개념편
정답 및 해설
개념편
Ⅰ 기본 도형과 작도
Ⅱ 평면도형과 입체도형
Ⅲ 통계
유형편
Ⅰ 기본 도형과 작도
Ⅱ 평면도형과 입체도형
Ⅲ 통계
대단원 모의고사
2
17
37
48
62
81
89
두 점 A, B 사이의 거리는 선분 AB의 길이와 같으므로
③ ABÓ=4`cm이다.
06
선분 AC는 두 점 A, C를 잇는 선 중
B
에서 가장 짧다.
yy ❶
A
C
각02
답⃞ ③
따라서 ACÓ<ABÓ+BCÓ이므로 a<b
이다.
정답 및 해설
Ⅰ
1. 기본 도형
기본 도형과 작도
01
점, 선, 면
7-1
8
01
02
03
04
05
1
2
3
5
5-1
6
⑴ 점 M이 ABÓ의 중점이고 ABÓ=6`cm이므로
P.6
AÕMÓ=MòBÓ=
ABÓ=
_6= 3 `(cm)
;2!;
;2!;
ABÓ= 2 `AÕMÓ= 2 `MòBÓ
⑵ 두 점 M, N이 ABÓ를 삼등분하는 점이고 ABÓ=9`cm
⑴ 교점의 개수는 꼭짓점의 개수와 같으므로 3이다.
⑵ 교점의 개수는 꼭짓점의 개수와 같으므로 5이다.
답⃞ ⑴ 3 ⑵ 5
이므로
AÕMÓ=MòNÓ=NBÓ=
`ABÓ=
_9= 3 `(cm)
;3!;
;3!;
ANÓ= 2 `MòNÓ=
`ABÓ=
_9= 6 `(cm)
;3@;
;3@;
답⃞ ⑴
, 3, 2, 2 ⑵
, 3, 2,
, 6
;3!;
;3@;
;2!;
8-1
ANÓ=
AÕMÓ=
_
ABÓ=
ABÓ
;2!;
;2!;
;4!;
;2!;
;4!;
=
_12=3`(cm)
답⃞ 3`cm
P.7
실력 다지기
PP.9~10
02 ④
01 20
06 풀이 참조
10 풀이 참조
03 ⑤
07 ③
05 9
04 ①
08 12`cm 09 8`cm
입체도형에서 교점의 개수는 꼭짓점의 개수와 같으므로
답⃞ ⑴ 교점, 5 ⑵ 교선, 8 ⑶ 5, 입체
2-1
답⃞ 교점, 교선
⑴ 모서리 AB와 모서리 BF가 만나서 생기는 점은 점 B
⑵ 면 ABCD와 면 CGHD가 만나서 생기는 선은 모서리
⑶ 직선 BC를 교선으로 가지는 두 면은 면 ABCD, 면
이다.
CD이다.
BFGC이다.
답⃞ ⑴ 점 B ⑵ 모서리 CD ⑶ 면 ABCD, 면 BFGC
4
⑴ 직선이므로 PQê
⑵ 선분이므로 PQÓ
⑶ 점 P에서 시작하여 점 Q의 방향으로 가는 반직선이므
⑷ 점 Q에서 시작하여 점 P의 방향으로 가는 반직선이므
로 PQ³
로 QP³
반직선이다.
답⃞ ⑴ PQê ⑵ PQÓ ⑶ PQ³ ⑷ QP³
x=8이다.
교선의 개수는 모서리의 개수와 같으므로
④ CD³와 DC³는 시작하는 점과 방향이 다르므로 서로 다른
y=12이다.
따라서 x+y=8+12=20이다.
답⃞ ④
④ 반직선은 방향뿐만 아니라 시작하는 점도 같아야 서로
답⃞ ABê와 `ACê, BCÓ와 `CBÓ, CA³와 `CB³
오른쪽 그림과 같이 그릴 수 있으므로
만들 수 있는 직선의 개수는 3이다.
답⃞ 3
C
A
B
같은 반직선이다.
⑤ 교선의 개수는 9이다.
AD³는 시작하는 점이 점 A이고, 뻗어나가는 방향이 점 D
의 방향이므로 AD³와 같은 것은 AC³이다.
7
⑴ 선분 AB의 길이와 같으므로 8`cm이다.
⑵ 선분 BC의 길이와 같으므로 12`cm이다.
답⃞ ⑴ 8`cm ⑵ 12`cm
따라서 a+b=3+6=9이다.
이므로 b=6이다.
P.8
두 점을 지나는 직선은 ABê, BCê, CAê이므로 a=3이다.
두 점을 지나는 반직선은 AB³, BA³, BC³, CB³, CA³, AC³
2 | 정답 및 해설
마찬가지로 선분 AB는 두 점 A, B를
1
∠a는 반직선 AC와 반직선 AB로 이루어졌으므로
잇는 선 중에서 가장 짧다.
yy ❷
∠BAC 또는 ∠CAB이다.
따라서 ABÓ<
_(원의 둘레의 길이)이므로 b<c이다.
;6!;
그러므로 a<b<c이다.
단계
❶
❷
채점 기준
선분 AC가 두 점 A, C를 잇는 선 중에서 가
장 짧음을 안다.
선분 AB가 두 점 A, B를 잇는 선 중에서 가
장 짧음을 안다.
❸ 조건에 맞게 부등호를 사용하여 나타낸다.
yy ❸
배점 비율
30`%
30`%
40`%
∠b는 반직선 BA와 반직선 BC로 이루어졌으므로
∠ABC 또는 ∠CBA이다.
답⃞ ∠a=∠BAC 또는 ∠a=∠CAB,
∠b=∠ABC 또는 ∠b=∠CBA
1-1
④ 각의 꼭짓점을 가운데에 써서 ∠XOY 또는 ∠YOX로
나타낼 수는 있지만 ∠XaY와 같은 각의 표현은 없다.
07
점 M이 ANÓ의 중점이므로 AÕMÓ=MòNÓ
점 N이 MòBÓ의 중점이므로 MòNÓ=NBÓ
2
0ù<(예각)<90ù, (직각)=90ù,
90ù<(둔각)<180ù, (평각)=180ù이므로
AÕMÓ=MòNÓ=NBÓ이므로 두 점 M, N은 ABÓ를 삼등분하
23ù는 예각, 170ù는 둔각, 180ù는 평각, 90ù는 직각이다.
답⃞ ⑴ 예각 ⑵ 둔각 ⑶ 평각 ⑷ 직각
는 점이다.
;2!;
;2!;
① AÕMÓ=
MòBÓ
② AÕMÓ=
ABÓ
④ MòNÓ=
ANÓ
⑤ ABÓ=
MòBÓ
;3!;
;2#;
ABÓ=2MòBÓ, BCÓ=2BNÓ이므로
08
ACÓ=ABÓ+BCÓ
=2MòBÓ+2BNÓ
=2(MòBÓ+BNÓ)
=2MòNÓ=2_6=12`(cm)
PBÓ=
MòBÓ이므로
09
;3!;
;3@;
MòPÓ=
MòBÓ=
_
ABÓ=
_
_24=8`(cm)
;3@;
;2!;
;3@;
;2!;
2-1
평각은 180ù이므로 60ù=180ù_x이다.
따라서 x=
이다.
;3!;
3
4
⑴ 직선 AB와 직선 EF가 만나서 생기는 각인 ∠AOF의
맞꼭지각은 ∠BOE 또는 ∠EOB이다.
⑵ 직선 EF와 직선 CD가 만나서 생기는 각인 ∠EOD의
맞꼭지각은 ∠COF 또는 ∠FOC이다.
답⃞ ⑴ ∠BOE 또는 ∠EOB ⑵ ∠COF 또는 ∠FOC
⑴ 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 ∠x=70ù
∠y+70ù=180ù이므로 ∠y=110ù
P.11
답⃞ ④
답⃞
배
;3!;
P.12
직선의 개수는 ABê의 1이므로 a=1이다.
yy ❶
⑵ 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 ∠y=60ù
10
반직선의 개수는 AD³, BD³, CD³, DA³, CA³, BA³의
6이므로 b=6이다.
80ù+∠y+∠x=180ù이므로
80ù+60ù+∠x=180ù이다.
선분의 개수는 ABÓ, ACÓ, ADÓ, BCÓ, BDÓ, CDÓ의 6이므로
따라서 ∠x=40ù이다.
답⃞ ⑴ ∠x=70ù, ∠y=110ù ⑵ ∠x=40ù, ∠y=60ù
단계
채점 기준
배점 비율
4-1
⑴ 3∠x+20ù=80ù, 3∠x=60ù
c=6이다.
따라서 a+b+c=1+6+6=13이다.
❶ a의 값을 구한다.
❷ b의 값을 구한다.
❸ c의 값을 구한다.
❹ a+b+c의 값을 구한다.
yy ❷
yy ❸
yy ❹
30`%
30`%
30`%
10`%
따라서 ∠x=20ù이다.
⑵ 2∠x-30ù=∠x+60ù
따라서 ∠x=90ù이다.
답⃞ ⑴ 20ù ⑵ 90ù
Ⅰ. 기본 도형과 작도 | 3
04
05
06
07
08
09
10
4-2
⑴ ∠x+35ù=90ù이므로 ∠x=55ù이다.
⑵ 60ù+∠x+50ù=180ù이므로 ∠x=70ù이다.
맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로
3∠x-30ù=75ù, 3∠x=105ù
답⃞ ⑴ 55ù ⑵ 70ù
따라서 ∠x=35ù이다.
P.13
맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로
5
답⃞ ⑴ B ⑵ PBÓ
5-1
⑴ ABê ⊥ CDê
⑵ CDê는 ABÓ의 수직이등분선 이다.
⑶ 점 A와 직선 CD 사이의 거리는 AOÓ 이다.
⑷ 점 O를 점 C에서 ABê에 내린 수선의 발 이라고 한다.
답⃞ ⑴ ⊥ ⑵ 수직이등분선 ⑶ AOÓ ⑷ 수선의 발
6
⑴ ABÓ와 직교하는 선분은 교각이 직각인 선분이므로 ADÓ
⑵ 점 C에서 ABÓ에 내린 수선의 발은 ABÓ와` BCÓ의 교점
와 BCÓ이다.
이므로 점 B이다.
이다.
이다.
2x
3x
x
3x
오른쪽 그림에서
2∠x+3∠x+∠x=180ù
6∠x=180ù
따라서 ∠x=30ù이다.
∠x+∠y+∠z=180ù이므로
∠x=180ù_
=80ù이다.
;9$;
맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 ∠a=∠b
∠a+∠b=240ù
∠a+∠a=240ù
∠a+∠c=180ù이므로 120ù+∠c=180ù
⑶ ADÓ와 직교하는 선분은 교각이 직각인 선분이므로 ABÓ
따라서 ∠a=120ù이다.
⑷ 점 D와 BCÓ 사이의 거리는 최단 거리 ABÓ이므로 4`cm
따라서 ∠c=60ù이다.
답⃞ ⑴ ADÓ, BCÓ ⑵ 점 B ⑶ ABÓ ⑷ 4`cm
시침은 1시간에 30ù씩 움직이므로 1분에 0.5ù씩 움직이고
분침은 1분에 6ù씩 움직인다.
yy ❶
② 점 A와 BCÓ 사이의 거리는 AHÓ의 길이와 같으므로
따라서 분침은 45_6ù=270ù,
6-1
4`cm이다.
답⃞ ②
시침은 4_30ù+45_0.5ù=142.5ù 움직였으므로
구하는 각의 크기는 270ù-142.5ù=127.5ù이다. yy ❸
단계
채점 기준
배점 비율
❶ 시침과 분침의 1분에 움직인 각의 크기를 안다.
❷ 시침과 분침의 각의 크기를 구한다.
❸ 구하는 각의 크기를 구한다.
yy ❷
40`%
40`%
20`%
모눈 한 눈금을 1로 보면 직선 l과 각 점 사이의 거리는 다
음과 같다.
A:`3, B:`2, C:`1, D:`5, E:`4
따라서 직선 l과 거리가 가장 먼 점은 점 D이다.
점 C와` ABÓ 사이의 거리는 BCÓ이므로
점 C와 `ADÓ 사이의 거리는 ABÓ와 같으므로
a=4이다.
b=3이다.
따라서 a+b=4+3=7이다.
단계
채점 기준
배점 비율
❶ a의 값을 구한다.
❷ b의 값을 구한다.
❸ a+b의 값을 구한다.
yy ❶
yy ❷
yy ❸
40`%
40`%
20`%
실력 다지기
PP.14~15
02 ④
07 60ù
01 ②
06 80ù
10 풀이 참조
04 35ù
03 6개
08 풀이 참조
05 30ù
09 ④
② 각의 꼭짓점은 점 O이다.
ㄱ. 두 각이 20ù와 30ù일 때에는 50ù로 예각이다.
ㄷ. 둔각이 100ù이고 예각이 40ù일 때에는
100ù-40ù=60ù로 예각이다.
ㅁ. 180ù-90ù=90ù이므로 직각이다.
ㅂ. 평각에서 둔각을 빼면 항상 예각이다.
따라서 항상 둔각인 것은 ㄴ, ㄹ이다.
01
02
03
∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠AOC, ∠BOD, ∠AOD
로 모두 6개이다.
4 | 정답 및 해설
1
2
3
4
03
위치 관계
⑴ 직선 l 위에 있는 점은 점 A, 점 B이다.
⑵ 직선 l 위에 있지 않은 점은 점 C이다.
1-1
④ 점 A는 직선 m 위에 있지 않다.
6
⑴ 모서리 BC와 점 B에서 만나는 모서리는 모서리 AB,
모서리 BF이고, 점 C에서 만나는 모서리는 모서리
P.16
⑵ 모서리 AB와 평행한 모서리는 모서리 CD, 모서리
CD, 모서리 CG이다.
EF, 모서리 GH이다.
답⃞ ⑴ 점 A, 점 B ⑵ 점 C
고 평행하지도 않은 모서리이므로 모서리 AB, 모서리
⑶ 모서리 EH와 꼬인 위치에 있는 모서리는 만나지도 않
CD, 모서리 BF, 모서리 CG이다.
답⃞ ⑴ 모서리 AB, 모서리 BF, 모서리 CD, 모서리 CG
답⃞ ④
⑵ 모서리 CD, 모서리 EF, 모서리 GH
⑶ 모서리 AB, 모서리 CD, 모서리 BF, 모서리 CG
⑴ 면 ABCD 위에 있는 꼭짓점은 평면에 포함되는 점이
므로 점 A, 점 B, 점 C, 점 D이다.
⑵ 면 BFGC 위에 있지 않은 꼭짓점은 평면에 포함되지
않는 점이므로 점 A, 점 D, 점 E, 점 H이다.
답⃞ ⑴ 점 A, 점 B, 점 C, 점 D ⑵ 점 A, 점 D, 점 E, 점 H
2-1
⑴ 평면 P 위에 있는 점은 점 A, 점 B, 점 D
⑵ 평면 P 위에 있지 않은 점은 점 C, 점 E
답⃞ ⑴ 점 A, 점 B, 점 D ⑵ 점 C, 점 E
⑴ ABÓ와 평행한 선분은 DCÓ 또는 CDÓ이다.
⑵ BCÓ와 평행한 선분은 ADÓ 또는 DÕAÓ이다.
답⃞ ⑴ DCÓ 또는 CDÓ ⑵ ADÓ 또는 DAÓ
⑴ 변 AB와 만나는 변은 변 AD, 변 BC이다.
⑵ 변 AD와 평행한 변은 변 BC이다.
답⃞ ⑴ 변 AD, 변 BC ⑵ 변 BC
4-1
정육각형의 각 변을 포함하는 직선
을 오른쪽 그림과 같이 그린다.
⑴ 직선 CD와 한 점에서 만나는
직선은 직선 AB, 직선 BC,
직선 DE, 직선 EF이다.
⑵ 직선 CD와 평행한 직선은 직선
AF이다.
B
E
C
D
답⃞ ⑴ 직선 AB, 직선 BC, 직선 DE, 직선 EF
⑵ 직선 AF
6-1
⑴ 모서리 AD와 점 A에서 만나는 모서리는 모서리 AB,
모서리 AC이고, 점 D에서 만나는 모서리는 모서리
DE, 모서리 DF이다.
⑵ 모서리 AD와 평행한 모서리는 모서리 BE, 모서리 CF
⑶ 모서리 AD와 꼬인 위치에 있는 모서리는 만나지도 않
고 평행하지도 않은 모서리이므로 모서리 BC, 모서리
이다.
EF이다.
답⃞ ⑴ 모서리 AB, 모서리 AC, 모서리 DE, 모서리 DF
P.17
⑵ 모서리 BE, 모서리 CF
⑶ 모서리 BC, 모서리 EF
6-2
모서리 AC와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 BE, 모
서리 DE이므로 2개이다.
답⃞ 2
P.19
7
⑴ 면 EFGH에 포함되는 모서리는 모서리 EF, 모서리
A
F
FG, 모서리 GH, 모서리 HE이다.
⑵ 면 EFGH와 평행한 모서리는 모서리 AB, 모서리
BC, 모서리 CD, 모서리 DA이다.
⑶ 면 EFGH와 수직인 모서리는 모서리 AE, 모서리
BF, 모서리 CG, 모서리 DH이다.
답⃞ ⑴ 모서리 EF, 모서리 FG, 모서리 GH, 모서리 HE
⑵ 모서리 AB, 모서리 BC, 모서리 CD, 모서리 DA
⑶ 모서리 AE, 모서리 BF, 모서리 CG, 모서리 DH
4-2
⑴ 직선 q와 만나는 직선은 한 점에서 만나는 직선을 찾으
7-1
⑴ 모서리 AB와 평행한 면은 만나지 않는 면이므로 면
면 되므로 직선 l, 직선 m, 직선 n이다.
DEF이다.
⑵ 서로 만나지 않는 직선은 평행한 직선이므로 p//q, l//n
⑵ 모서리 BE와 수직인 면은 면 ABC, 면 DEF이다.
답⃞ ⑴ 직선 l, 직선 m, 직선 n ⑵ p//q, l//n
답⃞ ⑴ 면 DEF ⑵ 면 ABC, 면 DEF
5
답⃞ ⑴ l // m ⑵ 꼬인 위치
P.18
③에서 모서리 BC와 모서리 DH는 꼬인 위치에 있다.
7-2
답⃞ ③
Ⅰ. 기본 도형과 작도 | 5
개념편 실력 다지기
02 ②
07 6
01 ④
06 ②
09 풀이 참조
13 풀이 참조
04 ⑤
03 ③
08 a=2, b=4
10 ⑤
14 ①, ③
11 수직 12 ①
PP.21~23
05 ①
④ 점 D는 세 직선 l, m, n 위에 있지 않다.
② 점 A는 평면 BCD 위에 있지 않다.
따라서 모서리 BC, CG와 동시에 꼬인 위치에 있는 모서
리는 모서리 VA, 모서리 VD, 모서리 EF이다. yy ❸
단계
❶
❷
❸
채점 기준
배점 비율
모서리 BC와 꼬인 위치에 있는 모서리를 구
한다.
모서리 CG와 꼬인 위치에 있는 모서리를 구
한다.
두 모서리 BC, CG와 동시에 꼬인 위치에 있
는 모서리를 구한다.
40`%
40`%
20`%
⑤ 직선과 평면이 꼬인 위치에 있는 경우는 없다. 꼬인 위
치는 공간에서 직선과 직선의 위치 관계이다.
③ ‘꼬인 위치에 있다.’는 공간에 있는 두 직선의 위치 관계
직선 l과 평면 P가 수직으로 만나고 있으므로 점 A를 지
나고 평면 P에 포함되는 모든 직선은 직선 l과 수직이다.
⑤ 직선 p와 직선 AB는 일치하므로 무수히 많은 점에서
① 모서리 AB와 면 BEFC는 한 점 B에서 만나지만 수직
은 아니다.
이다.
만난다.
l//m, m⊥n은 오른쪽 그림과
같으므로 l과 n은 서로 수직이다.
따라서 l⊥n이다.
l
m
n
면 ABCDE와 수직인 모서리는 모서리 AF, 모서리 BG,
모서리 CH, 모서리 DI, 모서리 EJ이므로 a=5이다.
면 ABCDE와 평행한 모서리는 모서리 FG, 모서리 GH,
모서리 HI, 모서리 IJ, 모서리 JF이므로 b=5이다.
10
11
12
13
단계
❶
❷
yy ❶
yy ❷
배점 비율
채점 기준
면 ABCDE와 수직인 모서리의 개수 a를 구
한다.
면 ABCDE와 평행한 모서리의 개수 b를 구
한다.
50`%
50`%
① ADÓ와 평행한 면의 개수는 면 EFGH와 면 BFGC로
14
2이다.
② 면 ABFE와 수직인 면의 개수는 면 ABCD,
면 EFGH로 2이다.
③ CGÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수는 ABÓ, ADÓ,
EFÓ, EHÓ로 4이다.
④ ADÓ와` FGÓ는 평행하다.
⑤ ABÓ와 수직인 면은 없다.
① 만나지 않는 두 직선은 꼬인 위치에 있거나 평행한 경우
이므로 한 평면 위에 있을 수도 있다.
③ 꼬인 위치에 있는 두 직선은 한 평면 위에 있지 않다.
④ 한 평면 위의 두 직선은 한 점에서 만나거나, 만나지 않
거나(평행), 일치한다.
⑤ 평행한 두 직선은 한 평면 위에 있다.
대각선 AG와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 BC, 모
서리 CD, 모서리 BF, 모서리 DH, 모서리 EF, 모서리
EH이므로 6개이다.
모서리 AB와 평행한 모서리는 모서리 DE, 모서리 GF이
므로 a=2이다.
모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 CF, 모
서리 DG, 모서리 EF, 모서리 CG이므로 b=4이다.
따라서 a=2, b=4이다.
모서리 BC와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 VA, 모
서리 VD, 모서리 AE, 모서리 DH, 모서리 EF, 모서리
01
02
03
04
05
06
07
08
09
GH이다.
yy ❶
04
평행선의 성질
모서리 CG와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 VA, 모
서리 VB, 모서리 VD, 모서리 AB, 모서리 AD, 모서리
EF, 모서리 EH이다.
yy ❷
1
답⃞ ⑴ 동위각 ⑵ 엇각
P.24
6 | 정답 및 해설
답⃞ ⑴ ∠h ⑵ ∠b ⑶ ∠h ⑷ ∠c
l//m이면 엇각의 크기가 서로
6-1
6
l//m이면 엇각의 크기가 서로 같으므로
∠x=45ù, ∠y=95ù이다.
답⃞ ∠x=45ù, ∠y=95ù
같으므로 오른쪽 그림에서
(4∠x+10ù)+(3∠x-40ù)
=180ù
7∠x=210ù
따라서 ∠x=30ù이다.
l
m
4x+10˘
4x+10˘
3x-40˘
1-1
⑴ ∠d의 동위각은 ∠h이다.
⑵ ∠f의 동위각은 ∠b이다.
⑶ ∠b의 엇각은 ∠h이다.
⑷ ∠e의 엇각은 ∠c이다.
2
⑴ ∠a의 동위각의 크기는 70ù이다.
⑵ ∠b의 엇각의 크기는 180ù-85ù=95ù이다.
답⃞ ⑴ 70ù ⑵ 95ù
2-1
⑴
x
⑥
⑵
y
③
x
⑨
y
⑩
7
오른쪽 그림과 같이 꺾인 점을 지
나면서 두 직선 l, m과 평행한 직
선 n을 그으면 엇각의 크기가 서로
같으므로 ∠x+37ù=60ù
답⃞ ⑴ ⑥, ⑨ ⑵ ③, ⑩
따라서 ∠x=23ù이다.
⑴ l//m이면 동위각의 크기가 서로 같으므로 ∠x=110ù
3
이다.
⑵ 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 ∠y=∠x=110ù이다.
7-1
오른쪽 그림과 같이 꺾인 점을 지
나면서 두 직선 l, m과 평행한 직
선 n을 그으면 엇각의 크기가 서
P.25
답⃞ ⑴ 110ù ⑵ 110ù
로 같으므로
3-1
4
두 직선이 평행하면 동위각의 크기가 서로 같으므로
∠x=70ù, ∠y=180ù-70ù=110ù이다.
답⃞ ∠x=70ù, ∠y=110ù
l//m이면 동위각의 크기가 서로 같으므로 ∠x=50ù이다.
∠y의 동위각은 40ù와 맞꼭지각이므로 ∠y=40ù이다.
답⃞ ∠x=50ù, ∠y=40ù
4-1
l//m이면 동위각의 크기가 서로 같으므로
2∠x+30ù=∠x+50ù
따라서 ∠x=20ù이다.
5
l//m이면 엇각의 크기가 서로 같으므로 ∠x=125ù이다.
직선 l에서 125ù+∠y=180ù이므로 ∠y=55ù이다.
답⃞ ∠x=125ù, ∠y=55ù
5-1
l//m이면 엇각의 크기가 서로 같으므로
∠x=74ù, ∠y=180ù-74ù=106ù이다.
답⃞ ∠x=74ù, ∠y=106ù
∠x+20ù+2∠x=95ù
3∠x=75ù
따라서 ∠x=25ù이다.
8
오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m
과 평행한 직선 p, q를 그으면 엇
각의 크기가 서로 같으므로
∠x=25ù+30ù=55ù
답⃞ 55ù
40˘
m
답⃞ 20ù
8-1
⑴ 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l,
m과 평행한 직선 p, q를 그으
면 엇각의 크기가 서로 같으므
로 ∠x+45ù=65ù
P.26
따라서 ∠x=20ù이다.
⑵ 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l,
m과 평행한 직선 p, q를 그으면
엇각의 크기가 서로 같다. 이때
(135ù-∠x)+60ù=180ù이
므로 195ù-∠x=180ù
따라서 ∠x=15ù이다.
답⃞ 30ù
P.27
답⃞ 23ù
x
60˘
x
37˘
37˘
x+20˘
x+20˘
95˘
2x
2x
답⃞ 25ù
25˘
x
25˘
30˘
70˘
30˘
40˘
35˘
80˘
35˘
45˘
45˘
x
65˘
x
x
x
135˘-x
60˘
20˘
20˘
l
n
m
l
n
m
l
p
q
l
p
q
m
l
p
q
m
답⃞ ⑴ 20ù ⑵ 15ù
Ⅰ. 기본 도형과 작도 | 7
개념편 03
04
9
두 직선이 평행하려면 동위각의 크기가 서로 같거나 (ㄱ),
의 크기가 각각 같으므로
엇각의 크기가 서로 같거나 (ㄴ), 동측내각의 크기의 합이
∠x=72ù,
180ù이면 된다. (ㄹ)
∠y+72ù=117ù
답⃞ ㄱ, ㄴ, ㄹ
따라서 ∠y=45ù이다.
l
m
x
117˘
y
72˘
72˘
P.28
두 직선이 평행하면 동위각과 엇각
9-1
오른쪽 그림에서 볼 수 있듯이 두
직선 l, m은 엇각의 크기가 서로
다르므로 평행하지 않다.
두 직선 l, n은 동위각의 크기가
서로 같으므로 평행하다.
즉, l//n이다.
l
m
n
65˘
115˘
70˘
65˘
115˘
두 직선 m, n은 동위각의 크기가 서로 다르므로 평행하지
않다.
l//m이면 엇각의 크기가 서로 같으므로
3∠x-20ù=2∠x+30ù
따라서 ∠x=50ù이다.
단계
채점 기준
배점 비율
❶ l//m일 때, 엇각의 크기가 서로 같음을 안다.
❷ 식을 세운다.
❸ ∠x의 크기를 구한다.
yy ❶
yy ❷
yy ❸
40`%
30`%
30`%
답⃞ l//n
05
오른쪽 그림에서 엇각의 크기는 서
로 같고, 평각의 크기를 이용하면
10
오른쪽 그림에서 접은 각의 크
20˘
기와 엇각의 크기가 서로 같으
므로 ∠x+20ù+20ù=180ù
따라서 ∠x=140ù이다.
20˘
x
20˘
답⃞ 140ù
삼각형의 내각의 크기의 합은
180ù이므로
30ù+∠x+85ù=180ù
∠x+115ù=180ù
따라서 ∠x=65ù이다.
30˘
x
x
85˘
95˘
l
m
10-1
오른쪽 그림에서 접은 각의 크
기와 동위각의 크기가 서로 같
으므로
30ù+∠x+∠x=180ù
2∠x=150ù
따라서 ∠x=75ù이다.
06
정삼각형의 한 내각의 크기는 60ù이고, l//m이면 엇각의
크기는 서로 같으므로
30˘
x x
30˘
2∠x+60ù=
∠x,
∠x=60ù
;2(;
;2%;
따라서 ∠x=24ù이다.
답⃞ 75ù
07
오른쪽 그림과 같이 두 직선 l,
m에 평행한 직선 n을 그으면 동
60˘
위각과 엇각의 크기는 각각 같으
므로 60ù+∠x=90ù
따라서 ∠x=30ù이다.
l
n
m
60˘
x
x
실력 다지기
PP.29~30
02 a=55, b=100
01 ③
03 ∠x=72ù, ∠y=45ù
06 ③
10 풀이 참조
07 30ù
08 ⑤
04 풀이 참조 05 65ù
09 a//d, b//c
01
02
③ ∠c의 크기는 맞꼭지각의 크기인 60ù이다.
오른쪽 그림에서 볼 수 있듯이
∠x의 동위각의 크기는 55ù이므로
a=55이다.
b=100이다.
∠y의 엇각의 크기는 100ù이므로
따라서 a=55, b=100이다.
x
100˘
80˘
y
55˘
125˘
8 | 정답 및 해설
08
오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m
에 평행한 두 직선 p, q를 그으면
엇각의 크기는 서로 같으므로
∠x=35ù+45ù=80ù
l
p
q
m
30˘
30˘
35˘
35˘
45˘
45˘
09
직선 a에서의 각 70ù와 직
선 d에서의 각
180ù-110ù=70ù가 동위
각으로 같으므로 a//d이
다. 또, 직선 b에서의 맞꼭
지각 80ù와 직선 c의 80ù가
동위각으로 같으므로 b//c이다.
a
b
c
d
70˘
80˘
80˘
80˘
70˘
110˘
B
165˘
15˘
15˘
15˘
x
A
맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로
90ù+∠x=152ù
따라서 ∠x=62ù이다.
10
오른쪽 그림에서 접은 각의
크기와 엇각의 크기가 서로
같음을 이용하면 yy ❶
∠x+15ù+15ù=180ù
yy ❷
따라서 ∠x=150ù이다.
단계
❶
채점 기준
접은 각의 크기와 엇각의 크기가 서로 같음을
안다.
❷ 식을 세운다.
❸ ∠x의 크기를 구한다.
yy ❸
배점 비율
40`%
30`%
30`%
05
06
07
08
09
10
11
12
13
③ 점 B에서 ADê 까지의 거리는 CDÓ의 길이와 같으므로
8`cm이다.
① 점 A는 BCê 위에 있지 않다.
ADÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 BFÓ, CGÓ, EFÓ, GHÓ,
ADÓ와 평행한 모서리는 BCÓ, FGÓ, EHÓ이므로 위치 관계가
다른 하나는 ② FGÓ이다.
① 한 평면에 수직인 서로 다른 두 직선은 평행하다.
② 한 평면에 평행한 서로 다른 두 직선은 한 점에서 만나
거나 평행하거나 꼬인 위치에 있다.
④ 두 직선이 한 평면에 포함되면 두 직선은 만나거나 만나
지 않는다.
⑤ 공간에서 한 직선에 수직인 서로 다른 두 직선은 한 점
에서 만나거나 평행하거나 꼬인 위치에 있다.
직선 AB를 포함한 면은 면 ABCD, 면 AEFB이고, 이
는 면 AEHD와 수직인 면이기도 하므로 주어진 조건을
만족하는 면은 2개이다.
면 AEFD와 수직인 면은 면 ABE, 면 CFD, 면 BCFE
이므로 a=3이다.
면 CFD와 평행한 면은 면 ABE이므로 b=1이다.
따라서 a+b=3+1=4이다.
∠x의 엇각의 크기는 180ù-70ù=110ù이다.
l//m이면 동위각과 엇각의 크기는 각각 같으므로
∠a=110ù, ∠b=65ù이다.
따라서 ∠a-∠b=110ù-65ù=45ù이다.
중단원 마무리
PP.22~25
02 ②
01 ④
03 ④
07 ①
06 ③
08 ②
11 ③
12 ⑤
13 ①
18 18
16 180ù 17 65ù
20 16`cm 21 ⑴ 5 ⑵ 2 ⑶ 2 22~26 풀이 참조
04 90ù
09 ③
14 45ù
19 ①, 10`cm
05 62ù
10 ②
15 ①
교점의 개수는 꼭짓점의 개수와 같으므로 a=5이다.
교선의 개수는 모서리의 개수와 같으므로 b=8이다.
따라서 b-a=8-5=3이다.
반직선은 시작하는 점과 뻗어나가는 방향이 같아야 같은
것이므로
② BA³+BC³
01
02
03
A
M
B N C
ABÓ=3x, BCÓ=2x라고 하면
AÕMÓ=BÕMÓ=
x, BNÓ=CNÓ=x이다.
;2#;
따라서
MòNÓ：BCÓ=(BÕMÓ+BNÓ)：BCÓ=
x+x
：2x
{;2#;
}
=
x：2x=5：4
;2%;
04
∠POC=
∠AOC, ∠COQ=
∠COB이고
;2!;
∠AOB=∠AOC+∠COB=180ù이므로
∠POQ=∠POC+∠COQ=
∠AOC+
∠COB
;2!;
;2!;
=
(∠AOC+∠COB)=
∠AOB
;2!;
=
_180ù=90ù
;2!;
;2!;
;2!;
14
∠ABC=180ù-85ù=95ù
또한 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로
삼각형 ABC에서 40ù+∠C+95ù=180ù
이때 ACÓ//DEÓ이면 엇각의 크기는 서로 같으므로
∠C=45ù이다.
∠x=∠C=45ù이다.
Ⅰ. 기본 도형과 작도 | 9
개념편 △ABC에서 ∠A+∠C=40ù+∠x=85ù이므로
⑶ 면 ABFE와 평행한 모서리는 모서리 DH, 모서리 CG
25
A
B
E
50˘
x
50˘
F
50˘
G
D
C
2. 작도와 합동
01
삼각형의 작도
다른 풀이
ACÓ//DEÓ이므로 ∠C=∠x이다.
∠x=45ù이다.
15
오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m
에 평행한 직선 n을 그으면 엇각의
크기는 서로 같으므로
∠x+(∠x+10ù)=76ù
2∠x=66ù
따라서 ∠x=33ù이다.
x
x
x+10˘
x+10˘
16
오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m
에 평행한 직선 p, q를 그으면 동
위각의 크기는 서로 같으므로
∠a+∠b+∠c+∠d
=180ù
a
b
d
c
a+b
q
a
d
l
n
m
l
p
m
17
오른쪽 그림에서 접은 각의 크
기와 엇각의 크기가 서로 같음
을 이용하면 삼각형의 세 내각
의 크기의 합은 180ù이므로
∠x+∠x+50ù=180ù
2∠x=130ù
따라서 ∠x=65ù이다.
A
50˘
x x
x
B
18
19
점 C와 ADÓ 사이의 거리는 DEÓ이므로 a=8이다.
점 A와 CDÓ 사이의 거리는 CFÓ이므로 b=10이다.
따라서 a+b=18이다.
두 점 A, B 사이의 거리는 ABÓ이므로 ①이다.
이때 태극의 지름은 태극기의 세로의 길이의
이므로
;2!;
ABÓ=20_
=10`(cm)
;2!;
20
EBÓ=
ABÓ=
_6=3`(cm)
;2!;
CFÓ=
CGÓ=
;2!;{;2!;
CDÓ
=
CDÓ
}
;4!;
=
_12=3`(cm)
;2!;
;2!;
;4!;
이므로 두 점 E, F 사이의 거리는
EFÓ=EBÓ+BCÓ+CFÓ=3+10+3=16`(cm)
⑵ 모서리 BF와 수직인 면은 면 ABCD, 면 EFGH이므
로 2개이다.
이므로 2개이다.
22
⑴ 모서리 BE와 평행한 모서리는 모서리 AD, 모서리 CF
이므로 2개이다.
yy ❶
⑵ 모서리 BC와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AD,
모서리 DE, 모서리 DF이므로 3개이다.
yy ❷
⑶ 모서리 AD와 수직으로 만나는 면은 면 ABC,
면 DEF이므로 2개이다.
yy ❸
⑷ 면 ABC와 수직으로 만나는 면은 면 ABED,
면 BCFE, 면 ACFD이므로 3개이다.
yy ❹
단계
채점 기준
배점 비율
⑴ 모서리를 BE와 평행한 모서리의 개수를
❶
❷
❸
❹
구한다.
개수를 구한다.
를 구한다.
구한다.
⑵ 모서리 BC와 꼬인 위치에 있는 모서리의
⑶ 모서리 AD와 수직으로 만나는 면의 개수
⑷ 면 ABC와 수직으로 만나는 면의 개수를
20`%
20`%
30`%
30`%
23
⑴ 모서리 AB와 점 A에서 만나는 모서리는 모서리 AD,
모서리 AC이고 점 B에서 만나는 모서리는 모서리
BC, 모서리 BD이므로 4개이다.
yy ❶
⑵ 모서리 AC와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 BD
⑶ 모서리 BD와 수직으로 만나는 면은 면 ADC이므로 1
이므로 1개이다.
개이다.
단계
❶
❷
❸
채점 기준
⑴ 모서리 AB와 한 점에서 만나는 모서리의
⑵ 모서리 AC와 꼬인 위치에 있는 모서리의
개수를 구한다.
개수를 구한다.
를 구한다.
⑶ 모서리 BD와 수직으로 만나는 면의 개수
24
오른쪽 그림과 같이 두 점 C, D를 지
A
B
나고 ABê, EFê에 평행한 두 직선을
그으면
yy ❶
동측내각의 크기의 합은 180ù이므로
(∠x-45ù)+(∠y-30ù)=180ù
E
yy ❷
따라서 ∠x+∠y=255ù이다.
단계
채점 기준
yy ❷
yy ❸
배점 비율
30`%
40`%
30`%
45˘
C
D
45˘
x-45˘
y-30˘
30˘
30˘
F
yy ❸
배점 비율
30`%
40`%
30`%
21
⑴ 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 FG,
❶ ABê, EFê에 평행한 직선을 긋는다.
모서리 GH, 모서리 EH, 모서리 DH, 모서리 CG
❷ 식을 세운다.
❸ ∠x+∠y의 크기를 구한다.
이므로 5개이다.
10 | 정답 및 해설
⑴ ∠FEG는 50ù를 접은 각이므로
∠FEG=50ù이다.
⑵ ∠EFG는 ∠AEF의 엇각이므로
∠EFG=50ù이다.
⑶ 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로
∠FEG+∠EFG+∠x=180ù
50ù+50ù+∠x=180ù
100ù+∠x=180ù
따라서 ∠x=80ù이다.
yy ❶
yy ❷
yy ❸
배점 비율
단계
❶
❷
❸
채점 기준
⑴ 접은 각의 크기는 서로 같음을 이용하여
∠FEG의 크기를 구한다.
⑵ 엇각의 크기는 서로 같음을 이용하여
∠EFG의 크기를 구한다.
⑶ 삼각형의 세 내각의 크기의 합을 이용하여
∠x의 크기를 구한다.
40`%
40`%
20`%
26
⑴ ∠DEF는 75ù를 접은 각
A
이므로
E
75˘
75˘
∠DEF=75ù yy ❶
D'
⑵ ∠EFG는 ∠DEF의 엇
각이므로
∠EFG=75ù yy ❷
⑶ ∠ED'G=∠EDC이므로
∠ED'G=90ù
x
75˘
GB
F
C'
D
C
yy ❸
⑷ 사각형의 네 각의 크기의 합은 360ù이므로
사각형 ED'GF에서
75ù+∠ED'G+∠x+∠EFG=360ù
75ù+90ù+∠x+75ù=360ù
∠x+240ù=360ù
따라서 ∠x=120ù이다.
단계
채점 기준
배점 비율
❶
❷
❸
❹
⑴ 접은 각의 크기는 서로 같음을 이용하여
∠DEF의 크기를 구한다.
⑵ 엇각의 크기는 서로 같음을 이용하여
∠EFG의 크기를 구한다.
⑶ 직사각형 한 각의 크기가 90ù임을 이용하
여 ∠ED'G의 크기를 구한다.
⑷ 사각형의 네 각의 크기의 합을 이용하여
∠x의 크기를 구한다.
30`%
30`%
20`%
20`%
1
1-1
2
3
작도할 때에는 눈금 없는 자와 컴퍼스를 사용한다.
P.35
답⃞ ㄴ, ㄹ
⑶ 작도할 때는 각도기를 사용하지 않는다. 따라서 크기가
같은 각을 작도할 때에도 각도기를 사용하지 않고 눈금
없는 자와 컴퍼스만을 사용한다.
⑷ 선분의 길이를 비교할 때에는 컴퍼스를 사용한다.
답⃞ ⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ × ⑸ ◯ ⑹ ◯
❶ 눈금 없는 자 를 사용하여 직선 l을 긋고, 직선 l 위에
한 점 C를 잡는다.
❷ 컴퍼스를 사용하여 ABÓ의 길이 를 잰다.
❸ 점 C를 중심으로 하고 반지름의 길이가 ABÓ 인 원을
그려 직선 l과의 교점을 D라고 하면 ABÓ= CDÓ 이다.
답⃞ 눈금 없는 자, 길이, ABÓ, CDÓ
P.36
❶ 점 O를 중심으로 적당한 원 을 그려 OA³, OB³와의
교점을 각각 C, D라고 한다.
❷ 점 P를 중심으로 하고 반지름의 길이가 OCÓ인 원을 그
려 PQ³와의 교점을 X 라고 한다.
❸ 점 X를 중심으로 하고 반지름의 길이가 CDÓ 인 원을
그려 ❷에서 그린 원과의 교점을 Y라고 한다.
❹ 점 P와 점 Y를 잇는 PY³를 그으면 ∠YPX 는
∠AOB와 크기가 같다.
답⃞ 원, X, CDÓ, ∠YPX
라고 한다.
❺ 점 O를 중심으로 하는 원을 그려 직선 OP, 직선 l과
만나는 점을 각각 A, B라고 한다.
❷ 점 P를 중심으로 하고 반지름의 길이가 ❺와 같은 원
을 그려 직선 OP와 만나는 점을 C라고 한다.
❻ 점 A를 중심으로 하고 ABÓ를 반지름으로 하는 원을
❸ 점 C를 중심으로 하고 반지름의 길이가 ABÓ의 길이
와 같은 원을 그려 ❷에서 그린 원과 만나는 점을 D
그린다.
라고 한다.
❹ 두 점 P, D를 잇는 직선이 직선 l과 평행한 직선이다.
답⃞ ⑴ ❶, ❺, ❷, ❻, ❸, ❹ ⑵ ∠CPD ⑶ 동위각
Ⅰ. 기본 도형과 작도 | 11
yy ❹
⑴ ❶ 점 P를 지나는 직선을 그어 직선 l과 만나는 점을 O
4
개념편 5
⑴ 삼각형에서 한 각과 마주 보고 있는 변을 대변 , 한 변
❷ 점 B를 중심으로 반지름의 길이가 a 인 원을 그려
과 마주 보고 있는 각을 대각 이라고 한다.
BY³와의 교점을 C라고 한다.
P.37
❶ ∠B 와 같은 크기의 ∠XBY를 작도한다.
