2018년 좋은책신사고 일품 고등 미적분 1 ( 548제 ) 답지

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D1028일품미적분1_정(001-005) 2014.10.28 1:45 PM 페이지1 SinsagoHitec 미적분`I 정답 및 풀이 Ⅰ 수열의 극한 Ⅱ 함수의 극한과 연속 Ⅲ 다항함수의 미분법 Ⅳ 다항함수의 적분법 6 29 50 83 D1028일품미적분1_정(001-005) 2014.10.28 1:45 PM 페이지2 SinsagoHitec Ⅰ 수열의 극한 01 수열의 극한 본책 19쪽 ~ 22쪽 067 15 068 ① 069 8 070 1 071 ② 072 3 073 ③ 074 12 075 ② 076 ⑤ 077 30 078 ③ 079 ① 080 ① 081 ④ 001 ③ 002 ④ 003 ④ 004 -1 005 3 087 ③ 088 ⑤ 089 81 090 ② 본책 8쪽 ~ 10쪽 082 ⑤ 083 11 084 121 085 34 086 ③ 006 ② 007 2 008 ④ 009 6 010 ② 011 ② 012 ③ 013 ④ 014 ④ 015 1 3 016 ③ 017 ② 018 0 091 15 092 ④ 093 17 094 4 095 19 본책 23쪽 096 ③ 본책 11쪽 ~ 14쪽 019 44 020 ⑤ 021 ③ 022 023 40 본책 24쪽 ~ 27쪽 024 ② 025 5 026 2 027 12 028 ⑤ 097 3 098 ③ 099 9 100 3 101 ② 029 ⑤ 030 ⑤ 031 032 033 25 1 2 102 150 103 ③ 104 1 105 ④ 106 10 107 ① 108 -4 109 8 110 ⑤ 111 7 034 ⑤ 035 036 ③ 037 038 ① 112 4 113 ① 114 ③ 115 ④ 116 1 3 1 7 039 040 ④ 041 ④ 042 9 043 ① 4 3 117 11 118 ① 119 ③ 120 1 2 5 3 3 4 13 2 121 122 p 123 17 27'3 80 3 4 044 4 045 ② 046 1 047 ② 048 5 본책 15쪽 049 ④ Ⅱ 함수의 극한과 연속 03 함수의 극한 02 급수 2 정답 및 풀이 본책 16쪽 ~ 18쪽 본책 30쪽 ~ 32쪽 050 ⑤ 051 - 052 9 053 ② 054 5 1 2 055 ① 056 ② 057 6 058 ② 059 9 124 ⑤ 125 ② 126 ④ 127 4 128 ③ 129 130 ⑤ 131 2 132 ④ 133 ④ 1 12 060 ① 061 ① 062 ⑤ 063 100 064 ② 134 16 135 5 136 ③ 137 4 138 ① 065 ① 066 ④ 139 ③ 140 -1 D1028일품미적분1_정(001-005) 2014.10.28 1:46 PM 페이지3 SinsagoHitec 본책 33쪽 ~ 35쪽 Ⅲ 다항함수의 미분법 05 미분계수와 도함수 141 12 142 ② 143 6 144 8 145 1 146 ③ 147 ⑤ 148 ⑤ 149 14 150 ④ 151 ② 152 153 - 154 ② 155 30 5 2 9 8 156 ② 157 ① 158 8 223 3 224 ④ 225 2 226 ② 227 ③ 228 16 229 3 230 3 231 ⑤ 232 ④ 본책 50쪽 ~ 52쪽 본책 36쪽 233 ② 234 ② 235 ① 236 152 237 ④ 159 ② 160 ④ 161 ③ 162 5 163 96 238 3 239 ① 240 f '(x)=x¤ +1 본책 53쪽 ~ 55쪽 241 ① 242 243 ② 244 ③ 245 ⑤ 1 3 246 ⑤ 247 9 248 ② 249 ② 250 5 251 ③ 252 ⑤ 253 18 254 -2 255 ① 256 42 257 ① 258 43 259 ③ 260 ① 04 함수의 연속 본책 37쪽 ~ 39쪽 164 ⑤ 165 8 166 ③ 167 ③ 168 ③ 169 ② 170 5 171 ② 172 -1 173 ② 174 ② 175 3 176 ③ 177 ② 178 ② 179 23 180 5 181 19 182 12 183 ⑤ 184 1 185 ① 186 20 187 ② 188 ⑤ 189 2 190 ① 191 ⑤ 192 4 193 ② 194 ③ 195 ⑤ 196 ④ 197 120 198 ③ 199 ③ 200 1 201 1 202 ③ 203 204 ④ 205 3 206 ② 207 ④ 208 48 209 17 210 ① 211 x=0 또는 x= 212 5 3 4 213 ⑤ 214 ④ 215 ③ 216 ① 217 8 261 ① 262 ④ 263 34 264 50 265 ④ 본책 56쪽 본책 40쪽 ~ 42쪽 266 ⑤ 06 도함수의 활용 ⑴ 본책 43쪽 본책 44쪽 ~ 47쪽 15 8 본책 57쪽 ~ 58쪽 267 ⑤ 268 ② 269 16 270 ④ 271 {- , 5} 1 2 272 ④ 273 ⑤ 274 ② 275 ⑤ 276 ② 277 ④ 278 ② 279 ① 280 281 8 282 ④ 5 2 본책 59쪽 ~ 61쪽 218 ② 219 220 ⑤ 221 ⑤ 222 4 283 284 285 ③ 286 5 287 10 '∂10 2 4 3 4 21 빠른 정답 찾기 3 D1028일품미적분1_정(001-005) 2014.10.28 1:46 PM 페이지4 SinsagoHitec 288 ④ 289 14 290 -2 291 ③ 292 ① 본책 71쪽 ~ 72쪽 293 0 294 ① 295 296 12 297 ① 351 0 352 ③ 353 ② 354 14 355 ① 9 4 356 66 357 40 358 ② 359 ③ 360 -96 361 ④ 362 4 298 ④ 299 ③ 300 18 301 ② 302 ③ 본책 62쪽 363 ② 364 ④ 365 ④ 366 ③ 367 29 본책 73쪽 07 도함수의 활용 ⑵ 본책 63쪽 ~ 64쪽 368 8 369 370 2 371 ④ 372 ③ 본책 74쪽 ~ 78쪽 303 7 304 ④ 305 ④ 306 -12 307 ④ 308 ② 309 ① 310 1 311 6 312 ③ 373 0 374 ③ 375 376 4 1 2 313 ② 377 y=x 378 - 379 ② 380 ④ 381 y=-4x+4 382 1 383 3 384 ⑤ 본책 65쪽 ~ 67쪽 385 386 19 387 ③ 388 ② 389 ④ 314 315 ⑤ 316 ④ 317 ④ 318 ④ 16 3 390 432 391 ⑤ 392 ④ 393 4 394 ② 395 0 396 ② 397 ④ 398 4 399 -4 319 6 320 ④ 321 3 322 -11 323 400 ④ 401 9 4 9 2 5 2 324 0 325 ④ 326 ③ 327 ④ 328 329 58 330 ③ 331 ④ 332 ① 333 95 3 4 p 2 본책 68쪽 334 70 335 2 336 ④ 337 ③ 338 ⑤ 339 30 Ⅳ 다항함수의 적분법 09 부정적분 본책 69쪽 ~ 70쪽 402 16 403 8 404 ④ 405 406 8 본책 80쪽 ~ 81쪽 3 5 340 ⑤ 341 ③ 342 ⑤ 343 ③ 344 ③ 407 x¤ +5x+C 408 ① 409 1 410 ③ 345 ⑤ 346 8 347 ③ 348 ⑤ 349 ② 411 ⑤ 412 f(x)=- x¤ +x-3 413 ② 3 2 08 도함수의 활용 ⑶ 350 135'3 4 정답 및 풀이 9 2 1 2 D1028일품미적분1_정(001-005) 2014.10.28 1:46 PM 페이지5 SinsagoHitec 본책 82쪽 ~ 83쪽 11 정적분의 활용 414 3 415 -2 416 50 417 ③ 418 10 419 ⑤ 420 ⑤ 421 ② 422 ④ 423 -4 424 ③ 425 15 426 ⑤ 427 7 477 478 10 479 ③ 480 ⑤ 481 7 본책 93 ~ 95쪽 37 12 76 3 482 483 484 ① 485 3 486 ① 본책 84쪽 487 1 488 22 489 6 490 ① 491 90m 428 ④ 429 ③ 430 4 431 ② 432 140 492 ⑤ 493 ④ 433 16 1 2 27 128 본책 96쪽 ~ 98쪽 494 ② 495 496 64 497 3 1 4 5 8 5 3 498 p+ 499 ⑤ 500 162 501 ② 502 503 ① 504 ③ 505 36 506 ⑤ 507 ⑤ 508 10 509 ② 510 ㄴ 511 ④ 10 정적분 512 30 513 ④ 514 8 515 ② 516 ④ 본책 99쪽 본책 85쪽 ~ 88쪽 517 3 454 ① 455 ② 456 ③ 457 ① 458 ① 532 533 17 534 ② 535 ① 536 6 본책 89쪽 ~ 91쪽 11 3 434 ② 435 ⑤ 436 ⑤ 437 1008 438 -6 439 18 440 ⑤ 441 ⑤ 442 ⑤ 443 64 3 444 ⑤ 445 79 446 ④ 447 -9 448 ④ 449 3 450 ① 451 452 453 ② 13 3 12 5 459 12 460 17 461 10 462 ② 463 2 464 ⑤ 465 0 466 12 467 ④ 468 12 469 22 470 ① 471 ③ 472 5 473 ⑤ 474 ① 475 2 본책 92쪽 476 ⑤ 본책 100쪽 ~ 104쪽 518 ⑤ 519 5 520 ① 521 13 522 ② 523 12 524 f(x)=x¤ +2 525 10 526 ③ 527 ③ 528 529 1008 530 ④ 531 ④ 17 6 537 ③ 538 16 539 ④ 540 '6 541 27 32 542 ① 543 11 544 545 ② 546 55 625 2 547 ② 548 ③ 빠른 정답 찾기 5 D1028일품미적분1_정(006-028) 2014.10.28 1:47 PM 페이지6 SinsagoHitec Ⅰ 수열의 극한 01 수열의 극한 본책 8쪽 001 ① 일반항이 (-1)« ±⁄ ¥ 이므로 ;2¡n; (cid:100)(cid:100) (-1)« ±⁄ ¥ lim ¶ n ⁄ =0 ;2¡n; ② 일반항이 2« -1 2« 1 =1- 이므로 2« (cid:100)(cid:100) {1- }=1 lim ¶ n ⁄ 1 2« ③ 일반항이 이므로(cid:100)(cid:100) lim ¶ n ⁄ ;10˜00; =¶ ④ 일반항이 =Æ;n#; 이므로(cid:100)(cid:100) Æ;n#; lim ¶ n ⁄ =0 ⑤ 일반항이 = 이므로(cid:100)(cid:100) ;n@; lim ¶ n ⁄ ;n@; =0 ;10˜00; '∂3n n 2n n¤ (cid:8951) ③ 002 ㄱ. 수열 {2¥(-1)n}의 각 항을 나열하면 ㄴ. 수열 {(-1)n¥(-1)n+1}의 각 항을 나열하면 (cid:100)(cid:100)-2, 2, -2, 2, y 이므로 발산(진동)한다. (cid:100)(cid:100)-1, -1, -1, -1, y 이므로 -1에 수렴한다. ㄷ. 수열 [ (-1)« -(-1)« ±⁄ n ]의 각 항을 나열하면 -2 (cid:100)(cid:100) , 1 , ;2@; -2 3 , , ;4@; -2 5 , y , ;6@; 이므로 0에 수렴한다. 이상에서 수렴하는 것은 ㄴ, ㄷ이다. (cid:8951) ④ 003 ① [반례] a«=n, b«=n¤ 이면 a«=¶, lim ¶ n ⁄ b«=¶이지만 lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100) lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ ;n!; =0 a« b« ② [반례] a«=n+1, b«=n이면 a«=¶, lim ¶ n ⁄ b«=¶이지만 lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100) (a«-b«)= 1=1 lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ ③ [반례] a«=1- , b«=1+ 이면 a«0) 이때 (3a«-2b«)=3 a«-2 b«=9이므로 lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100)3¥5-2 b«=9,(cid:100)(cid:100)-2 b«=-6 lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ b«=3 ∴ lim ¶ n ⁄ 006 lim ¶ n ⁄ 'ƒ2n+1+'ƒ2n-1 'ƒn+1+'ƒn-1 +Æ…2- Æ…2+ ;n!; ;n!; Æ…1+ ;n!; +Æ…1- ;n!; = lim ¶ n ⁄ = 2'2 2 ='2 007 lim ¶ n ⁄ 3n n ; k-; k k=1 k=1 2n ; k k=1 3n(3n+1) n(n+1) - 1111 11111 2 2 2n(2n+1) 111112 3n(3n+1)-n(n+1) 2n(2n+1) = lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ =2 8n¤ +2n 4n¤ +2n 8+ ;n@; 4+ ;n@; (cid:8951) ④ (cid:8951) 3 (cid:8951) ② (cid:8951) 2 D1028일품미적분1_정(006-028) 2014.10.28 1:47 PM 페이지7 SinsagoHitec 008 lim ¶ n ⁄ (3n+5)a«= (n-3)a«¥ lim ¶ n ⁄ 3n+5 n-3 lim ¶ n ⁄ 3n+5 n-3 (cid:8951) ④ = (n-3)a« lim ¶ n ⁄ =2¥3=6 009 a+0이면 an¤ +bn+1 2n-1 lim ¶ n ⁄ =—¶이므로 (cid:100)(cid:100)a=0 ∴ lim ¶ n ⁄ an¤ +bn+1 2n-1 = lim ¶ n ⁄ bn+1 2n-1 = ;2B; 따라서 -3이므로(cid:100)(cid:100)b=-6 ;2B;= ∴ a-b=6 (cid:8951) 6 010 lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ = = lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ (n"√9n¤ +2-3n¤ ) n("√9n¤ +2-3n) ` 2n "√9n¤ +2+3n 2 2 13 n¤ Æ…9+ +3 = 2 '9+3 =;3!; 011 lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ 1 "√n(n+1)-"√(n+2)(n+3) "√n(n+1)+"√(n+2)(n+3) n(n+1)-(n+2)(n+3) = lim ¶ n ⁄ 'ƒn¤ +n+'ƒn¤ +5n+6 -4n-6 = lim ¶ n ⁄ æ≠1+ 1 n 234 5 n 234 + 6 n¤ 13 +æ≠1+ 6 22n -4- = 1+1 -4 =-;2!; (cid:100)(cid:100) lim ¶ n ⁄ 012 분자와 분모를 각각 유리화하면 "√n¤ +3-(n-1) "√n¤ +2n+3 -"√n¤ +1 (2n+2)("√n¤ +2n+3 +"√n¤ +1 ) (2n+2){"√n¤ +3+(n-1)} lim ¶ n ⁄ (cid:100)= (cid:100)= lim ¶ n ⁄ "√n¤ +2n+3 +"√n¤ +1 "√n¤ +3 +n-1 æ≠1+ 2 n 234 1 n¤ 13 + 3 n¤ 13 3 n¤ 2334 +æ≠1+ 1 n 234 +1- æ≠1+ (cid:100)= lim ¶ n ⁄ (cid:100)= 1+1 1+1 =1 (cid:8951) ② (cid:8951) ② (cid:8951) ③ a>0이면 양의 무한대 로 발산하고, a<0이면 음의 무한대로 발산한 다. a>0, a+1이고 M>0, N>0일 때 (cid:100)loga a=1, (cid:100)loga MN =loga M+loga N 분자, 분모에 {"√n¤ +3+(n-1)}과 ("√n¤ +2n+3+"√n¤ +1) 을 각각 곱한다. 본책 8쪽``…``10쪽 의 각 변을 n으로 나누면 013 3n¤ n+1 -1에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x¤ -3x-2>-2,(cid:100)(cid:100)x(x-3)>0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x<0 또는 x>3 ¤ x¤ -3x-2 2 …1에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ -1…x…4 ⁄, ¤에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x¤ -3x-2…2,(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-4)…0 (cid:100)(cid:100)-1…x<0 또는 31일 때, |r« |=¶이므로 lim ¶ n ⁄ 1-r« 1+r« lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100)c= 1-r« 1+r« lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ 이상에서(cid:100)(cid:100)a+b+c=0 1 13 r« 1 13 r« -1 +1 =-1 a™-a¡=4{;1!;-;3!;} a£-a™=4{;2!;-;4!;} a¢-a£=4{;3!;-;5!;} ⋮ 1 n-2 1 n-1 an-1-an-2=4{ - ;n!;} an-an-1=4{ +}≥ an-a1=4{1+;2!;- 1 n+1 ;n!; - ;n!; ∴ a«=a¡+4{;2#;- } - 1 n+1 } - 1 n+1 } ∴ lim ¶ n ⁄ a«= [a¡+4{;2#;- lim ¶ n ⁄ ;n!; - 1 n+1 }] =a¡+4¥;2#;=a¡+6 ` 즉 a¡+6=50이므로 a¡=44 8 정답 및 풀이 020 ㄱ. a«=0 또는 a«=1이므로 수열 {a«}이 수렴 하면 극한값은 반드시 0 또는 1이다. ㄴ. lim ¶ n ⁄ a«=1이면 어떤 항 이후부터는 모든 항의 값이 1이다. 따라서 집합 {n|a«=0}은 유한집합이다. ㄷ. ⁄ 수열 {a«}의 모든 항이 1인 경우 b«=1이므로 수열 {b«}은 1에 수렴한다. ¤ 수열 {a«}의 항 중에서 0이 하나라도 있는 경우 수열 {a«}에서 처음으로 0이 나오는 항을 제m 항 이라 하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)bμ=bμ≠¡=bμ≠™=y=0 (cid:100) 이므로 수열 {b«}은 0에 수렴한다. 이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. (cid:8951) ⑤ (cid:100)1¤ +2¤ +3¤ +y+n¤ n = k¤ ¡k=1 n(n+1)(2n+1) 6 = 1-x« 1+x« f(x)= lim ¶ n ⁄ 라 하면 함수y=f(x) 이 의 그래프는 다음 그림 과 같다. (cid:8951) 0 y 1 y=f{x} 021 (1¤ +2¤ +3¤ +y+n¤ )a«=5이므로 lim ¶ n ⁄ n(n+1)(2n+1) 6 a«=5 즉 n(n+1)(2n+1)a«=30이므로 lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ n(n+1)(n+2)a« = [n(n+1)(2n+1)a«¥ lim ¶ n ⁄ = n(n+1)(2n+1)a« lim ¶ n ⁄ n+2 2n+1 ] lim ¶ n ⁄ n+2 2n+1 lim ¶ n ⁄ c«=;3!;이고 a«-2 c« (cid:100)(cid:100)b«= (cid:100)(cid:100)∴ lim ¶ n ⁄ b«= lim ¶ n ⁄ a«-2 c« = 3-2 =3 ;3!; ∴ lim ¶ n ⁄ a«+2 b« = 3+2 3 = ;3%; (cid:8951) ③ ● 30% ● 40% ● 30% (cid:8951) ;3%; 023 `a2n= 1 4n(n+1) = ;4!;{;n!; - 1 n+1 }이므로 an= 1 n¤ +2n 2n을 대입하면 의 n에 (cid:100)a2n= 1 (2n)¤ +2¥2n (cid:100)a2n= (cid:100)a2n= 1 4n¤ +4n 1 4n(n+1) ● 30% ● 30% ● 20% (cid:8951) 44 (cid:100)(cid:100)a™+a¢+y+`a2n n = a2k ¡k=1 = n ¡k=1 - ;4!;{;k!; 1 k+1 } = ;4!;[{1- = ;4!;{1- ;2!;}+{;2!; 1 n+1 } - ;3!;}+y+{;n!; - 1 n+1 }] 019 ` an+1-a«= 8 n¤ +2n = 8 n(n+2) =4 {;n!; 위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대 ● 20% - } 1 n+2 로 대입하여 변끼리 더하면 -1 O 1 x -1 =30¥;2!;=15 A+B일 때 1 11AB = 1 111B-A 1 1 { - } 1A 1B 022 ` a«-2 b« =c«으로 놓으면 ≥ D1028일품미적분1_정(006-028) 2014.10.28 1:47 PM 페이지9 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100)∴ (cid:100)(cid:100)= lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ 10 a™+a¢+y+a™« 10 ;4!;{1- 1 121} n+1 (cid:100)(cid:100)= =40 10 ;4!; (cid:8951) 40 024 ㄱ. [반례] a«= ;n@;, b«=;n!; 이면 a«= b«=0이지만 lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ lim = 2=2 ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ a« b« ㄴ. 두 수열 {a«}, {b«}이 모두 수렴하면 수열 {a«b«}도 수렴하므로 수열 {a«b«}이 발산하면 수열 {a«}, {b«} 중 적어도 하나는 발산한다. 그런데 수열 {a«}이 수 렴하므로 수열 {b«}은 발산한다. ㄷ. [반례] a«=(-1)« , b«=(-1)« ±⁄ 이라 하면 a«b«=-1, a«+b«=0 이므로 두 수열 {a«b«}, {a«+b«}은 모두 수렴하지만 수열 {a«}, {b«}은 모두 발산한다. 이상에서 옳은 것은 ㄴ뿐이다. (cid:8951) ② 025 lim ¶ n ⁄ 20n+5 a« = [ lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ n¤ +2n+3 (n+2)a« n¤ +2n+3 (n+2)a« ¥ (20n+5)(n+2) n¤ +2n+3 (20n+5)(n+2) n¤ +2n+3 ] lim ¶ n ⁄ = ¥20=5 ;4!; (cid:8951) 5 3n 026 a«= k- 3k ¡k=1 n ¡k=1 = 3n(3n+1) 2 -3¥ n(n+1) 2 =3n¤ b«=1+4+7+10+y+(3n-2) b«= (3k-2) n ¡k=1 b«=3¥ n(n+1) 2 -2n b«= 3n¤ -n 2 (cid:100)(cid:100)∴ lim ¶ n ⁄ a« b« = lim ¶ n ⁄ 3n¤ 3n¤ -n 12112 = lim ¶ n ⁄ 6n¤ 3n¤ -n =2 (cid:8951) 2 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, y, 3n-2, 3n-1, 3n (cid:8857) {b«}: 1, 4, 7, 10, y, 3n-2 본책 10쪽``…``12쪽 027 an=¶에서 =0이므로 lim ¶ n ⁄ 1 a« (cid:100)(cid:100) lim ¶ n ⁄ (3an-2bn)= {3- }=0 lim ¶ n ⁄ 2b« a« lim ¶ n ⁄ 1 a« b« a« 즉 lim ¶ n ⁄ = 이므로 ;2#; (cid:100)(cid:100) lim ¶ n ⁄ a« b« = lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ lim ¶ n ⁄ { 9a« b« ;3@; 1 = = 1 b« 14a« 4b« + }=9¥ a« ;2#; ;3@; +4¥ =12 ;2#; (cid:8951) 12 028 주어진 부등식이 나타내는 영역은 다음 그림의 색칠한 부분(경계선 포함)과 같다. 한 극 의 열 수 Ⅰ 명제 p ⁄ 대우 ~q q가 참이면 그 ~p도 참이 ⁄ 다. |x|+2|y|=2n+2 -2n-2 1 2 3 4 2n 2n+2 x y n+1 n n-1 1 O -n-1 x=1, 2일 때,(cid:100)(cid:100)y=1, 2, y, n의 n개 x=3, 4일 때,(cid:100)(cid:100)y=1, 2, y, n-1의 (n-1)개 (cid:100)(cid:100)⋮ x=2n-1, 2n일 때,(cid:100)(cid:100)y=1의 1개 이므로 제1 사분면에 있는 순서쌍 (a, b)의 개수는 (cid:100)(cid:100)2¥{n+(n-1)+y+1}=2¥ n(n+1) 2 (cid:100)(cid:100)2¥{n+(n-1)+y+1}=n(n+1) x축과 y축 위에 있는 순서쌍 (a, b)의 개수는 (cid:100)(cid:100)2(2n+2)+2(n+1)+1=6n+7 이므로 (cid:100)(cid:100)f(n)=4¥n(n+1)+6n+7 =4n¤ +10n+7 또 도형 |x|+2|y|=2n+2에 내접하는 원의 반지름 의 길이는 원점과 직선 x+2y=2n+2, 즉 x+2y-(2n+2)=0 사이의 거리와 같으므로 (cid:100)(cid:100)g(n)= (cid:100)(cid:100)∴ lim ¶ n ⁄ = |-(2n+2)| "√1¤ +2¤ f(n) = {g(n)}¤ lim ¶ n ⁄ 2n+2 '5 4n¤ +10n+7 (2n+2)¤ 5 11113 (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8951) ⑤ 4 = =5 ;5$; 029 A«(n, 0), B«(-n, 0), P«(n, n¤ ), Q«(-n, -n‹ )이므로 Ⅰ. 수열의 극한 9 점 P(x¡, y¡)과 직선 ax+by+c=0 사이의 거리는 (cid:100) |ax¡+by¡+c| "√a¤ +b¤ 특히 원점과 직선 ax+by+c=0 사이의 거리는 (cid:100) |c| "√a¤ +b¤ D1028일품미적분1_정(006-028) 2014.10.28 1:47 PM 페이지10 SinsagoHitec S«=;2!;¥n¥n¤ =;2!;n‹ T«=;2!;¥n¥n‹ =;2!;n› 오른쪽 그림과 같이 점 P«에 서 직선 x=-n에 내린 수선 의 발을 C«이라 하면 C«(-n, n¤ ) 이므로 x=-n y x=n y=f{x} O Pn An x Cn Bn Qn R«=△P«C«Q«-△Q«OB«-(cid:8772)P«C«B«O R«=;2!;¥2n(n¤ +n‹ )-;2!;¥n¥n‹ -;2!; (n+2n)¥n¤ R«=n‹ +n› -;2!;n› -;2!;n‹ -n‹ R«=;2!;n› -;2!;n‹ ∴ lim ¶ n ⁄ R« S«+T« = lim ¶ n ⁄ ;2!;n› -;2!;n‹ ;2!;n› +;2!;n‹ =1 030 A’«B¡”=2+4+y+2n=2(1+2+y+n) =2¥ n(n+1) 2 =n(n+1) 이므로 △A«B¡C¡에서(cid:100) (cid:100)(cid:100)A’«C¡”="√n¤ (n+1)¤ +1¤ ="√n› +2n‹ +n¤ +1 또 B’¡C«”=1+2+y+n= 이므로 n(n+1) 2 △A¡B¡C«에서 A’¡C«”=æ≠ n¤ (n+1)¤ 4 +2¤ A’¡C«”= "√n› +2n‹ +n¤ +16 2 ∴ lim ¶ n ⁄ A’¡C«” A’«C¡” = lim ¶ n ⁄ "√n› +2n‹ +n¤ +16 2 1221111114 "√n› +2n‹ +n¤ +1 "√n› +2n‹ +n¤ +16 "√n› +2n‹ +n¤ +1 16 143 n› 1 12 n› 1 13 n¤ 1 12 n¤ 2 n 1 2 n 22 æ≠1+ æ≠1+ + + + + =;2!; lim ¶ n ⁄ =;2!; lim ¶ n ⁄ =;2!; (cid:8951) ⑤ 1등급 |비|밀|노|트| 문제 해결 순서 ⁄ A«B¡”, B¡C«”의 길이를 각각 n에 대한 식으로 나타낸다. ¤ 피타고라스 정리를 이용하여 A«C¡”, A¡C«”의 길이를 각각 n에 대한 식으로 나타낸다. ¶ ¶ 꼴의 극한값을 구한다. ‹ 10 정답 및 풀이 (cid:8951) ⑤ (cid:100)1+2+y+n n = k= ¡k=1 n(n+1) 2 분모를 1로 두고 분자 를 유리화한다. ` ` ` 031 ` a«≠¡ a« =1- 1 (n+1)¤ = n¤ +2n (n+1)¤ = n n+1 ¥ n+2 n+1 ● 30% a«≠¡ a« = n n+1 ¥ n+2 n+1 의 양변에 n 대신 1, 2, 3, y, n-1을 차례대로 대입하여 변끼리 곱하면 =;2!;¥;2#; =;3@;¥;3$; =;4#;¥;4%; ⋮ a™ a¡ a£ a™ a¢ a£ a« a¡ a« a«–¡ = n-1 n ¥ n+1 n _}≥ ={;2!;¥;2#;}{;3@;¥;3$;}{;4#;¥;4%;} =y{ ¥ n+1 n } n-1 n n+1 n ∴ a«=;2!;¥ = n+1 2n (∵ a¡=1) ∴ lim ¶ n ⁄ a«= lim ¶ n ⁄ n+1 2n =;2!; ● 50% ● 20% (cid:8951) ;2!; ● 40% ● 60% (cid:8951) ;4#; 032 ` 자연수 n에 대하여 (2n-1)¤ <4n¤ -n<(2n)¤ (cid:100)(cid:100)∴ 2n-1<"√4n¤ -n<2n 따라서 "√4n¤ -n의 정수 부분은 2n-1이므로 ∴ a«="√4n¤ -n-(2n-1) lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ a« = {"√4n¤ -n-(2n-1)} {"√4n¤ -n-(2n-1)}{"√4n¤ -n+(2n-1)} "√4n¤ -n+(2n-1) = lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ (4n¤ -n)-(2n-1)¤ "√4n¤ -n+2n-1 3n-1 "√4n¤ -n+2n-1 3- ;n!; Æ…4- ;n!; +2- ;n!; = 3 2+2 = ;4#; ≥ D1028일품미적분1_정(006-028) 2014.10.28 1:47 PM 페이지11 SinsagoHitec 033 lim ¶ n ⁄ 'ƒkn+1 n('ƒn+1-'ƒn-1) = lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ 'ƒkn+1 ('ƒn+1+'ƒn-1) n('ƒn+1-'ƒn-1)('ƒn+1+'ƒn-1) "√kn¤ +(1+k)n+1+"√kn¤ +(1-k)n-1 2n æ≠k+ 1+k 112 n + 1 14 n¤ 1-k 112 n - 1 14 n¤ +æ≠k+ 2 = lim ¶ n ⁄ ='ßk 따라서 'ßk =5이므로(cid:100)(cid:100)k=25 (cid:8951) 25 034 함수 y= ;[N; 의 그래프와 직선 y=-x+n의 교점의 x좌표는 =-x+n에서 ;[N; (cid:100)(cid:100)n=-x¤ +nx,(cid:100)(cid:100)x¤ -nx+n=0 n—"√n¤ -4n 2 (cid:100)(cid:100)∴ x= 이때 Pn{ , n-"√n¤ -4n 2 n+"√n¤ -4n 2 n+"√n¤ -4n 2 n-"√n¤ -4n 2 , }, }이라 하면 Qn{ (cid:100)(cid:100)P’nQn”="√("√n¤ -4n)¤ +√(-"√n¤ -4n)¤ (cid:100)(cid:100)P’nQn”='2"√n¤ -4n 또 An(0, n), Bn(n, 0)이므로 (cid:100)(cid:100)A’nBn”="√n¤ +(-n)¤ ='2n (cid:100)(cid:100)∴ (A’nBn”-P’nQn”) lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100)= ('2n-'2"√n¤ -4n ) (cid:100)(cid:100)='2 (cid:100)(cid:100)='2 lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100)='2 lim ¶ n ⁄ (n-"√n¤ -4n) 4n n+"√n¤ -4n 4 1+Æ…1- ;n$; =2'2 (cid:8951) ⑤ 035 n(n-2)1이면(cid:100)f(x)=x 본책 12쪽``…``14쪽 (n+1)(2n-5) 6n¤ < a˚ n ¡k=1 1 n‹ (n+1)(2n+1) 6n¤ < ∴ ∴ 그런데 lim ¶ n ⁄ (n+1)(2n-5) 6n¤ = lim ¶ n ⁄ (n+1)(2n+1) 6n¤ 한 극 의 열 수 Ⅰ =;3!; lim 이므로(cid:100)(cid:100) { ¶ n ⁄ 1 n‹ n ¡k=1 a˚}=;3!; (cid:8951) ;3!; 036 an- ;2!; =bn으로 놓으면 조건 ㈎`에서 (cid:100)(cid:100)an- >0, an+1- >0(cid:100)(cid:100)∴ bn>0, bn+1>0 ;2!; ;2!; 조건 ㈏`에서 (cid:100)(cid:100)an+1- < ;3@;{an- ;2!;}, 즉 bn+1< ;3@; bn ;2!; (cid:100)(cid:100)∴ bn+1< bn<{;3@;}2 bn-11이면(cid:100)(cid:100)a«= 0 (n이 홀수) (n이 짝수) ( { 9 2r« 1112 1+r« —⁄ c«= 이라 하면 자연수 k에 대하여 a« n lim (cid:100)(cid:100) c™˚–¡= ¶ k ⁄ lim ¶ k ⁄ a™˚–¡ 2k-1 = lim ¶ k ⁄ 0 2k-1 =0 lim (cid:100)(cid:100) c™˚= ¶ k ⁄ lim ¶ k ⁄ a™˚ 2k = lim ¶ k ⁄ ¥ ;2¡k; 2r¤ 1+r¤ ˚ —⁄ = lim ¶ k ⁄ r 1 k{115 ˚ —⁄ r¤ +1} =0 (cid:100)(cid:100)∴ lim ¶ n ⁄ 이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다. c«=0 1등급 |비|밀|노|트| (cid:8951) ① 홀수 번째 항들의 일반항 a2n-1과 짝수 번째 항들의 일반항 a2n 에 대하여 an의 극한값은 다음과 같다. ① lim ¶ n ⁄ (cid:100) (cid:8857) {an}은 수렴 ② a2n=a (a는 실수) (cid:8857) a2n (cid:8857) {an}은 발산 a2n-1+ a2n-1= lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ an=a lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ 본책 14쪽``…``15쪽 y n O -1 n x 044 주어진 연립부등식이 나타내는 영역은 오른쪽 그림 의 색칠한 부분(경계선 포함) 과 같다. x¤ +y¤ +2x=k라 하면 한 극 의 열 수 Ⅰ 중심이 (-1, 0)이고 반지름의 길이가 'ƒk+1 인 원이다. (cid:8951) 9 (x+1)¤ +y¤ =k+1 yy ㉠(cid:100)(cid:100) ⁄ 원 ㉠이 점 (n, n)을 지날 때 k의 값이 최대이므로 (n+1)¤ +n¤ =k+1 ∴ k=2n¤ +2n ¤ 원 ㉠이 직선 y=-x+n과 접할 때k 의 값이 최소 이때 원 ㉠의 반지름의 길이는 점 (-1, 0)과 직선 y=-x+n, 즉 x+y-n=0 사이의 거리와 같으 이다. 므로 n이 홀수이면 (cid:100)an= 1-1 2 =0 n이 짝수이면 (cid:100)an= 1+1 2 =1 n이 홀수이면 (cid:100)(-r)n=-rn (cid:100)∴ an=0 n이 짝수이면 (cid:100)(-r)n=rn (cid:100)∴ an= 2r« 1+r« —⁄ (cid:100)(cid:100)'ƒk+1= |-1-n| "√1¤ +1¤ = 양변을 제곱하면(cid:100)(cid:100)k+1= n+1 '2 (n+1)¤ 2 ∴ k= n¤ +2n-1 2 ⁄, ¤에서 (cid:100)(cid:100)f(n)=2n2+2n, g(n)= n¤ +2n-1 2 (cid:100)(cid:100)∴ lim ¶ n ⁄ f(n) g(n) = lim ¶ n ⁄ 2n¤ +2n n¤ +2n-1 12222112 4n¤ +4n n¤ +2n-1 4+ 4 323n 1+ - 2 n 332 1 13 n¤ = lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ =4 045 lim ¶ n ⁄ an= lim ¶ n ⁄ 3-n+2+a¥3n+1 3n-1+3-n-2 9 114 32n-1 +9a =9a 1+ 1 112 3¥32n 8n2+3n (2n+3)(an-1) = lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ 8+ ;n#; ;n#;}{a- ;n!;} {2+ = ;a$; (cid:100)(cid:100) bn= lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ 따라서 9a= 에서 ;a$; (cid:100)(cid:100)9a¤ =4,(cid:100)(cid:100)a¤ = ;9$; (cid:100)(cid:100)∴ a= (∵ a>0) ;3@; (cid:8951) 4 (cid:8951) ② Ⅰ. 수열의 극한 13 ˚ D1028일품미적분1_정(006-028) 2014.10.28 1:47 PM 페이지14 SinsagoHitec 046 'ßx= ;n!; x에서(cid:100)(cid:100)x= x¤ x¤ -n¤ x=0,(cid:100)(cid:100)x(x-n¤ )=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=0 또는 x=n¤ ∴ a«=n¤ (∵ a«>0) 'ƒx+1= ;n!; x에서(cid:100)(cid:100)x+1= x¤ (cid:100)(cid:100)x¤ -n¤ x-n¤ =0 1 n¤ 1 n¤ ∴ x= ∴ b«= n¤ —"√n› +4n¤ 2 n¤ +n"√n¤ +4 2 ∴ lim ¶ n ⁄ b« a« = lim ¶ n ⁄ = n¤ —n"√n¤ +4 2 (∵ b«>0) n¤ +n"√n¤ +4 2 1222111444 n¤ 4 34344n¤ 1+æ≠1+ 2 = = lim ¶ n ⁄ 1+1 2 =1 047 ⁄ -11일 때, xn=¶이므로 lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100) lim ¶ n ⁄ xn+1-x+1 xn+1 = lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100) =x (cid:100)(cid:100)∴ x= ;2#; 이상에서(cid:100)(cid:100)x=- ;2#; 따라서 구하는 모든 x의 값의 합은 ;2!; 또는 x= x- 1 xn 12 + 1 xn-1 114 1 12xn 1+ (cid:100)(cid:100)- + =1 ;2!; ;2#; (cid:8951) ② 048 ⁄ 01일 때, x¤ « =¶이므로 lim ¶ n ⁄ 2x-{;[!;} « —⁄ 1+{;[!;} (cid:100)(cid:100)f(x)= lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100)f(x)=2x 이상에서 x>0에서 함수 y=f(x) 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. (cid:100)(cid:100)g(x)=-x¤ -2x+k =-(x+1)¤ +k+1 y 2 1 2 O -1 1 x 이고, y=g(x)의 그래프가 y=f(x)의 그래프와 만나 지 않도록 하는 k의 값이 최대일 때는 y=g(x)의 그래프가 점 (1, 2)를 지날 때이므로 g(1)=k-3=2 (cid:100)(cid:100)∴ k=5 (cid:8951) 5 049 선분 P«P«≠¡의 중점은 P«+2{ x«+x«≠¡ 2 }이므로 함수 y=g(x)의 그래 프는 점 (-1, k+1) 을 꼭짓짐으로 하는 위 로 볼록한 포물선이다. (cid:8951) 1 x«+2= x«+x«≠¡ 2 즉 2x«+2=x«+x«+1에서 수열 {an}이 (cid:100)an+1=kan 을 만족시키면 {an}은 공 비가 k인 등비수열이다. x«+2-x«+1=-;2!;(x«+1-x«) 따라서 수열 {x«+1-x«}은 첫째항이 x™-x¡=50, 공비 가 -;2!;인 등비수열이므로 (cid:100)(cid:100)x«+1-x«=50{-;2!;} n-1 n-1 ∴ x«+1=x«+50{-;2!;} 위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대로 대입하여 x™=x¡+50 x£=x™+50¥{-;2!;} x¢=x£+50¥{-;2!;} 1 2 ⋮ +}≥ xn=x«-1 +50¥{-;2!;} n-2 n-1 xn=x¡+ 50{-;2!;} ¡k=1 k-1 50[1-{-;2!;} « —⁄ ] = 1-{-;2!;} =;:!3):);[1-{-;2!;} « —⁄ ] x¡=0 (cid:100)(cid:100)∴ lim ¶ n ⁄ x«= ;:!3):);[1-{-;2!;} lim ¶ n ⁄ « —⁄ ] (cid:100)(cid:100)∴ x«=;:!3):); (cid:8951) ④ 이므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다. 변끼리 더하면 ≥ ¤ ¤ « D1028일품미적분1_정(006-028) 2014.10.28 1:47 PM 페이지15 SinsagoHitec 02 급수 본책 16쪽 050 ㄱ. 1+;2!;+;3!;+;4!;+;5!;+;6!;+;7!;+;8!;+y >1+;2!;+{;4!;+;4!;}+{;8!;+;8!;+;8!;+;8!;}+y =1+;2!;+;2!;+;2!;+y 따라서 주어진 급수는 양의 무한대로 발산한다. ㄴ. 주어진 급수의 제n항까지의 부분합을 S«이라 하면 (cid:100)(cid:100)S™«–¡=1, S™«=1- 1 n+1 (cid:100)(cid:100)∴ lim ¶ n ⁄ lim S™«–¡= S™«=1 ¶ n ⁄ 따라서 주어진 급수는 1에 수렴한다. ㄷ. 주어진 급수의 제n항을 a«이라 하면 n-1 1 n n(n+1) (cid:100)(cid:100)a«=- n n+1 + = 이때 제n항까지의 부분합을 S«이라 하면 (cid:100)(cid:100)S«= a˚= n ¡k=1 n ¡k=1 1 k(k+1) n ¡k=1 = { - 1 k 1 k+1 } ={1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y+{ - 1 n 1 n+1 } =1- 1 n+1 (cid:100)(cid:100)∴ lim ¶ n ⁄ lim S«= {1- ¶ n ⁄ 1 n+1 }=1 따라서 주어진 급수는 1에 수렴한다. 이상에서 수렴하는 것은 ㄴ, ㄷ이다. 051 주어진 급수의 제n항을 a«이라 하면 1 (n+1)¤ a«=log¢[1- ]=log¢ n(n+2) (n+1)¤ a«=log¢ { n n+1 ¥ n+2 n+1 } 이때 제n항까지의 부분합을 S«이라 하면 k+2 k+1 S«= a˚= log¢ { k k+1 n ¡k=1 n ¡k=1 ¥ } =log¢ {;2!;¥;2#;}+log¢ {;3@;¥;3$;} n+2 n+1 +y+log¢ { n n+1 ¥ } =log¢ {;2!;¥;2#;¥;3@;¥;3$;¥`y`¥ n+2 2(n+1) =log¢ ∴ lim ¶ n ⁄ lim S«= log¢ ¶ n ⁄ n+2 2(n+1) n n+1 ¥ n+2 n+1 } ¶ ¡n=1 은 순서로 구한다. ⁄ lim ¶ n ⁄ an의 값을 구한 (cid:8951) ⑤ (cid:100) 다. 이때 극한값이 0 이 아니면 주어진 급 수는 발산한다. ¤ Sn= ak를 구한다. n ¡k=1 ¶ ‹ an= ¡n=1 한다. Sn을 구 lim ¶ n ⁄ f(n)>0이고, f(n)=a>0이면 lim ¶ n ⁄ (cid:100) lim ¶ n ⁄ =log{ {log f(n)} f(n)} lim ¶ n ⁄ log4;2!;=log222-1 본책 15쪽``…``16쪽 052 an= (k¤ +k)= k¤ + k n ¡k=1 n ¡k=1 n ¡k=1 n(n+1)(2n+1) 6 + n(n+1) 2 = = n(n+1)(n+2) 3 이므로 (cid:100)(cid:100) 4(n+1) a« = 12(n+1) n(n+1)(n+2) = 12 n(n+2) 한 극 의 열 수 Ⅰ 홀수 번째 항까지의 부분 합 S2n-1과 짝수 번째 항 까지의 부분합 S2n에 대 하여 ① S2n-1= S2n=a lim ¶ n ⁄ Sn=a lim ¶ n ⁄ (단, a는 실수) lim ¶ n ⁄ (cid:100) (cid:8857) ② lim ¶ n ⁄ (cid:100) (cid:8857) S2n-1+ S2n lim ¶ n ⁄ Sn은 존재하지 lim ¶ n ⁄ (cid:100) (cid:100) 않는다. (cid:100)(cid:100)∴ n ¡k=1 4(k+1) a˚ (cid:100)(cid:100)=12 n ¡k=1 1 k(k+2) (cid:100)(cid:100)=6 n ¡k=1 - {;k!; 1 k+2 } an의 값은 다음과 같 053 ㄱ. =;2!;이므로 주어진 급수는 발 n 2n-1 lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100)=6[{1- (cid:100)(cid:100)(cid:100)6[+y+{ - ;5!;} ;3!;}+{;2!; 1 n-1 - ;4!;}+{;3!; 1 n+1 - }+{;n!; - 1 n+2 }] (cid:100)(cid:100)=6{1+ - ;2!; 1 n+1 1 n+2 -} (cid:100)(cid:100)∴ ¶ ¡n=1 4(n+1) a« = 6{;2#; lim ¶ n ⁄ - 1 n+1 - 1 n+2 } (cid:100)(cid:100)∴ =6¥ =9 ;2#; (cid:8951) 9 산한다. ㄴ. 제n항까지의 부분합을 S«이라 하면 (cid:100)(cid:100)S«= n ¡k=1 2 (2k-1)(2k+1) n = { ¡k=1 1 2k-1 - 1 2k+1 } ={1- ;5!;} - ;3!;}+{;3!; 1 2n-1 - 1 2n+1 } =+y+{ 1 2n+1 =1- lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ lim S«= {1- ¶ n ⁄ 따라서 주어진 급수는 1에 수렴한다. }=1 1 2n+1 ㄷ. 제n항까지의 부분합을 S«이라 하면 (cid:100)(cid:100)S«= = ('ƒk+1-'ßk ) n ¡k=1 1 n ¡k=1 'ƒk+1+'ßk =('2-'1 )+('3-'2 ) (cid:100)+y+('ƒn+1-'ßn ) ='ƒn+1-1 lim lim ¶ ¶ n n ⁄ ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ S«= ('ƒn+1-1)=¶ 따라서 주어진 급수는 발산한다. Ⅰ. 수열의 극한 15 =log¢ ;2!;=-;2!; (cid:8951) -;2!; log4;2!;=-;2!; 이상에서 수렴하는 것은 ㄴ뿐이다. (cid:8951) ② D1028일품미적분1_정(006-028) 2014.10.28 1:47 PM 페이지16 SinsagoHitec 054 급수 ¶ ¡n=1 an¤ +3 9n¤ +3n-2 이 수렴하므로 057 a«={;4{;}n (x-3)n-1= ;4{;[ x(x-3) 4 ] n-1 에서 ¶ 등비급수 arn-1이 수 ¡n=1 ¶ ¡n=1 a«이 수렴하려면 렴하면 (cid:100)a=0 또는 -10)에 대하여 a…x…b일 1등급 |비|밀|노|트| 때, ① m>b인 경우 ② a…m…b인 경우 값이다. ③ m-1, a+8 10 …1 ∴ -910일 때, (cid:100)(cid:100)S«’ {;2!;}…S¡¡’ {;2!;} ㄷ. P{;2!;}= =1, S«’ {;2!;}={;2!;} « —⁄ 에서 ;2!; 1-;2!; (cid:100)(cid:100)∴ P{;2!;}-S«’ {;2!;}æP{;2!;}-S¡¡’ {;2!;} =1- 1 2⁄ >1-;10¡00;=;1ª0ª0ª0; 이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. (cid:8951) ⑤ 077 1 n+3 a« < < k ;n!; 에서 na« = 이고 이 발산하므로 ¶ ¡n=1 2 2n-1 도 발산한다. ㄷ. n¤ +n n‹ 1 = + > 이고 n¤ 1 n 1 n ¶ ¡n=1 1 n 이 발산하므로 ¶ ¡n=1 n¤ +n n‹ 도 발산한다. 