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2018년 좋은책신사고 일품 고등 확률과 통계 ( 415제 ).pdf Download | FlareBrick FDS
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15일품확률과통계해(01~05) 2014.10.31 2:41 PM 페이지1 SinsagoHitec
확률과 통계
정답 및 풀이
Ⅰ
순열과 조합
확률Ⅱ
통계Ⅲ
6
33
54
15일품확률과통계해(01~05) 2014.10.31 2:41 PM 페이지2 SinsagoHitec
Ⅰ
순열과 조합
01
순열
본책 17쪽 ~ 18쪽
058 864 059 ⑤
060 ①
061 ③
062 18
063 256 064 ④
065 ④
066 ④
067 19
본책 8쪽 ~ 9쪽
068 ③ 069 156
001 4
002 ②
003 ④
004 72
005 ③
006 48
007 6
008 ②
009 ②
010 ⑤
011 1440 012 ⑤
013 11
014 ①
015 ③
016 81
017 40
본책 10쪽 ~ 11쪽
03
조합과 이항정리
018 ②
019 330
020 ⑤
021 ①
022 36
본책 19쪽 ~ 21쪽
023 120
024 60
025 ③
070 ⑤ 071 256
072 39
073 ③
074 71
075 ④ 076 ③
077 2
078 ④
079 ②
080 66
081 30
082 ③
083 49
084 ③
본책 12쪽
085 8
086 ①
087 65
026 ① 027 ④
028 ④
029 96
030 13
031 ②
본책 22쪽 ~ 25쪽
088 50
089 ②
090 ③
091 18
092 18000 093 ①
094 ④
095 70
096 ④
097 7
098 36
099 ③
100 21
101 ①
본책 13쪽 ~ 14쪽
102 ② 103 56
104 ④
105 ④
106 3
032 12
033 ②
034 ②
035 ⑤
036 6
107 304 108 31
109 ⑤
110 3
111 ④
037 60
038 90
039 ④
040 ④
041 ④
112 30
113 315
114 ②
115 98
116 ②
044 288 045 ③
046 ④
047 9
048 ④
117 ② 118 ②
119 126
120 90
121 ⑤
본책 15쪽 ~ 16쪽
본책 26쪽 ~ 27쪽
049 52
050 54400 051 ③
052 4200 053 ③
122 ① 123 628
124 ②
125 ⑤
126 ②
054 55
055 ③
056 ③
057 138
127 ① 128 63
129 ⑤
130 15
131 42
02
여러 가지 순열
042 ② 043 78
2 정답 및 풀이
15일품확률과통계해(01~05) 2014.10.31 2:41 PM 페이지3 SinsagoHitec
132 12
133 10
134 ③
135 78
136 ④
209 ③ 210 ④
211 ②
212 9
213 ③
본책 28쪽 ~ 31쪽
본책 42쪽
137 120 138 256
139 ⑤
140 ③
141 ⑤
214 ③
142 960 143 164
144 2520 145 360
146 ④
147 ① 148 116
149 ④
150 ⑤
151 14
152 ② 153 18
154 ⑤
155 ②
156 ①
157 ⑤ 158 2592 159 2
160 ③
161 11
확률Ⅱ
04
확률의 뜻과 활용
162 ③ 163 ⑤
164 ⑤
165 ④
166 ①
본책 34쪽 ~ 37쪽
167 ③ 168 5
169 ③
170 225
171
05
조건부확률
215
216
217 ③
218 ⑤
219
9
19
16
49
13
30
본책 43쪽 ~ 44쪽
220 ③ 221 ②
222 ③
223
224 ⑤
225 ④
51
50
1
6
172 ③ 173 ;3@;
174 ④
175 ⑤
176 0
226 46
227 ①
228
229 ①
230 39
177 ③ 178 ③
179 ③
180 ③
181 ③
231 ④ 232 ④
233 ②
234
235 ⑤
182 ④ 183 ⑤
236 ② 237
238 ③
239 ③
240
8
27
본책 38쪽 ~ 41쪽
241 23
242
243
3
7
1
8
1
4
9
128
본책 45쪽 ~ 47쪽
184 ② 185 ④
186 10
187 ③
188
189 ④ 190 113
191 ②
192 ③
193
194 ③ 195
196
197 ③
198 ④
1
2
199
200
201 ②
202 ②
203
2
3
1
5
2
3
204 ② 205 ④
206 7
207
208
254 ③ 255 23
37
45
본책 48쪽 ~ 49쪽
244 ② 245 54
246 29
247 86
248 ⑤
249 ⑤ 250 ②
251 ③
252 ④
253 ③
빠른 정답 찾기 3
11
18
1
15
55
216
5
8
25
32
15일품확률과통계해(01~05) 2014.10.31 2:41 PM 페이지4 SinsagoHitec
256
257 ③
258 ②
259 ④
260 7
310 ④ 311 ①
312 ④
313 ②
314 37
본책 50쪽 ~ 53쪽
본책 61쪽
1
9
1
1920
233
550
261
262 5
263 ③
264
265 ④
266 ② 267 ②
268 ④
269 ②
270 ①
271
272 ③
273
274
275 ③
3
4
11
32
276 ④ 277
278
279 20
280 11
7
40
5
18
3
496
통계Ⅲ
06
확률분포
본책 56쪽 ~ 58쪽
281 ② 282 ④
283 ⑤
284 ②
285 1800원
286 ③
287 2
288
13
4
289 ⑤ 290 ④
291
292 ②
293 ③
294
295 ④
296 ③
297 ④
13
5
298 ③ 299 28
300
301 7
302 ④
본책 59쪽 ~ 60쪽
303
304 147
305 ③
306 ③
307 ④
'1ß0å5
6
51
2
308
309 512
4 정답 및 풀이
28
3
3
2
07
정규분포
315 ③ 316 ②
317 30
318 a-2b 319
본책 62쪽 ~ 64쪽
37
2
320 ③ 321
322 ③
323 ③
324 ②
325 21
326 20시간 327 ③
328 ⑤
329 ②
330 ③ 331
332 32
333 0.5
334 ③
본책 65쪽 ~ 67쪽
335 ④ 336 ①
337 ③
338 13
339 ⑤
340 ② 341 240`g 342 0.0919 343 ②
344 ⑤
345 228 346 16
8
5
1
4
347 ③ 348 ③
349 48
350 ④
351 ②
본책 68쪽
15일품확률과통계해(01~05) 2014.10.31 2:41 PM 페이지5 SinsagoHitec
08
통계적 추정
352 ② 353 15
354 ④
355 ③
356 ③
본책 69쪽 ~ 71쪽
357 ③ 358 ⑤
359 62
360 138.28…m…141.72
361 ①
362 ①
363 0.02 364 0.8185
365 ④
366 ④
367
1
10
368
369 ①
370 ①
371 300
372 ③
7
9
본책 72쪽 ~ 74쪽
373 ② 374 0.006 375 30
376 ②
377 ③
378 94
379 92
380 ③
381 ③
382 0.158 383 ①
384 188
385 278
386 ④ 387 ③
388 ②
389 858
390 69
본책 75쪽
391 ④ 392
393
394 ②
395 11
161
36
2
3
본책 76쪽 ~ 79쪽
396 ⑤ 397 300
398 ③
399 8
400 ②
401 ② 402 ②
403 0.07 404 ④
405 4
406 ⑤ 407 ④
408 0.805 409 400
410 ④
411 ② 412 0.64 413 1657 414 ③
415 300
빠른 정답 찾기 5
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지6 SinsagoHitec
Ⅰ
순열과 조합
01
순열
본책 8쪽
001 뽑힌 카드에 적힌 세 수를 x, y, z라 하면 평균
이 4 또는 5가 되는 경우는
(cid:100)(cid:100)
x+y+z
3
=4 또는
x+y+z
3
=5
(cid:100)(cid:100)∴ x+y+z=12 또는 x+y+z=15
⁄ 세 수의 합이 12인 경우
(cid:100)(cid:100)3, 4, 5의 1가지
¤ 세 수의 합이 15인 경우
(cid:100)(cid:100)3, 4, 8 또는 3, 5, 7 또는 4, 5, 6의 3가지
⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는
(cid:100)(cid:100)1+3=4
002 꼭짓점 A에서 꼭짓점 O까지 가는 방법 중 꼭짓
점 B와 꼭짓점 G를 지나지 않고 최단 거리로 가는 방법
은 다음과 같다.
A
D
E
C
F
L
J
M
K
K
N
N
P
O
O
O
O
O
따라서 구하는 방법의 수는 5이다.
` 주어진 조건이 복잡하여 구하는 경우를 일일이 나열하
기 힘들 때에는 수형도 또는 순서쌍을 이용하면 편리하다.
(cid:8951) ②
003 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 판별식을 D라
하면 이차방정식이 실근을 갖기 위해서는
D=b¤ -4acæ0이어야 한다.
⁄ b=2일 때, 순서쌍 (a, c)는
(cid:100)(cid:100)(1, 1)의 1개
¤ b=3일 때, 순서쌍 (a, c)는
(cid:100)(cid:100)(1, 1), (1, 2), (2, 1)의 3개
‹ b=4일 때, 순서쌍 (a, c)는
(cid:100)(cid:100)(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1),
(2, 2), (3, 1), (4, 1)의 8개
› b=5일 때, 순서쌍 (a, c)는
(cid:100)(cid:100)(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2),
(4, 1), (5, 1)의 12개
이상에서 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는
(cid:100)(cid:100)1+3+8+12=24
b=1일 때,(cid:100)(cid:100)1-4acæ0
(cid:100)(cid:100)∴ ac…;4!;
6 정답 및 풀이
(2-1)_(3-1)_(3-1)
=4
⁄, ¤는 동시에 일어
날 수 없다.
(cid:8857) 합의 법칙 이용
(cid:8951) 4
0, 1, 2, y, 9의 10개
의 숫자 중 백의 자리
와 일의 자리에 온 숫
자를 제외한 숫자
(cid:100)(cid:100)4¥8=32
¤ 3
꼴의 짝수
aæ1, cæ1이므로 ac…;4!;을 만족시키는 순서쌍 (a, c)는
존재하지 않는다.
004 ⁄ 갑이 지나갈 길을 택하는 방법의 수
(cid:100)(cid:100)3¥3¥2=18
¤ 을이 지나갈 길을 택하는 방법의 수
갑이 택한 길을 지나지 않아야 하므로
(cid:100)(cid:100)1¥2¥2=4
⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는
18¥4=72
(cid:8951) 72
005 ⁄ 2
꼴의 짝수
일의 자리에 올 수 있는 숫자는 0, 4, 6, 8의 4가지,
십의 자리에 올 수 있는 숫자는 8가지이므로
일의 자리에 올 수 있는 숫자는 0, 2, 4, 6, 8의 5가
지, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는8가지이므로
(cid:100)(cid:100)5¥8=40
‹ 4
꼴의 짝수
일의 자리에 올 수 있는 숫자는 0, 2, 6, 8의 4가지,
십의 자리에 올 수 있는 숫자는 8가지이므로
(cid:100)(cid:100)4¥8=32
이상에서 구하는 수의 개수는
(cid:100)(cid:100)32+40+32=104
(cid:8951) ③
006 A도시에 칠할 수 있는 색은 4가지, D도시에 칠
할 수 있는 색은A도시에 칠한 색을 제외한 3가지, B도
시에 칠할 수 있는 색은 A도시와 D도시에 칠한 색을 제
외한 2가지, C도시에 칠할 수 있는 색은 B도시와 D도
시에 칠한 색을 제외한 2가지이다.
따라서 구하는 방법의 수는
4¥3¥2¥2=48
(cid:8951) 48
007 nP4=3¥nP3에서
(cid:100)(cid:100)n(n-1)(n-2)(n-3)=3n(n-1)(n-2)
nP4에서 næ4이므로 양변을 n(n-1)(n-2)로 나누면
(cid:100)(cid:100)n-3=3(cid:100)(cid:100)∴ n=6
(cid:8951) 6
n(n-1)(n-2)>0
008 nP3：n+1P2=2 : 1에서
2¥n+1P2=nP3
2(n+1)n=n(n-1)(n-2)
2(n+1)=(n-1)(n-2)
2n+2=n2-3n+2
n2-5n=0,(cid:100)(cid:100)n(n-5)=0
∴ n=5 (∵ næ3)
∴ n+2Pn=7P5=7¥6¥5¥4¥3=2520
(cid:8951) ②
n>0이므로 양변을 n
으로 나눈다.
(cid:8951) ④
nP3에서(cid:100)næ3
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지7 SinsagoHitec
009 n+1P3+n-1P2
=(n+1)n(n-1)+(n-1)(n-2)
=n3-n+n2-3n+2
=n3+n2-4n+2
이므로(cid:100)(cid:100)n3+n2-4n+2=66
n3+n2-4n-64=0
(n-4)(n2+5n+16)=0
∴ n=4 (∵ n¤ +5n+16>0)
1등급
|비|밀|노|트|
고차방정식 f(x)=0에서 f(x)의 인수분해
다항식 f(x)에서 f(a)=0이면 f(x)는 x-a를 인수로 가지므
로 f(a)=0을 만족시키는 a의 값을 찾아 조립제법을 이용하여
인수분해한다.
(cid:8951) ②
f(n)=n‹ +n¤ -4n-64
라 하면 f(4)=0이므로
조립제법을 이용하여
f(n)을 인수분해하면
4 1 1 -4 -64
4 20 64
1 5 16 0
∴ f(n)=(n-4)(n¤ +5n+16)
010 7개의 문자 중 모음은 A, E이고, 자음은 B, C,
D, F, G이다.
양 끝에5개의 자음 중 두 개의 문자를 나열하는 방법의
수는
(cid:100)(cid:100)∞P™=20
(cid:100)(cid:100)4!=24
(cid:100)(cid:100)2!=2
2개의 모음을 한 묶음으로 생각하여 이 묶음과 3개의 자
음을 일렬로 나열하는 방법의 수는
이때 A와 E가 자리를 바꾸는 방법의 수는
(cid:8857) n!
따라서 구하는 방법의 수는
20¥24¥2=960
(cid:8951) ⑤
서로 다른 n개를 일렬로
나열하는 방법의 수
011 남학생 4명을 일렬로 세우는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)4!=24
남학생 사이사이 및 양 끝의 5개의 자리 중 3개의 자리
에 여학생 3명을 세우는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)∞P£=60
따라서 구하는 방법의 수는
24¥60=1440
(cid:8951) 1440
남학생을 ◯라 하면
∨`◯`∨`◯`∨`◯`∨`◯∨
012 i와 o 사이에 i와 o를 제외한 나머지 7개의 문자
중 3개의 문자를 나열하는 방법의 수는
짝수 번의 시행 후 B상
자에는 항상 2번 공과
3번 공이 들어 있다.
이 2가지이다.
(cid:100)(cid:100)
i
o를 한 묶음으로 생각하여 이 묶음과 4개의 문
자를 일렬로 나열하는 방법의 수는
이때 i와 o가 자리를 바꾸는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)¶P£=210
(cid:100)(cid:100)5!=120
(cid:100)(cid:100)2!=2
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)210¥120¥2=50400
(cid:8951) ⑤
이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.
합
조
과
열
순
Ⅰ
본책
8쪽``…``10쪽
013 남자 4명에 대하여 여자 4명을 짝으로 정하는
방법은 다음과 같다.
강
김
박
최
김
강
박
최
강
최
강
박
오
박
최
강
박
최
김
김
강
박
김
강
(
M
{
M
ª
(
M
{
M
ª
(
{
9
4가지
4가지
3 가지
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)4+4+3=11
(cid:8951) 11
1등급
|비|밀|노|트|
용한다.
n번째에는 n이 오지 않도록 배열하는 경우의 수는 수형도를 이
014 ㄱ. 한 번의 시행 후에 나올 수 있는 결과는 다음
과 같이2가지이다.
ㄴ. 1번 공을 A 또는 C에서 B로 옮기면 3번 공은 A 또
는 C로 옮겨지고, 마찬가지로 1번 공을 B에서 A 또
는 C로 옮기면 3번 공은 B로 옮겨진다. 따라서 1번
공과 3번 공을 B상자에 같이 넣을 수 없다.
ㄷ. 짝수 번의 시행 후에 나올 수 있는 결과는 다음과 같
박
최
강
최
강
김
최
강
김
김`
강
김
1 4
B
1 4
B
2 3
B
B
2 3
2
A
3
A
1
A
4
A
(cid:100)(cid:100)
3
C
2
C
4
C
1
C
(cid:8951) ①
Ⅰ. 순열과 조합 7
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지8 SinsagoHitec
015 n=2x3y이라 하면 n의 양의 약수의 개수는
(x+1)(y+1)
즉 (x+1)(y+1)=20이므로 등식을 만족시키는 각
경우는 다음 표와 같다.
x+1
y+1
1
20
2
10
4
5
5
4
10
2
20
1
따라서 자연수 n의 개수는 6이다.
2x의 양의 약수의 개수는
(cid:100)20, 21, …, 2x의 x+1
3y의 양의 약수의 개수는
(cid:100)30, 31, …, 3y의 y+1
두 번째 카드가 4 또는
6 또는 8인 경우
1등급
|비|밀|노|트|
양의 약수의 개수
자연수 N이 N=plqm(p, q는 서로 다른 소수, l, m은 자연수)
꼴로 소인수분해될 때, N의 양의 약수의 개수는
(cid:100)(cid:100)(l+1)(m+1)
연수 n은
(cid:100)20319, 2139, 2334,
(cid:100)2433, 2931, 21930
의 6개
(cid:8951) ③
조건을 만족시키는 자
‹ 첫 번째 카드로1, 3, 7, 9를 선택한 경우 두 번째
¤ 첫 번째 카드로5를 선택한 경우 두 번째 카드를 선
택하는 방법은 2, 4, 6, 8의 4가지가 있고 두 번째
카드가 2인 경우의 수형도를 그려 보면
(cid:100)(cid:100)
5
(cid:100)(cid:100)5
2
2
1
1
1
3
1
1
4
6
1
1
7
9
1
1
8
8
1
1
9
7
1
1
6
4
1
1
3
1
의 2가지가 있다. 다른 경우도 마찬가지이므로 9장
의 카드를 모두 가져오는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)4¥2=8
● 30%
카드를 선택하는 방법은 2가지가 있고 첫 번째 카드
가 1, 두 번째 카드가 2인 경우의 수형도를 그려 보면
1-2
1-2
1-2
1-2
1
1
1
5
3
3
3
1
1
1
1
1
4
6
6
6
7
5
1
1
1 9
9
1
1
1
1
1
8
4
1
1
8 1
8
1
9
7
5
7
1
1
1
1
6
8
4
4
1
1
1
1
3
9
7
5
의 4가지가 있다. 다른 경우도 마찬가지이므로 9장
의 카드를 모두 가져오는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)4¥2¥4=32
이상에서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)8+32=40
● 30%
● 20%
(cid:8951) 40
018 ⁄ 점 A에서 출발하는 경우
1 B 또는 D를 지나는 방법은 각각 2가지씩이므로
1 (cid:100)(cid:100)2¥2=4
2 E를 지나는 방법의 수는(cid:100)(cid:100)5
(cid:100)(cid:100)∴ 4+5=9
¤ 점 B에서 출발하는 경우
1 A를 지나는 방법의 수는(cid:100)(cid:100)2
2 C를 지나는 방법의 수는(cid:100)(cid:100)1
3 E를 지나는 방법의 수는(cid:100)(cid:100)5
(cid:100)(cid:100)∴ 2+1+5=8
‹ 점 C에서 출발하는 경우
B 또는 F를 지나는 방법은 각각 2가지씩이므로
(cid:100)(cid:100)2¥2=4
› 점 E에서 출발하는 경우
1 A 또는 I를 지나는 방법은 각각 2가지씩이므로
1 (cid:100)(cid:100)2¥2=4
2 B 또는 D 또는 F 또는 H를 지나는 방법은 각각
2가지씩이므로(cid:100)(cid:100)4¥2=8
(cid:100)(cid:100)∴ 4+8=12
점 I에서 출발하는 방법의 수는 점 A에서 출발하는 방
법의 수와 같고, 점 D, F, H에서 출발하는 방법의 수는
점 B에서 출발하는 방법의 수와 같다. 또 점 G에서 출
발하는 방법의 수는 점 C에서 출발하는 방법의 수와 같
016
수이므로 a+b+c도 홀수가 되어 abc+a+b+c는 짝
abc가 홀수이면 a, b, c가 모두 홀
수이다.
즉 abc+a+b+c가 홀수가 되려면 abc는 짝수,
a+b+c는 홀수이어야 한다.
● 30%
따라서 a, b, c 중 한 개는 홀수, 나머지 두
개는 짝수이어야 하므로 조건을 만족시키는 경우는 순
서쌍 (a, b, c)가
(홀수, 짝수, 짝수), (짝수, 홀수, 짝수),
(짝수, 짝수, 홀수)
이때 위의 각 경우의 눈이 나오는 경우의 수는
따라서 구하는 경우의 수는
인 경우이다.
(cid:100)(cid:100)3¥3¥3=27
(cid:100)(cid:100)27¥3=81
1등급
|비|밀|노|트|
● 50%
● 20%
(cid:8951) 81
네 수의 합이 홀수가 되려면 네 수 중 한 개 또는 세 개가 홀수이
어야 하므로 a, b, c, abc 중 한 개 또는 세 개가 홀수가 되는 경
우를 구하면 다음과 같다.
⁄ a, b, c 중 한 개의 수가 홀수이면 abc는 짝수
⁄ (cid:8857) a, b, c, abc 중 한 개의 수가 홀수이므로 조건을 만족시
¤ a, b, c 중 두 개의 수가 홀수이면 abc는 짝수
⁄ (cid:8857) a, b, c, abc 중 두 개의 수가 홀수이므로 조건을 만족시
‹ a, b, c 모두 홀수이면 abc는 홀수
⁄ (cid:8857) a, b, c, abc 네 개의 수가 모두 홀수이므로 조건을 만족
킨다.
키지 않는다.
시키지 않는다.
이상에서 조건을 만족시키는 경우는 a, b, c 중 한 개는 홀수, 나
머지 두 개는 짝수인 경우이다.
⁄ 첫 번째 카드로 2, 4, 6, 8을 선
택하는 경우 9장의 카드를 모두 가져오는 방법은
으므로 구하는 방법의 수는
● 20%
9¥2+8¥4+4¥2+12=70
(cid:8951) ②
017
없다.
8 정답 및 풀이
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지9 SinsagoHitec
019
10
¡n=2
nP2= n(n-1)
nP2= (n¤ -n)
10
¡n=2
10
¡n=2
10
¡n=2
10
¡n=1
10¥11¥21
6
10
¡n=2
nP2= n¤ - n
nP2= n¤ -1-{
=
n-1}
10
¡n=1
10¥11
2
-
=385-55=330
(cid:8951) 330
자연수의 거듭제곱의 합
n(n+1)
2
n
¡k=1
k=
n
¡k=1
k¤ =
n(n+1)(2n+1)
6
할아버지, 아버지, 아들
이 자리를 바꾸는 방법
의 수(cid:100)3!
나머지 가족이 자리를
바꾸는 방법의 수(cid:100)3!
할아버지, 아버지, 아들
이 자리를 바꾸는 방법
의 수(cid:100)3!
어머니와 딸 중 b에 앉
을 사람을 정하는 방법
의 수(cid:100)2
d, e에 앉는 두 사람이
자리를 바꾸는 방법의
수(cid:100)2
4개의 수 중에서 2개를
뽑는 순열의 수이므로
(cid:100)4P2=12
백의 자리의 합이므로
자리의 값을 곱하는 것
을 빠뜨리지 않도록 한
다.
020 nPr+1+(r+1)nPr
n!
(n-r-1)!
+(r+1)¥
n!
(n-r)!
+(r+1)¥
n!
(n-r)!
=
=
=
=
=
=
=
(
n-r
)n!
(n-r)(n-r-1)!
(r+1)n!
(n-r)!
(
+
)n!
n-r
(n-r)!
n!(n-r+r+1)
(n-r)!
(n+1)!
(n-r)!
(n+1)!
{(n+1)-(r+1)}!
n+1Pr+1
(cid:100)(cid:100)∴ ㈎ n+1Pr+1(cid:100)㈏ n-r
(cid:8951) ⑤
021 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는
(cid:100)(cid:100)∞P£=5¥4¥3=60
60개의 자연수 중에서 백의 자리의 숫자가 1, 2, 3, 4,
5인 자연수가 각각 12개씩이므로 백의 자리의 합은
(cid:100)(cid:100)(1+2+3+4+5)¥12¥100=18000
60개의 자연수 중에서 십의 자리의 숫자가 1, 2, 3, 4,
5인 자연수가 각각 12개씩이므로 십의 자리의 합은
(cid:100)(cid:100)(1+2+3+4+5)¥12¥10=1800
60개의 자연수 중에서 일의 자리의 숫자가 1, 2, 3, 4,
5인 자연수가 각각 12개씩이므로 일의 자리의 합은
(cid:100)(cid:100)(1+2+3+4+5)¥12=180
따라서 구하는 자연수의 총합은
(cid:100)(cid:100)18000+1800+180=19980
(cid:8951) ①
022
0 또는 5이어야 한다.
5의 배수이려면 일의 자리의 숫자가
`
⁄ 일의 자리의 숫자가 0인 경우
0을 제외한 5개의 숫자 중 2개를 택하여 일렬로 나열
하는 방법의 수와 같으므로
(cid:100)(cid:100)∞P™=20
● 20%
● 30%
본책
10쪽``…``11쪽
¤ 일의 자리의 숫자가 5인 경우
백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0과 5를 제외한 4개
이고, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리에 온
숫자와 5를 제외한 4개이므로
(cid:100)(cid:100)4¥4=16
`
⁄, ¤에서 구하는 5의 배수의 개수는
(cid:100)(cid:100)20+16=36
● 30%
● 20%
(cid:8951) 36
합
조
과
열
순
Ⅰ
023 6개의 좌석을 왼쪽부터 차례대로 a, b, c, d,
e, f라 하자.
할아버지, 아버지, 아들이 서로 이웃하지 않게 앉으려면
(cid:100)(cid:100)a, c, e 또는 a, c, f 또는 a, d, f 또는 b, d, f
어머니와 딸이 항상 서로 이웃하지 않게 되므로 방법
3명은
에 앉아야 한다.
⁄ a, c, e에 앉는 경우
의 수는
⁄ (cid:100)(cid:100)3!¥3!=36
¤ a, c, f에 앉는 경우
⁄ (cid:100)(cid:100)3!¥2¥2=24
‹ a, d, f에 앉는 경우
어머니와 딸 중 1명은 b에 앉아야 하므로 방법의 수
는
어머니와 딸 중 1명은 e에 앉아야 하므로 방법의 수
는
어머니와 딸이 항상 서로 이웃하지 않게 되므로 방법
⁄ (cid:100)(cid:100)3!¥2¥2=24
› b, d, f에 앉는 경우
의 수는
⁄ (cid:100)(cid:100)3!¥3!=36
이상에서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)36+24+24+36=120
024
⁄ 11월 6일의 전입생 1명이 배정받
는 반은1반 또는 4반이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)2가지
¤ 11월 10일의 전입생 1명이 배정받는 반은 1반 또는
● 30%
4반 중11월 6일의 전입생 1명이 배정받지 않은 반
‹ 11월 20일의 전입생 2명이 배정받는 반은 1, 2, 3,
이므로
(cid:100)(cid:100)1가지
4, 8, 10반 중 두 반이므로
(cid:100)(cid:100)§P™=30
의 수는
(cid:100)(cid:100)2¥1¥30=60
(cid:8951) 120
● 30%
● 30%
● 10%
(cid:8951) 60
이상에서 전입생 4명이 반을 배정받는 경우
Ⅰ. 순열과 조합 9
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지10 SinsagoHitec
028 x¤ +y¤ +4x-4y=0에서
(cid:100)(cid:100)(x+2)¤ +(y-2)¤ =8
이므로 중심이 (-2, 2)이고 반지름의 길이가 2'2인 원
이다.
또 직선y=x+4는 기울기가 1이고 원의 중심 (-2, 2)
를 지나는 직선이므로 x축, y축 및 직선y=x+4 로 나
3의 배수인
(cid:100)3, 6, 9
와 4의 배수인
(cid:100)4, 8
을 제외한 수
묶음 A 안에서 3, 6, 9를 일렬로 나열하는 방법의 수는
누어진 원의 내부의 영역은 다음 그림과 같다.
025 3의 배수인 3, 6, 9를 한 묶음으로 생각하여 A
라 하자.
1, 2, 5, 7, A를 일렬로 나열하는 방법의 수는(cid:100)(cid:100)5!
이때 1, 2, 5, 7, A의 5개의 사이사이 및 양 끝의 6개
의 자리 중2개의 자리에 4의 배수인 4, 8을 나열하는
방법의 수는(cid:100)(cid:100)§P™
(cid:100)(cid:100)3!
∴ N=5!¥§P™¥3!
=(5¥4¥3¥2¥1)_(6¥5)_(3¥2¥1)
=2fi ¥3‹ ¥5¤
따라서 N의 약수의 개수는
(5+1)¥(3+1)¥(2+1)=72
(cid:8951) ③
026 a, b, c가 삼각형의 세 변의 길이이고 조건 ㈏에
서 a가 가장 긴 변의 길이이므로
a<b+c
이때 조건 ㈐에서 b+c=12-a이므로
(cid:100)(cid:100)a<12-a,(cid:100)(cid:100)2a<12(cid:100)(cid:100)∴a<6
또 조건 ㈏, ㈐에 의하여
(cid:100)(cid:100)a+b+c…3a
(cid:100)(cid:100)12…3a(cid:100)(cid:100)∴ aæ4
∴ 4…a<6
⁄ a=4일 때, b+c=8이므로
⁄ (cid:100)(cid:100)b=4, c=4
¤ a=5일 때, b+c=7이므로
⁄ (cid:100)(cid:100)b=5, c=2 또는 b=4, c=3
⁄, ¤에서 서로 다른 삼각형의 개수는
(cid:100)(cid:100)1+2=3
(cid:8951) ①
027 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0, 6을 제외한 5
개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 6의 1개, 일의 자리
에 올 수 있는 숫자는 백의 자리에 온 숫자와 6을 제외한
5개이므로 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는
5¥1¥5=25
25개의 자연수 중에서 백의 자리의 숫자가 1, 2, 3, 4, 5
인 자연수가 각각 5개씩이므로 백의 자리의 합은
(1+2+3+4+5)¥5¥100=7500
25개의 자연수 모두 십의 자리 숫자가 6이므로 십의 자
리의 합은
(cid:100)(cid:100)6¥25¥10=1500
25개의 자연수 중에서 일의 자리의 숫자가 0인 자연수
가 5개, 일의 자리의 숫자가 1, 2, 3, 4, 5인 자연수가 각
각 4개씩이므로 일의 자리의 합은
(cid:100)(cid:100)0¥5+(1+2+3+4+5)¥4=60
따라서 구하는 자연수의 총합은
(cid:100)(cid:100)7500+1500+60=9060
(cid:8951) ④
10 정답 및 풀이
{x+2}@+{y-2}@=8
y
y=x+4
4
2
-2
O
x
-4
즉 원의 내부는 모두 4개의 영역으로 나누어지므로 7가
지 색 중에서 4가지의 색을 택하여 각 영역에 색을 칠하
면 된다.
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)7P4=840
(cid:8951) ④
029 ㈎에 들어가는 수를 x, ㈎를 포함한 가로줄의
칸에 쓴 5개의 수의 합을 y라 하면 가로줄의 수의 합과
세로줄의 수의 합이 같으므로
(cid:100)(cid:100)2+3+4+5+6+7+8+x=2y
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)∴ y=
35+x
2
이때 ㉠에서 35+x는 짝수이므로 x는 홀수이다.
⁄ x=3일 때
=19에서 두 수의 합이16인 두 수는 존
재하지 않으므로 세로줄을 채울 수 없다.
=20에서 ㈎를 제외한 세로줄의 칸에는
7과 8을, ㈎를 제외한 가로줄의 칸에는 2, 3, 4, 6
세로줄에 7, 8을 써넣는 방법의 수는(cid:100)(cid:100)2!=2
가로줄에 2, 3, 4, 6을 써넣는 방법의 수는
따라서 이 경우의 방법의 수는(cid:100)(cid:100)2¥24=48
y=
35+3
2
¤ x=5일 때
y=
35+5
2
을 쓰면 된다.
(cid:100)(cid:100)4!=24
`‹ x=7일 때
y=
35+7
2
를 쓰면 된다.
백의 자리의 숫자가 각
각 1, 2, 3, 4, 5인 경우
세 자리 자연수이므로
백의 자리에 0이 올 수
없다.
=21에서 ㈎를 제외한 세로줄의 칸에는
6과 8을, ㈎를 제외한 가로줄의 칸에는 2, 3, 4, 5
따라서 이 경우의 방법의 수는 ¤와 마찬가지로
(cid:100)(cid:100)2!¥4!=48
이상에서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)48+48=96
(cid:8951) 96
2y는 짝수이므로 35+x
도 짝수이다.
세로줄의 나머지 두 수
를 a, b라 하면
(cid:100)a+b+3=19
(cid:100)∴ a+b=16
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지11 SinsagoHitec
030 남학생 9명을 일렬로 세우는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)9!
이때 다음 그림과 같이 남학생 9명을 3명씩 묶어서 그
사이사이 및 양 끝의 네 자리에 여학생 4명을 세우는 방
법의 수는(cid:100)(cid:100)4!
남 남 남
남 남 남
남 남 남
따라서 조건을 만족시키는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)9!¥4!
a=9, b=4이므로(cid:100)(cid:100)a+b=13
031 두 명이 이웃하게 앉는 방법은 다음과 같다.
(cid:100)(cid:100)(A-1, A-2), (A-2, A-3), (A-3, A-4),
(cid:100)(cid:100)(B-1, B-2), (B-2, B-3), (B-3, B-4)
⁄ 엄마와 막내아들이
⁄ (cid:100)(cid:100)(A-1, A-2) 또는 (A-3, A-4)
⁄ (cid:100)(cid:100)또는 (B-1, B-2) 또는 (B-3, B-4)
⁄ 에 앉는 경우
⁄ 엄마와 막내아들이 (A-1, A-2)에 앉을 때 할아버
지와 할머니가 앉을 수 있는 경우는
⁄ (cid:100)(cid:100)(A-3, A-4), (B-1, B-2),
⁄ (cid:100)(cid:100)(B-2, B-3), (B-3, B-4)의 4가지
⁄ 엄마와 막내아들, 할아버지와 할머니가 자리를 바꾸
는 방법의 수는 각각(cid:100)(cid:100)2!=2
⁄ 남은 자리에 나머지 가족 4명이 앉는 방법의 수는
⁄ (cid:100)(cid:100)4!=24
⁄따라서 이 경우의 방법의 수는
⁄ (cid:100)(cid:100)4¥2¥2¥24=384
⁄ 엄마와막내아들이(A-3, A-4) 또는(B-1, B-2)
⁄ 또는 (B-3, B-4)에 앉을 때에도 방법의 수는 동
일하므로(cid:100)(cid:100)384¥4=1536
¤ 엄마와 막내아들이 (A-2, A-3) 또는 (B-2, B-3)
에 앉는 경우
⁄ 엄마와 막내아들이 (A-2, A-3)에 앉을 때 할아버
지와 할머니가 앉을 수 있는 경우는
⁄ (cid:100)(cid:100)(B-1, B-2), (B-2, B-3),
(B-3, B-4)의 3가지
⁄ 엄마와 막내아들, 할아버지와 할머니가 자리를 바꾸
는 방법의 수는 각각(cid:100)(cid:100)2!=2
⁄ 남은 자리에 나머지 가족 4명이 앉는 방법의 수는
⁄ (cid:100)(cid:100)4!=24
⁄ 따라서 이 경우의 방법의 수는
⁄ (cid:100)(cid:100)3¥2¥2¥24=288
⁄ 엄마와 막내아들이 (B-2, B-3)에 앉을 때에도 방
법의 수는 동일하므로(cid:100)(cid:100)288¥2=576
⁄, ¤에서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)1536+576=2112
(cid:8951) ②
본책
11쪽``…``13쪽
02
여러 가지 순열
본책 13쪽
여학생끼리 이웃하지
않고 남학생끼리 이웃
한 학생 수가 항상3명
이상인 경우는 남학생이
(cid:100)3명, 3명, 3명
으로 서는 경우뿐이다.
032 북한의 대표의 자리가 결정되면 한국의 대표의
자리는 마주 보는 자리에 고정된다.
한편 북한과 중국의 대표를 한 사람으로 생각하여 4명
이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)(4-1)!=3!=6
이때 북한과 중국의 대표가 자리를 바꾸는 방법의 수는
합
조
과
열
순
Ⅰ
(cid:8951) 13
서로 다른 n개를 원형으
로 배열하는 원순열의 수
(cid:8857) (n-1)!
(cid:100)(cid:100)2!=2
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)6¥2=12
(cid:8951) 12
한국
북한
오른쪽 그림과 같이
한국과 북한의 대표를 마주 보게
앉힌 후에 중국의 대표를 북한의
대표와 이웃하게 앉히는 방법의
수는
2!=2
3!=6
따라서 구하는 방법의 수는
2¥6=12
나머지 3개의 자리에 대표 3명을 앉히는 방법의 수는
033 가운데 정사각형을 칠하는 방법의 수는 9이다.
이때 나머지 8가지 색을 원형으로 배열하여 칠하는 한
가지 방법에 대하여 정사각형에서는 다음 그림과 같이
서로 다른 경우가 2가지씩 존재한다.
① ② ③
⑧ ① ②
⑧ ⑨ ④
⑦ ⑨ ③
⑦ ⑥ ⑤
⑥ ⑤ ④
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)9¥(8-1)!¥2=18¥7!
034 정육면체의 한 밑면에 한 가지 색을 칠하면 다른
한 밑면을 칠하는 방법의 수는 5이다.
또 옆면을 칠하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)(4-1)!=3!=6
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)5¥6=30
035 ①`, ②`, ③`, ④ 서로 다른 3개에서 4개를 택하는
중복순열의 수이므로
⑤ (cid:100)(cid:100)£P¢=3› =81
⑤ 서로 다른 4개에서 3개를 택하는 중복순열의 수이므
로
⑤ (cid:100)(cid:100)¢P£=4‹ =64
(cid:8951) ②
(cid:8951) ②
(cid:8951) ⑤
Ⅰ. 순열과 조합 11
8가지 색을 원형으로
배열하여 칠하는 원순
열의 수
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지12 SinsagoHitec
036 부호를 n번 이용하여 만들 수 있는 신호의 개수는
이므로 부호를 n번 이하로 이용하여 만들 수 있는 신호
™P«=2«
의 개수는
™P¡+™P™+™P£+y+™P«
만들려고 하는 신호의 개수가 100 이상이므로
™P¡+™P™+™P£+y+™P«æ100
(cid:100)(cid:100)2⁄ +2¤ +2‹ +y+2« æ100
2(2« -1)
2-1
æ100
(cid:100)(cid:100)∴ 2« æ51
이때 2fi =32, 2fl =64이므로
(cid:100)(cid:100)næ6
따라서 최소한 부호를 6번 이용해야 한다.
(cid:8951) 6
1등급
|비|밀|노|트|
신호를 만들 때 부호를 n번 모두 이용한다는 조건이 없으므로
2« æ100으로 생각하지 않도록 주의한다.
037 4개의 숫자에서 3개를 택하는 중복순열의 수는
(cid:100)(cid:100)¢P£=4‹ =64
1개의 숫자로만 이루어진 세 자리 자연수는
111, 222, 333, 444의 4개
따라서 구하는 자연수의 개수는
(cid:100)(cid:100)64-4=60
038 ⁄ 일의 자리의 숫자가 1인 경우
2, 2, 3, 3, 4를 일렬로 나열하는 방법의 수는
¤ 일의 자리의 숫자가 3인 경우
1, 2, 2, 3, 4를 일렬로 나열하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)
5!
2!¥2!
=30
5!
(cid:100)(cid:100) =60
2!
등비수열의 합
첫째항이 a, 공비가
r(r+1)인 등비수열의
첫째항부터 제 n항까지
의 합S n은
(cid:100)Sn=
(cid:100)Sn=
a(1-rn)
1-r
a(rn-1)
r-1
(cid:8951) 60
(사건 A가 적어도 한 번
일어나는 경우의 수)
=(모든 경우의 수)
-(사건 A가 일어나
지 않는 경우의 수)
(cid:8951) ④
B
(cid:8951) ④
E
F
B
P에서 B까지 최단 거리로 가는 방법의 수는
P
A
A
C
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)
7!
3!¥3!
=140
041 오른쪽 그림과 같이
P지점을 잡으면 A에서 P
까지 최단 거리로 가는 방
법의 수는
4!
2!¥2!
=6
(cid:100)(cid:100)
5!
3!¥2!
=10
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)6¥10=60
042 오른쪽 그림과 같이
네 지점 C, D, E, F를 잡으
면 A에서 B까지 최단 거리
로 가는 방법의 수는 다음
D
C
B로 가는
과 같다.
⁄ A
2⁄
방법의 수
2⁄
⁄ (cid:100)(cid:100)1¥1=1
2⁄
4!
⁄ (cid:100)(cid:100) ¥ =20
3!
2⁄
5!
4!
2⁄
5!
⁄ (cid:100)(cid:100) ¥ =20
4!
2⁄
4!
3!
F
› A
2⁄
2⁄
⁄ (cid:100)(cid:100)1¥1=1
¤ A
D
B로 가는 방법의 수
‹ A
E
B로 가는 방법의 수
B로 가는 방법의 수
⁄, ¤에서 구하는 홀수의 개수는
(cid:100)(cid:100)30+60=90
(cid:8951) 90
B
r개
039 b, f를 a로 바꾸어 생각하여 6개의 문자 a, a, a,
c, d, e를 일렬로 나열하는 방법의 수는
이때 두 번째 a와 세 번째 a를 b 또는 f로 바꾸는 방법
짓점 A에서 꼭짓점 B까
이상에서 구하는 방법의 수는
1+20+20+1=42
(cid:8951) ②
A
p개
q개
위의 그림과 같이 정육면
체 여러 개를 이어 붙인
직육면체에서 작은 정육
면체의 모서리를 따라 꼭
043 꼭짓점 A에서 꼭짓점 B까지 최단 거리로 가는
방법의 수는
6!
2!¥2!¥2!
C
B로 가는 방법의 수는
=90
A
D
24⁄
24⁄
4!
1¥1¥ =12
2!
24⁄
지 최단 거리로 가는 방
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)90-12=78
(cid:8951) 78
법의 수
(cid:8857)
(p+q+r)!
p!q!r!
(cid:8951) ④
040 a를 c로 바꾸어 생각하여 7개의 문자 b, c, c,
c, d, d, d를 일렬로 나열한 후 가운데 c를 a로 바꾸면
6!
3!
=120
의 수는
2!=2
따라서 구하는 방법의 수는
120¥2=240
된다.
12 정답 및 풀이
044
아야 하므로 여자 4명을 한 사람으로 생각하여 이 사람
조건 ㈎`에서 여자 4명은 이웃하게 앉
과 특정한 남자 2명을 제외한 남자 2명이 원탁에 둘러앉
는 방법의 수는
(3-1)!=2
● 30%
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여자끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는
A, B에 칠하는 색을 정하는 방법의 수는
조건 ㈐에서 특정한 남자 2명이 이웃하게 앉은 여자 4명
과 남자2명 사이사이의 3개의 자리 중 2개의 자리에 앉
4!=24
는 방법의 수는
3P2=6
2¥24¥6=288
`
따라서 구하는 방법의 수는
따라서 구하는 방법의 수는
본책
13쪽``…``15쪽
(cid:100)(cid:100)3P2=6
이때 ¤의 경우는 B, A를 바꾸고 회전했을 때 ⁄과 일
치하고 ‹의 경우는 회전했을 때 가운데 부분에 칠한 색
이 A, B인 경우와 B, A인 경우가 일치하므로 각 경우
에 회전했을 때 일치하는 경우가 2가지씩이다.
합
조
과
열
순
Ⅰ
6¥3
2
=9
045 정육각형 모양의 탁자에서는 원탁에 둘러앉는
한 가지 방법에 대하여 서로 다른 경우가 2가지씩 존재
f(-1)=f(1),
f(-2)=f(2),
f(-3)=f(3)
하므로(cid:100)(cid:100)b=2a
또` 직사각형 모양의 탁자에서는 원탁에 둘러앉는 한 가
지 방법에 대하여 서로 다른 경우가 6가지씩 존재하므로
048 f(-x)=f(x)이므로 X의 원소 -3, -2, -1,
0, 1, 2, 3의 7개 중에서 중복을 허용하여 4개를 택하
여 X의 원소 0, 1, 2, 3에 대응시키면 -3, -2, -1
의 함숫값도 정해진다.
정사각형이 아닌 직사각
형 모양의 탁자에 n명의
사람이 둘러앉는 방법의 수
(cid:8857) (n-1)!_
;2N;
따라서 구하는 함수의 개수는
(cid:100)(cid:100)7P4=7›
● 20%
● 30%
● 20%
(cid:8951) 288
(cid:8951) ③
나머지 두 쌍(2, 5),
(3, 4)가 마주 보는 경
우의 수
치역의 원소의 개수가
1인 함수의 개수
(cid:100)(cid:100)c=6a
bc
∴ =
a¤
2a¥6a
a¤
=12
`
a=11!, b=2¥11!, c=6¥11!
046 1부터 6까지의 자연수 중 두 수의 합이 7이 되는
경우는
1, 6 또는 2, 5 또는 3, 4
⁄ 마주 보는 숫자의 합이 7이 되는 경우가 한 쌍일 때,
마주 보는 한 쌍이 1, 6인 경우 나머지 4개의 면에
수를 적는 방법의 수는(cid:100)(cid:100)(4-1)!-2=4
한 쌍이2, 5 또는 3, 4인 경우에도 각각 4가지씩 존
재하므로(cid:100)(cid:100)3¥4=12
¤ 마주 보는 숫자의 합이 7이 되는 경우가 두 쌍일 때,
나머지 한 쌍도 마주 보는 숫자의 합이 7이 되므로
한 쌍을 고정시키고 나머지 4개의 면에 두 쌍의 숫자
를 적는 방법의 수는(cid:100)(cid:100)2
⁄, ¤에서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)12+2=14
(cid:8951) ④
1등급
|비|밀|노|트|
정육면체의 한 면을 고정시켰을 때, 옆면에 숫자를 적는 방법의
수는 원순열의 수를 이용하여 구할 수 있다.
047 가운데 부분에 칠할 2가지 색을 정했을 때 인접
한 영역이 다른 색이 되도록 각 영역을 칠하는 방법은
다음 그림과 같이 3가지가 있다.
⁄
¤
‹
C
A
B
C
B
A
B
A
B
C
C
A
B
A
C
A
B
C
C
A
B
C
B
A
(cid:8951) 9
(cid:8951) ④
● 20%
● 20%
● 50%
● 10%
(cid:8951) 52
049
함수의 개수는 Y의 원소 4개 중에서 2개를 택하는 중복
X에서 Y로의 함수 중 f(1)=3인
순열의 수와 같으므로
a=¢P™=4¤ =16
Y에서 X로의 함수의 개수는 X의 원소3개 중에서 4개
를 택하는 중복순열의 수와 같으므로
£P¢=3› =81
이때 치역이 {1}, {2}, {3}인 함수의 개수는 각각 1이고`,
치역이 {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}인 함수의 개수는 각각
™P¢-2=14이므로 치역이 {1, 2, 3}인 함수의 개수는
b=81-(1¥3+14¥3)=36
`
∴ a+b=52
050 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 4개
이고, 십의 자리와 일의 자리에는 0, 2, 4, 6, 8이 중복
하여 올 수 있으므로 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개
수는
(cid:100)(cid:100)4¥∞P™=4¥5¤ =100
100개의 자연수 중에서 백의 자리의 숫자가 2, 4, 6, 8
인 자연수가 각각 25개씩이므로 백의 자리의 합은
(cid:100)(cid:100)(2+4+6+8)¥25¥100=50000
100개의 자연수 중에서 십의 자리의 숫자가 0, 2, 4, 6,
8인 자연수가 각각 20개씩이므로 십의 자리의 합은
(cid:100)(cid:100)(0+2+4+6+8)¥20¥10=4000
100개의 자연수 중에서 일의 자리의 숫자가 0, 2, 4, 6,
8인 자연수가 각각 20개씩이므로 일의 자리의 합은
(cid:100)(cid:100)(0+2+4+6+8)¥20=400
따라서 구하는 자연수의 총합은
50000+4000+400=54400
(cid:8951) 54400
Ⅰ. 순열과 조합 13
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1등급
|비|밀|노|트|
100개의 자연수 중 2(cid:8772)(cid:8772), 4(cid:8772)(cid:8772), 6(cid:8772)(cid:8772), 8(cid:8772)(cid:8772) 꼴의 자연수의
개수가 모두 같으므로 백의 자리의 숫자가 2, 4, 6, 8인 자연수는
각각 100÷4=25(개)이다.
