E0429_일품기벡_정(001-005) 2015.4.29 2:42 PM 페이지1 SinsagoHitec
기하와 벡터
정답 및 풀이
Ⅰ
평면 곡선
Ⅱ
평면벡터
Ⅲ
공간도형과 공간벡터
6
33
58
E0429_일품기벡_정(001-005) 2015.4.29 2:42 PM 페이지2 SinsagoHitec
Ⅰ
평면 곡선
01
이차곡선
076 4+2'∂10
080 ②
077 ②
078 ②
079 '3
본책 8쪽 ~ 11쪽
001 ④
002 ;2#;
003 ④
004 9
005 13
006 4
007 ③
008 ④
009 12
010 12
011 ④
012 20'∂21 013 -56 014 ④
015 ;2&;
016 ④
017 ④
018 280
019 ;2!;
020 8
021 ③
022 ②
023 ③
024 ①
081 ④
082 ②
083 2
086 ⑤
087 -2
088 ③
091 ③
096 4'2
092 ③
097 ③
093 ②
098 8
본책 21쪽 ~ 24쪽
084 9
089 '∂17
094 ④
099 '5
085 ②
090 ③
095 -2
100 ⑤
101 ;1%0!;
102 ③
103 -;2!;
104 ④
105 ①
025 96
026 ③
030 11
031 ⑤
035 ②
036 24
027 ⑤
032 8'2
037 ③
028 ④
033 ①
038 16
040 ;4$1);
041 ③
042 6
043 ②
본책 12쪽 ~ 15쪽
029 169
034 153
039 30
044 ;2&;
045 ③
046 7
047 9
048 ④
049 ③
050 ①
056 24
051 72
052 3
053 ②
054 ④
055 ①
본책 16쪽
106 ⑤
107 128
108 ⑤
109 ③
110 14
111 8
본책 25쪽
112 ①
113 2
114 ④
115 ⑤
117 ④
118 20
119 68
122 ②
123 26
127 -5
132 26
137 ④
128 ③
133 '∂10
138 9
142 17
143 ④
124 8'2
129 ①
134 ②
139 2'6
144 20p
본책 26쪽 ~ 30쪽
116 4'3
120 ;2(;
125 16
130 ②
135 ③
140 ②
121 '3
126 12
131 15
136 47
141 ③
02
평면 곡선의 접선
Ⅱ
평면벡터
03
벡터의 연산
057 ②
058 36
059 ①
062 ③
063 ②
064 4
067 ④
068 3
069 ③
본책 17쪽 ~ 20쪽
060 ③
065 ③
070 :¡5¶:
061 9
066 ③
071 ⑤
072 ④
073 1
074 ③
075 ⑤
155 ③
145 6
146 5
147 16
148 ⑤
150 ④
151 ②
152 4
153 9
149 ②
154 32
본책 32쪽 ~ 33쪽
2 정답 및 풀이
E0429_일품기벡_정(001-005) 2015.4.29 2:42 PM 페이지3 SinsagoHitec
156 12
157 ③
158 ④
159 ⑤
160 ⑤
236 ④
237 3
238 56
239 ③
240 ⑤
본책 34쪽 ~ 36쪽
본책 47쪽
161 1
162 ;3%;
163 ①
164 -;3!;
165 ⑤
241 77
166 0
167
168 ①
169 ②
170 2
'2
5
171 5
172 ②
173 21
174 ②
175 76
176 18
177 ④
178 40
05
평면 운동
본책 37쪽
179 248
본책 48쪽 ~ 49쪽
242 48
243 16m 244 ④
245 ②
246 ④
247 ①
248 4p
249 ③
250 40 km 251 ④
252 36
253 ③
04
평면벡터의 성분과 내적
254 4
255 ③
256 ⑤
257 ⑤
258 18
본책 38쪽 ~ 41쪽
259 3'5
260
261 80초 262 ①
1
"√1+e¤
263 ②
264 ⑤
265 19
266 ④
본책 50쪽 ~ 51쪽
180 ④
181 0
185 33
186 ⑤
190 ⑤
191 5
195 15
196 ⑤
200 ③
201 ③
182 ①
187 ⑤
192 ③
197 ④
202 ①
183 2
188 ②
193 ②
198 ③
184 ③
189 2
194 ③
199 ②
267 ④
268 ⑤
269 ;8!;
270 70
271 ③
본책 52쪽
본책 42쪽 ~ 46쪽
203 ⑤
204 2
205 ①
206 ③
207 6
208 9
209 ;7*;
210 ③
211 6
212 ;4&;
213 ①
214 ③
215 ②
216
1+3'3
2
217 ③
218 7
219 30
220 ③
221 22
222 ③
223 ;3*;
224 ;4!;
225 -;3!;
226 ②
227 -
'∂15
6
228 ②
229 ④
230 3
231 ④
232 ④
233 ①
234 ⑤
235 4
301 8
본책 53쪽 ~ 57쪽
272 29
273 ⑤
274 9
277 ④
278 3
279 ③
282 ②
283 (9, -10)
286 4
287 ④
288 32
275 ⑤
280 ②
284 ⑤
289 14
291 ④
292 12
293 ②
294 ③
296 ⑤
297 30
298 2p
299 1
276 10
281 ②
285 ⑤
290 '5p
295 ;4%;
300 ⑤
빠른 정답 찾기 3
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Ⅲ
공간도형과 공간벡터
06
공간도형
363 ②
364 (-1, 0, 0)
365 (4, 3, 1)
366 ⑤
367 ①
368 0
369 ①
370 ②
371 ②
372 ③
373 (x-3)¤ +(y+4)¤ +z¤ =25
374 ③
375 ②
376 ;7$;
302 ⑤
303 ⑤
304 20
305 6
306 ③
본책 60쪽 ~ 64쪽
307 ③
308 4
309 모서리 CH, 모서리 DI, 모서리 EJ
310 면 ABD, 면 BCD 311 ⑤
312 ②
313 6
377 2
378 (6, 5, '3)
379 -8-'2
314 풀이 58쪽
315 ③
316 ㈎ ⊥ ㈏ ⊥
380 ④
381 ⑤
382 ④
383 ③
317 ④
318 7
319 ①
320
321 ②
385 ①
386 ①
387 4
388 4'5
'7
2
322 ④
327 ③
323 2'3
328 '3
3
324 20'3 325 12 cm 326 ;3“;
390 ④
391 (y-4)¤ +(z+5'3)¤ =91 또는 (y-4)¤ +(z-5'3)¤ =91
394 '∂122
392 ①
393 ①
본책 73쪽 ~ 75쪽
384 ;3$;
389 ③
본책 65쪽 ~ 68쪽
본책 76쪽
329 ②
330 6
331 ①
332 ⑤
333 ③
395 ⑤
396 ②
397 40
398 4
399 ③
334 8
335 ①
336
337 ④
338 60°
400 ④
401 18
2'6
5
339 ③
340 ㈎ AC(cid:100)㈏ BDF
341 ③
342 '3
343 ①
348 ④
344 ④
'2
2
349
345 :¡5™:
346 ;3!;
347 -;3!;
350 ②
351 ③
352 150
353 ③
354 15
355 ④
356 ①
357 19
본책 77쪽 ~ 78쪽
08
공간벡터
본책 69쪽
402 ④
403 ④
404 7
405 -1
406 ①
407 ①
408 ④
409 3
410 ②
411 ;5$;
412 p¯=(3'3, 3'3, 3'3), p¯=(-3'3, -3'3, -3'3)
본책 70쪽 ~ 72쪽
413 ⑤
414 ④
415 2'∂14 416 ⑤
417 6'6
418
'∂182
7
419 15
420 ④
421 ②
422 ;1∞8;
본책 79쪽 ~ 80쪽
359 ③
360 (0, 1, 0)
361 -4
362 ②
423 107
424 ④
425 6
358 3
07
공간좌표
4 정답 및 풀이
E0429_일품기벡_정(001-005) 2015.4.29 2:42 PM 페이지5 SinsagoHitec
426 12
427 ④
428 ③
429 ②
430 ④
431 5
511 21
512 ③
513 ;3!;
514 21
515 50
본책 81쪽
501 -10 502 -11 503 ⑤
506 ①
507 ③
508 ③
504 ②
509 ③
505 ⑤
510 ②
516 ④
517 11
09
도형의 방정식
본책 82쪽 ~ 85쪽
432 -6
433 ③
437 4
442 1
438 2
443 ①
434 ⑤
439 ⑤
444 ⑤
435 ②
440 1
445 -8
436 5
441 ②
446 2x-2y+z-2=0 447 ①
448 ①
449 6
451 1
452 ③
453 2'5
454 ④
450
9'2
2
455 ③
본책 86쪽 ~ 89쪽
456 3
457 15
458 ②
459 ⑤
460 ③
461 ⑤
462 ⑤
463 16
464 ③
465 -;3!;
466
'6
18
467 2
468 ③
469 '∂11
470 4
471 4'5
472 ④
473 ③
474 ;1!8!;
475 ③
476 3p
477 35p
478 ⑤
479 ④
480 ③
481 70
482 ②
483 ⑤
484 ②
485 7
486 ①
본책 90쪽
487 ③
488 ②
489 20
490 ④
492
50'∂41
41
493
8'3
3
494 8'3
495 ③
본책 91쪽 ~ 95쪽
491 3'3
496 2
497 139
498 16
499 ②
500 ②
빠른 정답 찾기 5
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지6 SinsagoHitec
(cid:8951) ④
원의 반지름의 길이
Ⅰ
평면 곡선
01
이차곡선
본책 8쪽
001 포물선 y¤ =4px의 꼭짓점의 좌표는 (0, 0)이고,
준선의 방정식은 x=-p이므로 꼭짓점과 준선 사이의
거리는 p이다.
∴ p=4
즉 포물선의 방정식은
y¤ =4¥4x, 즉 y¤ =16x
(4, 8), (4, -8)
따라서 구하는 거리는
8-(-8)=16
x=4를 y¤ =16x에 대입하면 y=—8이므로 직선 x=4
와 포물선 y¤ =16x가 만나는 두 점의 좌표는
002 y¤ =-8x=4¥(-2)x에서 초점은
F(-2, 0)
x¤ =6y=4¥;2#;y에서 초점은(cid:100)(cid:100)F'{0, ;2#;}
따라서 △OFF'의 넓이는
;2!;¥2¥;2#;=;2#;
(cid:8951) ;2#;
003 점 P의 자취는 원의 중심 (-3, 0)을 초점으로
하고 직선 x=3을 준선으로 하는 포물선이므로 l의 방
정식은
y¤ =4¥(-3)x, 즉 y¤ =-12x
원 (x+3)¤ +y¤ =16과 포물선 l의 교점의 x좌표는
(x+3)¤ -12x=16,(cid:100)(cid:100)x¤ -6x-7=0
004 두 점 A, B의 x좌표를 각각 x¡, x™라 하면
AC”+BD”=x¡+x™=5
이때 포물선 y¤ =8x=4¥2x의 초점을 F라 하면F(2, 0)
이고, 준선의 방정식은 x=-2이므로
AF”=x¡+2, BF”=x™+2
∴ AB”=AF”+BF”
∴ AB”=x¡+x™+4=9
(cid:8951) 9
005 두 점 P, Q의 x좌표를 각각 a, b라 하면
a+b
2
=;2&;(cid:100)(cid:100)∴ a+b=7
포물선 y¤ =12x=4¥3x의 초점을 F라 하면 F(3, 0)이
고, 준선의 방정식은 x=-3이다.
6 정답 및 풀이
y
N
Q
y@=12x
a
F
3
b
O
x
-3
M
P
한편 직선 y=k(x-3)은 k의
값에 관계없이 항상 점 (3, 0)
을 지나므로 오른쪽 그림과 같
이 두 점 P, Q에서 준선에 내
린 수선의 발을 각각 M, N이
라 하면
PQ”=PF”+FQ”=P’M”+QN”
=(3+a)+(3+b)
=6+a+b=13
(cid:8951) 13
006 y¤ =12x=4¥3x에서 점 A(3, 0)은 주어진 포
물선의 초점이고, 준선의 방정식은 x=-3이다.
오른쪽 그림과 같이 점 C에
서 포물선의 준선 x=-3에
내린 수선의 발을 H라 하면
CH”=CA”=4
이므로 원은 직선 x=-3
y
O
C4
4
H
-3
A{3, 0}
x
y@=12x
① 포물선 y¤ =4px의 초
과 접한다.
점의 좌표는
(cid:100) (cid:100)(p, 0)
점의 좌표는
(cid:100) (cid:100)(0, p)
② 포물선 x¤ =4py의 초
-3+4=1이므로 x=1을 y¤ =12x에 대입하면
따라서 점 C의 x좌표는
y=2'3 (∵ y>0)
∴ C(1, 2'3)
즉 주어진 원의 방정식은
(x-1)¤ +(y-2'3)¤ =16
y=0을 위의 식에 대입하면
(x-1)¤ =4,(cid:100)(cid:100)x-1=—2
∴ x=-1 또는 x=3
따라서 원이 x축과 만나는 두 점의 좌표는
(-1, 0), (3, 0)
이므로 원이 x축에 의하여 잘린 현의 길이는
3-(-1)=4
(cid:8951) 4
007 주어진 타원의 방정식을 + =1
x¤
a¤
y¤
b¤
(a>b>0)이라 하면 장축의 길이가 12이므로
"√6¤ -4¤ =2'5이므로 초점의 좌표는
(2'5, 0), (-2'5, 0)
따라서 두 초점 사이의 거리는
2'5-(-2'5)=4'5
(cid:8951) ③
+ =1 (a>b>0)
x¤
a¤
y¤
b¤
로 놓는다.
2a=12(cid:100)(cid:100)∴ a=6
단축의 길이가 8이므로
2b=8(cid:100)(cid:100)∴ b=4
008 주어진 타원의 방정식을 + =1
x¤
a¤
y¤
b¤
(a>b>0)이라 하면 장축의 길이는 2a이고,
타원 위의 점 P와 두 초
점 F, F'에 대하여
PF”+PF'”=(장축의 길이)
PF”+PF'”
="√(-2'3)¤ +"√(-3-3)¤ +√(-2'3)¤
=2'3+4'3=6'3
(x+1)(x-7)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 (∵ x…0)
x=-1을 y¤ =-12x에 대입하면 y=—2'3이므로 두
점 A, B의 좌표는
y¤ =-12x에서 y¤ æ0
이므로
(cid:100)-12xæ0(cid:100)∴ x…0
(-1, 2'3), (-1, -2'3 )
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2'3-(-2'3)=4'3
(cid:8951) ④
초점이 x축 위에 있으
므로 타원의 방정식을
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지7 SinsagoHitec
이므로 타원의 정의에 의하여
2a=6'3(cid:100)(cid:100)∴ a=3'3
a¤ -b¤ =3¤ 에서(cid:100)(cid:100)b¤ =(3'3)¤ -3¤ =18
∴ b=3'2 (∵ b>0)
따라서 타원의 단축의 길이는(cid:100)(cid:100)2b=6'2
(cid:8951) ④
타원의 방정식을 + =1 (a>b>0)
x¤
a¤
y¤
b¤
이라 하면 초점의 좌표가 (3, 0), (-3, 0)이므로
a¤ -b¤ =3¤ 에서(cid:100)(cid:100)b¤ =a¤ -9
또 타원이 점 P(3, 2'3)을 지나므로
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
3¤
a¤
+
(2'3)¤
b¤
=1(cid:100)(cid:100)∴ 9b¤ +12a¤ =a¤ b¤
㉠을 위의 식에 대입하면
9(a¤ -9)+12a¤ =a¤ (a¤ -9)
a› -30a¤ +81=0,(cid:100)(cid:100)(a¤ -27)(a¤ -3)=0
∴ a¤ =27, b¤ =18 (∵ ㉠)
a>b>0이므로(cid:100)(cid:100)a=3'3, b=3'2
따라서 타원의 단축의 길이는(cid:100)(cid:100)2b=6'2
009 타원 3x¤ +5y¤ =30, 즉 + =1의 초점
x¤
10
y¤
6
의 좌표는(cid:100)(cid:100)(2, 0), (-2, 0)
타원 5x¤ +2y¤ =30, 즉 + =1의 초점의 좌표는
x¤
6
y¤
15
(0, 3), (0, -3)
따라서 네 점 (2, 0), (-2, 0), (0, 3), (0, -3)을
꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이는
;2!;¥4¥6=12
모이다.
주어진 사각형은 네 변의 길이가 모두 같으므로 마름
010 타원 + =1의 장축의 길이는 10이므로
y¤
a¤
타원의 정의에 의하여(cid:100)(cid:100)PF”+PF'”=10
x¤
25
이때 PF”：PF'”=2：3이므로(cid:100)(cid:100)PF”=4, PF'”=6
직각삼각형 PF'F에서(cid:100)(cid:100)F'F”="√6¤ +4¤ =2'∂13
또 F("√25-a¤ , 0), F'(-"√25-a¤ , 0)이므로
F'F”=2"√25-a¤
따라서 2"√25-a¤ =2'∂13에서
25-a¤ =13(cid:100)(cid:100)∴ a¤ =12
(cid:8951) 12
y¤
011 타원 + =1의 초점의 좌표는
20
x¤
36
F(4, 0), F'(-4, 0)
이고 타원의 정의에 의하여
PF”+PF'”=2¥6=12
x¤ +y¤ -8x=0에서(cid:100)(cid:100)(x-4)¤ +y¤ =16
즉 주어진 원의 중심은 F(4, 0)이고 반지름의 길이는 4
이다.
PF”는 원의 반지름이다.
PF'”-PF”=4
(cid:8951) ④
따라서 PF”=4, PF'”=12-4=8이므로
본책
8쪽``…``10쪽
두 삼각형의 높이가 같
으므로 넓이의 비는 밑
변의 길이의 비와 같다.
012 주어진 타원의 초점을 F(c, 0), F'(-c, 0)
(c>0)이라 하면 △PF'F：△PFA=4：3에서
(cid:100)(cid:100)F’F'”：FA”=4：3,(cid:100)(cid:100)2c：(a-c)=4：3
6c=4(a-c)(cid:100)(cid:100)∴ 5c=2a
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
선
곡
면
평
Ⅰ
이때 △PF'F의 둘레의 길이가 28이므로
(P’F'”+PF”)+F’F'”=2a+2c=28
∴ a+c=14
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉠에서(cid:100)b¤ =a¤ -9>0
(cid:100)∴ a¤ >9
타원 + =1의
x¤
a¤
y¤
b¤
초점의 좌표는
① a>b>0일 때,
(cid:100) (cid:100)(—"√a¤ -b¤ , 0)
② b>a>0일 때,
(cid:100) (cid:100)(0, —"√b¤ -a¤ )
(cid:8951) 12
y¤
쌍곡선의 방정식을 - =1 (a>0, b>0)이라 하
b¤
x¤
a¤
㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=10, c=4
a¤ -b¤ =c¤ 에서(cid:100)(cid:100)b¤ =10¤ -4¤ =84
∴ b=2'∂21 (∵ b>0)
(cid:100)(cid:100)∴ ab=20'∂21
(cid:8951) 20'∂21
013 쌍곡선의 방정식을 - =-1
x¤
a¤
(a>0, b>0)이라 하면 주축의 길이는 2b이므로 쌍곡
y¤
b¤
선의 정의에 의하여(cid:100)(cid:100)2b=6(cid:100)(cid:100)∴ b=3
a¤ +b¤ =4¤ 에서(cid:100)(cid:100)a¤ =4¤ -3¤ =7
따라서 쌍곡선의 방정식은
x¤
7
y¤
9
- =-1(cid:100)(cid:100)∴ 9x¤ -7y¤ =-63
즉 p=7, q=-63이므로(cid:100)(cid:100)p+q=-56
(cid:8951) -56
y¤
014 타원 + =1의 초점의 좌표는
7
x¤
16
(3, 0), (-3, 0)
면 주축의 길이가 4이므로
2a=4(cid:100)(cid:100)∴ a=2
a¤ +b¤ =3¤ 에서(cid:100)(cid:100)b¤ =3¤ -2¤ =5
따라서 쌍곡선의 방정식은
x¤
4
y¤
- =1
5
y=5를 위의 식에 대입하면
x¤
4
-5=1,(cid:100)(cid:100)x¤ =24(cid:100)(cid:100)∴ x=—2'6
즉 두 교점의 좌표는 (2'6, 5), (-2'6, 5)이므로 구
하는 거리는
2'6-(-2'6)=4'6
(cid:8951) ④
015 쌍곡선
x¤ -y¤ =7, 즉
x¤
7
y¤
7
- =1의 점근선
의 방정식은
y=-x
y
y=x
A
P{4,`3}
F'
O
B
F
x
x@
7
y@
- =1
7
y=— x
'7
'7
∴ y=—x
Ⅰ. 평면 곡선 7
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지8 SinsagoHitec
점 P(4, 3)에서 직선 y=x, 즉 x-y=0에 내린 수선
점 P(4, 3)에서 직선 y=-x, 즉 x+y=0에 내린 수
의 발을 A라 하면
AP”=
|4-3|
"√1¤ +(-1)¤
=
'2
2
선의 발을 B라 하면
BP”=
|4+3|
"√1¤ +1¤
따라서 구하는 사각형의 넓이는
7'2
2
=
'2
2
¥
7'2
2
=;2&;
+ =1의 초점의 좌표는
016 타원
x¤
100
y¤
36
(8, 0), (-8, 0)
x¤
이므로 쌍곡선 - =1에서
a¤
a¤ +b¤ =64
y¤
b¤
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
쌍곡선의 주축의 길이는 2a이고, |PF”-P’F'”|=8이므
로 쌍곡선의 정의에 의하여
2a=8(cid:100)(cid:100)∴ a=4
a=4를 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)b¤ =64-16=48
(cid:100)(cid:100)∴ b=4'3 (∵ b>0)
∴ ab=16'3
(cid:8951) ④
y¤
017 쌍곡선 - =1의 주축의 길이는
20
x¤
16
2¥4=8
이므로 쌍곡선의 정의에 의하여
PF'”-PF”=8
QF”-QF'”=8
㉠+㉡을 하면
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(PF'”-PF”)+(QF”-QF'”)=16
∴ PF'”+QF”=PF”+QF'”+16
∴ PF'”+QF”=13+16=29
(cid:8951) ④
y¤
018 쌍곡선 - =1의 초점의 좌표는
11
x¤
25
(-6, 0), (6, 0)
이므로(cid:100)(cid:100)F’F'”=12
△PF'F의 둘레의 길이가 40이므로
PF”+F’F'”+P’F'”=40
∴ PF”+P’F'”=28
또 쌍곡선의 주축의 길이는 2¥5=10이므로 쌍곡선의
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
|P’F'”-PF”|=10
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
|PF”
¤ -P’F'”
¤ |=|(PF”+PF”'’)(PF”-PF”'’)|
정의에 의하여
㉠, ㉡에서
8 정답 및 풀이
(cid:8772)AOBP는 직사각형
이다.
(cid:8951) ;2&;
이다.
x¤
① 쌍곡선 - =1
a¤
y¤
b¤
(cid:100) 의 초점의 좌표는
(cid:100) (cid:100)(—"√a¤ +b¤ , 0)
x¤
a¤
y¤
b¤
② 쌍곡선 - =-1
(cid:100) 의 초점의 좌표는
(cid:100) (cid:100)(0, —"√a¤ +b¤ )
019 x¤ +2x-2y+5=0에서
(x+1)¤ =2(y-2)
즉 주어진 포물선은 포물선 x¤ =2y를 x축의 방향으로
-1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.
따라서 초점의 좌표는 {0-1, ;2!;+2}, 즉 {-1, ;2%;}, 꼭
짓점의 좌표는 (-1, 2)이고, 준선의 방정식은 y=;2#;
한편 초점에서 포물선 위의 점 P에 이르는 거리는 점 P
에서 준선에 이르는 거리와 같으므로 점 {-1, ;2%;}, 즉
초점에서 포물선에 이르는 최단 거리는 포물선의 꼭짓점
(-1, 2)와 준선y=;2#; 사이의 거리인 ;2!;과 같다.
(cid:8951) ;2!;
020 타원
(x+1)¤
9
+
(y-4)¤
5
=1은 타원
x¤
9
y¤
5
+ =1을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향
으로 4만큼 평행이동한 것이므로 초점의 좌표는
("√9-5-1, 4), (-"√9-5-1, 4), 즉
(1, 4), (-3, 4)
∴ △OFF'=;2!;¥4¥4=8
(cid:8951) 8
021 쌍곡선
(x-2)¤
9
-(y+1)¤ =1은 쌍곡선
x¤
9
-y¤ =1을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로
-1만큼 평행이동한 것이다.
ㄱ. 쌍곡선 -y¤ =1의 주축의 길이가 2¥3=6이므로
ㄱ. 주어진 쌍곡선의 주축의 길이도 6이다.
ㄴ. 쌍곡선 -y¤ =1의 초점의 좌표가 ('∂10, 0),
ㄴ. (-'∂10, 0)이므로 주어진 쌍곡선의 초점의 좌표는
ㄴ. (cid:100)(cid:100)('∂10+2, -1), (-'∂10+2, -1)
ㄷ. 쌍곡선 -y¤ =1의 점근선의 방정식이
x¤
9
x¤
9
x¤
9
(cid:100)(cid:100)y=;3!;x, y=-;3!;x
이므로 주어진 쌍곡선의 점근선의 방정식은
(cid:100)(cid:100)y=;3!;(x-2)-1, y=-;3!;(x-2)-1
(cid:100)(cid:100)∴ y=;3!;x-;3%;, y=-;3!;x-;3!;
따라서 두 점근선의 y절편의 합은
(cid:100)(cid:100)-;3%;+{-;3!;}=-2
=28¥10=280
(cid:8951) 280
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
(cid:8951) ③
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지9 SinsagoHitec
022 (k+1)x¤ +(2k-8)y¤ +3x-5=0이 쌍곡선
을 나타내려면
(k+1)(2k-8)<0(cid:100)(cid:100)∴ -1n>0)이라 하면
2m=4(cid:100)(cid:100)∴ m=2
m¤ -n¤ =1¤ 에서(cid:100)(cid:100)n¤ =2¤ -1=3
따라서 타원의 방정식은
(x-1)¤
4
+
(y+1)¤
3
=1
3(x-1)¤ +4(y+1)¤ =12
∴ 3x¤ +4y¤ -6x+8y-5=0
즉 a=-6, b=8, c=-5이므로
a-b+c=-19
(cid:8951) ①
025
F(p, 0)이므로 x=p를 y¤ =4px에 대입하면
포물선 y¤ =4px (p>0)의 초점은
y¤ =4p¤ (cid:100)(cid:100)∴ y=2p 또는 y=-2p
● 20%
즉 A(p, 2p), B(p, -2p)이므로 두 점 A,
B에서 준선 x=-p에 내린 수선의 발은 각각
C(-p, 2p), D(-p, -2p)이다.
● 20%
(cid:8772)ACDB에서
AC”=BD”=p-(-p)=2p,
AB”=CD”=2p-(-2p)=4p
이므로 (cid:8772)ACDB의 둘레의 길이는
2(2p+4p)=24'3(cid:100)(cid:100)∴ p=2'3
따라서 (cid:8772)ACDB의 넓이는
2p¥4p=4'3¥8'3=96
● 30%
● 30%
(cid:8951) 96
PH”=FH”이므로
|a+1|="√(-1-1)¤ +b¤
위의 식의 양변을 제곱하면
a¤ +2a+1=4+b¤
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
이때 점 P는 포물선 y¤ =4x 위의 점이므로
b¤ =4a
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉡을 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)a¤ +2a+1=4+4a
a¤ -2a-3=0,(cid:100)(cid:100)(a+1)(a-3)=0
∴ a=3 (∵ a>0)
a=3을 ㉡에 대입하면
b¤ =12(cid:100)(cid:100)∴ b=2'3 (∵ b>0)
(cid:100)(cid:100)∴ ab=6'3
(cid:8951) ⑤
028 점 A(1, 0)은 주어진 포물선의 초점이고, 준선
의 방정식은 x=-1이다.
오른쪽 그림과 같이 점 P에
y
y@=4x
서 준선 x=-1에 내린 수선
H
의 발을 H라 하면 포물선의
-1
O A
B
x
P
5
Q
정의에 의하여
PH”=PA”=5
이므로 점 P의 x좌표는
-1+5=4
x=4를 y¤ =4x에 대입하면
y¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ y=—4
∴ P(4, 4), Q(4, -4)
a라 하면
1+a
2
=4(cid:100)(cid:100)∴ a=7
즉 B(7, 0)이므로(cid:100)(cid:100)AB”=7-1=6
따라서 (cid:8772)PAQB의 넓이는
;2!;¥6¥8=24
(cid:8951) ④
029 y¤ =8x=4¥2x에서 점 A(2, 0)은 주어진 포물
선의 초점이고, 준선의 방정식은 x=-2이다.
이때 AP”=8이므로 점 P와 준선 사이의 거리는 8이다.
점 P의 좌표를 (6, a)라 하면(cid:100)(cid:100)a¤ =8¥6=48
∴ PR”=8-2=6
∴ a=4'3 (∵ a>0)
Ⅰ. 평면 곡선 9
마름모의 대각선은 서로
를 수직이등분한다.
이때 AB”와 PQ”의 중점이 일치하므로 점 B의 x좌표를
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지10 SinsagoHitec
두 점 A(2, 0), P(6, 4'3)을 지나는 직선 l의 방정식은
(x-2)(cid:100)(cid:100)
y=
4'3
6-2
∴ y='3(x-2)
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
점 Q는 직선l 위의 점이므로 ㉠을 y¤ =8x에 대입하면
{'3(x-2)}¤ =8x
3x¤ -20x+12=0,(cid:100)(cid:100)(3x-2)(x-6)=0
032
의 길이는 4이다.
원의 넓이가 16p이므로 원의 반지름
두 점(x¡, y¡), (x™, y™)를
이때 원의 지름의 길이와 타원의 단축의 길이가 같으므로
지나는 직선의 방정식은
(cid:100)y-y¡=
(x-x¡)
y™-y¡
x™-x¡
2b=8(cid:100)(cid:100)∴ b=4
● 40%
또 초점F의 좌표가 (4, 0)이므로 a¤ -b¤ =4¤ 에서
(단, x¡+x™)
a¤ =4¤ +4¤ =32(cid:100)(cid:100)∴ a=4'2 (∵ a>0) ● 40%
따라서 타원의 장축의 길이는
∴ x=;3@; (∵ x<2)
x=;3@;를 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)y=-
4'3
3
∴ Q{;3@;, -
4'3
3
}
사다리꼴 PRSQ에서
PR”=6, QS”=;3@;, RS”=4'3+
4'3
3
=
16'3
3
이므로 (cid:8772)PRSQ의 넓이는
;2!;¥{6+;3@;}¥
16'3
3
=
160'3
9
따라서 m=9, n=160이므로
m+n=169
(cid:8951) 169
030
이고, 준선의 방정식은 x=-1이다.
점 A(1, 0)은 주어진 포물선의 초점
● 20%
오른쪽 그림과 같
이 두 점 P, B에서 준선
x=-1에 내린 수선의 발을
y
H'
H
P
B{5,`3}
-1
O
A{1,`0}
x
△ABC의 두 변AB,
AC의 중점을 각각 M, N
이라 하면
(cid:100)M’N”∥BC”,
(cid:100)M’N”=;2!;BC”
A
각각 H, H'이라 하면
PA”=PH”이므로
PA”+BP”=PH”+BP”
æBH'”
=5-(-1)=6
y@=4x
B
C
M
N
a
2a
● 50%
PH”+BP”의 길이는 세
점 H, P, B가 한 직선
위에 있을 때 최소이다.
2a=8'2
033 점 P(a, b)를 지나는 모든 직선이 타원과 서로
다른 두 점에서 만나려면 점 P가 타원의 내부에 있어야
한다.
이때 타원 9x¤ +16y¤ =144,
즉 + =1은 오른쪽
x¤
16
y¤
9
그림과 같으므로 a, b가 정
수인 점 P(a, b)의 개수는
5¥5+3¥2=31
y
3
2
1
O
-1
-3
-2
-1
-3
-4
-2
1 2 3
4
x
034
M’N”=;2!; F’F'”, OM”=;2!; P’F'”,
ON”=;2!; PF”이므로
MN”+O’M”+ON”=;2!; F’F'”+;2!; P’F'”+;2!; PF”
MN”+O’M”+ON”=;2!;( F’F'”+P’F'”+PF”)
MN”+O’M”+ON”=;2!;(6+P’F'”+PF”)=12
∴ P’F'”+PF”=18
● 40%
따라서 타원의 정의에 의하여 장축의 길이가 18이므로
2a=18(cid:100)(cid:100)∴ a=9
a¤ -b¤ =3¤ 에서(cid:100)(cid:100)b¤ =9¤ -3¤ =72
∴ a¤ +b¤ =153
● 20%
(cid:8951) 8'2
(cid:8951) ①
● 20%
● 30%
● 10%
(cid:8951) 153
이때 AB”="√(5-1)¤ +3¤ =5이므로
△ABP의 둘레의 길이는
PA”+AB”+BP”æAB”+BH'”=11
따라서 △ABP의 둘레의 길이의 최솟값은 11이다.● 30%
(cid:8951) 11
031 7|x|+5|y|=35에
x=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)5|y|=35(cid:100)(cid:100)∴ y=—7
y=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)7|x|=35(cid:100)(cid:100)∴ x=—5
즉 네 점 (0, 7), (0, -7), (5, 0), (-5, 0)을 꼭짓
점으로 하는 타원의 방정식을 + =1 (b>a>0)
x¤
a¤
y¤
b¤
이라 하면
a=5, b=7
따라서 초점의 좌표는
(0, 2'6), (0, -2'6 )
이므로 두 초점 사이의 거리는
2'6-(-2'6)=4'6
10 정답 및 풀이
OA”=OB”이므로
(cid:100)△POA=△PBO
035 △POA=△PBO이므로
△POF：△PBA=3：8에서
△POF：△POA=3：4
∴ OF”：OA”=3：4
OF”=3k(k>0)라 하면OA”=4k이므로 타원의 정의
에 의하여(cid:100)(cid:100)PF'”+PF”=8k
△PF'F의 둘레의 길이가 28이므로
PF'”+F'F”+PF”=28
8k+2¥3k=28,(cid:100)(cid:100)14k=28(cid:100)(cid:100)∴ k=2
"√7¤ -5¤ =2'6
(cid:8951) ⑤
따라서 A(8, 0), F(6, 0)이므로
a=8, b¤ =8¤ -6¤ =28
∴ a¤ +b¤ =92
(cid:8951) ②
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지11 SinsagoHitec
036 오른쪽 그림과 같이
초점이 F, F'인 타원의 중심
을 지나는 임의의 직선이 타
원과 만나는 두 점을 각각 P,
Q라 하면 두 점P, Q는 타
원의 중심에 대하여 대칭이
y
O
P
F
x
F'
Q
므로 사각형 PF'QF는 평행사변형이다.
즉 FQ”=P’F'”이므로
FP”+FQ”=FP”+P’F'”=8
∴ F’P˚”=(F’P¡”+F’P¢”)+(F’P™”+F’P∞”)
6
¡k=1
+(F’P£”+F’P§”)
=8+8+8=24
(cid:8951) 24
△POF'과 △QOF에서
F’'O”=FO”, OP”=OQ”, ∠F'OP=∠FOQ
이므로(cid:100)(cid:100)△POF'™△QOF(SAS 합동)
따라서 ∠PF'O=∠QFO, P’F'”=QF”, 즉 한 쌍의 대변이
평행하고 그 길이가 같으므로 (cid:8772)PF'QF는 평행사변형이다.
y¤
037 쌍곡선 - =1의 초점의 좌표는
12
x¤
4
F(4, 0), F'(-4, 0)
이므로
FF'”=4-(-4)=8
쌍곡선의 정의에 의하여 PF'”-PF”=4이므로
PF”=PF'”-4=12-4=8
즉 PF”=F'F”=8이므로 △PF'F는 이등변삼각형이다.
따라서 점 F에서 PF'”에 내린 수선의 발을 H라 하면 직
각삼각형 PHF에서
¤ -PH”
FH”=" √PF”
FH”="√8¤ -6¤ =2'7
(cid:8951) ③
x¤
16
y¤
038 쌍곡선 - =1의 초점의 좌표는
k
F('ƒ16+k, 0), F'(-'ƒ16+k, 0)
쌍곡선의 주축의 길이가 2¥4=8이므로
AF'”-AF”=8
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
또 △AF'B의 둘레의 길이가 32이므로
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
2(AF'”+AF”)=32
∴ AF'”+AF”=16
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
AF'”=12, AF”=4
즉 A('ƒ16+k, 4)이므로 이것을 주어진 쌍곡선의 방정
식에 대입하면
16+k
16
16
k
- =1,(cid:100)(cid:100)1+
16
- =1
k
;16;
16
k
;16;
= ,(cid:100)(cid:100)k¤ =16¤
∴ k=16 (∵ k>0)
(cid:8951) 16
본책
12쪽``…``14쪽
두 직선이 서로 수직이면
두 직선의 기울기의 곱은
-1이다.