이상에서 발산하는 것은 ㄴ, ㄷ이다. (cid:8951) ⑤ a«=A, b«=B라 하면 ¶ ¡n=1 (a«-2b«)=5, (a«-3b«)=3 ¶ ¡n=1 083 ¶ ¡n=1 ¶ ¡n=1 에서 (cid:100)(cid:100)A-2B=5, A-3B=3 위의 식을 연립하여 풀면 (cid:100)(cid:100)A=9, B=2 ¶ ¡n=1 ∴ (a«+b«)= a«+ b« ¶ ¡n=1 ¶ ¡n=1 ∴ (a«+b«)=A+B=11 (cid:8951) 11 수열 {a«}의 첫째항부터 제n항까지 084 의 합을S n이라 하면(cid:100)(cid:100)Sn-1=4an næ2일 때, (cid:100)(cid:100)an=Sn-Sn-1=4an+1-4an 이므로 (cid:100)(cid:100)an+1= an ;4%; 즉 수열 {a«}은 제2항부터 공비가 인 등비수열이다. ;4%; 또 a¡=1, 4a™=a¡이므로(cid:100)(cid:100)a™= ;4!; 따라서 수열 {a«}이 (cid:100)(cid:100)1, , ;4!; ;4!; 이므로 수열 [ (cid:100)(cid:100)1, 4, 4¥ ¥{;4%;}3 , y ¥ , ¥{;4%;}2 , ;4!; ;4!; ]은 ;4%; 1 a« , 4¥{;5$;}2 , 4¥{;5$;}3 , y ;5$; ` ` ∴ ¶ ¡n=1 9an+a2n ana2n 9 1 = { + } a™« a« 9 a™« ¶ ¡n=1 ¶ ¡n=1 + = ¶ ¡n=1 1 a« 1 + + a¡ =9¥ ¶ ¡n=1 1 a™« 4 1-{;5$;}2 =100+1+20=121 +1+ =9¥ ¶ ¡n=2 1 a« 4 1-;5$; ● 30% ● 30% ● 40% (cid:8951) 121 본책 20쪽``…``22쪽 085 ;3•3£0; a« 2« ¶ ¡n=1 (cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100) =0.2515151y이므로 + + + + +y ;2@; = 1 2ﬁ 1 2‹ 5 =1+{ + + +y} 2› 1 =+{ + + +y} 2ﬁ 5 2¤ 5 2¤ 1 2‹ 5 2› 5 2ﬂ 1 2‡ (cid:100)(cid:100) =1+ + ;4%; ;8!; 1-;4!; 1-;4!; (cid:100)(cid:100) =1+ + = ;3%; ;6!; ;;¡6¶;; (cid:100)(cid:100)∴ ¶ ¡n=1 12a« 2« =12 ¶ ¡n=1 a« 2« =12¥ =34 ;;¡6¶;; 한 극 의 열 수 Ⅰ a¡=2, a™=5, a£=1, a¢=5, a∞=1, y (cid:100) (an-2bn) ¶ ¡n=1 ¶ ¡n=1 =A-2B = an-2 ¶ ¡n=1 bn n P’nP”n+1”={;5$;} 086 점 P«이 한없이 가까워지는 점의 x좌표는 OP¡”-P’¡P™” cos 60°-P’™P£” cos 60°+P’£P¢” -P’¢P∞” cos 60°-P’∞P§” ” cos 60°+P’§P¶”-y (cid:8951) 34 (cid:8951) ③ ¤ ¥;2!;+{;5$;} ‹ -{;5$;} › ¥;2!; =1-;5$;¥;2!;-{;5$;} ﬁ ¥;2!;+{;5$;} =-{;5$;} ﬂ -y =[1+{;5$;} ‹ +{;5$;} -;2!;¥[{;5$;} ¤ +{;5$;} ﬂ +y]-;2!;¥[;5$;+{;5$;} ﬁ +y] › +y] = 1 1-{;5$;} - ;5@; ;2•5; - 1-{;5$;} 1-{;5$;} =;6#1%; 1등급 |비|밀|노|트| ]의 일반항은 1 a« 수열 [ 1 (cid:100) =1, a¡ 1 a« (cid:100) =4{;5$;} n-2 (næ2) 점 Pn은 제1사분면 위 의 점이므로 (cid:100)xp>0, yp>0 점 Qn은 제4사분면 위 의 점이므로 (cid:100)xq>0, yq<0 첫째항이 =4, 1 a™ 2 인 등비급 공비가 {;5$;} 수이다. 양수와 음수가 번갈아 가며 나타나는 급수의 합은 등비급수가 되 도록 적당한 항끼리 묶어서 그 합을 각각 계산한다. 087 두 점P«, Q«이 한없이 가까워지는 점을 각각 P(xπ, yπ), Q(xœ, yœ)라 하자. ⁄ OP”=OP¡”+P¡P™”+P™P£”+y ='5+'5¥;4#;+'5¥{;4#;} ¤ +y = '5 1-;4#; =4'5 이때 OP”와 x축의 양의 방향이 이루는 각의 크기를 a라 하면 (cid:100)(cid:100)xπ=OP” cos a=4'5¥ =4 (cid:100)(cid:100)yπ=OP” sin a=4'5¥ =8 따라서 점 P의 좌표는(cid:100)(cid:100)(4, 8) 1 '5 2 '5 Ⅰ. 수열의 극한 21 ‹ ‹ ‹ D1028일품미적분1_정(006-028) 2014.10.28 1:47 PM 페이지22 SinsagoHitec Rn에서 그려 넣는 7개 의 원의 반지름의 길이 를 rn이라 하면 (cid:100)rn`: rn+1=3 `: 1 ¤ OQ”=OQ¡”+Q¡Q™”+Q™Q£”+y ='2+'2¥;6%;+'2¥{;6%;} ¤ +y = '2 1-;6%; =6'2 이때 OQ”와 x축의 양의 방향이 이루는 각의 크기를 b라 하면 1 '2 (cid:100)(cid:100)xœ=OQ” cos b=6'2¥ =6 1 '2 따라서 점 Q의 좌표는(cid:100)(cid:100)(6, -6) (cid:100)(cid:100)yœ=-OQ” sin b=-6'2¥ =-6 ⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)P(4, 8), Q(6, -6) 따라서 점 M«이 한없이 가까워지는 점을 M이라 하면 점 M은 PQ”의 중점이므로 M{ 4+6 2 , 8-6 2 }, 즉 M(5, 1) (cid:8951) ③ 088 원 O«의 반지름의 길이를 r«, A«B«”=5a«, B«C”=12a«이라 하면 A«C”=13a«이므로 An On An+1 5an rn Bn (5a«-r«)+(12a«-r«)=13a« C Bn+1 12an 이때 B«≠¡C”=B«C”-B«B«≠¡”이므로 12a«≠¡=12a«-2r«=12a«-4a«=8a« ∴ a«≠¡=;3@;a« a¡=1이므로(cid:100)(cid:100)a«={;3@;} « —⁄ 이것을 ㉠`에 대입하면(cid:100)(cid:100)r«=2{;3@;} « —⁄ ∴ l«=2pr«=4p {;3@;} « —⁄ ¶ ∴ l«= ¡n=1 4p 1- ;3@; =12p 089 오른쪽 그림과 같이 그 림 R¡에서 서로 이웃한 세 원의 중심을 각각 A, B, C라 하자. 세 원으로 둘러싸인 부분의 넓이 를 T¡이라 하면 T¡은 삼각형 ABC의 넓이에서 반지름의 길 B A C R¡ 이가 1이고 중심각의 크기가 60°인 부채꼴 3개의 넓이 를 뺀 것과 같으므로 (cid:100)(cid:100)T¡= ¥2¤ -3¥p¥1¤ ¥ '3 4 60° 360° ='3- ;2“; (cid:100)(cid:100)∴ S¡=6T¡=6{'3- ;2“;}=6'3-3p 22 정답 및 풀이 한편 그림 R«에서 제일 가운데 색칠된 도형과 그림 Rn+1에서 제일 가운데 색칠된 도형의 닮음비는 3 : 1이 므로 넓이의 비는 9 : 1이다. (cid:100)(cid:100)∴ S«= (6'3-3p)¥{;9!;} n ¡k=1 k-1 (cid:100)(cid:100)∴ S«= lim ¶ n ⁄ 6'3-3p 1-;9!; = 54'3-27p 8 따라서 p=54, q=27이므로 (cid:100)(cid:100)p+q=81 (cid:8951) 81 090 P’«R«”=a«이라 하면 Q«≠”¡R«”=R’«R”«≠¡”=Q«≠”¡P”«≠¡” Q«≠”¡R«”=P«≠”¡R”«≠¡”=a«≠¡ ∴ P’«Q”«≠¡”=a«-a«≠¡ Pn Qn+1 Pn+1 … Rn+1 C Rn 이때 △ABC와 △P«Q«≠¡P«≠¡은 닮음이므로 (cid:100)(cid:100)(a«-a«≠¡) : a«≠¡=2 : 3 (cid:100)(cid:100)∴ a«≠¡=;5#;a« 따라서 n번째 마름모의 넓이를 S«이라 하면 S«≠¡=;2ª5;S« 한편 △ABC와 △AQ¡P¡은 닮음이므로 (2-a¡) : a¡=2 : 3(cid:100)(cid:100)∴ a¡=;5^; ¤ ¥sin 60°=;2#5^;¥ = ∴ S¡={;5^;} '3 2 18'3 25 따라서 수열 {S«}은 첫째항이 18'3 25 , 공비가 ;2ª5;인 등비 a«≠¡：a«=;5#;a«：a«=3：5 이므로 (cid:100)(cid:100)S«≠¡：S«=3¤ ：5¤ =9：25 091 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. y 1 y=|x| y= |x| 2 y= |x| 3 y=f{x} -3 -2 -1 O 1 2 3 x 위의 그림에서 (cid:100)(cid:100)a¡=3, a™=7, a£=11, y 이므로(cid:100)(cid:100)an=4n-1 17a«-2r«=13a« ∴ r«=2a« 원 On의 중심은 삼각형 AnBnC의 내심이다. yy ㉠(cid:100)(cid:100) 수열 {an}은 공비가 ;3@; 인 등비수열이다. 수열이므로 ¶ (cid:100)(cid:100) S«= ¡n=1 18'3 25 1213 9 1225 1- = 9'3 8 (cid:8951) ⑤ m¤ ：n¤ 이다. 즉 만들어지는 모든 마름모는 닮음이고, 닮음인 두 도형의 닮음비가 m：n일 때, 넓이의 비는 (cid:8951) ② D1028일품미적분1_정(006-028) 2014.10.28 1:47 PM 페이지23 SinsagoHitec 이차부등식이 항상 성립 할 조건은 다음과 같다. ① ax¤ +bx+c>0 (cid:100) HjK a>0, D<0 ② ax¤ +bx+c<0 (cid:100) HjK a<0, D<0 (단, D=b¤ -4ac) yy ㉠(cid:100)(cid:100) (cid:100) (cid:100)(cid:100)D™=30-4a<0(cid:100)(cid:100)∴ a> ;;¡2∞;; 180 a«a«≠¡ ¶ ¡n=1 ¶ ¡n=1 (cid:100)(cid:100)∴ (cid:100)(cid:100)= (cid:100)(cid:100)= (cid:100)(cid:100)= n ¡k=1 n ¡k=1 lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ 180 (4n-1)(4n+3) 180 (4k-1)(4k+3) 45{ 1 4k-1 - 1 4k+3 } - ;1¡1;} ;7!;}+{;7!; 1 4n-1 - 1 4n+3 }] (cid:100)(cid:100)= 45[{;3!; lim ¶ n ⁄ - (cid:100)(cid:100)= 45[+y+{ 1 4n+3 (cid:100)(cid:100)= 45{;3!; lim ¶ n ⁄ - } 092 급수 (a« -b« )이 수렴하므로 ¶ ¡n=1 (cid:100)(cid:100) (a« -b« )=0 lim ¶ n ⁄ ㄱ. [반례] a=;2!;, b=;3!;일 때, (cid:100)(cid:100) (a« -b« )= an- bn ¶ ¡n=1 ¶ ¡n=1 ¶ ¡n=1 n ¶ = {;2!;} ¡n=1 ¶ - {;3!;} ¡n=1 n ;2!; = - ;3!; 1-;2!; 1-;3!; (cid:100)(cid:100)=45¥ =15 ;3!; (cid:8951) 15 (cid:100)(cid:100) =1-;2!;=;2!; 즉 급수 (a« -b« )은 수렴하지만 a« =1, ¶ ¡n=1 ¶ ¡n=1 ¶ b« =;2!;이므로(cid:100)(cid:100) a« + b« ¡n=1 ¶ ¡n=1 ㄴ. -10이므로 (cid:100)(cid:100)-(x¤ +a)<'∂30x0 (cid:100) 위의 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립해야 하므로 이차방정식 x¤ +'∂30x+a=0의 판별식을 D¡이라 하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)D¡=30-4a<0(cid:100)(cid:100)∴ a> ;;¡2∞;; ¤ '∂30x0 (cid:100) 위의 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립해야 하므로 이차방정식 x¤ -'∂30x+a=0의 판별식을 D™라 하면 ⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)a> ;;¡2∞;; 따라서 한 자리 자연수 a는 8, 9이므로 구하는 합은 (cid:100)(cid:100)8+9=17 (cid:8951) 17 094 ;9@9)9#;을 순환소수로 나타내면 ;9@9)9#;=0.203203203y=0.H20H3 이때 자연수 n에 대하여 소수점 아래 (3n-2)째 자리 의 수는 2, (3n-1)째 자리의 수는 0, 3n째 자리의 수 는 3이므로 22=3¥8-2에서(cid:100)(cid:100)a=2 ¶ ∴ { ¡n=1 a+1 a¤ n-1 } ¶ = {;4#;} ¡n=1 n-1 ∴ { n-1 = } 1 1-;4#; =4 095 a«=8{-;4!;} « —⁄ 이므로 (cid:100)(cid:100)S«=;2!; P«Q«”¥Q«Q«≠¡”=;2!;¥8¥|-;4!;| 4 1-;4!; ¶ ∴ S«= ¡n=1 =:¡3§: 따라서 p=3, q=16이므로 (cid:100)(cid:100)p+q=19 (cid:8951) 4 « —¤ « —⁄ ¥1={;4!;} 096 ``마름모 A¡B¡C¡D¡의 두` 대각선의 교점을 O, 마름모 A«B«C«D«과 원 O«의 한 접점을 H«, 원 O«의 반지름의 길이를 r«이라 하자. △A¡B¡O에서 B¡O”=2cos 60°=2¥ =1 ;2!; C¡ (cid:8951) 19 A¡ 2 H¡ r¡ B¡ D¡ O Ⅰ. 수열의 극한 23 D1028일품미적분1_정(006-028) 2014.10.28 1:48 PM 페이지24 SinsagoHitec 즉 △B¡OH¡에서 r¡=OH¡”=OB¡” sin 60æ=1¥ = '3 2 '3 2 An+1 30æ Hn+1 rn+1 Bn+1 rn O Dn+1 Cn+1 ∴ S¡=p{ '3 2 }2 =;4#;p `또 △A«≠¡OH«≠¡에서 OH”«≠¡”=OA”«≠¡” sin 30°이 므로 r«≠¡=r« sin 30°= r« 2 ∴ S«≠¡=pr«≠¡¤ r« 2 ∴ S«≠¡=p{ }2 ∴ S«≠¡=;4“;r«¤ =;4!;S« ¶ ¡n=1 S«= ;4#;p 1-;4!; =p `따라서 수열 {S«}은 첫째항이 ;4#;p, 공비가 ;4!;인 등비수 열이므로 나머지정리 다항식 f(x)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 (cid:100)f(a) 099 f(x)=(2n¤ +n)x¤ +(n+2)x-3으로 놓으면 (cid:100)(cid:100)a«=f(1)=2n¤ +2n-1 (cid:100)(cid:100)b«=f(3)=18n¤ +12n+3 (cid:8951) ③ (cid:100)(cid:100)∴ lim ¶ n ⁄ b« a« = lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100) a«= ;2!; lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ {(a«+b«)+(a«-b«)} =;2!; { lim ¶ n ⁄ lim (a«+b«)+ (a«-b«)} ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100) b«= ;2!; lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ {(a«+b«)-(a«-b«)} =;2!; { lim ¶ n ⁄ lim (a«+b«)- (a«-b«)} ¶ n ⁄ = a+b 2 = a-b 2 따라서 두 수열 {a«}, {b«}은 모두 수렴한다. 이상에서 옳은 것은 ㄷ뿐이다. (cid:8951) ③ 18+ 18n¤ +12n+3 2n¤ +2n-1 12 3 n 12 12 n¤ 1 2 n 12 1 n¤ 2+ - + (cid:100)(cid:100)∴ = lim ¶ n ⁄ =9 (cid:8951) 9 100 an=3¥2n-1, bn=5¥8n-1이므로 (cid:100)(cid:100) loga« b«= log3¥2« —⁄ (5¥8n-1) lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ log (5¥8n-1) log(3¥2n-1) log 5+(n-1)log 8 log 3+(n-1)log 2 log 5 112 n log 3 112 n 1 1}log 8 n 1 1}log 2 n +{1- +{1- (cid:100)(cid:100) loga« b«= (cid:100)(cid:100) loga« b«= log 8 log 2 =3 (cid:8951) 3 101 ⁄ n=1일 때, a¡="√1¤ +2¤ ='5이므로 (cid:100)(cid:100)[a¡]=2 ¤ næ2일 때, a«="√n¤ +2¤ ="√n¤ +4이고 (cid:100)(cid:100)n<"√n¤ +4<"√n¤ +2n+1=n+1 이므로(cid:100)(cid:100)[a«]=n ∴ lim ¶ n ⁄ [a¡]+[a™]+[a£]+y+[a«] n¤ = lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ 2+2+3+y+n n¤ n(n+1) 2 11114 1+ n¤ n¤ +n+2 2n¤ =;2!; (cid:8951) ② ▶ 본책 24쪽 a>0, a+1, b>0, b+1, (cid:100)(cid:100) N>0일 때, (cid:100)loga N= logb N logb a (cid:100)(cid:100) loga« b«= 수열 {a«}이 수렴하므로 097 ` lim ¶ n ⁄ a«=a (a>0)라 하면(cid:100)(cid:100) a«≠¡=a ● 30% lim ¶ n ⁄ ` (cid:100)(cid:100) a«≠¡2= (8a«+9) a«≠¡='ƒ8a«+9 에서 a«≠¡2=8a«+9이므로 lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ a2=8a+9,(cid:100)(cid:100)a¤ -8a-9=0 (cid:100)(cid:100)(a+1)(a-9)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=9 (∵ a>0) ● 50% ` 따라서 a«=9이므로 lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100) 'aå«='9=3 lim ¶ n ⁄ ● 20% (cid:8951) 3 098 ㄱ. [반례] a«=n이면 lim ¶ n ⁄ 1 a« = lim ¶ n ⁄ 1 n =0이 지만(cid:100)(cid:100) a«=¶ lim ¶ n ⁄ ㄴ. [반례] {a«}: 1, 0, 1, 0, 1, y {b«}: 0, 1, 0, 1, 0, y 이면 두 수열{a«}, {b«}은 모두 발산하지만 a«b«=0이므로 수열 {a«b«}은 수렴한다. ㄷ. (a«+b«)=a, (a«-b«)=b라 하면 lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ 24 정답 및 풀이 'aån=b`(b>0)라 lim ¶ n ⁄ 하면 an lim ¶ n ⁄ ('aån )2= lim ¶ n ⁄ 에서 (cid:100)b¤ =9(cid:100)(cid:100)∴ b=3 (cid:100)2+2+3+y+n =1+1+2+3+y+n =1+ k n ¡k=1 n(n+1) 2 =1+ D1028일품미적분1_정(006-028) 2014.10.28 1:48 PM 페이지25 SinsagoHitec 102 수열 {a«}의 각 항을 차례대로 나열하면 (cid:100)(cid:100)5, -2, 5, -2, 5, -2, y ⁄ n=2m (m은 자연수)일 때, (cid:100) (cid:100)(cid:100) lim ¶ n ⁄ ;n!; n ¡k=1 a˚ (cid:100) (cid:100)= (cid:100) (cid:100)= (cid:100) (cid:100)= (cid:100) (cid:100)= lim ¶ m ⁄ lim ¶ m ⁄ lim ¶ m ⁄ lim ¶ m ⁄ 1 2m 1 2m 1 2m 3m 2m 2m ¡k=1 a˚ = ;2#; m ¡k=1 m a2k-1+ a™˚} ¡k=1 { m ¡k=1 [ 5+ (-2)] m ¡k=1 ¤ n=2m-1 (m은 자연수)일 때, (cid:100) (cid:100)(cid:100) lim ¶ n ⁄ ;n!; n ¡k=1 a˚ 1 2m-1 2m-1 ¡k=1 a˚ 1 2m-1 m ¡k=1 m-1 a2k-1+ a™˚} ¡k=1 { 1 2m-1 m ¡k=1 [ 5+ (-2)] m-1 ¡k=1 3m+2 2m-1 = ;2#; (cid:100) (cid:100)= (cid:100) (cid:100)= (cid:100) (cid:100)= lim ¶ m ⁄ lim ¶ m ⁄ lim ¶ m ⁄ (cid:100) (cid:100)= lim ¶ m ⁄ ⁄, ¤에서 (cid:100)(cid:100) lim ¶ n ⁄ ;n!; n ¡k=1 a˚= ;2#; (cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)= 100 n n ¡k=1 a˚ lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=100¥ =150 (cid:8951) 150 ;2#; 103 "√n¤ +4n+4<"√n¤ +6n+3<"√n¤ +6n+9 이므로 "√(n+2)¤ <"√n¤ +6n+3<"√(n+3)¤ ∴ n+2<"√n¤ +6n+31일 때, x¤ « =¶이므로 lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100)f(x)= lim ¶ n ⁄ x(x¤ x¤ « -1) « +1 = lim ¶ n ⁄ 1 x¥{1- 12}x¤ 1 12x¤ 1+ x¤ « =1이므로(cid:100)(cid:100)f(x)= lim ¶ n ⁄ x(x¤ x¤ « -1) « +1 =0 (cid:100)(cid:100)f(x)=x ¤ x=—1일 때, lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ ‹ |x|<1일 때, x¤ « =0이므로 른쪽 그림과 같다. ㄱ. -11 첫째항이 a, 공차가 d인 등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합은 (cid:100) n{2a+(n-1)d} 2 본책 25쪽``…``26쪽 3 (cid:100)(cid:100)z=1+ + + + +y y¤ 4 y‹ 5 y› 2 y yy ㉠(cid:100) = + + + + +y yy ㉡(cid:100) ㉠의 양변에 을 곱하면 ;]!; 2 y¤ z y ㉠-㉡을 하면 1 y 1 y 3 y‹ 1 y 4 y› 1 y¤ 5 yﬁ 1 y‹ 1 y› {∵ 0< <1} ;]!; {1- }z=1+ + + + +y 한 극 의 열 수 Ⅰ 1 1-;]!; = 1 ∴ z= {1-;]!;} 1 1-x 이므로 이때 y= (cid:100)(cid:100)z= 1 {1-(1-x)}¤ = 1 x¤ (cid:100)(cid:100)∴ x¤ z=1 116 ` x 7 비가 이므로 수렴하려면 (cid:100)(cid:100)-1< <1 x 7 (cid:100)(cid:100)∴ -71 (cid:100)∴ y>1 (cid:100)(cid:100) a«=a¡+ ¶ ¡n=1 ¶ ¡n=2 3 2« —⁄ ;2#; 1-;2!; (cid:100)(cid:100) a«=8+ =11 (cid:8951) 11 Ⅰ. 수열의 극한 27 (cid:8951) ④ ● 30% ● 20% ● 50% (cid:8951) ;7!; ㄷ. [반례] a«=(-1)« ±⁄ 이면 b«=0이므로 b«은 수 (cid:100)(cid:100)m=6 ¶ ¡n=1 ¤ 15일품미적분Ⅰ해(006~028) 2014.11.3 5:52 PM 페이지28 SinsagoHitec 118 ㄱ. 등비급수 a«이 수렴하므로 a«=0 lim ¶ n ⁄ ¶ ¡n=1 a™n-1=0 (cid:100)(cid:100)∴ lim ¶ n ⁄ ㄴ. lim ¶ n ⁄ A«= n ¡k=1 lim ¶ n ⁄ a˚= a«이고, A™«= lim ¶ n ⁄ 2n ¡k=1 lim ¶ n ⁄ a˚= a«이므로 ¶ ¡n=1 ¶ ¡n=1 (cid:100)(cid:100) A«= A™« lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ ㄷ. 등비수열 {a«}의 공비를 r (0b이고 m>0이면 (cid:100) (cid:8857) am>bm, > ② a>b이고 m<0이면 a m a m b m b m (cid:8951) ⑤ (cid:100) (cid:8857) am- 에서 x¤ +2>0, 2x+1>0이므로 을 곱하여도 (cid:100)(cid:100) ;2!; (2x+1)(ax-2) x¤ +2 주어진 부등식의 각 변 에 2x+1 x¤ +2 지 않는다. 부등호의 방향은 바뀌 분자, 분모에서 x-1이 약분된다. (cid:100)(cid:100) 이때 … … (2x+1)f(x) x¤ +2 (2x+1)(ax+2) x¤ +2 (cid:100)(cid:100) lim ¶ x ⁄ (cid:100)= lim ¶ x ⁄ (2x+1)(ax-2) x¤ +2 (2x+1)(ax+2) x¤ +2 =2a D1028일품미적분1_정(029-049) 2014.10.28 1:49 PM 페이지31 SinsagoHitec 이므로(cid:100)(cid:100) lim ¶ x ⁄ (2x+1)f(x) x¤ +2 =2a 따라서 2a=10이므로(cid:100)(cid:100)a=5 1 1 0 a -a-1 1 1 a+1 (cid:8951) 5 1 1 a+1 0 ㉠을 주어진 식에 대입하면 (cid:100)(cid:100) lim x 1 ⁄ x‹ +ax+b x-1 x‹ +ax-a-1 x-1 ∴ x‹ +ax-a-1 =(x-1)(x¤ +x+a+1) (cid:100)(cid:100) 두 다항식 f(x), g(x)에 대하여 (cid:100) lim ¶ x ⁄ f(x) g(x) =c`(c+0) 이면 f(x)와 g(x)의 차 수가 같고, f(x)와 g(x) 의 최고차항의 계수의 비 는 c이다. f(x)=2(x-2){x- ;2!;} f(x)=(x-2)(2x-1) f(x)=2x¤ -5x+2 (cid:8951) 4 136 (4x¤ -x)-1<[4x¤ -x]…4x¤ -x이므로 12x¤ -3x-3<3[4x¤ -x]…12x¤ -3x 12x¤ -3x-3 2x¤ +1 < 3[4x¤ -x] 2x¤ +1 … 12x¤ -3x 2x¤ +1 이때 lim ¶ x ⁄ 12x¤ -3x-3 2x¤ +1 = lim ¶ x ⁄ 12x¤ -3x 2x¤ +1 =6이므 로(cid:100)(cid:100) lim ¶ x ⁄ 3[4x¤ -x] 2x¤ +1 =6 (cid:8951) ③ 137 x¤ -4… f (x)…3x¤ -8x+4에서 ⁄ x>2일 때, (cid:100) (cid:100)(cid:100) x¤ -4 x-2 … f(x) x-2 … 3x¤ -8x+4 x-2 ¤ x<2일 때, (cid:100) (cid:100)(cid:100) 3x¤ -8x+4 x-2 … f(x) x-2 … x¤ -4 x-2 이때 x¤ -4 x-2 lim 2 x ⁄ = lim 2 x ⁄ (x-2)(x+2) x-2 = (x+2)=4, lim 2 x ⁄ 3x¤ -8x+4 x-2 = lim 2 x ⁄ (3x-2)(x-2) x-2 = (3x-2)=4 lim 2 x ⁄ lim 2 x ⁄ 이므로(cid:100)(cid:100) f(x) x-2 =4 lim 2 x ⁄ 'ƒx+3+a x+2 138 lim -2 x ⁄ 값이 존재하고 (분모) 즉 lim -2 x ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ a=-1 =b에서 x -2일 때 극한 ⁄ 0이므로 (분자) 0이다. ⁄ ('ƒx+3+a)=0이므로(cid:100)(cid:100)1+a=0 ⁄ a=-1을 주어진 식에 대입하면 (cid:100)(cid:100)b= (cid:100)(cid:100)b= (cid:100)(cid:100)b= lim -2 x ⁄ lim -2 x ⁄ lim -2 x ⁄ 'ƒx+3-1 x+2 ('ƒx+3-1)('ƒx+3+1) (x+2)('ƒx+3+1) =;2!; 1 'ƒx+3+1 (cid:100)(cid:100)∴ a+2b=-1+2¥;2!;=0 (cid:8951) ① =2에서 x 1일 때 극한값 x‹ +ax+b x-1 139 lim x 1 ⁄ 이 존재하고 (분모) ⁄ 즉 lim x 1 ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ b=-a-1 0이므로 (분자) 0이다. (x‹ +ax+b)=0이므로(cid:100)(cid:100)1+a+b=0 ⁄ ⁄ yy ㉠(cid:100)(cid:100) 본책 31쪽``…``33쪽 = lim x 1 ⁄ = lim x 1 ⁄ lim x 1 ⁄ =a+3 (x-1)(x¤ +x+a+1) x-1 = (x¤ +x+a+1) 속 연 과 한 극 의 수 함 Ⅱ 즉 a+3=2이므로(cid:100)(cid:100)a=-1 a=-1을 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)b=0 (cid:100)(cid:100)∴ ab=0 (cid:8951) ③ =1에서 f(x)는 x¤ 의 계수가 =1에서 x 2일 때 극한값이 존재하 f (x) 2x¤ +x+1 140 lim ¶ x ⁄ 2인 이차함수이다. f (x) x¤ -x-2 lim x 2 ⁄ ⁄ ⁄ 고 (분모) 0이므로 (분자) 0이다. ⁄ f(x)=0이므로(cid:100)(cid:100)f(2)=0 즉 lim x 2 ⁄ f(x)=2(x-2)(x+a)(a는 상수)로 놓으면 2(x-2)(x+a) (x-2)(x+1) 2x+2a x+1 f (x) x¤ -x-2 4+2a 3 lim x 2 ⁄ lim x 2 ⁄ = = = lim x 2 ⁄ 4+2a 3 즉 =1이므로(cid:100)(cid:100)a=-;2!; 따라서 f(x)=2x¤ -5x+2이므로 (cid:100)(cid:100)f (1)=-1 (cid:8951) -1 141 주어진 그래프에서 x가 정수가 아닌 점에서 모 두 연속이므로 정수가 아닌 t에 대하여 (cid:100)(cid:100) lim t+ x ⁄ f(x)= f(x) lim t- x ⁄ ⁄ t=1, t=4, t=7일 때, f(x)> (cid:100) (cid:100)(cid:100) lim t+ x ⁄ ¤ t=2, t=3일 때, f(x)= (cid:100) (cid:100)(cid:100) lim t+ x ⁄ ‹ t=5, t=6일 때, f(x) lim t- x ⁄ f(x) lim t- x ⁄ f(x) f(x)< (cid:100) (cid:100)(cid:100) lim lim t+ x t- x ⁄ ⁄ f(x)> 이상에서 lim lim t+ x t- x ⁄ ⁄ 은 1, 4, 7이므로 그 합은 (cid:100)(cid:100)1+4+7=12 f(x)를 만족시키는 t의 값 (cid:8951) 12 1+일 때, f(x)=1이므로 142 ㄱ. x (cid:100)(cid:100) lim 1+ x ⁄ ⁄ ( f Á f )(x)= f( f(x)) lim 1+ x ⁄ =f(1)=-1 (cid:100)(cid:100) x ⁄ (cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100) 1-일 때, f(x)=-1이므로 ( f Á f )(x)= lim 1- x ⁄ f( f(x)) lim 1- x ⁄ =f(-1)=1 Ⅱ. 함수의 극한과 연속 31 D1028일품미적분1_정(029-049) 2014.10.28 1:49 PM 페이지32 SinsagoHitec 따라서 lim 1+ x ⁄ ( f Á f )(x)+ ( f Á f )(x)이므로 lim 1- x ⁄ x=1에서 함수 ( f Á f )(x)의 극한값이 존재하지 않 는다. ⁄ (cid:100)(cid:100) x ⁄ ㄴ. x 1+일 때, -x -1-이고 f(-x) ⁄ 1- ⁄ 이므로 f(-x)=t로 놓으면 ( f Á f )(-x)= lim 1+ x ⁄ 1-일 때, -x lim 1- t ⁄ f(t)=-1 -1+이고 f(-x) ⁄ 0- ⁄ 이므로 f(-x)=t로 놓으면 (cid:100)(cid:100) lim 1- x ⁄ lim (cid:100)(cid:100)∴ 1 x ⁄ ( f Á f )(-x)= lim 0- t ⁄ ( f Á f )(-x)=-1 ㄷ. x 1+일 때, x-1 0+이고 f(x-1)=-1이 ⁄ ⁄ 므로 (cid:100)(cid:100) x ⁄ f(x-1) ( f Á f )(x-1)=f(-1)=1 lim 1+ x ⁄ 1-일 때, x-1 0-이고 ⁄ -1+이므로 f(x-1)=t로 놓으면 ⁄ ( f Á f )(x-1)= (cid:100)(cid:100) lim 1- x ⁄ lim 따라서 1+ x ⁄ lim -1+ ⁄ ( f Á f )(x-1)+ lim 1- x ⁄ t f(t)=0 ( f Á f )(x-1) 이므로 x=1에서 함수 ( f Á f )(x-1)의 극한값이 존재하지 않는다. 이상에서 x=1에서 극한값이 존재하는 것은 ㄴ뿐이다. 1등급 |비|밀|노|트| lim a x ⁄ g(f(x))의 값을 구할 때에는x a일 때 f(x) b인 것과 ⁄ ⁄ f(x)=b인 것을 구분하여 계산한다. ⁄ a일 때 f(x) ① x ⁄ lim (cid:100) (cid:100)(cid:100) g(f(x))= a x ⁄ g(t) lim b t ⁄ b이면 f(x)=t로 놓고(cid:100)(cid:100) ② x a일 때 f(x)=b이면(cid:100)(cid:100) g(f(x))=g(b) ⁄ lim a x ⁄ -x=s로 놓으면 x=-s이므로 1+일 때, x ⁄ (cid:100)-s 1+ ⁄ ⁄ (cid:100)∴ s -1- f(t)=-1 분자, 분모를 각각 t로 나눈다. 144 x-1=t로 놓으면 x=t+1이고, x t 0이므로 1일 때 ⁄ ⁄ x¤ -1 f (x-2) lim x 1 ⁄ = lim t 0 ⁄ = lim t 0 ⁄ lim = [ t 0 ⁄ = lim t 0 ⁄ (t+1)¤ -1 f (t-1) t(t+2) f (t-1) t f (t-1) 1 f(t-1) t =4¥2=8 ¥(t+2)] (t+2) ¥ lim t 0 ⁄ x-1=s로 놓으면 x=s+1이므로 1+일 때, x ⁄ (cid:100)s+1 1+ ⁄ ⁄ (cid:100)∴ s 0+ 145 f(x)+g(x) f(x)-g(x) =h(x)라 하면 (cid:100)(cid:100)f(x)+g(x)=h(x){ f(x)-g(x)} {h(x)-1} f(x)={h(x)+1}g(x)이므로 (cid:100)(cid:100) g(x) f(x) = h(x)-1 h(x)+1 ` h(x)=3이므로 lim ¶ x ⁄ g(x) f(x) (cid:100)(cid:100) lim ¶ x ⁄ (cid:100)(cid:100) ` lim ¶ x ⁄ f(x)로 나누면 h(x)-1 h(x)+1 = = lim ¶ x ⁄ 3-1 3+1 = ;2!; 3f(x)-2g(x) f(x)+2g(x) (cid:100)(cid:100) lim ¶ x ⁄ 3f(x)-2g(x) f(x)+2g(x) = lim ¶ x ⁄ (cid:8951) 8 ● 20% ● 30% (cid:8951) 1 의 분자, 분모를 각각 3-2¥ 1+2¥ g(x) 112 f(x) g(x) 112 f(x) 3-2¥;2!; 1+2¥;2!; (cid:100)(cid:100) = =1 ● 50% (cid:8951) ② lim ¶ x ⁄ x ⁄ h(x)=3에서 ¶일 때 함수 h(x)가 수렴하므로 극 한에 대한 성질을 이용 할 수 있다. 어떤 명제의 결론을 부정 한 후 모순이 생기는 것 을 보임으로써 주어진 명 제가 참임을 증명하는 방 146 ㄱ. lim a x ⁄ f(x)=a, lim a x ⁄ 으면 lim a x ⁄ g(x)가 존재한다고 가정하고 g(x)=b (a, b는 실수)로 놓 143 n0이므로 부등식의 각 변에 10x¤ -1을 곱해도 부등 호의 방향은 변하지 않 분모를 1로 보고 분자, 분모에 각각 "√x¤ +ax+b+x를 곱 하여 분자를 유리화한 다. lim ¶ x ⁄ (10x¤ -1)f(x)=;2%; (cid:8951) ;2%; 는다. (cid:100)(cid:100) = lim ¶ x ⁄ (cid:100)(cid:100) = lim ¶ x ⁄ {x-f(x)-1}('ƒx+1+"çf(x) ) {x+1-f(x)}('x+"√f(x)+1) f(x) {x-f(x)-1} +Æ…112 }x f(x) {1+Æ…112 x {x-f(x)+1} {Æ…1+ ;[!; } ;[!; + (cid:100)(cid:100) = (3-1)(1+1) (3+1)(1+1) = ;2!; 152 x>0이므로 1 4x+3 …xf(x)… 1 4x+1 에서 1 x(4x+3) … f(x)… 1 x(4x+1) x ⁄ ¶일 때 (10x¤ -1) ¶이므로 ⁄ 10x¤ -1 x(4x+3) …(10x¤ -1)f(x)… 10x¤ -1 x(4x+1) 이때 lim ¶ x ⁄ 10x¤ -1 x(4x+3) = lim ¶ x ⁄ 10x¤ -1 x(4x+1) =;2%;이므로 lim x 0 ⁄ 0일 때 극한값이 존재하고 (분모) "√x¤ +x+1+ax+b x¤ 0이므로 ⁄ =c에서 0이다. ⁄ ("√x¤ +x+1+ax+b)=0이므로 153 x ⁄ (분자) 즉 lim x 0 ⁄ (cid:100)(cid:100)1+b=0(cid:100)(cid:100)∴ b=-1 ● 20% b=-1을 주어진 식의 좌변에 대입하면 "√x¤ +x+1+ax-1 x¤ lim x 0 ⁄ ("√x¤ +x+1+ax-1){"√x¤ +x+1-(ax-1)} x¤ {"√x¤ +x+1-(ax-1)} = lim x 0 ⁄ = lim x 0 ⁄ = lim x 0 ⁄ = lim x 0 ⁄ x¤ +x+1-(ax-1)¤ x¤ ("√x¤ +x+1-ax+1) (1-a¤ )x¤ +(1+2a)x x¤ ("√x¤ +x+1-ax+1) (1-a¤ )x+(1+2a) x("√x¤ +x+1-ax+1) yy ㉠(cid:100)(cid:100) ㉠에서 x 0일 때 극한값이 존재하고 (분모) 0이므 ⁄ 로 (분자) 0이다. ⁄ ⁄ 즉 lim x 0 ⁄ {(1-a¤ )x+(1+2a)}=0이므로 (cid:100)(cid:100)∴ c=;8#; ` ∴ a+b+c=-;8(; ● 30% ● 10% (cid:8951) -;8(; f(x) x¤ -1]=1에 154 서 x ⁄ lim ¶ x ⁄ {"√f(x)-x}= x[æ≠ ¶일 때 극한값이 존재하므로 lim ¶ x ⁄ lim (cid:100)(cid:100) [æ≠ ¶ x ⁄ f(x) x¤ -1]=0 (cid:100)(cid:100)∴ lim ¶ x ⁄ æ≠ f(x) x¤ =1 따라서 f(x)는 최고차항의 계수가 1인 이차함수이므로 f(x)=x2+ax+b (a, b는 상수)라 하면 (cid:100)(cid:100) {"√f(x)-x}= ("√x¤ +ax+b-x) lim ¶ x ⁄ (cid:100)(cid:100) {"√f(x)-x}= lim ¶ x ⁄ lim ¶ x ⁄ ax+b "√x¤ +ax+b+x a+ Æ…1+ a 1 x + +1 b 1x b 14 x¤ (cid:100)(cid:100) {"√f(x)-x}= lim ¶ x ⁄ (cid:100)(cid:100) {"√f(x)-x}= ;2A; 즉 =1이므로(cid:100)(cid:100)a=2 ;2A; 따라서 f(x)=x2+2x+b이므로 (cid:100)(cid:100)f(3)-f(1)=(15+b)-(3+b) =12 (cid:8951) ② 로 놓을 수 있다. f(x) x-1 ` lim x 1 ⁄ 재하고 (분모) ⁄ f(x)=0이므로 즉 lim x 1 ⁄ 3+a+b=0 ● 20% =1에서 x 1일 때 극한값이 존 0이므로 (분자) 0이다. ⁄ ⁄ (x‹ +2x¤ +ax+b)=0 lim x 1 ⁄ ∴ b=-a-3 yy ㉠(cid:100)● 30% lim x 1 ⁄ f (x) x-1 = lim x 1 ⁄ x‹ +2x¤ +ax-a-3 x-1 (x-1)(x¤ +3x+a+3) x-1 = (x¤ +3x+a+3) = lim x 1 ⁄ lim x 1 ⁄ =7+a 즉 7+a=1이므로(cid:100)(cid:100)a=-6 a=-6을 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)b=3 ● 40% 155 x¤ f(x)-x‹ lim ¶ x ⁄ =;2!;에서 x ⁄ ¶일 f(x)-x‹ 은 최고차항 의 계수가 2인 이차함 수이다. 때 극한값이 존재하므로 (cid:100)(cid:100)f(x)=x‹ +2x¤ +ax+b (a, b는 상수) 1+2a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-;2!; ● 40% 1 1 2 a -a-3 즉 f (x)=x‹ +2x¤ +ax-a-3이므로 1 3 a+3 1 3 a+3 0 ∴ x‹ +2x¤ +ax-a-3 =(x-1)(x¤ +3x+a+3) a=-;2!;을 ㉠에 대입하면 ;4#;x lim x 0 ⁄ x {"√x¤ +x+1 +;2!;x+1} ;4#; = lim x 0 ⁄ "√x¤ +x+1+;2!;x+1 =;8#; 34 정답 및 풀이 D1028일품미적분1_정(029-049) 2014.10.28 1:49 PM 페이지35 SinsagoHitec ` 따라서 f(x)=x‹ +2x¤ -6x+3이므로 f(3)=30 ● 10% (cid:8951) 30 156 f(x)=a(x+1)(x-2)(a<0)로 놓으면 f(x) x-2 lim x 2 ⁄ = lim 2 x ⁄ a(x+1)(x-2) x-2 =3a 즉 3a=-4이므로(cid:100)(cid:100)a=-;3$; 따라서 f(x)=-;3$;(x+1)(x-2)이므로 f(x) x¤ -1 lim x -1 ⁄ = lim x -1 ⁄ -;3$;(x+1)(x-2) (x+1)(x-1) =-;3$; lim x -1 ⁄ x-2 x-1 =-2 즉 p=-2이므로(cid:100)(cid:100)p¤ =4 (cid:8951) ② f(x) x ⁄ f(x)=0 =3에서 x 0일 때 극한값이 존재 0이므로 (분자) 0이다. 즉 ⁄ ⁄ yy ㉠(cid:100)(cid:100) =3에서 x 3일 때 극한값이 존재하고 ⁄ ⁄ 0이므로 (분자) 0이다. 즉 f(x)=0 yy ㉡(cid:100)(cid:100) 157 lim x 0 ⁄ 하고 (분모) lim x 3 ⁄ (분모) lim x 0 ⁄ f(x) x-3 ⁄ lim x 3 ⁄ ㉠, ㉡에서 (cid:100)(cid:100)∴ lim x 3 ⁄ (cid:100)(cid:100) ( f Ωf )(x)= f ( f(x))= f (x)=0 lim x 3 ⁄ {( f`Á`f )(x)-3} f(x-3) x¤ -9 ( fΩf )(x)-3 x+3 f(x-3) x-3 lim x 0 ⁄ lim x 3 ⁄ ¥ ] = [ lim x 3 ⁄ 0-3 3+3 = ¥ lim x 3 ⁄ f(x-3) x-3 f(x-3) x-3 이때 x-3=t로 놓으면 x =-;2!; lim x 3 ⁄ 3일 때 t 0이므로 ⁄ ⁄ (cid:100)(cid:100) lim x 3 ⁄ f(x-3) x-3 = lim t 0 ⁄ f(t) t =3 따라서 구하는 값은(cid:100)(cid:100)-;2!;¥3=-;2#; (cid:8951) ① lim ¶ x ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ 158 함수 y="√x¤ -4x의 그래프가 x의 값이 한없이 커질 때 직선 y=ax+b에 한없이 가까워지므로 {"√x¤ -4x-(ax+b)}=0이 성립한다. {"√x¤ -4x-(ax+b)} (x¤ -4x)-(ax+b)¤ "√x¤ -4x+(ax+b) (1-a¤ )x¤ -(4+2ab)x-b¤ "√x¤ -4x+(ax+b) lim ¶ x ⁄ lim ¶ x ⁄ lim ¶ x ⁄ (cid:100) = (cid:100) = =0 본책 35쪽``…``36쪽 앞의 등식이 성립하려면 (cid:100)(cid:100)1-a2=0, 4+2ab=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=1 (∵ a>0), b=-2 (cid:100)(cid:100)∴ 10a+b=10+(-2)=8 주어진 그래프에서 함 수 y=f(x)의 그래프 와 x축의 교점의 x좌표 가 -1, 2이다. 함수 y=f(x)의 그래프 와 역함수 y=f -1(x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이다. 159 y=f -1(x)의 그래프는 y=f(x)의 그래프를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 것 -1-2 이므로 오른쪽 그림과 같다. 따라서 구하는 값은 (cid:100)(cid:100) lim x -1+ f -1(x)+ lim 1- x f -1(x) ⁄ ⁄ (cid:100)=0+(-1) (cid:100)=-1 (cid:8951) 8 y 2 y=f`-1{x} O 21 x -1 -2 (cid:8951) ② 속 연 과 한 극 의 수 함 Ⅱ 160 주어진 그래프에서 lim x 0- ⁄ 0+일 때 t lim x 0+ ⁄ x=-t로 놓으면 x f(x)=1, f(x)=-1 ⁄ 0-, x 0-일 ⁄ ⁄ 때 t 즉 ㄱ. 0+이므로 f (x)= f (x)= ⁄ lim lim x t 0+ 0- ⁄ ⁄ lim lim x t 0- 0+ ⁄ ⁄ f(-x)=-1, lim x 0+ ⁄ lim x 0+ ⁄ lim x 0- ⁄ 따라서 f (-t)=1, f (-t)=-1 lim x 0- ⁄ {2f (x)+f(-x)}=2¥1+(-1)=1 f(-x)=1이다. {2f(x)+f(-x)}=2¥(-1)+1=-1 {2f (x)+f (-x)}는 존재하지 않는다. f(x)=t로 놓으면 3일 때 t 0이므 4⁄ f(f(x))= f(t) lim 0 t ⁄ 4⁄ x 로 lim 3 x ⁄ {2f(x)+f(-x)} {2f(x)+f(-x)} (cid:100)(cid:100) (cid:100)+ lim x 0+ ⁄ lim x 0- ⁄ 이므로 lim x 0 ⁄ f(-x) f(x) lim x 0+ ⁄ f(-x) f(x) lim x 0- ⁄ ㄴ. = =-1, -1 1 1 -1 = =-1 (cid:100)(cid:100)∴ lim x 0 ⁄ f(-x) f(x) =-1 lim x 0+ ⁄ lim x 0- ⁄ ㄷ. { f (x)-f(-x)} f (x)={1-(-1)} ¥1=2, { f (x)-f(-x)} f(x)=(-1-1)¥(-1) =2 (cid:100)(cid:100)∴ { f(x)-f(-x)} f(x)=2 lim x 0 ⁄ 이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 함수 y=f(-x)의 그래프 는 y=f(x)의 그래프를 y축에 대 y=f{-x} 하여 대칭이동한 것이므로 오른쪽 (cid:8951) ④ y 1 -1 -1 O 1 x Ⅱ. 