미적분II ● 정답을 확인하려고 할 때에는 <빠른 정답 찾기>를 이용하면 편리합니다.적분법IV10 여러 가지 적분법 12311 정적분 13712 정적분의 활용 150미분법III07 여러 가지 미분법 8008 도함수의 활용 ⑴ 9109 도함수의 활용 ⑵ 107삼각함수II04 삼각함수 3905 삼각함수의 그래프 5106 삼각함수의 미분 65지수함수와 로그함수I01 지수함수 202 로그함수 1503 지수함수와 로그함수의 미분 30라이트쎈미적2_1강(해001-014)ok.indd 115. 2. 27. 오후 2:21 2 • 정답 및 풀이정답 및 풀이이때 함수 y=(1/7)^^x은 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하므로 (1/7)1/2<(1/7)^^-^^1 .t3 41/7 <(1/7)^^-^^1 41/7 <(1/7)^^-^^10018 y=(1/5)^^x^^-^^2-10019 -y=(1/5)^^x에서 y=-(1/5)^^x y=-(1/5)^^x0020 y=(1/5)^^-^^x에서 y=(5^-^1)^-^x .t3 y=5^x y=5^x0021 -y=(1/5)^^-^^x에서 y=-(5^-^1)^-^x .t3 y=-5^x y=-5^x0022 y=3^x+2의 그래프는 y=3^x의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다. 따라서 치역은 {y|y는 양의 실수}이고, 점근선의 방정식은 y=0이다. 풀이 참조0023 y=3^x-3의 그래프는 y=3^x의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다. 따라서 치역은 {y|y>-3}이고, 점근선의 방정식은 y=-3이다. 풀이 참조0024 y=-3^-^x의 그래프는 y=3^x의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.따라서 치역은 {y|y<0}이고, 점근선의 방정식은 y=0이다. 풀이 참조0025 y=3^-^x+1의 그래프는 y=3^x의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 후 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.따라서 치역은 {y|y>1}이고, 점근선의 방정식은 y=1이다. 풀이 참조(cid:89)(cid:48)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:20)x(cid:90)(cid:30)(cid:20)x+2(cid:18)(cid:26)(cid:90)(cid:30)(cid:20)x(cid:90)(cid:30)(cid:20)x(cid:14)(cid:20)(cid:89)(cid:48)(cid:14)(cid:20)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:20)x(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:20)-x(cid:89)(cid:48)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:20)x(cid:90)(cid:30)(cid:20)-x(cid:12)(cid:18)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:19)(cid:90)지수함수01Ⅰ. 지수함수와 로그함수0001 f(0)=5^0=1 10002 f(2)=5^2=25 250003 f(-1)=5^-^1=1/5 1/50004 `f(1)`f(-2)=5^15^-^2=5^1^-^(^-^2^)=5^3=125 1250005 f(0)=(1/3)^^0=1 10006 f(4)=(1/3)^^4=1/81 1/810007 f(-2)=(1/3)^^-^^2=(3^-^1)^-^2=3^2=9 90008 f(-1)f(3)=(1/3)^^-^^1(1/3)^^3=(1/3)^^-^^1^^+^^3 =(1/3)^^2=1/9 1/90009 ◯0010 치역은 {y|y는 양의 실수}이다. \0011 ◯0012 ◯0013 그래프는 x축을 점근선으로 갖는다. \0014 -2<-1이고, 함수 y=(1/2)^^x은 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하므로 (1/2)^^-^^1<(1/2)^^-^^2 (1/2)^^-^^1<(1/2)^^-^^20015 ^323^2w =32/3, 13=31/2이고, 1/2<2/3이다.이때 함수 y=3^x은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하므로 31/2<32/3 .t3 13 <^323^2w 13 <^323^2w 0016 ^315 =51/3이고, 0.3<1/3이다.이때 함수 y=5^x은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하므로 50.3<51/3 .t3 50.3<^315 50.3<^315 0017 41/7 =(1/7)1/2이고, -1<1/2이다.라이트쎈미적2_1강(해001-014)ok.indd 215. 2. 27. 오후 2:21 01``지수함수 • 3본책지수함수016~8쪽0037 3^x =t`(t>0)로 놓으면 주어진 방정식은 t 2-2t+1=0, (t-1)^2 =0 .t3 t=1즉 3^x =1이므로 x=0 .t3 ㈎ 2 ㈏ 1 ㈐ 0 풀이 참조0038 5^2 ^x -6.c1 5^x +5=0에서 (5^x )^2 -6.c1 5^x +5=05^x =t`(t>0)로 놓으면 주어진 방정식은 t^2 -6t+5=0, (t-1)(t-5)=0 .t3 t=1 또는 t=5즉 5^x =1 또는 5^x =5이므로 x=0 또는 x=1 x=0 또는 x=10039 4^x -3.c1 2^x -4=0에서 2^2 ^x -3.c1 2^x -4=0, (2^x )^2 -3.c1 2^x -4=02^x =t`(t>0)로 놓으면 주어진 방정식은 t^2 -3t-4=0, (t+1)(t-4)=0 .t3 t=4`(.T3 t>0)즉 2^x =4이므로 x=2 x=20040 (1/2 )^^2 ^^x -2.c1 (1/2 )^^x -8=0에서 {(1/2 )^^x }^^2 -2.c1 (1/2 )^^x -8=0(1/2 )^^x =t`(t>0)로 놓으면 주어진 방정식은 t^2 -2t-8=0, (t+2)(t-4)=0 .t3 t=4 (.T3 t>0)즉 (1/2 )^^x =4이므로 (1/2 )^^x =(1/2 )^^- ^^2 .t3 x=-2 x=-20041 125^x -5^- ^x -20=0에서 {(1/5 )^^x }^^2 -(1/5 )^^x -20=0(1/5 )^^x =t`(t>0)로 놓으면 주어진 방정식은 t^2 -t-20=0, (t+4)(t-5)=0 .t3 t=5`(.T3 t>0)즉 (1/5 )^^x =5이므로 (1/5 )^^x =(1/5 )^^- ^^1 .t3 x=-1 x=-10042 4^2 ^x ^+ ^1 =5^2 ^x ^+ ^1 에서 2x+1=0 .t3 x=-1/2 x=-1/2 0043 (1/7 )^^x ^^- ^^3 =3^- ^x ^+ ^3 에서 7^- ^x ^+ ^3 =3^- ^x ^+ ^3 -x+3=0 .t3 x=3 x=30026 0027 0028 0029 0030 함수 y=10^x 에서x=-2일 때, y=10^- ^2 =/100x=1일 때, y=10^1 =10따라서 최댓값은 10, 최솟값은 /100이다. 최댓값: 10, 최솟값: /1000031 함수 y=5^- ^x 에서x=-4일 때, y=5^4 =625x=-1일 때, y=5^1 =5따라서 최댓값은 625, 최솟값은 5이다. 최댓값: 625, 최솟값: 50032 함수 y=6^x ^+ ^2 -2에서x=-3일 때, y=6^- ^3 ^+ ^2 -2=-11/6x=0일 때, y=6^0 ^+ ^2 -2=34따라서 최댓값은 34, 최솟값은 -11/6이다. 최댓값: 34, 최솟값: -11/60033 3^x =27에서 3^x =3^3 이므로 x=3 x=30034 (1/10)^^x =100에서 10^- ^x =10^2 이므로 -x=2 .t3 x=-2 x=-20035 25^x =5.c1 5^3 ^x 에서 5^2 ^x =5^3 ^x ^+ ^1 이므로 2x=3x+1 .t3 x=-1 x=-10036 23^x w =3.c1 (1/3 )^^x 에서 31/2 ^x =3^1 ^- ^x 이므로 1/2 x=1-x, 3/2 x=1 .t3 x=2/3 x=2/3 (cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:89)(cid:48)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:9)(cid:1)(cid:1)(cid:10)-x(cid:12)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:89)(cid:48)(cid:90)(cid:18)(cid:14)(cid:21)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:22)x-2(cid:12)(cid:20)(cid:89)(cid:48)(cid:20)(cid:19)(cid:19)(cid:90)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:9)(cid:1)(cid:1)(cid:10)(cid:14)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:19)(cid:14)(cid:20)(cid:19)(cid:14)(cid:20)라이트쎈미적2_1강(해001-014)ok.indd 315. 2. 27. 오후 2:21 4 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0051 (1/3)^^2^^x-30.c1(1/3)^^x+81<0에서 {(1/3)^^x}^^2-30.c1(1/3)^^x+81<0(1/3)^^x=t`(t>0)로 놓으면 t^2-30t+81<0, (t-3)(t-27)<0 .t3 30)로 놓으면 t^2-14t-32_<0, (t+2)(t-16)_<0 .t3 -2_0이므로 0-4 x_>-40053 1/2<2^2^x<412~에서 2^-^1<2^2^x<25/2밑이 1보다 크므로 -1<2x<5/2 .t3 -1/264에서 (1/4)^^2^^x_>(1/4)^^-^^3밑이 1보다 작으므로 2x_<-3 .t3 x_<-3/2 x_<-3/20046 515 _<1/25.c15^x^-^1에서 53/2_<5^x^-^3밑이 1보다 크므로 3/2_9/2 x_>9/20047 2^1^-^3^x>8.c1(12 )^x에서 2^1^-^3^x>21/2^x^+^3밑이 1보다 크므로 1-3x>1/2x+3 -7/2x>2 .t3 x<-4/7 x<-4/70048 (1/2)^^x=t`(t>0)로 놓으면 주어진 부등식은 t2-3t+2<0, (t-1)(t-2)<0 .t3 10)로 놓으면 27t^2-12t+1_<0, (9t-1)(3t-1)_<0 .t3 1/9_0에서 (5^x)^2-20.c15^x-125>05^x=t`(t>0)로 놓으면 t^2-20t-125>0, (t+5)(t-25)>0 .t3 t<-5 또는 t>25그런데 t>0이므로 t>25즉 5^x>5^2에서 밑이 1보다 크므로 x>2 x>2라이트쎈미적2_1강(해001-014)ok.indd 415. 2. 27. 오후 2:21 01``지수함수 • 5본책지수함수019~11쪽ㅂ. y=-8.c1 2^x =-2^x ^+ ^3 이므로 y=-8.c1 2^x 의 그래프는 y=2^x 의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 후, x축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다.이상에서 y=2^x 의 그래프를 평행이동 또는 대칭이동하여 겹쳐질 수 있는 그래프의 식은 ㄱ, ㄴ, ㅁ, ㅂ이다. ㄱ, ㄴ, ㅁ, ㅂ0062 주어진 그래프의 점근선의 방정식이 y=-2이므로 b=-2 ⇨ ❶그래프가 점 (1, 1)을 지나므로 1=3^a ^- ^1 -2, 3^a ^- ^1 =3 a-1=1 .t3 a=2 ⇨ ❷ .t3 a+b=0 ⇨ ❸ 00063 f(2)=m에서 a^2 =m .c3 .c3 ㉠f(5)=n에서 a^5 =n .c3 .c3 ㉡㉡/㉠을 하면 nm=a^5 ^- ^2 =a^3 .t3 f(6)=a^6 =(a^3 )^2 =(nm)^^2 ⑤0064 f(p)=3이므로 1/2 (a^p +a^- ^p )=3 .t3 a^p +a^- ^p =6 .t3 f(2p)=1/2 (a^2 ^p +a^- ^2 ^p )=1/2 {(a^p +a^- ^p )^2 -2} =1/2 (6^2 -2)=17 170065 f(0)=3^n =4, f(2)=3^2 ^m ^+ ^n =16이므로 4.c1 3^2 ^m =16, 3^2 ^m =4 .t3 3^m =2`(.T3 3^m >0) .t3 f(-1)=3^- ^m ^+ ^n =3^n 3^m =4/2 =2 20066 f(m)=p이므로 a^m =pg(1p )=k라 하면 f(k)=1pq a^k =1p =p1/2 =(a^m )1/2 =am/2 .t3 k=m/2 ④0067 오른쪽 그림에서 y=2^x 의 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로 a=12^a =b이므로 b=22^b =c이므로 c=2^2 =4 .t3 a-b+c=1-2+4=3 3채점 기준비율❶b의값을구할수있다.30%❷a의값을구할수있다.60%❸a+b의값을구할수있다.10%(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:19)x(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:19)(cid:21)(cid:18)(cid:19)(cid:21)(cid:90)0057 y=(2a+1)^x 에서 x의 값이 증가할 때 y의 값은 감소하려면 0<2a+1<1 ⇨ ❶ -1<2a<0 .t3 -1/2 0에서 세 함수 y=x^3, y=x^2, y=x의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 01)의 그래프는 점 (0, 1)을 지나므로 b=1오른쪽 그림에서 semoOAB=1/2.c11.c1c=3/2 .t3 c=3점 B의 좌표는 (3, 8)이고, y=a^x의 그래프 위에 있으므로 8=a^3 .t3 a=2 .t3 a+b+c=2+1+3=6 60071 A=271/4=(3^3)1/4=33/4B=(/243)^^-^^3=(3^-^5)^-^3=3^1^5C=^5181q =^523^4w =34/5이때 3/4<4/5<15이고 밑이 1보다 크므로 33/4<34/5<3^1^5 .t3 A0)로 놓으면 y=t^2 -6t+10=(t-3)^2 +1따라서 y는 t=3, 즉 x=1일 때 최솟값 1을 가지므로 a=1, b=1 .t3 b-a=0 ③0082 y=2^x ^+ ^2 -4^x +1=-(2^x )^2 +4.c1 (2^x )+12^x =t로 놓으면 0_< x_< 2에서 1_< t_< 4이고 y=-t^2 +4t+1=-(t-2)^2 +5따라서 y는 t=2, 즉 x=1일 때 최댓값 5, t=4, 즉 x=2일 때 최솟값 1을 가지므로 M=5, m=1 .t3 M+m=6 60083 y=(1/4 )^^x -k~(1/2 )^^x ^^- ^^1 +3={(1/2 )^^x }^^2 -2k~(1/2 )^^x +3(1/2 )^^x =t`(t>0)로 놓으면 y=t^2 -2kt+3=(t-k)^2 -k^2 +3� k_< 0이면 t>0에서 최솟값을 갖지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.� k>0이면 t=k일 때, 최솟값 -k^2 +3을 가지므로 -k^2 +3=-1, k^2 =4 .t3 k=2`(.T3 k>0)�, �에서 k=2 ④0084 f(x)=4.c1 3^x +3^- ^x ^+ ^2 =4.c1 3^x +93^x 이때 3^x >0, 13^x >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 f(x)=4.c1 3^x +93^x _> 244.c1 3^x .c1 93^x v`=12 (단, 등호는 3^x =3/2 일 때 성립) 120085 (1/2 )^^x >0, (1/2 )^^- ^^x ^^+ ^^4 >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 f(x)=(1/2 )^^x +(1/2 )^^- ^^x ^^+ ^^4 _> 24(1/2 )^^x .c1 (1/2 )^^- ^^x ^^+ ^^4 v =24(1/2 )^^4 r`=2.c1 (1/2 )^^2 =1/2 (단, 등호는 x=2일 때 성립)따라서 f(x)는 x=2일 때 최솟값 1/2 을 가지므로 a=2, b=1/2 .t3 ab=1 ②산술평균과 기하평균의 관계a>0, b>0일 때, a+b2_> 1abq (단, 등호는 a=b일 때 성립)0077 f(x)=x^2 -2x로 놓으면 f(x)=(x-1)^2 -1y=(1/7 )x^2 -2x에서 밑이 1보다 작으므로 f(x)가 최소일 때 y는 최댓값을 갖는다. 따라서 y는 f(x)=-1, 즉 x=1일 때 최댓값 7을 가지므로 a=1, b=7 .t3 a+b=8 ①0078 f(x)=x^2 -6x+5로 놓으면 f(x)=(x-3)^2 -40_< x_< 4에서 f(0)=5, f(3)=-4, f(4)=-3이므로 -4_< `f(x)_< 5y=3x^2 -6x+5에서 f(x)=5, 즉 x=0일 때, y=3^5 f(x)=-4, 즉 x=3일 때, y=3^- ^4 이므로 y의 최댓값은 3^5 , 최솟값은 3^- ^4 이다.따라서 구하는 곱은 3^5 .c1 3^- ^4 =3 ④0079 f(x)=x^2 -x+9/4 로 놓으면 f(x)=(x-1/2 )^^2 +2f(x)는 x=1/2 에서 최솟값 2를 갖는다. ⇨ ❶그런데 함수 y=a f(x)도 최솟값을 가지므로 a>1 ⇨ ❷y=a f(x)의 최솟값이 16이므로 a^2 =16 .t3 a=4`(.T3 a>1) ⇨ ❸ 40080 f(x)=-x^2 +2x+1로 놓으면 f(x)=-(x-1)^2 +2-1_< x_< 2에서 f(-1)=-2, f(1)=2, f(2)=1이므로 -2_< `f(x)_< 2y=a-x^2 +2x+1에서 밑이 1보다 작으므로 f(x)가 최소일 때, y는 최댓값을 갖는다.따라서 y는 f(x)=-2, 즉 x=-1일 때 최댓값 9를 가지므로 a^- ^2 =9, a^2 =1/9 .t3 a=1/3`(.T3 00)로 놓으면 3t^2-4t+1=0, (3t-1)(t-1)=0 .t3 t=1/3 또는 t=1즉 3^x=1/3 또는 3^x=1이므로 x=-1 또는 x=0 .t3 alpha=-1, beta=0 또는 alpha=0, beta=-1 .t3 alpha+beta=-1 -10092 64^x+16^x=3.c14^x^+^1에서 (4^x)^3+(4^x)^2=12.c14^x4^x=t`(t>0)로 놓으면 주어진 방정식은 t^3+t^2-12t=0, t(t^2+t-12)=0 t(t+4)(t-3)=0 .t3 t=3`(.T3 t>0)즉 4alpha=3이므로 2alpha=13 `(.T3 2alpha>0) ③ 4^x=3에서 x=log_4~3이므로 alpha=log_4~30093 2^x+2^-^x2^x-2^-^x=3에서 2^x+2^-^x=3(2^x-2^-^x) 2.c12^x-4.c12^-^x=0양변에 2^x을 곱하면 2.c1(2^x)^2-4=02^x=t`(t>0)로 놓으면 2t^2-4=0, t^2=2 .t3 t=12`(.T3 t>0)즉 2^x=12~이므로 방정식의 해는 x=1/2 x=1/20094 a^2^x+a^x=20에서 (a^x)^2+a^x-20=0a^x=t`(t>0)로 놓으면 t^2+t-20=0, (t+5)(t-4)=0 .t3 t=4`(.T3 t>0)즉 a^x=4에서 x=1/2이므로 a1/2=4 .t3 a=4^2=16 ⑤0095 3^x+3^-^x=t`(t_>2)로 놓으면 9^x+9^-^x=(3^x+3^-^x)^2-2=t^2-2이므로 주어진 방정식은 (t^2-2)+t-4=0, t^2+t-6=0 ⇨ ❶ (t+3)(t-2)=0 .t3 t=-3 또는 t=2그런데 t_>2이므로 t=2 ⇨ ❷따라서 3^x+3^-^x=2이므로 x=0 ⇨ ❸ x=0채점 기준비율❶t에대한방정식을세울수있다.40%❷t의값을구할수있다.30%❸방정식을풀수있다.30%0086 x+y+2=0에서 y=-x-2이므로 5^x+5^y=5^x+5^-^x^-^2이때 5^x>0, 5^-^x^-^2>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 5^x+5^-^x^-^2_>225^x.c15^-^x^-^2x =24(1/5)^^2f`=2/5 (단, 등호는 x=-1일 때 성립)따라서 5^x+5^y의 최솟값은 2/5이다. 2/50087 2^x+2^-^x=t로 놓으면 2^x>0, 2^-^x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 t=2^x+2^-^x_>222^x.c12^-^xx =2`(단, 등호는 x=0일 때 성립)또 (2^x+2^-^x)^2=t^2에서 4^x+4^-^x+2=t^2 .t3 4^x+4^-^x=t^2-2따라서 주어진 함수는 y=-(t^2-2)+4t=-(t-2)^2+6`(t_>2)이므로 t=2일 때 y의 최댓값은 6이다. ②0088 (1/3)x^2.c1(13~)^x=1/27에서 3-x^2.c131/2x=3^-^3, 3-x^2+1/2x=3^-^3 -x^2+1/2x=-3, 2x^2-x-6=0따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 주어진 방정식의 두 근의 합은 1/2이다. 1/20089 4x^2-23x+a=0에서 22x^2=23x+a 2x^2=3x+a, 2x^2-3x-a=0 .c3.c3 ㉠이때 주어진 방정식의 한 근이 3이므로 ㉠에 x=3을 대입하면 18-9-a=0 .t3 a=9 ⑤0090 3-x^2+23^x^-^1=1/81에서 3-x^2+2-(x-1)=3^-^4 3-x^2-x+3=3^-^4 ⇨ ❶ -x^2-x+3=-4, x^2+x-7=0 ⇨ ❷이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 alpha+beta=-1, alphabeta=-7이므로 alpha^2+beta^2 =(alpha+beta)^2-2alphabeta =(-1)^2-2.c1(-7)=15 ⇨ ❸ 15a^x+a^-^x을 포함한 함수의 최대.c1최소a^x+a^-^x`(a>0, anot=1)을 포함한 함수의 최대.c1최소는 a^x+a^-^x=t`(t_>2)로 치환하여 t에 대한 함수의 최대.c1최소를 구한다.채점 기준비율❶주어진방정식을3 f(x)=3^k(k는상수)꼴로정리할수있다.40%❷x에대한이차방정식을세울수있다.30%❸alpha^2+beta^2의값을구할수있다.30%라이트쎈미적2_1강(해001-014)ok.indd 815. 2. 27. 오후 2:21 01``지수함수 • 9본책지수함수0114~16쪽이 연립방정식을 풀면 X=2, Y=5 또는 X=5, Y=2 .t3 2^x =2, 2^y =5 또는 2^x =5, 2^y =2그런데 alpha >beta 이므로 2alpha =5, 2beta =2 .t3 2alpha -2beta =3 30103 25^x -2.c1 5^x ^+ ^1 +5=0에서 (5^x )^2 -10.c1 5^x +5=05^x =t`(t>0)로 놓으면 t^2 -10t+5=0이 방정식의 두 근은 5alpha , 5beta 이므로 근과 계수의 관계에 의하여 5alpha .c1 5beta =5, 5alpha +beta =5 .t3 alpha +beta =1 ①0104 9^x -7.c1 3^x +9=0에서 (3^x )^2 -7.c1 3^x +9=03^x =t`(t>0)로 놓으면 t^2 -7t+9=0 ⇨ ❶이 방정식의 두 근은 3alpha , 3beta 이므로 근과 계수의 관계에 의하여 3alpha +3beta =7, 3alpha .c1 3beta =9 ⇨ ❷ .t3 9alpha +9beta =(3alpha )^2 +(3beta )^2 =(3alpha +3beta )^2 -2.c1 3alpha .c1 3beta =7^2 -2.c1 9=31 ⇨ ❸ 310105 4^x -4.c1 2^x +k=0에서 (2^x )^2 -4.c1 2^x +k=02^x =t`(t>0)로 놓으면 t^2 -4t+k=0 .c3 .c3 ㉠주어진 방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 t에 대한 이차방정식 ㉠이 서로 다른 두 양의 근을 가져야 한다.� 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면 D4=(-2)^2 -k>0 .t3 k<4� (두 근의 합)=4>0� (두 근의 곱)=k>0이상에서 0 0, alpha +beta >0, alpha beta >0② 두 근이 모두 음 NLLO D_> 0, alpha +beta <0, alpha beta >0③ 두 근이 서로 다른 부호 NLLO alpha beta <00096 � x+3=0, 즉 x=-3일 때, 2^0 =7^0 =1이므로 등식이 성립한다.� x+3not= 0일 때, x+5=7에서 x=2�, �에서 모든 근의 합은 -3+2=-1 ③0097 � 5x=0, 즉 x=0일 때, 2^0 =4^0 =1이므로 등식이 성립한다.� 5xnot= 0일 때, 3x+2=x+4에서 x=1�, �에서 주어진 방정식의 근은 x=0 또는 x=1 x=0 또는 x=10098 � x=1일 때, 1^5 =1^1 이므로 등식이 성립한다.� xnot= 1일 때, 2x+3=x^2 에서 x^2 -2x-3=0 (x+1)(x-3)=0 .t3 x=3`(.T3 x>0)�, �에서 모든 근의 곱은 1.c1 3=3 ①0099 � x+1=1, 즉 x=0일 때, 1^0 =1^3 이므로 등식이 성립한다.� x+1not= 1일 때, 4x=x+3에서 x=1�, �에서 주어진 방정식의 근은 x=0 또는 x=1 x=0 또는 x=10100 k (1/3 )^^x +(1/3 )^^y =12(1/3 )^^x ^^+ ^^y =27에서 k (1/3 )^x +(1/3 )^^y =12(1/3 )^^x .c1 (1/3 )^^y =27(1/3 )^^x =X, (1/3 )^^y =Y`(X>0, Y>0)로 놓으면 {X+Y=12XY=27이 연립방정식을 풀면 X=3, Y=9 또는 X=9, Y=3즉 (1/3 )^^x =3, (1/3 )^^y =9 또는 (1/3 )^^x =9, (1/3 )^^y =3이므로 x=-1, y=-2 또는 x=-2, y=-1 .t3 alpha ^2 +beta ^2 =5 ⑤0101 {3^x +2.c1 2^y =253.c1 3^x -2^y =19에서 3^x =X, 2^y =Y (X>0, Y>0)로 놓으면 {X+2Y=253X-Y=19이 연립방정식을 풀면 X=9, Y=8즉 3^x =9, 2^y =8이므로 x=2, y=3 .t3 alpha beta =6 ③0102 {2^x +2^y =74^x +4^y =29에서 {2^x +2^y =7(2^x )^2 +(2^y )^2 =292^x =X, 2^y =Y (X>0, Y>0)로 놓으면 {X+Y=7X^2 +Y^2 =29라이트쎈미적2_1강(해001-014)ok.indd 915. 2. 27. 오후 2:21 10 • 정답 및 풀이정답 및 풀이이상에서 주어진 부등식의 해는 10)로 놓으면 t^2-15t+14<0 (t-1)(t-14)<0 .t3 11의 양변에 2^x을 곱하면 (2^x)^2-2_>2^x, (2^x)^2-2^x-2_>02^x=t`(t>0)로 놓으면 t^2-t-2_>0 (t+1)(t-2)_>0 .t3 t_<-1 또는 t_>2그런데 t>0이므로 t_>2즉 2^x_>2이므로 x_>1 x_>10115 5^x>5^-^2^x^+^1에서 밑이 1보다 크므로 x>-2x+1, 3x>1 .t3 x>1/3 .c3.c3 ㉠ ⇨ ❶(1/4)^^x-6.c1(1/2)^^x-16<0에서 {(1/2)^^x}^^2-6.c1(1/2)^^x-16<0(1/2)^^x=t`(t>0)로 놓으면 t^2-6t-16<0 (t+2)(t-8)<0 .t3 -20이므로 0-3 .c3.c3 ㉡ ⇨ ❷㉠, ㉡에서 주어진 연립부등식의 해는 x>1/3 ⇨ ❸ x>1/30116 (1/9)^^x-p~(1/3)^^x+q<0에서 {(1/3)^^x}^^2-p~(1/3)^^x+q<0(1/3)^^x=t`(t>0)로 놓으면 t^2-pt+q<0 .c3.c3 ㉠이때 -15^-^2^x^+^1의해를구할수있다.30%❷부등식(1/4)^^x-6.c1(1/2)^^x-16<0의해를구할수있다.50%❸주어진연립부등식의해를구할수있다.20% -x+2>4-6x, 5x>2 .t3 x>2/5 ②0107 (1/36)x^2+x-4_>(1/6)x^2에서 (1/6)2x^2+2x-8_>(1/6)x^2밑이 1보다 작으므로 2x^2+2x-8_-9/2�, �에서 주어진 부등식의 해는 -9/2(1/2) g(x)에서 밑이 1보다 작으므로 f(x)_c ⑤0110 � x=1일 때, 1_>1이므로 부등식이 성립한다.� 02 그런데 01일 때, -x+6_>2x에서 x_<2 그런데 x>1이므로 11일 때, 4x+4>x^2-1에서 x^2-4x-5<0 (x+1)(x-5)<0 .t3 -11이므로 13x에서 x^2-3x-18>0 (x+3)(x-6)>0 .t3 x<-3 또는 x>6그런데 01일 때, x^2-18<3x에서 x^2-3x-18<0 (x+3)(x-6)<0 .t3 -31이므로 1 136, 2^x +2.c1 (2^x )^2 _> 1362^x =t`(t>0)로 놓으면 2t^2 +t-136_> 0 (2t+17)(t-8)_> 0 .t3 t_> 8`(.T3 t>0)즉 2^x _> 8에서 x_> 3이므로 최소 3시간이 지나야 한다. 3시간0123 y=f(x)의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 그래프의 식은 y-b=f(x-a)이고, 원점에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 -y=f(-x)임을 이용한다.ㄱ, ㄴ, ㄹ. y=(1/2 )^^x ^^+ ^^1 -1의 그래프는 y=(1/2 )^^x 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.따라서 y=(1/2 )^^x ^^+ ^^1 -1의 그래프는 제~2, 3, 4~사분면을 지나고, 점근선의 방정식은 y=-1이다. ㄷ. y=(1/2 )^^x ^^+ ^^1 -1의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하면 -y=(1/2 )^^- ^^x ^^+ ^^1 -1 .t3 y=-2^x ^- ^1 +1이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다. ④0124 함수 y=a^x 에서 a>1이면 x가 최대일 때 y도 최대, x가 최소일 때 y도 최소이고, 01이므로 주어진 함수는 x=-1일 때 최소이고, x=2일 때 최대이다. x=-1일 때, y=(3/2 )^^- ^^1 -1=2/3 -1=-1/3 x=2일 때, y=(3/2 )^^2 -1=9/4 -1=5/4 즉 a=-1/3 , b=5/4 이므로 12ab=-5 ①0125 지수법칙을 이용하여 밑을 2로 같게 한 후 지수에 대한 방정식을 세운다.4x+3=2x^2 -2에서 22(x+3)=2x^2 -2, 22x+6=2x^2 -2 2x+6=x^2 -2, x^2 -2x-8=0 (x+2)(x-4)=0 .t3 x=-2 또는 x=4따라서 구하는 모든 근의 곱은 -8 -8(cid:89)(cid:48)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:90)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:90)(cid:30)(cid:9)(cid:1)(cid:1)(cid:10)x+1(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:14)(cid:19)0117 16^x -4^x ^+ ^1 +2k_> 0에서 (4^x )^2 -4.c1 4^x +2k_> 04^x =t`(t>0)로 놓으면 t^2 -4t+2k_> 0 .t3 (t-2)^2 +2k-4_> 0위의 부등식이 t>0인 모든 실수 t에 대하여 성립하려면 2k-4_> 0 .t3 k_> 2 k_> 20118 49^x -2.c1 7^x ^+ ^1 -k>0에서 (7^x )^2 -14.c1 7^x -k>07^x =t`(t>0)로 놓으면 t^2 -14t-k>0 ⇨ ❶ .t3 (t-7)^2 -k-49>0위의 부등식이 t>0인 모든 실수 t에 대하여 성립하려면 -k-49>0 .t3 k<-49 ⇨ ❷따라서 정수 k의 최댓값은 -50이다. ⇨ ❸ -500119 4^x +2^x ^+ ^1 +k_> 0에서 (2^x )^2 +2.c1 2^x +k_> 02^x =t`(t>0)로 놓으면 t^2 +2t+k_> 0x_> 0일 때 t_> 1이고 위의 부등식이 t_> 1인 모든 실수 t에 대하여 성립해야 하므로 f(t)=t^2 +2t+k=(t+1)^2 +k-1로 놓으면 오른쪽 그림에서 f(1)_> 0이어야 한다. 즉 f(1)=k+3_> 0 .t3 k_> -3따라서 실수 k의 최솟값은 -3이다. ②0120 박테리아가 4시간 후 160마리가 되므로 10a^4 =160, a^4 =16 .t3 a=2`(.T3 a>0)따라서 10마리의 박테리아가 x시간 후 10.c1 2^x 마리가 되므로 10.c1 2^x =1280, 2^x =128=2^7 .t3 x=7즉 7시간 후에 1280마리가 된다. 7시간0121 15년 후에 방사성 물질의 양이 처음의 양의 1/2 이 되므로 15n년 후의 방사성 물질의 양은 처음의 양의 (1/2 )^^n 이 된다. 이때 1/64=12^6 이므로 (1/2 )^^n =12^6 .t3 n=6따라서 방사성 물질의 양이 처음의 양의 1/64로 줄어드는 데 걸리는 시간은 15.c1 6=90(년) ④채점 기준비율❶t에대한부등식을세울수있다.40%❷k의값의범위를구할수있다.40%❸정수k의최댓값을구할수있다.20%(cid:85)(cid:76)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:48)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:85)(cid:10)(cid:90)라이트쎈미적2_1강(해001-014)ok.indd 1115. 2. 27. 오후 2:21 12 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0129 두 점 P, Q의 y좌표가 9임을 이용하여 a, b의 값을 구한다.점 P(a, 9)가 y=3^x의 그래프 위의 점이므로 3^a=9, 3^a=3^2 .t3 a=2점 Q(b, 9)가 y=(1/9)^^x의 그래프 위의 점이므로 (1/9)^^b=9, 9^-^b=9 .t3 b=-1 .t3 a-b=3 30130 밑을 2로 같게 하여 지수함수의 성질을 이용한다. A=^418~=^422^3w =23/4B=0.5-1/2=(1/2)-1/2=21/2C=^3116q =^322^4w =24/3이때 1/2<3/4<4/3이고 밑이 1보다 크므로 21/2<23/4<24/3 .t3 B0, 15^x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 f(x)=5^a(5^x+15^x)+3_>5^a.c1245^x.c115^xf+3 =2.c15^a+3(단, 등호는 x=0일 때 성립)따라서 2.c15^a+3=53이므로 2.c15^a=50, 5^a=25=5^2 .t3 a=2 2채점 기준비율❶g(x)=t로놓고t의값의범위를구할수있다.30%❷a,M의값을구할수있다.60%❸aM의값을구할수있다.10%0126 지수법칙을 이용하여 각 방정식을 간단히 한 후 지수에 대한 방정식을 세운다.32^x.c1(1/2)^^y=16에서 2^5^x.c12^-^y=2^4, 2^5^x^-^y=2^4 .t3 5x-y=4 .c3.c3`㉠ ⇨ ❶4^x^-^2.c18^y=2에서 22(x-2).c12^3^y=2, 22x-4.c123y=2 22x+3y-4=2, 2x+3y-4=1 .t3 2x+3y=5 .c3.c3`㉡ ⇨ ❷㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=1, y=1 ⇨ ❸ x=1, y=10127 함수 f(x)의 역함수가 g(x)이면 g(a)=b일 때, f(b)=a이다.g(x)가 f(x)=5^x의 역함수이므로g`(1/25)=a라 하면 f(a)=1/25, 5^a=5^-^2 .t3 a=-2g(25)=b라 하면 f(b)=25, 5^b=5^2 .t3 b=2 .t3 g`(1/25) g(25)=(-2).c12=-4 ②0128 지수법칙을 이용하여 좌변과 우변의 식이 같아지는지 확인한다. ㄱ. f(4x)=7^4^x=(7^x)^4={`f(x)}^4not=4f(x)ㄴ. f(-x)=7^-^x=(7^x)^-^1=17^x=1`f(x)ㄷ. f(x+y)=7^x^+^y=7^x.c17^y=f(x)f(y)not=f(x)+f(y)ㄹ. f(xy)=7^x^y=(7^x)^y={`f(x)}^y이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다. ④채점 기준비율❶32^x.c1(1/2)^^y=16에서지수에대한방정식을세울수있다.30%❷4^x^-^2.c18^y=2에서지수에대한방정식을세울수있다.30%❸연립방정식의해를구할수있다.40%지수함수의 특별한 성질지수함수 f(x)=a^x`(a>0, anot=1)과 임의의 실수 p, q에 대하여① f(p)f(q)=a^pa^q=a^p^+^q=f(p+q)② `f(p)`f(q)=a^pa^q=a^p^-^q=f(p-q)③ f(kp)=a^k^p=(a^p)^k={`f(p)}^k (단, k는 실수)④ f(-p)=a^-^p=1a^p=1`f(p)라이트쎈미적2_1강(해001-014)ok.indd 1215. 2. 27. 오후 2:21 01``지수함수 • 13본책지수함수0119~21쪽0136 해가 a_< x_< b이고 x^2 의 계수가 1인 이차부등식은 (x-a)(x-b)_< 0임을 이용한다.49^x +a.c1 7^x ^+ ^1 +b_< 0에서 (7^x )^2 +7a.c1 7^x +b_< 07^x =t`(t>0)로 놓으면 t^2 +7at+b_< 0 .c3 .c3 ㉠이때 1_< x_< 2에서 7^1 _< 7^x _< 7^2 .t3 7_< t_< 49해가 7_< t_< 49이고 t^2 의 계수가 1인 이차부등식은 (t-7)(t-49)_< 0 .t3 t^2 -56t+343_< 0이것이 ㉠과 일치하므로 7a=-56, b=343 .t3 a=-8, b=343 .t3 a+b=335 3350137 a^x 꼴이 반복되는 지수방정식 또는 지수부등식을 풀 때에는 a^x =t로 치환하여 t에 대한 방정식 또는 부등식을 푼다. 이때 t>0임에 주의한다. 4^x -10.c1 2^x +16=0에서 (2^x )^2 -10.c1 2^x +16=02^x =t`(t>0)로 놓으면 t^2 -10t+16=0 (t-2)(t-8)=0 .t3 t=2 또는 t=8즉 2^x =2 또는 2^x =8이므로 x=1 또는 x=3 .t3 A={1, 3} ⇨ ❶(1/9 )^^x ^^- ^^1 <2-17.c1 (1/3 )^^x 에서 9 (1/9 )^^x +17.c1 (1/3 )^^x -2<0 9{(1/3 )^^x }^^2 +17.c1 (1/3 )^^x -2<0(1/3 )^^x =s`(s>0)로 놓으면 9s^2 +17s-2<0, (s+2)(9s-1)<0 .t3 -20이므로 02 .t3 B={x|x>2} ⇨ ❷ .t3 Acup B={3} ⇨ ❸ {3}0138 수심이 20n`m 깊어지면 투과된 빛의 양은 (1/3 )^^n 으로 줄어듦을 이용한다. 수심이 20`m 깊어질 때마다 투과된 빛의 양이 1/3 로 줄어들므로 수심이 20n`m 깊어지면 투과된 빛의 양은 (1/3 )^^n 으로 줄어든다. 채점 기준비율❶집합A를구할수있다.40%❷집합B를구할수있다.50%❸Acup B를구할수있다.10%0133 12+13`=2-13 임을 이용하여 주어진 방정식을 변형한다. 2-13 =12+13`=(2+13 )^- ^1 이므로 주어진 방정식은 (2+13 )^x +(2+13 )^- ^x =2(2+13 )^x =t`(t>0)로 놓으면 t^2 -2t+1=0, (t-1)^2 =0 .t3 t=1즉 (2+13)^x =1이므로 x=0 x=0 주어진 방정식의 양변에 (2+13 )^x 을 곱하면 (2+13 )^x (2+13 )^x +(2-13 )^x (2+13 )^x =2(2+13 )^x (2+13 )^2 ^x +{(2-13 )(2+13 )}^x =2(2+13 )^x (2+13 )^2 ^x -2(2+13 )^x +1=0(2+13 )^x =t`(t>0)로 놓으면 t^2 -2t+1=0, (t-1)^2 =0 .t3 t=1즉 (2+13)^x =1이므로 x=00134 2^x =t로 치환하여 주어진 방정식을 t에 대한 이차방정식으로 나타낸 후 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.2^2 ^x -5.c1 2^x +2k=0에서 (2^x )^2 -5.c1 2^x +2k=02^x =t`(t>0)로 놓으면 t^2 -5t+2k=0이 방정식의 두 근이 2^alpha , 2^beta 이므로 근과 계수의 관계에 의하여 2^alpha .c1 2^beta =2k, 2^alpha ^+ ^beta =2k이때 alpha +beta =2이므로 2^2 =2k, 2k=4 .t3 k=2 ⑤0135 밑을 5로 통일한 후 지수에 대한 부등식을 세운다.25-x-2<54-x^2 <(1/5 )^^x ^^+ ^^2 에서 52(-x-2)<54-x^2 <5-(x+2) 5-2x-4<54-x^2 <5-x-2밑이 1보다 크므로 -2x-4<4-x^2 <-x-2� -2x-4<4-x^2 에서 x^2 -2x-8<0, (x+2)(x-4)<0 .t3 -20, (x+2)(x-3)>0 .t3 x<-2 또는 x>3�, �에서 주어진 부등식의 해는 30, 3^-^x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 t의 값의 범위는 t=3^x+3^-^x_>223^x.c13^-^xx=2 (단, 등호는 x=0일 때 성립)또 (3^x+3^-^x)^2=t^2에서 9^x+9^-^x+2=t^2 .t3 9^x+9^-^x=t^2-2따라서 주어진 함수는 y=t^2-2-6t+k=(t-3)^2-11+k`(t_>2)이므로 t=3일 때 y는 최솟값 -11+k를 갖는다.즉 -11+k=1에서 k=12 120143 3^x=t`(t>0)로 놓고 주어진 방정식을 t에 대한 이차방정식으로 나타낸 후 이 방정식이 서로 다른 두 양의 근을 가짐을 이용한다.3^x=t`(t>0)로 놓으면 주어진 방정식은 t^2-2(k-2)t+k^2-3k-4=0 .c3.c3 ㉠주어진 방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 t에 대한 이차방정식 ㉠이 서로 다른 두 양의 근을 가져야 한다.� 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면 D/4=(k-2)^2-k^2+3k+4>0 -k+8>0 .t3 k<8� (두 근의 합)>0에서 2(k-2)>0 .t3 k>2� (두 근의 곱)>0에서 k^2-3k-4>0, (k+1)(k-4)>0 .t3 k<-1 또는 k>4이상에서 41일 때, 함수 y=a^x은 지수가 최대일 때 최댓값을, 지수가 최소일 때 최솟값을 가짐을 이용한다.함수 y=53-|x+2|의 밑이 1보다 크므로 y는 3-|x+2|가 최대일 때 최대이고, 3-|x+2|가 최소일 때 최소가 된다. ⇨ ❶라이트쎈미적2_1강(해001-014)ok.indd 1415. 2. 27. 오후 2:21 02``로그함수 • 15본책로그함수0221~22쪽0152 f(1)=log 1/2 1=0 00153 f(1/2 )=log 1/2 1/2 =1 10154 f(2)=log 1/2 2=log _2 ^- ^1 2=-1 -10155 f(1/4 )=log 1/2 1/4 =log 1/2 `(1/2 )^^2 =2,f(8)=log 1/2 8=log _2 ^- ^1 2^3 =-3 .t3 f(1/4 ) f(8)=-6 -60156 0157 0158 ◯ 0159 ◯0160 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. \0161 그래프가 점 (1, 0)을 지난다. \0162 ◯0163 2 log _3 2=log _3 2^2 =log _3 4이고 4<5이다.이때 함수 y=log _3 x는 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하므로 log _3 40}으로의 일대일 대응이다.y=7^x 에서 x=log _7 yx와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y=log _7 x y=log _7 x y=log _7 ~x에서 정의역 {x|x>0}은 생략할 수 있다.0145 주어진 함수는 {x|x는 실수}에서 {y|y>0}으로의 일대일 대응이다.y=(1/3 )^^x 에서 x=log 1/3 yx와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y=log 1/3 x y=log 1/3 x0146 주어진 함수는 {x|x>0}에서 {y|y는 실수}로의 일대일 대응이다.y=log _3 x에서 x=3^y x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y=3^x y=3^x 0147 주어진 함수는 {x|x>0}에서 {y|y는 실수}로의 일대일 대응이다.y=log 1/2 x에서 x=(1/2 )^^y x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y=(1/2 )^^x y=(1/2 )^^x 0148 f(1)=log _3 1=0 00149 f(3)=log _3 3=1 10150 f (1/3 )=log _3 1/3 =log _3 3^- ^1 =-1 -10151 f(13 )=log _3 13 =log _3 31/2 =1/2 ,f(9)=log _3 9=log _3 3^2 =2 log _3 3=2 .t3 f(13 )f(9)=1 1라이트쎈미적2_2강(해015-029)ok.indd 1515. 2. 27. 오후 2:22 16 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0176 0177 0178 0179 함수 y=log_4 x에서x=1/4일 때, y=log_4 1/4=log_4 4^-^1=-1x=64일 때, y=log_4 64=log_4 4^3=3따라서 최댓값은 3, 최솟값은 -1이다. 최댓값: 3, 최솟값: -10180 함수 y=log1/8 x에서x=1/64일 때, y=log1/8 1/64=log1/8 (1/8)^^2=2x=8일 때, y=log1/8 8=log1/8 (1/8)^^-^^1=-1따라서 최댓값은 2, 최솟값은 -1이다. 최댓값: 2, 최솟값: -10181 함수 y=log_3 (x+1)-3에서x=2일 때, y=log_3 3-3=1-3=-2x=8일 때, y=log_3 9-3=log_3 3^2-3=-1따라서 최댓값은 -1, 최솟값은 -2이다. 최댓값: -1, 최솟값: -20182 진수의 조건에서 2x+1>0이므로 x>-1/2 .c3.c3 ㉠에에log_2 (2x+1)=1에서 2x+1=2 2x=1 .t3 x=1/2x=1/2은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다. x=1/2(cid:90)(cid:89)(cid:48)(cid:14)(cid:26)(cid:90)(cid:30)(cid:77)(cid:80)(cid:72)-(cid:9)(cid:14)(cid:89)(cid:10)(cid:12)(cid:19)13(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:77)(cid:80)(cid:72)4(cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:10)(cid:12)(cid:20)(cid:90)(cid:89)(cid:48)(cid:22)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:48)(cid:18)(cid:90)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:77)(cid:80)(cid:72)-(cid:9)(cid:14)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:10)120167 y=log1/5 (x+2)+10168 -y=log1/5 x에서 y=-log1/5 x y=-log1/5 x0169 y=log1/5 (-x)0170 -y=log1/5 (-x)에서 y=-log1/5 (-x) y=-log1/5 (-x)0171 y=log_3 (x-2)의 그래프는 y=log_3 x의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.따라서 정의역은 {x|x>2}이고, 점근선의 방정식은 x=2이다. 풀이 참조0172 y=log_3 x+1의 그래프는 y=log_3 x의 그래프를 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.따라서 정의역은 {x|x>0}이고, 점근선의 방정식은 x=0이다. 풀이 참조0173 y=-log_3 x의 그래프는 y=log_3 x의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.따라서 정의역은 {x|x>0}이고, 점근선의 방정식은 x=0이다. 풀이 참조0174 y=log_3(-x)-2의 그래프는 y=log_3~x의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 후 y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.따라서 정의역은 {x|x<0}이고, 점근선의 방정식은 x=0이다. 풀이 참조0175 (cid:90)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:90)(cid:30)(cid:77)(cid:80)(cid:72)3`(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:77)(cid:80)(cid:72)3(cid:9)(cid:89)(cid:14)(cid:19)(cid:10)(cid:90)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:18)(cid:14)(cid:20)(cid:90)(cid:30)(cid:77)(cid:80)(cid:72)3`(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:77)(cid:80)(cid:72)3`(cid:89)(cid:18)(cid:90)(cid:89)(cid:48)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:77)(cid:80)(cid:72)3`(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:77)(cid:80)(cid:72)3`(cid:89)(cid:90)(cid:89)(cid:48)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:77)(cid:80)(cid:72)3`(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:77)(cid:80)(cid:72)3(cid:9)(cid:14)(cid:89)(cid:10)(cid:14)(cid:19)(cid:90)(cid:30)(cid:77)(cid:80)(cid:72)2(cid:9)(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:10)(cid:12)(cid:18)(cid:90)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:18)(cid:19)라이트쎈미적2_2강(해015-029)ok.indd 1615. 2. 27. 오후 2:22 02``로그함수 • 17본책로그함수0223~25쪽 log 1/3 ~x=t에서 x=(1/3 )^^t 이므로 x>0이다. 즉 진수의 조건을 항상 만족시킨다. 0189 (log _5 x)^2 -log _5 x^3 =0에서 (log _5 x)^2 -3 log _5 x=0log _5 x=t로 놓으면 t^2 -3t=0, t(t-3)=0 .t3 t=0 또는 t=3즉 log _5 x=0 또는 log _5 x=3이므로 x=1 또는 x=5^3 =125 x=1 또는 x=1250190 x log x=10의 양변에 상용로그를 취하면 log xlog x=log 10, log x.c1 log x=1 (log x)^2 =1 .t3 log x=-1 또는 log x=1즉 log x=log 10^- ^1 또는 log x=log 10^1 이므로 x=1/10 또는 x=10 .t3 ㈎ log x ㈏ 1 ㈐ 1/10 풀이 참조0191 진수의 조건에서 5x+2>0이므로 x>-2/5 .c3 .c3 ㉠에에log _7 (5x+2)_> 1에서 log _7 (5x+2)_> log _7 7밑이 1보다 크므로 5x+2_> 7, 5x_> 5 .t3 x_> 1 .c3 .c3 ㉡에에㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x_> 1 x_> 10192 진수의 조건에서 x^2 >0이므로 x는 xnot= 0인 실수이다. .c3 .c3 ㉠에에log _3 x^2 <2에서 log _3 x^2 0이므로 x>-5/7 .c3 .c3 ㉠에에log 1/3 (7x+5)_< 1에서 log 1/3 (7x+5)_< log 1/3 1/3 밑이 1보다 작으므로 7x+5_> 1/3 , 7x_> -14/3 .t3 x_> -2/3 .c3 .c3 ㉡에에㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x_> -2/3 x_> -2/3 0183 밑의 조건에서 x>0, xnot= 1 .c3 .c3 ㉠log _x 7=-2에서 x^- ^2 =7, x^2 =1/7 .t3 x=z17`7㉠에 의하여 구하는 해는 x=17`7이다. x=17`70184 진수의 조건에서 2x-7>0, x>0이므로 x>7/2 , x>0 .t3 x>7/2 .c3 .c3 ㉠에에log _3 (2x-7)=log _3 x에서 2x-7=x .t3 x=7x=7은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다. x=70185 진수의 조건에서 5x+6>0, x>0이므로 x>-6/5 , x>0 .t3 x>0 .c3 .c3 ㉠에에log _4 (5x+6)=log _2 x에서 log _4 (5x+6)=log _4 x^2 이므로 5x+6=x^2 , x^2 -5x-6=0 (x+1)(x-6)=0 .t3 x=-1 또는 x=6㉠에 의하여 구하는 해는 x=6이다. x=60186 진수의 조건에서 x+2>0, 5x+24>0이므로 x>-2, x>-24/5 .t3 x>-2 .c3 .c3 ㉠에에log 17 (x+2)=log _7 (5x+24)에서 log _7 (x+2)^2 =log _7 (5x+24)이므로 (x+2)^2 =5x+24, x^2 -x-20=0 (x+4)(x-5)=0 .t3 x=-4 또는 x=5㉠에 의하여 구하는 해는 x=5이다. x=50187 진수의 조건에서 x+1>0, x-1>0이므로 x>-1, x>1 .t3 x>1 .c3 .c3 ㉠에에log 1/5 (x+1)=log _5 (x-1)에서 log 1/5 (x+1)=-log 1/5 (x-1)이므로 x+1=1x-1 (x+1)(x-1)=1, x^2 =2 .t3 x=z12㉠에 의하여 구하는 해는 x=12이다. x(cid:30)120188 log 1/3 x=t로 놓으면 t^2 -t-2=0 (t+1)(t-2)=0 .t3 t=-1 또는 t=2즉 log 1/3 x=-1 또는 log 1/3 x=2이므로 x=(1/3 )^^- ^^1 =3 또는 x=(1/3 )^^2 =1/9 x=1/9 또는 x=3라이트쎈미적2_2강(해015-029)ok.indd 1715. 2. 27. 