또 100개의 자연수 중 (cid:8772)0(cid:8772), (cid:8772)2(cid:8772), (cid:8772)4(cid:8772), (cid:8772)6(cid:8772), (cid:8772)8(cid:8772) 꼴
의 자연수의 개수가 모두 같으므로 십의 자리의 숫자가 0, 2, 4,
6, 8인 자연수는 각각 100÷5=20(개)이다.
`
051 ‘`수`’에서 화살표 ↗`와 ↘ 중 하나를 선택하여
‘`고`’로 이동하고,‘`고`’에서 화살표 ↗`와 ↘ 중 하나를
선택하여‘`하`’로 이동하는 식으로 진행하면 화살표 방
향에 따라‘수고하셨습니다’를 읽을 수 있다.
즉 구하는 방법의 수는‘`수`’,‘`고`’,‘`하`’,‘`셨`’,‘`습`’,
‘`니`’,‘`다`’사이의 2종류의 화살표 ↗`와 ↘ 중 6개를 택
하는 중복순열의 수와 같으므로
™P§=2fl =64
(cid:8951) ③
‘`수`’에서 출발하여‘`다`’로 가는 방법의 수는
다음 그림과 같으므로(cid:100)(cid:100)8+24+24+8=64
↗와 ↘ 중 중복을 허
용하여 6개를 택하여
일렬로 나열한 것 각각
은‘수고하셨습니다’의
문자열 각각에 대응한
다.
수
수
수
수
고
2
니
8
하
4
습
8
다
24
고
2
셨
8
니
16
하
4
습
8
다
24
고
2
니
8
다 8
다
8
054
번째, 두 번째, 세 번째에 올 수 있는 숫자는 2와 4뿐이
조건 ㈎`, ㈏`, ㈐`에 의하여 앞에서 첫
다.
⁄ 2448
인 경우
나머지 6, 6, 6, 8, 8, 8의 6개의 숫자를 일렬로 나
¤ 4248
인 경우
나머지 6, 6, 6, 8, 8, 8의 6개의 숫자를 일렬로 나
‹ 4426
인 경우
나머지 6, 6, 8, 8, 8, 8의 6개의 숫자를 일렬로 나
열하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)
6!
3!¥3!
=20
열하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)
6!
3!¥3!
=20
열하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)
6!
2!¥4!
=15
`
이상에서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)20+20+15=55
1등급
|비|밀|노|트|
6 다음에는 2나 4가 올 수 없고`, 8 다음에도 2나 4가 올 수 없으
므로 2와 4는 항상 6과 8 앞에 놓여야 한다.
따라서 2, 4, 4가 앞에서 첫 번째, 두 번째, 세 번째 자리에 놓여
야 한다.
● 30%
● 20%
● 20%
● 20%
● 10%
(cid:8951) 55
052 택시를 a, 화물차를 b, 비어 있는 주차 구역을 c
로 생각하면 구하는 방법의 수는 10개의 문자 a, a, a,
a, b, b, b, c, c, c를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같
으므로
10!
4!¥3!¥3!
=4200
길이 연결되어 있지 않거
나 장애물이 있을 때 최
단 거리로 가는 방법의 수
(cid:8857) 반드시 거쳐야 하는
점을 잡아 각각의 경
로를 따라 최단 거리
로 가는 방법의 수를
(cid:8951) 4200
구한다.
055 오른쪽 그림과 같이 다
섯 지점C, D, E, F, G를
잡으면 A에서 B까지 최단 거
D
리로 가는 방법의 수는 다음과
C
A
F
E
B
G
053 ⁄ 1
12인 경우
나머지 0, 1, 2의 3개의 숫자를 일렬로 나열하는 방
나머지 0, 1, 1의 3개의 숫자를 일렬로 나열하는 방
법의 수는(cid:100)(cid:100)3!=6
¤ 2
12인 경우
법의 수는(cid:100)(cid:100) =3
3!
2!
‹
20인 경우
방법의 수는(cid:100)(cid:100) =4
4!
3!
이상에서 구하는 4의 배수의 개수는
14 정답 및 풀이
나머지 1, 1, 1, 2의 4개의 숫자를 일렬로 나열하는
fi A
E
G
B로 가는 방법의 수
(cid:100)(cid:100)6+3+4=13
(cid:8951) ③
(cid:8951) ③
끝의 두 자리 수가 4의
배수
B로 가는 방법의 수
B로 가는 방법의 수
B로 가는 방법의 수
B로 가는 방법의 수
같다.
⁄ A
2⁄
C
F
(cid:100)(cid:100)1¥1¥1=1
2⁄
2⁄
¤ A
D
F
2⁄
3!
(cid:100)(cid:100) ¥
2!
2⁄
4!
2!¥2!
2⁄
¥1=18
‹ A
D
G
2⁄
2⁄
2⁄
(cid:100)(cid:100) ¥1¥1=3
3!
2!
E
F
2⁄
(cid:100)(cid:100)1¥1¥1=1
2⁄
2⁄
› A
2⁄
(cid:100)(cid:100)1¥
2⁄
5!
3!¥2!
이상에서 구하는 방법의 수는
2⁄
¥1=10
(cid:100)(cid:100)1+18+3+1+10=33
15일품확률과통계(06~32)해 2014.11.10 6:27 PM 페이지15 SinsagoHitec
056 오른쪽 그림과 같이
네 지점 D, E, F, G를 잡
으면 A에서 어두운 부분을
지나지 않고 C까지 최단 거
리로 가는 방법의 수는 다음
A
D
E
C
B
F
G
각 의자에서 왼쪽 또는
오른쪽에 앉는 방법의
수
D
C로 가는 방법의 수
¤ A
C로 가는 방법의 수
‹ A
C로 가는 방법의 수
과 같다.
⁄ A
2⁄
2⁄
5!
(cid:100)(cid:100) ¥1=5
4!
(cid:100)(cid:100) ¥1¥1=4
E
2⁄
4!
3!
F
2⁄
2⁄
2⁄
4!
3!
(cid:100)(cid:100)1¥1¥ =4
› A
G
2⁄
2⁄
(cid:100)(cid:100)1¥ =5
5!
4!
C로 가는 방법의 수
이상에서 A에서 C까지 최단 거리로 가는 방법의 수는
5+4+4+5=18
C에서 B까지 최단 거리로 가는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)
5!
3!¥2!
=10
이므로 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)18¥10=180
057 아래 그림과 같이 네 점 C, D, E, F를 잡으면 A
에서 B까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 다음과 같다.
B
E
F D
C
A
2⁄
5!
2!¥2!
2⁄
4!
2!
⁄ A
C
2⁄
B로 가는 방법의 수
(cid:100)(cid:100)2¥
=60
¤ A
D
2⁄
B로가는방법의수
(cid:100)(cid:100)2¥1¥ =24
‹ A
E
B로 가는 방법의 수
2⁄
2⁄
4!
(cid:100)(cid:100)2¥{1¥ +1¥3!}=36
2!
› A
F
B로 가는 방법의 수
2⁄
2⁄
4!
(cid:100)(cid:100)1¥{1¥ +1¥3!}=18
2!
이상에서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)60+24+36+18=138
합
조
과
열
순
Ⅰ
본책
15쪽``…``17쪽
058 네 명의 남자를 A, B, C, D라 하고 처음에 함
께 앉았던 여자를 각각 a, b, c, d라 하자.
네 명의 남자가 의자에 앉는 방법의 수는
(4-1)!¥2¥2¥2¥2=96
다시 앉을 때, A와 b가 함께
A
앉는 경우는 오른쪽과 같다.
마찬가지로 A와 c, A와 d
b
가 함께 앉는 경우도 각각3
가지이므로 구하는 경우의
B
a
c
d
수는
96¥3¥3=864
C
d
d
a
D
c
a
c
(cid:8951) 864
059 조건 ㈎에서 1학년 2명은 서로 이웃하게 앉으므
로 한 명으로 생각하면 1학년과 3학년이 원탁에 둘러앉
조건 ㈏에서 2학년은 서로 이웃하지 않게 앉으므로 1학
년과 3학년 사이의 6개의 자리에 2학년 3명을 앉히는 방
는 방법의 수는
(6-1)!¥2=240
법의 수는(cid:100)(cid:100)§P£=120
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)240¥120=28800
(cid:8951) ⑤
(cid:8951) ①
회전했을 때 같은 경우
가 2가지씩이므로 2로
(cid:8951) ③
나눈다.
060 서로 다른 2가지 색을 2개의 밑면에 칠하는 방
법의 수는
꼭짓점 A에서 꼭짓점
B까지 가기 위해서는
C 또는 D 또는 E 또
는 F를 반드시 지나야
한다.
4가지 색을 원형으로
배열하여 칠하는 한 가
지 방법에 대하여 서로
다른 경우가 2가지씩
존재한다.
6P2
2
=15
또 옆면을 칠하는 방법의 수는
(4-1)!¥2=12
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)15¥12=180
061 a, b, c, d에서 중복을 허용하여 만들 수 있는
문자열의 개수는 (cid:100)(cid:100)¢P¢=4› =256
만든 문자열을 사전식으로 배열하면
aaaa, aaab, y, ddca, ddcb, ddcc, ddcd,
ddda, dddb, dddc, dddd
이때 ddcd는 끝에서 다섯 번째 문자열이므로 252번째
에 온다.
(cid:8951) ③
062 ⁄ 0을 한 개 포함할 때
H
E
G
십의 자리의 숫자가 0이고 일의 자리의 숫자가 0이
아니거나 십의 자리의 숫자가 0이 아니고 일의 자리
G)+(E
H)
⁄
⁄
J
F
I
A
(E
A
(F
(cid:8951) 138
I)+(F
J)
⁄
⁄
의 숫자가 0인 세 자리 자연수이므로
⁄ a=ªP™¥2=9¤ ¥2=162
¤ 0을 두 개 포함할 때
십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자가 모두 0인 세
자리 자연수이므로(cid:100)(cid:100)b=9
⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100) =
=18
a
b
162
9
(cid:8951) 18
Ⅰ. 순열과 조합 15
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지16 SinsagoHitec
063 도로망의 윗 부분의 가로 한 칸을 이동하는 것을
a, 아랫 부분의 가로 한 칸을 이동하는 것을 b라 하면a,
b 2개 중에서 8개를 택하는 중복순열의 수와 같다.
(cid:100)(cid:100)∴ 2P8=28=256
` 예를 들어 aaabbbaa는 다음과 같은 방법으로 이동하는
(cid:8951) 256
것이다.
A
B
064 2개의 1을 A로 생각하여 A, 1, 2, 2, 3을 일렬
로 나열하는 방법의 수는(cid:100)(cid:100) =60
5!
2!
A와 1이 이웃하도록 나열하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100) ¥2=24
4!
2!
따라서 구하는 방법의 수는(cid:100)(cid:100)60-24=36
(cid:8951) ④
065 a, b, b, c, d, d를 일렬로 나열할 때 a가 맨
앞에 오지 않게 나열하는 방법의 수는
5!
2!¥2!
=180-30=150
6!
2!¥2!
(cid:100)(cid:100)
-
⁄ a가 맨 앞에 오지 않고 b와 b가 이웃하게 나열하는
¤ a가 맨 앞에 오지 않고 d와 d가 이웃하게 나열하는
방법의 수는
⁄ - =48
5!
2!
4!
2!
방법의 수는
⁄ - =48
5!
2!
4!
2!
‹ a가 맨 앞에 오지 않고 b와 b, d와 d가 각각 이웃하
게 나열하는 방법의 수는(cid:100)(cid:100)4!-3!=18
이상에서 구하는 방법의 수는
150-(48+48-18)=72
(cid:8951) ④
066 자음은 m, m, t, t, h, c, s의 7개, 모음은
a, a, e, i의 4개이다.
⁄ 맨 앞에 m 또는 t가 오고, 맨 뒤에 a가 오는 경우
¤ 맨 앞에 m 또는 t가 오고, 맨 뒤에 e 또는 i가 오는
(cid:100)(cid:100) ¥2=9!
9!
2!
경우
(cid:100)(cid:100)
경우
(cid:100)(cid:100)
9!
2!¥2!
¥2¥2=9!
9!
2!¥2!
¥3=;4#;¥9!
오는 경우
16 정답 및 풀이
‹ 맨 앞에h 또는 c 또는 s가 오고, 맨 뒤에a 가 오는
› 맨 앞에h 또는 c 또는 s가 오고, 맨 뒤에 e 또는 i가
함숫값이 1, 1, 3, 3인
함수 f를 순서쌍
(f(a), f(b), f(c), f(d))
로 생각하면 함수 f의
개수는 1, 1, 3, 3을
일렬로 나열하는 방법
의 수와 같다.
1, 2, 3, 4, 5를 일렬
로 나열하는 방법의 수
0, 1, 2, 3, 4, 5를 일
렬로 나열하는 방법의 수
a, b, b, c, d, d를 일
렬로 나열하는 방법의
수
b, b, c, d, d를 일렬로
나열하는 방법의 수
(cid:100)(cid:100)
9!
2!¥2!¥2!
¥3¥2=;4#;¥9!
이상에서 구하는 방법의 수는
9!+9!+;4#;¥9!+;4#;¥9!=;2&;¥9!
(cid:8951) ④
067 f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=8을 만족시키는
경우는
1+1+3+3=8, 1+2+2+3=8,
2+2+2+2=8
따라서 구하는 함수 f의 개수는
4!
2!
+ +1=19
4!
2!¥2!
(cid:8951) 19
068 5의 배수가 되려면 일의 자리의 숫자가 0 또는 5
가 되어야 한다.
⁄ 일의 자리의 숫자가 0인 경우
1 새로 만든 카드가 0일 때
① (cid:100)(cid:100)6!-5!=600
2 새로 만든 카드가 0이 아닐 때
6!
① (cid:100)(cid:100)5¥ =1800
2!
¤ 일의 자리의 숫자가 5인 경우
1 새로 만든 카드가 0일 때
① (cid:100)(cid:100) -5!=240
6!
2!
2 새로 만든 카드가 5일 때
① (cid:100)(cid:100)6!-5!=600
3 새로 만든 카드가 0, 5가 아닐 때
6!
2!
5!
2!
① (cid:100)(cid:100)4{ - }=1200
⁄, ¤에서 구하는 5의 배수의 개수는
(cid:100)(cid:100)600+1800+240+600+1200=4440
(cid:8951) ③
069 ⁄ ❶의 방향으로 1번, ❹의 방향으로 5번 움직
¤ ❷, ❺의 방향으로 각각 1번씩, ❹의 방향으로 4번
‹ ❸, ❻의 방향으로 각각 1번씩, ❹의 방향으로 4번
› ❸, ❹, ❺의 방향으로 각각 2번씩 움직이는 경우
(cid:100)(cid:100)
6!
2!¥2!¥2!
=90
이상에서 구하는 경우의 수는
(cid:100)(cid:100)6+30+30+90=156
(cid:8951) 156
이는 경우
6!
(cid:100)(cid:100) =6
5!
움직이는 경우
6!
(cid:100)(cid:100) =30
4!
움직이는 경우
6!
(cid:100)(cid:100) =30
4!
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지17 SinsagoHitec
각 학년의 학생 수가 5
미만이므로 한 학년에
서만 대표가 뽑히는 경
우는 없다.
nCr=nCn-r
무기명 투표는 어느 유
권자가 어느 후보를 뽑
았는지 알 수 없으므로
후보 중에서 중복을 허
용하여 택하는 중복조
합으로 생각할 수 있다.
y
2
-2
6Cr¥a6-r¥x12-2r¥(-2)r¥x-r
=6Cra6-r(-2)rx12-3r
03
조합과 이항정리
본책 19쪽
070 10명의 학생 중 대표 5명을 뽑는 방법의 수는
1학년, 2학년, 3학년을 각각 제외하고 대표를 뽑는 방법
¡ºC∞=252
의 수는
¶C∞+¶C∞+§C∞=¶C™+¶C™+§C¡
=21+21+6=48
따라서 구하는 방법의 수는
252-48=204
(cid:8951) ⑤
071 |x|+|y|…2를 만족
시키는 점 (x, y)는 오른쪽 그
림과 같이 13개가 있다.
이 중에서 서로 다른 3개의 점
-2-1
O
1 2
x
y
2
1
-1
-2
이때 5개의 점이 한 직선 위에 있는 경우가 2가지이므로
한 직선 위에 있는 5개의 점 중에서 서로 다른 3개의 점
을 택하는 방법의 수는
¡£C£=286
을 택하는 방법의 수는
2¥∞C£=20
또 3개의 점이 한 직선 위에 있는 경우가 10가지이므로
한 직선 위에 있는 3개의 점 중에서 서로 다른 3개의 점
을 택하는 방법의 수는
10¥£C£=10
따라서 구하는 삼각형의 개수는
1등급
|비|밀|노|트|
서로 다른 n개의 점 중 r (3…r…n)개의 점이 한 직선 위에 있
을 때
① 만들 수 있는 삼각형의 개수 (cid:8857) «C£-®C£
② 만들 수 있는 직선의 개수 (cid:8857) «C™-®C™+1
072 n=2k+1 (k는 자연수)이라 하면 가위바위보를
하여 이긴 사람의 수는(cid:100)(cid:100)
n-1
2
=k
이때 모인 사람의 수는 (k+1)명이고, 악수를 한 횟수
는 (k+1)명 중에서 서로 다른 두 명을 뽑는 조합의 수
와 같으므로
=190,(cid:100)(cid:100)(k+1)k=20¥19
˚≠¡C™=
(k+1)k
2
(cid:100)(cid:100)∴ k=19
따라서 구하는 n의 값은
n=2k+1=2¥19+1=39
(cid:8951) 39
073 x=X+1, y=Y+1, z=Z+1로 놓으면 주어
진 방정식은
(cid:100)(cid:100)X+Y+Z=6(cid:100)
286-(20+10)=256
(cid:8951) 256
-2
O
x
2
합
조
과
열
순
Ⅰ
본책
17쪽``…``20쪽
즉 a의 값은 방정식 X+Y+Z=6의 해 중에서 음이
아닌 정수인 해의 개수와 같으므로 3개의 문자 X, Y,
Z에서 6개를 택하는 중복조합의 수와 같다.
(cid:100)(cid:100)∴ a=3H6=8C6=8C2=28
한편 x=2X+1, y=2Y+1, z=2Z+1로 놓으면 주
어진 방정식은
(cid:100)(cid:100)X+Y+Z=3(cid:100)
즉 b의 값은 방정식 X+Y+Z=3의 해 중에서 음이
아닌 정수인 해의 개수와 같으므로 3개의 문자 X, Y,
Z에서 중복을 허용하여 3개를 택하는 중복조합의 수와
같다.
(cid:100)(cid:100)∴ b=3H3=5C3=5C2=10
(cid:100)(cid:100)∴ a-b=18
074 기명으로 투표하는 방법의 수는 서로 다른 2개
에서 중복을 허용하여 6개를 택하는 중복순열의 수와
같으므로
a=™P§=2fl =64
무기명으로 투표하는 방법의 수는 서로 다른 2개에서 6
개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
b=™H§=¶C§=¶C¡=7
∴ a+b=64+7=71
075 구하는 항의 개수는 세 문자 x, y, z 중에서 7
개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
£H¶=ªC¶=ªC™=36
(cid:8951) ③
(cid:8951) 71
(cid:8951) ④
076 {ax¤ -
;[@;}
fl 의 전개식의 일반항은
§C®(ax¤ )fl —® {- }
2
x
® =§C®afl —® (-2)® x⁄
¤ —‹
상수항은 12-3r=0, 즉 r=4일 때이므로
§C¢ a¤ (-2)› =60,(cid:100)(cid:100)a¤ =;4!;
∴ a=;2!; (∵ a>0)
(cid:8951) ③
077 (x+1)8의 전개식의 일반항은
8Cr x8-r
(x-1)4의 전개식의 일반항은
4Cs x4-s(-1)s
따라서 (x+1)8(x-1)4의 전개식의 일반항은
8Cr x8-r¥4Cs x4-s(-1)s=8Cr¥4Cs(-1)sx12-r-s
12-r-s=10, 즉 r+s=2를 만족시키는 순서쌍
(r, s)는
(cid:100)(cid:100)(0, 2), (1, 1), (2, 0)
이므로 x10의 계수는
(cid:100)=8C0¥4C2(-1)2+8C1¥4C1(-1)1+8C2¥4C0
(cid:100)=6-32+28=2
(cid:8951) 2
Ⅰ. 순열과 조합 17
®
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지18 SinsagoHitec
078 (a+2b+c)fi 의 전개식의 일반항은
5!
p!q!r!
ap(2b)qcr=
2qapbqcr
5!
p!q!r!
(단, p+q+r=5, pæ0, qæ0, ræ0)
a¤ b¤ c항은 p=2, q=2, r=1일 때이므로 a¤ b¤ c의 계수
는
5!
2!¥2!¥1!
¥2¤ =120
(cid:8951) ④
079 ㄱ. «–¡C®–¡+«–¡C®=«C®이므로
ㄴ. (cid:100)(cid:100)«C®+«C®≠¡=«≠¡C®≠¡
ㄴ. §C§+¶C§+•C§+ªC§=¶C¶+¶C§+•C§+ªC§
n이 자연수일 때,
(a+b+c)n의 전개식의
일반항
(cid:8857)
n!
p!q!r!
apbqcr
(단, p+q+r=n,
pæ0, qæ0, ræ0)
log4 298=log2¤ 298
=;;ª2•;;log2 2
=49
(cid:8951) 66
7권의 공책을 3개의 가
방에 빈 가방이 없도록
나누어 넣으면 된다.
ㄷ. ª¡Cº+ª™C¡+ª£C™+ª¢C£=ª™Cº+ª™C¡+ª£C™+ª¢C£
=•C¶+•C§+ªC§
=ªC¶+ªC§=¡ºC¶=¡ºC£
=ª£C¡+ª£C™+ª¢C£
=ª¢C™+ª¢C£=ª∞C£
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
(cid:8951) ②
080
10
¡r=0
®≠¡C®=¡Cº+™C¡+£C™+¢C£+y+¡¡C¡º
=™Cº+™C¡+£C™+¢C£+y+¡¡C¡º
=£C¡+£C™+¢C£+y+¡¡C¡º
⋮
=¡¡Cª+¡¡C¡º
=¡™C¡º
=¡™C™=66
081 각 교차점에 도착하는
방법의 수를 나타내면 오른쪽
그림과 같다.
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)5+10+10+5=30
1
4
1
3
10
1
5
1
1
3
10
1
4
1
5
1
P
2
6
Q
(cid:8951) 30
1등급
|비|밀|노|트|
주어진 문제는 P에서 Q까지 가는 모든 방법의 수를 구하는 것이다.
P에서 Q까지 최단 거리로 가는 방법의 수를 구하는 것으로 생각
하여
=20으로 계산하지 않도록 주의한다.
6!
3!¥3!
082 «Cº+«C¡+«C™+y+«C«=2« 이므로
«C¡+«C™+«C£+y+«C«=2« -1
따라서 주어진 부등식은
500<2« -1<1500,(cid:100)(cid:100)501<2« <1501
2° =256, 2· =512, 2⁄
‚ =1024, 211=2048이므로
nC0=1
n=9 또는 n=10
따라서 구하는 합은
(cid:100)(cid:100)9+10=19
18 정답 및 풀이
(cid:8951) ③
083 ªªCº+ªªC¡+y+ªªC¢ª=ªªCªª+ªªCª•+y+ªªC∞º
이고 ªªCº+ªªC¡+y+ªªCªª=2·
· 이므로
ªªCº+ªªC¡+y+ªªC¢ª=
¥2·
· =2·
;2!;
∴ (주어진 식)=log¢ 298=
=49
:ª2•:
(cid:8951) 49
084 ™ºCº+™ºC™+™ºC¢+y+™ºC™º=2⁄
¢ºCº-¢ºC¡+¢ºC™-¢ºC£+y-¢ºC£ª+¢ºC¢º=0이므로
¢ºC¡-¢ºC™+¢ºC£-y+¢ºC£ª=¢ºCº+¢ºC¢º
=1+1=2
따라서 주어진 등식에서
2⁄
· =2¥2« (cid:100)(cid:100)∴ n=18
(cid:8951) ③
085 1을 반드시 포함하도록 11을 4개의 자연수로 분
할하면
(cid:100)(cid:100)11=8+1+1+1
(cid:100)(cid:100)11=7+2+1+1
(cid:100)(cid:100)11=6+3+1+1
(cid:100)(cid:100)11=6+2+2+1
(cid:100)(cid:100)11=5+4+1+1
(cid:100)(cid:100)11=5+3+2+1
(cid:100)(cid:100)11=4+4+2+1
(cid:100)(cid:100)11=4+3+3+1
따라서 구하는 방법의 수는 8이다.
(cid:8951) 8
086 각 가방에 적어도 1권의 공책이 들어가도록 넣
는 방법의 수는 7을 3개의 자연수로 분할하는 방법의 수
와 같다. 7을 3개의 자연수로 분할하면
(cid:100)(cid:100)7=5+1+1=4+2+1
=3+3+1=3+2+2
따라서 구하는 방법의 수는 4이다.
각 가방에 공책을 1권씩 넣은 후, 남은 4권의
(cid:8951) ①
공책을 3개 이하의 가방에 넣으면 된다.
4를 3개 이하의 자연수로 분할하면
(cid:100)(cid:100)4=4
=3+1=2+2
=2+1+1
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)P(4, 1)+P(4, 2)+P(4, 3)=1+2+1=4
087 6=3+1+1+1=2+2+1+1이므로 6명을 4
개의 조로 나누는 방법은 다음과 같다.
⁄ 3명, 1명, 1명, 1명으로 나누는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)§C£¥£C¡¥™C¡¥¡C¡¥ =20
1
3!
¤ 2명, 2명, 1명, 1명으로 나누는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)§C™¥¢C™¥™C¡¥¡C¡¥
1
2!¥2!
=45
°
·
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지19 SinsagoHitec
⁄, ¤에서 구하는 방법의 수는
20+45=65
(cid:8951) 65
088 `
형의 개수는
볼록십각형에서 만들 수 있는 삼각
(cid:100)(cid:100)¡ºC£=120
`⁄ 볼록십각형과 한 변만 공유하는 삼각형은 볼록십각
● 20%
형의 한 변에6개씩 만들어지므로 그 개수는
`¤ 볼록십각형과 두 변을 공유하는 삼각형은 볼록십각
형의 이웃하는 두 변에 대하여 하나씩만 존재하므로
(cid:100)(cid:100)6¥10=60
10개이다.
`
따라서 십각형과 한 변도 공유하지 않는 삼
각형의 개수는
(cid:100)(cid:100)120-(60+10)=50
● 30%
● 30%
● 20%
(cid:8951) 50
089 다음 그림과 같이 세로로 놓인 도로를 왼쪽부터
차례대로 a, b, c, d, e, f, g라 하자.
30`m
A
100`m a
b
c
d
e
f
g
B
C
분속 60 m의 속력으로 10분 이내로 이동하기 위해서는
움직인 거리가 60¥10 =600 (m) 이하가 되어야 한다.
이때 가로로 놓인 도로의 길이가 180 m이므로 세로로
놓인 도로는 1번 또는 3번 이용할 수 있다.
⁄ 세로로 놓인 도로를 1번 이용하는 경우
a, b, c 중에서 1개를 택하면 되므로
(cid:100)(cid:100)3C1=3
개를 택하면 되므로
① (cid:100)(cid:100)3C1¥4C2=18
2 a, b, c를 모두 택하면 되므로
① (cid:100)(cid:100)3C3=1
⁄, ¤에서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)3+18+1=22
(cid:8951) ②
090 빨강, 주황, 노랑, 초록의 4가지 색 중에서 꺼내
는 공의3가지의 색을 택하는 방법의 수는
각 색깔에서 1개의 공을 택하는 경우의 수는
4C3=4C1=4
3C1=3
4¥33=108
따라서 구하는 경우의 수는
공유한 변의 양 끝 점 2
개와 이웃한 두 변의
끝 점 2개를 제외한 6
개의 꼭짓점마다 하나
씩 만들어진다.
본책
20쪽``…``22쪽
x-1Cy=
(x-1)!
y!(x-y-1)!
에서
y`㉠
합
조
과
열
순
Ⅰ
y`㉡㉠㉠● 30%
091
(cid:100)(cid:100)
=10
(x-1)!
y!(x-y-1)!
x!
(y+1)!(x-y-1)!
xCy+1=
에서
(cid:100)(cid:100)
x!
(y+1)!(x-y-1)!
=;2%;x
㉠÷㉡을 하면
(cid:100)(cid:100)
(x-1)!
y!(x-y-1)!
x!
(y+1)!(x-y-1)!
=
10
12555x
2
(cid:100)(cid:100)
(x-1)!(y+1)!
x!y!
=
(cid:100)(cid:100)
;[$;
y+1
x
=
;[$;
y=3을 ㉠에 대입하면
(cid:100)(cid:100)
(x-1)!
3!(x-4)!
=10
(cid:100)(cid:100)(x-1)(x-2)(x-3)=5¥4¥3
즉 x-1=5이므로(cid:100)(cid:100)x=6
∴ xy=18
(cid:100)(cid:100)y+1=4(cid:100)(cid:100)∴ y=3
● 30%
092 어린이 2명과 어른 4명을 뽑는 방법의 수는
∞C™¥§C¢=150
6명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)(6-1)!=5!=120
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)150¥120=18000
600-180=420(m)이
므로 세로로 놓인 도로
는 이동 거리가 420`m
이하가 되도록 이용해
야 한다.
093 6가지 색 중에서 5가지 색을 고르는 방법의 수는
나머지 4가지의 색을 4등분한 영역에 칠하는 방법의 수
(cid:100)(cid:100)∞C¡=5
는
(4-1)!=3!=6
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)6¥5¥6=180
● 30%
● 10%
(cid:8951) 18
(cid:8951) 18000
(cid:8951) ①
각 색깔에서 1개의 공
을 선택하는 경우의 수
는 3이고, 3가지 색의
공을 꺼내므로(cid:100)3‹
094 ㄱ. a<b이면 f(a)<f(b)이므로
(cid:100)(cid:100)f(1)<f(2)<f(3)<f(4)
따라서 집합 Y의 6개의 원소 중 4개를 택하여 작은
수부터 차례대로 정의역의 원소 1, 2, 3, 4에 대응시
키면 되므로 구하는 함수의 개수는
(cid:8951) ③
(cid:100)(cid:100)§C¢=15
Ⅰ. 순열과 조합 19
¤ 세로로 놓인 도로를 3번 이용하는 경우
§C∞=§C¡=6
1 a, b, c 중에서 1개를 택하고 d, e, f, g 중에서 2
원판의 중앙에 색을 칠하는 방법의 수는
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지20 SinsagoHitec
ㄴ. f(3)=8이고, a<b이면 f(a)<f(b)이므로
(cid:100)(cid:100)f(4)=9 또는 f(4)=10
또 f(1)<f(2)에서 집합 Y의 원소 5, 6, 7 중 2개
를 택하여 작은 수부터 차례대로 정의역의 원소 1,
2에 대응시키면 되므로 그 개수는
(cid:100)(cid:100)£C™=3
(cid:100)(cid:100)2¥3=6
따라서 구하는 함수의 개수는
ㄷ. ⁄ f(1)<f(2)<f(3)<f(4)인 경우
(cid:100)(cid:100)§C¢=15
¤ f(1)=f(2)<f(3)<f(4)인 경우
집합 Y의 6개의 원소 중 3개를 택하여 작은 수
부터 차례대로 정의역의 원소 1, 3, 4에 대응시키
면 되므로 구하는 함수의 개수는
(cid:100)(cid:100)§C£=20
⁄, ¤에서 구하는 함수의 개수는
(cid:100)(cid:100)15+20=35
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
(cid:8951) ④
1등급
|비|밀|노|트|
두 집합X, Y에 대하여 n(X)=r, n(Y)=s (r…s)일 때, X
에서 Y로의 함수 f 중에서 a<X, b<X, a<b인 a, b에 대하
여 f(a)<f(b) (또는 f(a)>f(b))를 만족시키는 f의 개수
(cid:8857) 순서가 이미 정해졌으므로(cid:100)(cid:100)ßC®
095 a¡, a™, a£, y, aª 중에서 가장 큰 수는 a∞이므로
1, 2, 3, …, 8의 8개 중에서 서로 다른 4개를 택하여
작은 수부터 차례대로 a¡, a™, a£, a¢로 놓고, 나머지 4
개의 수를 큰 수부터 차례대로 a§, a¶, a•, aª로 놓으면
되므로 나머지 8개의 수를 나열하는 방법의 수는
a∞=9
•C¢=70
096 2, 3, 5가 모두 소수이므로 집합 A의 원소의
개수는 3개의 숫자 2, 3, 5에서 5개를 택하는 중복조합
의 수와 같다.
∴ £H∞=¶C∞=¶C™=21
따라서 집합 A의 부분집합의 개수는 221이다.
1등급
|비|밀|노|트|
2, 3, 5를 각각 x개, y개, z개 택한다고 하면 2, 3, 5가 모두 소
수이므로 방정식 x+y+z=5 (xæ0, yæ0, zæ0)를 만족시키
는 서로 다른 해의 순서쌍(x¡, y¡, z¡), ( x™, y™, z™)에 대하여
(cid:100)(cid:100)2x¡¥3y¡¥5z¡ +2x™¥3y™¥5z™
이다. 즉 방정식의 각각의 해에 대하여 A의 원소가 1개씩 결정되
므로 방정식 x+y+z=5 (xæ0, yæ0, zæ0)의 해의 개수와 집
합 A의 원소의 개수는 같다.
20 정답 및 풀이
097
Ⅰ`. 세 개의 주머니 A, B, C에 들
어 있는 공의 개수를 각각 x, y, z라 하면
(cid:100)(cid:100)x+y+z=6 (xæ1, yæ1, zæ1)
x=X+1, y=Y+1, z=Z+1로 놓으면 위의 방
정식은
(cid:100)(cid:100)X+Y+Z=3 (Xæ0, Yæ0, Zæ0)
따라서 조건 Ⅰ을 만족시키는 경우의 수는
(cid:100)(cid:100)p=£H£=∞C£=∞C™=10
● 30%
Ⅱ`. 세 개의 주머니에 공을 넣는 모든 경우의 수는
(cid:100)(cid:100)£H§=•C§=•C™=28
이때 조건 Ⅰ에서 모든 주머니에 적어도 한 개의 공
이 들어 있는 경우의 수가 10이므로 조건 Ⅱ를 만족
Ⅲ`. 세 개의 주머니에 들어 있는 공이 0개, 1개, 5개인
● 30%
시키는 경우의 수는
(cid:100)(cid:100)q=28-10=18
경우의 수는(cid:100)(cid:100)3!=6
세 개의 주머니에 들어 있는 공이 1개, 1개, 4개인
3개의 문자 X, Y, Z
에서 3개를 택하는 중
복조합의 수
f(1)=f(2)이므로
f(1)의 값이 정해지면
f(2)의 값도 정해진다.
똑같은 공이므로 구분하
지 않는다.
세 개의 주머니에 들어 있는 공이 1개, 2개, 3개인
경우의 수는
3!
(cid:100)(cid:100) =3
2!
경우의 수는
(cid:100)(cid:100)3!=6
따라서 조건 Ⅲ`을 만족시키는 경우의 수는
(cid:100)(cid:100)r=6+3+6=15
`
∴ p-q+r=7
● 30%
● 10%
(cid:8951) 7
● 20%
(cid:8951) 36
098
각 x개, y개, z개 넣는다고 하면
과일 바구니에 사과, 배, 복숭아를 각
x+y+z=10 (xæ0, yæ1, zæ2)
● 40%
x=X, y=Y+1, z=Z+2로 놓으면 위의 방정식은
X+Y+Z=7 (Xæ0, Yæ0, Zæ0)
● 40%
Y, Z에서 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
£H¶=ªC¶=ªC™=36
099 f(x)=
;2A;
x2+bx+c라 하면 f(x)를 x-2로
나누었을 때의 나머지가 18이므로 나머지정리에 의하여
(cid:100)(cid:100)f(2)=2a+2b+c=18(cid:100)(cid:100)
yy`㉠㉠㉠
이때 2a+2b는 짝수이므로 c도 짝수이어야 한다.
a=X+1, b=Y+1, c=2(Z+1)로 놓고 ㉠에 대입
하여 정리하면
(cid:100)(cid:100)X+Y+Z=6 (Xæ0, Yæ0, Zæ0)
따라서 구하는 순서쌍의 개수는 위의 방정식을 만족시
키는 음이 아닌 정수 X, Y, Z의 순서쌍 (X, Y, Z)의
개수와 일치하므로
(cid:100)(cid:100)3H6=8C6=8C2=28
(cid:8951) ③
다항식 f(x)를 x-a로
나누었을 때의 나머지 R
(cid:8857) R=f(a)
(cid:8951) ④
(짝수)+c=(짝수)이
므로 c는 짝수이다.
따라서 구하는 방법의 수는 70이다.
(cid:8951) 70
따라서 구하는 방법의 수는 3개의 문자 X,
15일품확률과통계(06~32)해 2014.11.10 6:28 PM 페이지21 SinsagoHitec
집합 X의 5개의 원소
중에서 중복을 허용하
여 5개를 택한 후 작거
나 같은 수부터 차례대
로 정의역의 원소 1, 2,
3, 4, 5에 대응시키면
된다.
본책
22쪽``…``24쪽
양변에
(n-1)!(n+3)!
(2n)!
을 곱하면
2(n-1)(n+3)=(n+3)(n+2)+(n-1)(n-2)
2n=14(cid:100)(cid:100)∴ n=7
(cid:8951) ②
1등급
|비|밀|노|트|
2
(n-2)!(n+2)!
=
1
(n-1)!(n+1)!
+
1
(n-3)!(n+3)!
의 양변에 (n-2)!, (n-1)!, (n-3)! 중 차수가 가장 큰
(n-1)!과 (n+2)!, (n+1)!, (n+3)! 중 차수가 가장 큰
(n+3)!을 곱해 주어야 분모에 미지수가 없도록 만들 수 있다.
합
조
과
열
순
Ⅰ
100 f(1)…f(2)…f(3)…f(4)…f(5)를 만족시키
는 함수의 개수는(cid:100)(cid:100)∞H∞=ªC∞=ªC¢=126
f(1)… f(2)=f(3)… f(4)… f(5)를 만족시키는 함수
f(1)… f(2)… f(3)=f(4)… f(5)를 만족시키는 함수
f(1)… f(2)=f(3)=f(4)… f(5)를 만족시키는 함수
의 개수는
∞H¢=•C¢=70
의 개수는
∞H¢=•C¢=70
의 개수는
∞H£=¶C£=35
따라서 구하는 함수의 개수는
(cid:100)(cid:100)126-(70+70-35)=21
f(1)<f(2)<f(3)<f(4)<f(5)를 만족시
키는 함수의 개수는(cid:100)(cid:100)1
f(1)=f(2)<f(3)<f(4)<f(5)를 만족시키는 함수
f(1)<f(2)<f(3)<f(4)=f(5)를 만족시키는 함수
f(1)=f(2)<f(3)<f(4)=f(5)를 만족시키는 함수
의 개수는
∞C¢=∞C¡=5
의 개수는
∞C¢=∞C¡=5
의 개수는
∞C£=∞C™=10
따라서 구하는 함수의 개수는
(cid:100)(cid:100)1+5+5+10=21
101 구하는 방법의 수는 정의역이 { A, B, C}, 공역
이 {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}인 함수 f 중에서
(cid:100)(cid:100)f(A)…f(B)…f(C)
를 만족시키는 함수 f의 개수와 같으므로
(cid:100)(cid:100)7H3=9C3=84
(cid:8951) ①
(cid:8951) 21
f(1)…f(2)=f(3)
=f(4)…f(5)를 만족
시키는 함수의 개수가
중복되어 세어지므로
빼준다.
치역의 원소의 개수가
5인 경우
치역의 원소의 개수가
4인 경우
치역의 원소의 개수가
3인 경우
103
¶C®(x¤ )‡ —® {;[A;}
‡ 의 전개식의 일반항은
{x¤ +
;[A;}
® =¶C® a® x14-3r
● 30%
x¤ 항은 14-3r=2, 즉 r=4일 때이므로
¶C¢ a› =140,(cid:100)(cid:100)35a› =140(cid:100)(cid:100)∴ a› =4
● 30%
1
x›
항`은 14-3r=-4, 즉 r=6일 때이므로
의 계수는
1
x›
(cid:100)(cid:100)¶C§ afl =7¥(a› );2#;=7¥4;2#;=7¥2‹ =56
● 40%
(cid:8951) 56
104 주어진 식은 첫째항이 1+x¤ , 공비가 1+x¤ 인
등비수열의 첫째항부터 제`10항까지의 합이므로
(1+x¤ ){(1+x¤ )⁄
(1+x¤ )-1
‚ -1}
(1+x¤ )⁄
=
이때 주어진 식에서 x› 의 계수는 (1+x¤ )⁄
⁄ -(1+x¤ )
x¤
⁄ 의 전개식에
서 xfl 의 계수와 같다.
(1+x¤ )⁄
⁄ 의 전개식의 일반항은(cid:100)(cid:100)¡¡C®(x¤ )® =¡¡C®x¤
xfl 항은 2r=6, 즉 r=3일 때이므로 구하는 계수는
¡¡C£=165
(cid:8951) ④
(1+x¤ )n=nC0+nC1x¤ +nC2x› +y+nCnx2n
이므로 x4의 계수는 nC2(næ2)이다.
따라서 주어진 다항식의 전개식에서 x› 의 계수는
(cid:100)(cid:100)2C2+3C2+4C2+y+10C2
102 {x+
;[!;}
« 의 전개식의 일반항은
™«C®x¤
« —® {;[!;}
® =™«C®x¤ (n-r)
x¤ 항은 n-r=1, x› 항은 n-r=2, xfl 항은 n-r=3
일 때이므로 x¤ , x› , xfl 의 계수는 각각
(cid:100)(cid:100)™«C«–¡, ™«C«–™, ™«C«–£
세 수가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
(cid:100)(cid:100)2¥™«C«–™=™«C«–¡+™«C«–£
(cid:100)(cid:100)2¥
(2n)!
(n-2)!(n+2)!
(cid:100)=
(2n)!
(n-1)!(n+1)!
+
(2n)!
(n-3)!(n+3)!
n=1을
n(n-1)
2
에
대입하면 0이므로
10
¡n=2
n(n-1)
2
=
10
¡n=1
n(n-1)
2
세 수a , b, c가 이 순서
대로 등차수열을 이루면
(cid:8857) 2b=a+c
10
(cid:100)= nC2
¡n=2
(cid:100)=
10
¡n=2
n(n-1)
2
(cid:100)=
10
¡n=1
n(n-1)
2
(cid:100)=;2!;
10
¡n=1
(n¤ -n)
(cid:100)=;2!;{
10
¡n=1
10
n¤ - n}
¡n=1
(cid:100)=;2!;{
10¥11¥21
6
10¥11
2
}
-
(cid:100)=;2!;(385-55)=165
Ⅰ. 순열과 조합 21
¤
®
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지22 SinsagoHitec
105 ('2x+`‹'2 )100의 전개식의 일반항은
(cid:100)(cid:100)100Cr('2x)100-r(`‹'2 )r
x100-r2;3R;
(cid:100)=100Cr2
100-r
2
(cid:100)=100Cr¥2
300-r
6
x100-r
따라서 xn의 계수가 자연수가 되기 위해서는
300-r
6
가
자연수가 되어야 하므로
(cid:100)(cid:100)r=0, 6, 12, y, 96 (∵ 0…r…99)
따라서 구하는 항의 개수는 17이다.
(cid:8951) ④
106 (ax¤ +x-1)° 의 전개식의 일반항은
(ax¤ )pxq(-1)r=
8!
p!q!r!
(단, p+q+r=8, pæ0, qæ0, ræ0)
(-1)® aπ x2p+q
8!
p!q!r!
2p+q=4, p+q+r=8을 동시에 만족시키는 순서쌍
(p, q, r)는
(0, 4, 4), (1, 2, 5), (2, 0, 6)
즉 x› 의 계수는
(cid:100)=
8!
0!¥4!¥4!
(cid:100)=28a¤ -168a+70
-
8!
1!¥2!¥5!
(cid:100)=28(a-3)¤ -182
a+
8!
2!¥0!¥6!
a¤
따라서 x› 의 계수는 a=3일 때 최소이다.
107
a=™Cº+£C¡+¢C™+∞C£+y+¡™C¡º
=£Cº+£C¡+¢C™+∞C£+y+¡™C¡º
=¢C¡+¢C™+∞C£+y+¡™C¡º
=∞C™+∞C£+y+¡™C¡º
⋮
=¡™Cª+¡™C¡º
=¡£C¡º=¡£C£=286
● 60%
¡£C£은 제 14`행의 왼쪽에서 4번째 수, ¡£C¡º은 제 14`행의
왼쪽에서 11번째 수이므로
(cid:100)(cid:100)b=14, c=4 또는 b=14, c=11
● 30%
따라서 a+b+c의 최솟값은
(cid:100)(cid:100)286+14+4=304
● 10%
(cid:8951) 304
108 주어진 파스칼의 삼각형에 조합의 수를 대응시
켜 보면
제1 행
제2 행
제3 행
제4 행
1
1 1
1
¡Cº ¡C¡
1 2 1
™Cº ™C¡ ™C™
1 3 3 1
£Cº £C¡ £C™ £C£
제5 행
1 4 6 4 1
¢Cº ¢C¡ ¢C™ ¢C£ ¢C¢
⋮
⋮
⋮
22 정답 및 풀이
nC0+nC1+nC2
+y+nCn=2n
따라서 제 n 행의 모든 수의 합은
«–¡Cº+«–¡C¡+«–¡C™+y+«–¡C«–¡=2« —⁄
2« —⁄ =8⁄
‚ =2‹
‚ 이므로
(cid:100)(cid:100)n-1=30(cid:100)(cid:100)∴ n=31
(cid:8951) 31
2
109 ㄱ. f(2)= k¥2Ck=2C1+2¥2C2
¡k=1
50-
에서 r는 0 또는
;6R;
6의 양의 배수이어야
한다.
(n-1)!
(k-1)!(n-k)!
=
(n-1)!
(k-1)!{(n-1)-(k-1)}!
=n-1Ck-1
109 ㄱ. f(2)=2+2¥1=4
ㄴ. k¥nCk=k¥
n!
k!(n-k)!
ㄴ. k¥nCk=
n!
(k-1)!(n-k)!
ㄴ. k¥nCk=n¥
(n-1)!
(k-1)!(n-k)!
ㄴ. k¥nCk=n¥n-1Ck-1
ㄴ. (cid:100)(cid:100)∴ f(n)= n¥n-1Ck-1
ㄴ. (cid:100)(cid:100)∴ f(n)=n
n-1Ck-1
n
¡k=1
n
¡k=1
영화는 용량별로 각각
6개씩 있으므로 1, 2, 3
의 개수가 각각 6 이하
가 되도록 분할한다.
ㄴ. (cid:100)(cid:100)∴ f(n)=n(n-1C0+n-1C1+y+n-1Cn-1)
ㄴ. (cid:100)(cid:100)∴ f(n)=n¥2n-1
ㄴ. 따라서 næ2일 때, f(n)은 짝수이다.
ㄷ. ㄴ에서 f(n)=n¥2n-1이므로
f(n)
n
= 2n-1=
210-1
2-1
=1023
10
¡n=1
10
¡n=1
(cid:100)(cid:100)
이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
(cid:8951) ⑤
(cid:100)(cid:100)8=5+3
(cid:100)(cid:100)8=3+3+2
(cid:100)(cid:100)8=2+2+2+2
따라서 구하는 방법의 수는 3이다.
