확률과 통계● 정답을 확인하려고 할 때에는 <빠른 정답 찾기>를 이용하면 편리합니다.확률II05 확률의 뜻과 활용 3606 조건부확률 46통계III07 확률분포 5508 정규분포 6609 통계적 추정 78순열과 조합I01 순열 202 여러 가지 순열 1203 조합 2004 이항정리와 분할 27라이트쎈-해설1강(2-11)OK.indd 114. 8. 28. 오후 1:06 2 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0018 _3P_3=3!=3.c12.c11=6 60019 _nP_2=n(n-1)이므로 n(n-1)=56=8·7 .t3 n=8 80020 _nP_n=n!이므로 24=4·3·2·1에서 n!=4·3·2·1 .t3 n=4 40021 _nP_1=n이므로 r=1 10022 _nP_0=1이므로 r=0 00023 120=6·5·4이므로 _6P_3=120 .t3 r=3 30024 336=8·7·6이므로 _8P_3=336 .t3 r=3 30025 6!=6·5·4·3·2·1=720 7200026 4장의 카드에서 3장을 뽑는 순열의 수이므로 _4P_3=4·3·2=24 240027 10명의 학생 중에서 2명을 뽑는 순열의 수이므로 _1_0P_2=10·9=90 900028 6권의 책 중에서 4권을 뽑는 순열의 수이므로 _6P_4=6·5·4·3=360 3600029 두 주사위에서 나오는 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 눈의 수의 합이 5가 되는 경우는 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의 4가지 눈의 수의 합이 6이 되는 경우는 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)의 5가지두 사건은 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는 4+5=9 ④0030 1부터 34까지의 자연수 중에서 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31의 11개8의 배수는 8, 16, 24, 32의 4개두 사건은 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는 11+4=15 150031 뽑힌 카드에 적힌 세 수를 순서쌍으로 나타내면 적힌 세 수의 곱이 2가 되는 경우는 (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)의 3가지 적힌 세 수의 곱이 4가 되는 경우는 (1, 1, 4), (1, 4, 1), (4, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)의 6가지두 사건은 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는 3+6=9 ③순열01Ⅰ. 순열과 조합0001 5+2=7 70002 12+10=22 220003 6의 배수가 적힌 공은 6, 12, 18의 3개7의 배수가 적힌 공은 7, 14의 2개두 사건은 동시에 일어나지 않으므로 구하는 경우의 수는 3+2=5 50004 4의 배수가 적힌 공은 4, 8, 12, 16, 20의 5개5의 배수가 적힌 공은 5, 10, 15, 20의 4개4와 5의 최소공배수인 20의 배수가 적힌 공은 20의 1개따라서 구하는 경우의 수는 5+4-1=8 80005 소수의 눈이 나오는 경우는 2, 3, 5의 3가지짝수의 눈이 나오는 경우는 2, 4, 6의 3가지따라서 구하는 경우의 수는 3·3=9 90006 7·8=56 560007 A지점에서 B지점까지 가는 방법의 수는 2B지점에서 C지점까지 가는 방법의 수는 2따라서 구하는 방법의 수는 2.c12=4 40008 A지점에서 D지점까지 가는 방법의 수는 2D지점에서 C지점까지 가는 방법의 수는 3따라서 구하는 방법의 수는 2·3=6 6 0009 3!=3·2·1=6 60010 5!=5·4·3·2·1=120 1200011 0!=1 10012 1!=1 10013 _1_0P_4=10!(10-4)!=10!6! .t3 ☐=6 60014 _7P◻=7!(7-☐)!=7!2!이므로 7-☐=2 .t3 ☐=5 50015 _4P_2=4.c13=12 120016 _8P_0=1 10017 _5P_1=5 5라이트쎈-해설1강(2-11)OK.indd 214. 8. 28. 오후 1:06 01``순열 • 3순열01본책6~9쪽0035 36=2^2 \3^2 이므로 36과 서로소인 수는 2의 배수도 아니고, 3의 배수도 아닌 수이다. 36개의 공 중에서 2의 배수가 적힌 공은 18개, 3의 배수가 적힌 공은 12개, 2와 3의 최소공배수인 6의 배수가 적힌 공은 6개이므로 2의 배수 또는 3의 배수가 적힌 공은 18+12-6=24따라서 구하는 경우의 수는 36-24=12 120036 x=1일 때, y+z=6이므로 순서쌍 (y, z)는(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)의 5개 x=2일 때, y+z=4이므로 순서쌍 (y, z)는(1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3개 x=3일 때, y+z=2이므로 순서쌍 (y, z)는(1, 1)의 1개이상에서 구하는 순서쌍의 개수는 5+3+1=9 90037 x=0일 때,y=^52 /3 x=1일 때,y=16x=2일 때,y=^44 /3 x=3일 때,y=^40 /3 x=4일 때,y=12 ⋮따라서 구하는 순서쌍 (x, y)는 (1, 16), (4, 12), (7, 8), (10, 4), (13, 0)의 5개이다. 50038 x, y가 자연수이므로 x+4y_< 9를 만족시키는 경우는 x+4y=5, x+4y=6, x+4y=7, x+4y=8, x+4y=9 x+4y=5일 때, 순서쌍 (x, y)는 (1, 1)의 1개 x+4y=6일 때, 순서쌍 (x, y)는 (2, 1)의 1개 x+4y=7일 때, 순서쌍 (x, y)는 (3, 1)의 1개 x+4y=8일 때, 순서쌍 (x, y)는 (4, 1)의 1개� x+4y=9일 때, 순서쌍 (x, y)는 (5, 1), (1, 2)의 2개이상에서 구하는 순서쌍의 개수는 1+1+1+1+2=6 ④ y=1일 때, x+4_< 9, 즉 x_< 5이므로 순서쌍 (x, y)는(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1)의 5개 y=2일 때, x+8_< 9, 즉 x_< 1이므로 순서쌍 (x, y)는(1, 2)의 1개, 에서 구하는 순서쌍의 개수는 5+1=60039 100원, 200원, 400원짜리 초콜릿을 각각 x개, y개, z개 산다고 하면 100x+200y+400z=1500 .t3 x+2y+4z=15`(단, x, y, z는 자연수) z=1일 때, x+2y+4=15, 즉 x+2y=11이므로 순서쌍 (x, y)는(9, 1), (7, 2), (5, 3), (3, 4), (1, 5)의 5개 z=2일 때, x+2y+8=15, 즉 x+2y=7이므로 순서쌍 (x, y)는(5, 1), (3, 2), (1, 3)의 3개0032 가장 가까운 두 점 사이의 간격을 1이라 하면 한 변의 길이가 1인 정사각형은 9개 한 변의 길이가 2인 정사각형은 4개 한 변의 길이가 3인 정사각형은 1개 ⇨ ❶ 한 변의 길이가 12인 정사각형은 4개 ⇨ ❷� 한 변의 길이가 15인 정사각형은 2개 ⇨ ❸모든 사건은 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 정사각형의 개수는 9+4+1+4+2=20 ⇨ ❹ 20 한 변의 길이가 12~, 15~인 정사각형은 다음 그림과 같이 각각 4개, 2개이다.0033 100개의 공 중에서 4의 배수가 적힌 공은 25개, 6의 배수가 적힌 공은 16개, 4와 6의 최소공배수인 12의 배수가 적힌 공은 8개이므로 4의 배수 또는 6의 배수가 적힌 공의 개수는 25+16-8=33따라서 구하는 경우의 수는 33 ①0034 모든 원소의 곱이 6의 배수가 되기 위해서는 3을 반드시 원소로 갖고 2 또는 4를 원소로 가져야 한다. 2, 3을 원소로 갖는 부분집합의 개수는 2^5 ^- ^2 =2^3 =8 3, 4를 원소로 갖는 부분집합의 개수는 2^5 ^- ^2 =2^3 =8 2, 3, 4를 원소로 갖는 부분집합의 개수는 2^5 ^- ^3 =4이상에서 구하는 부분집합의 개수는 8+8-4=12 12 3을 원소로 갖는 부분집합의 개수는 2^5 ^- ^1 =2^4 =16 3을 원소로 갖고 2, 4를 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수는 2^5 ^- ^1 ^- ^2 =2^2 =4, 에서 구하는 부분집합의 개수는 16-4=12채점 기준비율❶ 한 변의 길이가 1, 2, 3인 정사각형의 개수를 구할 수 있다.30%❷ 한 변의 길이가 12~인 정사각형의 개수를 구할 수 있다.30%❸ 한 변의 길이가 15~인 정사각형의 개수를 구할 수 있다.30%❹ 모든 정사각형의 개수를 구할 수 있다.10%부분집합의 개수집합 A={a_1 , a_2 , a_3 , … , a_n }에 대하여① 집합 A의 부분집합의 개수: 2^n ② 집합 A의 특정한 원소 r`(r_< n)개를 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수: 2^n ^- ^r ③ 집합 A의 특정한 원소 k`(k_< n)개를 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수: 2^n ^- ^k 라이트쎈-해설1강(2-11)OK.indd 314. 8. 28. 오후 1:06 4 • 정답 및 풀이정답 및 풀이(c+d-e)(z+w)에서 c, d, -e에 곱해지는 항이 각각 z, w의 2개이므로 항의 개수는 3·2=6(a-b)^2(x+y)와 (c+d-e)(z+w)의 전개식에 동류항이 없으므로 구하는 항의 개수는 6+6=12 ②0048 54=2.c13^3이므로 54의 양의 약수는 2^m.c13^n`(m=0, 1, n=0, 1, 2, 3)으로 나타낼 수 있다. 이때 m, n을 택하는 방법의 수가 각각 2, 4이므로 a=2·4=890=2.c13^2.c15이므로 90의 양의 약수는 2^p.c13^q.c15^r`(p=0, 1, q=0, 1, 2, r=0, 1)으로 나타낼 수 있다. 이때 p, q, r를 택하는 방법의 수가 각각 2, 3, 2이므로 b=2·3·2=12 .t3 a+b=20 200049 ① 3^2\5의 양의 약수의 개수는 3·2=6② 3^2\7의 양의 약수의 개수는 3·2=6③ 3^2\11의 양의 약수의 개수는 3·2=6④ 3^2\15=3^3\5의 양의 약수의 개수는 4·2=8⑤ 3^2\27=3^5의 양의 약수의 개수는 6 ④0050 108=2^2.c13^3이므로 ⇨ ❶108의 양의 약수 중 짝수는 2^m.c13^n`(m=1, 2, n=0, 1, 2, 3)으로 나타낼 수 있다. 이때 m, n을 택하는 방법의 수가 각각 2, 4이므로 구하는 짝수의 개수는 2·4=8 ⇨ ❷ 80051 168=2^3.c13.c17과 252=2^2.c13^2.c17의 최대공약수는 84=2^2.c13.c17이므로 168과 252의 양의 공약수의 개수는 84의 양의 약수의 개수와 같다.84의 양의 약수는 2^m.c13^n.c17^l`(m=0, 1, 2, n=0, 1, l=0, 1)으로 나타낼 수 있다. 이때 m, n, l을 택하는 방법의 수가 각각 3, 2, 2이므로 구하는 공약수의 개수는 3.c12.c12=12 ⑤0052 모든 자물쇠가 열리지 않는 경우는 오른 A B C D a d c b c d a d a c a d b c a b d b a a b c d a b c b a쪽과 같다. 따라서 구하는 경우의 수는 9이다. ⑤채점 기준비율❶ 108을 소인수분해할 수 있다. 30%❷ 108의 양의 약수 중 짝수의 개수를 구할 수 있다.70% z=3일 때, x+2y+12=15, 즉 x+2y=3이므로 순서쌍 (x, y)는(1, 1)의 1개이상에서 구하는 방법의 수는 5+3+1=9 ④0040 a가 될 수 있는 것은 1, 2, 3, 4의 4개b가 될 수 있는 것은 -1, 0, 1의 3개따라서 순서쌍 (a, b)의 개수는 4·3=12이므로 n(C)=12 ④0041 십의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 6, 7, 8, 9의 4개일의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 0, 2, 4, 6, 8의 5개따라서 구하는 짝수의 개수는 4·5=20 2060 이상의 두 자리 자연수의 개수는 99-60+1=40따라서 짝수의 개수는 40/2=200042 3.c14.c15=60 ③0043 A조에서 경찰관 1명, B조에서 소방관 1명을 뽑는 경우 4·2=8 ⇨ ❶ A조에서 소방관 1명, B조에서 경찰관 1명을 뽑는 경우 3·5=15 ⇨ ❷, 에서 구하는 방법의 수는 8+15=23 ⇨ ❸ 230044 세 눈의 수의 곱이 짝수인 경우의 수는 (전체 경우의 수)-(세 눈의 수의 곱이 홀수인 경우의 수)이때 3개의 주사위를 던져 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6.c16.c16=216또 세 눈의 수의 곱이 홀수인 경우의 수는 3.c13.c13=27따라서 구하는 경우의 수는 216-27=189 ⑤0045 (x+y+z)(a+b+c+d)에서 x, y, z에 곱해지는 항이 각각 a, b, c, d의 4개이므로 항의 개수는 3·4=12 ② 0046 (x+y)(a+b)^2=(x+y)(a^2+2ab+b^2)에서 x, y에 곱해지는 항이 각각 a^2, 2ab, b^2의 3개이므로 항의 개수는 2·3=6 60047 (a-b)^2(x+y)=(a^2-2ab+b^2)(x+y)에서 a^2, -2ab, b^2에 곱해지는 항이 각각 x, y의 2개이므로 항의 개수는 3·2=6채점 기준비율❶ 의 방법의 수를 구할 수 있다.40%❷ 의 방법의 수를 구할 수 있다.40%❸ 경찰관 1명, 소방관 1명을 뽑는 방법의 수를 구할 수 있다.20%라이트쎈-해설1강(2-11)OK.indd 414. 8. 28. 오후 1:06 01``순열 • 5순열01본책9~12쪽0058 5000원짜리 지폐 2장으로 지불할 수 있는 금액과 10000원짜리 지폐 1장으로 지불할 수 있는 금액이 같고, 1000원짜리 지폐 5장으로 지불할 수 있는 금액과 5000원짜리 지폐 1장으로 지불할 수 있는 금액이 같다.따라서 10000원짜리 지폐 2장과 5000원짜리 지폐 3장을 1000원짜리 지폐 35장으로 바꾸면 지불할 수 있는 금액의 수는 1000원짜리 지폐 41장으로 지불할 수 있는 금액의 수와 같다.1000원짜리 지폐로 지불하는 금액은 0원, 1000원, 2000원, …, 41000원의 42가지이때 0원을 지불하는 경우를 제외해야 하므로 구하는 금액의 수는 42-1=41 410059 A → B → C로 가는 방법의 수는 2· 4=8 A → D → C로 가는 방법의 수는 3· 2=6, 에서 구하는 방법의 수는 8+6=14 140060 매표소 → 정상 → 약수터 → 매표소로 가는 방법의 수는 3· 2· 4=24 매표소 → 약수터 → 정상 → 매표소로 가는 방법의 수는 4· 2· 3=24, 에서 구하는 방법의 수는 24+24=48 ③0061 공원 → A → 서점으로 가는 방법의 수는 3· 2=6 공원 → B → 서점으로 가는 방법의 수는 2· 1=2 공원 → A → B → 서점으로 가는 방법의 수는 3· 2· 1=6 공원 → B → A → 서점으로 가는 방법의 수는 2· 2· 2=8이상에서 구하는 방법의 수는 6+2+6+8=22 220062 B에 칠할 수 있는 색은 4가지, C에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제외한 3가지, A에 칠할 수 있는 색은 B, C에 칠한 색을 제외한 2가지, D에 칠할 수 있는 색은 B, C에 칠한 색을 제외한 2가지이다.따라서 구하는 방법의 수는 4· 3· 2· 2=48 480063 B에 칠할 수 있는 색은 4가지, A에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제외한 3가지, C에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제외한 3가지이다.따라서 구하는 방법의 수는 4· 3· 3=36 ⑤0064 A와 C가 같은 색인 경우 A에 칠할 수 있는 색은 4가지, B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지, C에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색과 같은 색이므로 1가지, D에 칠할 수 있는 색은 A와 C에 칠한 색을 제외한 3가지이므로 방법의 수는 4· 3· 1· 3=36 ⇨ ❶0053 a_1 not= 1이므로 a_1 이 2, 3인 경우에 대하여 a_1 a_2 a_3 2 3 1 3 1 2a_2 not= 2, a_3 not= 3인 a_2 , a_3 을 각각 구해 보면 오른쪽과 같다.따라서 구하는 정수의 개수는 2이다. ①0054 a, b, b, c를 같은 문자끼리 이웃하지 않 a b c b b c a c bb a b c b ac b a b도록 일렬로 나열하는 방법은 오른쪽과 같다.따라서 구하는 방법의 수는 6이다. ②0055 100원짜리 동전으로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개의 2가지50원짜리 동전으로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개의 3가지10원짜리 동전으로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개, 3개의 4가지이때 0원을 지불하는 경우를 제외해야 하므로 구하는 방법의 수는 2· 3· 4-1=23 ③0056 500원짜리 동전으로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개의 3가지 ⇨ ❶100원짜리 동전으로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개, 3개의 4가지 ⇨ ❷50원짜리 동전으로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개, 3개의 4가지 ⇨ ❸이때 0원을 지불하는 경우를 제외해야 하므로 구하는 방법의 수는 3· 4· 4-1=47 ⇨ ❹ 47 0057 500원짜리 동전 2개로 지불할 수 있는 금액과 1000원짜리 지폐 1장으로 지불할 수 있는 금액이 같으므로 1000원짜리 지폐 2장을 500원짜리 동전 4개로 바꾸면 지불할 수 있는 금액의 수는 500원짜리 동전 7개, 100원짜리 동전 3개로 지불할 수 있는 금액의 수와 같다.500원짜리 동전으로 지불할 수 있는 금액은 0원, 500원, 1000원, …, 3500원의 8가지100원짜리 동전으로 지불할 수 있는 금액은 0원, 100원, 200원, 300원의 4가지이때 0원을 지불하는 경우를 제외해야 하므로 구하는 금액의 수는 8· 4-1=31 31 채점 기준비율❶ 500원짜리 동전으로 지불할 수 있는 방법의 수를 구할 수 있다.20%❷ 100원짜리 동전으로 지불할 수 있는 방법의 수를 구할 수 있다.20%❸ 50원짜리 동전으로 지불할 수 있는 방법의 수를 구할 수 있다.20%❹ 동전의 일부 또는 전부를 사용하여 지불할 수 있는 방법의 수를 구할 수 있다.40%라이트쎈-해설1강(2-11)OK.indd 514. 8. 28. 오후 1:06 6 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 A와 C가 다른 색인 경우 A에 칠할 수 있는 색은 4가지, B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지, C에 칠할 수 있는 색은 A와 B에 칠한 색을 제외한 2가지, D에 칠할 수 있는 색은 A와 C에 칠한 색을 제외한 2가지이므로 방법의 수는 4·3·2·2=48 ⇨ ❷, 에서 구하는 방법의 수는 36+48=84 ⇨ ❸ 84 0065 구하는 방법의 수는 10명의 회원 중에서 3명을 택하여 일렬로 세우는 방법의 수와 같으므로 _1_0P_3=10·9·8=720 ⑤0066 구하는 방법의 수는 5명의 선수를 일렬로 세우는 방법의 수와 같으므로 5!=120 1200067 _nP_2=72이므로 n(n-1)=72=9·8 .t3 n=9 ④0068 _nP_2`:`_nP_3=1`:`7에서 7·_nP_2=_nP_3 7n(n-1)=n(n-1)(n-2)_nP_3에서 n_>3이므로 양변을 n(n-1)로 나누면 7=n-2 .t3 n=9 90069 _nP_2+3.c1_nP_1=35에서 n(n-1)+3n=35 ⇨ ❶ n^2+2n-35=0, (n+7)(n-5)=0 .t3 n=5`(.T3 n_>2) ⇨ ❷ 50070 _7P_r_<2.c1_7P_r_-_2에서 7!(7-r)!_<2.c17!{7-(r-2)}! 1(7-r)!_<2.c11(9-r)!, (9-r)!_<2(7-r)! (9-r)(8-r)_<2, r^2-17r+70_<0 (r-7)(r-10)_<0 .t3 7_ 0이어야 하므로 a^2 -4b_> 0 .t3 a^2 _> 4b이때 a(cid:68)A, b(cid:68)A이므로 a=0일 때, b=0 ➡ 1개 a=1일 때, b=0 ➡ 1개 a=2일 때, b=0, 1 ➡ 2개 a=3일 때, b=0, 1, 2 ➡ 3개� a=4일 때, b=0, 1, 2, 3, 4 ➡ 5개� a=5일 때, b=0, 1, 2, 3, 4, 5 ➡ 6개이상에서 순서쌍 (a, b)의 개수는 1+1+2+3+5+6=18 ④0115 사다리꼴의 윗변의 길이가 a, 아랫변의 길이가 b, 높이가h일 때, 넓이는 1/2 (a+b)h임을 이용한다.사다리꼴의 윗변과 아랫변의 길이를 각각 a, b라 하면넓이는 1/2 (a+b)· 1=2이므로 a+b=4 a=1, b=3일 때,a=1인 경우는 4가지, b=3인 경우는 2가지이므로 4.c1 2=8(개) a=3, b=1일 때,a=3인 경우는 2가지, b=1인 경우는 4가지이므로 2.c1 4=8(개), 에서 평행사변형이 아닌 사다리꼴의 개수는 8+8=16 160116 약수의 개수를 구하는 공식을 이용한다.7장의 카드에 적혀 있는 숫자를 곱하여 만들 수 있는 자연수는 2.c1 3^3 .c1 5^2 의 양의 약수이다.2.c1 3^3 .c1 5^2 의 양의 약수는 2^m .c1 3^n .c1 5^l `(m=0, 1, n=0, 1, 2, 3, l=0, 1, 2)으로 나타낼 수 있다. 이때 m, n, l을 택하는 방법의 수가 각각 2, 4, 3이고 2장 이상의 카드를 뽑아야 하므로 1은 만들 수 없다.따라서 구하는 자연수의 개수는 2.c1 4.c1 3-1=23 ①본책18~19쪽라이트쎈-해설1강(2-11)OK.indd 1114. 8. 28. 오후 1:06 12 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0132 _5J_r=125이므로 5^r=125=5^3 .t3 r=3 30133 구하는 두 자리 자연수의 개수는 1, 2, 3의 3개에서 중복을 허용하여 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 _3J_2=3^2=9 90134 구하는 방법의 수는 참, 거짓의 2개에서 중복을 허용하여 5개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 _2J_5=2^5=32 320135 5개의 숫자 중 5가 2개 있으므로 구하는 방법의 수는 5!2!=60 600136 6개의 문자 중 c가 2개, s가 2개 있으므로 구하는 방법의 수는 6!2!.c12!=180 1800137 A에서 B까지 최단 거리로 가려면 오른쪽으로 3칸, 위쪽으로 2칸 이동해야 한다.오른쪽으로 1칸 가는 것을 a, 위쪽으로 1칸 가는 것을 b로 나타내면최단 거리로 가는 방법의 수는 a, a, a, b, b를 일렬로 나열하는순열의 수와 같으므로 구하는 방법의 수는 5!3!.c12!=10 .t3 ㈎ 3 ㈏ 2 ㈐ b ㈑ 5 ㈒ 2 ㈓ 10 풀이 참조0138 어른 2명을 한 사람으로 생각하여 5명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 (5-1)!=4!=24어른끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2따라서 구하는 방법의 수는 24.c12=48 ①0139 D, E, F, G의 4명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 (4-1)!=3!=6 ⇨ ❶D, E, F, G의 사이사이의 4개의 자리에 A, B, C의 3명이 앉는 방법의 수는 _4P_3=24 ⇨ ❷따라서 구하는 방법의 수는 6.c124=144 ⇨ ❸ 144 0140 남자 4명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 (4-1)!=3!=6남자들 사이사이의 4개의 자리에 여자 4명을 앉히는 방법의 수는 4!=24따라서 구하는 방법의 수는 6.c124=144 144채점 기준비율❶ D, E, F, G의 4명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수를 구할 수 있다.40%❷ A, B, C가 이웃하지 않게 앉는 방법의 수를 구할 수 있다.40%❸ 7명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수를 구할 수 있다.20%여러 가지 순열02Ⅰ. 순열과 조합0119 (6-1)!=5!=120 1200120 2+3=5이므로 5명의 학생을 원형으로 배열하는 방법의 수는 (5-1)!=4!=24 240121 구하는 방법의 수는 4가지 색을 원형으로 배열하는 방법의 수와 같으므로 (4-1)!=3!=6 60122 서로 다른 7개의 문자 중에서 4개를 택하여 일렬로 나열하는 방법의 수는 7P4 에서 선택한 4개의 문자를 일렬로 나열하는 모든 경우를 원형으로 배열하면 같은 것이 4가지씩 있다., 에서 구하는 방법의 수는 7P44=8404=210 .t3 ㈎ 7 ㈏ 4 ㈐ 4 ㈑ 210 풀이 참조0123 _8P_33=3363=112 1120124 _6P_55=7205=144 1440125 _7P_55=25205=504 5040126 8명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 (8-1)!=7!정사각형 모양의 탁자에 둘러앉았을 때, 원형으로 배열하는 한 가지방법에 대하여 서로 다른 경우가 2가지씩 있다.따라서 구하는 방법의 수는 7!.c12 .t3 ㈎ 8 ㈏ 7 ㈐ 2 풀이 참조0127 _4J_2=4^2=16 16 0128 _2J_5=2^5=32 320129 _3J_3=3^3=27 270130 _7J_1=7^1=7 70131 _nJ_3=64이므로 n^3=64=4^3 .t3 n=4 4라이트쎈-해설2강(12-19)OK.indd 1214. 8. 28. 오후 1:11 여러 가지 순열0202``여러 가지 순열 • 13본책20~24쪽0149 8명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 (8-1)!=7!이때 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 직사각형 모양의 탁자에서는 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 4가지씩 존재한다.(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:25)(cid:22)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:24)(cid:21)(cid:23)(cid:22)(cid:24)(cid:25)(cid:18)(cid:19)(cid:23)(cid:20)(cid:22)(cid:21)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:18)(cid:22)(cid:19)(cid:21)(cid:20)따라서 구하는 방법의 수는 7!.c1 4 ④0150 7명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 (7-1)!=6! ⇨ ❶이때 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 반원 모양의 탁자에서는 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 7가지씩 존재한다.(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:19)(cid:20)(cid:20)(cid:21)(cid:21)(cid:22)(cid:22)(cid:23)(cid:23)(cid:24)(cid:24)(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:19)(cid:20)(cid:20)(cid:21)(cid:21)(cid:22)(cid:22)(cid:23)(cid:23)(cid:24)(cid:24)(cid:22)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:24)(cid:23)따라서 구하는 방법의 수는 6!.c1 7=5040 ⇨ ❸ 5040 주어진 반원 모양의 탁자에 7명이 둘러 앉을 때, 회전하여 일치하는 경우가 없으므로 구하는 방법의 수는 7명을 일렬로 나열하는 방법의 수와 같다. .t3 7!=50400151 구하는 방법의 수는 서로 다른 3개의 여행 상품에서 중복을 허용하여 5개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 _3 J_5 =3^5 =243 ⑤정다각형 모양의 탁자에 둘러앉는 방법의 수정다각형 모양의 탁자에 둘러앉는 경우, 회전시켰을 때 겹치지 않는 자리의 수는 정다각형의 한 변에 앉는 사람의 수와 같다.채점 기준비율❶ 7명을 원형으로 배열하는 방법의 수를 구할 수 있다.40%❷ 회전시켰을 때 겹치지 않는 자리의 수를 구할 수 있다.40%❸ 반원 모양의 탁자에 7명이 둘러앉는 방법의 수를 구할 수 있다.20%0141 유진이 아버지의 자리가 결정되면 어머니의 자리는 마주 보는 자리에 고정되므로 구하는 방법의 수는 9명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수와 같다. .t3 (9-1)!=8! ③유진이네 부모님이 마주 보도록 원탁엄마아빠에 앉은 다음, 나머지 8개의 자리에 8명을 앉히면 되므로 구하는 방법의 수는 _8 P_8 =8!0142 가운데 삼각형을 칠하는 방법의 수는 4이고, 나머지 3개의 삼각형을 칠하는 방법의 수는 (3-1)!=2!=2따라서 구하는 방법의 수는 4.c1 2=8 ②0143 서로 다른 6가지 색을 바람개비의 각 날개에 칠하는 방법의 수는 (6-1)!=5!=120 1200144 가운데 사각형을 칠하는 방법의 수는 5이고, 나머지 4개의 사각형을 칠하는 방법의 수는 (4-1)!=3!=6따라서 구하는 방법의 수는 5.c1 6=30 ⑤0145 정사각뿔의 밑면을 칠하는 방법의 수는 5이고, 4개의 옆면을 칠하는 방법의 수는 (4-1)!=3!=6따라서 구하는 방법의 수는 5.c1 6=30 ④0146 정삼각뿔의 밑면을 칠하는 방법의 수는 4이고, 밑면을 제외한 3개의 옆면을 칠하는 방법의 수는 (3-1)!=2!=2따라서 구하는 방법의 수는 4.c1 2=8 80147 정육면체의 한 밑면에 한 가지 색을 칠하면 다른 밑면을 칠하는 방법의 수는 5이고, 옆면을 칠하는 방법의 수는 (4-1)!=3!=6따라서 구하는 방법의 수는 5.c1 6=30 ④0148 6명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 (6-1)!=5!=120이때 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 정삼각형 모양의 탁자에서는 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 2가지씩 존재한다.(cid:19)(cid:18)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:23)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:18)따라서 구하는 방법의 수는 120.c1 2=240 ④⇨ ❷라이트쎈-해설2강(12-19)OK.indd 1314. 8. 28. 