8
⑴ 한 변의 길이와 그 양 끝 각이 주어지므로 삼각형이 하
∠B=180ù-(90ù+30ù)=60ù
P.40
⑵ 변 AC의 대각은 ∠B이므로
11
나로 정해진다.
⑵ ∠B의 대변은 ACÓ 이다.
⑶ ABÓ의 대각은 ∠C 이다.
❸ 점 B를 중심으로 반지름의 길이가 c 인 원을 그려
BX³와의 교점을 A라고 한다.
⑵ 세 각의 크기만 주어지면 삼각형이 하나로 정해지지 않
세 변의 길이가 0보다 크므로
는다.
a>0, a-2>0, a+4>0
답⃞ ⑴ 대변, 대각 ⑵ ACÓ ⑶ ∠C
❹ 두 점 A, C를 이으면 두 변의 길이가 a, c이고 그 끼인
⑶ ∠B가 주어진 두 선분의 끼인각이 아니므로 삼각형이
즉, a>2이다. yy ㉠
yy ❶
각의 크기가 ∠B인 삼각형 ABC가 그려진다.
하나로 정해지지 않는다.
두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크므로
5-1
① ∠D의 대변은 EFÓ이다.
② ∠E의 대변은 DFÓ이다.
③ ∠F의 대변은 DEÓ이다.
따라서 ①과 ㉡, ②와 ㉢, ③과 ㉠이다.
답⃞ ①과 ㉡, ②와 ㉢, ③과 ㉠
6
세 변의 길이가 주어질 때, 삼각형을 작도할 수 있는 조건
은 (가장 긴 변의 길이)<(나머지 두 변의 길이의 합)이다.
⑴ 4<2+3=5: 작도 가능
⑵ 4=3+1: 작도 불가능
⑶ 9=4+5: 작도 불가능
⑷ 6<5+2=7: 작도 가능
⑸ 10<6+8=14: 작도 가능
답⃞ ∠B, a, c
P.39
다음 세 가지 경우에 삼각형의 모양과 크기가 하나로 정해
9
진다.
•세 변의 길이가 주어질 때
•두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어질 때
•한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어질 때
답⃞ ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ × ⑷ ◯
9-1
② ∠C는 끼인각이 아니므로 △ABC가 하나로 정해지지
④ 세 각의 크기만 주어지면 △ABC가 하나로 정해지지
않는다.
않는다.
답⃞ ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ × ⑷ ◯ ⑸ ◯
⑤ ABÓ+CAÓ=BCÓ이므로 △ABC를 작도할 수 없다.
답⃞ ①, ③
6-1
세 변의 길이가 주어질 때, 삼각형을 작도할 수 있는 조건
은 (가장 긴 변의 길이)<(나머지 두 변의 길이의 합)이다.
ㄱ. 1+2=3: 작도 불가능
ㄴ. 3+4>5: 작도 가능
ㄷ. 4+4<10: 작도 불가능
ㄹ. 7+4=11: 작도 불가능
ㅁ. 5+5>7: 작도 가능
ㅂ. 5+6<12: 작도 불가능
7
❶ 컴퍼스를 사용하여 점 B를 지나는 직선 l 위에 길이가
a 가 되도록 점 C를 잡는다.
❷ 점 B를 중심으로 반지름의 길이가 c 인 원을 그린
다.
❸ 점 C를 중심으로 반지름의 길이가 b 인 원을 그려 ❷
에서 그린 원과의 교점을 A라고 한다.
10
ㄱ. 세 변의 길이가 주어지면 삼각형이 하나로 정해진다.
ㄴ. ∠B, ∠C에 의해 ∠A가 결정되므로 한 변의 길이 b와
그 양 끝 각 ∠A와 ∠C가 주어진 것이다. 따라서 삼각
ㄷ. ∠C는 a와 c의 끼인각이 아니므로 삼각형이 하나로 정
형이 하나로 정해진다.
해지지 않는다.
ㄹ. 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어진 경우이므
로 삼각형이 하나로 정해진다.
ㅁ. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 경우이므로
삼각형이 하나로 정해진다.
ㅂ. 세 각의 크기만 주어지면 삼각형이 하나로 정해지지 않
따라서 삼각형이 하나로 정해지기 위한 조건인 것은 ㄱ,
ㄴ, ㄹ, ㅁ이다.
답⃞ ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅁ
답⃞ ㄴ, ㅁ
P.38
는다.
❹ 두 점 A와 B, 두 점 A, C를 각각 이으면 세 변의 길이
아니므로 삼각형이 하나로 정해지지 않는다.
가 a, b, c인 삼각형 ABC가 그려진다.
⑤ ABÓ+ACÓ=BCÓ이므로 삼각형을 작도할 수 없다.
답⃞ a, c, b
답⃞ ①, ③
10-1
②, ④ ∠A, ∠C는 주어진 두 변인 ABÓ, BCÓ의 끼인각이
05
06
07
08
09
10
11
12
⑷ ABÓ+CAÓ>BCÓ이므로 삼각형이 하나로 정해진다.
(a-2)+a>a+4
답⃞ ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ × ⑷ ◯
즉, a>6이다. yy ㉡
㉠, ㉡에서 a>6이다.
11-1
② ∠C는 주어진 두 변인 ABÓ, BCÓ의 끼인각이 아니므로
삼각형이 하나로 정해지지 않는다.
③ ACÓ=3이면 ABÓ+ACÓ=BCÓ이므로 삼각형을 작도할
수 없다.
채점 기준
배점 비율
단계
❶
❷
세 변의 길이가 0보다 크다라는 조건으로 a의
값의 범위를 구한다.
삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계를 이용하
여 a의 값의 범위를 구한다.
답⃞ ②, ③
❸ a의 값의 범위를 구한다.
yy ❷
yy ❸
40`%
40`%
20`%
ABÓ, ∠B, BCÓ의 순서로 옮기고 두 점 A와 C를 잇는다.
실력 다지기
PP.41~43
두 변과 그 끼인각을 작도한 후에 맨 마지막에 두 점을 연
결하면 되므로 맨 마지막에 작도해야 하는 것은 CAÓ를 긋
01 ②, ⑤ 02 눈금 없는 자, 컴퍼스, C, 2 03 ①
05 ⑴ 5`cm ⑵ 60ù
04 풀이 참조
07 ③
06 풀이 참조
10 ①, ⑤ 11 ②, ⑤ 12 ④
08 ③
09 ①, ③
①, ③ △ABC가 하나로 정해지기 위해서는 ∠B의 크기,
ABÓ의 길이 또는 ∠C의 크기, CAÓ의 길이가 주어져야 한
선분을 연장할 때(②)나 선분을 그릴 때(⑤)는 눈금 없는 자
를 사용한다.
한 각이 주어질 때, △ABC가 하나로 정해지는 경우는 다
는 것이다.
다.
음과 같다.
01
02
03
04
❶ 선분 AB에 눈금 없는 자 를 대고 점 B의 방향으로
선분을 연장한다.
❷ 컴퍼스 를 이용하여 점 B를 중심으로 하고 ABÓ의 길
이를 반지름으로 하는 원을 그려 ABÓ를 연장한 직선과
만나는 점을 점 C 라고 한다.
따라서 ABÓ=BCÓ이므로 ACÓ는 ABÓ의 2 배가 되는 선분
이다.
① OAÓ와 ABÓ가 같은지는 알 수 없다.
이가 a인 선분 BC를 잡는다.
❷ 두 점 B와 C를 중심으로 반
a
❸
❸
a
지름의 길이가 a인 원을 각각
그려 두 원의 교점을 A라고
한다.
B
❶
a
l
C
❸ 두 점 A와 B, 두 점 A와 C를 각각 이으면 한 변의 길
이가 a인 정삼각형 ABC가 된다.
나노(개)-2-2-20
❶ 직선 l을 그리고, 그 위에 길
❷
A ❷
는다.
① ∠B를 끼인각으로 하는 ABÓ, BCÓ의 길이가 주어질 때
⑤ ∠B가 양 끝 각 중에서 하나가 되도록 BCÓ의 길이와 한
끝 각인 ∠C의 크기가 주어질 때
② 두 변의 길이와 끼인각이 아닌 한 각의 크기가 주어진
경우 △ABC는 하나로 정해지지 않는다.
⑤ 세 각의 크기만 주어지는 경우 △ABC는 하나로 정해
지지 않는다.
④ 세 각의 크기가 주어지면 삼각형은 하나로 정해지지 않
12 | 정답 및 해설
Ⅰ. 기본 도형과 작도 | 13
개념편 02
삼각형의 합동
3-1
△ABC와 △NMO에서
ABÓ=NÕMÓ, BCÓ=MOÓ, CAÓ=ONÓ이다.
따라서 △ABC와 △NMO는 세 대응변의 길이가 각각 같
단계
채점 기준
❶ ∠C와 ∠F가 각각 끼인각이 됨을 안다.
❷ 필요한 조건을 구한다.
배점 비율
50`%
50`%
08
x+6이 가장 긴 변이므로
x+6<(x-1)+(x+2), 즉 x>5이다.
따라서 x의 값이 될 수 있는 것은 ⑤ 6이다.
1
⑴ 한 변의 길이가 같은 두 마름모는 모든 변의 길이가 같
△DEF와 △RQP에서
P.44
으므로 △ABC≡△NMO이다.
지만 합동은 아니다.
⑵ 둘레의 길이가 같은 두 원은 반지름의 길이가 같으므로
둘레의 길이가 같은 두 원은 합동이다.
DEÓ=RQÓ, DFÓ=RPÓ, ∠D=∠R이다.
따라서 △DEF와 △RQP는 두 대응변의 길이가 각각 같
고 그 끼인각의 크기가 같으므로 △DEF≡△RQP이다.
⑶ 넓이가 같은 두 정사각형은 한 변의 길이가 같으므로 넓
△GHI와 △LKJ에서 GHÓ=LKÓ, ∠G=∠L,
이가 같은 두 정사각형은 합동이다.
⑷ 둘레의 길이가 같은 두 삼각형은 각 변의 길이가 다를
∠IHG=180ù-(60ù+80ù)=40ù이므로 ∠H=∠K이다.
따라서 △GHI와 △LKJ는 한 대응변의 길이가 같고 그
수 있므로 둘레의 길이가 같은 두 삼각형은 합동이 아니
양 끝 각의 크기가 각각 같으므로 △GHI≡△LKJ이다.
답⃞ 풀이 참조
답⃞ ④
실력 다지기
PP.46~47
01 ③
02 ③
04 ③, ④ 05 ①
08 ②
03 ∠E=100ù, CDÓ=8`cm
06 ④
07 풀이 참조
③ 합동인 두 도형은 모양과 크기가 모두 같다.
③ ACÓ와 대응하는 변은 DFÓ이다.
두 사각형 ABCD와 EFGH가 합동이므로
∠E=∠A=100ù, CDÓ=GHÓ=8`cm
△ABCª△DEF이기 위해서는 끼인각의 크기가 주어지
거나 (③) (한 변의 길이)<(나머지 두 변의 길이의 합)을
만족하는 다른 한 변의 길이가 주어지면 된다. (④)
P.45
삼각형에서 나머지 한 각의 크기가
180ù-(80ù+40ù)=60ù이므로 주어진 그림의 삼각형과
합동이다. (ASA 합동)
다.
답⃞ ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ ×
1-1
④ 가로의 길이와 세로의 길이가 각각 3`cm, 4`cm인 직사
각형과 2`cm, 6`cm인 직사각형은 넓이가 같지만 두 직
사각형은 합동이 아니다.
2
⑴ 두 사각형 ABCD와 EFGH는 합동이므로 EFÓ에 대응
하는 변은 ABÓ이다.
⑵ 두 사각형 ABCD와 EFGH는 합동이므로 BCÓ=FGÓ
이다. 즉, x=9이다.
또한 CDÓ=GHÓ이므로 y=6이다.
⑶ 두 사각형 ABCD와 EFGH는 합동이므로
∠D=∠H=100ù, ∠E=∠A=87ù이다.
답⃞ ⑴ ABÓ ⑵ x=9, y=6 ⑶ ∠D=100ù, ∠E=87ù
2-1
△ABCª△PQR이므로 대응하는 변의 길이와 대응하는
각의 크기는 각각 같다.
⑶ ∠a=∠A=50ù
⑷ ABÓ=PQÓ=6`cm이므로 x=6
답⃞ ⑴ 변 PQ ⑵ ∠ABC ⑶ 50ù ⑷ 6
3
⑴ ABÓ= DEÓ , BCÓ= EFÓ , ACÓ =DFÓ
즉, △ABCª△DEF이다.
⑵ ABÓ= DEÓ , ∠B= ∠E , BCÓ =EFÓ
즉, △ABCª △DEF 이다.
⑶ ∠E=180ù-(100ù+50ù)=30ù이므로
∠B= ∠E , BCÓ= EFÓ , ∠C =∠F
즉, △ABC ª△DEF이다.
답⃞ ⑴ DEÓ, EFÓ, ACÓ, ª
14 | 정답 및 해설
01
02
03
04
05
06
07
08
② △OABª△OCD (SAS 합동)이므로 대응하는 각의
4+6>8, 4+8>10, 6+8>10이므로 삼각형을 만들 수
크기가 같아 ∠A=∠C를 만족한다.
있는 선분은 4`cm, 6`cm, 8`cm 또는 4`cm, 8`cm,
중단원 마무리
PP.48~51
02 ②
05 ①
10 ③
13 ②
18 ASA 합동
01 ③
04 ④
09 ③
12 ③
17 4쌍
21~24 풀이 참조
03 ABÓ, C, BCÓ, 정삼각형
07 56
06 ④
08 ⑤
11 ABÓ 또는 ∠C 또는 ∠B
15 ①
14 ③
19 ②
16 ②, ④
20 ②
③ 선분의 길이를 재어 옮길 때 컴퍼스를 사용한다.
❶ 컴퍼스를 사용하여 ABÓ 의 길이를 잰다.
❷ 점 B를 중심으로 반지름의 길이가 ABÓ인 원을 그려 직
선 l과 만나는 A가 아닌 점을 C라고 하면 ABÓ= BCÓ
이다.
03
❶ 두 점 A, B를 중심으로 하고 반
❶
C ❶
지름의 길이가 ABÓ 인 원을 그려
두 원의 교점을 C `라고 한다.
❷ ❷
❷ 두 점 A, C와 두 점 B, C를 각각
이으면 ABÓ=ACÓ= BCÓ 이므로
△ABC는 정삼각형 이다.
A
B
나노(개)-2-2-15
④ 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다를 이용하여
13
직선 l과 평행한 직선을 작도한 것이다.
01
02
04
05
06
07
09
10
14
15
10`cm 또는 6`cm, 8`cm, 10`cm이다.
따라서 삼각형을 3개 만들 수 있다.
❶ ∠B와 크기가 같은 ∠XBY 를 작도한다.
❷ 점 B를 중심으로 반지름의 길이가
BX³와 만나는 점을 A라고 한다.
c 인 원을 그려
❸ 점 B를 중심으로 반지름의 길이가 a인 원을 그려
BY³ 와 만나는 점을 C라고 한다.
❹ 점 A와 점 C를 이으면 △ABC가 된다.
11
한 변의 길이와 한 각의 크기가 주어졌
A
을 때 △ABC가 하나로 정해지려면 주
어진 각을 끼인각으로 하는 다른 한 변
의 길이인 ABÓ가 주어지거나, 양 끝 각
중의 하나인 ∠C의 크기가 주어지면
B
C
된다. 또한 ∠B의 크기를 알면 ∠C의 크기를 알 수 있으므
로 ∠B의 크기가 주어지면 된다.
12
① ABÓ+BCÓ<CAÓ이므로 △ABC를 작도할 수 없다.
② ∠A가 ABÓ, BCÓ의 끼인각이 아니므로 △ABC가 하나
로 정해지지 않는다.
③ ∠C=180ù-(55ù+60ù)=65ù이고 한 변의 길이와
그 양 끝 각의 크기가 주어졌으므로 △ABC가 하나로
④ ∠B+∠C=180ù이므로 △ABC를 작도할 수 없다.
⑤ 세 각의 크기만 주어지면 △ABC가 하나로 정해지지
정해진다.
않는다.
오른쪽 그림과 같이 △ABC는 2개
C
만들 수 있다.
5 cm
C
45˘
5 cm
A
6 cm
B
③ 직각을 낀 두 변이 3`cm인 직각이등변삼각형과 직각을
낀 두 변이 5`cm인 직각이등변삼각형은 합동이 아니다.
두 사각형 ABCD와 EFGH가 서로 합동이므로
BCÓ=FGÓ=8`cm, ∠G=∠C=60ù
Ⅰ. 기본 도형과 작도 | 15
삼각형의 합동 조건은 SSS 합동, SAS 합동, ASA 합동
① PRÓ와 QRÓ가 항상 같은 것은 아니다.
④에서 ∠B=∠E가 아닌 끼인각인 ∠C=∠F가 주어져
④ ∠A의 대변의 길이는 a이다.
이다.
야 합동이 될 수 있다.
⑵ DEÓ, ∠E, BCÓ, △DEF
야 한다.
⑶ ∠E, EFÓ, ∠C, △ABC
따라서 BCÓ=EFÓ가 필요하다.
yy ❶
yy ❷
SAS 합동이기 위해서 ∠C와 ∠F가 각각 끼인각이 되어
∠A의 대변은 BCÓ이므로 x=6이다.
ABÓ의 대각은 ∠C=180ù-(70ù+60ù)=50ù이므로
y=50이다.
따라서 x+y=6+50=56이다.
개념편 ㄱ, ㅁ에서 한 대응변의 길이가 같고 그 양 끝 각의 크기가
같으므로 합동이다. (ASA 합동)
ㄴ, ㄹ에서 두 대응변의 길이가 같고 그 끼인각의 크기가
같으므로 합동이다. (SAS 합동)
단계
채점 기준
❶ 삼각형이 되는 조건을 구한다.
❷ 순서쌍 (a, b)를 모두 구한다.
23
⑴ △ABC와 △DBE에서
ABÓ=AEÓ+EBÓ=DCÓ+CBÓ=DBÓ
∠B는 공통
BCÓ=BEÓ
㉠, ㉡, ㉢에 의하여
△ABCª△DBE`(SAS 합동)이다.
yy ❶
⑵ ∠ACB=∠DEB=180ù-(42ù+17ù)=121ù
따라서 ∠x=180ù-∠ACB=180ù-121ù=59ù
단계
채점 기준
❶ ⑴ △ABCª△DBE임을 설명한다.
❷ ⑵ ∠x의 크기를 구한다.
24
⑴ △ABD와 △ACD에서 ABÓ=ACÓ
yy ㉠
∠BAD=∠CAD`(ADÓ는 ∠A의 이등분선) yy ㉡
ADÓ는 공통
㉠, ㉡, ㉢에 의하여
△ABDª△ACD
⑵ ⑴에서 대응하는 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 각
각 같으므로 SAS 합동이다.
배점 비율
40`%
60`%
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
yy ❷
배점 비율
60`%
40`%
yy ㉢
yy ❶
yy ❷
따라서 BDÓ=
BCÓ=
_6=3`(cm)이다. yy ❸
;2!;
;2!;
⑷ △ABDª△ACD이고 합동인 두 삼각형의 대응하는
각의 크기는 서로 같다.
그런데 ∠ADB+∠ADC=180ù이고
∠ADB=∠ADC이므로 ∠ADC=90ù이다. yy ❹
단계
❶
채점 기준
배점 비율
⑴ △ABD와 합동인 삼각형을 찾아 기호로
나타낸다.
❷ ⑵ 사용된 합동 조건을 말한다.
❸ ⑶ BDÓ의 길이를 구한다.
❹ ⑷ ∠ADC의 크기를 구한다.
40`%
20`%
20`%
20`%
16
17
18
20
21
합동인 삼각형은 △AOBª△COD, △AODª△COB,
△ABCª△CDA, △ABDª△CDB로 4쌍이다.
△AOB와 △COD에서
OAÓ=OCÓ
∠AOB=∠COD (맞꼭지각)
두 직선 l, m이 평행하므로
∠OAB=∠OCD (엇각)
㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △AOBª△COD이다.
이때 삼각형의 합동 조건은 ASA 합동이다.
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
19
∠BAH=∠BAD+∠DAH=90ù+60ù=150ù
∠EAH=360ù-60ù-90ù-60ù=150ù이므로
△ABH와 합동인 삼각형은
△DCH, △DAG, △CBG, △CDF, △BAF, △BCE,
△ADE, △AEH, △BEF, △CFG, △DGH로 11개이
다.
⑤ ∠ABD=∠CDB, 즉 엇각의 크기가 같으므로
ABÓ//CDÓ이다.
⑴ 작도 순서는 ❷ ⇨ ❺ ⇨ ❶ ⇨ ❹ ⇨ ❸이다. yy ❶
⑵ 점 O와 점 P에서 반지름의 길이가 같은 원을 그렸으므
로 OAÓ=OBÓ=PCÓ=PDÓ이다.
yy ❷
⑶ 점 B와 점 D에서 반지름의 길이가 같은 원을 그렸으므
로 ABÓ=CDÓ이다.
yy ❸
⑷ ∠XOY와 크기가 같은 각은 ∠CPD이다. yy ❹
단계
채점 기준
배점 비율
❶ ⑴ 작도 순서를 나열한다.
❷ ⑵ OAÓ와 길이가 같은 선분을 모두 구한다.
❸ ⑶ ABÓ와 길이가 같은 선분을 구한다.
❹ ⑷ ∠XOY와 크기가 같은 각을 구한다.
40`%
20`%
20`%
20`%
22
가장 긴 변의 길이가 7이므로 7<a+b이다. yy ❶
따라서 a<b<7이므로 이를 만족하는 순서쌍 (a, b)는
(2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)이다.
yy ❷
16 | 정답 및 해설
② △ABDª△CDB (SSS 합동)이므로
⑶ 합동인 두 삼각형의 대응하는 변의 길이는 서로 같으므
∠ABD=∠CDB이다.
로 BDÓ=CDÓ이다.
Ⅱ
1. 평면도형의 성질
평면도형과 입체도형
01
다각형
1
다각형은 3개 이상의 선분으로 둘러싸인 평면도형이므로
보기 중 다각형인 것은 ㄴ. 정오각형, ㅁ. 직사각형, ㅇ. 구
각형이다.
P.54
답⃞ ㄴ, ㅁ, ㅇ
1-1
다각형에서 내부에 만들어진 각을 다각형의 내각 , 각 꼭
짓점에서 한 변의 연장선과 이웃하는 다른 변이 이루는 각
을 그 꼭짓점에서의 외각 이라고 한다. 이때 한 꼭짓점에
서 이 두 각의 크기의 합은 180ù 이다.
정삼각형의 개수는 9+3+1=13, 정육각형의 개수는 1이
므로 구하는 정다각형의 개수는 13+1=14이다.
4-1
조건 (가)는 오각형, 조건 (나)는 정다각형에 대한 설명이
므로 두 조건을 모두 만족하는 다각형은 정오각형이다.
답⃞ 14
답⃞ 정오각형
P.56
5
n각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는
n-3 이고 이를 모두 합하면 n(n-3) 이다. 이때 각각
의 대각선은 양 끝 점에서 중복되어 세어지므로 실제 대각
선의 개수는 n(n-3) 을 2 로 나눈
답⃞ n-3, n(n-3), n(n-3), 2,
n(n-3)
2
이다.
n(n-3)
2
한 꼭짓점에서 내각과 외각의 크기의 합은 180ù이다.
답⃞ 내각, 외각, 180ù
5-1
⑴ 10-3=7
⑵
10_(10-3)
2
=35
답⃞ ⑴ 7 ⑵ 35
⑴ 180ù-84ù=96ù
⑵ 180ù-105ù=75ù
2-1
180ù-120ù=60ù
답⃞ ⑴ 96ù ⑵ 75ù
6
구하는 다각형을 n각형이라고 하면
=9이므로
n(n-3)
2
n(n-3)=18이다.
이때 차가 3이고 곱해서 18이 되는 두 자연수는 3, 6이므
답⃞ 60ù
로 n=6이다.
따라서 구하는 다각형은 육각형이다.
P.55
⑴ 삼각형의 경우에 세 내각의 크기가 모두 같으면 세 변의
길이도 모두 같다.
6-1
주어진 다각형을 n각형이라고 하면 n-3=13이므로
⑵ 사각형의 네 변의 길이가 같아도 네 내각의 크기는 같지
n=16이다.
따라서 십육각형의 대각선의 개수는
16_(16-3)
2
=104이다.
답⃞ ①
답⃞ 104
않을 수도 있다. (예: 마름모)
⑶ 정다각형의 모든 내각의 크기는 같다.
⑷ 모든 내각의 크기가 같은 다각형의 변의 길이는 모두 같
지 않을 수도 있다. (예: 직사각형)
⑸ 모든 외각의 크기가 같은 다각형의 변의 길이는 모두 같
지 않을 수도 있다. (예: 직사각형)
답⃞ ⑴ ◯ ⑵ _ ⑶ ◯ ⑷ _ ⑸ _
3-1
다각형의 한 꼭짓점에서 한 내각과 그 꼭짓점의 외각의 크
기의 합은 180ù이므로
⑴ 60ù, 180ù-60ù=120ù
⑵ 180ù-90ù=90ù
⑶ 180ù-120ù=60ù
답⃞ ⑴ 60ù, 120ù ⑵ 90ù ⑶ 60ù
실력 다지기
PP.57~58
01 ①, ④ 02 ⑤
05 풀이 참조
08 정십각형
03 ③
06 77
09 15번
04 ①
07 ④
01
②, ⑤ 사각형, 오각형 등 삼각형을 제외한 다각형에서 각
의 크기가 모두 같아도 변의 길이는 모두 같지 않을
수 있다.
③ 모든 변의 길이와 모든 내각의 크기가 각각 같은 다각형
Ⅱ. 평면도형과 입체도형 | 17
: 9개,
: 3개,
: 1개,
: 1개
이 정다각형이다.
2
3
4
개념편 꼭짓점 A에서의 외각의 크기는 180ù-105ù=75ù,
꼭짓점 C에서의 외각의 크기는 180ù-65ù=115ù이므로
75ù+115ù=190ù이다.
02
삼각형의 내각과 외각
(∠x+20ù)+(2∠x-15ù)=95ù에서
3∠x=90ù이다.
따라서 ∠x=30ù이다.
다른 풀이
(180ù-135ù)+60ù=∠x이므로
∠x=105ù이다.
P.59
답⃞ ①
⑵ ∠x=57ù+63ù=120ù
③ n각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는
△ABC의 꼭짓점 C를 지나 ABÓ에 평행한 직선 CE를 그
1
으면
실력 다지기
PP.61~62
∠x=20ù이다.
3∠x+20ù=50ù+(2∠x-10ù)이므로
팔각형의 대각선의 개수는
=20이다.
∠A+∠B+∠C= ∠ACE + ∠ECD +∠ACB
02
03
04
05
06
07
08
09
n-3이다.
십각형의 대각선의 개수는
=35,
10_(10-3)
2
8_(8-3)
2
따라서 십각형의 대각선의 개수와 팔각형의 대각선의 개수
의 차는 35-20=15이다.
n각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는
n-3이므로
a=12-3=9이다.
각형의 개수는 n-2이므로
b=12-2=10이다.
yy ❶
yy ❷
yy ❸
yy ❹
n각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 모두 그을 때 생기는 삼
단계
❶
채점 기준
배점 비율
n각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선
의 개수를 안다.
❷ a의 값을 구한다.
❸
n각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 모두 그을
때 생기는 삼각형의 개수를 안다.
❹ b의 값을 구한다.
30`%
20`%
30`%
20`%
n-2=12이므로 n=14이다.
따라서 십사각형의 대각선의 개수는
14_(14-3)
2
=77이다.
구하는 다각형을 n각형이라고 하면
n(n-3)
2
=119에서 n(n-3)=238
17_14=238이므로 n=17이다.
따라서 구하는 다각형은 십칠각형이다.
조건 (가)는 정다각형에 대한 설명이다.
구하는 다각형을 n각형이라고 할 때 조건 (나)에서
n(n-3)
2
=35, n(n-3)=70=10_7이다.
따라서 n=10이므로 구하는 다각형은 정십각형이다.
악수하는 사람끼리 연결하면 육각형의 변과 대각선이 그려
진다. 육각형의 변의 개수와 대각선의 개수의 합이 악수의
총 횟수이므로 악수는 모두
6+
6_(6-3)
2
=6+9=15(번) 이루어진다.
18 | 정답 및 해설
∠A=∠ACE ( 엇각 ),
∠B=∠ECD ( 동위각 )
이다. 따라서
이다.
= 180ù
답⃞ 엇각, 동위각, ∠ACE, ∠ECD, 180ù
1-1
삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로
⑴ 85ù+42ù+∠x=180ù에서 ∠x=53ù이다.
⑵ ∠x+60ù+90ù=180ù에서 ∠x=30ù이다.
답⃞ ⑴ 53ù ⑵ 30ù
2
2∠x+(∠x+45ù)+(3∠x+15ù)=180ù이므로
6∠x+60ù=180ù, 6∠x=120ù이다.
따라서 ∠x=20ù이다.
2-1
△ACP와 △DBP에서 ∠APC=∠DPB(맞꼭지각)이므
로 ∠A+∠C=∠D+∠B이다.
∠x+35ù=60ù+45ù이므로 ∠x=70ù이다.
3
삼각형의 외각의 크기의 합은 180ù이므로
90ù+∠x+135ù=360ù에서 ∠x=135ù이다.
3-1
점 B의 외각은 180-∠x이므로
120ù+(180ù-∠x)+110ù=360ù에서 ∠x=50ù이다.
4
삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의
크기의 합과 같으므로
⑴ ∠x+46ù=106ù에서 ∠x=60ù이다.
⑵ 35ù+∠x=85ù에서 ∠x=50ù이다.
답⃞ ⑴ 60ù ⑵ 50ù
답⃞ 20ù
답⃞ 70ù
P.60
답⃞ 135ù
답⃞ 50ù
따라서 ∠A=3_15ù=45ù, ∠B=4_15ù=60ù,
∠C=5_15ù=75ù이다.
09
∠ABD=∠CBD=∠a, ∠ACD=∠DCE=∠b
라고 하면 ∠DCE는 △BCD의 한 외각이므로
06
07
08
△DBC에서 ∠ADB=30ù+55ù=85ù이다.
따라서 △AED에서 ∠x=40ù+85ù=125ù이다.
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ACB=∠ABC=∠x이고
∠DAC =∠ABC+∠ACB
=∠x+∠x=2∠x이다.
또한 △CAD에서 CAÓ=CDÓ이므로
∠CDA=∠CAD=2∠x이다.
△DBC에서
∠DCE =∠B+∠BDC
=∠x+2∠x=3∠x이다.
따라서 3∠x=105ù에서 ∠x=35ù이다.
∠DCE=∠CBD+∠BDC에서
∠b=∠a+30ù, ∠b-∠a=30ù이다.
△ABC에서 ∠x+2∠a=2∠b이므로
∠x =2∠b-2∠a
=2(∠b-∠a)
=2_30ù=60ù
01
02
01 ⑤
03 ②
07 ①
02 ∠A=45ù, ∠B=60ù, ∠C=75ù
05 ⑴ 105ù ⑵ 120ù 06 ③
04 ④
09 60ù
08 35ù
10 풀이 참조
(2∠x+10ù)+(∠x+10ù)+∠x=180ù에서
4∠x=160ù이다.
따라서 ∠x=40ù이다.
∠A=180ù_
=45ù, ∠B=180ù_
=60ù,
;1¢2;
∠C=180ù_
=75ù
;1£2;
;1°2;
다른 풀이
∠A=3∠x, ∠B=4∠x, ∠C=5∠x라고 하면
∠A+∠B+∠C=180ù이므로
3∠x+4∠x+5∠x=180ù이다.
12∠x=180ù이므로 ∠x=15ù이다.
03
△ABC에서 ∠ACB=180ù-(40ù+80ù)=60ù이므로
∠DCB=
∠ACB=
_60ù=30ù
;2!;
;2!;
△DBC에서 ∠x=180ù-(80ù+30ù)=70ù
다른 풀이
△ABC에서 ∠ACB=180ù-(40ù+80ù)=60ù
∠ACD=
∠ACB=
_60ù=30ù
;2!;
;2!;
△ADC에서 ∠x=40ù+30ù=70ù
04
오른쪽 그림의 △ABC에서
2∠a+2∠b+44ù=180ù이므로
∠a+∠b=68ù이다.
△DBC에서
∠x+(∠a+∠b)=180ù이므로
∠x+68ù=180ù에서
∠x=112ù이다.
A
44˘
D
x
△AEC에서 ∠AEB=∠A+∠C=16ù+34ù=50ù
△DBE에서 ∠DEC=∠B+∠D=30ù+28ù=58ù
10
따라서
∠AED =180ù-(∠AEB+∠DEC)
a
a
B
b
b
C
=180ù-(50ù+58ù)
=72ù
단계
채점 기준
❶ ∠AEB의 크기를 구한다.
❷ ∠DEC의 크기를 구한다.
❸ ∠AED의 크기를 구한다.
Ⅱ. 평면도형과 입체도형 | 19
yy ❶
yy ❷
yy ❸
배점 비율
30`%
30`%
40`%
4-1
삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의
크기의 합과 같으므로
05
⑴ ∠x+135ù+(180ù-60ù)=360ù이므로
∠x=360ù-(135ù+120ù)=105ù이다.
개념편 03
다각형의 내각과 외각
1
답⃞ 오각형: 180ù_(5-2)=540ù
육각형: 180ù_(6-2)=720ù
칠각형: 180ù_(7-2)=900ù
팔각형: 180ù_(8-2)=1080ù
1-1
구하는 다각형을 n각형이라고 하면
180ù_(n-2)=1620ù, n-2=9, n=11
따라서 십일각형이다.
다른 풀이
육각형의 내각의 크기의 합은
180ù_(6-2)=720ù이므로
45˘
130˘
135˘
P.63
∠x =720ù-(135ù+130ù
+100ù+125ù+135ù)
125˘
135˘
100˘
80˘
=95ù
4-1
다각형의 외각의 크기의 합은
항상 360ù이므로
∠x+80ù+∠y+70ù+30ù
=360ù
70˘
150˘
30˘
x
답⃞ ③
이므로 ∠x+∠y=180ù이다.
x
45˘
답⃞ 95ù
y
80˘
답⃞ 180ù
P.65
2
내각의 크기의 합이 1800ù인 다각형을 n각형이라고 하면
180ù_(n-2)=1800ù에서 n-2=10이므로
n=12이다.
개수는 12-3=9이다.
따라서 십이각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의
5
정팔각형의 한 외각의 크기는
=45ù이므로
360ù
8
한 내각의 크기는 180ù-45ù=135ù이다.
답⃞ 9
답⃞ (한 내각의 크기)=135ù, (한 외각의 크기)=45ù
2-1
⑴ 사각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(4-2)=360ù이
므로 ∠x=360ù-(120ù+80ù+85ù)=75ù이다.
⑵ 오각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(5-2)=540ù이
고 75ù에 대한 내각의 크기는 105ù, ∠x에 대한 내각의
5-1
⑴ 정구각형의 한 외각의 크기는
=40ù이므로
한 내각의 크기는 180ù-40ù=140ù이다.
⑵ 정십각형의 한 외각의 크기는
=36ù이므로
360ù
9
360ù
10
크기는 180ù-∠x이므로
한 내각의 크기는 180ù-36ù=144ù이다.
180ù-∠x =540ù-(110ù+80ù+105ù+100ù)
=145ù
따라서 ∠x=35ù이다.
답⃞ ⑴ (한 내각의 크기)=140ù, (한 외각의 크기)=40ù
⑵ (한 내각의 크기)=144ù, (한 외각의 크기)=36ù
답⃞ ⑴ 75ù ⑵ 35ù
P.64
6
①
6_(6-3)
2
=9
②
360ù
6
=60ù
3
3-1
다각형의 외각의 크기의 합은 항상 360ù이다.
답⃞ ⑴ 360ù ⑵ 360ù
다각형의 외각의 크기의 합은 항상 360ù이므로
⑴ ∠x+100ù+90ù+70ù=360ù에서 ∠x=100ù
⑵ ∠x+30ù+70ù+90ù+75ù=360ù에서 ∠x=95ù
45˘
50˘
130˘
180˘-x
80˘
55˘
125˘
x
45˘
4
다각형의 외각의 크기의 합
은 항상 360ù이므로
(180ù-∠x)+45ù+50ù
+80ù+55ù+45ù
=360ù
따라서 ∠x=95ù이다.
20 | 정답 및 해설
③
180ù_(6-2)
6
=120ù
④ 180ù_(6-2)=720ù
⑤ 6-2=4(개)의 삼각형으로 나누어진다.
답⃞ ⑤
따라서
=45ù에서 n=8이므로 구하는 정다각형
180ù-135ù=45ù이다.
360ù
n
은 정팔각형이다.
⑵
360ù
n
이각형이다.
=30ù에서 n=12이므로 구하는 정다각형은 정십
답⃞ ⑴ 정팔각형 ⑵ 정십이각형
답⃞ ⑴ 100ù ⑵ 95ù
6-1
⑴ 한 내각의 크기가 135ù인 정다각형의 한 외각의 크기는
실력 다지기
PP.66~67
08
므로
한 내각의 크기를 ∠x라고 하면 한 외각의 크기는 2∠x이
∠x=180ù-(∠EBC+∠ECB)=180ù-80ù=100ù
한 외각의 크기가 45ù인 정다각형을 정n각형이라고 하면
01
02
05
06
03 6
01 ④
02 ①
06 ⑴ 180ù ⑵ 540ù 07 ①
04 105ù 05 360ù
08~09 풀이 참조
∠x=360ù-(85ù+140ù+70ù)=65ù
110ù+50ù+∠EBC+∠ECB
+40ù+80ù=360ù이므로
∠EBC+∠ECB=80ù
따라서 △EBC에서
A
110˘
50˘
B
D
80˘
E
40˘
x
C
03
주어진 다각형을 n각형이라고 하면
180ù_(n-2)=1260ù, n-2=7, 즉 n=9이다.
따라서 구각형의 한 꼭지점에서 그을 수 있는 대각선의 개
수는 9-3=6이다.
04
80ù+45ù+100ù+60ù
+(180ù-∠x)=360ù
465ù-∠x=360ù
따라서 ∠x=105ù이다.
45˘100˘
60˘
80˘
100˘
x
180˘-x
구하는 각의 크기의 합은 가운데 사각형의 외각의 크기의
합이므로 360ù이다.
⑴ 가운데 오각형의 각 변을 한 변으로 하는 삼각형이 그려
져 있다고 생각하면 구하는 각들의 크기의 합은 삼각형
5개의 내각의 크기의 합에서 오각형의 외각의 크기의
합의 2배를 뺀 값과 같으므로
∠a+∠b+∠c+∠d+∠e =180ù_5-360ù_2
=180ù
다른 풀이
삼각형의 한 외각의 크기는 그와
이웃하지 않는 두 내각의 크기의
합과 같으므로 오른쪽 그림에서
∠a+∠b+∠c+∠d+∠e
=180ù
a
b+e
b
c
a+c
e
d
⑵ 가운데 칠각형의 각 변을 한 변으로 하는 삼각형이 7개
가 그려져 있다고 생각하면
∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g
=180ù_7-360ù_2=540ù
07
정사각형의 한 외각의 크기는
=90ù이므로
360ù
4
한 내각의 크기는 180ù-90ù=90ù이다.
∠x+2∠x=180ù
3∠x=180ù, ∠x=60ù
따라서 한 내각의 크기가 60ù인 정다각형이므로 정삼각형
이다.
단계
❶
채점 기준
한 내각의 크기를 ∠x로 놓고 ∠x의 크기를
구하는 식을 세운다.
❷ ∠x의 크기를 구한다.
❸ 구하는 다각형이 정삼각형임을 안다.
09
360ù
n
=45ù에서 n=8이므로 a=8이다.
yy ❶
또 내각의 크기의 합이 1800ù인 다각형을 n각형이라고 하
면 180ù_(n-2)=1800ù이므로 n-2=10에서
단계
채점 기준
배점 비율
n=12이므로 b=12이다.
따라서 a+b=20이다.
❶ a의 값을 구한다.
❷ b의 값을 구한다.
❸ a+b의 값을 구한다.
04
원과 부채꼴
yy ❶
yy ❷
yy ❸
배점 비율
30`%
30`%
40`%
yy ❷
yy ❸
40`%
40`%
20`%
P.68
1
⑴~⑷를 원 O 위에 나타내면 다음 그림과 같다.
(1)
O
(4)
A
D
(2)
(3)
B
C
1-1
2
2-1
답⃞ ⑴ ∠AOB ⑵ ACÓ ⑶ µ BC
길이가 가장 긴 현은 지름이므로 구하는 길이는
2_8=16`(cm)
답⃞ 풀이 참조
답⃞ 16`cm
한 원에서 부채꼴과 활꼴이 같을 때는 반원인 경우이므로
부채꼴의 중심각의 크기는 180ù이다.
답⃞ ④
Ⅱ. 평면도형과 입체도형 | 21
개념편 P.69
실력 다지기
PP.71~72
원 O의 넓이를 x`cmÛ`라고 하면
40ù`:`360ù=8`:`x, 40x=2880
따라서 x=72`(cmÛ`)이다.
2-1
반지름의 길이를 r라고 하자.
⑴ 2pr=8p이므로 r=4`(cm)
⑵ 2pr=6p이므로 r=3`(cm)
답⃞ 150ù, 3, 15
3
3-1
x`:`3=60ù`:`30ù에서
x`:`3=2`:`1, x=6
yù`:`30ù=12`:`3에서
yù`:`30ù=4`:`1, y=120
4
⑴ 30ù`:`90ù=5`:`x, 1`:`3=5`:`x
따라서 x=15이다.
⑵ yù`:`(3yù+10ù)=6`:`20
20yù=6(3yù+10ù), 2yù=60ù
따라서 y=30이다.
답⃞ x=6, y=120
답⃞ ⑴ 15 ⑵ 30
4-1
한 원에서 호의 길이와 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에
정비례하므로 다음과 같다.
부채꼴
AOC
AOD
BOD
중심각
∠AOC
∠AOD
∠BOD
호의 길이
12`cm
18`cm
12`cm
넓이
6`cmÛ`
9`cmÛ`
6`cmÛ`
답⃞ 풀이 참조
P.70
5
⑴ BCÓ=ABÓ=5`(cm)
⑵ CDÓ=ABÓ=5`(cm)
⑶ ACÓ<ABÓ+BCÓ=ABÓ+ABÓ=2ABÓ
⑷ ADÓ<ABÓ+BDÓ<ABÓ+BCÓ+CDÓ=3ABÓ
답⃞ ⑴ 5 ⑵ 5 ⑶ < ⑷ <
5-1
⑶ CDÓ=ACÓ<ABÓ+BCÓ=2ABÓ
답⃞ ⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ ×
6
한 원에서 같은 크기의 중심각에 대한 현의 길이는 같다.
따라서 x=5이다.
6-1
ABÓ=CDÓ=DEÓ이므로
∠AOB=∠COD=∠DOE=45ù
∠COE =∠COD+∠DOE
=45ù+45ù=90ù
22 | 정답 및 해설
01 ㄱ, ㄴ, ㄹ
02 ④
⑵ x=3, y=3
04 풀이 참조
06 8`cmÛ` 07 72`cmÛ` 08 풀이 참조
10 14`cm
03 ⑴ x=18, y=40
05 3`cm
09 ③
01
02
03
ㄷ. 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않는다.
④ ACÓ는 중심 O를 지나므로 원 O의 지름이다. 따라서 현
중에서 길이가 가장 길다.