(cid:8951) 3
111 구하는 방법의 수는 12를 1, 2, 3으로만 분할
하는 방법의 수와 같으므로
(cid:100)(cid:100)12=3+3+3+3
=3+3+3+2+1
=3+3+3+1+1+1
=3+3+2+2+2
=3+3+2+2+1+1
=3+3+2+1+1+1+1
=3+3+1+1+1+1+1+1
=3+2+2+2+2+1
=3+2+2+2+1+1+1
=3+2+2+1+1+1+1+1
=2+2+2+2+2+2
=2+2+2+2+2+1+1
=2+2+2+2+1+1+1+1
=2+2+2+1+1+1+1+1+1
따라서 구하는 방법의 수는 14이다.
(cid:8951) ④
(cid:8951) 3
110 8보다 작은 소수는 2, 3, 5, 7이므로 8을 소수
로만 분할하면
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지23 SinsagoHitec
112
방법의 수와 같으므로
구하는 도형의 개수는 9를 분할하는
(cid:100)(cid:100)9=9=8+1=7+2=6+3=5+4
=7+1+1=6+2+1=5+3+1=5+2+2
=4+4+1=4+3+2=3+3+3
=6+1+1+1=5+2+1+1=4+3+1+1
=4+2+2+1=3+3+2+1=3+2+2+2
=5+1+1+1+1=4+2+1+1+1
=3+3+1+1+1
=3+2+2+1+1
=2+2+2+2+1
=4+1+1+1+1+1
=3+2+1+1+1+1
=2+2+2+1+1+1
=3+1+1+1+1+1+1
=2+2+1+1+1+1+1
=2+1+1+1+1+1+1+1
=1+1+1+1+1+1+1+1+1
● 80%
따라서 구하는 도형의 개수는 30이다. ● 20%
7개의 반을 4개, 3개의 반으로 분할
분할된 4개의 반을 2개, 2개의 반으로 분할하는 방법의
113
하는 방법의 수는
¶C¢¥£C£=35
수는
수는
¢C™¥™C™¥ =3
1
2!
£C™¥¡C¡=3
35¥3¥3=315
(cid:8951) 30
● 30%
● 30%
● 30%
● 10%
(cid:8951) 315
본책
24쪽``…``25쪽
(cid:100)(cid:100)=21¥2¥1¥;2!;¥2+35¥3¥1+35¥4¥1¥;2!;¥2
자연수 n의 분할의 수
(cid:8857) P(n, 1)+P(n, 2)
+y+P(n, n)
(cid:100)(cid:100)=+35¥6¥1¥;2!;¥2
(cid:100)(cid:100)=42+105+140+210=497
이상에서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.
(cid:8951) ②
합
조
과
열
순
Ⅰ
각 조의 인원이 2명 이
상이므로 8을 2 이상의
2개의 자연수로 분할한
다.
115 8=6+2=5+3=4+4이므로 다음과 같다.
⁄ 6명, 2명으로 나누는 방법의 수는
¤ 5명, 3명으로 나누는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)•C§¥™C™=28
(cid:100)(cid:100)•C∞¥£C£=56
‹ 4명, 4명으로 나누는 방법의 수는
1
2!
(cid:100)(cid:100)•C¢¥¢C¢¥ =35
이상에서 2명 이상의 2개의 조로 나누는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)28+56+35=119
이때 남학생으로만 이루어진 조가 있는 경우의 수는
(cid:100)(cid:100)¢C™+¢C£+¢C¢=6+4+1=11
마찬가지로 여학생으로만 이루어진 조가 있는 경우의
수도 11이다.
그런데 4명, 4명으로 나누는 경우에 한 쪽이 남학생으
로만 이루어지면 다른 한 쪽은 여학생으로만 이루어지
므로 중복된다.
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)119-(11+11)+1=98
`
⁄ 2명, 6명으로 나누는 경우
2명의 조에는 남학생과 여학생이 각각 한 명씩 있어
(cid:8951) 98
야 하므로
(cid:100)(cid:100) ¢C¡¥¢C¡=16
¤ 3명, 5명으로 나누는 경우
(cid:100)(cid:100)¢C¡¥¢C™=24
2 3명의 조에 남학생 2명, 여학생 1명이 있는 경우
(cid:100)(cid:100)¢C™¥¢C¡=24
‹ 4명, 4명으로 나누는 경우
1 한 조에 남학생 1명, 여학생 3명이 있는 경우
(cid:100)(cid:100)¢C¡¥¢C£=16
2 한 조에 남학생 2명, 여학생 2명이 있는 경우
(cid:100)(cid:100)¢C™¥¢C™¥ =18
1
2!
이상에서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)16+24+24+16+18=98
분할된 3개의 반을 2개, 1개의 반으로 분할하는 방법의
2명의 조가 결정되면 6
명의 조도 결정된다.
따라서 구하는 방법의 수는
1 3명의 조에 남학생 1명, 여학생 2명이 있는 경우
114 ㄱ. 4=2+1+1이므로
(cid:100)(cid:100)4C2¥2C1¥1C1¥
¥3!=36
ㄴ. k=5, n(S3)=3이므로 n(S1)=n(S2)=1이다.
따라서 n(S3)=3을 만족시키는 순서쌍의 개수는
세 집합 중 두 집합의
원소의 개수가 1, 1로
같으므로 2!로 나눈다.
(cid:100)(cid:100)5C3¥2C1¥1C1¥
¥2!=5C2¥2=20
ㄷ. 7=5+1+1=4+2+1=3+3+1=3+2+2
이므로 n(S1)…n(S2)…n(S3)을 만족시키는 순서
쌍의 개수는
1
2!
1
2!
1
2!
(cid:100)(cid:100)7C5¥2C1¥1C1¥
¥2!+7C4¥3C2¥1C1
(cid:100)(cid:100)+7C3¥4C3¥1C1¥
¥2!+7C3¥4C2¥2C2¥
¥2!
1
2!
3개의 층에 내릴 사람
이 2명, 2명, 2명으로
같으므로 3!로 나눈다.
1
2!
(cid:100)(cid:100)§C™¥¢C™¥™C™¥ =15
1
3!
116 6명을 같은 층에서 내릴 2명, 2명, 2명으로 나누
는 방법의 수는
Ⅰ. 순열과 조합 23
15일품확률과통계(06~32)해 2014.11.10 6:28 PM 페이지24 SinsagoHitec
6개 층 중에서 내릴 3개 층을 택하는 방법의 수는
2명, 2명, 2명을 선택된 3개 층에 대응시키는 방법의 수는
따라서 구하는 방법의 수는
15¥20¥6=1800
6개 층 중에서 내릴 3개 층을 택하는 방법의
(cid:8951) ②
수는(cid:100)(cid:100)§C£=20
위에서 택한 3개 층을 각각A, B, C라 하자.
6명 중에서 A층에서 내릴 2명을 택하는 방법의 수는
4명 중에서 B층에서 내릴 2명을 택하는 방법의 수는
2명 중에서 C층에서 내릴 2명을 택하는 방법의 수는
§C£=20
3!=6
§C™=15
¢C™=6
™C™=1
이상에서 구하는 경우의 수는
20¥15¥6=1800
117 그을 수 있는 선분은 △ABC의 세 변과 △ABC
의 세 꼭짓점에서 내부의 한 점 O를 잇는 OA”, OB”,
OC”의 6개이다.
⁄ OA”, OB”, OC” 중 한 선분만 긋는 경우
오른쪽 그림과 같이 △ABC의
세 변 중에서 두 변을 그으면 되
므로 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)£C¡¥£C™=9
C
C
C
B
O
B
O
B
O
A
A
A
(cid:8951) ②
¤ OA”, OB”, OC” 중 두 선분만 긋는 경우
¤ 오른쪽 그림과 같이 BC” 또는
AC”를 그으면 되므로
¤ 방법의 수는
¤ (cid:100)(cid:100)£C™¥™C¡=6
‹ OA”, OB”, OC” 세 선분을 모두 긋는 경우
¤ 오른쪽 그림과 같은 1가지뿐
¤ 이다.
이상에서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)9+6+1=16
⁄ 네 점 O, A, B, C를 일렬로 잇는 경우
네 점을 일렬로 나열하는 방법의 수에서 거꾸로 나
열하였을 때 일치하는 경우가 2가지씩 있으므로
4!
(cid:100)(cid:100) =12
2
¤ 한 점과 나머지 세 점을 잇는 경우
⁄ 네 점 중 나머지 세 점과 이을 한 점을 택하는 방법의
수이므로(cid:100)(cid:100)4C1=4
24 정답 및 풀이
a, b, c, d, e는 다섯
자리 자연수의 각 자리
의 숫자이므로 각각 한
자리 자연수이다.
⁄, ¤에서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)12+4=16
118 각 자리 숫자를 각각 a, b, c, d, e라 하면
a¥b¥c¥d¥e=1000=2‹ ¥5‹
따라서 a, b, c, d, e 중에서 3개는 5이고 나머지 두
개는 1과 8 또는 2와 4이어야 한다.
⁄ 다섯 자리 중에서 세 자리에는 5가 들어가고, 나머지
두 자리에는 1과 8이 들어가는 경우의 수는
⁄ (cid:100)(cid:100)∞C£¥2!=20
¤ 다섯 자리 중에서 세 자리에는 5가 들어가고, 나머지
두 자리에는 2와 4가 들어가는 경우의 수는
⁄ (cid:100)(cid:100)∞C£¥2!=20
⁄, ¤에서 구하는 자연수의 개수는
(cid:100)(cid:100)20+20=40
(cid:8951) ②
⁄ 다섯 자리 중에서 세 자리에는 5가 들어
가고, 나머지 두 자리에는 1과 8이 들어가는 경우의
수는 1, 5, 5, 5, 8을 일렬로 나열하는 방법의 수와
같으므로
5!
(cid:100)(cid:100) =20
3!
¤ 다섯 자리 중에서 세 자리에는 5가 들어가고, 나머지
두 자리에는 2와 4가 들어가는 경우의 수는 2, 4, 5,
5, 5를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같으므로
¤ (cid:100)(cid:100) =20
5!
3!
(cid:100)(cid:100)20+20=40
⁄, ¤에서 구하는 자연수의 개수는
119 뽑힌 4명이 앉을 의자를 제외한 나머지 6개의
의자를 나열하고 6개의 의자 사이사이 및 양 끝의 7개의
자리 중에서 4개의 자리에 뽑힌 4명이 앉을 의자 4개를
6명 중 4명을 뽑는 방법의 수는(cid:100)(cid:100)§C¢=15
7개의 자리 중에서 4개를 택하여 4명을 앉히는 방법의
따라서 n=15¥840=12600이므로
(cid:8951) 126
놓으면 된다.
수는
¶P¢=840
=126
;10N0;
1등급
|비|밀|노|트|
일렬로 나열된 n개의 의자에 r명이 이웃하지 않도록 앉는 방법의
수는 (n-r)개의 의자를 먼저 나열한 뒤, (n-r)개의 의자 사
이사이 및 양 끝의 (n-r+1)개의 자리에 r명이 앉을 의자를 나
열하면 되므로(cid:100)(cid:100)n-r+1P® (단, n-r+1ær)
O-A-B-C와
C-B-A-O는 서로
같은 경우이다.
120 조건 ㈎, ㈏에 의하여 7일 동안 운동 종목을2번
바꾸게 된다.
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지25 SinsagoHitec
본책
25쪽``…``27쪽
◯∨◯∨◯∨◯∨◯∨◯∨◯
에서 ∨를 2개 택하는
방법의 수
X+Y+Z=0의 해의 개수는(cid:100)(cid:100)£Hº
X+Y+Z=1의 해의 개수는(cid:100)(cid:100)£H¡
X+Y+Z=2의 해의 개수는(cid:100)(cid:100)£H™
합
조
과
열
순
Ⅰ
운동 종목을 바꾸는 시점을 정하는 방법의 수는 7개의 자
리의 사이사이인 6개의 자리에서 2자리를 선택하는 방법
의 수와 같으므로
(cid:100)(cid:100)6C2=15
각각의경우에대하여운동하는순서를정하는방법의수는
(cid:100)(cid:100)3!=6
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)15¥6=90
1등급
|비|밀|노|트|
(cid:8951) 90
7개의 자리의 사이사이인 6개의 자리에서 2자리를 선택하는 경우
중 하나인
(cid:100)(cid:100)◯◯◯◯`∨`◯◯∨◯
는 세 종목의 운동을 각각 4일, 2일, 1일 동안 하는 방법으로 생
각할 수 있다.
121 ⁄ 일의 자리의 숫자가 1일 때,
세 주사위의 눈의 수가 모두 1이어야 하므로 1가지
이다.
¤ 일의 자리의 숫자가 3일 때,
¤ 1, 2, 3 중에서 중복을 허용하여 2개를 택하는 중복
조합의 수와 같으므로
¤ (cid:100)(cid:100)£H™=¢C™=6
‹ 일의 자리의 숫자가 5일 때,
¤ 1, 2, 3, 4, 5 중에서 중복을 허용하여 2개를 택하
집합 X={1, 2, 3, y, r}
에서 집합
Y={1, 2, 3, y, n}으로
의 함수에 대하여
a<X, b<Y이고 a<b
이면 f(a)…f(b)를 만족
시키는 함수 f의 개수
(cid:8857) nHr
113, 123, 133, 223,
233, 333의 6개
(cid:8951) ⑤
115, 125, 135, 145,
155, 225, 235, 245,
255, 335, 345, 355,
445, 455, 555의 15개
만들 수 있는 세 자리 자연수의 백의 자리의
숫자, 십의 자리의 숫자, 일의 자리의 숫자를 각각 a, b,
는 중복조합의 수와 같으므로
¤ (cid:100)(cid:100)∞H™=§C™=15
이상에서 구하는 홀수의 개수는
(cid:100)(cid:100)1+6+15=22
c라 하면 a…b…c이어야 한다.
⁄ c=1일 때, 순서쌍 (a, b)는
¤ (cid:100)(cid:100)(1, 1)의 1개
¤ c=3일 때, 순서쌍 (a, b)는
(3, 3)의 6개
‹ c=5일 때, 순서쌍 (a, b)는
¤ (cid:100)(cid:100)(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3),
¤ (cid:100)(cid:100)(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),
(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3),
(3, 4), (3, 5), (4, 4), (4, 5), (5, 5)
의 15개
이상에서 구하는 홀수의 개수는
(cid:100)(cid:100)1+6+15=22
122 x+y+z<10 (xæ1, yæ1, zæ1)에서
x=X+1, y=Y+1, z=Z+1로 놓으면
X+Y+Z<7 (Xæ0, Yæ0, Zæ0)
방정식
x¡+x™+y+xn=r
(n, r는 자연수)에서 음
이 아닌 정수인 해의 개수
(cid:8857) nHr
⋮
X+Y+Z=6의 해의 개수는(cid:100)(cid:100)£H§
따라서 구하는 부등식의 해의 개수는
따=£Hº+£H¡+£H™+y+£H§
따=™Cº+£C¡+¢C™+y+•C§
따=£Cº+£C¡+¢C™+y+•C§
따=¢C¡+¢C™+y+•C§
따=∞C™+y+•C§
⋮
따=•C∞+•C§
따=ªC§=ªC£
(cid:8951) ①
123 28=1¥28=2¥14=4¥7이므로 조건 ㈎, ㈏에서
(cid:100)(cid:100)f(2)=1, f(5)=28 또는 f(2)=2, f(5)=14
또는 f(2)=4, f(5)=7
⁄ f(2)=1, f(5)=28일 때,
⁄ f(1)=1이고 f(3), f(4)는 1부터 28까지의 자연수
중에서 중복을 허용하여 2개를 택하면 되므로
⁄ (cid:100)(cid:100)28H2=29C2=406
¤ f(2)=2, f(5)=14일 때,
⁄ f(1)은 1, 2 중에서 1개를 택하고 f(3), f(4)는 2
부터 14까지의 자연수 중에서 중복을 허용하여 2개
를 택하면 되므로(cid:100)(cid:100)2¥13H2=2¥14C2=182
‹ f(2)=4, f(5)=7일 때,
⁄ f(1)은 1, 2, 3, 4 중에서 1개를 택하고 f(3), f(4)
는 4부터 7까지의 자연수 중에서 중복을 허용하여 2
개를 택하면 되므로(cid:100)(cid:100)4¥4H2=4¥5C2=40
이상에서 구하는 함수의 개수는
(cid:100)(cid:100)406+182+40=628
(cid:8951) 628
124 (1+x+x2+x3+x4)n은 1+x+x2+x3+x4
을 n개 곱한 것이므로 n개의 인수에서 각각 xp¡, xp™, y,
xp«(pi=0, 1, 2, 3, 4, i=1, 2, y, n)을 택하여 곱하면
(cid:100)(cid:100)xp¡¥xp™¥`y`¥xp«=x4
(cid:100)(cid:100)xp¡+p™+y+p«=x4
따라서 p1+p2+y+pn=4를 만족시키는 순서쌍
(p1, p2, y, pn)의 개수가 f(n)이므로
(cid:100)(cid:100)f(n)=nH4=n+3C4
(cid:100)(cid:100)f(n)=
(n+3)(n+2)(n+1)n
4¥3¥2¥1
(cid:100)(cid:100)f(n)=
(n+3)(n+2)(n+1)n
24
(cid:100)(cid:100)∴
f(11)
f(10)
=
14¥13¥12¥11
24
13¥12¥11¥10
24
=;5&;
(cid:8951) ②
Ⅰ. 순열과 조합 25
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지26 SinsagoHitec
125 {x+
;[#;}
10
의 전개식의 일반항은
¡ºC® x10-r
=¡ºC® 3® x10-2r
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
r
{;[#;}
이때 (2x¤ +x+2){x+
과 ㉠`의x 항, x와 ㉠`의x¤ 항, 2와 ㉠`의x‹ 항이 곱해질
의 전개식에서 x‹ 항은 2x¤
;[#;}
10
때 나타난다.
⁄ ㉠`에서 x항은 10-2r=1일 때이므로(cid:100)(cid:100)r=
¤ 그런데 r는 0…r…10인 정수이므로 x항은 존재하
¤ ㉠`에서 x¤ 항은 10-2r=2, 즉 r=4일 때이므로
지 않는다.
¤ ¡ºC¢ 3› x¤
‹ ㉠`에서 x‹ 항은 10-2r=3일 때이므로(cid:100)(cid:100)r=
¤ 그런데 r는 0…r…10인 정수이므로 x‹ 항은 존재하
;2(;
;2&;
지 않는다.
이상에서 x‹ 항은
x¥¡ºC¢ 3› x¤ =¡ºC¢ 3› x‹
이므로 x‹ 의 계수는 3› ¥¡ºC¢`이다.
(cid:8951) ⑤
126 {x+
;[!;}
« `의 전개식의 일반항은
«C® xn-r
=«C® xn-2r
r
{;[!;}
x-n+2항은 n-2r=-n+2, 즉 r=n-1일 때이므로
a«=«C«–¡=«C¡=n
1
akak≠¡
100
¡k=1
100
¡k=1
=
∴
1
k(k+1)
∴
∴
∴
∴
= { -
100
¡k=1
1
k
1
k+1
}
={;1!;-;2!;}+{;2!;-;3!;}
=+y+{;10!0;-;10!1;}
=1-;10!1;=;1!0)1);
(cid:8951) ②
‚ +¡ºC¡ 5· +¡ºC™ 5° +y+¡ºCª 5+¡ºC¡º 5‚
127 ¡ºCº 5⁄
=(5+1)⁄
‚ =6⁄
이므로
N=6⁄
‚ -1=(7-1)⁄
‚ -1
=(¡ºCº 7⁄
‚ -¡ºC¡ 7· +¡ºC™ 7°
-y-¡ºCª 7+¡ºC¡º 7‚ )-1
이때 ¡ºCº 710-¡ºC¡ 7· +¡ºC™ 7° -y-¡ºCª 7은 7로 나누
어떨어지므로 N을 7로 나누었을 때의 나머지는
¡ºC¡º 7‚ -1을 7로 나누었을 때의 나머지와 같다.
이때 ¡ºC¡º 7‚ -1=1-1=0이므로 N을 7로 나누었을
때의 나머지는 0이다.
(cid:8951) ①
26 정답 및 풀이
(a+b)n의 전개식의 일
반항
(cid:8857) nCran-rbr
일반항 10Cr3rx10-2r에
서 x의 지수 10-2r는
짝수이므로 차수가 홀
수인 항은 존재하지 않
는다.
2n을 i개의 2와 j개의
1의 합으로 나타낼 수
있다고 하면
(cid:100)2n=2i+j
(cid:100)∴ j=2(n-i)
(cid:100)(x+1)n
=nC0xn+nC1xn-1
(cid:100)+y+nCnx0
이므로 n=10, x=5를
대입하면
(cid:100)10C0510+10C159
(cid:100)+y+10C1050
=(5+1)10
128 6명의 가족 중에서 사진에 나오는 가족의 수를 1
명, 2명, 3명, 4명, 5명, 6명으로 택하는 방법의 수만큼
가족의 구성원이 다른 사진을 촬영할 수 있다.
따라서 사진의 개수의 최댓값은
따=§C¡+§C™+§C£+y+§C§
따=(§Cº+§C¡+§C™+§C£+y+§C§)-§Cº
따=2fl -1=63
(cid:8951) 63
129 ㄱ. 4=2+2=2+1+1=1+1+1+1
ㄷ. (cid:100)(cid:100)∴ a4=3
ㄴ. 2=1+1이므로
ㄷ. (cid:100)(cid:100)2n=2¥i +1¥2(n-i) (단, i=0, 1, 2, y, n)
ㄷ. 즉 i=0, 1, 2, y, n이므로
ㄷ. (cid:100)(cid:100)a2n=n+1
ㄷ. 2n+1은 2n을 1과 2의 합으로 나타낸 것의 각각에
1을 더하면 되므로
ㄷ. (cid:100)(cid:100)a2n+1=n+1(cid:100)(cid:100)∴ a2n=a2n+1
ㄷ. ㄴ에서 a2n+1=n+1이므로
ㄷ. (cid:100)(cid:100)a2015=a2¥1007+1=1007+1=1008
이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
130 재민이와 한 조가 되는 선수를 뽑는 방법의 수는
5C1=5
나머지 4명의 선수를 2명, 2명의 두 조로 나누는 방법의
(cid:8951) ⑤
(cid:8951) 15
131 A;B={2, 3, 5, 7}이므로 구하는 순서쌍의 개
수는 집합 {1, 4, 6, 8, 9, 10}을 2개의 집합으로 나누는
방법의 수와 같다.
이때 n(A)æn(B)이므로 원소의 개수가 6, 0 또는 5,
1 또는 4, 2 또는 3, 3인 경우로 나눌 수 있다.
⁄ 원소의 개수가 6, 0인 집합으로 나누는 경우 순서쌍
⁄ (cid:100)(cid:100)6C6=1
¤ 원소의 개수가 5, 1인 집합으로 나누는 경우 순서쌍
(A, B)의 개수는
(A, B)의 개수는
⁄ (cid:100)(cid:100)6C5¥1C1=6
‹ 원소의 개수가 4, 2인 집합으로 나누는 경우 순서쌍
(A, B)의 개수는
⁄ (cid:100)(cid:100)6C4¥2C2=15
› 원소의 개수가 3, 3인 집합으로 나누는 경우 순서쌍
(A, B)의 개수는
⁄ (cid:100)(cid:100)6C3¥3C3¥
¥2!=20
1
2!
이상에서 구하는 순서쌍의 개수는
1+6+15+20=42
(cid:8951) 42
수는 4C2¥2C2¥ =3
1
2!
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)5¥3=15
부분분수로의 변형
1
AB
=
1
B-A
1
A
{ - }
1
B
(단, A+B)
‚
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지27 SinsagoHitec
▶ 본책 28쪽
e
g
a
1
2
b
c
4
3
d
f
h
132 오른쪽 그림과 같이 8개의
정사각형을 각각 a, b, c, d, e, f, g,
h라 하면 a, b에 각각 들어갈 수 있는
수는
(cid:100)(cid:100)3, 4 또는 4, 3의 2가지
c, d에 각각 들어갈 수 있는 수는
(cid:100)(cid:100)1, 2 또는 2, 1의 2가지
e, f에 각각 들어갈 수 있는 수는
(cid:100)(cid:100)2, 3 또는 3, 2의 2가지
g, h에 각각 들어갈 수 있는 수는
(cid:100)(cid:100)1, 4 또는 4, 1의 2가지
방법의 수는
(cid:100)(cid:100)2¥2¥2¥2=16
따라서 8개의 정사각형에 들어갈 수 있는 수를 정하는
이때 다음 그림과 같은 경우는 나머지 4개의 사각형에
조건을 만족시키도록 수를 적을 수 없다.
3
1
2
4
3
1
2
4
4
1
2
3
1
4
3
2
2
4
3
1
2
4
3
1
2
4
3
1
3
1
2
4
4
1
2
3
1
4
3
2
2
4
3
1
3
1
2
4
a, b, c, d, e, f, g,
h에 들어갈 수가 정해
지면 나머지 4개의 정
사각형에 들어갈 수도
정해진다.
n(X)=n인 집합 X에
대하여 X에서 X로의 일
대일 대응의 개수
(cid:8857) n!
집합 {1, 2, 3, 4}에서
집합 {4, 6, 7, 8}로의
일대일 대응의 개수
집합 {1, 2, 3}에서 집
합 {6, 7, 8}로의 일대
일 대응의 개수
=(사다리꼴의 넓이)
=;2!;{(윗변의 길이)
=(cid:100)+(아랫변의 길이)}
=_(높이)
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)16-4=12
(cid:8951) 12
133
하면 사각형이 되고, 직선 위의 두 변이 서로 평행하므
평행한 두 직선에서 각각 두 점을 택
사다리꼴은 직사각형과
평행사변형을 모두 포
로 이 사각형은 사다리꼴이다.
● 10%
함한다.
윗변의 길이를 a, 아랫변의 길이를 b라 하면
사각형의 넓이는
(cid:100)(cid:100);2!;(a+b)¥1=3
이므로
⁄ a=2, b=4일 때
(cid:100)(cid:100)a+b=6, 1…a…4, 1…b…4
● 20%
⁄ a=2인경우는 3가지, b=4인 경우는 1가지이므로
⁄ (cid:100)(cid:100)3¥1=3
¤ a=3, b=3일 때
a=3인 경우는 2가지, b=3인 경우도 2가지이므로
(cid:100)(cid:100)2¥2=4
a=3, b=3인 경우에
는 평행사변형 또는 직
사각형이 된다.
‹ a=4, b=2일 때
a=4인 경우는 1가지, b=2인 경우는 3가지이므로
(cid:100)(cid:100)1¥3=3
● 50%
● 20%
(cid:8951) 10
합
조
과
열
순
Ⅰ
본책
27쪽``…``28쪽
이상에서 구하는 사각형의 개수는
(cid:100)(cid:100)3+4+3=10
0 또는 1
2 또는
134 1
1
(cid:100)(cid:100)3¥4!=3¥24=72
4 꼴의 수의 개수는
20
4 또는 21
0 또는 21
4 꼴의
수의 개수는
3¥3!=18
230
234
(cid:100)(cid:100)4¥2!=8
4 또는 231
0 또는 231
4 또는
0 꼴의 수의 개수는
이때 100-(72+18+8)=2이므로 구하는 수는
235
꼴의 짝수 중 2번째로 작은 수이다.
따라서 235014, 235104, y에서 구하는 수는
235104
(cid:8951) ③
135 일대일 대응인 함수 f의 개수는 5!=120이고,
이 중 f(x)=x인 경우는 f(4)=4, f(5)=5일 때이다.
f(4)=4인 함수 f의 개수는 집합 {1, 2, 3, 5}에서 집
합 {5, 6, 7, 8}로의 일대일 대응의 개수와 같으므로
(cid:100)(cid:100)4!=24
마찬가지로 f(5)=5인 함수 f의 개수는(cid:100)(cid:100)4!=24
이때 f(4)=4이고 f(5)=5인 함수 f의 개수는
(cid:100)(cid:100)3!=6
따라서 구하는 함수 f의 개수는
(cid:100)(cid:100)120-(24+24-6)=78
⁄ f(4)=5인 경우
(cid:8951) 78
함수 f의 개수는 {1, 2, 3, 5}에서 {4, 6, 7, 8}로
의 일대일 대응의 개수와 같으므로 (cid:100)(cid:100)4!=24
¤ f(4)=6인 경우
f(5)의 값은 4, 7, 8 중의 하나이고, f(1), f(2),
f(3)의 값은 f(4)와 f(5)의 값을 제외한 나머지 함
숫값을 가질 수 있으므로 함수 f의 개수는
¤ (cid:100)(cid:100)3¥3!=18
‹ f(4)=7, f(4)=8인 경우도 ¤와 마찬가지이므로
함수 f의 개수는 각각 18개씩이다.
이상에서 구하는 함수 f의 개수는
(cid:100)(cid:100)24+3¥18=78
136 ⁄ 6개의 타일에 모두 검은색을 칠하거나 흰색
을 칠하는 방법의 수는(cid:100)(cid:100)2
¤ 6개의 타일 중 5개에 검은색, 1개에 흰색을 칠하는
방법의 수는(cid:100)(cid:100)2
Ⅰ. 순열과 조합 27
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지28 SinsagoHitec
5개에 흰색, 1개에 검은색을 칠하는 경우도 같으므
‹ 6개의 타일 중 4개에 검은색, 2개에 흰색을 칠하는
로 방법의 수는(cid:100)(cid:100)2
방법의 수는(cid:100)(cid:100)6
› 4개에 흰색, 2개에 검은색을 칠하는 경우도 같으므
› 6개의 타일 중 3개에 검은색, 3개에 흰색을 칠하는
로 방법의 수는(cid:100)(cid:100)6
방법의 수는(cid:100)(cid:100)6
이상에서 구하는 서로 다른 도형의 개수는
(cid:100)(cid:100)2+2¥2+6¥2+6=24
(cid:8951) ④
137 5명을 원형으로 배열하는 방법의 수는
(5-1)!=4!=24
이때 주어진 모양의 탁자에서는 원형으로 배열하는 한
가지 방법에 대하여 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가
5가지씩 존재한다.
5
4
4
3
3
2
1
2
3
2
5
1
1
2
1
4
5
1
5
3
5
2
4
4
3
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)24¥5=120
(cid:8951) 120
주어진 모양의 탁자에 5명이 둘러앉을 때,
회전하여 일치하는 경우가 없으므로 구하는 방법의 수
는 5명을 일렬로 세우는 방법의 수와 같다.
(cid:100)(cid:100)∴ 5!=120
138
A;B={1, 2}, A'B=U이므로
B=(U-A)'{1, 2}
● 30%
28 정답 및 풀이
8개의 원소 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10은 각각
집합 A나 집합B 중
하나의 집합에 속할 수
있다.
16의 자리에 올 수 있
는 숫자는
(cid:100)1, 2, y, 9의 9개
16의 자리에 올 수 있
는 알파벳은
(cid:100)A, B, y, F의 6개
따라서 16의 자리에 올
수 있는 것의 개수는(cid:100)
(cid:100)9+6=15
첫째항이 15, 공비가
16인 등비수열의 첫째
항부터 제`n항까지의 합
즉 원소 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10은 A, B
중 어느 한 집합의 원소이므로 순서쌍 (A, B)의 개수
는 A, B 중에서 8개를 택하는 중복순열의 수와 같다.
따라서 구하는 순서쌍 (A, B)의 개수는
™P•=2° =256
● 40%
● 30%
(cid:8951) 256
139 ㄱ. 두 자리 수의 16의 자리의 숫자는 0이 아니
어야 하고 일의 자리의 숫자는 A, B, C, D, E, F 중
하나이어야 하므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)15¥6=90
므로
ㄴ. n자리 수의 16« —⁄ 의 자리의 숫자는 0이 아니어야 하
(cid:100) (cid:100)(cid:100)15¥¡§P«–¡=15¥16« —⁄
ㄷ. n자리 이하의 수의 개수는 16개에서 n개를 택하는
중복순열의 수와 같으므로
ㄷ. (cid:100)(cid:100)¡§P«=16«
이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
(cid:8951) ⑤
ㄷ. n자리 이하의 수의 개수는
ㄷ.(cid:100)(cid:100)16+15¥16+15¥16¤ +y+15¥16n-1
ㄷ.(cid:100)=1+(15+15¥16+15¥16¤ +y+15¥16n-1)
ㄷ.(cid:100)=1+
15(16« -1)
16-1
=16n
140 3의 배수가 되려면 각 자리의 숫자의 합이 3의
배수이어야 하므로 1을 적어도 한 개 포함하도록 5개
의 숫자를 택하는 방법은
(1, 1, 1, 1, 2), (1, 1, 1, 3, 3),
(1, 1, 2, 2, 3), (1, 2, 2, 2, 2),
(1, 2, 3, 3, 3)
따라서 구하는 자연수의 개수는
5!
4!
+
5!
3!¥2!
+
5!
2!¥2!
5!
+ +
4!
5!
3!
=5+10+30+5+20=70
(cid:8951) ③
1등급
|비|밀|노|트|
다섯 자리 자연수의 각 자리의 숫자의 합을 A라 하면1을 적어
도 한 개 포함해야 하므로
(cid:100)(cid:100)5…A<15
따라서 각 자리의 숫자의 합이 6, 9, 12인 경우를 생각하면 된다.
141 오른쪽 그림에서 비
상 연락망을 만드는 방법의
수는 A, B, C, D, D,
E, E, E를 일렬로 나열하
는 방법의 수와 같으므로
8!
2!¥3!
=3360
A
B
C
D
D
E
E
E
(cid:8951) ⑤
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지29 SinsagoHitec
(cid:8641), ◯, ◯, ◯, ◯를 일렬로 나열하는 방법의 수는
먼저 정한다.
② (cid:100)(A에서 P까지 가는 경로의 수)_(B에서P까지 가는 경로의 수)
숫자가 들어갈 자리와
외의 지점에서는 만날 수 없다.
문자가 들어갈 자리를
② 갑과 을이 P에서 만나는 경우의 수는
본책
28쪽``…``29쪽
1등급
|비|밀|노|트|
① 갑과 을이 동시에 출발하고 속력이 같으므로 만나는 순간에
갑과 을의 이동 거리가 같아야 한다. 따라서 P, Q, R, S 이
② (cid:100)_(P에서 B까지 가는 경로의 수)_(P에서A까지 가는 경로의 수)
② ={(A에서 P까지 가는 경로의 수)_(B에서 P까지 가는 경로의 수)}¤`
합
조
과
열
순
Ⅰ
142
지의 경우로 나눌 수 있다.
조건 ㈏에 의하여 다음과 같이 세 가
● 20%
숫자를 (cid:8641), 문자를 ◯라 할 때
⁄ 숫자가 1개, 문자가 4개인 경우
숫자 1개를 택하는 순열의 수는(cid:100)(cid:100)£P¡=3
문자 4개를 택하는 중복순열의 수는(cid:100)(cid:100)™P¢=16
¤ 숫자가 2개, 문자가 3개인 경우
(cid:8641), (cid:8641), ◯, ◯, ◯를 일렬로 나열하는 방법의 수는
● 20%
숫자 2개를 택하는 순열의 수는(cid:100)(cid:100)£P™=6
문자 3개를 택하는 중복순열의 수는(cid:100)(cid:100)™P£=8
‹ 숫자가 3개, 문자가 2개인 경우
(cid:8641), (cid:8641), (cid:8641), ◯, ◯를 일렬로 나열하는 방법의 수는
숫자 3개를 택하는 순열의 수는(cid:100)(cid:100)£P£=6
문자 2개를 택하는 중복순열의 수는(cid:100)(cid:100)™P™=4
5!
(cid:100)(cid:100) =5
4!
이므로
(cid:100)(cid:100)5¥3¥16=240
(cid:100)(cid:100)
5!
2!¥3!
=10
이므로
(cid:100)(cid:100)10¥6¥8=480
(cid:100)(cid:100)
5!
3!¥2!
=10
이므로
(cid:100)(cid:100)10¥6¥4=240
● 20%
● 20%
(cid:8951) 960
B
S
● 20%
● 20%
● 20%
● 20%
(cid:8951) 164
143
과 같이 두 사람이 만날 수 있는
오른쪽 그림
지점을 P, Q, R, S라 하자.
⁄ 갑과 을이 P에서 만나는 경우
의 수는
P
A
‹ (1¥1)¤ =1
● 20%
¤ 갑과 을이 Q에서 만나는 경우의 수는
Q
R
‹ {
3!
2!
¥
3!
2!
¤ =81
}
‹ {
3!
2!
¥
3!
2!
}
¤ =81
› 갑과 을이 S에서 만나는 경우의 수는
‹ (1¥1)¤ =1
이상에서 구하는 경우의 수는
1+81+81+1=164
조건 ㈏에서 자동차 B
의 뒷좌석 두 자리는
같은 자리로 생각한다.
수와 같으므로
7!
2!
=2520
● 20%
이때 자동차 A의 운전석, 운전석의 옆좌석, 뒷좌석에
144 오른쪽 그림과 같이 자
동차 A, B에 나누어 타는 방
법의 수는 a, b, c, d, e, f,
f를 일렬로 나열하는 방법의
A
b
앞
뒤
a
c
B
d
f
e
f
두 자동차 A, B에 탈 사람을 3명, 4명으로
나누는 방법의 수는(cid:100)(cid:100)¶C£¥¢C¢=35
(cid:8951) 2520
앉을 사람을 정하는 방법의 수는(cid:100)(cid:100)3!=6
자동차 B의 운전석, 운전석의 옆좌석에 앉을 사람을 정
하는 방법의 수는(cid:100)(cid:100)¢P™=12
따라서 구하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)35¥6¥12=2520
145 1000부터 1999까지의 수는 천의 자리의 숫자가
1로 홀수이므로 가운데 세 자리의 숫자의 합이 홀수이
면서 세 자리의 숫자가 모두 다른 경우를 구하면 된다.
⁄ 세 자리의 숫자가 모두 홀수인 경우
홀수인 1, 3, 5, 7, 9 중 3개를 뽑아 일렬로 나열하
면 되므로
(cid:100)(cid:100)∞P£=60
¤ 세 자리의 숫자 중 짝수가 2개, 홀수가 1개인 경우
짝수인 0, 2, 4, 6, 8 중 2개를 뽑고, 홀수인 1, 3,
5, 7, 9 중 1개를 뽑은 후 일렬로 나열하면 되므로
(cid:100)(cid:100)∞C™¥∞C¡¥3!=10¥5¥6=300
⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는
(cid:100)(cid:100)60+300=360
(cid:8951) 360
명이 서로 악수를 하는 경우의 수는
(cid:100)(cid:100)¢C¡¥§C¡=24
¤ 우리나라 여자 선수 4명과 미국 남자 선수 6명이 서
로 악수를 하는 경우의 수는
(cid:100)(cid:100)¢C¡¥§C¡=24
⁄, ¤에서 구하는 악수의 횟수는
24+24=48
(cid:8951) ④
Ⅰ. 순열과 조합 29
이상에서 만들 수 있는 모든 암호의 개수는
(cid:100)(cid:100)240+480+240=960
각 자리의 숫자의 합이
짝수이다.
‹ 갑과 을이 R에서 만나는 경우의 수는
146 ⁄ 우리나라 남자 선수 4명과 미국 여자 선수 6
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지30 SinsagoHitec
147 조건 ㈎`에서 집합 X의 원소 1, 2, 3, 4, 5 중 2
개를 택하여 f(2)<f(4)가 되도록 하는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)∞C™=10
조건 ㈏`에서 집합 X의 원소 1, 2, 3, 4, 5 중 중복을
허용하여 3개를 택하여 f(1)…f(3)…f(5)가 되도록
하는 방법의 수는
∞H£=¶C£=35
따라서 구하는 함수 f의 개수는
(cid:100)(cid:100)10¥35=350
148
11⁄
=(10+1)⁄
(cid:8951) ①
● 80%
‚ +¡¡C™10·
⁄ +¡¡C¡10⁄
=¡¡Cº10⁄
=+y+¡¡Cª 10¤ +¡¡C¡º10+¡¡C¡¡
=k¥10‹ +5500+110+1
=k¥10‹ +5611 (단, k는 자연수)
¡¡Cª10¤ =¡¡C™10¤
=5500
¡¡C¡º10=¡¡C¡10
=110
따라서 11⁄
⁄ 의 일의 자리의 숫자는 1, 십의
자리의 숫자는 1, 백의 자리의 숫자는 6이므로
(cid:100)(cid:100)a=1, b=1, c=6
∴ 100a+10b+c=116
십의 자리의 숫자가 0
이거나 일의 자리의 숫
자가 0인 자연수
● 20%
(cid:8951) 116
900
7C¡, 7C™, 7C£, 7C¢, 7C∞,
7C§은 모두7의 배수이
다.
149 (N+1)‡ =¶Cº N‡ +¶C¡ Nfl +y+¶C§ N+¶C¶ N‚
이때 ¶C¡ Nfl +y+¶C§ N은 7로 나누어떨어지므로
(N+1)‡ 을 7로 나누었을 때의 나머지는
¶Cº N7+¶C¶ N0을 7로 나누었을 때의 나머지와 같다.
이때 ¶CºN7+¶C¶N0=N7+1이므로 N7을 7로 나누었
을 때의 나머지가 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6일 때, (N+1)‡
을 7로 나누었을 때의 나머지는 각각 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0
이다.
따라서 오늘부터 N‡ 째 되는 날이 금요일이면 (N+1)‡ `
째 되는 날은 토요일이다.
(cid:8951) ④
1등급
|비|밀|노|트|
오늘부터 7N째 되는 날이 월요일이면 (7N¡+1)째 되는 날은
화요일,`(7N™+2)째 되는 날은 수요일, y, (7N§+6)째 되는
날은 일요일이다. (단, N, N¡, N™, y, N§은 자연수이다.)
150 서로 다른 21개의 제품 중에서 0개, 1개, y,
10개를 택하고 나머지를 똑같은 제품으로 구성하면 된
다.
따라서 만들 수 있는 세트 상품의 개수는
(cid:100)(cid:100)™¡Cº+™¡C¡+™¡C™+y+™¡C¡º
=™¡C™¡+™¡C™º+™¡C¡ª+y+™¡C¡¡
=
(™¡Cº+™¡C¡+™¡C™+y+™¡C™¡)
;2!;
¥221=220
=
;2!;
30 정답 및 풀이
(cid:8951) ⑤
151
n이 짝수이므로
«Cº-«C¡+«C™-«C£+«C¢-«C∞+y+«C«=0
∴ «Cº-«C¡+«C™=«C£-«C¢+«C∞-y-«C«
즉 «Cº-«C¡+«C™=78이므로
1-n+
n(n-1)
2
=78
n¤ -3n-154=0
(cid:100)(cid:100)(n+11)(n-14)=0
∴ n=14
● 50%
● 30%
● 20%
(cid:8951) 14
152 9의 배수가 되기 위해서는 각 자리의 숫자들의
합이 9의 배수가 되어야 한다. 백의 자리의 숫자를 x, 십
의 자리의 숫자를 y, 일의 자리의 숫자를 z라 하자.
⁄ x+y+z=9인 경우
9를 2개의 자연수로 분할하면
(cid:100)(cid:100)9=8+1=7+2=6+3=5+4
이므로 0을 1개 포함하는 자연수의 개수는
(cid:100)(cid:100)4¥2¥2!=16
0을 2개 포함하는 자연수의 개수는(cid:100)(cid:100)1
(cid:100)(cid:100)∴ 16+1=17
¤ x+y+z=18인 경우
0을 1개 포함하는 자연수는 909, 990의 2개이고 0을
2개 포함하는 자연수는 없다.
⁄, ¤에서 구하는 자연수의 개수는
(cid:100)(cid:100)17+2=19
(cid:8951) ②
153
분할하면
10을 1부터 5까지의 자연수 3개로
(cid:100)(cid:100)10=5+4+1=5+3+2
=4+4+2=4+3+3
● 20%
⁄ 5, 4, 1 또는 5, 3, 2가 적힌 공을 꺼내는 경우의 수는
⁄(cid:100)(cid:100)2¥3!=12
¤ 4, 4, 2 또는 4, 3, 3이 적힌 공을 꺼내는 경우의 수는
● 30%
5, 4, 1 또는 5, 3, 2
를 일렬로 나열하는 방
법의 수
4, 4, 2 또는 4, 3, 3
을 일렬로 나열하는 방
법의 수
⁄(cid:100)(cid:100)2¥ =6
3!
2!
(cid:100)(cid:100)12+6=18
⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는
● 30%
● 20%
(cid:8951) 18
154 컵의 들이의 분모는 9이므로 2`L가 되려면 분자
의 네 개의 합이 18이 되어야 한다.
2`L=;;¡9•;;``L
(cid:100)(cid:100)18=8+8+1+1=8+7+2+1
(cid:100)(cid:100)18=8+6+3+1=8+6+2+2
(cid:100)(cid:100)18=8+5+4+1=8+5+3+2
(cid:100)(cid:100)18=8+4+4+2=8+4+3+3
(cid:100)(cid:100)18=7+7+3+1=7+7+2+2
(cid:100)(cid:100)18=7+6+4+1=7+6+3+2
⁄
⁄
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지31 SinsagoHitec
3개의 조에 들어가는
수가 각각 2개, 2개, 2
개로 같으므로 3!로 나
눈다.
(cid:8951) ②
1등급
|비|밀|노|트|
3L가 되려면 분자의 네 개의 합이 27이 되어야 한다.
3`L=;;™9¶;;`L
(cid:100)(cid:100)18=7+5+5+1=7+5+4+2
(cid:100)(cid:100)18=7+5+3+3=7+4+4+3
(cid:100)(cid:100)18=6+6+5+1=6+6+4+2
(cid:100)(cid:100)18=6+6+3+3=6+5+5+2
(cid:100)(cid:100)18=6+5+4+3=6+4+4+4
(cid:100)(cid:100)18=5+5+5+3=5+5+4+4
(cid:100)(cid:100)∴ a=24
(cid:100)(cid:100)27=8+8+8+3=8+8+7+4
(cid:100)(cid:100)27=8+8+6+5=8+7+7+5
(cid:100)(cid:100)27=8+7+6+6=7+7+7+6
(cid:100)(cid:100)∴ b=6
(cid:100)(cid:100)∴ a-b=18
(cid:8951) ⑤
155 6개의 수를 2개씩 3개의 조로 나눈 후 두 수의
합이 작은 것부터 차례대로 1열, 2열, 3열에 써넣으면
되므로 각 열에 써넣을 수를 선택하는 방법의 수는
이때 각 열마다 두 수를 써넣는 방법의 수가 2가지씩이
§C™¥¢C™¥™C™¥ =15
1
3!
므로 구하는 방법의 수는
15¥2¥2¥2=120
1등급
|비|밀|노|트|
2⁄ , 2¤ , 2‹ , y, 2« (n은 자연수)에서
(cid:100)(cid:100)2⁄ +2¤ +2‹ +y+2n-1=2« -2<2«
이므로 가장 큰 수는 반드시 3열에 써넣어야 한다. 2열과 1열에
처음으로 써넣을 수를 선택할 때에도 같은 방법으로 남은 수 중
가장 큰 수를 선택해야 한다.
156 3의 배수가 되기 위해서는 각 자리의 숫자의 합
이 3의 배수가 되어야 한다. 3으로 나누었을 때 나머지
가 0인 수의 집합을 Aº, 나머지가 1인 수의 집합을A¡,
나머지가 2인 수의 집합을A™라 하면
Aº={0, 3, 6, 9}, A¡={1, 4, 7}, A™={2, 5, 8}
⁄ Aº, A¡, A™ 중 한 집합의 원소만으로 만든 3의 배
¤ Aº, A¡, A™의 원소를 각각 한 개씩 택하여 나열하
수의 개수는
(cid:100)(cid:100)3¥3¥2+3!+3!=30
는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)¢C¡¥£C¡¥£C¡¥3!=216
이때 백의 자리에 0이 오는 경우의 수가
£C¡¥£C¡¥2!=18이므로 3의 배수의 개수는
(cid:100)(cid:100)216-18=198
⁄, ¤에서 구하는 3의 배수의 개수는
30+198=228
(cid:8951) ①
7+8=15,
7+9=16>15,
8+9=17>15
이므로 7, 8, 9는 같은
가로줄에 올 수 없다.
각 자리의 숫자의 합이
(cid:100)3k+0=3k,
(cid:100)3l+3=3(l+1),
(cid:100)3m+6=3(m+2)
꼴이므로 3의 배수이다.
(단, k, l, m은 자연수)
합
조
과
열
순
Ⅰ
본책
30쪽``…``31쪽
f(x)=f—⁄ (x)에서 다음과
HjjK
157 f(f(x))=x
같은 경우로 나누어 생각할 수 있다.