오후 1:11 14 • 정답 및 풀이정답 및 풀이세 고대 문자를 2번 이용하여 만들 수 있는 암호의 개수는 _3J_2=3^2세 고대 문자를 3번 이용하여 만들 수 있는 암호의 개수는 _3J_3=3^3같은 방법으로 4번, 5번 이용하여 만들 수 있는 암호의 개수는 각각 _3J_4=3^4, _3J_5=3^5이므로 구하는 암호의 개수는 3+3^2+3^3+3^4+3^5=3(3^5-1)3-1=363 ④0159 깃발을 한 번 들어 올려서 만들 수 있는 신호의 개수는 _2J_1=2깃발을 두 번 들어 올려서 만들 수 있는 신호의 개수는 _2J_2=2^2같은 방법으로 깃발을 세 번, 네 번, …, n번 들어 올려서 만들 수 있는 신호의 개수는 각각 _2J_3, _2J_4, …, _2J_n이므로 n번 이하로 들어 올려서 만들 수 있는 신호의 개수는 2+2^2+2^3+…+2^n=2(2^n-1)2-1=2^n^+^1-2 ⇨ ❶따라서 2^n^+^1-2_>200이어야 하므로 2^n^+^1_>202이때 2^7=128, 2^8=256이므로 n+1_>8 .t3 n_>7따라서 n의 최솟값은 7이다. ⇨ ❷ 70160 마지막 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 1, 3, 5의 3개첫 번째 자리, 두 번째 자리, 세 번째 자리의 숫자를 택하는 방법의 수는 1, 2, 3, 4, 5의 5개에서 중복을 허용하여 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 _5J_3=5^3=125따라서 구하는 비밀번호의 개수는 3.c1125=375 ④0161 백의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 1, 2, 3의 3개십의 자리의 숫자, 일의 자리의 숫자를 택하는 방법의 수는 0, 1, 2, 3의 4개에서 중복을 허용하여 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 _4J_2=4^2=16따라서 구하는 세 자리 자연수의 개수는 3.c116=48 ②등비수열의 합첫째항이 a, 공비가 r`(rnot=1)인 등비수열의 첫째항부터 제`n`항까지의 합은 a(r^n-1)r-1채점 기준비율❶ 깃발을 n번 이하로 들어 올려서 만들 수 있는 신호의 개수를 구할 수 있다.80%❷ n의 최솟값을 구할 수 있다.20%0152 구하는 방법의 수는 서로 다른 5개의 상자에서 중복을 허용하여 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 _5J_3=5^3=125 1250153 수현이가 시장에 들어가는 방법의 수는 2, 승민이와 준호가 시장에 들어가는 방법의 수는 서로 다른 6개의 입구에서 중복을 허용하여 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 _6J_2=36따라서 구하는 방법의 수는 2.c136=72 ③0154 a,b, c에서 중복을 허용하여 3개를 택하여 일렬로 나열하는 방법의 수는 _3J_3=3^3=27 a를 두 번 연속하여 나열하는 방법의 수는 aab, aac, baa, caa의 4 a를 세 번 연속하여 나열하는 방법의 수는 aaa의 1, 에서 구하는 방법의 수는 27-(4+1)=22 220155 점검표에 ◯, , 가 표시되는 경우의 수는 ◯, , 에서 중복을 허용하여 5개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 _3J_5=3^5=243 ⇨ ❶ 가 0개 표시되는 경우5개의 식당에 ◯ 또는 가 표시되는 경우의 수는_2J_5=2^5=32 ⇨ ❷ 가 1개 표시되는 경우 5개의 식당 중 1개는 가 표시되고, 4개의 식당에 ◯ 또는 가 표시되는 경우의 수는5·_2J_4=5·2^4=80 ⇨ ❸, 에서 구하는 경우의 수는 243-(32+80)=131 ⇨ ❹ 1310156 전구 5개를 각각 켜거나 꺼서 만들 수 있는 신호의 개수는 _2J_5=2^5=32이때 모든 전구가 꺼진 경우는 제외해야 하므로 구하는 신호의 개수는 32-1=31 310157 두 기호를 10번 이용하여 만들 수 있는 신호의 개수는 _2J_1_0=2^1^0=1024 ⑤0158 세 고대 문자를 1번 이용하여 만들 수 있는 암호의 개수는 _3J_1=3채점 기준비율❶ 전체 경우의 수를 구할 수 있다.20%❷ ×가 0개 표시되는 경우의 수를 구할 수 있다.30%❸ ×가 1개 표시되는 경우의 수를 구할 수 있다.30%❹ ×가 2개 이상 표시되는 경우의 수를 구할 수 있다.20%라이트쎈-해설2강(12-19)OK.indd 1414. 8. 28. 오후 1:11 02``여러 가지 순열 • 15여러 가지 순열02본책24~26쪽, 에서 구하는 함수의 개수는 16-(1+1)=14 ⇨ ❹ 140168 f(b)not= 7이므로 f(b)의 값이 될 수 있는 수는 7을 제외한 4개이고, f(d)not= 1이므로 f(d)의 값이 될 수 있는 수는 1을 제외한 4개이다.또 Y의 원소 1, 3, 5, 7, 9의 5개에서 중복을 허용하여 2개를 택하여 X의 원소 a, c에 대응시키면 되므로 구하는 함수의 개수는 4.c1 4.c1 _5 J_2 =4^2 .c1 5^2 =400 400X에서 Y로의 함수의 개수는 _5 J_4 =5^4 =625f(b)=7 또는 f(d)=1을 만족시키는 함수의 개수는 _5 J_3 +_5 J_3 -_5 J_2 =5^3 +5^3 -5^2 =225따라서 구하는 함수의 개수는 625-225=4000169 양 끝에 2개의 r를 나열하고 2개의 r를 제외한 6개의 문자 t, e, e, a, s, u를 일렬로 나열하는 방법의 수는 6!2!=360 ③0170 모음 a, a, i를 한 문자 A로 생각하여 7개의 문자 A, s, s, s, t, t, n을 일렬로 나열하는 방법의 수는 7!3!.c1 2!=420이때 모음끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 3!2!=3따라서 구하는 방법의 수는 420.c1 3=1260 ④0171 y와 y 사이에 2개의 문자가 놓이는 경우� y, x, x, y를 한 문자 A로 생각하여 A, x, z를 일렬로 나열하는 방법의 수는 3!=6� y, x, z, y를 한 문자 A로 생각하여 A, x, x를 일렬로 나열하는 방법의 수는 3!2!=3이때 y와 y 사이의 x, z가 자리를 바꾸는 방법의 수는 2이므로 3.c1 2=6�, �에서 y와 y 사이에 2개의 문자가 놓이도록 나열하는 방법의 수는 6+6=12 y와 y 사이에 4개의 문자가 놓이는 경우y와 y 사이에 x, x, x, z를 일렬로 나열하는 방법의 수는 4!3!=4, 에서 구하는 방법의 수는 12+4=16 ②채점 기준비율❶ X에서 Y로의 함수의 개수를 구할 수 있다.50%❷ 치역이 {a}인 경우의 함수의 개수를 구할 수 있다.20%❸ 치역이 {b}인 경우의 함수의 개수를 구할 수 있다.20%❹ 공역과 치역이 일치하는 함수의 개수를 구할 수 있다.10%0162 천의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 1, 2, 3, … , 9의 9개일의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 0, 2, 4, 6, 8의 5개백의 자리의 숫자, 십의 자리의 숫자를 택하는 방법의 수는 0, 1, 2, … , 9의 10개에서 중복을 허용하여 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 _1 _0 J_2 =10^2 =100따라서 구하는 짝수의 개수는 9.c1 5.c1 100=4500 45000163 다섯 개의 숫자 0, 1, 2, 3, 4로 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수는 4.c1 _5 J_3 =4.c1 5^3 =500 ⇨ ❶3을 제외한 4개의 숫자 0, 1, 2, 4로 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수는 3.c1 _4 J_3 =3.c1 4^3 =192 ⇨ ❷따라서 구하는 자연수의 개수는 500-192=308 ⇨ ❸ 308 0164 한 자리 자연수의 개수는 4두 자리 자연수의 개수는 _4 J_2 =4^2 =16백의 자리의 숫자가 2 또는 3인 세 자리 자연수의 개수는 2.c1 _4 J_2 =2.c1 4^2 =32백의 자리의 숫자가 4, 십의 자리의 숫자가 2인 자연수 중 423보다 작은 수는 422의 1개이다.따라서 423보다 작은 자연수의 개수는 4+16+32+1=53이므로 423은 54번째 수이다. 54번째0165 X에서 Y로의 함수는 Y의 원소 1, 2, 3의 3개에서 중복을 허용하여 4개를 택하여 X의 원소 a, b, c, d에 대응시키면 되므로 구하는 함수의 개수는 _3 J_4 =3^4 =81 ②0166 f(3)=-1이므로 Y의 원소 -2, -1, 0, 1, 2의 5개에서 중복을 허용하여 2개를 택하여 X의 원소 1, 2에 대응시키면 된다.따라서 구하는 함수의 개수는 _5 J_2 =5^2 =25 ③0167 X에서 Y로의 함수의 개수는 Y의 원소 a, b의 2개에서 중복을 허용하여 4개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 _2 J_4 =2^4 =16 ⇨ ❶ 치역이 {a}인 경우의 함수의 개수는 1 ⇨ ❷ 치역이 {b}인 경우의 함수의 개수는 1 ⇨ ❸채점 기준비율❶ 0, 1, 2, 3, 4로 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수를 구할 수 있다.40%❷ 0, 1, 2, 4로 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수를 구할 수 있다.40%❸ 3이 포함된 네 자리 자연수의 개수를 구할 수 있다.20%라이트쎈-해설2강(12-19)OK.indd 1514. 8. 28. 오후 1:11 16 • 정답 및 풀이정답 및 풀이x, x, x, z의 4개의 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수는 4!3!=4x, x, x, z를 ❶ x ❷ x ❸ x ❹ z ❺ 와 같이 나열한 후 ❶, ❷, ❸, ❹, ❺의 5개의 자리 중 y와 y 사이에 짝수 개의 문자가 놓이도록 y가 놓일 두 자리를 선택하는 경우는 ❶과 ❸, ❶과 ❺, ❷와 ❹, ❸과 ❺의 4가지따라서 구하는 방법의 수는 4·4=160172 o끼리 이웃하는 경우2개의 o를 한 문자 A로 생각하여 6개의 문자 A, p, i, i, n, n을 일렬로 나열하는 방법의 수는 6!2!.c12!=180 n끼리 이웃하는 경우2개의 n을 한 문자 B로 생각하여 6개의 문자 B, o, o, p, i, i를 일렬로 나열하는 방법의 수는 6!2!.c12!=180 o끼리, n끼리 이웃하는 경우2개의 o, 2개의 n을 각각 한 문자 A, B로 생각하여 5개의 문자 A, B, p, i, i를 일렬로 나열하는 방법의 수는 5!2!=60이상에서 구하는 방법의 수는 180+180-60=300 3000173 맨 앞자리의 숫자가 1인 경우5개의 숫자 0, 1, 2, 2, 3을 일렬로 나열하는 방법의 수는 5!2!=60 맨 앞자리의 숫자가 2인 경우5개의 숫자 0, 1, 1, 2, 3을 일렬로 나열하는 방법의 수는 5!2!=60 맨 앞자리의 숫자가 3인 경우5개의 숫자 0, 1, 1, 2, 2를 일렬로 나열하는 방법의 수는 5!2!.c12!=30이상에서 구하는 자연수의 개수는 60+60+30=150 ④6개의 숫자 0, 1, 1, 2, 2, 3을 일렬로 나열하는 방법의 수는 6!2!.c12!=180이때 맨 앞자리에 0이 오는 경우의 수는 5개의 숫자 1, 1, 2, 2, 3을 일렬로 나열하는 방법의 수와 같으므로 5!2!.c12!=30따라서 구하는 자연수의 개수는 180-30=1500174 일의 자리의 숫자가 2인 경우4개의 숫자 1, 2, 3, 4를 일렬로 나열하는 방법의 수는 4!=24 일의 자리의 숫자가 4인 경우4개의 숫자 1, 2, 2, 3을 일렬로 나열하는 방법의 수는 4!2!=12, 에서 구하는 짝수의 개수는 24+12=36 ②0175 십만의 자리, 천의 자리, 십의 자리에 소수 2, 2, 5를 나열하는 방법의 수는 3!2!=3나머지 자리에 1, 1, 1, 4를 나열하는 방법의 수는 4!3!=4따라서 구하는 경우의 수는 3.c14=12 120176 5개의 숫자 5, 7, 7, 9, 9에서 4개를 택하는 서로 다른 경우는 5, 7, 7, 9 또는 5, 7, 9, 9 또는 7, 7, 9, 9 5, 7, 7, 9를 일렬로 나열하는 방법의 수는 4!2!=12 ⇨ ❶ 5, 7, 9, 9를 일렬로 나열하는 방법의 수는 4!2!=12 ⇨ ❷ 7, 7, 9, 9를 일렬로 나열하는 방법의 수는 4!2!.c12!=6 ⇨ ❸이상에서 구하는 자연수의 개수는 12+12+6=30 ⇨ ❹ 300177 c, a의 순서가 정해져 있으므로 c, a를 모두 x로 생각하여 4개의 문자 x, b, x, d를 일렬로 나열한 후 첫 번째 x는 c, 두 번째 x는 a로 바꾸면 된다.따라서 구하는 방법의 수는 4!2!=12 ③0178 모음 e, e, i를 한 문자로 생각하고, 자음 g, r, t, n, g를 다른 한 문자로 생각하였을 때, 모음이 자음보다 앞에 오도록 나열하는 방법의 수는 1이때 모음끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 3!2!=3또 자음끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 5!2!=60따라서 구하는 방법의 수는 1·3·60=180 ②채점 기준비율❶ 5, 7, 7, 9로 만들 수 있는 자연수의 개수를 구할 수 있다.30%❷ 5, 7, 9, 9로 만들 수 있는 자연수의 개수를 구할 수 있다.30%❸ 7, 7, 9, 9로 만들 수 있는 자연수의 개수를 구할 수 있다.30%❹ 모든 자연수의 개수를 구할 수 있다.10%라이트쎈-해설2강(12-19)OK.indd 1614. 8. 28. 오후 1:11 02``여러 가지 순열 • 17여러 가지 순열02본책26~28쪽0179 s, m과 d, w의 순서가 각각 정해져 있으므로 s, m을 모두 x로, d, w를 모두 y로 생각하여 6개의 문자 y, i, x, y, o, x를 일렬로 나열한 후 첫 번째 x는 s, 두 번째 x는 m, 첫 번째 y는 d, 두 번째 y는 w로 바꾸면 된다.따라서 구하는 방법의 수는 6!2!.c1 2!=180 1800180 2, 3, 4의 순서가 정해져 있으므로 2, 3, 4를 모두 0으로 생각하여 6개의 숫자 1, 1, 0, 0, 0, 5를 일렬로 나열한 후, 첫 번째 0은 4, 두 번째 0은 3, 세 번째 0은 2로 바꾸면 된다.따라서 구하는 방법의 수는 6!2!.c1 3!=60 ②0181 A에서 P까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 4!2!.c1 2!=6P에서 B까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 5!3!.c1 2!=10따라서 A에서 P를 거쳐 B까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 6.c1 10=60 ② 오른쪽으로 한 칸 움직이는 것을 a, 위쪽으로 한 칸 움직이는 것을 b라 하면 A에서 P까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 a, a, b, b를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같다.0182 A에서 B까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 7!4!.c1 3!=35 ③0183 A에서 P까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 6!4!.c1 2!=15 ⇨ ❶PQ^_ 를 거치는 방법의 수는 1Q에서 B까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 4!3!=4 ⇨ ❷따라서 구하는 방법의 수는 15.c1 1.c1 4=60 ⇨ ❸ 60 0184 A에서 P까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 4!2!.c1 2!=6 P에서 B까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 6!3!.c1 3!=20P에서 Q를 거쳐 B까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 2.c1 4!2!.c1 2!=12채점 기준비율❶ A에서 P까지 최단 거리로 가는 방법의 수를 구할 수 있다.40%❷ Q에서 B까지 최단 거리로 가는 방법의 수를 구할 수 있다.40%❸ PQ^_ 를 거쳐 가는 방법의 수를 구할 수 있다.20%이므로 P에서 Q를 거치지 않고 B까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 20-12=8, 에서 구하는 방법의 수는 6.c1 8=48 ①0185 오른쪽 그림과 같이 세 지점 P, Q,(cid:34)(cid:51)(cid:35)(cid:49)(cid:50)R를 잡으면 A에서 B까지 최단 거리로 가는 방법은 A → P → B, A → Q → B, A → R → B A → P → B로 가는 방법의 수: 4!3!.c1 1=4 A → Q → B로 가는 방법의 수: 4!3!.c1 3!2!=4.c1 3=12 A → R → B로 가는 방법의 수: 1.c1 1=1이상에서 구하는 방법의 수는 4+12+1=17 ②오른쪽 그림과 같이 지나갈 수 없(cid:34)(cid:35)(cid:36)는 길을 점선으로 연결하고 지점 C를 잡으면 구하는 방법의 수는 A에서 B까지 최단 거리로 가는 방법의 수에서 A에서 C를 거쳐 B까지 최단 거리로 가는 방법의 수를 뺀 것과 같다. .t3 7!4!.c1 3!-4!2!.c1 2!.c1 3!2! =35-6.c1 3=170186 오른쪽 그림과 같이 세 지점 P, Q, R를(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:34)(cid:35)잡으면 A에서 B까지 최단 거리로 가는 방법은 A → P → B, A → Q → B, A → R → B A → P → B로 가는 방법의 수: 오른쪽 그림과 같이 길을 점선으로 연결하여(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:34)(cid:35)생각하면 (3!2!-1)(3!2!-1)=4 A → Q → B로 가는 방법의 수: 3!2!.c1 3!2!=9 A → R → B로 가는 방법의 수: 1.c1 1=1이상에서 구하는 방법의 수는 4+9+1=14 140187 오른쪽 그림과 같이 세 지점 P,(cid:34)(cid:35)(cid:51)(cid:49)(cid:50)Q, R를 잡으면 A에서 B까지 최단 거리로 가는 방법은 A → P → B, A → Q → B, A → R → B A → P → B로 가는 방법의 수: 4!3!.c1 1=4 A → Q → B로 가는 방법의 수: 4!2!.c1 2!.c1 4!3!=24 A → R → B로 가는 방법의 수: 1.c1 1=1이상에서 구하는 방법의 수는 4+24+1=29 ③라이트쎈-해설2강(12-19)OK.indd 1714. 8. 28. 오후 1:11 18 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0194 원형으로 배열한 후, 서로 구별되는 자리의 수를 세어 본다.10명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 (10-1)=9!이때 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 직사각형 모양의 탁자에서는 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 5가지씩 존재한다.(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:26)(cid:23)(cid:18)(cid:22)(cid:25)(cid:24)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:25)(cid:22)(cid:18)(cid:17)(cid:21)(cid:24)(cid:23)(cid:18)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:18)(cid:17)(cid:24)(cid:19)(cid:23)(cid:26)(cid:25)(cid:25)(cid:18)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:24)(cid:21)(cid:26)(cid:20)(cid:23)(cid:22)(cid:24)(cid:26)(cid:18)(cid:17)(cid:18)(cid:23)(cid:20)(cid:25)(cid:19)(cid:22)(cid:21) .t3 a=9!.c15한편 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 정오각형 모양의 탁자에서는 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 2가지씩 존재한다.(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:18)(cid:17)(cid:18)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) .t3 b=9!.c12따라서 구하는 값은 ba=9!.c129!.c15=25 250195 네 자리 중 첫 번째 자리를 제외한 나머지 세 자리를 정하는 방법의 수는 중복순열의 수를 이용한다. 첫 번째 자리에 올 수 있는 것은 2, 4, 6의 3개나머지 자리를 정하는 방법의 수는 2, 4, 6, a, b의 5개에서 중복을 허용하여 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 _5J_3=5^3=125따라서 구하는 암호의 개수는 3.c1125=375 3750196 함수의 개수는 중복순열의 수, 일대일함수의 개수는 순열의 수를 이용한다. 집합 A에서 집합 B로의 함수의 개수는 _4J_3=4^3=64 .t3 m=64 ⇨ ❶일대일함수의 개수는 _4P_3=24 .t3 n=24 ⇨ ❷ .t3 m+n=88 ⇨ ❸ 88 채점 기준비율❶ m의 값을 구할 수 있다.40%❷ n의 값을 구할 수 있다.40%❸ m+n의 값을 구할 수 있다.20%0188 서로 다른 n개에서 r개를 택하는 중복순열의 수는 _nJ_r임을 이용한다.구하는 방법의 수는 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 _3J_4=3^4=81 ④0189 5의 배수의 일의 자리의 숫자는 0 또는 5이다.일의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 0, 5의 2개천의 자리, 백의 자리, 십의 자리의 숫자를 택하는 방법의 수는 5개의 숫자 0, 2, 3, 5, 7로 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수와 같으므로 4.c1_5J_2=4.c15^2=100따라서 구하는 방법의 수는 2·100=200 ⑤0190 5개의 숫자 중 같은 것이 몇 개씩 있는지 알아본다.5개의 숫자 4, 4, 5, 6, 6을 일렬로 나열하는 방법의 수는 5!2!.c12!=30 300191 한 쌍의 부부를 한 사람으로 생각한다.세 쌍의 부부를 각각 한 사람으로 생각하여 3명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 (3-1)!=2!=2각 부부의 남녀끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!·2!·2!=8따라서 구하는 방법의 수는 2·8=16 ③0192 먼저 기준이 되는 영역을 칠하는 방법의 수를 구한다.작은 원을 칠하는 방법의 수는 6이고, 나머지 5개의 영역을 칠하는 방법의 수는 (5-1)!=24따라서 구하는 방법의 수는 6·24=144 ④0193 먼저 두 밑면을 칠하는 방법의 수를 구한다.정오각뿔대의 두 밑면을 칠하는 방법의 수는 _7P_2=42 ⇨ ❶두 밑면에 칠한 2가지 색을 제외한 5가지의 색을 옆면에 칠하는 방법의 수는 (5-1)!=4!=24 ⇨ ❷따라서 구하는 방법의 수는 42.c124=1008 ⇨ ❸ 1008 채점 기준비율❶ 두 밑면을 칠하는 방법의 수를 구할 수 있다.30%❷ 옆면을 칠하는 방법의 수를 구할 수 있다.40%❸ 정오각뿔대의 각 면을 칠하는 방법의 수를 구할 수 있다.30%라이트쎈-해설2강(12-19)OK.indd 1814. 8. 28. 오후 1:11 02``여러 가지 순열 • 19여러 가지 순열02 또는 2, 2, 3, 3 또는 2, 2, 2, 3 또는 2, 3, 3, 3 1, 1, 2, 3을 일렬로 나열하는 방법의 수는 4!2!=12 1, 2, 2, 3을 일렬로 나열하는 방법의 수는 4!2!=12 1, 2, 3, 3을 일렬로 나열하는 방법의 수는 4!2!=12 2, 2, 3, 3을 일렬로 나열하는 방법의 수는 4!2!.c1 2!=6� 2, 2, 2, 3을 일렬로 나열하는 방법의 수는 4!3!=4� 2, 3, 3, 3을 일렬로 나열하는 방법의 수는 4!3!=4이상에서 구하는 방법의 수는 12+12+12+6+4+4=50 ④3개의 숫자 1, 2, 3으로 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수는 _3 J_4 =3^4 =811과 2로 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수는 _2 J_4 =2^4 =161과 3으로 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수는 _2 J_4 =2^4 =16이때 1로만 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수는 1이므로 구하는 자연수의 개수는 81-(16+16-1)=500202 전체 경우의 수에서 양 끝에 서로 같은 문자를 나열하는 경우의 수를 뺀다.7개의 문자 A, A, A, B, B, C, D를 일렬로 나열하는 방법의 수는 7!3!.c1 2!=420 양 끝에 A가 놓이는 경우나머지 문자 A, B, B, C, D를 일렬로 나열하는 방법의 수는 5!2!=60 양 끝에 B가 놓이는 경우나머지 문자 A, A, A, C, D를 일렬로 나열하는 방법의 수는5!3!=20따라서 구하는 방법의 수는 420-(60+20)=340 3400203 먼저 1 또는 2의 합으로 5가 되는 경우를 찾는다.1 또는 2의 합으로 5가 되는 경우는 2, 2, 1 또는 2, 1, 1, 1 또는 1, 1, 1, 1, 1 2칸, 2칸, 1칸을 올라가는 경우3개의 숫자 2, 2, 1을 일렬로 나열하는 방법의 수는3!2!=3 2칸, 1칸, 1칸, 1칸을 올라가는 경우4개의 숫자 2, 1, 1, 1을 일렬로 나열하는 방법의 수는4!3!=4 1칸, 1칸, 1칸, 1칸, 1칸을 올라가는 경우5개의 숫자 1, 1, 1, 1, 1을 일렬로 나열하는 방법의 수는 1이상에서 구하는 방법의 수는 3+4+1=8 80197 자음과 모음을 각각 한 문자로 생각한다.자음 h, p, p, n, s, s를 한 문자로 생각하고, 모음 a, i, e를 다른 한 문자로 생각하였을 때, 자음이 모음보다 앞에 오도록 나열하는 방법의 수는 1이때 자음끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 6!2!.c1 2!=180또 모음끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 3!=6따라서 구하는 방법의 수는 1.c1 180.c1 6=1080 ②0198 홀수가 홀수 번째에 나열되면 짝수는 짝수 번째에 나열된다.다음 그림에서 짝수 2, 4, 4는 △ 의 자리에, 홀수 3, 3, 5, 7은 ◯의 자리에 놓이게 된다. ◯ △ ◯ △ ◯ △ `◯이때 3개의 숫자 2, 4, 4를 △ 의 자리에 일렬로 나열하는 방법의 수는 3!2!=34개의 숫자 3, 3, 5, 7을 ◯의 자리에 일렬로 나열하는 방법의 수는 4!2!=12따라서 구하는 방법의 수는 3.c1 12=36 360199 A에서 P까지 최단 거리로 가는 방법의 수와 P에서 B까지 최단 거리로 가는 방법의 수를 각각 구한 후, 곱의 법칙을 이용한다.A에서 P까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 3!2!=3P에서 B까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 4!2!.c1 2!=6따라서 A에서 P를 거쳐 B까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 3.c1 6=18 ②0200 세 문자에서 중복을 허용하여 3, 4, 5, 6개를 택하여 일렬로 나열하는 방법의 수를 각각 구한다. 세 문자에서 3개를 택하여 일렬로 나열하는 방법의 수는 _3 J_3 =3^3 세 문자에서 4개를 택하여 일렬로 나열하는 방법의 수는 _3 J_4 =3^4 같은 방법으로 5, 6개를 택하여 일렬로 나열하는 방법의 수는 각각_3 J_5 =3^5 , _3 J_6 =3^6 이므로 구하는 방법의 수는 3^3 +3^4 +3^5 +3^6 =3^3 (3^4 -1)3-1=3^7 -3^3 2 ①0201 3개의 숫자 1,2,3에서 중복을 허용하여 4개를 택할 때,2와 3이 모두 포함되는 경우를 나누어 생각해 본다.3개의 숫자 1, 2, 3에서 중복을 허용하여 4개를 택할 때, 2와 3이 모두 포함되는 경우는 1, 1, 2, 3 또는 1, 2, 2, 3 또는 1, 2, 3, 3본책29~30쪽라이트쎈-해설2강(12-19)OK.indd 1914. 8. 28. 오후 1:11 20 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0219 _5H_2=_6C_2=6·52·1=15 150220 _4H_6=_9C_6=_9C_3=9·8·73·2·1=84 840221 _7H_0=_6C_0=1 10222 _3H_3=_5C_3=_5C_2=5·42·1=10 100223 _9H_4=_1_2C_4이므로 n=12 120224 _2H_6=_7C_6=_7C_1이므로 n=7 70225 _5H_r=_5_+_r_-_1C_r=_4_+_rC_r이므로 _4_+_rC_r=_7C_3 .t3 r=3 30226 _3H_r=_3_+_r_-_1C_r=_2_+_rC_r이므로 _2_+_rC_r=_6C_2=_6C_4 .t3 r=4 40227 4명의 학생에게 7자루의 펜을 나누어 주는 방법의 수는 서로 다른 4개에서 중복을 허용하여 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 _4H_7=_1_0C_7=_1_0C_3=120 1200228 3종류의 주스 중 5개의 주스를 고르는 방법의 수는 서로 다른 3개에서 중복을 허용하여 5개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 _3H_5=_7C_5=_7C_2=21 210229 모양이 서로 다른 6개의 상자에 3개의 같은 물건을 넣는 방법의 수는 서로 다른 6개에서 중복을 허용하여 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 _6H_3=_8C_3=56 560230 주어진 방정식의 음이 아닌 정수인 해를 (x, y, z)라 하자. 이때 (1, 2, 2) @C xyyzz (1, 3, 1) @C xyyyz (0, 4, 1) @C yyyyz와 같은 대응을 생각하면 구하는 해의 개수는 3개의 문자 x, y, z 중에서 중복을 허용하여 5개를 택하는 중복조합의 수와 같다. .t3 3H5=_7C_5=_7C_2=21 .t3 ㈎ (1, 3, 1) ㈏ 5 ㈐ 3 ㈑ 5 ㈒ 21 풀이 참조0231 플루트 연주자 5명 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는 _5C_3=_5C_2=10바이올린 연주자 6명 중에서 2명을 뽑는 방법의 수는 _6C_2=15따라서 구하는 방법의 수는 10·15=150 ②조합03Ⅰ. 순열과 조합0204 _4C_2=_4P_22!=4·32·1=6 60205 _7C_3=_7P_33!=7·6·53·2·1=35 350206 _5C_0=1 10207 _1_0C_1_0=1 10208 _nC_2=10에서 n(n-1)2·1=10 n(n-1)=5·4 .t3 n=5 50209 _nC_3=4에서 n(n-1)(n-2)3·2·1=4 n(n-1)(n-2)=4·3·2 .t3 n=4 40210 _6C_r=20에서 6!r!(6-r)!=20 6!=20·r!(6-r)!, 6·3·2·1=r!(6-r)! 3!3!=r!(6-r)! .t3 r=3 30211 _8C_r=56에서 8!r!(8-r)!=56 8!=56·r!(8-r)!, 6·5·4·3·2·1=r!(8-r)! 5!3!=r!(8-r)! .t3 r=3 또는 r=5 3 또는 5 0212 _nC_7=_nC_5에서 5=n-7 .t3 n=12 120213 _nC_9=_nC_6에서 6=n-9 .t3 n=15 150214 _5C_2=5·42·1=10 100215 _8C_3=8·7·63·2·1=56 560216 _7C_4=_7C_3=7·6·53·2·1=35 350217 _6C_3=6·5·43·2·1=20 200218 2, 4, 6, 8, 10의 짝수가 각각 하나씩 적힌 5장의 카드 중에서 3장의 카드를 뽑으면 되므로 구하는 방법의 수는 _5C_3=5·4·33·2·1=10 10라이트쎈-해설3강(20-27)OK.indd 2014. 8. 28. 오후 5:26 03``조합 • 21조합03본책32~36쪽0237 _1 _1 C_5 +_1 _1 C_6 =11!5!6!