⑴ 20ù：120ù=3：x, 1：6=3：x에서 x=18
20ù：yù=3：6, 20ù：yù=1：2에서 y=40
⑵ 한 원에서 같은 크기의 중심각에 대한 현의 길이는 서로
같으므로 x=3, y=3이다.
04
ACÓODÓ이므로
∠CAO=∠DOB=30ù
보조선 COÓ를 그으면
△OAC에서 OAÓ=OCÓ이므로
∠OCA=∠OAC=30ù
C
30˘
D
4 cm
120˘
30˘
30˘
30˘
A
O
B
따라서 ∠AOC=180ù-2_30ù=120ù
yy ❶
이때 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로
µAC：µ BD=∠AOC：∠BOD,
yy ❷
µAC：4=120ù：30ù, µAC：4=4：1
따라서 µAC=16`(cm)이다.
단계
채점 기준
❶ ∠AOC의 크기를 구한다.
❷ µAC의 길이 구하는 식을 세운다.
❸ µAC의 길이를 구한다.
yy ❸
배점 비율
30`%
40`%
30`%
05
△COP에서
∠COP=∠CPO=20ù이므로
∠OCD=20ù+20ù=40ù
P
B
60˘
9 cm
A
20˘
20˘
O
40˘
C
40˘
D
답⃞ 5
보조선 ODÓ를 그으면
△OCD에서
∠ODC=∠OCD=40ù이므로 △OPD에서
∠BOD=∠P+∠ODP=20ù+40ù=60ù
한 원에서 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로
µAC`:`µ BD=20ù`:`60ù, µAC`:`9=1`:`3
답⃞ 90ù
따라서 µAC=3`(cm)이다.
06
부채꼴 AOB의 넓이를 x`cmÛ`라고 하면
90ù`:`30ù=24`:`x, 90x=720
따라서 x=8`(cmÛ`)이다.
07
08
09
10
∠OAB=∠OBA=∠BOC=40ù이므로
∠AOB=180ù-2_40ù=100ù
yy ❶
부채꼴 BOC의 넓이를 x`cmÛ`라고 하면
100ù`:`40ù=15`:`x,
5`:`2=15`:`x, 5x=30, x=6
yy ❷
따라서 부채꼴 BOC의 넓이는 6`cmÛ`이다.
yy ❸
단계
채점 기준
배점 비율
❶ ∠AOB의 크기를 구한다.
❷ 부채꼴 BOC의 넓이 구하는 식을 세운다.
❸ 부채꼴 BOC의 넓이를 구한다.
30`%
40`%
30`%
③ ∠AOB=60ù일 때 OAÓ=ABÓ가 성립한다.
OCÓ를 그으면 µAC=µ BC이므로
∠AOC=∠BOC이다.
즉, BCÓ=ACÓ=3`cm
따라서 색칠한 부분의 둘레의 길이는
(4+3)_2=14`(cm)이다.
05
부채꼴의 호의 길이와 넓이
답⃞ ⑴ 4`cm ⑵ 3`cm
P.74
3
⑴ (부채꼴의 호의 길이)=2p_ 4 _
45
360
⑵ (부채꼴의 넓이)=p_ 4 Û`_
= p `(cm)
45
360
= 2p `(cmÛ`)
답⃞ ⑴ 4, 45, p ⑵ 4, 45, 2p
3-1
⑴ (호의 길이)=2p_3_
=2p`(cm)
;3!6@0);
(넓이)=p_3Û`_
=3p`(cmÛ`)
;3!6@0);
⑵ (호의 길이)=2p_2_
=p`(cm)
;3»6¼0;
(넓이)=p_2Û`_
=p`(cmÛ`)
;3»6¼0;
답⃞ ⑴ (호의 길이)=2p`cm, (넓이)=3p`cmÛ`
⑵ (호의 길이)=p`cm, (넓이)=p`cmÛ`
4
⑴ (둘레의 길이)=4+4+2p_4_
;3»6¼0;
=8+2p`(cm)
(넓이)=p_4Û`_
=4p`(cmÛ`)
;3»6¼0;
⑵ (둘레의 길이)=6+6+2p_6_
;3@6!0);
=12+7p`(cm)
(넓이)=p_6Û`_
=21p`(cmÛ`)
;3@6!0);
1
⑴ (원의 둘레의 길이)=2p_ 10 = 20p `(cm)
⑵ (원의 넓이)=p_ 10 Û`= 100p `(cmÛ`)
답⃞ 10, 20p, 10, 100p
4-1
주어진 부채꼴의 중심각의 크기는
360ù-60ù=300ù이므로
P.73
답⃞ ⑴ (둘레의 길이)=(8+2p)`cm, (넓이)=4p`cmÛ`
⑵ (둘레의 길이)=(12+7p)`cm, (넓이)=21p`cmÛ`
1-1
⑴ l=2p_4=8p`(cm), S=p_4Û`=16p`(cmÛ`)
⑵ l=2p_7=14p`(cm), S=p_7Û`=49p`(cmÛ`)
답⃞ ⑴ l=8p`cm, S=16p`cmÛ`
⑵ l=14p`cm, S=49p`cmÛ`
(둘레의 길이)=6+6+2p_6_
=12+10p`(cm)
;3#6)0);
(넓이)=p_6Û`_
=30p`(cmÛ`)
;3#6)0);
답⃞ (둘레의 길이)=(12+10p)`cm, (넓이)=30p`cmÛ`
2
⑴ l=2p_5=10p`(cm), S=p_5Û`=25p`(cmÛ`)
⑵ 반지름의 길이가 6`cm이므로
l=2p_6=12p`(cm), S=p_6Û`=36p`(cmÛ`)
5
(넓이)=
_4_6=12`(cmÛ`)
;2!;
;2!;
답⃞ ⑴ l=10p`cm, S=25p`cmÛ`
⑵ l=12p`cm, S=36p`cmÛ`
5-1
(넓이)=
_6_10p=30p`(cmÛ`)
P.75
답⃞ 12`cmÛ`
답⃞ 30p`cmÛ`
Ⅱ. 평면도형과 입체도형 | 23
개념편 실력 다지기
PP.77~78
07
⑴ 구하는 넓이는 오른쪽 그림의 색
칠한 부분의 넓이와 같으므로
중단원 마무리
6
⑴ (둘레의 길이)=6+6+10=22`(cm)
(넓이)=
_6_10=30`(cmÛ`)
;2!;
;2!;
⑵ (둘레의 길이) =10+10+2p=20+2p`(cm)
(넓이)=
_10_2p=10p`(cmÛ`)
답⃞ ⑴ (둘레의 길이)=22`cm, (넓이)=30`cmÛ`
⑵ (둘레의 길이)=(20+2p)`cm, (넓이)=10p`cmÛ`
6-1
(둘레의 길이)=3+3+8=14`(cm)
(넓이)=
_3_8=12`(cmÛ`)
;2!;
답⃞ (둘레의 길이)=14`cm, (넓이)=12`cmÛ`
7
(둘레의 길이)=2p_2+2p_5=14p`(cm)
(넓이)=p_5Û`-p_2Û`=21p`(cmÛ`)
답⃞ (둘레의 길이)=14p`cm, (넓이)=21p`cmÛ`
P.76
7-1
(둘레의 길이) =2p_5+2p_3+2p_2
=10p+6p+4p
=20p`(cm)
(넓이) =p_5Û`-(p_3Û`+p_2Û`)
=25p-(9p+4p)
=12p`(cmÛ`)
답⃞ (둘레의 길이)=20p`cm, (넓이)=12p`cmÛ`
8
(둘레의 길이)=2_3+2p_3_
+2p_6_
;3¤6¼0;
;3¤6¼0;
=6+p+2p
=6+3p`(cm)
(넓이)=p_6Û`_
-p_3Û`_
;3¤6¼0;
;3¤6¼0;
=6p-
p
;2#;
=
p`(cmÛ`)
;2(;
01
02
03
04
05
03 ⑴ 80ù ⑵ 18p`cmÛ`
02 ①
01 ④
04 ②
05 풀이 참조
07 ⑴ (8p-16)`cmÛ` ⑵ 4p`cmÛ`
09 ⑴ (둘레의 길이)=12p`cm,
(넓이)=(16p-32)`cmÛ`
06 ②
08 ③
⑵ (둘레의 길이)=10p`cm, (넓이)=
p`cmÛ`
;;£4Á;;
(처음 원의 둘레의 길이)=2pr`cm,
(늘린 원의 둘레의 길이)={2p(r+2)}`cm이므로
2p(r+2)=2pr+x, 2pr+4p=2pr+x
따라서 x=4p이다.
작은 원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면
작은 원의 넓이에서 prÛ`=4p이므로 r=2이다.
따라서 큰 원의 반지름의 길이는 6`cm이다.
(큰 원의 둘레의 길이)=2p_6=12p`(cm)
(작은 원들의 둘레의 길이의 합) =3_(2p_2)
=12p`(cm)
따라서 큰 원의 둘레의 길이는 작은 원들의 둘레의 길이의
합과 같다.
⑴ 2p_9_
=4p에서
x=4p이므로
x
360
p
20
∠x=80ù이다.
⑵ (부채꼴의 넓이)=
_9_4p=18p`(cmÛ`)
;2!;
호의 길이를 l`cm라고 하면
_12_l=72p, 6l=72p, l=12p
;2!;
따라서 구하는 호의 길이는 12p`cm이다.
부채꼴의 호의 길이는 원뿔의 밑면인 원의 둘레의 길이와
같으므로 부채꼴의 호의 길이는
2p_3=6p`(cm)
따라서 부채꼴의 넓이는
yy ❶
;2!;
단계
채점 기준
❶ 부채꼴의 호의 길이를 구한다.
❷ 부채꼴의 넓이를 구한다.
배점 비율
40`%
60`%
답⃞ (둘레의 길이)=(6+3p)`cm, (넓이)=
p`cmÛ`
;2(;
_8_6p=24p`(cmÛ`)이다.
yy ❷
8-1
(둘레의 길이)=2p_6_
+6+6
;3»6¼0;
=3p+12`(cm)
(넓이)=6_6-p_6Û`_
;3»6¼0;
=36-9p`(cmÛ`)
24 | 정답 및 해설
답⃞ (둘레의 길이)=(3p+12)`cm,
(넓이)=(36-9p)`cmÛ`
6+2p_6_
=6+3p`(cm)
;3»6¼0;
06
오른쪽 그림과 같이 두 곡선의 길
이가 같으므로 구하는 둘레의 길이
는
6 cm
=
_p_4Û`-
_p_3Û`+
_p_1Û`
;2!;
;2!;
;2!;
n-3이다.
③ n각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는
(색칠한 부분의 넓이)
=p_8Û`_
-
_8_4
;3¢6°0;
;2!;
=8p-16`(cmÛ`)
45˘
8 cm
⑵ 가장 작은 반원의 지름의 길이를 r`cm라고 하면
3r=6이므로 r=2이다.
따라서 주어진 원의 반지름의 길이는 4`cm이므로
(색칠한 부분의 넓이)
=8p-
p+
p
;2!;
;2(;
=4p`(cmÛ`)
08
4개의 원으로 둘러싸인 부분을
사등분하여 색칠한 원 주변으로
옮기면 구하는 넓이는 한 변의
길이가 2`cm인 정사각형의 넓
이가 된다.
따라서 색칠한 부분의 넓이는
2_2=4`(cmÛ`)
09
⑴ (둘레의 길이)=2p_8_
+2_
_2p_4
;3»6¼0;
{;2!;
}
=4p+8p
=12p`(cm)
오른쪽 그림과 같이 색칠한 부분
을 옮기면
(넓이)
=p_8Û`_
-
_8_8
;3»6¼0;
;2!;
=16p-32`(cmÛ`)
8 cm
8 cm
⑵ (둘레의 길이)=
_2p_5+
_2p_
;2!;
;2!;
;2%;
+
_2p_
+
_2p_1
;2!;
;2#;
;2!;
=5p+
p+
p+p
;2%;
;2#;
=10p`(cm)
(넓이)=
_p_5Û`-
_p_
;2!;
[;2!;
`
{;2%;}
+
_p_
;2!;
`+
_p_1Û`
{;2#;}
;2!;
]
=
p-
{:ª8°:
p+
p+
p
;2!;
}
;8(;
:ª2°:
=
:£4Á:
p`(cmÛ`)
PP.79~81
05 360ù
10 ②
04 ②
09 ③
03 32ù
08 ④
13 (32p-64)`cmÛ`
01 ③
02 ②
06 105ù 07 70ù
11 ④
12 ③
14 (64p+160)`mÛ` 15 4p`cmÛ`
16~20 풀이 참조
01
02
오각형과 사각형에서 크기가 주어지지 않은 각은 맞꼭지각
으로 서로 같다.
540ù-(∠x+65ù+85ù+130ù)
=360ù-(∠y+60ù+50ù)
에서 260ù-∠x=250ù-∠y이므로
∠x-∠y=10ù이다.
2 cm
03
∠ABD=∠DBC=∠a, ∠ACD=∠DCE=∠b라고
하면 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내
각의 크기의 합과 같으므로
△ABC에서 64+2∠a=2∠b
2∠b-2∠a=64ù, ∠b-∠a=32ù
△DBC에서 ∠x+∠a=∠b
따라서 ∠x=∠b-∠a=32ù이다.
04
삼각형의 한 외각의 크기는 그와
이웃하지 않는 두 내각의 크기의
합과 같으므로 오른쪽 그림과 같
b+d
b
a
x
e
이 나타낼 수 있다.
따라서
∠x=∠a+∠b+∠d이다.
c
d
05
△AHF에서 ∠GHC=∠a+∠f,
△GDE에서 ∠BGH=∠d+∠e이다.
사각형 BCHG의 내각의 크기의 합은 360ù이므로
∠b+∠c+(∠a+∠f)+(∠d+∠e)=360ù
따라서 ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f=360ù이다.
다른 풀이
구하는 각의 크기의 합은 세 삼각형 AHF, BCI, GDE의
내각의 크기의 합에서 △GHI의 내각의 크기의 합을 뺀 것
이므로 180ù_3-180ù=360ù이다.
Ⅱ. 평면도형과 입체도형 | 25
개념편2
2
06
∠x=(정육각형의 한 외각의 크기)
13
구하는 넓이는 오른쪽 그림에서 색
+(정팔각형의 한 외각의 크기)
칠한 부분의 넓이의 8배이므로
B
D
A
O
C
오른쪽 그림과 같이 이동하면
18
yy ❶
10`cm
구하는 넓이는
10_5=50`(cmÛ`) yy ❷
2. 입체도형의 성질
5`cm
01
다면체
수박을 똑같은 크기로 8등분했으므로 수박 한 조각의 중심
19
보조선 GFÓ를 그으면 yy ❶
E
A
G
④ 육각형은 평면도형이므로 다면체가 아니다.
=
360ù
6
+
360ù
8
=60ù+45ù=105ù
07
사각형의 내각의 크기의 합은 360ù,
∠A+∠D=140ù이므로
∠B+∠C =360ù-(∠A+∠D)
=360ù-140ù=220ù
∠IBC+∠ICB=
∠B+
∠C
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
=
(∠B+∠C)
=
_220ù=110ù
따라서 △IBC에서
∠BIC =180ù-(∠IBC+∠ICB)
=180ù-110ù=70ù
08
09
10
한 원에서 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로
30ù`:`120ù=6`:`x, 1`:`4=6`:`x
따라서 x=24이다.
③ 한 원에서 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례한다.
△OAC에서 OAÓ=OCÓ이므로 ∠OAC=∠OCA=30ù
따라서 ∠AOC=180ù-2_30ù=120ù이다.
또한 ACÓODÓ이므로 ∠DOB=∠CAB=30ù
이때 한 원에서 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로
µAC`:`µ BD=∠AOC`:`∠BOD
20`:`x=120ù`:`30ù, 20`:`x=4`:`1
따라서 x=5이다.
11
정오각형의 한 내각의 크기는
180ù_(5-2)
5
=108ù
따라서 색칠한 부분의 둘레의 길이는
2p_10_
+10_3=6p+30`(cm)
;3!6)0*;
12
색칠한 두 부분의 넓이가 같으므로 직사각형 ABCD와
부채꼴 ABE의 넓이가 같다.
따라서 8_ADÓ=p_8Û`_
에서
;3»6¼0;
ADÓ=2p`(cm)
26 | 정답 및 해설
14
15
8
_p_4Û`-
_4_4
;2!;
}
{;4!;
=8(4p-8)
=32p-64`(cmÛ`)
(p_10Û`-p_6Û`)+2_(20_4)
=100p-36p+2_80
=64p+160`(mÛ`)
각의 크기는 360ù_
=45ù이다.
1
8
따라서 구하는 단면의 넓이는
p_6Û`_
-p_2Û`_
;3¢6°0;
;3¢6°0;
=
p-
p=4p`(cmÛ`)
;2(;
;2!;
yy ❶
yy ❷
16
부채꼴의 중심각의 크기는 정육각형의 한 내각의 크기와
같으므로
180ù_(6-2)
6
=120ù
(반지름의 길이)=6`cm, (중심각의 크기)=120ù인
부채꼴의 호의 길이 l을 구하면
l=2p_6_
=4p`(cm)
;3!6@0);
(반지름의 길이)=6`cm, (호의 길이)=4p`cm인
부채꼴의 넓이 S를 구하면
S=
_6_4p=12p`(cmÛ`)
yy ❸
;2!;
단계
채점 기준
배점 비율
❶ 부채꼴의 중심각의 크기를 구한다.
❷ 부채꼴의 호의 길이를 구한다.
❸ 부채꼴의 넓이를 구한다.
40`%
30`%
30`%
17
정오각형의 한 내각의 크기는
180ù_(5-2)
5
=108ù이고
108˘
x
87˘
a
b
yy ❶
108˘
y
79˘
사각형에서 크기가 주어지지
않은 두 각을 ∠x, ∠y라고 하면 사각형의 내각의 크기의
합은 360ù이므로
∠x+∠y=360ù-(87ù+79ù)=194ù
yy ❷
이때 ∠a+∠b+∠x+∠y+108ù+108ù=360ù_2
이므로 ∠a+∠b+194ù+216ù=720ù
따라서 ∠a+∠b=310ù이다.
단계
채점 기준
❶ 정오각형의 한 내각의 크기를 구한다.
❷ ∠x+∠y의 크기를 구한다.
❸ ∠a+∠b의 크기를 구한다.
yy ❸
배점 비율
30`%
30`%
40`%
이므로 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=330ù이다.
2-1
답⃞ ⑴ 칠면체 ⑵ 7 ⑶ 15 ⑷ 10
10`cm
단계
❶
채점 기준
배점 비율
색칠한 부분을 옮겨서 계산하기 쉬운 모양으
로 바꾼다.
❷ 색칠한 부분의 넓이를 구한다.
70`%
30`%
△AFG에서
∠DGF=∠A+∠x이고
△EFG에서
∠BGF=∠E+∠y이므로
∠G =∠DGF+∠BGF
=∠A+∠x+∠E+∠y
=∠A+∠E+30ù
따라서 사각형 BCDG에서
∠B+∠C+∠D+∠G
=∠B+∠C+∠D+∠A+∠E+30ù
B
x
y
D
F
C
yy ❷
=360ù
단계
채점 기준
❶ 보조선 GFÓ를 긋는다.
❷ ∠G를 ∠A와 ∠E를 이용하여 나타낸다.
❸
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E의 크기를 구
한다.
20
(원의 중심이 지나간 자리의 길이)
=4_10+4_
{;4!;
=40+2p`(cm)
_2p_1
}
(원이 지나간 자리의 넓이)
=4_(10_2)+4_
_p_2Û`
{;4!;
}
=80+4p`(cmÛ`)
yy ❸
배점 비율
20`%
40`%
40`%
yy ❶
yy ❷
yy ❸
yy ❹
단계
❶
채점 기준
배점 비율
원의 중심이 지나간 자리의 길이 구하는 식을
세운다.
❷ 원의 중심이 지나간 자리의 길이를 구한다.
❸ 원이 지나간 자리의 넓이 구하는 식을 세운다.
❹ 원이 지나간 자리의 넓이를 구한다.
30`%
20`%
30`%
20`%
4
⑴ 3+1=4
⑵ 4+2=6
⑶ 6+2=8
P.82
답⃞ ②, ③
답⃞ ④
1
다면체는 모든 면이 다각형으로 이루어져 있다.
이때 원은 다각형이 아니다.
1-1
2
다면체의 이름
사면체
면의 개수
모서리의 개수
꼭짓점의 개수
(가)
4
6
4
(나)
육면체
6
12
8
(다)
오면체
5
9
6
답⃞ 풀이 참조
3
⑴ 밑면의 모양은 오각형이다.
⑵ 밑면이 오각형인 각뿔이므로 오각뿔이다.
⑶ 5
⑷ 각뿔의 옆면의 모양은 삼각형이다.
답⃞ ⑴ 오각형 ⑵ 오각뿔 ⑶ 5 ⑷ 삼각형
3-1
n각뿔대는 (n+2)면체이므로 주어진 조건을 모두 만족하
는 입체도형은 오각뿔대이다.
P.83
답⃞ ②
답⃞ ⑴ 4 ⑵ 6 ⑶ 8
4-1
주어진 전개도를 접으면 삼각뿔대가 만들어진다.
② 두 밑면의 모양은 같지만 크기는 다르므로 합동이 아니다.
④ 꼭짓점의 개수는 6이다.
답⃞ ②, ④
Ⅱ. 평면도형과 입체도형 | 27
개념편 03
04
05
06
07
08
09
10
5
정다면체
면의 모양
정사면체
정육면체
정팔면체
정삼각형
정사각형
정삼각형
정십이면체
정오각형
정이십면체
정삼각형
한 꼭짓점에
모인 면의 개수
면의 개수
3
3
4
3
5
4
6
8
12
20
5-1
모든 면이 합동인 정삼각형이고 각 꼭짓점에 모이는 면의
개수가 5로 같은 입체도형은 정다면체 중에서 정이십면체
이다.
답⃞ ⑤
6
주어진 입체도형은 각 면이 모두 합동인 정삼각형으로 둘
러싸여 있고 각 꼭짓점에 모이는 면이 4개 또는 3개이다.
따라서 이 입체도형은 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 같
지 않으므로 정다면체가 아니다.
P.84
각각의 꼭짓점의 개수는 다음과 같다.
① 5+1=6
③ 2_3=6
⑤ 6
② 2_3=6
④ 8
두 밑면이 평행한 다면체는 각기둥과 각뿔대인데 각기둥은
두 밑면의 크기가 같다.
답⃞ 풀이 참조
④ 두 밑면이 평행하고 합동인 사각형이며 옆면이 모두 직
사각형인 다면체를 사각기둥이라고 한다.
⑤ 정이십면체의 한 꼭짓점에 모이는 면의 개수는 5이다.
① 정이십면체 - 정삼각형 - 5
② 정십이면체 - 정오각형 - 3
④ 정육면체 - 정사각형 - 3
⑤ 정사면체 - 정삼각형 - 3
각 면이 모두 합동인 정오각형이고 각 꼭짓점에 모이는 면
답⃞ 풀이 참조
의 개수가 3인 다면체는 정십이면체이다.
6-1
한 꼭지점에 모인 각의 크기의 합이 360ù가 되면 평면이 되
고 360ù보다 커지면 한 꼭짓점에서 면이 거꾸로 뒤집히게
된다. 다면체가 되려면 한 꼭짓점에 모이는 다각형의 내각
의 크기의 합이 360ù보다 작아야 한다.
또한 정다면체는 한 꼭짓점에 최소 3개의 면이 모여야 된
다. 그런데 정육각형의 한 내각의 크기는
① 꼭짓점의 개수는 12이다.
3n-(n+2)=18에서
2n-2=18, 2n=20, n=10
n각뿔대의 모서리의 개수는 3n, 면의 개수는 n+2이므로
=120ù이므로 한 꼭짓점에 3개를 모으면
2_10=20이다.
따라서 이 입체도형은 십각뿔대이고 꼭짓점의 개수는
180ù_(6-2)
6
360ù가 된다.
따라서 정다면체가 될 수 없다.
단계
❶
채점 기준
n각뿔대의 모서리의 개수는 3n, 면의 개수는
n+2임을 안다.
❷ n의 값을 구한다.
❸ 주어진 각뿔대의 꼭짓점의 개수를 구한다.
yy ❶
yy ❷
yy ❸
배점 비율
30`%
30`%
40`%
답⃞ 풀이 참조
PP.86~87
실력 다지기
02 ④
07 ③
01 ①
06 ⑤
10 풀이 참조
04 ⑤
03 ④
08 정십이면체
05 ④
09 ①
다면체는 모든 면이 다각형으로 이루어져 있다.
이때 원기둥의 밑면은 원인데 원은 다각형이 아니다.
01
02
① 5 ② 4 ③ 6
④ 7 ⑤ 6
28 | 정답 및 해설
02
회전체
1
입체도형이 원뿔대 모양이므로 사다리꼴 모양의 도형을 1
회전 한 것이다. 그런데 가운데가 비어 있으므로 사다리꼴
이 회전축에서 떨어져 있어야 한다.
P.88
답⃞ ④
1-1
오른쪽 그림과 같은 반구가 만들어진다.
l
답⃞ 그림 참조
6-1
주어진 사각형을 직선 l을 회전축으
로 하여 1회전 시키면 원뿔대가 생긴
다. 따라서 전개도는 오른쪽 그림과
같다.
답⃞ 그림 참조
실력 다지기
PP.91~92
02 등변사다리꼴
05 ⑤
08 ②
01 ⑤
04 직사각형, 원
07 풀이 참조
10 풀이 참조
03 ④
06 ①
09
;1^3);
`cm
직선 AB를 회전축으로 하여 1회전 시키면 밑면끼리 연결
된 두 원뿔의 모양인 회전체가 생긴다.
주어진 평면도형을 1회전 시키면 원뿔대가
생긴다. 따라서 원뿔대를 회전축을 포함하는
평면으로 자른 단면은 등변사다리꼴이다.
④ 삼각뿔대는 회전체가 아니라 다면체이다.
원기둥을 회전축을 포함하는 평면으로 잘랐을 때 생기는
단면은 직사각형 이고, 회전축에 수직인 평면으로 잘랐을
답⃞ 풀이 참조
때 생기는 단면은 원 이다.
원뿔대를 한 평면으로 자르면 옆면이 곡면이므로 삼각형이
P.90
만들어지지 않는다.
주어진 보기 중 회전체는 ㄴ, ㄷ, ㄹ이므로 구하는 개수는
2
3이다.
2-1
구의 회전축은 구의 중심을 지나는 직선이므로 단 하나로
정해지지 않는다.
답⃞ 3
답⃞ ④
P.89
3
답⃞ 합동, 선대칭
3-1
답⃞ ⑴ 직사각형 ⑵ 이등변삼각형 ⑶ 등변사다리꼴 ⑷ 원
4
답⃞ ⑴ 원 ⑵ 원, 중심
오른쪽 그림과 같은 회전체가 만들어지
4-1
므로
⑴ 2개의 합동인 직각삼각형이 생긴다.
⑵ 크고 작은 2개의 동심원이 생긴다.
5
답⃞ a=10, b=5
5-1
(cid:23)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:18)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
답⃞ 그림 참조
6
주어진 삼각형을 직선 l을 회전축으로
(cid:125)(cid:10709)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:17)(cid:18)
하여 1회전 시키면 원뿔이 생긴다.
(cid:4441)(cid:3993)(cid:1)(cid:125)(cid:1)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:17)(cid:20)
(cid:6705)(cid:1)(cid:1889)(cid:10685)(cid:1)(cid:10709)(cid:5509)(cid:9048)
따라서 전개도는 오른쪽 그림과 같다.
답⃞ 그림 참조
01
02
03
04
05
06
07
① 이등변삼각형 ② 원 ③ 직사각형
④ 등변사다리꼴 ⑤ 반원
모선의 길이가 a`cm, 밑면인 원의 반지름의 길이가 b`cm
이므로 a=6, b=2이다.
yy ❶
부채꼴의 중심각의 크기를 xù라고 하면
2p_6_
=2p_2, x=120
yy ❷
x
360
따라서 부채꼴의 중심각의 크기는 120ù이다. yy ❸
단계
채점 기준
배점 비율
❶ a, b의 값을 구한다.
❷
부채꼴의 중심각의 크기를 구하는 식을 세운
다.
❸ 부채꼴의 중심각의 크기를 구한다.
30`%
30`%
40`%
Ⅱ. 평면도형과 입체도형 | 29
개념편 단면의 모양이 원이므로 반지름의 길
(6_6)_6=216`(cmÛ`)
6_(30_30)=5400`(cmÛ`)
원뿔에서 회전축이 같고 밑면의 반지름의 길이가 작은 원
정육면체는 사각기둥이므로
1-1
뿔을 파낸 모양의 회전체가 생긴다.
08
09
주어진 직각삼각형으로 생기는 회전체
(cid:34)
는 오른쪽 그림과 같다.
회전체를 점 B를 지나고 회전축에 수
직인 평면으로 자를 때 생기는 단면의
넓이가 가장 크다.
(cid:22)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:18)(cid:19)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:20)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
이를 r`cm라고 하면
△ABC=
_5_12=
_13_r, r=
;2!;
따라서 반지름의 길이는
`cm이다.
;2!;
;1^3);
(cid:125)(cid:10709)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:17)(cid:19)
;1^3);
(cid:4441)(cid:3993)(cid:1)(cid:125)(cid:1)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:17)(cid:21)
(cid:6705)(cid:1)(cid:1889)(cid:10685)(cid:1)(cid:10709)(cid:5509)(cid:9048)
원뿔대의 전개도는 다음 그림과 같고, 옆면은 색칠한 부분
10
이다.
8 cm 10 cm
(밑넓이)=6_6=36`(cmÛ`)
(옆넓이)=(6_4)_6=144`(cmÛ`)
따라서 정육면체의 겉넓이는
36_2+144=216`(cmÛ`)
다른 풀이
정육면체는 합동인 정사각형 6개로 이루어져 있으므로
답⃞ ④
2
⑴ (밑넓이)=p_2Û`=4p`(cmÛ`)
⑵ 옆면의 모양은 직사각형이고 가로의 길이는 밑면인 원
의 둘레의 길이와 같으므로
(옆넓이)=2p_2_5=20p`(cmÛ`)
⑶ (겉넓이)=2_4p+20p=28p`(cmÛ`)
답⃞ ⑴ 4p`cmÛ` ⑵ 20p`cmÛ` ⑶ 28p`cmÛ`
yy ❶
2-1
주어진 입체도형은 밑면인 원의 반지름의 길이가 6`cm이
고 중심각의 크기가 60ù인 부채꼴이므로 구하는 겉넓이는
12 cm
따라서 구하는 둘레의 길이는
(2_p_8)+(2_p_12)+2_10
=16p+24p+20
=40p+20`(cm)
단계
채점 기준
❶ 원뿔의 전개도에서 옆면의 모양을 구한다.
❷ 옆면의 둘레의 길이를 구한다.
yy ❷
배점 비율
40`%
60`%
2_p_6Û`_
+
2p_6_
+6+6
_10
;3¤6¼0;
{
;3¤6¼0;
}
=12p+20p+120
=32p+120`(cmÛ`)
답⃞ (32p+120)`cmÛ`
P.94
3
⑴ (밑넓이)=
_4_3+
_5_3=
`(cmÛ`)
;2!;
:ª2¦:
⑵ (부피)=
_4=54`(cmÜ`)
;2!;
:ª2¦:
답⃞ ⑴
`cmÛ` ⑵ 54`cmÜ`
:ª2¦:
3-1
(부피)=
_6_3
_5=45`(cmÜ`)
{;2!;
}
답⃞ 45`cmÜ`
03
기둥의 겉넓이와 부피
1
5 cm
3 cm
4 cm
6 cm
3 cm
5 cm
4 cm
6 cm
P.93
4
⑴ (밑넓이)=p_4Û`=16p`(cmÛ`)
⑵ (부피)=16p_10=160p`(cmÜ`)
답⃞ ⑴ 16p`cmÛ` ⑵ 160p`cmÜ`
(밑넓이)=
_4_3=6`(cmÛ`)이고
;2!;
(옆넓이)=(3+4+5)_6=72`(cmÛ`)이므로
따라서
(겉넓이)=2_6+72=84`(cmÛ`)
(부피)=16p_8=128p`(cmÜ`)
답⃞ 풀이 참조
4-1
직사각형을 회전하여 생기는 회전체는
오른쪽 그림과 같은 원기둥이다.
(밑넓이)=p_4Û`=16p`(cmÛ`)
30 | 정답 및 해설
(cid:25)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
(cid:21)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
답⃞ 128p`cmÜ`
(cid:125)(cid:10709)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:17)(cid:20)
(cid:4441)(cid:3993)(cid:1)(cid:125)(cid:1)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:17)(cid:22)
(cid:6705)(cid:1)(cid:1889)(cid:10685)(cid:1)(cid:10709)(cid:5509)(cid:9048)
실력 다지기
PP.95~96
02 ③
04 ④
03 풀이 참조
06 ⑴ (75p+108)`cmÛ` ⑵ 135p`cmÜ`
08 ①
09 풀이 참조
01 ④
05 ①
07 ②
10 168p`cmÜ`
01
02
03
04
05
전개도로 만들어지는 입체도형은 삼각기둥이므로
(밑넓이)=
_8_6=24`(cmÛ`)
;2!;
(옆넓이)=(6+10+8)_5=120`(cmÛ`)
따라서 이 입체도형의 겉넓이는
24_2+120=168`(cmÛ`)
정육면체의 한 모서리의 길이를 x`cm라고 하면
(x_x)_6=54, 6xÛ`=54, xÛ`=9
yy ❶
이때 x>0이므로 x=3이다.
따라서 구하는 모서리의 길이는 3`cm이다.
yy ❷
단계
채점 기준
❶ 모서리의 길이 구하는 식을 세운다.
❷ 모서리의 길이를 구한다.
배점 비율
40`%
60`%
(기둥의 부피)=(밑넓이)_(높이)이므로
48=
_4_3_(높이), 48=6_(높이), (높이)=8
;2!;
따라서 이 삼각기둥의 높이는 8`cm이다.
원기둥의 높이를 h`cm라고 하면
(겉넓이)=2_(p_4Û`)+2p_4_h=88p이므로
32p+8ph=88p에서 8ph=56p, h=7
따라서 이 원기둥의 높이는 7`cm이다.
06
⑴ (겉넓이)=2_
p_6Û`_
{
;3!6%0);}
+6+6
_9
}
+
2p_6_
{
;3!6%0);
=30p+45p+108
=75p+108`(cmÛ`)
08
전개도로 만들어지는 입체도형은
오른쪽 그림과 같다.
(cid:22)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
(밑넓이)=p_4Û`_
;3»6¼0;
=4p`(cmÛ`)
따라서 (부피)=4p_5=20p`(cmÜ`)
(cid:21)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
(cid:21)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
09
원기둥 B의 높이를 h`cm라고 하면 두 원기둥 A, B의
부피가 서로 같으므로
p_6Û`_4=p_4Û`_h에서 h=9이다.
따라서 원기둥 B의 높이는 9`cm이다.
(cid:125)(cid:10709)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:17)(cid:21)
(cid:4441)(cid:3993)(cid:1)(cid:125)(cid:1)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:17)(cid:24)
(cid:6705)(cid:1)(cid:1889)(cid:10685)(cid:1)(cid:10709)(cid:5509)(cid:9048)
yy ❶
yy ❷
단계
채점 기준
❶ 원기둥 B의 높이 구하는 식을 세운다.
❷ 원기둥 B의 높이를 구한다.
배점 비율
60`%
40`%
10
오른쪽 그림과 같은 입체도형이
생기므로
(부피) =p_2Û`_6+p_6Û`_4
=24p+144p
=168p`(cmÜ`)
2 cm
6 cm
4 cm
6 cm
P.97
답⃞ 39`cmÛ`
04
뿔의 겉넓이와 부피
1
(밑넓이)=3_3=9`(cmÛ`)이고
(옆넓이)=4_
_3_5
=30`(cmÛ`)이므로
{;2!;
}
(겉넓이)=9+30=39`(cmÛ`)
1-1
⑴ a=8, b=12
⑵ 12_12=144`(cmÛ`)
⑶ 4_
_12_8
=192`(cmÛ`)
{;2!;
}
⑷ 144+192=336`(cmÛ`)
답⃞ ⑴ a=8, b=12 ⑵ 144`cmÛ` ⑶ 192`cmÛ` ⑷ 336`cmÛ`
2
⑴ (부채꼴의 호의 길이)=2p_4=8p`(cm)
_12_8p=64p`(cmÛ`)
;2!;
답⃞ ⑴ 8p`cm ⑵ 64p`cmÛ`
⑵ (부피)=
p_6Û`_
_9=135p`(cmÜ`)
{
;3!6%0);}
⑵ (원뿔의 겉넓이)=p_4Û`+
07
(밑넓이)=
_7_2+
_7_5=
`(cmÛ`)
;2!;
:¢2»:
;2!;
따라서 (부피)=
_8=196`(cmÜ`)
:¢2»:
2-1
(원래 원뿔의 밑넓이)=p_9Û`=81p`(cmÛ`)
(잘라낸 원뿔의 밑넓이)=p_3Û`=9p`(cmÛ`)
Ⅱ. 평면도형과 입체도형 | 31
개념편 (옆넓이)=(원래 원뿔의 옆넓이)-(잘라 낸 원뿔의 옆넓이)
02
⑴ (겉넓이)=(3_3+6_6)+4_
_(3+6)_4
[;2!;
]
=
_15_18p-
_5_6p
;2!;
;2!;
=120p`(cmÛ`)
따라서
(겉넓이)=81p+9p+120p=210p`(cmÛ`)
답⃞ 120p`cmÛ`
P.98
3
⑴
_
;3!;
{;2!;
_6_6
_8=48`(cmÜ`)
}
⑵
_(5_5)_6=50`(cmÜ`)
;3!;
답⃞ ⑴ 48`cmÜ` ⑵ 50`cmÜ`
3-1
사각뿔의 높이를 h`cm라고 하면
_(6_6)_h=96, 12h=96, h=8
;3!;
따라서 이 사각뿔의 높이는 8`cm이다.
=45+72
=117`(cmÛ`)
⑵ (겉넓이)
=45p+45p
=90p`(cmÛ`)
=(p_3Û`+p_6Û`)+
_10_12p-
_5_6p
{;2!;
;2!;
}
03
밑면인 원의 둘레의 길이는 부채꼴의 호의 길이와 같다.
(부채꼴의 호의 길이)=2p_6_
=4p`(cm)
;3!6@0);
따라서 밑면인 원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면
2pr=4p이므로 r=2이다.
따라서
(겉넓이)=p_2Û`+p_6Û`_
=16p`(cmÛ`)
;3!6@0);
4
⑴ (밑넓이)=p_4Û`=16p`(cmÛ`)
⑵ (부피)=
_16p_6=32p`(cmÜ`)
;3!;
답⃞ ⑴ 16p`cmÛ` ⑵ 32p`cmÜ`
4-1
원뿔의 높이를 h`cm라고 하면
_(p_9Û`)_h=108p, 27ph=108p, h=4
;3!;
따라서 이 원뿔의 높이는 4`cm이다.
답⃞ 8`cm
04
(밑넓이)=
_(1+4)_4=10`(cmÛ`)
;2!;
(옆넓이)=(4+4+5+1)_6=84`(cmÛ`)
따라서 이 사각기둥의 겉넓이는
10_2+84=104`(cmÛ`)
오른쪽 그림과 같은 회전체가 생기
05
므로
⑴ (겉넓이)=p_6Û`
+
_10_12p
;2!;
=96p`(cmÛ`)
10
8
6
답⃞ 4`cm
⑵ (부피)=
_(p_6Û`)_8
;3!;
=96p`(cmÜ`)
실력 다지기
PP.99~100
06
(겉넓이)=(10_10)+4_
_10_13
{;2!;
}
03 ④
02 ⑴ 117`cmÛ` ⑵ 90p`cmÛ`
05 ⑴ 96p`cmÛ` ⑵ 96p`cmÜ`
01 ②
04 ②
06 (겉넓이)=360`cmÛ`, (부피)=400`cmÜ`
07 ⑴ 96p`cmÜ` ⑵ 8`cm
09 ⑤
10 24p`cmÜ`
08 풀이 참조
01
(밑넓이)=5_5=25`(cmÛ`),
(옆넓이)=4_
_5_8
=80`(cmÛ`)이므로
{;2!;
(겉넓이) =25+80=105`(cmÛ`)
}
32 | 정답 및 해설
=100+260=360`(cmÛ`)
(부피)=
_(10_10)_12
;3!;
=400`(cmÜ`)
07
⑴ (원기둥의 부피)=(p_4Û`)_6=96p`(cmÜ`)
⑵ 원뿔의 높이를 h`cm라고 하면
(원뿔의 부피)=
;3!;
12ph=96p, h=8
_(p_6Û`)_h=96p이므로
따라서 이 원뿔의 높이는 8`cm이다.
08
큰 원뿔의 부피는
;3!;
작은 원뿔의 부피는
_p_24Û`_18=3456p`(cmÜ`)
yy ❶
1-1
⑴ (구의 겉넓이)=4p_5Û`=100p`(cmÛ`)
⑵ (구의 겉넓이)=4p_8Û`=256p`(cmÛ`)
답⃞ ⑴ 100p`cmÛ` ⑵ 256p`cmÛ`
_p_8Û`_6=128p`(cmÜ`)
;3!;
따라서 원뿔대의 부피는
3456p-128p=3328p`(cmÜ`)
단계
채점 기준
❶ 큰 원뿔의 부피를 구한다.
❷ 작은 원뿔의 부피를 구한다.
❸ 원뿔대의 부피를 구한다.
yy ❸
배점 비율
40`%
40`%
20`%
09
(그릇에 담긴 물의 양)=(삼각뿔의 부피)
=
_
;3!;
{;2!;
_10_8
_6
}
=80`(cmÜ`)
(그릇 전체의 부피) =(10_8)_6
=480`(cmÜ`)
따라서 그릇에 담긴 물의 양과 그릇 전체의 부피의 비는
80`:`480=1`:`6이다.
다른 풀이
10`cm=a, 8`cm=b, 6`cm=c라고 하면
(그릇에 담긴 물의 양)=
_
_a_b
_c
;3!;
{;2!;
}
(그릇 전체의 부피) =(a_b)_c
=
abc
;6!;
=abc
따라서 그릇에 담긴 물의 양과 그릇 전체의 부피의 비는
10
오른쪽 그림과 같은 회전체가
생기므로
(부피)=(p_3Û`)_4
4 cm
-
_(p_3Û`)_4
3 cm
;3!;
=36p-12p
=24p`(cmÜ`)
yy ❷
2
반지름의 길이가 5`cm인 구가 생기므로
(겉넓이)=4p_5Û`=100p`(cmÛ`)
2-1
;2!;
_(4p_6Û`)+p_6Û`=72p+36p
=108p`(cmÛ`)
답⃞ 100p`cmÛ`
답⃞ 108p`cmÛ`
P.102
3
⑴ (부피)=
p_6Ü`=288p`(cmÜ`)
;3$;
⑵ (부피)=
_
p_3Ü`
=18p`(cmÜ`)
;2!;
{;3$;
}
답⃞ ⑴ 288p`cmÜ` ⑵ 18p`cmÜ`
3-1
(반지름의 길이가 4`cm인 구의 부피)
=
p_4Ü`=
p`(cmÜ`)
(반지름의 길이가 2`cm인 구의 부피)
;3$;
;3$;
256
3
32
3
=
p_2Ü`=
p`(cmÜ`)
따라서
p=8_
p이므로 반지름의 길이가 4`cm인
256
3
32
3
구의 부피는 반지름의 길이가 2`cm인 구의 부피의 8배이다.
