
=
8`
-2
따라서 x=-4이다.
6-1
⑴ 주어진 등식의 양변에 5를 더하면
2x-5+5=-3+5, 2x=2
이 등식의 양변을 2로 나누면 :ª2Ó:=;2@;
따라서 x=1이다.
⑵ 주어진 등식의 양변에서 1을 빼면
3x+1-1=5-x-1, 3x=4-x
이 등식의 양변에 x를 더하면
3x+x=4-x+x, 4x=4
이 등식의 양변을 4로 나누면 :¢4Ó:=;4$;
따라서 x=1이다.
⑶ 주어진 등식의 양변에 2를 더하면
x-2+2=4x-8+2, x=4x-6
이 등식의 양변에서 4x를 빼면
x-4x=4x-6-4x, -3x=-6
이 등식의 양변을 -3으로 나누면
-3x`
-3
=
-6`
-3
따라서 x=2이다.
⑷ 주어진 등식의 양변에서 2를 빼면
;3!;
;3!;
-
x+2-2=5-2, -
x=3
;3!;
이 등식의 양변에 -3을 곱하면
-
x_(-3)=3_(-3)
따라서 x=-9이다.
⑴ x=1 ⑵ x=1 ⑶ x=2 ⑷ x=-9
다른 풀이
⑷ 주어진 양변에 -3을 곱하면
x+2
(-3)=5_(-3), x-6=-15
{-;3!;
이 등식의 양변에 6을 더하면 x-6+6=-15+6
}_
따라서 x=-9이다.
실력 다지기
PP.67~68
02 ⑤
01 ①
05 풀이 참조
09 ⑴ x=3 ⑵ x=-4
03 ⑤
06 ⑤
04 ②
07 ㉤
08 ②
30 | 정답 및 해설
01
등식은 등식 ‘=’를 사용하여 수나 식이 서로 같음을 나타
낸 식이다.
따라서 등식은 ①이다.
02
① 800x+1200=5200
② 20=3x+2
③ 3x+2=5x-4
④ 4x=20
03
① x=2를 주어진 방정식에 대입하면
(좌변)=2x+1=2_2+1=5, (우변)=-1
즉, (좌변)+(우변)이므로 x=2는 주어진 방정식의 해
가 아니다.
② x=4를 주어진 방정식에 대입하면
(좌변)=4-x=4-4=0, (우변)=x=4
즉, (좌변)+(우변)이므로 x=4는 주어진 방정식의 해
가 아니다.
③ x=-2를 주어진 방정식에 대입하면
(좌변)=3x-2=3_(-2)-2=-8,
(우변)=-x=-(-2)=2
즉, (좌변)+(우변)이므로 x=-2는 주어진 방정식의
해가 아니다.
④ x=-1을 주어진 방정식에 대입하면
(좌변)=2(x+1)=2{(-1)+1}=0,
(우변)=x=-1
즉, (좌변)+(우변)이므로 x=-1은 주어진 방정식의
해가 아니다.
⑤ x=2를 주어진 방정식에 대입하면
(좌변)=
(x-2)=
(2-2)=0, (우변)=0
;3@;
;3@;
즉, (좌변)=(우변)이므로 x=2는 주어진 방정식의 해
이다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
04
① x-9=-9-x는 x-9=-x-9로 좌변과 우변이
다르므로 항등식이 아니다.
② -5x+6=6-5x는 -5x+6=-5x+6으로 좌변
과 우변이 같으므로 항등식이다.
③ 5x+2x=3x는 7x=3x로 좌변과 우변이 다르므로 항
등식이 아니다.
④ 2x-1=-1은 좌변과 우변이 다르므로 항등식이 아니다.
⑤ 4x-1=3x는 좌변과 우변이 다르므로 항등식이 아니다.
따라서 항등식인 것은 ②이다.
05
주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로 이 등식의 좌변과
yy`❶
우변이 같다.
ax+b-3=-4x+3x+2에서
개념정답.indd 30
2017. 9. 15. 오후 5:51
개념편
yy`❷
ax+b-3=-x+2이므로
ax=-x에서 a=-1, b-3=2에서 b=5이다. yy`❸
단계
채점 기준
배점 비율
❶ 등식의 좌변과 우변이 같음을 안다.
❷ 등식의 우변을 정리한다.
❸ a, b의 값을 구한다.
30`%
30`%
40`%
02
일차방정식의 풀이
1
이항하면 이항하는 항의 부호가 바뀐다.
⑴ x
-5=2에서 -5를 우변으로 이항하면
P.69
x=2+5
⑵ 4x=1
4x+x=1
x-3x=-1
이항하면
-x+4x=2-5
로 등식은 성립한다.
다.
한다.
립한다.
06
① 등식의 양변에 같은 수 1을 더했으므로 등식은 성립한
-x에서 -x를 좌변으로 이항하면
② 등식의 양변에 같은 수 2를 곱하고 같은 수 1을 뺏으므
⑶ x=
3x-1에서 3x를 좌변으로 이항하면
③ 등식의 양변을 같은 수 2로 나누었으므로 등식은 성립
⑷
5-x=
-4x+2에서 5를 우변으로, -4x를 좌변으로
④ 등식의 양변에 같은 수 -1을 곱하였으므로 등식은 성
⑤ 등식 ;2{;=;3};의 양변에 같은 수 6을 곱하면
_6=
_6, 즉 3x=2y이므로 옳지 않다.
;2{;
;3};
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
⑴ x=2+5
⑵ 4x+x=1
⑶ x-3x=-1 ⑷ -x+4x=2-5
1-1
⑴ 2x+1=7에서 1을 우변으로 이항하면
⑵ 5x+3=-2에서 3을 우변으로 이항하면
2x=7-1
07
각각에 사용된 등식의 성질은 다음과 같다.
㉠ 등식의 양변에 5를 곱했으므로 a=b이면 ac=bc
5x=-2-3
⑶ 2x-5=x+3에서 -5를 우변으로, x를 좌변으로 이
㉡ 등식의 양변에 5x를 더했으므로 a=b이면 a+c=b+c
항하면
㉢ 등식의 양변에 10을 더했으므로 a=b이면 a+c=b+c
㉣ 우변을 정리한다.
㉤ 등식의 양변을 6으로 나누었으므로
a=b이면 ;cA;=;cB; (단, c+0)
08
① 양변에 3을 더한 후 양변을 2로 나누어서 해를 구한다.
③ 양변에 2를 더한 후 양변을 3으로 나누어서 해를 구한다.
④ 양변에서 2를 뺀 후 양변을 -3으로 나누어서 해를 구
한다.
⑤ 양변에 2를 더한 후 양변을 -2로 나누어서 해를 구한다.
09
⑴ 주어진 등식의 양변에 4를 더하면
3x-4+4=5+4, 3x=9
이 등식의 양변을 3으로 나누면
:£3Ó:
=
;3(;,
x=3
⑵ 주어진 등식의 양변에 1을 더하면
-
x-1+1=5+1, -
x=6
;2#;
;2#;
이 등식의 양변에 x의 계수의 역수인 -
를 곱하면
;3@;
-
x
;2#;
_{-;3@;}=
_{-;3@;},
6
x=-4
2x-x=3+5
⑷ 4-7x=2-10x에서 4를 우변으로, -10x를 좌변으
로 이항하면
-7x+10x=2-4
⑴ 2x=7-1 `⑵ 5x=-2-3
⑶ 2x-x=3+5 ⑷ -7x+10x=2-4
2
⑴ xÛ`이 있으므로 일차방정식이 아니다. (×)
⑵ 5-x=5+x에서 5+x를 좌변으로 이항하면
5-x-5-x=0, -2x=0
따라서 일차방정식이다. ()
⑶ 2x-3=1+2(x-2)에서 2x-3=1+2x-4
1+2x-4를 좌변으로 이항하면
2x-2x-3-1+4=0, 0=0
따라서 항등식이므로 일차방정식이 아니다. (×)
⑷ 3x(x-1)=5+3xÛ`에서 3xÛ`-3x=5+3xÛ`
5+3xÛ`을 좌변으로 이항하면
3xÛ`-3x-5-3xÛ`=0, -3x-5=0
따라서 일차방정식이다. ()
⑴ × ⑵ ◦ ⑶ × ⑷ ◦
2-1
ㄱ. 다항식이다.
ㄴ. 2x+3=7에서 2x+3-7=0, 2x-4=0이므로 x에
Ⅲ 문자와 식 | 31
개념정답.indd 31
2017. 9. 15. 오후 5:51
³
³
³
³
³
-2x-4x=9+3, -6x=12
양변을 x의 계수 -6으로 나누면
-6x
-6 =
12
-6, x=-2
⑴ x=-3 ⑵ x=-2 ⑶ x=-4 ⑷ x=-2
4-1
⑴ 5x-7=13에서 5x=13+7, 5x=20
따라서 x=4이다.
⑵ 11x+9=-4x-6에서
11x+4x=-6-9, 15x=-15
따라서 x=-1이다.
ㄴ, ㅁ
P.70
⑶ 3x-11=x+19에서 3x-x=19+11, 2x=30
따라서 x=15이다.
⑷ -4x-1=2x에서 -4x-2x=1, -6x=1
따라서 x=
이다.
-;6!;
⑴ x=4 ⑵ x=-1 ⑶ x=15 ⑷ x=
-;6!;
P.71
5
⑴ 3(x-2)=x+10에서 괄호를 풀면
3x - 6 =x+10
- 6과 x를 각각 이항하면
3x -x=10+ 6
동류항끼리 정리하면
2 x= 16
양변을 x의 계수 2로 나누면
x, 4, 16, 4
x= 8 이다.
⑵ 4(x-1)=-3(x+6)에서 괄호를 풀면
대한 일차방정식이다.
ㄷ. 부등호가 있는 식이다.
ㄹ. xÛ`+1=-x에서 xÛ`+x+1=0이므로 x에 대한 일차
방정식이 아니다.
ㅁ. 3-2xÛ`=x-2xÛ`에서 3-2xÛ`-x+2xÛ`=0,
-x+3=0이므로 x에 대한 일차방정식이다.
ㅂ. 2(x+3)=6+2x에서 2x+6=6+2x
2x+6-6-2x=0, 0=0이므로 항등식이다.
3
⑴ x-2=6
x=6+ 2
따라서 x= 8 이다.
⑵ -2=3x-11
-2+( -3x )=-11
-3x =-11+2
-3x=-9
따라서 x= 3 이다.
«
ª
«
ª
«
ª
좌변의 -2를 우변으로 이항한다.
우변의 3x를 좌변으로 이항한다.
좌변의 -2를 우변으로 이항한다.
양변을 x의 계수 -3으로 나눈다.
«
ª
⑴ 2, 8 ⑵ -3x, -3x, 3
3-1
3x-4 =-x+12
3x+ x =12+ 4
4x = 16
§;;
:¢4Ó: =;;Á4¤
x =4
x를 포함한 항은 좌변으로,
상수항은 우변으로 이항한다.
동류항끼리 정리한다.
양변을 x의 계수 4로 나눈다.
«
ª
«
ª
«
ª
4
⑴ 5x+2=-13에서 2를 우변으로 이항하면
5x=-13-2, 5x=-15
양변을 x의 계수 5로 나누면
:°5Ó:=
-15
5
, x=-3
⑵ 4=-2-3x에서 4를 우변으로, -3x를 좌변으로 이
4x- 4 =-3x- 18
- 4와 -3x를 각각 이항하면
4x+ 3x =-18+ 4
동류항끼리 정리하면
7 x= -14
양변을 x의 계수 7로 나누면
x= -2 이다.
5-1
⑴ 5(x-3)=-x+3에서
5x-15=-x+3, 6x=18
따라서 x=3이다.
⑵ 3x=2(x-1)+7에서
3x=2x-2+7, 3x-2x=5
따라서 x=5이다.
6x-15=-x-1, 7x=14
⑴ 3x, 6, 3x, 6, 2, 16, 8
⑵ 4, 18, 3x, 4, 7, -14, -2
⑶ x-5=5x+11에서 -5를 우변으로, 5x를 좌변으로
항하면
3x=-2-4, 3x=-6
양변을 x의 계수 3으로 나누면
3x
3 =
-6
3
, x=-2
이항하면
x-5x=11+5, -4x=16
양변을 x의 계수 -4로 나누면
-4x
-4 =
16
-4, x=-4
로 이항하면
32 | 정답 및 해설
⑷ -2x-3=4x+9에서 -3을 우변으로, 4x를 좌변으
⑶ 3(2x-5)=-(x+1)에서
개념정답.indd 32
2017. 9. 15. 오후 5:51
개념편
따라서 x=2이다.
⑷ 4(2x-3)=9(x-4)+16에서
8x-12=9x-36+16, -x=-8
따라서 x=8이다.
⑴ x=3 ⑵ x=5 ⑶ x=2 ⑷ x=8
7
⑴ 0.3x+0.5=0.1x-0.3의 양변에 10을 곱하면
(0.3x+0.5)_ 10 =(0.1x-0.3)_ 10
괄호를 풀면
P.72
6
⑴ (x-5)`:`(x+4)=2`:`5에서 내항의 곱과 외항의 곱
3x+ 5 =x- 3
이항하여 정리하면
3x- x =-3-5
2 x= -8
따라서 x= -4 이다.
다른 풀이
있다.
소수인 계수를 정수로 고치지 않고 다음과 같이 풀 수도
0.3x+0.5=0.1x-0.3에서
0.3x-0.1x=-0.3-0.5, 0.2x=-0.8
양변을 x의 계수 0.2로 나누면
0.2x
0.2
=
-0.8
0.2
따라서 x=-4이다.
⑵ 0.3x+0.05=0.65의 양변에 100을 곱하면
(0.3x+0.05)_ 100 =0.65_ 100
⑵ (x-2)`:`3=(2x-1)`:`4에서 내항의 곱과 외항의
이 같으므로
2(x+4)=5(x-5)
괄호를 풀면
2x+8=5x-25
이항하여 동류항끼리 정리하면
2x-5x=-25-8, -3x=-33
따라서 x=11이다.
곱이 같으므로
3(2x-1)=4(x-2)
괄호를 풀면
6x-3=4x-8
이항하여 동류항끼리 정리하면
6x-4x=-8+3, 2x=-5
따라서 x=-
이다.
;2%;
괄호를 풀면
30x +5= 65
이항하여 정리하면
30x = 65 -5
30 x= 60
따라서 x= 2 이다.
⑴ x=11 ⑵ x=-
;2%;
6-1
⑴ 2`:`3x=5`:`7에서
3x_5=2_7, 15x=14
따라서 x=
이다.
;1!5$;
⑵ (1-x)`:`2x=3`:`4에서
2x_3=4(1-x), 6x=4-4x
6x+4x=4, 10x=4
따라서 x=
이다.
;5@;
⑶ (-x-1)`:`(2x-3)=3`:`2에서
3(2x-3)=2(-x-1)
6x-9=-2x-2, 6x+2x=-2+9, 8x=7
따라서 x=
이다.
;8&;
⑷ 3`:`(-2x+1)=5`:`(3x-2)에서
5(-2x+1)=3(3x-2)
-10x+5=9x-6, -10x-9x=-6-5
-19x=-11
따라서 x=
이다.
;1!9!;
⑴ 10, 10, 5, 3, x, 2, -8, -4
⑵ 100, 100, 30x, 65, 30x, 65, 30, 60, 2
7-1
⑴ 1.1x+0.9=-0.4x-0.6의 양변에 10을 곱하면
11x+9=-4x-6, 15x=-15
따라서 x=-1이다.
⑵ 1.25x-2.1=0.05x+0.3의 양변에 100을 곱하면
125x-210=5x+30, 120x=240
따라서 x=2이다.
⑶ 0.6(x-3)=1.2(x+1)+6의 양변에 10을 곱하면
6(x-3)=12(x+1)+60
6x-18=12x+72, -6x=90
따라서 x=-15이다.
⑷ 0.04(x+1)=0.17x+0.3의 양변에 100을 곱하면
4(x+1)=17x+30, 4x+4=17x+30, -13x=26
따라서 x=-2이다.
⑴ x=-1 ⑵ x=2 ⑶ x=-15 ⑷ x=-2
8
⑴ ;2{;-;3{;=;6%;의 양변에 분모 2, 3, 6의 최소공배수 6을
곱하면
Ⅲ 문자와 식 | 33
⑴ x=
⑵ x=
⑶ x=
⑷ x=
;1!5$;
;5@;
;8&;
;1!9!;
-
{;2{;
;3{;}
_ 6 =
_ 6
;6%;
개념정답.indd 33
2017. 9. 15. 오후 5:51
-1의 양변에 분모 6, 4의 최소공배수
2_(-2)+3=3_(-2)-5a
괄호를 풀면
3x- 2x = 5
따라서 x= 5 이다.
9
⑴ x=-2가 방정식 x-2a=0의 해이므로
x=-2를 x-2a=0에 대입하면
P.73
다른 풀이
⑴ 분수인 계수를 정수로 고치지 않고 다음과 같이 풀 수도
-2-2a=0, -2a=2
따라서 a=-1이다.
있다.
-
=
;6%;에서
;3{;
;2{;
{;2!;-;3!;}
x=
;6%;, ;6!;
x=
;6%;
양변에 x의 계수인 ;6!;의 역수 6을 곱하면
x_6=
_6
;6!;
;6%;
따라서 x=5이다.
⑵
=
x+2
x-5
6
4
12를 곱하면
x-5
6
_ 12 =
x+2
4
{
-1
_ 12
}
괄호를 풀면
2x- 10 =3x+ 6 -12
2x- 3x = -6 +10
▲
-x =4
따라서 x= -4 이다.
⑴ 6, 6, 2x, 5, 5 ⑵ 12, 12, 10, 6, 3x, -6, -x, -4
-
=
;9{;
;2!;
8-1
⑴ ;6{;
곱하면
-
_18=
{;6{;
;9{;}
따라서 x=9이다.
;2!;
_18, 3x-2x=9
⑵
=x-3의 양변에 2를 곱하면
4-3x
2
4-3x=2(x-3), 4-3x=2x-6, -5x=-10
따라서 x=2이다.
x-1
2
2x+1
3
6을 곱하면
2x+1
3
x-1
_6=
1-
2 }
2(2x+1)=6-3(x-1)
{
_6,
4x+2=6-3x+3, 7x=7
따라서 x=1이다.
⑷
x+1=0.5(5-x)의 양변에 2를 곱하면
;2#;
3x+2=5-x, 4x=3
따라서 x=
이다.
;4#;
다른 풀이
x-2a=0에서 x=2a
그런데 x=-2가 방정식 x-2a=0의 해이므로
-2=2a, -2a=2
이 식의 양변을 -2로 나누면
-2a
-2
=
2
-2
따라서 a=-1이다.