+11!6!5!=2· 11!5!6! =2· 6· 11!6· 5!6!=12!6!6! =_1 _2 C_6 ⑤0238 _n C_r =_n P_r r!이므로 35=210r!, r!=6=3· 2· 1 .t3 r=3또 _n P_3 =210=7.c1 6.c1 5에서 n=7 .t3 n+r=10 ③0239 _n C_n _- _r =n!(n-r)!{n-(n-r)}! =n!(n-r)!r! =_n C_r .t3 _n C_r =_n C_n _- _r .t3 ㈎ n-r ㈏ r! 풀이 참조0240 n.c1 _n _- _1 C_r _- _1 =n.c1 (n-1)!(r-1)!{(n-1)-(r-1)}! =n· (n-1)!(r-1)!(n-r)! =n!(r-1)!(n-r)! =r· n!r(r-1)!(n-r)! =r· n!r!(n-r)! =r.c1 _n C_r .t3 ㈎ (n-1)! ㈏ n! ㈐ r! ④0241 구하는 방법의 수는 3학년 선수를 제외한 6명의 선수 중에서 3명을 뽑는 방법의 수와 같으므로 _6 C_3 =20 ③0242 구하는 방법의 수는 특정한 남학생 1명을 제외한 3명의 남학생 중에서 2명을 뽑고, 특정한 여학생 2명을 제외한 4명의 여학생 중에서 2명을 뽑는 방법의 수와 같으므로 _3 C_2 .c1 _4 C_2 =3.c1 6=18 180243 구하는 경우의 수는 A, B, C를 제외한 7명의 학생 중에서 5명의 위원을 선출하는 경우의 수와 같으므로 _7 C_5 =_7 C_2 =21 ③0244 구하는 경우의 수는 민정이와 지훈이를 제외한 7명의 회원 중에서 3명을 뽑는 경우의 수와 같으므로 _7 C_3 =35 350232 배우 10명 중에서 주연 1명을 뽑는 방법의 수는 _1 _0 C_1 =10나머지 배우 9명 중에서 조연 3명을 뽑는 방법의 수는 _9 C_3 =84따라서 구하는 방법의 수는 10· 84=840 8400233 디자이너 5명 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는 _5 C_3 =_5 C_2 =10교사 n명 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는 _n C_3 따라서 10+_n C_3 =66이므로 _n C_3 =56 n(n-1)(n-2)3· 2· 1=56 n(n-1)(n-2)=8· 7· 6 .t3 n=8 ①0234 세 수의 합이 홀수가 되기 위해서는 세 수 모두 홀수이거나 하나는 홀수, 두 개는 짝수이어야 한다. 세 수 모두 홀수인 경우1, 3, 5, 7, 9가 적힌 5장의 카드 중에서 3장을 뽑는 경우의 수는 _5 C_3 =10 ⇨ ❶ 하나는 홀수, 두 개는 짝수인 경우1, 3, 5, 7, 9가 적힌 5장의 카드 중에서 1장을 뽑고 2, 4, 6, 8이 적힌 4장의 카드 중에서 2장을 뽑는 경우의 수는 _5 C_1 .c1 _4 C_2 =30 ⇨ ❷, 에서 구하는 경우의 수는 10+30=40 ⇨ ❸ 400235 _n C_2 +_n _- _1 C_2 =_n _+ _2 C_2 에서 n(n-1)2· 1+(n-1)(n-2)2· 1=(n+2)(n+1)2· 1 n(n-1)+(n-1)(n-2)=(n+2)(n+1) (n-1)(n+n-2)=(n+2)(n+1) (n-1)(2n-2)=(n+2)(n+1) 2n^2 -4n+2=n^2 +3n+2 n^2 -7n=0, n(n-7)=0 .t3 n=7`(.T3 n은 자연수) ②0236 _8 C_r =_8 C_r _- _4 에서 r=r-4 또는 r+r-4=8 r=r-4에서 0not= -4이므로 r의 값이 존재하지 않는다. r+r-4=8에서 2r=12.t3 r=6, 에서 자연수 r의 값은 6이다. 6채점 기준비율❶ 홀수가 적힌 카드 3장을 뽑는 경우의 수를 구할 수 있다.40%❷ 홀수가 적힌 카드 1장, 짝수가 적힌 카드 2장을 뽑는 경우의 수를 구할 수 있다.40%❸ 카드에 적힌 수의 총합이 홀수가 되는 경우의 수를 구할 수 있다.20%라이트쎈-해설3강(20-27)OK.indd 2114. 8. 28. 오후 1:13 22 • 정답 및 풀이정답 및 풀이4개의 야외 놀이기구 중에서 2개를 고르는 방법의 수는 _4C_2=65개의 놀이기구를 타는 방법의 수는 5!=120따라서 구하는 방법의 수는 10·6·120=7200 ④0250 6가지 과일 중에서 3가지를 뽑는 방법의 수는 _6C_3=203개를 일렬로 진열하는 방법의 수는 3!=6따라서 구하는 방법의 수는 20.c16=120 ⑤6가지 과일 중에서 3가지를 뽑아 일렬로 진열하는 방법의 수는 _6P_3=6.c15.c14=1200251 3, 6을 제외한 4개의 숫자 중에서 3개를 택하는 방법의 수는 _4C_3=_4C_1=44개를 일렬로 나열하는 방법의 수는 4!=24따라서 구하는 자연수의 개수는 4.c124=96 960252 8명 중 4명을 뽑는 방법의 수는 _8C_4=704명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 (4-1)!=3!=6따라서 구하는 방법의 수는 70.c16=420 ④0253 7가지 색 중에서 5가지 색을 고르는 방법의 수는 _7C_5=_7C_2=21 ⇨ ❶5가지 색 중에서 가운데 사각형에 칠할 색을 고르는 방법의 수는 _5C_1=5가운데 사각형에 칠한 색을 제외한 4가지 색으로 4개의 삼각형을 칠하는 방법의 수는 (4-1)!=3!=6 ⇨ ❷따라서 구하는 방법의 수는 21.c15.c16=630 ⇨ ❸ 6307가지 색 중에서 가운데 사각형에 칠할 색을 고르는 방법의 수는 _7C_1=7나머지 6가지 색 중에서 4가지 색을 고르는 방법의 수는 _6C_4=_6C_2=154가지 색으로 4개의 삼각형을 칠하는 방법의 수는 (4-1)!=3!=6따라서 구하는 방법의 수는 7.c115.c16=630채점 기준비율❶ 영역에 색칠할 5가지 색을 고르는 방법의 수를 구할 수 있다.30%❷ 5개의 영역에 색을 칠하는 방법의 수를 구할 수 있다.60%❸ 도형을 칠하는 방법의 수를 구할 수 있다.10%0245 녹차 아이스크림과 딸기 아이스크림 중에서 한 가지 아이스크림을 고르는 방법의 수는 _2C_1=2녹차와 딸기 아이스크림을 제외한 6가지 아이스크림 중에서 4가지 아이스크림을 고르는 방법의 수는 _6C_4=_6C_2=15따라서 구하는 방법의 수는 2·15=30 ③0246 9명 중에서 4명을 뽑는 방법의 수는 _9C_4=126안전 요원만 4명을 뽑는 방법의 수는 _4C_4=1어린이만 4명을 뽑는 방법의 수는 _5C_4=_5C_1=5따라서 구하는 방법의 수는 126-1-5=120 1200247 10가지 종류의 제품 중에서 4가지를 택하는 방법의 수는 _1_0C_4=210 ⇨ ❶ B회사 제품이 하나도 포함되지 않은 경우A회사, C회사 제품 중에서 4가지를 택하는 방법의 수는 _5C_4=_5C_1=5 ⇨ ❷ B회사 제품이 1가지 포함되는 경우 B회사 제품 중에서 1가지를 택하고 A회사, C회사 제품 중에서 3가지를 택하는 방법의 수는 _5C_1.c1_5C_3=50 ⇨ ❸, 에서 구하는 방법의 수는 210-(5+50)=155 ⇨ ❹ 1550248 12명의 무용수 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는 _1_2C_3=220남자 무용수를 n명이라 하면 남자 무용수만 3명을 뽑는 방법의 수는 _nC_3이때 여자 무용수를 적어도 한 명 포함하도록 뽑는 방법의 수가 210이므로 220-_nC_3=210, _nC_3=10 n(n-1)(n-2)3·2·1=10 n(n-1)(n-2)=5·4·3 .t3 n=5따라서 남자 무용수가 5명이므로 여자 무용수는 12-5=7(명) ⑤0249 5개의 실내 놀이기구 중에서 3개를 고르는 방법의 수는 _5C_3=_5C_2=10채점 기준비율❶ 10가지 제품 중에서 4가지를 택하는 방법의 수를 구할 수 있다.20%❷ A회사, C회사 제품 중에서 4가지를 택하는 방법의 수를 구할 수 있다.30%❸ B회사 제품 중에서 1가지, A회사, C회사 제품 중에서 3가지를 택하는 방법의 수를 구할 수 있다.30%❹ B회사 제품이 적어도 2가지 포함되도록 하는 방법의 수를 구할 수 있다.20%라이트쎈-해설3강(20-27)OK.indd 2214. 8. 28. 오후 1:13 03``조합 • 23조합03본책36~38쪽0261 직선 l 위의 3개의 점 중에서 2개를 택하는 방법의 수는 _3 C_2 =3직선 m 위의 4개의 점 중에서 2개를 택하는 방법의 수는 _4 C_2 =6따라서 구하는 사각형의 개수는 3.c1 6=18 ⑤7개의 점 중에서 4개를 택하는 방법의 수는 _7 C_4 =35직선 l 위의 점 중에서 3개를 택하고, 직선 m 위의 점 중에서 1개를 택하는 방법의 수는 _3 C_3 .c1 _4 C_1 =4직선 m 위의 점 중에서 3개를 택하고, 직선 l 위의 점 중에서 1개를 택하는 방법의 수는 _4 C_3 .c1 _3 C_1 =12직선 m 위의 점 중에서 4개를 택하는 방법의 수는 _4 C_4 =1따라서 구하는 방법의 수는 35-(4+12+1)=180262 15개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는 _1 _5 C_3 =455 오른쪽 그림과 같이 가로 방향의 한 직선 위에 있는 5개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는 3.c1 _5 C_3 =30 오른쪽 그림과 같이 세로 방향의 한 직선 위에 있는 3개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는 5.c1 _3 C_3 =5 오른쪽 그림과 같이 대각선 방향의 한 직선위에 있는 3개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는 8.c1 _3 C_3 =8이상에서 구하는 삼각형의 개수는 455-(30+5+8)=412 ④0263 가로로 나열된 5개의 평행한 직선 중에서 2개, 세로로 나열된 3개의 평행한 직선 중에서 2개를 택하면 한 개의 평행사변형이 결정된다.따라서 구하는 평행사변형의 개수는 _5 C_2 .c1 _3 C_2 =10.c1 3=30 ②0264 오른쪽 그림과 같이 평행한 직선(cid:79)(cid:5187)(cid:77)(cid:5187)(cid:77)(cid:5188)(cid:77)(cid:5189)(cid:77)(cid:5190)(cid:78)(cid:5187)(cid:78)(cid:5188)(cid:79)(cid:5188)(cid:79)(cid:5189)을 l_i , m_j , n_k `(i=1, 2, 3, 4, j=1, 2, k=1, 2, 3)라 하자. l_1 , l_2 , l_3 , l_4 중에서 2개를 택하고, m_1 , m_2 를 택하는 경우 _4 C_2 .c1 _2 C_2 =6.c1 1=6 ⇨ ❶ m_1 , m_2 를 택하고, n_1 , n_2 , n_3 중에서 2개를 택하는 경우 _2 C_2 .c1 _3 C_2 =1.c1 3=3 ⇨ ❷ n_1 , n_2 , n_3 중에서 2개를 택하고, l_1 , l_2 , l_3 , l_4 중에서 2개를 택하는 경우 _3 C_2 .c1 _4 C_2 =3.c1 6=18 ⇨ ❸0254 만들 수 있는 서로 다른 직선의 개수는 8개의 점 중에서 2개를 택하는 방법의 수와 같으므로 _8 C_2 =28 ①0255 만들 수 있는 서로 다른 직선의 개수는 5개의 점 중에서 2개를 택하는 방법의 수와 같으므로 _5 C_2 =10 100256 10개의 점 중에서 2개를 택하는 방법의 수는 _1 _0 C_2 =45한 직선 위에 있는 5개의 점 중에서 2개를 택하는 방법의 수는 _5 C_2 =10이때 한 직선 위에 5개의 점이 있는 직선은 2개이므로 구하는 직선의 개수는 45-2.c1 10+2=27 ②두 직선 위의 점을 하나씩 택하여 연결하면 한 개의 직선을 만들 수 있으므로 _5 C_1 .c1 _5 C_1 =25또 주어진 직선 위의 5개의 점으로 만들 수 있는 서로 다른 직선은 각각 한 개이므로 구하는 직선의 개수는 25+2=27 한 직선 위에 있는 서로 다른 n개의 점으로 만들 수 있는 서로 다른 직선의 개수는 1임에 유의한다.0257 구하는 대각선의 개수는 9개의 꼭짓점 중에서 2개를 택하는 방법의 수에서 구각형의 변의 개수인 9를 뺀 것과 같으므로 _9 C_2 -9=27 ②0258 n각형의 대각선의 개수는 n개의 꼭짓점 중에서 2개를 택하는 방법의 수에서 변의 개수인 n을 뺀 것과 같으므로 _n C_2 -n=54, n(n-1)2· 1-n=54 n^2 -3n-108=0, (n+9)(n-12)=0 .t3 n=12`(.T3 n_> 3)따라서 십이각형의 꼭짓점의 개수는 12이다. ③ 0259 7개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는 _7 C_3 =35한 직선 위에 있는 4개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는 _4 C_3 =_4 C_1 =4이때 한 직선 위에 있는 3개의 점으로는 삼각형을 만들 수 없으므로 구하는 삼각형의 개수는 35-4=31 310260 주어진 8개의 점 중에서 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않으므로 구하는 삼각형의 개수는 8개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수와 같다. .t3 _8 C_3 =56 ③ 라이트쎈-해설3강(20-27)OK.indd 2314. 8. 28. 오후 1:13 24 • 정답 및 풀이정답 및 풀이이상에서 구하는 평행사변형의 개수는 6+3+18=27 ⇨ ❹ 270265 가로로 나열된 4개의 평행한 직선 중에서 2개, 세로로 나열된 6개의 평행한 직선 중에서 2개를 택하면 한 개의 직사각형이 결정되므로 직사각형의 총 개수는 _4C_2.c1_6C_2=6.c115=90 한 변의 길이가 1인 정사각형의 개수는 15 한 변의 길이가 2인 정사각형의 개수는 8 한 변의 길이가 3인 정사각형의 개수는 3이상에서 정사각형이 아닌 직사각형의 개수는 90-(15+8+3)=64 640266 구하는 방법의 수는 서로 다른 4개에서 6개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 _4H_6=_9C_6=_9C_3=84 ③0267 구하는 항의 개수는 3개의 문자 a, b, c 중에서 8개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 _3H_8=_1_0C_8=_1_0C_2=45 450268 ⑴ 구하는 방법의 수는 서로 다른 2개에서 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 _2H_7=_8C_7=_8C_1=8 ⇨ ❶⑵ 구하는 방법의 수는 서로 다른 2개에서 7개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 _2J_7=2^7=128 ⇨ ❷ ⑴ 8 ⑵ 1280269 빨간색 공, 노란색 공, 파란색 공을 각각 1개씩 꺼내고, 나머지 5개의 공을 꺼내면 된다.채점 기준비율❶ 4개의 평행한 직선과 2개의 평행한 직선으로 만들어지는 평행사변형의 개수를 구할 수 있다.30%❷ 2개의 평행한 직선과 3개의 평행한 직선으로 만들어지는 평행사변형의 개수를 구할 수 있다.30%❸ 3개의 평행한 직선과 4개의 평행한 직선으로 만들어지는 평행사변형의 개수를 구할 수 있다.30%❹ 모든 평행사변형의 개수를 구할 수 있다.10%채점 기준비율❶ 무기명으로 투표하는 방법의 수를 구할 수 있다. 50%❷ 기명으로 투표하는 방법의 수를 구할 수 있다50%무기명으로 투표하는 방법의 수무기명 투표는 어느 유권자가 어느 후보를 뽑았는지 알 수 없으므로 후보 중에서 중복을 허용하여 택하는 중복조합으로 생각할 수 있다.따라서 구하는 방법의 수는 서로 다른 3개에서 5개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 _3H_5=_7C_5=_7C_2=21 ②0270 먼저 4명의 학생에게 구슬을 각각 2개씩 나누어 주고, 남은 구슬 7개를 4명의 학생에게 나누어 주면 된다.따라서 구하는 방법의 수는 서로 다른 4개에서 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 _4H_7=_1_0C_7=_1_0C_3=120 1200271 먼저 레몬 맛 사탕을 3개, 포도 맛 사탕을 2개 사고 나머지 8개의 사탕을 사면 된다.따라서 구하는 방법의 수는 서로 다른 4개에서 8개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 _4H_8=_1_1C_8=_1_1C_3=165 ②0272 a의 값은 3개의 문자 x, y, z에서 8개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 a=_3H_8=_1_0C_8=_1_0C_2=45한편 x-1=X, y-1=Y, z-1=Z로 놓으면 x=X+1, y=Y+1, z=Z+1x+y+z=8에서 (X+1)+(Y+1)+(Z+1)=8 .t3 X+Y+Z=5즉 b의 값은 방정식 X+Y+Z=5를 만족시키는 음이 아닌 정수 X, Y, Z의 순서쌍 (X, Y, Z)의 개수와 같으므로 3개의 문자 X, Y, Z에서 5개를 택하는 중복조합의 수와 같다. .t3 b=_3H_5=_7C_5=_7C_2=21따라서 구하는 값은 a+b=66 660273 구하는 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 4개의 문자 x, y, z, w에서 6개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 _4H_6=_9C_6=_9C_3=84 ②0274 x, y, z가 음이 아닌 정수이므로 x+y+z=0 또는 x+y+z=1 또는 x+y+z=2 또는 x+y+z=3 방정식 x+y+z=0을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 _3H_0=_2C_0=1 ⇨ ❶ 방정식 x+y+z=1을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 _3H_1=_3C_1=3 ⇨ ❷ 방정식 x+y+z=2를 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 _3H_2=_4C_2=6 ⇨ ❸ 방정식 x+y+z=3을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 _3H_3=_5C_3=_5C_2=10 ⇨ ❹라이트쎈-해설3강(20-27)OK.indd 2414. 8. 28. 오후 1:13 조합0303``조합 • 25본책38~41쪽이상에서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 1+3+6+10=20 ⇨ ❺ 20 0275 방정식 x+y+z=n을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 3개의 문자 x, y, z에서 n개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 _3 H_n =55이때 _3 H_n =_n _+ _2 C_n =_n _+ _2 C_2 이므로 _n _+ _2 C_2 =55 (n+2)(n+1)2· 1=55 (n+2)(n+1)=11.c1 10 .t3 n=9 ①0276 a-2=A, b-1=B, c-3=C로 놓으면 주어진 방정식은 (A+2)+(B+1)+(C+3)=13 .t3 A+B+C=7즉 구하는 순서쌍의 개수는 방정식 A+B+C=7의 음이 아닌 정수 A, B, C의 순서쌍 (A, B, C)의 개수와 같으므로 _3 H_7 =_9 C_7 =_9 C_2 =36 ②0277 주어진 조건을 만족시키려면 집합 Y의 10개의 원소 중에서 4개를 택하여 작은 수부터 차례대로 정의역의 원소 1, 2, 3, 4에 대응시키면 되므로 함수 f의 개수는 _1 _0 C_4 =210 ②함수의 개수집합 X={1, 2, 3, … , r}에서 집합 Y={1, 2, 3, … , n}으로의 함수 중에서① 일대일함수의 개수 ➲ 서로 다른 n개에서 r개를 택하는 순열의 수 ➲ _n P_r `(단, n_> r)② 함수의 개수 ➲ 서로 다른 n개에서 r개를 택하는 중복순열의 수 ➲ _n J_r ③ a r)④ a0, q_>0, r_>0)x^2^p^+^q=x^5에서 2p+q=5이므로 이를 만족시키는 p, q, r의 순서쌍 (p, q, r)는 (0, 5, 0), (1, 3, 1), (2, 1, 2)따라서 x^5의 계수는 5!0!.c15!.c10!.c1(-1)^5+5!1!.c13!.c11!.c1(-1)^3.c12 +5!2!.c11!.c12!.c1(-1).c12^2 =-1-40-120 =-161 -1610347 (x^3+1+1/x)^4의 전개식의 일반항은 4!p!q!r!(x^3)^p.c11^q.c1(1/x)^r=4!p!q!r!x^3^p^-^r (단, p+q+r=4, p_>0, q_>0, r_>0)x^3^p^-^r=x^4에서 3p-r=4이므로 이를 만족시키는 p, q, r의 순서쌍 (p, q, r)는 (2, 0, 2)따라서 x^4의 계수는 4!2!.c10!.c12!=6 ③0348 (ax^2+x-1)^6의 전개식의 일반항은 6!p!q!r!(ax^2)^px^q(-1)^r=6!p!q!r!(-1)^ra^px^2^p^+^q (단, p+q+r=6, p_>0, q_>0, r_>0) ⇨ ❶x^2^p^+^q=x^3에서 2p+q=3이므로 이를 만족시키는 p, q, r의 순서쌍 (p, q, r)는 (0, 3, 3), (1, 1, 4) ⇨ ❷따라서 x^3의 계수는 6!0!.c13!.c13!.c1(-1)^3+6!1!.c11!.c14!.c1(-1)^4.c1a=-20+30a ⇨ ❸이때 x^3의 계수가 -10이므로, ~에서 구하는 상수항은(-x).c14/x=-4 ②0343 (ax^2+3)(x-1/x)^5=ax^2 (x-1/x)^5+3 (x-1/x)^5(x-1/x)^5의 전개식의 일반항은 _5C_r`x^5^-^r(-1/x)^r=_5C_r(-1)^r`x^5^-^2^r .c3.c3 ㉠ ⇨ ❶이때 (ax^2+3)(x-1/x)^5의 전개식에서 x항은 ax^2과 ㉠의 1/x항, 3과 ㉠의 x항이 곱해질 때 나타난다. x^5^-^2^r=1/x에서 5-2r=-1 .t3 r=3따라서 ㉠의 1/x항은 _5C_3(-1)^3x^-^1=-^10/x x^5^-^2^r=x에서 5-2r=1 .t3 r=2따라서 ㉠의 x항은 _5C_2(-1)^2x=10x, ~에서 x항은 ax^2.c1(-^10/x)+3.c110x=(-10a+30)x ⇨ ❷이때 x의 계수가 25이므로 -10a+30=25 .t3 a=1/2 ⇨ ❸ 1/2 0344 (1+x)^5의 전개식의 일반항은 _5C_r`x^r(1-x)^4의 전개식의 일반항은 _4C_s(-x)^s=_4C_s(-1)^sx^s따라서 (1+x)^5(1-x)^4의 전개식의 일반항은 _5C_r`x^r.c1_4C_s(-1)^sx^s=_5C_r.c1_4C_s(-1)^sx^r^+^sr+s=2를 만족시키는 r, s의 순서쌍 (r, s)는 (0, 2), (1, 1), (2, 0)이므로 x^2의 계수는 _5C_0.c1_4C_2(-1)^2+_5C_1.c1_4C_1(-1)+_5C_2.c1_4C_0 =6-20+10=-4 ④채점 기준비율❶ 1x-1/x2^5의 전개식의 일반항을 구할 수 있다. 20%❷ (ax^2+3)1x-1/x2^5의 전개식에서 x항을 구할 수 있다.60%❸ a의 값을 구할 수 있다. 20%(a+x)^p(b+x)^q의 전개식에서 x^k의 계수 구하기(a+x)^p(b+x)^q의 전개식에서 x^k의 계수는 다음과 같은 순서로 구한다. (a+x)^p, (b+x)^q의 전개식에서 일반항을 각각 구한다. ➲ _pC_r`a^p^-^rx^r, _qC_s`b^q^-^sx^s (a+x)^p(b+x)^q의 전개식에서 일반항을 구한다. ➲ _pC_r.c1_qC_s`a^p^-^rb^q^-^sx^r^+^s r+s=k`(r=0, 1, 2, .c3, p, s=0, 1, 2, .c3, q)를 만족시키는 r, s의 값을 구한다. 의 값을 의 식에 대입하여 x^k의 계수를 구한다.라이트쎈-해설4강(28-35)OK.indd 3014. 8. 28. 오후 1:16 04``이항정리와 분할 • 31이항정리와 분할04본책48~50쪽 -20+30a=-10 .t3 a=1/3 ⇨ ❹ 1/3 0349 _2 C_0 +_2 C_1 +_3 C_2 +_4 C_3 =_3 C_1 +_3 C_2 +_4 C_3 =_4 C_2 +_4 C_3 =_5 C_3 ②0350 _1 C_1 =_2 C_2 이므로 _1 C_1 +_2 C_1 +_3 C_1 +_4 C_1 +_5 C_1 +_6 C_1 =_2 C_2 +_2 C_1 +_3 C_1 +_4 C_1 +_5 C_1 +_6 C_1 =_3 C_2 +_3 C_1 +_4 C_1 +_5 C_1 +_6 C_1 =_4 C_2 +_4 C_1 +_5 C_1 +_6 C_1 =_5 C_2 +_5 C_1 +_6 C_1 =_6 C_2 +_6 C_1 =_7 C_2 ③0351 _1 C_0 =_2 C_0 이므로 _1 C_0 +_2 C_1 +_3 C_2 +.c3 +_8 C_7 =_2 C_0 +_2 C_1 +_3 C_2 +.c3 +_8 C_7 =_3 C_1 +_3 C_2 +_4 C_3 +.c3 +_8 C_7 =_4 C_2 +_4 C_3 +.c3 +_8 C_7 ⋮ =_8 C_6 +_8 C_7 =_9 C_7 ③0352 구하는 값을 A라 하면 _4 C_0 +A=_4 C_0 +_4 C_1 +_5 C_2 +_6 C_3 +_7 C_4 =_5 C_1 +_5 C_2 +_6 C_3 +_7 C_4 =_6 C_2 +_6 C_3 +_7 C_4 =_7 C_3 +_7 C_4 =_8 C_4 =70 .t3 A=70-_4 C_0 =70-1=69 690353 _n C_0 +_n C_1 +_n C_2 +.c3 +_n C_n =2^n 이므로 _n C_1 +_n C_2 +.c3 +_n C_n =2^n -1따라서 주어진 부등식은 1000<2^n -1<2000 .t3 1001<2^n <2001이때 2^9 =512, 2^1 ^0 =1024, 2^1 ^1 =2048이므로 n=10 100354 _n C_0 +_n C_1 +_n C_2 +_n C_3 +.c3 +_n C_n =2^n 에서 2^n =128 .t3 n=7 70355 _1 _5 C_0 +_1 _5 C_2 +_1 _5 C_4 +.c3 +_1 _5 C_1 _4 =2^1 ^4 이므로 log _2 (_1 _5 C_0 +_1 _5 C_2 +_1 _5 C_4 +.c3 +_1 _5 C_1 _4 )=log _2 ~2^1 ^4 =14 ②채점 기준비율❶ (ax^2 +x-1)^6 의 전개식의 일반항을 구할 수 있다.30%❷ 순서쌍 (p, q, r)를 구할 수 있다.30%❸ x^3 의 계수를 a에 대한 식으로 나타낼 수 있다.30%❹ a의 값을 구할 수 있다.10%0356 원소의 개수가 1인 부분집합의 개수는 _1 _0 C_1 원소의 개수가 3인 부분집합의 개수는 _1 _0 C_3 원소의 개수가 5인 부분집합의 개수는 _1 _0 C_5 원소의 개수가 7인 부분집합의 개수는 _1 _0 C_7 원소의 개수가 9인 부분집합의 개수는 _1 _0 C_9 따라서 원소의 개수가 홀수인 부분집합의 개수는 _1 _0 C_1 +_1 _0 C_3 +_1 _0 C_5 +_1 _0 C_7 +_1 _0 C_9 =2^9 =512 ③0357 주어진 식은 (1+x)^5 (1+x)^5 , 즉 (1+x)^1 ^0 의 전개식에서 x^5 의 계수와 같다.(1+x)^1 ^0 의 전개식의 일반항은 _1 _0 C_r ~x^r 이므로 구하는 값은 _1 _0 C_5 =252 2520358 9를 3개 이하의 자연수로 분할하면 9=9 =8+1=7+2=6+3=5+4 =7+1+1=6+2+1=5+3+1=5+2+2 =4+4+1=4+3+2=3+3+3따라서 구하는 방법의 수는 P(9, 1)+P(9, 2)+P(9, 3)=1+4+7=12 ④0359 7을 4개 또는 5개의 자연수로 분할하면 7=4+1+1+1=3+2+1+1=2+2+2+1=3+1+1+1+1=2+2+1+1+1따라서 P(7, 4)=3, P(7, 5)=2이므로 P(7, 4)+P(7, 5)=5 50360 8을 홀수로만 이루어지도록 분할하면 8=7+1=5+3=5+1+1+1=3+3+1+1=3+1+1+1+1+1=1+1+1+1+1+1+1+1따라서 구하는 분할의 개수는 2+2+1+1=6 ②로그의 성질a>0, anot= 1이고 M>0, N>0일 때① log _a ~1=0, log _a ~a=1② log _a ~MN=log _a ~M+log _a ~N③ log _a ~MN=log _a ~M-log _a ~N④ log _a ~N^k =k~log _a ~N`(단, k는 실수)(1+x)^2 ^n 의 전개식에서 x^n 의 계수(1+x)^2 ^n =(1+x)^n (1+x)^n 이므로 (1+x)^2 ^n 의 전개식에서 x^n 의 계수는 _n C_0 .c1 _n C_n +_n C_1 .c1 _n C_n _- _1 +_n C_2 .c1 _n C_n _- _2 +.c3 +_n C_n .c1 _n C_0 =sigk=0 ^n `_n C_k .c1 _n C_n _- _k 이때 _n C_r =_n C_n _- _r 이므로 _n C_0 .c1 _n C_n +_n C_1 .c1 _n C_n _- _1 +_n C_2 .c1 _n C_n _- _2 +.c3 +_n C_n .c1 _n C_0 =_n C_0 .c1 _n C_0 +_n C_1 .c1 _n C_1 +_n C_2 .c1 _n C_2 +.c3 +_n C_n .c1 _n C_n =sigk=0 ^n (_n C_k )^2 라이트쎈-해설4강(28-35)OK.indd 3114. 8. 28. 오후 1:16 32 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0368 집합 A를 원소의 개수가 각각 2, 2, 3인 집합으로 분할하는 방법의 수는 _7C_2.c1_5C_2.c1_3C_3.c112!=105 ③0369 3개의 집합으로 분할하는 경우6을 3개의 자연수로 분할하면 6=4+1+1=3+2+1=2+2+2이므로 원소가 6개인 집합을 3개의 집합으로 분할하는 방법의 수는 다음과 같다.세 집합의 원소의 개수가 각각 1, 1, 4인 경우의 수는 _6C_1.c1_5C_1.c1_4C_4.c112!=6.c15.c11.c11/2=15세 집합의 원소의 개수가 각각 1, 2, 3인 경우의 수는 _6C_1.c1_5C_2.c1_3C_3=6.c110.c11=60세 집합의 원소의 개수가 각각 2, 2, 2인 경우의 수는 _6C_2.c1_4C_2.c1_2C_2.c113!=15.c16.c11.c11/6=15 .t3 S(6, 3)=15+60+15=90 ⇨ ❶ 4개의 집합으로 분할하는 경우6을 4개의 자연수로 분할하면 6=3+1+1+1=2+2+1+1이므로 원소가 6개인 집합을 4개의 집합으로 분할하는 방법의 수는 다음과 같다.네 집합의 원소의 개수가 각각 1, 1, 1, 3인 경우의 수는 _6C_1.c1_5C_1.c1_4C_1.c1_3C_3.c113!=6.c15.c14.c11.c11/6=20네 집합의 원소의 개수가 각각 1, 1, 2, 2인 경우의 수는 _6C_1.c1_5C_1.c1_4C_2.c1_2C_2.c112!.c112!=6.c15.c16.c11.c11/2.c11/2=45 .t3 S(6, 4)=20+45=65 ⇨ ❷, ~에서 구하는 방법의 수는 90+65=155 ⇨ ❸ 1550370 구하는 방법의 수는 집합 {2, 3, 5, 7}을 원소의 개수가 각각 2, 1, 1인 3개의 집합으로 분할하는 방법의 수와 같으므로 _4C_2.c1_2C_1.c1_1C_1.c112!=6.c12.c11.c11/2=6 ② 210을 1보다 큰 세 자연수의 곱으로 나타내는 방법은 다음과 같다. 210 =6.c15.c17=10.c13.c17=14.c13.c15 =15.c12.c17=21.c12.c15=35.c12.c130371 S(5, 4)=S(4, 3)+4.c1S(4, 4) =S(4, 3)+4.c11따라서 a=1, b=4이므로 a+b=5 50372 S(7, 3)=S(6, 2)+3.c1S(6, 3) =S(6, 2)+3{S(5, 2)+3.c1S(5, 3)} =S(6, 2)+3.c1S(5, 2)+9.c1S(5, 3) =31+3.c115+9.c125=301 ⑤채점 기준비율❶ S(6, 3)을 구할 수 있다.40%❷ S(6, 4)를 구할 수 있다.40%❸ 3개 또는 4개의 집합으로 분할하는 방법의 수를 구할 수 있다.20%0361 P(n, 3)=P(n-3, 1)+P(n-3, 2)+P(n-3, 3)이므로 n-3=3 .t3 n=6 60362 P(11, 3)=P(8, 1)+P(8, 2)+P(8, 3) =a+b+c ②0363 구하는 방법의 수는 6을 4개의 자연수로 분할하는 방법의 수와 같다.6을 4개의 자연수로 분할하면 6=3+1+1+1=2+2+1+1따라서 구하는 방법의 수는 P(6, 4)=2 20364 구하는 방법의 수는 7을 3개 이하의 자연수로 분할하는 방법의 수와 같다. ⇨ ❶7을 3개 이하의 자연수로 분할하면 7=7 =6+1=5+2=4+3 =5+1+1=4+2+1=3+3+1=3+2+2 ⇨ ❷따라서 구하는 방법의 수는 P(7, 1)+P(7, 2)+P(7, 3)=1+3+4=8 ⇨ ❸ 8 P(7, 1), P(7, 2)는 각각 빈 유리병이 2개, 1개 있는 경우이다.0365 각 필통에 2자루 이상의 볼펜이 들어가려면 3개의 필통에 펜을 각각 한 자루씩 넣은 후, 남은 6자루의 펜을 3개의 필통에 빈 필통이 없도록 나누어 담으면 된다.6을 3개의 자연수로 분할하면 6=4+1+1=3+2+1=2+2+2따라서 구하는 방법의 수는 P(6, 3)=3 ②각 필통에 펜을 두 자루씩 넣은 후, 남은 3자루의 펜을 3개 이하의 필통에 넣으면 된다.3을 3개 이하의 자연수로 분할하면 3=3=2+1=1+1+1따라서 구하는 방법의 수는 P(3, 1)+P(3, 2)+P(3, 3)=1+1+1=30366 집합 A를 원소의 개수가 같은 3개의 집합으로 분할하면 각 집합의 원소는 2개씩이다.