미적분I ● 정답을 확인하려고 할 때에는 <빠른 정답 찾기>를 이용하면 편리합니다.수열의 극한I01 수열의 극한 202 급수 17함수의 극한과 연속II03 함수의 극한 3104 함수의 연속 41다항함수의 적분법IV09 부정적분 9110 정적분 10011 정적분의 활용 115다항함수의 미분법III05 미분계수와 도함수 4906 도함수의 활용 ⑴ 6107 도함수의 활용 ⑵ 7008 도함수의 활용 ⑶ 81라이트쎈(해001-016)1강-ok.indd 114. 8. 29. 오후 2:08 2 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0007 주어진 수열의 일반항을 ~a_n이 라 하면 a_n=(-1/2)^^n^-^1오른쪽 그림에서 n이 한없이 커질 때 a_n의 값은 0에 한없이 가까워지므로 이 수열은 0에 수렴한다. .t3 limn=inf`(-1/2)^^n^-^1=0 수렴, 00008 주어진 수열의 일반항을 a_n이라하면 a_n=22n-1오른쪽 그림에서 n이 한없이 커질 때 a_n의 값은 0에 한없이 가까워지므로 이 수열은 0에 수렴한다. .t3 limn=inf`22n-1=0 수렴, 00009 주어진 수열의 일반항을 a_n이라하면 a_n=3+(-1)^n오른쪽 그림에서 n이 한없이 커질 때 a_n의 값은 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않으므로 이 수열은 진동한다. 발산0010 limn=inf`(a_n+b_n)=limn=inf`a_n+limn=inf`b_n=3-1=2 20011 limn=inf`(a_n-b_n)=limn=inf`a_n-limn=inf`b_n=3-(-1)=4 40012 limn=inf`a_nb_n=limn=inf`a_n`limn=inf`b_n=3.c1(-1)=-3 -30013 limn=inf`a_nb_n=limn=inf`a_nlimn=inf`b_n=3-1=-3 -30014 limn=inf`(5a_n-b_n)=5`limn=inf`a_n-limn=inf`b_n=5.c13-(-1)=16 160015 limn=inf`(-2a_nb_n)=-2`limn=inf`a_n`limn=inf`b_n=-2.c13.c1(-1)=6 60016 limn=inf`4a_n+33b_n=4`limn=inf`a_n+limn=inf`33`limn=inf`b_n=4.c13+33.c1(-1)=-5 -50017 limn=inf`(a_n+3)=limn=inf`a_n+limn=inf`3=alpha+3 alpha+30018 limn=inf`(2a_n-b_n)=2`limn=inf`a_n-limn=inf`b_n=2alpha-beta 2alpha-beta(cid:66)n(cid:66)n(cid:30)1(cid:14)(cid:14)2n-1(cid:79)(cid:48)(cid:18)(cid:18)(cid:20)(cid:19)(cid:21)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:18)(cid:19)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:25)(cid:18)(cid:14)(cid:21)(cid:79)(cid:66)n(cid:48)(cid:18)(cid:19)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:66)n(cid:30)(cid:19)(cid:19)(cid:79)(cid:14)(cid:18)(cid:79)(cid:66)n(cid:48)(cid:18)(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:66)n(cid:30)(cid:20)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:18)(cid:10)n0001 주어진 수열의 일반항을 a_n이라하면 a_n=5-1/n오른쪽 그림에서 n이 한없이 커질 때 a_n의 값은 5에 한없이 가까워지므로 이 수열은 5에 수렴한다. .t3 limn=inf`(5-1/n)=5 50002 주어진 수열의 일반항을 a_n이라하면 a_n=2오른쪽 그림에서 n이 한없이 커질 때 a_n의 값은 2이므로 이 수열은 2에 수렴한다. .t3 limn=inf`2=2 20003 주어진 수열의 일반항을 a_n이라 하면 a_n=2n+1오른쪽 그림에서 n이 한없이 커질 때 a_n의 값은 한없이 커지므로 이 수열은 양의 무한대로 발산한다. 풀이 참조0004 주어진 수열의 일반항을 ~a_n이라 하면 a_n=(-2)^n오른쪽 그림에서 n이 한없이 커질 때 a_n의 값은 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않으므로 이 수열은 진동한다. 풀이 참조0005 주어진 수열의 일반항을 a_n이라 하면 a_n=n^2+1오른쪽 그림에서 n이 한없이 커질 때 a_n의 값은 한없이 커지므로 이 수열은 양의 무한대로 발산한다. 발산0006 주어진 수열의 일반항을 a_n이라 하면 a_n=-2^n오른쪽 그림에서 n이 한없이 커질 때 a_n의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지므로 이 수열은 음의 무한대로 발산한다. 발산(cid:79)(cid:66)n(cid:48)(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:66)n(cid:30)(cid:22)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:79)(cid:79)(cid:66)n(cid:30)(cid:19)(cid:66)n(cid:48)(cid:18)(cid:19)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:79)(cid:66)n(cid:30)(cid:19)(cid:79)(cid:12)(cid:18)(cid:66)n(cid:48)(cid:20)(cid:22)(cid:24)(cid:26)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:79)(cid:48)(cid:21)(cid:18)(cid:20)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:25)(cid:66)n(cid:66)n(cid:30)(cid:9)(cid:14)(cid:19)(cid:10)n(cid:79)(cid:66)n(cid:66)n(cid:30)(cid:79)2(cid:12)(cid:18)(cid:48)(cid:19)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:22)(cid:18)(cid:17)(cid:66)n(cid:30)(cid:14)(cid:19)n(cid:79)(cid:66)n(cid:48)(cid:14)(cid:19)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:14)(cid:21)(cid:14)(cid:25)수열의 극한01Ⅰ. 수열의 극한라이트쎈(해001-016)1강-ok.indd 214. 8. 29. 오후 2:08 01``수열의 극한 • 3본책수열의 극한016~8쪽0029 limn=inf `3n^2 +2n+1n+3=limn=inf `3n+2+1/n 1+3/n =� 발산0030 limn=inf `-n^3 +4nn^2 +n+1=limn=inf `-n+4/n 1+1/n +1n^2 =-� 발산0031 limn=inf `(n^2 -5n)=limn=inf `n^2 ~(1-5/n )이때 limn=inf `n^2 =�, limn=inf `(1-5/n )=1이므로 limn=inf `(n^2 -5n)=� 발산0032 limn=inf `(n^2 -1/2n^3 )=limn=inf `n^3 ~(1/n -1/2)이때 limn=inf `n^3 =�, limn=inf `(1/n -1/2)=-1/2이므로 limn=inf `(n^2 -1/2n^3 )=-� 발산0033 limn=inf `(2n^2 +nx~-n~)=limn=inf `(2n^2 +nx~-n~)(2n^2 +nx~+n)2n^2 +nx~+n =limn=inf `n2n^2 +nx~+n =limn=inf `141+1/nf+1 =1~1+1=1/2 1/20034 limn=inf `(2n^2 -3xn+2x~-n) `=limn=inf `(2n^2 -3n+2x~-n~~)(2n^2 -3n+2x~+n~~)2n^2 -3xn+2x~+n `=limn=inf `-3n+22n^2 -3xn+2x~+n=limn=inf `-3+2/n41-3/nf+2n^2 v~+1 `=-3~1+1=-3/2 -3/20035 limn=inf `11n+2z~-1nq~~=limn=inf `1n+2z~+1nq~~(1n+2z~-1nq~)(1n+2z~+1nq~) =limn=inf `1n+2z~+1nq~2 =� 발산0036 limn=inf `12n^2 +2nx~-n=limn=inf `2n^2 +2xns~+n(2n^2 +2xns~-n)(2n^2 +2xns~+n) =limn=inf `2n^2 +2xns~+n2n =limn=inf `41+2/n f~+12 =1+12=1 10019 limn=inf `a_n ^2 b_n =limn=inf `a_n `limn=inf `a_n `limn=inf `b_n =alpha ^2 beta alpha ^2 beta 0020 limn=inf `2a_n 5b_n =2`limn=inf `a_n 5`limn=inf `b_n =2alpha 5beta 2alpha 5beta 0021 limn=inf `(1+5/n )=limn=inf `1+5`limn=inf `1/n =1+5.c1 0=1 10022 limn=inf `(3/n -1n^2 )=3`limn=inf `1/n -limn=inf `1/n `limn=inf `1/n =3.c1 0-0.c1 0=0 00023 limn=inf `(1+2/n )(1-2/n )=limn=inf `(1-4n^2 ) =limn=inf `1-4`limn=inf `1/n `limn=inf `1/n =1-4.c1 0.c1 0=1 1limn=inf `(1+2/n )=limn=inf `1+2`limn=inf `1/n =1+2.c1 0=1,limn=inf `(1-2/n )=limn=inf `1-2`limn=inf `1/n =1-2.c1 0=1 .t3 limn=inf `(1+2/n )(1-2/n )=limn=inf `(1+2/n )`limn=inf `(1-2/n )=1.c1 1=10024 limn=inf `1+2/n+4n^2 3-5/n =limn=inf `(1+2/n+4n^2 )limn=inf `(3-5/n) =limn=inf `1+2`limn=inf `1/n+4`limn=inf `1/n`limn=inf `1/nlimn=inf `3-5`limn=inf `1/n =1+2.c1 0+4.c1 0.c1 03-5.c1 0=1/3 1/30025 limn=inf `n+13n-1=limn=inf `1+1/n 3-1/n =1/3 1/30026 limn=inf `4n^2 +1-2n^2 +3n=limn=inf `4+1n^2 -2+3/n =-2 -20027 limn=inf `17n+1=limn=inf `1/n 7+1/n =0 00028 limn=inf `2n-1n^2 +3n+1=limn=inf `2/n-1n^2 1+3/n+1n^2 =0 0라이트쎈(해001-016)1강-ok.indd 314. 8. 29. 오후 2:08 4 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0046 공비가 2/3이고, -1<2/3<1이므로 0에 수렴한다. 수렴0047 limn=inf`4^n5^2^n=limn=inf`(4/25)^^n=0 00048 limn=inf`(1+0.8^n)=limn=inf`1+limn=inf`0.8^n =1+0=1 10049 limn=inf`2^n^+^12^n+1=limn=inf`21+(1/2)^^n=2 20050 limn=inf`9^n-13^2^n^+^1=limn=inf`9^n-13.c19^n=limn=inf`1-(1/9)^^n3=1/3 1/30051 limn=inf`2^n-7^n3^n+7^n=limn=inf`(2/7)^^n-1(3/7)^^n+1=-1 -10052 limn=inf`5^n+(-2)^n5^n^-^1-(-2)^n^-^1=limn=inf`5+(-2)·(-2/5)^n^-^11-(-2/5)^n^-^1=5 50053 공비가 2r이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면 -1<2r_<1 .t3 -1/21이므로 발산한다. 발산0043 공비가 -4/3이고, -4/3<-1이므로 발산한다. 발산0044 공비가 -1/5이고, -1<-1/5<1이므로 0에 수렴한다. 수렴0045 공비가 -2이고, -2<-1이므로 발산한다. 발산라이트쎈(해001-016)1강-ok.indd 414. 8. 29. 오후 2:08 01``수열의 극한 • 5본책수열의 극한019~12쪽4a_n _+ _1 =4-a_n 에서 limn=inf `4a_n _+ _1 =limn=inf `(4-a_n )이므로 4/α =4-alpha , alpha ^2 -4alpha +4=0 (alpha -2)^2 =0 .t3 alpha =2 .t3 limn=inf `(4-a_n )=4-2=2 ⑤0065 ①, ②, ③, ④ [반례] 수열 {a_n }을1, 0, 1, 0, 1, 0, … 이라 하면 limn=inf `a_2 _n =0이지만 ~limn=inf `a_n , limn=inf `a_n _+ _2 는 발산(진동)한다.또 ~limn=inf `a_2 _n _- _1 =limn=inf `a_4 _n _- _1 =1이므로 limn=inf `a_2 _n _- _1 not= limn=inf `a_2 _n , limn=inf `a_4 _n _- _1 not= limn=inf `a_2 _n ⑤ limn=inf `a_2 _n =alpha 에서 n 대신 2n을 대입하면lim 2n~�`a_4 _n =alpha 이때 2n �이면 n �이므로 limn=inf `a_4 _n =alpha ⑤0066 limn=inf `(2n+1)^2 3-2n^2 +limn=inf `2n2n^2 +1x~+n~ =limn=inf `4n^2 +4n+13-2n^2 +limn=inf `2n2n^2 +1x~+n =limn=inf `4+4/n +1n^2 3n^2 -2+limn=inf `2~41+1n^2 v~+1 =-2+1=-1 -10067 ㄱ. limn=inf `n^2 -1n(n+1)=limn=inf `n^2 -1n^2 +n=limn=inf `1-1n^2 1+1/n =1ㄴ. limn=inf `n(n+1)(2n-1)n^3 +2=limn=inf `2n^3 +n^2 -nn^3 +2=limn=inf `2+1/n -1n^2 1+2n^3 =2ㄷ. limn=inf `2n^2 +3nx~2n=limn=inf `41+3/n f~2=1/2ㄹ. limn=inf `1n1n+2z~+1n=limn=inf `141+2/n f~+1=1/2이상에서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다. ⑤0068 limn=inf `4n+3na_n =limn=inf `4n+3n`limn=inf `1a_n =limn=inf `(4+3/n ).c1 limn=inf `1a_n =4.c1 3=12 ⑤ 0057 ㄱ. n이 한없이 커지면 ~6-5n의 값은 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지므로 주어진 수열은 음의 무한대로 발산한다.ㄴ. n이 한없이 커지면 (4/5)^n 의 값은 0에 한없이 가까워지므로 주 어진 수열은 0에 수렴한다.ㄷ. n이 한없이 커지면 nn+1의 값은 1에 한없이 가까워지므로 주어진 수열은 1에 수렴한다.ㄹ. n이 한없이 커지면 n1nq~+1~의 값은 한없이 커지므로 주어진 수열은 양의 무한대로 발산한다.이상에서 발산하는 수열은 ㄱ, ㄹ이다. ㄱ, ㄹ0058 limn=inf `3a_n +b_n a_n b_n -1=3`limn=inf `a_n +limn=inf `b_n limn=inf `a_n `limn=inf `b_n -limn=inf `1=3.c1 1+(-2)1.c1 (-2)-1=-1/3 -1/30059 limn=inf `(a_n +1)=4에서 limn=inf `a_n =3 .t3 limn=inf `a_n (a_n +3)=limn=inf `a_n `limn=inf `(a_n +3)=3.c1 (3+3)=18 ①0060 limn=inf `(a_n +2)(b_n -1)=limn=inf `(a_n +2)limn=inf `(b_n -1)=(2+2).c1 (3-1)=8 80061 limn=inf `(a_n ^2 +b_n ^2 )=limn=inf `{(a_n +b_n )^2 -2a_n b_n }=limn=inf `(a_n +b_n )`limn=inf `(a_n +b_n )-2`limn=inf `a_n ~b_n =5.c1 5-2.c1 1=23 ①0062 limn=inf `a_n =limn=inf `(1/n -3)=-3,limn=inf `b_n =limn=inf `{4-1n(n+1)}=4 ⇨ ❶ .t3 ~limn=inf `(a_n +2)(b_n -5)=limn=inf `(a_n +2)`limn=inf `(b_n -5)=(-3+2).c1 (4-5)=1 ⇨ ❷ 10063 수열 {a_n }이 수렴하므로 limn=inf `a_n =alpha `(alpha 는 실수)라 하면 limn=inf `a_n _+ _1 =alpha limn=inf `3a_n _+ _1 +1a_n -1=5에서 3alpha +1alpha -1=5 3alpha +1=5alpha -5, 2alpha =6 .t3 alpha =3 30064 수열 {a_n }이 0이 아닌 실수에 수렴하므로 limn=inf `a_n =alpha (alpha not= 0)라 하면 limn=inf `a_n _+ _1 =alpha 채점 기준비율❶ limn=inf `a_n , limn=inf `b_n 의 값을 구할 수 있다.50%❷ limn=inf `(a_n +2)(b_n -5)의 값을 구할 수 있다.50%라이트쎈(해001-016)1강-ok.indd 514. 8. 29. 오후 2:08 6 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0069 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a_n+b_n=3n^2, ~a_nb_n=n^2-1 .t3 limn=inf`(1a_n+1b_n)=limn=inf`a_n+b_na_nb_n=limn=inf`3n^2n^2-1=limn=inf`31-1n^2=3 30070 1+2+3+.c3+n=sigk=1^n`k=n(n+1)2이므로 limn=inf`1+2+3+.c3+n2n^2=limn=inf`n(n+1)4n^2=limn=inf`n^2+n4n^2=limn=inf`1+1/n4=1/4 ①0071 2^2+3^2+4^2+.c3+(n+1)^2 =sigk=1^n`(k+1)^2=sigk=1^n`(k^2+2k+1) =n(n+1)(2n+1)6+2.c1n(n+1)2+n =2n^3+9n^2+13n6 .t3 (주어진 식)=limn=inf`2n^3+9n^2+13n6n^3=limn=inf`2+9/n+13n^26=1/3따라서 a=1, b=3이므로 a+b=4 ②0072 a_n=(1+1/2)~(1+1/3)~(1+1/4)~.c3~(1+1n+1)=3/2.c14/3.c15/4.c1.c3.c1n+2n+1=n+22 ⇨ ❶b_n=1^3+2^3+3^3+.c3+n^3=sigk=1^n`k^3={n(n+1)2}^2=n^2(n+1)^24 ⇨ ❷ .t3 limn=inf`b_n(na_n)^2=limn=inf`4n^2(n+2)^2.c1n^2(n+1)^24=limn=inf`(n+1)^2(n+2)^2=limn=inf`n^2+2n+1n^2+4n+4=limn=inf`1+2/n+1n^21+4/n+4n^2=1⇨ ❸ 1자연수의 거듭제곱의 합① sigk=1^n`k=n(n+1)2② sigk=1^n`k^2=n(n+1)(2n+1)6③ sigk=1^n`k^3={n(n+1)2}^20073 anot=0이면 ~limn=inf`an^2+bn+1n-2=z�이므로 a=0 .t3 limn=inf`an^2+bn+1n-2=limn=inf`bn+1n-2=limn=inf`b+1/n1-2/n=b따라서 b=4이므로 a+b=4 ③0074 a=0이면 ~limn=inf`4(n+1)(3n+1)an^2-1=-�이므로 anot=0 .t3 limn=inf`4(n+1)(3n+1)an^2-1=limn=inf`12n^2+16n+4an^2-1 =limn=inf`12+16/n+4n^2a-1n^2 =12/a따라서 12/a=6이므로 a=2 20075 bnot=0이면 limn=inf`an^2-3n-1bn^3+2n^2+1=0이므로 b=0 .t3 limn=inf`an^2-3n-1bn^3+2n^2+1=limn=inf`an^2-3n-12n^2+1=limn=inf`a-3/n-1n^22+1n^2=a/2따라서 a/2=1/4이므로 a=1/2 .t3 limn=inf`2n^2-5n+1(an+b)^2=limn=inf`2n^2-5n+1(1/2n)^2=limn=inf`2n^2-5n+11/4n^2=limn=inf`2-5/n+1n^21/4=8 80076 anot=0이면 ~limn=inf`216n^2-2xn+1x~an^2+4n+3=0이므로 a=0`(.T3 bnot=0) ⇨ ❶ .t3 b=limn=inf`216n^2-2xn+1x~an^2+4n+3=limn=inf`216n^2-2xn+1x~4n+3=limn=inf`416-2/nf+1n^2v~4+3/n=1 ⇨ ❷채점 기준비율❶ a_n을 간단히 할 수 있다.30%❷ b_n을 간단히 할 수 있다.20%❸ limn=inf`b_n(na_n)^2의 값을 구할 수 있다.50%라이트쎈(해001-016)1강-ok.indd 614. 8. 29. 오후 2:09 01``수열의 극한 • 7본책수열의 극한0113~15쪽 .t3 limn=inf `an^2 -5n+12bn^2 +nx~=limn=inf `-5n+12n^2 +nx~.t3 limn=inf =limn=inf `-5+1/n 41+1/n f~=-5 ⇨ ❸ -50077 limn=inf `(3n-29n^2 s+2nx~~) =limn=inf `(3n-29n^2 s+2nx~)(3n+29n^2 s+2nx~~)3n+29n^2 s+2nx~~ =limn=inf `-2n3n+29n^2 s+2nx~~ =limn=inf `-23+49+2/n f~ =-23+3=-1/3 ②0078 limn=inf `1nq~(12n+1z~-12n-1z~) =limn=inf `1nq~~(12n+1z~-12n-1z~)(12n+1z~+12n-1z~)12n+1z+12n-1z =limn=inf `21nq~12n+1z+12n-1z =limn=inf `242+1/n f~+42-1/n f~ =2~12+12=12~2 12~20079 limn=inf `1nq~-1n+2z~1nq~-1n-2z~=limn=inf `(1nq~-1n+2z~)(1nq~+1n+2z~)(1nq~+1n-2z~)(1nq~-1n-2z~)(1nq~+1n-2z~)(1nq~+1n+2z~)=limn=inf `-2(1nq~+1n-2z~)2(1nq~+1n+2z~)=-limn=inf `1+41-2/n f~1+41+2/nf~=-1+1~1+1~=-1 ③0080 1+2+3+.c3 +(n+1)=sigk=1 n+1`k=(n+1)(n+2)2 =n^2 +3n+221+2+3+.c3 +n=sigk=1 ^n `k=n(n+1)2=n^2 +n2채점 기준비율❶ a의 값을 구할 수 있다.20%❷ b의 값을 구할 수 있다.40%❸ 답을 구할 수 있다.40% .t3 (주어진 식) =limn=inf `(~5n^2 +3n+22b-5n^2 +n2b`) =1~12`limn=inf `(2n^2 +3xn+2x~-2n^2 +nx~) =1~12`limn=inf `(2n^2 +3xn+2x~-2n^2 +nx~)(2n^2 +3xn+2x~+2n^2 +nx~)2n^2 +3xn+2x~+2n^2 +nx =1~12`limn=inf `2n+22n^2 +3xn+2x~+2n^2 +nx =1~12`limn=inf `2+2n51+3/n g+2n^2 b~`+51+1/n g~ =1~12.c1 2~1+1=222 2220081 limn=inf `(2n^2 +anx-n~) =limn=inf `(2n^2 +anx~-n~)(2n^2 +anx~+n)2n^2 +anx~+n =limn=inf `an2n^2 +anx~+n=limn=inf `a41+a/nf+1 =a/2따라서 a/2=6이므로 a=12 120082 limn=inf `1anq~n(1n+1z~-1nq~) =limn=inf `1anq~(1n+1z~+1nq~)n(1n+1z~-1nq~)(1n+1z~+1nq~) =limn=inf `2an^2 +anx~+n1a~qn=limn=inf `(~4a+a/nf+1aq~q~) =21a~q따라서 21a~q=10이므로 1a~q=5 .t3 a=25 ④0083 a_< 0이면 ~limn=inf `{2n^2 +2xn+2x~-(an+b)}=�이므로 a>0 .t3 limn=inf `{2n^2 +2xn+2x~-(an+b)}=limn=inf `{2n^2 +2xn+2x~~-(an+b)}{2n^2 +2xn+2x~~+(an+b)}2n^2 +2xn+2x~~+(an+b)=limn=inf `(1-a^2 )n^2 +2(1-ab)n+2-b^2 2n^2 +2xn+2x~+(an+b)=limn=inf `(1-a^2 )n+2(1-ab)+2-b~^2 n51+2/n g+2n^2 ~b~~+~a+b/n이 식의 극한값이 3이므로 1-a^2 =0, 2(1-ab)1+a=3위의 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-2 (.T3 a>0) .t3 a+b=-1 ③라이트쎈(해001-016)1강-ok.indd 714. 8. 29. 오후 2:09 8 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0084 k_>0이면 limn=inf`a_n=�이므로 k<0 .t3 limn=inf`a_n =limn=inf`(2(n+1x)(nx+3)x~+kn) =limn=inf`(2(n+x1)(nx+3)x~+kn)(2(n+x1)(nx+3)x~-kn)2(n+x1)(nx+3)x~-kn =limn=inf`(1-k^2)n^2+4n+32n^2+4xn+3x~-kn =limn=inf`(1-k^2)n+4+3/n51+4/ng+3n^2~b~~-k 이때 수열 {a_n}이 수렴하므로 1-k^2=0 .t3 k=-1 (.T3 k<0) .t3 limn=inf`a_n=41-k=41-(-1)=2 20085 2a_n-55a_n+1=b_n으로 놓으면 2a_n-5=5a_nb_n+b_n, (2-5b_n)a_n=b_n+5 .t3 a_n=b_n+52-5b_n이때 limn=inf`b_n=2이므로 limn=inf`a_n=limn=inf`b_n+52-5b_n=2+52-5.c12=-7/8 ②0086 (n+2)a_n=b_n으로 놓으면 a_n=b_nn+2이때 limn=inf`b_n=5이므로 limn=inf`(3n+4)a_n=limn=inf`{(3n+4).c1b_nn+2}=limn=inf`3n+4n+2`limn=inf`b_n=3.c15=15 ④0087 (n-1)a_n=c_n으로 놓으면 a_n=c_nn-1 ⇨ ❶(n^3-1)b_n=d_n으로 놓으면 b_n=d_nn^3-1=d_n(n-1)(n^2+n+1) ⇨ ❷이때 limn=inf`c_n=2, limn=inf`d_n=3이므로 limn=inf`(2n+1)^2b_na_n=limn=inf`(2n+1)^2.c1d_n(n-1)(n^2+n+1)c_nn-1=limn=inf`(~~4n^2+4n+1n^2+n+1.c1d_nc_n~)=4.c13/2=6 ⇨ ❸ 6채점 기준비율❶ a_n을 c_n에 대한 식으로 나타낼 수 있다.20%❷ b_n을 d_n에 대한 식으로 나타낼 수 있다.20%❸ limn=inf`(2n+1)^2b_na_n의 값을 구할 수 있다.60%0088 a_n-b_n=c_n으로 놓으면 b_n=a_n-c_n이때 limn=inf`a_n=�, limn=inf`c_n=1이므로 limn=inf`c_na_n=0 .t3 limn=inf`3a_n+b_na_n-3b_n=limn=inf`3a_n+(a_n-c_n)a_n-3(a_n-c_n)=limn=inf`4a_n-c_n-2a_n+3c_n=limn=inf`4-c_na_n-2+3.c1c_na_n=4-0-2+3.c10=-2 -20089 225ns^2-nx~<(n+3)a_n<225n^2s+4nx~에서 225ns^2-nx~n+31이므로 발산한다.이상에서 수렴하는 수열은 ㄴ, ㄷ이다. ㄴ, ㄷ0096 ㄱ. 수열 {0.3^n }은 공비가 ~0.3이고, -1<0.3<1이므로 ~0에수렴한다.따라서 주어진 수열은 1에 수렴한다.ㄴ. 주어진 수열은5, 3, 5, 3, 5, 3, … 따라서 발산~(진동)한다.ㄷ. 2^- ^n =(1/2)^n 에서 공비가 1/2이고, -1<1/2<1이므로 수열 {2^- ^n }은 0에 수렴한다.5^- ^n =(1/5)^^n 에서 공비가 1/5이고, -1<1/5<1이므로 수열 {5^- ^n }은 0에 수렴한다.따라서 주어진 수열은 0에 수렴한다.ㄹ. 수열 {(213)^^n }은 공비가 213~이고, 213~>1이므로 발산한다.따라서 주어진 수열은 발산한다.이상에서 발산하는 수열은 ㄴ, ㄹ이다. ③0097 limn=inf `1-4^n ^+ ^1 2^n ^+ ^2 +4^n =limn=inf `1-4.c1 4^n 2^2 .c1 2^n +4^n =limn=inf `(1/4)^^n -44.c1 (1/2)^n +1=-4 -40098 limn=inf `6^n ^+ ^1 +3^n ^+ ^2 (3^n +1)(2^n +1)=limn=inf `6.c1 6^n +3^2 .c1 3^n 6^n +3^n +2^n +1=limn=inf `6+9.c1 (1/2)^^n 1+(1/2)^^n +(1/3)^^n +(1/6)^^n =6 60099 a=limn=inf `3^n ^+ ^1 -2^2 ^n 4^n +3^n =limn=inf `3.c1 3^n -4^n 4^n +3^n =limn=inf `3.c1 (3/4)^^n -11+(3/4)^n =-1 ⇨ ❶a=-1이므로 b=limn=inf `(a^2 ^n ^+ ^1 -a^2 ^n )=limn=inf `{(-1)^2 ^n ^+ ^1 -(-1)^2 ^n }=limn=inf `(-2)=-2 ⇨ ❷ .t3 ab=2 ⇨ ❸ 20100 limn=inf `a_n =alpha `(alpha 는 실수)라 하면 limn=inf `3^n ^+ ^1 +2^n .c1 a_n 2^n ^+ ^1 -3^n .c1 a_n =limn=inf `3.c1 3^n +2^n .c1 a_n 2.c1 2^n -3^n .c1 a_n =limn=inf `3+(2/3 )^n .c1 a_n 2.c1 (2/3 )^^n -a_n =-3alpha 따라서 -3alpha =6이므로 alpha =-1/2 ③채점 기준비율❶ a의 값을 구할 수 있다.50%❷ b의 값을 구할 수 있다.30%❸ ab의 값을 구할 수 있다.20%라이트쎈(해001-016)1강-ok.indd 914. 8. 29. 오후 2:09 10 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0101 수열 {a_n}은 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열이므로 a_1+a_2+a_3+.c3+a_n=3^n-13-1=3^n-12 .t3 limn=inf`a_1+a_2+a_3+.c3+a_na_n=limn=inf`3^n-12.c13^n^-^1=limn=inf`3-(1/3)^n^-^12=3/2 3/20102 a_n+b_n=5^n^+^1, a_n-b_n=2^2^n을 연립하면 a_n=5^n^+^1+2^2^n2, b_n=5^n^+^1-2^2^n2 .t3 limn=inf`b_na_n=limn=inf`5^n^+^1-2^2^n25^n^+^1+2^2^n2=limn=inf`5^n^+^1-4^n5^n^+^1+4^n=limn=inf`5.c15^n-4^n5.c15^n+4^n=limn=inf`5-(4/5)^n5+(4/5)^^n=1 ③0103 공비가 x+13이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면 -10이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면 (7-x)^2_<1, x^2-14x+48_<0 (x-6)(x-8)_<0 .t3 6_1일 때, limn=inf`|r^n|=�이므로 b=limn=inf`r^n-1r^n+1=limn=inf`1-1r^n1+1r^n=1, ~에서 a+b=0 ①0109 r<-1일 때, limn=inf`|r^n|=�이므로 limn=inf`r^2^nr^n+1=limn=inf`r^n1+1r^n따라서 발산`(진동)한다. -11일 때,limn=inf `r^n =limn=inf `r^2 ^n =�이므로limn=inf `r^2 ^n r^n +1=limn=inf `r^n 1+1r^n =�ㄱ. |r|>1이면 r>1 또는 r<-1이므로 발산한다.ㄴ. -1<1/2<1이므로 r=1/2이면 0에 수렴한다.ㄷ. 수렴하도록 하는 ~r의 값의 범위는 -15일 때, limn=inf `(5/r)^n =0이므로limn=inf `5^n -r^n 5^n +r^n =limn=inf `(5/r )^n -1(5/r )^^n +1=-1이상에서 limn=inf `5^n -r^n 5^n +r^n =1을 만족시키는 r의 값의 범위는 |r|<5, 즉 -51일 때,limn=inf `x^2 ^n =limn=inf `|x^2 ^n ^- ^1 |=�이므로f(x)=limn=inf `x^2 ^n ^- ^1 +2x-1x^2 ^n +1=limn=inf `1/x +2x^2 ^n ^- ^1 -1x^2 ^n 1+1x^2 ^n =1/x x=-1일 때limn=inf `x^2 ^n =1, limn=inf `x^2 ^n ^- ^1 =-1이므로 f(x)=limn=inf `x^2 ^n ^- ^1 +2x-1x^2 ^n +1=-1-2-11+1=-2이상에서 f(x)=k(cid:95)(cid:95)2x-1 (|x|<1) 1 (x=1) 1/x (|x|>1)~~-2 (x=-1) .t3 ~f(-1)+f~(3/8)+f(4)=-2+(2.c1 3/8-1)+1/4=-20112 01일 때,limn=inf `x^n =limn=inf `x^n ^+ ^1 =�이므로 f(x)=limn=inf `x^n ^+ ^1 +x^2 -2x^n +1=limn=inf `x+1x^n ^- ^2 -2x^n 1+1x^n =x ⇨ ❸이상에서 f(x)=k(cid:95)x^2 -2 (01) ⇨ ❹ 풀이 참조0113 a_n _+ _1 =1/3a_n +2에서 a_n _+ _1 -alpha =1/3~(a_n -α )로 놓으면 a_n _+ _1 =1/3a_n +2/3alpha 2/3alpha =2이므로 alpha =3 .t3 a_n _+ _1 -3=1/3(a_n -3)채점 기준비율❶ 01일 때, f(x)를 구할 수 있다.30%❹ x>0일 때, f(x)를 구할 수 있다.10%라이트쎈(해001-016)1강-ok.indd 1114. 8. 29. 오후 2:09 12 • 정답 및 풀이정답 및 풀이따라서 수열 {a_n-3}은 첫째항이 a_1-3=1, 공비가 1/3인 등비수열 이므로 a_n-3=1.c1(1/3)^n^-^1 .t3 a_n=(1/3)^n^-^1+3 .t3 limn=inf`a_n=limn=inf`{(1/3)^n^-^1+3}=3 ②0114 수열 {a_n}은 첫째항이 1/3, 공차가 1/2인 등차수열이므로 a_n=1/3+(n-1).c11/2=3n-16 .t3 limn=inf`na_n=limn=inf`6n3n-1=limn=inf`63-1/n=2 20115 a_n-a_n_-_1=~2n^2-1=~2(n-1)(n+1)=~2n+1-(n-1)(1n-1-1n+1)=~1n-1-1n+1위의 식의 양변에 n 대신 ~2, ~3, ~4, …, ~n~을 차례대로 대입하여 변끼리 더하면 a_2-a_1=1-1/3a_3-a_2=1/2-1/4a_4-a_3=1/3-1/5 `` .^3a_n_-_1-a_n_-_2=1n-2-1/n +8``a_n-a_n_-_1=1n-1-k1n+1ka_n-a_1=1+1/2-1/n-1n+1 .t3 a_n=a_1+3/2-1/n-1n+1=2-1/n-1n+1 .t3 limn=inf`a_n=limn=inf`(2-1/n-1n+1)=2 20116 3a_n_+_2-4a_n_+_1+a_n=0에서 3a_n_+_2-3a_n_+_1=a_n_+_1-a_n .t3 a_n_+_2-a_n_+_1=1/3(a_n_+_1-a_n)이때 수열 {a_n_+_1-a_n}은 첫째항이 a_2-a_1=2-1=1, 공비가 1/3인 등비수열이므로 a_n_+_1-a_n=1.c1(1/3)^n^-^1=~(1/3)^n^-^1 .t3 a_n_+_1=a_n+(1/3)^n^-^1부분분수의 변형1AB=1B-A(1A-1B)``(단, Anot=B)앞의 식의 양변에 n 대신 1, 2, 3, …, n-1을 차례대로 대입한 후 변끼리 더하면 a_2=a_1+1a_3=a_2+1/3a_4=a_3+(1/3)^2 `` .^3 +8`a_n=a_n_-_1+(1/3)^n^-^2kka_n=a_1+{1+1/3+(1/3)^2+.c3+(1/3)^n^-^2}=1+1-(1/3)^n^-^11-1/3=1+3/2.c1{1-(1/3)^n^-^1}=5/2-3/2.c1(1/3)^n^-^1 .t3 limn=inf`2a_n=2`limn=inf`{5/2-3/2.c1(1/3)^n^-^1}=2.c15/2=5 ④0117 P_n(n, 1nq~), Q_n(n, 0~)이므로 OP_n4=3n^2+(c1nq~)^2c~=2n^2+nx~, OQ_n4=n .t3 limn=inf`(OP_n4-~OQ_n4)=limn=inf`(2n^2+nx~-n)=limn=inf`(2n^2+nx~-n)(2n^2+n~x~+n)2n^2+nx~+n=limn=inf`n2n^2+n~x+n=limn=inf`141+1/nf~+1=1/2 ④0118 ⑴ P_n(n, 2n^2), P_n_+_1(n+1, 2(n+1)^2)이므로a_n=P_nP_n_+_14=31^2+{2(n+1)^2-2cn^2}^2c~=216n^2+16xn+5x~ ⇨ ❶⑵ limn=inf`na_n=limn=inf`n216n^2x+16xn+5x~=limn=inf`1416+16/nv+5n^2v~=1/4 ⇨ ❷ ⑴ a_n=216n^2+16xn+5x~ ⑵ 1/40119 y=2x+4^n, ~y=-1/2x+3^n에서 2x+4^n=-1/2x+3^n, 5/2x=3^n-4^n .t3 x=2/5.c13^n-2/5.c14^n채점 기준비율❶ a_n을 구할 수 있다.50%❷ limn=inf`na_n의 값을 구할 수 있다.50%라이트쎈(해001-016)1강-ok.indd 1214. 8. 29. 오후 2:09 01``수열의 극한 • 13본책수열의 극한0119~21쪽x=2/5(3^n -4^n )을 ~y=2x+4^n 에 대입하면 y=4/5(3^n -4^n )+4^n =4/5.c1 3^n +1/5.c1 4^n 따라서 a_n =2/5.c1 3^n -2/5.c1 4^n , b_n =4/5.c1 3^n +1/5.c1 4^n 이므로 limn=inf `a_n b_n =limn=inf `2/5.c1 3^n -2/5.c1 4^n 4/5.c1 3^n +1/5.c1 4^n =limn=inf `2/5.c1 (3/4)^n -2/54/5.c1 (3/4)^n +1/5=-2 -20120 a_n `%의 소금물 100`g에 들어 있는 소금의 양은 ~a_n `g이므로 a_n _+ _1 =a_n .c1 75100+5100.c1 100=3/4a_n +5이것을 ~a_n _+ _1 -alpha =3/4(a_n -alpha )로 놓으면 a_n _+ _1 =3/4a_n +1/4alpha 1/4alpha =5이므로 alpha =20 .t3 a_n _+ _1 -20=3/4(a_n -20)따라서 수열 {a_n -20}은 첫째항이 a_1 -20, 공비가 3/4인 등비수열이므로 a_n -20=(a_1 -20).c1 (3/4)^n ^- ^1 .t3 a_n =(a_1 -20).c1 (3/4)^n ^- ^1 +20 .t3 limn=inf `a_n =limn=inf `{(a_1 -20).c1 (3/4)^n ^- ^1 +20}=20 ④0121 (n+1)번째 측정한 부추의 길이는 a_n _+ _1 `cm이므로 a_n _+ _1 =1/3(a_n +3) .t3 a_n _+ _1 =1/3a_n +1이것을 a_n _+ _1 -alpha =1/3(a_n -alpha )로 놓으면 a_n _+ _1 =1/3a_n +2/3alpha 2/3alpha =1이므로 alpha =3/2 .t3 a_n _+ _1 -3/2=1/3(a_n -3/2)따라서 수열 {a_n -3/2}은 첫째항이 a_1 -3/2=6-3/2=9/2, 공비가1/3인 등비수열이므로 a_n -3/2=9/2.c1 (1/3)^n ^- ^1 .t3 a_n =9/2.c1 (1/3)^n ^- ^1 +3/2 .t3 limn=inf `a_n =limn=inf `{9/2.c1 (1/3)^n ^- ^1 +3/2}=3/2 ③0122 n=1, 2, 3, … 을 대입하여 그 값이 어떤 일정한 값에 가까워지는지 조사한다.ㄱ. n이 한없이 커지면 5-4n의 값은 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지므로 주어진 수열은 음의 무한대로 발산한다.ㄴ. n이 한없이 커지면 2n^2 -1n^2 +3의 값은 2에 한없이 가까워지므로 주어진 수열은 2에 수렴한다.ㄷ. 수열 {(-1/3)^n }은 공비가 -1/3이고, -1<-1/3<1이므로0에 수렴한다.따라서 주어진 수열은 1에 수렴한다.이상에서 수렴하는 수열은 ㄴ, ㄷ이다. ④0123 분모의 최고차항으로 분자, 분모를 각각 나눈다.