답⃞ 8배
따라서 구의 부피는
p_7Ü`=
p`(cmÜ`)이다.
;3$;
1372
3
답⃞
1372
3
p`cmÜ`
⑴ 원기둥의 높이는 구의 지름의 길이와 같으므로 6`cm
4-1
이다.
⑵ (구의 부피)=
p_3Ü`=36p`(cmÜ`)
;3$;
36p：(원기둥의 부피)=2：3이므로
(원기둥의 부피)=
=54p`(cmÜ`)
36p_3
2
abc`:`abc=abc`:`6abc=1`:`6이다.
;6!;
4
지름의 길이가 14`cm이므로 반지름의 길이는 7`cm이다.
05
구의 겉넓이와 부피
⑶ (나머지 공간의 부피) =(원기둥의 부피)-(구의 부피)
P.101
=54p-36p
=18p`(cmÜ`)
1
⑴ (구의 중심을 지나는 원의 넓이)=p_6Û`=36p`(cmÛ`)
답⃞ ⑴ 6`cm
⑵ (구의 겉넓이)=4p_6Û`=144p`(cmÛ`)
⑵ (구의 부피)=36p`cmÜ`, (원기둥의 부피)=54p`cmÜ`
답⃞ ⑴ 36p`cmÛ` ⑵ 144p`cmÛ`
⑶ 18p`cmÜ`
Ⅱ. 평면도형과 입체도형 | 33
개념편 실력 다지기
PP.104~105
(구의 부피)=
p_6Ü`=288p`(cmÜ`)
;3$;
중단원 마무리
PP.106~109
10
③ 원뿔－이등변삼각형
01
02
03
02 ③
06 ③
01 ⑤
05 ③
08 풀이 참조
04 132p`cmÛ`
03 ⑤
07 풀이 참조
09 32p`cmÜ`, 48p`cmÜ` 10 ④
S=4p_3Û`=36p, V=
p_3Ü`=36p
;3$;
반지름의 길이를 x`cm라고 하면
4pxÛ`=676p, xÛ`=169, x=13
따라서 농구공의 반지름의 길이는 13`cm이다.
구의 겉넓이의
에 단면인 사분원 3개의 넓이의 합을 더하
7
8
면 된다. 따라서
(겉넓이)=
_(4p_6Û`)+3_
p_6Û`
{;4!;
}
;8&;
=126p+27p
=153p`(cmÛ`)
(남은 물의 양)=432p-288p=144p`(cmÜ`)
따라서
;3$;
;3$;
있다.
단계
❶
❷
07
(반지름의 길이가 6`cm인 쇠공의 부피)
=
p_6Ü`=288p`(cmÜ`)
yy ❶
(반지름의 길이가 3`cm인 쇠공의 부피)
=
p_3Ü`=36p`(cmÜ`)
yy ❷
이때 288p=8_36p이다.
따라서 반지름의 길이가 6`cm인 쇠공의 부피가 반지름의
길이가 3`cm인 쇠공의 부피의 8배이므로 8개를 만들 수
채점 기준
반지름의 길이가 6`cm인 쇠공의 부피를 구
한다.
반지름의 길이가 3`cm인 쇠공의 부피를 구
한다.
❸ 쇠공의 개수를 구한다.
yy ❸
배점 비율
40`%
40`%
20`%
04
(입체도형의 겉넓이)
=
_(구의 겉넓이)+(원뿔의 옆넓이)
;2!;
;2!;
=
_4p_6Û`+
_10_12p
;2!;
=72p+60p=132p`(cmÛ`)
05
구하는 겉넓이는 오른쪽 그림의 반구의
윗부분의 겉넓이와 원기둥의 옆넓이, 밑
=
_(4p_3Û`)+2p_3_6+p_3Û`
넓이를 더한 것이므로
(겉넓이)
;2!;
=18p+36p+9p
=63p`(cmÛ`)
06
구의 부피는 원기둥의 부피의
이므로 남은 물의 양은
2
3
원기둥의 부피의
이다.
따라서
1
3
;3!;
(남은 물의 양)=
_p_6Û`_12=144p`(cmÜ`)
다른 풀이
(물의 양) =(원기둥의 부피)
=p_6Û`_12=432p`(cmÜ`)
34 | 정답 및 해설
08
(원기둥의 부피) =p_3Û`_18
=162p`(cmÜ`)
yy ❶
(테니스 공 3개의 부피)=3_
p_3Ü`
{;3$;
=3_36p
}
=108p`(cmÜ`)
yy ❷
따라서 구하는 부피는
162p-108p=54p`(cmÜ`)
단계
채점 기준
❶ 원기둥의 부피를 구한다.
❷ 테니스 공 3개의 부피를 구한다.
3 cm
6 cm
❸
공이 들어 있는 부분을 제외한 나머지 부분의
부피를 구한다.
yy ❸
배점 비율
40`%
40`%
20`%
16p：(구의 부피)=1：2에서
09
(구의 부피)=32p`(cmÜ`)
16p：(원기둥의 부피)=1：3에서
(원기둥의 부피)=48p`(cmÜ`)
반지름의 길이가 3`cm인 반구의 부피에서 밑면의 반지름
10
의 길이와 높이가 모두 3`cm인 원뿔의 부피를 빼면 된다.
따라서 구하는 부피는
_
_p_3Ü`
-
{;3$;
;2!;
=18p-9p=9p`(cmÜ`)
;3!;
}
_p_3Û`_3
02 ⑤
01 ③
06 ④
05 ②
09 ①
10 ③
14 70`cmÛ` 15 ③
18 360p`cmÜ`
04 십각뿔대
03 ④
07 정팔면체
11 ③
12 ④
17 3번
16 ②
19 52초 20~24 풀이 참조
08 ④
13 ①
01
① 오각뿔 - 삼각형
② 육각뿔대 - 사다리꼴
④ 사면체 - 삼각형
⑤ 오각기둥 - 직사각형
면의 개수는 다음과 같다.
① 4 ② 6 ③ 6 ④ 5 ⑤ 7
④ 모서리의 개수는 10이다.
두 밑면이 평행하고 옆면이 모두 사다리꼴인 다면체는 각
뿔대이다.
따라서 면의 개수가 12인 각뿔대는 십각뿔대이다.
② 원뿔을 오른쪽 그림과 같이 자르면
삼각형이 아니다.
모서리의 개수는 다음과 같다.
① 12 ② 18 ③ 14 ④ 21 ⑤ 24
각 면이 정삼각형인 정다면체는 정사면체, 정팔면체, 정이
십면체이다. 이 중에서 꼭짓점의 개수가 6, 한 꼭짓점에 모
인 면의 개수가 4인 정다면체는 정팔면체이다.
④ 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자르면 그 단면
은 회전체에 따라 달라진다.
02
03
04
05
06
07
08
09
원기둥, 원뿔대, 구가 회전체이므로 보기에서 회전체인 것
은 ㄴ, ㄹ, ㅂ이다.
(기둥의 부피)=(밑넓이)_(높이),
(뿔의 부피)=
_(밑넓이)_(높이)
;3!;
이므로 밑넓이와 높이가 모두 같은 기둥은 밑면의 모양에
상관없이 부피가 서로 같다.
① ABê가 회전축일 때, 오른쪽 그림
D
A
과 같이 원뿔대가 만들어 진다.
C
B
사다리꼴로 생기는 회전체는 오른쪽
그림과 같은 원뿔대이다.
(cid:21)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
(cid:21)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
(cid:24)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
(cid:24)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
(cid:23)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
(cid:23)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
(cid:24)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
(cid:24)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:19)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:19)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
원뿔대를 회전축을 포함하는 평면으
로 잘랐을 때 생기는 단면은 오른쪽
그림과 같은 사다리꼴이다.
따라서 단면의 넓이는
_(8+12)_7
;2!;
=70`(cmÛ`)
(겉넓이)=(2_2+6_6)+4_
=40+48=88`(cmÛ`)
(cid:125)(cid:10709)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:17)(cid:22)
(cid:125)(cid:10709)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:17)(cid:22)
(cid:4441)(cid:3993)(cid:1)(cid:125)(cid:1)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:18)(cid:21)(cid:6705)(cid:1)
(cid:4441)(cid:3993)(cid:1)(cid:125)(cid:1)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:18)(cid:21)(cid:6705)(cid:1)
_(2+6)_3
(cid:1889)(cid:10685)(cid:1)(cid:10709)(cid:5509)(cid:9048)
]
(cid:1889)(cid:10685)(cid:1)(cid:10709)(cid:5509)(cid:9048)
[;2!;
구하는 겉넓이는 원뿔의 옆넓이와 원기둥의 옆넓이,
밑넓이의 합이므로
(겉넓이)=
_5_6p+2p_3_3+p_3Û`
;2!;
=15p+18p+9p
=42p`(cmÛ`)
11
12
13
14
15
16
17
다면체
사각뿔 오각기둥 삼각뿔대 정사면체
(큰 원의 둘레의 길이)=2_9p=18p
꼭짓점의 개수
모서리의 개수
면의 개수
5
8
5
10
15
7
6
9
5
4
6
4
(원뿔의 밑면의 둘레의 길이)=2_3p=6p
따라서 원뿔이 3번 회전하면 원래의 자리로 돌아온다.
다른 풀이
Ⅱ. 평면도형과 입체도형 | 35
개념편 (원뿔의 옆넓이)_(구른 횟수)=(원 O의 넓이)이므로
따라서 구하는 부피는
x번을 굴러서 원래의 자리로 돌아왔다고 하면
_9_6p
_x=p_9Û`, 27px=81p, x=3
{;2!;
따라서 원뿔이 3번 회전하면 원래의 자리로 돌아온다.
}
;3$;
p_3Ü`-(p_2Û`)_2=36p-8p=28p`(cmÜ`)
단계
채점 기준
❶ 회전체가 어떤 모양인지 안다.
❷ 입체도형의 부피를 구한다.
yy ❷
배점 비율
40`%
60`%
따라서 9prÛ`h=27_
prÛ`h에서 원뿔 모양의 통의 부피
는 물의 부피의 27배이므로 더 채워야 할 물의 부피는 26
따라서
22
(고무 풍선의 겉넓이)=4p_3Û`=36p`(cmÛ`) yy ❶
고무 풍선의 반지름의 길이가 2배가 되도록 바람을 넣었으
므로 바람을 넣은 고무 풍선의 반지름의 길이는 6`cm이다.
따라서 바람을 넣은 고무 풍선의 겉넓이는
4p_6Û`=144p`(cmÛ`)
따라서 겉넓이는
yy ❷
144p-36p=108p`(cmÛ`)만큼 늘어났다.
yy ❸
r
3h
h
단계
채점 기준
배점 비율
❶ 고무 풍선의 겉넓이를 구한다.
❷ 바람을 넣은 고무 풍선의 겉넓이를 구한다.
❸ 늘어난 겉넓이를 구한다.
40`%
40`%
20`%
23
반지름의 길이가 3`cm인 구 8개가 정육면체 안에 꼭 맞게
들어 있으므로 정육면체의 한 모서리의 길이는
3_4=12`(cm)이다.
yy ❶
(빈 공간의 부피)=(정육면체의 부피)-(구 8개의 부피)
=(12_12)_12-8_
p_3Ü`
{;3$;
}
=1728-288p`(cmÜ`)
yy ❷
단계
채점 기준
❶ 정육면체의 한 모서리의 길이를 구한다.
❷ 빈 공간의 부피를 구한다.
배점 비율
30`%
70`%
yy ❶
24
피라미드의 높이를 h`cm라고 하면
_12_12_h=480
;3!;
48h=480, h=10
yy ❶
따라서 이 피라미드의 높이는 10`cm이다.
yy ❷
단계
채점 기준
❶ 피라미드의 높이를 구하는 식을 세운다.
❷ 피라미드의 높이를 구한다.
배점 비율
60`%
40`%
18
원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면
원기둥의 전개도에서 직사각형의 가로의 길이는
밑면인 원의 둘레의 길이와 같으므로
12p=2pr, r=6
따라서 이 원기둥의 부피는
(p_6Û`)_10=360p`(cmÜ`)
19
수면의 반지름의 길이를 r라고 하면
3r
원뿔 모양의 통의 밑면의 반지름의 길
이는 3r이므로 물의 부피와 원뿔 모양
의 통의 부피를 구하여 비교한다.
(물의 부피)=
prÛ`h
;3!;
(원뿔 모양의 통의 부피)=
_{p_(3r)Û`}_3h
;3!;
=9prÛ`h
1
3
배이다.
이때 앞으로 x초가 더 걸린다고 하면
1：26=2：x, x=52
따라서 앞으로 52초가 더 걸린다.
20
색칠한 부분을 직선 l을 회전축으로 하여 1회전 시켰을 때
생기는 입체도형의 부피는
p_6Ü`-
p_3Ü`=252p`(cmÜ`)이다.
;3$;
;3$;
따라서 xù만큼 회전 시켰다고 하면
252p_
=84p이므로 ∠x=120ù이다.
yy ❷
x
360
단계
채점 기준
❶ 1회전 시킨 회전체의 부피를 구한다.
❷ 회전한 각도를 구한다.
배점 비율
60`%
40`%
21
직선 l을 회전축으로 하여 1회전 시
키면 오른쪽 그림과 같이 반지름의
2 cm
3 cm
길이가 3`cm인 구에서 밑면인 원
의 반지름의 길이가 2`cm, 높이가
2 cm
2`cm인 원기둥을 파낸 모양의 입
체도형이 생긴다.
yy ❶
36 | 정답 및 해설
⑴ 자료를 정리한 줄기와 잎 그림은 다음과 같다.
1
(1|5는 15세)
(B)
10 `~`15
(C)
통계Ⅲ
1. 자료의 정리
01
줄기와 잎 그림, 도수분포표
줄기
1
2
3
잎
5 , 7 , 8
1 , 2 , 3 , 3 , 4
1 , 4
⑵ 줄기는 1, 2, 3이다.
⑶ 잎이 가장 많은 줄기는 2이다.
⑸ 도수분포표로부터 4이다.
⑹ 계급의 구간값을 구하면 10권 이상 15권 미만이다.
답⃞ ⑴ 25개 ⑵ 풀이 참조 ⑶ 5권 ⑷ 5
⑸ 4 ⑹ 10권 이상 15권 미만
4-1
⑴, ⑵
학생 수(명)
조개 수(개)
0이상`~` 5미만
5 `~`10
15 `~`20
20 `~`25
합계
///
//// //
//// /
//// /
///
3
7
6
6
3
25
(A)
⑶ 계급의 크기는 일정하므로 5-0=5(개)이다.
⑷ 계급 0개 이상 5개 미만, 5개 이상 10개 미만, 10개 이
상 15개 미만, 15개 이상 20개 미만, 20개 이상 25개
미만의 5이다.
⑸ 도수가 7인 5개 이상 10개 미만인 계급이다.
⑹ 조개의 수가 20인 학생이 속하는 계급은 20개 이상 25
답⃞ ⑴ A=25, B=10, C=15 ⑵ 표 참조 ⑶ 5개
⑷ 5 ⑸ 5개 이상 10개 미만 ⑹ 20개 이상 25개 미만
P.112
답⃞ 표 참고
답⃞ 1, 2, 3
답⃞ 2
답⃞ 34세
⑷ 회원 중 가장 나이가 많은 사람의 나이는 34세이다.
개 미만이다.
⑴ 과학 성적이 70점 이하인 학생 수는 2명이다.
⑵ 과학 성적이 90점 이상인 학생 수는 5명이다.
⑶ 세 번째로 점수가 높은 학생의 점수는 93점이다.
5
⑴ 조사 대상이 28명이므로
B=28, A=28-(3+8+5+2)=10
답⃞ ⑴ 2명 ⑵ 5명 ⑶ 93점
⑵ 80점 이상인 학생 수는 5+2=7(명)이고, 전체 학생 수
2
3
답⃞ ⑴ (ㄱ) 7 (ㄴ) //// / (ㄷ) 6 (ㄹ) ///
(ㅁ) 3 (ㅂ) 20
⑵ 20명
3-1
답⃞ ⑴ 변량 ⑵ 계급 ⑶ 계급의 크기
⑷ 도수 ⑸ 도수분포표
⑴ 변량의 개수는 자료의 수량이므로 변량은 25개이다.
4
⑵
읽은 책(권)
5이상`~`10미만
10 `~`15
15 `~`20
20 `~`25
25 `~`30
합계
학생 수(명)
////
//// /
//// ///
////
///
25
4
6
8
4
3
⑶ 계급의 크기는 계급의 양 끝값의 차이므로
10-5=15-10=y=30-25=5(권)
⑷ 계급의 개수는 5이다.
는 28명이므로
P.113
_100=25`(%)
;2¦8;
⑶ 성적이 높은 쪽에서 10번째인 학생은 70점 이상 80점
미만인 계급에 속한다.
답⃞ ⑴ A=10, B=28 ⑵ 25`% ⑶ 70점 이상 80점 미만
5-1
④ 황사 농도가 120`µg/mÜ` 이상 관측된 날은
6+2=8(일)이다.
⑤ 도수가 가장 큰 계급은 도수가 12인 계급 60`µg/mÜ` 이
P.114
상 90`µg/mÜ` 미만이다.
답⃞ ④, ⑤
실력 다지기
PP.115~116
02 ⑴ 7명 ⑵ 4 ⑶ 5분, 52분
01 ④
03 ⑴ 표 참조 ⑵ 0세 이상 10세 미만 ⑶ 20`%
04 ⑴ 4 ⑵ 120`km/시 이상 130`km/시 미만 ⑶ 15
⑷ 100`km/시 이상 110`km/시 미만
05 ⑴ ④ ⑵ ②
06 풀이 참조
Ⅲ. 통계 | 37
개념편 01
① 잎이 가장 많은 줄기는 3이다.
② 학생 수는 잎의 개수와 같으므로 윤수네 반 학생 수는
3+5+9+4=21(명)이다.
③ 칭찬 카드를 가장 많이 받은 학생은 48개 받았다.
이므로 전체의
_100=20`(%)이다.
;2¢0¼0;
06
8개 미만인 학생 수가 전체의 20`%이므로
2-1
⑴ 계급의 개수는 6이다.
히스토그램에서 직사각형의 넓이의 합과 같으므로
⑵ 65-60=70-65=y=90-85=5
15+30+50+40+25=160
⑶ 도수가 가장 큰 계급은 도수가 9인 70 이상 75 미만이다.
답⃞ ⑴ 그림 참조 ⑵ 5, 5회 ⑶ 80회 이상 85회 미만
⑷ 60 이상 65 미만, 65 이상 70 미만인 계급의 도수가 각
⑷ 차례로 15, 30, 50, 40, 25 ⑸ 160
⑤ 칭찬 카드를 26개 이상 33개 이하 받은 학생 수는 26
_100=20, 20+A=50, 즉 A=30이다.
각 2, 6이므로 불쾌지수가 70 미만인 날은 2+6=8(일)
개, 27개, 32개, 32개, 33개의 5명이다.
이다.
따라서 B=250-(20+30+80+70)=50이므로
답⃞ ⑴ 6 ⑵ 5 ⑶ 70 이상 75 미만 ⑷ 8일
yy ❶
yy ❷
yy ❸
40`%
40`%
20`%
P.117
20+A
250
B-A=20이다.
단계
채점 기준
배점 비율
❶ A의 값을 구한다.
❷ B의 값을 구한다.
❸ B-A의 값을 구한다.
02
⑴ 15분 미만인 학생 수는 4+3=7(명)
⑵ 기다린 시간이 42분인 학생이 속하는 줄기는 4이다.
⑶ 가장 적게 기다린 시간은 5분이고 가장 많이 기다린 시
간은 52분이다.
나이
(세)
0이상
~`10미만
10
~20
20
~30
30
~40
40
~50
50
~60
60
~70
70
~80
80
~90
합계
도수
(명)
/
1
//
2
//
2
//// //// / //// / //// // ////
4
6
6
7
5
03
⑴
//
2
35
yy ❶
yy ❷
yy ❸
배점 비율
40`%
30`%
30`%
⑵ 도수가 가장 작은 계급은 0세 이상 10세 미만이다.
02
히스토그램과 도수분포다각형
⑶ 나이가 70세 이상인 당뇨병 환자의 수는 5+2=7(명)
이고 전체 35명이므로
_100=20`(%)이다.
;3¦5;
1
⑴ (
)
단계
채점 기준
❶ ⑴ 도수분포표를 완성한다.
❷ ⑵ 도수가 가장 작은 계급을 구한다.
⑶ 나이가 70세 이상인 환자는 전체의 몇 %
❸
인지 구한다.
04
⑴ A=20-(2+8+5+1)=20-16=4
⑵ B에 들어갈 계급은 120`km/시 이상 130`km/시 미만
이다.
⑶ a=10, b=5이므로 a+b=15
⑷ 90`km/시 이상 100`km/시 미만, 100`km/시 이상
110`km/시 미만인 계급의 도수가 각각 2, 4로 그 합이
6이므로 6번째로 느리게 던진 투구는 계급 100`km/시
이상 110`km/시 미만에 속한다.
(
)
⑵ 위의 그래프는 히스토그램이다.
⑶ 계급의 개수는 6이다.
⑷ 계급의 크기는 직사각형의 가로 의 길이인 10 점이다.
⑸ 세로, 4 + 9 + 12 + 6 + 3 + 2 = 36 (명)
⑹ 도수가 가장 큰 계급은 60점 이상 70점 미만이다.
⑺ 40점 이상 50점 미만, 50점 이상 60점 미만인 계급의
도수가 각각 4, 9이므로 수학 성적이 60점 미만인 학생
수는 4+9=13(명)이다.
답⃞ ⑴ 그림 참조 ⑵ 히스토그램 ⑶ 6 ⑷ 가로, 10
⑸ 세로, 4, 9, 12, 6, 3, 2, 36 ⑹ 60점 이상 70점 미만
⑺ 13명
05
⑴ 20세 이상 30세 미만인 계급의 도수가 80이고 도수의
총합이 200이므로
_100=40`(%)
;2¥0¼0;
2
⑴ 계급의 크기는 10분이다.
⑵ 계급의 개수는 4이다.
P.118
⑵ 40세 이상 50세 미만인 계급의 도수를 a라고 하면 30세
⑶ 도수가 가장 큰 계급은 20분 이상 30분 미만이다.
이상 40세 미만인 계급의 도수는 2a이다.
⑷ 등교 시간이 30분 이상인 학생 수는 3명이다.
a+2a=200-(32+80+16)=72, 3a=72
⑸ 전체 학생 수는 9명이다.
즉, a=24이다.
답⃞ ⑴ 10분 ⑵ 4 ⑶ 20분 이상 30분 미만
따라서 40세 이상인 관람객의 수는 24+16=40(명)
⑷ 3명 ⑸ 9명
38 | 정답 및 해설
⑶ 점심 식사 시간이 짧은 쪽의 계급부터 학생 수가 2명, 7
실력 다지기
PP.120~121
명, 17명이므로 10번째 학생은 10분 이상 15분 미만인
3
⑴ 2+7+17+15+6+3=50(명)
⑵ 20분 이상인 학생 수는 6+3=9(명)이고, 전체 학생 수
는 50명이므로
_100=18`(%)
9
50
계급에 속한다.
⑷ (계급의 크기)_(세로의 길이의 합)
=5_(2+7+17+15+6+3)
=5_50=250
답⃞ ⑴ 50명 ⑵ 18`% ⑶ 10분 이상 15분 미만 ⑷ 250
3-1
③ 10+14+12+15+5+2+2=60(명)
④ 6회 미만인 학생 수는 10+14=24(명)이므로
;6@0$;
_100=40`(%)
⑤ 도서관을 10회 이용한 학생이 속하는 9회 이상 12회 미
만인 계급의 도수는 15이므로 전체의
;6!0%;
_100=25`(%)이다.
4
⑴ (명)
10
8
6
4
2
0
4-1
⑴ 도수가 8인 계급인 1시간 이상 1.5시간 미만
⑵ 0.5시간 이상 1시간 미만과 1.5시간 이상 2시간 미만인
계급의 도수가 차례로 6명, 3명이므로 2배이다.
답⃞ ⑴ 1시간 이상 1.5시간 미만 ⑵ 2배
02 ⑴ 30명 ⑵ 40`% ⑶ 표 참조
01 그림 참조
03 ⑴ 5`db ⑵ 30곳 ⑶ 60`% ⑷ 60
04 풀이 참조
06 풀이 참조
05 ⑴ ② ⑵ 20`%
01
(명)
16
12
8
4
0
5 10 15 20 25 30 35
(분)
답⃞ ⑤
P.119
02
⑴ 히스토그램의 각 직사각형의 세로의 길이가 각 계급의
도수에 해당하므로 학생 수는
6+12+6+4+2=30(명)
⑵ 사촌이 6명 이상인 학생 수는 6+4+2=12(명)이고
전체 학생 수는 30명이므로
_100=40`(%)이다.
⑶
사촌 수(명)
0이상`~` 3미만
3 `~` 6
6 `~` 9
9 `~`12
12 `~`15
합계
;3!0@;
학생 수(명)
6
12
6
4
2
30
70
75
80 85 90 95
(회)
⑵ 계급의 개수는 70회 이상 75회 미만, 75회 이상 80회
미만, 80회 이상 85회 미만, 85회 이상 90회 미만, 90
나노(개)-1-1-14
회 이상 95회 미만의 5이다.
또한 계급의 크기는
75-70=80-75=y=95-90=5(회)
⑶ 도수가 10인 계급은 80회 이상 85회 미만이다.
03
⑴ 65-60=70-65=y=90-85=5`(db)
⑵ 2+6+4+5+12+1=30(곳)
⑶ 소음도가 75`db 이상인 곳은 5+12+1=18(곳)이다.
⑷ 차례로 5_3, 5_6, 5_10, 5_8, 5_5를 계산하면
따라서
_100=60`(%)이다.
;3!0*;
15, 30, 50, 40, 25이다.
⑷ 도수가 가장 큰 계급은 80`db 이상 85`db 미만이고
⑸ 도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이는
도수가 12이므로 넓이는 5_12=60이다.
Ⅲ. 통계 | 39
개념편 04
⑴ 계급의 개수는 6이다.
⑵ 볼링 반의 전체 학생 수는
yy ❶
2+5+12+8+6+3=36(명)
yy ❷
⑶ 계급의 도수가 12인 계급은 80점 이상 90점 미만이다.
단계
❶
❷
채점 기준
배점 비율
⑴ 운동을 많이 하는 쪽에서 5번째인 학생이
속하는 계급의 학생 수는 전체의 몇 %인
지 구한다.
⑵ 150분 이상 180분 미만인 계급의 도수를
50`%
50`%
yy ❸
구한다.
⑷ 도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이는
히스토그램의 직사각형의 넓이의 합과 같으므로
10_(2+5+12+8+6+3)=10_36=360이다.
단계
채점 기준
❶ ⑴ 계급의 개수를 구한다.
❷ ⑵ 전체 학생 수를 구한다.
❸ ⑶ 도수가 가장 큰 계급을 구한다.
❹ ⑷ 넓이를 구한다.
yy ❹
배점 비율
20`%
30`%
20`%
30`%
05
⑴ ① 남학생의 수는 2+4+6+3+3+2=20(명), 여학
생의 수는 1+3+5+8+2+1=20(명)으로 같다.
② 전체 남학생 20명 중에서 12시간 미만인 학생은
2+4=6(명)이므로
_100=30`(%)
;2¤0;
③ (도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓
이)=(계급의 크기)_(도수의 총합)이다. 이때 남학
생의 그래프와 여학생의 그래프는 계급의 크기가 같
고 도수의 총합이 20으로 같으므로 둘러싸인 부분의
넓이는 같다.
도수는 2이다.
많이 한 편이다.
⑤ 여학생의 그래프가 남학생의 그래프보다 오른쪽으로
치우쳐 있으므로 여학생이 남학생보다 봉사 활동을
⑵ 다희네 반의 전체 학생 수는 20+20=40(명), 20시간
이상인 학생 수는 5+3=8(명)이므로
;4¥0;
_100=20`(%)이다.
06
⑴ 운동을 많이 하는 쪽부터 도수가 3, 6이므로 5번째로 운
동을 많이 하는 학생은 계급 210분 이상 240분 미만에
속하고 그 계급의 학생 수는 6명이다. 따라서 전체 학생
수는 60명이므로
_100=10`(%)이다. yy ❶
6
60
⑵ 120분 이상 150분 미만인 계급의 도수를 x라고 하면
03
상대도수
1
(어떤 계급의 상대도수)=
(그 계급의 도수)
(전체 도수)
이므로 표를
완성하면 다음과 같다.
키(cm)
도수(명)
상대도수
P.122
145이상`~`150미만
150 `~`155
155 `~`160
160 `~`165
165 `~`170
합계
4
9
12
10
5
40
;4¢0;
;4»0;
;4!0@;
;4!0);
;4°0;
=0.1
=0.225
=0.3
=0.25
=0.125
1
답⃞ 풀이 참조
상대도수
=
3
20
0.15
=
2
20
0.1
=
7
20
0.35
=
6
20
0.3
=
2
20
0.1
1
답⃞ 풀이 참조
1-2
⑴ B는 전체 도수이므로 30이다.
A=30-(3+9+6+3)=9
한편 상대도수의 총합은 항상 1이므로 C=1이다.
⑵ 일조량(시간)
0이상`~` 2미만
일수(일)
상대도수
2 `~` 4
4 `~` 6
6 `~` 8
8 `~`10
합계
3
9
9
6
3
30
0.1
0.3
0.3
0.2
0.1
1
④ 여학생 중에서 봉사 활동 시간이 3번째로 많은 학생
이 속하는 계급은 20시간 이상 24시간 미만이므로
1-1
점수(점)
도수(명)
6
3
7
2
8
7
9
6
10 합계
2
20
2
상대도수의 분포표를 보고 히스토그램을 그린 후 각 직사
P.123
다른 풀이
42세 이상 45세 미만인 계급의 상대도수를 x라고 하면 도
각형의 윗변의 중점을 차례대로 연결한다.
수와 상대도수는 정비례하므로 8`:`10=0.2`:`x 에서
따라서 상대도수의 그래프를 그리면 다음과 같다.
x=0.25이다.
(상대도수)
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
10 15 20 25 30 35
(분)
답⃞ 풀이 참조
3-1
40점 이상인 학생 수가 20명이므로 40점 미만인 학생 수는
50-20=30(명)이다.
따라서
=0.6이므로 35점 이상 40점 미만인 계급의
;5#0);
상대도수는 0.6-(0.08+0.2)=0.32이다.
답⃞ 0.25
답⃞ 0.32
4
P 중학교와 Q 중학교 학생들의 혈액형에 대한 상대도수를
각각 구하면 다음과 같다.
그래프를 보고 상대도수의 분포표의 빈칸을 채우면 다음과
2-1
같다.
학교
혈액형
P 중학교
Q 중학교
또 상대도수의 분포표를 보고 그래프를 완성하면 다음과
따라서 P 중학교가 Q 중학교보다 더 높은 비율을 차지하
가슴둘레(cm)
75이상`~` 80미만
80 `~` 85
85 `~` 90
90 `~` 95
95 `~`100
합계
상대도수
0.15
0.3
0.25
0.25
0.05
1
같다.
(상대도수)
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
75 80 85 90 95 100 cm
( )
답⃞ 풀이 참조
2-2
⑴ 상대도수가 가장 큰 계급은 15개 이상 20개 미만이다.
⑵ 10개 이상 15개 미만인 계급의 상대도수는 0.25이므로
구하는 도수를 x라고 하면
=0.25에서 x=5이다.
x
20
답⃞ ⑴ 15개 이상 20개 미만 ⑵ 5
A형
B형
AB형
O형
합계
=0.32
;5!0^0);
=0.46
;5@0#0);
=0.12
;5¤0¼0;
=0.1
;5°0¼0;
1
=0.33
;6!0(0*;
=0.42
;6@0%0@;
=0.13
;6¦0¥0;
=0.12
;6¦0ª0;
1
는 혈액형은 B형이다.
답⃞ B형
4-1
주어진 그래프에서 4반의 그래프가 3반의 그래프보다 위에
있는 부분의 계급을 찾으면 된다.
따라서 구하는 계급은 5시간 이상 6시간 미만, 6시간 이상
7시간 미만이다.
답⃞ 5시간 이상 6시간 미만, 6시간 이상 7시간 미만
실력 다지기
PP.125~127
02 50
04 ⑤
01 ⑴ 표 참조 ⑵ 62`%
03 풀이 참조
05 ⑴ ② ⑵ A=0.15, B=0.05
06 ⑴ 25명 ⑵ ①
08 ⑴ ③ ⑵ ③ ⑶ ④
07 ⑴ 5 ⑵ ⑤ ⑶ ②
09 풀이 참조 10 ㄱ
히스토그램의 직사각형의 넓이는 30_x =420, 즉
⑶ 6시간 이상인 계급의 상대도수의 합이 0.2+0.1=0.3
x=14이다.
이므로 일조량이 6시간 이상인 날은 전체의
따라서 150분 이상 180분 미만인 계급의 도수는
0.3_100=30`(%)이다.
60-(5+5+14+11+6+3)=16이다. yy ❷
답⃞ ⑴ A=9, B=30, C=1 ⑵ 풀이 참조 ⑶ 30`%
3
(전체 학생 수)=
=40(명)이므로 42세 이상 45세 미
;5£0¢0¼0;
=0.068,
=0.62,
=0.3,
;5#0!0)0);
;5!0%0)0);
만인 계급의 상대도수는
=0.25이다.
=0.012
;50^0)0;
8
0.2
10
40
P.124
⑴ 상대도수를 위에서부터 차례대로 구하면
01
40 | 정답 및 해설
Ⅲ. 통계 | 41
개념편 따라서 상대도수의 분포표를 완성하면 다음과 같다.
⑴ 1회 이상 3회 미만인 계급의 도수가 3이고 상대도수가
ㄱ. 여학생의 그래프가 남학생의 그래프보다 오른쪽에 있
나이가 48세 이상 56세 미만인 사람의 수를 x명이라고 하
도수(명)
상대도수
0.12이므로 민호네 반의 학생 수는
=25(명)이다.
3
0.12
으므로 여학생이 비교적 책을 더 많이 읽는다고 할 수
면 나이가 32세 이상 40세 미만인 사람의 수는 2x명이다.
ㄴ. 5권 이상인 계급의 상대도수의 합은 남학생에서
따라서 48세 이상 56세 미만인 사람의 수는 4명이다.
35=3+5+2x+14+x+1에서 x=4이다.
나이(세)
10이상`~`20미만
20 `~`30
30 `~`40
40 `~`50
합계
340
3100
1500
60
5000
0.068
0.62
0.3
0.012
1
⑵ 20세 이상 30세 미만인 계급의 상대도수는 0.62이므로
나이가 20세 이상 30세 미만인 희망자는 전체의
0.62_100=62`(%)이다.
06
07
02
(전체 도수)=
(그 계급의 도수)
(어떤 계급의 상대도수)
이므로
(전체 도수)=
=50이다.
3
0.06
03
⑴ 20점 이상인 계급의 상대도수의 합은
0.225+0.1=0.325이다.
yy ❶
따라서 성적이 20점 이상인 학생은 전체의
0.325_100=32.5`(%)이다.
yy ❷
⑵ 10점 이상 15점 미만인 계급의 상대도수가 0.2이므로
성적이 10점 이상 15점 미만인 학생 수는
0.2_40=8(명)이다.
단계
❶
❷
❸
채점 기준
⑴ 20점 이상인 계급의 상대도수의 합을 구한
⑴ 성적이 20점 이상인 학생은 전체의 몇 %
⑵ 성적이 10점 이상 15점 미만인 학생 수를
다.
인지 구한다.
구한다.
yy ❸
배점 비율
20`%
30`%
50`%
04
05
전체 학생 수가
=25(명)이므로 A=
=0.4이다.
;2!5);
7
0.28
다른 풀이
도수와 상대도수는 정비례하므로 7：10=0.28：A에서
A=0.4이다.
⑴ 155`cm 미만인 계급의 상대도수의 합은
0.025+0.175=0.2이다.
따라서 키가 155`cm 미만인 학생이 전체에서 차지하는
비율은 0.2_100=20`(%)이다.
⑵ 상대도수의 총합은 항상 1이므로
A+B=1-(0.025+0.175+0.325+0.275)=0.2
그런데 도수와 상대도수는 정비례하므로 A가 B의 3배
이어야 한다.
⑵ 민호네 반의 학생 수가 25명이고 7회 이상 9회 미만인
계급의 상대도수가 0.16이므로 구하는 학생 수는
0.16_25=4(명)이다.
⑴ 계급은 40`db 이상 45`db 미만, 45`db 이상 50`db 미
만, 50`db 이상 55`db 미만, 55`db 이상 60`db 미만,
60`db 이상 65`db 미만의 5이다.
⑵ 55`db 이상인 계급의 상대도수의 합은
0.2+0.2=0.4이다.
따라서 소음도가 55`db 이상인 지역은
전체의 0.4_100=40`(%)이다.
⑶ 전체 도수가 50이고 45`db 미만인 계급의 상대도수는
0.1이므로 소음도가 45`db 미만인 지역의 수는
0.1_50=5이다.
08
⑴ (전체 도수)=
(그 계급의 도수)
(어떤 계급의 상대도수)
이고 90점 이상
100점 미만인 계급의 도수가 12, 상대도수가 0.06이므
로 태우네 학교 1학년의 전체 학생 수는
12
0.06
=200(명)이다.
⑵ 70점 이상인 학생이 전체에서 차지하는 비율이 40`%이
므로 70점 미만인 학생이 전체에서 차지하는 비율은
60`%이다.
따라서 구하는 상대도수는
0.6-(0.14+0.18)=0.28이다.
⑶ 60점 이상 70점 미만인 계급의 상대도수가 0.28이고
70점 이상 80점 미만인 계급의 상대도수가
0.4-(0.12+0.06)=0.22이므로 60점 이상 80점 미
만인 계급의 상대도수의 합은 0.28+0.22=0.5이다.
따라서 수학 성적이 60점 이상 80점 미만인 학생 수는
0.5_200=100(명)이다.
20분 이상 30분 미만인 계급의 상대도수를 구하면 A 중학
09
따라서 등교 시간이 20분 이상 30분 미만인 학생의 비율은
교는
=0.256이고
128
500
B 중학교는
=0.25이다.
150
600
A 중학교가 더 높다.
단계
채점 기준
❶ A 중학교의 비율를 구한다.
❷ B 중학교의 비율를 구한다.
yy ❶
yy ❷
yy ❸
배점 비율
40`%
40`%
20`%
PP.128~132
전체의
_100=14`(%)이다.
;5¦0;
10
있다.
높다.
0.16+0.1=0.26, 여학생에서 0.24+0.14=0.38이
므로 5권 이상 책을 읽은 학생의 비율은 여학생이 더
ㄷ. 남녀의 전체 학생 수를 알 수 없으므로 상대도수의 그
래프만으로 3권 이상 4권 미만 읽은 학생 수를 비교할
수 없다.
따라서 옳은 것은 ㄱ이다.
중단원 마무리
01 89점 02 ③
06 ①
05 ②
11 ⑤
10 ③
15 200
16 ③
21 ④
20 ①
25 ③
24 ①
04 ③
09 ⑤
14 ⑤
19 ⑤
03 높은 편이다.
08 ②
07 ③
13 ⑤
12 ④
17 0.2
18 ②
23 ⑴ 500명 ⑵ 147명
22 ⑤
26~30 풀이 참조
국어 성적이 높은 학생의 성적부터 차례로 나열하면 99점,
96점, 93점, 92점, 89점, y, 53점, 51점
따라서 국어 성적이 5번째로 높은 학생은 89점이다.
92점은 국어 성적이 낮은 쪽에서 22번째, 국어 성적이
높은 쪽에서 4번째이므로 국어 성적이 높은 편이다.
① 도수에 대한 설명이다.
② 계급은 변량을 일정한 간격으로 나눈 구간이고 도수는
각 계급에 속하는 자료의 개수이다.
④ 계급의 크기가 너무 작으면 계급의 개수가 늘어나서
자료의 분포 상태를 한눈에 알아보기 어렵다.
⑤ 히스토그램이라고 한다.
05
② 계급의 크기는 8세로 일정하다.
③ 16세 이상 24세 미만인 사람의 수는 3명, 24세 이상 32
01
02
03
04
06
08
09
10
13
14
07
40명의 20`%는 40_
=8(명)이므로
;1ª0¼0;
A=8-2=6, B=40-(2+6+12+14+2)=4
따라서 12회 이상 15회 미만을 이용한 학생은 전체의
_100=10`(%)이다.
;4¢0;
2+5+12+16+14+1=50(명)
200`cm 미만을 뛴 학생은 2+5=7(명)이고
전체 학생 수는 50명이므로 200`cm 미만을 뛴 학생은
① 계급의 크기는 60-50=y=100-90=10(점)이다.
② 전체 학생 수는 1+5+9+6+4=25(명)이다.
③ 70점 미만인 학생은 1+5=6(명)이므로
_100=24`(%)
;2¤5;
④ 도수가 가장 작은 계급은 50점 이상 60점 미만이다.
⑤ 점수가 높은 쪽에서 5번째인 학생이 속하는 계급은
4+6=10이므로 80점 이상 90점 미만이다.
11
계급 60 이상 75 미만의 도수를 x라고 하면 계급 45 이상
60 미만의 도수는 2x이다. 이때 9월 한 달은 30일이므로
30=2+7+2x+x+3에서 x=6이다.
12
ㄱ. 계급의 개수는 5이다.
ㄴ. 전체 학생 수가 1+5+12+8+4=30(명)이므로
_100=40`(%)
;3!0@;
ㄷ. 계급 170`cm 이상 175`cm 미만의 도수가 4이므로 키
가 4번째로 큰 학생이 속하는 계급은 170`cm 이상
175`cm 미만이다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
전체 학생 수 30명의 20`%는 30_0.2=6(명)이고 키가
작은 계급부터의 도수를 차례로 더하면 1+5=6이므로 최
대 160`cm를 넘지 못한다.
민철이보다 국어 성적이 낮은 학생은 51점, 53점, 57점,
따라서 계급 45 이상 60 미만의 도수는 12이다.
60점의 4명이다.
따라서 A=0.2_
=0.15, B=0.2-0.15=0.05
;4#;
❸ A, B 중학교의 학생의 비율을 비교한다.
42 | 정답 및 해설
세 미만인 사람의 수는 5명이므로 32세 미만인 사람은
세 쌍의 삼각형 B와 C, D와 E, F와 G는 각각 밑변의 길
8명이다.
이와 높이가 같으므로 넓이가 같다.
Ⅲ. 통계 | 43
개념편 (도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이)
상 40세 미만인 계급의 상대도수의 합은
인 계급의 도수는 0.18_50=9이다.
yy ❸
30`%
40`%
30`%
yy ❶
채점 기준
배점 비율
⑴ 24회 이상인 계급의 상대도수의 합을 구한
단계
❶
다.
❷ ⑵ 은정이네 반 학생 수를 구한다.
⑶ 12회 이상 16회 미만인 계급의 도수를 구
❸
한다.
⑴ A 중학교의 그래프가 B 중학교의 그래프보다 오른쪽에
있으므로 A 중학교의 성적이 더 높다고 할 수 있다.
29
⑵ 60점 이상 80점 미만인 계급의 상대도수의 합이 A 중
학교가 0.24+0.32=0.56이고 B 중학교가
0.3+0.28=0.58이므로 60점 이상 80점 미만인 학생
이 차지하는 비율은 B 중학교가 더 높다.
yy ❷
단계
❶
❷
채점 기준
배점 비율
그래프를 보고 A, B 두 중학교 중 어느 쪽이
성적이 높은지 안다.