따라서 구하는 방법의 수는 _6C_2.c1_4C_2.c1_2C_2.c113!=15.c16.c11.c11/6=15 ②0367 ㄱ. {1, 5}e{2}e{3}L{1, 2, 3, 4, 5}이므로 집합 X의 분할이 아니다.ㄹ. {2, 3, 5}f{5}={5}L이므로 두 집합 {2, 3, 5}, {5}는 서로소가 아니다. 따라서 집합 X의 분할이 아니다.이상에서 집합 X의 분할인 것은 ㄴ, ㄷ이다. ③채점 기준비율❶ 구하는 방법의 수를 자연수의 분할로 해석할 수 있다.20%❷ 7을 3개 이하의 자연수로 분할할 수 있다.50%❸ 구슬 7개를 유리병 3개에 나누어 넣는 방법의 수를 구할 수 있다.30%라이트쎈-해설4강(28-35)OK.indd 3214. 8. 28. 오후 1:16 04``이항정리와 분할 • 33이항정리와 분할040373 a=_8 C_4 .c1 _4 C_4 .c1 12!=70.c1 1.c1 1/2=35 b=_8 C_5 .c1 _3 C_3 =56.c1 1=56 .t3 a+b=91 910374 3명씩 두 조로 나눌 때, 여자 2명이 같은 조에 속해야 하므로 남자 4명 중 1명이 여자 2명과 한 조를 이루면 된다.따라서 구하는 방법의 수는 남자 4명을 1명, 3명으로 나누는 방법의 수와 같으므로 _4 C_1 .c1 _3 C_3 =4.c1 1=4 40375 8명을 4명, 4명으로 나누는 방법의 수는 _8 C_4 .c1 _4 C_4 .c1 12!=70.c1 1.c1 1/2=35학생 5명 중에서 4명이 같은 조가 되는 방법의 수는 _5 C_4 =5따라서 구하는 방법의 수는 35-5=30 ③0376 6=5+1=4+2=3+3이므로 동전 6개를 똑같은 주머니 2개에 나누어 담는 방법은 다음과 같다. 6개를 1개, 5개로 나누는 방법의 수는 _6 C_1 .c1 _5 C_5 =6.c1 1=6 6개를 2개, 4개로 나누는 방법의 수는 _6 C_2 .c1 _4 C_4 =15.c1 1=15 6개를 3개, 3개로 나누는 방법의 수는 _6 C_3 .c1 _3 C_3 .c1 12!=20.c1 1.c1 1/2=10이상에서 구하는 방법의 수는 6+15+10=31 310377 5개의 사탕을 2개, 2개, 1개로 나누는 방법의 수는 _5 C_2 .c1 _3 C_2 .c1 _1 C_1 .c1 12!=10.c1 3.c1 1.c1 1/2 =153개의 묶음을 3명의 학생에게 나누어 주는 방법의 수는 3!=6따라서 구하는 방법의 수는 15.c1 6=90 ②0378 9장의 포토카드를 3장, 3장, 3장으로 나누는 방법의 수는 _9 C_3 .c1 _6 C_3 .c1 _3 C_3 .c1 13!=84.c1 20.c1 1.c1 1/6 =280 ⇨ ❶3개의 묶음을 3명의 학생에게 나누어 주는 방법의 수는 3!=6 ⇨ ❷따라서 구하는 방법의 수는 280.c1 6=1680 ⇨ ❸ 1680채점 기준비율❶ 3장씩 3개의 묶음으로 나누는 방법의 수를 구할 수 있다.40%❷ 3개의 묶음을 3명의 학생에게 나누어 주는 방법의 수를 구할 수 있다.40%❸ 9장을 3명의 학생에게 나누어 주는 방법의 수를 구할 수 있다.20%0379 6명을 2명, 2명, 1명, 1명으로 나누는 방법의 수는 _6 C_2 .c1 _4 C_2 .c1 _2 C_1 .c1 _1 C_1 .c1 12!.c1 12!=15.c1 6.c1 2.c1 1.c1 1/2 .c1 1/2 =454개의 조를 2층부터 5층까지 4개의 층에 분배하는 방법의 수는 4!=24따라서 구하는 방법의 수는 45.c1 24=1080 10800380 7을 5개의 자연수로 분할하는 방법은 7=3+1+1+1+1=2+2+1+1+1 7개를 1개, 1개, 1개, 1개, 3개로 나누는 방법의 수는 _7 C_1 .c1 _6 C_1 .c1 _5 C_1 .c1 _4 C_1 .c1 _3 C_3 .c1 14!=7.c1 6.c1 5.c1 4.c1 1.c1 1/24=35 7개를 1개, 1개, 1개, 2개, 2개로 나누는 방법의 수는 _7 C_1 .c1 _6 C_1 .c1 _5 C_1 .c1 _4 C_2 .c1 _2 C_2 .c1 13!.c1 12!=7.c1 6.c1 5.c1 6.c1 1.c1 1/6 .c1 1/2 =105, ~에서 7개의 상품을 5개의 묶음으로 나누는 방법의 수는35+105=1405개의 묶음을 5명에게 분배하는 방법의 수는 5!=120따라서 구하는 방법의 수는 140.c1 120=16800 ⑤0381 구하는 방법의 수는 먼저 5개의 학급을 2개, 3개의 두 조로 나눈 후, 3개인 조에서 부전승으로 올라가는 한 학급을 택하는 방법의 수와 같으므로 (_5 C_2 .c1 _3 C_3 ).c1 _3 C_1 =10.c1 1.c1 3=30 300382 구하는 방법의 수는 먼저 6명을 2명, 2명, 2명의 세 조로 나눈 후, 부전승으로 올라가는 한 조를 택하는 방법의 수와 같으므로(_6 C_2 .c1 _4 C_2 .c1 _2 C_2 .c1 13!).c1 _3 C_1 =15.c1 6.c1 1.c1 1/6 .c1 3=45 ①0383 (ax+by)^n 의 전개식의 일반항은 _n C_r (ax)^n ^- ^r (by)^r 임을 이용한다.(x-a)^5 의 전개식의 일반항은 _5 C_r `x^5 ^- ^r (-a)^r =_5 C_r (-a)^r `x^5 ^- ^r x^5 ^- ^r =x에서 5-r=1 .t3 r=4따라서 x의 계수는 _5 C_4 .c1 (-a)^4 =5a^4 이므로 5a^4 =20, a^4 =4 .t3 a=12`(.T3 a>0) ②0384 _n _- _1 C_r _- _1 +_n _- _1 C_r =_n C_r 임을 이용한다.색칠한 부분의 모든 수의 합은 (_2 C_0 +_3 C_1 +_4 C_2 +.c3 +_1 _0 C_8 )+(_2 C_1 +_3 C_2 +_4 C_3 +.c3 +_1 _0 C_9 ) =(_3 C_0 +_3 C_1 +_4 C_2 +.c3 +_1 _0 C_8 )+(_2 C_0 +_2 C_1 +_3 C_2 +.c3 +_1 _0 C_9 ) -_3 C_0 =(_4 C_1 +_4 C_2 +.c3 +_1 _0 C_8 )+(_3 C_1 +_3 C_2 +.c3 +_1 _0 C_9 )-_3 C_0 =(_5 C_2 +.c3 +_1 _0 C_8 )+(_4 C_2 +.c3 +_1 _0 C_9 )-_3 C_0 ⋮ =_1 _1 C_8 +_1 _1 C_9 -_3 C_0 =_1 _2 C_9 -1 =220-1=219 ③본책51~54쪽라이트쎈-해설4강(28-35)OK.indd 3314. 8. 28. 오후 1:16 34 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0390 (x+1/x)^6에서 1+x+x^2의 각 항과 곱하여 x가 되는 항을 생각한다.(1+x+x^2)(x+1/x)^6 =(x+1/x)^6+x(1+1/x)^6+x^2(1+1/x)^6(x+1/x)^6의 전개식의 일반항은 _6C_r`x^6^-^r(1/x)^r=_6C_r`x^6^-^2^r .c3.c3 ㉠이때 (1+x+x^2)(x+1/x)^6의 전개식에서 x항은 1과 ㉠의 x항, x와 ㉠의 상수항, x^2과 ㉠의 1/x항이 곱해질 때 나타난다. x^6^-^2^r=x에서 6-2r=1 .t3 r=5/2 그런데 r는 0_3) ⇨ ❸ 70389 (1+x)^n의 전개식을 이용한다.(1+x)^n=_nC_0+_nC_1`x+_nC_2`x^2+.c3+_nC_n`x^n이므로 이 식에x=3, n=20을 대입하면 4^2^0=_2_0C_0+3.c1_2_0C_1+3^2.c1_2_0C_2+.c3+3^2^0.c1_2_0C_2_0 ④채점 기준비율❶ x, x^2, x^3의 계수를 구할 수 있다.30%❷ n에 대한 방정식을 세울 수 있다.40%❸ n의 값을 구할 수 있다.30%vRqRw(k-1)개라이트쎈-해설4강(28-35)OK.indd 3414. 8. 28. 오후 1:16 04``이항정리와 분할 • 35이항정리와 분할040398 전개식의 일반항에서 (^3 12`)^r 이 유리수가 되는 r의 값을 찾는다.(1+^3 12~x)^2 ^0 의 전개식의 일반항은 _2 _0 C_r (^3 12~x)^r =_2 _0 C_r `2r/3 x^r 이때 항의 계수가 유리수이려면 2의 지수 r/3 가 정수이어야 하므로r는 0 또는 3의 배수이어야 한다.이때 0_< r_< 20이므로 r의 값은 0, 3, 6, 9, .c3 , 18의 7개따라서 계수가 유리수인 항은 7개이다. ③0399 첫째항이 a, 공비가 r`(rnot= 1)인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합은 a(r^n -1)r-1임을 이용한다.(1+x^2 )+(1+x^2 )^2 +.c3 +(1+x^2 )^6 .c3 .c3 ㉠㉠은 첫째항이 1+x^2 , 공비가 1+x^2 인 등비수열의 첫째항부터 제6항까지의 합이므로 (1+x^2 ){(1+x^2 )^6 -1}(1+x^2 )-1=(1+x^2 )^7 -(1+x^2 )x^2 .c3 .c3 ㉡㉠의 전개식에서 x^6 의 계수는 ㉡의 (1+x^2 )^7 의 전개식에서 x^8 의 계수와 같다.(1+x^2 )^7 의 전개식의 일반항은 _7 C_r (x^2 )^r =_7 C_r ~x^2 ^r x^2 ^r =x^8 에서 r=4따라서 _7 C_4 =35이므로 구하는 계수는 35이다. 35(1+x^2 )^n =_n C_0 +_n C_1 ~x^2 +_n C_2 ~x^4 +.c3 +_n C_n ~x^2 ^n 이므로 x^6 의 계수는 _n C_3 이다.따라서 주어진 다항식을 전개하였을 때, x^6 의 계수는 _3 C_3 +_4 C_3 +_5 C_3 +_6 C_3 =1+4+10+20=350400 (1+x)^1 ^1 의 전개식에 x=20을 대입한다.이항정리를 이용하여 (1+x)^1 ^1 을 전개하면 (1+x)^1 ^1 =_1 _1 C_0 +_1 _1 C_1 ~x+_1 _1 C_2 ~x^2 +.c3 +_1 _1 C_1 _1 ~x^1 ^1 이 식에 x=20을 대입하면 21^1 ^1 =_1 _1 C_0 +_1 _1 C_1 .c1 20+_1 _1 C_2 .c1 20^2 +.c3 +_1 _1 C_1 _1 .c1 20^1 ^1 이때 우변에서 세 번째 항부터는 모두 400으로 나누어떨어지므로 21^1 ^1 을 400으로 나눈 나머지는 _1 _1 C_0 +_1 _1 C_1 .c1 20=1+11.c1 20=221을 400으로 나눈 나머지와 같다.따라서 구하는 나머지는 221이다. ③0401 분자의 전개식에서 x^2 의 계수를 찾는다.(1-x)^3 (2x+1)^4 x의 전개식에서 x의 계수는(1-x)^3 (2x+1)^4 의 전개식에서 x^2 의 계수와 같다. ⇨ ❶(1-x)^3 의 전개식의 일반항은 _3 C_r (-x)^r =_3 C_r (-1)^r x^r (2x+1)^4 , 즉 (1+2x)^4 의 전개식의 일반항은 _4 C_s (2x)^s =_4 C_s `2^s x^s 따라서 (1-x)^3 (2x+1)^4 의 전개식의 일반항은 _3 C_r (-1)^r x^r .c1 _4 C_s `2^s x^s =_3 C_r .c1 _4 C_s (-1)^r ~2^s x^r ^+ ^s ⇨ ❷0395 S(8, 2)를 구한다.8=7+1=6+2=5+3=4+4이므로 8송이를 2개의 꽃병에 꽂는 방법의 수는 다음과 같다. 두 꽃병에 꽂는 꽃의 수가 각각 1, 7인 방법의 수는 _8 C_1 .c1 _7 C_7 =8 두 꽃병에 꽂는 꽃의 수가 각각 2, 6인 방법의 수는 _8 C_2 .c1 _6 C_6 =28 두 꽃병에 꽂는 꽃의 수가 각각 3, 5인 방법의 수는 _8 C_3 .c1 _5 C_5 =56 두 꽃병에 꽂는 꽃의 수가 각각 4, 4인 방법의 수는 _8 C_4 .c1 _4 C_4 .c1 12!=35이상에서 구하는 방법의 수는 S(8, 2)=8+28+56+35 =127 1270396 먼저 7명을 한 조에 최대 4명이 되도록 세 조로 나눈다.7=4+2+1=3+3+1=3+2+2이므로 7명을 한 조에 최대 4명이 되도록 세 조로 나누는 방법은 다음과 같다. 7명을 1명, 2명, 4명으로 나누는 방법의 수는 _7 C_1 .c1 _6 C_2 .c1 _4 C_4 =7.c1 15.c1 1=105 7명을 1명, 3명, 3명으로 나누는 방법의 수는 _7 C_1 .c1 _6 C_3 .c1 _3 C_3 .c1 12!=7.c1 20.c1 1.c1 1/2 =70 7명을 2명, 2명, 3명으로 나누는 방법의 수는 _7 C_2 .c1 _5 C_2 .c1 _3 C_3 .c1 12!=21.c1 10.c1 1.c1 1/2 =105이상에서 7명을 세 조로 나누는 방법의 수는105+70+105=280 ⇨ ❶세 조를 3개의 의자에 분배하는 방법의 수는 3!=6 ⇨ ❷따라서 구하는 방법의 수는 280.c1 6=1680 ⇨ ❸ 16800397 6명을 3명, 3명의 두 조로 나눈 후, 각 조에서 부전승으로 올라가는 선수를 뽑는다.6명을 3명, 3명의 두 조로 나누는 방법의 수는_6 C_3 .c1 _3 C_3 .c1 12!=20.c1 1.c1 1/2 =10각 조에서 부전승으로 올라갈 선수를 뽑는 방법의 수는 _3 C_1 .c1 _3 C_1 =3.c1 3=9따라서 구하는 방법의 수는 10.c1 9=90 ③채점 기준비율❶ 7명을 세 조로 나누는 방법의 수를 구할 수 있다.50%❷ 세 조를 3개의 의자에 분배하는 방법의 수를 구할 수 있다.30%❸ 7명을 3개의 의자에 앉히는 방법의 수를 구할 수 있다.20%본책54~56쪽라이트쎈-해설4강(28-35)OK.indd 3514. 8. 28. 오후 1:16 36 • 정답 및 풀이정답 및 풀이확률의 뜻과 활용05Ⅱ. 확률0405 {1, 2, 3, 4, 5, 6}0406 {2, 4,6}0407 {2, 3,5}0408 {1, 2, 3, 6}0409 {HH, HT, TH, TT}0410 {HT, TH}0411 {HH, TT}0412 A={2, 4, 6, 8, 10}, B={5, 10}이므로 AhapB={2, 4, 5, 6, 8, 10} {2, 4, 5, 6, 8, 10}0413 {10}0414 {1, 3, 5, 7, 9}0415 {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}0416 AcupB=이므로 A와 B는 서로 배반사건이다.BcupC={2}이므로 B와 C는 서로 배반사건이 아니다.AcupC=이므로 A와 C는 서로 배반사건이다. A와 B, A와 C0417 A={3, 6}이므로 P(A)=2/6=1/3 1/30418 B={4, 5, 6}이므로 P(B)=3/6=1/2 1/20419 C={1, 3, 5}이므로 P(C)=3/6=1/2 1/20420 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 모든 경우의 수는 6·6=36두 눈의 수가 같은 경우는 (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)의 6가지이므로 구하는 확률은 ^6/36=1/6 1/60421 두 눈의 수의 합이 10인 경우는 (4, 6), (5, 5), (6, 4)의 3가지이므로 구하는 확률은 ^3/36=^1/12 ^1/12r+s=2를 만족시키는 r, s의 순서쌍 (r, s)는 (0, 2), (1, 1), (2, 0) ⇨ ❸이므로 구하는 x의 계수는 _3C_0.c1_4C_2`2^2+_3C_1.c1_4C_1(-1).c12+_3C_2.c1_4C_0(-1)^2 =24-24+3=3 ⇨ ❹ 30402 먼저 각 쇼핑백에 티셔츠를 한 벌씩 넣는다.티셔츠를 2개의 쇼핑백에 한 벌씩 넣은 후, 남은 8벌의 티셔츠를 2개의 쇼핑백에 빈 쇼핑백이 없도록 나누어 담으면 된다. 이때 8=7+1=6+2=5+3=4+4이므로 구하는 방법의 수는 P(8, 2)=4 ①티셔츠를 각 쇼핑백에 2벌씩 넣은 후, 남은 6벌의 티셔츠를 1개 또는 2개의 쇼핑백에 나누어 담으면 된다. 이때 6=6=5+1=4+2=3+3이므로 구하는 방법의 수는 P(6, 1)+P(6, 2)=1+3=40403 먼저 330을 소인수분해한다.330=2·3·5·11이므로 구하는 방법의 수는 집합 {2, 3, 5, 11}을 2개의 집합으로 분할하는 방법의 수와 같다. 원소의 개수가 1, 3인 집합으로 분할하는 방법의 수는 _4C_1.c1_3C_3=4.c11=4 원소의 개수가 2, 2인 집합으로 분할하는 방법의 수는 _4C_2.c1_2C_2.c112!=6.c11.c11/2=3, 에서 구하는 방법의 수는4+3=7 ②0404 2대의 자동차에 탈 사람을 나눈 후 자리를 배정한다.2대의 자동차를 각각 A, B라 하자.운전할 수 있는 두 사람이 A, B 2대의 자동차에 나누어 타는 방법의 수는 2!=2운전자를 제외한 4명을 2명, 2명으로 나누는 방법의 수는 _4C_2.c1_2C_2.c112!=32개의 조를 A, B 2대의 자동차에 배정하는 방법의 수는 2!=2A자동차에서 운전자를 제외한 2명이 자리에 앉는 방법의 수는 _4P_2=12마찬가지로 B자동차에서 자리에 앉는 방법의 수는 12이다.따라서 구하는 방법의 수는 2·3·2·12·12=1728 ⑤채점 기준비율❶ 주어진 식의 전개식에서 x의 계수는 분자의 전개식에서 x^2의 계수와 같음을 알 수 있다.10%❷ (1-x)^3(2x+1)^4의 전개식의 일반항을 구할 수 있다.50%❸ 순서쌍 (r, s)를 구할 수 있다.20%❹ x의 계수를 구할 수 있다.20%라이트쎈-확통(해설036-045)ok.indd 3614. 8. 28. 오후 1:11 05``확률의 뜻과 활용 • 37확률의 뜻과 활용05본책56~61쪽0433 ⑴ P(A)=^10 /50 =1/5 ⑵ P(AC)=1-P(A)=1-1/5 =4/5 ⑴ 1/5 ⑵ 4/5 0434 표본공간을 S라 하면 S={1, 2, 3, … , 10}, A={4, 8}, B={6, 8, 10}② Ahap B={4, 6, 8, 10}③ Acup B={8}④ AC={1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10}이므로 n(AC)=8⑤ ACcup B={6, 10} ④0435 동전의 앞면을 H, 뒷면을 T로 나타낼 때, 뒷면이 2개 나오는 경우는 {HTT, THT, TTH}의 3가지뒷면이 3개 나오는 경우는 {TTT}의 1가지따라서 A={HTT, THT, TTH, TTT}이므로 n(A)=4 40436 표본공간을 S라 하면 S={WWB, WBW, BWW, WBB, BWB, BBW, BBB}①P={WWB, WBW, WBB}②Q={WBW, WBB, BBW, BBB}③Phap Q={WWB, WBW, WBB, BBW, BBB}④Pcup Q={WBW, WBB}⑤R=Pcup Q이므로RC={WWB, BWW, BWB, BBW, BBB}따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. ⑤0437 보기의 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ의 사건을 각각 A, B, C, D라 하면 A={1, 3, 4, 7, 9, 10}, B={1, 3, 7, 9}, C={3, 7}, D={1, 4}이므로 Acup B={1, 3, 7, 9}, Acup C={3, 7}, Acup D={1, 4}, Bcup C={3, 7}, Bcup D={1}, Ccup D=따라서 보기의 사건 중 서로 배반사건인 것끼리 짝지어진 것은 ⑤이다. ⑤0438 A={2, 4, 6}, B={2, 3, 5}, C={1, 5}이므로 ⇨ ❶ Acup B={2}, Bcup C={5}, Acup C= ⇨ ❷따라서 사건 A와 사건 C는 서로 배반사건이다. ⇨ ❸ ㄷ0439 주어진 벤 다이어그램에서 A={1, 5, 7}, B={2, 6, 7}, C={3, 6}, Bcup C={6}, Bhap C={2, 3, 6, 7}채점 기준비율❶ 세 사건 A, B, C를 구할 수 있다.30%❷ Acup B, Bcup C, Acup C를 구할 수 있다.40%❸ 서로 배반사건인 것을 찾을 수 있다.30%0422 두 눈의 수의 차가 3인 경우는 (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)의 6가지이므로 구하는 확률은 ^6 /36 =1/6 1/6 0423 ⑴ 4명을 일렬로 세우는 방법의 수는 4!=24⑵ 광수를 가장 앞에 세우는 방법의 수는 3!=6⑶ P(A)=^6 /24 =1/4 ⑴ 24 ⑵ 6 ⑶ 1/4 0424 어떤 독감 환자에게 약을 투여할 때, 독감이 치료될 확률은 150/500=^3 /10 ^3 /10 0425 9칸 중에서 빨간색이 칠해진 칸은 2칸이므로 구하는 확률은 (빨간색이 칠해진 영역의 넓이)(전체 과녁의 넓이)=2/9 2/9 0426 2/5 0427 꺼낸 공이 흰 공 또는 검은 공인 사건은 반드시 일어나므로 구하는 확률은 1이다. 10428 꺼낸 공이 빨간 공인 사건은 절대로 일어날 수 없으므로 구하는 확률은 0이다. 00429 P(Ahap B)=P(A)+P(B)-P(Acup B)=1/3 +1/2 -1/6 =2/3 2/3 0430 P(A)=0.6, P(B)=0.7, P(Ahap B)=0.9이므로P(Ahap B)=P(A)+P(B)-P(Acup B)에서 0.9=0.6+0.7-P(Acup B) .t3 P(Acup B)=0.4 0.40431 표본공간을 S라 하면 S={1, 2, 3, … , 20}, A={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, B={3, 6, 9, 12, 15, 18}⑴ P(A)=^10 /20 =1/2 ⑵ P(B)=6/20=3/10⑶ Acup B={6, 12, 18}이므로 P(Acup B)=^3 /20 ⑷ P(Ahap B)=P(A)+P(B)-P(Acup B)=1/2 +3/10-^3 /20 =13/20 ⑴ 1/2 ⑵ 3/10 ⑶ ^3 /20 ⑷ 13/200432 P(AC)=1-P(A)=1-2/7 =5/7 5/7 라이트쎈-확통(해설036-045)ok.indd 3714. 8. 28. 오후 1:11 38 • 정답 및 풀이정답 및 풀이남학생 2명을 한 명으로 생각하여 5명이 일렬로 줄을 서는 방법의 수는 5!=120이고, 남학생 2명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2이므로 남학생 2명이 이웃하여 줄을 서는 방법의 수는 120·2=240따라서 구하는 확률은 240/720=1/3 1/30446 5개의 음료수를 나란히 넣는 방법의 수는 5!=120우유 3개 중에서 2개를 양 끝에 넣는 방법의 수는 _3P_2=6이고, 양 끝에 오지 않은 우유 1개와 주스 2개를 나란히 넣는 방법의 수는 3!=6이므로 양 끝에 우유를 넣는 방법의 수는 6·6=36따라서 구하는 확률은 6/10=^3/10 ②0447 6개의 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수는 6!=720s와 g를 포함한 4개의 문자를 한 문자로 생각하여 3개의 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수는 3!=6, s와 g 사이에 들어가는 2개의 문자를 선택하여 일렬로 나열하는 방법의 수는 _4P_2=12이고 이때 s와 g가 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2이므로 s와 g 사이에 2개의 문자가 있도록 나열하는 방법의 수는 6·12·2=144따라서 구하는 확률은 144/720=1/5 1/50448 네 개의 숫자로 세 자리 자연수를 만드는 방법의 수는 _4P_3=24이때 세 자리 자연수가 3의 배수이려면 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수이어야 한다. 각 자리의 숫자가 1, 2, 3인 경우세 자리 자연수는 3!=6(개) 각 자리의 숫자가 2, 3, 4인 경우세 자리 자연수는 3!=6(개), 에서 세 자리 자연수가 3의 배수인 경우의 수는 6+6=12이므로 그 확률은 ^12/24=1/2따라서 p=2, q=1이므로 p+q=3 30449 5명의 학생이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 (5-1)!=4!=24A와 B를 한 사람으로 생각하여 4명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 (4-1)!=3!=6이고, A와 B가 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2이므로 A와 B가 이웃하게 앉는 방법의 수는 6·2=12따라서 구하는 확률은 ^12/24=1/2 ⑤0450 6명의 대표가 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 (6-1)!=5!=120아시아 대표 3명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 (3-1)!=2!=2이고, 아시아 대표 사이사이의 3개의 자리에 유럽 대표 3명이 앉는 이때 AcupC=, Acup(BcupC)=, Acup(BhapC)={7}이므로 사건 A와 서로 배반사건인 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③0440 사건 A와 배반사건인 것은 AC의 부분집합이고, 사건 B와 배반사건인 것은 BC의 부분집합이므로 A, B와 모두 배반사건인 것은 ACcupBC의 부분집합이다. ACcupBC={3, 4, 5, 7}cup{1, 4, 5, 6}={4, 5}이므로 구하는 사건의 개수는 2^2-1=3 30441 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 모든 경우의 수는 6·6=36 두 눈의 수의 합이 4인 경우(1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지 두 눈의 수의 합이 8인 경우(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)의 5가지 두 눈의 수의 합이 12인 경우(6, 6)의 1가지이상에서 두 눈의 수의 합이 4의 배수인 경우의 수는 3+5+1=9따라서 구하는 확률은 ^9/36=1/4 ③0442 A에서 B를 거쳐 C로 가는 방법의 수는 2·3=6이때 X를 지나가는 방법의 수는 2·1=2따라서 구하는 확률은 2/6=1/3 ④0443 집합 A의 부분집합의 개수는 2^6=64집합 A의 부분집합 중 원소 1, 5를 모두 포함하는 집합의 개수는 2^6^-^2=2^4=16따라서 구하는 확률은 ^16/64=1/4 ④0444 한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 모든 경우의 수는 6·6=36 ⇨ ❶이차방정식 x^2-2ax+b=0이 중근을 가지려면 이 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, D=0이어야 하므로 D/4=(-a)^2-b=0 .t3 a^2=b ⇨ ❷a^2=b를 만족시키는 순서쌍 (a, b)는 (1, 1), (2, 4)의 2개 ⇨ ❸따라서 구하는 확률은 ^2/36=^1/18 ⇨ ❹ ^1/18 0445 6명의 학생이 일렬로 줄을 서는 방법의 수는 6!=720채점 기준비율❶ 모든 경우의 수를 구할 수 있다.10%❷ a, b 사이의 관계식을 구할 수 있다.30%❸ ❷의 관계식을 만족시키는 순서쌍 (a, b)를 구할 수 있다.30%❹ 확률을 구할 수 있다.30%라이트쎈-확통(해설036-045)ok.indd 3814. 8. 28. 오후 1:11 05``확률의 뜻과 활용 • 39확률의 뜻과 활용05본책61~64쪽0456 5개의 숫자를 일렬로 나열하는 방법의 수는 5!2!· 2!=30 ⇨ ❶맨 앞에 1을 나열하고, 나머지 숫자 1, 2, 3, 3을 일렬로 나열하는 방법의 수는 4!2!=12 ⇨ ❷따라서 구하는 확률은 ^12 /30 =2/5 ⇨ ❸ 2/5 0457 집합 A에서 집합 B로의 함수 f의 개수는 _2 J_3 =2^3 =8f(a)+f(b)+f(c)=4를 만족시키는 함수 f의 개수는 1+1+2=4에서 1, 1, 2를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같으므로 3!2!=3따라서 구하는 확률은 3/8 ⑤0458 7개의 공 중에서 3개의 공을 꺼내는 방법의 수는 _7 C_3 =35흰 공 3개 중에서 1개, 검은 공 4개 중에서 2개를 꺼내는 방법의 수는 _3 C_1 .c1 _4 C_2 =3.c1 6=18따라서 구하는 확률은 ^18 /35 ^18 /35 0459 6명 중에서 3명의 대표를 뽑는 방법의 수는 _6 C_3 =20B와 C는 포함되고 E는 포함되지 않는 방법의 수는 B, C, E를 제외한 나머지 3명 중에서 1명을 뽑고 B와 C를 포함시키는 방법의 수와 같으므로 _3 C_1 =3따라서 구하는 확률은 ^3 /20 ①0460 5개의 점 중에서 3개의 점을 택하는 방법의 수는 _5 C_3 =10 ⇨ ❶만들어진 삼각형이 직각삼각형이려면 직각삼각형의 빗변이 지름이어야 하므로 직각삼각형이 되는 경우의 수는 _3 C_1 =3 ⇨ ❷따라서 구하는 확률은 ^3 /10 ⇨ ❸ ^3 /10 채점 기준비율❶ 5개의 숫자를 일렬로 나열하는 방법의 수를 구할 수 있다.40%❷ 1이 맨 앞에 오도록 나열하는 방법의 수를 구할 수 있다.40%❸ 확률을 구할 수 있다.20%채점 기준비율❶ 5개의 점 중에서 3개의 점을 택하는 방법의 수를 구할 수 있다.40%❷ 직각삼각형이 되는 경우의 수를 구할 수 있다.40%❸ 확률을 구할 수 있다.20%방법의 수는 3!=6이므로 아시아 대표와 유럽 대표가 번갈아 가며 앉는 방법의 수는 2· 6=12따라서 구하는 확률은 1/10=^1 /10 ③0451 8가지 음식을 구절판에 모두 담는 방법의 수는 (8-1)!=7!=5040 ⇨ ❶애호박나물을 담은 맞은편에 달걀지단을 담고 나머지 6가지 음식을 6개의 칸에 담는 방법의 수는 _6 P_6 =6!=720 ⇨ ❷따라서 구하는 확률은 7205040=1/7 ⇨ ❸ 1/7 0452 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는 _4 J_3 =4^3 =64이때 짝수의 개수는 _4 J_2 .c1 2=4^2 .c1 2=32따라서 구하는 확률은 ^32 /64 =1/2 ④0453 집합 X에서 집합 X로의 함수 f의 개수는 _3 J_3 =3^3 =27이때 일대일 대응의 개수는 _3 P_3 =3!=6따라서 구하는 확률은 ^6 /27 =2/9 ③0454 4명의 학생이 도서전시회가 열리는 7일 중 참가할 날을 택하는 방법의 수는 _7 J_4 =7^4 =2401서로 다른 날을 택하는 방법의 수는 _7 P_4 =840따라서 구하는 확률은 8402401=120/343 120/3430455 6개의 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수는 6!2!· 2!=1802개의 O를 한 문자로 생각하여 5개의 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수는 5!2!=60따라서 구하는 확률은 60/10=1/3 ③채점 기준비율❶ 8가지 음식을 담는 방법의 수를 구할 수 있다.30%❷ 애호박나물의 맞은편에 달걀지단을 담는 방법의 수를 구할 수 있다.50%❸ 확률을 구할 수 있다.20%함수의 개수집합 X={1, 2, 3, … , r}에서 Y={1, 2, 3, … , n}(r_< n)으로의 함수 f에 대하여① 함수 f의 개수 _n J_r ② 일대일함수의 개수 _n P_r ③ 일대일 대응의 개수 _n P_r (단, n=r)라이트쎈-확통(해설036-045)ok.indd 3914. 8. 28. 오후 1:11 40 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0461 상자에 들어 있는 당첨제비의 개수를 n이라 하면 _nC_2_1_0C_2=^2/15 n(n-1)10·9=^2/15, n^2-n-12=0 (n+3)(n-4)=0 .t3 n=4`(.T3 n_>2)따라서 상자에 들어 있는 당첨제비의 개수는 4이다. ③0462 귤, 참외, 사과, 배 중 중복을 허용하여 5개를 구입하는 방법의 수는 서로 다른 4개에서 5개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 _4H_5=_8C_5=56귤이 2개 포함되는 경우의 수는 참외, 사과, 배 중에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 _3H_3=_5C_3=10따라서 구하는 확률은 10/56=^5/28 ①0463 7명의 유권자가 3명의 후보에게 무기명으로 투표하는 방법의 수는 서로 다른 3개에서 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 _3H_7=_9C_7=36 ⇨ ❶A후보가 한 표도 받지 못하는 경우는 7명의 유권자가 B, C 중 한 명에게 투표하는 경우이므로 그 경우의 수는 서로 다른 2개에서 7개를 택하는 중복조합의 수와 같다. 