;aB;
¥{-
;aB;
039 쌍곡선의 두 점근선의 방정식은 y=
x,
;aB;
y=-
x이고 두 점근선이 서로 수직이므로
;aB;}=-1(cid:100)(cid:100)∴ a¤ =b¤
x¤
a¤
y¤
b¤
점 (4, 1)이 쌍곡선 - =1 위의 점이므로
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
선
곡
면
평
Ⅰ
㉠을 ㉡에 대입하면
(cid:100) - =1
1
a¤
(cid:100) =1(cid:100)∴ a¤ =15
16
a¤
15
a¤
(cid:100)∴ b¤ =15
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:8951) 30
x¤
36
y¤
5
- =1의
16
a¤
1
- =1
b¤
∴ a¤ +b¤ =30
㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a¤ =15, b¤ =15
040 쌍곡선 5x¤ -36y¤ =180, 즉
초점의 좌표는
(cid:100)(cid:100)('∂41, 0), (-'∂41, 0)
이므로 구하는 쌍곡선의 방정식을 - =1
x¤
a¤
y¤
b¤
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
(a>0, b>0)이라 하면
(cid:100)(cid:100)a¤ +b¤ =41
주축의 길이가 10이므로
2a=10(cid:100)(cid:100)∴ a=5
a=5를 ㉠에 대입하면
25+b¤ =41(cid:100)(cid:100)∴ b¤ =16
따라서 쌍곡선의 방정식은
x¤
25
y¤
- =1
16
이 쌍곡선의 점근선의 방
방정식은 y=—;5$;x이므로
오른쪽 그림에서
A(5, 4), B(5, -4)
∴ OA”=OB”
="√5¤ +4¤ ='∂41
이때 △AOB의 넓이는
y= x4
5
y
O
A
Ω
5
x
B
x=5
y=- x4
5
두 변의 길이가 a, b이고
그 끼인 각의 크기가h인
삼각형의 넓이
(cid:8857) ;2!;ab sin h
AF”=BF”, AF'”=BF'”
이므로 △AF'B의 둘레
의 길이는
(cid:100)AF'”+F'B”+BF”+AF”
=AF'”+AF'”+AF”+AF”
=2(AF'”+AF”)
;2!;¥AB”¥5=;2!;¥O’A”†¥OB”¥sin h
;2!;¥8¥5=;2!;¥'∂41¥'∂41¥sin h
∴ sin h=;4$1);
(cid:8951) ;4$1);
원점에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면
직각삼각형 AOH에서
4
'∂41
sin ;2Ω;=
, cos ;2Ω;=
5
'∂41
∴ sin h=2 sin ;2Ω; cos ;2Ω;=2¥
041 쌍곡선의 정의에 의하여
P’F'”-PF”=10
QF”'”-QF”=10
㉠+㉡을 하면
4
'∂41
¥
5
'∂41
=;4$1);
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
Ⅰ. 평면 곡선 11
¤
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지12 SinsagoHitec
(P’F'”
”+QF”'”)-(PF”+Q’F”)=20
∴ PF”+Q’F”=(P’F'”
”+Q’F'”)-20
∴ PF”+Q’F=14+18-20=12
(cid:8951) ③
쌍곡선 5x¤ -4y¤ =20, 즉
042
x¤
4
y¤
5
- =1의 초점의 좌표는 (3, 0), (-3, 0)이므
로 두 점A, D는 쌍곡선의 초점이다.
● 20%
쌍곡선의 정의에 의하여
BD”-BA”=4
CD”-CA”=4
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
△BDC의 둘레의 길이가 20이므로
BD”+CD”+CA”+BA”=20 yy ㉢(cid:100)(cid:100)● 50%
㉢-㉠-㉡을 하면
2(BA”+CA”)=12
∴ BC”=BA”+CA”=6
● 30%
(cid:8951) 6
043 쌍곡선 - =1의 초점의 좌표는 F(6, 0),
x¤
16
y¤
20
F'(-6, 0)이고 주축의 길이는 2¥4=8이므로 쌍곡선
의 정의에 의하여
PF'”-PF”=8
∴ QF'”=PF'”-PQ”=PF'”-PF”=8
따라서 QF”+QF'”=6+8=14이므로 타원의 정의에 의
하여 구하는 타원의 장축의 길이는 14이다.
(cid:8951) ②
044
y=x¤ +2ax+b에서
y=(x+a)¤ -a¤ +b, 즉 (x+a)¤ =y+a¤ -b
이므로 주어진 포물선은 포물선 x¤ =y를 x축의 방향으
로 -a만큼, y축의 방향으로 b-a¤ 만큼 평행이동한 것
이다.
● 40%
{0, ;4!;}이므로 주어진 포물선의 초점의 좌표는
따라서 -a=;2!;, ;4!;+b-a¤ =4이므로
{-a, ;4!;+b-a¤ }
a=-;2!;, b=4
∴ a+b=;2&;
045 타원의 중심의 좌표가 (5, 3)이므로 장축의 길
이는 10, 단축의 길이는 6이다.
따라서 주어진 타원은 타원 + =1을 x축의 방
x¤
25
y¤
9
향으로 5만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이
므로 타원의 방정식은
12 정답 및 풀이
BF'”+FC”=BC”-FF'”
이고, 타원의 정의에 의
하여
(cid:100)F'A”+FA”=10
(x-5)¤
25
+
(y-3)¤
9
=1
타원 + =1의 초점의 좌표가 (4, 0), (-4, 0)
x¤
25
y¤
9
이므로 주어진 타원의 초점의 좌표는
(cid:100)(cid:100)F(4+5, 3), F'(-4+5, 3), 즉
F(9, 3), F'(1, 3)
∴ BF'”+F’'A”+AF”+FC”
=(BC”-F’F'”)+(F’'A”+AF”)
=(10-8)+10=12
(cid:8951) ③
046
4x¤ +25y¤ -8x+100y+4=0에서
4(x-1)¤ +25(y+2)¤ =100
∴
(x-1)¤
25
+
(y+2)¤
4
=1
즉 주어진 이차곡선은 중심의 좌표가 (1, -2), 장축의
길이가 10, 단축의 길이가 4인 타원이다.
● 30%
오른쪽 그림에서
y
-4
O 1
-2
6
x
원이 타원과 서로 다른 네 점
에서 만나려면 원의 지름 2a
는 타원의 단축의 길이보다 길
고 장축의 길이보다 짧아야 하
므로
4<2a<10(cid:100)(cid:100)
∴ 20, 즉 k<12
따라서 자연수 k는 1, 2, 3, y, 11의 11개이다.
12-k<0이면 이차곡
선은 y축에 평행한 주
(cid:8951) ④
축을 갖는 쌍곡선이다.
049 ㄱ. a=1이면
ㄱ. (cid:100)(cid:100)x¤ +y¤ +bx+2y+1=0
ㄱ. (cid:100)(cid:100)∴ {x+
;2B;}
¤ +(y+1)¤ =
b¤
4
ㄱ. 이때 >0이므로 주어진 이차곡선은 원이다.
b¤
4
ㄴ. a=0이면(cid:100)(cid:100)y¤ +bx+2y+1=0
ㄴ. (cid:100)(cid:100)∴ (y+1)¤ =-bx
ㄴ. 위의 방정식이 나타내는 포물선은 포물선 y¤ =-bx
를 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.
ㄴ. b<0일때 포물선 y¤ =-bx는 제1사분면, 제4 사
분면을 지나므로 주어진 이차곡선도 제 1 사분면,
제4 사분면을 지난다.
ㄷ. b=2a이면(cid:100)(cid:100)ax¤ +y¤ +2ax+2y+1=0
ㄷ. (cid:100)(cid:100)a(x+1)¤ +(y+1)¤ =a
ㄷ. (cid:100)(cid:100)∴ (x+1)¤ +
(y+1)¤
a
=1
ㄷ. a<0이므로위의 방정식이 나타내는 쌍곡선은 쌍곡
y¤
ㄷ. 선 x¤ + =1, 즉 x¤ -
a
y¤
-a
=1을 x축의 방향으로
=2a
ㄷ. -1만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것
두 포물선 y¤ =-8x,
y¤ =8x는 y축에 대하여
대칭이므로
(cid:100)P(-a, b)
(cid:100)∴ PQ”=a-(-a)
이다.
ㄷ. 쌍곡선 x¤ -
=1의 초점의 좌표는
y¤
-a
ㄷ. (cid:100)(cid:100)('ƒ1-a, 0), (-'ƒ1-a, 0)
ㄷ. 이므로 주어진 이차곡선의 초점의 좌표는
ㄷ. (cid:100)(cid:100)('ƒ1-a-1, -1), (-'ƒ1-a-1, -1)
ㄷ. 이때 'ƒ1-a-1>0이므로 점 ('ƒ1-a-1, -1)은
제4 사분면 위에 있다.
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
(cid:8951) ③
-a>0이므로
(cid:100)"√1-a>1
(cid:100)∴ "√1-a-1>0
본책
14쪽``…``16쪽
⁄ a=1, b=-4일 때,
⁄ (cid:100)(cid:100)x¤ +y¤ -4y=0, 즉 x¤ +(y-2)¤ =4
⁄ 따라서 주어진 이차곡선은 원이다.
¤ a=2, b=-2일 때,
⁄ (cid:100)(cid:100)2x¤ +y¤ -2y=0,(cid:100)(cid:100)2x¤ +(y-1)¤ =1
⁄ (cid:100)(cid:100)∴
+(y-1)¤ =1
x¤
;2!;
⁄ 따라서 주어진 이차곡선은 타원이고 장축의 길이는
⁄ (cid:100)(cid:100)2¥1=2
‹ a=4, b=-1일 때,
⁄ (cid:100)(cid:100)4x¤ +y¤ -y=0,(cid:100)(cid:100)4x¤ +{y-;2!;}
¤ =;4!;
⁄ 따라서 주어진 이차곡선은 타원이고 장축의 길이는
⁄ (cid:100)(cid:100)∴
x¤
+
{y-;2!;}
=1
;1¡6;
;4!;
⁄ (cid:100)(cid:100)2¥;2!;=1
이상에서 구하는 길이의 합은
2+1=3
(cid:8951) ①
051 포물선 y¤ =-8x=4¥(-2)x의 초점은
F(-2, 0), 준선의 방정식은 x=2이고, 포물선
y¤ =8x=4¥2x의 초점은 F'(2, 0), 준선의 방정식은
x=-2이므로(cid:100)(cid:100)F’F'”=4
Q(a, b)(a>0, b>0)라 하면
PQ”=2a
또 FP”의 길이는 점 P와 준선 x=2 사이의 거리와 같
고, F'Q”의 길이는 점 Q와 준선 x=-2 사이의 거리와
같으므로
(cid:100)(cid:100)FP”=F’'Q”=a+2
사다리꼴 PFF'Q의 둘레의 길이가 12이므로
2a+2(a+2)+4=12
4a=4(cid:100)(cid:100)∴ a=1
따라서 b¤ =8a=8에서 b=2'2이므로 사다리꼴
PFF'Q의 넓이 S는
S=;2!;¥(2+4)¥2'2=6'2
∴ S¤ =(6'2)¤ =72
1등급
|비|밀|노|트|
(cid:8951) 72
포물선 위의 임의의 점과 초점 사이의 거리를 구할 때에는 포물
선의 정의를 이용하는 경우가 많다.
050 ax¤ +y¤ +by=0이 타원을 나타내려면 a>0이
어야 하므로 a는 자연수이다.
따라서 ab=-4에서
a=1, b=-4 또는 a=2, b=-2
또는 a=4, b=-1
Ax¤ +By¤ +Cx+Dy+E
이차곡선
=0
이 타원을 나타내면
AB>0이다.
052 포물선 x¤ =8y=4¥2y의 초점은 F(0, 2)이고,
준선의 방정식은 y=-2이다.
이때 AF”, BF”, CF”의 길이는 각각 세 점 A, B, C와
준선 y=-2 사이의 거리와 같으므로
Ⅰ. 평면 곡선 13
¤
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지14 SinsagoHitec
AF”=k+2, BF”=k+3+2=k+5, CF”=3k+2
따라서 A(2, 4)이고, 타원의 다른 한 초점을 F'이라 하
즉 k+2, k+5, 3k+2가 이 순서대로 등차수열을 이
면 타원의 두 초점은 F(2, 0), F'(-2, 0)이므로
루므로
2(k+5)=(k+2)+(3k+2)
2k+10=4k+4(cid:100)(cid:100)∴ k=3
타원의 장축의 길이는 타
원 위의 한 점에서 두 초
점까지의 거리의 합과 같
(cid:8951) 3
다.
1등급
|비|밀|노|트|
등비중항을 이용한다.
등차수열, 등비수열을 이루는 세 수가 주어지면 각각 등차중항,
세 실수 a, b, c가 이 순서
대로 등차수열을 이루면
(cid:100)b=
a+c
2
, 즉
(cid:100)2b=a+c
타원
+ =1의
x¤
16
y¤
12
장축의 길이는 2¥4=8
이므로
(cid:100)F'P”+PF”=8
053 ㄱ. 오른쪽 그림에서
ㄴ. FR”=QR”이므로
ㄴ. (cid:100)(cid:100)FR”+F’'R”
y
R
Q
P
OF'
F
4
l
x
=QR”+F’'R”
æF’'Q”
=F’'P”+PF”=8
솟값 8을 갖는다.
타원 밖의 점이다.
선이다.
따라서 점 R가 점P와 일치할 때, FR ”+F’'R”는 최
ㄴ. ㄱ에 의하여 직선 l 위의 점 중 P를 제외한 모든 점
은 점 F와 F'에 이르는 거리의 합이 8보다 크므로
따라서 직선 l은 타원과 오직 한 점에서 만나므로 접
ㄷ. F’'Q”=8이므로 점 Q가 나타내는 도형은 중심이 F'
이고 반지름의 길이가 8인 원이다.
aæ0, bæ0이고, 점 P의 좌표가 (0, 2'3)일 때,
△PF'O에서 F’'O”=2, OP”=2'3이므로
(cid:100)(cid:100)∠PF'F=;3“;
따라서 점 Q의 자취의 길이는
'3
직선 y= x가 x축
3
의 양의 방향과 이루는
각의 크기를 h라 하면
'3
3
(cid:100)tan h=
(cid:100)∴ h=;6“;
(cid:100)(cid:100)8¥;3“;=;3*;p
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
(cid:8951) ②
PA”와 PF”는 주어진 원
의 반지름이다.
PQ”=AF”+A’F'”
PQ="√(2-2)¤ +4¤ +"√(2+2)¤ +4¤
PQ=4+4'2
∴ △APQ=;2!;¥PQ”¥AF”
=;2!;¥(4+4'2)¥4
=8+8'2
055 쌍곡선의 정의
에 의하여
y
y=- xÂ3
3
F'Q”=F'P”-PQ”
F'Q”=F'P”-PF”
F'Q”=2¥2'3
F'Q”=4'3
(cid:8951) ④
y= xÂ3
3
Q
P
F'
O
F
x
π
3
이때 쌍곡선의 점근선의 방정식은
'3
3
x, 즉 y=— x
y=—
2
2'3
이므로 직선 PF'의 기울기를 m이라 하면
'3
3
- 0)
이라 하면 FF'”=8에서(cid:100)(cid:100)c=4
또 PA”=PF”이고 AF'”=4'2이므로
PF'”-PF”=PF'”-PA”=AF'”=4'2
쌍곡선의 정의에 의하여 P’F'”-PF”=2a이므로
(cid:8951) ①
(cid:8951) 24
반지름의 길이가 r, 중심
각의 크기가 h인 부채꼴
의 호의 길이는
(cid:100)rh
2a=4'2(cid:100)(cid:100)∴ a=2'2
b¤ =c¤ -a¤ 에서(cid:100)(cid:100)b¤ =4¤ -(2'2)¤ =8
∴ a¤ +2b¤ =(2'2)¤ +16=24
1등급
|비|밀|노|트|
두 점A, B가 직선 l을 사이에 두고 있
을 때, 두 점A, B와 직선 l 위의 점 P
사이의 거리의 합의 최솟값은 AB”의 길
P
이와 같다. 즉
(cid:100)(cid:100)AP”+BP”æA’B”
B
l
A
054 포물선의 초점을 F(p, 0) (p>0)이라 하면 포
물선의 방정식은
이때 포물선과 타원의 교점 A, B의 x좌표가 p이므로
y¤ =4px
y¤ =4p¥p
(cid:100)(cid:100)∴ y=—2p
14 정답 및 풀이
즉 A(p, 2p), B(p, -2p)이므로
AB”=4p=8(cid:100)(cid:100)∴ p=2
”
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지15 SinsagoHitec
02
평면 곡선의 접선
본책 17쪽
057 x¤ +2y¤ -xy-2x-5=0의 양변을 x에 대하
여 미분하면
y=f(x)g(x)이면
(cid:100)y'=f'(x)g(x)
+f(x)g'(x)
2x+4y -y-x -2=0
dy
dx
(x-4y) =2x-y-2
dy
dx
dy
dx
dy
∴ =
dx
2x-y-2
x-4y
(x+4y)
따라서 점 (1, 2)에서의 접선의 기울기는
dy
dx
=
2-2-2
1-8
=;7@;
(cid:8951) ②
058 2'x+'y=7의 양변을 x에 대하여 미분하면
+
1
1
'x
2'y
dy
∴ =-
dx
dy
¥ =0
dx
2'y
'x
(x+0)
점 (a, b)에서의 접선의 기울기가 -3이므로
-
=-3
2'b
'a
∴ 3'a-2'b=0
2'a+'b=7
∴ ab=36
한편 점 (a, b)가 곡선 2'x+'y=7 위의 점이므로
㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=4, b=9
Q(-6, 0)
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:8951) 36
=-;8&;,(cid:100)(cid:100)32+8a=14a+14
다.
(cid:8772)PHQF는 마름모이
-
4+a
2a+2
6a=18(cid:100)(cid:100)∴ a=3
059 x¤ +y¤ +axy+b=0의 양변을 x에 대하여 미
분하면
2x+2y +ay+ax =0
dy
dx
(ax+2y) =-(2x+ay)
dy
dx
dy
dx
dy
∴ =-
dx
2x+ay
ax+2y
(ax+-2y)
dy
점 (2, 1)에서의 의 값이 -;8&;이므로
dx
한편 점 (2, 1)이 곡선 x¤ +y¤ +3xy+b=0 위의 점이
므로(cid:100)(cid:100)4+1+6+b=0(cid:100)(cid:100)∴ b=-11
∴ a+b=-8
(cid:8951) ①
060 포물선 y¤ =8x 위의 점 A(2, 4)에서의 접선의
방정식은
4y=4(x+2), 즉 y=x+2
이 직선에 수직이고 점 A를 지나는 직선의 방정식은
y-4=-(x-2)(cid:100)(cid:100)∴ y=-x+6
따라서 구하는 직선의 y절편은 6이다.
(cid:8951) ③
본책
16쪽``…``18쪽
061 포물선 y¤ =12x 위의 점 (a, b)에서의 접선의
방정식은
by=6(x+a), 즉 y=
x+
;b^;
:§bÅ:
이므로 x절편은 -a, y절편은 이다.
6a
b
따라서 접선과 x축 및 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는
;2!;¥a¥ =;2(;,(cid:100)(cid:100) =;2(;
3a¤
b
6a
b
선
곡
면
평
Ⅰ
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
한편 점 (a, b)가 포물선 y¤ =12x 위의 점이므로
(cid:100)(cid:100)∴ b=;3@;a¤
b¤ =12a
㉠을 ㉡에 대입하면
¤ =12a,(cid:100)(cid:100);9$;a› =12a
{;3@;a¤ }
a‹ =27(cid:100)(cid:100)∴ a=3 (∵ a>0)
a=3을 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)b=6
∴ a+b=9
(cid:8951) 9
062 포물선 y¤ =6x 위의 점 P(6, 6)에서의 접선의
방정식은
6y=3(x+6), 즉 y=;2!;x+3
이므로 접선이 x축과 만나는 점의 좌표는
한편 포물선 y¤ =6x=4¥;2#;x에서 초점은 F{;2#;, 0}, 준
선의 방정식은 x=-;2#;이므로 점 P(6, 6)에서 준선에
내린 수선의 발은 H{-;2#;, 6}이다.
∴ PF”=PH”=6+;2#;=:¡2∞:,
(cid:100) QH”=æ≠{-;2#;+6}
¤ +6¤ =:¡2∞:,
(cid:100) QF”=;2#;-(-6)=:¡2∞:
따라서 (cid:8772)PHQF의 둘레의 길이는
4¥:¡2∞:=30
(cid:8951) ③
063 포물선 y¤ =4x 위의 점 (x¡, y¡)에서의 접선의
방정식은
y¡y=2(x+x¡), 즉 y= x+
2
y¡
2x¡
y¡
직선 y=;2!;x에 수직인 직선의 기울기는 -2이므로
수직인 두 직선의 기울기
의 곱은-1이다.
2
y¡
=-2(cid:100)(cid:100)∴ y¡=-1
이때 y¡¤ =4x¡이므로
1=4x¡(cid:100)(cid:100)∴ x¡=;4!;
Ⅰ. 평면 곡선 15
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지16 SinsagoHitec
a=-6-;2!;=-:¡2£:
(cid:8951) ②
타원 2x¤ +y¤ =6 위의 점 (1, 2)에서의 접선의 방정식은
즉 접선의 방정식은 y=-2x-;2!;이고 이 직선이 점
(3, a)를 지나므로
064 포물선 y¤ =4px와 직선y=2x+3의 교점의 x
좌표는
(2x+3)¤ =4px
∴ 4x¤ +4(3-p)x+9=0
주어진 포물선과 직선은 만나지 않으므로 이 이차방정
식의 판별식을 D라 하면
;;4 D;;={2(3-p)}¤ -4¥9<0,(cid:100)(cid:100)p¤ -6p<0
p(p-6)<0(cid:100)(cid:100)∴ 0b>0)의 초점의 좌
표는
(cid:100)(—"√a¤ -b¤ , 0)
y¡y=2(x+x¡)
이 직선이 점 A(0, 2)를 지나므로
2y¡=2x¡(cid:100)(cid:100)∴ x¡=y¡
이때 y¡¤ =4x¡이므로
x¡¤ =4x¡,(cid:100)(cid:100)x¡(x¡-4)=0
∴ x¡=0 또는 x¡=4
따라서 두 점 P, Q의 좌표는 (0, 0), (4, 4)이므로
(cid:8951) ③
△APQ의 넓이는
;2!;¥2¥4=4
16 정답 및 풀이
066 점 (1, a)가 타원 2x¤ +y¤ =6 위의 점이므로
2+a¤ =6,(cid:100)(cid:100)a¤ =4
∴ a=2 (∵ a>0)
2x+2y=6, 즉 x+y=3
이 직선이 점 (b, 5)를 지나므로
b+5=3(cid:100)(cid:100)∴ b=-2
∴ a+b=0
(cid:8951) ③
067 점 P의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면 점 P에서의
접선의 방정식은
x¡x
12
+
y¡y
4
=1
12
x¡
y=0일 때x= , x=0 일 때y= 이므로 두 점A ,
4
y¡
B의 좌표는
12
x¡
A{
, 0}, B{0,
4
y¡
}
1¥0+3¥
12
12x¡
x¡=
에서
점 P(x¡, y¡)이 AB”를 1：3으로 내분하므로
4x¡= ,(cid:100)(cid:100)x¡¤ =9(cid:100)(cid:100)∴ x¡=3 (∵ x¡>0)
1+3
36
x¡
4
y¡
13
1+3
4
y¡
1¥
+3¥0
y¡=
에서
4y¡= ,(cid:100)(cid:100)y¡¤ =1(cid:100)(cid:100)∴ y¡=1 (∵ y¡>0)
따라서 A(4, 0), B(0, 4)이므로
AB”="√(-4)¤ +4¤ =4'2
(cid:8951) ④
068 타원 + =1의 두 초점의 좌표는
x¤
6
y¤
3
F('3, 0), F'(-'3, 0)
타원 위의 점 P(2, 1)에서의 접선의 방정식은
2x
6
y
3
+ =1, 즉 x+y-3=0
따라서 AF”, A’'F'”의 길이는 각각 두 점 F, F'과 직선
x+y-3=0 사이의 거리와 같으므로
=
AF”=
|'3-3|
'ƒ1¤ +1¤
|-'3-3|
'ƒ1¤ +1¤
∴ AF”¥A’'F'”=
A’'F'”=
,
3-'3
'2
3+'3
=
'2
3+'3
'2
¥
3-'3
'2
=3
(cid:8951) 3
069 타원 + =1 위의 점 (x¡, y¡)에서의 접
x¤
16
y¤
k
선의 방정식은
x¡x
16
y¡y
k
+ =1, 즉 y=-
x+
kx¡
16y¡
k
y¡
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지17 SinsagoHitec
이 직선이 직선 x+y=6, 즉 y=-x+6과 일치하므로
-
kx¡
16y¡
=-1, =6
k
y¡
∴ k=6y¡, x¡=;3*;
이때 x¡+y¡=6이므로(cid:100)(cid:100)y¡=6-;3*;=:¡3º:
∴ k=6¥:¡3º:=20
(cid:8951) ③
070 △ABP의 넓이는 점 P가 타원의 접선 중 직선
y=2x에 평행한 직선 위에 있을 때 최대이다.
타원 x¤ +4y¤ =4 위의 점 (x¡, y¡)에서의 접선의 방정
식은
x¡x+4y¡y=4, 즉 y=- x+
x¡
4y¡
1
y¡
△ABP의 밑변을 AB”
라 하면 점P 와 직선
AB 사이의 거리, 즉 높
이가 최대일 때 △ABP
의 넓이가 최대이다.
주어진 쌍곡선의 두 점
근선 y=— x는 서로
수직이므로 △AOB에
서 AO”를 밑변이라 하
면 높이는 BO”이다.
이 직선의 기울기가 2이므로
- =2(cid:100)(cid:100)∴ x¡=-8y¡
x¡
4y¡
이때 x¡¤ +4y¡¤ =4이므로
64y¡¤ +4y¡¤ =4,(cid:100)(cid:100)y¡¤ =;1¡7;
∴ y¡=—
'∂17
17
따라서 접선의 방정식은(cid:100)(cid:100)y=2x—'∂17
두 직선y=2x+' ∂17, y=2x 사이의 거리는 직선
y=2x 위의 한 점 (0, 0)과 직선y=2x+' ∂17, 즉
2x-y+'∂17=0 사이의 거리와 같으므로
|'∂17|
"√2¤ +(-1)¤
=Æ…:¡5¶:
두 직선 y=2x-'∂17, y=2x 사이의 거리도 Æ…:¡5¶:이
므로(cid:100)(cid:100)d=Æ…:¡5¶:(cid:100)(cid:100)∴ d¤ =:¡5¶:
(cid:8951) :¡5¶:
071 타원 6x¤ +y¤ =6 위의 점 (x¡, y¡)에서의 접선
의 방정식은
6x¡x+y¡y=6
이 직선이 점 (1, 6)을 지나므로
6x¡+6y¡=6(cid:100)(cid:100)∴ y¡=1-x¡
이때 6x¡¤ +y¡¤ =6이므로
6x¡¤ +(1-x¡)¤ =6,(cid:100)(cid:100)7x¡¤ -2x¡-5=0
(7x¡+5)(x¡-1)=0
∴ x¡=-;7%; 또는 x¡=1
따라서 두 접점의 좌표는 {-;7%;, :¡7™:}, (1, 0)이므로
구하는 거리는
æ≠{-;7%;-1}
æ≠{-;7%;-1}
¤ +{:¡7™:}
¤ +{:¡7™:}
¤ =æ≠{-:¡7™:}
12'2
¤ =
7
¤ +{:¡7™:}
본책
18쪽``…``19쪽
072 쌍곡선 - =1 위의 점 P(5, 3)에서의
x¤
10
y¤
6
접선의 방정식은
5x
10
3y
6
- =1, 즉 y=x-2
이므로 이 직선이 x축과 만나는 점은 A(2, 0)이다.
쌍곡선 - =1의 초점은 F(4, 0)이므로 △PAF
선
곡
면
평
Ⅰ
x¤
10
y¤
6
의 넓이는
;2!;¥2¥3=3
(cid:8951) ④
073 쌍곡선 x¤ -y¤ =1 위의 점 (2, '3)에서의 접선
의 방정식은
2x-'3y=1
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
쌍곡선의 점근선의 방정식은(cid:100)(cid:100)y=—x
y=x를 ㉠에 대입하면
(cid:100)(cid:100)2x-'3x=1,(cid:100)(cid:100)(2-'3)x=1
∴ x=2+'3
y=-x를 ㉠에 대입하면
(cid:100)(cid:100)2x+'3x=1,(cid:100)(cid:100)(2+'3)x=1
∴ x=2-'3
따라서 두 점 A, B의 좌표는 (2+'3, 2+'3),
(2-'3, -2+'3)이므로 △AOB의 넓이는
;2!;¥AO”¥BO”=;2!;¥"√2(2+'3)¤ ¥"√2(2-'3)¤
=;2!;¥2¥(2+'3)¥(2-'3)
=;2!;¥2¥1=1
(cid:8951) 1
074 타원 + =1 위의 점 P(x¡, y¡)에서의
x¤
6
y¤
3
접선의 방정식은
x¡x
6
y¡y
3
+ =1, 즉 y=-
x+
이므로 접선의 기울기는(cid:100)(cid:100)-
3
y¡
x¡
2y¡
x¡
2y¡
쌍곡선 -y¤ =1 위의 점 P(x¡, y¡)에서의 접선의 방
정식은
x¤
a¤
x¡x
a¤
-y¡y=1, 즉 y=
x-
1
y¡
x¡
a¤ y¡
x¡
a¤ y¡
이므로 접선의 기울기는(cid:100)(cid:100)
두 직선이 서로 수직이므로
¥
-
=-1
x¡
a¤ y¡
x¡
2y¡
¤ =2a¤ (cid:100)(cid:100)∴ =—'2a (∵ a>0)
이때 점 P(x¡, y¡)은 제1사분면 위의 점이고 a>0이므
x¡
y¡
x¡
y¡
}
{
(cid:8951) ③
Ⅰ. 평면 곡선 17
x¡>0, y¡>0이므로
(cid:8951) ⑤
x¡
(cid:100) >0
y¡
x¡
로(cid:100)(cid:100) ='2a
y¡
¤
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지18 SinsagoHitec
075 쌍곡선 9x¤ -5y¤ =45 위의 점 (x¡, y¡)에서의
접선의 방정식은
9x¡x-5y¡y=45, 즉 y= x-
9x¡
5y¡
9
y¡
이 직선의 기울기가 3이므로
9x¡
5y¡
=3(cid:100)(cid:100)∴ 3x¡=5y¡
이때 9x¡¤ -5y¡¤ =45이므로
25y¡¤ -5y¡¤ =45,(cid:100)(cid:100)y¡¤ =;4(;
∴ y¡=—;2#;
의 좌표는
(0, 6), (0, -6)
F, F'의 좌표는
('∂14, 0), (-'∂14, 0)
이므로 구하는 사각형의 넓이는
따라서 접선의 방정식은 y=3x—6이므로 두 점 A, B
또 쌍곡선 9x¤ -5y¤ =45, 즉 - =1의 두 초점
x¤
5
y¤
9
;2!;¥{6-(-6)}¥{'∂14-(-'∂14)}=12'∂14 (cid:8951) ⑤
076 점 P의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면 점 P에서의
접선의 방정식은
3x¡x-5y¡y=30, 즉 y= x-
3x¡
5y¡
6
y¡
이 직선의 기울기가 1이므로
3x¡
5y¡
=1(cid:100)(cid:100)∴ y¡=;5#;x¡
이때 3x¡¤ -5y¡¤ =30이므로
3x¡¤ -5¥;2ª5;x¡¤ =30,(cid:100)(cid:100);5^;x¡¤ =30
x¡¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ x¡=5 (∵ x¡>0)
∴ y¡=;5#;¥5=3
는 (2, 0)이다.
따라서 접선의 방정식은 y=x-2이므로 점 Q의 좌표
이때 쌍곡선 3x¤ -5y¤ =30, 즉 - =1의 초점의
x¤
10
y¤
6
좌표는
F(4, 0), F'(-4, 0)
이므로(cid:100)(cid:100)F'Q”=6, QF”=2
또 쌍곡선의 주축의 길이가 2'∂10이므로 쌍곡선의 정의
에 의하여
PF'”-PF”=2'∂10
∴ d¡-d™=(PF'”+F'Q”+PQ”)
∴ d¡-d™=-(PQ”+QF”+PF”)
∴ d¡-d™=(PF'”-PF”)+(F'Q”-QF”)
∴ d¡-d™=2'∂10+(6-2)
∴ d¡-d™=4+2'∂10
(cid:8951) 4+2'∂10
18 정답 및 풀이
쌍곡선 - =1의
x¤
a¤
y¤
b¤
초점의 좌표는
(cid:100)(—"√a¤ +b¤ , 0)
△APQ의 넓이는
;2!;¥10¥5=25
077 쌍곡선 - =-1 위의 점 (x¡, y¡)에서의
x¤
5
y¤
6
접선의 방정식은
x¡x
5
-
y¡y
6
=-1, 즉 y=
x+
6x¡
5y¡
6
y¡
이 직선이 점 A(0, 1)을 지나므로
1= (cid:100)(cid:100)∴ y¡=6
6
y¡
y¡¤
이때 - =-1이므로
6
x¡¤
5
-6=-1,(cid:100)(cid:100)x¡¤ =25
x¡¤
5
∴ x¡=—5
따라서 두 점 P, Q의 좌표는 (5, 6), (-5, 6)이므로
078
dx
dt
dy
dt
=3t¤ , =2t+a이므로
dy
dx
=
=
2t+a
3t¤
(t+0)
dy
12dt
dx
143dt
t=1일 때 접선의 기울기가 -2이므로
2+a
3
=-2
∴ a=-8
(cid:8951) ②
(cid:8951) ②
079
dx
dt
=1+ , =1- 이므로
1
t¤
=
t¤ -1
t¤ +1
1
t¤
dy
dt
1-
1+
1
13t¤
1
13t¤
dy
dx
=
dy
12dt
dx
143dt
=
t=a일 때 접선의 기울기가 ;2!;이므로
=;2!;,(cid:100)(cid:100)2a¤ -2=a¤ +1
a¤ -1
a¤ +1
a¤ =3(cid:100)(cid:100)∴ a='3 (∵ a>0)
1
t¤
1
t¤
x¤ =t¤ + -2, y¤ =t¤ + +2이므로
(cid:8951) '3
위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
y¤ =x¤ +4
2y =2x
dy
dx
dy
∴ =
dx
=
;]{;
t-
t+
;t!;
;t!;
=
t¤ -1
t¤ +1
080
dx
dt
dy
=3t¤ +6t+3, =2t+2이므로
dt
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지19 SinsagoHitec
dy
dx
=
=
2t+2
3t¤ +6t+3
dy
12dt
dx
143dt
=
2(t+1)
3(t+1)¤
=
2
3(t+1)
(t+-1)
x=3일 때,(cid:100)(cid:100)3=t‹ +3t¤ +3t+3
t(t¤ +3t+3)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=0
t¤ +3t+3=0의 판별
식을 D라 하면
(cid:100)D=3¤ -4¥1¥3
=-3<0
t=0일 때 y=0이고 =;3@;이므로 접선의 방정식은
이므로 실근을 갖지 않
dy
dx
y=;3@;(x-3), 즉 y=;3@;x-2
따라서 구하는 접선의 y절편은 -2이다.
는다.
dy
dx
=-4
(cid:8951) ②
081 곡선 x¤ -y¤ +2x-y=0과 직선 y=x+1의 교
점의 x좌표는
x¤ -(x+1)¤ +2x-(x+1)=0
∴ x=-2
x=-2를 y=x+1에 대입하면(cid:100)(cid:100)y=-1
따라서 교점의 좌표는 (-2, -1)이다.
x¤ -y¤ +2x-y=0의 양변을 x에 대하여 미분하면
2x-2y +2- =0
dy
dx
dy
dx
dy
(2y+1) =2x+2
dx
dy
∴ =
dx
2x+2
2y+1
{y+-;2!;}
위의 식에 x=-2, y=-1을 대입하면
dy
dx
=
-4+2
-2+1
=2
(cid:8951) ④
082 x¤ -2xy+2y¤ -5=0의 양변을 x에 대하여 미
분하면
dy
2x-2y-2x +4y =0
dx
dy
dx
dy
2(x-2y) =2(x-y)
dx
dy
∴ =
dx
x-y
x-2y
(x+2y)
곡선 위의 점 (x¡, y¡)에서의 접선의 기울기가 2일 때,
=2,(cid:100)(cid:100)x¡-y¡=2x¡-4y¡
x¡-y¡
x¡-2y¡
∴ x¡=3y¡
이때 x¡¤ -2x¡y¡+2y¡¤ -5=0이므로
9y¡¤ -6y¡¤ +2y¡¤ -5=0
5y¡¤ =5(cid:100)(cid:100)∴ y¡=—1
두 직선 l, m의 방정식은
y-1=2(x-3), 즉 2x-y-5=0
y+1=2(x+3), 즉 2x-y+5=0
즉 두 점A, B의 좌표는 (3, 1), (-3, -1)이므로
FQ”⊥l이고 직선 l의
기울기가 ;2!;이므로 직선
FQ의 기울기는 -2이다.