오후 2:22 18 • 정답 및 풀이정답 및 풀이즉 1_0, x^2>0 .t3 x>0 .c3.c3 ㉠(log_2 x)^2-log_2 x^2>0에서 (log_2 x)^2-2 log_2 x>0log_2 x=t로 놓으면 t^2-2t>0, t(t-2)>0 .t3 t<0 또는 t>2즉 log_2 x<0 또는 log_2 x>2이므로 log_2 xlog_2 4밑이 1보다 크므로 x<1 또는 x>4 .c3.c3 ㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 04 040201 진수의 조건에서 x>0 .c3.c3 ㉠에에x log_2 x_>2의 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 log_2 xlog_2 x_>log_2 2, (log_2 x )^2_>1log_2 x=t로 놓으면 t^2_>1 t_<-1 또는 t_>1즉 log_2 x_<-1 또는 log_2 x_>1이므로 log_2 x_log_2 2밑이 1보다 크므로 x_<1/2 또는 x_>2 .c3.c3 ㉡에에㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 02 .t3 ㈎ 0 ㈏ log_2 x ㈐ 1 ㈑ 1/2 ㈒ 2 풀이 참조0202 a>1이면 0<1/a<1이다.⑤ y=log_a x=-log1/a x이므로 y=log1/a x의 그래프와 y=log_a x의 그래프는 x축에 대하여 대칭이다. ⑤0203 y=log_5 (-x^2-3x+10)에서 -x^2-3x+10>0, x^2+3x-10<0 (x+5)(x-2)<0 .t3 -50이므로 x>5 .c3.c3 ㉠log1/4(x-5)>1/2에서 log1/4(x-5)>log1/4 1/2밑이 1보다 작으므로 x-5<1/2 .t3 x<11/2 .c3.c3 ㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 50, 2x-1>0이므로 x>-1, x>1/2 .t3 x>1/2 .c3.c3 ㉠log_2 (x+1)_>log_2 (2x-1)에서 밑이 1보다 크므로 x+1_>2x-1, -x_>-2 .t3 x_<2 .c3.c3 ㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 1/20, x-8>0이므로 x<9, x>8 .t3 817/2 .c3.c3 ㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 17/20, 3-2x>0이므로 x>-1/3, x<3/2 .t3 -1/3-log_7~(3-2x)에서 log1/7(3x+1)>log1/7(3-2x)밑이 1보다 작으므로 3x+1<3-2x, 5x<2 .t3 x<2/5 .c3.c3 ㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -1/30, x+14>0이므로 x>-2, x>-14 .t3 x>-2 .c3.c3 ㉠log1/5(x+2)_x+14 x^2+3x-10_>0, (x+5)(x-2)_>0 .t3 x_<-5 또는 x_>2 .c3.c3 ㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x_>2 x_>20199 진수의 조건에서 x>0 .c3.c3 ㉠log_3 x=t로 놓으면 t^2-4t+3_<0, (t-1)(t-3)_<0 .t3 1_0에서 {x|xnot= 0인 실수}이고, 그래프는 오른쪽 그림과 같다.0205 01즉 함수 y=log 1/a x의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ① x=a일 때, y=log 1/a a=log 1/a (1/a )^^- ^^1 =-1이므로 y=log 1/a x의 그래프는 점 (a, -1)을 지난다. ② 점근선은 y축이다.③ x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.④ 제 1, 4 사분면을 지난다.⑤ y=a^x 의 그래프와 만난다. ⑤0206 주어진 그래프의 함수식을 y=log _3 (x-m)+n이라 하자. 점근선의 방정식이 x=2이므로 m=2또 그래프가 점 (3, -1)을 지나므로 -1=log _3 (3-2)+n .t3 n=-1따라서 그래프의 식은 y=log _3 (x-2)-1 ②0207 함수 y=log _4 x의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 y=-log _4 (-x) … .c3 ㉠ ⇨ ❶㉠의 그래프를 x축의 방향으로 k만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=-log _4 {-(x-k)}=-log _4 (-x+k) … .c3 ㉡ ⇨ ❷㉡의 그래프가 점 (4, -1)을 지나므로 -1=-log _4 (-4+k) log _4 (-4+k)=1 -4+k=4 .t3 k=8 ⇨ ❸ 80208 y =log _2 4(1-x)=log _2 {-(x-1)}+2의 그래프는 y=log _2 (-x)의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.이때 y=log _2 (-x)의 그래프는 y=log _2 x의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 것이므로 y=log _2 4(1-x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.(cid:90)(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:77)(cid:80)(cid:72)9`(cid:89)2(cid:48)(cid:48)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:66)x(cid:90)(cid:30)(cid:77)(cid:80)(cid:72)-`(cid:89)1a채점 기준비율❶대칭이동한그래프의식을구할수있다.40%❷평행이동한그래프의식을구할수있다.40%❸k의값을구할수있다.20%(cid:90)(cid:30)(cid:77)(cid:80)(cid:72)2`(cid:21)(cid:9)(cid:18)(cid:14)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:19)라이트쎈미적2_2강(해015-029)ok.indd 1915. 2. 27. 오후 2:22 20 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0220 함수 y=log_5 (x+m)+1의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점을 직선 y=x가 지나므로 함수 y=log_5 (x+m)+1의 그래프는 점 (2, 2)를 지난다. ⇨ ❶즉 2=log_5 (2+m)+1에서 log_5 (2+m)=1 2+m=5 .t3 m=3 ⇨ ❷ 30221 f(a)=p에서 log13 a=p .t3 a=(13 )^p=3p/2g(3p)=q라 하면 f(q)=3p이므로 log13 q=3p .t3 q=(13 )^3^p=33/2^p=(3p/2)^3=a^3 ⑤0222 (`f`�`g)(x)=x이므로 함수 g(x)는 f(x)의 역함수이다.y=3^x+1로 놓으면 3^x=y-1 .t3 x=log_3 (y-1)x와 y를 서로 바꾸면 y=log_3 (x-1) .t3 g(x)=log_3 (x-1) .t3 (~g`�`g)(82) =g(g(82))=g(log_3 81)=g(4) =log_3 3=1 ④g(82)=a라 하면 f(a)=82이므로 3^a+1=82, 3^a=81=3^4 .t3 a=4g(4)=b라 하면 f(b)=4이므로 3^b+1=4, 3^b=3 .t3 b=1 .t3 (~g`�`g)(82) =g(g(82))=g(4)=10223 A=4 log_5 2=log_5 2^4=log_5 16B=2=log_5 5^2=log_5 25C=3log_3 5=3 log_5 3=log_5 3^3=log_5 27이때 16<25<27이고 밑이 1보다 크므로 log_5~16 0인 부분은 그대로 두고, y<0인 부분을 x축에 대하여 대칭이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.따라서 -5_< x_< 0에서 y=f(x)의 최댓값은 f(-2)=16이므로 y=log _2 |x^2 +4x-12|의 최댓값은 log _2 16=4 ③0231 log _3 x=t로 놓으면 1_< x_< 27에서 log _3 1_< log _3 x_< log _3 27 .t3 0_< t_< 3이때 주어진 함수는 y=t^2 -2t+2=(t-1)^2 +1따라서 y는 t=3일 때 최댓값 5, t=1일 때 최솟값 1을 갖는다. 최댓값: 5, 최솟값: 10232 y=(log _2 x)^2 +log 1/2 x^4 +3=(log _2 x)^2 -4 log _2 x+3log _2 ~x=t로 놓으면 주어진 함수는 y=t^2 -4t+3=(t-2)^2 -1y는 t=2일 때 최솟값 -1을 가지므로 log _2 x=2에서 x=2^2 =4따라서 a=4, b=-1이므로 a+b=3 ③0233 y=log _5 x/25.c1 log _5 5x =(log _5 x-log _5 25)(log _5 x+log _5 5) =(log _5 x-2)(log _5 x+1) =(log _5 x)^2 -log _5 x-2log _5 x=t로 놓으면 1/25_< x_< 5에서 log _5 1/25_< log _5 x_< log _5 5 .t3 -2_< t_< 1이때 주어진 함수는 y=t^2 -t-2=(t-1/2 )^^2 -9/4 따라서 y는 t=-2일 때 최댓값 4, t=1/2 일 때 최솟값 -9/4 를 가지므로 최댓값과 최솟값의 곱은 4.c1 (-9/4 )=-9 -90234 4log x=xlog 4이므로 y =-4log x.c1 xlog 4+2(4log x+xlog 4)=-4log x.c1 4log x+2(4log x+4log x)=-(4log x)^2 +4.c1 4log x4log x=t로 놓으면 x>1에서 t>1이때 주어진 함수는 y=-t^2 +4t=-(t-2)^2 +4y는 t=2일 때 최댓값 4를 가지므로 4log x=2에서 4log x=41/2 , log x=1/2 .t3 x=110q 따라서 a=110q , b=4이므로 a^2 +b^2 =(110q )^2 +4^2 =26 26B=log _3 1/a =log _3 a^- ^1 =-log _3 a이므로 -1<-log _3 a<0 .t3 -11 .t3 C>1따라서 가장 큰 수는 C이다. C0226 함수 y=log _2 (x-a)+2에서 밑이 1보다 크므로 이 함수는 x=3일 때 최솟값 4를 갖는다. log _2 (3-a)+2=4, log _2 (3-a)=2 3-a=4 .t3 a=-1 ④0227 y=log 1/3 (2x+1)-1에서 밑이 1보다 작으므로 y는 2x+1이 최대이면 최소, 최소이면 최대가 된다. ⇨ ❶x=1일 때, y=log 1/3 3-1=-2x=4일 때, y=log 1/3 9-1=-3따라서 M=-2, m=-3이므로 ⇨ ❷ 2M+m=2.c1 (-2)-3=-7 ⇨ ❸ -70228 f(x)=x^2 -4x+6으로 놓으면 f(x)=(x-2)^2 +2-3_< x_< 3에서 f(-3)=27, f(2)=2, f(3)=3이므로 2_< f(x)_< 27y=log _3 `f(x)에서f(x)=2일 때, y=log _3 2f(x)=27일 때, y=log _3 27=log _3 3^3 =3따라서 y의 최댓값은 3, 최솟값은 log _3 2이므로 구하는 곱은 3 log _3 2 3 log _3 20229 f(x)=-x^2 +2x+3으로 놓으면 f(x)=-(x-1)^2 +4-11, y>1에서 log_x~y>0, log_y~x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 2~log_x~y+2~log_y~x _>212~log_x~y.c1z2~log_y~xz =214~=4 (단, 등호는 x=y일 때 성립)따라서 구하는 최솟값은 4이다. ①0240 10, log_5~25/x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 log_5~x+log_5~25/x_>24log_5~x.c1flog_5~25/xv이때 log_5~x+log_5~25/x=log_5~(x.c125/x)=log_5~25=2이므로 2_>24log_5~x.c1flog_5~25/xv`, 4log_5~x.c1flog_5~25/xv _<1 .t3 00, x>0이므로 x>1, x>0 .t3 x>1 .c3.c3 ㉠ˇˇlog12~(x-1)+log_2~x=1에서 2~log_2~(x-1)+log_2~x=1 log_2~(x-1)^2+log_2~x=1 log_2~x(x-1)^2=log_2~2 x(x-1)^2=2, x^3-2x^2+x-2=0 (x^2+1)(x-2)=0 .t3 x=2`(.T3 ㉠)따라서 alpha=2이므로 10^alpha=10^2=100 1000242 진수의 조건에서 x>0, (x+1)^2>0이므로 x>0, xnot=-1 .t3 x>0 .c3.c3 ㉠log1/2~x+log1/4~(x+1)^2=-1에서 log1/2~x+log1/2~(x+1)=-1 log1/2~(x^2+x)=log1/2~2 x^2+x-2=0, (x+2)(x-1)=0 .t3 x=-2 또는 x=1이때 ㉠에 의하여 x=1 ③채점 기준비율❶log_5~x.c1log_5~25/x의값의범위를구할수있다.30%❷b의값을구할수있다.30%❸a의값을구할수있다.30%❹a+b의값을구할수있다.10%0235 y=x2+log_3 x의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면 log_3 y =log_3 x2+log_3 x=(2+log_3 x)log_3 x =(log_3 x)^2+2 log_3 xlog_3 x=t로 놓으면 log_3 y=t^2+2t=(t+1)^2-1log_3 y는 t=-1일 때 최솟값 -1을 가지므로log_3~x=-1에서 x=3^-^1=1/3log_3~y=-1에서 y=3^-^1=1/3따라서 y는 x=1/3일 때 최솟값 1/3을 갖는다. 1/30236 y=10x2-log x의 양변에 상용로그를 취하면 log y =log 10+log x2-log x =1+(2-log x)log x =-(log x)^2+2 log x+1log x=t로 놓으면 log y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2log y는 t=1일 때 최댓값 2를 가지므로log x=1에서 x=10 .t3 a=10log y=2에서 y=10^2=100 .t3 b=100 .t3 b/a=10010=10 ④0237 y=log_x 100+log x=2log x+log x이때 x>1에서 log x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 2log x+log x_>242log x.c1log xv~=212 (단, 등호는 log x=12 일 때 성립)따라서 log_x 100+log x_>212 이므로 구하는 최솟값은 212 이다. ②0238 log_2~(x+1/y)+log_2~(1/x+y)=log_2~(x+1/y)(1/x+y)=log_2~(xy+1/xy+2)이때 x>0, y>0에서 xy>0, 1/xy>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 xy+1/xy+2_>24xy.c11/xyv +2=2.c11+2=4 (단, 등호는 xy=1일 때 성립)따라서 log_2~(x+1/y)+log_2~(1/x+y)_>log_2~4=2이므로 구하는 최솟값은 2이다. 2라이트쎈미적2_2강(해015-029)ok.indd 2215. 2. 27. 오후 2:22 02``로그함수 • 23본책로그함수0230~32쪽� x^2 =x+12일 때 x^2 -x-12=0, (x+3)(x-4)=0 .t3 x=-3 또는 x=4이때 ㉠에 의하여 x=4� x-2=1일 때 x=3x=3은 ㉠을 만족시키므로 주어진 방정식의 해이다.�, �에서 x=3 또는 x=4따라서 alpha =3, beta =4이므로 beta -alpha =1 10248 밑과 진수의 조건에서 2x>0, 2xnot= 1, x^2 +1>0, x^2 +1not= 1, 3x+1>0 .t3 01/2 .c3 .c3 ㉠ ⇨ ❶~� 2x=x^2 +1일 때 x^2 -2x+1=0, (x-1)^2 =0 .t3 x=1x=1은 ㉠을 만족시키므로 주어진 방정식의 해이다. ⇨ ❷� 3x+1=1일 때 3x=0 .t3 x=0x=0은 ㉠을 만족시키지 않으므로 주어진 방정식의 해가 아니다. ⇨ ❸�, �에서 구하는 해는 x=1 ⇨ ❹ x=10249 1000xlog ~x=x^4 의 양변에 상용로그를 취하면 log ~1000xlog ~x=log ~x^4 log ~1000+log ~xlog ~x=4~log ~x 3+(log ~x)^2 =4~log ~x, (log ~x)^2 -4~log ~x+3=0log ~x=t로 놓으면 t^2 -4t+3=0, (t-1)(t-3)=0 .t3 t=1 또는 t=3즉 log ~x=1 또는 log ~x=3이므로 x=10 또는 x=10^3 따라서 주어진 방정식의 모든 근의 곱은 10.c1 10^3 =10^4 ④0250 xlog _3 ~x-27x^2 =0, 즉 xlog _3 ~x=27x^2 의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면 log _3 ~xlog _3 ~x=log _3 ~27x^2 , (log _3 ~x)^2 =log _3 ~27+log _3 ~x^2 (log _3 ~x)^2 -2~log _3 ~x-3=0log _3 ~x=t로 놓으면 t^2 -2t-3=0, (t+1)(t-3)=0 .t3 t=-1 또는 t=3즉 log _3 ~x=-1 또는 log _3 ~x=3이므로 x=3^- ^1 =1/3 또는 x=3^3 =27채점 기준비율❶x의값의범위를구할수있다.30%❷x=1이주어진방정식의해임을알수있다.30%❸x=0이주어진방정식의해가아님을알수있다.30%❹주어진방정식의해를구할수있다.10%0243 (log _2 ~2x)^2 -2~log _2 ~8x^2 =0에서 (log _2 ~2+log _2 ~x)^2 -2(log _2 ~8+log _2 ~x^2 )=0 (1+log _2 ~x)^2 -2(3+2~log _2 ~x)=0 (log _2 ~x)^2 -2~log _2 ~x-5=0log _2 ~x=t로 놓으면 t^2 -2t-5=0 .c3 .c3 ㉠에에이때 주어진 방정식의 두 근을 alpha , beta 라 하면 방정식 ㉠의 두 근은 log _2 ~alpha , log _2 ~beta 이므로 근과 계수의 관계에 의하여 log _2 ~alpha +log _2 ~beta =2, log _2 ~alpha beta =2 .t3 alpha beta =2^2 =4 ③0244 log _5 ~x.c1 log _5 ~25x=3에서 log _5 ~x(log _5 ~25+log _5 ~x)=3, log _5 ~x(2+log _5 ~x)=3 (log _5 ~x)^2 +2~log _5 ~x-3=0log _5 ~x=t로 놓으면 t^2 +2t-3=0 (t+3)(t-1)=0 .t3 t=-3 또는 t=1즉 log _5 ~x=-3 또는 log _5 ~x=1이므로 x=5^- ^3 =/1 또는 x=5따라서 모든 근의 합은 /1+5=626/125 626/1250245 밑의 조건에서 x>0, xnot= 1log _3 ~x+log _x ~27=4에서 log _3 ~x+3~log _x ~3=4, log _3 ~x+3log _3 ~x=4log _3 ~x=t`(tnot= 0)로 놓으면 t+3/t=4 t^2 -4t+3=0, (t-1)(t-3)=0 .t3 t=1 또는 t=3즉 log _3 ~x=1 또는 log _3 ~x=3이므로 x=3 또는 x=3^3 =27따라서 alpha =27, beta =3이므로 alpha -beta =24 ②0246 2log ~x=xlog ~2이므로 2log ~x.c1 xlog ~2-3(2log ~x+xlog ~2)-16=0에서 2log ~x.c1 2log ~x-3(2log ~x+2log ~x)-16=0 (2log ~x)^2 -6.c1 2log ~x-16=02log ~x=t`(t>0)로 놓으면 t^2 -6t-16=0, (t+2)(t-8)=0 .t3 t=8`(.T3 t>0)즉 2log ~x=8이므로 log ~x=3 .t3 x=10^3 =1000 x=10000247 밑과 진수의 조건에서 x^2 >0, x^2 not= 1, x+12>0, x+12not= 1, x-2>0 .t3 x>2 .c3 .c3 ~㉠에에라이트쎈미적2_2강(해015-029)ok.indd 2315. 2. 27. 오후 2:22 24 • 정답 및 풀이정답 및 풀이이때 x=10, y=1000은 ㉠을 만족시키므로 주어진 연립방정식의 해이다.따라서 alpha=10, beta=1000이므로 1alphabetaa~=210^4w~=10^2=100 1000254 log13~x=t로 놓으면 주어진 방정식은 t^2+kt-5=0 .c3.c3 ㉠주어진 방정식의 두 근을 alpha, beta라 하면 alphabeta=9이고 방정식 ㉠의 근은 log13~alpha, log13~beta이므로 근과 계수의 관계에 의하여 log13~alpha+log13~beta=-k log13~~alphabeta=-k, log13~9=4=-k .t3 k=-4 ③0255 log_2~x-log_4~x=2~log_2~x.c1log_4~x-2에서 log_2~x-1/2log_2~x=2~log_2~x.c11/2~log_2~x-2 1/2~log_2~x=(log_2~x)^2-2log_2~x=t로 놓으면 t^2-1/2t-2=0 2t^2-t-4=0 ⇨ ❶이 방정식의 근은 log_2~alpha, log_2~beta이므로 근과 계수의 관계에 의하여 log_2~alpha+log_2~beta=1/2 ⇨ ❷ log_2~alphabeta=1/2 .t3 alphabeta=21/2=12~ ⇨ ❸ 12~0256 주어진 방정식의 판별식을 D라 하면 D/4=(log_5~a+1)^2-(log_5~a+3)=0 (log_5~a)^2+log_5~a-2=0log_5~a=t로 놓으면 t^2+t-2=0 (t+2)(t-1)=0 .t3 t=-2 또는 t=1즉 log_5~a=-2 또는 log_5~a=1이므로 a=5^-^2=1/25 또는 a=5따라서 상수 a의 값은 1/25, 5이다. 1/25, 50257 진수의 조건에서 x-3>0, x-1>0이므로 x>3, x>1 .t3 x>3 .c3.c3 ㉠log1/2~(x-3)x-1채점 기준비율❶t에대한이차방정식을세울수있다.50%❷근과계수의관계를이용할수있다.30%❸alphabeta의값을구할수있다.20%주어진 방정식의 모든 근의 합은 1/3+27=82/3따라서 p=3, q=82이므로 p+q=85 850251 진수의 조건에서 x>0, y>0 .c3.c3 ㉠{~log_4~x-log_3~y=1log_1_6~x+log_2_7~y=4/3에서 {~log_4~x-log_3~y=11/2~log_4~x+1/3~log_3~y=4/3log_4~x=X, log_3~y=Y로 놓으면 {~X-Y=11/2X+1/3Y=4/3이 연립방정식을 풀면 X=2, Y=1즉 log_4~x=2, log_3~y=1이므로 x=4^2=16, y=3이때 x=16, y=3은 ㉠을 만족시키므로 주어진 연립방정식의 해이다. .t3 xy=16.c13=48 ②0252 진수의 조건에서 x>0, y>0 .c3.c3 ㉠{log1/2~x+log1/2~y=-4log12~(x+y)=6에서 {~log1/2~xy=log1/2~(1/2)^^-^^4log12~(x+y)=log12~(12)^6, 즉 {xy=16x+y=8이 연립방정식을 풀면 x=4, y=4이때 x=4, y=4는 ㉠을 만족시키므로 주어진 연립방정식의 해이다. x=4, y=40253 진수의 조건에서 x>0, y>0 .c3.c3 ㉠{~log~x+2~log~y=7x^3y=1에서 x^3y=1의 양변에 상용로그를 취하면 log~x^3y=log~1, 3~log~x-log~y=0즉 주어진 연립방정식은 {log~x+2~log~y=73~log~x-log~y=0이므로 log~x=X, log~y=Y로 놓으면 {X+2Y=73X-Y=0이 연립방정식을 풀면 X=1, Y=3즉 log~x=1, log~y=3이므로 x=10, y=10^3=1000라이트쎈미적2_2강(해015-029)ok.indd 2415. 2. 27. 오후 2:22 02``로그함수 • 25본책로그함수0232~34쪽0261 진수의 조건에서 log _2 ~(log _5 ~x)>0 .c3 .c3 ㉠log 1/3 ~{log _2 ~(log _5 ~x)}>0에서 log 1/3 ~{log _2 ~(log _5 ~x)}>log 1/3 ~1밑이 1보다 작으므로 log _2 ~(log _5 ~x)<1 .c3 .c3 ㉡㉠, ㉡에서 00 .t3 x>1 .c3 .c3 ㉠log _3 ~(log _2 ~x)<1에서 log _3 ~(log _2 ~x)0 .t3 x>1 .c3 .c3 ㉢log _2 ~(log _4 ~x)<1에서 log _2 ~(log _4 ~x)0 .c3 .c3 ㉠(log _5 ~x)^2 -log _5 ~125x^2 _< 0에서 (log _5 ~x)^2 -(log _5 ~125+log _5 ~x^2 )_< 0 (log _5 ~x)^2 -2~log _5 ~x-3_< 0log _5 ~x=t로 놓으면 t^2 -2t-3_< 0 (t+1)(t-3)_< 0 .t3 -1_< t_< 3즉 -1_< log _5 ~x_< 3이므로 log _5 ~5^- ^1 _< log _5 ~x_< log _5 ~5^3 .t3 1/5 _< x_< 125 .c3 .c3 ㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 1/5 _< x_< 125따라서 alpha =1/5 , beta =125이므로 alpha beta =1/5 .c1 125=25 ③0264 진수의 조건에서 x>0 .c3 .c3 ㉠(2+log 1/2 ~x)log _2 ~x<-3에서 (2-log _2 ~x)log _2 ~x<-3 -(log _2 ~x)^2 +2~log _2 ~x+3<0 (log _2 ~x)^2 -2~log _2 ~x-3>0log _2 ~x=t로 놓으면 t^2 -2t-3>0 ⇨ ❶ (t+1)(t-3)>0 .t3 t<-1 또는 t>3즉 log _2 ~x<-1 또는 log _2 ~x>3이므로 x<1/2 또는 x>8 .c3 .c3 ~㉡에에㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 08 ⇨ ❷따라서 정수 x의 최솟값은 9이다. ⇨ ❸ 9 x^2 -7x+10>0, (x-2)(x-5)>0 .t3 x<2 또는 x>5 .c3 .c3 ㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x>5따라서 자연수 x의 최솟값은 6이다. 60258 진수의 조건에서 x^2 +x-2>0이므로 (x+2)(x-1)>0 .t3 x<-2 또는 x>1 .c3 .c3 ㉠log _2 ~(x^2 +x-2)_< 2에서 log _2 ~(x^2 +x-2)_< log _2 ~4밑이 1보다 크므로 x^2 +x-2_< 4 x^2 +x-6_< 0, (x+3)(x-2)_< 0 .t3 -3_< x_< 2 .c3 .c3 ㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -3_< x<-2 또는 10, 2x-3>0이므로 x>1, x>3/2 .t3 x>3/2 .c3 .c3 ㉠log _3 ~(x-1)+log _3 ~(2x-3)<1에서 log _3 ~(x-1)(2x-3)0이므로 0 1/8 .c3 .c3 ㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 1/8 _< x<1 1/8 _< x<1라이트쎈미적2_2강(해015-029)ok.indd 2515. 2. 27. 오후 2:22 26 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0269 3^x<10^x^-^1의 양변에 상용로그를 취하면 log~3^x-1log~3-1 .t3 x>11-log~3 .t3 alpha=11-log~3 ①0270 (log_9~x)^2-log_9~ax^2_>0에서 (log_9~x)^2-2~log_9~x-log_9~a_>0log_9~x=t로 놓으면 t^2-2t-log_9~a_>0모든 실수 t에 대하여 위의 부등식이 성립해야 하므로 이차방정식 t^2-2t-log_9~a=0의 판별식을 D라 하면 D/4=(-1)^2+log_9~a_<0, log_9~a_<-1 .t3 a_<1/9이때 a>0이므로 0(412~x)^2^k의 양변에 밑이 12 인 로그를 취하면 log12 ~x log12~x_>log12 ~(412~x)^2^k (log12 ~x)^2_>2k~log12 ~412~x (log12 ~x)^2_>2k(5+log12 ~x) (log12 ~x)^2-2k~log12 ~~x-10k_>0log12 ~x=t로 놓으면 t^2-2kt-10k_>0모든 실수 t에 대하여 위의 부등식이 성립해야 하므로 이차방정식 t^2-2kt-10k=0의 판별식을 D라 하면 D/4=(-k)^2-(-10k)_<0, k^2+10k_<0 k(k+10)_<0 .t3 -10_0 .c3.c3 ㉠log1/3~27x.c1log_3~x/9_>0에서 (log1/3~27+log1/3~x)(log_3~x-log_3~9)_>0 (-3-log_3~x)(log_3~x-2)_>0 (log_3~x+3)(log_3~x-2)_<0log_3~x=t로 놓으면 (t+3)(t-2)_<0 .t3 -3_0 .c3.c3 ㉠xlog_2~x<4x의 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 log_2~xlog_2~x0 .c3.c3 ㉠xlog~x~-2<1000의 양변에 상용로그를 취하면 log~xlog~x-20 (.T3 log~8/25<0) x_>0채점 기준비율❶t에대한이차부등식을세울수있다.40%❷주어진부등식의해를구할수있다.40%❸정수x의최솟값을구할수있다.20%라이트쎈미적2_2강(해015-029)ok.indd 2615. 2. 27. 오후 2:22 02``로그함수 • 27본책로그함수0234~36쪽④ y=log _2 ~(x+1)-3의 그래프는 y=log _2 ~x의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다. ④0277 로그의 성질을 이용하여 등식이 성립하는지 확인한다.ㄱ. f`(1/3 )=log _a ~1/3 =log _a ~3^- ^1 =-log _a ~3=-f(3)ㄴ. f(2^3 )=log _a ~2^3 =3~log _a ~2=3f(2)not= {`f(2)}^3 ㄷ. f(12~)=log _a ~12~=log _a ~21/2 =1/2 ~log _a ~2=1/2 f(2)ㄹ. f(8)=log _a ~8=log _a ~2^3 =3~log _a ~2, f(4)=log _a ~4=log _a ~2^2 =2~log _a ~2이므로 `f(8)`f(4)=3~log _a ~22~log _a ~2=3/2 not= f(2)이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ②0278 함수 y=log _a ~x에서 00, 4-x>0이므로 x>-2, x<4 .t3 -21}에서 실수 전체의 집합으로의 일대일 대응이다. 채점 기준비율❶x의값의범위를구할수있다.30%❷a,m의값을구할수있다.60%❸a+m의값을구할수있다.10%따라서 정수 k의 값의 합은 -10-9-8-.c3 -1+0=-55 ①0273 수면 위의 빛의 밝기를 a라 하고 수면 위의 빛의 밝기의 1/4 이 되는 지점의 물의 깊이를 x`m라 하면 (9/10)^^x a=1/4 a, (9/10)^^x =1/4 양변에 상용로그를 취하면 x~log ~9/10=log ~1/4 x(log ~9-log ~10)=-log ~4 x(2~log ~3-1)=-2~log ~2 .t3 x=-2~log ~22~log ~3-1=-2\0.302\0.48-1=0.6 0.04=15따라서 수면 위의 빛의 밝기의 1/4 이 되는 지점의 물의 깊이는 15`m이다. ③0274 A자동차와 B자동차의 소음의 세기를 각각 NA, NB라 하면10~log ~NA10^- ^1 ^2 =50에서 log ~NA10^- ^1 ^2 =5 NA10^- ^1 ^2 =10^5 .t3 NA=10^- ^7 10~log ~NB10^- ^1 ^2 =90에서 log ~NB10^- ^1 ^2 =9 NB10^- ^1 ^2 =10^9 .t3 NB=10^- ^3 .t3 NBNA=10^- ^3 10^- ^7 =10^4 =10000따라서 B자동차의 소음의 세기는 A자동차의 소음의 세기의 10000배이다. 10000배0275 (g � f)(x)=g(`f(x))임을 이용하여 함숫값을 구한다.f(-2)=(1/3 )^^- ^^2 =9이므로 (~g~��f)(-2)=g(`f(-2))=g(9)=log _9 ~9=1 10276 y=f(x)의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 그래프의 식은 y-b=f(x-a)이고, 원점에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 -y=f(-x)임을 이용한다.③ y=log _2 ~(x+1)-3의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 -y=log _2 ~(-x+1)-3 .t3 y=-log _2 ~(-x+1)+3=log 1/2 ~(-x+1)+3따라서 두 함수 y=log _2 ~(x+1)-3, y=log 1/2 ~(-x+1)+3의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 라이트쎈미적2_2강(해015-029)ok.indd 2715. 2. 27. 오후 2:22 28 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0283 주어진 방정식의 양변에 상용로그를 취한다.5^x^+^2=2^5^-^x의 양변에 상용로그를 취하면 (x+2)~log~5=(5-x)log~2 x~log~5+2~log~5=5~log~2-x~log~2 x~(log~5+log~2)=5~log~2-2~log~5 x~log~10=log~2^5-log~5^2=log~32/25 .t3 x=log~32/25따라서 a=32/25이므로 25a=32 320284 log_2~x=X, log_3~y=Y로 치환하여 { X+Y=aXY=b 꼴의 연립방정식을 푼다. log_2~x=X, log_3~y=Y로 놓으면 주어진 연립방정식은 {X+Y=6XY=8이 연립방정식을 풀면 X=2, Y=4 또는 X=4, Y=2� X=2, Y=4일 때 log_2~x=2, log_3~y=4이므로 x=4, y=81 그런데 이것은 x>y를 만족시키지 않는다.� X=4, Y=2일 때 log_2~x=4, log_3~y=2이므로 x=16, y=9�, �에서 alpha=16, beta=9 .t3 alpha-beta=7 ③0285 log_2~x=t로 치환하여 주어진 방정식을 t에 대한 이차방정식으로 나타낸 후 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.(log_2~x)^2+log1/2~x^2-8=0에서 (log_2~x)^2-2~log_2~x-8=0log_2~x=t로 놓으면 t^2-2t-8=0이 방정식의 두 근은 log_2~alpha, log_2~beta이므로 근과 계수의 관계에 의하여 log_2~alpha+log_2~beta=2, log_2~alphabeta=2 .t3 alphabeta=2^2=4 40286 밑을 3으로 통일한 후 진수에 대한 부등식을 세운다.진수의 조건에서 3-x>0, 9+x>0이므로 x<3, x>-9 .t3 -92에서 log_3~(3-x)(9+x)>log_3~3^2밑이 1보다 크므로 (3-x)(9+x)>9, x^2+6x-18<0 .t3 -3-313 0이므로 방정식 t^2 -5t+2=0은 서로 다른 두 실근을 갖는다.채점 기준비율❶y=x4-log _3 x의양변에밑이3인로그를취하여정리할수있다.30%❷M,m의값을구할수있다.60%❸M-m의값을구할수있다.10%(cid:90)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:77)(cid:80)(cid:72)9(cid:65)(cid:89)(cid:66)(cid:67)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:48)(cid:34)(cid:36)(cid:35)(cid:37)(cid:90)(cid:30)(cid:20)x0287 log _a ~x 꼴이 반복되는 로그부등식을 풀 때에는 log _a ~x=t로 치환하여 t에 대한 부등식을 푼다. 진수의 조건에서 x>0 .c3 .c3 ㉠log 1/5 ~x/25.c1 log 1/5 ~5/x _> -2에서 (log 1/5 ~x-log 1/5 ~25)(log 1/5 ~5-log 1/5 ~x)_> -2 (log 1/5 ~x+2)(-1-log 1/5 ~x)_> -2log 1/5 ~x=t로 놓으면 (t+2)(-1-t)_> -2, t^2 +3t_< 0 t(t+3)_< 0 .t3 -3_< t_< 0즉 -3_< log 1/5 ~x_< 0이므로 log 1/5 ~(1/5 )^^- ^^3 _< log 1/5 ~x_< log 1/5 ~1, 1_< x_< (1/5 )^^- ^^3 .t3 1_< x_< 125 .c3 .c3 ㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 1_< x_< 125따라서 주어진 부등식을 만족시키는 자연수 x는 125개이다. 1250288 밑이 같은 로그부등식에서 (밑)>1이면 부등호의 방향이 바뀌지 않고, 0<(밑)<1이면 부등호의 방향이 바뀜을 이용한다.진수의 조건에서 f(x)>0, g(x)>0 .c3 .c3 ㉠log _2 `f(x)_< log _2 `g(x)에서 밑이 1보다 크므로 f(x)_< g(x) .c3 .c3 ㉡즉 주어진 부등식의 해는 y=f(x)의 그래프와 y=g(x)의 그래프가 x축의 위쪽에 있으면서 y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프와 만나거나 그 아래쪽에 있는 x의 값의 범위이므로 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 2_< x<3 또는 7 60log ~2=600.3=200따라서 대기 중에 남아 있는 물질 A의 양이 처음으로 10`kg 이하가 되는 것은 현재로부터 200년 후이다. 200년0290 양변에 밑이 3인 로그를 취하여 log _3 ~y의 최댓값, 최솟값을 구한다.y=x4-log _3 x의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면 log _3 ~y =log _3 ~x4-log _3 x =(4-log _3 ~x)log _3 ~x =-(log _3 ~x)^2 +4~log _3 ~x ⇨ ❶라이트쎈미적2_2강(해015-029)ok.indd 2915. 2. 27. 오후 2:22 30 • 정답 및 풀이정답 및 풀이지수함수와 로그함수의 미분03Ⅰ. 지수함수와 로그함수0295 X0296 00297 00298 limx=-inf`~3^x2^2^x=limx=-inf`~(3/4)^^x=X X0299 limx=0~2^x=2^0=1 10300 limx=-1`(2/3)^^x=(2/3)^^-^^1=3/2 3/20301 limx=inf~2^x1+2^x=limx=inf~1(1/2)^^x+1이때 limx=inf~(1/2)^^x=0이므로 limx=inf~1(1/2)^^x+1=1 10302 limx=inf~(2^x-3^x)=limx=inf~3^x{(2/3)^^x-1}이때 limx=inf~{(2/3)^^x-1}=-1이므로 limx=inf~3^x{(2/3)^^x-1}=-X -X0303 -X0304 X0305 X0306 -X0307 limx=1~log_3~x=log_3~1=0 00308 limx=2~log1/2~x=log1/2~2=-1 -10309 limx=inf~log~1/x=limx=inf~(-log~x)=-X -X0310 x-1=t로 놓으면 x`@B`1+일 때 t`@B`0+이므로 limx=1+~log~(x-1)=limt=0+~log~t=-X -X0311 limx=inf~{log_2~(4x+1)-log_2~x}=limx=inf~log_2~4x+1x=log_2~(limx=inf~4x+1x)=log_2~4=2 20312 e0313 e0293 진수의 조건과 주어진 부등식을 만족시키는 x, y의 값의 범위를 좌표평면 위에 나타낸다.진수의 조건에서 x>0, y>0, x^2+y^2-1>0 .t3 x>0, y>0, x^2+y^2>1 .c3.c3 ㉠log1/2~~y>log1/2~~x에서 y2000\1.2^n, 1.25^n>2\1.2^n양변에 상용로그를 취하면 log~1.25^n>log~(2\1.2^n) n~log~1.25>log~2+n~log~1.2 n(log~1.25-log~1.2)>log~2, n~log~1.251.2>log~2 n~log~25/24>log~2, n{log~5^2-log~(2^3\3)}>log~2 n{2(1-log~2)-(3~log~2+log~3)}>log~2 n(2-5~log~2-log~3)>log~2이때 2-5~log~2-log~3>0이므로 n>log~22-5~log~2-log~3=0.30100.0179=16.8.c3따라서 지금으로부터 17년 후에 제품 A의 투자액이 제품 B의 투자액을 처음으로 초과한다. ③(cid:90)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:19)(cid:19)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:89)2(cid:12)(cid:90)2(cid:30)(cid:21)(cid:89)2(cid:12)(cid:90)2(cid:30)(cid:18)라이트쎈미적2_3강(해030-039)ok.indd 3015. 2. 27. 오후 2:23 03``지수함수와 로그함수의 미분 • 31본책지수함수와 로그함수의 미분0338~42쪽0332 y' =(x^2 )'.c1 e^x +x^2 .c1 (e^x )' =2x.c1 e^x +x^2 .c1 e^x =x(x+2)e^x y'=x(x+2)e^x 0333 y'=ln~6.c1 6^x 0334 y'=2.c1 (4^x )'=2.c1 4^x ~ln~4=2~ln~4.c1 4^x y'=2~ln~4.c1 4^x 0335 y'=3.c1 {(1/2 )^^x }'=3.c1 (1/2 )^^x ln~1/2 =-3~ln~2.c1 (1/2 )^^x y'=-3~ln~2.c1 (1/2 )^^x 0336 y=5^x .c1 5^x 이므로 y' =(5^x )'.c1 5^x +5^x .c1 (5^x )' =5^x ~ln~5.c1 5^x +5^x .c1 5^x ~ln~5=2~ln~5.c1 5^2 ^x y'=2~ln~5.c1 5^2 ^x y=25^x 이므로 y' =25^x ~ln~25=2~ln~5.c1 5^2 ^x 0337 y' =(3x+1)'.c1 3^x +(3x+1).c1 (3^x )' =3.c1 3^x +(3x+1).c1 3^x ~ln~3 =3^x {(3x+1)~ln~3+3} y'=3^x {(3x+1)~ln~3+3}0338 y'=3/5 .c1 (ln~x)'=3/5 .c1 1/x =3/5x y'=3/5x0339 y=ln~3+ln~x이므로 y'=1/x y'=1/x 0340 y=2~ln~x이므로 y'=2/x y'=2/x 0341 y'=(x)'.c1 ln~x+x.c1 (ln~x)'=1.c1 ln~x+x.c1 1/x =ln~x+1 y'=ln~x+10342 y=log ~2+log ~x이므로 y'=1x~ln~10 y'=1x~ln~100343 y=log _2 ~3+log _2 ~x이므로 y'=1x~ln~2 y'=1x~ln~20344 y'=(x)'.c1 log _5 ~x+x.c1 (log _5 ~x)'=1.c1 log _5 ~x+x.c1 1x~ln~5=log _5 ~x+1ln~5 y'=log _5 ~x+1ln~50314 limx=0 ~(1+x)-1/x =limx=0 ~{(1+x)1/x }^- ^1 =e^- ^1 =1/e 1/e 0315 limx=inf `(1+3/x )^^x =limx=inf `{(1+3/x )x/3 }^^3 =e^3 e^3 0316 ln~x=1에서 x=e e0317 ln~x=-1/2 에서 x=e-1/2 =11e` 11e`0318 e^x =5에서 x=ln~5 ln~50319 e^2 ^x =1/3 에서 2x=ln~1/3 , 2x=-ln~3 .t3 x=-1/2 ~ln~3=-ln~13 -ln~130320 ln~e^- ^2 =-2~ln~e=-2 -20321 ln~1e =ln~e1/2 =1/2 ~ln~e=1/2 1/2 0322 ln~1/e =ln~e^- ^1 =-ln~e=-1 -10323 1log _3 ~e +1log _2 ~e =ln~3+ln~2=ln~6 ln~60324 limx=0 ~ln~(1+2x)x=limx=0 ~ln~(1+2x)2x.c1 2=1.c1 2=2 20325 limx=0 ~e^3 ^x -1x=limx=0 ~e^3 ^x -13x.c1 3=1.c1 3=3 30326 1ln~50327 ln~20328 y'=5.c1 (e^x )'=5e^x y'=5e^x 0329 y=e^2 .c1 e^x 이므로 y'=e^2 .c1 (e^x )'=e^2 .c1 e^x =e^x ^+ ^2 y'=e^x ^+ ^2 0330 y=1/e .c1 e^x 이므로 y'=1/e .c1 (e^x )'=1/e .c1 e^x =e^x ^- ^1 y'=e^x ^- ^1 0331 y=e^x .c1 e^x 이므로 y'=(e^x )'.c1 e^x +e^x .c1 (e^x )'=e^x .c1 e^x +e^x .c1 e^x =2e^2 ^x y'=2e^2 ^x 라이트쎈미적2_3강(해030-039)ok.indd 3115. 2. 27. 오후 2:23 32 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0353 limx=inf~{log~(ax-1)-log~(x+1)} =limx=inf log~ax-1x+1=log~(limx=inf~ax-1x+1)=log~alog~a=3에서 a=1000 10000354 4^x+5^x=5^x{(4/5)^^x+1}이므로 limx=inf~1/x~log_2~(4^x+5^x)=limx=inf~log_2~[5^x{(4/5)^^x+1}]1/x =limx=inf~log_2~[(5^x)1/x.c1{(4/5)^^x+1}1/x] =log_2~(5.c11)=log_2~5 ⑤0355 limx=0~(1+2x)3/x+limx=0~(1-2x)1/x =limx=0~{(1+2x)1/2x}^6+limx=0~{(1-2x)-1/2x}^-^2 =e^6+1e^2 e^6+1e^20356 limx=0~{(1+x/2)(1+x/3)}1/x =limx=0~{(1+x/2)1/x.c1(1+x/3)1/x} =limx=0~[{(1+x/2)2/x}1/2.c1{(1+x/3)3/x}1/3] =e1/2.c1e1/3=e5/6 ②0357 x-1=t로 놓으면 x`@B`1일 때 t`@B`0이므로 limx=1~x`1/-=limt=0~(1+t)-1/t=limt=0~{(1+t)1/t}^-^1 =e^-^1=1/e 1/e0358 limx=inf`(1-1/x)^^5^^x~=~limx=inf~{(1-1/x)^^-^^x}^^-^^5=e^-^5=1e^5 1e^50359 limx=inf`(1+a/x)^^6^^x=limx=inf`{(1+a/x)x/a}^^6^^a=e^6^ae^6^a=e^1^2에서 6a=12 .t3 a=2 ③0360 limx=inf`(x-1x+1)^^x=limx=inf`51-1/x1+1/x6^^x=limx=inf`(1-1/x)^^x(1+1/x)^^x=limx=inf~(1-1/x)^^xlimx=inf~(1+1/x)^^x=limx=inf~{(1-1/x)^^-^^x}^^-^^1limx=inf~(1+1/x)^^x=1/ee=1e^2 1e^20345 y'=(e^x)'.c1log_3~x+e^x.c1(log_3~x)'=e^x.c1log_3~x+e^x.c11x~ln~3=e^x(log_3~x+1x~ln~3) y'=e^x(log_3~x+1x~ln~3)0346 limx=inf`2^x^+^1-3^x2^x+3^x=limx=inf`2.c1(2/3)^^x-1(2/3)^^x+1=-1 -10347 limx=inf`(4^x-3^x)1/x=limx=inf`{4^x(1-3^x4^x)}1/x=limx=inf`(4^x)1/x.c1{1-(3/4)^^x}1/x=4.c11=4 ④0348 limx=inf`a.c14^x+34^x^-^1-1=limx=inf`4a+34^x^-^11-14^x^-^1=4a ⇨ ❶이므로 4a=16 .t3 a=4 ⇨ ❷ 40349 1/x=t로 놓으면 x`@B`0-일 때 t`@B`-X이므로 limx=0- 11+21/x=limt=-$ 11+2^t=11+0=1 ⑤0350 -x=t로 놓으면 x`@B`-X일 때 t`@B`X이므로 limx=-$7^x+7^-^x7^x-7^-^x=limt=inf~7^-^t+7^t7^-^t-7^t =limt=inf~(1/49)^^t+1(1/49)^^t-1=0+10-1=-1 -10351 limx=2~(log_2~|x^2-4|-log_2|x-2|) =limx=2~log_2~|x^2-4x-2| =limx=2~log_2~|(x-2)(x+2)x-2| =limx=2~log_2|x+2| =log_2~4=2 ②0352 limx=inf`(log_3~23x^2+xx -log_3~x) =limx=inf~log_3~23x^2+xx`x =limx=inf~log_3~43+1/xf =log_3~(limx=inf~43+1/xf ) =log_3~13 =1/2 ②채점 기준비율❶limx=inf~a.c14^x+34^x^-^1-1의값을간단히할수있다.70%❷a의값을구할수있다.30%라이트쎈미적2_3강(해030-039)ok.indd 3215. 2. 27. 오후 2:23 03``지수함수와 로그함수의 미분 • 33본책지수함수와 로그함수의 미분0342~46쪽0367 limx=0 ~log _3 ~(1-3x)x=limx=0 ~log _3 ~(1-3x)-3x.c1 (-3)=1ln~3.c1 (-3)=-3ln~3 -3ln~30368 limx=0 ~log _5 ~(1+2x)log _2 ~(1-x) =limx=0 ~log _5 ~(1+2x)2x.c1 -xlog _2 ~(1-x).c1 (-2)=1ln~5.c1 ln~2.c1 (-2)=-2~ln~2ln~5 ①0369 x-2=t로 놓으면 x`@B`2일 때 t`@B`0이므로 limx=2 ~log ~(x-1)x-2=limt=0 ~log ~(1+t)t=1ln~10 1ln~100370 limx=0 ~e^2 ^x -1x^2 -x=limx=0 ~e^2 ^x -12x.c1 2x-1=1.c1 (-2)=-2 ①0371 limx=0 ~e^- ^3 ^x -12x=limx=0 ~e^- ^3 ^x -1-3x.c1 -32~=1.c1 (-3/2 )=-3/2 -3/2 0372 limx=0 ~e^3 ^x -e^- ^4 ^x x=limx=0 ~(e^3 ^x -1)-(e^- ^4 ^x -1)x=limx=0 ~(e^3 ^x -1x-e^- ^4 ^x -1x)=limx=0 ~{e^3 ^x -13x.c1 3-e^- ^4 ^x -1-4x.c1 (-4)}=1.c1 3-1.c1 (-4)=7 ②0373 limx=0 ~e^x -1ln~(1+ax)=limx=0 ~e^x -1x.c1 axln~(1+ax).c1 1/a =1.c1 1.c1 1/a =1/a ⇨ ❶1/a =1/3 에서 a=3⇨ ❷ 30374 limx=0 ~3^x -2^x x=limx=0 ~3^x -1-(2^x -1)x=limx=0 ~(3^x -1x-2^x -1x)=ln~3-ln~2=ln~3/2 ③채점 기준비율❶limx=0 ~~e^x -1ln(1+ax)의값을간단히할수있다.70%❷a의값을구할수있다.30%0361 limx=0 ~(1+ax)b/x=limx=0 ~{(1+ax)1/ax}ab=eabㄱ. limx=0 ~(1+bx)a/x=limx=0 ~{(1+bx)1/bx}ab=eabㄴ. limx=inf ~(1+a/x)^^b ^^x =limx=inf ~{(1+a/x)x/a}^^a ^^b =e^a ^b ㄷ. limx=inf ~(1-a/x)-x/b=limx=inf ~{(1-a/x)-x/a}a/b=ea/b이상에서 limx=0 ~(1+ax)b/x과 값이 같은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③0362 limx=0 ~4xln~(1+2x)=limx=0 ~2xln~(1+2x).c1 2=limx=0 ~1ln~(1+2x)2x.c1 2=1/1 .c1 2=2 ⑤0363 limx=0 ~ln~(1+6x)ln~(1+3x)=limx=0 ~ln~(1+6x)6x.c1 3xln~(1+3x).c1 6/3 =1.c1 1.c1 2=2 20364 limx=inf ~x{ln~(2x+1)-ln~2x} =limx=inf `x~ln~2x+12x=limx=inf ~x~ln~(1+1/2x) =limx=inf ~2x~ln~(1+1/2x).c1 1/2 =1.c1 1/2 =1/2 ②0365 limx=0 ~ln~(ax+1)x^3 +2x=limx=0 ~ln~(ax+1)ax.c1 ax^2 +2=1.c1 a/2 =a/2 ⇨ ❶a/2 =5에서 a=10 ⇨ ❷ .t3 limx=0 ~ln~(4x+1)ax=limx=0 ~ln~(4x+1)10x=limx=0 ~ln~(4x+1)4x.c1 2/5 =1.c1 2/5 =2/5 ⇨ ❸ 2/5 0366 limx=0 ~log _2 ~(3+x)-log _2 ~3x=limx=0 ~log _2 ~3+x3x=limx=0 ~log _2 ~(1+x/3 )x/3 .c1 1/3 =1ln~2.c1 1/3 =13~ln~2 13~ln~2채점 기준비율❶limx=0 ~ln~(ax+1)x^3 +2x의값을간단히할수있다.40%❷a의값을구할수있다.20%❸limx=0 ~ln~(4x+1)ax의값을구할수있다.40%라이트쎈미적2_3강(해030-039)ok.indd 3315. 2. 27. 오후 2:23 34 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0381 x`@B`-1일 때 (분모)`@B`0이고 극한값이 존재하므로(분자)`@B`0이다.즉 limx=-1~~{a~ln~(x+2)+b}=0이므로 b=0b=0을 주어진 식에 대입하면 limx=-1~~a~ln~(x+2)+bx^2-1=limx=-1~~a~ln~(x+2)(x+1)(x-1)이때 x+1=t로 놓으면 x`@B`-1일 때 t`@B`0이므로 limx=-1~~a~ln~(x+2)(x+1)(x-1)=limt=0~a~ln~(t+1)t(t-2) =limt=0~ln~(t+1)t.c1at-2 =1.c1a-2=-a/2-a/2=4에서 a=-8 .t3 a+b=-8 ①0382 점 P의 좌표를 (t, log_2~(t+1))이라 하면 OQ^_=t, PQ^_=log_2~(t+1)이때 점 P가 원점 O에 한없이 가까워지면 t`@B`0+이므로 구하는 극한값은 limt=0+PQ^_OQ^_=limt=0+log_2~(t+1)t=1ln~2 1ln~20383 점 P의 x좌표가 t이므로 P(t, ln~t)따라서 S(t)=1/2.c12.c1ln~t=ln~t이므로 limt=1+~S(t)t-1=limt=1+~ln~tt-1이때 t-1=s로 놓으면 t`@B`1+일 때 s`@B`0+이므로 limt=1+~ln~tt-1=lims=0+~ln~(s+1)s=1 ④0384 점 P의 좌표를 (t, e^t-1)이라 하면 S_1=1/2.c11.c1(e^t-1)=e^t-12 S_2=1/2.c12.c1t=t .t3 S_1S_2=e^t-12t이때 점 P가 점 O에 한없이 가까워지면 t`@B`0+이므로 구하는 극한값은 limt=0+~S_1S_2=limt=0+~e^t-12t ~=limt=0+~e^t-1t.c11/2 ~=1.c11/2=1/2 1/2채점 기준비율❶a의값을구할수있다.40%❷b의값을구할수있다.50%❸ab의값을구할수있다.10%0375 limx=0~{log_3~(1+x)}(3^x-1)x^2=limx=0~log_3~(1+x)x.c13^x-1x=1ln~3.c1ln~3=1 10376 limx=0~2^x+4^x+8^x-3x =limx=0~(2^x-1)+(4^x-1)+(8^x-1)x =limx=0~2^x-1x+limx=0~4^x-1x+limx=0~8^x-1x =ln~2+ln~4+ln~8=ln~64 .t3 a=64 ⑤0377 limx=1~5^x^-^1-1x^2-1=limx=1~5^x^-^1-1x-1.c11x+1x-1=t로 놓으면 x`@B`1일 때 t`@B`0이므로 limt=0~5^t-1t.c11t+2=ln~5.c11/2=1/2~ln~5=ln~15 ln~15~0378 x`@B`0일 때 (분모)`@B`0이고 극한값이 존재하므로(분자)`@B`0이다.