즉 _2H_7=_8C_7=8 ⇨ ❷따라서 구하는 확률은 ^8/36=2/9 ⇨ ❸ 2/90464 조사한 전체 학생 수는 80+110+85+125=400이므로 한 명을 택했을 때, 그 학생이 D사의 스마트폰을 사용할 확률은 125/400=^5/16 ^5/160465 양궁 선수가 9점을 맞힌 횟수는 47, 10점을 맞힌 횟수는 25이므로 9점 이상을 맞히는 경우의 수는 47+25=72따라서 구하는 확률은 /00=^9/25 ③원에 내접하는 직각삼각형반원에 대한 원주각의 크기는 90°이므로 원의 지름의 양 끝 점과 원 위의 다른 한 점을 택하면 직각삼각형을 만들 수 있다.(cid:48)채점 기준비율❶ 7명의 유권자가 3명의 후보 중 한 명에게 무기명으로 투표하는 방법의 수를 구할 수 있다. 40%❷ A후보가 한 표도 받지 못하는 경우의 수를 구할 수 있다.40%❸ 확률을 구할 수 있다.20%0466 주머니에 들어 있는 노란 구슬의 개수를 n이라 하면 _nC_1.c1_7_-_nC_1_7C_2=4/7 n(7-n)21=4/7, n(7-n)=12 n^2-7n+12=0, (n-3)(n-4)=0 .t3 n=4 (.T3 n_>4)따라서 노란 구슬은 4개 들어 있다고 볼 수 있다. 4개0467 작은 원부터 세 동심원의 넓이는 각각 p, 4p, 9p이므로 색칠한 부분의 넓이는 9p-4p=5p따라서 총알이 색칠한 부분에 맞을 확률은 5p9p=5/9 ④0468 이차방정식 2x^2-3kx+k=0의 판별식을 D라 할 때, 이 이차방정식이 실근을 가지려면 D=(-3k)^2-4.c12.c1k_>0 ⇨ ❶ k(9k-8)_>0 .t3 k_<0 또는 k_>8/9 ⇨ ❷따라서 오른쪽 그림에서 구하는 확률은 (cid:76)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:26)(cid:25) {0-(-1)}+(1-8/9)1-(-1)=5/9⇨ ❸ 5/90469 P(A)=1-P(AC)=0.8, P(B)=1-P(BC)=0.5이므로P(AhapB)=P(A)+P(B)-P(AcupB)에서 0.9=0.8+0.5-P(AcupB) .t3 P(AcupB)=0.4 ③0470 S=AhapB이므로 P(AhapB)=1A, B가 서로 배반사건이므로 P(AcupB)=0 P(AhapB)=P(A)+P(B)-P(AcupB)에서 1=2/5+P(B) .t3 P(B)=3/5 ④0471 P(AhapB)=P(A)+P(B)-P(AcupB)=1/3+1/2-^1/12=3/4 ⇨ ❶ACcupBC=(AhapB)C이므로 P(ACcupBC)=P((AhapB)C)=1-P(AhapB) ⇨ ❷=1-3/4=1/4 ⇨ ❸ 1/4채점 기준비율❶ D_>0임을 알 수 있다.20%❷ D_>0을 만족시키는 k의 값의 범위를 구할 수 있다.40%❸ 확률을 구할 수 있다.40%라이트쎈-확통(해설036-045)ok.indd 4014. 8. 28. 오후 1:11 05``확률의 뜻과 활용 • 41확률의 뜻과 활용05본책64~67쪽0472 두 사건 A, B가 서로 배반사건이므로P(Ahap B)=P(A)+P(B)에서 3/4=P(A)+P(B) 즉 P(B)=3/4 -P(A)이고, 1/6 _< P(A)_< 1/2 에서 -1/2 _< -P(A)_< -1/6 1/4 _< 3/4 -P(A)_< 7/12 .t3 1/4 _< P(B)_< ^7 /12 따라서 P(B)의 최댓값은 ^7 /12 이다. ⑤0473 두 주사위를 동시에 한 번 던질 때, 모든 경우의 수는 4· 6=24정사면체 모양의 주사위의 바닥에 놓인 면에 적힌 수와 정육면체 모양의 주사위에서 나온 수를 각각 a, b라 하고 순서쌍 (a, b)로 나타낼 때, 두 수의 합이 8 이상인 사건을 A, 4의 배수인 사건을 B라 하면 A={(2, 6), (3, 5), (4, 4), (3, 6), (4, 5), (4, 6)}, B={(1, 3), (2, 2), (3, 1), (2, 6), (3, 5), (4, 4)} .t3 Acup B={(2, 6), (3, 5), (4, 4)}따라서 P(A)=6/24=1/4 , P(B)=6/24=1/4 , P(Acup B)=3/24=1/8 이므로 구하는 확률은 P(Ahap B)=P(A)+P(B)-P(Acup B)=1/4 +1/4 -1/8 =3/8 ②0474 펜션을 운영하는 가구를 택하는 사건을 A, 식당을 운영하는 가구를 택하는 사건을 B라 하면 P(A)=0.45, P(B)=0.33, P(Acup B)=0.12따라서 구하는 확률은 P(Ahap B)=P(A)+P(B)-P(Acup B)=0.45+0.33-0.12=0.66 0.660475 A가 적힌 카드를 뽑는 사건을 A, H가 적힌 카드를 뽑는 사건을 B라 하면 P(A)=_7 C_2 _8 C_3 =3/8 , P(B)=_7 C_2 _8 C_3 =3/8 , P(Acup B)=_6 C_1 _8 C_3 =^3 /28 따라서 구하는 확률은 P(Ahap B)=P(A)+P(B)-P(Acup B)=3/8 +3/8 -3/28=^9 /14 ②채점 기준비율❶ P(Ahap B)를 구할 수 있다.40%❷ P(ACcup BC)=1-P(Ahap B)임을 알 수 있다.40%❸ P(ACcup BC)를 구할 수 있다.20%0476 뽑힌 2명이 모두 여자인 사건을 A, 뽑힌 2명이 모두 남자인 사건을 B라 하면 P(A)=_5 C_2 _9 C_2 =^5 /18 , P(B)=_4 C_2 _9 C_2 =1/6 A, B는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은 P(Ahap B)=P(A)+P(B)=^5 /18 +1/6 =4/9 4/9 0477 두 주사위를 동시에 던질 때, 모든 경우의 수는 6.c1 6=36눈의 수의 합이 3인 사건을 A, 눈의 수의 차가 3인 사건을 B라 하면 A={(1, 2), (2, 1)}, B={(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)} .t3 P(A)=^2 /36 =^1 /18 , P(B)=^6 /36 =1/6 A, B는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은 P(Ahap B)=P(A)+P(B)=^1 /18 +1/6 =2/9 ④0478 5장의 카드에서 2장의 카드를 뽑는 모든 방법의 수는 _5 C_2 =10 ⇨ ❶카드에 적힌 숫자의 합이 5, 7, 11인 사건을 각각 A, B, C라 하면 5 ➡ 2와 3의 1가지 7 ➡ 2와 5, 3과 4의 2가지 11 ➡ 5와 6의 1가지 ⇨ ❷ .t3 P(A)=^1 /10 , P(B)=^2 /10 =1/5 , P(C)=^1 /10 ⇨ ❸A, B, C는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은 P(Ahap Bhap C)=P(A)+P(B)+P(C)=^1 /10 +1/5 +^1 /10 =2/5 ⇨ ❹ 2/5 0479 뽑힌 대표 중에서 적어도 한 명이 여학생인 사건을 A라 하면 AC는 세 명이 모두 남학생인 사건이므로 P(AC)=_5 C_3 _7 C_3 =2/7 .t3 P(A)=1-P(AC)=1-2/7 =5/7 ②0480 주어진 정육면체 모양의 주사위를 두 번 던질 때, 모든 경우의 수는 6· 6=368의 약수가 적어도 한 번 나오는 사건을 A라 하면 AC는 두 번 모두 8의 약수가 나오지 않는 사건이다.1, 2, 4, 6, 8, 10 중에서 8의 약수가 아닌 것은 6, 10이므로 P(AC)=2.c1 236=1/9 따라서 구하는 확률은 P(A)=1-P(AC)=1-1/9 =8/9 ⑤채점 기준비율❶ 일어나는 모든 경우의 수를 구할 수 있다.20%❷ 카드에 적힌 숫자의 합이 소수가 되는 사건 A, B, C를 구할 수 있다.30%❸ P(A), P(B), P(C)를 구할 수 있다.20%❹ P(Ahap Bhap C)를 구할 수 있다.30%라이트쎈-확통(해설036-045)ok.indd 4114. 8. 28. 오후 1:11 42 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0481 카드에 적힌 수가 3의 배수인 사건을 A, 5의 배수인 사건을 B라 하면 3의 배수도 5의 배수도 아닌 사건은ACcupBC=(AhapB)C이다.이때 P(A)=^6/20=^3/10, P(B)=^4/20=1/5이고, AcupB는 15의 배수인 사건이므로 P(AcupB)=^1/20 .t3 P(AhapB)=P(A)+P(B)-P(AcupB)=^3/10+1/5-^1/20=9/20따라서 구하는 확률은 P(ACcupBC)=P((AhapB)C)=1-P(AhapB)=1-9/20=11/20 11/200482 한 개의 주사위를 세 번 던질 때, 모든 경우의 수는 6.c16.c16=216(a-b)(b-c)(c-a)=0에서 a=b 또는 b=c 또는 c=a따라서 주사위를 세 번 던질 때 적어도 두 번은 주사위의 눈이 같아야 한다. 위의 사건을 A라 하면 주사위를 세 번 던질 때 주사위의 눈이 모두 다른 사건은 AC이므로 P(AC)=_6P_3216=5/9 .t3 P(A)=1-P(AC)=1-5/9=4/9 4/90483 두 문제 이상 맞히는 사건을 A라 하면 AC는 한 문제를 맞히거나 한 문제도 못 맞히는 사건이다. 한 문제를 맞힐 확률은 _5C_1_2J_5=^5/32 한 문제도 못 맞힐 확률은 _5C_0_2J_5=^1/32, 에서 P(AC)=^5/32+^1/32=^3/16따라서 구하는 확률은 P(A)=1-P(AC)=1-^3/16=^13/16 ①0484 8개의 구슬 중에서 3개를 꺼낼 때, 빨간 구슬이 2개 이하인 사건을 A라 하면 AC는 빨간 구슬이 3개인 사건이다. ⇨ ❶ P(AC)=_4C_3_8C_3=1/14 ⇨ ❷따라서 구하는 확률은 P(A)=1-P(AC)=1-1/14=13/14 ⇨ ❸ 13/140485 네 개의 숫자 중에서 서로 다른 세 개의 숫자로 세 자리 정수를 만들 때, 330 이하인 사건을 A라 하면 AC는 331 이상인 사건이다. 이때 331 이상인 정수는 34☐ 꼴 또는 4☐☐ 꼴이다.채점 기준비율❶ AC인 사건을 알 수 있다.30%❷ P(AC)를 구할 수 있다.50%❸ P(A)를 구할 수 있다.20% 34☐ 꼴일 확률은 _2P_1_4P_3=^1/12 4☐☐ 꼴일 확률은 _3P_2_4P_3=1/4, 에서 P(AC)=^1/12+1/4=1/3따라서 구하는 확률은 P(A)=1-P(AC)=1-1/3=2/3 2/30486 ㄱ. 임의의 사건 A에 대하여0_0이므로 P(A)=1/2 .t3 P(B)=1/2-1/6=1/3이때 두 사건 A, B가 서로 배반사건이므로 P(AhapB)=P(A)+P(B)=1/2+1/3=5/6 ⑤채점 기준비율❶ 7개의 문자를 나열하는 방법의 수를 구할 수 있다.30%❷ a, n, k를 이 순서로 배열하는 방법의 수를 구할 수 있다.50%❸ 확률을 구할 수 있다.20%라이트쎈-확통(해설036-045)ok.indd 4414. 8. 28. 오후 1:11 05``확률의 뜻과 활용 • 45확률의 뜻과 활용050510 두 사건 A, B에 대하여 P(Ahap B)=P(A)+P(B)-P(Acup B)임을 이용한다.P에서 Q까지 최단 거리로 갈 때, A를 지나는 사건을 A, B를 지나는 사건을 B라 하자. P`C(cid:65)Q로 가는 방법의 수는 7!4!· 3!=35이고, P`C(cid:65)A`C(cid:65)Q로 가는 방법의 수는 3!2!· 4!2!· 2!=18이므로 P(A)=18/35P`C(cid:65)B`C(cid:65)Q로 가는 방법의 수는 5!3!· 2!· 2=20이므로 P(B)=20/35=4/7P`C(cid:65)A`C(cid:65)B`C(cid:65)Q로 가는 방법의 수는 3!2!· 2· 2=12이므로 P(Acup B)=12/35따라서 구하는 확률은 P(Ahap B)=P(A)+P(B)-P(Acup B)=18/35+4/7-12/35=26/35 ③0511 대표 2명이 모두 남학생인 사건과 모두 여학생인 사건은 서로 배반사건이다.15명의 회원 중 대표 2명을 뽑는 방법의 수는 _1 _5 C_2 =105⇨ ❶여학생 수를 x라 하면 15명 중에서 대표 2명을 뽑을 때, 2명이 모두 남학생일 확률은 _1 _5 _- _x C_2 _1 _5 C_2 =(15-x)(14-x)210 … … `㉠모두 여학생일 확률은 _x C_2 _1 _5 C_2 =x(x-1)210 … … `㉡⇨ ❷㉠, ㉡에서 (15-x)(14-x)210+x(x-1)210=7/15 ⇨ ❸ x^2 -15x+56=0, (x-7)(x-8)=0이때 여학생 수가 남학생 수보다 많으므로 x=8따라서 여학생 수는 8이다. ⇨ ❹ 8채점 기준비율❶ 대표 2명을 뽑는 방법의 수를 구할 수 있다.10%❷ 2명 모두 남학생이거나 여학생일 확률을 구할 수 있다.50%❸ x에 대한 방정식을 세울 수 있다.20%❹ 여학생의 수를 구할 수 있다.20%따라서 구하는 확률은 P(A)=1-P(AC)=1-17/70=^53 /70 ⑤0506 두 수의 곱이 짝수인 사건은 두 수의 곱이 홀수인 사건의 여사건임을 이용한다.두 원소의 곱이 짝수인 사건을 A라 하면 AC는 두 원소의 곱이 홀수인 사건이므로 P(AC)=_5 C_2 _1 _0 C_2 =^10 /45 =2/9 따라서 구하는 확률은 P(A)=1-P(AC)=1-2/9 =7/9 7/9 0507 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'x+c'=0이 평행할 조건은 aa'=bb'not= cc'임을 이용한다.한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 모든 경우의 수는 6.c1 6=36두 직선 ax+6y-2=0, x+by+1=0이 평행할 조건은 a/1 =6/b not= -21, 즉 ab=6, anot= -2, bnot= -3이므로 이를 만족시키는 순서쌍 (a, b)는 (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)의 4개따라서 구하는 확률은 ^4 /36 =1/9 1/9 0508 D와 E가 세 좌석이 연결된 자리에서 이웃하게 앉는 경우와 두 좌석이 연결된 자리에서 이웃하게 앉는 경우로 나누어 생각한다.5명이 좌석에 앉는 경우의 수는 5!=120 D와 E가 G_1 , G_2 또는 G_2 , G_3 에 앉는 경우 D와 E가 G_1 , G_2 또는 G_2 , G_3 에 앉고, A, B, C가 나머지 세 자리에 앉는 경우의 수는 2· 2!· 3!=24 D와 E가 G_4 , G_5 에 앉는 경우 D와 E가 G_4 , G_5 에 앉고, A, B, C가 나머지 세 자리에 앉는 경우의 수는 2!· 3!=12, 에서 D와 E가 이웃하게 앉는 경우의 수는 24+12=36따라서 구하는 확률은 6/10=3/10 ②0509 선분 AB를 지름으로 하는 반원을 그린 후 점 P가 반원 위에 있을 때 삼각형 PAB는 직각삼각형이 됨을 이용한다.오른쪽 그림과 같이 점 P가 AB^_ 를(cid:34)(cid:35)(cid:37)(cid:49)(cid:36)지름으로 하는 반원 위에 있을 때 삼각형 PAB는 직각삼각형이 되므로 이 반원의 외부에 점 P를 잡으면 삼각형 PAB는 예각삼각형이 된다.색칠한 부분의 넓이는 16-1/2 · p.c1 2^2 =16-2p정사각형 ABCD의 넓이는 16이므로 구하는 확률은 16-2p16=8-p8 ②본책70~71쪽라이트쎈-확통(해설036-045)ok.indd 4514. 8. 28. 오후 5:31 46 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 P(A|B)=P(AcupB)P(B)=0.080.5=0.16 .t3 ㈎ A ㈏ 0.08 ㈐ AcupB ㈑ B ㈒ 0.16 풀이 참조0519 ⑴ P(AcupB)=P(B)P(A|B)=1/3·1/2=1/6⑵ P(B|A)=P(AcupB)P(A)=1/62/3=1/4 ⑴ 1/6 ⑵ 1/40520 ⑴ P(A)=4/7⑵ 첫 번째에 검은 공을 꺼냈으므로 주머니 안에는 검은 공 3개와 흰 공 3개가 남아 있다. 따라서 구하는 확률은 P(B|A)=3/6=1/2⑶ P(AcupB)=P(A)P(B|A)=4/7·1/2=2/7 ⑴ 4/7 ⑵ 1/2 ⑶ 2/70521 ⑴ P(A)=6/10=3/5⑵ 첫 번째에 당첨권을 뽑았으므로 상자 안에는 행운권 9장 중 당첨권이 5장 들어 있다.따라서 구하는 확률은 P(B|A)=5/9⑵ P(AcupB)=P(A)P(B|A)=3/5·5/9=1/3 ⑴ 3/5 ⑵ 5/9 ⑶ 1/30522 첫 번째에 꺼낸 CD가 가요 CD인 사건을 A, 두 번째에 꺼낸 CD가 가요 CD인 사건을 B라 하면 P(A)=8/12=2/3, P(B|A)=7/11따라서 구하는 확률은 P(AcupB)=P(A)P(B|A)=2/3·7/11=14/33 14/330523 두 사건 A, B가 서로 독립이므로P(B|A)=P(B)=2/3 2/30524 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A|B)=P(A)=1/2 1/20525 ⑴ 첫 번째에 노란 공을 뽑았으므로 주머니 안에는 빨간 공 2개와 노란 공 3개가 들어 있다. 따라서 구하는 확률은 P(B|A)=2/5조건부확률06Ⅱ. 확률0512 P(B|A)=P(AcupB)P(A)=1/51/2=2/5 2/50513 P(A|B)=P(AcupB)P(B)=1/53/5=1/3 1/30514 A={1, 3, 5}, B={2, 3, 5}에서 ⑴ P(A)=3/6=1/2⑵ AcupB={3, 5}이므로 P(AcupB)=2/6=1/3⑶ P(B|A)=P(AcupB)P(A)=1/31/2=2/3 ⑴ 1/2 ⑵ 1/3 ⑶ 2/30515 A={2, 4, 6, 8, 10}, B={1, 2, 5, 10}에서⑴ P(B)=4/10=2/5⑵ AcupB={2, 10}이므로 P(AcupB)=2/10=1/5⑶ P(A|B)=P(AcupB)P(B)=1/52/5=1/2 ⑴ 2/5 ⑵ 1/5 ⑶ 1/20516 P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(AcupB)=0.3이므로 P(B|A)=P(AcupB)P(A)=0.30.5=0.6 0.60517 동전의 뒷면이 1개 나오는 사건을 A, 10원짜리 동전의 뒷면이 나오는 사건을 B라 하면 P(A)=3/8, P(AcupB)=1/8 .t3 P(B|A)=P(AcupB)P(A)=1/83/8=1/3 1/3동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라 하고 동전의 순서쌍을 (100원, 100원, 10원)으로 나타내면 뒷면이 1개 나오는 사건은 {(T, H, H), (H, T, H), (H, H, T)}따라서 구하는 확률은 1/30518 P(AcupB)=P(A)P(B|A)=0.4\0.2=0.08이므로라이트쎈-확통(해설046-054)ok.indd 4614. 8. 28. 오후 1:12 06``조건부확률 • 47조건부확률06본책72~76쪽0535 ⑴ P(A)=1/4⑵ 각 시행은 서로 독립이므로 구하는 확률은 _4 C_2 (1/4 )^^2 (3/4 )^^2 =/18 ⑴ 1/4 ⑵ /180536 자유투를 한 번 하는 시행에서 성공하는 사건을 A라 하면 P(A)=60/100=3/5 각 시행은 서로 독립이므로 구하는 확률은 _3 C_2 (3/5Ò^^2 (2/5)^^1 =/1 /10537 사격 선수가 목표물을 한 번 쏘는 시행에서 맞히는 사건을 A라 하면 P(A)=0.7각 시행은 서로 독립이므로 구하는 확률은 _5 C_0 (0.7)^0 (0.3)^5 =0.00243 0.002430538 ACcup BC=(Ahap B)C이므로 P(ACcup BC) =P((Ahap B)C)=1-P(Ahap B) .t3 P(Ahap B) =1-P(ACcup BC) =1-0.2=0.8이때 P(Ahap B)=P(A)+P(B)-P(Acup B)에서 0.8=0.4+0.5-P(Acup B) .t3 P(Acup B)=0.1 .t3 P(A|B)=P(Acup B)P(B)=0.10.5=0.2 0.20539 P(Ahap B)=P(A)+P(B)-P(Acup B)에서 3/4=1/3 +P(B)-1/12 .t3 P(B)=1/2 .t3 P(BC)=1-1/2 =1/2 P(ACcup BC)=P((Ahap B)C)=1-P(Ahap B)=1-3/4=1/4이므로 P(AC|BC)=P(ACcup BC)P(BC)=1/4 1/2 =1/2 ⑤0540 P(AC)=1-P(A)=1-0.2=0.8이므로 P(B|AC)=P(Bcup AC)P(AC)=P(Bcup AC)0.8=0.5 .t3 P(Bcup AC)=0.4P(AC|B)=0.8에서 P(AC|B)=P(ACcup B)P(B)=0.4P(B)=0.8 .t3 P(B)=0.40.8=0.5 0.50541 P(BC)=1-P(B)=1-1/5 =4/5 ⇨ ❶두 사건 A, B가 서로 배반사건이므로 Acup B= .t3 A/< BC따라서 Acup BC=A이므로 P(Acup BC)=P(A)=1/2 ⇨ ❷⑵ 첫 번째에 노란 공, 두 번째에 빨간 공을 꺼낼 확률은4/6 .C1 2/5 =4/15 첫 번째에 빨간 공, 두 번째에 빨간 공을 꺼낼 확률은2/6· 1/5 =1/15, 에서 P(B)=4/15+1/15=1/3 ⑶ P(B|A)=2/5, P(B)=1/3 에서P(B|A)not= P(B)따라서 두 사건 A, B는 서로 종속이다. 풀이 참조0526 P(A)P(B)=0.25\0.2=0.05, P(Acup B)=0.05이므로 P(Acup B)=P(A)P(B)따라서 두 사건 A, B는 서로 독립이다. 독립0527 P(A)P(B)=0.4\0.5=0.2, P(Acup B)=0.1이므로 P(Acup B)not= P(A)P(B)따라서 두 사건 A, B는 서로 종속이다. 종속0528 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(Acup B)=P(A)P(B)=0.3\0.6=0.18 0.180529 두 사건 A, BC가 서로 독립이므로 P(Acup BC)=P(A)P(BC)=0.3\(1-0.6)=0.12 0.120530 두 사건 AC, B가 서로 독립이므로 P(AC|B)=P(AC)=1-0.3=0.7 0.70531 ⑴ 두 사건 A, B는 서로 일어날 확률에 영향을 주지 않으므로 서로 독립이다.⑵ 두 사건 A, B가 서로 독립이므로P(Acup B)=P(A)P(B)=3/6· 1/2 =1/4 ⑴ 독립 ⑵ 1/40532 A, B가 시험에 합격하는 사건을 각각 A, B라 하면 A, B는 서로 독립이므로 P(Acup B)=P(A)P(B)=0.5\0.7=0.35 0.350533 한 개의 동전을 한 번 던지는 시행에서 앞면이 나오는 사건 을 A라 하면 P(A)=1/2 각 시행은 서로 독립이므로 구하는 확률은 _4 C_3 `(1/2 )^^3 `(1/2 )^^1 =1/4 .t3 ㈎ 1/2 ㈏ 1/2 ㈐ 1/2 ㈑ 1/4 풀이 참조0534 ⑴ A={3, 6}이므로 P(A)=2/6=1/3 ⑵ 각 시행은 서로 독립이므로 구하는 확률은 _3 C_2 (1/3 )^^2 (2/3 )^^1 =2/9 ⑴ 1/3 ⑵ 2/9라이트쎈-확통(해설046-054)ok.indd 4714. 8. 28. 오후 1:12 48 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0546 초콜릿이 들어 있는 도넛을 먹는 사건을 A, 딸기잼이 들어 있는 도넛을 먹는 사건을 B라 하면 P(A)=6/10=3/5, P(B|A)=4/9따라서 구하는 확률은 P(AcupB)=P(A)P(B|A)=3/5·4/9=4/15 4/150547 B선물세트를 택하는 사건을 B, 파란 펜을 꺼내는 사건을 E라 하면 P(B)=1/2, P(E|B)=3/4따라서 구하는 확률은 P(EcupB)=P(B)P(E|B)=1/2·3/4=3/8 3/80548 첫 번째에 빨간 공이 나오는 사건을 A, 두 번째에 흰 공이 나오는 사건을 B라 하면 P(A)=5n+5, P(B|A)=nn+4 ⇨ ❶따라서 첫 번째에는 빨간 공, 두 번째에는 흰 공이 나올 확률은 P(AcupB)=P(A)P(B|A)=5n+5·nn+4=5n(n+5)(n+4)이므로 5n(n+5)(n+4)=5/21 (n+5)(n+4)=21n ⇨ ❷ n^2-12n+20=0, (n-2)(n-10)=0 .t3 n=2(.T3 n<5) ⇨ ❸ 20549 갑이 흰 바둑돌을 꺼내는 사건을 A, 을이 검은 바둑돌을 꺼내는 사건을 E라 하면 갑이 검은 바둑돌을 꺼내는 사건은 AC이므로 P(A)=3/7, P(AC)=1-3/7=4/7, P(E|A)=4/6=2/3, P(E|AC)=3/6=1/2따라서 구하는 확률은 P(E)=P(AcupE)+P(ACcupE)=P(A)P(E|A)+P(AC)P(E|AC)=3/7·2/3+4/7·1/2=4/7 ②0550 이번 주 토요일에 비가 오는 사건을 A, 공연 관람권이 매진되는 사건을 E라 하면 이번 주 토요일에 비가 오지 않는 사건은 AC이므로 채점 기준비율❶ P(A), P(B|A)를 구할 수 있다.40%❷ n에 대한 이차방정식으로 나타낼 수 있다.40%❸ n의 값을 구할 수 있다.20% .t3 P(A|BC)=P(AcupBC)P(BC)=1/24/5=5/8 ⇨ ❸ 5/80542 마라톤 대회에 참가한 학생을 택하는 사건을 A, 여학생을 택하는 사건을 B라 하면 P(A)=19/34, P(AcupB)=7/34따라서 구하는 확률은 P(B|A)=P(AcupB)P(A)=7/3419/34=7/19 ②0543 여학생을 택하는 사건을 A, 안경을 쓴 학생을 택하는 사건을 B라 하면 P(A)=0.45, P(AcupB)=0.15따라서 구하는 확률은 P(B|A)=P(AcupB)P(A)=0.150.45=1/3 ③0544 흰색 카드를 꺼내는 사건을 A, 홀수가 적힌 카드를 꺼내는 사건을 B라 하면 P(A)=5/8 ⇨ ❶ P(AcupB)=3/8 ⇨ ❷따라서 구하는 확률은 P(B|A)=P(AcupB)P(A)=3/85/8=3/5 ⇨ ❸ 3/50545 첫 번째에 뽑힌 사람이 남자인 사건을 A, 두 번째에 뽑힌 사람이 남자인 사건을 B라 하면 25-11=14에서 P(A)=14/25, P(B|A)=13/24따라서 구하는 확률은 P(AcupB)=P(A)P(B|A)=14/25·13/24=91300 ③채점 기준비율❶ P(BC)를 구할 수 있다.20%❷ P(AcupBC)를 구할 수 있다.50%❸ P(A|BC)를 구할 수 있다.30%채점 기준비율❶ P(A)를 구할 수 있다.20%❷ P(AcupB)를 구할 수 있다.30%❸ P(B|A)를 구할 수 있다.50%라이트쎈-확통(해설046-054)ok.indd 4814. 8. 28. 오후 1:12 06``조건부확률 • 49조건부확률06본책76~78쪽 P(Bcup E)=P(B)P(E|B)=1/3 · 1/2 =1/6 P(Ccup E)=P(C)P(E|C)=1/3 · 0=0 .t3 P(E)=P(Acup E)+P(Bcup E)+P(Ccup E)=1/2 따라서 구하는 확률은 P(B|E)=P(Bcup E)P(E)=1/61/2=1/3 1/3 0555 동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라 하면 10원짜리 동전, 100원짜리 동전을 차례대로 나타낼 때, 표본공간은 {HH, HT, TH, TT}이고 A={TH, TT}, B={HH, TH}, C={HH, TT} .t3 Acup B={TH}, Bcup C={HH}, Acup C={TT}ㄱ. P(A)=1/2 , P(B)=1/2 , P(Acup B)=1/4이므로P(Acup B)=P(A)P(B)따라서 A와 B는 서로 독립이다.ㄴ. P(B)=1/2 , P(C)=1/2 , P(Bcup C)=1/4이므로P(Bcup C)=P(B)P(C)따라서 B와 C는 서로 독립이다.ㄷ. P(A)=1/2 , P(C)=1/2 , P(Acup C)=1/4이므로P(Acup C)=P(A)P(C)따라서 A와 C는 서로 독립이다.이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 서로 독립인 사건이다. ⑤0556 8개의 문자 T, R, U, E, B, O, O, K 중에서 모음은 U, E, O, O의 4개이므로 P(A)=4/8=1/2 ⇨ ❶빨간색 카드는 T, R, O, K의 4장이므로 P(B)=4/8=1/2 ⇨ ❷빨간색 카드 중 모음이 적힌 카드는 O의 1장이므로 P(Acup B)=1/8 ⇨ ❸따라서 P(Acup B)not= P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서로 종속이다. ⇨ ❹ 종속0557 A={1, 3, 5}, B={2, 4, 6}, C={5, 6}이므로 P(A)=1/2 , P(B)=1/2 , P(C)=1/3 또 Acup B=, Bcup C={6}, Acup C={5}이므로 P(Acup B)=0, P(Bcup C)=1/6, P(Acup C)=1/6채점 기준비율❶ P(A)를 구할 수 있다.20%❷ P(B)를 구할 수 있다.20%❸ P(Acup B)를 구할 수 있다.20%❹ 두 사건 A, B가 종속임을 알 수 있다.40% P(A)=0/100=2/5 , P(AC)=3/5 , P(E|A)=1/2 , P(E|AC)=4/5따라서 구하는 확률은 P(E)=P(Acup E)+P(ACcup E)=P(A)P(E|A)+P(AC)P(E|AC)=2/5 · 1/2 +3/5 · 4/5=17/25 ①0551 A반 학생을 뽑는 사건을 A, B반 학생을 뽑는 사건을 B, 영어를 신청한 학생을 뽑는 사건을 E라 하면 P(A)=20/45=4/9 , P(B)=25/45=5/9 , P(E|A)=1/10, P(E|B)=2/10=1/5따라서 구하는 확률은 P(E)=P(Acup E)+P(Bcup E)=P(A)P(E|A)+P(B)P(E|B)=4/9 · 1/10+5/9 · 1/5=7/45 ①0552 A주머니를 택하는 사건을 A, B주머니를 택하는 사건을 B, 흰 구슬 1개, 검은 구슬 1개를 꺼내는 사건을 E라 하면 P(Acup E)=P(A)P(E|A)=1/2 · _2 C_1 .c1 _4 C_1 _6 C_2 =4/15 P(Bcup E)=P(B)P(E|B)=1/2 · _3 C_1 .c1 _3 C_1 _6 C_2 =3/10 .t3 P(E)=P(Acup E)+P(Bcup E)=4/15+3/10=17/30따라서 구하는 확률은 P(A|E)=P(Acup E)P(E)=4/1517/30=8/17 8/170553 A기계에서 생산된 제품을 택하는 사건을 A, B기계에서 생산된 제품을 택하는 사건을 B, 불량품인 사건을 E라 하면 P(Acup E)=P(A)P(E|A)=0.6\0.02=0.012 P(Bcup E)=P(B)P(E|B)=0.4\0.04=0.016 .t3 P(E)=P(Acup E)+P(Bcup E)=0.012+0.016=0.028따라서 구하는 확률은 P(A|E)=P(Acup E)P(E)=0.0120.028=3/7 ④0554 카드 A를 택하는 사건을 A, 카드 B를 택하는 사건을 B, 카드 C를 택하는 사건을 C, 보이는 면에 ♥가 그려져 있는 사건을 E라 하면 P(Acup E)=P(A)P(E|A)=1/3 · 1=1/3 라이트쎈-확통(해설046-054)ok.indd 4914. 8. 28. 오후 1:12 50 • 정답 및 풀이정답 및 풀이ㄱ. P(AcupB)=0이므로 두 사건 A, B는 서로 배반사건이다.ㄴ. P(BcupC)=P(B)P(C)이므로 두 사건 B, C는 서로 독립이다.ㄷ. P(AcupC)=P(A)P(C)이므로 두 사건 A, C는 서로 독립이다.이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ②0558 ㄱ. 두 사건 A, B가 서로 독립이므로P(A|B)=P(A), P(A|BC)=P(A).t3 P(A|B)=P(A|BC)ㄴ. P(ACcupB)=P(AC)P(B|AC)이때 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(B|AC)=P(B)따라서 P(ACcupB)=P(AC)P(B)이므로 두 사건 AC, B는 서로 독립이다.ㄷ. 두 사건 A, B가 서로 배반사건이면 P(AcupB)=0이때 P(A)not=0, P(B)not=0이면P(AcupB)not=P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서로 독립이 아니다.이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다. ①0559 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(AcupB)=P(A)P(B) .t3 P(ACcupBC)=P((AhapB)C)=1-P(AhapB)=1-{P(A)+P(B)-P(AcupB)}=1-{P(A)+P(B)-P(A)P(B)}=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)={1-P(A)}-P(B){1-P(A)}={1-P(A)}{1-P(B)}=P(AC)P(BC)따라서 두 사건 AC, BC도 서로 독립이다. .t3 ㈎ P(AhapB) ㈏ P(A)P(B) ④0560 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(AcupB)=P(A)P(B)=1/2P(B)이때 P(AhapB)=P(A)+P(B)-P(AcupB)이므로 5/6=1/2+P(B)-1/2P(B) 1/2P(B)=1/3 .t3 P(B)=2/3 2/30561 P(A)=2/3, P(B)=1/5이고 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(AcupB)=P(A)P(B)=2/3·1/5=2/15배반사건과 독립사건의 관계P(A)>0, P(B)>0인 두 사건 A, B에 대하여 ① A, B가 서로 배반사건이면 A, B는 서로 종속이다.