(cid:8951) ②
선
곡
면
평
Ⅰ
본책
20쪽``…``21쪽
두 직선l, m 사이의 거리는 직선 2x-y-5=0 위의
점 (0, -5)와 직선2x-y+5=0 사이의 거리와 같으
므로
|5+5|
"√2¤ +(-1)¤
=2'5
083
대하여 미분하면
ax¤ +bxy+x‹ 'y=3의 양변을 x에
dy
2ax+by+bx +3x¤ 'y+x‹ ¥
dx
1
2'y
dy
¥ =0
dx
점 (1, 1)에서의 접선의 기울기가 -4이므로
2a+b-4b+3-2=0
∴ 2a-3b=-1
yy ㉠(cid:100)(cid:100)● 40%
점 (1, 1)이 곡선ax¤ +bxy+x‹ 'y=3 위에 있으므로
a+b+1=3(cid:100)(cid:100)∴ a+b=2 yy ㉡(cid:100)(cid:100)● 30%
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=1, b=1
∴ a¤ +b¤ =2
● 30%
(cid:8951) 2
● 50%
● 10%
(cid:8951) 9
084
y¤ =ax=4¥
x에서 준선의 방정식
;4A;
은 x=-
이므로 점 P(4a, 2a)와 준선 사이의 거리는
;4A;
4a+
=17,(cid:100)(cid:100):¡4¶:a=17(cid:100)(cid:100)∴ a=4 ● 40%
따라서 포물선의 방정식은 y¤ =4x이고, 이 포물선 위의
;4A;
점 P(16, 8)에서의 접선의 방정식은
8y=2(x+16)(cid:100)(cid:100)∴ y=;4!;x+4
이 직선이 점 (4, b)를 지나므로
b=;4!;¥4+4=5
∴ a+b=9
085 포물선 y¤ =4x와 직선y=x의 교점의 x좌표는
x¤ =4x,(cid:100)(cid:100)x(x-4)=0
∴ x=4 (∵ x>0)
따라서 P(4, 4)이므로 포물선 y¤ =4x 위의 점
P(4, 4)에서의 접선 l의 방정식은
4y=2(x+4), 즉 y=;2!;x+2
이때 포물선 y¤ =4x의 초점은 F(1, 0)이고 직선 FQ
의 기울기는 -2이므로 직선 FQ의 방정식은
y=-2(x-1), 즉 y=-2x+2
직선 l과 직선 y=-2x+2의 교점 Q의 x좌표는
;2!;x+2=-2x+2,(cid:100)(cid:100);2%;x=0
∴ x=0
따라서 점 Q의 좌표는 (0, 2)이다.
Ⅰ. 평면 곡선 19
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지20 SinsagoHitec
;2!;¥PQ”¥QR”=;2!;¥2'5¥
2'5
3
=:¡3º:
(cid:8951) ②
계수의 관계에 의하여
ab=-8p
또 직선 y=-2x+2와 직선 y=x의 교점 R의 x좌표는
-2x+2=x(cid:100)(cid:100)∴ x=;3@;
따라서 점 R의 좌표는 {;3@;, ;3@;}이다. 이때
PQ”="√(-4)¤ +(2-4)¤ =2'5,
¤ +{;3@;-2}
QR”=æ≠{;3@;}
¤ =
2'5
3
이므로 직각삼각형 PQR의 넓이는
086 ㄱ. 포물선 y¤ =4px의 준선의 방정식은 x=-p
ㄴ. 이므로
(cid:100)(cid:100)PF”=PH”=x¡-(-p)=x¡+p
ㄴ. 점 P(x¡, y¡)에서의 접선 l의 방정식은
(cid:100)(cid:100)y¡y=2p(x+x¡), 즉
ㄴ. (cid:100)(cid:100)y= x+
2p
y¡
2px¡
y¡
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
이므로 직선 PQ의 기울기는(cid:100)(cid:100)
2p
y¡
H(-p, y¡), F(p, 0)이므로 직선 HF의 기울기는
(cid:100)(cid:100)
0-y¡
p-(-p)
=-
y¡
2p
두 직선PQ, HF의 기울기의 곱은
(cid:100)(cid:100) ¥{- }=-1
y¡
2p
2p
y¡
이므로(cid:100)(cid:100)PQ”⊥HF”
ㄷ. y=0을 ㉠에 대입하면 x=-x¡이므로
ㄷ. (cid:100)(cid:100)Q(-x¡, 0)
(cid:100)(cid:100)∴ QF”=p-(-x¡)=x¡+p
087
서의 접선의 방정식은
포물선 y¤ =16x 위의 점 (x¡, y¡)에
y¡y=8(x+x¡), 즉 y= x+
● 20%
8
y¡
8x¡
y¡
이 직선이 점 (-2, 0)을 지나므로
8x¡
0=- + (cid:100)(cid:100)∴ x¡=2
y¡
16
y¡
이때 y¡¤ =16x¡이므로
y¡¤ =16¥2=32
∴ y¡=—4'2
따라서 접선의 방정식은
y=—'2(x+2)
이므로 두 접선의 기울기의 곱은
(cid:100)(cid:100)'2¥(-'2)=-2
20 정답 및 풀이
088 포물선 y¤ =4px 위의 점 (x¡, y¡)에서의 접선
의 방정식은
y¡y=2p(x+x¡)
이 직선이 점 A(-2, 1)을 지나므로
y¡=2p(-2+x¡)(cid:100)(cid:100)∴ 2px¡=y¡+4p
이때 y¡¤ =4px¡이므로
y¡¤ =2(y¡+4p)(cid:100)(cid:100)∴ y¡¤ -2y¡-8p=0
이 이차방정식의 서로 다른 두 실근을 a, b라 하면 근과
또 접선y¡y=2p(x+x¡) 의 기울기는 각각 , 이
2p
a
2p
b
(cid:8951) ③
점 P의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면 점
고 두 접선이 서로 수직이므로
2p
a
2p
b
¥ =-1,(cid:100)(cid:100)4p¤ =-ab
4p¤ =8p,(cid:100)(cid:100)4p(p-2)=0
∴ p=2(∵ p>0)
089
P에서의 접선의 방정식은
y¡y=x+x¡
이 직선이 점 (0, 2)를 지나므로
2y¡=x¡
이때 y¡¤ =2x¡이므로
y¡¤ =4y¡,(cid:100)(cid:100)y¡(y¡-4)=0
∴ y¡=4 (∵ y¡>0)
∴ x¡=2y¡=8
즉 점P의 좌표는 (8, 4)이고 점 P에서의 접선의 방정
● 40%
식은
이는
y-4=-4(x-8), 즉 y=-4x+36
● 40%
즉 C(9, 0)이므로 구하는 원의 반지름의 길
CP”="√(8-9)¤ +4¤ ='∂17
● 20%
(cid:8951) '∂17
090 △PFA의 넓이는 점 P가 포물선의 접선 중 직
선 AF와 평행한 직선 위에 있을 때 최대이다.
포물선 y¤ =8x=4¥2x의 초점은 F(2, 0)이므로
AF”="√(2-6)¤ +(-2)¤ =2'5
점 P의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면 점 P에서의 접선의
방정식은
y¡y=4(x+x¡), 즉 y= x+
4
y¡
4x¡
y¡
● 40%
● 40%
(cid:8951) -2
직선 AF의 기울기는
2-0
6-2
=;2!;
이 직선의 기울기가 ;2!;이므로
따라서 PF”=QF”이므로 △PQF는 이등변삼각형
4y=x+8, 즉 y=;4!;x+2
이다.
이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
원의 접선은 그 접점을
지나는 반지름과 서로 수
(cid:8951) ⑤
직이다.
정식은
따라서 직선 CP의 기울기는 -4이므로 직선 CP의 방
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지21 SinsagoHitec
4
y¡
=;2!;(cid:100)(cid:100)∴ y¡=8
이때 y¡¤ =8x¡이므로
64=8x¡(cid:100)(cid:100)∴ x¡=8
즉 점 P의 좌표는 (8, 8)이고 직선 AF의 방정식은
y=;2!;(x-2), 즉 x-2y-2=0
이므로 점 P(8, 8)과 직선 AF 사이의 거리는
|8-16-2|
"√1¤ +(-2)¤
=2'5
따라서 구하는 넓이의 최댓값은
;2!;¥2'5¥2'5=10
(cid:8951) ③
091 타원 4x¤ +y¤ =4 위의
점 P(a, b)에서의 접선의 방정
식은
4ax+by=4
y=0일 때x=
, x=0일 때
;a!;
y=
이므로 두 점 A, B의 좌표
;b$;
는
A{;a!;
, 0}, B{0,
;b$;}
△OAP의 넓이는(cid:100)(cid:100);2!;¥
¥b=
;a!;
△OPB의 넓이는(cid:100)(cid:100);2!;¥
¥a=
;b$;
△OAP：△OPB=2：1에서
b
2a
2a
b
： =2：1
b
2a
b
2a
2a
b
4a
b
= (cid:100)(cid:100)∴ b¤ =8a¤
이때 4a¤ +b¤ =4이므로
직선 y=x가 x축의 양
의 방향과 이루는 각의
크기는 45°이므로
(cid:100)∠AOB=∠AOC
y
4
B b
O
P{a,`b}
A
1
a
x
4x@+y@=4
4a¤ +8a¤ =4,(cid:100)(cid:100)12a¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ a¤ =;3!;
따라서 b¤ =8¥;3!;=;3*;이므로
a¤ +b¤ =3
(cid:8951) ③
△OAP：△OPB=2：1이므로
AP”：PB”=2：1
즉 점 P(a, b)는 AB”를 2：1로 내분하는 점이므로
a=
2¥0+1¥
2+1
;a!;
에서
3a=
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ =;3!;
;a!;
b=
2¥
+1¥0
;b$;
2+1
에서
(cid:100)(cid:100)∴ b¤ =;3*;
3b=
;b*;
∴ a¤ +b¤ =3
두 양수a, b에 대하여
(cid:100)
a+b
2
æ'∂ab, 즉
(cid:100)a+bæ2'∂ab
(단, 등호는 a=b일 때
성립)
선
곡
면
평
Ⅰ
본책
21쪽``…``22쪽
x¤
092 직선 y=x와 타원 + =1의 교점 A의 x
12
y¤
6
좌표는
x¤
12
x¤
6
+ =1,(cid:100)(cid:100)x¤ =4
∴ x=2 (∵ x>0)
따라서 타원 위의 점 A(2, 2)에서의 접선의 방정식은
2x
12
2y
6
+ =1, 즉 + =1
x
6
y
3
이므로(cid:100)(cid:100)B(6, 0), C(0, 3)
오른쪽 그림에서 직선 OA
는 ∠COB의 이등분선이므
로 △OBC에서
AB”：AC”=OB”：OC”
=6：3
=2：1
1등급
|비|밀|노|트|
삼각형의 내각의 이등분선의 성질
△ABC에서 ∠A의 이등분선이 BC”와
만나는 점을 D라 하면
(cid:100)(cid:100)AB”：AC”=BD”：CD”
y
3
C
O
y=x
A
B
6
x
(cid:8951) ③
A
B
C
D
093 P(x¡, y¡)이라 하면 점P에서의 접선의 방정식은
+y¡y=1, 즉 x¡x+4y¡y-4=0
x¡x
4
이므로
OH”=
|-4|
"√x¡¤ +(4y¡)¤
이때 +y¡¤ =1이므로
x¡¤
4
x¡¤ =4-4y¡¤
직각삼각형 OPH에서
¤ -OH”
¤ =OP”
PH”
=
4
"√x¡¤ +16y¡¤
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
=x¡¤ +y¡¤ -
16
x¡¤ +16y¡¤
=4-4y¡¤ +y¡¤ -
16
4-4y¡¤ +16y¡¤
(∵ ㉠)
=4-3y¡¤ -
4
1+3y¡¤
=5-{1+3y¡¤ +
…5-2æ≠(1+3y¡¤ )¥
}
4
1+3y¡¤
4
1+3y¡¤
'3
3
=1 {단, 등호는 y¡= 일 때 성립}
따라서 PH”의 길이의 최댓값은 1이다.
(cid:8951) ②
Ⅰ. 평면 곡선 21
¤
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지22 SinsagoHitec
094 y-2x=k (k는 상수)로 놓으면 직선
y-2x=k, 즉 y=2x+k가 주어진 타원과 접할 때 k는
최댓값 또는 최솟값을 갖는다.
타원 + =1 위의 점 (x¡, y¡)에서의 접선의 방정
x¤
12
y¤
8
식은
x¡x
12
y¡y
8
+ =1, 즉 y=- x+
2x¡
3y¡
8
y¡
이 직선의 기울기가 2이므로
- =2(cid:100)(cid:100)∴ x¡=-3y¡
2x¡
3y¡
y¡¤
이때 + =1이므로
8
x¡¤
12
3y¡¤
4
+ =1,(cid:100)(cid:100)y¡¤ =;7*;
y¡¤
8
2'∂14
7
∴ y¡=—
따라서 접점의 좌표는 {—
6'∂14
7
, –
2'∂14
7
} (복호동순)
이므로 k의 최댓값 M과 최솟값 m은
-2¥{-
M=
2'∂14
7
2'∂14
7
∴ M-m=4'∂14
m=-
-2¥
6'∂14
7
6'∂14
7
}=2'∂14
=-2'∂14
타원 x¤ +2y¤ =8 위의 점 (a, b)에
095
서의 접선의 방정식은
ax+2by=8
이 직선이 점 (-1, 4)를 지나므로
-a+8b=8(cid:100)(cid:100)∴ a=8b-8
● 30%
이때 a¤ +2b¤ =8이므로
(8b-8)¤ +2b¤ =8,(cid:100)(cid:100)33b¤ -64b+28=0
(3b-2)(11b-14)=0(cid:100)(cid:100)
∴ b=;3@; 또는 b=;1!1$;
● 30%
그런데 접선 l의 기울기가 양수이므로
(cid:8951) ④
● 30%
● 10%
(cid:8951) -2
ab<0
b=;3@;일 때 ab<0이므로
a=8¥;3@;-8=-;3*;
∴ a+b=-2
x¤
a¤
+y¤ =1
22 정답 및 풀이
점 (x¡, y¡)은 직선
AC, 즉 y=-x+3 위
의 점이다.
>0이므로 접선은 점
;2B;
근선 y=-;2!;x와 수직
이다.
접선 ax+2by=8, 즉
x+
의 기울
y=-
;b$;
;2Åb;
기가 양수이려면
(cid:100)-
>0(cid:100)∴ ab<0
;2Åb;
△AFB와 △AF'B'에서
(cid:100)∠FBA=∠F'B'A
=90°,
(cid:100)∠FAB=∠F'AB'
(맞꼭지각)
이므로
(cid:100)△AFBª△AF'B'
타원과 직선 AC의 접점의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면 점
(x¡, y¡)에서의 접선의 방정식은
x¡x
a¤
+y¡y=1
이 직선이 점 A(0, 3)을 지나므로
3y¡=1(cid:100)(cid:100)∴ y¡=;3!;
이때 y¡=-x¡+3이므로
;3!;=-x¡+3(cid:100)(cid:100)∴ x¡=;3*;
또 +y¡¤ =1이므로
x¡¤
a¤
+;9!;=1,(cid:100)(cid:100)64+a¤ =9a¤
64
9a¤
a¤ =8(cid:100)(cid:100)∴ a=2'2 (∵ a>0)
따라서 구하는 장축의 길이는(cid:100)(cid:100)2¥2'2=4'2 (cid:8951) 4'2
타원 +y¤ =1은 직선 AB, 즉 y=x+3
x¤
a¤
에 접하므로 y=x+3을 타원의 방정식에 대입하면
+(x+3)¤ =1
x¤
a¤
∴ (a¤ +1)x¤ +6a¤ x+8a¤ =0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
4
=(3a¤ )¤ -(a¤ +1)¥8a¤ =0
a› -8a¤ =0,(cid:100)(cid:100)a¤ (a¤ -8)=0
a¤ =8 (∵ a>0)(cid:100)(cid:100)∴ a=2'2 (∵ a>0)
따라서 구하는 장축의 길이는(cid:100)(cid:100)2¥2'2=4'2
097 쌍곡선 2x¤ -8y¤ =a, 즉 - =1의 점근
x¤
;2A;
y¤
;8A;
선의 방정식은
y=—
x, 즉 y=—;2!;x
æ;8A;
æ;2A;
한편 쌍곡선 2x¤ -8y¤ =a 위의 점 {b, ;2!;}에서의 접선
의 방정식은
2bx-4y=a, 즉 y=
x-
;2B;
;4A;
이므로
¥{-;2!;}=-1에서(cid:100)(cid:100)b=4
;2B;
이때 점 {4, ;2!;}은 쌍곡선 2x¤ -8y¤ =a 위의 점이므로
32-2=a(cid:100)(cid:100)∴ a=30
∴ a+b=34
(cid:8951) ③
096 주어진 타원의 단축의 길이가 2이므로 장축의
길이를 2a (a>0)라 하면 타원의 방정식은
098
△AFB：△AF'B'=1：9이므로
△AFBª△AF'B'(AA 닮음)이고
(AA 닮음)
AF”：A’F'”=1：3
● 20%
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지23 SinsagoHitec
쌍곡선 - =1의 초점은 F(4, 0),
x¤
10
y¤
6
F'(-4, 0)이므로(cid:100)(cid:100)F’F'”=8
따라서 AF”=8¥;4!;=2이므로 점 A의 좌표는 (2, 0)
이다.
● 30%
한편 점 P(a, b)에서의 접선의 방정식은
ax
10
by
- =1
6
이직선이점A(2, 0)을지나므로
=1(cid:100)(cid:100)∴ a=5
;5A;
a¤
10
b¤
이때 - =1이므로
6
;2%;- =1,(cid:100)(cid:100) =;2#;
b¤
6
b¤
6
b¤ =9(cid:100)(cid:100)∴ b=3 (∵ b>0)
∴ a+b=8
099
의 최솟값은 기울기가 2인 쌍곡선의 접선과 직선
점 P와 직선 y=2x+3 사이의 거리
y=2x+3 사이의 거리와 같다.
● 20%
점 P(x¡, y¡)에서의 접선의 방정식은
2x¡x-y¡y=4, 즉 y= x-
2x¡
y¡
4
y¡
이 직선의 기울기가 2이므로
2x¡
y¡
=2(cid:100)(cid:100)∴ x¡=y¡
이때 2x¡¤ -y¡¤ =4이므로
2x¡¤ -x¡¤ =4,(cid:100)(cid:100)x¡¤ =4
∴ x¡=2 (∵ x¡>0)
으므로
|4-2+3|
"√2¤ +(-1)¤
='5
따라서 구하는 거리의 최솟값은 점 P(2, 2)
와 직선 y=2x+3, 즉 2x-y+3=0 사이의 거리와 같
● 40%
● 10%
(cid:8951) 8
● 50%
● 30%
(cid:8951) '5
선
곡
면
평
Ⅰ
본책
23쪽``…``24쪽
(cid:100)(cid:100)∴ a=5 (∵ b+0)
이때 2a¤ -5b¤ =10이므로
50-5b¤ =10,(cid:100)(cid:100)b¤ =8
(cid:100)(cid:100)∴ b=2'2 (∵ b>0)
따라서 점 P(5, 2'2)에서의 접선의 방정식은
2¥5x-5¥2'2y=10
(cid:100)(cid:100)∴ x-'2y=1
점 Q에서의 접선은 직선 ㉢과 x축에 대하여 대칭이므로
yy ㉣(cid:100)(cid:100)
yy ㉢(cid:100)(cid:100)
x+'2y=1
㉢, ㉣을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)x=1, y=0
따라서 두 접선의 교점의 좌표는 (1, 0)이다.
(cid:8951) ⑤
1등급
|비|밀|노|트|
원 위의 점(a, b) 에서의 접선과 수직이고 점 (a, b)를 지나는
직선은 이 원의 중심을 지난다.
101 쌍곡선과 원의 접점 (x¡, y¡)에서의 접선의 방
정식은
x¡x-5y¡y=1, 즉 y= x-
x¡
5y¡
1
5y¡
이 직선과 두 점A(0, 3), (x¡, y¡) 을 지나는 직선은
=-1,(cid:100)(cid:100)y¡-3=-5y¡
서로 수직이므로
x¡
5y¡
¥
y¡-3
x¡
6y¡=3(cid:100)(cid:100)∴ y¡=;2!;
이때 x¡¤ -5y¡¤ =1이므로
x¡¤ -5¥;4!;=1,(cid:100)(cid:100)x¡¤ =;4(;(cid:100)(cid:100)∴ x¡=—;2#;
따라서 두 점 P, Q의 좌표는
P{;2#;, ;2!;}, Q{-;2#;, ;2!;}
이므로 두 점 P, Q에서의 접선의 방정식은 각각
;2#;x-;2%;y=1, -;2#;x-;2%;y=1
∴ 3x-5y=2, 3x+5y=-2
위의 두 식을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)x=0, y=-;5@;
즉 점 B의 좌표는 {0, -;5@;}이므로
(cid:8772)AQBP=2△ABP
(cid:8772)AQBP=2¥{;2!;¥:¡5¶:¥;2#;}=;1%0!;
(cid:8951) ;1%0!;
100 점 P의 좌표를 (a, b)라 하면 점P에서의 접선
의 방정식은
2ax-5by=10
2a
∴ y= x-;b@;
5b
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
두 점P, Q는 y축에 대
하여 대칭이므로
(cid:100)△AQB=△APB
점 P(a, b)를 지나고 직선 ㉠에 수직인 직선의 방정식은
5b
y-b=- (x-a)
2a
(cid:100)(cid:100)∴ y=- x+;2&;b
5b
2a
직선 ㉡은 원의 중심 (7, 0)을 지나므로
0=-
35b
2a
+;2&;b,(cid:100)(cid:100) =b
5b
a
AB”=3-{-;5@;}
=:¡5¶:
102 쌍곡선 x¤ -9y¤ =9 위의 점 (x¡, y¡)에서의 접
선의 방정식은
x¡x-9y¡y=9
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
이 직선이 점 (1, 0)을 지나므로(cid:100)(cid:100)x¡=9
이때 x¡¤ -9y¡¤ =9이므로
81-9y¡¤ =9,(cid:100)(cid:100)y¡¤ =8(cid:100)(cid:100)∴ y¡=—2'2
즉 접선의 방정식은
Ⅰ. 평면 곡선 23
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지24 SinsagoHitec
dy
dx
=
=
e† +3e3t+5e5t+y+(2n-1)e(2n-1)t
e† +2e2t+3e3t+y+nent
dy
12dt
dx
143dt
n
¡k=1
(2k-1)
n(n+1)
2
-n
=2¥
=n¤
따라서 t=0일 때 접선의 기울기는
g(n)=
1+3+5+y+(2n-1)
1+2+3+y+n
g(n)=
=
2n
n+1
n¤
n(n+1)
143112
2
9x-18'2y=9 또는 9x+18'2y=9
이므로 직선 l의 방정식은
9x-18'2y=9, 즉 x-2'2y-1=0
따라서 점(n, 0)과직선x-2'2y-1=0 사이의거리는
d«=
|n-1|
"√1¤ +(-2'2)¤
=
|n-1|
3
d«æ4에서
|n-1|
3
æ4,(cid:100)(cid:100)|n-1|æ12
∴ næ13 (∵ n은 2 이상의 자연수)
따라서 n의 최솟값은 13이다.
(cid:8951) ③
103
dx
dt
dy
dt
=1-e† , =1-cos t이므로
dy
dx
=
=
1-cos t
1-e†
(t+0)
dy
12dt
dx
143dt
∴
lim
0
t
⁄
;t!;
dy
¥ =
dx
lim
0
t
⁄
;t!;
¥ =
¥ =
;t!;
;t!;
lim
0
t
⁄
lim
0
t
⁄
¥
1-cos t
1-e†
1-cos¤ t
t(1+cos t)(1-e† )
sin¤ t
t¤ (1+cos t)¥
1-e†
1431t
∴
∴
∴
∴
104
dx
dt
=
2
(t+1)¤
dy
, =
dt
t¤ +2t+2
(t+1)¤
이므로
dy
dx
=
dy
12dt
dx
143dt
=
t¤ +2t+2
12111
(t+1)¤
2
14311(t+1)¤
=
t¤ +2t+2
2
따라서 t=n일 때 접선의 기울기는
f(n)=
n¤ +2n+2
2
∴ f(n)=
8
¡n=1
n¤ +2n+2
2
8
¡n=1
8
¡n=1
= {;2!;n¤ +n+1}
8¥9¥17
8¥9
6
2
=;2!;¥
+
+8
=102+36+8
=146
=e† +2e2t+3e3t+y+nent,
=e† +3e3t+5e5t+y+(2n-1)e(2n-1)t이므로
105
dx
dt
dy
dt
24 정답 및 풀이
¥ =
;t!;
lim
0
t
⁄
sin¤ t
t¤
¥
1
1+cos t
¥
t
1-e†
¥ =1¥;2!;¥(-1)=-;2!;
;t!;
(cid:8951) -;2!;
sin x
x
e≈ -1
x
=1
=1
lim
0
x
⁄
lim
0
x
⁄
n
¡k=1
n
¡k=1
k=
n(n+1)
2
k¤ =
n(n+1)(2n+1)
6
(cid:8951) ④
g(n)=;5(;에서(cid:100)(cid:100)
=;5(;,(cid:100)(cid:100)10n=9n+9
2n
n+1
∴ n=9
(cid:8951) ①
106 접선 l의 방정식은
y¡y=2p(x+x¡)
이므로 접선 l과 x축의 교
점을 B라 하면
B(-x¡, 0)(cid:100)(cid:100)
∴ BF”=x¡+p
y
A{x¡,`y¡}
C
l
y=y¡
Ω
30æ
B
O F{p,`0}
x
x=-p
y@=4px
주어진 포물선의 준선은 x=-p이므로 준선과 직선
y=y¡과의 교점을 C라 하면(cid:100)(cid:100)C(-p, y¡)
이때 y¡¤ =4px¡이므로
BC”="√(-p+x¡)¤ +y¡¤ ="√(-p+x¡)¤ +4px¡
="√(x¡+p)¤ =x¡+p
∴ BF”=BC”
포물선의 정의에 의하여 AC”=AF”이므로
△ABF™△ABC
∴ h=∠BAC=∠BAF=30°
(cid:8951) ⑤
준선은 x=-p이고, 점 A에서 준선에 내린
수선의 발을 C라 하면(cid:100)(cid:100)AC”=x¡+p
AF”=AC”이므로(cid:100)(cid:100)AF”=x¡+p=BF”
따라서 △ABF는 이등변삼각형이므로
∠ABF=30°
∴ h=∠ABF=30° (엇각)
△ABF와 △ABC에서
BF”=BC”, AF”=AC”, AB”는 공통
이므로 △ABF™△ABC (SSS 합동)이다.
이때 AF”=BF”=x¡+p이므로(cid:100)(cid:100)AC”=AF”=BF”=BC”
따라서 △ABF와 △ABC는 모두 이등변삼각형이다.
{x+7}@+y@=1
Q
107 점 Q의 좌표를
(x¡, y¡)이라 하면 접선
l의 방정식은
y¡y=x+x¡, 즉
x-y¡y+x¡=0
C
-7
P
l
y
O
x
y@=2x
직선 l이 원(x+7)¤ +y¤ =1에 접하므로 원의 중심
C(-7, 0)과 직선 x-y¡y+x¡=0 사이의 거리는 원
의 반지름의 길이와 같다.
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지25 SinsagoHitec
|-7+x¡|
"√1¤ +(-y¡)¤
이때 y¡¤ =2x¡이므로
=1,(cid:100)(cid:100)|x¡-7|="√1+y¡¤
|x¡-7|="√1+2x¡
위의 식의 양변을 제곱하여 정리하면
x¡¤ -16x¡+48=0
(x¡-4)(x¡-12)=0
∴ x¡=4 또는 x¡=12
따라서 점 Q의 좌표는 (4, 2'2)이므로 직각삼각형
CPQ에서
PQ”
¤ -CP”
¤ =CQ”
={(4+7)¤ +(2'2)¤ }-1¤
=128
x¡=4이면 y¡=—2'2,
x¡=12이면 y¡=—2'6
이고 y¡y=x+x¡, 즉
y= x+ 에서
1
y¡
x¡
y¡
y¡=2'2일 때 기울기가
가장 크다.
(cid:8951) 128
108 ㄱ. 점 P의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면 점 P에서
ㄴ. 의 접선l¡의 방정식은
ㄴ. (cid:100)(cid:100) +
=1(cid:100)(cid:100)∴ m¡=-
x¡x
16
y¡y
7
ㄴ. 점 P에서의 접선 l™의 방정식은
ㄴ. (cid:100)(cid:100)y¡y=2p(x+x¡)(cid:100)(cid:100)∴ m™=
7x¡
16y¡
2p
y¡
ㄴ. 이때 y¡¤ =4px¡이므로
ㄴ. (cid:100)(cid:100)m¡m™=-
ㄴ. (cid:100)(cid:100)m¡m™=-
7x¡
16y¡
2p
y¡
¥ =-
7px¡
8y¡¤
7px¡
8¥4px¡
=-;3¶2;
ㄴ. 즉 m¡m™의 값은p의 값에 관계없이 항상 일정하다.
ㄴ. 접선 l™의 방정식 y¡y=2p(x+x¡)에서 y=0일 때
x=-x¡이므로 점 B의 좌표는 (-x¡, 0)이다.
ㄴ. 타원 + =1의 초점의 좌표는
x¤
16
y¤
7
ㄴ. (cid:100)(cid:100)(3, 0), (-3, 0)
ㄴ. 이고 x¡>0이므로
ㄴ. (cid:100)(cid:100)-x¡=-3(cid:100)(cid:100)∴ x¡=3
ㄴ. x¡=3을 + =1에 대입하면
x¡¤
16
y¡¤
7
y¡¤
ㄴ. (cid:100)(cid:100);1ª6;+ =1,(cid:100)(cid:100)y¡¤ =;1$6(;
7
ㄴ. (cid:100)(cid:100)∴ y¡=;4&; (∵ y¡>0)
ㄴ. (cid:100)(cid:100)∴ m¡=-
=-
=-;4#;
7x¡
16y¡
7¥3
16¥;4&;
y¡y
7
x¡x
16
+
ㄷ. 접선 l¡의 방정식
=1에서 y=0일 때
ㄷ. x= 이므로 점 A의 좌표는 {
, 0}이다.
16
x¡
16
x¡
ㄷ. (cid:100)(cid:100)∴ AB”= -(-x¡)
16
x¡
16
∴ AB”= +x¡æ2æ≠
x¡
16
x¡
¥x¡=8
선
곡
면
평
Ⅰ
본책
24쪽``…``25쪽
ㄷ. 이때 등호는 =x¡, 즉 x¡=4일 때 성립하지만
16
x¡
ㄷ. 08이다.
이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
(cid:8951) ⑤
109 쌍곡선 3x¤ -y¤ =3 위의 점 P(a, b)에서의 접
선의 방정식은
3ax-by=3
;a!;
y=0일 때 x=
이므로 점 A의 좌표는 {;a!;
, 0}이다.
또 쌍곡선의 점근선의 방정식은 y=—'3x이므로 기울
기가 양수인 점근선 y='3x와 직선l 의 교점의 x좌
표는
3ax-'3bx=3,(cid:100)(cid:100)(3a-'3b)x=3
∴ x=
∴ B{
3
3a-'3b
3
,
3a-'3b
3'3
3a-'3b
}
S(a)=;2!;¥
이때 3a¤ -b¤ =3이므로(cid:100)(cid:100)b="√3a¤ -3 (∵ b>0)
따라서 △OAB의 넓이는
3'3
3a-'3b
'3
2a(a-"√a¤ -1)
S(a)=
S(a)=
;a!;
∴
¥
lim
¶
a
⁄
'3
2a(a-"√a¤ -1)
'3(a+"√a¤ -1)
2a{a¤ -(a¤ -1)}
'3a+"√3a¤ -3
2a
3
14a¤
'3+æ≠3-
2
lim
¶
a
⁄
lim
¶
a
⁄
lim
¶
a
⁄
S(a)=
S(a)=
S(a)=
lim
¶
a
⁄
S(a)='3
∴
∴
∴
∴
(cid:8951) ③
110 타원 x¤ +3y¤ =12 위의 점 (x¡, y¡)에서의 접선
의 방정식은
x¡x+3y¡y=12
이 직선이 점 P(6, -2)를 지나므로
6x¡-6y¡=12(cid:100)(cid:100)∴ y¡=x¡-2
이때 x¡¤ +3y¡¤ =12이므로
x¡¤ +3(x¡-2)¤ =12,(cid:100)(cid:100)x¡¤ -3x¡=0
x¡(x¡-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x¡=0 또는 x¡=3
따라서 접점의 좌표는 (0, -2), (3, 1)이므로 접선의
+x¡에서 x¡>0이
y=-2 또는 x+y=4
므로 산술평균과 기하
평균의 관계가 성립한
직선 l이 y축과 만나는 점을 Q(0, k)라 하면 점Q에서
두 직선 y=-2, x+y=4에 이르는 거리가 서로 같으
16
x¡
다.
방정식은
므로
Ⅰ. 평면 곡선 25
¤
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지26 SinsagoHitec
k+2=
|k-4|
"√1¤ +1¤
4-k
'2
k+2=
(∵ -20)
라 하고 점 A에서 B’B'”에 내린 수선의 발을 C라 하면
AB”=AF”+BF”=5k, BC”=B’B'”-A’A'”=3k
직각삼각형 ACB에서
¤ -BC”
AC”=øπAB”
따라서 직선 l의 기울기는
(cid:100)(cid:100)
BC”
AC”
3k
= =;4#;
4k
116
물선의 방정식은
포물선의 초점이 F(3, 0)이므로 포
y¤ =4¥3x, 즉 y¤ =12x
● 20%
점 P의 x좌표가 9이므로 x=9, y=y¡을
y¤ =12x에 대입하면
y¡¤ =12¥9=108(cid:100)(cid:100)∴ y¡=6'3 (∵ y¡>0)
따라서 두 점 P(9, 6'3), F(3, 0)을 지나는 직선의
방정식은
y=
6'3-0
9-3
(x-3)(cid:100)(cid:100)∴ x= +3
● 30%
y
'3
x= +3을 y¤ =12x에 대입하면
y
'3
y¤ =12{ +3},(cid:100)(cid:100)y¤ =4'3y+36
y
'3
∴ y¤ -4'3y-36=0
이 이차방정식의 두 근이 y¡, y™이므로 근과
계수의 관계에 의하여
y¡+y™=4'3
117 두 초점의 좌표를 F(c, 0), F'(-c, 0)(c>0)
이라 하면 직선 PF'의 기울기는
PF”
FF'”
PF”
2c
= =;4#;(cid:100)(cid:100)∴ PF”=;2#;c
타원의 정의에 의하여 PF”+PF'”=2¥4=8이므로
PF'”=8-;2#;c
직각삼각형 PF'F에서 PF'”
¤ =FF'”
¤ +PF”
¤ 이므로
{8-;2#;c}
¤ =(2c)¤ +{;2#;c}
;4(;c¤ -24c+64=4c¤ +;4(;c¤
c¤ +6c-16=0,(cid:100)(cid:100)(c+8)(c-2)=0
∴ c=2 (∵ c>0)
따라서 16-k=c¤ 에서(cid:100)(cid:100)k=16-2¤ =12
(cid:8951) ④
타원 + =1의 초점의 좌표는
x¤
36
y¤
11
(5, 0), (-5, 0)이므로 두 점 A, B는 타원의 초점
118
이다.
OH”=OF”+FH”
=3+6=9
이므로 점 H의 x좌표와
점 P의 x좌표는 9이다.
두 삼각형의 높이가 같
으므로 두 삼각형의 넓
이의 비는 밑변의 길이
의 비와 같다.
119 두 초점의 좌표를 F(c, 0), F'(-c, 0)(c>0)
이라 하면 △APA'=3△FPF'에서(cid:100)(cid:100)A’A'”=3F’F'”
즉 2a=3¥2c에서(cid:100)(cid:100)a=3c
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
또 △FPF'의 둘레의 길이가 16이므로
PF”+P’F'”+F’F'”=2a+2c=16
∴ a+c=8
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=6, c=2
c¤ =a¤ -b¤ 에서
b¤ =6¤ -2¤ =32
∴ a¤ +b¤ =6¤ +32=68
● 30%
● 20%
(cid:8951) 4'3
y¤ -4'3y-36=0에서
(y+2'3)(y-6'3)=0
(cid:100)∴ y=-2'3 또는
(cid:100) y=6'3
점 P에서 두 점C, O에
이르는 거리의 합이 일
정하다.