⁄ 항등함수 1가지
¤ 오른쪽 그림과 같이 2개의 수는
값이 서로 바뀌어 대응되고 나
머지 4개의 수는 자기 자신으로
대응되는 경우의 수는
(cid:100)(cid:100)§C™=15
‹ 오른쪽 그림과 같이 2개의 수가
서로 바뀌어 대응되는 것이 2쌍
존재하고 나머지 2개의 수는 자
기 자신으로 대응되는 경우의
수는
(cid:100)(cid:100)§C™¥¢C™¥ =45
1
2!
› 오른쪽 그림과 같이 2개의 수가
서로 바뀌어 대응되는 것이 3쌍
존재하는 경우의 수는
1
3!
(cid:100)(cid:100)§C™¥¢C™¥™C™¥ =15
이상에서 구하는 함수 f의 개수는
A
1
2
3
4
5
6
A
1
2
3
4
5
6
A
1
2
3
4
5
6
f
f
f
A
1
2
3
4
5
6
A
1
2
3
4
5
6
A
1
2
3
4
5
6
1+15+45+15=76
(cid:8951) ⑤
f(f(x))=x
f(x)=f —⁄ (x)에서
HjjK
① f(a)=a일 때, f —⁄ (a)=a이므로 f(f(x))=x를 만족시킨다.
② f(a)=b (a+b)일 때, f —⁄ (a)=b이어야 하므로 f(b)=a이
어야 한다.
158
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
이므로 각 가로줄에 있는 세 수의 합은 :¢3∞:=15이어야
한다.
이때 7, 8, 9는 서로 다른 가로줄에 있어야 하므로 세
수의 합이 15가 되도록 나누는 경우의 수는
(cid:100)(cid:100)(7, 2, 6), (8, 3, 4), (9, 1, 5)
또는 (7, 3, 5), (8, 1, 6), (9, 2, 4)
의 2가지
● 40%
⁄ (7, 2, 6), (8, 3, 4), (9, 1, 5)인 경우
위의 세 묶음을 각 줄에 나열하는 경우의 수는
(cid:100)(cid:100)3!=6
이고, 각 줄에서 세 수를 나열하는 경우의 수는
(cid:100)(cid:100)3!¥3!¥3!=216
이므로 이 경우의 수는
(cid:100)(cid:100)6¥216=1296
각 자리의 숫자의 합이
(cid:100)3k+3=3(k+1)
꼴이므로 3의 배수이다.
(단, k는 자연수)
¤ (7, 3, 5), (8, 1, 6), (9, 2, 4)인 경우
⁄과 마찬가지이므로(cid:100)(cid:100)1296
이상에서 구하는 경우의 수는
2¥1296=2592
● 50%
● 10%
(cid:8951) 2592
Ⅰ. 순열과 조합 31
15일품확률과통계(06~32)해 2014.10.31 2:42 PM 페이지32 SinsagoHitec
159
경우를 나누어 생각한다.
a¢를 점등하는 사람이 A, B, C일 때로
`
k=2일 때, A, B, C가 점등하는 전구는 각각
a1+p, a2+q, a3+r
이다.
`
¤ B가 a4를 점등하는 경우
⁄ A가 a¢를 점등하는 경우
a1+p=a4에서 p=3이므로 A가 점등하는 전구는
(cid:100)(cid:100)a3k-2(cid:100)(cid:100)
1 B가 a5를 점등하는 경우
yy`㉠(cid:100)(cid:100)
yy`㉡(cid:100)(cid:100)
a2+q=a5에서 q=3이므로 B가 점등하는 전구는
(cid:100)(cid:100)a3k-1
㉠, ㉡에서 a6은 C가 점등하게 된다.
a3+r=a6에서 r=3이므로 C가 점등하는 전구는
(cid:100)(cid:100)a3k
따라서 (p, q, r)는 (3, 3, 3)이다.
2 C가 a5를 점등하는 경우
a3+r=a5에서 r=2이므로 C가 점등하는 전구는
(cid:100)(cid:100)a2k+1
이 경우에는 k=3일 때A, C 두 사람이 a7을 점
등하게 되므로 조건을 만족시키지 않는다.
a™+q=a¢에서 q=2이므로 B가 점등하는 전구는
(cid:100)(cid:100)a2k(cid:100)(cid:100)
1 A가 a5를 점등하는 경우
yy`㉢(cid:100)(cid:100)
yy`㉣(cid:100)(cid:100)
a1+p=a5에서 p=4이므로A가 점등하는 전구는
(cid:100)(cid:100)a4k-3(cid:100)(cid:100)
㉢, ㉣에서 a7은 C가 점등하게 된다.
a3+r=a7에서 r=4이므로 C가 점등하는 전구는
(cid:100)(cid:100)a4k-1
따라서 (p, q, r)는 (4, 2, 4)이다.
2 C가 a5를 점등하는 경우
a3+r=a5에서 r=2이므로C가 점등하는 전구는
(cid:100)(cid:100)a2k+1(cid:100)
이 경우에는 a2 이후의 모든 전구를 B와 C만이
점등하게 된다.
따라서 p가 자연수라는 조건을 만족시키지 않는
다.
‹ C가 a4를 점등하는 경우
a3+r=a4에서 r=1이므로 가 점등하는 전구는
(cid:100)(cid:100)ak+2
이 경우에는 a3 이후의 모든 전구를 C만이 점등하게
된다.
따라서 p, q가 자연수라는 조건을 만족시키지 않는
다.
이상에서 구하는 순서쌍의 개수는
1등급
|비|밀|노|트|
a1+p(k-1), a2+q(k-1), a3+r(k-1)(k, p, q, r는 자연수)에서
(cid:100)(cid:100)1+p(k-1), 2+q(k-1), 3+r(k-1)
은 공차가 각각 p, q, r인 등차수열의 일반항으로 생각할 수 있다.
A, B, C가 두 번째로
점등하는 전구
160
와 동전의 면을 결정하는 방법의 수를 각각 구하여 곱한
쌓는 동전의 순서를 결정하는 방법의 수
다.
`
`
50원짜리 동전 4개와 500원짜리 동전 4개를
앞면, 뒷면을 구분하지 않고 위로 쌓는 방법의 수는
(cid:100)(cid:100)
8!
4!¥4!
=70(cid:100)(cid:100)
yy`㉠(cid:100)(cid:100)
한 개의 동전을 쌓을 때 그림이 새겨진 면이
위로 올라오게 쌓는 경우를 a, 숫자가 새겨진 면이 위로
올라오게 쌓는 경우를 b라 하면 조건에 의하여 a, b가
이 순서로 연속하여 나열될 수 없다.
따라서 8개의 동전을 쌓을 때 그림이 새겨진 면이 맞닿
지 않도록 8개의 동전의 각 면을 정하는 방법의 수는 다
음과 같다.
⁄ 맨 아래에 있는 동전이 a인 경우
(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)aaaaaaaa의 1가지
¤ 맨 아래에 있는 동전이 b인 경우
(cid:100)(cid:100)baaaaaaa, bbaaaaaa, bbbaaaaa,
bbbbaaaa, bbbbbaaa, bbbbbbaa,
bbbbbbba, bbbbbbbb의 8가지
⁄, ¤에서 8개의 동전을 쌓는 방법의 수는
1+8=9
`
㉠의 각각의 경우에 대하여 동전을 쌓는 방법
의 수가9이므로 구하는 방법의 수는
70¥9=630
(cid:8951) ③
161
n!
r!(n-r)!
=nCr임을 이용한다.
주어진 등식
(cid:100)(cid:100)
1
9!¥2!
+
1
8!¥3!
+
1
7!¥4!
+
1
6!¥5!
=
n
11!
의 양변에 11!을 곱하면
(cid:100)(cid:100)n=
11!
9!¥2!
+
11!
8!¥3!
+
11!
7!¥4!
+
11!
6!¥5!
(cid:100)(cid:100)n=11C2+11C3+11C4`+11C5
`
이때
(cid:100)(cid:100)11C2=11C9, 11C3=11C8, 11C4=11C7, 11C5=11C6
이므로
(cid:100)(cid:100)2n=11C2+11C3+11C4+y+11C9
또 11C0=11C11=1, 11C1=11C10=11이므로
(cid:100)(cid:100)2n+1+11+11+1=11C0+11C1+y+11C11
(cid:100)(cid:100)2n+24=211
`
∴ log2(2n+24)=log2 211=11
(cid:8951) 11
㉠에서 A가 점등하는
전구는
(cid:100)a1, a4, a7, y
㉡에서 B가 점등하는
전구는
(cid:100)a2, a5, a8, y
k=3일 때
(cid:100)a3k-2=a3¥3-2
(cid:100)a2k+1=a2¥3+1
=a7
=a7
㉢에서 B가 점등하는
전구는
(cid:100)a2, a4, a6, a8, y
㉣에서 A가 점등하는
전구는
(cid:100)a1, a5, a9, y
a1+p=a1이므로
(cid:100)p=0
a1+p=a1이므로
(cid:100)p=0
a2+q=a2이므로
(cid:100)q=0
(3, 3, 3), (4, 2, 4)
의 2이다.
a>0, a+1, N>0일 때
(cid:100)loga Nk=kloga`N
(cid:8951) 2
32 정답 및 풀이
15일품확률과통계(33~53)해 2014.10.31 2:43 PM 페이지33 SinsagoHitec
확률Ⅱ
04
확률의 뜻과 활용
본책 34쪽
162 동전의 앞면을 H, 뒷면을 T로 나타내면 표본공
간 S는
S={(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4),
(H, 5), (H, 6), (T, 1), (T, 2),
(T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)}
∴ n(S)=12
동전의 앞면과 주사위의 짝수의 눈이 나오는 사건 A는
A={(H, 2), (H, 4), (H, 6)}
∴ n(A)=3
∴ n(S)+n(A)=15
(cid:8951) ③
2¥6
1¥3
본책
31쪽``…``35쪽
167 |x-1|…3에서
-3…x-1…3,(cid:100)(cid:100)-2…x…4
∴ A={-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
(x¤ -1)(x¤ -4)=0에서
x=—1, —2
∴ B={-2, -1, 1, 2}
a<A, b<B인 a, b에 대하여 순서쌍 (a, b)의 개수는
7¥4=28
이고 abæ0인 경우는 다음 세 가지 경우이다.
⁄ a>0, b>0일 때
⁄ a>0인 경우의 수(cid:100)(cid:100)4
⁄ b>0인 경우의 수(cid:100)(cid:100)2
⁄ 따라서 a>0, b>0인 경우의 수는
⁄ (cid:100)(cid:100)4¥2=8
¤ a<0, b<0일 때
률
확
Ⅱ
163 ㄱ. n(S)=∞C™=10이므로 근원사건의 개수는
10이다.
꺼낸 공에 적힌 두 수
a, b (a<b)를 순서쌍
⁄ a<0인 경우의 수(cid:100)(cid:100)2
⁄ b<0인 경우의 수(cid:100)(cid:100)2
ㄴ. 꺼낸 공에 적힌 두 수 a, b (a<b)를 순서쌍 (a, b)
(a, b)로 나타내면
⁄ 따라서 a<0, b<0인 경우의 수는
로 나타내면 차가 홀수인 사건 A는
(cid:100)(cid:100)A={(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5),
(1, 4), (2, 5)}
ㄷ. (cid:100)(cid:100)∴ n(A)=6
ㄷ. 꺼낸 공에 적힌 두 수의 합의 최댓값은 9이므로
(cid:100)(cid:100)B=Δ
이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
(cid:8951) ⑤
164 A={1, 4}라 하면
(cid:100)(cid:100)AÇ ={2, 3, 5, 6}
따라서 사건 A와 서로 배반사건인 것은 사건 AÇ 의 부
분집합이므로 구하는 사건의 개수는
2› =16
165 S={1, 2, 3, 4, 5, 6},
A={1, 2, 3}, B={2, 4, 6}, C={5}
ㄱ. A'B={1, 2, 3, 4, 6}=CÇ
ㄴ. A;B={2}+Δ이므로 A와 B는 서로 배반사건이
아니다.
ㄷ. A;C=Δ이므로 A와 C는 서로 배반사건이다.
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
(cid:8951) ④
166 6개의 숫자를 일렬로 나열하는 방법의 수는
6!
2!¥2!¥2!
=90
(cid:100)S={(1, 2), (1, 3),
(1, 4), (1, 5),
(2, 3), (2, 4),
(2, 5), (3, 4),
(3, 5), (4, 5)}
⁄ (cid:100)(cid:100)2¥2=4
‹ a=0일 때
⁄ (cid:100)(cid:100)4
이상에서 abæ0인 경우의 수는
두 수의 차가 1 또는 3
8+4+4=16
⁄ a=0일 때 b는 b<B인 모든 수이므로 경우의 수는
따라서 구하는 확률은
;2!8^;=;7$;
(cid:8951) ③
168 9개의 구슬 중에서 2개의 구슬을 꺼내는 방법의
수는
흰 구슬의 개수를 x라 하면 빨간 구슬의 개수는 9-x이
므로 흰 구슬을 1개, 빨간 구슬을 1개 꺼내는 방법의 수
는
즉
xC¡¥9-xC¡=x(9-x)
x(9-x)
36
=;9%;이므로
x¤ -9x+20=0,(cid:100)(cid:100)(x-4)(x-5)=0
∴ x=4 또는 x=5
이때 x>9-x이므로(cid:100)(cid:100)x=5
따라서 흰 구슬의 개수는 5이다.
(cid:8951) 5
169 3 이상의 눈이 나오는 경우의 수는 모든 경우의
수에서 1 또는 2의 눈이 나오는 경우의 수를 뺀 것과 같
흰 구슬이 빨간 구슬보
다 더 많다.
n개 중에서 같은 것이 각
각 p개, q개, y, r개씩
있을 때, n개를 모두 일
렬로 나열하는 순열의 수
(cid:8857)
n!
p!q!yr!
(cid:8951) ⑤
(cid:100)(cid:100)ªC™=36
1, 1과 2, 2와 3, 3을 각각 한 개의 숫자로 생각하여 3개
의 숫자를 일렬로 나열하는 방법의 수는
(단, p+q+y+r=n)
으므로
3!=6
따라서 구하는 확률은
;9§0;=;1¡5;
1000-(125+150)=725
따라서 구하는 확률은
(cid:8951) ①
=
;1¶0™0∞0;
;4@0(;
(cid:8951) ③
Ⅱ. 확률 33
15일품확률과통계(33~53)해 2014.10.31 2:43 PM 페이지34 SinsagoHitec
각 자리의 숫자의 합이
3의 배수이다.
반드시 일어나는 사건
의 확률 (cid:8857) 1
(cid:8951)
;1!8!;
절대로 일어나지 않는
사건의 확률 (cid:8857) 0
(a+2)(a-2)<0
(cid:100)∴ -2<a<2
200÷4=50이므로 1
부터 200까지의 자연수
중에서 4의 배수는 50
개이고, 200÷5=40이
므로 5의 배수는 40개
이다.
4와 5의 공배수, 즉 20
의 배수가 적힌 카드가
나올 확률
170 20살인 여자가 80살까지 생존할 확률은(cid:100)(cid:100)
0.45
20살인 여자 500명 중 80살까지 생존할 것으로 기대되
는 사람을 x명이라 하면
=0.45
;50{0;
∴ x=500_0.45=225
따라서 구하는 사람 수는 225이다.
(cid:8951) 225
171 12시간 동안 생존한 쥐는 72마리이고, 앞으로 6
시간, 즉 18시간 동안 생존한 쥐는 28마리이므로 6시간
이내에 사망한 쥐의 개체 수는
72-28=44
따라서 구하는 확률은(cid:100)(cid:100)
=
;7$2$;
;1!8!;
172 오른쪽 그림과 같이 점 P
가 AB”를 지름으로 하는 반원
위에 있을 때, △ABP는 직각삼
2
P
D
A
P
C
B
각형이 되고, 이 반원의 외부에
점 P를 잡으면 △ABP는 예각
삼각형이 된다.
따라서 구하는 확률은
(어두운 부분의 넓이)
((cid:8772)ABCD의 넓이)
=
2¥2-;2!;¥p¥1¤
2¥2
=1-;8“;
(cid:8951) ③
173 이차방정식 x¤ +ax+1=0의 판별식을 D라
할 때, 이 이차방정식이 허근을 가지려면
D=a¤ -4<0(cid:100)(cid:100)∴ -2<a<2
이때 0<a<3이므로 주어진 방정식이 허근을 갖도록
하는 a의 값의 범위는(cid:100)(cid:100)
0<a<2
따라서 오른쪽 그림에서 구하는 확
률은
(cid:100)(cid:100)
;3@;
-2
0
2
3 a
(cid:8951)
;3@;
174 수직선 위의 네 점 A, B, P, Q의 좌표를 각각
A(0), B(a), P(x), Q(y) (0…x…a, 0…y…a)
라 하면
PQ”=|y-x|, AB”=a
이므로 PQ”…;3!;AB”에서
|y-x|…;3!;a
34 정답 및 풀이
이때 부등식 ㉠의 영역은 오
른쪽 그림에서 어두운 부분
이므로 구하는 확률은
2
a¤ -2¥;2!;¥{;3@;a}
11111151
a¤
=;9%;
y
a
1
3
a
O
y=x+ a
1
3
y=x- a
1
3
a
x
1
3
a
(cid:8951) ④
175 3, 6, 9는 모두 3의 배수이므로 두 자리 자연수
의 각 자리의 숫자의 합도 항상 3의 배수이다.
따라서 구하는 확률은 1이다.
(cid:8951) ⑤
176 주머니에 검은 공이 2개 들어 있으므로 3개의
공을 동시에 꺼낼 때, 흰 공이 반드시 나온다.
따라서 구하는 확률은 0이다.
(cid:8951) 0
177 한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 모든 경우의 수
는(cid:100)(cid:100)6¥6=36
나온 두 눈의 수 a, b를 순서쌍 (a, b)로 나타내면 두
눈의 수의 곱이 소수인 경우는
(1, 2), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (3, 1), (5, 1)
의 6가지이므로(cid:100)(cid:100)p=;3§6;=;6!;
두 눈의 수의 합의 최댓값은 12이므로(cid:100)(cid:100)q=0
또 두 눈의 수의 차는 항상 5 이하이므로(cid:100)(cid:100)r=1
∴ q<p<r
(cid:8951) ③
178 카드에 적힌 수가 4의 배수인 사건을 A, 5의 배
수인 사건을 B라 하면
P(A)=;2∞0º0;, P(B)=;2¢0º0;,(cid:100)
P(A;B)=;2¡0º0;
따라서 구하는 확률은
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
=;2∞0º0;+
;2¢0º0;-;2¡0º0;
=
;5@;
(cid:8951) ③
179 한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 모든 경우의
수는(cid:100)(cid:100)6¥6=36
눈의 수의 합이 5인 사건을 A, 눈의 수의 합이 7인 사건
을 B라 하고 나온 두 눈의 수 a, b를 순서쌍 (a, b)로
나타내면
A={(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)},
B={(1, 6), (2, 5), (3, 4),
(4, 3), (5, 2), (6, 1)}
∴ x-
a…y…x+
;3!;
a
;3!;
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
∴ x-;3!;a…y…x+;3!;a
A, B는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은
-;3!;a…y-x…;3!;a
∴ P(A)=
, P(B)=
;3¢6;
;3§6;
15일품확률과통계(33~53)해 2014.10.31 2:43 PM 페이지35 SinsagoHitec
P(A'B)=P(A)+P(B)
P(A'B)=
+
;3¢6;
;3§6;
P(A'B)=
;1∞8;
180 뽑힌 2명의 학생이 모두 A형인 사건을 A, 모두
O형인 사건을 O라 하면
P(A)= =;2§8;, P(O)= =;2£8;
£C™
•C™
¢C™
•C™
A, O는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은
P(A'O)=P(A)+P(O)
P(A'O)=;2§8;+;2£8;=;2ª8;
(cid:8951) ③
181 세 사람 중 적어도 두 사람이 같은 수를 적어 내
는 사건을 A라 하면 AÇ 는 세 사람이 모두 다른 수를 적
어 내는 사건이므로
P(AÇ )= =
∞P£
∞P£
5¥4¥3
5‹
=;2!5@;
∴ P(A)=1-P(AÇ )
∴ P(A)=1-;2!5@;=;2!5#;
(cid:8951) ③
182 적어도 2개가 빨간 공인 사건을 A라 하면 AÇ 는
빨간 공이 없거나 1개인 사건이므로
P(AÇ )=
§C¢
¡ºC¢
+
§C£¥¢C¡
¡ºC¢
P(AÇ )=
+
=
;2¡1∞0;
;2•1º0;
;4!2(;
∴ P(A)=1-P(AÇ )
∴ P(A)=1-
=
;4!2(;
;4@2#;
183 세 수의 곱이 짝수인 사건을 A라 하면A Ç 는 세
수의 곱이 홀수인 사건이므로
P(AÇ )=
∞C£
¡ºC£
∴ P(A)=1-P(AÇ )
=;1¡2º0;=;1¡2;
∴ P(A)=1-;1¡2;=;1!2!;
(cid:8951) ⑤
1등급
|비|밀|노|트|
세 수의 곱이 짝수인 경우는
(cid:100)(cid:100)(짝수)_(짝수)_(짝수),
(cid:100)(cid:100)(짝수)_(짝수)_(홀수),
(cid:100)(cid:100)(짝수)_(홀수)_(홀수)
의 3가지이고 세 수의 곱이 홀수인 경우는
(cid:100)(cid:100)(홀수)_(홀수)_(홀수)
의 1가지이다. 따라서 세 수의 곱이 짝수인 경우의 수를 직접 구
하는 것보다 여사건을 이용하는 것이 편리하다.
184 n개의 자연수 중에서 서로 다른 두 수를 택하는
방법의 수는 nC2이므로
본책
35쪽``…``38쪽
(cid:100)(cid:100)«C™=
n(n-1)
2
=91
n(n-1)=182=14¥13(cid:100)(cid:100)∴ n=14
(cid:8951) ②
(cid:8951) ③
185 S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
A={2, 3, 5, 7}, B={1, 3, 5, 7}
∴ A;B={3, 5, 7}
A;B와 서로 배반사건인 것은
(A;B)Ç ={1, 2, 4, 6, 8}
B형인 학생은 1명이므
로 2명 모두B 형일 확
률은 0이다.
(cid:8951) ④
의 5개이므로 구하는 확률은
모든 경우의 수는 1부
터 5까지의 자연수 중
3개의 수를 택하는 중
복순열의 수이므로
(cid:100)∞P£
a=1, b=1이면 두 직
선이 일치하므로 b+1
이어야 한다.
세 수의 곱이 홀수가
되려면 세 수 모두 홀
수이어야 하므로 1, 3,
5, 7, 9의 5장의 카드
중에서 3장을 뽑는다.
률
확
Ⅱ
의 부분집합이다.
따라서 구하는 사건의 개수는(cid:100)(cid:100)25=32
(cid:8951) ④
186
건 AÇ 의 부분집합이고, 사건 B와 서로 배반사건인 것
사건 A와 서로 배반사건인 것은 사
은 사건B Ç 의 부분집합이다.
따라서 사건 A, B와 모두 배반사건인 것은 AÇ ;BÇ ,
즉 (A'B)Ç 의 부분집합이다.
● 40%
n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)
`
`
=3+4-2=5
이므로(cid:100)(cid:100)n((A'B)Ç )=m-5
따라서 2m-5=32=2fi 이므로
m-5=5(cid:100)(cid:100)∴ m=10
● 40%
● 20%
(cid:8951) 10
187 주사위를 두 번 던질 때, 모든 경우의 수는
(cid:100)(cid:100)6¥6=36
두 직선이 평행하려면(cid:100)(cid:100)
a=1, b+1
이를 만족시키는 순서쌍 (a, b)는
(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
;3∞6;
1등급
|비|밀|노|트|
직선의 위치 관계
두 직선 y=mx+n, y=m'x+n'이
① 평행 (cid:8857) m=m', n+n'
② 수직 (cid:8857) mm'=-1
6장의 카드를 3장씩 2줄로 나열하는
188 `
방법의 수는
6!=720
두 수의 합이 7이 되는 경우는(cid:100)(cid:100)
(1, 6), (2, 5), (3, 4)
이 순서쌍을 세 열에 일렬로 나열하는 방법의 수는
3!¥2¥2¥2=48
`
따라서 구하는 확률은
;7¢2•0;=;1¡5;
(cid:8951) ③
● 20%
● 30%
● 30%
● 20%
(cid:8951) ;1¡5;
Ⅱ. 확률 35
15일품확률과통계(33~53)해 2014.10.31 2:43 PM 페이지36 SinsagoHitec
189 f(n)=i n+i n+1이라 하면
f(1)=i+i¤ =i-1=-1+i
f(2)=i¤ +i‹ =-1-i
f(3)=i‹ +i› =-i+1=1-i
f(4)=i› +ifi =1+i
f(5)=ifi +ifl =i-1=-1+i
f(6)=ifl +i‡ =-1-i
이상에서 10명의 학생이 조건에 맞게 서는 방법의 수는
(7+7+1+1)¥4!¥6!=16¥4!¥6!
6개의 자리에 남학생을
세우는 경우의 수
4개의 자리에 여학생을
세우는 경우의 수
따라서 구하는 확률은
16¥4!¥6!
10!
=;10*5;
∴ p=105, q=8
∴ p+q=113
∴ A={-1+i, -1-i, 1-i, 1+i }
집합 A에서 서로 다른 두 복소수를 뽑는 방법의 수는
그 곱이 실수가 되는 경우는
-1+i, -1-i 또는 -1+i, 1+i 또는
-1-i, 1-i 또는 1-i, 1+i
의 4가지이다.
따라서 구하는 확률은
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,
15, 17, 19
1, 3을 뽑을 때
17, 19를 뽑을 때
191 10장의 카드 중에서 2장의 카드를 뽑는 방법의
수는(cid:100)(cid:100)10C2=45
20 미만의 양의 홀수 중 두 수의 평균의 최솟값은 2, 최
댓값은 18이므로 평균이 5의 배수가 되는 경우는 5, 10,
15일 때이다. 따라서 그때의 두 수 a, b (a<b)를 순서
쌍 (a, b)로 나타내어 경우의 수를 구하면 다음과 같다.
(-1+i)(-1-i)
⁄ 평균이 5인 경우
(cid:100)(cid:100)(1, 9), (3, 7)의 2가지
¤ 평균이 10인 경우
(cid:8951) ④
(cid:100)(cid:100)(1, 19), (3, 17), (5, 15), (7, 13), (9, 11)
=(-1)¤ -i¤ =2
(-1+i)(1+i)
=-1¤ +i¤ =-2
(-1-i)(1-i)
=-1¤ +i¤ =-2
(1-i)(1+i)
=1¤ -i ¤ =2
⋮
¢C™=6
;6$;=;3@;
10!
(cid:8951) 113
(cid:8951) ②
190 10명의 학생이 2명씩 5줄로 서는 방법의 수는
여학생의 앞, 뒤, 좌, 우 모두에 여학생이 서지 않도록
여학생이 설 자리를 잡는 경우는 다음과 같다.
⁄ 첫 번째 줄 왼쪽부터 여학생이 서는 경우
다음과 같이 7가지가 있다.
⁄
단상
단상
단상
단상
‹
단상
단상
단상
¤ 첫 번째 줄 오른쪽부터 여학생이 서는 경우
⁄과 마찬가지이므로(cid:100)(cid:100)7가지
‹ 두 번째 줄 왼쪽부터 여학생이 서는 경우
다음과 같이 1가지가 있다.
‹
단상
(cid:100)(cid:100)(11, 19), (13, 17)의 2가지
이상에서 두 수의 평균이 5의 배수가 되는 경우의 수는
의 5가지
‹ 평균이 15인 경우
2+5+2=9
따라서 구하는 확률은
;4ª5;=;5!;
192 10개의 공 중에서 2개의 공을 택하는 방법의 수
는(cid:100)(cid:100)¡ºC™=45
2개의 공이 접할 때 접하는 공에 적힌 두 수 a, b (a<b)
를 순서쌍 (a, b)로 나타내면
(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (2, 5),
(3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 7), (4, 8),
(5, 6), (5, 8), (5, 9), (6, 9), (6, 10),
(7, 8), (8, 9), (9, 10)
의 18가지이므로 구하는 확률은
;4!5*;=;5@;
(cid:8951) ③
193 한 개의 주사위를 세 번 던질 때, 모든 경우의
수는
6¥6¥6=216
원 (x-a)¤ +(y-b)¤ =c¤ 이 좌표축과 만나지 않으려
면 원의 중심(a, b)에서 x축, y축까지의 거리가 각각
반지름의 길이보다 커야 하므로
원 (x-a)¤ +(y-b)¤ =c¤
의 중심 (a, b)에서
x축까지의 거리 (cid:8857) |b|
y축까지의 거리 (cid:8857) |a|
a>c, b>c
⁄ c=1인 경우
› 두 번째 줄 오른쪽부터 여학생이 서는 경우
‹과 마찬가지이므로(cid:100)(cid:100)1가지
a, b는 각각2, 3, 4, 5, 6의 5가지이므로 순서쌍
(a, b)의 개수는(cid:100)(cid:100)5¥5=25
36 정답 및 풀이
15일품확률과통계(33~53)해 2014.10.31 2:43 PM 페이지37 SinsagoHitec
¤ c=2인 경우
‹ c=3인 경우
› c=4인 경우
fi c=5인 경우
a, b는 각각3, 4, 5, 6 의 4가지이므로 순서쌍
(a, b)의 개수는(cid:100)(cid:100)4¥4=16
a, b는 각각 4, 5, 6의 3가지이므로 순서쌍 (a, b)
의 개수는(cid:100)(cid:100)3¥3=9
a, b는 각각 5, 6의 2가지이므로 순서쌍 (a, b)의
개수는(cid:100)(cid:100)2¥2=4
a, b는 각각 6의 1가지이므로 순서쌍 (a, b)의 개수
는(cid:100)(cid:100)1¥1=1
이상에서 원이 좌표축과 만나지 않는 경우의 수는
25+16+9+4+1=55
따라서 구하는 확률은(cid:100)(cid:100);2∞1∞6;
(cid:8951) ;2∞1∞6;
194 세 꼭짓점을 택하여 만들 수 있는 삼각형의 개
수는
⁄ 두 변의 길이가1인 직각이등변삼각형의 개수는
¤ 두 변의 길이가 '2인 이등변삼각형의 개수는
⁄, ¤에서 이등변삼각형의 개수는
•C£=56
(cid:100)(cid:100)4¥6=24
(cid:100)(cid:100)8
24+8=32
따라서 구하는 확률은
=
;5#6@;
;7$;
195 `
는 방법의 수는(cid:100)(cid:100)
§P¢=360
A, B가 뽑혀 이웃하게 서려면 A, B를 제외한 나머지
4명 중2명을 뽑은 다음 A, B가 이웃하도록 A, B를
포함한 4명을 일렬로 세우면 되므로(cid:100)(cid:100)
¢C™¥3!¥2!=72
`
따라서 구하는 확률은(cid:100)(cid:100)
=
;3¶6™0;
;5!;
● 20%
(cid:100)¢C™
196 `
질 때, 나오는 모든 경우의 수는
갑과 을이 동전을 각각 3번, 4번 던
A, B를 제외한 4명 중
2명을 뽑는 방법의 수
A, B를 한 명으로 생
각하여 3명을 일렬로
세우는 방법의 수(cid:100)3!
A, B가 자리를 바꾸는
방법의 수(cid:100)2!
(cid:8951) ③
● 30%
● 50%
(cid:8951)
;5!;
● 30%
각 면에서 두 변의 길
이가 1인 직각이등변삼
각형을 4개씩 만들 수
있다.
세 변의 길이가 모두
'2 인 정삼각형
본책
38쪽``…``40쪽
¤ 갑은 앞면이 1번 나오고, 을은 앞면이 2번 이상 나오
(cid:100)(cid:100)£C¡(¢C™+¢C£+¢C¢)=33
‹ 갑은 앞면이 2번 나오고, 을은 앞면이 3번 이상 나오
는 경우
는 경우
(cid:100)(cid:100)£C™(¢C£+¢C¢)=15
› 갑은 앞면이 3번 나오고`, 을은 앞면이 4번 나오는
경우
(cid:100)(cid:100)£C£¥¢C¢=1
이상에서 을이 이기는 경우의 수는
15+33+15+1=64
`
따라서 구하는 확률은
64
2‡
2fl
= =;2!;
2‡
1등급
|비|밀|노|트|
률
확
Ⅱ
● 50%
● 20%
(cid:8951) ;2!;
을이 갑보다 동전을 던지는 횟수가 많으므로 을이 이길 확률이
;2!;
보다 클 것이라 생각할 수도 있다. 그러나 갑과 을이 비기는 경우
도 있으므로 을이 이길 확률은
이 될 수 있다.
;2!;
197 이 공장에서 생산된 제품이 심사를 통과할 확률
은
=
;4#0@0%0);
;1!6#;
n개의 제품을 심사받는다고 하면
n¥
;1!6#;
æ1000(cid:100)(cid:100)∴ næ1230.___
따라서 최소한 1231개의 제품을 심사받아야 한다.
198 AP”…BP”를 만족시키는 점 P가 존재하는 영역
은 [`그림 1]의 어두운 부분과 같고, BP”…CP”를 만족시
키는 점 P가 존재하는 영역은 [`그림 2]의 어두운 부분과
같다.
A
P
A
P
B
C
B
C
[그림 1]
[그림 2]
따라서 AP”…BP”…CP”를 만족
시키는 점 P가 존재하는 영역
은 [`그림 3]의 어두운 부분과 같
다. 이때 점 G는 △ABC의 무
A
P
G
[그림 3]
Ⅱ. 확률 37
2‹ ¥2› =2‡
오는 경우
이때 을이 이기는 경우는 다음과 같다.
⁄ 갑은 모두 뒷면이 나오고, 을은 앞면이 1번 이상 나
삼각형의 세 중선의 교점
(cid:8857) 삼각형의 무게중심
게중심이므로 구하는 확률은
B
C
(cid:100)(cid:100)£Cº(¢C¡+¢C™+¢C£+¢C¢)=15
;6!;
(cid:8951) ④
6명 중에서 4명을 뽑아 일렬로 세우
(cid:8951) ③
15일품확률과통계(33~53)해 2014.10.31 2:43 PM 페이지38 SinsagoHitec
C
A'
A
120æ
30æ
O
r
H
B'
B
● 30%
● 30%
199 `
림과 같이 점 C에서 지름 AB
오른쪽 그
에 내린 수선의 발을 H라 하면
△ABC=
¥AC”¥BC”
;2!;
=
¥AB”¥CH”
;2!;
∴ AC”¥BC”=2r¥CH”
이때 AC”¥BC”>r¤ 이려면
(cid:100)(cid:100)2r¥CH”>r¤ (cid:100)(cid:100)∴ CH”>
;2R;
;2R;
`
∠AOA'=∠BOB'=30°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠A'OB'=120°
따라서 구하는 확률은
¥pr
®A'B'
μAB
=
;1!8@0);
pr
=
;3@;
한편 지름 AB와 평행하고 반원의 중심 O에서의 거리가
인 직선과 반원의 교점을 각각 A', B'이라 하면
200 원점을 지나는 직선이 x축의 양의 방향과 이루
는 각의 크기를 h라 하면 0°<h<90°
원점과 점 A(1, '3 )을 지나는
직선이 x축의 양의 방향과 이루
y
A
Â3
D
는 각의 크기는 60°이므로 직선
과 (cid:8772)ABCD가 만나려면
0°<h…60°
따라서 구하는 확률은
60°
90°
=
;3@;
1등급
|비|밀|노|트|
B
O
1
C
3
x
(cid:8951)
;3@;
기하학적 확률에서는 특정한 값을 가질 확률, 즉 h=0°, h=60°
일 확률이 0이므로
(cid:100)(cid:100)0°…h…60°, 0°…h<60°, 0°<h…60°, 0°<h<60°
는 모두 같은 경우로 생각한다.
A'
A
B'
B
Ω
O
H'
● 20%
sin h=
B’'H'”
O’B'”
sin h= =
;2!;
;2R;
r
(cid:100)∴ h=30˘
● 20%
(cid:8951)
;3@;
1부터 3n+1까지의 자
연수 중 3의 배수의 개
수는(cid:100)n
1부터 3n+1까지의 자
연수 중 3으로 나누었
을 때의 나머지가 1인
수와 2인 수의 개수는
각각
(cid:100)n+1, n
tan 60°='3
201 세 사람이 각각 주사위를 던질 때, 모든 경우의
수는 6¥6¥6=216
A, B, C 세 사람이 주사위를 던져서 나오는 세 수를 각
각 a, b, c라 하자.
b+c=n (n은 자연수)을 만족시키는 순서쌍 (b, c)는
(1, n-1), (2, n-2), y, (n-1, 1)의 (n-1)개
2-a=2-2
이므로 A가 이기는 경우의 수는 다음과 같다.
⁄ a=3인 경우
b+c=2이므로(cid:100)(cid:100)1
¤ a=4인 경우
b+c=2, 3이므로
(cid:100)(cid:100)1+2=3
38 정답 및 풀이
‹ a=5인 경우
b+c=2, 3, 4이므로
(cid:100)(cid:100)1+2+3=6
› a=6인 경우
b+c=2, 3, 4, 5이므로
(cid:100)(cid:100)1+2+3+4=10
이상에서 A가 이기는 경우의 수는
1+3+6+10=20
같은 방법으로 B, C가 이기는 경우의 수도 각각(cid:100)(cid:100)20
A, B, C 세 사람이 각각 이기는 사건을 A, B, C라 하면
P(A)=P(B)=P(C)=
20
216
=;5∞4;
이고, A, B, C는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은
P(A'B'C)=P(A)+P(B)+P(C)
P(A'B'C)=;5∞4;+;5∞4;+;5∞4;=;1∞8;
(cid:8951) ②
202 3의 배수인 두 수를 택하는 사건을 A, 3으로 나
누었을 때의 나머지가 1인 수와 2인 수를 각각 하나씩
택하는 사건을 B라 하면
P(A)=
P(A)=
P(B)=
=
«C™
£«≠¡C™
n-1
9n+3
«≠¡C¡¥«C¡
£«≠¡C™
P(B)=
2n+2
9n+3
n(n-1)
(3n+1)¥3n
=
(n+1)n
(3n+1)¥3n
1111124
2
A, B는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은
P(A'B)=P(A)+P(B)
P(A'B)=
P(A'B)=
n-1
9n+3
3n+1
9n+3
+
2n+2
9n+3
=
;3!;
(cid:8951) ②
203 U의 부분집합의 개수는(cid:100)(cid:100)2fi =32
n(A)=a라 하면 U의 부분집합 중 집합A를 포함하는
부분집합의 개수는(cid:100)(cid:100)25-a
집합 A를 포함하는 부분집합을 택하는 사건을 사건 A
라 하면
P(A)=
=;4!;(cid:100)(cid:100)∴ a=2
같은 방법으로 n(B)=b라 하고 집합B 를 포함하는 부
분집합을 택하는 사건을 사건 B라 하면
25-a
2fi
25-b
2fi
2-b=2-3
따라서 집합 X, Y는 U의 부분집합 중 원소의 개수가
P(B)=
=;8!;(cid:100)(cid:100)∴ b=3
각각 2, 3인 것을 원소로 가지므로
n(X)=∞C™=10, n(Y)=∞C£=10
15일품확률과통계(33~53)해 2014.10.31 2:43 PM 페이지39 SinsagoHitec
=;4!;+;3!;=;1¶2;
(cid:8951) ②
=P(A)+P(B)-P(A;B)
이므로 f(a)=f(b)인 경우의 수를 구하면 다음과 같
집합 X, Y의 원소를 택하는 사건을 각각 사건 X, Y라
하면
P(X)=;3!2);=;1∞6;, P(Y)=;3!2);=;1∞6;
이고, X, Y는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은
P(X'Y)=P(X)+P(Y)
P(X'Y)=;1∞6;+;1∞6;=;8%;
(cid:8951) ;8%;
204 P(AÇ )=;4#;이므로
P(A)=1-P(AÇ )=;4!;
P(BÇ ;CÇ )=P((B'C)Ç )=;3@;이므로
P(B'C)=1-P((B'C)Ç )=;3!;
사건 A는 사건 B, C와 모두 배반사건이므로 사건
B'C와도 서로 배반사건이다. 즉
P(A;(B'C))=0
∴ P(A'B'C)
=P(A'(B'C))
=P(A)+P(B'C)-P(A;(B'C))
=P(A)+P(B'C)
205 A, B, C 세 학생에게 수험표 세 개를 나누어
주는 방법의 수는
3!=6
세 학생 중에서 적어도 한 명은 자신의 수험표를 받는
사건을 A라 하면A Ç 는 세 학생 모두 자신의 수험표를
받지 않는 사건이다.
A, B, C의 수험표를 각각 a,
b, c라 할 때, A, B, C가 아
무도 자신의 수험표를 받지
못하는 경우는 오른쪽 표와
같으므로
(cid:100)(cid:100)P(AÇ )=;6@;=;3!;
∴ P(A)=1-P(AÇ )
∴ P(A)=1-;3!;=;3@;
A
b
c
B
c
a
C
a
b
(cid:8951) ④
206
A라 하면 AÇ 는 검은 공만2개 나오는 사건이다. ● 20%
흰 공이 적어도 1개 나오는 사건을
`
P(AÇ )=
£C™
«≠£C™
=
6
(n+3)(n+2)
∴ P(A)=1-P(AÇ )
∴ P(A)=1-
6
(n+3)(n+2)
본책
40쪽``…``41쪽
P(A)æ;1!5$;에서
6
(n+3)(n+2)
(cid:100)(cid:100)1-
æ;1!5$;
6
(n+3)(n+2)
…;1¡5;
(n+3)(n+2)æ90
n¤ +5n-84æ0
(n+12)(n-7)æ0
n+12>0이므로
n-7æ0(cid:100)(cid:100)∴ næ7
`
따라서 n의 최솟값은 7이다.
드모르간 법칙
전체집합 U의 두 부분집
합 A, B에 대하여
① (A'B)Ç =AÇ ;BÇ
② (A;B)Ç =AÇ 'BÇ
207 `
는 방법의 수는
10C2=45
10장의 카드 중에서 2장의 카드를 뽑
f(a)+f(b)인 사건을 A라 하면 AÇ 는 f(a)=f(b)인
사건이다.
률
확
Ⅱ
● 40%
● 10%
(cid:8951) 7
● 10%
확률의 덧셈정리
표본공간 S의 두 사건 A,
B에 대하여
P(A'B)
f(1)=f(5)=f(9)=7,
f(2)=f(6)=f(10)=9,
f(3)=f(7)=3,
f(4)=f(8)=1
⁄ 1, 5, 9의 3개의 숫자 중에서 2개를 택하는 경우의
⁄ 2, 6, 10의 3개의 숫자 중에서 2개를 택하는 경우의
다.
⁄ f(a)=f(b)=7인 경우
수이므로(cid:100)(cid:100)3C2=3
¤ f(a)=f(b)=9인 경우
수이므로(cid:100)(cid:100)3C2=3
‹ f(a)=f(b)=3인 경우
이므로(cid:100)(cid:100)2C2=1
› f(a)=f(b)=1인 경우
⁄ 3, 7의 2개의 숫자 중에서 2개를 택하는 경우의 수
⁄ 4, 8의 2개의 숫자 중에서 2개를 택하는 경우의 수
이상에서 f(a)=f(b)인 경우의 수는
이므로(cid:100)(cid:100)2C2=1
3+3+1+1=8
이므로(cid:100)(cid:100)P(AÇ )=;4•5;
`
∴ P(A)=1-P(AÇ )
`
∴ P(A)=1-;4•5;=;4#5&;
● 50%
● 10%
● 30%
(cid:8951) ;4#5&;
Ⅱ. 확률 39
● 30%
4P3=4‹ =64
208 X={a, b, c}에서 Y={-2, -1, 0, 1}로의 함
수의 개수는
15일품확률과통계(33~53)해 2014.10.31 2:43 PM 페이지40 SinsagoHitec
집합 F에서 함수 f를 하나 선택할 때 함수 f가
f(a)f(b)f(c)æ0을 만족시키는 함수인 사건을 A라 하
면 AÇ 는 함수 f가 f(a)f(b)f(c)<0을 만족시키는 함
수인 사건이다.
함수 f를 (f(a), f(b), f(c))로 나타내면
f(a)f(b)f(c)<0을 만족시키는 함수 f의 개수는 다음
경우이다.
따라서 구하는 확률은(cid:100)(cid:100);1™2º0;=;6!;
(cid:8951) ③
f(a), f(b), f(c) 중
음수가 3개 또는 음수
가 1개, 양수가 2개인
210 36개의 점 중에서 2개의 점을 택하는 경우의 수
는
과 같다.
⁄ 치역이 {-2}일 때
⁄ (cid:100)(cid:100)(-2, -2, -2)의 1개
¤ 치역이 {-1}일 때
⁄ (cid:100)(cid:100)(-1, -1, -1)의 1개
‹ 치역이 {-2, -1}일 때
⁄ (cid:100)(cid:100)(-2, -1, -1), (-1, -2, -1),
(cid:100)(cid:100)(-1, -1, -2), (-2, -2, -1),
(cid:100)(cid:100)(-2, -1, -2), (-1, -2, -2)의 6개
› 치역이 {-2, 1}일 때
⁄ (cid:100)(cid:100)(-2, 1, 1), (1, -2, 1), (1, 1, -2)의 3개
fi 치역이 {-1, 1}일 때
⁄ (cid:100)(cid:100)(-1, 1, 1), (1, -1, 1), (1, 1, -1)의 3개
이상에서 f(a)f(b)f(c)<0을 만족시키는 함수 f의 개
수는
1+1+6+3+3=14
이므로(cid:100)(cid:100)P(AÇ )=;6!4$;=;3¶2;
£§C™=630
AB”와 수직으로 만나는 선
분은 오른쪽 그림과 같이 8
개이므로 구하는 확률은
;63*0;=;31$5;
1등급
|비|밀|노|트|
A
(cid:8951) ④
B
선분 AB의 기울기는 ;3!;이므로 기울기가 -3인 선분을 모두 그
려 그중에서 선분 AB와 만나는 것을 찾는다.
211 8명이 자리에 앉는 경우의 수는
오른쪽 그림과 같이 탁자의 각
변에 있는 4개의 의자를 각각
A, B, C, D라 하면 여학생 3
명을 A, B, C, D 중 3개의 의
자에 배정하는 방법의 수는
B
B
D
D
A
A
C C
2!¥2!¥2!=8
남학생 5명이 나머지 5개의 자리에 앉는 방법의 수는
이므로 여학생 3명이 모두 남학생과 짝이 되게 앉는 방
법의 수는(cid:100)(cid:100)¢P£¥8¥5!
따라서 구하는 확률은
¢P£¥8¥5!
8!
=;7$;
8!
¢P£
5!
∴ P(A)=1-P(AÇ )=1-;3¶2;=;3@2%;
(cid:8951) ;3@2%;
여학생 3명이 각각 배정된 의자에 앉는 방법의 수는
1등급
|비|밀|노|트|
집합 X={1, 2, 3, y, r}에서 집합 Y={1, 2, 3, y, n}
(r…n)으로의 함수 f에 대하여
① 함수 f의 개수(cid:100)(cid:100)nPr
② 일대일함수의 개수(cid:100)(cid:100)nPr
③ 일대일 대응의 개수(cid:100)(cid:100)nPr (단, n=r)
각 의자에는 2명이 앉
을 수 있으므로 각 의
자에 앉는 방법의 수
는(cid:100)2!
209 원소의 개수가 3인 부분집합의 개수는
10C3=120
원소의 개수가 3인 부분집합의 원소를 각각 a¡, a™, a£
(a¡<a™<a£)이라 하고 등차수열을 이루는 a¡, a™, a£을
(a¡, a™, a£)으로 나타내면 그 개수는 다음과 같다.
