15일품미적분II-해(01~05) 2015.4.27 7:26 PM 페이지1 SinsagoHitec
미적분 II
정답 및 풀이
Ⅰ
지수함수와 로그함수
Ⅱ
삼각함수
Ⅲ
미분법
Ⅳ
적분법
6
29
58
81
15일품미적분II-해(01~05) 2015.4.27 7:26 PM 페이지2 SinsagoHitec
Ⅰ
지수함수와 로그함수
074 ② 075 ②
076 3
077 45
078 7
본책 19쪽
01
지수함수와 로그함수
079 ②
001 ㄱ, ㄷ 002 ①
003 1
004 ④
005 81
006 ③
007 999
008 ③
009 ;2!;
010 ①
본책 8쪽 ~ 9쪽
011 8
012 ②
03
지수함수와 로그함수의 미분
013 14
014 ②
015 2
016
3‹'4
12342
본책 10쪽 ~ 12쪽
080 ③ 081 ④
082 4
083 ④
084 e¤
본책 20쪽 ~ 21쪽
017 ㄴ, ㄷ 018 A2, a>1일 때 x<2
063 x=10
064 ④
065 -
;4!; 066 ④
본책 26쪽 ~ 29쪽
118 ② 119 ①
120 7
121 ②
122 ⑤
123 5
124 ③
125 187
126 ⑤
127 7
128 ② 129 0
130 ③
131 15
132 00)로 놓으면
y=-t¤ +4t+16
=-(t-2)¤ +20
이때 x…3이므로(cid:100)(cid:100)00)로 치환하여 t
에 대한 함수로 나타낸다.
이때 t의 값의 범위에 유
의한다.
a>0, a+1이고 M>0,
N>0일 때
logå MN
(cid:8951) ①
=logå M+logå N
따라서 주어진 함수는 t=2일 때 최댓값 20, t=8일 때
최솟값 -16을 갖는다.
따라서 M=20, m=-16이므로
M+m=4
(cid:8951) ③
007 y=-3+log 10(x+3)이라 하면
y=-3+log 10+log (x+3)
y=log (x+3)-2
log(x+3)=y+2,(cid:100)(cid:100)x+3=10y+2
∴ x=10y+2-3
x와 y를 서로 바꾸면
y=10x+2-3
즉 g(x)=10x+2-3이므로
(cid:8951) 1
g(1)-g(-2)=(10‹ -3)-(10‚ -3)
=999
(cid:8951) 999
지수를 포함한 수의 대소
를 비교할 때에는 주어진
수의 밑을 같게 한 후 지
수함수의 성질을 이용한
다.
008 y=log˚ (2x-5)+2에서 2x-5=1, 즉 x=3
일 때
y=log˚ 1+2=2
따라서 y=log˚ (2x-5)+2의 그래프는 항상 점 (3, 2)
를 지나므로
a>0, a+1일 때
① logå 1=0
② logå a=1
a=3, b=2
∴ ``a+b=5
009 y=log™ '2(x-1)=log™ (x-1)+log™ '2
=log™ (x-1)+log™ 2;2!;
=log™ (x-1)+;2!;
따라서 y=log™ '2(x-1)의 그래프는 y=log™ x의 그
래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 ;2!;만큼
평행이동한 것이므로
함수 f(x)={;3!;}
g(x)
에
서 0<;3!;<1이므로
f(x)는 g(x)가 최대일
때 최솟값, g(x)가 최
소일 때 최댓값을 갖는
다.
m=1, n=;2!;
∴ mn=;2!;
(cid:8951) 81
(cid:8951) ③
(cid:8951) ;2!;
⁄
15일품미적분II해(06~28) 2015.4.27 7:28 PM 페이지7 SinsagoHitec
010 f(x)=x¤ -4x+29라 하면
f(x)=(x-2)¤ +25
따라서 f(x)는 x=2일 때 최솟값 25를 갖는다.
이때 y=log0.2 f(x)에서 밑이 1보다 작으므로 y의 최댓
값은
log0.2 25=log5—⁄ 5¤ =-2
(cid:8951) ①
011 y=(log£ x)¤ +a log£ x¤ +b
=(log£ x)¤ +2a log£ x+b
log£ x=t로 놓으면
y=t¤ +2at+b
=(t+a)¤ +b-a¤
따라서 y는 t=-a일 때, 최솟값 b-a¤ 을 갖는다.
x=;9!;, 즉 t=log£ ;9!;=-2일 때 최솟값 2를 가지므로
-a=-2, b-a¤ =2
∴ a=2, b=6
∴ a+b=8
012 y=log™ x+log™ (8-x)
=log™ (-x¤ +8x)
=log™ {-(x-4)¤ +16}
f(x)=-(x-4)¤ +16이라 하면 1…x…5에서
f(1)=7, f(4)=16, f(5)=15
이므로
7…f(x)…16
이때 y=log™ f(x)에서 밑이 1보다 크므로 f(x)가 최
소일 때 y도 최소이다.
즉 주어진 함수는 x=1일 때 최솟값 log™ 7을 가지므로
a=1, b=log™ 7
∴ ab=log™ 7
013 f(1)+f(-1)=a+a—⁄ =4
∴ f(2)+f(-2)=a¤ +a—¤
=(a+a—⁄ )¤ -2
=4¤ -2=14
014 (a, b)0)라 하면
PH”=2˚ , QH'”=2›
PH” : QH'”=1 : 4이므로(cid:100)(cid:100)2˚ : 2›
˚ =1 : 4
4¥2˚ =2›
˚ ,(cid:100)(cid:100)2¤ ±˚ =2›
2+k=4k
∴ k=;3@;
∴ m=
PH”
112OH”
2;3@;
= =
12
;3@;
3‹'4
1132
(cid:8951)
3‹ '4
12342
017 ㄱ. [반례] a=2, p=;2!;, q=1일 때,
ap
p
=2¥2;2!;=2;2#;, =2
aq
q
ap
∴ >
p
aq
q
ㄴ. A(0, 1)이라 하면 직선 AQ의 기울기가 직선 AP
의 기울기보다 크므로
aq-1
q
∴ q(ap-1)2, q>p+1이면 aq>ap+1
∴ aq-ap>ap+1-ap
p>0이므로
(cid:100)ap>1
=ap(a-1)>ap>1 (∵ a>2)
이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
(cid:8951) ㄴ, ㄷ
018
A=øπa ‹"√a ›'a
=a;2!;¥a;3!;¥;2!;¥a;4!;¥;3!;¥;2!;
=a;2!;+;6!;+;2¡4;=a
12+4+1
24
=a;2!4&;
● 30%
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 7
å
å
˚
˚
15일품미적분II해(06~28) 2015.4.27 7:28 PM 페이지8 SinsagoHitec
B=‹øπa ›"√a 'a
B=a;3!;¥a;4!;¥;3!;¥a;2!;¥;4!;¥;3!;
B=a;3!;+;1¡2;+;2¡4;=a
8+2+1
24
B=a;2!4!;
C=›øπa"√a ‹'a
C=a;4!;¥a;2!;¥;4!;¥a;3!;¥;2!;¥;4!;
C=a;4!;+;8!;+;2¡4;=a
6+3+1
24
C=a;1∞2;
a;2!4&;0, b>0일 때
(cid:100)
a+b
2
æ'aåb
● 10%
(cid:8951) A0, 2—≈ >0이므로 산
술평균과 기하평균의 관계에 의하여
t=2≈ +2—≈ æ2"√2≈ ¥2—≈ =2
(단, 등호는 x=0일 때 성립)
(단, 등호는 a=b일 때
성립)
∴ tæ2
019 ⁄ f(5)=g(5)에서
(cid:100)(cid:100)(1+a)fi ={1+
;2B;}1
0 =[{1+
;2B;}2 ]5
;2B;}2 =1+b+{;2B;}2 이므로
즉 1+a={1+
(cid:100)(cid:100)a>b
¤ g(5)=h(5)에서
(cid:100)(cid:100){1+
;2B;}1
0 ={1+
;4C;}2
0 =[{1+
;4C;}2 ]1
즉 1+
={1+
;4C;}2 =1+
+{;4C;}2 이므로
;2C;
;2B;
(cid:100)(cid:100)b>c
⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)c0
(cid:100)a-b={;2B;}
(cid:100)∴ a>b
1+
=1+
;2B;
+{;4C;}
;2C;
¤ 에서
(cid:8951) ⑤
(cid:100)
-
={;4C;}
;2C;
;2B;
¤ >0
(cid:100)b-c=2{;4C;}
(cid:100)∴ b>c
4≈ +4—≈ =(2≈ +2—≈ )¤ -2=t¤ -2이므로
y=4≈ +4—≈ +2(2≈ +2—≈ )-1
=t¤ -2+2t-1
=(t+1)¤ -4
따라서 y는 t=2일 때 최솟값 5를 갖는다.
1등급
|비|밀|노|트|
a≈ +a—≈ 꼴이 반복되는 지수함수의 최대·최소
a≈ +a—≈ 꼴이 반복되면 a≈ +a—≈ =t로 치환한다. 이때 a≈ >0,
a—≈ >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
æ"√a≈ a—≈ =1 (단, 등호는 a≈ =a—≈ 일 때 성립)
(cid:100)(cid:100)
a≈ +a—≈
2
즉 a≈ +a—≈ æ2이므로
(cid:100)(cid:100)tæ2
020 y=2x-2¥33-x=2x¥2-2¥3‹ ¥3-x
020 y=
=:™4¶:{;3@;}
2≈ ¥3‹
2¤ ¥3≈
이때 밑이 1보다 작으므로 x=2일 때y는 최솟값을 갖
는다.
따라서 구하는 최솟값은
:™4¶:¥{;3@;}
¤ =3
(cid:8951) ⑤
021
(cid:100)(cid:100)f(x)=(x-2)¤ +b-4
f(x)=x¤ -4x+b라 하면
이때 2…x…3에서
b-4…f(x)…b-3
● 20%
00이므로 산술평균과 기하평균의
9
5≈
y=5≈ +2+ æ2æ≠5≈ +2¥ =30
∴ b=30
9
5≈
9
이때 등호는 5≈ +2= 일 때 성립하므로
5≈
25¥5≈ =
9
5≈
(5≈ )¤ =;2ª5;,(cid:100)(cid:100)5≈ =;5#;
∴ 5a=;5#;
∴ 5a¥b=18
(cid:100)yy ㉠ ● 20%
yy ㉡ ● 20%
a∫ —‹
a∫ —›
=
;2!;
8
a(b-3)-(b-4)=;1¡6;
● 20%
(cid:100)∴ a=;1¡6;
024 3≈ +4¥ =1에서
3≈ =1-4¥ =1-(2¥ )¤
㉠을 3x+1+2y-1에 대입하면
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
● 20%
● 20%
(cid:8951) 52
(cid:8951) ⑤
● 40%
● 40%
● 20%
(cid:8951) 18
0
≈
¤
15일품미적분II해(06~28) 2015.4.27 7:28 PM 페이지9 SinsagoHitec
본책
10쪽``…``12쪽
ㄷ. 오른쪽 그림에서
y
y=2-log™{x-2}
y=2-log™(x-2)의
그래프는 직선 x=2를
점근선으로 하므로 직
선 x=0과 만나지 않는
다.
O
2
6
x
이상에서 원점을 지나는 임의의 직선과 항상 만나는 것
은 ㄴ뿐이다.
(cid:8951) ②
수
함
그
로
와
수
함
수
지
Ⅰ
3x+1+2y-1=3¥3≈ +;2!;¥2¥
3x+1+2y-1=3{1-(2¥ )¤ } +;2!;¥2¥ yy ㉡(cid:100)(cid:100)
2¥ =t (t>0)로 놓으면 ㉠에서 1-t¤ =3≈ >0이므로
`-10)라 하면
(cid:8772)COBA의 넓이가 16이므로(cid:100)(cid:100)
k¤ =16
∴ k=4 (∵ k>0)
(cid:8951) 193
따라서 A(4, 4)이고 함수 y=f(x)의 그래프가 점 A
를 지나므로
logå 5=4,(cid:100)(cid:100)a› =5(cid:100)(cid:100)
∴ a=›'5
따라서 f(x)=log›'5
(x+1)이므로
f(24)=log›'5 25=8 log∞ 5=8
(cid:8951) 8
= log∞ 5=8 log∞ 5
028 ⁄ log£ xæ0, 즉 xæ1일 때,
log
5¤
5;4!;
2
1
4
(gΩgΩf)(d)
=(gΩI)(d)
=g(d)=a
(단, I는 항등함수)
¤ log£ x<0, 즉 00, 5-2≈ >0이므로
2≈ >1, 2≈ <5
∴ 1<2≈ <5
y=log£ (2≈ -1)+log£ (5-2≈ )
=log£ (2≈ -1)(5-2≈ )
2≈ =t (10일 때 6개의
은 점 (-2n, 1)을 지나고 직선 y=0을 점근
난다.
또 곡선 y=2x-2n-1은 두 점 (2n, 0), (2n+1, 1)을 지나고
직선 y=-1을 점근선으로 가지므로 함수 y=f(x)의 그래프와
x<0일 때 6개의 점에서 만나고, x>0일 때
n (n=1, 3, 5)
[
n+1 (n=2, 4)
개의 점에서 만난다.
032 log™(2≈ —¤ +2—≈ —⁄ )=log™
2≈ +2¥2—≈
4
032 log™(2≈ —¤ +2—≈ —⁄ )=log™(2≈ +2¥2—≈ )-2
이므로 log™(2≈ +2¥2—≈ )=t로 놓으면
y=(t-2)¤ +2t+6=t¤ -2t+10
=(t-1)¤ +9
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
이때 2≈ >0, 2¥2—≈ >0이므로 산술평균과 기하평균의 관
계에 의하여
log™
2≈ +2¥2—≈
4
=log™(2≈ +2¥2—≈ )
-log™ 4
2≈ +2¥2—≈ æ2"√2≈ ¥2¥2—≈
2≈ +2¥2—≈ =2'2 {단, 등호는 x=;2!;일 때 성립}
2≈ =2¥2—≈ 에서
(cid:100)2¤
≈ =2,(cid:100)2x=1
(cid:100)∴ x=;2!;
10 정답 및 풀이
15일품미적분II해(06~28) 2015.4.27 7:28 PM 페이지11 SinsagoHitec
035 H(k, a˚ ) (k>0)이라 하면 EH”=;2!;AD”이므
로
(cid:100)(cid:100)D(2k, a¤
˚ )
∴ (cid:8772)ABCD=2¥2k(a¤
∴ (cid:8772)EFGH=2¥k(a˚ -a—˚ )=2k(a˚ -a—˚ )
˚ )=4k(a¤
˚ -a—¤
˚ -a—¤
˚ )
이때 직사각형 EFGH의 넓이는 직사각형 ABCD의
넓이의 ;8!;이므로
2k(a˚ -a—˚ )=4k(a¤
˚ -a—¤
˚ )¥;8!;
2(a˚ -a—˚ )=;2!;(a˚ +a—˚ )(a˚ -a—˚ )
∴ a˚ +a—˚ =4
∴ ID’+IC’=a¤
˚ +a—¤
=(a˚ +a—˚ )¤ -2
=4¤ -2=14
(cid:8951) 14
036 logå x=t로 놓고 1
f(b)
b-1
ㄴ. 오른쪽 그림에서 직선 ‹
y
의 기울기가 직선 ›의 기
울기보다 작으므로
(cid:100)(cid:100)
f(a)
a
<
f(b)
b
(cid:100)(cid:100)∴ bf(a)0
a>1일 때,
(cid:100)mlogå n
직선 ⁄은 두 점
(a, f(a)), (1, 0)을
지나고 직선 ¤는 두
점 (b, f(b)), (1, 0)
을 지난다.
직선 ‹은 두 점
(a, f(a)), (0, 0)을
지나고 직선 ›는 두
점 (b, f(b)), (0, 0)
을 지난다.
본책
12쪽``…``13쪽
이때 f(a)0
(cid:100)(cid:100) ∴
f(a)-f(b)
f(a)
>
f(b)-f(a)
f(b)
이상에서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.
(cid:8951) ②
1등급
|비|밀|노|트|
함수 f(x)에 대하여
의 값은 점 (p, q)와 y=f(x)의
f(a)-q
a-p
그래프 위의 점 (a, f(a))를 지나는 직선의 기울기와 같다.
수
함
그
로
와
수
함
수
지
Ⅰ
038 곡선 y=3 log™ x와 y=4-log™ x의 교점의 x좌
표는 3 log™ x=4-log™ x에서
따라서 곡선 y=3 log™ x와 `y=4-log™ x의 교점의 좌
오른쪽 그림에서 직선
y
y=3`log™`x
log™ x=1
∴ x=2
표는(cid:100)(cid:100)(2, 3)
y=k (0…k…3)와
y=3 log™ x,
y=4-log™ x의 그래프의
교점의 x좌표는 각각 2;3K;,
24-k이므로
⁄ k=0일 때,
3
k
1
O
y=4-log™`x
y=k
x
2$—
16
2
k
23
x의 값의 범위는(cid:100)(cid:100)2;3!;…x…2‹
(cid:100)(cid:100)∴ ‹'2…x…8
따라서 정수 x는 2, 3, 4, y, 8의 7개이다.
‹ k=2일 때,
x의 값의 범위는(cid:100)(cid:100)2;3@;…x…2¤
(cid:100)(cid:100)∴ ‹'4…x…4
따라서 정수 x는 2, 3, 4의 3개이다.
› k=3일 때, 정수 x는 2의 1개이다.
이상에서 구하는 점의 개수는
16+7+3+1=27
(cid:8951) 27
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 11
y=t@ y=t
3 log™ x=k에서
(cid:100)log™ x=
;3K;
y=loga`t
(cid:100)∴ x=2;3K;
y
1
또 4-log™ x=k에서
(cid:100)log™ x=4-k
(cid:100)∴ x=24-k
x의 값의 범위는(cid:100)(cid:100)2‚ …x…2›
(cid:100)(cid:100)∴ 1…x…16
따라서 정수 x는 1, 2, 3, y, 16의 16개이다.
¤ k=1일 때,
˚
˚
15일품미적분II해(06~28) 2015.4.27 7:28 PM 페이지12 SinsagoHitec
02
지수함수와 로그함수의 활용
본책 14쪽
즉 3—⁄ …3≈`…3¤ 이고 밑이 1보다 크므로
039 8fi —¤
(2‹ )fi —¤
≈ =4‹ '2에서
≈ =2¤ ¥2;3!;,(cid:100)(cid:100)2⁄
fi —fl
≈ =2;3&;
15-6x=;3&;(cid:100)(cid:100)∴ x=:¡9ª:
(cid:8951) ③
040 ⁄ x¤ +4x+4=x+8일 때,
(cid:100)(cid:100)x¤ +3x-4=0,(cid:100)(cid:100)(x+4)(x-1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-4 또는 x=1
¤ x-5=0, 즉 x=5일 때,
49‚ =13‚ =1이므로 등식이 성립한다.
⁄, ¤에서 모든 근의 합은
-4+1+5=2
(cid:8951) 2
041 9≈ -3≈ ±‹ +140=0에서 3≈ =t (t>0)로 놓으면
t¤ -27t+140=0
이 방정식의 근은 3a, 3b이므로 이차방정식의 근과 계수
의 관계에 의하여
3a+3b=27, 3a¥3b=140
∴ 9a+9b=(3a+3b)¤ -2¥3a¥3b
=27¤ -2¥140
=449
(cid:8951) 449
3≈ =t (t>0)로 놓으면 주어진 방정식은
∴ t=7 또는 t=20
따라서 3a=7, 3b=20이라 하면
9a+9b=32a+32b
=7¤ +20¤ =449
2x-1
042 {;9!;}
<3'3<{;3!;}
x-5
에서
(cid:100)(cid:100)(3-2)2x-1<3;2#;<(3-1)x-5
(cid:100)(cid:100)∴ 3-4x+2<3;2#;<3-x+5
이때 밑이 1보다 크므로(cid:100)(cid:100)-4x+2<;2#;<-x+5
⁄ -4x+2<;2#;에서(cid:100)(cid:100)x>;8!;
¤ ;2#;<-x+5에서(cid:100)(cid:100)x<;2&;
⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100);8!;0)로 놓으
면
3t¤ -28t+9…0,
(3t-1)(t-9)…0
∴ ;3!;…t…9
12 정답 및 풀이
(cid:100)(cid:100)-1…x…2
의 합은
밑을 같게 할 수 있는 지
수방정식
밑을 같게 한 후
(cid:100)a≈ =a π
HjK
임을 이용한다.
x=p
따라서 주어진 부등식을 만족시키는 모든 정수 x의 값
-1+0+1+2=2
(cid:8951) ③
밑이 같은 경우
지수가 0인 경우
x-1
x-3
044 {;4!;}
+{;2!;}
+4-kæ0에서
2x
4{;2!;}
+8{;2!;}
x
+4-kæ0
x
=t (t>0)로 놓으면
{;2!;}
4t¤ +8t+4-kæ0
이때 f(t)=4t¤ +8t+4-k라 하면
f(t)=4(t+1)¤ -k
(3≈ )¤ -3‹ ¥3≈ +140=0
서는 f(0)æ0이어야 하므로
따라서 t>0인 모든 실수 t에 대하여 f(t)æ0이기 위해
f(0)=4-kæ0
∴ k…4
따라서 실수 k의 최댓값은 4이다.
(cid:8951) 4
045 진수의 조건에서
x¤ -3>0, x>0, x+5>0
∴ x>'3
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
log™ 2(x¤ -3)=log™ x(x+5)
2x¤ -6=x¤ +5x
x¤ -5x-6=0,(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-6)=0
∴ x=-1 또는 x=6
㉠에 의하여 구하는 해는 x=6이다.
(cid:8951) x=6
046 log£ x¥log£
;9{;
+log£ x-6=0에서
log£ x(log£ x-log£ 9)+log£ x-6=0
log£ x=t로 놓으면
t(t-2)+t-6=0,(cid:100)(cid:100)t¤ -t-6=0
이 방정식의 근은 log£ a, log£ b이므로 이차방정식의
근과 계수의 관계에 의하여
log£ a+log£ b=1,(cid:100)(cid:100)log£ab=1
(cid:100)(cid:100)∴ ab=3
(cid:8951) ②
log£ x=t로 놓으면 주어진 방정식은
t(t-2)+t-6=0,(cid:100)(cid:100)t¤ -t-6=0
(t+2)(t-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ t=-2 또는 t=3
따라서 log£ a=-2, log£ b=3이라 하면
a=
, b=27
;9!;
∴ ab=;9!;¥27=3
t¤ -27t+140=0,(cid:100)(cid:100)(t-7)(t-20)=0
1+log™(x¤ -3)=log™ x+log™(x+5)에서
⁄ x¤ -3>0에서
(x+'3)(x-'3)>0
(cid:100)∴ x<-'3 또는
x>'3
¤ x>0
‹ x+5>0에서
(cid:100)x>-5
이상에서(cid:100)x>'3
15일품미적분II해(06~28) 2015.4.27 7:28 PM 페이지13 SinsagoHitec
047 x log£ x=x‹ 의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면
log£ x log£ x= log£ x‹ ,(cid:100)(cid:100)( log£ x)¤ =3 log£ x
( log£ x)¤ -3 log£ x=0
log£ x=t로 놓으면
(cid:100)(cid:100)t¤ -3t=0,(cid:100)(cid:100)t(t-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ t=0 또는 t=3
즉 log£ x=0 또는 log£ x=3이므로
(cid:100)(cid:100)x=1 또는 x=27
따라서 주어진 방정식의 모든 근의 합은
(cid:100)(cid:100)1+27=28
(cid:8951) ①
048 진수의 조건에서
25-x>0, x>0
∴ 00, Y>0)로 놓
, 즉 ‡
X+Y=9 yy ㉠
yy ㉡
Y=8X¤
● 30%
8X¤ +X-9=0,(cid:100)(cid:100)(8X+9)(X-1)=0
∴ X=1 (∵ X>0)
X=1을 ㉡에 대입하면(cid:100)(cid:100)Y=8
즉 2≈ =1, 2¥ =8이므로
x=0, y=3
∴ x¤ +y¤ =9
(cid:8951) ③
● 30%
● 10%
● 30%
(cid:8951) 9
053 두 점A, B 의 x좌표는 2x+2=-23-x+33에서
(cid:100)(cid:100)2x+2+23-x-33=0
4t¤ -33t+8=0,
(4t-1)(t-8)=0
양변에 2≈ 을 곱하면
22x+2-33¥2≈ +8=0
2≈ =t (t>0)로 놓으면
∴ t=;4!; 또는 t=8
즉 2≈ =;4!; 또는 2≈ =8이므로
(cid:100)(cid:100)x=-2 또는 x=3
따라서 주어진 두 곡선의 교점의 좌표는 (-2, 1),
(3, 32)이므로 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식은
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 13
즉 12‚ =1
● 50%
a>0에서 3a>0이므로
058 (fΩg)(x)=2¤ x+1+1=2¥22x+1,
{ f(x)}¤ =(2≈ +1)¤ =22x+2¥2≈ +1
(fΩg)(x)æ{ f(x)}¤ 에서
(cid:100)(cid:100)2¥22x+1æ22x+2¥2≈ +1
(cid:100)(cid:100)22x-2¥2≈ æ0,(cid:100)(cid:100)2≈ (2≈ -2)æ0
이때 2≈ >0이므로(cid:100)(cid:100)2≈ -2æ0,(cid:100)(cid:100)2≈ æ2
(cid:100)(cid:100)∴ xæ1
(cid:8951) xæ1
x¤ -(23a+1)x+8a<0
x¤ -(22b+5b)x+20b<0
[
yy ㉠(cid:100)
yy ㉡(cid:100)
(cid:100)(cid:100)x¤ -(2‹
(cid:100)(cid:100)∴ 10)
å +1)x+2‹
å <0,(cid:100)(cid:100)(x-1)(x-2‹
å )<0
059
㉠에서
㉡에서
(cid:100)(cid:100)x¤ -(2¤
∫ +5b)x+2¤
∫ )(x-5b)<0
∫ ¥5∫ <0
(cid:100)(cid:100)(x-2¤
(cid:100)(cid:100)∴ 22b0)
따라서 3a…2b, 즉
æ;2#;이므로
;aB;
;aB;
의 최솟값은 ;2#;이
(cid:8951) ④
다.
1등급
|비|밀|노|트|
∫ 0이므로 5∫ >1이다. 따라서 2‹
å …2¤
∫ 이어야 한다.
2¤
∫ =4∫ 이고 b>0이므
로
(cid:100)4∫ <5∫
이때 주어진 연립부등식의 해가 존재하지 않으므로
(cid:100)(cid:100)2‹ a…2¤ b
(cid:8951) ①
a=(2fl );4!;=2;2#;
=2'2
060 9≈ æk¥3≈ -3k-7에서
(3≈ )¤ -k¥3≈ +3k+7æ0
3≈ =t (t>0)로 놓으면
t¤ -kt+3k+7æ0
이때 f(t)=t¤ -kt+3k+7이라 하면
f(t)=t¤ -kt+3k+7
f(t)={t-
;2K;}
¤ -;4!;k¤ +3k+7
⁄
;2K;
>0, 즉 k>0일 때
a>0, a+1일 때, 모든
실수 x에 대하여 부등식
(cid:100)pa¤
≈ +qa≈ +r>0
(p, q, r는 상수)
이 성립한다.
(cid:8857) a≈ =t로 놓으면 t>0
인 모든 실수t 에 대하
여 부등식
(cid:100)pt¤ +qt+r>0
이 성립한다.
t>0에서 f(t)의 최솟값은 -;4!;k¤ +3k+7이므로
(cid:100)(cid:100)-;4!;k¤ +3k+7æ0,(cid:100)(cid:100)k¤ -12k-28…0
(cid:100)(cid:100)(k+2)(k-14)…0
(cid:100)(cid:100)∴ -2…k…14
이때 k>0이므로(cid:100)(cid:100)00에서 f(t)>f(0)이므로
따라서 a=:§5¶:이므로
5a=67
(cid:8951) ③
방정식 |3x-2|=k의 실근은 함수
054
y=|3x-2|의 그래프와 직선 y=k의 교점의 x좌표와
같다.
오른쪽 그림에
`
서 함수 y=|3x-2|의 그
래프와 직선 y=k의 교점
의 x좌표가 서로 다른 부
호이려면
10)로 놓으면
t¤ -18t+64=0
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
주어진 방정식의 두 근을 a, b라 하면 방정식 ㉠의 두
근은 aa, ab이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의
하여
aa¥ab=64,(cid:100)(cid:100)aa+b=64
이때 a+b=4이므로
a› =64
∴ a=›'6å4=2'2 (∵ a>0)
056 번식을 시작한 지 n시간 후 세균 A, B의 수는
각각
이므로 그 수의 차가960마리라 하면
2¥2« , 4«
4« -2¥2« =960
2« =t(t>0)로 놓으면(cid:100)(cid:100)t¤ -2t-960=0
(t+30)(t-32)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=32 (∵ t>0)
즉 2« =32이므로(cid:100)(cid:100)n=5
따라서 세균 A, B의 수의 차가 960마리가 되는 것은
번식을 시작한 지 5시간 후이다.