즉 limx=0~(ax+b)=0이므로 b=0b=0을 주어진 식에 대입하면 limx=0~axe^2^x-1=limx=0~2xe^2^x-1.c1a/2=1.c1a/2=a/2a/2=1/3에서 a=2/3 a=2/3, b=00379 x`@B`0일 때 (분자)`@B`0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로 (분모)`@B`0이다.즉 limx=0~{log_3~(1+x)+a}=0이므로 a=0a=0을 주어진 식에 대입하면 limx=0~x^2+2xlog_3~(1+x)=limx=0~x(x+2)log_3~(1+x) =limx=0~xlog_3~(1+x).c1(x+2) =ln~3.c12=2~ln~3 .t3 b=2~ln~3 a=0, b=2~ln~30380 x`@B`0일 때 (분자)`@B`0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로 (분모)`@B`0이다.즉 limx=0~(2^x^+^1-a)=0이므로 2-a=0 .t3 a=2 ⇨ ❶a=2를 주어진 식에 대입하면 limx=0~ln~(1+bx)2^x^+^1-2=limx=0~ln~(1+bx)2(2^x-1)=limx=0x2^x-1.c1ln~(1+bx)bx.c1b/2=1ln~2.c11.c1b/2=b2~ln~2b2~ln~2=2ln~2에서 b=4 ⇨ ❷ .t3 ab=2.c14=8 ⇨ ❸ 8라이트쎈미적2_3강(해030-039)ok.indd 3415. 2. 27. 오후 2:23 03``지수함수와 로그함수의 미분 • 35본책지수함수와 로그함수의 미분0346~49쪽0390 f(x)=(x+2)e^x ^+ ^1 =e(x+2)e^x 이므로 f'(x) =e{(x+2)'.c1 e^x +(x+2).c1 (e^x )'} =e{1.c1 e^x +(x+2).c1 e^x }=e(x+3)e^x =(x+3)e^x ^+ ^1 .t3 f'(0)=3e ③0391 y=2^x ^+ ^3 =2^3 .c1 2^x 이므로 f(x)=2^x ^+ ^3 으로 놓으면 f'(x)=2^3 .c1 (2^x )'=2^3 .c1 2^x ~ln~2=8~ln~2.c1 2^x 따라서 f'(-1)=8~ln~2.c1 1/2 =4~ln~2이므로 구하는 접선의 기울기는 4~ln~2이다. 4~ln~20392 f'(x) =a{(x^2 )'.c1 e^x +x^2 .c1 (e^x )'}=a(2xe^x +x^2 e^x ) =ax(x+2)e^x 이므로 f'(1)=3ae3ae=1/2 e에서 a=1/6 ①0393 f'(x)=2x~ln~x+x^2 .c1 1/x =2x~ln~x+x이므로 f'(e)=2e+e=3e 3e0394 f(x)=(log _2 ~x)^2 +1/2 ~ln~x=log _2 ~x.c1 log _2 ~x+1/2 ~ln~x이므로 f'(x)=(log _2 ~x)'.c1 log _2 ~x+log _2 ~x.c1 (log _2 ~x)'+(1/2 ~ln~x)' =1x~ln~2.c1 log _2 ~x+log _2 ~x.c1 1x~ln~2+1/2x =2~log _2 ~xx~ln~2+1/2x=4~log _2 ~x+ln~22x~ln~2 .t3 f'(1)=ln~22~ln~2=1/2 1/2 0395 f(x)=x~log _3 ~2x=x(log _3 ~2+log _3 ~x)이므로 f'(x)=log _3 ~2+log _3 ~x+x.c1 1x~ln~3 =log _3 ~2+log _3 ~x+1~ln~3 =log _3 ~2+log _3 ~x+log _3 ~e=log _3 ~2exlog _3 ~2ex=log _3 ~ax에서 a=2e ②y=e^x ^+ ^p , y=a^x ^+ ^p (p는 상수)의 도함수상수 p에 대하여 y=e^x ^+ ^p ➲ y=e^p .c1 e^x , y=a^x ^+ ^p ➲ y=a^p .c1 a^x 으로 생각하여 미분한다.y=ln~px, y=log _a ~px(p는 상수)의 도함수상수 p에 대하여 y=ln~px ➲ y=ln~p+ln~x y=log _a ~px ➲ y=log _a ~p+log _a ~x로 생각하여 미분한다.0385 함수 f(x)가 x=0에서 연속이므로 limx=0 `f(x)=f(0) .t3 a=limx=0 ~e^x +x-14x=1/4 .c1 limx=0 ~(e^x -1x+1) =1/4 (1+1)=1/4 .c1 2=1/2 ④0386 함수 f(x)가 구간 (-X, X)에서 연속이려면 x=0에서 연속이어야 하므로 lim x=0+`f(x)=lim x=0-`f(x)=f(0) .t3 lim x=0+~x.c1 2^x 4^x -1=k이때 lim x=0+~x.c1 2^x 4^x -1=lim x=0+~x4^x -1.c1 2^x ~=1ln~4.c1 1=1ln~4이므로 k=1ln~4 1ln~40387 함수 f(x)가 x=0에서 연속이려면lim x=0+`f(x)=lim x=0-`f(x)=f(0)이어야 하므로 lim x=0+~ln~(a+5x)x=b .c3 .c3 ㉠x`@B`0+일 때 (분모)`@B`0이고 극한값이 존재하므로 (분자)`@B`0이다.즉 lim x=0+~ln~(a+5x)=0이므로 ln~a=0 .t3 a=1 ⇨ ❶a=1을 ㉠에 대입하면 b=lim x=0+~ln~(1+5x)x=lim x=0+~~ln~(1+5x)5x.c1 5=1.c1 5=5 ⇨ ❷ .t3 a+b=6 ⇨ ❸ 60388 xnot= 0일 때, f(x)=e^2 ^x -1x이고 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 f(0)=limx=0 `f(x)이때 limx=0 ~e^2 ^x -1x=limx=0 ~e^2 ^x -12x.c1 2=1.c1 2=2이므로 f(0)=2 20389 xnot= 1일 때, f(x)=ln~xx-1이고 함수 f(x)가 구간 (0, X)에서 연속이므로 f(1)=limx=1 `f(x)=limx=1 ~ln~xx-1x-1=t로 놓으면 x`@B`1일 때 t`@B`0이므로 limx=1 ~ln~xx-1=limt=0 ~ln~(t+1)t=1 .t3 f(1)=1 1채점 기준비율❶a의값을구할수있다.40%❷b의값을구할수있다.50%❸a+b의값을구할수있다.10%라이트쎈미적2_3강(해030-039)ok.indd 3515. 2. 27. 오후 2:23 36 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0401 limx=0~(1+x)1/x=e를 이용할 수 있도록 식을 변형한다.limx=0~(1+ax)1/2x=e^5에서 limx=0~(1+ax)1/2x=limx=0~{(1+ax)1/ax}a/2=ea/2이므로 ea/2=e^5, a/2=5 .t3 a=10 100402 limx=inf~(1+1/x)^^x=e를 이용할 수 있도록 식을 변형한다.limx=inf~ln~(1+4/x)^^a^^x=8에서 limx=inf~ln~(1+4/x)^^a^^x=limx=inf~ln~{(1+4/x)x/4}^^4^^a=ln~e^4^a=4a이므로 4a=8 .t3 a=2 ③0403 limx=0~e^x-1x=1, limx=0~a^x-1x=ln~a를 이용할 수 있도록 식을 변형한다. limx=0~e^2^x-2^xx=limx=0~e^2^x-1+1-2^xx~=limx=0~e^2^x-12x.c12-limx=0~2^x-1x~=2-ln~2 ③0404 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선의 기울기는 f'(a)이다. f(x)=(x-3)e^x으로 놓으면 f'(x)=e^x+(x-3)e^x=(x-2)e^x따라서 x=0인 점에서의 접선의 기울기는 f'(0)=-2 -20405 지수함수와 로그함수의 극한을 이용한다.ㄱ. limx=0~2^x2^x+2^-^x=2^02^0+2^0=1/2ㄴ. 1/x=t로 놓으면 x`@B`0+일 때 t`@B`inf, x`@B`0-일 때 t`@B`-inf이므로 limx=0+~1-21/x1+21/x=limt=inf~1-2^t1+2^t=limt=inf~12^t-112^t+1=-1, limx=0-~1-21/x1+21/x=limt=-inf~1-2^t1+2^t=1 j limx=0+~1-21/x1+21/xnot=limx=0-~1-21/x1+21/x즉 limx=0~1-21/x1+21/x의 값은 존재하지 않는다.ㄷ. limx=inf~log_3~3x^2-2x^2+3=limx=inf~log_3~3-2x^21+3x^2=log_3~3=1ㄹ. 1/x=t로 놓으면 x`@B`-X일 때 t`@B`0-이므로 limx=-$~11-31/x=limt=0-~11-3^t=X이상에서 극한값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄷ이다. ②0396 f(x)가 x=1에서 미분가능하려면 x=1에서 연속이어야 하므로 limx=1+~ln~ax=limx=1-~(bx+2)=f(1) .t3 ln~a=b+2 .c3.c3 ㉠또 f'(1)이 존재해야 하므로 f'(x)={1/xb`(x>1)(x<1)에서 limx=1+~1/x=limx=1-~b .t3 b=1b=1을 ㉠에 대입하면 ln~a=3 .t3 a=e^3 a=e^3, b=10397 f(x)가 x=1에서 미분가능하려면 x=1에서 연속이어야 하므로 limx=1+~(ax^2+1)=limx=1-~(e^x^-^1+b)=f(1) a+1=1+b .t3 b=a .c3.c3 ㉠ ⇨ ❶또 f'(1)이 존재해야 하므로 f'(x)={2axe^x^-^1`(x>1)(x<1)에서 limx=1+~2ax=limx=1-~e^x^-^1즉 2a=1에서 a=1/2a=1/2을 ㉠에 대입하면 b=1/2 ⇨ ❷ .t3 a+b=1 ⇨ ❸ 10398 f(1)=0이므로 limh=0~f(1+h)h=limh=0~f(1+h)-f(1)h=f'(1)이때 f'(x)=3^x~ln~3.c1(x^2-1)+3^x.c12x=3^x{ln~3.c1(x^2-1)+2x}이므로 f'(1)=3.c12=6 60399 limx=1~x^2-1f(x)-f(1)=limx=1~(x-1)(x+1)f(x)-f(1)=limx=1~1f(x)-f(1)x-1.c1(x+1)=1f'(1).c12=2f'(1)이때 f'(x)=ln~x+x.c11/x+3x^2=ln~x+3x^2+1이므로 f'(1)=4 .t3 2f'(1)=2/4=1/2 ②0400 로그의 성질을 이용하여 limx=inf~{log_a`f(x)} 꼴로 변형한 후 limx=inf~{log_a`f(x)}=log_a~{limx=inf`f(x)}임을 이용한다. limx=inf~{log_2~(x^2+1)+log1/2~(2x^2-1)} =limx=inf~{log_2~(x^2+1)-log_2~(2x^2-1)} =limx=inf~log_2~x^2+12x^2-1=log_2~1/2=-1 ①채점 기준비율❶a,b사이의관계식을구할수있다.40%❷a,b의값을구할수있다.50%❸a+b의값을구할수있다.10%라이트쎈미적2_3강(해030-039)ok.indd 3615. 2. 27. 오후 2:23 03``지수함수와 로그함수의 미분 • 37본책지수함수와 로그함수의 미분0349~51쪽limx=0 ~(e^3 ^x -1)f(x)=limx=0 ~e^3 ^x -13x.c1 3.c1 xf(x)=1.c1 3.c1 3=9 90410 x-2=t로 놓고 limx=0 ~a^x -1x=ln~a를 이용할 수 있도록 식을 변형한다. limx=2 ~3^x ^- ^2 -1x^2 -4=limx=2 ~3^x ^- ^2 -1x-2.c1 1x+2x-2=t로 놓으면 x`@B`2일 때 t`@B`0이므로 limx=2 ~3^x ^- ^2 -1x-2.c1 1x+2=limt=0 ~3^t -1t.c1 1t+4 =ln~3.c1 1/4 =1/4 ~ln~3따라서 a=1/4 ~ln~3이므로 e^4 ^a =e4.c1 1/4 ~ln~3=e ln~3=3 ③0411 x`@B`a일 때 (분모)`@B`0이고 극한값이 존재하면 (분자)`@B`0임을 이용한다.lim x= 1/3 ax+9ln~3x=b에서 x`@B`1/3 일 때 (분모)`@B`0이고 극한값이 존재하므로 (분자)`@B`0이다.즉 lim x= 1/3 (ax+9)=0이므로 1/3 a+9=0 .t3 a=-27 ⇨ ❶a=-27을 주어진 식에 대입하면 lim x= 1/3 -27x+9ln~3x=lim x= 1/3 -9(3x-1)ln~3x3x-1=t로 놓으면 x`@B`1/3 일 때 t`@B`0이므로 lim x= 1/3 -9(3x-1)ln~3x=limt=0 ~-9tln~(1+t) =-9~limt=0 ~tln~(1+t)=-9 .t3 b=-9 ⇨ ❷ .t3 b-a=-9-(-27)=18 ⇨ ❸ 18 0412 PQ^_ 의 길이를 t에 대한 식으로 나타내고limx=0 ~a^x -1x=ln~a를 이용할 수 있도록 식을 변형한다. P(t, 4^t ), Q(t, 2^t )이므로 PQ^_ =4^t -2^t ∴ lim t=0+~PQ^_ t=lim t=0+~ 4^t -2^t t=lim t=0+~(4^t -1t-2^t -1t)=ln~4-ln~2=ln~4/2 =ln~2 ⑤ 채점 기준비율❶a의값을구할수있다.40%❷b의값을구할수있다.50%❸b-a의값을구할수있다.10%0406 inf inf 꼴의 지수함수를 포함한 함수의 극한값은 분모에서 밑이 가장 큰 항으로 분자, 분모를 나누어서 구한다. limx=inf `f(x)=limx=inf ~a.c1 5^x +b.c1 3^x ^- ^1 5^x -3^x ^+ ^1 =limx=inf ~a+b.c1 1/3 (3/5 )^^x 1-3~(3/5 )^^x =a이므로 a=4 ⇨ ❶ limx=0 `f(x)=limx=0 ~a.c1 5^x +b.c1 3^x ^- ^1 5^x -3^x ^+ ^1 =a+1/3 b1-3=-1/2 a-1/6 b이므로 -1/2 a-1/6 b=-2, 3a+b=12이 식에 a=4를 대입하면 b=0 ⇨ ❷ .t3 a+b=4 ⇨ ❸ 40407 x-3=t로 놓고 limx=0 ~ln~(1+x)x=1을 이용할 수 있도록 식을 변형한다. x-3=t로 놓으면 x`@B`3일 때 t`@B`0이므로 limx=3 ~ln~x-ln~3x-3=limt=0 ~ln~(3+t)-ln~3t=limt=0 ln~3+t3t =limt=0 ~ln~(1+t/3 )t/3 .c1 1/3 =1.c1 1/3 =1/3 ②f(x)=ln~x라 하면 limx=3 ~ln~x-ln~3x-3=limx=3 ~`f(x)-f(3)x-3=f'(3)f'(x)=1/x이므로 f'(3)=1/30408 limx=0 ~ln~(1+x)x=1, limx=0 ~e^x -1x=1을 이용할 수 있도록 식을 변형한다. limx=0 ~ln~(1+ax)e^2 ^x -1=4에서 limx=0 ~ln~(1+ax)e^2 ^x -1=limx=0 ~ln~(1+ax)ax.c1 2xe^2 ^x -1.c1 a/2 =1.c1 1.c1 a/2 =a/2 이므로 a/2 =4 .t3 a=8 80409 limx=0 ~xf(x)=3, limx=0 ~e^x -1x=1을 이용할 수 있도록 식을 변형한다. 채점 기준비율❶a의값을구할수있다.50%❷b의값을구할수있다.40%❸a+b의값을구할수있다. 10%라이트쎈미적2_3강(해030-039)ok.indd 3715. 2. 27. 오후 2:23 38 • 정답 및 풀이정답 및 풀이이때 f(x)=1/4.c13^x^+^1=3/4.c13^x이므로 f'(x)=3/4.c13^x~ln~3=3^x^+^1~ln~34 .t3 4`f'(2)=4.c13^2^+^1~ln~34=27~ln~3 ⑤0416 limx=0~(1+x)1/x=e, limx=inf~(1+1/x)^^x=e를 이용할 수 있도록 식을 변형한다. x-1=t로 놓으면 x`@B`1일 때 t`@B`0이므로 limx=1~x~1/-=limt=0~(1+t)-1/t=limt=0~{(1+t)1/t}^-^1=e^-^1=1/eㄱ. -1/x=t로 놓으면 x`@B`X일 때 t`@B`0-이므로 limx=inf~(x-1/x)^^-^^x=limx=inf~(1-1/x)^^-^^x=limt=0-~(1+t)1/t=eㄴ. -x=t로 놓으면 x`@B`0일 때 t`@B`0이므로 limx=0~(1-x)1/x=limt=0~(1+t)-1/t=limt=0~{(1+t)1/t}^-^1=e^-^1=1/eㄷ. -x=t로 놓으면 x`@B`-X일 때 t`@B`X이므로 limx=-$(1-1/x)^^x=limt=inf~(1+1/t)^^-^^t=limt=inf~{(1+1/t)^^t}^^-^^1=1/e이상에서 limx=1~x~1/-과 값이 같은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ⑤0417 f(n)을 간단히 정리한 후 limx=0~(1+x)1/x=e를 이용한다.f(n)=sigk=1^n-1~1k(k+1)=sigk=1^n-1~(1k-1k+1)=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+.c3+(1n-1-1/n)=1-1/n ⇨ ❶ .t3 limn=inf~{`f(n)}^2^n= limn=inf~(1-1/n)^^2^^n이때 -1/n=t로 놓으면 n`@B`X일 때 t`@B`0-이므로 limn=inf~(1-1/n)^^2^^n=limt=0-~(1+t)-2/t=limt=0-~{(1+t)1/t}^-^2 =e^-^2=1e^2 ⇨ ❷ 1e^20418 limx=0~ln~(1+x)x=1, limx=0~a^x-1x=ln~a, limx=0~~log_a~(1+x)x=1ln~a 을 이용할 수 있도록 식을 변형한다.limx=-2~5^x^+^2-1ln~(x+3)에서 x+2=t로 놓으면 x`@B`-2일 때 t`@B`0이므로채점 기준비율❶f(n)을간단히정리할수있다.50%❷limn=inf~{`f(n)}^2^n의값을구할수있다.50%0413 f(x)가 x=0에서 연속이므로f(0)=limx=0+`f(x)=limx=0-`f(x)이다. f(x)가 x=0에서 연속이므로 f(0)=limx=0+`f(x)=limx=0-`f(x)이때 limx=0+`f(x)=limx=0+~ax+2=a/2, limx=0-`f(x)=limx=0-~2^x^+^2-4x=limx=0-~4(2^x-1)x=4~ln~2이므로 a/2=4~ln~2 .t3 a=8~ln~2따라서 f(x)=k 8~ln~2x+22^x^+^2-4x `(x_>0)(x<0) 이므로 f(2)=8~ln~24=2~ln~2 ③0414 곱의 미분법을 이용하여 f'(x)를 구한 후 f'(a)=0을 만족시키는 a의 값을 구한다. f(x)=(x^3-5x^2+9x-7)e^x이므로 f'(x) =(3x^2-10x+9)e^x+(x^3-5x^2+9x-7)e^x =(x^3-2x^2-x+2)e^x ⇨ ❶f'(a)=0에서 (a^3-2a^2-a+2)e^a=0 a^3-2a^2-a+2=0 (.T3 e^a>0) (a+1)(a-1)(a-2)=0 .t3 a=-1 또는 a=1 또는 a=2 ⇨ ❷따라서 모든 실수 a의 값의 합은 -1+1+2=2 ⇨ ❸ 2a^3-2a^2-a+2=0에서 근과 계수의 관계를 이용하면 모든 실수 a의 값의 합은 20415 미분계수의 정의를 이용하여limh=0 `f(2+h)-f(2-3h)h 를 변형한다.limh=0~`f(2+h)-f(2-3h)h =limh=0~`f(2+h)-f(2)+f(2)-f(2-3h)h =limh=0~`f(2+h)-f(2)h+limh=0~`f(2-3h)-f(2)-3h.c13 =f'(2)+3`f'(2)=4`f'(2)채점 기준비율❶f'(x)를구할수있다.50%❷f'(a)=0을만족시키는a의값을구할수있다.40%❸모든실수a의값의합을구할수있다.10%삼차방정식의 근과 계수의 관계삼차방정식 ax^3+bx^2+cx+d=0의 세 근을 alpha, beta, gamma라 하면 alpha+beta+gamma=-b/a, alphabeta+betagamma+gammaalpha=c/a, alphabetagamma=-d/a라이트쎈미적2_3강(해030-039)ok.indd 3815. 2. 27. 오후 2:23 본책51~55쪽 lim x=-2~5^x ^+ ^2 -1ln~(x+3)+limx=0 ~xlog _3 (1+2x) =limt=0 ~5^t -1ln (1+t)+limx=0 ~2xlog _3 (1+2x).c1 1/2 =limt=0 ~tln (1+t).c1 5^t -1t+limx=0 ~2xlog _3 (1+2x).c1 1/2 =1.c1 ln~5+ln~3.c1 1/2 =ln~5+ln~13~=ln~513 ④0419 로그의 성질과 limx=0 ~ln~(1+x)x=1을 이용하여 f(n)을 간단히 정리한 후 limn=inf ~4n^2 +3n`f(n)의 값을 구한다. f(n)=limx=0 ~@Nsig k=1~ln~(1+kx)x=limx=0 ~{ln~(1+x)x+ln~(1+2x)x+.c3 +ln~(1+2nx)x}=limx=0 ~{ln~(1+x)x+ln~(1+2x)2x.c1 2+ln~(1+3x)3x.c1 3+.c3 +ln~(1+2nx)2nx.c1 2n}=1+2+3+.c3 +2n=2n(2n+1)2=n(2n+1) .t3 limn=inf ~4n^2 +3n`f(n)=limn=inf ~4n^2 +3nn(2n+1)=limn=inf ~4+3/n 2+1/n =4/2 =2 ②0420 f(x)가 x>0인 모든 실수에서 연속이므로 f(x)는 x=1에서 연속이다.함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로 f(1)=limx=1 `f(x)=5 (.T3 ㈎)㈏에서 (x-1)f(x)=a~ln~x+b-2이므로 xnot= 1일 때 f(x)=a~ln~x+b-2x-1 .t3 limx=1 ~a~ln~x+b-2x-1=5 .c3 .c3 ㉠㉠에서 x`@B`1일 때 (분모)`@B`0이고 극한값이 존재하므로 (분자)`@B`0이다.즉 limx=1 ~(a~ln~x+b-2)=0이므로 b-2=0 .t3 b=2b=2를 ㉠에 대입하면 limx=1 ~a~ln~xx-1=5x-1=t로 놓으면 x`@B`1일 때 t`@B`0이므로 limx=1 ~a~ln~xx-1=limt=0 ~a~ln~(1+t)t=a.c1 1=a .t3 a=5따라서 x>0에서 f(x)={5~ln~xx-15`(xnot= 1)(x=1)이므로 f(2)=5~ln~22-1=5~ln~2 5~ln~2삼각함수04Ⅱ. 삼각함수0421 0422 0423 0424 0425 theta =360°\n+115°`(n은 정수)0426 theta =360°\n+(-30°)`(n은 정수)0427 780°=360°\2+60°이므로 360°\n+60°`(n은 정수) 풀이 참조0428 1190°=360°\3+110°이므로 360°\n+110°`(n은 정수) 풀이 참조0429 -415°=360°\(-2)+305°이므로 360°\n+305°`(n은 정수) 풀이 참조0430 -820°=360°\(-3)+260°이므로 360°\n+260°`(n은 정수) 풀이 참조0431 제 4 사분면0432 850°=360°\2+130°따라서 850°는 제 2 사분면의 각이다. 제 2 사분면0433 -170°=360°\(-1)+190°따라서 -170°는 제 3 사분면의 각이다. 제 3 사분면0434 -1070°=360°\(-3)+10°따라서 -1070°는 제 1 사분면의 각이다. 제 1 사분면0435 120°=120.c1 pai /180=2/3 pai 2/3 pai 0436 330°=330.c1 pai /180=11/6pai 11/6pai 0437 -144°=(-144).c1 pai /180=-4/5 pai -4/5 pai 0438 -225°=(-225).c1 pai /180=-5/4 pai -5/4 pai (cid:57)(cid:48)(cid:49)(cid:19)(cid:22)(cid:11)(cid:57)(cid:49)(cid:48)(cid:25)(cid:17)(cid:11)(cid:57)(cid:49)(cid:48)(cid:18)(cid:23)(cid:22)(cid:11)(cid:49)(cid:19)(cid:17)(cid:11)(cid:57)(cid:48)삼각함수0404``삼각함수 • 39라이트쎈미적2_3강(해030-039)ok.indd 3915. 2. 27. 오후 2:24 40 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0451 OP^_=2(-1)^2+(x-13 )^2x~=2이므로⑴ sin theta=-13`2 ⑵ cos theta=-1/2⑶ tan theta=13 ⑷ csc theta=-213`=-213`3⑸ sec theta=-2 ⑹ cot theta=113`=13`3 풀이 참조0452 OP^_=212^2+(x-5)^2x =13이므로⑴ sin theta=-5/13 ⑵ cos theta=12/13⑶ tan theta=-5/12 ⑷ csc theta=-13/5⑸ sec theta=13/12 ⑹ cot theta=-12/5 풀이 참조0453 ㈎ 1 ㈏ (-1/2, -13`2) ㈐ -1/2 ㈑ 13 0454 오른쪽 그림과 같이 각 3/4pai를 나타내는 동경과 단위원의 교점을 P라 하고, 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하자.OP^_=1이고, gakPOH=pai/4이므로 P(-12`2, 12`2) .t3 sin theta=12`2, cos theta=-12`2, tan theta=-1 풀이 참조0455 오른쪽 그림과 같이 각 7/6pai를 나타내는 동경과 단위원의 교점을 P라 하고, 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하자.OP^_=1이고, gakPOH=pai/6이므로 P(-13`2, -1/2) .t3 sin theta=-1/2, cos theta=-13`2, tan theta=13`3 풀이 참조0456 오른쪽 그림과 같이 각 150°를 나타내는 동경과 단위원의 교점을 P라 하고, 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하자.OP^_=1이고, gakPOH=30°이므로 P(-13`2, 1/2) .t3 sin theta=1/2, cos theta=-13`2, tan theta=-13`3 풀이 참조(cid:90)(cid:89)(cid:41)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:49)(cid:14)(cid:18)(cid:18)p(cid:20)(cid:14)(cid:21)(cid:14)(cid:14)(cid:19)(cid:48)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:19)(cid:90)(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:41)(cid:18)(cid:49)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:48)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:19)p(cid:24)(cid:14)(cid:23)(cid:14)(cid:14)(cid:19)(cid:20)(cid:90)(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:49)(cid:41)(cid:18)(cid:22)(cid:17)(cid:11)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:48)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:14)(cid:19)(cid:20)0439 2/5pai=2/5pai.c1180°pai=72° 72°0440 7/3pai=7/3pai.c1180°pai=420° 420°0441 -5/6pai=(-5/6pai).c1180°pai=-150° -150°0442 -7/4pai=(-7/4pai).c1180°pai=-315° -315°0443 풀이 참조0444 2npai+1/4`(n은 정수)0445 2npai+pai/2`(n은 정수)0446 2npai+4/3pai`(n은 정수)0447 9/4pai=2pai+pai/4이므로 2npai+pai/4`(n은 정수) 2npai+pai/4`(n은 정수)0448 45°=45.c1pai/180=pai/4이므로 l=5.c1pai/4=5/4pai, S=1/2.c15.c15/4pai=25/8pai l=5/4pai, S=25/8pai0449 r.c1pai/2=2pai이므로 r=4 .t3 S=1/2.c14.c12pai=4pai r=4, S=4pai0450 semoABC에서 피타고라스 정리에 의하여 AB^_ ^2 =BC^_ ^2+AC^_ ^2=a^2+b^2=(3b)^2+b^2 =10b^2 .t3 AB^_=110q b따라서 semoABC의 각 변의 길이는 오른쪽 그림과 같으므로⑴ sin A=3b110q b=3110q`10⑵ cos A=b110q b=110q`10⑶ tan A=3b/b=3 ⑴ 3110q`10 ⑵ 110q`10 ⑶ 3도(°)0°30°45°240°270°360°라디안0pai/6pai/44/3π3/2π2π(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:67)(cid:20)(cid:67)(cid:18)(cid:17)(cid:67)라이트쎈미적2_4강(해040-049)ok.indd 4015. 2. 27. 오후 2:24 04``삼각함수 • 41본책삼각함수0455~57쪽0457 오른쪽 그림과 같이 각 300°를 나타내는 동경과 단위원의 교점을 P라 하고, 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하자.OP^_ =1이고, gak POH=60°이므로 P(1/2 , -13`2) .t3 sin theta =-13`2, cos theta =1/2 , tan theta =-13 풀이 참조0458 theta =13/6pai =2pai \1+pai/6 에서 theta 는 제 1 사분면의 각이므로 sin theta >0, cos theta >0, tan theta >0 sin theta >0, cos theta >0, tan theta >00459 theta =670°=360°\1+310°에서 theta 는 제 4 사분면의 각이므로 sin theta <0, cos theta >0, tan theta <0 sin theta <0, cos theta >0, tan theta <00460 theta =-10/3pai =2pai \(-2)+2/3 pai 에서 theta 는 제 2 사분면의 각이므로 sin theta >0, cos theta <0, tan theta <0 sin theta >0, cos theta <0, tan theta <00461 theta =-460°=360°\(-2)+260°에서 theta 는 제 3 사분면의 각이므로 sin theta <0, cos theta <0, tan theta >0 sin theta <0, cos theta <0, tan theta >00462 sin theta >0인 것은 제 1 사분면과 제 2 사분면이고, cos theta <0인 것은 제 2 사분면과 제 3 사분면이므로 theta 는 제 2 사분면의 각이다. 제 2 사분면0463 sin theta <0인 것은 제 3 사분면과 제 4 사분면이고, tan theta <0인 것은 제 2 사분면과 제 4 사분면이므로 theta 는 제 4 사분면의 각이다. 제 4 사분면0464 sin theta cos theta >0에서 sin theta >0, cos theta >0 또는 sin theta <0, cos theta <0이므로 theta 는 제 1 사분면 또는 제 3 사분면의 각이다. 제 1 사분면 또는 제 3 사분면0465 sin ^2 theta +cos ^2 theta =1이므로 sin ^2 theta +(5/13)^^2 =1 .t3 sin ^2 theta =144/169이때 theta 가 제 4 사분면의 각이므로 sin theta <0 .t3 sin theta =-12/13 -12/13(cid:90)(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:49)(cid:41)(cid:20)(cid:17)(cid:17)(cid:11)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:48)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:14)(cid:19)(cid:20)0466 1+tan ^2 theta =sec^2 theta 이므로 1+(1/2 )^^2 =sec^2 theta .t3 sec^2 theta =5/4 이때 theta 가 제 3 사분면의 각이므로 sec theta <0 .t3 sec theta =-15`2 .t3 cos t=-215`=-215`5 -215`50467 1+cot^2 theta =csc^2 theta 이므로 1+1`tan ^2 theta =1+1/9 =csc^2 theta .t3 csc^2 theta =10/9이때 theta 가 제 2 사분면의 각이므로 csc~theta >0 .t3 csc~theta =110q`3 110q`30468 (sin theta +cos theta )^2 +(sin theta -cos theta )^2 =sin ^2 theta +2 sin theta cos theta +cos ^2 theta +sin ^2 theta -2 sin theta cos theta +cos ^2 theta =2(sin ^2 theta +cos ^2 theta )=2 20469 sin theta `1+cos theta +sin theta `1-cos theta =sin theta (1-cos theta )+sin theta (1+cos theta )(1+cos theta )(1-cos theta ) =sin theta -sin theta cos theta +sin theta +sin theta cos theta 1-cos ^2 theta =2 sin theta sin ^2 theta =2sin theta =2 csc theta 2 csc theta 0470 sin ^2 theta +cos ^2 theta =1에서 1-sin ^2 theta =cos ^2 theta 이고 1+tan ^2 theta =sec^2 theta 이므로 (1-sin ^2 theta )(1+tan ^2 theta )=cos ^2 theta sec^2 theta =1 10471 sin theta +cos theta =1/2 의 양변을 제곱하면 sin ^2 theta +cos ^2 theta +2 sin theta cos theta =1/4 1+2 sin theta cos theta =1/4 .t3 sin theta cos theta =-3/8 -3/8 0472 sin theta -cos theta =1/3 의 양변을 제곱하면 sin ^2 theta +cos ^2 theta -2 sin theta cos theta =1/9 1-2 sin theta cos theta =1/9 .t3 sin theta cos theta =4/9 4/9 라이트쎈미적2_4강(해040-049)ok.indd 4115. 2. 27. 오후 2:24 42 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 .t3 360°\k+180°0, r>0이므로 00, r>0이므로 00이면 최솟값은 x=m일 때 n이고, 최댓값은 없다.② a<0이면 최댓값은 x=m일 때 n이고, 최솟값은 없다.채점 기준비율❶부채꼴의호의길이를반지름의길이에대한식으로나타낼수있다.20%❷부채꼴의넓이를완전제곱식의꼴로나타낼수있다.70%❸화단의넓이의최댓값을구할수있다.10%이것을 ㉠에 대입하면 theta=π/6 또는 theta=5/6pai따라서 구하는 모든 theta의 값의 합은 π/6+5/6pai=pai pai0491 부채꼴의 반지름의 길이를 r, 중심각의 크기를 theta라 하면 1/2.c1r.c12pai=8pai .t3 r=8따라서 8theta=2pai이므로 theta=pai/4 ②0492 반지름의 길이가 a, 중심각의 크기가 2/3pai인 부채꼴의 호의 길이가 4pai이므로 a.c12/3pai=4pai .t3 a=6따라서 구하는 부채꼴의 넓이는 1/2.c16.c14pai=12pai .t3 b=12 .t3 b-a=6 ⑤0493 반지름의 길이가 r인 원의 넓이는 pair^2 ⇨ ❶반지름의 길이가 4r이고 호의 길이가 6pai인 부채꼴의 넓이는 1/2.c14r.c16pai=12pair ⇨ ❷두 넓이가 서로 같으므로 pair^2=12pair r^2-12r=0, r(r-12)=0 .t3 r=12`(.T3 r>0) ⇨ ❸ 120494 원의 둘레의 길이는 2pai.c14=8pai호의 길이를 l이라 하면 부채꼴의 둘레의 길이는 2.c14+l=8+l즉 8pai=2(8+l)이므로 l=4pai-8부채꼴의 중심각의 크기를 theta라 하면 l=4theta이므로 4pai-8=4theta .t3 theta=pai-2 pai-20495 부채꼴의 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l이라 하면 둘레의 길이가 12이므로 2r+l=12 .t3 l=12-2r이때 12-2r>0, r>0이므로 00, cos theta<0에서 theta가 제 2 사분면의 각이고 sin theta=3/5이므로 오른쪽 그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 5인 원을 그리면 각 theta의 동경과 만나는 점 P는 P(-4, 3)따라서 삼각함수의 정의에 의하여 cos theta=-4/5, tan theta=-3/4 .t3 cos theta-tan theta=-4/5-(-3/4)=-1/20 -1/200512 sin theta>0, sec theta<0에서 theta는 제 2 사분면의 각이므로 2npai+pai/20일 때,sin theta와 tan theta의 값의 부호가 서로 같으므로 theta는 제 1 사분면 또는 제 4 사분면의 각이다.� cos theta tan theta<0일 때, cos theta와 tan theta의 값의 부호가 서로 다르므로 theta는 제 3 사분면 또는 제 4 사분면의 각이다.�, �에서 theta는 제 4 사분면의 각이다. ④0510 theta가 제 3 사분면의 각이므로 sin theta<0, cos theta<0 .t3 2cos^2 thetax -|sin theta|+cos theta =-cos theta-(-sin theta)+cos theta =sin theta sin theta(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:89)(cid:22)(cid:14)(cid:18)(cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:19)(cid:49)(cid:22)(cid:48)t채점 기준비율❶tan~theta의값을구할수있다.30%❷sin~theta,cos~theta의값을구할수있다.60%❸13(sin~theta+cos~theta)의값을구할수있다.10%(cid:90)(cid:89)(cid:14)(cid:19)(cid:49)(cid:14)(cid:18)(cid:48)(cid:22)(cid:22)(cid:14)(cid:22)(cid:14)(cid:22)t라이트쎈미적2_4강(해040-049)ok.indd 4615. 2. 27. 오후 2:25 04``삼각함수 • 47본책삼각함수0463~65쪽=cos theta cos theta -sin theta +sin theta sin theta -cos theta =cos theta cos theta -sin theta +-sin theta cos theta -sin theta =cos theta -sin theta cos theta -sin theta =1③ sin ^4 theta -cos ^4 theta =(sin ^2 theta +cos ^2 theta )(sin ^2 theta -cos ^2 theta ) =sin ^2 theta -cos ^2 theta =1-cos ^2 theta -cos ^2 theta =1-2 cos ^2 theta ④ (1sin theta +1)(1cos theta +1)(1sin theta -1)(1cos theta -1) =(1sin theta +1)(1sin theta -1)(1cos theta +1)(1cos theta -1) =(1sin ^2 theta -1)(1cos ^2 theta -1) =(csc^2 theta -1)(sec^2 theta -1) =cot^2 theta tan ^2 theta =1⑤ 2 tan theta sin ^2 theta +cos ^2 theta +tan ^2 theta =2 tan theta 1+tan ^2 theta =2 sin theta cos theta sec^2 theta =2 sin theta cos theta .c1 1sec^2 theta =2 sin theta cos theta .c1 cos ^2 theta =2 sin theta cos theta ④0515 21+2 sin theta xcos theta x +21-2 sin theta xcos theta x =2sin ^2 theta +2 sin theta cos theta +xcos ^2 theta x +2sin ^2 theta -2 sin theta cos theta +xcos ^2 theta x =2(sin theta +xcos theta )^2 x +2(sin theta -xcos theta )^2 x =|sin theta +cos theta |+|sin theta -cos theta | =sin theta +cos theta -(sin theta -cos theta ) =2 cos theta ⑤0516 csc^2 theta =1+cot^2 theta =1+9/16=25/16이때 theta 가 제 2 사분면의 각이므로 csc theta =5/4 .t3 sin theta =1csc theta =4/5 ④0517 cos theta `1+sin theta +1+sin theta cos theta =cos ^2 theta +(1+sin theta )^2 cos theta (1+sin theta )=cos ^2 theta +1+2 sin theta +sin ^2 theta cos theta (1+sin theta )=2(1+sin theta )cos theta (1+sin theta )=2cos theta ⇨ ❶2cos theta =4이므로 cos theta =1/2 sin ^2 theta =1-cos ^2 theta =1-1/4 =3/4 이므로 sin theta =-13`2 `(.T3 3/2 pai 0, cos theta <0따라서 sin theta -cos theta >0이므로 sin t-cos t=16`2 ③0521 sin theta +cos theta =1/3 의 양변을 제곱하면 sin ^2 theta +2 sin theta cos theta +cos ^2 theta =1/9 1+2 sin theta cos theta =1/9, sin theta cos theta =-4/9 .t3 csc theta sec theta =1sin theta ~cos theta =-9/4 -9/4채점 기준비율❶주어진식을간단히할수있다.50%❷sin theta 의값을구할수있다.50%라이트쎈미적2_4강(해040-049)ok.indd 4715. 2. 27. 오후 2:25 48 • 정답 및 풀이정답 및 풀이이때 tan theta+cot theta=sin thetacos theta+cos thetasin theta =sin^2 theta+cos^2 thetasin theta cos theta =1sin theta cos theta에서 1sin theta cos theta=6이므로 sin theta cos theta=1/6 .t3 6 sin theta cos theta=1 10526 2x^2-16 x+k=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 sin theta+cos theta=16`2, sin theta cos theta=k/2sin theta+cos theta=16`2의 양변을 제곱하면 sin^2 theta+2 sin theta cos theta+cos^2 theta=3/2 1+k=3/2 .t3 k=1/2이때 tan theta+cot theta=sin thetacos theta+cos thetasin theta =sin^2 theta+cos^2 thetasin theta cos theta =1sin theta cos theta=4 tan theta.c1cot theta=1이므로 x^2의 계수가 1이고 tan theta, cot theta를 두 근으로 하는 이차방정식은 x^2-4x+1=0 x^2-4x+1=00527 어떤 각의 동경의 위치를 구할 때에는 그 각을 일반각으로 나타낸다. ㄱ. 105°=105\pai/180=7/12paiㄴ. 1560°=360°\4+120°이므로 1560°는 제 2 사분면의 각이다.ㄷ. -pai/6=2pai\(-1)+11/6pai330°=330\pai/180=11/6pai-750°=-750\pai/180=-25/6pai=2pai\(-3)+11/6pai이므로 -pai/6, 330°, -750°를 나타내는 동경은 모두 일치한다.ㄹ. pai/3+11/3pai=4pai이므로 pai/3와 11/3pai를 나타내는 동경은 x축에 대하여 대칭이다. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ②0528 중심각의 크기가 theta(라디안)이고, 반지름의 길이가 r인 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 각각 rtheta, 1/2r^2theta이다. 0522 sin theta-cos theta=12 의 양변을 제곱하면 sin^2 theta-2 sin theta cos theta+cos^2 theta=2 1-2 sin theta cos theta=2 .t3 sin theta cos theta=-1/2 .t3 sec theta-csc theta=1cos theta-1sin theta=sin theta-cos thetasin theta cos theta=12`-1/2=-212 ②0523 tan theta+1tan theta=2에서 sin thetacos theta+cos thetasin theta=2, sin^2 theta+cos^2 thetasin theta cos theta=2 1sin theta cos theta=2 .t3 sin theta cos theta=1/2 ⇨ ❶(sin theta+cos theta)^2=sin^2 theta+2 sin theta cos theta+cos^2 theta에서 (sin theta+cos theta)^2=1+2.c11/2=2이때 00, cos theta <0, tan theta <0, csc theta >0, sec theta <0, cot theta <0이므로 sin theta -cos theta >0, sin theta cos theta <0이상에서 옳은 것은 ㄴ뿐이다. ②0533 중심각의 크기가 theta (라디안), 반지름의 길이가 r인 부채꼴의 호의 길이를 l, 넓이를 S라 하면 l=rtheta , S=1/2 rl=1/2 r^2 theta 이다. 부채꼴의 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l이라 하면 둘레의 길이가 20이므로 2r+l=20 .t3 l=20-2r ⇨ ❶이때 20-2r>0, r>0이므로 00)라 하면 OP^_=2(-3a)^2+x(2a)^2x =113q a이므로 csc theta=113q a2a=113q`2, sec theta=113q a-3a=-113q`3, tan theta=2a-3a=-2/3 ∴ csc theta sec theta-tan theta=113q`2.c1(-113q`3)-(-2/3)=-13/6+2/3=-3/2 -3/20535 먼저 cos theta의 값을 구한 후 1+tan ^2theta=sec ^2theta를 이용한다.1-cos theta1+cos theta=3/4에서 4-4 cos theta=3+3 cos theta 7 cos theta=1 .t3 cos theta=1/7따라서 sec theta=7이고 tan^2 theta=sec^2 theta-1이므로 tan^2 theta=7^2-1=483/2pai 0에서 cos x_> -1/2부등식 cos x_> -1/2의 해는 함수 (cid:48)(cid:18)(cid:19)(cid:497)(cid:89)(cid:90)(cid:497)(cid:19)(cid:14)(cid:20)(cid:497)(cid:21)(cid:14)(cid:20)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:90)(cid:30)(cid:68)(cid:80)(cid:84)(cid:65)(cid:89)y=cos x의 그래프가 직선 y=-1/2과만나는 부분 또는 직선보다 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이므로 오른쪽 그림에서 0_< x_< 2/3pai 또는 4/3pai _< x<2pai 0_< x_< 2/3pai 또는 4/3pai _< x<2pai 0578 13`tan x>1에서 tan x>rt^3 /3 부등식 tan x>rt^3 /3 의 해는 함수 (cid:90)(cid:30)(cid:85)(cid:66)(cid:79)(cid:65)(cid:89)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:497)(cid:14)(cid:23)(cid:497)(cid:14)(cid:19)(cid:497)(cid:497)(cid:19)(cid:497)(cid:24)(cid:14)(cid:23)(cid:497)(cid:20)(cid:14)(cid:19)(cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:20)(cid:14)y=tan x의 그래프가 직선 y=rt^3 /3 보 다 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이므로 오른쪽 그림에서 pai/6 0이므로 π /b=2pai .t3 b=1/2또 함수 f(x)=a tan 1/2x+2에서 f (pai/2 )=0이므로 a tan π /4+2=0 .t3 a=-2 .t3 ab=-1 ③0598 f(x)=a sin (pai/2 -bx)+c에서 최댓값이 5이고 a>0이므로 a+c=5 .c3 .c3 ㉠주기가 2pai 이고 b>0이므로 2π /b=2pai .t3 b=1또 함수 f(x)=a sin (pai/2 -x)+c에서 f(pai/3 )=3이므로 a sin pai/6 +c=3 .t3 1/2a+c=3 .c3 .c3 ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, c=1 .t3 a+b-c=4 40599 주어진 함수의 최댓값이 2, 최솟값이 -2이고 a>0이므로 a=2또 주기가 2/3p-(-pai/3 )=p이고 b>0이므로 2π /b=p .t3 b=2따라서 주어진 함수의 식은 y=2 sin (2x-c)이고, 그래프가 점 (pai/6 , 0)을 지나므로 0=2 sin (pai/3 -c), sin (pai/3 -c)=000이므로 a+c=3, -a+c=-1위의 두 식을 연립하여 풀면 a=2, c=1 ⇨ ❶또 주기가 3pai -(-pai )=4pai 이고 b>0이므로 2π /b=4pai .t3 b=1/2 ⇨ ❷ .t3 abc=1 ⇨ ❸ 1채점 기준비율❶a,c의값을구할수있다.40%❷b의값을구할수있다.40%❸abc의값을구할수있다.20%⑤ y=2 sin (2x-pai/3 )-1=2 sin 2 (x-pai/6 )-1의 그래프는 y=2 sin 2x의 그래프를 x축의 방향으로 pai/6 만큼, y축의 방향으 로 -1만큼 평행이동한 것과 같다. ④0592 y=3 sin (2x-pai )+1에서 a=3+1=4, b=-3+1=-2, c=2π /2=pai .t3 abc=-8pai -8pai 0593 ① y=sin pai x-2의 주기는 2π /π =2② y=cos (pai x+pai/2 )의 주기는 2π /π =2③ y=tan pai 2x+2의 주기는 pai pai/2 =2④ y=2 tan x/2-1의 주기는 pai 1/2=2pai ⑤ y=3 sin pai (x-1)의 주기는 2π /π =2따라서 주기가 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다. ④0594 y=3 cos 1/2x의 그래프를 x축의 방향으로 -pai/2 만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=3 cos 1/2 (x+pai/2 )-3 ⇨ ❶이때 최댓값은 3-3=0, 최솟값은 -3-3=-6이므로 M=0, m=-6 ⇨ ❷ .t3 M+m=-6 ⇨ ❸ -60595 ㄱ. f(x)=tan x/2+1의 주기는 pai 1/2=2pai 이다.ㄴ. f(-x)=tan (-x2)+1=-tan x/2+1not= -f(x)ㄷ. 함수 f(x)의 최댓값은 없다.ㄹ. 그래프의 점근선의 방정식은 x=2np+p (n은 정수)이다.이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다. ㄱ0596 f(x)=a cos pai x+b의 최댓값이 3이고 a>0이므로 a+b=3 .c3 .c3 ㉠㉠㉠f (1/3)=2이므로 a cos pai/3 +b=2 1/2a+b=2 .c3 .c3 ㉡㉠㉠채점 기준비율❶y=3~cos ~1/2 x의그래프를평행이동한그래프의식을구할수있다.40%❷M,m의값을구할수있다.50%❸M+m의값을구할수있다.10%라이트쎈미적2_5강(해050-065)ok.indd 5515. 2. 27. 오후 2:27 56 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0605 sin 7/6pai=sin (pai+pai/6)=-sin pai/6=-1/2cos 2/3pai=cos (pai-pai/3)=-cos pai/3=-1/2cos 13/6pai=cos (2pai+pai/6)=cos pai/6=rt^3/2tan (-5/6pai)=-tan 5/6pai=-tan (pai-pai/6)=tan pai/6=^1/rt3 ∴ (주어진 식)=-1/2.c1(-1/2)+rt^3/2.c1^1/rt3 =1/4+1/2=3/4 3/40606 sin 260°=sin(90°\3-10°)=-cos 10°=-0.9848cos 110°=cos(90°\1+20°)=-sin 20°=-0.3420 .t3 sin 260°-cos 110° =-0.9848-(-0.3420) =-0.6428 ②0607 sin (3/2pai+t)=-cos tㄱ. cos(pai-t)=-cos tㄴ. sin(2pai-t)=-sin tㄷ. cos (3/2pai+t)=sin tㄹ. cos(pai+t)=-cos t이상에서 sin (3/2pai+t)의 값과 같은 것은 ㄱ, ㄹ이다. ㄱ, ㄹ0608 sin (5/2pai+t)=cos t, cos(2pai+t)=cos t,cos (3/2pai-t)=-sin t, sin(pai+t)=-sin t,tan(pai-t)=-tan t .t3 (주어진 식)=cos tcos t+-sin t.c1(-tan t)^2-sin t =1+tan^2 t =sec^2 t sec^2 t0609 cos(2pai-t)=cos t, sin (pai/2-t)=cos t, cos(3pai+t)=-cos t, sin(pai-t)=sin t, sin(3pai-t)=sin t, cos (pai/2+t)=-sin t .t3 (주어진 식)={cos t.c1(-cos t)cos t}^^2+{sin t.c1(-sin t)sin t}^^2 =cos^2 t+sin^2 t=1 ③채점 기준비율❶두함수의주기를구할수있다.60%❷a의값을구할수있다.40%0601 주어진 함수의 주기가 2pai이고 a>0이므로 π/a=2pai .t3 a=1/2따라서 주어진 함수의 그래프는 y=tan x/2의 그래프를 x축의 방향으로 pai만큼 평행이동한 것이므로 y=tan 1/2(x-pai)=tan (1/2x-pai/2) .t3 b=pai/2 ∴ ab=pai/4 ②0602 주어진 함수의 최댓값이 3, 최솟값이 -5이고 a>0이므로 a+b=3, -a+b=-5위의 두 식을 연립하여 풀면 a=4, b=-1 .t3 y=4 cos pai/4(2x-1)-1=4 cos (pai/2x-pai/4)-1따라서 주기는 2paipai/2=4이고, 그래프에서 주기는 2(c-1/2)이므로 2(c-1/2)=4 .t3 c=5/2 .t3 a+2b+2c=7 ①0603 y=|sin x|의 그래프는 오른(cid:90)(cid:30)(cid:93)(cid:84)(cid:74)(cid:79)(cid:65)(cid:89)(cid:93)(cid:14)(cid:497)(cid:14)(cid:19)(cid:497)(cid:497)(cid:19)(cid:497)(cid:89)(cid:48)(cid:90)쪽 그림과 같다.