⑵ x=-2가 방정식 2x+3=3x-5a의 해이므로
x=-2를 2x+3=3x-5a에 대입하면
-1=-6-5a, 5a=-6+1, 5a=-5
따라서 a=-1이다.
⑴ -1 ⑵ -1
9-1
⑴ x=-1이 방정식 3x+a=x-2a의 해이므로
x=-1을 이 방정식에 대입하면
3_(-1)+a=-1-2a
-3+a=-1-2a, 3a=2
따라서 a
=;3@;이다.
x=-12를 이 방정식에 대입하면
{(-12)-2}=0.1_(-12)+a
-;5!;
:Á5¢:
=-1.2+a
이 방정식의 양변에 5를 곱하면
14=-6+5a, -5a=-20
따라서 a=4이다.
10
-2x-3=1에서 -2x=4
따라서 x=-2이다.
두 일차방정식의 해가 서로 같으므로
x=-2도 ax-3=5의 해이다.
그러므로 x=-2를 ax-3=5에 대입하면
a_(-2)-3=5, -2a=8
따라서 a=-4이다.
-4
⑶
=1-
의 양변에 분모 3, 2의 최소공배수
⑴
⑵ 4
;3@;
의 양변에 분모 6, 9, 2의 최소공배수 18을
⑵ x=-12가 방정식
(x-2)=0.1x+a의 해이므로
-;5!;
⑴ x=9 ⑵ x=2 ⑶ x=1 ⑷ x
=;4#;
10-1
⑴ 5x+4=2(x-1)에서
5x+4=2x-2, 3x=-6
34 | 정답 및 해설
개념정답.indd 34
2017. 9. 15. 오후 5:51
개념편 따라서 x=-2이다.
두 일차방정식의 해가 서로 같으므로
x=-2도
x-3=
;2!;
x-k
3 의 해이다.
그러므로 x=-2를
x-3=
x-k
3 에 대입하면
;2!;
-2-k
3
_(-2)-3=
;2!;
-2-k
3
-4=
, -12=-2-k, k=-2+12
따라서 k=10이다.
⑵ 0.5x+0.3=0.3x-0.5의 양변에 10을 곱하면
5x+3=3x-5, 2x=-8
따라서 x=-4이다.
두 일차방정식의 해가 서로 같으므로
x=-4도 4x=k-2x의 해이다.
그러므로 x=-4를 4x=k-2x에 대입하면
4_(-4)=k-2_(-4)
-16=k+8, -k=8+16
따라서 k=-24이다.
다른 풀이
0.5x+0.3=0.3x-0.5를 풀면 x=-4
4x=k-2x에서 4x+2x=k, 6x=k, x=
;6K;
두 일차방정식의 해가 같으므로 ;6K;=
따라서 k=-24이다.
-4
⑴ 10 ⑵ -24
실력 다지기
PP.74~77
02 ③
01 ④
05 풀이 참조
⑶ x=4 07 ②
12 ⑤
11 ②
16 ③
15 ②
03 ①, ⑤ 04 ②
06 ⑴ x=2 ⑵ x=-2
08 ①
13 3
17 풀이 참조
09 -2
14 풀이 참조
10 x=14
18 x=
:Á2Á:
01
④ -2x+3=3x-1 ⇨ -2x-3x=-1-3
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
02
등식의 성질 네 가지 중에서
Ú 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다.
Û 양변에서 같은 수를 빼어도 등식은 성립한다.
를 간단히 한 것이 바로 ‘이항’이다.
따라서 ‘좌변의 -3을 이항한다.’는 것과 뜻이 같은 것은
‘양변에 3을 더한다.’이다.
03
① 3x-1=5에서 3x-6=0이므로 일차방정식이다.
② 13-5_2=3은 미지수를 포함하지 않았으므로 방정식
이 아니다.
③ 3x-5=3x-1에서 0_x-4=0
좌변이 일차식이 아니므로 일차방정식이 아니다.
④ 2(x+1)=2x+5에서 2x+2=2x+5
2x-2x+2-5=0, 0_x-3=0
좌변이 일차식이 아니므로 일차방정식이 아니다.
⑤ xÛ`-x+3=4x+xÛ`에서 xÛ`-x+3-4x-xÛ`=0
좌변을 정리하면 -5x+3=0이므로 일차방정식이다.
따라서 일차방정식은 ①, ⑤이다.
3x-1=ax+7에서
3x-1-ax-7=0, (3-a)x-8=0
이때 x의 계수 3-a가 0이 아니어야 일차방정식이므로
3-a+0
따라서 a+3이다.
7x+9=5x+4에서 7x-5x=4-9
2x=-5 또는 -2x=5
이때 |a|, |b|는 서로소이므로
a=2, b=-5 또는 a=-2, b=5이다.
따라서 ab=2_(-5)=-10이다.
단계
채점 기준
❶ 주어진 일차방정식을 ax=b 꼴로 나타낸다.
❷ a, b의 값을 구한다.
❸ a+b의 값을 구한다.
yy`❶
yy`❷
yy`❸
배점 비율
50`%
40`%
10`%
06
⑴ 3(x-1)=x+1에서
3x-3=x+1, 3x-x=1+3, 2x=4
따라서 x=2이다.
⑵ -2(x-1)=x+8에서
-2x+2=x+8, -2x-x=8-2, -3x=6
따라서 x=-2이다.
⑶ 4(x-3)=3(x-2)-2에서
4x-12=3x-6-2, 4x-12=3x-8
4x-3x=-8+12
따라서 x=4이다.
07
5x-3=x-5에서
5x-x=-5+3, 4x=-2
따라서 x=
이다.
-;2!;
① x+16=-x에서
x+x=-16, 2x=-16
따라서 x=-8이다.
② 3x-5=-x-7에서
04
05
Ⅲ 문자와 식 | 35
개념정답.indd 35
2017. 9. 15. 오후 5:51
3x+x=-7+5, 4x=-2
따라서 x=
이다.
-;2!;
③ -2x+5=7x+5에서
-2x-7x=5-5, -9x=0
따라서 x=0이다.
④
x-1=8에서
x=8+1,
x=9
;3!;
따라서 x=27이다.
⑤
x-5=-1에서
;3!;
;3!;
;2!;
;2!;
x=-1+5,
;2!;
따라서 x=8이다.
x=4
따라서 주어진 방정식과 해가 같은 방정식은 ②이다.
08
① 9-x=5x-15에서
-x-5x=-15-9, -6x=-24
따라서 x=4이다.
② 8-2(x-3)=3x+10에서
8-2x+6=3x+10, -2x+14=3x+10
-2x-3x=10-14, -5x=-4
따라서 x=
이다.
;5$;
③
x+1=0.2에서
;3%;
{;3%;
}
x+1
_15=0.2_15
25x+15=3, 25x=3-15, 25x=-12
따라서 x=-
이다.
;2!5@;
④
2 =3-
;5{;에서
x+3
x+3
2 _10=
{
3-
;5{;}
_10
5x+15=30-2x, 5x+2x=30-15
7x=15
따라서 x=
이다.
:Á7°:
⑤ 0.4(x-3)=0.7x+3에서
0.4(x-3)_10=(0.7x+3)_10
4(x-3)=7x+30, 4x-12=7x+30
4x-7x=30+12, -3x=42
따라서 x=-14이다.
따라서 가장 큰 해를 갖는 일차방정식은 ①이다.
09
비례식은 내항의 곱과 외항의 곱이 같으므로
(3x-2)`:`(x-4)=4`:`3에서
36 | 정답 및 해설
4(x-4)=3(3x-2),4x-16=9x-6
4x-9x=-6+16, -5x=10
따라서 x=-2이다.
0.5는
이므로 등식의 양변에 분모 2와 3의 최소공배수 6을
10
;2!;
곱하면
6_0.5(x-4)-6_
=6_1
x-2
3
3(x-4)-2(x-2)=6
3x-12-2x+4=6, 3x-2x=6+12-4
따라서 x=14이다.
11
등식 ;2{;
-
5-3x
4
=5는 x에 대한 일차방정식이다.
5-3x
4
-
=5의 양변에 4를 곱하면
;2{;
2x-5+3x=20, 2x+3x=20+5
5x=25, x=5
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
12
① 등식의 양변에 분모 2와 3의 최소공배수 6을 곱한다.
② 등식의 양변에 분모 2, 3, 4의 최소공배수 12를 곱한다.
③ 등식의 양변에 10을 곱한다.
④ 등식의 양변에 5와 10의 최소공배수 10을 곱한다.
⑤ 등식의 양변에 분모 5와 3의 최소공배수 15를 곱한다.
따라서 최소의 자연수를 곱하려고 할 때, 가장 큰 수를 곱
해야 하는 것은 ⑤이다.
13
방정식 3x-1=2x-3에서
3x-2x=-3+1
따라서 x=-2이다.
두 일차방정식의 해가 서로 같으므로
x=-2를 방정식 ax-3=x-7에 대입하면
a_(-2)-3=-2-7, -2a-3=-9
-2a=-9+3, -2a=-6
따라서 a=3이다.
14
오른쪽 그림에서
-3(x-2)
x-2 -3 -3x+5
=-3x+6
-3x+6 -3x+2
yy`❶
-3+(-3x+5)
=-3x+2
-4
-3x+6+(-3x+2)=-4
-6x=-12
따라서 x=2이다.
yy`❷
yy`❸
개념정답.indd 36
2017. 9. 15. 오후 5:51
개념편 단계
채점 기준
배점 비율
❶ 안에 알맞은 식을 각각 구한다.
❷ x에 대한 방정식을 세운다.
❸ x의 값을 구한다.
40`%
30`%
30`%
15
16
17
7-x
;3{;
=
4-
2 의 양변에 6을 곱하면
24-2x=3(7-x), 24-2x=21-3x, x=-3
따라서 a=-3이다.
0.5-0.4x=2-0.25x의 양변에 100을 곱하면
50-40x=200-25x, -15x=150, x=-10
따라서 b=-10이다.
따라서 a+b=(-3)+(-10)=-13이다.
2(7-2x)=a에서
14-4x=a, -4x=a-14
14-a
따라서 x=
4 이다.
14-a
이때
4 가 자연수가 되려면 a가 자연수이므로 14-a
는 14보다 작은 4의 배수가 되어야 한다.
Ú 14-a=4일 때,
-a=-10에서 a=10
Û 14-a=8일 때,
-a=-6에서 a=6
Ü 14-a=12일 때,
-a=-2에서 a=2
Ú, Û, Ü에서 가능한 자연수 a의 개수는 3이다.
(3x-1)`:`5=(2x-3)`:`4에서
5(2x-3)=4(3x-1)
10x-15=12x-4, -2x=11
따라서 x=
이다.
-:Á2Á;;
x=
-:Á2Á;;
을 0.5
x-
{
=
;2!;}
3 에 대입하면 yy`❷
2x-a
;2!;{-:Á2Á;;-;2!;}=
-11-a
3
, -3=
-11-a
3
-9=-11-a, a=-11+9
따라서 a=-2이다.
단계
채점 기준
❶ x의 값을 구한다.
❷ x의 값을 a가 있는 일차방정식에 대입한다.
❸ a의 값을 구한다.
yy`❸
배점 비율
40`%
20`%
40`%
18
1-x=
2x-1
3 에서
3(1-x)=2x-1, 3-3x=2x-1
-3x-2x=-1-3, -5x=-4
따라서 x
이므로 b
=;5$;
이다.
=;5$;
b
=;5$;
;4%;
를 방정식
bx+7=5(x-3)에 대입하면
_x+7=5(x-3)
;4%;_;5$;
x+7=5x-15, x-5x=-15-7, -4x=-22
따라서 x=
이다.
:Á2Á:
03
일차방정식의 활용
1
⑴ 어떤 수를 x라고 하면 어떤 수에 3을 더한 수는 x+3
이고, 어떤 수의 2배는 2x이므로 방정식을 세우면
2_3=3+3
x+3=2x
P.78
⑵ 이 방정식을 풀면 x+3=2x에서
x-2x=-3, -x=-3
따라서 x= 3 이므로 어떤 수는 3 이다.
⑴ x+3, x+3=2x ⑵ 3, 3
어떤 수를 x라고 하면 어떤 수의 4배보다 2 작은 수는
4x-2이므로 방정식을 세우면 4x-2=38
1-1
이 방정식을 풀면 4x=38+2, 4x=40
따라서 x=10이므로 어떤 수는 10이다.
4_10-2=38
10
2
가장 작은 수를 x로 놓으면 연속하는 세 자연수는
x, x+1, x+2이므로
x+(x+1)+(x+2)=93
yy`❶
3x+3=93, 3x=90에서 x=30이다.
따라서 가장 작은 자연수는 30이다.
30+31+32=93
30
2-1
가장 작은 수를 x라고 하면 연속하는 세 자연수는
x, x+1, x+2이다.
이때 가장 작은 수의 3배는 3x이고, 다른 두 수의 합은
(x+1)+(x+2)=2x+3이므로 방정식을 세우면
3x=(2x+3)+4
이 방정식을 풀면
3x=2x+3+4, 3x-2x=7
따라서 x=7이므로 연속하는 세 자연수는 7, 8, 9이다.
7_3=(8+9)+4
3
⑴ 가로의 길이가 세로의 길이보다 4`cm만큼 더 길다.
7, 8, 9
P.79
Ⅲ 문자와 식 | 37
개념정답.indd 37
2017. 9. 15. 오후 5:51
따라서 가로의 길이가 x`cm이면 세로의 길이는
( x-4 )cm이고,
2x+2(x-4)=56
방정식을 이와 같이
세워도 된다.
⑵ 이 방정식을 풀면 2(2x-4)=56, 4x-8=56
방정식을 세우면 2{x+(x-4)}=56
4x=64, x= 16 이므로 가로의 길이는 16 `cm이다.
⑴ x-4, 2{x+(x-4)}=56 ⑵ 16, 16
3-1
직육면체의 겉넓이는 넓이가 같은 세 쌍의 직사각형들의
넓이의 합과 같으므로 직육면체의 높이를 x`cm라 하고 방
정식을 세우면
2(3_5+5x+3x)=94
2(15+8x)=94, 30+16x=94
16x=64에서 x=4이다.
따라서 이 직육면체의 높이는 4`cm이다.
형이 출발하여 동생을 만날 때까지 걸린 시간을 x분이라고
6-1
하면
(동생의 이동 거리)=60_14+60_x
(형의 이동 거리)=200_x
거리 대신 (속력)_(시간)을
이용하여 방정식을 세운다.
yy`㉠
yy`㉡
㉠`=㉡`이므로 60x+840=200x
-140x=-840에서 x=6이다.
따라서 형은 출발한 지 6분 후에 동생을 만난다.
6분
7
⑴ 10`%의 소금물에 들어 있는 소금의 양은
200_
= 20 (g)
;1Á0¼0;
8`%의 소금물에 들어 있는 소금의 양은
4`cm
(200+x)_
= 0.08(200+x) (g)
;10*0;
⑵ 방정식을 세우면 0.08(200+x)=20
⑶ ⑵의 방정식을 풀면 0.08(200+x)=20에서
동생의 나이를 x살이라고 하면 두 사람의 나이의 차가 5살
이므로 형의 나이는 (x+5)살이다.
올해 형과 동생의 나이의 합이 31살이므로 방정식을 세우
0.08(200+x)_100=20_100
8(200+x)=2000, 1600+8x=2000
8x=2000-1600, 8x=400
면 x+(x+5)=31
이 방정식을 풀면 x+x+5=31, 2x=31-5, 2x=26
따라서 x=13이므로 동생의 나이는 13살이다.
즉, x= 50 이므로 더 넣은 물의 양은 50 `g이다.
⑴ 20, 0.08(200+x) ⑵ 0.08(200+x)=20
⑶ 50, 50
13살
작년 학생 수를 x명이라고 하면 올해 학생 수는 작년보다
20`% 증가했으므로 (x+0.2x)명이다.
따라서 방정식을 세우면 x+0.2x=480
이 방정식을 풀면 (x+0.2x)_10=480_10
10x+2x=4800, 12x=4800
7-1
10`%의 소금물에 들어 있는 소금의 양은
300_
=30`(g)이다.
;1Á0¼0;
소금의 양 대신 (소금물의 양)_(농도)Ö100
을 이용하여 방정식을 세운다.
증발시킨 물의 양을 x`g이라고 하면 12`%의 소금물에 들
어 있는 소금의 양은
(300-x)_
=0.12(300-x)(g)이다.
;1Á0ª0;
따라서 x=400이므로 작년 학생 수는 400명이다.
이때 소금의 양은 변하지 않았으므로 방정식을 세우면
400명
0.12(300-x)=30
P.80
양변에 100을 곱하면 12(300-x)=3000
3600-12x=3000, -12x=-600, x=50
따라서 증발시킨 물의 양은 50`g이다.
50`g
P.81
8
⑴ 학생들에게 연필을 3자루씩 나누어 주면 12자루가 남으
므로 연필의 수는 ( 3x+12 )자루이고, 4자루씩 나누
어 주면 8자루가 모자라므로 연필의 수는 ( 4x-8 )자
루이다.
⑵ 연필의 수는 변함이 없으므로 방정식을 세우면
3x+12=4x-8 이다.
⑶ ⑵의 방정식을 풀면 3x+12=4x-8에서
3x-4x=-8-12, -x=-20, x= 20
따라서 학생 수는 20명이므로 연필의 수는
6
⑴ (시간)=
(거리)
(속력)
이므로 갈 때 걸린 시간은
시간이고
;4Ó0;
올 때 걸린 시간은
시간이다.
;6Ó0;
⑵ 방정식을 세우면 ;4Ó0;
+
;6Ó0;
=3 이다.
⑶ ⑵의 방정식을 풀면 ;4Ó0;
+
;6Ó0;
=3에서
+
_120=3_120
;6Ó0;}
{;4Ó0;
3x+2x=360, 5x=360
따라서 x= 72 이므로 A, B 사이의 거리는 72 `km
이다.
⑴ ;4Ó0;, ;6Ó0; ⑵ ;4Ó0;
+
;6Ó0;
=3 ⑶ 72, 72
38 | 정답 및 해설
4
5
개념정답.indd 38
2017. 9. 15. 오후 5:51
개념편
3_20+12= 72 (자루)이다.
⑴ 3x+12, 4x-8 ⑵ 3x+12=4x-8 ⑶ 20, 72
4_20-8=72
실력 다지기
PP.82~83
8-1
학생 수를 x명이라고 하면 학생들에게 100원씩 거두면
1000원이 모자라므로 필요한 회비는 (100x+1000)원이
고, 150원씩 거두면 250원이 남으므로 필요한 회비는
01 ⑴ -9 ⑵ 22 ⑶ 63
05 ②
04 ②
09 풀이 참조
08 ⑤
06 10`km
02 ④
10 11`mL
03 ④
07 4.5`km
(150x-250)원이다.