(cid:8951) ③
057 2x+1¥9x-2…4x-4¥3x+5의 양변을 4x-4¥3x+5으로
나누면
2x+1¥9x-2
4x-4¥3x+5
…1,(cid:100)(cid:100)
2x+1¥32x-4
22x-8¥3x+5
x-9
…1
2-x+9¥3x-9…1,(cid:100)(cid:100){;2#;}
…1
14 정답 및 풀이
밑이 1보다 크므로(cid:100)(cid:100)x-9…0(cid:100)(cid:100)∴ x…9
따라서 정수 x의 최댓값은 9이다.
(cid:8951) 9
x-9
0
…{;2#;}
{;2#;}
(cid:100)(cid:100)f(0)=3k+7æ0(cid:100)(cid:100)∴ kæ-;3&;
이때 k…0이므로(cid:100)(cid:100)-;3&;…k…0
∫
15일품미적분II해(06~28) 2015.4.27 7:28 PM 페이지15 SinsagoHitec
⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)-;3&;…k…14
따라서 정수 k는
-2, -1, 0, y, 14
의 17개이다.
(cid:8951) 17
x+2
x¤
061 {;2!;}
<{;2!;}
에서 밑이 1보다 작으므로
(cid:100)(cid:100)x+2>x¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ -x-2<0
(x+1)(x-2)<0(cid:100)(cid:100)∴ -10이므로(cid:100)(cid:100)a>0
⁄, ¤에서 aæ4이므로 a의 최솟값은 4이다.
(cid:8951) ④
t¤ +2a¤ t-3a› <0,(cid:100)(cid:100)(t+3a¤ )(t-a¤ )<0 ● 30%
062
a¤
≈ +2a≈ ±¤ <3a› 에서
(a≈ )¤ +2a¤ ¥a≈ -3a› <0
a≈ =t (t>0)로 놓으면
t>0에서 t+3a¤ >0이므로
t-a¤ <0,(cid:100)(cid:100)t2
¤ a>1일 때,(cid:100)(cid:100)x<2
● 40%
● 30%
(cid:8951) 풀이 참조
063 진수의 조건에서
x+2>0, x+8>0
x>-2, x>-8(cid:100)(cid:100)∴ x>-2
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
log™ (x+2)-log¢ (x+8)=;2#;에서
log™ (x+2)-;2!; log™ (x+8)=;2#;
2 log™ (x+2)= log™ (x+8)+3
log™ (x+2)¤ =log™ 8(x+8)
(x+2)¤ =8(x+8)
x¤ -4x-60=0,(cid:100)(cid:100)(x+6)(x-10)=0
∴ `x=-6 또는 x=10
㉠에 의하여 구하는 해는 x=10이다.
(cid:8951) x=10
064 4 log x=x log 4이므로 주어진 방정식은
(4log x)¤ -6¥4 log x+8=0
4 log x=t (t>0)로 놓으면
t¤ -6t+8=0,(cid:100)(cid:100)(t-2)(t-4)=0
∴ t=2 또는 t=4
a>0이므로 |x-3|…a
에서
(cid:100)-a…x-3…a
두 집합A, B 에 대하여
① A;B=A이면
② A'B=A이면
(cid:100)A,B
(cid:100)B,A
2 log™(x+2)
=log™(x+8)+3
에서
log™(x+2)¤
=log™(x+8)+log™ 2‹
(cid:100)∴ log™(x+2)¤
=log™ 8(x+8)
로그의 성질
a>0, a+1이고 b>0일 때
① logaμ b« = loga b
n
m
(단, m+0)
② a logç b=b logç a
(단, c>0, c+1)
③ a logå b=b
수
함
그
로
와
수
함
수
지
Ⅰ
본책
16쪽``…``17쪽
4 log x=2에서(cid:100)(cid:100)log x=;2!;(cid:100)(cid:100)∴ x='∂10
4 log x=4에서(cid:100)(cid:100)log x=1(cid:100)(cid:100)∴ x=10
∴ a¤ +b¤ =('∂10)¤ +10¤ =110
(cid:8951) ④
065
t(t-1)=k
log x=t로 놓으면 주어진 방정식은
∴ t¤ -t-k=0
yy ㉠(cid:100)(cid:100)● 10%
방정식 ㉠의 두 근은 log a, log b이므로 이차방정식의
근과 계수의 관계에 의하여
log a+log b=1,(cid:100)(cid:100)log ab=1
∴ ab=10
● 20%
a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하
여
a+bæ2'∂ab=2'∂10
(단, 등호는 a=b일 때 성립)(cid:100)(cid:100)● 30%
a=b='∂10일 때 a+b의 값이 최소이므로
-k=log a¥log b
-k=log '∂10¥log '∂10
-k=;2!;¥;2!;=;4!;
∴ k=-
;4!;
● 40%
(cid:8951) -
;4!;
log a, log b에 대하여 진수의 조건에서 a, b는 양수
이므로 a>0, b>0이라는 조건이 주어지지 않아도 산술평
균과 기하평균의 관계를 이용할 수 있다.
066 ㄱ. [반례] a=2일 때, 오
른쪽 그림과 같이 두 함수
y=2≈ , y=log™ x의 그래프
는 만나지 않으므로
(cid:100)(cid:100)n(a)=0
과 같이 두 함수 y=a≈ ,
y=logå x의 그래프는 반드
시 한 점에서 만나므로
(cid:100)(cid:100)n(a)=1
y
y=2x
y=x
1
y=log™`x
O
1
x
y
1
y=ax
x
O å
1
ㄴ. 01
⁄ 00, loga¤ x…0
이므로 a¤
≈ =loga¤ x의 근은 없다.
¤ x>1일 때,
(cid:100)(cid:100)a¤
≈ >a≈ >loga x>loga¤ x
이므로 a¤
≈ =loga¤ x의 근은 없다.
⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)n(a¤ )=0
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 15
15일품미적분II해(06~28) 2015.4.27 7:28 PM 페이지16 SinsagoHitec
㉠에서 10, x-1>0
;2!;
-2+log
(x-1)>0에서
;2!;
log
(x-1)>2
;2!;
밑이 1보다 작으므로
x-1<;4!;(cid:100)(cid:100)∴ x<;4%;
∴ 10
이므로 양변을 x로 나
누면
(cid:100)4x<1(cid:100)∴ x<;4!;
진수의 조건에서 x>0
이므로 양변을 x로 나
누면
(cid:100)x<2
(x-1)>log
log
;2!;
;2!; {;2!;}
전체집합이
(cid:100){x|x>0}
이므로
(cid:100)AÇ =[x|xæ;4!;]
(cid:100)∴ AÇ ;B
=[x|;4!;…x<2]
구하는 영역은 제`1사분
면 위에 있다.
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면(cid:100)(cid:100);3#2#;…x<;4%;
따라서 ;3#2#;…
;3˜2;
<;3$2);에서 자연수 n은
33, 34, 35, 36, 37, 38, 39
의 7개이다.
(cid:8951) ③
070
log ax¥log a‹ x+4>0에서
(log a+log x)(3 log a+log x)+4>0
(log x)¤ +4 log a¥log x+3(log a)¤ +4>0 ● 20%
log x=t로 놓으면
t¤ +(4 log a)t+3(log a)¤ +4>0
모든 실수 t에 대하여 위의 부등식이 성립해야 하므로
이차방정식 t¤ +(4 log a)t+3(log a)¤ +4=0의 판별
식을 D라 하면
;;4 D;;=4(log a)¤ -3(log a)¤ -4<0
(log a)¤ -4<0,(cid:100)(cid:100)(log a+2)(log a-2)<0
● 30%
(cid:100)(cid:100)∴ -20이므로
A=[x|00이므로
B={x|00, y>0 y ㉠(cid:100)(cid:100)
(log x)¤ >(log y)¤ 에서
(cid:100)(cid:100)(log x)¤ -(log y)¤ >0
(log x+log y)(log x-log y)>0
● 30%
● 20%
(cid:8951) 100
● 40%
● 40%
● 10%
● 10%
(cid:8951) ;4!;
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
log xy¥log ;]{;
>0
fi
fi
¤
15일품미적분II해(06~28) 2015.4.27 7:28 PM 페이지17 SinsagoHitec
1
x
1등급
|비|밀|노|트|
⁄ log xy>0, log ;]{;
>0일 때,
xy>1,
>1이고, ㉠`에 의하여
;]{;
(cid:100)(cid:100)y>
, yx
;[!;
<0일 때,
<1이고, ㉠`에 의하여
㉠과 ⁄, ¤에서 주어진 부등식
y
y=
1
x
y=x
을 만족시키는 영역은 오른쪽 그
림의 어두운 부분(경계선 제외)
과 같다.
(cid:8951) ④
1
O
1등급
|비|밀|노|트|
부등식 f(x, y)g(x, y)>0의 영역
(cid:8857) 연립부등식 [
f(x, y)>0
g(x, y)>0
(cid:100) 의 영역을 합한 영역
의 영역과 연립부등식 [
f(x, y)<0
g(x, y)<0
y=2x
y=2x
y
4
2
O
1
2
x
073 2≈ =2x의 해가 x=1 또는
x=2이므로 y=2≈ , y=2x의 그
래프는 오른쪽 그림과 같다.(cid:100)
log™(x-1)+1>x-1에서
x-1=t로 놓으면
(cid:100)(cid:100)log™ t+1>t,(cid:100)(cid:100)log™ 2t>t
2t>2†
위의 그래프에서(cid:100)(cid:100)10을 만족시킨다.
074 직사각형의 가로의 길이는 1, 세로의 길이는
4« -2n+1이므로(cid:100)(cid:100)4« -2n+1=24
4« -2n+1-24=0,(cid:100)(cid:100)(2« )¤ -2¥2« -24=0
2« =t (t>0)로 놓으면
t¤ -2t-24=0,(cid:100)(cid:100)(t+4)(t-6)=0
∴ t=6 (∵ t>0)
즉 2« =6이므로(cid:100)(cid:100)n=log™ 6
(cid:8951) ②
075 2≈ >0, 2 ¥ >0이고, [ 2≈ ], [ 2¥ ]의 값은 정수이므
로 [ 2≈ ]+[ 2¥ ]=1에서
[ 2≈ ]=1, [ 2¥ ]=0 또는 [ 2≈ ]=0, [ 2¥ ]=1
⁄ [ 2≈ ]=1, [ 2¥ ]=0일 때,
1…2≈ <2, 0<2 ¥ <1이므로
(cid:100)(cid:100)0…x<1, y<0
곡선 y=
의 윗부분
;[!;
(경계선 제외), 직선
y=x의 아랫부분(경계
선 제외)
곡선 y=
의 아랫부분
;[!;
(경계선 제외), 직선
y=x의 윗부분(경계선
제외)
주어진 방정식의 서로
다른 두 실근을 a, b라
하면 a>0, b>0이어
야 하므로
(cid:100)3a>1, 3b>1
수
함
그
로
와
수
함
수
지
Ⅰ
본책
17쪽``…``19쪽
¤ [ 2≈ ]=0, [ 2¥ ]=1일 때,
0<2≈ <1, 1…2¥ <2이므로
(cid:100)(cid:100)x<0, 0…y<1
또 부등식 x-1…y…x+1
이 나타내는 영역은 직선
y=x-1의 윗부분(경계선
포함)과 직선 y=x+1의 아
y=x+1
y
1
y=x-1
-1
O
1
x
랫부분(경계선 포함)의 공통
-1
부분이므로 주어진 방정식과
부등식을 동시에 만족시키는
영역은 위의 그림의 어두운 부분과 같다.
따라서 구하는 넓이는(cid:100)(cid:100)2¥
¥1¥1=1
(cid:8951) ②
;2!;
방정식 [x]+[ y]=n (n은 정수)을 만족시키는 x, y의 값의 범위
를 찾을 때,
⁄ [x], [ y]의 값은 정수이므로 두 정수의 합이 n이 되는 순서쌍
(X, Y)를 찾는다. (단, X, Y는 정수)
¤ [x]=X (X는 정수)이면 X…x0)로 놓으면
(cid:100)(cid:100)t¤ -6t+k=0
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
이때 주어진 방정식의 서로 다른 두 근이 모두 양의 실
수가 되려면 방정식 ㉠은 1보다 큰 서로 다른 두 실근을
가져야 한다.
f(t)=t¤ -6t+k라 하면 함수
y
t=3 y=f{t}
y=f(t)의 그래프는 직선 t=3
에 대하여 대칭이므로 오른쪽
그림과 같이 y=f(t)의 그래프
O 1
t
3
나면 된다.
(cid:100)(cid:100)∴ 50, f(3)=k-9<0
따라서 정수 k는 6, 7, 8의 3개이다.
(cid:8951) 3
077 A(k, log™ k), B(k, log
;4!;
k)이므로
log
;4!;
k=log2—¤ k
=-;2!; log™ k
AB”=log™ k-log;4!;
k
AB”=log™ k +;2!; log™ k
AB”=;2#; log™ k
따라서 ;2#; log™ k=6에서
log™ k=4(cid:100)(cid:100)∴ k=16
이때 점 P의 좌표는 (1, 0)이므로
△PAB=;2!;¥6¥(16-1)=45
(cid:8951) 45
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 17
a+b=5
2t>2† 에서 t>2† —⁄ >0이므로 2t>2† 의 해는 진수의
(cid:8951) ①
f(t)=t¤ -6t+k
=(t-3)¤ +k-9
와 t축이 1log 5
n log >log 5,(cid:100)(cid:100)n log ;3$;>log 5
1.2
0.9
∴ n>
log 5
log 4-log 3
∴ n>
=
=
1-log 2
2 log 2-log 3
1-0.30
2_0.30-0.48
=5.YYY
따라서 5시간에서 `6시간 사이에 기체B의 양이 기체A
의 양보다 많아지기 시작하므로
m=5
(cid:8951) ②
18 정답 및 풀이
03
지수함수와 로그함수의 미분
본책 20쪽
080
lim
0-
x
⁄
;[!;
=-¶이므로
(cid:100)(cid:100)
lim
0-
x
⁄
2;[!;=0
=t로 놓으면
;[!;
x
t
⁄
0-일 때
-¶이므로
⁄
(cid:100)
lim
0-
x
⁄
2;[!;=
2†
lim
-¶
⁄
t
=0
2≈ =
lim
0-
x
⁄
lim
0-
x
⁄
2—≈ =1
2≈
∴
lim
0-
x
⁄
2+2—≈ -2;[!;
=
1
2+1-0
=;3!;
(cid:8951) ③
081 -x=t로 놓으면 x
⁄
-¶일 때 t
¶이므로
lim
-¶
⁄
x
4x+1-3x+a
4x-3x
=
lim
¶
t
⁄
⁄
4-t+1-3-t+a
4-t-3-t
3å
4
-
14t
3t
1
1
1
-
3t
14t
1
4¥3† -3å ¥4†
4† ¥3†
3† -4†
4† ¥3†
=
lim
¶
t
⁄
=
lim
¶
t
⁄
=
lim
¶
t
⁄
4¥3† -3å ¥4†
3† -4†
4¥{;4#;}
† -3å ¥1
† -1
{;4#;}
=
lim
¶
t
⁄
=3å
함수의 극한값의 계산
① 꼴`: 분모에서 밑이
¶
¶
(cid:100) 가장 큰 항으로 분자,
분모를 각각 나눈다.
② ¶-¶ 꼴`: 밑이 가장
큰 항으로 묶는다.
진수의 조건에서
(cid:100)a-3>0, 8-a>0
(cid:100)∴ 31일 때, 즉 n=1, 2, 3, y, 7일 때
=2-n+8
(a«)≈ =¶이므로(cid:100)(cid:100)
lim
¶
x
⁄
1
1+(a«)≈
lim
¶
x
⁄
=0
(cid:100)(cid:100)∴ b«=0
¤ a«=1일 때, 즉 n=8일 때
(a«)≈ =1이므로(cid:100)(cid:100)
lim
¶
x
⁄
1
1+(a«)≈
lim
¶
x
⁄
=;2!;
(cid:100)(cid:100)∴ b«=;2!;
‹ 00에서 0<
<1이
1
1+4x
므로 S(x)는 수렴한다.
S(x)=
ln(1+2x)
1+4x
1
1111+4x
1-
=
ln (1+2x)
4x
lim
x
0+
⁄
S(x)=
lim
x
0+
⁄
ln(1+2x)
2x
¥;2!;
S(x)=1¥;2!;=;2!;
(cid:8951) ②
100 lim
x
0
⁄
f(x) ln(1+2x)
=lim
x
⁄
0 [ f(x) ln(1+3x)¥
f(x) ln(1+3x)¥
=lim
x
0
⁄
‡
=lim
x
0
⁄
f(x) ln(1+3x)¥
‡
1¥2
1¥3
=5¥
=;;¡3º;;
ln (1+2x)
ln (1+3x)
]
ln (1+2x)
x
ln (1+3x)
x
°
ln (1+2x)
2x¥2
ln (1+3x)
3x¥2
¥2
¥3
°
본책
22쪽``…``23쪽
즉
(e≈ —⁄ -ax¤ )=0이므로(cid:100)(cid:100)e‚ -a=0
lim
x
1
⁄
∴ a=1
1
AB
=
1
B-A
1
A
{ - }
1
B
(단, A+B)
a=1을 ㉠에 대입하면
e≈ —⁄ -x¤
1-x
lim
x
1
⁄
=b
수
함
그
로
와
수
함
수
지
Ⅰ
x-1=t로 놓으면 x
1일 때 t
0이므로
⁄
⁄
e≈ —⁄ -x¤
1-x
lim
x
1
⁄
=
lim
t
0
⁄
e† -(t+1)¤
-t
=
lim
t
0
⁄
e† -(t¤ +2t+1)
-t
e† -1
t
+t+2}
= {-
lim
t
0
⁄
=-1+2=1
∴ b=1
∴ a+b=2
등비급수
¶
¡n=1
ar« —⁄ (a+0)은
① |r|<1일 때 수렴하고
(cid:100) 그 합은
이다.
a
1-r
② |r|æ1일 때 발산한다.
0일 때( 분모)
0이고 극한값
⁄
0이다.
⁄
≈ ±∫ )=0이므로(cid:100)(cid:100)1-e∫ =0
102
이 존재하므로 (분자)
x
⁄
즉
(1-eå
lim
x
0
⁄
e∫ =1(cid:100)(cid:100)∴ b=0
b=0을 주어진 식에 대입하면
1-eå
ln(1+x)
lim
x
0
⁄
=
lim
x
0
⁄
x
ln (1+x)
¥
eå
≈ -1
ax
¥(-a)
=1¥1¥(-a)=-a
즉 -a=7이므로(cid:100)(cid:100)a=-7
∴ a+b=-7
함수의 극한의 대소 관계
f(x)…h(x)…g(x)이고
f(x)= g(x)=a
lim
lim
a
x
a
x
⁄
⁄
(a는 실수)이면
(cid:100) h(x)=a
lim
a
x
⁄
(cid:8951) ;;¡3º;;
103
을 x¤ 으로 나누면
x+0일 때, 주어진 부등식의 각 변
ln(1+x¤ )
x¤
…
f(x)
x¤
…
e≈
¤ -1
x¤
이때
lim
x
0
⁄
ln(1+x¤ )
x¤
=
lim
x
0
⁄
e≈
¤ -1
x¤
=1이므로
f(x)
x¤
=1
lim
x
0
⁄
2x=t로 놓으면 x
0일 때 t
0이므로
lim
x
0
⁄
f(2x)
x¤
=
lim
t
0
⁄
⁄
f(t)
{;2T;}
=
lim
t
0
⁄
⁄
f(t)
t¤
¥4
=1¥4=4
(cid:8951) ⑤
● 30%
● 50%
● 20%
(cid:8951) -7
● 20%
● 30%
● 50%
(cid:8951) 4
101 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면
x=1에서 연속이어야 하므로
f(x)=f(1)
lim
x
1
⁄
∴
lim
x
1
⁄
e≈ —⁄ -ax¤
1-x
=b
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
1일 때 (분모)
0이고 극한값이 존재하므로
x
⁄
(분자)
0이다.
⁄
⁄
x+a에서 연속인 함수
g(x)에 대하여 함수
(cid:100)f(x)=‡
g(x) (x+a)
(x=a)
k
가 모든 실수 x에서 연속
이면
(cid:100) g(x)=k
lim
a
x
⁄
(단, k는 상수)
104 점 A의 x좌표는 3≈ —⁄ =a에서
x-1=log£ a(cid:100)(cid:100)∴ x=log£ a+1
점 B의 x좌표는 9≈ —⁄ =a에서
x-1=logª a(cid:100)(cid:100)∴ x=logª a+1
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 21
¤
≈
15일품미적분II해(06~28) 2015.4.27 7:28 PM 페이지22 SinsagoHitec
이때 0log£ a+1
이므로
● 10%
108 f(x)=2≈ +(2'2 )≈ +4≈ +(4'2 )≈ +8≈ 이라 하
면 f(0)=5이므로
=ln t=ln (logå x)
● 30%
따라서 f(x« )-f(x¤ )=2 ln 3에서
a>0, a+1일 때
(cid:100)
lim
0
x
⁄
a≈ -1
x
=ln a
=lim
x
0
⁄
한편
∴ AB”=(logª a+1)-(log£ a+1)
∴ AB”=logª a -log£ a
∴ AB”=;2!; log£ a -log£ a
∴ AB”=-;2!; log£ a
AB”
a-1
따라서
lim
a
1-
⁄
a-1=t로 놓으면 a
=
⁄
-;2!; log£ a
a-1
lim
a
1-
⁄
-;2!; log£ a
a-1
lim
a
1-
⁄
1-일 때 t
⁄
에서
0-이므로
-;2!; log£ (t+1)
t
=
lim
t
0-
⁄
=-;2!;¥
1
ln 3
=-
1
2 ln 3
(cid:8951) ⑤
logå x=t로 놓으면 a>1, x>1,
105
a+x에서
t>0, t+1
∴ f(x)=
(logå x)˙ -1
h
lim
h
0
⁄
=
lim
h
0
⁄
t˙ -1
h
ln (logå x« )-ln (logå x¤ )=2 ln 3
ln (n logå x)-ln (2 logå x)=2 ln 3
n logå x
2 logå x
=ln 9
=9(cid:100)(cid:100)∴ n=18
ln
n
2
106 lim
x
0
eax¤ -1
f(x)
=2에서
⁄
eax¤ -1
f(x)
=lim
x
0
⁄
=lim
x
0
⁄
=lim
x
0
⁄
eax¤ -1
ax¤
eax¤ -1
ax¤
¥
ax¤
f(x)
¥lim
x
0
⁄
ax¤
f(x)
ax¤
f(x)
=2
∴ lim
x
0
⁄
8x¤ -1
f(x)
또 lim
x
0
⁄
x¤
f(x)
=
;a@;
=b에서
8x¤ -1
f(x)
=lim
x
0
⁄
8x¤ -1
x¤
¥
x¤
f(x)
=lim
x
0
⁄
8x¤ -1
x¤
¥lim
x
0
⁄
x¤
f(x)
=(ln 8)¥
=b
;a@;
lim
x
0
⁄
lim
x
0
⁄
lim
x
0
⁄
lim
x
0
⁄
lim
x
0
⁄
lim
x
0
⁄
22 정답 및 풀이
● 60%
(cid:8951) 18
f '(0)=ln 2+ln 2'2
+ln 4+ln 4'2
+ln 8
=ln 2+;2#; ln 2
+2 ln 2
+;2%; ln 2
+3 ln2
=10 ln 2
eax¤ -1
ax¤
=1
lim
0
x
⁄
x
⁄
a일 때,
① (분모)`
⁄
값이 존재
0이고 극한
(cid:8857) (분자)`
0
⁄
0이고 0이
② (분자)`
⁄
아닌 극한값이 존재
(cid:8857) (분모)`
0
⁄
ab=2 ln 8=6 ln 2
∴ k=6
(cid:8951) ③
107
lim
h
0
⁄
f(h)-f(-2h)
h
=
lim
h
0
⁄
=
lim
h
0
⁄
f(h)-f(0)+f(0)-f(-2h)
h
f(h)-f(0)
h
+
lim
h
0
⁄
f(-2h)-f(0)
-2h
¥2
=f '(0)+2f '(0)
=3f '(0)
이때 f(x)=(e≈ +x)(e¤
≈ +2x)에서
f '(x)=(e≈ +1)(e¤
≈ +2x)+(e≈ +x){(e¤ )≈ ln e¤ +2}
=(e≈ +1)(e¤
≈ +2x)+(e≈ +x)(2e¤
≈ +2)
∴ 3f '(0)=3¥(2¥1+1¥4)=18
(cid:8951) 18
2≈ +(2'2)≈ +4≈ +(4'2)≈ +8≈ -5
x
lim
x
0
⁄
f(x)-f(0)
x-0
=f '(0)
f '(x)=2≈ ln 2+(2'2)≈ ln 2'2+4≈ ln 4
+(4'2)≈ ln 4'2+8≈ ln 8
이므로 구하는 값은(cid:100)(cid:100)f '(0)=10 ln 2
(cid:8951) 10 ln 2
109 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하려면 x=1
에서 연속이어야 하므로
(2+a ln x)=f(1)
(bx+3)=
lim
lim
x
x
1+
1-
⁄
⁄
b+3=2(cid:100)(cid:100)∴ b=-1
또 f '(1)이 존재해야 하므로
b
(x>1)
f '(x)=‡
;[A;
(00, a+1일 때
logå (1+x)
x
=
1
ln a
lim
0
x
⁄
log™(x+4)-2
x
log™(x+4)-log™ 4
x
log™ {1+
x
;4{;}
log™ {1+
;4{;}
¥;4!;
;4{;
=
lim
x
0+
⁄
=
lim
x
0+
⁄
=
lim
x
0+
⁄
=
lim
x
0+
⁄
=
1
4 ln 2
∴ b=
lim
x
0-
⁄
1
4 ln 2
f(x)
x
=
lim
x
0-
⁄
a≈ -1
2x
=;2!; ln a
즉
1
4 ln 2
=;2!; ln a이므로(cid:100)(cid:100)ln a=
1
2 ln 2
∴
1
b ln a
=4 ln 2¥2 ln 2=8(ln 2)¤
(cid:8951) ②
n은 자연수이므로
(cid:100)n(n+1)>0
116 점 P의 좌표를 (t, ln 't )라 하면
Q(t, 0)
∴ PQ”=ln 't , AQ”=t-1
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 23
«
«
«
15일품미적분II해(06~28) 2015.4.27 7:28 PM 페이지24 SinsagoHitec
지수함수 y=a≈ 에서 x의
값이 증가할 때 y의 값이
림과 같으므로
(cid:100)(cid:100)0log£ q
ㄴ. 두 점(1, 0), (0, -m)
을 지나는 직선 l의 기
y
O
울기는 직선 PQ의 기울
-m
기와 같으므로
(cid:100)(cid:100)m=
log™ p-log£ q
p-q
ㄷ. 위의 그림에서 두 점 (1, 0), (0, -m)을 지나는
직선 l의 기울기는 직선 OQ의 기울기보다 크므로
(cid:100)(cid:100)m>
log£ q
q
이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
(cid:8951) ⑤
127
(gΩf)(x)=g( f(x))
=logå(x¤ -4x+afi +4)
이때 밑이 1보다 크므로 함수 (gΩf)(x)는 f(x)가 최
소일 때 최솟값을 갖는다.
● 30%
f(x)=x¤ -4x+afi +4=(x-2)¤ +afi 이므
로 f(x)는 x=2에서 최솟값 afi 을 갖는다.
따라서 함수 (gΩf)(x)는 x=2에서 최솟값 logå afi =5
를 가지므로
a=2, b=5
∴ a+b=7
● 50%
● 20%
(cid:8951) 7
128 2≈ ±¥ +2≈ +2¥ =296에서
2≈ 2¥ +2≈ +2¥ +1=297,(cid:100)(cid:100)(2≈ +1)(2¥ +1)=297
이때 297=3‹ ¥11이고 2≈ +1, 2¥ +1은 모두 3 이상인 홀
⁄ 2≈ +1=3, 2¥ +1=3¤ ¥11=99일 때,
2¥ =98을 만족시키는 자연수 y가 존재하지 않는다.