① limn=inf `n-43n-5=limn=inf `1-4/n3-5/n=1/3② limn=inf `2n^2 +n4n^2 -5n+1=limn=inf `2+1/n 4-5/n +1n^2 =1/2③ limn=inf `3n^2 -2nn^3 +4n+1=limn=inf `3/n -2n^2 1+4n^2 +1n^3 =0④ limn=inf `1n+3z~24n+3x~=limn=inf `41+3/n f~44+3/n f~=1/2⑤ limn=inf `2n^2 +3nx~n=limn=inf `41+3/n f~=1따라서 극한값이 가장 작은 것은 ③이다. ③0124 분모에서 밑의 절댓값이 가장 큰 거듭제곱으로 분자, 분모를 각각 나눈다.a>2에서 limn=inf `(2/a)^n =0 .t3 limn=inf `5a^n ^+ ^1 -3.c1 2^n a^n -2^n ^- ^1 =limn=inf `5a-3.c1 (2/a )^n 1-1/a.c1 (2/a )^n ^- ^1 =5a따라서 5a=15이므로 a=3 30125 r=1일 때와 r>1일 때로 경우를 나누어 극한값을 구한다. r=1일 때,limn=inf `r^n -2r^n ^+ ^1 +3=1-21+3=-1/4 r>1일 때,limn=inf `r^n =limn=inf `r^n ^+ ^1 =inf 이므로limn=inf `r^n -2r^n ^+ ^1 +3=limn=inf `1/r -2r^n ^+ ^1 1+3r^n ^+ ^1 =1/r, 에서 주어진 수열의 극한값은r=1일 때 -1/4, ~r>1일 때 1/r 풀이 참조라이트쎈(해001-016)1강-ok.indd 1314. 8. 29. 오후 2:09 14 • 정답 및 풀이정답 및 풀이정답 및 풀이0126 limn=inf`a_n=alpha, limn=inf`b_n=beta로 놓고 주어진 식을 alpha, beta로 나타낸다.두 수열 {a_n}, {b_n}이 수렴하므로 limn=inf`a_n=alpha, limn=inf`b_n=beta(alpha, beta는 실수)라 하면limn=inf`(a_n+b_n)=5에서 alpha+beta=5limn=inf`a_nb_n=3에서 alphabeta=3 .t3 limn=inf`b_na_n+limn=inf`a_nb_n=beta/alpha+alpha/beta=alpha^2+beta^2alphabeta=(alpha+beta)^2-2alphabetaalphabeta=5^2-2.c133=19/3 ~ ⑤0127 limn=inf`b_na_n=alpha`(alphanot=0)이면 (a_n의 차수)=(b_n의 차수)이고, 최고차항의 계수의 비가 alpha임을 이용한다.anot=0이면 limn=inf`an^2-bn+31/2n+2=z�이므로 a=0 ⇨ ❶ .t3 limn=inf`an^2-bn+31/2n+2=limn=inf`-bn+31/2n+2=limn=inf`-b+3/n1/2+2/n=-2b따라서 -2b=3이므로 b=-3/2 ⇨ ❷ .t3 a+b=-3/2 ⇨ ❸ -3/20128 분자, 분모를 각각 유리화한다.limn=inf`2n^2-s2015x~-nn-2n^2+s2016x~ =limn=inf`(2n^2-s2015x~-n)(2n^2-s2015x~+n)(n+2n^2+s2016x~~)(n-2n^2+s2016x~~)(n+2n^2+s2016x~~)(2n^2-s2015x~+n~) =limn=inf`-2015(n+2n^2+s2016x~)-2016(2n^2-s2015x~+n) =limn=inf`2015~(1+41+2016n^2v~~)2016~(41-2015n^2v~+1) =20152016 ④채점 기준비율❶ a의 값을 구할 수 있다.30%❷ b의 값을 구할 수 있다.50%❸ a+b의 값을 구할 수 있다.20%0129 (5n-3)a_n=b_n으로 놓고, a_n을 b_n에 대한 식으로 나타낸다.(5n-3)a_n=b_n이라 하면 a_n=b_n5n-3이때 limn=inf`b_n=4이므로 limn=inf`na_n=limn=inf`nb_n5n-3=limn=inf`n5n-3`limn=inf`b_n=1/5.c14=4/5 ②0130 먼저 수열 {a_n}의 일반항 a_n과 첫째항부터 제~n~항까지의 합 S_n을 구한다.a_n=a+(n-1)d=dn+a-d이므로 a_n_+_1=d(n+1)+a-d=dn+a S_n=n{2a+(n-1)d}2=dn^2+(2a-d)n2ㄱ. limn=inf`a_n_+_1a_n=limn=inf`dn+adn+a-d=limn=inf``d+and+an-dn=1ㄴ. limn=inf`S_nna_n=limn=inf`dn^2+(2a-d)n2n(dn+a-d)=limn=inf`d+2a-dn2d+2an-2dn=1/2ㄷ. limn=inf`(1a_n_+_1a~-1a_nq~) =limn=inf`(2dn+ax~-2dn+xa-dx~) =limn=inf`(2dn+ax~~-2dn+xa-dx`)(2dn+ax~+2dn+xa-dx`)2dn+ax~~+2dn+ax-dx =limn=inf`d2dn+ax~+2dn+ax-dx =limn=inf`d1nq4d+an~f~+5d+an~-dnb=0이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ⑤0131 수열의 극한의 대소 관계를 이용한다.n 2이면 a_n =S_n -S_n _- _1 임을 이용하여 a_n 을 구한다.n_> 2일 때, a_n =S_n -S_n _- _1 =(3^n +5^n )-(3^n ^- ^1 +5^n ^- ^1 )=(1-1/3).c1 3^n +(1-1/5).c1 5^n =2/3.c1 3^n +4/5.c1 5^n .t3 limn=inf `a_n S_n =limn=inf `2/3 .c1 3^n +4/5 .c1 5^n 3^n +5^n =limn=inf `2/3.c1 (3/5)^n +4/5(3/5)^n +1=4/5 4/50133 분모에서 밑의 절댓값이 가장 큰 거듭제곱으로 분자, 분모를 각각 나눈다.5~⦾~2=limn=inf `2.c1 5^n +5.c1 2^n 5^n +2^n =limn=inf `2+5.c1 (2/5)^n 1+(2/5)^n =2 ⇨ ❶ .t3 (5~⦾~2)~⦾~3=2~⦾~3=limn=inf `3.c1 2^n +2.c1 3^n 2^n +3^n =limn=inf `3.c1 (2/3)^n +2(2/3)^n +1=2 ⇨ ❷ 20134 공비가 r인 등비수열이 수렴하면 -10에서x(x-3)>0 .t3 x<0 또는 x>3 x^2 -3x-22_< 1, 즉 x^2 -3x-4_< 0에서 (x+1)(x-4)_< 0 .t3 -1_< x_< 4, ~에서 -1_< x<0 또는 31인 경우로 나누어 y의 값을 구한다.채점 기준비율❶ a_1 +a_2 +a_3 +.c3 +a_n 3n^2 +5에 대한 부등식을 구할 수 있다.50%❷ 답을 구할 수 있다.50%채점 기준비율❶ 5~⦾~2의 값을 구할 수 있다.50%❷ (5~⦾~2)⦾~3의 값을 구할 수 있다.50% 0_< x<1일 때,limn=inf `x^n =limn=inf `x^n ^+ ^1 =0이므로 y=limn=inf `~x^n -x+3x^n ^+ ^1 +2=-x+32 x=1일 때, y=limn=inf `~x^n -x+3x^n ^+ ^1 +2=1-1+31+2=1 x>1일 때,limn=inf `~x^n =limn=inf `~x`^n ^+ ^1 =inf 이므로 y=limn=inf `~x^n -x+3x^n ^+ ^1 +2=limn=inf `~1/x -1x^n +3x^n ^+ ^1 1+2x^n ^+ ^1 =1/x 이상에서 x_> 0에서 y=limn=inf `~x^n -x+3x^n ^+ ^1 +2의그래프가 오른쪽 그림과 같으므로 구하는 치역은 {y|0 2일 때, 원 x^2 +y^2 =n^2 과 x축이 만나는 점의 좌표는(n, 0), (-n, 0)이므로 a_n =n~`(.T3 a_n >0)x=1nq~~을 ~x^2 +y^2 =n^2 에 대입하여 정리하면 n+y^2 =n^2 , y^2 =n^2 -n y=z2n^2 -n~x~따라서 원 x^2 +y^2 =n^2 과 직선 x=1n~의 교점의 좌표는 (1nq~, 2n^2 -n~x~), (1nq~, -2n^2 -n~x~)이므로 b_n =2n^2 -nx~`(.T3 b_n >0) .t3 limn=inf `1a_n -b_n =limn=inf `1n-3n^2 -nc=limn=inf `n+3n^2 -nc~(n-3n^2 -nc~)(n+3n^2 -nc~)=limn=inf `n+3n^2 -nc~n=limn=inf `1+41-1/n f~1=2 20137 분모의 최고차항으로 분자, 분모를 각각 나눈다.a_n +a_n _+ _1 =n^2 +3 .c3 .c3 `㉠a_n _+ _1 +a_n _+ _2 =(n+1)^2 +3 .c3 .c3 `㉡㉡-㉠을 하면 a_n _+ _2 -a_n =(n+1)^2 -n^2 =2n+1 .t3 limn=inf `a_n _+ _2 -a_n n+1=limn=inf `2n+1n+1=limn=inf `2+1/n 1+1/n =2 ⑤(cid:48)(cid:18)(cid:18)(cid:20)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:90)라이트쎈(해001-016)1강-ok.indd 1514. 8. 29. 오후 2:09 16 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0138 분자에만 근호가 있는 경우 분모를 1로 놓고 분자를 유리화한다.(2n+1)^2<4n^2+5n+1<(2n+2)^2이므로 a_n=24n^2+5xn+1x~-(2n+1) .t3 limn=inf`a_n `=limn=inf`{24n^2+5xn+1x~-(2n+1)} `=limn=inf`{24n^2+5xn+1x~~-(2n+1)}{24n^2+5xn+1x~~+(2n+1)}24n^2+5xn+1x~+(2n+1) `=limn=inf`n24n^2+5xn+1x~+2n+1 `=limn=inf`144+5/n+1n^2v~+2+1/n `=12+2=1/4 1/40139 f(x), f~^2(x), f~^3(x), …를 차례대로 구한 다음 규칙을 찾는다.f(x)=x2+1=x+22이므로 ~f~^2(x)=f~(x+22)=x+22+22=x+2+2^22^2 ~f~^3(x)=f~(x+2+2^22^2)=x+2+2^22^2+22=x+2+2^2+2^32^3.^3따라서 ~f~^n(x)=x+2+2^2+.c3+2^n2^n이므로 ~f~^n(1)=1+2+2^2+.c3+2^n2^n=2^n^+^1-12-12^n=2^n^+^1-12^n .t3 limn=inf`~f~^n(1)=limn=inf`2^n^+^1-12^n=limn=inf`(2-12^n) =2 2~f(x)=x2+1이므로 f(1)=1/2+1=3/2=2^2-12 f~^2(1)=3/4+1=7/4=2^3-12^2 f~^3(1)=7/8+1=15/8=2^4-12^3 .^3따라서 f~^n(1)=2^n^+^1-12^n이므로 limn=inf`~f~^n(1)=limn=inf`2^n^+^1-12^n=limn=inf`(2-12^n)=20140 이차방정식이 중근을 가지면 판별식 D=0임을 이용한다.이차방정식 x^2-1a_nq~x+(a_n_+_1-3)=0이 중근을 가지므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=(1a_nq~)^2-4(a_n_+_1-3)=0 a_n-4a_n_+_1+12=0 .t3 a_n_+_1=1/4a_n+3이것을 a_n_+_1-alpha=1/4(a_n-alpha)로 놓으면 a_n_+_1=1/4a_n+3/4alpha3/4alpha=3이므로 alpha=4 .t3 a_n_+_1-4=1/4(a_n-4)따라서 수열 {a_n-4}는 첫째항이 a_1-4=-3, 공비가 1/4인 등비수열이므로 a_n-4=-3.c1(1/4)^n^-^1 .t3 a_n=-3.c1(1/4)^n^-^1+4 .t3 limn=inf`a_n=limn=inf`{-3.c1(1/4)^n^-^1+4}=4 ①0141 A물병에 남아 있는 물의 양을 수열의 귀납적 정의를 이용하여 나타낸다.A물병에서 B물병으로 옮긴 다음 B물병에서 A물병으로 옮기는 것을 1회의 시행이라 할 때, n회의 시행 후에 A, B 두 물병에 남아 있는 물의 양을 각각 a_n`L, b_n`L라 하면 a_n+b_n=2 .t3 b_n=2-a_n(n+1)회의 시행 후에 A물병에 남아 있는 물의 양은 a_n_+_1=3/4a_n+1/4(1/4a_n+b_n)=3/4a_n+1/4(1/4a_n+2-a_n)=9/16a_n+1/2이것을 a_n_+_1-alpha=9/16(a_n-alpha)로 놓으면 a_n_+_1=9/16a_n+7/16alpha7/16alpha=1/2이므로 alpha=8/7 .t3 a_n_+_1-8/7=9/16(a_n-8/7)이때 a_1=3/4+1/4(1/4+1)=17/16이므로 수열 {a_n-8/7}의 첫째항은 a_1-8/7=17/16-8/7=-9/112또 공비가 9/16인 등비수열이므로 a_n-8/7=-9/112.c1(9/16)^n^-^1 .t3 a_n=-9/112.c1(9/16)^n^-^1+8/7 .t3 limn=inf`a_n=limn=inf`{-9/112.c1(9/16)^n^-^1+8/7}=8/7따라서 A물병의 물의 양은 8/7~L에 가까워진다. ④라이트쎈(해001-016)1강-ok.indd 1614. 8. 29. 오후 2:09 02``급수 • 17본책급수0223~25쪽0149 제~n~항까지의 부분합을 S_n 이라 하면 S_n =sigk=1 ^n `(2/5)^k ^- ^1 =1-(2/5)^n 1-2/5 =5/3 {1-(2/5)^n } .t3 limn=inf `S_n =limn=inf `5/3 {1-(2/5)^n }=5/3 따라서 주어진 급수는 5/3에 수렴한다. 수렴, 5/3 0150 ⑴ S_n =sigk=1 ^n `1k(k+1)=sigk=1 ^n `(1/k -1k+1)=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+.c3 +(1/n -1n+1)=1-1n+1=nn+1⑵ limn=inf `S_n =limn=inf `nn+1=1⑶ sign=1 ^inf `~1n(n+1)=limn=inf `S_n =1 ⑴ S_n =nn+1 ⑵ 1 ⑶ 10151 ㈎ nn+1 ㈏ 10152 주어진 급수의 제~n~항을 a_n 이라 하면 a_n =2n-12n+1 .t3 limn=inf `a_n =limn=inf `2n-12n+1=1따라서 ~limn=inf `a_n not= 0이므로 주어진 급수는 발산한다. 풀이 참조0153 주어진 급수의 제~n~항을 a_n 이라 하면 a_n =2n^2 +nx~-n .t3 limn=inf `(2n^2 +nx~-n) `=limn=inf `(2n^2 +nx~-n)(2n^2 +n~x+n~)2n^2 +n~x+n `=limn=inf `n~2n^2 +nx~+n=limn=inf `141+1/n f~+1 `=1/2따라서 ~limn=inf `a_n not= 0이므로 주어진 급수는 발산한다. 풀이 참조0154 주어진 급수의 제~n~항을 ~a_n 이라 하면 a_n =(-1)^n 이때 ~limn=inf `a_n 은 발산(진동)한다.따라서 ~limn=inf `a_n not= 0이므로 주어진 급수는 발산한다. 풀이 참조0142 sign=1 ^inf `a_n =limn=inf `S_n =limn=inf `n2n-3=1/2 1/2 0143 sign=1 ^inf `a_n =limn=inf `S_n =limn=inf `{5-(1/9 )^n }=5 50144 ⑴ S_n =1+2+3+.c3 +n=sigk=1 ^n `k=n(n+1)2⑵ limn=inf `S_n =limn=inf `n(n+1)2=inf 따라서 수열 {S_n }은 발산한다.⑶ 1+2+3+.c3 +n+.c3 =sign=1 ^inf `a_n =limn=inf `S_n =inf 따라서 주어진 급수는 발산한다. ⑴ S_n =n(n+1)2 ⑵ 발산 ⑶ 발산0145 ⑴ S_n =sigk=1 ^n `(1/2 )^k =1/2 {1-(1/2 )^n }1-1/2 =1-(1/2 )^n ⑵ limn=inf `S_n =limn=inf `{1-(1/2 )^n }=1따라서 수열 {S_n }은 1에 수렴한다.⑶ sign=1 ^inf `(1/2 )^n =limn=inf `S_n =1따라서 주어진 급수는 1에 수렴한다. ⑴ S_n =1-(1/2 )^n ⑵ 수렴 ⑶ 수렴, 10146 제~n~항까지의 부분합을 `S_n 이라 하면 S_n =1+4+9+.c3 +n^2 =sigk=1 ^n `k^2 =n(n+1)(2n+1)6 .t3 limn=inf `S_n =limn=inf `n(n+1)(2n+1)6=inf 따라서 주어진 급수는 발산한다. 발산0147 제~n~항까지의 부분합을 `S_n 이라 하면 S_n =3/2 +(3/2 )^2 +(3/2 )^3 +.c3 +(3/2 )^n =3/2{(3/2)^n -1}3/2 -1=3{(3/2)^n -1} .t3 limn=inf `S_n =limn=inf `3{(3/2)^n -1}=inf 따라서 주어진 급수는 발산한다. 발산0148 제~n~항까지의 부분합을 `S_n 이라 하면 S_n =sigk=1 ^n `(2k-1)=2.c1 n(n+1)2-n=n^2 .t3 limn=inf `S_n =limn=inf `n^2 =inf 따라서 주어진 급수는 발산한다. 발산급수02Ⅰ. 수열의 극한라이트쎈(해017-030)2강-ok.indd 1714. 8. 29. 오후 2:10 18 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0155 주어진 급수의 제~n~항을 ~a_n이라 하면 a_n=n3n-1 .t3 limn=inf`a_n=limn=inf`n3n-1=1/3따라서 ~limn=inf`a_nnot=0이므로 주어진 급수는 발산한다. 풀이 참조0156 sign=1^inf`(a_n+b_n)=sign=1^inf`a_n+sign=1^inf`b_n=3+(-1)=2 20157 sign=1^inf`(a_n-b_n)=sign=1^inf`a_n-sign=1^inf`b_n=3-(-1)=4 40158 sign=1^inf`(a_n+2b_n)=sign=1^inf`a_n+2sign=1^inf`b_n=3+2.c1(-1)=1 10159 sign=1^inf`(3a_n-2b_n)=3sign=1^inf`a_n-2~sign=1^inf`b_n=3.c13-2.c1(-1)=11 110160 첫째항이 1/3, 공비가 1/3이고, -1<1/3<1이므로 주어진 등비급수는 수렴한다. 따라서 그 합은 1/31-1/3=1/2 수렴, 1/20161 첫째항이 1, 공비가 -1/10이고, -1<-1/10<1이므로 주어진 등비급수는 수렴한다. 따라서 그 합은 11-(-1/10)=10/11 수렴, 10/110162 공비가 -12~이고, -12~<-1이므로 주어진 등비급수는 발산한다. 발산0163 첫째항이 1, 공비가 ~13~3이고, -1<13~3<1이므로 주어진 등비급수는 수렴한다. 따라서 그 합은 11-13~3=3~3-13=3+13~2 수렴, 3+13~20164 sign=1^inf`(4/3)^n에서 공비가 4/3이고, 4/3>1이므로 주어진 등비급수는 발산한다. 발산0165 sign=1^inf`2.c1(1/5)^n^-^1에서 첫째항이 2, 공비가 1/5이고, -1<1/5<1이므로 주어진 등비급수는 수렴한다. 따라서 그 합은 21-1/5=5/2 수렴, 5/20166 sign=1^inf`(-213)^n^-^1에서 공비가 -213이고, -213<-1이므로 주어진 등비급수는 발산한다. 발산0167 sign=1^inf`(12~-1)^n^-^1에서 첫째항이 1, 공비가 12~-1이고, -1<12~-1<1이므로 주어진 등비급수는 수렴한다. 따라서 그 합은 11-(12~-1)=2+12~2 수렴, 2+12~20168 sign=1^inf`{(1/3)^n+(1/4)^n}=sign=1^inf`(1/3)^n+sign=1^inf`(1/4)^n=1/31-1/3+1/41-1/4=1/2+1/3=5/6 5/60169 sign=1^inf`(-2)^n~(1/5)^n=sign=1^inf`(-2/5)^n=-2/51-(-2/5)=-2/7 -2/70170 sign=1^inf`(32^n-13^n)=3sign=1^inf`(1/2)^n-sign=1^inf`(1/3)^n=3.c1~1/21-1/2-1/31-1/3=3.c11-1/2=5/2 5/20171 sign=1^inf`2^n+3^n4^n=sign=1^inf`(1/2)^n+sign=1^inf`(3/4)^n=1/21-1/2+3/41-3/4=1+3=4 40172 주어진 등비급수의 공비가 ~2x이므로 수렴하려면 -1<2x<1 .t3 -1/21+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+.c3 =1+1/2+1/2+1/2+.c3 =inf ② limn=inf `n2n+1=1/2not= 0이므로 ~sign=1 ^inf `n2n+1~, 즉 주어진 급수는 발산한다.③ limn=inf `n^2 n^2 +1=1not= 0이므로 ~sign=1 ^inf `n^2 n^2 +1, 즉 주어진 급수는 발산한다.④ sign=1 ^inf `1n(n+1)=limn=inf `sigk=1 ^n `1k(k+1)=limn=inf `sigk=1 ^n `(1/k-1k+1)=limn=inf `{(1-1/2)+(1/2-1/3)+.c3 +(1/n -1n+1)}=limn=inf `(1-1n+1)=1⑤ sign=1 ^inf `11n+1z~-1nq~=sign=1 ^inf `1n+1z~+1nq~(1n+1z~-1nq~)(1n+1z~+1nq~)=sign=1 ^inf `(1n+1z~+1nq~)=inf ④0200 ㄱ. limn=inf `n4n-1=1/4not= 0이므로 ~sign=1 ^inf `n4n-1은 발산한다.ㄴ. sign=2 ^inf ~`1n(n-1)=-limn=inf `sigk=2 ^n `(1/k -1k-1)=-limn=inf `{(1/2-1)+(1/3-1/2)+.c3 +(1/n -1n-1)}=-limn=inf `(1/n -1)=1ㄷ. sign=1 ^inf `11n+1z~+1n=limn=inf `sigk=1 ^n `11k+1z~+1k=limn=inf `sigk=1 ^n `1k+1z~-1k(1k+1z~+1k~)(1k+1z~-1k~)=limn=inf `sigk=1 ^n `(1k+1a~-1k~)=limn=inf `{(12~-1)+(13~-12~~)+.c3 +(1n+1z~~-1n~)}=limn=inf `(1n+1z~-1)=inf 이상에서 수렴하는 것은 ㄴ뿐이다. ②채점 기준비율❶ limn=inf `4a_n +1a_n -5=0임을 알 수 있다.30%❷ a_n 을 ~b_n 에 대한 식으로 나타낼 수 있다. 40%❸ limn=inf `a_n 의 값을 구할 수 있다.30%라이트쎈(해017-030)2강-ok.indd 2114. 8. 29. 오후 2:10 22 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0201 sign=1^inf`a_n=alpha, sign=1^inf`b_n=beta라 하면 ~sign=1^inf`(a_n-2b_n)=17,sign=1^inf`(2a_n-b_n)=19에서 sign=1^inf`a_n-2sign=1^inf`b_n=17, ~2sign=1^inf`a_n-sign=1^inf`b_n=19 .t3 alpha-2beta=17, ~2alpha-beta=19위의 두 식을 연립하여 풀면 alpha=7, beta=-5 .t3 sign=1^inf`(a_n+b_n)=sign=1^inf`a_n+sign=1^inf`b_n=alpha+beta=2 ⑤0202 3a_n-2b_n=c_n이라 하면 2b_n=3a_n-c_n .t3 b_n=3/2a_n-1/2c_n이때 sign=1^inf`a_n=8, sign=1^inf`c_n=18이므로 sign=1^inf`b_n=sign=1^inf`(3/2a_n-1/2c_n)=3/2sign=1^inf`a_n-1/2sign=1^inf`c_n=3/2.c18-1/2.c118=3 30203 ㄱ. sign=1^inf`a_n=alpha, sign=1^inf`(a_n-b_n)=beta라 하면 sign=1^inf`b_n=sign=1^inf`{a_n-(a_n-b_n)}=sign=1^inf`a_n-sign=1^inf`(a_n-b_n)=alpha-beta이므로 sign=1^inf`b_n도 수렴한다.ㄴ. sign=1^inf`a_n이 수렴하므로 limn=inf`a_n=0sign=1^inf`b_n이 수렴하므로 limn=inf`b_n=0.t3 limn=inf`(a_n+b_n)=limn=inf`a_n+limn=inf`b_n=0ㄷ. [반례] {a_n} : 1, -1, 1, -1, 1, …{b_n} : -1, 1, -1, 1, -1, …이면 sign=1^inf`a_n과 ~sign=1^inf`b_n은 발산하지만 a_n+b_n=0이므로sign=1^inf`(a_n+b_n)=0, 즉 수렴한다.이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ②0204 sign=1^inf`~2^2^n^+^1-5^n10^n^+^1=sign=1^inf`~2.c14^n10.c110^n-sign=1^inf`~5^n10.c110^n=sign=1^inf`1/5.c1(2/5)^n-sign=1^inf`1/10.c1(1/2)^n=1/5.c12/51-2/5-1/10.c1~1/21-1/2=1/5.c12/3-1/10.c11=1/30 ③0205 sign=1^inf`{2^n+(-3)^n}(1/5)^n=sign=1^inf`2^n~(1/5)^n+sign=1^inf`(-3)^n~(1/5)^n=sign=1^inf`(2/5)^n+sign=1^inf`(-3/5)^n=2/51-2/5+-3/51-(-3/5)=2/3+(-3/8)=7/24 7/240206 f(x)=x^n이라 하면 나머지정리에 의하여 a_n=f~(1/3)=(1/3)^n ⇨ ❶ .t3 sign=1^inf`a_n=sign=1^inf`(1/3)^n=1/31-1/3=1/2 ⇨ ❷ 1/20207 1/4+34^2+14^3+34^4+14^5+34^6+…=(1/4+14^3+14^5+…)+(34^2+34^4+34^6+…)=1/41-14^2+34^21-14^2=4/15+3/15=7/15 7/150208 등비급수 sign=1^inf`r^n이 수렴하므로 -11/2 .t3 11-r-1>-1/2따라서 sign=1^inf`r^n>-1/2이므로 그 합이 될 수 없는 것은 ①이다. ①0209 등비수열 {a_n}의 공비를 ~r라 하면 sign=1^inf`a_n=3에서 21-r=3, 1-r=2/3 .t3 r=1/3따라서 수열 {a_n^2}은 첫째항이 a^2=4, 공비가 r^2=1/9인 등비수열이므로 sign=1^inf`a_n^2=41-1/9=9/2 ②0210 첫째항이 1, 공비가 3x인 등비급수의 합이 2이므로 11-3x=2, 1=2(1-3x) 6x=1 .t3 x=1/6 1/6채점 기준비율❶ a_n을 구할 수 있다.40%❷ sign=1^inf`a_n의 값을 구할 수 있다.60%나머지정리다항식 ~f(x)를 일차식 ax+b로 나누었을 때의 나머지를 R라 하면R=~f~~(-b/a)라이트쎈(해017-030)2강-ok.indd 2214. 8. 29. 오후 2:10 02``급수 • 23본책급수0231~33쪽0211 등비수열 {a_n }의 첫째항을 a, 공비를 ~r~(-1 0이므로 (3x+1)^2 <1, 9x^2 +6x+1<1 3x^2 +2x<0, x(3x+2)<0 .t3 -2/31 .t3 x<-2 또는 x>2 .c3 .c3 `㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -520217 sign=1 ^inf `r^n 이 수렴하므로 -11 이므로 sign=1^inf`(a/b)^n은 발산한다. 따라서 주어진 급수가 항상 수렴하는 것은 아니다.ㄷ. sign=1^inf`(a+b)^n은 공비가 a+b인 등비급수이고, ㉠, ㉡에서-22일 때,a_n=S_n-S_n_-_1=n^2+2n-{(n-1)^2+2(n-1)}=2n+1 ……`㉠이때 a_1=3은 ~㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 a_n=2n+1 .t3 sign=1^inf`~1a_na_n_+_1=limn=inf`sigk=1^n`~1(2k+1)(2k+3)=limn=inf`sigk=1^n`1/2(12k+1-12k+3)=1/2`limn=inf`{(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+(1/7-1/9)+…+(12n+1-12n+3)}=1/2`limn=inf`(1/3-12n+3)=1/2.c11/3=1/6 ①0224 수열 {a_n}의 첫째항부터 제~n~항까지의 합을 S_n이라 하면 S_n=1-(2/3)^n n=1일 때, a_1=S_1=1/3a_1=1, a_2=2, a_3=3, …이므로 a_n 2일 때,a_n =S_n -S_n _- _1 =1-(2/3)^n -{1-(2/3)^n ^- ^1 }=-(2/3)^n +(2/3)^n ^- ^1 =(-2/3+1).c1 (2/3)^n ^- ^1 =1/3.c1 (2/3)^n ^- ^1 .c3 .c3 `㉠이때 a_1 =1/3은 ~㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 a_n =1/3.c1 (2/3)^n ^- ^1 .t3 a_1 +a_3 +a_5 +a_7 +.c3 =1/3+1/3.c1 (2/3)^2 +1/3.c1 (2/3)^4 +1/3.c1 (2/3)^6 +.c3 =1/3 1-4/9=3/5 ①0225 log _2 `(S_n +2)=n+1에서 S_n +2=2^n ^+ ^1 .t3 S_n =2^n ^+ ^1 -2 n=1일 때, a_1 =S_1 =2 n_> 2일 때,a_n =S_n -S_n _- _1 =2^n ^+ ^1 -2-(2^n -2)=2^n .c3 .c3 `㉠이때 a_1 =2는 ~㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 a_n =2^n .t3 sign=1 ^inf `~1a_n =sign=1 ^inf `12^n =1/2 1-1/2=1 10226 ⑴ S_n _+ _1 =1/2S_n +1에서S_n _+ _1 -2=1/2(S_n -2)즉 수열 {S_n -2}는 첫째항이 S_1 -2=3, 공비가 1/2인 등비수열이므로S_n -2=3.c1 (1/2)^n ^- ^1 .t3 S_n =3.c1 (1/2)^n ^- ^1 +2 ⇨ ❶⑵ a_n =S_n -S_n _- _1 =3.c1 (1/2)^n ^- ^1 +2-{3.c1 (1/2)^n ^- ^2 +2}=3.c1 (1/2)^n ^- ^1 -3.c1 (1/2)^n ^- ^2 =3.c1 (1/2-1).c1 (1/2)^n ^- ^2 =-3.c1 (1/2)^n ^- ^1 ⇨ ❷⑶ sign=2 ^inf `a_n ^2 =sign=2 ^inf `{-3.c1 (1/2 )^n ^- ^1 }^2 =sign=2 ^inf `9.c1 (1/4 )^n ^- ^1 =9.c1 1/41-1/4=3 ⇨ ❸ 풀이 참조0227 x=~OP_1 4~+~P_2 P_3 4~+~P_4 P_5 4~+~P_6 P_7 4~+.c3 =1+(2/3)^2 +(2/3)^4 +(2/3)^6 +.c3 =11-4/9=9/5y=~P_1 P_2 4~+~P_3 P_4 4~+~P_5 P_6 4~+~P_7 P_8 4~+.c3 =2/3+(2/3)^3 +(2/3)^5 +(2/3)^7 +.c3 =2/3 1-4/9=6/5 .t3 x+y=9/5+6/5=3 ③0228 점 ~P_n 이 한없이 가까워지는 점의 좌표를 ~(x, y)라 하면 x=P_1 P_2 4-~P_3 P_4 4+~P_5 P_6 4-~P_7 P_8 4+.c3 =1/2-(1/2)^3 +(1/2)^5 -(1/2)^7 +.c3 =1/21-(-1/4)=2/5 y=OP_1 4-~P_2 P_3 4+~P_4 P_5 4-~P_6 P_7 4+.c3 =1-(1/2)^2 +(1/2)^4 -(1/2)^6 +.c3 =11-(-1/4)=4/5`따라서 점 P_n 이 한없이 가까워지는 점의 좌표는 ~(2/5, 4/5)이다. (2/5, 4/5)0229 x=~OP_1 4~cos `45°-P_1 P_2 4~cos `45°+P_2 P_3 ~4cos `45°-~P_3 P_4 4~cos `45°+.c3 =1.c1 ~122-1/2.c1 ~122+(1/2)^2 .c1 ~122-(1/2)^3 .c1 ~122+.c3 =1221-(-1/2)=123y=~OP_1 4~sin `45°+~P_1 P_2 4~sin `45°+~P_2 P_3 4~sin `45°+~P_3 P_4 ~4sin `45°+.c3 =1.c1 122+1/2.c1 122+(1/2)^2 .c1 122+(1/2)^3 .c1 122+.c3 =1221-1/2=12채점 기준비율❶ S_n 을 구할 수 있다.30%❷ a_n 을 구할 수 있다.30%❸ sign=2 ^inf ~`a_n ^2 의 값을 구할 수 있다.40%라이트쎈(해017-030)2강-ok.indd 2514. 8. 29. 오후 2:10 26 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 .t3 xy=123.c112~=2/3 2/30230 PQ^_=1이고 semoOPQZsemoOP_1Q_1이므로 PQ^_`:`P_1Q~_14=~OP4`:`OP_14=3`:`2 .t3 `P_1Q~_14=2/3~PQ^_=2/3같은 방법으로 P_2Q~_24=2/3~P_1Q~_14=(2/3)^2, P_3Q~_34=2/3~P_2Q~_24=(2/3)^3, … .t3 PQ^_~+~P_1Q_14+~P_2Q_24+.c3=1+2/3+(2/3)^2+…=11-2/3=3 30231 AA_14=1/2AD^_=1/2.c14=2이고 semoAB_1A_1은 직각이등변삼각형이므로 A_1B_14=12`AA_14=212~ .t3 l_1=4.c1212~=812~A_1A_24=1/2A_1B_14=1/2.c1212~=12~이고 semoA_1A_2D_2는 직각이등변삼각형이므로 A_2D_24=12`A_1A_24=2~ .t3 l_2=4.c12~=8A_2A_34=1/2A_2D_24=1/2.c12=1~이고 semoA_2B_3A_3은 직각이등변삼각형이므로 A_3B_34=12`A_2A_34=12~ .t3 l_3=4.c112~~=412~ ~~~~.^3~ .t3 sign=1^inf`l_n=812~+8+412~+…=812~1-112~=1612~-1=16(12~+1) 16(12~+1)0232 gakOP_1P_2=60°이므로 P_1P_24=OP_14~cos`60°=2.c11/2=1gakP_2P_1P_3=60°이므로 P_2P_34=P_1P_24~sin`60°=1.c1132=132gakP_3P_2P_4=60°이므로 P_3P_44=P_2P_34~sin`60°=132.c1132=(132~)^2.^3 .t3 P_1P_24+~P_2P_34+~P_3P_44+.c3=1+132+(132~)^2+…=11-13~2=22-13=2(2+13) ④0233 정삼각형 ABC의 넓이는 134.c12^2=13~이므로 S_1=13~.c11/4=rt^3/4, ~S_2=S_1.c11/4=rt^3/4.c11/4, S_3=S_2.c11/4=rt^3/4.c1(1/4)^2, ~… .t3 S_n=rt^3/4.c1(1/4)^n^-^1 .t3 sign=1^inf`S_n=sign=1^inf`rt^3/4.c1(1/4)^n^-^1=rt^3/41-1/4=rt^3/3 rt^3/30234 원 C_n과 C_n_+_1의 지름의 길이의 비가 2`:`1이므로 넓이의 비는 2^2`:`1^2즉 ~S_n`:`S_n_+_1=4`:`1이므로 S_1=pai, S_2=S_1.c11/4=pai.c11/4, S_3=S_2.c11/4=pai.c1(1/4)^2, … .t3 S_n=pai.c1(1/4)^n^-^1 .t3 sign=1^inf`S_n=pai1-1/4=4/3pai ②0235 S_1=134.c11^2=134정삼각형 R_2의 한 변의 길이가 132이므로 S_2=134.c1(132)^2=134.c13/4정삼각형 R_3의 한 변의 길이가 132.c1132=3/4이므로 S_3=134.c1(3/4)^2=134·9/16 .^3 .t3 S_n=134.c1(3/4)^n^-^1 .t3 limn=inf`sigk=1^n`S_k=sign=1^inf`S_n=sign=1^inf`134.c1(3/4)^n^-^1=1341-3/4=13 130236 0.2^.=0.2+0.02+0.002+.c3=0.21-0.1=2/90.05^.=0.05+0.005+0.0005+.c3=0.051-0.1=1/18이므로 공비를 ~r라 하면 2/9r^2=1/18, r^2=1/4 .t3 r=1/2`(.T3 r>0)따라서 구하는 등비급수의 합은 2/91-1/2=4/9=0.4^. ①0237 0.3^.=0.3+0.03+0.003+…=0.31-0.1=1/30.2^.1^.=0.21+0.0021+0.000021+.c3=0.211-0.01=7/33라이트쎈(해017-030)2강-ok.indd 2614. 8. 29. 오후 5:23 02``급수 • 27본책급수0235~38쪽sign=1 ^inf `a_n =7/33에서 a_1 1-1/3=7/33 .t3 a_1 =7/33.c1 2/3=14/99=0.1^. 4^. ③0238 1.12^. =1.1+0.02+0.002+0.0002+.c3 =11/10+0.021-0.1=11/10+2/90=10190 ⇨ ❶구하는 수를 x로 놓으면 1.12^. x-1.12x=6이므로 10190x-112100x=6 1450x=6 .t3 x=2700따라서 구하는 수는 2700이다. ⇨ ❷ 27000239 1/33=0.0^. 3^. 이므로 a_1 =0, a_2 =3, a_3 =0, a_4 =3,.c3 .t3 a_1 5+a_2 5^2 +a_3 5^3 +a_4 5^4 +a_5 5^5 +a_6 5^6 +.c3 =35^2 +35^4 +35^6 +.c3 =3/251-1/25=1/8 1/80240 추가 멈출 때까지 움직인 거리는 10+10.c1 4/5+10.c1 (4/5)^2 +10.c1 (4/5)^3 +.c3 =101-4/5=50~(cm) 50`cm0241 한 번 튀어 오를 때마다 공이 움직인 거리는 2.c1 15.c1 2/3`m, 2.c1 15.c1 (2/3)^2 `m, 2.c1 15.c1 (2/3)^3 `m, .c3 따라서 공이 정지할 때까지 움직인 거리는 15+2.c1 2/3.c1 15+2.c1 (2/3)^2 .c1 15+2.c1 (2/3)^3 .c1 15+.c3 =15+201-2/3=15+60=75~(m) ④0242 ⑴ V_1 =16-16.c1 1/4+1=13이고V_n _+ _1 =V_n -V_n .c1 1/4+1=3/4V_n +1따라서 수열 {V_n }은 V_1 =13, V_n _+ _1 =3/4V_n +1 (n=1, 2, 3, .c3 ) ⇨ ❶채점 기준비율❶ 1.12^. 를 분수로 나타낼 수 있다.40%❷ 답을 구할 수 있다.60%⑵ V_n _+ _1 =3/4V_n +1이므로V_n _+ _1 -4=3/4(V_n -4)따라서 수열 {V_n -4}는 첫째항이 V_1 -4=9, 공비가 3/4인 등비수열이므로V_n -4=9.c1 (3/4)^n ^- ^1 ⇨ ❷⑶ sign=1 ^inf `(V_n -4)=sign=1 ^inf `9.c1 (3/4)^n ^- ^1 =91-3/4=36 ⇨ ❸ 풀이 참조0243 1AB=1B-A~(1A-1B)임을 이용한다.limn=inf `sigk=1 ^n `~1k^2 +3k+2 =limn=inf `sigk=1 ^n `~1(k+1)(k+2) =limn=inf `sigk=1 ^n `(1k+1-1k+2) =limn=inf `{(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+.c3 +(1n+1-1n+2)} =limn=inf `(1/2-1n+2) =1/2 1/20244 sign=1 ^inf `a_n 이 수렴하면 limn=inf `a_n =0임을 이용한다.sign=1 ^inf `(a_n -1)이 수렴하므로 limn=inf `(a_n -1)=0 .t3 limn=inf `a_n =1 .t3 limn=inf `a_n -41-2a_n =1-41-2.c1 1=3 ⑤0245 sign=1 ^inf `a_n =alpha , sign=1 ^inf `b_n =beta (alpha , beta 는 실수)이면 실수 ~p, q에 대하여 sign=1 ^inf `(pa_n +qb_n )=palpha +qbeta 임을 이용한다.a_n -b_n =c_n 이라 하면 b_n =a_n -c_n 이때 sign=1 ^inf `a_n =5, sign=1 ^inf `c_n =8이므로 sign=1 ^inf `b_n =sign=1 ^inf `(a_n -c_n )=sign=1 ^inf `a_n -sign=1 ^inf `c_n =5-8=-3 .t3 sign=1 ^inf `(2a_n +b_n )=2sign=1 ^inf `a_n +sign=1 ^inf `b_n =2.c1 5+(-3)=7 ①sign=1 ^inf `(2a_n +b_n )=sign=1 ^inf `(2a_n +a_n -c_n )=sign=1 ^inf `(3a_n -c_n )=3sign=1 ^inf `a_n -sign=1 ^inf `c_n =3.c1 5-8=7채점 기준비율❶ 수열 {V_n }을 귀납적으로 정의할 수 있다.30%❷ 수열 {V_n -4}의 일반항을 구할 수 있다.30%❸ sign=1 ^inf `(V_n -4)의 값을 구할 수 있다.40%라이트쎈(해017-030)2강-ok.indd 2714. 8. 29. 오후 5:23 28 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0246 sign=1^inf`ar^n^-^1=alpha (alpha는 실수)이면 ~a1-r=alpha`(-10) 21550247 {r^n}이 수렴하면 -1-1에서 x^2 +3x+2>0, (x+2)(x+1)>0.t3 x<-2 또는 x>-1 x^2 +3x+1<1에서 x^2 +3x<0, x(x+3)<0.t3 -3 2)임을 이용하여 일반항 a_n 을 구한다.n_> 2일 때, a_n =S_n -S_n _- _1 =25{1-(2/5)^n }-25{1-(2/5)^n ^- ^1 }=-25.c1 (2/5)^n +25.c1 (2/5)^n ^- ^1 =25.c1 (-2/5+1).c1 (2/5)^n ^- ^1 =15.c1 (2/5)^n ^- ^1 ⇨ ❶ .t3 sign=1 ^inf `a_2 _n _+ _1 =sign=1 ^inf `15.c1 (2/5)^2 ^n =15`sign=1 ^inf `(4/25)^n =15.c1 ~4/251-4/25=20/7 ⇨ ❷ 20/7라이트쎈(해017-030)2강-ok.indd 2914. 