필요한 회비는 변함이 없으므로 방정식을 세우면
100x+1000=150x-250
이 방정식을 풀면 100x-150x=-250-1000
-50x=-1250, x=25
따라서 학생 수는 25명이다.
01
⑴ 어떤 수를 x라고 하면 어떤 수의 2배에서 3을 뺀 수는
2x-3이고, 어떤 수에 2를 더한 후 3배한 수는
(x+2)_3이므로 방정식을 세우면
2x-3=(x+2)_3
2x-3=3x+6, 2x-3x=6+3, -x=9
25명
따라서 x=-9이므로 어떤 수는 -9이다.
⑵ 연속하는 두 자연수 중 작은 수를 x라고 하면 큰 수는
9
⑴ 형이 x일 동안 일을 한 양은
;1Ó0;
이다. 또한 동생이 x일
동안 일한 양은
이다.
;2Ó0;
⑵ 어떤 일을 완성하는 데 일의 양은 1이므로 방정식을 세
우면 ;1Á0;+;1Ó0;+;2Ó0;
=1
⑶ ⑵의 방정식을 풀면 ;1Á0;+;1Ó0;+;2Ó0;
등식의 양변에 20을 곱하면
2+2x+x=20, 2x+x=20-2, 3x=18
=1에서
따라서 x= 6 이므로 형제가 함께 일을 한 기간은 6
일이다.
⑴ ;1Ó0;, ;2Ó0; ⑵ ;1Á0;+;1Ó0;+;2Ó0; ⑶ 6, 6
9-1
어머니는 1분에 전체 일의 양의
나는 1분에 전체 일의 양의
;3Á0;
두 사람이 같이 청소를 하면 x분만에 일을 끝낼 수 있다고
을 하고,
을 한다.
;2Á0;
할 때
어머니가 x분
{
동안 한 일 }+{
내가 x분
동안 한 일}
=1
x
x=1에서
;2Á0;
+;3Á0;
등식의 양변에 60을 곱하면
3x+2x=60, 5x=60, x=12
따라서 어머니 혼자서 청소를 하면 20분이 걸리지만 어머
니와 내가 같이 청소를 하면 12분이 걸리므로
20-12=8 (분)이 단축된다.
x
+
1이다.
이때 두 자연수의 합이 45이므로 x+(x+1)=45
x+x+1=45, x+x=45-1, 2x=44
따라서 x=22이므로 작은 수는 22이다.
⑶ 일의 자리의 숫자를 x라고 하면 두 자리의 자연수는
60+x이고 이 자연수의 각 자리의 숫자의 합의 7배는
(6+x)_7이므로 방정식을 세우면
60+x=(6+x)_7, 60+x=42+7x
x-7x=42-60, -6x=-18
따라서 x=3이므로 이 자연수는 63이다.
02
작년 남학생 수를 x명이라고 하면 여학생 수는 (900-x)
명이다.
올해는 남학생이 10`% 줄었으므로 남학생 수는 0.1x명 감
소이고, 여학생이 5`% 늘었으므로 여학생 수는
0.05(900-x)명 증가이다.
그러므로 방정식을 세우면
-0.1x+0.05(900-x)=-30
등식의 양변에 100을 곱하면
-10x+5(900-x)=-3000,
-10x+4500-5x=-3000
-15x=-7500, x=500
따라서 올해 남학생 수는
0.9x=0.9_500=450(명)이다.
03
사다리꼴의 윗변의 길이를 x`cm라 하고 방정식을 세우면
8분
_(x+10)_8=60
;2!;
4(x+10)=60, 4x+40=60
4x=60-40, 4x=20
따라서 x=5이므로 사다리꼴의 윗변의 길이는 5`cm이다.
04
처음 텃밭의 넓이는 6_5=30`(mÛ`)이고, 늘어난 텃밭의
Ⅲ 문자와 식 | 39
개념정답.indd 39
2017. 9. 15. 오후 5:51
x년 후에 아버지의 나이가 아들의 나이의 3배가 된다고 하
09
전체 일의 양을 1이라고 하면
yy`❶
가로의 길이는 (6+4)`m, 세로의 길이는 (5+x)`m이므
로 방정식을 세우면
10(5+x)=30_4, 50+10x=120
10x=120-50, 10x=70
따라서 x=7이다.
05
므로 방정식을 세우면 42+x=3(12+x)
아버지의 나이
아들의 나이
올해
42세
12세
x년 후
(42+x)세
(12+x)세
42+x=36+3x, -2x=-6, x=3
따라서 3년 후에 아버지는 45세, 아들은 15세로 아버지의
나이는 아들의 나이의 3배가 된다.
06
집에서 도서관까지의 거리를 x`km라고 하면 시속 6`km
로 걸어갈 때 걸린 시간은 ;6{;시간이고, 시속 15`km로 자
전거를 타고 갈 때 걸린 시간은 ;1Ó5;시간이다.
걸어가면 자전거를 타고 가는 것보다 1시간 늦게 도착하므
로 방정식을 세우면
;6{;=;1Ó5
+1이다.
이다.
07
A 지점에서 B 지점까지의 거리가 7`km이므로 시속
3`km로 걸어간 거리를 x`km라고 하면 시속 5`km로 걸
어간 거리는 (7-x)`km이다.
속력
시속 3`km
거리
x`km
시속 5`km
(7-x)`km
시간
;3{; 시간
7-x
5
시간
시속 3`km로
시속 5`km로
{
걸은 시간 }+{
걸은 시간 }=
(2시간)
이므로 방정식을 세우면
7-x
5
=2
+
;3{;
등식의 양변에 분모 3과 5의 최소공배수인 15를 곱하면
5x+3(7-x)=30, 5x+21-3x=30
2x=9, x
=;2(;
따라서 시속 3`km로 걸은 거리는 4.5`km이다.
40 | 정답 및 해설
08
의자의 수를 x라 하고 방정식을 세우면
4x+12=5(x-4)
4x+12=5x-20, 4x-5x=-20-12, -x=-32
x=32이므로 학생 수는
4_32+12=128+12=140(명)이다.
5(32-4)=5_28=140
언니는 하루에 전체 일의 양의
을, 동생은 하루에 전체
;1Á6;
일의 양의
을 하므로 언니가 11일 일을 한 후에 언니와
;2Á4;
동생이 함께 x일 동안 같이 일을 해서 완성한다면
11일 동안
언니가 한 일}+[{
{
x일 동안
언니가 한 일}+{
x일 동안
동생이 한 일}]
= (전체 일)
11+
x
x
=1
{;1Á6;
;1Á6;_
+;2Á4;
}
등식의 양변에 분모 16과 24의 최소공배수인 48을 곱하면
yy`❸
yy`❹
따라서 3일이 더 걸린다.
33+3x+2x=48, 5x=15, x=3
yy`❷
단계
채점 기준
배점 비율
❶ 전체 일의 양을 1로 놓는다.
❷ 일차방정식을 세운다.
❸ 일차방정식을 푼다.
❹ 답을 구한다.
20`%
40`%
30`%
10`%
(143+x)`mL, (473-x)`mL이므로 방정식을 세우면
473-x=(143+x)_3
473-x=429+3x, -4x=-44, x=11
따라서 비커 B에서 비커 A로 옮긴 용액의 양은 11`mL이
다.
143+11=154,
473-11=462,
462=154_3
중단원 마무리
PP.84~86
01 ④, ⑤ 02 ②
07 ④
06 4
11 3년
12 ④
15 15분 16 60`km 17~21 풀이 참조
03 ⑤
08 ③
13 120명 14 14000원
04 ③
09 ⑤
05 ③
10 우주
01
①은 등호가 없으므로 등식이 아니다.
②, ③은 부등호가 있으므로 등식이 아니다.
따라서 등식인 것은 ④, ⑤이다.
02
x의 값에 관계없이 항상 참인 등식은 항등식이므로
3(x-2)=3x-1+a에서
등식의 양변에 분모 6과 15의 최소공배수인 30을 곱하면
5x=2x+30, 5x-2x=30, 3x=30
따라서 x=10이므로 집에서 도서관까지의 거리는 10`km
10
비커 B에서 비커 A로 x`mL의 용액을 옮긴다고 하면
옮기고 난 후 비커 A, 비커 B의 용액의 양은 각각
개념정답.indd 40
2017. 9. 15. 오후 5:51
개념편
2x+3=3(x-5), 2x+3=3x-15, -x=-18
ax+x=8, (a+1)x=8, x=
8
a+1
3x-6=3x-1+a
-6=-1+a, a=-5이다.
03
⑤ y=2x의 양변에 1을 더하면 y+1=2x+1이다.
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
2x+3 =4x-1
2x+3+(-3) =4x-1+(-3)
①
2x =4x+(-4)
①
2x-(4x) =4x-4-(4x)
②
③
(-2x) =-4
③
④
x =(2)
⑤
04
③ (4x)이다.
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
③에서 마이너스 부호(-)가 이미 괄호 앞에 있으므로
-4=-5에서 밑줄 친 -4를 우변으로 이항하면
05
-3x
-3x=-5+4이다.
06
비례식은 내항의 곱과 외항의 곱이 같으므로
(x-5)`:`(2x+3)=1`:`3에서
따라서 x=18이다.
x=18을 x-2a=10에 대입하면
18-2a=10, -2a=-8이므로 a=4이다.
의 양변에 분모 4, 3, 2의 최소공배수
x
;4!;
07
인 12를 곱하면 3x+16=6x-8
+;3$;=;2!;
-;3@;
x
3x-6x=-8-16, -3x=-24
따라서 x=8이다.
0.5(1+2x)=
x+0.2는
(1+2x)=
x+
이므
;4!;
;2!;
;4!;
;5!;
로 계수를 모두 정수로 바꾸기 위해서는 등식의 양변에 분
모 2, 4, 5의 최소공배수인 20을 곱해야 한다.
08
09
방정식에 대입하면
따라서 a=4이다.
지연이는 일차방정식 4x+3=2(x-4)+1에 해당된다.
4x+3=2x-8+1, 2x=-10
따라서 x=-5이다.
2x-1
우주는 일차방정식 ;2{;
5
이 식의 양변에 10을 곱하면
-
5x-2(2x-1)=10, 5x-4x+2=10
따라서 x=8이다.
=1에 해당된다.
따라서 그 해가 가장 큰 사람은 우주이므로 우주가 간식을
먹게 된다.
된다고 하면
x년 후에 부모님의 나이의 합이 자녀 나이의 합의 4배가
(41+x)+(37+x)=4{(11+x)+(4+x)}
2x+78=4(2x+15)
2x+78=8x+60, 2x-8x=60-78
-6x=-18, x=3
따라서 3년 후에 부모님의 나이의 합이 자녀 나이의 합의 4
배가 된다.
44+40=(14+7)_4
84=21_4
ax-2=3(-x+2)+2x에서
ax-2=-3x+6+2x, ax+3x-2x=6+2
이때 해가 자연수이려면 a+1이 8의 약수이어야 한다.
8의 약수는 1, 2, 4, 8이므로 a+1은 1, 2, 4, 8이다.
따라서 a의 값은 0, 1, 3, 7이다.
합격자가 50명이고 합격자의 남녀의 비가 3`:`2이므로
13
남자 합격자는 30명, 여자 합격자는 20명이다.
지원자의 남녀의 비가 2`:`3이므로 남자 지원자를 2x명,
여자 지원자를 3x명이라고 하면 남자 불합격자는
(2x-30)명, 여자 불합격자는 (3x-20)명이다.
불합격자의 남녀의 비가 1`:`2이므로 비례식을 이용하여
일차방정식을 세우면
(2x-30)`:`(3x-20)=1`:`2
3x-20=2(2x-30)
3x-20=4x-60, -x=-40, x=40
11
12
14
{
-2(x-3)=a(2x-1)의 해가 x=1이므로 x=1을 이
따라서 여자 지원자는 3x=3_40=120(명)이다.
-2(1-3)=a(2_1-1), -2_(-2)=a_1
원가를 x원이라고 하면 원가에 10`%의 이익을 붙인 것이
정가이므로 정가는 (x+0.1x)원이다.
이때 정가에서 400원 할인하여 팔았더니 1000원의 이익이
10
사다리타기게임을 하면
민서는 일차방정식 0.4x-1.2=0.1x-0.9에 해당된다.
이 식의 양변에 10을 곱하면 4x-12=x-9, 3x=3
따라서 x=1이다.
생겼으므로 방정식을 세우면
(x+0.1x)-400}-x=1000
등식의 양변에 10을 곱하면
(10x+x)-4000-10x=10000
Ⅲ 문자와 식 | 41
개념정답.indd 41
2017. 9. 15. 오후 5:51
³
10x+x-10x=10000+4000
x=14000
따라서 이 상품의 원가는 14000원이다.
15
형이 출발한 지 x분 후에 동생과 만난다면
단계
채점 기준
배점 비율
❶ 일차방정식
x+1=
+3을 푼다.
;3!;
5x+3
4
❷ a의 값을 구한다.
60`%
40`%
속력
분속 100`m
시간
x분
거리
100x`m
4x+48
[
5(x-15)+3
형
동생
분속 75`m
(5+x)분
75(5+x)`m
의 두 가지 방법으로 나타나는데 두 식이 서로 같으므로
19
강당의 의자의 개수를 x라고 하면 학생 수는
형이 걸은 거리와 동생이 걸은 거리가 같으므로, 즉
(형이 걸은 거리)=(동생이 걸은 거리)이므로
100x=75(5+x), 100x=375+75x
25x=375, x=15이다.
따라서 형이 출발한 지 15분 후에 동생과 만난다.
16
찰스가 A 도시로부터 x`km 떨어진 지점에서 되돌아왔다
면 찰스가 되돌아온 지점까지 걸린 시간은 ;8Ó0;시간이고
A 도시에서 시속 90`km로 B 도시까지 간 시간은
=3(시간)이므로 방정식을 세우면
:ª9¦0¼:
_2+3=
, ;4Ó0;
;2(;
=
;2(;
-3
;8Ó0;
=
, 2x=120, x=60이다.
;2#;
;4Ó0;
따라서 찰스는 A 도시로부터 60`km 떨어진 지점에서 되
돌아왔다.
4x+48=5(x-15)+3
4x+48=5x-75+3, x=120
따라서 강당의 의자의 개수는 120이다.
단계
채점 기준
❶ 의자의 개수를 x로 놓고 식을 나타낸다.
❷ 일차방정식을 세운다.
❸ 의자의 개수를 구한다.
20
오른쪽 그림과 같이 색칠
한 날짜 중 한 가운데에 해
x-8
x-7
x-6
x
당하는 날짜를 x일로 놓고
x+6
x+7
x+8
방정식을 세우면
(x-8)+(x-7)+(x-6) +x+(x+6)+(x+7)
+(x+8)=91 yy`❶
yy`❷
따라서 한 가운데에 해당하는 날짜는 13일이다. yy`❸
7x=91, x=13
단계
채점 기준
배점 비율
17
|x|가 있으므로 x의 범위를 나누어서 방정식을 생각한다.
Ú xæ¾0이면 |x|=x이므로 x+3x=16
yy`❶
Û x<0이면 |x|=-x이므로 x-3x=16 yy`❷
❶ 일차방정식을 세운다.
❷ 일차방정식을 푼다.
❸ 한 가운데 날짜를 구한다.
단계
채점 기준
배점 비율
(B 지점에서 A 지점으로 갈 때의 실제 유람선의 속력)
각 방정식을 풀면
x+3x=16, 4x=16, x=4
x-3x=16, -2x=16, x=-8
따라서 구하는 해는 x=4 또는 x=-8이다. yy`❸
❶ xæ¾0일 때 일차방정식을 세운다.
❷ x<0일 때 일차방정식을 세운다.
❸ x의 값을 구한다.
30`%
30`%
40`%
4+3_|4|=16, -8+3_|-8|=-8+24=16
일차방정식
18
;3!;
x+1=
+3을 풀면
5x+3
4
4x+12=3(5x+3)+36, 4x+12=15x+9+36
4x-15x=9+36-12, -11x=33
따라서 x=-3이다.
yy`❶
x=-3을 일차방정식 2x-1=3x+a에 대입하면
2_(-3)-1=3_(-3)+a
21
강물은 A 지점에서 B 지점으로 시속 3`km로 흐르고 유람
선은 시속 6`km이므로
(A 지점에서 B 지점으로 갈 때의 실제 유람선의 속력)
=3+6=9`(km/시)
=(-3)+6=3`(km/시)
이다. 두 지점 A, B 사이의 거리를 x`km라고 하면
=8이다.
;9{;+;3{;
양변에 9를 곱하면
x+3x=72, 4x=72, x=18
따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 18`km다.
yy`❹
채점 기준
배점 비율
단계
❶
❷
A 지점에서 B 지점으로 갈 때의 실제 유람선
의 속력을 구한다.
B 지점에서 A 지점으로 갈 때의 실제 유람선
의 속력을 구한다.
-6-1=-9+a, -a=-9+6+1, -a=-2
❸ 일차방정식을 세운다.
따라서 a=2이다.
yy`❷
❹ 두 지점 A, B 사이의 거리를 구한다.
yy`❶
yy`❷
yy`❸
배점 비율
40`%
30`%
30`%
50`%
30`%
20`%
yy`❶
yy`❷
yy`❸
25`%
25`%
30`%
20`%
42 | 정답 및 해설
개념정답.indd 42
2017. 9. 15. 오후 5:51
개념편 Ⅳ
좌표평면과 그래프
1. 좌표평면과 그래프
01
좌표와 좌표평면
1
B
C
D
0-1-2-3-4-5
1
2
3
5
P.88
A
4
1-1
⑴ A(-4), B
{;2!;}
, C(3) ⑵ D
, E
{-;2#;}
{;3&;}
⑸ 어느 사분면 위에도 있지 않다.
⑹ 어느 사분면 위에도 있지 않다.
5-1
제2사분면 위에 있는 점의 좌표의 부호는 (-, +)이므로
점 C이다.
점 C
5-2
점 A와 점 B는 x의 좌표가 0이므로 y축 위의 점이고,
점 C와 점 D는 y의 좌표가 0이므로 x축 위의 점이다.
즉, 네 점 A, B, C, D는 모두 좌표축 위에 있는 점이다.
A, B, C, D 모두 좌표축 위에 있는 점이다.
2
⑴ 다, 10 ⑵ 105, 502
2-1
(2, 7), (2, 8), (3, 7), (3, 8)
3
⑴ a, b ⑵ 4, 7
3-1
2, 3, -3, 3
4
Q
y
4
2
O
-2
-4
P
2
S
R
-4
-2
4 x
참고
제1사분면 위의 점은 (+, +),
제2사분면 위의 점은 (-, +),
제3사분면 위의 점은 (-, -),
제4사분면 위의 점은 (+, -)이고,
x축 또는 y축 위의 점은 어느 사분면 위에도 있지 않다.