¤ 2≈ +1=3¤ =9, 2¥ +1=3¥11=33일 때,
2≈ =8, 2¥ =32에서(cid:100)(cid:100)x=3, y=5
‹ 2≈ +1=11, 2¥ +1=3‹ =27일 때,
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 25
125
xæ1일 때,(cid:100)(cid:100)y=log™ x
y=|log™ x|에서
x<1일 때,(cid:100)(cid:100)y=-log™ x
● 10%
A(3, log™ 3)이고 점 C의 x좌표를 a라 하면
C(a, -log™ a)이므로
절댓값 기호 안의 식의
값이 0이 되는x의 값을
경계로 범위를 나누어 각
각의 함수식을 구한다.
-log™ a=log™ 3,(cid:100)(cid:100)log™ a=log™ ;3!;
수이다.
∴ a=;3!;
● 30%
또 B(12, log™ 12)이고 점 D의 x좌표를 b라 하면
D(b, -log™ b)이므로
-log™ b=log™ 12,(cid:100)(cid:100)log™ b=log™ ;1¡2;
∴ b=;1¡2;
따라서 사각형 ABDC의 넓이는
● 30%
(cid:8772)ABDC는 사다리꼴
이다.
지 않는다.
이상에서 a=3, b=5이므로(cid:100)(cid:100)ab=15
(cid:8951) ②
2≈ =10, 2¥ =26을 만족시키는 자연수 x, y가 존재하
15일품미적분II해(06~28) 2015.4.27 7:28 PM 페이지26 SinsagoHitec
(단, 등호는 x=0일 때 성립)
(cid:100)(cid:100)00, 2—≈ >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에
의하여
X=2≈ +2—≈ æ2"√2≈ ¥2—≈ =2
따라서 주어진 방정식은
2(X¤ -2)-3X-1=0,(cid:100)(cid:100)2X¤ -3X-5=0
(X+1)(2X-5)=0
∴ X=;2%; (∵ Xæ2)
● 30%
● 20%
`즉 2≈ +2—≈ =;2%;이므로 2≈ =t (t>0)로 놓으면
t+
;t!;=;2%;
양변에 2t를 곱하여 정리하면
(cid:100)(cid:100)2t¤ -5t+2=0,(cid:100)(cid:100)(2t-1)(t-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ t=;2!; 또는 t=2
`
즉 2≈ =;2!; 또는 2≈ =2이므로
(cid:100)(cid:100)x=-1 또는 x=1
따라서 구하는 모든 근의 합은 0이다.
130 x¤ +3x>3å (x-1)에서
(cid:100)(cid:100)x¤ +(3-3å )x+3å >0
모든 실수 x에 대하여 위의 부등식이 성립하므로 이차
방정식 x¤ +(3-3å )x+3å =0의 판별식을 D라 하면
D=(3-3å )¤ -4¥3å <0
(3å )¤ -10¥3å +9<0,(cid:100)(cid:100)(3å -1)(3å -9)<0
∴ 1<3å <9
(cid:100)(cid:100)∴ 00)로 놓으면
(cid:100)(cid:100)t¤ +2at+b…0
1…x…3에서(cid:100)(cid:100)2…t…8
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
해가 2…t…8이고 t¤ 의 계수가 1인 이차부등식은
(t-2)(t-8)…0(cid:100)(cid:100)∴ t2-10t+16…0
이것이 ㉠과 일치하므로
a=-5, b=16
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=11
● 30%
로그의 성질
a>0, a+1이고 b>0일
134
log™ (x-1)¤-3 log•|x-1|=2에서
● 20%
(cid:8951) 0
때
① logaμ b« = loga b
n
m
(단, m+0)
2 log™|x-1|-log™|x-1|=2
log™|x-1|=2(cid:100)(cid:100)∴ |x-1|=4
즉 x-1=-4 또는 x-1=4이므로
② a logç b=b logç a
x=-3 또는 x=5
(단, c>0, c+1)
③ a logå b=b
따라서 구하는 모든 근의 합은
-3+5=2
135 모든 실수 x에 대하여 주어진 부등식이 성립하
므로 이차방정식 x¤ -2x log™ a+
=0의 판별식
4
logå 2
(cid:8951) ③
밑이 1보다 크므로 a의
값이 커지면 3å 의 값도
커진다.
1=(x¤ -4x+6)‚
을 D라 하면
;;4 D;;=(log™ a)¤ -
4
logå 2
<0
log™ a=t로 놓으면 위의 부등식은
t¤ -4t<0,(cid:100)(cid:100)t(t-4)<0
∴ 00
(cid:100)(cid:100)∴ x<;2!; 또는 x>1
(cid:100)● 30%
a f(x)>ag(x)에서
① a>1이면
(cid:100)f(x)>g(x)
② 0b이다.
ㄴ. {;2!;}
>{;3!;}
ㄴ. {;2!;}
={;2!;}
>{;3!;}
a
b
b
a
b
a
b
b
a
(cid:100)(cid:100)∴ {;2!;}
>{;3!;}
ㄷ. {;2!;}
={;3!;}
=k (00, b>0인 경우와 a<0, b<0인
경우 a, b의 대소 관계가 달라지므로 조건에 주의하도록 한다.
143 `
이 될 수 있는 정수를 찾아 경우를 나눈다.
x가 두 자리 자연수일 때, [log¢ x]의 값
10…x<100이므로(cid:100)
log¢ 10…log¢ x0, b>0이므로
(cid:100)00)
또 부채꼴의 호의 길이를 l이라 하면
l=6¥:¡9§:p=:£3™:p
따라서 부채꼴의 둘레의 길이는
2¥6+:£3™:p=12+:£3™:p
(cid:8951) 12+:£3™:p
Ⅱ. 삼각함수 29
15일품미적분II-해(29~57) 2015.4.27 7:29 PM 페이지30 SinsagoHitec
152 부채꼴의 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l이
라 하면 둘레의 길이가 24이므로
2r+l=24(cid:100)(cid:100)∴ l=24-2r
이때 24-2r>0, r>0이므로(cid:100)(cid:100)00)
(cid:8951) 6'2
154 점 P는 원 x¤ +y¤ =25와 직선 y=-;4#;x의 교점
이므로
2
=25,(cid:100)(cid:100)x¤ =16
x¤ +{-;4#;x}
∴ x=-4 (∵ x<0)
따라서 점 P의 좌표는 (-4, 3)이고 OP”=5이므로
csc h=;3%;, cot h=-;3$;
∴ csc h+cot h=;3!;
(cid:8951) ②
sin h<0이고 tan h=-
<0이므로 h는 제4 사분면
;3!;
y
Ω
O
-1
x
3
P
155
1-tan h
1+tan h
(cid:100)(cid:100)1-tan h=2(1+tan h)
=2에서
(cid:100)(cid:100)3 tan h=-1(cid:100)(cid:100)∴ tan h=-
;3!;
의 각이다.
오른쪽 그림에서
¤ +(√-1)¤
(cid:100)(cid:100)OP”="3√
='1ß0
이므로
(cid:100)(cid:100)sin h=-
, cos h=
1
'1å0
3
'1å0
30 정답 및 풀이
(부채꼴의 둘레의 길이)
=(반지름의 길이)_2
+(호의 길이)
"ça¤ =|a|
a (aæ0)
=[ -a (a<0)
tan h는 직선 y=-;4#;x
의 기울기와 같으므로
(cid:100)tan h=-;4#;
OP”=r인 점P( x, y)에
대하여 동경 OP가 나타
내는 일반각을 h라 할 때
r
csc h= (y+0)
y
x
cot h= (y+0)
y
이차방정식의 근과 계수
의 관계
이차방정식
ax¤ +bx+c=0의 두 근
을 a, b라 하면
(cid:100)a+b=-
,
;aB;
(cid:100)ab=
;aC;
(cid:100)(cid:100)∴ 10(sin h+cos h)=10
(cid:100)(cid:100)∴ 10(sin h+cos =10¥
+
3
}
'1å0
-
{
1
'1å0
2
'1å0
(cid:100)(cid:100)∴ 10(sin h+cos =2'1å0
(cid:8951) 2'1å0
156 h가 제`3`사분면의 각이므로
(cid:100)(cid:100)sin h<0, cos h<0, tan h>0
(cid:100)(cid:100)∴ |sin h|+|tan h|-"√(tan h-cos h)¤
(cid:100)(cid:100)∴ +"√(sin h+cos h)¤
=|sin h|+|tan h|-|tan h-cos h|
=+|sin h+cos h|
=-sinh+tan h-(tan h-cos h)-(sin h+cos h)
=-2 sin h
(cid:8951) ②
157 ⁄ sin h sec h<0일 때,
sin h와 sec h의 값의 부호가 서로 다르므로 h는 제
2사분면 또는 제4사분면의 각이다.
¤ sec h tan h>0일 때,
sec h와 tan h의 값의 부호가 서로 같으므로 h는 제
1사분면 또는 제2사분면의 각이다.
⁄, ¤에서 h는 제2사분면의 각이다.
(cid:8951) ②
158
4 sin x-cos x
sin x+2 cos x
=
-
4 sin x
cos x
1411
sin x
cos x
14444454
+
cos x
cos x
11445
2 cos x
cos x
1144445
=
4 tan x-1
tan x+2
이므로
4 tan x-1
tan x+2
=3에서
4 tan x-1=3(tan x+2)(cid:100)(cid:100)∴ tan x=7
(cid:100)(cid:100)∴ sec¤ x=1+tan¤ x=50
(cid:8951) 50
159 x¤ -x+k=0의 두 근이 sin h+cos h,
sin h-cos h이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에
의하여
(cid:100)(cid:100)(sin h+cos h)+(sin h-cos h)
=2 sin h=1
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)(sin h+cos h)(sin h-cos h)
=sin¤ h-cos¤ h=k
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉠에서 sin h=;2!;이므로 ㉡에서
(cid:100)(cid:100)k=sin¤ h-(1-sin¤ h)
k=2 sin¤ h-1=2¥;4!;-1=-;2!;
(cid:8951) ②
160 sin h+cos h=;2!;의 양변을 제곱하면
(cid:100)(cid:100)(sin h+cos h)¤ =sin¤ h+cos¤ h+2 sin h cos h
(cid:100)(cid:100)(sin h+cos h)¤ =1+2 sin h cos h=;4!;
15일품미적분II-해(29~57) 2015.4.27 7:29 PM 페이지31 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100)∴ sin h cos h=-;8#;
(cid:100)(cid:100)∴ tan h+cot h=
(cid:100)(cid:100)∴ tan h+cot h=
+
sin h
cos h
cos h
sin h
sin¤ h +cos¤ h
sin h cos h
=
1
sin h cos h
=-;3*;
(cid:8951) -;3*;
161 색칠한 부분을 일반각으로 나타내면
(cid:100)(cid:100)360°_n+300°…h…360°_n+330° (n은 정수)
(cid:100)(cid:100)360°_3n+900°…3h…360°_3n+990°
(cid:100)(cid:100)∴ 360°_(3n+2)+180°…3h
(cid:100)(cid:100)∴ …360°_(3n+2)+270°
따라서 3h를 나타내는 동경이 속하는 영역을 좌표평면
위에 나타낸 것은 ③`이다.
(cid:8951) ③
162 170°_n+10°가 나타내는 서로 다른 동경의
개수는
170°_n=360°_m (m은 정수)
을 만족시키는 최소의 자연수 n의 값과 같다.
∴ n=
m
;1#7^;
이때 m, n이 정수이므로 자연수 n의 최솟값은(cid:100)(cid:100)36
따라서 구하는 서로 다른 동경의 개수는 36이다.
163
(cid:100)(cid:100)90°0, r>0이므로
00에서
cos h+0이므로 양변을
cos h로 나누면
sin h
cos h
+1>0
사각형 OAQP, OPRB
가 모두 마름모이므로
네 변의 길이가 모두
같다.
음수의 제곱근의 성질
0이 아닌 두 실수a, b 에
대하여
① 'a'b=-'∂ab
(cid:8857) a<0, b<0
'a
=-æ≠
'b
(cid:8857) a>0, b<0
a
b
②
(cid:8951) ③
● 20%
이고, 점 R의 좌표는
(1-2, '3), 즉 (-1, '3)
따라서
OQ”="√3¤ +('3)¤ =2'3
OR”="√(-1)¤ +('3 )¤ =2
∴ sin a+cos b=
+
-1
2
'3
2'3
=;2!;-;2!;=0
● 30%
● 20%
● 30%
(cid:8951) 0
171 ㄱ. 오른쪽 그림의 삼각형
POQ에서 OP”=1이므로
(cid:100)(cid:100)PQ”=sin h
호 AP의 길이는 1¥h=h이
고, PQ”<μAP이므로
(cid:100)(cid:100)sin h0에서 h는 제 4사분면의 각
이므로
tan h<0, tan h-1<0
또 cos h>0, sin h+cos h>0이므로
(cid:100)(cid:100)
+1>0(cid:100)(cid:100)∴ tan h+1>0
sin h
cos h
∴ "√tan¤ h+"√(tan h-1)¤ +"√(tan h+1)¤
=-tan h-(tan h-1)+(tan h+1)
=2-tan h
(cid:8951) ④
173 æ≠
sin h
cos h
(cid:100)(cid:100)sin h>0, cos h<0
=-
's∂in ßh
'c∂osß h
에서(cid:100)(cid:100)
15일품미적분II-해(29~57) 1904.10.27 4:26 AM 페이지33 SinsagoHitec
따라서 h가 제2사분면의 각이므로
(cid:100)(cid:100)2np+;2“;0, cos h>0
(cid:100)∴ sin h+cos h>0
본책
36쪽``…``37쪽
이때 h가 제 1사분면의 각이므로(cid:100)(cid:100)sin h+cos h>0
'∂41
5
∴ sin h+cos h=
● 30%
∴ sin› h-cos› h`
=(sin¤ h+cos¤ h)(sin¤ h-cos¤ h)
=sin¤ h-cos¤ h
=(sin h+cos h)(sin h-cos h)
'∂41
= ¥;5#;
5
3'∂41
25
=
● 40%
(cid:8951)
3'∂41
25
수
함
각
삼
Ⅱ
02이므로
tan aæ3+'2
따라서 tan a의 최솟값은 3+'2이다.
(cid:8951) ②
본책
37쪽``…``39쪽
05
삼각함수의 그래프
본책 39쪽
y=sin(ax+b) 꼴의 함
수는 y=sin a{x+
꼴로 변형한 후 그래프의
;aB;}
평행이동을 알아본다.
185 ③ y=2 sin(px-4p)=2 sin p(x-4)의 그래
프는 y=2 sin px의 그래프를 x축의 방향으로 4만
큼 평행이동한 것이다.
주기가 2이므로
f(x)=f(x+2)
=f(x+4)
=f(x+6)
⋮
(cid:8951) 169
수
함
각
삼
Ⅱ
2p
④ 주기는 =2이다.
p
⑤ y=2 sin px의 그래프가 원점에 대하여 대칭이고, 주
기가 2이므로 x축의 방향으로 4만큼 평행이동하여
도 원점에 대하여 대칭이다.
(cid:8951) ③
186 주어진 함수의 주기가 ;4“;-{-;4“;}=;2“;이고
a>0이므로
2p
a
(cid:100)(cid:100) =;2“;(cid:100)(cid:100)∴ a=4
따라서 주어진 함수의 식은 y=cos 4(x+b)+1이고,
그래프가 점 (0, 0)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)cos 4b+1=0
(cid:100)(cid:100)cos 4b=-1
00, cos h<0
이므로
(cid:100)sin h cos h<0
(cid:100)(cid:100)∴ b=;4“;
(cid:100)(cid:100)∴ ab=p
x 대신 -x를 대입
점 (1, 2)와 직선
x+y-tan a=0 사이
의 거리
15일품미적분II-해(29~57) 2015.4.27 7:29 PM 페이지36 SinsagoHitec
189 ㄱ. sin 203°=sin(180°+23°)=-sin 23°
∴ sin 23°+sin 203°=sin 23°-sin 23°=0
ㄴ. cos 337°=cos(360°-23°)=cos 23°
-a<0이므로 함수의
그래프는 위로 볼록한
193 y=a cos¤ x+a sin x+b
=a(1-sin¤ x)+a sin x+b
=-a sin¤ x+a sin x+a+b
∴ cos 23°+cos 337°=cos 23°+cos 23°
포물선이다.
sin x=t로 놓으면 -1…t…1이고
=2 cos 23°+0
ㄷ. tan 517°=tan(360°+157°)=tan 157°
=tan(180°-23°)
=-tan 23°
∴ tan 23°+tan 517°=tan 23°-tan 23°=0
이상에서 값이 0인 것은 ㄱ, ㄷ이다.
(cid:8951) ④
-a(t¤ -t)+a+b
=-a{t¤ -t+;4!;-;4!;}+a+b
=-a{t-;2!;}
+
+a+b
=-a{t-;2!;}
+
a+b
2
2
;4A;
;4%;
(cid:100)(cid:100)y=-at¤ +at+a+b=-a{t-;2!;}2 +;4%;a+b
오른쪽 그림에서
y
a+b
5
4
t=;2!;일 때(cid:100)(cid:100)최댓값은 ;4%;a+b,
t=-1일 때(cid:100)(cid:100)최솟값은 -a+b
이므로
(cid:100)(cid:100);4%;a+b=6, -a+b=-3
위의 두 식을 연립하여 풀면
1
2
-1
O
1
t
-a+b
y=-at@+at+a+b
(cid:100)(cid:100)a=4, b=1(cid:100)(cid:100)∴ a+b=5
(cid:8951) ①
194 y=
|tan x|-5
|tan x|+1
0…t…1이고
에서 |tan x|=t로 놓으면
(cid:100)(cid:100)y=
t-5
t+1
=
(t+1)-6
t+1
=-
+1
6
t+1
오른쪽 그림에서
t=1일 때(cid:100)(cid:100)최댓값은 -2,
t=0일 때(cid:100)(cid:100)최솟값은 -5
이므로
(cid:100)(cid:100)M=-2, m=-5
(cid:100)(cid:100)∴ M-m=3
1등급
|비|밀|노|트|
유리함수의 그래프의 성질
y
1
y=
t-5
t+1
O-1
-2
1
5
t
-5
(cid:8951) 3
-;4“;…x…;4“;에서
-1…tan x…1이므로
0…|tan x|…1
190 tan {;2“;+h}=-cot h=-
cos h
sin h
=-
=;3$;
;5$;
-;5#;
sec {;2#;p+h}=
1
=
1
sin h
sec {;2#;p+h}=
cos {;2#;p+h}
1
=-;3%;
-;5#;
(cid:100)(cid:100)∴ tan {;2“;+h}-sec {;2#;p+h}=;3$;-{-;3%;}
=3
(cid:8951) 3
191 (주어진 식)
=-
sin(p+h)
sin(2p-h)
-
sin {;2“;-h}
cos(p+h)
-tan {;2#;p-h} tan(p+h)
192 y=sin {x-;4“;}+cos {;4#;p-x}+1
050 y=sin {x-;4“;}+cos[;2“;-{x-;4“;}]+1
050 y=2 sin {x-;4“;}+1
의 그래프를 x축의 방향으로 ;4“;만큼, y축의 방향으로 1
만큼 평행이동한 것이다.
0…x…2p에서 -;4“;…x-;4“;…;4&;p이므로 주어진 함수
는 x-;4“;=;2“;, 즉 x=;4#;p일 때 최댓값 3을 갖는다.
(cid:100)(cid:100)∴ a=;4#;p, b=3
(cid:100)(cid:100)∴ ab=;4#;p¥3=;4(;p
36 정답 및 풀이
=-
-sin h
-sin h
=-1+1-1=-1
-
cos h
-cos h
-cot h tan h
(cid:8951) -1
유리함수 y=
+q (k+0)의 그래프는 함수 y=
의 그래
;[K;
k
x-p
이므로
프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한
것이고, 점근선은 두 직선 x=p, y=q이다.
cot h=
1
tan h
cot h tan h
=
1
tan h
¥tan h
=1
sin {x-;4“;}
195 2 cos¤ x+sin x=1에서
2(1-sin¤ x)+sin x=1
2 sin¤ x-sin x-1=0
(2 sin x+1)(sin x-1)=0
함수 y=2 sin {x-;4“;}+1의 그래프는 함수 y=2 sin x
∴ sin x=-;2!; 또는 sin x=1
y=sin x의 그래프를 y
축의 방향으로 2배 한
것이다.
0…x…2p이므로
sin x=-;2!;에서
2 sin ;2“;+1=3
x=;6&;p 또는 x=:¡6¡:p
sin x=1에서(cid:100)(cid:100)x=;2“;
따라서 a=;2“;, b=;6&;p, c=:¡6¡:p이므로
y
1
O
-1
7 π
6
11 π
6
y=1
x
2π
y=- 1
2
y=sin`x
π
π
2
(cid:8951) ④
c-b-a=:¡6¡:p-;6&;p-;2“;=;6“;
(cid:8951) ;6“;
15일품미적분II-해(29~57) 2015.4.27 7:29 PM 페이지37 SinsagoHitec
196 |tan x-;2!;|-;2!;=0에서
(cid:100)(cid:100)|tan x-;2!;|=;2!;
(cid:100)(cid:100)tan x-;2!;=—;2!;
(cid:100)(cid:100)∴ tan x=0 또는 tan x=1
-;2“;:¡3º:
또는 x<-:¡3º:이면
y>1 또는 y<-1이므
로 직선 y=;1£0;x는
y=sin px의 그래프와
만나지 않는다.
∴ sin xæ;2!;
오른쪽 그림에서 구하는 x의
값의 범위는
;6“;…x…;6%;p
(cid:8951) ;6“;…x…;6%;p
200 -;2“;…x…;2“;에서
y=|sin x|와 y=cos x의
그래프가 오른쪽 그림과
같으므로 부등식
|sin x|0이고 f(x)의 최댓값은 6, 최솟
y
1
2
O
y=sin`x
π
5
6
π
π
6
y=
1
2
2π
x
y=cos`x
y=|sin`x|
y
1
- π
2
- π
4
O
π
4
x
π
2
(cid:8951) ④
● 40%
● 30%
(cid:8951) 16
Ⅱ. 삼각함수 37
15일품미적분II-해(29~57) 2015.4.27 7:30 PM 페이지38 SinsagoHitec
202 a>0이고 함수 y=a cos(bx+c)+d의 최댓
값은 2, 최솟값은 -2이므로
a+d=2, -a+d=-2
위의 두 식을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=2, d=0
2p
주기가 p이므로 =p에서(cid:100)(cid:100)b=2
b
함수 y=2 cos(2x+c)=2 cos 2 {x+
;2C;}의 그래프는
y=2 cos 2x의 그래프를 x축의 방향으로 -
만큼 평
;2C;
행이동한 것이다.
주어진 그래프는 y=2 cos 2x의 그래프를 x축의 방향
으로 ;4“;만큼 평행이동한 것이고, 주기가 p이므로
-
;2C;
=;4“;+np (n은 정수)
이때 03 또는 y<-1이므
-1
3
-2
O
1
2
x
이상에서 주기함수는 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㅁ의 4개이다.
(cid:8951) ③
따라서 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=;ç#;x의 교점
의 개수는 3이다.
(cid:8951) 3
207
조건을 만족시키는 함수
주어진
y=f(x)의 그래프는 오
른쪽 그림과 같다. ● 30%
즉 f(x)는 주
기가 2인 주기함수이므로
(cid:100)(cid:100) =2(cid:100)(cid:100)∴ b=;2“;
p
b
f(x)=a tan {;2“;x+c}=a tan ;2“; {x+ }에서 함수
2c
p
● 20%
y=;ç#;x에서 x>p
또는 x<-;3“;이면
로 직선 y=;ç#;x는 함수
y=f(x)의 그래프와 만
나지 않는다.
ㄱ, ㄴ, ㄷ은 주기가 p
인 주기함수이고, ㅁ은
주기가 2p인 주기함수
이다.
210 주어진 조건에 의하여
(cid:100)(cid:100)f(x+1)=-f(-x+1)=f(x-1)
x-1=t로 놓으면 x=t+1이므로 f(x+1)=f(x-1)
에서
(cid:100)(cid:100)f(t+2)=f(t)
수
함
각
삼
Ⅱ
y=f(x)의 그래프는 함수 y=a tan ;2“;x의 그래프를 x
축의 방향으로 - 만큼 평행이동한 것이다.
2c
p
-f(-x+1)
=-f(-(x-1))
=-{-f(x-1)}
=f(x-1)
ㄱ. f(x)=sin p(px-1)의 주기는 = 이므로
㉠을 만족시키지 않는다.
또 함수 y=f(x)의 그래프는 점 {- , 0}에 대하여
ㄴ. f(x)=cos p{x-;2!;}의 주기는
=2이므로 ㉠
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
2
p
2p
p¤
2p
p
대칭이고 -20, b>0)의 그래프는 각각 y=a sin bx, y=a cos bx,
y=a tan bx의 그래프를 x축의 방향으로 -
만큼 평행이동한
;bC;
것이다. 이때 a, c의 값은 함수의 주기에 영향을 주지 않는다.
211 a+b=;2“;이므로(cid:100)(cid:100)b=;2“;-a
∴ cos(a-b)=cos {a-;2“;+a}
(cid:100) =cos{2a-;2“;}=cos {;2“;-2a}
(cid:100) =sin2a
(cid:8951) ①
Ⅱ. 삼각함수 39
15일품미적분II-해(29~57) 2015.4.27 7:30 PM 페이지40 SinsagoHitec
212 `
OBC에서
OB”=1, BC”=;3$;이므로 직각삼각형
`
OC”=æ≠1¤ +{;3$;}2 =æ–:™9∞: =;3%;
∴ sin a=sin(p-h)
BC”
OC”
=sin h=
;3$;
= =;5$;
;3%;
● 50%
0…x…;4“;일 때
'2
2
…cos x…1
● 50%
(cid:8951) ;5$;
216 y=
3 cos x+2 sin x
2 cos x-sin x
에서 0…x…;4“;일 때
cos x+0이므로 분자,분모를 cos x로 나누면
-2(2-tan x)+7
2-tan x
y=
=
3+2 tan x
2-tan x
7
2-tan x
=-2+
0…x…;4“;에서 0…tan x…1이므로
1…2-tan x…2,(cid:100)(cid:100);2!;…
1
2-tan x
…1
;2&;…
7
2-tan x
…7
∴ ;2#;…-2+
7
2-tan x
따라서 주어진 함수의 치역은
…5
(cid:100)(cid:100)[y|;2#;…y…5]
이므로(cid:100)(cid:100)a=;2#;, b=5
∴ 2a-b=-2
7
2-tan x
7
2-t
(cid:100)(cid:100)y=-2+
(0…t…1)
오른쪽 그림에서 주어진 함수는
t=0일 때(cid:100)(cid:100)최솟값 ;2#;,
t=1일 때(cid:100)(cid:100)최댓값 5
를 갖는다.
y=-2+
{0…x…;4“;}에서 tan x=t라 하면
(cid:8951) -2
y=-2+
y
5
7
2-t
3
2
21
t
O
-2
217 ㄱ. 오른쪽 그림에서
(cid:100)(cid:100)b=p-a
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=p
y
a
y=sin`x
y=a
O
å
π∫
x
π
2
ㄴ. cos a+cos b=cos a+cos(p-a)
=cos a-cos a
=0
ㄷ. sin¤ a+cos¤ b=sin¤ a+cos¤ (p-a)
=sin¤ a+cos¤ a
=1
이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
(cid:8951) ⑤
213 ㄱ. sin c=sin(2np+p+a)
=-sin a (n은 정수)
(cid:100)(cid:100)∴ sin a+sin c=0
ㄴ. cos d=cos(2np+p+b)=-cos b (n은 정수)
(cid:100)(cid:100)∴ cos b+cos d=0
ㄷ. cos d=cos {2np+;2#;p+a}=sin a (n은 정수)
(cid:100)(cid:100)∴ sin a+cos d=2 sin a+0
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
214 ;2!;¥10¤ ¥h=p에서(cid:100)(cid:100)50h=p
부채꼴의 넓이
(cid:8951) ②
반지름의 길이가 r, 중심
각의 크기가 h인 부채꼴
의 넓이 S는
S=;2!;r¤ h
점근선의 방정식은
t=2, y=-2
cos¤ (p-a)
=(-cos a)¤
=cos¤ a
∴ sin h+sin 2h+sin 3h+…+sin 100h
=(sin h+sin 51h)+(sin 2h+sin 52h)
+…+(sin 50h+sin 100h)
={sin h+sin(p+h)}+{sin 2h+sin(p+2h)}
+…+{sin 50h+sin(p+50h)}
=(sin h-sin h)+(sin 2h-sin 2h)
+…+(sin 50h-sin 50h)
=0
215 `
y=sin¤ x-sin{x+;2“;}
=(1-cos¤ x)-cos x
=-cos¤ x-cos x+1
cos x=t로 놓으면 0…x…2p에서 -1…t…1이고
(cid:100)(cid:100)y=-t¤ -t+1=-{t+;2!;}
+;4%;
2
따라서 오른쪽 그림
`
에서
t=-;2!;일 때(cid:100)(cid:100)최댓값은 ;4%;,
t=1일 때(cid:100)(cid:100)최솟값은 -1
-1
O
-
1
2
y=-t@-t+1
-1
(cid:8951) 0
● 30%
● 30%
y
5
4
1
1
t
● 30%
● 10%
(cid:8951) ;4!;
이므로
(cid:100)(cid:100)M=;4%;, m=-1
(cid:100)(cid:100)∴ M+m=;4!;
40 정답 및 풀이
00, b>0일 때
a+b
2
æ"çab
(단, 등호는 a=b일 때
성립)
y=sin`t
9π+ π
4
y= 1
4
2π
4π
6π
8π
t
y
1
O
π
4
-1
220
하면
점 A는 제 1사분면 위
(cid:100)(cid:100)(cid:8951) ④
의 점이므로
0sin b-sin a
이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
<1
(cid:8951) ④
226 `함수 f(x)=cos ;2“;x+2의 최댓값은 3, 최솟값
은 1이고, 주기는
=4이므로 함수 y=f(x)의 그래
프는 다음과 같다.
y=f{x}
2p
p
2
y
3
1
O
-4
-2
2
4
6
x
g(x)=
=-
+a이므로 함수 y=g(x)의
ax
x+2
2a
x+2
그래프의 점근선의 방정식은(cid:100)(cid:100)x=-2, y=a
⁄ a<0일 때,
두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프는 다음 그림
과 같으므로 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프
는 1개의 점에서 만난다.
y
y=f{x}
-2
O
a
y=g{x}
x
¤ a=1일 때,
두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프는 다음 그림
과 같으므로 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프
는 무수히 많은 점에서 만난다.
y=f{x}
y
1
O
-2
x
y=g{x}
0°…x<360°에서
y=cos x의 그래프가
오른쪽 그림과 같으므로
y
1
2
1
-
;2!;
0
y ㉠(cid:100)(cid:100)● 30%
a+b>0이므로
>0,(cid:100)(cid:100)sin h>0
(cid:100)(cid:100)
sin h
2
(cid:100)(cid:100)∴ 00
이 항상 성립
(cid:8857) a>0, b¤ -4ac<0
D
4
=cos¤ h-sin¤ h<0
cos¤ h<
(cid:100)(cid:100)cos¤ h-(1-cos¤ h)<0
1
(cid:100)(cid:100)∴- (직선 OQ의 기울기)
이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)
sin a
a
>
sin b
b
(cid:100)(cid:100)∴ b sin a>a sin b
42 정답 및 풀이
두 점(x¡, y¡), (x™, y™)
를 지나는 직선의 기울기
‹ a=2일 때,
(cid:8857)
y™-y¡
x™-x¡
두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프는 다음 그림
과 같으므로 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프
는 무수히 많은 점에서 만난다.