ㄱ. y=|cos x|의 그래프는 오른쪽 그림(cid:14)(cid:497)(cid:20)(cid:14)(cid:19)(cid:497)(cid:20)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:497)(cid:14)(cid:19)(cid:497)(cid:14)(cid:19)(cid:90)(cid:30)(cid:93)(cid:68)(cid:80)(cid:84)(cid:65)(cid:89)(cid:93)(cid:89)(cid:48)(cid:90)과 같다.ㄴ. y=sin |x|의 그래프는 오른쪽(cid:90)(cid:30)(cid:84)(cid:74)(cid:79)(cid:65)(cid:93)(cid:89)(cid:93)(cid:19)(cid:497)(cid:14)(cid:497)(cid:14)(cid:19)(cid:497)(cid:497)(cid:48)(cid:90)(cid:89) 그림과 같다.ㄷ. y=|cos~(x+π/2)|의 그래프(cid:90)(cid:30)(cid:93)(cid:68)(cid:80)(cid:84)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:65)(cid:1)(cid:10)(cid:93)(cid:14)(cid:497)(cid:14)(cid:19)(cid:497)(cid:497)(cid:19)(cid:497)(cid:89)(cid:48)(cid:90)(cid:497)(cid:14)(cid:19)는 오른쪽 그림과 같다. 이상에서 y=|sin x|의 그래프와 일치하는 것은 ㄷ뿐이다. ③0604 y=4 cos 3x의 주기는 2/3pai이고, y=|tan ax|의 주기는 pai|a|이므로 ⇨ ❶ pai|a|=2/3pai, |a|=3/2 .t3 a=3/2`(.T3 a>0) ⇨ ❷ 3/2라이트쎈미적2_5강(해050-065)ok.indd 5615. 2. 27. 오후 2:27 05``삼각함수의 그래프 • 57본책삼각함수의 그래프0575~78쪽0615 삼각형의 세 내각의 크기 A, B, C에 대하여 A+B+C=pai .t3 B+C=pai -A .t3 cos (B+C-2pai 2)=cos (pai -A-2pai 2) =cos (-pai +A2) =cos (pai/2 +A/2 ) =-sin A/2 =-1/3 ② 0616 5t=π 이므로 cos 2t+cos 4t+cos 5t+cos 7t+cos 9t=cos 2t+cos (5t-t)+cos 5t+cos (5t+2t)+cos (10t-t)=cos 2t+cos (p-t)+cos p+cos (p+2t)+cos (2p-t)=cos 2t-cos t-1-cos 2t+cos t=-1 ②0617 -1_< cos 3x_< 1이므로 -4_< cos 3x-3_< -2, 2_< |cos 3x-3|_< 4 4_< 2|cos 3x-3|_< 8 .t3 5_< 2|cos 3x-3|+1_< 9따라서 주어진 함수의 최댓값은 9, 최솟값은 5이므로 M=9, m=5 .t3 M+m=14 ④0618 sin (x-pai/2 )=-sin (pai/2 -x)=-cos x이므로 y=sin (x-pai/2 )+3 cos x-1 =-cos x+3 cos x-1=2 cos x-1-1_< cos x_< 1이므로 -3_< 2 cos x-1_< 1따라서 주어진 함수의 최댓값은 1, 최솟값은 -3이므로 M=1, m=-3 .t3 M-m=4 40619 -1_< sin 3x_< 1이므로 -3_< sin 3x-2_< -1, 1_< |sin 3x-2|_< 3 ∴ a+b_< a|sin 3x-2|+b_< 3a+b (.T3 a>0) ⇨ ❶따라서 주어진 함수의 최댓값이 3a+b, 최솟값이 a+b이므로 3a+b=5, a+b=1 ⇨ ❷위의 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-1 ⇨ ❸ ∴ a-b=3 ⇨ ❹ 3채점 기준비율❶주어진함수의함숫값의범위를구할수있다.50%❷최댓값과최솟값을a,b에대한식으로나타낼수있다.20%❸a,b의값을구할수있다.20%❹a-b의값을구할수있다.10%0610 tan 100°=tan (90°\1+10°)=-cot 10°,cos 130°=cos (90°\1+40°)=-sin 40°,tan 260°=tan (90°\3-10°)=cot 10° .t3 (주어진 식) =sin 40°-cot 10°-sin 40°+cot 10°=0 00611 cos ~(pai/4 -t)=cos ~{pai/2 -(pai/4 +theta )}=sin ~(pai/4 +t)이므로 cos ^2 (pai/4 +t)+cos ^2 (pai/4 -t)=cos ^2 (pai/4 +t)+sin ^2 (pai/4 +t)=1 10612 cos (90°-a°)=sin a°이므로 cos ^2 (90°-a°)+cos ^2 a°=sin ^2 a°+cos ^2 a°=1 .t3 cos ^2 5°+cos ^2 10°+cos ^2 15°+.c3 +cos ^2 85°=(cos ^2 5°+cos ^2 85°)+(cos ^2 10°+cos ^2 80°)+(cos ^2 15°+cos ^2 75°)+.c3 +(cos ^2 40°+cos ^2 50°)+cos ^2 45°=1+1+.c3 +1+1/2=8+1/2=17/2 따라서 a=1, b=17/2이므로 a+b=19/2 ⑤0613 tan 89°=tan (90°-1°)=cot 1°tan 88°=tan (90°-2°)=cot 2° ;tan 46°=tan (90°-44°)=cot 44° ⇨ ❶ ∴ tan 1°\tan 2°\.c3 \tan 88°\tan 89° =tan 1°\tan 2°\.c3 \tan 44°\tan 45° \cot 44°\.c3 \cot 2°\cot 1° =tan 45°=1 ⇨ ❷ 10614 AB^_ 가 원의 지름이므로 gak C=90° .t3 a+�=90°또 피타고라스 정리에 의하여 AB^_ =32^2 +(c15 )^2 c=3 .t3 sin (a+2�)=sin (90°+�)=cos � =BC^_ AB^_ =15`3 15`3k8개채점 기준비율❶주어진삼각함수의각을변환할수있다.70%❷식의값을구할수있다.30%라이트쎈미적2_5강(해050-065)ok.indd 5715. 2. 27. 오후 2:27 58 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 y=-2t-1t-2=-2(t-2)-5t-2=-5t-2-2오른쪽 그림에서 (cid:85)(cid:90)(cid:48)(cid:14)(cid:18)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:18)(cid:14)(cid:20)(cid:14)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19)(cid:85)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:14)(cid:14)(cid:14)(cid:14)(cid:85)(cid:14)(cid:19)t=1일 때 최댓값은 3, t=-1일 때 최솟값은 -1/3이므로 M=3, m=-1/3 .t3 Mm=-1 -10624 y =sin^2 x-2 cos x+1 =(1-cos^2 x)-2 cos x+1 =-cos^2 x-2 cos x+2cos x=t로 놓으면 -1_0이므로 sin x=-1일 때 최솟값 -1을 갖는다.즉 -|-3-a|+4=-1이므로 -(3+a)+4=-1, -3-a=-5 .t3 a=2 .t3 y=-|3 sin x-2|+4따라서 주어진 함수는 sin x=2/3일 때 최댓값 4를 가지므로 b=4 .t3 a+b=6 60621 y=cos xcos x-3에서 cos x=t로 놓으면 -1_1/2오른쪽 그림에서 부등식 sin t_>1/2의(cid:497)(cid:14)(cid:23)(cid:497)(cid:14)(cid:23)(cid:14)(cid:48)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:497)(cid:22)(cid:14)(cid:23)(cid:497)(cid:18)(cid:18)(cid:14)(cid:23)(cid:85)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:90)(cid:30)(cid:84)(cid:74)(cid:79)(cid:65)(cid:85)해는 pai/6_cos x의 해는 y=sin~x의 그래프가 y=cos~x의 그래프와 만나는 부분 또는 y=sin x의 그래프가 y=cos x의 그래프보다 위쪽에 있는 부분의 x의 값의(cid:497)(cid:14)(cid:20)(cid:14)(cid:21)(cid:89)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:68)(cid:80)(cid:84)(cid:65)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:84)(cid:74)(cid:79)(cid:65)(cid:89)(cid:14)(cid:497)(cid:497)(cid:497)(cid:14)(cid:21)(cid:48) 범위이므로 오른쪽 그림에서 부등식 sin x_>cos x의 해는 -pai 0 2 sin ^2 t-3 cos t_> 0 2(1-cos ^2 t)-3 cos t_> 0 2 cos ^2 t+3 cos t-2_< 0 (2 cos t-1)(cos t+2)_< 000이므로 2 cos t-1_< 0 ∴ cos t_< 1/2따라서 오른쪽 그림에서 구하는 t(cid:497)(cid:22)(cid:14)(cid:20)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:90)(cid:30)(cid:68)(cid:80)(cid:84)(cid:65)t(cid:48)(cid:19)(cid:497)(cid:497)(cid:14)(cid:20)t(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:18)(cid:14)(cid:19)의 값의 범위는 pai/3 _< t_< 5/3pai pai/3 _< t_< 5/3pai 0646 모든 실수 x에 대하여 주어진 부등식이 성립해야 하므로 이차방정식 x^2 +4x sin t+4 sin t=0의 판별식을 D라 하면 D4=4 sin ^2 t-4 sin t<0 4 sin t(sin t-1)<0 ∴ 00 (2 sin x-1)(sin x+2)>00_< x<2pai 에서 sin x+2>0이므로 2 sin ~x-1>0 .t3 sin x>1/2오른쪽 그림에서 부등식 sin x>1/2의 (cid:90)(cid:30)(cid:84)(cid:74)(cid:79)(cid:65)(cid:89)(cid:19)(cid:497)(cid:497)(cid:48)(cid:89)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:497)(cid:22)(cid:14)(cid:23)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:497)(cid:14)(cid:23)해는 pai/6 0에서 2(1-sin ^2 x)-sin x-1_> 0 2 sin ^2 x+sin x-1_< 0 (2 sin x-1)(sin x+1)_< 0 .t3 -1_< sin x_< 1/2오른쪽 그림에서 부등식 (cid:19)(cid:497)(cid:48)(cid:89)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:90)(cid:30)(cid:497)(cid:497)(cid:22)(cid:14)(cid:23)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:497)(cid:14)(cid:23)(cid:90)(cid:30)(cid:84)(cid:74)(cid:79)(cid:65)(cid:89)-1_< sin x_< 1/2의 해는 0_< x_< π /6 또는 5/6 pai _< x<2pai 0_< x_< π /6 또는 5/6 pai _< x<2pai 0644 2 sin ^2 x-5 sin (pai/2 +x)>4에서 2(1-cos ^2 x)-5 cos x-4>0 2 cos ^2 x+5 cos x+2<0 (2 cos x+1)(cos x+2)<00_< x<2pai 에서 cos x+2>0이므로 2 cos x+1<0 .t3 cos x<-1/2오른쪽 그림에서 부등식 cos x<-1/2(cid:90)(cid:30)(cid:68)(cid:80)(cid:84)(cid:65)(cid:89)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:14)(cid:48)(cid:18)(cid:19)(cid:14)(cid:20)(cid:497)(cid:21)(cid:14)(cid:20)(cid:497)(cid:19)(cid:497)(cid:89)(cid:90)(cid:18)(cid:14)(cid:19)의 해는 2/3pai 0인 부분은 그대로 둔다.� y<0인 부분은 x축에 대하여 대칭이동한다. a=2/3pai, b=2p1/2=4pai, c=pai/2이므로 c0이므로 a=5주어진 그래프에서 주기가 pai이고 b>0이므로 2π/b=pai .t3 b=2 .t3 a-b=3 30651 삼각함수의 그래프를 이용하여 주어진 방정식의 근을 구한다. 방정식 |cos~x|=1/2의 근은 함수 y=|cos~x|의 그래프와 직선 y=1/2의 교점의 x좌표이다. ⇨ ❶오른쪽 그림에서 구하는(cid:90)(cid:30)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:93)(cid:68)(cid:80)(cid:84)(cid:65)(cid:89)(cid:93)(cid:18)(cid:48)(cid:497)(cid:14)(cid:20)(cid:19)(cid:14)(cid:20)(cid:497)(cid:21)(cid:14)(cid:20)(cid:497)(cid:22)(cid:14)(cid:20)(cid:497)(cid:497)(cid:19)(cid:497) 근은 x=pai/3 또는 x=2/3pai 또는 x=4/3pai 또는 x=5/3pai ⇨ ❷라이트쎈미적2_5강(해050-065)ok.indd 6215. 2. 27. 오후 2:27 05``삼각함수의 그래프 • 63본책삼각함수의 그래프0583~84쪽 1/2a+c=-1/2 .t3 a+2c=-1 .c3 .c3 ㉡㉠㉠㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, c=-2따라서 f(x)=3|sin ~2x|-2이므로 구하는 최솟값은 -2이다. -2 -1_< sin ~2x_< 1이므로 0_< |sin ~2x|_< 1 .t3 -2_< 3|sin ~2x|-2_< 10658 각이 pai/2 \nztheta (n은 정수) 꼴일 때, 각 삼각함수는 n 이 짝수이면 그대로, n이 홀수이면 sin @B cos ~, cos @B sin ~으로 바뀜을 이용한다. sin ^2 (pai +pai/4 )=sin ^2 pai/4 , cos ~(3/2pai +pai/6 )=sin ~pai/6 ,sin ^2 (3/2 pai -pai/4 )=cos ^2 pai/4 , cos ~(pai -pai/3 )=-cos ~pai/3 .t3 (주어진 식)=sin ^2 pai/4 +sin ~pai/6 +cos ^2 pai/4 -(-cos ~pai/3 ) =sin ^2 pai/4 +cos ^2 pai/4 +sin ~pai/6 +cos ~pai/3 =1+1/2+1/2=2 20659 beta -alpha =pai/2 임을 이용하여 cos ~alpha 와 같은 것을 찾는다.beta -alpha =pai/2 이므로 alpha =beta -pai/2 .t3 cos ~alpha =cos ~(beta -pai/2 )=cos ~(pai/2 -beta )=sin ~� ②0660 |cos ~x|=t로 놓고 y=t-3/t+2 의 최댓값과 최솟값을 구한다. y=|cos ~x|-3|cos ~x|+2에서 |cos ~x|=t로 놓으면 -1_< cos ~x_< 1에서 0_< t_< 1이고 y=t-3t+2=(t+2)-5t+2=-5t+2+1오른쪽 그림에서 (cid:85)(cid:90)(cid:14)(cid:19)(cid:18)(cid:18)(cid:48)(cid:20)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:20)(cid:14)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:14)(cid:14)(cid:85)(cid:14)(cid:20)(cid:85)(cid:12)(cid:19)t=1일 때 최댓값은 -2/3, t=0일 때 최솟값은 -3/2이므로 주어진 함수의 치역은 {y|-3/2_< y_< -2/3}따라서 a=-3/2, b=-2/3이므로 ab=(-3/2).c1 (-2/3)=1 ④0661 sin ^2 ~x+cos ^2 ~x=1임을 이용하여 주어진 방정식을 한 종류의 삼각함수에 대한 방정식으로 고친다.sin t+1=2 cos t에서 sin t=2 cos t-1이것을 sin ^2 t+cos ^2 t=1에 대입하면 (2 cos t-1)^2 +cos ^2 t=1, 5 cos ^2 t-4 cos t=0 cos t(5 cos t-4)=0오른쪽 그림에서 빗금친 두 부분(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19)(cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:80)(cid:84)(cid:65)(cid:19)(cid:89)(cid:497)(cid:14)(cid:19)(cid:497)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:90)(cid:48)의 넓이가 서로 같으므로 구하는 넓이는 pai/2 .c1 4=2pai ③0655 y=a~cos ~(bx+c)+d에서 a, d는 최댓값, 최솟값을 결정하고, b는 주기를 결정함을 이용한다. ㄱ. 함수 f(x)의 주기는 2/3pai 이므로 모든 실수 x에 대하여 f(x+2/3pai )=f(x) .t3 f(x+2pai )=f(x+4/3pai )=f(x+2/3pai )=f(x)ㄴ. 함수 f(x)의 최댓값은 4-1=3, 최솟값은 -4-1=-5이다.ㄷ. f(x)=4 cos ~(3x-pai/2 )-1=4 cos ~3(x-pai/6 )-1이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 y=4 cos ~3x의 그래프를 x축의 방향으로pai/6 만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ④ f(x)=4 cos ~(3x-π /2)-1=4 cos ~(pai/2 -3x)-1 =4 sin ~3x-1이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 함수 y=4 sin ~3x-1의 그래프와 일치한다.0656 f(x+p)=f(x)를 만족시키는 양수 p의 최솟값은 함수 f(x)의 주기임을 이용한다. 조건 ㈎에서 함수 f(x)의 주기가 3pai 이고 b>0이므로 2π /b=3pai .t3 b=2/3 ⇨ ❶조건 ㈏에서 최댓값이 4, 최솟값이 -2이고 a>0이므로 a+c=4, -a+c=-2위의 두 식을 연립하여 풀면 a=3, c=1 ⇨ ❷ .t3 a-c/`=3/2(3-1)=3 ⇨ ❸ 30657 함수 y=a|sin ~bx|+c의 주기는 y=|sin ~bx|의 주기와 같음을 이용한다.함수 f(x)=a|sin ~bx|+c의 주기는 y=|sin ~bx|의 주기와 같으므로 π /b=π /2 .t3 b=2함수 f(x)의 최댓값이 1이고 a>0이므로 a+c=1 .c3 .c3 ㉠㉠㉠f(π /12)=-1/2이므로 a|sin ~(2.c1 π /12)|+c=-1/2채점 기준비율❶b의값을구할수있다.30%❷a,c의값을구할수있다.50%❸a-c/`의값을구할수있다.20%라이트쎈미적2_5강(해050-065)ok.indd 6315. 2. 27. 오후 2:27 64 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0665 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 pai임을 이용한다. A+B+C=pai이므로 ㄱ. sin~A=sin~{pai-(B+C)}=sin~(B+C)ㄴ. cos~(A+B+C)=cos~pai=-1ㄷ. sin~A+B2=sin~~pai-C2=sin~(pai/2-C/2)=cos~C/2ㄹ. tan~B2~tan~A+C2=tan~B2~tan~~pai-B2 =tan~B2~tan~(pai/2-B/2) =tan~B2 cot`B/2=1이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ②0666 alpha+beta=pai/2이면 sin~beta=sin~(pai/2-alpha)=cos~alpha의 관계가 성립함을 이용하여 주어진 식을 정리한다.1sin^2~89°=1sin^2(90°-1°)=1cos^2~1°=sec^2~1°, 1sin^2~88°=1sin^2(90°-2°)=1cos^2~2°=sec^2~2°, 1sin^2~87°=1sin^2(90°-3°)=1cos^2~3°=sec^2~3°, ;1sin^2~1°=1sin^2(90°-89°)=1cos^2~89°=sec^2~89°이고 1+tan^2~theta=sec^2~theta이므로 A-B=sec^2~1°+sec^2~2°+sec^2~3°+.c3+sec^2~89°-(tan^2~1°+tan^2~2°+tan^2~3°+.c3+tan^2~89°) =(sec^2~1°-tan^2~1°)+(sec^2~2°-tan^2~2°) +(sec^2~3°-tan^2~3°)+.c3+(sec^2~89°-tan^2~89°) =1+1+1+.c3+1=89 890667 주어진 방정식의 좌변을 공통부분으로 묶은 후 인수분해한다. 4~cos^3~x+213~cos^2~x-6~sin~x~cos~x-~313~sin~x=0에서 2~cos^2~x(2~cos~x+13~)-3~sin~x(2~cos~x+13 )=0 (2 cos~x+13)(2~cos^2~x-3~sin~x)=0 .t3 cos~x=-rt^3/2 또는 2~cos^2~x-3~sin~x=0� cos~x=-rt^3/2일 때, x=-5/6pai 또는 x=5/6pai (.T3 -pai0이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면 a>0, b^2-4ac<0이어야 함을 이용한다. 모든 실수 x에 대하여 부등식 x^2-2x sin~theta-cos~theta+1>0이 성립하므로 이차방정식 x^2-2x sin~theta-cos~theta+1=0의 판별식을 D라 하면 D4=sin^2~theta+cos~theta-1<0 (1-cos^2~theta)+cos~theta-1<0, cos^2~theta-cos~theta>0 cos~theta(cos~theta-1)>0 .t3 cos~theta<0 또는 cos theta>1이때 -1_0 NLLO a>0, D<0⑵ ax^2+bx+c<0 NLLO a<0, D<0라이트쎈미적2_5강(해050-065)ok.indd 6415. 2. 27. 오후 2:27 본책06``삼각함수의 미분 • 6584~86쪽0668 이차방정식의 판별식을 D, 두 근을 a, �라 할 때, 서로 다른 두 양의 실근을 가지려면 D>0, alpha +�>0, alpha beta >0이어야 함을 이용한다. 주어진 이차방정식의 판별식을 D, 두 근을 alpha , beta 라 하면 이 방정식이 서로 다른 두 양의 실근을 가지므로� D4>0에서 D4=4~cos ^2 ~theta -2{(13-2)~sin ~theta -13+2}>0 2~cos ^2 ~theta -{(13-2)~sin ~theta -13+2}>0 2(1-sin ^2 ~theta )-(13-2)~sin ~theta +13-2>0 2~sin ^2 ~theta +(13-2)~sin ~theta -13<0 (2~sin ~theta +13)(sin ~theta -1)<0 -rt^3 /2 0에서 alpha +beta =-4~cos ~theta 2>0, cos ~theta <0 0_< theta <2pai 이므로 pai/2 0에서 alpha beta =(13-2)~sin ~theta -13+22>0 (13-2)~sin ~theta -13+2>0 (2-13)~sin ~theta <2-13, sin ~theta <1 0_< theta <2pai 이므로 0_< theta 0이므로 cos a=21-ssin^2 ax=41-(3/5)^^2v=4/5 .t3 sin 2a=2 sin a cos a=2.c13/5.c14/5=24/25 24/250686 cos 2a=cos^2 a-sin^2 a=16/25-9/25=7/25 7/250687 tan a=sin acos a=3/54/5=3/4이므로tan 2a=2 tan a1-tan^2 a=2.c13/41-(3/4)^^2=24/7 24/7삼각함수의 최대.C1최소와 주기삼각함수최댓값최솟값주기y=a sin (bx+c)+d|a|+d-|a|+d2pai|b|y=a cos (bx+c)+d|a|+d-|a|+d2pai|b|y=a tan (bx+c)+d없다.없다.pai|b|0678 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 점 (cid:497)(cid:14)(cid:21)(cid:89)(cid:48)(cid:19)(cid:19)(cid:49)(cid:90)P(12, 12 )를 잡으면 OP^_=3(12 d)^2+(c12 )^2c=2⑴ 12`sin t+12`cos t =2 (sin t.c1rt^2/2+cos t.c1rt^2/2) =2 (sin t cos p4+cos t sin p4)=2 sin (t+p4)⑵ 12`sin t+12`cos t=2 (sin t.c1rt^2/2+cos t.c1rt^2/2)=2 (sin t sin p4+cos t cos p4)=2 cos (t-p4) ⑴ 2 sin (t+p4) ⑵ 2 cos (t-p4) sin (t+pai/4)=sin {pai/2-(-t+π/4)}=cos (-t+π/4)=cos (t-π/4)따라서 ⑴과 ⑵는 그 형태는 다르지만 같은 값을 나타낸다.0679 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 점 (cid:497)(cid:14)(cid:21)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:18)(cid:49)(cid:90)P(1, 1)을 잡으면 OP^_=31^2+1^2c=12 ∴ sin t+cos t =12`(sin t.c1^1/rt2+cos t.c1^1/rt2) =12`(sin t cos p4+cos t sin p4) =12`sin (t+p4) 12`sin (t+p4)0680 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 점 (cid:497)(cid:14)(cid:23)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:49)(cid:90)(cid:20)P(13, 1)을 잡으면 OP^_=3(13 d)^2d+1^2c=2 ∴ 13`sin t+cos t=2 (sin t.c1rt^3/2+cos t.c11/2)=2 (sin t cos p6+cos t sin p6)=2 sin (t+p6) 2 sin (t+p6)0681 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 점 (cid:18)(cid:14)(cid:22)(cid:14)(cid:20)(cid:89)(cid:48)(cid:49)(cid:497)(cid:90)(cid:20)P(1, -13 )을 잡으면 OP^_=31^2+(-c13 d)^2c=2 ∴ sin t-13`cos t=2 (sin t.c11/2-cos t.c1rt^3/2)=2 {sin t cos 5/3pai-cos t (-sin 5/3pai)}=2 (sin t cos 5/3pai+cos t sin 5/3pai)=2 sin (t+5/3pai) 2 sin (t+5/3pai)미적2_6강(해066-079)ok.indd 6615. 2. 27. 오후 2:33 06``삼각함수의 미분 • 67본책삼각함수의 미분0686~88쪽0688 sin ^2 a=1-cos ^2 a=1-(-4/5)^^2 =9/25이므로 sin a=3/5 (.T3 pai/2 0이므로sin a2=43/8=16`4 16`40692 cos ^2 a2=1+cos a2=1+1/42=5/800이므로cos a2=45/8=110q`4 110q`40693 tan ^2 a2=1-cos a1+cos a=1-1/41+1/4=3/500이므로tan a2=43/5=115q`5 115q`50694 p20이므로 sin a2=44/5=215`5 215`50695 cos ^2 a2=1+cos a2=1+(-3/5)2=1/5p40이므로 cos a2=41/5=15`5 15`50696 tan ^2 a2=1-cos a1+cos a=1-(-3/5)1+(-3/5)=4p40이므로 tan a2=2 2`0697 sin ^2 22.5°=sin ^2 45°2=1-cos 45°2=1-rt^2 /2 2=2-12`4 2-12`40698 cos ^2 15°=cos ^2 30°2=1+cos 30°2=1+rt^3 /2 2=2+13`4 2+13`40699 tan ^2 p12=tan ^2 p62=1-cos p61+cos p6=1-rt^3 /2 1+rt^3 /2 =2-13`2+13`=7-413 7-413`0700 lim x=pai/3 sin x=sin p3=rt^3 /2 rt^3 /2 0701 lim x=pai/6 cos 2x=cos p3=1/2 1/20702 lim x=pai/4 sin xtan x=sin p4tan p4=rt^2 /2 1=rt^2 /2 rt^2 /2 0703 limx=0 `sin ^2 x1-cos x=limx=0 `1-cos ^2 x1-cos x =limx=0 `(1+cos x)(1-cos x)1-cos x =limx=0 (1+cos x)=2 20704 limx=0 `sin 2xsin x=limx=0 `2 sin x cos xsin x =limx=0 2 cos x=2.c1 1=2 2미적2_6강(해066-079)ok.indd 6715. 2. 27. 오후 2:33 68 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0720 cos^2 a=1-sin^2 a=1-(2/3)^^2=5/9이므로 cos a=15`3 (k 00이고 -1isin (x+p6)_<1이므로 -2ai2a sin (x+p6)_<2a주어진 함수의 최댓값이 413 이므로 2a=413 .t3 a=213 ③0737 gakAPB=90°이므로 gakPAB=t라 하면 AP^_=2 cos t, PB^_=2 sin t ⇨ ❶ .t3 3 AP^_+4 PB^_=6 cos t+8 sin t =10 (3/5 cos t+4/5 sin t) =10 sin (t+a) (단, sin a=3/5, cos a=4/5) ⇨ ❷00 .t3 cos 2t=21-sin x^2 2tx=41-(4/5)^^2 v=3/5 ⇨ ❸ 3/50742 p0, cos t2<0 .t3 sin t2=41-cos t`2v=XZ1-(-1/3)2b =42/3=rt^6 /3 cos t2=-41+cos t`2v=-XZ1+(-1/3)2b =-41/3=-rt^3 /3 .t3 sin t2+cos t2=16-13`3 16-13`3채점 기준비율❶sin t cos t의값을구할수있다.40%❷sin 2t의값을구할수있다.30%❸cos 2t의값을구할수있다.30%0743 sec^2 t=1+tan ^2 t=1+(216 )^2 =25이므로 cos ^2 t=1/25 .t3 cos t=1/5 (k 0_< t0 j sin t2=42/5=110q`5 ⑤0744 sin t-cos t=-^1 /rt3 의 양변을 제곱하면 sin ^2 t-2 sin t cos t+cos ^2 t=1/3 1-2 sin t cos t=1/3, 2 sin t cos t=2/3 .t3 sin 2t=2/300 .t3 cos 2t=21-ssin ^2 2tx=41-(2/3)^^2 v=rt^5 /3 .t3 tan ^2 t=1-cos 2t1+cos 2t =1-rt^5 /3 1+rt^5 /3 =7-315`2 7-315`20745 sin ^2 x=1-cos 2x2=1-1/32=1/3 .t3 1+sin ^2 x+sin ^4 x+sin ^6 x+.c3 =11-sin ^2 x=11-1/3=3/2 3/2 주어진 등비급수의 공비는 1/3이고, -1<1/3<1이므로 이 등비급수는 수렴한다.0746 f(x) =cos 2x-4 cos x+2 =(2 cos ^2 x-1)-4 cos x+2 =2 cos ^2 x-4 cos x+1 =2(cos x-1)^2 -1이때 -1_< cos x_< 1이므로 f(x)는 cos x=1일 때 최솟값 -1을 갖는다. ①0747 y =cos 2x+4 sin x-1 =(1-2 sin ^2 x)+4 sin x-1 =-2 sin ^2 x+4 sin x =-2(sin x-1)^2 +2이때 -1_< sin x_< 1이므로 주어진 함수는 sin x=1일 때 최댓값 2, sin x=-1일 때 최솟값 -6을 갖는다.따라서 M=2, m=-6이므로 M+m=2+(-6)=-4 -4미적2_6강(해066-079)ok.indd 7115. 2. 27. 오후 2:33 72 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0753 limx=pai/21+f(x+pai/2){`f(x)}^2=limx=pai/21+cos(x+pai/2)cos^2 x =limx=pai/21-sin x1-sin^2 x =limx=pai/21-sin x(1+sin x)(1-sin x) =limx=pai/211+sin x=11+1=1/2 1/20754 limx=# 2 sin x+sin 2xsin^2 x=limx=# 2 sin x+2 sin x cos x1-cos^2 x =limx=# 2 sin x(1+cos x)(1+cos x)(1-cos x) =limx=# 2 sin x1-cos x=0 ③0755 limx=0 cos 2x-1sin 2x=limx=0 1-2 sin^2 x-12 sin x cos x =limx=0 -2 sin^2 x2 sin x cos x =limx=0 (-sin xcos x)=0 00756 limx=0 sec x-1sec 2x-1=limx=0 1cos x-11cos 2x-1 =limx=0 1-cos xcos x1-cos 2xcos 2x =limx=0 cos 2x(1-cos x)cos x(1-cos 2x) =limx=0 (2 cos^2 x-1)(1-cos x)cos x{1-(2 cos^2 x-1)} =limx=0 (2 cos^2 x-1)(1-cos x)2 cos x(1+cos x)(1-cos x) =limx=0 2 cos^2 x-12 cos x(1+cos x) =2-12.c11.c12=1/4 1/40757 limx=0 sin 4x+sin x3x=limx=0(sin 4x3x+sin x3x) =limx=0(sin 4x4x.c14/3+sin xx.c11/3) =1.c14/3+1.c11/3=5/3 ⑤0748 f(x) =-2 sin^2 x+2a sin x cos x+1 =1-2 sin^2 x+a sin 2x =cos 2x+a sin 2x =2a^2+1x`sin(2x+a) (단, sin a=12a^2+1x, cos a=a2a^2+1x)따라서 함수 f(x)의 최댓값은 2a^2+1x 이므로 2a^2+1x =12, a^2+1=2 .t3 a=1 (.T3 a>0) ①0749 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 sin t+cos 2t=-5/9 .c3.c3 ㉠㉠㉠ sin t cos 2t=-a/9 .c3.c3 ㉡㉠㉠㉠에서 sin t+(1-2 sin^2 t)=-5/9이므로 18 sin^2 t-9 sin t-14=0, (3 sin t+2)(6 sin t-7)=0 ∴ sin t=-2/3 (.T3 -1_0) 15-120751 limx=pai/23 cos^2 x1-sin x=limx=pai/23(1-sin^2x)1-sin x =limx=pai/23(1+sin x)(1-sin x)1-sin x =3 limx=pai/2(1+sin x)=3.c12=6 ⑤0752 limx=pai/4tan^2 x-1sin x-cos x=limx=pai/4sin^2 x-cos^2 xcos^2 xsin x-cos x =limx=pai/4(sin x+cos x)(sin x-cos x)cos^2 x(sin x-cos x) =limx=pai/4sin x+cos xcos^2 x =rt^2/2+rt^2/2(rt^2/2)^^2=212 ④미적2_6강(해066-079)ok.indd 7215. 2. 27. 오후 2:33 06``삼각함수의 미분 • 73본책삼각함수의 미분0693~96쪽0758 x°=pai /180x이므로 lim x=0 sin x°x=lim x=0sin pai /180xx=lim x=0sin pai /180xpai /180x.c1 pai /180 =1.c1 pai /180=pai /180 pai /1800759 lim x=0 sin (sin 5x)sin 2x=lim x=0 sin (sin 5x)sin 5x.c1 2xsin 2x.c1 sin 5x5x.c1 5/2=1.c1 1.c1 1.c1 5/2=5/2 ⑤0760 f( g(x))=f(sin x)=3 sin xg(`f(x))=g(3x)=sin 3x ⇨ ❶ .t3 lim x=0 g(`f(x)) f( g(x))=lim x=0 sin 3x3 sin x =lim x=0 sin 3x3x.c1 xsin x =1.c1 1=1 ⇨ ❷ 10761 lim x=0 tan 4x-tan 3x2x=lim x=0(tan 4x2x-tan 3x2x) =lim x=0(tan 4x4x.c1 4/2-tan 3x3x.c1 3/2) =1.c1 2-1.c1 3/2=1/2 1/20762 lim x=0 sin (tan x)4x=lim x=0 sin (tan x)tan x.c1 tan xx.c1 1/4 =1.c1 1.c1 1/4=1/4 ②0763 x°=pai /180x이므로 ⇨ ❶ lim x=0 tan 2xx°=lim x=0 tan 2xpai /180x =lim x=0 tan 2x2x.c1 2pai /180 =1.c1 2pai /180=360/ ⇨ ❷ .t3 a=360 ⇨ ❸ 360채점 기준비율❶f( g(x))와g(`f(x))를구할수있다.40%❷limx=0 g(`f(x))f( g(x))의값을구할수있다.60%0764 limx=0 `cos 3x-1x=limx=0 `(cos 3x-1)(cos 3x+1)x(cos 3x+1) =limx=0 `cos ^2 3x-1x(cos 3x+1) =limx=0 `-sin ^2 3xx(cos 3x+1) =limx=0 (-1).c1 (sin 3x3x)^^2 .c1 `9xcos 3x+1 =-1.c1 1^2 .c1 0=0 ③0765 limx=0 `3 cos ^2 x-2 cos x-1x^2 =limx=0 `(cos x-1)(3 cos x+1)x^2 =limx=0 `(cos x-1)(cos x+1)x^2 (cos x+1).c1 (3 cos x+1)=limx=0 `-sin ^2 xx^2 (cos x+1).c1 (3 cos x+1)=limx=0 (-1).c1 (sin xx)^^2 .c1 3 cos x+1cos x+1=-1.c1 1^2 .c1 2=-2 -20766 limx=0 `1-cos kx3x^2 =limx=0 `(1-cos kx)(1+cos kx)3x^2 (1+cos kx) =limx=0 `1-cos ^2 kx3x^2 (1+cos kx) =limx=0 `sin ^2 kx3x^2 (1+cos kx) =limx=0 (sin kxkx)^^2 .c1 k^2 3.c1 11+cos kx =1^2 .c1 k^2 3.c1 1/2=k^2 6k^2 6=4/3이므로 k^2 =8 .t3 k=212 (.T3 k>0) ②0767 x+p2=t로 놓으면 x`@B`-p2일 때 t`@B`0이므로 lim x=-pai/2 (x+p2) tan x=limt=0 t tan (t-p2) =limt=0 t {-tan (p2-t)} =limt=0 (-t) cot t =limt=0 (-1)attan t=-1 ②채점 기준비율❶x°를호도법으로나타낼수있다.20%❷limx=0 tan 2xx°의값을구할수있다.70%❸a의값을구할수있다.10%미적2_6강(해066-079)ok.indd 7315. 2. 27. 오후 2:33 74 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0771 sin x-13`cos x=2 sin (x-π/3)이므로 ⇨ ❶ limx=pai/3sin x-13`cos x3x-pai=limx=pai/32 sin (x-π/3)3 (x-π/3) .c3.c3 ㉠㉠㉠x-p3=t로 놓으면 x`@B`p3일 때 t`@B`0이므로 ㉠은 ⇨ ❷ limt=0 2/3.c1sin tt=2/3.c11=2/3 ⇨ ❸ 2/30772 1/x=t로 놓으면 x`@B`inf일 때 t`@B`0이므로 limx=inf`2x sin 1/x=limt=0`2.c1sin tt=2.c11=2 ③0773 x°=pai/180x이므로 limx=inf x° tan 1/x=limx=inf pai/180x tan 1/x .c3.c3 ㉠㉠㉠1/x=t로 놓으면 x`@B`inf일 때 t`@B`0이므로 ㉠은 limt=0 pai/180.c1tan tt=pai/180.c11=pai/180 ②0774 1/x=t로 놓으면 x`@B`inf일 때 t`@B`0이므로 limx=inf sin 2/x cot 4/x=limt=0 sin 2t cot 4t =limt=0 sin 2t2t.c14ttan 4t.c11/2 =1.c11.c11/2=1/2 1/20775 x`@B`0일 때 (분모)`@B`0이고 극한값이 존재하므로 (분자)`@B`0이다.즉 limx=0 (x^2+ax+b)=0이므로 b=0b=0을 주어진 식에 대입하면 limx=0`x^2+axsin x=limx=0`x(x+a)sin x=limx=0`xsin x.c1(x+a) =1.c1a=a .t3 a=5 .t3 a+b=5 ⑤0776 limx=-1`a sin (x+1)x^3+1= limx=-1`a sin (x+1)(x+1)(x^2-x+1) = limx=-1`sin (x+1)x+1.c1ax^2-x+1 =a/3 limx=-1`sin (x+1)x+1채점 기준비율❶주어진식의분자를rsin(x-a)꼴로나타낼수있다.30%❷x-π/3=t로치환할수있다.30%❸limx=pai/3sin x-13 cos x3x-pai의값을구할수있다.40%0768 p2-x=t로 놓으면 x`@B`p2일 때 t`@B`0이므로 limx=pai/21-sin x(x-π/2) cos x=limt=0`1-sin (π/2-t)-t cos (π/2-t) =limt=0`1-cos t-t sin t =limt=0`(1-cos t)(1+cos t)-t sin t(1+cos t) =limt=0`1-cos^2 t-t sin t(1+cos t) =limt=0`sin^2 t-t sin t(1+cos t) =limt=0`sin tt.c1-11+cos t =1.c1(-1/2)=-1/2 -1/20769 x+p3=t로 놓으면 x`@B`-p3일 때 t`@B`0이므로 limx=-pai/3sin 3x2 cos x-1=limt=0`sin (3t-p)2 cos (t-π/3)-1 =limt=0`-sin 3t2 (cos t cos π/3+sin t sin π/3)-1 =limt=0`-sin 3tcos t+13`sin t-1 =limt=0`-sin 3t-2 sin^2 t/2+13`sin t =limt=0`-sin 3t3t.c13-sin t/2.c1sin t/2t/2+13.c1sin tt =-30.c11+13.c11=-13 ②0770 x-2=t로 놓으면 x`@B`2일 때 t`@B`0이므로 limx=2`sin (cos π/4x)x-2=limt=0`sin {cos π/4(t+2)}t =limt=0`sin {cos (π/4t+π/2)}t =limt=0`sin (-sin π/4t)t =limt=0`sin (-sin π/4t)-sin π/4t.c1sin π/4tπ/4t.c1(-π/4) =1.c11.c1(-π/4)=-π/4 -π/4미적2_6강(해066-079)ok.indd 7415. 2. 27. 오후 2:33 06``삼각함수의 미분 • 75본책삼각함수의 미분0696~98쪽x+1=t로 놓으면 x`@B`-1일 때 t`@B`0이고 주어진 극한값이 1이므로 a/3 limt=0 sin tt=a/3.c1 1=1 .t3 a=3 ④0777 x`@B`0일 때 (분자)`@B`0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로 (분모)`@B`0이다.즉 limx=0 (1ax+bz-2)=0이므로 1b-2=0 .t3 b=4 ⇨ ❶b=4를 주어진 식에 대입하면 limx=0 `sin 2x1ax+bz-2=limx=0 `sin 2x1ax+4z-2 =limx=0 `sin 2x(1ax+4z+2)ax =limx=0 `sin 2x2x.c1 2/a.c1 (1ax+4z+2) =1.c1 2/a.c1 4=8/a8/a=2에서 a=4 ⇨ ❷ .t3 a-b=0 ⇨ ❸ 00778 semo CBAZ△ HCA이므로 (cid:34)(cid:41)t(cid:35)(cid:36)(cid:18)t gak ACH=gak ABC=tsemo CBH에서 CH^_ =sin tsemo ACH에서 AH^_ =CH^_ tan t=sin t tan t .t3 lim t=0+ AH^_ t^2 =lim t=0+ sin t tan tt^2 =lim t=0+ sin tt.c1 tan tt=1.c1 1=1 10779 꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선(cid:34)(cid:35)(cid:41)(cid:36)(cid:20)t(cid:19)t의 발을 H라 하면 AB^_ =AH^_ sin 3t, AC^_ =AH^_ sin 2t .t3 lim t=0+ AB^_ AC^_ =lim t=0+ AH^_ sin 3tAH^_ sin 2t =lim t=0+sin 2tsin 3t =lim t=0+sin 2t2t.c1 3tsin 3t.c1 2/3 =1.c1 1.c1 2/3=2/3 2/3채점 기준비율❶b의값을구할수있다.40%❷a의값을구할수있다.50%❸a-b의값을구할수있다.10%0780 오른쪽 그림에서 sin t=r1-r이므로(cid:48)(cid:18)(cid:48)(cid:8)(cid:35)(cid:83)(cid:83)(cid:18)(cid:14)(cid:83)(cid:34)t (1-r) sin t=r (1+sin t)r=sin t .t3 r=sin t1+sin t .t3 lim t=0+rt=lim t=0+sin tt(1+sin t) =lim t=0+sin tt.c1 11+sin t =1.c1 1=1 ②0781 OA^_ =OP^_ =3이므로 (cid:35)(cid:49)(cid:34)(cid:48)(cid:41)(cid:20)tt(cid:19)t gak OPA=gak OAP=t또 삼각형의 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같으므로 semo OAP에서 gak POH=2t ⇨ ❶semo OPH에서 OH^_ =OP^_ cos 2t=3 cos 2t .t3 BH^_ =OB^_ -OH^_ =3-3 cos 2t=3(1-cos 2t) ⇨ ❷ .t3 lim t=0+BH^_ t^2 =lim t=0+3(1-cos 2t)t^2 =lim t=0+3(1-cos ^2 2t)t^2 (1+cos 2t) =lim t=0+3 sin ^2 2tt^2 (1+cos 2t) =lim t=0+(sin 2t2t)^^2 .c1 4.c1 31+cos 2t =1^2 .c1 12/2=6 ⇨ ❸ 60782 함수 f(x)가 x=-1에서 연속이려면 limx=-1 ` f(x)=f(-1) .t3 limx=-1 `sin 2(x+1)x+1=kx+1=t로 놓으면 x`@B`-1일 때 t`@B`0이므로 k=limx=-1 `sin 2(x+1)x+1 =limt=0 sin 2tt=limt=0 sin 2t2t.c1 2 =1.c1 2=2 ②0783 함수 f(x)가 x=0에서 연속이려면 limx=0 ` f(x)=f(0) .t3 limx=0 `cos x-ax=b .c3 .c3 ㉠㉠㉠x`@B`0일 때 (분모)`@B`0이고 극한값이 존재하므로 (분자)`@B`0이다. 즉 limx=0 (cos x-a)=0이므로 1-a=0 .t3 a=1채점 기준비율❶gak OPA,gak POH의크기를t로나타낼수있다.30%❷BH^_ 의길이를t로나타낼수있다.30%❸lim t=0+BH^_ t^2 의값을구할수있다.40%미적2_6강(해066-079)ok.indd 7515. 2. 27. 오후 2:33 76 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 limx=#2 sin x cos xx-p=limt=02 sin (p+t) cos (p+t)t =limt=02(-sin t) (-cos t)t =2 limt=0sin tt.c1cos t =2.c11.c11=2 ④0788 f(x)가 x=0에서 미분가능하려면 x=0에서 연속이어야 하므로 limx=0+(ax+b)=limx=0-`sin x=f(0) .t3 b=0또 f'(0)이 존재해야 하므로 f'(x)={acos x(00)(x<0)에서 limx=0+(4x+a)=limx=0-(-sin x-1) .t3 a=-1 .t3 ab=-1 -10790 limx=0` f(x)-f(0)x=f'(0)이때 f(x)=sin x-cos x에서 f'(x)=cos x+sin x이므로 f'(0)=1+0=1 10791 limh=0` f(pai-2h)-f(pai)h=limh=0` f(pai-2h)-f(pai)-2h.c1(-2)` =-2f'(pai)이때 f(x)=sin x cos x에서 f'(x)=cos^2 x-sin^2 x이므로 -2f'(pai)=-2(cos^2 pai-sin^2 pai)=-2 -20792 f(x)=cos x에서 f'(x)=-sin xㄱ. f'(p2)=-sin p2=-1ㄴ. f(0)=1이므로 limh=0` f(h)-1h=limh=0` f(h)-f(0)h` =f'(0)` =-sin 0=0ㄷ. f'(p2-x)=-sin (p2-x)=-cos x=-f(x)이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ⑤a=1을 ㉠에 대입하면 limx=0`cos x-1x=limx=0`(cos x-1)(cos x+1)x(cos x+1) =limx=0`-sin^2 xx(cos x+1) =limx=0 (-1).c1(sin xx)^^2.c1xcos x+1 =(-1).c11^2.c10=0 .t3 b=0 .t3 a+b=1 10784 함수 f(x)가 구간 (-π/2, pai/2)에서 연속이려면 x=0에서 연속이어야 하므로 limx=0` f(x)=f(0) .t3 limx=0`e^a^x+bsin x=2 .c3.c3 ㉠㉠㉠x`@B`0일 때 (분모)`@B`0이고 극한값이 존재하므로 (분자)`@B`0이다. 즉 limx=0 (e^a^x+b)=0이므로 1+b=0 .t3 b=-1b=-1을 ㉠에 대입하면 limx=0`e^a^x-1sin x=limx=0`xsin x.c1e^a^x-1ax.c1a =1.c11.c1a=a .t3 a=2 .t3 ab=-2 -20785 f(x)=x^2 sin x에서 f'(x)=2x sin x+x^2 cos x .t3 f'(p2)=2.c1p2 sin p2+(p2)^^2 cos p2 =pai ④0786 f(x)=sin x-cos x-2x에서 f'(x)=cos x+sin x-2 =12 sin (x+pai/4)-2f'(a)=-1에서 12 sin (a+pai/4)-2=-1 ∴ sin (a+pai/4)=rt^2/200 j tan ~t2=44/9=2/3 ③0797 x-2=t로 놓고 limx=0 `tan ~xx=1임을 이용한다.limx=2 `f(x)=limx=2 `x^2 -4tan ~pai x=limx=2 `(x+2)(x-2)tan ~pai x에서x-2=t로 놓으면 x`@B`2일 때 t`@B`0이므로 limx=2 `(x+2)(x-2)tan ~pai x=limt=0 `t(t+4)tan ~(pai t+2pai ) =limt=0 `t(t+4)tan ~pai t =limt=0 `pai ttan ~pai t.c1 t+4pai =4/π 4/π 0798 미분계수의 정의를 이용하여 주어진 식을 변형한다. f(x)=cos ^2 ~x/2에서 f(pai )=0이므로 lim x=p f(x)x-pai =lim x=p f(x)-f(pai )x-pai =f'(pai ) ⇨ ❶f(x)=cos ^2 x/2=1+cos ~x2이므로 f'(x)=-1/2~sin ~x ⇨ ❷ .t3 f'(p)=0 ⇨ ❸ 00799 삼각함수의 덧셈정리와 sin ^2 ~x+cos ^2 ~x=1임을 이용한다.sin ~~alpha +cos ~~beta =3/2의 양변을 제곱하면 sin ^2 ~alpha +2~sin ~alpha ~cos ~beta +cos ^2 ~beta =9/4 .c3 .c3 ㉠㉠㉠ cos ~alpha +sin ~beta =1/2의 양변을 제곱하면 cos ^2 ~alpha +2~cos ~alpha ~sin ~beta +sin ^2 ~beta =1/4 .c3 .c3 ㉡㉠㉠㉠+㉡을 하면 2+2(sin ~alpha ~cos ~beta +cos ~alpha ~sin ~beta )=5/2 sin ~alpha ~cos ~beta +cos ~alpha ~sin ~beta =1/4 .t3 sin ~(alpha +beta )=sin ~alpha ~cos ~beta +cos ~alpha ~sin ~beta =1/4 ①0800 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.x에 대한 이차방정식 x^2 -3ax+a^2 +1=0의 두 실근이 tan ~alpha , tan ~beta 이므로 tan ~alpha +tan ~beta =3a, tan ~alpha ~tan ~beta =a^2 +1이때 tan ~(alpha +beta )=tan ~pai/4 =1에서 tan ~alpha +tan ~beta 1-tan ~alpha ~tan ~beta =1, 3a1-(a^2 +1)=1 3a=-a^2 , a(a+3)=0 .t3 a=-3 (.T3 anot= 0) ③채점 기준비율❶미분계수의정의를이용하여주어진식을변형할수있다.50%❷f'(x)를구할수있다.30%❸f'(pai )의값을구할수있다.20%미적2_6강(해066-079)ok.indd 7715. 2. 27. 오후 2:33 78 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0804 배각.c1반각의 공식을 이용하여 주어진 식을 변형한 후 삼각함수의 합성을 이용하여 최솟값을 구한다. f(x)=3~sin^2~x+k~sin~x~cos~x+5~cos^2x=3.c11-cos~2x2+k/2.c1sin~2x+5.c11+cos~2x2=k/2~sin~2x+cos~2x+4=2k^2+4x2~sin~(2x+theta)+4 (단, sin~theta=22k^2+4x~, cos~theta=k2k^2+4x)이때 -1_0) ④0805 AC^_=x`m로 놓고 tan~theta, tan~2theta를 구한 후 배각의 공식을 이용하여 x의 값을 구한다.AC^_=x`m라 하면 tan~theta=15/60=1/4, tan~2theta=x/60 ⇨ ❶이때 tan~2theta=2~tan~theta1-tan^2~theta이므로 x/60=2.c11/41-(1/4)^^2 x/60=8/15 .t3 x=32 ⇨ ❷ .t3 AB^_=AC^_+BC^_=32+15=47`(m) 따라서 철탑의 높이는 47`m이다. ⇨ ❸ 47`m0806 배각의 공식을 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 극한값을 구한다. limx=pai/62~cos~2x-11-2~sin~x=limx=pai/62(1-2~sin^2~x)-11-2~sin~x =limx=pai/64~sin^2~x-12~sin~x-1 =limx=pai/6(2~sin~x+1)(2~sin~x-1)2~sin~x-1 =limx=pai/6(2~sin~x+1) =2 ②채점 기준비율❶tan~theta,tan~2theta의값을구할수있다.20%❷배각의공식을이용하여x의값을구할수있다.60%❸철탑의높이를구할수있다.20%0801 gakPBC=alpha,gakQBC=beta로 놓고 theta를 alpha, beta로 나타낸다. 