4-1
A(3, 2), B(-3, 1), C(0, -2), D(2, -3)
4-2
⑴ A(3, -2)
⑵ x축 위에 있으면 y좌표가 0이므로 B(-5, 0)
⑶ y축 위에 있으면 x좌표가 0이므로 C(0, 1)
⑷ x축과 y축의 교점은 원점이므로 D(0, 0)
⑴ A(3, -2) ⑵ B(-5, 0)
⑶ C(0, 1) ⑷ D(0, 0)
5
⑴ 제1사분면
⑶ 제4사분면
⑵ 제2사분면
⑷ 제3사분면
P.90
6
⑴ A(4, 3)`
⑵ A(4, 3)`
⑶ B(-3, 2)`
⑷ B(-3, 2)`
x축에 대하여 대칭
11111!Ú
y좌표 부호 반대로
`(4, -3)
▲
y축에 대하여 대칭
11111!Ú
x좌표 부호 반대로
`(-4, 3)
▲
x축에 대하여 대칭
11111!Ú
y좌표 부호 반대로
`(-3, -2)
▲
y축에 대하여 대칭
11111!Ú
x좌표 부호 반대로
`(3, 2)
▲
P.89
⑴ (4, -3) ⑵ (-4, 3)
⑶ (-3, -2) ⑷ (3, 2)
6-1
⑴ A(1, 2)`
⑵ B(-2, 3)`
x축에 대하여 대칭
11111!Ú
y좌표 부호 반대로
`A'(1, -2)
▲
y축에 대하여 대칭
11111!Ú
x좌표 부호 반대로
`B'(2, 3)
▲
⑶ C(-3, -2)`
⑷ D(4, -1)`
x축에 대하여 대칭
11111!Ú
y좌표 부호 반대로
`C'(-3, 2)
▲
원점에 대하여 대칭
11111!Ú
x, y좌표 부호 반대로
`D'(-4, 1)
▲
⑴ A'(1, -2) ⑵ B'(2, 3)
⑶ C'(-3, 2) ⑷ D'(-4, 1)
실력 다지기
PP.91~92
01 ④
02 9
05 ⑴ A(4, -1), 제4사분면
`⑵ B(-3, 0), 어느 사분면 위에도 있지 않다.
04 풀이 참조
03 ④
`⑶ C
0,
{
;2!;}
06 풀이 참조
08 ③
, 어느 사분면 위에도 있지 않다.
07 (2, 3), (-2, -3), (-2, 3)
09 풀이 참조
10 ③
Ⅳ 좌표평면과 그래프 | 43
개념정답.indd 43
2017. 9. 15. 오후 5:51
01
④ 2+
;3@;=;3*;
이므로 D
이다.
{;3*;}
따라서 점 S(a, -b)는 제2사분면 위의 점의 x축에 대
하여 대칭인 점이므로 제3사분면 위의 점이다.
02
03
04
(x의 값, y의 값)으로 하는 순서쌍은
(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3),
(c, 1), (c, 2), (c, 3)이므로 3_3=9(개)이다.
3a+1=a-5에서 2a=-6, 즉 a=-3이다.
2b-3=1-b에서 3b=4, 즉 b=
이다.
;3$;
따라서 ab=(-3)
_;3$;=-
4이다.
05
⑴ 점 A의 좌표는 (4, -1)이고, (x좌표`)>0, (y좌표`)<0
이므로 제`4사분면 위에 있다.
⑵ 점 B의 좌표는 (-3, 0)이고, x축 위의 점이므로 어느
사분면 위에도 있지 않다.
0
⑶ 점 C의 좌표는
, ;2!;}
{
이고, y축 위의 점이므로 어느
사분면 위에도 있지 않다.
06
점 P가 제`2사분면 위의 점이므로 a<0, b>0이다.
⑴ b>0, a<0이므로 점 Q는 제`4사분면 위의 점이다.
(+, -)
yy`❶
⑵ -a>0, b>0이므로 점 R는 제`1사분면 위의 점이다.
yy`❷
(+, +)
⑶ a<0, -b<0이므로 점 S는 제`3사분면 위의 점이다.
yy`❸
(-, -)
⑷ -b<0, -a>0이므로 점 T는 제`2사분면 위의 점이
yy`❹
(-, +)
다.
단계
채점 기준
❶~❹ ⑴~⑷의 답을 구한다.
배점 비율
각 25`%
다른 풀이
⑵ 점 P(a, b)가 제2사분면 위의 점이고 점 R(-a, b)
는 x좌표만 부호가 반대이므로 점 P의 y축에 대하여 대
칭인 점이다.
따라서 점 R(-a, b)는 제2사분면 위의 점의 y축에 대
하여 대칭인 점이므로 제1사분면 위의 점이다.
⑶ 점 P(a, b)가 제2사분면 위의 점이고 점 S(a, -b)
는 y좌표만 부호가 반대이므로 점 P의 x축에 대하여 대
칭인 점이다.
44 | 정답 및 해설
07
x축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 y좌표의 부호만 바뀌므
로 (2, -3)`
(2, 3)이다.
y축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 x좌표의 부호만 바뀌므
로 (2, -3)`
(-2, -3)이다.
Ú!`
Ú`
원점에 대하여 대칭인 점의 좌표는 x좌표와 y좌표의 부호
가 모두 바뀌므로 (2, -3)`
(-2, 3)이다.
Ú`
08
③ 점 (2, 3)은 x좌표가 2, y좌표가 3이고, 점 (3, 2)는
x좌표가 3, y좌표가 2이므로 서로 다른 점이다.
09
세 점 A, B, C를 좌표평면 위에
나타내고 △ABC를 그리면 오른
yy`❶
쪽 그림과 같다.
점 C에서 점 B까지의 거리를
△ABC의 밑변이라고 하면 밑변
의 길이는 4, 높이는 5이다.
yy`❷
따라서 △ABC의 넓이는
_4_5=10이다.
;2!;
채점 기준
배점 비율
단계
❶
세 점 A, B, C를 좌표평면 위에 나타내고
△ABC를 그린다.
❷ △ABC의 밑변의 길이와 높이를 안다.
❸ △ABC의 넓이를 구한다.
yy`❸
50`%
20`%
30`%
10
점 (a, b)가 제`4사분면 위에 있으므로 a>0, b<0이다.
① b<0, a>0이므로 점 (b, a)는 제`2사분면 위의 점이다.
② ab<0, a-b>0이므로 점 (ab, a-b)는 제`2사분면
(+)_(-)=(-)
(+)-(-)=(+)
위의 점이다.
<0, -a<0이므로 점
③ ;bA;
④ -ab>0, b<0이므로 점 (-ab, b)는 제`4사분면 위
는 제`3사분면 위
{;bA;, -a
의 점이다.
-(+)=(-)
(+)
(-)
=(-)
}
의 점이다.
-(+)_(-)=(+)
(-)
⑤ -b>0, a>0이므로 점 (-b, a)는 제`1사분면 위의
점이다.
-(-)=(+)
(+)
02
그래프
1
(ㄱ) 시간이 지남에 따라 거리가 점점 가까워지고 있고, 중
간에 거리의 변화가 없는 시간이 있다.
P.93
개념정답.indd 44
2017. 9. 15. 오후 5:51
개념편
2
(ㄷ) 시간이 지남에 따라 거리의 변화가 없고, 거리는 먼 곳
그릇의 밑면은 넓고 위로 올라갈수록 그릇의 단면이 좁아
지므로 물의 높이는 시간이 지날수록 빠르게 높아진다.
(ㄴ) 시간이 지남에 따라 일정하게 거리가 멀어지고 있다.
(ㄹ) 시간이 지남에 따라 거리가 멀어졌다가 어느 시점부터
에 머물러 있다.
가까워졌다.
5
6
⑴ - (ㄴ) ⑵ - (ㄱ) ⑶ - (ㄷ) ⑷ - (ㄹ)
그릇의 아랫부분에 있는 원기둥의 밑면이 윗부분에 있는
원기둥의 밑면보다 넓다.
(ㄱ) 시간이 지남에 따라 속력이 일정하게 증가하다가 어느
시점부터 일정하게 감소한다.
따라서 물의 높이가 아랫부분의 원기둥에서는 일정하고
천천히 높아지다가 윗부분의 원기둥에서는 일정하고 빠르
(ㄴ) 시간이 지남에 따라 속력이 일정하다가 어느 시점부터
게 높아진다.
P.95
②
④
처음 속력보다 느린 속력으로 일정하다.
⑴ - (ㄴ) ⑵ - (ㄱ)
그래프를 보면 현중이네 집에서 공원까지의 거리는 4`km
P.94
3
이다.
이다.
⑴ 공원에 산책을 갔다가 집에 오는데 걸린 시간은 150분
⑵ 공원에 머무른 시간은 거리의 변화가 없는 60분에서 90
분 사이의 시간이므로 30분이다.
⑴ 150분 ⑵ 30분
3-1
ㄱ. 자동차가 속력을 일정하게 유지한 것은 20초~30초,
35초~45초 2번 있었다. (참)
ㄴ. 자동차는 50초 동안 달렸다. (거짓)
ㄷ. 자동차는 30초~35초 동안 속력이 점점 느려졌다. (거짓)
ㄹ. 자동차는 35초~45초 동안 속력이 15`m/s였다. (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.
ㄱ, ㄹ
4
⑴ 5분일 때 열기구의 높이가 100`m이므로 열기구가 처음
으로 100`m까지 올라갔을 때의 시간은 5분이다.
⑵ 열기구는 높이가 100`m일 때 5분에서 10분까지 5분간,
그리고 높이가 200`m일 때 15분에서 20분까지 5분간,
총 10분간 같은 높이를 유지하였다.
⑶ 열기구가 가장 높이 올라간 높이는 300`m이다.
⑴ 5분 ⑵ 10분 ⑶ 300`m
4-1
⑴ 3초~5초 동안 튜브의 부피의 변화가 없었으므로
튜브에 바람을 넣다가 쉰 때는 3초~5초이다.
⑵ 0초~3초, 5초~7초 동안 튜브의 부피가 늘었으므로
실력 다지기
PP.96~97
02 ⑴ 30분 ⑵ 40분 ⑶ 100분
01 ③
03 ⑴ 24분 ⑵ 8분 04 ⑴ 60`km/h ⑵ 10분
⑶ 5분
05 풀이 참조
06 풀이 참조
01
집으로부터 시간에 따라 거리가 점점 멀어지다가 중간에
거리의 변화가 없는 곳이 있다. 즉, 중간에 한 번 머물렀다
가 움직였으므로 알맞은 문장을 찾으면 ③이다.
02
⑴ 정연이가 공원에 머문 시간은 30분에서 60분 사이이므
로 30분간 머물렀다.
⑵ 정연이가 공원에서 출발하여 집에 도착한 시간이 60분
에서 100분 사이이므로 40분 걸렸다.
⑶ 정연이가 집에서 출발하여 집으로 다시 돌아올 때까지
걸린 시간은 전체 걸린 시간이므로 100분이다.
03
⑴ 자전거가 출발하여 다시 멈출 때까지 걸린 시간은 전체
걸린 시간이므로 24분이다.
⑵ 자전거가 같은 속력으로 움직인 시간은 4분에서 8분 사
이와 12분에서 16분 사이이다. 따라서 자전거가 같은
속력으로 움직인 시간은 4+4=8(분)이다.
04
⑴ 자동차가 가장 빨리 움직일 때의 속력은 60`km/h
이다.
⑵ 자동차가 일정한 속력으로 움직인 시간대는 5분에서 10
분 사이와 25분에서 30분 사이이다.
3+2=5(초) 동안 바람을 넣었다.
⑶ 7초~13초 동안 튜브의 부피가 줄어들었으므로 튜브의
공기를 빼는 데 걸린 시간은 13-7=6(초)이다.
따라서 자동차가 일정한 속력으로 움직인 시간은
5+5=10(분)이다.
⑶ 자동차가 중간에 멈춘 시간대는 속력이 0인 15분에서
⑴ 3초~5초 ⑵ 5초 ⑶ 6초
20분 사이이므로 5분이다.
Ⅳ 좌표평면과 그래프 | 45
개념정답.indd 45
2017. 9. 15. 오후 5:51
05
⑴
높이
⑵
높이
⑵ 순서쌍 (x, y)는
O
시간
O
시간
06
⑴ 관람차가 가장 높이 올라간 높이는 80`m이다. yy`❶
⑵ 관람차가 한 바퀴 회전하는 데 걸리는 시간은 그래프에
서 1`m에서 80`m까지 올라갔다가 다시 1`m로 내려온
시간이다. 즉, 10분이다.
yy`❷
단계
❶
❷
채점 기준
배점 비율
⑴ 관람차가 가장 높이 올라간 높이를 구한
다.
간을 구한다.
⑵ 관람차가 한 바퀴 회전하는 데 걸리는 시
50`%
50`%
(-2, -4),
(-1, -2), (0, 0),
(1, 2), (2, 4)이므로
이 점을 좌표평면 위에
나타내면 오른쪽 그림과
같다.
-4
-2
2
4 x
풀이 참조
3-1
⑴
x
y
-2
4
-1
2
0
0
1
-2
2
-4
⑵ 순서쌍 (x, y)는
(-2, 4), (-1, 2),
(0, 0), (1, -2),
(2, -4)이므로 이 점
을 좌표평면 위에 나타내
면 오른쪽 그림과 같다.
-4
-2
O
2
4
x
y
4
2
O
-2
-4
y
4
2
-2
-4
03
정비례와 반비례
1
9, 12, 15
1-1
300, 600, 900, 1200, 1500
2
⑴ 한 변의 둘레의 길이가 1`cm인 정사각형의 둘레의 길
이는 4`cm이므로 표를 완성하면 아래와 같다.
x`(cm)
y`(cm)
1
4
2
8
3
12
4
16
5
20
y
y
⑵ y의 값은 x의 값의 4배와 같으므로 x와 y의 관계를 식
으로 나타내면 y=4x이다.
⑴ 표 참조 ⑵ y=4x
2-1
⑴ 1개에 200원, 2개에 200_2(원), 3개에 200_3(원)이
므로 x개일 때는 200_x(원), 즉 y=200x이다.
⑵ 한 달에 1000원, 두 달에 1000_2(원), 석 달에 1000_3(원)
이므로 x달일 때는 1000_x(원), 즉 y=1000x이다.
⑶ 1분에 300`m, 2분에 300_2`(m), 3분에 300_3`(m)
이므로 x분일 때는 300_x`(m), 즉 y=300x이다.
⑴ y=200x ⑵ y=1000x ⑶ y=300x
3
⑴
x
y
-2
-4
-1
-2
0
0
1
2
2
4
46 | 정답 및 해설
P.98
4
⑴ x의 값 -4, -2, 0, 2, 4를 차례로 y=
x에 대입하면
;2!;
y의 값은 -2, -1, 0, 1, 2이므로 순서쌍 (x, y)는
(-4, -2), (-2, -1), (0, 0), (2, 1), (4, 2)
이다.
난다.
따라서 이것은 좌표평면
위에 5개의 점으로 나타
-4
-2
⑵ x가 수 전체일 때는 ⑴
의 5개의 점을 포함하는
직선으로 나타난다.
풀이 참조
⑴
⑵
2
4 x
y
4
2
O
-2
-4
풀이 참조
4-1
⑴ x의 값 -4, -2, 0, 2, 4를 차례로 y=-
x에 대입
;4!;
하면 y의 값은 1,
, 0, -
, -1이므로 순서쌍
;2!;
;2!;
-2,
(x, y)는 (-4, 1),
{
;2!;}
(4, -1)이다.
2, -
, (0, 0),
{
y
,
;2!;}
따라서 이것은 좌표평면
위에 5개의 점으로 나타
⑴
⑵
난다.
-4
-2
O
2
4
x
4
2
-2
-4
풀이 참조
P.99
⑵ x가 수 전체일 때는 ⑴
의 5개의 점을 포함하는
직선으로 나타난다.
개념정답.indd 46
2017. 9. 15. 오후 5:51
개념편 P.100
7-1
⑴
x
y
-3
1
-1
3
1
-3
⑵ 순서쌍 (x, y)는
(-3, 1), (-1, 3),
(1, -3), (3, -1)이
므로 이 점을 좌표평면
위에 나타내면 오른쪽 그
림과 같다.
-4
-2
O
2
4
x
3
-1
y
4
2
-2
-4
8
⑴ x의 값에 따른 y의 값의 순서쌍 (x, y)를 표로 나타내
면 아래와 같다.
x -6 -3 -2 -1
y -1 -2 -3 -6
1
6
이것을 좌표평면 위에 나
타내면 8개의 점으로 나
타난다.
⑵ x가 수 전체일 때 ⑴의 8
-4-6
-2
개의 점을 포함한 곡선
으로 나타난다.
풀이 참조
3
2
6
1
y
⑴
⑵
2
3
6
4
2
x
6
O 2
-2
4
-4
-6
풀이 참조
8-1
⑴ x의 값에 따른 y의 값의 순서쌍 (x, y)를 표로 나타내
면 아래와 같다.
x
y
-4 -2 -1
1
2
4
1
2
4
-4 -2 -1
이것을 좌표평면 위에 나
타내면 6개의 점으로 나
⑴
y
⑵
4
2
⑵ x가 수 전체일 때 ⑴의 6
-4
-2
O
2
4
x
개의 점을 포함한 곡선
으로 나타난다.
-2
-4
480
x
480
x
P.101
풀이 참조
P.102
5
6, 4.5, 3.6, 18
5-1
60, 30, 20, 15, 12, 10, 60
6
⑴ 용돈을 하루에 1000원 씩 쓰면
60000Ö1000=60(일) 동안 쓸 수 있고,
2000원 씩 쓰면 60000Ö2000=30(일),
3000원 씩 쓰면 60000Ö3000=20(일),
4000원 씩 쓰면 60000Ö4000=15(일),
5000원 씩 쓰면 60000Ö5000=12(일)
이므로 표를 완성하면 아래와 같다.
x(원) 1000 2000 3000 4000 5000 y
x
y(일)
60
30
20
15
12 y
60000
x
⑵ (하루에 사용하는 금액)_(쓰는 일 수)=(60000원), 즉
x_y=60000이므로 y=
60000
x
이다.
⑴ 표 참조 ⑵ y=
60000
x
6-1
⑴ 우유 480`mL를 1개의 컵에 담으면
480Ö1=480(mL)이고,
2개의 컵에 담으면 480Ö2=240`(mL),
3개의 컵에 담으면 480Ö3=160`(mL),
4개의 컵에 담으면 480Ö4=120`(mL),
5개의 컵에 담으면 480Ö5=96`(mL)
이므로 표를 완성하면 아래와 같다.
x(개)
1
2
3
4
5 y x
y`(mL) 480
240
160
120
96 y
⑵ (컵의 개수)_(하나의 컵에 담는 우유의 양)
480
x
2
1
y
4
2
-2
-4
7
⑴
x
y
-2
-1
-1
-2
1
2
⑵ 순서쌍 (x, y)는
(-2, -1),
(-1, -2),
(1, 2), (2, 1)이므로
이 점을 좌표평면 위에
나타내면 오른쪽 그림과
같다.