120 원(x+1)¤ +(y+2)¤ =9
의 중심을 C, 두 원의 접점을 T
라 하면
CP”+OP”=CP”+PT”
=3
이므로 점 P의 자취는 두 점 C,
O를 초점으로 하는 타원이다.
즉 타원의 정의에 의하여 2a=3이므로
(cid:8951) 68
T
x
y
O
-1
C
P
-2
2c=OC”="√(-1)¤ +(-2)¤ ='5이므로
a=;2#;
c=
'5
2
c¤ =a¤ -b¤ 에서(cid:100)(cid:100)b¤ =;4(;-;4%;=1
'5
¤ +1+{
2
∴ a¤ +b¤ +c¤ ={;2#;}
¤ =;2(;
}
(cid:8951) ;2(;
121
하면
두 점P, Q의 x좌표를 각각 a, b라
P(a, a-2), Q(b, b-2)
이므로 선분 PQ의 중점R 의 좌표는
R{
a+b
2
,
a+b
2
-2}
● 30%
직선 y=x-2와 타원 + =1의 교점
x¤
m
y¤
n
Ⅰ. 평면 곡선 27
● 30%
의 x좌표는
¤
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지28 SinsagoHitec
x¤
m
+
(x-2)¤
n
=1, 즉
(m+n)x¤ -4mx+4m-mn=0
16
x
=x,(cid:100)(cid:100)x¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ x=—4
(cid:100)(cid:100)∴ M(4, 4), N(-4, -4)
의 두 실근이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의
이때 주어진 쌍곡선의 주축의 길이는 MN”이므로 쌍곡
이차방정식
ax¤ +bx+c=0의 두 근
을 a, b라 하면
(cid:100)a+b=-
, ab=
;aB;
;aC;
선의 정의에 의하여
|PF”-PF'”|=MN”="√(-4-4)¤ +(-4-√4)¤
|PF”-PF'”|=8'2
(cid:8951) 8'2
a+b
2
a+b
2
=
2m
m+n
,
-2=
-2n
m+n
125
로 등차수열을 이루므로
2FF'”=PF”+PF'”
PF”, FF'”, PF'”의 길이가 이 순서대
세 수 a, b, c가 이 순서
대로 등차수열을 이루면
● 30%
(cid:8951) '3
(cid:100)b=
a+c
2
, 즉
(cid:100)2b=a+c
하여
a+b=
4m
m+n
(cid:100)(cid:100)
-2n
12413m+n
2m
14213m+n
n
∴ ='3
m
따라서 점 R의 좌표는(cid:100)(cid:100){
2m
m+n
,
-2n
m+n
}
● 40%
즉 직선 OR의 기울기는
=- =tan 120°=-'3
n
m
y¤
122 쌍곡선 - =1의 초점의 좌표는
8
x¤
4
(cid:100)(cid:100)(2'3, 0), (-2'3, 0)
이므로 이 초점을 공유하는 쌍곡선의 방정식을
x¤
a¤
y¤
b¤
- =1(a>0, b>0)이라 하면
a¤ +b¤ =(2'3)¤ =12
이때 점근선의 방정식이 y=—
x이므로
;aB;
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
;aB;=1(cid:100)(cid:100)∴ a=b
a=b를 ㉠에 대입하면
a¤ +a¤ =12,(cid:100)(cid:100)a¤ =6(cid:100)(cid:100)∴ a='6 (∵ a>0)
따라서 구하는 쌍곡선의 주축의 길이는
2a=2'6
y¤
123 쌍곡선 - =1의 초점의 좌표는
9
x¤
16
A(-5, 0), B(5, 0)(cid:100)(cid:100)∴ AB”=10
PA”：PB”=3：1이므로 PA”=3k, PB”=k (k>0)라
하면 쌍곡선의 정의에 의하여
PA”-PB”=3k-k=2¥4(cid:100)(cid:100)∴ k=4
따라서 PA”=12, PB”=4이므로 △ABP의 둘레의 길
이는(cid:100)(cid:100)PA”+AB”+PB”=26
(cid:8951) 26
124 쌍곡선 y= 은 직선
16
x
y=x에 대하여 대칭이므로 두
초점을 F(c, c), F'(-c, -c)
(c>0)라 하자.
16
쌍곡선 y= 과 직선 y=x
x
의 두 교점을 각각 M, N이라 하면
y
P
M
O
y=x
F
y=16
x
x
N
F'
28 정답 및 풀이
y¤
쌍곡선 - =1의 초점은
20
x¤
16
F(6, 0), F'(-6, 0)
이므로(cid:100)(cid:100)FF'”=12
쌍곡선의 정의에 의하여
∴ PF”+PF'”=24
yy ㉠(cid:100)(cid:100)● 30%
PF'”-PF”=2¥4=8
yy ㉡(cid:100)(cid:100)● 20%
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
(cid:100)(cid:100)PF”=8, PF'”=16
● 30%
● 20%
(cid:8951) 16
126 포물선 y¤ =4(x-2)는 포물선 y¤ =4x를 x축의
방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.
이때 포물선 y¤ =4x의 초점의 좌표가 (1, 0)이고 준선
의 방정식이 x=-1이므로 포물선 y¤ =4(x-2)의 초
점은 C(3, 0)이고 준선의 방정식은 x=1이다.
또 포물선의 정의에 의하여
(cid:100)(cid:100)AB”-1=AC”=5(cid:100)(cid:100)∴ AB”=6
따라서 점 A의 좌표는 (6, 4), 점 B의 좌표는 (0, 4)
△ABC=;2!;¥6¥4=12
(cid:8951) 12
127 9(x-1)¤ +25(y-2)¤ =225에서
(x-1)¤
25
+
(y-2)¤
9
=1
이 타원의 중심의 좌표가
(1, 2)이고 장축의 길이
가 10, 단축의 길이가 6이
므로 오른쪽 그림과 같이
타원을 x축의 방향으로
y
2
O
1
-1
6
x
-6만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동하면 주어진
조건을 만족시키는 타원이 된다.
따라서 a=-6, b=1이므로(cid:100)(cid:100)a+b=-5
(cid:8951) -5
128 ax¤ +y¤ +by=0에서
ax¤ +{y+
;2B;}
¤ ={;2B;}
(cid:8951) ②
x=6을 y¤ =4(x-2)에
이므로
대입하면
(cid:100)y¤ =16
(cid:100)∴ y=4 (∵ y>0)
¤
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지29 SinsagoHitec
x¤
∴
+
{y+;2B;}
;a!;{;2B;}
{;2B;}
=1
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
ㄱ. a>1이면 {;2B;}
¤ >
;a!;{;2B;}
¤ >0이므로 ㉠은 타원이고,
ㄱ. 이 타원은 타원
x¤
y¤
+
=1을 y축의 방향
;a!;{;2B;}
{;2B;}
ㄱ. 으로 -
만큼 평행이동한 것이므로 타원의 장축이
;2B;
ㄱ. y축 위에 놓인다.
ㄱ. 따라서 두 초점도 y축 위에 놓인다.
ㄴ. 00이므로 ㉠에서
ㄷ. a<0이면 -
;a!;{;2B;}
(cid:100)(cid:100)
x¤
{y+;2B;}
-
=-1
-
;a!; {;2B;}
{;2B;}
따라서 주축의 길이가 2æ≠{;2B;}
¤ =b인 쌍곡선이다.
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
(cid:8951) ③
129 x¤ -6x+4y¤ +8y-3=0에서
(x-3)¤ +4(y+1)¤ =16
∴
(x-3)¤
16
+
(y+1)¤
4
=1
것이다.
므로
원 (x-3)¤ +(y+1)¤ =n¤ 의
중심이 타원의 중심과 일치하
나지 않는다.
¤ n=2 또는 n=4일 때, 서
로 다른 두 점에서 만난다.
y
1
O
-3
‹ n=3일 때, 서로 다른 네 점에서 만난다.
-1
3
7
x
이상에서
5
¡n=1
f(n)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)
f(n)=0+2+4+2+0=8
(cid:8951) ①
1등급
|비|밀|노|트|
타원과 원의 중심이 일치할 때, 타원의 장축의 길이를 2a, 단축의
길이를 2b, 원의 반지름의 길이를 r라 하면
① r>a 또는 00)
∴ P(4, 4), Q(0, 2), S(1, 0), R(6, 0)
따라서
PR”="√(6-4)¤ +(-4)¤ =2'5,
QS”="√1¤ +(-2)¤ ='5,
PQ”="√(-4)¤ +(2-4)¤ =2'5
이므로 (cid:8772)PQSR의 넓이는
132
서의 접선의 방정식은
포물선 y¤ =16x 위의 점 P(1, 4)에
4y=8(x+1), 즉 y=2x+2
Ⅰ. 평면 곡선 29
(cid:8772)PQSR는 PR”∥QS”
인 사다리꼴이다.
;2!;¥(2'5+'5)¥2'5=15
(cid:8951) 15
따라서 주어진 이차곡선은 타원 + =1을 x축의
x¤
16
y¤
4
방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한
점 P(x¡, y¡)은 포물선
y¤ =4x 위의 점이므로
(cid:100)y¡¤ =4x¡
(1, 0)
⁄ n=1 또는 n=5일 때, 만
-1
즉 RS”=x¡+1이므로(cid:100)(cid:100)x¡+1=5(cid:100)(cid:100)∴ x¡=4
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지30 SinsagoHitec
이므로 점 Q의 좌표는(cid:100)(cid:100)(-1, 0)
● 20%
포물선 y¤ =16x의 초점은 F(4, 0)이므로
PQ”="√(-1-1)¤ +(-4)¤ =2'5,
QF”=4-(-1)=5,
FP”="√(1-4)¤ +4¤ =5
이때 △PQF의 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면
△PQF의 넓이는
● 20%
점 (1, 1)은 타원
+ =1 위의 점
y¤
b¤
x¤
a¤
이다.
x
a¤
b¤
+ =1, 즉 y=- x+b¤ yy ㉡(cid:100)(cid:100)
a¤
y
b¤
두 직선 ㉠, ㉡이 서로 수직이므로
b¤
a¤
1
이때 + =1이므로
b¤
1
2a¤
;2!;¥{- }=-1,(cid:100)(cid:100)∴ b¤ =2a¤
1
a¤
1
a¤
3
+ =1,(cid:100)(cid:100) =1(cid:100)(cid:100)∴ a¤ =;2#;
2a¤
세 변의 길이가a, b, c
인 △ABC의 내접원의
반지름의 길이가 r일 때,
△ABC=;2!;r(a+b+c)
따라서 b¤ =2¥;2#;=3이므로
a¤ +b¤ =;2(;
(cid:8951) ③
136 타원 x¤ + =1과 포물선 y¤ =8x의 교점의
y¤
3
x좌표는
;2!;r(2'5+5+5)=;2!;¥5¥4
r(5+'5)=10
∴ r=
=
5-'5
2
10
5+'5
따라서 p=5, q=-1이므로
p¤ +q¤ =5¤ +(-1)¤ =26
● 40%
● 20%
(cid:8951) 26
● 20%
● 30%
● 30%
● 20%
(cid:8951) '∂10
점 A의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면
133
점 A에서의 접선의 방정식은
(cid:100)(cid:100)y¡y=2(x+x¡)
이 직선이 점 P(-2, -1)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)-y¡=2(-2+x¡)
(cid:100)(cid:100)∴ x¡=-;2!;y¡+2
이때 y¡¤ =4x¡이므로
y¡¤ =4¥{-;2!; y¡+2},(cid:100)(cid:100)y¡¤ +2y¡-8=0
(y¡+4)(y¡-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ y¡=2 (∵ y¡>0)
x¡=-;2!;¥2+2=1이므로
A(1, 2)
한편 포물선 y¤ =4x의 준선의 방정식은
x=-1이므로
H(-1, 2)
∴ PH”="√(-1+2)¤ +(2+1≈)¤ ='∂10
134 점 P의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면 H(x¡, 0)이
므로(cid:100)(cid:100)OH”=x¡
점 P에서의 접선의 방정식은(cid:100)(cid:100) + =1
x¡x
12
y¡y
3
12
y=0일 때 x= 이므로(cid:100)(cid:100)OQ”=
x¡
12
x¡
∴ OH”¥OQ”=x¡¥ =12
(cid:8951) ②
12
x¡
135 포물선 y¤ =x 위의 점 (1, 1)에서의 접선의 방
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
타원 + =1 위의 점 (1, 1)에서의 접선의 방정
정식은(cid:100)(cid:100)y=;2!;(x+1)
y¤
b¤
x¤
a¤
식은
30 정답 및 풀이
y¤ =8¥;3!;=;3*;에서
2'6
3
(cid:100)y=
(∵ y>0)
포물선 y¤ =8x=4¥2x의 준선 l의 방정식은 x=-2이
고, 점 P에서의 포물선의 접선의 방정식은
x¤ +;3*;x=1,(cid:100)(cid:100)3x¤ +8x-3=0
(x+3)(3x-1)=0
∴ x=;3!; (∵ x>0)
∴ P{;3!;,
2'6
3
}
2'6
3
y=4{x+;3!;}
x=-2일 때,
2'6
3
y=-:™3º:(cid:100)(cid:100)∴ y=-
5'6
3
∴ A{-2, -
5'6
3
}
점 P에서의 타원의 접선의 방정식은
;3!;x+
2'6
9
y=1
x=-2일 때,
2'6
9
y=;3%;(cid:100)(cid:100)∴ y=
5'6
4
∴ B{-2,
∴ AB”=
}
5'6
4
5'6
4
-{-
5'6
3
}=
35'6
12
따라서 p=12, q=35이므로
p+q=47
(cid:8951) 47
137 직선 AC와 타원이 제`2 사분면에서 접하는 점의
좌표를 (x¡, y¡)이라 하면 직선 AC의 방정식은
x¡x
9
+
y¡y
5
=1
이 직선이 점 A(-5, 0)을 지나므로
-;9%;x¡=1(cid:100)(cid:100)∴ x¡=-;5(;
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지31 SinsagoHitec
y¡¤
이때 + =1이므로
5
x¡¤
9
;2*5!;
9
y¡¤
5
+ =1,(cid:100)(cid:100) =;2!5^;
y¡¤ =:¡5§:(cid:100)(cid:100)∴ y¡=
(∵ y¡>0)
y¡¤
5
4'5
5
따라서 직선 AC의 방정식은
4'5
25
-;5!;x+
y=1
x=3일 때,
y=1,(cid:100)(cid:100)
4'5
25
y=;5*;
-;5#;+
4'5
25
∴ y=2'5
따라서 점 C의 좌표는 (3, 2'5)이고, 점 B는 점 C와
x축에대하여대칭이므로점B의좌표는(3, -2'5)이다.
(cid:8951) ④
∴ BC”=2'5-(-2'5)=4'5
직선 y=2x-4'2를 x
축의 방향으로 k만큼
평행이동하면
(cid:100)y=2(x-k)-4'2
=2x-2k-4'2
이때 -2k-4'2<0이
므로 y=2x와 일치하
는 양수k의 값은 존재
2¥3+1¥(-3)
2+1
{
, 0},
즉 (1, 0)
138 쌍곡선 - =1의 초점은 F(3, 0),
x¤
5
y¤
4
F'(-3, 0)이고, 점 Q가 선분 F'F를 2：1로 내분하
하지 않는다.
므로 점 Q의 좌표는 (1, 0)이다.
쌍곡선 - =1 위의 점 P(a, b)에서의 접선의
x¤
5
y¤
4
방정식은
ax
5
by
- =1
4
이 직선이 점 Q(1, 0)을 지나므로
=1(cid:100)(cid:100)∴ a=5
b¤
이때 - =1이므로
4
;5A;
a¤
5
b¤
4
∴ a+b=9
5- =1,(cid:100)(cid:100)b¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ b=4 (∵ b>0)
(cid:8951) 9
139
y¤
쌍곡선 - =1 위의 점
2
x¤
6
P(3, 1)에서의 접선의 방정식은
-
=1
;2};
:£6”:
(cid:100)(cid:100)∴ x-y=2
두 점근선의 방정식은
yy ㉠(cid:100)(cid:100)● 20%
'3
y=— x, 즉 y=— x yy ㉡(cid:100)(cid:100)● 20%
3
'2
'6
㉠, ㉡에서 두 교점 A, B의 x좌표는
'3
3
'3
3
x- x=2에서(cid:100)(cid:100)x=
x+ x=2에서(cid:100)(cid:100)x=
즉 두 점 A, B의 좌표는
6
3-'3
6
3+'3
=3+'3
=3-'3
A(3+'3, 1+'3), B(3-'3, 1-'3)
● 40%
본책
29쪽``…``30쪽
따라서 선분 AB의 길이는
AB”="√{3-'3-(3+'3)√}¤ +{1-'3-(1√+'3)}¤
AB”="√(-2'3)¤ +(-√2'3)¤ =2'6
● 20%
(cid:8951) 2'6
선
곡
면
평
Ⅰ
140 쌍곡선 4x¤ -9y¤ =36 위의 점 (x¡, y¡)에서의
접선의 방정식은
4x¡x-9y¡y=36, 즉 y= x-
4x¡
9y¡
4
y¡
이 접선의 기울기가 2이므로
4x¡
9y¡
=2(cid:100)(cid:100)∴ 2x¡=9y¡
이때 4x¡¤ -9y¡¤ =36이므로
81y¡¤ -9y¡¤ =36,(cid:100)(cid:100)y¡¤ =;2!;
∴ y¡=—
'2
2
즉 접선의 방정식은
y=2x—4'2
k>0이므로 직선 y=2x+4'2를 x축의 방향으로 k만
큼 평행이동하면 직선 y=2x와 일치한다.
따라서 y=2(x-k)+4'2=2x-2k+4'2에서
-2k+4'2=0(cid:100)(cid:100)∴ k=2'2
(cid:8951) ②
141 ㄱ. 쌍곡선 2x¤ -y¤ =4, 즉 - =1의 초
x¤
2
y¤
4
ㄱ. 점의 좌표는
ㄴ. (cid:100)(cid:100)('6, 0), (-'6, 0)
ㄴ. 쌍곡선 2x¤ -y¤ =4 위의 점 (x¡, y¡)에서의 접선의
방정식은
ㄴ. (cid:100)(cid:100)2x¡x-y¡y=4, 즉 y= x-
2x¡
y¡
ㄴ. 이 직선의 기울기가 '6이므로
'6
2
ㄴ. (cid:100)(cid:100) ='6(cid:100)(cid:100)∴ x¡= y¡
2x¡
y¡
4
y¡
ㄴ. 이때 2x¡¤ -y¡¤ =4이므로
ㄴ. (cid:100)(cid:100)3y¡¤ -y¡¤ =4,(cid:100)(cid:100)y¡¤ =2(cid:100)(cid:100)∴ y¡=—'2
ㄴ. 따라서 접선의 방정식은
ㄴ. (cid:100)(cid:100)y='6x—2'2
ㄴ. 이므로 접선의 y절편은 —2'2이다.
ㄷ. 기울기가 1인 접선의 방정식을 y=x+k라 하면
2x¤ -(x+k)¤ =4에서
(cid:100)(cid:100)x¤ -2kx-k¤ -4=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
(cid:100)(cid:100);;4 D;;=k¤ +k¤ +4=0(cid:100)(cid:100)∴ k¤ =-2
이를 만족시키는 실수 k의 값은 존재하지 않으므로
기울기가 1인 접선은 존재하지 않는다.
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
(cid:8951) ③
Ⅰ. 평면 곡선 31
E0429_일품기벡_정(006-032) 2015.4.29 2:43 PM 페이지32 SinsagoHitec
ㄴ. (cid:100)(cid:100)∴ y=
¥st+;2!;s=;2!;(s+t)
;2¡s;
ㄴ. 따라서 점 R의 y좌표가 ;2!;(s+t)이므로 점 R는 선
ㄴ. 분 PQ의 중점이다.
ㄷ. 포물선 y¤ =x=4¥;4!;x의 초점의 좌표는
점 R는 두 직선 l, m
의 교점을 지나고 x축
에 평행한 직선 위에
있으므로 교점과 y좌표
가 같다.
ㄴ. {;4!;, 0}이고, 직선 PQ의 방정식은
ㄴ. (cid:100)(cid:100)y-s=
(x-s¤ ), 즉
s-t
s¤ -t¤
1
s+t
ㄴ. (cid:100)(cid:100)y=
(x-s¤ )+s
ㄴ. x=;4!;을 위의 식에 대입하면
1
s+t
{;4!;-s¤ }+s
ㄴ. (cid:100)(cid:100)y=
ㄴ. ㄱ에서 st=-;4!;이므로
1
s+t
ㄴ. (cid:100)(cid:100)y=
(-st-s¤ )+s=
-s(s+t)
s+t
+s
ㄴ. (cid:100)(cid:100)y=-s+s=0
ㄴ. 따라서 직선 PQ는 포물선의 초점 {;4!;, 0}을 지난다.
이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
(cid:8951) ④
144
길이를 구한다.
주어진 타원의 성질을 이용하여 F'Q”의
오른쪽 그림과 같
y
l
이 직선l과 선분 FQ의 교점
을 M이라 하고, 두 직선 PF,
PF'이 직선l과 이루는 각의
크기를 각각 a, b라 하면 주
어진 타원의 성질에 의하여
Q
M
P
å
∫
F'
O
F
x
x@
25
+
y@
9
=1
a=b이고 △PFM™△PQM이므로 ∠QPM=b이다.
따라서 세 점 F', P, Q는 한 직선 위에 있다.
타원의 정의에 의하여
PF'”+PF”=2¥5=10
PF”=PQ”이므로(cid:100)(cid:100)PF'”+PQ”=10
∴ F'Q”=10
따라서 점 Q가 나타내는 도형은 점 F'을 중심
으로 하고 반지름의 길이가 10인 원이므로 구하는 도형
의 둘레의 길이는 20p이다.
(cid:8951) 20p
ㄷ. 쌍곡선 위의 점 (x¡, y¡)에서의 접선의
4
ㄷ. 방정식이 y= x- 이고 이 직선의 기울기가
y¡
2x¡
y¡
ㄷ. 1이면
ㄷ. (cid:100)(cid:100) =1(cid:100)(cid:100)∴ 2x¡=y¡
2x¡
y¡
ㄷ. 이때 2x¡¤ -y¡¤ =4이므로
ㄷ. (cid:100)(cid:100)2x¡¤ -4x¡¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ x¡¤ =-2
ㄷ. 따라서 실수 x¡의 값이 존재하지 않으므로 기울기
가 1인 접선은 존재하지 않는다.
142
임을 이용하여 점 C의 좌표를 구한다.
직선 CF와 쌍곡선의 점근선이 서로 수직
쌍곡선 - =1의 점근선의 방정식은
x¤
4
y¤
16
y=—;2$;x, 즉 y=—2x
이때 직선 CF는 직선y=2x와 서로 수직이
므로 직선 CF의 기울기는 -;2!;이고, 초점 F의 좌표는
(2'5, 0)이므로 직선 CF의 방정식은
y=-;2!;(x-2'5), 즉 y=-;2!;x+'5
즉 점 C의 좌표는 (0, '5)이므로
OP”=OC”='5
△PF'F에서 F'F”의 중점이 O이므로 PF'”=a, PF”=b
라 하면
a¤ +b¤ =2{('5)¤ +(2'5)¤ }=50
쌍곡선의 정의에 의하여
a-b=2¥2=4
143
이용하여 두 직선 l, m의 교점과 점 R의 좌표를 구한다.
포물선 위의 점에서의 접선의 방정식을
ㄱ. 점 P(s¤ , s)에서의 접선 l의 방정식은
ㄱ. (cid:100)(cid:100)sy=;2!;(x+s¤ ), 즉 y=
x+;2!;s
ㄱ. 점 Q(t¤ , t)에서의 접선 m의 방정식은
;2¡s;
ㄱ. (cid:100)(cid:100)ty=;2!;(x+t¤ ), 즉 y=
ㄱ. l⊥m이므로
x+;2!;t
;2¡t;
ㄱ. (cid:100)(cid:100)
¥
;2¡t;
=-1(cid:100)(cid:100)∴ st=-;4!;
;2¡s;
ㄴ. 두 직선l, m의 교점의 x좌표는
ㄴ. (cid:100)(cid:100)
x+;2!;s=
x+;2!;t
;2¡t;
ㄴ. (cid:100)(cid:100)
x=;2!;(t-s)(cid:100)(cid:100)∴ x=st
;2¡s;
t-s
2st
32 정답 및 풀이
△ABC에서 BC”의 중점
을 M이라 할 때,
(cid:100)AB”
¤ +AC”
=2(AM”
¤ +BM”
¤ )
A
따라서 a¤ +b¤ =(a-b)¤ +2ab에서
50=16+2ab(cid:100)(cid:100)∴ ab=17
∴ PF”¥PF'”=17
B
M
C
(cid:8951) 17
¤
E0429_일품기벡_정(033-057) 2015.4.29 2:44 PM 페이지33 SinsagoHitec
Ⅱ
평면벡터
03
벡터의 연산
145 △ABC는 한 변의 길이
가 2인 정삼각형이므로
AD”=BE”=CF”
'3
AD”= ¥2='3
2
따라서 크기가 '3인 벡터는
(cid:100)(cid:100)AD≥, D’A≥, BE≥, EB≥, CF≥, FC≥
B
의 6개이다.
본책 32쪽
F
E
A
D
146 AC”="√6¤ +8¤ =10이고, 점 M은 직각삼각형
ABC의 외심이므로
|B’M≥|=;2!;AC”=;2!;¥10=5
147 a¯와 시점은 다르지만
서로 같은 벡터는 오른쪽 그림
과 같이11개이다.
∴ m=11
또 b¯와 크기는 같으나 방향이 반
대인 벡터는 오른쪽 그림과 같이
5개이다.
∴ n=5
∴ m+n=16
C
(cid:8951) 6
(cid:8951) 5
(cid:8951) 16
148 ㄱ. OC≥=-O’A≥=-a¯
ㄴ. AD≥=OD≥-OA≥=-OB≥-O’A≥=-b¯-a¯
ㄷ. CD≥=OD≥-OC≥=-OB≥-(-OA≥)=-b¯+a¯
이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
(cid:8951) ⑤
149 a¯+b¯-c¯는 오른쪽 그
림과 같으므로
a
b
|a¯+b¯-c¯|=2
a
b+ - c
(cid:8951) ②
c-
150 2x¯-3y¯=a¯
x¯-2y¯=b¯
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
yy ㉢(cid:100)(cid:100)
㉠-㉡_2를 하면(cid:100)(cid:100)y¯=a¯-2b¯
㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면(cid:100)(cid:100)x¯=2a¯-3b¯
∴ x¯+2y¯=2a¯-3b¯+2(a¯-2b¯)=4a¯-7b¯ (cid:8951) ④
151 x¯+3y¯=-a¯+8b¯
2x¯-y¯=5a¯-5b¯
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉠_2-㉡을 하면(cid:100)7y¯=-7a¯+21b¯
∴ y¯=-a¯+3b¯
yy ㉢(cid:100)(cid:100)
본책
30쪽``…``33쪽
㉢을 ㉠에 대입하여 정리하면(cid:100)(cid:100)x¯=2a¯-b¯
∴ x¯+y¯=2a¯-b¯+(-a¯+3b¯)=a¯+2b¯
오른쪽 그림에서
a¯+2b¯=OC≥이고 한 변의 길
이가 1인 정삼각형의 높이는
'3
2
이므로
|x¯+y¯|=2¥ ='3
'3
2
C
B
b2
O
a
A
(cid:8951) ②
한 변의 길이가a 인 정삼
각형의 높이는 a이다.
'3
2
152 2(2a¯-x¯)-3(b¯-a¯)=-x¯에서
4a¯-2x¯-3b¯+3a¯=-x¯(cid:100)(cid:100)∴ x¯=7a¯-3b¯
따라서 m=7, n=-3이므로(cid:100)(cid:100)m+n=4
(cid:8951) 4
터
벡
면
평
Ⅱ
직각삼각형의 외심은 빗변
의 중점과 일치한다.
153 AB≥+aBC≥=bAB≥+5AC≥
=bAB≥+5(AB≥+BC≥)
=(b+5)AB≥+5BC≥
세 점A, B, C 가 한
직선 위에 있지 않으므
로 두 벡터 AB≥, BC≥는
평행하지 않다.
두 벡터 AB≥, BC≥는 서로 평행하지 않으므로
1=b+5, a=5(cid:100)(cid:100)∴ a=5, b=-4
∴ a-b=9
(cid:8951) 9
154 p¯+q¯=0¯에서
la¯+mb¯+(-4a¯+nb¯)=0¯
∴ (l-4)a¯+(m+n)b¯=0¯
두 벡터 a¯, b¯가 서로 평행하지 않으므로
(cid:100)(cid:100)l-4=0, m+n=0
∴ l=4, m=-n
또 두 벡터 q¯, r¯가 서로 평행하므로
(cid:100)(cid:100)q¯=kr¯ (k+0)
라 하면 -4a¯+nb¯=k(na¯-2b¯)이므로
-4=kn, n=-2k
위의 두 식을 연립하여 풀면
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
n=-2k를 -4=kn에
대입하면
(cid:100)-4=-2k¤ , k¤ =2
(cid:100)∴ k=—'2
k=—'2, n=–2'2 (복호동순) yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉠, ㉡에서
l=4, m=—2'2, n=–2'2 (복호동순)
∴ l¤ +m¤ +n¤ =16+8+8=32
(cid:8951) 32
155 세 점 P, Q, R가 한 직선 위에 있으려면
PR≥=mPQ≥ (m+0)
가 성립해야 한다. 이때
PR≥=OR≥-OP≥=(kp¯+4q¯)-p¯=(k-1)p¯+4q¯,
PQ≥=OQ≥-OP≥=q¯-p¯
이므로
(k-1)p¯+4q¯=m(q¯-p¯)
∴ (k-1)p¯+4q¯=-mp¯+mq¯
두 벡터 p¯, q¯가 서로 평행하지 않으므로
k-1=-m, 4=m
∴ k=-3
(cid:8951) ③
Ⅱ. 평면벡터 33
E0429_일품기벡_정(033-057) 2015.4.29 2:45 PM 페이지34 SinsagoHitec
156 단위벡터는
AB≥, BA≥, BC≥, CB≥, CD≥, DC≥
의 6개이므로(cid:100)(cid:100)m=6
크기가 2인 벡터는
AD≥, BE≥, CF≥, D’A≥, EB≥, FC≥
의 6개이므로(cid:100)(cid:100)n=6
∴ m+n=12
AB≥=ED≥, BA≥=DE≥,
BC≥=FE≥, CB≥=EF≥,
CD≥=AF≥, DC≥=FA≥
(cid:8951) 12
ㄷ. △ABC가 정삼각형이면 정
삼각형의 외접원의 중심은
무게중심과 같으므로 BC”의
중점을 M이라 하면
(cid:100)(cid:100)|AB≥+AC≥|=2|A’M≥|
A
O
M
B
C
(cid:100)(cid:100)|AB≥+AC≥|=2¥;2#;|A’O≥|=|3AO≥|=3
이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
(cid:8951) ⑤
157 x¯=kAB≥(k<0)인 벡터 x¯는 벡터AB≥와 방향
이 반대인 벡터이다.
이때 세 선분 BA, CG, DF는 서로 평행하므로 벡터
AB≥와 방향이 반대인 벡터는
B’A≥, CG≥, DF≥
따라서 구하는 원소의 개수는 3이다.
(cid:8951) ③
158 3AB≥-2BC≥+2AC≥
=3AB≥-2(AC≥-AB≥)+2AC≥
=3AB≥-2AC≥+2AB≥+2AC≥
=5AB≥
∴ |3AB≥-2BC≥+2AC≥|
=|5AB≥|=5¥1=5
159 점 A에서 OP”에 내
린 수선의 발을 H라 하면
OP”=øπ2¤ +(2'3)¤ =4이므
로 △OAP에서
(cid:100)(cid:100);2!;¥2¥2'3=;2!;¥4¥AH”
∴ AH”='3
(cid:8951) ④
O
A a
2Â3
2
P
4
H
B
b
이때 △AHO에서 OH”=øπ(2'3 )¤ -('3 )¤ =3이므로
(cid:100)(cid:100)|OP≥|：|OH≥|=4：3
∴ OP≥= OH≥=;3$;¥;2!;(a¯+b¯)=;3@;(a¯+b¯)
4
3
△OAP에서(cid:100)(cid:100)OA”
(2'3)¤ =OH”¥4(cid:100)(cid:100)∴ OH”=3
¤ =OH”¥ OP”
160 ㄱ. 오른쪽 그림과 같이
원 위의 임의의 점 A에 대하
여 O’A≥+OB≥=OC≥를 만족
A
시키는 두 점 B, C가 항상
존재한다.
의 지름이므로 오른쪽 그림에
서
(cid:100)(cid:100)|AB≥+AC≥|=2|AO≥|
O
O
ㄴ. ∠BAC=90°이면 BC”는 원 O
B
=2
C
A
34 정답 및 풀이
△OAB는 OA”=OB”인
(cid:8951) ⑤
이등변삼각형이므로 점
H는 AB”의 중점이다.
(cid:100)∴ OA≥+OB≥=2OH≥
점 O는 △ACE의 무
게중심이므로
(cid:100)AO”=;3@;AM”
(cid:100)∴ AM”=;2#;AO”
C
B
(cid:100)(cid:100)k=;3%;
B
Q
O
2
30æ
C
A
P
161
와 OB”에 내린 수선의 발을 각각
점 C에서 O’A”
P, Q라 하면
OC≥=OP≥+OQ≥ ● 30%
∠AOC=30°,
OC”=2이므로
(cid:100)(cid:100)OP”=OC” cos 30°='3,
OQ”=CP”=OC” sin 30°=1
즉 OP≥= a¯, OQ≥=;2!; b¯이므로
'3
2
'3
(cid:100)(cid:100)OC≥= a¯+;2!;b¯
2
'3
따라서 m= , n=;2!; 이므로
2
(cid:100)(cid:100)m¤ +n¤ =1
162
과 같이 정육각형의 세 대각선
오른쪽 그림
AD, BE, CF의 교점을 O라 하
B
A
F
O
E
면 (cid:8772)ABOF는 평행사변형이므
로(cid:100)(cid:100)AB≥+AF≥=AO≥ ● 30%
M
D
C
∴ AB≥+2AD≥+AF≥=(AB≥+AF≥)+2AD≥
=AO≥+2AD≥
=AO≥+4AO≥
=5AO≥
또 CE”의 중점을 M이라 하면
AC≥+AE≥=2A’M≥=2¥;2#;AO≥=3AO≥
따라서 5AO≥=k¥3AO≥에서
● 20%
● 30%
● 20%
(cid:8951) 1
● 30%
● 30%
● 10%
(cid:8951) ;3%;
163 두 점P, Q 는 직선 AB
에 대하여 대칭이므로 PQ”의 중
점을 M이라 하면 점 M은 항상
직선 AB 위에 있다.
P
C¡
이때 |AP≥+AQ≥|=2|A’M≥|이
므로 |AP≥+AQ≥|의 값이 최대
C
가 되려면 AM”의 길이가 최대이어야 한다.
M'
Q
C™
C£
B
A
E0429_일품기벡_정(033-057) 2015.4.29 2:45 PM 페이지35 SinsagoHitec
m+n=-;3!;
(cid:8951) -;3!;
(cid:100) = H’
’D≥
이므로
직선 PQ가 두 원 C¡, C™에 모두 접할 때, 직선 PQ와
직선 AB가 만나는 점을 M'이라 하면 BM'”의 길이는
두 원 C¡, C™의 반지름의 길이와 같다.
한편 오른쪽 그림과 같이 원 C¡의
반지름의 길이를 r라 하면
r+'2r=1
1
'2+1
∴ r=
='2-1
즉 BM'”=r='2-1이고
r
1
C¡
45æ
AM”…AM'”=2('2-1)+;2!;=2'2-;2#;
이므로 AM”의 길이의 최댓값은 2'2-;2#;이다.