15일품미적분II-해(29~57) 2015.4.27 7:30 PM 페이지43 SinsagoHitec
y=g{x}
y=f{x}
y
2
O
-2
x
y=sin x와 y=cos x
는 모두 주기가2 p인
주기함수이므로 f(x)
도 주기가 2p인 주기함
수이다. 즉 0…x…2p
에서의 f(x)의 최솟값
이 실수 전체의 집합에
서 f(x)의 최솟값이다.
`0…x…2p에서 y=f(x)의
그래프는 오른쪽 그림과 같
다.
`따라서 f(x)의 최솟값은
'2
- 이다.
2
본책
45쪽``…``47쪽
y
1
Â2
2
π
4
-
O
Â2
2
-1
y=f{x}
π5
4
π
2π
x
(cid:8951) ②
y=cos`x
y=sin`x
› a=3일 때,
두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프는 다음 그림
과 같으므로 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프
는 무수히 많은 점에서 만난다.
=- '2
2
229 v=a sin bpt의 주기
v=a sin`bπt
sin ;4%;p=cos ;4%;p
는
= 이고, 최댓값은
2p
bp
2
b
v
a
O
a, 최솟값은 -a이므로 그래
프는 오른쪽 그림과 같다.
-a
1
b
t
2
b
y
3
y=f{x}
-2
O
x
y=g{x}
fi a>3일 때,
a=4이면 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프는
다음 그림과 같으므로 a>3일 때 두 함수 y=f(x),
y=g(x)의 그래프는 유한개의 점에서 만난다.
y
4
y=f{x}
-2
O
x
y=g{x}
수
함
각
삼
Ⅱ
1초당 들이마시는 최대의 공
기의 부피가 0.8 L이므로
a=0.8
또 1분, 즉 60초당 호흡수가 12회이므로 1회의 호흡에
;1^2);=5(초)가 소요된다.
이때 숨을 들이마시고 내보내는 과정이 1회의 호흡이므
로 호흡의 주기는 5초이다.
즉
;b@;
=5에서(cid:100)(cid:100)b=;5@;=0.4
∴
=2
;bA;
(cid:8951) 2
230 ㄱ. 오른쪽 그림과
같이 함수 y=sin x의
그래프는 02일 때,
⁄ x¤ -2x+1>1이므로
⁄ sin h=x¤ -2x+1을 만족
시키는 실수 h는 없다.
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ f(x)=0
¤ x=0 또는 x=2일 때,
¤ x¤ -2x+1=1이므로 (cid:100)(cid:100)sin h=1
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ h=;2“; (∵ 0…h…p)
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ f(x)=1
44 정답 및 풀이
‹ 00)
240 y='3 sin x+cos x
=2{
'3
2
sin x+;2!; cos x}
=2{cos ;6“; sin x+sin ;6“; cos x}
={sin x cos ;3@;p+cos x sin ;3@;p}
=+{cos x cos ;6“;-sin x sin ;6“;}
={-;2!; sin x+ cos x}
'3
2
'3
2
cos x-;2!; sin x }
=+{
=-sin x+'3 cos x
'3
=2{-;2!; sin x + cos x}
2
=2{cos ;3@;p sin x+sin ;3@;p cos x}
=2 sin {x+;3@;p}
0…x…p에서 ;3@;p…x+;3@;p…;3%;p이므로 함수 f(x)는
x+;3@;p=;2#;p, 즉 x=;6%;p일 때 최솟값 -2를 갖는다.
따라서 a=;6%;p, b=-2이므로
ab=-;3%;p
(cid:8951) ①
242 f(x)=3 sin x+4 cos x+2
=5 sin(x+a)+2
{단, sin a=;5$;, cos a=;5#;}
ㄱ, ㄴ. y=5 sin(x+a)+2의 그래프는 y=5 sin x의
그래프를 x축의 방향으로 -a만큼, y축의 방향으로
2만큼 평행이동한 것이므로 함수 f(x)의 주기는 2p
이다.
ㄷ. -1… sin(x+a)…1이므로(cid:100)(cid:100)
따라-5…5 sin(x+a)…5
ㄷ. 따라∴ -3…5 sin(x+a)+2…7
ㄷ. 따라서 f(x)의 최댓값은 7이다.
이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
(cid:8951) ⑤
1등급
|비|밀|노|트|
y=a sin(bx+c)+d의 그래프는 y=a sin bx의 그래프를 평행
이동한 것이고, 함수의 주기는 그래프를 평행이동하여도 변하지
않으므로 y=a sin bx의 주기를 이용하여 y=a sin(bx+c)+d
의 주기를 구할 수 있다.
Ⅱ. 삼각함수 45
15일품미적분II-해(29~57) 2015.4.27 7:30 PM 페이지46 SinsagoHitec
243 sin a="√1-cos¤ a =æ≠1-{;5$;}
(cid:100)(cid:100)∴ sin 2a-cos 2a=2 sin a cos a-(1-2 sin¤ a)
¤ =;5#;
00
=2¥;5#;¥;5$;-1+2¥{;5#;}
=;2!5&;
(cid:8951) ④
cos 2a
=2 cos¤ a-1
2
=2¥{;5$;}
-1=;2¶5;
로 계산할 수도 있다.
즉
tan (ax+b)=0이므로
lim
x
0
⁄
tan b=0(cid:100)(cid:100)∴ b=0 (∵ 0…b0)
또 주기는 2p이므로
2(c-b)=2p(cid:100)(cid:100)∴ c-b=p
∴ a(c-b)=2'2 p
(cid:8951) ③
cos 2x=1-2 sin¤ x
259 y=a sin x+b cos x=øπa¤ +b¤ sin(x+a)
a
øπa¤ +b¤
b
øπa¤ +b¤
{단, sin a=
, cos a=
}
이때 함수 y=øπa¤ +b¤ sin(x+a)의 최댓값이 '∂33이
므로
øπa¤ +b¤ ='∂33(cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ =33 yy ㉠(cid:100)(cid:100)
b=4a cos 75°에서
cos 75°=cos(45°+30°)
=cos 45° cos 30°-sin 45° sin 30°
'2
2
'2
'3
cos 75°= ¥ - ¥;2!;
2
2
'6-'2
4
cos 75°=
이므로(cid:100)(cid:100)b=('6-'2 )a
㉡`을 ㉠`에 대입하면(cid:100)(cid:100)a¤ +('6-'2 )¤ a¤ =33
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ =
33
9-4'3
=9+4'3
1등급
|비|밀|노|트|
(cid:8951) 9+4'3
함수 y=a sin x+b cos x (a+0, b+0)의 최댓값과 최솟값은
삼각함수의 합성을 이용하여 구할 수 있다.
즉 y=a sin x+b cos x=øπa¤ +b¤ sin(x+a)에서 최댓값은
øπa¤ +b¤ , 최솟값은 -øπa¤ +b¤ 이다.
48 정답 및 풀이
원 x¤ +y¤ =r¤ 위의 점
(x¡, y¡)에서의 접선의
{단, sin a=
, cos a=
b
øπa¤ +b¤
a
øπa¤ +b¤
}
방정식은
x¡x+y¡y=r¤
262 원 x¤ +y¤ =6 위의 점 ('5, -1)에서의 접선의
방정식은
15일품미적분II-해(29~57) 2015.4.27 7:30 PM 페이지49 SinsagoHitec
'5x-y=6(cid:100)(cid:100)∴ y='5x-6
이때 직선 y='5x-6이 x축의 양의 부분과 이루는 각
의 크기가 ;2Ω;이므로(cid:100)(cid:100)tan ;2Ω;='5
양변을 제곱하면
tan¤ ;2Ω;=5,(cid:100)(cid:100)
1-cos h=5+5 cos h
1-cos h
1+cos h
=5
본책
51쪽``…``53쪽
AT”=2AP”=16 sin h
또 ∠AOP=2h이므로(cid:100)(cid:100)AQ”=4 tan 2h
∴
lim
h
0+
⁄
AT”
AQ”
=
lim
h
0+
⁄
16 sin h
4 tan 2h
sin h
h
¥
2h
tan 2h
}
=
lim
h
0+
⁄
{2¥
=2¥1¥1=2
(cid:8951) ②
삼각형 AOP는 이등변
삼각형이므로
∠AOP
=p-2{;2“;-h}
=2h
∴ cos h=-;3@;
(cid:8951) ①
OP”¡”=1이므로 직각삼각형 OP¡H¡에
∴
266
서
263 y=8 sin¤ x-3 sin 2x-4(3 sin x-cos x)
+9+sin¤ x+cos¤ x
=(9 sin¤ x-6 sin x cos x+cos¤ x)
=-4(3 sin x-cos x)+9
=(3 sin x-cos x)¤ -4(3 sin x-cos x)+9
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
=
sin 2x=2 sin x cos x
10=9+1
=9+sin¤ x+cos¤ x
이때 t=3 sin x-cos x로 놓으면
(cid:100)(cid:100)t=3 sin x-cos x
(cid:100)(cid:100)t='∂10 {
sin x-
cos x}
3
'∂10
1
'∂10
(cid:100)(cid:100)t='∂10 sin(x+a)
에서 -'∂10 …t…'∂10 이고 ㉠에서
y=t¤ -4t+9=(t-2)¤ +5
{단, sin a=-
, cos a=
1
'∂10
3
'∂10
}
a‹ -b‹
=(a-b)(a¤ +ab+b¤ )
y는 t=-'∂10 일 때 최댓값 19+4'∂10 , t=2일 때 최솟
값 5를 가지므로
M=19+4'∂10 , m=5
∴ M-m=14+4'∂10
(cid:8951) 14+4'∂10
(-'∂10 -2)¤ +5
=10+4'∂10 +4+5
=19+4'∂10
264 sin 3x=3 sin x-4 sin‹ x이므로
x¤ sin x
3 sin x-sin 3x
lim
0
x
⁄
=
lim
0
x
⁄
=
=
lim
0
x
⁄
lim
0
x
⁄
1
4
x¤ sin x
3 sin x-3 sin x+4 sin‹ x
x¤ sin x
4 sin‹ x
1
x
4
sin x
1
4
sin x
x
¥{
‹ ¥
}
= ¥1‹ ¥1=
265 ∠PAT=h, ∠OAT=;2“;이므로
∠OAP=;2“;-h
∴ AP”=2¥OA” cos {;2“;-h}
∴ AP”=8 cos {;2“;-h}=8 sin h,
(cid:8951) ;4!;
sin(x+2x)
=sin x cos 2x
+cos x sin 2x
=sin x(1-2 sin¤ x)
+2 sin x cos¤ x
=sin x-2 sin‹ x
+2 sin x(1-sin¤ x)
=3 sin x-4 sin‹ x
점 O에서 AP”에 내린
수선의 발을 H라 하면
AH”=OA” cos {;2“;-h}
또 △AOP는 이등변삼
각형이므로
AH”=HP”
∴ AP”=2AH”
수
함
각
삼
Ⅱ
O’P™”=O’H¡”=cos h이므로 직각삼각형 OP™H™에서
O’H¡”=cos h, H’¡P¡”=sin h
∴ x¡=cos h, y¡=sin h
O’H™”=cos h cos h=cos¤ h
∴ x™=cos¤ h
O’P£”=O’H™”=cos¤ h이므로 직각삼각형 OP£H£에서
O’H£”=cos¤ h cos h=cos‹ h
∴ x£=cos‹ h
또 l=O’P¡”¥h=h이므로
● 30%
● 10%
¥
sin h
cos h
]
¥
sin h
h
lim
h
0+
⁄
{
=
lim
h
0+
⁄
{
=
lim
h
0+
⁄
[
=
lim
h
0+
⁄
=
=
=
lim
h
0+
⁄
}
¥
1-x£
l‹
y¡
x¡
1-cos‹ h
h‹
¥
sin h
cos h
(1-cos h)(1+cos h+cos¤ h)
h‹
}
[
(1-cos h)(1+cos h)
h¤ (1+cos h)
1+cos h+cos¤ h
cos h
]
[¥
sin¤ h
h¤
1+cos h+cos¤ h
cos h
1
1+cos h
[¥
¥
{
¥
}
sin h
h
=1¤ ¥;2!;¥1¥3=;2#;
p+q=5
따라서 p=2, q=3이므로
● 50%
● 10%
(cid:8951) 5
0이고 0이 아닌 극한값이
267 x
⁄;2“;일 때 (분자)
0이다.
⁄
⁄
존재하므로 (분모)
즉
lim
x
⁄;2/“/
f(x)=0이므로(cid:100)(cid:100)f {;2“;}=0
f(x)=x¤ +ax+b (a, b는 상수)라 하면
f {;2“;}= +
;2A;
p+b=0
p¤
4
∴ b=-
p-
;2A;
p¤
4
x-;2“;=t로 놓으면 x
⁄ ;2“;일 때 t
⁄
0이므로
Ⅱ. 삼각함수 49
15일품미적분II-해(29~57) 2015.4.27 7:30 PM 페이지50 SinsagoHitec
f {t+;2“;}
2
={t+;2“;}
-
p-
;2A;
+a{t+;2“;}
p¤
4
p¤
4
+
p-
p-
;2A;
;2A;
p¤
4
=t¤ +(p+a)t
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
=t¤ +pt+ +at
sin¤ (2x-p)
f(x)
=
lim
t
0
⁄
lim
x
⁄;2/“/
sin¤ 2t
f {t+;2“/}
sin 2t
2t
}2
4t¤
f {t+;2“/}
lim
= {
t
0
⁄
=
lim
t
0
⁄
¥
4t¤
f {t+;2“/}
f(x)=x¤ +ax-
p¤
p- 에서
4
;2A;
f {t+;2“/}=t¤ +(p+a)t
즉
lim
t
0
⁄
4t¤
f {t+;2“/}
=
lim
t
0
⁄
4t¤
t¤ +(p+a)t
4t
t+p+a
=
lim
t
0
⁄
=4
㉠에서 t
⁄
존재하므로 (분모) ⁄
즉
0일 때 (분자)
0이다.
(t+p+a)=0이므로(cid:100)(cid:100)p+a=0
⁄
0이고 0이 아닌 극한값이
lim
t
0
⁄
∴ a=-p
따라서 b= - = 이므로
p¤
2
p¤
4
(cid:100)(cid:100)f(x)=x¤ -px+
p¤
4
p¤
4
∴ f {-;2“/}=p¤
1등급
|비|밀|노|트|
aa'+0이고
lim
0
x
⁄
a'x¤ +b'x+c'
ax¤ +bx+c
① c'=0이면(cid:100)(cid:100)c=0
② b'=0, c'=0이면(cid:100)(cid:100)b=0, c=0
(cid:8951) ③
=a (a는 0이 아닌 상수)일 때
268 f(h)f(-h)=
¥
1+sin h
1+sin 3h
1-sin h
1-sin 3h
1-sin¤ h
1-sin¤ 3h
cos¤ h
cos¤ 3h
=
=
h-;2“;=t로 놓으면 h
⁄ ;2“;일 때 t
0이므로
f(h)f(-h)=
lim
h
⁄;2/“/
f(h)f(-h)=
⁄
cos¤ h
cos¤ 3h
lim
h
⁄;2/“/
lim
t
0
⁄
=
lim
t
0
⁄
lim
= {
t
0
⁄
cos¤ {t+;2“;}
cos¤ 3{t+;2“;}
(-sin t)¤
sin¤ 3t
sin t
sin 3t
}
50 정답 및 풀이
lim
= {
t
0
⁄
sin t
t
¥
3t
sin 3t
¥
1
3
}
={1¥1¥;3!;}
=;9!;
(cid:8951) ③
269
2'3 sin {x+;6“;}-4 sin x
=2'3{sin x cos ;6“;+cos x sin ;6“;}
=-4 sin x
'3
2
sin x +;2!; cos x}-4 sin x
=2'3{
=3 sin x+'3 cos x-4 sin x
=-sin x+'3 cos x
'3
=2{-;2!; sin x+ cos x}
2
=2 sin {x+;3@;p}
● 50%
이때 x+;3@;p=t로 놓으면 x
-;3@;p일 때
⁄
0이므로
t
⁄
(cid:100)(cid:100)
lim
x
-;3@;p
⁄
2'3 sin {x+;6“/}-4 sin x
x+;3@;p
=
lim
x
-;3@;p
⁄
2 sin {x+;3@;p}
x+;3@;p
2 sin t
t
=
lim
t
0
⁄
=2¥1=2
270 f(x)='3 sin x+3 cos x에서
f {;3@;p}='3 sin ;3@;p+3 cos ;3@;p
'3
f {;3@;p}='3 ¥ +3¥{-;2!;}
2
f {;3@;p}=;2#;-;2#;=0
● 50%
(cid:8951) 2
(cid:8951) ②
f(-h)
1-sin (-h)
1-sin (-3h)
1+sin h
1+sin 3h
=
=
f '(a)
=
lim
a
x
⁄
=
lim
0
h
⁄
f(x)-f(a)
x-a
f(a+h)-f(a)
h
cos {3t+;2#;p}
=sin 3t
f {;3@;p+h}
h
=
lim
h
0
⁄
f {;3@;p+h}-f {;3@;p}
h
∴
lim
h
0
⁄
=f'{;3@;p}
f '(x)='3 cos x-3 sin x이므로
f '{;3@;p}='3 cos ;3@;p-3 sin ;3@;p
f '{;3@;p}='3 ¥{-;2!;}-3¥
f '{;3@;p}=-2'3
'3
2
271 f(x)=sin x cos x에서
f '(x)=cos x cos x+sin x(-sin x)
=cos¤ x-sin¤ x=cos 2x
¤
¤
¤
15일품미적분II-해(29~57) 2015.4.27 7:30 PM 페이지51 SinsagoHitec
f '(a)= 에서(cid:100)(cid:100)cos 2a=
'3
2
'3
2
0…a…;2“;에서 0…2a…p이므로
(cid:100)(cid:100)2a=;6“;(cid:100)(cid:100)∴ a=;1…2;
(cid:8951) ②
272 f(x)=[
ax+sin x
-ax-sin x (-p…x<0)
(0…x…p)
이므로
a+cos x
(cid:100)(cid:100)f '(x)=[ -a-cos x (-p0)
색칠하지 않은 부채꼴 OAB의 호AB의 길이는 반지름
● 30%
의 길이의 ;2#;배이므로 색칠하지 않은 부채꼴 OAB의
중심각의 크기를 h라 하면
;2#;r=rh(cid:100)(cid:100)∴ h=;2#;
즉 색칠하지 않은 부채꼴 OAB의 넓이는
함수 y=f(x)의 x=a에
서의 미분계수는
f '(a)
=lim
a
x
⁄
f(x)-f(a)
x-a
(cid:100)(cid:100);2!;¥6¤ ¥;2#;=27
`
(cid:100)(cid:100)36p-27
따라서 색칠한 부분의 넓이는
'3
2
(cid:8951) '3
2
● 30%
● 20%
● 20%
(cid:8951) 36p-27
281 ㄱ. △OAB에서 ∠OAB=90°이므로
ㄴ. (cid:100)(cid:100)tan h
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=tan h
AB”
O’A”
=
ㄴ. △OAB에서(cid:100)(cid:100)cos h
OA”
O’B”
=
(cid:100)(cid:100)∴ OB”=
1
cos h
∠AOB+∠ACB=90˘
이고
이므로
∠ABC+∠ACB=90˘
∠ABC=∠AOB
=h
ㄷ. △ABC에서 ∠ABC=h이고 ∠BAC=90°이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)tan h
AC”
AB”
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=AB” tan h=tan¤ h
=
이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
(cid:8951) ④
282 sin x cos y<0이므로
(cid:100)(cid:100)sin x>0, cos y<0 또는 sin x<0, cos y>0
⁄ sin x>0, cos y<0일 때,
(cid:100)(cid:100)00일 때,
▶ 본책 55쪽
279 각 h를 나타내는 동경과 각 4h를 나타내는 동경
이 일치하므로
동경이 일치하면
(cid:8857) a-b=2np
두 각a , b를 나타내는
(cid:100)(cid:100)p0,
>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계
:∞[º:
에 의하여
x+ æ2æ≠x¥ =10'2
50
x
50
x
(단, 등호는 x=5'2 일 때 성립)
AB”=1
● 20%
산술평균과 기하평균의
관계
a>0, b>0일 때,
a+b
2
æ"çab
(단, 등호는 a=b일 때
성립)
OD”=OB”+BD”
=cos h+2'2 sin h
50
x= 에서
x
x¤ =50
∴ x=5'2 (∵ x>0)
수
함
각
삼
Ⅱ
본책
56쪽``…``58쪽
∴ tan(∠APB)=
5
…
1
2'2
x+
50
21x
따라서 x=5'2 일 때 tan(∠APB)의 값이
● 30%
최대이고, 이때 ∠APB의 크기도 최대이므로
OP”
¤ =x¤ =(5'2 )¤ =50
● 20%
(cid:8951) 50
298
1
tan A
=tan B 에서 tan A tan B=1이므로
sin A
cos A
¥
sin B
cos B
=1
cos A cos B- sin A sin B=0
∴ cos(A+B)=0
이때 A+B=p-C이므로
cos ( p-C)=-cos C=0
∴ cos C=0
00
306
lim
0
h
⁄
f(p+h)-f(p-h)
h
=
lim
0
h
⁄
{ f(p+h)-f(p)}-{ f(p-h)-f(p)}
h
¤
15일품미적분II-해(29~57) 1904.10.27 4:28 AM 페이지57 SinsagoHitec
=
lim
0
h
⁄
f(p+h)-f(p)
h
+
lim
0
h
⁄
f(p-h)-f(p)
-h
=f '(p)+f '(p)=2f '(p)
f '(x)=ex sin x+ex cos x이므로
2f '(p)=2¥(-ep)=-2ep
307 반원의 중심을 O라
하면
OP”=4, ∠POB=2h
점 P에서 선분 AB에 내린
수선의 발을 H라 하면
PH”=OP” sin 2h=4 sin 2h
y=g(x)의 그래프가 y
축에 대하여 대칭이면
g(-x)=g(x)
(cid:8951) -2ep
P
A
Ω
4
2Ω
O
H
B
∴ S(h)=;2!;¥4¤ ¥(p-2h)-;2!;¥4¥4 sin 2h
∴ S(h)=8p-16h-8 sin 2h
∴ S(h)=8p-16h-16 sin h cos h
따라서
이므로
S'(h)=-16-16(cos¤ h-sin¤ h)
S'(h)=-16(1+cos¤ h-sin¤ h)
S'{;4“;}=-16{1+cos¤ ;4“;-sin¤ ;4“;}
=-16{1+;2!;-;2!;}
=-16
(cid:8951) ④
308
sin h+sin(2p-h)=0임을 이용한다.
수열 {h«}의 일반항을 구한 후
h«=;3“;+;1…2;(n-1)=;1…2;n+;4“;
1…n…8에서
h«+h18-n=;1…2;n+;4“;+;1…2;(18-n)+;4“;=2p
이므로
sin h18-n=sin(2p-hn)=-sin hn
∴ sin hn+sin h18-n=0
∴ a«= sin hn
17
¡n=1
17
¡n=1
8
¡n=1
= (sin hn+sin h18-n)+sin hª
=0+sin p=0
인 경우
(cid:8951) ③
309
의 그래프를 그려 본다.
g(x)를 간단히 정리한 후 함수 y=g(x)
ㄱ. g(-x)=
f(-x)+|f(-x)|
2
=
=
sin (-x)+|sin (-x)|
2
-sin x+|sin x|
2
∠PAB는 호PB에 대
한 원주각, ∠POB는
호 PB에 대한 중심각
이므로
∠POB=2∠PAB
=2h
(부채꼴 OAP의 넓이)
-(△OAP의 넓이)
(sin h cos h)'
=(sin h)' cos h
+sin h (cos h)'
=cos¤ h-sin¤ h
첫째항이 a, 공차가 d인
등차수열의 일반항 a«은
a«=a+(n-1)d
hª=
p+;4“;
;1ª2;
=p
( f Á g)(x)=1,
( f Á h)(x)=1
또는
( f Á g)(x)=-1,
( f Á h)(x)=-1
( f Á g)(x)=1,
( f Á h)(x)=-1
또는
( f Á g)(x)=-1,
( f Á h)(x)=1
인 경우
|sin (-x)|
=|-sin x|
=|sin x|
수
함
각
삼
Ⅱ
본책
58쪽``…``59쪽
=
-f(x)+| f(x)|
2
+g(x)
따라서 함수 y=g(x)의 그래프는 y축에 대하여 대
칭이 아니다.
ㄴ. g(x)=
f(x)+|f(x)|
2
=
sin x+|sin x|
2
ㄴ. g(x)=‡
sin x (-2p…x…-p 또는 0…x…p)
0
(-p…x…0 또는 p…x…2p)
따라서 함수 y=g(x)의 그래프는 다음 그림과 같
다.
y
1
O
y=1
y=g{x}
-2π
-
-π
3 π
2
π
2
π
2π
x
즉 방정식 g(x)=1의 모든 실근은- ;2#;p, ;2“;이므로
그 합은
(cid:100)(cid:100)-;2#;p+;2“;=-p
ㄷ. 부등식 g(x)…0의 해는x=-2p 또는
-p…x…0 또는 p…x…2p이다.
이상에서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.
(cid:8951) ②
310
시키는 x의 값을 각각 구해 본다.