-4
-2
O
2
4 x
9
⑴ 그래프의 모양이 원점을 지나는 직선이므로
y=ax에 (1, 3)을 대입하면
3=a_1, a=3이다.
따라서 y=3x이다.
⑵ 그래프 모양이 원점을 지나는 직선이므로
y=ax에 (-3, 2)를 대입하면
풀이 참조
2=a_(-3), a=-
이다.
;3@;
Ⅳ 좌표평면과 그래프 | 47
=(480`mL), 즉 x_y=480이므로 y=
이다.
타난다.
⑴ 표 참조 ⑵ y=
개념정답.indd 47
2017. 9. 15. 오후 5:51
따라서 y=-
x이다.
;3@;
⑴ y=3x ⑵ y=-
x
;3@;
9-1
⑴ 정비례 관계 y=ax에 (-1, 2)를 대입하면
2=-a, a=-2이다.
따라서 y=-2x이다.
⑵ 정비례 관계 y=ax에 (3, -5)를 대입하면
-5=3a, a
=-;3%;이다.
따라서
y=-
x이다.
;3%;
실력 다지기
PP.103~105
03 ㄴ, ㄹ 04 ⑴ ㉣ ⑵ ㉢ ⑶ ㉡ ⑷ ㉠
01 ⑴ ㄷ, ㄹ ⑵ ㄱ, ㄴ ⑶ ㄷ, ㄹ ⑷ ㄷ
02 ④
05 ⑴ ㄱ, ㄴ ⑵ ㄷ, ㄹ ⑶ ㄴ 06 ③, ⑤ 07 12
08 ④
09 a=2, b=-
10 풀이 참조
;2!;
:ª[Á: 12 ②
x ⑵ y=
11 ⑴ y=-
13 풀이 참조
;2&;
⑴ y=-2x ⑵ y=-
x
;3%;
10
⑴ 그래프의 모양이 원점에 대하여 대칭인 곡선이므로
01
⑴ y=ax에서 a의 값이 양수인 것을 말하므로 ㄷ, ㄹ이다.
⑵ y=ax에서 a의 값이 음수인 것을 말하므로 ㄱ, ㄴ이다.
⑶ y=ax에서 a의 값이 양수인 것을 말하므로 ㄷ, ㄹ이다.
⑷ y=ax에서 a의 절댓값이 가장 작은 것을 말하므로 ㄷ
⑵ 그래프 모양이 원점에 대하여 대칭인 곡선이므로
y=
;[A;에 (-4, -2)를 대입하면
-2=
, a=8이다.
a
-4
따라서 y=
;[*;이다.
y=
;[A;에 (2, -6)을 대입하면
-6
=;2A;, a=-12이다.
따라서 y=-
;;Á[ª;;이다.
⑴ y=
;[*; ⑵ y=-
;;Á[ª;;
10-1
⑴ 반비례 관계 y=
;[A;에 (4, 5)를 대입하면
⑵ 반비례 관계 y=
;[A;에 (-3, -2)를 대입하면
5
=;4A;,
a=20이다.
따라서 y=
:ª[¼:이다.
-2
a
-3 , a=6이다.
=
따라서 y=
;[^;이다.
⑴ y=
:ª[¼: ⑵ y=
;[^;
11
y=ax에 (2, 6)을 대입하면 6=a_2에서 a=3,
y=
;[B;에 (2, 6)을 대입하면 6=
;2B;에서 b=12이다.
48 | 정답 및 해설
이다.
증가한다.
02
④ y=4x에서 4>0이므로 x의 값이 증가할 때 y의 값도
03
정비례 관계 y=ax의 그래프는 a의 절댓값이 작을수록 x
축에 가깝고, a의 절댓값이 클수록 y축에 가까우므로
x축에 가장 가까운 것은 ㄴ. y=-
x,
;2!;
y축에 가장 가까운 것은 ㄹ. y=-5x이다.
04
⑴ 원점과 점 (1, 1)을 지나는
그래프이므로 ㉣이다.
⑵ 원점과 점 (1, 3)을 지나는
그래프이므로 ㉢이다.
⑶ 원점과 점 (1, -2)를 지나
는 그래프이므로 ㉡이다.
⑷ 원점과 점 (2, -1)을 지나
는 그래프이므로 ㉠이다.
05
⑴ y=
;[A;에서 a의 값이 음수인 것을 말하므로 ㄱ, ㄴ이다.
⑵ y=
;[A;에서 a의 값이 양수인 것을 말하므로 ㄷ, ㄹ이다.
⑶ y=
;[A;에 x=3, y=-2를 대입하여 참인 것은 ㄴ이다.
각 점의 좌표를 반비례 관계의 식에 대입하여 참이 되는 점
06
을 찾는다.
a=3, b=12
③ (5, -3)을 대입하면 -3=-
⑤
{
-10,
을 대입하면
=-
;2#;}
;2#;
따라서 그래프 위에 있는 점은 ③, ⑤이다.
(참)
:Á5°:
15
-10
(참)
개념정답.indd 48
2017. 9. 15. 오후 5:51
개념편 07
반비례 관계 y
=;[A;의 그래프가 점 (2, 6)을 지나므로
따라서 ② 4+
이므로 점 (-6, 4)는 이 그래프 위의
10
y=
;[A;에 (-3, -4)를 대입하면
-4=
, a=12이다.
yy`❶
a
-3
단계
채점 기준
❶ b의 값을 구한다.
❷ a의 값을 구한다.
따라서 y
=:Á[ª:에 (6, k)를 대입하면
k
=;;Á6ª:=
2이다.
단계
채점 기준
❶ a의 값을 구한다.
❷ k의 값을 구한다.
yy`❷
배점 비율
50`%
50`%
y
=;[A;에 x=2, y=6을 대입하면
6=
;2A;, 즉 a=12이다.
y=ax에 x=-2, y=-6을 대입하면
08
정비례 관계 y=ax의 그래프가 점 (-2, -6)을 지나므로
-6=a_(-2), a=3이다.
따라서 y=3x이다.
09
정비례 관계 y=ax의 그래프가 점 (1, 2)를 지나므로
또 정비례 관계 y=bx의 그래프가 점 (-2, 1)을 지나므로
y=ax에 대입하면 a=2이다.
y=bx에 대입하면
1=-2b에서 b=-
이다.
;2!;
11
⑴ 원점을 지나는 직선이므로
y=ax에 (-2, 7)을 대입하면
7=a_(-2), a=-
이다.
;2&;
따라서 y=-
x이다.
;2&;
⑵ 한 쌍의 곡선이므로
y=
;[A;에 (3, 7)을 대입하면
7=
;3A;, a=21이다.
따라서 y=
:ª[Á:이다.
12
원점에 대하여 대칭인 곡선이므로
y=
;[A;의 그래프를 지나는 (6, 4)를 대입하면
4=
;6A;에서 a=24이다.
y=
:ª[¢:에 대입하여 참이 되지 않는 점은 이 그래프 위의
점이 아니다.
24
-6
-4
점이 아니다.
다른 풀이
주어진 그래프는 원점에 대하여 대칭인 곡선이므로 y
=;[A;,
즉 xy=a로 xy의 값이 일정하다.
주어진 그래프가 점 (4, 6)을 지나므로 4_6=a, 즉 a=24
로 일정하다.
그런데 ② (-6)_4=-24+24이므로 점 (-6, 4)는
이 그래프 위의 점이 아니다.
13
점 (b, -3)이 두 그래프를 지나므로 x=b, y=-3을
y=-3x에 대입하면
-3=(-3)_b, b=1이다.
x=b=1, y=-3을 y=
;[A;에 대입하면
-3=
;1A;에서 a=-3이다.
yy`❶
yy`❷
배점 비율
50`%
50`%
04
정비례 관계, 반비례 관계의 활용
1
⑴ 자동차로 달리는 거리 y는 휘발유의 양 x에 정비례 관계
이므로 식을 y=ax로 놓고 x=3, y=36을 대입하면
P.106
36=a_3, a=12, 즉 y=12x이다.
⑵ y=12x에 y=240을 대입하면
240=12x, x=20`(L)이다.
⑴ y=12x ⑵ 20`L
1-1
⑴ 자전거로 간 거리 y는 시간 x에 정비례 관계이므로 식
은 y=16x이다.
⑵ y=16x에 y=80을 대입하면
80=16x, x=5(시간)이다.
⑴ y=16x ⑵ 5시간
2
⑴ (삼각형의 넓이)=
;2!;_
(밑변의 길이)_(높이)이므로
y=
_x_12, y=6x이다.
;2!;
⑵ y=6x에 y=72를 대입하면
72=6x, x=12`(cm)이다.
⑴ y=6x ⑵ 12`cm
Ⅳ 좌표평면과 그래프 | 49
개념정답.indd 49
2017. 9. 15. 오후 5:51
2-1
⑴ 자두의 값 y는 자두의 개수 x에 정비례 관계이므로 식
을 y=ax로 놓을 수 있다.
y=ax에 x=3, y=2000을 대입하면
2000=3a, a=
, 즉 y=
x이다.
2000
3
2000
3
⑵ y=
x에 y=8000을 대입하면
8000=
x에서 x=8000_
=12이다.
;20£00;
따라서 자두를 12개 살 수 있다.
⑴ y=
x ⑵ 12개
2000
3
2000
3
2000
3
3
⑴ (사람 수)_(1명당 먹는 사탕 수)=(사탕 40개)이므로
x_y=40이다.
P.107
따라서 구하는 식은 y=
:¢[¼:이다.
⑵ y=
:¢[¼:에 x=8을 대입하면 y=
:¢8¼:
=5이다.
따라서 사탕 40개를 8명이 나누어 먹으면 1명당 5개씩
먹을 수 있다.
⑴ y=
:¢[¼: ⑵ 5개
3-1
⑴ 톱니가 32개인 큰 톱니바퀴가 한 번 회전할 때 톱니가 x
개인 작은 톱니바퀴는 y번 회전하므로 32_1=x_y
이다.
따라서 구하는 식은 y=
:£[ª:이다.
y=
⑵
:£[ª:에 x=8을 대입하면 y
=:£8ª:=
따라서 작은 톱니바퀴의 회전수는 4회이다.
4(회)이다.
⑴ (시간)=
4
(거리)
(속력)
이므로 구하는 식은 y=
4000
x
이다.
⑵ y=
에 x=250을 대입하면 y=
:¢2¼5¼0¼:
=16이다.
4000
x
따라서 걸리는 시간은 16분이다.
⑴ y=
⑵ 16분
4000
x
4-1
⑴ 음파의 파장 y와 진동수 x는 반비례하므로
y=
;[A;로 놓을 수 있다.
주어진 그래프 위의 (50, 6.80)을 y=
;[A;에 대입하면
6.80=
Å0;에서 a=340, 즉 y=
:£;[$;¼:이다.
;5
y=
:£;[$;¼:에 x=170을 대입하면
50 | 정답 및 해설
y=
=2이다.
;1#7$0);
따라서 음파의 파장은 2`m이다.
⑵ y=
:£;[$;¼:에 x=20과 x=20000을 각각 대입하면
y=
=17, y=
:£2¢0¼:
;2£0¢0¼0;
=0.017이다.
따라서 사람이 들을 수 있는 음파의 파장의 범위는
0.017∼17`m이다.
⑴ 2`m ⑵ 0.017~17`m
실력 다지기
PP.108~109
01 ⑴ y=3x ⑵ 40분
03 ⑴ y=
x ⑵ 120`g
;5!;
02 ②
04 ③
05 풀이 참조
07 ⑤
08 3명
=:¤[¼: ⑵ 6`cm
06 ⑴ y
09 풀이 참조
10 ③
01
⑴ 물의 양 y는 시간 x에 정비례하므로 식은
y=ax로 놓을 수 있다.
y=ax에 x=1, y=3을 대입하면 a=3이므로
구하는 식은 y=3x이다.
⑵ 정수기의 용량이 120`L이므로
y=120일 때, x의 값을 구하면
120=3x, x=40이다.
따라서 40분이 걸린다.
03
⑴ (소금물의 농도)=
_100=20(%)이고
(소금의 양)=
_(소금물의 양)이므로
º0;
;3¤0¼
(농도)
100
y=
_x에서 y
x이다.
=;5!;
;1ª0¼
º0;
⑵ y
x에 y=24를 대입하면
=;5!;
=;5!;
24
x이므로 x=120이다.
따라서 소금물의 양은 120`g이다.
04
(삼각형의 넓이)
(밑변의 길이)_(높이)이므로
=;2!;_
y
x_4에서 y=2x이다.
=;2!;_
y=2x에 y=12를 대입하면
양초가 매분 0.2`cm씩 타므로 x분 후에는 0.2x`cm만큼
02
탄다.
⑴ y=
:£[ª: ⑵ 4회
따라서 x와 y 사이의 식은 y=0.2x이다.
개념정답.indd 50
2017. 9. 15. 오후 5:51
개념편 12=2x이므로 x=6이다.
따라서 선분 BP의 길이는 6`cm이다.
05
⑴ 찬호가 5`km 등산하고 있을 때는 출발한 지 1시간 후
yy`❶
이다.
출발한 지 1시간 후에 혜교는 3`km를 등산하고 있다.
yy ❷
⑵ 두 사람이 이동한 시간을 x, 거리를 y로 놓고 두 사람의
이동한 시간과 거리 사이의 식을 각각 구해 보면
찬호는 1시간에 5`km를 갔으므로 y=5x,
혜교는 1시간에 3`km를 갔으므로 y=3x이다. yy`❸
두 사람의 거리의 차가 4`km이므로 다음과 같이 식을
세울 수 있다.
5x-3x=4, 2x=4, x=2
따라서 두 사람의 거리의 차가 4`km가 되는 것은 출발
한 지 2시간 후이다.
yy`❹
채점 기준
배점 비율
단계
❶
❷
❸
찬호가 5`km 등산하고 있을 때의 시간을 구
한다.
출발한 지 1시간 후의 혜교가 등산한 거리를
구한다.
찬호와 혜교에 대한 시간과 거리 사이의 식을
세운다.
❹ 시간을 구한다.
20`%
20`%
40`%
20`%
06
⑴ (직사각형의 넓이)=(가로의 길이)_(세로의 길이)
이므로 60=xy이다.
따라서 구하는 식은 y=
§[¼:이다.
:¤
⑵ 가로의 길이가 10`cm이므로
y=
§[¼:에 x=10을 대입하면
:¤
y
=;1^0);, y=6이다.
따라서 세로의 길이는 6`cm이다.
07
x_y=72이므로 y=
§[ª:이다.
:¦
08
사람 수를 x, 일하는 날의 수를 y라고 하면
x와 y는 반비례하므로 y=
;[A;로 놓을 수 있다.
y
=;[A;에 x=4, y=6을 대입하면
6
=;4A;, a=24이므로 y=
:ª[¢:이다.
이때 8일만에 일을 끝내야 하므로
y=
:ª[¢:에 y=8을 대입하면
8
=:ª[¢:, x=3이다.
따라서 3명이 필요하다.
다른 풀이
(4명이 6일간 하면 끝낼 수 있는 일)
=(x명이 8일간 하면 끝낼 수 있는 일)
이므로 4_6=x_8, x=3이다.
따라서 3명이 필요하다.
09
⑴ 1분마다 8``L씩 물을 넣으면 50분만에 물통이 가득 차
므로 물통의 용량은 8_50=400`(L)이다. yy`❶
또한 1분마다 x`L씩 y분 동안 물을 넣으면 물통이 가득
차므로 xy=400에서 y=
:¢;[);¼`;이다.
yy`❷
⑵ y=
:¢;[);¼`;에 y=10을 대입하면 10=
:¢;[);¼`;, x=40이다.
따라서 1분마다 40`L씩 물을 넣어야 한다. yy`❸
단계
채점 기준
배점 비율
❶ 물통의 용량을 구한다.
❷ x와 y 사이의 관계의 식을 구한다.
❸ 1분마다 넣을 물의 양을 구한다.
30`%
30`%
40`%
10
기체의 부피 y는 압력 x에 반비례하므로 y
=;[A;이다.
y
=;[A;에 y=24, x=5를 대입하면
24
=;5A;에서 a=120이다.
y=
:Á;[@;¼`;에 x=12를 대입하면 y=
:Á1ª2¼:
=10이다.
따라서 이 기체의 부피는 10`cmÜ`이다.
다른 풀이
(기체의 부피가 24`cmÜ`일 때의 압력이 5기압)
= (기체의 부피가 x`cmÜ`일 때의 압력이 12기압)이므로
24_5=x_12, x=10이다.
따라서 이 기체의 부피는 10`cmÜ`이다.
중단원 마무리
PP.110~115
02 ③
04 4
03 ①
01 ③
06 ⑴ 4시부터 6시 사이
05 제3사분면
07 ⑴ A 학생 ⑵ 25분
⑵ 36.5`¾
⑶ 중간에 한참을 멈추었다가 갔으므로 늦었다.
10 ③
08 ②
09 ④
14 ②
13 3
15 ④
18 ②
19 ⑴ y=50x ⑵ 5`cm
20 ⑴ y=3x ⑵ 30 21 ② 22~31 풀이 참조
11 (4, 6) 12 ⑤
17 ③
16 ①
Ⅳ 좌표평면과 그래프 | 51
개념정답.indd 51
2017. 9. 15. 오후 5:51
01
③ 점 (-2, 0)은 x축 위의 점으로 어느 사분면 위에도 있
② y
x에 (0, 0)을 대입하면
=-;2&;
지 않다.
0
={-;2&;}_
0
02
제`2사분면 위의 점은 x<0, y>0이므로 ③ (-2, 5)이다.
③ y
x에 (4, -14)를 대입하면
=-;2&;
-14=
4
{-;2&;}_
④ y
x에 (-7, 2)를 대입하면
=-;2&;
2+
{-;2&;}
_(-7)
⑤ y
=-;2&;
:¢2»:
x에 (6, -21)을 대입하면
-21=
6
{-;2&;}_
따라서 그래프 위에 있지 않은 것은 ④ (-7, 2)이다.
3 x
10
③ 정비례 관계 y=ax의 그래프는 제1, 3사분면을 지나
고, y=x의 그래프보다 x축에 가까우므로
00, b<0이다.
b-a의 부호는 (-)-(+)=(-),
;aB;의 부호는
b-a<0
=(-)이다.
(-)
(+)
따라서 점 Q
b-a, ;aB;}
{
는 제`3사분면 위의 점이다.