어떤 계급에서 두 학교의 비율을 비교할 수
있다.
40`%
60`%
30
⑴ 60점 이상 70점 미만인 계급의 상대도수는
1-(0.2+0.28+0.1+0.06)=0.36이다.
따라서 사회 성적이 60점 이상 70점 미만인 학생은
전체의 0.36_100=36`(%)이다.
yy ❶
⑵ (전체 도수)=
(그 계급의 도수)
(어떤 계급의 상대도수)
100점 미만인 계급의 상대도수가 0.06이므로 구하는
이고 90점 이상
전체 학생 수는
=50(명)이다.
yy ❷
3
0.06
단계
❶
채점 기준
배점 비율
⑴ 사회 성적이 60점 이상 70점 미만인 학생
은 전체의 몇 %인지 구한다.
❷ ⑵ 전체 학생 수를 구한다.
50`%
50`%
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
=(히스토그램의 직사각형의 넓이의 합)
=(계급의 크기)_(도수의 총합)
이므로 넓이는
5_(4+10+12+9+5)=5_40=200
③ 상대도수는 0 이상 1 이하인 소수로 나타낸다.
(어떤 계급의 상대도수)=
(그 계급의 도수)
(전체 도수)
12
60
=
=0.2
전체 도수는 4+6+10+7+3=30이고 도수가 가장 작
은 계급은 도수가 3인 20시간 이상 24시간 미만이다.
따라서 도수가 가장 작은 계급의 상대도수는
=0.1이다.
;3£0;
120분 이상 150분 미만인 계급의 도수가 2이고 그 상대도
수가 0.08이므로 규진이네 반 학생 수는
=25(명)이다.
2
0.08
따라서 0분 이상 30분 미만인 계급의 도수가 0.2_25=5
이므로 인터넷 사용 시간이 60분 미만인 학생 수는
5+8=13(명)이다.
30분 이상 60분 미만인 계급의 상대도수가
=0.32
;2¥5;
이므로 90분 이상 120분 미만인 계급의 상대도수는
1-(0.2+0.32+0.24+0.08)=0.16이다.
14.2`ppm 이상인 계급의 상대도수의 합이
0.15+0.05=0.2이므로 용존 산소량이 14.2`ppm 이상
인 강은 전체의 0.2_100=20`(%)이다.
0.7_20=14이다.
99
0.198
=500(명)
⑴ 가족의 건강이라고 말한 학생 수와 상대도수는 각각 99
명, 0.198이므로 구하는 학생 수는
⑵ 성적 향상이라고 말한 학생의 상대도수는 0.294이므로
구하는 학생 수는 500_0.294=147(명)
40세 이상인 계급의 도수의 합이 40이고 상대도수의 합이
0.16이므로 전체 고객 수는
=250(명)이다. 또한
40
0.16
1-(0.2+0.16)=0.64이다.
따라서 20세 이상 30세 미만인 계급의 상대도수가
0.64_
=0.24이므로 나이가 20세 이상 30세 미만
3
3+5
인 고객 수는 0.24_250=60(명)이다.
25
26
두 집단 A, B의 도수의 총합을 각각 5k, 4k라 하고 어느
계급의 도수를 각각 3m, 2m이라고 하면 상대도수는 각각
3m
5k
3m
5k
2m
4k
2m
4k
,
이므로 구하는 상대도수의 비는
：
=12：10=6：5이다.
⑴ 잎이 가장 많은 줄기는 2이므로 회원 수가 가장 많은 나
이대는 20대이다.
yy ❶
⑵ 줄기와 잎 그림에서 5번째로 큰 수를 찾으면 28이다.
따라서 나이가 5번째로 많은 회원의 나이는 28세이다.
⑶ 16세 이상 32세 미만인 회원 수를 구하면 16세, 18세,
20세, 21세, 25세, 28세, 29세이므로 7명이다. yy ❸
단계
채점 기준
배점 비율
❶ ⑴ 회원 수가 가장 많은 나이대를 구한다.
⑵ 나이가 5번째로 많은 회원의 나이를 구한
❷
❸
다.
구한다.
⑶ 나이가 16세 이상 32세 미만인 회원 수를
yy ❷
30`%
30`%
40`%
27
⑴ 25`% 이상 30`% 미만, 30`% 이상 35`% 미만인 계급
의 도수가 각각 3, 3이므로 드라마의 총 편 수를 x편이
라고 하면
_100=30`(%)에서 x=20이다.
3+3
x
따라서 이 드라마의 총 편 수는 20편이다. yy ❶
⑵ 20-(1+2+4+3+3)=7(편)
yy ❷
단계
❷
⑵ 시청률이 20`% 이상 25`% 미만인 편 수
구하기
배점 비율
60`%
40`%
28
⑴ 24회 이상 28회 미만인 계급의 상대도수가 0.12이고
28회 이상 32회 미만인 계급의 상대도수가 0.04이므로
24회 이상인 계급의 상대도수의 합은
0.12+0.04=0.16이다.
yy ❶
⑵ 24회 이상을 한 학생 수가 8명이고 24회 이상인 계급의
상대도수의 합이 0.16이므로 은정이네 반 학생 수는
8
0.16
=50(명)이다.
yy ❷
⑶ 은정이네 반 학생 수가 50명이고 12회 이상 16회 미만
12.7`ppm 미만인 계급의 상대도수의 합은
채점 기준
0.35+0.35=0.7이고 전체 강의 개수는 20이므로
❶ ⑴ 드라마의 총 편 수 구하기
40세 이상인 계급의 상대도수의 합이 0.16이므로 20세 이
인 계급의 상대도수가 0.18이므로 12회 이상 16회 미만
44 | 정답 및 해설
Ⅲ. 통계 | 45
개념편 유형편
정답 및 해설
Ⅰ 기본 도형과 작도
Ⅱ 평면도형과 입체도형
Ⅲ 통계
대단원 모의고사
48
62
81
89
04
①서로다른두점을지나는직선은오직하나뿐이다.
②시작하는점도같고뻗어나가는방향도같아야두반직
ABÓ=2AMÓ=2(2x-3)
=2_(8-3)=10`(cm)
05
둔각은90ù보다크고180ù보다작은각이고평각의
는
;3@;
기본 도형과 작도
Ⅰ
1. 기본 도형
도형1
01
점, 선, 면
선이서로같다.
④한점을지나는직선은무수히많다.
⑤시작하는점도같아야한다.
③
01
02
03
04
05
06
01
02
03
④
③
⑤
01
02
03
⑴평면도형은한평면위에있는도형으로정삼각형,육각
P.2
05
⑴ABê와같은직선은ADê(ㄱ)이다.
⑵ACÓ와같은선분은CAÓ(ㄹ)이다.
⑵입체도형은한평면위에있지않은도형으로삼각뿔,
형이다.
오각기둥이다.
⑴ ㄱ, ㄹ ⑵ ㄴ, ㄷ
④삼각뿔,사각기둥은입체도형이다.
⑶BC³와같은반직선은점B를시작하는점으로하고뻗
어나가는방향이점C의방향이면되므로BD³(ㄷ)이다.
⑴ ㄱ ⑵ ㄹ ⑶ ㄷ
06
③뻗어나가는방향도같아야하므로BA³+BD³이다.
④시작하는점과방향이모두다르므로CB³+BC³이다.
③, ④
⑴교점의개수는꼭짓점의개수와같으므로8이고,교선
의개수는모서리의개수와같으므로12이다.
⑴ 교점, 8, 교선, 12 ⑵ 교점, 교점, 교선, 교선
점C를지나는교선은ACÓ,BCÓ,CFÓ로3개이다.
3
두 점 사이의 거리
P.4
⑤면ACD와면BCDE의교선은모서리CD이다.
⑴두점A,B사이의거리는ABÓ이므로10`cm이다.
⑵두점B,C사이의거리는BCÓ이므로12`cm이다.
⑴ 10`cm ⑵ 12`cm
교점의개수는꼭짓점의개수와같으므로x=10이다.
두점P,Q사이의거리는가장짧은길이인PQÓ이다.
③
교선의개수는모서리의개수와같으므로y=15이다.
따라서y-x=15-10=5이다.
5
⑴점M이ABÓ의중점이므로
AMÓ=BMÓ=
ABÓ=
_8= 4 `(cm)
;2!;
;2!;
⑵ABÓ= 2 AMÓ
2
직선, 반직선, 선분
P.3
⑴
, 4 ⑵ 2
;2!;
⑴선분AB는기호로ABÓ이다.
⑵반직선AB는기호로AB³이다.
⑶직선AB는기호로ABê이다.
세점이모두한직선위에있으므로
ABê,BAê,ACê,CAê,BCê,CBê
⑴ ABÓ ⑵ AB³ ⑶ ABê
04
⑴두점P,Q가ABÓ를삼등분하는점이므로
APÓ=PQÓ=QBÓ=
ABÓ=
_15= 5 `(cm)
;3!;
;3!;
⑵AQÓ= 2 APÓ=2_5= 10 `(cm)
⑶PBÓ=
ABÓ=
_15= 10 `(cm)
;3@;
ABê, BAê , ACê , CAê , BCê , CBê
⑷PQÓ=
PBÓ
;3@;
;2!;
오른쪽그림과같이두점을이어서만들
수있는직선은6개이다.
③
48 | 정답 및 해설
⑴
, 5 ⑵ 2, 10 ⑶
, 10 ⑷
;3@;
;2!;
;3!;
05
점M이ABÓ의중점이므로
2x-3=x+1에서x=4이다.
③
④
90ù
P.6
②
06
AMÓ=MBÓ,MNÓ=NBÓ이므로
ABÓ=2MBÓ=2_2MNÓ=4MNÓ
=4_4=16`(cm)
07
ACÓ=3ABÓ이므로ABÓ=
BCÓ이고,
;2!;
AMÓ=MBÓ,BNÓ=NCÓ이므로
MNÓ=MBÓ+BNÓ
=
ABÓ+
BCÓ
;2!;
;2!;
=
_
;2!;
;2!;
BCÓ+
BCÓ
;2!;
=
BCÓ=
_8=6`(cm)
;4#;
;4#;
10`cm
180ù_
=120ù이다.
;3@;
따라서둔각은95ù,150ù,평각의
로3개이다.
;3@;
⑤
06
3∠x와∠x가한직선을이루므로
3∠x+∠x=180ù,4∠x=180ù
따라서∠x=45ù이다.
07
∠a=∠BOC+∠COD
` =
∠AOC+
∠COE
;2!;
=
(∠AOC+∠COE)
=
_180ù=90ù
;2!;
;2!;
;2!;
6`cm
01
02
03
04
각02
1
각, 각의 분류
P.5
⑴한점O에서시작하여두반직선OA,OB로이루어지
는도형을각 이라고한다.
⑵∠AOB에서각의꼭짓점O를중심으로OA³가`OB³까
지회전한양을각의크기 라고한다.
⑶각의두변이한직선을이룰때의각을평각 ,이것의크
기의
1
2 을 직각 ,0ù보다크고90ù보다작은각을 예각 ,
90ù보다크고180ù보다작은각을둔각 이라고한다.
⑴ 각 ⑵ 크기 ⑶ 평각, 직각, 예각, 둔각
01
02
03
2
맞꼭지각
⑴서로다른두직선이한점에서만나서생기는4개의각
인 교각 은∠a,∠b ,∠c ,∠d이다.
⑵교각중서로마주보는각인 맞꼭지각 은∠a와 ∠c ,
∠b와∠d이다.
⑴ 교각, ∠b, ∠c ⑵ 맞꼭지각, ∠c, ∠d
②∠AOE와같은각은∠BOF이다.
∠AOD와같은각은∠BOC이다.
⑴맞꼭지각의크기는서로같으므로
∠ AOB=∠COD= 90 ù
A
∠ x+90+70= 180 ù
따라서∠x= 20 ù이다.
∠x=∠DAC,∠y=∠ACB
⑵맞꼭지각의크기는서로같으므로
∠x=∠DAC, ∠y=∠ACB
90+∠x= 125 ù
④∠BaC라는표현은없다.
∠BAC또는∠a라고써야한다.
⑴0ù<(예각)<90ù이므로∠SOR,∠ROQ
⑶90ù<(둔각)<180ù이므로∠POR
⑶ ∠POR ⑷ ∠POQ
따라서∠x= 35 ù이다.
⑴ 90, 180, 20 ⑵ 125, 35
④
04
오른쪽그림과같이맞꼭지각의성질
을이용하면
80ù+∠x+60ù=180ù
∠x+140ù=180ù
⑴ ∠SOR, ∠ROQ ⑵ ∠POS, ∠SOQ
따라서∠x=40ù이다.
B
70˘
x
O
D
A
C
B
O
C
x
E
125˘
D
x
80˘
60˘
x
40ù
Ⅰ. 기본 도형과 작도 | 49
유형편 05
맞꼭지각의크기는서로같으므로
∠COB=∠AOD
∠x=∠y+105ù
따라서∠x-∠y=105ù이다.
06
오른쪽그림과같이맞꼭지각의
성질을이용하면
70ù+∠a+∠c+∠b=180ù
따라서∠a+∠b+∠c=110ù
이다.
06
직선l은선분AB의수직이등분선이므로
BMÓ=
ABÓ이므로x=
;2!;
;2!;
또한PAÓ=PBÓ,즉y=10
_16=8
④
x=8, y=10
70˘
a
b
c
c
03
위치 관계
1
점과 직선, 점과 평면의 위치 관계
P.8
110ù
⑴점A는직선l 위에 있다.
01
01
02
04
05
3
직교, 수선의 발, 수직이등분선
P.7
⑴ 서로 직교(수직) ⑵ 수선의 발, P, l, 거리
⑶ 수직이등분선
⑴직선AB와직선BC의교각이 직각 이므로두직선은
서로 직교 한다.
⑵선분AB의수선은 ADÓ ,BCÓ이고점A에서직선
BC에내린수선의발은점B 이다.
⑶ADÓ= BMÓ =4`(cm)에서 BMÓ =MC이고
BCÓ⊥ DMÓ 이므로직선DM은선분BC의
수직이등분선 이다.
⑷점D와BC사이의거리는최단거리인3 `cm이다.
⑴ 직각, 직교 ⑵ ADÓ, B
⑶ BMÓ, BMÓ, DMÓ, 수직이등분선 ⑷ 3
03
①ADÓ와`ABÓ는서로직교하지않는다.
②∠ABC+90ù이므로ABÓ는`BCÓ의수선이아니다.
④점D와`BCÓ사이의거리는DHÓ이다.
⑤DHÓ는`BCÓ의수선이다.
⑵직선m위에있는점은점B,점C 이다.
⑶점A는직선m 위에있지않다.
⑷직선l위에있지않은점은점C 이다.
⑸두직선l,m위에동시에있는점은점B 이다.
⑴ 위에 ⑵ C ⑶ m ⑷ C ⑸ B
①점Q는직선l위에있지않다.
④점P는직선l위에있다.
⑴점A는평면BCD위에있지않다.(×)
⑵점B는평면BCD위에있다.(○)
⑶평면ABC위에있는꼭짓점은점A,점B,점C이다.
⑷평면ABC위에있지않은꼭짓점은점D이다.(○)
⑴ × ⑵ ⑶ × ⑷
①, ④
(×)
04
직선m위에있는점은점A,점C이므로a=2이다.
두직선m,n위에동시에있는점은점C이므로
b=1이다.
이다.
직선l위에있지않은점은점C,점D,점E이므로c=3
따라서큰순서대로나열하면c,a,b이다.
점A와직선l사이의거리는ACÓ이므로8`cm이다.
③점A는면DEF위에있지않다.
③
8`cm
점B와`CDÓ사이의거리는선분BC의길이와같으므로
2
평면에서 두 직선의 위치 관계
점D와ABê사이의거리는선분BC의길이와같으므로
⑴두직선l,m은한점P에서만난다.
⑵두직선l,m은만나지않는다.(또는평행하다.)
⑶두직선l,m은일치한다.
⑴ 한 점에서 만난다. ⑵ 만나지 않는다. (또는 평행하다.)
③
⑶ 일치한다.
x=8이다.
y=8이다.`
따라서x+y=16이다.
50 | 정답 및 해설
02
03
05
01
c, a, b
③
P.9
02
03
04
05
06
02
03
⑴변AB와만나는변은ADÓ,BCÓ이다.
⑵변AD와평행한변은BCÓ이다.
모서리BE와평행한모서리는ADÓ,CFÓ이므로
04
a=2이다.
⑴ ADÓ, BCÓ ⑵ BCÓ
모서리BE와한점에서만나는모서리는ABÓ,BCÓ,DEÓ,
EFÓ이므로b=4이다.
②직선AD와직선CD는한점에서만나지만수직으로
따라서a+b=2+4=6이다.
만나지는않는다.
평면에서두직선의위치관계는ㄱ,ㄷ,ㄹ이다.
③만나지않는두직선은한평면위에있지않을수도있
고(꼬인위치),한평면위에있을수도있다.(평행)
②
ㄱ, ㄷ, ㄹ
직선BC와평행한직선은직선FG이다.
모서리BE와꼬인위치에있는모서리는ACÓ,DGÓ,FGÓ,
CFÓ이고,이중에서모서리AC와평행한모서리는DGÓ
③
이다.
오른쪽그림과같이선분을연장
하여직선을그리면직선DE와
A
H
한 점에서 만나는 직선은 직선
AB,직선BC,직선CD,직선
B
C
G
F
EF,직선FG,직선GH이므로
D
E
6개이다.
07
서로만나지않는두직선은평행한두직선이다.
따라서ABê와EFê,BCê와FGê,CDê와GHê,DEê와
HAê이므로4쌍이다.
4
직선과 평면의 위치 관계
01
⑴면DEF에포함되는모서리는DEÓ,EFÓ,FDÓ이다.
⑵면DEF와수직인모서리는ADÓ,BEÓ,CFÓ이다.
⑶면DEF와평행한모서리는ABÓ,BCÓ,CAÓ이다.
⑷모서리AB를포함하는면은면ABC,면ABED이다.
⑸모서리AB와수직인면은면ADFC이다.
⑹모서리AB와평행한면은면DEF이다.
⑴ DEÓ, EFÓ, FDÓ ⑵ ADÓ, BEÓ, CFÓ ⑶ ABÓ, BCÓ, CAÓ
⑷ 면 ABC, 면 ABED ⑸ 면 ADFC ⑹ 면 DEF
④
⑤
02
⑴면ABCD와수직인모서리는AEÓ,BFÓ,CGÓ,DHÓ
이므로4개이다.
이므로4개이다.
이므로4개이다.
⑶면ABCD와평행한모서리는EFÓ,FGÓ,GHÓ,HEÓ
⑴ 4 ⑵ 4 ⑶ 4
3
공간에서 두 직선의 위치 관계
P.10
⑵면ABCD에포함되는모서리는ABÓ,BCÓ,CDÓ,DAÓ
01
⑴ABÓ와`BCÓ는한점B에서만난다.
⑵EFÓ와`GHÓ는평행하다.
⑶AEÓ와`FGÓ는꼬인위치에있다.
⑷ADÓ와`FGÓ는평행하다.
⑴ 한 점에서 만난다. ⑵ 평행하다.
⑶ 꼬인 위치에 있다. ⑷ 평행하다.
⑤직선n과평면P가수직인지는알수없다.
⑴모서리BC와점B에서만나는모서리는ABÓ,BEÓ이고
면BCDE와한점에서만나는모서리는ABÓ,ACÓ,ADÓ,
점C에서만나는모서리는ACÓ,CDÓ이다.
AEÓ이므로a=4이다.
⑵모서리BC와평행한모서리는DEÓ이다.
수직으로만나는모서리는ABÓ이므로b=1이다.
⑶모서리BC와꼬인위치에있는모서리는ADÓ,AEÓ이다.
따라서a-b=4-1=3이다.
⑴ ABÓ, BEÓ, ACÓ, CDÓ ⑵ DEÓ ⑶ ADÓ, AEÓ
EGÓ와꼬인위치에있는모서리는ABÓ,BCÓ,CDÓ,ADÓ,
모서리CD와평행한면은면ABFE,면EFGH이므로
BFÓ,DHÓ의6개이다.
05
2개이다.
④
Ⅰ. 기본 도형과 작도 | 51
6
③
②
P.11
⑤
3
②
05
06
03
04
유형편 06
면ABCD에포함되는모서리는ABÓ,BCÓ,CDÓ,DAÓ이
2
평행선과 동위각
P.13
3
평행선과 엇각
P.14
므로a=4이다.
수직으로만나는모서리는BFÓ,AEÓ이므로b=2이다.
따라서a+b=4+2=6이다.
l//m이면동위각의크기는서로같으므로
∠a=∠e,∠b= ∠f ,∠c= ∠g ,∠d= ∠h 이다.
∠ f, ∠g, ∠h
③
01
02
⑴두직선이평행하면동위각의크기는서로같으므로
⑴ 130ù ⑵ 50ù ⑶ 130ù
⑵두직선이평행하면동위각의크기는서로같으므로
∠x=120ù이다.
∠x=115ù이다.
⑴ 120ù ⑵ 115ù
P.12
03
두직선이평행하면동위각의크기는
서로같으므로∠x=40ù이다.
l
m
40ù
40˘
40˘
x
p
q
04
평행선의 성질
1
동위각과 엇각
01
⑴같은위치에있는각은동위각이다.
⑵엇갈린위치에있는각은엇각이다.
⑶∠b의동위각은∠f이다.
⑷∠h의동위각은∠d이다.
⑸∠d의엇각은∠f이다.
⑴ 동위각 ⑵ 엇각 ⑶ ∠ f ⑷ ∠d ⑸ ∠ f
⑴∠a의동위각의크기는180ù- 70 ù= 110 ù이다.
⑵∠b의엇각은 60 ù와맞꼭지각이므로그크기는 60 ù
이다.
⑶∠a의크기는180- 60 ù= 120 ù이다.
⑷∠b는 70 ù와맞꼭지각이므로그크기는70 ù이다.
⑴ 70, 110 ⑵ 60, 60 ⑶ 60, 120 ⑷ 70, 70
∠x의동위각은같은위치에있는각인∠b,∠g이다.
④
04
l//m이면동위각의크기는서로같으므로
3∠x-20ù=130ù
3∠x=150ù
따라서∠x=50ù이다.
05
l//m이면동위각의크기는서로
같으므로
3∠x+(3∠x+18ù)=180ù
6∠x=162ù
따라서∠x=27ù이다.
오른쪽그림에서∠x의엇각의크
기는180ù-80ù=100ù이다.
100ù
50˘
x
06
l//m이므로
∠x=110ù(동위각)
l//n이므로
x의 엇각
80˘
따라서
∠y+110ù=180ù,즉∠y=70ù이다.
∠x-∠y=110ù-70ù=40ù
y
110˘
3x
l
m
l
m
n
3x
3x+18˘
x
y
⑤∠d=∠f=180ù-110ù=70ù이다.
07
l//m이면동위각의크기는서로
⑤
같으므로
130˘
60˘
x
∠x,∠y는오른쪽그림과같으므로
∠x+∠y=180ù이다.
180ù
a
b
y
x
∠x+130ù=180ù에서∠x=50ù
∠y=∠x+60ù
=50ù+60ù=110ù
따라서
∠x+∠y=50ù+110ù=160ù
y
③
3x
3x
3x+18˘
l
m
③
40ù
l
130˘
m
②
02
03
04
05
06
52 | 정답 및 해설
⑵오른쪽그림과같이두직선l,m
에평행한직선n을그으면엇각의
크기는서로같으므로
∠ x+ 20 ù=75
따라서∠x= 55 ù이다.
⑴ 75, 110 ⑵ 20, 55
02
오른쪽그림과같이두직선l,m에평행
l
n
m
한직선n을그으면엇각의크기는서로같
으므로
55ù+∠x=180ù
따라서∠x=125ù이다.
01
두직선이평행하면엇각의크기는서로같다.
⑴∠a+50ù=180ù이므로∠a=130ù이다.
⑵∠b는50ù와엇각이므로∠b=50ù이다.
⑶∠c는∠a와엇각이므로∠c=130ù이다.
02
l//m일때,∠a와∠c는 동위각 이므로
∠a=∠c이다.
……㉠
한편∠b와∠c는 맞꼭지각 이므로
∠b=∠c이다.
……㉡
㉠,㉡에서∠a=∠ b 이다.
따라서l//m일때,엇각의크기는서로같다.
③∠c=∠e이고,∠h=∠d이다.
따라서∠c+∠h이다.
l//m이면엇각의크기는서로같으므로
2∠x+25ù=65ù-2∠x
4∠x=40ù
따라서∠x=10ù이다.
l//m이면엇각의크기는서로같으므로∠x=80ù이다.
∠y+65ù=180ù,즉∠y=115ù이다.
따라서∠y-∠x=115ù-80ù=35ù이다.
03
04
05
06
동위각, 맞꼭지각, b
평행한직선n을그으면엇각,동위각
03
오른쪽그림과같이두직선l,m에
의크기는각각서로같으므로
65ù+55ù+∠x=180ù
120ù+∠x=180ù
따라서∠x=60ù이다.
③
②
④
04
⑴오른쪽그림과같이두직선l,m
에평행한두직선p,q를그으면
엇각의크기는서로같으므로
∠ x=20ù+ 15 ù= 35 ù
⑵오른쪽그림과같이두직선l,m
에평행한두직선p,q를그으면
엇각의크기는서로같고,동측내각
의크기의합은180 ù이므로
(110ù-15ù)+( 105 ù-∠x)
=180ù
따라서∠x= 20 ù이다.
l//m이면엇각의크기는서로같으므로∠x=75ù이다.
삼각형의세내각의크기의합은180ù이므로
⑴ 15, 35 ⑵ 180, 105, 20
∠y+70ù+75ù=180ù
∠y+145ù=180ù
따라서∠y=35ù이다.
05
오른쪽그림과같이두직선l,m
에평행한두직선p,q를그으면
엇각,동위각의크기는각각서로
30˘
30˘
60˘
∠x=75ù, ∠y=35ù
같으므로
∠x=60ù+40ù=100ù
4
평행한 보조선을 1개 또는 2개 긋는 경우
P.15
01
⑴오른쪽그림과같이두직선l,m
에평행한직선n을그으면엇각의
크기는서로같으므로
∠ x=35ù+ 75 ù= 110 ù
35˘
35˘
75˘
75˘
l
n
m
06
오른쪽그림과같이두직선l,m에
평행한두직선p,q를그으면엇각의
크기는서로같고,동측내각의크기의
합이180ù이므로
15˘
15˘
x-15˘
35˘
25˘
25˘
(∠x-15ù)+35ù=180ù,∠x+20ù=180ù
따라서∠x=160ù이다.
160ù
Ⅰ. 기본 도형과 작도 | 53
x
x
20˘
20˘
l
n
m
55˘
35˘
35˘
55˘
x
③
65˘
55˘
x
55˘
85˘
85˘
①
70˘
m
20˘
20˘
15˘
15˘
70˘
15˘
15˘
95˘
105˘-x
x
x
60˘
40˘
40˘
100ù
l
n
m
l
p
q
l
p
q
m
l
p
q
m
l
p
q
m
유형편 5
평행선이 되기 위한 조건
P.16
02
오른쪽그림에서접은각의크기와
엇각의크기는각각서로같고,삼
각형의세내각의크기의합은
A
65˘
x
65˘
65˘
B
01
⑴동위각의크기가서로같으므로l//m이다.
⑵엇각의크기가서로같지않으므로두직선은평행하지
⑶동측내각의크기의합이180ù이므로l//m이다.
⑷동측내각의크기의합이180ù가아니므로두직선은
않다.
평행하지않다.
⑴, ⑶
180ù이므로
∠x+65ù+65ù=180ù
∠x+130ù=180ù
따라서∠x=50ù이다.
④맞꼭지각의크기는항상서로같으므로두직선이평행
03
오른쪽그림에서접은각의크기와
하기위한조건이아니다.
엇각의크기는각각서로같으므로
150˘
④
2∠x=150ù
따라서∠x=75ù이다.
②
⑤
A
x
x x
B
02
03
04
05
⑴동위각의크기가서로같으면두직선은평행하므로
⑵엇각의크기가서로같으면두직선은평행하므로
k//m ,l//n 이다.
p//q ,l//n 이다.
⑴ m, n ⑵ q, n
②두직선a,d에서동위각의크기가80ù,70ù로서로다
르므로두직선은평행하지않다.
②
두직선m,n에서엇각의크기가100ù로같으므로m//n
두직선이평행하면동측내각의크기의합이180ù이므로
75ù+∠x=180ù
따라서∠x=105ù이다.
04
①,③∠CBA=180ù-145ù
=35ù
이고엇각의크기는서로같
으므로∠BAQ=35ù
O
P
C
35˘
A
B
R
35˘
35˘
145˘
Q
②△ACB에서180ù=∠ACB+70ù
따라서∠ACB=110ù이다.
④∠CAP=∠ACB=180ù-(35ù+35ù)=110ù
⑤∠CAB=∠CBA=35ù이므로ACÓ=BCÓ
④
05
⑴접은각의크기는서로같으므로∠ECF=20ù이다.
②
⑵∠x+20ù+20ù=90ù이므로∠x=50ù이다.
⑶삼각형의세내각의크기의합은180ù이므로
06
두직선m,n에서동위각의크기가
64ù로같으므로m//n이고,m//n
이면동위각의크기가서로같으므로
∠x+64ù=104ù
따라서∠x=40ù이다.
m
n
64˘
64˘
k
l
x
64˘
104˘
∠ DEC+∠D+20ù=180ù
∠ DEC+90ù+20ù=180ù
따라서∠DEC=70ù이다.
⑷∠y+∠FEC+∠DEC=180ù
∠ y+2∠DEC=180ù(접은각)
40ù
∠ y+2_70ù=180ù
따라서∠y=40ù이다.
⑴ 20ù ⑵ 50ù ⑶ 70ù ⑷ 40ù
6
종이접기에서 접은 각의 크기 구하기
P.17
01
⑴접은각의크기는서로같으므로∠CAB= 70 ù이다.
⑵두직선이평행하면엇각의크기는서로같으므로
06
오른쪽그림에서
∠CAD
∠CBA= 70 ù이다.
⑶삼각형의세각의크기의합은180ù이므로
∠ x+∠CAB+∠ CBA =180ù
∠ x+70ù+70ù=180ù
따라서∠x= 40 ù이다.
=180ù-(65ù+90ù)=25ù
∠BAC=∠CAD=25ù이므로
∠x+∠BAC+∠CAD=90ù
∠x+25ù+25ù=90ù
따라서∠x=40ù이다.
A
x
B
65˘
C
D
⑴ 70 ⑵ 70 ⑶ CBA, 40
40ù
54 | 정답 및 해설
중단원 실전 마무리
PP.18~21
04 20`cm 05
배
01 ②
06 54ù
09 ③
14 ④
19 ④
02 8
03 ③
07 ∠x=15ù, ∠y=45ù
11 ③
10 ④
16 22ù
15 ⑤
20~25 풀이 참조
12 ③
17 64ù
;8&;
08 ②
13 26ù
18 ③
07
삼각형의세내각의크기의합이
180ù이므로
90ù+30ù+(∠x+45ù)=180ù
따라서∠x=15ù이다.
또한맞꼭지각의크기는서로
같으므로∠y=45ù이다.
y
30˘
45˘
x
45˘
08
②점E에서직선q에내린수선의발은점D이다.
01
02
03
04
②면ABC와모서리AD의교점은점A이다.
09
ㄱ.
n
오른쪽그림과같이
Ú세점A,B,C를지나는
E
D
Û점E에서ACê에그을수있
A
B
C
ㄴ.
직선1개
는직선3개
l//m,m⊥`n⇨l⊥`n(참)
Ü점D에서ACê에그을수있는직선3개
Ý점E와점D를잇는직선1개
따라서구하는직선의개수는1+3+3+1=8이다.
BD³와시작하는점이B로같으면서뻗어나가는방향이점
D의방향인반직선이어야하므로③BC³이다.
l//m,m//n⇨l//n(참)
ㄷ.
m
l
m
l
m
n
l
n
오른쪽그림에서
30 cm
l⊥m,m⊥`n⇨l//n(거짓)
ABÓ=
ACÓ이므로
A
B
C
D
E
따라서옳은것은ㄱ,ㄴ이다.
BCÓ=
ACÓ
;3!;
;3@;
;3!;
DEÓ=
CEÓ이므로CDÓ=
CEÓ
따라서BDÓ=BCÓ+CDÓ=
ACÓ+
CEÓ
;3@;
;3@;
;3@;
=
(ACÓ+CEÓ)=
AEÓ
;3@;
=
_30=20`(cm)
;3@;
;3@;
05
OO'Ó=OBÓ+BO'Ó=
ABÓ+
BCÓ
;2!;
;2!;
=
ABÓ+
_
ABÓ
;2!;
;4#;
;2!;
=
+
{;2!;
;8#;}
ABÓ=
ABÓ
;8&;
따라서OO'Ó은ABÓ의
배이다.
;8&;
06
∠AOC=4∠BOC이므로∠BOC=∠x라고하면
90ù+∠x=4∠x에서∠x=30ù
2∠DOE=3∠COD이므로∠COD=∠y라고하면
2(60ù-∠y)=3∠y,120ù-2∠y=3∠y에서∠y=24ù
따라서∠BOD=∠x+∠y=30ù+24ù=54ù이다.
②모서리AB와수직인모서리는ADÓ,BEÓ,BCÓ이므로
10
3개이다.
④모서리BC와평행인모서리는EFÓ이므로1개이다.
⑤면 BEFC와수직인모서리는ABÓ,DEÓ이므로2개
이다.
11
오른쪽 그림에서 면 ABCN
J(L)
K
과수직으로만나는모서리가
A(I, M)
N
아닌것은③모서리LK이다.
E
D(F)
B(H)
C(G)
③∠d+∠e=180ù는두직선l,m이평행할때만성립
12
13
한다.
으므로
l//m이면동위각의크기는서로같
(3∠x+35ù)+(2∠x+15ù)=180ù
3x+35˘ 2x+15˘
l
m
2x+15˘
5∠x+50ù=180ù
5∠x=130ù
따라서∠x=26ù이다.
Ⅰ. 기본 도형과 작도 | 55
유형편 단계
채점 기준
배점 비율
단계
채점 기준
배점 비율
⑤길이를잴때에는컴퍼스를사용한다.
14
l//m이면엇각의크기는서로같으므로∠y=65ù이다.
삼각형의세내각의크기의합은180ù이므로
∠x+80ù+65ù=180ù
∠x+145ù=180ù에서∠x=35ù이다.
따라서∠y-∠x=65ù-35ù=30ù이다.
20
⑴APÓ=
ABÓ=
_24=8`(cm)
;3!;
;2!;
;3!;
;2!;
⑵MPÓ=
APÓ=
_8=4`(cm)
⑶PQÓ=APÓ=8`(cm)
⑷MQÓ=MPÓ+PQÓ=4+8=12`(cm)
……❶
……❷
……❸
……❹
20`%
20`%
30`%
30`%
……❶
……❷
……❸
40`%
40`%
20`%
❶ ⑴APÓ의길이를구한다.
❷ ⑵MPÓ의길이를구한다.
❸ ⑶PQÓ의길이를구한다.
❹ ⑷MQÓ의길이를구한다.
21
맞꼭지각의크기는서로같으므로
∠x+30ù=50ù+90ù
∠x+30ù=140ù
즉,∠x=110ù이다.
평각의크기는180ù이므로
50ù+90ù+(∠y-10ù)=180ù
∠y+130ù=180ù
즉,∠y=50ù이다.
따라서∠x-∠y=110ù-50ù=60ù이다.
채점 기준
배점 비율
단계
❶
맞꼭지각의성질을이용하여∠x의크기를
구한다.
❷ 평각을이용하여∠y의크기를구한다.
❸ ∠x-∠y의크기를구한다.
22
∠AOC=3∠COD이므로
∠COD=
∠AOD이다.
……❶
∠EOB=3∠DOE이므로
∠DOE=
∠DOB이다.
……❷
;4!;
;4!;
=
∠AOD+
∠DOB
;4!;
=
(∠AOD+∠DOB)
=
_180ù=45ù이다.
……❸
단계
채점 기준
배점 비율
❷ ∠DOE가
∠DOB임을안다.
❸ ∠COE의크기를구한다.
30`%
30`%
40`%
;4!;
;4!;
;4!;
;4!;
;4!;
23
⑴선분BD와수직으로만나는모서리는BFÓ,DHÓ이므로
a=2이다.
……❶
D
⑵선분BD와꼬인위치에있는모서리는EFÓ,FGÓ,GHÓ,
15
점A를지나고직사각형모양의
x
종이의가로와평행한직선을그으
면엇각의크기는서로같으므로
25ù+∠x=90ù
따라서∠x=65ù이다.
A
25˘
16
오른쪽그림과같이점B를지나고
두직선l,m에평행한직선n을
A
20˘
B
20˘
68˘
x
68˘
C
D
l
n
m
그으면엇각의크기는서로같고,
∠ABD=3∠CBD=3∠x
이므로
∠x+3∠x=20ù+68ù
4∠x=88ù
따라서∠x=22ù이다.
17
점B와점D를지나고두직선
l
l,m에평행한두직선을그으면
A
P
엇각의크기는서로같으므로
∠x=∠PAD+∠DCQ
=2∠PAB+2∠BCQ
Dx
y
B
m
C
Q
=2_36ù+2_28ù=72ù+56ù=128ù
∠y=∠PAB+∠BCQ=36ù+28ù=64ù
따라서∠x-∠y=128ù-64ù=64ù이다.
로두직선l,m은평행하지않다.
②동측내각의크기의합이125ù+45ù=170ù+180ù이므
로두직선l,m은평행하지않다.
③동위각의크기가서로같으므로l//m이다.
④엇각의크기가서로같지않으므로두직선l,m이평행
하지않다.
행하지않다.
19
점B를지나고정사각형의가로와평행
한직선을그으면엇각의크기는서로
같으므로
∠x+20ù=90ù에서∠x=70ù이다.
B
x
C
20˘
A
56 | 정답 및 해설
18
①동측내각의크기의합이80ù+95ù=175ù+180ù이므
따라서∠COE=∠COD+∠DOE
⑤엇각의크기가서로같지않으므로두직선l,m은평
❶ ∠COD가
∠AOD임을안다.
HEÓ,AEÓ,CGÓ이므로b=6이다.
……❷
⑶선분BD와한점에서만나는면은
면ABFE,면BFGC,면AEHD,면CGHD이므로
2. 작도와 합동
01
삼각형의 작도
작도1
c=4이다.
⑷a+b-c=2+6-4=4
❶ ⑴a의값을구한다.
❷ ⑵b의값을구한다.
❸ ⑶c의값을구한다.
❹ ⑷a+b-c의값을구한다.
……❸
……❹
30`%
30`%
30`%
10`%
24
오른쪽그림과같이두직선l,m에
평행한직선n을그으면엇각의크기
는서로같으므로
……❶
∠x=60ù+40ù=100ù
……❷
m
l
n
A
C
60˘
60˘
40˘
40˘
D
P
B
길이가같은선분을작도할때에는컴퍼스를사용한다.
자는두점을잇거나선분을연장할때사용한다.
단계
❶
❷
채점 기준
배점 비율
두직선l,m과평행한직선n을그었을때,
엇각의크기가서로같음을안다.
엇각의크기가서로같음을이용하여∠x의
크기를구한다.
70`%
30`%
2
크기가 같은 각의 작도와 평행선의 작도
P.23
작도순서는❸⇨❹⇨❶⇨❷⇨❺이므로❶을작도한
후에작도해야하는것은❷이다.
25
오른쪽그림에서삼각형의세
내각의크기의합은180ù이므로
70ù+∠x+50ù=180ù
∠x+120ù=180ù
즉,∠x=60ù이다.
70˘
x
70˘
y
y
y
50˘
02
②OAÓ+ABÓ
접은각의크기,엇각의크기,동위각의크기가각각서로
……❶
03
⑴작도순서는❻⇨❶⇨❷⇨❹⇨❸⇨❺이다.
P.23
P.22
⑤
⑤
③
❷
②
01
02
03
01
같으므로
∠y+∠y=70ù,2∠y=70ù
즉,∠y=35ù이다.
따라서∠x-∠y=60ù-35ù=25ù이다.
단계
채점 기준
배점 비율
❶ ∠x의크기를구한다.
❷ ∠y의크기를구한다.
❸ ∠x-∠y의크기를구한다.
……❷
……❸
40`%
40`%
20`%
⑵OBÓ=OAÓ=PRÓ=PQÓ
⑶ABÓ=QRÓ
이용하였다.
⑷동위각의크기가같으면두직선이평행하다는성질을
⑴ ❻ ⇨ ❶ ⇨ ❷ ⇨ ❹ ⇨ ❸ ⇨ ❺
⑵ OAÓ, PRÓ, PQÓ ⑶ QRÓ ⑷ 풀이 참조
04
⑴작도순서는❺⇨❷⇨❸⇨❶⇨❹⇨❻이다.
⑵④OAÓ+QRÓ
이때OAÓ=OBÓ=PRÓ=PQÓ,ABÓ=QRÓ이다.
⑶엇각의크기가같다는것을나타내기위해크기가같은
각의작도방법을이용하였다.
⑴ ❺ ⇨ ❷ ⇨ ❸ ⇨ ❶ ⇨ ❹ ⇨ ❻
⑵ ④ ⑶ 풀이 참조
3
삼각형의 작도
01
③a는∠A의대변의길이를나타낸다.
③
Ⅰ. 기본 도형과 작도 | 57
유형편 ⑤반지름의길이가같거나넓이가같은원이합동이다.
④
②∠B의대변은ACÓ이다.
02
∠B의대변은ACÓ이므로x=5,
ABÓ의대각은∠C이므로y=80이다.
따라서
y
4x
=
;2*0);
=4이다.
03
오른쪽그림과같이세각의크기만주어
지면삼각형을무수히많이그릴수있다.
...
무수히 많다.
이므로△ABCª△DEF(SAS합동)
⑴눈금없는자는두점을잇거나선분을연장할때사용
②
한다.
⑵컴퍼스는원을그리거나선분의길이를옮길때사용한다.
03
삼각형을작도할수있으려면
(가장긴변의길이)<(나머지두변의길이의합)
을만족해야한다.
①2+2=4
②3+1<5
③4+5>6
④2+2<5
⑤2+4=6
(×)
(×)
(○)
(×)
(×)
04
Ú6cm가가장긴변일때
6<3+x,즉x>3이다.
Ûx`cm가가장긴변일때
x<3+6,즉x<9이다.
Ú,Û에의하여3<x<9이다.
05
△ABC를작도하는순서는
∠B⇨BCÓ,ABÓ⇨ACÓ
이므로가장마지막에해당하는것은③이다.
02
삼각형의 합동
1
합동과 대응
③
④∠D=360ù-(140ù+75ù+65ù)
=360ù-280ù=80ù
P.25
⑤
④
합동인두도형의대응하는변의길이는서로같으므로
EFÓ=BCÓ=3`(cm)
따라서(△DEF의넓이)=
_EFÓ_DFÓ
;2!;
;2!;
=
_3_4=6`(cmÛ``)
6`cmÛ`
06
4
01
삼각형이 하나로 정해지는 경우
ㄴ.두변의길이와그끼인각이아닌한각의크기가주어
지면△ABC가하나로정해지지않는다.
ㄷ.세각의크기가주어지면무수히많은삼각형을그릴
수있으므로△ABC가하나로정해지지않는다.