( fΩg)(x)=1, ( fΩh)(x)=1을 만족
구간 (0, 10p)에서 (f Á g)(x)=1을 만족시
키는 x의 값의 집합을A라 하면
A=[;2“;, p, ;2#;p, 2p, ;2%;p, y, :¡2ª:p]
∴ ( fΩg)(x)=‡
1 (x-1)
즉 g(4)=0이고 f '(x)=6x+6이므로
1
6
1
f '(g(4))
1
f '(0)
g'(4)=
=
=
(cid:8951) ⑤
320 f(x)=2x ln (cos x)에서
f '(x)=2 ln (cos x)+2x¥
-sin x
cos x
f '(x)=2 ln (cos x)-2x tan x
f '(0)=2ln1-0=0이므로
lim
x
0
⁄
f '(x)
x
=lim
x
0
⁄
f '(x)-f '(0)
x
=f "(0)
이때
321 f(x)=xeax+1에서
f '(x)=eax+1+axeax+1=(1+ax)eax+1
f "(x)=aeax+1+a(1+ax)eax+1
=(2a+a¤ x)eax+1
f "(0)=8e에서(cid:100)(cid:100)2ae=8e
∴ a=4
(cid:8951) ②
315 f(x)=3x¤ +x+3에서
f '(x)=3x¤ +x+3¥ln 3¥(x¤ +x+3)'
=3x¤ +x+3¥ln 3¥(2x+1)
∴ f '(1)=3fi ¥ln 3¥3=3fl ln 3
(cid:8951) ①
지수함수의 도함수
① y=e≈ 이면(cid:100)y '=e≈
② y=a≈ (a>0, a+1)
이면(cid:100)y'=a≈ ln a
f"(x)=2¥
-(2 tan x+2x sec¤ x)
-sin x
cos x
f"(x)=-4 tan x-2x sec¤ x
∴ f"(0)=0
(cid:8951) ③
μ
15일품미적분II해(58~80) 2015.4.27 7:31 PM 페이지59 SinsagoHitec
322 y=e≈ sin 2x에서
y'=e≈ sin 2x+2e≈ cos 2x=e≈ (sin 2x+2 cos 2x)
y"=e≈ (sin2x+2 cos2x)+e≈ (2 cos2x-4 sin2x)
=e≈ (-3 sin 2x+4 cos 2x)
2y"+ay'+by=0에서
(-6 sin 2x+8 cos 2x+a sin 2x
+2a cos 2x+b sin 2x)e≈ =0
{(a+b-6)sin 2x+(2a+8)cos 2x}e≈ =0
위의 등식이 임의의 실수 x에 대하여 성립하므로
a+b-6=0, 2a+8=0
위의 두 식을 연립하여 풀면
(cid:100)(cid:100)a=-4, b=10(cid:100)(cid:100)∴ ab=-40
(cid:8951) ③
323
=`lim
h
0
⁄
f(2h)-f(-2h)
h
`lim
h
0
⁄
f(2h)-f(0)-f(-2h)+f(0)
h
=`lim
h
0
⁄
f(2h)-f(0)
2h
¥2+`lim
0
⁄
=2f '(0)+2f '(0)=4f '(0)
h
f(-2h)-f(0)
-2h
¥2
이므로(cid:100)(cid:100)4f '(0)=16(cid:100)(cid:100)∴ f '(0)=4
● 40%
이때 f(x)=
ax+1
x¤ +3
에서
f '(x)=
a(x¤ +3)-(ax+1)¥2x
(x¤ +3)¤
f '(x)=
-ax¤ -2x+3a
(x¤ +3)¤
이므로(cid:100)(cid:100)f '(0)=
=4
;3A;
∴ a=12
● 40%
● 20%
(cid:8951) 12
324 f(x)=
x
x¤ +5
에서
f '(x)=
=
5-x¤
(x¤ +5)¤
(x¤ +5)-x¥2x
(x¤ +5)¤
5-x¤
(x¤ +5)¤
f '(x)>0에서(cid:100)(cid:100)
>0
이때 (x¤ +5)¤ >0이므로(cid:100)(cid:100)5-x¤ >0
x¤ -5<0(cid:100)(cid:100)∴ -'50을 만족시키는 정수 x는 -2, -1, 0,
1, 2의 5개이다.
(cid:8951) ③
325 f(x)=
sin x
sin x+cos x
에서
f '(x)=
cos x(sin x+cos x)-sin x(cos x-sin x)
(sin x+cos x)¤
f '(x)=
cos¤ x+sin¤ x
sin¤ x+cos¤ x+2 sin x cos x
f '(x)=
1
1+sin 2x
임의의 실수 x에 대하
(cid:100)(Asin 2x+B cos 2x)e≈ =0
(A, B는 실수)
이 성립하려면 e≈ >0이
여
므로
(cid:100)A sin 2x+B cos 2x=0
(cid:100)∴ A=0, B=0
f(x)가 미분가능할 때
y={ f(x)}« (n은 실수)
이면
(cid:100)y'=n{ f(x)}« —⁄ f '(x)
배각의 공식
① sin 2a=2 sin a cos a
② cos 2a
=cos¤ a-sin¤ a
=2 cos¤ a-1
=1-2 sin¤ a
③ tan 2a=
2 tan a
1-tan¤ a
①
x의 단위가 라디안일 때
sin x
x
tan x
x
lim
0
x
⁄
=1
=1
②
lim
0
x
⁄
본책
62쪽``…``64쪽
f '(a)=;3@;에서(cid:100)(cid:100)
1
1+sin 2a
=;3@;
1+sin 2a=;2#;,(cid:100)(cid:100)sin 2a=;2!;
0…a…;2“;에서 0…2a…p이므로
2a=;6“; 또는 2a=;6%;p
∴ a=;1…2; 또는 a=;1∞2;p
따라서 모든 a의 값의 합은
;1…2;+;1∞2;p=;2“;
(cid:8951) ⑤
326
f(x)=cos¤ x에서
f '(x)=2 cos x¥(cos x)'
=-2 cos x sin x=-sin 2x
● 50%
x-;2“;=t로 놓으면 x
⁄ ;2“;일 때 t
⁄
`0이
므로
lim
x
⁄ ;2“;
lim
x
⁄ ;2/“
f '(x)
x-;2“;
=lim
t
0
⁄
-sin(2t+p)
t
=lim
t
0
⁄
sin 2t
t
=lim
t
0
⁄
sin 2t
2t
¥2=1¥2=2
● 50%
(cid:8951) 2
법
분
미
Ⅲ
1등급
|비|밀|노|트|
lim
a
x
⁄⁄
sin (x-a)
x-a
,
tan (x-a)
x-a
lim
a
x
⁄⁄
꼴의 극한
a일 때 t
0이므로
①
x-a=t로 놓으면 x
sin (x-a)
x-a
tan (x-a)
x-a
lim
a
x
⁄
lim
a
x
⁄
②
⁄
=
lim
0
t
⁄
=
lim
0
t
⁄
⁄
sin t
t
tan t
t
=1
=1
327 f(x)=
에서
e≈
"√3+e≈
e≈ "√3+e≈ -e≈ ¥
3+e≈
e≈
1112
2"√3+e≈
f '(x)=
∴ f '(0)=
7
2"ç4‹
=;1¶6;
=
e≈ (6+e≈ )
2"√(3+e≈ )‹
(cid:8951) ④
('ƒ3+e≈ )'
={(3+e≈ );2!;}'
=;2!;(3+e≈ )-;2!;¥(3+e≈ )'
=
e≈
2"√3+e≈
328 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하므로 x=1
에서 연속이다.
즉 lim
x
1+
f(x)=lim
1-
x
⁄
⁄
f(x)=f(1)이므로
(cid:100)(cid:100)1+a=1+b(cid:100)(cid:100)∴ a=b
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
또 f '(1)이 존재해야 하므로
;2“; cos ;2“;x+a
f '(x)=
2x
(
{
9
(x>1)
(x<1)
Ⅲ. 미분법 59
15일품미적분II해(58~80) 2015.4.27 7:31 PM 페이지60 SinsagoHitec
에서(cid:100)(cid:100)lim
1+{;2“; cos ;2“;x+a}=lim
x
1-
2x
⁄
x
⁄
∴ a=2
a=2를 ㉠`에 대입하면(cid:100)(cid:100)b=2
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=4
(cid:8951) 4
f(1+h)-f(1)
h
=lim
h
0+
⁄
cos ;2“;h+ah-1
h
cos ;2“;h-1
h
+a
=lim
h
0+
⁄
lim
h
0+
⁄
lim
h
0+
⁄
에서 g(x)=cos ;2“;x라 하면
cos ;2“;h-1
h
g(h)-g(0)
h
+a
+a= lim
0+
h
⁄
+a=g '(0)+a
lim
h
0+
⁄
lim
+
h
0
⁄
이때 g '(x)=-;2“; sin ;2“;x이므로
g '(0)=0
∴ lim
h
0+
⁄
f(1+h)-f(1)
h
=a
f(1+h)-f(1)
h
=lim
h
0-
⁄
h¤ +2h
h
=2이므로
또 lim
h
0-
⁄
a=2
329 f(x)=sin¤ x라 하면
(cid:100)(cid:100)f '(x)=2 sin x cos x=sin 2x
두 점 (a, sin¤ a), (b, sin¤ b)에서의 접선의 기울기
는 각각
(cid:100)(cid:100)f '(a)=sin 2a, f '(b)=sin 2b
이때 두 접선이 서로 수직이므로
(cid:100)(cid:100)sin 2a sin 2b=-1
00) 꼴의 함수의 도함수는 다음과 같은 순
서로 구한다.
⁄ 주어진 식의 양변에 자연로그를 취한다.
(cid:8857) ln y=g(x) ln f(x)
¤ ⁄의 식의 양변을 x에 대하여 미분한다.
y'
y
‹ y'=
(cid:8857) =g '(x) ln f(x)+g(x)¥
f '(x)
f(x)
꼴로 정리하여 도함수를 구한다.
(cid:8857) y'=y[g'(x) ln f(x)+g(x)¥
f '(x)
f(x)
]
본책
64쪽``…``66쪽
g(6)=a라 하면 f(a)=6이므로
337
a'ƒa+1=6
양변을 제곱하면(cid:100)(cid:100)a‹ +a¤ =36,(cid:100)(cid:100)a‹ +a¤ -36=0
(a-3)(a¤ +4a+12)=0(cid:100)(cid:100)
∴ a=3 (∵ a¤ +4a+12>0)
● 40%
h(a)=a‹ +a¤ -36이라
하면 h(3)=0이므로
3 1 1 0 -36
3 12 36
1 4 12 0
∴ h(a)=(a-3)(a¤ +4a+12)
∴ g(6)=3
또 f(x)=x'ƒx+1 에서
f '(x)='ƒx+1 +
x
2'ƒx+1
이므로
f'(3)=2+
3
2¥2
=;;¡4¡;;
∴ g'(6)=
1
f '(g(6))
=
1
f '(3)
=;1¢1; ● 20%
로그의 성질
a>0, a+1이고 M>0,
N>0일 때
① logå MN
=logå M+logå N
M
N
=logå M-logå N
③ logå M˚ =k logå M
② logå
(단, k는 실수)
함수 f(x)가 미분가능
하면 연속이므로
Dy
=
lim
Dx
0
⁄
lim
Dx
0
⁄
=0
{ f(a+Dx)-f(a)}
● 40%
(cid:8951) ;1¢1;
(cid:8951) ②
338 f(a)=b에서(cid:100)(cid:100)g(b)=a
f(a+Dx)=b+Dy라 하면(cid:100)(cid:100)g (b+Dy)=a+Dx
또 Dx
0일 때 Dy
법
분
미
Ⅲ
⁄
f '(a)=lim
0
⁄
Dx
f '(a)=lim
0
⁄
Dx
f '(a)=lim
0
⁄
Dy
⁄
0이므로
f(a+Dx)-f(a)
Dx
f (a+Dx)-f(a)
(a+Dx)-a
(b+Dy)-b
g(b+Dy)-g(b)
f '(a)=lim
0
⁄
Dy
Dy
g(b+Dy)-g(b)
f '(a)=
이므로
1
g'(b)
f '(a)=lim
0
⁄
Dy
f '(a)=lim
0
⁄
Dy
1
g(b+Dy)-g(b)
Dy
Dy
`g(b+Dy)-g(b)
339 모든 실수 x에 대하여 f '(x)>0이므로 함수
f(x)의 역함수가 존재한다.
f(x)의 역함수를 h(x)라 하면 f(2)=3이므로
h(3)=2
또 f '(2)=4이므로
h'(3)=
1
f '(h(3))
=
1
f '(2)
=;4!;
한편 y=f {
}에서 x와 y를 서로 바꾸면
x=f{
}(cid:100)(cid:100)∴ f —⁄ (x)=
y+1
4
즉 h(x)=
이므로(cid:100)(cid:100)y=4h(x)-1
x+1
4
y+1
4
y+1
4
∴ g(x)=4h(x)-1
Ⅲ. 미분법 61
15일품미적분II해(58~80) 2015.4.27 7:31 PM 페이지62 SinsagoHitec
따라서 g'(x)=4h'(x)이므로
g'(3)=4h'(3)=4¥;4!;=1
(cid:8951) 1
F(x)=f {
}이라 하자.
x+1
4
F(x)의 역함수가 g(x)이므로(cid:100)(cid:100)g(F(x))=x
양변을 x에 대하여 미분하면
(cid:100)(cid:100)g '(F(x))F'(x)=1
이때 F'(x)=f '{
x+1
4
(cid:100)(cid:100)g'{f {
x+1
4
}}¥f '{
}¥;4!;이므로
x+1
4
}¥;4!;=1 yy ㉠(cid:100)(cid:100)
한편 f(2)=3, f '(2)=4이고,
=2에서
x+1
4
(cid:100)(cid:100)x=7
따라서 ㉠에 x=7을 대입하면
(cid:100)(cid:100)g'( f(2))¥f '(2)¥;4!;=1(cid:100)(cid:100)∴ g'(3)=1
f '(2)=
1
g'( f(2))
=
1
g'(1)
=-;5!;
(cid:8951) -;5!;
=g'('2 ) y ㉠(cid:100)(cid:100)
340 f(2g(x)+x‹ +2x-5)=x에서
g(x)=2g(x)+x‹ +2x-5
∴ g(x)=-x‹ -2x+5
f(2)=a라 하면 g(a)=2이므로
-a‹ -2a+5=2,(cid:100)(cid:100)a‹ +2a-3=0
(a-1)(a¤ +a+3)=0
∴ a=1 (∵ a¤ +a+3>0)
∴ f(2)=1
또 g'(x)=-3x¤ -2이므로
341 lim
h
0
⁄
g('2+h)-g('2)
h
g('2 )=a라 하면 f(a)='2이므로
2 sin a='2,(cid:100)(cid:100)sin a=;2!;
∴ a=;6“; {∵ -;2“;0
삼각함수의 합성
① a sin h+b cos h
="√a¤ +b¤ sin (h+a)
b
"√a¤ +b¤
a
"√a¤ +b¤
{단, sin a=
cos a=
② a sin h+b cos h
="√a¤ +b¤ cos (h-b)
{단, cos b=
sin b=
b
"√a¤ +b¤
a
"√a¤ +b¤
,
}
,
}
cos 2a=0이라 하면
(n은 정수)
(cid:100)∴ sin 2a+0
따라서
(cid:100)2 cos 2a+sin 2a+0
이므로(cid:100)cos2a+0
tan a=0이라 하면
(cid:100)tan¤ a-tan a-1+0
이므로(cid:100)tana+0
f{;4“;}=ln {tan ;4“;}
=ln 1=0
∴ f '{
'2
2
}=
1+sin 2{-;1…2;}
1+sin {-;6“;}
(cid:100)2a=np+;2“;
=
cos 2{-;1…2;}
cos {-;6“;}
∴ f '{
}=
1-;2!;
'3
122
1
= =
'3
'3
3
(cid:8951) ④
350 f(x)=ln (tan x)에서(cid:100)(cid:100)
sec¤ x
1+tan¤ x
tan x
tan x
(cid:100)(cid:100)f '(x)=
=
f{;4“;}=0이므로(cid:100)(cid:100)g(0)=;4“;
64 정답 및 풀이
15일품미적분II해(58~80) 2015.4.27 7:31 PM 페이지65 SinsagoHitec
08
도함수의 활용
본책 68쪽
352 f(x)=x+
라 하면
;[K;
f '(x)=1-
k
x¤
므로 접선의 방정식은
y-(1+k)=(1-k)(x-1),
즉 y=(1-k)x+2k
점 (1, 1+k)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=1-k이
이 접선의 x절편, y절편은 각각
, 2k이므로 접선
2k
k-1
과 x축 및 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는
;2!;¥
2k
k-1
¥2k=9,(cid:100)(cid:100)
2k¤
k-1
=9
곡선 y=f(x) 위의
점 (a, f(a))에서의 접
선의 방정식
(cid:8857) y-f(a)=f '(a)(x-a)
점 (p, q)가 직선
y=f(x) 위의 점이면
(cid:100)q=f(p)
를 만족시킨다.
본책
67쪽``…``68쪽
355 g(x)=ln x라 하면(cid:100)(cid:100)g '(x)=
;[!
접점의 좌표를 (a, ln a)라 하면 이 점에서의 접선의 기
울기는 g '(a)=
이므로 접선의 방정식은
;a!;
y-ln a=
(x-a)
;a!;
이 직선이 점 (0, 1)을 지나므로
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
1-ln a=
¥(-a)
;a!;
ln a=2(cid:100)(cid:100)∴ a=e¤
a=e¤ 을 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은
y-ln e¤ = (x-e¤ ), 즉 y= x+1
1
e¤
1
e¤
1
e¤
따라서 f(x)= x+1이므로
1
f(e)= +1=
e
1+e
e
(cid:8951) ④
2k¤ -9k+9=0
(2k-3)(k-3)=0
∴ k=;2#; 또는 k=3
따라서 모든 실수 k의 값의 합은
;2#;+3=;2(;
353 f(x)=e≈ -x¤ +2x라 하면(cid:100)(cid:100)
f '(x)=e≈ -2x+2
점 (1, e+1)에서의 접선의 기울기는
f '(1)=e
기는 -
이므로 구하는 직선의 방정식은
;e!;
y-(e+1)=-
(x-1),
;e!;
즉 y=-
x+
+e+1
;e!;
;e!;
따라서 m=-
, n=e+1+
이므로
;e!;
;e!;
n
m
={e+1+
;e!;}¥(-e)
따라서 점 (1, e+1)에서의 접선에 수직인 직선의 기울
=-e¤ -e-1
(cid:8951) -e¤ -e-1
354 f(x)=xln x+x라 하면
f '(x)=lnx+x¥
+1=lnx+2
;[!;
접점의 좌표를 (a, a ln a+a)라 하면 이 점에서의 접
선의 기울기는 3이므로
f '(a)=ln a+2=3,(cid:100)(cid:100)ln a=1
∴ a=e
정식은
y-2e=3(x-e),
즉 y=3x-e
2k¤ -9k+9=0에서 근
(cid:8951) ④
과 계수의 관계에 의하
여(cid:100);2(;
모든 실수 a에 대하여
(cid:100)eå —¤ >0
∴ a=3
356 f(x)=ex-2이라 하면(cid:100)(cid:100)f '(x)=ex-2
접점의 좌표를 (a, ea-2)이라 하면 이 점에서의 접선의
기울기는 f '(a)=ea-2이므로 접선의 방정식은
법
분
미
Ⅲ
y-ea-2=ea-2(x-a)
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
이 직선이 점 (2, 0)을 지나므로
-ea-2=ea-2(2-a),(cid:100)(cid:100)ea-2(a-3)=0
a=3을 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은
y-e=e(x-3), 즉 y=ex-2e
따라서 y절편은 -2e이다.
(cid:8951) ①
서로 수직인 두 직선의
기울기가 m, m'이면
(cid:8857) mm'=-1
f '(x)
=-2 cos x¥(cos x)'
=-2 cos x¥(-sin x)
=2 sin x cos x
357 f(x)=a-cos¤ x, g(x)=sin x-1이라 하면
f '(x)=-2 cos x ¥(-sin x)=2 sin x cos x,
g'(x)=cos x
두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 x=t인 점에서 접하므로
f(t)=g(t), f '(t)=g '(t)
f(t)=g(t)에서
a-cos¤ t=sin t-1,(cid:100)(cid:100)a=cos¤ t+sin t-1
a=(1-sin¤ t)+sin t-1
∴ a=-sin¤ t+sin t
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
f '(t)=g '(t)에서
2 sin t cos t=cos t
∴ cos t(2 sin t-1)=0
00)
이차방정식 2x¤ -4x+a=0의 판별식을 D라 하면
D
4
=(-2)¤ -2a…0(cid:100)(cid:100)∴ aæ2
(cid:8951) aæ2
361 f(x)=xe≈ 에서(cid:100)(cid:100)
f '(x)=e≈ +xe≈ =(1+x)e≈
f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-1
따라서 함수 f(x)는
x=-1에서 극솟값
f(-1)을 갖는다.
x
y -1 y
f '(x) -
0
+
f(x) ↘ 극소 ↗
f "(x)=e≈ +(1+x)e≈ =(2+x)e≈ 이므로
f "(-1)=e—⁄ >0
따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극솟값 f(-1)을 갖
는다.
66 정답 및 풀이
-2(x¤ -a)=0에서
(cid:100)x¤ =a
(cid:100)∴ x=—'a
362 f(x)=
2x
x¤ +a
에서
f '(x)=
2(x¤ +a)-2x¥2x
(x¤ +a)¤
f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=—'a
=
-2(x¤ -a)
(x¤ +a)¤
x
f '(x)
f(x)
y
-
↘
-'a
0
극소
y
+
↗
'a
0
극대
y
-
↘
따라서 함수 f(x)는 x='a에서 극댓값을 가지므로
'a=2(cid:100)(cid:100)∴ a=4
극댓값은 f(2)이므로
f(2)=
4
4+4
∴ a+b=;2(;
=;2!;(cid:100)(cid:100)∴ b=;2!;
(cid:8951) ;2(;
363 f(x)=ax+
+2 ln x에서
;[!;
f '(x)=a- +
=
1
x¤
ax¤ +2x-1
x¤
;[@;
함수 f(x)가 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 a+0이
고, 이차방정식 ax¤ +2x-1=0이 x>0에서 서로 다른
두 실근을 가져야 한다.
⁄ 이차방정식 ax¤ +2x-1=0의 판별식을 D라 하면
(cid:100)(cid:100) =1+a>0(cid:100)(cid:100)∴ a>-1
D
4
2
a
1
a
이차방정식
(cid:100)ax¤ +2x-1=0
에서 근과 계수의 관계
에 의하여
¤ 두 근의 합이 양수이므로
(cid:100)(cid:100)- >0(cid:100)(cid:100)∴ a<0
‹ 두 근의 곱이 양수이므로
(cid:100)(두 근의 곱)=-
이상에서 a의 값의 범위는
;a@;
;a!;
-10
(cid:8951) ②
(cid:8857) f(x)는 x=a에서
2 ln x-1<0 (∵ x>0)
므로
ln x<;2!;(cid:100)(cid:100)∴ x<'e
(cid:8857) f(x)는 x=a에서
극소
따라서 곡선 y=f(x)가 위로 볼록한 구간은 (0, 'e )
이다.
(cid:8951) ①
함수 f(x)가 구간(0, ¶)에서 증가하려면 f '(x)æ0
(cid:100)(두 근의 합)=-
(cid:100)(cid:100)- >0(cid:100)(cid:100)∴ a<0
15일품미적분II해(58~80) 2015.4.27 7:31 PM 페이지67 SinsagoHitec
f "(x)>0이므로 x= 의 좌우에서 f "(x)의 부호가
따라서 함수 f(x)는 x=2p일 때 최댓값 2p를 갖는다.
0…x…;2“;에서
0…2x…p이므로
(cid:100)2x=;2“;
(cid:100)∴ x=;4“;
f{;4“;}=cos¤ ;4“;
={
'2
2
}
=;2!;
방정식 f(x)=g(x)의
서로 다른 실근의 개수는
두 함수y=f(x),
y=g(x)의 그래프의 교
점의 개수와 같다.
방정식 f"(x)=0,
즉 sin x=
에서
;2A;
|;2A;|>1이면 방정식을
만족시키는 실근이 존
재하지 않고,
|;2A;|=1이면 실근의
좌우에서 f "(x)의 부
호가 바뀌지 않는다.
365 f(x)=cos¤ x라 하면
f '(x)=2 cos x¥(-sin x)=-sin 2x
f "(x)=-2 cos 2x
f "(x)=0에서(cid:100)(cid:100)-2 cos 2x=0
p
4
p
∴ x= {∵ 0…x… }
2
p
4
p
4
p
2
0…x< 일 때 f "(x)<0, 1(cid:100)(cid:100)∴ n<9
따라서 모든 자연수 n의 값의 합은
1+2+3+y+8=36
(cid:8951) ③
370 n ln x=x에서(cid:100)(cid:100) =
ln x
x
1
n
f(x)=
라 하면
ln x
x
f '(x)=
¥x-ln x
;[!;
x¤
=
1-ln x
x¤
f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)1-ln x=0(cid:100)(cid:100)∴ x=e
x
0
f '(x)
f(x)
y
+
↗
e
0
;e!;
f(x)=-¶,
⁄
f(x)=0이므로 y=f(x)
또 lim
x
0+
lim
¶
x
⁄
의 그래프는 오른쪽 그림과
같다.
⁄ n=1 또는 n=2일 때,
y
-
↘
y
1
e
O
y=f{x}
1
e
x
Ⅲ. 미분법 67
368 f(x)=2 sin x+x에서
(cid:100)(cid:100)f '(x)=2 cos x+1
방정식 n ln x=x의 서
로 다른 실근의 개수가
0이다.
(cid:100)(cid:100)a¡=a™=0
곡선 y=
와 직선 y= 은 만나지 않으므로
ln x
x
1
n
¤
15일품미적분II해(58~80) 2015.4.27 7:31 PM 페이지68 SinsagoHitec
¤ næ3일 때,
ln x
x
곡선 y=
와직선 y= 은서로다른두점에서
만나므로(cid:100)(cid:100)a£=a¢=y=a¡º=2
10
⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100) a«=2¥8=16
¡n=1
(cid:8951) 16
2이다.
n ln x=x에서(cid:100)(cid:100)
=n (∵ x+1)
1
n
x
ln x
372 ax…e≈ …bx에서(cid:100)(cid:100)a… …b
e≈
x
방정식 n ln x=x의 서
로 다른 실근의 개수가
e≈
f(x)= 이라 하면
x
1…x…3이므로
(cid:100)ax…e≈ …bx
의 각 변을 x로 나누면
e≈
(cid:100)a… …b
x
n ln x=x에서 x=1이
면
(cid:100)0=1
따라서 모순이므로
(cid:100)x+1
로그의 밑의 변환
a>0, a+1, b>0,
b+1, N>0일 때
① logå N=
② logå b=
log∫ N
log∫ a
1
log∫ a
e<3이므로
(cid:100)log£ e0에서(cid:100)(cid:100)f '(x)>0
즉 x>0에서 f(x)는
증가
하고 f(0)=0이므로
f(x)>0, 즉 x-ln(x+1)>0
∴ ln(x+1)0)
∴ A(1, e¤ )
● 40%
한편 y=ln x-1은 y=ex+1의 역함수이므로 두 곡선은
직선 y=x에 대하여 대칭이다.
∴ B(e¤ , 1)
● 40%
∴ AB”="√(e¤ -1)¤
='2(e¤ -1)
√+(1-e¤ )¤
● 20%
(cid:8951) '2(e¤ -1)
직선 m의 x절편은
(cid:100)0=-
x+e+
;e!;
;e!;
에서(cid:100)x=e¤ +1
sin¤ x=1-cos¤ x이므
로
cos¤ x+cos x-sin¤ x
=cos¤ x+cos x-(1-cos¤ x)
=2 cos¤ x+cos x-1
y=ex+1에서
(cid:100)x+1=ln y
(cid:100)x=ln y-1
x와 y를 서로 바꾸면
(cid:100)y=ln x-1
cos x=-1에서
(cid:100)x=p
cos x=;2!;에서
본책
71쪽``…``72쪽
378 f(x)=
;[!;
이라 하면(cid:100)(cid:100)f'(x)=-
1
x¤
접점의 좌표를 {a,`
울기는 f'(a)=- 이므로 접선의 방정식은
;a!;}이라 하면 이 점에서의 접선의 기
1
a¤
y-
=- (x-a)
;a!;
1
a¤
이 직선이 점 (2, -4)를 지나므로
-4-
=- (2-a)
;a!;
1
a¤
4a¤ +a=2-a,(cid:100)(cid:100)2a¤ +a-1=0
(a+1)(2a-1)=0
∴ a=-1 또는 a=
;2!;
따라서 두 접선의 기울기는
f '(-1)=-1, f '{;2!;}=-4
이므로 구하는 기울기의 곱은
(-1)¥(-4)=4
` 두 접선의 방정식은(cid:100)(cid:100)y=-x-2, y=-4x+4
(cid:8951) ③
법
분
미
Ⅲ
379 f(x)=e≈ 이라 하면(cid:100)(cid:100)f '(x)=e≈
점 (ln 2, 2)에서의 접선의 기울기는 f '(ln 2)=2이므
로 접선의 방정식은
y-2=2(x-ln 2),
즉 y=2x-2ln2+2
직선 ㉠과 곡선 y=2lnx+a의 접점의 좌표를
(t, 2 ln t+a)라 하고 g(x)=2lnx+a라 하면
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
g'(x)=
이므로 접선의 방정식은
;[@;
y-(2 ln t+a)=
(x-t),
;t@;
즉 y=
x-2+2 ln t+a
;t@;
두 직선 ㉠, ㉡이 일치하므로
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
2=
, -2ln2+2=-2+2ln t+a
;t@;
위의 두 식을 연립하여 풀면
t=1, a=4-2 ln 2
(cid:8951) ④
380 f(x)=sin x(cos x+1)에서
f '(x)=cos x(cos x+1)+sin x(-sin x)
=cos¤ x+cos x-sin¤ x
=2 cos¤ x+cos x-1
=(cos x+1)(2 cos x-1)
f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)cos x=-1 또는 cos x=;2!;
00이므로(cid:100)(cid:100)cos x0
(cid:8857) f(x)는 이 구간에
서 증가
② f '(x)<0
(cid:8857) f(x)는 이 구간에
서 감소
00
p
3
f "{;3%;p}=2 cos ;;¡3º;;p-cos ;3%;p=-;2#;<0
f "(2p)=2 cos 4p-cos 2p=1>0
f "{;3&;p}=2 cos ;;¡3¢;;p-cos ;3&;p=-;2#;<0
f "(3p)=2 cos 6p-cos 3p=3>0
f "{;;¡3¡;;p}=2 cos ;;™3™;;p-cos ;;¡3¡;;p=-;2#;<0
따라서 f(x)는 x= , ;3%;p, ;3&;p, ;;¡3¡;;p에서 극대이
므로 극대가 되는 점은 4개이다.