함수의 극한과 연속 35 0에 수렴하므로 (cid:100)(분자의 차수) <(분모의 차수) 그림과 같다. (cid:100)(cid:100)∴ f(-x)=-1, (cid:100)(cid:100)∴ f(-x)=1 lim 0+ x ⁄ lim 0- x ⁄ D1028일품미적분1_정(029-049) 2014.10.28 1:49 PM 페이지36 SinsagoHitec (g Á f )(x)이므 x 2일 때 0이 아닌 극한값이 존재하고 (분자) 즉 (x¤ +ax+b)=0이므로(cid:100)(cid:100)4+2a+b=0 직선 PQ는 직선 y= x+1과 수직이므 ;2!; 로 기울기가 -2이고 점 P(2t, t+1)을 지난 다. -1< 1 n-1 <0, -1< <0이므로 ;n!; (cid:100)[ 1 n-1 ]=[;n!;]=-1 0< 1 n-1 <1, 0< <1이므로 ;n!; (cid:100)[ 1 n-1 ]=[;n!;]=0 162 AP” 2 =(2t+2)¤ +(t+1)¤ =5t2+10t+5 직선 PQ의 방정식은 (cid:100)(cid:100)y-(t+1)=-2(x-2t) (cid:100)(cid:100)∴ y=-2x+5t+1 따라서 Q(0, 5t+1)이므로 (cid:100)(cid:100)AQ” (cid:100)(cid:100)∴ 2 =22+(5t+1)2 =25t2+10t+5 2 lim ¶ t ⁄ AQ” AP” = 2 lim ¶ t ⁄ =5 25t¤ +10t+5 5t¤ +10t+5 163 lim x 2 ⁄ x¤ -4 x¤ +ax+b ⁄ 이므로 (분모) 0이다. ⁄ lim 2 x ⁄ ∴ b=-2a-4 ∴ lim x 2 ⁄ x¤ -4 x¤ +ax+b =a(a+0, a는 정수)라 하면 (cid:8951) 5 0 ⁄ x¤ -4 x¤ +ax-2a-4 (x-2)(x+2) (x-2)(x+a+2) x+2 x+a+2 = lim x 2 ⁄ = lim x 2 ⁄ = = lim x 2 ⁄ 4 4+a 이때 가 정수이려면 4+a는 4의 약수이어야 한 4 4+a 다. 즉 (cid:100)(cid:100)4+a=-4, -2, -1, 1, 2, 4 이므로 순서쌍 (a, b)는 (-8, 12), (-6, 8), (-5, 6), (-3, 2), (-2, 0), (0, -4) 따라서 ab의 최솟값 p는 -8¥12=-96이므로 (cid:100)(cid:100)|p|=96 (cid:8951) 96 161 n1(cid:100)(cid:100)∴ [;[!;] <1(cid:100)(cid:100)∴ [;[!;]=0 › x>1이면(cid:100)(cid:100)0< ;[!; 이상에서 n=-1 또는 n=0 또는 n=1일 때 36 정답 및 풀이 하지 않는다. 따라서 f(x)=-1 또는 f(x)=0 또는 f(x)=1일 (g Á f)(x)를 조사한다. 때를 기준으로 lim n x ⁄ g(x)는 존재 lim n x ⁄ x=q에서 좌극한과 우 극한이 같으므로 극한 값이 존재한다. 로 극한값이 존재하지 않는다. ㄷ. x=q, x=r, x=s에서 불연속이다. 164 ㄴ. x=r, x=s에서 좌극한과 우극한이 다르므 이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. (cid:8951) ⑤ 04 함수의 연속 본책 37쪽 D1028일품미적분1_정(029-049) 2014.10.28 1:49 PM 페이지37 SinsagoHitec 165 함수 f(x)=[x2-4x+5]는 x2-4x+5의 값 이 정수인 점에서 불연속이다. y=x2-4x+5=(x-2)2+1 y=x@-4x+5 y 이므로 구간 (2, 5)에서 함수 y=x2-4x+5의 그래프는 오른 쪽 그림과 같다. 따라서 1:™4∞:=6.25 따라서 구하는 정수 a의 최솟값은 7이다. 167 ㄱ. 두 함수 y=x, y=|x|는 모든 실수 x에서 연속이므로 f(x)=x+|x|도 모든 실수 x에서 연 속이다. ㄴ. 두 함수 y=x, y=|x2-2x|는 모든 실수x에서 연속이므로 g(x)=x|x2-2x|도 모든 실수 x에서 연속이다. ㄷ. lim 0+ x ⁄ h(x)= = lim 0+ x ⁄ x=0, lim 0+ x ⁄ lim 0- x ⁄ x¤ x x¤ -x h(x)= lim 0- x ⁄ (cid:100)(cid:100) h(x)=0 lim 0 x ⁄ = lim 0- x ⁄ (-x)=0이므로 그런데 h(0)=1이므로(cid:100)(cid:100) h(x)+h(0) lim 0 x ⁄ 따라서 h(x)는 x=0에서 불연속이다. 이상에서 모든 실수 x에 대하여 연속인 것은 ㄱ, ㄴ이다. (cid:8951) ③ 168 x+1이면(cid:100)(cid:100)f(x)= 함수 f(x)가 연속함수이므로 (cid:100)(cid:100)f(1)= f(x) 'ƒ2x+7-3 x-1 lim 1 x ⁄ lim 1 x ⁄ lim 1 x ⁄ lim 1 x ⁄ lim 1 x ⁄ (cid:100)(cid:100)f(1)= (cid:100)(cid:100)f(1)= (cid:100)(cid:100)f(1)= (cid:100)(cid:100)f(1)= 'ƒ2x+7-3 x-1 ('ƒ2x+7-3)('ƒ2x+7+3) (x-1)('ƒ2x+7+3) 2(x-1) (x-1)('ƒ2x+7+3) 2 'ƒ2x+7+3 = ;3!; (cid:8951) ③ 두 다항함수 f(x), g(x) 에 대하여 함수 g(x) f(x) 가 모든 실수 x에 대하여 연 속이면 (cid:8857) f(x)+0 (cid:8951) ③ 1일 때 x 4⁄ (x-1)¤ 0+이므로 4⁄ (cid:100) [(x-1)¤ ]=0 lim 1 x ⁄ 함수 f(x)가 연속함수이다. HjK f(x)는 모든 실수 x 에 대하여 연속이다. 속 연 과 한 극 의 수 함 Ⅱ 본책 36쪽``…``38쪽 169 ⁄ 함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로 ⁄ (cid:100)(cid:100)a= f(x) lim x 1 ⁄ = lim x 1 ⁄ = lim x 1 ⁄ lim x 1 ⁄ 1-x¤ x-1 -(x-1)(x+1) x-1 = {-(x+1)}=-2 ¤ 함수 g(x)가 x=1에서 연속이므로 (cid:100)(cid:100)b= g(x) lim x 1 ⁄ |x|-1 (|x|-1)(|x|+1) |x|-1 x¤ -1 1 |x|+1 = lim x 1 ⁄ = lim x 1 ⁄ = lim x 1 ⁄ =;2!; ‹ 함수 h(x)가 x=1에서 연속이므로 (cid:100)(cid:100)c= h(x)= [(x-1)¤ ]=0 lim x 1 ⁄ lim x 1 ⁄ 이상에서(cid:100)(cid:100)a1, 즉 |x|> 일 때, (cid:100) lim ¶ n ⁄ (4x)2n= |(4x)2n+1|=¶이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)f(x)= lim ¶ n ⁄ 4x- 1 1114 (4x)2n 1 (4x)2n 1114 +1 =4x ‹ 4x=1, 즉 x= 일 때, ;4!; lim ¶ n ⁄ (cid:100) lim ¶ n ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100)f(x)=0 (4x)2n= (4x)2n+1=1이므로 › 4x=-1, 즉 x=- 일 때, (cid:100) lim ¶ n ⁄ (4x)2n=1, (4x)2n+1=-1이므로 ;4!; lim ¶ n ⁄ -1-1 1+1 (cid:100) (cid:100)(cid:100)f(x)= =-1 이상에서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 f(x)는 x= 에서 불연속이다. ;4!; 즉 a= 이므로 ;4!; (cid:100)(cid:100)20a=20¥ =5 ;4!; y 1 O - 1 4 x 1 4 -1 (cid:8951) 5 Ⅱ. 함수의 극한과 연속 37 D1028일품미적분1_정(029-049) 2014.10.28 1:49 PM 페이지38 SinsagoHitec 171 ⁄ |2x|<1, 즉 |x|<;2!;일 때, « =0이므로 (cid:100) (2x)¤ lim ¶ n ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100)f(x)= 0 1+0 =0 ¤ |2x|>1, 즉 |x|>;2!;일 때, (cid:100) « =¶이므로 (2x)¤ lim ¶ n ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100)f(x)= lim ¶ n ⁄ 1 111131 1 +1 1112 (2x)¤ = 1 0+1 =1 ‹ |2x|=1, 즉 x=—;2!;일 때, (cid:100) « =1이므로 (2x)¤ lim ¶ n ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100)f(x)=;2!; 이상에서 함수 y=f(x)의 그래 프는 오른쪽 그림과 같으므로 x=-;2!;, x=;2!;에서 불연속 이다. y=f{x} y 1 1 2 O - 1 2 x 1 2 따라서 보기에서 함수 f(x)가 연속인 구간은 ②이다. 172 ⁄ |x|<1일 때, x« = (cid:100) xn-1=0이므로 lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100)f(x)=2x+a ¤ |x|>1일 때, (cid:100) lim ¶ n ⁄ |x« |= |xn-1|=¶이므로(cid:100)(cid:100) lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100)f(x)= ‹ x=1일 때, (cid:100) lim ¶ n ⁄ x« = (cid:100) (cid:100)(cid:100)f(x)= lim ¶ n ⁄ 3+a 2 1+ a 14 x« 2 212 xn-1 1 1 x + + 1 14 x« 1 = =x 1 x x«n-1=1이므로 f(x)가 x=1에서 연속이므로 f(x)= f(x)=f(1) lim x 1+ ⁄ lim x 1- ⁄ 3+a 2 1=2+a= (cid:100)(cid:100)∴ a=-1 (cid:8951) -1 173 (g Á f)(0)=g( f(0))=g(0)=a이고 (cid:100)(cid:100) (g Á f)(x)= g( f(x)) lim 0 x ⁄ (cid:100)(cid:100) (g Á f)(x)= g(x2+1) lim 0 x ⁄ lim 0 x ⁄ (cid:100)(cid:100) (g Á f)(x)=g(1)=2a+1 합성함수 (g Á f)(x)가 x=0에서 연속이므로 lim 0 x ⁄ (cid:100)(cid:100)2a+1=a(cid:100)(cid:100)∴ a=-1 (g Á f)(x)=(g Á f)(0)에서 38 정답 및 풀이 lim x 1 ⁄ lim x 1 ⁄ lim x 1 ⁄ lim x 1 ⁄ 174 ㄱ. lim x 1+ ⁄ f(x)g (x)=(-1)¥1=-1, f(x)g(x)=1¥(-1)=-1이므로 lim x 1- ⁄ (cid:100)(cid:100) f(x)g (x)=-1 이때 f(1)g (1)=1¥1=1이므로 (cid:100)(cid:100) f(x)g (x)+f(1)g (1) ㄴ. f(g(x))=f(1)=1, 따라서 f(x)g (x)는 x=1에서 불연속이다. lim x 1+ ⁄ lim x 1- ⁄ (cid:100)(cid:100) f(g(x))=f(-1)=1이므로 f(g(x))=1 이때 f(g(1))=f(1)=1이므로 (cid:100)(cid:100) f(g (x))=f(g (1)) ㄷ. 따라서 f(g(x))는 x=1에서 연속이다. g (f(x))=g (-1)=-1, lim x 1+ ⁄ lim x 1- ⁄ (cid:100)(cid:100) g (f(x))=g (1)=1이므로 g(f(x))+ g (f(x)) lim x 1+ ⁄ lim x 1- ⁄ 따라서 g (f(x))는 x=1에서 불연속이다. 이상에서 x=1에서 연속인 것은 ㄴ뿐이다. 175 함수 y=f(x)의 그래프 는 오른쪽 그림과 같고, 함수 f(x)는 구간 [0, 2]에서 연속이 므로 최댓값과 최솟값을 갖는다. f(1)=3, 최솟값은 f(2)=0이 므로 최댓값과 최솟값의 합은 (cid:100)(cid:100)3+0=3 함수 f(x)의 최댓값은 O-2 1 2 x (cid:8951) ② y 3 2 y=f{x} (cid:8951) 3 (cid:8951) ② x=- , x= 을 포 ;2!; ;2!; 함하지 않은 구간을 찾 는다. 함수 h(x)가 구간 [a, b] 에서 연속이고 h(a)h(b)<0이면 방정 식 h(x)=0은 구간 (a, b)에서 적어도 하나 의 실근을 갖는다. lim 1+ x ⁄ lim 1- x ⁄ lim 1- x ⁄ =2+a = f(x) (2x+a) 176 h(x)=f(x)-x로 놓으면 함수 h(x)는 모든 실수 x에서 연속이고 h(0)=f (0)-0=-;3!;<0, f(x)= x=1, lim 1+ x ⁄ h{;3!;}=f {;3!;}-;3!;=-;1¡2;<0, h{;2!;}=f {;2!;}-;2!;=-;6!;<0, h{;3@;}=f {;3@;}-;3@;=;1¡2;>0, h{;4#;}=f {;4#;}-;4#;=;2¡0;>0, h(1)=f (1)-1=0 이므로 사이값 정리에 의하여 방정식 h(x)=0은 구간 {;2!;, ;3@;}에서적어도하나의실근을갖는다. (cid:8951) ② (cid:8951) ③ « D1028일품미적분1_정(029-049) 2014.10.28 1:49 PM 페이지39 SinsagoHitec f(x)=0, f(0)=1이므로 177 ㄱ. lim x 0 ⁄ (cid:100)(cid:100) f(x)+f (0) lim x 0 ⁄ 따라서 f(x)는 x=0에서 불연속이다. lim x 0 ⁄ g(x)= lim x 0 ⁄ |x+2|-2 x = lim x 0 ⁄ (x+2)-2 x ㄴ. ㄴ. g(x)=1 이때 g(0)=1이므로(cid:100)(cid:100) g(x)=g (0) lim x 0 ⁄ 따라서 g(x)는 x=0에서 연속이다. ㄷ. lim x 0+ ⁄ h(x)= lim x 0+ ⁄ x¤ -3|x| x x(x-3) x = lim x 0+ ⁄ x¤ -3x x = lim x 0+ ⁄ (x-3) x¤ -3|x| x x(x+3) x = lim x 0- ⁄ x¤ +3x x = lim x 0- ⁄ (x+3) = lim x 0+ ⁄ =-3 = lim x 0- ⁄ =3 lim x 0- ⁄ h(x)= lim x 0- ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ h(x)+ lim x 0+ ⁄ h(x) lim x 0- ⁄ 따라서 h(x)는 x=0에서 불연속이다. 이상에서 x=0에서 연속인 것은 ㄴ뿐이다. (cid:8951) ② 178 ㄱ. f(x)가 x=0에서 연속이므로 { f(x)+f(-x)} (cid:100)(cid:100) f(x)=f(0) lim x 0 ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ lim x 0 ⁄ lim x 0 ⁄ (cid:100)(cid:100)=f(0)+f(0) (cid:100)(cid:100)= f(x)+ f(-x) lim x 0 ⁄ 따라서 f(x)+f(-x)도 x=0에서 연속이다. ㄴ. lim x 0 ⁄ f(x)=f(0), g(x)=g(0)이면 두 함수 lim x 0 ⁄ f(x)와 g(x)는 x=0에서 연속이다. 따라서 f(x){ f(x)-g(x)}도 x=0에서 연속이다. ㄷ. [반례] f(x)=x+1, g(x)=x이면 f(x)=f(0), g(x)=g(0)이지만 lim x 0 ⁄ 은 x=0에서 정의되지 않으므로 불 lim x 0 ⁄ f(x) g(x) 연속이다. = x+1 x 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. (cid:8951) ② ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 (cid:100)(cid:100)a=-9, b=14 ` ∴ b-a=23 본책 38쪽``…``40쪽 ● 10% ● 10% (cid:8951) 23 0일 때, x+2>0 x ⁄ 이므로 (cid:100)|x+2|=x+2 180 |x|>2일 때, |x¤ -4|=x¤ -4이므로 (cid:100)(cid:100)f(x)= |x¤ -4| x-2 = x¤ -4 x-2 =x+2 ∴ f(x)= x+2 (|x|>2) ax¤ +bx (|x|…2) [ 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 x=2에서 연속이다. 즉 f(x)=f(2)이므로 lim x 2+ ⁄ 4=4a+2b(cid:100)(cid:100)∴ 2a+b=2 함수 f(x)가 x=-2에서 연속이므로 f(x)=f(-2) lim -2- ⁄ x 0=4a-2b(cid:100)(cid:100)∴ 2a-b=0 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=;2!;, b=1 f(x) (x+2) (cid:100) = lim 2+ x ⁄ lim 2+ x ⁄ =4 f(x) (x+2) (cid:100) = x -2- lim ⁄ lim ⁄ x -2- =0 yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) ∴ 10ab=10¥;2!;¥1=5 (cid:8951) 5 속 연 과 한 극 의 수 함 Ⅱ 정수 n에 대하여 ① f(x) n+이면 ⁄ (cid:100) (cid:8857) [ f(x)]=n ② f(x) n-이면 ⁄ (cid:100) (cid:8857) [ f(x)]=n-1 -x=t로 놓으면 x 0일 때 t 0이므로 (cid:100) f(-x)= f(t) ⁄ lim 0 x ⁄ ⁄ lim 0 t ⁄ =f(0) 181 -3+ x lim ⁄ lim ⁄ lim ⁄ -3- -3+ x x x (cid:100)(cid:100) lim ⁄ 이어야 하므로 -3+ [x]=-3, [ x]=-4이므로 lim ⁄ -3- x f(x)= ([x]¤ +a[ x])=9-3a f(x)= ([x]¤ +a[ x])=16-4a x -3+ lim ⁄ lim ⁄ x -3- f(x)가 x=-3에서 연속이려면 f(x)= f(x)=f(-3) lim ⁄ -3- x (cid:100)(cid:100)9-3a=16-4a=b (cid:100)(cid:100)∴ a=7, b=-12 ∴ a-b=19 함수 y=f(x)의 그래 프가 x=a에서 끊어져 있으면 x=a에서 g(x) 의 연속성을 조사한다. 182 (cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100) lim 0+ x ⁄ g(x)= 함수 g(x)가 x=0에서 연속이므로 lim 0+ x ⁄ (x¤ +ax+b)f(x) =b¥(-1)=-b lim 0- x ⁄ g(x)= lim 0- x ⁄ (x¤ +ax+b)f(x) =b¥(-2)=-2b (cid:8951) 19 ● 40% 179 f(-2)=f(2)에서(cid:100)(cid:100)0=4+2a+b f(x+4)=f(x)이므로 (cid:100)(cid:100)∴ 2a+b=-4 yy ㉠(cid:100)● 40% 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 연속이므로 x=1 f(-2)=f(-2+4) =f(2) f(x)=f(1)이므로 에서 연속이다. 즉 lim x 1- ⁄ (cid:100)(cid:100)6=1+a+b (cid:100)(cid:100)∴ a+b=5 yy ㉡(cid:100)● 40% g(x)= g(x)이므로 lim lim 0+ x 0- x ⁄ ⁄ (cid:100)(cid:100)-b=-2b(cid:100)(cid:100)∴ b=0 (cid:100)(cid:100)∴ g(x)=(x2+ax)f(x) 또 함수 g(x)가 x=1에서 연속이므로 (x2+ax)f(x) (cid:100)(cid:100) g(x)= lim 1+ x ⁄ lim 1+ x ⁄ =(1+a)¥2=2a+2 lim 1- x ⁄ g(x)= lim 1- x ⁄ (x2+ax)f(x) =(1+a)¥0=0 (cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100) Ⅱ. 함수의 극한과 연속 39 D1028일품미적분1_정(029-049) 2014.10.28 1:49 PM 페이지40 SinsagoHitec g(x)= lim lim 1+ x 1- x ⁄ ⁄ (cid:100)(cid:100)2a+2=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-1 g(x)이므로 ` g(x)=(x2-x)f(x)이므로 (cid:100)(cid:100)g(-2)=6f(-2) =6¥2=12 ● 40% ● 20% (cid:8951) 12 183 x+2=t로 놓으면 x=t-2이고 x 때 t 2+이므로 0+일 ⁄ f(x)f(x+2) f(x) f(t) lim 2+ t ⁄ (cid:100)(cid:100) (cid:100)= ⁄ lim 0+ x ⁄ lim 0+ x ⁄ lim 0+ x ⁄ (cid:100)=a(a-2) (cid:100)= (-x+a) (-t+a) lim 2+ t ⁄ (-t+a) 0-일 때 t 2-이므로 lim 0- x ⁄ x ⁄ (cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100) ⁄ f(x)f(x+2)= f(x) lim 0- x ⁄ f(x)f(x+2)= (-x+4) lim lim 0- x 2- t ⁄ ⁄ f(x)f(x+2)=4¥(-2+a)=4a-8 lim 2- t ⁄ f(t) 이때 f(0)f(2)=4(-2+a)=4a-8이므로 f(x)f(x+2)가 x=0에서 연속이려면 (cid:100)(cid:100) lim 0+ x ⁄ f(x)f(x+2)= f(x)f(x+2) lim 0- x ⁄ (cid:100)(cid:100) f(x)f(x+2)=f(0)f(2) (cid:100)(cid:100)a(a-2)=4a-8,(cid:100)(cid:100)a¤ -6a+8=0 (cid:100)(cid:100)(a-2)(a-4)=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=2 또는 a=4 따라서 모든 상수 a의 값의 곱은 (cid:100)(cid:100)2¥4=8 184 ⁄ 01일 때, x« = xn-1=¶이므로(cid:100)(cid:100) lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100)f(x)= lim ¶ n ⁄ x+ 1 13 x« - a 11 xn-1 2 14x« a+ = ;a{; ‹ x=1일 때, x« = xn+1=1이므로 lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100) f(x)= a a+2 f(x)가 x=1에서 연속이려면 f(x)= f(x)=f (1) lim x 1+ ⁄ = ;a!; a-1 2 = lim x 1- ⁄ a a+2 ,(cid:100)(cid:100)a¤ -a-2=0 40 정답 및 풀이 (a+1)(a-2)=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=-1 또는 a=2 ` 따라서 모든 실수 a의 값의 합은 (cid:100)(cid:100)-1+2=1 ● 40% ● 10% (cid:8951) 1 185 ⁄ |x|<1일 때, x2n= x2n-1=0이므로 lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100)f(x)=ax+b lim ¶ n ⁄ ¤ |x|>1일 때, x2n= |x2n-1|=¶이므로(cid:100)(cid:100) lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ + b a 1 1 134 131 x2n x2n-1 x 311111111 + 1+ 134x2n = ;[!; (cid:100)(cid:100) f(x)= lim ¶ n ⁄ ‹ x=1일 때, x¤ « = x2n-1=1이므로(cid:100) lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100)f(x)= lim ¶ n ⁄ a+b+1 2 › x=-1일 때, x¤ « =1, lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ x2n-1=-1이므로 (cid:100)(cid:100)f(x)= -a+b-1 2 f(x)가 x=1에서 연속이므로 f(x)= f(x)=f(1) lim x 1+ ⁄ 1=a+b= lim x 1- ⁄ a+b+1 2 lim -1+ ⁄ x f(x)= f(x)=f(-1) x lim -1- ⁄ -a+b-1 2 -a+b=-1= (cid:100)(cid:100)∴ a-b=1 yy ㉡(cid:100)(cid:100) ㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=1, b=0 (cid:8951) ① (cid:100)(cid:100)∴ =0 b a 186 ⁄ |x|<1일 때, x« = lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ ¤ |x|>1일 때, xn+2=0이므로(cid:100)(cid:100)f(x)= b a |x« |= |xn+2|=¶이므로 lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100)f(x)= lim ¶ n ⁄ ax¤ + 1+ b 13x« a 13x« =ax¤ x« = lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ xn+2=1이므로(cid:100)(cid:100)f(x)= a+b 1+a (cid:8951) ⑤ (cid:100)(cid:100)∴ a+b=1 yy ㉠(cid:100)(cid:100) (ax+b) f(x)가 x=-1에서 연속이므로 f(x) =1, ;[!; f(x) (cid:100) = (cid:100) lim 1+ x ⁄ lim 1+ x ⁄ lim 1- x ⁄ lim 1- x ⁄ =a+b = f(x) (ax+b) x -1+ (cid:100) = lim ⁄ lim ⁄ =-a+b, -1+ x (cid:100) lim ⁄ -1- x f(x) = lim ⁄ -1- x ;[!; =-1 ● 50% f(x)= lim 1+ x ⁄ lim 1+ x ⁄ x a f(x)= lim 1- x ⁄ ax-1 2 ‹ x=1일 때, = ;a!; lim 1- x ⁄ a-1 2 = D1028일품미적분1_정(029-049) 2014.10.28 1:49 PM 페이지41 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100)a= = (cid:100)(cid:100)∴ b=a¤ yy ㉠(cid:100)(cid:100) f(x)= 이때 0< <1이므로 f(x)가 x=1에서 연속이므로 (cid:100)(cid:100) lim 1+ x ⁄ f(x)= f(x)=f(1) lim 1- x ⁄ a+b 1+a b a f(x)=-8이므로 한편 (cid:100)(cid:100) lim -2 x ⁄ lim -2 x ⁄ ax¤ =4a=-8(cid:100)(cid:100)∴ a=-2 a=-2를 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)b=4 ∴ a¤ +b¤ =(-2)¤ +4¤ =20 (cid:8951) 20 lim 1+ x ⁄ lim 1- x ⁄ f(x)= ax¤ =a lim 1+ x ⁄ lim 1- x ⁄ b a = b a -2일 때|x|>1 x ⁄ 이므로 (cid:100) = lim -2 x ⁄ lim -2 x ⁄ f(x) ax¤ 속 연 과 한 극 의 수 함 Ⅱ 본책 41쪽``…``42쪽 x+0일 때, f(x)는 첫째항이 x¤ +1, 인 등비급수의 합이다. 189 공비가 1 x¤ +2 1 x¤ +2 (cid:100)(cid:100)f(x)= 1- =x¤ +2 x¤ +1 1 112 x¤ +2 x¤ +2 (x+0) (x=0) 0 ∴ f(x)=[ f(x)=t로 놓으면 x 0일 때, t (gΩf )(x)= g(f (x))= g(t) 2이므로 2⁄ 2⁄ lim 2 t ⁄ lim 0 x ⁄ =4-a (gΩf )(0)=g( f(0))=g(0)=a ● 40% ` (gΩf )(x)가 x=0에서 연속이므로 lim 0 x ⁄ lim 0 x ⁄ (gΩf )(x)=(gΩf )(0) 4-a=a(cid:100)(cid:100)∴ a=2 ● 40% ● 20% (cid:8951) 2 190 ㄱ. 임의의 실수 a에 대하여 f(x)=b로 놓 lim a x ⁄ 으면 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 (cid:100)(cid:100)f(a)=b b이므로 a일 때 t f(x)=t로 놓으면 x ⁄ lim a x ⁄ (cid:100)(cid:100) g(f(x))= g(t) ⁄ lim b t ⁄ 이때 g(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 (cid:100)(cid:100) g(t)=g(b)=g( f(a)) lim b t ⁄ g(f(x))=g(f(a))이므로 함수 lim a x ⁄ 즉 (g Á f )(x)는 x=a에서 연속이다. 따라서 (g Á f )(x)는 모든 실수x에서 연속이다. ㄴ. [반례] 함수 y=f(x), y=g (x)의 그래프가 다음 그 림과 같다고 하자. y 1 O -1 y=f{x} y=g{x} 1 x -1 O 1 x y 1 -1 1+일 때 f(x)=1이므로 g( f (x))=g(1)=-1 lim 1+ x ⁄ 1-일 때 f(x)=-1이므로 g( f(x))=g (-1)=-1 g( f(x))=-1 x ⁄ (cid:100)(cid:100) x ⁄ (cid:100)(cid:100) lim 1- x ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ lim 1 x ⁄ 이때 g( f(1))=g(0)=-1이므로 (cid:100)(cid:100) g( f (x))=g( f(1)) lim 1 x ⁄ 따라서 f (x)는 x=1에서 불연속이지만 (g Á f )(x)는 x=1에서 연속이다. Ⅱ. 함수의 극한과 연속 41 187 ⁄ |f(x)|<1일 때, { f(x)}2n=0이므로 lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100)g(x)= 1 1+0 ¤ |f(x)|>1일 때, =1 { f(x)}2n=¶이므로 lim ¶ n ⁄ 1 1111 { f(x)}2n 3111111 1 +1 1111 { f(x)}2n =0 (cid:100)(cid:100)g(x)= lim ¶ n ⁄ ‹ |f(x)|=1일 때, lim ¶ n ⁄ { f(x)}2n=1이므로(cid:100)(cid:100)g(x)= ;2!; 이상에서 함수 g(x)는 f(x)=-1 또는 f(x)=1일 때 불연속이다. f(x)=-1이면 (cid:100)(cid:100) (x2-2x-7)=-1,(cid:100)(cid:100)x¤ -2x+1=0 (cid:100)(cid:100)(x-1)2=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1 f(x)=1이면 ;8!; ;8!; (cid:100)(cid:100) (x2-2x-7)=1,(cid:100)(cid:100)x¤ -2x-15=0 (cid:100)(cid:100)(x+3)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=5 따라서 함수 g(x)는 x=-3 또는 x=1 또는 x=5에 서 불연속이므로 모든 실수 a의 값의 합은 (cid:100)(cid:100)-3+1+5=3 188 x+0일 때, f(x)는 첫째항이 x¤ , 공비가 인 등비급수의 합이다. 이때 0< <1이므로 1 1+x¤ (cid:100)(cid:100)f(x)= 1- x¤ =x2+1 1 1123 1+x¤ x¤ +1 (x+0) (x=0) a ∴ f(x)=[ 함수 f(x)가 x=0에서 연속이려면 (cid:100)(cid:100) f(x)=f(0) lim 0 x ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ a=1 (cid:8951) ② 1 1+x¤ 등비급수 arn-1 (a+0) ¶ ¡n=1 ⁄ |r|<1일 때 (cid:100) (cid:8857) 에 수렴 a 1-r ¤ |r|æ1일 때 (cid:100) (cid:8857) 발산 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 연속이므로 x=0에서 연속이다. (cid:8951) ⑤ D1028일품미적분1_정(029-049) 2014.10.28 1:49 PM 페이지42 SinsagoHitec 이때 ( f Á g) (-1)=f(g(-1))=f(0)=1이므로 ( f Á g) (x)+ ( f Á g) (-1) (cid:100)(cid:100) lim -1 x ⁄ 따라서 ( f Á g) (x)는 x=-1에서 불연속이다. 이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 x=-1에서 불연속이다. 192 이려면 (g Á f )(x)=(g Á f )(1)이어야 한다. 함수 (g Á f )(x)가 x=1에서 연속 lim x 1 ⁄ ` 므로 f(x)=t로 놓으면 x 1일 때 t 0+이 3⁄ 3⁄ lim x 1 ⁄ (g Á f )(x)= (g Á f )(x)= g (f(x)) lim x 1 ⁄ lim t 0+ ⁄ f(1)=k에서 ` (g Á f )(1)=g( f(1))=g(k)이므로 (cid:100)(cid:100)g(k)=3(cid:100)(cid:100)∴ k=4 g (t)=3 (cid:8951) ⑤ ● 30% ● 50% ● 20% (cid:8951) 4 193 x‹ =4-2x에서 (cid:100)(cid:100)x‹ +2x-4=0 f(x)=x‹ +2x-4로 놓으면 f (x)는 연속함수이고 ;;™8£;; <0, f {;2!;}=- f(1)=-1<0, f(‹'2 )=2 ‹ '2-2>0, f('2 )=4'2-4>0, f(‹'4 )=2 ‹ '4>0, f(2)=8>0 따라서 f(1)f(‹'2 )<0이므로 사이값 정리에 의하여 주 어진 방정식의 실근이 존재하는 구간은 (1, ‹'2 )이다. (cid:8951) ② 1등급 |비|밀|노|트| 오른쪽 그림에서 두 함수 y=x‹ , y=4-2x의 그래프는 한 점에서 만 나므로 주어진 방정식은 단 하나의 실근을 갖는다. 이때 교점의 x좌표를 a라 하면 (cid:100)(cid:100)00일 때, 즉 a<-1 또는 a>6일 때, ‹ =0일 때, 즉 a=-1 또는 a=6일 때, 이상에서 f(a)는 a=-1 또는 a=6에서 불연속이므 D 4 D 4 D 4 D 4 (cid:100) (cid:100)(cid:100)f(a)=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)f(a)=2 (cid:100) (cid:100)(cid:100)f(a)=1 로(cid:100)(cid:100)t=-1 또는 t=6 따라서 모든 t의 값의 합은 (cid:100)(cid:100)-1+6=5 213 ㄱ. { f(x)+g (x)} = lim x 0+ ⁄ lim x 0+ ⁄ =1+0=1 f(x)+ g(x) lim x 0+ ⁄ { f(x)+g(x)}= lim x 0- ⁄ f(x)+ lim x 0- ⁄ =-1+2=1 g(x) lim x 0- ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ { f(x)+g (x)}=1 lim x 0 ⁄ 이때 f(0)+g (0)=1+0=1이므로 (cid:100)(cid:100) { f(x)+g(x)}=f(0)+g(0) lim x 0 ⁄ ㄴ. 따라서 f(x)+g(x)는 x=0에서 연속이다. lim x 1+ ⁄ { f(x)-g(x)}= lim x 1+ ⁄ =-1-(-1)=0 lim x 1+ ⁄ f(x)- g(x) { f(x)-g (x)}= lim x 1- ⁄ f(x)- lim x 1- ⁄ =1-1=0 g(x) lim x 1- ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ { f(x)-g(x)}=0 lim x 1 ⁄ 이때 f(1)-g (1)=-1-(-1)=0이므로 (cid:100)(cid:100) { f(x)-g(x)}=f(1)-g(1) lim x 1 ⁄ 따라서 f(x)-g(x)는 x=1에서 연속이다. 속 연 과 한 극 의 수 함 Ⅱ 본책 45쪽``…``46쪽 ㄷ. lim x 1+ ⁄ f(x)g(x)= f(x) lim x 1+ ⁄ lim x 1+ ⁄ g(x) =(-1)¥(-1)=1 f(x)g(x)= lim x 1- ⁄ f (x) lim x 1- ⁄ =1¥1=1 g(x) lim x 1- ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ f(x)g(x)=1 lim x 1 ⁄ 이때 f(1)g (1)=(-1)¥(-1)=1이므로 (cid:100)(cid:100) f (x)g(x)=f (1)g(1) lim x 1 ⁄ 따라서 f (x)g (x)는 x=1에서 연속이다. 이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. (cid:8951) ⑤ 214 함수 f(x)가 모든 실수x에서 연속이려면 x=-1에서 연속이어야 한다. f(x)에서(cid:100)(cid:100)k=-4+a f(-1)= lim ⁄ -1- x ∴ a=k+4 f(-1)= f(x)에서 lim ⁄ -1+ x (cid:100)(cid:100)k= lim ⁄ -1+ x 2x‹ +b x+1 yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) ㉡에서 x -1+일 때 극한값이 존재하고 ⁄ 0이므로 (분자) 0이다. ⁄ ⁄ (2x‹ +b)=0이므로(cid:100)(cid:100)-2+b=0 (분모) x 즉 lim ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ b=2 -1+ b=2를 ㉡에 대입하면 k= lim ⁄ -1+ x 2x‹ +2 x+1 2(x+1)(x¤ -x+1) x+1 2(x¤ -x+1)=6 = = x -1+ lim ⁄ lim ⁄ x -1+ k=6을 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)a=10 ∴ abk=120 (cid:8951) ④ y 2 1 y=f{a} O-1 a 6 (cid:8951) 5 f(x)=a, lim a x ⁄ lim a x ⁄ ① g(x)=b일 때, { f(x)—g(x)} lim a x ⁄ =a—b (복호동순) ② lim a x ⁄ f(x)g(x) =ab 21일 때, x2n= |x2n+2|=¶이므로 lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ (cid:100)(cid:100)f(x)= lim ¶ n ⁄ x¤ + b 134 x2n + a 121 x2n-3 4 134x2n 1+ =x¤ ‹ x=1일 때, lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ x2n= x2n+2=1이므로 lim ¶ n ⁄ a+b+1 5 (cid:100)(cid:100)f(x)= › x=-1일 때, x2n= x2n+2=1이므로 lim ¶ n ⁄ -a+b+1 5 (cid:100)(cid:100)f(x)= f(x)가 x=1에서 연속이려면 lim 1+ x ⁄ f(x)= f(x)=f(1) lim 1- x ⁄ 1= a+b 4 = a+b+1 5 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=4 yy ㉠(cid:100)● 40% f(x)가 x=-1에서 연속이려면 f(x)= f(x)=f(-1) x -1+ lim ⁄ -a+b 4 x -1- lim ⁄ -a+b+1 5 =1= (cid:100)(cid:100)∴ -a+b=4 yy ㉡(cid:100)● 40% ` ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 (cid:100)(cid:100)a=0, b=4 (cid:100)(cid:100)∴ 2b-a=2¥4-0=8 218 ㄱ. lim x 1+ ⁄ f(f(x))= f(-1)=0, lim x 1- ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ f(f(x))= f(1)=0 f( f(x))=0 lim x 1 ⁄ 이때 f(f (1))=f(0)=1이므로 (cid:100)(cid:100) f(f(x))+f (f(1)) lim x 1 ⁄ 따라서 f(f(x))는 x=1에서 불연속이다. ㄴ. g(x)=t로 놓으면 x 1+일 때 t -1-이므로 (cid:100)(cid:100) lim x 1+ ⁄ g(g(x))= ⁄ lim -1- ⁄ t ⁄ g(t)=1 48 정답 및 풀이 ● 40% 함수 y= 1 x¤ -3x+3 은 구간[ -1, 3]에서 연속이므로 최댓값과 최솟값을 갖는다. f(x)= x¤ , lim 1+ x ⁄ (cid:100) (cid:100) lim 1+ x ⁄ lim 1- x ⁄ = lim 1- x ⁄ f(x) ax‹ +b 4 (cid:100) lim ⁄ -1+ x f(x) ax‹ +b 4 , f(x) = (cid:100) = x -1+ lim ⁄ lim ⁄ lim ⁄ x -1- x¤ x -1- ● 20% (cid:8951) 8 함수 f(x)가 구간 [ a, b] 에서 연속이고 f(a)f(b)<0이면 방정식 f(x)=0은 구간(a, b) 에서 적어도 하나의 실근 을 갖는다. 1-일 때t -1+이므로 ⁄ g(g(x))= lim -1+ ⁄ t g (t)=1 g(g(x))=1 x ⁄ (cid:100)(cid:100) lim x 1- ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ lim x 1 ⁄ 이때 g(g(1))=g(1)=1이므로 (cid:100)(cid:100) g(g(x))=g(g(1)) lim x 1 ⁄ 1+일 때 t -1-이므로 따라서 g(g(x))는 x=1에서 연속이다. ㄷ. g(x)=t로 놓으면 x f (g(x))= (cid:100)(cid:100) ⁄ lim x 1+ ⁄ 1-일 때 t t lim -1- ⁄ -1+이므로 ⁄ f(t)=-1 ⁄ x ⁄ (cid:100)(cid:100) lim x 1- ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ lim x 1+ ⁄ f (g(x))= lim -1+ ⁄ f(g(x))+ lim x 1- ⁄ t f(t)=1 f(g(x)) 따라서 f (g(x))는 x=1에서 불연속이다. 이상에서 x=1에서 연속인 것은 ㄴ뿐이다. (cid:8951) ② 1등급 |비|밀|노|트| 두 함수 f(x), g(x)의 합성함수 g(f(x))의 연속성을 확인할 때에는 좌극한과 우극한에 주의하면서 f(x)=t로 치환하여 생 a+일 때 f(x) b+인 경우에 f(x)=t로 놓으면 t b+ ⁄ ⁄ 각한다. x ⁄ 이므로 (cid:100)(cid:100) lim a+ x ⁄ g(f(x))= g(t) lim b+ t ⁄ 219 f(x)=x¤ -3x+3={x-;2#;} ¤ +;4#;이라 하면 f(-1)=7, f {;2#;}=;4#;, f(3)=3 이므로 (cid:100)(cid:100);4#;… f(x)…7(cid:100)(cid:100)∴ ;7!;… 1 f(x) …;3$; 즉 ;7!;…y…;3$;이므로(cid:100)(cid:100)M=;3$;, m=;7!; ∴ Mm=;2¢1; (cid:8951) ;2¢1; 220 ㄱ. g(x)=f(x)-x로 놓으면 함수 g(x)는 구 간 [-1, 1]에서 연속이고 (cid:100)(cid:100)g(-1)=f(-1)-(-1)=1+1=2>0 (cid:100)(cid:100)g(1)=f(1)-1=-1-1=-2<0 따라서 사이값 정리에 의하여 방정식 f(x)-x=0 은 구간 (-1, 1)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. ㄴ. h(x)=(x2+1)f(x)로 놓으면 함수 h(x)는 구간 [-1, 1]에서 연속이고 (cid:100)(cid:100)h(-1)=2f(-1)=2>0 (cid:100)(cid:100)h(1)=2f(1)=-2<0 따라서 사이값 정리에 의하여 방정식 (x2+1)f(x)=0은 구간(-1, 1)에서 적어도 하나 의 실근을 갖는다. D1028일품미적분1_정(029-049) 2014.10.28 1:49 PM 페이지49 SinsagoHitec 본책 46쪽``…``47쪽 (cid:100) 따라서 (g Á f )(x)는 x=1에서 불연속이다. (cid:100) x -1-이고, x 2+일 때 t 2-일 때 ⁄ ⁄ -1+이므로 ⁄ (cid:100) t ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100) lim 2+ x ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100) (cid:100) (cid:100)(cid:100) lim 2- x ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100) (g Á f )(x)= g( f(x)) (g Á f )(x)= g(t)=-1, (g Á f )(x)= g( f(x)) (g Á f )(x)= g(t)=-1 t lim 2+ x ⁄ lim -1- ⁄ lim 2- x ⁄ lim ⁄ t -1+ (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ (g Á f )(x)=-1 lim 2 x ⁄ (cid:100) 이때 (g Á f )(2)=g( f(2))=g(-1)=1이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100) (g Á f )(x)+(g Á f )(2) lim 2 x ⁄ (cid:100) 따라서 (g`Á`f )(x)는 x=2에서 불연속이다. (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ a=3 속 연 과 한 극 의 수 함 Ⅱ ¤ f(x)=t로 놓으면 (h Á f )(x)= (h Á f )(x)= (cid:100) (cid:100)(cid:100) lim 0+ x ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100) lim 0+ x ⁄ lim ⁄ lim 0- x ⁄ lim 1- ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ (h Á f )(x)=1 lim 0 x ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100) lim 0- x ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100) (h Á f )(x)= (h Á f )(x)= t t h( f(x)) h(t)=1, -1+ h( f(x)) h(t)=1 (cid:100) (cid:100)(cid:100) (h Á f )(x)=(h Á f )(0) lim 0 x ⁄ (cid:100) 따라서 (h Á f )(x)는 x=0에서 연속이다. y=a를 y=;1¡6;x¤ 에 대입하면 (cid:100)(cid:100)a=;1¡6;x¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ =16a(cid:100)(cid:100)∴ x=4'∂a (∵ x>0) (cid:100)(cid:100)∴ R(4'∂a , a) 점 P가 원점O 에 한없이 가까워지면 a 0+ f(x)는 x=0, x=1에 서 불연속이다. 또 h(x)는 x=0에서 불 연속이고 f(-1)=0이 므로 x=0, x=1, x=-1에서 (h Á f )(x)의 연속성 ㄷ. k(x)=( f Á f )(x)=f( f(x))로 놓으면 함수 k(x)는 구간 [-1, 1]에서 연속이고 (cid:100)(cid:100)k(-1)=f( f(-1))=f(1)=-1<0 (cid:100)(cid:100)k(1)=f( f(1))=f(-1)=1>0 따라서 사이값 정리에 의하여 방정식 (f Á f)(x)=0 은 구간 (-1, 1)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. 