오른쪽 그림과 같이 점 P에서 변 BC(cid:35)(cid:36)(cid:41)(cid:37)(cid:50)(cid:34)(cid:49)t(cid:19)(cid:66)(cid:66)ab에 내린 수선의 발을 H라 하고 정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 3a라 하면 BH^_=a, CQ^_=2a이때 gakPBC=alpha,gakQBC=beta라 하면 tan~alpha=3a/a=3, tan~beta=2a/3a=2/3 ⇨ ❶theta=alpha-beta이므로 tan~theta=tan~(alpha-beta)=tan~alpha-tan~beta1+tan~alphatan~beta ⇨ ❷ =3-2/31+3.c12/3=7/9 ⇨ ❸ 7/90802 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 주어진 식을 정리한 후 삼각함수의 합성을 이용하여 식을 변형한다. y=212 sin~(x+π/4)+4~cos~x+5 =212 (sin~x~cos~π/4+cos~x~sin~π/4)+4~cos~x+5=2~sin~x+6~cos~x+5=2110q`sin~(x+theta)+5 (단, sin~theta=3110q`10, cos~theta=110q`10)이때 -1_0이므로 cos~theta=21-ssin^2 thetax =41-(1/2)^^2v=rt^3/2 rt^3/2 sin~theta=1/2이고 00) ②0864 f(-1)=-1이므로 limx=-1 ` f(x)+1x+1=limx=-1 ` f(x)-f(-1)x-(-1)=f'(-1) ⇨ ❶f(x)=-4x^2 +3이므로 f'(x)=4(x^2 +3)'(x^2 +3)^2 =8x(x^2 +3)^2 ⇨ ❷ .t3 f'(-1)=8.c1 (-1)(1+3)^2 =-1/2 ⇨ ❸ -1/20865 f(x)=axx^2 -2x+b이므로 f'(x)=a(x^2 -2x+b)-ax(2x-2)(x^2 -2x+b)^2 =-ax^2 +ab(x^2 -2x+b)^2 f'(0)=1에서 a/b=1 .t3 a=b .c3 .c3 ㉠f'(1)=2에서 -a+ab(b-1)^2 =2 .c3 .c3 ㉡㉠을 ㉡에 대입하면 -b+b^2 (b-1)^2 =2, /-1=2 b=2b-2 .t3 b=2따라서 a=b=2이므로 a+b=4 ③0866 f(x)=1-cos x1+cos x이므로 f'(x)=sin x(1+cos x)-(1-cos x)(-sin x)(1+cos x)^2 =2 sin x(1+cos x)^2 .t3 f' (p3)=2 sin p3(1+cos p3)^^2 =2.c1 rt^3 /2 (1+1/2)^^2 =413`9 ④채점 기준비율❶limx=-1 ` f(x)+1x+1=f'(-1)임을알수있다.40%❷f'(x)를구할수있다.40%❸f'(-1)의값을구할수있다.20%0854 y'=-(x^2 +3)'(x^2 +3)^2 =-2x(x^2 +3)^2 이므로 y"=(-2x)'(x^2 +3)^2 -(-2x).c1 2(x^2 +3).c1 (x^2 +3)'(x^2 +3)^4 =-2(x^2 +3)^2 +4x(x^2 +3).c1 2x(x^2 +3)^4 =6x^2 -6(x^2 +3)^3 y''=6x^2 -6(x^2 +3)^3 0855 y'=1/2(x-2)-1/2이므로 y''=1/2.c1 (-1/2)(x-2)-3/2 =-14(x-2)!x-2q y''=-14(x-2)!x-2q 0856 y'=e^2 ^x .c1 (2x)'=2e^2 ^x 이므로 y"=2e^2 ^x .c1 (2x)'=2e^2 ^x .c1 2=4e^2 ^x y''=4e^2 ^x 0857 y'=`1/x+1이므로 y"=-1(x+1)^2 y"=-1(x+1)^2 0858 y'=-sin 2x.c1 (2x)'=-2 sin 2x이므로 y"=-2 cos 2x.c1 (2x)'=-2 cos 2x.c1 2=-4 cos 2x y"=-4 cos 2x0859 y'=1.c1 cos x+x.c1 (-sin x)=cos x-x sin x이므로 y'' =-sin x-(1.c1 sin x+x.c1 cos x) =-2 sin x-x cos x y"=-2 sin x-x cos x0860 y'=e^x sin x+e^x cos x=e^x (sin x+cos x)이므로 y" =e^x (sin x+cos x)+e^x (cos x-sin x) =2e^x cos x y''=2e^x cos x0861 f(x)=1x^2 +ax이므로 f'(x)=-(x^2 +ax)'(x^2 +ax)^2 =-2x+a(x^2 +ax)^2 f'(1)=1/4에서 -2+a(1+a)^2 =1/4 -4(2+a)=(1+a)^2 , a^2 +6a+9=0 (a+3)^2 =0 .t3 a=-3 ①0862 f(x)=1x^3 -3x+1이므로 f'(x)=-(x^3 -3x+1)'(x^3 -3x+1)^2 =-3x^2 -3(x^3 -3x+1)^2 .t3 f'(2)=-12-3(8-6+1)^2 =-1 -1미적2_7강(해080-091)ok.indd 8315. 2. 27. 오후 2:34 84 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0872 f(x)=sin x+3sin x+1으로 놓으면 f'(x)=cos x(sin x+1)-(sin x+3) cos x(sin x+1)^2 =-2 cos x(sin x+1)^2 ⇨ ❶ .t3 f'(0)=-2 cos 0(sin 0+1)^2=-2.c11(0+1)^2=-2따라서 구하는 접선의 기울기는 -2이다. ⇨ ❷ -20873 f(0)=sin 01+tan 0=0이므로 limh=0` f(h)h=limh=0` f(0+h)-f(0)h=f'(0)f(x)=sin x1+tan x이므로 f'(x)=cos x(1+tan x)-sin x sec^2 x(1+tan x)^2 .t3 f'(0)=cos 0(1+tan 0)-sin 0.c1sec^2 0(1+tan 0)^2 =1.c11-0.c11^2(1+0)^2=1 ⑤0874 f(x)=(3x^2+4x-1)^4이므로 f'(x)=4(3x^2+4x-1)^3.c1(3x^2+4x-1)' =4(3x^2+4x-1)^3.c1(6x+4) =8(3x^2+4x-1)^3(3x+2) .t3 f'(-1)=8.c1(3-4-1)^3.c1(-3+2)=64 ⑤0875 f(x)=e^2^x+e^x^2이므로 f'(x)=e^2^x.c12+e^x^2.c12x=2(e^2^x+xe^x^2) .t3 f'(0)+f'(1) =2(1+0.c11)+2(e^2+1.c1e) =2(e^2+e+1) 2(e^2+e+1)0876 h(x)=f( g(x))=ecos x이므로 h'(x)=ecos x(cos x)'=-ecos x sin x .t3 h'(p2)=-ecos p2 sin p2=-1 -10877 y={x f(x)}^3이므로 y' =3{x f(x)}^2{x f(x)}' =3{x f(x)}^2{ f(x)+xf'(x)} f(x)=ln x이므로 f'(x)=1/x .t3 f(e)=1, f'(e)=1/e 따라서 x=e에서의 미분계수는 3(e.c11)^2(1+e.c11/e)=6e^2 6e^2채점 기준비율❶f'(x)를구할수있다.60%❷접선의기울기를구할수있다.40%0867 f(x)=x^2+4x+1이므로 f'(x)=2x(x+1)-(x^2+4).c11(x+1)^2=x^2+2x-4(x+1)^2 =(x^2+2x+1)-5(x+1)^2=1-5(x+1)^2따라서 a=1, b=5이므로 a+b=6 60868 f(x)=x+ax^2+8이므로 f'(x)=1.c1(x^2+8)-(x+a).c12x(x^2+8)^2 =-x^2-2ax+8(x^2+8)^2 ⇨ ❶f'(-2)=0에서-4+4a+8(4+8)^2=0 .t3 a=-1 ⇨ ❷따라서 f'(x)=-x^2+2x+8(x^2+8)^2이므로 f'(x)=0에서-x^2+2x+8(x^2+8)^2=0, (x+2)(x-4)=0 .t3 x=-2 또는 x=4따라서 다른 한 근은 4이다. ⇨ ❸ 40869 limx=1` f(x)-f(1)x^2-1=limx=1 { f(x)-f(1)x-1.c1 1/x+1} =1/2f'(1) f(x)=e^x-1x+1이므로 f'(x)=e^x(x+1)-(e^x-1).c11(x+1)^2=xe^x+1(x+1)^2 .t3 1/2 f'(1)=1/2.c1e+1(1+1)^2=e+18 e+180870 f(x)=x^2cos x이므로 f'(x)=2x cos x+x^2 sin xcos^2 x .t3 f'(p)=2.c1p.c1cos p+p^2.c1sin pcos^2 p =2p.c1(-1)+p^2.c10(-1)^2=-2p ①0871 f(x)=sec x-csc x이므로 f'(x)=sec x tan x+csc x cot x .t3 f'(p4)=sec p4 tan p4+csc p4 cot p4 =12.c11+12.c11=212 212채점 기준비율❶f'(x)를구할수있다.40%❷a의값을구할수있다.30%❸다른한근을구할수있다.30%미적2_7강(해080-091)ok.indd 8415. 2. 27. 오후 2:34 07``여러 가지 미분법 • 85본책여러 가지 미분법07107~110쪽2x+1=3에서 x=1이므로 위의 식의 양변에 x=1을 대입하면 f'(3)=3-42=-1/2 ④0884 3x-2=1에서 x=1이므로f(3x-2)=sin px+cos px의 양변에 x=1을 대입하면 f(1)=sin p+cos p=-1 .t3 limx=1 ` f(x)+1x-1=limx=1 ` f(x)-f(1)x-1 =f'(1)f(3x-2)=sin px+cos px의 양변을 x에 대하여 미분하면 f'(3x-2).c1 3 =p cos px-p sin px =p(cos px-sin px) .t3 f'(3x-2)=p(cos px-sin px)3위의 식의 양변에 x=1을 대입하면 f'(1)=p(cos p-sin p)3=-p3 -p30885 27x^3 +ax+b를 (3x+1)^2 으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 27x^3 +ax+b=(3x+1)^2 Q(x) .c3 .c3 ㉠㉠㉠ ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 81x^2 +a =2(3x+1).c1 3.c1 Q(x)+(3x+1)^2 Q'(x) =6(3x+1)Q(x)+(3x+1)^2 Q'(x) .c3 .c3 ㉡㉠㉠㉠, ㉡의 양변에 x=-1/3을 각각 대입하면 -1-1/3a+b=0, 9+a=0위의 두 식을 연립하여 풀면 a=-9, b=-2 .t3 2a+b=2.c1 (-9)-2=-20 -200886 f(x)를 (2x-1)^2 으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 32x^6 +ax^2 +b=(2x-1)^2 Q(x) .c3 .c3 ㉠㉠㉠㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 192x^5 +2ax =2(2x-1).c1 2.c1 Q(x)+(2x-1)^2 Q'(x) =4(2x-1)Q(x)+(2x-1)^2 Q'(x) .c3 .c3 ㉡㉠㉠㉠, ㉡의 양변에 x=1/2을 각각 대입하면 1/2+1/4a+b=0, 6+a=0위의 두 식을 연립하여 풀면 a=-6, b=1따라서 f(x)=32x^6 -6x^2 +1이므로 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 f(1)=32-6+1=27 27나머지정리다항식 f(x)를 일차식 x-a로 나누었을 때의 나머지를 R라 하면 R=f(a)0878 ⑴ 모서리의 길이가 길어지기 시작한 지 t초 후의 정육면체 의 한 모서리의 길이는 (2+3t)`cm이므로 정육면체의 부피를 V`cm^3 라 하면 V=(2+3t)^3 ⇨ ❶⑵ V=(2+3t)^3 의 양변을 t에 대하여 미분하면 dVdt=3(2+3t)^2 .c1 (2+3t)'=9(2+3t)^2 ⇨ ❷따라서 t=2일 때의 dVdt의 값은 9(2+3.c1 2)^2 =576이므로 모서리의 길이가 길어지기 시작한 지 2초 후의 정육면체의 부피의 변화율은 576`cm^3 /s이다. ⇨ ❸ ⑴ (2+3t)^3 `cm^3 ⑵ 576`cm^3 /s0879 f(x)=x^4 +5x-3이므로 f'(x)=4x^3 +5 .t3 f(1)=3, f'(1)=9h(x)=g(`f(x))에서 h'(x)=g'(`f(x))f'(x)h'(1)=27이므로 h'(1)=g'(`f(1))f'(1)=g'(3).c1 9=27 .t3 g'(3)=3 ③0880 y=2^f ^( ^x ^) 이므로 y'=2^f ^( ^x ^) ln 2.c1 f'(x)따라서 x=2에서의 미분계수는 2^f ^( ^2 ^) ln 2.c1 f'(2)=2^- ^1 ln 2.c1 4=2 ln 2 2 ln 20881 y=(`f � g)(x)=f( g(x))이므로 y'=f'(g(x))g'(x)따라서 x=-1에서의 미분계수는 f'( g(-1)) g'(-1) =f'(-1) g'(-1) =2.c1 3=6 ③0882 F(x)=f(`f(x))로 놓으면 F(0)=f(`f(0))=f(0)=0 ⇨ ❶ .t3 limx=0 ` f(`f(x))x=limx=0 `F(x)-F(0)x=F'(0) ⇨ ❷F'(x)={`f(`f(x))}'=f'(`f(x)) f'(x)이므로 F'(0)=f'(`f(0)) f'(0)=f'(0)f'(0)=2.c1 2=4 ⇨ ❸ 40883 f(2x+1)=x^3 -2x^2 +1의 양변을 x에 대하여 미분하면 f'(2x+1).c1 2=3x^2 -4x .t3 f'(2x+1)=3x^2 -4x2채점 기준비율❶V를구할수있다.50%❷dVdt를구할수있다.30%❸t=2일때의dVdt의값을구할수있다.20%채점 기준비율❶F(0)의값을구할수있다.30%❷limx=0 ` f(`f(x))x=F'(0)임을알수있다.40%❸F'(0)의값을구할수있다.30%미적2_7강(해080-091)ok.indd 8515. 2. 27. 오후 2:34 86 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0892 주어진 식의 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면 ln|f(x)|=ln|x+1|+3 ln|x+3|-2 ln|x+2|-4 ln|x+4|위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f'(x) f(x)=`1/x+1+`3/x+3-`2/x+2-`4/x+4 .t3 limx=0` f'(x) f(x)=1+1-1-1=0 ③0893 주어진 식의 양변에 자연로그를 취하면 ln y=sin x ln x위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 1/y.c1dy/dx=cos x ln x+sin xx .t3 dy/dx=y(cos x ln x+sin xx) =xsin x(cos x ln x+sin xx)따라서 x=p2에서의 미분계수는 (p2)sin p25cos p2.c1ln p2+sin p2 p26=p2.c12p=1 10894 주어진 식의 양변에 자연로그를 취하면 ln`f(x)=ln x.c1ln x=(ln x)^2위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f'(x) f(x)=2 ln x.c11/x=2/x ln x .t3 f'(x)=f(x).c12/x ln x=xln x.c12/x ln x=2xln x-1 ln x .t3 f'(e)=2eln e-1 ln e=2 20895 f(x)=x^3+4x^2-6x^2=x+4-6x^-^2이므로 f'(x)=1+12x^-^3 .t3 f'(1)+f'(2)=13+5/2=31/2 31/20896 y=2/3x=2/3x^-^1이므로 dy/dx=-2/3x^-^2 따라서 x=2일 때의 dy/dx의 값은 -2/3.c11/4=-1/6이므로 구하는 순간변화율은 -1/6 L/Pa이다. ⑤0897 f(x)=x^-^1+x^-^3+x^-^5+x^-^7+x^-^9이므로 f'(x)=-x^-^2-3x^-^4-5x^-^6-7x^-^8-9x^-^1^0 .t3 f'(1)=-1-3-5-7-9=-25 -250887 f(x)=ln(x^4-3x^3+10)이므로 f'(x)=4x^3-9x^2x^4-3x^3+10 .t3 f'(1)=4.c11-9.c111-3.c11+10=-5/8 -5/80888 y=ln|ln x|의 양변을 x에 대하여 미분하면 dy/dx=1/xln x=1x ln x ①0889 d/dx(ln|sin 5x|)=5 cos 5xsin 5x=5 cot 5x .t3 a=5 50890 limh=0` f(1+h)-f(1-h)h =limh=0` f(1+h)-f(1)+f(1)-f(1-h)h =limh=0` f(1+h)-f(1)h+limh=0` f(1-h)-f(1)-h =f'(1)+f'(1)=2 f'(1) ⇨ ❶f(x)=log_2@x^2+2s이므로 f'(x)=x@x^2+2s@x^2+2w`ln 2=x(x^2+2) ln 2 ⇨ ❷따라서 구하는 값은 2 f'(1)=2.c11(1+2) ln 2=23 ln 2 ⇨ ❸ 23 ln 20891 주어진 식의 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면 ln| f(x)|=2 ln|x|+ln|x-1|-3 ln|x-3|위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f'(x) f(x)=2/x+`1/x-1-`3/x-3 =-8x+6x(x-1)(x-3) .t3 f'(x)=f(x).c1-8x+6x(x-1)(x-3) .t3 f'(2)=f(2).c1-102.c11.c1(-1) =(-4).c15=-20 -20채점 기준비율❶limh=0` f(1+h)-f(1-h)h=2 f'(1)임을알수있다.40%❷f'(x)를구할수있다.40%❸2 f'(1)의값을구할수있다.20%미적2_7강(해080-091)ok.indd 8615. 2. 27. 오후 2:34 07``여러 가지 미분법 • 87본책여러 가지 미분법07110~112쪽0903 limx=1 ` f(x)-3x-1=1/2에서 x`@B`1일 때 (분모)`@B`0이고 극한값이 존재하므로 (분자)`@B`0이다.즉 limx=1 {f(x)-3}=0이므로 f(1)=3 .t3 g(3)=1또 limx=1 ` f(x)-3x-1=limx=1 ` f(x)-f(1)x-1=f'(1)이므로 f'(1)=1/2 .t3 g'(3)=1 f'( g(3))=1 f'(1)=11/2=2 ⑤0904 x=@y^2 +2s의 양변을 y에 대하여 미분하면 dx/dy=2y2@y^2 +2s =y@y^2 +2s .t3 dy/dx=1dx/dy=@y^2 +2s y ①0905 x=e^y +2y의 양변을 y에 대하여 미분하면 dx/dy=e^y +2 .t3 dy/dx=1dx/dy=1e^y +2x=e^y +2y에서 x=1일 때, y=0따라서 x=1인 점에서의 접선의 기울기는 1e^0 +2=1/3 ①0906 x=tan y+sec y의 양변을 y에 대하여 미분하면 dx/dy=sec^2 y+sec y tan y .t3 dy/dx=1dx/dy=1sec^2 y+sec y tan y따라서 y=p4일 때의 dy/dx의 값은 1(12)^2 +12.c1 1=12+12=2-122 2-122 0907 f(x)=ln(x^2 +2)이므로 f'(x)=2xx^2 +2 f''(x)=2(x^2 +2)-2x.c1 2x(x^2 +2)^2 =-2x^2 +4(x^2 +2)^2 .t3 f'(1)+f''(1)=2/3+2/9=8/9 ③채점 기준비율❶g(e+1)의값을구할수있다.30%❷f'(x)를구할수있다.30%❸g'(e+1)의값을구할수있다.40%0898 f(x)=3x13이므로 f'(x)=313x13-1 .t3 f'(3)=313.c1 313-1=31+1/2+13-1=31/2+13 .t3 k=1/2+13따라서 a=1/2, b=1이므로 a+b=3/2 ③0899 f(x)=1@2x^3 +1s`=(2x^3 +1)-1/2이므로 f'(x)=-1/2(2x^3 +1)-3/2.c1 6x^2 =-3x^2 (2x^3 +1)@2x^3 +1s` =f(x).c1 (-3x^2 2x^3 +1)따라서 g(x)=-3x^2 2x^3 +1이므로 g(1)=-`3/+1=-1 -1`f(x)=1@2x^3 +1s`, f'(x)=-3x^2 (2x^3 +1)@2x^3 +1s`이므로 f(1)=^1 /rt3 , f'(1)=-3313`=-^1 /rt3 f'(x)=f(x)g(x)에서 f'(1)=f(1)g(1)이므로 -^1 /rt3 =^1 /rt3 g(1) .t3 g(1)=-10900 f(1)=2이므로 g(2)=1 .t3 g'(2)=1 f'( g(2))=1 f'(1)=1/3 ①0901 g(1)=a라 하면 f(a)=1이므로 a^3 +2a+1=1, a(a^2 +2)=0 .t3 a=0g(4)=b라 하면 f(b)=4이므로 b^3 +2b+1=4, (b-1)(b^2 +b+3)=0 .t3 b=1즉 g(1)=0, g(4)=1이고 f'(x)=3x^2 +2이므로 g'(1)+g'(4)=1 f'( g(1))+1 f'( g(4)) =1 f'(0)+1 f'(1) =1/2+1/5=7/10 7/100902 f(e)=e+ln e=e+1이므로 g(e+1)=e ⇨ ❶f(x)=x+ln x이므로 f'(x)=1+1/x ⇨ ❷ .t3 g'(e+1)=1 f'( g(e+1))=1 f'(e) =11+1/e=`/+1 ⇨ ❸ `/+1미적2_7강(해080-091)ok.indd 8715. 2. 27. 오후 2:34 88 • 정답 및 풀이정답 및 풀이f'(0)=2에서 2a.c1(2-a)1=2, a(2-a)=1 a^2-2a+1=0, (a-1)^2=0 .t3 a=1 ①0913 합성함수의 미분법을 이용하여 f'(x)를 구한 후 x=p를 대입한다. f(x)=(1-sin x)^3이므로 f'(x) =3(1-sin x)^2.c1(-cos x) =-3(1-sin x)^2 cos x .t3 f'(p)=-3.c11.c1(-1)=3 30914 합성함수의 미분법을 이용하여 f(3x-1)=x^3-3x+1의 양변을 x에 대하여 미분한다. f(3x-1)=x^3-3x+1의 양변을 x에 대하여 미분하면 3 f'(3x-1)=3x^2-3 .t3 f'(3x-1)=x^2-13x-1=2에서 x=1이므로 위의 식의 양변에 x=1을 대입하면 f'(2)=0 ③0915 곱의 미분법과 합성함수의 미분법을 이용하여 f"(x)를 구한 후 x=p3를 대입한다. f(x)=(cos x+1)sin x이므로 f'(x) =(-sin x) sin x+(cos x+1)cos x =-sin ^2x+cos^2x+cos x ⇨ ❶ f"(x) =-2 sin x cos x+2 cos x.c1(-sin x)-sin x =-4 sin xcos x-sin x ⇨ ❷ .t3 f"(p3)=-4.c1rt^3/2.c11/2-rt^3/2=-313`2` ⇨ ❸ -313`2`0916 몫의 미분법을 이용하여 f'(x)를 구한다.f(x)=2x-1x^2+2이므로 f'(x)=2(x^2+2)-(2x-1).c12x(x^2+2)^2 =-2x^2+2x+4(x^2+2)^2f'(x)>0에서 -2x^2+2x+4(x^2+2)^2>0이때 (x^2+2)^2>0이므로 -2x^2+2x+4>0, x^2-x-2<0 (x+1)(x-2)<0 .t3 -1 2), g(x)={2x-x+6(x<2)(x_> 2)h(x)=f( g(x))에서 h'(x)=f'( g(x)) g'(x)이므로 h'(3) =f'( g(3)) g'(3) =f'(3) g'(3)=1.c1 (-1)=-1 -1채점 기준비율❶h'(x)를구할수있다.30%❷f'(x), g'(x)를구할수있다.40%❸h'(0)의값을구할수있다.30%미적2_7강(해080-091)ok.indd 8915. 2. 27. 오후 2:34 90 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 .t3 f'(-1)=3(1+2+3+.c3+10) =3!)sigk=1 k=3.c110.c1112=165 ⇨ ❷ 165`f(x)=!)sign=1(3x+4)^n이므로 f'(x)=!)sign=1n(3x+4)^n^-^1.c13 =3 !)sign=1n(3x+4)^n^-^1 .t3 f'(-1)=3!)sign=1 n=3.c110.c1112=1650929 함수 f(x)가 x=2에서 연속이므로 limx=2`f(x)=f(2)임을 이용한다.(x-2)f(x)=e^x^-^2-1이므로 xnot=2이면 f(x)=e^x^-^2-1x-2또 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 x=2에서도 연속이다. .t3 f(2)=limx=2`f(x)=limx=2`e^x^-^2-1x-2g(x)=e^x^-^2으로 놓으면 g(2)=1이므로 limx=2`e^x^-^2-1x-2=limx=2` g(x)-g(2)x-2 =g'(2) 이때 g'(x)=e^x^-^2이므로 f(2)=g'(2)=1 ①0930 limx=a` f(x)g(x)=a(a는 실수)이고 limx=a`g(x)=0이면 limx=a`f(x)=0임을 이용한다. limx=2` f(x)-2x-2=4에서 x`@B`2일 때 (분모)`@B`0이고 극한값이 존재하므로 (분자)`@B`0이다.즉 limx=2 {`f(x)-2}=0이므로 f(2)=2따라서 limx=2` f(x)-2x-2=limx=2` f(x)-f(2)x-2=f'(2)이므로 f'(2)=4 ⇨ ❶limx=-1` g(x)-2x+1=3에서 x`@B`-1일 때 (분모)`@B`0이고 극한값이 존재하므로 (분자)`@B`0이다.즉 limx=-1 {g(x)-2}=0이므로 g(-1)=2따라서 limx=-1` g(x)-2x+1=limx=-1` g(x)-g(-1)x-(-1)=g'(-1)이므로 g'(-1)=3 ⇨ ❷ .t3 h'(-1) =f'( g(-1)) g'(-1) =f'(2) g'(-1)=4.c13=12 ⇨ ❸ 12채점 기준비율❶f'(x)를구할수있다.60%❷f'(-1)의값을구할수있다.40%f(p6)=1/2이므로 g(1/2)=p6f'(x)=cos x이므로 g'(1/2)=1 f'(g(1/2))=1 f'(p6) =1cos p6=21330925 곱의 미분법을 이용하여 f'(x), f"(x)를 구한다. f(x)=axe^b^x이므로 f'(x)=ae^b^x+abxe^b^x=a(bx+1)e^b^x f"(x)=abe^b^x+ab(bx+1)e^b^x=ab(bx+2)e^b^x ⇨ ❶f'(0)=2에서 a=2f"(0)=4에서 2ab=4 .t3 b=1 ⇨ ❷ .t3 a+b=3 ⇨ ❸ 30926 f'(x), f"(x)를 구하고 미분계수의 정의를 이용할 수 있도록 limx=# f'(x)x-pai를 변형한다. f(x)=cos 2x이므로 f'(x)=-2 sin 2x .t3 f'(pai)=0 .t3 limx=# f'(x)x-pai=limx=# f'(x)-f'(pai)x-pai=f"(pai)이때 f"(x)=-4 cos 2x이므로 f"(pai)=-4 ③0927 몫의 미분법을 이용하여 g'(x)를 구한 후 x=1을 대입한다. g(x)=1 f(x)+2x이므로 g'(x)=- f'(x)+2{`f(x)+2x}^2 .t3 g'(1)=- f'(1)+2{`f(1)+2}^2=-4/4=-1 ②0928 합성함수의 미분법을 이용하여 f'(x)를 구한다. f(x)=!)sign=1 (3x+4)^n=(3x+4)+(3x+4)^2+(3x+4)^3+.c3+(3x+4)^1^0이므로 f'(x) =3+2(3x+4).c13+3(3x+4)^2.c13+.c3+10(3x+4)^9.c13 =3{1+2(3x+4)+3(3x+4)^2+.c3+10(3x+4)^9} ⇨ ❶채점 기준비율❶f'(x), f"(x)를구할수있다.50%❷a,b의값을구할수있다.40%❸a+b의값을구할수있다.10%미적2_7강(해080-091)ok.indd 9015. 2. 27. 오후 2:34 본책08``도함수의 활용 ⑴ • 91114~116쪽0933 f(x)=1/x-4로 놓으면 f'(x)=-1(x-4)^2 이므로 f'(5)=-^1 /1^2 =-1따라서 구하는 접선의 방정식은 y-1=-(x-5) .t3 y=-x+6 y=-x+60934 f(x)=@x^2 +1w 로 놓으면 f'(x)=1/2.c1 2x@x^2 +1s`=x@x^2 +1s`이므로 f'(1)=1!1+1q`=rt^2 /2 따라서 구하는 접선의 방정식은 y-12=rt^2 /2 (x-1) .t3 y=rt^2 /2 x+rt^2 /2 y=rt^2 /2 x+rt^2 /2 0935 f(x)=e^x ^+ ^1 으로 놓으면 f'(x)=e^x ^+ ^1 이므로 f'(1)=e^1 ^+ ^1 =e^2 따라서 구하는 접선의 방정식은 y-e^2 =e^2 (x-1) .t3 y=e^2 x y=e^2 x0936 f(x)=ln 3x로 놓으면 f'(x)=3/3x=1/x이므로 f'(1)=1따라서 구하는 접선의 방정식은 y-ln 3=x-1 .t3 y=x+ln 3-1 y=x+ln 3-10937 f(x)=cos 2x로 놓으면 f'(x)=-2 sin 2x이므로 f'(p6)=-2 sin (2.c1 p6)=-13따라서 구하는 접선의 방정식은 y-1/2=-13(x-p6) ∴ y=-13x+rt^3 /6 p+1/2 y=-13x+rt^3 /6 p+1/20931 곱의 미분법을 이용하여 f'(x), f''(x)를 구한 후 x=theta 를 대입한다.f(x)=e^x sin x이므로 f'(x)=e^x sin x+e^x cos x=e^x (sin x+cos x) f"(x) =e^x (sin x+cos x)+e^x (cos x-sin x) =2e^x cos xf'(t)-f"(t)=0에서 et(sin t+cos t)-2et cos t=0 et sin t-et cos t=0 et sin t=et cos t .c3 .c3 ㉠㉠㉠ -p20이고 f'(x)=1/x-1f'(x)=0에서 x=1x0.c3 1.c3 `f'(x)+0-`f(x)↗↘따라서 함수 f(x)는 구간 (0, 1)에서 증가하고, 구간 (1, inf )에서 감소한다. 풀이 참조0954 f(x)=ln xx에서 x>0이고 f'(x)=1/x .c1 x-ln xx^2 =1-ln xx^2 f'(x)=0에서 ln x=1 .t3 x=e x0.c3 e.c3 `f'(x)+0-`f(x)↗↘따라서 함수 f(x)는 구간 (0, e)에서 증가하고, 구간 (e, inf )에서 감소한다. 풀이 참조0955 f(x)=x-2 sin x에서 f'(x)=1-2 cos xf'(x)=0에서 cos x=1/2 .t3 x=p3 (.T3 00이고 f'(x)=1-2/xf'(x)=0에서 x=2x0.c32.c3`f'(x)-0+`f(x)↘2-2 ln 2↗따라서 함수 f(x)는 x=2에서 극솟값 2-2 ln 2를 갖는다. 극솟값: 2-2 ln 20963 f(x)=x+2 cos x에서 f'(x)=1-2 sin xf'(x)=0에서 sin x=1/2 .t3 x=p6 또는 x=5/6p (k 00⑶ 함수 f(x)는 x=-2에서 극대이고 극댓값은 f(-2)=2, x=0에서 극소이고 극솟값은 f(0)=-2이다. 풀이 참조0965 f(x)=-x^4+2x^2+1에서 f'(x)=-4x^3+4x=-4x(x+1)(x-1) f"(x)=-12x^2+4f'(x)=0에서 x=-1 또는 x=0 또는 x=1이때 f"(-1)=-8<0, f"(0)=4>0, f"(1)=-8<0이므로 함수 f(x)는 x=-1 또는 x=1에서 극대이고 극댓값은 f(-1)=f(1)=2, x=0에서 극소이고 극솟값은 f(0)=1이다. 극댓값: 2, 극솟값: 10957 f(x)=tan x-4x에서 f'(x)=sec^2 x-4f'(x)=0에서 sec^2 x=4, sec x=z2 .t3 x=-p3 또는 x=p3 (k -p20이므로 함수 f(x)는 x=2에서 극소이고 극솟값은 f(2)=-1/4이다. 극솟값: -1/40967 f(x)=xe^- ^2 ^x 에서 f'(x)=e^- ^2 ^x +x.c1 (-2e^- ^2 ^x )=-e^- ^2 ^x (2x-1) f"(x)=2e^- ^2 ^x (2x-1)-e^- ^2 ^x .c1 2=4e^- ^2 ^x (x-1)f'(x)=0에서 x=1/2이때 f"(1/2)=-2/e<0이므로 함수 f(x)는 x=1/2에서 극대이고 극댓값은 f(1/2)=1/2e이다. 극댓값: 1/2e 0968 f(x)=ln(x^2 +3)에서 f'(x)=2xx^2 +3 f"(x)=2(x^2 +3)-2x.c1 2x(x^2 +3)^2 =-2x^2 +6(x^2 +3)^2 f'(x)=0에서 x=0이때 f"(0)=2/3>0이므로 함수 f(x)는 x=0에서 극소이고 극솟값은 f(0)=ln 3이다. 극솟값: ln 30969 f(x)=2 sin x+cos 2x에서 f'(x)=2 cos x-2 sin 2x f"(x)=-2 sin x-4 cos 2xf'(x)=0에서 2 cos x-2 sin 2x=0 2 cos x-4 sin x cos x=0 2 cos x(1-2 sin x)=0 cos x=0 또는 sin x=1/2 .t3 x=p6 (k 00)이것을 ㉠에 대입하면 y=2ex-e이 직선이 점 (-1, a)를 지나므로 a=-2e-e=-3e ①0983 f(x)=1xq+4로 놓으면 f'(x)=121xq접점의 좌표를 (t, 1t+4)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는f'(t)=121t이므로 접선의 방정식은 y-(1t+4)=121t(x-t)채점 기준비율❶f'(x)를구할수있다.30%❷접점의x좌표를구할수있다.40%❸a의값을구할수있다.30%0976 f(x)=xe^x으로 놓으면 f'(x)=e^x+xe^x=e^x(x+1)점 (1, e)에서의 접선의 기울기가 f'(1)=2e이므로 이 점에서의 접선과 수직인 직선의 기울기는 -1/2e이고, 직선의 방정식은 y-e=-1/2e(x-1) .t3 y=-1/2ex+e+1/2e따라서 구하는 y절편은 e+1/2e이다. ③0977 f(x)=ln 4x로 놓으면 f(1)=ln 4=2 ln 2 .t3 a=2 ln 2 ⇨ ❶f'(x)=1/x이므로 f'(1)=1점 (1, 2 ln 2)에서의 접선의 기울기가 1이므로 이 점에서의 접선과 수직인 직선의 기울기는 -1이고, 직선의 방정식은 y-2 ln 2=-(x-1) .t3 y=-x+1+2 ln 2이 직선이 점 (3, b)를 지나므로 b=-3+1+2 ln 2=-2+2 ln 2 ⇨ ❷ .t3 a-b=2 ln 2-(-2+2 ln 2)=2 ⇨ ❸ 2 0978 f(x)=e^3^x으로 놓으면 f'(x)=3e^3^x접점의 좌표를 (t, e^3^t)이라 하면 직선 y=3x에 평행한 직선의 기울기는 3이므로 f'(t)=3e^3^t=3 .t3 t=0따라서 접점의 좌표는 (0, 1)이므로 직선의 방정식은 y-1=3(x-0) .t3 y=3x+1따라서 구하는 y절편은 1이다. 10979 f(x)=x/2+2/x로 놓으면 f'(x)=1/2-^2/x^2 접점의 좌표를 (t, t/2+2/t)라 하면 접선의 기울기가 0이므로 f'(t)=1/2-^2/t^2=0, t^2=4 .t3 t=2 (.T3 t>0)따라서 접점의 좌표는 (2, 2)이므로 구하는 직선의 방정식은 y=2 ④채점 기준비율❶a의값을구할수있다.30%❷b의값을구할수있다.50%❸a-b의값을구할수있다.20%미적2_8강(해092-106)ok.indd 9615. 2. 27. 오후 2:36 08``도함수의 활용 ⑴ • 97본책도함수의 활용 ⑴08119~121쪽0986 f(x)=x+2/x로 놓으면 f'(x)=1-^2 /x^2 접점의 좌표를 (t, t+2/t)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f'(t)=1-^2 /t^2 이므로 접선의 방정식은 y-(t+2/t)=(1-^2 /t^2 )(x-t) .t3 y=(1-^2 /t^2 )x+4/t .c3 .c3 ㉠㉠㉠이 직선이 점 (2, -1)을 지나므로 -1=2(1-^2 /t^2 )+4/t 3t^2 +4t-4=0, (t+2)(3t-2)=0 .t3 t=-2 또는 t=2/3이때 t=-2, t=2/3는 모두 ㉠의 분모를 0으로 하지 않으므로 점 (2, -1)에서 그을 수 있는 접선의 개수는 2이다. 20987 f(x)=(x+k)e^x 으로 놓으면 f'(x)=e^x +(x+k)e^x =(1+x+k)e^x 접점의 좌표를 (t, (t+k)e^t )이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f'(t)=(1+t+k)e^t 이므로 접선의 방정식은 y-(t+k)e^t =(1+t+k)e^t (x-t)이 직선이 원점을 지나므로 -(t+k)e^t =(1+t+k)e^t .c1 (-t) e^t (t^2 +kt-k)=0 .t3 t^2 +kt-k=0 (.T3 e^t >0) .c3 .c3 ㉠㉠㉠ 원점에서 곡선 y=(x+k)e^x 에 오직 하나의 접선을 그을 수 있으려면 방정식 ㉠이 중근을 가져야 하므로 ㉠의 판별식을 D라 하면 D=k^2 +4k=0, k(k+4)=0 .t3 k=-4 (.T3 knot= 0) ②0988 f(x)=1x^2 +2로 놓으면 f'(x)=-2x(x^2 +2)^2 접점의 좌표를 (t, 1t^2 +2)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는f'(t)=-2t(t^2 +2)^2 이므로 접선의 방정식은 y-1t^2 +2=-2t(t^2 +2)^2 (x-t) .t3 y=-2t(t^2 +2)^2 x+3t^2 +2(t^2 +2)^2 이 직선이 점 (a, 0)을 지나므로 0=3t^2 -2at+2(t^2 +2)^2 .t3 3t^2 -2at+2=0 .c3 .c3 ㉠㉠㉠점 (a, 0)에서 서로 다른 두 개의 접선을 그을 수 있으려면 방정식 ㉠이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 ㉠의 판별식을 D라 하면 D4=a^2 -6>0, (a+16 )(a-16 )>0 .t3 a<-16 또는 a>16 a<-16 또는 a>16이 직선이 점 (-4, 4)를 지나므로 4-(1t+4)=121t(-4-t) 1t=121t(t+4), 2t=t+4 .t3 t=4따라서 구하는 접선의 기울기는 f'(4)=1214=1/4 ①0984 f(x)=x+1x^2 +1로 놓으면 f'(x)=x^2 +1-(x+1).c1 2x(x^2 +1)^2 =-x^2 -2x+1(x^2 +1)^2 접점의 좌표를 (t, t+1t^2 +1)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는f'(t)=-t^2 -2t+1(t^2 +1)^2 이므로 접선의 방정식은 y-t+1t^2 +1=-t^2 -2t+1(t^2 +1)^2 (x-t) .t3 y=-t^2 -2t+1(t^2 +1)^2 x+2t^3 +3t^2 +1(t^2 +1)^2 .c3 .c3 ㉠㉠㉠이 직선이 점 (0, 3/2)을 지나므로 3/2=2t^3 +3t^2 +1(t^2 +1)^2 , 3(t^4 +2t^2 +1)=4t^3 +6t^2 +2 3t^4 -4t^3 +1=0, (t-1)^2 (3t^2 +2t+1)=0 .t3 t=1 (.T3 3t^2 +2t+1>0)이것을 ㉠에 대입하면 y=-1/2x+3/2, 즉 x+2y-3=0따라서 직선 x+2y-3=0과 원점 사이의 거리는 |-3| @1^2 +2^2 `s=315`5 315`50985 f(x)=ln x^2 +1로 놓으면 f'(x)=2/x ⇨ ❶접점의 좌표를 (t, ln t^2 +1)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는f'(t)=2/t이므로 접선의 방정식은 y-(ln t^2 +1)=2/t(x-t) .t3 y=2/tx+ln t^2 -1이 직선이 점 (0, 1)을 지나므로 1=ln t^2 -1, ln t^2 =2 t^2 =e^2 .t3 t=ze ⇨ ❷따라서 접선의 기울기는 f'(e)=2/e, f'(-e)=-2/e이므로 두 접선의 기울기의 곱은 2/e.c1 (-2/e)=-^4 /e^2 ⇨ ❸ -^4 /e^2 채점 기준비율❶f'(x)를구할수있다.30%❷두접점의x좌표를구할수있다.50%❸두접선의기울기의곱을구할수있다.20%미적2_8강(해092-106)ok.indd 9715. 2. 27. 오후 2:36 98 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0993 f(x)=ln (x+3)으로 놓으면 f'(x)=1/x+3접점의 좌표를 (t, ln (t+3))이라 하면 접선의 기울기가 1이므로 f'(t)=1/t+3=1 .t3 t=-2즉 접점의 좌표는 (-2, 0)이므로 접선의 방정식은 y=x+2접선의 x절편과 y절편이 각각 -2, 2이므로 P(-2, 0), Q(0, 2) .t3 semoOPQ=1/2.c12.c12=2 20994 f(x)=e^-^x으로 놓으면 f'(x)=-e^-^x접점의 좌표를 (t, e^-^t)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f'(t)=-e^-^t이므로 접선의 방정식은 y-e^-^t=-e^-^t(x-t) .t3 y=-e^-^tx+te^-^t+e^-^t .c3.c3 ㉠㉠㉠이 직선이 점 (2, -1)을 지나므로 -1=-2e^-^t+te^-^t+e^-^t e^-^t(1-t)=1 .t3 t=0이것을 ㉠에 대입하면 y=-x+1접선의 x절편과 y절편이 각각 1, 1이므로 구하는 도형의 넓이는 1/2.c11.c11=1/2 ②0995 f(x)=xx^2+1에서 f'(x)=(x^2+1)-x.c12x(x^2+1)^2=-x^2+1(x^2+1)^2 =-(x+1)(x-1)(x^2+1)^2(x^2+1)^2>0이므로 f'(x)>0에서 -(x+1)(x-1)>0, (x+1)(x-1)<0 .t3 -10이고 f'(x)=1-2/xf'(x)=0에서 1-2/x=0 .t3 x=2 따라서 함수 f(x)는 구x0.c32.c3`f'(x)-0+`f(x)↘↗간 (2, inf)에서 증가하므로 실수 a의 최솟값은 2이다. 20997 f(x)=(x^2-4)e^x에서 f'(x)=2xe^x+(x^2-4)e^x=(x^2+2x-4)e^x ⇨ ❶f'(x)=0에서 x^2+2x-4=0 .t3 x=-1z15 ⇨ ❷x.c3-1-15.c3-1+15.c3`f'(x)+0-0+`f(x)↗ ↘ ↗함수 f(x)가 감소하는 구간은 (-1-15 , -1+15 ) ⇨ ❸0989 f(x)=ax^2+e^x^-^1, g(x)=b/x로 놓으면 f'(x)=2ax+e^x^-^1, g'(x)=-^b/x^2두 곡선이 x=1인 점에서 공통인 접선을 가지므로 f(1)=g(1)에서 a+1=b .t3 a-b=-1 .c3.c3 ㉠㉠㉠f'(1)=g'(1)에서 2a+1=-b .t3 2a+b=-1 .c3.c3 ㉡㉠㉠㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2/3, b=1/3 .t3 a+b=-1/3 ②0990 f(x)=ax^2, g(x)=ln x로 놓으면 f'(x)=2ax, g'(x)=1/x두 곡선이 x=b인 점에서 접하므로 f(b)=g(b)에서 ab^2=ln b .c3.c3 ㉠㉠㉠f'(b)=g'(b)에서 2ab=1/b .t3 ab^2=1/2 .c3.c3 ㉡㉠㉠㉡을 ㉠에 대입하면 1/2=ln b .t3 b=1e이것을 ㉡에 대입하면 ae=1/2 .t3 a=1/2e .t3 b/a=1e .c12e=2e1e ⑤0991 f(x)=-sin x, g(x)=cos ^2x+a로 놓으면 f'(x)=-cos x, g'(x)=-2 cos x sin x두 곡선이 x=t인 점에서 접한다고 하면f(t)=g(t)에서 -sin t=cos^2 t+a -sin t=1-sin^2 t+a .c3.c3 ㉠㉠㉠f'(t)=g'(t)에서 -cos t=-2 cos t sin t cos t(1-2 sin t)=0 .t3 sin t=1/2 (.T3 cos tnot=0)이것을 ㉠에 대입하면 -1/2=1-1/4+a .t3 a=-5/4 -5/40992 f(x)=@2x^2+1s 로 놓으면 f'(x)=1/2.c14x 22xw^2+1x=2x 22xw^2+1x점 (2, 3)에서의 접선의 기울기가 f'(2)=2.c12 18+a1a=4/3이므로 접선의 방정식은 y-3=4/3(x-2) .t3 y=4/3x+1/3접선의 x절편과 y절편이 각각 -1/4, 1/3이므로 구하는 도형의 넓이는 1/2.c11/4.c11/3=1/24 ②미적2_8강(해092-106)ok.indd 9815. 2. 27. 오후 2:36 08``도함수의 활용 ⑴ • 99본책도함수의 활용 ⑴08121~123쪽함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 감소하므로 모든 실수 x에 대하여 f'(x)_< 0이어야 한다.이때 x^2 +1>0이므로 -ax^2 +2x-a_< 0, 즉 ax^2 -2x+a_> 0이어야 한다. a>0이고 이차방정식 ax^2 -2x+a=0의 판별식을 D라 하면 D4=1-a^2 _< 0, (a+1)(a-1)_> 0 a_< -1 또는 a_> 1 .t3 a_> 1따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 ①이다. ①1002 f(x)=ax+ln x에서 x>0이고 f'(x)=a+1/x함수 f(x)가 구간 (1, inf )에서 감소하려면 x>1일 때 f'(x)_< 0이어야 한다.오른쪽 그림에서 (cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:8)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:89)(cid:48)(cid:18) f'(1)=a+1_< 0 .t3 a_< -1따라서 실수 a의 최댓값은 -1이다. ③ 1003 f(x)=x+a/x에서 f'(x)=1-^a /x^2 함수 f(x)가 구간 (3, inf )에서 증가하려면 x>3일 때 f'(x)_> 0이어야 한다.오른쪽 그림에서 (cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:8)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:89)(cid:48)(cid:20) f'(3)=1-a/9_> 0 .t3 a_< 9따라서 실수 a의 최댓값은 9이다. 91004 f(x)=e^x (x+a)에서 f'(x)=e^x (x+a)+e^x =e^x (x+a+1)함수 f(x)가 구간 (2, inf )에서 증가하려면 x>2일 때 f'(x)_> 0이어야 한다.이때 e^x >0이므로 x+a+1_> 0이어야 한다. 오른쪽 그림에서 (cid:90)(cid:89)(cid:66)(cid:12)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:12)(cid:66)(cid:12)(cid:18)(cid:48)(cid:19) 2+a+1_> 0 .t3 a_> -3 a_> -31005 f(x)=2xx^2 +1에서 f'(x)=2(x^2 +1)-2x.c1 2x(x^2 +1)^2 =-2(x^2 -1)(x^2 +1)^2 =-2(x+1)(x-1)(x^2 +1)^2 f'(x)=0에서 x=-1 또는 x=1x.c3 -1.c3 1.c3 `f'(x)-0+0-`f(x)↘-1↗1↘따라서 이 구간에 속하는 모든 정수 x의 값의 합은 -3+(-2)+(-1)+0+1=-5 ⇨ ❹ -50998 f(x)=x-2 sin x에서 f'(x)=1-2 cos xf'(x)=0에서 cos x=1/2 .t3 x=-p3 또는 x=p3 (k -pf(x_2 )ㄷ. p3 0이어야 한다.이때 e^- ^x >0이므로 x^2 -(a+2)x+a+5_> 0이어야 한다.이차방정식 x^2 -(a+2)x+a+5=0의 판별식을 D라 하면 D={-(a+2)}^2 -4(a+5)_< 0, a^2 -16_< 0 (a+4)(a-4)_< 0 .t3 -4_< a_< 4 ③1000 f(x)=ax-cos x에서 f'(x)=a+sin x ⇨ ❶함수 f(x)가 구간 (-inf , inf )에서 증가하므로 모든 실수 x에 대하여 f'(x)_> 0이어야 한다. ⇨ ❷즉 a+sin x_> 0이어야 하므로 -1_< sin x_< 1에서 a-1_< a+sin x_< a+1a-1_> 0이어야 하므로 a_> 1따라서 a의 최솟값은 1이다. ⇨ ❸ 11001 f(x)=ln(x^2 +1)-ax에서 f'(x)=2xx^2 +1-a=-ax^2 +2x-ax^2 +1채점 기준비율❶f'(x)를구할수있다.20%❷f'(x)=0인x의값을구할수있다.20%❸f(x)가감소하는구간을구할수있다.40%❹정수x의값의합을구할수있다.20%채점 기준비율❶f'(x)를구할수있다.40%❷f(x)가주어진구간에서증가하기위한조건을알수있다.30%❸a의최솟값을구할수있다.30%미적2_8강(해092-106)ok.indd 9915. 2. 27. 오후 2:36 100 • 정답 및 풀이정답 및 풀이1010 f(x)=1xq+^2/rtx에서 x>0이고 f'(x)=121xq-1x1xqf'(x)=0에서 121xq=1x1xq x1xq-21xq=0, 1xq(x-2)=0 .t3 x=2 (.T3 x>0) x0.c32.c3`f'(x)-0+`f(x)↘212↗ㄱ. 정의역은 {x|x>0}이다.ㄴ. x=2에서 극솟값 212 를 갖는다.ㄷ. 구간 (2, inf)에서 증가한다.이상에서 옳은 것은 ㄴ뿐이다. ②1011 f(x)=(x^2+3x+3)e^x에서 f'(x) =(2x+3)e^x+(x^2+3x+3)e^x =(x^2+5x+6)e^x =(x+3)(x+2)e^xf'(x)=0에서 x=-3 또는 x=-2x.c3-3.c3-2.c3`f'(x)+0-0+f(x)↗3e^3↘1e^2↗따라서 함수 f(x)는 x=-3에서 극댓값 ^3/e^3, x=-2에서 극솟값^1/e^2을 가지므로 M=^3/e^3, m=^1/e^2 ∴ mM=e/3 e/31012 f(x)=e^x^2x^2에서 xnot=0이고 f'(x)=2xe^x^2.c1x^2-e^x^2.c12xx^4=2xe^x^2(x^2-1)x^4 =2e^x^2(x+1)(x-1)x^3f'(x)=0에서 x=-1 또는 x=1x.c3-1.c30.c31.c3`f'(x)-0+-0+`f(x)↘극소↗↘극소↗따라서 함수 f(x)는 x=-1, x=1에서 극소이므로 극값을 갖는 x의 값의 개수는 2이다. 2채점 기준비율❶f'(x)를구할수있다.30%❷f'(x)=0인x의값을구할수있다.30%❸a,b의값을구할수있다.30%❹b/a의값을구할수있다.10%따라서 함수 f(x)는 x=1에서 극댓값 1, x=-1에서 극솟값 -1을 가지므로 M=1, m=-1 .t3 M+m=0 ③ 1006 f(x)=x+4/x에서 f'(x)=1-4x^2=x^2-4x^2=(x+2)(x-2)x^2f'(x)=0에서 x=2 (.T3 x>0)x0.c32.c3`f'(x)-0+`f(x)↘4↗따라서 함수 f(x)는 x=2에서 극솟값 4를 갖는다. 41007 f(x)=x^2+7x+8x-1에서 xnot=1이고 f'(x)=(2x+7)(x-1)-(x^2+7x+8)(x-1)^2=x^2-2x-15(x-1)^2=(x+3)(x-5)(x-1)^2f'(x)=0에서 x=-3 또는 x=5x.c3-3.c31.c35.c3`f'(x)+0--0+`f(x)↗극대↘↘극소↗따라서 함수 f(x)는 x=-3에서 극대이고, x=5에서 극소이므로 a=-3, b=5 .t3 2a+b=-1 ③1008 f(x)=2x^2+2xx+5 x에서 f'(x)=1/2.c12x+2 2x^2+2xx+5 x=x+1 2x^2+2xx+5 xf'(x)=0에서 x=-1 따라서 함수 f(x)는 x=-1에x.c3-1.c3`f'(x)-0+`f(x)↘2↗서 극솟값 2를 갖는다. ②1009 f(x)=1x+1z +19-xz 에서 -1_0이고 f'(x)=-1/x.c1 x-ln xx^2 =ln x-1x^2 f'(x)=0에서 ln x=1 .t3 x=ex0.c3 e.c3 `f'(x)-0+`f(x)↘-1/e↗따라서 함수 f(x)는 x=e에서 극솟값 -1/e을 가지므로 a=e, b=-1/e .t3 ab=-1 -11015 f(x)=3x-x ln x에서 x>0이고 f'(x)=3-(ln x+1)=2-ln x ⇨ ❶f'(x)=0에서 ln x=2 .t3 x=e^2 ⇨ ❷함수 f(x)는 x=e^2 에서x0.c3 e^2 .c3 `f'(x)+0-`f(x)↗e^2 ↘ 극댓값 e^2 을 가지므로 점 A의 좌표는 A(e^2 , e^2 ) ⇨ ❸따라서 직선 OA의 방정식은 y-e^2 =^e^2 /e^2 (x-e^2 ) .t3 y=x ⇨ ❹ y=x1016 f(x)=x^2 -3x+ln x에서 x>0이고 f'(x)=2x-3+1/x=2x^2 -3x+1x =(2x-1)(x-1)xf'(x)=0에서 x=1/2 또는 x=1x0.c3 1/2.c3 1.c3 f'(x)+0-0+f(x)↗-5/4-ln2↘-2↗채점 기준비율❶f'(x)를구할수있다.30%❷f'(x)=0인x의값을구할수있다.30%❸점A의좌표를구할수있다.20%❹직선OA의방정식을구할수있다.20%미적2_8강(해092-106)ok.indd 10115. 2. 27. 오후 2:36 102 • 정답 및 풀이정답 및 풀이그런데 -1_1 또는 -k/4_<-1 .t3 k_<-4 또는 k_>4따라서 자연수 k의 최솟값은 4이다. ④1024 f(x)=ax+ln x에서 x>0이고 f'(x)=a+1/x함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 x>0인 실수 x에 대하여 f'(x)_>0이어야 하므로 a+1/x_>0 .t3 a_>-1/x 그런데 x>0일 때 1/x>0이므로 -1/x<0 a_>0 a_>01025 f(x)=(x^3-9x+k)e^x에서 f'(x) =(3x^2-9)e^x+(x^3-9x+k)e^x =(x^3+3x^2-9x-9+k)e^x함수 f(x)가 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 방정식 x^3+3x^2-9x-9+k=0이 2개 이상의 실근을 갖고, 실근의 좌우에서 f'(x)의 부호가 바뀌어야 한다. 즉 g(x)=x^3+3x^2-9x-9+k로 놓으면 삼차함수 g(x)의 극댓값과 극솟값의 부호가 달라야 한다.g'(x)=3x^2+6x-9이므로 g'(x)=0에서 3x^2+6x-9=0, 3(x+3)(x-1)=0 .t3 x=-3 또는 x=1g(-3)g(1)<0이어야 하므로 (k+18)(k-14)<0 .t3 -1813/4따라서 정수 a의 최솟값은 4이다. ④1020 f(x)=ax+bx^2+4에서 f'(x)=a(x^2+4)-(ax+b).c12x(x^2+4)^2 =-ax^2-2bx+4a(x^2+4)^2 함수 f(x)가 x=1에서 극댓값 1을 가지므로f(1)=1에서 a+b/5=1 .t3 a+b=5 .c3.c3 ㉠㉠㉠f'(1)=0에서 3a-2b25=0 .t3 3a-2b=0 .c3.c3 ㉡㉠㉠㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=3 .t3 b-a=1 ③1021 f(x)=ax+b ln x에서 f'(x)=a+b/x함수 f(x)가 x=3에서 극솟값을 가지므로f'(3)=0에서 a+b/3=0, b=-3a .t3 b/a=-3aa=-3 -31022 f(x)=(x+a)e^x에서 f'(x)=e^x+(x+a)e^x=(x+a+1)e^x ⇨ ❶함수 f(x)가 x=1에서 극솟값 m을 가지므로f'(1)=0에서 (1+a+1)e=0 .t3 a=-2 ⇨ ❷ .t3 f(x)=(x-2)e^xf(1)=m에서 m=(1-2)e=-e ⇨ ❸ .t3 am=2e ⇨ ❹ 2e1023 f(x)=kx+4 sin x에서 f'(x)=k+4 cos x함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 모든 실수 x에 대하여 f'(x)_<0 또는 f'(x)_>0이어야 하므로 k+4 cos x_<0 또는 k+4 cos x_>0 .t3 cos x_<-k/4 또는 cos x_>-k/4채점 기준비율❶f'(x)를구할수있다.30%❷f'(x)=0인x의값을구할수있다.30%❸a,b의값을구할수있다.30%❹a+b의값을구할수있다.10%채점 기준비율❶f'(x)를구할수있다.30%❷a의값을구할수있다.30%❸m의값을구할수있다.30%❹am의값을구할수있다.10%미적2_8강(해092-106)ok.indd 10215. 2. 27. 오후 2:36 08``도함수의 활용 ⑴ • 103본책도함수의 활용 ⑴08125~127쪽1032 f'(x)=0인 x의 값을 구하여 f(x)의 증감표를 만든다. f(x)=3xx^2 +4에서 f'(x)=3(x^2 +4)-3x.c1 2x(x^2 +4)^2 =-3x^2 +12(x^2 +4)^2 =-3(x+2)(x-2)(x^2 +4)^2 ⇨ ❶f'(x)=0에서 x=-2 또는 x=2 ⇨ ❷x.c3 -2.c3 2.c3 `f'(x)-0+0-`f(x)↘-3/4↗3/4↘따라서 함수 f(x)는 x=2에서 극댓값 3/4, x=-2에서 극솟값-3/4을 가지므로 극댓값과 극솟값의 합은 3/4+(-3/4)=0 ⇨ ❸ 01033 f'(x)=0이 되는 x의 값을 구하여 f(x)의 증감표를 만든다. f(x)=(x+k)e^x 에서 f'(x)=e^x +(x+k)e^x =(x+k+1)e^x f'(x)=0에서 x=-k-1함수 f(x)는 x=-k-1에서x.c3 -k-1.c3 `f'(x)-0+`f(x)↘극소↗ 극솟값 -e를 가지므로f(-k-1)=-e에서 -e^- ^k ^- ^1 =-e -k-1=1 .t3 k=-2 -21034 직선 y=mx+b가 x축의 양의 부분과 이루는 각의 크기가 theta 일 때, tan theta =m임을 이용한다. f(x)=2 sin x+1로 놓으면 f'(x)=2 cos xx=p6인 점에서의 접선의 기울기는 f'(p6)=2.c1 132=13이므로 x=p6인 점에서의 접선이 x축의 양의 부분과 이루는 각의 크기를 theta 라 하면 tan theta =13 .t3 theta =p3 p31035 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 -1임을 이용한다.f(x)=e^x +1로 놓으면 f'(x)=e^x ⇨ ❶점 (1, e+1)에서의 접선의 기울기는 f'(1)=e이므로 이 접선에 수직인 직선의 기울기는 -1/e이다. 