(cid:8951) ④
p
3
384
f '(x)=-2e2xsin 2x+2f(x)에서
f "(x)=-4e2xsin 2x-4e2xcos 2x+2f '(x)
=-4e2xsin2x-4e2xcos2x
+2{-2e2xsin2x+2f(x)}
=-8e2xsin 2x-4e2xcos 2x+4f(x)
이므로(cid:100)(cid:100)4e2x=-4e2xcos 2x+4f(x)
∴ f(x)=e2x+e2xcos 2x
● 40%
즉 f '(x)=2e2x(-sin 2x+1+cos 2x)이므로
f '(x)=0에서
sin 2x-cos 2x=1,(cid:100)(cid:100)'2 sin {2x-;4“;}=1
sin 2x-cos 2x
1
'2
='2{
1
sin 2x- cos 2x}
'2
='2{cos ;4“; sin 2x
sin {2x-;4“;}=
1
'2
00)
∴ x=e
1
1-n
x>e 일 때,(cid:100)(cid:100)f "(x)>0
x0)
f(0)=e‚ +1=2
법
분
미
Ⅲ
본책
72쪽``…``74쪽
a
f '(a)
f(a)
0 y 4 y ‹'∂112
+ 0 -
↗ 극대 ↘
따라서 f(a)는
a=4일 때 극대이
면서 최대이다.
a‹ +b¤ =112이므로
b¤ =112-64=48(cid:100)(cid:100)∴ b=4'3 (∵ b>0)
∴ ab=16'3
(cid:8951) ⑤
388 f(x)=e-2x이라 하면(cid:100)(cid:100)f '(x)=-2e-2x
점 (t, e-2t)에서의 접선의 기울기는(cid:100)(cid:100)
f '(t)=-2e-2t
따라서 접선의 방정식은
y-e-2t=-2e-2t(x-t),
즉 y=-2e-2tx+(2t+1)e-2t
이 접선의 x절편, y절편은 각각
, (2t+1)e-2t
2t+1
2
이므로 접선과 x축 및y축으로 둘러싸인 도형의 넓이를
S(t)라 하면
S(t)=;2!;¥
2t+1
2
¥(2t+1)e-2t=;4!;(2t+1)¤ e-2t
∴ S'(t)=(2t+1)e-2t-;2!;(2t+1)¤ e-2t
∴ S'(t)=;2!;e-2t(2t+1)(1-2t)
S'(t)=0에서(cid:100)(cid:100)t=
(∵ t>0)
;2!;
y
+
↗
;2!;
0
;e!;
y
-
↘
t
0
S'(t)
S(t)
따라서 S(t)는 t=;2!;일 때 극대이면서 최대이므로 구
하는 넓이의 최댓값은
이다.
;e!;
(cid:8951)
;e!;
389 원 (x-1)¤ +y¤ =;4!;의 중심을 C(1, 0)이라 하
면
PQ”+QC”æPC”(cid:100)(cid:100)
∴ PQ”æPC”-QC”=PC”-;2!;
따라서 PC”의 길이가 최소일 때, PC”와 원의 교점을 점
Q로 잡으면 PQ”의 길이가 최소가 된다.
점 P의 좌표를 (t, et)이라 하면
PC”
¤ =(t-1)¤ +(et)¤ =e2t+t¤ -2t+1
f(t)=e2t+t¤ -2t+1이라 하면
f '(t)=2e2t+2t-2=2(e2t+t-1)
f '(t)=0에서(cid:100)(cid:100)e2t+t-1=0(cid:100)(cid:100)∴ t=0
따라서 f(t)는 t=0일 때
극소이면서 최소이다.
즉 PC”
¤ æ2이므로
t
y
f '(t) -
f(t)
↘
0
0
2
y
+
↗
Ⅲ. 미분법 71
15일품미적분II해(58~80) 2015.4.27 7:31 PM 페이지72 SinsagoHitec
g '(x)=
(sin x+3)'
sin x+3
=
cos x
sin x+3
392 g(x)=ln(sin x+3)이라 하면
cos x
sin x+3
g'(x)=
g'(x)=0에서
x=;2“; 또는 x=;2#;p (∵ 0…x…2p)
PCӾ'2
∴ PQ” æ PC ”-;2!; æ '2-;2!;
따라서 PQ”의 최솟값은 '2-;2!;이다.
(cid:8951) ③
1등급
|비|밀|노|트|
e2t+t-1=0에서(cid:100)(cid:100)e2t=1-t
방정식 e2t=1-t의 실근은 곡선 y=e2t과
직선 y=1-t의 교점의 t좌표와 같다.
두 함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같이
점 (0, 1)에서 만나므로 방정식
e2t+t-1=0의 실근은 t=0이다.
y
y=e2t
1
O
1
t
y=1-t
390 "√1+x¤ =a(x+1)에서(cid:100)(cid:100)
"√1+x¤
x+1
=a
f(x)=
이라 하면
"√1+x¤
x+1
;2!;¥
2x
1112
"√1+x¤
¥(x+1)-"√1+x¤
(x+1)¤
f '(x)=
f '(x)=
x-1
"√1+x¤ (x+1)¤
f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=1
x
f '(x)
f(x)
0
1
y
-
↘
1
0
'2
2
y
+
↗
f(x)=1이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 다
또 lim
¶
x
음 그림과 같다.
⁄
y
1
Â2
2
O
y=f{x}
y=a
1
x
f(x)
lim
¶
x
⁄
=
lim
¶
x
⁄
"√1+x¤
x+1
1
æ–14
x¤
+1
1+
;[!;
=
lim
¶
x
⁄
=1
주어진 방정식이 실근을 가지려면 곡선 y=f(x)와 직
선 y=a가 만나야 하므로 a의 값의 범위는
'2
2
…a…1
따라서 a의 최솟값은 이다.
'2
2
391
f '(x)='ƒx+6 +
f(x)=x'ƒx+6 이라 하면
3x+12
2'ƒx+6
x
2'ƒx+6
=
f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-4
x
-6
f '(x)
f(x)
0
y
-
↘
-4
0
-4'2
y
+
↗
72 정답 및 풀이
(cid:8951)
'2
2
● 20%
xæ0에서 방정식
"√1+x¤
x+1
=a의 서로 다
른 실근의 개수
"2
⁄ a= 일 때,(cid:100)1
2
¤
ln 4일 때,(cid:100)(cid:100)f(k)=0
따라서 y=f(k)의 그래프는 오른
쪽 그림과 같으므로 함수 f(k)가
불연속이 되는 k의 값은
ln 2, ln 3, ln 4
의 3개이다.
(cid:8951) ③
y
3
2
1
y=f{k}
O
ln`2
ln`4
k
ln`3
393 f(x)=e≈ -;2!;x¤ -x-1이라 하면
f '(x)=e≈ -x-1, f "(x)=e≈ -1
x>0에서 f "(x)>0이므로 f '(x)는 x>0에서
증가
한다.
15일품미적분II해(58~80) 2015.4.27 7:31 PM 페이지73 SinsagoHitec
이때 f '(0)=0이므로(cid:100)(cid:100)f '(x)
>
0
따라서 함수 f(x)는 x>0에서
증가
하고, f(0)=0이
므로 f(x)>0이다.
즉 x>0일 때, 부등식 e≈ >;2!;x¤ +x+1이 성립한다.
∴ ㈎ 증가(cid:100)㈏ >(cid:100)㈐ 증가
(cid:8951) ①
394
f(x)=k ln x-2'ßx 라 하면
1
- =
'ßx
f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)k-'ßx=0(cid:100)(cid:100)∴ x=k¤`
k-'ßx
x
f '(x)=
;[K;
● 30%
x
0
f '(x)
f(x)
y
+
↗
k¤
0
극대
y
-
↘
따라서 f(x)는 x=k¤ 에서 극대이면서 최대이다. ● 30%
x>0에서 주어진 부등식이 성립하려면
f(k¤ )=k ln k¤ -2øμk¤ <0,(cid:100)(cid:100)2k(ln k-1)<0
f(k¤ )<0이어야 하므로
k>0이므로(cid:100)(cid:100)ln k<1
∴ 00)
h(x)는 x=a에서 극솟값을 갖고, h(a)=0이므로
x+a일 때, h(x)>0이다.
즉 x+a일 때, g '(x)>0이다.
따라서 x+a일 때, g(x)는 증가하고 ㄱ에서 g(x)
는 모든 실수 x에서 연속이므로 g(x)는 구간
(-¶, ¶)에서 증가한다.
ㄷ. ㄴ에서 g '(x)>0이므로 g(x)는 극값을 갖지 않는
다.
이상에서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.
396 f(x)={;[!;}
ln x
의 양변에 자연로그를 취하면
ln x
에서
f(x)={;[!;}
(cid:100)f(x)=x-ln x
위의 식의 양변에 자연
로그를 취하면
ln f(x)
=-ln x¥ln x
=-(ln x)¤
x>0일 때f(x)>0이
므로
(cid:100)e≈ -;2!;x¤ -x-1>0
(cid:100)∴ e≈ >;2!;x¤ +x+1
y=f(x)의 그래프의
점근선의 방정식은
y=0이다.
=f'(a)(a-a)-f(a)+f(a)
h(a)
=0
(cid:8951) ②
점 A, B가 직선y=x
위에 있다.
법
분
미
Ⅲ
본책
74쪽``…``75쪽
ln f(x)=-(ln x)¤
양변을 x에 대하여 미분하면
f '(x)
f(x)
=-
ln x
;[@;
∴ f '(x)=-
2f(x)ln x
x
f "(x)
=-2[ f '(x)¥
ln x
x
+f(x)¥
=-2[-
2f(x)ln x
x
¥
ln x
x
]
1-ln x
x¤
f(x)(1-ln x)
x¤
+
]
{2(ln x)¤ +lnx-1}
(lnx+1)(2ln x-1)
=
=
2f(x)
x¤
2f(x)
x¤
∴ x=1
f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)ln x=0 (∵ f(x)>0)
f "(x)=0에서(cid:100)(cid:100)ln x=-1 또는 ln x= ;2!;
(cid:100)(cid:100)∴ x=
또는 x='e
;e!;
x
0 y
;e!;
y 1 y 'e y
f '(x)
f "(x)
f(x)
+ + + 0 - - -
+ 0 - - - 0 +
(cid:9217)
;e!;
(cid:9211)
1
(cid:9213) e-;4!; (cid:9215)
또 lim
0+
x
ln f(x)=-¶, lim
¶
⁄
x
ln f(x)=-¶이므로
⁄
lim
0+
x
⁄
f(x)=0, lim
¶
⁄
x
f(x)=0
따라서 y=f(x)의 그래
프는 오른쪽 그림과 같다.
ㄱ. 오른쪽 그림에서 함수
f(x)의 치역은
{ y|0e일 때, 0<
<
이므로 곡선 y=
ln a
a
;e!;
ln x
x
와
직선 y=
는 서로 다른 두 점에서 만난다.
ln a
a
(cid:100)(cid:100)∴ N(a)=2
ln a
a
(cid:100)(cid:100)∴ N(a)=2
1등급
|비|밀|노|트|
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
(cid:8951) ③
함수 y=
의 그래프에서 1e일 때 0e일 때 0<
<
임을 알 수 있다.
ln a
a
;e!;
74 정답 및 풀이
x
398 f(x)=mln {1+ }- nln {1+ }라 하면
m¤
x
n¤
f '(x)=m¥
-n¥
1
13m¤
112224x
1+
12m¤
1
14n¤
11244444x
1+
15n¤
'e0이므로
(cid:100)'e-e-;4!;1이므로 00
x-mn
)
(m-n)(
(x+m¤ )(x+n¤ )
m
x+m¤
-
=
f(0)=m ln 1-n ln 1
=0-0=0
로그부등식
① a>1일 때
logå f(x)>logå g(x)
f(x)>g(x)>0
HjK
② 0logå g(x)
00
즉 m ln {1+ } >n ln {1+ }이므로
x
m¤
x
n¤
x
{1+ }
m¤
>
x
{1+ }
n¤
∴ ㈎ x-mn(cid:100)㈏ >
(cid:8951) ③
399 kx'ßx='ßx에서(cid:100)(cid:100)'ßx(kx-1)=0
∴ x=0 또는 x=
;k!;
1
k
,
1
'ßk
}
점 P는 원점이 아니므로(cid:100)(cid:100)P {
f(x)=kx'ßx, g(x)='ßx라 하면
1
2'ßx
f '(x)=;2#;k'ßx, g '(x)=
곡선 y=f(x) 위의 점 P에서의 접선이 x축의 양의 부
분과 이루는 각의 크기를 a라 하면
곡선 y=g(x) 위의 점 P에서의 접선이 x축의 양의 부
분과 이루는 각의 크기를 b라 하면
tan a=f '{;k!;}=
3'ßk
2
tan b=g '{;k!;}=
'ßk
2
∴ tan h=|tan (a-b)|=
-
3'ßk
'ßk
12
11
2
2
3'ßk 'ßk
¥
11
13
2
2
1+
≠
≠
∴ tan h=
≠
'ßk
1+;4#;k
=
≠≠
1
111133
3'ßk
1
+
2232
12
4
'ßk
≠
k>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
+
3'ßk
4
1
'ßk
æ2æ≠
1
'ßk
¥
3'ßk
4
'3
=2¥ ='3
2
{단, 등호는 =
, 즉 k=;3$;일 때 성립}
∴ tan h=
3'ßk
4
1
'ßk
1
111132
3'ßk
1
+
22324
12
4
'ßk
1
… =
'3
'3
3
따라서 M= 이므로
'3
3
60M¤ =20
(cid:8951) 20
μ
«
15일품미적분II해(58~80) 2015.4.27 7:31 PM 페이지75 SinsagoHitec
▶ 본책 76쪽
f(x)-2
x-1
lim
x
1
⁄
=3에서 x
1일 때
⁄
0이고 극한값이 존재하므로 (분자)
⁄
{ f(x)-2}=0에서 f(1)=2이므로
0이다.
⁄
400
(분모)
즉 lim
x
1
⁄
lim
x
1
⁄
f(x)-2
x-1
=lim
x
1
⁄
f(x)-f(1)
x-1
=f '(1)
● 20%
∴ f '(1)=3
g(x)+1
x-1
lim
x
1
⁄
=2에서 x
1일 때( 분모)
0이고 극
⁄
⁄
⁄
한값이 존재하므로 (분자)
0이다.
즉 lim
x
1
⁄
{ g(x)+1}=0에서 g(1)=-1이므로
g(x)+1
x-1
=lim
x
1
⁄
lim
x
1
⁄
g(x)-g(1)
x-1
=g'(1)
∴ g'(1)=2
● 20%
한편 F(x)=
라 하면
f(x)
g(x)
f(1)
g(1)
-
f(1+h)
g(1+h)
]
lim
h
0
⁄
[
1
h
1
h
=lim
h
0
⁄
=-lim
0
⁄
h
=-F'(1)
이때
{F(1)-F(1+h)}
F(1+h)-F(1)
h
F'(x)=
f '(x)g(x)-f(x)g '(x)
{ g(x)}¤
이므로
f '(1)g(1)-f(1)g'(1)
{ g(1)}¤
3¥(-1)-2¥2
(-1)¤
-F'(1)=-
-F'(1)=-
-F'(1)=7
401 f(x)= + + +y+
1
x
2
x¤
3
x‹
10
x⁄
=x—⁄ +2x—¤ +3x—‹ +y+10x—⁄
에서
f '(x)=-x—¤ -2¤ x—‹ -3¤ x—› -y-10¤ x—⁄
f '(x)=- - - -y-
1
x¤
2¤
x‹
3¤
x›
10¤
x⁄
∴ f '(-1)
=-1+2¤ -3¤ +4¤ -5¤ +6¤ -7¤ +8¤ -9¤ +10¤
=(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)
+y+(10-9)(10+9)
=1+2+3+4+y+9+10
=55
본책
75쪽``…``76쪽
402 f(x)=
x
x+1
에서
f '(x)=
x+1-x
(x+1)¤
=
1
(x+1)¤
(cid:100)(cid:100)∴ f '(0)=1
g(x)=
x¤ -1
x¤ +1
에서
(cid:100)(cid:100)g '(x)=
2x(x¤ +1)-(x¤ -1)¥2x
(x¤ +1)¤
=
4x
(x¤ +1)¤
(cid:100)(cid:100)∴ g '(0)=0
h(x)=(x+"√1+x¤ )⁄
‚ 에서
합성함수의 미분법
두 함수 f(x), g(x)가
미분가능할 때,
y=f(g(x))이면
(cid:100)y'=f '(g(x))g '(x)
(cid:100)(cid:100)h'(x)=10(x+"√1+x¤ )· {1+
(cid:100)(cid:100)∴ h'(0)=10
2x
2"√1+x¤
}
(cid:100)(cid:100)∴ f '(0)+g '(0)+h'(0)=1+0+10=11 (cid:8951) ②
403 f(x‹ -1)=
의 양변을 x에 대하여 미분
x¤ +3
x+1
하면
f '(x‹ -1)¥3x¤ =
2x(x+1)-(x¤ +3)
(x+1)¤
f '(x‹ -1)¥3x¤ =
x¤ +2x-3
(x+1)¤
함수 f(x)가 x>0에서 정의되므로
x‹ -1>0,(cid:100)(cid:100)(x-1)(x¤ +x+1)>0
법
분
미
Ⅲ
∴ x>1 (∵ x¤ +x+1>0)
∴ f '(x‹ -1)=
x¤ +2x-3
3x¤ (x+1)¤
x‹ -1=7에서(cid:100)(cid:100)x‹ -8=0
(x-2)(x¤ +2x+4)=0
∴ x=2`` (∵ x¤ +2x+4>0)
∴ f '(7)=
4+4-3
3¥4¥9
=;10%8;
(cid:8951) ①
404 lim
x
3
⁄
f(x)-1
x-3
=2에서 x
3일 때( 분모)
0
⁄
이고 극한값이 존재하므로 (분자)
0이다.
즉 lim
x
3
⁄
{ f(x)-1}=0에서 f(3)=1이므로
lim
x
3
⁄
f(x)-1
x-3
=lim
x
3
⁄
f(x)-f(3)
x-3
=f '(3)
⁄
⁄
∴ f '(3)=2
g(x)=2 f(x¤ +2x)에서
g '(x)=2 f(x¤ +2x)¥ln 2¥f '(x¤ +2x)¥(2x+2)
∴ g '(1)=2 f(3)¥ln 2¥f '(3)¥4
=2⁄ ¥ln 2¥2¥4
=16 ln 2
∴ k=16
(cid:8951) 16
● 20%
● 20%
● 20%
(cid:8951) 7
함수의 몫의 미분법
두 함수 f(x), g(x)
(g(x)+ 0)가 미분가능
할 때
① y=
(cid:100) y'=
이면
f(x)
g(x)
f '(x)g(x)-f(x)g'(x)
{ g(x)}¤
② y=
이면
1
g(x)
(cid:100) y'=-
g '(x)
{ g(x)}¤
지수함수의 도함수
① y=e≈ 이면(cid:100)y '=e≈
② y=a≈ (a>0, a+1)
이면(cid:100)y'=a≈ ln a
10
¡k=1
k=
10¥11
2
=55
(cid:8951) 55
405
려면 x=1에서 연속이어야 하므로
함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하
Ⅲ. 미분법 75
‚
⁄
⁄
‚
15일품미적분II해(58~80) 1904.10.27 4:47 AM 페이지76 SinsagoHitec
(a tan px+b)=f(1)
ln px= lim
(cid:100)(cid:100) lim
x
1+
1-
ln p=a tan p+b
⁄
⁄
x
(cid:100)(cid:100)∴ b=ln p
또 f '(1)이 존재해야 하므로
● 30%
f '(x)=
;[!;
(x>1)
에서
ap sec¤ px {;2!;0)
(cid:100)(cid:100)-x=ln a(cid:100)(cid:100)∴ x=-ln a
x>0이므로(cid:100)(cid:100)-ln a>0,(cid:100)(cid:100)ln a<0
(cid:100)(cid:100)∴ 00,(cid:100)(cid:100)a¤ -6a+1>0
∴ a<3-2'2 또는 a>3+2'2 y ㉡(cid:100)(cid:100)● 20%
㉠, ㉡에서
a<0 또는 03+2'2
따라서 자연수 a의 최솟값은 6이다.
78 정답 및 풀이
∴ t{t¤ -(a+1)t+2a}=0 (∵ e—† >0)
● 20%
te—† {t¤ -(a+2)t+2a+t}
(cid:100)(cid:100)F'(1)=f '( f(1))f '(1)=f '(2)f '(1)
te—† (2-t)(a-t)+t¤ e—†
f '(2)=0이므로
419 ㄱ. F'(x)=f '( f(x))f '(x)이고 f(1)=2,
te—† {t¤ -(a+1)t+2a}
ㄴ. 10이므로 10
이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
(cid:8951) ⑤
이계도함수를 갖는 함수
420 f(x)=x-ln(5x¤ +n)에서
f '(x)=1-
10x
5x¤ +n
=
5x¤ -10x+n
5x¤ +n
5x¤ +n>0이므로 함수 f(x)가 극값을 가지려면 이차
방정식 5x¤ -10x+n=0이 서로 다른 두 실근을 가져
(cid:8857) f(x)는 x=a에서
극소
f(x)에 대하여
f '(a)=0일 때
① f "(a)<0
극대
② f "(a)>0
본책
77쪽``…``79쪽
ㄷ. f '(e;2“;)=cos ;2“;¥ =0
1
e;2“;
f "(e;2“;)=- {sin ;2“;+cos ;2“;}=- <0
1
ep
1
ep
이므로 함수 f(x)는 x=e;2“;에서 극댓값을 갖는다.
(cid:8857) f(x)는 x=a에서
이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
(cid:8951) ⑤
423 점 P(2, ln 2)가 곡선y= ln(x¤ +ax+b) 위
의 점이므로 (cid:100)(cid:100)ln 2=ln(4+2a+b)
(cid:100)(cid:100)2a+b=-2(cid:100)(cid:100)∴ b=-2a-2
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
f(x)=ln(x¤ +ax-2a-2)라 하면
(cid:100)(cid:100)f '(x)=
(cid:100)(cid:100)f "(x)=
2x+a
x¤ +ax-2a-2
2(x¤ +ax-2a-2)-(2x+a)¤
(x¤ +ax-2a-2)¤
-2x¤ -2ax-a¤ -4a-4
(x¤ +ax-2a-2)¤
=
f '(2)>0에서(cid:100)(cid:100)
>0(cid:100)(cid:100)
4+a
2
법
분
미
Ⅲ
에서 h(x)
f '(x)=
h(x)
g(x)
가 이차식이고 모든 실수
x에 대하여 g(x)>0일
때
① f(x)가 극값을 갖는다.
(cid:8857) h(x)=0이 서로
다른 두 실근을 갖
● 20%
② f(x)가 극값을 갖지
는다.
않는다.
∴ a>-4
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:8857) h(x)=0이 중근 또
는 허근을 갖는다.
f "(2)=0에서(cid:100)(cid:100)
-a¤ -8a-12
4
=0
(cid:100)(cid:100)a¤ +8a+12=0,(cid:100)(cid:100)(a+6)(a+2)=0
y=f(x)의 변곡점
a=-2를 ㉠`에 대입하면(cid:100)(cid:100)b=2
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ =4+4=8
(cid:8951) 8
(cid:8857) f "(a)=0이고 x=a
의 좌우에서 f "(x)의
부호가 바뀐다.
야 한다.
D
4
이차방정식 5x¤ -10x+n=0의 판별식을 D라 하면
=25-5n>0(cid:100)(cid:100)∴ n<5
따라서 자연수 n의 값은1, 2, 3, 4 이므로 구하는 합은
1+2+3+4=10
(cid:8951) ②
421
f(x)=e-x(sin x+cos x)에서
f '(x)=-e-x(sin x+cos x)+e—≈ (cos x-sin x)
=-2e-xsin x
f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)sin x=0 (∵ e-x>0)
∴ x=p, 2p, 3p, y
x
0 y p y 2p y 3p y4p y
- 0 + 0 - 0 + 0 -
따라서 f(x)는 x=2p, 4p, 6p, y에서 극댓값을 갖
● 50%
f(2p)=e-2p, f(4p)=e-4p, f(6p)=e-6p,
y이므로(cid:100)(cid:100)a¡=e-2p, a™=e-4p, a£=e-6p, y
1
1
¶
∴ a«= + + +y= {
¡n=1
e4p
e2p
1
e2p
1
e6p
¶
¡n=1
}
f '(x)
f(x)
는다.
↘ -e-p ↗ e-2p ↘ -e-3p ↗ e-4p ↘
점 (a, f(a))가 곡선
(cid:100)(cid:100)∴ a=-2 (∵ ㉡)
=
1
e2p
1
12e2p
1-
=
1
e2p-1
1
첫째항이 , 공비가
e2p
● 30%
인 등비급수이다.
1
e2p
(cid:8951)
1
e2p-1
424 f(x)=x¤ +
에서
;[!;
1
f '(x)=2x- , f "(x)=2+
x¤
2
x‹
f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=
1
‹'2
f "(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-1
422 ㄱ. f(x)=sin(ln x)에서
(cid:100)(cid:100)f '(x)=cos(ln x)¥
;[!;
10
즉 함수 f(x)는 구간 (1, e;2“;)에서 증가한다.
ㄴ. f "(x)=-sin(ln x)¥
¥
;[!;
;[!;
+cos(ln x)¥{- }
1
x¤
ㄴ. f "(x)=- {sin(ln x)+cos(ln x)}
(cid:100)(cid:100)∴ f "(ep)=- (sin p+cos p)= >0
1
e2p
1
x¤
1
e2p
x
y -1 y
0
f '(x) -
-
f "(x) +
f(x)
f(x) (cid:8877)
0
0
-
-
(cid:8875)
y
-
+
1
‹'2
0
+
y
+
+
(cid:8877) 극소 (cid:8879)
ㄱ. 곡선 y=f(x)는 구간(-1, 0)에서 위로 볼록하다.
ㄴ. 곡선 y=f(x)의 변곡점은 P(-1, 0)이고 점 P에
10이므로(cid:100)(cid:100)x¤ +(a+2)x+a+bæ0
426 f(x)=2x-tan x라 하면
f '(x)=2-sec¤ x
80 정답 및 풀이
15일품미적분II-해(81~104) 2015.4.27 7:32 PM 페이지81 SinsagoHitec
이차방정식 x¤ +(a+2)x+a+b=0의 판별식을 D라
Ⅳ
적분법
본책
79쪽``…``82쪽
09
여러 가지 적분법
본책 82쪽
하면
D=(a+2)¤ -4(a+b)…0
a¤ -4b+4…0
∴ bæ;4!;a¤ +1
a=1일 때, bæ;4%;이므로
b=2, 3, 4, 5, 6
a=2일 때, bæ2이므로(cid:100)(cid:100)b=2, 3, 4, 5, 6
a=3일 때, bæ;;¡4£;;이므로(cid:100)(cid:100)b=4, 5, 6
a=4일 때, bæ5이므로(cid:100)(cid:100)b=5, 6
a=5 또는 a=6일 때, 조건을 만족시키는 b는 없다.
따라서 순서쌍 (a, b)의 개수는
5+5+3+2=15
(cid:8951) 15
429
타낸 후 도함수를 이용하여 최댓값을 구한다.