8. 29. 오후 2:10 30 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0258 a_1, a_2, a_3, …을 차례대로 구한 다음 규칙을 찾는다.a_n은 4^n+3을 ~5로 나누었을 때의 나머지이므로 a_1=2, a_2=4, a_3=2, a_4=4, … .t3 sign=1^inf`~a_n10^n=2/10+410^2+210^3+410^4+…=(2/10+210^3+210^5+…)+(410^2+410^4+410^6+…)=2/101-1/100+4/1001-1/100=20/99+4/99=24/99=0.2^.4^. ④0259 n번째와 (n+1)번째에 수거되어 재생산된 종이 상자의 양 사이의 관계를 구한다.n번째에 수거되어 재생산된 종이 상자의 양을 a_n`kg이라 하면 a_1=10.c11/2.c13/4=15/4, a_n_+_1=3/8a_n (n=1, 2, 3, …) ⇨ ❶따라서 수열 {a_n}은 첫째항이 15/4, 공비가 3/8인 등비수열이므로 sign=1^inf`a_n=15/41-3/8=6 ⇨ ❷즉 재생산된 종이 상자는 총 6`kg이다. ⇨ ❸ 6`kg0260 a_n과 b_n을 ~n에 대한 식으로 나타낸다.x-3y+3=0에서 y=1/3x+1이므로 ~y좌표가 자연수이려면 x좌표가 3의 배수이어야 한다.x=3n(n은 자연수)으로 놓으면 y=n+1이므로 a_n=3n, b_n=n+1 .t3 sign=1^inf`~1a_nb_n=sign=1^inf`13n(n+1)=limn=inf`sigk=1^n`1/3(1/k-1k+1)=limn=inf`1/3{(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+…+(1/n-1n+1)}=limn=inf`1/3(1-1n+1)=1/3 ①0261 급수의 성질을 이용한다.alpha, beta는 이차방정식 8x^2-4x-1=0의 두 근과 같으므로 |alpha|<1, |beta|<1따라서 sign=1^inf`alpha^n, sign=1^inf`beta^n은 각각 수렴한다.채점 기준비율❶ n_>2일 때, a_n을 구할 수 있다.50%❷ sign=1^inf`a_2_n_+_1의 값을 구할 수 있다.50%채점 기준비율❶ 수열 {a_n}을 귀납적으로 정의할 수 있다.40%❷ sign=1^inf`a_n의 값을 구할 수 있다.50%❸ 재생산된 종이 상자의 양을 구할 수 있다.10%또 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 alpha+beta=1/2, alphabeta=-1/8 .t3 1beta-alpha`sign=1^inf`(beta^n-alpha^n)=1beta-alpha~(~sign=1^inf`beta^n-sign=1^inf`alpha^n~)=1beta-alpha~(beta1-beta-alpha1-alpha)=1beta-alpha~{beta-alphabeta-alpha+alphabeta(1-beta)(1-alpha)}=~1(1-beta)(1-alpha)=~11-(alpha+beta)+alphabeta=11-1/2-1/8=8/3 ④ ~8x^2-4x-1=0에서 x=1z13~4이때 1<13~<2이므로 -1/4<1-13~4<0, 1/2<1+13~4<3/4.t3 |alpha|<1, |beta|<10262 P_1P_24, P_2P_34, P_3P_44,`…~의 길이를 차례대로 구한 다음 규칙을 찾는다.gakOP_1P_2=45°이므로 P_1P_24=OP_14~cos`45°=122OP_24=P_1P_24=122이므로 P_2P_34=OP_24~cos`45°=122.c1122=(122)^2OP_34=P_2P_34=(122)^2이므로 P_3P_44=OP_3~4cos`45°=(122)^2.c1122=(122)^3.^3 .t3 P_1P_24+P_2P_34+P_3P_44+.c3=122+(122)^2+(122)^3+…=1221-122=122-12=1+12 ④0263 시행을 반복하여 규칙을 찾는다.첫 번째 시행에서 색칠한 정사각형의 넓이는 1/9두 번째 시행에서 색칠한 정사각형의 넓이의 합은 4.c1(1/9)^2=1/9.c14/9세 번째 시행에서 색칠한 정사각형의 넓이의 합은 4^2.c1(1/9)^3=1/9.c1(4/9)^2 `~ .^3따라서 색칠한 모든 정사각형의 넓이의 합은 1/9+1/9.c14/9+1/9.c1(4/9)^2+.c3=1/91-4/9=1/5 1/5라이트쎈(해017-030)2강-ok.indd 3014. 8. 29. 오후 2:10 03``함수의 극한 • 31본책함수의 극한0340~44쪽0274 f(x)=1+1/x 로 놓으면 y=f(x)의(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:18)그래프에서 lim x=-$`(1+1/x )=1 10275 0 0276 20277 � 0278 -�0279 lim x=2+ f(x)=lim x=2+(2x+1)=5 50280 lim x=2- f(x)=lim x=2-(-2x+1)=-3 -30281 lim x=0+ x|x|=lim x=0+ xx=lim x=0+1=1 10282 lim x=0- x|x|=lim x=0- x-x=lim x=0-(-1)=-1 -10283 � 0284 -�0285 1 0286 10287 0 0288 -10289 10290 lim x=1+`f(x)not= lim x=1-`f(x)이므로 limx=1 `f(x)의 값은 존재하지 않는다. 존재하지 않는다.0291 limx=0 `{f(x)+g(x)}=limx=0 `f(x)+limx=0 `g(x)=5+(-2)=3 30292 limx=0 `{f(x)-g(x)}=limx=0 `f(x)-limx=0 `g(x)=5-(-2)=7 70293 limx=0 `{-2 f(x)}=-2`limx=0 `f(x)=-2· 5=-10 -100294 limx=0 `f(x)g(x)=limx=0 `f(x)`limx=0 `g(x)=5· (-2)=-10 -100295 limx=0 ``f(x)g(x)=limx=0 `f(x)limx=0 `g(x)= 5-2=-5/2 -5/20264 f(x)=x^2 으로 놓으면 y=f(x)의 그(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:14)(cid:19)(cid:21)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)래프에서 x의 값이 -2에 한없이 가까워질 때, `f(x)의 값은 4에 한없이 가까워지므로 limx=-2 `x^2 =4 40265 f(x)=1x+1로 놓으면 y=f(x)의(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:14)(cid:18)(cid:18) 그래프에서 x의 값이 0에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 1에 한없이 가까워지므로 limx=0 `1x+1=1 10266 f(x)=4로 놓으면 y=f(x)의 그래(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:48)(cid:14)(cid:20)(cid:21)프에서 x의 값이 -3에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 4이므로 limx=-3 `4=4 40267 f(x)=120xa로 놓으면 y=f(x)의(cid:48)(cid:18)(cid:17)(cid:22)(cid:89)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10) 그래프에서 x의 값이 5에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 10에 한없이 가까워지므로 limx=5 `120xa=10 100268 1 0269 �0270 00271 f(x)=-x+1로 놓으면 y=f(x)의(cid:48)(cid:18)(cid:18)(cid:89)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10) 그래프에서 `(-x+1)=-�` -�0272 f(x)=x^3 으로 놓으면 y=f(x)의 그(cid:48)(cid:89)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)래프에서 lim x=-$`x^3 =-� -�0273 f(x)=1xq 로 놓으면 y=f(x)의 그래(cid:48)(cid:89)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)프에서 limx=inf `1xq =� �함수의 극한03 (cid:462). 함수의 극한과 연속라이트쎈미적1(해031-048).indd 3114. 8. 29. 오후 1:58 32 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0309 limx=3`1x+6z-3x-3=limx=3`(1x+6z-3)(1x+6z+3)(x-3)(1x+6z+3)` =limx=3`x-3(x-3)(1x+6z+3)` =limx=3`11x+6z+3=1/6 1/60310 `xx^2+1=`1/x1+^1/x^2=0 00311 limx=-$`5x+12x-3=limx=-$`5+1/x2-3/x=5/2 5/20312 `x^23x+1=`x3+1/x=� �0313 `4x(2x+1)(x+1)(x+2)=`8x^2+4xx^2+3x+2=`8+4/x1+3/x+^2/x^2=8 80314 `(x^3-x^2)=`x^3(1-1/x)=� �0315 `(5+2x^2-x^3)=`x^3(^5/x^3+2/x-1)=-� -�0316 `(2x^2+4x-x)=`(2x^2+4x-x)(2x^2+4x+x)2x^2+4x+x=`42x^2+4x+x=0 00317 `12x^2+xx-x=`2x^2+xx+x(2x^2+xx-x)(2x^2+xx+x)=`2x^2+xx+xx=`(41+1/xf+1)=2 20318 limx=0`1/x(1/x-1+1)=limx=0`1/x·xx-1=limx=0`1x-1=-1 -10296 limx=1`{3 f(x)+4g(x)}=limx=1`3 f(x)+limx=1`4g(x)=3`limx=1`f(x)+4`limx=1`g(x)=3·(-3)+4·1/2=-7 -70297 limx=1`8 f(x)g(x)=8`limx=1`f(x)g(x)=8`limx=1`f(x)`limx=1`g(x)=8·(-3)·1/2=-12 -120298 limx=1`{2f(x)g(x)+5}=2`limx=1`f(x)g(x)+limx=1`5 `=2`limx=1`f(x)`limx=1`g(x)+5`=2·(-3)·1/2+5`=2 20299 limx=1`f(x)-12 g(x)+1=limx=1`{f(x)-1}limx=1`{2 g(x)+1}=limx=1`f(x)-12`limx=1`g(x)+1=-3-12·1/2+1=-2 -20300 limx=-3`(-2x+1)=-2·(-3)+1=7 70301 limx=-1`(x^2-3x+4)=1-3·(-1)+4=8 80302 limx=2`(x-1)(3x+1)=(2-1)(3·2+1)=7 70303 limx=1`(2x^2+1)(x^3-5)=(2·1+1)(1-5)=-12 -120304 limx=4`x^2-4xx-1=4^2-4.c144-1=0` 00305 limx=2`2x^3-3x+2x^2+2=2.c12^3-3.c12+22^2+2=2 20306 limx=1`x^2-1x-1=limx=1`(x+1)(x-1)x-1 =limx=1`(x+1)=2 20307 limx=-2`x^2+x-2x+2=limx=-2`(x+2)(x-1)x+2=limx=-2`(x-1)=-3 -30308 limx=4`x-41x-2=limx=4`(x-4)(1xq+2)(1xq-2)(1xq+2)=limx=4`(x-4)(1xq+2)x-4=limx=4`(1xq+2)=4 4라이트쎈미적1(해031-048).indd 3214. 8. 29. 오후 1:58 03``함수의 극한 • 33본책함수의 극한0344~47쪽ㄴ. lim x=1+ |x-1|x^2 -x=lim x=1+ x-1x(x-1)=lim x=1+`1/x =1 lim x=1- |x-1|x^2 -x=lim x=1- -(x-1)x(x-1)=lim x=1-`(-1/x )=-1 이므로 lim x=1+ |x-1|x^2 -xnot= lim x=1- |x-1|x^2 -x 따라서 limx=1 `|x-1|x^2 -x의 값은 존재하지 않는다.ㄷ. lim x=-3+ x^2 -9|x+3|=lim x=-3+ (x+3)(x-3)x+3 =lim x=-3+ (x-3)=-6 lim x=-3- x^2 -9|x+3|=lim x=-3- (x+3)(x-3)-(x+3) =lim x=-3- {-(x-3)}=6 이므로 lim x=-3+ x^2 -9|x+3|not= lim x=-3- x^2 -9|x+3| 따라서 limx=-3 ` x^2 -9|x+3|의 값은 존재하지 않는다.이상에서 극한값이 존재하는 것은 ㄱ뿐이다. ①0327 ② limx=0 `f(x)=0 ② ⑤ limx=0 `f(x)=-X 이때 -X는 일정한 값이 아닌 한없이 작아지는 상태를 나타내므로 limx=0 `f(x)의 값은 존재하지 않는다.0328 ① lim x=0+`f(x)=0② lim x=1+`f(x)=0, lim x=1-`f(x)=-2이므로lim x=1+`f(x)not= lim x=1-`f(x) 따라서 limx=1 `f(x)의 값은 존재하지 않는다.③ lim x=2+`f(x)=lim x=2-`f(x)=3.t3 limx=2 `f(x)=3④ lim x=3+`f(x)=1⑤ lim x=4-`f(x)=4 ②0329 lim x=3+`f(x)=lim x=3+(kx+1)=3k+1lim x=3-`f(x)=lim x=3-(x-k)^2 `=(3-k)^2 ⇨ ❶이때 limx=3 `f(x)의 값이 존재하려면 lim x=3+`f(x)=lim x=3-`f(x)이어야 하므로 3k+1=(3-k)^2 , 3k+1=k^2 -6k+9 k^2 -9k+8=0, (k-1)(k-8)=0 .t3 k=1 또는 k=8 ⇨ ❷따라서 실수 k의 값의 합은 1+8=9 ⇨ ❸ 9채점 기준비율❶ lim x=3+f(x), lim x=3-f(x)의 값을 구할 수 있다.40%❷ k의 값을 구할 수 있다.50%❸ 모든 k의 값의 합을 구할 수 있다.10%0319 `x(1-x+1/x-1)=`x· -2x-1=`-2xx-1=`-21-1/x =-2 -20320 ⑴ x`@C`2일 때 극한값이 존재하고 (분모)`@C`0이므로 (분자)`@C`0이다..t3 limx=2 `(x^2 +ax)=0⑵ limx=2 `(x^2 +ax)=0에서 4+2a=0 .t3 a=-2 ⑴ 0 ⑵ -20321 ⑴ x`@C`3일 때 0이 아닌 극한값이 존재하고 (분자)`@C`0이므로 (분모)`@C`0이다..t3 limx=3 `(x^2 -7x+a)=0⑵ limx=3 (x^2 -7x+a)=0에서3^2 -7.c1 3+a=0 .t3 a=12 ⑴ 0 ⑵ 120322 x`@C`0일 때 극한값이 존재하고 (분모)`@C`0이므로 (분자)`@C`0이다.즉 limx=0 (x+a)=0이므로 a=0 00323 x`@C`-1일 때 0이 아닌 극한값이 존재하고 (분자)`@C`0이므로 (분모)`@C`0이다.즉 limx=-1 (x^2 +ax-2)=0이므로 1-a-2=0 ∴ a=-1 -10324 ⑴ limx=1 `2x=2· 1=2⑵ limx=1 (x^2 +1)=1^2 +1=2⑶ 모든 실수 x에 대하여 2x_< `f(x)_< x^2 +1이고 ⑶ limx=1 `2x=limx=1 (x^2 +1)=2⑶ 이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여⑶ limx=1 ``f(x)=2 ⑴ 2 ⑵ 2 ⑶ 20325 모든 양수 x에 대하여 1-1/x _< f(x)_< 1+1/x 이고 `(1-1/x )=`(1+1/x )=1이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 `f(x)=1 10326 ㄱ. lim x=2+`|x-2|=lim x=2+ (x-2)=0ㄷ. lim x=2-`|x-2|=lim x=2- {-(x-2)}=0 .t3 limx=2 `|x-2|=0라이트쎈미적1(해031-048).indd 3314. 8. 29. 오후 1:58 34 • 정답 및 풀이정답 및 풀이④ x`@C`2+일 때 [x]=2이므로 ① limx=2+ [x]^2+x[x]=limx=2+ 2^2+x2=4+22=3⑤ -x^2+2x-1=-(x-1)^2 x`@B`1+일 때 -(x-1)^2`@C`0-이므로 limx=1+[-x^2+2x-1]=-1 ⑤0336 ` x>1일 때, f(x)=x^2-3x+2x-1 =(x-1)(x-2)x-1=x-2 .t3 a=limx=1+`f(x)=limx=1+(x-2)=-1`x`@C`1-일 때, [x]=0이므로 f(x)=[x]x-1=0 .t3 b=limx=1-`f(x)=limx=1-0=0, 에서 a+b=-1 -10337 `f(x)=t로 놓으면 x`@B`-1+일 때 `t=0이므로 limx=-1+`g(`f(x))=g(0)=0또 x`@B`1+일 때 `t`@B`1-이므로 limx=1+`g(`f(x))=limt=1-`g(t)=limt=1-`t^2`=1 .t3 limx=-1+`g(`f(x))+limx=1+`g(`f(x))=0+1=1 ②0338 f(x)=t로 놓으면 x`@B`0-일 때 t`@B`0+이므로 limx=0-`f(f(x))=limt=0+`f(t)=limt=0+(t+1)=1 10339 limx=inf x-3f(x)2x-f(x)=limx=inf 1-3·`f(x)x2-`f(x)x=1-3·1/22-1/2=-1/3 -1/30340 limx=0`f(x)=2, limx=0`g(x)=a이므로 limx=0 `f(x)+2g(x)`f(x)g(x)+4=2+2a2a+4즉 2+2a2a+4=2이므로 2+2a=4a+8 .t3 a=-3 ①0341 f(x)+2g(x)=h(x)로 놓으면 limx=2015 h(x)=10이고 g(x)=h(x)-f(x)2.t3.t3.t3 limx=2015 g(x)=limx=2015 h(x)-f(x)2=10-(-4)2=7 70330 ㄱ. limx=0+`f(x)=1, limx=0-`f(x)=2이므로 ㄷ. limx=0+`f(x)not=limx=0-`f(x)ㄷ. 따라서 limx=0`f(x)의 값은 존재하지 않는다.ㄴ. limx=1+`f(x)=limx=1-`f(x)=1이므로 ㄷ. limx=1`f(x)=1이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ④0331 limx=1+`f(x)-limx=1-`f(x)=limx=1+(x^2-2x+4)-limx=1-(-x^2+2x-2)=(1^2-2.c11+4)-(-1^2+2.c11-2)=3-(-1)=4 ⑤0332 limx=0`f(x)+limx=1-`f(x)+limx=2+`f(x)=0+1+1 =2 ②0333 x-2015=0에서 x=2015 x>2015일 때, f(x)=x-2015x-2015=1 .t3 a=limx=2015+`f(x)=1 ⇨ ❶ x<2015일 때, f(x)=-(x-2015)x-2015=-1 .t3 b=limx=2015-`f(x)=-1 ⇨ ❷ , 에서 a-b=2 ⇨ ❸ 20334 x`@C`3+일 때 x+1`@C`4+이므로 limx=3+[x+1]=4x`@C`3-일 때 x-1`@C`2-이므로 limx=3-[x-1]=1 .t3 limx=3+[x+1]+limx=3-[x-1]=5 ④0335 ① x`@C`0+일 때 [x]=0이므로 ① limx=0+ [x]x=limx=0+ 0/x=0② x`@C`0-일 때 x-1`@C`-1-이므로 ① [x-1]=-2 ① .t3 limx=0- x-1[x-1]=limx=0- x-1-2=1/2③ x`@C`1-일 때 x+1`@C`2-이므로 [x+1]=1 ① .t3 limx=1- x+1[x+1]=limx=1- (x+1)=2채점 기준비율❶ a의 값을 구할 수 있다.40%❷ b의 값을 구할 수 있다.40%❸ a-b의 값을 구할 수 있다.20%라이트쎈미적1(해031-048).indd 3414. 8. 29. 오후 1:58 03``함수의 극한 • 35본책함수의 극한0347~51쪽0346 limx=9 `(x-9)f(x)1xq-3=limx=9 `(x-9)f(x)(1xq+3)(1xq-3)(1xq+3) =limx=9 `(x-9)f(x)(1xq+3)x-9 =limx=9 `f(x)(1xq+3) =-2· (3+3) =-12 ①0347 x-2=t로 놓으면 x`@B`2일 때 t`@B`0이므로 limx=2 ``f(x-2)x^3 -8=limt=0 ``f(t)(t+2)^3 -8=limt=0 ``f(t)t^3 +6t^2 +12t =limt=0 ``f(t)t· 1t^2 +6t+12 =5· 1/12=5/12 5/120348 limx=inf `3x2x^2 -xx+24x^2 +1x=limx=inf `341-1/xf+44+1x^2 f =31+2=1 10349 limx=-inf ``5-x+2x^2 3+x+x^2 =limx=-inf ``5x^2 -1/x+23x^2 +1/x+1=2 20350 A=limx=inf `7x+15x^2 -1=limx=inf `7/x+1x^2 5-1x^2 =0B=limx=0 `11+xz-1x=limx=0 `(11+xz-1)(11+xz+1)x(11+xz+1) =limx=0 `xx(11+xz+1)=limx=0 `111+xz+1 = 1/+1=1/2C=limx=inf `24x^2 +1x-12x=limx=inf `44+1x^2 f-1/x2=2/2=1 .t3 A 0)(x<0), g(x)={-11(x_> 0)(x<0)ㄱ. 이면 f(x)+g(x)=0이므로 limx=0 `{f(x)+g(x)}=0이지만 ㄱ. limx=0 `f(x)와 limx=0 `g(x)의 값은 존재하지 않는다.ㄴ. [반례] f(x)={10(x_> 0)(x<0), g(x)={10(x_> 0)(x<0)이면 ㄱ. f(x)-g(x)=0이므로 limx=0 `{f(x)-g(x)}=0이지만 ㄱ. limx=0 `f(x)와 limx=0 `g(x)의 값은 존재하지 않는다.ㄷ. limx=a `g(x)=alpha , limx=a ``f(x)g(x)=beta (alpha , beta 는 실수)라 하면 ㄷ. limx=a `f(x)=limx=a `g(x).c1 `f(x)g(x)=alpha beta 이상에서 옳은 것은 ㄷ뿐이다. ②0343 limx=2 `x^2 -42x^2 -3x-2+limx=-1 `x+12x^2 +3x-2 =limx=2 `(x+2)(x-2)(2x+1)(x-2)+limx=-1 `(x+1)(2x^2 +3x+2)(2x^2 +3x-2)(2x^2 +3x+2) =limx=2 `(x+2)(x-2)(2x+1)(x-2)+limx=-1 `(x+1)(2x^2 +3x+2)(x+1)(x-1) =limx=2 `x+22x+1+limx=-1 ` 2x^2 +3x+2x-1 =4/5-2=-6/5 ①0344 limx=-3 `x+33x+1=limx=-3 `x(x+3)3+x=limx=-3 `x=-3 -30345 limx=1 `x^3 -1(x^2 -1)f(x)=limx=1 `(x-1)(x^2 +x+1)(x+1)(x-1)f(x) limx=1 ` =limx=1 `x^2 +x+1(x+1)f(x) limx=1 ` =32 f(1) ⇨ ❶ 따라서 32 f(1)=2이므로 f(1)=3/4 ⇨ ❷ 3/4채점 기준비율❶ limx=1 `x^3 -1(x^2 -1)f(x)=32 f(1)임을 알 수 있다.70%❷ f(1)의 값을 구할 수 있다.30%라이트쎈미적1(해031-048).indd 3514. 8. 29. 오후 1:58 36 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0357 x`@B`-1일 때 극한값이 존재하고 (분모)`@B`0이므로 (분자)`@B`0이다.즉 limx=-1`(x^2+ax+b)=0이므로 1-a+b=0 .t3 b=a-1 .c3.c3`㉠㉠㉠㉠을 주어진 식의 좌변에 대입하면limx=-1`x^2+ax+a-1x+1=limx=-1`(x+1)(x+a-1)x+1=limx=-1`(x+a-1)=a-2즉 a-2=2이므로 a=4a=4를 ㉠에 대입하면 b=3 .t3 a+b=7 70358 x`@B`2일 때 0이 아닌 극한값이 존재하고 (분자)`@B`0이므로 (분모)`@B`0이다.즉 limx=2(ax+b)=0이므로 2a+b=0 .t3 b=-2a .c3.c3 ㉠㉠㉠㉠을 주어진 식의 좌변에 대입하면limx=2`212w+x^2x-2xax-2a=limx=2`(212w+x^2x-2x)(212w+x^2x+2x)(ax-2a)(212w+x^2x+2x) =limx=2`-3(x+2)(x-2)a(x-2)(212w+x^2x+2x) =limx=2`-3(x+2)a(212w+x^2x+2x) =-3·4a(4+4)=-3/2a즉 -3/2a=-3이므로 a=1/2a=1/2을 ㉠에 대입하면 b=-1 .t3 ab=-1/2 ③0359 x`@B`1일 때 극한값이 존재하고 (분모)`@B`0이므로 (분자)`@B`0이다.즉 limx=1`f(x)=limx=1 (x^3+ax^2+b)=0이므로 1+a+b=0 .t3 b=-a-1 .c3.c3`㉠㉠㉠㉠을 f(x)=x^3+ax^2+b에 대입하면 f(x)=x^3+ax^2-(a+1) .t3 limx=1``f(x)x-1=limx=1`x^3+ax^2-(a+1)x-1 =limx=1`(x-1){x^2+(a+1)x+a+1}x-1 =limx=1`{x^2+(a+1)x+a+1}=2a+3즉 2a+3=5이므로 a=1a=1을 ㉠에 대입하면 b=-2따라서 f(x)=x^3+x^2-2이므로 f(0)=-2 ①0360 limx=inf`ax^2+bx+cx^2+x-2=2이므로 a=2 ⇨ ❶또 limx=-2`2x^2+bx+cx^2+x-2=2/3에서 x`@B`-2일 때 극한값이 존재하고(분모)`@B`0이므로 (분자)`@B`0이다.0352 x=-t로 놓으면 x`@B`-X일 때 t`@B`X이므로 (주어진 식)=limt=inf(21+st+t^2x-t) =limt=inf`(21+st+t^2x-t)(21+st+t^2x+t)21+st+t^2x+t =limt=inf`1+t21+st+t^2x+t =limt=inf`1/t+141t^2+f1/t+1v+1 =11+1=1/2 ④0353 (주어진 식) =limx=inf`x+2x^2-3xx+5x(x-2x^2-3xx+5x)(x+2x^2-3xx+5x) =limx=inf`x+2x^2-3xx+5x3x-5=limx=inf`1+41-3/xf+5x^2v3-5/x =1+13=2/3 2/30354 limx=-1`4x+1(x-2/x-1)=limx=-1`4x+1·x^2-x-2x-1 =limx=-1`4x+1·(x+1)(x-2)x-1 =limx=-1`4(x-2)x-1=4·(-3)-1-1 =6 60355 limx=0`18/x(11x+9z-1/3)=limx=0`18/x·3-1x+9z31x+9z =limx=0`6(3-1x+9z)(3+1x+9z)x1x+9z`(3+1x+9z`) =limx=0`-6xx1x+9z`(3+1x+9z`) =limx=0`-61x+9z`(3+1x+9z`) =-63(3+3)=-1/3 ②0356 limx=inf`f(x)=limx=inf (2x^2w+4xx-x)=limx=inf`(2x^2w+4xx-x)(2x^2w+4xx+x)2x^2w+4xx+x=limx=inf`4x2x^2w+4xx+x=limx=inf`441+4/xf+1=`4/+1=2limx=0`g(x)=limx=0`1/x(12x+1-1)=limx=0`1/x·-2x2x+1=limx=0`-22x+1=-2 .t3 limx=inf`f(x)+limx=0`g(x)=0 0라이트쎈미적1(해031-048).indd 3614. 8. 29. 오후 1:58 03``함수의 극한 • 37본책함수의 극한0351~53쪽이때 ㉠의 극한값이 존재하려면 2-a^2 =0 a^2 =2 .t3 a=12 (.T3 a>0)a=12를 ㉠에 대입하면limx=inf `x+122x^2 s+sx+1x+12x=limx=inf `1+1x42+1/x+1x^2 v+12`=122+22=124따라서 b=124이므로 a/b=12124=4 ⑤0364 limx=inf ``f(x)2x-1=1에서 f(x)는 일차항의 계수가 2인 일차식임을 알 수 있다. f(x)=2x+a (a는 상수)로 놓으면 limx=-1 ` f(x)=limx=-1 `(2x+a)=-2+a즉 -2+a=2이므로 a=4따라서 f(x)=2x+4이므로 f(2)=2· 2+4=8 ③0365 조건 ㈎에서 f(x)는 삼차항의 계수가 1, 이차항의 계수가 2인 삼차식임을 알 수 있다.또 조건 ㈏에서 x`@B`0일 때 극한값이 존재하고 (분모)`@B`0이므로 (분자)`@B`0이다.즉 limx=0 `f(x)=0이므로 f(0)=0 f(x)=x^3 +2x^2 +ax`(a는 상수)로 놓으면limx=0 ``f(x)x=limx=0 `x(x^2 +2x+a)x=limx=0 (x^2 +2x+a)=a .t3 a=-1따라서 f(x)=x^3 +2x^2 -x이므로 구하는 나머지는 f(1)=1^3 +2.c1 1^2 -1=2 20366 limx=0 `` f(x)x=2에서 x`@B`0일 때 극한값이 존재하고 (분모)`@B`0이므로 (분자)`@B`0이다.즉 limx=0 `f(x)=0이므로 f(0)=0 .c3 .c3 ㉠㉠㉠또 limx=1 `` f(x)x-1=-1에서 x`@B`1일 때 극한값이 존재하고 (분모)`@B`0이므로 (분자)`@B`0이다.즉 limx=1 `f(x)=0이므로 f(1)=0 .c3 .c3 ㉡㉠㉠㉠, ㉡에 의하여 f(x)=x(x-1)(ax+b) (a, b는 상수)로 놓으면 limx=0 ``f(x)x=2에서limx=0 ``f(x)x=limx=0 `x(x-1)(ax+b)x=limx=0 `(x-1)(ax+b)=-b나머지정리다항식 f(x)를 일차식 x-a로 나누었을 때의 나머지를 R라 하면 R=f(a)즉 limx=-2 `(2x^2 +bx+c)=0이므로 8-2b+c=0 .t3 c=2b-8 .c3 .c3 ㉠㉠㉠㉠을 limx=-2 `2x^2 +bx+cx^2 +x-2에 대입하면limx=-2 `2x^2 +bx+2b-8x^2 +x-2=limx=-2 `(x+2)(2x+b-4)(x+2)(x-1) =limx=-2 `2x+b-4x-1=b-8-3즉 b-8-3=2/3이므로 b=6b=6을 ㉠에 대입하면 c=4 ⇨ ❷ .t3 abc=48 ⇨ ❸ 480361 x=-t로 놓으면 x`@B`-X일 때 t`@B`X이므로 limx=-inf `(2ax^2 s-bxx+x)=limt=inf `(2at^2 s+btx-t)=limt=inf `(2at^2 s+btx-t)(2at^2 s+btx+t)2at^2 s+btx+t=limt=inf `(a-1)t^2 +bt2at^2 s+btx+t .c3 .c3 `㉠㉠㉠이때 ㉠의 극한값이 존재하려면 a-1=0 .t3 a=1a=1을 ㉠에 대입하면limt=inf `bt2t^2 +btx+t=limt=inf `b41+b/tf+1=b/2즉 b/2=2이므로 b=4 .t3 a+b=5 50362 limx=inf `(2x^2 w+axx-2x^2 w-axx) =limx=inf `(2x^2 w+axx-2x^2 w-axx)(2x^2 w+axx+2x^2 w-axx)2x^2 w+axx+2x^2 w-axx =limx=inf `2ax2x^2 w+axx+2x^2 w-axx =limx=inf `2a41+a/xf+41-a/xf =2a1+1=a .t3 a=4 ③ 0363 a_< 0이면 limx=inf (22x^2 +xx+1x-ax)=X이므로 a>0주어진 식의 좌변의 분자를 유리화하면limx=inf `(22x^2 +sx+1x-ax)=limx=inf `(22x^2 +sx+1x-ax)(22x^2 +sx+1x+ax)22x^2 +sx+1x+ax=limx=inf `(2-a^2 )x^2 +x+122x^2 +sx+1x+ax .c3 .c3 ㉠㉠㉠채점 기준비율❶ a의 값을 구할 수 있다.30%❷ b, c의 값을 구할 수 있다.60%❸ abc의 값을 구할 수 있다.10%라이트쎈미적1(해031-048).indd 3714. 8. 29. 오후 1:58 38 • 정답 및 풀이정답 및 풀이따라서 f(x)=3(x-1)(x+7/3)=3x^2+4x-7이므로a=limx=inf`(3x^2+4x-7)-3x^22x-3=limx=inf`4x-72x-3=2 ④0369 x>0일 때, 2x+11일 때, x-1>0이므로 주어진 부등식의 각 변을 x-1로 나누면 x^2-1x-1_<`f(x)x-1_<2x^2-2xx-1 (x+1)(x-1)x-1_<`f(x)x-1_<2x(x-1)x-1 .t3 x+1_<`f(x)x-1_<2x 이때 limx=1+(x+1)=limx=1+ 2x=2이므로 함수의 극한의 대소 관계 에 의하여 limx=1+ `f(x)x-1=2 x<1일 때, x-1<0이므로 주어진 부등식의 각 변을 x-1로 나누면 2x^2-2xx-1_<`f(x)x-1_0)따라서 Q(a, -21-a^2x)이므로 PQ^_=221-a^2x .t3 S(a)=1/2.c1a.c1221-a^2x=a21-a^2x .t3 lima=1- S(a)11-az=lima=1- a21-a^2x11-az =lima=1- a11-az`11+az11-az =lima=1-`a11+az =12 ④.t3 a=limx=-1+ x^2+x|x^2-1|=limx=-1+ x^2+x-(x^2-1)=limx=-1+ x(x+1)-(x+1)(x-1)=limx=-1+ x-(x-1)=-1/2`x`@B`0+일 때 x>0이므로b=limx=0+ 2x|x|=limx=0+ 2x/x=2 .t3 ab=-1 -10380 `근호를 포함한 쪽을 유리화한다.p=limx=1`1-1xqx-1=`limx=1`(1-1xq)(1+1xq)(x-1)(1+1x)`limx=1`=`limx=1`-(x-1)(x-1)(1+1xq)`limx=1`=`limx=1`(-11+1xq)`limx=1`=-1/2 ⇨ ❶q=limx=inf (2x^2w-2xx-2x^2w+2xx)=limx=inf`(2x^2w-2xx-2x^2w+2xx)(2x^2w-2xx+2x^2w+2xx)2x^2w-2xx+2x^2w+2xx=limx=inf`-4x2x^2w-2xx+2x^2w+2xx=limx=inf`-4`41-2/xf+41+2/xf=-41+1=-2 ⇨ ❷ .t3 2p+q=2·(-1/2)-2=-3 ⇨ ❸ -30381 `분자, 분모가 모두 다항식이면 분자, 분모를 각각 인수분해하여 약분하고, 분자, 분모 중에 무리식이 있으면 근호를 포함한 쪽을 유리화한다.`limx=a`x^2-a^2x-a=`limx=a`(x+a)(x-a)x-a=`limx=a`(x+a)=2a즉 2a=6이므로 a=3a=3을 limx=inf`(2x^2+axx-2x^2+bxx)에 대입하면limx=inf`(2x^2+3xx-2x^2+bxx)=limx=inf`(2x^2+3xx-2x^2+bxx)(2x^2+3xx+2x^2+bxx)2x^2+3xx+2x^2+bxx =limx=inf`(3-b)x2x^2+3xx+2x^2+bxx =limx=inf`3-b`41+3/xf+41+b/xf=3-b2 채점 기준비율❶ p의 값을 구할 수 있다.40%❷ q의 값을 구할 수 있다.40%❸ 2p+q의 값을 구할 수 있다.20%라이트쎈미적1(해031-048).indd 4014. 8. 29. 오후 1:58 04``함수의 연속 • 41본책함수의 연속0455~58쪽0401 주어진 함수의 정의역은 16-x^2 _> 0, 즉 -4_< x_< 4인 x의 값들의 집합이므로 [-4, 4] [-4, 4] 0402 함수 f(x)=x^2 은 모든 실수, 즉 구간 (-X, X)에서 연속이다. (-X, X)0403 함수 f(x)=1x-3z 은 x-3_> 0, 즉 x_> 3일 때 연속이므로 구간 [3, X)에서 연속이다. [3, X)0404 함수 f(x)=x-3x-1은 xnot= 1일 때, 즉 x<1 또는 x>1일 때 연속이므로 구간 (-X, 1)hap (1, X)에서 연속이다. (-X, 1)hap (1, X)0405 f(0)=0, y=f{x}xyO1-1limx=0 `f(x)=limx=0 `(x+1)=1이므로 limx=0 `f(x)not= f(0)따라서 f(x)는 x=0에서 불연속이고 그 이외의 x의 값에서는 연속이다. 풀이 참조0406 최댓값: 1, 최솟값은 없다.0407 최댓값: 0, 최솟값: -20408 함수 f(x)=x는 구간 [0, 1]에서 연(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)속이고 구간 [0, 1]에서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.따라서 f(x)는 x=1에서 최댓값 1, x=0에서 최솟값 0을 갖는다. 최댓값:`1, 최솟값:`00409 함수 f(x)=x^2 -2x는 구간 y=f{x}xyO321-1-1[-1, 2]에서 연속이고 구간 [-1, 2]에서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.따라서 f(x)는 x=-1에서 최댓값 3,x=1에서 최솟값 -1을 갖는다. 최댓값:`3, 최솟값:`-10410 함수 f(x)=1x+5은 구간 y=f{x}O1-3-2-4-51yx[-4, -2]에서 연속이고 구간 [-4, -2]에서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.따라서 f(x)는 x=-4에서 최댓값 1, x=-2에서 최솟값 1/3을 갖는다. 최댓값:`1, 최솟값:`1/30386 ㄱ0387 lim x=0+`f(x)=4, lim x=0-`f(x)=2이므로 lim x=0+`f(x)not= lim x=0-`f(x)따라서 limx=0 `f(x)가 존재하지 않으므로 f(x)는 x=0에서 불연속이다. ㄴ0388 f(0)=0, limx=0 `f(x)=2이므로 limx=0 `f(x)not= f(0)따라서 f(x)는 x=0에서 불연속이다. ㄷ0389 f(1)=1, limx=1 `f(x)=1이므로 limx=1 `f(x)=f(1)`따라서 f(x)는 x=1에서 연속이다. 연속0390 f(1)이 정의되지 않으므로 f(x)는 x=1에서 불연속이다. 불연속0391 f(1)=1, limx=1 `f(x)=1이므로 limx=1 `f(x)=f(1)`따라서 f(x)는 x=1에서 연속이다. 연속0392 f(1)=0, limx=1 `f(x)=limx=1 `x-1x^2 -1=limx=1 `1x+1=1/2이므로 limx=1 `f(x)not= f(1)따라서 f(x)는 x=1에서 불연속이다. 불연속0393 f(1)=1이고, lim x=1+`f(x)=lim x=1+`1/x=1, lim x=1-`f(x)=lim x=1-`(2x-1)=1이므로 limx=1 `f(x)=1 .t3 limx=1 `f(x)=f(1)따라서 f(x)는 x=1에서 연속이다. 연속0394 [-2, 1] 0395 [0, 7)0396 [-1, X) 0397 (-X, 10)0398 주어진 함수의 정의역은 실수 전체의 집합이므로 (-X, X) (-X, X) 0399 주어진 함수의 정의역은 x-2not= 0, 즉 x<2 또는 x>2인 x의 값들의 집합이므로 (-X, 2)hap (2, X) (-X, 2)hap (2, X)0400 주어진 함수의 정의역은 x+1_> 0, 즉 x_> -1인 x의 값들의 집합이므로 [-1, X) [-1, X)함수의 연속04 (cid:462). 함수의 극한과 연속라이트쎈미적1(해031-048).indd 4114. 8. 29. 오후 1:58 42 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0416 f(a)=-2a이고, limx=a+`f(x)=limx=a+ (-2x)=-2a limx=a-`f(x)=limx=a-(x^2-3)=a^2-3 ⇨ ❶함수 f(x)가 x=a에서 연속이려면 limx=a`f(x)가 존재하고 limx=a`f(x)=f(a)이어야 하므로 -2a=a^2-3, a^2+2a-3=0 (a+3)(a-1)=0 .t3 a=-3 또는 a=1 ⇨ ❷따라서 실수 a의 값의 합은 -3+1=-2 ⇨ ❸ -20417 ㄱ. f(x)={x^2-x^2(x_>0)(x<0)이므로 f(x)가 모든 실수 x에 서 연속이려면 x=0에서 연속이어야 한다. f(0)=0, limx=0`f(x)=limx=0`x|x|=0이므로 limx=0`f(x)=f(0) 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 연속이므로 f(x)는 모든 실수 x에서 연속이다.ㄴ. f(-1)이 정의되지 않으므로 f(x)는 x=-1에서 불연속이다.ㄷ. f(x)가 모든 실수 x에서 연속이려면 x=1에서 연속이어야 한다. f(1)=5이고, limx=1`f(x)=limx=1`x^2+3x-4x-1=limx=1`(x+4)(x-1)x-1 =limx=1 (x+4)=5 이므로 limx=1`f(x)=f(1) 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 연속이므로 f(x)는 모든 실수 x에서 연속이다.이상에서 모든 실수 x에서 연속인 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③0418 f(-1)=2이고, limx=-1+`f(x)=limx=-1+(x^2+1)=2, limx=-1-`f(x)=limx=-1-`(x+3)=2 이므로 limx=-1` f(x)=2 .t3 limx=-1` f(x)=f(-1) 따라서 f(x)는 x=-1에서 연속이다. f(2)=4이고, limx=2+`f(x)=limx=2+`2x=4, limx=2-`f(x)=limx=2-`(x^2+1)=5이므로 limx=2+`f(x)not=limx=2-`f(x)따라서 limx=2`f(x)가 존재하지 않으므로 f(x)는 x=2에서 불연속이다., 에서 f(x)는 x=2에서 불연속이고 그 이외의 x의 값에서는 연속이다. 풀이 참조채점 기준비율❶ f(a), limx=a+ f(x), limx=a- f(x)의 값을 a에 대한 식으로 나타낼 수 있다.30%❷ a의 값을 구할 수 있다.50%❸ 모든 a의 값의 합을 구할 수 있다.20%0411 함수 `f(x)=-1x-1z 은 구간 (cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:18)(cid:19)(cid:22)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)[2, 5]에서 연속이고 구간 [2, 5]에서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.