<0
;aB;
06
⑴ 희수의 체온이 가장 낮은 시간대는 4시부터 6시 사이이다.
⑵ 2시일 때 희수의 체온은 36.5`¾이다.
07
그래프에서 거리가 8`km 떨어진 야구장에 빨리 도착한 순
서는 A 학생, B 학생, C 학생 순이다.
⑴ A 학생이 가장 빨리 20분만에 도착했다.
⑵ B 학생은 25분만에 도착했다.
⑶ 중간에 한참을 멈추었다가 갔으므로 늦었다.
08
y=ax의 그래프는 a의 절댓값이 클수록 y축에 가깝다.
정비례 관계 y=-3x의 그래프는 제2, 4사분면을 지나고
㉡보다 y축에 가까운 그래프이므로 ② b이다.
y=ax에 (2, -7)을 대입하면
09
-7=a_2, a
, 즉 y
=-;2&;
=-;2&;
x이다.
① y
x에 (-2, 7)을 대입하면
=-;2&;
7
={-;2&;}_
(-2)
52 | 정답 및 해설
11
점 P의 x좌표를 a라고 하면
a이므로
y
=;2#;
P
a,
a
;2#;
}
{
이다.
a=12이므로
a
;2!;_
_;2#;
aÛ`=16이다.
y
3
-
2
a
3
y= x
-
2
P
Q
a
O
x
그런데 a>0이고 4Û`=16이므로 a=4이다.
따라서 점 P의 좌표는
{
4,
;2#;_
}
4
이므로 (4, 6)이다.
12
⑤ 반비례 관계 y
=;;Á[ª;;의 그래프는 원점을 지나지 않는다.
y=
4-a
x
13
에 (1, a-2)를 대입하면
a-2=4-a, 2a=6, a=3이다.
14
y
=;[A;에 P(-2, 3)을 대입하면
3=
, a=-6이다.
a
-2
그러므로 y
=-;[^;에 Q(b, -1)을 대입하면
-1=-
;b^;, b=6이다.
따라서 a+b=(-6)+6=0이다.
다른 풀이
y
=;[A;에서 xy=a이므로
점 P에서 (-2)_3=a, a=-6이다.
개념정답.indd 52
2017. 9. 15. 오후 5:51
개념편 점 Q에서 b_(-1)=a, -b=-6, b=6이다.
따라서 a+b=(-6)+6=0이다.
21
전체 일의 양을 1이라고 하면 태환이가 1시간 동안 하는 일
의 양은 전체의
, 동선이가 1시간 동안 하는 일의 양은
;5!;
15
y=
;[A;에 (4, 2)를 대입하면 2
=;4A;에서 a=8이다.
반비례 관계 y=
;[*;의 그래프 위의 점 중 x좌표와 y좌표가
모두 정수인 점의 개수는
(-8, -1), (-4, -2), (-2, -4), (-1, -8),
(1, 8), (2, 4), (4, 2), (8, 1)의 8개이다.
8의 약수
두 톱니바퀴의 (톱니의 수)_(회전수)가 서로 같아야 하므로
24_x=30_y이다.
따라서 x와 y 사이의 관계의 식은 y
x이다.
=;5$;
17
y
=;a{;에 (-9, 3)을 대입하면
3=
에서 a=-3이다.
-9
a
따라서 y=-
-3
x
;[A;=-
, 즉 y
=;[#;에 x=1을 대입하면
y
=;1#;=
3이므로 y
=;[#;의 그래프는 점 (1, 3)을 지나는
원점에 대하여 대칭인 한 쌍의 곡선이다.
18
(평행사변형의 넓이)=(밑변의 길이)_(높이)이므로
45=xy에서 y
=:;¢[°:이다.
이때 x>0이므로 알맞은 그래프는 제1사분면을 지나는
곡선이다.
19
⑴ (열린 부분의 넓이)
= (열린 부분의 가로의 길이)_(창문의 세로의 길이)
이므로 y=x_50, 즉 y=50x이다.
⑵ y=50x에 y=250을 대입하면
250=50x, x=5이다.
따라서 5`cm만큼 열었다.
20
⑴ x의 값에 따른 y의 값의 변화를 표로 나타내면 다음과
1
3
2
6
3
9
y
y
따라서 x와 y 사이의 식은 y=3x이다.
⑵ y=3x에 x=10을 대입하면
y=3_10=30이다.
따라서 10번째 삼각형의 바깥 부분의 둘레의 길이는 30
같다.
x
y
이다.
16
전체의
이다.
;4!;
따라서 x시간 동안 두 사람이 일한 양은 각각 ;5{;, ;4{;이므로
y
=;5{;+;4{;에서 y
=;2»0;
x이다.
22
⑴ 네 점 A, B, C, D를 꼭짓점
으로 하는 사각형을 좌표평
y
4
A(-3,`2)
2
D(3,`2)
-4
-2
2
4
x
O
-2
B(-3,`-3)
C(3,`-3)
-4
면 위에 나타내면 오른쪽 그
yy`❶
림과 같다.
⑵ 선분 AB의 길이는
2-(-3)=5,
선분 BC의 길이는
3-(-3)=6이므로`
ABCD=5_6=30이다.
단계
채점 기준
❶ ⑴ ABCD를 좌표평면 위에 나타낸다.
❷ ⑵ ABCD의 넓이를 구한다.
yy`❷
배점 비율
60`%
40`%
B(3,`4)
23
세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하
는 삼각형을 좌표평면 위에 나타
내면 오른쪽 그림과 같다.
yy`❶
선분 BC를 △ABC의 밑변이라
고 하면 밑변의 길이는
4-(-4)=8, 높이는 5이므로
2
A(-2,`0)
-4
-2
H
4
x
2
C(3,`-4)
y
4
O
-2
-4
y
△ABC=
_8_5=20이다.
yy`❷
C
단계
;2!;
3
2
1
-1-1
❶ 세 점 A, B, C를 좌표평면 위에 나타낸다.
-2
-3
❷ △ABC의 넓이를 구한다.
채점 기준
-2
-3
O
배점 비율
3 x
21
60`%
B
40`%
24
⑴ 그릇의 단면이 점점 작아지다가 일정하게 유지가 되므
로 물의 높이는 조금씩 빠르게 높아지다가 일정하게 높
yy`❶
아진다.
⑵
높이
O
시간
단계
채점 기준
❶ 시간에 따른 물의 높이의 변화를 설명한다.
❷
시간에 따른 물 높이의 변화를 그래프로 나타
낸다.
yy`❷
배점 비율
50`%
50`%
Ⅳ 좌표평면과 그래프 | 53
개념정답.indd 53
2017. 9. 15. 오후 5:51
29
y
=-:ª[¦
¶;;에 P(b, 9)를 대입하면
9
¶;;, b=-3이다.
=-:ªb¦
y=ax에 (-3, 9)를 대입하면
9=a_(-3), a=-3이다.
단계
채점 기준
❶ b의 값을 구한다.
❷ a의 값을 구한다.
yy`❶
yy`❷
배점 비율
50`%
50`%
30
⑴ 소모되는 열량 y`kcal는 시간 x분에 정비례하므로
식을 y=ax로 놓고 x=30, y=90을 대입하면
90=a_30, a=3이다.
따라서 y=3x이다.
⑵ y=3x에 y=75를 대입하면
75=3x, x=25이다.
따라서 75`kcal를 소모하려면 25분을 걸어야 한다.
yy`❶
단계
채점 기준
❶ ⑴ x와 y 사이의 관계의 식을 구한다.
❷ ⑵ 걸리는 시간을 구한다.
yy`❷
배점 비율
70`%
30`%
31
어제 입장권을 나누어 준 분량과 오늘 입장권을 나누어 준
분량이 같으므로
8_15=x_y에서 y=
:Á;[@;¼:이다.
yy`❶
y=
:Á;[@;¼:에서 x=5를 대입하면
y=
:Á;5@;¼:
=24이다.
따라서 5명이 입장권을 나누어 준다면 한 사람이 24장씩
yy`❷
나누어 주어야 한다.
단계
채점 기준
❶ x와 y 사이의 관계의 식을 구한다.
❷ 나누어 주는 입장권 수를 구한다.
배점 비율
70`%
30`%
`
y=ax에 (2, -8)을 대입하면
25
-8=a_2에서 a=-4이다.
또 y=-
=-
;[A;
=
;[$;에 (4, b)를 대입하면
-4
x
b=
=1이다.
;4$;
단계
채점 기준
❶ a의 값을 구한다.
❷ b의 값을 구한다.
26
y=ax에 (2, 5)를 대입하면
5=a_2, a
=;2%;이다.
y=bx에 (1, -2)를 대입하면
-2=b_1, b=-2이다.
단계
채점 기준
❶ a의 값을 구한다.
❷ b의 값을 구한다.
열차의 속력은 반비례하므로
y
=;[A;에 (20, 450)을 대입하면
450
=;20;, a=9000이다.
9000
x
이다.
=
따라서 y
⑵ y=
에 y=300을 대입하면
9000
x
9000
x
=
300
, x=30이다.
27
⑴ 열차가 일정한 길이의 터널을 통과할 때 걸리는 시간과
따라서 기차의 속력은 초속 30`m이다.
yy`❷
단계
채점 기준
❶ ⑴ x와 y 사이의 관계의 식을 구한다.
❷ ⑵ 기차의 속력을 구한다.
배점 비율
70`%
30`%
28
⑴ 점 P의 x좌표가 4이므로 y
=;2!;
x에 x=4를 대입하면
y
=;2!;
_4=2이다.
따라서 점 P의 좌표는 (4, 2)이다.
⑵ y
=;[A;에 (4, 2)를 대입하면
2
=;4A;, a=8이다.
단계
채점 기준
배점 비율
❶ ⑴ x=4를 y
x에 대입한다.
=;2!;
❷ ⑴ 점 P의 좌표를 구한다.
❸ ⑵ a의 값을 구한다.
54 | 정답 및 해설
yy`❶
yy`❷
배점 비율
50`%
50`%
yy`❶
yy`❷
배점 비율
50`%
50`%
yy`❶
yy`❶
yy`❷
yy`❸
40`%
40`%
20`%
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개념편 Ⅳ
좌표평면과 그래프
1. 좌표평면과 그래프
01
좌표와 좌표평면
03
ㄱ.제2사분면 ㄷ.제`4사분면
따라서바르게연결된것은ㄴ,ㄹ,ㅁ이다.
04
제 4사분면위의점의좌표의부호는(+, -)이므로
③(2, -2)이다.
1
수직선 위의 점의 좌표, 좌표평면 위의 점의 좌표
P.62
01
P(-4),Q(0),
5+6
2 =:Á2Á:
이므로R
이다.
{:Á2Á:}
05
④점(0, 4)는x좌표가0이므로y축위의점이고,어느
사분면위에도있지않다.
P(-4), Q(0), R
{:Á2Á:}
02
A(-3.5),B
{-;3$;}
,C(2),D(-5),E(3.5)
이므로잘못나타낸것은④이다.
06
⑴a<0,b<0이므로-a>0,ab>0
⑵a<0,b<0이므로-b>0,a+b<0
따라서점(-a, ab)는제1사분면위의점이다.
(+, +)
④
따라서점(-b, a+b)는제4사분면위의점이다.
(+, -)
⑴ 제1사분면 ⑵ 제4사분면
x의값,y의값)으로하는순서쌍을모두구하면
(2, 5),(2, 6),(3, 5),(3, 6)이다.
(2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6)
x축위의점은y좌표가0,y축위의점은x좌표가0이다.
⑴ A(-2, 7) ⑵ B(6, 0) ⑶ C(0, -4)
-2b+1=0,b
이다.
=;2!;
07
점A가x축위에있으므로(y좌표)=0
=-;2#;
점B가y축위에있으므로(x좌표)=0
2a+3=0,a
이다.
따라서a+b=
-;2#;+;2!;=
-1이다.
03
(
04
05
A(3, 2),B(-3, 3),C(-2, -4),D(1, -3),
E(4, -1)이므로옳지않은것은②이다.
06
ㄴ.y축위의점은x좌표가0이다.
ㄹ.점(1, 4)는x좌표가1,y좌표가4,점(4, 1)은x좌
표가4,y좌표가1이므로서로다른점이다.
따라서옳은것은ㄱ,ㄷ,ㅁ이다.
②
a<0,b>0이다.
08
제 2사분면위의점P의좌표의부호는(-, +)이므로
따라서-a>0,b-a>0이므로점Q(-a, b-a)는
제 1사분면위의점이다.
(+, +)
⑤
09
;aB;
>0이면a,b의부호는같다.
a(+), b(+) 또는 a(-), b(-)
그런데a+b<0이므로a<0,b<0이다.
2
사분면, 대칭인 점의 좌표
PP.63~64
따라서점(a, b)는제3사분면위의점이다.
(-, -)
⑤
③
④
②
①
01
기호
사분면
x좌표
y좌표
㉠
㉡
㉢
㉣
제1사분면
제2사분면
제3사분면
제4사분면
+
-
-
+
+
+
-
-
풀이 참조
02
⑴ 제2사분면 ⑵ 제4사분면
⑶ 어느 사분면 위에도 있지 않다. (y축 위의 점)
⑷ 제1사분면
94 | 정답 및 해설
제3사분면
(cid:90)
(cid:21)
(cid:19)
(cid:34)(cid:9)(cid:14)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:19)(cid:10)
(cid:36)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:19)(cid:10)
(cid:14)(cid:21)
(cid:14)(cid:19)
(cid:48)
(cid:19)
(cid:21)
(cid:89)
(cid:14)(cid:19)
(cid:35)(cid:9)(cid:14)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:19)(cid:10)
(cid:37)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:19)(cid:10)
10
⑴x축에대하여대칭인점은x
좌표는그대로이고y좌표만부
호가바뀌므로B(-3, -2)
이다.
⑵y축에대하여대칭인점은y좌
표는그대로이고x좌표만부호
가바뀌므로C(3, 2)이다.
⑶원점에대하여대칭인점은x좌표,y좌표의부호가모
두바뀌므로D(3, -2)이다.
⑴ B(-3, -2) ⑵ C(3, 2) ⑶ D(3, -2)
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유형편 11
점P(-3, 1)과x축에대하여대칭인점은
Q(-3, -1)이므로a=-3,b=-1이다.
따라서a-b=-3-(-1)=-2이다.
⑵그릇의아래는단면이넓고위로올라갈수록단면이좁
아지므로물의높이가천천히증가하다가점점급속히
증가하는그래프㈀이다.
-2
⑶그릇의아래는단면이좁고위로올라갈수록단면이넓
12
점A(4, 1-a)와y축에대하여대칭인점은
B(-4, 1-a)이므로-4=b-2,1-a=-3이다.
따라서a=4,b=-2이므로a+b=4+(-2)=2이다.
어지므로물의높이가급속히증가하다가점점천천히
증가하는그래프㈂이다.
⑴ - (ㄴ) ⑵ - (ㄱ) ⑶ - (ㄷ)
②
03
정비례와 반비례
1
정비례 관계 y=ax(a+0)의 그래프
P.66
13
14
01
P(a, b)가제4사분면위의점이므로a>0,b<0이다.
이때점P와y축에대하여대칭인점Q(-a, b)에서
-a<0,b<0이므로점Q는제3사분면위의점이다.
(-, -)
③
다른 풀이
a,b의부호를따질필요없이제4사분면위에있는점과y
축에대하여대칭인점은제3사분면위의점이다.
x축위의점의x좌표가3이므로P(3, 0)이고,점P와y
축에대하여대칭인점의좌표는x좌표의부호만다르므로
Q(-3, 0)이다.
Q(-3, 0)
02
그래프
1
그래프의 이해와 해석
P.65
그래프에서물의온도가35`¾가되는때는시간이120분
후이다.
120분
02
⑴그래프가150`m에도달한지점에서의시간은7분이다.
⑵중간에멈춘시간은2분에서3분사이와5분에서6분
사이에서각각1분씩멈추었으므로총2분이다.
⑴ 7분 ⑵ 2분
03
⑴그래프에서최고기온이가장낮은10`¾일때의날짜는
⑵그래프에서최고기온이가장높은25`¾일때의날짜는
01
⑴주어진x의값에대하여순서쌍을
구하면
(-1, -1),(0, 0),(1, 1),
(2, 2),(3, 3)이므로오른쪽그
림과같이좌표평면위에5개의점
으로나타낸다.
⑵오른쪽그림과같이⑴에서구한
점을지나는직선을그린다.
y
3
2
1
y
3
2
1
O
-1
O
1
-1
2
3
x
-1
1
-1
2
3
x
풀이 참조
02
⑴(0, 0)을지나므로원점을지나는직선이다.
⑵a<0이면제2,4사분면을지난다.
⑶a의절댓값이클수록y축에가까워지므로y=3x의그
래프가y=x의그래프보다y축에가깝다.
⑴ ⑵ × ⑶
03
③y
=-;5$;
-;5$;
x에서
<0이므로x의값이증가하면y의
값은감소한다.
정비례관계y=ax의그래프는|a|가클수록y축에가까
우므로y축에가장가까운것은④이다.
③
④
8
Ⅳ 좌표평면과 그래프 | 95
04
05
6월3일이다.
6월10일이다.
래프㈁이다.
⑴ 6월 3일 ⑵ 6월 10일
x에x=a,y=-10을대입하면
x의그래프가점(a, -10)을지나므로
y
y
=-;4%;
=-;4%;
04
⑴그릇에물을채울때물의높이가일정하게증가하는그
-10=-
a,a=8이다.
;4%;
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2
반비례 관계 y=
(a+0)의 그래프
;[A;
01
⑴주어진x의값에대하여순서쌍
을구하면
(-2, -1),(-1, -2),
-2 -1
(1, 2),(2, 1)이므로오른쪽
그림과같이좌표평면위에4개
의점으로나타낸다.
⑵오른쪽그림과같이y
=[@;의그
래프는⑴의점들을연결한한쌍
의곡선으로나타낸다.
y
2
1
O
y
2
1
O
P.67
3
정비례 관계의 식 구하기
P.68
01
원점을지나는직선이므로y=ax꼴이다.
⑴y=ax에(3, -1)을대입하면
1 2
x
-1
-2
-1=a_3, a=-
이므로y
;3!;
x이다.
=-;3!;
⑵y=ax에(1, -2)를대입하면
-2=a_1, a=-2이므로y=-2x이다.
⑶y=ax에(1, 4)를대입하면
4=a_1,a=4이므로y=4x이다.
⑴ y
x ⑵ y=-2x ⑶ y=4x
=-;3!;
-2 -1
1 2
x
-1
-2
02
y=ax에(-3, 8)을대입하면
풀이 참조
8=a_(-3)이므로a=
-;3*;이다.
02
⑴원점에대하여대칭인한쌍의곡선이다.
⑵y
=-;[#;에x=-1을대입하면
3
(-1)
y=-
=3이므로점(-1, 3)을지난다.