이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 주어진 구간에서 적어도 하나 의 실근을 갖는다. (cid:8951) ⑤ 221 PR”의 길이를 a로 나타낸다. 두 점 Q, R의 x좌표를 이용하여 QR”, y=a를 x¤ +(y-3)¤ =9에 대입하면 (cid:100)(cid:100)x¤ +(a-3)¤ =9 x¤ =9-(a-3)¤ =6a-a¤ (cid:100)(cid:100)∴ x="√6a-a¤ (∵ x>0) (cid:100)(cid:100)∴ Q("√6a-a¤ , a) 이므로 구하는 값은 lim 0+ a ⁄ QR” PR” = lim 0+ a ⁄ 4'∂ ∂a-"√6a-a¤ 4'a 4-'ƒ6-a 4 = lim 0+ a ⁄ = 4-'6 4 222 성을 조사한다. 그래프가 끊어진 점에서 합성함수의 연속 ⁄ f(x)=t로 놓으면 x t -1+, x 0-일 때 t (g`Á`f )(x)= ⁄ (g`Á`f )(x)= ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100) lim 0+ x ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100) lim 0+ x ⁄ lim ⁄ lim 0- x ⁄ lim 1- ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ (g`Á`f )(x)=-1 (cid:100) (cid:100)(cid:100) lim 0- x ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100) (g`Á`f )(x)= (g`Á`f )(x)= t t lim 0 x ⁄ 0+일 때 ⁄ 1-이므로 ⁄ g( f(x)) g(t)=-1, -1+ g(f(x)) g(t)=-1 (cid:100) 이때 (g`Á`f )(0)=g( f(0))=g(-1)=1이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100) (g`Á`f )(x)+(g`Á`f )(0) lim 0 x ⁄ lim 1 x ⁄ lim 1 x ⁄ (cid:100) 따라서 (g Á f )(x)는 x=0에서 불연속이다. (cid:100) x ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100) (g Á f )(x)= g(f(x)) 0-이므로 1일 때 t ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100) (g Á f )(x)= g(t)=1 (cid:100) (g Á f )(1)=g( f(1))=g(1)=-1이므로 lim 1 x ⁄ lim 0- ⁄ t (cid:100) (cid:100)(cid:100) (g Á f )(x)+(g Á f )(1) ⁄ 을 확인한다. (cid:100) 이때 (h Á f )(0)=h( f(0))=h(-1)=1이므로 분자, 분모를 각각 'a 로 나눈다. (cid:100) (cid:100)(cid:100) (h Á f )(x)= h( f(x))= h(t)=0 lim 1 x ⁄ lim 0- ⁄ t (cid:8951) ⑤ (cid:100) (cid:100)(cid:100)(h Á f )(1)=h( f(1))=h(1)=1 lim 1 x ⁄ (cid:100) 이고, (cid:100) 이므로 f(x)는 x=0, x=1에 서 불연속이다. 또 g(x)는 x=-1에서 불연속이고 f(0)=-1, f(2)=-1 이므로 x=0, x=1, x=2에서 (g Á f )(x) 의 연속성을 확인한다. lim 1 x ⁄ lim -1 x ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100) (h Á f )(x)+(h Á f )(1) (cid:100) 따라서 (h Á f )(x)는 x=1에서 불연속이다. (cid:100) x ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100) -1일 때 t 0+이므로 ⁄ (h Á f )(x)= h( f(x)) (cid:100) (cid:100)(cid:100) (h Á f )(x)= h(t)=-1, lim -1 x ⁄ lim 0+ ⁄ t (cid:100) (cid:100)(cid:100)(h Á f )(-1)=h( f(-1))=h(0)=-1 (cid:100) 이므로(cid:100)(cid:100) (h Á f )(x)=(h Á f )(-1) lim -1 x ⁄ (cid:100) 따라서 (h`Á`f )(x)는 x=-1에서 연속이다. (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ b=1 ∴ a+b=4 1등급 |비|밀|노|트| (cid:8951) 4 y=f(x)가 x=a에서 연속이고, y=g(x)가 x=f(a)에서 연속 이면 y=(g Á f )(x)는 x=a에서 연속이다. 따라서 함수 y=(g Á f )(x)가 불연속인 점은 다음 두 가지 경 우의 x의 값에서만 확인하면 된다. ① y=f(x)가 불연속인 점의 x의 값 ② y=g(x)가 불연속인 점의 x의 값을 함숫값으로 갖는 f(x) 의 x의 값 Ⅱ. 함수의 극한과 연속 49 ” D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:50 PM 페이지50 SinsagoHitec x2=t로 놓으면 x 2일 때, t 4이므로 ⁄ ⁄ (cid:100)(cid:100)lim x 2 ⁄ (cid:100)=lim x 2 ⁄ (cid:100)=lim x 2 ⁄ f(x¤ )-f(4) x-2 { f(x¤ )-f(4)}(x+2) x¤ -4 f(x¤ )-f(4) x¤ -4 f(t)-f(4) t-4 ¥lim x 2 ⁄ ¥4 (x+2) (cid:100)=lim t 4 ⁄ (cid:100)=4f '(4) (cid:100)=4¥10=40 f(x)-f(2) x¤ -4 +lim x 2 ⁄ f(x¤ )-f(4) x-2 (cid:100)(cid:100)∴ lim 2 ⁄ (cid:100)(cid:100)=1+40=41 x (cid:8951) ③ 228 ;n!; =h로 놓으면 n ¶일 때, h 0이므로 ⁄ ⁄ (cid:100)(cid:100)lim ¶ n ⁄ n[ f {1+ ;n!;}-f(1)]=lim ⁄ =f '(1) h 0 따라서 f '(1)=4이므로 f(1+h)-f(1) h (cid:100)(cid:100)lim ¶ n ⁄ =lim h 0 ⁄ =lim h 0 ⁄ ;n@;}-f {1- n[ f {1+ f(1+2h)-f(1-2h) h ;n@;}] f(1+2h)-f(1) 2h ¥2 =+lim 0 ⁄ h f(1-2h)-f(1) -2h ¥2 =2f '(1)+2f '(1)=4f '(1) =4¥4=16 (cid:8951) 16 229 함수 f(x)가 x=3에서 미분가능하므로 x=3 에서 연속이다. 즉 lim x 3+ ⁄ (cid:100)(cid:100) lim x 3+ ⁄ f(x)= lim x 3- ⁄ (-x¤ )= lim x 3- ⁄ f(x)=f(3)이므로 (ax+b)=-9 (cid:100)(cid:100)3a+b=-9(cid:100)(cid:100)∴ b=-3a-9 yy ㉠(cid:100)(cid:100) f(x)가 x=3에서 미분가능하므로 (cid:100)(cid:100) lim h 0+ ⁄ f(3+h)-f(3) h -(3+h)¤ -(-9) h (-h-6)=-6 = lim h 0+ ⁄ = lim h 0+ ⁄ 본책 50쪽 분자, 분모에 각각 x+2 를 곱한다. 일차함수 y=ax+b에서 x가 a에서 b까지 변할 때의 평균변화율은 항상 a이다. 함수 f(x)가 x=a에서 ① 연속이면 (cid:8857) f(a), f(x)의 값 lim a x ⁄ (cid:100) 이 존재하고, 두 값이 같다. ② 미분가능하면 (cid:8857) lim 0 h ⁄ f(a+h)-f(a) h (cid:8951) ② (cid:100) 의 값이 존재한다. Ⅲ 다항함수의 미분법 05 미분계수와 도함수 223 x의 값이 1에서 3까지 변할 때의 평균변화율은 (cid:100)(cid:100) f(3)- f(1) 3-1 = (9+3a)-(1+a) 2 =a+4 따라서 a+4=7이므로(cid:100)(cid:100)a=3 (cid:8951) 3 224 함수 f(x)=2x+3에 대하여 x의 값이2에서 4 까지 변할 때의 평균변화율은 직선 y=f(x)의 기울기 와 같으므로(cid:100)(cid:100)2 함수 g(x)=ax2+1에 대하여 x의 값이 2에서 4까지 변할 때의 평균변화율은 g(4)-g(2) 4-2 (16a+1)-(4a+1) 2 =6a (cid:100)(cid:100) = 따라서 6a=2이므로(cid:100)(cid:100)a= ;3!; (cid:8951) ④ 225 x의 값이1에서 3까지 변할 때의 평균변화율은 (cid:100)(cid:100) f(3)-f(1) 3-1 = 15-3 2 =6 x=c에서의 순간변화율은 (cid:100)(cid:100)f '(c)=lim 0 ⁄ h f(c+h)-f(c) h {(c+h)¤ +2(c+h)}-(c¤ +2c) h =lim h 0 ⁄ =lim h 0 ⁄ =2c+2 2ch+h¤ +2h h 따라서 2c+2=6이므로(cid:100)(cid:100)c=2 (cid:8951) 2 226 lim h 0 ⁄ f(a+2h)-f(a) 3h =lim h 0 ⁄ f(a+2h)-f(a) 2h ¥;3@; =;3@; f '(a) =;3@;¥3=2 227 lim x 2 ⁄ f(x)-f(2) x¤ -4 f(x)-f(2) (x-2)(x+2) f(x)-f(2) x-2 =lim x 2 ⁄ =lim x 2 ⁄ ¥lim x 2 ⁄ 1 x+2 =f '(2)¥ ;4!; =4¥ =1 ;4!; 50 정답 및 풀이 b=-3a-9이므로 b 대신 -3a-9를 대입 한다. (cid:100)(cid:100) `lim h 0- ⁄ f(3+h)-f(3) h = lim h 0- ⁄ a(3+h)-3a-9-(-9) h =a 에서(cid:100)(cid:100)a=-6 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=3 a=-6을 ㉠`에 대입하면(cid:100)(cid:100)b=18-9=9 (cid:8951) 3 D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:50 PM 페이지51 SinsagoHitec (cid:100) (cid:8857) (분자) 0 ⁄ 0이고 0이 ② (분자) ⁄ 아닌 극한값이 존재 (cid:100) (cid:8857) (분모) 0 ⁄ (cid:8951) 3 236 lim x 1 ⁄ f(x)-6 x-1 =10에서 x 1일 때 극한값이 존재하고 (분모) 0이므로 (분자) 0이다. ⁄ { f(x)-6}=0이므로(cid:100)(cid:100)f(1)=6 ⁄ ⁄ f '(3)은 x=3인 점에 서의 접선의 기울기와 =lim x 1 ⁄ f(x)-f(1) x-1 =10에서 (x-2)f(x)=g(x)의 양변에 x=2를 대입하면 (cid:100)(cid:100)g(2)=0 x ⁄ a일 때, ① (분모) ⁄ 값이 존재 므로 0이고 극한 230 x+2일 때,(cid:100)(cid:100)f(x)= g(x) x-2 함수 f(x)는 x=2에서 미분가능하므로 x=2에서 연 속이다. 즉 lim x 2 ⁄ (cid:100)(cid:100)lim x 2 ⁄ f(x)=f(2)이므로 g(x) x-2 =3 (cid:100)(cid:100)∴ g'(2)=lim 2 ⁄ x g(x)-g(2) x-2 =lim x 2 ⁄ g(x) x-2 =3 231 ㄱ. x=3인 점에서의 접선의 기울기가 양수이 ㄴ. 함수 f(x)는 x=4, x=6에서 불연속이므로 불연 같다. 므로(cid:100)(cid:100)f '(3)>0 속인 점은 2개이다. ㄷ. 함수 f(x)는 x=2, x=4, x=6에서 미분가능하지 않으므로 미분가능하지 않은 점은 3개이다. 이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. (cid:8951) ⑤ 1등급 |비|밀|노|트| 함수 y=f(x)의 그래프에서 ① 불연속인 점 (cid:8857) 연결되어 있지 않고 끊어져 있는 점 ② 미분가능하지 않은 점 (cid:8857) 불연속인 점, 뾰족한 점 232 f(x)=1+x+x¤ +y+x⁄ (cid:100)(cid:100)f(1)=1+1+1+y+1=11 ‚ 에서 ( \ { \ 9 11개 f '(x)=1+2x+3x¤ +y+10x· 이므로 (cid:100)(cid:100)f '(1)=1+2+3+y+10=55 (cid:100)(cid:100)∴ f '(1)-f(1)=55-11=44 (cid:8951) ④ 10 ¡k=1 k= 10¥11 2 =55 233 f(-1)=4에서(cid:100)(cid:100)a-b=4 f '(x)=2ax+b이므로 f '(1)=-1에서 yy ㉠(cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100)2a+b=-1 yy ㉡(cid:100)(cid:100) ㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=1, b=-3 (cid:100)(cid:100)∴ ab=-3 (cid:8951) ② 234 fn'(x)=nxn-1-2nx2n-1이므로 (cid:100)(cid:100)fn'(-1)=n¥(-1)n-1-2n¥(-1)2n-1 (cid:100)(cid:100)fn'(-1)=n¥(-1)n-1+2n 3n (n은 홀수) n (n은 짝수) (cid:100)(cid:100)fn'(-1)= [ 10 (cid:100)(cid:100)∴ fn'(-1) ¡n=1 (cid:100)(cid:100) ={ f¡'(-1)+f£'(-1)+y+fª'(-1)} (cid:100)(cid:100) =+{ f™'(-1)+f¢'(-1)+y+f10'(-1)} (cid:100)(cid:100) =3(1+3+5+7+9)+(2+4+6+8+10) 법 분 미 의 수 함 항 다 Ⅲ 본책 50쪽``…``52쪽 235 f(1)=4(a+b)=-8이므로 (cid:100)(cid:100)a+b=-2 f '(x)=2x(ax2+bx)+(x2+3)(2ax+b)에서 yy ㉠(cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100)f '(1)=2(a+b)+4(2a+b)=10a+6b=0 (cid:100)(cid:100)∴ 5a+3b=0 yy ㉡(cid:100)(cid:100) ㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=3, b=-5 따라서 f '(x)=2x(3x2-5x)+(x2+3)(6x-5)이 (cid:100)(cid:100)f '(2)=4¥2+7¥7=57 (cid:8951) ① 즉 lim x 1 ⁄ f(x)-6 x-1 lim x 1 ⁄ f '(1)=10 g(x)-8 x-1 lim x 1 ⁄ (분모) 즉 lim x 1 ⁄ g(x)-8 x-1 lim x 1 ⁄ g'(1)=12 =12에서 x 1일 때 극한값이 존재하고 ⁄ 0이므로 (분자) ⁄ { g(x)-8}=0이므로(cid:100)(cid:100)g(1)=8 ⁄ 0이다. =lim x 1 ⁄ g(x)-g(1) x-1 =12에서 y=f(x)g(x)에서(cid:100)(cid:100)y'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x) 따라서 y=f(x)g(x)의 x=1에서의 미분계수는 f '(1)g(1)+f(1)g'(1)=10¥8+6¥12 =152 (cid:8951) 152 237 다항식 f(x)를 (x-2)¤ 으로 나누었을 때의 몫 을 Q(x)라 하면 (cid:100)(cid:100)f(x)=(x-2)¤ Q(x) yy ㉠(cid:100)(cid:100) 양변에 x=2를 대입하면(cid:100)(cid:100)f(2)=0 16+2a+b=0 (cid:100)(cid:100)∴ 2a+b=-16 yy ㉡(cid:100)(cid:100) ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 (cid:100)(cid:100)f '(x)=2(x-2)Q(x)+(x-2)¤ Q '(x) 양변에 x=2를 대입하면(cid:100)(cid:100)f '(2)=0 이때 f '(x)=4x‹ +a이므로 (cid:100)(cid:100)f '(2)=32+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-32 a=-32를 ㉡에 대입하면 (cid:100)(cid:100)-64+b=-16(cid:100)(cid:100)∴ b=48 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=16 (cid:8951) ④ 238 f(x+y)=f(x)f(y)의 양변에 x=0, y=0을 대입하면 f(0)=f(0)¥f(0)(cid:100)(cid:100)∴ f(0)=1 (∵ f(0)>0) Ⅲ. 다항함수의 미분법 51 (cid:100)(cid:100) =3¥25+30=105 (cid:8951) ② 도함수의 정의에 의하여 D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:50 PM 페이지52 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100)f '(2)=1-4=-3 (cid:8951) ① 0이 아닌 상수 p, q에 대 240 f '(1)=lim h 0 ⁄ f(1+h)-f(1) h f(a+qh)-f(a) ph (cid:100)(cid:100) =lim 0 ⁄ h f(1+2h)-f(1) 2h ¥2+2 f(1) 하여 (cid:100) lim 0 h ⁄ q p = f '(a) 243 `lim h 0 ⁄ (cid:100)(cid:100) =lim 0 ⁄ h f(1+2h)-(1-2h)f(1) h f(1+2h)-f(1)+2h f(1) h (cid:100)(cid:100) =lim 0 ⁄ h f(1+2h)-f(1) h +lim h 0 ⁄ 2h f(1) h (cid:100) =2 f '(1)+2 f(1) (cid:100) =2¥5+2¥(-2)=6 (cid:100)(cid:100)f '(x)=lim 0 ⁄ h f(x+h)-f(x) h f(x)f(h)-f(x) h f(x){ f(h)-1} h f(x){ f(h)-f(0)} h =lim h 0 ⁄ =lim h 0 ⁄ =lim h 0 ⁄ =f(x)f '(0) (cid:100)(cid:100)∴ = f '(0)=3 f '(x) f(x) 239 f(x+y)=f(x)+f(y)-2xy의 양변에 x=0, y=0을 대입하면 (cid:100)(cid:100)f(0)=f(0)+f(0)(cid:100)(cid:100)∴ f(0)=0 f '(0)=1에서 (cid:100)(cid:100)f '(0)=lim 0 ⁄ h 즉 lim h 0 ⁄ f(h) h (cid:100)(cid:100)f '(2)=lim 0 ⁄ h (cid:100)(cid:100)f '(2)=lim 0 ⁄ h f(h)- f(0) h =lim h 0 ⁄ f(h) h =1이므로 f(2+h)-f(2) h { f(2)+f(h)-4h}-f(2) h (cid:100)(cid:100)f '(2)=lim 0 ⁄ h f(h)-4h h =lim h 0 ⁄ f(h) h -4 =lim h 0 ⁄ =lim h 0 ⁄ =lim h 0 ⁄ f(1)+f(h)+h(1+h)+1-f(1) h f(h)+1 h +lim h 0 ⁄ (1+h) f(h)+1 h +1 +1=2이므로 따라서 lim 0 ⁄ h f(h)+1 h (cid:100)(cid:100)lim h 0 ⁄ f(h)+1 h =1 ∴ f '(x)=lim 0 ⁄ h f(x+h)-f(x) h =lim h 0 ⁄ =lim h 0 ⁄ =x¤ +1 f(x)+f(h)+xh(x+h)+1-f(x) h f(h)+1 h +`lim h 0 ⁄ x(x+h) (cid:8951) f '(x)=x¤ +1 241 f(2)=-3이므로(cid:100)(cid:100)4+2a+b=-3 ∴ 2a+b=-7 yy ㉠(cid:100)(cid:100) 점 (2, -3)에서의 접선의 기울기는 x=2에서의 미분 계수와 같으므로(cid:100)(cid:100)f '(2)=2 52 정답 및 풀이 f '(x)=2x+a이므로 4+a=2(cid:100)(cid:100)∴ a=-2 a=-2를 ㉠에 대입하면 (cid:100)(cid:100)-4+b=-7(cid:100)(cid:100)∴ b=-3 ∴ a+b=-5 함수 f의 역함수 f -1에 대하여 (cid:8951) 3 (cid:100)f(a)=b f -1(b)=a HjK 242 (cid:100)(cid:100)g(-1)=a, g(5)=b ` 평균변화율은 f(a)=-1, f(b)=5이므로 f(x)에서 x의 값이 a에서 b까지 변할 때의 (cid:100)(cid:100) f(b)-f(a) b-a = 5-(-1) b-a = 6 b-a 6 b-a 즉 ` 의 평균변화율은 =3이므로(cid:100)(cid:100)b-a=2 yy ㉠(cid:100)● 30% g(x)에서 x의 값이 -1에서 5까지 변할 때 (cid:100)(cid:100) g(5)-g(-1) 5-(-1) = b-a 6 =;3!; (∵ ㉠) ● 40% (cid:8951) ① ● 30% (cid:8951) ;3!; (cid:8951) ② g(0)=0이므로 (cid:100) = g(h) 2h g(h)-g(0) h ¥ ;2!; 244 `lim h 0 ⁄ f(a+3h)- f(a)-g(h) 2h (cid:100)(cid:100) =lim 0 ⁄ h f(a+3h)-f(a) 2h -lim h 0 ⁄ g(h) 2h (cid:100)(cid:100) =lim 0 ⁄ h (cid:100)(cid:100) =-lim 0 ⁄ h 3 2 f(a+3h)-f(a) 3h g(h)-g(0) h ¥ ¥ 1 2 (cid:100)(cid:100) =;2#; f '(a)-;2!; g'(0)=3-;2!; g'(0) 즉 3-;2!;g '(0)=0이므로 (cid:100)(cid:100)g'(0)=6 (cid:8951) ③ 245 x+1=t로 놓으면 x 1일 때 t 2이므로 ⁄ ⁄ (cid:100)(cid:100)lim x 1 ⁄ f(x+1)-4 x¤ -1 =lim t 2 ⁄ =lim t 2 ⁄ f(t)-4 (t-1)¤ -1 f(t)-4 t(t-2) D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:50 PM 페이지53 SinsagoHitec 246 f '(-a)=lim f(-a+h)- f(-a) h f(-x)=-f(x)이므로 (cid:100)f(-a+h) =-f(a-h) f(t)-4 t(t-2) lim t 2 ⁄ (분모) 즉 lim t 2 ⁄ =8에서 t 2일 때 극한값이 존재하고 ⁄ 0이므로 (분자) ⁄ { f(t)-4}=0이므로(cid:100)(cid:100)f(2)=4 ⁄ 0이다. (cid:100)(cid:100)∴ lim 2 ⁄ t f(t)-4 t(t-2) =lim t 2 ⁄ f(t)-f(2) t-2 ¥lim t 2 ⁄ 1 t = ;2!; f '(2) 즉 f '(2)=8이므로(cid:100)(cid:100)f '(2)=16 ;2!; (cid:100)(cid:100)∴ f(2)+f '(2)=4+16=20 h 0 ⁄ =lim h 0 ⁄ =lim h 0 ⁄ =f '(a) -f(a-h)+ f(a) h f(a-h)- f(a) -h (cid:8951) ⑤ (cid:8951) ⑤ 247 (cid:100)(cid:100) lim h 0+ ⁄ (cid:100)(cid:100) lim h 0- ⁄ f(x)가 x=0에서 미분가능하므로 f(h)-f(0) h f(h)-f(0) h ah+1-1 h =a h¤ +4h+1-1 h (h+4)=4 = lim h 0+ ⁄ = lim h 0- ⁄ = lim h 0- ⁄ 에서(cid:100)(cid:100)a=4 ● 30% 또 f(x)가 x=2에서 미분가능하므로 x=2에서 연속이 다. 즉 (cid:100)(cid:100) f(x)= lim 2- x ⁄ lim 2+ x ⁄ (-x¤ +bx+c)= lim 2+ x ⁄ -4+2b+c=4¥2+1 f(x)=f(2)이므로 (4x+1) lim 2- x ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ 2b+c=13 yy ㉠(cid:100)● 20% f(x)가 x=2에서 미분가능하므로 (cid:100)(cid:100) lim h 0+ ⁄ (cid:100)= lim h 0+ ⁄ (cid:100)= lim h 0+ ⁄ (cid:100)(cid:100) lim h 0- ⁄ (cid:100)= lim h 0- ⁄ f(2+h)-f(2) h -(2+h)¤ +b(2+h)+c-9 h (-h+b-4)=b-4 f(2+h)-f(2) h 4(2+h)+1-9 h =4 에서(cid:100)(cid:100)b-4=4(cid:100)(cid:100)∴ b=8 b=8을 ㉠에 대입하면 (cid:100)(cid:100)c=-3 ` ∴ a+b+c=4+8+(-3)=9 본책 52쪽``…``54쪽 ` -x¤ +4x+1 (x<0) f(x)=[ -ax+1 (0…x<2) 에서 -x¤ +bx+c (xæ2) -2x+4 (x<0) f '(x)=[ -a (02) f(x)가 x=0에서 미분가능하므로 f '(x)=lim 0- f '(x) (cid:100)(cid:100)lim x 0+ (cid:100)(cid:100)lim 0+ x ⁄ x ⁄ (2x+4)(cid:100)(cid:100)∴ a=4 a=lim x 0- f(x)가 x=2에서 미분가능하므로 ⁄ ⁄ (cid:100)(cid:100)lim x 2+ (cid:100)(cid:100)lim 2+ x ⁄ f '(x) f '(x)= lim 2- x (-2x+b)= lim 2- ⁄ a x ⁄ ⁄ (cid:100)(cid:100)-4+b=a(cid:100)(cid:100)∴ b=a+4=8 f(x)가 x=2에서 연속이므로(cid:100)(cid:100)f(2)= lim 2- x f(x) ⁄ (cid:100)(cid:100)12+c=9(cid:100)(cid:100)∴ c=-3 (cid:100)(cid:100)∴ a+b+c=9 1등급 |비|밀|노|트| 미분가능한 함수 f(x), g(x), h(x)에 대하여 (cid:100)(cid:100)h(x)=[ f(x)(xæa) g(x)(xa) g '(x)(x1일 때, `lim ¶ ⁄ n (cid:100)(cid:100)f(x)=`lim ¶ ⁄ n ‹ x=1일 때, (cid:100)(cid:100)f(x)= a+b+1 2 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하므로 x=1에서 연 속이다. 즉 lim x 1+ f(x)=``lim 1- x ⁄ ⁄ f(x)=`f(1)이므로 (cid:100)(cid:100)lim x 1+ x¤ =``lim x 1- ⁄ ⁄ (ax+b)= a+b+1 2 1=a+b= a+b+1 2 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=1 yy ㉠(cid:100)(cid:100) 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하므로 (cid:100)(cid:100)`lim h 0+ ⁄ f(1+h)-f(1) h (1+h)¤ -1 h (2+h)=2 (cid:100)(cid:100)`lim h 0- ⁄ f(1+h)-f(1) h a(1+h)+b-1 h =`lim h 0+ ⁄ =`lim h 0+ ⁄ =`lim h 0- ⁄ =a 에서(cid:100)(cid:100)a=2 a=2를 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)b=-1 ∴ a¤ +b¤ =4+1=5 (cid:8951) 5 251 f(x)=x‹ « +x¤ « +x« 으로 놓으면(cid:100)(cid:100)f(1)=3 (cid:100)(cid:100)∴ lim 1 ⁄ x x‹ « +x¤ « +x« -3 x-1 f(x)-f(1) x-1 =lim x 1 ⁄ =f '(1) 즉 f '(1)=30이므로 f '(x)=3nx‹ « —⁄ +2nx¤ « —⁄ +nx« —⁄ 에서 (cid:100)(cid:100)f '(1)=3n+2n+n=30,(cid:100)(cid:100)6n=30 (cid:100)(cid:100)∴ n=5 (cid:8951) ③ f(1)= a+b+1 2 f(1)= (∵ ㉠) 1+1 2 f(1)=1 조건 ㈏`에 의하여 (cid:100)f(1—a)=f(-1—a) (복호동순) 이므로 (cid:100) = (cid:100) = x lim ⁄ lim 1- x ⁄ lim 1+ x ⁄ lim ⁄ x f(x) -1- f(x), f(x) f(x) -1+ ㉠`에서 a+b=1이므로 (cid:100) a+ah+b-1 h ah = =a h f(x+2)=f(x)에 x=-1을 대입하면 (cid:100)f(1)=f(-1) D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:50 PM 페이지55 SinsagoHitec 252 f«(x)=nx« 에서 (cid:100)(cid:100)f«(1)=n, f«'(x)=n¤ x« —⁄ (cid:100)(cid:100)∴ lim ⁄ x 1 ;N+!1 f«(x)-n x-1 =lim x ⁄ 1 ;N+!1 f«(x)-f«(1) x-1 =lim x 1 ⁄ f¡(x)-f¡(1) x-1 +lim x 1 ⁄ f™(x)-f™(1) x-1 =+y+lim 1 ⁄ x f¡º(x)-f¡º(1) x-1 =f¡'(1)+f™'(1)+y+f¡º'(1) =;N+!1 0 n¤ 0 f«'(1)=;N+!1 10¥11¥21 6 =385 = 1등급 |비|밀|노|트| (cid:8951) ⑤ x=a에서 연속인 함수 f«(x) (n은 자연수)에 대하여 (cid:100)(cid:100)lim x ⁄ a ;Kn+! f˚(x)=lim x a ⁄ =lim a x ⁄ =+y+lim a ⁄ f¡(x)+lim x a ⁄ f«(x) x { f¡(x)+f™(x)+f£(x)+y+f«(x)} f™(x)+lim a ⁄ x f£(x) =f¡(a)+f™(a)+ f£(a)+y+ f«(a) =;Kn+! f˚(a) =;Kn+! lim x a ⁄ f˚(x) 253 f '(x)=3x2-2xf '(1)+6이므로 양변에 x=1 을 대입하면 (cid:100)(cid:100)f '(1)=3-2f '(1)+6(cid:100)(cid:100)∴ f '(1)=3 따라서 f '(x)=3x2-6x+6이므로 (cid:100)(cid:100)f '(2)=12-12+6=6 (cid:100)(cid:100)∴ f '(1)¥f '(2)=3¥6=18 f '(1)=a (a는 상수)로 놓으면 f(x)=x‹ -ax¤ +6x에서 (cid:100)(cid:100)f '(x)=3x¤ -2ax+6 따라서 f '(1)=9-2a이므로(cid:100)(cid:100)9-2a=a (cid:100)(cid:100)∴ a=3 (cid:100)(cid:100)∴ f '(x)=3x¤ -6x+6 254 f(x)=x¤ -4x에서 f '(x)=2x-4 이를 주어진 등식에 대입하면 (cid:100)(cid:100)x(2x-4)+a(x¤ -4x)-4x=0 ` ` ` (cid:100)(cid:100)(a+2)x¤ -4(a+2)x=0 ● 30% 위의 등식이 x의 값에 관계없이 항상 성립하 므로 a+2=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-2 ● 30% (cid:8951) -2 255 f(x)=ax« 에서(cid:100)(cid:100)g(x)=f '(x)=anxn-1 ∴ g '(x)=an(n-1)xn-2 본책 54쪽``…``55쪽 { g(x)}¤ ={ g '(x)}‹` 에서(cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100)(anxn-1)¤ ={an(n-1)xn-2}‹ ∴ a¤ n¤ x2(n-1)=a‹ n‹ (n-1)‹ x3(n-2) 이때 a+0이므로(cid:100)(cid:100)an(n-1)‹ xn-4=1 위의 등식이 x의 값에 관계없이 항상 성립하므로 n-4=0, an(n-1)‹ =1 x‚ =1 n=4이므로 (cid:100)(cid:100)a= 1 n(n-1)‹ = 1 4¥3‹ = ;10!8; (cid:8951) ① 256 몫을 Q(x)라 하면 f(x)를 (x+1)¤ 으로 나누었을 때의 (cid:100)(cid:100)f(x)=(x+1)¤ Q(x)+3x-4 yy ㉠(cid:100)● 20% ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 (cid:100)(cid:100)f(-1)=-7,(cid:100)(cid:100)a-b+7=-7 (cid:100)(cid:100)∴ a-b=-14 yy ㉡(cid:100)● 20% ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=2(x+1)Q(x)+(x+1)¤ Q'(x)+3 위의 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 (cid:100)(cid:100)f '(-1)=3 이때 f '(x)=3x¤ +2ax+b이므로 (cid:100)(cid:100)f '(-1)=3-2a+b=3 ∴ -2a+b=0 yy ㉢(cid:100)● 40% ㉡, ㉢`을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=14, b=28 ∴ a+b=42 ● 20% (cid:8951) 42 법 분 미 의 수 함 항 다 Ⅲ (cid:8951) 18 f(x)=0의 한 실근이 x=a이면 f(x)는 x-a 를 인수로 갖는다. 로 놓을 수 있다. 257 방정식 f(x)=1의 세 실근이 0, 1, 2이므로 f(x)-1=kx(x-1)(x-2) (k는 실수) ` ax¤ +bx+c=0이 x에 ● 40% 대한 항등식이면 (cid:100)a=b=c=0 따라서 f(x)=kx(x-1)(x-2)+1에서 f '(x)=k(x-1)(x-2)+kx(x-2)+kx(x-1) =3kx¤ -6kx+2k f '(0)=2k=2이므로(cid:100)(cid:100)k=1 ∴ f '(1)+f '(2)=-1+2=1 (cid:8951) ① 258 극한값이 존재하고 (분모) lim x 2 ⁄ f(x)-3 x-2 ⁄ =5에서 x 2일 때 0이므로 (분자) 0이다. ⁄ ⁄ { f(x)-3}=0이므로(cid:100)(cid:100)f(2)=3 ● 30% 즉 lim x 2 ⁄ lim x 2 ⁄ f(x)-3 x-2 =lim x 2 ⁄ f(x)-f(2) x-2 =f '(2) 에서(cid:100)(cid:100)f '(2)=5 ● 30% y'=(2x+2)f(x)+(x2+2x-3)f '(x)이 므로 x=2에서의 미분계수는 (cid:100)(cid:100)6f(2)+5f '(2)=6¥3+5¥5=43 ● 40% (cid:8951) 43 Ⅲ. 다항함수의 미분법 55 ` ` ` ` 0 0 D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:50 PM 페이지56 SinsagoHitec f(x)=a, g(x)=b이면 lim a x ⁄ lim a x ⁄ (cid:100) lim a x ⁄ f(x) g(x) = a b (단, b+0) (cid:100)=`lim 0 ⁄ h (cid:100)= 2 f '(3) f '(1) 함수 f(x)가 미분가능 하면 연속이므로 (cid:100) f(h)=f(0)=1 lim 0 h ⁄ (cid:8951) ③ 259 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1의 양변에 x=0, y=0을 대입하면 (cid:100)(cid:100)f(0)=f(0)+f(0)-1 (cid:100)(cid:100)∴ f(0)=1 ㄱ. f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1의 양변에 y=-x를 대입하면 (cid:100)(cid:100)f(0)=f(x)+f(-x)-2x¤ -1 (cid:100)(cid:100)1=f(x)+f(-x)-2x¤ -1 (cid:100)(cid:100)∴ f(x)+f(-x)=2x¤ +2 ㄴ. f '(0)=lim 0 ⁄ h f(h)-1 h =3이므로 ㄴ. (cid:100)(cid:100)f '(x)=lim 0 ⁄ h f(x+h)-f(x) h f(x)+f(h)+2xh-1-f(x) h f(h)-1 h +2x] =lim h 0 ⁄ 0 [ =lim h ⁄ =2x+3 ㄴ. (cid:100)(cid:100)∴ f '(1)+f '(-1)=5+1=6 f(a+h)=lim 0 ⁄ f(a+h)=f(a)+f(0)-1 h { f(a)+f(h)+2ah-1} ㄷ. lim h 0 ⁄ ㄷ. lim h 0 ⁄ ㄷ. lim h 0 ⁄ f(a+h)=f(a) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 260 조건 ㈎`에서 x=0, y=0을 대입하면 (cid:100)(cid:100)g(0)=2 f (0)g(0)=2g(0) (∵ f(0)=1) (cid:100)(cid:100)∴ g(0)=0 (cid:100)(cid:100)∴ g '(0)=lim 0 ⁄ h (cid:100)(cid:100)∴ g '(0)=lim 0 ⁄ h (cid:100)(cid:100)∴ g '(0)=lim 0 ⁄ h 즉 lim h 0 ⁄ g(h) h g(h) h =-1이고, 조건 ㈏`에서 f '(0)=g(0)=0이므로 (cid:100)(cid:100)g '(x)=lim 0 ⁄ h (cid:100)(cid:100)g '(x)=lim 0 ⁄ h g(x+h)-g(x) h f(x)g(h)+g(x)f(h)-g(x) h g(h) h f(h)-1 h +g(x)¥lim 0 ⁄ f(h)- f(0) h h h (cid:100)(cid:100)g '(x)=f(x)¥lim 0 ⁄ h (cid:100)(cid:100)g '(x)=f(x)¥(-1)+g(x)¥lim 0 ⁄ (cid:100)(cid:100)g '(x)=-f(x)+g (x)f '(0) (cid:100)(cid:100)g '(x)=-f(x) 261 x의 값이 1에서 2까지 변할 때의 평균변화율은 56 정답 및 풀이 g(0+h)-g (0) h f(0)g(h)+g (0)f(h)-g(0) h f(0)=1, g(0)=0이다. (cid:8951) ① f(x)=x¤ -x이므로 (cid:100)-f(-x) =-{(-x)¤ -(-x)} =-(x¤ +x) =-x¤ -x f(2)-f(1) 2-1 = (4a+2b)-(a+b) 2-1 =3a+b 즉 3a+b=0이므로(cid:100)(cid:100)b=-3a f(x)=ax¤ -3ax이므로 f(3+2h)-f(3) f(1+h)-f(1) `lim h 0 ⁄ (cid:100)=`lim 0 ⁄ h f(3+2h)-f(3) 11111113 h f(1+h)-f(1) 11111123 h f(3+2h)-f(3) 11111113 2h f(1+h)-f(1) 11111123 h ¥2 ∴ (주어진 식)= =-6 (cid:8951) ① 이때 f '(x)=2ax-3a이므로 f '(1)=-a, f '(3)=3a ∴ (주어진 식)= 2f '(3) f '(1) 6a -a 262 `ㄱ. F(x)=|f(x)| (cid:100)(cid:100) lim x 0+ ⁄ F(x)-F(0) x x¤ -x (x<0 또는 xæ1) = [ -x¤ +x (0…x<1) -x¤ +x x (-x+1)=1 (x-1)=-1 = lim x 0+ ⁄ = lim x 0+ ⁄ = lim x 0- ⁄ = lim x 0- ⁄ (cid:100)(cid:100) lim x 0- ⁄ F(x)-F(0) x x¤ -x x 이므로 F(x)는 x=0에서 미분가능하지 않다. ㄴ. G(x)=x|f(x)| x(x¤ -x) (x<0 또는 xæ1) ㄴ. G(x)= [ -x(x¤ -x) (0…x<1) (cid:100)(cid:100) lim x 0+ ⁄ G(x)-G(0) x (cid:100)(cid:100) lim x 0- ⁄ G(x)-G(0) x -x(x¤ -x) x (-x¤ +x)=0 x(x¤ -x) x (x¤ -x)=0 = lim x 0+ ⁄ = lim x 0+ ⁄ = lim x 0- ⁄ = lim x 0- ⁄ 이므로 G(x)는 x=0에서 미분가능하다. ㄷ. H(x)= ㄷ. H(x)= -f(-x) (x<0) (xæ0) f(x) -x¤ -x (x<0) x¤ -x (xæ0) [ [ (cid:100)(cid:100) lim x 0+ ⁄ H(x)-H(0) x x¤ -x x = lim x 0+ ⁄ = lim x 0+ ⁄ (x-1)=-1 D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:50 PM 페이지57 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100) lim x 0- ⁄ H(x)-H(0) x -x¤ -x x = lim x 0- ⁄ = lim x 0- ⁄ (-x-1)=-1 이므로 H(x)는 x=0에서 미분가능하다. 이상에서 x=0에서 미분가능한 것은 ㄴ, ㄷ이다. (cid:8951) ④ 263 조건 ㈏`에서 (x-1)f '(x)=x‹ +3x¤ -4x-2f(x)의 양변에 x=1 을 대입하면 (cid:100)(cid:100)0=-2 f(1)(cid:100)(cid:100)∴ f(1)=0 x+1일 때(cid:100)(cid:100)f '(x)= x‹ +3x¤ -4x-2f(x) x-1 조건 ㈎``에서 f '(x)는 x=1에서 연속이므로 (cid:100)(cid:100)f '(1) (cid:100)=``lim x 1 ⁄ f '(x) (cid:100)=``lim x 1 ⁄ x(x+4)(x-1)-2f(x) x-1 (cid:100)=``lim x 1 x(x+4)-2``lim 1 ⁄ x ⁄ (cid:100)=5-2 f '(1) f(x)-f(1) x-1 (∵ f(1)=0) 즉 f '(1)=5-2f '(1)에서 3 f '(1)=5 (cid:100)(cid:100)∴ f '(1)=;3%; 따라서 m=3, n=5이므로 (cid:100)(cid:100)m¤ +n¤ =9+25=34 264 `x L의 샴푸를 생산할 때의 한계 생산 비용은 (cid:100)(cid:100)f '(x)=-;6!; x+a (원) f '(900)=100에서(cid:100)(cid:100)-;6!;¥900+a=100 (cid:100)(cid:100)∴ a=250 따라서 f '(x)=-;6!; x+250이므로 p=f '(1200)=-;6!;¥1200+250=50 (cid:8951) 50 265 g(x)=(2x¤ -x)f(x)의 양변에 x=1을 대입 하면 (cid:100)(cid:100)g(1)=f(1) (cid:100)(cid:100)∴ lim 0 ⁄ h f(1+h)-g(1-h) 2h (cid:100)(cid:100)= ;2!; lim h 0 ⁄ (cid:100)(cid:100)= ;2!; lim h ⁄ 0 [ f(1+h)-f(1)+g(1)-g(1-h) h f(1+h)-f(1) h + g(1-h)-g(1) -h ] (cid:100)(cid:100)= { f '(1)+g'(1)} ;2!; 즉 { f '(1)+g'(1)}=23이므로(cid:100) ;2!; 본책 55쪽``…``57쪽 (cid:100)(cid:100)f '(1)+g'(1)=46 이때 f '(x)=3x¤ +2ax, g'(x)=(4x-1)f(x)+(2x2-x)f '(x)이므로 (cid:100)(cid:100)f '(1)=2a+3 (cid:100)(cid:100)g'(1)=3f(1)+f '(1)=3(a+4)+2a+3 =5a+15 (cid:100)(cid:100)∴ f '(1)+g'(1)=7a+18 즉 7a+18=46이므로(cid:100)(cid:100)7a=28 (cid:100)(cid:100)∴ a=4 (cid:8951) ④ 266 방정식 f(x)=k의 세 실근이 a, b, c이므로 f(x)-k=2(x-a)(x-b)(x-c) 로 놓을 수 있다. 따라서 f(x)=2(x-a)(x-b)(x-c)+k에서 f '(x)=2(x-b)(x-c)+2(x-a)(x-c) +2(x-a)(x-b) ∴ f '(b)=2(b-a)(b-c) 이때 b-a=AB”=3, c-b=BC”=4이므로 (cid:100)(cid:100)f '(b)=2¥3¥(-4)=-24 법 분 미 의 수 함 항 다 (cid:8951) ⑤ Ⅲ 함수 y=f(x)의 그래프 와 직선 y=k의 교점의 x좌표가 a이다. x=a가 방정식 Δ f(x)=k의 해이다. 함수 f(x)가 x=a에서 연속이다. (cid:8857) `f(a)와 f(x)가 lim a x ⁄ (cid:100) 각각 존재하고 (cid:100) `f(a)= f(x)가 lim a x ⁄ (cid:100) 성립한다. (cid:8951) 34 06 도함수의 활용 ⑴ 본책 57쪽 267 f(x)=x2+3이라 하면(cid:100)(cid:100)f '(x)=2x 점 (a, a2+3)에서의 접선의 기울기는 (cid:100)(cid:100)f '(a)=2a 따라서 접선의 방정식은 (cid:100)(cid:100)y-(a2+3)=2a(x-a), 즉 y=2ax-a2+3 이 직선이 점 (2, -2)를 지나므로 (cid:100)(cid:100)-2=4a-a2+3,(cid:100)(cid:100)a2-4a-5=0 (cid:100)(cid:100)(a+1)(a-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=5 (∵ a>0) (cid:8951) ⑤ 268 점 (1, 3)이 곡선 y=x‹ +ax¤ +b 위의 점이므 로 (cid:100)(cid:100)3=1+a+b(cid:100)(cid:100)∴ a+b=2 yy ㉠(cid:100)(cid:100) f (x)=x‹ +ax¤ +b라 하면(cid:100)(cid:100)f '(x)=3x¤ +2ax 점 (1, 3)에서의 접선의 기울기는 (cid:100)(cid:100)f '(1)=2a+3 따라서 접선의 방정식은 이 직선의 y절편이 4이므로 (cid:100)(cid:100)-2a=4(cid:100)(cid:100)∴ a=-2 (cid:100)(cid:100)y-3=(2a+3)(x-1), 즉 y=(2a+3)x-2a a=-2를 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)-2+b=2(cid:100)(cid:100)∴ b=4 ∴ ab=-8 (cid:8951) ② Ⅲ. 