따라서 `f(x)는 x=2에서 최댓값 -1, x=5에서 최솟값 -2를 갖는다. 최댓값:`-1, 최솟값:`-20412 ㈎ 연속 ㈏ 사이값 정리0413 ⑴ f(1)=1^2+2.c11-4=-1, f(2)=2^2+2.c12-4=4⑵ 함수 f(x)가 닫힌 구간 [1, 2]에서 연속이고 f(1)f(2)=-4<0이므로 사이값 정리에 의하여 f(c)=0인 c가 열린 구간 (1, 2)에 적어도 하나 존재한다. 따라서 방정식 f(x)=0은 열린 구간 (1, 2)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. 풀이 참조0414 ① f(0)이 정의되지 않으므로 f(x)는 x=0에서 불연속이② 다.② limx=0+`f(x)=limx=0+`[x]=0, limx=0-`f(x)=limx=0-`[x]=-1이므로 ② limx=0+`f(x)not=limx=0-`f(x)② 따라서 limx=0`f(x)가 존재하지 않으므로 f(x)는 x=0에서 불연속이다.③ f(0)이 정의되지 않으므로 f(x)는 x=0에서 불연속이다.④ limx=0+`f(x)=limx=0+ x|x|=limx=0+ xx=1, limx=0-`f(x)=limx=0- x|x|=limx=0- x-x=-1이므로 ② limx=0+`f(x)not=limx=0-``f(x)② 따라서 limx=0`f(x)가 존재하지 않으므로 f(x)는 x=0에서 불연속이다.⑤ limx=0`f(x)=limx=0`x^2+2xx=limx=0 (x+2)=2⑤ 이때 f(0)=2이므로 limx=0`f(x)=f(0)⑤ 따라서 f(x)는 x=0에서 연속이다. ⑤0415 f(x)=1/x+3, g(x)=x-1에서 (f � g)(x)=f(g(x))=f(x-1)=1x-1+3따라서 함수 (f � g)(x)는 x=1에서 불연속이므로 a=1 1여러 가지 함수의 연속성① 다항함수 ➲ 구간 (-X, X)에서 연속② 유리함수 y=`f(x)g(x) ➲ g(x)not=0인 x에서 연속③ 무리함수 y=2f(x)s ➲ f(x)_>0인 x에서 연속④ 가우스 함수 y=[x] (단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수) ➲ xnot=n`(n은 정수)에서 연속라이트쎈미적1(해031-048).indd 4214. 8. 29. 오후 1:58 04``함수의 연속 • 43본책함수의 연속0458~61쪽이상에서 구간 [0, 4]에서 함수 g(x)가 불연속이 되는 x의 값은 2, 3이므로 구하는 합은 2+3=5 50423 함수 f(x)가 x=1에서 연속이려면 limx=1 `f(x)=f(1) .t3 k=limx=1 `f(x)=limx=1 `x^3 -x^2 +x-1x-1 =limx=1 `(x-1)(x^2 +1)x-1 =limx=1 (x^2 +1)=2 ②0424 f(0)=-2이므로 -b=-2 .t3 b=2이때 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 x=1에서 연속이어야 하므로 lim x=1+`f(x)=lim x=1-`f(x)=f(1) 2+a=1-b, 2+a=-1 .t3 a=-3또 x=-1에서 연속이어야 하므로 lim x=-1+`f(x)=lim x=-1-`f(x)=f(-1) 1-b=-3-c, -1=-3-c .t3 c=-2 .t3 abc=12 ⑤0425 함수 f(x)가 구간 (-X, X)에서 연속이려면 x=-1에서 연속이어야 하므로 limx=-1 ` f(x)=f(-1) .t3 limx=-1 ` 2x^2 +8x+ax+1=f(-1) .c3 .c3 `㉠x`@B`-1일 때 극한값이 존재하고 (분모)`@B`0이므로 (분자)`@B`0이다. 즉 limx=-1 (2x^2 +8x+a)=0이므로 3+a=0 .t3 a=-3a=-3을 ㉠에 대입하면 f(-1)=limx=-1 ` 2x^2 +8x-3x+1=limx=-1 ` (2x^2 +8x-3)(2x^2 +8x+3)(x+1)(2x^2 +8x+3) =limx=-1 ` (x+1)(x-1)(x+1)(2x^2 +8x+3) =limx=-1 ` x-12x^2 +8x+3=-1/3 -1/30426 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 연속이려면 x=0에서 연속이어야 하므로미정계수의 결정limx=a ` g(x)`f(x)=a (a는 실수)일 때① limx=a `f(x)=0이면 limx=a `g(x)=0② anot= 0이고 limx=a `g(x)=0이면 limx=a `f(x)=00419 lim x=-1+`f(x)=1, lim x=-1-`f(x)=2이므로 lim x=-1+`f(x)not= lim x=-1-`f(x) 따라서 lim x=-1`f(x)가 존재하지 않으므로 f(x)는 x=-1에서 불 연속이다. f(1)=0, limx=1 `f(x)=1이므로 limx=1 `f(x)not= f(1) 따라서 f(x)는 x=1에서 불연속이다., 에서 a=1, b=2이므로 a^2 +b^2 =5 50420 ㄱ. lim x=1+`f(x)=2ㄴ. lim x=3+`f(x)=2, lim x=3-`f(x)=2이므로 limx=3 `f(x)=2 따라서 x=3에서 극한값이 존재한다.ㄷ. 함수 f(x)는 x=1, 3에서 불연속이므로 불연속이 되는 x의 값은 2개이다.이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ④0421 ⑴ f(1)=0이므로 (f � f)(1)=f(0)=1 ⇨ ❶⑵ f(x)=t로 놓으면 x`@B`1일 때 t`@B`2-이므로 limx=1 (f � f)(x)=limx=1 `f(f(x))=lim t=2-`f(t)=1 ⇨ ❷⑶ limx=1 (f � f)(x)=(f � f)(1) 따라서 (f � f)(x)는 x=1에서 연속이다. ⇨ ❸ ⑴ 1 ⑵ 1 ⑶ 연속0422 함수 f(x)가 x=1, 2, 3에서 불연속이므로 x=1, 2, 3에서 함수 g(x)의 연속성을 조사해 보자. limx=1 `f(x)=0이므로 limx=1 `g(x)=limx=1 (x-1)f(x)=0· 0=0 이때 g(1)=0이므로 limx=1 `g(x)=g(1) 따라서 g(x)는 x=1에서 연속이다. lim x=2+`g(x)=lim x=2+(x-1)f(x)=1· 1=1, lim x=2-`g(x)=lim x=2-(x-1)f(x)=1· 2=2이므로 lim x=2+`g(x)not= lim x=2-`g(x) 따라서 limx=2 `g(x)가 존재하지 않으므로 g(x)는 x=2에서 불연 속이다. limx=3 `f(x)=2이므로 limx=3 `g(x)=limx=3 (x-1)f(x)=2· 2=4 이때 g(3)=2 f(3)=0이므로 limx=3 `g(x)not= g(3) 따라서 g(x)는 x=3에서 불연속이다.채점 기준비율❶ (f � f)(1)의 값을 구할 수 있다.30%❷ limx=1 (f � f)(x)의 값을 구할 수 있다.50%❸ 함수 (f � f)(x)가 x=1에서 연속임을 알 수 있다.20%라이트쎈미적1(해031-048).indd 4314. 8. 29. 오후 1:58 44 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 limx=-1+`ax+b2=limx=-1- x=-a+b-13 -a+b2=-1=-a+b-13 .t3 a-b=2 .c3.c3 ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=0 .t3 a^2+b^2=4 40428 |x|<1일 때, limn=inf x^2^n=0이므로 f(x)=0-10+1=-1 |x|>1일 때, limn=inf x^2^n=X이므로 f(x)=limn=inf`1-1x^2^n1+1x^2^n=1 |x|=1일 때, limn=inf x^2^n=1이므로 f(x)=1-11+1=0이상에서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)쪽 그림과 같다.따라서 함수 f(x)가 불연속이 되는 x의 값은 -1, 1의 2개이다. ②0429 |x|<1일 때, limn=inf x^n=limn=inf x^n^+^1=0이므로 f(x)=0+ax0+1=ax |x|>1일 때, limn=inf |x^n|=X이므로 f(x)=limn=inf`x+ax^n^-^11+1x^n=x x=1일 때, limn=inf x^n=limn=inf x^n^+^1=1이므로 f(x)=1+a1+1=1+a2함수 f(x)가 x=1에서 연속이려면 limx=1+`f(x)=limx=1-`f(x)=f(1) limx=1+ x=limx=1-`ax=1+a2 1=a=1+a2 .t3 a=1 10430 x=0일 때, f(0)=0 xnot=0일 때, 함수 f(x)는 첫째항이 x1+x^2, 공비가 11+x^2인 등비급수의 합 이고, 0<11+x^2<1이므로 f(x)=x1+x^21-11+x^2=1/x limx=0`f(x)=f(0) .t3 limx=0`2x^2+ax+bx^2=1/2 .c3.c3 ㉠⇨ ❶x`@B`0일 때 극한값이 존재하고 (분모)`@B`0이므로 (분자)`@B`0이다. 즉 limx=0(2x^2+ax+b)=0이므로 1a+b=0 .t3 b=-1a .c3.c3 ㉡ ⇨ ❷ ㉡을 ㉠의 좌변에 대입하면 limx=0`2x^2+ax-1ax^2=limx=0`(2x^2+ax-1a )(2x^2+ax+1a )x^2(2x^2+ax+1a ) =limx=0`x^2x^2(2x^2+ax+1a ) =limx=0 12x^2+ax+1a=121a즉 121a=1/2이므로 a=1a=1을 ㉡에 대입하면 b=-1 ⇨ ❸ .t3 a-b=2 ⇨ ❹ 20427 |x|<1일 때, limn=inf x^2^n=limn=inf x^2^n^+^1=0이므로 f(x)=ax+b2 |x|>1일 때, limn=inf`x^2^n=X이므로 f(x)=limn=inf`x+ax^2^n^-^1+bx^2^n1+2x^2^n=x x=1일 때, `limn=inf`x^2^n=limn=inf`x^2^n^+^1=1이므로 f(x)=1+a+b1+2=a+b+13 x=-1일 때, `limn=inf`x^2^n=1, limn=inf`x^2^n^+^1=-1이므로 f(x)=-1-a+b1+2=-a+b-13함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 x=1과 x=-1에서 연속이어야 한다.x=1에서 연속이려면 limx=1+`f(x)=limx=1-`f(x)=f(1) limx=1+ x=limx=1-`ax+b2=a+b+13 1=a+b2=a+b+13 .t3 a+b=2 .c3.c3 ㉠또 x=-1에서 연속이려면 limx=-1+`f(x)=limx=-1-`f(x)=f(-1)채점 기준비율❶ limx=0`2x^2+ax +bx^2=1/2임을 알 수 있다.30%❷ b를 a에 대한 식으로 나타낼 수 있다.30%❸ a, b의 값을 구할 수 있다.30%❹ a-b의 값을 구할 수 있다.10%라이트쎈미적1(해031-048).indd 4414. 8. 29. 오후 1:58 04``함수의 연속 • 45본책함수의 연속0461~62쪽함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이면 x=-2에서 연속이므로 f(-2)=limx=-2 ` f(x)=limx=-2 (x-2)=-4 ⇨ ❷ -40434 xnot= 4일 때, f(x)=x1xq-81xq-2=(1x)^3 -2^3 1xq-2=(1xq-2)(x+21xq+4)1xq-2 =x+21x+4함수 f(x)가 x>0인 모든 실수 x에서 연속이면 x=4에서 연속이므로 f(4)=limx=4 `f(x)=limx=4 (x+21xq+4)=12 120435 xnot= -1일 때, f(x)=ax^3 +bxx+1함수 `f(x)가 모든 실수 x에서 연속이면 x=-1에서 연속이므로 f(-1)=limx=-1 ` f(x)=limx=-1 `ax^3 +bxx+1x`@B`-1일 때 극한값이 존재하고 (분모)`@B`0이므로 (분자)`@B`0이다. 즉 limx=-1 `(ax^3 +bx)=0이므로 -a-b=0 .t3 a+b=0 .c3 .c3 `㉠이때 f(2)=2이므로 x=2를 (x+1)f(x)=ax^3 +bx에 대입하면 3f(2)=8a+2b .t3 4a+b=3 .c3 .c3 `㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-1 .t3 ab=-1 ②0436 ① f(x)+g(x)=x+3+1x^2 ② 이 함수는 x=0에서 정의되지 않으므로 x=0에서 불연속이다.② f(x)g(x)=1x^2 (x+3)=1/x+3x^2 ② 이 함수는 x=0에서 정의되지 않으므로 x=0에서 불연속이다.③ `f(x)g(x)=x^2 (x+3) 따라서 `f(x)g(x)는 실수 전체의 집합에서 연속이다.④ f(g(x))=f(1x^2 )=1x^2 +3 이 함수는 x=0에서 정의되지 않으므로 x=0에서 불연속이다.⑤ g(f(x))=g(x+3)=1(x+3)^2 ② 이 함수는 x=-3에서 정의되지 않으므로 x=-3에서 불연속이다. ③0437 f(x), g(x)가 x=a에서 연속이므로 limx=a `f(x)=f(a), limx=a `g(x)=g(a)ㄱ. limx=a `f(x)g(x)=limx=a `f(x)limx=a `g(x)=f(a)g(a)이므로 f(x)g(x)는 x=a에서 연속이다.채점 기준비율❶ xnot= -2일 때 f(x)를 구할 수 있다.40%❷ f(-2)의 값을 구할 수 있다.60%, 에서 f(x)=i1/x0(xnot= 0)(x=0) (cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ④0431 f(x)=x+x1+|x|+x(1+|x|)^2 +.c3 x=0일 때, f(0)=0 xnot= 0일 때, 함수 f(x)는 첫째항이 x, 공비가 11+|x|인 등비급수의 합이 고, 0<11+|x|<1이므로 f(x)=x1-11+|x|=x(1+|x|)|x| 이때 x>0이면 f(x)=x(1+x)x=x+1 x<0이면 f(x)=x(1-x)-x=-(1-x)=x-1, 에서 f(x)=ix+10x-1(x>0)(x=0)(x<0)따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)림과 같으므로 함수 f(x)는 x=0에서 불연속이고 그 이외의 x의 값에서는 연속이다. 풀이 참조0432 xnot= 1일 때, f(x)=x^2 -3x+ax-1함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이면 x=1에서 연속이므로 f(1)=limx=1 `f(x)=limx=1 `x^2 -3x+ax-1x`@B`1일 때 극한값이 존재하고 (분모)`@B`0이므로 (분자)`@B`0이다.즉 limx=1 (x^2 -3x+a)=0이므로 -2+a=0 .t3 a=2 .t3 f(1)=limx=1 `x^2 -3x+2x-1=limx=1 `(x-1)(x-2)x-1 =limx=1 (x-2)=-1 -10433 xnot= -2일 때, f(x)=x^2 -4x+2=(x+2)(x-2)x+2=x-2 ⇨ ❶등비급수의 수렴과 발산등비급수 sign=1 ^inf ar^n ^- ^1 (anot= 0)에 대하여① |r|<1일 때, 수렴하고 그 합은 a1-r이다.② |r|_> 1일 때, 발산한다.라이트쎈미적1(해031-048).indd 4514. 8. 29. 오후 1:58 46 • 정답 및 풀이정답 및 풀이ㄴ. f(a)=g(a)이면 f(x)`f(x)-g(x)는 x=a에서 정의되지 않으므로 f(x)`f(x)-g(x)는 x=a에서 불연속이다.ㄷ. limx=a {f(x)}^2=limx=a`f(x)limx=a`f(x)={f(a)}^2이므로 {f(x)}^2 은 x=a에서 연속이다.ㄹ. [반례] f(x)=1/x, g(x)=`1/x-2이면 g(f(x))=g(1/x)=11/x-2=x1-2x이때 x=1/2에서 f(x), g(x)가 모두 연속이지만 g(f(x))는 x=1/2에서 정의되지 않으므로 g(f(x))는 x=1/2에서 불연속이다.이상에서 항상 연속인 함수는 ㄱ, ㄷ이다. ㄱ, ㄷ0438 ① f(x)와 g(x)가 연속함수이면 {f(x)}^2과 {g(x)}^2도 연속함수이다. 따라서 {f(x)}^2+{g(x)}^2도 연속함수이다.② f(x)+g(x)=h(x)로 놓으면 g(x)=h(x)-f(x) 이때 f(x)와 h(x)가 연속함수이므로 g(x)도 연속함수이다.③ [반례] f(x)=0, g(x)={1-1(x_>0)(x<0)이면 f(x)g(x)=0 따라서 f(x)와 f(x)g(x)는 연속함수이지만 g(x)는 x=0에서 불연속이다.④ 임의의 실수 a에 대하여 g(a)=b라 하면 g(x)가 연속함수이므로 limx=a`g(x)=b 즉 g(x)=t로 놓으면 x`@B`a일 때 t`@B`b이므로 limx=a (f � g)(x)=limx=a`f(g(x))=limt=b`f(t)=f(b) (.T3 f(x)가 연속함수) 이때 (f � g)(a)=f(g(a))=f(b)이므로 limx=a (f � g)(x)=(f � g)(a) 따라서 (f � g)(x)는 x=a에서 연속이므로 연속함수이다.⑤ f(x)와 g(x)가 연속함수이고 |g(x)|+1>0이므로 `f(x)|g(x)|+1는 연속함수이다. ③0439 ① limx=3+`f(x)=limx=3-`f(x)=2이므로 limx=3`f(x)=2② limx=5+`f(x)=2, limx=5-`f(x)=1이므로 limx=5+`f(x)not=limx=5-`f(x) 따라서 limx=5`f(x)의 값은 존재하지 않는다.③ 불연속이 되는 x의 값은 3, 5의 2개이다.④ 함수 f(x)가 구간 [1, 2]에서 연속이므로 최대·최소 정리에 의하여 최솟값을 갖는다. ⑤0440 함수 f(x)=3x+1은 x=-1에서 불연속이고, 그 이외의 x의 값에서는 연속이다.①, ④, ⑤ f(x)는 주어진 구간에서 연속이므로 최대·최소 정리에 의하여 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.② -2_0, f(2)=11>0, f(3)=33>0따라서 f(0)f(1)<0이므로 사이값 정리에 의하여 주어진 방정식의 실근이 존재하는 구간은 (0, 1)이다. ③0443 f(-2)f(-1)=-2·2=-4<0, f(0)f(1)=2·(-1)=-2<0, f(1)f(2)=(-1)·1=-1<0이므로 사이값 정리에 의하여 방정식 f(x)=0은 구간 (-2, -1), (0, 1), (1, 2)에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다.따라서 방정식 f(x)=0은 적어도 3개의 실근을 가지므로 n=3 ②0444 `f(x)=x^2-2x+a로 놓으면 f(x)는 구간 [-1, 1]에서 연속이고 `f(-1)=a+3, `f(1)=a-1이므로 f(-1)`f(1)<0에서 (a+3)(a-1)<0 .t3 -31인 경우로 나누어 각각 f(x)를 구한다.` 0_1일 때, limn=inf`x^n=limn=inf`x^2^n=X이므로 f(x)=limn=inf`x+2(a-1)x^n-1x^2^n1+ax^n-1x^2^n=x함수 f(x)가 x_>0에서 연속이면 x=1에서 연속이므로 limx=1+`f(x)=limx=1-`f(x)=f(1) limx=1+ x=1=2(a-1)a즉 2(a-1)a=1이므로 2(a-1)=a .t3 a=2 20454 `f(x)가 x=3에서 연속임을 이용한다.xnot=3일 때, f(x)=a1x-2z+bx-3함수 f(x)가 x=3에서 연속이므로 limx=3`f(x)=f(3) .t3 limx=3`a1x-2z+bx-3=1 .c3.c3`㉠x`@B`3일 때 극한값이 존재하고 (분모)`@B`0이므로 (분자)`@B`0이다. 즉 limx=3(a1x-2z+b)=0이므로 a+b=0 .t3 b=-a .c3.c3`㉡㉡을 ㉠의 좌변에 대입하면 limx=3 a1x-2z-ax-3=limx=3`a(1x-2z-1)x-3 =limx=3`a(1x-2z-1)(1x-2z+1)(x-3)(1x-2z+1) =limx=3`a(x-3)(x-3)(1x-2z+1) =limx=3`a1x-2z+1=a/2즉 a/2=1이므로 a=2a=2를 ㉡에 대입하면 b=-2 .t3 ab=-4 -40455 `사이값 정리를 이용한다.이차함수 f(x)는 연속함수이므로 f(1)<0이면 사이값 정리에 의하여 방정식 `f(x)=0은 구간 (0, 1), (1, 2)에서 각각 하나의 실근을 갖는다. f(1)<0에서 a^2-7a+10<0, (a-2)(a-5)<0 .t3 2 1이므로 자연수 m의 최솟값은 3이다. 30458 `사이값 정리를 이용한다.g(x)=f(x)-x로 놓으면 함수 g(x)는 구간 [a, b]에서 연속이고, ⇨ ❶ g(a)=f(a)-a=b-a>0, g(b)=f(b)-b=a-b<0이므로 g(a)g(b)<0 ⇨ ❷ 따라서 사이값 정리에 의하여 g(c)=0인 c가 구간 (a, b)에 적어도 1개 존재한다. 즉 방정식 f(x)=x는 구간 (a, b)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. ⇨ ❸ 풀이 참조채점 기준비율❶ g(x)=f(x)-x가 구간 [a, b]에서 연속임을 알 수 있다.25%❷ g(a)g(b)<0임을 알 수 있다.25%❸ f(x)=x가 구간 (a, b)에서 실근을 가짐을 알 수 있다.50%라이트쎈(해049-060)5강-ok.indd 4914. 8. 29. 오후 2:11 50 • 정답 및 풀이정답 및 풀이⑵ ~f~'(x)=-2x+3이므로 ~f~'(0)=3 ⑴ ~f~'(x)=-2x+3 ⑵ 30475 y'=(x^1^0)'=10x^9 y'=10x^90476 y'=(-9)'=0 y'=00477 y'=(2x^7)'=14x^6 y'=14x^60478 y'=(-4x+3)'=(-4x)'+(3)'=-4 y'=-40479 y'=(x^2-3x+8)'=(x^2)'-(3x)'+(8)'=2x-3 y'=2x-30480 y'=(2x^3-3x^2+x+1)'=(2x^3)'-(3x^2)'+(x)'+(1)'=6x^2-6x+1 y'=6x^2-6x+10481 함수 ~f(x)+g(x)의 x=0에서의 미분계수는 ~f~'(0)+g'(0)=2+(-3)=-1 -10482 함수 ~f(x)-2g(x)의 x=0에서의 미분계수는 f~'(0)-2g'(0)=2-2.c1(-3)=8 80483 y'=(x+1)'(2x+3)+(x+1)(2x+3)'=2x+3+2(x+1)=4x+5 y'=4x+50484 y'=(3x)'(3x-1)+3x(3x-1)'=3(3x-1)+3x.c13=18x-3 y'=18x-30485 y'=(x)'(x-1)(x-2)+x(x-1)'(x-2)+x(x-1)(x-2)'=(x-1)(x-2)+x(x-2)+x(x-1)=3x^2-6x+2 y'=3x^2-6x+20486 y'=(x+1)'(2x-1)(-x+2)+(x+1)(2x-1)'(-x+2)+(x+1)(2x-1)(-x+2)'=(2x-1)(-x+2)+2(x+1)(-x+2)-(x+1)(2x-1)=-6x^2+6x+3 y'=-6x^2+6x+30487 y'={(2x-3)^5}'=5(2x-3)^4(2x-3)'=10(2x-3)^4 y'=10(2x-3)^40488 y'={(x^2-3x+3)^2}'=2(x^2-3x+3)(x^2-3x+3)'=2(2x-3)(x^2-3x+3) y'=2(2x-3)(x^2-3x+3)0469 ~f(0)=0이고,~limx~~0+~`~f(x)=~limx~~0+~x^2=0, ~limx~~0-~`~f(x)=~limx~~0-~x^3=0이므로 limx=0`~f(x)=0 .t3 limx=0`~f(x)=~f(0)따라서 함수 ~f(x)는 x=0에서 연속이다. ~limx~~0+``f(x)-~f(0)x=~limx~~0+`x^2x=~limx~~0+~x=0,~limx~~0-~~`f(x)-~f(0)x=~limx~~0-`x^3x=~limx~~0-~x^2=0이므로 limx=0``f(x)-~f(0)x=0따라서 ~f~'(0)=0이므로 함수 ~~f(x)는 x=0에서 미분가능하다., ~에서 함수 ~f(x)는 x=0에서 연속이고 미분가능하다. 연속이고 미분가능하다.0470 ~f~'(x)=~lim'x~~0`~f(x+'x)-~f(x)'x=~lim'x~~0`10-10'x=0 ~f~'(x)=00471 ~f~'(x)=~lim'x~~0`~f(x+'x)-~f(x)'x=~lim'x~~0`{3(x+'x)+1}-(3x+1)'x=~lim'x~~0`3'x'x=3 ~f~'(x)=30472 ~f~'(x)=~lim'x~~0`~f(x+'x)-~f(x)'x=~lim'x~~0~`{(x+'x)^2+(x+'x)}-(x^2+x)'x=~lim'x~~0`('x)^2+(2x+1)'x'x=~lim'x~~0~('x+2x+1)=2x+1 ~f~'(x)=2x+10473 ~f~'(x)=~lim'x~~0`~f(x+'x)-~f(x)'x=~lim'x~~0~`{(x+'x)^3+5}-(x^3+5)'x=~lim'x~~0`('x)^3+3x('x)^2+3x^2'x'x=~lim'x~~0~{('x)^2+3x'x+3x^2}=3x^2 ~f~'(x)=3x^20474 ⑴ ~f~'(x)=~lim'x~~0`~f(x+'x)-~f(x)'x=~lim'x~~0`{-(x+'x)^2+3(x+'x)+2}-(-x^2+3x+2)'x=~lim'x~~0~`-('x)^2+(-2x+3)'x'x=~lim'x~~0~(-'x-2x+3)=-2x+3라이트쎈(해049-060)5강-ok.indd 5014. 8. 29. 오후 2:11 05``미분계수와 도함수 • 51본책미분계수와 도함수0569~72쪽0489 x의 값이 2에서 a까지 변할 때의 함수 ~f(x)의 평균변화율은 ~~f(a)-~f(2)a-2=(a^3 -2a)-4a-2=(a-2)(a^2 +2a+2)a-2 =a^2 +2a+2따라서 a^2 +2a+2=26이므로 a^2 +2a-24=0, (a+6)(a-4)=0 .t3 a=4`(.T3 a>2) ②0490 x의 값이 1에서 3까지 변할 때의 함수 ~f(x)의 평균변화율은 ~~f(3)-~f(1)3-1=3^3 -3a+5-(1^3 -a+5)2 =26-2a2=13-a따라서 13-a=4이므로 a=9 90491 x의 값이 -2에서 2까지 변할 때의 함수 ~f(x)의 평균변화율은 ~f(2)-~f(-2)2-(-2)=10-(-2)4=3또 x의 값이 -1에서 a까지 변할 때의 함수 ~f(x)의 평균변화율은 ~f(a)-~f(-1)a-(-1)=a^2 +3a-(-2)a+1 =(a+1)(a+2)a+1 =a+2따라서 a+2=3이므로 a=1 10492 x의 값이 0에서 4까지 변할 때의 함수 ~f(x)의 평균변화율은 두 점 A(0, ~f(0)), B(4, ~f(4))를 지나는 직선의 기울기와 같다.따라서 직선 AB의 기울기는 -1이다. -10493 직선 OA의 기울기는 함수 ~f(x)에서 x의 값이 0에서 2까지 변할 때의 평균변화율과 같으므로 ~f(2)-~f(0)2-0=2이때 함수 y=f(x)의 그래프는 직선 x=0에 대하여 대칭이므로 ~f(-2)=~f(2)따라서 함수 ~f(x)에서 x의 값이 -2에서 0까지 변할 때의 평균변화율은 ~f(0)-~f(-2)0-(-2)=~f(0)-~f(2)2=-~f(2)-~f(0)2-0 =-2 ①0494 x의 값이 -1에서 3까지 변할 때의 함수 ~f(x)의 평균변화율은 ~f(3)-~f(-1)3-(-1)=12-04=3또 함수 ~f(x)의 x=c에서의 미분계수는 ~f~'(c)=limh=0 `~f(c+h)-~f(c)h=limh=0 `{(c+h)^2 +(c+h)}-(c^2 +c)h=limh=0 `h^2 +(2c+1)hh=limh=0 `(h+2c+1)=2c+1따라서 2c+1=3이므로 c=1 ④0495 x의 값이 a에서 b까지 변할 때의 함수 ~f(x)의 평균변화율은 ~f(b)-~f(a)b-a=(b^2 -3b+2)-(a^2 -3a+2)b-a =(b^2 -a^2 )-3(b-a)b-a =(b+a)(b-a)-3(b-a)b-a =a+b-3 ⇨ ❶또 함수 ~f(x)의 x=-1에서의 순간변화율은 ~f~'(-1)=limh=0 `~f(-1+h)-~f(-1)h=limh=0 `{(-1+h)^2 -3(-1+h)+2}-6h=limh=0 `h^2 -5hh=limh=0 `(h-5)=-5 ⇨ ❷따라서 a+b-3=-5이므로 a+b=-2 ⇨ ❸ -20496 limh=0 `~f(1-2h)-~f(1)h=limh=0 `~f(1-2h)-~f(1)-2h~.c1 (-2)=-2~f~'(1)=-2.c1 2=-4 ①0497 limh=0 `~f(a+2h)-~f(a)5h=limh=0 `~f(a+2h)-~f(a)2h.c1 2/5 =2/5 ~f~'(a) ①0498 limh=0 `~f(a+3h)-~f(a+h)3h=limh=0 `{~f(a+3h)-~f(a)}-{~f(a+h)-~f(a)}3h=limh=0 `~f(a+3h)-~f(a)3h-1/3`limh=0 `~f(a+h)-~f(a)h=~f~'(a)-1/3 ~f~'(a)=2/3 ~f~'(a)=2/3 .c1 3=2 2채점 기준비율❶ x의 값이 a에서 b까지 변할 때의 평균변화율을 구할 수 있다.40%❷ x=-1에서의 순간변화율을 구할 수 있다.40%❸ a+b의 값을 구할 수 있다.20%라이트쎈(해049-060)5강-ok.indd 5114. 8. 29. 오후 2:11 52 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0499 limh=0`~f(h)-~f(4h)-4h=limh=0`{~f(h)-~f(0)}-{~f(4h)-~f(0)}-4h=-1/4limh=0`~f(h)-~f(0)h+limh=0`~f(4h)-~f(0)4h=-1/4~f~'(0)+~f~'(0)=3/4~f~'(0)따라서 3/4~f~'(0)=6이므로 ~f~'(0)=8 80500 limx=1`~~f(x)-~f(1)x^2-1=limx=1`~f(x)-~f(1)(x-1)(x+1)=limx=1`~f(x)-~f(1)x-1.c11x+1=1/2~f~'(1)=1/2.c12=1 ④0501 limx=2`x^2~f(2)-4~f(x)x-2 =limx=2`{x^2~f(2)-4~f(2)}-{4~f(x)-4~f(2)}x-2 =limx=2`(x^2-4)~f(2)x-2~-limx=2`4{~f(x)-~f(2)}x-2 =limx=2`(x+2)(x-2)x-2~.c1~f(2)-4`limx=2`~f(x)-~f(2)x-2 =4~f(2)-4~f~'(2)=4.c13-4.c12=4 40502 x 1일 때 극한값이 존재하고 (분모) 0이므로(분자) 0이다.즉 ~limx=1`{~f(x)-5}=0이므로 ~f(1)=5 ⇨ ❶ .t3 limx=1`~f(x)-5x^2-1=limx=1`~f(x)-~f(1)(x-1)(x+1)=limx=1`~f(x)-~f(1)x-1.c11x+1=1/2~f~'(1)따라서 1/2~f~'(1)=2이므로 ~f~'(1)=4 ⇨ ❷ .t3 ~f(1)+~f~'(1)=9 ⇨ ❸ 90503 x^2=t로 놓으면 x -1일 때 t 1이므로 limx=-1`~f(x^2)-~f(1)x+1=limx=-1`~f(x^2)-~f(1)(x+1)(x-1)~.c1(x-1)=limx=-1`~f(x^2)-~f(1)x^2-1~.c1(x-1)채점 기준비율❶ ~f(1)의 값을 구할 수 있다.30%❷ f~'(1)의 값을 구할 수 있다.50%❸ ~f(1)+~f~'(1)의 값을 구할 수 있다.20%=limt=1`~f(t)-~f(1)t-1.c1(-2)=-2~f~'(1)=-2.c15=-10 -100504 주어진 식에 x=0, y=0을 대입하면 ~f(0)=~f(0)+~f(0) .t3 ~f(0)=0 .t3 ~f~'(1)=limh=0`~~f(1+h)-~f(1)h=limh=0`~~f(1)+~f(h)-~f(1)h=limh=0`~f(h)h=limh=0`~f(h)-~f(0)h=~f~'(0)=3 30505 ~f~'(2)=limh=0`~f(2+h)-~f(2)h=limh=0`~f(2)+~f(h)+2-~f(2)h=limh=0`~f(h)+2h즉 ~limh=0`~f(h)+2h=3이므로 자연수 k에 대하여 ~f~'(k)=limh=0`~f(k+h)-~f(k)h=limh=0`~f(k)+~f(h)+2-~f(k)h=limh=0`~f(h)+2h=3 .t3 sigk=1^10`~f~'(k)=sigk=1^10`3=30 ⑤0506 곡선 y=f(x) 위의 점 (2, ~f(2))에서의 접선의 기울기가 -3이므로 ~f~'(2)=-3 .t3 limh=0`~f(2-h)-~f(2)h=-limh=0`~f(2-h)-~f(2)-h=-~f~'(2)=3 30507 ~f~'(a)는 곡선 y=~f(x) 위의점 (a, ~f(a))에서의 접선의 기울기이고, 평균변화율은 두 점을 지나는 직선의 기울기이다.따라서 직선의 기울기 중 가장 큰 것을 찾으면 ③이다. ③0508 곡선 ~f(x)=1/3x^3+3x-4 위의 점 (0, -4)에서의 접선의기울기는 ~f~'(0)=limx=0`~f(x)-~f(0)x=limx=0`1/3x^3+3x-4-(-4)x=limx=0`1/3x^3+3xx=limx=0`(1/3x^2+3)=3 ⇨ ❶①⑤②③④(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:89)(cid:90)(cid:66)(cid:68)(cid:67)(cid:48)라이트쎈(해049-060)5강-ok.indd 5214. 8. 29. 오후 2:11 05``미분계수와 도함수 • 53본책미분계수와 도함수0572~74쪽이때 tan `theta 의 값은 이 접선의 기울기와 같으므로 tan `theta =3 ⇨ ❷ 3f~'(x)=x^2 +3이므로 f~'(0)=3 .t3 tan `theta =30509 ㄱ. x=a인 점에서의 접선 의 기울기는 x=b인 점에서의 접선의 기울기보다 크므로 `f~'(a)>~f~'(b)ㄴ. a_< x_< b에서 함수 ~f(x)는 위로 볼록하므로`f~(a+b2)>~f(a)+~f(b)2ㄷ. 두 점 (a, ~f(a)), (b, ~f(b))를 지나는 직선의 기울기는 직선 y=x의 기울기보다 작으므로~f(b)-~f(a)b-a<1이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③0510 ㄱ. limx=0 `~f(x)=~f(0)=0따라서 ~f(x)는 x=0에서 연속이다. ~lim h~~0+`~f(h)-~f(0)h=~lim h~~0+`|h|-hh=~lim h~~0+`0h=0,~lim h~~0-`~f(h)-~f(0)h=~lim h~~0-`|h|-hh=~lim h~~0-`-2hh=-2이므로 limh=0 `~f(h)-~f(0)h이 존재하지 않는다.따라서 ~f(x)는 x=0에서 미분가능하지 않다.ㄴ. limx=0 `g(x)=g(0)=0따라서 ~g(x)는 x=0에서 연속이다. ~lim h~~0`g(h)-g(0)h=~lim h~~0`~h|h|h=~lim h~~0`|h|=0따라서 g(x)는 x=0에서 미분가능하다.ㄷ. limx=0 `k(x)=k(0)=0따라서 k(x)는 x=0에서 연속이다. ~lim h~~0+`k(h)-k(0)h=~lim h~~0+`|h^3 |h=~lim h~~0+`h^3 h=~lim h~~0+`h^2 =0,~lim h~~0-`k(h)-k(0)h=~lim h~~0-`|h^3 |h=~lim h~~0-`-h^3 h=~lim h~~0-`(-h^2 )=0채점 기준비율❶ 접선의 기울기를 구할 수 있다.70%❷ tan `�의 값을 구할 수 있다.30%(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:66)(cid:12)(cid:67)(cid:14)(cid:19)(cid:71)(cid:9)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10)(cid:67)(cid:66)(cid:66)(cid:12)(cid:67)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:71)(cid:9)(cid:67)(cid:10)(cid:71)(cid:9)(cid:66)(cid:10)(cid:90)(cid:30)(cid:89)a~f(a)+~f(b)2,~f~'(a)>~f(b)-~f(a)b-a② 곡선 y=~f(x)가 아래로 볼록하면~f~(a+b2)<~f(a)+~f(b)2,~f~'(a)<~f(b)-~f(a)b-a이므로 limh=0 `k(h)-k(0)h=0따라서 k(x)는 x=0에서 미분가능하다.이상에서 x=0에서 연속이지만 미분가능하지 않은 함수는 ㄱ뿐이다. ①0511 함수 y=~f(x)는 x=0, x=2에서 불연속이므로 m=2또 x=-1, x=0, x=2에서 미분가능하지 않으므로 n=3 .t3 m+n=5 50512 ① 함수 ~f(x)는 x=3, x=4에서 불연속이므로 불연속인 x의 값은 2개이다.② 함수 ~f(x)는 x=2, x=3, x=4에서 미분가능하지 않으므로 미분가능하지 않은 x의 값은 3개이다.③ ~f~'(x)=0인 x의 값은 x=1의 1개뿐이다④ 10) 13~0518 ~f~'(x)=2x^2+2x+1이므로 ~f~'(3)=2.c13^2+2.c13+1=25 ③0519 ~f(2)=3에서 4+2a+b=3 .t3 2a+b=-1 ……`㉠~f~'(x)=2x+a이므로 `f~'(0)=-2에서 a=-2a=-2를 ㉠에 대입하면 b=3 .t3 ab=-6 ①0520 ~f(x)=2x^2-x~f~'(2)에서 ~f~'(x)=4x-~f~'(2)위의 식에 x=2를 대입하면 ~f~'(2)=8-~f~'(2) 2~f~'(2)=8 .t3 ~f~'(2)=4따라서 ~f~'(x)=4x-4이므로 ~f~'(4)=4.c14-4=12 ⑤0521 ~f(x)=sigk=1^10`kx^k=x+2x^2+3x^3+.c3+10x^1^0이므로 ~f~'(x)=1+2^2x+3^2x^2+.c3+10^2x^9 ⇨ ❶ .t3 ~f~'(1)=1^2+2^2+3^2+.c3+10^2=sigk=1^10`k^2=10.c111.c1216=385 ⇨ ❷ 3850522 ~f~'(x)=(x^2+x+1)'(x^3+x^2-x-1)+(x^2+x+1)(x^3+x^2-x-1)'=(2x+1)(x^3+x^2-x-1)+(x^2+x+1)(3x^2+2x-1) .t3 ~f~'(-1)=-1.c10+1.c10=0 ③0523 ~f~'(x)=(x)'(x+2)(x+4)+x(x+2)'(x+4)+x(x+2)(x+4)'=(x+2)(x+4)+x(x+4)+x(x+2)=3x^2+12x+8~f~'(k)=0에서 k는 이차방정식 3k^2+12k+8=0의 두 실근이므로 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 합은 -12/3=-4 -40524 ~f~'(x)=4(x^2-x)^3(x^2-x)'=4(2x-1)(x^2-x)^3 .t3 ~f~'(-1)+~f~'(2)=4.c1(-3).c12^3+4.c13.c12^3=0 ③채점 기준비율❶ f~'(x)를 구할 수 있다.60%❷ f~'(1)의 값을 구할 수 있다.40%라이트쎈(해049-060)5강-ok.indd 5414. 8. 29. 오후 2:11 05``미분계수와 도함수 • 55본책미분계수와 도함수0574~77쪽0525 ~f~'(x)=(3x-1)'(a-2x)+(3x-1)(a-2x)'=3(a-2x)+(3x-1).c1 (-2)=-12x+3a+2~f~'(-1)=20에서 3a+14=20 3a=6 .t3 a=2 ⑤0526 임의의 실수 x에 대하여 x^2 -x+1=(x-1/2 )^2 +3/4 >0이므로 ~f(x)=(x+1)(x^6 -1)x^2 -x+1=(x+1)(x^3 +1)(x^3 -1)x^2 -x+1 =(x+1)^2 (x-1)(x^2 -x+1)(x^2 +x+1)x^2 -x+1 =(x+1)^2 (x-1)(x^2 +x+1) .t3 ~f~'(x)={(x+1)^2 }'(x-1)(x^2 +x+1)+(x+1)^2 (x-1)'(x^2 +x+1)+(x+1)^2 (x-1)(x^2 +x+1)'=2(x+1)(x-1)(x^2 +x+1)+(x+1)^2 (x^2 +x+1)+(x+1)^2 (x-1)(2x+1) .t3 ~f~'(1)=2.c1 2.c1 0.c1 3+2^2 .c1 3+2^2 .c1 0.c1 3=12 120527 limh=0 `~f(2)-~f(2-h)h=limh=0 `~f(2-h)-~f(2)-h=~f~'(2)이때 ~f~'(x)=3x^2 -4x이므로 구하는 값은 ~f~'(2)=4 40528 limx=1 `~f(x)-~f(1)x-1=~f~'(1)이때 ~~f~'(x)=4x^3 -3x^2 +2x-1이므로 구하는 값은 ~f~'(1)=2 ③0529 ~f(-1)=0이므로 limh=0 ``f(-1+h)2h=1/2 limh=0 ``f(-1+h)-~f~(-1)h=1/2 ~f~'(-1)이때 ~~f~'(x)=(x^2 -1)'(x^3 -2x+2)+(x^2 -1)(x^3 -2x+2)'=2x(x^3 -2x+2)+(x^2 -1)(3x^2 -2)이므로 ~f~'(-1)=-2.c1 3+0.c1 1=-6따라서 구하는 값은 1/2 ~f~'(-1)=1/2 .c1 (-6)=-3 ②0530 limx=3 `{~f(x)}^2 -{~f(3)}^2 x-3 =limx=3 `{~f(x)-~f(3)}{~f(x)+~f(3)}x-3 =limx=3 `~f(x)-~f(3)x-3~.c1 limx=3 `{~f(x)+~f(3)} =~f~'(3).c1 2~f(3) ⇨ ❶이때 ~~f(x)=x^3 -2x^2 , `f~'(x)=3x^2 -4x이므로 구하는 값은 ⇨ ❷ ~f~'(3).c1 2~f(3)=15.c1 2.c1 9=270 ⇨ ❸ 2700531 limh=0 `~f(2+h)-~f(2-h)h =limh=0 `~f(2+h)-~f(2)-{~f(2-h)-~f(2)}h =limh=0 `~f(2+h)-~f(2)h+limh=0 `~f(2-h)-~f(2)-h =~f~'(2)+~f~'(2)=2~f~'(2)~f~'(x)=4x^3 -6x이므로 ~f~'(2)=20따라서 구하는 값은 2~f~'(2)=2.c1 20=40 ③0532 limx=1 `~~f(x)-~f(1)x^2 -1=limx=1 `~~f(x)-~f(1)x-1.c1 1x+1=1/2 ~f~'(1)즉 1/2 ~f~'(1)=1/2 이므로 ~f~'(1)=1한편 ~f(x)=x^3 +ax^2 +b, ~f~'(x)=3x^2 +2ax이므로~f(-1)=3에서 -1+a+b=3 .t3 a+b=4 .c3 .c3 `㉠~f~'(1)=1에서 3+2a=1 .t3 a=-1a=-1을 ~㉠에 대입하면 b=5따라서 ~f(x)=x^3 -x^2 +5이므로 ~f(-2)=-8-4+5=-7 -70533 limx=-1 `~f(x)x+1=2에서 x -1일 때 극한값이 존재하고(분모) 0이므로 (분자) 0이다.