(cid:8772)PROQ의 넓이를 a에 대한 함수로 나
f(x)=e-x¤ +1에서
f '(x)=-2xe-x¤ +1
점 P(a, e-a¤ +1)에서의 접선의 기울기는
f '(a)=-2ae-a¤ +1이므로 접선의 방정식은
y-e-a¤ +1=-2ae-a¤ +1(x-a)
y=0일 때 -e-a¤ +1=-2ae-a¤ +1(x-a)에서
1=2a(x-a)(cid:100)(cid:100)∴ x= +a
1
2a
1
∴ Q{ +a, 0}
2a
따라서 (cid:8772)PROQ의 넓이를 S(a)라 하면
1
S(a)=;2!; {a+ +a}¥e-a¤ +1
2a
S(a)={a+
;4¡a;}e-a¤ +1
S'(a)
={1- }e-a¤ +1+{a+
;4¡a;}e-a¤ +1¥(-2a)
1
4a¤
=e-a¤ +1
{1- -2a¤ -;2!;}
1
4a¤
=-e-a¤ +1
1
{2a¤ + -;2!;}
4a¤
이때 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
2a¤ + -;2!;æ2æ≠2a¤ ¥ -;2!;
1
4a¤
1
4a¤
2a¤ + -;2!;='2-;2!;>0
즉 aæ1에서 S'(a)<0이므로 S(a)는 감소한다.
따라서 S(a)는 a=1일 때 최대이고, 최댓값은
S(1)={1+;4!;} e‚ =;4%;
(cid:8951) ①
함수 y=xn (n은 실수)
의 부정적분
① n+-1일 때
1
n+1
xn+1+C
(cid:100) : xn dx=
② n=-1일 때
1
x
(cid:100) :
dx=ln|x|+C
430 f(x)=:
(x+1)(x+3)
x¤
dx
dx
x¤ +4x+3
x¤
4
x
3
+ }dx
x¤
=:
=: {1+
4
=: {1+ +3x-2
x
=x+4 ln|x|-3x-1
}dx
=x+4 ln|x|-
;[#;+
C
+
C
1
xp
또는 q
'ßx 의 부정적분
1
xp
을 구할 때에는 은
'ßx 는 x;q!;으로 변형
x-p, q
한다.
(cid:8772)PROQ는 사다리꼴
이다.
법
분
적
Ⅳ
f(1)=0이므로(cid:100)(cid:100)-2+C=0(cid:100)(cid:100)∴ C=2
따라서 f(x)=x+4 ln|x|-
+2이므로
;[#;
f(3)=4+4 ln 3
(cid:8951) ⑤
431 F(x)=f(x)-g(x)라 하면
F'(x)=f '(x)-g'(x)
F'(x)=
F'(x)=
F'(x)=
(x-1)'ßx -(1-x)
x+'ßx
(x-1)('ßx +1)
'ßx ('ßx +1)
x-1
'ßx
='ßx -
1
'ßx
이므로
F(x)=: {'ßx - }dx=: (x;2!;-x-;2!;)dx
1
'ßx
F(x)=;3@;x;2#;-2x;2!;+C=;3@;x'ßx -2'ßx +C
F(1)=f(1)-g(1)=0이므로
;3@;-2+C=0(cid:100)(cid:100)∴ C=;3$;
따라서 F(x)=;3@;x'ßx -2'ßx +;3$;이므로
f(4)-g(4)=F(4)
f(4)-g(4)=;3@;¥8-2¥2+;3$;=;3*;
(cid:8951) ④
432 F(x)=xf(x)+5 lnx+
의 양변을 x에 대하
;[$;
여미분하면
f(x)=f(x)+xf '(x)+
4
x¤
;[%;-
xf '(x)=-
4
x¤
;[%;+
∴ f '(x)=- +
5
x¤
4
x‹
Ⅳ. 적분법 81
15일품미적분II-해(81~104) 2015.4.27 7:32 PM 페이지82 SinsagoHitec
∴ : f(sin x) cos x dx=: f(t)dt
¶
¡n=1
n
{;4!;}
은 첫째항이
같은 방법으로(cid:100)(cid:100): f(cos x) sin x dx=-: f(t)dt
=;2!;¥
;4!;
1-;4!;
=;6!;
(cid:8951) ;6!;
;4!;, 공비가 ;4!;인 등비급
수이다.
∴ f(x)=: f '(x)dx=: {-
5
x¤
4
+ }dx
x‹
∴ f(x)=: (-5x-2+4x-3)dx
∴ f(x)=5x-1-2x-2+C
∴ f(x)=
2
x¤
f(1)=1이므로(cid:100)(cid:100)3+C=1(cid:100)(cid:100)∴ C=-2
;[%;-
+C
즉 f(x)=
- -2이므로 f(x)=0에서
2
x¤
;[%;
5x-2-2x¤
x¤
=0,(cid:100)(cid:100)2x¤ -5x+2=0
(2x-1)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=
또는 x=2
;2!;
따라서 구하는 합은(cid:100)(cid:100)
+2=
;2!;
;2%;
(cid:8951) ;2%;
433 f(x)=: 4x+1 ln 2 dx=4 ln 2: 4x dx
4≈
ln 4
=4 ln 2¥
+C
=2¥4≈ +C
f(1)=8이므로(cid:100)(cid:100)C=0
따라서 f(x)=2¥4≈ 이므로
¶
¡n=1
1
f(n)
=
¶
¡n=1
1
2¥4«
=;2!;
¶
¡n=1
n
{;4!;}
배각의 공식
① sin 2a=2 sin a cos a
② cos 2a
=cos¤ a-sin¤ a
=2 cos¤ a-1
=1-2 sin¤ a
③ tan 2a=
2 tan a
11112
1-tan¤ a
2x¤ -5x+2=0에서 이
차방정식의 근과 계수의
관계에 의하여
(cid:100)(두 근의 합)=;2%;
434 f(x)=: {sin¤
cos¤
;2{;-
;2{;} dx
1+cos x
2
} dx
=: {
1-cos x
2
-
=: (-cos x)dx
=-sin x+C
f(p)=p이므로(cid:100)(cid:100)C=p
따라서 f(x)=-sin x+p이므로
(cid:100)(cid:100)f {;2“;}=p-1
(cid:8951) ④
435 f '(x)=tan¤ x이므로
f(x)=: f '(x)dx=: tan¤ x dx
f(x)=: (sec¤ x-1)dx=tan x-x+C
곡선 y=f(x)가 점 {;4“;, 0}을 지나므로
f {;4“;}=0
1-;4“;+C=0(cid:100)(cid:100)∴ C=;4“;-1
82 정답 및 풀이
반각의 공식
① sin¤ =
② cos¤ =
③ tan¤ =
a
2
a
2
a
2
1-cos a
2
1+cos a
2
1-cos a
1+cos a
2x
x¤ +2
:
dx에서
(x¤ +2)'=2x이므로
:
2x
x¤ +2
=ln (x¤ +2)+C
dx
(∵ x¤ +2>0)
삼각함수 사이의 관계
① sin¤ x+cos¤ x=1
② 1+tan¤ x=sec¤ x,
1+cot¤ x=csc¤ x
따라서 f(x)=tan x-x+;4“;-1이므로
(cid:100)(cid:100)f {-;4“;}=;2“;-2
(cid:8951) ;2“;-2
436 cos 2x cos x=(1-2 sin¤ x) cosx이므로
dt
dx
sin x=t로 놓으면(cid:100)(cid:100) =cos x
`∴ f(x)=: cos 2x cos x dx
=: (1-2 sin¤ x) cos x dx
=: (1-2t¤ )dt=t-;3@;t‹ +C
=sin x-;3@; sin‹ x+C
f {;2“;}=0이므로(cid:100)(cid:100);3!;+C=0(cid:100)(cid:100)∴ C=-;3!;
따라서 f(x)=sin x-;3@; sin‹ x-;3!;이므로
(cid:8951) ;1¡2;
피적분함수가 f(sin x) cos x 꼴일 때 sin x=t로 놓으면
f {;6“;}=;1¡2;
1등급
|비|밀|노|트|
(cid:100)(cid:100) =cos x
dt
dx
437 f(x)=: f '(x)dx=:
x(x¤ +2)+x
x¤ +2
x
x¤ +2
=: {x+
=:
x‹ +3x
x¤ +2
dx
dx
}dx
2x
x¤ +2
=: x dx+;2!;:
dx
=;2!;x¤ +;2!; ln(x¤ +2)+C
f(0)=;2!; ln 2이므로(cid:100)(cid:100)C=0
따라서 f(x)=;2!;x¤ +;2!; ln(x¤ +2)이므로
f('ƒe-2)=;2!;(e-2)+;2!; ln e=;2!;(e-1)
438
x
x¤ +3x+2
x
(x+1)(x+2)
=
=
x
(x+1)(x+2)
이므로
A
x+1
+
B
x+2
로 놓으면
x
(x+1)(x+2)
=
(A+B)x+2A+B
(x+1)(x+2)
위의 등식은 x에 대한 항등식이므로
A+B=1, 2A+B=0
(cid:8951) ;2!;(e-1)
15일품미적분II-해(81~104) 2015.4.27 7:32 PM 페이지83 SinsagoHitec
위의 두 식을 연립하여 풀면
A=-1, B=2
∴ :
dx
x
x¤ +3x+2
1
x+1
=: {-
=-ln|x+1|+2 ln|x+2|+C
+}
dx
2
x+2
=ln
(x+2)¤
|x+1|
+C
1등급
|비|밀|노|트|
분수식의 모양에 따라 다음과 같이 부분분수로 나타낸 다음 항등
식의 성질을 이용하여 상수 A, B, C의 값을 각각 구한다.
①
②
px+q
(x+a)(x+b)
=
A
x+a
+
B
x+b
px¤ +qx+r
(x+a)(x¤ +bx+c)
=
A
x+a
+
Bx+C
x¤ +bx+c
부분적분법을 한 번 적용
하여 부정적분을 구할 수
없을 때에는 부분적분법
을 한 번 더적용한다 .
b
x+a
:
dx
=b ln|x+a|+C
441 f(x)=cos x, g '(x)=e≈ 으로 놓으면
f '(x)=-sin x, g(x)=e≈
(cid:8951) ②
: u(x)v'(x)dx
=u(x)v(x)
-: u'(x)v(x)dx
따라서 F(x)=;2!;(sin x+cos x)이므로
'3
2
F{;3@;p}=;2!; { -;2!;}=
'3-1
4
(cid:8951) ②
법
분
적
Ⅳ
본책
82쪽``…``84쪽
즉 f(2)=4-e¤ 이므로
-e¤ +C=4-e¤ (cid:100)(cid:100)∴ C=4
따라서 f(x)=(x-3)ex+4이므로
f(0)=-3+4=1
(cid:8951) 1
∴ : e≈ cos x dx=e≈ cos x+: e≈ sin x dx
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
: e≈ sin x dx에서 u(x)=sin x, v'(x)=e≈ 으로 놓으면
u'(x)=cos x, v(x)=e≈
∴ : e≈ sin x dx=e≈ sin x-: e≈ cos x dx
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉡`을 ㉠`에 대입하면
: e≈ cos x dx=e≈ cos x+e≈ sin x-: e≈ cos x dx
2: e≈ cos x dx=e≈ (sin x+cos x)+C¡
∴ : e≈ cos x dx=;2!;e≈ (sin x+cos x)+C
;2“;
442 :
0
1
1+sin x
dx+:
0
;2“;
sin¤ x
1+sin x
dx
;2“;
=:
0
1
1+sin x
;2“;
dx-:
0
sin¤ x
1+sin x
dx
;2“;
=:
0
1-sin¤ x
1+sin x
dx
;2“;
=:
0
(1+sin x)(1-sin x)
1+sin x
dx
;2“;
=: (1-sin x)dx
0
=[x+cos x] =
0
;2“;
p-2
2
(cid:8951) ①
443 :_»˘ (cos¤ x+sin 4x cos 8x)dx
=:_»˘ cos¤ x dx+:_»˘ sin 4x cos 8x dx y㉠(cid:100)(cid:100)
f(x)=cos¤ x라 하면
f(-x)=cos¤ (-x)=cos¤ x=f(x)
이므로 f(x)는 우함수이다.
또 g(x)=sin 4x cos 8x라 하면
g(-x)=sin(-4x) cos(-8x)
=-sin 4x cos 8x=-g(x)
이므로 g(x)는 기함수이다.
Ⅳ. 적분법 83
439 u(x)=ln x, v'(x)='ßx 로 놓으면
, v(x)=;3@;x;2#;
u'(x)=
;[!;
∴ f(x)=: f '(x)dx=: 'x ln x dx
∴ f(x)=(ln x)¥;3@;x;2#; -: ;[!;
¥;3@;x;2#;dx
∴ f(x)=;3@;x;2#; ln x-;3@;: x;2!;dx
∴ f(x)=;3@;x;2#; ln x-;3@;¥;3@;x;2#;+C
∴ f(x)=;3@;x'ßx ln x-;9$;x'x+C
∴ f(x)=;9@;x'ßx (3 ln x-2)+C
f(1)=0이므로(cid:100)(cid:100)-;9$;+C=0(cid:100)(cid:100)∴ C=;9$;
따라서 f(x)=;9@;x'ßx(3 ln x-2)+;9$;이므로
f(e)=;9@;e'e+;9$;=;9@;(e'e+2)
(cid:8951) ⑤
440 u(x)=x-2, v'(x)=ex으로 놓으면
u'(x)=1, v(x)=ex
∴ f(x)=: f '(x)dx=: (x-2)ex dx
∴ f(x)=(x-2)ex-: ex dx
∴ f(x)=(x-2)ex-ex+C
∴ f(x)=(x-3)ex+C
한편 f '(x)=0에서
x=2 (∵ ex>0)
x
f '(x)
y
-
2
0
y
+
f(x)
↘ 극소 ↗
15일품미적분II-해(81~104) 2015.4.27 7:32 PM 페이지84 SinsagoHitec
따라서 ㉠에서 :_»˘ cos¤ x dx=2:)» cos¤ x dx,
447 x=2 sinh {-;2“;…h…;2“;}로 놓으면
:_»˘ sin 4x cos 8x dx=0이므로
주어(주어진 식)=2:)» cos¤ x dx
(주어주어진 식)=2:)»
1+cos 2x
2
dx
(주어주어진 식)=:)» (1+cos 2x) dx
(주어주어진 식)=[x+;2!; sin 2x]»)=p
(cid:8951) ④
444 -1…x<2에서
<0, 2…x…4에서
x-2
x+2
x-2
x+2
æ0이므로
(cid:100)(cid:100):_4! |
x-2
x+2
|dx
=-:_2!
x-2
x+2
dx+:@4
x-2
x+2
dx
=-:_2! {1-
}dx+:@4 {1-
4
x+2
4
x+2
}dx
=-[x-4 ln(x+2)] +[x-4 ln(x+2)]
-1
2
4
2
=-3+4ln4+2-4ln 6+4 ln 4
=12ln 2-4ln 3-1
따라서 a=12, b=-4, c=-1이므로
a+b+c=7
(cid:8951) 7
445 'ƒ2x-1=t로 놓으면 2x-1=t¤ 이므로
dt
(cid:100)(cid:100) =
dx
1
t
x=1일 때 t=1, x=5일 때 t=3이므로
:!5 x'ƒ2x-1 dx=:!3
t¤ +1
2
¥t ¥t dt
=;2!;:!3 (t› +t¤ )dt
=;2!;[;5!;tfi +;3!;t‹ ]3!
=;2!;¥:•1∞5§:=:¢1™5•:
(cid:8951) :¢1™5•:
446 ln x=t로 놓으면(cid:100)(cid:100) =
dt
dx
1
x
x=1일 때 t=0, x=e¤ 일 때 t=2이므로
(cid:100)(cid:100):!e
2
(2+3 ln x) ln x
x
dx
=:)2 (2+3t)t dt=:)2 (3t¤ +2t)dt
=[t‹ +t¤ ]2)=8+4=12
(cid:8951) ④
84 정답 및 풀이
절댓값 기호를 포함한 함
수는 절댓값 기호 안의 식
의 값을0 으로 하는 x의
값을 경계로 구간을 나누
어 정적분의 값을 구한다.
(cid:100)(cid:100) =2 cos h
dx
dh
x=0일 때 h=0, x=1일 때 h=;6“;이므로
:)1
1
"√4-x¤
;6“;
dx=:)
dh
2 cos h
"√4-4 sin¤ h
2 cos h
2 cos h
dh
;6“;
=:)
h
=[
;6“;
]
) =;6“;
448 f(x)=ln x, g'(x)= 로 놓으면
1
x¤
f '(x)=
∴ :!2
;[!;
;[!;, g(x)=-
ln x
x¤
dx
=[(ln x)¥{-;[!;}]2!-:!2 {- } dx
1
x¤
¥ln x]2!+:!2 x-2 dx
=[-;[!;
=-;2!; ln 2+[-x-1
]2!
(cid:8951) ①
(cid:8951) ①
8ln 4-4ln 6-1
=8(2ln 2)
-4(ln 2+ln 3)-1
=12ln 2-4ln 3-1
=-;2!; ln 2+;2!;
=;2!;(1-ln 2)
2x-1=t¤ 의양변을 x에
대하여 미분하면
0…x…;2“;에서
(cid:100)cos xæ0
;2“;…x…p에서
(cid:100)cos x…0
2=2t
dt
dx
dt
∴ =
dx
1
t
2x-1=t¤ 에서
x=
t¤ +1
2
449 :)» x|cos x|dx
;2“;
=:)
x cos x dx-:;2“;» x cos x dx
f(x)=x, g'(x)=cos x로 놓으면
f '(x)=1, g(x)=sin x
;2“;
∴ :)
x cos x dx-:;2“;» x cos x dx
=[x sin x]
) -:)
;2“;
;2“;
sin x dx
=-[x sin x]»;2“;
+:;2“;» sin x dx
=;2“;-[-cos x]
=p-1+1=p
;2“;
) +;2“;+[-cos x]»;2“;
(cid:8951) ④
450 :)
(e2x+x)¤ dx-:)
ln2
(e2x-x)¤ dx
{(e¤2x+x)¤ -(e2x-x)¤ }dx
ln2
ln2
ln2
=:)
=:)
4xe2x dx
f(x)=4x, g '(x)=e2x으로 놓으면
f '(x)=4, g(x)=;2!;e2x
15일품미적분II-해(81~104) 2015.4.27 7:32 PM 페이지85 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100)∴ :)
ln2
4xe2x dx
=[4x¥;2!;e2x
])
-:)
4¥;2!;e2x dx
ln2
ln2
ln2
=8 ln 2-[e2x
])
=8 ln 2-(4-1)=-3+8 ln 2
따라서 a=-3, b=8이므로따라a+b=5
451 f(x)=:)/ (x¤ -t¤ )cos t dt
=x¤ :)/ cos t dt-:)/ t¤ cos t dt
이므로
이므f '(x)=2x:)/ cos t dt+x¤ cos x-x¤ cos x
이므f '(x)=2x[sin t]/)=2x sin x
이므∴ f '{;6“;}=2¥;6“;¥;2!;=;6“;
(cid:8951) ②
452
lim
¶
n
⁄
{
1
n+1
+
1
n+2
+y+ }
1
2n
=
lim
¶
n
⁄
n
¡k=1
1
n+k
=
lim
¶
n
⁄
n
¡k=1
¥
1
n
1
111
1+
;nK;
=:)1
1
1+x
dx=[ln|1+x|]1)=ln 2
(cid:8951) ln 2
453
2n
¡k=1
lim
¶
n
⁄
n
¡k=1
k
n
1
n
lim
¶
n
⁄
f {1+ } =:!2 f(x)dx,
k
2k
f {2+ } =
f {2+ }
n
2n
2n
¡k=1
1
n
lim
¶
n
⁄
2
2n
f {2+ } =:@4 f(x)dx
이므로
므로
lim
¶
n
⁄
n
¡k=1
k
f {1+ } +
n
1
n
lim
¶
n
⁄
2n
¡k=1
k
f {2+ }
n
1
n
=:!2 f(x)dx+:@4 f(x)dx=:!4 f(x)dx
=:!4 {'ßx + } dx=:!4 (x;2!; +x-;2!; )dx
1
'ßx
=[;3@;x;2#;+2x;2!;
]4!
=:¡3§:+4-{;3@;+2}=:™3º:
(cid:8951) ③
454 f '(x)=
'ßx+1
x¤
이므로
f(x)=: f '(x)dx=:
'ßx+1
x¤
dx
f(x)=: (x-
;2#;+x-2)dx
=-2x-;2!;-x-1+C¡
=- - +C¡
2
'ßx
1
x
e2 ln 2-e‚
=eln 4-1
=4-1
(cid:8951) 5
1
x
: {- - +3}dx
2
'ßx
=: (-2x-;2!;
-x-1+3)dx
=-4x;2!;
-ln|x|+3x+C
=-4'ßx-ln|x|+3x+C
455 `
본책
84쪽``…``86쪽
f(1)=0이므로(cid:100)(cid:100)-3+C¡=0(cid:100)(cid:100)∴ C¡=3
2
따라서 f(x)=- - +3이므로
'ßx
1
x
: f(x)dx=: {- - +3}dx
2
'ßx
1
x
=-4'ßx-ln|x|+3x+C
따라서 p=-4, q=-1, r=3이므로
p+q+r=-2
F'(x)=f(x)+xf '(x)=
- 이므로
F(x)=xf(x)라 하자.
1
x'ßx
4
- }dx
x¤
4
x¤
1
x'ßx
적분F(x)=: {
적분F(x)=: (x-;2#;-4x-2)dx
적분F(x)=-2x-;2!;+4x-1+C
2
'ßx
적분F(x)=- +
+C
;[$;
F(1)=f(1)=4이므로
적분-2+4+C=4적분∴ C=2
적분∴ F(x)=- +
+2
;[$;
2
'ßx
적분f(4)=;2!;
F(4)=4f(4)=-1+1+2=2이므로
(cid:8951) ②
● 20%
● 60%
● 20%
(cid:8951) ;2!;
456 f '(x)=
e¤
≈ -4≈
e≈ +2≈
=
(e≈ +2≈ )(e≈ -2≈ )
e≈ +2≈
=e≈ -2≈
이므로
f(x)=: f '(x)dx=: (e≈ -2≈ )dx
=e≈ -
+C
2≈
ln 2
f(0)=1이므로
1-
+C=1(cid:100)(cid:100)∴ C=
1
ln 2
1
ln 2
∴ f(x)=e≈ -
(2≈ -1)
1
ln 2
법
분
적
Ⅳ
를 x로,
;nK;
나타낼 때,
을 dx로
;n!;
k=1이고 n
¶이면
⁄
(cid:100)x=0
k=n이면
(cid:100)x=1
2n=N으로 놓으면
2k
f {2+ }
N
N
¡k=1
lim
¶
N
⁄
2
N
2+ 를 x로, 를
2k
N
2
N
dx로 나타낼 때,
k=1이고 N
¶이면
⁄
(cid:100)x=2
k=N이면
(cid:100)x=4
곡선 y=f(x)가 점
(0, 1)을 지나므로(cid:100)(cid:100)
f(0)=1
한편 f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=0
x
f '(x)
f(x)
y
-
↘
0
0
1
y
+
↗
ex-2x=0
(cid:100)∴ x=0
ex=0,
2x=0
x
lim
-¶
⁄
lim
-¶
⁄
이므로
x
lim
-¶
⁄
x
[ex-
1
ln 2
=
1
ln 2
또
lim
¶
x
⁄
lim
-¶
⁄
x
f(x)=¶,
f(x)=
이므로
1
ln 2
y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그
1
ln 2
(2x-1)]
=0-
¥(-1)
림과 같다.
ㄱ. f(1)=e-
1
ln 2
y
y=f{x}
1
ln`2
1
O
x
Ⅳ. 적분법 85
15일품미적분II-해(81~104) 2015.4.27 7:32 PM 페이지86 SinsagoHitec
ㄴ. 함수 f(x)는 x=0일 때 극소이면서 최소이므로
(cid:100)(cid:100)f(x)æf(0)=1
ㄷ. 곡선 y=f(x)와 직선 y=
의 교점은 1개이므로
1
ln 2
ㄷ. 방정식 f(x)=
의 실근은 1개이다.
1
ln 2
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
457 y=ln x‹ -e로 놓으면(cid:100)(cid:100)
=ln x
y+e
3
두 점A, B 의 y좌표가
같으므로
(cid:8951) ③
AB”=2'3 -(-2'3 )
=4'3
(cid:100)(cid:100)x¤ +4=16,(cid:100)(cid:100)x¤ =12
(cid:100)(cid:100)∴ x=—2'3
따라서 곡선 y=f(x)는 x축과 두 점
(-2'3, 0), (2'3, 0)에서 만나므로
(cid:100)(cid:100)AB”=4'3
● 30%
● 20%
(cid:8951) 4'3
:
f '(x)
f(x)
=ln| f(x)|+C
dx
460 f(x)=:
dx=:
ex-e-x
ex+e-x
=ln|ex+e-x|+C
=ln(ex+e-x)+C (∵ ex+e-x>0)
(ex+e-x)'
ex+e-x
dx
x와 y를 서로 바꾸면(cid:100)(cid:100)y=e
x+e
3
∴ x=e
y+e
3
∴ g(x)=e
x+e
3
∴ G(x)=: g(x)dx=: e
x+e
3
dx
∴ G(x)=3e +C
x+e
3
G(-e)=0이므로(cid:100)(cid:100)3+C=0(cid:100)(cid:100)∴ C=-3
따라서 G(x)=3e -3이므로
x+e
3
G(3-e)=3e-3
(cid:8951) ③
458 F(x)=xf(x)-(x sin x+cos x) y ㉠(cid:100)(cid:100)
㉠`의 양변에 x=p를 대입하면
F(p)=pf(p)+1,(cid:100)(cid:100)p+1=pf(p)+1
∴ f(p)=1
㉠`의 양변을 x에 대하여 미분하면
f(x)=f(x)+xf '(x)
f(x)=-(sin x+x cos x-sin x)
(cid:100)(cid:100)xf '(x)=x cos x
x>0이므로(cid:100)(cid:100)f '(x)=cos x
∴ f(x)=: f '(x)dx
∴ f(x)=: cos x dx=sin x+C
f(p)=1이므로(cid:100)(cid:100)C=1
따라서 f(x)=sin x+1이므로
f {;2#;p}=0
(cid:8951) 0
459
x¤ +4=t로 놓으면(cid:100)(cid:100) =2x
dt
dx
x
"√x¤ +4
dx
(cid:100)(cid:100)∴ f(x)=: f '(x)dx=:
(cid:100)(cid:100)∴ f(x)=:
1
't
(cid:100)(cid:100)∴ f(x)=;2!;¥2t;2!;+C='t +C
¥;2!;dt=;2!;: t-;2!; dt
(cid:100)(cid:100)∴ f(x)="√x¤ +4 +C
f(0)=-2이므로(cid:100)(cid:100)2+C=-2(cid:100)(cid:100)∴ C=-4
(cid:100)(cid:100)∴ f(x)="√x¤ +4 -4
곡선 y=f(x)가 x축과 만나는 점의 x좌표는
"√x¤ +4 -4=0에서(cid:100)(cid:100)"√x¤ +4 =4
● 50%
86 정답 및 풀이
x+e
3
dx
: e
=e;3E;
=e;3E;
: e;3{; dx
: (e;3!;)x dx
1
=e;3E;¥
112(e;;3!;)x+C
ln e;3!;
x+e
=3e +C
3
sin 2x=2 sin x cos x
이므로
sin« x sin 2x
=sin« x¥2 sin x cos x
=2 sinn+1 x cos x
(분자의 차수)æ(분모의
차수)인 경우
(cid:8857) 분자를 분모로 나누어
몫과 나머지의 꼴로
나타낸다.
f(0)=3 ln 2이므로(cid:100)(cid:100)ln 2+C=3 ln 2
(cid:100)(cid:100)∴ C=2 ln 2
따라서 f(x)=ln(ex+e-x)+2 ln 2이므로
f(ln 2)=ln(eln 2+e-ln 2)+2 ln 2
f(ln 2)=ln(2+2-1)+2 ln 2
f(ln 2)=ln ;2%;+ln 4
f(ln 2)=ln{;2%;¥4}=ln 10
(cid:8951) ③
461
로
sin« x sin 2x=2 sinn+1x cos x이므
f«(x)=2: sinn+1x cos x dx
● 20%
sin x=t로 놓으면(cid:100)(cid:100) =cos x
dt
dx
∴ f«(x)=2: tn+1dt=
2
n+2
tn+2+C
=
2
n+2
sinn+2x+C
f«(0)=0이므로(cid:100)(cid:100)C=0
따라서 f«(x)=
sinn+2x이므로
2
n+2
f«{;2“;}=
2
n+2
f«{;2“;}<;1¡0;에서(cid:100)(cid:100)
2
n+2
<;1¡0;
(cid:100)(cid:100)∴ n>18
따라서 자연수 n의 최솟값은 19이다.