다항함수의 미분법 57 D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:50 PM 페이지58 SinsagoHitec 269 f(x)=-x‹ +2x+3이라 하면 (cid:100)(cid:100)f '(x)=-3x¤ +2 점 (1, 4)에서의 접선의 기울기는(cid:100)(cid:100)f '(1)=-1 따라서 접선 l의 방정식은 y-4=-(x-1), 즉 y=-x+5 직선 m은 기울기가 1이고 점 P(1, 4)를 지나므로 직 선 m의 방정식은 (cid:100)(cid:100)y-4=x-1, 즉 y=x+3 m 두 직선 y=ax+b, y=cx+d가 ① 평행하다 (cid:100) (cid:8857) a=c, b+d ② 일치한다 (cid:100) (cid:8857) a=c, b=d ③ 수직이다 (cid:100) (cid:8857) ac=-1 (cid:100)(cid:100)∴ -2'30) 따라서 a=2, b=2¤ +2¥2+4=12이므로 (cid:100)(cid:100)a+b=14 (cid:8951) 14 290 f(x)=;4!;x¤ 이라 하면 (cid:100)(cid:100)f '(x)=;2!;x 점 (2, 1)에서의 접선의 기울기는(cid:100)(cid:100)f '(2)=1 따라서 직선 l의 방정식은 (cid:100)(cid:100)y-1=x-2, 즉 y=x-1 점 P는 직선 l과 직선 y=-2의 교점이므로 (cid:100)(cid:100)P(-1, -2) ● 30% 점 P에서 곡선 y=;4!;x¤ 에 그은 접선의 접점의 좌표를 {a, ;4!;a¤ }이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(a)= a이므로 접선의 방정식은 ;2!; y-;4!;a¤ = ;2!; a(x-a), 즉 y=;2!;ax-;4!;a¤ 이 직선이 점 P(-1, -2)를 지나므로 법 분 미 의 수 함 항 다 Ⅲ {n log n-(n-1) log (n-1)} =;N+@1 =(2 log 2-0)+(3 log 3-2 log 2) =+y+(10 log 10-9 log 9) =10 log 10=10 (cid:8951) 10 a>0, a+1, M>0, N>0일 때 ① loga M N =loga M-loga N ② loga Mk=k loga M (cid:100) (단, k는 실수) 287 f(x)=x« 이라 하면(cid:100)(cid:100)f '(x)=nxn-1 접점의 좌표를 (a, an)이라 하면 이 점에서의 접선의 기 울기는 f '(a)=nan-1이므로 접선의 방정식은 y-a« =nan-1 (x-a)(cid:100) 이 직선이 점 (1, 0)을 지나므로 -a« =nan-1(1-a),(cid:100)(cid:100)an-1(n-na+a)=0 a>0이므로 n-na+a=0 (cid:100)(cid:100)∴ a= n n-1 따라서 g(n)=nan-1=n¥{ 이므로 n n-1 n-1 } = n« (n-1)n-1 log g(n)=;N+@1 ;N+@1 log n« (n-1)n-1 288 f (x)=x¤ +4라 하면(cid:100)(cid:100)f '(x)=2x 접점의 좌표를 (a, a¤ +4)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(a)=2a이므로 접선의 방정식은 y-(a¤ +4)=2a(x-a)(cid:100) 이 직선이 원점을 지나므로(cid:100)(cid:100)-(a¤ +4)=-2a¤ a¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ a=-2 또는 a=2 따라서 P(-2, 8)이므로 (cid:100)(cid:100)OP”="√(-2)¤ +8¤ =2'∂17 f '(-2)=-4에서 직선 PR의 기울기는 ;4!;이므로 직 선 PR의 방정식은 y-8=;4!;(x+2), 즉 y=;4!;x+:¡2¶: 이때 점 R는 y축 위의 점이므로(cid:100)(cid:100)R{0, :¡2¶:} 직각삼각형 POR에서 sin ;2Ω;= OP” OR” = 2'∂17 :¡2¶: = 4'∂17 17 1등급 |비|밀|노|트| -2=- a- a¤ ,(cid:100)(cid:100)a¤ +2a-8=0 ;2!; ;4!; (a+4)(a-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-4 또는 a=2 따라서 접점의 좌표는 (-4, 4), (2, 1)이다. ● 50% ` 이때 직선 m의 접점은 (-4, 4)이므로 구하 f '(2)=4이므로 직선 QR의 기울기는 - ;4!; 이다. 정식은 따라서 직선 QR의 방 는 기울기는 (cid:100)(cid:100) ¥(-4)=-2 ;2!; ● 20% (cid:8951) -2 291 조건 ㈎`에 의하여 f(x)=x‹ +ax (a는 상수) 로 놓으면 두 삼각형 POR와 QOR는 합동이므로 f '(x)=3x¤ +a (cid:100)∠PRO= ∠PRQ 점 (0, -16)에서 곡선 y=f(x)에 그은 접선의 접점의 (cid:100)y-8=- (x-2) ;4!; (cid:100)∴ y=- x+ ;4!; ;;¡2¶;; (cid:8951) ④ (cid:100)∴ R{0, ;;¡2¶;;} 곡선 y=x¤ +4가 y축에 대하여 대칭이므로 직선 OP와 직선 OQ도 y축에 대하여 대칭이고 직선 PR와 직선 QR도 y축에 대 하여 대칭이다. 따라서 점 R는 y축 위의 점이다. (cid:100)∠PRO= ;2!; h 2 f(-x)=-f(x)가 성 립하므로 f(x)는 기함 수이다. 289 ;aB; 는 원점과 점 P(a, b)를 잇는 직선의 기울 기이므로 의 값이 최소인 경우는 직선 OP와 곡선 ;aB; y=x2+2x+4가 접할 때이다. f(x)=x¤ +2x+4라 하면(cid:100)(cid:100)f '(x)=2x+2 접점 P(a, b), 즉 (a, a2+2a+4)에서의 접선의 기울 좌표를 (t, t‹ +at)라 하면 접선의 기울기는 f '(t)=3t¤ +a이므로 접선의 방정식은 (cid:100)(cid:100)y-(t‹ +at)=(3t¤ +a)(x-t), 즉 (cid:100)(cid:100)y=(3t¤ +a)x-2t‹ 이 직선이 점 (0, -16)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)-2t‹ =-16,(cid:100)(cid:100)t‹ =8(cid:100)(cid:100)∴ t=2 따라서 접점의 좌표는 (2, 8+2a)이고 이 점이 x축 위 에 있으므로 (cid:100)(cid:100)8+2a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-4 Ⅲ. 다항함수의 미분법 61 0 0 0 D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:50 PM 페이지62 SinsagoHitec 따라서 f(x)=x‹ -4x이므로 (cid:100)(cid:100)f(3)=27-12=15 (cid:8951) ③ 292 f(x)=x‹ -3x¤ +2라 하면 (cid:100)(cid:100)f '(x)=3x¤ -6x 접점의 좌표를 (t, t‹ -3t¤ +2)라 하면 이 점에서의 접 선의 기울기는 f '(t)=3t¤ -6t이므로 접선의 방정식은 y-(t‹ -3t¤ +2)=(3t¤ -6t)(x-t), 즉 (cid:100)(cid:100)y=(3t¤ -6t)x-2t‹ +3t¤ +2 이 직선이 점 (a, 2)를 지나므로 2=(3t¤ -6t)a-2t‹ +3t¤ +2 2t‹ -3(a+1)t¤ +6at=0 t {2t¤ -3(a+1)t+6a}=0 이때 접선이 오직 한 개 존재하려면 이차방정식 2t¤ -3(a+1)t+6a=0이 허근을 가져야 하므로 이 이 차방정식의 판별식을 D라 하면 (cid:100)(cid:100)D=9(a+1)¤ -48a<0 3a¤ -10a+3<0,(cid:100)(cid:100)(3a-1)(a-3)<0 ∴ ;3!;0) t=-1을 ㉡에 대입하면(cid:100)(cid:100)a=1 ● 20% 따라서 t=-1일 때, 즉 점 (-1, 3)에서 공통인 접선 을 갖고 접선의 기울기는 f '(-1)=g '(-1)=-2이 므로 공통인 접선의 방정식은 y-3=-2(x+1), 즉 y=-2x+1 ∴ b=-2, c=1 ` ∴ a+b+c=0 62 정답 및 풀이 294 f(x)=x‹ +ax라 하면 (cid:100)(cid:100)f '(x)=3x¤ +a 접점의 좌표를 (t, t‹ +at)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(t)=3t¤ +a이므로 접선의 방정식은 y-(t‹ +at)=(3t¤ +a)(x-t), 즉 (cid:100)(cid:100)y=(3t¤ +a)x-2t‹ yy ㉠(cid:100)(cid:100) 직선 ㉠은 직선 y=8x-16과 일치하므로 3t¤ +a=8, -2t‹ =-16 ∴ t=2, a=-4 따라서 접점의 좌표는 (2, 0)이고, 이 점은 곡선 -2t‹ =-16에서 (cid:100)t‹ =8(cid:100)(cid:100)∴ t=2 3t¤ +a=8에서 (cid:100)a=8-3t¤ =8-3¥2¤ =-4 접선이 오직 한 개 존 재하려면 접점이 오직 한 개 존재해야 하므로 이 방정식이 한 개의 실근을 가져야 한다. t=2, a=-4이므로 (cid:100)t‹ +at=2‹ -4¥2=0 y=2x¤ +b 위의 점이므로 0=8+b(cid:100)(cid:100)∴ b=-8 즉 y=x‹ -4x, y=2x¤ -8이므로 x‹ -4x=2x¤ -8에서 (cid:100)(cid:100)x‹ -2x¤ -4x+8=0 (x+2)(x-2)¤ =0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=2 m=-2, n=0 ∴ m+n=-2 (cid:8951) ① 이므로 따라서 두 곡선의 접점이 아닌 교점의 좌표는 (-2, 0) (cid:8951) ① ● 50% ● 20% ● 30% (cid:8951) ;4(; 295 (cid:100)(cid:100)f '(x)=3x¤ f(x)=x‹ 이라 하면 접점의 좌표를 (t, t‹ )이라 하면 이 점에서의 접선의 기 울기는 f '(t)=3t¤ 이므로 접선의 방정식은 y-t‹ =3t¤ (x-t), 즉 y=3t¤ x-2t‹ 이 직선이 점 {;3$;, 0}을 지나므로 4t¤ -2t‹ =0,(cid:100)(cid:100)2t¤ (2-t)=0 (cid:100)(cid:100)∴ t=2 (∵ t>0) 따라서 공통인 접선의 방정식은 (cid:100)(cid:100)y=12x-16 ` ` 곡선 y=ax¤ 과 직선 y=12x-16이 접하므 로 ax¤ =12x-16, 즉 이차방정식 ax¤ -12x+16=0 이 중근을 가져야 한다. 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =6¤ -16a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=;4(; g(x)=ax¤ 이라 하면 (cid:100)(cid:100)g '(x)=2ax 곡선 y=g(x)와 직선 y=12x-16의 접점의 좌표를 (s, as¤ )이라 하면 as¤ =12s-16, 2as=12 (cid:100)(cid:100)∴ s=;3*;, a=;4(; (cid:100)2t¤ -t+1 =2{t- ;4!;}2 + ;8&; >0 점 (s, as¤ )은 직선 y=12x-16 위의 점 이므로 (cid:100)as¤ =12s-16 또 g'(s)=12이므로 (cid:100)2as=12 ● 30% ● 10% (cid:8951) 0 D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:50 PM 페이지63 SinsagoHitec 1등급 |비|밀|노|트| 갖는다. ⑴ 두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 x=t인 점에서 공통인 접선을 (cid:100) (cid:8857) f(t)=g(t), f '(t)=g'(t) ⑵ 두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 공통인 접선을 갖는다. (cid:100) (cid:8857) 곡선 y=f(x)의 접선이 곡선 y=g(x)에 접한다. 296 함수 f(x)는 닫힌 구간 [x, x+4]에서 연속이 고 열린 구간 (x, x+4)에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 f(x+4)-f(x) 4 =f '(c) 인 c가 구간 (x, x+4)에 적어도 하나 존재한다. xf(x™)이다. (cid:8857) f(x)는 감소한다. 304 f(x)=-x‹ +2x¤ +ax+3에서 f '(x)=-3x¤ +4x+a 함수 f(x)가 x¡f(x™)가 성립하려면 f(x)는 모든 실수 x에 대하여 감소해야 한다. 즉 모든 실수 x에 대하여 f '(x)…0이어야 하므로 이차 두 접선이 일치하려면 두 식㉡ , ㉢이 모두 성 립해야 한다. 따라서 식 ㉣과 등식 (a+b)(a¤ +b¤ -1)=0 이 모두 성립해야 한다. 방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =2¤ +3a…0(cid:100)(cid:100)∴ a…-;3$; 따라서 a의 최댓값은 -;3$;이다. (cid:8951) ④ 305 f(x)=x3+ax2+bx+1에서 (cid:100)(cid:100)f '(x)=3x2+2ax+b 함수 f(x)가 감소하는 구간이 (-1, 2)이므로 부등식 f '(x)<0, 즉 3x2+2ax+b<0의 해가 -10,(cid:100)(cid:100)(a+3)(a-9)>0 ∴ a<-3 또는 a>9 (cid:8951) ② 309 f(x)=x› -4x‹ +2ax¤ +5에서 f '(x)=4x‹ -12x¤ +4ax =4x(x¤ -3x+a) f(x)가 극댓값을 가지려면 삼차방정식 f '(x)=0이 서 로 다른 세 실근을 가져야 한다. 즉 이차방정식 x¤ -3x+a=0은 0이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식을 D라 하면 a+0, D=9-4a>0 ∴ a<0 또는 00이므로 함수 f(x)는 x=3에서 최댓값 18a+2b 를 갖고`, x=1에서 최솟값 -2a+2b를 갖는다. 즉 18a+2b=42, -2a+2b=2이므로 a=2, b=3(cid:100)(cid:100)∴ ab=6 (cid:8951) 6 312 f(x)=x‹ -3x¤ +k에서 f '(x)=3x2-6x=3x(x-2) f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=2 (∵ 1…x…3) x 1 f '(x) f(x) k-2 y - ↘ 2 0 k-4 y + ↗ 3 k 즉 M=k, m=k-4이므로 M+m=16에서 (cid:100)(cid:100)k+k-4=16(cid:100)(cid:100)∴ k=10 (cid:8951) ③ 313 점 P의 좌표는 (a, -a¤ +6a)이므로 PQ”=-a¤ +6a Ⅲ. 다항함수의 미분법 65 따라서 자연수 a는 1, 2이므로 구하는 합은 따라서 함수 f(x)는 x=3에서 최댓값 k를 갖고, x=2 (cid:100)(cid:100)1+2=3 (cid:8951) ① 에서 최솟값 k-4를 갖는다. D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:50 PM 페이지66 SinsagoHitec OQ”=a이므로(cid:100)(cid:100)QR”=6-2a 따라서 직사각형 PQRS의 넓이를 S(a)라 하면 S(a)=(6-2a)(-a¤ +6a) =2a‹ -18a¤ +36a (00) 316 조건 ㈏`에 의하여 함수 f(x)의 역함수 g(x)가 존재하고, 삼차함수 f(x)의 최고차항의 계수가 양수이 므로 모든 실수 x에 대하여 f '(x)æ0이어야 한다. f '(x)=3x2+2ax+3-a2이므로 이차방정식 n+11 (cid:8951) -11 ● 10% 따라서 y={ f(x)}¤ 은 x=a, x=b, x=c에서 극값을 가지므로 극값을 갖는 점은 3개이다. (cid:8951) 3 증가한다. 주어진 그래프에서 함 수 f(x)는 x=b에서 극솟값을 갖고, 구간 (-¶, b)에서 감소하 고 구간(b, ¶)에서 f(a)=-6a‹ +c, f(-a)=6a‹ +c (cid:100)∴ f(a)+f(-a)=2c 삼차함수 f(x)의 그래프 가 원점에 대하여 대칭이 면 함수 f(x)가 기함수 이므로 (cid:100)f(x)=ax‹ +bx`(a+0) 로 놓을 수 있다. 본책 65쪽``…``66쪽 따라서 y=f '(x)의 그래프가 오 y y=f'{x} 른쪽 그림과 같아야 하므로 f '(-1)>0, f '(1)<0 f '(-1)=3-4k-4k¤ >0에서 (cid:100)(cid:100)(2k+3)(2k-1)<0 (cid:100)(cid:100)∴ - 0 1 -1 å O ∫ x ● 30% yy ㉠(cid:100)● 20% ∴ k<- 또는 k> ;2!; ;2#; yy ㉡(cid:100)● 20% ` ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 324 f(x)=3x‹ +ax¤ +bx+c에서 (cid:100)(cid:100)f '(x)=9x¤ +2ax+b 조건 ㈎``에서 두 점 (a, f(a)), (b, f(b))를 잇는 선분 의 중점의 좌표가 (0, 1)이므로 (cid:100)(cid:100) =0, a+b 2 f(a)+f(b) 2 =1 ∴ b=-a, f(a)+f(b)=2 따라서 이차방정식 f '(x)=0의 해는 a, -a이므로 근 과 계수의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)- =0, =-a¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=0, b=-9a¤ 2a 9 b 9 f(x)=3x‹ -9a¤ x+c이므로 f(a)+f(-a)=2에서 (cid:100)(cid:100)2c=2(cid:100)(cid:100)∴ c=1 조건 ㈏`에서 | f(a)-f(-a)|=;9$;이므로 (cid:100)(cid:100)|12a‹ |=;9$;,(cid:100)(cid:100)12a‹ =—;9$;,(cid:100)(cid:100)a‹ =—;2¡7; (cid:100)(cid:100)∴ a=—;3!; 따라서 b=-9a¤ =-1이므로 (cid:100)(cid:100)a+b+c=0 (cid:8951) 0 325 f(x)=x‹ +3ax¤ +bx+2에서 f '(x)=3x¤ +6ax+b f(x)가 극값을 갖지 않으려면 이차방정식 f '(x)=0이 중근 또는 허근을 가져야 하므로 판별식을 D라 하면 (cid:100)(cid:100) =9a2-3b…0(cid:100)(cid:100)∴ bæ3a2 D 4 a=1일 때, 3…b…20이므로 순서쌍 (a, b)는 18개 a=2일 때, 12…b…20이므로 순서쌍 (a, b)는 9개 Ⅲ. 다항함수의 미분법 67 ¤ D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:50 PM 페이지68 SinsagoHitec aæ3일 때, bæ3a2을 만족시키는 20 이하의 자연수 b 는 존재하지 않는다. 따라서 구하는 순서쌍 (a, b)의 개수는 (cid:100)(cid:100)18+9=27 (cid:8951) ④ 326 f(x)=;4!;x› +ax‹ +bx¤ +2x에서 f '(x)=x‹ +3ax¤ +2bx+2 주어진 조건에서 방정식 f '(x)=0은 한 실근 -2와 중 근 c를 가지므로 f '(x)=(x+2)(x-c)¤ f '(x)=x‹ +(2-2c)x¤ +(c¤ -4c)x+2c¤ 따라서 3a=2-2c, 2b=c¤ -4c, 2=2c¤ 이므로 a=0, b=-;2#;, c=1 (∵ c>0) ∴ a+b+c=-;2!; 327 f(x)=x‹ +3(a-1)x¤ -3(a-3)x에서 f '(x)=3x¤ +6(a-1)x-3(a-3) f(x)가 x…0에서 극값을 갖지 않는 경우는 다음과 같 다. ⁄ f(x)가 모든 실수 x에서 극값을 갖지 않는 경우 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 (cid:100)(cid:100) =9(a-1)¤ +9(a-3)…0 D 4 (cid:100)(cid:100)a¤ -a-2…0,(cid:100)(cid:100)(a+1)(a-2)…0 (cid:100)(cid:100)∴ -1…a…2 ¤ f(x)가 x>0에서 극값을 모두 갖는 경우 이차방정식 f '(x)=0이 서로 다른 두 양의 실근을 >0에서(cid:100)(cid:100)a<-1 또는 a>2 yy ㉠(cid:100)(cid:100) 가져야 하므로 D 4 (cid:100)(cid:100)a<1 (cid:100)(cid:100)a<3 (두 근의 합)=-2(a-1)>0에서 (두 근의 곱)=-(a-3)>0에서 ㉠, ㉡, ㉢에서(cid:100)(cid:100)a<-1 ⁄, ¤에서 a…2이므로 a의 최댓값은 2이다. yy ㉡(cid:100)(cid:100) yy ㉢(cid:100)(cid:100) (cid:8951) ④ 328 f(x)=(a-2)x‹ +3bx¤ -3ax+1에서 f '(x)=3(a-2)x¤ +6bx-3a 함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 이차방정식 f '(x)=0이 중근 또는 허근을 가져야 하므로 판별식을 D라 하면 =(3b)¤ +9a(a-2)…0 D 4 a¤ -2a+b¤ …0(cid:100)(cid:100)∴ (a-1)¤ +b¤ …1 68 정답 및 풀이 (cid:100)2t¤ +2t+5 =2{t+ ;2!;}2 + ;2(; >0 2=2c¤ 에서 (cid:100)c=1 (∵ c>0) 3a=2-2=0이므로 (cid:8951) ③ (cid:100)a=0 2b=1-4=-3이므로 (cid:100)b=- ;2#; t f '(t) f (t) y - ↘ 1 0 극소 y + ↗ 이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 서로 다른 두 양의 실근을 가 지려면 ① b¤ -4ac>0 ② - >0 ;aB; ③ >0 ;aC; 이때 a<1이므로 점 (a, b)가 나타내는 영역은 반지름의 길이 가 1인 반원의 내부이다. 따라서 구하는 넓이는 ;2!;¥p¥1¤ = p 2 b 1 O -1 1 2 a (cid:8951) ;2“; 점 P의 좌표를 (t, t2+1)이라 하면 2 2 +BP” 329 (cid:100)(cid:100)AP” (cid:100)=(t-2)2+(t2+1)2+(t-8)2+(t2+1)2 (cid:100)=2t4+6t2-20t+70 ● 40% f(t)=2t4+6t2-20t+70이라 하면 ` (cid:100)(cid:100)f '(t)=8t3+12t-20 =4(t-1)(2t2+2t+5) f '(t)=0에서(cid:100)(cid:100)t=1 ` 따라서 f(t)는 t=1에서 극소이면서 최소이 므로 구하는 최솟값은 (cid:100)(cid:100)f(1)=2+6-20+70=58 ● 40% ● 20% (cid:8951) 58 330 f(x)=-ax‹ +3x¤ 에서 (cid:100)(cid:100)f '(x)=-3ax¤ +6x=-3x(ax-2) f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=0 또는 x= ⁄ æ4, 즉 0;2!;일 때 ;a@; x f '(x) f(x) 0 0 0 y + ↗ 2 a 0 4 y - ↘ 극대 48-64a 따라서 함수 f(x)는 x=4에서 최솟값 48-64a를 가지므로 (cid:100)(cid:100)48-64a=-80(cid:100)(cid:100)∴ a=2 ⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)a=2 따라서 f(x)=-2x‹ +3x¤ 이고 f(x)는 x= ;a@; x=1에서 극대이면서 최대이므로 구하는 최댓값은 , 즉 (cid:100)(cid:100)f(1)=1 (cid:8951) ③ D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:50 PM 페이지69 SinsagoHitec 331 오른쪽 그림과 같이 내접 하는 원뿔의 밑면의 반지름의 길 8-y 이를 x, 높이를 y라 하면 (8-y) : x=8 : 4 (cid:100)(cid:100)∴ y=8-2x 내접하는 원뿔의 부피를 V(x)라 하면 x y 4 V(x)=;3!;¥p¥x¤ ¥(8-2x)=-;3@;px‹ +;3*;px¤ ∴ V'(x)=-2px¤ +;;¡3§;;px=-2px {x-;3*;} V'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=;3*; (∵ 00 D 4 이므로 f '(x)=0은 서로 다른 두 실근을 갖는다. 따라서 함수 f(x)는 항상 극댓값과 극솟값을 갖는다는 것 을 알 수 있다. 338 f(x)=x3+ax2+bx+c, g(x)=x2+dx+e (a, b, c, d, e는 상수)로 놓으면 (cid:100)(cid:100)f '(x)=3x2+2ax+b, g'(x)=2x+d 주어진 그래프에서 y=f '(x)의 그래프와 x축의 교점 의 x좌표가 0, 2이므로 (cid:100)(cid:100)f '(x)=3x(x-2)=3x2-6x (cid:100)(cid:100)∴ a=-3, b=0 70 정답 및 풀이 미분가능한 함수 F(x) 에 대하여 F'(a)=0이 고 x=a의 좌우에서 F'(x)의 부호가 ① 양에서 음으로 바뀌면 (cid:8857) F(x)는 x=a에서 ② 음에서 양으로 바뀌면 (cid:8857) F(x)는 x=a에서 극대 극소 좌표평면 위의 두 점 A(x¡, y¡), B(x™, y™)에 대하여 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점 을 (a, b)라 하면 (cid:100)a= mx™+nx¡ m+n , (cid:100)b= my™+ny¡ m+n (cid:100)a‹ -b‹ =(a-b)(a¤ +ab+b¤ ) =(a-b){(a+b)¤ -ab} y 8 y=F{x} O 8 3 2 x - 40 27 또 직선 y=g'(x)가 원점을 지나므로(cid:100)(cid:100)g'(0)=0 (cid:100)(cid:100)∴ d=0 (cid:100)(cid:100)∴ f(x)=x3-3x2+c, g(x)=x2+e ㄱ. f '(x)=g'(x)를 만족시키는 x의 값을 0, k (k>2) 라 하면 F'(x)=f '(x)-g'(x)이므로 (cid:100)(cid:100)F'(0)=F'(k)=0 이고, x=0의 좌우에서 함수 F'(x)의 부호가 양에 서 음으로 바뀌므로 F(x)는 x=0에서 극댓값을 갖 는다. 또 x=k의 좌우에서 함수 F'(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 F(x)는 x=k에서 극솟값을 갖는 다. 따라서 함수 F(x)는 극값을 갖는다. ㄴ. f '(x)=3x2-6x, g'(x)=2x이므로 (cid:100)(cid:100)F'(x)=f '(x)-g'(x)=3x2-8x (cid:100)(cid:100)∴ F'(2)=12-16=-4 ㄷ. F(x)=f(x)-g(x)=x3-4x2+c-e F(2)=0이므로(cid:100)(cid:100)-8+c-e=0 (cid:100)(cid:100)∴ c-e=8 따라서 F(x)=x3-4x2+8이므로 방정식 x3-4x2+8=0의 모든 실근의 곱은 -8이다. 이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. (cid:8951) ⑤ ㄷ. F(2)=0이면 F(x)=x3-4x2+8이므로 (cid:100)(cid:100)F'(x)=3x¤ -8x=x(3x-8) F'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=0 또는 x= x F'(x) F(x) y + ↗ 0 0 8 ;3*; y - ↘ 8 3 0 - ;2$7); y + ↗ 따라서 방정식 F(x)=0은 서로 다른 세 실근을 갖는다. 339 점 P의 좌표를 (x, x¤ -x-2)라 하면 ¤ =(x-8)¤ +(x¤ -x-5)¤ =x› -2x‹ -8x¤ -6x+89 PA” f(x)=x› -2x‹ -8x¤ -6x+89라 하면 f '(x)=4x‹ -6x¤ -16x-6 =2(x+1)(2x+1)(x-3) f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-1 또는 x=-;2!; 또는 x=3 x y -1 y - f '(x) - f(x) ↘ 0 90 + ↗ 1 2 0 1445 16 y - ↘ 3 0 26 y + ↗ PA” ¤ 의 값이 최소일 때 PA”의 값이 최소이고, PA”의 값이 최소일 때 원의 넓이가 최소이다. PA” ¤ 의 최솟값은 26이다. 따라서 원의 넓이의 최솟값은 따라서 함수 f(x)는 x=3에서 극소이면서 최소이므로 D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:50 PM 페이지71 SinsagoHitec S=p¥{ PA” 2 ¤ = } PA” 4 13 p= p 2 ∴ 60S 13p = 60 13p ¥ 13 2 p=30 (cid:8951) 30 08 도함수의 활용 ⑶ 본책 69쪽 340 x‹ -2x¤ -4x+k=0에서 (cid:100)(cid:100)x‹ -2x¤ -4x=-k f(x)=x‹ -2x¤ -4x라 하면 f '(x)=3x¤ -4x-4=(3x+2)(x-2) f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-;3@; 또는 x=2 x f '(x) f(x) y + ↗ -;3@; 0 ;2$7); y - ↘ 2 0 -8 y + ↗ 따라서 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 주어 진 방정식이 서로 다른 두 개 의 양근과 한 개의 음근을 가 지려면 -8<-k<0 (cid:100)(cid:100)∴ 01에서 f '(x)>0이므로 f(x)는 증가 한 이때 f (1)=n+1-(n+1)= 이므로 x>1에서 0 다. (cid:100)(cid:100)f (x)>0 ∴ nxn+1+1>(n+1)xn ∴ ㈎ xn-1(x-1) ㈏ 증가 ㈐ 0 (cid:8951) ③ 법 분 미 의 수 함 항 다 Ⅲ 344 f(x)=x3+ax2-a2x+2a2이라 하면 (cid:100)(cid:100)f '(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)(3x-a) (cid:8951) ⑤ f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x= (∵ xæ0) ;3A; x 0 f '(x) f(x) 2a¤ y - ↘ ;3A; 0 - a‹ +2a¤ 5 27 y + ↗ 따라서 f(x)는 x= 에서 극소이면서 최소이고, 최솟 ;3A; 값 - a3+2a2을 갖는다. ;2∞7; 이때 주어진 부등식이 항상 성립하려면 f{;3A;}æ0이어 야 하므로(cid:100)(cid:100)- a3+2a2æ0 ;2∞7; a2>0이므로(cid:100)(cid:100)- a+2æ0(cid:100)(cid:100)∴ a… ;2∞7; ;;∞5¢;; 따라서 자연수 a의 최댓값은 10이다. (cid:8951) ③ 345 물체를 던진 지 t초 후의 속도를v 라 하면 v= =-10t+30 dx dt Ⅲ. 다항함수의 미분법 71 ¤ D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:50 PM 페이지72 SinsagoHitec 물체가 최고 높이에 도달할 때의 속도는 0이므로 -10t+30=0(cid:100)(cid:100)∴ t=3 t=3일 때 물체의 높이는 -5¥3¤ +30¥3+10=55(m) 따라서 최고 높이에 도달할 때까지 움직인 거리는 55-10=45(m) (cid:8951) ⑤ 1등급 |비|밀|노|트| 물체가 최고 높이에 도달했을 때, 지면으로부터의 높이가 55 m 이므로 물체가 움직인 거리는 45 m이다. 지면으로부터의 높이와 움직인 거리를 혼동하지 않도록 주의한다. 346 점 P의 시각t 에서의 속도를 v, 가속도를 a라 하 면 (cid:100)(cid:100)v= =3t2-16t+16=(3t-4)(t-4) dv (cid:100)(cid:100)a= =6t-16 dt (cid:100)(cid:100)t= 또는 t=4 dx dt ;3$; ;3$; 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0이므로 즉 t= 일 때 점 P는 첫 번째로 운동 방향을 바꾸고 t=4일 때 두 번째로 운동 방향을 바꾼다. 따라서 t=4일 때 점 P의 가속도는 (cid:100)(cid:100)6¥4-16=8 (cid:8951) 8 347 f(t)=t‹ +4t¤ +4t, g(t)=t¤ +13t라 하자. 두 점 P, Q의 시각t에서의 속도를 각각 v∏, vŒ라 하면 (cid:100)(cid:100)v∏=f '(t)=3t¤ +8t+4, vŒ=g '(t)=2t+13 이때 tæ0에서 f '(t)>0, g'(t)>0이므로 (cid:100)(cid:100)v∏>0, vŒ>0 ㄱ. 두 점 P, Q가 만나려면 f(t)=g (t)이어야 하므로 (cid:100)(cid:100)t‹ +4t¤ +4t=t¤ +13t,(cid:100)(cid:100)t(t¤ +3t-9)=0 (cid:100)(cid:100)∴ t= (∵ t>0) -3+3'5 2 따라서 두 점 P, Q는 출발한 후 한 번 만난다. ㄴ. v∏-vŒ=3t¤ +6t-9=3(t+3)(t-1)(cid:100)(cid:100) 0vŒ이므로 (cid:100)(cid:100)|v∏|>|vŒ| 따라서 점 P의 속력이 점 Q의 속력보다 크다. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. -3+3'5 2 >1이고, t>1에서 vP-vQ>0이 므로(cid:100)(cid:100)vP>vQ (cid:8951) ③ 351 (cid:100)(cid:100)x=0 또는 x=2 또는 x=3 f '(x)=0에서 x y f '(x) - 0 0 y + 2 0 y - 3 0 y + f (x) ↘ 극소 ↗ 극대` ↘ 극소` ↗ (cid:100)(cid:100)∴ |v∏|<|vŒ| 다 크다. -3+3'5 2 -3+3'5 2 72 정답 및 풀이 D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:50 PM 페이지73 SinsagoHitec O 1 3 x 따라서 f(x)는 x=1에서 극대이면서 최대이므로 최댓 이때 f(0)<0, f(3)=0이므 y y=f{x} 1등급 |비|밀|노|트| 로 y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같다. ● 50% 방정식 f(x)+x=2, 즉 f (x)=-x+2의 실근은 함 수 y=f(x)의 그래프와 직선 O 2 3 x y=-x+2 y=-x+2의 교점의 x좌표와 같으므로 방정식 f(x)+x=2의 양근의 개수는 1, 음근의 개수는 1이다. ` 따라서 a=1, b=1이므로 (cid:100)(cid:100)a-b=0 352 f '(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3) f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=1 또는 x=3 사차방정식 f(x)+x=2는 2개의 실근과 2개의 허근을 갖는다. ● 40% ● 10% (cid:8951) 0 y - ↘ y 2 3 0 -2 y + ↗ y=|f{x}| (cid:100)x¤ +x+2 ;2!;}2 + ={x+ 이므로 f '(x)=0에서 >0 ;4&; y=n (cid:100)x=1 x f '(x) f(x) y + ↗ 1 0 2 따라서 함수 y=|f(x)|의 그 래프는 오른쪽 그림과 같다. 방정식 |f(x)|=n의 서로 다 른 실근의 개수는 y=|f(x)| 의 그래프와 직선 y=n의 교 -2 점의 개수와 같으므로 (cid:100)(cid:100)a¡=6, a™=4, an=2 (næ3) (cid:100)(cid:100)∴ an=6+4+2¥8=26 (cid:8951) ③ 10 ¡n=1 353 f(x)=x‹ +5라 하면(cid:100)(cid:100)f '(x)=3x¤ 접점의 좌표를 (t, t‹ +5)라 하면 접선의 기울기는 f '(t)=3t¤ 이므로 접선의 방정식은 y-(t‹ +5)=3t¤ (x-t) 이 직선이 점 (1, a)를 지나므로 (cid:100)(cid:100)a-t‹ -5=3t¤ (1-t) ∴ 2t‹ -3t¤ +a-5=0 yy ㉠(cid:100)(cid:100) 점 (1, a)에서 곡선 y=x‹ +5에 세 개의 접선을 그을 수 있으려면 삼차방정식 ㉠이 서로 다른 세 실근을 가져 야 한다. g(t)=2t‹ -3t¤ +a-5라 하면 g '(t)=6t¤ -6t=6t(t-1) g '(t)=0에서(cid:100)(cid:100)t=0 또는 t=1 t g '(t) g(t) y + ↗ 0 0 a-5 y - ↘ 1 0 a-6 y + ↗ 세 개의 접선을 그을 수 있다. (cid:8857) 서로 다른 세 개의 접점이 존재한다. (cid:8857) 삼차방정식 ㉠`이 서 로 다른 세 실근을 갖는다. 삼차방정식 g(t)=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면 g(0)g(1)<0,(cid:100)(cid:100)(a-5)(a-6)<0 (cid:100)(cid:100)∴ 50, f(b)<0이어야 하므로 (cid:100)(cid:100)f(a)f(b)<0 354 임의의 실수 x¡, x™에 대하여 f(x¡)…g (x™)가 성립하려면 f(x)의 최댓값을 M, g(x)의 최솟값을 m이라 할 때, M…m이어야 한다. f (x)=-x› -2x¤ +8x+5에서 f '(x)=-4x‹ -4x+8=-4(x‹ +x-2) =-4(x-1)(x¤ +x+2) f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=1 x f '(x) f (x) y + ↗ 1 0 10 y - ↘ 법 분 미 의 수 함 항 다 Ⅲ 값은 M=f(1)=10 g (x)=x¤ +4x+a=(x+2)¤ +a-4에서 함수 g (x) 는 x=-2에서 최솟값 a-4를 갖는다. (cid:100)(cid:100)∴ m=a-4 10…a-4에서(cid:100)(cid:100)aæ14 따라서 a의 최솟값은 14이다. 1등급 |비|밀|노|트| (cid:8951) 14 두 함수 f(x), g(x)에 대하여 ① 임의의 실수 x에 대하여 부등식 f(x)…g(x)가 성립한다. (cid:8857) F(x)=f(x)-g(x)로 놓으면F(x) …0이어야 하므로 (F(x)의 최댓값)…0임을 보인다. ② 임의의 실수 x¡, x™에 대하여 부등식 f(x¡)…g(x™)가 성립한 다. (cid:100) (cid:8857) f(x)의 최댓값을 M, g(x)의 최솟값을 m이라 할 때, M…m임을 보인다. 355 f(x)=x› -4x+a라 하면 f '(x)=4x‹ -4=4(x-1)(x¤ +x+1) x>1에서(cid:100)(cid:100)f '(x) > 0 따라서 x>1인 모든 실수 x에 대하여 f(x)> f(1) 이 므로 x>1에서 부등식 f(x)>0이 항상 성립하기 위한 필요충분조건은 f(1)=a-3æ0(cid:100)(cid:100)∴ aæ3 (cid:100)(cid:100)∴ ㈎ > ㈏ f(1) ㈐ aæ3 (cid:8951) ① Ⅲ. 다항함수의 미분법 73 D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:50 PM 페이지74 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100)∴ a+b=66 (cid:8951) 66 은 k-20이다. 356 f '(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2) f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-1 또는 x=2 x f '(x) f(x) y + ↗ -1 0 k+7 y - ↘ 2 0 k-20 y + ↗ x>-3에서 f(x)>0이려면(cid:100)(cid:100)f(-3)æ0 f(-3)=k-45이므로 (cid:100)(cid:100)k-45æ0(cid:100)(cid:100)∴ kæ45 따라서 정수 k의 최솟값은 45이므로(cid:100)(cid:100)a=45 x>1에서 f(x)>0이려면(cid:100)(cid:100)f(2)>0 (cid:100)(cid:100)k-20>0(cid:100)(cid:100)∴ k>20 따라서 정수 k의 최솟값은 21이므로(cid:100)(cid:100)b=21 두 점 P, Q의 시각t 에서의 속도를 357 각각 v∏, vŒ라 하면 v∏=4t-8, vŒ=t-6 v∏vŒ<0이므로 ` ` 두 점 P, Q가 서로 반대 방향으로 움직이면 (4t-8)(t-6)<0(cid:100)(cid:100)∴ 20) 점 P의 시각 t에서의 가속도를 v'(t)라 하면 (cid:100)(cid:100)v'(t)=2k(t-3)(cid:100)(cid:100)∴ v'(3)=0 따라서 t=3일 때, 점 P의 가속도는 0이다. 74 정답 및 풀이 ㄷ. f '(2)=f '(4)=0이고 t=2, t=4의 좌우에서 f '(t)의 부호가 바뀌므로 점 P는 t=2, t=4에서 운동 방향을 바꾼다. 즉 점P는 운동 방향을 2번 바 꾼다. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. (cid:8951) ③ 360 점 P의 시각 t에서의 x좌표는 (cid:100)(cid:100)x=;3@;t+;3@; ● 10% ` f(x)=x‹ 이라 하면(cid:100)(cid:100)f '(x)=3x¤ 접점의 좌표를 (a, a‹ )이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(a)=3a¤ 이므로 접선의 방정식은 y-a‹ =3a¤ (x-a), 즉 y=3a¤ x-2a‹ yy ㉠(cid:100)● 30% 이 직선이 점 P{;3@; t+;3@;, 0}을 지나므로 f(-3)=k-45, f(2)=k-20이므로 (cid:100)f(2)>f(-3) 따라서 xæ -3일 때 f(x)는 x=-3에서 최 솟값 k-45를 갖는다. x>1일 때 함수 f(x) 는 x=2에서 극소이면 서 최소이므로 최솟값 수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q가 ● 20% ① 같은 방향으로 움직인다. (cid:100) (cid:8857) (두 점의 속도의 곱) 3a¤ {;3@; t+;3@;}-2a‹ =0,(cid:100)(cid:100)2a‹ -2a¤ t-2a¤ =0 2a¤ (a-t-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=t+1 (∵ a+0) a=t+1을 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은 ② 반대 방향으로 움직인다. y=3(t+1)¤ x-2(t+1)‹ (cid:100) (cid:8857) (두 점의 속도의 곱) 이 직선의 y절편은 -2(t+1)‹ , 즉 -2t‹ -6t¤ -6t-2 >0 <0 이므로 Q(0, -2t‹ -6t¤ -6t-2) ● 30% 점 Q가 y축 위를 움직이는 속도를 v(t)라 하면 v(t)=(-2t‹ -6t¤ -6t-2)' =-6t¤ -12t-6 ` 따라서 t=3일 때의 점 Q의 속도는 v(3)=-96 1등급 |비|밀|노|트| 의 속도는 f '(t)이다. 의 속도는 g '(t)이다. ① x축 위의 점P의 시각t 에서의 좌표가 ( f(t), 0)이면 점 P ② y축 위의 점Q의 시각t 에서의 좌표가 (0, g(t))이면 점 Q ● 20% ● 10% (cid:8951) -96 20`cm 점 P의 속도를 v라 하면 (cid:100)v=f '(t) 이때 속력은 |v|이므로 |f '(t)|와 같다. y=f '(t)의 그래프는 이차함수의 그래프의 일부분이므로 y=f '(t) 의 그래프는 직선 t=3 에 대하여 대칭이다. 361 물을 채우기 시작한 지 t초 후의 수면의 반지름의 길이 를 r cm, 수면의 높이를 h cm라 하면 r : h=20 : 40 (cid:100)(cid:100)∴ r=;2!;h 이때 h=3t이므로(cid:100)(cid:100)r=;2#;t 물의 부피를 V라 하면 40`cm r`cm h`cm V=;3!;pr¤ h=;3!;p¥{;2#;t}2 ¥3t=;4(;pt‹ ∴ dV dt =;;™4¶;;pt¤ 15일품미적분Ⅰ해(050~082) 2014.11.3 5:54 PM 페이지75 SinsagoHitec 본책 71쪽``…``73쪽 에 의하여 두 근의 곱이 <0이므로 두 근의 부호가 서 ;2B; 수면의 높이가 30 cm일 때, 3t=30에서(cid:100)(cid:100)t=10 이차방정식 4x¤ +3ax+2b=0에서 근과 계수의 관계 따라서 t=10일 때의 부피의 변화율은 ;;™4¶;;p¥10¤ =675p(cm‹ /s) 362 t초 후의 두 선분AP , PB의 길이는 각각 (cid:100)(cid:100)2t cm, (12-2t) cm 두 선분AP , PB를 각각 지름으로 하는 두 원의 넓이는 (cid:8951) ④ 로 다르다. 이때 a0 x y f '(x) - a 0 y + 0 0 y - c 0 y + f(x) ↘ 극소 ↗ -b ↘ 극소 ↗ 각각 (cid:100)(cid:100)pt2 cm2, p(6-t)2 cm2 (cid:100)(cid:100)∴ S=36p-{pt2+p(6-t)2} =p{36-(2t2-12t+36)} =p(12t-2t2)(cm2) 양변을 t에 대하여 미분하면 (cid:100)(cid:100) =p(12-4t) dS dt 2AP”=PB”일 때, 2¥2t=12-2t에서 (cid:100)(cid:100)t=2 따라서 t=2일 때의 S의 변화율은 (cid:100)(cid:100)p(12-8)=4p (cm2/s) y 8 y=f{x} 호가 양에서 음으로 바 f '(0)=0이고 x=0의 좌우에서 f '(x)의 부 뀌므로 f(x)는 x=0에 서 극댓값을 갖고, f '(2)=0이고 x=2의 좌우에서 f '(x)의 부 호가 음에서 양으로 바 뀌므로 f(x)는 x=2에 서 극솟값을 갖는다. a O 2 x yy ㉡(cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ k=4 (cid:8951) 4 363 주어진 그래프에서 f(x)는 x=0에서 극댓값을 갖고, x=2에서 극솟값을 갖는다. f(0)=8이고, 방정식 f(x)=0 이 서로 다른 두 실근을 가지므 로 함수y=f(x) 의 그래프는 오 른쪽 그림과 같다. f(x)=k(x-a)(x-2)2 (k>0, a<0)이라 하면 f(0)=8이므로(cid:100)(cid:100)-4ak=8 yy ㉠(cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ ak=-2 f '(x)=k(x-2)2+2k(x-a)(x-2)이고, f '(0)=0 이므로 (cid:100)(cid:100)4k+4ak=0 ㉠을 ㉡에 대입하면 (cid:100)(cid:100)4k-8=0(cid:100)(cid:100)∴ k=2 k=2를 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)a=-1 따라서 f(x)=2(x+1)(x-2)2이므로 (cid:100)(cid:100)f(1)=2¥2¥1=4 364 f(x)=x› +ax‹ +bx¤ -b에서 f '(x)=4x‹ +3ax¤ +2bx =x(4x¤ +3ax+2b) 방정식 f '(x)=0이 서로 다른 세 실근 a, b, c를 가 지므로 이차방정식 4x¤ +3ax+2b=0은 0이 아닌 서 로 다른 두 실근을 갖는다. ㄱ. f(a)<-b, f(c)<-b이므로 (cid:100)(cid:100)f(a)+f(c)<-2b (cid:100)(cid:100)∴ f(a)+f(c) 2 <-b f(x)는 x=0에서 극댓 값 -b를 갖고, x=a, x=c에서 극솟값 f(a), f(c)를 가지므로 (cid:100)f(a)<-b, (cid:100)f(c)<-b ㄴ. [반례] y=f(x)의 그래프가 y y=f{x} 오른쪽 그림과 같으면 f(a)f(c)>0이지만 방정식 f(x)=0은 실근을 갖지 않 는다. -b å O ç x ㄷ. f(a)>0이고 f(c)<0이면 y y=f{x} y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같으므로 방정식 f(x)=0은 서로 다른 두 양 의 실근과 두 허근을 갖는다. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. -b å O ç x (cid:8951) ④ 법 분 미 의 수 함 항 다 Ⅲ 365 f(x)=x3-3x2+n이라 하면 (cid:100)(cid:100)f '(x)=3x2-6x=3x(x-2) f '(x)=0에서 (cid:100)(cid:100)x=0 또는 x=2 x -2 f '(x) f(x) n-20 y + ↗ 0 0 n 따라서 -2…x…2에서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림 과 같으므로 f(x)의 최댓값은 n, 최솟값은 n-20이다. |f(x)|<15에서 -150이므로 (cid:100)(cid:100)f(t)-g (t)>0(cid:100)(cid:100)∴ f (t)>g(t) 따라서 점 P가 점 Q보다 앞서 있으므로 점 Q는 점P 를 추월하지 못한다. Ⅲ. 