⑶x>0에서x의값이증가하면y의값도증가한다.
⑴ × ⑵ ⑶
03
③a>0이면제1사분면과제3사분면위에있다.
③
04
y의값이정수가되려면|x|의값이8의약수가되어야
한다.
8의약수는1,2,4,8이므로정수인점은(1, 8),(2, 4),
(4, 2),(8, 1),(-1, -8),(-2, -4),(-4, -2),
(-8, -1)의8개이다.
03
원점을지나는직선이므로y=ax에(2, -6)을대입하면
-6=a_2,a=-3이다.
따라서y=-3x이다.
04
원점을지나는직선이므로y=ax에(-6, -3)을대입
하면-3=a_(-6),a
이다.
=;2!;
따라서y
x에(8, b)를대입하면
=;2!;
b=
_8=4이다.
;2!;
-;3*;
④
4
8개
y=ax에(3, 2)를대입하면
2=a_3,a
=;3@;
이므로y
x이다.
=;3@;
①y
x에x=-3을대입하면
=;3@;
05
반비례관계y
=;[A;`(a+0)의그래프에서a의절댓값이
y
=;3@;
_(-3)=-2+4
따라서점(-3, 4)는y
x의그래프위의점이아니다.
=;3@;
클수록원점에서멀어진다.
y
=;[A;의그래프가y
있으므로|a|>|5|이다.
그런데a>0이므로a>5이다.
=;[%;의그래프보다원점에서더멀리
⑤
따라서점(2, 3)은y
x의그래프위의점이아니다.
=;3@;
②y
x에x=2를대입하면
=;3@;
y=
_2=
+3
;3@;
;3$;
③y
x에x=4를대입하면
=;3@;
y
4
+
=;3@;_
=;3*;
;2(;
-4
4,
따라서점
{
;2(;}
는y
=;3@;
x의그래프위의점이아니다.
06
y
=:Á[ª:에x=a,y=-3을대입하면
-3=
:Áaª:이므로a=-4이다.
96 | 정답 및 해설
05
유형정답.indd 96
2017. 9. 15. 오후 6:03
유형편
④y
x에x
=;3@;
=;2#;
을대입하면
y
=;3@;_;2#;
=1+3
⑤y
x에x=-2를대입하면
=;3@;
y=
_(-2)=-
;3@;
;3$;
따라서점
, 3
은y
}
{;2#;
=;3@;
x의그래프위의점이아니다.
04
그래프가원점에대하여대칭인한쌍의곡선이고,
점(5, -1)을지나므로
y
=;[A;에x=5,y=-1을대입하면
-1
=;5A;,a=-5이다.
y
=-;[%;에y
=;2%;
를대입하면
;2%;=-;[%;,x=-2이다.
-2, -
따라서점
{
;3$;}
는y
=;3@;
x의그래프위의점이다.
⑤
따라서점P의좌표는
{
-2,
;2%;}
이다.
-2,
{
;2%;}
y=ax에(3, -7)을대입하면
06
-7=a_3,a
=-;3&;이다.
y
=-;3&;
x에
{
b,
-;9&;}
을대입하면
-;9&;=-;3&;
=;3!;
b,b
이다.
따라서a+b=-
=-2이다.
;3&;+;3!;
07
y
=-;2#;
x에y=-6을대입하면
-6=
x,x=4이다.
-;2#;
a
=;2!;_
4,즉a=2이다.
4
반비례 관계의 식 구하기
05
y
=;[A;에(3, -1)을대입하면
-1=
;3A;,a=-3이다.
y
=;[B;에(-3, -2)를대입하면
-2=
,b=6이다.
b
-3
따라서a+b=-3+6=3이다.
06
y
=;[A;에(3, -3)을대입하면
y
=-;[(;에
{
k
, -;4(;}
를대입하면
-;4(;=-;k(;,k=4이다.
따라서점(4, a)는y
x의그래프위의점이므로
=;2!;
-3=
;3A;,a=-9이다.
01
원점에대하여대칭인한쌍의곡선이므로y
=;[A;꼴이다.
⑴y
=;[A;에(1, 3)을대입하면
3
=;1A;,a=3이므로y
=;[#;이다.
⑵y
=;[A;에(-3, 4)를대입하면
4=
,a=-12이므로y
=-:Á[ª:이다.
a
-3
⑴ y
=;[#; ⑵ y
=-:Á[ª:
02
y
=;[A;에
{
a
-2
;2!;=
-2
, ;2!;}
을대입하면
,a=-1이다.
03
y
=;[A;에(4, 2)를대입하면
2
=;4A;,a=8이다.
y
=;3@;
x에x=3을대입하면y
07
=;3@;
따라서점P의좌표는(3, 2)이다.
_3=2이다.
y
=;[A;에(3, 2)를대입하면
2
=;3A;,a=6이다.
y=ax에(4, -3)을대입하면
08
-3=a_4,a
이다.
=-;4#;
-1
y
=;[B;에(4, -3)을대입하면
-3
=;4B;,b=-12이다.
따라서ab=
-
_(-12)=9이다.
{
;4#;}
9
Ⅳ 좌표평면과 그래프 | 97
④
2
P.69
⑤
①
4
①
유형정답.indd 97
2017. 9. 15. 오후 6:03
대단원 모의고사
Ⅰ
자연수의 성질
PP.77~80
02 ⑤
01 ⑤
07 ①
06 ③
12 ④
11 ②
17 ④
16 ④
20 25
21 7
지우개 3개, 연필 5자루
05 ①
10 ④
15 ⑤
04 ②
03 ③
09 ①
08 ④
14 ④
13 ③
19 2, 5, 7
18 ③
22 상품 꾸러미 8개, 공책 2권,
23~25 풀이 참조
01
⑤ 57=3_19로 합성수이므로 소수가 아니다.
02
① 3Ü`=3_3_3=27
② 1000=10_10_10=10Ü`
③ 2+2+2=2_3=6이고 2Ü`=2_2_2=8이다.
④ 2_2_2_2_2=2Þ`
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
108=2Û`_3Ü`이므로 a=2, b=3이다.
03
따라서 a+b=5이다.
2_3_4_5_6_7
04
=2_3_(2_2)_5_(2_3)_7
=2Ý`_3Û`_5_7
이므로 a=4, b=2이다.
따라서 a-b=2이다.
05
ㄱ. 20 이하의 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19이므로
20 이하의 소수는 8개이다. (참)
ㄴ. 2와 5는 소수이고 그 합 7은 짝수가 아니다. (거짓)
ㄷ. 33=3_11은 합성수이므로 소수가 아니다. (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ이다.
06
① 2, 6의 최대공약수는 2이므로 서로소가 아니다.
② 8, 12의 최대공약수는 4이므로 서로소가 아니다.
③ 10, 19는 최대공약수가 1이므로 서로소이다.
④ 32, 72의 최대공약수는 8이므로 서로소가 아니다.
⑤ 110, 130의 최대공약수는 10이므로 서로소가 아니다.
따라서 서로소인 것은 ③이다.
07
① 서로 다른 두 홀수 3과 9의 최대공약수는 3이므로 서로
소가 아니다.
08
6=2_3이므로 6의 소인수는 2, 3이다.
10 이상 20 이하의 자연수 중에서 6과 서로소인 수는 2 또
는 3을 소인수로 갖지 않아야 한다.
따라서 6과 서로소인 것은 11, 13, 17, 19로 4개이다.
09
`2Û`_3_5`
`2`_3_5Û`
`2`_3_5`=30
따라서 두 수의 최대공약수는 2_3_5=30이다.
10
두 수의 공배수는 최
소공배수의 배수인데
④ 3Û`_5Û`_7Û`_11_13
(최소공배수)=3Ü`_5Û`_7
(최소공배수)=3Û`_5`_7Û`_11
(최소공배수)=3Ü`_5Û`_7Û`_11
은 3Ü`_5Û`_7Û`_11의 배수가 아니므로 두 수의 공배수가
아니다.
2_3Û`_5Ü`과 A의 최대공약수가 2_3_5Û`이므로 자연수
k에 대하여 A가 될 수 있는 값은 2_3_5Û`_k이다.
따라서 2_3Û`_5Ü`과 A의 최소공배수가 2Û`_3Û`_5Ü`이 될
수 있는 A의 값은 k=2일 때인 2Û`_3_5Û`이다.
다른 풀이
(최소공배수)= 2 _ 3Û` _ 5Ü`
(최소공배 A= _ _
(최대공약수)= 2 _ 3 _ 5Û`
(최소공배수)= 2Û` _ 3Û` _ 5Ü`
최대공약수는 공통인 소인수 중 지수가 같거나 작은 것을
택하고, 최소공배수는 공통인 소인수 중 지수가 같거나 큰
것을 택하고 또 공통이 아닌 소인수의 거듭제곱도 곱한다.
따라서 A=2Û`_3_5Û`이다.
(최소공배수)=2 `_x
(최소공배수)= `3_x
(최소공배수)=2Û` _x
(최소공배수)=2Û`_3_x=60
x
`2_x 3_x 4_x
>³
>³
` `2 `3 4
2
1 `3 2
세 자연수 2_x,
3_x, 4_x의 최소
공배수가 60이므로
2Û`_3_x=60,
12_x=60
따라서 x=5이다.
다른 풀이
2_x, 3_x, 4_x의
최소공배수는
x_2_3_2=12_x이다.
이때 최소공배수가 60이므로
12_x=60
따라서 x의 값은 5이다.
대단원 모의고사 | 103
11
12
대단원해답.indd 103
2017. 9. 15. 오후 5:52
13
두 자리 자연수 A, B의 최대공약수가 11이므로
A=11_p, B=11_q(p, q는 서로소)로 나타낼 수 있다.
최소공배수 165를 소인수분해하면 165=3_5_11이므
19
20
로 A, B가 될 수 있는 두 자리의 자연수는
11_3, 11_5, 즉 33과 55이다.
따라서 A+B=33+55=88이다.
14
15
16
17
18
,
;3!;
에 분모 2와 3의 공배수를 곱하면 자연수가 된다.
;2!;
2와 3의 최소공배수는 6이고, 50 이하의 자연수 중에서 6
의 배수는 6, 12, 18, y, 48로 8개이다.
두 수의 공약수는 두 수의 최대공약수의 약수이므로 두 수
의 공약수는 최대공약수 12의 약수 1, 2, 3, 4, 6, 12로 6
개이다.
세 자연수의 비가
4`:`5`:`6이므로 세 자연
수를 4_k, 5_k, 6_k,
즉 2Û`_k, 5_k, 2_3_k
(최소공배수)=2Û` _k
(최소공배수)= ` 5_k
(최소공배수)=2`_3 _k
(최소공배수)=2Û`_3_5_k
라고 하자.
세 수의 최소공배수가 2Ü`_3Û`_5이므로
2Û`_3_5_k=2Ü`_3Û`_5에서 k=2_3=6이다.
따라서 세 자연수 중 가장 작은 수는 4_k, 즉 4_6=24이다.
다른 풀이
세 자연수의 비가 4`:`5`:`6이
므로 세 자연수를 각각 4_k,
5_k, 6_k라고 하자.
k
`4_k 5_k 6_k
>³
>³
` `4 `5 6
2
2 `5 3
세 자연수의 최소공배수는 2Ü`_3Û`_5이므로
2Û`_3_5_k=2Ü`_3Û`_5에서 k=2_3=6이다.
따라서 세 자연수는 각각 24, 30, 36이고 이 중 가장 작은
수는 24이다.
되도록 많은 모둠을 만들어
야 하므로 모둠의 수는 18
과 24의 최대공약수이다.
(최소공배 18=2_3Û`
(최소공배 24=2Ü`_3
(최대공약수)=2`_3`=6
이때 18과 24의 최대공약수는 6이므로 구하는 모둠의 개
수는 6이다.
4명, 6명, 8명씩 짝 지어
(최소공배수)=2Û`
(최소공배수)=2`_3
(최소공배수)=2Ü`
(최소공배수)=2Ü`_3=24
남는 학생이 없을 때에는
4, 6, 8의 최소공배수인 24
명, 48명, 70명, y이다.
따라서 4명, 6명, 8명씩 짝 짓기할 때 항상 2명씩 남으면
학생 수는 26명, 50명, 72명, y이고, 민지네 반 학생 수가
40명 이하이므로 체험 학습에 참가한 학생 수는 26명이다.
104 | 정답 및 해설
140=2Û`_5_7이므로 140의 소인수는 2, 5, 7이다.
(최소 배 144=2Ý`_3Û`
(최소 배 100=2Û`_ `_5Û`
(최소공배수)=2Ý`_3Û`_5Û`
144_x는 144와 100의
공배수이다. 이때 144와
100을 각각 소인수분해하
면 2Ý`_3Û`, 2Û`_5Û`이다.
따라서 144와 100의 최소공배수는 2Ý`_3Û`_5Û`이므로 가
장 작은 자연수 x의 값은 2Ý`_3Û`_x=2Ý`_3Û`_5Û`에서
5Û`=25이다.
21
어떤 수로 90을 나누면 6이 남으므로 어떤 수로
90-6=84를 나누면 나누어 떨어진다.
또한 어떤 수로 130을 나누면 4가 남으므로 어떤 수로
130-4=126을 나누면 나누어 떨어진다.
84와 126을 동시에 나누어 떨어지게 하는 어떤 수는 두 수
의 공약수이다.
84와 126의 최대공약
수는 42이므로 공약수
는 1, 2, 3, 6, 7, 14,
21, 42이다.
이때 나누는 수는 나머지 6보다 커야 하므로 어떤 수는 7,
14, 21, 42이고, 이 중 가장 작은 수는 7이다.
(최소공배 84=2Û`_3`_7
(최소 배 126=2`_3Û`_7
(최대공약수)=2`_3`_7=42
22
최대로 만들 수 있는 상품 꾸
(최소공배 16=2Ý`
(최소공배 24=2Ü`_3
(최소 배 40=2Ü`_5
(최대공약수)=2Ü` =8
러미의 개수는
16=2Ý`, 24=2Ü`_3,
40=2Ü`_5의 최대공약수인
2Ü`=8이다.
따라서 상품 꾸러미에 들어갈 공책은 16Ö8=2(권),
지우개는 24Ö8=3(개), 연필은 40Ö8=5(자루)이다.
23
135=3Ü`_5이므로
…… ❶
135_x=3Ü`_5_x가 어떤 자연수의 제곱이 되려면 소인
수의 지수가 모두 짝수이어야 한다.
따라서 가장 작은 자연수 x=3_5=15이다.
단계
채점 기준
❶ 135를 소인수분해한다.
❷ 어떤 자연수의 제곱이 되기 위한 조건을 안다.
❸ 가장 작은 자연수를 구한다.
24
두 수
,
;1#2%;
;1%8%;
의 어느 것에 곱하여도 자연수가 되게 하는
분수 중 가장 작은 수는
(12, 18의 최소공배수)
(35, 55의 최대공약수)
이다.
…… ❷
…… ❸
배점
2점
2점
1점
…… ❶
대단원해답.indd 104
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정답 및 해설
(최소공배 12=2Û`_3
(최소공배 18=2`_3Û`
(최소공배수)=2Û`_3Û`=36
12, 18의 최소공배수는 36이고,
35, 55의 최대공약수는 5이다.
(최소공배 35=5_7
(최소공배 55=5 _11
(최대공약수)=5
따라서 구하는 분수 중에서 가장 작은 수는
이다.
:£5¤:
단계
채점 기준
❶ 가장 작은 분수가 되게 하는 조건을 안다.
❷
12, 18의 최소공배수, 35, 55의 최대공약수
를 구한다.
❸ 분수를 바르게 구한다.
…… ❷
…… ❸
배점
2점
2점
1점
25
⑴ 전등 A, B, C는 각
각 처음 켜진 후 4
분, 5분, 6분마다 다
(최소공배 4=2Û`
(최소공배 5= `5`
(최소공배 6=2`_3
(최소공배수)=2Û`_3_5=60
시 켜지므로 처음으
로 동시에 켜지는 시간은 4, 5, 6의 최소공배수인 60분
후이다.
…… ❶
⑵ 처음으로 동시에 켜질 때까지 걸린 시간이 60분이고, 전
등 C는 60Ö6=10(번) 켜져 있다가 꺼졌다.
이때 전등 C가 켜진 시간은 4_10=40(분)이다.
단계
❶
채점 기준
⑴ 최소공배수를 이용하여 처음으로 동시에
꺼질 때까지 걸린 시간을 구한다.
❷ ⑵ 전등 C가 켜져 있는 총 시간을 구한다.
배점
3점
2점
…… ❷
|-2.7|=2.7,
, |-1|=1, |+2|=2,
|-;4#;|=;4#;
|+;5!;|=;5!;
이므로 가장 작은 수는
이다.
|+;5!;|
Ⅱ
정수와 유리수
PP.81~84
01 ③
06 ②
11 ②
16 ④
21 18
03 ⑤
02 ③
08 ①
07 ②
13 ④
12 ①
17 ②
18 ①
22 a=3, b=-3
05 ③
04 ③
10 ④
09 ③
15 ①
14 ④
19 -
;2!; 20 -1
23~25 풀이 참조
01
① 유리수는 6개이다.
② 정수는 -4, 0, 3이다.
④ 양수는
, 3으로 2개, 음수는 -4, -5.5, -
으로
3
4
9
2
3개이다.
⑤ 절댓값이 가장 큰 수는 -5.5이다.
따라서 옳은 것은 ③이다.
:Á5Á:
절댓값이
인 두 수는 -
02
사이에 있는 정수는 -2, -1, 0, 1, 2이다.
따라서 구하는 정수의 개수는 5이다.
과 +
:Á5Á:
:Á5Á:
이므로 이 두 수
03
04
05
06
ㄱ. |-3|=3,
|
않다. (거짓)
1
3 |=;3!;
이므로 두 수의 절댓값은 같지
ㄴ. a=-2, b=1일 때 a|1|이다.
(거짓)
ㄷ. 절댓값의 가장 작은 수는 0이다. (참)
따라서 옳은 것은 ㄷ이다.
, 0>-1, -
>
이므로 영희가 도착한 곳은
;9&;
-;7(;
<
;7#;
;3@;
C이다.
(가), (나)에서 a는 -2보다 크고 절댓값은 -2의 절댓
값과 같으므로 a=2이다.
(가), (다)에서 c는 2보다 크고 b보다 -2에 가까우므로
c0, 즉 a>2
3을 빼면 음수가 된다. ⇨ a-3<0, 즉 a<3
따라서 a는 20이다.
16
또한 b>0이고 b_c>0이므로 c>0이다.
따라서 a<0, b>0, c>0이다.
1보다 -1만큼 작은 수는 a=1-(-1)=2,
2보다 -
만큼 큰 수 b=2+
-
이므로
{
;2!;}=;2#;
;2!;
a-b=2-
=
;2#;
;2!;;
이다.