따라서 2|A’M≥|, 즉 |AP≥+AQ≥|의 최댓값은
2{2'2-;2#;}=4'2-3
(cid:8951) ①
164 PQ≥=;3!; DC≥=;3!;(AC≥-AD≥)
164 PQ≥=;3!;(b¯-2a¯)=-;3@;a¯+;3!;b¯
따라서 m=-;3@;, n=;3!;이므로
165 ㄱ. PA≥+PB≥+PC≥+PD≥=AD≥에서
(cid:100)(cid:100)PA≥+PB≥+PC≥+PD≥=PD≥-PA≥
(cid:100)(cid:100)∴ 2 PA≥+PB≥+PC≥=0¯
ㄴ. 2 PA≥+PB≥+PC≥=0¯에서
(cid:100)(cid:100)2(BA≥-BP≥)+PB≥+(BC≥-BP≥)=0¯
(cid:100)(cid:100)2BA≥+2PB≥+PB≥+BC≥+PB≥=0¯
(cid:100)(cid:100)4PB≥=-2BA≥-BC≥
(cid:100)(cid:100)∴ PB≥=;2!; AB≥-;4!; BC≥=;2!; a¯-;4!; b¯
ㄷ. BC≥=b¯에서 PC≥-PB≥=b¯이므로
166 PA≥+2PB≥+PC≥+2PD≥
=-AP≥+2(AB≥-AP≥)+(AC≥-AP≥)
+2(AD≥-AP≥)
=2AB≥+AC≥+2AD≥-6AP≥
=2(AB≥+AD≥)+AC≥-6AP≥
=3AC≥-6AP≥
이므로(cid:100)(cid:100)3AC≥-6AP≥=kAC≥
∴ AP≥=
3-k
6
AC≥
본책
34쪽``…``36쪽
<1,(cid:100)(cid:100)0<3-k<6
0<
3-k
6
∴ -30, n>0
‹ m<0, n>0
¤ m>0, n<0
› m<0, n<0
PQ≥=BQ≥-BP≥=;5!;(a¯+b¯)-;4!;a¯=-;2¡0; a¯+;5!; b¯,
PC≥=BC≥-BP≥=-;4!; a¯+b¯
이므로 PC≥=kPQ≥에서
-;4!; a¯+b¯=k{- a¯+;5!; b¯}=- a¯+
b¯
;5K;
1
20
k
20
즉 - =-;4!;,
;5K;=
1이므로(cid:100)(cid:100)k=5
(cid:8951) 5
k
20
mn<0이면
(cid:100)m>0, n<0 또는
(cid:100)m<0, n>0
따라서 집합 C의 원소가 될 수 있는 벡터는 영역 ¤, ‹
에 있는 벡터p¯, r¯, u¯의 3개이다.
(cid:8951) ②
오른쪽 그림과 같이 두 벡터
e¡≤, e™≤를 잡으면
a¯=e¡≤+e™≤, b¯=e¡≤-e™≤
즉 e¡≤=;2!;(a¯+b¯), e™≤=;2!;(a¯-b¯)이므로
e™
a
b
e¡
172 D’A≥+2DB≥+4DC≥=2AB≥에서
D’A≥+2DB≥+4DC≥=2(AD≥+DB≥)
D’A≥-2AD≥=-4DC≥
∴ 3A’D≥=4DC≥
따라서 점 D는 AC”를 4：3으
B
로 내분하는 점이므로
S™
S¡
=;4#; (cid:8951) ②
A
D
C
두 삼각형 ABD, BCD
는 높이가 같으므로 넓
이의 비는 밑변의 길이
의 비와 같다. 즉
(cid:100)S¡：S™=AD”：DC”
p¯=e¡≤+2e™≤=;2!;(a¯+b¯)+(a¯-b¯)
p¯=;2#;a¯-;2!;b¯
r¯=-2e™≤=-(a¯-b¯)=-a¯+b¯
u¯=2e¡≤-3e™≤=a¯+b¯-;2#;(a¯-b¯)
u¯=-;2!;a¯+;2%;b¯
따라서 집합 C의 원소가 될 수 있는 벡터는 p¯, r¯, u¯의
3개이다.
36 정답 및 풀이
E0429_일품기벡_정(033-057) 2015.4.29 2:45 PM 페이지37 SinsagoHitec
175 |x+y|는
x=A¡’B¢≥, y=C¡’B¢≥일 때 최
댓값을 가지므로 최댓값은
A¡ A™ A£ A¢
B™
B£
B¡
B¢
|x+y|=|A¡’B¢≥+C¡’B¢≥|
|x+y|=|B¡’C¢≥+B¡’A¢≥|
|x+y|=2|B¡’B¢≥|=6
C¡
C™
C£
C¢
(cid:100)(cid:100)∴ M=6
최댓값은
|x-y|는 x=A¡’B¢≥, y=C¢’B¡≥일 때 최댓값을 가지므로
|x-y|=|A¡’B¢≥-C¢’B¡≥|=|A¡’B¢≥+B¡’C¢≥|
|x-y|=|2A¡’B¢≥|=2'ß10
(cid:100)(cid:100)∴ m=2'ß10
∴ M¤ +m¤ =36+40=76
(cid:8951) 76
176 PC≥=-3PB≥에서
(cid:100)(cid:100)PC”=3PB”
∴ PB”=1, PC”=3
한편
AB≥-BC≥=-BA≥-BC≥
AB≥-BC=-(BA≥+BC≥)
AB≥-BC=-BD≥
A
D
Q
B
1
P
3
C
이므로 PQ≥=-kBD≥를 만족시키는 실수 k가 존재하면
두 벡터PQ≥, BD≥ 는 서로 평행하다.
∴QC”=PC”=3
직각삼각형 PCQ에서
PQ”="√3¤ +3¤ =3'2
∴|PQ≥|¤ =(3'2 )¤ =18
(cid:8951) 18
177 k=1일때,(cid:100)(cid:100)|OQ≥|=
|OP≥|
|OP≥|
=1
k=3일 때,(cid:100)(cid:100)|OQ≥|=3
|OP≥|
|OP≥|
즉 OQ≥는 OP≥와 방향은 같고 1…|OQ≥|…3인 벡터이다.
=3
원점을 지나는 직선이 원
y
(x-2)¤ +y¤ =1과 접하는
점을 각각 P¡, P™라 하고
∠AOP¡=h라 하면
P¡
Q
Ω
A
2
P™
O
1
3
x
sin h=
AP¡”
OA”
=;2!;
∴ h=
;6“;
본책
36쪽``…``37쪽
1등급
|비|밀|노|트|
벡터의 종점의 자취를 찾을 때에는 먼저 벡터의 방향을 확인하고,
벡터의 크기가 어떻게 변하는지 파악한다.
178 주어진 두 정삼각형의 각
변의 삼등분점을 연결하면 오른쪽
그림과 같이 합동인 12개의 정삼
O
A
P
각형이 만들어진다.
어두운 정삼각형의 높이를 h라 하
면
2b-a
B
Q
터
벡
면
평
Ⅱ
삼각형의 무게중심은 중
선을 꼭짓점으로부터
2：1로 내분한다.
|PQ≥|={2+;3@;}h=;3*;h
이때 2b¯-a¯와 PQ≥는 평행하고
|2b¯-a¯|=2h, 즉 h=;2!;|2b¯-a¯|
이므로
PQ≥=;3*;¥;2!;¥(2b¯-a¯)=-;3$; a¯+;3*; b¯
따라서 s=-;3$;, t=;3*;이므로
10(t-s)=10¥[;3*;-{-;3$;}]=40
(cid:8951) 40
BC”=PB”+PC”
BC”=PB”+3PB”
BC”=4PB”
이므로(cid:100)PB”=1
179 PQ≥+RQ≥=-(QP≥+QR≥)에서
|PQ≥+RQ≥|=|QP≥+QR≥|
오른쪽 그림과 같이 세 점 Q,
R, P가 대각선 위에 놓일 때
|PQ≥+RQ≥|는 최댓값을 가지
므로 최댓값은
(cid:100)(cid:100)M=10+6=16
한편
이므로
PQ≥-RQ≥=PQ≥+QR≥=PR≥
|PQ≥-RQ≥|=|PR≥|
오른쪽 그림과 같이 두 점 P, R
가 PR”가 정사각형의 한 변과 수
직이 되도록 놓일 때 |PR≥|는
최솟값을 가지므로 |PR≥|=a라
하면 '2a=4에서
(cid:100)(cid:100)a=2'2
∴ m=2'2
∴ M¤ -m¤ =256-8=248
1등급
|비|밀|노|트|
Q
O
R
P
P
O
R
(cid:8951) 248
Ⅱ. 평면벡터 37
∠P¡OP™=2h=;3“;이므로 점 Q가 나타내는 도형은 위
의 그림의 어두운 부분과 같다.
따라서 구하는 넓이는
;2!;¥3¤ ¥;3“;-;2!;¥1¤ ¥;3“;=;3$;p
반지름의 길이가 r, 중심
각의 크기가 h인 부채꼴
의 넓이는
(cid:8951) ④
(cid:100);2!;r¤ h
위에 있다.
두 벡터PQ≥, RQ≥가 같은 방향일 때, | QP≥+QR≥|는 최댓값을 갖
는다. 이때 두 벡터의 종점이 같으므로 세 점 P, Q, R는 일직선
E0429_일품기벡_정(033-057) 2015.4.29 2:45 PM 페이지38 SinsagoHitec
04
평면벡터의 성분과 내적
본책 38쪽
180 두 점 P, Q의 위치벡터를 각각 p¯, q¯라 하면
반원에 대한 원주각의 크
기는 90°이다.
OC” ：AC” =3：1이므
로
(cid:100)OC”：OA”=3：2
(cid:100)∴ OC”
”=;2#;OA”
185 ∠APB=90°이므로
BP”="√7¤ -4¤ ='∂33
∠ABP=h라 하면 cos h=
BP”
AB”
BA≥¥ BP≥=|BA≥||BP≥|cos h
=
'∂33
7
이므로
BA≥¥ BP≥=7_'∂33_
'∂33
7
=33
(cid:8951) 33
186 a¯¥ b¯=(x-3, 2)¥(4-x, 10)
=(x-3)(4-x)+20
=-x2+7x+8
이므로 a¯¥ b¯
¯<0에서
-x2+7x+8<0,(cid:100)(cid:100)x2-7x-8>0
(x+1)(x-8)>0(cid:100)(cid:100)∴ x<-1 또는 x>8
따라서 a¯¥ b¯
¯<0을 만족시키는 자연수 x의 최솟값은 9
이다.
(cid:8951) ⑤
187 점 P의 좌표를 (m, 2m¤ )(m은 실수)이라 하면
AB≥=(4, 1), AP≥=(m+1, 2m¤ -3)
∴ AB≥¥AP≥=(4, 1)¥(m+1, 2m¤ -3)
=4(m+1)+2m¤ -3
=2m¤ +4m+1
=2(m+1)¤ -1
따라서 AB≥¥AP≥는 m=-1, 즉 P(-1, 2)일 때 최솟
값 -1을 갖는다.
(cid:8951) ⑤
188 |a¯-b¯|¤ =(a¯-b¯)¥(a¯-b¯)
=|a¯|¤ -2a¯¥ b¯+|b¯|¤
=1-2a¯¥ b¯+9
즉 6=1-2a¯¥ b¯+9에서(cid:100)(cid:100)a¯¥ b¯=2
∴ (a¯+2b¯)¥(3a¯-b¯)=3|a¯|¤ +5a¯¥ b¯-2|b¯|¤
=|AB≥|=2
(cid:8951) 2
189 |AB≥|¤ =|OB≥-OA≥|¤
sin¤ h+cos¤ h=1
=3_1¤ +5_2-2_3¤
=-5
(cid:8951) ②
이차방정식
ax¤ +bx+c=0의 두 근
을 a, b라 하면
(cid:100)a+b=-
ab=
;aC;
;aB;,
=(OB≥-OA≥)¥(OB≥-OA≥)
=|OB≥|¤ -2OA≥¥ OB≥+|OA≥|¤
=a¤ -2OA≥¥ OB≥+b¤
이때 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=8, ab=5
이므로
OA≥¥ OB≥=
a¤ +b¤ -|AB≥|¤
2
(a+b)¤ -2ab-|AB≥|¤
2
8¤ -2_5-(5'2 )¤
2
=
=
=2
(cid:8951) 2
p¯=
q¯=
2b¯+a¯
2+1
4b¯-a¯
4-1
=
a¯+2b¯
3
,
=
-a¯+4b¯
3
이므로 PQ”의 중점 M의 위치벡터 m≤은
m≤=
p¯+q¯
2
=;2!; {
a¯+2b¯
3
-a¯+4b¯
3
+
}=b¯
따라서 k=0, l=1이므로
(cid:100)(cid:100)k+l=1
(cid:8951) ④
181 OC≥=;2#; OA≥이므로
2OC”
OP≥=
≤+3OB≤
2+3
=;5@; OC≥+;5#; OB≥
OP≥=;5@;_;2#; OA≥+;5#; OB≥
OP≥=;5#; OA≥+;5#; OB≥
따라서 m=;5#;, n=;5#;이므로
m-n=0
(cid:8951) 0
182 a¯+tb¯=(-1, -2)+t(2, -2)
=(-1+2t, -2-2t)
3(a¯-c¯)=3{(-1, -2)-(2, -4)}=(-9, 6)
따라서 (-1+2t, -2-2t)=(-9, 6)이므로
-1+2t=-9, -2-2t=6
(cid:100)(cid:100)∴ t=-4
(cid:8951) ①
183 AB≥=(-2 cos h, 2 sin h)이므로
|AB≥|="√(-2 cos h)¤ +(2 siç
√n h)¤
="√4(cos¤ h+sin¤ h)=2
이때 |BA≥|=|AB≥|이므로
3|AB≥|-|2BA≥|=3|AB≥|-2|AB≥|
184 c¯=ta¯+(1-t)b¯
=t(1, -2)+(1-t)(2, -3)
=(t, -2t)+(2-2t, -3+3t)
=(2-t, -3+t)
∴ |c¯|="√(2-t)¤ +(-3+t)¤
="√2t¤ -10t+13
¤ +;2!;
=æ≠2{t-;2%;}
따라서 벡터 c¯의 크기는 t=;2%;일 때 최솟값 를 갖는
다.
(cid:8951) ③
'2
2
38 정답 및 풀이
”
E0429_일품기벡_정(033-057) 2015.4.29 2:45 PM 페이지39 SinsagoHitec
190 |2a¯+b¯|¤ =7¤ 에서
(2a¯+b¯)¥(2a¯+b¯)=49
∴ 4|a¯|¤ +4a¯¥b¯+|b¯|¤ =49
|2a¯-b¯|¤ =3¤ 에서
(2a¯-b¯)¥(2a¯-b¯)=9
∴ 4|a¯|¤ -4a¯¥b¯+|b¯|¤ =9
㉠-㉡을 하면(cid:100)(cid:100)8a¯¥ b¯=40
∴ a¯¥ b¯
¯=5
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:8951) ⑤
191 2a¯-b¯=2(1, 0)-(x, -1)=(2-x, 1)이
므로
cos 45°=
(2a¯-b¯)¥ c¯
|2a¯-b¯||c¯|
cos 45°=
cos 45°=
(2-x)_2+1_1
"√(2-x)¤ +1¤ "√2¤ +1¤
-2x+5
"√x¤ -4x+5 '5
-2x+5
"√x¤ -4x+5 '5
이므로
2(-2x+5)='∂10"√x¤ -4x+5
4(-2x+5)¤ =10(x¤ -4x+5)
'2
즉 =
2
3x¤ -20x+25=0,(cid:100)(cid:100)(3x-5)(x-5)=0
∴ x=5 (∵ x는 정수)
(cid:8951) 5
192 두 벡터a¯, b¯가 서로 수직이므로 a¯¥ b¯=0에서
(x, 4)¥(x, 1-x)=0,(cid:100)(cid:100)x2-4x+4=0
(x-2)2=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2
따라서 b¯=(2, -1), c¯=(4, 2)이므로
b¯¥ c¯
|b¯||c¯|
=
2_4+(-1)_2
"√42+22
"√22+(-1)2
cos h=
cos h=
6
'5'ß20
=;5#;
(cid:8951) ③
193 두 벡터a¯, b¯가 서로 평행하므로 b¯=ka¯(k+0)
라 하면
(1, -3)¥(k, -3k)=20,(cid:100)(cid:100)k+9k=20
x=k, y=-3k
a¯¥ b¯=20에서
10k=20(cid:100)(cid:100)∴ k=2
따라서 x=2, y=-6이므로
x+y=-4
본책
38쪽``…``41쪽
195 직선
x-1
2
=y+3의 방향벡터는 (2, 1)이므로
점 P(5, 3)을 지나고 법선벡터가 (2, 1)인 직선의 방
정식은
2(x-5)+(y-3)=0, 즉 2x+y-13=0
따라서 a=2, b=-13이므로
a-b=15
(cid:8951) 15
x=3t-1에서
(cid:100)3t=x+1
(cid:100)∴ t=
x+1
3
y=-2t+3에서
(cid:100)2t=-y+3
(cid:100)∴ t=
-y+3
2
196 t=
x+1
3
, t=
-y+3
2
이므로
x+1
3
=
-y+3
2
, 즉
x+1
3
=
y-3
-2
이 직선의 방향벡터는 (3, -2)이므로 점 P(2, -1)
을 지나고 방향벡터가 (3, -2)인 직선의 방정식은
터
벡
면
평
Ⅱ
x-2
3
=
y+1
-2
따라서 a=-2, b=-2이므로
ab=4
(cid:8951) ⑤
197 주어진 두 직선의 방향벡터를 각각 u¯1, u¯2라 하면
u¯1=(1, -3), u¯2=(4, 3)
이므로
cos h=
cos h=
=
|u¯1¥u¯2|
|u¯1||u¯2|
5
'ß10_5
=
|1_4+(-3)_3|
"√42+32
"√12+(-3)2
1
'∂10
∴ sin h="√1-cos¤ h=æ≠1-{
2
}
1
'∂10
∴ sin h=
3'ß10
10
{∵ 00) (cid:8951) ②
y
A
F
O{B}
-2
G
D
-2
P
x
2
C
E
과 일치하도록 주어진 도
M
216 오른쪽 그림과 같
이 꼭짓점 B가 원점,
BC”가 x축의 양의 방향,
BD”가 y축의 음의 방향
형을 좌표평면에 놓고 정
사각형 BDEC와 합동인
정사각형 FGDB를 그리면
A(1, '3), C(2, 0)
DF”의 중점을 M이라 하면
;2!;BE≥+DP≥=;2!; FD≥+DP≥
;2!;BE≥+DP≥=M’D≥+DP≥=M’P≥
이므로 |;2!;BE≥+DP≥|의 최솟값은 |M’P≥|의 최솟값과
같고, |M’P≥|의 최솟값은 점 M(-1, -1)과 직선AC
본책
42쪽``…``44쪽
E(2, -2)에서(cid:100)(cid:100)BE≥=(2, -2)
D
직선 AC의 방정식은
y=-'3x+2'3
이므로 점 P의 좌표를 (t, -'3t+2'3 )(1…t…2)이
라 하면
;2!; BE≥+DP≥=;2!;(2, -2)+(t, -'3t+2'3+2)
;2!; BE≥+DP≥=(t+1, -'3t+2'3+1)
∴ |;2!; BE≥+DP≥|
="√(t+1)¤ +(-√'3t+2'3+1)¤
="√4t¤ -2(5+√'3 )t+14+4'3
28+6'3
4
1+3'3
2
5+'3
4
5+'3
4
5+'3
4
=æ≠4{t-
=æ≠4{t-
일 때, 최솟값
≠+{
≠+
}
}
}
따라서 |;2!;BE≥+DP≥|는 t=
1+3'3
2
을 갖는다.
터
벡
면
평
Ⅱ
F
점 M에서 직선 AP에 내린 수선의 발은 선분 AP 위
정육각형의 한 내각의
에 있다.
=28+6'3
=1+6'3+27
=1+6'3+(3'3)¤
=(1+3'3)¤
A
H
2
B
크기는
(cid:100)
180°_(6-2)
6
=120°
이므로 점 A에서 BF”
에 내린 수선의 발을
H라 하면
(cid:100)∠BAH=60°,
∠ABH=30°
(cid:100)∴`AH”=1, HF”='3
217 오른쪽 그림과 같이 꼭
짓점 B가 원점, BC”, AB”가
각각 x축, y축의 양의 방향과
일치하도록 주어진 정사각형
2
y
A
E
을 좌표평면에 놓으면
O{B}
F
P
D
G
2
C
x
A(0, 2), E(0, 1),
F(1, 0), G(2, 1)
이때 직선 AG의 방정식은
y-2=
1-2
2-0
x, 즉 y=-;2!;x+2
이므로 점 P의 좌표를 {t, -;2!;`t+2}(0…t…2)라 하면
EP≥+FP≥={t, -;2!;`t+1}+{t-1, -;2!;`t+2}
EP≥+FP=(2t-1, -t+3)
∴ |EP≥+FP≥|="√(2t-1)2+√(-t+3)2
∴ |EP≥+FP≥|="√5t¤ -10t+10
∴ |EP≥+FP≥|="√5(t-1)2+5
따라서 |EP≥+FP≥|는 t=1일 때 최솟값 '5를 갖는다.
(cid:8951) ③
EF”의 중점을 M이라 하면
(cid:100)(cid:100)M{;2!;, ;2!;}
이때 |EP≥+FP≥|=2|M’P≥|이고 |M’P≥|의 최솟값은 점
M{;2!;, ;2!;}과 직선AG, 즉 x+2y-4=0 사이의 거리
와 같으므로 구하는 최솟값은
2_
|;2!;+1-4|
"√12+22
'5
=2_ ='5
2
Ⅱ. 평면벡터 43
사이의 거리와 같다.
이때 직선 AC의 방정식은
0-'3
2-1
y=
이므로 구하는 최솟값은
|-'3-1-2'3|
"√('3 )¤ +1¤
(x-2), 즉 '3x+y-2'3=0
|PE≥+PF≥|=2|P’M≥|
이므로
(cid:100)|EP≥+FP≥|=2|M’P≥|
=
1+3'3
2
(cid:8951)
1+3'3
2
¤
¤
¤
E0429_일품기벡_정(033-057) 2015.4.29 2:45 PM 페이지44 SinsagoHitec
y¤
25
+ =1은 초점
x¤
4
의 좌표가 (0, -'ß21),
(0, 'ß21)이고 장축의
길이가 10, 단축의 길
O
2
3
x
이가 4인 타원이다.
y
5
3
Q
P
-2
-3
-3
-5
● 30%
● 30%
● 40%
(cid:8951) 7
● 60%
● 10%
(cid:8951) 30
218
OB≥¥ OA≥
=|OB≥||OA≥|cos (∠AOB)
=|OB≥||OA≥|
=|OA≥|2=9
|OA≥|
|OB≥|
OB≥¥ OC≥=|OB≥||OC≥|cos (∠BOC)
OB≥¥ OC≥=|OB≥||OC≥|
OB≥¥ OC≥=|OC≥|2=16
|OC≥|
|OB ≥|
∴ OB≥¥AC≥=OB≥¥(OC≥-OA≥)
=OB≥¥OC≥-OB≥¥OA≥
=16-9=7
219
두 곡선
x¤ +y¤ =9, + =1은 오른
x¤
4
y¤
25
쪽 그림과 같으므로
|OP≥|=3,
2…|OQ≥|…5 ● 30%
두 벡터OP≥, OQ ≥가 이
루는 각의 크기를 h라 하면
OP≥¥OQ≥=|OP≥||OQ≥|cos h
OP≥¥OQ≥=3|OQ≥|cos h
이므로 |OQ≥|=5, cos h=1일 때 최댓값 15를 갖고,
|OQ≥|=5, cos h=-1일 때 최솟값 -15를 갖는다.
따라서 M=15, m=-15이므로
M-m=30
220 < a¯ >=
a¯
a¯¥ a¯
=
a¯
|a¯|¤
ㄱ. a¯¥< a¯ >=a¯¥
=
=1
a¯
|a¯|¤
|a¯|¤
|a¯|¤
a¯
1333
|a¯|¤
a¯
|1333|
|a¯|¤
=
=a¯
a¯
1333
|a¯|¤
|a¯|¤
1333
|a¯|›
a¯
|a¯|¤
>=<
(|a¯|¤ +1)a¯
|a¯|¤
>
a¯
|a¯|¤
>=
ㄴ.<< a¯ >>=<
ㄷ. < a¯+< a¯ >>=0)
따라서 점 P는 t=1일 때 출발 후 처음으로 다시 원점을
지나고, t=3일 때 두 번째로 다시 원점을 지난다.
점 P의 시각t 에서의 속도를 v(t), 가속도를 a(t)라 하면
v(t)=f '(t)=4t‹ -9t¤ -2t+3
a(t)=v'(t)=12t¤ -18t-2
따라서 t=1일 때 속도 a와 t=3일 때 가속도 b는
a=4-9-2+3=-4, b=108-54-2=52
∴ a+b=48
(cid:8951) 48
243 s='t (12-t)=12't-t't이므로 자동차가 제
동을 건 지 t초 후의 속도를 v라하면
=
v=
12-3t
12
2't
2't
자동차가 정지할 때의 속도는 0이므로
-;2#;'t =
;dDtS;
(cid:100)(cid:100)
=0(cid:100)(cid:100)∴ t=4
12-3t
2't
따라서 자동차가 제동을 건 후 4초 동안 움직인 거리는
'4(12-4)=16(m)
(cid:8951) 16 m
244 점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t), 가속도를
a(t)라 하면
v(1)=3-;2!;=
;2%;
, a(1)=;8$;=;2!;
(cid:8951) ④
=2,
=2t-2이므로 점 P의 시각t 에
245
dx
dt
dy
dt
서의 속도를 v¯라 하면
v¯=(2, 2t-2)
따라서 t=2에서의 속도는 v¯=(2, 2)이므로 속력은
|v¯|="√2¤ +2¤ =2'2
(cid:8951) ②
=1-2 sin 2t,
=-2 cos 2t에서
246
dx
dt
d¤ x
dt¤
dy
dt
d¤ y
dt¤
=-4 cos 2t,
=4 sin 2t
이므로 점 P의 시각t에서의 가속도를 a¯라 하면
a¯=(-4 cos 2t, 4 sin 2t)
따라서 t=;4#;p에서의 가속도는 (0, -4)이다. (cid:8951) ④
(cid:8951) 77
f(x), g(x)(g(x)+0)가
미분가능할 때,
y=
f(x)
g(x)
이면
y'=
f'(x)g(x)-f(x)g'(x)
{g(x)}¤
v(t)=f '(t)=3-
a(t)=v'(t)=
2
(t+1)¤
2¥2(t+1)
(t+1)›
=
4
(t+1)‹
따라서 t=1에서의 속도와 가속도는 각각
48 정답 및 풀이
E0429_일품기벡_정(033-057) 2015.4.29 2:45 PM 페이지49 SinsagoHitec
본책
47쪽``…``50쪽
p
;2%;
: æ≠{
0
dx
dt
¤ +{
}
dy
dt
¤ dt
}
p
;2%;
=:
0
ø∑('3 cos t∑-sin t)¤
∑+(-∑'3 sin t-∑cos t)¤ dt
p
;2%;
=:
0
2 dt=[2t] =5p
0
p
;2%;
(cid:8951) ④
t=2에서의 가속도는
(cid:100)a¯=(12a, -4)
dx
dt
252
길이는
dy
dt
=6t, =3-3t¤ 이므로 구하는 곡선의
(cid:100)(cid:100)∴ a=;3!; (∵ a>0)
(cid:8951) ①
dx
dt
¤ +{
}
dy
dt
:)3 æ≠{
¤ dt=:)3 "√(6t)¤ +(3-3t¤ )¤ dt
}
247
dx
dt
=3at¤ +5,
=-4t에서
dy
dt
d¤ x
dt¤
=6at,
=-4
d¤ y
dt¤
이므로 점 P의 시각t에서의 가속도를 a¯라 하면
a¯=(6at, -4)
이때 t=2에서의 가속도의 크기가 4'2이므로
øπ(12a)¤ +(-4)¤ =4'2,(cid:100)(cid:100)144a¤ +16=32
a¤ =;9!;
248 시각 t에서의 점 P의 위치를 s(t)라 하면
s(t)=0+:)t 2sin
;2T;
dt
s(t)=[-4 cos
;2T;
점 P가 원점을 지날 때 s(t)=0이므로
;2T;]t)=-4 cos
+4
-4 cos
+4=0,(cid:100)(cid:100)cos
=1
;2T;
;2T;
2p, 4p, 6p, y (∵ t>0)
;2T;=
∴ t
=
4p, 8p, 12p, y
따라서 출발 후 처음으로 원점을 지나는 시각은 4p이다.
(cid:8951) 4p
249 t=0에서 t=
;3@;
p까지 점 P가 움직인 거리는
;3@;p
:
0
|cos t|dt=: cos t dt-:
0
;2“;
;3@;p
;2“;
cos t dt
;3@;p
;2“;
;2“;
0
=[sin t] -[sin t]
'3
=1-{ -1}
2
4-'3
2
=
250 고속열차가 출발한 후 a분 동안 달린 거리는
:)a
;9%;
t¤ dt=[
5
27
t‹ ]a)= a‹
5
27
5
27
a‹ =5(cid:100)(cid:100)∴ a=3
3분 이후부터 고속열차의 속도는
(cid:100)(cid:100)v(3)=
¥3¤ =5(km/min)
;9%;
이므로 출발한 후 10분 동안 달린 거리는
(cid:100)(cid:100)5+5¥7=40(km)
(cid:8951) 40 km
터
벡
면
평
Ⅱ
=:)3 "√9(t¤ +1)¤ dt
=3:)3 (t¤ +1)dt
=3[;3!; t‹ +t]3)
=36
(cid:8951) 36
253 f '(x)=
e≈ -e—≈
2
이므로 구하는 곡선의 길이는
:_2@ æ≠1+{
e≈ -e—≈
2
¤ dx=:_2@ æ≠{
}
e≈ +e—≈
2
¤ dx
}
=:_2@
e≈ +e—≈
2
dx
]2_@
=
;2!; [ex-e-x
1
e¤
=e¤ -
(cid:8951) ③
두 점P, Q 의 시각t 에서의 속도를
254
각각 v∏, vŒ라 하면
2t
t¤ +1
v∏=
, vŒ=3t¤ -18t+24
● 30%
대 방향으로 움직이면 v∏vŒ<0이므로
vŒ=3t¤ -18t+24<0
3(t-2)(t-4)<0(cid:100)(cid:100)∴ 20에서 v∏>0이고 두 점P, Q 가 서로 반
고속열차가 5 km를 달리는 데 걸린 시간은
Q의 위치는 16이므로 점 Q가 움직인 거리는
운동 방향을 바꿀 때의
속도는 0이다.
3분 동안 5 km를 달리
고 7분 동안 5 km/min
의 속도로 달린다.
방정식 g(x)+a=0의
서로 다른 실근의 개수는
함수 y=g(x)의 그래프
와 직선y=-a 의 교점
251
dx
dt
dy
='3 cos t-sin t, =-'3 sin t-cos t
dt
이므로 t=0에서 t= p까지 점 P가 움직인 거리는
의 개수와 같다.
5
2
E0429_일품기벡_정(033-057) 2015.4.29 2:45 PM 페이지50 SinsagoHitec
y=g{t}
1
t
y=-a
(cid:8951) ③
'ƒ2-2 cos t의 값이 최
대이려면 cos t의 값이
최소이어야 하므로
(cid:100)cos t=-1
삼각함수의 합성
(cid:100)a cos h-b sin h
="√a¤ +b¤ cos (h+a)
a
"√a¤ +b¤
b
"√a¤ +b¤
{단, cos a=
sin a=
,
}
exy=8에서
8
(cid:100)y= =8e-x
e≈
x=t이므로
(cid:100)y=8e-t
g '(t)=0에서(cid:100)(cid:100)t=1 (∵ t>0)
t
0
g '(t)
g(t)
y
-
↘
1
0
-8
따라서 y=g(t)의 그래프는 오른
쪽 그림과 같으므로 방정식 ㉠`이
서로 다른 두 개의 양의 근을 가지
려면
(cid:100)(cid:100)-8<-a<0
(cid:100)(cid:100)∴ 00)라 하면
AB≥∥PQ≥이므로
54 정답 및 풀이
a¯=(a¡, a™), b¯=(b¡, b™)
이고 두 벡터 a¯, b¯가 이
루는 각의 크기가 h일 때,
(cid:100)a¯¥ b¯
=|a¯||b¯| cos h
=a¡b¡+a™b™
PQ≥=k(3, -4)=(3k, -4k)
● 20%
이때 |PQ≥|=10이므로
"√(3k)¤ +(-4k)¤ =10
5k=10(cid:100)(cid:100)∴ k=2
∴ PQ≥=(6, -8)
한편 점 Q의 좌표를 (x, y)라 하면
PQ≥=(x-3, y+2)
이므로(cid:100)(cid:100)x-3=6, y+2=-8
● 40%
∴ x=9, y=-10
● 30%
따라서 점 Q의 좌표는 (9, -10)이다.● 10%
(cid:8951) (9, -10)
284 |2a¯-b¯|=6의 양변을 제곱하면
4|a¯|¤ -4a¯¥ b¯+|b¯|¤ =36
36-4a¯¥ b¯+4=36
(cid:100)(cid:100)∴ a¯¥ b¯=1
두 벡터a¯+tb¯, a ¯-b¯가 서로 수직이려면
(a¯+tb¯)¥(a¯-b¯)=0
|a¯|¤ +(t-1)a¯¥ b¯-t|b¯|¤ =0
9+(t-1)-4t=0,(cid:100)(cid:100)-3t+8=0
∴ t=;3*;
(cid:8951) ⑤
285 BA≥=a¯, BC≥=b¯라 하면
2BC≥+BA≥
2+1
BD≥=
=;3!; a¯+;3@; b¯(cid:100)(cid:100)
BE≥=ma¯, BF≥=nb¯ (00)
따라서 두 점P, Q 가 처음 만나는 시각은 t=2이고, 두
번째 만나는 시각은 t=3이다.
시각 t에서의 점 P의 속도를 v(t), 점 Q의 가속도를
a(t)라 하면
v(t)=f '(t)=2t-2,
a(t)=g "(t)=6t-6
|v(2)|=|4-2|=2
|a(3)|=|18-6|=12
56 정답 및 풀이
이므로 두 점 P, Q가 처음으로 만날 때 점 P의 속력은
이고 두 번째로 만날 때 점 Q의 가속도의 크기는
따라서 v(5.5)=-3이
므로
t=5.5에서의 위치보다 원점에서 멀리 있다.
(cid:8951) ②
(cid:100);2!;_1.5_3=2.25
이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
(cid:8951) ⑤
¤
¤
¤
E0429_일품기벡_정(033-057) 2015.4.29 2:45 PM 페이지57 SinsagoHitec
297 A, B의 출발 위치를 각각 0, 30이라 하고, 시
각 t초에서의 A, B의 위치를 각각 f(t), g(t)라 하면
f(t)=:)t tetdt=[tet
]t)-:)t etdt
f(t)=tet-[et
]t)=tet-et+1
g(t)=30+:)t 29etdt=30+[29et
g(t)=30+(29et-29)=29et+1
f(t)=g(t)에서(cid:100)(cid:100)tet-et+1=29et+1
]t)
(t-30)et=0(cid:100)(cid:100)∴ t=30
∴ a=30
(cid:8951) 30
298
dx
dt
dy
dt
=-2`sin t,
=-2`cos t이므로 t=0
에서 t=p까지 점 P가 움직인 거리는
:)» æ≠{
}
+{
dx
dt
dy
dt
¤ dt
}
=:)» "√(-2 sin t)¤ +√(-2 cos t)¤ dt
=:)» 2 dt=[2t]»)=2p
(cid:8951) 2p
299
있도록 주어진 식을 변형한다.
내분점과 외분점의 위치벡터를 이용할 수
3PA≥+PB≥+4PC≥=kAB≥에서
(cid:100)(cid:100)3PA≥+PB≥+4PC≥=k(PB≥-PA≥)
(cid:100)(cid:100)4PC≥=-(3+k)PA≥+(k-1)PB≥
(cid:100)(cid:100)∴ PC≥=-
(1-k)PB≥+(3+k)PA≥
4
(cid:100)
⁄ k<-3일 때,
AB”를 (1-k)：(-3-k)로 외분하는 점을 D라
AB”를 (1-k)：(3+k)로 내분하는 점을 D'이라
하면
(cid:100)(cid:100)PC≥=-PD≥
¤ k=-3일 때,(cid:100)(cid:100)PC≥=-PB≥
‹ -31일 때,
하면
(cid:100)(cid:100)PC≥=-P’D"≥
중점을 지나는 직선이다.
AB”를 (k-1)：(3+k)로 외분하는 점을 D"이라
이상에서 점 P의 자취는 CA”의 중점과 CB”의
C
PPP
P
P
D''
A
D'
B
D
본책
56쪽``…``57쪽
이때 △PAB의 넓이는 k의 값에 관계없이 항상 일정하
므로
S(k)
S(2k)
=1
(cid:8951) 1
PC≥=-PA≥, PC≥=-PB≥, PC≥=-PD≥, PC≥=-P’D'≥,
PC≥=-P’D"≥이므로 PC≥는 PA≥, PB≥, PD≥, P’D'≥, P’D"≥과 크
기가 같고 방향이 반대인 벡터이다.
이때 세 점 D, D', D"은 모두 직선 AB 위의 점이므로 점
P는 CA”의 중점과 CB”의 중점을 지나는 직선 위의 점이다.
300
른 점 P의 위치를 구한다.
점 P의 위치벡터를 이용하여 t의 값에 따
p¯=(1-t)a¯+tb¯=a¯+t(b¯-a¯)
=a¯+tAB≥(cid:100)
ㄱ. 점 P가 구간 ㉤에 있도록 하는 t의 값의 범
위는 t>2이다.
ㄴ. t<-1이면 점 P는 구간 ㉠에 있다.