즉 limx=-1 `~f(x)=0이므로 ~f(-1)=0 ⇨ ❶ .t3 limx=-1 `~f(x)x+1=limx=-1 `~f(x)-~f(-1)x-(-1)=~f~'(-1)=2 ⇨ ❷한편 ~f(x)=x^3 +ax+b, ~f~'(x)=3x^2 +a이므로~f(-1)=0에서 -1-a+b=0 .t3 a-b=-1 .c3 .c3 `㉠~f~'(-1)=2에서 3+a=2 .t3 a=-1a=-1을 ㉠에 대입하면 b=0 ⇨ ❸ .t3 a+b=-1 ⇨ ❹ -1채점 기준비율❶ limx=3 `{~f(x)}^2 -{~f(3)}^2 x-3~을 ~~f~'(3), ~f(3)으로 나타낼 수 있다.50%❷ ~`f~'(x)를 구할 수 있다.30%❸ 답을 구할 수 있다.20%라이트쎈(해049-060)5강-ok.indd 5514. 8. 29. 오후 2:11 56 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0534 limx=0`~f(x)x=-2에서 x 0일 때 극한값이 존재하고 (분모) 0이므로 (분자) 0이어야 한다.즉 limx=0`~f(x)=0에서 ~f(0)=0 ……`㉠또 limx=1`~f(x)x-1=5에서 x 1일 때 극한값이 존재하고 (분모) 0이므로 (분자) 0이어야 한다.즉 limx=1`~f(x)=0에서 ~f(1)=0 ……`㉡㉠, ㉡에 의하여 삼차함수 ~f(x)는 x(x-1)을 인수로 가지므로~f(x)=x(x-1)(ax+b)`(anot=0, a, b는 상수)로 놓으면 limx=0``f(x)x=limx=0`x(x-1)(ax+b)x=limx=0`(x-1)(ax+b)=-b즉 -b=-2이므로 b=2 limx=1``f(x)x-1=limx=1`x(x-1)(ax+2)x-1=limx=1`x(ax+2)=a+2즉 a+2=5이므로 a=3따라서 ~f(x)=x(x-1)(3x+2)이므로 ~f~'(x)=(x)'(x-1)(3x+2)+x(x-1)'(3x+2) +x(x-1)(3x+2)'=(x-1)(3x+2)+x(3x+2)+3x(x-1)=9x^2-2x-2따라서 방정식 f~'(x)=0의 모든 근의 합은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 --29=2/9 2/90535 ~f(x)=x^8+2x로 놓으면 `f(-1)=-1이므로 limx=-1`x^8+2x+1x+1=limx=-1`~f(x)-~f(-1)x-(-1)=~f~'(-1)이때 ~f~'(x)=8x^7+2이므로 구하는 값은 ~f~'(-1)=-6 -60536 p=1, q=1, r=8이므로 p+q+r=10 10채점 기준비율❶ `f(-1)의 값을 구할 수 있다.20%❷ `f~'(-1)의 값을 구할 수 있다.20%❸ a, b의 값을 구할 수 있다.50%❹ a+b의 값을 구할 수 있다.10%함수의 극한에서 미정계수의 결정① limx=a`f(x)g(x)=alpha (~alpha는 실수)일 때, limx=a`g(x)=0이면limx=a`f(x)=0② limx=a`f(x)g(x)=alpha (~alpha는 0이 아닌 실수)일 때, limx=a`f~(x)=0이면limx=a`g(x)=00537 ~f(x)=x^n-3x로 놓으면 `f(1)=-2이므로 limx=1`x^n-3x+2x-1=limx=1`~f(x)-~f(1)x-1=~f~'(1)=10이때 ~f~'(x)=nx^n^-^1-3이므로 ~f~'(1)=10에서 n-3=10 .t3 n=13 ⑤0538 ~f(1)=2에서 1+a+2=2 .t3 a=-1따라서 ~f~'(x)=2x+a=2x-1이므로 m=~f~'(1)=2.c11-1=1 .t3 a+m=0 ③0539 ~f~'(x)=2x-5이므로 ~f~'(a)=3에서 2a-5=3 .t3 a=4~f(a)=b이므로 b=~f(4)=4^2-5.c14=-4 .t3 ab=-16 -160540 ~~f(x)=ax^2+bx+c (anot=0, a, b, c는 상수)로 놓으면 ~f~'(x)=2ax+b~f(-1)=6에서 a-b+c=6 ……`㉠~f(1)=0에서 a+b+c=0 ……`㉡~f~'(1)=1에서 2a+b=1 ……`㉢⇨ ❶㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=2, b=-3, c=1 ⇨ ❷ .t3 a^2+b^2+c^2=4+9+1=14 ⇨ ❸ 140541 ~f(x)가 이차함수이므로 ~f(x)=ax^2+bx+c (anot=0, a, b, c는 상수)로 놓으면 ~f~'(x)=2ax+b~f(x)와 `f~'(x)를 주어진 등식에 대입하면 (x+1)(2ax+b)-2(ax^2+bx+c)+2=0 .t3 (2a-b)x+(b-2c+2)=0위의 등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 2a-b=0, b-2c+2=0 ……`㉠한편 ~~f(0)=2이므로 c=2c=2를 ㉠에 대입한 후 두 식을 연립하면 a=1, b=2따라서 ~f(x)=x^2+2x+2이므로 ~f(2)=2^2+2.c12+2=10 10채점 기준비율❶ a, b, c에 대한 방정식을 세울 수 있다.40%❷ a, b, c의 값을 구할 수 있다.40%❸ a^2+b^2+c^2의 값을 구할 수 있다.20%항등식의 성질① ax^2+bx+c=0이 x에 대한 항등식이면a=b=c=0② ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'이 x에 대한 항등식이면a=a', b=b', c=c'③ ax+by+c=0이 x, y에 대한 항등식이면a=b=c=0라이트쎈(해049-060)5강-ok.indd 5614. 8. 29. 오후 2:11 05``미분계수와 도함수 • 57본책미분계수와 도함수0577~79쪽0542 ~f~'(x)=2x+2이므로 주어진 등식에 대입하면 x(2x+2)+a(x^2 +2x)+2x=0 (2+a)x^2 +(2a+4)x=0위의 등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 2+a=0, 2a+4=0 .t3 a=-2 ②0543 ~f(x)=x^8 +ax^2 +b로 놓으면 ~f~'(x)=8x^7 +2ax~f(x)가 (x-1)^2 으로 나누어떨어지므로 ~f(1)=0, ~f~'(1)=0~f(1)=0에서 1+a+b=0 .c3 .c3 `㉠~f~'(1)=0에서 8+2a=0 .t3 a=-4a=-4를 ~㉠에 대입하면 b=3 .t3 b-a=7 ④0544 다항식 x^1 ^0 -1을 (x+1)^2 으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ~R(x)=ax+b (a, b는 상수)라 하면 x^1 ^0 -1=(x+1)^2 Q(x)+ax+b .c3 .c3 `㉠㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 0=-a+b .c3 .c3 `㉡㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 10x^9 =2(x+1)Q(x)+(x+1)^2 Q'(x)+a위의 식의 양변에 x=-1을 대입하면 a=-10a=-10을 ~㉡에 대입하면 b=-10따라서 R(x)=-10x-10이므로 R(-1/2 )=-10.c1 (-1/2 )-10=-5 -5~f(x)=x^1 ^0 -1로 놓으면 다항식 ~f(x)를 (x+1)^2 으로 나누었을 때의 나머지는 R(x)=~f~'(-1)(x+1)+~f(-1)이때 ~f(x)=x^1 ^0 -1, ~f~'(x)=10x^9 이므로 ~f(-1)=0, ~f~'(-1)=-10따라서 R(x)=-10(x+1)=-10x-10이므로 R(-1/2 )=-50545 x의 값이 a에서 b까지 변할 때의 평균변화율은 `f(b)-f(a)b-a임을 이용한다.x의 값이 2에서 2+h까지 변할 때의 함수 `f(x)의 평균변화율은 다항식을 (x-a)^2 으로 나누었을 때의 나머지다항식 ~f(x)를 (x-a)^2 `(a는 상수)으로 나누었을 때의 나머지를R(x)=px+q`(p, q는 상수)라 하면~f(a)=R(a), ~f~'(a)=R'(a)즉 `f(a)=pa+q, ~f~'(a)=p이므로 R(x)=~f~'(a).c1 x+{~f(a)-pa}=~f~'(a).c1 x+{~f(a)-~f~'(a).c1 a}=~f~'(a)(x-a)+~f(a) ~f(2+h)-~f(2)2+h-2=(2+h)^2 -2^2 h=h^2 +4hh =h+4따라서 h+4=8이므로 h=4 ④0546 limh=0 `f(a+h)-f(a)h=f~'(a)임을 이용할 수 있도록 주어진 식을 변형한다.~f~'(3)=2이므로 limh=0 `~f(3+3h)-~f(3)h=3`limh=0 `f(3+3h)-~f(3)3h~=3~f~'(3)=3.c1 2=6 60547 f~'(x)를 구하여 x=1을 대입한다.~f~'(x)=x^3 -x^2 +2ax+4이므로 ~f~'(1)=2에서 2a+4=2 .t3 a=-1 -10548 곱의 미분법을 이용한다.F(x)=~f(x)g(x)라 하면 F~'(x)=~f~'(x)g(x)+~f(x)g'(x) ⇨ ❶이므로 구하는 순간변화율은 F~'(0)=~f~'(0)g(0)+~f(0)g'(0)=6.c1 2+(-1).c1 (-3)=15 ⇨ ❷ 150549 곡선 y=f(x) 위의 x=a인 점에서의 접선의 기울기는 ~f~'(a)이다.~f(x)=(x^2 +1)(3x-1)로 놓으면 ~f~'(x)=(x^2 +1)'(3x-1)+(x^2 +1)(3x-1)'=2x(3x-1)+(x^2 +1).c1 3=9x^2 -2x+3따라서 곡선 ~y=~f(x) 위의 x=1인 점에서의 접선의 기울기는 ~f~'(1)=9-2+3=10 ⑤0550 평균변화율과 미분계수를 각각 구한 후, 방정식을 세운다.함수 `f(x)에서 x의 값이 -1에서 k까지 변할 때의 평균변화율은 `f(k)-~f(-1)k-(-1)=(k^3 -3)-(-4)k+1=k^3 +1k+1 =(k+1)(k^2 -k+1)k+1 =k^2 -k+1한편 ~~f~'(x)=3x^2 이므로 x=17~에서의 미분계수는 ~f~'(17~)=3.c1 (17~)^2 =21따라서 k^2 -k+1=21이므로 k^2 -k-20=0, (k+4)(k-5)=0 .t3 k=5 (.T3 k>-1) 5채점 기준비율❶ f(x)g(x)의 도함수를 구할 수 있다.50%❷ 답을 구할 수 있다.50%라이트쎈(해049-060)5강-ok.indd 5714. 8. 29. 오후 2:11 58 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0551 limh=0`f(a+h)-f(a)h=f~'(a)임을 이용할 수 있도록 주어진 식을 변형한다.limh=0`~f(a+h)-~f(a)h=~f~'(a)이므로 ~f~'(a)=3 .t3 limh=0`~f(a+4h)-~f(a+h^2)h `~=limh=0`{~f(a+4h)-~f(a)}-{~f(a+h^2)-~f(a)}h `~=4`limh=0`{~f(a+4h)-~f(a)}4h-limh=0`~f(a+h^2)-~f(a)h^2~.c1h `~=4~f~'(a)-~f~'(a).c10=4~f~'(a) `~=4.c13=12 ④0552 ~f~'(x)=limh=0`~f(x+h)-~f(x)h의 f(x+h)에 주어진 항등식을 대입하여 ~f~'(x)를 구한다.주어진 식에 x=0, y=0을 대입하면 ~f(0)=~f(0)+~f(0)-0 .t3 ~f(0)=0~f~'(0)=5에서 limh=0`~f(h)-~f(0)h=limh=0`~f(h)h=5이므로 f~'(x)=limh=0`~f(x+h)-~f(x)h=limh=0`~f(x)+~f(h)-2xh-~f(x)h=limh=0`~f(h)-2xhh=limh=0`~f(h)h-2x=-2x+5 ②0553 limx=0`~f(x)=~f(0)이지만 limh=0`~f(h)-~f(0)h이 존재하지 않는 함수 ~f(x)를 찾는다.① limx=0`~f(x)=~f(0)=-7따라서 `f(x)는 x=0에서 연속이다. limh=0``f(h)-~f(0)h=limh=0`-7-(-7)h=0따라서 `f(x)는 x=0에서 미분가능하다.② limx=0`~f(x)=~f(0)=0따라서 ~f(x)는 x=0에서 연속이다. limh=0``f(h)-~f(0)h=limh=0`|h|^2-0h=limh=0`h^2h=limh=0`h=0따라서 ~f(x)는 x=0에서 미분가능하다. ③ ~ f(0)이 정의되지 않으므로 f(x)는 x=0에서 불연속이고 미분가능하지 않다.④ limx=0`f(x)=~f(0)=0따라서 f(x)는 x=0에서 연속이다. ~limh~~0+``f(h)-~f(0)h=~limh~~0+`2h-0h=~limh~~0+`2=2,~limh~~0-``f(h)-~f(0)h=~limh~~0-`-h-0h=~limh~~0-`(-1)=-1이므로 ~limh=0``f(h)-~f(0)h이 존재하지 않는다.따라서 ~f(x)는 x=0에서 미분가능하지 않다.⑤ limx=0`~f(x)=~f(0)=1따라서 ~f(x)는 x=0에서 연속이다. ~limh~~0+``f(h)-~f(0)h=~limh~~0+`(h-1)^2-1h=~limh~~0+`h^2-2hh=~limh~~0+`(h-2)=-2~limh~~0-``f(h)-~f(0)h=~limh~~0-`(-2h+1)-1h`=~limh~~0-`-2hh=-2이므로 limh=0``f(h)-~f(0)h=-2따라서 ~f(x)는 x=0에서 미분가능하다. ④0554 곡선 y=f(x) 위의 x=a인 점에서의 접선의 기울기는 ~f~'(a)임을 이용한다.~f(x)=(x^2+k)(2x-1)^3으로 놓으면 ~f~'(x)=(x^2+k)'(2x-1)^3+(x^2+k){(2x-1)^3}'=2x.c1(2x-1)^3+(x^2+k).c13(2x-1)^2(2x-1)'=2x(2x-1)^3+6(x^2+k)(2x-1)^2=2(2x-1)^2(5x^2-x+3k)곡선 y=~f(x) 위의 x=1인 점에서의 접선의 기울기가 -4이므로 ~f~'(1)=-4, 2(4+3k)=-4 4+3k=-2, 3k=-6 .t3 k=-2 -20555 1/n=h로 놓고 미분계수의 정의를 이용한다.1/n=h로 놓으면 n inf일 때 h 0이므로 limn=inf`n{~f~(3+1/n)-~f(3)}=limh=0`1/h{~f(3+h)-~f(3)}=limh=0``f(3+h)-`f(3)h=~f~'(3)이때 f~'(x)=2x-4이므로 구하는 값은 ~f~'(3)=2 ⑤0556 limh=0`~f(a+h)-~f(a)h=~f~'(a)임을 이용할 수 있도록 주어진 식을 변형한다.~f(1)=g(1)=3이므로 limh=0`~f(1+2h)-g(1-h)3h `=limh=0`~f(1+2h)-3+3-g(1-h)3h `=limh=0`{~f(1+2h)-~f(1)}-{g(1-h)-g(1)}3h `=limh=0`f(1+2h)-~f(1)2h.c12/3+limh=0`g(1-h)-g(1)-h.c11/3 `=2/3~f~'(1)+1/3g'(1)이때 ~f~'(x)=9x^2-4x+1, g'(x)=6x^5+4x^3+2x이므로 ~f~'(1)=6, g'(1)=12라이트쎈(해049-060)5강-ok.indd 5814. 8. 29. 오후 5:50 05``미분계수와 도함수 • 59본책미분계수와 도함수0579~81쪽 .t3 (주어진 식)=2/3 ~f~'(1)+1/3 g'(1)=2/3 .c1 6+1/3 .c1 12=8 ③0557 주어진 조건을 이용하여 a, b, c에 대한 연립방정식을 세운다.~f(1)=0에서 a+b+c=0 .c3 .c3 `㉠~f~'(x)=2ax+b이므로 ~f~'(-2)=-14에서 -4a+b=-14 .c3 .c3 `㉡~f~'(1)=4에서 2a+b=4 .c3 .c3 `㉢㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=3, b=-2, c=-1 .t3 abc=6 ⑤0558 도함수를 구하여 a, b에 대한 연립방정식을 세운다.limh=0 `~f(1+h)-~f(1)h=~f~'(1)이므로 ~f~'(1)=-1limh=0 `~f(-2-h)-~f(-2)h=-limh=0 `~f(-2-h)-~f(-2)-h=-~f~~'(-2)이므로 -f~'(-2)=-26 .t3 ~f~'(-2)=26이때 ~f~'(x)=3x^2 +2ax+b이므로~f~'(1)=-1에서 3+2a+b=-1 .t3 2a+b=-4 .c3 .c3 `㉠~f~'(-2)=26에서 12-4a+b=26 .t3 4a-b=-14 .c3 .c3 `㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=2따라서 ~f(x)=x^3 -3x^2 +2x+1이므로 ~f(1)=1 10559 limx=a `~f(x)-bx-a=c (c는 상수)이면 ~f(a)=b, f~'(a)=c임을 이용한다.limx=1 `~f(x)-3x-1=2에서 x 1일 때 극한값이 존재하고 (분모) 0이므로 (분자) 0이다.즉 ~limx=1 `{~f(x)-3}=0이므로 ~f(1)=3따라서 ~limx=1 `f(x)-3x-1=limx=1 `~f(x)-~f(1)x-1=~f~'(1)이므로 ~f~'(1)=2 ⇨ ❶또 limx=1 `g(x)-1x-1=4에서 x 1일 때 극한값이 존재하고 (분모) 0이므로 (분자) 0이다.즉 limx=1 `{g(x)-1}=0이므로 g(1)=1따라서 ~limx=1 `g(x)-1x-1=limx=1 `g(x)-g(1)x-1=g'(1)이므로 g'(1)=4 ⇨ ❷h'(x)=~f~'(x)g(x)+~f(x)g'(x)이므로 h'(1)=~f~'(1)g(1)+~f(1)g'(1)=2.c1 1+3.c1 4=14 ⇨ ❸ 140560 곡선 y=~f(x) 위의 x=a인 점에서의 접선의 기울기는 ~f~'(a)임을 이용한다.곡선 y=~f(x) 위의 x=5인 점에서의 접선의 기울기가 1이므로 ~f~'(5)=1 .t3 limh=0 ``~f(5+3h)-~f(5)2h=limh=0 ``~f(5+3h)-~f(5)3h.c1 3/2 =3/2~f~'(5) =3/2.c1 1=3/2 3/20561 f(x)=ax^2 +bx+c로 놓고 ~f(x)와 f~'(x)를 주어진 항등식에 대입한 후 계수를 비교한다.~f(x)가 이차함수이므로 ~f(x)=ax^2 +bx+c (anot= 0, a, b, c는 상수)로 놓으면 ~f~'(x)=2ax+b ~f~(x)와 `f~'(x)를 주어진 등식에 대입하면 x(2ax+b)=ax^2 +bx+c+x^2 +3 .t3 2ax^2 +bx=(a+1)x^2 +bx+c+3위의 등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 2a=a+1, 0=c+3 .t3 a=1, c=-3한편 ~f~'(x)=2x+b이므로 ~f~'(1)=4에서 2+b=4 .t3 b=2 즉 ~f~(x)=x^2 +2x-3이므로 x^2 +2x-3=0에서 (x+3)(x-1)=0 .t3 x=-3 또는 x=1따라서 방정식 f(x)=0의 모든 실근의 합은 -3+1=-2 -20562 f(x)를 몫과 나머지를 이용하여 나타낸 후 점의 좌표와 그 점에서의 접선의 기울기를 이용한다.~f(x)를 (x-1)^2 으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=ax+b (a, b는 상수)라 하면 ~f(x)=(x-1)^2 Q(x)+ax+b .c3 .c3 `㉠~f(1)=2이므로 ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 a+b=2 .c3 .c3 `㉡㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 ~f~'(x)=2(x-1)Q(x)+(x-1)^2 Q'(x)+a~f~'(1)=-3이므로 위의 식의 양변에 x=1을 대입하면 a=-3채점 기준비율❶ ~f(1), ~f~'(1)의 값을 구할 수 있다.30%❷ g(1), g'(1)의 값을 구할 수 있다.30%❸ h'(1)의 값을 구할 수 있다.40%라이트쎈(해049-060)5강-ok.indd 5914. 8. 29. 오후 2:11 60 • 정답 및 풀이정답 및 풀이a=-3을 ~㉡에 대입하면 b=5따라서 R(x)=-3x+5이므로 R(-1)=8 ①0563 limx=a``f(x)-~f(a)x-a=~f~'(a)임을 이용할 수 있도록 주어진 식을 변형한다.limx=1`~f(x^3)-x^3~f(1)x-1 =limx=1`{~f(x^3)-~f(1)}-{x^3~f(1)-~f(1)}x-1 =limx=1`~~f(x^3)-~f(1)x-1-limx=1`x^3-1x-1.c1~f(1) =limx=1`~~f(x^3)-~f(1)x^3-1.c1(x^2+x+1)-limx=1`(x^2+x+1).c1~f(1) =3~f~'(1)-3~f(1) =3.c1(-1)-3.c1(-2)=3 ③0564 x^2=t로 놓고 limx=a`~f(x)-~f(a)x-a=f~'(a)임을 이용할 수 있도록 주어진 식을 변형한다.x^2=t로 놓으면 x -1일 때 t 1이므로 ~limx=-1`~~f(x^2)-~f(1)x^2-1=limt=1`~f(t)-~f(1)t-1=~f~'(1)이때 f~'(x)=4x^3+2x이므로 구하는 값은 ~f~'(1)=6 ③0565 f~'(x)=limh=0`~f(x+h)-~f(x)h의 ~f(x+h)에 주어진 항등식을 대입하여 ~f~'(x)를 구한다.주어진 식에 x=0, y=0을 대입하면 ~f(0)=3~f(0)~f(0)~f(0)>0이므로 ~f(0)=1/3 .t3 ~f~'(x)=limh=0`~f(x+h)-~f(x)h=limh=0`3~f(x)~f(h)-~f(x)h=limh=0`3~f(x){~f(h)-1/3}h=3~f(x)limh=0`~f(h)-~f(0)h=3~f(x)~f~'(0)=3~f(x).c12=6~f(x)이때 ~~f(x)not=0이므로 `f~'(x)`f(x)=6 ②0566 먼저 ~f(x)의 차수를 구한다.~f(x)가 이차 이상의 다항식이면 f(x)~f~'(x)의 차수가 삼차 이상이므로 ~f(x)는 일차식이다. ⇨ ❶~f(x)=ax+b~(anot=0, a, b는 상수)로 놓으면 ~f~'(x)=a이것을 주어진 식에 대입하면 (ax+b)a=4x+6 (a^2-4)x+(ab-6)=0이 식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 a^2-4=0, ab-6=0 .t3 a=2, b=3 또는 ~a=-2, b=-3 ⇨ ❷ a=2, b=3일 때,~f(x)=2x+3이므로~f(1)~f(2)=5.c17=35 a=-2, b=-3일 때,~f(x)=-2x-3이므로~f(1)~f(2)=-5.c1(-7)=35, 에서 ~f(1)~f(2)=35 ⇨ ❸ 350567 다항함수 y=f(x)의 그래프 위의 점 (a, b)에서의 접선의 기울기가 m이면 f(a)=b, f~'(a)=m임을 이용한다.y=1/2x+3에 x=2를 대입하면 y=1/2.c12+3=4즉 y=~f(x)의 그래프가 점 (2, 4)를 지나므로 ~f(2)=4또 x=2에서의 접선의 기울기가 1/2이므로 ~f~'(2)=1/2g(x)=(x^2-2x+4)~f(x)에서 g~'(x)=(x^2-2x+4)'~f(x)+(x^2-2x+4)~f~'(x)=(2x-2)~f(x)+(x^2-2x+4)~f~'(x)이므로 g~'(2)=2~f(2)+4~f~'(2)=2.c14+4.c11/2=10 ⑤채점 기준비율❶ `f(x)가 일차식임을 알 수 있다.30%❷ a, b의 값을 구할 수 있다.40%❸ `f(1)f(2)의 값을 구할 수 있다.30%라이트쎈(해049-060)5강-ok.indd 6014. 8. 29. 오후 2:11 06``도함수의 활용 ⑴ • 61본책도함수의 활용 ⑴0681~83쪽0568 ~f(x)=2x^2 -1로 놓으면 ~f~'(x)=4x따라서 점 (-1, 1)에서의 접선의 기울기는 ~f~'(-1)=-4 -40569 ~f(x)=x^3 +x-2로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2 +1따라서 점 (2, 8)에서의 접선의 기울기는 ~f~'(2)=3.c1 2^2 +1=13 130570 ~f(x)=-3x^4 +4x^2 +3x+4로 놓으면 ~f~'(x)=-12x^3 +8x+3따라서 점 (0, 4)에서의 접선의 기울기는 ~f~'(0)=3 30571 ~f(x)=x^2 -4x로 놓으면 ~f~'(x)=2x-4점 (1, -3)에서의 접선의 기울기는 ~f~'(1)=2.c1 1-4=-2이므로 구하는 접선의 방정식은 y-(-3)=-2.c1 (x-1) .t3 y=-2x-1 y=-2x-10572 ~f(x)=-x^2 +3x+3으로 놓으면 ~f~'(x)=-2x+3점 (2, 5)에서의 접선의 기울기는 ~f~'(2)=-2.c1 2+3=-1이므로 구하는 접선의 방정식은 y-5=-1.c1 (x-2) .t3 y=-x+7 y=-x+70573 ~f(x)=2x^3 +x+5로 놓으면 ~f~'(x)=6x^2 +1점 (0, 5)에서의 접선의 기울기는 ~f~'(0)=1이므로 구하는 접선의 방정식은 y-5=x .t3 y=x+5 y=x+50574 ⑴ ~f(x)=-x^2 +2로 놓으면 ~f~'(x)=-2x점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 ~f~'(1)=-2직선 l의 기울기를 a라 하면 -2a=-1.t3 a=1/2 ⑵ 직선 l은 점 (1, 1)을 지나고 기울기가 1/2이므로 y-1=1/2(x-1) .t3 y=1/2x+1/2 ⑴ 1/2 ⑵ y=1/2x+1/2수직인 두 직선의 기울기두 직선 y=ax+b, y=a'x+b'이 수직이면aa'=-10575 `~f(x)=x^3 +2x^2 -1로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2 +4x점 (-1, 0)에서의 접선의 기울기는 ~f~'(-1)=3.c1 (-1)^2 +4.c1 (-1)=-1따라서 점 (-1, 0)에서의 접선과 수직인 직선의 기울기는 1이므로 구하는 직선의 방정식은 y=x+1 y=x+10576 g(2)=~f(2)=4.c1 2^2 -7.c1 2=2 20577 ~f~'(x)=8x-7이므로 f~'(2)=8.c1 2-7=9 .t3 g~'(2)=~f~'(2)=9 90578 ⑴ ~f(x)=x^2 +1로 놓으면 ~f~'(x)=2x .t3 ~f~'(t)=2t접선의 기울기가 -4이므로 2t=-4 .t3 t=-2⑵ f(-2)=5에서 접점의 좌표가 (-2, 5)이므로 직선 l의 방정식은 y-5=-4(x+2) .t3 y=-4x-3 ⑴ -2 ⑵ y=-4x-30579 ~f(x)=-x^2 으로 놓으면 ~f~'(x)=-2x접점의 좌표를 (t, -t^2 )이라 하면 접선의 기울기가 2이므로 ~f~'(t)=-2t=2 .t3 t=-1따라서 구하는 점의 좌표는 (-1, -1) (-1, -1)0580 ~f(x)=1/2x^2 -2x+1/3로 놓으면 ~f~'(x)=x-2접점의 좌표를 (t, 1/2 t^2 -2t+1/3 )~이라 하면 접선의 기울기가 2이므로 ~f~'(t)=t-2=2 .t3 t=4따라서 구하는 점의 좌표는 (4, 1/3) (4, 1/3)0581 ~f(x)=x^3 +3x^2 +5x-4로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2 +6x+5접점의 좌표를 (t, t^3 +3t^2 +5t-4)라 하면 접선의 기울기가 2이므로 ~f~'(t)=3t^2 +6t+5=2 t^2 +2t+1=0, (t+1)^2 =0 .t3 t=-1따라서 구하는 점의 좌표는 (-1, -7) (-1, -7)0582 ~f(x)=-x^4 +4/3 x^3 +2x로 놓으면 ~f~'(x)=-4x^3 +4x^2 +2접점의 좌표를 (t, -t^4 +4/3 t^3 +2t)라 하면 접선의 기울기가 2이므로 ~f~'(t)=-4t^3 +4t^2 +2=2 t^3 -t^2 =0, t^2 (t-1)=0 .t3 t=0 또는 t=1따라서 구하는 점의 좌표는 (0, 0), (1, 7/3 ) (0, 0), (1, 7/3 )도함수의 활용 ⑴06Ⅲ. 다항함수의 미분법라이트쎈(해061-069)6강-ok.indd 6114. 8. 29. 오후 2:12 62 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0583 ~f(x)=-x^2+3x+5로 놓으면 ~f~'(x)=-2x+3접점의 좌표를 (t, -t^2+3t+5)라 하면 접선의 기울기가 5이므로 ~f~'(t)=-2t+3=5, -2t=2 .t3 t=-1따라서 접점의 좌표는 (-1, 1)이므로 구하는 접선의 방정식은 y-1=5(x+1) .t3 y=5x+6 y=5x+60584 ~f(x)=x^3-2x+4로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2-2접점의 좌표를 (t, t^3-2t+4)라 하면 접선의 기울기가 1이므로 ~f~'(t)=3t^2-2=1, t^2=1 .t3 t=-1 또는 t=1따라서 접점의 좌표는 (-1, 5), (1, 3)이므로 구하는 접선의 방정식은 y-5=x+1, y-3=x-1 .t3 y=x+2, y=x+6 y=x+2, y=x+60585 ⑴ ~f(x)=x^2-4x로 놓으면 ~f~'(x)=2x-4접점의 좌표를 (t, t^2-4t)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 ~f~'(t)=2t-4이므로 접선의 방정식은 y-(t^2-4t)=(2t-4)(x-t) .t3 y=(2t-4)x-t^2 ……`㉠⑵ 직선 y=(2t-4)x-t^2이 점 (-1/2, 0)을 지나므로 t^2+t-2=0, (t+2)(t-1)=0 .t3 t=-2 또는 t=1⑶ t=-2를 ~㉠에 대입하면 y=-8x-4t=1을 ~㉠에 대입하면 y=-2x-1 풀이 참조0586 ~f(x)=-x^2+3x-5로 놓으면 ~f~'(x)=-2x+3접점의 좌표를 (t, -t^2+3t-5)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 `f~'(t)=-2t+3이므로 접선의 방정식은 y-(-t^2+3t-5)=(-2t+3)(x-t) .t3 y=(-2t+3)x+t^2-5 ……`㉠이 직선이 점 (1, 1)을 지나므로 1=t^2-2t-2, t^2-2t-3=0 (t+1)(t-3)=0 .t3 t=-1 또는 t=3이것을 ㉠에 각각 대입하면 y=-3x+4, y=5x-4 y=-3x+4, y=5x-40587 ~f(x)=x^3+16으로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2접점의 좌표를 (t, t^3+16)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 ~f~'(t)=3t^2이므로 접선의 방정식은 y-(t^3+16)=3t^2(x-t) .t3 y=3t^2x-2t^3+16 ……`㉠이 직선이 점 (0, 0)을 지나므로 0=-2t^3+16, t^3=8 .t3 t=2이것을 ㉠에 대입하면 y=12x y=12x0588 함수 ~f(x)=x^2-2x+4는 닫힌 구간 [0, 2]에서 연속이고 열린 구간 (0, 2)에서 미분가능하며 ~f(0)=~f(2)=4이므로 ~f~'(c)=0인 c가 구간 (0, 2)에 적어도 하나 존재한다.이때 ~f~'(x)=2x-2이므로 ~f~'(c)=2c-2=0 .t3 c=1 10589 함수 ~f(x)=4x-x^2은 닫힌 구간 [1, 3]에서 연속이고 열린 구간 (1, 3)에서 미분가능하며 ~f(1)=~f(3)=3이므로 f~'(c)=0인 c가 구간 (1, 3)에 적어도 하나 존재한다.이때 ~f~'(x)=4-2x이므로 ~f~'(c)=4-2c=0 .t3 c=2 20590 함수 ~f(x)=x^3-x는 닫힌 구간 [0, 1]에서 연속이고 열린 구간 (0, 1)에서 미분가능하며 ~f(0)=~f(1)=0이므로 ~f~'(c)=0인 c가 구간 (0, 1)에 적어도 하나 존재한다.이때 ~f~'(x)=3x^2-1이므로 ~f~'(c)=3c^2-1=0 c^2=1/3 .t3 c=233 (.T3 00)이라 하면 직선 y=-x+5와 수직인 직선의 기울기는 1이므로 ~f~'(t)=3t^2-5=1 t^2=2 .t3 t=12~`(.T3 t>0)따라서 접점의 좌표는 (12~, -312~-3)이므로 접선의 방정식은 y-(-312~-3)=x-12~ .t3 y=x-412~-3즉 ~g(x)=x-412~-3이므로 ~g(3)=-412~ -412~채점 기준비율❶ ~f~'(x)를 구할 수 있다.30%❷ t의 값을 구할 수 있다.40%❸ a+2b의 값을 구할 수 있다.30%라이트쎈(해061-069)6강-ok.indd 6414. 8. 29. 오후 2:12 06``도함수의 활용 ⑴ • 65본책도함수의 활용 ⑴0686~88쪽0614 ~f(x)=x^2 +2x-3으로 놓으면 ~f~'(x)=2x+2곡선 y=~f(x)의 접선 중에서 직선 y=2x-7과 평행한 접선의 접점의 좌표를 (t, t^2 +2t-3)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기가 2이므로 ~f~'(t)=2t+2=2 .t3 t=0따라서 접점의 좌표는 (0, -3)이고, 점 (0, -3)과 직선 y=2x-7, 즉 2x-y-7=0 사이의 거리가 구하는 최솟값이므로 |3-7|22^2 +(x-1)^2 x~=415~5 ④0615 ~f(x)=x^3 -2x+2로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2 -2접점의 좌표를 (t, t^3 -2t+2)라 하면 접선의 기울기가 1이므로 ~f~'(t)=3t^2 -2=1, t^2 =1 .t3 t=-1 또는 ~t=1따라서 접점의 좌표는 (-1, 3), (1, 1)이므로 접선의 방정식은 y-3=x+1, ~y-1=x-1 .t3 x-y+4=0, ~x-y=0이 두 직선 사이의 거리는 직선 x-y+4=0 위의 점 (0, 4)와 직선 x-y=0 사이의 거리와 같으므로 구하는 거리는 |-4|21^2 +(x-1)^2 x~=212~ 212~0616 ~f(x)=x^3 -x로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2 -1접점의 좌표를 (t, t^3 -t)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는~f~'(t)=3t^2 -1이므로 접선의 방정식은 y-(t^3 -t)=(3t^2 -1)(x-t) .t3 y=(3t^2 -1)x-2t^3 이 직선이 점 (0, -2)를 지나므로 -2t^3 =-2, t^3 =1 .t3 t=1따라서 구하는 접선의 기울기는 ~f~'(1)=3-1=2 ④0617 ~f(x)=x^2 +x로 놓으면 ~f~'(x)=2x+1 ⇨ ❶접점의 좌표를 (t, t^2 +t)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 ~f~'(t)=2t+1이므로 접선의 방정식은 y-(t^2 +t)=(2t+1)(x-t) .t3 y=(2t+1)x-t^2 ⇨ ❷이 직선이 점 (1, 1)을 지나므로 1=2t+1-t^2 , t^2 -2t=0 t(t-2)=0 .t3 t=0 또는 t=2 ⇨ ❸평행한 두 직선 사이의 거리① 평행한 두 직선 l, l' 사이의 거리는 직선 l 위의 임의의 점과 직선 l' 사이의 거리와 같다.② 평행한 두 직선 ax+by+c=0, ax+by+c'=0 사이의 거리는|c-c'|2a^2 +b^2 x~따라서 두 접선의 방정식은 y=x, y=5x-4 ⇨ ❹이므로 구하는 y절편의 합은 0-4=-4 ⇨ ❺ -40618 ~f(x)=x^3 -7로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2 접점의 좌표를 (t, t^3 -7)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는`~f~'(t)=3t^2 이므로 접선의 방정식은 y-(t^3 -7)=3t^2 (x-t) .t3 y=3t^2 x-2t^3 -7 .c3 .c3 `㉠ 이 직선이 점 (0, 9)를 지나므로 9=-2t^3 -7, t^3 =-8 .t3 t=-2t=-2를 ~㉠에 대입하면 y=12x+9따라서 직선 y=12x+9 위의 점의 좌표는 ~②이다. ②0619 ~f(x)=1/8x^2 +a로 놓으면 ~f~'(x)=1/4x접점의 좌표를 ~(t, 1/8t^2 +a)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는~f~'(t)=1/4t이므로 접선의 방정식은 y-(1/8t^2 +a)=1/4t(x-t) .t3 y=1/4tx-1/8t^2 +a이 직선이 점 (1, 0)을 지나므로 0=1/4t-1/8t^2 +a .t3 t^2 -2t-8a=0 .c3 .c3 `㉠두 접점의 x좌표를 각각 t_1 , t_2 라 하면 t_1 , t_2 는 ㉠의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여 t_1 ~t_2 =-8a이때 두 접선이 서로 수직이므로 1/4t_1 .c1 1/4t_2 =-1, 1/16.c1 (-8a)=-1 .t3 a=2 ③0620 ~f(x)=x^4 +2x^2 +5로 놓으면 ~f~'(x)=4x^3 +4x접점의 좌표를 (t, t^4 +2t^2 +5)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 ~~f~'(t)=4t^3 +4t이므로 접선의 방정식은 y-(t^4 +2t^2 +5)=(4t^3 +4t)(x-t) .t3 y=(4t^3 +4t)x-3t^4 -2t^2 +5이 직선이 원점을 지나므로 0=-3t^4 -2t^2 +5 3t^4 +2t^2 -5=0, (t+1)(t-1)(3t^2 +5)=0 .t3 t=-1~ 또는 t=1 (.T3 3t^2 +5>0)~따라서 접점의 좌표는 (-1, 8), (1, 8)이므로 PQ^_ =2 2채점 기준비율❶ ~f~'(x)를 구할 수 있다.10%❷ 접선의 방정식을 ~t에 대한 식으로 나타낼 수 있다.30%❸ t의 값을 구할 수 있다.30%❹ 접선의 방정식을 구할 수 있다.20%❺ y절편의 합을 구할 수 있다.10%라이트쎈(해061-069)6강-ok.indd 6514. 8. 29. 오후 2:12 66 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0621 ~f(x)=x^4+12로 놓으면 ~f~'(x)=4x^3접점의 좌표를 (t, t^4+12)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는~f~'(t)=4t^3이므로 접선의 방정식은 y-(t^4+12)=4t^3(x-t) .t3 y=4t^3x-3t^4+12이 직선이 원점을 지나므로 0=-3t^4+12, t^4-4=0 (t+12~)(t-12~)(t^2+2)=0 .t3 t=-12~ 또는 t=12~ (.T3 t^2+2>0)따라서 접점의 좌표는 (-12~, 16), (12, 16)이므로 구하는 삼각형의 넓이는 1/2·212~.c116=1612~ ④0622 ~f(x)=x^3으로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2접점의 좌표를 (t, t^3)이라 하면 접선의 기울기가 3이므로 ~f~'(t)=3t^2=3 .t3 t=-1 또는 t=1따라서 접점의 좌표는 (-1, -1), (1, 1)이므로 접선의 방정식은 y-(-1)=3(x+1), y-1=3(x-1) .t3 y=3x+2, y=3x-2이때 k는 양수이므로 k=2 ②0623 ~f(x)=-x^2+3x+a로 놓으면 ~f~'(x)=-2x+3점 (t, t+1)에서의 접선의 기울기가 1이므로 ~f~'(t)=1에서 -2t+3=1 .t3 t=1따라서 접점의 좌표가 (1, 2)이므로 y=-x^2+3x+a에서 2=-1+3+a .t3 a=0 .t3 a+t=1 ①0624 ~f(x)=x^3+k로 놓으면 `f~'(x)=3x^2 ⇨ ❶접점의 좌표를 (t, t^3+k)라 하면 접선의 기울기가 6이므로 ~f~'(t)=3t^2=6, t^2=2 .t3 t=-12~ 또는 ~t=12~ ⇨ ❷이때 주어진 직선과 곡선이 제~1~사분면에서 접하므로 접점의 좌표는 (12~, 212~+k)점 (12, 212+k)가 직선 y=6x 위에 있으므로 212~+k=612~ .t3 k=412~ ⇨ ❸ 4120625 ~f(x)=x^3+x+a로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2+1접점의 좌표를 (t, t^3+t+a)라 하면 접선의 기울기가 4이므로 ~f~'(t)=3t^2+1=4, t^2=1 .t3 t=-1 또는 t=1채점 기준비율❶ ~f~'(x)를 구할 수 있다.20%❷ 접점의 x좌표를 구할 수 있다.40%❸ k의 값을 구할 수 있다.40%따라서 접점의 좌표는 (-1, a-2), (1, a+2)이고, 이 접점은 직선 y=4x+b 위의 점이므로 a-2=-4+b, a+2=4+b a-b=-2 또는 a-b=2 .t3 |a-b|=2 ③0626 ~f(x)=x^2-1로 놓으면 ~f~'(x)=2x점 (2, 3)에서의 접선의 기울기는 ~f~'(2)=4이므로 접선의 방정식은 y-3=4(x-2) .t3 y=4x-5 ……`㉠한편 ~g(x)=x^3+ax+11로 놓으면 g~'(x)=3x^2+a㉠과 곡선 y=g(x)의 접점의 좌표를 (t, t^3+at+11)이라 하면 접선의 기울기는 ~g~'(t)=3t^2+a이므로 접선의 방정식은 y-(t^3+at+11)=(3t^2+a)(x-t) .t3 y=(3t^2+a)x-2t^3+11이 직선이 ㉠과 일치해야 하므로 3t^2+a=4 ……`㉡ -2t^3+11=-5 ……`㉢㉢에서 t^3=8 .t3 t=2t=2를 ~㉡에 대입하면 12+a=4 .t3 a=-8 -80627 ~f(x)=x^3+2로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2점 (-1, 1)에서의 접선의 기울기는 ~f~'(-1)=3이므로 접선의 방정식은 y-1=3(x+1) .t3 y=3x+4 ……`㉠y=0을 ~㉠에 대입하면 3x+4=0 .t3 x=-4/3x=0을 ~㉠에 대입하면 y=4따라서 접선의 x절편이 -4/3, y절편이 4이므로 구하는 도형의 넓이는 1/2·4/3·4=8/3 ③0628 ~f(x)=-1/2x^2+x+3으로 놓으면 ~f~'(x)=-x+1접점의 좌표를 ~(t, -1/2t^2+t+3)이라 하면 접선의 기울기가 -1이므로 ~f~'(t)=-t+1=-1 .t3 t=2따라서 접점의 좌표는 (2, 3)이므로 접선의 방정식은 y-3=-1.c1(x-2) .t3 y=-x+5 ……`㉠y=0을 ㉠에 대입하면 -x+5=0 .t3 x=5x=0을 ㉠에 대입하면 y=5따라서 접선의 x절편과 y절편이 모두 5이므로 구하는 도형의 넓이는 1/2·5·5=25/2 25/20629 ~f(x)=1/2x^4-3x^2+2로 놓으면 ~f~'(x)=2x^3-6x점 P(2, -2)에서의 접선의 기울기는 ~f~'(2)=4이므로 접선 l의 방정식은 y+2=4(x-2) .t3 y=4x-10라이트쎈(해061-069)6강-ok.indd 6614. 