② A, B가 서로 독립이면 A, B는 서로 배반사건이 아니다.따라서 구하는 확률은 P(AhapB)=P(A)+P(B)-P(AcupB)=2/3+1/5-2/15=11/15 11/150562 두 사건 A, C가 서로 배반사건이므로P(AhapC)=P(A)+P(C)에서 3/4=P(A)+1/4 .t3 P(A)=1/2두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(AcupB)=P(A)P(B)에서 2/5=1/2P(B) .t3 P(B)=4/5 4/50563 A상자에서 노란색 깃발을 꺼내는 사건을 A, B상자에서 노란색 깃발을 꺼내는 사건을 B라 하면, 두 사건 A, B는 서로 독립이므로 구하는 확률은 P(AcupB)=P(A)P(B)=2/5·3/4=3/10 3/100564 윤호와 하빈이가 시험에 합격하는 사건을 각각 A, B라 하면 두 사건 A, B는 서로 독립이므로 윤호만 합격할 확률은 P(AcupBC)=P(A)P(BC)=1/5·(1-p)=1-p5따라서 1-p5=3/20이므로 1-p=3/4 .t3 p=1/4 ③0565 내일과 모레에 비가 오는 사건을 각각 A, B라 하면 두 사건 A, B는 서로 독립이므로 이틀 중 적어도 하루는 비가 올 확률은 P(AhapB) =1-P((AhapB)C) =1-P(ACcupBC)=1-P(AC)P(BC)=1-(1-0.5)(1-0.4)=1-0.5\0.6=0.7 ⑤0566 영화 DVD 중에서 임의로 한 개를 택하였을 때, 국내 영화, 코미디 영화인 사건을 각각 A, B라 하면 P(A)=130/400=13/40, P(B)=160/400=2/5 P(AcupB)=x/400이때 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 x/400=13/40·2/5 .t3 x=52 ④두 사건 A, B가 독립일 때, 서로 독립인 사건두 사건 A, B가 서로 독립이면 ① A와 BC가 서로 독립 ➲ P(AcupBC)=P(A)P(BC)② AC와 B가 서로 독립 ➲ P(ACcupB)=P(AC)P(B)③ AC와 BC가 서로 독립 ➲ P(ACcupBC)=P(AC)P(BC)라이트쎈-확통(해설046-054)ok.indd 5014. 8. 28. 오후 1:12 06``조건부확률 • 51조건부확률06본책78~81쪽0567 두 수의 합이 홀수이려면 두 수 중에서 한 개는 홀수이고 다른 한 개는 짝수이어야 한다. 두 상자 A, B에서 홀수가 적힌 카드를 꺼내는 사건을 각각 A, B라 하면 두 사건 A, B는 서로 독립이므로 A상자에서 홀수, B상자에서 짝수가 적힌 카드를 꺼낼 확률은P(Acup BC)=P(A)P(BC)=3/4· (1-1/2 )=3/8 ⇨ ❶ A상자에서 짝수, B상자에서 홀수가 적힌 카드를 꺼낼 확률은P(ACcup B)=P(AC)P(B)=(1-3/4 )· 1/2 =1/8 ⇨ ❷, 에서 구하는 확률은 3/8+1/8=1/2 ⇨ ❸ 1/2 0568 자유투를 한 번 이상 성공하는 사건을 A라 하면 자유투를 한 번도 성공하지 못하는 사건은 AC이므로 P(AC)=_4 C_0 (3/4 )^^0 (1/4 )^^4 =1/ .t3 P(A)=1-P(AC)=1-1/=255/256 ⑤0569 정사면체를 한 번 던질 때 바닥에 놓인 면에 적힌 숫자가 1일 확률은 1/4 이므로 정사면체를 3번 던져서 1이 2번 나올 확률은 _3 C_2 (1/4 )^^2 (3/4 )^^1 =9/64 9/640570 한 번의 경기에서 A팀이 이길 확률을 p라 하면 B팀이 이길 확률은 1-p이다.3번의 경기를 할 때, A팀이 모두 이길 확률이 1/64이므로 _3 C_3 p^3 (1-p)^0 =1/64 p^3 =(1/4 )^^3 .t3 p=1/4 따라서 한 번의 경기에서 A팀이 이길 확률은 1/4 이고, B팀이 이길 확률은 3/4 이므로 구하는 확률은 _4 C_3 (3/4 )^^3 (1/4 )^^1 =27/64 ①0571 5의 약수의 눈이 x번, 그 외의 눈이 y번 나온다고 하면 x+y=4, x-y=-2두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=3채점 기준비율❶ P(Acup BC)를 구할 수 있다.40%❷ P(ACcup B)를 구할 수 있다.40%❸ 두 수의 합이 홀수일 확률을 구할 수 있다.20%따라서 구하는 확률은 5의 약수의 눈이 1번, 그 이외의 눈이 3번 나올 확률과 같고, 한 개의 주사위를 던져서 5의 약수의 눈이 나올 확률은 1/3 이므로 _4 C_1 (1/3 )^^1 (2/3 )^^3 =32/81 32/810572 주사위의 홀수의 눈이 나오고, 동전을 2번 던져서 2번 모두 앞면이 나올 확률은1/2 .c1 _2 C_2 (1/2 )^^2 (1/2 )^^0 =1/8 주사위의 짝수의 눈이 나오고, 동전을 3번 던져서 앞면이 2번 나올 확률은1/2 .c1 _3 C_2 (1/2 )^^2 (1/2 )^^1 =3/16, 에서 구하는 확률은 1/8+3/16=5/16 ④0573 연재가 한 문제를 맞힐 확률은 3/4 5문제 중 4문제를 맞힐 확률은_5 C_4 (3/4) (1/4)^^1 =4051024 5문제를 모두 맞힐 확률은_5 C_5 (3/4) (1/4)^^0 =2431024, 에서 구하는 확률은 4051024+2431024=81128 ④0574 5개의 공 중에서 2개의 공을 동시에 꺼낼 때, 2개가 모두 흰 공일 확률은 _3 C_2 _5 C_2 =3/10 3회의 시행 중 꺼낸 2개의 공이 모두 흰 공인 경우가 0회일 확률은_3 C_0 (3/10)^^0 (7/10)^^3 =3431000 3회의 시행 중 꺼낸 2개의 공이 모두 흰 공인 경우가 1회일 확률은_3 C_1 (3/10)^^1 (7/10)^^2 =4411000, 에서 구하는 확률은 3431000+4411000=98125 ⑤0575 5번째 경기에서 우승팀이 결정되려면 4번째 경기까지 3번 이긴 팀이 5번째 경기에서 이겨야 한다. 5번째 경기에서 A팀이 우승할 확률은_4 C_3 (3/4)^^3 (1/4)^^1 · 3/4=81256 ⇨ ❶ 5번째 경기에서 B팀이 우승할 확률은_4 C_3 (1/4)^^3 (3/4)^^1 · 1/4=3/ ⇨ ❷라이트쎈-확통(해설046-054)ok.indd 5114. 8. 28. 오후 1:12 52 • 정답 및 풀이정답 및 풀이, 에서 구하는 확률은 81256+3/=21/64 ⇨ ❸ 21/640576 P(A|B)=P(AcupB)P(B)임을 이용한다.P(BC)=1-P(B)=1-1/3=2/3이므로 P(A|BC)=P(AcupBC)P(BC)=1/52/3=3/10 3/100577 P(A|B)=P(AcupB)P(B)임을 이용한다.조사에 참여한 사람 중에서 임의로 뽑은 한 명이 50대인 사건을 A, 관광을 목적으로 온 사건을 B라 하면 P(A)=0.18, P(AcupB)=0.12따라서 구하는 확률은 P(B|A)=P(AcupB)P(A)=0.120.18=2/3 ④0578 P(E)=P(AcupE)+P(ACcupE)임을 이용한다.L`야구팀이 치르는 경기가 홈 경기인 사건을 A, L`야구팀이승리하는 사건을 E라 하면 P(AcupE) =P(A)P(E|A) =0.4\0.6=0.24 P(ACcupE) =P(AC)P(E|AC) =(1-0.4)\0.5=0.3 ⇨ ❶ .t3 P(E)=P(AcupE)+P(ACcupE)=0.24+0.3=0.54 ⇨ ❷따라서 구하는 확률은 P(A|E)=P(AcupE)P(E)=0.240.54=4/9 ⇨ ❸ 4/90579 두 사건 A, B가 서로 독립이면 두 사건 AC, BC도 서로 독립임을 이용한다.두 선수 A, B가 페널티킥을 성공하는 사건을 각각 A, B라 하면 P(A)=0.8, P(B)=0.7채점 기준비율❶ 5번째 경기에서 A팀이 우승할 확률을 구할 수 있다.40%❷ 5번째 경기에서 B팀이 우승할 확률을 구할 수 있다.40%❸ 5번째 경기에서 우승팀이 결정될 확률을 구할 수 있다.20%채점 기준비율❶ P(AcupE), P(ACcupE)를 구할 수 있다.40%❷ P(E)를 구할 수 있다.30%❸ P(A|E)를 구할 수 있다.30%이때 두 사건 A, B는 서로 독립이므로 구하는 확률은 P(AcupBC)+P(ACcupB)=P(A)P(BC)+P(AC)P(B)=0.8\(1-0.7)+(1-0.8)\0.7=0.24+0.14=0.38 0.380580 1회의 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 p일 때, n회의 독립시행에서 사건 A가 r회 일어날 확률은_nC_rp^r(1-p)^n^-^r(r=0, 1, 2, …, n)임을 이용한다.1회의 시행에서 빨간 공이 나올 확률이 4/7이고 각 시행은 서로 독립이므로 구하는 확률은 _7C_3(4/7)^^3(3/7)^^4 ④0581 확률의 덧셈정리와 조건부확률을 이용한다.P(A|B)=P(AcupB)P(B)=1/2에서 P(AcupB)=1/2P(B) ~……`㉠ P(AC|BC)=P(ACcupBC)P(BC)=1-P(AhapB)1-P(B)=2/3에서 1-P(AhapB)=2/3(1-P(B)) 1-P(AhapB)=2/3-2/3P(B) .t3 P(AhapB)=2/3P(B)+1/3 ~……`㉡이때 P(AhapB)=P(A)+P(B)-P(AcupB)이므로 ㉠, ㉡에서 2/3P(B)+1/3=5/12+P(B)-1/2P(B) .t3 P(B)=1/2 ⑤0582 확률의 곱셈정리와 조건부확률을 이용한다.첫 번째에 붉은 금붕어가 나오는 사건 A, 두 번째에 검은 금붕어가 나오는 사건을 B라 하면 P(A)=6/13, P(B|A)=7/12 따라서 구하는 확률은 P(AcupB)=P(A)P(B|A)=6/13.c17/12=7/26 7/260583 두 사건 A, E에 대하여P(E)=P(A)P(E|A)+P(AC)P(E|AC)임을 이용한다.은진이가 3점짜리 문제를 고르는 사건을 A, 정답을 맞히는 사건을 E라 하면 P(A)=3/5, P(AC)=1-3/5=2/5, P(E|A)=4/5, P(E|AC)=3/10따라서 구하는 확률은 P(E)=P(EcupA)+P(EcupAC)=P(A)P(E|A)+P(AC)P(E|AC)=3/5·4/5+2/5·3/10=3/5 ③라이트쎈-확통(해설046-054)ok.indd 5214. 8. 28. 오후 1:12 06``조건부확률 • 53조건부확률06본책81~84쪽0584 P(A|E)=P(Acup E)P(E)=P(Acup E)P(Acup E)+P(ACcup E) 임을 이용한다.컴퓨터`A를 구입한 고객을 택하는 사건을 A, 1년 이내에 고장 수리를 요청하는 사건을 E라 하면 P(Acup E)=P(A)P(E|A)=0/100· 10/100=/100 P(ACcup E)=P(AC)P(E|AC)=0/100· /100=3/00 ⇨ ❶ .t3 P(E)=P(Acup E)+P(ACcup E)=/100+3/00=1/00 ⇨ ❷따라서 구하는 확률은 P(A|E)=P(Acup E)P(E)=/1001/00=14/17 ⇨ ❸ 14/170585 두 사건 A, B가 서로 독립일 필요충분조건은P(Acup B)=P(A)P(B)이다.A={2, 4, 6, 8, 10}, B={3, 6, 9}, C={5, 10}이므로 P(A)=1/2 , P(B)=3/10, P(C)=1/5 이때 Acup B={6}, Bcup C=, Acup C={10}이므로 P(Acup B)=1/10, P(Bcup C)=0, P(Acup C)=1/10ㄱ. P(Acup B)not= P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서로 종속이다.ㄴ. P(Bcup C)not= P(B)P(C)이므로 두 사건 B, C는 서로 종속이다.ㄷ. P(Acup C)=P(A)P(C)이므로 두 사건 A, C는 서로 독립이다.이상에서 서로 독립인 사건은 ㄷ뿐이다. ㄷ0586 두 사건 A, B가 서로 독립이면 P(Acup B)=P(A)P(B)이고, 두 사건 A, B가 서로 배반사건이면 P(Acup B)=0임을 이용한다.ㄱ. 두 사건 A, B가 서로 배반사건이므로 P(Acup B)=0에서P(A|B)=P(Acup B)P(B)=0, P(B|A)=P(Acup B)P(A)=0.t3 P(A|B)=P(B|A)ㄴ. 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(Acup B)=P(A)P(B)채점 기준비율❶ P(Acup E), P(ACcup E)를 구할 수 있다.40%❷ P(E)를 구할 수 있다.30%❸ P(A|E)를 구할 수 있다.30%이때 P(A)not= 0, P(B)not= 0이므로P(Acup B)not= 0따라서 두 사건 A, B는 서로 배반사건이 아니다.ㄷ. 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(Acup B)=P(A)P(B).t3 P(Acup BC)=P(A)-P(Acup B)=P(A)-P(A)P(B)=P(A){1-P(B)}=P(A)P(BC)따라서 두 사건 A, BC는 서로 독립이다.이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③0587 전기가 흐르기 위해서는 스위치 a가 닫혀 있어야 한다. 스위치 a, b, c가 닫혀 있는 사건을 각각 A, B, C라 하면 전기가 흐르는 경우는 Acup (Bhap C)이다. 이때 세 사건 A, B, C는 서로 독립이므로 P(A)=1/3 , P(Bhap C)=P(B)+P(C)-P(Bcup C)=P(B)+P(C)-P(B)P(C)=1/3 +1/3 -1/3 · 1/3 =5/9 따라서 구하는 확률은 P(Acup (Bhap C))=P(A)P(Bhap C)=1/3 · 5/9 =5/27 ①0588 나온 눈의 수의 최댓값이 6이 되려면 적어도 한 번은 6의 눈이 나와야 함을 이용한다.주사위를 3번 던져서 나온 눈의 수의 최댓값이 6이 되려면 3번 중 적어도 한 번은 6의 눈이 나와야 한다. 6의 눈이 한 번 이상 나오는 사건을 A라 하면 6의 눈이 한 번도 나오지 않는 사건은 AC이므로 P(AC)=_3 C_0 (1/6 )^^0 (5/6 )^^3 =125216 ⇨ ❶ .t3 P(A)=1-P(AC)=1-125216=91216 ⇨ ❷ 912160589 4번째 경기에서 A팀이 우승하려면 3번째 경기까지는 A팀이 2번 이겨야 한다.4번째 경기에서 A팀이 우승하려면 3번째 경기까지는 A팀이 2번 이기고, 4번째 경기에서 A팀이 이기면 된다.따라서 구하는 확률은 _3 C_2 (2/5 )^^2 (3/5 )^^1 .c1 2/5 =/ ①채점 기준비율❶ P(AC)를 구할 수 있다.50%❷ P(A)를 구할 수 있다.50%라이트쎈-확통(해설046-054)ok.indd 5314. 8. 28. 오후 1:12 54 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 {2P(A)-1}{4P(A)-1}=0 .t3 P(A)=1/2 또는 P(A)=1/4그런데 P(A) 2)=P(X=2)+P(X=3)=1/8 +1/2 =5/8 5/8 0611 E(X)=10· 1/5 +20· 1/2 +30· ^3 /10 =21V(X)=(10-21)^2 .c1 1/5 +(20-21)^2 .c1 1/2 +(30-21)^2 · ^3 /10 =49h(X)=149q=7 풀이 참조E(X^2 )=10^2 .c1 1/5 +20^2 .c1 1/2 +30^2 .c1 ^3 /10 =490이므로 V(X) =E(X^2 )-{E(X)}^2 =490- 21^2 =49확률분포07Ⅲ. 통계0596 이산확률변수는 확률변수가 가질 수 있는 값을 셀 수 있어야 하므로 보기에서 이산확률변수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다. ㄱ, ㄴ, ㄹ0597 0, 1, 2, 30598 0, 1, 2, 3, 4, 50599 0, 1, 20600 1/3 0601 1/8 0602 ⑴ 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2⑵ 한 개의 주사위를 한 번 던질 때 3의 배수의 눈이 나올 확률이 1/3 , 3의 배수가 아닌 수의 눈이 나올 확률이 2/3 이므로 P(X=0)=2/3 · 2/3 =4/9 ,P(X=1)=1/3 · 2/3 +2/3 · 1/3 =4/9 ,P(X=2)=1/3 · 1/3 =1/9 ⑶ X012합계P(X=x) 4/9 4/9 1/9 1 풀이 참조0603 ⑴ 5개의 공 중에서 2개의 공을 꺼내는 방법의 수는 _5 C_2 꺼낸 2개의 공 중에 흰 공이 x개 포함되는 경우의 수는 _2 C_x .c1 _3 C_2 _- _x 따라서 X의 확률질량함수는 P(X=x)=_2 Cx.c1 _3 C2-x_5 C_2 (x=0, 1, 2)⑵ P(X=0)=_2 C_0 .c1 _3 C_2 _5 C_2 =^3 /10 ,P(X=1)=_2 C_1 .c1 _3 C_1 _5 C_2 =3/5 ,P(X=2)=_2 C_2 .c1 _3 C_0 _5 C_2 =^1 /10 따라서 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. 풀이 참조X012합계P(X=x)^3 /10 3/5 ^1 /10 1라이트쎈-확통(해설055-066)ok.indd 5514. 8. 28. 오후 1:13 56 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0616 한 번의 경기에서 이길 확률이 0.75이므로 바둑 기사가 이기는 횟수 X는 이항분포 B(30, 0.75)를 따른다. B(30, 0.75)0617 제비를 2개 뽑을 때 처음 1개를 뽑는 시행과 다음에 1개를 뽑는 시행은 서로 독립이 아니므로 이항분포를 따르지 않는다. 이항분포를 따르지 않는다.0618 한 문제를 맞힐 확률이 1/5이므로 맞히는 문제의 개수 X는 이항분포 B(25, 1/5)을 따른다. B(25, 1/5)0619 ⑴ P(X=x)=_8C_x(1/2)^^x(1/2)^^8^^-^^x=_8C_x(1/2)^^8`(x=0, 1, 2, …, 8)⑵ P(X=3)=_8C_3(1/2)^^8=^7/32 풀이 참조0620 E(X)=100·1/5=20V(X)=100·1/5·4/5=16h(X)=116q=4 풀이 참조0621 E(X)=180·2/3=120V(X)=180·2/3·1/3=40h(X)=140q=2110q 풀이 참조0622 E(X)=960·3/8=360V(X)=960·3/8·5/8=225h(X)=1225a=15 풀이 참조0623 뽑힌 카드에 적힌 두 수를 a, b(a4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=^3/16+1/8+^1/16=3/8 ① X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.X0123456합계P(X=x)1/161/83/161/43/161/81/1610634 P(X=3)=_5C_3.c1_7C_1_1_2C_4=^14/99, P(X=4)=_5C_4.c1_7C_0_1_2C_4=^1/99이므로 P(X_>3)=P(X=3)+P(X=4)=^14/99+^1/99=^5/33 ^5/33 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.X01234합계P(X=x)7/9935/9914/3314/991/9910635 확률의 총합은 1이므로 2/5+^3/10+1/5+a=1 .t3 a=^1/10 .t3 E(X)=0·2/5+1·^3/10+2·1/5+3·^1/10=1E(X^2)=0^2.c12/5+1^2.c1^3/10+2^2.c11/5+3^2.c1^1/10=2이므로 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2=2-1^2=1 .t3 h(X)=11=1 10636 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X1357합계P(X=x)^1/16^3/16^5/16^7/161따라서 확률변수 X에 대하여 E(X)=1·^1/16+3·^3/16+5·^5/16+7·^7/16=^21/4 E(X^2)=1^2.c1^1/16+3^2·^3/16+5^2.c1^5/16+7^2.c1^7/16=31 .t3 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2=31-(^21/4)^^2=^55/16 ②0637 확률의 총합은 1이므로 a+1/2+b=1 .t3 a+b=1/2 ……`㉠E(X)=9/2이므로 2·a+4·1/2+6·b=9/2 .t3 a+3b=5/4 .c3.c3`㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1/8, b=3/8 .t3 b-a=1/4 1/4 0638 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이고, 그 확률은 각각 P(X=0)=_3C_0.c1_6C_2_9C_2=^5/12, P(X=1)=_3C_1.c1_6C_1_9C_2=1/2, P(X=2)=_3C_2.c1_6C_0_9C_2=^1/12이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X012합계P(X=x)^5/121/2^1/121따라서 확률변수 X에 대하여 E(X)=0·^5/12+1·1/2+2·^1/12=2/3 E(X^2)=0^2.c1^5/12+1^2.c11/2+2^2.c1^1/12=5/6 .t3 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2=5/6-(2/3)^^2=^7/18 ③0639 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이고, 그 확률은 각각 라이트쎈-확통(해설055-066)ok.indd 5814. 8. 28. 오후 1:13 07``확률분포 • 59확률분포07본책91~93쪽 P(X=0)=_2 C_0 .c1 _8 C_3 _1 _0 C_3 =^7 /15 , P(X=1)=_2 C_1 .c1 _8 C_2 _1 _0 C_3 =^7 /15 , P(X=2)=_2 C_2 .c1 _8 C_1 _1 _0 C_3 =^1 /15 이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X012합계P(X=x) ^7 /15 ^7 /15 ^1 /15 1따라서 확률변수 X에 대하여 E(X)=0· ^7 /15 +1· ^7 /15 +2· ^1 /15 =3/5 ②0640 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이다. 또 한 개의 주사위를 던질 때 6의 약수의 눈이 나올 확률이 2/3 이므로 확률변수 X가 각 값을 가질 확률은 P(X=0)=1/3 · 1/3 · 1/3 =^1 /27 , P(X=1)=2/3 · 1/3 · 1/3 +1/3 · 2/3 · 1/3 +1/3 · 1/3 · 2/3 =2/9 , P(X=2)=2/3 · 2/3 · 1/3 +2/3 · 1/3 · 2/3 +1/3 · 2/3 · 2/3 =4/9 , P(X=3)=2/3 · 2/3 · 2/3 =^8 /27 따라서 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X0123합계P(X=x)^1 /27 2/9 4/9 ^8 /27 1확률변수 X에 대하여 E(X)=0· ^1 /27 +1· 2/9 +2· 4/9 +3· ^8 /27 =2 20641 뽑힌 카드에 적힌 두 수를 a, b(a0)a=3을 ㉠에 대입하면 b=-5 .t3 a-b=8 80646 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2=125-10^2=25이므로 V(Y)=V(2X+1)=2^2`V(X)=4·25=100 .t3 h(Y)=2V(Y)x=1100a=10 ②0647 E(X)=m, h(X)=h이므로 E(T)=E(20(X-mh)+100)=20hE(X)-20mh+100=20hm-20mh+100=100 h(X)=h(20(X-mh)+100)=|20h|h(X)=20h·h=20따라서 표준 점수 T의 평균은 100점, 표준편차는 20점이다. 평균: 100점, 표준편차: 20점0648 확률의 총합은 1이므로 a+2/5+a=1, 2a=3/5 .t3 a=^3/10따라서 확률변수 X에 대하여 E(X)=0·^3/10+1·2/5+2·^3/10=1 E(X^2)=0^2·^3/10+1^2.c12/5+2^2·^3/10=8/5 .t3 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2=8/5-1=3/5h(X)=2V(X)x=43/5=115q5이므로 h(5X+3)=5h(X)=5·115q5=115q ④0649 확률변수 X에 대하여 E(X)=-2·1/4+0·3/8+2·1/4+4·1/8=1/2 ⇨ ❶ E(X^2)=(-2)^2.c11/4+0^2.c13/8+2^2.c11/4+4^2.c11/8=4 .t3 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2=4-(1/2)^^2=^15/4 ⇨ ❷E(Y)=7에서 E(aX+b)=7, aE(X)+b=7 .t3 a/2+b=7 ……`㉠또 V(Y)=60에서 V(aX+b)=60, a^2`V(X)=60 a^2·^15/4=60, a^2=16 .t3 a=-4`(.T3 a<0)a=-4를 ㉠에 대입하면 b=9 ⇨ ❸ .t3 a+b=5 ⇨ ❹ 50650 확률의 총합은 1이므로 2/5+a+2a+3a=1, 6a=3/5 .t3 a=^1/10따라서 확률변수 X에 대하여 E(X)=1·2/5+2·^1/10+3·^2/10+4·^3/10=^12/5 E(X^2)=1^2.c12/5+2^2.c1^1/10+3^2.c1^2/10+4^2.c1^3/10=37/5 .t3 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2=^37/5-(^12/5)^^2=^41/25 .t3 V(1/aX+2)=1a^2V(X)=10^2`V(X)=100·^41/25=164 1640651 확률의 총합은 1이므로 P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1 k+4k+9k+16k+25k=1 55k=1 .t3 k=^1/55따라서 확률변수 X에 대하여 E(X)=1·1^255+2·2^255+3·3^255+4·4^255+5·5^255=^45/11이므로 E(11X-15)=11E(X)-15=11·^45/11-15=30 30채점 기준비율❶ E(X)를 구할 수 있다.20%❷ V(X)를 구할 수 있다. 20%❸ a, b의 값을 구할 수 있다.40%❹ a+b의 값을 구할 수 있다. 20%라이트쎈-확통(해설055-066)ok.indd 6014. 8. 28. 오후 1:13 07``확률분포 • 61확률분포07본책93~95쪽0652 확률변수 X의 확률질량함수는 P(X=x)=1/8 (x=1, 2, 3, … , 8)이므로 확률변수 X에 대하여 E(X)=1· 1/8 +2· 1/8 +3· 1/8 +4· 1/8 +5· 1/8 +6· 1/8 +7· 1/8 +8· 1/8 =9/2 , E(X^2 )=1^2 · 1/8 +2^2 .c1 1/8 +3^2 .c1 1/8 +4^2 .c1 1/8 +5^2 .c1 1/8 + 6^2 .c1 1/8 +7^2 .c1 1/8 +8^2 .c1 1/8 =^51 /2 이므로 V(X)=E(X^2 )-{E(X)}^2 =51/2-(9/2 )^^2 =21/4 .t3 E(-2X+3)=-2E(X)+3=-2· 9/2 +3=-6V(-2X+3)=(-2)^2 V(X)=4· 21/4=21 ⑤0653 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이고, 그 확률은 각각 P(X=0)=_3 C_0 .c1 _5 C_2 _8 C_2 =^5 /14 , P(X=1)=_3 C_1 .c1 _5 C_1 _8 C_2 =^15 /28 , P(X=2)=_3 C_2 .c1 _5 C_0 _8 C_2 =^3 /28 이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X012합계P(X=x)^5 /14 ^15 /28 ^3 /28 1따라서 확률변수 X에 대하여 E(X)=0· ^5 /14 +1· ^15 /28 +2· ^3 /28 =3/4 .t3 E(4X-1)=4E(X)-1=4· 3/4 -1=2 ②0654 홀수는 1, 3, 5, 7, 9의 5개이므로 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이고, 그 확률은 각각 P(X=0)=_5 C_0 .c1 _4 C_3 _9 C_3 =^1 /21 , P(X=1)=_5 C_1 .c1 _4 C_2 _9 C_3 =^5 /14 , P(X=2)=_5 C_2 .c1 _4 C_1 _9 C_3 =^10 /21 , P(X=3)=_5 C_3 .c1 _4 C_0 _9 C_3 =^5 /42 이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X0123합계P(X=x)^1 /21 ^5 /14 ^10 /21 ^5 /42 1⇨ ❶따라서 확률변수 X에 대하여 E(X)=0· ^1 /21 +1· ^5 /14 +2· ^10 /21 +3· ^5 /42 =5/3 E(X^2 )=0^2 .c1 ^1 /21 +1^2 .c1 ^5 /14 +2^2 .c1 ^10 /21 +3^2 · ^5 /42 =^10 /3 .t3 V(X)=E(X^2 )-{E(X)}^2 =^10 /3 -(5/3 )^^2 =5/9 ⇨ ❷h(X)=2V(X)x=45/9 =153이므로 ⇨ ❸ h(6X+2)=6h(X)=6· 153=215 ⇨ ❹ 215 0655 확률변수 X의 확률질량함수는 P(X=x)=_9 C_x (1/2 )^^x (1/2 )^^9 ^^- ^^x =_9 C_x (1/2 )^^9 (x=0, 1, 2, … , 9)이므로 구하는 확률은 P(X_< 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=_9 C_0 (1/2 )^^9 +_9 C_1 (1/2 )^^9 +_9 C_2 (1/2 )^^9 =/ ①0656 확률변수 X의 확률질량함수는 P(X=x)=_4 C_x (2/3 )^^x (1/3 )^^4 ^^- ^^x (x=0, 1, 2, 3, 4)이므로 P(X=1)=kP(X=2)에서 _4 C_1 (2/3 )^^1 (1/3 )^^3 =k.c1 _4 C_2 (2/3 )^^2 (1/3 )^^2 ^8 /81 =^8 /27 k .t3 k=1/3 1/3 0657 확률변수 X의 확률질량함수는 P(X=x)=_5 C_x p^x (1-p)^5 ^- ^x (x=0, 1, 2, … , 5)이므로 P(X=5)=11024에서 _5 C_5 p^5 (1-p)^0 =11024, p^5 =(1/4 )^^5 .t3 p=1/4 ②0658 확률변수 X가 이항분포 B(5, 3/5 )을 따르므로 확률변수 X의 확률질량함수는 P(X=x)=_5 C_x (3/5 )^^x (2/5 )^^5 ^^- ^^x (x=0, 1, 2, … , 5)따라서 구하는 확률은 P(X_> 1)=1-P(X=0)=1-_5 C_0 (3/5 )^^0 (2/5 )^^5 =1-(2/5 )^^5 ④채점 기준비율❶ X의 확률분포를 구할 수 있다.40%❷ V(X)를 구할 수 있다. 20%❸ h(X)를 구할 수 있다. 20%❹ h(6X+2)를 구할 수 있다. 20%라이트쎈-확통(해설055-066)ok.indd 6114. 8. 28. 오후 1:13 62 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0665 h(X)=215p(1x-p)x=5-15(pb-1/2)b^^2+^15/4b이므로 h(X)는 p=1/2일 때, 최댓값 115q2를 갖는다. 115q20666 한 개의 주사위를 한 번 던질 때, 4 이하의 눈이 나올 확률은 2/3이므로 확률변수 X는 이항분포 B(90, 2/3)를 따른다. .t3 E(X)=90·2/3=60, V(X)=90·2/3·1/3=20V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2에서 E(X^2)=V(X)+{E(X)}^2=20+60^2=3620 36200667 한 번의 시행에서 다크초콜릿 1개와 화이트초콜릿 2개가 나올 확률은 _6C_1.c1_3C_2_9C_3=^3/14 ⇨ ❶따라서 확률변수 X는 이항분포 B(70, ^3/14)을 따르므로 ⇨ ❷ E(X)=70·^3/14=15 ⇨ ❸ 150668 윷가락 한 개를 던질 때 등이 나올 확률이 1/3, 배가 나올 확률이 2/3이므로 윷가락 네 개를 동시에 던져 개가 나올 확률은 _4C_2(1/3)^^2(2/3)^^2=^8/27따라서 확률변수 X는 이항분포 B(243, ^8/27)을 따르므로 V(X)=243·^8/27·^19/27=1523 ③0669 한 개의 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률은 1/2이다 . 따라서 확률변수 X는 이항분포 B(25, 1/2)을 따르므로 V(X)=25·1/2·1/2=^25/4 .t3 V(-4X+10)=(-4)^2`V(X)=16·^25/4=100 ⑤채점 기준비율❶ X가 따르는 이항분포를 기호로 나타낼 수 있다. 60%❷ E(X)를 구할 수 있다. 40%채점 기준비율❶ 한 번의 시행에서 사건이 일어날 확률을 구할 수 있다.30%❷ X가 따르는 이항분포를 구할 수 있다.30%❸ E(X)를 구할 수 있다.40%0659 ⑴ 1개의 문항에 임의로 답할 때 맞힐 확률이 1/2이므로 확률변수 X는 이항분포 B(10, 1/2)을 따른다.