채점 기준비율❶f'(x)를구할수있다.30%❷f'(x)=0인x의값을구할수있다.30%❸극댓값과극솟값의합을구할수있다.40%1028 f(x)=2 ln x-x+a/x에서 x>0이고 f'(x)=2/x-1-ax^2 =-x^2 +2x-ax^2 함수 f(x)가 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 이차방정식-x^2 +2x-a=0이 x>0에서 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.� 이차방정식 -x^2 +2x-a=0의 판별식을 D라 하면 D4=1-a>0 .t3 a<1� (두 근의 합)=2>0� (두 근의 곱)=a>0이상에서 00) .c3.c3 ㉠㉠㉠점 (a, 0)에서 곡선 y=(x-1)e^x에 오직 하나의 접선을 그을 수 있으려면 방정식 ㉠이 중근을 가져야 하므로 ㉠의 판별식을 D라 하면 D=(a+1)^2-4=0, a^2+2a-3=0 (a+3)(a-1)=0 .t3 a=-3 (.T3 a<0) ③ a=1이면 점 (a, 0)은 곡선 y=(x-1)e^x 위의 점이 된다.1039 두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 x=t에서 공통인 접선을 가지면 f(t)=g(t), f'(t)=g'(t)임을 이용한다. f(x)=2x^2+a, g(x)=ln 2x로 놓으면 x>0이고 f'(x)=4x, g'(x)=2/2x=1/x두 곡선이 x=b인 점에서 공통인 접선을 가지므로f(b)=g(b)에서 2b^2+a=ln 2b .c3.c3 ㉠㉠㉠f'(b)=g'(b)에서 4b=1/b, b^2=1/4 .t3 b=1/2 (.T3 b>0)b=1/2을 ㉠에 대입하면 2.c11/4+a=ln (2 .c11/2) .t3 a=-1/2 .t3 4ab=4.c1(-1/2).c11/2=-1 ②1040 접선의 방정식을 구하여 x축, y축과의 교점의 좌표를 구한다. f(x)=(x+1)e^x으로 놓으면 f'(x)=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x점 (1, 2e)에서의 접선의 기울기가 f'(1)=3e이므로 접선의 방정식은 y-2e=3e(x-1) .t3 y=3ex-e접선의 x절편과 y절편이 각각 1/3, -e이므로 구하는 도형의 넓이는 1/2.c11/3.c1e=e/6 ②채점 기준비율❶f'(x)를구할수있다.30%❷접점의x좌표를구할수있다.50%❸두접선의기울기의합을구할수있다.20%점 (1, e+1)을 지나고 기울기가 -1/e인 직선의 방정식은 y-(e+1)=-1/e(x-1) .t3 y=-1/ex+1/e+e+1 ⇨ ❷이 식에 y=0을 대입하면 0=-1/ex+1/e+e+1, 1/ex=1/e+e+1 .t3 x=e^2+e+1따라서 구하는 직선의 x절편은 e^2+e+1이다. ⇨ ❸ e^2+e+11036 평행한 두 직선의 기울기는 서로 같음을 이용한다. 두 점 (0, 1), (4, 3)을 이은 선분과 평행한 직선의 기울기는 3-1/4-0=2/4=1/2f(x)=1xq+1에서 f'(x)=121xqx=a인 점에서의 접선의 기울기가 1/2이므로 f'(a)=121aq=1/2, 1aq=1 .t3 a=1 ① 1037 접점의 좌표를 (t, t-1/t+1)로 놓고 접선의 방정식을 구한후 점 (2, 3)의 좌표를 대입하여 t의 값을 구한다.f(x)=x-1/x+1로 놓으면 f'(x)=1.c1(x+1)-(x-1).c11(x+1)^2=2(x+1)^2 ⇨ ❶접선의 접점의 좌표를 (t, t-1/t+1)이라 하면 접선의 기울기는 f'(t)=2(t+1)^2이므로 접선의 방정식은 y-t-1/t+1=2(t+1)^2(x-t) .t3 y=2(t+1)^2x+t^2-2t-1(t+1)^2이 직선이 점 (2, 3)을 지나므로 3=4(t+1)^2+t^2-2t-1(t+1)^2 2t^2+8t=0, 2t(t+4)=0 .t3 t=-4 또는 t=0 ⇨ ❷따라서 접선의 기울기는 f'(-4)=2/9, f'(0)=2이므로 두 접선의 기울기의 합은 2/9+2=20/9 ⇨ ❸ 20/9채점 기준비율❶f'(x)를구할수있다.30%❷접선에수직인직선의방정식을구할수있다.50%❸직선의x절편을구할수있다.20%미적2_8강(해092-106)ok.indd 10415. 2. 27. 오후 2:36 08``도함수의 활용 ⑴ • 105본책도함수의 활용 ⑴08127~129쪽함수 f(x)가 x=-3에서 극댓값을 가지므로f'(-3)=0에서 (9a-6a-9)e^- ^3 =0, 3(a-3)e^- ^3 =0 .t3 a=3 .t3 f(x)=(3x^2 -9)e^x , f'(x)=(3x^2 +6x-9)e^x f'(x)=0에서 (3x^2 +6x-9)e^x =0 3(x+3)(x-1)e^x =0 .t3 x=-3 또는 x=1x.c3 -3.c3 1.c3 `f'(x)+0-0+`f(x)↗극대↘극소↗즉 f(x)는 x=-3에서 극댓값을 갖고, x=1에서 극솟값을 가지므로 구하는 극솟값은 f(1)=-6e ④ 1045 f'(x)= h(x)g(x)에서 h(x)가 이차식이고 모든 실수 x에 대하여 g(x)>0일 때, f(x)가 극값을 갖지 않으려면 h(x)=0이 중근 또는 허근을 가져야 한다. f(x)=x^2 +ax+3x+2에서 f'(x)=(2x+a)(x+2)-(x^2 +ax+3)(x+2)^2 =x^2 +4x+2a-3(x+2)^2 함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 이차방정식 x^2 +4x+2a-3=0이 중근 또는 허근을 가져야 하므로 이차방정식 x^2 +4x+2a-3=0의 판별식을 D라 하면 D4=4-2a+3_< 0 .t3 a_> 7/2 따라서 실수 a의 최솟값은 7/2이다. 7/2 1046 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선의 방정식은 y-f(a)=f'(a)(x-a)임을 이용한다. f(x)=1x+1z 로 놓으면 f'(x)=121x+1z`점 P(a, 1a+1z )에서의 접선의 기울기가 f'(a)=121a+1z`이므로 접선의 방정식은 y-1a+1z =121a+1z`(x-a) .t3 y=121a+1z`x+a+221a+1z` ⇨ ❶위의 식에 y=0을 대입하면 0=121a+1z`x+a+221a+1z` .t3 x=-a-2 .t3 Q(-a-2, 0) ⇨ ❷ .t3 PQ^_ =3(-a-2-a)^2 +(0-1a+1z )^2 c=2(2a+2)^2 +xa+1x=24a^2 +9xa+5x ⇨ ❸1041 함수 f(x)의 역함수를 g(x)라 하면 g'(x)=1 f'(g(x))임을 이용한다. g(1)=a라 하면 f(a)=1이므로 ln (a+1)=1, a+1=e .t3 a=e-1 .t3 g'(1)=1 f'(e-1)이때 f'(x)=`1/x+1이므로 f'(e-1)=1/e .t3 g'(1)=e따라서 곡선 y=g(x) 위의 점 (1, e-1)에서의 접선의 방정식은 y-(e-1)=e(x-1) .t3 y=ex-1 y=ex-11042 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 감소하려면f'(x)_< 0이어야 한다. f(x)=(x^2 +ax+1)e^- ^2 ^x 에서 f'(x) =(2x+a)e^- ^2 ^x +(x^2 +ax+1)e^- ^2 ^x .c1 (-2) =(2x+a-2x^2 -2ax-2)e^- ^2 ^x ={-2x^2 -2(a-1)x+a-2}e^- ^2 ^x ⇨ ❶함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 감소하므로 모든 실수 x에 대하여 f'(x)_< 0이어야 한다. ⇨ ❷이때 e^- ^2 ^x >0이므로 -2x^2 -2(a-1)x+a-2_< 0, 즉 2x^2 +2(a-1)x-a+2_> 0이어야 한다.이차방정식 2x^2 +2(a-1)x-a+2=0의 판별식을 D라 하면 D4=(a-1)^2 +2a-4_< 0, a^2 -3_< 0 .t3 -13 _< a_< 13 ⇨ ❸ -13 _< a_< 13`1043 함수 f(x)가 x=a에서 극값 b를 가지면 f(a)=b, f'(a)=0임을 이용한다.f(x)=ax^2 -ln x에서 f'(x)=2ax-1/x함수 f(x)가 x=1/2에서 극솟값 b를 가지므로 f(1/2)=b에서 1/4a-ln 1/2=b .c3 .c3 ㉠㉠㉠ f'(1/2)=0에서 2a.c1 1/2-2=0 .t3 a=2a=2를 ㉠에 대입하면 b=1/2-ln 1/2=1/2+ln 2 .t3 ab=1+2 ln 2 ⑤1044 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 f'(a)=0임을 이용한다. f(x)=(ax^2 -9)e^x 에서 f'(x) =2axe^x +(ax^2 -9)e^x =(ax^2 +2ax-9)e^x 채점 기준비율❶f'(x)를구할수있다.30%❷함수 f(x)가실수전체의집합에서감소할조건을구할수있다.30%❸실수a의값의범위를구할수있다.40%미적2_8강(해092-106)ok.indd 10515. 2. 27. 오후 2:36 106 • 정답 및 풀이정답 및 풀이접선의 방정식은 y-2k-1=-2(k-1)^2(x-k) .t3 y=-2(k-1)^2x+4k-2(k-1)^2따라서 P(2k-1, 0), Q(0, 4k-2(k-1)^2)이므로 삼각형 OPQ의 넓이 S(k)는 S(k)=1/2.c1(2k-1).c14k-2(k-1)^2=4k^2-4k+1k^2-2k+1 .t3 limk=inf S(k)=limk=inf 4k^2-4k+1k^2-2k+1 =limk=inf 4-4/k+^1/k^21-2/k+^1/k^2=4 ② k C inf이므로 두 점 P, Q는 각각 x축, y축의 양의 부분에 있는 점으로 생각한다.1050 함수 f(x)와 그 역함수 g(x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 두 그래프가 접하면 그 접점은 직선 y=x 위에 있음을 이용한다. f(x)=e^x^+^a에서 f'(x)=e^x^+^a함수 f(x)와 그 역함수 g(x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 두 그래프의 접점은 직선 y=x 위에 있다. 따라서 두 그래프의 접점의 좌표를 (t, t)로 놓으면f(t)=g(t)=t에서 e^t^+^a=t .c3.c3 ㉠㉠㉠f'(t)=g'(t)에서 e^t^+^a=1e^t^+^a (k g'(t)=1 f'(t)) (e^t^+^a)^2=1, e^t^+^a=1 (k e^t^+^a>0) t+a=0 .t3 t=-a .c3.c3 ㉡㉠㉠㉠, ㉡을 연립하여 풀면 t=1, a=-1 ②1051 f'(x)=0이 되는 x의 값을 구하여 f(x)의 증감표를 만들고 극대, 극소가 되는 x의 값을 확인한다. f(x)=cos 2x에서 f'(x)=-2 sin 2xf'(x)=0에서 -2 sin 2x=0, sin 2x=0 2x=p, 2p, 3p, 4p, 5p, 6p, 7p, .c3 .t3 x=p2, p, 3/2p, 2p, 5/2p, 3p, 7/2p, .c3x0p2p3/2p2pf'(x)-0+0-0+0-f(x)↘극소↗극대↘극소↗극대↘즉 함수 f(x)는 x=p, 2p, 3p, .c3에서 극댓값을 갖고, x=p2, 3/2p, 5/2p, .c3에서 극솟값을 갖는다. .t3 a_1=p, a_2=2p, a_3=3p, .c3, �_1=p2, �_2=3/2p, �_3=5/2p, .c3 따라서 a_5=5p, �_6=11/2p이므로 cos a_5+sin �_6=cos 5p+sin 11/2p =-1-1=-2 -2 ∴ lima=inf`PQ^_a=lima=inf`24a^2+9xa+5xa =lima=inf`44+9/af+^5/a^2v1=14=2 ⇨ ❹ 2 1047 접점의 좌표를 (t, e^t^+^a+b)로 놓고 접선의 방정식을 구한 후 이것이 직선 y=x+1과 일치함을 이용한다.f(x)=e^x^+^a+b로 놓으면 f'(x)=e^x^+^a접점의 좌표를 (t, e^t^+^a+b)라 하면 접선의 기울기는f'(t)=e^t^+^a이므로 접선의 방정식은 y-(e^t^+^a+b)=e^t^+^a(x-t) .t3 y=e^t^+^ax-te^t^+^a+e^t^+^a+b이 직선이 y=x+1과 일치하므로 e^t^+^a=1, -te^t^+^a+e^t^+^a+b=1e^t^+^a=1에서 t+a=0 .t3 t=-at=-a를 -te^t^+^a+e^t^+^a+b=1에 대입하면 a+1+b=1 .t3 a+b=0 ③1048 구하는 최솟값은 곡선 y=ln x+1에 접하고 기울기가 1/e인 직선과 직선 y=1/ex+2 사이의 거리와 같다. 직선 y=1/ex+2와의 거리가 최소가 되는 곡선 y=ln x+1 위의 점은 기울기가 1/e인 접선의 접점이 되는 경우이다. f(x)=ln x+1로 놓으면 f'(x)=1/x접점의 좌표를 (t, ln t+1)이라 하면 접선의 기울기는 f'(t)=1/t이므로 1/t=1/e .t3 t=e즉 접점의 좌표는 (e, 2)따라서 구하는 최솟값은 점 (e, 2)와 직선 y=1/ex+2, 즉x-ey+2e=0 사이의 거리이므로 |1.c1e-e.c12+2e|21^2+(x-e)^2x=e21+e^2`x` ③ 1049 접선의 방정식을 구하여 x축, y축과의 교점의 좌표를 구한다.f(x)=2x-1로 놓으면 f'(x)=-2(x-1)^2점 (k, 2k-1)에서의 접선의 기울기가 f'(k)=-2(k-1)^2이므로 채점 기준비율❶접선의방정식을구할수있다.30%❷점Q의좌표를구할수있다.20%❸PQ^_의길이를구할수있다.20%❹lima=inf`PQ^_a의값을구할수있다.30%미적2_8강(해092-106)ok.indd 10615. 2. 27. 오후 2:37 09``도함수의 활용 ⑵ • 107본책도함수의 활용 ⑵09129~131쪽1058 f(x)=-x^4 +6x^3 으로 놓으면 f'(x)=-4x^3 +18x^2 , f"(x)=-12x^2 +36x=-12x(x-3)f"(x)=0에서 x=0 또는 x=3 x<0 또는 x>3일 때 f"(x)<0, 00따라서 x=0, x=3의 좌우에서 f"(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 (0, 0), (3, 81)이다. (0, 0), (3, 81)1059 f(x)=xe^- ^x 으로 놓으면 f'(x)=e^- ^x -xe^- ^x =(1-x)e^- ^x , f"(x)=-e^- ^x -(1-x)e^- ^x =(x-2)e^- ^x f"(x)=0에서 x=2 x<2일 때 f"(x)<0, x>2일 때 f"(x)>0따라서 x=2의 좌우에서 f"(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 (2, ^2 /e^2 )이다. (2, ^2 /e^2 )1060 f(x)=ln (x^2 +2)로 놓으면 f'(x)=2xx^2 +2, f"(x)=2(x^2 +2)-2x.c1 2x(x^2 +2)^2 =-2x^2 +4(x^2 +2)^2 =-2(x+12 )(x-12 )(x^2 +2)^2 f"(x)=0에서 x=-12` 또는 x=12 x<-12` 또는 x>12일 때 f"(x)<0, -12`0따라서 x=-12, x=12의 좌우에서 f"(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 (-12, ln 4), (12, ln 4)이다. (-12, ln 4), (12, ln 4) 1061 f(x)=x+cos x로 놓으면 f'(x)=1-sin x, f"(x)=-cos xf"(x)=0에서 x=pai/2 (k 00따라서 x=pai/2 의 좌우에서 f"(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 (pai/2 , pai/2 )이다. (pai/2 , pai/2 )1062 ㈎ 1 ㈏ 13 ㈐ 원점 ㈑ 1/2 ㈒ rt^3 /4 ㈓ y=01063 f(x)=x^4 -2x^3 으로 놓으면 f'(x)=4x^3 -6x^2 =2x^2 (2x-3), f"(x)=12x^2 -12x=12x(x-1)f'(x)=0에서 x=0 또는 x=3/2f"(x)=0에서 x=0 또는 x=1도함수의 활용 ⑵09Ⅲ. 미분법1052 f(x)=x^3 -6x^2 -2로 놓으면 f'(x)=3x^2 -12x, f"(x)=6x-12=6(x-2)f"(x)=0에서 x=2따라서 곡선 y=f(x)는 구간 (-inf , 2)에서 f"(x)<0이므로 위로 볼록하고, 구간 (2, inf )에서 f"(x)>0이므로 아래로 볼록하다. 풀이 참조1053 f(x)=x^4 +2x^3 으로 놓으면 f'(x)=4x^3 +6x^2 , f"(x)=12x^2 +12x=12x(x+1)f"(x)=0에서 x=-1 또는 x=0따라서 곡선 y=f(x)는 구간 (-inf , -1) 또는 (0, inf )에서 f"(x)>0이므로 아래로 볼록하고, 구간 (-1, 0)에서 f"(x)<0이므로 위로 볼록하다. 풀이 참조1054 f(x)=x^2 -e^x 으로 놓으면 f'(x)=2x-e^x , f"(x)=2-e^x f"(x)=0에서 2-e^x =0 .t3 x=ln 2따라서 곡선 y=f(x)는 구간 (-inf , ln 2)에서 f"(x)>0이므로 아래로 볼록하고, 구간 (ln 2, inf )에서 f"(x)<0이므로 위로 볼록하다. 풀이 참조1055 f(x)=x ln x로 놓으면 x>0이고 f'(x)=ln x+1, f"(x)=1/x따라서 곡선 y=f(x)는 구간 (0, inf )에서 f"(x)>0이므로 아래로 볼록하다. 풀이 참조1056 f(x)=sin x로 놓으면 f'(x)=cos x, f"(x)=-sin x따라서 곡선 y=f(x)는 구간 (0, p2)에서 f"(x)<0이므로 위로 볼록하다. 풀이 참조1057 f(x)=x^3 -8x+1로 놓으면 f'(x)=3x^2 -8, f"(x)=6xf"(x)=0에서 x=0 x<0일 때 f"(x)<0, x>0일 때 f"(x)>0따라서 x=0의 좌우에서 f"(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 (0, 1)이다. (0, 1)미적2_9강(해107-123)ok.indd 10715. 2. 27. 오후 2:37 108 • 정답 및 풀이정답 및 풀이f"(x)=0을 만족시키는 x의 값이 존재하지 않으므로 변곡점은 없다. x0.c31/16.c3` f'(x)+0- f"(x)---` f(x)0⤹1/8⤵따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽(cid:89)(cid:48)(cid:90)(cid:18)(cid:14)(cid:25)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:23) 그림과 같다. 풀이 참조1066 f(x)=xe^2^x으로 놓으면 f'(x)=e^2^x+2xe^2^x=(2x+1)e^2^x, f"(x)=2e^2^x+2(2x+1)e^2^x=4(x+1)e^2^xf'(x)=0에서 x=-1/2f"(x)=0에서 x=-1x.c3-1.c3-1/2.c3` f'(x)---0+ f"(x)-0+++` f(x)⤵-^1/e^2⤷-1/2e⤴이때 limx=inf`f(x)=inf, `limx=-inf``f(x)=0이므(cid:89)(cid:48)(cid:14)(cid:14)(cid:18)(cid:90)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:70)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:70)2(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)로 점근선은 x축이다.따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조1067 f(x)=ln xx로 놓으면 x>0이고 f'(x)=1/x.c1x-ln xx^2=1-ln xx^2, f"(x)=-1/x.c1x^2-(1-ln x).c12xx^4=2 ln x-3x^3f'(x)=0에서 x=ef"(x)=0에서 x=e1e x0.c3e.c3e1e.c3` f'(x)+0--- f"(x)---0+` f(x)⤹1/e⤵31e`2e^2⤷이때 limx=inf`f(x)=0, limx=0+`f(x)=-inf이(cid:18)(cid:14)(cid:70)(cid:70)(cid:70)(cid:70)(cid:70)(cid:20)(cid:19)(cid:70)2(cid:14)(cid:14)(cid:18)(cid:89)(cid:48)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)므로 점근선은 x축, y축이다.따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조x.c30.c31.c33/2.c3f'(x)-0---0+f"(x)+0-0+++f(x)⤷0⤵-1⤷-27/16⤴따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽(cid:89)(cid:48)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:20)(cid:14)(cid:19)(cid:19)(cid:24)(cid:14)(cid:14)(cid:18)(cid:23)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10) 그림과 같다. 풀이 참조1064 f(x)=12x(x-1)^2로 놓으면 xnot=1이고 f'(x)=12(x-1)^2-12x.c12(x-1)(x-1)^4 =-12(x+1)(x-1)^3, f"(x)=-12(x-1)^3-{-12(x+1)}.c13(x-1)^2(x-1)^6 =24(x+2)(x-1)^4f'(x)=0에서 x=-1f"(x)=0에서 x=-2x.c3-2.c3-1.c31.c3` f'(x)---0+- f"(x)-0++++` f(x)⤵-8/3⤷-3⤴⤷이때 limx=1+`f(x)=inf, limx=1-`f(x)=inf이고(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:89)(cid:14)(cid:20)(cid:14)(cid:19)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:25)(cid:14)(cid:20)(cid:48)(cid:90)limx=$`f(x)=0, limx=-$`f(x)=0이므로 점근선의 방정식은 x=1, y=0이다.따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조1065 f(x)=1xq-2x로 놓으면 x_>0이고 f'(x)=121xq`-2, f"(x)=-14x1xq`f'(x)=0에서 x=1/16곡선 y=f(x)의 점근선a, b가 실수일 때, 곡선 y=f(x)의 점근선은 다음과 같이 함수의 극한값을 이용하여 구한다.① limx=inf`f(x)=b 또는 limx=-inf``f(x)=b ➲ 점근선은 직선 y=b② limx=a+`f(x)=zinf 또는 limx=a-`f(x)=zinf ➲ 점근선은 직선 x=a ③ limx=inf {`f(x)-(mx+n)}=0 또는 limx=-inf`{`f(x)-(mx+n)}=0 ➲ 점근선은 직선 y=mx+n미적2_9강(해107-123)ok.indd 10815. 2. 27. 오후 2:37 09``도함수의 활용 ⑵ • 109본책도함수의 활용 ⑵09131~132쪽1072 f(x)=x-ln x에서 f'(x)=1-1/xf'(x)=0에서 x=1x^1 /e^2 .c3 1.c3 e f'(x) -0+ f(x)^1 /e^2 +2↘1↗e-1따라서 함수 f(x)는 x=^1 /e^2 일 때 최댓값 ^1 /e^2 +2, x=1일 때 최솟값 1을 갖는다. 최댓값: ^1 /e^2 +2, 최솟값: 11073 f(x)=x+2 cos x에서 f'(x)=1-2 sin xf'(x)=0에서 sin x=1/2 .t3 x=pai/6 또는 x=5/6p (.T3 0_< x_< p) x0.c3 pai/6 .c3 5/6p.c3 p` f'(x) +0-0+ ` f(x)2↗pai/6 +13`↘5/6p-13`↗p-2따라서 함수 f(x)는 x=pai/6 일 때 최댓값 pai/6 +13, x=5/6p일 때 최솟값 5/6p-13을 갖는다. 최댓값: pai/6 +13, 최솟값: 5/6p-13`1074 ⑴ f(x)=x-3 ln x에서 x>0이고 f'(x)=1-3/xf'(x)=0에서 x=3⑵ x0.c3 3.c3 `f'(x)-0+`f(x)↘3-3 ln 3↗(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:20)(cid:14)(cid:20)(cid:77)(cid:79)(cid:65)(cid:20)(cid:20)(cid:48)(cid:89)(cid:90)이때 lim x=0+`f(x)=inf , limx=inf `f(x)=inf 이므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ⑶ y=f(x)의 그래프는 x축과 서로 다른 두 점에서 만나므로 주어진 방정식은 서로 다른 두 개의 실근을 갖는다. 풀이 참조1075 f(x)=e^x -x로 놓으면 f'(x)=e^x -1f'(x)=0에서 x=0x.c3 0.c3 `f'(x)-0+`f(x)↘1↗ (cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:90)이때 limx=inf `f(x)=inf , lim x=-$`f(x)=inf 이므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.1068 f(x)=x-sin x로 놓으면 f'(x)=1-cos x, f"(x)=sin xf'(x)=0에서 x=0 (.T3 -π /2_< x_< pai/2 )f"(x)=0에서 x=0 (.T3 -π /2_< x_< pai/2 )x-pai/2 .c3 0.c3 pai/2 ` f'(x) +0+ f"(x) -0+ ` f(x)-pai/2 +1⤹0⤴pai/2 -1따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽(cid:497)(cid:14)(cid:19)(cid:497)(cid:14)(cid:19)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:48)(cid:497)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:18)(cid:12)(cid:18)(cid:14)(cid:497)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:89)(cid:90) 그림과 같다. 풀이 참조1069 f(x)=2xx^2 +1에서 f'(x)=2(x^2 +1)-2x.c1 2x(x^2 +1)^2 =-2(x+1)(x-1)(x^2 +1)^2 f'(x)=0에서 x=-1 또는 x=1x-2.c3 -1.c3 1.c3 2 f'(x) -0+0- f(x)-4/5↘-1↗1↘4/5따라서 함수 f(x)는 x=1일 때 최댓값 1, x=-1일 때 최솟값 -1을 갖는다. 최댓값: 1, 최솟값: -11070 f(x)=x1x+6z에서 f'(x)=1x+6z+x21x+6z`=3(x+4)21x+6z`f'(x)=0에서 x=-4x-6.c3 -4.c3 2`f '(x)-0+ `f(x)0↘-412`↗412`따라서 함수 f(x)는 x=2일 때 최댓값 412, x=-4일 때 최솟값 -412를 갖는다. 최댓값: 412, 최솟값: -4121071 f(x)=x^2 e^x 에서 f'(x)=2xe^x +x^2 e^x =x(x+2)e^x f'(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 x-4.c3 -2.c3 0.c3 3 f'(x) +0-0+ f(x)16e^4 ↗^4 /e^2 ↘0↗9e^3 따라서 함수 f(x)는 x=3일 때 최댓값 9e^3 , x=0일 때 최솟값 0을 갖는다. 최댓값: 9e^3 , 최솟값: 0미적2_9강(해107-123)ok.indd 10915. 2. 27. 오후 2:37 110 • 정답 및 풀이정답 및 풀이x.c30.c3`f'(x)-0+`f(x)↘2↗ (cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:89)(cid:48)(cid:19)(cid:20)(cid:90)이때 limx=inf`f(x)=inf, `limx=-inf``f(x)=inf이므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 따라서 y=f(x)의 그래프는 직선 y=3과 서로 다른 두 점에서 만나므로 주어진 방정식은 서로 다른 두 개의 실근을 갖는다. 21080 ㈎ 1-`1/x+1 ㈏ 0 ㈐ 01081 f(x)=x-cos x+1로 놓으면 f'(x)=1+sin x x>0일 때 f'(x)_>0이므로 f(x)는 증가한다.~f(0)=0이므로 x>0일 때 f(x)>0, 즉 x-cos x+1>0따라서 x>0일 때 부등식 x>cos x-1이 성립한다. 풀이 참조1082 f(x)=e^x-x-1로 놓으면 f'(x)=e^x-1f'(x)=0에서 x=0함수 f(x)의 최솟값은 0이므로 x.c30.c3`f'(x)-0+`f(x)↘0↗ f(x)_>0, 즉 e^x-x-1_>0따라서 모든 실수 x에 대하여 부등식 e^x_>x+1이 성립한다. 풀이 참조1083 f(x)=2x^2+ln x로 놓으면 x>0이고 f'(x)=4x+1/x, f"(x)=4-^1/x^2곡선 y=f(x)가 위로 볼록하려면 f"(x)<0이어야 하므로 4-^1/x^2<0, 4x^2-1<0 (2x+1)(2x-1)<0, -1/20)따라서 곡선 y=f(x)가 위로 볼록한 구간은 (0, 1/2)이다. ① 1084 f(x)=x^3+3x^2-9x로 놓으면 f'(x)=3x^2+6x-9, f"(x)=6x+6=6(x+1)곡선 y=f(x)가 아래로 볼록하려면 f"(x)>0이어야 하므로 6(x+1)>0 .t3 x>-1 ① 1085 f(x)=e^-^x^2으로 놓으면 f'(x)=-2xe^-^x^2, f"(x)=-2e^-^x^2+4x^2e^-^x^2=2(2x^2-1)e^-^x^2 ⇨ ❶곡선 y=f(x)가 위로 볼록하려면 f"(x)<0이어야 하므로 2(2x^2-1)e^-^x^2<0, (12x+1)(12x-1)<0 .t3 -rt^2/20이고 f'(x)=1-ln xx^2f'(x)=0에서 1-ln x=0 .t3 x=ex0.c3e.c3`f'(x)+0-`f(x)↗1/e↘ (cid:18)(cid:14)(cid:70)(cid:18)(cid:70)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:89)(cid:48)(cid:90)이때 limx=0+`f(x)=-inf, limx=inf`f(x)=0이므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.따라서 y=f(x)의 그래프는 x축과 한 점에서 만나므로 주어진 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 11077 f(x)=sin x-x로 놓으면 f'(x)=cos x-1f'(x)_<0이므로 함수 f(x)는 실수 전체의 구간에서 감소한다.이때 f(0)=0이므로 함수 y=f(x)의 그래(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:89)(cid:48)(cid:90)프는 오른쪽 그림과 같다.따라서 y=f(x)의 그래프는 x축과 한 점에서 만나므로 주어진 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 11078 f(x)=1xq+^1/rtx로 놓으면 x>0이고 f'(x)=121xq`-12x1xq` =121xq`(1-1/x)f'(x)=0에서 x=1 x0.c31.c3`f'(x)-0+`f(x)↘2↗ (cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:19)(cid:90)이때 limx=0+`f(x)=inf, limx=inf`f(x)=inf이므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 따라서 y=f(x)의 그래프는 직선 y=2와 한 점에서 만나므로 주어진 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 11079 f(x)=e^x+e^-^x으로 놓으면 f'(x)=e^x-e^-^xf'(x)=0에서 x=0미적2_9강(해107-123)ok.indd 11015. 2. 27. 오후 2:37 09``도함수의 활용 ⑵ • 111본책도함수의 활용 ⑵09132~134쪽따라서 두 변곡점 사이의 거리는 21^2 +(x-4)^2 x=117q ④ 1089 f(x)=x^2 +7x^2 +6=1+1x^2 +6로 놓으면 f'(x)=-2x(x^2 +6)^2 , f"(x)=-2(x^2 +6)^2 -2x.c1 2(x^2 +6).c1 2x(x^2 +6)^4 =6x^2 -12(x^2 +6)^3 f"(x)=0에서 6x^2 -12=0, (x+12)(x-12)=0 .t3 x=-12 또는 x=12 x<-12 또는 x>12일 때 f"(x)>0, -120즉 x=p의 좌우에서 f"(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 x좌표는 x=p이다. ⇨ ❷따라서 변곡점에서의 접선의 기울기는 f'(p)=2 cos p-1=-3 ⇨ ❸ -31091 f(x)=ax^3 +bx^2 +cx-10에서 f'(x)=3ax^2 +2bx+c, f"(x)=6ax+2bx=-3에서 극대이므로 f'(-3)=0 .t3 27a-6b+c=0 .c3 .c3 ㉠ 변곡점의 좌표가 (-1, 12)이므로 f(-1)=12에서 -a+b-c-10=12 .t3 a-b+c=-22 .c3 .c3 ㉡f"(-1)=0에서 -6a+2b=0 .t3 3a-b=0 .c3 .c3 ㉢㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=2, b=6, c=-18 .t3 a+2b+3c=-40 ②1092 f(x)=xe^a ^x 에서 f'(x)=e^a ^x +axe^a ^x =(ax+1)e^a ^x , f"(x)=ae^a ^x +a(ax+1)e^a ^x =a(ax+2)e^a ^x ⇨ ❶채점 기준비율❶f'(x),f"(x)를구할수있다.30%❷변곡점의x좌표를구할수있다.40%❸변곡점에서의접선의기울기를구할수있다.30%따라서 a=-rt^2 /2 , �=rt^2 /2 이므로 ⇨ ❷ �-a=12 ⇨ ❸ 121086 ㄱ. f(x)=x^4 +x^2 으로 놓으면 f'(x)=4x^3 +2x, f"(x)=12x^2 +2 실수 전체의 집합에서 f"(x)>0이므로 곡선 y=f(x)는 실수 전체의 집합에서 아래로 볼록하다.ㄴ. f(x)=1+e^x 으로 놓으면 f'(x)=e^x , f"(x)=e^x 실수 전체의 집합에서 f"(x)>0이므로 곡선 y=f(x)는 실수 전체의 집합에서 아래로 볼록하다.ㄷ. f(x)=ln (x^2 +1)로 놓으면 f'(x)=2xx^2 +1, f"(x)=-2x^2 +2(x^2 +1)^2 따라서 곡선 y=f(x)는 구간 (-inf , -1) 또는 (1, inf )에서 f"(x)<0이므로 위로 볼록하고, 구간 (-1, 1)에서 f"(x)>0이므로 아래로 볼록하다.ㄹ. f(x)=x^2 +cos x로 놓으면 f'(x)=2x-sin x, f"(x)=2-cos x 실수 전체의 집합에서 f"(x)>0이므로 곡선 y=f(x)는 실수 전체의 집합에서 아래로 볼록하다.이상에서 실수 전체의 집합에서 아래로 볼록한 곡선은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다. ④1087 f(x)=(x^2 +x)e^x 으로 놓으면 f'(x)=(2x+1)e^x +(x^2 +x)e^x =(x^2 +3x+1)e^x , f"(x) =(2x+3)e^x +(x^2 +3x+1)e^x =(x^2 +5x+4)e^x =(x+4)(x+1)e^x f"(x)=0에서 x=-4 또는 x=-1 x<-4 또는 x>-1일 때 f"(x)>0, -41일 때 f"(x)>0, 0-1일 때 f"(x)>0따라서 x=-1의 좌우에서 f"(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 x좌표는 -1이다. ⇨ ❸ -11093 f(x)=(ln ax)^2으로 놓으면 x>0이고 f'(x)=2 ln ax.c11/x=2 ln axx, f"(x)=2/x.c1x-2 ln axx^2=2-2 ln axx^2f"(x)=0에서 ln ax=1 ax=e .t3 x=e/a 00, x>e/a일 때 ~f"(x)<0즉 x=e/a의 좌우에서 f"(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 (e/a, 1)이때 변곡점이 직선 2x+y=2 위에 있으므로 2e/a+1=2, 2e/a=1 .t3 a=2e ⑤1094 f(x)=ax^2-5x+b ln x에서 x>0이고 f'(x)=2ax-5+b/x, f"(x)=2a-^b/x^2x=1에서 극소이므로 f'(1)=0 2a-5+b=0 .t3 2a+b=5 .c3.c3 ㉠변곡점의 x좌표가 1/2이므로 f"(1/2)=0 2a-4b=0 .t3 a-2b=0 .c3.c3 ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=1 .t3 f(x)=2x^2-5x+ln x f'(x)=4x-5+1/x =4x^2-5x+1x =(4x-1)(x-1)x채점 기준비율❶f'(x),f"(x)를구할수있다.30%❷a의값을구할수있다. 30%❸변곡점의x좌표를구할수있다. 40%미적2_9강(해107-123)ok.indd 11215. 2. 27. 오후 2:37 09``도함수의 활용 ⑵ • 113본책도함수의 활용 ⑵09134~135쪽1100 f'(x)=0에서 x=-2 또는 x=0f"(x)=0에서 x=-2 또는 x=-2/3따라서 f'(x), f"(x)의 부호를 조사하면 다음과 같다. x.c3 -2.c3 -2/3.c3 0.c3 `f'(x)-0---0+`f"(x)+0-0+++`f(x)⤷변곡점⤵변곡점⤷극소⤴ㄱ. 극댓값을 갖지 않는다.ㄴ. x=0에서 극소이다.ㄷ. 곡선 y=f(x)는 x=-2, x=-2/3에서 변곡점을 가지므로 변 곡점은 2개이다.이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ⑤1101 f(x)=x-2x^2 -x+2에서 f'(x)=(x^2 -x+2)-(x-2)(2x-1)(x^2 -x+2)^2 =-x(x-4)(x^2 -x+2)^2 f'(x)=0에서 x=0 또는 x=4x.c3 0.c3 4.c3 `f'(x)-0+0-f(x)↘-1↗1/7↘limx=inf `f(x)=0, lim x=-$`f(x)=0이므로 함수 f(x)는 x=4일 때 최댓값 1/7을 갖는다. .t3 a=4, b=1/7 .t3 a/b=28 281102 f(x)=x-5+`4/x+에서 f'(x)=1-4(x+6)^2 =(x+8)(x+4)(x+6)^2 f'(x)=0에서 x=-4 (.T3 -5_< x_< 0)x-5.c3 -4.c3 0`f'(x)-0+f(x)-6↘-7↗-13/3따라서 함수 f(x)는 x=0일 때 최댓값 -13/3, x=-4일 때 최솟값 -7을 가지므로 구하는 합은 -13/3+(-7)=-34/3 ②1097 f(x)=x^2 x-2에서 xnot= 2이고 f'(x)=2x(x-2)-x^2 (x-2)^2 =x(x-4)(x-2)^2 , f"(x)=(2x-4)(x-2)^2 -(x^2 -4x).c1 2(x-2)(x-2)^4 =8(x-2)^3 f'(x)=0에서 x=0 또는 x=4f"(x)=0을 만족시키는 x의 값이 존재하지 않으므로 변곡점은 없다.x.c3 0.c3 2.c3 4.c3 `f'(x)+0--0+`f"(x)---+++`f(x)⤹0⤵⤷8⤴또 lim x=2+`f(x)=inf , lim x=2-`f(x)=-inf 이고 f(x)=(x+2)(x-2)+4x-2 (cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:89)(cid:48)(cid:25)(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:90) =x+2+`4/x-2에서 limx=inf {f(x)-(x+2)}=0,lim x=-${f(x)-(x+2)}=0이므로 y=f(x)의 그래프는 위의 그림과 같다.ㄱ. x=0에서 극대이다.ㄴ. 함수 f(x)는 구간 (2, 4)에서 감소한다.ㄷ. 곡선 y=f(x)의 점근선의 방정식은 x=2, y=x+2이다.이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. ⑤1098 아래 그림과 같이 a, b, c, d를 정하고 f"(x)의 부호를 조사하면 다음과 같다.(cid:90)(cid:89)(cid:68)(cid:69)(cid:67)(cid:66)(cid:48)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:65)(cid:8)(cid:9)(cid:89)(cid:10)x.c3 a.c3 b.c3 c.c3 d.c3 `f"(x)-0+0-0+0-x=a, x=b, x=c, x=d의 좌우에서 f"(x)의 부호가 바뀌므로 곡선 y=f(x)의 변곡점의 개수는 4이다. 41099 구간 (a, e)에서 f"(x)의 부호를 조사하면 다음과 같다.xa.c3 b.c3 c.c3 d.c3 e`f"(x)-0+++0- 곡선 y=f(x)가 위로 볼록하려면 f"(x)<0이어야 하므로 구하는 구간은 (a, b) 또는 (d, e)이다. ①미적2_9강(해107-123)ok.indd 11315. 2. 27. 오후 2:37 114 • 정답 및 풀이정답 및 풀이1106 f(x)=x^2 ln x에서 x>0이고 f'(x)=2x ln x+x=x(2ln x+1)f'(x)=0에서 x=^1/rte (.T3 x>0)x0.c3^1/rte.c3`f '(x)-0+`f(x)↘-1/2e↗따라서 함수 f(x)는 x=^1/rte일 때 최솟값 -1/2e을 갖는다. ⑤1107 f(x)=sin x+cos x에서 f'(x)=cos x-sin xf'(x)=0에서 cos x=sin x .t3 x=pai/4 (k -pai/2ixipai/2)x-pai/2.c3pai/4.c3pai/2`f'(x)+0-f(x)-1↗12`↘1따라서 함수 f(x)는 x=pai/4일 때 최댓값 12를 갖는다. 121108 f(x)=(1-cos x)cos x에서 f'(x) =sin x cos x-(1-cos x)sin x =sin x(2 cos x-1)f'(x)=0에서 sin x=0 또는 cos x=1/2 .t3 x=0 또는 x=pai/3 또는 x=p (.T3 0_0), 직사각형의 넓이를 S(t)라 하면 S(t)=2te^- ^2 ^t .t3 S'(t) =2e^- ^2 ^t -4te^- ^2 ^t =2(1-2t)e^- ^2 ^t S'(t)=0에서 t=1/2t0.c3 1/2.c3 `S'(t)+0-S(t)↗1/e↘따라서 S(t)는 t=1/2일 때 최댓값 1/e을 가지므로 직사각형의 넓이의 최댓값은 1/e이다. ①1116 P(a, a), Q(a, 1a-1z`)이므로 PQ^_ =a-1a-1z`이때 f(a)=a-1a-1z`로 놓으면 ⇨ ❶ f'(a)=1-121a-1z`=21a-1z`-121a-1z` ⇨ ❷f'(a)=0에서 21a-1z`-1=0 1a-1z`=1/2, a-1=1/4 .t3 a=5/4 ⇨ ❸따라서 함수 g(t)는 t=1일 때 최댓값 2, t=0일 때 최솟값 -5를 가지므로 구하는 합은 2+(-5)=-3 -31110 3^x =t로 놓으면 t>0이고, 주어진 함수 f(x)를 t에 대한 함수 g(t)로 나타내면 g(t)=t^3 -t^2 -t .t3 g'(t)=3t^2 -2t-1=(3t+1)(t-1)g'(t)=0에서 t=1 (.T3 t>0)t0.c3 1.c3 `g'(t)-0+`g(t)↘-1↗따라서 함수 g(t)는 t=1일 때 최솟값 -1을 갖는다. ③1111 log _2 x=t로 놓으면 1/2_< x_< 16에서 -1_< t_< 4 ⇨ ❶주어진 함수 f(x)를 t에 대한 함수 g(t)로 나타내면 g(t)=t^4 -4t^3 .t3 g'(t)=4t^3 -12t^2 =4t^2 (t-3) ⇨ ❷g'(t)=0에서 t=0 또는 t=3t-1.c3 0.c3 3.c3 4`g'(t)-0-0+`g(t)5↘0↘-27↗0즉 함수 g(t)는 t=-1일 때 최댓값 5, t=3일 때 최솟값 -27을 가지므로 M=5, m=-27 ⇨ ❸ .t3 M-m=32 ⇨ ❹ 321112 f(x)=x ln x-x+a에서 x>0이고 f'(x)=ln xf'(x)=0에서 x=1x0.c3 1.c3 `f'(x)-0+`f(x)↘a-1↗이때 함수 f(x)는 x=1일 때 최솟값 a-1을 가지므로 a-1=2 .t3 a=3 ③1113 f(x)=xe^k ^x 에서 f'(x)=e^k ^x +kxe^k ^x =(kx+1)e^k ^x f'(x)=0에서 x=-1/k채점 기준비율❶log _2 x=t로놓고t의값의범위를구할수있다.30%❷g(t),g'(t)를구할수있다.20%❸M,m의값을구할수있다.40%❹M-m의값을구할수있다.10%미적2_9강(해107-123)ok.indd 11515. 2. 27. 오후 2:37 116 • 정답 및 풀이정답 및 풀이이때 limx=inf`f(x)=0, limx=-$`f(x)=-inf이므(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:76)로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.따라서 곡선 y=f(x)와 직선 y=k가 서로 다른 두 점에서 만나려면 00이고 f'(x)=1/x-1f'(x)=0에서 x=1 x0.c31.c3`f'(x)+0-`f(x)↗-1↘이때 limx=0+`f(x)=-inf, (cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:17)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19)limx=inf`f(x)=-inf이므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.ㄱ. 곡선 y=f(x)와 직선 y=0은 만나지 않으므로 k=0일 때, 방정식 ㉠은 실근을 갖지 않는다.ㄴ. 곡선 y=f(x)와 직선 y=-1은 한 점에서 만나므로 k=1일 때, 방정식 ㉠은 오직 한 개의 실근을 갖는다.ㄷ. 곡선 y=f(x)와 직선 y=-2는 서로 다른 두 점에서 만나므로 k=2일 때, 방정식 ㉠은 서로 다른 두 실근을 갖는다.이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ⑤a1.c35/4.c3`f '(a)-0+f(a)1↘3/4↗따라서 f(a)는 a=5/4일 때 최솟값 3/4을 가지므로 PQ^_의 길이의 최솟값은 3/4이다. ⇨ ❹ 3/41117 잘라 낸 부채꼴 모양의 종이로 오른쪽(cid:83)(cid:73)(cid:23) 그림과 같은 원뿔을 만들었을 때, 밑면의 반지름의 길이를 r (0 0즉 f"(x)=0을 만족시키는 x의 값의 좌우에서 f"(x)의 부호가 바뀌지 않으므로 변곡점이 될 수 없다. .t3 -2 01125 f(x)=x^4 -4x^3 +kx^2 으로 놓으면 f'(x)=4x^3 -12x^2 +2kx, f"(x)=12x^2 -24x+2k곡선 y=f(x)가 변곡점을 갖지 않으려면 방정식 f"(x)=0이 실근을 갖지 않거나 실근의 좌우에서 f"(x)의 부호가 바뀌지 않아야 한다.f"(x)=0에서 12x^2 -24x+2k=0, 즉 6x^2 -12x+k=0이차방정식 6x^2 -12x+k=0의 판별식을 D라 하면 D4=36-6k_< 0 .t3 k_> 6따라서 실수 k의 최솟값은 6이다. ⑤1126 f(x)=a cos x+x^2 으로 놓으면 f'(x)=-a sin x+2x, f"(x)=-a cos x+2곡선 y=f(x)가 -p2 a<-2 또는 a>21121 방정식 e^2 ^x =kx가 서로 다른 두 실(cid:89)(cid:48)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:70)2x(cid:90)(cid:30)(cid:76)(cid:89)근을 가지려면 오른쪽 그림과 같이 곡선 y=e^2 ^x 과 직선 y=kx가 서로 다른 두 점에서 만나야 한다.f(x)=e^2 ^x , g(x)=kx로 놓으면 f'(x)=2e^2 ^x , g'(x)=k곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)가 접할 때, 접점의 x좌표를 t라 하면f(t)=g(t)에서 e^2 ^t =kt .c3 .c3 ㉠f'(t)=g'(t)에서 2e^2 ^t =k .c3 .c3 ㉡㉡을 ㉠에 대입하면 e^2 ^t =2e^2 ^t .c1 t, e^2 ^t (2t-1)=0 .t3 t=1/2이것을 ㉡에 대입하면 k=2e따라서 곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)가 서로 다른 두 점에서 만나려면 k>2e ⑤ 1122 구간 [-p, p]에서 방정식(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:84)(cid:74)(cid:79)(cid:65)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:76)(cid:89)(cid:48)(cid:14)(cid:497)(cid:497)(cid:90) sin x-kx=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면 오른쪽 그림과 같이 -p_< x_< p에서 곡선 y=sin x와 직선 y=kx가 서로 다른 세 점에서 만나야 한다. ⇨ ❶y=sin x에서 y'=cos x이므로 곡선 위의 점 (0, 0)에서의 접선의 방정식은 y-0=cos 0.c1 (x-0) .t3 y=x ⇨ ❷ 따라서 곡선 y=sin x와 직선 y=kx가 세 점에서 만나려면 0_< k<1 ⇨ ❸ 0_< k<11123 a ln x-x^2 =0에서 a ln x=x^2 방정식 a ln x=x^2 이 오직 하나의 실근을 가(cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:77)(cid:79)(cid:65)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:89)2(cid:90)(cid:89)(cid:48)(cid:18)지려면 오른쪽 그림과 같이 두 곡선 y=a ln x, y=x^2 이 접해야 한다.f(x)=a ln x, g(x)=x^2 으로 놓으면 f'(x)=a/x, g'(x)=2x접점의 x좌표를 t라 하면f(t)=g(t)에서 a ln t=t^2 .c3 .c3 ㉠f'(t)=g'(t)에서 a/t=2t .t3 a=2t^2 .c3 .c3 ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 2t^2 ln t=t^2 ln t=1/2 .t3 t=1e이것을 ㉡에 대입하면 a=2e ④채점 기준비율❶주어진방정식이서로다른세실근을가질조건을알수있다.20%❷점(0,0)에서의접선의방정식을구할수있다.40%❸k의값의범위를구할수있다.40%미적2_9강(해107-123)ok.indd 11715. 2. 27. 오후 2:37 118 • 정답 및 풀이정답 및 풀이㉡을 ㉠에 대입하면 1t=1t`2 ln t ln t=2 .t3 t=e^2이것을 ㉡에 대입하면 k=e/2따라서 01/e이므로 b-a의 최솟값은 1/e-0=1/e ①1133 함수 f(x)에 대하여 어떤 구간에서 f"(x)>0이면 곡선 y=f(x)는 이 구간에서 아래로 볼록하고, f"(x)<0이면 곡선 y=f(x)는 이 구간에서 위로 볼록하다.f(x)=3x-2cos x로 놓으면 f'(x)=3+2sin x, f"(x)=2 cos x채점 기준비율❶주어진조건을그림으로나타낼수있다.30%❷곡선과직선의접점의x좌표를구할수있다.60%❸m의값의범위를구할수있다.10%1127 f(x)=xe^x으로 놓으면 f'(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^xf'(x)=0에서 x=-1즉 함수 f(x)는 x=-1일 때 x.c3-1.c3`f'(x)-0+f(x)↘-1/e↗ 최솟값 -1/e을 가지므로f(x)_>k가 항상 성립하려면 k_<-1/e따라서 k의 최댓값은 -1/e이다. ③1128 x+12x^2+kj0에서 x+12x^2j-k f(x)=x+12x^2로 놓으면 f'(x)=1-1x^3f'(x)=0에서 x=1x0.c31.c3`f'(x)-0+f(x)↘3/2↗따라서 함수 f(x)는 x=1일 때 최솟값 3/2을 가지므로 f(x)_>-k가 항상 성립하려면 -k_<3/2 .t3 k_>-3/2 k_>-3/21129 f(x)=x ln x-4x로 놓으면 f'(x)=ln x-3f'(x)=0에서 x=e^3x0.c3e^3.c3`f '(x) -0+`f(x) ↘-e^3↗즉 함수 f(x)는 x=e^3일 때 최솟값 -e^3을 가지므로 f(x)_>k가 항상 성립하려면 k_<-e^3따라서 k의 최댓값은 -e^3이다. -e^31130 x>0인 모든 실수 x에 대하여 (cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:76)(cid:77)(cid:79)(cid:65)(cid:89)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:89)(cid:90)(cid:30) 1xq_>k ln x가 성립하려면 오른쪽 그림과 같이 곡선 y=1xq가 곡선 y=k ln x보다 위쪽에 있거나 두 곡선이 접해야 한다.f(x)=1xq, g(x)=k ln x로 놓으면 f'(x)=121xq`, g'(x)=kx접점의 x좌표를 t (t>0)라 하면f(t)=g(t)에서 1t=k ln t .c3.c3 ㉠f'(t)=g'(t)에서 121t`=kt .t3 k=1t`2 .c3.c3 ㉡미적2_9강(해107-123)ok.indd 11815. 2. 27. 오후 2:37 09``도함수의 활용 ⑵ • 119본책도함수의 활용 ⑵09139~140쪽x.c3 0.c3 `f'(x)+0-`f(x)↗1/4↘ (cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:76)(cid:89)(cid:48)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:18)(cid:14)(cid:21)이때 limx=inf `f(x)=0, lim x=-$`f(x)=0이므로 y=f(x)의 그래프는 위의 그림과 같다. ⇨ ❷따라서 곡선 y=1x^2 +4과 직선 y=k가 서로 다른 두 점에서 만나려면 0 0이 항상 성립해야 한다.방정식 2x^2 -ax-a=0의 판별식을 D라 하면 D=a^2 +8a_< 0, a(a+8)_< 0 .t3 -8_< a_< 0따라서 a의 최솟값은 -8이다. ③1138 곡선 y=f(x)가 주어진 구간에서 위로 볼록하려면 주어진 구간에서 f"(x)_< 0이어야 한다. ㄱ. f(x)=ln(x^2 +4)로 놓으면 f'(x)=2xx^2 +4 , f"(x)=2(x^2 +4)-2x.c1 2x(x^2 +4)^2 =-2(x+2)(x-2)(x^2 +4)^2 구간 (2, inf )에서 f"(x)<0이므로 이 구간에서 곡선 y=f(x)는 위로 볼록하다.ㄴ. f(x)=e^x cos x로 놓으면 f'(x)=e^x cos x-e^x sin x=e^x (cos x-sin x), f"(x) =e^x (cos x-sin x)+e^x (-sin x-cos x) =-2e^x sin x구간 (0, p)에서 f"(x)<0이므로 이 구간에서 곡선 y=f(x)는 위로 볼록하다.