8. 29. 오후 2:12 06``도함수의 활용 ⑴ • 67본책도함수의 활용 ⑴0688~91쪽한편 직선 l에 수직인 직선의 기울기는 -1/4이므로 직선 m의 방정식은 y+2=-1/4(x-2) .t3 y=-1/4x-3/2따라서 오른쪽 그림에서 두 직선 l, m과 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 1/2.c1 {-3/2-(-10)}.c1 2=17/2 17/20630 ~f(x)=x^3 +ax-3, g(x)=x^2 +4x로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2 +a, g~'(x)=2x+4두 곡선이 x=t인 점에서 접한다고 하면~f(t)=g(t)에서 t^3 +at-3=t^2 +4t .c3 .c3 `㉠ ~f~'(t)=g~'(t)에서 3t^2 +a=2t+4 .t3 a=-3t^2 +2t+4 .c3 .c3 `㉡ ㉡을 ~㉠에 대입하여 정리하면 2t^3 -t^2 +3=0, (t+1)(2t^2 -3t+3)=02t^2 -3t+3>0이므로 t=-1t=-1을 ~㉡에 대입하면 a=-1 ③0631 ⑴ ~f(x)=ax^3 +6x, g(x)=2x^2 +bx로 놓으면 ~f~'(x)=3ax^2 +6, g~'(x)=4x+b두 곡선이 x=3에서 공통인 접선을 가지므로~f(3)=g(3)에서 27a+18=18+3b .t3 9a-b=0 .c3 .c3 `㉠~f~'(3)=g~'(3)에서 27a+6=12+b.t3 27a-b=6 .c3 .c3 `㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1/3 , b=3 ⇨ ❶⑵ 두 곡선 y=1/3x^3 +6x, y=2x^2 +3x의 접점의 좌표가 (3, 27)이고 접선의 기울기가 g~'(3)=15이므로 구하는 접선의 방정식은 y-27=15(x-3) .t3 y=15x-18 ⇨ ❷ ⑴ a=1/3, b=3 ⑵ y=15x-180632 ~f(x)=x^3 -2, g(x)=2x^3 -3x로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2 , g~'(x)=6x^2 -3두 곡선이 x=t인 점에서 접한다고 하면~f(t)=g(t)에서 t^3 -2=2t^3 -3t t^3 -3t+2=0, (t+2)(t-1)^2 =0 .t3 t=-2 또는 t=1~f~'(t)=g~'(t)에서 3t^2 =6t^2 -3, t^2 =1 .t3 t=-1 또는 t=1따라서 접점의 좌표가 (1, -1)이고 접선의 기울기가 ~f~'(1)=3이므로 접선과 수직인 직선의 기울기는 -1/3이다.(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:19)(cid:78)(cid:77)(cid:14)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:14)(cid:19)(cid:14)채점 기준비율❶ 상수 a, b의 값을 구할 수 있다.50%❷ 접선의 방정식을 구할 수 있다.50%따라서 공통인 접선과 수직인 직선의 방정식은 y-(-1)=-1/3(x-1) .t3 y=-1/3x-2/3즉 m=-1/3 , n=-2/3 이므로 9mn=9.c1 (-1/3).c1 (-2/3)=2 20633 함수 ~f(x)=x^3 -3x+1은 닫힌 구간 [-1, 2]에서 연속이고 열린 구간 (-1, 2)에서 미분가능하며 ~f(-1)=~f(2)=3이므로 `f~'(c)=0인 c가 구간 (-1, 2)에 적어도 하나 존재한다.이때 ~f~'(x)=3x^2 -3이므로 ~f~'(c)=3c^2 -3=0 3(c+1)(c-1)=0 .t3 c=1 (.T3 -12) 30636 ㈎ (a, x) ㈏ ~f(a)0637 구간 [-2, 2]에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 c는 두 점 (-2, ~f(-2)), (2, ~f(2))를 잇는 직선과 평행한 접선을 갖는 점의 x좌표이다.오른쪽 그림과 같이 두 점(-2, ~f(-2)), (2, ~f(2))를 잇는 직선과 평행한 접선을 2개 그을 수 있으므로 상수 c의 개수는 2이다. ③0638 ~f~'(x)=3x^2 -1이므로 f(2)-f(0)=2f~'(c), 즉~~f(2)-~f(0)2-0=~f~'(c)에서 8-2~2=3c^2 -1, c^2 =4/3 .t3 c=213~3 (.T3 02이고 접선과 x축, y축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 1이므로 1/2.c1 k-22.c1 (k-2)=1, (k-2)^2 =4 k^2 -4k=0, k(k-4)=0 .t3 k=4 (.T3 k>2) ⇨ ❷k=4를 ~㉠에 대입하면 4=1+a .t3 a=3 ⇨ ❸ .t3 a+k=7 ⇨ ❹ 70652 ~곡선 y=~f(x)와 원 O가 접할 때 원 O의 중심과 접점을 지나는 직선은 접선과 수직임을 이용한다.~f(x)=2-x^2 으로 놓으면 ~f~'(x)=-2x접점을 P(t, 2-t^2 )이라 하면 점 P에서의 접선의 기울기는 ~f~'(t)=-2t직선 OP의 기울기는 2-t^2 t이때 접선과 직선 OP는 서로 수직이므로 -2t.c1 2-t^2 t=-1, t^2 =3/2채점 기준비율❶ 접선의 x절편과 y절편을 구할 수 있다.40%❷ k의 값을 구할 수 있다.30%❸ a의 값을 구할 수 있다.20%❹ a+k의 값을 구할 수 있다.10%(cid:49)(cid:9)(cid:85)(cid:13)(cid:1)(cid:19)(cid:14)(cid:85)2(cid:10)(cid:19)(cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:14)(cid:89)2(cid:89)(cid:90)(cid:48)라이트쎈(해061-069)6강-ok.indd 6914. 8. 29. 오후 2:12 70 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 .t3 t=-16~2 또는 t=16~2따라서 접점의 좌표는 (-16~2, 1/2), (16~2, 1/2)이고 원 O의 반지름의 길이는 원점과 점 (16~2, 1/2) 사이의 거리와같으므로 OP^_=5(16~2)^2+b(1/2)^2b~=17~2따라서 원 O의 둘레의 길이는 2pai.c117~2=17~pai ③ 0653 주어진 등식에 f(1+h), f~'(1+thetah)를 대입한 다음 theta에 대하여 정리한다.~f(x)=x^3에서 ~f~'(x)=3x^2~f(1+h)=~f(1)+h~f~'(1+thetah), 즉 ~~f(1+h)-f(1)h=~f~'(1+thetah)에서 (1+h)^3-1h=3(1+thetah)^2 h^2+3h+3=3+6thetah+3theta^2h^2 3h^2theta^2+6htheta-h^2-3h=0hnot=0이므로 3htheta^2+6theta-h-3=0 .t3 theta=-3+29+9hx+3h^2x~3h (.T3 theta>0) .t3 limh~~0+`theta=limh~~0+`29+9hx+3h^2x~-33h =limh~~0+`(29+9hx+3h^2x~-3)(29+9hx+3h^2x~+3)3h(29+9hx+3h^2x~+3) =limh~~0+`3h(3+h)3h(29+9hx+3h^2x~+3) =limh~~0+`3+h29+9hx+3h^2x~+3 =33+3=1/2 ④0654 a0이므로 ~f(a)-~f(b)<0 .t3 ~f(a)<~f(b)따라서 함수 ~f(x)=x^3-1은 구간 (-inf, inf)에서 증가한다. .t3 ㈎ < ㈏ 증가 풀이 참조0655 a0, a-b<0이므로 ~f(a)-~f(b)<0 .t3 ~f(a)<~f(b)따라서 함수 ~f(x)=x^2은 구간 (0, inf)에서 증가한다. 증가0656 a0이므로 ~f(a)-~f(b)>0 .t3 ~f(a)>~f(b)따라서 함수 ~f(x)=-x^3은 구간 (-inf, inf)에서 감소한다. 감소0658 ㈎ > ㈏ < ㈐ 증가 ㈑ 감소0659 ~f(x)=x^2+2x에서 ~f~'(x)=2x+2=2(x+1)~f~'(x)=0에서 x=-1따라서 함수 ~f(x)는 구간 (-inf, -1)에서 감소하고, 구간 (-1, inf)에서 증가한다. 풀이 참조x…-1…~f~'(x)-0+~f(x)↘-1↗도함수의 활용 ⑵07Ⅲ. 다항함수의 미분법라이트쎈(해070-080)7강-ok.indd 7014. 8. 29. 오후 2:12 07``도함수의 활용 ⑵ • 71본책도함수의 활용 ⑵0792~96쪽0668 ~f(x)=-x^3 +3x+1에서 ~f~'(x)=-3x^2 +3=-3(x+1)(x-1)~f~'(x)=0에서 x=-1 또는 x=1x… -1… 1… ~f~'(x)-0+0-~f(x)↘-1↗3↘따라서 함수 ~f(x)는 x=1에서 극댓값 3, x=-1에서 극솟값 -1을 갖는다. 극댓값: 3, 극솟값: -10669 ⑴ ~~f~'(x)=3x^2 -12x+9⑵ ~f~'(x)=0에서 3x^2 -12x+9=0 x^2 -4x+3=0, (x-1)(x-3)=0 .t3 x=1 또는 x=3⑶ 따라서 함수 ~f(x)는 x=1에서 극댓값 3, x=3에서 극솟값 -1을 갖는다.⑷ 풀이 참조0670 ~f(x)=x^3 -3x^2 +2에서 ~f~'(x)=3x^2 -6x=3x(x-2)~f~'(x)=0에서 x=0 또는 x=2x… 0… 2… ~f~'(x)+0-0+~f(x)↗2↘-2↗따라서 함수 y=~f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조0671 ~f(x)=-x^3 +6x에서 ~f~'(x)=-3x^2 +6=-3(x+12~)(x-12~)~f~'(x)=0에서 x=-12~ 또는 x=12~x… -12~… 12~… f~'(x)-0+0-f(x)↘-412↗412↘따라서 함수 y=~f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조0672 ~f(x)=x^4 -4x^3 +12에서 ~f~'(x)=4x^3 -12x^2 =4x^2 (x-3)x… 1… 3… ~f~'(x)+0-0+~f(x)↗3↘-1↗(cid:89)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:48)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:20)(cid:20)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:89)(cid:19)(cid:48)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:90)0660 ~f(x)=-x^2 +4x-2에서 ~f~'(x)=-2x+4=-2(x-2)~f~'(x)=0에서 x=2따라서 함수 ~f(x)는 구간 (-inf , 2)에서 증가하고, 구간 (2, inf )에서 감소한다. 풀이 참조0661 ~f(x)=x^3 +3x^2 +2에서 ~f~'(x)=3x^2 +6x=3x(x+2)~f~'(x)=0에서 x=-2 또는 x=0x… -2… 0… ~f~'(x)+0-0+~f(x)↗6↘2↗따라서 함수 ~f(x)는 구간 (-inf , -2) 또는 구간 (0, inf )에서 증가하고, 구간 (-2, 0)에서 감소한다. 풀이 참조0662 ~f(x)=-x^3 +3x^2 -9x에서 ~f~'(x)=-3x^2 +6x-9=-3(x-1)^2 -6<0즉 모든 실수 x에 대하여 ~f~'(x)<0이므로 함수 ~f(x)는 구간 (-inf , inf )에서 감소한다. 풀이 참조0663 극댓값: 4, 극솟값: -30664 ⑴ a, c ⑵ b, d0665 ⑴ 6 ⑵ 00666 ⑴ ~f~'(x)=3x^2 -6x-9⑵ ~f~'(x)=0에서 3x^2 -6x-9=0 x^2 -2x-3=0, (x+1)(x-3)=0 .t3 x=-1 또는 x=3⑶ ⑷ 함수 ~f(x)는 x=-1에서 극댓값 12, x=3에서 극솟값 -20을 갖는다. 풀이 참조0667 ~f(x)=x^3 -6x^2 에서 ~f~'(x)=3x^2 -12x=3x(x-4)~f~'(x)=0에서 x=0 또는 x=4x… 0… 4… ~f~'(x)+0-0+~f(x)↗0↘-32↗따라서 함수 ~f(x)는 x=0에서 극댓값 0, x=4에서 극솟값 -32를 갖는다. 극댓값: 0, 극솟값: -32x… 2… ~f~'(x)+0-~f(x)↗2↘x… -1… 3… ~f~'(x)+0-0+~f(x)↗12↘-20↗라이트쎈(해070-080)7강-ok.indd 7114. 8. 29. 오후 2:12 72 • 정답 및 풀이정답 및 풀이-2를 갖는다. 최댓값: 10, 최솟값: -20677 ⑴ -x^2+3=0에서 x^2-3=0, (x+13~)(x-13~)=0 .t3 x=-13 또는 x=13~이때 a>0이므로 00인 구간에서 함수 ~f(x)가 증가하므로 -3(x+2)(x-2)>0, (x+2)(x-2)<0 .t3 -20이므로 ~f(x)는 증가한다.② 구간 (-2, -1)에서 ~f~'(x)<0이므로 ~f(x)는 감소한다.③ 구간 (-1, 0)에서 ~f~'(x)>0이므로 ~f(x)는 증가한다.④ 구간 (1, 2)에서 ~f~'(x)<0이므로 ~f(x)는 감소한다. ⑤ 구간 (2, 3)에서 ~f~'(x)<0이므로 ~f(x)는 감소하고, 구간(3, inf)에서 ~f~'(x)>0이므로 ~f(x)는 증가한다. ④0680 ~f(x)=2x^3+ax^2+bx+3에서 ~f~'(x)=6x^2+2ax+b ⇨ ❶주어진 조건에서 함수 f(x)는 x=-2, x=1의 좌우에서 증가와 감소가 바뀌므로 x=-2, x=1의 좌우에서 f~'(x)의 부호가 바뀐다.즉 이차방정식 ~f~'(x)=0의 두 근은 -2, 1이다. ⇨ ❷~f~'(x)=0에서 x=0~ 또는 x=3~x…0…3…f~'(x)-0-0+f(x)↘12↘-15↗따라서 함수 y=~f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조0673 ~f(x)=-x^4+2x^3-1에서 ~f~'(x)=-4x^3+6x^2=-2x^2(2x-3)~f~'(x)=0에서 x=0~ 또는 x=3/2~x…0…3/2…f~'(x)+0+0-f(x)↗-1↗11/16↘따라서 함수 y=~f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조0674 ~f(x)=x^2-2x에서 ~f~'(x)=2x-2=2(x-1)~f~'(x)=0에서 x=1x0…1…3~f~'(x)-0+~f(x)0↘-1↗3따라서 함수 ~f(x)는 x=3일 때 최댓값 3, x=1일 때 최솟값 -1을 갖는다. 최댓값: 3, 최솟값: -10675 ~f(x)=-x^3+3x^2+5에서 ~f~'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)~f~'(x)=0에서 x=0 (.T3 -2_ 0이어야 한다.오른쪽 그림에서~f~'(2)=a_> 0이어야 하므로 a_> 0 … … `㉠~f~'(3)=a-3_> 0이어야 하므로 a_> 3 … … `㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 a_> 3따라서 실수 a의 최솟값은 3이다. ②0686 구간 (-1, 2)에 속하는 임의의 두 실수 x_1 , x_2 에 대하여 x_1 ~f(x_2 )가 성립하려면 함수 ~f(x)가 구간 (-1, 2)에서 감소해야 한다.~f(x)=x^3 +ax^2 -7x+3에서 ~f~'(x)=3x^2 +2ax-7함수 ~f(x)가 구간 (-1, 2)에서 감소하려면-1 -2 … … `㉠~f~'(2)=4a+5_< 0이어야 하므로 a_< -5/4 … … `㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -2_< a_< -5/4따라서 alpha =-2, beta =-5/4이므로 alpha +beta =-13/4 ①0687 ~f(x)=-x^3 +3x+5에서채점 기준비율❶ 함수 ~f(x)가 증가해야 함을 알 수 있다.30%❷ ~f~'(x)를 구할 수 있다. 20%❸ k의 값의 범위를 구할 수 있다.40%❹ 정수 k의 최솟값을 구할 수 있다.10%(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:8)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:19)(cid:18)(cid:48)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:8)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:48)(cid:19)(cid:20)(cid:89)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:95)'(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:14)(cid:18)(cid:19)(cid:48)(cid:89)(cid:90)따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 -2+1=-2a/6, -2.c1 1=b/6 .t3 a=3, b=-12 ⇨ ❸ .t3 a-b=15 ⇨ ❹ 150681 ~f(x)=x^3 +x^2 +ax-3에서 ~f~'(x)=3x^2 +2x+a함수 ~f(x)가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 x에 대하여 ~f~'(x)_> 0이어야 하므로 이차방정식 f~'(x)=0의 판별식을 D라 하면 D4=1-3a_< 0 .t3 a_> 13 ⑤0682 ~f(x)=-2/3x^3 +4x^2 +ax+2에서 ~f~'(x)=-2x^2 +8x+a함수 ~f(x)가 구간 (-inf , inf )에서 감소하려면 모든 실수 x에 대하여 ~f~'(x)_< 0이어야 하므로 이차방정식 ~f~'(x)=0의 판별식을 D라 하면 D4=16+2a_< 0 .t3 a_< -8따라서 실수 a의 최댓값은 -8이다. ①0683 함수 ~f(x)의 역함수가 존재하려면 ~f(x)가 일대일 대응이어야 하므로 실수 전체의 집합에서 ~f(x)는 증가하거나 감소해야 한다. 그런데 ~f(x)의 최고차항의 계수가 양수이므로 ~f(x)는 증가해야 한다. ~⇨ ❶~f(x)=2x^3 +x^2 +kx-1에서 ~f~'(x)=6x^2 +2x+k~ ⇨ ❷함수 ~f(x)가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 x에 대하여 ~f~'(x)_> 0이어야 하므로 이차방정식 ~f~'(x)=0의 판별식을 D라 하면 D4=1-6k_< 0 .t3 k_> 1/6~ ⇨ ❸따라서 정수 k의 최솟값은 1이다.~ ⇨ ❹ 1채점 기준비율❶ ~f~'(x)를 구할 수 있다. 20%❷ ~f~'(x)=0의 두 근이 -2, 1임을 알 수 있다.40%❸ a, b의 값을 구할 수 있다. 30%❹ a-b의 값을 구할 수 있다. 10%이차부등식이 항상 성립할 조건이차방정식 ax^2 +bx+c=0의 판별식을 D라 할 때① 모든 실수 x에 대하여 이차부등식 ax^2 +bx+c_> 0이 성립하려면a>0, D_< 0② 모든 실수 x에 대하여 이차부등식 ax^2 +bx+c_< 0이 성립하려면a<0, D_< 0라이트쎈(해070-080)7강-ok.indd 7314. 8. 29. 오후 2:12 74 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0691 ~f(x)=-2x^3+3x^2+ax+b에서 ~f~'(x)=-6x^2+6x+a함수 ~f(x)가 x=-1에서 극솟값 -5를 가지므로 ~f(-1)=-5, ~f~'(-1)=0 2+3-a+b=-5, -6-6+a=0 .t3 a=12, b=2 .t3 a+b=14 140692 ~f(x)=x^3-6x^2+9x+a에서 ~f~'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)~f~'(x)=0에서 x=1 또는 x=3x…1…3…~f~'(x)+0-0+~f(x)↗a+4↘a↗따라서 함수 ~f(x)는 x=3에서 극솟값 a를 가지므로 a=3또 ~f(x)는 x=1에서 극댓값 a+4를 가지므로 구하는 극댓값은 3+4=7 ②0693 ~f(x)=x^3-6x^2+a에서 ~f~'(x) =3x^2-12x=3x(x-4)~f~'(x)=0에서 x=0 또는 x=4x…0…4…~f~'(x)+0-0+~f(x)↗a↘a-32↗따라서 함수 ~f(x)는 x=0에서 극댓값 a, x=4에서 극솟값 a-32를 갖는다.이때 극댓값과 극솟값의 절댓값이 같고 anot=a-32이므로 a=-(a-32), 2a=32 .t3 a=16 ⑤0694 ~f(x)=-x^3+3ax^2-a에서 ~f~'(x)=-3x^2+6ax=-3x(x-2a)~f~'(x)=0에서 x=0 또는 x=2a ⇨ ❶따라서 함수 ~f(x)는 x=0, x=2a에서 극값을 갖는다.이때 함수 y=~f(x)의 그래프가 x축에 접하므로 ~f(0)=0 또는 ~f(2a)=0 그런데 ~f(0)=-anot=0이므로 ~f(2a)=0 -(2a)^3+3a.c1(2a)^2-a=0 4a^3-a=0, a(2a+1)(2a-1)=0 .t3 a=-1/2 또는 ~a=1/2 (.T3 anot=0) ⇨ ❷따라서 모든 실수 a의 값의 곱은 -1/2.c11/2=-1/4 ⇨ ❸ -1/4채점 기준비율❶ ~f~'(x)=0인 x의 값을 구할 수 있다.30%❷ ~a의 값을 구할 수 있다.50%❸ a의 값의 곱을 구할 수 있다.20% ~f~'(x)=-3x^2+3=-3(x+1)(x-1)~f~'(x)=0에서 x=-1 또는 x=1x…-1…1…~f~'(x)-0+0-~f(x)↘3↗7↘함수 ~f(x)는 x=1에서 극댓값 ~7, x=-1에서 극솟값 ~3을 가지므로 M=7, m=3 .t3 M+m=10 ⑤0688 ~f(x)=3x^4+4x^3-12x^2+11에서 ~f~'(x)=12x^3+12x^2-24x=12x(x+2)(x-1)~f~'(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 또는 x=1x…-2…0…1…~f~'(x)-0+0-0+~f(x)↘-21↗11↘6↗함수 ~f(x)는 x=0에서 극댓값을 갖고 x=-2, x=1에서 극솟값을 가지므로 a=1, b=2 .t3 a-b=-1 -10689 ~f(x)=-x^4+8/3x^3-2x^2+1에서 ~f~'(x)=-4x^3+8x^2-4x=-4x(x-1)^2~f~'(x)=0에서 x=0 또는 x=1x…0…1…~f~'(x)+0-0-~f(x)↗1↘2/3↘함수 ~f(x)는 x=0에서 극댓값 1을 가지므로 a=0, b=1 .t3 a+b=1 ④ ~f~'(1)=0이지만 x=1의 좌우에서 ~f~'(x)의 부호가 바뀌지 않으므로 x=1에서는 극값을 갖지 않는다.0690 ~f(x)=x^3-3x^2+6에서 ~f~'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)~f~'(x)=0에서 x=0 또는 x=2 ⇨ ❶x…0…2…~f~'(x)+0-0+~f(x)↗6↘2↗함수 ~f(x)는 ~x=0에서 극댓값 ~6, x=2에서 극솟값 ~2를 가지므로 A(0, 6), B(2, 2) ⇨ ❷따라서 ~AB^_의 중점의 좌표는 (0+22, 6+22), 즉 (1, 4) ⇨ ❸ (1, 4)채점 기준비율❶ ~f~'(x)=0인 x의 값을 구할 수 있다.30%❷ 두 점 A, B의 좌표를 구할 수 있다.50%❸ AB^_의 중점의 좌표를 구할 수 있다.20%라이트쎈(해070-080)7강-ok.indd 7414. 8. 29. 오후 2:12 07``도함수의 활용 ⑵ • 75본책도함수의 활용 ⑵0798~100쪽이차방정식 ~f~'(x)=0의 판별식을 ~D라 하면 D4=a^2 -6a_< 0, a(a-6)_< 0 .t3 0_< a_< 6따라서 실수 a의 최댓값은 6, 최솟값은 0이므로 구하는 합은 6+0=6 60700 ~f(x)=2x^3 +ax^2 +6x+1에서 ~f~'(x)=6x^2 +2ax+6함수 ~f(x)가 극값을 가지려면 방정식 ~f~'(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.이차방정식 ~f~'(x)=0의 판별식을 ~D_1 이라 하면 D_1 4=a^2 -36>0, (a+6)(a-6)>0 .t3 a<-6 또는 a>6 … … `㉠~g(x)=x^3 +ax^2 -3ax+2에서 ~g'(x)=3x^2 +2ax-3a함수 ~g(x)가 극값을 갖지 않으려면 방정식 ~g'(x)=0은 중근 또는 허근을 가져야 한다.이차방정식 ~g~'(x)=0의 판별식을 ~D_2 라 하면 D_2 4=a^2 +9a_< 0 a(a+9)_< 0 .t3 -9_< a_< 0 … … `㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -9_< a<-6따라서 정수 a는 -9, -8, -7의 3개이다. 30701 ~f(x)=x^3 -3x^2 +ax에서 ~f~'(x)=3x^2 -6x+a함수 ~f(x)가 구간 (0, 3)에서 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 방정식 ~f~'(x)=0이 00 .t3 a<3 ~f~'(0)>0에서 a>0~f~'(3)>0에서 9+a>0 .t3 a>-9 이차함수 y=~f~'(x)의 그래프의 축의 방정식은 x=1이상에서 a의 값의 범위는 00에서극솟값을 가지려면 방정식 ~f~'(x)=0의 두 실근을 alpha , beta `(alpha 0이어야 한다. ~f~'(-1)>0에서 4+a>0.t3 a>-4 ~f~'(0)<0에서 a<0(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:8)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:48)(cid:20)(cid:18)(cid:89)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:8)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:48)(cid:14)(cid:18)ab(cid:89)(cid:90)0695 ~f(x)=-x^3 +ax^2 +bx에서 ~f~'(x)=-3x^2 +2ax+b함수 ~f(x)가 x=1, x=3에서 극값을 가지므로 ~f~'(1)=0, ~f~'(3)=0즉 이차방정식 ~~f~'(x)=0의 두 근이 1, 3이므로 근과 계수의 관계에 의하여 1+3=2a/3, 1.c1 3=-b/3 .t3 a=6, b=-9 .t3 ~f(x)=-x^3 +6x^2 -9x, ~f~'(x)=-3x^2 +12x-9곡선 y=~f(x) 위의 x=2인 점의 좌표는 (2, -2)이고, 이 점에서의 접선의 기울기는 ~f~'(2)=-12+24-9=3이므로 구하는 접선의 방정식은 y-(-2)=3(x-2) .t3 y=3x-8 y=3x-80696 ~f(x)=x^3 +ax^2 +3x-5에서 ~f~'(x)=3x^2 +2ax+3삼차함수 ~f(x)가 극값을 가지려면 방정식 ~f~'(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.이차방정식 ~f~'(x)=0의 판별식을 D라 하면 D4=a^2 -9>0, (a+3)(a-3)>0 .t3 a<-3 또는 a>3 ① 삼차함수 ~f(x)가 극값을 갖는다. (cid:47)(cid:45)(cid:48) 삼차함수 ~f(x)는 극댓값과 극솟값을 모두 갖는다.0697 ~f(x)=1/3x^3 -ax^2 +ax에서 ~f~'(x)=x^2 -2ax+a삼차함수 ~f(x)가 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 방정식 `~f~'(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.이차방정식 ~~f~'(x)=0의 판별식을 D라 하면 D4=a^2 -a>0, a(a-1)>0 .t3 a<0 또는 a>1따라서 자연수 a의 최솟값은 2이다. ②0698 ~f(x)=2/3x^3 +ax^2 +8x+2에서 ~f~'(x)=2x^2 +2ax+8삼차함수 ~f(x)가 극값을 갖지 않으려면 방정식 ~f~'(x)=0이 중근 또는 허근을 가져야 한다.이차방정식 ~f~'(x)=0의 판별식을 D라 하면 D4=a^2 -16_< 0, (a+4)(a-4)_< 0 .t3 -4_< a_< 4 ④0699 ~f(x)=2x^3 +ax^2 +ax+5에서 ~f~'(x)=6x^2 +2ax+a삼차함수 ~f(x)가 극값을 갖지 않으려면 방정식 ~f~'(x)=0이 중근 또는 허근을 가져야 한다.라이트쎈(해070-080)7강-ok.indd 7514. 8. 29. 오후 2:12 76 • 정답 및 풀이정답 및 풀이, 에서-4-2에서 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 방정식 ~f~'(x)=0이 x>-2에서 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 이차방정식 ~f~'(x)=0의 판별식을 ~D라 하면 D4=a^2-3a>0, a(a-3)>0 .t3 a<0 또는 a>3 ~f~'(-2)>0에서 12-3a>0 .t3 a<4 이차함수 y=~f~'(x)의 그래프의 축의 방정식은 x=-a/3이므로 -a/3>-2 .t3 a<6이상에서 실수 a의 값의 범위는 a<0 ~또는 ~30이므로 anot=0, a<9/8 .t3 a<0 ~또는 ~00이므로 anot=0, a>-9 .t3 -90 ⇨ ❸즉 alpha=-9, beta=0이므로 beta-alpha=9 ⇨ ❹ 9채점 기준비율❶ ~f~'(x)를 구할 수 있다.20%❷ x^2-6x-a=0이 0이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 함을 알 수 있다.30%❸ a의 값의 범위를 구할 수 있다.30%❹ beta-alpha의 값을 구할 수 있다.20%0706 ~f(x)=1/2x^4-2/3x^3+(a-2)x^2-4ax에서 ~f~'(x)=2x^3-2x^2+2(a-2)x-4a=2(x-2)(x^2+x+a)사차함수 ~f(x)가 극댓값을 갖지 않으려면 삼차방정식 ~f~'(x)=0이 한 실근과 두 허근을 갖거나 한 실근과 중근을 갖거나 삼중근을 가져야 한다. f~'(x)=0이 한 실근과 두 허근을 갖는 경우 2(x-2)(x^2+x+a)=0의 한 근이 x=2이므로 이차방정식x^2+x+a=0이 허근을 가져야 한다. 따라서 이차방정식 x^2+x+a=0의 판별식을 D라 하면 D=1-4a<0 .t3 a>1/4 f~'(x)=0이 한 실근과 중근 또는 삼중근을 갖는 경우2(x-2)(x^2+x+a)=0의 한 근이 x=2이므로 이차방정식 x^2+x+a=0이 x=2를 근으로 갖거나 중근을 가져야 한다.x^2+x+a=0이 x=2를 근으로 가지면 6+a=0 .t3 a=-6 x^2+x+a=0이 중근을 가지면 판별식을 D라 할 때, D=1-4a=0 .t3 a=1/4, 에서 실수 a의 값의 범위는 a=-6 또는 a_>1/4따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 ~②이다. ② 0707 ~f(x)=2x^3+ax^2+bx+c에서 ~f~'(x)=6x^2+2ax+by=~f~'(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 -2, 1이므로 `f~'(x)=0에서 x=-2 또는 x=1x…-2…1…~f~'(x)+0-0+~f(x)↗극대↘극소↗~f~'(-2)=0, ~f~'(1)=0이므로 ~f~'(-2)=24-4a+b=0 ……`㉠ ~f~'(1)=6+2a+b=0 ……`㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-12즉 ~f(x)=2x^3+3x^2-12x+c이고, 함수 ~f(x)의 극댓값이 15이므로 ~f(-2)=-16+12+24+c=15 .t3 c=-5따라서 ~f(x)=2x^3+3x^2-12x-5이므로 ~f(1)=2+3-12-5=-12 -120708 주어진 그래프에서 ~f~'(x)는 x=-2, x=1, x=4의 좌우에서 ~f~'(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 함수 ~f(x)는 x=-2, x=1, x=4에서 극댓값을 갖는다.따라서 구하는 모든 x의 값의 합은 -2+1+4=3 30709 ~f(x)=ax^3+bx^2+cx+d에서 ~f~'(x)=3ax^2+2bx+cy=~f~'(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 0, 2이므로 ~f~'(x)=0에서 x=0 또는 x=2라이트쎈(해070-080)7강-ok.indd 7614. 8. 29. 오후 2:12 07``도함수의 활용 ⑵ • 77본책도함수의 활용 ⑵07100~102쪽x… 0… 2… ~f~'(x)-0+0-~f(x)↘극소↗극대↘~f~'(0)=0, ~f~'(2)=0이므로 ~f~'(0)=c=0 ~f~'(2)=12a+4b+c=0.t3 3a+b=0 … … `㉠~f(x)의 극솟값이 -3, 극댓값이 5이므로 ~f(0)=d=-3 ~f(2)=8a+4b+d=5 .t3 2a+b=2 … … `㉡㉠, ㉡~을 연립하여 풀면 a=-2, b=6 .t3 ad-bc=-2.c1 (-3)-6.c1 0=6 ⑤ 0710 y=~f~'(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 -1, 1이므로 ~f~'(x)=0에서 x=-1 또는 x=1x… -1… 1… ~f~'(x)+0-0+~f(x)↗극대↘극소↗따라서 ~f(x)는 -11에서 증가한다.또 x=-1에서 극댓값을 갖고, x=1에서 극솟값을 갖는다. ④0711 y=~f~'(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 -4, -1, 1, 3이므로x… -4… -1… 1… 3… ~f~'(x)+0-0+0-0+~f(x)↗극대↘극소↗극대↘극소↗ㄱ. 구간 (-3, -1)에서 ~f~'(x)<0이므로 ~f(x)는 감소한다.ㄴ. ~f~'(3)=0이고 x=3의 좌우에서 ~f~'(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 f(x)는 x=3에서 극솟값을 갖는다.ㄷ. -40)따라서 함수 ~f(x)는 x=1일 때 최솟값 -13/3+a를 가지므로 -13/3+a=-1/3 .t3 a=4 ③0716 ~f(x)=2x^3 -3x^2 +k에서 ~f~'(x)=6x^2 -6x=6x(x-1)~f~'(x)=0에서 x=0 또는 x=1 ⇨ ❶x-1… 0… 1… 3~f~'(x)+0-0+~f(x)k-5↗k↘k-1↗k+27따라서 함수 ~f(x)는 x=3일 때 최댓값 k+27, x=-1일 때 최솟값 k-5를 갖는다. ⇨ ❷이때 함수 ~f(x)의 최솟값은 -6이므로 k-5=-6 .t3 k=-1 ⇨ ❸따라서 함수 ~f(x)의 최댓값은 -1+27=26 ⇨ ❹ 26x… 1… ~f~'(x)-0+~f(x)↘-13/3+a↗채점 기준비율❶ ~f~'(x)=0인 x의 값을 구할 수 있다.20%❷ f(x)의 최댓값과 최솟값을 k에 대한 식으로 나타낼 수 있다.30%❸ k의 값을 구할 수 있다.30%❹ f(x)의 최댓값을 구할 수 있다.20%라이트쎈(해070-080)7강-ok.indd 7714. 8. 29. 오후 2:12 78 • 정답 및 풀이정답 및 풀이따라서 함수 ~f(t)는 t=-rt^6/2 또는 t=rt^6/2일 때 최솟값 7/4을 가지므로 ~AP^_~^2의 최솟값은 7/4이다. ⇨ ❸ 7/40721 점 P의 좌표를 (a, -a^2+6a) (00)라 하면 상자의 밑면은 한 변의 길이가 12-2x인 정사각형이므로 12-2x>0 .t3 00이므로 anot= 0, a<81/8 .t3 a<0 또는 0 0이어야 한다.이차방정식 ~f~'(x)=0의 판별식을 D라 하면 D4=4a^2 -12a_< 0, 4a(a-3)_< 0 .t3 0_< a_< 3따라서 정수 a는 0, 1, 2, 3의 4개이다. ⑤0727 주어진 조건을 만족시키도록 y=~f~'(x)의 그래프를 그려 본다.~f(x)=x^3 +3x^2 +(2a+3)x에서 ~f~'(x)=3x^2 +6x+2a+3=3(x+1)^2 +2a ⇨ ❶함수 ~f(x)가 구간 (-2, 1)에서 감소하려면-20, 3b0이므로 함수 ~~f(x)는 구간 (1/3, 2/3)에서 증가한다.ㄴ. ~f(x)는 x=1에서 극대이고, 극값을 갖는 점은 1개이다. ㄷ. y=~~f(x)의 치역은 {y|y_<3}이다.이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③0733 x개를 판매하여 얻은 이익은 1000x-f(x)(원)이다.x개를 판매하여 얻은 이익을 ~g(x)원이라 하면 g(x)=1000x-f(x)=1000x-(x^3-60x^2+1000x+4000)=-x^3+60x^2-4000 .t3 g'(x)=-3x^2+120x=-3x(x-40)g'(x)=0에서 x=0 또는 x=40x0…40…g~'(x)+0-~g(x)-4000↗극대↘채점 기준비율❶ a, b의 값을 구할 수 있다.30%❷ c의 값을 구할 수 있다.30%❸ 함수 ~f(x)의 최솟값을 구할 수 있다.40%(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:48)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:89)(cid:90)라이트쎈(해070-080)7강-ok.indd 8014. 8. 29. 오후 2:12 08``도함수의 활용 ⑶ • 81본책도함수의 활용 ⑶08105~107쪽0741 ~f(x)=2x^3 -3x^2 +2로 놓으면 ~f~'(x)=6x^2 -6x=6x(x-1)~f~'(x)=0에서 x=1 (.T3 x>0)x(0).c3 1.c3 ~f~'(x)-0+~f(x)↘1↗x>0일 때, ~f(x)의 최솟값은 ~1이므로 ~f(x)_> 0, 즉 2x^3 -3x^2 +2_> 0 .t3 ㈎ 1 ㈏ 1 풀이 참조0742 ~f(x)=x^3 -x^2 -x+2로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2 -2x-1=(3x+1)(x-1)~f~'(x)=0에서 x=1~(.T3 x_> 0)x0.c3 1.c3 ~f~'(x)-0+~f(x)2↘1↗x_> 0일 때, 함수 ~f(x)의 최솟값은 1이므로 ~f(x)>0, 즉 x^3 -x^2 -x+2>0따라서 x_> 0일 때, 부등식 x^3 -x^2 -x+2>0이 성립한다. 풀이 참조0743 ~f(x)=x^4 +4x+3으로 놓으면 ~f~'(x)=4x^3 +4=4(x^3 +1)=4(x+1)(x^2 -x+1)~f~'(x)=0에서 x=-1`(.T3 x^2 -x+1>0)함수 ~f(x)의 최솟값은 0이므로 ~f(x)_> 0, 즉 x^4 +4x+3_> 0따라서 모든 실수 x에 대하여 부등식 x^4 +4x+3_> 0이 성립한다. 풀이 참조0744 v=dxdt=10t-20, a=dvdt=10이므로 ~t=1에서의 점 P의속도와 가속도는 v=10-20=-10, a=10 v=-10, a=100745 v=dxdt=-6t^2 +12, a=dvdt=-12t이므로 ~t=1에서의 점 P의 속도와 가속도는 v=-6+12=6, a=-12 v=6, a=-120746 v=dxdt=4t^3 -8t, a=dvdt=12t^2 -8이므로 ~t=1에서의 점 P의 속도와 가속도는 v=4-8=-4, a=12-8=4 v=-4, a=4x.c3 -1.c3 ~f~'(x)-0+~f(x)↘0↗0737 ⑴ ~f(x)=x^3 -3x^2 +1에서 ~f~'(x)=3x^2 -6x=3x(x-2)~f~'(x)=0에서 3x(x-2)=0 .t3 x=0 또는 x=2⑵ 따라서 y=~f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.⑶ ⑵에서 함수 ~f(x)=x^3 -3x^2 +1의 그래프는 x축과 서로 다른 세 점에서 만나므로 방정식 x^3 -3x^2 +1=0은 서로 다른 세 실근을 갖는다. 풀이 참조0738 ~f(x)=x^3 +3x^2 -5로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2 +6x=3x(x+2)~f~'(x)=0에서 x=-2 또는 x=0x.c3 -2.c3 0.c3 ~f~'(x)+0-0+~f(x)↗-1↘-5↗따라서 y=~f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 주어진 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 10739 ~f(x)=x^3 -3x+2로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2 -3=3(x+1)(x-1)~f~'(x)=0에서 x=-1 또는 x=1x.c3 -1.c3 1.c3 ~f~'(x)+0-0+~f(x)↗4↘0↗따라서 y=~f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 주어진 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다. 20740 ~f(x)=x^4 -2x^2 -1로 놓으면 ~f~'(x)=4x^3 -4x=4x(x+1)(x-1)~f~'(x)=0에서 x=-1 또는 x=0 또는 x=1x.c3 -1.c3 0.c3 1.c3 ~f~'(x)-0+0-0+~f(x)↘-2↗-1↘-2↗따라서 y=~f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과같으므로 주어진 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다. 2(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:18)(cid:14)(cid:20)(cid:19)x.c3 0.c3 2.c3 ~f~'(x)+0-0+~f(x)↗1↘-3↗(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:14)(cid:22)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:14)(cid:18)(cid:21)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:18)도함수의 활용 ⑶08Ⅲ. 