● 60%
● 20%
(cid:8951) 19
462
2x‹ -3x¤ +4x-1
2x¤ -3x+1
=
x(2x¤ -3x+1)+3x-1
2x¤ -3x+1
=x+
3x-1
2x¤ -3x+1
3x-1
2x¤ -3x+1
=
3x-1
(2x-1)(x-1)
이므로
(cid:100)(cid:100)
3x-1
(2x-1)(x-1)
=
A
2x-1
+
B
x-1
15일품미적분II-해(81~104) 2015.4.27 7:32 PM 페이지87 SinsagoHitec
로 놓으면
(cid:100)(cid:100)
3x-1
(2x-1)(x-1)
=
(A+2B)x-(A+B)
(2x-1)(x-1)
위의 등식은 x에 대한 항등식이므로
(cid:100)(cid:100)A+2B=3, A+B=1
위의 두 식을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)A=-1, B=2
∴ f(x)=: f '(x)dx=:
2x‹ -3x¤ +4x-1
2x¤ -3x+1
dx
∴ f(x)=: {x-
1
2x-1
+
2
x-1
}dx
∴ f(x)= -;2!; ln|2x-1|+2 ln|x-1|+C
∴ f(x)= +ln
(cid:8951) ①
(x-1)¤
'ƒ|2x-1|
+C
x¤
2
x¤
2
463 F(x)=xf(x)-(4x‹ +x¤ )ln x yy ㉠(cid:100)(cid:100)
㉠의 양변에 x=1을 대입하면
F(1)=f(1)(cid:100)(cid:100)∴ f(1)=4
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면
(cid:100)(cid:100)f(x)=f(x)+xf '(x)
(cid:100)(cid:100)f(x)=-(12x¤ +2x)ln x-(4x‹ +x¤ )¥
;[!;
(cid:100)(cid:100)xf '(x)=(12x¤ +2x)ln x+4x¤ +x
x>0이므로(cid:100)(cid:100)f '(x)=(12x+2)ln x+4x+1
(cid:100)(cid:100)∴ f(x)=: {(12x+2)ln x+4x+1}dx
(cid:100)(cid:100)∴ f(x)=: (12x+2)ln x dx+: (4x+1)dx
: (12x+2)ln x dx에서 u(x)=ln x, v'(x)=12x+2
로 놓으면
(cid:100)(cid:100)u'(x)=
, v(x)=6x¤ +2x
;[!;
(cid:100)(cid:100)∴ : (12x+2)ln x dx
=(ln x)(6x¤ +2x)-: ;[!;(6x¤ +2x) dx
=(6x¤ +2x)ln x-: (6x+2) dx
=(6x¤ +2x)ln x-3x¤ -2x+C¡
또 : (4x+1) dx=2x¤ +x+C™이므로
(cid:100)(cid:100)f(x)=(6x¤ +2x)ln x-3x¤ -2x+2x¤ +x+C
(cid:100)(cid:100)f(x)=(6x¤ +2x)ln x-x¤ -x+C
f(1)=4이므로(cid:100)(cid:100)-2+C=4(cid:100)(cid:100)∴ C=6
∴ f(x)=(6x¤ +2x)ln x-x¤ -x+6
㉠의 양변에 x=2를 대입하면
F(2)=2f(2)-36 ln 2
이때 f(2)=(24+4)ln 2-4-2+6=28 ln 2이므로
F(2)=2¥28 ln 2-36 ln 2
=20 ln 2
(cid:8951) 20 ln 2
x¤
2
-;2!; ln|2x-1|
+2 ln|x-1|+C
x¤
2
= -ln "√|2x-1|
+ln (x-1)¤ +C
(x-1)¤
1112352
"√|2x-1|
x¤
= +ln
2
+C
본책
86쪽``…``87쪽
464 Iμ=: sinμ x dx=: sinμ —⁄ x sin x dx
f(x)=sinμ —⁄ x, g '(x)=sin x로 놓으면
f '(x)=(m-1) sinm-2x cos x, g(x)=-cos x
∴ Iμ=: sinm-1x sin x dx
=-cos x sinm-1x
=+(m-1): sinm-2x cos¤ x dx
=-cos x sinm-1x
=+(m-1): sinm-2x(1-sin¤ x)dx
=-cos x sinm-1x
=+(m-1): sinm-2x dx
=-(m-1): sinmx dx
=-cos x sinm-1x +(m-1)Im-2
=-(m-1)Iμ
mIμ=-cos x sinm-1x +(m-1)Im-2이므로
Iμ=
-cos x sinμ —⁄ x
m
+
m-1
m
Im-2
∴ k=
m-1
m
1등급
|비|밀|노|트|
Im과 Im-2의 관계식을 구해야 하므로 : sinm-2 x dx를 유도할 수
있도록 f(x), g'(x)를 정하는 것이 중요하다.
(cid:8951) ④
법
분
적
Ⅳ
(다항함수)_(로그함수)
꼴일 때에는 로그함수를
u(x)로, 다항함수를
v'(x)로 놓는다.
465 주어진 등식의 양변에 n=8을 대입하면
(cid:100)(cid:100)a¡+a™+a£+y+a•=:)9 2x dx
주어진 등식의 양변에 n=7을 대입하면
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)a¡+a™+a£+y+a¶=:)8 2x dx
㉠-㉡을 하면
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
:)9 2x dx-:)8 2x dx
= :)8 2x dx+:*9 2x dx
-:)8 2x dx
= :*9 2x dx
(cid:100)(cid:100)a•=:)9 2x dx-:)8 2x dx
2≈
ln 2
]9*
(cid:100)(cid:100)a•=:*9 2x dx=[
512
256
ln 2
ln 2
(cid:100)(cid:100)a•=
-
(cid:100)(cid:100)a•=
256
ln 2
466
f '(x)=‡
6x
(x>0)
sin x (x<0)
에서
(cid:100)(cid:100)f(x)=‡
3x¤ +C¡
(x>0)
-cos x+C™ (x<0)
f(1)=6이므로(cid:100)(cid:100)3+C¡=6(cid:100)(cid:100)∴ C¡=3
함수 f(x)는 x=0에서 연속이므로
(cid:8951) ③
● 20%
Ⅳ. 적분법 87
15일품미적분II-해(81~104) 2015.4.27 7:32 PM 페이지88 SinsagoHitec
f(x)=f(0)
(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)
f(x)=
lim
0-
x
⁄
(3x¤ +3)=
lim
0+
x
⁄
lim
0+
x
⁄
3=-1+C™(cid:100)(cid:100)∴ C™=4
lim
0-
x
⁄
(-cos x+C™)
(cid:100)(cid:100)∴ f(x)=‡
3x¤ +3
(xæ0)
-cos x+4 (x<0)
`
∴ : 2-;2“;
f(x)dx
=: 0-;2“;
(-cos x+4)dx+:)2 (3x¤ +3)dx
+[x‹ +3x]2)
=[-sin x+4x]0-;2“;
=-(1-2p)+(8+6)
=13+2p
● 40%
(cid:8951) 13+2p
467 f(x)=e|x|+kx¤ 에서
f(-x)=e|-x|+k(-x)¤ =e|x|+kx¤ =f(x)
이므로
:_1! f(x)dx=2:)1 f(x)dx
:_1! f(x)dx=2:)1 (ex+kx¤ )dx
:_1! f(x)dx=2[ex+
x‹ ]1)
;3K;
:_1! f(x)dx=2{e+
-1}
;3K;
따라서 2{e+
;3K;
-1}=2e+1이므로
2e+;3@;k-2=2e+1,(cid:100)(cid:100);3@;k=3
∴ k=;2(;
468 'ßx=t로 놓으면 x=t¤ 이므로(cid:100)(cid:100) =
dt
dx
1
2t
x=0일 때 t=0, x=1일 때 t=1이므로
:)1 ø∑1-'x dx=:)1 'ƒ1-t¥2t dt
'ƒ1-t=s로 놓으면 t=1-s¤ 이므로(cid:100)(cid:100) =-
ds
dt
1
2s
t=0일 때 s=1, t=1일 때 s=0이므로
:)1 'ƒ1-t¥2tdt=2:!0 s(1-s¤ )¥(-2s)ds
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '(x)=ex¤
한편 :)a ex¤ -f(x)dx에서 f(x)=u로 놓으면
● 40%
du
dx
=f '(x)=ex¤
x=0일 때u=f(0)=0, x=a일 때u=f(a)=ln 3이
므로
:)a ex¤ -f(x)dx=:)a ex¤ ¥e-f(x)dx
:)a ex¤ -f(x)dx=:)
ln 3
e-u du
ln 3
:)a ex¤ -f(x)dx=[-e-u
])
:)a ex¤ -f(x)dx=-e-ln 3+1
:)a ex¤ -f(x)dx=-;3!;+1
:)a ex¤ -f(x)dx=;3@;
(cid:8951) ;3@;
470 "√3+2x-x¤ ="√4-(x-1)¤ 이므로
x-1=2 sin h{-;2“;…h…;2“;}로 놓으면
dx
dh
=2 cos h
x=1일 때 h=0, x=2일 때 h=;6“;이므로
f(-x)=f(x)에서
f(x)는 우함수이므로
f(x)의 그래프는 y축
에 대하여 대칭이다.
∴ :_aA f(x)dx
=2:)a f(x)dx
0…x…1에서
e|x|+kx¤
=ex+kx¤
t=1-s¤ 의 양변을 t에
대하여 미분하면
1=-2s
ds
dt
∴
=-
ds
dt
1
2s
:!2 "√3+2x-x¤ dx
=:!2 "√4-(x-1)¤ dx
;6“;
;6“;
;6“;
;6“;
=:)
=:)
4 cos¤ h dh
(2+2 cos 2h)dh
=[2h+sin 2h
;6“;
])
=;3“;+
'3
2
(cid:8951) ;2(;
4 cos¤ h
=4¥
1+cos 2h
2
=2+2 cos 2h
=:)
"√4-4 sin¤ h ¥2 cos h dh
=:)
"√4 cos¤ h ¥2 cos h dh
=4:)1 (s¤ -s› )ds
=4[;3!;s‹ -;5!;sfi ]1)=;1•5;
(cid:8951) ③
:Ab f(x)dx
=-:Ba f(x)dx
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
따라서 a=;3!;, b=;2!;이므로(cid:100)(cid:100)a+b=;6%;
(cid:8951) ⑤
471 `
kx cos x dx
kp
:
(k-1)p
kp
x cos x dx
=k:
에서 f(x)=x, g '(x)=cos x로 놓으면
(cid:100)(cid:100)f '(x)=1, g(x)=sin x
(k-1)p
469 f(x)=:)/ et¤ dt
㉠의 양변에 x=0을 대입하면
f(0)=0
88 정답 및 풀이
15일품미적분II-해(81~104) 2015.4.27 7:32 PM 페이지89 SinsagoHitec
함수 f(x)의 한 부정
적분을 F(x)라 하면
2x
:A
f(t)dt
=F(2x)-F(a)
이므로
d
dx
2x
[ :A
f(t)dt]
=F'(2x)¥2
=2f(2x)
⁄ n이 홀수일 때,
S«
=2{(-1+2)+(-3+4)
+y+(-n+2+n
-1)-n}
=2(1+1+y+1-n)
( \ { \ 9
개
n-1
2
-n-1
2
=2¥
=-n-1
¤ n이 짝수일 때,
S«
=2{(-1+2)+(-3+4)
+y+(-n+1+n)}
=2(1+1+y+1)
n
2
( \ { \ 9
개
n
=2¥ =n
2
두 변의 길이가 a, b이고
그 끼인 각의 크기가h인
삼각형의 넓이
(cid:8857) ;2!;ab sin h
f(-x)=-f(x)에서
f(x)는 기함수이므로
f(x)의 그래프는 원점에
대하여 대칭이다.
k
n
1
를 x로, 을 dx로
n
나타낼 때,
k=1이고 n
¶이면
⁄
x=0
k=n-1이고 n
¶
⁄
이면
x=1
● 60%
● 30%
● 10%
(cid:8951) 19
kp
∴ :
(k-1)p
x cos x dx
=[x sin x]
kp
kp
-:
(k-1)p
(k-1)p
sin x dx
kp
=[cos x]
=cos kp-cos(k-1)p
(k-1)p
-2 (k=1, 3, 5, y)
-2 (k=2, 4, 6, y)
=‡
(cid:100)(cid:100)∴ S«= k:
n
¡k=1
kp
(k-1)p
x cos x dx
=1¥(-2)+2¥2+3¥(-2)+4¥2
=+y+n¥(-1)« ¥2
-n-1 (n이 홀수)
n
(n이 짝수)
=‡
따라서 S«=-20에서
-n-1=-20(cid:100)(cid:100)∴ n=19
472 f(x)=xe|x|에서
f(-x)=-xe|-x|=-xe|x|=-f(x)
이므로
:_nN f(x)dx=0
n+1
∴ a«=:_N
f(x)dx
∴ a«=:_nN f(x)dx+:N
n+1
f(x)dx
∴ a«=:N
n+1
f(x)dx
따라서
a¡+a™+a£+y+a«
=:!2 f(x)dx+:@3 f(x)dx+:#4 f(x)dx
=+y+:N
n+1
f(x)dx
n+1
=:!
f(x)dx=:!
n+1
xex dx
xex dx에서 u(x)=x, v'(x)=ex으로 놓
n+1
이므로 :!
으면
u'(x)=1, v(x)=ex
n+1
xex dx
∴ :!
n+1
n+1
=[xex
]!
-:!
ex dx
n+1
={(n+1)en+1-e}-[ex
={(n+1)en+1-e}-(en+1-e)
=nen+1
]!
∴
a¡+a™+a£+y+a¡™
a¡+a™+a£+a¢
=
12e⁄
4efi
본책
87쪽``…``89쪽
2x
473 :A
여 미분하면
1
10
f(t)dt= x¤ -ln x의 양변을 x에 대하
1
2f(2x)=;5!;x- (cid:100)(cid:100)∴ f(2x)=
x
x
10
1
2x
-
2x=t로 놓으면(cid:100)(cid:100)f(t)= -
t
20
1
t
(cid:100)(cid:100)∴ :!e f(t)dt=:!e { - }dt
t
20
1
t
=[
1
40
t¤ -ln|t|]e!
=
e¤ -41
40
(cid:8951) ⑤
474
∠AOP˚=;2“;¥ 이므로
k
n
S˚=;2!;¥2¤ sin
;2Kn“;=2 sin
;2Kn“;
● 40%
∴
lim
¶
n
⁄
;n“;
S˚
n-1
¡k=1
n-1
¡k=1
lim
= ;n“;
¶
n
⁄
2 sin
;2Kn“;
=2p
:)1 sin ;2“; x dx
=2p
[-;ç@; cos ;2“; x]1)=4
475 ⁄ x>0일 때,
⁄ (cid:100)(cid:100)f(x)=: f '(x)dx=: sin¤ x dx
⁄ (cid:100)(cid:100)f(x)=:
1-cos 2x
2
dx
⁄ (cid:100)(cid:100)f(x)=;2!;x-
sin 2x
4
+C¡
● 60%
(cid:8951) 4
법
분
적
Ⅳ
⁄ f {;2“;}=p이므로(cid:100)(cid:100);4“;+C¡=p(cid:100)(cid:100)∴ C¡=;4#;p
(cid:100)∴ :_aA f(x)dx=0
⁄ (cid:100)(cid:100)∴ f(x)=
x-
sin 2x
4
+
p
;4#;
;2!;
¤ x<0일 때,
⁄ (cid:100)(cid:100)f(x)=: f '(x)dx=: k cos x dx
⁄ (cid:100)(cid:100)f(x)=k sin x+C™
⁄ f {-;2#;p}=p이므로
(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)k+C™=p(cid:100)(cid:100)∴ C™=p-k
⁄ (cid:100)(cid:100)∴ f(x)=k sin x+p-k
함수 f(x)는 x=0에서 연속이므로 ⁄, ¤에서
sin2x
4
{;2!;x-
(k sin x+p-k)
+;4#;p}
lim
0+
x
⁄
lim
0-
x
⁄
=
=3e°
(cid:8951) ⑤
;4#;p=p-k(cid:100)(cid:100)∴ k=;4“;
(cid:8951) ③
Ⅳ. 적분법 89
‹
15일품미적분II-해(81~104) 2015.4.27 7:32 PM 페이지90 SinsagoHitec
476 ln x=t로 놓으면(cid:100)(cid:100) =
dt
dx
1
x
∴ f(x)=: ;[!;
sin (ln x)dx=: sin tdt
=-cos t+C=-cos (ln x)+C
f(1)=-2이므로(cid:100)(cid:100)-1+C=-2(cid:100)(cid:100)∴ C=-1
∴ f(x)=-cos (ln x)-1
f(x)=0에서(cid:100)(cid:100)cos (ln x)=-1
∴ ln x=2np+p (단, n은 정수)
이때 00이므로(cid:100)(cid:100)ek>1
(cid:100)(cid:100)∴ ek=2
(cid:100)(cid:100)∴ k=ln 2
(cid:8951) ln 2
489 f(x)=
;[!;
이라 하면(cid:100)(cid:100)f '(x)=-
1
x¤
점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=-1이므로
접선의 방정식은
(cid:100)(cid:100)y-1=-(x-1), 즉 y=-x+2
따라서 오른쪽 그림에서 구하는
넓이는
y
2
1
O
y=2
y= 1
x
1
2
x
y=-x+2
:!2 [;]!;
-(2-y)]dy
=:!2 {;]!;
-2+y}dy
=[ln|y|-2y+;2!;y¤ ]2!
=-;2!;+ln 2
490 구하는 입체도형의 부피는
:)» S(x)dx=:)» cos¤ x dx=:)»
1+cos 2x
2
dx
=[;2!;x+
sin 2x
4
]»)=;2“;
(cid:8951) ②
491 점 P의 x좌표를 x라 하면PH”= 21-x이므로
PH”를 지름으로 하는 반원의 반지름의 길이는
(cid:100)(cid:100);2!;PH”=;2!;¥21-x=2-x
이때 x좌표가 x인 점을 지나고 x축에 수직인 평면으로
입체도형을 자른 단면의 넓이를 S(x)라 하면
(cid:100)(cid:100)S(x)=;2!;¥p¥(2-x)2=;2“;¥4-x
따라서 입체도형의 부피는
(cid:100)(cid:100):)2 S(x)dx=:)2 {;2“;¥4-x
}dx
(cid:100)(cid:100):)2 S(x)dx=;2“;[-4-x¥
1
ln 4
]2)
(cid:100)(cid:100):)2 S(x)dx=
[-4-x
]2)
(cid:100)(cid:100):)2 S(x)dx=
(-4-2+1)
(cid:100)(cid:100):)2 S(x)dx=
a=64, b=15이므로(cid:100)(cid:100)a-b=49
p
15
64 ln 2
p
2 ln 4
p
2 ln 4
92 정답 및 풀이
f(-x)=-f(x)에서
f(x)는 기함수이므로
f(x)의 그래프는 원점
에 대하여 대칭이다.
∴ :_0A {-f(x)}dx
=:)a f(x)dx
y=-x+2에서
x=2-y
493 `
므로
y=
에서(cid:100)x=
;[!;
;]!;
(cid:8951) ①
492 f(x)=
라 하면
2x
x¤ +1
2¥(-x)
(-x)¤ +1
(cid:100)(cid:100)f(-x)=
=-
=-f(x)
2x
x¤ +1
이고, x>0일 때 f(x)>0이므로 구하는 넓이는
2'2
(cid:100)(cid:100):-'2
|
|dx
2x
x¤ +1
2x
x¤ +1
=: 0-'2 {-
2x
x¤ +1
=:)
'2
}dx+:)
2'2
2x
x¤ +1
dx
2'2
dx+:)
2x
x¤ +1
dx
'2
=[ln|x¤ +1|])
=ln 3+ln 9=3 ln 3
2'2
+[ln|x¤ +1|])
(cid:8951) ④
곡선 y=ax+b가 점 (0, 0)을 지나
(cid:100)(cid:100)0=1+b(cid:100)(cid:100)∴ b=-1
곡선 y=ax-1이 점 (2, 3)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)3=a¤ -1,(cid:100)(cid:100)a¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ a=2 (∵ a>0) ● 20%
`
따라서 곡선 y=2x-1
● 20%
y=2x-1
y
-1
O 1
x
과 x축 및 두 직선 x=-1,
x=1로 둘러싸인 도형의 넓이는
(cid:100)(cid:100):_1! |2x-1|dx
=:_0! (1-2x)dx+:)1 (2x-1)dx
2≈
ln 2
]0_!+[
2≈
ln 2
-x]1)
=[x-
1
ln 2
=-
=
1
2 ln 2
-{-1-
1
2 ln 2
}+{
2
ln 2
-1}-
1
ln 2
● 60%
(cid:8951)
1
2 ln 2
494
f(x)=
에서
ln x
x
(cid:100)(cid:100)f '(x)=
¥x-ln x
;[!;
111115
x¤
=
1-ln x
x¤
(cid:100)(cid:100)f "(x)=
-
;[!;
¥x¤ -(1-ln x)¥2x
111115111112
x›
(cid:100)(cid:100)f "(x)=
-3+2 ln x
x‹
f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)1-ln x=0(cid:100)(cid:100)∴ x=e
f "(x)=0에서(cid:100)(cid:100)-3+2ln x=0(cid:100)(cid:100)∴ x=e;2#;=e'e
x
0
f '(x)
f "(x)
f(x)
y
+
-
(cid:9211)
e
0
-
극대
y
-
-
(cid:9213)
e'e
-
0
변곡점
y
-
+
(cid:9215)
변곡점의 판정
함수 f(x)에서 f "(a)=0
이고 x=a의 좌우에서
f "(x)의 부호가 바뀌면
점 (a, f(a))는 곡선
y=f(x)의 변곡점이다.
(cid:8951) ②
● 50%
15일품미적분II-해(81~104) 2015.4.27 7:33 PM 페이지93 SinsagoHitec
0…x…ln 3에서
(ex-1)(ex-3)…0,
즉 e2x-4ex+3…0
이므로
e2x+1…4ex-2
`
따라서 a=e, b=e'e 이고 x>1일 때
f(x)>0이므로 구하는 넓이는
e'e
(cid:100)(cid:100):E
ln x
x
dx
ln x=t로 놓으면(cid:100)(cid:100) =
dt
dx
;[!;
x=e일 때 t=1, x=e'e 일 때 t=;2#;이므로
e'e
(cid:100)(cid:100):E
ln x
x
dx=:!
;2#; t dt=[;2!;t¤ ]!
;2#;
=;8(;-;2!;=;8%;
● 50%
(cid:8951) ;8%;
495 xy+x+y-1…0에서
(cid:100)(cid:100)x(y+1)+(y+1)…2
(x+1)(y+1)…2(cid:100)(cid:100)∴ y…
이때 xæ0, yæ0이므로 점 P가
나타내는 영역은 오른쪽 그림의
어두운 부분`(경계선 포함)과 같
다.
따라서 구하는 넓이는
2
x+1
:)1 {
2
x+1
-1
y=
2
x+1
-1
x
-1
1
y
1
1
O
-1
'3
0…x… p에서
9
f '(x)æf(x)
-1}dx=[2 ln|x+1|-x]1)
=2 ln 2-1=ln 4-1
(cid:8951) ④
y
1
O
-1
y=sin`nx
π
n
π2
n
x
y=sin nx의 주기는
2
= p
n
2p
n
496 0…x… p에서
2
n
곡선 y=sin nx는 오른
쪽 그림과 같으므로 어
두운 부분의 넓이는
p
1`n
0
2: sin nx dx
1
n
=2 [- cos nx] =
0
p
1`n
4
n
따라서 S«=n¥ =4이므로
4
n
(cid:100)(cid:100) S«=4
lim
¶
n
⁄
497 두 곡선y=e 2x+1,
y=4ex-2의 교점의 x좌표는
e2x+1=4ex-2에서
e2x-4ex+3=0
(ex-1)(ex-3)=0
ex=1 또는 ex=3
∴ x=0 또는 x=ln 3
따라서 구하는 넓이는
(cid:8951) 4
y
2
O
y=4ex-2
y=e@x+1
ln`3
x
본책
91쪽``…``93쪽
{(4ex-2)-(e2x+1)}dx
(cid:100)(cid:100):)
ln 3
ln 3
=:)
(4ex-e2x-3)dx=[4ex-;2!;e2x-3x])
ln 3
y
Â3
y=f '{x}
(cid:8951) ③
y=f{x}
O
Â3 π
9
x
Â3
3
π
={4¥3-;2!;¥9-3 ln 3}-{4-;2!;}
=4-3 ln 3
498 `f(x)=sin '3x에서
(cid:100)(cid:100)f '(x)='3 cos '3x
두 곡선y=f (x), y=f '(x)의
교점의 x좌표는
sin '3x='3 cos '3x에서
(cid:100)(cid:100)
sin '3 x
cos '3x
(cid:100)(cid:100)tan '3 x='3
(cid:100)(cid:100)'3x=;3“;(cid:100)(cid:100)∴ x=
='3 (∵ cos '3 x+0)
p
3'3
'3
= p
9
따라서 a= p이므로 구하는 넓이는
'3
9
'3
13
9
p
(cid:100)(cid:100):)
('3 cos '3x-sin '3x)dx
p
'3
1
13
9
=[sin '3x+ cos '3x])
'3
1
=sin ;3“;+ cos ;3“;-
'3
1
2'3
1
'3
'3
- = + -
2
1
'3
'3
6
'3
3
'3
= +
2
'3
3
=
1등급
|비|밀|노|트|
방정식 sin '3x='3 cos '3x에서 cos '3x=0이라 하면
(cid:100)(cid:100)'3x={n+;2!;}p(cid:100)(cid:100)∴ x={n+;2!;}
(단, n은 정수)
p
'3
x={n+;2!;}
(n은 정수)일 때
p
'3
(cid:100)(cid:100)sin '3x=sin{n+;2!;}p+0
따라서 sin '3x+'3 cos '3x이므로 cos '3x+0이다.
499
곡선 y=
와 두 선분 AP, BP
4
x+1
로 둘러싸인 도형의 넓이의 합이 최소가 되려면 삼각형
APB의 넓이가 최대가 되어야 한다.
● 10%
또 곡선 y=
위의 점 P에서의 접선이 선분 AB와
4
x+1
평행할 때 삼각형 APB의 넓이가 최대가 된다.
즉 직선AB 의 기울기가
=-1이므로 곡선 위의
1-4
3-0
점 P에서의 접선의 기울기가 -1이어야 한다.
● 10%
`
에서(cid:100)(cid:100)y'=-
y=
4
x+1
4
(x+1)¤
-
4
(t+1)¤
=-1에서(cid:100)(cid:100)(t+1)¤ =4
Ⅳ. 적분법 93
(cid:8951) '3
3
법
분
적
Ⅳ
15일품미적분II-해(81~104) 2015.4.27 7:33 PM 페이지94 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100)∴ t=1 (∵ 01인 경우로 나누어
그려 본다.
⁄ 므로
⁄ 0…x<1일 때,
xn= xn+2=0이
lim
¶
n
⁄
lim
¶
n
⁄
⁄ 므로f(x)=cos ;2“;x+1
¤ x=1일 때,므로f(1)=
=1
0+1+1
1+1
xn=¶이므로
‹ x>1일 때,
⁄ 므로f(x)=
lim
¶
n
⁄
lim
¶
n
⁄
1
13
x«
1
13
x«
=x¤
cos ;2“;x+x¤ +
1
13x«
1+
따라서 곡선 y=f(x)
는 오른쪽 그림과 같으므로 곡
선 y=f(x)와 y축 및 직선
y=16으로 둘러싸인 도형의 넓
이는
y
16
2
1
O
104 정답 및 풀이
따라서 g(x)=(2x-6)ex+4이므로
g(0)=-2
(cid:8951) ④
한편 직선 y=kx와 곡선 y=
의 교점을
;[$;
P{a,
;a$;}라 하면10)의 교점의 x좌
표는
(cid:100)x=
,(cid:100)x¤ =4
;[$;
(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
y=4x
y=kx
y
4
1
A
P
B
O
1
a
4
1
y= x
4
4
y= x
x
∴ A=;2!;¥1¥4+:!a
dx-;2!;¥a¥
;a$;
;[$;
∴ A=2+[4 ln|x|]a!-2
∴ A=4 ln a
4 ln a=;3*; ln 2에서
(cid:100)(cid:100)ln a=;3@; ln 2=ln 2;3@;
∴ a=2;3@;
직선 y=kx가 점 P를 지나므로
2;3$;=k¥2;3@;,(cid:100)(cid:100)k=
=2;3@;
2;3$;
12
2;3@;
y=f{x}
y=16
=22-;3@;=2;3$;
4
2;3@;
점 P의 좌표는 {2;3@;,
}, 즉 (2;3@;, 2;3$;)이고
4
2;3@;
1
4
x
∴ k‹ =(2;3@;)3=2¤ =4
(cid:8951) 4