1부터 9까지의 정수를 하나씩만 사용하여 가로, 세로, 대
각선에 있는 세 수의 합이 모두 같아야 하므로 한 줄에 있
는 세 수의 합은 (1+2+3+y+9)Ö3=15이다.
이때 a+5+4=15이므로 a=6,
6+1+b=15이므로 b=8이다.
따라서 a-b=6-8=-2이다.
주어진 수를 수직선 위에 나타내면 다음과 같다.
-4
-3
-2
-1
0
-2.5
-
;3%;
-
;2!;
따라서 왼쪽에서 네 번째에 있는 수는 -
이다.
1
0.7
;2!;
+2
]
[
6_
{-;2!;}
(-2)Ü`Ö4-
20
=(-8)Ö4-{(-3)+2}
=(-2)-(-1)
=-1
13
음수를 8번 곱하므로 부호는 +이다.
{-;3@;}_{-;4#;}_{-;5$;}_
y
_{-;1»0;}
=+{;3@;_;4#;_;5$;_
_;1»0;}=+;1ª0;=;5!;
y
14
① -2Û`=-(2_2)=-4
② (-2)Û`=(-2)_(-2)=4
③ -2_(-2)Û`=(-2)_(-2)_(-2)=-8
④ -(-2)Ü`=-(-2)_(-2)_(-2)=8
⑤ -2Û`_(-2)Û`=-(2_2)_(-2)_(-2)=-16
21
수직선에서 0을 나타내는 점으로부터 7만큼 떨어진 두 점
은 0+7=7, 0-7=-7을 나타내는 점이다.
또한 5를 나타내는 점으로부터 6만큼 떨어진 두 점은
5+6=11, 5-6=-1을 나타내는 점이다.
이때 가장 먼 두 점은 -7과 11을 나타내는 점이므로 구하
는 두 점 사이의 거리는 11-(-7)=18이다.
a, b의 부호가 서로 다르고 절댓값은 같으므로 원점에서 떨
어진 거리가 같다.
또한 b가 a보다 6만큼 작으므로 a와 b는 원점에서 각각 3
따라서 가장 큰 수는 ④이다.
만큼 떨어져 있다.
106 | 정답 및 해설
17
18
19
22
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정답 및 해설 따라서 a=3, b=-3이다.
곱이 1인 두 수는 서로 역수이다.
23
이때 -2의 역수는 -
,
;2!;
;3!;
앞면과 뒷면에 적혀 있는 네 수의 합은
…… ❶
의 역수는 3이다. …… ❷
-
{
;2!;}
+
;3!;
+3=-
+
=
;2%;
:Á3¼:
;6%;
…… ❸
-2+
단계
채점 기준
❶ 앞면과 뒷면에 적혀 있는 수의 관계를 안다.
❷ 뒷면에 적혀 있는 수를 구한다.
❸ 네 수의 합을 구한다.
문자와 식Ⅲ
PP.85~88
02 ②, ③ 03 ①
01 ③
08 ③
07 ②
06 ④
13 ③
12 ②
11 ②
16 ⑤
17 1시간 12분
19 ⑴ 7x-7 ⑵ 9x-10
21~25 풀이 참조
05 ⑤
10 -5
15 36
04 ③
09 ④
14 ④
18 5`km
20 x=6
③ 농도가 10`%인 설탕물 x`g에 들어 있는 설탕의 양은
01
x_
{
;1Á0¼0;}
`g, 즉 ;1Ó0;`
g이다.
24
어떤 수를 라고 하면 +
-
=
이므로 …… ❶
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
{
;2!;}
;3!;
=
-
-
{
=
;6%;
;2!;}
;3!;
따라서 바르게 계산한 답은
…… ❷
② xÖy_2=
02
③ y_(-1)_x=-xy
:ª]Ó:
Ö
-
{
;6%;
;2!;}
=
;6%;
_(-2)=-
;3%;
…… ❸
따라서 옳지 않은 것은 ②, ③이다.
배점
2점
1점
2점
배점
1점
2점
2점
단계
채점 기준
❶ 어떤 수를 구하는 식을 세운다.
❷ 어떤 수를 구한다.
❸ 바르게 계산한 답을 구한다.
은지가 4번 이기고 3번 졌으므로 은지의 위치는
4_(+2)+3_(-1)=(+8)+(-3)=5 …… ❶
25
영수는 3번 이기고 4번 졌으므로 영수의 위치는
3_(+2)+4_(-1)=(+6)+(-4)=2 …… ❷
따라서 5-2=3이므로 은지는 영수보다 3칸 더 위에 있다.
단계
채점 기준
❶ 은지의 위치를 구한다.
❷ 영수의 위치를 구한다.
❸
은지는 영수보다 몇 칸 더 위에 있는지를 구
한다.
…… ❸
배점
2점
2점
1점
x=-2이므로
03
① -x+6=-(-2)+6=8
② xÛ`=(-2)Û`=4
③ -2xÛ`+5=-2_(-2)Û`+5=-3
④ xÜ`+1=(-2)Ü`+1=-7
⑤ -xÝ`=-(-2)Ý`=-16
따라서 식의 값이 가장 큰 것은 ①이다.
04
다항식
xÛ`
3
+
-
;4{;
;2!;
xÛ`
3
의 최고차항은
이므로 차수가 2이
며 일차항은 ;4{;이므로 일차항의 계수는
;4!;
이고 상수항은
-
이다.
;2!;
따라서 a=2, b=
, c=-
이므로
;4!;
;2!;
a+2b-c=2+2_
-
-
{
;4!;
;2!;}
=3
05
색칠한 부분의 넓이는 전체 넓이에서 색칠하지 않은 부분
의 넓이를 뺀 것과 같다.
전체 넓이는 10×5=50이고 색칠하지 않은 부분의 넓이는
(10-5)_(5-2x)=25-10x이다.
따라서 색칠한 부분의 넓이는
50-(25-10x)=25+10x이므로 a=10, b=25이다.
따라서 a+b=35이다.
ㄱ. 최고차항의 차수가 1이므로 일차식이다.
06
ㄴ. 다항식이 아니므로 일차식이 아니다.
ㄷ. 최고차항의 차수가 2이므로 일차식이 아니다.
대단원 모의고사 | 107
대단원해답.indd 107
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ㄹ. 최고차항의 차수가 1이므로 일차식이다.
ㅁ. 최고차항의 차수가 1이므로 일차식이다.
ㅂ. 식을 정리하면 x-1+3x-4x=-1, 즉 상수항만 있
으므로 일차식이 아니다.
따라서 일차식은 ㄱ, ㄹ, ㅁ이다.
07
3x+[2-{5x-(4-x)}+4x]
=3x+{2-(5x-4+x)+4x}
=3x+{2-(6x-4)+4x}
=3x+(2-6x+4+4x)
=3x+(6-2x)
=x+6
08
보기와 같은 규칙은 위의 두 식을 더하면 아래의 식이 되는
것이다.
(2x-3)+A=4x+1에서
A=(4x+1)-(2x-3)=2x+4
A+(5-x)=B, 즉 (2x+4)+(5-x)=B에서
B=x+9
(4x+1)+B=C, 즉 (4x+1)+(x+9)=C에서
C=5x+10
09
① x=-1을 방정식 2x+3=5에 대입하면
(좌변)=1, (우변)=5, 즉 (좌변)+(우변)이므로
x=-1은 주어진 방정식의 해가 아니다.
② x=-2를 방정식 -x+2=3x-6에 대입하면
(좌변)=4, (우변)=-12, 즉 (좌변)+(우변)이므로
x=-2는 주어진 방정식의 해가 아니다.
③ x=4를 방정식 2x+11=3x+8에 대입하면
(좌변)=19, (우변)=20, 즉 (좌변)+(우변)이므로
x=4는 주어진 방정식의 해가 아니다.
④ x=-2를 방정식 -x-1=2x+5에 대입하면
(좌변)=1, (우변)=1, 즉 (좌변)=(우변)이므로
x=-2는 주어진 방정식의 해이다.
⑤ x=3을 방정식 3x-1=5x+7에 대입하면
(좌변)=8, (우변)=22, 즉 (좌변)+(우변)이므로
x=3은 주어진 방정식의 해가 아니다.
등식의 좌변 또는 우변을 간단히 정리하여 양변의 식이 같
으면 항등식이다.
ax+5
3
=2(x-b)에서 ;3A;
x+
;3%;
=2x-2b
따라서 ;3A;
=2, ;3%;=
-2b에서 a=6, b=-
이므로
;6%;
ab=6_
-
=-5이다.
{
;6%;}
10
12
① 방정식 2x-4=x-3을 풀면
2x-x=-3+4, x=1
② 방정식 2x-3=5를 풀면
2x=5+3, 2x=8, x=4
③ 방정식 3x-6=0을 풀면
3x=6, x=2
④ 방정식 5x-6=2x+3을 풀면
5x-2x=3+6, 3x=9, x=3
⑤ 방정식 2(x+1)=4(x+1)을 풀면
2x+2=4x+4, 2x-4x=4-2
-2x=2, x=-1
따라서 해가 가장 큰 것은 ②이다.
13
14
17
0.4(x+2)=
(1-x)+
의 양변에 10을 곱하면
;5#;
;5^;
4(x+2)=6(1-x)+12
4x+8=6-6x+12, 10x=10
따라서 x=1이다.
ã<3-x, 3>=3을 약속에 따라 정리하면
3(x-2)+5(3-x)=3이다.
3x-6+15-5x=3, -2x=-6
따라서 x=3이다.
15
십의 자리 숫자를 x라고 하면 처음 수는 10x+6이다. 십
의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 바꾼 수는 60+x이
며 이 수는 처음 수의 2배보다 9만큼 작다고 하므로
60+x=2(10x+6)-9, 60+x=20x+12-9
-19x=-57, x=3
따라서 십의 자리의 수가 3이므로 처음 수는 36이다.
16
긴 의자의 개수를 x라고 할 때, 6명씩 의자에 앉게 하였더
니 3명이 남은 학생 수와 의자를 하나 뺀 후 8명씩 앉게 하
였더니 1명이 남은 학생 수가 같아야 하므로
6x+3=8(x-1)+1, 6x+3=8x-8+1
-2x=-10, x=5
따라서 긴 의자는 5개이고 수영이네 반 학생 수는
6_5+3=33(명)이다.
청소하는 일의 양을 1이라고 하면 은수는 1시간에 일의
;2!;
을 하고 진영이는 1시간에 일의
둘이 함께 청소한 시간을 x시간이라고 하면
을 한다.
;3!;
x+
x=1, 3x+2x=6, 5x=6, x=
;2!;
;3!;
;5^;
따라서 둘이 함께 청소를 한다면
시간, 즉 1시간 12분이
;5^;
② a=-b의 양변에서 2를 빼면 a-2=-b-2이다.
11
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
걸린다.
108 | 정답 및 해설
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정답 및 해설 18
집과 학교 사이의 거리를 x`km라고 하면
(자전거를 타고 갈 때의 시간)
=(걸어갈 때의 시간)-(45분)
=
이므로 ;1Ó0;
위의 식의 양변에 20을 곱하면
, ;1Ó0;
;6$0%;
;4{;
-
=
-
;4{;
;4#;
2x=5x-15, -3x=-15, x=5
따라서 집과 학교 사이의 거리는 5`km이다.
⑴ 어떤 다항식을
라고 하면
,;;;;.
+(-2x+3)=5x-4
19
,;;;;.
,;;;;.
=5x-4-(-2x+3)
=5x-4+2x-3
=7x-7
⑵ 7x-7-(-2x+3) =7x-7+2x-3
=9x-10
20
22
2(-x+1)+ax=3x+4에 x=-2를 대입하면
2_{-(-2)+1}+a_(-2)=3_(-2)+4
6-2a=-2, -2a=-8, a=4
일차방정식 0.4x+4=1.2x-0.8의 양변에 10을 곱하면
4x+40=12x-8, -8x=-48, x=6
따라서 x=6이다.
21
5x-9=2x+3에서
3x=12, x=4
두 방정식의 해가 같으므로
x=4를 ax-1=x+2a에 대입하면
4a-1=4+2a
2a=5, a=
5
2
단계
채점 기준
❶ 첫 번째 방정식을 풀어서 해를 구한다.
❷ 구한 해를 두 번째 방정식에 대입한다.
❸ 두 번째 방정식을 풀어서 a의 값을 구한다.
방정식
2(7-x)
3
=k를 풀면
따라서 x=
14-3k
2
이다.
이때 주어진 일차방정식의 해가 자연수이려면 14-3k가 2
의 배수가 되어야 하고 k는 자연수이므로
Ú 14-3k=2에서 -3k=-12, k=4
Û 14-3k=4에서 -3k=-10, k=
10
3
Ü 14-3k=6에서 -3k=-8, k=
8
3
Ý 14-3k=8에서 -3k=-6, k=2
Ú~~Ý에서 만족하는 자연수 k의 값은 2, 4이다. …… ❸
…… ❶
…… ❷
…… ❸
배점
2점
1점
2점
…… ❶
…… ❷
단계
채점 기준
❶ 문제의 조건에 맞게 식을 변형한다.
❷ 분자의 조건을 안다.
❸ 조건에 맞는 k의 값을 구한다.
배점
1점
2점
2점
가운데 홀수를 x라고 하면 연속하는 세 홀수는
x-2, x, x+2이다.
23
연속하는 세 홀수의 합이 51이므로
(x-2)+x+(x+2)=51
3x=51, x=17
따라서 연속하는 세 홀수는 15, 17, 19이며 가운데 홀수는
17이다.
…… ❸
…… ❶
…… ❷
단계
채점 기준
❶ 연속하는 세 홀수를 x로 표현한다.
❷ 방정식을 세운다.
❸ 방정식을 풀어서 가운데 홀수를 구한다.
배점
2점
1점
1점
더 넣은 소금의 양을 x`g이라고 하면
(8`%의 소금물 450`g에 들어 있는 소금의 양)
24
+(더 넣은 소금의 양 x`g)
=(10`%의 소금물 (450+x)g에 들어 있는 소금의 양)
이고 (소금의 양)=(소금물의 양)_
…… ❶
농도
100 `이므로
450_
+x=(450+x)_
;10*0;
;1Á0¼0;
…… ❷
등식의 양변에 100을 곱하면
3600+100x=4500+10x, 90x=900, x=10
따라서 더 넣은 소금의 양은 10`g이다.
…… ❸
단계
채점 기준
❶ 소금의 양이 서로 같음을 안다.
❷ 방정식을 세운다.
❸ 더 넣은 소금의 양을 구한다.
배점
2점
2점
1점
25
물건의 원가를 x원이라고 하면 정가는 원가에 10`%의 이
익을 붙인 것이므로 정가는
{
x+
;1Á0¼0;
x
원이다. …… ❶
}
정가에서 1000원을 할인하여 팔았더니 한 개당 2000원의
x+
x
-1000=x+2000
;1Á0¼0;
{
100x+10x-100000=100x+200000
}
10x=300000, x=30000
따라서 이 물건의 원가는 30000원이다.
단계
채점 기준
❶ 정가를 구한다.
❷ 문제의 조건에 맞게 방정식을 세운다.
❸ 방정식을 푼다.
❹ 조건에 맞는 답을 구한다.
…… ❷
…… ❸
…… ❹
배점
1점
2점
1점
1점
대단원 모의고사 | 109
2(7-x)=3k, 14-2x=3k, -2x=3k-14
이익이 생겼으므로
대단원해답.indd 109
2017. 9. 15. 오후 5:52
④ 점 (-2, 0)은 x축 위의 점이므로 어느 사분면에도 속
y=-
x의 그래프는 점 (4, -3)을 지난다.
01
하지 않는다.
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
Ⅳ
좌표평면과 그래프
PP.89~92
02 ③
07 ④
12 ④
17 ④
03 ⑤
08 ④
13 ④
18 ④
=3x ⑵ 풀이 참조
01 ④
06 ③
11 ⑤
16 ②
20 ⑴ y
22~25 풀이 참조
04 ①
09 ②
14 ②
19
;2#;
21 12
05 ⑤
10 ②
15 ③
y
b
y
3
02
a<0, b>0이므로 a-b<0, ;bA;
<0이다.
따라서 점
{
a-b, ;bA;}
는 제3사분면 위의 점이다.
03
오른쪽 그림에서 두 점 (a, -2),
(3, b)가 원점에 대하여 대칭이므로
a=-3, b=2이다.
따라서 ab=(-3)_2=-6이다.
a
3 x
O
-2
05
06
04
오른쪽 그림에서 사각형 ABCD가
정사각형이므로 a=-2, b=3이
B
다.
따라서 a+b=-2+3=1이다.
-2
O
C -1
용기의 아랫부분이 좁기 때문에 수면의
높이가 일정하게 빠르게 상승하다가 폭
이 넓은 윗부분에서는 상대적으로 수면
의 높이가 일정하게 느리게 상승한다.
y
O
A
x
2
D
x
① a시간에서 b시간까지 거리의 변화가 없으므로 이동 거
리는 0이다.
② c시간일 때 x축에서 가장 멀리 떨어져 있으므로 집으로
부터 가장 멀리 떨어져 있다.
③ 가다가 멈추었다가 다시 가다가 되돌아 왔으므로 계속
일정한 속력으로 움직인 것은 아니다.
④ c시간에서 d시간까지 거리가 계속 줄어들었으므로 한
번도 쉬지 않았다.
⑤ d시간일 때 다시 거리가 0이므로 다시 집에 돌아온 것은
d시간이다.
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
110 | 정답 및 해설
07
휘발유의 양과 그 휘발유로 갈 수 있는 거리는 정비례하므
로 y=ax로 놓을 수 있다.
이때 2`L의 휘발유로 24`km를 갈 수 있으므로
24=a_2, a=12이다.
따라서 y=12x이다.
y=-
x의 그래프는 원점을 지나고 오른쪽 아래로 향하
y=-
x에 x=4를 대입하면 y=-
_4=-3이므로
;4#;
는 직선이다.
08
;4#;
;4#;
;4#;
따라서 y=-
x의 그래프는 ④이다.
;4#;
① y=3x에 (0, 0)을 대입하면 성립하므로 원점을 지난다.
09
③ 제1, 3사분면을 지난다.
④ y=3x에 x=3을 대입하면 y=3_3=9이므로 주어진
그래프는 점 (3, 9)를 지난다.
⑤ x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
따라서 옳은 것은 ②이다.
10
y=ax의 그래프는 제2, 4사분면을 지나므로 a<0이다.
Ú y=-2x의 그래프가 y=ax의 그래프보다 y축에 가까
우므로 |-2|>|a|이다. 이때 a<0이므로 -2|
-
;2!;|
이다. 이때 a<0이므로
`a<-
이다.
;2!;
Ú, Û에서 -2