ㄷ. 점 Q의 위치벡터를 q¯라 하고, PQ”의 중점
M의 위치벡터를 m≤이라 하면
(cid:100)(cid:100)p¯=a¯+t¡AB≥, q¯=a¯+t™AB≥
이므로
(cid:100)(cid:100)m≤=
p¯+q¯
2
=
2a¯+(t¡+t™)AB≥
2
(cid:100)(cid:100)m=a¯+
t¡+t™
2
AB≥
터
벡
면
평
Ⅱ
이때 00, n>0일 때,
AB” 를 m：n으로
내분하는 점 C의 위
치벡터를 나타낸다.
¤ m>0, n<0일 때,
AB” 를 m：(-n)
으로 외분하는 점 C
의 위치벡터를 나타
낸다.
8초에 1바퀴씩 회전하
므로 1초에 = 만
2p
8
p
4
큼씩 회전한다.
301
낸다.
p
4
이므로
d¤ x
dt¤
p¤
= sin
8
p
4
t,
d¤ y
dt¤
p¤
=- cos
8
p
4
t
따라서 점 P의 가속도의 크기는
æ≠{
}
+{
d¤ y
dt¤
}
d¤ x
dt¤
p¤
8
p¤
8
}
=æ≠{
sin
=æ–{
=
∴ n=8
p
4
p¤
8
p¤
≠ +{- cos
8
p
4
t}
t}
(cid:8951) 8
Ⅱ. 평면벡터 57
¤
¤
¤
¤
¤
¤
E0429_일품기벡_정(058-071) 2015.4.29 2:46 PM 페이지58 SinsagoHitec
본책 60쪽
모서리 AB와 한 점에서 만나는 면은
Ⅲ
공간도형과 공간벡터
06
공간도형
302 ⑤ 오른쪽 그림과 같이
(cid:100) 꼬인 위치에 있는 두 직선은
한 평면을 결정하지 않는다.
(cid:8951) ⑤
303 ① 세 점 A, B, G는 한 직선 위에 있지 않은 세
(cid:100) 점이므로 한 평면을 결정한다.
② 직선 AE와 이 직선 위에 있지 않은 한 점 C는 한 평
③ 직선 AC와 직선 EG는 서로 평행하므로 한 평면을
④ 직선 AE와 직선 EG는 점 E에서 만나므로 한 평면
면을 결정한다.
결정한다.
을 결정한다.
⑤ 직선 AB와 직선 EG는 꼬인 위치에 있으므로 두 직
선 AB와 EG를 포함하는 평면은 존재하지 않는다.
두 점 P, Q는 각각
BM”, DM” 위에 있다.
2：1
직선 BD를 포함하고
직선 PQ를 포함하지
않는 면은 직선 PQ와
평행하다.
304 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점은 한 평
면을 결정하므로 6개의 점 중에서 3개를 택하면 한 평면
이 결정된다.
(cid:100)(cid:100)∴ §C£=
=20
6¥5¥4
3¥2¥1
305 직선 AB와 만나는 직선은 직선 AF, 직선 AG,
직선 BC, 직선 BH, 직선 CD, 직선 EF의 6개이다.
(cid:8951) ⑤
(cid:8951) 20
(cid:8951) 6
306 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서
리 CG, 모서리 DH, 모서리 EH, 모서리 FG의 4개이
다. 마찬가지로 직육면체의 각 모서리마다 꼬인 위치에
있는 모서리는 4개씩 존재하므로
(cid:100)(cid:100)12_4=48(쌍)
이때 각 경우는 한 번씩 중복되므로
(cid:100)(cid:100);2!;_48=24(쌍)
(cid:8951) ③
308 모서리 AB를 포함하는 면은
면 ABCD, 면 AEFB의 2개(cid:100)(cid:100)∴ a=2
면 AEHD, 면 BFGC의 2개(cid:100)(cid:100)∴ b=2
∴ a+b=4
(cid:8951) 4
309 (cid:8951) 모서리 CH, 모서리 DI, 모서리 EJ
310 오른쪽 그림과 같이 AC”
의 중점을 M이라 하면 두 점 P,
Q가 각각 △ABC, △ACD의
무게중심이므로 두 직선 PQ,
B
BD는 평면MBD 위에 있다.
이때 BP”：PM”=DQ”：QM”이
므로 두 직선PQ, BD는 평행하다.
따라서 직선 PQ와 평행한 면은
QM
P
D
A
C
면 ABD, 면 BCD
(cid:8951) 면 ABD, 면 BCD
311 ㄱ. 모서리 AB와 평행한 모서리는
ㄴ. (cid:100)(cid:100)모서리 DC, 모서리 EF, 모서리 HG
ㄴ. 의 3개이다.
ㄴ. 모서리 AD와 평행한 면은
ㄴ. (cid:100)(cid:100)면 BFGC, 면 EFGH
ㄴ. 의 2개이다.
ㄷ. 면 AEHD와 평행한 면은 면 BFGC의 1개이다.
이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
(cid:8951) ⑤
312 두 평면ACD, BCD의 교선은 직선 CD이다.
직선 CD와 한 점에서 만나는 면은
면 ABC, 면 ABD의 2개(cid:100)(cid:100)∴ a=2
또 직선CD와 꼬인 위치에 있는 모서리는
모서리 AB의 1개(cid:100)(cid:100)∴ b=1
∴ a+b=3
(cid:8951) ②
직육면체의 모서리의
개수
313 두 평면 AEGC, AFGD의 교선은 직선 AG이
므로 이 직선과 꼬인 위치에 있는 모서리는
모서리 BC, 모서리 BF, 모서리 CD, 모서리 DH,
모서리 EF, 모서리 EH
의 6개이다.
(cid:8951) 6
314 두 평면a, b는 평행하므로 만나지 않는다. 이
때 직선l은 평면a 위에 있고 직선 m은 평면 b 위에 있
으므로 두 직선 l, m도 만나지 않는다.
그런데 두 직선 l, m은 모두 한 평면 c 위에 있으므로
l∥m이다.
(cid:8951) 풀이 참조
(cid:8951) ③
315 ⁄ AC”⊥AE”이므로 직선 AE와 평행한 직선
¤ BF, 직선 CG, 직선 DH는 모두 직선AC와 수직이다.
307 △ABC에서 두 점 M, N은 각각 AB”, AC”의
중점이므로 직선 MN과 직선 BC는 서로 평행하다.
△ABC의 두 변AB,
AC의 중점을 각각 M, N
또 (cid:8772)BCDE에서 두 직선 BC, ED는 서로 평행하므로
직선 MN과 직선ED도 서로 평행하다.
직선 MN과 네 직선 AD, AE, BE, CD는 서로 만나
지도 않고 평행하지도 않으므로 꼬인 위치에 있다.
이라 하면
(cid:100)MN”∥BC”,
(cid:100)MN”=;2!;BC”
A
a
2a
M
N
B
C
(cid:100)(cid:100)∴ a=2
(cid:100)(cid:100)∴ b=4
(cid:100)(cid:100)∴ ab=8
58 정답 및 풀이
E0429_일품기벡_정(058-071) 2015.4.29 2:46 PM 페이지59 SinsagoHitec
¤ AC”⊥BD”이므로 직선 BD와 평행한 직선 FH도 직
선 AC와 수직이다.
‹ 오른쪽 그림과 같이 합동인
정육면체를 이어 붙여 직육면
체를 만들면 DF”∥AK”이므
로 두 직선AC, DF가 이루
는 각의 크기는 두 직선 AC,
AK가 이루는 각의 크기와
같다.
C
G
D
B
L
H
F
K
A
E
I
J
‹ 이때 정육면체 한 모서리의 길이를 a라 하면
‹ (cid:100)(cid:100)AC”='2a, AK”='3a, CK”='5a
‹ 이므로 △AKC에서
‹ (cid:100)(cid:100)CK”
‹ 즉 △AKC는 ∠CAK=90°인 직각삼각형이다.
‹ (cid:100)(cid:100)∴ AC”⊥DF”
‹ 같은 방법으로 하면(cid:100)(cid:100)AC”⊥BH”
¤ +AK”
¤ =AC”
이상에서 구하는 직선의 개수는
(cid:100)(cid:100)4+2+2=8
(cid:8951) ③
316 직선 l과 평면 a의 교점을 O라 하면 두 직선 m,
n을 점 O를 지나는 두 직선 m', n'으로 각각 평행이동
할 수 있다.
이때 두 직선 m', n'은 평면a 위의 평행하지 않은 두
직선이고 m'
⊥
l, n'
⊥
l이다.
한편 m, n은 임의의 직선이므로 직선 l은 평면a 위의
모든 직선과 수직이다.
∴ l⊥a
∴ ㈎ ⊥ ㈏ ⊥
317 △ABC와 △BCD는 모두 정삼각형이고,
BM”=MC”이므로 AM”, DM”은 각각 △ABC, △BCD
의 중선이다.
∴ BC”⊥AM”, BC”⊥DM”
따라서 BC”와 평면 AMD는 수직이므로 BC”와 평면
AMD가 이루는 각의 크기는 90°이다.
(cid:8951) ④
318 PQ”⊥a, QR”⊥AB”이므로 삼수선의 정리에 의
하여(cid:100)(cid:100)PR”⊥AB”
직각삼각형 PRQ에서
PR”="√4¤ +3¤ =5
따라서 직각삼각형 ARP에서
AP”=øπ(2'6)¤ +5¤ =7
(cid:8951) 7
319 DH”⊥(평면 EFGH), DP”⊥EG”이므로 삼수선
의 정리에 의하여(cid:100)(cid:100)HP”⊥EG”
직각삼각형 EGH에서 EG”="√1¤ +2¤ ='5이므로
;2!;¥1¥2=;2!;¥'5¥HP”
△EGH
=;2!;¥EH”¥HG”
=;2!;¥EG”¥HP”
본책
60쪽``…``63쪽
∴ HP”= =
2
'5
따라서 직각삼각형 DHP에서
2'5
5
DP”=æ≠3¤ +{
2'5
5
¤ =
}
7'5
5
(cid:8951) ①
320 OC”=OA”=1이므로(cid:100)(cid:100)OB”='3
직각삼각형 OAB에서
AB”="√1¤ +('3)¤ =2
점 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면
'3
2
;2!;¥1¥'3=;2!;¥2¥OH”(cid:100)(cid:100)∴ OH”=
이때 CO”⊥(평면 OAB), OH”⊥AB”이므로 삼수선의
정리에 의하여(cid:100)(cid:100)CH”⊥AB”
따라서 직각삼각형 OCH에서
'7
2
CH”=æ≠1¤ +{
¤ =
}
'3
2
∴ △ABC=;2!;¥2¥ =
'7
2
'7
2
(cid:8951)
'7
2
321 오른쪽 그림과 같이 점 B
에서 AC”에 내린 수선의 발을 M
이라 하면
AC”⊥BM”, AC”⊥FM”
D
M
Ω
B
H
C
G
A
E
이므로 두 평면 ABCD와 AFC
F
가 이루는 각의 크기는 BM”과 FM”이 이루는 각의 크
기와 같다.
∴ h=∠BMF
직각삼각형 BMF에서
터
벡
간
공
과
형
도
간
공
Ⅲ
△ABC이므로
△ABC=△AFC cos h
'3
4
;2!;¥2¥2= ¥(2'2)¤ cos h
2=2'3 cos h(cid:100)(cid:100)∴ cos h=
'3
3
322 오른쪽 그림과 같이 BC”
의 중점을 M이라 하면
AM”⊥BC”, DM”⊥BC”
이므로 두 평면 ABC, BCD가
B
이루는 각의 크기는 AM”과
DM”이 이루는 각의 크기와 같다.
∴ h=∠AMD
A
D
Ω
H
M
C
점 A에서 평면 BCD에 내린 수선의 발을 H라 하면 점
H는 △BCD의 무게중심이므로
Ⅲ. 공간도형과 공간벡터 59
(cid:8951) ㈎ ⊥(cid:100)㈏ ⊥
(cid:8772)ABCD는 정사각형
이므로
BM”='2, FM”="√2¤ +('2)¤ ='6
(cid:100)BM”=;2!;BD”='2
이므로
△MFB에서
(cid:100)FM”=" √BF”
¤ +BM”
cos h=
BM”
FM”
'2
= =
'6
'3
3
(cid:8951) ②
△AFC의 밑면ABCD 위로의 정사영은
¤
¤
E0429_일품기벡_정(058-071) 2015.4.29 2:46 PM 페이지60 SinsagoHitec
cos h=
MH”
AM”
=
;3!;DM”
AM”
=;3!; (∵ DM”=AM”)
S cos 60°=a¤ ,(cid:100)(cid:100);2!;S=a¤
∴ S=2a¤
(cid:8951) ④
D
A
M
H
C
323 오른쪽 그림과 같이 점
A에서 평면 BCD에 내린 수선
의 발을 H라 하면 AD”의 평면
BCD 위로의 정사영은 HD”이
B
다.
M이라 하면
이때 점 H는 △BCD의 무게중심이므로 BC”의 중점을
HD”=;3@; DM”=;3@;¥
¥6=2'3
'3
2
(cid:8951) 2'3
324 오른쪽 그림에서 타원의 장축
AB의 밑면 위로의 정사영은 CD”이므
로 타원의 장축의 길이를 2a라 하면
2a cos 60°=20(cid:100)(cid:100)∴ a=20
타원의 단축의 길이를 2b라 하면 단축
의 길이가 원기둥의 밑면의 지름의 길
이와 같으므로
2b=20(cid:100)(cid:100)∴ b=10
l
A
30æ
B
D
60æ
C
10
따라서 구하는 두 초점 사이의 거리는
2"√a¤ -b¤ =2"√20¤ -10¤ =20'3
(cid:8951) 20'3
325 막대기의 길이를 x cm라 하면
x=24 tan 30°=8'3
이때 그림자가 생기지 않으려
면 오른쪽 그림과 같이 막대
기를 지면과 30°의 각을 이루
도록 기울여야 한다.
따라서 구하는 정사영의 길
이는
x`cm
30æ
24`cm
30æ
8'3 cos 30°=8'3¥ =12(cm)
(cid:8951) 12 cm
'3
2
326 △ABC의 세 변의 길이가 각각 3, 4, 5이므로
△ABC는 빗변의 길이가 5인 직각삼각형이다.
∴ △ABC=;2!;¥3¥4=6
이때 두 평면 a, b가 이루는 예각의 크기를 h라 하면
△A'B'C'=△ABC cos h에서
3=6 cos h,(cid:100)(cid:100)cos h=;2!;
∴ h=;3“; {∵ 0b>0)에 대하여
① 장축의 길이: 2a
② 단축의 길이: 2b
③ 초점의 좌표:
(cid:100) (—"√a¤ -b¤ , 0)
(cid:8951) ③
D
328 (cid:8772)BCDE의 두 대각
선 BD, CE의 교점을 M이라
하면 △ABE의 평면 BCDE
위로의 정사영은 △MBE이
A
E
M
B
C
다. 이때 평면 ABE와 평면
BCDE가 이루는 각의 크기를 h라 하면
△MBE=△ABE cos h이므로
cos h=
△MBE
△ABE
=
;4!;¥2¤
'3
4
12
¥2¤
=
'3
3
따라서 도형 F'의 넓이를 S라 하면
S=△MBE cos h=1¥ =
'3
3
'3
3
(cid:8951)
'3
3
329 결정되는 평면의 개수가 최대이려면 네 점 A,
B, C, D가 모두 두 직선 l, m 위에 있지 않고, 한 직
선과 한 점으로 만들어지는 평면 위에 나머지 세 점이
있지 않아야 한다.
⁄ 두 직선l, m 으로 만들 수 있는 평면의 개수는 1이다.
¤ 두 직선 l, m 중 한 직선과 네 점 A, B, C, D 중
한 점으로 만들 수 있는 평면의 개수는
⁄ (cid:100)(cid:100)2¥4=8
‹ 다섯 개의 점 O, A, B, C, D 중 세 점으로 만들 수
있는 평면의 개수는
⁄ (cid:100)(cid:100)∞C£=10
이상에서 구하는 평면의 최대 개수는
1+8+10=19
(cid:8951) ②
330 ⁄ 세 꼭짓점 B, C, D로 만들 수 있는 평면은
¤ (cid:100)(cid:100)평면 BCD
¤ AE”와 AC”로 만들 수 있는 평면은(cid:100)(cid:100)평면 AEC
‹ AE”와 꼭짓점 B로 만들 수 있는 평면은
¤ (cid:100)(cid:100)평면 ABE
AE”와 꼭짓점 D로 만들 수 있는 평면은
¤ (cid:100)(cid:100)평면 AED
¤ (cid:100)(cid:100)평면 ABC
AC”와 꼭짓점 B로 만들 수 있는 평면은
AC”와 꼭짓점 D로 만들 수 있는 평면은
¤ (cid:100)(cid:100)평면 ACD
이상에서 구하는 평면의 개수는
1+1+4=6
(cid:8951) 6
AE”와 AC”, AE”와 꼭짓점 C로 만들 수 있는 평면은
평면 AEC로 서로 같은 평면이다. 또 꼭짓점 C는 AC” 위
에 있으므로 AC”와 꼭짓점 C로는 평면을 만들 수 없다.
E0429_일품기벡_정(058-071) 2015.4.29 2:46 PM 페이지61 SinsagoHitec
이상에서 서로 만나는 직선끼리 짝지은 것은 ㄴ뿐이다.
이므로 이등변삼각형 AMC의 꼭짓점 M에서 AC”에 내
(cid:8951) ①
린 수선의 발을 P라 하면
AP”=;2!;AC”='2a
MP”="√AM”
¤ -AP”
¤ ="√('5a)¤ -('2a)¤ ='3a
따라서 직각삼각형 AMP에서
본책
63쪽``…``66쪽
1등급
|비|밀|노|트|
직선과 평면의 위치 관계에 대한 문제는 정육면체의 면과 모서리
의 관계를 이용하면 편리하다.
336
이 이루는 각의 크기는 두 직선 CM, AM이 이루는 각
AM”∥DN”이므로 두 직선 CM, DN
의 크기와 같다.
∴ h=∠AMC
정육면체의 한 모서리의 길이를 2a라 하면
● 20%
AC”=2'2a, AM”=CM”='5a
sin ;2Ω;=
cos ;2Ω;=
,
=
=
'∂10
5
AP”
AM”
'2a
'5a
'3a
'5a
∴ sin h=2 sin ;2Ω; cos ;2Ω;
MP”
AM”
'∂15
5
=
=
∴ sin h=2¥
'∂10
5
'∂15
¥=
5
2'6
5
터
벡
간
공
과
형
도
간
공
Ⅲ
● 50%
● 30%
(cid:8951)
2'6
5
337 오른쪽 그림과 같이
AB”, CD”의 중점을 각각 M, N
이라 하면 △MCD는 MC”=MD”
인 이등변삼각형이므로
CD”⊥M’N”(cid:100)
A
M
B
D
N
C
같은 방법으로 하면(cid:100)(cid:100)AB”⊥M’N”(cid:100)
따라서 PQ”의 길이의 최솟값은 MN”의 길이와 같다.
'3
2
이때 BM”=1, BN”= ¥2='3이므로 직각삼각형
BNM에서
MN”="√('3)¤ -1¤ ='2
1등급
|비|밀|노|트|
(cid:8951) ④
꼬인 위치에 있는 두 직선 위에 있는 두 점 사이의 거리가 최소
가 되는 것은 두 점을 이은 직선이 꼬인 위치에 있는 두 직선과
모두 수직이 될 때이다.
331 ㄱ. 네 점P, Q, S, U 에 대하여 세 점P, Q, S
ㄱ. 를 지나는 평면이 점 U를 포함하지 않으므로 직선
PQ와 직선SU 는 꼬인 위치에 있다.
ㄴ. PQ”∥BC”, TU”∥BC”이므로(cid:100)(cid:100)PQ”∥TU”
또 PQ”=TU”=;2!; BC”이므로 (cid:8772) PQTU는 평행사변
형이다.
ㄱ. 따라서 직선 PT와 직선 QU는 한 점에서 만난다.
ㄷ. 네 점 T, U, R, S에 대하여 세 점 R, T, U를 지나
는 평면이 점 S를 포함하지 않으므로 직선 TU와 직
선 RS는 꼬인 위치에 있다.
332 ㄱ. 모서리 BC와 평행한 평면은
ㄴ. (cid:100)(cid:100)평면 AED, 평면 EFD
ㄴ. 의 2개이다.
ㄴ. 평면 ABC와 평행한 모서리는
ㄴ. (cid:100)(cid:100)모서리 DE, 모서리 EF, 모서리 FD
ㄴ. 의 3개이다.
ㄷ. 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는
ㄴ. (cid:100)(cid:100)모서리 CD, 모서리 CF, 모서리 DE, 모서리 EF
ㄴ. 의 4개이다.
이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
(cid:8951) ⑤
333 평면 AHG는 꼭짓점 B를 지나므로 평면 AHGB
와 평행한 모서리는
평면 ABC와 평면DEF
는 서로 평행하므로 평
면 DEF 위의 모든 직
선은 평면 ABC와 평
행하다.
sin 2a=2sin a cos a
cos 2a=cos¤ a-sin¤ a
tan 2a=
2 tan a
1-tan¤ a
모서리 DC, 모서리 EF
의 2개이다.
평면 AHG와 평면
AHGB는같은평면이다.
(cid:8951) ③
334 평면 CIJD와 평면GHIJKL의 교선은 직선 IJ
이므로 직선 IJ와 꼬인 위치에 있는 직선은
직선 AB, 직선 BC, 직선 DE, 직선 EF,
직선 AG, 직선 BH, 직선 EK, 직선 FL
의 8개이다.
335 ㄱ. 오른쪽 그림과 같이 l∥m,
ㄴ. l∥n이면 m∥n이다.
ㄴ. 오른쪽 그림과 같이 l∥a, l∥b
ㄴ. 이지만 두 평면a , b가 만날 수
도 있다.
(cid:8951) 8
m
n
∫
l
l
l
å
å
ㄷ. 오른쪽 그림과 같이 l∥a, m∥a
m
ㄴ. 이지만 두 직선 l, m이 한 점에
서 만날 수도 있다.
이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.
(cid:8951) ①
△ABC, △AEB는 모
두 ∠B=90°인 직각이등
변삼각형이므로
(cid:100)AB”=BC”, AB”=BE”
338
림과 같이 AB”⊥BE”가 되도록
오른쪽 그
직선 AD 위에 점 E를 잡으면
AB”=BC”, AB”=BE”
∴ BC”=BE” y ㉠(cid:100)(cid:100)
å
45æ
A
45æ
C
B
∫
E
D
● 30%
Ⅲ. 공간도형과 공간벡터 61
E0429_일품기벡_정(058-071) 2015.4.29 2:46 PM 페이지62 SinsagoHitec
AB”=a라 하면
(cid:100)(cid:100)AC”=AE”='2a
㉠에서 △CEB는 ∠B=90°인 직각이등변삼각형이
yy ㉡(cid:100)(cid:100)● 20%
므로
CE”='2a
㉡, ㉢에서 △AEC는 정삼각형이므로
yy ㉢(cid:100)(cid:100)● 20%
∠CAE=60°
∴ ∠CAD=60°
339 ㄱ. 오른쪽 그림과 같이 l⊥a,
ㄴ. l⊥b이면 a∥b이다.
l
ㄴ. 오른쪽 그림과 같이 l⊥a, m⊥a
ㄴ. 이면 l∥m이다.
ㄷ. 오른쪽 그림과 같이 l⊥a, m∥a
이지만 두 직선 l, m이 꼬인 위
치에 있을 수도 있다.
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
● 30%
(cid:8951) 60°
m
l
m
l
(cid:8951) ③
∫
å
å
å
340 정사각형의 두 대각선은 서로 수직이므로
(직선 AC)⊥(직선 BD)
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
또 평면 ABCD와 직선BF 가 수직이므로
(직선
AC
)⊥(직선 BF)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)(직선 AC)⊥(평면
BDF
)
∴ (직선 AC)⊥(직선 DF)
∴ ㈎ AC ㈏ BDF
(cid:8951) ㈎ AC ㈏ BDF
341 PO”⊥a이고, 직선l은 평면 a에 포함되므로
(cid:100)(cid:100)PO”⊥l
yy ㄱ(cid:100)(cid:100)
한편 OH”⊥l이므로 직선 l은 PO”와 OH”를 포함하는 평
yy ㄴ(cid:100)(cid:100)
면 PHO와 수직이다.
이때 PH”는 평면PHO에 포함되므로
(cid:100)(cid:100)PH”⊥l
yy ㄱ(cid:100)(cid:100)
이상에서 위의 증명 과정에 이용된 성질은 ㄱ, ㄴ이다.
(cid:8951) ③
J
I
2
K
O
M
H
342 CI’⊥(평면 GHIJKL),
CM”⊥HK”이므로 삼수선의 정리
에 의하여 MI”⊥HK”이다.
즉 오른쪽 그림의 정육각형에서
△OHI는 정삼각형이므로
'3
2
MI”= ¥2='3 (cid:8951) '3
L
G
62 정답 및 풀이
343 오른쪽 그림과 같이
직선 l 위의 한 점 A에서 두
å
A
l
직선 XY, m에 내린 수선의
X
P
45æ
발을 각각 B, C라 하면
AB”⊥b, AC”⊥m이므로 삼
60æ
C
m
∫
B
Y
PB”=a라 하면 직각삼각형 APB에서
수선의 정리에 의하여
BC”⊥m
P’A”='2a
직각삼각형 BPC에서
PC”=PB” cos 60°=;2!;a
따라서 직각삼각형 APC에서
cos h=
PC”
P’A”
=
a
;2!;
'2a
=
'2
4
1등급
|비|밀|노|트|
삼수선의 정리를 이용하여 두 직선 l, m을 포함하는 평면 위에
삼각형을 만들어 두 직선 l, m이 이루는 각의 크기를 구한다.
이때 두 평면 a, b가 이루는 각의 크기가 두 직선 l, m이 이루
는 각의 크기와 같지 않음에 주의한다.
P
5
O
5Â2
A
4
å
Q
B
344 PO”⊥a, OQ”⊥AB”
이므로 삼수선의 정리에 의하
여(cid:100)(cid:100)PQ”⊥AB”
직각삼각형 AQP에서
(cid:100)(cid:100)PQ”=øπ(5'2)¤ -4¤
='∂34
따라서 직각삼각형 PQO에서
(cid:100)(cid:100)OQ”=øπ('∂34)¤ -5¤ =3
345
정리에 의하여
AC”⊥CD”
직각삼각형 ABC에서
AC”="√4¤ +3¤ =5
직각삼각형 BCD에서
CD”="√5¤ -3¤ =4
∴ △ACD=;2!;¥4¥5=10
AB”⊥a, BC”⊥CD”이므로 삼수선의
이때 점 B와 평면ACD 사이의 거리를 h라
하면 삼각뿔 A-BCD의 부피에서
;3!;¥△BCD¥AB”=;3!;¥△ACD¥h
;3!;¥{;2!;¥3¥4}¥4=;3!;¥10¥h
:¡3º:h=8(cid:100)(cid:100)∴ h=:¡5™:
(cid:8951) ①
(cid:8951) ④
● 20%
● 40%
● 40%
(cid:8951) :¡5™:
직선 l이 평면a 에 수직
이면 직선 l은 평면a 위
의 모든 직선과 수직이다.
E0429_일품기벡_정(058-071) 2015.4.29 2:46 PM 페이지63 SinsagoHitec
두 점 A, G에서 DE”에
내린 수선의 발이 일치
하려면
(cid:100)AD”=AE”
이어야 하고, 이때의 수
선의 발은 DE”의 중점
● 20%
이다.
346
이 △ABC의 무게중심 G와 일치하므로
점 A의 평면 BCED 위로의 정사영
AD”=AE”
● 30%
또 DE”의 중점을 M이라 하면
AM”⊥DE”, MG”⊥DE”
이므로 두 평면 ADE, BCED가 이루는 각의 크기는
AM”과 MG”가 이루는 각의 크기와 같다.
∴ h=∠AMG
정삼각형 ABC에서
AM”+MG”=;3@;¥
¥6=2'3 yy ㉠(cid:100)(cid:100)
'3
2
직각삼각형 AMG에서(cid:100)(cid:100)AM”
¤ -MG”
(AM”+MG”)(AM”-MG”)=('6)¤
2'3(AM”-MG”)=6
∴ AM”-MG”='3
¤ =AG”
yy ㉡(cid:100)(cid:100)● 30%
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
3'3
AM”= , MG”=
2
'3
2
∴ cos h=
MG”
AM”
=;3!;
점 P는 OA”를 1：3으
로 내분하는 점이므로
(cid:100)AP”：PO”=3：1
(cid:100)∴ AP”：AO”=3：4
● 20%(cid:100)(cid:8951) ;3!;
347
을 M이라 하면
BC”의 중점
A’M”⊥BC”, F’M”⊥BC”
이므로 두 평면 ABC, BCF
가 이루는 각의 크기는 AM”과
FM”이이루는각의크기와같다.
(cid:100)(cid:100)∴ h=∠AMF
B
Ω
M
A
E
H
C
F
정팔면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
● 30%
A’M”=F’M”= a
'3
2
직각삼각형 AMH에서
점 A에서 평면 BCDE에 내린 수선의 발을 H라 하면
점 Q는 OB”를 3：1로
내분하는 점이므로
(cid:100)∴ BQ”：BO”=1：4
MQ”
=P'Q'”
=AB”-(AP'”+BQ'”)
=8-(3+1)
=4
cos ;2Ω;=
MH”
AM”
=
=
'3
3
;2A;
'3
2
143
a
∴ cos h=2cos¤ ;2Ω;-1
∴ cos h=2¥{
-1=-;3!;
}
'3
3
● 40%
● 30%
(cid:8951) -;3!;
348 AD”⊥△BCD, BC”⊥BD”이므로 삼수선의 정
리에 의하여(cid:100)(cid:100)AB”⊥BC”
직각삼각형 ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”=
한편 AD”⊥△BCD에서
"√24¤ +7¤ =25
BD”⊥AD”, CD”⊥AD”
이므로 두 평면 ABD, ACD가 이루는 각의 크기는
터
벡
간
공
과
형
도
간
공
Ⅲ
본책
66쪽``…``68쪽
∴ h=∠BDC
직각삼각형 ACD에서(cid:100)(cid:100)CD” =
따라서 직각삼각형 BCD에서
"√25¤ -15¤ =20
sin h=
BC”
CD”
=;2¶0
(cid:8951) ④
349
같이 두 점 P, Q의 밑면 위로의
오른쪽 그림과
정사영을 각각 P', Q', 점 Q를 지
O
P
M
나고 P'Q'”에 평행한 직선이 PP'”
과 만나는 점을 M이라 하면 PQ”
Ω
Q
B
A
HP'
Q'
와 원뿔의 밑면이 이루는 각의 크기는 PQ”, MQ”가 이
루는 각의 크기와 같다.
∴ h=∠PQM
점 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면
△APP'ª△AOH (AA 닮음)이므로
AP'”：AH”=AP”：AO”에서(cid:100)(cid:100)AP'”：4=3：4
● 30%
PP'”：OH”=AP”：AO”에서(cid:100)(cid:100)PP'”：8=3：4
△BQQ'ª△BOH (AA 닮음)이므로
BQ'”：BH”=BQ”：BO”에서(cid:100)(cid:100)BQ'”：4=1：4
∴ AP'”=3
∴ PP'”=6
∴ BQ'”=1
∴ QQ'”=2
PM”=PP'”-QQ'”=6-2=4이므로 직각삼
각형 PMQ에서
PQ”="√ PM”
∴ sin h=
¤ +MQ”
PM”
PQ”
=
¤ ="√4¤ +4¤ =4'2
'2
2
350 [그림 1]과 같이 점 F에서
선분 BC와 평면BCD 에 내린
B
E
30æ
G
[그림 1]
EG”=EF” cos 30°
EG”=2¥ ='3
'3
2
FG”=EF” sin 30°=2¥;2!;=1
FH”⊥(평면 BCD), FG”⊥BC”이므로 삼수선의 정리에
의하여(cid:100)(cid:100)GH”⊥BC”
한편 [그림 2]에서 평면 ABC와
A
평면 BCD가 이루는 각의 크기
를 h라 하고, 점 A에서 평면
BCD에 내린 수선의 발을 I라
B
하면 점 I는 △BCD의 무게중
D
Ω
I
M
C
[그림 2]
Ⅲ. 공간도형과 공간벡터 63
● 40%
● 30%
(cid:8951)
'2
2
F
H
C
cos 2h=cos¤ h-sin¤ h
수선의 발을 각각 G, H라 하면
=2 cos¤ h-1
=1-2 sin¤ h
BD”와 CD”가 이루는 각의 크기와 같다.
심이므로
D
(cid:100)BQ”：QO”=1：3
QQ'”：OH”=BQ”：BO”에서(cid:100)(cid:100)QQ'”：8=1：4
¤
¤
E0429_일품기벡_정(058-071) 2015.4.29 2:46 PM 페이지64 SinsagoHitec
h=∠BAF
cos h=
AF”
AB”
=
;2!;a
'2a
=
'2
4
(cid:8951) ③
(cid:100)(cid:100)cos h=
;3!; D’M”
=;3!; (∵ AM”=DM”)
AM”
이때 두 평면 ABC와 BCD가 이루는 각의 크기 h는
MI”
A’M”
=
[그림 1]에서 두 선분 FG와 GH가 이루는 각의 크기와
같으므로
h=∠FGH
따라서 cos h=
GH”
FG”
=;3!;이므로
(cid:100)(cid:100)GH”=;3!; (∵ FG”=1)
형 EGH에서
EH”=øπEG”
¤ +GH”
EH”=æ≠('3)¤ +{;3!;}
¤ =
2'7
3
EF”의 평면 BCD 위로의 정사영은 EH”이므로 직각삼각
(cid:8951) ②
EF”의 평면BCD 위로의 정사영의 길이를
EF” cos h=;3!;EF”로 계산하지 않도록 주의한다.
351 AM”이 평면a 위에 오
도록 △ABC를 평행이동시키
면 오른쪽 그림과 같다.
å
B
Ω
M
A
B'
이때 BB'”⊥a, BM”⊥AM”이므로 삼수선의 정리에 의
하여(cid:100)(cid:100)B'M”⊥AM”
즉 평면 ABC와 평면 a가 이루는 각의 크기는 BM”과
B'M”이 이루는 각의 크기와 같다.
∴ h=∠BMB'
직각삼각형 ABB'에서(cid:100)(cid:100)BB'”="√8¤ -7¤ ='∂15
직각삼각형 BMB'에서(cid:100)(cid:100)B'M”="√4¤ -('∂15)¤ =1
∴ cos h=
B'M”
BM”
=;4!;
352
평면 a와 이루는 각의 크
햇빛이
기가 30°이므로 햇빛은 평
∫
면 b와 수직으로 만난다.
60æ
● 20%
l
120æ
평면 a에 생긴 그림자의 넓이를 S¡이라 하면
S¡ cos 60°=;2!;_p_10¤
;2!;S¡=50p(cid:100)(cid:100)∴ S¡=100p
S™=;2!;_p_10¤ =50p
따라서 그림자의 넓이의 합은
S¡+S™=150p
∴ a=150
64 정답 및 풀이
AB'”=A'B'”=7
BM”=;2!;BC”=4
(cid:8951) ③
△PBQ는 PB”=PQ”인
이등변삼각형이므로
PM”은 BQ”의 수직이등
분선이다.
BC”="√1¤ +('3)¤ =2
BM”=;2!;BQ”= '6
2
△ABC의 점 A에서
BC”에 내린 수선의 발을
N이라 하면
(cid:100)AB”¥AC”=BC”¥AN”
(cid:100)1¥'3=2¥AN”
'3
(cid:100)∴ AN”=
2
(cid:100)∴ PH”=AN”= '3
2
● 30%
● 30%
● 20%
(cid:8951) 150
353 AD”를 접는 선으로
하여 △ABD와 △ADC가
수직이 되도록 접으면 오른
쪽 그림과 같이 △ABD와
△ADC는 서로 수직인 두
평면 위에 놓인다.
E
B
D
C
45æ
A
60æ
F
이때 점 B에서 직선 AD에 내린 수선의 발을 E라 하고
점 E에서 AC”에 내린 수선의 발을 F라 하면
BE”⊥(평면 ADC), EF”⊥AC”
이므로 삼수선의 정리에 의하여(cid:100)(cid:100)BF”⊥AC”
AE”=a라 하면 직각삼각형 ABE에서
AB”='2a
직각삼각형 AEF에서
AF”=AE” cos 60°=;2!;a
따라서 직각삼각형 AFB에서
이때 CA”='3이므로 (cid:8772)ACQP는 직사각형이다.