ㅁ.양끝각의크기의합이180ù로주어지면△ABC를
작도할수없다.
02
①ABÓ+BCÓ=ACÓ이므로△ABC를작도할수없다.
58 | 정답 및 해설
①SAS합동 ②SAS합동
③ASA합동 ④ASA합동
⑤△ABC는BCÓ의양끝각이60ù,38ù인데주어진삼각
형은양끝각이82ù,38ù이므로합동이아니다.
⑤
P.26
SSS 합동
03
△ABC와△CDA에서
ABÓ=CDÓ,BCÓ=DAÓ,ACÓ는공통
이므로△ABCª△CDA(SSS합동)
04
△ABC와△DEF에서
ABÓ=DEÓ=6`(cm),
BCÓ=EFÓ=8`(cm),
∠B=180ù-(60ù+40ù)=80ù=∠E
01
02
03
01
02
②
P.24
④
③
①
②
①
01
02
03
04
05
05
ABÓ의수직이등분선l위에한점P
를잡는다.
△PAM과△PBM에서
l
P
PMÓ 은공통,
AMÓ= BMÓ ,
A
M
B
∠PMA= ∠PMB =90ù
즉,△PAMª△PBM( SAS 합동)이다.
따라서PAÓ= PBÓ 임을알수있다.
작도순서는❻⇨❶⇨❸⇨❷⇨❺⇨❹이므로❶을
작도한다음❸을작도해야한다.
⑤엇각의크기가같으면두직선은평행하다는성질을이
용하였다.
06
07
△ABC와△DEF가SAS합동이려면대응하는두변의
길이가같고그끼인각의크기가각각같아야하므로더필
요한조건은BCÓ=EFÓ이다.
△ABC와△DEF에서ACÓ=DFÓ,BCÓ=EFÓ
BCÓ// FEÓ이므로∠ACB= ∠DFE ( 엇각 )
따라서△ABC=△DEF( SAS 합동)이다.
세변의길이가주어질때,삼각형을작도하기위해서는
(가장긴변의길이)<(나머지두변의길이의합)
을만족해야한다.
ㄱ.4+4=8(삼각형을작도할수없다.)
ㄴ.3+5>7(삼각형을작도할수있다.)
ㄷ.2+5<8(삼각형을작도할수없다.)
ㄹ.3+4>4(삼각형을작도할수있다.)
ㅁ.6+6>9(삼각형을작도할수있다.)
따라서삼각형을작도할수없는것은ㄱ,ㄷ이다.
③
②
08
△ABD와△CBE에서
삼각형ABC가정삼각형이므로ABÓ=CBÓ
삼각형BED가정삼각형이므로BDÓ=BEÓ
……㉠
……㉡
06
세변의길이가주어질때,삼각형을만들기위해서는
(가장긴변의길이)<(나머지두변의길이의합)
또한∠ABD=∠ABC-∠DBC=60ù-∠DBC
을만족해야한다.
=∠DBE-∠DBC=∠CBE ……㉢
㉠3`cm,6`cm,7`cm에서3+6>7
△ABDª△CBE (SAS 합동)
㉣3`cm,7`cm,8`cm에서3+7>8
(○)
㉡3`cm,6`cm,8`cm에서3+6>8
㉢3`cm,6`cm,13`cm에서3+6<13 (×)
(○)
(○)
㉤3`cm,7`cm,13`cm에서3+7<13 (×)
㉥3`cm,8`cm,13`cm에서3+8<13 (×)
㉦6`cm,7`cm,8`cm에서6+7>8
(○)
㉧6`cm,7`cm,13`cm에서6+7=13 (×)
㉨6`cm,8`cm,13`cm에서6+8>13 (○)
㉩7`cm,8`cm,13`cm에서7+8>13 (○)
따라서만들수있는삼각형은6개이다.
07
①ABÓ+BCÓ<CAÓ이므로△ABC를작도할수없다.
②ABÓ+BCÓ>CAÓ이므로△ABC가하나로정해진다.
③ABÓ+CAÓ=BCÓ이므로△ABC를작도할수없다.
④∠A는두변ABÓ,CAÓ의끼인각이므로△ABC가하
나로정해진다.
⑤∠B는두변ABÓ,CAÓ의끼인각이아니므로△ABC
가하나로정해지지않는다.
Ⅰ. 기본 도형과 작도 | 59
중단원 실전 마무리
PP.27~30
06 6
05 ②
10 ②, ④, ⑤
01 ⑴ ㄴ, ㄹ ⑵ ㄱ, ㄷ
04 ②
09 ④
12 O'A'Ó, O'B'Ó, A'B'Ó, SSS
13 △BOP, ASA 합동
16 120ù 17 △PDC, SAS 합동
18 ㄱ, ㄷ, ㅁ
19~24 풀이 참조
03 ⑤
02 ②
07 ②, ④ 08 ③, ⑤
11 ②, ④
14 ⑤
15 14`cm
①∠A와∠B를작도한후에ABÓ의길이를정할수없다.
①ABÓ=DEÓ가주어지면두삼각형은ASA합동이다.
2
삼각형의 합동 조건
㉠,㉡,㉢에의하여
△ABDª△CBE(SAS합동)이다.
유형편 08
09
10
11
12
①ABÓ+BCÓ>CAÓ이므로△ABC가하나로정해진다.
∠CAE+∠BAD=90ù이므로
②∠B가두변ABÓ,BCÓ의끼인각이므로△ABC가하나
+∠BAD=90ù
로정해진다.
㉠에의해∠BAD=90ù- =
③∠B가두변BCÓ,CAÓ의끼인각이아니므로△ABC가
△ADB에서∠BAD+∠ABD=90ù이므로
하나로정해지지않는다.
+∠ABD=90ù
④한변의길이와그양끝각의크기가주어졌으므로
㉠에의해∠ABD=90ù- =
△ABC가하나로정해진다.
△ACE와△BAD에서
⑤세각의크기가주어졌으므로△ABC가하나로정해지
ACÓ=BAÓ,∠ACE=∠BAD,∠CAE=∠ABD
지않는다.
④∠E=180ù-(∠D+∠F)
=180ù-(25ù+105ù)
=50ù
이므로△ACEª△BAD(ASA합동)이다.
합동인두도형에서대응하는변의길이는서로같으므로
EAÓ=DBÓ=8`(cm),ADÓ=CEÓ=6`(cm)
따라서EDÓ=EAÓ+ADÓ=8+6=14`(cm)
①넓이가서로같을때는합동이되지않는경우가있다.
③삼각형의둘레의길이가같을때는합동이되지않는경
ABÓ=BCÓ(정삼각형의한변의길이),
16
△ABD와△BCE에서
BDÓ=CEÓ,
우가있다.
∠B=∠C=60ù이므로
△ABDª△BCE(SAS합동)
B
A
x
F
D
E
C
②ACÓ=DFÓ가주어지면두삼각형은SAS합동이다.
따라서∠BAD=∠CBE이므로
④∠B=∠E가주어지면두삼각형은ASA합동이다.
△ABF에서
Y
A
Y'
A'
O
O'
B X
B' X'
△AOB와△A'O'B'에서
OAÓ= O'A'Ó ,OBÓ= O'B'Ó ,ABÓ= A'B'Ó 이다.
따라서△AOBª△A'O'B'( SSS 합동)이다.
13
△AOP와△BOP에서
∠AOP=∠BOP,∠OAP=∠OBP=90ù이므로
∠BAF+∠ABF+∠x=180ù
∠CBE+∠ABF+∠x=180ù
∠B+∠x=180ù
60ù+∠x=180ù
따라서∠x=120ù이다.
17
△PAB와△PDC에서
사각형ABCD가정사각형이므로
삼각형APD가정삼각형이므로
ABÓ=DCÓ
PAÓ=PDÓ
또한
∠OPA=∠OPB,OPÓ는공통
∠PAB=90ù-∠PAD=90ù-60ù=30ù,
따라서△AOPª△BOP(ASA합동)이다.
∠PDC=90ù-∠PDA=90ù-60ù=30ù이므로
……㉠
……㉡
……㉢
14
△ADF,△BED,△CFE에서
ADÓ=BEÓ=CFÓ,AFÓ=BDÓ=CEÓ,
∠A=∠B=∠C=60ù이므로
△ADFª△BEDª△CFE(SAS합동)이다.
따라서대응하는변의길이는서로같으므로
DEÓ=EFÓ=FDÓ이다.
즉,△DEF는정삼각형이므로∠x=60ù이다.
15
△ACE에서
∠ACE= ,∠CAE=
라고하면
+ =90……㉠
60 | 정답 및 해설
C
6 cm
E
A
D
B
8 cm
l
∠PAB=∠PDC
㉠,㉡,㉢에의하여
△PABª△PDC(SAS합동)이다.
18
△BCF와△GCD에서
BCÓ=GCÓ,CFÓ=CDÓ,∠BCF=∠GCD=90ù이므로
△BCFª△GCD(SAS합동)
ㄱ.BFÓ=GDÓ
ㄷ.△BCFª△GCD이므로∠BFC=∠GDC,
FEÓ//CDÓ이므로∠GDC=∠DPE이므로
∠BFC=∠DPE
ㅁ.∠BCF=90ù=∠DEP
따라서옳은것은ㄱ,ㄷ,ㅁ이다.
19
세변의길이가주어졌을때,삼각형을만들기위해서는
△CEG에서
(가장긴변의길이)<(나머지두변의길이의합)을만족
∠CGE=180ù-( + )=180ù-90ù=90ù ……❷
해야한다.
Ú10`cm가가장긴변일때,
10<4+x에서x>6
Ûx`cm가가장긴변일때,
x<4+10에서x<14
……❶
그런데∠x는∠CGE의맞꼭지각이므로
∠x=90ù이다.
……❸
단계
채점 기준
배점 비율
……❷
❶ △BCEª△CDF임을설명한다.
❷ ∠CGE의크기를구한다.
❸ ∠x의크기를구한다.
Ú,Û에의하여6<x<14이므로x의값이될수있는
자연수는7,8,9,10,11,12,13으로7개이다. ……❸
40`%
40`%
20`%
E
단계
❶
❷
채점 기준
배점 비율
(가장긴변의길이)<(나머지두변의길이
의합)을안다.
10`cm가가장긴변일때와x`cm가가장긴
변일때로나누어푼다.
40`%
40`%
❸ x의값이될수있는자연수의개수를구한다.
20`%
23
△ABD와△ACE에서
ABÓ=ACÓ(△ABC는정삼각형),
ADÓ=AEÓ(△ADE는정삼각형),
A
∠BAD=60ù+∠CAD
=∠CAE
20
△ACD와△BCE에서
……❶
ACÓ=BCÓ,CDÓ=CEÓ,∠ACD=∠BCE=60ù ……❷
이므로
△ACDª△BCE(SAS합동)
……❸
단계
채점 기준
배점 비율
❶ 합동인삼각형을찾는다.
❷ 두삼각형이합동인이유를말한다.
❸ 합동조건을말한다.
30`%
50`%
20`%
21
△ACB와△ECD에서
ACÓ=ECÓ=12`(m),`BCÓ=DCÓ=5`(m),
∠ACB=∠ECD(맞꼭지각)
이므로△ACBª△ECD(SAS합동)
……❶
합동인두도형의대응하는변의길이는서로같으므로
ABÓ=EDÓ=13`(m)
단계
채점 기준
❶ △ACBª△ECD임을설명한다.
❷ A지점에서B지점까지의거리를구한다.
22
△BCE와△CDF에서
BCÓ=CDÓ
(사각형ABCD는정사각형),
CEÓ=DFÓ,
∠C=∠D=90ù
(사각형ABCD는정사각형)
B
이므로△BCEª△CDF(SAS합동)
……❶
합동인두도형에서대응하는각의크기는서로같으므로
∠CBE=∠DCF= ,
∠BEC=∠CFD= 라고하면
+ =180ù-90ù=90ù이고
……❷
배점 비율
70`%
30`%
x
G
E
C
A
F
D
B
4 cm
C
5 cm
D
△ABDª△ACE(SAS합동)
……❶
따라서합동인두도형에서대응하는변의길이는서로같
이므로
으므로
CEÓ=BDÓ=4+5=9`(cm)이다.
……❷
단계
채점 기준
❶ △ABDª△ACE임을설명한다.
❷ CEÓ의길이를구한다.
배점 비율
70`%
30`%
24
△OAB와△OCD에서
OAÓ=OCÓ,∠OAB=∠OCD,
∠AOB=∠COD이므로
△OABª△OCD(ASA합동)
……❶
따라서포개어진부분의넓이는
△OBC+△OCD=△OBC+△OAB=△OAC
=
_8_4=16`(cmÛ`)
……❷
;2!;
단계
채점 기준
❶ △OABª△OCD임을설명한다.
❷ 포개어진부분의넓이를구한다.
배점 비율
50`%
50`%
Ⅰ. 기본 도형과 작도 | 61
유형편 Ⅱ
1. 평면도형의 성질
평면도형과 입체도형
01
다각형
③오른쪽그림의정육각형에서두대각선
㉠,㉡의길이는다르다.
꼭짓점A에서그을수있는대각선의개수는 4 이고꼭짓
점의개수는 7 이다.그런데대각선AC와대각선CA는
③
7_ 4
2
4, 7, 4, 14
꼭짓점의개수가12이므로이다각형은십이각형이다.
따라서구하는대각선의개수는
변, 내각, 외각
12_(12-3)
2
=54
1
다각형, 다각형의 내각과 외각, 정다각형
P.32
같으므로칠각형의대각선의개수는
= 14 이다.
3개이상의선분으로둘러싸인평면도형을고르면ㄱ,ㄴ,
ㅂ이다.
다각형은ㄴ,ㄹ이다.
ㄱ, ㄴ, ㅂ
05
구하는다각형을n각형이라고하면
n(n-3)
2
=27에서
n(n-3)=54,n=9
따라서구각형이다.
∠x=180ù-110ù=70ù,∠y=180ù-50ù=130ù
따라서∠x+∠y=70ù+130ù=200ù이다.
a=7-3=4,b=10+3=13
따라서a+b=17이다.
∠a=180ù-60ù=120ù,∠b=180ù-75ù=105ù,
∠c=180ù-82ù=98ù이므로
∠a+∠b+∠c=120ù+105ù+98ù=323ù이다.
③n각형의한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수는
n-3이다.
⑤대각선의 길이가 모두 같은 정다각형은 정사각형과
정오각형이다.
오각형의변의개수와오각형의대각선의개수의합을구하
면되므로5+
=5+5=10이다.
5_(5-3)
2
⑤
③
17
③
10
②
⑤
323ù
⑤
01
02
03
04
05
06
07
주어진그림에서정삼각형,정사각형,정육각형,정십이각
형이있음을알수있다.
정삼각형, 정사각형, 정육각형, 정십이각형
02
삼각형의 내각과 외각
2
다각형의 대각선
P.33
1
삼각형의 내각의 크기의 합
P.34
01
꼭짓점A의양옆의두꼭짓점B,G와그자신A를제외
한나머지꼭짓점에대각선을그을수있다.
즉,ACÓ,ADÓ,AEÓ,AFÓ이다.
∠A= ∠ACE (엇각),∠B= ∠ECD (동위각)이므로
∠A+∠B+∠C= ∠ACE + ∠ECD +∠BCA
=180ù
ACÓ, ADÓ, AEÓ, AFÓ
∠ACE, ∠ECD, ∠ACE, ∠ECD
62 | 정답 및 해설
02
03
04
06
07
08
01
02
03
04
05
06
07
01
02
03
04
05
⑴∠x=180ù-(115ù+40ù)=25ù
⑵∠x=180ù-(65ù+70ù)=45ù
삼각형의한외각의크기는그와이웃하지않는두내각의
크기의합과같으므로
⑴ 25ù ⑵ 45ù
∠x+20ù=36ù+64ù,∠x=80ù이다.
삼각형의세내각의크기의합은180ù이므로
△BAC에서∠BAC+45ù+30ù=180ù
즉,∠BAC=105ù이다.
또한맞꼭지각의크기가같으므로
∠DAE=∠BAC=105ù
∠ABC=180ù-125ù=55ù이므로
∠x=70ù+55ù=125ù
따라서∠x=180ù-(105ù+50ù)=25ù이다.
150ù-∠x=2∠x+2∠x,5∠x=150ù
④
따라서∠x=30ù이다.
가장큰각은4：5：6에서6에해당하는각이므로
(구하는각의크기)=180ù_
=72ù이다.
;1¤5;
72ù
06
오른쪽그림에서△DBC가
이등변삼각형이므로
∠DCB=∠DBC=∠x
2x
A
2x
D
x
x
B
108˘
C
△ABC에서∠A=180ù-(50ù+70ù)=60ù이므로
라고하면
∠BAD=∠CAD=
∠A=30ù
;2!;
따라서∠BDA=180ù-(30ù+50ù)=100ù이다.
∠ADC=∠x+∠x=2∠x
또한△ADC가이등변삼각형이므로
∠DAC=∠ADC=2∠x
①
따라서△ABC에서∠ACB의한외각의크기가108ù이
므로∠ABC+∠CAB=108ù
∠x+2∠x=108ù,3∠x=108ù,∠x=36ù
△PBC에서∠PBC+∠PCB=180ù-126ù=54ù
이므로∠B+∠C=2(∠PBC+∠PCB)=108ù
따라서∠A=180ù-108ù=72ù이다.
△ABC에서∠C=180ù-(50ù+70ù)=60ù이므로
△ABC에서∠ACE=∠A+∠B이므로
72ù
07
∠ABD=∠DBC=
∠B=∠a,
;2!;
∠ACD=∠DCE=∠b라고하자.
2∠b=80ù+2∠a
∠b=40ù+∠a
……㉠
또△DBC에서∠DCE=∠D+∠DBC이므로
∠b=∠x+∠a
……㉡
따라서㉠,㉡에서40ù+∠a=∠x+∠a이므로
∠x=40ù이다.
80ù
125ù
③
⑤
40ù
∠BCD=∠ACD=
∠C=30ù
;2!;
따라서△DBC에서∠x+70ù+30ù=180ù이므로
∠x=80ù이다.
2
삼각형의 외각
∠x=360ù-(125ù+135ù)=100ù
△ABC에서
∠BAC+∠BCA
=180ù-30ù=150ù
2∠a+2∠b
③
P.35
100ù
A
a
a
x
b
C
D
b
30˘
B
03
다각형의 내각과 외각
+(∠BAC+∠BCA)=360ù이므로
2(∠a+∠b)=210ù,∠a+∠b=105ù
따라서△ACD에서
∠x=180ù-(∠a+∠b)=180ù-105ù=75ù
1
다각형의 내각의 크기의 합
P.36
01
⑴사각형은한꼭짓점에서그은대각선에의하여 2 개의
삼각형으로나누어지므로사각형의내각의크기의합은
75ù
180ù_ 2 = 360ù 이다.
Ⅱ. 평면도형과 입체도형 | 63
유형편 ⑵오각형은한꼭짓점에서그은대각선에의하여 3 개의
삼각형으로나누어지므로오각형의내각의크기의합은
180ù_ 3 = 540ù 이다.
⑶n각형은한꼭짓점에서그은대각선에의하여( n-2 )
개의삼각형으로나누어지므로n각형의내각의크기의
합은180ù_( n-2 )이다.
⑴ 2, 2, 360ù ⑵ 3, 3, 540ù ⑶ n-2, n-2
02
육각형은한꼭짓점에서그은 3 개의대각선에의하여 4
개의삼각형으로나누어진다.따라서육각형의내각의크
기의합은180ù_ 4 = 720ù 이다.
2
다각형의 외각의 크기의 합
P.37
01
n각형의꼭짓점의개수는 n 이고각꼭짓점에서내각과
외각의크기의합은 180ù 이다.
그런데n개의꼭짓점에서의내각과외각의크기의합을모
두더하면
180ù_n 이고
n각형의내각의크기의합이
yy㉠
180ù_(n-2) 이므로 yy㉡
n각형의외각의크기의합은㉠-㉡을하면된다.
따라서n각형의외각의크기의합은 360ù 로n의값에
관계없이항상일정하다.
3, 4, 4, 720ù
n, 180ù, 180ù_n, 180ù_(n-2), 360ù
사각형의내각의크기의합이180ù_(4-2)=360ù이므로
∠C=360ù_
=108ù
;1£0;
n-3=5이므로n=8이다.
∠x+110ù+110ù+∠y+100ù=180ù_3
∠x+∠y+320ù=540ù
따라서∠x+∠y=220ù이다.
03
04
05
⑴180ù_(7-2)=900ù
⑵180ù_(9-2)=1260ù
⑶180ù_(13-2)=1980ù
⑷180ù_(14-2)=2160ù
06
⑴180ù_(8-2)=1080ù
⑵180ù_(n-2)=1440ù이므로
n-2=8에서n=10
따라서구하는다각형은십각형이다.
⑶180ù_(n-2)=720ù이므로
n-2=4에서n=6
60ù+65ù+80ù+(180ù-∠x)+50ù=360ù이므로
∠x=435ù-360ù=75ù이다.
④
④
다각형의외각의크기의합은다각형의종류에관계없이
항상360ù이다.
⑴ 360ù ⑵ 360ù ⑶ 360ù ⑷ 360ù
②
따라서팔각형에대한설명으로옳지않은것을고르면된다.
②한내각의크기는알수없다.
③내각의크기의합은180ù_(8-2)=1080ù이다.
②, ③
05
⑴∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f
=(4개의삼각형의내각의크기의합)
-(가운데오각형의외각의크기의합)_2
=180ù_4+360ù-360ù_2=360ù
⑵∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g
=(4개의삼각형의내각의크기의합)
+(아래쪽오각형의내각의크기의합)
-(가운데오각형의외각의크기의합)_2
=180ù_4+540ù-360ù_2=540ù
⑴ 900ù ⑵ 1260ù ⑶ 1980ù ⑷ 2160ù
+(1개의사각형의내각의크기의합)
따라서육각형의대각선의개수를구하면되므로
6_(6-3)
2
=9
⑴ 1080ù ⑵ 십각형 ⑶ 9
따라서구하는다각형은팔각형이다.
180ù_(n-2)=360ù_3이므로n-2=6에서n=8이다.
⑴ 360ù ⑵ 540ù
팔각형
07
180ù_(n-2)=1800ù이므로
n-2=10에서n=12이다.
180ù_(n-2)+360ù=1260ù이므로
180ù_(n-2)=900ù에서n-2=5,n=7이다.
따라서십이각형의한꼭짓점에서그을수있는대각선의
따라서주어진조건을만족하는다각형은칠각형이므로구
개수는12-3=9이다.
하는꼭짓점의개수는7이다.
⑤
③
64 | 정답 및 해설
02
03
04
06
07
3
01
정다각형의 한 내각과 한 외각의 크기
P.38
정n각형의한내각의크기는
한외각의크기는
이다.
360ù
n
180ù_(n-2)
2
,
05
⑴
180ù_(n-2)
n
`:`
360ù
n
=1`:`1에서
(n-2)`:`2=1`:`1,n-2=2,n=4
따라서정사각형이다.
⑵
180ù_(n-2)
n
`:`
360ù
n
=5`:`1에서
한 내각의 크기
한 외각의 크기
(n-2)`:`2=5`:`1,n-2=10,n=12
정다각형
정육각형
정팔각형
정십각형
정십이각형
120ù
135ù
144ù
150ù
60ù
45ù
36ù
30ù
따라서정십이각형이다.
⑴ 정사각형 ⑵ 정십이각형
06
180ù_(n-2)
n
`:`
360ù
n
=3：2이므로정리하면
풀이 참조
(n-2)：2=3：2,2n-4=6,2n=10,n=5이다.
따라서주어진조건을만족하는정다각형은정오각형이므
②
10
P.39
로구하는대각선의개수는
5_(5-3)
2
=5이다.
07
360ù
n
=30ù에서n=12이므로
a=
12_(12-3)
2
=54
b=
11_(11-3)
2
=44
따라서a-b=54-44=10이다.
⑴ 정오각형 ⑵ 정십각형
또180ù_(n-2)=1620ù에서n=11이므로
02
한외각의크기를이용하는것이더편리하다.
⑴(한외각의크기)=180ù-108ù=72ù이므로
360ù
n
=72ù에서n=5이다.
따라서구하는정다각형은정오각형이다.
⑵(한외각의크기)=180ù-144ù=36ù이므로
360ù
n
=36ù에서n=10이다.
따라서구하는정다각형은정십각형이다.
03
(정육각형의한내각의크기)=
180ù_(6-2)
6
=120ù
이므로∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120ù
이때△ABF는이등변삼각형이므로
∠ABF=∠AFB=
(180ù-120ù)=30ù
또△BCA도이등변삼각형이므로
∠BCA=∠BAC=
(180ù-120ù)=30ù
따라서△ABG에서한외각의크기는그와이웃하지않는
두내각의크기의합과같으므로
∠AGF=∠ABG+∠BAG=30ù+30ù=60ù이다.
①
04
(정오각형의한내각의크기)=
180ù_(5-2)
5
=108ù
이때△BAC는이등변삼각형이므로
∠BAC=∠BCA=
(180ù-108ù)=36ù
또△EAD도이등변삼각형이므로
따라서∠x=∠A-(∠BAC+∠EAD)
=108ù-(36ù+36ù)
=36ù
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
이므로∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=108ù
호로이루어진도형을 활꼴 이라고한다.
∠EAD=∠EDA=
(180ù-108ù)=36ù
⑵부채꼴AOB의중심각의크기는 30ù 이다.
04
원과 부채꼴
원1
01
한원에서두반지름과그사이에있는호로이루어진도형
을 부채꼴 이라고한다.이때두반지름이이루는각을
그호에대한 중심각 이라고한다.또한현과그에대한
부채꼴, 중심각, 활꼴
⑴호 AB 와두반지름OA,OB로이루어진도형을부
02
채꼴이라고한다.
⑶호CD와현 CD 로이루어진도형을활꼴이라고한다.
⑴ AB ⑵ 30ù ⑶ CD
③
03
ABÓ,CDÓ
Ⅱ. 평면도형과 입체도형 | 65
유형편 ⑤원위의두점A,B에대하여A에서B까지의원의일
두삼각형AOB,OCD는이등변삼각형이다.
06
부분을호AB라고한다.
∠OCD=30ù,∠BAO=40ù이므로
13
부채꼴의넓이는중심각의크기에비례하므로부채꼴
05
③ADÓ+BDÓ
COD의넓이를x`cmÛ`라고하면
⑤현의길이는중심각의크기에정비례하지않는다.
⑤
∠AOD=80ù,∠COB=60ù이다.
따라서µAD：µBC=80ù`:`60ù=4`:`3이다.
25ù`:`125ù=x`:`75에서1`:`5=x`:`75,x=15
따라서부채꼴COD의넓이는15`cmÛ`이다.
③, ⑤
04
05
06
07
04
05
한원에서부채꼴과활꼴의모양이같을때는현이지름이
되는경우이므로이때중심각의크기는180ù이다.
원에서길이가가장긴현은지름이므로
5_2=10`(cm)이다.
10`cm
⑤현 BD는 원을 두 부분으로 나누므로 2개의 활꼴이
생긴다.
08
180ù
07
∠AOC=∠OCD=∠ODC=∠BOD=20ù이므로
µAC=µBD이다.
따라서µAC`:`14=20ù`:`140ù=1`:`7에서
µAC=2`(cm)이므로µAC+µBO=2+2=4`(cm)이다.
µAC`:`µBC=1`:`4이므로∠AOC=180ù_
=36ù
;5!;
⑤
따라서△OAC에서OAÓ=OCÓ이므로
∠OAC=∠OCA=
(180ù-36ù)=72ù이다.
;2!;
중심각과 호 사이의 관계
2
01
중심각의 크기
호의 길이
부채꼴의 넓이
P.40
a
2a
3a
4a
4`cm
8`cm
12`cm
16`cm
8`cmÛ`
16`cmÛ`
24`cmÛ`
32`cmÛ`
09
2µAC=3µBC이므로µAC`:`µBC=3`:`2에서
∠AOC`:`∠BOC=3`:`2이다.
따라서∠AOC=180ù_
=108ù이다.
;5#;
따라서△OAC에서OAÓ=OCÓ이므로
∠CAB=
(180ù-108ù)=36ù이다.
;2!;
풀이 참조
10
ADÓOCÓ이므로
∠DAO=∠COB=45ù
△OAD에서OAÓ=ODÓ이므로
∠OAD=∠ODA=45ù
∠AOD=180ù-2_45ù=90ù
따라서µAD`:`µBC=90ù`:`45ù이므로µAD`:`6=2`:`1
14`cm
에서µAD=12`(cm)이다.
11
∠E=x라고하면∠DOE=∠x이므로∠ODC=2∠x
또OCÓ=ODÓ에서∠OCD=∠ODC=2∠x이므로
20ù
∠AOC=3∠x
따라서µAC``:`µBD=3∠x：∠x이므로µAC`:`2=3：1에서
④
12
⑴60ù`:`90ù=x`:`15,2`:`3=x`:`15,3x=30
따라서x=10이다.
⑵50ù`:`150ù=8`:`x,1`:`3=8`:`x
따라서x=24이다.
③
⑴ 10 ⑵ 24
02
150ù`:`210ù=10：µACB에서
5`:`7=10`:`µACB,5µACB=70
따라서µACB=14`(cm)이다.
03
4`:`7=2∠x`:`(3∠x+10ù)에서
14∠x=12∠x+40ù,2∠x=40ù
따라서∠x=20ù이다.
360ù_
=270ù이다.
;4#;
30ù`:`150ù=5`:`µCB,1`:`5=5`:`µCB
따라서µCB=25`(cm)이다.
66 | 정답 및 해설
부채꼴의호의길이는중심각의크기에비례하므로
µAC=6`(cm)이다.
④
④
P.41
④
36ù
③
④
①
③∠AOC=∠BOD이므로ACÓ=BDÓ
06
④ACÓ<ABÓ+BCÓ=ABÓ+ABÓ=2ABÓ
14
부채꼴O'CD의넓이를x`cmÛ`라고하면
100ù`:`140ù=5`:`x,5`:`7=5`:`x,x=7이다.
따라서부채꼴O'CD의넓이는7`cmÛ`이다.
⑤ADÓ<ABÓ+BDÓ<ABÓ+BCÓ+CDÓ
=ABÓ+ABÓ+ABÓ=3ABÓ
③
7`cmÛ`
15
⑴∠AOB=360ù_
=90ù
∠BOC=360ù_
=120ù
∠AOC=360ù_
=150ù
;1£2;
;1¢2;
;1°2;
⑵(부채꼴AOB의넓이)=24_
=6`(cmÛ`)
(부채꼴BOC의넓이)=24_
=8`(cmÛ`)
;1£2;
;1¢2;
;1°2;
01
02
05
부채꼴의 호의 길이와 넓이
1
부채꼴의 호의 길이와 넓이
P.43
l=2p_9=18p`(cm),S=p_9Û`=81p`(cmÛ`)
l=18p`cm, S=81p`cmÛ`
(부채꼴AOC의넓이)=24_
=10`(cmÛ`)
처음원의반지름의길이를r`cm라고하면늘어난원의반
풀이 참조
지름의길이는
{
r+
2
p }
`cm이므로
x=2p
r+
-2pr=2pr+4-2pr=4
2
p }
{
03
(필요한끈의길이)
=4_10+2p_5
=40+10p`(cm)
04
(원이지나간자리의넓이)
=3_(6_2)+p_2Û``
=36+4p`(cmÛ`)
3
중심각과 현 사이의 관계
P.42
01
⑴호의길이는중심각의크기에정비례하고
∠BOC=2∠AOB이므로2배이다.
⑵부채꼴의넓이는중심각의크기에정비례하고
∠COD=3∠AOB이므로3배이다.
⑶현의길이는중심각의크기에정비례하지않으므로
3배가아니다.
⑴ 2배 ⑵ 3배 ⑶ 3배가 아니다.
호의길이,부채꼴의넓이는중심각의크기에정비례하지
만현의길이는중심각의크기에정비례하지않는다.
⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ ◯ ⑸ ×
②현의길이는중심각의크기에정비례하지않는다.
02
03
04
05
06
②
④
(호의길이)=2p_12_
=10p`(cm)
;3!6%0);
10p`cm
한원에서같은길이의현에대한중심각의크기는서로같
으므로
∠COD=∠AOB=43ù이다.
µAB=8p`(cm)이므로2p_20_
=8p
x
360
따라서∠x=72ù이다.
④
10 cm
④
5 cm
10 cm
120˘
2 cm 6 cm
120˘
120˘
(36+4p)`cmÛ`
⑤
Ⅱ. 평면도형과 입체도형 | 67
유형편 (원의넓이)=p_5Û`=25p`(cmÛ`)이므로
=25p이다.
07
08
09
10
(둘레의길이)=2_10+2p_10_
;3¦6ª0;
=20+4p`(cm)
(넓이)=p_10Û`_
=20p`(cmÛ`)
;3¦6ª0;
(둘레의 길이)=(20+4p)`cm
(넓이)=20p`cmÛ`
중심각의크기가360ù-120ù=240ù이므로구하는넓이는
p_4Û`_
=
p`(cmÛ`)이다.
;3@6$0);
:£3ª:
:£3ª:
p`cmÛ`
A
60˘
B
60˘
C
60˘
③
세원의중심을연결하면정삼각형이다.
∠A=∠B=∠C=60ù이므로
(색칠한부분의둘레의길이)
2p_3_
=3_
{
=3p`(cm)
;3¤6¼0;}
11
CD
l
5`cm
A B
13`cm
C D 12`cm P
점A가움직인거리는위의그림과같으므로
2p_(5+13+12)_
=15p`(cm)
;3»6¼0;
12
p_24Û`_
x
360
따라서∠x=30ù이다.
=48p에서x=48_
=30이다.
360
24Û`
13
주어진부채꼴의중심각의크기를xù라고하자.
(A+B의넓이)=p_8Û`_
x
360
=
8p
45
x`(cmÛ`)
(A의넓이)=p_4Û`_
=
x`(cmÛ`)에서
x
360
2p
45
2p
45
2p
15
8p
45
(B의넓이)=
x-
x=
x`(cmÛ`)이므로
(A의넓이)：(B의넓이)=
x`:`
x=1`:`3
2p
45
2p
15
②
68 | 정답 및 해설
25p
P.44
14
(정오각형의한외각의크기)
=
360ù
5
=72ù
이므로SÁ부터S°까지의
넓이의합은
(p_1Û`+p_2Û`+p_3Û`
+p_4Û`+p_5Û`)_
;3¦6ª0;
=55p_
=11p`(cmÛ`)
;5!;
3 cm
S£
4 cm
S¢
S™
2 cm
S¡
1 cm
5 cm
S∞
2
부채꼴의 호의 길이와 넓이 사이의 관계
P.45
01
반지름의길이가r이고호의길이가l인부채꼴의중심각
의크기를xù라고할때,부채꼴의호의길이와넓이S는
중심각의크기에 정비례 하므로비례식을세우면
l`:`2pr=S`:` prÛ`
이것을정리하면2prS= prÛ` _l
등식의양변을 2pr 로나누면S=
약분하여정리하면S=
rl 이다.
;2!;
prÛ` _l
2pr
02
⑴(부채꼴의넓이)=
_10_4p=20p`(cmÛ`)
⑵(부채꼴의넓이)=
_6_21=63`(cmÛ`)
;2!;
;2!;
⑴ 20p`cmÛ` ⑵ 63`cmÛ`
03
S=
rl에서
_6_l=24p이므로
;2!;
;2!;
l=8p`(cm)이다.
15p`cm
따라서
(부채꼴의둘레의길이)=8p+6+6=8p+12`(cm)
②
04
;2!;
S=
rl에서24p=
_r_8p이므로
;2!;
r=6`(cm)이다.
05
;2!;
S=
rl에서18p=
_r_4p이므로
;2!;
r=9`(cm)이다.
따라서4p=2p_9_
이므로
x
360
∠x=80ù이다.
③
⑤
④
⑤
풀이 참조
④n각형의한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수는
(넓이)=p_6Û`_
-p_3Û`_
;3!6@0);
;3!6@0);
n-3이다.
=12p-3p
=9p`(cmÛ`)
(둘레의 길이)=(6+6p)`cm, (넓이)=9p`cmÛ`
이므로주어진다각형은오각형이다.
주어진다각형을n각형이라고하면n-3=2에서n=5
01
02
06
⑴반지름의길이를r라고하면24p=
_r_6p이므로
;2!;
07
(색칠한부분의넓이)
r=8`(cm)이다.
⑵중심각의크기를xù라고하면6p=2p_8_
x
360
이므로∠x=135ù이다.
⑴ 8`cm ⑵ 135ù
=
_4_3+
_p_
+
_p_2Û`
;2!;
{;2#;}
;2!;
;2!;
2`
-
_p_
;2!;
{;2%;}
=6+
p+2p-
;8(;
2`
:ª8°:
p
=6`(cmÛ`)
②
3
색칠한 부분의 둘레의 길이와 넓이
P.46
01
(둘레의길이)
=2p_ 3 +2p_ 6 =6p+12p= 18p
3, 6, 18p 또는 6, 3, 18p
02
03
(넓이)=
_p_ 8 Û`-
_p_ 4 Û`=16p-8p= 8p
;4!;
;2!;
8, 4, 8p
(둘레의길이)=2_3+2p_3_
+2p_6_
;3!6@0);
;3!6@0);
=6+2p+4p=(6+6p)`(cm)
중단원 실전 마무리
PP.47~50
01 ④
06 ②
11 ③
16 ②
04 21
05 80ù
09 195ù 10 ④
02 ②, ⑤ 03 ③
08 ③
07 ③
13 1`:`2 14 ③
12 ④
17 12p`cm, 4p`cmÛ` 18 ④
15
;2(;
`cm
p
`cm,
19
{
4+
}
:Á3¼:
21 8p`cm 22 ①
:Á3¼:
23 ③
p`cmÛ` 20 75p`cmÛ`
24~29 풀이 참조
04
(둘레의길이)=2p_
+2p_
+2p_5
;2#;
=3p+7p+10p
;2&;
=20p`(cm)
05
(색칠한부분의넓이)
=㉠_4
=(4_4-p_2Û`)_4
=64-16p`(cmÛ`)
4 cm
4 cm
②정다각형이라는말이없으므로한내각의크기는알수
20p`cm
⑤한꼭짓점에서그은대각선에의하여5-2=3(개)의
①
5_(5-3)
2
=5
없다.
③180ù_(5-2)=540ù
삼각형으로나누어진다.
03
ㄱ.
ㄴ.
=54
12_(12-3)
2
180ù_(12-2)
12
=150ù
06
(색칠한부분의넓이)
=p_16Û`_
;3¢6°0;
-
_16_8
;2!;
=32p-64`(cmÛ`)
(64-16p)`cmÛ`
ㄷ.
360ù
12
=30ù
ㄹ.정다각형은모든변의길이와모든내각의크기가각각
같다.
따라서옳은것은ㄷ,ㄹ이다.
45˘
O
8 cm
04
칠각형의변의개수와대각선의개수의합을구하면된다.
③
7+
7_(7-3)
2
=7+14=21
Ⅱ. 평면도형과 입체도형 | 69
유형편 또∠C=108ù,∠BCA=
(180ù-108ù)=36ù이므로
그림과같으므로
05
∠DCB=∠DBC=20ù이므로
∠CDA=20ù+20ù=40ù
∠CAD=∠CDA=40ù이므로
∠ACE=20ù+40ù=60ù
∠AEC=∠ACE=60ù이므로
∠x=20ù+60ù=80ù
06
정육각형의한내각의크기가
180ù_(6-2)
6
=120ù
이므로∠BAC=
180ù-120ù
2
=30ù이고,
∠ABF=
180ù-120ù
2
=30ù이다.
따라서∠x=∠AGB=180ù-(30ù+30ù)=120ù이다.
07
∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=
180ù_(5-2)
5
=108ù
이고ABÓ=AEÓ,BAÓ=BCÓ이므로
∠ABP=∠BAP=
(180ù-108ù)=36ù(④)
;2!;
∠APQ=∠ABP+∠BAP=72ù(②)
∠ACD=108ù-36ù=72ù(③)
;2!;
따라서∠APQ=∠ACD=72ù이므로BEÓCDÓ이다.
한편∠AEQ=∠EAQ=36ù이므로∠AQP=72ù이다.
따라서∠APQ=∠AQP=72ù이므로△APQ는이등변
삼각형이다.(⑤)
(①)
08
주어진정다각형을정n각형이라고하면
360ù
n
=60ù이므로n=6이다.
따라서정육각형의대각선의개수는
6_(6-3)
2
=9이다.
09
정팔각형의한내각의크기는
180ù_(8-2)
8
=135ù이고
오각형에서 크기가주어지지
않은두각을∠x,∠y라고하
면오각형의내각의크기의합은
180ù_(5-2)=540ù이므로
105˘
135˘
135˘
x
y
a
b
∠x+∠y=540ù-(105ù+90ù+90ù)=255ù
이때∠a+∠b+∠x+∠y+135ù+135ù=360ù_2
이므로∠a+∠b+255ù+270ù=720ù이다.
따라서∠a+∠b=195ù이다.
70 | 정답 및 해설
10
오른쪽그림에서
∠p+∠q=∠x+∠y이므로
∠a+∠b+∠c+∠d+∠e
+∠f+∠g+∠h
=∠a+∠b+∠c
b
f
c
x
d
y
h
g
a
e
p q
+{∠e+(∠f-∠p)+(∠d-∠q)}
+∠x+∠y+∠g+∠h
=∠a+∠b+∠c+180ù+∠x+∠y+∠g+∠h
=180ù_(5-2)+180ù
=540ù+180ù=720ù
현의길이는중심각의크기에정비례하지않는다.
∠AOC=∠OCD=∠ODC=∠BOD
=
(180ù-120ù)=30ù
;2!;
이므로①,②,③,⑤는옳다.
④현의길이는중심각의크기에정비례하지않는다.
13
반지름OC를그으면오른쪽
C
µAC`:`µBC=∠AOC`:`∠BOC
=60ù`:`120ù
=1`:`2
30˘
60˘
120˘
30˘
O
B
A
14
∠AOC=∠BCO=∠CBO이고,
△OBC에서∠BOD=∠BCO+∠CBO
=∠AOC+∠AOC
=2∠AOC
이므로∠AOC=
∠BOD이다.
;2!;
따라서µBD=2_µAC=8`(cm)
15
원O의반지름의길이를r`cm라고하면
2p_r_
=3p,
pr=3p
;3!6@0);
;3@;
따라서r=
이므로반지름의길이는
`cm이다.
;2(;
;2(;
S=
rl에서10p=
_10_l이므로l=2p`(cm)이다.
;2!;
;2!;
(둘레의길이)=2p_3+2p_1+2p_2=12p`(cm)
(넓이)=p_3Û`-(p_1Û`+p_2Û`)=4p`(cmÛ`)
11
12
16
17
18
19
(둘레의길이)
=2_(6-4)+2p_4_
+2p_6_
;3¤6¼0;
;3¤6¼0;
=4+
p`(cm)
:Á3¼:
(넓이)
=p_6Û`_
-p_4Û`_
=
p`(cmÛ`)
;3¤6¼0;
;3¤6¼0;
:Á3¼:
채점 기준
배점 비율
단계
❶
두직선l,m에평행한두직선p,q를긋
는다.
❷ 정오각형의한내각의크기를구한다.
❸ 평행선의성질을이용한다.
❹ ∠CDG의크기를구한다.