다항함수의 미분법 75 (cid:8951) ② 따라서 50이므로 (cid:100)(cid:100)f '(t)>g '(t) 따라서 c0, b>0) ③ 조화평균 (cid:8857) 2ab a+b (cid:100)(cid:100)8+k=2(8+k)+1(cid:100)(cid:100)∴ k=-9 f(x)=4x2-9x+10이므로 (cid:100)(cid:100)f(2)=16-18+10=8 (cid:8951) 8 369 `lim h 0 ⁄ f(a+h)-f(a-h) h f(a+h)-f(a) h +lim h 0 ⁄ f(a-h)-f(a) -h =`lim h 0 ⁄ =2f '(a) 즉 2f '(a)=6이므로(cid:100)(cid:100)f '(a)=3 f(x)=x‹ +kx¤ -6x+3에서 f '(x)=3x¤ +2kx-6이 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 모든 므로 f '(a)=3a¤ +2ka-6=3 ∴ 3a¤ +2ka-9=0 a의 값의 합은(cid:100)(cid:100)- :™3;K; 즉 - =-3이므로(cid:100)(cid:100)k=;2(; :™3;K; (cid:8951) ;2(; 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하 370 므로 x=1에서 연속이다. 즉 f(1)= lim f(x)이므로 x (cid:100)(cid:100)1-4+a=b+3 1- ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ a=b+6 yy ㉠(cid:100)● 30% f(x)가 x=1에서 미분가능하므로 f(x)-f(1) x-1 x¤ -4x+a-(a-3) x-1 lim x 1+ ⁄ lim x 1+ ⁄ lim x 1- ⁄ lim x 1+ ⁄ lim x 1+ ⁄ f(x)-f(1) x-1 = lim x 1+ ⁄ = lim x 1+ ⁄ = lim x 1+ ⁄ = lim x 1- ⁄ = lim x 1- ⁄ = lim x 1- ⁄ (x-1)(x-3) x-1 (x-3)=-2 bx+3-(a-3) x-1 bx+3-(b+3) x-1 b(x-1) x-1 =b 에서(cid:100)(cid:100)b=-2 ● 50% ▶ 본책 74쪽 368 x의 값이a 에서 b까지 변할 때의 평균변화율 m 은 ㉠에서 a=b+6이므로 (cid:100)a-3=b+3 (cid:100)(cid:100)m= f(b)-f(a) b-a (cid:100)(cid:100)m= (4b¤ +kb+10)-(4a¤ +ka+10) b-a 76 정답 및 풀이 D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:50 PM 페이지77 SinsagoHitec ` ` b=-2를 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)a=4 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=2 ● 20% (cid:8951) 2 f(x)=[ x¤ -4x+a (xæ1) (x<1) bx+3 에서 (cid:100)(cid:100)f '(x)=[ 2x-4 (x>1) (x<1) b f(x)는 x=1에서 미분가능하므로 f '(x) ⁄ f '(x)= lim 1- x (2x-4)= lim 1- (cid:100)(cid:100)lim x 1+ (cid:100)(cid:100)lim x 1+ ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ b=-2 ⁄ ⁄ x b f(x)는 x=1에서 연속이므로 (cid:100)(cid:100)lim x 1- ⁄ f(x)=f(1) (cid:100)(cid:100)-2+3=-3+a(cid:100)(cid:100)∴ a=4 371 점 P(0, b)에서 곡선 y=f(x)에 이르는 거리 가 최소가 되는 점이 Q(a, f(a))이므로 선분 PQ와 곡 선 위의 점 Q에서의 접선은 서로 수직이다. 선분 PQ의 기울기는(cid:100)(cid:100) f(a)-b a 점 Q에서의 접선의 기울기는 f'(a)이므로 (cid:100)(cid:100) f(a)-b a ¥f'(a)=-1 (cid:100)(cid:100)∴ b=f(a)+ a f '(a) b ⁄ 0일 때 a 0이므로 ⁄ (cid:100)(cid:100)lim b ⁄ 0 ;bA; =lim a 0 ⁄ f(a)+ a 112 f '(a) a 1 (cid:100)(cid:100)lim b ⁄ 0 ;bA; =lim a 0 ⁄ f(a) a 112 + 1 112 f '(a) f(x)=x¤ +3x에서 f(0)=0이므로 lim a 0 ⁄ f(a) a =lim a 0 ⁄ f(a)-f(0) a =f '(0) f '(x)=2x+3이므로(cid:100)(cid:100)f '(0)=3 ∴ lim a ⁄ 0 [ f(a) a + 1 f '(a) ]=f '(0)+ 1 f '(0) =3+ = ;3!; ;;¡3º;; (cid:8951) ④ (cid:100)(cid:100)∴ lim ⁄ b 0 ;bA; = ;1£0; 372 f(x)=ax2+bx+c (a+0)라 하면 f '(x)=2ax+b이므로 주어진 등식에 대입하면 (cid:100)(cid:100)3(2ax+b)2-x(2ax+b) (cid:100)=10(ax2+bx+c)-4x-2 (cid:100)(cid:100)(12a2-2a)x2+(12ab-b)x+3b2 (cid:100)=10ax2+(10b-4)x+(10c-2) 위의 등식은 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 본책 73쪽``…``74쪽 (cid:100)(cid:100)12a2-2a=10a, 12ab-b=10b-4, (cid:100)(cid:100)3b2=10c-2 세 식을 연립하여 풀면 12a¤ -2a=10a에서 (cid:100)12a¤ -12a=0 (cid:100)12a(a-1)=0 (cid:100)∴ a=1 (∵ a+0) 12ab-b=10b-4에서 (cid:100)12b-b=10b-4 (cid:100)∴ b=-4 3b¤ =10c-2에서 (cid:100)48=10c-2 (cid:100)∴ c=5 (cid:100)(cid:100)a=1, b=-4, c=5 따라서 f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1이므로 f(x) 의 최솟값은 f(2)=1이다. (cid:8951) ③ 373 f(x)의 최고차항을 axμ (a+0)이라 하면 f '(x)의 최고차항은 maxm-1이므로 (x« -2)f '(x)의 최고차항은 maxn+m-1이다. (x« -2)f '(x)=f(x)에서 양변의 최고차항을 비교하면 (cid:100)(cid:100)maxn+m-1=axμ ma=a, n+m-1=m (cid:100)(cid:100)∴ m=1, n=1 따라서 f(x)는 일차함수이므로 f(x)=ax+b(a+0) 로 놓을 수 있다. f '(x)=a이므로(cid:100)(cid:100)(x-2)¥a=ax+b (cid:100)(cid:100)∴ b=-2a f(4)=3에서(cid:100)(cid:100)4a+b=3 yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) ㉠, ㉡`을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a= , b=-3 ;2#; 법 분 미 의 수 함 항 다 Ⅲ 따라서 f(x)= x-3이므로 ;2#; (cid:100)(cid:100) f(2)=0 (cid:8951) 0 (cid:8951) ③ (x-1)¤ 으로 나누었을 때의 나머지 g(x)는 일 차 이하의 다항식이다. 374 g(x)=ax+b (a, b는 상수)로 놓으면 (cid:100)(cid:100)f(x)=(x-1)2(x2+3x)+ax+b (cid:100)(cid:100)f '(x)=2(x-1)(x2+3x)+(x-1)2(2x+3)+a f(1)=-2, f '(0)=5이므로 (cid:100)(cid:100)a+b=-2, 3+a=5 두 식을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=2, b=-4 따라서 g(x)=2x-4이므로 (cid:100)(cid:100)g(2)=0 375 f(x)=(2x-a)(2x-b)(2x-c)에서 f '(x)=2(2x-b)(2x-c)+2(2x-a)(2x-c) (cid:100)(cid:100)∴ +2(2x-a)(2x-b) a¤ f '{;2A;} + + b¤ f '{;2B;} c¤ f '{;2C;} (cid:100)(cid:100)= a¤ 2(a-b)(a-c) + b¤ 2(b-a)(b-c) (cid:100)(cid:100)=+ c¤ 2(c-a)(c-b) (cid:100)f '{;2A;} =2(a-b)(a-c) (cid:100)+2(a-a)(a-c) (cid:100)+2(a-a)(a-b) =2(a-b)(a-c) 마찬가지로 (cid:100)f '{;2B;} =2(b-a)(b-c) (cid:100)f '{;2C;} =2(c-a)(c-b) ax¤ +bx+c =a'x¤ +b'x+c'이 x에 (cid:100)(cid:100)= 대한 항등식이면 (cid:100)a=a', b=b', c=c' a¤ (b-c)-b¤ (a-c)+c¤ (a-b) 2(a-b)(b-c)(a-c) (cid:100)(cid:100)= a¤ (b-c)-a(b¤ -c¤ )+bc(b-c) 2(a-b)(b-c)(a-c) (cid:100)(cid:100)= a¤ -a(b+c)+bc 2(a-b)(a-c) (cid:100)(cid:100)= (a-b)(a-c) 2(a-b)(a-c) = ;2!; (cid:8951) ;2!; Ⅲ. 다항함수의 미분법 77 D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:50 PM 페이지78 SinsagoHitec 376 주어진 등식에 x=0, y=0을 대입하면 (cid:100)(cid:100)f(0)=f(0)+f(0)+1 (cid:100)(cid:100)∴ f(0)=-1 f '(0)=2이므로 (cid:100)(cid:100)f '(0)=lim 0 ⁄ h (cid:100)(cid:100)f '(0)=lim 0 ⁄ h f '(3)=14이므로 (cid:100)(cid:100)f '(3)=lim 0 ⁄ h (cid:100)(cid:100)f '(3)=lim 0 ⁄ h (cid:100)(cid:100)f '(3)=lim 0 ⁄ h (cid:100)(cid:100)f '(3)=2+3k 즉 2+3k=14이므로 (cid:100)(cid:100)k=4 f(h)-f(0) h f(h)+1 h =2 f(3+h)-f(3) h f(3)+f(h)+3kh+1-f(3) h f(h)+1 h +3k (cid:8951) 4 377 점 (a, a)가 직선 y=-2x+3 위의 점이므로 (cid:100)(cid:100)a=-2a+3(cid:100)(cid:100)∴ a=1 (cid:100)(cid:100)∴ f(1)=1, f '(1)=-2 g(x)=x‹ f(x)라 하면(cid:100)(cid:100)g(1)=f(1)=1 g'(x)=3x¤ f(x)+x‹ f '(x)이므로 (cid:100)(cid:100)g'(1)=3f(1)+f '(1)=3-2=1 g(1)=1, g'(1)=1이므로 곡선 y=g(x) 위의 x=1 인 점에서의 접선의 방정식은 y-1=x-1, 즉 y=x (cid:8951) y=x 378 f(x)=x¤ 이라 하면(cid:100)(cid:100)f '(x)=2x 점 {;2!;, ;4!;}에서의 접선의 기울기는(cid:100)(cid:100)f '{;2!;}=1 따라서 점 {;2!;, ;4!;}을 지나고 접선에 수직인 직선의 방 정식은 y-;4!;=-{x-;2!;}, 즉 y=-x+;4#; ● 30% g(x)=-x› +3x+a라 하면 g'(x)=-4x‹ +3 곡선 y=g(x)와 직선 y=-x+;4#;의 접점의 좌표를 {t, -t+;4#;}이라 하면 (cid:100)(cid:100)g'(t)=-4t‹ +3=-1 t‹ =1(cid:100)(cid:100)∴ t=1 ` 접점의 좌표가 {1, -;4!;}이므로 (cid:100)(cid:100)g(1)=-;4!;,(cid:100)(cid:100)2+a=-;4!; (cid:100)(cid:100)∴ a=-;4(; ● 40% ● 30% (cid:8951) -;4(; 78 정답 및 풀이 f(a)=a이므로 (cid:100)f(1)=1 울기가 -2이므로 (cid:100)f '(1)=-2 x=1에서의 접선의 기 따라서 접점의 좌표가 (1, 3)이므로 접선의 방정식은 379 f(x)=x‹ -3x¤ +1이라 하면 (cid:100)(cid:100)f '(x)=3x¤ -6x 접점의 좌표를 (a, a‹ -3a¤ +1)이라 하면 접선의 기울 기는 f '(a)=3a¤ -6a이므로 접선의 방정식은 (cid:100)(cid:100)y-(a‹ -3a¤ +1)=(3a¤ -6a)(x-a) ∴ y=(3a¤ -6a)x-2a‹ +3a¤ +1 접선이 곡선과 접점 이외의 점에서는 만나지 않으므로 방정식 x‹ -3x¤ +1=(3a¤ -6a)x-2a‹ +3a¤ +1이 하나의 실근을 가져야 한다. x‹ -3x¤ -(3a¤ -6a)x+2a‹ -3a¤ =0에서 (cid:100)(cid:100)(x-a)¤ (x+2a-3)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=a 또는 x=-2a+3 즉 -2a+3=a이므로(cid:100)(cid:100)a=1 절편은 2이다. ∴ P(0, 2) 따라서 접선의 방정식이 y=-3x+2이므로 접선의 y 380 f(x)=x¤ +3x-1이라 하면 (cid:100)(cid:100)f '(x)=2x+3 접점의 좌표를 (a, a¤ +3a-1)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기가 5이므로 (cid:100)(cid:100)f '(a)=2a+3=5(cid:100)(cid:100)∴ a=1 y-3=5(x-1), 즉 y=5x-2 y=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)0=5x-2(cid:100)(cid:100)∴ x=;5@; 따라서 직선의 x절편은 ;5@;이다. 381 f(x)=;3!;x‹ -2x¤ +;3$;라 하면 f '(x)=x¤ -4x 접점의 좌표를 {a, ;3!;a‹ -2a¤ +;3$;}라 하 면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(a)=a¤ -4a=(a-2)¤ -4 이므로 접선의 기울기는 a=2일 때, 최솟값 -4를 갖는 따라서 구하는 접선은 점 (2, -4)를 지나고 기울기가 -4이므로 직선의 방정식은 y+4=-4(x-2), 즉 y=-4x+4 ● 30% (cid:8951) y=-4x+4 382 f(x)=x¤ 이라 하면 (cid:100)(cid:100)f '(x)=2x 점 P의 좌표를 (p, p¤ )이라 하면 점 P에서의 접선의 기울기는 f '(p)=2p이므로 접선의 방정식은 y-p¤ =2p(x-p), 즉 y=2px-p¤ yy ㉠(cid:100)(cid:100) 한편 g(x)=x¤ -2ax+2a¤ 이라 하면 (cid:100)(cid:100)g'(x)=2x-2a (cid:8951) ② (cid:8951) ④ ● 20% ● 50% 접선의 기울기가 1이므 로 접선에 수직인 직선 의 기울기는 -1이다. 다. ` D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:50 PM 페이지79 SinsagoHitec (cid:100)∴ q= a (∵ a+0) 조건 ㈎`에서 y=f(x)의 그래프는 직선 x=2에 대하여 본책 75쪽``…``76쪽 2k a+(a+1)=- , a(a+1)=2 3 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, k=;2(; 또는 a=1, k=-;2(; (cid:100)(cid:100)∴ k=;2(; (∵ k>0) (cid:8951) ;2(; f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d 386 (a, b, c, d는 상수)로 놓으면 (cid:100)(cid:100)f '(x)=4x3+3ax2+2bx+c 대칭이고, 조건 ㈏`에서 함수 f(x)는 x=4에서 극솟값 3을 가지므로 x=0에서도 극솟값 3을 갖는다. 또한 x=2에서 극댓값을 갖는다. ● 40% f '(x)=0의 세 실근이 0, 2, 4이므로 ` ` (cid:100)(cid:100)f '(x)=4x(x-2)(x-4) =4x3-24x2+32x 즉 3a=-24, 2b=32, c=0이므로 (cid:100)(cid:100)a=-8, b=16, c=0 (cid:100)(cid:100)d=3 (cid:100)(cid:100)∴ f(x)=x4-8x3+16x2+3 따라서 f(x)의 극댓값은 (cid:100)(cid:100)f(2)=16-64+64+3=19 f(4)=3이고 f(4)=f(0)이므로 f(0)=3에서 ● 40% ● 20% (cid:8951) 19 법 분 미 의 수 함 항 다 Ⅲ 점 Q의 좌표를 (q, q¤ -2aq+2a¤ )이라 하면 점 Q에 서의 접선의 기울기는 g'(q)=2q-2a이므로 접선의 방정식은 y-(q¤ -2aq+2a¤ )=2(q-a)(x-q) ∴ y=2(q-a)x+2a¤ -q¤ yy ㉡(cid:100)(cid:100) k=- (2a+1)이므로 a(a+1)=2에서 (cid:100)a¤ +a-2=0 (cid:100)(a+2)(a-1)=0 (cid:100)∴ a=-2 또는 a=1 ;2#; ;2(; (cid:100)k= (∵ k>0) p=q-a이므로 (cid:100)-(q-a)¤ =2a¤ -q¤ (cid:100)3a¤ =2aq ;2#; ;2#; (cid:100)∴ p= a-a= a ;2!; 이때 직선 ㉠, ㉡이 일치하므로 2p=2(q-a), -p¤ =2a¤ -q¤ ∴ p= a, q= a 1 2 3 2 , (cid:100)(cid:100)∴ P{;2A; PQ”='2에서(cid:100)(cid:100)PQ” a, ;4%;a¤ } a¤ 4 }, Q { 3 2 ¤ =2 a¤ ¤ +{;4%;a¤ - } 4 ¤ =2 3 2 a a- } 2 { a› +a¤ -2=0,(cid:100)(cid:100)(a¤ +2)(a+1)(a-1)=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=1 (∵ a>0) 383 주어진 등식을 만족시키는 상수 c는 두 점 (a, f(a)), (b, f(b))를 y y=f{x} 잇는 직선과 기울기가 같 은 접선의 접점의 x좌표 이다. a c¡ c™ O c£ b x 따라서 오른쪽 그림과 같 이 상수c의 값은 c¡, c™, c£의 3개이다. (cid:8951) 1 (cid:8951) 3 2이다. ㄴ. f '(x)=1-3x2…1이므로 임의의 실수 x¡, x™ (x¡0이므로 (cid:100)x>0 y ㉠ BH”<4, H’H'”=4, H’'C”<4이므로 BC”<4+4+4에서 BC”=2x (00이 므로 (cid:100)(cid:100)f '(b)f '(r)<0 ㄷ. f '(c)=0, 즉 [그림 2] 에서 (cid:100)(cid:100)f { a+b 2 }0 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각t 에서의 위치 x(t)의 그래프에서 x'(a)=0이면 (cid:8857) t=a에서 정지하거나 운동 방향을 바꾼다. 양변을 f(b)로 나누면 (cid:100)(cid:100)V'(1)=27(cm‹ /s) (cid:8951) ④ 따라서 t=1일 때의 정육면체의 부피의 변화율은 이때 f(b)>0이므로(cid:100)(cid:100)b-a=4 (cid:8951) 4 394 f(x)=x‹ -3abx+a‹ +b‹ (x>0)으로 놓으면 (cid:100)(cid:100)f '(x)=3(x¤ -ab)=3(x+'∂ab )(x-'∂ab ) f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x='∂ab (∵ x>0) 따라서 f(x)는 x= 에서 극소이면서 최소이므로 '∂ab 최솟값은 (cid:100)(cid:100)f('∂ab )=a‹ -2ab'∂ab+b‹ = 이때 ("≈a‹ -"≈b‹ )¤ æ0이므로 양수 c에 대하여 (cid:100)(cid:100)f(c)=a‹ +b‹ +c‹ -3abcæ0 ("≈a‹ -"≈b‹ )¤ (cid:100)(cid:100)∴ a‹ +b‹ +c‹ 3 æabc (cid:100)(cid:100)∴ ㈎ '∂ab ㈏ ("≈a‹ -"≈b‹ )¤ (cid:8951) ② (b-a) (cid:100)2= ;2!; (cid:100)∴ b-a=4 f '('∂ab )=0이고 x='∂ab 의 좌우에서 f '(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 x='∂ab 에서 극솟값을 갖는다. AB”=4t이므로 △ABC 가 정삼각형이 되는 순 간의 높이는 '3 2 (cid:100) ¥4t=2'3t 398 이고, 두 점 A, B의 좌표는 각각 A(t, 0), B(5t, 0)이 시각 t일 때, 점 P의 좌표는 (6t, 0) 다. f(x)=-2x(x-6t)=-2(x-3t)2+18t2이므로 (cid:100)(cid:100)C(3t, 18t2) ● 30% ` 삼각형 ABC의 넓이를 S(t)라 하면 (cid:100)(cid:100)S(t)= ¥4t¥18t2=36t3 ;2!; (cid:100)(cid:100)∴ S'(t)=108t2 ● 20% 한편 삼각형 ABC가 정삼각형일 때 높이는 2'3t이므 로 Ⅲ. 다항함수의 미분법 81 D1028일품미적분1_정(050-082) 2014.10.28 1:51 PM 페이지82 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100)2'3t=18t2(cid:100)(cid:100)∴ t= (∵ t>0) ` 따라서 삼각형 ABC가 정삼각형이 되는 순 ● 30% '3 9 간의 삼각형 ABC의 넓이의 변화율은 (cid:100)(cid:100)S'{ }=108¥{ }2 =108¥ ;2¡7; =4 '3 9 '3 9 ● 20% (cid:8951) 4 399 용하여 g(0), g'(0), g(1), g'(1)의 값을 구한다. 함수 f(x)의 연속성과 미분가능성을 이 함수 g(x)가 다항함수이므로 g'(x)가 존재하 g(x)=g(a)가 성립한다. 고 모든 실수 a에 대하여 lim a ⁄ x 다. 함수 f(x)가 x=0에서 연속이어야 하므로 f(x)=x‹ -3x¤ -9x+n에서 (cid:100)(cid:100)f '(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3) f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-1 또는 x=3 x f '(x) f(x) y + ↗ -1 0 n+5 y - ↘ 3 0 n-27 y + ↗ 따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극댓값 n+5를 갖고, x=3에서 극솟값 n-27을 갖는다. g(x)= [ f(x) ( f(x)æ0) (f(x)<0) 0 이므로 g(x)의 다항함수는 연속함수이 그래프의 개형은 다음 그림과 같다. f(x)의 극댓값이 n+5>0이므로 다음 그림과 같은 경우는 고 려하지 않는다. x x x [그림 1] [그림 2] [그림 3] 이때 g(x)가 미분가능하지 않은 점이 한 개이려면 [그림 2] 또는 [그림 3]과 같으므로 (극솟값)æ0이어야 x 한다. (cid:100)(cid:100)næ27 즉 f(3)=n-27æ0이어야 하므로 따라서 자연수 n의 최솟값은 27이다. (cid:8951) ④ 401 먼저 구하고, 점 P의 좌표를 (t, 0)이라 할 때 사각형 주어진 조건을 이용하여 상수 k의 값을 OPQC의 넓이를 t에 대한 식으로 나타낸다. 함수 f(x)는 x=2에서 극값을 가지므로 g '(x)도 다항함수이므 로 (cid:100) g '(x)=g'(a) lim a x ⁄ (cid:100)(cid:100)f '(2)=0 f '(x)=3x2+2kx에서 g¡(x)=ax¤ 으로 놓으면 g¡(1)=1에서(cid:100)(cid:100)a=1 이때 g¡'(x)=2x이고, g¡'(1)=2가 되어㉣ 을 만족시키지 않는다. (cid:8951) -4 등차중항 세 수a, b, c가 이 순서 대로 등차수열을 이룰 때 (cid:8857) b= a+c 2 (cid:100)(cid:100)f '(2)=12+4k=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-3 (cid:100)(cid:100)∴ f(x)=x‹ -3x¤ +5 점 P의 좌표를 (t, 0)이라 하면 (cid:100)(cid:100)Q(t, t‹ -3t¤ +5) 따라서 (cid:8772)OPQC의 넓이를 S(t)라 하면 (cid:100)(cid:100)S(t)= t(t3-3t2+5+5) ;2!; ;2!; (cid:100)(cid:100)S(t)= t4- t3+5t (cid:100)(cid:100)∴ S'(t)=2t3- t2+5 ;2#; ;2(; AB”가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 (cid:100)(cid:100) PQ”= 5+1 2 =3 즉 PQ”=f(t)=3이므로 (cid:100)(cid:100)t3-3t2+5=3,(cid:100)(cid:100)t3-3t2+2=0 이때 OC”=5, AB”=f(2)=1이고, OC”, PQ”, 함수 f(x)가 x=a에서 (cid:100)(cid:100)(t-1)(t¤ -2t-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=1 (∵ 01) ( { 9 는 x=0에서 미분가능해야 하므로 f '(x) f '(x)= lim 0- x ⁄ g'(x)=0(cid:100)(cid:100)∴ g'(0)=0 yy ㉢(cid:100)(cid:100) 함수 f(x)는 x=1에서 미분가능해야 하므로 f '(x)= f '(x) lim 1- x ⁄ g'(x)(cid:100)(cid:100)∴ g'(1)=0 lim 1- x ⁄ ㉠, ㉢`에서 함수 g(x)는 x¤ 으로 나누어떨어지 yy ㉣(cid:100)(cid:100) 므로 g¡(x)=x¤ (ax+b)로 놓으면 ㉡에서 yy ㉤(cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100)a+b=1 g¡'(x)=2x(ax+b)+x¤ ¥a=3ax¤ +2bx이므로 ㉣에 서 (cid:100)(cid:100)g¡'(1)=3a+2b=0 ㉤, ㉥을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=-2, b=3 yy ㉥(cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100) lim 0+ x ⁄ lim 0+ x ⁄ lim 1+ x ⁄ (cid:100)(cid:100)0= 따라서 g¡(x)=x¤ (-2x+3)이므로 (cid:100)(cid:100)g¡(2)=-4 1등급 |비|밀|노|트| f(x)+0인 다항식 f(x)에 대하여 f(a)=0, f'(a)=0이면 f(x) 는 (x-a)¤ 을 인수로 갖는다. 따라서 f(x)=(x-a)¤ g(x) 꼴로 놓을 수 있다. 400 따라 g(x)의 그래프의 개형을 그려서 미분가능성을 알아 함수 f(x)의 극댓값과 극솟값의 부호에 본다. 82 정답 및 풀이 D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:51 PM 페이지83 SinsagoHitec 본책 78쪽``…``81쪽 407 : x¤ x-2 dx+: 3x-10 x-2 dx =: { x¤ x-2 + 3x-10 x-2 }dx =: x¤ +3x-10 x-2 dx=: (x-2)(x+5) x-2 dx =: (x+5)dx = x¤ +5x+C ;2!; (cid:8951) x¤ +5x+C ;2!; 408 f(x)=: (4ax3-4x+5)dx 257 f(x)=ax4-2x2+5x+C 이때 함수 y=f(x)의 그래프가 두 점 (0, -1), (1, 4) 를 지나므로(cid:100)(cid:100)f(0)=-1, f(1)=4 (cid:100)(cid:100)C=-1, a+C=1(cid:100)(cid:100)∴ C=-1, a=2 따라서 f(x)=2x4-2x2+5x-1, f '(x)=8x3-4x+5이므로 (cid:100)(cid:100)f '(-1)+f(-1)=1-6=-5 (cid:8951) ① 409 f(x)=: f '(x)dx=: (x¤ -1)dx = x‹ -x+C ;3!; 이때 f '(x)=x¤ -1=0에서(cid:100)(cid:100)x=-1 또는 x=1 x f '(x) f(x) y + ↗ -1 0 극대 y - ↘ 1 0 극소 y + ↗ 따라서 f(x)는 x=-1에서 극대이고, x=1에서 극소 법 분 적 의 수 함 항 다 Ⅳ f(-1)= +C= (cid:100)(cid:100)∴ C= ;3@; ;3&; ;3%; 즉 f(x)= x‹ -x+ 이므로 f(x)의 극솟값은 ;3%; ;3!; f(1)=1 (cid:8951) 1 410 f '(x)=ax(x-2)(a>0)로 놓으면 f(x)=: f '(x)dx=: ax(x-2)dx f(x)=: (ax¤ -2ax)dx= ;3!; ax‹ -ax¤ +C 주어진 y=f '(x)의 그래프에서 f(x)는 x=0에서 극 Ⅳ 다항함수의 적분법 09 부정적분 본책 80쪽 402 f(x)=(x3-6x2+ax+1)' =3x2-12x+a =3(x-2)2+a-12 따라서 f(x)는 x=2에서 최솟값 a-12를 가지므로 (cid:100)(cid:100)a-12=4(cid:100)(cid:100)∴ a=16 (cid:8951) 16 403 : (x-1) f(x)dx=x‹ +x-2이므로 d dx (x-1)f(x)=x‹ +x-2 =(x-1)(x¤ +x+2) 따라서 f(x)=x¤ +x+2이므로 (cid:100)(cid:100)f(2)=8 404 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 3x¤ -f(x)=3x¤ -4x+1 ∴ f(x)=4x-1 따라서 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 -1 그림과 같으므로 제 1, 3, 4 사분면을 지난다. (cid:8951) 8 y y=f{x} O 1 4 x (cid:8951) ④ 406 f(x)=: (x-2)(x2+x+1)dx 255 f(x)=+: (3x-2)(x2+x+1)dx 255 f(x)=: {(x-2)(x2+x+1) 255 f(x)=: +(3x-2)(x2+x+1)}dx 255 f(x)=: {(x-2)+(3x-2)}(x2+x+1)dx 255 f(x)=: 4(x-1)(x2+x+1)dx 255 f(x)=: (4x3-4)dx 255 f(x)=x4-4x+C f(0)=3이므로(cid:100)(cid:100)C=3 따라서 f(x)=x4-4x+3이므로 (cid:100)(cid:100)f(-1)=8 405 f(x)=: ax› dx-: bx¤ dx= ;5A; xﬁ - x‹ +C ;3B; f(0)=f(1)이므로(cid:100)(cid:100)C= - +C ;5A; ;3B; ;5A;=;3B; (cid:100)(cid:100)∴ = ;aB; ;5#; (cid:8951) ;5#; 각 부정적분의 적분상 수를 하나로 나타낸다. 이므로 f '(0)=0이고 x=0의 좌우에서 f '(x)의 부 호가 양에서 음으로 바 뀌므로 f(x)가 증가하 다가 감소한다. 또 f '(2)=0이고 x=2 의 좌우에서 f '(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 f(x)가 감소 대이고`, x=2에서 극소이므로 f(0)=5, f(2)=1 즉 C=5, - a+C=1이므로 ;3$; (cid:100)(cid:100)a=3, C=5(cid:100)(cid:100) 따라서 f(x)=x‹ -3x¤ +5이므로 (cid:8951) 8 하다가 증가한다. (cid:100)(cid:100)f(1)=3 (cid:8951) ③ Ⅳ. 다항함수의 적분법 83 D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:52 PM 페이지84 SinsagoHitec 411 f(x+y)=f(x)+y¤ +axy에서 f(x+y)-f(x)=y¤ +axy이므로 f(x+h)-f(x) h h¤ +axh h f '(x)= f '(x)= lim 0 h ⁄ lim 0 h ⁄ lim 0 h ⁄ f '(x)= (h+ax)=ax ∴ f(x)=: f '(x)dx=: ax dx ∴ f(x)= x¤ +C ;2A; 이때 f(-1)=4, f(2)=7이므로 도함수의 정의 f '(a)= f(x)-f(a) x-a lim a x ⁄ + C=4, 2a+C=7(cid:100)(cid:100)∴ a=2, C=3 ;2A; 따라서 f(x)=x¤ +3이므로 (cid:100)(cid:100)f(4)=19 (cid:8951) ⑤ 415 412 f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy+3에 x=0, y=0 을대입하면 f(0)=f(0)+f(0)+3(cid:100)(cid:100)∴ f(0)=-3 f '(0)=1이므로 f '(0)= lim 0 h ⁄ ∴ f '(x)= f(h)-f(0) h = lim 0 h ⁄ f(x+h)-f(x) h f(h)+3 h =1 ∴ f '(x)= f(x)+f(h)-3xh+3-f(x) h lim 0 h ⁄ lim 0 h ⁄ ∴ f '(x)= [ lim 0 h ⁄ ∴ f '(x)=-3x+1 f(h)+3 h - 3xh h ] ∴ f(x)=: f '(x)dx=: (-3x+1)dx ∴ f(x)=- x¤ +x+C f(0)=-3이므로(cid:100)(cid:100)C=-3 ∴ f(x)=- x¤ +x-3 ;2#; ;2#; (cid:8951) f(x)=- x¤ +x-3 ;2#; 413 F(x)=xf(x)-2x‹ +x¤ +3의 양변을 x에 대 하여 미분하면 (cid:100)(cid:100)f(x)=f(x)+xf '(x)-6x¤ +2x xf '(x)=6x¤ -2x (cid:100)(cid:100)∴ f '(x)=6x-2 ∴ f(x)=: f '(x)dx=: (6x-2)dx ∴ f(x)=3x¤ -2x+C f(1)=3이므로(cid:100)(cid:100)1+C=3(cid:100)(cid:100)∴ C=2 즉 f(x)=3x¤ -2x+2이므로 (cid:100)(cid:100)f(2)=10 (cid:8951) ② 84 정답 및 풀이 x{g(x)}¤ =x¥g(x)g(x) 이므로 x에 대하여 미 분하면 (cid:100)g(x)g(x) (cid:100)+xg'(x)g(x) (cid:100)+xg(x)g'(x) ={g(x)}¤ (cid:100)+2xg(x)g'(x) C는 적분상수이므로 항 상 0이라 할 수는 없다. 414 f(x)=: (4x¤ -3x+2)dx의 양변을 x에 대하 여 미분하면 f '(x)=4x¤ -3x+2 ∴ lim 2 x ⁄ = lim 2 x ⁄ f(x)-f(2) x¤ -4 f(x)-f(2) (x-2)(x+2) f(x)-f(2) x-2 ¥ = [ lim 2 x ⁄ = f '(2) ;4!; ;4!; = ¥12=3 1 x+2 ] (cid:8951) 3 ● 30% ● 40% ● 30% (cid:8951) -2 (cid:8951) 50 f(x)=: (x2+2x)dx d dx =x2+2x+C =(x+1)2+C-1 함수 y=f(x)의 그래프가 직선 y=3에 접하 므로 꼭짓점 (-1, C-1)은 직선y=3 위에 있다. 즉 ` ` (cid:100)(cid:100)C-1=3(cid:100)(cid:100)∴ C=4 (cid:100)(cid:100)∴ f(x)=x2+2x+4 (cid:100)(cid:100)x¤ +2x=0,(cid:100)(cid:100)x(x+2)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=0 따라서 모든 실근의 합은 (cid:100)(cid:100)-2+0=-2 이때 f(x)=4에서(cid:100)(cid:100)x2+2x+4=4 416 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 (cid:100)(cid:100)f(x)=: { g(x)}¤ dx+x{ g(x)}¤ 다시 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)={ g(x)}¤ +{ g(x)}¤ +2x g(x)g'(x) =2g(x){ g(x)+x g'(x)} g(0)=5이므로 f '(0)=2¥5¥5=50 417 ㄱ. : 0 dx=C ㄴ. [`반례`] f(x)=x, g(x)=x+1이면 ㄴ. f '(x)=1, g'(x)=1 ㄴ. 이므로 f '(x)=g'(x)이지만 f(x)+g(x)이다. ㄷ. : f(x)dx=: g(x)dx의 양변을 x에 대하여 미분 ㄴ. 하면 ㄴ. d dx d : f(x)dx= : g(x)dx dx ㄴ. ∴ f(x)=g(x) 이상에서 옳은 것은 ㄷ뿐이다. (cid:8951) ③ D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:52 PM 페이지85 SinsagoHitec 418 d dx { f(x)g(x)}=3x2+2x+1에서 (cid:100)(cid:100)f(x)g(x)=: (3x2+2x+1)dx (cid:100)(cid:100)f(x)g(x)=x3+x2+x+C x=1을 ㉠에 대입하면 (cid:100)(cid:100)f(1)g(1)=3+C=0 (cid:100)(cid:100)∴ C=-3 (cid:100)(cid:100)∴ f(x)g(x)=x3+x2+x-3 yy ㉠(cid:100)(cid:100) =(x-1)(x2+2x+3) 이때 f(1)=6, g(1)=0이고, f(x), g(x)는 상수함수 가 아닌 다항함수이므로 (cid:100)(cid:100)f(x)=x2+2x+3, g(x)=x-1 (cid:100)(cid:100)∴ f(2)-g(2)=11-1=10 (cid:8951) 10 419 f(x)=: {x+ ;2!; x¤ + ;3!; x‹ +y+ x10 } dx ;1¡0; = x¤ + ;2!; 1 2¥3 x‹ + 1 3¥4 x› =+y+ 1 10¥11 x11+C ∴ f(1)= + ;2!; 1 2¥3 + 1 3¥4 +y+ 1 10¥11 +C ∴ f(1)={1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;} ∴ f(1)=+y+{;1¡0;-;1¡1;}+C ∴ f(1)=1- +C= +C ;1¡1; ;1!1); f(1)=2이므로(cid:100)(cid:100) +C=2(cid:100)(cid:100)∴ C= ;1!1@; ∴ f(0)=C= (cid:8951) ⑤ ;1!1); ;1!1@; 420 `f '(x)=3x(x-a)=3x¤ -3ax에서 f(x)=: f '(x)dx=: (3x¤ -3ax)dx f(x)=x‹ - ax¤ +C ;2#; 한편` f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=0 또는 x=a ⁄ a>0일 때 x f '(x) f(x) y + ↗ 0 0 극대 y - ↘ a 0 극소 y + ↗ 본책 81쪽``…``83쪽 ¤ a<0일 때 x f '(x) f(x) y + ↗ a 0 극대 y - ↘ 0 0 극소 y + ↗ ¤ 따라서 f(x)는 x=a에서 극대이고`, x=0에서 극 소이므로 (cid:100)(cid:100)f(a)=3, f(0)=-1 ¤ - a‹ +C=3, C=-1 ;2!; ¤ ∴ a=-2, C=-1 ¤ 따라서 f(x)=x‹ +3x¤ -1이므로 ¤ (cid:100)(cid:100)f(2)=19 ⁄, ¤에서 f(x)=x-1, g(x)=x¤ +2x+3이면 (cid:100)f(1)=0 (cid:100)g(1)=6 이므로 조건을 만족시 키지 않는다. (cid:100)(cid:100)f(2)=-1 또는 f(2)=19 a=0이면(cid:100)(cid:100)f '(x)=3x¤ 따라서 x=0의 좌우에서 f '(x)의 부호가 바뀌지 않으므로 f(x)는 극값을 갖지 않는다. (cid:8951) ⑤ x y 0 y f '(x) + 0 + f (x) ↗ ↗ 미분가능한 함수 f(x)에 대하여 y=f(x)의 그래 프 위의 점(a, f(a))에 서의 접선의 방정식은 (cid:100)y-f(a)=f'(a)(x-a) (cid:100) lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ -4n¤ +2 n¤ +2n+1 2 12n¤ 1 12 n¤ -4+ 2 n 1 1+ + = -4+0 1+0+0 =-4 421 f '(x)=2x-1이므로 (cid:100)(cid:100)f(x)=: (2x-1)dx=x2-x+C f(1)=2이므로(cid:100)(cid:100)C=2 즉 f(x)=x2-x+2이므로 점 (n, f(n))에서의 접선 의 방정식은 (cid:100)(cid:100)y-f(n)=f '(n)(x-n) (cid:100)(cid:100)y-(n2-n+2)=(2n-1)(x-n) (cid:100)(cid:100)∴ y=(2n-1)x-n2+2 따라서 접선의 y절편은 -n2+2이므로 (cid:100)(cid:100)an=-n2+2 a™« (n+1)¤ (cid:100)(cid:100)∴ lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ = -(2n)¤ +2 (n+1)¤ -4n¤ +2 n¤ +2n+1 = lim ¶ n ⁄ =-4 (cid:8951) ② 법 분 적 의 수 함 항 다 Ⅳ 422 f '(x)=x(x+2)(x-2)=x‹ -4x이므로 f(x)=: f '(x)dx=: (x‹ -4x)dx f(x)= x› -2x¤ +C ;4!; ¤ 따라서 f(x)는 x=0에서 극대이고`, x=a에서 극 f '(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-2 또는 x=0 또는 x=2 소이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)f(0)=3, f(a)=-1 ¤ C=3, - a‹ +C=-1 ;2!; ¤ ∴ a=2, C=3 ¤ 따라서 f(x)=x‹ -3x¤ +3이므로 ¤ f(2)=-1 다항함수 y=f(x)의 그래프가 x축과 평행한 직선과 접하는 접점의 y좌표는 f(x)의 극댓 값 또는 극솟값이다. 이때 a+0이므로 (cid:100)f(-2)=f(2)=0 x y -2 y f '(x) - 0 + 0 0 y - 2 0 y + f(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘ 극소 ↗ 이때 y=f(x)의 그래프가 x=a (a+0)인 점에서 x 축에 접하므로 f(-2)=f(2)=0,(cid:100)(cid:100)-4+C=0(cid:100)(cid:100)∴ C=4 Ⅳ. 