ㄷ. f(x)=xx^2 +1 로 놓으면 f'(x)=(x^2 +1)-x.c1 2x(x^2 +1)^2 =-x^2 +1(x^2 +1)^2 채점 기준비율❶주어진방정식이서로다른두실근을가질조건을알수있다.30%❷y=f(x)의그래프를그릴수있다.40%❸k의값의범위를구할수있다.30%곡선 y=f(x)가 위로 볼록하려면 f"(x)<0이어야 하므로 2 cos x<0, cos x<0 .t3 pai/2 0이고 f'(x)=2x ln x+x^2.c11/x=x(2 ln x+1)f'(x)=0에서 x=^1/rte (.T3 x>0)x0.c3^1/rte.c3`f'(x)-0+`f(x)↘-1/2e↗즉 함수 f(x)는 x=^1/rte에서 최솟값 -1/2e을 가지므로 a=^1/rte, b=-1/2e .t3 ab=-21e -21e`1142 주어진 함수를 한 종류의 삼각함수로 나타낸 후 cos x=t로 놓고 주어진 구간에서의 극값과 구간의 양 끝 값에서의 함숫값을 구하여 비교한다.f(x) =2 cos^3 x-3 sin^2 x+2 =2 cos^3 x-3(1-cos^2 x)+2 =2 cos^3 x+3 cos^2 x-1cos x=t로 놓으면 0_0이므로 이 구간에서 곡선 y=f(x)는 아래로 볼록하다.이상에서 주어진 구간에서 위로 볼록한 곡선은 ㄱ, ㄴ이다. ③ 1139 함수 f(x)의 변곡점을 구할 때에는 f"(x)=0인 x의 값의 좌우에서 f"(x)의 부호를 조사한다. f(x)=2xe^x으로 놓으면 f'(x)=2e^x+2xe^x=2(x+1)e^x, f"(x)=2e^x+2(x+1)e^x=2(x+2)e^xf"(x)=0에서 x=-2 x<-2일 때 f"(x)<0, x>-2일 때 f"(x)>0즉 x=-2의 좌우에서 f"(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는(-2, -^4/e^2)이다. 점 (-2, -^4/e^2)에서의 접선의 기울기가 f'(-2)=-^2/e^2이므로 접선의 방정식은 y+^4/e^2=-^2/e^2(x+2) .t3 y=-^2/e^2x-^8/e^2따라서 구하는 y절편은 -^8/e^2이다. ①1140 f'(x)=0, f"(x)=0이 되는 x의 값을 구하고 그 값을 경계로 나눈 구간에서의 f'(x), f"(x)의 부호를 조사하여 극대, 극소가 되는 점과 변곡점을 구한다. 오른쪽 그림과 같이 a, b, c, d,(cid:90)(cid:89)(cid:66)(cid:67)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:68)(cid:48)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:8)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10) e, f, g를 정하고 f'(x), f"(x)의 부호를 조사하면 다음과 같다.x.c3a.c3b.c3c.c3d`f '(x)+0---0++`f "(x)---0+++0`f(x)극대변곡점극소변곡점x.c3e.c3f.c3g.c3`f '(x)+0+++0-`f "(x)-0+0---`f(x)변곡점변곡점극대 즉 극대가 되는 점의 개수는 2, 극소가 되는 점의 개수는 1, 변곡점의 개수는 4이므로 p=2, q=1, r=4 .t3 p+q+r=7 ④미적2_9강(해107-123)ok.indd 12015. 2. 27. 오후 2:37 09``도함수의 활용 ⑵ • 121본책도함수의 활용 ⑵09140~142쪽1145 곡선 y=2 cos x와 직선 y=x+k가 만나도록 그래프를 그려 본다. 오른쪽 그림과 같이 곡선 (cid:497)(cid:14)(cid:19)(cid:497)(cid:14)(cid:19)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:12)(cid:76)(cid:19)(cid:89)(cid:48)(cid:14)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:68)(cid:80)(cid:84)(cid:65)(cid:89)y=2 cos x와 직선 y=x+k가 -pai/2 ixipai/2 에서 교점을 가지려면 직 선 y=x+k는 곡선 y=2 cos x에 접하 거나 그 아래쪽에 있어야 하고 점 (pai/2 , 0)을 지나거나 그보다 위쪽에 있어야 한다.� 곡선 y=2 cos x와 직선 y=x+k가 접할 때 직선 y=x+k는 기울기가 1이고 y절편은 k이다. y'=-2 sin x에서 -2sin x=1, sin x=-1/2 .t3 x=-pai/6 (.T3 -pai/2 ixipai/2 ) 즉 접점의 좌표가 (-pai/6 , 13)이므로 접선의 방정식은 y-13=x-(-pai/6 ) ∴ y=x+pai/6 +13 ∴ k=pai/6 +13� 직선 y=x+k가 점 (pai/2 , 0)을 지날 때 0=pai/2 +k .t3 k=-pai/2 �, �에서 구하는 실수 k의 값의 범위는 -pai/2 ikipai/6 +13 ③1146 x>a에서 f'(x)>0일 때, 부등식 f(x)>0이 성립하려면 f(a)_> 0이어야 함을 이용한다. x>0에서 f(x)>g(x)가 성립하려면 2 cos x>k-2x^2 , 즉 2 cos x+2x^2 -k>0이어야 한다.h(x)=2 cos x+2x^2 -k로 놓으면 h'(x)=-2 sin x+4x, h"(x)=-2 cos x+4x>0에서 h"(x)>0이므로 x>0에서 h'(x)는 증가하고 h'(0)=0이므로 h'(x)>0x>0에서 h(x)는 증가하고 h(0)=2-k이므로 h(x)>0이려면 2-k_> 0 .t3 k_< 2 따라서 k의 최댓값은 2이다. 21147 y=log _a f(x)에서 a>1이면 f(x)가 최대일 때 y의 값도 최대가 됨을 이용한다. x+y=3에서 y=3-x진수의 조건에서 x+9>0, y>0이므로 x+9>0, 3-x>0 .t3 -90이므로 양변을 x로 나누면 x ln x-2x=-k/2따라서 방정식 x^2 ln x-2x^2 +k/2x=0이 서로 다른 두 실근을 가지려면 곡선 y=x ln x-2x와 직선 y=-k/2가 서로 다른 두 점에서 만나야 한다.f(x)=x ln x-2x로 놓으면 f'(x)=ln x+x.c1 1/x-2=ln x-1f'(x)=0에서 x=ex0.c3 e.c3 `f'(x)-0+`f(x)↘-e↗lim x=0+`f(x)=0, limx=inf `f(x)=inf 이므로 함수(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:48)(cid:14)(cid:70)(cid:70)(cid:70)2(cid:90)(cid:76)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:14)y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.따라서 곡선 y=x ln x-2x와 직선 y=-k/2가 서로 다른 두 점에서 만나려면 -e<-k/2<0 .t3 0a인 부분에서 서로 다른 두 교점을 가져야 한다. 방정식 kxx^2+2=2가 1보다 큰 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 곡선 y=kxx^2+2와 직선 y=2가 x>1에서 서로 다른 두 점에서 만나야 한다. f(x)=kxx^2+2로 놓으면 f'(x)=k(x^2+2)-kx.c12x(x^2+2)^2=-kx^2+2k(x^2+2)^2 =-k(x+12 )(x-12 )(x^2+2)^2f'(x)=0에서 x=-12 또는 x=12 x.c3-12.c312.c3`f'(x)-0+0-`f(x)↘-k124↗k124↘limx=-$`f(x)=0, limx=inf`f(x)=0이므(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:14)(cid:18)(cid:89)(cid:48)(cid:90)(cid:14)(cid:14)(cid:14)(cid:21)(cid:19)(cid:76)(cid:14)(cid:14)(cid:14)(cid:14)(cid:21)(cid:19)(cid:76)(cid:19)(cid:19)로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 따라서 곡선 y=f(x)와 직선 y=2가 x>1에서 서로 다른 두 점에서 만나려면 f(1)<2, k12`4>2이어야 한다.f(1)<2에서 k/3<2 .t3 k<6 .c3.c3 ㉠ k12`4>2에서 k>412 .c3.c3 ㉡㉠, ㉡에서 412 1에서 서로 다른 두 점에서 만나려면 직선 y=kx는 곡선 y=2x^2 +4 위의 점 (1, 6)을 지날 때보다 아래에 있고, 접할 때보다 위에 있어야 함을 이용하여 풀 수도 있다.1151 함수 f(x)의 변곡점을 구할 때에는 f"(x)=0인 x의 값의 좌우에서 f"(x)의 부호를 조사한다.f(x)=3x^3 +(2a+1)x^2 +bx+c에서 f'(x)=9x^2 +2(2a+1)x+b, f"(x)=18x+2(2a+1)f"(x)=0에서 18x+2(2a+1)=0 18x=-2(2a+1) .t3 x=-2a+19즉 x=-2a+19의 좌우에서 f"(x)의 부호가 바뀌므로 주어진 곡선의 변곡점은 1개이다. 11152 kx_< f(x)_< lx이면 곡선 y=f(x)가 직선 y=kx에 접하거나 그 위에 있어야 하고, 직선 y=lx에 접하거나 그 아래에 있어야 한다.f(x)=e^x +1, g(x)=ax+2, (cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:30)(cid:73)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:30)(cid:72)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:70)(cid:12)(cid:18)(cid:19)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:90)h(x)=bx+2로 놓자.주어진 부등식을 만족시키려면 오른쪽 그림과 같이 0_< x_< 1에서 곡선 y=f(x)가 직선 y=g(x)보다 위쪽에 있거나 접해야 하고, 직선 y=h(x)보다 아래쪽에 있거나 x=1인 점에서 만나야 한다.f'(x)=e^x 에서 f'(0)=1이때 f(0)=2이므로 g(x)_< f(x)이려면 직선 y=g(x)의 기울기 a가 a_< 1이어야 한다.또 두 점 (0, f(0)), (1, f(1)), 즉 (0, 2), (1, e+1)을 지나는 직선의 기울기가 (e+1)-21-0=e-1이므로 f(x)_< h(x)이려면 직선 y=h(x)의 기울기 b가 b_> e-1이어야 한다.따라서 M=1, m=e-1이므로 M+m=e ⑤ 1153 int ` x5/3 dx=15/3+1 x5/3 +1+C=3/8 x8/3 +C=3/8 x^2 32x^2 w+C 3/8 x^2 32x^2 w+C1154 int ` x-5 dx=1-5+1 x-5+1+C=-1/4 x-4+C=-14x^4 +C -14x^4 +C1155 int ` 1x dx=int `x1/2 dx =11/2+1 x1/2 +1+C=2/3 x3/2 +C=2/3 x1x +C 2/3 x1x +C1156 int ` ^4 1x dx=int ` x1/4 dx =11/4+1 x1/4 +1+C=4/5 x5/4 +C=4/5 x^4 1x +C 4/5 x^4 1x +C1157 int ` ^5 2x^2 w dx=int ` x2/5 dx=12/5+1x2/5 +1+C=5/7x7/5 +C=5/7x^5 ^5 2x^2 w +C 5/7x^5 2x^2 w +C1158 int ` 1x^2 `dx=int ` x-2`dx=1-2+1 x-2+1+C=-x-1+C=-1/x +C -1/x +C1159 int ` 4/x dx=4int ` 1/x dx=4 ln|x|+C 4ln|x|+C1160 int ` x1x dx=int ` x3/2 dx=13/2+1 x3/2 +1+C=2/5 x5/2 +C=2/5 x^2 2xw +C 2/5 x^2 2xw +C여러 가지 적분법10Ⅳ. 적분법여러 가지 적분법10미적2_9강(해107-123)ok.indd 12315. 2. 27. 오후 2:37 124 • 정답 및 풀이정답 및 풀이1168 int x-11x -1dx=int (x-1)(1x +1)(1x -1)(1x +1)dx=int`(1x +1)dx=int`(x1/2+1)dx=2/3x3/2+x+C=2/3x1x +x+C 2/3x1x +x+C1169 int` 1x(x+1)^2 dx=int` 1x(x^2+2x+1)dx=int`(x5/2+2x3/2+x1/2)dx=2/7x7/2+4/5x5/2+2/3x3/2+C=2/7x^31x +4/5x^21x +2/3x1x +C 2/7x^31x +4/5x^21x +2/3x1x +C1170 int``(1x -1)^2x dx=int``x-21x +1x dx=int`(1-2x-1/2+1/x) dx=x-4x1/2+ln|x|+C=x-41x+ln|x|+C x-41x+ln|x|+C1171 int`(x+1/x)(x-1/x) dx=int`(x^2-1x^2) dx=int`(x2-x^-2)dx=1/3x3+x-1+C=1/3x3+1/x+C 1/3x3+1/x+C1172 int` 2e^xdx=2int` e^xdx=2e^x+C 2e^x+C1173 int` e^x+3 dx=int` e^x.c1e^3dx=e^3int` e^xdx=e^3.c1e^x+C=ex+3+C ex+3+C1174 int` 4.c13^xdx=4int` 3^xdx=4.c13^xln 3+C 4.c13^xln 3+C1175 int` 4^x+2 dx=int` 4^x.c14^2 dx=4^2int` 4^x dx=4^2.c14^xln 4+C=4^x^+^2ln 4+C 4^x^+^2ln 4+C1161 int`(x+1x^3) dx=int`(x+x-3)dx=1/2x^2-12x^2+C 1/2x^2-12x^2+C1162 int`(1/x-1x^2+1x^4)dx=int`(1/x-x-2+x-4)dx=ln|x|+x-1-1/3x-3+C=ln|x|+1/x-13x^3+C ln|x|+1/x-13x^3+C1163 int``5x-2x^2 dx=int``(5/x-2x^2)dx=int``(5/x-2x-2)dx=5 ln|x|+2x-1+C=5 ln|x|+2/x+C 5 ln|x|+2/x+C1164 int``x^2+x-4x^2 dx=int`(1+1/x-4x^2)dx=int`(1+1/x-4x-2)dx=x+ln|x|+4x-1+C=x+ln|x|+4/x+C x+ln|x|+4/x+C1165 int`(1x +11x) dx=int`(x1/2+x^-1/2)dx=2/3x3/2+2x1/2+C=2/3x1x +21x +C 2/3x1x +21x +C1166 int`(31x-1x1x)dx=int`(3x-1/2-x-3/2)dx=6x1/2+2x-1/2+C=61x +21x+C 61x +21x+C1167 int``2x^2-11x dx=int`(2x3/2-x-1/2)dx=4/5x5/2-2x1/2+C=4/5x^21x -21x +C 4/5x^21x -21x +C라이트쎈_미적2_10강해설_칠.indd 12415. 2. 27. 오후 2:32 10``여러 가지 적분법 • 125본책여러 가지 적분법10144~146쪽1185 int ``sin ^3 x+4sin ^2 xdx=int `(sin x+4sin ^2 x) dx=int `(sin x+4 csc^2 x)dx=-cos x-4 cot x+C -cos x-4 cot x+C1186 sin ^2 x/2 =1-cos x2이므로 int ` sin ^2 x/2 dx=int ``1-cos x2dx=1/2 int `(1-cos x)dx=1/2 (x-sin x)+C .t3 ㈎ cos x ㈏ x-sin x 풀이 참조 1187 int sin ^2 x1-cos xdx=int 1-cos ^2 x1-cos xdx=int (1+cos x)(1-cos x)1-cos xdx=int `(1+cos x)dx=x+sin x+C x+sin x+C1188 int ` cos x tan x dx=int ` cos x.c1 sin xcos x`dx=int ` sin x dx=-cos x+C -cos x+C1189 int ` sin x/2 cos x/2 dx=int ` 1/2 sin x dx=-1/2 cos x+C -1/2 cos x+C1190 3x+1=t로 놓으면 x=t-1/에서 dxdt=1/3 이므로 int `(3x+1)^5 dx=int ` t^5 .c1 1/3 dt =1/3 int ` t^5 dt=1/18.c1 t^6 +C =1/18(3x+1)^6 +C .t3 ㈎ t-1/ ㈏ 1/3 ㈐ 1/18 풀이 참조1191 x+5=t로 놓으면 dtdx=1이므로 int `(x+5)^4 dx=int ` t^4 dt=1/5 t^5 +C=1/5 (x+5)^5 +C1/5 (x+5)^5 +C1176 int ` 52^x dx=int ` 25^x dx=25^x ln 25+C 25^x ln 25+C1177 int 27^x 3^x dx=int (273)^^x dx=int ` 9^x dx=9^x ln 9+C 9^x ln 9+C1178 int `(e^x ^- ^2 +5^x ^+ ^1 )dx=int `(e^x .c1 e^- ^2 +5^x .c1 5)dx=e^- ^2 int `e^x dx+5int `5^x dx=e^- ^2 .c1 e^x +5.c1 5^x ln 5+C=e^x ^- ^2 +5^x ^+ ^1 ln 5+C e^x ^- ^2 +5^x ^+ ^1 ln 5+C1179 int `(2^x -1)^2 dx=int `(4^x -2.c1 2^x +1)dx=int `4^x dx-2int `2^x dx+int `1dx=4^x ln 4-2.c1 2^x ln 2+x+C=4^x ln 4-2^x ^+ ^1 ln 2+x+C 4^x ln 4-2^x ^+ ^1 ln 2+x+C1180 int `(1-2 cos x)dx=int `1 dx-2int `cos x dx=x-2 sin x+C x-2 sin x+C1181 int `5 sec^2 x dx=5int `sec^2 x dx=5 tan x+C 5 tan x+C1182 int `(2 sin x-cos x)dx=2int ` sin x dx-int ` cos x dx=-2 cos x-sin x+C -2 cos x-sin x+C1183 int `(csc^2 x+3x)dx=-cot x+3/2 x^2 +C-cot x+3/2 x^2 +C1184 int ` sec x(sec x+tan x)dx=int `(sec^2 x+sec x tan x)dx=tan x+sec x+C tan x+sec x+C라이트쎈_미적2_10강해설_칠.indd 12515. 2. 27. 오후 2:32 126 • 정답 및 풀이정답 및 풀이1198 x^2-1=t로 놓으면 dtdx=2x이므로 int2x(x^2-1)^3 dx=int` t^3dt=1/4t^4+C=1/4(x^2-1)^4+C 1/4(x^2-1)^4+C1199 x^2=t로 놓으면 dtdx=2x이므로 intxex^2dx=int` e^t.c11/2dt=1/2e^t+C=1/2ex^2+C 1/2ex^2+C1200 cos x=t로 놓으면 dtdx=-sin x이므로 int sin x cos^2x dx=int` t^2.c1(-1)dt=-1/3t^3+C=-1/3cos^3x+C -1/3cos^3x+C1201 ln x=t로 놓으면 dtdx=1/x이므로 int ln xx`dx=int` t dt=1/2t^2+C=1/2(ln x)^2+C 1/2(ln x)^2+C1202 (x^2+5x-1)'=2x+5이므로 int 2x+5x^2+5x-1`dx=int` (x^2+5x-1)'x^2+5x-1`dx=ln|x^2+5x-1|+C ln|x^2+5x-1|+C1203 (e^x-3)'=e^x이므로 int e^xe^x-3`dx=int` (e^x-3)'e^x-3`dx=ln|e^x-3|+C ln|e^x-3|+C1204 x+4x+3 =1+1x+3이므로 int x+4x+3`dx=int`(1+1x+3) dx=x+ln|x+3|+C x+ln|x+3|+C1192 2x-1=t로 놓으면 dtdx=2이므로 int`(2x-1)^8dx=int` t^8.c11/2dt=1/2int` t^8dt=1/18t^9+C=1/18(2x-1)^9+C1/18(2x-1)^9+C1193 2-4x=t로 놓으면 dtdx=-4이므로 int` cos(2-4x)dx=int` cos t.c1(-1/4)dt=-1/4sin t+C=-1/4sin(2-4x)+C-1/4sin(2-4x)+C1194 3x+4=t로 놓으면 dtdx=3이므로 int 1(3x+4)^2dx=int 1t^2.c11/3dt=1/3int` t^-^2dt=-13t+C=-13(3x+4)+C -13(3x+4)+C1195 1+x=t로 놓으면 dtdx=1이므로 int` 11+xz dx=int` 1t dt=int` t1/2 dt=2/3t3/2+C=2/3t1t +C=2/3(1+x)11+xz+C 2/3(1+x)11+xz+C1196 5x-1=t로 놓으면 dtdx=5이므로 int` e^5^x^-^1 dx=int`e^t.c11/5dt=1/5e^t+C=1/5e^5^x^-^1+C 1/5e^5^x^-^1+C1197 sin x=t로 놓으면 dtdx=cos x이므로 int` sin^2x cos x dx=int` sin^2x(sin x)'dx=int t^2 dt=1/3 .c1t^3+C=1/3 sin^3x+C .t3 ㈎ cos x ㈏ t^2 ㈐ 1/3 풀이 참조라이트쎈_미적2_10강해설_칠.indd 12615. 2. 27. 오후 2:32 10``여러 가지 적분법 • 127본책여러 가지 적분법10146~148쪽 .t3 int ` xe^x dx=xe^x -int ` 1.c1 e^x dx=xe^x -int ` e^x dx=xe^x -e^x +C xe^x -e^x +C1211 f(x)=ln x, g'(x)=1로 놓으면 f'(x)=1/x , g(x)=x .t3 int ` ln x dx=(ln x).c1 x-int `1/x .c1 x dx=x ln x-int ` 1 dx=x ln x-x+C x ln x-x+C1212 f(x)=x+2, g'(x)=sin x로 놓으면 f'(x)=1, g(x)=-cos x .t3 int `(x+2)sin x dx=(x+2)(-cos x)-int ` 1.c1 (-cos x) dx=-(x+2)cos x+int ` cos x dx=-(x+2)cos x+sin x+C -(x+2)cos x+sin x+C1213 f(x)=ln x, g'(x)=x로 놓으면 f'(x)=1/x , g(x)=1/2 x^2 .t3 int ` x ln x dx=(ln x).c1 1/2 x^2 -int ` 1/x .c1 1/2 x^2 dx=1/2 x^2 ln x-int ` 1/2 x dx=1/2 x^2 ln x-1/4 x^2 +C 1/2 x^2 ln x-1/4 x^2 +C1214 f(x)=int (2+1/x-3x^2 )dx=int (2+1/x-3x^- ^2 )dx=2x+ln|x|+3x^- ^1 +C=2x+ln|x|+3/x +Cf(1)=5이므로 2+3+C=5 .t3 C=0따라서 f(x)=2x+ln|x|+3/x 이므로 f(e)=2e+3/e +1 ⑤1215 int (x-1)(x^2 +x+1)x`dx=int x^3 -1x`dx=int `(x^2 -1/x ) dx=1/3 x^3 -ln|x|+C 1/3 x^3 -ln|x|+C1216 f(x)를 미분하면 x1xq -1이므로 f'(x)=x1xq -11205 x^2 -3x+2=x-2+1x+2이므로 int x^2 -3x+2`dx=int `(x-2+1x+2) dx=1/2 x^2 -2x+ln|x+2|+C 1/2 x^2 -2x+ln|x+2|+C1206 1x(x+1)=1x-1x+1이므로 int 1x(x+1)`dx=int `(1x-1x+1) dx=ln|x|-ln|x+1|+C=ln|xx+1|+C ln|xx+1|+C1207 6x^2 -9=6(x-3)(x+3)=1x-3-1x+3이므로 int 6x^2 -9`dx=int `(1x-3-1x+3) dx=ln|x-3|-ln|x+3|+C=ln|x-3x+3|+C ln|x-3x+3|+C1208 ⑴ ax+1+bx-1=(a+b)x-a+bx^2 -1이므로 3x+1x^2 -1=(a+b)x-a+bx^2 -1 따라서 a+b=3, -a+b=1이므로 두 식을 연립하면 a=1, b=2⑵ int `3x+1x^2 -1`dx=int `(1x+1+2x-1) dx=ln|x+1|+2 ln|x-1|+C=ln|(x+1)(x-1)^2 |+C ⑴ a=1, b=2 ⑵ ln|(x+1)(x-1)^2 |+C 1209 f(x)=x, g'(x)=cos x로 놓으면 f'(x)=1, g(x)=sin x이므로 int ` x cos x dx=x.c1 sin x-int sin xdx=x sin x+cos x+C .t3 ㈎ cos x ㈏ sin x ㈐ sin x ㈑ x sin x+cos x 풀이 참조1210 f(x)=x, g'(x)=e^x 으로 놓으면 f'(x)=1, g(x)=e^x 라이트쎈_미적2_10강해설_칠.indd 12715. 2. 27. 오후 2:32 128 • 정답 및 풀이정답 및 풀이조건 ㈏에서 f(0)=0이므로 1/2-1/2+C=0 .t3 C=0 .t3 f(x)=1/2e2x-1/2e-2x+2x ③1222 int 8^x-12^x-1`dx=int 23x-12^x-1`dx=int (2x-1)(4^x+2^x+1)2^x-1`dx=int`(4^x+2^x+1)dx=4^xln 4+2^xln 2+x+C .t3 a=1ln 4, b=1ln 2, c=1 .t3 bc/a=ln 4ln 2=2 21223 f(x)=int`(3-2 tan^2x)dx=int`{3-2(sec^2x-1)}dx=int`(5-2 sec^2x)dx=5x-2 tan x+Cf(0)=-5/4pai이므로 C=-5/4pai .t3 f(x)=5x-2 tan x-5/4pai .t3 f (pai/4)=5/4pai-2-5/4pai=-2 ①1224 f'(x)=cos x-sin^2x/2=cos x-1-cos x2=3/2cos x-1/2이므로 f(x)=int (3/2cos x-1/2) dx=3/2sin x-1/2x+Cf(0)=0이므로 C=0 .t3 f(x)=3/2sin x-1/2x f(x)=3/2sin x-1/2x반각의 공식① sin^2alpha/2=1-cos a2 ② cos^2alpha/2=1+cos a2③ tan^2alpha/2=1-cos a1+cos a1225 f(x)=(sin x/2+cos x/2)^^2=sin^2 x/2+2 sinx/2 cosx/2+cos^2 x/2=1+sin x .t3 F(x)=int`(1+sin x)dx=x-cos x+C .t3 f(x)=int` f'(x)dx=int`(x1xq -1)dx=int`(x3/2-1)dx=2/5x5/2-x+C=2/5x^21xq -x+C ⇨ ❶f(0)=2이므로 C=2 .t3 f(x)=2/5x^21xq -x+2 ⇨ ❷ f(x)=2/5x^21xq -x+21217 f_n(x)=int` x1/n dx=11/n+1x1/n+1+C=n/n+1xn+1/n+Cf_n(0)=0이므로 C=0 .t3 f_n(x)=n/n+1xn+1/n .t3 f_1(1)\f_2(1)\f_3(1)\.c3\f_8(1) =1/2\2/3\3/4\.c3\8/9=1/9 ⑤1218 f(x)=int` f'(x)dx=int x^2-e^2^xx+e^x dx =int (x+e^x)(x-e^x)x+e^x dx=int`(x-e^x)dx=1/2x^2-e^x+Cf(0)=3이므로 -1+C=3 .t3 C=4 .t3 f(x)=1/2x^2-e^x+4 .t3 f(2)=2-e^2+4=6-e^2 6-e^21219 int`(2^x+3^x)^2dx=int`(2^2^x+2.c12^x.c13^x+3^2^x)dx=int`(4^x+2.c16^x+9^x)dx=4^xln 4+2.c16^xln 6+9^xln 9+C ④1220 int` 3^2^x^-^1 dx=int` 3^2^x.c13^-^1 dx=1/3int` 9^x dx=1/3.c19^xln 9+C=3^2^x^-^1ln 9+C .t3 a=ln 9 ⑤1221 조건 ㈎에서 f'(x)=(e^x+e-x)^2=e2x+2+e-2x이므로 f(x)=int`(e2x+e-2x+2)dx=e^2^xln e^2+e^-^2^xln e^-^2+2x+C=1/2e2x-1/2e-2x+2x+C채점 기준비율❶f'(x)의부정적분을구할수있다.70%❷f(x)를구할수있다.30%라이트쎈_미적2_10강해설_칠.indd 12815. 2. 27. 오후 2:32 10``여러 가지 적분법 • 129본책여러 가지 적분법10148~150쪽1228 x^2 +x+4=t로 놓으면 dtdx=2x+1이므로 int `(2x+1)(x^2 +x+4)^3 dx=int ` t^3 dt=1/4 t^4 +C=1/4 (x^2 +x+4)^4 +C따라서 a=1/4 , b=4이므로 ab=1 ①1229 x^2 -x+1=t로 놓으면 dtdx=2x-1이므로 f(x)=int `(6x-3)(x^2 -x+1)^4 dx=3int `(2x-1)(x^2 -x+1)^4 dx=3int ` t^4 dt=3.c1 1/5 t^5 +C=3/5 (x^2 -x+1)^5 +Cf(1)=1이므로 3/5 +C=1 .t3 C=2/5 따라서 f(x)=3/5 (x^2 -x+1)^5 +2/5 이므로 f(0)=1 11230 f'(x)=(2x-7)^4 이므로 f(x)=int `(2x-7)^4 dx2x-7=t로 놓으면 dtdx=2이므로 f(x)=int `(2x-7)^4 dx=int `t^4 .c1 1/2 dt=1/2.c1 1/5t^5 +C=1/10(2x-7)^5 +Cf(3)=0이므로 -1/10+C=0 .t3 C=1/10 .t3 f(x)=1/10(2x-7)^5 +1/10따라서 f(x)를 x-4로 나누었을 때의 나머지는 f(4)=1/5 ④1231 ax+5=t로 놓으면 dtdx=a이므로 F(x)=int `(ax+5)^7 dx=int `t^7 .c1 1/a dt=1/a.c1 1/8t^8 +C=1/8a(ax+5)^8 +C ⇨ ❶F(x)의 최고차항의 계수가 16이므로 1/8aa^8 =16, a^7 =2^7 .t3 a=2 ⇨ ❷ 2채점 기준비율❶f(x)의부정적분을구할수있다.50%❷a의값을구할수있다.50%F(0)=3이므로 -1+C=3 .t3 C=4 .t3 F(x)=x-cos x+4 ③배각의 공식① sin 2α =2 sin α cos α ② cos 2α =cos ^2 α -sin ^2 α =2 cos ^2 α -1=1-2 sin ^2 α ③ tan 2α =2 tan a1-tan ^2 a1226 int 11+sin x`dx=int 1-sin x(1+sin x)(1-sin x)`dx=int 1-sin x1-sin ^2 x`dx=int 1-sin xcos ^2 x`dx=int (1cos ^2 x-sin xcos ^2 x) dx=int `(sec^2 x-sec x tan x)dx=tan x-sec x+C tan x-sec x+C1227 d/dx{`f(x)+g(x)}=cos x에서 int [d/dx{`f(x)+g(x)}]dx=int `cos x dx .t3 f(x)+g(x)=sin x+C_1 cc ㉠ ⇨ ❶d/dx{`f(x)-g(x)}=2-sin x에서 int [d/dx{`f(x)-g(x)}]dx=int `(2-sin x)dx .t3 f(x)-g(x)=2x+cos x+C_2 cc ㉡ ⇨ ❷㉠, ㉡의 양변에 x=0을 대입하면 f(0)+g(0)=C_1 f(0)-g(0)=1+C_2 이때 f(0)=1, g(0)=0이므로 C_1 =1, C_2 =0C_1 =1, C_2 =0을 각각 ㉠, ㉡에 대입하면 f(x)+g(x)=sin x+1 cc ㉢ f(x)-g(x)=2x+cos x cc ㉣㉢, ㉣을 연립하여 풀면 f(x)=sin x+cos x+2x+12 g(x)=sin x-cos x-2x+12 ⇨ ❸ .t3 f(pai/2 )=pai +22, g(pai )=1-pai .t3 f(pai/2 )-g(pai )=3/2pai ⇨ ❹ 3/2 pai 채점 기준비율❶d/dx{`f(x)+g(x)}의부정적분을구할수있다.20%❷d/dx{`f(x)-g(x)}의부정적분을구할수있다.20%❸f(x),g(x)를구할수있다.40%❹f(pai/2 )-g(pai )의값을구할수있다.20%라이트쎈_미적2_10강해설_칠.indd 12915. 2. 27. 오후 2:32 130 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 f(x)=int` e^x(e^x+1)^3dx=int` t^3 dt=1/4t^4+C=1/4(e^x+1)^4+Cf(0)=4이므로 1/4.c12^4+C=4 .t3 C=0따라서 f(x)=1/4(e^x+1)^4이므로 f(ln 3)=1/4(3+1)^4=64 ⑤1237 cos x=t로 놓으면 dtdx=-sin x이므로 f(x)=int` ecos xsin x dx=int` e^t.c1(-1)dt=-e^t+C=-ecos x+Cf(0)=-e이므로 C=0 .t3 f(x)=-ecos x ⇨ ❶ .t3 f (pai/2)=-1 ⇨ ❷ -11238 ㄱ. 2x-2=t로 놓으면 dtdx=2이므로 int` e2x-2 dx=int` e^t.c11/2dt=1/2e^t+C=1/2e2x-2+Cㄴ. e^x+3=t로 놓으면dtdx=e^x이므로 int`e^x2e^x+3x`dx=int` 1t`dt=int` t1/2 dt=2/3t3/2+C=2/3t1t`+C=2/3(e^x+3)2e^x+3x +Cㄷ. x^2+3=t로 놓으면dtdx=2x이므로 int`x.c15x^2+3 dx=int` 5^t.c11/2 dt=1/2.c15^tln 5+C=5x^2+32 ln 5+C이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. ⑤1239 ln x=t로 놓으면 dtdx=1/x이므로 f(x)=int 1x(ln x)^2`dx=int 1t^2 dt=int`t-2 dt=-1t+C=-1ln x+Cf (1/e)=5이므로 1+C=5 .t3 C=4채점 기준비율❶f(x)를구할수있다.70%❷f (pai/2)의값을구할수있다.30%1232 3x-1=t로 놓으면 dtdx=3이므로 f(x)=int 113x-1z`dx=int 11t.c11/3dt=1/3int`t-1/2 dt=2/3t1/2+C=2/31t +C=2/313x-1z +Cf(2/3)=5/3이므로 2/3+C=5/3 .t3 C=1 .t3 f(x)=2/313x-1z +1 f(x)=2/313x-1z +11233 x^2-2x=t로 놓으면 dtdx=2x-2이므로 int`(x-1)2x^2-2xx dx=int`1t`.c11/2dt=1/2int`t1/2dt=1/2.c12/3t3/2 +C=1/3t1t +C=1/3(x^2-2x)2x^2-2xx +C .t3 a=1/3 ①1234 x^2+3=t로 놓으면 dtdx=2x이므로 f(x)=int x2x^2+3x`dx=int 11t .c11/2dt=1/2int`t^-1/2 dt=1/2.c12t1/2 +C=1t +C=2x^2+3x +Cf(1)=-1이므로 2+C=-1 .t3 C=-3 .t3 f(x)=2x^2+3x -3방정식 f(x)=0, 즉 2x^2+3x -3=0에서 2x^2+3x =3위의 등식의 양변을 제곱하면 x^2+3=9, x^2=6 .t3 x= z16따라서 모든 근의 곱은 -6 -61235 1x+2z =t로 놓으면 x+2=t^2 x=t^2-2 .t3 dxdt=2t .t3 int x1x+2z dx=int t^2-2t .c12t dt=2int (t^2-2)dt=2 (1/3t^3-2t)+C=2/3t^3-4t+C=2/3(x+2)1x+2z -41x+2z +C=2/3(x-4)1x+2z +C 2/3(x-4)1x+2z +C1236 f'(x)=e^x(e^x+1)^3이고 e^x+1=t로 놓으면 dtdx=e^x이므로라이트쎈_미적2_10강해설_칠.indd 13015. 2. 27. 오후 2:32 10``여러 가지 적분법 • 131본책여러 가지 적분법10150~153쪽1244 x^2 -2=t로 놓으면 dtdx=2x이므로 f(x)=int ` 4x cos (x^2 -2) dx=int ` cos t.c1 2 dt =2 sin t+C=2 sin (x^2 -2)+Cf(12 )=1이므로 C=1 .t3 f(x)=2 sin (x^2 -2)+1 ⇨ ❶한편 -1isin (x^2 -2)i1이므로 -1i2 sin (x^2 -2)+1i3 .t3 M=3, m=-1 ⇨ ❷ .t3 M+m=2 ⇨ ❸ 21245 F(x)=int ` f(x)dx=int `(1+cos x)^2 dx=int `(cos ^2 x+2 cos x+1)dx=int (1+cos 2x2+2 cos x+1) dx=int (1/2 cos 2x+2 cos x+3/2 ) dx=1/4 sin 2x+2 sin x+3/2 x+CF(0)=0이므로 C=0.t3 F(x)=1/4 sin 2x+2 sin x+3/2 x.t3 F(pai )=3/2 pai ③sin ax, cos ax 꼴의 치환적분법aL0인 상수 a에 대하여① int ` sin ax dx=-1/acos ax+C ② int ` cos ax dx=1/asin ax+C 1246 (x^3 +4x+1)'=3x^2 +4이므로 f(x)=int 3x^2 +4x^3 +4x+1dx=int (x^3 +4x+1)'x^3 +4x+1dx=ln|x^3 +4x+1|+Cf(0)=1이므로 C=1따라서 f(x)=ln|x^3 +4x+1|+1이므로f(1)=ln 6+1 ①1247 f(x)=int e2xe2x-1`dx-int exe2x-1`dx=int e2x-exe2x-1`dx=int ex(ex-1)(ex+1)(ex-1)`dx=int exex+1`dx채점 기준비율❶f(x)를구할수있다.70%❷M,m의값을구할수있다.20%❸M+m의값을구할수있다.10%따라서 f(x)=-1ln x +4이므로 f(e)=3 ③1240 ln x+5=t로 놓으면 dtdx=1/x 이므로 int 1x1ln xa+5z`dx=int 11t`dt=int ` t-1/2 dt=2 t1/2 +C=21ln xa+5 z+C .t3 a=2 21241 x f'(x)=ln 3x에서 f'(x)=ln 3xx .t3 f(x)=int ln 3xx dxln 3x=t로 놓으면 dtdx=1/x이므로 f(x)=int ln 3xx`dx=int ` t dt=1/2 t^2 +C=1/2 (ln 3x)^2 +Cf (1/3 )=0이므로 C=0 .t3 f(x)=1/2 (ln 3x)^2 ②1242 int ` sin ^3 x dx=int ` sin ^2 x.c1 sin x dx=int `(1-cos ^2 x)sin x dxcos x=t로 놓으면 dtdx=-sin x이므로 int `(1-cos ^2 x)sin x dx=int `(1-t^2 ).c1 (-1)dt=int `(t^2 -1)dt=1/3 t^3 -t+C=1/3 cos ^3 x-cos x+C따라서 a=1/3 , b=-1이므로 a+b=-2/3 ②1243 f(x)=int ` f'(x)dx=int ` tan x sec^2 x dxtan x=t로 놓으면 dtdx=sec^2 x이므로 f(x)=int ` tan x sec^2 x dx=int ` t dt=1/2t^2 +C=1/2tan ^2 x+C이때 f`(pai/6 )=1이므로 1/2.c1 1/3+C=1 .t3 C=5/6따라서 f(x)=1/2tan ^2 x+5/6이므로 f`(pai/4 )=1/2+5/6=4/3 .t3 a=4/3 ④라이트쎈_미적2_10강해설_칠.indd 13115. 2. 27. 오후 2:32 132 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 f(x)=int 4x2-4`dx=int (1x-2-1x+2)dx=ln|x-2|-ln|x+2|+C=ln|x-2x+2|+Cf(0)=0이므로 C=0따라서 f(x)=ln|x-2x+2|이므로 f(4)=ln 1/3=-ln 3 ①1253 4xx2-3x+2=4x(x-1)(x-2)=px-1+qx-2로 놓으면 4x(x-1)(x-2)=(p+q)x-(2p+q)(x-1)(x-2)위의 등식은 x에 대한 항등식이므로 p+q=4, 2p+q=0위의 두 식을 연립하여 풀면 p=-4, q=8 ⇨ ❶ .t3 int 4xx^2-3x+2`dx=int (-4x-1+8x-2) dx=-4 ln|x-1|+8 ln|x-2|+C따라서 a=-4, b=8이므로 a+b=4 ⇨ ❷ 41254 u(x)=x, v'(x)=e-x으로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=-e-x .t3 f(x)=int` xe-x dx=x.c1(-e-x)-int` 1.c1(-e-x)dx =-xe-x+int` e-xdx =-xe-x-e-x+C =-(x+1)e-x+Cf(0)=1이므로 -1+C=1 .t3 C=2따라서 f(x)=-(x+1)e-x+2이므로 f(-1)=2 ③1255 u(x)=x, v'(x)=sin 2x로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=-1/2cos 2x .t3 int` x sin 2x dx=x.c1(-1/2cos 2x)-int` 1.c1(-1/2cos 2x)dx=-x/2cos 2x+int` 1/2cos 2x dx=-x/2cos 2x+1/4sin 2x+C따라서 a=-1/2, b=1/4이므로 ab=-1/8 ②채점 기준비율❶4xx^2-3x+2 를부분분수로변형할수있다.70%❷a+b의값을구할수있다.30%이때 (e^x+1)'=e^x이므로 f(x)=int exex+1`dx=int (ex+1)'ex+1`dx=ln(e^x+1)+C (.T3 e^x+1>0)f(0)=ln 2이므로 C=0따라서 f(x)=ln(e^x+1)이므로 f(ln 4)=ln 5 ln 51248 int f'(x)f(x)`dx=int` 5 dx ln`f(x)=5x+C (.T3 f(x)>0) .t3 f(x)=e5x+C ⇨ ❶f(0)=e^2이므로 C=2 .t3 f(x)=e5x+2 ⇨ ❷ f(x)=e5x+21249 x+2x+1=1+1x+1이므로 f(x)=int x+2x+1dx=int`(1+1/x+1) dx=x+ln|x+1|+Cf(0)=3이므로 C=3 .t3 f(x)=x+ln|x+1|+3 ③1250 2x^2-x+5x-1=(x-1)(2x+1)+6x-1=2x+1+6x-1이므로 int 2x^2-x+5x-1`dx=int (2x+1+6x-1) dx=x^2+x+6 ln|x-1|+C x^2+x+6 ln|x-1|+C1251 y=3-x/1+x로 놓으면 y(1+x)=3-x, x(y+1)=3-y .t3 x=3-y/y+1x와 y를 서로 바꾸면 y=3-x/x+1 .t3 g(x)=3-x/x+1 .t3 int` g(x)dx=int` 3-x/x+1`dx=int`(-1+4/x+1) dx=-x+4 ln|x+1|+C -x+4 ln|x+1|+C1252 4x2-4=4(x-2)(x+2)=1x-2-1x+2이므로채점 기준비율❶f'(x)f(x) 의부정적분을구할수있다.60%❷f(x)를구할수있다.40%라이트쎈_미적2_10강해설_칠.indd 13215. 2. 27. 오후 2:32 10``여러 가지 적분법 • 133본책여러 가지 적분법10153~155쪽f(1)=2이므로 2+C=2 .t3 C=0따라서 f(x)=x(ln x)^2 -2x ln x+2x이므로 f(e)=e ②1259 곡선 y=f(x) 위의 임의의 점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기는 f'(x)임을 이용한다.f'(x)=3e^x -4이므로 f(x)=int ` f'(x)dx=int `(3e^x -4)dx =3e^x -4x+C곡선 y=f(x)가 원점을 지나므로 f(0)=3+C=0 .t3 C=-3따라서 f(x)=3e^x -4x-3이므로 f(1)=3e-4-3=3e-7 3e-71260 x^2 -2x+3=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. x^2 -2x+3=t로 놓으면 dtdx=2x-2이므로 int `(x-1)(x^2 -2x+3)^4 dx=int ` t^4 .c1 1/2dt=1/2.c1 1/5t^5 +C=1/10(x^2 -2x+3)^5 +C따라서 a=10, b=5이므로 a+b=15 151261 ln(x^3 +1)=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. ln(x^3 +1)=t로 놓으면 dtdx=3x^2 x^3 +1이므로 int 3x^2 x^3 +1 ln(x^3 +1)dx=int ` t dt=1/2t^2 +C=1/2{ln(x^3 +1)}^2 +C ②1262 int g'(x)g(x)`dx=ln|g(x)|+C임을 이용한다.(1+cos x)'=-sin x이므로 f(x)=int -sin x1+cos x dx=int (1+cos x)'1+cos x dx=ln|1+cos x|+C ⇨ ❶f(π /2)=2이므로 C=2따라서 f(x)=ln|1+cos x|+2이므로 f(2/3π )=ln|1+cos 2/3pai |+2=ln 1/2+2=2-ln 2 ⇨ ❷ 2-ln 21263 1(x+a)(x+b)=1b-a`(1x+a-1x+b)임을 이용하 여 피적분함수를 간단한 유리함수의 차로 나타내어 적분한다. 채점 기준비율❶f(x)를구할수있다.70%❷f(2/3 pai )의값을구할수있다.30%1256 조건 ㈎에서 limh=0 `f(x+2h)-f(x)h=limh=0 `f(x+2h)-f(x)2h .c1 2=2f'(x)이므로 2f'(x)=4 ln x .t3 `f'(x)=2 ln xf(x)=int 2 ln x dx에서 u(x)=ln x, v'(x)=1로 놓으면 u'(x)=1/x , v(x)=x .t3 f(x)=int 2 ln x dx=2{(ln x).c1 x-int 1/x .c1 x dx}=2 x ln x-2x+C조건 ㈏에서 f(1)=2이므로 -2+C=2 .t3 C=4따라서 f(x)=2x ln x-2x+4이므로 구하는 상수항은 4이다. 41257 f(x)=cos x, g'(x)=e^x 으로 놓으면 f'(x)=-sin x, g(x)=e^x .t3 int ` e^x cos x dx=cos x.c1 e^x -int `(-sin x).c1 e^x dx=cos x.c1 e^x +int ` sin x.c1 e^x dx cc ㉠int `sin x.c1 e^x dx에서 u(x)=sin x, v'(x)=e^x 으로 놓으면 u'(x)=cos x, v(x)=e^x .t3 int `sin x.c1 e^x dx=sin x.c1 e^x -int `cos x.c1 e^x dx cc ㉡㉡을 ㉠에 대입하면 int `e^x cos x dx=cos x.c1 e^x +(sin x.c1 e^x -int `cos x.c1 e^x dx) 2int `e^x cos x dx=cos x.c1 e^x +sin x.c1 e^x .t3 int `e^x cos x dx=1/2 e^x (cos x+sin x)+C 1/2 e^x (cos x+sin x)+C1258 h(x)=(ln x)^2 , k'(x)=1로 놓으면 h'(x)=2/x ln x, k(x)=x .t3 f(x)=int `(ln x)^2 dx=(ln x)^2 .c1 x-int `(2/x ln x).c1 x dx =x(ln x)^2 -2int ` ln x dx cc ㉠int ` ln x dx에서 u(x)=ln x, v'(x)=1로 놓으면 u'(x)=1/x , v(x)=x .t3 int ` ln x dx=(ln x).c1 x-int `1/x.c1 x dx=x ln x-x+C_1 cc ㉡㉡을 ㉠에 대입하면 f(x)=x(ln x)^2 -2(x ln x-x+C_1 )=x(ln x)^2 -2x ln x+2x+C라이트쎈_미적2_10강해설_칠.indd 13315. 2. 27. 오후 2:32 134 • 정답 및 풀이정답 및 풀이1267 먼저 반각의 공식을 이용하여 피적분함수를 적분하기 쉬운 형태로 변형한다.f(x)=int` f'(x)dx이므로 f(x)=int` 4 cos^2x/2 dx=4int 1+cos x2`dx=2x+2 sin x+Cf(0)=0이므로 C=0따라서 f(x)=2x+2 sin x이므로 f (pai/2)=2.c1pai/2+2 sin pai/2=pai+2 ⑤1268 lnx+2=t로 놓고 치환적분법을 이용하여 부정적분을 구한다. ln x+2=t로 놓으면 dtdx=1/x이므로 f(x)=int 5ln x+2x dx=int`5^tdt=5^tln 5 +C=5ln x+2ln 5 +Cf(1)=25ln 5이므로 C=0 .t3 f(x)=5ln x+2ln 5방정식 f(x)=1ln 5에서 5ln x+2ln 5=1ln 5, 5ln x+2=1 ln x+2=0, ln x=-2 x=e^-2 .t3 x=1e^2 ① 1269 x^2+x=t로 놓고 치환적분법을 이용하여 부정적분을 구한다. x^2+x=t로 놓으면 dtdx=2x+1이므로 f(x)=int`(4x+2)sin(x^2+x)dx=int`2 sin t dt=-2 cos t+C=-2 cos(x^2+x)+Cf(0)=1이므로 -2+C=1 .t3 C=3 .t3 f(x)=-2 cos(x^2+x)+3따라서 f(x)의 최댓값은 |-2|+3=5 51270 1+tan^2 x=sec^2 x임을 이용하여 피적분함수를 변형한 후 치환적분법을 이용하여 부정적분을 구한다.int`sec^4 x dx=int`sec^2x.c1sec^2x dx=int`sec^2x(1+tan^2x)dxtan x=t로 놓으면 dtdx=sec^2x이므로 int`sec^4x dx=int`sec^2x(1+tan^2x)dx=int`(1+t^2)dt=t+1/3t^3+C=tan x+1/3tan^3x+C따라서 a=1, b=3이므로 b-a=2 ④1x^2-x-6=1(x-3)(x+2)=1/5(1x-3-1x+2)이므로 f(x)=int` f'(x)dx=int 1x^2-x-6 dx=1/5int (1x-3-1x+2)dx=1/5(ln|x-3|-ln|x+2|)+C=1/5ln|x-3/x+2|+Cf(1/2)=0이므로 C=0따라서 f(x)=1/5ln|x-3/x+2|이므로 f(-1)=1/5ln 4=2/5ln 2 ②1264 1x^p (p는 실수)은 x-p으로, ^q1x (q는 2 이상의 자연수) 는 x1/q으로 변형하여 부정적분을 구한다.f(x)=int (1x +11x+1)dx=int`(x1/2+x-1/2+1)dx =2/3x3/2+2x1/2+x+C=2/3x1x +21x +x+Cf(1)=2/3이므로 2/3+2+1+C=2/3 ∴ C=-3따라서 f(x)=2/3x1x +21x +x-3이므로 f(3)=2/3.c1313 +213 +3-3=413 ④1265 limh=0`f(x+h)-f(x)h=f'(x)임을 이용하여 f(x)를 구한다.limh=0`f(x+h)-f(x)h=f'(x)이므로 f'(x)=e^3^x-1e^2^x+e^x+1=(e^x-1)(e^2^x+e^x+1)e^2^x+e^x+1=e^x-1 .t3 f(x)=int` f'(x)dx=int`(e^x-1)dx=e^x-x+Cf(0)=1이므로 1+C=1 .t3 C=0따라서 f(x)=e^x-x이므로 f(2)=e^2-2 ⑤1266 int` e^x dx=e^x+C, int` a^x dx=a^xln a+C (a>0, aL1)임을 이용하여 부정적분을 구한다.f(x)=int`(e^x-2^x)dx=e^x-2^xln 2+Cy=f(x)의 그래프가 점 (0, -1ln 2)을 지나므로 f(0)=1-1ln 2+C=-1ln 2 .t3 C=-1 .t3 f(x)=e^x-2^xln 2-1 f(x)=e^x-2^xln 2-1라이트쎈_미적2_10강해설_칠.indd 13415. 2. 27. 오후 2:32 10``여러 가지 적분법 • 135본책여러 가지 적분법10155~157쪽u(x)=x+3, v'(x)=e^x 으로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=e^x .t3 f(x)=int `(x+3)e^x dx=(x+3)e^x -int ` 1.c1 e^x dx=(x+3)e^x -e^x +C_1 f(0)=2이므로 2+C_1 =2 .t3 C_1 =0따라서 f(x)=(x+3)e^x -e^x =(x+2)e^x 이므로 int ` f(x)dx=int `(x+2)e^x dxh(x)=x+2, k'(x)=e^x 으로 놓으면 h'(x)=1, k(x)=e^x 이므로 int ` f(x)dx=int `(x+2)e^x dx=(x+2)e^x -int ` 1.c1 e^x dx=(x+2)e^x -e^x +C=(x+1)e^x +C ②1274 y=f(x)의 그래프가 x=1인 점에서 직선 y=1에 접하므로 f'(1)=0, f(1)=1이다.조건 ㈎에서 y=f(x)의 그래프가 x=1인 점에서 직선 y=1에 접하므로 f'(1)=0, f(1)=1한편 조건 ㈏에서 limh=0 `f'(x+h)-f'(x)h=f"(x)이므로 f"(x)=x+1x^3 .t3 f'(x)=int ` f"(x)dx=int x+1x^3 dx=int `(x^- 2+x^- 3)dx=-x^- 1-1/2x^- 2+C_1 =-1/x-12x^2 +C_1 f'(1)=0이므로 -1-1/2+C_1 =0 .t3 C_1 =3/2 따라서 f'(x)=-1/x-12x^2 +3/2 이므로 f(x)=int ` f'(x)dx=int `(-1/x-12x^2 +3/2 ) dx=int (-1/x-1/2x^- 2+3/2 ) dx=-ln|x|+1/2x+3/2 x+C이때 f(1)=1이므로 1/2+3/2 +C=1 .t3 C=-1따라서 f(x)=-ln|x|+1/2x+3/2 x-1이므로 f(1/2 )=-ln1/2+3/4 =ln 2+3/4 ln2+3/4 1271 sin ^2 x+cos ^2 x=1임을 이용하여 피적분함수를 변형한 후 치환적분법을 이용하여 부정적분을 구한다.f(x)=int sin ^3 x1-cos xdx=int sin x.c1 sin ^2 x1-cos x dx=int sin x(1-cos ^2 x)1-cos x dx=int sin x(1+cos x)(1-cos x)1-cos x dx=int `sin x(1+cos x)dx1+cos x=t로 놓으면 dtdx=-sin x이므로 f(x)=int `sin x(1+cos x)dx=int `(-t)dt=-1/2 t^2 +C=-1/2(1+cos x)^2 +Cf`(pai/2 )=1/2 이므로 -1/2+C=1/2 .t3 C=1따라서 f(x)=-1/2(1+cos x)^2 +1이므로 ⇨ ❶ f(pai )=-1/2(1-1)^2 +1=1 ⇨ ❷ 11272 f(x)=int ` f'(x)dx에서 x+2=t로 놓고 피적분함수를적분하기 쉬운 형태로 변형하여 f(x)를 구한다. f(x)=int ` f'(x)dx이므로 f(x)=int x-4(x+2)^3 `dxx+2=t로 놓으면 x=t-2, dtdx=1이므로 f(x)=int x-4(x+2)^3 dx=int t-6t^3 dt=int `(t^- ^2 -6t^- ^3 )dt =-t^- 1-6.c1 (-1/2 ) t^- 2+C =-1x+2+3(x+2)^2 +Cf(0)=3/4 이므로 -1/2+3/4 +C=3/4 .t3 C=1/2 .t3 f(x)=-1x+2+3(x+2)^2 +1/2이때 f(1)=1/2 이므로 곡선 y=f(x) 위의 점은 ③이다. ③1273 먼저 부분적분법을 이용하여 f(x)를 구한다. f'(x)=(x+3)e^x 이므로 f(x)=int ` f'(x)dx=int `(x+3)e^x dx채점 기준비율❶f(x)를구할수있다.70%❷f(pai )의값을구할수있다.30%라이트쎈_미적2_10강해설_칠.indd 13515. 2. 27. 오후 2:32 136 • 정답 및 풀이정답 및 풀이f(x)가 x=3/4pai에서 극솟값 3/8pai를 가지므로 f`(3/4pai)=3/8pai에서 1/2sin (2.c13/4pai)+1/8sin (4.c13/4pai)+1/2.c13/4pai+C=3/8pai -1/2+3/8pai+C=3/8pai .t3 C=1/2 .t3 f(x)=1/2sin 2x+1/8sin 4x+1/2x+1/2 ⇨ ❷따라서 구하는 극댓값은 f(pai/4)=1/2sin`(2.c1pai/4)+1/8sin`(4.c1pai/4)+1/2.c1pai/4+1/2=1/2+pai/8+1/2=pai/8+1 ⇨ ❸ pai/8+11277 도함수의 정의를 이용하여 limh=0 f(x+2h)-f(x-2h)h를 정리한 후 f'(x)를 구한다.