20`%
20`%
30`%
30`%
색칠한부분을모으면중심각의크기가120ù인부채꼴이
25
△ABC에서
∠ACE=50ù+2∠DBC이므로
되므로색칠한부분의넓이의합은
p_15Û`_
=75p`(cmÛ`)
;3!6@0);
20
21
OAÓ=OO'Ó=O'AÓ=6`(cm)이므로△OAO'은정삼각
형이다.
∠AOO'=60ù이므로µAO'=2p_6_
=2p`(cm)
;3¤6¼0;
따라서색칠한부분의둘레의길이는
2p_4=8p`(cm)이다.
22
(색칠한부분의넓이)
=8_㉠
1 cm
1 cm
_p_1Û`-
_1_1
;2!;
}
=8_
{;4!;
=2p-4`(cmÛ`)
23
점A가움직인거리는다음그림과같다.
B
6`cm
l
A
120˘
120˘
C
B
A
(점A가움직인거리)=2_
2p_6_
{
=8p`(cm)
;3!6@0);}
∠ACE=25ù+∠DBC ……㉠ ……❶
∠DCE=
;2!;
△DBC에서
∠DCE=∠x+∠DBC
……㉡ ……❷
㉠,㉡에서∠x=25ù이다.
……❸
단계
채점 기준
배점 비율
❶ △ABC에서∠DCE의크기를나타낸다.
❷ △DBC에서∠DCE의크기를나타낸다.
❸ ∠x의크기를구한다.
30`%
30`%
40`%
26
부채꼴OAB의중심각의크기를∠x라고하면
p_12Û`_
=48p에서∠x=120ù이다.
……❶
x
360
따라서색칠한부분의넓이는
p_6Û`_
+
p_12Û`_
-p_6Û`_
;3!6@0);}
{
;3@6$0);
;3@6$0);}
=12p+(96p-24p)=84p
……❷
……❸
단계
채점 기준
배점 비율
❶ 부채꼴OAB의중심각의크기를구한다.
❷ 색칠한부분의넓이구하는식을세운다.
❸ 색칠한부분의넓이를구한다.
30`%
40`%
30`%
36˘-x
A
F
4x
36˘-x
B
72˘+x
E
108˘-x
x
x
D
C
G
l
p
q
m
24
두 직선 l, m에 평행한
두직선p,q를각각긋고
……❶
∠CDG=∠x라고하자.
정오각형의한내각의크
180ù_(5-2)
5
=108ù
기가
있다.
이므로평행선의성질에의하여위그림과같이나타낼수
27
(정사각형의넓이)=4_4=16`(cmÛ`),
……❶
(반원의넓이)=
_p_2Û`=2p`(cmÛ`)이고
……❷
;2!;
(색칠하지않은부분의넓이)=
_4_6=12`(cmÛ`)
;2!;
이므로색칠한부분의넓이는
16+2p-12=2p+4`(cmÛ`)
❶ 정사각형의넓이를구한다.
❷ 반원의넓이를구한다.
……❷
……❸
단계
채점 기준
배점 비율
……❸
……❹
25`%
25`%
25`%
25`%
Ⅱ. 평면도형과 입체도형 | 71
{
(둘레의길이)=2p_2+2p_4=12p`(cm)
(넓이)=p_4Û`-p_2Û`=12p`(cmÛ`)
따라서36ù-∠x+4∠x=180ù-108ù,3∠x=36ù에서
❸ 색칠하지않은부분의넓이를구한다.
∠x=12ù이므로∠CDG=12ù이다.
……❹
❹ 색칠한부분의넓이를구한다.
유형편 28
정육각형의한외각의크기는60ù이므로
……❶
2. 입체도형의 성질
④n각뿔의모서리의개수는2n이다.
주어진전개도를접으면정사면체가만들어진다.
합과같으므로
(원의중심이움직인거리)
……❶
04
①,③,⑤는다면체,②는평면도형,④는굽은면으로둘
러싸인입체도형이다.
①사각뿔-삼각형
②칠각뿔-삼각형
③삼각기둥-직사각형 ④오각기둥-직사각형
구하는넓이는
+p_24Û`_
p_12Û`_
;3¤6¼0;
=24p+96p+216p
=336p`(cmÛ`)
+p_36Û`_
;3¤6¼0;
;3¤6¼0;
01
다면체
……❷
……❸
1
다면체, 다면체의 종류
P.51
다면체, 면, 모서리, 꼭짓점
단계
채점 기준
배점 비율
❶ 정육각형의한외각의크기가60ù임을안다.
20`%
❷ 세부채꼴의넓이를구한다.
❸ 색칠한부분의넓이를구한다.
각20`%
20`%
29
⑴반지름의길이가3`cm인원
의중심이움직인거리는오
3 cm
른쪽그림의㉠부터㉥까지의
영역에표시된점선의길이의
120˘
10 cm
ㄴ,ㄹ은굽은면으로둘러싸여있으므로다면체가아니고,
ㅂ은평면도형인팔각형이므로다면체가아니다.
ㄱ, ㄷ, ㅁ
⑴ 합동, 직사각형 ⑵ 삼각형 ⑶ 각뿔대
01
02
03
=2p_13_
+2p_3_
+10
;3»6¼0;
+2p_3_
+10+2p_3_
;3»6¼0;
;3!6@0);
;3¤6¼0;
=
p+
p+10+p+10+
:ª3¤:
;2#;
p
;2#;
=20+
p`(cm)
:£3¥:
05
⑴육면체를세모서리를지나는평면으로잘라내고남은
모양이다.따라서육면체의면6개와새로생긴단면1개
를더하여면이모두7개이므로칠면체이다.
⑵칠면체를세모서리를지나는평면으로잘라내고남은
⑵반지름의길이가3`cm인원이지나간자리의넓이는
모양이다.따라서칠면체의면7개와새로생긴단면1개
위의그림의㉠부터㉥까지의영역의넓이의합과같으
를더하여면이모두8개이므로팔면체이다.
⑴ 칠면체 ⑵ 팔면체
……❷
……❸
②, ④
므로
(원이지나간자리의넓이)
=
p_16Û`_
-p_10Û`_
{
;3!6@0);}
+p_6Û`_
+10_6+p_6Û`_
;3¤6¼0;
;3!6@0);
;3»6¼0;
+10_6+p_6Û`_
;3»6¼0;
=52p+9p+60+6p+60+9p
=120+76p`(cmÛ`)
……❹
단계
채점 기준
배점 비율
❶ ⑴구하는거리가어떤것인지안다.
❷ ⑴원의중심이움직인거리를구한다.
❸ ⑵구하는넓이가어떤것인지안다.
❹ ⑵원이지나간자리의넓이를구한다.
30`%
20`%
30`%
20`%
06
①옆면의모양은사다리꼴이다.
②두밑면의크기는다르다.
③n각뿔대의면의개수는n+2이고모서리의개수는3n
이다.
⑤n각뿔대의꼭짓점의개수는2n이다.
07
삼각기둥의전개도이므로삼각기둥의꼭짓점의개수는6,
모서리의개수는9이다.
따라서a+b=6+9=15이다.
④
⑤
P.52
08
입체도형 밑면의 모양 옆면의 모양 면의 개수
오각기둥
육각뿔
칠각뿔대
오각형
육각형
칠각형
직사각형
삼각형
사다리꼴
7
7
9
09
10
11
12
13
14
15
02
03
04
면의개수는다음과같다.
①7 ②6 ③8 ④8 ⑤8
옆면이삼각형으로이루어져있으므로각뿔이다.
그런데밑면의모양이오각형이므로이입체도형은오각뿔
이다.
모서리의개수는다음과같다.
①6 ②8 ③9 ④12 ⑤10
④
따라서각꼭짓점에모이는면의개수는3이다.
정사면체, 3
정팔면체의꼭짓점의개수는6,모서리의개수는12,면의
②
개수는8이므로a=6,b=12,c=8이다.
따라서a+b+c=26이다.
①
②
③
④
⑤
정다면체
정사면체 정육면체 정팔면체 정십이면체 정이십면체
면의 모양
정삼각형 정사각형 정삼각형 정오각형 정삼각형
각 꼭짓점에
모이는 면의 개수
꼭짓점의 개수
모서리의 개수
면의 개수
3
4
6
4
3
8
12
6
4
6
12
8
3
20
30
12
사각뿔의모서리의개수는4_2=8이므로a=8,육각기
둥의모서리의개수는6_3=18이므로b=18,오각뿔대
의꼭짓점의개수는5_2=10이므로c=10이다.
따라서a+b+c=8+18+10=36이다.
밑면의모양이칠각형이므로구하는도형은칠각기둥이다.
따라서칠각기둥의모서리의개수는7_3=21,꼭짓점의
개수는7_2=14이므로a=21,b=14이다.
따라서a+b=35이다.
⑤
02
회전체
1
회전체
⑴ 원뿔 ⑵ 구 ⑶ 직사각형
모선은회전하여옆면을만드는선분이므로ABÓ이다.
구, 원뿔, 원뿔대, 원기둥
⑴
⑵
⑶
⑷
2
정다면체
01
⑴정다면체는정사면체,정육면체,정팔면체,정십이면체,
정이십면체의5가지뿐이다.
⑸정다면체의면이될수있는정다각형은정삼각형,정사
각형,정오각형의3가지뿐이다.
⑴ × ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ ◯ ⑸ ×
⑴ 정팔면체 ⑵ 정육면체 ⑶ 정십이면체
④정십이면체는정오각형인면으로만이루어져있다.
③정십이면체의각면은정오각형이다.
05
①의도형을1회전시키면주어진입체도형이생긴다.
한편,②,③,④,⑤의도형을1회전시켰을때에생기는
③
입체도형은다음그림과같다.
05
06
07
01
02
03
04
오각뿔
④
⑤
35
P.53
④
26
5
12
30
20
③
P.54
①
72 | 정답 및 해설
Ⅱ. 평면도형과 입체도형 | 73
유형편
03
기둥의 겉넓이와 부피
1
기둥의 겉넓이
P.56
01
⑴(밑넓이)=
_6_8=24`(cmÛ`)
;2!;
⑵(옆넓이)=(6+8+10)_12=288`(cmÛ`)
⑶(겉넓이)=2_24+288=336`(cmÛ`)
⑴ 24`cmÛ` ⑵ 288`cmÛ` ⑶ 336`cmÛ`
02
⑴(밑넓이)=p_4Û`=16p`(cmÛ`)
⑵(옆넓이)=2p_4_9=72p`(cmÛ`)
⑶(겉넓이)=2_16p+72p=104p`(cmÛ`)
⑴ 16p`cmÛ` ⑵ 72p`cmÛ` ⑶ 104p`cmÛ`
②
③
④
⑤
01
02
03
04
05
06
03
(밑넓이)=
_(2+3)_2=5`(cmÛ`)
;2!;
①
(옆넓이)=(2+3+3+3)_5=55`(cmÛ`)이므로
(겉넓이)=2_5+55=65`(cmÛ`)
2
회전체의 성질, 회전체의 전개도
P.55
⑴ 이등변삼각형 ⑵ 직사각형 ⑶ 원 ⑷ 등변사다리꼴
04
회전체를회전축에수직인평면으로자른단면은모두원
이다.
⑴ 원 ⑵ 원 ⑶ 원 ⑷ 원
5 cm
3 cm
④원기둥을회전축을포함하는평면으로자른단면의모
양은직사각형이다.
=18p+30p
=48p`(cmÛ`)
(겉넓이)=2_(p_3Û`)+2p_3_5
65`cmÛ`
3 cm
6p cm
5 cm
부채꼴을옆면으로하고원을밑면으로하는입체도형은
원뿔이다.
05
(밑넓이)=p_6Û`_
=12p`(cmÛ`)
;3!6@0);
원뿔
(옆넓이)=
6_2+2p_6_
{
_9
;3!6@0);}
=108+36p`(cmÛ`)
③
이므로
(겉넓이)=12p_2+(108+36p)
②회전축에수직인평면으로자른단면들은크기가다른
=60p+108`(cmÛ`)
원이므로합동이아니다.
07
ㄱ.구는회전축이무수히많다.
ㄷ.구를회전축에수직인평면으로자를때생기는단면은
제곱해서9가되는양수는3이므로x=3이다.
모양은같으나크기는서로다르다.
따라서정육면체의한모서리의길이는3`cm이다.
06
정육면체의한모서리의길이를x`cm로놓으면
(겉넓이)=6xÛ`=54이므로xÛ`=9이다.
⑤
①
④
②
ㄴ
74 | 정답 및 해설
07
오른쪽그림과같은입체도형이
2 cm
생기므로
(겉넓이)
=2_(p_5Û`-p_2Û`)
+(2p_5_7+2p_2_7)
=42p+98p=140p`(cmÛ`)
5 cm
③
01
⑴(밑넓이)=4_4=16`(cmÛ`)
⑵(옆면인이등변삼각형1개의넓이)
7 cm
=
_4_6=12`(cmÛ`)
;2!;
⑶(겉넓이)=16+4_12=64`(cmÛ`)
⑴ 16`cmÛ` ⑵ 12`cmÛ` ⑶ 64`cmÛ`
2
기둥의 부피
P.57
⑵(겉넓이)=p_5Û`+p_5_13=25p+65p
6,6,6p,6p,54p
=90p`(cmÛ`)
⑴ 156`cmÛ` ⑵ 90p`cmÛ`
02
⑴(겉넓이)=6_6+4_
_6_10
=36+120
{;2!;
}
=156`(cmÛ`)
01
02
03
04
05
밑면이삼각형이고옆면이직사각형이므로이입체도형은
삼각기둥이다.
(부피)=
_4_2
_5=20`(cmÜ`)
{;2!;
}
삼각기둥, 20`cmÜ`
(부피)=(p_3Û`)_10=90p`(cmÜ`)
(부피)=6_4=24`(cmÜ`)이다.
옆면의가로의길이는밑면인원의둘레의길이와같으므로
2pr=8p에서r=4이다.
따라서(부피)=(p_4Û`)_6=96p`(cmÜ`)이다.
r=4, (부피)=96p`cmÜ`
07
캔에들어있는음료수의부피와빈공간의부피는서로같
으므로캔에들어있는음료수의부피는캔의부피의
;2!;
이다.
따라서
(캔에들어있는음료수의부피)=
_(p_3Û`)_10
;2!;
=45p`(cmÜ`)
04
뿔의 겉넓이와 부피
1
뿔의 겉넓이
03
(겉넓이)=p_3Û`+p_3_6
=9p+18p=27p`(cmÛ`)
04
(겉넓이)=5_5+4_
_5_8
=25+80
{;2!;
}
=105`(cmÛ`)
(겉넓이)=p_4Û`+p_4_12
=16p+48p=64p`(cmÛ`)
(겉넓이)=
_6_5
_4+(6_7)_4+6_6
{;2!;
}
=60+168+36=264`(cmÛ`)
(겉넓이)=(p_2Û`+p_4Û`)+(p_4_12-p_2_6)
=20p+36p=56p`(cmÛ`)
④
④
②
②
⑤
⑤
②
①
05
06
07
①
2
뿔의 부피
01
(부피)=
_
_5_6
_4=20`(cmÜ`)
;3!;
{;2!;
}
P.58
02
;3!;
(부피)=
_(p_6Û`)_5=60p`(cmÜ`)
P.59
20`cmÜ`
⑤
Ⅱ. 평면도형과 입체도형 | 75
풀이 참조
06
p_3Û`_
_h=30p이므로
;3@6$0);
6ph=30p에서h=5이다.
유형편 작은구의반지름의길이를r라고하면큰구의반지름의
05
반지름의길이가4`cm인쇠구슬의부피는
12
주어진입체도형의부피는작은반구의부피와큰반구의
03
뿔의부피는밑넓이와높이가각각같은기둥의부피의
;3!;
이다.따라서각기둥의부피는밑넓이와높이가각각같은
04
각뿔의부피의3배이다.
길이는2r이므로
(작은구의겉넓이)=4prÛ`
04
정사각뿔의높이를h`cm라고하면
_5_5_h=50,
;3!;
따라서이정사각뿔의높이는6`cm이다.
:ª3°:
h=50이므로h=6이다.
05
⑴
12 cm
5 cm
④
(큰구의겉넓이)=4p_(2r)Û`=16prÛ`
따라서16prÛ`=4_4prÛ`이므로큰구의겉넓이는작은구
의겉넓이의4배이다.
6`cm
05
주어진입체도형의겉넓이는반구의겉넓이와원기둥의옆
넓이와원기둥의밑넓이의합이다.
따라서
(겉넓이)=
_(4p_5Û`)+(2p_5)_10+p_5Û`
;2!;
=50p+100p+25p
=175p`(cmÛ`)
⑵(부피)=
_(p_5Û`)_12=100p`(cmÜ`)
;3!;
⑴ 그림 참조 ⑵ 100p`cmÜ`
반지름의길이가4`cm인구가생기므로
(겉넓이)=4p_4Û`=64p`(cmÛ`)이다.
④
②
①
삼각뿔C-BGD는밑면이△BCD,높이가CGÓ로생각
할수있으므로
(부피)=
_
_4_6
_8=32`(cmÜ`)
;3!;
{;2!;
}
(통의부피)=
_(p_4Û`)_12=64p`(cmÜ`)
;3!;
따라서빈통에물을가득채우는데걸리는시간은
64pÖ4p=16(초)이다.
①
③
06
07
밑면인원의반지름의길이가3`cm이고모선의길이가
5`cm인원뿔과반지름의길이가3`cm인반구를이어붙
인모양의입체도형이생기므로
(겉넓이)=p_3_5+
_(4p_3Û`)
;2!;
=15p+18p=33p`(cmÛ`)
33p`cmÛ`
2
구의 부피
P.61
01
2r,
prÜ`,2r,2prÜ`,1,2,3
;3@;
05
구의 겉넓이와 부피
1
구의 겉넓이
02
⑴(부피)=
p_2Ü`=
p`(cmÜ`)
:£3ª:
⑵(부피)=
p_3Ü`=36p`(cmÜ`)
;3$;
;3$;
P.60
2r,4prÛ`
⑴
p`cmÜ` ⑵ 36p`cmÜ`
:£3ª:
(구의겉넓이)=4prÛ`,(단면의넓이)=prÛ`이므로4배이다.
4배
03
(부피)=
_
p_6Ü`
=
_288p=144p`(cmÜ`)
;2!;
{;3$;
}
;2!;
②
⑴(단면인원의넓이)=p_6Û`=36p`(cmÛ`)
⑵(곡면의넓이)=
_4p_6Û`=72p`(cmÛ`)
;2!;
⑶(겉넓이)=36p+72p=108p`(cmÛ`)
04
반지름의길이가6`cm인구가생기므로
(부피)=
p_6Ü`=288p`(cmÜ`)
;3$;
⑴ 36p`cmÛ` ⑵ 72p`cmÛ` ⑶ 108p`cmÛ`
288p`cmÜ`
76 | 정답 및 해설
06
07
01
02
03
p_4Ü`=
p`(cmÜ`)이고,
:ª;3%;¤:
;3$;
반지름의길이가2`cm인쇠구슬의부피는
p_2Ü`=
p`(cmÜ`)이다.
;3$;
:£3ª:
따라서
p=8_
p이므로쇠구슬을8개만들수
:ª;3%;¤:
:£3ª:
있다.
부피의합이다.따라서
(부피)=
_
;2!;
p_2Ü`
+
_
}
;2!;
{;3$;
{;3$;
p_5Ü`
}
=
:Á3¤:
p+
:ª;3%;¼:
p=
:ª;3^;¤:
p`(cmÜ`)
③
06
주어진입체도형의부피는반지름의길이가2`cm인구의
부피의
이므로
;4#;
_
;4#;
{;3$;
p_2Ü`
=8p`(cmÜ`)
}
④
13
원기둥모양의통에가득차있던물의양에서쇠구슬의부
피만큼물이쏟아진다.
(통의부피)=(p_3Û`)_6=54p`(cmÜ`),
(쇠구슬의부피)=
p_3Ü`=36p`(cmÜ`)이므로
;3$;
(통에남아있는물의양)=54p-36p=18p`(cmÜ`)이다.
18p`cmÜ`
8p`cmÜ`
07
(정팔면체의부피)=(정사각뿔의부피)_2
=
_
[;3!;
{;2!;
_12_12
_6
_2
}
]
=288`(cmÜ`)
14
①(원뿔의부피)=
_p_rÛ`_2r=
prÜ`
;3!;
;3@;
②(구의겉넓이)=4prÛ`
③(원기둥의겉넓이)=prÛ`_2+2pr_2r=6prÛ`
288`cmÜ`
④(구의부피)=
prÜ`
;3$;
(원기둥의부피)=prÛ`_2r=2prÜ`
P.62
따라서원뿔,구,원기둥의부피의비는
08
(구의부피)=
p_3Ü`=36p`(cmÜ`),
;3$;
(원기둥의부피)=(p_3Û`)_h=9ph`(cmÜ`)이므로
9ph=36p에서h=4이다.
prÜ``:`
prÜ``:`2prÜ`=1`:`2`:`3이다.
;3@;
;3$;
⑤원기둥과구의부피의비는3`:`2이므로전체의
만큼
;3@;
③
의물이흘러나온다.
09
두구의겉넓이의비는
(4p_2Û`)`:`(4p_3Û`)=16p`:36p=4`:`9
두구의부피의비는
15
원뿔의부피를VÁ`cmÜ`,구의부피를Vª`cmÜ`라고하면
p_2Ü`
`:`
p_3Ü`
=
p`:`
p=8`:`27
{;3$;
}
{;3$;
}
:£3ª:
:Á;3);¥:
VÁ`:`42p=1`:`3이므로VÁ=42p_
=14p,
4`:`9, 8`:`27
Vª`:`42p=2`:`3이므로Vª=42p_
=28p이다.
④
P.63
;3!;
;3@;
14p`cmÜ`, 28p`cmÜ`
10
(부피)=(원뿔의부피)+(반구의부피)
=
_(p_6Û`)_4+
_
p_6Ü`
;2!;
{;3$;
}
;3!;
=48p+144p
=192p`(cmÜ`)
11
구의반지름의길이를r라고하면정육면체의한모서리의
길이는2r이므로
(정육면체의부피)=(2r)Ü`=8rÜ`,(구의부피)=
prÜ`
;3$;
따라서구하는비는8rÜ``:`
prÜ`=24`:`4p=6`:`p이다.
;3$;
④
16
물의높이를h`cm라고하면
(p_6Û`)_h=
p_3Ü`에서h=1이다.
;3$;
따라서이물총의물의높이는1`cm이다.
192p`cmÜ`
1`cm
17
부채꼴의반지름의길이를r`cm라고하면호의길이가
3p`cm이므로2pr_
=3p,r=6이다.
;3»6¼0;
따라서(부피)=
_
p_6Ü`
=144p`(cmÜ`)이다.
;2!;
{;3$;
}
②
Ⅱ. 평면도형과 입체도형 | 77
유형편 ①면D와면F가포개어지고면E와
A B
C D
마주보는면이없다.
11
밑변은반지름의길이가5`cm이고중심각의크기가270ù
01
02
03
04
05
06
07
08
09
18
공의반지름의길이를r`cm라고하면원기둥모양의통의
두밑면이평행하고옆면의모양이모두사다리꼴인다면
밑면인원의반지름의길이는r`cm,높이는6r`cm이다.
체는각뿔대이다.
이때원기둥의부피는prÛ`_6r=6prÜ``(cmÜ`)이다.
따라서모서리의개수가24인각뿔대는팔각뿔대이다.
6prÜ`=162p에서rÜ`=27,r=3이므로
(공1개의부피)=
p_3Ü`=36p`(cmÜ`)이다.
;3$;
옆면의모양은다음과같다.
①삼각형
②직사각형
③사다리꼴
③
④정사각형
⑤직사각형
19
(쇠구슬1개의부피)=
p_2Ü`=
p`(cmÜ`)에서
;3$;
:£3ª:
(쇠구슬3개의부피)=3_
p=32p`(cmÜ`)이고,
:£3ª:
(물통의부피)=(p_4Û`)_10=160p`(cmÜ`)이므로
(물의부피)=(물통의부피)-(쇠구슬3개의부피)
=160p-32p=128p`(cmÜ`)
이때쇠구슬3개를꺼낸후의물의높이를x`cm라고하면
③면A와면D가포개어지고면으로
둘러싸이지않게된다.
E
F
B
A
C
D
(p_4Û`)_x=128p이므로
16px=128p에서x=8
육각기둥과칠각뿔은팔면체,칠각기둥과칠각뿔대는구면
체,팔각기둥과팔각뿔대와구각뿔은십면체,구각기둥은
따라서물의높이는10-8=2`(cm)가낮아진다.
십일면체이다.
①
따라서구면체는칠각기둥과칠각뿔대이고그개수는2
이다.
정팔면체의각면의한가운데에꼭짓점이있는정다면체
이므로꼭짓점의개수가8인정육면체가들어간다.
①구의단면은항상원이지만크기는다를수있다.
②
②원뿔을회전축에수직인평면으로자른단면은모두원
이지만반지름의길이가모두다르므로합동이아니다.
(cid:20)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
찾을수있다.
④회전체에서회전시킨평면도형을
l
20
구의부피가12p`cmÜ`이므로
12p：(원기둥의부피)=2：3에서
(원기둥의부피)=12p_
=18p`(cmÜ`)
;2#;
따라서이원기둥에서구를제외한나머지공간의부피는
18p-12p=6p`(cmÜ`)이다.
21
주어진평면도형을직선l을회전축
(cid:20)(cid:3)(cid:68)(cid:78)
으로하여1회전시킬때생기는입
체도형은오른쪽그림과같으므로
(부피)
=
_
p_6Ü`
-
_
;2!;
{;3$;
{;3$;
=144p-18p=126p`(cmÜ`)
;2!;
}
p_3Ü`
}
126p`cmÜ`
(cid:7041)(cid:10709)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:17)(cid:18)
(cid:4441)(cid:3993)(cid:1)(cid:7041)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:18)(cid:23)(cid:7097)(cid:1)(cid:10709)(cid:5509)(cid:9048)
중단원 실전 마무리
PP.64~68
02 ①
04 ②
08 ②, ④
01 ④
03 ①, ③
05 정육면체
06 ①, ② 07 ④
09 372p`cmÜ`
11 ⑤
10 ②
12 300`cmÜ`
13 ①
14 ⑤
16 ⑴ 192p`cmÛ` ⑵ 192p`cmÜ` 17 90p`cmÜ` 18 ⑤
19 8.75`cm
21 90p`cmÜ` 22 4
20 3배
23 8`:`3 24 2`cm 25~30 풀이 참조
15 ②
78 | 정답 및 해설
②회전체는좌우대칭이다.
④정이십면체는다면체이다.
오른쪽그림과같이가운데가구
모양으로빈회전체가생기므로
(부피)=
p_7Ü`-
p_4Ü`
;3$;
=
p_(343-64)
;3$;
;3$;
;3$;
=
p_279
=372p`(cmÜ`)
①
10
④
⑤
③
인부채꼴이므로밑넓이는
p_5Û`_
=
p`(cmÛ`)
;3@6&0);
:¦4°:
옆넓이는
+5_2
_8=60p+80`(cmÛ`)
2p_5_
;3@6&0);
{
}
따라서구하는겉넓이는
p_2+(60p+80)=
p+80`(cmÛ`)
:Á;2(;°:
:¦4°:
16
오른쪽그림과같은입체도형이
생긴다.
⑴(겉넓이)
=p_6Û`+2p_6_8
+p_6_10
=36p+96p+60p
=192p`(cmÛ`)
10 cm
8 cm
6 cm
⑵(부피)=(p_6Û`)_8-
_(p_6Û`)_8
;3!;
=288p-96p
=192p`(cmÜ`)
17
오른쪽그림과같이원기둥부분과나머
지부분으로나누면나머지부분은밑면
인원의반지름의길이가3`cm이고높이
4 cm
8 cm
12 cm
3 cm
가4`cm인원기둥의
이다.
;2!;
따라서이입체도형의부피는
(p_3Û`)_8+
_(p_3Û`)_4
;2!;
=72p+18p=90p`(cmÜ`)
12
주어진 입체도형을 2개의 사
각기둥으로나누어부피를구
5 cm
4 cm
4 cm
8 cm
7 cm
5 cm
하면
(5_4)_8+(7_4)_5
=160+140=300`(cmÜ`)
12 cm
=95`(cmÛ`)
(겉넓이)=5_5+4_
_5_7
=25+70
{;2!;
}
4 cm
12 cm
이므로
(통의부피)=10_10_10=1000`(cmÜ`)이고,
(물속에넣은물체의부피)=5_5_5=125`(cmÜ`)
(남아있는물의부피)=1000-125=875`(cmÜ`)
따라서물의높이를x`cm라고하면
10_10_x=875에서x=8.75이다.
18
19
20
13
오른쪽그림과같이원뿔2개를
이어붙인입체도형이생긴다.
a cm
위의원뿔의높이를a`cm,밑의
원뿔의높이를b`cm라고하면
b cm
=
_(p_4Û`)_a+
_(p_4Û`)_b
;3!;
(부피)
;3!;
;3!;
=
_(p_4Û`)_(a+b)
=
:Á3¤:
p_12=64p`(cmÜ`)
15
주어진입체도형의밑넓이는
p_3Û`_
=7p`(cmÛ`)이다.
;3@6*0);
따라서이입체도형의부피는
7p_9=63p`(cmÜ`)이다.
정육면체의한모서리의길이를a라고하면정육면체의부
피는aÜ`이다.
yy㉠
정육면체의네꼭짓점B,G,D,E에서삼각뿔을잘라내
면삼각뿔C-AFH가남는다.
이때네꼭짓점B,G,D,E에서잘라낸삼각뿔은두변
의길이가a인직각이등변삼각형을밑면으로하고높이는
a이다.
따라서잘라낸삼각뿔1개의부피는
_
;3!;
{;2!;
_a_a
_a=
aÜ`이므로
}
;6!;
(삼각뿔C-AFH의부피)=aÜ`-4_
aÜ`=
aÜ`이다.
;6!;
;3!;
yy`㉡
㉠,㉡에서정육면체의부피는삼각뿔C-AFH의3배
이다.
Ⅱ. 평면도형과 입체도형 | 79
4 cm
3 cm
이다.
;3!;
14
⑤뿔의부피는밑넓이와높이가각각같은기둥의부피의
유형편 21
(케이크의부피)
=p_15Û`_6
=1350p`(cmÜ`)
이때케이크를먹는사람은
모두15명이므로한사람이먹을수있는케이크의양은
15 cm
따라서구하는부피는
6 cm
108p-18p=90p`(cmÜ`)
채점 기준
단계
❶ 원뿔의부피를구한다.
❷ 반구의부피를구한다.
p=90p`(cmÜ`)이다.
:Á;1#5%;¼:
❸
색칠한부분을회전했을때생기는부피를구
한다.
22
구의반지름의길이를r라고하면A=4prÛ`이다.
이구를평면으로잘랐을때생기는단면중가장큰단면
은구의중심을지나는평면으로잘랐을때생기는원,즉
반지름의길이가r인원이므로B=prÛ`이다.
따라서
=
=4이다.
A
B
4prÛ`
prÛ`
(원뿔의부피)=
_(p_6Û`)_8=96p`(cmÜ`),
(구의부피)=
p_3Ü`=36p`(cmÜ`)이므로
(원뿔의부피)`:`(구의부피)=96p`:`36p=8`:`3이다.
;3!;
;3$;
23
24
부피와같으므로
p_12Û`_h=
p_6Ü`,144ph=288p에서
;3$;
h=2이다.
따라서올라간물의높이는2`cm이다.
27
(물의부피)=
_(p_3Û`)_4=12p`(cmÜ`)
……❶
(통의부피)=
_(p_6Û`)_8+(p_6Û`)_8
;3!;
;3!;
=96p+288p
=384p`(cmÜ`)
물을가득채우는데x초가걸린다고하면
5`:`x=12p`:`384p이므로5`:`x=1`:`32에서
x=160이다.
따라서이미물을5초동안부었으므로물을가득채우려
면160-5=155(초)동안물을더부어야한다.
……❹
❶ 물의부피를구한다.
❷ 통의부피를구한다.
❸ 물을가득채우는데걸리는시간을구한다.
❹ 물을더부어야하는시간을구한다.
올라간물의높이를h`cm라고하면늘어난부피는구의
단계
채점 기준
배점 비율
n각형의대각선의개수는
25
n(n-3)
2
이므로
n(n-3)
2
=9에서n(n-3)=18
28
구의
을잘라낸모양의입체도형이므로
;8!;
……❶
……❶
(겉넓이)=
_(4p_4Û`)+3_
_p_4Û`
……❷
{;4!;
}
;8&;
이때 차가 3이고 곱이 18인 두 자연수는 6과 3이므로
n=6이다.즉,밑면이육각형인각뿔대이므로육각뿔대
=56p+12p
=68p`(cmÛ`)
단계
채점 기준
배점 비율
❷ 겉넓이를구하는식을세운다.
❶ n각형의대각선의개수에대한식을세운다.
❸ 겉넓이를구한다.
단계
채점 기준
배점 비율
❶ 구의
을잘라낸모양의입체도형인지안다.
20`%
;8!;
……❸
배점 비율
40`%
40`%
20`%
……❷
……❸
20`%
30`%
40`%
10`%
……❸
50`%
30`%
……❶
이다.
따라서팔면체이다.
❷ n의값을구한다.
❸ 몇면체인지구한다.
26
오른쪽 그림과 같은 회전체가
생기므로구하는부피는원뿔의
부피에서 반구의 부피를 빼면
9 cm
된다.
원뿔의부피는
_(p_6Û`)_9=108p`(cmÜ`)
;3!;
반구의부피는
_
;2!;
{;3$;
}
p_3Ü`
=18p`(cmÜ`)
80 | 정답 및 해설
……❷
……❸
40`%
30`%
30`%
6 cm
……❶
……❷
29
구의부피VÁ은
VÁ=
prÜ`
;3$;
정팔면체의부피Vª를구하기위하여2개의정사각뿔로나
3 cm
누면정사각뿔의밑면의넓이는
_2r_2r=2rÛ`이고높
;2!;
이는구의반지름의길이r와같으므로
Vª=2_
_2rÛ`_r
}
=
;3$;
rÜ`
{;3!;
……❷
따라서
VÁ
Vª
=VÁÖVª=
prÜ`Ö
rÜ`=
;3$;
;3$;
4prÜ`
3
_
3
4rÜ`
……❸
=p
5
8명
76점
③
P.71
단계
채점 기준
배점 비율
잎이가장작은줄기는5이다.
❶ VÁ을구한다.
❷ Vª를구한다.
❸
의값을구한다.
VÁ
Vª
20`%
50`%
30`%
성적이70점미만인학생수는
3+5=8(명)
지만정다각형들이합동이아니다.
학생수가25명이므로성적이중간인학생은성적이낮은
쪽에서부터13번째인학생으로성적은76점이다.
30
⑴면을이루는다각형은정오각형과정육각형으로정다각
형이고각꼭짓점에모이는면의개수도3개씩일정하
따라서정다면체가아니다.
⑵모든면이합동인정삼각형이지만각꼭짓점에모이는
……❶
면의개수가4개인곳과5개인곳이있으므로일정하지
않다.
따라서정다면체가아니다.
단계
채점 기준
……❷
배점 비율
50`%
50`%
❶ ⑴정다면체가되지않는이유를서술한다.
❷ ⑵정다면체가되지않는이유를서술한다.
이다.
상수네반학생수는1+4+3+4+5+2+1=20(명)이
고책을20권이하로읽은학생수는1+4=5(명)이므로
책을20권이하로읽은학생은전체의
_100=25`(%)
;2°0;
06
07
08
09
통계Ⅲ
1. 자료의 정리와 해석
01
줄기와 잎 그림, 도수분포표
⑵가장작은변량은56점이고가장큰변량은99점이므로
1
줄기와 잎 그림
A=56,B=99이다.
P.70
⑶표를완성하면다음과같다.
2
도수분포표
01
⑴변량은모두20개이다.
1분당 맥박 수
(6|7은 67회)
줄기
6
7
8
잎
7 7 8 8 9 9 9
1 2 3 3 4 6 7 9 9
0 1 2 2 3 4
70 ~ 80
//// //
수학 성적(점)
50이상~ 60미만
60 ~ 70
80 ~ 90
90 ~100
합계
학생 수(명)
/
////
////
///
20
1
5
7
4
3
0, 1, 2, 2, 3, 4
⑸변량을일정한간격으로나눈구간을 계급 이라하
잎이가장많은줄기는7이다.
줄기와잎그림에서줄기와잎의수둘다가장큰수를찾
으면84회이다.
고,구간의너비를 계급의크기 라고한다.
⑹계급에속하는자료의수를 도수 라하고,60점이상
70점미만인계급의도수는5 이다.
⑴ 20개 ⑵ A=56, B=99 ⑶ 풀이 참조
⑷ 도수분포표 ⑸ 계급, 계급의 크기 ⑹ 도수, 5
풀이 참조
7
84회
01
02
03
04
05
A반전체학생수는
3+5+7+6+4=25(명)
02
⑴4+5+12+A+1=30에서
22+A=30,A=8이다.
⑵통학시간이35분이상인학생수는
25명
A+1=8+1=9(명)이다.
Ⅲ. 통계 | 81
유형편 ⑶도수가가장작은것은1이므로그계급은45분이상55
도수12가가장크므로도수가가장큰계급은60분이상
분미만이다.
120분미만이다.
04
⑴20세이상25세미만인계급의도수는
40-(3+11+6+3+2)=15
몸무게가3.5`kg이상인신생아는7+2=9(명)이고몸무
게가3.5`kg이상인신생아는전체의30`%이므로전체신
⑷4+5=9이므로통학시간이짧은쪽에서10번째인학
생이속하는계급은25분이상35분미만이다.
60분 이상 120분 미만
이고30세이상35세미만인계급의도수는6이므로
생아수는
_100=30(명)이다.
;3»0;
09
10
11
01
02
⑴ 8 ⑵ 9명 ⑶ 45분 이상 55분 미만
컴퓨터게임시간이긴쪽의계급부터도수가1,3이므로
⑷ 25분 이상 35분 미만
컴퓨터게임시간이긴쪽에서4번째인학생이속하는계
03
⑴무게를조사한참외의개수는도수의총합인40이다.
⑵2+6+A+12+7+5=40에서
32+A=40,A=8이다.
⑶무게가280g이상360g미만인참외의개수는
A+12=8+12=20이다.
⑷무게가360g이상인참외의개수는7+5=12이고조사
한참외의개수는40이므로
_100=30`(%)이다.
;4!0@;
⑴ ② ⑵ 8 ⑶ 20 ⑷ ⑤
급은180분이상240분미만이다.
180분 이상 240분 미만
컴퓨터게임을120분이상180분미만으로하는학생은6
명이므로
_100=25`(%)이다.
;2¤4;
⑤
04
ㄴ.계급의개수에대한설명이다.
ㄷ.계급의크기는구간의너비이다.
P.72
02
히스토그램과 도수분포다각형
1
히스토그램
P.73
ㄱ, ㄹ
4분 이상 8분 미만, 8분 이상 12분 미만, 12분 이상 16분
미만, 16분 이상 20분 미만, 20분 이상 24분 미만
05
06
07
A는30분이상40분미만이고그크기는
40-30=10(분)이다.
3+10+B+4+C=24에서
17+B+C=24,B+C=7이다.
10분
②
③B+C=7이므로도수가가장큰계급은10분이상20
분미만이지만가장큰변량은알수없다.
④기다린시간이20분이상30분미만인학생수는최대7
명이다.따라서기다린시간이20분이상40분미만인학
생수는최대7+4=11(명)이므로12명이될수없다.
⑴도수가가장큰계급은12 분이상 16 분미만이다.
⑵승현이네반의전체학생수는식사시간이짧은계급부
터도수가차례로, 2 , 8 , 12 , 7 , 4 이므로모두
더하면 33 명이다.
⑶위와같은그림을 히스토그램 이라고한다.
⑷식사시간이16분이상걸리는학생은7+4= 11 (명)
이므로전체에서차지하는비율은
_100=33.33y(%)
;3!3!;
이므로소수첫째자리에서반올림하면33 `%이다.
⑴ 12, 16 ⑵ 2, 8, 12, 7, 4, 33 ⑶ 히스토그램
⑷ 11, 33
08
컴퓨터 게임 시간(분) 학생 수(명)
0이상~ 60미만
60 ~120
120 ~180
180 ~240
240 ~300
합계
12
2
6
3
1
24
82 | 정답 및 해설
③, ④
03
①정확한변량은알수없다.
②계급의크기는30-15=15(분)이다.
③전체학생수는
3+6+7+10+6+4=36(명)
④대화시간이45분미만인학생수는3+6=9(명)이므로
전체의
_100=25`(%)이다.
;3»6;
⑤도수가가장작은것은계급15분이상30분미만인3
이다.
④
06
07
01
02
03
04
05
=2.5(배)이다.
:Á6°:
⑵35세이상인메달리스트는3+2=5(명)이므로
_100=12.5`(%)이다.
;4°0;
⑶나이가많은쪽부터도수가2,3이므로5번째인메달리
스트가속하는계급은35세이상40세미만이다.
이다.
⑴ 2.5배 ⑵ 12.5`% ⑶ 35세 이상 40세 미만
따라서3`kg이상3.5`kg미만인신생아수는
30-(1+9+7+2)=11(명)이다.
2.5`kg이상3`kg미만인신생아는전체의30`%이므로
2.5`kg이상3`kg미만인신생아수는30_
=9(명)
;1£0¼0;
30명
③
03
상대도수
⑴ 60명 ⑵ 16명
1
상대도수
P.75
05
⑴전체학생수를x라고하면
;[#;
_100=5`(%),즉x=60(명)이다.
⑵70점미만인학생은60_
=36(명)
;5#;
따라서계급50점이상60점미만의학생수는
36-(9+11)=16(명)이다.
01
02
03
04
2
도수분포다각형
A=2,B=14,C=10,D=9이므로
A+B+C+D=35이다.
도수가가장큰계급은25회이상35회미만이다.
계급의개수는6이고계급의크기는6-3=3(회)이다.
계급의 개수: 6, 계급의 크기: 3회
문자1건을보내는데20초이상25초미만,25초이상30
초미만의도수를각각a,a-1이라고하면
a+(a-1)=32-(3+7+11)=11
에서2a-1=11,즉a=6이다.
따라서문자1건을보내는데20초이상25초미만걸리는
사람의수는6명이다.
P.74
35
③
⑤
②
각계급의상대도수를위에서부터차례로구하면
=0.08,
=0.16,
=0.44,
=0.24,
;2¢5;
;2!5!;
;2¤5;
;2ª5;
;2ª5;
=0.08
상대도수의총합은항상1이다.
150`cm이상155`cm미만인계급의도수는4이고
145`cm이상150`cm미만인계급의도수는2이므로
150`cm이상155`cm미만인계급의도수는145`cm이
상150`cm미만인계급의도수의2 배이다.또도수와상
대도수는정비례하므로150`cm이상155`cm미만인계
급의상대도수는145`cm이상150`cm미만인계급의상
대도수의 2 배이다.
(어떤계급의도수)=(그계급의상대도수)_(전체도수)
이므로이계급의도수는0.28_50=14이다.
풀이 참조
1
2, 2
14
④
Ⅲ. 통계 | 83
05
문자1건을보내는데15초미만걸리는사람의수는
3+7=10(명)이고조사대상은32명이므로
_100=31.25`(%)이다.
;3!2);
A=
=0.2,
=0.15에서B=0.15_20=3이다.
B
20
;2¢0;
;2ª0;
C=
=0.1이고,D=1이다.
따라서A+B+C+D=0.2+3+0.1+1=4.3이다.
유형편 상대도수가가장큰계급은10만명이상20만명미만이
(0.28+0.2)_100=48`(%)
므로그계급의도수는10편이다.