D
E
P
2
Ω
H
B
M
C
F
Q
354 직각삼각형 ABP에서(cid:100)(cid:100)
PB”="√1¤ +('2)¤ ='3
∴ PQ”=PB”='3
∴ CQ”=AP”='2
오른쪽 그림과 같이 점 P
에서 평면 BCFE에 내린
수선의 발을 H, BQ”의 중
A
점을 M이라 하면
PH”⊥(평면 BCFE),
PM”⊥BQ”
이므로 삼수선의 정리에 의하여
HM”⊥BQ”
∴ h=∠PMH
직각삼각형 BCQ에서
BQ”="√2¤ +('2)¤ ='6
이므로 직각삼각형 PBM에서
PM”=æ≠('3)¤ -{
'6
2
¤ =
}
'6
2
'3
2
HM”=æ≠{
∴ cos h=
'6
2
¤ -{
}
HM”
PM”
=
¤ =
}
'3
2
'3
2
'2
2
'2
2
∴ 30 cos¤ h=30¥{
=15
}
(cid:8951) 15
å
HM”이 이루는 각의 크기와 같다.
즉 두 평면PBQ, BCFE가 이루는 각의 크기는 PM”과
또 평면 b에 생긴 그림자의 넓이를 S™라 하면
이때 PH”= 이므로 직각삼각형 PHM에서
¤
¤
E0429_일품기벡_정(058-071) 2015.4.29 2:46 PM 페이지65 SinsagoHitec
본책
68쪽``…``69쪽
1등급
|비|밀|노|트|
리하다.
일치한다.
정사면체와 관련된 문제에서는 다음과 같은 내용을 기억하면 편
① 한 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선의 발은 밑면의 무게중심과
② 두 면이 이루는 각h에 대하여 cos h=;3!;이다.
357 구하는 수면의 넓이는 오른
쪽 그림의 어두운 부분의 넓이와 같
다. 이때 수면과 밑면이 이루는 각의
크기를 h라 하면
(cid:100)(cid:100)cos h=
3
"√3¤ +4¤
구하는 수면의 넓이를 S라 하면
=;5#;
S cos h=p¥{;2#;}
¤ ,(cid:100)(cid:100);5#;S=;4(;p
3
Ω
4
터
벡
간
공
과
형
도
간
공
(cid:8951) 19
Ⅲ
(cid:8951) ④
따라서 a=4, b=15이므로
∴ S=:¡4∞:p
(cid:100)(cid:100)a+b=19
1등급
|비|밀|노|트|
수면을 포함한 평면을 a, 밑면을 포함한 평면을 b라 할 때, 수면
의 평면b 위로의 정사영은 밑면이 된다.
이때 밑면의 평면 a 위로의 정사영이 수면이라고 생각하지 않도
록 주의한다.
직각삼각형 BCE에서
(cid:100)EC”="√2¤ -1¤ ='3
직각삼각형 ECG에서
(cid:100)EG”="√('3)¤ -1¤
='2
따라서 EF”=FG”=1,
EG”='2이므로 △EFG
는 빗변이 EG”인 직각
이등변삼각형이다.
358 구의 중심을 지나면서 평
면 BCDE에 평행한 평면이 구를
자른 단면은 반지름의 길이가 1인
원이다. 이때 이 원을 꼭짓점A 에
원의 중심이 놓이도록 평행하게
이동하면 구의 그림자의 넓이의
B
합은 원이 사각뿔의 4개의 옆면에
생기는 그림자의 넓이의 합과 같다.
A
E
4
D
C
355 오른쪽 그림과 같이
점 A에서 밑면에 내린 수선
의 발을B, 직선 l과 평면 a
가 만나는 점을 C라 하면 직
선 BC는 원기둥의 밑면의 접
선이다.
l
å
A
8
H
45æ
C
4
B
O
따라서 OB”⊥BC”, OB”⊥AB”이므로
OB”⊥(평면 ABC)
이때 점 B에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 하면
OB”⊥(평면 ABC), BH”⊥l
이므로 삼수선의 정리에 의하여
OH”⊥l
이때
즉 OH”의 길이는 점 O와 직선l 사이의 거리와 같다.
BC”=AB”="√8¤ -4¤ =4'3,
'2
BH”=BC” sin 45°=4'3¥ =2'6
2
이므로 직각삼각형 HBO에서
OH”="√(2'6)¤ +4¤ =2'∂10
356 ㄱ. EF”∥AC”이고 HG”∥AC”이므로
ㄱ. (cid:100)(cid:100)EF”∥HG”
ㄱ. 또 EF”=HG”=;2!; AC”이므로 (cid:8772)EFGH는 평행사변
ㄱ. 형이다.
ㄱ. 따라서 네 점 E, F, G, H는 한 평면 위에 있다.
ㄴ. EF”=;2!;AC”=1, FG”=;2!;BD”=1이므로 직각삼각
ㄴ. 형 EFG의넓이는
ㄴ. (cid:100)(cid:100);2!;¥1¥1=;2!;
ㄷ. △BCD의 무게중심을 M이
라 하면 꼭짓점 A의 평면
BCD 위로의 정사영은
△BCD의 무게중심과 같으
B
므로 AB”의 평면BCD 위로
의 정사영은 MB”이다.
A
E
M
FE'
C
H
D
G
즉 점 E의 평면BCD 위로의 정사영 E'은 MB”
”의
중점이고 △EFG의 평면BCD 위로의 정사영은
△E'FG다.
이때
(cid:100)(cid:100)E’'F”∥CM”,
(cid:100)(cid:100)E’'F”=;2!;CM”=;2!;¥{;3@;¥
'3
2
'3
¥2}= ,
3
ㄷ. (cid:100)(cid:100)FG”∥BD”, FG”=;2!; BD”=;2!;¥2=1
ㄷ. 이고, BD”⊥CM”에서 FG”⊥E'F”이므로
'3
3
ㄷ. (cid:100)(cid:100)△E'FG=;2!;¥E’'F”¥FG”=;2!;¥
¥1=
'3
6
이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.
(cid:8951) ①
정사각형 BCDE의 두
대각선의 교점을 H라
하면 △ABC의 평면
BCDE 위로의 정사영
은 △HBC이다.
원과 평면 ABC가 이루는 각의 크기를 h라 하면h는 두
평면 ABC, BCDE가 이루는 각의 크기와 같다.
이때 정삼각형 ABC의 넓이는 ¥4¤ =4'3이고 정사
'3
4
각형 BCDE의 넓이는 16이므로
cos h=
4
4'3
=
'3
3
따라서 구하는 그림자의 넓이의 합을 S라 하면
'3
p=S cos h= S(cid:100)(cid:100)∴ S='3p
3
따라서 a='3이므로(cid:100)(cid:100)a¤ =3
(cid:8951) 3
Ⅲ. 공간도형과 공간벡터 65
E0429_일품기벡_정(058-071) 2015.4.29 2:46 PM 페이지66 SinsagoHitec
07
공간좌표
359 주어진 직육면체는
오른쪽 그림과 같으므로
A(0, 0, 1),
B(3, 0, 1),
C(0, 2, 1),
D(3, 0, 0),
1
z
A
O
본책 70쪽
C
F
2
P{3,`2,`1}
y
E
B
D
x
3
E(3, 2, 0), F(0, 2, 0)
따라서 a+b+c의 값이 최대인 점은 E(3, 2, 0)이므
로 구하는 최댓값은 5이다.
(cid:8951) ③
360 점 P(-2, 1, 3)과 xy평면에 대하여 대칭인
점은 Q(-2, 1, -3)이므로 점 Q에서 y축에 내린 수
선의 발의 좌표는 (0, 1, 0)이다.
(cid:8951) (0, 1, 0)
361 점 P(2, a, b)와 z축에 대하여 대칭인 점은
Q(-2, -a, b)이므로
-a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=0
점 P(2, a, b)에서 yz평면에 내린 수선의 발은
H(0, a, b)이므로
b=-4
∴ a+b=-4
(cid:8951) -4
362 PA”="√1¤ +(a-1)¤ ="√a¤ -2a+2,
PB”="√2¤ +1¤ ='5
이때 PA”=2PB”이므로
"√a¤ -2a+2=2'5
∴ a¤ -2a-18=0
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 모든
실수 a의 값의 합은 2이다.
(cid:8951) ②
363 점 P(5, 3, -4)와 yz평면에 대하여 대칭인
점은
점 Q(1, -1, 2)와 x축에 대하여 대칭인 점은
P'(-5, 3, -4)
Q'(1, 1, -2)
’Q'”="√
∴ P’'’
=2'∂11
√(1+5)¤ +(1-√3)¤
√+(-2+4)¤
(cid:8951) ②
364 점 R의 좌표를 (a, 0, 0)이라 하면
PR”
QR”
¤ =(a-2)¤ +(-1)¤ +(-2)¤ =a¤ -4a+9
¤ =(a+3)¤ +(-3)¤ +(-1)¤ =a¤ +6a+19
¤ 이므로
¤ =QR”
PR”=QR”에서 PR”
a¤ -4a+9=a¤ +6a+19
10a=-10(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
66 정답 및 풀이
365 AB”를 3：1로 내분하는 점 C의 좌표는
3¥3+1¥3
3+1
3¥1+1¥5
3+1
3¥5+1¥1
3+1
,
,
{
}
∴ C(4, 3, 2)
두 점A(x¡, y¡, z¡),
B(x™, y™, z™)에 대하여
AB”의 중점의 좌표는
(cid:100){
x¡+x™
2
,
y¡+y™
2
,
(cid:100)
z¡+z™
2
}
따라서 점 D의 좌표는 (4, 3, 0)이므로 CD”의 중점의
좌표는
4+4
2
{
,
3+3
2
,
2+0
2
}, 즉 (4, 3, 1)
(cid:8951) (4, 3, 1)
점 (a, b, c)를 좌표평면
에 대하여 대칭이동한 점
의 좌표는
① xy평면 (cid:8857) (a, b, -c)
② yz평면 (cid:8857) (-a, b, c)
③ zx평면 (cid:8857) (a, -b, c)
366 점 A(2, 3, 4)와 x축에 대하여 대칭인 점은
점 A(2, 3, 4)와 yz평면에 대하여 대칭인 점은
따라서 PQ”를 2：1로 외분하는 점의 좌표는
2¥3-1¥(-3)
2-1
,
P(2, -3, -4)
Q(-2, 3, 4)
{
2¥(-2)-1¥2
2-1
2¥4-1¥(-4)
2-1
,
}
∴ (-6, 9, 12)
(cid:8951) ⑤
367 △ABC의 무게중심의 좌표는
1-2+a
3
{
,
2+3+b
3
,
3+4+c
3
}
이 점이 원점과 일치하므로
a-1
3
=0,
=0,
b+5
3
c+7
3
=0
따라서 a=1, b=-5, c=-7이므로
(cid:100)(cid:100)a+b+c=-11
(cid:8951) ①
이 구가 원점을 지나므로
(-2)¤ +3¤ +(-1)¤ =r¤ (cid:100)(cid:100)∴ r¤ =14
따라서 구의 방정식은
(x-2)¤ +(y+3)¤ +(z-1)¤ =14
즉 x¤ +y¤ +z¤ -4x+6y-2z=0이므로
(cid:100)(cid:100)a=-4, b=6, c=-2, d=0
∴ a+b+c+d=0
(cid:8951) 0
369 주어진 구의중심은 AB”의중점이므로그좌표는
(cid:100)(cid:100){
-2+6
2
,
-4+2
,
2
6+6
2
}, 즉 (2, -1, 6)
또 AB”가 구의 지름이므로 구의 반지름의 길이는
;2!;AB”=;2!;"√(6+2)¤ +(2+4)¤ +√(6-6)¤ =5
따라서 구의 방정식은
(x-2)¤ +(y+1)¤ +(z-6)¤ =5¤
이차방정식
ax¤ +bx+c=0의 두 근
을 a, b라 하면
(cid:100)a+b=-
, ab=
;aB;
;aC;
368 구의 반지름의 길이를 r라 하면 구의 중심의 좌
표가 (2, -3, 1)이므로 주어진 구의 방정식은
(x-2)¤ +(y+3)¤ +(z-1)¤ =r¤ (cid:100)(cid:100)
∴ R(-1, 0, 0)
(cid:8951) (-1, 0, 0)
이므로
’
E0429_일품기벡_정(058-071) 2015.4.29 2:46 PM 페이지67 SinsagoHitec
a=2, b=-1, c=6, r=5
∴ a+b+c+r=12
1등급
|비|밀|노|트|
두 점 A, B를 지름의 양 끝 점으로 하는 원 또는 구의 중심은
AB”의 중점과 일치하고, 반지름의 길이는 ;2!;AB”와 같다.
(cid:8951) ①
CH”=3
점 (a, b, c)와 yz평면
사이의 거리는 |a|와 같
다.
직각삼각형 ACH에서
AC”="ç4¤ +3¤ =5
따라서 구하는 구의 방정식은
(x-3)¤ +(y+4)¤ +z¤ =25
본책
70쪽``…``72쪽
또 주어진 구의 중심과 yz평면 사이의 거리는 3이므로
구가 점 (1, 2, 3)을 지
나므로 구의 중심의 x
좌표, y좌표, z좌표는
모두 양수이다.
두점(2, 6, 5), (7, 2, 8)
사이의 거리로 구할 수도
있다.
370 xy평면, yz평면, zx평면에 동시에 접하고 반지
름의 길이가 r인 구의 방정식은
두 구의 반지름의 길이를 각각 r¡, r™라 하면 이차방정
(x-r)¤ +(y-r)¤ +(z-r)¤ =r¤
이 구가 점 (1, 2, 3)을 지나므로
(1-r)¤ +(2-r)¤ +(3-r)¤ =r¤
∴ r¤ -6r+7=0
식의 근과 계수의 관계에 의하여
r¡+r™=6, r¡r™=7
따라서 두 구의 부피의 합은
;3$;pr¡‹ +;3$;pr™‹ =;3$;p(r¡‹ +r™‹ )
=;3$;p{(r¡+r™)‹ -3r¡r™(r¡+r™)}
=;3$;p(6‹ -3¥7¥6)=120p (cid:8951) ②
371 zx평면 위의 점은 y좌표가 0이므로 주어진 구의
방정식에 y=0을 대입하면
x¤ +(0-3)¤ +z¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +z¤ =7
따라서 a=0, b=0, c=0, r='7이므로
a+b+c+r='7
(cid:8951) ②
372 구의 반지름의 길이를 r라 하면 구의 중심의 좌
표가 (2, 6, 5)이므로 주어진 구의 방정식은
(x-2)¤ +(y-6)¤ +(z-5)¤ =r¤
이 구가 점 (7, 2, 8)을 지나므로
(7-2)¤ +(2-6)¤ +(8-5)¤ =r¤ (cid:100)(cid:100)∴ r¤ =50
즉 구의 방정식은
(x-2)¤ +(y-6)¤ +(z-5)¤ =50
xy평면 위의 점은 z좌표가 0이므로 위의 식에 z=0을
대입하면
(x-2)¤ +(y-6)¤ =25
따라서 구하는 원의 둘레의 길이는
2p¥5=10p
(cid:8951) ③
373 오른쪽 그림과 같이 구
의 중심을 C, 점 C에서 yz평면
에 내린 수선의 발을 H, 구와
yz평면의 교선 위의 한 점을 A
yz평면
라 하면
p¥AH”
¤ =16p(cid:100)(cid:100)∴ AH”=4
C
3
H
A
4
터
벡
간
공
과
형
도
간
공
Ⅲ
(cid:8951) (x-3)¤ +(y+4)¤ +z¤ =25
구의 반지름의 길이를 r라 하면 구의 중심의
좌표가 (3, -4, 0)이므로 주어진 구의 방정식은
(x-3)¤ +(y+4)¤ +z¤ =r¤
yz평면 위의 점은 x좌표가 0이므로 위의 식에 x=0을
대입하면
(y+4)¤ +z¤ =r¤ -9
이때 r¤ -9=16에서(cid:100)(cid:100)r¤ =25
∴ (x-3)¤ +(y+4)¤ +z¤ =25
374 x¤ +y¤ +z¤ -2x+4y-4z+a=0에서
(cid:100)(cid:100)(x-1)¤ +(y+2)¤ +(z-2)¤ =9-a
x¤ +y¤ +z¤ +2x-2z-2=0에서
(x+1)¤ +y¤ +(z-1)¤ =4
따라서 두 구의 중심의 좌표가 각각
(1, -2, 2), (-1, 0, 1)
이므로 두 구의 중심 사이의 거리는
"√(-1-1)¤ +(0+2)√
¤ +(1-2)¤ =3
두 구가 외접하려면 두 구의 반지름의 길이의 합이 중심
사이의 거리와 같아야 하므로
'∂9-a+2=3,(cid:100)(cid:100)'∂9-a=1
9-a=1(cid:100)(cid:100)∴ a=8
(cid:8951) ③
375 x¤ +y¤ +z¤ -2x-4y+6z+5=0에서
(x-1)¤ +(y-2)¤ +(z+3)¤ =9
x¤ +y¤ +z¤ -2x+4y=a에서
(x-1)¤ +(y+2)¤ +z¤ =a+5
따라서 두 구의 중심의 좌표가 각각
(1, 2, -3), (1, -2, 0)
이므로 두 구의 중심 사이의 거리는
ø∑(1-1)¤ +π(-2-2)¤ +(0+3)¤ =5
두 구가 내접하려면 두 구의 반지름의 길이의 차가 중심
사이의 거리와 같아야 하므로
|'∂a+5-3|=5,(cid:100)(cid:100)'∂a+5-3=—5
∴ '∂a+5=8 (∵ '∂a+5>0)
따라서 두 구의 반지름의 길이는 각각 3, 8이므로 구하
는 곱은 24이다.
(cid:8951) ②
376 x¤ +y¤ +z¤ +4x-12y+6z+40=0에서
(cid:100)(cid:100)(x+2)¤ +(y-6)¤ +(z+3)¤ =9
두 구의 중심을 각각 C, C'이라 하면
C(0, 0, 0), C'(-2, 6, -3)
Ⅲ. 공간도형과 공간벡터 67
E0429_일품기벡_정(058-071) 2015.4.29 2:46 PM 페이지68 SinsagoHitec
즉 점P는 C’C'”을 4：3으로 내분하는 점이므로 그 좌
따라서a=0, b=0, c=-6, d=-5,
점 A(0, 0, 6)과 xy평면에 대하여 대칭인 점의 좌표는
점 B(5, '2, 3)과 z축에 대하여 대칭인 점의 좌표는
(0, 0, -6)
(-5, -'2, 3)
점 P가 CC'” 위에 있고,
CP”=4, C'P”=3이므로
점 P는 CC'”을 4：3으
로 내분하는 점이다.
e=-'2, f=3이므로
a+b+c+d+e+f=-8-'2
● 30%
● 20%
(cid:8951) -8-'2
이므로 두 구의 중심 사이의 거리는
C’C'”=øπ(-2)¤ +6¤ +(-3)¤ =7
이때 C’C'”은 두 구의 반지름의 길이의 합과 같으므로 두
구는 외접한다.
표는
(cid:100)(cid:100)a+b+c=;7$;
1등급
|비|밀|노|트|
P{
4¥(-2)+3¥0
4+3
,
4¥6+3¥0
4+3
,
4¥(-3)+3¥0
4+3
}
∴ P{-;7*;, :™7¢:, -:¡7™:}
따라서 a=-;7*;, b=:™7¢:, c=-:¡7™:이므로
두 구(x-a¡)¤ +(y-b¡)¤ +(z-c¡)¤ =r¡¤ ,
(x-a™)¤ +(y-b™)¤ +(z-c™)¤ =r™¤ 이 외접할 때 접점의 좌표
는 두 점 (a¡, b¡, c¡), (a™, b™, c™)를 이은 선분을
r¡：r™ (r¡>0, r™>0)로 내분하는 점의 좌표와 같다.
(cid:8951) 2
F
C
y
377 점 P의 좌표는 (2a, 2a, a)이므로 점 P와 원점
에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (-2a, -2a, -a)이다.
따라서 l=-2a, m=-2a, n=-a이므로
lm+n=14에서
-2a¥(-2a)-a=14
4a¤ -a-14=0,(cid:100)(cid:100)(4a+7)(a-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=2 (∵ a>0)
378 ∠GOA=90°이므로
평행사변형 OCFG는 yz평
면 위에 있다. 오른쪽 그림과
같이 꼭짓점 E에서 xy평면
에 내린 수선의 발을 H라 하
면 ∠EBH=60°이므로
z
G
60æ
E
O
D
2
6
A 4
B H
x
BH”=EB” cos 60°=2¥;2!;=1,
EH”=EB” sin 60°=2¥ ='3
'3
2
또 OA”=6이므로 꼭짓점 E의 좌표는
(6, 4+1, '3), 즉 (6, 5, '3 )
(cid:8951) (6, 5, '3)
379
므로 점 A의 z좌표도 양수이다.
조건 ㈎에서 점 B의 z좌표가 양수이
● 20%
OA”=6이므로 점 A의 좌표는
조건 ㈏에 의하여 점 B의 좌표를 (5, '2, k) (k>0)라
하고 점 B에서 OA”에 내린 수선의 발을 M이라 하면
(0, 0, 6)
M(0, 0, k)
이때 OM”=;2!;OA”=3이므로(cid:100)(cid:100)k=3
● 30%
68 정답 및 풀이
(cid:8951) ;7$;
두 양수 a, b에 대하여
(cid:100)
a+b
2
æ'∂ab, 즉
(cid:100)a+bæ2'∂ab
(단, 등호는 a=b일 때
성립)
의하여
∠EBH=∠DAB
=∠GOC
=60°
380 PQ”="√(b-a)¤ +(b+a)√
="√2a¤ +2b¤ +1
¤ +(2-1)¤
이때 a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에
2a¤ +2b¤ +1æ2"√2a¤ ¥2b¤ +1
=4ab+1=4¥2+1=9
따라서 PQ”의 길이의 최솟값은 3이다.
(cid:8951) ④
(단, 등호는 a=b일 때 성립)
381 AB”="√(4-2)¤ +(5-1√)¤ +(1+3)¤ =6
두 점 A, B의 xy평면 위로의 정사영은 각각(cid:100)(cid:100)
A'(2, 1, 0), B'(4, 5, 0)
이므로(cid:100)(cid:100)A'B'”="√(4-2)¤ +(5-1)¤ =2'5
따라서 A’'’B'”=AB” cos h에서
A’'’B'”
AB”
cos h=
'5
3
=
(cid:8951) ⑤
382 a>0에서 두 점 A, B의 z좌표의 부호가 같으
므로 두 점은 좌표공간에서 xy평면을 기준으로 같은 쪽
점 A와 xy평면에 대하여 대칭인 점을 A'이라 하면
에 있다.
A'(1, 3, -8)
오른쪽 그림에서
AP”+BP”
=A’'P”+BP”
æA’'B”
=øπ(3-1)¤ +(4-3)¤
=øπa¤ +16a+69
A
B
P
xy
π+(a+8)¤
A'
따라서 øπa¤ +16a+69=3'∂14이므로
a¤ +16a-57=0,(cid:100)(cid:100)(a+19)(a-3)=0
∴ a=3 (∵ a>0)
(cid:8951) ④
1등급
|비|밀|노|트|
두 점 A, B와 평면 a 위의 한 점 P에 대하여 AP”+BP”의 최솟
값은
① 두 점 A, B가 평면 a에 대하여 서로 다른 쪽에 있으면
(cid:8857) AB”의 길이와 같다.
② 두 점 A, B가 평면 a에 대하여 같은 쪽에 있으면
(cid:8857) 두 점 중 한 점과 평면a에 대하여 대칭인 점을 찾아 ①을
이용한다.
E0429_일품기벡_정(058-071) 2015.4.29 2:46 PM 페이지69 SinsagoHitec
383 직선 AB와 x축은 서로 평행하므로 한 평면을
결정한다. 이 평면에서 두 점 A, B는 x축을 기준으로
같은 쪽에 있다.
점 A와 x축에 대하여 대칭인 점을 A'이라 하면
A'(1, -1, -1)
오른쪽 그림에서
AP”+BP”
=A'P”+BP”
æA'B”
=øπ(-4-1)¤ +(1+1)π
='∂33
A'
A
P
¤ +(1+1)¤
384
에서 yz평면에 내린 수선의 발
두 점A , B
을 각각C, D라 하면
(cid:100)(cid:100)AC”=|-3a|=3a,
C
yz평면
D
P
BD”=|3a|=3a
● 30%
A
이때 △ACP™△BDP(ASA 합동)이므로
AP”=BP”
즉 점 P는 AB”의 중점이므로
P{
-3a+3a
2
,
2a+(-a)
2
,
a+4a
}
2
∴ P{0, ;2A;
, ;2%;a}
평면의 결정 조건
① 한 직선 위에 있지 않
은 세 점
② 한 직선과 그 위에 있
지 않은 한 점
③ 한 점에서 만나는 두
직선
④ 평행한 두 직선
△ACP와 △BDP에서
(cid:100)AC”=BD”,
(cid:100)∠ACP=∠BDP
=90°,
(cid:100)∠PAC
=90°-∠APC
=90°-∠BPD
=∠PBD
∴ a=0, b=;2A;
, c=;2%;a
이때 a+b+c=4이므로
● 50%
이므로
(cid:100)△ACP™△BDP
(ASA 합동)
+;2%;a=4,(cid:100)(cid:100)3a=4
;2A;
∴ a=;3$;
x
B
(cid:8951) ③
B
● 20%
(cid:8951) ;3$;
385 O’A”="√1¤ +3¤ +3¤ ='∂19,
OB”="√2¤ +(-5)¤ +3¤ ='∂38이므로
OA”：OB”=1：'2
오른쪽 그림의 △OAB에서
OA”：OB”=AC”：BC”
=1：'2
C{
즉 점 C는 AB”를 1：'2로
내분하는 점이므로
1¥2+'2¥1
1+'2
2+'2
1+'2
따라서 a+b+c=
∴ C{
,
,
7'2
1+'2
p=14, q=-7
(cid:100)(cid:100)∴ p+q=7
O
C
Â19°
A
Â38°
B
1¥3+'2¥3
1+'2
}
,
1¥(-5)+'2¥3
1+'2
,
-5+3'2
1+'2
3+3'2
1+'2
}
=14-7'2이므로
터
벡
간
공
과
형
도
간
공
Ⅲ
본책
72쪽``…``75쪽
1등급
|비|밀|노|트|
삼각형의 내각의 이등분선의 성질을 이용하는 문제는 두 점 사이
의 거리, 선분의 내분점과 외분점에 관련된 문제에서 자주 쓰이
므로 반드시 기억하도록 한다.
오른쪽 그림의 △ABC에서
∠BAD=∠CAD이면
(cid:100)(cid:100)AB”：AC”=BD”：CD”
A
B
D
C
386 AB”를 2：1로 내분하는 점의 y좌표가 0이므로
2¥4+1¥a
2+1
=0,(cid:100)(cid:100)8+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-8
AB”를 1：3으로 내분하는 점의 z좌표가 0이므로
1¥b+3¥(-1)
1+3
∴ a+b=-5
=0,(cid:100)(cid:100)b-3=0(cid:100)(cid:100)∴ b=3
(cid:8951) ①
387 AP”=;5@;AB”에서(cid:100)(cid:100)5AP”=2AB”
∴ AP”：AB”=2：5
즉 점 P는 AB”를 2：3으로 내분하는 점이므로
P{
2¥(-1)+3¥3
2+3
,
2¥0+3¥(-1)
2+3
,
2¥5+3¥2
2+3
}
∴ P{;5&;, -;5#;, :¡5§:}
따라서 a=;5&;, b=-;5#;, c=:¡5§:이므로
a+b+c=4
(cid:8951) 4
AP”：AB”=2：5에서 점 B는 AP”를 5：3으로 외분하
는 점임을 이용하여 점 P의 좌표를 구할 수도 있다.
388 중심의 좌표가 (2, 5, -1)이고 zx평면에 접하
는 구의 방정식은
(x-2)¤ +(y-5)¤ +(z+1)¤ =25
y축 위의 점은x좌표와 z좌표가 모두 0이므로 위의 식
에 x=0, z=0을 대입하면
(-2)¤ +(y-5)¤ +1¤ =25,(cid:100)(cid:100)(y-5)¤ =20
y-5=—2'5(cid:100)(cid:100)∴ y=5—2'5
따라서 두 점 A, B의 좌표는 (0, 5+2'5, 0),
(0, 5-2'5, 0)이므로
AB”=5+2'5-(5-2'5)=4'5
(cid:8951) 4'5
389 두 구C¡, C™ 의 xy평면 위로의 정사영의 방정
식은 각각
(x-a-1)¤ +y¤ =25, (x-1)¤ +(y-2)¤ =16
이 두 원의 중심의 좌표가 각각 (a+1, 0, 0),
(1, 2, 0)이므로 두 원의 중심 사이의 거리는
"√a¤ +4
두 원이 외접하려면 두 원의 반지름의 길이의 합이 중심
Ⅲ. 공간도형과 공간벡터 69
(cid:8951) ①
사이의 거리와 같아야 하므로
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(cid:8951) ③
yz평면 위에 있는 원이
y축에 접하면 반지름의
길이는 |(중심의 z좌
표)|와 같다.
xy평면 위의 점은 z좌
표가 0이므로 주어진 구
의 방정식에 z=0을 대
입한다.
"√a¤ +4=5+4,(cid:100)(cid:100)a¤ +4=81
∴ a¤ =77
또 구 C™의 yz평면 위로의 정사영의 방정식은
(y-2)¤ +(z-b)¤ =16
이 원이 y축과 접하므로
|b|=4(cid:100)(cid:100)∴ b¤ =16
∴ a¤ +b¤ =93
390 x¤ +y¤ +z¤ -4x-8y-4z+8=0에서
(x-2)¤ +(y-4)¤ +(z-2)¤ =16
이므로 주어진 구의 중심의 좌표는 (2, 4, 2)이고 반지
름의 길이는 4이다.
원뿔의 밑면이 xy평면 위에 있으므로 밑면인 원의 방정
식은
(x-2)¤ +(y-4)¤ =12
즉 주어진 구의 중심을 C, 점 C
에서 xy평면에 내린 수선의 발
을 H라 하면 오른쪽 그림에서
CH”="√4¤ -(2'3)¤ =2
따라서 구하는 원뿔의 부피는
4
C
4
2Â3
H
;3!;¥p¥(2'3)¤ ¥6=24p
(cid:8951) ④
391
면 구의 방정식은
구의 중심의 좌표를 (3, 4, a)라 하
(x-3)¤ +(y-4)¤ +(z-a)¤ =100
● 30%
xy평면 위의 점은 z좌표가 0이므로 위의 식
에 z=0을 대입하면
(x-3)¤ +(y-4)¤ =100-a¤
이 식이 (x-3)¤ +(y-4)¤ =25와 같으므로
100-a¤ =25,(cid:100)(cid:100)a¤ =75
∴ a=—5'3
따라서 주어진 구의 방정식은
(x-3)¤ +(y-4)¤ +(z—5'3 )¤ =100
● 40%
yz평면 위의 점은 x좌표가 0이므로 위의 식
에 x=0을 대입하면 구하는 교선의 방정식은
(y-4)¤ +(z+5'3)¤ =91
또는 (y-4)¤ +(z-5'3)¤ =91
● 30%
(cid:8951) (y-4)¤ +(z+5'3)¤ =91 또는 (y-4)¤ +(z-5'3)¤ =91
A
O
B
392 1¤ +2¤ +3¤ =14<25
이므로 오른쪽 그림과 같이
점 A는 구 x¤ +y¤ +z¤ =25
의 내부에 있다.
즉 구와 평면의 교선 위의 한
점을 B라 하면 구와 평면이
70 정답 및 풀이
이때 O’A”=øπ1¤ +2¤ +3¤ ='∂14, OB”=5이므로
(cid:100)(cid:100)AB”="√5¤ -('∂14)¤ ='∂11
따라서 구하는 도형의 넓이는
p¥('∂11)¤ =11p
(cid:8951) ①
393 집합 A가 나타내는 도형은 중심의 좌표가
(0, 0, 0)이고 반지름의 길이가 3인 구이고, 집합 B가
나타내는 도형은 중심의 좌표가 (a, b, c)이고 반지름
의 길이가 2인 구이므로 두 구의 중심 사이의 거리는
øπa¤ +b¤ +c¤
이때 A;B+Δ에서 두 구가 만나야 하므로
3-2…øπa¤ +b¤ +c¤ …3+2
∴ 1…a¤ +b¤ +c¤ …25
따라서 점 (a, b, c)의 자취는 중심의 좌표가
(0, 0, 0)이고 반지름의 길이가 1인 구와 중심의 좌표가
(0, 0, 0)이고 반지름의 길이가 5인 구의 사이 및 각각
의 구의 구면이므로 구하는 도형의 부피는
(cid:100)(cid:100);3$;p¥5‹ -;3$;p¥1‹ = p
496
3
(cid:8951) ①
394
의 방정식은
주어진 두 구의 교선을 포함하는 구
(x¤ +y¤ +z¤ -2x-6y-4z-22)
+k(x¤ +y¤ +z¤ +2x+4y+6z-11)=0 (k+-1)
이 구가 원점을 지나므로 x=0, y=0,
yy ㉠(cid:100)(cid:100)● 40%
z=0을 ㉠에 대입하면
-22-11k=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-2
● 30%
k=-2를 ㉠에 대입하면
x¤ +y¤ +z¤ +6x+14y+16z=0
∴ (x+3)¤ +(y+7)¤ +(z+8)¤ =122
● 20%
따라서 구하는 구의 반지름의 길이는 '∂122
● 10%
이다.
395 △OPQ에서 OP”를 밑변으로 하면 높이는 z축
과 점Q 사이의 거리이고 OP”=2이므로 △OPQ=4에
서 z축과 점 Q 사이의 거리는 4이다.
따라서 점 Q가 나타내는 도형
의 방정식은
x¤ +y¤ =16, -2…z…2
이므로 점 Q가 나타내는 도형
은 오른쪽 그림과 같이 밑면의
반지름의 길이가 4이고 중심의
x
(cid:8951) '∂122
z
2
4
O
-2
y
만나서 생기는 도형은 반지름이 AB”인 원이다.
(cid:8951) ⑤
좌표가 각각 (0, 0, -2), (0, 0, 2), 높이가 4인 원기
(원기둥의 옆넓이)
둥의 옆면이다.
=(밑면의 둘레의 길이)
_(원기둥의 높이)
따라서 구하는 도형의 넓이는
2p¥4¥4=32p
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(cid:8951) 4
터
벡
간
공
과
형
도
간
공
Ⅲ
본책
75쪽``…``76쪽
398 P(2 sin a cos b, 2 cos a cos b, 2 sin b)에서
x=2 sin a cos b, y=2 cos a cos b, z=2 sin b
라 하면(cid:100)(cid:100)
x¤ +y¤ +z¤
=4 sin¤ a cos¤ b+4 cos¤ a cos¤ b+4 sin¤ b
=4 cos¤ b(sin¤ a+cos¤ a)+4 sin¤ b
=4 cos¤ b+4 sin¤ b
=4(sin¤ b+cos¤ b)=4
∴ x¤ +y¤ +z¤ =4
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
즉 점 P의 자취는 중심이 원점이고 반지름의 길이가 2
이때 yz평면 위의 점은 x좌표가 0이므로 x=0을 ㉠에
인 구이다.
대입하면
y¤ +z¤ =4
p¥2¤ =4p
이므로(cid:100)(cid:100)a=4
따라서 구하는 도형의 넓이는
399 xy평면, yz평면, zx평면에 모두 접하고 중심의
좌표가 모두 양수인 두 구의 반지름의 길이를 각각 r,
r' (r>r')이라 하면 두 구의 중심의 좌표를 각각
C(r, r, r), C'(r', r', r')으로 놓을 수 있다.
π +(r-r')¤
∴ CC'”=øπ(r-r')¤ +(r-r')¤
='3(r-r') (∵ r>r')
이때 두 구의 중심C, C'의 xy
평면 위로의 정사영을 각각 H,
C'
H'
Ω
xy
C
H
H(r, r, 0), H'(r', r', 0)
H'이라 하면
이므로
H’H'”
=øπ(r-r')¤ +(r-r')¤
='2(r-r')
따라서 HH'”=CC'” cos h이므로
'2(r-r')='3(r-r') cos h
∴ cos h=
'6
3
좌표공간에서 두 선분이 이루는 각의 크기를 구할 때, 두 선분이
만나지 않으면 한 선분을 평행이동하여 두 선분의 한쪽 끝 점이
일치하도록 만든다.
오른쪽 그림과 같이 평행한
Q
Q
Q
두 직선l, m에 대하여 직선 l 위
의 임의의 한 점 Q와 직선m 사
4
이의 거리가 일정함을 이용하면
점 Q는 z축에 평행하고 z축으로
부터의 거리가 4인 직선 위에 있
O
2
P
l
m
음을 알 수 있다.
1등급
|비|밀|노|트|
좌표공간에서 점 P(x, y, z)가 다음과 같을 때, 점 P의 자취는
① x¤ +y¤ +z¤ =r¤ (r>0)
(cid:8857) 반지름의 길이가 r인 구
② x¤ +y¤ =r¤ (r>0), a…z…b (a0), a…x…b (a0), a…y…b (a0)
즉
=y=
;3{;
z-1
2
x=3t, y=t, z=2t+1
=t (t는 실수)로 놓으면
이므로 직선 l¡ 위의 점의 좌표는 (3t, t, 2t+1)로 놓
을 수 있다.