따라서 X의 확률질량함수는P(X=x)=_1_0C_x(1/2)^^x(1/2)^^1^^0^^-^^x=_1_0C_x(1/2)^^1^^0(x=0, 1, 2, …, 10)⑵ P(X=8)=_1_0C_8(1/2)^^1^^0=451024 풀이 참조0660 싹이 튼 씨앗의 개수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포B(4, 4/5)를 따르므로 확률변수 X의 확률질량함수는 P(X=x)=_4C_x(4/5)^^x(1/5)^^4^^-^^x (x=0, 1, 2, 3, 4)따라서 구하는 확률은 P(X_>3)=P(X=3)+P(X=4)=_4C_3(4/5)^^3(1/5)^^1+_4C_4(4/5)^^4(1/5)^^0=512625 ⑤0661 E(X)=5에서 20p=5 .t3 p=1/4따라서 확률변수 X는 이항분포 B(20, 1/4)을 따르므로 V(X)=20·1/4·3/4=^15/4 ③0662 확률변수 X가 이항분포 B(50, p)를 따르므로 V(X)=50p(1-p)V(X)=12에서 50p(1-p)=12, 25p^2-25p+6=0 (5p-2)(5p-3)=0 .t3 p=2/5(.T3 p<1/2) 2/50663 E(X)=30, V(X)=5^2=25이므로 E(X)=np=30 ……`㉠ V(X)=np(1-p)=25 .c3…`㉡㉠을 ㉡에 대입하면 30(1-p)=25 1-p=5/6 .t3 p=1/6p=1/6을 ㉠에 대입하면 1/6n=30 .t3 n=180 ④0664 ⑴ P(X=x)=_4_0C_x7^x8^4^0=_4_0C_x(7/8)^^x(1/8)^^4^^0^^-^^x`(x=0, 1, 2, …, 40)따라서 확률변수 X는 이항분포 B(40, 7/8)을 따른다. ⇨ ❶⑵ E(X)=40·7/8=35⇨ ❷ 풀이 참조 라이트쎈-확통(해설055-066)ok.indd 6214. 8. 28. 오후 1:13 07``확률분포 • 63확률분포07X2006001000합계P(X=x)1/4 1/2 1/4 1 .t3 E(X)=200· 1/4 +600· 1/2 +1000· 1/4 =600따라서 구하는 기댓값은 600원이다. ②0675 상수 a, b의 값을 구한 후 V(aX+b)=a^2 `V(X)임을 이용한다.확률의 총합은 1이므로 a+b+1/4 =1 .t3 a+b=3/4 .c3 .c3 `㉠E(X)=3/4 에서 0· a+1· b+2· 1/4 =3/4 .t3 b=1/4 b=1/4 을 ㉠에 대입하면 a=1/2 ⇨ ❶따라서 V(X)=E(X^2 )-{E(X)}^2 =0^2 .c1 1/2 +1^2 .c1 1/4 +2^2 .c1 1/4 -(3/4 )^^2 =11/16⇨ ❷이므로 V(aX+b)=a^2 `V(X)=(1/2 )^^2 .c1 11/16=11/64⇨ ❸ 11/640676 먼저 확률변수 X의 확률질량함수를 구한다.확률변수 X의 확률질량함수는 P(X=x)=_5 C_x (1/2 )^^x (1/2 )^^5 ^^- ^^x =_5 C_x (1/2 )^^5 (x=0, 1, 2, … , 5)따라서 구하는 확률은 P(X_> 4)=P(X=4)+P(X=5)=_5 C_4 (1/2 )^^5 +_5 C_5 (1/2 )^^5 =^3 /16 ③0677 확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따를 때, V(X)=np(1-p)임을 이용한다.확률변수 X가 이항분포 B(800, 1/4 )을 따르므로 V(X)=800· 1/4 · 3/4 =150 .t3 V(-2X-5)=(-2)^2 `V(X)=4· 150=600 6000678 확률의 총합이 1임을 이용하여 k의 값을 구한다.확률의 총합은 1이므로 P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=1채점 기준비율❶ a, b의 값을 구할 수 있다.30%❷ V(X)를 구할 수 있다.40%❸ V(aX+b)를 구할 수 있다.30%0670 사격 선수가 한 발을 쏘아 명중시킬 확률은 4/5 이다. 따라서 확률변수 X는 이항분포 B(50, 4/5 )를 따르므로 E(X)=50· 4/5 =40 .t3 E(5X+4)=5E(X)+4=5· 40+4=204 2040671 E(X)=45p, V(X)=45p(1-p)이고V(X)=E(X^2 )-{E(X)}^2 에서 E(X^2 )=V(X)+{E(X)}^2 이므로 45p(1-p)+(45p)^2 =235 396p^2 +9p-47=0 (132p+47)(3p-1)=0 .t3 p=1/3 (.T3 0_< p_< 1)따라서 확률변수 X는 이항분포 B(45, 1/3 )을 따르므로 V(X)=45· 1/3 · 2/3 =10 .t3 V(3X-1)=3^2 `V(X)=9· 10=90 ④0672 바닥에 놓인 면에 적힌 두 수의 합을 구한 후 두 수의 평균을 구한다.바닥에 놓인 면에 적힌 두 수의 합은 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8이므로 X가 가질 수 있는 모든 값은 1, 3/2 , 2, 5/2 , 3, 7/2 , 4따라서 구하는 합은 2+3+4+5+6+7+82=35/2 35/20673 확률의 총합이 1임을 이용하여 a의 값을 구한다.확률의 총합은 1이므로 a+a^2 +a+2a^2 =1, 3a^2 +2a-1=0 (a+1)(3a-1)=0 .t3 a=1/3 (.T3 0_< a_< 1)따라서 P(X=1)=1/3 , P(X=3)=4/9 , P(X=5)=2/9 이므로 E(X)=1· 1/3 +3· 4/9 +5· 2/9 =^25 /9 ^25 /9 0674 한 번의 게임에서 받을 수 있는 금액을 X원이라 하고 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내어 본다.한 번의 게임에서 받을 수 있는 금액을 X원이라 하면 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 200, 600, 1000이고, 그 확률은 각각 P(X=200)=1/4 , P(X=600)=1/2 , P(X=1000)=1/4 이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.본책95~97쪽라이트쎈-확통(해설055-066)ok.indd 6314. 8. 28. 오후 1:13 64 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0683 확률변수 X를 Y에 대한 식으로 나타낸다.Y=3X+6에서 3X=Y-6 .t3 X=1/3Y-2E(Y)=12, E(Y^2)=180이므로 V(Y)=E(Y^2)-{E(Y)}^2=180-12^2=36 .t3 V(X)=V(1/3Y-2)=(1/3)^^2V(Y)=1/9·36=4 ③0684 E(Z)=E(X-mh)=1hE(X)-mh,V(Z)=V(X-mh)=1h^2V(X)임을 이용한다.E(X)=m, h(X)=h이므로 E(Z)=E(X-mh)=1hE(X)-mh=1h.c1m-mh=0 V(Z)=V(X-mh)=1h^2V(X)=1h^2.c1h^2=1 평균: 0, 분산: 10685 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타낸 후 V(X)를 구한다.확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이고, 그 확률은 각각 P(X=0)=_3C_0.c1_4C_4_7C_4=^1/35, P(X=1)=_3C_1.c1_4C_3_7C_4=^12/35, P(X=2)=_3C_2.c1_4C_2_7C_4=^18/35, P(X=3)=_3C_3.c1_4C_1_7C_4=^4/35이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X0123합계P(X=x) ^1/35^12/35^18/35^4/351따라서 확률변수 X에 대하여 E(X)=0·^1/35+1·^12/35+2·^18/35+3·^4/35=^12/7 E(X^2)=0^2.c1^1/35+1^2.c1^12/35+2^2.c1^18/35+3^2.c1^4/35=^24/7 .t3 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2=^24/7-(^12/7)^^2=^24/49V(-7X+1)=(-7)^2`V(X)=49·^24/49=24이므로 h(-7X+1)=2V(-x7Xx+1)x=124q=216 ④채점 기준비율❶ X의 확률분포를 구할 수 있다.60%❷ E(X)를 구할 수 있다.40% 2/k+3/k+4/k+5/k=1, ^14/k=1 .t3 k=14 .t3 P(X=2)=2+114=^3/14 ③0679 먼저 P(X^2-5X+6=0)이 나타내는 확률을 찾는다.X^2-5X+6=0에서 (X-2)(X-3)=0 .t3 X=2 또는 X=3따라서 구하는 확률은 P(X^2-5X+6=0)=P(X=2 또는 X=3)한편 두 눈의 수를 a, b라 하면 순서쌍 (a, b)에 대하여 두 수 중 크지 않은 수가 2인 경우는 (2, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2), (2, 5), (5, 2), (2, 6), (6, 2)의 9개3인 경우는 (3, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 3), (3, 6), (6, 3)의 7개따라서 구하는 확률은 P(X^2-5X+6=0)=P(X=2 또는 X=3)=P(X=2)+P(X=3)=9/36+^7/36=4/9 ①0680 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이므로P(X_>1)=1-P(X=0)임을 이용한다.P(X_>1)=1-P(X=0)이므로 P(X=0)=_4C_0.c1_6C_3_1_0C_3=1/6 .t3 P(X_>1)=1-P(X=0)=1-1/6=5/6 5/60681 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2임을 이용한다.V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2이므로 V(X)=4a+7-a^2=-(a-2)^2+11따라서 V(X)는 a=2일 때 최댓값 11을 갖는다. ②0682 확률변수 X의 확률분포를 구한다.확률변수 X가 가질 수 있는 값은 -1, 0, 1이고 확률변수 X가 각 값을 가질 확률은 P(X=-1)=_2C_1.c1_2C_1_5C_2=2/5, P(X=0)=_1C_1.c1_4C_1_5C_2=2/5, P(X=1)=_2C_2_5C_2+_2C_2_5C_2=1/5따라서 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X-101합계P(X=x) 2/52/51/51⇨ ❶확률변수 X에 대하여 E(X)=-1·2/5+0·2/5+1·1/5=-1/5 ⇨ ❷ -1/5 라이트쎈-확통(해설055-066)ok.indd 6414. 8. 28. 오후 1:13 07``확률분포 • 65확률분포07㉡을 ㉠에 대입하면 3· 2b+2b=1 .t3 b=1/8 b=1/8 을 ㉡에 대입하면 1/a =2· 1/8 .t3 a=4 .t3 ab=1/2 1/2 0691 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내고 a, b, c에 대한 식을 세운다.a+b+c=8에서 c=8-a-b … … `㉠확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X123합계P(X=x)a/8b/88-a-b81E(X)=9/4 에서 1· a/8 +2· b/8+3· 8-a-b8=9/4 .t3 2a+b=6 … … `㉡V(X)=E(X^2 )-{E(X)}^2 =^7 /16 에서 1^2 · a/8 +2^2 .c1 b/8+3^2 .c1 8-a-b8-(9/4 )^^2 =^7 /16 .t3 8a+5b=28 … … `㉢㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=1, b=4a=1, b=4를 ㉠에 대입하면 c=3 .t3 a+b-c=2 ②0692 먼저 6의 눈이 나오는 주사위의 개수를 확률변수 X로 놓는다.서로 다른 5개의 주사위를 동시에 던질 때 6의 눈이 나오는 주사위의 개수를 확률변수 X라 하면 확률변수 X는 이항분포 B(5, 1/6 )을 따르므로 확률변수 X의 확률질량함수는 P(X=x)=_5 C_x (1/6 )^^x (5/6 )^^5 ^^- ^^x (x=0, 1, 2, … , 5) .t3 E(25^X )=sigx=0 ^5 `25^x _5 C_x (1/6 )^^x (5/6 )^^5 ^^- ^^x =sigx=0 ^5 `_5 C_x (^25 /6 )^^x (5/6 )^^5 ^^- ^^x =(^25 /6 +5/6 )^^5 =5^5 =3125따라서 구하는 기댓값은 3125원이다. ③0693 확률변수 X의 확률질량함수가 P(X=x)=_n C_x p^x (1-p)^n ^- ^x (x=0, 1, … , n)이면 X는 이항분포 B(n, p)를 따른다.이항정리n이 자연수일 때, sigr=0 ^n `_n C_r a^n ^- ^r b^r ``=_n C_0 a^n +_n C_1 a^n ^- ^1 b^1 +.c3 +_n C_r a^n ^- ^r b^r +.c3 +_n C_n b^n ``=(a+b)^n 0686 먼저 확률변수 X의 확률질량함수를 구한다.확률변수 X가 이항분포 B(4, 2/5 )를 따르므로 확률변수 X의 확률질량함수는 P(X=x)=_4 C_x (2/5 )^^x (3/5 )^^4 ^^- ^^x (x=0, 1, 2, 3, 4)따라서 구하는 확률은 P(X_> 3)=P(X=3)+P(X=4)=_4 C_3 (2/5 )^^3 (3/5 )^^1 +_4 C_4 (2/5 )^^4 (3/5 )^^0 =112625 1126250687 먼저 V(X)=6임을 이용하여 p의 값을 구한다.V(X)=24p(1-p)=6에서 4p^2 -4p+1=0, (2p-1)^2 =0 .t3 p=1/2 .t3 E(X)=24· 1/2 =12V(X)=E(X^2 )-{E(X)}^2 에서 E(X^2 )=V(X)+{E(X)}^2 =6+12^2 =150 ③0688 한 번의 시행에서 빨간 공이 나올 확률을 구한 후 확률변수 X가 따르는 이항분포를 구한다.한 번의 시행에서 빨간 공이 나올 확률은 _2 C_1 _5 C_1 =2/5 이므로 확률변수 X는 이항분포 B(n, 2/5 )를 따른다. .t3 E(X)=n· 2/5 =2/5 nV(X)=n· 2/5 · 3/5 =6/25n이므로 V(X)=E(X^2 )-{E(X)}^2 에서 6/25n=26/5-4/25n^2 , 2n^2 +3n-65=0 (2n+13)(n-5)=0 .t3 n=5 (.T3 n은 자연수) 50689 확률변수 X가 따르는 이항분포를 구한다.예약한 사람이 실제로 여행을 갈 확률은 9/10이므로 확률변수 X는 이항분포 B(200, 9/10)를 따른다. 따라서 h(X)=5200· 9/10· 1/10b`=312이므로 h(1/3 X+1)=1/3 h(X)=1/3 · 312=12 120690 확률의 총합은 1임을 이용하여 a, b에 대한 식을 세운다.확률의 총합은 1이므로 P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=1 1/a +2/a +b+b=1 .t3 3/a +2b=1 … … `㉠P(X=1)=2P(X=3)에서 1/a =2b … … `㉡본책97~99쪽라이트쎈-확통(해설055-066)ok.indd 6514. 8. 28. 오후 1:13 66 • 정답 및 풀이정답 및 풀이확률변수 X의 확률질량함수가 P(X=x)=_1_8C_x(1/3)^^x(2/3)^^1^^8^^-^^x(x=0, 1, 2, …, 18)이므로 확률변수 X는 이항분포 B(18, 1/3)을 따른다. ⇨ ❶이때 E(X)=18·1/3=6, V(X)=18·1/3·2/3=4 ⇨ ❷이므로 sigk=0^18`k^2P(X=k)=E(X^2)=V(X)+{E(X)}^2=4+6^2=40 ⇨ ❸ 400694 확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따를 때, 주어진 평균과 분산을 이용하여 n, p의 값을 먼저 구한다.확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따른다고 하면 E(X)=8, V(X)=4에서 np=8 ……`㉠ np(1-p)=4 ……`㉡㉠을 ㉡에 대입하면 8(1-p)=4, 1-p=1/2 .t3 p=1/2㉠에서 n=16따라서 확률변수 X는 이항분포 B(16, 1/2)을 따르므로 P(X=3)=_1_6C_3(1/2)^^3(1/2)^^1^^3=352^1^2 ②0695 장난감이 불량품이 아닐 확률과 상자가 불량품이 아닐 확률을 이용하여 장난감과 상자가 모두 불량품이 아닐 확률을 구한다. 장난감이 불량품이 아닐 확률은 1-1/10=9/10상자가 불량품이 아닐 확률은 1-2/50=24/25장난감과 상자가 모두 불량품이 아닐 확률은 9/10·24/25=108/125따라서 확률변수 X는 이항분포 B(500, 108/125)을 따르므로 E(X)=500·108/125=432 .t3 E(2X+1)=2E(X)+1=865 865채점 기준비율❶ 확률변수가 X가 이항분포 B(18, 1/3)을 따름을 알 수 있다.30%❷ E(X), V(X)를 구할 수 있다.40%❸ sigk=0^18`k^2P(X=k)의 값을 구할 수 있다.30%정규분포08Ⅲ. 통계0696 연속확률변수는 어떤 범위에 속하는 모든 실수 값을 가질 수 있으므로 보기에서 연속확률변수인 것은 ㄱ, ㄹ이다. ㄱ, ㄹ0697 보기의 함수 f(x)에 대하여 y=f(x)(0_2)는 오른쪽 그림과 같이(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:21)(cid:19)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:30)(cid:89)(cid:25)(cid:18)(cid:21)(cid:18)(cid:19)(cid:18)y=f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=2, x=4로 둘러싸인 도형의 넓이와 같으므로 P(X_>2)=1/2·(1/4+1/2)·2=3/4 3/4라이트쎈-확통(해설055-066)ok.indd 6614. 8. 28. 오후 1:13 08``정규분포 • 67정규분포080713 P(Z_> 1) =P(Z_> 0)-P(0_< Z_< 1) (cid:48)(cid:71)(cid:9)(cid:91)(cid:10)(cid:18)(cid:91)=0.5-0.3413 =0.1587 0.15870714 P(Z_> -2.5) (cid:48)(cid:71)(cid:9)(cid:91)(cid:10)(cid:14)(cid:19)(cid:15)(cid:22)(cid:91) =P(-2.5_< Z_< 0)+P(Z_> 0) =P(0_< Z_< 2.5)+P(Z_> 0) =0.4938+0.5 =0.9938 0.99380715 P(Z_> a)=0.8413에서 (cid:48)(cid:71)(cid:9)(cid:91)(cid:10)(cid:91)(cid:66) P(a_< Z_< 0)+P(Z_> 0)=0.8413 P(0_< Z_< -a)+0.5=0.8413 .t3 P(0_< Z_< -a)=0.3413따라서 -a=1이므로a=-1 -1 P(Z_> a)=0.8413>0.5이므로 a<0이다.0716 P(Z_> 2a)=0.0228에서 (cid:48)(cid:71)(cid:9)(cid:91)(cid:10)(cid:91)(cid:19)(cid:66) P(Z_> 0)-P(0_< Z_< 2a)=0.0228 0.5-P(0_< Z_< 2a)=0.0228 .t3 P(0_< Z_< 2a)=0.4772따라서 2a=2이므로a=1 10717 P(Z_< a)=0.3085에서 (cid:48)(cid:71)(cid:9)(cid:91)(cid:10)(cid:91)(cid:66) P(Z_< 0)-P(a_< Z_< 0)=0.3085 0.5-P(0_< Z_< -a)=0.3085 .t3 P(0_< Z_< -a)=0.1915따라서 -a=0.5이므로a=-0.5 -0.50718 P(Z_< a+1)=0.9332에서 (cid:66)(cid:12)(cid:18)(cid:48)(cid:71)(cid:9)(cid:91)(cid:10)(cid:91) P(Z_< 0)+P(0_< Z_< a+1)=0.9332 0.5+P(0_< Z_< a+1)=0.9332 .t3 P(0_< Z_< a+1)=0.4332따라서 a+1=1.5이므로a=0.5 0.50719 P(-a_< Z_< a)=0.9544에서 (cid:66)(cid:14)(cid:66)(cid:48)(cid:71)(cid:9)(cid:91)(cid:10)(cid:91) P(-a_< Z_< 0)+P(0_< Z_< a)=0.9544 2P(0_< Z_< a)=0.9544 .t3 P(0_< Z_< a)=0.4772 .t3 a=2 20720 Z=X-3560721 Z=X-120150722 Z=X-60010 P(X_> 2)=1-P(0_< X_< 2)=1-1/2 .c1 2.c1 1/4 =3/4 0702 평균이 5, 분산이 4=2^2 이므로 N(5, 2^2 ) N(5, 2^2 )0703 평균이 -3, 분산이 16=4^2 이므로 N(-3, 4^2 ) N(-3, 4^2 )0704 ㈏ 0705 ㈎0706 P(m-h_< X_< m) (cid:78)(cid:14)h(cid:78)(cid:12)h(cid:78)(cid:89) `=P(m_< X_< m+h) `=a a 0707 P(m+h_< X_< m+2h) (cid:78)(cid:89)(cid:78)(cid:12)(cid:19)h(cid:78)(cid:12)h =P(m_< X_< m+2h)-P(m_< X_< m+h) =b-a b-a0708 P(X_< m+h) (cid:78)(cid:12)h(cid:78)(cid:89) =P(X_< m)+P(m_< X_< m+h) =0.5+a 0.5+a0709 P(X_< m-2h) (cid:78)(cid:14)(cid:19)h(cid:78)(cid:78)(cid:12)(cid:19)h(cid:89) =P(X_> m+2h) =P(X_> m)-P(m_< X_< m+2h) =0.5-b 0.5-b0710 P(-1_< Z_< 1) (cid:48)(cid:71)(cid:9)(cid:91)(cid:10)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:91) =P(-1_< Z_< 0)+P(0_< Z_< 1) =P(0_< Z_< 1)+P(0_< Z_< 1) =0.3413+0.3413 =0.6826 0.68260711 P(1.5_< Z_< 2.5) (cid:18)(cid:15)(cid:22)(cid:19)(cid:15)(cid:22)(cid:71)(cid:9)(cid:91)(cid:10)(cid:91)(cid:48) =P(0_< Z_< 2.5)-P(0_< Z_< 1.5) =0.4938-0.4332 =0.0606 0.06060712 P(Z_< 2) (cid:19)(cid:71)(cid:9)(cid:91)(cid:10)(cid:91)(cid:48) =P(Z_< 0)+P(0_< Z_< 2) =0.5+0.4772 =0.9772 0.9772본책99~103쪽라이트쎈-확통(해설067-077)ok.indd 6714. 8. 28. 오후 1:15 68 • 정답 및 풀이정답 및 풀이⑤ 0_0이고, y=f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 1/2.c12.c11=1 ⑤0729 보기의 함수 f(x)에 대하여 y=f(x)`(-1_0이고 y=f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이는1/2.c12.c11=1 ⑤0730 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:30)(cid:76)(cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:10)(cid:89)(cid:90)(cid:20)(cid:18)(cid:20)(cid:76)(cid:22)(cid:76)(cid:48) 그림과 같고, f(x)=k(x+2)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=1, x=3으로 둘러싸인 도형의 넓이가 1이므로 1/2.c1(3k+5k).c12=1 8k=1.t3 k=1/8 ① y=k(x+2)의 그래프는 k의 값에 관계없이 점 (-2, 0)을 지난다.따라서 k<0이면 1_ a) a)이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ④ 0740 정규분포 곡선은 직선 x=m에 대하여 대칭이고, P(X_< 4)=P(X_> 10)이므로 m=4+102=7 70741 확률변수 X의 평균이 20이므로 X의 확률밀도함수는 x=20에서 최댓값을 갖고, 정규분포 곡선은 직선 x=20에 대하여 대칭이다. ⇨ ❶따라서 P(k_< X_< k+4)가 최대가 되려면 `k+(k+4)2=20,2k+4=40 .t3 k=18 ⇨ ❷ 18채점 기준비율❶ y=f(x)의 그래프를 그릴 수 있다. 30%❷ a에 대한 식을 세울 수 있다. 40%❸ a의 값을 구할 수 있다.30%채점 기준비율❶ X의 확률밀도함수의 성질을 알 수 있다. 40%❷ k의 값을 구할 수 있다.60% 3k=1 .t3 k=1/3 ⇨ ❷ 1/3 0733 함수 y=f(x)의 그래프는 오른(cid:19)(cid:76)(cid:76)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:89)(cid:90)(cid:22)(cid:18)(cid:19)(cid:48)쪽 그림과 같고, y=f(x)의 그래프와 x축 및 직선 x=5로 둘러싸인 도형의 넓이가 1이므로 1/2 .c1 (3+5).c1 k=1 4k=1.t3 k=1/4 이때 P(X_> 1)은 위의 그림의 색칠한 부분의 넓이와 같으므로 P(X_> 1)=1-1/2 .c1 1.c1 1/8 =15/16 15/160734 함수 y=f(x)의 그래프는 오른(cid:21)(cid:76)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:21)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:76)(cid:76)(cid:89)(cid:48)쪽 그림과 같고, y=f(x)의 그래프와 x축 및 직선 x=0으로 둘러싸인 도형의 넓이가 1이므로 1/2 .c1 4.c1 4k=1 8k=1.t3 k=1/8 이때 P(2_< X_< 3)은 위의 그림의 색칠한 부분의 넓이와 같으므로 P(2_< X_< 3)=1/2 .c1 (1/4 +1/8 ).c1 1=3/16 ②0735 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 직선 x=-2로 둘러싸인 도형의 넓이가 1이므로 2.c1 k+1/2 .c1 2.c1 k=1, 2k+k=1 3k=1.t3 k=1/3 P(X_> -1)은 오른쪽 그림의 색칠한 부(cid:14)(cid:18)(cid:20)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:89)(cid:90)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:48)분의 넓이와 같으므로 1-1.c1 1/3 =2/3 ④0736 확률변수 X의 확률밀도함수 (cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:20)(cid:66)(cid:19)(cid:18)(cid:23)(cid:18)(cid:14)(cid:66)(cid:26)(cid:18)(cid:19)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10) f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ⇨ ❶P(X_< a)는 오른쪽 그림의 색칠한 부분의 넓이와 같으므로 P(X_< a)=5/8 에서 1/2 .c1 {1/2 +(1/2 -1/9 a)}.c1 a=5/8 ⇨ ❷ 4a^2 -36a+45=0 (2a-3)(2a-15)=0 .t3 a=3/2 (.T3 0_< a_< 3) ⇨ ❸ 3/2 채점 기준비율❶ y=f(x)의 그래프를 그릴 수 있다.40%❷ k의 값을 구할 수 있다.60%라이트쎈-확통(해설067-077)ok.indd 6914. 8. 28. 오후 1:15 70 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 P(k_a)=0.0228에서 P(X_>m)-P(m_21) =P(2X+3_>21) =P(X_>9) =P(X_>7)-P(7_a)=0.8849에서 P(a_0)=0.8849 P(a_14)=P(Y_>k)에서 P(Z_X_>14-83)=P(Z_Y_>k-124) .t3 P(Z_X_>2)=P(Z_Y_>k-124) 따라서 k-124=2이므로 k-12=8.t3 k=20 200750 확률변수 X가 정규분포 N(86, h^2)을 따르므로 Z=X-86h은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.라이트쎈-확통(해설067-077)ok.indd 7014. 8. 28. 오후 1:15 08``정규분포 • 71정규분포08본책106~107쪽따라서 X-86h=X-m9이므로 m=86, h=9 .t3 m+h=95 ④0751 확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(129, 8^2 ), N(120, 4^2 )을 따르므로 Z_X =X-1298, Z_Y =Y-1204으로 놓으면 Z_X , Z_Y 는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 즉 a=P(Z_X _< 137-1298)=P(Z_X _< 1) =0.5+P(0_< Z_X _< 1) b=P(Z_Y _> 122-1204)=P(Z_Y _> 0.5) =0.5-P(0_< Z_Y _< 0.5) c=P(Z_> -1.5) =0.5+P(0_< Z_< 1.5) 이므로 b 0)-P(0_< Z_< 2) =0.5-0.4772 =0.0228 ⑤ P(X_> 12)=1-P(X_< 12)=1-0.0228=0.9772 ③0755 E(X)=60, h(X)=8에서 E(Y)=E(4X-5)=4E(X)-5=4.c1 60-5=235 h(Y)=h(4X-5)=4h(X)=4.c1 8=32이때 X가 정규분포 N(60, 8^2 )을 따르므로 Y는 정규분포 N(235, 32^2 )을 따른다.Z=Y-23532로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로 P(Y_< 203)=P(Z_< 203-23532) =P(Z_< -1)=P(Z_> 1) =P(Z_> 0)-P(0_< Z_< 1) =0.5-0.3413 =0.1587 0.1587Y=4X-5이므로 P(Y_< 203) =P(4X-5_< 203) =P(X_< 52)Z=X-608으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로 P(Y_< 203) =P(X_< 52)=P(Z_< 52-608)=P(Z_< -1)=P(Z_> 1)=P(Z_> 0)-P(0_< Z_< 1)=0.5-0.3413=0.15870756 Z=X-7510로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로 P(X_> 83)=0.2119에서 P(Z_> 83-7510)=0.2119 ⇨ ❶ 라이트쎈-확통(해설067-077)ok.indd 7114. 8. 28. 오후 1:15 72 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 P(Z_>0.8)=0.2119 P(Z_>0)-P(0_38)=0.1587에서 P(Z_>38-m2)=0.1587 ⇨ ❶ P(Z_>0)-P(0_38)=0.1587을 변형할 수 있다. 40%❸ m의 값을 구할 수 있다. 40%0759 Z=X-565으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로 P(X_<56-k)=0.0062에서 P(Z_<56-k-565)=0.0062 P(Z_<-k/5)=0.0062 P(Z_<0)-P(-k/5_ 39)=P(Z_Y _> 39-486)=P(Z_Y _> -1.5)이때 P(Z_W _< 1.5)=P(Z_Y _> -1.5) 68)=P(Z_> 68-5012)=P(Z_> 1.5)=P(Z_> 0)-P(0_< Z_< 1.5) =0.5-0.43 =0.07따라서 일일 TV 시청 시간이 68분 이상인 학생은 전체의 7`%이다. ①0764 제품의 무게를 X`g이라 하면 확률변수 X는 정규분포 N(70, 4^2 )을 따르므로 Z=X-704으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ⇨ ❶따라서 구하는 확률은 P(X_< 64)+P(X_> 78)=P(Z_< 64-704)+P(Z_> 78-704)=P(Z_< -1.5)+P(Z_> 2)=P(Z_> 1.5)+P(Z_> 2)=P(Z_> 0)-P(0_< Z_< 1.5)+P(Z_> 0)-P(0_< Z_< 2)=0.5-0.43+0.5-0.48=0.09 ⇨ ❷ 0.090765 민주가 등교하는 데 걸리는 시간을 X시간이라 하면 확률변수 X는 정규분포 N(45, 10^2 )을 따르므로 Z=X-4510로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.