⁄ 공차가 1인 경우
(cid:100)(cid:100)(1, 2, 3), y, (8, 9, 10)의 8개
¤ 공차가 2인 경우
‹ 공차가 3인 경우
› 공차가 4인 경우
(cid:100)(cid:100)(1, 3, 5), y, (6, 8, 10)의 6개
(cid:100)(cid:100)(1, 4, 7), y, (4, 7, 10)의 4개
(cid:100)(cid:100)(1, 5, 9), (2, 6, 10)의 2개
이상에서 조건을 만족시키는 부분집합의 개수는
8+6+4+2=20
40 정답 및 풀이
반올림하여 자연수 n이
되는 x의 값의 범위는
(cid:8857) n-;2!;…x<n+;2!;
212 반올림한 값이 2가 되는x의 값의 범위는
…x<
;2%;
;2#;
반올림한 값이 3이 되는y의 값의 범위는
주어진 집합을 S라 하면
(cid:100)n(S)=10
…y<
;2&;
;2%;
반올림한 값이 4가 되는x+y의 값의 범위는
…x+y<
;2(;
;2&;
부등식 ㉠, ㉡, ㉢`을 동시에 만
족시키는 영역을 좌표평면 위
에 나타내면 오른쪽 그림의 어
두운 부분과 같다.
따라서 구하는 확률은
y
9
2
7
2
3
5
2
O
(cid:8951) ②
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
yy ㉢(cid:100)(cid:100)
9
2
x
3
2
2
5
2
7
2
15일품확률과통계(33~53)해 2014.10.31 2:43 PM 페이지41 SinsagoHitec
05
조건부확률
본책
41쪽``…``43쪽
본책 43쪽
{;2%;-;2#;}¥{;2&;-;2%;}
215 안경을 안 쓴 학생을 택하는 사건을 A, 여학생
을 택하는 사건을 B라 하면
(cid:8951) 9
P(A)=;3!0(;, P(A;B)=;3ª0;
따라서 구하는 확률은
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
P(B|A)=
=;1ª9;
;3ª0;
;3!0(;
216 꺼낸 공에 적힌 수가 2의 배수인 사건을 A, 3의
배수인 사건을 B라 하면
P(A)=
, P(A;B)=
;9$9(;
;9!9^;
따라서 구하는 확률은
(cid:8951) ;1ª9;
률
확
Ⅱ
(cid:8951)
;4!9^;
2, 4, 6, 8
두 자리 자연수와 짝수
인 한 자리 자연수의
곱의 최솟값은
(cid:100)10¥2=20
최댓값은
(cid:100)99¥8=792
이므로 두 자리 자연수
와 짝수인 한 자리 자
연수를 곱하면 두 자리
또는 세 자리 자연수가
나온다.
1부터 99까지의 자연수
중 6의 배수의 개수는
(cid:100)16
P(B|A)=
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
;9!9^;
;9$9(;
=
;4!9^;
217 P(B|A)=;4!;에서
P(A;B)
P(A)
=;4!;
∴ P(A;B)=;4!; P(A)
P(A|B)=;3!;에서
P(A;B)
P(B)
=;3!;
∴ P(A;B)=;3!; P(B)
;4!; P(A)=;3!; P(B)이므로
P(B)=;4#; P(A)
;2!; {2-;2#;} {3-;2%;}
1¥1
=
;8!;
이므로(cid:100)(cid:100)p=8, q=1(cid:100)(cid:100)
∴ p+q=9
213 두 자리 자연수는 90개, 짝수인 한 자리 자연수
는 4개이므로 모든 경우의 수는
90¥4=360
두 자리 자연수와 짝수인 한 자리 자연수를 곱하여 세
자리 자연수가 나오는 사건을 A라 하면A Ç 는 두 자리
자연수와 짝수인 한 자리 자연수를 곱하여 두 자리 자연
수가 나오는 사건이다. 이때 두 자리 자연수가 나오는
경우는 다음과 같다.
⁄ 한 자리 자연수가 2인 경우
(cid:100)(cid:100)10, 11, y, 49의 40개
¤ 한 자리 자연수가 4인 경우
(cid:100)(cid:100)10, 11, y, 24의 15개
‹ 한 자리 자연수가 6인 경우
(cid:100)(cid:100)10, 11, y, 16의 7개
› 한 자리 자연수가 8인 경우
(cid:100)(cid:100)10, 11, 12의 3개
40+15+7+3=65
이므로(cid:100)(cid:100)P(AÇ )=;3§6∞0;=;7!2#;
∴ P(A)=1-P(AÇ )
이상에서 두 자리 자연수가 나오는 경우의 수는
∴ P(A)=1-;7!2#;=;7%2(;
(cid:8951) ③
214 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 모든 경우의
수는(cid:100)(cid:100)6¥6=36
두 개의 주사위의 눈의 수의 합이 짝수이려면 두 개의 주
사위의 눈의 수가 모두 짝수이거나 모두 홀수이어야 하
사건 B의 여사건 BÇ 는 두 개의 주사위의 눈의 수가 모
므로
P(A)=
3¥3+3¥3
36
= ;3!6*;
두 4가 아닌 사건이므로
P(BÇ )=
5¥5
36
=;3@6%;
∴ P(B)=1-P(BÇ )
∴ P(B)=1-;3@6%;=;3!6!;
이때
(cid:100)(cid:100)A;B={(2, 4), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 4)}
이므로
P(A;B)=;3∞6;
∴ P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
=;3!6*;+;3!6!;-;3∞6;=;3@;
동전을 2번 던져서 앞
(cid:8951) ③
면이 2번 나올 확률
동전을 3번 던질 때, 모
든 경우의 수는
(cid:100)2¥2¥2=8
동전의 앞면을 H, 뒷면
을 T라 할 때, 동전을
3번 던져서 앞면이 2번
나오는 경우는
(cid:100)(H, H, T),
(cid:100)(H, T, H),
(cid:100)(T, H, H)
의 3가지이므로 동전을
3번 던져서 앞면이 2번
나올 확률은(cid:100);8#;
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서
1=P(A)+;4#; P(A)-;4!; P(A)
∴ P(A)=;3@;
(cid:8951) ③
218 주사위를 던져서 홀수의 눈이 나오는 사건을 A,
동전을 던져서 앞면이 2번 나오는 사건을 E라 하면
P(A;E)=P(A)P(E|A)
P(A;E)=
¥
;2!;
;8#;
=
;1£6;
P(AÇ ;E)=P(AÇ )P(E|AÇ )
P(AÇ ;E)=
¥
;2!;
;4!;
=
;8!;
Ⅱ. 확률 41
15일품확률과통계(33~53)해 2014.10.31 2:43 PM 페이지42 SinsagoHitec
P((A'B)Ç )=;1¡2;
1-P(A'B)=;1¡2;
∴ P(A'B)=;1!2!;
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서
;1!2!;=P(A)+P(B)-;2!;
∴ P(A)+P(B)=;1!2&;
(cid:8951) ③
223 P(r)=¡ººC® {;2!;}
이므로
100-r
r
{;2!;}
=¡ººC® {;2!;}
100
P(50)
P(51)
=
100
=
100
¡ººC∞º {;2!;}
¡ººC∞¡ {;2!;}
100!
50!¥50!
100!
51!¥49!
=
;5%0!;
(cid:8951)
;5%0!;
224 4명의 환자 중 3명의 환자가 완치될 확률은
¢C£{;4#;}
{;4!;}
⁄ =;6@4&;
4명의 환자가 모두 완치될 확률은
¢C¢{;4#;}
{;4!;}
‚ =;2•5¡6;
따라서 구하는 확률은
;6@4&;+;2•5¡6;=;2!5*6(;
(cid:8951) ⑤
225 가위바위보를 한 번 하여 준수가 이길 확률은 ;3!;,
비기거나 질 확률은 ;3@;이다.
10번의 가위바위보를 하여 준수가 이긴 횟수를 n이라
하면 10번의 가위바위보를 한 후 상자에 20개의 공이
남아 있으므로
30-3n+2(10-n)=20
30-5n=0(cid:100)(cid:100)∴ n=6
따라서 준수가 6번 이길 확률은
¡ºC§{;3!;}
6
4
{;3@;}
¡ºC§{;3!;}
6
4
{;3@;}
2›
3⁄
2›
=¡ºC¢ =210¥
3⁄
2›
3·
=70¥ =
1120
3·
;1¶0∞0;=;4#;
1-;1¶0∞0;=;1™0∞0;=;4!;
S코스와 Z코스의 두
코스가 있으므로 두 사
건 A;E와 B;E는
서로 배반사건이다.
민우가 이기거나 비길
확률
준수가 이겨서 상자 안
에서 꺼낸 공의 개수
준수가 지거나 비겨서
상자 밖에서 넣은 공의
개수
∴ P(E)=P(A;E)+P(AÇ ;E)
=
+
=
;8!;
;1∞6;
;1£6;
(cid:8951) ⑤
219 A가 B에게 준 구슬이 흰 구슬인 사건을 A, 파
란 구슬인 사건을 B, B가 흰 구슬을 택하는 사건을 E
라 하면
P(A;E)=P(A)P(E|A)
P(A;E)=;5#;¥;6#;=;1£0;
P(B;E)=P(B)P(E|B)
P(B;E)=;5@;¥;6@;=;1™5;
∴ P(E)=P(A;E)+P(B;E)
∴ P(E)=;1£0;+;1™5;=;3!0#;
(cid:8951) ;3!0#;
220 S코스로 게임을 하는 사건을 A, Z코스로 게임
을 하는 사건을 B, 승리하는 사건을 E라 하자.
P(A;E)=P(A)P(E|A)
P(A;E)=;1¶0;¥;1§0;=;5@0!;
P(B;E)=P(B)P(E|B)
P(A;E)=;1£0;¥;1¢0;=;2£5;
∴ P(E)=P(A;E)+P(B;E)
∴ P(E)=;5@0!;+;2£5;=;5@0&;
P(B;E)
P(E)
∴ P(B|E)=
∴ P(B|E)=
(cid:8951) ③
;2£5;
;5@0&;
=
;9@;
221 ㄱ. P(A)=;2!;, P(B)=;2!;, P(A;B)=0
이므로
(cid:100)(cid:100)P(A;B)+P(A)P(B)
따라서 A와 B는 서로 종속이다.
ㄴ. P(A)=;2!;, P(B)=;2!;, P(A;B)=;6!;이므로
(cid:100)(cid:100)P(A;B)+P(A)P(B)
따라서 A와 B는 서로 종속이다.
(cid:100)(cid:100)P(A;B)=P(A)P(B)
따라서 A와 B는 서로 독립이다.
이상에서 서로 독립인 것은 ㄷ뿐이다.
(cid:8951) ②
222 두 사건 A, B가 서로 독립이므로
P(A;B)=P(A)P(B)=;2!;
또 P(AÇ ;BÇ )=;1¡2;에서
42 정답 및 풀이
ㄷ. P(A)=;2!;, P(B)=;3!;, P(A;B)=;6!;이므로
∴ k=1120
(cid:8951) ④
226 P(A)=1-P(AÇ )=1-;5#;=;5@; yy ㉠(cid:100)(cid:100)
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서
;6%;=;5@;+P(B)-P(A;B)
∴ P(A;B)=P(B)-;3!0#;
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
P(B|A)=1-P(BÇ |A)=1-;6!;=;6%;이므로
=
P(B|A)+P(BÇ |A)
P(A;B)
P(A)
P(A;BÇ )
P(A)
+
=
P(A)
P(A)
=1
‹
›
‚
‚
15일품확률과통계(33~53)해 2014.10.31 2:43 PM 페이지43 SinsagoHitec
yy ㉢(cid:100)(cid:100)
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
P(A;B)
P(A)
=;6%;
㉠, ㉡을 ㉢에 대입하면
P(B)-;3!0#;
=;6%;
;5@;
P(B)=;5@;¥;6%;+;3!0#;=;3@0#;
∴ 60P(B)=46
(cid:8951) 46
227 세 사람이 한 개의 주사위를 한 번씩 던질 때, 모
든 경우의 수는
6¥6¥6=216
a+b+c>16을 만족시키는 순서쌍 (a, b, c)는
(5, 6, 6), (6, 5, 6), (6, 6, 5), (6, 6, 6)
의 4개이므로(cid:100)(cid:100)P(AÇ )=;21$6;
∴ P(A)=1-P(AÇ )=1-;21$6;=;2@1!6@;
a+b=2c에서
⁄ c=1일 때, a+b=2이므로 순서쌍 (a, b, c)는
(cid:100)(cid:100)(1, 1, 1)의 1개
¤ c=2일 때, a+b=4이므로 순서쌍 (a, b, c)는
(cid:100)(cid:100)(1, 3, 2), (2, 2, 2), (3, 1, 2)의 3개
‹ c=3일 때, a+b=6이므로 순서쌍 (a, b, c)는
(cid:100)(cid:100)(1, 5, 3), (2, 4, 3), (3, 3, 3), (4, 2, 3),
› c=4일 때, a+b=8이므로 순서쌍 (a, b, c)는
(cid:100)(cid:100)(2, 6, 4), (3, 5, 4), (4, 4, 4), (5, 3, 4),
(5, 1, 3)의 5개
(6, 2, 4)의 5개
fi c=5일 때, a+b=10이므로 순서쌍 (a, b, c)는
(cid:100)(cid:100)(4, 6, 5), (5, 5, 5), (6, 4, 5)의 3개
fl c=6일 때, a+b=12이므로 순서쌍 (a, b, c)는
(cid:100)(cid:100)(6, 6, 6)의 1개
∴ P(A;B)=
1+3+5+5+3
216
=;2¡1¶6;
∴ P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
;2¡1¶6;
;2@1!6@;
=;2¡1¶2; (cid:8951) ①
경우
1등급
|비|밀|노|트|
a+b+c의 최댓값은 18이므로 a+b+c…16의 해를 모두 구하
는 것보다 여사건 a+b+c>16의 해를 구하는 것이 편리하다.
228
면체를 택하는 사건을 B라 하고`, 바닥에 놓인 면에 적힌
정사면체를 택하는 사건을 A, 정육
숫자가 2인 사건을 E라 하면
P(A;E)=P(A)P(E|A)
P(A;E)=
¥
;2!;
;4!;
=
;8!;
● 30%
본책
43쪽``…``45쪽
P(B;E)=P(B)P(E|B)
P(B;E)=
¥
;2!;
=
;6@;
∴ P(E)=P(A;E)+P(B;E)
;6!;
∴ P(E)=
+
=
;6!;
;8!;
;2¶4;
`
따라서 구하는 확률은
P(A|E)=
P(A;E)
P(E)
=
;8!;
;2¶4;
=
;7#;
● 30%
● 20%
● 20%
(cid:8951)
;7#;
률
확
Ⅱ
229 두 기계A, B에서 생산한 볼트를 구입하는 사
건을 각각 A, B라 하고, 불량품을 구입하는 사건을 E
라 하면
P(A;E)=P(A)P(E|A)=0.4_0.03=0.012
P(B;E)=P(B)P(E|B)=0.6_0.04=0.024
∴ P(E)=P(A;E)+P(B;E)
=0.012+0.024=0.036
따라서 구하는 확률은
P(A|E)=
P(A;E)
P(E)
=
0.012
0.036
=;3!;
(cid:8951) ①
230 갑과 을이 각각 자신이 꺼낸 공을 보고 검은 공
이라 말하는 사건을 E, 갑과 을이 모두 흰 공을 꺼내는
6+6+6>16이므로
(6, 6, 6)은 사건
A;B가 아니다.
사건을 A라 하자.
갑과 을이 각각 자신이 꺼낸 공을 보고 검은 공이라 말
갑, 을 모두 거짓말을
하지 않는 경우
하는 경우의 확률은 다음과 같다.
⁄ 갑, 을 모두 검은 공을 꺼내는 경우
갑은 거짓말을 하지 않
고, 을은 거짓말을 하는
경우
갑은 거짓말을 하고, 을
은 거짓말을 하지 않는
⁄ (cid:100)(cid:100);5@;¥;6%;¥;6$;¥;5$;=;9!0^0);
¤ 갑은 검은 공을, 을은 흰 공을 꺼내는 경우
⁄ (cid:100)(cid:100);5@;¥;6%;¥;6@;¥;5!;=;9™0º0;
‹ 갑은 흰 공을, 을은 검은 공을 꺼내는 경우
⁄ (cid:100)(cid:100);5#;¥;6!;¥;6$;¥;5$;=;9¢0•0;
› 갑, 을 모두 흰 공을 꺼내는 경우
갑, 을 모두 거짓말을 하
는 경우
⁄ (cid:100)(cid:100);5#;¥;6!;¥;6@;¥;5!;=;90^0;
이상에서
(cid:100)(cid:100)P(E)=;9!0^0);+;9™0º0;+;9¢0•0;+;90^0;=;9@0#0$;,
(cid:100)(cid:100)P(A;E)=;90^0;
따라서 구하는 확률은
P(A|E)=
P(A;E)
P(E)
=
;90^0;
;9@0#0$;
=;3¡9;
∴ n=39
(cid:8951) 39
Ⅱ. 확률 43
15일품확률과통계(33~53)해 2014.10.31 2:43 PM 페이지44 SinsagoHitec
1등급
|비|밀|노|트|
C는 두 번의 대회에서 모두 부전승으로 올라가므로 C가 두 번
모두 우승할 확률은 A, B가 두 번 경기할 때 일어날 수 있는 결
과에 따라 달라진다. 따라서 A, B가 두 번 경기할 때, 일어나는
모든 경우에 따른 확률을 먼저 구한다.
232 우리나라 사람 중 한 명을 택할 때, 여성인 사건
을 A, 경제 활동을 하는 사람인 사건을 B라 하면
P(A)=0.5, P(B)=0.8, P(A|B)=0.4
이므로
P(A;B)=P(B)P(A|B)=0.8_0.4=0.32
∴ P(A;BÇ )=P(A)-P(A;B)
∴ P(A;BÇ )=0.5-0.32=0.18
따라서 우리나라 인구 중 경제 활동을 하지 않는 여성 인
구의 비율은 18 %이다.
(cid:8951) ④
1등급
|비|밀|노|트|
구하는 비율이 우리나라 인구 중 경제 활동을 하지 않는 여성 인
구의 비율이므로 P(A;BÇ )의 값을 구해야 한다. P(A|BÇ )를
구하지 않도록 유의한다.
233 ㄱ. P(A)>0, P(B)>0인 두 사건A, B 에 대
하여 A, B가 서로 독립이면
(cid:100)(cid:100)P(A|B)=
=P(A)
P(A;B)
P(B)
이때 P(A)+0이므로
(cid:100)(cid:100)P(A;B)+0
따라서 A, B는 서로 배반사건이 아니다.
ㄴ. A, B가 서로 독립이므로
ㄴ. (cid:100)(cid:100)P(A;B)=P(A)P(B)
(cid:100)(cid:100)∴ P(A;BÇ )=P(A)-P(A;B)
=P(A)-P(A)P(B)
=P(A){1-P(B)}
=P(A) P(BÇ )
따라서 A, BÇ 도 서로 독립이다.
ㄷ. [반례] 주사위를 던져 짝수의 눈이 나오는 사건을 A,
소수의 눈이 나오는 사건을 B라 하면
(cid:100)(cid:100)P(A)+P(B)=;2!;+;2!;=1
이지만 B는 A의 여사건이 아니다.
이상에서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.
(cid:8951) ②
`
ㄱ. [반례] 주사위를 던져 짝수의 눈이 나오는
사건을 A, 3의 배수의 눈이 나오는 사건을 B라 하면
경제 활동을 하는 인구
의 60 %가 남성이므로
경제 활동을 하는 인구
의 40 %는 여자이다.
(cid:100)∴ P(A|B)=;1¢0º0;
(cid:100)∴ P(A|B)=0.4
갑이 자신이 꺼낸 공을
검은 공이라 말했을 때
실제로는 흰 공을 꺼냈
을 확률
우리나라 사람 중 한
명을 택할 때 경제 활
동을 하지 않는 여성을
택할 확률
C가 A를 두 번째 상대
할 때 이길 확률
(cid:100);3!;¥;2!;=;6!;
`
갑이 흰 공을 꺼내는 사건을 A, 검은 공을 꺼
내는 사건을 B, 자신이 꺼낸 공을 검은 공이라 말하는
사건을 E라 하면
P(A;E)=P(A)P(E|A)=;5#;¥;6!;=;1¡0;
P(B;E)=P(B)P(E|B)=;5@;¥;6%;=;3!;
∴ P(E)=P(A;E)+P(B;E)
∴ P(E)=;1¡0;+;3!;=;3!0#;
∴ P(A|E)=
P(A;E)
P(E)
=
;1¡0;
;3!0#;
=;1£3;
을이 흰 공을 꺼내는 사건을 C, 검은 공을 꺼내는 사건
을 D, 자신이 꺼낸 공을 검은 공이라 말하는 사건을 F
라 하면
P(C;F)=P(C)P(F|C)=;6@;¥;5!;=;1¡5;
P(D;F)=P(D)P(F|D)=;6$;¥;5$;=;1•5;
∴ P(F)=P(C;F)+P(D;F)
∴ P(E)=;1¡5;+;1•5;=;5#;
∴ P(C|F)=
P(C;F)
P(F)
=
;1¡5;
;5#;
=;9!;
231 두 번의 경기에서 A가 B를 두 번 모두 이기는
사건을 X, A, B가 한 번씩 이기는 사건을 Y, B가 A
를 두 번 모두 이기는 사건을 Z라 하면
P(X)=
¥
;3@;
;3@;
=
;9$;
P(Y)=
¥{1-
;3@;}+{1-
;3@;}¥
;3@;
;3@;
=
;9$;
P(Z)={1-
;3@;}¥{1-
;3@;}=
;9!;
C가 두 번 우승하는 사건을 E라 하면
P(X;E)=P(X)P(E|X)
P(X;E)=
;8™1;
;9$;
P(Y;E)=P(Y)P(E|Y)
;6!;
¥
¥
;3!;
=
P(Y;E)=
;2™7;
;9$;
P(Z;E)=P(Z)P(E|Z)
;2!;
¥
¥
;3!;
=
P(Z;E)=
¥
;9!;
¥
;2!;
;4!;
=
;7¡2;
44 정답 및 풀이
∴ P(E)=P(X;E)+P(Y;E)+P(Z;E)
C가 B를 두 번째 상대
할 때 이길 확률
=
+
+
=
;8™1;
;2™7;
;7¡2;
;6¶4£8;
(cid:8951) ④
(cid:100);2!;¥;2!;=;4!;
(cid:100)(cid:100)P(A)=;2!;, P(B)=;3!;, P(A;B)=;6!;
따라서 P(A;B)=P(A)P(B)이므로 A, B는
따라서 갑과 을이 자신이 꺼낸 공을 검은 공이라 말했을
때 실제로는 모두 흰 공일 확률은
;1£3;¥;9!;=;3¡9;(cid:100)(cid:100)∴ n=39
을이 자신이 꺼낸 공을
검은 공이라 말했을 때
실제로는 흰 공을 꺼냈
을 확률
15일품확률과통계(33~53)해 2014.10.31 2:43 PM 페이지45 SinsagoHitec
본책
45쪽``…``47쪽
서로 독립이지만 P(A;B)+0이므로 A, B는 서
로 배반사건이 아니다.
234
두 사건A, C 가 서로 독립이므로
P(A;C)=P(A)P(C)
;4!;=P(A)¥;2!;(cid:100)(cid:100)∴ P(A)=;2!;
● 50%
(cid:100);6$;
`
두 사건 A, B가 서로 배반사건이므로
P(A'B)=P(A)+P(B)
;3@;=;2!;+P(B)(cid:100)(cid:100)∴ P(B)=;6!;
주사위를 한 번 던져서
5 이하의 눈이 나올 확률
(cid:100);6%;
4 이하의 눈이 나올 확률
237 `
번 던져서 나온 눈의 수의 최댓값이 5이어야 하므로 3번
F(3)=5이려면 한 개의 주사위를 3
모두 5 이하의 눈이 나올 확률에서 3번 모두 4 이하의
눈이 나올 확률을 빼면 된다.
∴ p=
{;6%;}
-{;6$;}
3
=
;2§1¡6;
● 40%
또 f(3)=5이려면 한 개의 주사위를 3번 던져서 나온
P(A;B)=0
눈의 수의 최솟값이 5이어야 하므로 3번 모두 5 또는
6의 눈이 나올 확률에서 3번 모두 6의 눈이 나올 확률
3
3
● 50%
(cid:8951) ;6!;
을 빼면 된다.
∴ q={;6@;}
-{;6!;}
3
=
;21&6;
`
∴ p-q=;2§1¡6;-;21&6;=
;4!;
률
확
Ⅱ
● 40%
● 20%
(cid:8951)
;4!;
1등급
|비|밀|노|트|
F(n)=m이려면 한 개의 주사위를 n번 던져서 나온 눈의 수의
최댓값이 m이어야 하므로 그 확률은
(cid:100)(cid:100){
m
6
« -{
}
m-1
6
« (단, 1…m…6)
}
235 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 A, BÇ 도 서
로 독립이고 AÇ , BÇ 도 서로 독립이다.
P(A;BÇ )=P(A)P(BÇ )에서
P(A)P(BÇ )=;2!;
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
P(AÇ ;BÇ )=P(AÇ )P(BÇ )에서
P(AÇ )P(BÇ )=;4!;
㉠+㉡을 하면
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
P(A)P(BÇ )+P(AÇ )P(BÇ )=;4#;
{P(A)+P(AÇ )} P(BÇ )=;4#;
P(BÇ )=;4#;(cid:100)(cid:100)
∴ P(B)=1-P(BÇ )=;4!;
P(BÇ )=;4#;을 ㉡에 대입하면
P(AÇ )=;3!;
∴ P(AÇ ;B)=P(AÇ )P(B)
∴ P(AÇ ;B)=;3!;¥;4!;=;1¡2;
236 1부터 20까지의 자연수가 적힌 공 중에는
노란 공이 n개, 흰 공이 (20-n)개
가 있고21부터 36까지의 자연수가 적힌 공 중에는
노란 공이 4개, 흰 공이 12개
가 있으므로 전체 공 중에는
노란 공이 (n+4)개, 흰 공이 (32-n)개
가 있다.
∴ P(A)=
, P(B)=;3@6);=;9%;
n+4
36
∴ P(A;B)=
;3˜6;
두 사건A, B가 서로 독립이므로
P(A;B)=P(A)P(B)
=
;3˜6;
n+4
36
¥;9%;
9n=5n+20(cid:100)(cid:100)∴ n=5
(cid:8951) ②
P(A)+P(AÇ )=1
238 ⁄ 모두 완주하지 못할 확률은
¤ (cid:100)(cid:100)§Cº {;5@;}
¤ 1개 대회에서 완주할 확률은
{;5#;}
완주할 확률이 0.4=;5@;
이므로 완주하지 못할
¤ (cid:100)(cid:100)§C¡ {;5@;}
‹ 2개 대회에서 완주할 확률은
{;5#;}
확률은
(cid:100)1-;5@;=;5#;
¤ (cid:100)(cid:100)§C™ {;5@;}
이상에서 구하는 확률은
{;5#;}
(cid:8951) ⑤
두 사건 A, B가 독립
이므로 AÇ , B도 독립
이다.
1-[§Cº {;5@;}
{;5#;}
fl +§C¡ {;5@;}
fi +§C™ {;5@;}
{;5#;}
{;5#;}
]
2
=1- §C˚ {;5@;}
¡k=0
k
{;5#;}
6-k
(cid:8951) ③
공을 막은 횟수가 1회,
3회, 5회, 7회, 9회인
사건은 서로 배반사건
이다.
239 구하는 확률은 공을 막은 횟수가 1회, 3회, 5회,
7회, 9회일 확률을 모두 더한 것이므로
9
¡ºC¡ {;2!;}
{;2!;}
+¡ºC¶ {;2!;}
{;2!;}
+¡ºC£ {;2!;}
‹ +¡ºCª {;2!;}
1
9
{;2!;}
‡ +¡ºC∞ {;2!;}
{;2!;}
{;2!;}
(¡ºC¡+¡ºC£+¡ºC∞+¡ºC¶+¡ºCª)
={;2!;}
10
10
={;2!;}
¥2· =;2!;
(cid:8951) ③
이항계수의 성질에 의하여
¡ºCº+¡ºC¡+¡ºC™+¡ºC£+y+¡ºCª+¡ºC¡º=2⁄
y-¡ºCª+¡ºC¡º=0
¡ºCº-¡ºC¡+¡ºC™-¡º
C£+
->≥
2(¡ºC¡+¡ºC£+¡ºC∞+¡ºC¶+¡ºCª)=2⁄
∴ ¡ºC¡+¡ºC£+¡ºC∞+¡ºC¶+¡ºCª=2·
Ⅱ. 확률 45
‚
fl
⁄
fi
¤
›
‚
⁄
¤
›
⁄
‹
fi
fi
‡
‚
≥
≥
‚
15일품확률과통계(33~53)해 2014.10.31 2:43 PM 페이지46 SinsagoHitec
1 2 3 4 5 6 7 8
x
1 2 3 4 5 6 7 8
x
따라서 1학기 보충수업을 신청한 학생 중 2학기 보충수
240
면 4번째 경기까지 3번 이긴 팀이5번째 경기에서도 이
5번째 경기에서 우승팀이 결정되려
겨야 한다.
`
⁄ A팀이 우승할 확률은
⁄ (cid:100)(cid:100)¢C£ {;3@;}
¤ B팀이 우승할 확률은
{;3!;}
⁄ ¥;3@;=;2§4¢3;
⁄ (cid:100)(cid:100)¢C£ {;3!;}
`
⁄ ¥;3!;=;24*3;
{;3@;}
⁄, ¤에서 구하는 확률은
;2§4¢3;+;24*3;=;2•7;
● 20%
● 60%
● 20%
(cid:8951) ;2•7;
B
B
241 점 P가 점 A를 출발하여 직선 OB와 만나지 않
고 점 B까지 이동하는 방법은 다음과 같이 4가지이다.
1 2 3 4 5 6 7 8
x
1 2 3 4 5 6 7 8
x
다.
y
2
1
O
y
2
1
O
A
A
B
B
y
2
1
O
y
2
1
O
A
A
4가지 방법 모두 x축의
방향으로 7만큼, y축의
방향으로 2만큼 이동한
주머니에서 흰 공을 꺼
낼 확률은 ;4#;이고 검은
공을 꺼낼 확률은 ;4!;이
다.
각 경우에 점 P는 x축의 방향으로 1만큼 7번 이동하고,
y축의 방향으로 1만큼 2번 이동하므로
p=4¥{;4#;}
7
2
{;4!;}
3‡
= =
4°
3‡
2⁄
log p=log {
}=7 log 3-16 log 2이므로
3‡
2⁄
m=7, n=16
∴ m+n=23
1등급
|비|밀|노|트|
주머니에서 한 개의 공을 꺼내는 시행을 9번 반복할 때 점P 가
점 A에서 출발하여 점 B까지 이동할 확률은
2
7
{;4!;}
(cid:100)(cid:100)9C7{;4#;}
이다. 이 확률은 점 P가 직선 OB와 만나는 경우의 확률도 포함
하고 있으므로 9C7가지의 방법 중 조건을 만족시키는 4가지 방법
을 찾아야 한다.
242 참가자가 20점짜리, 30점짜리 문제를 맞힐 확률
은 각각
40-20
40
=;2!;,
40-30
40
=;4!;
남은 문제를 모두 풀었을 때 500점이 되려면 80점을 더
얻어야 하므로 20점짜리 1문제와 30점짜리 2문제를 맞
혀야 한다.
따라서 구하는 확률은
2
;2!;¥£C™{;4!;}
{;4#;}=;12(8;
46 정답 및 풀이
243
려면 움직인 거리가 4의 배수이어야 한다.
점 A에서 출발하여 점 A에서 멈추
● 10%
동전을 4번 던져서 움직일 수 있는 거리 중
에서 움직인 거리가 4의 배수인 경우는
1+1+1+1=4, 2+2+2+2=8
의 2가지이다.
⁄ 동전을 4번 던져서 모두 뒷면이 나올 확률은
● 20%
(cid:100)(cid:100)¢Cº {;2!;}0 {;2!;}4 =;1¡6;
¤ 동전을 4번 던져서 모두 앞면이 나올 확률은
(cid:100)(cid:100)¢C¢ {;2!;}4 {;2!;}0 =;1¡6;
`
⁄, ¤에서 구하는 확률은
(cid:100)(cid:100);1¡6;+;1¡6;=;8!;
● 60%
● 10%
(cid:8951) ;8!;
244 2학기 보충수업을 신청한 학생이 1학기에도 보
충수업을 신청한 학생일 확률이 1이므로 2학기 보충수
업을 신청한 학생 18명은 모두 1학기 보충수업을 신청
한 학생이다.
업을 신청하지 않은 학생 수는
26-18=8
2학기 보충수업을 신청하지 않은 학생을 택하는 사건을
A, 1학기 보충수업을 신청한 학생을 택하는 사건을 B
라 하면
P(A)=
, P(A;B)=
;3!2$;
;3•2;
따라서 구하는 확률은
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
;3•2;
;3!2$;
=
;7$;
(cid:8951) ②
200_0.6=120
정시 전형으로 합격한 학생 수는
200_0.4=80
조건 ㈏에서 수시 전형으로 합격한 여학생 수를 2a라
하면 정시 전형으로 합격한 여학생 수는 a이므로 주어
진 조건을 표로 나타내면 다음과 같다.
남학생
여학생
수시 전형 합격
정시 전형 합격
50
2a
a
합계
(단위: 명)
합계
120
80
200
(cid:8951) 23
로그의 성질
① logå MN
=logå M+logå N
M
N
② logå
=logå M-logå N
③ logå Mk
=k logå M
(단, a>0, a+1,
M>0, N>0)
245 조건 ㈎에서 수시 전형으로 합격한 학생 수는
30점짜리 3문제 중 2문
제는 맞히고 1문제는
(cid:8951) ;12(8;
틀릴 확률
50+a=80에서(cid:100)(cid:100)a=30
따라서 표를 완성하면 다음과 같다.
‹
‹
fl
fl
15일품확률과통계(33~53)해 2014.10.31 2:43 PM 페이지47 SinsagoHitec
남학생
여학생
수시 전형 합격
정시 전형 합격
합계
60
50
110
60
30
90
(단위: 명)
합계
120
80
200
대학에 합격한 학생 중에서 남학생을 택하는 사건을 A,
수시 전형으로 합격한 학생을 택하는 사건을 B라 하면
P(A)=;2!0!0);, P(A;B)=;2§0º0;
∴ P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
;2§0º0;
;2!0!0);
=;1§1;
따라서 p=;1§1;이므로(cid:100)(cid:100)99p=54
(cid:8951) 54
246 3명이 모두 요가, 다이어트 복싱, 플로어 볼 종
목을 신청하는 사건을 각각 A, B, C라 하면
P(A)=
P(B)=
=;45$5;,
=;4¡5º5;,
P(C)=
=;4™5º5;
¢C£
¡∞C£
∞C£
¡∞C£
§C£
¡∞C£
또 3명이 신청한 종목이 모두 같은 사건을 E라 하면 세
사건 A, B, C는 서로 배반사건이므로
P(E)=P(A'B'C)
=P(A)+P(B)+P(C)
=;45$5;+;4¡5º5;+;4™5º5;=;4£5¢5;
∴
P(A)+P(C)
P(E)
=
;45$5;+;4™5º5;
:4£5¢5;
=;1!7@;
따라서 p=17, q=12이므로(cid:100)(cid:100)p+q=29
(cid:8951) 29
247 ⁄ 1회에서 시행을 멈출 확률
⁄ 1회에 나오는 공에 적힌 숫자가 3인 경우이므로
(1회, 2회)에 나오는 공에 적힌 숫자가
⁄ (cid:100)(cid:100);6!;
¤ 2회에서 시행을 멈출 확률
⁄ (cid:100)(cid:100)(1, 2), (2, 1)
⁄ 인 경우이므로
⁄ (cid:100)(cid:100);6#;¥;5@;+;6@;¥;5#;=;5@;
‹ 3회에서 시행을 멈출 확률
(1회, 2회, 3회)에 나오는 공에 적힌 숫자가
⁄ (cid:100)(cid:100)(1, 1, 1), (1, 3, 2), (2, 3, 1)
⁄ 인 경우이므로
률
확
Ⅱ
본책
47쪽``…``48쪽
⁄ (cid:100)(cid:100);6#;¥;5@;¥;4!;+;6#;¥;5!;¥;4@;+;6@;¥;5!;¥;4#;=;2£0;
이상에서 확률 p는
;6!;+;5@;+;2£0;=;6$0#;
이므로
120p=86
(cid:8951) 86
248 주사위를 두 번 던져서 첫 번째에 나온 눈의 수
를 a, 두 번째에 나온 눈의 수를 b라 하고 순서쌍 (a, b)
로 나타내면
A={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),
(1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5),
(3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5),
(5, 6)}
B={(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1),
(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3),
(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}
C={(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5),
(3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5),
(5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5)}
A;B={(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3),
(3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}
B;C={(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3),
(4, 5), (6, 1), (6, 3), (6, 5)}
A;C={(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4),
(3, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6)}
ㄱ. P(A)=;2!;, P(B)=;2!;, P(A;B)=;4!;이므로
ㄱ. (cid:100)(cid:100)P(A;B)=P(A)P(B)
ㄱ. 따라서 A와 B는 서로 독립이다.
ㄴ. P(B)=;2!;, P(C)=;2!;, P(B;C)=;4!;이므로
ㄱ. (cid:100)(cid:100)P(B;C)=P(B)P(C)
ㄱ. 따라서 B와 C는 서로 독립이다.
ㄷ. P(A)=;2!;, P(C)=;2!;, P(A;C)=;4!;이므로
ㄱ. (cid:100)(cid:100)P(A;C)=P(A)P(C)
ㄱ. 따라서 A와 C는 서로 독립이다.
세 사건 A, B, C가 서로
배반사건이면
P(A'B'C)
=P(A)+P(B)+P(C)
모든 경우의 수는
(cid:100)6¥6=36
이므로
(cid:100)P(A)=;3!6*;=;2!;,
(cid:100)P(B)=;3!6*;=;2!;,
(cid:100)P(A;B)=;3ª6;=;4!;
이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 서로 독립인 사건이다. (cid:8951) ⑤
세 사건 A, B, C가 서로
(cid:8857) AÇ , BÇ , CÇ 도 서로 독
독립
립
249 A, B, C가 10점을 맞히는 사건을 각각 A, B, C
라 하면 세 사건 A, B, C는 서로 독립이므로 3명의 선
수가 모두 10점을 맞히지 못할 확률은
1회 또는 2회까지 나온
공의 숫자의 합은 3의
배수가 아니어야 하므로
(3, 1, 2), (3, 2, 1),
(1, 2, 3), (2, 1, 3)인
경우는 제외시킨다.
P(AÇ ;BÇ ;CÇ )
=P(AÇ )P(BÇ )P(CÇ )
=(1-0.9)(1-0.85)(1-0.8)
=0.1_0.15_0.2
=;1¡0;¥;1¡0∞0;¥;1™0;
Ⅱ. 확률 47
15일품확률과통계(33~53)해 2014.10.31 2:43 PM 페이지48 SinsagoHitec
P(E'F)=P(E)+P(F)-P(E;F)
P(E'F)=
+
-
;9!;
;9!;
;8¡1;
=
;8!1&;
(cid:8951) ②
1, 1, 2, 4를 일렬로 나
열하는 방법의 수
O
1, 3, 4, 4를 일렬로 나
열하는 방법의 수
=;10£00;
따라서 구하는 확률은
1-;10£00;=;1ª0ª0¶0;
(cid:8951) ⑤
250 스위치 A, D를 통하여 전류가 흐르는 사건을
E, 스위치 B, C를 통하여 전류가 흐르는 사건을 F라
하면
P(E)=
¥
;3!;
;3!;
=
;9!;
, P(F)=
¥
;3!;
;3!;
=
;9!;
,
P(E;F)=
¥
;3!;
¥
;3!;
¥
;3!;
;3!;
=
;8¡1;
따라서 구하는 확률은
251 오른쪽 그림에서 구슬
이 W, X, Y, Z를 지나는
사건을 각각 W, X, Y, Z
라 하면
P(W)=P(Z)
P(W)=;2!;¥;2!;¥;2!;
P(W)=;8!;
W X Y
Z
A
B
C
D
E
P(W)+P(X)+P(Y)+P(Z)=1이므로
(cid:100)(cid:100)P(X)=P(Y)=;8#;
구슬이 출구 B, C로 나오는 사건을 각각 B, C라 하면
P(B)=;8!;¥;2!;+;8#;¥;2!;=;4!;
P(C)=;8#;¥;2!;+;8#;¥;2!;=;8#;
따라서 구하는 확률은
(cid:100)(cid:100)P(B)+P(C)=;4!;+;8#;=;8%;
(cid:8951) ③
252 주사위를 n번 던졌을 때 소수의 눈이 연속해서
나오지 않는 경우는 다음과 같이 두 가지로 나눌 수 있
다.
⁄ n번째에 소수가 나오는 경우의 확률
⁄ (n-2)번째까지 소수의 눈이 연속해서 나오지 않
고, (n-1)번째에 소수가 나오지 않아야 하므로
W
B
⁄
일 확률
{
}+{
X
B
⁄
일 확률
}
X
C
⁄
일 확률
{
}+{
Y
C
⁄
일 확률
}
⁄ (cid:100)(cid:100)pn-2¥;2!;¥;2!;=;4!;pn-2
¤ n번째에 소수가 나오지 않는 경우의 확률
⁄ (n-1)번째까지 소수의 눈이 연속해서 나오지 않아
주사위를 (n-2)번 던
질 때 소수의 눈이 연속
해서 나오지 않을 확률
야 하므로
⁄ (cid:100)(cid:100)pn-1¥;2!;=;2!;pn-1
⁄, ¤에서
48 정답 및 풀이
pn=;4!;pn-2+;2!;pn-1 (n=3, 4, 5, y)
따라서 p10=;4!;p8+;2!;p9이므로
p10=
+
;4A;
;2B;
(cid:8951) ④
253 정사면체를 4번 던질 때, 점 P가 원점을 출발하
여 점(1, -1)에 도착하는 경우는 다음과 같이 두 가지
로 나눌 수 있다.
⁄ 이동방향이 →, →, ←, ↓일 때의 확률
⁄ 1이 2번, 2, 4가 각각 1번씩 나올 확률이므로
4
4!
⁄ (cid:100)(cid:100) ¥{;4!;}
=;6£4;
2!
¤ 이동방향이 →, ↑, ↓, ↓일 때의 확률
⁄ 4가 2번, 1, 3이 각각 1번씩 나올 확률이므로
4
4!
⁄ (cid:100)(cid:100) ¥{;4!;}
=;6£4;
2!
⁄, ¤에서 구하는 확률은
;6£4;+;6£4;=;3£2;
(cid:8951) ③
254 1개의 박테리아가 10분 후에 2개가 되고`, 20분
후에 3개 또는4개가 되어야 30분 후 6개가 될 수 있다.
⁄ 10분 후에 2개, 20분 후에 3개, 30분 후에6개가 될
(cid:100)(cid:100);2!;¥{™C¡¥;2!;¥;3!;}¥{;2!;¥;2!;¥;2!;}=;4¡8;
¤ 10분 후에2개 , 20분 후에4개 , 30분 후에 6개가 될
(cid:100)(cid:100);2!;¥{;2!;¥;2!;}¥{¢C™¥;2!;¥
;2!;¥
;3!;¥
;3!;+¢C£¥;2!;¥
;2!;¥
;2!;¥
;6!;}
확률은
확률은
(cid:100)=;3¡2;
⁄, ¤에서 구하는 확률은(cid:100)(cid:100);4¡8;+;3¡2;=;9∞6;
(cid:8951) ③
255 ⁄ 5개의 숫자를 모두 정상적으로 수신할 확률은
9fi
10fi
⁄ ∞C∞ {;1ª0;}
{;1¡0;}
‚ =
¤ 1개의 숫자를 잘못 수신할 확률은
⁄ ∞C¢ {;1ª0;}
{;1¡0;}
⁄ =
5¥9›
10fi
⁄, ¤에서 정보를 송신할 확률은
9fi
10fi
+
5¥9›
10fi
=
14¥9›
10fi
이므로 구하는 확률은
(cid:100)(cid:100)
=
;1ª4;
9fi
10fi
14¥9›
10fi
따라서 p=14, q=9이므로
p+q=23
(cid:8951) 23
fi
›
15일품확률과통계(33~53)해 2014.10.31 2:43 PM 페이지49 SinsagoHitec
▶ 본책 50쪽
∴ a>b¤
본책
48쪽``…``50쪽
이므로 집합 A의 부등식의 영역은 중심의 좌표가
(1, 1)이고`, 반지름의 길이가
인 원의 내부(경계선
원의 내부와 외부
원 x¤ +y¤ =r¤ (r>0)에
대하여
① x¤ +y¤ <r¤ 의 영역
(cid:8857) 원의 내부
② x¤ +y¤ >r¤ 의 영역
● 50%
(cid:8857) 원의 외부
259 9개의 동전 중 뒤집을 동전 4개를 택하는 방법
의 수는
{x-1}@+{y-1}@= 9
4
(cid:8951) ②
률
확
Ⅱ
이를 만족시키는 a, b의 값은
⁄ b=1일 때,(cid:100)(cid:100)a=2, 3, 4, 5, 6
¤ b=2일 때,(cid:100)(cid:100)a=5, 6
⁄, ¤에서 순서쌍 (a, b)의 개수는
(cid:100)(cid:100)5+2=7
따라서 구하는 확률은
;3¶6;
ªC¢=126
앞면이 보이는 동전 4개 중에서 m개, 뒷면이 보이는 동
전 5개 중에서 (4-m)개를 택하여 뒤집으면 뒷면이 보
이는 동전의 개수는
(cid:100)(cid:100)m+{5-(4-m)}=2m+1
즉 2m+1=7에서(cid:100)(cid:100)m=3
따라서 앞면이 보이는 동전 4개 중3개 , 뒷면이 보이는
동전 5개 중 1개를 택하는 방법의 수는
¢C£¥∞C¡=20
따라서 구하는 확률은(cid:100)(cid:100);1™2º6;=;6!3);
(cid:8951) ④
두 개의 주사위를 던질 때, 모든 경우
256
의 수는
6¥6=36
4x¤ +4y¤ -8x-8y-1…0에서
(x-1)¤ +(y-1)¤ …
;4(;
포함)이다.
오른쪽 그림에서 집합 A의
원소 (a, b)는
(cid:100)(cid:100)(1, 1), (1, 2),
(2, 1), (2, 2)
;2#;
2
y
5
2
1
O
의 4개
`
률은
(cid:100)(cid:100)
=
;3¢6;
;9!;
● 30%
따라서 구하는 확
1
x
5
2
2
● 20%
(cid:8951)
;9!;
257 A, B, C, D 네 사람에게 4개의 선물을 나누어
주는 방법의 수는(cid:100)(cid:100)
4!=24
A가 2가 적힌 카드를 뽑았을
A B C
때, 네 사람 모두 자신이 준비
한 선물을 받지 않는 경우는 오
른쪽과 같이 3가지가 있다.
같은 방법으로 A가 3, 4가 적
1
2
3
1
4
1
1
1
4
4
1
1
1
1
D
3
1
3
힌 카드를 뽑았을 때, 네 사람 모두 자신이 준비한 선물
을 받지 않는 경우도 각각3가지씩 있으므로 네 사람 모
두 자신이 준비한 선물을 받지 않는 경우의 수는
(cid:100)(cid:100)3¥3=9
따라서 구하는 확률은
;2ª4;=;8#;
10원짜리 동전이 50원
짜리 동전보다 더 많다.
(cid:100)∴ x>5
260 꺼낸 2개의 동전의 금액의 합이 60원이려면 10
원짜리 동전 1개와 50원짜리 동전 1개를 꺼내야 한다.
10원짜리 동전의 개수를 x(x>5)라 하면
ÆC¡¥¡º–ÆC¡
¡ºC™
=;1¶5;,(cid:100)(cid:100)
x(10-x)
45
=;1¶5;
x¤ -10x+21=0,(cid:100)(cid:100)(x-3)(x-7)=0
∴ x=7 (∵ x>5)
(cid:8951) 7
A B
C D
3
4
1
4
1
3
4
1
2
2
1
2
2
2
1
3
2
1
(cid:8951) ③
261 `
함수의 개수는
(cid:100)(cid:100)10!