이때 직선 l¡은 t>0이면 영역 S(1), -;2!;0의 세 가지 경우로 나눈다.
82 정답 및 풀이
461 점 A(2, 0, 1)에서 직선 l에 내린 수선의 발을
H라 하고,
=y-4=
=t (t는 실수)로 놓
x+1
2
z-5
-3
(cid:100)(cid:100)x=2t-1, y=t+4, z=-3t+5
이므로 H(2t-1, t+4, -3t+5)로 놓을 수 있다.
AH≥=(2t-3, t+4, -3t+4)
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
이고 직선 l의 방향벡터를 u¯라 하면
u¯=(2, 1, -3)
AH≥⊥u¯이므로 AH≥¥ u¯=0에서
2(2t-3)+(t+4)-3(-3t+4)=0
14t-14=0(cid:100)(cid:100)∴ t=1
t=1을 ㉠에 대입하면 AH≥=(-1, 5, 1)이므로
|AH≥|="√(-1)¤ +5¤ +1¤ =3'3
직선 l 위의 점 P가 |AP≥|…6을
만족시키므로
(cid:100)(cid:100)|HP≥|…3
따라서 AP”가 나타내는 도형의
넓이는 밑변의 길이가 6이고 높
이가 3'3인 삼각형의 넓이와 같으므로
;2!;_6_3'3=9'3
A
6
3Â3
6
l
P 3
3
H
(cid:8951) ⑤
462 P(2s, s+1, s-1)에서
x=2s, y=s+1, z=s-1
이므로 도형 F는 직선
;2{;
Q(t, t-1, 2t+1)에서
=y-1=z+1이다.
x=t, y=t-1, z=2t+1
이므로 도형 G는 직선x=y+1=
이다.
z-1
2
ㄱ. 직선 F 위의 점 (2s, s+1, s-1)의 좌표를 직선
G의 방정식 x=y+1=
에 대입하면
(cid:100)(cid:100)2s=s+2=
s-2
2
2s=s+2에서(cid:100)(cid:100)s=2
z-1
2
s-2
2
그러나 s=2는 s+2=
를 만족시키지 않는다.
따라서 두 직선 F, G는 만나지 않고 평행하지도 않
으므로 같은 평면 위에 있지 않다.
ㄴ. 직선 PQ가 원점을 지나려면 어떤 실수 s, t에 대하
여 OP≥=kOQ≥ (k+0)이어야 하므로
(cid:100)(cid:100)(2s, s+1, s-1)=k(t, t-1, 2t+1)
이때 s=t=0, k=-1이면 ㉠이 성립한다.
따라서 어떤 실수 s, t에 대하여 직선 PQ는 원점을
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
지난다.
ㄷ. 직선 PQ의 방향벡터는
으면
이때
2a+b+3c=0 y ㉠
3a+2b+c=0 y ㉡
[
㉠_2-㉡을 하면
(cid:100)a+5c=0
(cid:100)∴ a=-5c
이것을 ㉠에 대입하면
(cid:100)-10c+b+3c=0
(cid:100)∴ b=7c
직선 F의 방향벡터는
(2, 1, 1)이고 직선 G
의 방향벡터는 (1, 1, 2)
이므로 두 직선 F, G
는 평행하지 않다.
2s=kt를
(cid:100)s+1=kt-k,
(cid:100)s-1=2kt+k
에 각각 대입하면
y㉢(cid:100)
(cid:100)s=k+1
(cid:100)3s=-k-1 y ㉣(cid:100)
㉢, ㉣을 연립하여 풀면
(cid:100)s=0, k=-1
(cid:100)∴ t=0
E0429_일품기벡_정(072-096) 2015.4.29 2:48 PM 페이지83 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100)PQ≥=(t-2s, t-s-2, 2t-s+2)
x축의 방향벡터를 u¯라 하면(cid:100)(cid:100)u¯=(1, 0, 0)
직선 PQ가 x축에 평행하려면(cid:100)(cid:100)PQ≥∥u¯
어떤 실수 s, t에 대하여 PQ≥=lu¯ (l+0)라 하면
(cid:100)(cid:100)(t-2s, t-s-2, 2t-s+2)=l(1, 0, 0)
이때 t=-4, s=-6, l=8이면 ㉡이 성립한다.
따라서 어떤 실수 s, t에 대하여 직선 PQ는 x축과
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
평행하다.
이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
(cid:8951) ⑤
직선 PQ가 원점O 를 지난다.
세 점O, P, Q가 한 직선 위에 있다 .
OP≥∥OQ≥
OP≥=kOQ≥ (k+0)
x-1=
2-y
3
=
;4Z;
=t (t는 실수)로
HjjK
HjjK
HjjK
463
놓으면
x=t+1, y=2-3t, z=4t(cid:100)(cid:100)
이것을 직선 l™의 방정식에 대입하면
(cid:100)(cid:100)
=1-3t=2-4t(cid:100)(cid:100)∴ t=1
t-5
2
(cid:100)(cid:100)∴ P(2, -1, 4)
● 30%
이때 x축을 포함하는 평면은 원점을 지나므로
(cid:100)(cid:100)c=0
∴ ax+by+z=0
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
x축의 방향벡터를 u¯, 평면 ㉠의 법선벡터를 n’
¯이라 하면
u¯=(1, 0, 0), n’
¯=(a, b, 1)
평면 ㉠이 x축을 포함하므로 u¯⊥n’
¯에서(cid:100)(cid:100)u¯¥ n’
¯=0
따라서 점 P(2, -1, 4)는 평면by+z=0 위의 점이
(cid:100)(cid:100)∴ a=0(cid:100)(cid:100)
므로
-b+4=0(cid:100)(cid:100)∴ b=4
∴ a¤ +b¤ +c¤ =16
● 30%
● 30%
● 10%
(cid:8951) 16
464 평면 a의 방정식을 ax+by+cz+d=0으로 놓
으면 평면 a의 법선벡터는 (a, b, c)이다.
이때 xy평면, yz평면, zx평면의 법선벡터는 각각
(0, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0)이므로 평면 a가 xy
평면, yz평면, zx평면과 이루는 각의 크기를 각각 h¡,
h™, h£, 구하는 정사영의 넓이를 S'이라 하면
S
2
S
4
=S`cosh¡, 즉 =S
=S`cosh™, 즉 =S
S
2
S
4
S'=S`cos h£, 즉 S'=S
|c|
"√a¤ +b¤ +c¤
|a|
"√a¤ +b¤ +c¤
|b|
"√a¤ +b¤ +c¤
y ㉠(cid:100)(cid:100)
y ㉡(cid:100)(cid:100)
y ㉢(cid:100)(cid:100)
㉠, ㉡, ㉢의 각 변을 제곱하여 변끼리 더하면
본책
86쪽``…``88쪽
S¤
4
S¤
16
+ +(S')¤ =S¤
(S')¤ =;1!6!;S¤ (cid:100)(cid:100)∴ S'=
'∂11
4
S
(cid:8951) ③
두 평면x+3y+' 6z-1=0,
465
ax-y+'6z+1=0의 법선벡터를 각각 n’¡≤, n’™≤라 하고
두 평면이 이루는 각의 크기를 h라 하면
n’¡≤=(1, 3, '6), n’™≤=(a, -1, '6 )
이므로
cos h=
|n’¡≤¥ n’™≤|
|n’¡≤||n’™≤|
cos h=
cos h=
|1_a+3_(-1)+'6_'6|
"√1¤ +3¤ +('6 )¤ "√a¤ +(-1)¤ +('6)¤
|a+3|
4"√a¤ +7
● 50%
반지름의 길이가 2인 원의 넓이는 4p, 정사
영의 넓이는 p이므로
=;4!;
4pcos h=p,(cid:100)(cid:100)
|a+3|
4"√a¤ +7
|a+3|="√a¤ +7,(cid:100)(cid:100)a¤ +6a+9=a¤ +7
6a=-2(cid:100)(cid:100)∴ a=-;3!;
터
벡
간
공
과
형
도
간
공
Ⅲ
● 50%
(cid:8951) -;3!;
466 x-1=2-y=
=t (t는 실수)로 놓으면
2-z
3
(cid:100)(cid:100)x=t+1, y=2-t, z=2-3t
이것을 직선 l™의 방정식에 대입하면(cid:100)(cid:100)
t+5
5
=
2-t
2
∴ P(1, 2, 2)
=3t+1(cid:100)(cid:100)∴ t=0
또 평면 a의 법선벡터를 n¯=(a, b, c)라 하면 벡터 n¯
은 두 직선 l¡, l™의 방향벡터와 각각 수직이므로
(a, b, c)¥(1, -1, -3)=0,
(a, b, c)¥(5, 2, -1)=0
a-b-3c=0, 5a+2b-c=0
∴ b=-2a, c=a
따라서 n¯=(a, -2a, a), 즉 n¯=(1, -2, 1)이므로
sin h=cos {;2“;-h}=
|OP≥¥ n¯|
|OP≥||n¯|
sin h=
sin h=
|1_1+2_(-2)+2_1|
"√1¤ +2¤ +2¤
"√1¤ +(-2)¤ +1¤
1
'6
=
18
3'6
(cid:8951)
'6
18
467
b의 법선벡터를 각각 n’¡≤, n’™≤라 하면
직선 l의 방향벡터를 u¯, 두 평면 a,
u¯=(1, 2, 1), n’¡≤=(2, -1, 1), n’™≤=(a, b, c)
t-s-2=0 y ㉤
2t-s+2=0 y ㉥
[
㉥-㉤을 하면
(cid:100)t+4=0(cid:100)∴ t=-4
이것을 ㉤에 대입하면
(cid:100)-4-s-2=0
(cid:100)∴ s=-6
t=-4, s=-6을
t-2s=l에 대입하면
(cid:100)l=-4+12=8
a-b-3c=0 y ㉠
5a+2b-c=0 y ㉡
[
㉠_2+㉡을 하면
(cid:100)7a-7c=0
(cid:100)∴ c=a
이것을 ㉠에 대입하면
(cid:100)a-b-3a=0
(cid:100)∴ b=-2a
평면 a 위의 넓이가 S인
도형의 평면 b 위로의 정
사영의 넓이를 S'이라 할
때, 두 평면a, b가 이루
는 각의 크기를h라 하면
(cid:100)S'=S cos h
평면 b의 법선벡터는
평면 b 위의 모든 직선
과 수직이다.
직선 l이 평면 b에 포함되므로 u¯⊥n’™≤에서
(cid:100)(cid:100)u¯¥ n’™≤=0
Ⅲ. 공간도형과 공간벡터 83
E0429_일품기벡_정(072-096) 2015.4.29 2:48 PM 페이지84 SinsagoHitec
∴ a+2b+c=0
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
으로 놓고 세 점 O, A, B의 좌표를 각각 대입하면
또 a⊥b에서 n’¡≤⊥n’™≤이므로(cid:100)(cid:100)n’¡≤¥n’™≤=0
d=0, 2b+d=0, 2a+3b+2c+d=0
∴ 2a-b+c=0
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)∴ b=0, c=-a, d=0
㉠, ㉡을 연립하면(cid:100)(cid:100)a=3b, c=-5b
세 점 O, A, B를 지나는 평면의 방정식은
∴ b: 3bx+by-5bz-20=0
● 60%
ax-az=0, 즉 x-z=0
㉡-㉠을 하면
(cid:100)a-3b=0
(cid:100)∴ a=3b
(cid:100)3b+2b+c=0
(cid:100)∴ c=-5b
이것을 ㉠에 대입하면
라 하면
이때 직선 l이 평면 b 위에 있으므로 직선 l 위의 점
(1, 2, 3)은 평면b 위에 있다.
즉 3b+2b-15b-20=0에서(cid:100)(cid:100)b=-2
● 20%
따라서 b: -6x-2y+10z-20=0이므로
(cid:100)(cid:100)a=-6, b=-2, c=10
∴ a+b+c=2
● 20%
(cid:8951) 2
468 점 C¡에서 평면 b에 내린 수
선의 발을 H라 하면 두 평면a , b 사
이의 거리는 평면 a 위의 한 점
(0, 0, 2)와 평면 b 사이의 거리와
C¡
같으므로
H
60æ
C™
C¡H”=
|4+5|
"√1¤ +(-2)¤ +2¤
=3
△C¡HC™에서(cid:100)(cid:100)C¡C™”=
(cid:8951) ③
3
sin 60°
=2'3
469 평면 a의 법선벡터를 n¯, 직선 l의 방향벡터를 u¯
라 하면 n¯=(1, 1, -3), u¯=(a, b, c)이므로
cos(90°-30°)=
|n¯¥ u¯|
|n¯||u¯|
|1_a+1_b+(-3)_c|
"√1¤ +1¤ +(-3)¤ "√a¤ +b¤ +c¤
=
=
|a+b-3c|
'∂11 "√a¤ +b¤ +c¤
이므로
즉 ;2!;=
|a+b-3c|
'∂11 "√a¤ +b¤ +c¤
'∂11
2
|a+b-3c|
"√a¤ +b¤ +c¤
이때 평면 b의 방정식은
=
(cid:100)(cid:100)a(x-0)+b(y-0)+c(z-0)=0
(cid:100)(cid:100)∴ ax+by+cz=0
따라서 점 (2, 2, -6)과 평면b 사이의 거리는
|2a+2b-6c|
"√a¤ +b¤ +c¤
=
2|a+b-3c|
"√a¤ +b¤ +c¤
'∂11
2
='∂11
=2_
이때 점 C(-1, 4, 5)와 평면x-z=0 사이의 거리를 h
h=
|-1-5|
"√1¤ +0¤ +(-1)¤
따라서 삼각뿔 O－ABC의 부피는
=3'2
;3!;_△OAB_h=;3!;_;2!;_OA”_BH”_h
;3!;_△OAB_h=;3!;_;2!;_2_2'2_3'2
;3!;_△OAB_h=4
(cid:8951) 4
471
림과 같이 주어진 정육면체를
오른쪽 그
z
A
C
O
D
x
B
y
● 30%
이때 세 점 A, B, C를 지나는 평면의 방정
좌표공간에 놓으면
A(5, 0, 10),
B(5, 10, 10),
C(0, 5, 0),
D(10, 5, 0)
식을
ax+by+cz+d=0
으로 놓고 세 점 A, B, C의 좌표를 각각 대입하면
5a+10c+d=0, 5a+10b+10c+d=0,
5b+d=0
∴ a=-2c, b=0, d=0
세 점 A, B, C를 지나는 평면의 방정식은
-2cx+cz=0, 즉 2x-z=0(cid:100)(cid:100)
● 50%
따라서 점 D(10, 5, 0)과 평면 2x-z=0
사이의 거리는
|20|
"√2¤ +0¤ +(-1)¤
=4'5
● 20%
(cid:8951) 4'5
5a+10c+d=0,
5a+10b+10c+d=0
이므로
(cid:100)10b=0(cid:100)∴`b=0
따라서 d=0이므로
(cid:100)5a+10c=0
(cid:100)∴`a=-2c
평면 b는 직선l 과 수
직이므로 평면 b의 법
선벡터는 u¯=(a, b, c)
이다.
직선 OA는 y축과 일치
(cid:8951) '∂11
한다.
472
x+y
z+3
=k(k는 실수)라 하면
x+y=k(z+3)
∴ x+y-kz-3k=0 (cid:100)(cid:100)
점 (a, b, c)에서 다음에
점 P가 주어진 구 위의 점이므로 이 평면과 주어진 구가
C
내린 수선의 발의 좌표는
만나야 한다.
이때 구의 중심 (0, 0, 0)과 평면 x+y-kz-3k=0 사
470 점 B(2, 3, 2)에서 직선
OA에 내린 수선의 발을 H라
하면 H(0, 3, 0)이므로
z
B
BH”="√2¤ +0¤ +2¤ =2'2
세 점 O, A, B를 지나는 평면의
방정식을 ax+by+cz+d=0
x
O
HA
y
① x축: (a, 0, 0)
② y축: (0, b, 0)
③ z축: (0, 0, c)
④ xy평면: (a, b, 0)
⑤ yz평면: (0, b, c)
⑥ zx평면: (a, 0, c)
이의 거리는
|-3k|
"√1¤ +1¤ +(-k)¤
=
|3k|
"√k¤ +2
이고 구의 반지름의 길이는 2'2이므로
84 정답 및 풀이
E0429_일품기벡_정(072-096) 2015.4.29 2:48 PM 페이지85 SinsagoHitec
|3k|
9k¤
…2'2,(cid:100)(cid:100)
k¤ +2
"√k¤ +2
9k¤ …8k¤ +16,(cid:100)(cid:100)k¤ …16
∴ -4…k…4
…8
따라서 M=4, m=-4이므로
M¤ +m¤ =4¤ +(-4)¤ =32
(cid:8951) ④
473 두 평면 a, b의 교선을 포함하는 평면 c의 방정
식은
2x+y-z+2+k(x-y+z-3)=0 (k는 실수)
∴ (2+k)x+(1-k)y+(k-1)z+2-3k=0
평면 c의 법선벡터를 n¯, 직선
=y+2=1-z의
1-x
4
방향벡터를 u¯라 하면
n¯=(2+k, 1-k, k-1), u¯=(-4, 1, -1)
n¯∥u¯이므로 n¯=tu¯ (t+0)라 하면
(2+k, 1-k, k-1)=t(-4, 1, -1)
∴ 2+k=-4t, 1-k=t, k-1=-t
위의 세 식을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)k=2, t=-1
즉 평면c의 방정식은 4x-y+z-4=0이므로 평면 c
가 x축, z축과 만나는 점의 좌표는 각각
(cid:100)(cid:100)(1, 0, 0), (0, 0, 4)
따라서 구하는 두 점 사이의 거리는
"√(-1)¤ +4¤ ='∂17
474 평면 a의 방정식을 ax+by+cz+d=0으로 놓
고 세 점 O, A, B의 좌표를 각각 대입하면
d=0, 2a+2b+d=0, 3a+3c+d=0
∴ b=-a, c=-a, d=0
평면 a의 방정식은
ax-ay-az=0, 즉 x-y-z=0
또 점 P(1, 1, 2)를 지나고 평면 a에 수직인 직선의 방
정식은
x-1
1
=
y-1
-1
=
z-2
-1
, 즉 x-1=1-y=2-z
x-1=1-y=2-z=t(t는 실수)로 놓으면
x=t+1, y=-t+1, z=-t+2
이므로 H(t+1, -t+1, -t+2)로 놓을 수 있다.
이때 점 H는 평면 a 위의 점이므로
t+1-(-t+1)-(-t+2)=0
(cid:100)(cid:100)3t=2(cid:100)(cid:100)∴ t=;3@;
즉 H {;3%;, ;3!;, ;3$;}이므로 OH≥=aO’A≥+b OB≥에서
{;3%;, ;3!;, ;3$;}=a(2, 2, 0)+b(3, 0, 3)
{;3%;, ;3!;, ;3$;}=(2a+3b, 2a, 3b)
따라서 2a+3b=;3%;, 2a=;3!;, 3b=;3$;이므로
a=;6!;, b=;9$;(cid:100)(cid:100)∴ a+b=;1!8!;
(cid:8951) ;1!8!;
AB”="√(-2)¤ +4¤
=2'5
AH”=;2!;AC”='2
x축 위의 점은
(cid:100)(y좌표)=(z좌표)
=0 (cid:100)
점 P(1, 1, 2)를 지나
고 방향벡터가
(1, -1, -1)인 직선
본책
88쪽``…``89쪽
475 두 구 C¡, C™의 중심은 각각
C¡(0, -3, -1), C™(4, -1, 3)
C¡C™”의 중점을 M이라 하면(cid:100)(cid:100)M(2, -2, 1)
이때 C’¡C™≥=(4, 2, 4)이므로 점 M을 지나고 벡터
C’¡C™≥에 수직인 평면 a의 방정식은
4(x-2)+2(y+2)+4(z-1)=0
∴ 2x+y+2z-4=0
평면 a가 x축, y축, z축과 만
나는 점이 각각 A, B, C이
므로
A(2, 0, 0),
B(0, 4, 0),
C(0, 0, 2)
z
C
H
O
A
x
B
y
따라서 △ABC는 AB”=BC”=2'5인 이등변삼각형이
므로 점 B에서 AC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
¤ -AH”
AC”="√(-2)¤ +2¤ =2'2,
BH”=øπAB”
∴ △ABC=;2!;_2'2_3'2=6
평면 a에 대하여 대칭인 두 구는 반지름의 길이가 같
¤ ="√(2'5)¤ -('2)¤ =3'2
(cid:8951) ③
고 중심이 평면 a에 대하여 대칭이다.
터
벡
간
공
과
형
도
간
공
Ⅲ
이 구의 중심을 지나는 평면 a와 구가 만나서 생기는 원
의 반지름의 길이는 '∂33이므로 그 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_('∂33 )¤ =33p
두 평면 a, b의 법선벡터를 각각 n’¡≤, n’™≤라 하고 두 평면
a, b가 이루는 예각의 크기를 h라 하면
● 30%
n’¡≤=(1, -1, 3), n’™≤=(1, 3, 1)이므로
cos h=
|n’¡≤¥n’™≤|
|n’¡≤||n’™≤|
cos h=
|1_1+(-1)_3+3_1|
"√1¤ +(-1)¤ +3¤ "√1¤ +3¤ +1¤
cos h=;1¡1;
따라서 구하는 도형의 넓이는
33p cos h=33p_;1¡1;=3p
● 50%
● 20%
(cid:8951) 3p
477
P(a, b, c)라 하면
점 A의 평면a 위로의 정사영을
AP≥=(a-3, b-4, c-5)
평면 a의 법선벡터를 n¯이라 하면(cid:100)(cid:100)n¯=(1, 2, 2)
AP≥∥n¯이므로 AP≥=tn¯(t+0)이라 하면
a-3=t, b-4=2t, c-5=2t
∴ a=t+3, b=2t+4, c=2t+5
● 20%
Ⅲ. 공간도형과 공간벡터 85
(cid:8951) ③
z축 위의 점은
(cid:100)(x좌표)=(y좌표)
476
=0
x¤ +(y+2)¤ +(z-3)¤ =33
x¤ +y¤ +z¤ +4y-6z-20=0에서
15일품기하벡터3단해(72~96)OK 2015.8.19 4:10 PM 페이지86 SinsagoHitec
A{1,`2,`3}
P
π
3
r
Ω
R
F
C{0,`0,`1}
두 변의 길이가 a, b이고
그 끼인 각의 크기가 h인
삼각형의 넓이는
(cid:100);2!;absin h
△CPQ=;2!;|CP≥||CQ≥|sin h
'∂14
9
2'∂14
9
=
r¤
△CPQ=;2!; r¤ _
'∂14
9
∴ a=
(cid:8951) ④
즉 P(t+3, 2t+4, 2t+5)이고, 점 P는 평면 a 위에
있으므로
(t+3)+2(2t+4)+2(2t+5)-3=0
9t+18=0(cid:100)(cid:100)∴ t=-2
∴ P(1, 0, 1)
● 30%
이때 구의 반지름의 길이는 AP”의 길이와 같으므로
"√(1-3)¤ +(√0-4)¤ +(1-5)¤ =6
즉 구의 방정식은 (x-1)¤ +y¤ +(z-1)¤ =36이므로
이 구가 xy평면과 만나서 생기는 도형의 방정식은
(x-1)¤ +y¤ =35
● 40%
따라서 구하는 도형은 반지름의 길이가 '∂35
인 원이므로 그 넓이는
p_('ß35)¤ =35p
● 10%
(cid:8951) 35p
478 구 x¤ +y¤ +(z-1)¤ =9
의 중심을 C(0, 0, 1), 점
A(1, 2, 3)에서 거리가 p인 구
위의 점을 P, 부채꼴 CAP의 중
심각의 크기를 h라 하면
p=3h(cid:100)(cid:100)∴ h=;3“;
를 r라 하면
r=3 sin ;3“;=
3'3
2
이때 도형 F는 원이므로 원의 중심을 R, 반지름의 길이
따라서 도형 F는 반지름의 길이가
인 원이므로 원
3'3
2
의 넓이는
3'3
2
p_{
¤ =:™4¶:p
}
또 도형 F를 포함하는 평면의 법선벡터는
CA≥=(1, 2, 2)
이고 xy평면의 법선벡터를 n¯, 두 평면이 이루는 예각의
크기를 h'이라 하면 n¯=(0, 0, 1)이므로
|CA≥¥ n¯|
|CA≥||n¯|
cos h'=
cos h'=
|1_0+2_0+2_1|
"√1¤ +2¤ +2¤ "√0¤ +0¤ +1¤
=;3@;
따라서 구하는 정사영의 넓이는
(cid:8951) ⑤
:™4¶:p_;3@;=;2(;p
1등급
|비|밀|노|트|
도형 F의 평면 a 위로의 정사영 문제는 다음과 같은 순서로 해
결한다.
⁄ 도형 F가 어떤 도형인지 파악하고 넓이를 구한다.
¤ 도형 F를 포함한 평면과 평면 a가 이루는 예각의 크기를 h라
할 때, cos h의 값을 구한다.
‹ ⁄, ¤를 이용하여 도형 F의 평면a 위로의 정사영의 넓이를
구한다.
86 정답 및 풀이
z=0을 구의 방정식에
대입한다.
반지름의 길이가 r, 중심
각의 크기가 h인 부채꼴의
호의 길이를 l이라 하면
(cid:100)l=rh
OB≥=(1, 1, 1)이므로
벡터 OB≥는 평면
x+y+z=3에 수직이다.
479 오른쪽 그림과 같이
∠PCQ=h라 하고 두 평면
a, b의 법선벡터를 각각 n’¡≤,
n’™≤라 하면
n’¡≤=(2, -4, 5),
n’™≤=(4, 2, -5)
n’¡≤, n’™≤가 이루는 각의 크기는
h 또는 p-h이므로
|cos h|=
|n’¡≤¥ n’™≤|
|n’¡≤||n’™≤|
å
P
Q
Ω
C
∫
|cos h|=
|2_4+(-4)_2+5_(-5)|
"√2¤ +(-4)¤ +5¤ "√4¤ +2¤ +(-5)¤
|cos h|=;9%;
따라서 sin h=æ≠1-{;9%;}
=
2'∂14
9
이므로
480 |OA≥|=1을 만족시키는 점 A가 나타내는 도형
은 중심이 원점이고 반지름의 길이가 1인 구이고,
|BC≥|=1을 만족시키는 평면 x+y+z=3 위의 점 C
가 나타내는 도형은 중심이 점 B(1, 1, 1)이고 반지름
의 길이가 1인 원이다.
이때 원점 O에서 평면 x+y+z=3에 내린 수선의 발
이 점 B(1, 1, 1)이므로 원점 O와 평면 x+y+z=3
사이의 거리는
OB”="√1¤ +1¤ +1¤ ='3, BQ”=1
따라서 PQ”의 길이가 최대, 최소가 되
도록 하는 점 P를 각각 P¡, P™라 하면
P¡Q”=QO”+OP¡”
¤ +BQ”
¤ +1
=øπ OB”
=øπ('3)¤ +1¤ +1
=2+1=3
P¡
1
O
´3
B
P™
Q
P™Q” =QO”-OP™”=øπ OB”
¤ +BQ”
=øπ('3)¤ +1¤ -1=2-1=1
¤ -1
이므로
P¡Q”_P™Q”=3
(cid:8951) ③
481 직선 l 위의 점을 P(a, b, c)(a>0)라 하면
직선 l의 yz평면 위로의 정사영의 방정식이
3y+2z=0, x=0
이므로(cid:100)(cid:100)3b+2c=0(cid:100)(cid:100)∴ b=-;3@;c(cid:100)(cid:100)
또 직선l의 zx평면 위로의 정사영의 방정식이
2x-z=0, y=0
이므로(cid:100)(cid:100)2a-c=0(cid:100)(cid:100)∴ a=;2!;c(cid:100)(cid:100)
¤
E0429_일품기벡_정(072-096) 2015.4.29 2:48 PM 페이지87 SinsagoHitec
즉 P{;2!;c, -;3@;c, c}이므로 원점을 지나는 직선 l의 방
향벡터는(cid:100)(cid:100)(3, -4, 6)
이때 x축의 방향벡터는 (1, 0, 0)이므로
cos h=
|3_1+(-4)_0+6_0|
"√3¤ +(-4)¤ +6¤ "√1¤ +0¤ +0¤
따라서 cos¤ h=;6ª1;이므로(cid:100)(cid:100)p=61, q=9
=
3
'∂61
(cid:8951) 70
∴ p+q=70
1등급
|비|밀|노|트|
① x축의 방향벡터, yz평면의 법선벡터 (cid:8857) (1, 0, 0)
② y축의 방향벡터, zx평면의 법선벡터 (cid:8857) (0, 1, 0)
③ z축의 방향벡터, xy평면의 법선벡터 (cid:8857) (0, 0, 1)
482 A(3, 3, 3'∂14 ), C(6, 6, 0),
D(0, 6, 0)이므로
,
M{
3+6
3
3+6+6
3
∴ M(3, 5, '∂14 )
,
3'∂14
3
}
따라서 두 점 B(6, 0, 0), M(3, 5, '∂14 )를 지나는
직선의 방정식은
x-6
3-6
y
= =
5
, 즉
6-x
3
z
'∂14
=t (t는 실수)로 놓으면
y
= =
5
z
'∂14
6-x
3
y
= =
5
z
'∂14
x=-3t+6, y=5t, z='∂14t
이므로 P(-3t+6, 5t, '∂14t)로 놓을 수 있다.
이때 E(0, 0, 0)이므로
PE≥¥ PC≥
=(3t-6, -5t, -'∂14t)¥(3t, -5t+6, -'∂14t)
=3t(3t-6)-5t(-5t+6)-'∂14t_(-'∂14t)
=9t¤ -18t+25t¤ -30t+14t¤
=48t¤ -48t=48{t-;2!;}
¤ -12
따라서 PE≥¥ PC≥는 t=;2!;일 때 최솟값 -12를 갖고, 이
때의 점 P의 좌표는 {;2(;, ;2%;,
(cid:100)(cid:100)a=;2(;, b=;2%;, c=
'∂14
2
'∂14
2
}이므로
∴ a+b=7
(cid:8951) ②
483 C¡: x¤
C™: x¤ +y¤ +z¤ -4z=21
¤ +y¤ +z¤ -2x-4y=17 yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉠-㉡을 하면(cid:100)(cid:100)-2x-4y+4z=-4
∴ x+2y-2z-2=0
즉 두 구가 만나서 생기는 원을 포함하는 평면을 a라 하
면 평면a의 방정식은 x+2y-2z-2=0이다.
이때 ㉠에서(cid:100)(cid:100)(x-1)¤ +(y-2)¤ +z¤ =22(cid:100)(cid:100)
㉡에서(cid:100)(cid:100)x¤ +y¤ +(z-2)¤ =25
본책
89쪽``…``90쪽
두 구 C¡, C™의 중심을 각각 C¡, C™라 하면
C¡(1, 2, 0), C™(0, 0, 2)
두 점 C¡, C™와 평면a 사이의 거리를 각각 h¡, h™라 하면
h¡=
|1+4-2|
"√1¤ +2¤ +(-2)¤
|-4-2|
"√1¤ +2¤ +(-2)¤
따라서 평면 a와 두 구 위의
h™=
점 P까지의 거리의 최댓값
=1,
=2
은
(cid:100)(cid:100)2+5=7
이때 두 구 C¡, C™가 만나
서 생기는 원의 반지름의 길이를 r라 하면
r="√5¤ -2¤ ='∂21
이므로 원뿔의 부피의 최댓값은
Â22°
1
C¡
r
2
C™
5
5
P
점 A에서 (cid:8772)BCDE에
내린 수선의 발은
(cid:8772)BCDE의 두 대각선
의 교점과 같다. 이때
(cid:8772)BCDE의 두 대각선
의 교점의 좌표는
(3, 3, 0)이고, 사각뿔
의 높이가 3'ß14이므로
(cid:100)A(3, 3, 3'ß14)
;3!;_p_('∂21)¤ _7=49p
(cid:8951) ⑤
1등급
|비|밀|노|트|
구 C의 반지름의 길이를 r,
구 C의 중심과 평면 a 사이
의 거리를 d라 할 때, 평면 a
와 구 C 위의 한 점 사이의
거리의 최댓값은 r+d이다.
r
d
C
å
터
벡
간
공
과
형
도
간
공
Ⅲ
484 x¤ +y¤ +z¤ -2x+4y-20=0에서
(x-1)¤ +(y+2)¤ +z¤ =25
이므로 이 구의 중심은 C(1, -2, 0)이고 반지름의 길
이는 5이다.
∠ACB=h라 하면
C’A≥¥ CB≥=|C’A≥||CB≥|cos h
=5_5_cos h
=25 cos h
이므로 C’A≥¥CB≥는 cos h가 최소일 때 최솟값을 갖는다.
오른쪽 그림과 같이 cos h
가 최소일 때는 두 점 A, B
가 구와 평면이 만나서 생
기는 원의 지름의 양 끝 점
일 때이므로 구의 중심
C{1,`-2,`0}
5
Ω
A
H
B
C(1, -2, 0)에서 평면 2x-y-2z+8=0에 내린 수
선의 발을 H라 하면
CH”=
=4
∴ cos h=2 cos¤ -1
|2+2+8|
"√2¤ +(-1)¤ +(-2)¤
h
2
¤ -1=;2¶5;
∴ cos h=2_{;5$;}
따라서 CA≥¥CB≥의 최솟값은
25 cos h=25_;2¶5;=7
(cid:8951) ②
Ⅲ. 공간도형과 공간벡터 87
00,(cid:100)(cid:100)a¤ <:™2¡:
'∂42
2
'∂42
2
0)
∴ [ r ]=7 또는 [ r ]=8
따라서 구하는 모든 [ r ]의 값의 합은
(cid:100)(cid:100)7+8=15
88 정답 및 풀이
▶ 본책 91쪽
487 PQ”의 길이는 PQ”⊥BD”, PQ”⊥AG”일 때 최소
이다.
오른쪽 그림에서
CG”⊥(평면 BCD)이므로
(cid:100)(cid:100)BD”⊥CG”
또 BD”⊥AC”이므로
BD”⊥(평면 AGC)
D
Q
H
C
G
P
B
F
A
4
E
AC”와 BD”의 교점을 P라 하고 점P에서 AG”에 내린 수
선의 발을 Q라 하면
PQ”⊥BD”, PQ”⊥A’G”
△AGC에서 ∠CAG=h라 하면
'3
3
sin h=
CG”
AG”
=
=
4
4'3
따라서 PQ”의 길이의 최솟값은 △APQ에서
PQ”=AP” sin h
'3
3
PQ”=2'2_ =
2'6
3
(cid:8951) ③
488 (cid:8772)ABFD는 마름모이므로 AB”∥DF”이다. 즉
두 직선 AB와 CF가 이루는 각의 크기는 두 직선 DF
와 CF가 이루는 각의 크기와 같고 △CFD는 정삼각형
이므로(cid:100)(cid:100)h¡=60°
또 두 직선AB 와 EF가 이루는 각의 크기는 두 직선
DF와 EF가 이루는 각의 크기와 같고 △DEF는 정삼
각형이므로(cid:100)(cid:100)h™=60°
∴ cos(h¡+h™)=cos 120°=-;2!;
(cid:8951) ②
489 원뿔의 밑면의 반지름의 길이는 8, 높이는
"√16¤ -8¤ =8'3이고 원기둥의 밑면의 지름의 길이는 4,
높이는 4'3이므로 원뿔의 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선
의 발은 원기둥의 밑면인 원 위의 한 점이다.
오른쪽 그림과 같은 단면에서
원뿔의 밑면의 중심을 D라
하고, 점 C에서 OD”에 내린
16
수선의 발을 H라 하자.
구의 반지름의 길이를 r라 하
면 △OAD에서
A
r
8
O
Â34
H
C
Ω
P
D
4
Â34
B
;2!;_8_8'3=;2!;r(16+8+8'3 )
8'3=(3+'3 )r
∴ r=
8'3
3+'3
=4'3-4
또 CH”=2, PH”=4'3-(4'3-4)=4이므로
(cid:100)(cid:100)tan h=
=2
PH”
CH”
세 변의 길이가a, b, c인
△ABC의 내접원의 반지
름의 길이가 r일 때,
(cid:100)△ABC
=;2!;r(a+b+c)
(cid:8951) ①
∴ 10 tan h=20
(cid:8951) 20
E0429_일품기벡_정(072-096) 2015.4.29 2:48 PM 페이지89 SinsagoHitec
'3
2
'3
2
(cid:100);2#; {
2n-1
}
=;2#;_ _{
=
3'3
4
{;4#;}
n-1
'3
2
2n-2
}
494 AB”가 xy평면과 평행하므로 두 점 A, B의 z좌
표는 서로 같다. 즉
A(-2, 2'3, k), B(2, 2'3, k)
라 하면 △OAB의 무게중심의 z좌표가 4이므로
k+k
3
=4(cid:100)(cid:100)∴ k=6
-1r')인 두 구의 중
심 사이의 거리를 d라 할
때, 두 구가 교선이 원이
되게 만나려면
(cid:100)r-r'