조건 ㈏에서 limh=0`f(x+2h)-f(x-2h)h=limh=0`f(x+2h)-f(x)+f(x)-f(x-2h)h`=limh=0`f(x+2h)-f(x)2h.c12+limh=0`f(x-2h)-f(x)-2h.c12=2f'(x)+2f'(x)=4f'(x)이므로 4f'(x)=4(cos x-sin x)sin x+cos x .t3 f'(x)=cos x-sinxsin x+cos x .t3 f(x)=int` f'(x)dx=int cos x-sin xsin x+cos x`dx=int (sin x+cos x)'sin x+cos x`dx=ln|sin x+cos x|+C조건 ㈎에서 f(0)=2이므로 C=2 .t3 f(x)=ln|sin x+cos x|+2 f(x)=ln|sin x+cos x|+21278 y=e^x+1을 x에 대하여 정리한 후 x와 y를 서로 바꾸어 역함수 f(x)를 구한 다음 f(x)를 적분한다. y=e^x+1에서 y>1이고 e^x=y-1, x=ln(y-1) (.T3 y-1>0) x와 y를 서로 바꾸면 y=ln(x-1) .t3 f(x)=ln(x-1)채점 기준비율❶극댓값과극솟값을갖는x의값을구할수있다.40%❷f(x)를구할수있다.40%❸극댓값을구할수있다.20%1275 f(x)가 모든 실수에서 연속이므로f(0)=limx=0+`f(x)=limx=0-`f(x)임을 이용한다.f'(x)={e^xx^2+1(x>0)(x<0)이므로 f(x)={e^x+C_11/3x^3+x+C_2(x>0)(x<0)함수 f(x)가 x=0에서 연속이므로 f(0)=limx=0+(e^x+C_1)=limx=0-(1/3x^3+x+C_2) 1+C_1=C_2 .c3.c3 ㉠한편 f(-1)=2/3이므로 -1/3-1+C_2=2/3 .t3 C_2=2이것을 ㉠에 대입하면 C_1=1 .t3 f(x)={e^x+11/3x^3+x+2(xj0)(xi0)따라서 f'(1)=e, f(1)=e+1이므로 곡선 y=f(x) 위의 x=1인 점에서의 접선의 방정식은 y-(e+1)=e(x-1) .t3 y=ex+1 ⑤1276 f'(x)=0에서 극댓값, 극솟값을 갖는 x의 값을 구하고, 반각의 공식을 이용하여 피적분함수를 변형한 후 부정적분을 구한다. f'(x)=cos 2x-sin^2 2x+1=cos 2x-(1-cos^2 2x)+1=cos^2 2x+cos 2x=cos 2x(cos 2x+1)f'(x)=0에서 cos 2x=0 또는 cos 2x=-10_0)오른쪽 그림에서 위의 부등식을 만족시키는 (cid:89)(cid:48)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:497)(cid:497)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:84)(cid:74)(cid:79)(cid:65)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:68)(cid:80)(cid:84)(cid:65)(cid:89)(cid:497)(cid:14)(cid:21)(cid:22)(cid:14)(cid:21)(cid:497)x의 값의 범위는 0ix0, aL1)에서⑴ a>1일 때, limx=inf a^x=inf, limx=-inf a^x=0⑵ 00) ⇨ ❷따라서 f(x)는 x=ln 2에서 극소 xcln 2cf'(x)-0+f(x)↘극소↗이면서 최소이므로 구하는 최솟값은 f(ln 2)=?0 ln 2 (e^t-2)(e^t+2)dt f(ln 2)=?0 ln 2 (e^2^t-4)dt f(ln 2)=[1/2e^2^t-4t]0ln 2 f(ln 2)=(2-4 ln 2)-1/2 f(ln 2)=3/2-4 ln 2 ⇨ ❸ 3/2-4 ln 21359 F'(x)=f(x)로 놓으면 limh=0 1/h?1 !/H`f(t)dt=limh=0 F(1+h)-F(1)h =F'(1)=f(1) =sin pai+cos pai =-1 ②1360 f(x)=ln x+xe^x, F'(x)=f(x)로 놓으면 limh=0 1/h?1 !/@H (ln x+xe^x)d x=limh=0 1/h?1 !/@H f(x)d x=limh=0 F(1+2h)-F(1)h=limh=0 F(1+2h)-F(1)2h.c12=2F'(1)=2f(1)=2e ③1361 f(x)=x sin x, F'(x)=f(x)로 놓으면 limh=0 1/h?p2 -h+hx sin x dx=limh=0 F(pai/2+h)-F(pai/2-h)h=limh=0 F(pai/2+h)-F(pai/2)+F(pai/2)-F(pai/2-h)h=limh=0 F(pai/2+h)-F(pai/2)h+limh=0 F(pai/2-h)-F(pai/2)-h채점 기준비율❶f'(x)를구할수있다.20%❷f'(x)=0인x의값을구할수있다.30%❸최솟값을구할수있다.50%p2=F'(pai/2)+F'(pai/2)=2F'(pai/2)=2 f (pai/2) ⇨ ❶=pai ⇨ ❷ pai1362 f(t)=t(3^t+ln t), F'(t)=f(t)로 놓으면 limx=1 1x-1 ?1 1xt(3^t+ln t)dt=limx=1 1x-1 ?1 1xf(t)dt=limx=1 F(1x )-F(1)x-1=limx=1 F(1x )-F(1)1x-1.c111x +1=1/2F'(1)=1/2 f(1)=3/2 3/21363 F'(x)=f(x)로 놓으면 limx= p4`1x-pai/4`?pai/4`X f(t)dt=limx= p4` F(x)-F(pai/4)x-pai/4=F'(pai/4)=f (pai/4)=124 ③1364 limn=inf 1/n sigk=1^N sin (1+3k/n)=1/3 limn=inf sigk=1^N sin (1+3k/n).c13/n=1/3?1 $ sin x d x따라서 a=1/3, b=1, c=4이므로 abc=4/3 4/31365 limn=inf 1n^3 sigk=1^N k2n^2-k^2x=limn=inf sigk=1^N k/n .c151-( k/n )^^2b.c11/n=?0 ! x21-x^2x d x1-x^2=t로 놓으면 dtd x=-2x또한 x=0일 때 t=1, x=1일 때 t=0이므로 ?0 ! x21-x^2x`d x=?1 ) 1t .c1(-1/2)`dt=1/2?0 ! 1t `dt=1/2?0 ! t1/2`dt=1/2[2/3t3/2]0! =1/3 .t3 ㈎ k/n ㈏ 1/3 풀이 참조채점 기준비율❶f(x)=xsinx,F'(x)=f(x)로놓고식을변형할수있다.80%❷주어진식의극한값을구할수있다.20%라이트쎈_미적2_11강해설_칠.indd 14615. 2. 27. 오후 2:31 11``정적분 • 147본책정적분11168~170쪽1370 3-x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.3-x=t로 놓으면 dtd x=-1또한 x=0일 때 t=3, x=2일 때 t=1이므로 int0 @`f(3-x)dx=int3 !`f(t).c1 (-1)dt=int1 #`f(t)dt=int1 #`f(x)dx ②1371 f(t)=(t-1)e^t , F'(t)=f(t)로 놓고 미분계수의 정의를 이용하여 주어진 식을 정리한다.f(t)=(t-1)e^t , F'(t)=f(t)로 놓으면 limx=0 `1/x?0 X (t-1)e^t dt=limx=0 `1/x?0 X f(t)dt=limx=0 `1/x[F(t)]0X=limx=0 `F(x)-F(0)x=F'(0)=f(0)=-1 ②1372 limn=inf sigk=1^N f (a+pnk).c1 pn=inta A/Pf(x)dx임을 이용한다.limn=inf sigk=1^N 1/n 54nn+kg =limn=inf sigk=1^N 541+k/ng.c1 1/n =limn=inf sigk=1^N `251+k/ng.c1 1/n =?1 @ 21x d x=[41x]1@=4(12-1) 4(12-1)1373 구간에 따라 다르게 정의된 함수는 구간을 나누어 각각 정적분의 값을 구한다.?-.p4 `f(x)d x=?-p4p4 sec^2 x d x+?p4. 12 (sin x+cos x)d x =[tan x]p4-p4 +12`[-cos x+sin x]p4. =1-(-1)+12 (1-0)=2+12 ⑤1374 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 경계로 적분 구간을 나누어 구한다.적분 구간이 [0, pai/2 ]이므로 2cos 2x-1=0에서 cos 2x=1/2, 2x=π /3 .t3 x=π /6 .t3 |2 cos 2x-1|={-2 cos 2x+12 cos 2x-1 (pai/6 ixipai/2 )(0ixipai/6 )1366 limn=inf 1/n (e1/n +e2/n +e3/n +c+en/n)=limn=inf 1/n sigk=1^N ek/n=limn=inf sigk=1^N ek/n.c1 1/n=?0 ! e^x d x=[e^x ]0!=e-1 ②1367 f(x)의 한 부정적분을 F(x)라 할 때,?a B`f(x)d x=F(b)-F(a)임을 이용한다.?1 @ 3x+1x^2 d x=?1 @ (3/x +1x^2 )d x=?1 @ (3/x +x-2)d x=[3 ln|x|-x^- ^1 ]1@ =3 ln 2-1/2 -(-1)=3 ln 2+1/2 3ln 2+1/2 1368 지수함수의 부정적분을 이용하여 정적분을 계산한다.?0 ! 3^2 ^x d x=?0 ! 9^x d x=[9^x ln 9]0!=9ln 9-1ln 9=8ln 9이므로 k=8 ④1369 n이 자연수일 때, 2n-1=1, 3, 5, c이고, 2n=2, 4, 6, c임을 이용한다.?(2n-1)pai 2npai sin x d x=[-cos x](2n-1)pai 2npai =-cos (2n-1)pai +cos 2npai ⇨ ❶이때 자연수 n에 대하여 (2n-1)pai =pai , 3pai , 5pai , c 2npai =2pai , 4pai , 6pai , c이고 cos pai =cos 3pai =cos 5pai =c=-1 cos 2pai =cos 4pai =cos 6pai =c=1 ⇨ ❷이므로 ?(2n-1)pai 2npai sin x d x=-(-1)+1=2 ⇨ ❸ 2채점 기준비율❶정적분을구할수있다.30%❷cos (2n-1)pai ,cos 2npai 의값을구할수있다.50%❸주어진정적분의값을구할수있다.20%라이트쎈_미적2_11강해설_칠.indd 14715. 2. 27. 오후 2:31 148 • 정답 및 풀이정답 및 풀이1378 e^3^x+1=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. e^3^x+1=t로 놓으면 dtd x=3e^3^x또한 x=0일 때 t=2, x=ln 3일 때 t=28이므로 ?0 ln 3 e^3^xe^3^x+1`d x=?2 @* 1/t.c11/3 dt=[1/3 ln |t|]2@* =1/3 ln 28-1/3 ln 2 =1/3 ln 14 ⑤1379 먼저 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 피적분함수를 변형한다.?-.p2 cos^3x d x=?-.p2 cos^2x.c1cos x d x=?-.p2 (1-sin^2x)cos x d xsin x=t로 놓으면 dtd x=cos x또한 x=-pai/2일 때 t=-1, x=pai일 때 t=0이므로 ?-.p2 (1-sin^2x)cos x d x=int-1) (1-t^2)dt=[t-1/3t^3]-1)=-(-1+1/3)=2/3따라서 p=3, q=2이므로 p+q=5 ②1380 x=13tan t (-pai/21)(xi1)이므로 ?0 # (x � 1)d x=?0 ! 2e^x d x+?1 # (e^x +e)d x=[2e^x ]0!+[e^x +ex]1#=(2e-2)+{e^3 +3e-(e+e)}=e^3 +3e-2 ⑤1385 log _2 x=t로 놓고 치환적분법을 이용하여 a_n 을 구한다. a_n =?1 @ (log _2 x)^n x ln 2d x에서 log _2 x=t로 놓으면 dtd x=1x ln 2또한 x=1일 때 t=0, x=2일 때 t=1이므로 a_n =?1 @ (log _2 x)^n x ln 2d x=?0 ! t^n dt a_n =[1n+1t^n ^+ ^1 ]0! a_n =1n+1 ⇨ ❶ .t3 b_n =11a_n _+ _1 z-11a_n q=1n+2z-1n+1z ⇨ ❷ .t3 sigk=1 ^48 b_k =sigk=1 ^48 (1k+2z -1k+1z ) =(13-12 )+(14-13 )+(15-14 ) +c+(149q-148q )+(150q-149q ) =150q-12 =412 ⇨ ❸ 4121386 부분적분법과 치환적분법을 이용하여 ?0 pai/2 f(x)g'(x)d x의 값을 구한다.?0 pai/2 f(x)g'(x)d x=[`f(x)g(x)]0pai/2 -?0 pai/2 f'(x)g(x)d x=f (pai/2 ) g (pai/2 )-f(0)g(0)-?0 pai/2 2 sin x cos x(1+sin ^2 x)^3 d x=-?0 pai/2 2 sin x cos x(1+sin ^2 x)^3 d x1+sin ^2 x=t로 놓으면 dtd x=2 sin x cos x또한 x=0일 때 t=1, x=pai/2 일 때 t=2이므로채점 기준비율❶a_n 을구할수있다.50%❷b_n 을구할수있다.20%❸sigk=1 ^48 b_k 의값을구할수있다.30% .t3 int1 @ (x-1)ln x d x=[(ln x).c1 (1/2 x^2 -x)]1@-?1 @ 1/x .c1 (1/2 x^2 -x) d x=-?1 @ (1/2 x-1) d x=-[1/4 x^2 -x]1@=1/4 1/4 1382 ?0 pai/2 f(t)sin t dt=k (k는 상수)로 놓고 k의 값을 구한다.?0 pai/2 f(t)sin t dt=k (k는 상수) .c3 .c3 `㉠로 놓으면 f(x)=cos x+2k이것을 ㉠에 대입하면 ?0 pai/2 (cos t+2k)sin t dt=k이때 ?0 pai/2 (cos t+2k)sin t dt=?0 pai/2 (sin t cos t+2k sin t)dt =?0 pai/2 (1/2 sin 2t+2k sin t)dt =[-1/4 cos 2t-2k cos t]0pai/2 =1/4 -(-1/4 -2k) =1/2 +2k이므로 1/2 +2k=k .t3 k=-1/2 따라서 f(x)=cos x-1이므로 f (pai/3 )=1/2 -1=-1/2 ②1383 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하여 f'(x)를 구한다.주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f'(x)=2-xe^x f'(x)=0에서 x=2 (.T3 e^x >0)따라서 f(x)는 x=2에서 극대 xc2cf'(x)+0-f(x)↗극대↘이면서 최대이므로 최댓값은 f(2)=int0 @`2-te^t dt=int0 @(2-t)e-t dtu(t)=2-t, v'(t)=e-t 으로 놓으면 u'(t)=-1, v(t)=-e-t .t3 f(2)=int0 @ (2-t)e-t dt=[(2-t).c1 (-e-t)]0@-int0 @(-1).c1 (-e-t )dt=-(-2)-[-e-t]0@=2-(-e-2 +1)=1+1e^2 1+1e^2 라이트쎈_미적2_11강해설_칠.indd 14915. 2. 27. 오후 2:31 150 • 정답 및 풀이정답 및 풀이1389 주어진 곡선은 구간 [-1, 0]에서 yi0이고, 구간 [0, 1]에서 yj0이다.따라서 구하는 넓이 S는 S=int-1!`|e^x-1|dx=int-1)`(-e^x+1)dx+int0!(e^x-1)dx =[-e^x+x])-1+[e^x-x]!0 ={-1-(-e^-^1-1)}+(e-1-1) =e+1/e-2 .t3 ㈎ i ㈏ j ㈐ -e^x+1 ㈑ e^x-1 ㈒ e+1/e-2 풀이 참조1390 오른쪽 그림에서 구하는 넓이는 (cid:89)(cid:48)(cid:19)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:89) int0@1x dx=int0@x1/2dx=[2/3x3/2]@0=4223 42231391 오른쪽 그림에서 구하는 넓이는 (cid:89)(cid:48)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:84)(cid:74)(cid:79)(cid:65)(cid:89)p(cid:14)(cid:19) int0pai2 sin x dx=[-cos x]0pai2=1 11392 오른쪽 그림에서 구하는 넓이는 (cid:89)(cid:48)(cid:19)(cid:14)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:70)x int0@ |-e^x|dx=int0@ e^x dx=[e^x]@0=e^2-1 e^2-11393 곡선 y=cos x와 x축의 교점의 p(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:48)p(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:68)(cid:80)(cid:84)(cid:65)(cid:89)x좌표는 cos x=0에서 x=pai2`(.T3 0_0)x0c3cg'(x)+0-g(x)↗극대↘따라서 g(x)는 x=3에서 극대이면서 최대이므로 구하는 최댓값은 g(3)이다. ⑤라이트쎈_미적2_12강해설_칠.indd 15015. 2. 27. 오후 2:30 12``정적분의 활용 • 151본책172~175쪽정적분의 활용121398 ⑴ 두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)의 교점의 x좌표는 cos x=sin x에서 x=pai/4 `(.T3 0_< x_< pai/2 ) .t3 a=pai/4 ⑵ 두 곡선 `y=f(x), y=g(x)는 p(cid:14)(cid:21)p(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:30)(cid:72)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:48)(cid:18)(cid:90)오른쪽 그림과 같으므로구간 [0, pai/4 ]에서 `f(x)_> `g(x),구간 [pai/4 , pai/2 ]에서 `f(x)_< `g(x)⑶ int0 pai 2|`f(x)-`g(x)|dx=int0 pai 2|cos x-sin x|dx=int0 pai 4(cos x-sin x)dx+int pai 4pai 2(sin x-cos x)dx=[sin x+cos x]0pai 4+[-cos x-sin x]pai 2pai 4=212-2 풀이 참조1399 곡선 y=3/x 과 직선 y=4-x의 (cid:20)(cid:14)(cid:89)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:18)(cid:20)(cid:21)(cid:20)(cid:21)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:21)(cid:14)(cid:89)(cid:90)(cid:30)교점의 x좌표는 3/x =4-x에서 x^2 -4x+3=0 (x-1)(x-3)=0 .t3 x=1 또는 x=3따라서 구하는 넓이는 int1 #(4-x-3/x ) dx=[4x-1/2 x^2 -3 ln|x|]#1 =4-3 ln 3 4-3 ln 31400 두 곡선 y=x^2 , y=212xq 의 교점의 (cid:89)(cid:48)(cid:19)(cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:19)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:89)2(cid:21)(cid:90)x좌표는 x^2 =212xq 에서 x^4 =8x, x(x^3 -8)=0 x(x-2)(x^2 +2x+4)=0 .t3 x=0 또는 x=2 (.T3 x^2 +2x+4>0)따라서 구하는 넓이는 int0 @(212xq -x^2 )dx=int0 @(212.c1 x1/2 -x^2 )dx=[4/3 12x3/2 -1/3 x^3 ]@0=^16 /3 -8/3 =8/3 8/3 1394 곡선 y=2/x+1-1과 x축의 교점 (cid:19)(cid:14)(cid:14)(cid:14)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:18)(cid:48)(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:90)의 x좌표는 2/x+1-1=0에서 2/x+1=1, x+1=2 .t3 x=1따라서 구하는 넓이는 int0 @`|2/x+1-1|dx=int0 !(2/x+1-1) dx+int1 @(-2/x+1+1) dx=[2 ln|x+1|-x]!0+[-2 ln|x+1|+x]@1=2 ln 2-1+{-2 ln 3+2-(-2 ln 2+1)}=4 ln 2-2 ln 3=2 ln 4/3 2 ln 4/3 1395 주어진 곡선은 구간 [-1, 0]에서 xi0이고, 구간 [0, 1]에서 xj0이다.따라서 구하는 넓이 S는 S=int-1 !`|e^y -1|dy=int-1 )`(-e^y +1)dy+int0 !(e^y -1)dy =[-e^y +y])-1+[e^y -y]!0 ={-1-(-e^- ^1 -1)}+(e-1-1) =e+1/e -2 .t3 ㈎ i ㈏ j ㈐ -e^y +1 ㈑ e^y -1 ㈒ e+1/e -2 풀이 참조1396 y=1/x에서 x=1/y (cid:18)(cid:14)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:18)(cid:89)(cid:48)(cid:90)따라서 구하는 넓이는 int1 # 1/y dy=[ln|y|]#1=ln 3 ln 31397 y=e^- ^x 에서 -x=ln y (cid:90)(cid:30)(cid:70)-x(cid:89)(cid:70)(cid:48)(cid:18)(cid:90) .t3 x=-ln y따라서 구하는 넓이는 int1 E|- ln y|dy=int1 E ln y`dy=[y ln y]E1-int1 E dy=e-[y]E1=e-(e-1)=1 1라이트쎈_미적2_12강해설_칠.indd 15115. 2. 27. 오후 2:30 152 • 정답 및 풀이정답 및 풀이1405 오른쪽 그림에서 구하는 넓이는 (cid:18)(cid:14)(cid:14)(cid:14)(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:48)(cid:19)(cid:19)(cid:70)(cid:90) int2@E 1/x-1 dx=[ln|x-1|]@E2`=ln(2e-1) ③1406 오른쪽 그림에서 구하는 넓이는 (cid:89)(cid:48)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:14)(cid:77)(cid:79)(cid:65)(cid:19)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:77)(cid:79)(cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:10)(cid:90) -int-1!`{-ln(x+2)}dx=int-1!` ln(x+2)dx=[x ln(x+2)]!-1-int-1!` x/x+2 dx=ln 3-int-1!`(1-2/x+2) dx=ln 3-[x-2 ln|x+2|]!-1=ln 3-{(1-2 ln 3)-(-1)}=3 ln 3-2 3 ln 3-21407 오른쪽 그림에서 S(n)은 (cid:89)(cid:48)(cid:79)(cid:12)(cid:18)(cid:79)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:70)(cid:5175) S(n)=intnN/!e^xdx=[e^x]nN/!=e^n^+^1-e^n=e^n(e-1) ⇨ ❶ .t3 S(5)=e^5(e-1), S(2)=e^2(e-1) ⇨ ❷ .t3 S(5)S(2)=e^3 ⇨ ❸ e^3채점 기준비율❶S(n)을구할수있다.60%❷S(5),S(2)의값을구할수있다.20%❸S(5)S(2)~의값을구할수있다.20%1408 오른쪽 그림에서 색칠한 부분의 (cid:89)(cid:66)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:14)(cid:66)(cid:48)(cid:21)(cid:90)넓이는 inta$1x-aaq dx=[2/3(x-a)3/2]$a =2/3(4-a)3/2따라서 2/3(4-a)3/2=4223이므로 (4-a)3/2=212, (4-a)3/2=23/2 4-a=2 .t3 a=2 ④1401 두 곡선 y=1x, y=1/x의 교점의 (cid:18)(cid:14)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:48)(cid:19)(cid:18)(cid:18)(cid:90)x좌표는 1x=1/x에서 x=1x^2, x^3=1 (x-1)(x^2+x+1)=0 .t3 x=1 (.T3 x^2+x+1>0)따라서 구하는 넓이는 int1@ (1x-1/x) dx=int1@ (x1/2-1/x) dx=[2/3x3/2-ln|x|]1@=(4223-ln 2)-2/3 =422 -23-ln 2 422 -23-ln 21402 두 곡선 y=e^x, y=e^-^x의 교점의 (cid:90)(cid:30)(cid:70)-x(cid:90)(cid:30)(cid:70)x(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:90)x좌표는 e^x=e^-^x에서 x=-x .t3 x=0따라서 구하는 넓이는 int-1!`|e^x-e^-^x|dx=int-1)`(e^-^x-e^x)dx+int0!(e^x-e^-^x)dx=[-e^-^x-e^x])-1+[e^x+e^-^x]!0=(-1-1)-(-e-e^-^1)+(e+e^-^1)-(1+1)=2e+2/e-4 2e+2/e-41403 단면의 넓이가 3x^2+5이므로 구하는 부피는 int0#S(x)dx=int0#(3x^2+5)dx =[x^3+5x]#0 =42 421404 단면의 넓이가 21x이므로 구하는 부피는 int0#S(x)dx=int0# 21x dx =[4/3x3/2]#0 =413 413라이트쎈_미적2_12강해설_칠.indd 15215. 2. 27. 오후 2:30 12``정적분의 활용 • 153본책정적분의 활용12175~177쪽따라서 1/3 a^3 -a+2/3 =4/3 이므로 a^3 -3a-2=0 (a-2)(a+1)^2 =0 .t3 a=2`(.T3 a>1) ③1414 곡선 y=2/x 와 직선 (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:12)(cid:20)(cid:19)(cid:14)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:20)(cid:19)(cid:18)(cid:90)y=-x+3의 교점의 x좌표는2/x =-x+3에서 x^2 -3x+2=0 (x-1)(x-2)=0 .t3 x=1 또는 x=2따라서 구하는 넓이는 int1 @(-x+3-2/x ) dx=[-1/2 x^2 +3x-2 ln|x|]@1=(-2+6-2 ln 2)-(-1/2 +3)=3/2 -2 ln 2 ①1415 곡선 y=xe^2 ^- ^x 과 직선 y=1/e x의 교점의 x좌표는xe^2 ^- ^x =1/e x에서 x (e^2 ^- ^x -1/e )=0, x(e^2 ^- ^x -e^- ^1 )=0 x=0 또는 e^2 ^- ^x =e^- ^1 .t3 x=0 또는 x=3 ⇨ ❶ 따라서 구하는 넓이는 int0 #(xe^2 ^- ^x -1/e x)dx=int0 #xe^2 ^- ^x dx-int0 #1/e x dx=[x.c1 (-e^2 ^- ^x )]0#-int0 #(-e^2 ^- ^x )dx-[1/2ex^2 ]0#=-3e^- ^1 +[-e^2 ^- ^x ]0#-9/2e=e^2 -17/2e ⇨ ❷ e^2 -17/2e1416 두 곡선 y=cos x, y=cos 2x의 (cid:19)(cid:14)(cid:20)(cid:89)(cid:48)pp(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:68)(cid:80)(cid:84)(cid:65)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:68)(cid:80)(cid:84)(cid:65)(cid:19)(cid:89)교점의 x좌표는 cos x=cos 2x에서 cos x=2 cos ^2 x-1 2 cos ^2 x-cos x-1=0 (2 cos x+1)(cos x-1)=0채점 기준비율❶곡선과직선의교점의x좌표를구할수있다.30%❷곡선과직선으로둘러싸인도형의넓이를구할수있다.70%1409 int pai 6pai sin x dx+intpai 3/2`pai (-sin x)dx =[-cos x]PAI pai 6`+[cos x]pai 3/2`pai =2+132 ③1410 int-1 )`(-2xx^2 +3) dx+int0 ! 2xx^2 +3 dx =[-ln|x^2 +3|])-1+[ln|x^2 +3|]!0 =2 ln 4-2 ln 3 =2 ln 4/3 2 ln 4/3 1411 y=1/-에서 (cid:18)(cid:14)(cid:14)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:70)(cid:48)(cid:18)(cid:90) 1-x=1/y ∴ x=1-1/y 따라서 구하는 넓이는 int1 E(1-1/y ) dy=[y-ln|y|]E1=e-2 ①1412 y=ln (x+1)에서 (cid:89)(cid:18)(cid:48)(cid:14)(cid:19)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:77)(cid:79)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:10) x+1=e^y ∴ x=e^y -1따라서 구하는 넓이는 int-2 )`{-(e^y -1)}dy+int0 !(e^y -1)dy =[-e^y +y])-2+[e^y -y]!0 =e+1e^2 -1 e+1e^2 -11413 y=(x+a)^2 에서 (cid:89)(cid:18)(cid:48)(cid:66)2(cid:14)(cid:66)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:66)(cid:10)2 1y=x+a`(.T3 x_> -a) .t3 x=1y-a오른쪽 그림에서 색칠한 부분의 넓이는 -int1 A@(1y-a)dy =-[2/3 y3/2 -ay]A@1 =-{(2/3 a^3 -a^3 )-(2/3 -a)} =1/3 a^3 -a+2/3 라이트쎈_미적2_12강해설_칠.indd 15315. 2. 27. 오후 2:30 154 • 정답 및 풀이정답 및 풀이1419 y=e^x^-^1에서 y'=e^x^-^1이므로 곡선 (cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:70)(cid:89)(cid:14)(cid:70)(cid:90)(cid:30)(cid:70)x-1(cid:70)(cid:18)(cid:48)(cid:14)(cid:70)(cid:19)(cid:90)(cid:18)(cid:14)(cid:70)위의 점 (2, e)에서의 접선의 기울기는 e이고 접선의 방정식은 y-e=e(x-2) .t3 y=ex-e따라서 구하는 넓이는 int0@ {e^x^-^1-(ex-e)}dx =[e^x^-^1-e/2x^2+ex]@0 =(e-2e+2e)-1/e =e-1/e ②1420 y=-1x에서 y'=-121x이므로 곡선 위의 점 (4, -2)에서의 접선의 기울기는 -1/4이고 접선의 방정식은 y-(-2)=-1/4(x-4) .t3 y=-1/4x-1따라서 구하는 넓이는 (cid:18)(cid:14)(cid:21)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:48)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:21)(cid:90) int0${-1x -(-1/4x-1)}dx =int0$(-1x+1/4x+1) dx =[-2/3x3/2+1/8x^2+x]$0 =2/3즉 p=3, q=2이므로 p+q=5 51421 ⑴ y=ln x에서 y'=1/x이므로 곡선 위의 점 (t, ln t)에서의 접선의 기울기는 1/t이고 접선의 방정식은 y-ln t=1/t(x-t)이 직선이 점 (0, 0)을 지나므로 -ln t=1/t(0-t), ln t=1 .t3 t=e따라서 구하는 접선의 방정식은 y-1=1/e(x-e) .t3 y=1/ex⑵ int0E1/ex dx-int1Eln x dx (cid:18)(cid:14)(cid:70)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:18)(cid:89)(cid:70)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:77)(cid:79)(cid:65)(cid:89) =[1/2ex^2]E0-([x ln x]E1-int1E dx) =e/2-e+[x]E1 =e/2-e+e-1=e/2-1 ⑴ y=1/ex ⑵ e/2-1 cos x=-1/2 또는 cos x=1 .t3 x=0 또는 x=2/3pai`(.T3 0_0)따라서 두 도형의 넓이는 S_1=int1/4! (1/x-1x ) dx=[ln|x|-2/3x3/2]!1/4=-2/3-(-ln 4-^1/12)=ln 4-^7/12 ⇨ ❶ S_2=int1$ (1x-1/x) dx=[2/3x3/2-ln|x|]$1=(^16/3-ln 4)-2/3=^14/3-ln 4 ⇨ ❷ .t3 S_2-S_1=(^14/3-ln 4)-(ln 4-^7/12) =^21/4-4 ln 2 ⇨ ❸ ^21/4-4 ln 2채점 기준비율❶S_1의값을구할수있다.40%❷S_2의값을구할수있다.40%❸S_2-S_1의값을구할수있다.20%라이트쎈_미적2_12강해설_칠.indd 15415. 2. 27. 오후 2:30 12``정적분의 활용 • 155본책정적분의 활용12177~180쪽1426 오른쪽 그림과 같이 두 곡선 (cid:21)(cid:21)(cid:89)(cid:48)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:72)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)y=f(x)와 y=g(x)는 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 두 곡선 y=f(x), y=g(x)의 교점의 x좌표는 곡선 y=f(x)와 직선 y=x의 교점의 x좌표와 같다.즉 21x=x에서 4x=x^2 x^2 -4x=0, x(x-4)=0 .t3 x=0 또는 x=4이때 두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)로 둘러싸인 도형의 넓이는 곡선 y=f(x)와 직선 y=x로 둘러싸인 도형의 넓이의 2배와 같으므로 구하는 넓이는 2?0$`(21x-x)d x=2[4/3x3/2 -1/2x^2 ]$`0 2?0$`(21x-x)d x=2 (32/3-8)=16/3 ②1427 두 함수 y=2^x 과 y=log _2 x는 서로 역함수이므로 두 함수의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이다.따라서 오른쪽 그림에서 B=C이므로 A+B=A+C=2.c1 4=8 ①1428 함수 f(x)=e^x +1/3 의 역함수 가 g(x)이므로 y=f(x)의 그래프와 y=g(x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이다. 따라서 오른쪽 그림에서 (B의 넓이)=(C의 넓이)이므로 ?0 !`f(x)d x+int 43e+1/3 g(x)d x=(A의 넓이)+(B의 넓이)=(A의 넓이)+(C의 넓이)=1.c1 (e+1/3 )=e+1/3 e+1/3 1429 ⑴ 두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 x=e인 점에서 접하므로 직선 y=x는 곡선 y=f(x) 위의 x=e인 점에서의 접선이다. .t3 f(e)=e, f'(e)=1f'(x)=1/ax이므로 1/a =e, 1/ae=1 .t3 a=1/e 채점 기준비율❶S_1 의값을구할수있다.40%❷S_2 의값을구할수있다.40%❸a의값을구할수있다.20%(cid:90)(cid:30)(cid:77)(cid:80)(cid:72)2(cid:65)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:19)x(cid:21)(cid:18)(cid:21)(cid:35)(cid:36)(cid:34)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:19)(cid:90)(cid:21)(cid:14)(cid:20)(cid:21)(cid:14)(cid:20)(cid:18)(cid:14)(cid:20)(cid:70)(cid:12)(cid:18)(cid:14)(cid:20)(cid:70)(cid:12)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:72)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:18)(cid:18)(cid:89)(cid:48)(cid:34)(cid:36)(cid:35)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:72)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:70)(cid:70)1422 int0 K(-x+21x )dx=0이므로[-1/2 x^2 +4/3 x3/2 ]K0=0,-1/2 k^2 +4/3 k1k =0 k1k (-1/2 1k +4/3 )=0, -1/2 1k +4/3 =0`(.T3 k>4) 1k =8/3 .t3 k=^64 /9 ②1423 int0 @(sin π /4x-k) dx=0이므로[-4/π cos π /4x-kx]@0=0,-2k-(-4/π )=0 2k=4/π .t3 k=2/π 2/π 1424 곡선 y=3/2 1x 와 x축 및 직선 (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)2(cid:48)(cid:18)(cid:89)(cid:90)(cid:20)(cid:14)(cid:19)(cid:90)(cid:30)(cid:89)x=1로 둘러싸인 도형의 넓이를 S_1 이라 하면 S_1 =int0 1 3/2 1x dx=[x3/2 ]10=1곡선 y=ax^2 과 x축 및 직선 x=1로 둘러싸인 도형의 넓이를 S_2 라 하면 S_2 =int0 !ax^2 dx=[a/3 x^3 ]!0=a/3 `이때 S_2 =1/2 S_1 이므로 a/3 =1/2 .t3 a=3/2 ⑤1425 곡선 y=e^x 과 x축 및 두 직선 (cid:90)(cid:30)(cid:70)x(cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:70)2x(cid:89)(cid:77)(cid:79)(cid:65)(cid:22)(cid:48)(cid:18)(cid:22)(cid:90)x=0, x=ln 5로 둘러싸인 도형의 넓이를 S_1 이라 하면 S_1 =int0 ln 5e^x dx=[e^x ]0ln 5=5-1=4⇨ ❶곡선 y=ae^2 ^x 과 x축 및 두 직선 x=0,x=ln 5로 둘러싸인 도형의 넓이를 S_2 라 하면 S_2 =int0 ln 5ae^2 ^x dx=[a/2 e^2 ^x ]0ln 5=25a2-a/2 =12a⇨ ❷이때 S_2 =1/2 S_1 이므로 12a=2 .t3 a=1/6 ⇨ ❸ 1/6 라이트쎈_미적2_12강해설_칠.indd 15515. 2. 27. 오후 2:30 156 • 정답 및 풀이정답 및 풀이1432 오른쪽 그림과 같이 사각뿔의 꼭짓점을 원점, 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선을 x축으로 정하고, x좌표가 x인 점을 지나고 x축에 수직인 평면으로 사각뿔을 자른 단면의 넓이를 S(x)라 하자.⇨ ❶이때 잘린 단면과 밑면은 닮은 도형이고 닮음비가 x:h이므로 넓이의 비는 x^2:h^2이다. 즉 S(x):S=x^2:h^2 .t3 S(x)=Sh^2x^2⇨ ❷따라서 구하는 부피를 V라 하면 V=?0H`S(x)dx=?0H`Sh^2x^2 d x =Sh^2[1/3x^3]0`H=1/3Sh⇨ ❸ 풀이 참조1433 오른쪽 그림과 같이 곡선 y=29-x^2x 위의 점 P(x, 29-x^2x ) (0ixi3)에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하면 PH^_=29-x^2x이때 점 P를 지나고 x축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)=PH^_^2=9-x^2따라서 구하는 부피는 ?0 #`S(x)d x=?0 #`(9-x^2)d x=[9x-1/3x^3]0`#=27-9=18 ⑤1434 점 P의 x좌표를 x라 하면 PH^_=3^x이므로 PH^_를 지름으로 하는 반원의 반지름의 길이는 1/2 PH^_=1/2.c13^x이때 x좌표가 x인 점을 지나고 x축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)=1/2.c1pai(1/2PH^_)^^2=p2(1/2.c13^x)^^2=p8.c19^x따라서 주어진 입체도형의 부피는 ?0 @`(p8.c19^x) d x=p8[9^xln 9]0@=p8.c180ln 9=102 ln 3p=5ln 3p .t3 k=5 5(cid:48)(cid:89)(cid:89)(cid:73)(cid:52)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:52)채점 기준비율❶사각뿔의꼭짓점에서밑면에내린수선을x축으로정할수있다.30%❷S(x)를구할수있다.40%❸부피를구할수있다.30%(cid:89)(cid:48)(cid:20)(cid:41)(cid:20)(cid:90)(cid:49)(cid:9)(cid:89)(cid:13)(cid:65)(cid:26)(cid:14)(cid:89)2(cid:10)⑵ 두 함수 y=f(x)와 y=g(x)는 역함수 관계이므로 두 함수의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이다. 따라서 두 곡선 y=f(x), y=g(x)와 x축, y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 곡선 y=f(x)와 직선 y=x 및 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이의 2배와 같다.이때 f(x)=e ln x이고 곡선 y=f(x)와 x축의 교점의 좌표는 (1, 0)이므로 구하는 넓이는 2 (?0E`x d x-?1E`e ln x d x)=2([1/2x^2]0`E-[ex ln x-ex]1`E)=2{1/2e^2-(e^2-e^2+e)}=e^2-2e ⑴ 1/e ⑵ e^2-2e⑴ f(x)=1/a ln x의 역함수를 구하면 y=1/a ln x에서 ay=ln x, x=e^a^yx와 y를 서로 바꾸면 y=e^a^x .t3 g(x)=e^a^x두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 x=e인 점에서 접하므로 f(e)=g(e), f'(e)=g'(e)에서 a=1/e⑵ 두 곡선 y=f(x), y=g(x)와 x축, y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 곡선 y=g(x)와 직선 y=x 및 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이의 2배와 같으므로 구하는 넓이는 2?0E`(e1/ex-x)d x=2[e.c1e1/ex-1/2x^2]0E=2{(e^2-1/2e^2)-e}=e^2-2e1430 단면의 넓이를 S(x)cm^2라 하면 S(x)=3(x+1)^2이므로 구하는 부피는 ?0 %3(x+1)^2d x=3?0 %(x^2+2x+1)d x=3[1/3x^3+x^2+x]0`%=3(125/3+25+5)=215(cm^3) 215 cm^31431 물의 깊이가 x일 때, 수면의 넓이를 S(x)라 하면 ?0X`S(x)d x=ln(x+1)+x^2위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 S(x)=1x+1+2x따라서 물의 깊이가 8일 때, 수면의 넓이는 S(8)=1/9+16=145/9 ②라이트쎈_미적2_12강해설_칠.indd 15615. 2. 27. 오후 2:30 12``정적분의 활용 • 157본책정적분의 활용12180~181쪽int0 K(1x -4)dx=0이므로 [2/3 x3/2 -4x]0K=0, 2/3 k3/2 -4k=0 2/3 k(1k -6)=0이때 k>16이므로 1k -6=0 .t3 k=36 361439 물의 깊이가 x일 때 수면의 넓이를 S(x), 물의 부피를 V(x)라 하면 V(x)=int0 X S(x)dx임을 이용한다.물의 깊이가 x일 때 수면의 넓이를 S(x)라 하면 int0 X S(x)dx=x ln(x+1)위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 S(x)=ln(x+1)+xx+1따라서 물의 깊이가 e^2 -1일 때 수면의 넓이는 S(e^2 -1)=2+e^2 -1e^2 =3-1e^2 3-1e^2 1440 곡선과 y축 사이의 넓이는 x_> 0인 구간과 x_< 0인 구간으로 나누어 구한다.y=(x+1)^2 에서 1y =x+1 (.T3 x_> -1) .t3 x=1y -1곡선 x=1y -1과 y축의 교점의 y좌표는 1y -1=0에서 1y =1 .t3 y=1따라서 구하는 넓이는 (cid:89)(cid:89)(cid:30)(cid:48)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:21)(cid:90)(cid:90)(cid:14)(cid:18) int0 !{-(1y -1)}dy+int1 $(1y -1)dy=int0 !(1-y1/2 )dy+int1 $(y1/2 -1)dy=[y-2/3 y3/2 ]0!+[2/3 y3/2 -y]1$=(1-2/3 )+{(16/3-4)-(2/3 -1)}=2 ⑤1441 곡선과 직선의 교점의 x좌표를 구하여 적분 구간을 정하고, 그 구간 안에서 곡선과 직선의 위치 관계를 파악하여 정적분의 값을 구한다. 곡선 y=1x+2z 와 직선 y=-x의 교점의 x좌표는 1x+2z =-x에서 x+2=x^2 , (x+1)(x-2)=0 .t3 x=-1 (.T3 x<0)곡선 y=1x+2z 와 직선 y=x의 교점 (cid:89)(cid:48)(cid:19)(cid:18)(cid:19)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:12)(cid:19)의 x좌표는 1x+2z =x에서 x+2=x^2 (x+1)(x-2)=0 .t3 x=2 (.T3 x>0)1435 오른쪽 그림과 같이 밑면의 중심 (cid:90)(cid:89)(cid:19)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:49)(cid:48)(cid:50)(cid:51)(cid:21)(cid:22)(cid:11)을 원점, 밑면의 지름을 x축으로 정하자.x축 위의 점 P(x, 0)(-2ixi2)을 지나고 x축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면은 삼각형이다. 이 삼각형을 semo PQR라 하면 PQ^_ =3OQ^_ ^2 -cOP^_ ^2 c=24-x^2 x RQ^_ =PQ^_ tan 45°=24-x^2 x이므로 semo PQR의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)=1/2 .c1 PQ^_ .c1 RwQs=1/2 (4-x^2 )따라서 구하는 부피는 ?-2`@` S(x)d x=?-2`@`1/2 (4-x^2 )d x=2?0 @`1/2 (4-x^2 )d x=[4x-1/3 x^3 ]0@=16/3 16/3 원기둥에서 밑면과 옆면은 수직이므로 semo PQR는 gak PQR=90*인 직각삼각형이다. 1436 곡선 y=f(x)와 x축 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓이는 inta B| f(x)|dx이다. 오른쪽 그림에서 구하는 넓이는 (cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:70)(cid:5175)(cid:12)(cid:18)(cid:48)(cid:18)(cid:19)(cid:90) int0 !(e^x +1)dx=[e^x +x]0!=(e+1)-1=e e1437 곡선 x=g(y)와 y축 및 두 직선 y=c, y=d로 둘러싸인 도형의 넓이는 intc D|g(y)|dy이다. y=ln x+2에서 (cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:77)(cid:79)(cid:65)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:48)(cid:18)(cid:19)(cid:90) ln x=y-2 .t3 x=e^y -2따라서 구하는 넓이는 int1 @ e^y -2 dy=[e^y -2]1@=1-1/e ①1438 곡선 y=f(x)와 x축 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 같으면 inta B f(x)dx=0임을 이용한다.라이트쎈_미적2_12강해설_칠.indd 15715. 2. 27. 오후 2:30 158 • 정답 및 풀이정답 및 풀이곡선 y=1/x+1과 x축, y축 및 (cid:89)(cid:48)(cid:20)(cid:76)(cid:18)(cid:90)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:30)직선 x=3으로 둘러싸인 도형의 넓이를 S_1이라 하면 S_1=int0#`1/x+1 dx=[ln|x+1|]0#=ln 4곡선 y=`1/x+1과 x축, y축 및 직선 x=k로 둘러싸인 도형의 넓이를 S_2라 하면 S_2=int0K`1/x+1 dx=[ln|x+1|]0K`=ln(k+1) (.T3 k+1>0)이때 S_2=1/2S_1이므로 ln(k+1)=1/2ln 4, ln(k+1)=ln 2 k+1=2 .t3 k=1 ④ 1445 물의 깊이가 x일 때 수면의 넓이가 S(x)이면 물의 부피는 int0X S(x)dx임을 이용한다. 물의 깊이가 x일 때, 수면은 반지름의 길이가 1x+5z 인 원이므로 이때의 수면의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)=pai(1x+5z )^2=pai(x+5)따라서 구하는 부피는 int0!) S(x)dx=paiint0!)(x+5)dx=pai[1/2x^2+5x]0!)=pai(1/2.c1100+5.c110)=100pai ⑤ 1446 구간 [a, b]에서 x좌표가 x인 점을 지나고 x축에 수직인 평면으로 잘랐을 때 단면의 넓이가 S(x)인 입체도형의 부피는intaB S(x)dx이다.PH^_=-x^2+2x이므로 semoPHR의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)=134 PH^_^2=134(-x^2+2x)^2⇨ ❶따라서 구하는 부피는 int0 @ 134(-x^2+2x)^2 dx=134 int0 @(x^4-4x^3+4x^2)dx=134[1/5x^5-x^4+4/3x^3]0@=41315 ⇨ ❷41315채점 기준비율❶S(x)를구할수있다.40%❷부피를구할수있다.60%따라서 구하는 넓이는 int-1) {1x+2z -(-x)}dx+int0@(1x+2z -x)dx=[2/3(x+2)3/2+1/2x^2]-1)+[2/3(x+2)3/2-1/2x^2]0@={4123-(2/3+1/2)}+{(16/3-2)-4123 }=13/6즉 p=6, q=13이므로 p+q=19 ④1442 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선의 기울기는 f'(a)임을 이용하여 접선의 방정식을 구한 후 접선과 곡선의 위치 관계를 파악한다.y=ln x에서 y'=1/x이므로 곡선 위의 점 (e^3, 3)에서의 접선의 기울기는 1e^3이고 접선의 방정식은 y-3=1e^3(x-e^3) .t3 y=1e^3x+2 ⇨ ❶따라서 구하는 넓이는 (cid:89)(cid:48)(cid:18)(cid:70)3(cid:20)(cid:19)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:18)(cid:14)(cid:70)(cid:5145)(cid:90)(cid:30)(cid:77)(cid:79)(cid:65)(cid:89) int0E#(1e^3x+2) dx-int1E#ln x dx=[12e^3x^2+2x]0E#-[x ln x-x]1E#=(e^32+2e^3)-(3e^3-e^3+1) =e^32-1⇨ ❷ e^32-11443 구간 [a, b]에서 두 곡선 y=f(x), y=g(x)로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 같으면 intaB{ f(x)-g(x)}dx=0임을 이용한다.int03/2pai(sin x-ax)dx=0이므로 [-cos x-1/2ax^2]03/2pai=0, -1/2a.c19/4pai^2+1=0 -9/8apai^2+1=0, 9/8apai^2=1 .t3 a=89pai^2 89pai^2 1444 구간 [a, b]에서 f(x)j0일 때, 곡선 y=f(x)와 두 직선 x=a, x=b 및 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 x=k가 이등분하면 intaK`f(x)dx=1/2intaB`f(x)dx이다. 채점 기준비율❶접선의방정식을구할수있다.40%❷곡선과직선으로둘러싸인도형의넓이를구할수있다.60%라이트쎈_미적2_12강해설_칠.indd 15815. 2. 27. 오후 2:30 12``정적분의 활용 • 159본책정적분의 활용12181~182쪽이때 부채꼴 PQR의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)=1/2 .c1 PQ^_ ^^2 .c1 pai/6 =π /12(36-x^2 )따라서 구하는 부피는 int-6 ^ S(x)dx=int-6 ^ π /12(36-x^2 )dx=2.c1 π /12int0 ^(36-x^2 )dx=pai/6 [36x-1/3x^3 ]0^=24pai 24pai 1447 함수와 그 역함수의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭임을 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 곡선 (cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:18)(cid:89)(cid:48)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:72)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:65)(cid:9)(cid:89)(cid:10)y=f(x)와 y=g(x)는 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 두 곡선 y=f(x), y=g(x)로 둘러싸인 도형의 넓이는 곡선 y=f(x)와 직선 y=x로 둘러싸인 도형의 넓이의 2배와 같다. 이때 곡선 y=f(x)는 원점에 대하여 대칭이므로 구하는 넓이는 4int0 !(x-tan PAI/4 x) dx=4int0 ! (x-sin PAI/4 xcos PAI/4 x) dx=4int0 ! {x+4/PAI .c1 (cos PAI/4 x)'cos PAI/4 x} dx=4[1/2 x^2 +4/PAI ln|cos PAI/4 x|]0!=4 (1/2 +4/PAI ln 122)=2-8/PAI ln 2 ③1448 구간 [a, b]에서 x좌표가 x인 점을 지나고 x축에 수직인 평면으로 잘랐을 때 단면의 넓이가 S(x)인 입체도형의 부피는 inta B S(x)dx이다.오른쪽 그림과 같이 점 P의 x좌표 (cid:89)(cid:89)(cid:497)(cid:48)(cid:41)(cid:49)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:65)(cid:84)(cid:74)(cid:79)(cid:65)(cid:89)를 x(0ixipai )라 하면 PH^_ =a sin x이때 PH^_ 를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)=PH^_ ^2 =a^2 sin ^2 x따라서 주어진 입체도형의 부피는 int0 PAI S(x)dx=int0 PAI a^2 sin ^2 x dx=a^2 int0 PAI 1-cos 2x2 dx=a^2 [1/2 x-1/4 sin 2x]0PAI =a^2 2π 즉 a^2 2π =2π 이므로 a^2 =4 .t3 a=2 (.T3 a>0) ④1449 입체도형의 밑면을 좌표평면 위에 나타내고, 입체도형을 좌표평면에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 식으로 나타낸다.오른쪽 그림과 같이 밑면의 중심 (cid:497)(cid:14)(cid:23)(cid:89)(cid:89)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:14)(cid:23)(cid:23)(cid:23)(cid:51)(cid:90)을 원점, 밑면의 지름을 x축으로 정하고, x축 위의 점 P(x, 0)(-6ixi6)을 지나고 x축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면을 부채꼴 PQR라 하면 PQ^_ =3OQ^_ ^2 -cOP^_ ^2 c=236-x^2 x라이트쎈_미적2_12강해설_칠.indd 15915. 2. 27. 오후 2:30 라이트쎈_미적2_12강해설_칠.indd 16015. 2. 27. 오후 2:30