집합 A에서 A로의 일대일 대응인
`10개의 원소 중 f(a)=a를 만족시키는 6개의 원소를
258 두 개의 주사위를 던질 때, 모든 경우의 수는
6¥6=36
y=(gΩf)(x)에서
(gΩf)(x)=g( f(x))=g(ax+b)
=-b(ax+b)+a
=-abx+a-b¤
직선 y=-abx+a-b¤ 의 기울기 -ab가 음수이므로
이 직선이 제 1, 2, 4 사분면을 모두 지나려면 y절편
a-b¤ 이 양수이어야 한다.
y
a-b@
x
O
y=-abx+a-b@
택하는 방법의 수는(cid:100)(cid:100)¡ºC§
f(a)=a를 만족시키
는 6개의 원소를 각
각 1, 2, 3, 4, 5, 6
이라 할 때, 나머지 4
개의 원소를 대응시키
는 방법은 오른쪽과
같이 9가지이다.
● 50%
a
7
f(a)
8
9
10
8
7
9
10
7
10
7
9
● 10%
● 20%
10
9
7
9
8
8
7
9
8
7
9
10
10
7
10
7
8
8
7
8
Ⅱ. 확률 49
15일품확률과통계(33~53)해 2014.10.31 2:43 PM 페이지50 SinsagoHitec
`
따라서 구하는 확률은
(cid:100)(cid:100)
¡ºC§¥9
10!
=
;19¡20;
262 두 주머니 A, B에서 2장의 카드를 꺼내는 방법
의 수는 각각 nC™이므로 주머니 A, B에서 각각 두 장의
카드를 꺼내는 모든 방법의 수는
nC™¥nC™=
n¤ (n-1)¤
4
주머니 A에서 꺼낸 2장의 카드에 적힌 수 중 큰 수와 주
머니 B에서 꺼낸 2장의 카드에 적힌 수 중 작은 수를k
(k=2, 3, y, n-1)라 하면 주머니 A에서 다른 카드
한 장을 뽑는 방법의 수는
k-1C¡
n-kC¡
이고 주머니 B에서 다른 카드 한 장을 뽑는 방법의 수는
이므로 주머니 A에서 꺼낸 2장의 카드에 적힌 수 중 큰
수와 주머니 B에서 꺼낸 2장의 카드에 적힌 수 중 작은
● 20%
4, 6, 6을 일렬로 나열
(cid:8951)
;19¡20;
하는 방법의 수
이상에서 눈의 수의 최솟값이 4이고 최댓값이 6인 경우
‹ 4, 6, 6이 나오는 경우의 수
⁄ (cid:100)(cid:100) =3
3!
2!
의 수는
3+6+3=12
따라서 구하는 확률은
P(A;B)=
12
216
=;1¡8;
(cid:8951) ③
264
을이 버스를 기다리는 시간을 y분이라 하면
갑이 지하철을 기다리는 시간을 x분,
0…x<5, 0…y<10
yy ㉠(cid:100)(cid:100)● 30%
갑의 소요 시간은 (25+x)분, 을의 소요 시간은
(20+y)분이므로 을이 먼저 도착하려면
1부터 (k-1)까지의
자연수 중에서 한 개를
뽑는 경우의 수
(k+1)부터 n까지의
자연수 중에서 한 개를
뽑는 경우의 수
25+x>20+y(cid:100)(cid:100)
∴ y<x+5
`
부등식 ㉠, ㉡`을 동
시에 만족시키는 영역은 오른
쪽 그림의 어두운 부분과 같으
므로 구하는 확률은
yy ㉡(cid:100)(cid:100)● 30%
y=x+5
y
10
5
;2!;(5+10)¥5
5¥10
=
;4#;
● 40%
-5
O
5
x
수가 서로 같은 경우의 수는
k-1C¡¥n-kC¡
= (k-1)(n-k)
= (k-1)(n-k)
n-1
¡k=2
n-1
¡k=2
n-1
¡k=1
= {(n+1)k-k¤ -n}
n-1
¡k=1
(n-1)n(n+1)
2
n(n-1)(n-2)
6
=
=
따라서
n(n-1)(n-2)
11111115
6
1111111555
n¤ (n-1)¤
111123
4
2(n-2)
3n(n-1)
3n¤ -23n+40=0
=;1¡0;
(3n-8)(n-5)=0
0…x<5, 0…y<10을
만족시키는 영역의 넓이
k=1일 때,
(cid:100)(k-1)(n-k)=0
∴ (k-1)(n-k)
= (k-1)(n-k)
n-1
¡k=2
n-1
¡k=1
"√2¤ +1¤ ='5
-
(n-1)n(2n-1)
6
-(n-1)n
=;1¡0;이므로
∴ n=5 (∵ n은 자연수)
(cid:8951) 5
"√2¤ +2¤ =2'2
263 세 개의 주사위를 던질 때, 모든 경우의 수는
6¥6¥6=216
사건 A;B는 세 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수
의 최솟값이 4이고 최댓값이 6인 사건이다.
⁄ 4, 4, 6이 나오는 경우의 수
⁄ (cid:100)(cid:100) =3
3!
2!
¤ 4, 5, 6이 나오는 경우의 수
⁄ (cid:100)(cid:100)3!=6
50 정답 및 풀이
4, 4, 6을 일렬로 나열
하는 방법의 수
4, 5, 6을 일렬로 나열
하는 방법의 수
265 임의로 서로 다른 두 점을 택할 때, 모든 경우의
수는
8C2=28
임의로 택한 두 점 사이의 거리가 2 이하인 사건을 A라
하면 AÇ 는 두 점 사이의 거리가 2보다 큰 사건이다.
⁄ 두 점 사이의 거리가 '5 인 경우
⁄ 오른쪽 그림과 같이 두 점 사이
의 거리가 '5 인 것은 각 꼭짓점
에 대하여 2개씩 있으므로 경우
A
H
E
의 수는
⁄ (cid:100)(cid:100)4¥2=8
¤ 두 점 사이의 거리가 2'2 인 경우
¤ 오른쪽 그림과 같이 두 점 사이
의 거리가 2'2 인 것은 정사각형
의 두 대각선이므로 경우의 수는
⁄ (cid:100)(cid:100)2
⁄, ¤에서
P(AÇ )=
8+2
28
=;1∞4;
따라서 구하는 확률은
B
A
E
B
F
H
F
P(A)=1-P(AÇ )=1-;1∞4;=;1ª4;
(cid:8951)
;4#;
D
G
C
D
G
C
(cid:8951) ④
15일품확률과통계(33~53)해 2014.10.31 2:43 PM 페이지51 SinsagoHitec
266 2개의 주사위를 던져서 나오는 두 눈의 수가 모
두 소수인 사건을 A, 두 눈의 수의 합이 소수인 사건을
B라 하면
A={(2, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 3),
(3, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)},
A;B={(2, 3), (2, 5), (3, 2), (5, 2)}
∴ P(A)=;3ª6;=;4!;
∴ P(A;B)=;3¢6;=;9!;
따라서 구하는 확률은
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
;9!;
= =;9$;
;4!;
(cid:8951) ②
267 주머니 A에서 흰 바둑돌 2개, 검은 바둑돌 2
개를 주머니 B로 옮기는 사건을 A, B에서 흰 바둑
돌 2개를 꺼내는 사건을 B라 하면
™C™¥¢C™
§C¢
=;1§5;=;5@;
P(A)=
P(A;B)= =;1¡5;
™C™
§C™
따라서 구하는 확률은
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
;1¡5;
;5@;
=
;6!;
(cid:8951) ②
1등급
|비|밀|노|트|
2개를 꺼내는 확률과 같으므로
P(B|A)=
™C™
¢C™
=
1
6
268 두 개의 빨간 구슬에 적힌 두 수의 합이7인 경
우는
(cid:100)(cid:100)(2, 5), (3, 4)의 2가지
두 개의 파란 구슬에 적힌 두 수의 합이7인 경우는
(cid:100)(cid:100)(2, 5), (3, 4), (3, 4)의 3가지
첫 번째 자유투는 성공
하고 두 번째 자유투는
실패할 확률
첫 번째 자유투는 실패
하고 두 번째 자유투는
성공할 확률
본책
50쪽``…``52쪽
269 A가 첫 번째 자유투를 성공하는 사건을 A, 두
번째 자유투를 성공하는 사건을 B라 하고`, 자유투를 두
번 하여 한 번 성공하는 사건을 E라 하면
P(A)=0.6, P(B)=0.75
P(A;E)=0.6_0.25=0.15
P(B;E)=0.4_0.75=0.3
∴ P(E)=0.15+0.3=0.45
따라서 구하는 확률은
P(A|E)=
P(A;E)
P(E)
=
0.15
0.45
=
1
3
(cid:8951) ②
270 화살을 두 번 쏘았을 때, 맞힌 2개의 숫자의 곱
이 짝수인 사건을 A, 맞힌 2개의 숫자의 합이 짝수인 사
률
확
Ⅱ
건을 B라 하자.
사건 A는 맞힌 두 숫자가 (홀수, 짝수), (짝수, 홀수),
(짝수, 짝수)인 경우이므로
적어도 한 번은 짝수를
맞혀야 한다.
P(A)=;5#;¥;5@;+;5@;¥;5#;+;5@;¥;5@;=;2!5^;
사건 A;B는 맞힌 두 숫자가 (짝수, 짝수)인 경우이
므로
P(A;B)=;5@;¥;5@;=;2¢5;
따라서 구하는 확률은
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
;2¢5;
;2!5^;
=;4!;
(cid:8951) ①
맞힌 2개의 숫자의 곱이 홀수인 사건 AÇ 는 맞
P(AÇ )=;5#;¥;5#;=;2ª5;
∴ P(A)=1-P(AÇ )=;2!5^;
271
말 탐지기가 진실로 판단하는 사건을 B라 하면
갑이 진실을 말하는 사건을 A, 거짓
`
`
파란 구슬 중 숫자 3이
적힌 구슬은 2개이므로
(3, 4)를 꺼내는 경우
P(A)=
, P(B|A)=
;5@;
;5#;
;1!1);
;1¡0;
따라서 구하는 확률은
P(B)=P(A;B)+P(AÇ ;B)
P(B)=P(A)P(B|A)+P(AÇ )P(B|AÇ )
P(B)=
¥
+
¥
=
;5@;
;1!1);
;5#;
;1¡0;
;5@5#0#;
● 50%
(cid:8951)
;5@5#0#;
빨간 구슬 1개, 파란 구슬 1개에 적힌 두 수의 합이 7인
P(AÇ )=
, P(B|AÇ )=
● 50%
경우는
(cid:100)(cid:100)(2, 5), (3, 4), (4, 3), (4, 3), (5, 2)의 5가지
는 2가지이다.
따라서 주머니에서 꺼낸 구슬에 적힌 두 수의 합이 7인
사건을 A, 꺼낸 구슬의 색이 서로 다른 사건을 B라 하면
P(A)=
2+3+5
¡™C™
5
¡™C™
따라서 구하는 확률은
P(A;B)=
10
= =;3∞3;
66
=;6∞6;
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
;6∞6;
;3∞3;
=;2!;
(cid:8951) ④
당첨 번호와 2개가 일치하는 경우의 수는
272 3개의 숫자를 택하는 경우의 수는
ªC£=84
£C™¥§C¡=18
Ⅱ. 확률 51
구하는 확률은 흰 바둑돌 2개와 검은 바둑돌 2개에서 흰 바둑돌
힌 두 숫자가 (홀수, 홀수)인 경우이므로
15일품확률과통계(33~53)해 2014.11.10 6:29 PM 페이지52 SinsagoHitec
첫 번째 시행에서 검은
공이 나오면 흰 공을 1
개 넣으므로 주머니에
모두 흰 공만 들어 있
게 된다. 따라서 두 번
째 시행에서 흰 공이
나올 확률은 1이다.
갑이 당첨 번호와 2개
가 일치하는 사건과 을
이 당첨 번호와 1개가
일치하는 사건은 독립
이다.
첫 경기에서 a와 c, b
와 d가 만날 확률이
(cid:100);2!;
a가 c를 이길 확률이
(cid:100);3!;
b가 d를 이길 확률이
(cid:100);2!;
b가 a를 이길 확률이
이므로 갑의 번호가 당첨 번호와 2개가 일치할 확률은
당첨 번호와 1개가 일치하는 경우의 수는
이므로 을의 번호가 당첨 번호와 1개가 일치할 확률은
=
;8!4*;
;1£4;
£C¡¥§C™=45
=
;8$4%;
;2!8%;
따라서 구하는 확률은(cid:100)(cid:100)
¥
=
;1£4;
;2!8%;
;3¢9∞2;
(cid:8951) ③
273
을 하는 경우
⁄ 첫 경기에서 a와 c, b와 d가 시합
⁄ 1 결승에서 a와 b가 만나b가 우승할 확률은
⁄ 1(cid:100)(cid:100) ;2!;¥;3!;¥;2!;¥;3@;=;1¡8;
⁄ 2 결승에서 c와 b가 만나 b가 우승할 확률은
● 20%
⁄ 1(cid:100)(cid:100) ;2!;¥;3@;¥;2!;¥;2!;=;1¡2;
¤ 첫 경기에서a와 d, b와 c가 만나 시합을 하는 경우
● 20%
⁄ 1 결승에서 a와 b가 만나b가 우승할 확률은
⁄ 1(cid:100)(cid:100) ;2!;¥;3!;¥;2!;¥;3@;=;1¡8;
⁄ 2 결승에서 d와 b가 만나 b가 우승할 확률은
● 20%
⁄ 1(cid:100)(cid:100) ;2!;¥;3@;¥;2!;¥2!;=;1¡2;
`
⁄, ¤에서 구하는 확률은
;1¡8;+;1¡2;+;1¡8;+;1¡2;=;1∞8;
274 축구팀이 2승 1패를 하는 경우의 확률은 다음과
같다.
● 20%
(cid:100);3@;
● 20%
(cid:8951) ;1∞8;
275 3회 시행 후 주머니에 있는 공이 모두 흰 공인
경우의 확률은 다음과 같다.
⁄ 흰 공, 검은 공, 검은 공의 순서대로 꺼내는 경우의
¤ (cid:100)(cid:100);3@;¥;3@;¥;3!;=;2¢7;
¤ 검은 공, 흰 공, 검은 공의 순서대로 꺼내는 경우의
확률은
확률은
¤ (cid:100)(cid:100);3!;¥1¥;3!;=;9!;
⁄, ¤에서 구하는 확률은
;2¢7;+;9!;=;2¶7;
(cid:8951) ③
276 던지는 횟수가 5 이하인 사건을 A라 하면 AÇ 는
던지는 횟수가 6회 이상인 사건이다. 즉 5회까지 1 또
는 2의 눈이 나오지 않아야 하므로
P(AÇ )=∞Cº {;3!;}
{;3@;}
fi =
;2£4™3;
∴ P(A)=1-P(AÇ )=
;2@4!3!;
(cid:8951) ④
`
1회까지 던질 확률은(cid:100)(cid:100);3!;
2회까지 던질 확률은(cid:100)(cid:100);3@;¥;3!;
¤ ¥;3!;
‹ ¥;3!;
4회까지 던질 확률은(cid:100)(cid:100){;3@;}
3회까지 던질 확률은(cid:100)(cid:100){;3@;}
5회까지 던질 확률은(cid:100)(cid:100){;3@;}4
따라서 구하는 확률은
¥;3!;
;3!;+;3@;¥;3!;+{;3@;}
¤ ¥;3!;+{;3@;}
‹ ¥;3!;+{;3@;}4
¥;3!;
⁄ (승, 승, 패)인 경우
⁄ (cid:100)(cid:100);2!;¥;4#;¥{1-;4#;}=;3£2;
¤ (승, 패, 승)인 경우(cid:100)(cid:100)
⁄ (cid:100)(cid:100);2!;¥{1-;4#;}¥{1-;2!;}=;1¡6;
‹ (패, 승, 승)인 경우(cid:100)(cid:100)
⁄ (cid:100)(cid:100){1-;2!;}¥{1-;2!;}¥;4#;=;1£6;
이상에서 구하는 확률은
(cid:100)(cid:100)
+
;3£2;
;1¡6;
;1£6;
;3!2!;
+
=
1등급
|비|밀|노|트|
연승할 확률이 ;4#;이므로 승리한 다음 경기에서 질 확률은 ;4!;이다.
또 연패할 확률이 ;2!;이므로 패한 다음 경기에서 이길 확률은 ;2!;이
다.
52 정답 및 풀이
;3!;[1-{;3@;}5 ]
=
1-;3@;
=1-{;3@;}5 =
;2@4!3!;
첫째항이 ;3!;, 공비가 ;3@;
인 등비수열의 첫째항
부터 제5항까지의 합
(cid:8951)
;3!2!;
올 확률은
277
⁄ 빨간 공을 꺼내고, 동전을 3번 던
져서 앞면이 3번 나올 확률은
(cid:100)(cid:100);5#;¥£C£{;2!;}3 {;2!;}0 =;4£0;
¤ 노란 공을 꺼내고, 동전을 4번 던져서 앞면이 3번 나
(cid:100)(cid:100);5@;¥¢C£{;2!;}3 {;2!;}1 =;1¡0;
`
⁄, ¤에서 구하는 확률은(cid:100)(cid:100)
;4£0;+;1¡0;=;4¶0;
● 40%
● 40%
● 20%
(cid:8951) ;4¶0;
‚
15일품확률과통계(33~53)해 2014.11.10 6:29 PM 페이지53 SinsagoHitec
조건 ㈏`를 이용하여 집합 A를 먼저 구한다.
집합 P의 원소의 개수는 2fi =32이므로, 집합
P에서 서로 다른 두 원소 A, B를 택하는 모든 방법의
278
수는
32P2=992
집합 U에서 임의로 택한 1개의 원소가 집합
A에 속하는 사건을 A, 집합 B에 속하지 않는 사건을
P(BÇ |A)=
BÇ 라 하면 조건 ㈏`에서P(BÇ |A)=;2!;이므로
P(A;BÇ )
P(A)
n(A;BÇ )
11111
n(U)
111113
n(A)
111n(U)
(cid:100)(cid:100)P(BÇ |A)=
P(BÇ |A)=
n(A-B)
n(A)
P(BÇ |A)=
n(A)-n(A;B)
n(A)
P(BÇ |A)=
n(A)-2
n(A)
P(BÇ |A)=;2!;
∴ n(A)=4
하여 순서쌍 (A, B)의 개수는
따라서 구하는 확률은
3¥2=6
;99^2;=;49#6;
(cid:8951) ;49#6;
279
이동한 후 6번째 던질 때 왼쪽으로 1만큼 이동하면 수지
주사위를 5번 던져서 점이 -1의 위치로
가 이길 수 있다.
주사위를 한 번 던져서 6의 약수의 눈이 나오
는 경우는 1, 2, 3, 6이므로 6의 약수의 눈이 나올 확률은
;6$;=;3@;
다.
고 하면
주사위를 6번 던져서 수지가 이기려면 주사위
를 5번 던질 때까지 점이 -1의 위치로 이동하고 주사
위를 6번째 던질 때 점이 왼쪽으로 1만큼 이동해야 한
주사위를 5번 던지는 동안 6의 약수의 눈이 x번 나온다
x-(5-x)=-1,(cid:100)(cid:100)2x=4
∴ x=2
따라서 주사위를 5번 던질 때까지 6의 약수의 눈은 2번,
본책
52쪽``…``53쪽
그 외의 눈은 3번 나와야 한다.
주사위를 2번 던진 후
점이 -2의 위치로 옮
겨진다.
이때 6의 약수의 눈이 나오는 경우를 (cid:8776), 6의 약수의 눈
이 나오지 않는 경우를 ×라 하고 2개의 (cid:8776)과 3개의 ×
를 배열할 때 주사위를 5번 던지기 전에 게임이 끝나는
경우를 구하면 다음과 같다.
⁄ 주사위를 2번 던졌을 때 게임이 끝나는 경우
¤ 주사위를 4번 던졌을 때 게임이 끝나는 경우
A;BÇ =A-B
⁄, ¤에서 주사위를 5번 던지는 동안 게임이 끝나는 경
률
확
Ⅱ
×××(cid:8776)(cid:8776)
××(cid:8776)×(cid:8776)
××(cid:8776)(cid:8776)×
×(cid:8776)××(cid:8776)
(cid:8776)×××(cid:8776)
우의 수는
3+2=5
집합 P의 서로 다른 두
원소 X, Y에 대하여
(cid:100)A=X, B=Y
(cid:100)A=Y, B=X
는 서로 다른 경우이므
로 순열의 수를 이용한
와
다.
주사위를 4번 던진 후
점이 -2의 위치로 옮
겨진다.
주사위를 3번 던진 후
점이 -2의 위치로 옮
겨지는 경우는 없다.
이므로 주사위를 5번 던지는 동안 게임이 끝나지 않고
점이 -1의 위치로 이동하는 경우의 수는
따라서 주사위를 6번 던져서 수지가 이길 확
조건 ㈎에서
A;B={1, 2}이므로
(cid:100)n(A;B)=2
률은
5!
2!¥3!
-5=10-5=5
2
3
5¥{;3@;}
¥{;3!;}
¥;3!;=
20
3fl
∴ n=20
(cid:8951) 20
280
경우를 구하여 각 경우의 확률을 구한다.
점 P의 x좌표와 y좌표의 합이 2가 되는
점 P가 x축의 방향으로 1만큼 이동하는 사건
을 A, y축의 방향으로 1만큼 이동하는 사건을 B, 이동
하지 않는 사건을 C라 하면
P(A)=;6!;, P(B)=;3!;, P(C)=;2!;
주사위를 4번 던져서 점 P의 x좌표와 y좌표
의 합이 2가 되는 경우는
(cid:100)(cid:100)(2, 0), (1, 1), (0, 2)
⁄ 점 P의 좌표가 (2, 0)이 될 확률
4!
2!¥2!
⁄ (cid:100)(cid:100)
¥{;6!;}
¤ 점 P의 좌표가 (1, 1)이 될 확률
=;2¡4;
2
2
{;2!;}
4!
2!
⁄ (cid:100)(cid:100) ¥;6!;¥;3!;¥{;2!;}
‹ 점 P의 좌표가 (0, 2)가 될 확률
=;6!;
2
⁄ (cid:100)(cid:100)
4!
2!¥2!
¥{;3!;}
2
2
{;2!;}
=;6!;
될 확률은
;2¡4;+;6!;+;6!;=;8#;
따라서 p=8, q=3이므로
p+q=11
이상에서 점 P의 x좌표와 y좌표의 합이 2가
(cid:8951) 11
Ⅱ. 확률 53
따라서 집합 A의 개수는 집합 U의 원소 중1, 2를 제외
한 3개에서 2개를 택하는 방법의 수와 같으므로
(cid:100)(cid:100)£C™=3
a≤A인 U의 원소 a에 대하여 집합 B는 {1, 2}, {1, 2, a}
의 2개가 있으므로 조건을 만족시키는 집합 A, B에 대
◯ ◯×××를 일렬로
나열하는 방법의 수
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지54 SinsagoHitec
통계Ⅲ
06
확률분포
281 확률의 총합은 1이므로
a‹
+ +
2
1-a¤
4
;4!;
+
-2a=1
;2#;
2a‹ -a¤ -8a+4=0(cid:100)(cid:100)
(a+2)(2a-1)(a-2)=0
본책 56쪽
(cid:100)(cid:100)∴ a=-2 또는 a=;2!; 또는 a=2
a‹
이때 0… <1, 0…
2
1-a¤
4
<1, 0…;2#;-2a<1이어
야 하므로
a=
;2!;
따라서 구하는 확률은
확률질량함수의 성질
이산확률변수 X의 확률
질량함수
(cid:100)P(X=x‘)=p‘
(i=1, 2, y, n)
에 대하여
① 0…p‘…1
② P(X=x‘)=1
n
¡i=1
꺼낸 공이 모두 흰 공
일 확률
꺼낸 공이 모두 검은
공일 확률
a‹
P(X=2)= =;2!;¥{;2!;}
2
‹ =
;1¡6;
(cid:8951) ②
꺼낸 공이 흰 공 1개,
검은 공 1개일 확률
P(X=2)=;5#;¥;4#;=;2ª0;
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
0
1
2
합계
P(X=x)
;1¡0;
;2ª0;
;2ª0;
1
따라서 확률변수 X에 대하여
E(X)=0¥;1¡0;+1¥;2ª0;+2¥;2ª0;=;2@0&;
(cid:8951) ②
285 한 번의 시행에서 받을 수 있는 금액을 X원이
라 하면 확률변수 X가 가질 수 있는 값은2800, 2100,
1400이고, 그 확률은 각각
P(X=2800)=
P(X=2100)=
P(X=1400)=
£C™
•C™
=;2£8;,
=;1∞4;,
∞C™
•C™
£C¡¥∞C¡
•C™
=;2!8%;
282 확률의 총합은 1이므로
P(X=1)+P(X=2)+y+P(X=10)=1
P(X=1)+2P(X=1)+y+10P(X=1)=1
(1+2+3+y+10)P(X=1)=1
55P(X=1)=1(cid:100)(cid:100)∴ P(X=1)=;5¡5;
a=;2!;일 때
a‹
2
(cid:100) =;1¡6;,
1-a¤
4
(cid:100)
=;1£6;,
(cid:100);2#;-2a=;2!;
∴ P(X=k)=k¥;5¡5;=
;55; (k=1, 2, 3, y, 10)
10
¡k=1
k=
10¥11
2
=55
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
2800
2100
1400 합계
P(X=x)
;2£8;
;1∞4;
;2!8%;
1
따라서 확률변수 X에 대하여
E(X)=2800¥;2£8;+2100¥;1∞4;+1400¥;2!8%;
E(X)=1800
(cid:8951) 1800원
=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)
286 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이고,
그 확률은 각각
따라서 구하는 확률은
P(3…X… 6)
=;5£5;+;5¢5;+;5∞5;+;5§5;
=;5!5*;
(cid:8951) ④
283 확률의 총합은 1이므로
a+;1¡2;+b=1(cid:100)(cid:100)∴ a+b=;1!2!; yy ㉠(cid:100)(cid:100)
E(X)=:¡3§:이므로(cid:100)(cid:100)2¥a+4¥;1¡2;+6¥b=:¡3§:(cid:100)(cid:100)
∴ 2a+6b=5
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
¢C™
¶C™
¢C¡¥£C¡
¶C™
P(X=0)= =;7@;,
P(X=1)=
=;7$;,
P(X=2)= =;7!;
£C™
¶C™
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
P(X=x)
0
;7@;
1
;7$;
2
;7!;
합계
1
E(X)=0¥;7@;+1¥;7$;+2¥;7!;=;7^;
E(X¤ )=0¤ ¥;7@;+1¤ ¥;7$;+2¤ ¥;7!;=;7*;
이므로
V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ =;7*;-{;7^;}
=;4@9);
2
∴ r(X)=Æ…;4@9); =
2'5
7
(cid:8951) ③
㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=;8!;, b=;2!4(;
따라서 확률변수 X에 대하여
∴ b-a=;3@;
284 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이고,
그 확률은 각각
P(X=0)={1-;5#;}¥{1-;4#;}=;1¡0;,
P(X=1)=;5#; ¥{1-;4#;}+{1-;5#;}¥;4#;=;2ª0;,
=;4@9);
V(X)의 정의를 이용
하여 다음과 같이 계산
(cid:8951) ⑤
할 수도 있다.
V(X)
2
={0-;7^;}
¥;7@;
2
2
+{1-;7^;}
¥;7$;
+{2-;7^;}
¥;7!;
54 정답 및 풀이
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지55 SinsagoHitec
287 확률의 총합은 1이므로
a+b+c=1
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
E(X)=1이므로(cid:100)(cid:100)0¥a+1¥b+2¥c=1
∴ b+2c=1
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
V(X)=;3!;이므로(cid:100)(cid:100)0¤ ¥a+1¤ ¥b+2¤ ¥c-1¤ =;3!;
yy ㉢(cid:100)(cid:100)
∴ b+4c=;3$;
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면
a=;6!;, b=;3@;, c=;6!;
∴ a+2b+3c=2
288 V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ 이므로
¤ +:¡4£:
V(X)=3k+1-k¤ =-{k-;2#;}
«Cn-1=«C1=n
따라서 V(X)는 k=;2#;일 때 최댓값 :¡4£:을 갖는다.
(cid:8951) 2
(cid:8951) :¡4£:
양의 약수
1, 2, 4
1, 2, 3, 6
1, 2, 4, 8
4
6
8
289 E(Y)=11에서(cid:100)(cid:100)E{;2!;X+5}=11
;2!;E(X)+5=11(cid:100)(cid:100)∴ E(X)=12
또 E(Y¤ )=124이므로 V(Y)=E(Y¤ )-{E(Y)}¤ 에서
V(Y)=124-11¤ =3
V(Y)=3에서(cid:100)(cid:100)V{;2!;X+5}=3
1
2¤
V(X)=3(cid:100)(cid:100)∴ V(X)=12
V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ 에서
12=E(X¤ )-12¤ (cid:100)(cid:100)∴ E(X¤ )=156
(cid:8951) ⑤
290 E(X)=10이므로
E(Y)=E {
X+b
a
}=
;a!;
E(X)+
;aB;
E(Y)=
:¡aº:
∴ b=-10
+
=0
;aB;
또 r(X)=3이므로
r(Y)=r{
X+b
a
}=
;a!;
r(X)=
=1
;a#;
∴ a=3
∴ a-b=3-(-10)=13
(cid:8951) ④
;1§0º0;=;5#;
a>0이므로
(cid:100)|;a!;|=
;a!;
291 O형인 학생이 2명이므로 확률변수 X가 가질
수 있는 값은0, 1, 2이고, 그 확률은 각각
P(X=0)=
P(X=1)=
P(X=2)=
™Cº¥•C£
¡ºC£
™C¡¥•C™
¡ºC£
™C™¥•C¡
¡ºC£
=;1¶5;,
=;1¶5;,
=;1¡5;
본책
56쪽``…``58쪽
따라서 확률변수 X에 대하여
E(X)=0¥;1¶5;+1¥;1¶5;+2¥;1¡5;=;5#;
E(X¤ )=0¤ ¥;;1¶5;+1¤ ¥;;1¶5;+2¤ ¥;;1¡5;=;1!5!;
이항분포 B(n, p)를 따
르는 확률변수 X의 확률
질량함수
(cid:8857) P(X=x)=nCxpxqn-x
(x=0, 1, 2, y, n,
q=1-p)
이므로
V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤
2
=;7@5*;
V(X)=;1!5!;-{;5#;}
∴ V(5X+3)=5¤ V(X)
∴ V(5X+3)=25¥;7@5*;=:™3•:
(cid:8951) :™3•:
292 P(X=n-1)=12P(X=n)에서
«Cn-1pn-1(1-p)=12¥«C«pn
npn-1(1-p)=12pn
p+0이므로 위의 식의 양변을 pn-1으로 나누면
n(1-p)=12p
np=6에서(cid:100)(cid:100)n=
;p^;
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉡을 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)
;p^;(1-p)=12p
1-p=2p¤ ,(cid:100)(cid:100)2p¤ +p-1=0
(p+1)(2p-1)=0
∴ p=;2!; (∵ 0<p…1)
계
통
Ⅲ
p=;2!;을 ㉡에 대입하면(cid:100)(cid:100)n=12
∴ n+6p=15
(cid:8951) ②
293 원판에 적힌 수 중에서 양의 약수의 개수가 3 또
는 4인 수는 4, 6, 8이다.
즉 양의 약수의 개수가 3 또는 4인 수가 적힌 영역에 화
살을 맞힐 확률은 ;8#;이다.
따라서 확률변수 X는 이항분포 B{320, ;8#;}을 따르므로
n=320, p=;8#;
∴ np=120
(cid:8951) ③
294 확률변수 X는 이항분포 B{5,
;5#;}을 따르므로
확률변수 X의 확률질량함수는
x
P(X=x)=∞Cx {;5#
{;5@;}
#;}
5-x
(x=0, 1, 2, 3, 4, 5)
따라서 구하는 확률은
P(Xæ4)=P(X=4)+P(X=5)
⁄ +∞C∞ {;5#;}
P(Xæ4)=∞C¢{;5#;}
{;5@;}
› +;5#; {;5#;}
{;5@;}
› =:¡5£: {;5#;}
P(Xæ4)=2{;5#;}
∴ k=:¡5£:
(cid:8951) :¡5£:
Ⅲ. 통계 55
›
fi
‚
›
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지56 SinsagoHitec
295 확률변수 X는 이항분포 B(n, p)를 따르므로
E(X)=16, V(X)=12에서
확률변수 X의 확률질량
299 확률의 총합은 1이므로
n
¡x=1
P(X=x)= ax=a¥
n
¡x=1
n(n+1)
2
=1
np=16
np(1-p)=12
㉠을 ㉡에 대입하면
16(1-p)=12,(cid:100)(cid:100)1-p=;4#;
p=;4!;을 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)n=64
∴ p=;4!;
∴
=256
;pN;
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
함수가
P(X=x)
=nCxpx(1-p)n-x
(x=0, 1, 2, y, n)
(cid:8857) X는 이항분포
B(n, p)를 따른다.
즉 a=
2
n(n+1)
이므로
n
¡k=1
ak¤ =a
n
¡k=1
k¤
ak¤ =
2
n(n+1)
¥
n(n+1)(2n+1)
6
ak¤ =;3!;(2n+1)
(cid:8951) ④
따라서 ;3!; (2n+1)=19이므로(cid:100)(cid:100)2n+1=57
∴ n=28
(cid:8951) 28
자연수의 거듭제곱의 합
n
① k=
¡k=1
n(n+1)
2
n
② k¤ =
¡k=1
n(n+1)(2n+1)
6
n
③ k‹ =[
¡k=1
n(n+1)
2
2
]
확률변수 X가 이항분포
B(n, p)를 따를 때,
E(X)=np
V(X)=npq
r(X)='∂npq
2, 3, 5의 카드 중1장
을 뽑고 1, 4, 6의 카드
중 2장의 카드를 뽑는
방법의 수
(단, q=1-p)
P(X=1)=
300 `
3, 5의 3개이므로 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0,
1부터 6까지의 자연수 중 소수는 2,
1, 2, 3이고, 그 확률은 각각
P(X=0)=
£Cº¥£C£
§C£
£C¡¥£C™
§C£
£C™¥£C¡
§C£
£C£¥£Cº
§C£
=;2¡0;,
=;2ª0;,
=;2ª0;,
=;2¡0;
P(X=2)=
P(X=3)=
E(X)=;2#;
`
따라서 확률변수 X에 대하여
E(X)=0¥;2¡0;+1¥;2ª0;+2¥;2ª0;+3¥;2¡0;
● 50%
● 50%
(cid:8951) ;2#;
301 한 번의 게임에서 받을 수 있는 금액을 X원이
라 할 때, 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다
X
P(X=x)
-500
x
8+x
1000
8
8+x
합계
1
이 게임을 한 번 해서 받을 수 있는 금액의 기댓값이
300원이므로
-500¥
+1000¥
=300
x
8+x
8
8+x
-500x+8000=300(8+x)
800x=5600(cid:100)(cid:100)∴ x=7
(cid:8951) 7
302 빨간 공과 흰 공에 적힌 두 수의 합은 2, 3, 4,
5이고 흰 공에 적힌 두 수의 곱은 2이므로 확률변수 X
가 가질 수 있는 값은 0, 2, 3, 4, 5이고`, 그 확률은 각각
P(X=0)= =;1£0;,
£C™
∞C™
296 확률변수 X는 이항분포 B {100,
;1¡0;}을 따르
므로
E(X)=100¥
=10
;1¡0;
r(X)=æ≠100¥
¥
;1¡0;
;1ª0;
='9=3
(cid:8951) ③
297 1회의 시행에서 빨간 공이 나올 확률은 ;5@;이다.
따라서 20회의 시행에서 빨간 공이 나오는 횟수를 X라
하면 확률변수 X는 이항분포 B {20, ;5@;}를 따르므로
E(X)=20¥;5@;=8
이때 받는 총 금액을 Y원이라 하면 Y=200X이므로
E(Y)=E(200X)=200E(X)=200¥8=1600
따라서 구하는 기댓값은 1600원이다.
(cid:8951) ④
298 확률의 총합은 1이므로
;8!;+a+b+c=1
∴ a+b+c=;8&;
a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
2b=a+c
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉠에서 a+c=;8&;-b이므로 ㉡에 대입하면
b=;2¶4;
또 세 수 ;8!;, a, ;2¶4;이 이 순서대로 등차수열을 이루므
로
2b=;8&;-b에서
(cid:100)3b=;8&;
(cid:100)∴ b=;2¶4;
2a=;8!;+;2¶4;(cid:100)(cid:100)∴ a=;2∞4;
a=;2∞4;, b=;2¶4;을 ㉠에 대입하면
;2∞4;+;2¶4;+c=;8&;(cid:100)(cid:100)∴ c=;8#;
∴ a+2b+3c=;1@2#;
(cid:8951) ③
56 정답 및 풀이
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
음과 같다.
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지57 SinsagoHitec
1
P(X=2)= + =;1™0;,
∞C™
™C™
∞C™
P(X=3)= =;1™0;,
P(X=4)= =;1™0;,
P(X=5)= =;1¡0;
따라서 확률변수 X에 대하여
2
∞C™
2
∞C™
1
∞C™
1이 적힌 빨간 공 1개
와 1이 적힌 흰 공1개
를 꺼내는 경우의 수
흰 공 2개를 꺼내는 경
우의 수
6¥P(X=6)
E(X)=0¥;1£0;+2¥;1™0;+3¥;1™0;+4¥;1™0;+5¥;1¡0;
E(X)=;1@0#;
E(X¤ )=0¤ ¥;1£0;+2¤ ¥;1™0;+3¤ ¥;1™0;+4¤ ¥;1™0;+5¤ ¥;1¡0;
E(X¤ )=;1*0#;
∴ V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤
∴ V(X)=;1*0#;-{;1@0#;}
=;1#0)0!;
2
본책
58쪽``…``60쪽
;6%;+a=1(cid:100)(cid:100)∴ a=;6!;
● 50%
`
∴ E{ X}=E(60X)=60E(X)
10
a
=60{
=60{
5
¡k=1
5
¡k=1
k¥
1
k(k+1)
+6¥a}
1
k+1
+6¥;6!;}
=60{;2!;+;3!;+;4!;+;5!;+;6!;+1}
=30+20+15+12+10+60
=147
● 50%
(cid:8951) 147
305 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3,
y, 9이고, 확률변수 Y, Z가 가질 수 있는 값은 각각
0, 2, 4, 6, y, 18이다. X, Y, Z가 각각의 값을 가질
(cid:8951) ④
확률변수 X와 두 상수
a(a+0), b에 대하여
확률은 모두 ;1¡0;이므로(cid:100)(cid:100)Y=Z=2X
∴ V(Y)=V(Z)=V(2X)=2¤ V(X)
303 `
들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는 3!=6이므로 확률
1, 3, 5를 각각 한 번씩 이용하여 만
① E(aX+b)
=aE(X)+b
변수 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6이고, 그
② V(aX+b)=a¤ V(X)
③ r(aX+b)=|a|r(X)
∴ a<b=c
=4V(X)
이때 V(X)>0이므로(cid:100)(cid:100)V(X)<V(Y)=V(Z)
계
통
Ⅲ
(cid:8951) ③
확률은 각각
P(X=1)=;6!;,
P(X=2)=;6%;¥;5!;=;6!;,
P(X=3)=;6%;¥;5$;¥;4!;=;6!;,
⋮
∴ P(X=x)=;6!; (x=1, 2, 3, 4, 5, 6) ● 40%
따라서 확률변수 X에 대하여
6
E(X)= x¥;6!;=;6!;¥
¡x=1
6
E(X¤ )= x¤ ¥;6!;=;6!;¥
¡x=1
6¥7
=;2&;
2
6¥7¥13
6
=:ª6¡:
이므로
V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤
V(X)=:ª6¡:-{;2&;}
=;1#2%;
2
`
∴ r(X)=Ƭ;1#2%; =
'∂1∂05
6
nCr=
n!
1111233
r!(n-r)!
● 40%
● 20%
(cid:8951) '∂1∂05
6
1-0.8=0.2
306 확률변수 X의 확률질량함수가
P(X=x)=∞ºCx{;4!;}
{;4#;}
‚ —≈
(x=0, 1, 2, y, 50)
이므로
P(X=k)
P(X=k+1)
=
∞ºC˚ {;4!;}
‚ —˚
· —˚
{;4#;}
˚ ±⁄
{;4#;}
∞ºC˚≠¡ {;4!;}
50!
k!(50-k)!
50!
(k+1)!(49-k)!
=
¥
;4#;
;4!;
=
k+1
50-k
¥3
즉
3(k+1)
50-k
=
;1@0!;
이므로(cid:100)(cid:100)10k+10=350-7k
17k=340(cid:100)(cid:100)∴ k=20
(cid:8951) ③
307 의약품 K를 투여하였을 때 발진을 일으킬 확률
이 0.2이고, 이 중1시간 내에 정상으로 회복하지 못할
확률이 0.2이므로 의약품 K를 투여하였을 때 발진을 일
으킨 후 1시간 내에 정상으로 회복하지 못할 확률은
304 `
6
¡k=1
확률의 총합은 1이므로
P(X=k)=1,(cid:100)(cid:100)
5
¡k=1
1
k(k+1)
+a=1
5
¡k=1
1
{ -
k
1
k+1
}+a=1
{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y+{;5!;-;6!;}+a=1
부분분수로의 변형
1
AB
=
1
B-A
1
1
{ - }
A
B
(단, A+B)
르므로
0.2_0.2=0.04
따라서 확률변수 X는 이항분포 B(60000, 0.04)를 따
E(X)=60000_0.04=2400
r(X)='ƒ60000ƒ_0.0ƒ4_0.96 =48
(cid:8951) ④
Ⅲ. 통계 57
≈
fi
˚
fi
›
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지58 SinsagoHitec
308
확률변수 X의 확률질량함수가
P(X=x)=∞ºCx {;2!;}
{;2!;}
‚ —≈
(x=0, 1, 2, y, 50)
이므로 확률변수 X는 이항분포 B {50, ;2!;}을 따른다.
따라서 확률변수 X에 대하여
E(X)=50¥;2!;=25
V(X)=50¥;2!;¥;2!;=
V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ 에서
:™2∞:
E(X¤ )=V(X)+{E(X)}¤
E(X¤ )=
+25¤ =
:™2∞:
:¡:™2¶:∞:
`
`
∴ E{
X¤
25
}=
;2¡5;
E(X¤ )=
¥
;2¡5;
:¡:™2¶:∞:
=
:∞2¡:
● 40%
● 40%
● 20%
(cid:8951)
:∞2¡:
309 1회의 시행에서 서로 다른 색의 공이 나올 확률
은
¡C¡¥¢C¡
∞C™
=;5@;
이므로 확률변수 X는 이항분포 B{50, ;5@;}를 따른다.
따라서 확률변수 X에 대하여
E(X)=50¥;5@;=20
V(X)=50¥;5@;¥;5#;=12
이므로
50
¡k=0
kP(X=k)=20,
k¤ P(X=k)=412
50
¡k=0
∴ f(x)= (-x¤ +kx+k¤ )P(X=k)
∴ f(x)=-x¤
P(X=k)+x
kP(X=k)
50
¡k=0
50
¡k=0
50
¡k=0
50
∴ f(x)=+ k¤ P(X=k)
¡k=0
∴ f(x)=-x¤ ¥1+x¥20+412
∴ f(x)=-x¤ +20x+412
∴ f(x)=-(x-10)¤ +512
따라서 함수 f(x)는 x=10일 때 최댓값 512를 갖는다.
E(aX¤ )= axi
2pi
n
¡i=1
311 ⁄ A농가
2pi
xi
=a
n
¡i=1
=aE(X¤ )
E(X)=20_0.2+15_0.6+10_0.2=15
E(X¤ )=20¤ _0.2+15¤ _0.6+10¤ _0.2=235
¤ 처음 카드에 적힌 숫자가 소수가 아닐 확률은
이므
;5@;
로 [규칙 2]에 의하여 받을 수 있는 금액의 기댓값은
(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)
¥
;5!;
¥
;5!;
;5@;
;5@;
(1+2+3+6+7)¥500=
¥1900
;5@;
(1+2+3+6+7)¥500=760(원)
⁄, ¤에서 구하는 기댓값은
240+760=1000(원)
1등급
|비|밀|노|트|
(cid:8951) ④
카드를 한 장 뒤집었을 때 나오는 숫자가 소수, 즉 2, 3, 7인 사건
은 서로 독립이고, 각 사건이 일어날 확률은 ;5!;로 같다.
이때 소수가 나올 확률을 ;5#;으로 생각하여 기댓값을
(cid:100)(cid:100);5#;(2+3+7)¥100=720
으로 계산하지 않도록 주의한다.
¤ 이므로(cid:100)(cid:100)V(X)=235-15¤ =10
¤ (cid:100)(cid:100)∴ r(X)='∂10
¤ B농가
E(X)=20_0.25+15_0.5+10_0.25=15
E(X¤ )=20¤ _0.25+15¤ _0.5+10¤ _0.25=237.5
¤ 이므로(cid:100)(cid:100)V(X)=237.5-15¤ =12.5
¤ (cid:100)(cid:100)∴ r(X)='ƒ12.5
‹ C농가
E(X)=20_0.35+15_0.3+10_0.35=15
E(X¤ )=20¤ _0.35+15¤ _0.3+10¤ _0.35=242.5
¤ 이므로(cid:100)(cid:100)V(X)=242.5-15¤ =17.5
¤ (cid:100)(cid:100)∴ r(X)='ƒ17.5
이상에서 표준편차가 작은 농가부터 순서대로 나열하면
A, B, C
(cid:8951) ①
312 6개의 선분의 양 끝 점에 대응하는 수 중 큰 수
를 나열하면 2, 3, 3, 4, 4, 4이므로 확률변수 X가 가
질 수 있는 값은 2, 3, 4이고, 그 확률은 각각
P(X=2)=;6!;,
P(X=3)=;6@;,
P(X=4)=;6#;
50
¡k=0
k¤ P(X=k)-20¤ =12
1
2
1
2
1
2
(cid:8857) 2
4
3
4
3
4
3
1
2
1
2
4
3
4
3
(cid:8857) 3
1
2
4
3
(cid:8857) 4
확률의 총합은 1이다.