다항함수의 미분법라이트쎈(해081-090)8강-ok.indd 8114. 8. 29. 오후 2:13 82 • 정답 및 풀이정답 및 풀이~f~'(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 또는 x=1x…-2…0…1…~f~'(x)-0+0-0+~f(x)↘-32↗0↘-5↗따라서 y=~f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.주어진 방정식이 서로 다른 세 실근을 가지려면 곡선 y=f(x)와 직선 y=k가 한 점에서 접하고 서로 다른 두 점에서 만나야 하므로 k=-5 또는 k=0따라서 모든 실수 k의 값의 합은 -5+0=-5 ②0753 x^4-8/3x^3+5-k=0에서 x^4-8/3x^3+5=k따라서 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 곡선y=x^4-8/3x^3+5와 직선 y=k의 교점의 개수와 같다.~f(x)=x^4-8/3x^3+5로 놓으면 ~f~'(x)=4x^3-8x^2=4x^2(x-2)~f~'(x)=0에서 x=0 또는 x=2x…0…2…~f~'(x)-0-0+~f(x)↘5↘-1/3↗따라서 y=~f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과같다.주어진 방정식이 오직 하나의 실근을 가지려면 곡선 y=~f(x)와 직선 y=k가 오직 한 점에서 만나야 하므로 k=-1/3 -1/30754 y=~f~'(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 alpha, beta, gamma이고 alpha0, ~f(~gamma)<0이어야 한다. ④0755 x^3+3x^2-9x-k=0에서 x^3+3x^2-9x=k~f(x)=x^3+3x^2-9x로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:30)(cid:76)(cid:14)(cid:22)(cid:14)(cid:19)(cid:18)(cid:14)(cid:20)(cid:19)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:76)(cid:90)(cid:18)(cid:14)(cid:20)(cid:14)(cid:22)(cid:48)(cid:19)0747 ⑴ 시각 t에서의 속도를 v, 가속도를 a라 하면 v=dxdt=6t^2-6t, a=dvdt=12t-6이므로 t=2일 때 점 P의 속도와 가속도는 v=6·2^2-6·2=12, a=12·2-6=18⑵ 점 P가 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0이므로6t^2-6t=0에서 6t(t-1)=0 .t3 t=1`(.T3 t>0)따라서 t=1에서 점 P가 운동 방향을 바꾼다. ⑴ 속도: 12, 가속도: 18 ⑵ 10748 ⑴ dldt=10t-7⑵ 10·4-7=33 ⑴ dldt=10t-7 ⑵ 330749 dSdt=(2t+1)+(t+1).c12=4t+3이므로 t=1에서의 도형의 넓이의 변화율은 4.c11+3=7 70750 dVdt=3(10+t/3)^2·1/3=(10+t/3)^2이므로 ~t=3에서의 도형의 부피의 변화율은 (10+3/3)^2=11^2=121 1210751 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 곡선y=1/2x^4-4x^3+8x^2과 직선 y=k의 교점의 개수와 같다.~f(x)=1/2x^4-4x^3+8x^2으로 놓으면 ~f~'(x)=2x^3-12x^2+16x=2x(x-2)(x-4)~f~'(x)=0에서 x=0 또는 x=2 또는 x=4x…0…2…4…~f~'(x)-0+0-0+~f(x)↘0↗8↘0↗따라서 y=~f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과같다. 주어진 방정식이 서로 다른 네 실근을 가지려면 곡선 y=~f(x)와 직선 y=k가 서로 다른 네 점에서 만나야 하므로 00이어야 하므로 k(k-4)>0 .t3 k<0 또는 k>4따라서 alpha =0, beta =4이므로 beta -alpha =4 ④(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:21)(cid:25)(cid:21)(cid:22)(cid:18)(cid:14)(cid:21)(cid:14)(cid:25)(cid:17)(cid:90)(cid:30)(cid:76)삼차함수의 그래프의 개형삼차함수 ~f(x)=ax^3 +bx^2 +cx+d`(a>0)에 대하여 삼차방정식 ~f(x)=0이 한 실근과 두 허근을 가질 때, 함수 y=~f(x)의 그래프의 개형은 다음과 같다. [극값을 갖는 경우] [극값을 갖지 않는 경우](cid:89)(cid:89)(cid:89)(cid:89)(cid:89)(cid:89)(cid:89)(cid:89)(cid:89)~f~'(x)=0에서 x=-3 또는 x=1x.c3 -3.c3 1.c3 ~f~'(x)+0-0+~f(x)↗27↘-5↗따라서 함수 y=~f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 주어진 방정식이 한 개의 양근과 서로 다른 두 개의 음근을 가지려면 곡선 y=~f(x)와 직선 y=k의 교점의 x좌표가 한 개는 양수이고, 다른 두 개는 음수이어야 하므로 01 .t3 k<-1 ⇨ ❸따라서 정수 k의 최댓값은 -2이다. ⇨ ❹ -20757 x^3 -3x^2 +4x-1=3x^2 -5x+k에서 x^3 -6x^2 +9x-1=k~f(x)=x^3 -6x^2 +9x-1로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2 -12x+9=3(x-1)(x-3)~f~'(x)=0에서 x=1 또는 x=3x.c3 1.c3 3.c3 ~f~'(x)+0-0+~f(x)↗3↘-1↗따라서 y=~f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 주어진 방정식이 서로 다른 세 개의 양근을 가지려면 곡선 y=~f(x)와 직선 y=k의 교점의 x좌표가 서로 다른 세 개의 양수이어야 하므로 -10이어야 하므로 (k+10)(k-7/2)>0 .t3 k<-10 또는 k>7/2따라서 실수 k의 값이 될 수 없는 것은 ③이다. ③0765 주어진 두 곡선이 한 점에서는 만나고 다른 한 점에서는 접하려면 방정식 x^3+x^2-4x-12=-2x^2+5x+k, 즉 x^3+3x^2-9x-12-k=0이 한 실근과 중근을 가져야 한다. ⇨ ❶~f(x)=x^3+3x^2-9x-12-k로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)~f~'(x)=0에서 x=-3 또는 x=1 ⇨ ❷삼차방정식 ~f(x)=0이 한 실근과 중근을 가지려면 ~f(-3)~f(1)=0이어야 하므로 (-k+15)(-k-17)=0 .t3 k=-17 또는 k=15 ⇨ ❸따라서 실수 k의 값의 합은 -17+15=-2 ⇨ ❹ -20766 ~f(x)=x^4+4a^3x+12로 놓으면 ~f~'(x)=4x^3+4a^3=4(x+a)(x^2-ax+a^2)이때 x^2-ax+a^2=(x-a/2)^2+3/4a^2_>0이므로 ~f~'(x)=0에서 x=-a따라서 함수 ~f(x)는 x=-a일 때 극소이면서 최소이므로 ~f(x)의 최솟값은 ~f(-a)=a^4-4a^4+12=-3a^4+12모든 실수 x에 대하여 ~f(x)>0이려면 ~f(-a)>0이어야 하므로 -3a^4+12>0, a^4-4<0 (a^2+2)(a^2-2)<0, a^2-2<0`(.T3 a^2+2>0) (a+12~)(a-12~)<0 .t3 -12~ k에서 x^4 -2x^2 -k_> 0~f(x)=x^4 -2x^2 -k로 놓으면 ~f~'(x)=4x^3 -4x=4x(x+1)(x-1)~f~'(x)=0에서 x=-1 또는 x=0 또는 x=1x.c3 -1.c3 0.c3 1.c3 ~f~'(x)-0+0-0+~f(x)↘극소↗극대↘극소↗함수 ~f(x)는 x=-1 또는 x=1에서 극소이면서 최소이므로 최솟값은 ~f(-1)=~f(1)=-1-k모든 실수 x에 대하여 ~f(x)_> 0이려면 ~~f(-1)=~f(1)_> 0이어야 하므로 -1-k_> 0 .t3 k_< -1 k_< -10768 x^4 +2ax^2 -4ax+a^2 >4x에서 x^4 +2ax^2 -4(a+1)x+a^2 >0~f(x)=x^4 +2ax^2 -4(a+1)x+a^2 으로 놓으면 ~f~'(x)=4x^3 +4ax-4(a+1)=4(x-1)(x^2 +x+a+1)이때 자연수 a에 대하여 x^2 +x+a+1=(x+1/2)^2 +a+3/4>0`이므로 ~f~'(x)=0에서 x=1따라서 함수 ~f(x)는 x=1에서 극소이면서 최소이므로 최솟값은 ~f(1)=1+2a-4(a+1)+a^2 =a^2 -2a-3모든 실수 x에 대하여 ~f(x)>0이려면 ~f(1)>0이어야 하므로 a^2 -2a-3>0, (a+1)(a-3)>0 .t3 a<-1 또는 a>3따라서 자연수 a의 최솟값은 4이다. 40769 함수 y=~f(x)의 그래프가 y=~g(x)의 그래프보다 항상 위에 있으려면 모든 실수 x에 대하여 ~f(x)>~g(x)이어야 한다.h(x)=~f(x)-~g(x)로 놓으면 h(x)=x^4 -x^2 -9x-(5x^2 -x-k)=x^4 -6x^2 -8x+k .t3 h'(x)=4x^3 -12x-8=4(x+1)^2 (x-2)h'(x)=0에서 x=-1 또는 x=2x.c3 -1.c3 2.c3 h'(x)-0-0+h(x)↘↘극소↗따라서 함수 h(x)는 x=2에서 극소이면서 최소이므로 최솟값은 h(2)=2^4 -6.c1 2^2 -8.c1 2+k=k-24모든 실수 x에 대하여 h(x)>0이려면 h(2)>0이어야 하므로 k-24>0 .t3 k>24 .t3 alpha =24 ⑤ x.c3 1.c3 ~f~'(x)-0+~f(x)↘극소↗0770 ~f(x)=x^3 -3x^2 +k로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2 -6x=3x(x-2)00이려면 ~f(2)_> 0이어야 하므로 8-12+k=-4+k_> 0 .t3 k_> 4즉 실수 k의 최솟값은 4이다. ⑤0771 x^3 >6x^2 -k에서 x^3 -6x^2 +k>0~f(x)=x^3 -6x^2 +k로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2 -12x=3x(x-4)x>4일 때 ~f~'(x)>0이므로 함수 ~f(x)는 구간 (4, inf )에서 증가한다.따라서 x>4에서 ~f(x)>0이려면 ~f(4)_> 0이어야 하므로 ~f(4)=64-96+k_> 0 .t3 k_> 32 ⑤0772 20이므로 함수 ~f(x)는 구간 (2, 4)에서 증가한다. ⇨ ❷따라서 2 k에서 2x^3 +3x^2 -12x-k_> 0~f(x)=2x^3 +3x^2 -12x-k로 놓으면 ~f~'(x)=6x^2 +6x-12=6(x+2)(x-1)~f~'(x)=0에서 x=1 (.T3 x>0)x(0).c3 1.c3 ~f~'(x)-0+~f(x)↘극소↗x>0일 때, 함수 ~f(x)는 x=1에서 극소이면서 최소이므로 최솟값은 f(1)=2+3-12-k=-7-k따라서 x>0일 때 ~f(x)_> 0이려면 ~f(1)_> 0이어야 하므로 -7-k_> 0 .t3 k_< -7 ①채점 기준비율❶ 부등식을 세울 수 있다.20%❷ ~f(x)가 구간 (2, 4)에서 증가함을 알 수 있다.30%❸ k의 값의 범위를 구할 수 있다.30%❹ k의 최댓값을 구할 수 있다.20%라이트쎈(해081-090)8강-ok.indd 8514. 8. 29. 오후 2:13 86 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0774 ~f(x)=2x^3+3x^2-36x+k로 놓으면 ~f~'(x)=6x^2+6x-36=6(x+3)(x-2)~f~'(x)=0에서 x=-3 (.T3 x<1)x…-3…(1)~f~'(x)+0-~f(x)↗극대↘x<1일 때, 함수 ~f(x)는 x=-3에서 극대이면서 최대이므로 최댓값은 f(-3)=-54+27+108+k=81+k따라서 x<1일 때 ~f(x)_<0이려면 ~f(-3)_<0이어야 하므로 81+k_<0 .t3 k_<-81 ①0775 ~f(x)<~g(x)에서 x^4+x^3+x^20)x-1…0…2h'(x)-0+h(x)3-k↘-k↗24-k-1_24즉 정수 k의 최솟값은 25이다. 250776 점 P가 원점을 지나는 순간은 x=0일 때이므로 t^3-2t^2+t=0, t(t-1)^2=0 .t3 t=0 또는 t=1따라서 점 P가 출발 후 다시 원점을 지나는 순간은 t=1일 때이고, 시각 t에서의 점 P의 속도를 v, 가속도를 a라 하면 v=dxdt=3t^2-4t+1, a=dvdt=6t-4이므로 t=1에서의 점 P의 가속도는 6-4=2 20777 점 P의 속도를 v라 하면 v=dxdt=6t^2-12t-86t^2-12t-8=10에서 6t^2-12t-18=0 6(t+1)(t-3)=0 .t3 t=3 (.T3 t_>0)따라서 t=3에서의 점 P의 위치는 2·3^3-6·3^2-8·3=-24 ①0778 시각 t에서의 점 P의 속도를 v, 가속도를 a라 하면 v=dxdt=2t^2+2pt+q, a=dvdt=4t+2p ⇨ ❶이때 t=2에서의 점 P의 속도가 9이므로 2.c12^2+2p.c12+q=9 .t3 4p+q=1 ……`㉠또 t=2에서의 점 P의 가속도가 6이므로 4.c12+2p=6, 2p=-2 .t3 p=-1p=-1을 ㉠에 대입하면 -4+q=1 .t3 q=5 ⇨ ❷ .t3 p+q=4 ⇨ ❸ 40779 시각 t에서의 점 P의 속도를 v라 하면 v=dxdt=3t^2-15t+12=3(t-1)(t-4)운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0이므로 v=0에서 t=1 또는 ~t=4즉 t=1일 때 점 P는 첫 번째로 운동 방향을 바꾸고, t=4일 때 두 번째로 운동 방향을 바꾼다.따라서 구하는 위치는 t=4에서의 점 P의 위치이므로 4^3-15/2·4^2+12·4=-8 ①0780 시각 t에서의 점 P의 속도를 v라 하면 v=dxdt=t^2-8t+15=(t-3)(t-5)점 P가 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0이므로 v=0에서 t=3 또는 ~t=5따라서 점 P는 t=3, t=5에서 운동 방향을 2번 바꾼다. 2번0781 시각 t에서의 점 P의 속도를 v라 하면 v=dxdt=3t^2-4t=t(3t-4)점 P가 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 ~0이므로 ~v=0에서 t=0 또는 t=4/3`따라서 점 P가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 순간은 t=4/3일 때이고,시각 t에서의 점 P의 가속도를 a라 하면 a=dvdt=6t-4이므로 ~t=4/3에서의 점 P의 가속도는 6·4/3-4=4 ④0782 시각 t에서의 두 점 P, Q의 속도를 각각 vP, vQ라 하면 vP=dxPdt=2t-4, vQ=dxQdt=2t-8 ⇨ ❶두 점 P, Q가 서로 반대 방향으로 움직이면 vPvQ<0이므로 (2t-4)(2t-8)<0, 4(t-2)(t-4)<0 .t3 20이므로 점 P의 속도는 증가한다.ㄷ. v'(t)=0이면 가속도가 0이고, v'(a)=0, v'(c)=0이므로 가속도가 0이 되는 순간은 두 번이다.이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. ⑤0785 주어진 그림에서 점 P가 원점을 지나는 시각은 t=3 또는 t=5이고, 이 중 처음으로 원점을 지나는 순간은 t=3이므로 구하는 속도는 ~f~'(3)의 값과 같다. ④0786 자동차가 브레이크를 밟은 지 t초 후의 속도를 v`m/// s라 하면 v=dxdt=7.2-0.72t자동차가 정지할 때의 속도는 0이므로 7.2-0.72t=0 .t3 t=10따라서 이 자동차가 10초 동안 움직인 거리는 7.2\10-0.36\10^2 =36(m) ③0787 제동을 건 지 t초 후의 열차의 속도를 v`m/// s라 하면 v=dxdt=4.8-2at ⇨ ❶이때 열차가 제동을 건 지 3초 후에 정지하므로 t=3일 때의 속도는 0이다.즉 4.8-6a=0에서 a=0.8 ⇨ ❷ 0.8채점 기준비율❶ 두 점 P, Q의 속도를 각각 구할 수 있다.40%❷ t의 값의 범위를 구할 수 있다.40%❸ b-a의 값을 구할 수 있다.20%채점 기준비율❶ 속도를 t에 대한 식으로 나타낼 수 있다.50%❷ a의 값을 구할 수 있다.50%라이트쎈(해081-090)8강-ok.indd 8714. 8. 29. 오후 2:13 88 • 정답 및 풀이정답 및 풀이따라서 t=2일 때 정육면체의 부피의 변화율은 3(4+2)^2=108~(cm^3///s) 108`cm^3///s0798 t초 후의 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm, 높이를 h`cm라 하면 r=5+t, h=10-t원기둥의 부피를 V`cm^3라 하면 V=pair^2h =pai(5+t)^2(10-t) .t3 dVdt=2pai(5+t)(10-t)+pai(5+t)^2·(-1) =3pai(5+t)(5-t)dVdt=0에서 t=5`(.T3 00이 성립하려면 (~f(x)의 최솟값)>0임을 이용한다.~f(x)=x^4-4x^3+k로 놓으면 ~f~'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)~f~'(x)=0에서 x=0 또는 x=3x…0…3…~f~'(x)-0-0+~f(x)↘↘극소↗따라서 ~f(x)는 x=3에서 극소이면서 최소이므로 최솟값은 ~f(3)=3^4-4.c13^3+k=k-27모든 실수 x에 대하여 ~f(x)>0이려면 ~f(3)>0이어야 하므로 k-27>0 .t3 k>27즉 정수 k의 최솟값은 28이다. ④0801 점 P의 시각 t에서의 위치가 x일 때, 점 P의 속도는 v=dxdt, 가속도는 a=dvdt임을 이용한다.점 P의 시각 t에서의 속도를 v, 가속도를 a라 하면 v=dxdt=30+50t-15t^2, a=dvdt=50-30t따라서 t=4에서의 점 P의 가속도는 50-30·4=-70 ①(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:18)(cid:48)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:30)(cid:76)(cid:89)(cid:90)0793 변의 길이가 길어지기 시작한 지 t초 후의 정사각형의 한 변의 길이는 (6+2t)~cm이므로 정사각형의 넓이를 S`cm^2라 하면 S=(6+2t)^2위의 식의 양변을 t에 대하여 미분하면 dSdt=2.c1(6+2t).c12=8t+24따라서 3초 후의 정사각형의 넓이의 변화율은 8·3+24=48~(cm^2///s) ④0794 돌을 던진 지 t초 후의 가장 바깥쪽 파문의 반지름의 길이는 15t`cm이므로 가장 바깥쪽 파문의 넓이를 S`cm^2라 하면 S=pai(15t)^2=225pait^2 ⇨ ❶위의 식의 양변을 t에 대하여 미분하면 dSdt=450pait ⇨ ❷따라서 2초 후의 가장 바깥쪽 파문의 넓이의 변화율은 450pai·2=900pai~(cm^2///s) ⇨ ❸ 900pai`cm^2///s0795 점 P가 출발한 지 t초 후의 두 점 P, Q의 좌표는 P(2t, 0), Q(0, 3(t-1))`(t_>1)이므로 semoOPQ의 넓이를 S라 하면 S=1/2·2t·3(t-1)=3t^2-3t .t3 dSdt=6t-3따라서 점 P가 출발한 지 4초 후의 semoOPQ의 넓이의 변화율은 6·4-3=21 ④0796 시각 t에서의 구의 부피를 V라 하면 V=4/3pai(0.5t)^3=1/6pait^3 .t3 dVdt=1/2pait^2따라서 t=10일 때 구의 부피의 변화율은 1/2pai\10^2=50pai 50pai0797 t초 후의 정육면체의 한 모서리의 길이는 (4+t)cm이므로 정육면체의 부피를 V`cm^3라 하면 V=(4+t)^3 .t3 dVdt=3(4+t)^2미분가능한 함수 ~f(x)에 대하여 ~y={~f(x)}^n이면 y'=n{~f(x)}^n^-^1~f~'(x)채점 기준비율❶ 가장 바깥쪽 파문의 넓이 S를 t에 대한 식으로 나타낼 수 있다.40%❷ dS/dt를 구할 수 있다.30%❸ 답을 구할 수 있다.30%라이트쎈(해081-090)8강-ok.indd 8814. 8. 29. 오후 2:13 08``도함수의 활용 ⑶ • 89본책도함수의 활용 ⑶08114~115쪽따라서 y=~f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 주어진 방정식이 한 개의 양근만을 가지려면 곡선 y=f(x)와 직선 y=k의 교점이 1개이고, 교점의 x좌표가 양수이어야 하므로 020즉 alpha =16, beta =20이므로 beta -alpha =4 ②0805 두 함수 ~f(x), ~g(x)의 그래프가 서로 접하면 방정식 ~f(x)=~g(x)가 중근을 가짐을 이용한다.주어진 곡선과 직선이 접하려면 방정식 x^3 -2x+7=x+k, 즉 x^3 -3x+7-k=0이 중근을 가져야 한다.~f(x)=x^3 -3x+7-k로 놓으면` ~f~'(x)=3x^2 -3=3(x+1)(x-1)~f~'(x)=0에서 x=-1 또는 x=1삼차방정식 ~f(x)=0이 한 실근과 중근을 가지려면 ~f(-1)~f(1)=0이어야 하므로 (9-k)(5-k)=0 .t3 k=5 또는 k=9따라서 구하는 k의 값의 합은 5+9=14 14~f(x)=x^3 -2x+7로 놓으면` ~f~'(x)=3x^2 -2접점의 좌표를 (t, t^3 -2t+7)이라 하면 접선의 기울기가 1이므로 ~f~'(t)=3t^2 -2=1, t^2 =1 .t3 t=z1즉 접점의 좌표가 (-1, 8), (1, 6)이므로 접선의 방정식은 y-8=x+1, y-6=x-1 .t3 y=x+9, y=x+5따라서 k=9 또는 k=5이므로 구하는 k의 값의 합은 9+5=140806 함수 f(x)의 그래프가 함수 ~g(x)의 그래프보다 항상 위에 있으면 ~f(x)>~g(x)이다.x>3에서 곡선 y=1/3x^3 -x^2 이 직선 y=-2x+k보다 항상 위에 있으려면 1/3x^3 -x^2 >-2x+k, 즉 1/3x^3 -x^2 +2x-k>0이어야 한다.~f(x)=1/3x^3 -x^2 +2x-k로 놓으면 ~f~'(x)=x^2 -2x+2=(x-1)^2 +1_> 1~f~'(x)>0이므로 함수 ~f(x)는 구간 (3, inf )에서 증가한다. 따라서 x>3에서 ~f(x)>0이려면 ~f(3)_> 0이어야 하므로 ~f(3)=6-k_> 0 .t3 k_< 6즉 실수 k의 최댓값은 6이다. ③(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:76)(cid:90)(cid:30)(cid:76)(cid:89)(cid:48)(cid:19)(cid:17)(cid:18)(cid:23)(cid:19)(cid:21)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)0802 시각 t에서의 넓이를 S라 할 때, 넓이의 변화율은 dS/dt임을 이용한다.원의 반지름의 길이가 4t이므로 원의 넓이를 S라 하면 S=pai (4t)^2 =16pai t^2 ⇨ ❶ .t3 dSdt=32pai t ⇨ ❷이때 원의 넓이가 48pai 이려면 16pai t^2 =48pai , t^2 =3 .t3 t=13~`(.T3 t>0) ⇨ ❸따라서 구하는 원의 넓이의 변화율은 32pai .c1 13~=3213~pai ⇨ ❹ 3213~pai 0803 주어진 방정식을 ~f(x)=k 꼴로 변형하고 y=~f(x)의 그래프를 그려 본다.3x^4 +8x^3 -18x^2 +k=0에서 -3x^4 -8x^3 +18x^2 =k .c3 .c3 `㉠~f(x)=-3x^4 -8x^3 +18x^2 으로 놓으면 ~f~'(x) =-12x^3 -24x^2 +36x=-12x(x+3)(x-1)~f~'(x)=0에서 x=-3 또는 x=0 또는 x=1x.c3 -3.c3 0.c3 1.c3 ~f~'(x)+0-0+0-~f(x)↗135↘0↗7↘따라서 함수 y=~f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 주어진 방정식이 서로 다른 세 실근을 가지려면 곡선 y=~f(x)와 직선 y=k가 서로 다른 세 점에서 만나야 하므로 k=7 (.T3 k는 자연수) ⑤0804 곡선 y=~f(x)와 직선 y=k의 교점의 x좌표의 부호를 알아본다.x^3 -9x^2 +24x-k=0에서 x^3 -9x^2 +24x=k~f(x)=x^3 -9x^2 +24x로 놓으면 ~f~'(x)=3x^2 -18x+24=3(x-2)(x-4)~f~'(x)=0에서 x=2 또는 x=4x.c3 2.c3 4.c3 ~f~'(x)+0-0+~f(x)↗20↘16↗채점 기준비율❶ 원의 넓이 S를 t에 대한 식으로 나타낼 수 있다.30%❷ dSdt를 구할 수 있다.30%❸ 넓이가 48pai 일 때의 t의 값을 구할 수 있다.20%❹ 답을 구할 수 있다.20%(cid:90)(cid:30)(cid:76)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:18)(cid:24)(cid:18)(cid:20)(cid:22)(cid:14)(cid:20)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)라이트쎈(해081-090)8강-ok.indd 8914. 8. 29. 오후 2:13 90 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0811 점 P의 시각 t에서의 속도는 ~x~'(t)임을 이용한다.v(t)=x~'(t)=3t^2-6t-4v(t)=3(t-1)^2-7 ⇨ ❶즉 0_0이므로 속도는 증가한다.③ b0이므로 점 P는 양의 방향으로 움직이고 있다.⑤ v(c)=0이고, t=c의 좌우에서 v(t)의 부호가 바뀌므로 점 P의 운동 방향이 바뀐다.따라서 0~f(alpha)이면 곡선 y=f(x)와 직선 y=k의 교점이 1개이고, 교점의 x좌표가 양수이므로 방정식 ~f(x)=k는 오직 하나의 양근을 갖는다.이상에서 옳은 것은 ㄴ뿐이다. ②(cid:90)(cid:30)(cid:76)(cid:90)(cid:30)(cid:76)(cid:90)(cid:30)(cid:76)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:71)(cid:9)a(cid:10)(cid:71)(cid:9)b(cid:10)(cid:90)(cid:89)(cid:48)abㄱㄴㄷ라이트쎈(해081-090)8강-ok.indd 9014. 8. 29. 오후 6:13 09``부정적분 • 91본책부정적분09116~120쪽0831 int `(x+1)^2 dx=int `(x^2 +2x+1)dx =1/3x^3 +x^2 +x+C 1/3x^3 +x^2 +x+C0832 int `(x-1)(x^2 +x+1)dx=int `(x^3 -1)dx=1/4x^4 -x+C 1/4x^4 -x+C0833 int ``x^2 -1x-1dx=int ``(x+1)(x-1)x-1dx=int `(x+1)dx =1/2x^2 +x+C 1/2x^2 +x+C0834 int ``x^3 +1x+1dx=int ``(x+1)(x^2 -x+1)x+1dx =¦ (x^2 -x+1)dx =1/3x^3 -1/2x^2 +x+C 1/3x^3 -1/2x^2 +x+C0835 int ``f(x)dx=-x^3 +3x^2 +5x+C의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x) =(-x^3 +3x^2 +5x+C)'=-3x^2 +6x+5.t3 f(2)=-3.c1 2^2 +6.c1 2+5=5 ③0836 F(x)=2x^2 -3x+1로 놓으면 f(x)=F'(x)=(2x^2 -3x+1)'=4x-3.t3 f(-1)=-7 ②0837 int `xf(x)dx=x^3 +4x^2 -7의 양변을 x에 대하여 미분하면 xf(x) =(x^3 +4x^2 -7)'=3x^2 +8x =x(3x+8)따라서 f(x)=3x+8이므로 f(4)=3.c1 4+8=20 200838 f(x) =F'(x)=(x^3 +ax^2 +bx)' =3x^2 +2ax+bf(0)=1이므로 b=1 ⇨ ❶따라서 f(x)=3x^2 +2ax+1이므로 f'(x)=6x+2a f'(0)=4이므로 2a=4 ∴ a=2 ⇨ ❷ ∴ ab=2 ⇨ ❸ 20813 ⑴ f'(x)=2x-1⑵ int ` f'(x)dx=int `(2x-1)dx=x^2 -x+C 풀이 참조0814 ㄴ. (1/3x^3 )'=x^2 이므로 int `x^2 dx=1/3x^3 +Cㄷ. (1/2x^2 +x)'=x+1이므로 int `(x+1)dx=1/2x^2 +x+C이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다. ㄱ, ㄹ0815 f(x)=(3x+C)'=3 f(x)=30816 f(x)=(x^2 +2x+C)'=2x+2 f(x)=2x+20817 f(x)=(1/2x^2 -3x+C)'=x-3 f(x)=x-30818 f(x)=(x^3 +5x+C)'=3x^2 +5 f(x)=3x^2 +50819 d/dxint ` f(x)dx=f(x)이므로 d/dxint `(x^2 +x)dx=x^2 +x x^2 +x0820 int `{d/dx f(x)}dx=f(x)+C이므로 int `{d/dx(x^2 +x)}dx=x^2 +x+C x^2 +x+C0821 5x+C 0822 1/2x^2 +C0823 1/4x^4 +C 0824 1/8x^8 +C0825 5x^2 +C 0826 1/2x^2 +x+C0827 1/2x^2 -7x+C 0828 x^2 +x+C0829 1/3x^3 -2x^2 +C0830 1/4x^4 -2/3x^3 +5x+C부정적분09 Ⅳ. 다항함수의 적분법라이트쎈미적1(해091-128).indd 9114. 8. 29. 오후 2:23 92 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0845 int`[d/dxint`{d/dx f(x)}dx]dx=int`[d/dx{f(x)+C_1}]dx =f(x)+C이므로 F(x)=100x^1^0^0+99x^9^9+98x^9^8+.c3+2x^2+x+C이때 F(0)=1이므로 C=1따라서 F(x)=100x^1^0^0+99x^9^9+98x^9^8+.c3+2x^2+x+1이므로 F(1)=100+99+98+.c3+2+1+1 =!))sigk=1 k+1=100.c11012+1 =5051 50510846 int`{d/dx(x^2+kx)}dx=x^2+kx+C이므로 f(x)=x^2+kx+C f(0)=0이므로 C=0즉 `f(x)=x^2+kx이므로 `f'(x)=2x+k …… ㉠ limx=-1``f(x)-f(-1)x+1=3에서 limx=-1``f(x)-f(-1)x-(-1)=f'(-1)=3이므로 x=-1을 ㉠에 대입하면 -2+k=3 ∴ k=5따라서 `f(x)=x^2+5x이므로 `k+f(-2)=5-6=-1 ⑤0847 d/dx{f(x)+g(x)}=2에서 int` [d/dx{f(x)+g(x)}]`dx=int`2dx ∴ f(x)+g(x)=2x+C_1위의 등식에 x=0을 대입하면 f(0)+g(0)=C_1이때 `f(0)=5, g(0)=-5이므로 C_1=0 ∴ f(x)+g(x)=2x …… ㉠또 d/dx{`f(x)g(x)}=2x에서 int``[`d/dx{f(x)g(x)}]`dx=int`2xdx ∴ f(x)g(x)=x^2+C_2위의 등식에 x=0을 대입하면 f(0)g(0)=C_2이때 `f(0)=5, g(0)=-5이므로 C_2=-25 ∴ f(x)g(x)=x^2-25=(x+5)(x-5) …… ㉡㉠, ㉡에서 { f(x)=x+5g(x)=x-5 또는 { f(x)=x-5g(x)=x+5그런데 f(0)=5, g(0)=-5이므로 f(x)=x+5, g(x)=x-5 ∴ f(1)-g(1)=6-(-4)=10 ④0839 int`F(x)dx=f(x)g(x)의 양변을 x에 대하여 미분하면 F(x) ={f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) =2x(2x-3)+(x^2+1).c12 =6x^2-6x+2따라서 함수 F(x)의 상수항은 2이다. 20840 d/dx int`(x^2+ax+5)dx=bx^2-x+c이므로 x^2+ax+5=bx^2-x+c위의 등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 a=-1, b=1, c=5 .t3 a+b+c=5 ③0841 d/dx int` f(x)dx=5x^2-2x+1이므로 f(x)=5x^2-2x+1 .t3 f(1)=5-2+1=4 40842 F(x)=d/dxint`xf(x)dx=xf(x)=x(3x^2-4x)=3x^3-4x^2 .t3 F(2)=3.c12^3-4.c12^2=8 80843 int`{d/dx(x^3+2x)}dx=x^3+2x+C이므로 F(x)=x^3+2x+CF(0)=-1이므로 C=-1따라서 F(x)=x^3+2x-1이므로 F(1)=1+2-1=2 20844 int`{d/dx(x^2-4x)}dx=x^2-4x+C이므로 f(x)=x^2-4x+C=(x-2)^2+C-4이때 함수 f(x)의 최솟값이 2이므로 C-4=2 .t3 C=6따라서 f(x)=x^2-4x+6이므로 f(3)=3^2-4.c13+6=3 ①채점 기준비율❶ b의 값을 구할 수 있다.40%❷ a의 값을 구할 수 있다.40%❸ ab의 값을 구할 수 있다.20%항등식의 성질① ax^2+bx+c=0이 x에 대한 항등식이다. ➲ a=b=c=0② ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'이 x에 대한 항등식이다. ➲ a=a', b=b', c=c'③ ax+by+c=0이 x, y에 대한 항등식이다. ➲ a=b=c=0④ ax+by+c=a'x+b'y+c'이 x, y에 대한 항등식이다. ➲ a=a', b=b', c=c'라이트쎈미적1(해091-128).indd 9214. 8. 29. 오후 2:23 09``부정적분 • 93본책부정적분09120~122쪽따라서 f(x)=x^2 +18x-9이므로 f(-1)=1-18-9=-26 ⇨ ❸ -260851 f(x)=int ` f'(x)dx=int `(3x^2 +4x+a)dx f =x^3 +2x^2 +ax+C이때 f(0)=-4이므로 C=-4따라서 f(x)=x^3 +2x^2 +ax-4이므로 f(-1)=2에서 -1+2-a-4=2 ∴ a=-5즉 f(x)=x^3 +2x^2 -5x-4이므로 f(2)=8+8-10-4=2 20852 f(x)=int ` f'(x)dx=int `(3x^2 +8x+1)dx=x^3 +4x^2 +x+C이때 f(-1)=-4이므로 -1+4-1+C=-4 .t3 C=-6따라서 f(x)=x^3 +4x^2 +x-6이므로 방정식 f(x)=0의 모든 근의 곱은 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 -`-61 =6 ③0853 f'(x)=6x^2 +8x-5이므로 f(x)=int ` f'(x)dx=int `(6x^2 +8x-5)dx =2x^3 +4x^2 -5x+C_1 이때 f(0)=1이므로 C_1 =1따라서 f(x)=2x^3 +4x^2 -5x+1이므로 int ` f(x)dx=int `(2x^3 +4x^2 -5x+1)dx=1/2x^4 +4/3x^3 -5/2x^2 +x+C ③0854 f(x)=int ` f'(x)dx=int ` x^3 +8x^2 -2x+4dx =int ` (x+2)(x^2 -2x+4)x^2 -2x+4dx=int `(x+2)dx =1/2x^2 +2x+C이때 곡선 y=f(x)가 점 (0, 3)을 지나므로 f(0)=3 .t3 C=3따라서 f(x)=1/2x^2 +2x+3이고 곡선 y=f(x)가 점 (-1, a)를 지나므로 a=f(-1)=1/2-2+3=3/2 ④채점 기준비율❶ f(x)를 구할 수 있다.40%❷ C의 값을 구할 수 있다.30%❸ f(-1)의 값을 구할 수 있다.30%삼차방정식의 근과 계수의 관계삼차방정식 ax^3 +bx^2 +cx+d=0의 세 근을 alpha , beta , gamma 라 하면 alpha +beta +gamma =-b/a, alpha beta +beta gamma +gamma alpha =c/a, alpha beta gamma =-d/a`f(x), g(x)가 일차함수이고 f(0)=5, g(0)=-5이므로 f(x)=ax+5, g(x)=bx-5 (a, b는 0이 아닌 상수)로 놓으면 f(x)+g(x)=(a+b)x, f(x)g(x)=(ax+5)(bx-5)d/dx{f(x)+g(x)}=a+b이므로 a+b=2 … … ㉠또 d/dx{f(x)g(x)}=a(bx-5)+(ax+5)· b=2abx-5a+5b이므로 2ab=2, -5a+5b=0 .t3 ab=1, a=b … … ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=1따라서 f(x)=x+5, g(x)=x-5이므로 f(1)-g(1)=100848 int `(x+2)f'(x)dx=x^3 +x^2 -8x+C의 양변을 x에 대하여 미분하면 (x+2)f'(x) =3x^2 +2x-8=(x+2)(3x-4) ∴ f'(x)=3x-4 ⇨ ❶ ∴ f(x)=int ` f'(x)dx=int `(3x-4)dx =3/2x^2 -4x+C_1 ⇨ ❷따라서 함수 f(x)의 일차항의 계수는 -4이다. ⇨ ❸ -40849 f(x)=int `(1+2x+3x^2 +.c3 +10x^9 )dx =x+x^2 +x^3 +.c3 +x^1 ^0 +C이때 f(0)=1이므로 C=1따라서 f(x)=1+x+x^2 +x^3 +.c3 +x^1 ^0 이므로 f(2)=1+2+2^2 +2^3 +.c3 +2^1 ^0 =2^1 ^1 -12-1=2047 ③0850 f(x)=int `(3+1xq)^2 dx+int `(3-1xq)^2 dx g(x)=int `{(3+1xq)^2 +(3-1xq)^2 }dx g(x)=int `(2x+18)dx=x^2 +18x+C ⇨ ❶ f(1)=10이므로 1+18+C=10 ∴ C=-9 ⇨ ❷채점 기준비율❶ f'(x)를 구할 수 있다.50%❷ f(x)를 구할 수 있다.40%❸ f(x)의 일차항의 계수를 구할 수 있다.10%첫째항이 1, 공비가 2인 등비수열의 첫째항부터 제 11 항까지의 합등비수열의 합첫째항이 a, 공비가 r(rnot= 1)인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합 S_n 은 S_n =a(r^n -1)r-1라이트쎈미적1(해091-128).indd 9314. 8. 29. 오후 2:23 94 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0859 f'(x)={-2x3x^2(x>1)(x<1)이므로 f(x)={-x^2+C_1x^3+C_2(x_>1)(x<1)이때 f(2)=2이므로 -4+C_1=2 .t3 C_1=6또 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 연속이므로 x=1에서도 연속이다. 즉 f(1)=limx=1+`f(x)=limx=1-`f(x)에서 -1+6=1+C_2 .t3 C_2=4따라서 f(x)={-x^2+6x^3+4(x_>1)(x<1)이므로 f(-3)+f(3) =(-27+4)+(-9+6) =-26 -260860 f'(x)={x+2k(x>-1)(x<-1)이므로 f(x)={1/2x^2+2x+C_1kx+C_2(x_>-1)(x<-1)`f(0)=2이므로 C_1=2`f(-2)=-4이므로 -2k+C_2=-4 …… ㉠㉠㉠또 f(x)는 x=-1에서 연속이므로 f(-1)=limx=-1+`f(x)=limx=-1-`f(x)에서 1/2-2+2=-k+C_2 ∴ -k+C_2=1/2 …… ㉡㉠㉠㉠, ㉡을 연립하여 풀면 C_2=5, k=9/2 ⑤0861 f'(x)={-x+21(x_>1)(x<1)이므로 ⇨ ❶ f(x)={-1/2x^2+2x+C_1x+C_2(x_>1)(x<1) ⇨ ❷y=f(x)의 그래프가 원점을 지나므로 f(0)=0 ∴ C_2=0 `또 f(x)가 연속함수이므로 x=1에서도 연속이다. 즉 f(1)=limx=1+`f(x)=limx=1-`f(x)에서 -1/2+2+C_1=1 ∴ C_1=-1/2 ⇨ ❸ 함수의 연속함수 f(x)가 실수 a에 대하여 다음 조건을 모두 만족시킬 때, f(x)는 x=a에서 연속이라 한다. f(x)가 x=a에서 정의되어 있다. 극한값 limx=a`f(x)가 존재한다. limx=a`f(x)=f(a)0855 int` f(x)dx=xf(x)-2x^3+x^2+C의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=f(x)+xf'(x)-6x^2+2x xf'(x)=6x^2-2x .t3 f'(x)=6x-2 .t3 f(x)=int` f'(x)dx=int`(6x-2)dx=3x^2-2x+C_1이때 f(1)=3이므로 3-2+C_1=3 .t3 C_1=2 .t3 f(x)=3x^2-2x+2 f(x)=3x^2-2x+20856 int`g(x)dx=x^3f(x)+C의 양변을 x에 대하여 미분하면 g(x)=3x^2f(x)+x^3f'(x) ∴ g(3) =3.c13^2`f(3)+3^3`f'(3) =3^3·1+3^3.c1(-2)=-27 ②0857 2int` f(x)dx=xf(x)+6x+C의 양변을 x에 대하여 미분하면 2f(x)=f(x)+xf'(x)+6 ∴ f(x)=xf'(x)+6 .c3.c3 ㉠ f(x)가 일차함수이므로 f(x)=ax+b (anot=0)로 놓으면 f'(x)=a이므로 ㉠에서 ax+b=x.c1a+6 .t3 b=6 .t3 f(x)=ax+6이때 f(2)=10이므로 2a+6=10 .t3 a=2따라서 f(x)=2x+6이므로 f(-2)=-4+6=2 ②0858 F(x)는 함수 f(x)의 부정적분이므로 F'(x)=f(x)F(x)+int`(x-1)f(x)dx=x^4+8x^3-3x^2의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)+(x-1)f(x)=4x^3+24x^2-6x ⇨ ❶ xf(x)=x(4x^2+24x-6) .t3 f(x) =4x^2+24x-6 =4(x+3)^2-42 ⇨ ❷따라서 f(x)는 x=-3에서 최솟값 -42를 갖는다. ⇨ ❸ -42이차함수 y=ax^2+bx+c의 최대 .c1 최소y=a(x-m)^2+n 꼴로 변형하면① a>0일 때 x=m에서 최솟값 n을 갖는다.