다항함수의 적분법 85 D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:52 PM 페이지86 SinsagoHitec ¤ x>0일 때, f '(x)=a(x-2)¤ -1 (a<0)로 놓으면 (cid:100)(cid:100)f(x)=: f '(x)dx=: {a(x-2)¤ -1} dx 그래프의 꼭짓점의 좌표 가 (p, q)인 이차함수는 (cid:100)y=a(x-p)¤ +q 즉 f(x)= x› -2x¤ +4이므로 ;4!; ;4(; f(-1)= , f(0)=4, f(1)= ;4(; 따라서 M=4, m= 이므로 ;4(; (cid:100)(cid:100)Mm=9 423 ⁄ f '(x)=-x+1이므로 ⁄ x<0일 때, (cid:8951) ④ (cid:100)(cid:100)f(x)=: f '(x)dx=: (-x+1)dx =-;2!;x¤ +x+C¡ f(-2)=0이므로(cid:100)(cid:100)-4+C¡=0(cid:100)(cid:100)∴ C¡=4 (cid:100)(cid:100)∴ f(x)=-;2!;x¤ +x+4 ● 30% =: (ax¤ -4ax+4a-1)dx = x‹ -2ax¤ +(4a-1)x+C™ ;3A; f(2)=0이므로(cid:100)(cid:100);3*;a-2+C™=0 (cid:100)(cid:100)∴ C™=2-;3*;a (cid:100)(cid:100)∴ f(x)= x‹ -2ax¤ +(4a-1)x+2- ;3A; lim 0- x ⁄ 이때 함수 f(x)는 x=0에서 연속이므로 (cid:100)(cid:100) f(x)= f(x)=f(0) lim 0+ x ⁄ lim 0+ x ⁄ lim 0- x ⁄ (cid:100)(cid:100) (cid:100)= x‹ -2ax¤ +(4a-1)x+2-;3*;a] [;3A; {- ;2!; x¤ +x+4} 2-;3*;a=4(cid:100)(cid:100)∴ a=-;4#; ● 30% ` 따라서 x>0에서 f(x)=- x‹ +;2#;x¤ -4x+4이므로 ;4!; (cid:100)(cid:100)f(4)=-4 a ;3*; ● 30% ● 10% (cid:8951) -4 424 f(x)가 x=-1에서 극댓값 3을 가지므로 (cid:100)(cid:100)f '(-1)=0, f(-1)=3 f '(-x)=f '(x)이므로(cid:100)(cid:100)f '(1)=0 f '(x)는 최고차항의 계수가 3인 이차함수이고 f '(-1)=0, f '(1)=0이므로 (cid:100)(cid:100)f '(x)=3(x+1)(x-1)=3x2-3 (cid:100)(cid:100)∴ f(x)=: (3x¤ -3)dx=x‹ -3x+C 86 정답 및 풀이 곱의 미분법 두 함수 f(x), g(x)가 미분가능할 때, (cid:100)y=f(x)g(x) (cid:8857) y'=f '(x)g(x) (cid:100)+f(x)g'(x) f(x)가 최고차항의 계 수가 1인 삼차함수이므 로 f '(x)는 최고차항 의 계수가 3인 이차함 수이다. f(-1)=3이므로 (cid:100)(cid:100)2+C=3(cid:100)(cid:100)∴ C=1 따라서 f(x)=x3-3x+1이므로 (cid:100)(cid:100)f(1)=-1 (cid:8951) ③ 425 에 x=0, y=0을 대입하면 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y) f(0)=f(0)+f(0)(cid:100)(cid:100)∴ f(0)=0 ● 10% f '(0)=2이므로 lim 0 h ⁄ f(h)-f(0) h = lim 0 h ⁄ f(h) h =2 ∴ f '(x)= f(x+h)-f(x) h lim 0 h ⁄ f(x)+f(h)+xh(x+h)-f(x) h f(h) h +x¤ +xh] = lim 0 h ⁄ = [ lim 0 h ⁄ =x¤ +2 (cid:100)(cid:100)∴ f(x)=: f '(x)dx=: (x¤ +2)dx = x‹ +2x+C ;3!; f(0)=0이므로(cid:100)(cid:100)C=0 ` 따라서 f(x)= x‹ +2x이므로 ;3!; (cid:100)(cid:100)f(3)=15 ● 20% ● 30% ● 30% ● 10% (cid:8951) 15 426 주어진 등식의 양변을 Dx로 나누면 =(3x¤ +4x+3)+(3x+2)Dx+(Dx)¤ Dy Dx ∴ f '(x) = lim Dx 0 ⁄ lim Dx 0 ⁄ =3x¤ +4x+3 = Dy Dx {3x¤ +4x+3+(3x+2)Dx+(Dx)¤ } ∴ f(x)=: f '(x)dx=: (3x¤ +4x+3)dx ∴ f(x)=x‹ +2x¤ +3x+C f(0)=-2이므로(cid:100)(cid:100)C=-2 따라서 f(x)=x‹ +2x¤ +3x-2이므로 (cid:100)(cid:100)f(2)=20 (cid:8951) ⑤ 427 (x‹ -1)'=3x¤ 이므로 (cid:100)(cid:100)(x‹ -1)f '(x)+3x¤ f(x) (cid:100)=(x‹ -1)f '(x)+(x‹ -1)'f(x) (cid:100)={(x‹ -1)f(x)} ' 따라서 {(x‹ -1)f(x)} '=2x-3이므로 (cid:100)(cid:100)(x‹ -1)f(x)=: (2x-3)dx=x¤ -3x+C D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:52 PM 페이지87 SinsagoHitec 본책 83쪽``…``84쪽 430 조건 ㈎`에서 d dx { f(x)g(x)}=f '(x)g(x)+f(x)g'(x)이므로 f(x)g(x)=: { f '(x)g (x)+f (x)g '(x)}dx f(x)g(x)=: (3x¤ -4x-19)dx f(x)g(x)=x‹ -2x¤ -19x+C x=0을 대입하면 (cid:100)(cid:100)f(0)g(0)=C(cid:100)(cid:100)∴ C=20 ∴ f(x)g(x)=x‹ -2x¤ -19x+20 =(x+4)(x-1)(x-5) 조건 ㈏`에서 f(0)=-4, g(0)=-5이므로 f(x)=(x+4)(x-1), g(x)=x-5 (cid:100)(f Á g)(x) =f(g(x)) =f(x-5) =(x-5+4)(x-5-1) =(x-1)(x-6) (cid:100)(cid:100)= (cid:100)(cid:100)∴ (cid:100)(cid:100)= lim 1 x ⁄ lim 1 x ⁄ lim 1 x ⁄ f(x)g(x) ( fΩg)(x) (x+4)(x-1)(x-5) (x-1)(x-6) (x+4)(x-5) x-6 =4 (cid:8951) 4 앞의 식에 x=1을 대입하면(cid:100)(cid:100)0=-2+C (cid:100)(cid:100)∴ C=2 따라서 (x‹ -1)f(x)=x¤ -3x+2이므로 x+1일 때 = (x-1)(x-2) (x-1)(x¤ +x+1) (cid:100)(cid:100)f(x)= (cid:100)(cid:100)f(x)= ∴ lim 2 x ⁄ x¤ -3x+2 x‹ -1 x-2 x¤ +x+1 x-2 f(x) = lim 2 x ⁄ x-2 x-2 x¤ +x+1 = (x¤ +x+1) lim 2 x ⁄ =7 (cid:8951) 7 1등급 |비|밀|노|트| 두 함수 f(x), g(x)에 대하여 h(x)=f(x)g'(x)+f '(x)g(x)이 면 (cid:100)(cid:100)h(x)={ f(x)g(x)} ' (cid:100)(cid:100)∴ : h(x)dx=f(x)g(x)+C (C는 적분상수) 428 f«≠¡(x)=: f«(x)dx에서 양변을 x에 대하여 미분하면 (cid:100)(cid:100)f«(x)={ f«≠¡(x)}' f¡º(x)=x11+x· +1이므로 fª(x)={ f¡º(x)}'=11x10+9x° f•(x)={ fª(x)}'=11¥10x· +9¥8x‡ ⋮ f¡(x)={ f™(x)}'=11¥10¥y¥3x¤ +9¥8¥y¥1 f(x)={ f¡(x)}'=11¥10¥y¥3¥2x ∴ f¡(2) f(2) = 11¥10¥y¥3¥2¤ +9¥8¥y¥1 11¥10¥y¥3¥2¥2 =1+ 1 11¥10¥2 = ;2@2@0!; (cid:8951) ④ 431 x>1일 때,(cid:100)(cid:100)f(x)=: (-1)dx=-x+C¡ -10)로 놓으면 x+1 d dx g'(x)= : g'(x)=f(x+1)-f(x) f(t)dt x =ax(x-3)-a(x-1)(x-4) =2a(x-2) g'(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=2 따라서 g(x)는 x=2에 서 극소이면서 최소이므 로 g(x)의 최솟값은 x y g'(x) - 2 0 y + g(x) ↘ 극소 ↗ g(2)=:@3 f(t)dt=:@3 a(t-1)(t-4)dt a=2b를 b=2a+ 에 ;3@; 대입하면 (cid:100)b=4b+ ;3@; (cid:100)3b=- ;3@; (cid:100)∴ b=- ;9@; (cid:100)∴ a=2b=- ;9$; g(2)=a:@3 (t¤ -5t+4)dt g(2)=a[;3!;t‹ -;2%;t¤ +4t]3@ g(2)=-;;¡6£;;a 즉 -;;¡6£;;a=-26이므로(cid:100)(cid:100)a=12 따라서 f(x)=12(x-1)(x-4)이므로 (cid:100)(cid:100)f(3)=-24 445 f(x)+:)1 xf(t)dt=x2에서 (cid:100)(cid:100)f(x)+x:)1 f(t)dt=x2 :)1 f(t)dt=k (k는 상수)로 놓으면 (cid:100)(cid:100)f(x)+kx=x2(cid:100)(cid:100)∴ f(x)=x2-kx 90 정답 및 풀이 (cid:100)(cid:100)∴ k=:)1 f(t)dt=:)1 (t2-kt)dt (cid:100)(cid:100)∴ k=[;3!; t3- t2 ]1)= ;3!; ;2K; - ;2K; 즉 - =k이므로(cid:100)(cid:100) k= ;3!; ;2K; ;2#; ;3!; (cid:100)(cid:100)∴ k= ;9@; 따라서 f(x)=x2- x이므로 ;9@; (cid:100)(cid:100)f(9)=79 (cid:8951) 79 446 :_1! g(t)dt=a, :_1! f(t)dt=b (a, b는 상수) 로 놓으면 (cid:100)(cid:100)f(x)=x¤ +a, g(x)=x+b ∴ a=:_1! (t+b)dt=2:)1 bdt ∴ b=:_1! (t¤ +a)dt=2:)1 (t¤ +a)dt ∴ b=2[;3!;t‹ +at]1)=;3@;+2a 즉 a=2b, b=2a+;3@;이므로 (cid:100)(cid:100)a=-;9$;, b=-;9@; 따라서 f(x)=x¤ -;9$;, g(x)=x-;9@;이므로 f(1)+g(1)=;9%;+;9&;=;3$; (cid:8951) ④ 447 :@/ f(t)dt=xg(x)+ax-4 yy ㉠(cid:100)(cid:100) ㉠의 양변에 x=0을 대입하면 :@0 f(t)dt=-4(cid:100)(cid:100)∴ :)2 f(t)dt=4 ∴ g(x)=:)2 x f(t)dt+3 ∴ g(x)=x:)2 f(t)dt+3 =4x+3 ㉠의 양변에 x=2를 대입하면 448 f(x)=:)/ (t-1)dt의 양변을 x에 대하여 미 분하면(cid:100)(cid:100)f '(x)=x-1 ∴ lim 0 x ⁄ ;[!;:@2 / f '(t)dt= f(2+x)-f(2) x lim 0 x ⁄ =f '(2) =2-1=1 (cid:8951) -9 (cid:8951) ④ (cid:8951) ⑤ g(x)=4x+3이므로 (cid:100)g(2)=11 (cid:100)(cid:100)∴ a=-9 0=2g(2)+2a-4,(cid:100)(cid:100)2¥11+2a-4=0 — D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:52 PM 페이지91 SinsagoHitec yy ㉠(cid:100)(cid:100) 452 lim ¶ n ⁄ n2(14+24+34+y+n4) (12+22+32+y+n2)(13+23+33+y+n3) 본책 87쪽``…``89쪽 449 xf(x)=x¤ +:_/! f(t)dt ㉠`의 양변에 x=-1을 대입하면 -f(-1)=1+:_-! 1 f(t)dt (cid:100)(cid:100)∴ f(-1)=-1 ㉠`의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)+x f '(x)=2x+f(x) x f '(x)=2x(cid:100)(cid:100)∴ f'(x)=2 ∴ f(x)=: f '(x)dx=: 2 dx=2x+C f(-1)=-1이므로(cid:100)(cid:100)-2+C=-1 (cid:100)(cid:100)∴ C=1 따라서 f(x)=2x+1이므로 F'(x)=f(x)로 놓으면 1 x lim 0 x ⁄ :!/ 1 f(t)dt= 1 x lim 0 x ⁄ [F(t)]/! — = lim 0 x ⁄ F(x+1)-F(1) x =F'(1)=f(1)=3 (cid:8951) 3 450 f(t)=t¤ +2t+2, F'(t)=f(t)로 놓으면 1 x-a lim a x ⁄ :A/ (t¤ +2t+2)dt = lim a x ⁄ = lim a x ⁄ 1 x-a :A/ f(t)dt F(x)-F(a) x-a =F'(a)=f(a) 즉 f(a)=a¤ +2a+2=4이므로 (cid:100)(cid:100)a¤ +2a-2=0 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 모든 실수 a의 값의 합은 -2이다. (cid:8951) ① 451 (n+2)¤ +(n+4)¤ +y+(n+2n)¤ {(n+2)¤ +(n+4)¤ +y+(n+2n)¤ } = (n+2k)¤ n ¡k=1 이므로 lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ 1 n‹ 1 n‹ = lim ¶ n ⁄ n ¡k=1 n ¡k=1 (n+2k)¤ (n+2k)¤ ¥ 1 n‹ = lim ¶ n ⁄ n ¡k=1 { n+2k n ¥ ;n!; }2 =;2!; lim ¶ n ⁄ n ¡k=1 {1+ }2 2k n ¥ ;n@; =;2!;:!3 x¤ dx=;2!;[;3!;x‹ ]3! =:¡3£: 이차방정식 a¤ +2a-2=0의 판별 식을 D라 하면 (cid:100) =1¤ -1¥(-2) D 4 (cid:100)(cid:100) =3>0 이므로 이 이차방정식 은 서로 다른 두 개의 실근을 갖는다. (cid:100) lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ 2n ¡k=1 2n ¡k=1 {1+ ;nK;}2 2k {1+ }2 2n ¥ ;n!; ¥ 2 2n 에서 2n=m으로 놓으 ¶일 때 4⁄ ¶이므로 면 n m 4⁄ (cid:100) lim ¶ m ⁄ m ¡k=1 2k {1+ }2 m ¥ 2 m =:)2 (1+x)¤ dx 1+ 를 x로 놓으면 2k n k=1, n ¶일 때 4⁄ (cid:100)x=1 k=n일 때 (cid:100)x=3 = lim ¶ n ⁄ n2¥ ( { 9 n› n k=1{;nK;} ; ¤ _n‹ n¤ n k=1{;nK;} ; n k=1{;nK;} ; ) } \ º = lim ¶ n ⁄ n k=1{;nK;} ;n!;; ¤ _ n k=1{;nK;} ;n!; ; n k=1{;nK;} ;n!;; = = :)1 x› dx :)1 x¤ dx_:)1 x‹ dx [;5!;xﬁ ]1) [;3!;x‹ ]1)_[;4!;x› ]1) ;5!; = ;3!;¥;4!; = ;;¡5™;; 453 ㄱ. lim ¶ n ⁄ 2n ¡k=1 {1+ k 2n ¥ ;n!; }2 2 = lim ¶ n ⁄ 2n ¡k=1 {1+ k 2n ¥ }2 1 2n 2:!2 x¤ dx = {1+ ;nK;}2 ¥ ;n!;=:)2 (1+x)¤ dx ㄴ. ㄷ. 2n ¡k=1 2n ¡k=1 lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ {1+ k 4n ¥ ;n!; }2 = 2 lim ¶ n ⁄ 2n ¡k=1 {1+;2!;¥ k 2n ¥ }2 1 2n 2:)1 {1+;2!;x}2 dx = 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ㄷ. 를 x로 놓으면 k 4n ㄷ.(cid:100)(cid:100) 2n ¡k=1 k {1+ }2 4n 1 n ¥ =4:) ;2!; (1+x)¤ dx lim ¶ n ⁄ k 4n ㄷ.1+ 를 x로 놓으면 ㄷ.(cid:100)(cid:100) lim ¶ n ⁄ 2n ¡k=1 k {1+ }2 4n 1 n ¥ =4:! ;2#; x¤ dx 법 분 적 의 수 함 항 다 Ⅳ (cid:8951) ;;¡5™;; (cid:8951) ② 454 선분 OA를 n등분하면 양 끝 점과 각 분점의 x좌표는 차례대로 이므로 적분 구간은 (cid:8951) :¡3£: [1, 3]이다. 0, 10 n , 20 n , y, 10(n-1) n , 10 Ⅳ. 다항함수의 적분법 91 — 1 › ‹ › ‹ D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:52 PM 페이지92 SinsagoHitec h˚=|x˚¤ -10x˚| 주어진 그래프에서 x˚¤ -10x˚<0이므로 (cid:100)h˚=-(x˚¤ -10x˚) =-x˚¤ +10x˚ = { lim ¶ n ⁄ = [ lim ¶ n ⁄ 8 n‹ 8 n‹ n ¡k=1 k+ k2+ n ¡k=1 16 n¤ n(n+1)(2n+1) 6 ¥ n ¡k=1 1} ;n^; = n(n+1) 2 + ;n^; 16 + ¥ n¤ n = [ lim ¶ n ⁄ 4( +1)(2n+1) 3n¤ + ¥n] 8(n+1) n +6] (cid:100)(cid:100)∴ h˚=-{ (cid:100)(cid:100)∴ h˚= 10 n k 10 n 100 n { k}2 +10¥ k¤ 12n k- } 따라서 구하는 넓이를 S라 하면 n-1 ¡k=1 h˚¥ 10 n n-1 ¡k=1 100 n k¤ {k- }¥ n 10 n 1000 n¤ n-1 ¡k=1 k¤ {k- } n (cid:100)(cid:100)S= (cid:100)(cid:100)S= (cid:100)(cid:100)S= (cid:100)(cid:100)S= (cid:100)(cid:100)S= (cid:100)(cid:100)S= lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ 500 3 1000 n¤ n(n-1) 2 [ n(n-1)(2n-1) 6n ] - 1000n(n-1)(n+1) 6n‹ k¤ (cid:100)(cid:100)∴ ㈎ k- (cid:100)㈏ (cid:100)㈐ n 10 n ;:%3):); (cid:8951) ① 455 S¡-S™의 값은 오른쪽 그림에서 색칠한 도형의 넓이의 y y=x@ 합과 같으므로 S¡-S™ n = { ¡k=1 k n ¥ }2 1 2n n =- { ¡k=1 2k-1 2n ¥ }2 1 2n n = [{ ¡k=1 k n }2 -{ 2k-1 2n }2 ]¥ 1 2n (4k-1) n(n+1) 2 -n] = = = n ¡k=1 1 8n‹ 1 8n‹ 2n+1 8n¤ [4¥ 따라서 2n+1 8n¤ (cid:100)(cid:100)2n¤ -50n-25æ0 …0.01에서 ∴ næ 25+"ç675 2 … O 3 2n 1 2n 2 2n 1 x 2n-1 2n f(x)=‡ 3 (x<0) -x+3 (xæ0) 의 x에 x+1을 대입하 면 (cid:100)f(x+1) 3 (x+1<0) -(x+1)+3 (x+1æ0) =‡ 3 (x<-1) -x+2 (xæ-1) =‡ 2n+1 8n¤ 2n+1 2n¤ … ;10!0; … ;2¡5; 2n¤ >0이므로 양변에 50n¤`을 곱해도 부등호 의 방향은 바뀌지 않는 다. 즉 (cid:100)50n+25…2n¤ (cid:100)∴ 2n¤ -50n-25æ0 x-k=0에서 x=k이 므로 x=k를 경계로 구간을 나누어 정적분 의 값을 각각 구한다. ∴ n=25.___(∵ n은 자연수) 따라서 구하는 자연수 n의 최솟값은 26이다. (cid:8951) ② 456 :!3 (x2+2x)dx 2 n [{1+ n ¡k=1 lim ¶ n ⁄ = k }2 +2{1+ }]¥ ;n@; 2k n = lim ¶ n ⁄ n ¡k=1 4k¤ 8k { + +3}¥ n n¤ ;n@; 92 정답 및 풀이 = +8+6 ;3*; = ;;∞3º;; (cid:100)(cid:100)∴ ㈎ 2(cid:100)㈏ n(cid:100)㈐ ;;∞3º;; 따라서 a=2, b= , f(n)=n이므로 ;;∞3º;; (cid:100)(cid:100)f(3b-a)=f(48)=48 (cid:8951) ③ (cid:8951) ① 457 f (x)=‡ 3 (x<0) -x+3 (xæ0) 이므로 (cid:100)(cid:100)f(x+1)=‡ 3 (x<-1) -x+2 (xæ-1) ∴ :_3# xf(x+1)dx -1 -3 =: 3x dx+:_3! x(-x+2)dx x‹ 3 =[;2#;x¤ ] +[- +x¤ ] -1 -1 -3 3 =-12-;3$;=-:¢3º: 1등급 |비|밀|노|트| 함수 f(x)=[ p(x)(x<0) q(x) (xæ0) 의 방향으로 m만큼 평행이동한 그래프의 식은 (cid:100)(cid:100)f(x-m)=[ p(x-m) (x3이면(cid:100)(cid:100)f(x)>0 조건 ㈐`에서 :_6! f(x)dx=10이므로 (cid:100)(cid:100):_3! f(x)dx+:#6 f(x)dx=10 yy ㉠(cid:100)(cid:100) -1 :_6! |f(x)|dx=14이므로 (cid:100)(cid:100):_3! {-f(x)}dx+:#6 f(x)dx=14 (cid:100)(cid:100)-:_3! f(x)dx+:#6 f(x)dx=14 yy ㉡(cid:100)(cid:100) ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 (cid:100)(cid:100):_3! f(x)dx=-2, :#6 f(x)dx=12 (cid:8951) 12 460 f(2-x)=f(2+x)를 만족시키므로 함수 y=f(x)의 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 그래프는 직선 x=2에 대하여 대칭이다. ● 30% 따라서 :)2 f(x)dx=:@4 f(x)dx=4, :$7 f(x)dx=:_0# f(x)dx=9이므로 ● 40% :)7 f(x)dx =:)2 f(x)dx+:@4 f(x)dx+:$7 f(x)dx =4+4+9=17 ● 30% (cid:8951) 17 ` ` ` (cid:100):_2@ (-4xﬁ -3x› )dx =:_2@ (-4xﬁ )dx (cid:100)+:_2@ (-3x› )dx =0+2:)2 (-3x› )dx =2:)2 (-3x› )dx 함수 y=f(x)의 그래 프의 개형은 다음 그림 과 같다. y=f{x} 3 6 x :_3! f(x)dx=A, :#6 f(x)dx=B라 하면 (cid:100)A+B=10 y ㉢ (cid:100)-A+B=14 y ㉣㉢+㉣을 하면 (cid:100)2B=24(cid:100)∴ B=12 B=12를 ㉢에 대입하 면(cid:100)(cid:100)A=-2 f(m-x)=f(m+x)이 면 함수 y=f(x)의 그래 프는 직선 x=m에 대하 여 대칭이다. 본책 89쪽``…``90쪽 461 함수 y=f (x)의 그래프와 y=f(-x)의 그래 프는 y축에 대하여 대칭이므로 :_0@ f(x)dx=:)2 f(-x)dx (cid:100)(cid:100)∴ :_2@ f(x)dx=:_0@ f(x)dx+:)2 f(x)dx =:)2 f(-x)dx+:)2 f(x)dx =:)2 { f(-x)+f(x)}dx =:)2 (6x› +5)dx g(-x)=4xﬁ -3x› 의 양변에 x 대신 -x를 대입하면 g(x)=-4xﬁ -3x› (cid:100)(cid:100)∴ :_2@ g(x)dx=:_2@(-4xﬁ -3x› )dx ∴ :_2@ g(x)dx=2:)2 (-3x› )dx ∴ :_2@ g(x)dx=:)2 (-6x› )dx (cid:100)(cid:100)∴ :_2@ { f(x)+g(x)}dx (cid:100)(cid:100)=:_2@ f(x)dx+:_2@ g(x)dx (cid:100)(cid:100)=:)2 5 dx=[5x]2)=10 ` 함수 y=g(x)의 그래프와 y=g(-x)의 (cid:8951) 10 그래프는 y축에 대하여 대칭이므로 (cid:100)(cid:100):_2@ g(x)dx=:_2@ g(-x)dx 법 분 적 의 수 함 항 다 Ⅳ 462 f(x)=px‹ +qx¤ +rx+s (p+0)라 하면 :_3# f(x)dx=:_3# (px‹ +qx¤ +rx+s)dx =:_2@ (4xﬁ -3x› )dx =2:)2 (-3x› )dx =2:)3 (qx¤ +s)dx x‹ +sx]3) =2[;3Q; =18q+6s ∴ 18q+6s (cid:100)(cid:100)=3f (a)+3f (b) (cid:100)(cid:100)=3p(a‹ +b‹ )+3q(a¤ +b¤ )+3r(a+b)+6s 위의 식이 임의의 실수 p, q, r, s에 대하여 성립하므로 a‹ +b‹ =0, a¤ +b¤ =6, a+b=0 (a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab이므로 0=6+2ab,(cid:100)(cid:100)ab=-3 (cid:100)(cid:100)∴ |ab|=3 (cid:8951) ② Ⅳ. 다항함수의 적분법 93 D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:52 PM 페이지94 SinsagoHitec 463 f(x)=:!/ 2f(t)dt ㉠의 양변에 x=1을 대입하면(cid:100)(cid:100)f(1)=0 yy ㉠(cid:100)(cid:100) ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 (cid:100)(cid:100)f '(x)=2f(x)(cid:100)(cid:100)∴ f(x)= f '(x) 2 이때 함수 y=f(x)의 그래프는 원점에 대하여 대칭이 므로 f(-2)=-4에서(cid:100)(cid:100)f(2)=4 (cid:100)(cid:100)∴ :!2 f(x)dx=:!2 f '(x) 2 dx (cid:100)(cid:100)∴ :!2 f(x)dx= ;2!;[f(x)]2! (cid:100)(cid:100)∴ :!2 f(x)dx= ;2!; { f(2)-f(1)} (cid:100)(cid:100)∴ :!2 f(x)dx= ;2!; (4-0)=2 (cid:8951) 2 464 ㄱ. F{;2!;}=:! f(t)dt=-:;2!;1 f(t)dt<0 ;2!; ㄴ. F(x)=:!/ f(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 (cid:100)(cid:100)F'(x)=f(x) F'(x)=f(x)=0에서 (cid:100)(cid:100)x=0 또는 x=2 x F'(x) F(x) y - ↘ 0 0 극소 y + ↗ 2 0 y + ↗ 따라서 F(x)는 x=0에서 극소이므로 극솟값은 (cid:100)(cid:100)F(0)=:!0 f(t)dt=-:)1 f(t)dt<0 따라서 F(x)의 극솟값은 음수이다. ㄷ. F(1)=0이므로 함수 y y=F{x} y=F(x)의 그래프의 개 형은 오른쪽 그림과 같다. (cid:100)(cid:100)∴ :)1 F(x)dx<0 이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. O 1 2 x (cid:8951) ⑤ 465 :_1! f(t)dt=a (a는 상수)로 놓으면 f(x)=a+2x+3x¤ +4x‹ +y+2015x2014 ● 20% ` ∴ a=:_1! (a+2t+3t¤ +4t‹ =:_1! (+y+2015t2014)dt =2:)1 (a+3t¤ +5t› +y+2015t2014)dt =2[at+t‹ +tﬁ +y+t2015 =2a+2014 ]1) 94 정답 및 풀이 즉 a=-2014이므로 (cid:100)(cid:100)f(x)=-2014+2x+3x¤ +4x‹ +y+2015x2014 ` ∴ :)1 f(x)dx =:)1 (-2014+2x+3x¤ +4x‹ =:)1 (+y+2015x2014)dx =[-2014x+x¤ +x‹ +x› +y+x2015 =-2014+2014=0 ● 50% ]1) ● 30% (cid:8951) 0 yy ㉠(cid:100)(cid:100) 466 주어진 등식`의 양변에 x=-1을 대입하면 0=1+a+b+1 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=-2 주어진 등식`에서 x:_/! f(t)dt-:_/! tf(t)dt =(x+2)‹ +a(x+2)¤ +b(x+2)+1 양변을 x에 대하여 미분하면 (cid:100)(cid:100):_/! f(t)dt+xf(x)-xf(x) (cid:100)=3(x+2)¤ +2a(x+2)+b (cid:100)(cid:100)∴ :_/! f(t)dt (cid:100)(cid:100)=3x¤ +(12+2a)x+12+4a+b yy ㉡(cid:100)(cid:100) ㉡`의 양변에 x=-1을 대입하면 0=3+2a+b (cid:100)(cid:100)∴ 2a+b=-3 ㉠, ㉢`을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=-1, b=-1 yy ㉢(cid:100)(cid:100) ∴ :_/! f(t)dt=3x¤ +10x+7 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=6x+10 ∴ :_a!b f '(x)dx=[f(x)]1_!=f(1)-f(-1) =16-4=12 (cid:8951) 12 467 F'(t)=f(t)로 놓으면 (cid:100)(cid:100) (cid:100)= lim 2 x ⁄ lim 2 x ⁄ x+1 x-2 x+1 x-2 :@/ f(t)dt [F(t)]/@ (cid:100)= [ lim 2 x ⁄ F(x)-F(2) x-2 ¥(x+1)] (cid:100)=3F'(2)=3f(2) (cid:100)=3:)2 |t¤ -4|dt=3:)2 (4-t¤ )dt (cid:100)=3[4t-;3!;t‹ ]2)=3¥;;¡3§;;=16 (cid:8951) ④ x=2의 좌우에서 F'(x), 즉 f(x)의 부 호가 바뀌지 않으므로 F(x)는 x=2에서 극 값을 갖지 않는다. ㉠-㉢을 하면 (cid:100)-a=1(cid:100)∴ a=-1 a=-1을 ㉠에 대입하 면(cid:100)(cid:100)b=-1 두 상수 a, b에 대하여 :Ab f(x)dx를 포함한 등식 (cid:8857) :Ab f(x)dx=k (k는 상수)로 놓는다. t3, t5, y, t2015에서 (cid:100)3, 5, y, 2015 를 수열{ an}이라 하면 일반항 an은 (cid:100)an=2n+1 ak=2015라 하면 (cid:100)2k+1=2015 (cid:100)∴ k=1007 따라서 t3, t5, y, t2015 의 항의 개수는 1007이 다. 0…t…2에서 t¤ -4…0이므로 (cid:100)|t¤ -4|=4-t¤ D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:52 PM 페이지95 SinsagoHitec 본책 90쪽``…``92쪽 즉 2:_0! f(x)dx=10이므로(cid:100)(cid:100):_0! f(x)dx=5 한편 f(-x)=f(x)에서 y=f(x)의 그래프가 y축에 대하여 대칭이므로 :)1 f(x)dx=:_0! f(x)dx=5 yy ㉡(cid:100)(cid:100) ㉠, ㉡에 의하여 :_4$ f(x)dx=2:)4 f(x)dx =2{:)1 f(x)dx+:!4 f(x)dx} =2(5+6)=22 (cid:8951) 22 n ¡k=1 {-1+ 2t+1 n ¥k}3 ¥ 2t+1 n 470 f(t)= lim ¶ n ⁄ 2t 024 f(t)=:_! x3dx 024 f(t)=[;4!; x4 2t _! ] 024 f(t)=4t4- (cid:100)(cid:100)∴ f '(t)=16t3 ;4!; (cid:100)(cid:100)∴ (cid:100)(cid:100)= lim -1 x ⁄ lim -1 x ⁄ f(x)-f(1) x¤ -x-2 f(x)-f(-1) (x-2)(x+1) (cid:100)(cid:100)= lim -1 x ⁄ [ f(x)-f(-1) x-(-1) ¥ 1 x-2 ] (cid:100)(cid:100)=- f '(-1) (cid:100)(cid:100)=- ¥(-16) ;3!; ;3!; (cid:100)(cid:100)= ;;¡3§;; 법 분 적 의 수 함 항 다 Ⅳ (cid:8951) ① 471 함수 f(x)가 모든 실수x에서 연속이므로 x=2와 x=-2에서 연속이어야 한다. 468 주어진 등식의 좌변에서 (cid:100)(cid:100):@/ 3(xt¤ -8)dt=:@/ (3xt¤ -24)dt (cid:100)(cid:100):@/ 3(xt¤ -8)dt=[xt‹ -24t]/@ (cid:100)(cid:100):@/ 3(xt¤ -8)dt=x› -32x+48 1 (x-2)« :@/ 3(xt¤ -8)dt (cid:100)(cid:100)∴ lim 2 x ⁄ x› -32x+48 (x-2)« (x-2)¤ (x¤ +4x+12) (x-2)« (cid:100)(cid:100)= (cid:100)(cid:100)= lim 2 x ⁄ lim 2 x ⁄ 즉 lim 2 x ⁄ n=2 (x-2)¤ (x¤ +4x+12) (x-2)¤ ∴ a= lim 2 x ⁄ lim 2 x ⁄ ∴ a=24 ∴ a= (x¤ +4x+12) ` ∴ =;;™2¢;;=12 a n (x-2)¤ (x¤ +4x+12) (x-2)« =a이고 a+0이므로 ● 40% ● 30% ● 20% ● 10% (cid:8951) 12 f(x)=4x› - 에서 ;4!; (cid:100) f(1)=f(-1) 1등급 |비|밀|노|트| (x-2)¤ (x¤ +4x+12) (x-2)« 에서 lim 2 x ⁄ ⁄ n=1이면 (cid:100)(cid:100) (cid:100)= lim 2 x ⁄ lim 2 x ⁄ ¤ næ3이면 (x-2)¤ (x¤ +4x+12) x-2 (x-2)(x¤ +4x+12)=0 (cid:100)(cid:100) lim 2 x ⁄ (x-2)¤ (x¤ +4x+12) (x-2)« x¤ +4x+12 (x-2)« —¤ (cid:100)= lim 2 x ⁄ ⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)n=2 (cid:8857) 발산 469 lim ¶ n ⁄ f {1+ }¥ n ¡k=1 n ¡k=1 3k n 3k n 2 n 3 n = lim ¶ n ⁄ f {1+ }¥ ¥;3@; =;3@;:!4 f(x)dx 즉 ;3@;:!4 f(x)dx=4이므로 (cid:100)(cid:100):!4 f(x)dx=6 (cid:100)(cid:100) (cid:100)= n ¡k=1 n ¡k=1 lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ f {-1+ }¥ k n k n 2 n 1 n f {-1+ }¥ ¥2 (cid:100)=2:_0! f(x)dx yy ㉠(cid:100)(cid:100) 1+ 를 x로 놓으면 3k n 3 n 은 dx이고 k=1, n ⁄ ¶이면 x=1, k=n이면 x=4이므로 적분 구간은 [1, 4]이다. -1+ 를 x로 놓으면 k n 은 dx이고 k=1, ¶ 이면 x=-1, ⁄ k=n이면 x=0이므로 적분 구간은 [-1, 0]이 1 n n 다. ㉠+㉡을 하면 (cid:100)4a=-8(cid:100)∴ a=-2 a=-2를 ㉠에 대입하면 (cid:100)-4+b=4(cid:100)∴ b=8 ⁄ x=2에서 연속일 때, (cid:100) (cid:100)(cid:100) f(x)=f(2) lim 2- x ⁄ lim 2- x ⁄ x -2+ lim ⁄ lim ⁄ x -2+ (cid:100) (cid:100)(cid:100) (-x¤ +ax+b)=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)-4+2a+b=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 2a+b=4 ¤ x=-2에서 연속일 때, (cid:100) (cid:100)(cid:100) f(x)=f(-2) (cid:100) (cid:100)(cid:100) (-x¤ +ax+b)=8 (cid:100) (cid:100)(cid:100)-4-2a+b=8 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 2a-b=-12 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 (cid:100)(cid:100)a=-2, b=8 yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) Ⅳ. 다항함수의 적분법 95 D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:52 PM 페이지96 SinsagoHitec (cid:8951) ③ (cid:100):)2 F(x+1)dx y=F(x+1)의 그래프 는 y=F(x)의 그래프 를 x축의 방향으로 -1 만큼 평행이동한 것이 므로 =:!3 F(x)dx y=F(x-1)의 그래프 는 y=F(x)의 그래프 를 x축의 방향으로 1만 큼 평행이동한 것이므로 (cid:100):_2@ F(x-1)dx =:_1# F(x)dx 3a+b=0 -a-b=8 y ㉠ y ㉡㉠+㉡을 하면 (cid:100)2a=8(cid:100)(cid:100)∴ a=4 a=4를 ㉠에 대입하면 (cid:100)12+b=0 (cid:100)∴ b=-12 (cid:100)(cid:100)∴ :_3@ f(x)dx (cid:100)(cid:100)=:_2@ f(x)dx+:@3 f(x)dx (cid:100)(cid:100)=:_2@ (-x2-2x+8)dx+:@3 x(x-2)dx (cid:100)(cid:100)=2:)2 (-x2+8)dx+:@3 (x2-2x)dx (cid:100)(cid:100)=2[- x3+8x]2)+[;3!; ;3!; x3-x2 ]3@ (cid:100)(cid:100)=2¥ + =28 ;;¢3º;; ;3$; 472 f(-x)=-f(x)에서 f(x)는 기함수이므로 f(x)=ax‹ +bx (a+0)로 놓으면 f '(x)=3ax¤ +b f(x)가 x=-1에서 극댓값 8을 가지므로 f '(-1)=0, f(-1)=8 3a+b=0, -a-b=8 두 식을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=4, b=-12 따라서 f(x)=4x‹ -12x이므로 :_kK xf(x)dx=: (4x› -12x¤ )dx -k k =2:)k (4x› -12x¤ )dx =2[;5$;xﬁ -4x‹ ]k) =2{;5$; kﬁ -4k‹ } 즉 2{;5$; kﬁ -4k‹ }=0이므로 k‹ (k¤ -5)=0(cid:100)(cid:100)∴ k¤ =5 (∵ k+0) (cid:8951) 5 473 ㄱ. g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x) ㄱ. 따라서 g(x)는 우함수이므로 ㄱ. :_1! g(x)dx=2:)1 g(x)dx ㄴ. h(-x)=f(-x)-f(x) =-{ f(x)-f(-x)} =-h(x) ㄱ. 따라서 h(x)는 기함수이다. ㄱ. 한편 y=h(x-1)의 그래프는 y=h(x)의 그래프 를 x축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로 ㄱ. :)4 h(x-1)dx=:_3! h(x)dx :_-!1 (|t-1|+1)dt=0 =:_1! h(x)dx+:!3 h(x)dx =:!3 h(x)dx 96 정답 및 풀이 ㄷ. F(x)=g(x)h(x)라 하면 (cid:100)(cid:100)F(-x)=g(-x)h(-x)=-g(x)h(x) =-F(x) 따라서 F(x)는 기함수이다. F(x)=g(x)h(x)이므로 (cid:100)(cid:100):)2 g(x+1)h(x+1)dx=:)2 F(x+1)dx (cid:100)(cid:100):_2@ g(x-1)h(x-1)dx=:_2@ F(x-1)dx =:!3 F(x)dx =:_1# F(x)dx 이때 :_3# F(x)dx=0이므로 (cid:100)(cid:100):_1# F(x)dx+:!3 F(x)dx=0 (cid:100)(cid:100)∴ :!3 F(x)dx=-:_1# F(x)dx (cid:100)(cid:100)∴ :)2 g(x+1)h(x+1)dx (cid:100)(cid:100)=-:_2@ g(x-1)h(x-1)dx 1등급 |비|밀|노|트| 연속함수 f(x)에 대하여 (cid:100)(cid:100):Ab f(x)dx=:a+k f(x-k)dx b+k 이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. (cid:8951) ⑤ 474 f '(x)=|x-1|+1>0이므로 f(x)는 증가함 수이다. 또 t<1일 때 |t-1|=-t+1이므로 (cid:100)(cid:100)f(0)=:_0! (|t-1|+1)dt (cid:100)(cid:100)f(0)=:_0! (-t+2)dt (cid:100)(cid:100)f(0)=[- ;2!; t2+2t]0_!= ;2%; (cid:100)(cid:100)f(1)=:_1! (|t-1|+1)dt (cid:100)(cid:100)f(1)=:_1! (-t+2)dt (cid:100)(cid:100)f(1)=2:)1 2dt=2[2t]1)=4 즉 f(0)= , f(1)=4이고, ;2%; f(-1)=0이므로 함수 y=f(x) 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 따라서 방정식 f(x)=3은 한 개 y=f{x} y=3 y 4 3 5 2 (cid:8951) ① 의 양의 실근을 갖는다. -1 O 1 x D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:52 PM 페이지97 SinsagoHitec 본책 92쪽``…``93쪽 (cid:100)(cid:100)∴ lim ¶ n ⁄ n ¡k=1 p f {a+ k}¥ n mp n (cid:100)(cid:100) = lim ¶ n ⁄ 이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. n ¡k=1 mp f {a+ k}¥ n mp n (cid:8951) ⑤ 1등급 |비|밀|노|트| 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f(x+p)=f(x)를 만족시 키면 다음이 성립함을 이용하여 정적분의 값을 구한다. p a+p ① : f(x)dx=: 0 a f(x)dx a+p b+p ② : a f(x)dx=: b f(x)dx a+kp p ③ : a f(x)dx=k: f(x)dx (단, k는 자연수) 0 475 a«=:)1 f«(x)dx이므로 a¡=:)1 f¡(x)dx=:)1 x¤ dx a¡=[ ]1)=;3!; x‹ 3 a«≠¡=:)1 f«≠¡(x)dx a«≠¡=:)1 {x¤ :)1 f«(x)dx}dx a«≠¡=:)1 x¤ a« dx a«≠¡=a«[ ]1)=;3!; a« x‹ 3 따라서 수열 {a«}은 첫째항이 , 공비가 인 등비수열 ;3!; ;3!; 이므로 ¶ p= a«= ¡n=1 ;3!; 1-;3!; =;2!; (cid:100)(cid:100)∴ =2 ;p!; (cid:8951) 2 첫째항이 a, 공비가 r인 등비급수의 합은 (cid:100) a 1-r (단, -13이면 (cid:100)x¤ -x-2 >-2x¤ +5x+7 -1…x…3이면 (cid:100)x¤ -x-2 …-2x¤ +5x+7 483 x‹ -ax¤ =x¤ -ax에서 x(x-a)(x-1)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=0 또는 x=a 또는 x=1 482 -x¤ +6x=2x에서(cid:100)(cid:100)x¤ -4x=0 x(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=0 또는 x=4 오른쪽 그림에서 구하는 넓이는 y=2x y 8 ;2!;¥4¥8 +:$6 (-x¤ +6x)dx 1 =16+[- x‹ +3x¤ ]6$ 3 =16+;;™3•;;=;;¶3§;; O 4 x 6 y=-x@+6x `(cid:8951) ;;¶3§;; y y=x#-ax@ 오른쪽 그림에서 색칠한 두 O a 1 x 도형의 넓이가 같으므로 y=x@-ax :)1 {x‹ -(a+1)x¤ +ax}dx=0 [;4!;x› -;3!;(a+1)x‹ +;2!;ax¤ ]1)=0 ;6!;a-;1¡2;=0(cid:100)(cid:100)∴ a=;2!; (cid:8951) ;2!; 484 :Ak x2dx=:Kb x2dx에서 (cid:100)(cid:100)[;3!; x3 ]kA=[;3!; x3 ]bK (cid:100)(cid:100) (k3-a3)= (b3-k3) ;3!; ;3!; (cid:100)(cid:100)2k3=a3+b3,(cid:100)(cid:100)k3= a‹ +b‹ 2 (cid:100)(cid:100)∴ k=‹æ≠ a‹ +b‹ 2 (cid:8951) ① -a B O A1 2 x 485 A : B=2 : 1에서(cid:100)(cid:100)B=;2!;A (cid:100)(cid:100)y=x¤ +2ax+6 y=x@+2ax+6 y (cid:100)(cid:100)y=(x+a)¤ -a¤ +6 즉 포물선 y=x¤ +2ax+6은 직선 x=-a에 대하여 대칭이 므로 오른쪽 그림에서 색칠한 두 도형의 넓이가 같다. 따라서 :_0A (x¤ +2ax+6)dx=0이므로 [;3!;x‹ +ax¤ +6x]0_A=0 - a‹ +6a=0,(cid:100)(cid:100)a‹ -9a=0 ;3@; 포물선 y=x¤ +2ax+6 의 축이 직선 x=-a 이므로 주어진 포물선 과 x축으로 둘러싸인 도형은 직선 x=-a에 의해 그 넓이가 이등분 된다. (cid:8951) 7 D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:52 PM 페이지99 SinsagoHitec 본책 93쪽``…``95쪽 따라서 앞의 그림에서 (cid:100)(cid:100)(B의 넓이)=(C의 넓이) 이므로 2 g(x)dx (cid:100)(cid:100):!2 f(x)dx+:@1 (cid:100)=(A의 넓이)+(B의 넓이) (cid:100)=(A의 넓이)+(C의 넓이) (cid:100)=2¥12-1¥2=22 (cid:8951) 22 a(a+3)(a-3)=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=3 (∵ a>0) (cid:8951) 3 486 f(x)=x‹ -5x¤ +x+9로 놓으면 f '(x)=3x¤ -10x+1(cid:100)(cid:100)∴ f '(3)=-2 따라서 점 (3, -6)에서의 접선의 방정식은 y-(-6)=-2(x-3)(cid:100)(cid:100)∴ y=-2x x‹ -5x¤ +x+9=-2x에서 x‹ -5x¤ +3x+9=0,(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-3)¤ =0 ∴ x=-1 또는 x=3 오른쪽 그림에서 구하는 넓이는 y y=f{x} :_3! {x‹ -5x¤ +x+9 :_3! {-(-2x)}dx =:_3! (x‹ -5x¤ +3x+9)dx =[;4!;x› -;3%;x‹ +;2#;x¤ +9x]3_! =;;§4£;;-{- ;1^2&;} =;;§3¢;; 표 다. y=-2x (cid:8951) ① 487 곡선 y=f(x)와 y=g(x)는 직선 y=x에 대하 여 대칭이므로 구하는 넓이는 곡선 y=f(x)와 직선 y=x로 둘러싸인 도형의 넓이의 2배이다. x‹ -3x¤ +3x=x에서 (cid:100)(cid:100)x‹ -3x¤ +2x=0 x(x-1)(x-2)=0 ∴ x=0 또는 x=1 또는 x=2 따라서 구하는 넓이는 y=f{x} y=x y=g{x} y 2 1 O 1 2 x (cid:100)(cid:100)2[:)1 (x‹ -3x¤ +3x-x)dx (cid:100)(cid:100) +:!2 {x-(x‹ -3x¤ +3x)}dx] 곡선 y=f(x)와 직선 y=-2x의 접점의 x좌 489 시각 t에서의 점 P의 위치를 x(t)라 하면 x(t)=0+:)t (3t¤ -8t-12)dt 3 x O -1 점 P는 원점을 출발하 여 움직이는 점이므로 t=0에서의 위치가 0이 x(t)=[t‹ -4t¤ -12t]t)=t‹ -4t¤ -12t 점 P가 원점을 지날 때, x(t)=0이므로 t‹ -4t¤ -12t=0,(cid:100)(cid:100)t(t+2)(t-6)=0 물체는 높이가 30 m인 옥상에서 쏘아 올리므 로 t=0에서의 위치가 30이다. ∴ t=6 (∵ t>0) (cid:8951) 6 490 t초 후의 물체의 지상으로부터의 높이를 h(t)m 라 하면 h(t)=30+:)t (30-10t)dt=30+[30t-5t¤ ]t) h(t)=-5t¤ +30t+30 -5t¤ +30t+30=70에서 t¤ -6t+8=0,(cid:100)(cid:100)(t-2)(t-4)=0 ∴ t=2 또는 t=4(cid:100)(cid:100)∴ a=2 따라서 t=2에서 t=5까지 물체가 움직인 거리는 (cid:100)(cid:100):@5 |30-10t|dt (cid:100)=:@3 (30-10t)dt+:#5 (10t-30)dt (cid:100)=[30t-5t¤ ]3@+[5t¤ -30t]5# (cid:100)=5+20=25(m) (cid:8951) ① 법 분 적 의 수 함 항 다 Ⅳ (cid:100)=2[:)1 (x‹ -3x¤ +2x)dx+:!2 (-x‹ +3x¤ -2x)dx] (cid:100)=2[[;4!;x› -x‹ +x¤ ]1)+[-;4!;x› +x‹ -x¤ ]2!] (cid:100)=2 {;4!;+;4!;}=1 속도가 0인 순간 ① 움직이던 물체가 정지 하는 순간 방향을 바꾸는 순간 ③ 물체를 위로 던졌을 때 최고 높이에 도달 (cid:8951) 1 하는 순간 491 열차가 멈추려면 v(t)=0이어야 하므로 (cid:100)(cid:100)30-5t=0(cid:100)(cid:100)∴ t=6 ② 움직이던 물체가 운동 따라서 제동을 건 후 열차가 멈추기까지 이 열차가 움직 488 함수 f(x)=x3+x2 의 역함수가 g(x)이므로 y=f(x)의 그래프와 y=g(x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이다. f(1)=2, f(2)=12이므로 (cid:100)(cid:100)g(2)=1, g(12)=2 y=f{x} y 12 y=x C A 2 1 O 1 2 y=g{x} B 12 x 인 거리는 (cid:100)(cid:100):)6 |30-5t|dt=:)6 (30-5t)dt=[30t- (cid:100)(cid:100):)6 |30-5t|dt=180-90=90(m) t2 ;2%; ]6) (cid:8951) 90 m 492 점 P가 t=a일 때 처음으로 원점을 지나므로 -2+:)a v(t)dt=0(cid:100)(cid:100)∴ :)a v(t)dt=2 02이므로 a는 구간(0, 2) 에 존재한다. 또 :)4 v(t)dt=:)2 v(t)dt=6이고, :)6 v(t)dt=0이므로 b는 구간 (4, 6)에 존재한다. 윗면의 넓이 4¥ +2¤ = ;3$; ;;™3•;; (cid:100)(cid:100)2¥2-:_1! (-2x¤ +2)dx (cid:100)=4-2:)1 (-2x¤ +2)dx (cid:100)=4-2[- x‹ +2x]1) ;3@; (cid:100)=4- = ;3*; ;3$; 따라서 구하는 도형의 넓이는 ` 오른쪽 그림과 같이 옆면의 포물선을 좌표평면 위에 나타내면 포물선의 방정식을 y=ax¤ (a>0)으로 놓을 수 있 다. 