(cid:8951) 512
따라서 확률변수 X에 대하여
310 ⁄ 카드에 적힌 숫자 중 소수는 2, 3, 7이므로
소수가 나왔을 때 받을 수 있는 금액의 기댓값은
(cid:100)(cid:100)
¥(2+3+7)¥100=240(원)
;5!;
카드를 뒤집었을 때 카
드에 적힌 숫자가 2(3
또는 7)일 확률
E(X)=2¥;6!;+3¥;6@;+4¥;6#;=:¡3º:
E(X¤ )=2¤ ¥;6!;+3¤ ¥;6@;+4¤ ¥;6#;=:£3∞:
이므로(cid:100)(cid:100)V(X)=:£3∞:-{:¡3º:}
=;9%;
2
58 정답 및 풀이
≈
fi
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지59 SinsagoHitec
(cid:8951) ②
0…x…
에서
;3@;
;2!;¥b¥2=;3@;(cid:100)(cid:100)∴ b=;3@;
계
통
Ⅲ
r(X)=Æ;9%;
= 이므로
'5
3
r(3X+2)=3r(X)=3¥ ='5
(cid:8951) ④
'5
3
313 등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
a«=a+(n-1)d
이므로 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 a, a+d,
a+2d, a+3d, y, a+100d이다. X=a+dY라 하
고 확률변수 Y의 확률질량함수를
P(Y=k)=¡ººC˚ {;2!;}
(k=0, 1, 2, y, 100)
으로 정의하면 확률변수 Y는 이항분포 B {100, ;2!;}을
따르므로
E(Y)=100¥;2!;=50, r(Y)=Æ…100¥;2!;¥;2!;=5
∴ E(X)=E(a+dY)
=a+50d=103
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
r(X)=r(a+dY)=5d=10 yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉠`, ㉡`에서(cid:100)(cid:100)a=3, d=2
∴ a™º=a+19d=3+38=41
314 확률변수 X는 이항분포 B(n, p)를 따르므로
E(X)=6, V(X)=4에서
np=6
np(1-p)=4
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)n=18, p=;3!;
n
¡x=0
18
¡x=0
∴ x¤ «Cx(4p)x(1-p)n-x
= x¤ ¡•Cx{;3$;}
18-x
x
{;3@;}
=2⁄
=2⁄
=2⁄
18
¡x=0
18
¡x=0
18
¡x=0
x¤ ¡•Cx{;3$;}
x¤ ¡•Cx{;6$;}
x¤ ¡•Cx{;3@;}
x
{;3@;}
x
{;6@;}
x
{;3!;}
18-x
18-x
18-x
x
{;2!;}
{;2!;}
18-x
확률변수 Y가 이항분포 B{18, ;3@;}를 따른다고 할 때
E(Y)=18¥;3@;=12, V(Y)=18¥;3@;¥;3!;=4
이므로
18
¡x=0
x¤ ¡•Cx{;3@;}
18-x
x
{;3!;}
=E(Y¤ )
=V(Y)+{E(Y)}¤
=4+12¤ =148
x¤ «Cx(4p)x(1-p)n-x
n
¡x=0
∴
1
2¤
1
2¤
=37
= ¥218¥148
본책
60쪽``…``62쪽
본책 62쪽
y=f{x}
3
4
x
07
정규분포
315 함수 y=f(x)의 그래
프는 오른쪽 그림과 같고,
y=f(x)의 그래프와 x축 및
직선 x=4로 둘러싸인 도형
y
4k
3k
O
의 넓이가 1이므로
;2!;¥4¥4k=1
8k=1(cid:100)(cid:100)∴ k=;8!;
P(0…X…3)은 위의 그림의 어두운 부분의 넓이와 같
으므로
P(0…X…3)=;2!;¥3¥;8#;=;1ª6;
(cid:8951) ③
316 P(a…X…0)=;3!;이므로
;2!;¥(-a)¥2=;3!;(cid:100)(cid:100)∴ a=-;3!;
P(0…X…b)=1-;3!;=;3@;이므로
따라서 a+b=;3!;이고, f {;3!;}=1이므로
P(a+b…X…b)=P{;3!;…X…;3@;}
P(a+b…X…b)=;2!;¥{;3@;-;3!;}¥1
P(a+b…X…b)=;6!;
(cid:8951) ②
317 N(a, b)를 따르는 확률변수 X의 정규분포 곡
선은 직선 x=a에 대하여 대칭이므로 조건 ㈎에서(cid:100)(cid:100)
a=
10+18
2
=14
r(X)=c라 하면 V(X)=c¤ 이므로 조건 ㈏에서
c¤ =3c+4,(cid:100)(cid:100)c¤ -3c-4=0
(c+1)(c-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ c=4 (∵ c>0)
따라서 b=c¤ =16이므로
a+b=14+16=30
(cid:8951) 30
y=f(x)의 그래프와 x
축 및 직선 x=3으로
둘러싸인 도형의 넓이
f(x)=;8!;x에서
(cid:100)f(3)=;8#;
(cid:100)f(x)=-3x+2
이므로
(cid:100)f {;3!;}=-3¥;3!;+2
=1
㉠을 ㉡에 대입하면
(cid:100)1-p=;3@;
(cid:100)∴ p=;3!;
p=;3!;을 ㉠에 대입하면
(cid:100)n=18
318 P(2-3r…X…2+3r)=a에서
2P(2…X…2+3r)=a
∴ P(2…X…2+3r)=
;2A;
P(2+2r…X…2+3r)=b에서
N(2, r¤ )을 따르는 확
률변수 X의 정규분포
곡선은 직선 x=2에 대
하여 대칭이다.
V(Y)=E(Y¤ )-{E(Y)}¤
에서
E(Y¤ )=V(Y)+{E(Y)}¤
(cid:8951) 37
P(2…X…2+3r)-P(2…X…2+2r)=b
∴ P(2…X…2+2r)=
-b
;2A;
∴ P(2-2r…X…2+2r)=2P(2…X…2+2r)
=2 {;2A;
-b}=a-2b
(cid:8951) a-2b
Ⅲ. 통계 59
°
°
°
‚
‚
⁄
‚
‚
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지60 SinsagoHitec
ZY의 정규분포 곡선은
직선 z=0에 대하여 대
칭이므로
P(-a…ZY…b)
=P(-b…ZY…a)
확률변수 Z가 표준정규
분포를 따를 때,
(단, 0<a<b)
① P(0…Z…a)
=P(-a…Z…0)
② P(-a…Z…b)
=P(-a…Z…0)
+P(0…Z…b)
=P(0…Z…a)
+P(0…Z…b)
두 곡선 y=f(x),
y=g(x)는 모두 직선
x=0에 대하여 대칭이
다.
319 확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(8, 3¤ ),
N(24, 4¤ )을 따르므로
ZX=
X-8
3
, ZY=
Y-24
4
로 놓으면 ZX, ZY는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따
른다.
P(5…X…a)=P{
5-8
3
…ZX…
P(5…X…a)=P{-1…ZX…
}
a-8
3
a-8
3
}
P(10…Y…28)=P{
10-24
4
…ZY…
28-24
4
}
P(10…Y…24)=P{-;2&;…ZY…1}
P(10…Y…24)=P{-1…ZY…;2&;}
P(5…X…a)=P(10…Y…28)에서
a-8
3
P{-1…ZX…
a-8
3
=;2&;이므로
따라서
}=P{-1…ZY…;2&;}
a-8=:™2¡:(cid:100)(cid:100)∴ a=:£2¶:
(cid:8951) :£2¶:
320 확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(1, 2¤ ),
N(2, 1¤ )을 따르므로
ZX=
X-1
2
, ZY=
Y-2
1
로 놓으면 ZX, ZY는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따
른다.
a=P(1…X…5)=P{
a=P(0…ZX…2)
1-1
2
…ZX…
5-1
2
}
b=P(-1…Y…1)=P{
b=P(-3…ZY…-1)=P(1…ZY…3)
…ZY…
-1-2
1
1-2
1
}
c=P(1…Y…3)=P{
b=P(-1…ZY…1)
1-2
1
…ZY…
3-2
1
}
P(1…ZY…3)<P(0…ZX…2)<P(-1…ZY…1)이
므로(cid:100)(cid:100)b<a<c
(cid:8951) ③
1등급
|비|밀|노|트|
① 정규분포를 따르는 확률변수 X, Y에 대한 확률을 비교할 때
에는 각각을 표준화한 다음 확률을 비교한다.
② P(a…Z…b), P(a'…Z…b')에 대하여
b-a=b'-a'일 때, |
|>|
(cid:100)(cid:100)P(a…Z…b)<P(a'…Z…b')
a+b
2
a'+b'
2
|이면
321 확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(a, 2¤ ),
N(a+4, 3¤ )을 따르므로
ZX=
X-a
2
, ZY=
Y-a-4
3
P(-1…Z…0)
+P(0…Z…1.5)
=P(0…Z…1)
+P(0…Z…1.5)
60 정답 및 풀이
로 놓으면 ZX, ZY는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따
른다.
P(Xæb)=P(Y…b)에서
b-a
2
=-
P{ZXæ
}=P{ZY…
b-a-4
3
}
따라서
b-a
2
b-a-4
3
이므로
3b-3a=-2b+2a+8
5b-5a=8(cid:100)(cid:100)∴ b-a=;5*;
(cid:8951) ;5*;
322 확률변수 X가 정규분포 N(40, 10¤ )을 따르므
로 Z=
으로 놓으면 Z는 표준정규분포
X-40
10
N(0, 1)을 따른다.
∴ P(35…X…55)
…Z…
55-40
10
35-40
=P{
10
=P(-0.5…Z…1.5)
=P(-0.5…Z…0)+P(0…Z…1.5)
=P(0…Z…0.5)+P(0…Z…1.5)
}
=0.1915+0.4332
=0.6247
323 P(-0.5…X…0.5)-P(-0.5…Z…0.5)
=2{P(0…X…0.5)-P(0…Z…0.5)}
=2{P(0…X…0.5)-0.1915}
이므로 2{P(0…X…0.5)-0.1915}=0.2996에서
P(0…X…0.5)=0.3413
확률변수 X가 정규분포 N(0, r¤ )을 따르므로
ZX= 로 놓으면 ZX는 표준정규분포 N(0, 1)을 따
X
r
른다.
0.5
P{0…ZX… }=0.3413
r
이때 P(0…Z…1)=0.3413이므로
0.5
r
=1(cid:100)(cid:100)∴ r=0.5
(cid:8951) ③
(cid:8951) ③
324 음료수의 용량을 X mL라 하면 확률변수 X는
정규분포 N(250, 8¤ )을 따르므로 Z=
X-250
8
으로
놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
따라서 구하는 확률은
P(242…X…262)
…Z…
242-250
=P{
8
=P(-1…Z…1.5)
=P(0…Z…1)+P(0…Z…1.5)
262-250
8
}
=0.3413+0.4332=0.7745
(cid:8951) ②
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지61 SinsagoHitec
놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
므로 Z=
로 놓으면 Z는 표준정규분포
325 학생들의 수학 성적을 X점이라 하면 확률변수
X는 정규분포 N(62, 12¤ )을 따르므로 Z=
X-62
12
로
80-62
12
∴ P(Xæ80)=P{Zæ
∴ P(Xæ80)=P(Zæ0)-P(0…Z…1.5)
∴ P(Xæ80)=0.5-0.43=0.07
}=P(Zæ1.5)
따라서 수학 성적이 80점 이상인 학생 수는
0.07_300=21
(cid:8951) 21
326 일주일 동안 자율학습실에서 공부한 시간을 X
시간이라 하면 확률변수 X는 정규분포 N(14, 4¤ )을 따
르므로 Z=
로 놓으면 Z는 표준정규분포
N(0, 1)을 따른다.
지정석을 받기 위한 최소 시간을 a시간이라 하면
P(Xæa)=
=0.067에서
X-14
4
67
1000
a-14
4
P{Zæ
}=0.067
P(Zæ0)-P{0…Z…
a-14
4
}=0.067
0.5-P{0…Z…
a-14
4
}=0.067
∴ P{0…Z…
}=0.433
이때 P(0…Z…1.5)=0.433이므로
a-14
4
a-14
4
=1.5(cid:100)(cid:100)∴ a=20
(cid:8951) 20시간
(80점 이상일 확률)
_(2학년 학생 수)
4¥4=16
본책
63쪽``…``65쪽
E(X)=256¥;2!;=128, V(X)=256¥;2!;¥;2!;=64
따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(128, 8¤ )을 따르
X-128
8
N(0, 1)을 따른다.
∴
144
¡k=136
p˚=p¡£§+p¡£¶+y+p¡¢¢
=P(X=136)+P(X=137)
=+y+P(X=144)
=P(136…X…144)
136-128
8
…Z…
=P{
=P(1…Z…2)
=P(0…Z…2)-P(0…Z…1)
144-128
8
}
=0.4772-0.3413=0.1359
(cid:8951) ⑤
329 정사면체 모양의 주사위 2개를 동시에 던질 때,
바닥에 놓인 면에 적힌 두 수의 합이 6 이상인 경우는
(2, 4), (3, 3), (4, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 4)
의 6가지이므로 사건 A가 일어날 확률은(cid:100)(cid:100);1§6;=;8#;
따라서 960회의 시행 중 사건 A가 일어나는 횟수를 X라
계
통
Ⅲ
하면 확률변수 X는 이항분포 B{960, ;8#;}을 따른다.
E(X)=960¥;8#;=360,
V(X)=960¥;8#;¥;8%;=225
에서 X는 근사적으로 정규분포 N(360, 15¤ )을 따르
X-360
15
N(0, 1)을 따른다.
∴ P(X…330)=P{Z…
∴ P(X…330)=P(Z…-2)
330-360
15
}
=P(Zæ2)
=P(Zæ0)-P(0…Z…2)
=0.5-0.4772
=0.0228
(cid:8951) ②
따라서 지정석을 받기 위한 최소 시간은 20시간이다.
므로 Z=
으로 놓으면 Z는 표준정규분포
327 확률변수 X에 대하여
E(X)=72¥;3@;=48, V(X)=72¥;3@;¥;3!;=16
따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(48, 4¤ )을 따르므
로 Z=
로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)
X-48
4
확률변수 X가 이항분포
B(n, p)를 따를 때, n이
충분히 크면 X는 근사적
으로 정규분포
N(np, npq)를 따른다.
(단, q=1-p)
을 따른다.
∴ P(44…X…56)
…Z…
56-48
4
44-48
=P{
4
=P(-1…Z…2)
=P(-1…Z…0)+P(0…Z…2)
=P(0…Z…1)+P(0…Z…2)
}
=0.3413+0.4772=0.8185
(cid:8951) ③
-2…x…2에서
328 확률변수 X에 대하여 X는 이항분포
B{256, ;2!;}을 따르므로
(cid:100)f(x)=;4!;(2-|x|)
이므로
(cid:100)f(1)=;4!;
함수 y=f(x)의 그래
프와 x축으로 둘러싸인
도형의 넓이는 1이다.
330 함수 y=f(x)의 그래
프는 오른쪽 그림과 같으므로
y
2k
O
y=f{x}
2
x
;2!;¥4¥2k=1(cid:100)(cid:100)
-2
∴ k=;4!;
P(A)=P(X…1)
=P(-2…X…1)
=1-P(1…X…2)
P(A)=1-;2!;¥1¥;4!;=;8&;
Ⅲ. 통계 61
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지62 SinsagoHitec
P(A;B)=P(0…X…1)
P(A;B)=P(0…X…2)-P(1…X…2)
P(A;B)=;2!;-;8!;=;8#;
∴ P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
;8#;
= =;7#;
;8&;
(cid:8951) ③
331 함수 y=f(x)의 그래
프는 오른쪽 그림과 같으므로
y
3a
2a
a
;2!;¥2a¥a+;2!;¥6a¥3a=1
10a¤ =1(cid:100)(cid:100)
∴ a=
(∵ a>0)
1
'∂10
P(a…X…4a)는 위의 그림의 색칠한 부분의 넓이와
같으므로
P(a…X…4a)=;2!;¥a¥a+;2!;¥2a¥2a
=;2%;a¤ =;2%;¥;1¡0;=;4!;
(cid:8951) ;4!;
함수 f(x)=ax
332 `
가 확률밀도함수이므로 a>0이고,
0…x…k에서 함수 y=f(x)의 그
래프는 오른쪽 그림과 같다.
P(0…X…k)=1이므로
y
ak
2a
O
2
k
x
;2!;¥k¥ak=1(cid:100)(cid:100)∴ ak¤ =2
yy ㉠(cid:100)(cid:100)● 30%
P(0…X…2)=;2!;¥2¥2a=2a,
P(2…X…k)=1-P(0…X…2)=1-2a이므로
2a : (1-2a)=1：3
1-2a=6a(cid:100)(cid:100)∴ a=;8!;
(cid:100)(cid:100)● 30%
a=;8!;을 ㉠에 대입하면
;8!;k¤ =2,(cid:100)(cid:100)k¤ =16(cid:100)(cid:100)
∴ k=4 (∵ k>2)
4
∴ = =32
k
a
;8!;
`
(cid:100)(cid:100)● 30%
(cid:100)(cid:100)● 10%
(cid:8951) 32
정규분포 N(5, 2)를 따르는 확률변
333
수 W의 확률밀도함수를 k(x)라 하자.
E(X)=0, E(Y)=3, E(W)=5
이므로 세 곡선 y=f(x), y=g(x), y=k(x)는 각각
직선 x=0, x=3, x=5에 대하여 대칭이고,
V(X)=V(Y)=V(W)=2
이므로 세 곡선y=f (x), y=g(x), y=k(x)의 모양은
서로 같다.
(cid:100)(cid:100)● 30%
62 정답 및 풀이
`
즉 곡선 y=k(x)는 곡선y=f (x)를 x축의
방향으로 5만큼 평행이동한 것이고, 곡선 y=g(x)를
x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로
f(x-5)=k(x), g(x-2)=k(x) (cid:100)(cid:100)● 20%
∴ h(x)=;3!; f(x-5)+;3@;g(x-2)
∴ h(x)=;3!;k(x)+;3@;k(x)=k(x) (cid:100)(cid:100)● 20%
따라서 확률변수 T는 정규분포 N(5, 2)를
`
y=f{x}
O
a
2a
4a
5a
8a
x
곡선 y=k(x)는 직선
x=5에 대하여 대칭이
므로
(cid:100)P(Tæ5)=0.5
따르므로
P(Tæ5)=0.5
(cid:100)(cid:100)● 30%
(cid:8951) 0.5
10+22
2
14+18
2
=16,
=16
334 ㄱ. f(10)=P(10…X…14)이고, 정규분포 곡
선은 직선 x=16에 대하여 대칭이므로
(cid:100)(cid:100)P(10…X…14)=P(18…X…22)
(cid:100)(cid:100)∴ f(10)=f(18)
k+(k+4)
2
=16일 때,
즉 k=14일 때 최댓값
을 갖는다.
ㄴ. P(k…X…k+4)의 최댓값은 P(14…X…18)이
므로 함수 f(k)는 k=14일 때 최댓값을 갖는다.
ㄷ. f(a)=P(a…X…a+4),
f(28-a)=P(28-a…X…32-a)
y=f{x}
ㄷ. 이고
(cid:100)(cid:100)
a+(32-a)
2
=16,
(a+4)+(28-a)
2
=16
ㄷ. 이므로
ㄷ. (cid:100)(cid:100)P(a…X…a+4)=P(28-a…X…32-a)
ㄷ. (cid:100)(cid:100)∴ f(a)=f(28-a)
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
(cid:8951) ③
1등급
|비|밀|노|트|
ㄷ. 방정식 f(x, y)=0이 나타내는 도형을 직선 x=k에 대하여
대칭이동한 도형의 방정식은 f(2k-x, y)=0이다. 따라서
직선 x=a+4를 직선x=16에 대하여 대칭이동하면
(cid:100)(cid:100)x=2¥16-(a+4)=28-a
(cid:100)(cid:100)이므로 오른쪽 그림과 같이
직선 x=28-a와 직선
x=a+4는 직선 x=16에 대
하여 대칭임을 알 수 있다.
따라서 f(a)=f(28-a)이다.
28-a
16
32-a
a a+4
x
정규분포 곡선이 직선
x=4에 대하여 대칭이
므로
P(4-a…X…4)
=P(4…X…4+a)
335 P(4-a…X…4+b)=p™에서
P(4-a…X…4)+P(4…X…4+b)=p™
P(4…X…4+a)+P(4…X…4+b)=p™
p¡+P(4…X…4+b)=p™
∴ P(4…X…4+b)=p™-p¡
P(4-b…X…4+c)=p£에서
P(4-b…X…4)+P(4…X…4+c)=p£
P(4…X…4+b)+P(4…X…4+c)=p£
(p™-p¡)+P(4…X…4+c)=p£
∴ P(4…X…4+c)=p£-p™+p¡
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지63 SinsagoHitec
이므로(cid:100)(cid:100)k='∂13
∴ k¤ =13
본책
65쪽``…``66쪽
● 40%
(cid:8951) 13
(cid:8951) ④
b=-
(a-6), 즉 b=-
a+4
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
;3@;
;3@;
A(6, 0), B(0, 4)라 하면 직선AB의 방정식은
정규분포 곡선의 성질
① r의 값이 일정할 때,
m의 값이 달라지면
대칭축의 위치는 바뀌
지만 모양은 변하지
않는다.
② m의 값이 일정할 때,
r의 값이 클수록 가운
데 부분의 높이는 낮
아지고 옆으로 퍼진
모양이 된다.
r(X)<r(Y)이므로
(cid:100)f(50)>g(50)
a=3, b=2를 ㉠에 대입하면
2=-
¥3+4
;3@;
따라서 점 (3, 2)는 직선 AB 위의 점이다.
즉 현 AB는 원 (a-3)¤ +(b-2)¤ =13의 지름임을 알 수
있다.
339 확률변수 X, Y의 정규분포 곡선은 모두 직선
x=50에 대하여 대칭이고, r(X)<r(Y)이므로 X, Y
의 정규분포 곡선을 각각 y=f(x), y=g(x)라 하면 다
음 그림과 같다.
S¡
S£
50
y=f{x}
S™
y=g{x}
56
x
S™
44
계
통
Ⅲ
∴ P(4-a…X…4+c)
=P(4-a…X…4)+P(4…X…4+c)
=P(4…X…4+a)+P(4…X…4+c)
=p¡+(p£-p™+p¡)
=2p¡-p™+p£
336 두 확률변수 X¡, X™의 확률밀도함수의 그래프
의 대칭축이 일치하므로 확률변수 X£의 확률밀도함수
의 그래프는 맨 오른쪽에 있는 것이다.
∴ a>10
또 맨 오른쪽의 확률밀도함수의 그래프가 가운데 부분
이 가장 높고 옆으로 좁으므로 표준편차가 가장 작다.
∴ 0<b<4
(cid:8951) ①
337 Z¤ -(a+b)Z+abæ0에서
(Z-a)(Z-b)æ0
∴ Z…a 또는 Zæb (∵ a<b)
이때 P(Z…a)=0.5+P(0…Z…a)
=0.5+0.1=0.6
P(Zæb)=0.5-P(0…Z…b)
=0.5-{P(0…Z…a)+P(a…Z…b)}
=0.5-(0.1+0.3)
=0.1
이므로
P(Z¤ -(a+b)Z+abæ0)
=P(Z…a)+P(Zæb)
=0.6+0.1=0.7
(cid:8951) ③
338 ``
N(4, a¤ ), N(6, b¤ )을 따르므로
확률변수 X, Y가 각각 정규분포
ZX=
X-4
a
, ZY=
Y-6
b
으로 놓으면 ZX, ZY는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을
따른다.
● 20%
=50에서
a+56
2
(cid:100)a=44
P(Xæb)=P(Y…a)에서
P{ZXæ
b-4
a
}=P{ZY…
a-6
b
}
따라서
=-
이므로
b-4
a
a-6
b
b(b-4)=-a(a-6)
a¤ -6a+b¤ -4b=0
∴ (a-3)¤ +(b-2)¤ =13
● 40%
`
이때 a>0, b>0
이므로 점 (a, b)가 나타내는
도형은 오른쪽 그림과 같다.
따라서 그 길이는
b
4
2
O
;2!;¥2p¥'∂13='∂13p
3
6
a
a>0, b>0일 때 점
(a, b)는 제 1사분면
위에 있다.
확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(50, 3¤ ),
N(50, 4¤ )을 따르므로
ZX=
X-50
3
, ZY=
Y-50
4
으로 놓으면 ZX, ZY는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을
따른다.
한편 위의 그림에서 빗금친 부분의 넓이를 S£이라 하면
S¡-2S™=(S¡+S£)-(2S™+S£)
S¡-2S™=P(44…X…56)-P(44…Y…56)
S¡-2S™=P{
44-50
3
…ZX…
56-50
3
}
44-50
4
56-50
4
}
…ZY…
S¡-2S™=-P{
S¡-2S™=P(-2…ZX…2)-P(-1.5…ZY…1.5)
S¡-2S™=2P(0…ZX…2)-2P(0…ZY…1.5)
S¡-2S™=2(0.4772-0.4332)
S¡-2S™=0.088
∴ 1000(S¡-2S™)=88
(cid:8951) ⑤
340 2학년 전체 학생의 기말고사의 국어, 수학, 영어
점수를 각각 X점, Y점, W점이라 하면 확률변수 X,
Y, W는 각각 정규분포 N(62, 10¤ ), N(65, 12¤ ),
N(78, 8¤ )을 따르므로
ZX=
X-62
10
, ZY=
, ZW=
Y-65
12
W-78
8
로 놓으면 ZX, ZY, ZW는 모두 표준정규분포 N(0, 1)
을 따른다.
Ⅲ. 통계 63
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지64 SinsagoHitec
}=P(ZXæ1.6)
78-62
10
P(Xæ78)=P{ZXæ
P(Xæ78)=0.5-P(0…ZX…1.6)
P(Xæ78)=0.5-0.4452
=0.0548>0.04
P(Yæ83)=P{ZYæ
P(Yæ83)=P(ZYæ1.5)>P(ZYæ1.6)>0.04
}
83-65
12
P(Wæ94)=P{ZWæ
P(Wæ94)=0.5-P(0…ZW…2)
94-78
8
}=P(ZWæ2)
=0.5-0.4772
=0.0228<0.04
따라서 영희가 1등급을 받은 과목은 영어뿐이다. (cid:8951) ②
0.0548
341 감귤의 무게를 X g이라 하고,
E(X)=m, r(X)=r
P(-a…Z…a)
=2P(0…Z…a)
라 하면 확률변수 X는 정규분포 N(m, r¤ )을 따르므로
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)
무게가 200 g 이하일
확률
Z=
X-m
r
을 따른다.
P(X…200)=0.0228에서
P{Z…
P{Zæ
200-m
r
m-200
r
}=0.0228
}=0.0228
P(Zæ0)-P{0…Z…
m-200
r
}=0.0228
0.5-P{0…Z…
m-200
r
}=0.0228
∴ P{0…Z…
m-200
r
}=0.4772
이때 P(0…Z…2)=0.4772이므로
m-200
r
=2(cid:100)(cid:100)
P(Xæ260)=0.1587에서
P{Zæ
260-m
r
}=0.1587
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
P(Zæ0)-P{0…Z…
260-m
r
}=0.1587
0.5-P{0…Z…
260-m
r
}=0.1587
∴ P{0…Z…
260-m
r
}=0.3413
이때 P(0…Z…1)=0.3413이므로
260-m
r
=1
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉠÷㉡을 하면(cid:100)(cid:100)
m-200
260-m
=2
m-200=520-2m,(cid:100)(cid:100)3m=720
∴ m=240
64 정답 및 풀이
따라서 이 과수원에서 생산되는 감귤의 평균 무게는
240 g이다.
(cid:8951) 240 g
342 2학년 남학생의 몸무게를 X kg이라 하면 확률
X-60
r
변수 X는 정규분포 N(60, r¤ )을 따르므로 Z=
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
몸무게가 50 kg 이상 70 kg 이하인 학생이 6826명이
므로
에서
P(50…X…70)=
=0.6826
6826
10000
P(50…X…70)=P {
50-60
r
…Z…
70-60
r
}
10
=P{- …Z… }
r
10
r
=2P{0…Z… }=0.6826
10
r
10
∴ P{0…Z… }=0.3413
r
이때 P(0…Z…1)=0.3413이므로
10
r
=1(cid:100)(cid:100)∴ r=10
∴ P(70…X…75)
=P{
70-60
10
…Z…
75-60
10
}
=P(1…Z…1.5)
=P(0…Z…1.5)-P(0…Z…1)
=0.4332-0.3413
=0.0919
1등급
|비|밀|노|트|
(cid:8951) 0.0919
표준편차가 주어져 있지 않으므로 몸무게가 50 kg 이상 70 kg 이
하인 학생 수를 이용하여 표준편차를 구한다.
무게가 260 g 이상일
확률
343 확률변수 X, Y가 각각 정규분포
N(165.6, 10¤ ), N(169.8, 5¤ )을 따르므로
ZX=
X-165.6
10
, ZY=
Y-169.8
5
로 놓으면 ZX, ZY는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따
른다.
P(Xæ180)=P {ZXæ
180-165.6
10
}
=P(ZXæ1.44)
=P(ZXæ0)-P(0…ZX…1.44)
=0.5-0.425=0.075
따라서 A고등학교에서 키가 180 cm 이상인 학생 수는
0.075_1000=75
B고등학교에서 키가 a cm 이상인 학생 수는 150명이
75_2=150(명)
므로
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지65 SinsagoHitec
346 ``
률변수 X는 정규분포 N(80, 4¤ )을 따르므로
제품 A의 무게를 X g이라 하면 확
꺼낸 공을 다시 넣으므
로 독립시행이다.
ZX=
X-80
4
으로 놓으면 ZX는 표준정규분포
N(0, 1)을 따른다.
이므로 흰 공 2개와 검은 공 1개가 나오는 횟수를 X라
하면 확률변수 X는 이항분포 B {150,
;5#;}을 따른다.
사건 S에 대하여
(cid:100)P(S)=1-P(SC)
계
통
Ⅲ
P(Yæa)=
=0.15
150
1000
∴ P(Yæa)=P{ZYæ
a-169.8
5
}
∴ P(Yæa)=P(ZYæ0)-P{0…ZY…
a-169.8
5
}
a-169.8
5
}
∴ P(Yæa)=0.5-P{0…ZY…
∴ P(Yæa)=0.15
∴ P{0…ZY…
a-169.8
5
}=0.35
이때 P(0…Z…1.04)=0.35이므로
a-169.8
5
=1.04(cid:100)(cid:100)∴ a=175
(cid:8951) ②
344 한 번의 시행에서 흰 공 2개와 검은 공 1개가 나
올 확률은
¢C™¥™C¡
§C£
=
;5#;
E(X)=150¥
=90,
;5#;
V(X)=150¥
¥
;5#;
;5@;
=36
에서 X는 근사적으로 정규분포 N(90, 6¤ )을 따르므로
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)
Z=
X-90
6
을 따른다.
∴ P(Xæ84)=P{Zæ
84-90
6
}
=P(Zæ-1)
=P(-1…Z…0)+P(Zæ0)
=P(0…Z…1)+0.5
=0.3413+0.5
=0.8413
(cid:8951) ⑤
345 ``
면 확률변수 X는 정규분포 N(20, 5¤ )을 따르므로
학생들의 통학 시간을 X시간이라 하
으로 놓으면 Z˛는 표준정규분포 N(0, 1)
Z˛=
X-20
5
을 따른다.
30-20
5
}
p¡=P(Xæ30)=P{Z˛æ
p¡=P(Z˛æ2)
p¡=P(Z˛æ0)-P(0…Z˛…2)
p¡=0.5-0.48=0.02
한편 10000명의 학생 중 통학 시간이 30분 이상인 학생
수를 Y라 하면 확률변수 Y는 이항분포
B(10000, 0.02)를 따른다.
본책
66쪽``…``68쪽
E(Y)=10000_0.02=200,
V(Y)=10000_0.02_0.98=196
에서 Y는 근사적으로 정규분포 N(200, 14¤ )을 따르
므로 ZÁ=
으로 놓으면 ZÁ는 표준정규분포
Y-200
14
N(0, 1)을 따른다.
● 40%
p™=P(Yæn)=P {ZÁæ
n-200
14
}
p¡=p™이므로(cid:100)(cid:100)
n-200
14
=2
(cid:100)(cid:100)∴ n=228
● 20%
(cid:8951) 228
∴ P(X…72 또는 Xæ88)
=1-P(72…X…88)
…ZX…
72-80
4
=1-P{
=1-P(-2…ZX…2)
=1-2P(0…ZX…2)
=1-2_0.48=0.04
88-80
4
}
즉 제품 A 한 개가 불량품으로 판정받을 확률이 0.04이
므로 15000개의 제품 중 불량품으로 판정받는 것의 개수
를 Y라 하면 확률변수 Y는 이항분포 B(15000, 0.04)를
● 40%
따른다.
E(Y)=15000_0.04=600,
V(Y)=15000_0.04_0.96=576
● 20%
에서 Y는 근사적으로 정규분포 N(600, 24¤ )을 따르므
로 ZY=
으로 놓으면 ZY는 표준정규분포
Y-600
24
N(0, 1)을 따른다.
∴ P(Yæ624)=P{ZYæ
∴ P(Yæ624)=P(ZYæ1)
624-600
24
}
=P(ZYæ0)-P(0…ZY…1)
=0.5-P(0…ZY…1)
=0.5-0.34=0.16
∴ 100p=100_0.16=16
● 30%
● 10%
(cid:8951) 16
347 확률변수 X가 정규분포 N(m+1, 2¤ )을 따르
X-m-1
2
N(0, 1)을 따른다.
∴ f(m)=P(Xæ1)=P{Zæ
1-m-1
2
}
Ⅲ. 통계 65
● 40%
므로 Z=
로 놓으면 Z는 표준정규분포
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지66 SinsagoHitec
m
∴ f(m)=P{Zæ- }=P{Z… }
2
m
2
ㄱ. f(0)=P(Z…0)=0.5
ㄴ. f(2)+f(-2)=P(Z…1)+P(Z…-1)
=P(Z…1)+P(Zæ1)
=1
ㄷ. m¡<m™이면
m¡
m™
ㄷ. (cid:100)(cid:100)P{Z… }<P{Z… }
2
2
ㄷ. (cid:100)(cid:100)∴ f(m¡)< f(m™)
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
348 확률변수 X, Y는 정규분포 N(20, 4¤ ),
N(24, 2¤ )을 따르므로
ZX=
X-20
4
, ZY=
Y-24
2
로 놓으면 ZX, ZY는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을
따른다.
한편 오른쪽 그
림에서 빗금친
부분의 넓이를
S£이라 하면
S¡+S£
=P(20…X…24),
y=g{x}
y=f{x}
S™
S¡
S£
20
24
x
S™+S£=P(20…Y…24)
∴ S™-S¡=(S™+S£)-(S¡+S£)
∴ S™-S¡=P(20…Y…24)-P(20…X…24)
∴ S™-S¡=P{
20-24
2
…ZÁ…
24-24
2
}
…Z˛…
20-20
∴ S™-S¡=-P{
4
∴ S™-S¡=P(-2…ZÁ…0)-P(0…ZX…1)
∴ S™-S¡=P(0…ZÁ…2)-P(0…ZX…1)
∴ S™-S¡=0.4772-0.3413=0.1359
24-20
4
}
(cid:8951) ③
349 포물선 y=x¤ +Kx+1과 직선 y=x+K가 교
점을 갖지 않으려면 방정식
x¤ +Kx+1=x+K,
즉 x¤ +(K-1)x+1-K=0
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
이 실근을 갖지 않아야 한다.
㉠`의 판별식을 D라 하면
D=(K-1)¤ -4(1-K)<0
K¤ +2K-3<0,(cid:100)(cid:100)(K+3)(K-1)<0
∴ -3<K<1
확률변수 K가 정규분포 N(1, 2¤ )을 따르므로
로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을
Z=
K-1
2
따른다.
66 정답 및 풀이
a<b일 때
(cid:100)P(Z…a)<P(Z…b)
(cid:8951) ③
이므로 600명 중C사의 휴대폰을 구입하는 고객의 수를
X라 하면 확률변수 X는 이항분포 B{600, ;5#;}을 따른다.
∴ p=P(-3<K<1)
∴ p=P {
-3-1
2
<Z<
1-1
2
}
∴ p=P(-2<Z<0)=P(0<Z<2)=0.48
∴ 100p=48
(cid:8951) 48
350 고객 한 명이 C사의 휴대폰을 구입할 확률은
;1§0º0;=;5#;
E(X)=600¥;5#;=360,
V(X)=600¥;5#;¥;5@;=144
에서 X는 근사적으로 정규분포 N(360, 12¤ )을 따르므
로 Z=
으로 놓으면 Z는 표준정규분포
X-360
12
N(0, 1)을 따른다.
∴ P(Xæ336)=P{Zæ
336-360
12
}
∴ P(Xæ336)=P(Zæ-2)
=P(Z…2)
=P(Z…0)+P(0…Z…2)
=0.5+P(0…Z…2)
=0.5+0.4772
=0.9772
(cid:8951) ④
351 P(|X-m|<r)=0.6826에서
P(m-r<X<m+r)=0.6826
2P(0<X<m+r)=0.6826
∴ P(0<X<m+r)=0.3413
같은 방법으로
P(0<X<m+2r)=0.4772,
P(0<X<m+3r)=0.4987
한편 확률변수 Y는 이항분포 B{450, ;3!;}을 따르므로
E(Y)=450¥;3!;=150,
V(Y)=450¥;3!;¥;3@;=100
에서 Y는 근사적으로 정규분포 N(150, 10¤ )을 따른
다. m=150, r=10으로 놓으면
P(160…Y…180)
=P(150+10…Y…150+3¥10)
=P(m+r…Y…m+3r)
=P(0…Y…m+3r)-P(0…Y…m+r)
=0.4987-0.3413=0.1574
즉 p=0.1574이므로
(cid:100)(cid:100)[1000p]=[157.4 ]=157
(cid:8951) ②
확률변수 X가 정규분
포 N(m, r¤ )을 따르
므로 정규분포 곡선은
직선 x=m에 대하여
대칭이다.
포물선 y=ax¤ +bx+c
와 직선y=px+q의 교
점의 개수
ax¤ +bx+c=px+q에
서 이차방정식
ax¤ +(b-p)x+c-q=0
의 판별식을 D라 할 때
① D>0: 교점이 2개
② D=0: 교점이 1개
③ D<0: 교점이 없다.
1개의 주사위를 던져서
1 또는 2의 눈이 나올
확률
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지67 SinsagoHitec
08
통계적 추정
본책 69쪽
이때 표본의 크기가 4이므로
본책
68쪽``…``70쪽
V(X’)=;4*;=2
(cid:8951) ④
352 X’=3인 경우는 표본이
(2, 4), (4, 2)
이므로
P(X’=3)=;3!;¥;6!;+;6!;¥;3!;=;9!;
X’=4인 경우는 표본이
(2, 6), (4, 4), (6, 2)
이므로
P(X’=4)=;3!;¥;3!;+;6!;¥;6!;+;3!;¥;3!;=;4!;
∴ P(X’=3)+P(X’=4)=;3!6#;
표본평균 X’의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같
(cid:8951) ②
다.
X’
2
3
4
5
6
7
8 합계
P(X’=xÆ)
;9!;
;9!;
;4!;
;9@;
;6!;
;9!;
;3¡6;
1
353 E(X)=64이므로
20¥a+40¥{;4!;-a}+60¥;4!;+80¥;2!;=64
-20a+65=64
2+4
2
=
4+2
2
=3
355 E(X’)=m, V(X’)= 이므로
r¤
9
E(2X’+3)=23에서
2E(X’)+3=23
2m+3=23(cid:100)(cid:100)∴ m=10
2+6
2
=
4+4
2
=
6+2
2
=4
V(6X’-1)=64에서
36V(X’)=64
r¤
36¥ =64
9
r¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ r=4 (∵ r>0)
∴ m+r=14
모평균이 m, 모표준편차
가 r인 모집단에서 임의
추출한 크기가 n인 표본
의 표본평균 X’에 대하여
② V(X’)=
① E(X’)=m
r¤
n
r
'ßn
③ r(X’)=
r(X’)=
356 모표준편차를 r라 하면
r
'4ß9
∴ r(X’ ')=
=2(cid:100)(cid:100)∴ r=14
r
'1∂00
14
= =
10
7
5
(20, 80), (40, 60), (60, 40), (80, 20)
;4!;-;2¡0;=;2¢0;=;5!;
따르므로 P{X’…;5@;k}=0.0668에서
∴ a=;2¡0;
∴ P(X=20)=;2¡0;,
∴ P(X=40)=;5!;
X’=50인 경우는 표본이
이므로
P(X’=50)
=;2£0;
=;2¡0;¥;2!;+;5!;¥;4!;+;4!;¥;5!;+;2!;¥;2¡0;
∴ 100P(X’=50)=100¥;2£0;=15
(cid:8951) 15
354 주머니에서 임의로 1개의 공을 꺼낼 때, 공에 적
힌 숫자를 확률변수 X라 하면
P(X=x)=;5!; (단, x=0, 2, 4, 6, 8)
∴ E(X)=0¥;5!;+2¥;5!;+4¥;5!;+6¥;5!;+8¥;5!;
∴ E(X)=4
V(X)=0¤ ¥;5!;+2¤ ¥;5!;+4¤ ¥;5!;+6¤ ¥;5!;
V(X)=+8¤ ¥;5!;-4¤
=24-16=8
;4!;-;2¡0;=;2∞0;-;2¡0;
P(X=20)¥P(X=80)
+P(X=40)¥P(X=60)
+P(X=60)¥P(X=40)
+P(X=80)¥P(X=20)
P(Z…a)
=P(Zæ-a)
357 모집단이 정규분포 N(3, 1)을 따르고 표본의
크기가 25이므로 표본평균 X’는 정규분포 N{3, {;5!;}
을 따른다.
Z=
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을
X’-3
111
;5!;
PªZ…
º=0.0668
k-3
;5@;
;5!;
P(Z…2k-15)=0.0668
P(Zæ15-2k)=0.0668
P(Zæ0)-P(0…Z…15-2k)=0.0668
0.5-P(0…Z…15-2k)=0.0668
∴ P(0…Z…15-2k)=0.4332
이때 P(0…Z…1.5)=0.4332이므로
15-2k=1.5
∴ k=6.75
358 모집단이 정규분포 N(54, 18¤ )을 따르고 표본
의 크기가 9이므로 표본평균 X’는 정규분포
N {54,
}, 즉 N(54, 6¤ )을 따른다.
18¤
9
Ⅲ. 통계 67
계
통
Ⅲ
(cid:8951) ③
(cid:8951) ③
2
}
(cid:8951) ③
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지68 SinsagoHitec
Z=
X’-54
6
따르므로
로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을
2¥3¥ =1,(cid:100)(cid:100)'ßn=12
2
n
'ß
∴ n=144
P(45…X’…66)
=P {
45-54
6
…Z…
66-54
6
}
=P(-1.5…Z…2)
=P(-1.5…Z…0)+P(0…Z…2)
=P(0…Z…1.5)+P(0…Z…2)
=0.4332+0.4772
=0.9104
1등급
|비|밀|노|트|
모집단에서 어떤 사건에
대한 모비율이 p일 때,
크기가 n인 표본을 임의
추출하면 표본비율 p^에
대하여
① E(p^)=p
② V(p^)=
③ r(p^)=æ≠
pq
n
pq
n
(cid:8951) ⑤
(단, q=1-p)
362 모비율이 0.6이고, 표본의 크기가 240이므로
V(p^)=
0.6_0.4
240
V(p^)=0.001
(cid:8951) ①
(cid:8951) ①
363 모비율이 0.2이고`, 표본의 크기가 400이므로 표
본비율 p^은 근사적으로 정규분포 N{0.2,
즉 N(0.2, 0.02¤ )을 따른다.
0.2_0.8
400
},
Z=
p^-0.2
0.02
로 놓으면 Z는 근사적으로 표준정규분포
N(0, 1)을 따르므로 구하는 확률은
P(p^æ0.24)=P{Zæ
0.24-0.2
0.02
}
=P(Zæ2)
=P(Zæ0)-P(0…Z…2)
=0.5-0.48
=0.02
(cid:8951) 0.02
모비율이 p이고 표본의
크기 n이 충분히 클 때,
표본비율 p^은 근사적으로
정규분포 N{p,
따른다. (단, q=1-p)
}를
pq
n
364 임의추출한 100명 중에서 암보험에 가입한 우
리나라 직장인의 비율을 p^이라 하면 p^은 근사적으로
정규분포 N{0.5,
}, 즉 N(0.5, 0.05¤ )을 따
0.5_0.5
100
르므로 Z=
로 놓으면 Z는 근사적으로 표준정
p^-0.5
0.05
규분포 N(0, 1)을 따른다.
따라서 구하는 확률은
P(0.45…p^…0.6)
0.45-0.5
0.05
0.6-0.5
0.05
}
…Z…
=P{
=P(-1…Z…2)
=P(0…Z…1)+P(0…Z…2)
=0.3413+0.4772
=0.8185
외래 환자들의 진료 대기 시간을 X라 하면 임의추출한 9명의 진
료 대기 시간의 평균은 X’이다.
따라서 구하는 값은 P(45…X…66)이 아니라 P(45…X’…66)
임에 유의한다.
359 모집단이 정규분포 N(60, 4¤ )을 따르고 표본의
크기가 16이므로 표본평균 X’는 정규분포 N {60,
4¤
16
},
즉 N(60, 1)을 따른다.
Z=
X’-60
1
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)
을 따르므로 P(X’æa)=0.02에서
P(Zæa-60)=0.02
P(Zæ0)-P(0…Z…a-60)=0.02
0.5-P(0…Z…a-60)=0.02
∴ P(0…Z…a-60)=0.48
이때 P(0…Z…2)=0.48이므로
a-60=2(cid:100)(cid:100)∴ a=62
(cid:8951) 62
360 표본평균이 140, 모표준편차가 6, 표본의 크기
가 81이므로 모평균 m의 신뢰도 99 %의 신뢰구간은
140-2.58_
6
'ß81
140-1.72…m…140+1.72
…m…140+2.58_
6
'ß81
∴ 138.28…m…141.72
(cid:8951) 138.28…m…141.72
361 표준정규분포를 따르는 확률변수 Z에 대하여
P(|Z|…k)=
라 하면 모표준편차가 2, 표본의 크
(cid:8857) 2k
a
100
기가 16일 때 신뢰도 a %로 추정한 모평균 m의 신뢰구
간의 길이는 b-a=3에서
(cid:100)(cid:100)2¥k¥
=3(cid:100)(cid:100)∴ k=3
2
'∂16
또 표본의 크기가 n일 때 신뢰도 a %로 추정한 모평균
m의 신뢰구간의 길이는 d-c=1에서
신뢰도 a %로 추정한 모
평균의 신뢰구간의 길이
r
'ßn
a
{단, P(|Z|…k)= }
100
6¤
100
_
1
100
_
8¤
100
48
1000
2
}
={
=0.048¤
(cid:8951) 0.8185
365 표본의 크기가 100이고`,표본비율이
=0.64
;1§0¢0;
이므로 찬성률 p의 신뢰도 95 %의 신뢰구간은
0.64-2æ≠
0.64_0.36
100
…p…0.64+2æ≠
0.64_0.36
100
0.64-0.096…p…0.64+0.096
∴ 0.544…p…0.736
(cid:8951) ④
68 정답 및 풀이
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지69 SinsagoHitec
366 표본의 크기가 400이고, 표본비율이 ;4¢0º0;=0.1
이므로 O형인 사람의 비율 p의 신뢰도 98 %의 신뢰구
간은
0.1-2.4_æ≠
0.1_0.9
400
…p…0.1+2.4_æ≠
0.1_0.9
400
∴ b-a=2_2.4_æ≠
0.1_0.9
400
∴ b-a=2_2.4_0.015
∴ b-a=0.072
(cid:8951) ④
367 표본의 크기가 400이므로 모비율 p의 신뢰도
95 %의 신뢰구간은
p^-2æ≠
p^(1-p^)
400
∴ f(p^)=b-a
…p…p^+2æ≠
p^(1-p^)
400
∴ f(p^)=2_2æ≠
p^(1-p^)
400
∴ f(p^)=;5!;øπp^(1-p^)
∴ f(p^)=;5!;øπ-p^¤ +p^
∴ f(p^)=;5!;Æ…-{p^-;2!;}
+;4!;
2
따라서 p^=;2!;일 때, f(p^)은 최대이고, 최댓값은
f {;2!;}=;5!;Æ;4!; =;1¡0;
368 P(1<X’<3)
=P(X’=1.5)+P(X’=2)+P(X’=2.5)
이고 X’=1.5인 경우는 표본이
(1, 2), (2, 1)
X’=2인 경우는 표본이
(1, 3), (2, 2), (3, 1)
X’=2.5인 경우는 표본이
(2, 3), (3, 2)
이므로
P(1<X’<3)=;9@;+;9#;+;9@;=;9&;
(cid:8951) ;9&;
표본평균 X’의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같
다.
X’
P(X’=xÆ)
1
;9!;
1.5
;9@;
2
;9#;
2.5
;9@;
3
;9!;
합계
1
`
P(1<X’<3)
=1-{ P(X’=1)+P(X’=3)}
`=1-{;9!;
+
;9!;}=
;9&;
본책
70쪽``…``72쪽
369 X’=2인 경우는 표본이
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1),
(3, 1, 2), (3, 2, 1), (2, 2, 2)
이므로
1, 2, 3을 표본으로 추
출하는 방법의 수는
(cid:100)3!=6
P(X’=2)=6¥;2!;¥;3!;¥;6!;+;3!;¥;3!;¥;3!;
P(X’=2)=;5!4!;
(cid:8951) ①
P(|Z|…2)=0.95
P(X’=3)=;2!;¥;1¡0;+;5@;¥;5@;+;1¡0;¥;2!;=;5!0#;
계
통
Ⅲ
370 X’=2인 경우는 표본이
(1, 3), (3, 1)
이므로 P(X’=2)=;5@;에서
;2!;¥a+a¥;2!;=;5@;(cid:100)(cid:100)∴ a=;5@;
확률의 총합은 1이므로
;2!;+;5@;+b=1(cid:100)(cid:100)∴ b=;1¡0;
X’=3인 경우는 표본이
(1, 5), (3, 3), (5, 1)
이므로
∴ c=;5!0#;
X’=4인 경우는 표본이
(3, 5), (5, 3)
이므로
∴ d=;2™5;
∴ cd=;6¡2£5;
371
V(X’)=4이므로
E(X)=12에서
(cid:8951) ;1¡0;
P(X’=4)=;5@;¥;1¡0;+;1¡0;¥;5@;=;2™5;
표본의 크기가 39이고, E(X’)=12,
E(X)=12, V(X)=39¥4=156
● 20%
V(X’ )=
V(X)
39
이므
로
(cid:100)V(X)=39V(X’)
모든 경우의 수는 3장
의 카드 중 2장의 카드
를 복원추출하는 방법
의 수이므로(cid:100)3¥3=9
0¥;5@;+a¥;1£0;+b¥;1£0;=12(cid:100)(cid:100)
∴ a+b=40
V(X)=156에서
0¤ ¥;5@;+a¤ ¥;1£0;+b¤ ¥;1£0;-12¤ =156
∴ a¤ +b¤ =1000
`
a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab에서
1000=40¤ -2ab,(cid:100)(cid:100)2ab=600
∴ ab=300
(cid:8951) ①
● 30%
● 30%
● 20%
(cid:8951) 300
X’=1인 경우는 표본이
(cid:100)(1, 1)
(cid:100)(3, 3)
X’=3인 경우는 표본이
와 같다.