관객수가40만명이상인영화는전체의
(C+0.05)_100=(0.1+0.05)_100=15`(%)
⑤1.5`kg미만인계급의상대도수가0.12이므로가방의
무게가1.5`kg이하인학생수는전체의12`%이다.
19초이상20초미만인계급의상대도수가
=0.2
성적이15점미만인학생의비율을구하면
;2°5;
이므로18초이상19초미만인계급의상대도수는
1학년1반에서는
_100=28`(%)이고
1-(0.08+0.12+0.24+0.2+0.08)=0.28이다.
2+5
25
16+36
200
①
1학년전체에서는
_100=26`(%)이다.
따라서1학년1반에서의비율이더높다.
08
A=
=0.28
;5!0$;
3
찢어진 상대도수의 분포표와 그래프
P.77
4
크기가 다른 두 자료의 비교
06
07
09
01
02
03
04
05
10편
②
④
06
07
01
02
⑤
⑤
0.35
①
②
74 %
②
30분이상40분미만인계급의도수가0.16_50=8이므
로1일통화시간이40분이상50분미만인학생수는
50-(9+14+16+8)=3(명)이다.
상대도수의총합은항상1이므로1시간이상1시간30분
미만인계급의상대도수는
1-(0.25+0.2+0.15+0.05)=0.35이다.
다른 풀이
이다.
30분이상40분미만인계급의도수를x라고하면도수와
(어떤계급의도수)=(그계급의상대도수)_(전체도수)
상대도수는정비례하므로16`:`x=0.32`:`0.16에서x=8
이므로독서시간이1시간이상1시간30분미만인학생
수는0.35_20=7(명)이다.
따라서1일통화시간이40분이상50분미만인학생수는
50-(9+14+16+8)=3(명)이다.
2
상대도수의 그래프
P.76
계급의크기는40-35=5`(kg)이므로a=5,
계급의개수는5이므로b=5이다.
따라서a+b=10이다.
3명
03
1시간이상1시간30분미만인계급의상대도수가 0.35
이고1시간30분이상2시간미만인계급의상대도수가
0.2 이므로독서시간이1시간이상2시간미만인학생이
전체에서차지하는비율은
(0.35+0.2)_100= 0.55 _100= 55 `(%)이다.
0.35, 0.2, 0.55, 55
04
②
자현이네반전체학생수가
=50(명)이므로39세
3
0.06
이상43세미만인계급의도수는0.2_50=10(명)이다.
도수가가장큰계급은상대도수가가장큰계급이므로
다른 풀이
40`kg이상45`kg미만이다.
39세이상43세미만인계급의도수를x명이라고하면
②
도수와상대도수는정비례하므로
3`:`x=0.06`:`0.2에서x=10이다.
몸무게가50`kg이상인상대도수는0.2+0.1=0.3이므
로학생수는20_0.3=6(명)이다.
1`kg이상1.5`kg미만인계급의도수가3이고상대도수
가0.12이므로보라네반의학생수는
3
0.12
=25(명)이다.
④
05
43세미만인계급의상대도수의합은0.06+0.2=0.26이
므로43세이상인계급의상대도수의합은
1-0.26=0.74이다.
따라서나이가43세이상인아버지가전체에서차지하는
비율은0.74_100=74`(%)이다.
3.5`kg이상인계급의상대도수는0.04이므로구하는
20초이상21초미만인계급의도수가0.08_25=2이므
06
학생수는25_0.04=1(명)이다.
로19초이상20초미만인계급의도수는7-2=5이다.
③
①
84 | 정답 및 해설
07
01
02
03
04
주어진그래프에서15시간이상일때,A중학교의그래프
가B중학교의그래프보다오른쪽에있으므로봉사활동
시간이15시간이상인학생은A중학교가비율이더높다.
A 중학교
주어진그래프에서B중학교의그래프가A중학교의그래
프보다윗부분에있는계급을찾으면된다.따라서구하는
계급은3시간이상6시간미만,6시간이상9시간미만,9
시간이상12시간미만이다.
3시간 이상 6시간 미만, 6시간 이상 9시간 미만,
9시간 이상 12시간 미만
A중학교의그래프가B중학교의그래프보다오른쪽에있
으므로A중학교가봉사활동시간이더많다고할수있다.
A 중학교
A,B두학급의어떤계급의도수를각각4a,5a라고하
면그계급의상대도수는
이므로상대도수의비는
4a
25
,
5a
30
4a
25
`:`
5a
30
=24a`:`25a=24`:`25이다.
05
A=
2
0.08
=25,B=
=200이므로
16
0.08
A+B=25+200=225이다.
④
①
07
08
01
02
03
04
A,B두중학교의통학시간이5분이상10분미만인학
생수를각각k명,2k명이라고하면통학시간이5분이상
P.78
10분미만인계급의상대도수의비는
k
200
`:`
2k
300
=3k`:`4k=3`:`4이다.
1학년 1반
③
중단원 실전 마무리
PP.79~85
01 풀이 참조
05 5명
06 풀이 참조
11 ②
10 ④
09 ①
15 92`% 16 ②
14 ⑤
21 ⑤
20 ⑤
19 ③
26 ⑤
24 ②
25 ⑤
31 0.4
29 2마리 30 ③
34 ⑤
36 ③
35 ③
39~46 풀이 참조
0215명 03 ④
07 ②
12 ②
17 ④
22 ①
27 ④
32 ⑤
37 ②
04 ④
08 ②
13 ②
18 ④
23 ②
28 ④
33 ④
38 ②
인터넷 사용 시간
(1|1은 11분)
줄기
1
2
3
4
잎
1 2 5
0 2 3 8
3 6 7 9 9
0 3 4
조사에참여한학생수는잎의총개수와같으므로
3+4+5+3=15(명)이다.
06
1반에서10등은25명의40`%이므로1반에서10등인학
생은적어도20점이상의성적을받은학생이다.
마지막줄기의마지막잎부터차례로세어나간다.이때8
번째는줄기가3이고잎이8이므로구하는태풍의최대풍
따라서1학년전체에서20점이상을받은학생은1학년전
속은38`m/s이다.
체에서(0.27+0.115)_100=38.5`(%)이내에드는
학생이므로적어도0.385_200=77(등)이내에드는학
생이다.
④제기차기횟수가가장많은학생은27회,가장적은학
생은2회이다.
③
따라서횟수의차는27-2=25(회)이다.
Ⅲ. 통계 | 85
유형편 05
줄기가2인잎이6개이고이수는전체학생수의
;7#;
이므로
15
형광등수명이8개월이상인것은50-4=46(개)이므로
전체학생수를x명이라고하면
=
,x_
=6에서x=14이다.
;[^;
;7#;
;7#;
따라서보이지않는부분의학생수는
14-(3+6)=5(명)이다.
06
중학교 수(개)
5이상~10미만
10 ~15
15 ~20
20 ~25
25 ~30
합계
구 수(개)
////
//// ////
//// ///
//
//
25
4
9
8
2
2
조사한형광등의합격률은
_100=92`(%)이다.
;5$0^;
댄스반학생수는
2+11+7+4+1=25(명)이다.
키가155`cm미만인학생수는2명이므로전체의
_100=8`(%)이다.
;2ª5;
④키가가장큰학생의키는알수없다.
③각직사각형의넓이는세로의길이에정비례한다.
07
08
09
10
11
12
13
14
계급10개이상15개미만의도수9가가장크다.
14시간이상18시간미만인계급의도수는
종로구는5개이상10개미만에속하므로그도수는4이다.
B=300이고
A=300-(32+62+37+50+45+18)=56이므로
A+B=56+300=356이다.
35-(7+8+6+3)=11
이므로14시간이상인학생수는
11+3=14(명)이다.
경훈이네반학생수는
7+11+6+4+3+1=32(명)이다.
④외국어고등학교지원자중입학시험최고성적은알
수없다.
32명의25`%는32_0.25=8(명)이므로상위8등이내에
드는학생은턱걸이횟수가20회이상이어야한다.
280점이상290점미만인학생수는45명이므로전체의
_100=15`(%)이다.
;3¢0°0;
성적이높은계급부터학생수를더하면
18+45+50+37=150(명)
이므로이외국어고등학교에압학하려면최소260점이상
을받아야한다.
6시간이상7시간미만인계급의도수는6이고8시간이상
9시간미만인계급의도수는4이므로
=1.5(배)이다.
;4^;
②계급의개수는5이다.
하루수면시간이7시간미만인학생은3+6=9(명)이므
로전체의
_100=36`(%)이다.
;2»5;
강수량이100`mm이상300`mm미만인도시가전체의
기록이180`cm이상인학생이차지하는비율은
(0.3+0.2+0.05)_100=55`(%)이다.
36`%이므로
B+4
25
_100=36,즉B=5이다.
따라서A=25-(5+4+7+3+3)=3이므로
A-B=3-5=-2이다.
수명이14개월이상인형광등의개수는9이므로수명을조
사한형광등의개수는
9
0.18
=50이다.
86 | 정답 및 해설
진수네반전체학생수는
=40(명)이므로구하는도
8
0.2
수는40_0.15=6이다.
다른 풀이
172`cm를뛴진수가속한계급의상대도수는0.15이므로
이때의도수를x라고하면도수와상대도수는정비례하므
로x`:`8=0.15`:`0.2에서x=
=6이다.
1.2
0.2
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
32
33
34
35
36
10`cm이상15`cm미만인계급의상대도수가
50개이상60개미만인계급의도수가0.1_120=12이
1-(0.08+0.32+0.24+0.16+0.04)=0.16이므로
므로윗몸일으키기를10번째로많이한학생은이계급에
구하는비율은0.16_100=16`(%)이다.
속한다.
따라서이계급의도수가전체에서차지하는비율은
길이가25`cm이상인물고기의수가5마리이므로하루동
0.1_100=10`(%)이다.
안잡은물고기의수는
5
0.16+0.04
따라서길이가10`cm미만인물고기의수는
=25(마리)이다.
5
0.2
=
0.08_25=2(마리)이다.
30
20분이상40분미만인계급의상대도수의합이
1-(0.1+0.16+0.14)=0.6이고20분이상30분미만
①남학생의수와여학생의수가같은지알수없다.
②남학생의그래프가여학생의그래프보다오른쪽에있으
므로남학생의기록이여학생의기록보다더좋다.
③여학생중에서30개미만을한학생은전체의
(0.14+0.26)_100=40`(%)이다.
④30개이상40개미만인계급의상대도수는같지만전체
37
38
인계급과30분이상40분미만인 계급의 도수의 비가
도수를알수없으므로도수를비교할수없다.
3`:`2이므로30분이상40분미만인계급의상대도수는
⑤10개이상20개미만인계급의도수가0.1_50=5,
0.6_
=0.24이다.
;5@;
따라서통학시간이30분이상인학생은전체의
(0.24+0.14)_100=38`(%)이다.
20개이상30개미만인계급의도수가0.16_50=8
이므로10번째로적게한남학생이속하는계급은
20개이상30개미만이다.
31
민주네반전체학생수는
1+3+5+10+4+2=25(명)이고도수가가장큰계급
은도수가10인20개이상26개미만이다.
따라서구하는상대도수는
=0.4이다.
;2!5);
7시40분이상7시50분미만인계급의도수가5이고상대
도수가0.1이므로현지네반전체학생수는
5
0.1
=50(명)이다.
39
마지막줄기의마지막잎부터차례로세어나갈때3번째
는줄기가2이고,잎이9이다.
따라서구하는안타수는29이다.
……❶
……❷
단계
❶
❷
채점 기준
배점 비율
줄기와잎그림에서3번째로큰변량의줄기
와잎을구한다.
안타수가3번째로많은선수의안타수를구
한다.
50`%
50`%
상대도수가가장큰계급은상대도수가0.34인8시이상
40
5+(x-1)+8+
+1
+1=24에서
{;4{;
}
8시10분미만이다.
따라서구하는도수는0.34_50=17이다.
8시10분이상인계급의상대도수의합이
0.22+0.18=0.4이므로자율학습에지각한학생수는
0.4_50=20(명)이다.
윗몸일으키기를40개이상한학생수가36명이고그상
대도수는0.2+0.1=0.3이므로가인이네학교1학년학
생수는
=120(명)이다.
36
0.3
30개이상40개미만인계급의상대도수는
1-(0.125+0.225+0.2+0.1)=0.35
이므로구하는학생수는
0.35_120=42(명)이다.
x=10,x=8이다.
;4%;
따라서4시간이상12시간미만인학생수는
7+8=15(명)이므로
전체의
_100=62.5`(%)이다.
;2!4%;
단계
채점 기준
❶ x의값을구한다.
……❶
……❷
……❸
배점 비율
30`%
❷ 4시간이상12시간미만인학생수를구한다.
30`%
❸
4시간이상12시간미만인학생수의백분율
을구한다.
40`%
41
전체학생수는4+5+9+5+2=25(명)이고 ……❶
가슴둘레가85`cm미만인학생수는4+5=9(명)……❷
이므로전체의
_100=36`(%)이다.
……❸
;2»5;
Ⅲ. 통계 | 87
유형편 45
⑴몸무게가45`kg이상50`kg미만인계급의상대도수는
0.25,50`kg이상55`kg미만인계급의상대도수는
0.35이다.
……❶
따라서몸무게가45`kg이상55`kg미만인학생은전
체의(0.25+0.35)_100=60`(%)이다. ……❷
⑵몸무게가55`kg이상60`kg미만인계급의상대도수는
0.2, 60`kg 이상 65`kg 미만인 계급의 상대도수는
0.05이다.
……❸
따라서몸무게가55`kg이상인학생수는
(0.2+0.05)_40=10(명)이다.
……❹
단계
채점 기준
배점 비율
❶
❷
❸
⑴몸무게가45`kg이상50kg미만,50`kg
이상55`kg미만인계급의상대도수를구
한다.
⑴몸무게가45`kg이상55`kg미만인학생
은전체의몇%인지구한다.
⑵몸무게가55`kg이상60`kg미만,60`kg
이상65`kg미만인계급의상대도수를구
한다.
20`%
30`%
20`%
❹ ⑵몸무게가55`kg이상인학생수를구한다.
30`%
……❶
……❷
……❸
46
A반에서수학성적이80점이상90점미만인계급의상대
B반에서수학성적이80점이상90점미만인계급의상대
도수는
=0.25
;2°0;
도수는
=0.24
;2¤5;
크다.
단계
따라서A반의상대도수가더크므로수학성적이80점이
상90점미만인학생수는A반이상대적으로비율이더
채점 기준
배점 비율
❶
❷
❸
A반에서수학성적이80점이상90점미만
인계급의상대도수를구한다.
B반에서수학성적이80점이상90점미만
인계급의상대도수를구한다.
수학성적이80점이상90점미만인학생수
가상대적으로비율이큰반을구한다.
30`%
30`%
40`%
단계
채점 기준
배점 비율
❶ 전체학생수를구한다.
❷ 가슴둘레가85`cm미만인학생수를구한다.
❸
가슴둘레가85`cm미만인학생수의백분율
을구한다.
30`%
30`%
40`%
12
x
단계
❷
단계
❶
❷
42
⑴50`kg미만인학생수는4+8=12(명)이고이학생들
이전체의40`%이므로전체학생수를x명이라고하면
_100=40에서x=30이다.
따라서재범이네반학생수는30명이다.
……❶
⑵50kg이상55kg미만인계급의도수는
30-(4+8+5+2+1)=10
……❷
채점 기준
❶ ⑴전체학생수를구한다.
⑵50`kg이상55`kg미만인계급의도수를
구한다.
배점 비율
60`%
40`%
A,B두중학교의전체학생수를각각5a명,2a명이라
43
하고
어떤계급의도수를각각3k,2k라고하면
구하는상대도수의비는
3k
5a
2k
2a
;5#;
`:`
=
`:`1=3`:`5이다.
채점 기준
배점 비율
두중학교의전체학생수를문자를사용하여
나타낸다.
어떤 계급의 도수를 문자를 사용하여 나타
낸다.
❸ 상대도수의비를구한다.
……❶
……❷
……❸
40`%
40`%
20`%
44
⑴수학점수가70점미만인계급의상대도수는0.7이고,
70점이상90점미만인계급의상대도수는0.25이다.
이때상대도수의총합은1이므로수학점수가90점이
상인계급의상대도수는
1-(0.25+0.7)=0.05이다.
……❶
90점이상인계급의도수가2명이므로이반의전체학
생수는
=40(명)이다.
……❷
2
0.05
⑵전체학생수가40명이고수학점수가70점미만인계
급의상대도수가0.7이므로70점미만인학생수는
40_0.7=28(명)이다.
……❸
단계
❶
채점 기준
배점 비율
⑴수학점수가90점이상인계급의상대도수
를구한다.
❷ ⑴전체학생수를구한다.
30`%
30`%
❸ ⑵수학점수가70점미만인학생수를구한다.
40`%
88 | 정답 및 해설
유형편 대단원 모의고사
Ⅰ
기본 도형과 작도
PP.87~90
행하지 않다.
① 엇각의 크기가 같지 않으므로 두 직선 l, m은 서로 평
09
10
11
12
B
13
14
15
16
17
F
E
D
S
R
05 ③
10 ④, ⑤
15 ②
03 ①
08 ②
13 ⑤
18 ①
02 ④
07 ④
12 ①
17 ②
04 ④
09 ①
14 ⑤
19 36ù
01 ③
06 ④
11 ③
16 ⑤
20 ⑴ ADÓ, BCÓ, DHÓ, CGÓ, AGÓ ⑵ AEÓ, GFÓ
21 ⑴ △CDG, SAS 합동 ⑵ 30`cm
22 ~ 25 풀이 참조
ㄴ, ㅂ. AB³=AC³=AD³, ㄷ. ABÓ=BAÓ
따라서 같은 것끼리 짝 지은 것은 ㄱ, ㄹ, ㅁ이다.
A
두 점을 지나는 직선은 ABê, ACê, ADê, BCê, BDê, CDê의
6개이다.
AMÓ=BMÓ이므로 7=x+5
따라서 x=2이다.
평각의 크기는 180ù이므로
(∠x-60ù)+∠x+(∠x-30ù)=180ù
3∠x=270ù, ∠x=90ù
∠AOB=∠DOE,
∠BOC=∠EOF,
∠COD=∠FOA,
∠AOC=∠DOF,
O
A
B
C
④, ⑤ 두 선분의 길이를 비교할 때나 선분의 길이를 다른
직선으로 옮길 때는 컴퍼스를 사용한다.
A
B
P
A
A
B
B
l
P
P
l
l
A
B
P
A
l
P
B
A
A
l
Q
B
P
B
P
l
Q
Q
l
가장 긴 변의 길이는 x+2이므로
l
x+(x+1)>x+2에서 2x+1>x+2
P
따라서 x>1이다.
Q
❹ 점 O를 중심으로 하는 원을 그려 반직선 OX, OY와
만나는 점을 각각 A, B라고 한다.
❺ 점 P를 중심으로 하고 반지름의 길이가 ❹와 같은 원을
그려 반직선 PQ와 만나는 점을 D라고 한다.
❶ 점 B를 중심으로 하고 ABÓ를 반지름으로 하는 원을 그
린다.
❸ 점 D를 중심으로 하고 반지름의 길이가 ❶과 같은 원을
그려 ❺의 원과 만나는 점을 C라고 한다.
❷ 점 P와 점 C를 연결하면 ∠CPQ가 구하는 각이다.
ㄴ. ∠C가 ABÓ, BCÓ의 끼인각이 아니므로 삼각형을 하나
로 작도할 수 없다.
∠BOD=∠EOA, ∠COE=∠FOB로 모두 6쌍이다.
② 넓이가 같은 두 도형은 합동이 아닌 경우도 있다.
④ 공간에서 한 평면과 평행한 두 직선은 평행하거나 만나
이때 사각형의 내각의 크기의 합은 360ù이므로
④ 점 A와 직선 l 사이의 거리는 ADÓ이므로 4`cm이다.
거나 꼬인 위치에 있다.
① ∠ABC는 ∠PAB의
엇각이므로
∠ ABC=70ù
② ABÓ+ACÓ
P
Q
A
x
x
x
70˘
B
C
두 사각형 ABCD와 EFGH가 서로 합동이므로
∠H=∠D=110ù, ∠F=∠B=40ù
∠x =360ù-(110ù+60ù+40ù)
=360ù-210ù=150ù
한 변의 길이와 양 끝 각 중 한 각의 크기가 주어졌을 때 두
삼각형이 합동이 되기 위해 필요한 조건은 주어진 각을 끼
고 있는 다른 한 변의 길이 또는 주어진 변의 다른 각의 크
③ 접은 각의 크기와 엇각의
기이다.
크기는 서로 같으므로 ∠BCA=∠BAC
따라서 필요한 조건은 ABÓ=DEÓ 또는 ∠C=∠F이다.
④ 엇각의 크기는 서로 같으므로 ∠PAC=∠ACR
⑤ 삼각형의 내각의 크기의 합은 180ù이므로 △ABC에서
∠ x+70ù+∠x=180ù, 2∠x=110ù
따라서 ∠x=55ù이다.
18
△ABD와 △CBE에서
ABÓ=CBÓ, BDÓ=BEÓ, ∠ABD=∠CBE=60ù
이므로 △ABDª△CBE (SAS 합동)이다.
대단원 모의고사 | 89
01
02
03
04
05
06
07
08
이때 ∠ADB=∠CEB=60ù+25ù=85ù이므로
또한 이등변삼각형은 두 변의 길이가 같으므로 세 변의 길
03
180ù_(n-2)+360ù=2160ù이므로
180ù_n=2160ù, n=12이다.
따라서
(단면의 넓이) =p_3Û`-p_1Û`=9p-p=8p`(cmÛ`)
⑴ △ADE와 △CDG에서 ADÓ=CDÓ, DEÓ=DGÓ,
이므로 △ABDª△ACE (SAS 합동)
…… ❶
⑤ ∠AOD=180ù이면 부채꼴 AOD는 활꼴이 된다.
=(25p+100p)+(260p-65p)
⑴ 선분 EF와 꼬인 위치에 있는 선분은 ADÓ, BCÓ, DHÓ,
❸ 이등변삼각형의 개수를 구한다.
동위각이나 엇각의 크기가 각각 같을 때, 두 직선은 평행하
∠DAF+∠AEC=15ù+75ù=90ù이다.
∠ADC=180ù-∠ADB=180ù-85ù=95ù
19
오른쪽 그림과 같이 꺾인 점을
지나면서 두 직선 l, m과 평행
한 직선 n을 그으면 엇각의 크
(cid:77)
(cid:79)
(cid:78)
기는 서로 같으므로
∠x=70ù-34ù=36ù이다.
(cid:20)(cid:21)
(cid:20)(cid:21)
(cid:24)(cid:17)
(cid:10709)(cid:18)(cid:14)(cid:20)(cid:14)(cid:18)
⑵ 대각선 AG와 선분 EF를 동시에 만나는 선분은 AEÓ,
CGÓ, AGÓ이다.
GFÓ이다.
∠ ADE=∠CDG=90ù이므로
△ ADEª△CDG (SAS 합동)
⑵ AEÓ=CGÓ=30`cm
20
21
22
므로 두 직선 m과 n은 평행이다.
…… ❶
m과 n이 평행하므로 엇각의 크기가 같다.
따라서 ∠x=100ù이다.
삼각형의 두 내각의 크기의 합은 그와 이웃하지 않는 외각
의 크기와 같으므로
∠y+60ù=∠x=100ù
따라서 ∠y=40이다.
단계
채점 기준
❶ 평행한 직선을 찾는다.
❷ ∠x, ∠y의 크기를 구한다.
23
시침은 1시간에 30ù씩 움직이므로 1분에 0.5ù씩 움직이고,
분침은 1시간에 360ù씩 움직이므로 1분에 6ù씩 움직인다.
단계
❶
(시침이 움직인 각도)=30ù_3+0.5ù_15=97.5ù
(분침이 움직인 각도)=6ù_15=90ù
따라서 구하는 각은 97.5ù-90ù=7.5ù이다.
채점 기준
시침과 분침이 1분 동안 움직이는 각의 크기
를 안다.
❷ 시침과 분침이 움직인 각의 크기를 구한다.
❸ 크기가 작은 각의 크기를 구한다.
…… ❷
배점
2점
3점
…… ❶
…… ❷
…… ❸
배점
2점
2점
1점
이를 각각 a, b, b라고 하면
a+b+b=a+2b=17
이것을 만족하는 세 변의 길이의 순서쌍 (a, b, b)는
(1, 8, 8), (3, 7, 7), (5, 6, 6), (7, 5, 5)
의 4개이다.
단계
채점 기준
❶ 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계를 안다.
❷ 삼각형의 세 변에 대한 식을 세운다.
25
△ABD와 △ACE에서
ABÓ=ACÓ, ADÓ=AEÓ
∠BAD=60ù-∠DAC=∠CAE
△ABD에서 ∠B=60ù이므로
∠BAD=180ù-(60ù+75ù)=45ù
∠DAF=60ù-∠BAD=60ù-45ù=15ù
또한 ∠AEC=∠ADB=75ù이므로
단계
채점 기준
❶ △ABDª△ACE임을 설명한다.
❷ ∠DAF의 크기를 구한다.
❸ ∠AEC의 크기를 구한다.
❹ ∠DAF+∠AEC의 크기를 구한다.
…… ❷
…… ❸
배점
1점
2점
2점
…… ❷
…… ❸
…… ❹
배점
2점
1점
1점
1점
Ⅱ
평면도형과 입체도형
PP.91~94
04 ④
09 ③
14 ①
03 ①
08 ①
13 ⑤
18 (144-24p)`cmÛ`
02 ④
01 ③
07 ②
06 ②
12 ③
11 ②
17 50ù
16 ③
19 ⑴ 244`cmÛ` ⑵ 220`cmÜ`
21 2592p`cmÛ`
22~25 풀이 참조
20 432p`cmÜ`
05 ⑤
10 ④
15 ④
01
02
③ 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기가 같아야
정다각형이다.
다각형의 외각의 크기의 합은 360ù이므로
(180ù-∠x)+(180ù-80ù)+40ù+70ù+50ù+60ù
=360ù
24
삼각형이 정해지려면 가장 긴 변의 길이는 나머지 두 변의
500ù-∠x=360ù
길이의 합보다 작아야 한다.
…… ❶
따라서 ∠x=140ù이다.
90 | 대단원 모의고사
11
12
14
15
16
따라서 십이각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의
개수는 12-3=9이다.
04
△DEH와 △CFH에서
∠DHE=∠CHF(맞꼭지각)
이므로
∠D+∠E
따라서
=∠HCF+∠HFC이다.
B
A
E
C
G
D
H
F
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G의 크기는
오각형 ABCFG의 내각의 크기의 합과 같으므로
180ù_(5-2)=540ù이다.
(호의 길이)=2p_12_
=4p이다.
x
360
따라서 x=60ù이다.
(색칠한 부분의 넓이)=(지름이 AB'Ó인 반원의 넓이)
+(부채꼴 B'AB의 넓이)
-(지름이 ABÓ인 반원의 넓이)
=(부채꼴 B'AB의 넓이)
=p_8Û`_
=8p`(cmÛ`)
;3¢6°0;
밑면은 두 변의 길이가 4`cm인 직각이등변삼각형이고 높
이는 8`cm이므로
(부피)=
_
_4_4
_8=
`(cmÜ`)
;3!;
{;2!;
}
:¤3¢:
전개도를 그리면 오른쪽 그림과
13 cm
5 cm
13 cm
10 cm
같으므로
(겉넓이)
=(p_5Û`+p_10Û`)
+
_26_20p
{;2!;
;2!;
-
_13_10p
}
=125p+195p
=320p`(cmÛ`)
13
직선 l을 회전축으로 하여 1회전 시키
면 오른쪽 그림과 같이 원뿔과 원기둥
을 이어 붙인 입체도형에서 원뿔을 파
낸 모양의 입체도형이 생긴다. 따라서
=2_
_5_6p
+(2p_3)_4
{;2!;
}
(겉넓이)
=30p+24p
=54p`(cmÛ`)
5 cm
4 cm
3 cm
다면체는 모든 면이 다각형으로 이루어져 있다.
그런데 원기둥의 밑면은 원이고 원은 다각형이 아니므로
원기둥은 다면체가 아니다.
(겉넓이)=4p_4Û`+2p_4_10
=64p+80p=144p`(cmÛ`)
면의 개수가 가장 많은 정다면체는 정이십면체이다.
정이십면체의 면의 개수는 20이므로 a=20이다.
정오각형으로 만든 정다면체는 정십이면체이다.
정십이면체의 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 3이므로 b=3
이다.
따라서 a+b=20+3=23이다.
(구하는 부피)=(반구의 부피)+(원뿔의 부피)
=
_
;2!;
{;3$;
p_3Ü`
+
_(p_3Û`)_5
}
;3!;
=18p+15p=33p`(cmÜ`)
(정육면체의 부피)=10_10_10=1000`(cmÜ`)
(구의 부피)=
p_5Ü`=
p`(cmÜ`)
;3$;
:°;3);¼:
(사각뿔의 부피)=
_(10_10)_10=
`(cmÜ`)
;3!;
1000
3
생기는 회전체는 아래 왼쪽 그림과 같고, 회전축에 수직인 평
면으로 잘랐을 때 생기는 단면은 아래 오른쪽 그림과 같다.
이므로
(cid:18)(cid:3)(cid:68)(cid:78)(cid:3)
(cid:19)(cid:3)(cid:68)(cid:78)(cid:3)
(정육면체의 부피)`:`(구의 부피)`:`(사각뿔의 부피)
(cid:22)(cid:3)(cid:68)(cid:78)(cid:3)
(cid:18)(cid:3)(cid:68)(cid:78)(cid:3)
(cid:19)(cid:3)(cid:68)(cid:78)(cid:3)
=1000`:`
1000
3
:°;3);¼:
=3000`:`500p`:`1000
p`:`
=6`:`p`:`2
대단원 모의고사 | 91
(cid:3849)(cid:10709)(cid:19)(cid:14)(cid:18)
(cid:3849)(cid:19)(cid:14)(cid:24)(cid:6705)(cid:1)(cid:1889)(cid:10685)(cid:1)(cid:10709)(cid:5509)(cid:9048)
(cid:3849)(cid:10709)(cid:19)(cid:14)(cid:19)
(cid:3849)(cid:19)(cid:14)(cid:24)(cid:6705)(cid:1)(cid:1889)(cid:10685)(cid:1)(cid:10709)(cid:5509)(cid:9048)
05
06
07
08
09
10
정답 및 해설 ∠C=∠x라고 하면 ∠A=2∠C이므로 ∠A=2∠x이다.
△OED에서
2∠x+30ù+∠x=180ù이므로
3∠x=150ù, ∠x=50ù이다.
따라서 ∠C=50ù이다.
17
18
EBÓ=BCÓ=ECÓ이므로 △EBC는 정삼각형이다.
따라서 ∠ABE=90ù-60ù=30ù이다.
(부채꼴 ABE의 넓이)=p_12Û`_
=12p`(cmÛ`)
;3£6¼0;
부채꼴 ABE의 넓이와 부채꼴 DCE의 넓이는 같다.
따라서 색칠한 부분의 넓이는 정사각형 ABCD의 넓이에
서 부채꼴 ABE의 넓이와 부채꼴 DCE의 넓이를 뺀 것이
므로
12_12-2_12p=144-24p`(cmÛ`)
19
⑴ (겉넓이)
=2_
_(4+7)_4
+(4+4+7+5)_10
[;2!;
]
=44+200=244`(cmÛ`)
⑵ (부피)=
_(4+7)_4
_10=220`(cmÜ`)
[;2!;
]
20
병의 부피는 바로 놓인 병 속의 음료수의 부피와 거꾸로 세
운 병의 빈 공간의 부피의 합이다. 따라서
(병의 부피) =(p_4Û`)_12+(p_4Û`)_15
=192p+240p=432p`(cmÜ`)
21
;2!;
_(4p_36Û`)=2592p`(cmÛ`)
22
△ABC에서
따라서
∠DAC=
;2!;
△ADC에서
∠BAC =180ù-(60ù+80ù)=40ù
…… ❶
∠BAC=
_40ù=20ù
…… ❷
;2!;
∠x =180ù-(20ù+80ù)=80ù
…… ❸
단계
채점 기준
❶ ∠BAC의 크기를 구한다.
❷ ∠DAC의 크기를 구한다.
❸ ∠x의 크기를 구한다.
배점
2점
1점
2점
23
△COE에서 CEÓ=COÓ이므로
∠COE=∠CEO=30ù
따라서 ∠OCD =∠COE+∠CEO
=30ù+30ù=60ù
…… ❶
△OCD에서 OCÓ=ODÓ(원의 반지름)이므로
∠ODC=∠OCD=60ù
92 | 대단원 모의고사
∠BOD =∠OED+∠ODE
=30ù+60ù=90ù
…… ❷
따라서
(부채꼴의 넓이)=p_10Û`_
=25p`(cmÛ`) …… ❸
;3»6¼0;
단계
채점 기준
❶ ∠OCD의 크기를 구한다.
❷ ∠BOD의 크기를 구한다.
❸ 부채꼴 BOD의 넓이를 구한다.
배점
2점
1점
2점
24
첫 번째 통에서 물의 부피는 오른쪽 그
림과 같은 삼각뿔의 부피와 같으므로
4 cm
_3_2
_4=4`(cmÜ`)
}
3 cm
…… ❶
2 cm
또 두 번째 통에서 물의 부피는 오른쪽
h
3 cm
그림과 같은 삼각기둥의 부피와 같으
_
{;2!;
;3!;
므로
_3_h
_2=3h`(cmÜ`) …… ❷
{;2!;
이때 두 통에 들어 있는 물의 양이 같으므로
}
3h=4에서 h=
이다.
;3$;
단계
채점 기준
❶ 첫 번째 통에서 물의 부피를 구한다.
❷ 두 번째 통에서 물의 부피를 구한다.
❸ h의 값을 구한다.
2 cm
…… ❸
배점
2점
2점
1점
25
변 AB를 회전축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 회전체는
밑면인 원의 반지름의 길이가 3`cm, 높이가 4`cm인 원뿔
이므로 (부피)=
_p_3Û`_4=12p`(cmÜ`) …… ❶
변 BC를 회전축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 회전체는
밑면인 원의 반지름의 길이가 4`cm, 높이가 3`cm인 원뿔
이므로 (부피)=
_p_4Û`_3=16p`(cmÜ`) …… ❷
;3!;
;3!;
따라서 두 회전체의 부피의 차는
16p-12p=4p`(cmÜ`)
…… ❸
이므로 변 BC를 회전축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 회
전체의 부피가 4p`cmÜ``만큼 더 크다.
단계
❶
❷
채점 기준
변 AB를 회전축으로 하여 1회전 시킬 때 생
기는 회전체의 부피를 구한다.
변 BC를 회전축으로 하여 1회전 시킬 때 생
기는 회전체의 부피를 구한다.
❸ 어느 회전체의 부피가 얼마나 큰지 구한다.
배점
2점
2점
1점
통계Ⅲ
01 5
02 ①
07 ④
06 ③
11 ②
12 ⑤
D=0.24 14 1학년 15 ③
18 ④
20 ③
19 ⑤
22 ~ 25 풀이 참조
04 60`% 05 ②
03 ②
08 ㄷ, ㄹ 09 ⑤
13 A=40, B=60, C=0.07,
10 10명
17 ①
16 ③
21 ①
PP.95~99
ㄹ. 윗몸 일으키기 횟수가 적은 쪽에서 3번째인 학생이 속
하는 계급은 20회 이상 30회 미만이다.
따라서 옳지 않은 것은 ㄷ, ㄹ이다.
맞은 문항의 개수가 8 이상인 학생이 전체의 36`%이므로
_25=9(명)이고 맞은 문항의 개수가 8 이상 10 미만
;1£0¤0;
인 학생 수는 9-3=6(명)이다.
따라서 맞은 문항의 개수가 6 이상 8 미만인 학생 수는
25-(3+4+6+3)=9(명)이다.
줄기가 5일 때, 잎의 개수가 7개로 가장 많다.
기록이 30`m 이상 40`m 미만인 학생이 전체의 40`%이므로
줄기와 잎 그림에서 7번째로 작은 수를 찾으면 50이다.
따라서 몸무게가 가벼운 쪽에서 7번째인 학생의 몸무게는
50`kg이다.
_50=20(명)이다.
;1¢0¼0;
따라서 기록이 20`m 이상 30`m 미만인 학생 수는
50-(6+20+10+4)=10(명)이다.
인터넷 게임을 한 시간이 70분 이상인 학생은
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.
몸무게가 52`kg 이상 58`kg 이하인 학생 수는
54`kg, 55`kg, 55`kg, 56`kg의 4명이다.
70분 이상 90분 미만인 계급의 도수는
25-(4+6+5+2)=8(명)
8+5+2=15(명)이다.
따라서 인터넷 게임을 한 시간이 70분 이상인 학생은
전체의
_100=60`(%)이다.
;2!5%;
05
5시간 이상 10시간 미만인 계급의 도수는
25-(4+7+5+3)=6이므로 A=6이다.
11
ㄱ. 55-45=65-55=y=10(점)
ㄴ. 2+7+10+12+5=36(명)
ㄷ. 65점 이하인 학생은 2+7=9(명)이므로
_100=25`(%)이다.
;3»6;
ㄹ. 도수가 가장 큰 계급은 75점 이상 85점 미만이다.
12
ㄱ. 3+9+10+8+5=35(명)
ㄴ. SÁ=Sª
이상 245`mm 미만이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
ㄷ. 발이 10번째로 작은 학생이 속하는 계급은 235`mm
도수가 7인 계급은 10시간 이상 15시간 미만이므로
A=0.2_200=40, B=0.3_200=60,
B=10, C=15이다.
따라서 A+B+C=6+10+15=31이다.
C=
=0.07, D=
=0.24
;3ª0Á0;
;3¦0ª0;
봉사 활동 시간이 15시간 이상인 학생은
5+3=8(명)이다.
따라서 봉사 활동 시간이 15시간 이상인 학생은
전체의
_100=32`(%)이다.
;2¥5;
④ TV 시청 시간이 가장 긴 학생의 계급은 알 수 있지만
시청 시간은 알 수 없다.
ㄱ. 1+6+11+9+3=30(명)
ㄴ. (계급의 크기)=20-10=10(회),
계급의 개수는 5이다.
ㄷ. 윗몸 일으키기 횟수가 30회 미만인 학생은
1+6=7(명)이다.
50점 이상 60점 미만인 계급에 속하는 학생 수는 1학년과
2학년이 21명으로 같지만 각 학년에서 차지하는 비율은 1
학년이 0.105, 2학년이 0.07이므로 1학년이 더 높다.
6편 이상 8편 미만인 계급의 상대도수가
1-(0.15+0.25+0.3+0.1)=0.2이므로
학생 수는 0.2_100=20(명)이다.
③ 상대도수는 0 이상 1 이하인 수로 나타내어진다.
70점 미만인 학생의 상대도수의 합이
0.04+0.18+0.3=0.52이므로
(70점 미만인 학생 수) =0.52_50=26(명)
따라서 체육 성적이 80점 이상인 학생 수는
50-(26+18)=6(명)이다.
대단원 모의고사 | 93
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02
03
04
06
07
08
정답 및 해설 읽은 책의 수가 많은 쪽에서 10번째인 학생이 속하는 계급
단계
채점 기준
은 7권 이상 9권 미만으로 도수는 9이다.
전체 학생 수는 4+8+9+7+2=30(명)이므로
상대도수는
=0.3이다.
;3»0;
❶ 80점 이상인 계급의 상대도수의 합을 구한다.
❷ 반 전체 학생 수를 구한다.
❸ 조건을 만족하는 도수를 구한다.
어떤 계급의 도수는 그 계급의 상대도수와 전체 도수의 곱
과 같으므로 0.25_28=7이다.
가방의 무게가 2`kg 미만인 학생 수가 9명이고 상대도수의
합이 0.12+0.24=0.36이므로 영지네 반 전체 학생 수는
9
0.36
=25(명)이다.
25
도수가 8인 계급의 상대도수가 0.2이므로
도수의 총합은
=40이다.
8
0.2
따라서 상대도수가 0.6인 계급의 도수는
0.6_40=24이다.
단계
채점 기준
❶ 도수의 총합을 구한다.
❷ 상대도수가 0.6인 계급의 도수를 구한다.
18
19
20
21
가방의 무게가 2.5`kg 이상 3.5`kg 미만인 학생의 상대도
다른 풀이
수의 합이 0.2+0.12=0.32이므로 전체의 32`%이다.
도수와 상대도수는 정비례하므로 상대도수가 0.6인 계급의
도수를 x라고 하면 다음과 같은 식을 세울 수 있다.
8`:`0.2=x`:`0.6
0.2x=4.8, x=24
따라서 상대도수가 0.6인 계급의 도수는 24이다.
단계
채점 기준
❶ 도수와 상대도수가 정비례함을 안다.
❷ 도수와 상대도수의 비례식을 세운다.
❸ 상대도수가 0.6인 계급의 도수를 구한다.
배점
1점
2점
2점
…… ❶
…… ❷
배점
2점
3점
…… ❶
…… ❷
…… ❸
배점
2점
2점
1점
…… ❶
…… ❷
…… ❸
배점
2점
1점
2점
배점
2점
3점
22
전체 학생 수는
4+6+8+5+2=25(명)이다.
머리 둘레의 길이가 54`cm 이상인 학생 수는
5+2=7(명)이다.
따라서 머리 둘레의 길이가 54`cm 이상인 학생은
전체의
_100=28`(%)이다.
;2¦5;
단계
채점 기준
❶ 전체 학생 수를 구한다.
❷
❸
머리 둘레의 길이가 54`cm 이상인 학생 수를
구한다.
머리 둘레의 길이가 54`cm 이상인 학생 수의
백분율을 구한다.
23
200타/분 이상 250타/분 미만인 계급의 상대도수는
1-(0.05+0.25+0.2+0.15)=0.35이다.
…… ❶
전체 학생 수가 200명이므로 구하는 학생 수는
0.35_200=70(명)이다.
…… ❷
단계
❶
채점 기준
200타/분 이상 250타/분 미만인 학생의 상대
도수를 구한다.
❷ 조건을 만족하는 학생 수를 구한다.
24
80점 이상인 계급의 상대도수의 합은
0.15+0.1=0.25이다.
…… ❶
그런데 80점 이상인 학생 수가 10명이므로 은이네 반 전체
10
0.25
학생 수는
=40(명)이다.
…… ❷
따라서 은이네 반 학생 수가 40명이고 70점 이상 80점 미
만인 계급의 상대도수가 0.35이므로 70점 이상 80점 미만
인 계급의 도수는 0.35_40=14이다.
…… ❸
94 | 대단원 모의고사
오답 노트 만들기
오답 노트 만들기
>> 반복하여 틀리는 유형의 문제와 풀이를 단원별로 모아 오답 노트를 만든다.
>> 반복하여 틀리는 유형의 문제와 풀이를 단원별로 모아 오답 노트를 만든다.
쪽수
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문제 번호
문제 번호
단원명
단원명
쪽수
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문제 번호
문제 번호
단원명
단원명
문제
문제
풀이
풀이
문제
문제
풀이
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복습한 날짜
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날짜
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왜 틀렸을까?
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� 문제 이해 부족
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� 개념 이해 부족
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� 풀이 과정 실수
� 풀이 과정 실수
� 기타
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어떤 개념이 사용되었을까?
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복습한 날짜
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날짜
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왜 틀렸을까?
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� 문제 이해 부족
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� 풀이 과정 실수
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� 기타
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어떤 개념이 사용되었을까?
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