이때 포물선이 점 (1, 2)를 지 나므로(cid:100)(cid:100)a=2 (cid:8951) ② y 2 -1 O 1 x 493 t=2에서의 점 P의 위치는 1+:)2 v(t)dt=1+;2!;¥2¥a=1+a 즉 1+a=5이므로(cid:100)(cid:100)a=4 4…t…8일 때, 점 P의 속도는 v(t)=-2t+12이므로 다. v(7)=-2 따라서 t=0에서 t=7까지 점 P가 움직인 거리는 (cid:100)(cid:100):)7 |v(t)|dt=;2!;(2+6)¥4+;2!;¥1¥2 (cid:100)(cid:100):)7 |v(t)|dt=17 함수 f(x)는 기함수이 그래프가 원점에 대하 여 대칭이므로 xæ0인 부분을 그린 후 x<0인 부분은 xæ0인 부분을 원점에 대하여 대칭이 동하여 그린다. (cid:8951) ④ 1등급 |비|밀|노|트| 지나는 직선이므로 -4-4 8-4 4…t…8일 때, 속도 v(t)의 그래프는 두 점 (4, 4), (8, -4)를 (cid:100)(cid:100)v(t)= (t-4)+4(cid:100)(cid:100)∴ v(t)=-2t+12 494 오른쪽 그림과 같이 옆 면의 포물선을 좌표평면 위에 나타내면 포물선의 방정식을 y=ax¤ +2 (a<0)로 놓을 수 y 2 이때 포물선이 점 (1, 0)을 지 -1 O 1 x 0…x… 에서 ;4#; (cid:100)4x‹ -3x¤ …0 있다. 나므로 (cid:100)(cid:100)0=a+2(cid:100)(cid:100)∴ a=-2 즉 포물선의 방정식이 y=-2x¤ +2이므로 위의 그림 에서 색칠한 도형의 넓이는 100 정답 및 풀이 즉 포물선의 방정식은 y=2x¤ 이므로 위의 그림에서 색 칠한 도형의 넓이는 (cid:100)(cid:100):_1! 2x¤ dx=2:)1 2x¤ dx=2[;3@;x‹ ]1)=;3$; 495 f(-x)=4(-x)3-3(-x)|-x| =-4x3+3x|x|=-f(x) 이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 원점에 대하여 대칭 이다. xæ0일 때, f(x)=4x3-3x2=x2(4x-3)이므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 y y=f{x} - 3 4 O x 3 4 그림과 같다. 따라서 구하는 넓이는 (cid:100)(cid:100)2:) ;4#;(-4x3+3x2)dx (cid:100)=2[-x4+x3 ;4#; ) ] (cid:100)=2{- ;2•5¡6; + ;6@4&;} (cid:100)=2¥ = ;2™5¶6; ;1™2¶8 (cid:8951) ;1™2¶8 ` f(x)=4x‹ -3x|x|에서 ⁄ xæ0일 때, (cid:100) (cid:100)(cid:100)f(x)=4x‹ -3x¤ =x¤ (4x-3) (cid:100) f(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=0 또는 x= ;4#; (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ :) ;4#;|4x‹ -3x¤ |dx=:) ;4#;(-4x‹ +3x¤ )dx ;4#;|4x‹ -3x¤ |dx=[-x4+x3 ;4#; ) = ] ;2™5¶6; (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ :) ¤ x<0일 때, (cid:100) (cid:100)(cid:100)f(x)=4x‹ +3x¤ =x¤ (4x+3) (cid:100) f(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=- 또는 x=0 ;4#; D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:52 PM 페이지101 SinsagoHitec 본책 95쪽``…``97쪽 ` 즉 2¥2n=16이므로(cid:100)(cid:100)2n=8 - …x…0에서 ;4#; (cid:100)4x‹ +3x¤ æ0 (cid:100)(cid:100)∴ n=3 ● 10% (cid:8951) 3 498 f '(x)=3x2-3이므로 f '(x)=0에서 (cid:100)(cid:100)x2=1(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=1 a<0이므로 (cid:100)(cid:100)a=-1 (cid:100)(cid:100)∴ f(a)=f (-1)=2(cid:100)(cid:100)∴ B(-1, 2) 이때 삼각형 OAB는 직각삼각형이므로 원 C의 반지름 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ :- |4x‹ +3x¤ |dx=:- ;4#; ;4#; (4x‹ +3x¤ )dx (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ :- ;4#; ⁄, ¤에서 구하는 넓이는 |4x‹ +3x¤ |dx=[x4+x3 = ]0- ;4#; ;2™5¶6; (cid:100)(cid:100) + = ;2™5¶6; ;2™5¶6; ;1™2¶8; 496 -x(x-4)=x에서 x¤ -3x=0,(cid:100)(cid:100)x(x-3)=0 ∴ x=0 또는 x=3 따라서 곡선 y=-x(x-4)와 y 직선 y=x가 오른쪽 그림과 같 으므로 S¡=:)3 (-x¤ +4x-x)dx =:)3 (-x¤ +3x)dx S¡ S™ O 43 x y=-x{x-4} 원 C는 삼각형 OAB 의 외접원이므로 원 C 의 지름의 길이는 직각 삼각형 OAB의 빗변 OB”의 길이와 같다. =[- ;3!; x‹ + x¤ ]3)= ;2(; ;2#; ● 30% 한편 S¡+S™=:)4 (-x¤ +4x)dx이므로 (cid:100)(cid:100) p{ ;2!; '5 2 }2 +:_0! {x3-3x-(-2x)}dx 의 길이는 (cid:100)(cid:100) OB”= (cid:100)(cid:100) OB”= ;2!; ;2!; ;2!;"√(-1)¤ +2¤ '5 2 또 직선 OB의 방정식은 (cid:100)(cid:100)y= 0-2 0-(-1) x=-2x 따라서 구하는 도형의 넓이는 (cid:100)= p+:_0! (x3-x)dx ;8%; (cid:100)= p+[;4!; ;8%; x4- x2 ;2!; ]0_! (cid:100)= p+ ;8%; ;4!; 499 두 부등식 x¤ +y¤ …2, yæx¤ 을 동시 에 만족시키는 영역은 오른 쪽 그림의 색칠한 부분(경 계선 포함)과 같다. y 2 B y=f{x} O-1A x x=-1 y=-2x 법 분 적 의 수 함 항 다 Ⅳ (cid:8951) p+ ;8%; ;4!; y=x@ y Â2 1 -Â2 -1 O 1 Â2 x ● 20% y=x ● 30% ● 20% (cid:8951) 64 S™=[- ;3!; x‹ +2x¤ ]4)- ;2(; S™= - = ;2(; ;;£3™;; ;;£6¶;; 따라서 = = 이므로 S¡ S™ ;2(; ;;£6¶;; 27 37 (cid:100)(cid:100)p=37, q=27 ∴ p+q=64 497 y=(n+1)xn의 교점의 x좌표를 k라 하면 두 곡선 y=(n+2)xn+1, (cid:100)(cid:100)a=:)k {(n+1)xn-(n+2)xn+1}dx, (cid:100)(cid:100)b=:K2 {(n+2)xn+1-(n+1)xn}dx ● 40% b-a=:K2 {(n+2)xn+1-(n+1)xn}dx b-a=-:)k {(n+1)xn-(n+2)xn+1}dx b-a=:K2 {(n+2)xn+1-(n+1)xn}dx b-a=+:)k {(n+2)xn+1-(n+1)xn}dx ` ` ` y=x¤ 을 x¤ +y¤ =2에 대입 -Â2 x@+y@=2 (n+2)xn+1=(n+1)xn 에서 하면 (cid:100)x= n+1 n+2 (cid:100)∴ 00) 따라서 구하는 영역의 넓이는 +2{;2!;¥1¥1-:)1 x¤ dx} p('2 )¤ ¥ p 2 90° 360° 1 3 = +1-2[ x‹ ]1) 1 1 p = +;3!; 2 2+3p 6 = b-a=:)2 {(n+2)xn+1-(n+1)xn}dx 위의 그림에서 색칠한 부분의 넓이 (cid:8951) ⑤ b-a=[xn+2-xn+1 b-a=2n+2-2n+1 =4¥2n-2¥2n b-a=2¥2n ]2) ● 50% b=a+3, c=b+3 a=b-3, c=b+3 500 a, b, c가 이 순서대로 공차가 3인 등차수열을 이루므로 Ⅳ. 다항함수의 적분법 101 0 0 0 D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:52 PM 페이지102 SinsagoHitec 삼차함수 y y=4x‹ +ax¤ +bx+c의 그 래프를 x축의 방향으로 -b 만큼, y축의 방향으로 -2만 큼 평행이동하면 오른쪽 그 림과 같다. -3 O 3 x 따라서 구하는 넓이는 곡선 y=4x(x+3)(x-3), 즉 y=4x‹ -36x와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이와 같으 므로 -2:)3 (4x‹ -36x)dx=-2 [x› -18x¤ ]3) =162 (cid:8951) 162 1등급 |비|밀|노|트| 곡선 y=f(x)와 직선y=k 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 때 에는 곡선 y=f(x)를 y축의 방향으로 -k만큼 평행이동한 곡선 과 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 것이 간편하다. 501 x‹ -(k+2)x¤ +2(k+1)x=2x에서 x‹ -(k+2)x¤ +2kx=0 (cid:100)(cid:100)x(x-2)(x-k)=0 ∴ x=0 또는 x=2 또는 x=k f(x)=x‹ -(k+2)x¤ +2(k+1)x로 놓으면 ⁄ k>2일 때, 오른쪽 그림에서 S¡=S™이므로 ¤ ¤ ¤ :)k {x‹ -(k+2)x¤ :)k {+2kx} dx=0 [;4!;x› - k+2 3 x‹ +kx¤ ]k) y y=f{x} y=2x S¡ S™ O 2 k x 502 x¤ (x-a)(x-b)=0 에서 (cid:100)(cid:100)x=0 또는 x=a (cid:100)(cid:100)또는 x=b 오른쪽 그림에서 색칠한 두 도 형의 넓이가 같으므로 y y=x@{x-a}{x-b} O a b x :)b x¤ (x-a)(x-b)dx=0 :)b {x› -(a+b)x‹ +abx¤ }dx=0 [;5!;xﬁ -;4!;(a+b)x› +;3!;abx‹ ]b)=0 ;5!;bﬁ -;4!;(a+b)b› +;3!;ab› =0 ;5!;b-;4!;(a+b)+;3!;a=0 (∵ b>0) ;1¡2;a-;2¡0;b=0 (cid:100)(cid:100)∴ = ;aB; ;3%; (cid:8951) ;3%; 503 f(x)+f(a-x)=b에x 대신 -x를대입하면 ;2A; f {;2A; -x}+f {;2A; +x}=b f {;2A; -x}+f {;2A; 2 +x} ∴ = ;2B; 즉 곡선 y=f(x)는 점 {;2A; , ;2B;}에 대하여 대칭이다. g(x)=x- + , 라 하면 직선 y=g(x)도 점 {;2A; ;2B; ;2A; ;2B;} 에 대하여 대칭이므로 ;2A; : { f(x)-g(x)}dx=: { g(x)-f(x)}dx 0 a ;2A; (cid:100)(cid:100)∴ :)a [ f(x)-{x- + ;2B;}]dx ;2A; (cid:100)(cid:100)=:)a { f(x)-g(x)}dx (cid:100)(cid:100)=0 (cid:8951) ① ¤ k‹ (k-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ k=4 (∵ k>2) ¤ 02, 00일 때, (cid:100)(cid:100)f '(x)=2x 점 (n, f(n)), 즉 (n, n¤ )에서 의 접선의 기울기는 f '(n)=2n이므로 접선 l의 방정 식은 y-n¤ =2n(x-n), 즉 y=2nx-n¤ x<0에서 곡선 y=f(x)와 접선 l의 교점의 x좌표는 -3x¤ =2nx-n¤ ,(cid:100)(cid:100)3x¤ +2nx-n¤ =0 (x+n)(3x-n)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-n (∵ x<0) ∴ S(n) =:_0N (-3x¤ -2nx+n¤ )dx =+:)n (x¤ -2nx+n¤ )dx =n‹ +;3!;n‹ =;3$;n‹ 은 3이므로 S(n)의 최솟값은 (cid:100)(cid:100)S(3)=;3$;¥3‹ =36 1등급 |비|밀|노|트| =[-x‹ -nx¤ +n¤ x]0_N+[;3!;x‹ -nx¤ +n¤ x]n) 따라서 [S(n)]=S(n)을 만족시키는 최소의 자연수 n (cid:8951) ③ 507 시각 t에서의 점 P의 위치를 x(t)라 하면 t=0에서의 위치가 -a x(t)=-a+:)t 3t(t-3)(t-4)dt x(t)=-a+:)t (3t‹ -21t¤ +36t)dt x(t)=-a+[;4#; t› -7t‹ +18t¤ ]t) x(t)= t› -7t‹ +18t¤ -a ;4#; v(t)=0에서(cid:100)(cid:100)t=0 또는 t=3 또는 t=4 t v(t) 0 0 3 0 y + ↗ x(t) -a 극대 극소 4 0 y + ↗ 이때 0…t…4에서 x(t)=0을 y y=x{t} y - ↘ O -a 만족시키는 t가 한 개 존재하려 면 y=x(t)의 그래프가 오른쪽 그림과 같아야 한다. 즉 x(4)>0이어야 하므로 (cid:100)(cid:100)32-a>0(cid:100)(cid:100)∴ a<32 3 4 t 법 분 적 의 수 함 항 다 = ¥4› -7¥4‹ +18¥4¤ -a (cid:100)x(4) ;4#; =32-a 따라서 자연수 a의 최댓값은 31이다. (cid:8951) ⑤ Ⅳ 508 10초 동안 물이 흐른 거리는 :)1 0 |;4#; t(12-t)|dt=:)1 0 {9t- t¤ }dt ;4#; 밑넓이가 S, 높이가 200인 원기둥의 부피와 (cid:100)(cid:100)200S mL 따라서 10초 동안 흘러나온 물의 양은 (cid:8951) 36 같다. ` 즉 200S=2000이므로 2 L=2000 mL (cid:100)(cid:100)S=10 t¤ - t‹ ]1)0 ;4!; =[;2(; =200 ● 50% ● 30% ● 20% (cid:8951) 10 [S(n)]=S(n)에서 [;3$;n‹ ]=;3$;n‹`을 만족시키려면 ;3$;n‹ 이 정수 이어야 한다. 따라서 자연수 n은 3의 배수이어야 한다. (cid:100)180 km/h =180000 m/60_60s =50 m/s 506 ㄱ. 0…x…1이면 ㄱ. (cid:100)(cid:100)xnæxn+1 ㄴ. y=xn과 y=xn+1의 그래프 는 오른쪽 그림과 같으므로 ㄱ. (cid:100)(cid:100)Sn:@3 g(t)dt이면 ㄴ에서 (cid:100)(cid:100)a+b>c+d (cid:100)(cid:100)∴ b>c (∵ a=d) 이때 :#4 |f(t)|dt=:@3 f(t)dt=c, :$6 g(t)dt=:)2 g(t)dt=b이므로 (cid:100)(cid:100):#4 |f(t)|dt<:$6 g(t)dt 이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. (cid:8951) ④ -1-2-3 2 3 x y=f{x} y 3 2 1 O 1 -1 -2 -3 512 함수 y=f(x)의 그 래프는 오른쪽 그림과 같으 므로 n+1 a«=: n { f(x)-n}dx a«=:)1 x¤ dx a«=[;3!;x‹ ]1)=;3!; a˚= n n ¡k=1 ¡k=1 (cid:100)(cid:100)næ30 = ;3!; ;3!; næ10에서 따라서 n의 최솟값은 30이다. (cid:8951) 30 g(3-t)=g(3+t)이 므로 y=g(t)의 그래 프는 t=3에 대하여 대 칭이다. 원점에서 출발하므로 t=0에서의 위치가 0이 다. 두 점 (5, -a), (7, 0) 을 지나는 직선의 방정 식은 (cid:100)y= 0-(-a) 7-5 (x-7) (cid:100) = (x-7) ;2A; (cid:100) = x- a ;2&; ;2A; 등차수열을 이루는 세 수 를 (cid:100)a-d, a, a+d 로 놓고 식을 세운다. (cid:8951) ㄴ 다. 513 A, B, C가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 공차를 d라 하면 A=B-d, C=B+d로 놓을 수 있 … … D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:52 PM 페이지105 SinsagoHitec 본책 98쪽``…``99쪽 0xn+1 S«=:)1 (xn-xn+1)dx 1 n+2 1 n+1 S«=[ xn+1- xn+2 ]1) S«= 1 n+1 - n ∴ S˚= { ¡k=1 n ¡k=1 1 n+2 1 k+1 - 1 k+2 } ={;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+{;4!;-;5!;} =+y+{ 1 n+1 - 1 n+2 } =;2!;- 1 n+2 n ¡k=1 S˚<;5@;에서 (cid:100)(cid:100);2!;- 1 n+2 <;5@;,(cid:100)(cid:100) 1 n+2 >;1¡0; n+2<10(cid:100)(cid:100)∴ n<8 따라서 자연수 n의 최댓값은 7이다. (cid:8951) ② ㄱ. A=:A0 f(x)dx=10이므로 (cid:100)(cid:100)B=10+d, C=10+2d (cid:100)(cid:100)∴ :)c f(x)dx=-B+C =(-10-d)+(10+2d) =d ㄷ. 이때 d+10이면(cid:100)(cid:100):)c f(x)dx+10 ㄴ. A+B+C=(B-d)+B+(B+d)=3B 즉 3B=30이므로(cid:100)(cid:100)B=10 (cid:100)(cid:100)∴ :Ac f(x)dx=A-B+C (cid:100)(cid:100)∴ :Ac f(x)dx=(B-d)-B+(B+d) (cid:100)(cid:100)∴ :Ac f(x)dx=B=10 ㄷ. :Ab f(x)dx=A-B=10이므로(cid:100)(cid:100)d=-10 (cid:100)(cid:100)∴ :)c f(x)dx=-B+C (cid:100)(cid:100)∴ :)c f(x)dx=d (cid:100)(cid:100)∴ :)c f(x)dx=-10 이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. =: (x¤ -x+1)dx-: (x¤ +x+1)dx =: (-2x)dx=-x¤ +C f(x)=-x¤ +C=0에서 (cid:100)(cid:100)(x+'ßC )(x-'ßC )=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=—'ßC 따라서 y=f(x)의 그래프는 y=f(x)의 그래프와 x축으 로 둘러싸인 도형의 넓이는 오른쪽 그림과 같으므로 -ÂC° O ÂC° x 'ßC : -'ßC (-x¤ +C)dx=2: 0 'ßC (-x¤ +C)dx (-x¤ +C)dx=2[-;3!;x‹ +Cx] 'ßC 0 : : (-x¤ +C)dx=;3$;C'ßC 즉 ;3$;C'ßC=36이므로(cid:100)(cid:100)C=9 따라서 f(x)=-x¤ +9이므로 (cid:100)(cid:100)f(1)=8 515 x« =xn+1에서(cid:100)(cid:100)x« (x-1)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=0 또는 x=1 두 함수 y=x« , y=xn+1의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 S«은 514 f(x)=: x› +x¤ +1 x¤ +x+1 dx-: x› +x¤ +1 x¤ -x+1 dx =(x¤ -x+1)(x¤ +x+1) (cid:100)(cid:100)v¡(t)=4-t (cid:8951) ④ (cid:100)x› +x¤ +1 516 A지점에서 굴린 공의 t초 후의 속도 v¡(t) m/s 는 이므로 v¡(t)=0에서(cid:100)(cid:100)t=4 즉 4초 후 공이 멈추므로 두 지점 A, B 사이의 거리는 (cid:100)(cid:100):)4 v¡(t)dt=:)4 (4-t)dt 법 분 적 의 수 함 항 다 Ⅳ y C y=f{x} 그래프가 x축과 만나지 (cid:100)(cid:100):)4 v¡(t)dt=[4t- 한편 B지점에서 굴린 공의 t초 후의 속도 v™(t) m/s는 ]4)=8 (m) ;2!; t2 4초 동안 공이 굴러간 거리가 두 지점A, B 사이의 거리이다. f(x)=-x¤ +C에서 C…0이면 y=f(x)의 않거나 접한다. (cid:100)∴ C>0 2a초 동안 공이 굴러간 거리가 두 지점A, B 사이의 거리이다. (cid:100)(cid:100)v™(t)=a-0.5t=a- t ;2!; 이므로 v™(t)=0에서(cid:100)(cid:100)t=2a 즉 2a초 후 공이 멈추므로 두 지점 A, B 사이의 거리는 (cid:100)(cid:100):)2 a v™(t)dt=:)2 a {a- t}dt ;2!; a v™(t)dt=[at- (cid:100)(cid:100):)2 따라서 a2=8이므로(cid:100)(cid:100)a=2'2 (∵ a>0) ]2)a=a2 (m) t2 ;4!; (cid:8951) ④ C'ßC=27,(cid:100)('ßC )‹ =27 'ßC=3(cid:100)∴ C=9 (cid:8951) 8 517 v(t)=t2-(a+2)t+2a=(t-2)(t-a) 이고 출발했을 때의 방향과 반대 방향으로 움직인 시간 은 v(t)…0일 때이므로 (cid:100)(cid:100)(t-2)(t-a)…0 (cid:100)(cid:100)∴ 2…t…a (∵ a>2) 거리가 이므로 ;6!; 점 P가 출발했을 때의 방향과 반대 방향으로 움직인 총 Ⅳ. 다항함수의 적분법 105 D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:52 PM 페이지106 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100):@a |t2-(a+2)t+2a|dt (cid:100)=:@a {-t2+(a+2)t-2a}dt a+2 2 t2-2at]a@ t3+ ;3!; (cid:100)=[- a‹ (cid:100)={ -a2 6 a‹ 6 (cid:100)= -a2+2a- ;3$; }-{-2a+ ;3$;} a‹ 6 = 이므로 즉 -a2+2a- ;3$; ;6!; (cid:100)(cid:100)a3-6a2+12a-9=0 (cid:100)(cid:100)(a-3)(a2-3a+3)=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=3 (∵ a2-3a+3>0) (cid:8951) 3 ▶ 본책 100쪽 f(x+2h)-f(x)-f(x-h)+f(x) h 518 lim 0 h ⁄ f(x+2h)-f(x-h) h = lim 0 h ⁄ = lim 0 h ⁄ f(x+2h)-f(x) 2h ¥2 =+ lim 0 h ⁄ f(x-h)-f(x) -h =2f '(x)+f '(x) =3f '(x) 즉 3f '(x)=6x3+3x이므로 (cid:100)(cid:100)f '(x)=2x3+x (cid:100)(cid:100)∴ f(x)=: f '(x)dx=: (2x3+x)dx (cid:100)(cid:100)∴ f(x)= x4+ x2+C ;2!; ;2!; 이때 f(1)=1이므로(cid:100)(cid:100) + +C=1 ;2!; ;2!; (cid:100)(cid:100)∴ C=0 따라서 f(x)= x4+ x2이므로 ;2!; ;2!; (cid:100)(cid:100)f(2)=10 (cid:8951) ⑤ =3에서 f '(x)는 이차항의 계수가 f '(x) x¤ 519 lim ¶ x ⁄ 3인 이차함수이다. 또` lim x 0 ⁄ 고 (분모) f '(x) x ⁄ 106 정답 및 풀이 =-2에서 x 0일 때 극한값이 존재하 0이므로 (분자) 0이다. ⁄ ⁄ 즉 f '(x)=0이므로(cid:100)(cid:100)f '(0)=0 lim x 0 ⁄ 따라서 f '(x)=3x(x+a) (a는 상수)로 놓으면 3x(x+a) x lim x 0 ⁄ = 3(x+a)=3a lim x 0 ⁄ 이때 3a=-2이므로(cid:100)(cid:100)a=-;3@; 즉 f '(x)=3x¤ -2x이므로 f(x)=: f '(x)dx=: (3x¤ -2x)dx f(x)=x‹ -x¤ +C y=f(x)의 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)f(0)=C=1 따라서 f(x)=x‹ -x¤ +1이므로 (cid:100)(cid:100)f(2)=5 520 F(x)=: f(x)dx=: (-2x+4)dx 364 F(x)=-x2+4x+C 이때 모든 실수 x에 대하여 부등식 F(x)<0이 성립하 려면 (cid:100)(cid:100)-x2+4x+C<0,(cid:100)(cid:100)x2-4x-C>0 이차방정식 x2-4x-C=0의 판별식을 D라 하면 (cid:100)(cid:100) =(-2)2-(-C)<0,(cid:100)(cid:100)4+C<0 D 4 (cid:100)(cid:100)∴ C<-4 이때 F(0)=C이므로 (cid:100)(cid:100)F(0)<-4 521 f '(x)=[ 2x-2 (xæ2) (x<2) 2 이므로 f(x)=[ x¤ -2x+C¡ (xæ2) (x…2) 2x+C™ f(-1)=1이므로(cid:100)(cid:100)-2+C™=1(cid:100)(cid:100)∴ C™=3 한편 f(x)가 x=2에서 미분가능하므로 x=2에서 연 (cid:8951) 5 (cid:8951) ① ● 40% ● 40% ● 20% (cid:8951) 13 함수 f(x)는 모든 실 수 x에 대하여 미분가 능하므로 x=2에서도 미분가능하다. 속이다. 즉 f(x)= lim lim 2+ x 2- x ⁄ ⁄ 4-4+C¡=4+3(cid:100)(cid:100)∴ C¡=7 f(x)=f(2)이므로 ` 따라서 f(x)=[ x¤ -2x+7 (xæ2) (x…2) 2x+3 이므로 f(0)+f(3)=3+10=13 두 다항식 f(x), g(x)에 대하여 ① =a(a+0) lim ¶ x ⁄ f(x) g(x) (cid:100) (cid:8857) f(x)와 g(x)의 차 수가 같고, f(x)와 g(x)의 최고차항 의 계수의 비는 a 이다. ② lim a x ⁄ (cid:100) lim a x ⁄ (cid:100) (cid:8857) =b, f(x) g(x) g(x)=0 f(x)=0 lim a x ⁄ 522 주어진 그래프에서 f(x)=[ -2x+4 (xæ1) (x…1) 2x ∴ F(x)=: f(x)dx ∴ F(x)=[ -x¤ +4x+C¡ (xæ1) (x…1) x¤ +C™ D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:52 PM 페이지107 SinsagoHitec 주어진 y=f(x)의 그래프에서 F(x)는 x=0에서 극 솟값 3을 가지므로 (cid:100)(cid:100)F(0)=C™=3 또` 함수 F(x)는 모든 실수 x에서 연속이므로 x=1에 서 연속이다. 즉 lim 1+ x ⁄ F(x)= F(x)=F(1)이므로 lim 1- x ⁄ (cid:100)(cid:100)-1+4+C¡=1+3 ∴ C¡=1 따라서 xæ1일 때, F(x)=-x¤ +4x+1이고 F(x) 는 x=2에서 극대이므로 구하는 극댓값은 (cid:100)(cid:100)F(2)=5 523 f«(x)=: (x« +xn+1)dx 1 1 n+1 n+2 xn+1+ = (cid:8951) ② xn+2+C ● 30% f«(0)=0이므로(cid:100)(cid:100)C=0 따라서 f«(x)= xn+1+ xn+2이므로 1 n+1 1 n+2 f«(1)= 1 n+1 + 1 n+2 이때 f¡™(1)= + > + = , ;7!; ;1¡4; ;1¡4; ;1¡4; ;1¡3; f¡£(1)= + < + ;1¡4; ;1¡5; ;1¡4; ;1¡4; ;7!; = 이므로 f¡™(1)>;7!; >f¡£(1) ` 자연수 n에 대하여 f«(1)>f«≠¡(1)이므로 f«(1)> 을 만족시키는 n의 최댓값은 12이다. ;7!; ● 40% ● 10% (cid:8951) 12 524 d dx { f(x)+g(x)}=2x+1에서 f(x)+g(x)=: (2x+1)dx=x¤ +x+C¡ 위의 식에 x=0을 대입하면 f(0)+g(0)=C¡(cid:100)(cid:100)∴ C¡=1 ∴ f(x)+g(x)=x¤ +x+1 또` { f(x)g(x)}=3x¤ -2x+2에서 d dx f(x)g(x)=: (3x¤ -2x+2)dx f(x)g(x)=x‹ -x¤ +2x+C™ 위의 식에 x=0을 대입하면 f(0)g(0)=C™(cid:100)(cid:100)∴ C™=-2 ∴ f(x)g(x)=x‹ -x¤ +2x-2 =(x-1)(x¤ +2) 이때 f(0)=2, g(0)=-1이므로 ● 20% (cid:100)(cid:100)f(1)=10 (cid:8951) 10 x f(x) y 0 y 2 y - 0 + 0 - F(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘ 모든 실수 x에 대하여 ① ax¤ +bx+c=0 (cid:100) HjK a=0, b=0, c=0 ② ax¤ +bx+c =a'x¤ +b'x+c' (cid:100) HjK a=a', b=b', c=c' 정 n각형의 둘레의 길 이가 ln이므로 한 변의 l« n 길이는(cid:100)(cid:100) 이므로 본책 100쪽``…``101쪽 525 : { f(x)-g(x)}dx=f(x)+g(x)+C의 양 변을 x에 대하여 미분하면 (cid:100)(cid:100)f(x)-g(x)=f '(x)+g'(x) g(x)=x¤ +x-2이므로(cid:100)(cid:100)g'(x)=2x+1 따라서 f(x)가 일차함수이면 ㉠의 좌변은 이차식, 우변 yy ㉠(cid:100)(cid:100) 은 일차식이 되고`, f(x)가 n차`(næ3)함수이면 ㉠의 좌변은 n차식, 우변은 (n-1)차식이 되므로 등식이 성 립하지 않는다. 따라서 함수 f(x)는 이차함수이어야 하므로 f(x)=ax¤ +bx+c (a+0) 로 놓으면(cid:100)(cid:100)f '(x)=2ax+b ㉠에서 (cid:100)(cid:100)ax¤ +bx+c-(x¤ +x-2)=2ax+b+2x+1 (a-1)x¤ +(b-1)x+c+2=(2a+2)x+b+1 위의 식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 a-1=0, b-1=2a+2, c+2=b+1 ∴ a=1, b=5, c=4 따라서 f(x)=x¤ +5x+4이므로 526 원에 내접하는 정`n각형은 n개의 합동인 삼각 형으로 나누어지고 삼각형 OAB의 넓이는 ;2!;¥ l« n ¥h« S«=n¥△OAB= ;2!;l«h« 이때 n ⁄ ¶이면 h« ⁄ S= S«= ;2!;l«h« r lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ S=;2!;¥2pr¥r=pr¤ , l« ⁄ 2pr 이므로 (cid:100)(cid:100)∴ ㈎ ;2!;l«h« ㈏ r ㈐ 2pr (cid:8951) ③ 법 분 적 의 수 함 항 다 Ⅳ 527 함수 f(x)가 x=0에서 극대, x=3에서 극소 이므로 x<0에서(cid:100)(cid:100)f '(x)>0, 03에서(cid:100)(cid:100)f '(x)>0 ∴ :Ú’ | f '(x)|dx =:Ú0 f '(x)dx-:)3 f '(x)dx+:#’ f '(x)dx =[ f(x)]0Ú-[ f(x)]3)+[ f(x)]’# =f(0)-f(a)-f(3)+f(0)+f(b)- f(3) =-f(a)+2f(0)-2f(3)+f(b) Ⅳ. 다항함수의 적분법 107 f(x)=x¤ +2 (cid:8951) f(x)=x¤ +2 =8+2¥3-2¥(-4)-1=21 (cid:8951) ③ D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:52 PM 페이지108 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100)=:_0! {- ;3!; x3+x2+1}dx+:)1 {x3+ x2+1}dx ;2!; (cid:100)(cid:100)=[- ;1¡2; x4+ x3+x]0_!+[;4!; ;3!; x4+ x3+x]1) ;6!; (cid:100)(cid:100)= + = ;1!2&; ;1!2&; ;;¡6¶;; (cid:8951) ;;¡6¶;; 529 f(x)=[ -x+2 (0…x…3) x-4 (3…x…6) 이므로 :)6 f(x)dx=:)3 f(x)dx+:#6 f(x)dx 함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하지 않은 경우 ① x=a에서 불연속인 ② x=a에서 그래프가 경우 꺾인 경우 (cid:100) lim 0+ h ⁄ f(1+h)-f(1) h + lim 0- h ⁄ f(1+h)-f(1) h 따라서 x=1에서 함수 f(x)는 미분가능하지 않다. ㄴ. :)2 f(x)dx=:)1 2xdx+:!2 2dx ㄴ. :)2 f(x)dx=[x2 ]1)+[2x]2!=3 ㄷ. 함수 y=f(x)의 그래프는 x>1인 부분과 x<-1 인 부분이 y축에 대하여 대칭이므로 a>2일 때, 이때 f(x+6)=f(x)에서 f(x)는 주기함수이므로 이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. (cid:8951) ④ (cid:8951) 1008 따라서 G(x), 즉 xg(x)는 기함수이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)f(x)= ‹ x=1일 때, 2x2n+2x x2n+1 x2n=1이므로 =2x lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ lim ¶ n ⁄ =2 2x2n+2x x2n+1 x2n=1이므로 lim ¶ n ⁄ 2x2n+2x x2n+1 (cid:100) (cid:100)(cid:100)f(x)= › x=-1일 때, (cid:100) (cid:100)(cid:100)f(x)= lim ¶ n ⁄ 따라서 y=f(x)의 그래프는 오 =0 른쪽 그림과 같다. f(1+h)-f(1) h =0, f(1+h)-f(1) h =2 ㄱ. lim 0+ h ⁄ lim 0- h ⁄ 이므로 y 2 y=f{x} -1 O 1 x -2 (cid:100)(cid:100):@a f(x)dx=:_-A2 f(x)dx (cid:100)(cid:100):@a f(x)dx-:_-A2 f(x)dx=0 (cid:100)(cid:100)∴ :@a f(x)dx+:_-@a f(x)dx=0 531 ㄱ. 함수 y=f(-x)의 그래프는 y=f(x)의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 것과 같으므로 ㄱ. :_aA f(-x)dx=:_aA f(x)dx=p ㄴ. G(x)=xg(x)로 놓으면 ㄴ. G(-x)=-xg(-x) =-x{ f(-x)+f(x)} =-x{ f(x)+f(-x)} =-xg(x)=-G(x) (cid:100)(cid:100):_aA xg(x)dx=0 ㄷ. H(x)=x¤ h(x)로 놓으면 ㄴ. H(-x)=(-x)¤ h(-x) =x¤ { f(-x)-f(x)} =-x¤ { f(x)-f(-x)} =-x¤ h(x)=-H(x) 528 f '(x)= 3x¤ +x (x>0) -x¤ +2x (x<0) [ 이므로 x3+ x2+C¡ (x>0) ;2!; (cid:100)(cid:100)f(x)= ( { ª - x3+x2+C™ (x<0) ;3!; 함수 f(x)가 x=0에서 연속이므로 f(x)= (cid:100)(cid:100) lim 0+ x ⁄ (cid:100)(cid:100)∴ C¡=C™ lim 0- x ⁄ f(x) f(1)= 이므로 ;2%; ;2!; (cid:100)(cid:100)1+ +C¡= (cid:100)(cid:100)∴ C¡=1 ;2%; (cid:100)(cid:100)∴ :_1! f(x)dx =:)3 (-x+2)dx+:#6 (x-4)dx =[- ;2!; x¤ +2x]3)+[;2!; x¤ -4x]6# = + =3 ;2#; ;2#; :)6 f(x)dx=:^1 2 f(x)dx=:!1@8 f(x)dx :)6 f(x)dx=y=:@2)0!1)6 f(x)dx=3 ∴ :Kk_! f(x)dx 2016 ¡k=1 =:)1 f(x)dx+:!2 f(x)dx+y+:@2)0!1%6 f(x)dx =:)6 f(x)dx+:^1 2 f(x)dx+y+:@2)0!1)6 f(x)dx =336:)6 f(x)dx =336¥3=1008 530 ⁄ |x|>1일 때, x2n=¶이므로 lim ¶ n ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100)f(x)= 2x2n+2x x2n+1 lim ¶ n ⁄ = lim ¶ n ⁄ ¤ |x|<1일 때, x2n=0이므로 lim ¶ n ⁄ 2+ 1+ 2x 123x¤ 1 12x¤ =2 108 정답 및 풀이 « « D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:52 PM 페이지109 SinsagoHitec 따라서 H(x), 즉 x¤ h(x)는 기함수이므로 (cid:100)(cid:100):_aA x¤ h(x)dx=0 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. (cid:8951) ④ 532 f(x)=x¤ +ax+b, g(x)=px+q (p+0)로 놓으면 :_1! f(x)g(x)dx=0에서 :_1! (x¤ +ax+b)(px+q)dx=0 p:_1! (x‹ +ax¤ +bx)dx+q:_1! (x¤ +ax+b)dx (cid:100)=0 이 등식이 임의의 실수 p, q에 대하여 성립해야 하므로 :_1! (x‹ +ax¤ +bx)dx=2:)1 ax¤ dx=0 y ㉠ :_1! (x¤ +ax+b)dx=2:)1 (x¤ +b)dx=0 y ㉡㉠`에서(cid:100)(cid:100):)1 ax¤ dx=[;3A; (cid:100)(cid:100)∴ a=0 a x‹ ]1)= =0 3 ㉡에서(cid:100)(cid:100):)1 (x¤ +b)dx=[ +bx]1)=;3!;+b=0 x‹ 3 (cid:100)(cid:100)∴ b=-;3!; 따라서 f(x)=x¤ -;3!;이므로 (cid:100)(cid:100)f(2)=;;¡3¡;; (cid:8951) ;;¡3¡;; 533 ⁄ n이 짝수일 때, ⁄ :_1! f«(x)dx =:_1!(1+2¤ x+3¤ x¤ +y+n¤ xn-1)dx =2:)1 {1+3¤ x¤ +5¤ x› +y+(n-1)¤ xn-2}dx =2[x+3x‹ +5xﬁ +y+(n-1)xn-1 =2{1+3+5+y+(n-1)} ]1) =2¥ ¥ ;2!; n 2 {1+(n-1)} = n¤ 2 n¤ 2 ⁄ æ150에서(cid:100)(cid:100)n¤ æ300 이때 16¤ =256, 18¤ =324이므로 (cid:100)(cid:100)næ18 ¤ n이 홀수일 때, ⁄ :_1! f«(x)dx =:_1!(1+2¤ x+3¤ x¤ +y+n¤ xn-1)dx 본책 101쪽``…``102쪽 =2:)1 (1+3¤ x¤ +5¤ x› +y+n¤ xn-1)dx =2[x+3x‹ +5xﬁ +y+nxn =2(1+3+5+y+n) ]1) =2¥ ¥ ;2!; n+1 2 (1+n)= (n+1)¤ 2 ⁄ (n+1)¤ 2 æ150에서(cid:100)(cid:100)(n+1)¤ æ300 이때 (15+1)¤ =256, (17+1)¤ =324이므로 (cid:100)(cid:100)næ17 ` ⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)næ17 따라서 n의 최솟값은 17이다. ● 40% ● 20% (cid:8951) 17 534 :)/ (x-t)f(t)dt=x› +4x‹ 에서 x:)/ f(t)dt-:)/ tf(t)dt=x› +4x‹ 양변을 x에 대하여 미분하면 :)/ f(t)dt+xf(x)-xf(x)=4x‹ +12x¤ ∴ :)/ f(t)dt=4x‹ +12x¤ 다시 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=12x¤ +24x=12x(x+2) 24 f(n) ∴ = 18 ¡n=1 18 ¡n=1 2 n(n+2) = { - 18 ¡n=1 1 n 1 n+2 } ={1- }+{ - } 1 2 1 4 1 3 1 1 =+y+{ - }+{ - } 19 20 1 18 1 17 1 =1+ - - =;3%8#0!; 19 1 20 1 2 법 분 적 의 수 함 항 다 Ⅳ (cid:8951) ② 535 ⁄ x>2일 때, (cid:100)(cid:100):@/ f(t)dt=x(x-2)=x¤ -2x ⁄ 양변을 x에 대하여 미분하면(cid:100)(cid:100)f(x)=2x-2 ¤ x<2일 때, (cid:100)(cid:100):@/ f(t)dt=-x(x-2)=-x¤ +2x ⁄ 양변을 x에 대하여 미분하면(cid:100)(cid:100)f(x)=-2x+2 (cid:100)g(x) =1+3¤ x¤ (cid:100)+y+(n-1)¤ xn-2, (cid:100)h(x) =2¤ x+4¤ x‹ (cid:100)+y+n¤ xn-1 이라 하면 (cid:100):_1! g(x)dx =2:)1 g(x)dx, (cid:100):_1! h(x)dx=0 (cid:100)g(x) =1+3¤ x¤ +y+n¤ xn-1, (cid:100)h(x) =2¤ x+4¤ x‹ (cid:100)+y+(n-1)¤ xn-2 이라 하면 (cid:100):_1! g(x)dx ● 40% =2:)1 g(x)dx, (cid:100):_1! h(x)dx=0 f(x)= (2x-2)=2 ㄱ. f(1)=0 ㄴ. ㄷ. lim 2+ x ⁄ lim 2- x ⁄ ㄷ. ∴ lim 2+ x ⁄ lim 2- x ⁄ f(x)= (-2x+2)=-2 lim 2+ x ⁄ f(x)+ f(x) lim 2- x ⁄ 함수 f(x)는 x=2에서 극한값이 존재하지 않 는다. Ⅳ. 다항함수의 적분법 109 D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:52 PM 페이지110 SinsagoHitec ㄷ. :)1 f(x)dx=:)1 (-2x+2)dx=[-x¤ +2x]1)=1 따라서 ;2#;:!3 f(x)dx=6이므로 ㄷ. :#4 f(x)dx=:#4 (2x-2)dx=[x¤ -2x]4#=5 ㄷ. ∴ :)1 f(x)dx+-:#4 f(x)dx 이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다. (cid:8951) ① 536 f(x)=x-:)1 (3x-2) f(t)dt =x-3x:)1 f(t)dt+2:)1 f(t)dt :)1 f(t)dt=k (k는 상수)로 놓으면 f(x)=x-3kx+2k=(1-3k)x+2k (cid:100)(cid:100):!3 f(x)dx=4 한편 f(x)=f(x+2)에서 f(x)는 주기함수이므로 ● 50% :!3 f(x)dx=:#5 f(x)dx=:%7 f(x)dx :!3 f(x)dx=:&9 f(x)dx=4 ∴ F(9)-F(1) ` ● 20% =:!9 f(x)dx =:!3 f(x)dx+:#5 f(x)dx+:%7 f(x)dx =+:&9 f(x)dx =4:!3 f(x)dx=4¥4=16 539 오른쪽 그림과 같이 나누어 진 도형의 넓이를 각각 A, B, C 라 하면 (cid:8951) 6 y=x‹ 의 그래프는 원점 에 대하여 대칭이다. S¡=A=:)a x‹ dx S¡=[;4!; x› ]a)= ;4!; a› ● 30% (cid:8951) 16 y=x# y 8 a# O C B A a 2 x (cid:100)(cid:100) lim ¶ n ⁄ n ¡k=1 {3+ }¥ =:)1 (3+2x)dx 2k n 1 n =2:)1 {;2#;+x} dx (cid:100):)1 (3+2x)dx =:)1 2{;2#; +x}dx =2:)1 {;2#; +x}dx 또` B=a¥a‹ -A= a› =3A이므로 ;4#; 3S¡+S™=B+C=2¥8-:)2 x‹ dx =16-[;4!; x› ]2)=12 (cid:8951) ④ 540 f(k)=0 (00)로 놓으면 (cid:100)(cid:100):)1 |kx(x-1)|dx=-k:)1 (x2-x)dx (cid:100)(cid:100):)1 |kx(x-1)|dx=-k[;3!; x3- x2 ]1) ;2!; (cid:100)(cid:100):)1 |kx(x-1)|dx= k ;6!; 즉 k=1이므로(cid:100)(cid:100)k=6 ;6!; (cid:100)(cid:100)∴ f '(x)=6x(x-1)=6x2-6x (cid:100)(cid:100)∴ f(x)=: f '(x)dx=: (6x2-6x)dx (cid:100)(cid:100)∴ f(x)=2x3-3x2+C f(1)=0이므로(cid:100)(cid:100)-1+C=0(cid:100)(cid:100)∴ C=1 (cid:100)(cid:100)∴ f(x)=2x3-3x2+1=(x-1)2(2x+1) f(x)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-;2!; 또는 x=1 이므로 구하는 넓이는 (cid:100)(cid:100): 1- f(x)dx=: 1- ;2!; (2x3-3x2+1)dx (cid:100)(cid:100): 1- f(x)dx=[;2!; x4-x3+x]1- ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; (cid:100)(cid:100): 1- f(x)dx= ;3@2&; (cid:8951) ;3@2&; { f(t)-g(t)}dt의 양변을 x에 대 542 F(x)=:Ú/ 하여 미분하면 F'(x)=f(x)-g(x) F'(x)=f(x)-g(x)=0에서 x=a 또는 x=b 또는 x=0 x y F'(x) - a 0 y + b 0 y - 0 0 y + F(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘ 극소 ↗ 따라서 함수 F(x)는 x=a, x=0에서 극소, x=b에서 극대이고 F(a)=:Ú” { f(t)-g(t)}dt=0, F(b)=:Ú’ { f(t)-g(t)}dt=S¡>0, F(0)=:Ú0 { f(t)-g(t)}dt=S¡-S™<0 이므로 y=F(x)의 그래프의 개형은 ①`과 같다. (∵ S¡0) 따라서 두 점 P, Q는 출발한 지 15초 후에 만난다. ● 30% ● 30% ` ` 출발한지t초후의 PQ”의길이를 l(t)라하면 l(t)=|{;2#;t¤ -6t}-{-;2!;t¤ +4t+300}| =|2t¤ -10t-300| =|2{t-;2%;} ¤ - ;;§;2@;∞;;| 따라서 0…t…15에 서 y=l(t)의 그래프는 오른쪽 y=l{t} y 625 2 300 그림과 같으므로 선분 PQ의 길이의 최댓값은 이다. ;;§;2@;∞;; ● 20% O 5 2 15 t (cid:8951) ;;§;2@;∞;; 545 시각 t에서의 점 P의 위치를 x(t)라 하면 x(2)=12, x(6)=4 Ⅳ. 다항함수의 적분법 111 법 분 적 의 수 함 항 다 Ⅳ D1028일품미적분1_정(083-112) 2014.10.28 1:52 PM 페이지112 SinsagoHitec x(6)=x(0)+:)6 v(t)dt에서 :)6 v(t)dt=0이므로 x(6)=x(0)=4 ∴ x(2)=x(0)+:)2 v(t)dt=4+2a 즉 4+2a=12이므로(cid:100)(cid:100)a=4 ∴ x(7)=x(0)+:)7 v(t)dt ∴ x(7)=x(0)+:^7 v(t)dt {∵ :)6 v(t)dt=0} ∴ x(7)=4+ ¥1¥(-4)=2 ;2!; (cid:8951) ② 546 생각한다. :)k f(x)dx와 :)k f(k-x)dx의 관계를 다. f(x)+f(k-x)=k에서 (cid:100)(cid:100):)k { f(x)+f(k-x)}dx=:)k k dx yy ㉠(cid:100)(cid:100) ㉠의 좌변에서 (cid:100):)6 v(t)dt =:)3 v(t)dt+:#6 v(t)dt ={2a+ ¥1¥a} ;2!; ¥1¥a+2a} (cid:100)-{;2!; =0 즉 시각t=0 에서 t=6 까지 점 P의 위치의 변 화량은 0이다. F'(x)=f(x)이고, f(x)가 삼차함수이므 로 F(x)는 사차함수이 k>8일 때, F(x)=k 는 서로 다른 두 실근 을 갖는다. 2

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