372 상자에서 임의로 한 개의 공을 꺼낼 때, 공에 적
힌 숫자를 X라 하면 확률변수 X의 확률분포는 다음 표
Ⅲ. 통계 69
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지70 SinsagoHitec
X
P(X=x)
3
;6!;
6
;3!;
9
;2!;
합계
1
따라서 확률변수 X에 대하여
E(X)=3¥;6!;+6¥;3!;+9¥;2!;=7
V(X)=3¤ ¥;6!;+6¤ ¥;3!;+9¤ ¥;2!;-7¤
V(X)=54-49=5
이때 표본의 크기가 5이므로
E(X’)=7, V(X’)=;5%;=1
¤ )-{E(X’)}¤ 에서
V(X’)=E(X’
E(X’
¤ )=V(X’)+{E(X’)}¤ =1+7¤ =50 (cid:8951) ③
373 ㄱ. 표본의 크기에 관계없이
(cid:100)(cid:100)E(X’)=E(Y’)=m
r¤
n¡
r¤
n™
ㄴ. V(X’)= , V(Y’)= 이므로 n¡<n™이면
(cid:100)(cid:100)V(X’)>V(Y’)
ㄷ. r(X’)=r(Y’)이면
= 이므로
r
'∂n¡
r
'∂n™
(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)n¡=n™
이상에서 옳은 것은 ㄷ뿐이다.
(cid:8951) ②
374 모집단이 정규분포 N (200, 20¤ )을 따르고 표
본의 크기가 25이므로 표본평균 X’는 정규분포
N {200,
}, 즉 N(200, 4¤ )을 따른다.
20¤
25
Z=
X’-200
4
을 따르므로 구하는 확률은
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)
P(X’æ210)=P {Zæ
210-200
4
}
=P(Zæ2.5)
=P(Zæ0)-P(0…Z…2.5)
=0.5-0.494=0.006
(cid:8951) 0.006
375
을 따르고 표본의 크기가 n이므로 표본평균 X’는 정규
모집단이 정규분포 N(2880, 100¤ )
분포 N{2880,
}을 따른다.
100¤
n
● 20%
Z=
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)
X’-2880
100
123
'ßn
2900+
P·Zæ
…
‚
;1¡0;
20
'ßn
-2880
20
124
'ßn
100
123
'ßn
70 정답 및 풀이
● 50%
● 20%
● 10%
(cid:8951) 30
r¤
n
}
20'ßn +20
111152
'ßn
100
123
'ßn
'ßn+1
5
}…0.1
P ·Zæ
P {Zæ
…
‚
;1¡0;
P (Zæ0)-{0…Z…
'ßn+1
5
}…0.1
∴ P{0…Z…
'ßn+1
5
}æ0.4
이때 P(0…Z…1.28)=0.40이므로
'ßn+1
5
æ1.28,(cid:100)(cid:100)'ßnæ5.4
∴ næ29.16
`
따라서 n의 최솟값은 30이다.
P(X=3)=
2
2+4+6
P(X=3)=;6!;
P(X=6)=
4
2+4+6
P(X=3)=;3!;
P(X=9)=
6
2+4+6
P(X=3)=;2!;
n은 표본의 크기이므로
자연수이다.
376 모집단이 정규분포 N(m, r¤ )을 따르고 표본
의 크기가 n이므로 표본평균 X’는 정규분포 N{m,
표본의 크기가 클수록
분산은 작아진다.
Z=
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)
을 따른다.
X’-m
r
'ßn
을 따르므로 P{|
|…;5!;}æ0.93에서
X’-m
r
P
X’-m
r
'ßn
·|
∴ P{|Z|…
…
|
'ßn
5
'ßn
5
‚
æ0.93
}æ0.93
'ßn
5
æ1.82,(cid:100)(cid:100)'ßn æ9.1
∴ næ82.81
이때 P(|Z|…1.82)=2_0.465=0.93이므로
따라서 n의 최솟값은 83이다.
(cid:8951) ②
377 표본평균이 X’, 모표준편차가 0.4일 때 표본의
크기를 n이라 하면 모평균 m의 신뢰도 95 %의 신뢰
구간은
0.4
'ßn
X’-1.96_ …m…X’+1.96_
0.4
'ßn
…m-X’…
0.784
'ßn
-
0.784
'ßn
∴ |m-X’|…
0.784
'ßn
모평균 m과 표본평균 X’의 차가 0.05 이하이어야 하므
0.784
'ßn
…0.05,(cid:100)(cid:100) 'ßnæ15.68
(cid:100)(cid:100)∴ næ245.8624
따라서 표본의 크기가 246명 이상이어야 한다. (cid:8951) ③
X’-m
r
|
|…;5!;의 양변
을
로 나눈다.
1
'ßn
N(m, r¤ )을 따르는 모
집단에서 크기가 n인 표
본을 임의추출하여 신뢰
도 a %로 모평균을 추정
본평균 X’의 차
(cid:8857) |X’-m|…k
r
'ßn
{단, P(|Z|…k)=
a
100
}
을 따르므로 P{X’æ2900+ }…
에서
;1¡0;
할 때의 모평균 m과 표
로
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지71 SinsagoHitec
모비율이 0.36, 표본의
크기가 100이므로
(cid:100)E(p^)=0.36,
(cid:100)V(p^)=
0.36_0.64
100
378 `
표준편차 대신 표본표준편차 50을 사용할 수 있고 표본
표본의 크기 100이 충분히 크므로 모
평균이 500이므로 P(|Z|…k)=
라 하면 모평균
;10ƒ0;
m의 신뢰도 a %의 신뢰구간은
500-k¥
50
'∂100
∴ 500-5k…m…500+5k
…m…500+k¥
50
'∂100
● 40%
이때 490.6…m…509.4이므로
500-5k=490.6, 500+5k=509.4
5k=9.4(cid:100)(cid:100)∴ k=1.88
● 30%
`
P(|Z|…1.88)
=2P(0…Z…1.88)
=2_0.470=0.94
이므로(cid:100)(cid:100) =0.94(cid:100)(cid:100)∴ a=94
a
100
● 30%
(cid:8951) 94
379 모표준편차가 10, 표본의 크기가 100이므로 신
뢰도 90 %로 추정한 모평균 m의 신뢰구간의 길이는
b-a=2_1.65_
=3.3
10
'∂100
P(|Z|…k)=
라 하면 신뢰도 a %로 추정한 모평
a
100
모비율 p에 대하여
E(p^)=p이므로
(cid:100)E(p^)=;4!;=0.25
P(|Z|…1.65)
=2_0.45=0.9
균 m의 신뢰구간의 길이는
d-c=2_k_
=2k
10
'∂100
b-a=;1!2!;(d-c)에서
3.3=;1!2!;_2k=:¡6¡:k
∴ k=1.8
이때 P(|Z|…1.8)=2_0.46=0.92이므로
a
100
=0.92(cid:100)(cid:100)∴ a=92
(cid:8951) 92
380 표본의 크기 400이 충분히 크므로 모표준편차
대신 표본표준편차 0.2를 사용할 수 있고 표본평균이 2
이므로 모평균 m의 신뢰도 95 %의 신뢰구간은
2-2_
0.2
'∂400
2-0.02…m…2+0.02
…m…2+2_
0.2
'∂400
1.98…m…2.02(cid:100)(cid:100)
∴ a=1.98, b=2.02
또 모평균 m의 신뢰도 99 %의 신뢰구간은
2-2.6_
0.2
'∂400
2-0.026…m…2+0.026
…m…2+2.6_
0.2
'∂400
1.974…m…2.026(cid:100)(cid:100)
∴ c=1.974, d=2.026
∴ b+d=2.02+2.026=4.046
(cid:8951) ③
본책
72쪽``…``74쪽
381 임의추출한 100명 중 당뇨병 환자의 비율을 p^이
라 하면 p^은 근사적으로 정규분포
N{0.36,
}, 즉 N(0.36, 0.048¤ )을 따르므
로 Z=
으로 놓으면 Z는 근사적으로 표준정규
0.36_0.64
100
p^-0.36
0.048
분포 N(0, 1)을 따른다.
따라서 구하는 확률은
0.432-0.36
0.048
P(p^æ0.432)=P{Zæ
P(p^æ0.432)=P(Zæ1.5)
P(p^æ0.432)=P(Zæ0)-P(0…Z…1.5)
}
=0.5-P(0…Z…1.5)
=0.5-0.4332
=0.0668
(cid:8951) ③
잡종 1세대에서 얻은 300개의 완두
382 `
콩 중에서 주름진 완두의 비율을 p^이라 하면 p^은 근사
적으로 정규분포 N{0.25,
0.25_0.75
300
}, 즉
p^-0.25
0.025
계
통
Ⅲ
N(0.25, 0.025¤ )을 따르므로 Z=
로 놓으면
Z는 근사적으로 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
`
따라서 구하는 확률은
P(0.275…p^…0.325)
0.275-0.25
=P{
0.025
=P(1…Z…3)
=P(0…Z…3)-P(0…Z…1)
…Z…
=0.499-0.341=0.158
0.325-0.25
0.025
}
● 50%
● 50%
(cid:8951) 0.158
383 100편의 영화 중 별 4개 이상의 평가를 받은 영
화의 비율을 p^이라 하면 p^은 근사적으로 정규분포
N{0.2,
0.2_0.8
100
}, 즉 N(0.2, 0.04¤ )을 따르므로
로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을
PªZ…
-0.2
;10K0;
111110.04
º=0.933
P(Z…0)+Pª0…Z…
º=0.933
-0.2
;10K0;
111110.04
0.5+Pª0…Z…
º=0.933
-0.2
;10K0;
111110.04
Ⅲ. 통계 71
모비율이 0.2, 표본의
크기가 100이므로
(cid:100)E(p^)=0.2,
(cid:100)V(p^)=
0.2_0.8
100
Z=
p^-0.2
0.04
따른다.
P{p^…
k
100
}=0.933에서
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지72 SinsagoHitec
∴ Pª0…Z…
º=0.433
-0.2
;10K0;
111110.04
이때 P(0…Z…1.5)=0.433이므로
-0.2
;10K0;
111110.04
=1.5
-0.2=0.06,(cid:100)(cid:100) =0.26
k
100
k
100
∴ k=26
(cid:8951) ①
384 표본의 크기가 400이고, 표본비율이
=0.2
;4•0º0;
이므로 P(|Z|…k¡)=
라 하면 신뢰도 a %로 추정
a
100
한 불량률 p의 신뢰구간의 길이는
2¥k¡¥æ≠
0.2_0.8
400
=
k¡
;2¡5;
즉
;2¡5;
k¡=0.2466-0.1534=0.0932이므로
이때 P(|Z|…2.33)=2_0.49=0.98이므로
k¡=2.33
a
(cid:100)(cid:100) =0.98
100
∴ a=98
또 P(|Z|…k™)=
라 하면 신뢰도 b %로 추정한
b
100
불량률 p의 신뢰구간의 길이는
2¥k™¥æ≠
0.2_0.8
400
=
k™
;2¡5;
즉
;2¡5;
k™=0.233-0.167=0.066이므로
이때 P(|Z|…1.65)=2_0.45=0.9이므로
k™=1.65
b
(cid:100)(cid:100) =0.9
100
(cid:100)(cid:100)∴ b=90
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=188
이때 P(|Z|…1.5)=2_0.4332=0.8664이므로
0.09'ßn æ1.5,(cid:100)(cid:100)'ßnæ:∞3º:
∴ næ
=277.7×××
2500
9
`
따라서 n의 최솟값은 278이다.
● 30%
● 20%
(cid:8951) 278
작아진다.
⁄ f(10)=r(X¡º’)=
, f(20)=r(X™º’)=
r
'1ß0
r
'2ß0
신뢰구간의 성질
① 표본의 크기가 일정할
때, 신뢰도가 높아질
수록 신뢰구간의 길이
는 커진다.
② 신뢰도가 일정할 때,
표본의 크기가 커질수
록 신뢰구간의 길이는
모집단에서 임의추출한
크기가 n인 표본의 표본
비율 p^에 대하여 모비율
의 신뢰도 a %의 신뢰구
간의 길이
(cid:8857) 2kæ≠
p^(1-p^)
n
{단, P(|Z|…k)=
a
100
}
386 모표준편차를 r라 하면 모집단이 정규분포
N(m, r¤ )을 따르므로 표본의 크기가 n인 표본평균
X«’에 대하여
f(n)=
r
'ßn
따라서 X«’는 정규분포 N{m,
r¤
n
}을 따른다.
⁄ 이므로
¤ A=
='2
r
114
'ß1ß0
r
114
'ß2ß0
¤ Z=
X-m
r
¤ N(0, 1)을 따르므로
으로 놓으면 Z는 표준정규분포
¤ P(Xæm+f(n))=P{Zæ
m+f(n)-m
r
}
=P{Zæ
f(n)
r
}
=P{Zæ }
1
'ßn
(cid:8951) 188
으로 놓으면 Z«은 표준정규분포
0<a<b일 때,
P(Zæa)>P(Zæb)
이므로
(cid:100)
P(Zæb)
P(Zæa)
<1
표본의 크기 n이 충분
히 크면 p^의 표준편차
p(1-p)
n
에서 모비
æ≠
율 p 대신 표본비율 p^
을 이용한
Z=
p^-p
111112
p^(1-p^)
æ≠
n
도 근
사적으로 표준정규분포
N(0, 1)을 따른다.
양변을 æ≠
p^(1-p^)
n
으
¤ ∴ B=
<1
P{Zæ
P{Zæ
1
114}
'ß1ß0
1
114}
'ß2ß0
‹ Z«=
X«’-m
r
124
'ßn
¤ N(0, 1)을 따르므로
¤ P(|X«’-m|… f(n))=P{±
X«’-m
f(n)
…1}
±
=P(|Z«|…1)
¤ ∴ C=
P(|Z¡º|…1)
P(|Z™º|…1)
=1
이상에서(cid:100)(cid:100)B<C<A
(cid:8951) ④
1등급
|비|밀|노|트|
확률변수 Z¡, Z™, Z£, y, Z«이 모두 표준정규분포 N(0, 1)을
따르면
P(|Z¡|…a)=P(|Z™|…a)=P(|Z£|…a)=y
=P(|Z«|…a)
385
n이 충분히 크면 표본비율 p^은 근사
p(1-p)
n
}를 따르고,
로 놓으면 Z는 표준정규분포
Z=
적으로 정규분포 N{p,
p^-p
1111153
p^(1-p^)
æ≠112512n
N(0, 1)을 따른다.
`
P(|p^-p|…0.09"√p^(1-p^))æ0.8664에서
● 20%
P
…0.09'ßn
p^-p
1111153
p^(1-p^)
æ≠112512n
ª|
∴ P(|Z|…0.09'ßn )æ0.8664
|
º
æ0.8664
● 30%
로 나눈다.
72 정답 및 풀이
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지73 SinsagoHitec
387 P(|Z|<c)=0.76에서
P(-c<Z<c)=0.76
2P(0<Z<c)=0.76
P(0<Z<c)=0.38
∴ P(Zæc)=0.5-0.38=0.12
P(|Z|<2c)=0.98에서
P(-2c<Z<2c)=0.98
2P(0<Z<2c)=0.98
P(0<Z<2c)=0.49
∴ P(Zæ2c)=0.5-0.49=0.01
ㄱ. P(|Z|æa)=0.05에서
ㄱ. (cid:100)(cid:100)P(Zæa)=
=0.025
0.05
2
ㄱ. (cid:100)(cid:100)c<a<2c
ㄴ. 표본평균 X’는 정규분포 N{60,
ㄱ. 따라서 P(Zæ2c)<P(Zæa)<P(Zæc)이므로
4¤
64
}, 즉
X’-60
0.5
ㄱ. N(60, 0.5¤ )을 따르므로 Z=
으로 놓으면
ㄱ. Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
ㄱ. (cid:100)(cid:100)∴ P(X’æc+60)=P{Zæ
ㄱ. (cid:100)(cid:100)∴ P(X’æc+60)=P(Zæ2c)=0.01
c+60-60
0.5
}
ㄷ. P(X’<b)=0.80에서(cid:100)(cid:100)
ㄱ. (cid:100)(cid:100)P(X’æb)=0.2
ㄱ. (cid:100)(cid:100)P(X’æb)=P {Zæ
b-60
0.5
=P(Zæ2b-120)=0.2
}
ㄱ. 이때 P(Zæc)=0.12이므로
ㄱ. (cid:100)(cid:100)2b-120<c
ㄱ. (cid:100)(cid:100)∴ 2b-c<120
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
(cid:8951) ③
388 모집단이 정규분포 N(100, 10¤ )을 따르고 표
본의 크기가 25이므로 표본평균 X’는 정규분포
N{100,
}, 즉 N(100, 2¤ )을 따른다.
10¤
25
Z=
X’-100
2
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)
을 따르고 25개의 귤의 무게의 합이 2435 g이면 이들의
무게의 평균은
=97.4(g)이므로 선택한 상자가
2435
25
합격품일 확률은
97.4-100
P(X’æ97.4)=P{Zæ
2
P(Xæ97.4)=P(Zæ-1.3)
}
=0.5+P(0…Z…1.3)
=0.5+0.4
=0.9
P(|Z|…1.96)
=2_0.475=0.95
모평균이 60, 모표준편
차가 4, 표본의 크기가
64이므로
(cid:100)E(X’)=60,
4¤
64
(cid:100)V(X’)=
P(Zæ-1.3)
=P(Z…1.3)
=P(Z…0)
+P(0…Z…1.3)
=0.5+P(0…Z…1.3)
본책
74쪽``…``75쪽
따라서 갑과 을이 선택한 두 상자가 모두 합격품일 확률
은(cid:100)(cid:100)0.9_0.9=0.81
(cid:8951) ②
1등급
|비|밀|노|트|
상자에 담긴 귤의 무게의 합을 귤의 개수 25로 나누면 크기가 25
인 표본의 표본평균으로 생각할 수 있다.
389 모표준편차가 r, 표본의 크기가 n이므로 신뢰도
95 %로 추정한 모평균의 신뢰구간의 길이는
P(|Z|…k)=
라 하면 신뢰도 a %로 추정한 모평
b-a=2_1.96_
r
'ßn
a
100
균의 신뢰구간의 길이는
d-c=2_k_
r
'ßn
(b-a) : (d-c)=4 : 3에서
계
통
Ⅲ
d-c=;4#;(b-a)
r
'ßn
∴ k=1.47
2_k_ =;4#;_2_1.96_
r
'ßn
=0.858(cid:100)(cid:100)∴ a=85.8
a
100
∴ 10a=858
이때 P(|Z|…1.47)=2_0.429=0.858이므로
(cid:8951) 858
390 모비율이
;1∞0º0;
=0.5이고`, 표본의 크기가 n이므
로 p^은 근사적으로 정규분포 N{0.5,
른다.
0.5_0.5
n
}를 따
로 놓으면 Z는 근사적으로 표준정규분포
Z=
p^-0.5
0.5
123
'ßn
N(0, 1)을 따른다.
P(0.5…p^…0.6)æ0.45에서
ª
P
…Z…
0.5-0.5
0.5
123
'ßn
0.6-0.5
0.5
123
'ßn
∴ P{0…Z… }æ0.45
이때 P(0…Z…1.65)=0.45이므로
'ßn
5
'ßn
5
æ1.65,(cid:100)(cid:100)'ßn æ8.25
∴ næ68.0625
따라서 n의 최솟값은 69이다.
æ0.45
º
(cid:8951) 69
Ⅲ. 통계 73
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:44 PM 페이지74 SinsagoHitec
▶ 본책 76쪽
393 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이
고, 그 확률은 각각
(0, 0)
(1, 0), (0, 1)
(2, 0), (1, 1),
(0, 2)
(3, 0), (2, 1),
(1, 2), (0, 3)
P(X=0)=£Cº{;3@;}
{;3!;}
P(X=1)=£C¡{;3@;}
{;3!;}
P(X=2)=£C™{;3@;}
{;3!;}
P(X=3)=£C£{;3@;}
{;3!;}
따라서 확률변수 X에 대하여
‹ =
;2¡7;
¤ =;9@;
⁄ =;9$;
‚ =
;2•7;
E(X)=0¥
+1¥
+2¥
+3¥
=2
;2¡7;
;9@;
;9$;
;2•7;
∴ V(X)=0¤ ¥
+1¤ ¥
+2¤ ¥
+3¤ ¥
-2¤
;2¡7;
;9@;
;9$;
;2•7;
∴ V(X)=
;3@;
1등급
|비|밀|노|트|
(cid:8951)
;3@;
주사위를 3번 던져서 점 P가 옮겨진 점의 x좌표와 y좌표의 합은
주사위를 3번 던질 때 1 또는 2 또는 3 또는 4의 눈이 나오는 횟
수와 같다. 따라서 주어진 확률변수 X는 이항분포 B{3, ;3@;}를
따르므로
(cid:100)(cid:100)V(X)=3¥;3@;¥;3!;=;3@;
와 같이 계산할 수도 있다.
394 확률변수 X가 가질 수 있는 값을x¡=a,
x™=a+1, x£=a+2라 하고`, 그 확률을 각각
a, a+1, a+2는 공차
가 1인 등차수열
P(X=x¡)=r, P(X=x™)=
r,
;2!;
r,
;2!;r,
;4!;r는 공비가
;2!;인 등비수열
라 하자.
P(X=x£)=
r
;4!;
a=2, r=;7$;이므로 X
의 확률분포를 표로 나
타내면 다음과 같다.
X
2 3 4
합계
P(X=x)
;7$;
;7@;
;7!;
1
k=1일 때
;3¡6;(2¥1-1)=;3¡6;
이므로
P(X=k)=;3¡6;(2k-1)
은 k=1일 때에도 성립
한다.
이때 확률의 총합은 1이므로(cid:100)(cid:100)r+
r+
r=1
;2!;
;4!;
(cid:100)(cid:100)
r=1(cid:100)(cid:100)∴ r=
;4&;
;7$;
또 E(X)=
에서
:¡7•:
a¥
+(a+1)¥
+(a+2)¥
;7$;
;7@;
=
;7!;
:¡7•:
a+
=
;7$;
:¡7•:
(cid:100)(cid:100)∴ a=2
∴ V(X)=2¤ ¥
+3¤ ¥
+4¤ ¥
;7$;
-{:¡7•:}
;7!;
;7@;
=
=
-
:∞7º:
:£4™9¢:
;4@9^;
(cid:8951) ②
395
확률의 총합은 1이므로
P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=1
2a+2b=1(cid:100)(cid:100)∴ a+b=;2!; yy ㉠(cid:100)(cid:100)● 20%
한편
P(A)=P(Xæ2)=a+b+b=a+2b
391 ㄱ. G(3)=P(X>3)=p¢+p∞+y+p¡º
=1-(pº+p¡+p™+p£)
=1-P(0…X…3)
=1-F(3)
ㄴ. P(3…X…8)=p£+p¢+y+p•
=(pº+p¡+y+p•)-(pº+p¡+p™)
=P(0…X…8)-P(0…X…2)
=F(8)-F(2)
ㄷ. P(3…X…8)=p£+p¢+y+p•
=(p£+p¢+y+p¡º)-(pª+p¡º)
=P(X>2)-P(X>8)
=G(2)-G(8)
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
(cid:8951) ④
1등급
|비|밀|노|트|
ㄴ에서 확률변수 X가 연속확률변수이면 P(X=3)=0이므로
P(3…X…8)=P(0…X…8)-P(0…X<3)
=P(0…X…8)-P(0…X…3)
=F(8)-F(3)
그러나 X가 이산확률변수이므로 P(X=3)+0이다. 즉
P(3…X…8)+F(8)-F(3)
임에 유의한다.
392 k=1일 때,(cid:100)(cid:100)P(X=1)=a
2…k…6일 때,
P(X=k)=P(X…k)-P(X…k-1)
=ak¤ -a(k-1)¤
=a(2k-1)
확률의 총합은 1이므로
P(X=1)+P(X=2)+y+P(X=6)=1
a+3a+5a+y+11a=1
36a=1(cid:100)(cid:100)
∴ a=;3¡6;
∴ P(X=k)=;3¡6;(2k-1) (k=1, 2, 3, y, 6)
6
∴ E(X)= kP(X=k)
¡k=1
∴ E(X)= [k¥;3¡6;(2k-1)]
6
¡k=1
∴ E(X)=;3¡6;
(2k¤ -k)
6
¡k=1
∴ E(X)=;3¡6; {2¥
6¥7¥13
6
-
6¥7
2
}
∴ E(X)=;3¡6;(182-21)
∴ E(X)=:¡3§6¡:
(cid:8951) :¡3§6¡:
74 정답 및 풀이
¤
‚
⁄
¤
‹
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:45 PM 페이지75 SinsagoHitec
확률질량함수의 성질에
따라서 f(k)는 k=
;1!2@1);
a일 때 최솟값 {;1!2@1);}
¤ a¤ 을 가
의하여
P(X=-1)=a에서
(cid:100)0…a…1
지므로
계
통
Ⅲ
k¤ -2akx+a¤ x¤
120
¡x=0
P(X=x)=1
확률변수 X와 두 상수a
(a+0), b에 대하여
(cid:8951) ⑤
① E(aX+b)
=aE(X)+b
② V(aX+b)
=a¤ V(X)
③ r(aX+b)
=|a|r(X)
P(A;B)=P(2…X…3)=a+b
이므로 P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=;7$;에서
=;7$;,(cid:100)(cid:100)7a+7b=4a+8b
a+b
a+2b
∴ b=3a
yy ㉡(cid:100)(cid:100)● 20%
㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=;8!;, b=;8#;
따라서 확률변수 X에 대하여
E(X)=1¥;8!;+2¥;8!;+3¥;8#;+4¥;8#;=3
∴ E(2X+5)=2E(X)+5
`
=2¥3+5
=11
● 30%
● 20%
● 30%
(cid:8951) 11
396 확률의 총합은 1이므로
P(X=-1)+P(X=0)+P(X=2)=1
a+a¤ +a¤ =1,(cid:100)(cid:100)2a¤ +a-1=0
(a+1)(2a-1)=0
∴ a=;2!; (∵ 0…a…1)
따라서 확률변수 X에 대하여
E(X)=-1¥;2!;+0¥;4!;+2¥;4!;=0
V(X)=(-1)¤ ¥;2!;+0¤ ¥;4!;+2¤ ¥;4!;-0¤ =;2#;
r(X)="√V(X) =Æ;2#; = 이므로
'6
2
r(-4X+3)=|-4|r(X)=4¥ =2'6
'6
2
확률변수 X는 이항분포
397
B{n,
2
a+2
}를 따르므로
yy ㉠(cid:100)(cid:100)● 40%
E(X)=n¥
2
a+2
=5
V(X)=n¥
2
a+2
¥
a
a+2
V(X)=
:™6∞:
㉠`을 ㉡`에 대입하면
5a
a+2
=
:™6∞:
(cid:100)(cid:100)∴ a=10
a=10을 ㉠`에 대입하면
(cid:100)(cid:100)n=30
`
∴ na=300
● 20%
● 20%
● 10%
(cid:8951) 300
398 확률변수 X가 이항분포 B {120, ;12!1;}을 따르
므로
본책
76쪽``…``77쪽
E(X)=120¥;12!1;=;1!2@1);
V(X)=120¥;12!1;¥;1!2@1);={;1!2@1);}
V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ 에서
E(X¤ )=V(X)+{E(X)}¤
¤ +{;1!2@1);}
E(X¤ )={;1!2@1);}
E(X¤ )=2¥{;1!2@1);}
(cid:100)(cid:100)∴ f(k)= (k-ax)¤ P(X=x)
120
¡x=0
120
¡x=0
=k¤
P(X=x)-2ak
xP(X=x)
120
¡x=0
=+a¤
x¤ P(X=x)
120
¡x=0
=k¤ -2akE(X)+a¤ E(X¤ )
=k¤ -2¥
;1!2@1);
={k-
a}
;1!2@1);
¤ a¤
ak+2{;1!2@1);}
¤ +{;1!2@1);}
¤ a¤
{;1!2@1);}
¤ a¤ =4,(cid:100)(cid:100)a¤ =4¥{;1!2@0!;}
∴ a=2¥
=
;1!2@0!;
;;¡6™0¡;;
(∵ a>0)
(cid:8951) ③
399
V(1-3X)=9이므로
(-3)¤ V(X)=9
V(X)=1,(cid:100)(cid:100)r¤ =1(cid:100)(cid:100)∴ r=1
● 30%
Z=
X-m
1
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을
따르므로 P(Xæ10)=0.1587에서
P(Zæ10-m)=0.1587
P(Zæ0)-P(0…Z…10-m)=0.1587
0.5-P(0…Z…10-m)=0.1587
∴ P(0…Z…10-m)=0.3413
10-m=1(cid:100)(cid:100)∴ m=9
`
∴ m-r=8
● 50%
● 20%
(cid:8951) 8
400 축구공의 무게를 X g이라 하면 확률변수 X는
정규분포 N(m, 12¤ )을 따르므로 Z=
으로 놓
X-m
12
으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
P(Xæ380)=0.98에서
P{Zæ
380-m
12
}=0.98
Ⅲ. 통계 75
yy ㉡(cid:100)(cid:100)● 50%
이때 P(0…Z…1)=0.3413이므로
¤
¤
¤
¤
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:45 PM 페이지76 SinsagoHitec
P{Z…
m-380
12
}=0.98
P(Z…0)+P{0…Z…
m-380
12
}=0.98
0.5+P{0…Z…
m-380
12
}=0.98
∴ P{0…Z…
m-380
12
}=0.48
이때 P(0…Z…2)=0.48이므로
m-380
12
=2(cid:100)(cid:100)∴ m=404
(cid:8951) ②
401 주사위를 1번 던져서 4의 약수의 눈이 나올 확률
은
이다. 이때 1개의 주사위를 100번, 400번, 1000번
;2!;
던져서 4의 약수의 눈이 나오는 횟수를 각각 X¡, X™,
(cid:100);6#;=;2!;
X£이라 하자.
⁄ 확률변수 X¡은 이항분포 B {100,
;2!;}을 따르므로
P(Z…0)
=P(Zæ0)
=0.5
2<3<'∂10 이므로
(cid:100)p¡<p™<p£
4의 약수의 눈은
(cid:100)1, 2, 4
이므로 4의 약수의 눈
이 나올 확률은
으로 놓으면 Z£은 표준정규분포
따라서 X£은 근사적으로 정규분포
N(500, (5'∂10)¤ )을 따른다.
Z£=
X£-500
5'∂10
N(0, 1)을 따르므로
(cid:100)(cid:100)p£=P(X£…550)
550-500
5'∂10
}
=P{Z£…
=P(Z£…'∂10 )
이상에서(cid:100)(cid:100)p¡<p™<p£
(cid:8951) ②
402 한 개의 주사위를 던져서 3의 배수의 눈이 나올
확률은 ;3!;이므로 주사위를 450번 던져서 3의 배수의 눈
이 나오는 횟수를 X라 하면 확률변수 X는 이항분포
3의 배수의 눈은
(cid:100)3, 6
이므로 3의 배수의 눈
이 나올 확률은
(cid:100);6@;=
;3!;
B{450, ;3!;}을 따른다.
E(X)=450¥;3!;=150,
V(X)=450¥;3!;¥;3@;=100
따라서 X¡은 근사적으로 정규분포 N(50, 5¤ )을 따
으로 놓으면 Z¡은 표준정규분포
¤ 확률변수 X™는 이항분포 B {400,
;2!;}을 따르므로
따라서 X™는 근사적으로 정규분포 N(200, 10¤ )을
으로 놓으면 Z™는 표준정규분포
(cid:100)(cid:100)E(X¡)=100¥
=50,
;2!;
(cid:100)(cid:100)V(X¡)=100¥
¥
;2!;
;2!;
=25
른다.
Z¡=
X¡-50
5
N(0, 1)을 따르므로
(cid:100)(cid:100)p¡=P(X¡…60)
=P{Z¡…
60-50
5
}
=P(Z¡…2)
(cid:100)(cid:100)E(X™)=400¥
=200,
;2!;
(cid:100)(cid:100)V(X™)=400¥
¥
;2!;
;2!;
=100
따른다.
Z™=
X™-200
10
N(0, 1)을 따르므로
(cid:100)(cid:100)p™=P(X™…230)
=P{Z™…
230-200
10
}
=P(Z™…3)
(cid:100)(cid:100)E(X£)=1000¥
=500,
;2!;
(cid:100)(cid:100)V(X£)=1000¥
¥
;2!;
;2!;
=250
76 정답 및 풀이
‹ 확률변수 X£은 이항분포 B {1000,
;2!;}을 따르므로
P(Z<-a)
=P(Z>a)
따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(150, 10¤ )을 따르
므로 Z=
으로 놓으면 Z는 표준정규분포
X-150
10
N(0, 1)을 따른다.
게임을 450번 한 후의 점수를 Y점이라 하면
Y=2X-(450-X)=3X-450
Yæ45에서(cid:100)(cid:100)3X-450æ45(cid:100)(cid:100)∴ Xæ165
∴ P(Yæ45)=P(Xæ165)
∴ P(Yæ45)=P{Zæ
∴ P(Yæ45)=P(Zæ1.5)
165-150
10
}
=P(Zæ0)-P(0…Z…1.5)
=0.5-P(0…Z…1.5)
=0.5-0.4332
=0.0668
(cid:8951) ②
403
수 X는 정규분포 N(96, 4¤ )을 따르므로
부품의 무게를 X g이라 하면 확률변
Z˛=
X-96
4
N(0, 1)을 따른다.
으로 놓으면 Z˛는 표준정규분포
P(X<89)=P {Z˛<
89-96
4
}
=P(Z˛<-1.75)
=P(Z˛>1.75)
=P(Z˛æ0)-P(0…Z˛…1.75)
=0.5-0.46=0.04
● 40%
부품이 불량품으로 판
정받을 확률
6만 개의 부품 중 불량품의 개수를 Y라 하면 확률변수
Y는 이항분포 B(60000, 0.04)를 따르므로
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:45 PM 페이지77 SinsagoHitec
● 30%
로 양수 k에 대하여
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을
P(-a…Z…a)
=2P(0…Z…a)
E(Y)=60000_0.04=2400,
V(Y)=60000_0.04_0.96=2304
따라서 Y는 근사적으로 정규분포 N(2400, 48¤ )을 따
른다.
`
이때 ZÁ=
으로 놓으면 ZÁ는 표
Y-2400
48
준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
P(Y…2328)=P{ZÁ…
2328-2400
48
}
=P(ZÁ…-1.5)
=P(ZÁæ1.5)
=P(ZÁæ0)-P(0…ZÁ…1.5)
=0.5-0.43=0.07
● 30%
(cid:8951) 0.07
404 모집단이 정규분포 N(50, 10¤ )을 따르고 표본
의 크기가 n이므로 표본평균 X’는 정규분포
N{50,
}을 따른다.
10¤
n
Z=
X’-50
10
124
'ßn
따르므로
f(n)=P(48…X’…52)
…Z…
52-50
10
124
'ßn
º
=P
ª
48-50
10
124
'ßn
'ßn
5
=P{- …Z… }
'ßn
5
=2P{0…Z… }
'ßn
5
'ß25
ㄱ. f(25)=2P{0…Z…
5
ㄱ. f(25)=2P(0…Z…1)
}
ㄱ. f(25)=2_0.3413
=0.6826
ㄴ. f(4n)=2P{0…Z…
ㄱ. f(25)=2P{0…Z…
'ß4n
5
}
;5@;'ßn }
'ßn
5
2f(n)=4P{0…Z… }
ㄴ. 이때 P{0…Z…
ㄴ. (cid:100)(cid:100)f(4n)+2f(n)
ㄷ. n¡<n™이면
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77쪽``…``78쪽
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표준정규분포를 따르는 확률변수 Z의
f{z}
정규분포 곡선은 오른쪽 그림과 같으므
P(k…Z…2k)<P(0…Z…k)
∴ P(0…Z…2k)
=P(0…Z…k)+P(k…Z…2k)
<2P(0…Z…k)
O
k 2k
z
405
르고 표본의 크기가 n이므로 표본평균 X’는 정규분포
모집단이 정규분포 N(50, 3¤ )을 따
N {50,
}을 따른다.
3¤
n
● 20%
Z=
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)
X’-50
3
155
'ßn
을 따르므로 P(47…X’…53)=0.96에서
=0.96
º
ª
P
…Z…
47-50
3
155
'n
53-50
3
155
'n
P(-'ßn…Z…'ßn )=0.96
2P(0…Z…'ßn )=0.96
∴ P(0…Z…'ßn )=0.48
`
이때 P(0…Z…2)=0.48이므로
'ßn=2(cid:100)(cid:100)∴ n=4
계
통
Ⅲ
● 50%
● 30%
(cid:8951) 4
406 달걀의 무게를 X g이라 하면 확률변수 X는 정
규분포 N(80, 10¤ )을 따르고, 표본의 크기가 16이므로
표본평균 X’는 정규분포 N{80,
}, 즉 N(80, 2.5¤ )
10¤
16
을 따른다.
상자의 무게가 1200 g 이상이려면
16X’æ1200(cid:100)(cid:100)
∴ X’æ75
Z=
X’-80
2.5
따르므로
P(X’æ75)=P{Zæ
75-80
2.5
}
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을
=P(Zæ-2)
=P(-2…Z…0)+P(Zæ0)
=P(0…Z…2)+P(Zæ0)
=0.48+0.5
=0.98
;5@;'ßn }+2P {0…Z… }이므로
'ßn
5
P(-a…Z…0)
=P(0…Z…a)
P(0…Z…2k)
<2P(0…Z…k)
ㄷ. P {0…Z…
}<P {0…Z…
'ßn¡
5
'ßn™
5
}
ㄷ. ∴ f(n¡)<f(n™)
이때 3200개의 달걀을 16개씩 포장한 상자는 200개이
다.
따라서 하루 평균 납품할 수 있는 상자의 개수는
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
(cid:8951) ④
200_0.98=196
(cid:8951) ⑤
Ⅲ. 통계 77
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:45 PM 페이지78 SinsagoHitec
407 표본평균이 xÆ, 모표준편차가 2, 표본의 크기가
100이므로 모평균 m의 신뢰도 a %의 신뢰구간은
xÆ-c¥
…m…xÆ+c¥
2
'∂100
2
'∂100
∴ xÆ-
…m…xÆ+
;5C;
;5C;
이때 49.68…m…50.32이므로
xÆ-
=49.68, xÆ+
;5C;
;5C;
위의 두 식을 연립하여 풀면
=50.32
xÆ=50, c=1.6
∴ xÆ+c=50+1.6=51.6
(cid:8951) ④
50+
=50.32에서
;5C;
두 식을 더하면
(cid:100)2xÆ=100
(cid:100)∴ xÆ=50
(cid:100)
=0.32
;5C;
(cid:100)∴ c=1.6
3학년 학생의 1일 수면시간을 X시
408
간이라 하고 X의 표준편차를 r라 하면 확률변수 X는
정규분포 N(m, r¤ )을 따른다.
표본평균이 xÆ, 모표준편차가 r, 표본의 크기가 36이므
로 모평균 m의 신뢰도 99 %의 신뢰구간은
xÆ-2.58_
…m…xÆ+2.58_
∴ c=2.58_
=0.43r
r
'∂36
● 30%
● 30%
P(|Z|…2.58)
=2_0.495=0.99
r
'∂36
r
'∂36
X-m
r
Z=
으로 놓으면 Z는 표준정규분포
N(0, 1)을 따르므로 구하는 확률은
`
P(Xæm-2c)=P{Zæ
m-2c-m
r
}
k¡
=2에서
(cid:100)k¡=
2'ßn¡
r
r
'ßn¡
r
'ßn™
(cid:100)k™=
4'ßn™
r
n¡=n™이므로
2'ßn¡
r
(cid:100)k™=2¥
(cid:100)k™=2k¡
=P{Zæ
-2c
r
}
}
-2_0.43r
r
=P{Zæ
=P(Zæ-0.86)
=P(Z…0.86)
=P(Z…0)+P(0…Z…0.86)
=0.5+P(0…Z…0.86)
=0.5+0.305
=0.805
● 40%
(cid:8951) 0.805
409 모표준편차가 2, 표본의 크기가 64이므로
pa+qb
100
P(-c…Z…c)=
라 할 때, 모평균 m의 신뢰
∴ P(-c…Z…c)
=P(-2k…Z…2k)
=2P(0…Z…2k)
=2{P(-k…Z…2k)-P(-k…Z…0)}
=2{P(-k…Z…2k)-P(0…Z…k)}
=2(b-a)
=-2a+2b
pa+qb
100
=-2a+2b이므로
따라서
pa+qb=-200a+200b
∴ p=-200, q=200
(cid:100)(cid:100)∴ q-p=400
(cid:8951) 400
410 크기가 n¡, n™인 표본의 표본평균을 각각 x¡’, x™’
a
100
라 하고 P(|Z|…k¡)= , P(|Z|…k™)= 라 하
b
100
면
a=x¡’-k¡
, b=x¡’+k¡
c=x™’-k™
, d=x™’+k™
r
'∂n¡
r
'∂n™
,
r
'∂n¡
r
'∂n™
ㄱ. [반례] x¡’=10, x™’=12이고 n¡=n™일 때,
r
'∂n™
=4라 하면
r
'∂n¡
=2, k™
ㄱ. k¡
ㄱ. (cid:100)(cid:100)a=10-2=8, c=12-4=8
ㄱ. 즉 a=c이지만 k™=2k¡이므로
ㄱ. (cid:100)(cid:100)a+b
ㄴ. a<c<d<b이면 b-a>d-c이므로
r
'∂n¡
>2k™
r
'∂n¡
r
'∂n™
r
'∂n™
ㄱ. (cid:100)(cid:100)2k¡
ㄱ. 이때 n¡=n™이면 k¡>k™이므로
ㄱ. (cid:100)(cid:100)a>b
ㄷ. n¡=4n™이면(cid:100)(cid:100)b-a=2k¡
=k¡
r
'∂4n™
r
'∂n™
ㄱ. 이때 a<b이면 k¡<k™이므로
ㄱ. (cid:100)(cid:100)b-a=k¡
r
'∂n™
ㄱ. (cid:100)(cid:100)∴ b-a+d-c
<k™
<2k™
=d-c
r
'∂n™
r
'∂n™
이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
(cid:8951) ④
k™
=4에서
ㄱ. b-a=2k¡
, d-c=2k™
에서
도 (pa+qb) %의 신뢰구간은
xÆ-c¥
…m…xÆ+c¥
2
'ß64
2
'ß64
∴ xÆ-;4!;c…m…xÆ+;4!;c
이므로
즉 ;4!;c=
;2K;
c=2k
78 정답 및 풀이
411 100명 중에서 하루 평균 12000보 이상을 걷는
주민의 비율을 p^이라 하면 p^은 근사적으로 정규분포
모비율이 0.2, 표본의
크기가 100이므로
(cid:100)E(p^)=0.2,
(cid:100)V(p^)=
0.2_0.8
100
N{0.2,
0.2_0.8
100
Z=
p^-0.2
0.04
N(0, 1)을 따른다.
}, 즉 N(0.2, 0.04¤ )을 따르므로
로 놓으면 Z는 근사적으로 표준정규분포
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:45 PM 페이지79 SinsagoHitec
따라서 구하는 확률은
P(0.16…p^…0.26)
0.16-0.2
=P{
0.04
=P(-1…Z…1.5)
=P(0…Z…1)+P(0…Z…1.5)
0.26-0.2
0.04
…Z…
}
=0.3413+0.4332
=0.7745
412 표본의 크기가 100`, 표본비율이
=0.1이므
;1¡0º0;
로 모비율 p의 신뢰도 95 %의 신뢰구간은
…p…0.1+2_æ≠
0.1_0.9
100
0.1_0.9
100
0.1-2_æ≠
0.1-0.06…p…0.1+0.06
∴ 0.04…p…0.16
따라서 a=0.04, b=0.16이므로
100ab=0.64
(cid:8951) 0.64
확률변수 X에 대하여
r¤ P(X=r)=E(X¤ )임을 이용한다.
413
30
¡r=0
확률변수X가이항분포 B{30, ;6!;}을 따르므로
E(X)=30¥;6!;=5,
V(X)=30¥;6!;¥;6%;=:™6∞:
E(X¤ )=V(X)+{E(X)}¤
E(X¤ )=:™6∞:+5¤ =:¡;6&;∞:
V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ 이므로
따라서
(cid:100)(cid:100) r¤ P(X=r)
= r¤ P(X=r)
30
¡r=4
30
¡r=0
30
¡r=0
=:¡;6&;∞:-1.55
이므로
=-{P(X=1)+2¤ P(X=2)+3¤ P(X=3)}
= r¤ P(X=r)-(p¡+4p™+9p£)
=E(X¤ )-(0.025+4_0.073+9_0.137)
30
¡r=4
60
60
60
r¤ P(X=r)=60{:¡;6&;∞:-1.55}
r¤ P(X=r)=1750-93
r¤ P(X=r)=1657
(cid:8951) 1657
414
래프와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구한다.
함수 f(x)의 식을 구하고, y=f(x)의 그
점 P가 매초 1의 속력으로 움직이므로 x초 동
안 점 P가 움직인 거리는 x이다.
P(-1…Z…1.5)
=P(-1…Z…0)
+P(0…Z…1.5)
(cid:8951) ②
=P(0…Z…1)
+P(0…Z…1.5)
OA”+μAB+BO”
=r+2r+r
=4r
본책
78쪽``…``79쪽
0…x…r이면 점 P는 선분OA 위에 놓이므로
(cid:100)(cid:100)OP”=x
r…x…3r이면 점 P는 호 AB 위에 놓이므로
(cid:100)(cid:100)OP”=r
3r…x…4r이면 점 P는 선분BO 위에 놓이므로
(cid:100)(cid:100)OP”=4r-x
(
(cid:100)(cid:100)∴ f(x)={
9
x
(0…x…r)
(r…x…3r)
4r-x (3r…x…4r)
r
함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다.
y
r
y=f{x}
O
r
3r
4r x
0…x…4r에서 함수 y=f(x)의 그래프와 x
축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 1이므로
(cid:100)(cid:100);2!;(2r+4r)¥r=1
(cid:100)(cid:100)3r¤ =1,(cid:100)(cid:100)r¤ =;3!;
'3
3
(cid:100)(cid:100)∴ r=
(∵ r>0)
계
통
Ⅲ
(cid:8951) ③
표본비율 p^으로부터 추
정한 모비율 p의 신뢰
구간이
(cid:100)a…p…b
일 때
(cid:100)p^=
a+b
2
r=0일 때
(cid:100)r¤ P(X=r)=0
415
하여 c의 값과 f(n)의 식을 구한다.
표본비율로부터 모비율의 신뢰구간을 구
`
P(|Z|…k)=
a
100
가 144인 표본을 임의추출하여 구한 모비율 p의 신뢰도
라 하면 모집단에서 크기
a %의 신뢰구간이 ;4!;-c…p…;4!;+c이므로 표본비율
은 p^=;4!;이고
c=k
« …
;4!;¥;4#;
111144
»
'3
= k
48
같은 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출
하여 구한 모비율 p의 신뢰도 a %의 신뢰구간이
;5!;-f(n)…p…;5!;+f(n)이므로 표본비율은 p^=;5!;이
고
f(n)=k
« …
;5!;¥;5$;
111n
»
=
2k
5'ßn
f(n)=;2!5^;c이므로
'3
48
=;2!5^;¥
k
(cid:100)(cid:100)
2k
5'ßn
1
'ßn
(cid:100)(cid:100)∴ n=300
'3
30
(cid:100)(cid:100) = ,(cid:100)(cid:100)'ßn =10'ß3
(cid:8951) 300
Ⅲ. 통계 79
15일품확률과통계(54~80)해 2014.10.31 2:45 PM 페이지80 SinsagoHitec
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