학교에 8시 20분 이내에 도착하면, 즉 X_< 27이면 지각하지 않으므로 구하는 확률은 P(X_< 27)=P(Z_< 27-4510)=P(Z_< -1.8)=P(Z_> 1.8)=P(Z_> 0)-P(0_< Z_< 1.8)=0.5-0.4641=0.0359 0.03590766 사과의 무게를 X`g이라 하면 확률변수 X는 정규분포 N(240, 15^2 )을 따르므로 Z=X-24015으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 채점 기준비율❶ 확률변수 X를 정하고 표준화할 수 있다. 40%❷ 불량품일 확률을 구할 수 있다. 60% .t3 P(210_< X_< 270)=P(210-24015_< Z_< 270-24015)=P(-2_< Z_< 2)=2P(0_< Z_< 2)=0.96따라서 무게가 210`g 이상 270`g 이하인 사과의 개수는 0.96\1000=960 ⑤0767 학생들의 국어 시험 성적을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(72, 8^2 )을 따르므로 Z=X-728로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. .t3 P(X_> 84)=P(Z_> 84-728)=P(Z_> 1.5)=P(Z_> 0)-P(0_< Z_< 1.5)=0.5-0.43=0.07따라서 국어 성적이 84점 이상인 학생 수는 0.07\400=28 ③0768 사원들의 수축기 혈압을 X`mmHg이라 하면 확률변수 X는 정규분포 N(125, 20^2 )을 따르므로 Z=X-12520로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. .t3 P(X_> 175)=P(Z_> 175-12520) =P(Z_> 2.5) =P(Z_> 0)-P(0_< Z_< 2.5) =0.5-0.49 =0.01따라서 재검진 대상인 사원 수는 0.01\300=3 30769 응시자들의 점수를 X점이라 하면 확률변수 X는 정규분포 N(72, 15^2 )을 따르므로 Z=X-7215로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.합격자의 최저 점수를 a점이라 하면 P(X_> a)=/10=0.3 P(Z_> a-7215)=0.3 P(Z_> 0)-P(0_< Z_< a-7215)=0.3 0.5-P(0_< Z_< a-7215)=0.3 .t3 P(0_< Z_< a-7215)=0.2이때 P(0_< Z_< 0.52)=0.2이므로 a-7215=0.52, a-72=7.8 .t3 a=79.8따라서 합격자의 최저 점수는 79.8점이다. ②라이트쎈-확통(해설067-077)ok.indd 7314. 8. 28. 오후 1:15 74 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 .t3 P(X_<297)+P(X_<333)=P(Z_<297-3249)+P(Z_<333-3249)=P(Z_<-3)+P(Z_<1)=P(Z_>3)+P(Z_<1)=P(Z_>0)-P(0_165)=P(Z_>165-15010) =P(Z_>1.5) =P(Z_>0)-P(0_a)=10/100=0.1 P(Z_>a-1005)=0.1 P(Z_>0)-P(0_172-a14)=0.05 P(Z_>0)-P(0_ 0)-P(0_< Z_< 900-a15)=0.35 0.5-P(0_< Z_< 900-a15)=0.35 .t3 P(0_< Z_< 900-a15)=0.15이때 P(0_< Z_< 0.38)=0.15이므로 900-a15=0.38,900-a=5.7 .t3 a=894.3 894.30779 성공한 자유투의 횟수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B(600, 3/5 )을 따르므로 E(X)=600.c1 3/5 =360, V(X)=600.c1 3/5 .c1 2/5 =144따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(360, 12^2 )을 따르므로Z=X-36012으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.P(X_> k)=0.98에서 P(Z_> k-36012)=0.98 P(k-36012_< Z_< 0)+P(Z_> 0)=0.98 P(0_< Z_< 360-k12)+0.5=0.98 .t3 P(0_< Z_< 360-k12)=0.48이때 P(0_< Z_< 2)=0.48이므로 360-k12=2, 360-k=24 .t3 k=336 ④0780 X는 이항분포 B(7600, 0.95)를 따르므로 E(X)=7600\0.95=7220, V(X)=7600\0.95\0.05=361따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(7220, 19^2 )을 따르므로 Z=X-722019으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.P(|X-7220|_> k)=0.32에서 P(X-7220_< -k)+P(X-7220_> k)=0.32 P(X_< -k+7220)+P(X_> k+7220)=0.32 P(Z_< -k+7220-722019)+P(Z_> k+7220-722019)=0.32 P(Z_< -k/19)+P(Z_> k/19)=0.32 2P(Z_> k/19)=0.32 P(Z_> k/19)=0.16 P(Z_> 0)-P(0_< Z_< k/19)=0.16 0.5-P(0_< Z_< k/19)=0.16 .t3 P(0_< Z_< k/19)=0.34 .t3 P(435_< X_< 480)=P(435-45015_< Z_< 480-45015)=P(-1_< Z_< 2)=P(-1_< Z_< 0)+P(0_< Z_< 2)=P(0_< Z_< 1)+P(0_< Z_< 2)=0.34+0.48=0.82 0.820776 치료되는 환자의 수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B(2500, 0.8)을 따르므로 E(X)=2500\0.8=2000, V(X)=2500\0.8\0.2=400따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(2000, 20^2 )을 따르므로 Z=X-200020으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0,1)을 따른다. .t3 P(X_> 2020)=P(Z_> 2020-200020) =P(Z_> 1) =P(Z_> 0)-P(0_< Z_< 1) =0.5-0.34 =0.16 ①0777 예약을 취소하는 손님의 수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B(400, 0.2)를 따르므로 ⇨ ❶ E(X)=400\0.2=80, V(X)=400\0.2\0.8=64따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(80, 8^2 )을 따르므로 Z=X-808으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ⇨ ❷비행기를 타러 온 모든 손님이 비행기를 타려면 예약을 취소하는 손님이 400-340=60(명) 이상이어야 하므로 구하는 확률은 P(X_> 60)=P(Z_> 60-808) =P(Z_> -2.5) =P(-2.5_< Z_< 0)+P(Z_> 0) =P(0_< Z_< 2.5)+0.5 =0.9938 ⇨ ❸ 0.9938 0778 확률변수 X가 이항분포 B(1200, 3/4 )을 따르므로 E(X)=1200.c1 3/4 =900, V(X)=1200.c1 3/4 .c1 1/4 =225따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(900, 15^2 )을 따르므로 Z=X-90015으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.P(X_< a)=0.35에서 P(Z_< a-90015)=0.35, P(Z_> 900-a15)=0.35 채점 기준비율❶ 확률변수 X를 정하고 X가 따르는 이항분포를 구할 수 있다.30%❷ X를 표준화할 수 있다. 30%❸ 확률을 구할 수 있다. 40%본책110~111쪽라이트쎈-확통(해설067-077)ok.indd 7514. 8. 28. 오후 1:15 76 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0784 맞히는 문제의 개수를 확률변수 X라 하고, X가 따르는 이항분포를 구한다.맞히는 문제의 개수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B(100, 1/5)을 따르므로 ⇨ ❶ E(X)=100.c11/5=20, V(X)=100.c11/5·4/5=16따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(20, 4^2)을 따르므로 Z=X-204으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ⇨ ❷ .t3 P(X_>30)=P(Z_>30-204) =P(Z_>2.5) =P(Z_>0)-P(0_0.5이므로 P(X_a) =P(X_>m)-P(m_m+1.5h)=0.0668이므로 a=m+1.5h=35+1.5\8=47 47m=35, h=8이므로 P(X_>m+1.5h)=0.0668에서 P(X_>35+1.5\8)=0.0668 .t3 P(X_>47)=0.0668P(X_a)=1-0.9332=0.0668 .t3 a=47 0783 확률변수 Z가 표준정규분포를 따르고 P(Z_<1)>0.5이므로 P(Z_<1)=0.5+P(0_1) =P(Z_<-1)+P(Z_>1) =2P(Z_>1) =2{P(Z_>0)-P(0_1)=2{1-P(Z_<1)}=2(1-0.8413)=0.3174라이트쎈-확통(해설067-077)ok.indd 7614. 8. 28. 오후 1:15 08``정규분포 • 77정규분포080790 400명 중 100등 안에 들 확률은 100/400임을 이용한다.학생들의 수학 점수를 X점이라 하면 확률변수 X는 정규분포 N(64, 15^2 )을 따르므로 Z=X-6415로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.100등인 학생의 수학 점수를 a점이라 하면 P(X_> a)=100/400=0.25 P(Z_> a-6415)=0.25 P(Z_> 0)-P(0_< Z_< a-6415)=0.25 0.5-P(0_< Z_< a-6415)=0.25 .t3 P(0_< Z_< a-6415)=0.25이때 P(0_< Z_< 0.68)=0.25이므로 a-6415=0.68,a-64=10.2 .t3 a=74.2따라서 100등인 학생의 수학 점수는 74.2점이다. ⑤0791 이항분포 B(n, p)를 따르는 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(np, np(1-p))를 따른다.응답한 조사자의 수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B(4800, 0.25)를 따르므로 E(X)=4800\0.25=1200, V(X)=4800\0.25\0.75=900따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(1200, 30^2 )을 따르므로 Z=X-120030으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.P(X_> a)=0.99에서 P(Z_> a-120030)=0.99 P(a-120030_< Z_< 0)+P(Z_> 0)=0.99 P(0_< Z_< 1200-a30)+0.5=0.99 .t3 P(0_< Z_< 1200-a30)=0.49이때 P(0_< Z_< 2.5)=0.49이므로 1200-a30=2.5, 1200-a=75 .t3 a=1125 11250792 함수 y=f(x)의 그래프를 그린 후 a의 값을 구한다.함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:30)(cid:66)(cid:93)(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:93)(cid:66)(cid:89)(cid:90)(cid:19)(cid:18)(cid:19)(cid:18)(cid:20)(cid:21)(cid:66)(cid:19)(cid:18)(cid:66)(cid:20)(cid:18)(cid:48)그림과 같고, y=f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=0, x=2로 둘러싸인 도형의 넓이는 1이므로 1/2 .c1 1.c1 a+1/2 .c1 1.c1 a=1 .t3 a=1 Z_X =X-455, Z_Y =Y-5010으로 놓으면 Z_X , Z_Y 는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.P(X_< 41)=P(Y_> k)에서 P(Z_X _< 41-455)=P(Z_Y _> k-5010) P(Z_X _< -0.8)=P(Z_Y _> k-5010) P(Z_X _> 0.8)=P(Z_Y _> k-5010) 따라서 k-5010=0.8이므로 k-50=8.t3 k=58 ④0788 세 반 학생들의 키를 확률변수로 놓고 각각 표준화한다.1반, 2반, 3반 학생들의 키를 각각 X_1 `cm, X_2 `cm, X_3 `cm라 하면 확률변수 X_1 , X_2 , X_3 은 각각 정규분포 N(169, 8^2 ), N(171, 4^2 ), N(172, 5^2 )을 따르므로 Z_1 =X_1 -1698, Z_2 =X_2 -1714, Z_3 =X_3 -1725로 놓으면 Z_1 , Z_2 , Z_3 은 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ⇨ ❶각 반의 학생의 키가 165`cm보다 작을 확률은 각각 P(X_1 <165)=P(Z_1 <165-1698)=P(Z_1 <-0.5), P(X_2 <165)=P(Z_2 <165-1714)=P(Z_2 <-1.5), P(X_3 <165)=P(Z_3 <165-1725)=P(Z_3 <-1.4) ⇨ ❷이때 P(Z_2 <-1.5) 86)=P(Z_> 86-804) =P(Z_> 1.5) =P(Z_> 0)-P(0_< Z_< 1.5) =0.5-0.43 =0.07따라서 수명이 86시간 이상인 건전지의 개수는 0.07\500=35 ③채점 기준비율❶ 세 반 학생들의 키를 각각 표준화할 수 있다.30%❷ 각 반 학생들의 키가 165`cm보다 작을 확률을 Z에 대한 확률로 나타낼 수 있다.30%❸ 상대적으로 키가 큰 학생부터 나열할 수 있다.40%본책111~113쪽라이트쎈-확통(해설067-077)ok.indd 7714. 8. 28. 오후 1:15 78 • 정답 및 풀이정답 및 풀이이때 P(1/2_153) =P(X_>m-3h) =P(m-3h_m) =P(m_m) =0.4987+0.5 =0.9987 따라서 키가 153`cm 이상인 학생은 전체의 99.87`%이다. ⑤0794 먼저 합격할 확률, 즉 점수가 75점 이상일 확률을 구한다.응시자들의 점수를 X점이라 하면 확률변수 X는 정규분포 N(65, 5^2)을 따르므로 Z_X=X-655로 놓으면 Z_X는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. .t3 P(X_>75)=P(Z_X_>75-655) =P(Z_X_>2) =P(Z_X_>0)-P(0_57)=P(Z_>57-507) =P(Z_>1) =P(Z_>0)-P(0_ 260)=P(Z_> 260-2504)=P(Z_> 2.5)=P(Z_> 0)-P(0_< Z_< 2.5)=0.5-0.4938=0.0062 0.00620805 P(242_< Xw_< 244) `=P(242-2504_< Z_< 244-2504) `=P(-2_< Z_< -1.5) `=P(1.5_< Z_< 2) `=P(0_< Z_< 2)-P(0_< Z_< 1.5) `=0.4772-0.4332 `=0.044 0.0440806 모평균 m의 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 60-1.96\8`116q_< m_< 60+1.96\8`116q .t3 56.08_< m_< 63.92 56.08_< m_< 63.920807 모평균 m의 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 65-1.96\8`14_< m_< 65+1.96\8`14 .t3 57.16_< m_< 72.84 57.16_< m_< 72.840808 모평균 m의 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 240-2.58\14`149q_< m_< 240+2.58\14`149q .t3 234.84_< m_< 245.16 234.84_< m_< 245.160809 모평균 m의 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 200-2.58\14`1196a_< m_< 200+2.58\14`1196a .t3 197.42_< m_< 202.58 197.42_< m_< 202.580810 모평균 m의 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 90-1.96\3`1144a_< m_< 90+1.96\3`1144a .t3 89.51_< m_< 90.49 89.51_< m_< 90.490811 모평균 m의 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 90-2.58\3`1144a_< m_< 90+2.58\3`1144a .t3 89.355_< m_< 90.645 89.355_< m_< 90.6450812 모평균의 신뢰도 95`%의 신뢰구간의 길이는 2\1.96\4116q=3.92 3.920813 모평균의 신뢰도 99`%의 신뢰구간의 길이는 2\2.58\4116q=5.16 5.160814 ⑴ p=9001500=3/5 ⑵ p=21/30=7/10 ⑴ 3/5 ⑵ 7/100815 ⑴ E(p)=3/4 ⑵ V(p)=3/4 · 1/4 75=1/400⑶ h(p)=51/400t=1/20 ⑴ 3/4 ⑵ 1/400 ⑶ 1/200816 ⑴ E(p)=1/3 , V(p)=1/3 · 2/3 200=1/00⑵ N(1/3 , (1/30)^^2 ) `⑶ Z=p-1/3 1/30⑷ P(p_> 2/5 )=P(Z_> 2/5 -1/3 1/30)=P(Z_> 2)=P(Z_> 0)-P(0_< Z_< 2)=0.5-0.4772=0.0228 풀이 참조라이트쎈-확통(해설078-088)ok.indd 7914. 8. 28. 오후 1:16 80 • 정답 및 풀이정답 및 풀이말말말말말말말말말말말말말말말말 0.7-0.0258_20 .t3 n_>400따라서 n의 최솟값은 400이다. 4000817 E(p)=1/2, V(p)=1/2·1/2100=1/400이므로 p은 근사적으로 정규분포 N(1/2, (1/20)^^2)을 따른다. Z=p-1/21/20로 놓으면 Z는 근사적으로 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로 구하는 확률은 P(p_<23/40)=P(Z_<23/40-1/21/20)=P(Z_<1.5)=P(Z_<0)+P(0_0) ②0836 모집단이 정규분포 N(240, 60)을 따르고 표본의 크기가 n이므로 표본평균 Xw는 정규분포 N(240, 60/n)을 따른다.이때 표본평균 Xw는 정규분포 N(240, 2^2 )을 따르므로 60/n=4 .t3 n=15 150837 모집단이 정규분포 N(72, 12^2 )을 따르고 표본의 크기가 16이므로 표본평균 Xw는 정규분포 N(72, 12^2 16), 즉 N(72, 3^2 )을 따른다.Z=Xw-723로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로 구하는 확률은 P(69_< Xw_< 78) `=P(69-723_< Z_< 78-723) `=P(-1_< Z_< 2) `=P(0_< Z_< 1)+P(0_< Z_< 2) `=0.3413+0.4772 `=0.8185 ②채점 기준비율❶ X의 확률분포를 구할 수 있다. 20%❷ V(X)를 구할 수 있다. 40%❸ n의 값을 구할 수 있다.40%0830 확률의 총합은 1이므로 1/5 +a+2/5 +1/10=1 .t3 a=3/10따라서 모집단의 평균은 E(X)=0.c1 1/5 +1· 3/10+2· 2/5 +3· 1/10=7/5 .t3 E(Xw)=E(X)=7/5 7/5 0831 확률변수 X에 대하여 E(X)=2.c1 1/3 +4· 1/6 +8· 1/6 +10· 1/3 =6 V(X)=E(X^2 )-{E(X)}^2 =2^2 · 1/3 +4^2 .c1 1/6 +8^2 .c1 1/6 +10^2 .c1 1/3 -6^2 =48-36=12 ⇨ ❶표본의 크기가 n일 때 V(Xw)=3이므로 12/n=3 .t3 n=4 ⇨ ❷ 40832 주머니에서 임의로 1개의 공을 꺼낼 때, 공에 적힌 숫자를 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.X123합계P(X=x)3/5 1/5 1/5 1 .t3 E(X)=1.c1 3/5 +2· 1/5 +3· 1/5 =8/5 V(X)=1^2 .c1 3/5 +2^2 · 1/5 +3^2 .c1 1/5 -(8/5 )^^2 =16/5-64/25=16/25이때 표본의 크기가 2이므로 E(Xw)=8/5 , V(Xw)=16/252=8/25 E(Xw)=8/5 , V(Xw)=8/250833 한 개의 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수를 확률변수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X123456합계P(X=x)1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 .t3 E(X)=1· 1/6 +2· 1/6 +3· 1/6 +4· 1/6 +5· 1/6 +6· 1/6 =7/2 V(X)=1^2 · 1/6 +2^2 .c1 1/6 +3^2 .c1 1/6 +4^2 .c1 1/6 +5^2 · 1/6 +6^2 · 1/6 -(7/2 )^^2 =91/6-49/4=35/12채점 기준비율❶ V(X)를 구할 수 있다.60%❷ n의 값을 구할 수 있다.40%라이트쎈-확통(해설078-088)ok.indd 8114. 8. 28. 오후 1:16 82 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0838 모집단이 정규분포 N(45, 10^2)을 따르고 표본의 크기가 25이므로 표본평균 Xw는 정규분포 N(45, 10^225), 즉 N(45, 2^2)을 따른다.Z=Xw-452로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로 구하는 확률은 P(Xw_<42)=P(Z_<42-452)=P(Z_<-1.5)=P(Z_>1.5)=P(Z_>0)-P(0_a)=0.5-P(0_k)_>0.12에서 P(Z_>k-601/2)_>0.12 P(Z_>0)-P(0_0.12 0.5-P(0_0.12 .t3 P(0_`1nq4)=0.1587 P(Z_>0)-P(0_6 .t3 n_>36따라서 n의 최솟값은 36이다. ②0857 모표준편차를 h, P(|Z|_ 7 .t3 n_> 49따라서 최소 49개의 표본을 조사해야 한다. ②0863 표본평균이 Xw, 모표준편차가 h, 표본의 크기가 n일 때 신뢰도 99`%로 추정한 모평균 m의 신뢰구간은 Xw-3· h1nq_< m_< Xw+3· h1nq -3h1nq_< m-Xw_< 3h1nq .t3 |m-Xw|_< 3h1nq ⇨ ❶모평균 m과 표본평균 Xw의 차가 1/8 h 이하이어야 하므로 3h1nq_< h8, 1nq_> 24 .t3 n_> 576따라서 n의 최솟값은 576이다. ⇨ ❷ 5760864 정규분포 N(m, h^2 )(h>0)을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 신뢰도 a`%로 추정한 모평균의 신뢰구간의 길이는 채점 기준비율❶ 모평균과 표본평균의 차의 범위를 구할 수 있다. 60%❷ n의 최솟값을 구할 수 있다.40% 2kh1nq(단, P(|Z|_< k)=a100)ㄱ. 표본의 크기가 일정할 때, 신뢰도를 낮추면 k의 값이 작아지므로 신뢰구간의 길이는 작아진다.ㄴ. n 대신 2n을 대입하면 신뢰구간의 길이는2kh12nq=112· 2kh1nq즉 신뢰도가 일정할 때, 표본의 크기가 2배가 되면 신뢰구간의 길이는 112=122배가 된다.ㄷ. 신뢰도를 높이면 k의 값이 커지고, 표본의 크기를 작게 하면 1nq의 값이 작아지므로 신뢰구간의 길이는 커진다.이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ④0865 정규분포 N(m, h^2 )을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 추정한 모평균의 신뢰구간의 길이는 2kh1nq (k는 상수)이므로 n 대신 4n을 대입하면 신뢰구간의 길이는 2kh14nq=kh1nq따라서 표본의 크기가 4배가 되면 신뢰구간의 길이는 1/2 배가 되므로 a=1/2 ② 0866 임의추출한 부품 400개 중에서 불량품의 개수의 비율을 p이라 하면 p은 근사적으로 정규분포 N(0.1, 0.1\0.9400), 즉 N(0.1, 0.015^2 )을 따르므로 Z=p-0.10.015로 놓으면 Z는 근사적으로 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.따라서 구하는 확률은 P(p_> /400)=P(p_> 0.13)=P(Z_> 0.13-0.10.015)=P(Z_> 2)=P(Z_> 0)-P(0_< Z_< 2)=0.5-0.4772=0.0228 ①0867 임의추출한 이용객 100명 중에서 서비스에 만족한 이용객의 비율을 p이라 하면 p은 근사적으로 정규분포 N(0.64, 0.64\0.36100), 즉 N(0.64, 0.048^2 )을 따르므로 Z=p-0.640.048로 놓으면 Z는 근사적으로 표준정규분포 N(0, 1)을따른다.따라서 구하는 확률은 P(0.616_< p_< 0.664) `=P(0.616-0.640.048_< Z_< 0.664-0.640.048) `=P(-0.5_< Z_< 0.5) `=2P(0_< Z_< 0.5) `=2\0.19 `=0.38 ②라이트쎈-확통(해설078-088)ok.indd 8514. 8. 28. 오후 1:16 86 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0873 정규분포 N(m, h^2)을 따르는 모집단에서 임의추출한 크기가 n인 표본의 표본평균 Xw는 정규분포 N(m, h^2n)을 따른다.모집단이 정규분포 N(32, 9^2)을 따르고 표본의 크기가 36이므로 표본평균 Xw는 정규분포 N(32, 9^236), 즉 N(32, (3/2)^^2)을 따른다.따라서 a=32, b=9/4이므로 ab=72 ③0874 정규분포 N(m, h^2)을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출할 때, 신뢰도 a`%로 추정한 모평균의 신뢰구간의 길이는 2kh`1nq이다. (단, P(|Z|_22810000)=P(p_>0.0228)=P(Z_>0.0228-0.020.0014)=P(Z_>2)=P(Z_>0)-P(0_20 .t3 n_>400따라서 최소 400개의 씨앗을 심어야 한다. ④0872 모평균과 표본평균 Xw의 평균이 같음을 이용한다.모평균이 15이므로 E(X)=E(Xw)=15 .t3 E(2Xw+3)=2E(Xw)+3=2·15+3=33 33채점 기준비율❶ 시청률의 신뢰구간을 구할 수 있다. 60%❷ n의 값을 구할 수 있다.40%라이트쎈-확통(해설078-088)ok.indd 8614. 8. 28. 오후 1:16 09``통계적 추정 • 87통계적 추정09본책125~127쪽 58-2.94_< m_< 58+2.94 .t3 55.06_< m_< 60.94따라서 신뢰구간에 속하는 정수는 56, 57, 58, 59, 60의 5개이다. 50880 먼저 모평균 m의 신뢰구간을 구한다.표본평균이 24, 모표준편차가 40, 표본의 크기가 n이므로 모평균 m의 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 24-2· 40 `1nq_< m_< 24+2· 40 `1nq .t3 24-80 `1nq_< m_< 24+80 `1nq이때 위의 신뢰구간이 19_< m_< 29에 포함되어야 하므로 24-80 `1nq_> 19, 24+80 `1nq_< 29 1nq_> 16 .t3 n_> 256따라서 n의 최솟값은 256이다. ⑤0881 정규분포 N(m, h^2 )을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출할 때, 신뢰도 a`%로 추정한 모평균의 신뢰구간의 길이는 2kh1nq이다. (단, P(|Z|_< k)=a100)모표준편차가 16, 표본의 크기가 64이므로 신뢰도 99%로 추정한 모평균의 신뢰구간의 길이는 2\2.58\16`164q=10.32 10.320882 모평균 m의 신뢰구간이 a_< m_< a+5이므로 신뢰구간의 길이는 5임을 이용한다.표본의 크기 324가 충분히 크므로 모표준편차 대신 표본표준편차 25를 사용할 수 있다.P(|Z|_< k)=a100라 하면 a`%로 추정한 모평균의 신뢰구간의 길이는 2k.c1 251324a=25/9k ⇨ ❶이때 신뢰구간 a_< m_< a+5에서 신뢰구간의 길이는 (a+5)-a=5이므로 25/9k=5 .t3 k=1.8 ⇨ ❷이때 P(|Z|_< 1.8)=0.92이므로 a=100\0.92=92 ⇨ ❸ 920883 표본비율을 p이라 할 때, 모비율 p의 신뢰도 a`%의 신뢰구간은 p-k5p(1-p)nb_< p_< p+k5p(1-p)nb이다.(단, P(|Z|_< k)=a100)채점 기준비율❶ 신뢰구간의 길이를 k에 대한 식으로 나타낼 수 있다. 40%❷ k의 값을 구할 수 있다.30%❸ a의 값을 구할 수 있다.30%0877 먼저 확률의 총합이 1임을 이용하여 a의 값을 구한 후 모집단의 평균, 분산을 구한다.확률의 총합은 1이므로 5/16+a+3/16+5/16=1 .t3 a=3/16따라서 모집단의 평균은 E(X)=1· 5/16+2· 3/16+3· 3/16+4· 5/16=5/2 이때 V(X)=E(X^2 )-{E(X)}^2 이므로 V(X)=1^2 · 5/16+2^2 · 3/16+3^2 · 3/16+4^2 · 5/16-(5/2 )^^2 =31/4-25/4=3/2 표본의 크기가 8이므로 V(Xw)=3/2 8=3/16 ③0878 한 묶음의 무게를 이용하여 표본평균을 구한다.모집단이 정규분포 N(60, 5^2 )을 따르고 표본의 크기가 25이므로 표본평균 Xw는 정규분포 N(60, 5^2 25), 즉 N(60, 1)을 따른다.⇨ ❶Z=Xw-60으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르고 한 상자의 무게가 1425`g이면 달걀 한 개의 무게는 142525=57(g)이므로 구하는 확률은 P(Xw<57)이다. ⇨ ❷ .t3 P(Xw<57)=P(Z<57-60)=P(Z<-3)=P(Z_> 3)=P(Z_> 0)-P(0_< Z_< 3) =0.5-0.4987=0.0013 ⇨ ❸ 0.00130879 정규분포 N(m, h^2 )을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 Xw의 값이 xq이면 모평균 m의 신뢰도 a`%의 신뢰구간은 xq-kh1nq_< m_< xq+kh1nq이다. (단, P(|Z|_< k)=a100)표본평균이 58, 모표준편차가 12, 표본의 크기가 64이므로 모평균 m의 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 58-1.96\12 `164q_< m_< 58+1.96\12 `164q이항분포의 평균, 분산, 표준편차확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따를 때, E(X)=np, V(X)=np(1-p), h(X)=2np(1x-p)x채점 기준비율❶ 표본평균이 따르는 정규분포를 구할 수 있다.30%❷ 구하는 확률을 식으로 나타낼 수 있다.30%❸ 확률을 구할 수 있다.40%라이트쎈-확통(해설078-088)ok.indd 8714. 8. 28. 오후 1:16 88 • 정답 및 풀이정답 및 풀이표본의 크기가 600, 표본비율이 p=360/600=0.6이므로 찬성율 p의 신뢰도 95`%의 신뢰구간은 0.6-250.6\0.4600b_0.9332에서 P(Z_0.9332 P(Z_<0)+P(0_0.9332 0.5+P(0_0.9332 .t3 P(0_0.4332이때 P(0_1.5 .t3 a_>500.5따라서 a의 최솟값은 500.5이다. ①0885 먼저 표본평균이 따르는 정규분포를 구한다.모집단이 정규분포 N(9/8, 9^2)을 따르고 표본의 크기가 n이므로 표본평균 Xw는 정규분포 N(9/8, 9^2n)을 따른다.Z=Xw-9/89`1nq로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로 P(Xw_<2.75\9`1nq)=0.9878에서 P(Z_<2.75\9`1nq-9/89`1nq)=0.9878 P(Z_<2.75-`1nq8)=0.9878 P(Z_<0)+P(0_2.58\0.30.05, 1nq_>15.48 .t3 n_>239.6304따라서 최소 240명의 환자를 대상으로 투약해야 한다. ④본책127쪽라이트쎈-확통(해설078-088)ok.indd 8814. 8. 28. 오후 1:16