② a<0일 때 x=m에서 최댓값 n을 갖는다.채점 기준비율❶ 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분할 수 있다.30%❷ f(x)를 구할 수 있다.40%❸ 최솟값을 구할 수 있다.30%라이트쎈미적1(해091-128).indd 9414. 8. 29. 오후 2:23 09``부정적분 • 95본책부정적분09123~125쪽0865 limh=0 ``f(h)-f(-h)h =limh=0 `{f(h)-f(0)}-{f(-h)-f(0)}h =limh=0 ``f(h)-f(0)h+limh=0 ``f(-h)-f(0)-h =f'(0)+f'(0)=2f'(0) f(x)=int `(x-2)(x^2 +2x+4)dx의 양변을 x에 대하여 미분하면 f'(x)=(x-2)(x^2 +2x+4)=x^3 -8 ∴ f'(0)=-8따라서 구하는 값은 2f'(0)=2.c1 (-8)=-16 ①0866 limh=0 ``f(x-h)-f(x-2h)h =limh=0 `{f(x-h)-f(x)}-{f(x-2h)-f(x)}h =-limh=0 ``f(x-h)-f(x)-h+2limh=0 ``f(x-2h)-f(x)-2h =-f'(x)+2f'(x)=f'(x)즉 f'(x)=3x^2 -4x+5에서 f(x)=int ` f'(x)dx=int `(3x^2 -4x+5)dx =x^3 -2x^2 +5x+C`f(0)=1이므로 C=1따라서 f(x)=x^3 -2x^2 +5x+1이므로 f(-1)=-1-2-5+1=-7 -70867 f'(x)=x^2 -x-2=(x+1)(x-2) f'(x)=0에서 x=-1 또는 x=2x… -1… 2… `f'(x)+0-0+`f(x)↗극대↘극소↗따라서 f(x)는 x=-1에서 극댓값 3/2을 갖고, x=2에서 극솟값을 갖는다. 이때 f(x)=int ` f'(x)dx=int `(x^2 -x-2)dx =1/3x^3 -1/2x^2 -2x+C이므로 f(-1)=3/2에서 -1/3-1/2+2+C=3/2 ∴ C=1/3즉 f(x)=1/3x^3 -1/2x^2 -2x+1/3이므로 f(x)의 극솟값은 f(2)=8/3-2-4+1/3=-3 ④0868 f'(x)=a(x+1)^2 +1`(anot= 0)로 놓으면 f'(0)=0이므로 a+1=0 .t3 a=-1 .t3 f'(x)=-(x+1)^2 +1=-x^2 -2x=-x(x+2) ⇨ ❶따라서 f(x)={-1/2x^2 +2x-1/2x(x_> 1)(x<1)이므로 f(3/2)=-1/2· (3/2)^^2 +2· (3/2)-1/2=11/8 ⇨ ❹ 11/80862 f'(x)=x^2 +1이므로 f(x)=int ` f'(x)dx=int `(x^2 +1)dx =1/3x^3 +x+C이때 곡선 y=f(x)가 점 (0, -2)를 지나므로 f(0)=-2 .t3 C=-2따라서 `f(x)=1/3x^3 +x-2이므로 f(2)=8/3+2-2=8/3 8/30863 f(x)=int `(1-2ax)dx의 양변을 x에 대하여 미분하면 f'(x)=1-2ax점 (1, 4)에서의 접선의 기울기가 -3이므로 f'(1)=-3 1-2a=-3 .t3 a=2 .t3 f'(x)=1-4x .t3 f(x)=int ` f'(x)dx=int `(1-4x)dx =x-2x^2 +C이때 곡선 y=f(x)가 점 (1, 4)를 지나므로 f(1)=4 1-2+C=4 .t3 C=5따라서 f(x)=-2x^2 +x+5이므로 f(3)=-18+3+5=-10 ①0864 f'(x)=4x-k이므로 f(x)=int ` f'(x)dx=int `(4x-k)dx =2x^2 -kx+C이때 곡선 y=f(x)가 점 (0, 1)을 지나므로 f(0)=1 ∴ C=1 ∴ f(x)=2x^2 -kx+1따라서 이차방정식 2x^2 -kx+1=0의 두 근의 합이 3/2이므로 근과계수의 관계에 의하여 k2=3/2 ∴ k=3즉 f(x)=2x^2 -3x+1이므로 f(2)=3 ⑤채점 기준비율❶ f'(x)를 구할 수 있다.20%❷ f(x)를 구할 수 있다.20%❸ C_1 , C_2 의 값을 구할 수 있다. 40%❹ f(3/2)의 값을 구할 수 있다.20%라이트쎈미적1(해091-128).indd 9514. 8. 29. 오후 2:23 96 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 f'(0)=limh=0``f(0+h)-f(0)h f'(1)=limh=0``f(0)+f(h)-f(0)h f'(1)=limh=0``f(h)h=2즉 limh=0``f(h)h=2이므로 f'(x)=limh=0``f(x+h)-f(x)h f'(1)=limh=0``f(x)+f(h)-xh-f(x)h f'(1)=limh=0``f(h)h-x=2-x ∴ f(x)=int` f'(x)dx=int`(2-x)dx ∴ f(x)=-1/2x^2+2x+C그런데 f(0)=0이므로 C=0따라서 f(x)=-1/2x^2+2x이므로 f(2)=-2+4=2 ③0871 f(x+y)=f(x)+f(y)+2에 x=0, y=0을 대입하면 f(0)=f(0)+f(0)+2 ∴ f(0)=-2`f'(0)=3이므로 f'(0)=limh=0``f(0+h)-f(0)h f'(1)=limh=0``f(0)+f(h)+2-f(0)h f'(1)=limh=0``f(h)+2h=3즉 limh=0``f(h)+2h=3이므로 f'(x)=limh=0``f(x+h)-f(x)h f'(1)=limh=0``f(x)+f(h)+2-f(x)h f'(1)=limh=0``f(h)+2h=3 ∴ f(x)=int` f'(x)dx=int`3dx=3x+C그런데 f(0)=-2이므로 C=-2 ∴ f(x)=3x-2 f(x)=3x-20872 f(x+y)=f(x)+f(y)-2xy+1에 x=0, y=0을 대입하면 f(0)=f(0)+f(0)+1 ∴ f(0)=-1`f'(1)=1이므로 f'(1)=limh=0``f(1+h)-f(1)h f'(1)=limh=0``f(1)+f(h)-2h+1-f(1)h f'(1)=limh=0``f(h)-2h+1h f'(1)=limh=0``f(h)+1h-2=1 f'(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 ⇨ ❷x…-2…0…`f'(x)-0+0-`f(x)↘극소↗극대↘따라서 f(x)는 x=0에서 극댓값 1을 갖는다. 이때 f(x)=int` f'(x)dx=int`(-x^2-2x)dx =-1/3x^3-x^2+C`f(0)=1이므로 C=1즉 f(x)=-1/3x^3-x^2+1이므로 ⇨ ❸ f(3)=-9-9+1=-17 ⇨ ❹ -170869 f(x)의 최고차항이 x^3이므로 f'(x)의 최고차항은 3x^2이다. 이때 f'(1)=f'(5)=0이므로 f'(x)=3(x-1)(x-5)f'(x)=0에서 x=1 또는 x=5x…1…5…`f'(x)+0-0+`f(x)↗극대↘극소↗따라서 f(x)는 x=1에서 극댓값 7을 갖고, x=5에서 극솟값을 갖는다. 이때 f(x)=int`3(x-1)(x-5)dx=int`(3x^2-18x+15)dx f(x)=x^3-9x^2+15x+C f(1)=7이므로 1-9+15+C=7 ∴ C=0즉 f(x)=x^3-9x^2+15x이므로 극솟값은 f(5)=125-225+75=-25 ②`f(x)=x^3+ax^2+bx+c`(a, b, c는 상수)로 놓으면 f'(x)=3x^2+2ax+b f'(1)=0에서 3+2a+b=0 …… ㉠ f'(5)=0에서 75+10a+b=0 …… ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-9, b=15 ∴ f(x)=x^3-9x^2+15x+c f(1)=7에서 1-9+15+c=7 .t3 c=0따라서 f(x)=x^3-9x^2+15x이므로 극솟값은 f(5)=-250870 f(x+y)=f(x)+f(y)-xy에 x=0, y=0을 대입하면 f(0)=f(0)+f(0)-0 ∴ f(0)=0`f'(0)=2이므로채점 기준비율❶ f'(x)를 구할 수 있다.30%❷ f'(x)=0인 x의 값을 구할 수 있다.20%❸ f(x)를 구할 수 있다.40%❹ f(3)의 값을 구할 수 있다.10%라이트쎈미적1(해091-128).indd 9614. 8. 29. 오후 2:23 09``부정적분 • 97본책부정적분09125~126쪽0877 int `{d/dx f(x)}dx=f(x)+C임을 이용한다.조건 ㈎에서 int `[d/dx{f(x)g(x)}]dx=int `3x^2 dx이므로 f(x)g(x)=x^3 +C이때 조건 ㈏에서 f(1)=3, g(1)=0이므로 f(1)g(1)=1+C, 0=1+C .t3 C=-1따라서 f(x)g(x)=x^3 -1=(x-1)(x^2 +x+1)이고 f(1)=3, g(1)=0이므로 f(x)=x^2 +x+1, g(x)=x-1 .t3 f(2)+g(4)=(4+2+1)+3=10 100878 int ` f(x)dx±int `g(x)dx=int `{f(x)±g(x)}dx`(복호동순)임을 이용한다. f(x)+g(x)=int `(x^2 -6x)dx .c3 .c3 ㉠ f(x)-g(x)=int `(x^2 +2x)dx .c3 .c3 ㉡㉠+㉡을 하면 2 f(x)=int `(x^2 -6x)dx+int `(x^2 +2x)dx =int `(2x^2 -4x)dx=2/3 x^3 -2x^2 +C_1 .t3 f(x)=1/3 x^3 -x^2 +C_1 2이때 f(0)=0이므로 C_1 =0 .t3 f(x)=1/3 x^3 -x^2 ⇨ ❶㉠-㉡을 하면 2 g(x)=int `(x^2 -6x)dx-int `(x^2 +2x)dx=int `(-8x)dx=-4x^2 +C_2 .t3 g(x)=-2x^2 +C_2 2이때 g(0)=0이므로 C_2 =0 .t3 g(x)=-2x^2 ⇨ ❷ ∴ f(6)g(-1)=36.c1 (-2)=-72 ⇨ ❸ -720879 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하여 f'(x)를 구한다.F(x)=xf(x)-x^3 +2x^2 의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=f(x)+xf'(x)-3x^2 +4x xf'(x)=3x^2 -4x .t3 f'(x)=3x-4 .t3 f(x)=int ` f'(x)dx=int `(3x-4)dx =3/2x^2 -4x+C채점 기준비율❶ f(x)를 구할 수 있다.40%❷ g(x)를 구할 수 있다.40%❸ f(6)g(-1)의 값을 구할 수 있다.20%즉 limh=0 ``f(h)+1h=3이므로 f'(x)=limh=0 ``f(x+h)-f(x)h f'(1)=limh=0 ``f(x)+f(h)-2xh+1-f(x)h f'(1)=limh=0 ``f(h)-2xh+1h=limh=0 ``f(h)+1h-2x f'(x)=3-2x ∴ f(x)=int ` f'(x)dx=int `(3-2x)dx ∴ f(x)=-x^2 +3x+C그런데 f(0)=-1이므로 C=-1따라서 f(x)=-x^2 +3x-1이므로 f(1)=-1+3-1=1 10873 `적분변수가 y이므로 y 이외의 문자는 상수로 생각하여 적분한다.``int `(2x+y)^2 dy=int `(4x^2 +4xy+y^2 )dy=4x^2 y+2xy^2 +1/3y^3 +C 4x^2 y+2xy^2 +1/3y^3 +C0874 `d/dxint ` f(x)dx=f(x)임을 이용한다.f(x)=d/dxint `(2x^3 +x+1)dx=2x^3 +x+1따라서 f'(x)=6x^2 +1이므로 f'(1)=6+1=7 70875 `int ` f(x)dx-int `g(x)dx=int `{f(x)-g(x)}dx임을 이용한다.`f(x)=int `x^3 x-1dx-int `1x-1dx=int `x^3 -1x-1dx=int `(x-1)(x^2 +x+1)x-1dx=int `(x^2 +x+1)dx=1/3x^3 +1/2x^2 +x+C이때 f(1)=5/6이므로 1/3+1/2+1+C=5/6 .t3 C=-1따라서 f(x)=1/3x^3 +1/2 x^2 +x-1이므로 f(2)=8/3+2+2-1=17/3 ②0876 `f(x)=int ` f'(x)dx임을 이용한다.`f(x)=int ` f'(x)dx=int `(3x^2 -12x)dx=x^3 -6x^2 +C이때 f(0)=1이므로 C=1따라서 f(x)=x^3 -6x^2 +1이므로 f(-1)=-1-6+1=-6 ③라이트쎈미적1(해091-128).indd 9714. 8. 29. 오후 2:23 98 • 정답 및 풀이정답 및 풀이f'(x)=ax(x-3) (a<0)으로 놓으면 f'(x)=0에서 x=0 또는 x=3x…0…3…`f'(x)-0+0-`f(x)↘극소↗극대↘따라서 f(x)는 x=3에서 극댓값 14를 갖고, x=0에서 극솟값 5를 갖는다. 이때 f(x)=int` f'(x)dx=int`ax(x-3)dx =int`(ax^2-3ax)dx =a/3x^3-3/2ax^2+C f(3)=14에서 -9/2a+C=14 …… ㉠㉠㉠ f(0)=5에서 C=5 …… ㉡㉠㉠㉡을 ㉠에 대입하면 a=-2 ∴ f(x)=-2/3x^3+3x^2+5 f(x)=-2/3x^3+3x^2+50883 도함수의 정의를 이용하여 f'(x)를 구한다.f'(x)=limh=0``f(x+h)-f(x)h=limh=0`axh+1/2h^2h=limh=0`(ax+1/2h)=ax .t3 f(x)=int` f'(x)dx=int`axdx=1/2ax^2+C f(1)=2에서 1/2a+C=2 .t3 a+2C=4 .c3.c3 ㉠ f(3)=6에서 9/2a+C=6 .t3 9a+2C=12 .c3.c3 ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, C=3/2따라서 f(x)=1/2x^2+3/2이므로 f(2)=2+3/2=7/2 ④0884 f(x)가 일차함수이므로 f(x)=ax+b (anot=0)로 놓고 주어진 조건을 이용하여 g(x)를 구한다.f(x)=ax+b (anot=0)로 놓으면 g(x)=int`{x+f(x)}dx=int`{(1+a)x+b}dx =1+a2x^2+bx+C이때 f(x)g(x)=-2x^2+4x이고 f(x)는 일차함수이므로 g(x)도 일차함수이다. 즉 1+a2=0 .t3 a=-1 이때 f(0)=1이므로 C=1따라서 f(x)=3/2x^2-4x+1이므로 f(1)=3/2-4+1=-3/2 ①0880 곡선 y=f(x) 위의 임의의 점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기는 f'(x)이다.곡선 y=f(x) 위의 임의의 점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기가 x^2에 정비례하므로 f'(x)=ax^2`(a는 상수)으로 놓으면 f(x)=int` f'(x)dx=int`ax^2dx=a/3x^3+C곡선 y=f(x)가 두 점 (-2, 0), (0, -2)를 지나므로 f(-2)=0에서 -8/3a+C=0 .c3.c3 ㉠ f(0)=-2에서 C=-2 .c3.c3 ㉡㉡을 ㉠에 대입하면 a=-3/4따라서 f(x)=-1/4x^3-2이므로 f(-4)=16-2=14 ④0881 극한의 성질과 미분계수를 이용한다.limx=1``f(x)x-1=3a-1에서 극한값이 존재하고 (분모)`@B`0이므로 limx=1`f(x)=0 .t3 f(1)=0 ⇨ ❶즉 limx=1``f(x)x-1=limx=1``f(x)-f(1)x-1=f'(1)이므로 f'(1)=3a-1한편 f'(x)=3x+a에서 f'(1)=3+a이므로 3a-1=3+a, 2a=4 .t3 a=2 ⇨ ❷따라서 f'(x)=3x+2이므로 f(x)=int`(3x+2)dx=3/2x^2+2x+C이때 f(1)=0이므로 3/2+2+C=0 .t3 C=-7/2즉 f(x)=3/2x^2+2x-7/2이므로 ⇨ ❸ f(0)=-7/2 ⇨ ❹ -7/20882 극댓값을 갖는 x좌표와 극솟값을 갖는 x좌표를 각각 찾는다.채점 기준비율❶ f(1)=0임을 알 수 있다.30%❷ a의 값을 구할 수 있다.30%❸ f(x)를 구할 수 있다.30%❹ f(0)의 값을 구할 수 있다.10%라이트쎈미적1(해091-128).indd 9814. 8. 29. 오후 2:23 09``부정적분 • 99본책부정적분09127쪽 y=f'(a)(x-a)+f(a) =(3a^2 -a+1)(x-a)+a^3 -1/2a^2 +a+C =(3a^2 -a+1)x-2a^3 +1/2a^2 +C … … ㉠㉠㉠이때 y=3x+2는 ㉠과 같으므로 3a^2 -a+1=3, -2a^3 +1/2a^2 +C=23a^2 -a+1=3에서 3a^2 -a-2=0 (3a+2)(a-1)=0 .t3 a=-2/3 또는 a=1이때 a>0이므로 a=1a=1을 -2a^3 +1/2a^2 +C=2에 대입하면 -2+1/2+C=2 .t3 C=7/2 .t3 f(x)=x^3 -1/2x^2 +x+7/2따라서 곡선 y=f(x)의 y절편은 7/2이다.0887 함수 f(x)가 x=-1, x=1에서 연속임을 이용한다.f'(x)={3x^2 -3x^2 +4(|x|>1)(|x|<1)이므로 f(x)=ix^3 +C_1 -x^3 +4x+C_2 x^3 +C_3 (x_> 1)(-1_< x<1)(x<-1) f(-2)=-7이므로 -8+C_3 =-7 .t3 C_3 =1이때 f(x)는 x=-1에서 연속이므로 f(-1)=lim x=-1+(-x^3 +4x+C_2 )=lim x=-1-(x^3 +1) 1-4+C_2 =-1+1 .t3 C_2 =3또 f(x)는 x=1에서 연속이므로 f(1)=lim x=1+(x^3 +C_1 )=lim x=1-(-x^3 +4x+3) 1+C_1 =6 .t3 C_1 =5따라서 f(x)=ix^3 +5-x^3 +4x+3x^3 +1(x_> 1)(-1_< x<1)(x<-1)이므로 f(2)=8+5=13 ① .t3 f(x)g(x) =(-x+b)(bx+C) =-bx^2 +(-C+b^2 )x+bC따라서 -b=-2, -C+b^2 =4, bC=0이므로 b=2, C=0즉 g(x)=2x이므로 g(1)=2 20885 int `nx^n ^- ^1 dx=x^n +C임을 이용한다.f_n (x)=int `(1+2x+3x^2 +.c3 +nx^n ^- ^1 )dx=x+x^2 +x^3 +.c3 +x^n +C이때 f_n (0)=1이므로 C=1따라서 f_n (x)=1+x+x^2 +x^3 +.c3 +x^n 이므로 limn=inf `f_n (3/4)=limn=inf {1+3/4 +(3/4)^^2 +(3/4)^^3 +.c3 +(3/4)^^n } =11-3/4=4 ⑤0886 직선 y=3x+2와 곡선 y=f(x)의 접점의 좌표를 (a, b)로 놓고 주어진 조건을 이용한다.직선 y=3x+2와 곡선 y=f(x)의 접점의 좌표를 (a, b)라 하면 f'(a)=3이므로 3a^2 -a+1=3, 3a^2 -a-2=0 (3a+2)(a-1)=0 .t3 a=1 (.T3 a>0)또 b=3a+2이므로 b=5한편 f'(x)=3x^2 -x+1이므로 f(x)=int ` f'(x)dx=int `(3x^2 -x+1)dx =x^3 -1/2x^2 +x+C이때 곡선 y=f(x)가 점 (1, 5)를 지나므로 f(1)=5 1-1/2+1+C=5 .t3 C=7/2따라서 f(x)=x^3 -1/2x^2 +x+7/2이므로 곡선 y=f(x)의 y절편은7/2이다. 7/2`f(x)=int `f'(x)dx=int `(3x^2 -x+1)dx=x^3 -1/2x^2 +x+C곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선의 기울기는 f'(a)=3a^2 -a+1이므로 접선의 방정식은등비급수의 합|r|<1일 때, sign=1 ^inf `ar^n ^- ^1 =a+ar+ar^2 +.c3 +ar^n ^- ^1 +.c3 =/-라이트쎈미적1(해091-128).indd 9914. 8. 29. 오후 2:23 100 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0894 int`(3x^2-2x)dx=x^3-x^2+C이므로 int1# (3x^2-2x)dx=[x^3-x^2]1#=(27-9)-(1-1)=18 180895 int`(x^3+2x+1)dx=1/4x^4+x^2+x+C이므로 int-1!`(x^3+2x+1)dx=[1/4x^4+x^2+x]-1!=(1/4+1+1)-(1/4+1-1)=2 20896 ⑴ int` f(x)dx=2/3x^3+3/2x^2+x+C이므로 int-1!` f(x)dx=int-1!`(2x^2+3x+1)dx=[2/3x^3+3/2x^2+x]-1!=(2/3+3/2+1)-(-2/3+3/2-1)=10/3⑵ int1_!`f(x)dx=-int-1!``f(x)dx=-10/3 ⑴ 10/3 ⑵ -10/3⑵ int1_!`f(x)dx=int1_!(2x^2+3x+1)dx=[2/3x^3+3/2x^2+x]1_!=(-2/3+3/2-1)-(2/3+3/2+1)=-10/30897 int`(5x-2)dx=5/2x^2-2x+C이므로 int0_!(5x-2)dx=[5/2x^2-2x]0_! =5/2+2=9/2 9/20898 int`(3x^2+1)dx=x^3+x+C이므로 int3!(3x^2+1)dx=[x^3+x]3! =(1+1)-(27+3) =-28 -280899 int`(6x^2-2x+5)dx=2x^3-x^2+5x+C이므로 int2!(6x^2-2x+5)dx=[2x^3-x^2+5x]2! =(2-1+5)-(16-4+10) =-16 -160888 n개의 직사각형의 가로의 길이는 위에서부터 차례대로 an, 2a/n, 3a/n, .c3, na/n=a이때 직사각형 한 개의 세로의 길이는 h/n이므로 이들 직사각형의 넓이의 합을 S_n이라 하면 S_n=hn·an+hn·2a/n+hn·3a/n+…+hn.c1a =hn sigk=1^n ka/n=ahn^2 sigk=1^n k =ahn^2·n(n+1)2 =ah(n+1)2n .t3 S=limn=inf`S_n=limn=inf`ah(n+1)2n=ah/2 .t3 ㈎ hn ㈏ ah(n+1)2n ㈐ ah/2 풀이 참조0889 f(x)=2x라 하면 함수 f(x)는 닫힌 구간 [0, 1]에서 연속이다. 정적분의 정의에서 a=0, b=1이라 하면 Dx=b-an=1/n, x_k=a+kDx=k/n, f(x_k)=2x_k=2kn .t3 int0!`2xdx=limn=inf`sigk=1^n`f(x_k)Dx=limn=inf`sigk=1^n`2k/n·1/n=limn=inf`2n^2 sigk=1^n k=limn=inf`2n^2·n(n+1)2=1 .t3 ㈎ 1/n ㈏ k/n ㈐ 2k ㈑ 1 풀이 참조0890 x^2+2 0891 (x+1)^20892 int`4xdx=2x^2+C이므로 int0# 4xdx=[2x^2]0#=18 180893 int`(x^2+1)dx=1/3x^3+x+C이므로 int0! (x^2+1)dx=[1/3x^3+x]0!=1/3+1=4/3 4/3정적분10Ⅳ. 다항함수의 적분법라이트쎈미적1(해091-128).indd 10014. 8. 29. 오후 2:23 10``정적분 • 101본책정적분10128~131쪽0906 int-1 )`(5x^2 -2x+3)dx+int0 !(5x^2 -2x+3)dx=int-1 !`(5x^2 -2x+3)dx=[5/3x^3 -x^2 +3x]!-1=(5/3-1+3)-(-5/3-1-3)=28/3 28/30907 -1_< x_< 0일 때, |x|=-x0_< x_< 1일 때, |x|=x .t3 int-1 !`|x|dx=int-1 )`|x|dx+int0 !|x|dx=int-1 )`(-x)dx+int0 !`xdx=[-1/2x^2 ])-1+[1/2x^2 ]!0=-(-1/2)+1/2=1 .t3 ㈎ -x ㈏ 1 풀이 참조0908 int-3 #(2x^2 +x+1)dx=int-3 #(2x^2 +1)dx+int-3 #xdx =2int0 #(2x^2 +1)dx =2[2/3x^3 +x]#0 =2(18+3)=42 420909 int-1 !(x^3 +3x^2 +4x+2)dx =int-1 !(3x^2 +2)dx+int-1 !(x^3 +4x)dx =2int0 !(3x^2 +2)dx =2[x^3 +2x]!0 =2(1+2)=6 60910 int-2 @(x^4 +4x^3 -6x^2 +1)dx =int-2 @(x^4 -6x^2 +1)dx+int-2 @4x^3 dx =2int0 @(x^4 -6x^2 +1)dx =2[1/5x^5 -2x^3 +x]@0 =2(32/5-16+2) =-76/5 -76/50911 2x^2 +5x+10900 int `(4x^3 +3x^2 -6x)dx=x^4 +x^3 -3x^2 +C이므로 int-1 _@(4x^3 +3x^2 -6x)dx=[x^4 +x^3 -3x^2 ]-1_@ =(16-8-12)-(1-1-3) =-1 -10901 int1 @`3(3x^2 +4x)dx=3int1 @ (3x^2 +4x)dx=3[x^3 +2x^2 ]1@=3{(8+8)-(1+2)}=39 390902 int-1 !`(x^2 +6)dx+int-1 !`(x^2 -x-2)dx =int-1 !`(x^2 +6+x^2 -x-2)dx =int-1 !`(2x^2 -x+4)dx =[2/3x^3 -1/2x^2 +4x]-1! =(2/3-1/2+4)-(-2/3 -1/2 -4) =28/3 28/30903 int0 @(2x+1)^2 dx-int0 @(2x-1)^2 dx=int0 @(4x^2 +4x+1)dx-int0 @(4x^2 -4x+1)dx=int0 @(4x^2 +4x+1-4x^2 +4x-1)dx=int0 @`8xdx=[4x^2 ]0@ =16 160904 int-1 )`(2x-5)dx+int0 @(2x-5)dx=int-1 @`(2x-5)dx=[x^2 -5x]-1@=(4-10)-(1+5)=-12 -120905 int-2 )`(x^2 +3x+1)dx+int0 !(x^2 +3x+1)dx=int-2 !`(x^2 +3x+1)dx=[1/3x^3 +3/2x^2 +x]!-2=(1/3+3/2+1)-(-8/3+6-2)=3/2 3/2라이트쎈미적1(해091-128).indd 10114. 8. 29. 오후 2:23 102 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0917 구간 [0, 1]을 n등분하면 양 끝 점과 각 분점의 x좌표는 차례대로 0, 1n, 2n, .c3, n-1/n , nn=1n등분한 각 구간을 밑변으로 하고, 오른쪽c(cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)2(cid:79)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:79)(cid:19)(cid:14)(cid:79)(cid:18)(cid:14)(cid:79)(cid:18)(cid:19)(cid:99)(cid:89)(cid:90)(cid:48) 끝에서의 함숫값을 높이로 하는 직사각형을 만들면 오른쪽 그림과 같다. 이들 직사각형의 넓이의 합을 S_n이라 하면 S_n=1/n·2·(1/n)^^2+1/n·2·(2/n)^^2 +1/n·2·(3/n)^^2+.c3+1/n·2·(n/n)^^2 =2/n`sigk=1^n`(k/n)^^2따라서 구하는 도형의 넓이는 limn=inf`S_n=limn=inf`2/n`sigk=1^n`(k/n)^^2 ④0918 ⑴ AB^_=l_nn이므로 S_n=n.c1semoOAB=n(1/2.c1l_nn.c1h_n)=1/2l_nh_n ⇨ ❶⑵ n`@B`X이면 l_n`@B`2pr, h_n`@B`r이므로 구하는 원의 넓이를 S라 하면 S=limn=inf`S_n=limn=inf`1/2l_nh_n=1/2·2pr.c1r=pr^2 ⇨ ❷ 풀이 참조0919 구간 [0, 2]를 n등분하면 양 끝 점과 각 분점의 x좌표는 차례대로 0, 2/n, 4/n, …, 2(n-1)n, 2n/n=2n등분한 각 구간을 밑변으로 하고, 오른쪽 끝에서의 함숫값을 높이로 하는 n개의 직사각형의 넓이의 합을 S_n이라 하면 S_n=2/n·1/2·(2/n)^^2+2/n·1/2·(4/n)^^2+2/n·1/2·(6/n)^^2 +.c3+2/n·1/2·(2n/n)^^2 =2/n·1/2 sigk=1^n (2k/n)^^2=1/n sigk=1^n (2k/n)^^2 .t3 S=limn=inf`S_n=limn=inf`1/n sigk=1^n`(2k/n)^^2 .t3 a=2 20920 원뿔을 자른 단면의 반지름의 길이는 위에서부터 차례대로 r/n, 2r/n, 3r/n, .c3, (n-1)rn각 단면을 밑면으로 하고, 높이가 h/n인 (n-1)개의 원기둥의 부피의 합을 V_n이라 하면채점 기준비율❶ S_n을 l_n과 h_n에 대한 식으로 나타낼 수 있다.50%❷ 원의 넓이를 구할 수 있다.50%0912 d/dx intxX/! (t^2-3t+1)dt ={(x+1)^2-3(x+1)+1}-(x^2-3x+1) =2x-2 2x-20913 f(t)의 한 부정적분을 F(t)라 하면 limx=0`1/x intaX/A`f(t)dt=limx=0`1/xintaX/A`F'(t)dt =limx=0`1/x[F(t)]aX/A =limx=0`F(x+a)-F(a)x=F'(a)=`f(a) .t3 ㈎ f(a) ㈏ F(x+a) ㈐ a 풀이 참조0914 F'(x)=3x^2+x-1이라 하면 limh=0`1/h int0H (3x^2+x-1)dx=limh=0`1/h int0H`F'(x)dx =limh=0`1/h[F(x)]0H=limh=0`F(h)-F(0)h=F'(0)=-1 -10915 F'(t)=(t+1)(t+2)라 하면 limx=1`1x-1 int1X (t+1)(t+2)dt=limx=1`1x-1 int1X`F'(t)dt=limx=1`1x-1 [F(t)]X1=limx=1`F(x)-F(1)x-1=F'(1)=2.c13=6 60916 f(x)=x^2, a=0, b=1로 놓으면 Dx=b-an=1/n, x_k=a+kDx=k/n따라서 정적분의 정의에 의하여 limn=inf`sigk=1^n(k/n)^^2·1/n=limn=inf`sigk=1^n`f(x_k)Dx=int0!`f(x)dx=int0!☐`x^2dx=[1/3x^3]!0=1/3 .t3 ㈎ 1/n ㈏ k/n ㈐ 1 풀이 참조미분계수의 정의미분가능한 함수 f(x)에 대하여 f'(a)=limh=0``f(a+h)-f(a)h=limx=a``f(x)-f(a)x-a라이트쎈미적1(해091-128).indd 10214. 8. 29. 오후 2:23 10``정적분 • 103본책정적분10131~133쪽0924 f(x)=2x^2 으로 놓으면 f(x)는 구간 [0, 2]에서 연속이므로 정적분의 정의에 의하여 Dx=2-0/n`=2/n, x_k =kDx=2k/n, f(x_k )=2x_k ^2 =2(2k/n)^^2 =8k^2 n^2 .t3 int0 @`2x^2 dx=limn=inf `sigk=1 ^n `f(x_k )Dx =limn=inf `sigk=1 ^n `8k^2 n^2 · 2/n=limn=inf `16n^3 sigk=1 ^n `k^2 =limn=inf `16n^3 · n(n+1)(2n+1)6 =limn=inf `8/3(1+1/n)(2+1/n) =16/3따라서 a=8, b=16/3이므로 a/b=3/2 3/20925 f(x)=x-1로 놓으면 f(x)는 구간 [1, 3]에서 연속이므로 정적분의 정의에 의하여 Dx=3-1n=2/n, x_k =1+kDx=1+2k/n, f(x_k )=x_k -1=1+2k/n-1=2k/n ⇨ ❶ .t3 int1 # (x-1)dx=limn=inf `sigk=1 ^n `f(x_k )Dx =limn=inf `sigk=1 ^n 2k/n· 2/n=limn=inf `4n^2 sigk=1 ^n k =limn=inf `4n^2 · n(n+1)2=2 ⇨ ❷ 20926 int3 # (x+1)(4x+5)dx-int-1 _# (y-1)(3y+1)dy =0+int-3 _! (y-1)(3y+1)dy =int-3 _! (3y^2 -2y-1)dy =[y^3 -y^2 -y]_!-3 =(-1-1+1)-(-27-9+3) =32 320927 int0 _@`4-x^2 x-2dx=int-2 )` x^2 -4x-2dx =int-2 )` (x+2)(x-2)x-2dx =int-2 )` (x+2)dx=[1/2x^2 +2x])-2 =-(2-4)=2 2채점 기준비율❶ Dx, x_k , f(x_k )를 n, k에 대한 식으로 각각 나타낼 수 있다.50%❷ int1 # (x-1)dx의 값을 구할 수 있다.50% V_n =h/n[p(r/n)^^2 +p(2r/n)^^2 +p(3r/n)^^2 +.c3 +p{(n-1)rn}^^2 ] =pr^2 hn^3 {1^2 +2^2 +3^2 +… +(n-1)^2 } =pr^2 hn^3 · N_!sig k=1k^2 =pr^2 hn^3 · (n-1)n(2n-1)6 =pr^2 h(n-1)(2n-1)6n^2 .t3 V=limn=inf `V_n =pr^2 h3 .t3 ㈎ hn ㈏ N_!sig k=1k^2 ㈐ pr^2 h3 ③0921 사각뿔의 높이를 n등분하여 만들어진 직육면체의 밑넓이는 위에서부터 차례대로 (a/n)^^2 , (2a/n)^^2 , (3a/n)^^2 , .c3 , {(n-1)an}^^2 이고, 높이는 h/n이므로 (n-1)개의 직육면체의 부피의 합 V_n 은 V_n =h/n[(a/n)^^2 +(2a/n)^^2 +(3a/n)^^2 +.c3 +{(n-1)an}^^2 ] =a^2 hn^3 {1^2 +2^2 +3^2 +… +(n-1)^2 }=a^2 hn^3 N_!sig k=1k^2 =a^2 hn^3 · (n-1)n(2n-1)6 =a^2 h6n^2 (n-1)(2n-1) .t3 f(n)=(n-1)(2n-1) f(n)=(n-1)(2n-1) 사각뿔의 부피 V는V=limn=inf `V_n =limn=inf ` a^2 h6n^2 (n-1)(2n-1)=a^2 h30922 f(x)=x^3 으로 놓으면 f(x)는 구간 [1, 4]에서 연속이므로 정적분의 정의에 의하여 Dx=4-1/n`=3/n, x_k =1+kDx=1+3k/n, f(x_k )=x_k ^3 =(1+3k/n)^^3 .t3 int1 $`x^3 dx=limn=inf `sigk=1 ^n `f(x_k )Dx=limn=inf `sigk=1 ^n (1+3k/n)^^3 .c1 3/n따라서 a=3, b=3이므로 a+b=6 ⑤0923 f(x)=x^2 +2로 놓으면 f(x)는 구간 [0, 1]에서 연속이므로 정적분의 정의에 의하여 Dx=1-0/n`=1/n, x_k =kDx=k/n, f(x_k )=x_k ^2 +2=(k/n)^^2 +2 .t3 int0 ! (x^2 +2)dx=limn=inf `sigk=1 ^n `f(x_k )Dx =limn=inf `sigk=1 ^n {(k/n)^^2 +2}· 1/n .t3 a=1 1라이트쎈미적1(해091-128).indd 10314. 8. 29. 오후 2:23 104 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0928 f(x)=x^2+5x+1이므로 int0!`x^3 f(x)dx=int0!`x^3(x^2+5x+1)dx=int0! (x^5+5x^4+x^3)dx=[1/6x^6+x^5+1/4x^4]!0=1/6+1+1/4=17/12 ⑤0929 int1@ (x-2)(x^2+2x+4)dx=int1@ (x^3-8)dx=[1/4x^4-8x]@1=(4-16)-(1/4-8)=-17/4따라서 p=4, q=17이므로 p+q=21 ④0930 int0_!`f(x)dx=int0_! (2x^3-3kx)dx=[1/2x^4-3/2kx^2]0_!=1/2-3/2k이때 f(-1)=-2+3k이므로 1/2-3/2k=-2+3k 9/2k=5/2 .t3 k=5/9 5/90931 f'(x)=4x-1이므로 f(x)=int`f'(x)dx=int`(4x-1)dx=2x^2-x+C .t3 int-1!` f(x)dx=int-1!`(2x^2-x+C)dx =[2/3x^3-1/2x^2+Cx]!-1 =(2/3-1/2+C)-(-2/3-1/2-C) =4/3+2C이때 4/3+2C=0이므로 C=-2/3따라서 f(x)=2x^2-x-2/3이므로 int0#`f(x)dx=int0#`(2x^2-x-2/3)dx=[2/3x^3-1/2x^2-2/3x]#0=18-9/2-2=23/2 23/20932 int1A (4x+a)dx=[2x^2+ax]A1=(2a^2+a^2)-(2+a)=3a^2-a-2이때 3a^2-a-2=8이므로 3a^2-a-10=0, (3a+5)(a-2)=0 .t3 a=2 (.T3 a>0) 20933 int-2!`(3x^2+2kx+1)dx=[x^3+kx^2+x]!-2=(2+k)-(4k-10)=-3k+12이때 -3k+12>6이므로 k<2따라서 정수 k의 최댓값은 1이다. ①0934 int1K (2x-5)dx=[x^2-5x]K1=(k^2-5k)-(1-5)=k^2-5k+4=(k-5/2)^^2-9/4 ⇨ ❶ 따라서 int1K (2x-5)dx는 k=5/2일 때 최솟값 -9/4를 가지므로 m=5/2, n=-9/4 ⇨ ❷ .t3 m+n=1/4 ⇨ ❸ 1/40935 int0@ (2x^2+x)dx+int2) (x-x^2)dx =int0@ (2x^2+x)dx-int0@ (x-x^2)dx=int0@ (2x^2+x-x+x^2)dx=int0@`3x^2dx=[x^3]@0=8 ⑤0936 int0!`x^3x+2dx+int0!`8t+2dt =int0!`x^3x+2dx+int0!`8x+2dx =int0!`x^3+8x+2dx=int0!`(x+2)(x^2-2x+4)x+2dx =int0! (x^2-2x+4)dx =[1/3x^3-x^2+4x]0!=10/3 ④0937 int0!`1 dx+int0!`2x dx+int0!`3x^2 dx+.c3+int0!`nx^n^-^1 dx=int0! (1+2x+3x^2+.c3+nx^n^-^1)dx=[x+x^2+x^3+.c3+x^n]!0=1+1+1+.c3+1=n .t3 n=10 10채점 기준비율❶ int1K (2x-5)dx의 값을 k에 대한 식으로 나타낼 수 있다.50%❷ m, n의 값을 구할 수 있다.30%❸ m+n의 값을 구할 수 있다.20%라이트쎈미적1(해091-128).indd 10414. 8. 29. 오후 2:23 10``정적분 • 105본책정적분10134~136쪽0938 int-1 @`(2x+k)^2 dx-int2 _! (1-3x^2 )dx=int-1 @`(2x+k)^2 dx+int-1 @`(1-3x^2 )dx=int-1 @`(4x^2 +4kx+k^2 +1-3x^2 )dx=int-1 @`(x^2 +4kx+k^2 +1)dx=[1/3x^3 +2kx^2 +(k^2 +1)x]@-1={8/3+8k+2(k^2 +1)}-{-1/3+2k-(k^2 +1)}=3k^2 +6k+6=3(k+1)^2 +3따라서 주어진 정적분은 k=-1일 때 최솟값 3을 갖는다. 30939 int0 ! (x^3 +x-4)dx+int1 $ (y^3 +y-4)dy=int0 ! (x^3 +x-4)dx+int1 $ (x^3 +x-4)dx=int0 $ (x^3 +x-4)dx=[1/4x^4 +1/2x^2 -4x]$0=56 ④0940 int0 # (6x-1)dx-inta # (6x-1)dx =int0 # (6x-1)dx+int3 A (6x-1)dx =int0 A (6x-1)dx=[3x^2 -x]0A =3a^2 -a ⇨ ❶이때 3a^2 -a=44이므로 3a^2 -a-44=0 (3a+11)(a-4)=0 .t3 a=4 (.T3 a>0) ⇨ ❷ 40941 int1 %`f(x)dx=int1 @`f(x)dx+int2 %`f(x)dx={ int1 #`f(x)dx+int3 @`f(x)dx}+int2 %`f(x)dx=int1 #`f(x)dx-int2 #`f(x)dx+int2 %`f(x)dx=5-2+4=7 70942 int-2 _!`x^2 x^2 +3dx-int1 _!`x^2 x^2 +3dx+int-2 !``3x^2 +3dx =int-2 _!`x^2 x^2 +3dx+int-1 !``x^2 x^2 +3dx+int-2 !``3x^2 +3dx =int-2 !``x^2 x^2 +3dx+int-2 !``3x^2 +3dx =int-2 !``x^2 +3x^2 +3dx=int-2 !``1dx =[x]!-2=1-(-2)=3 3채점 기준비율❶ 주어진 등식의 좌변을 a에 대한 식으로 나타낼 수 있다.60%❷ a의 값을 구할 수 있다.40%0943 int0 @`f(x)dx=int0 !`f(x)dx+int1 @`f(x)dx=int0 ! (-x+2)dx+int1 @ (2x-1)dx=[-1/2x^2 +2x]!0+[x^2 -x]@1=(-1/2+2)+(4-2)-(1-1)=7/2 ③0944 f(x)={22x+2(x_> 0)(x_< 0)이므로 xf(x)={2x2x^2 +2x(x_> 0)(x_< 0) ⇨ ❶ .t3 int-2 @` xf(x)dx=int-2 )` xf(x)dx+int0 @`xf(x)dx =int-2 )` (2x^2 +2x)dx+int0 @`2xdx =[2/3x^3 +x^2 ])-2+[x^2 ]@0 =-(-16/3+4)+4=16/3 ⇨ ❷ 16/30945 a_< 2일 때, int1 A`f(x)dx=int1 A (2x-4)dx=[x^2 -4x]1A=(a^2 -4a)-(1-4)=a^2 -4a+3이때 a^2 -4a+3=0이므로 (a-1)(a-3)=0 .t3 a=1 또는 a=3그런데 anot= 1, a_< 2이므로 조건을 만족시키지 않는다. a_> 2일 때, int1 A`f(x)dx=int1 @`f(x)dx+int2 A`f(x)dx=int1 @ (2x-4)dx+int2 A (1/2x-1)dx=[x^2 -4x]@1+[1/4x^2 -x]A2=(4-8)-(1-4)+(1/4a^2 -a)-(1-2)=1/4a^2 -a이때 1/4a^2 -a=0이므로 a^2 -4a=0, a(a-4)=0 .t3 a=4 (.T3 a_> 2), 에서 a=4 4채점 기준비율❶ x f(x)를 구할 수 있다.30%❷ int-2 @` x f(x)dx의 값을 구할 수 있다.70%라이트쎈미적1(해091-128).indd 10514. 8. 29. 오후 2:23 106 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0946 |x^2-3x|={x^2-3x-x^2+3x(x_<0 또는 x_>3)(0_2)(-2_1/2)(x_<1/2)이므로 int0A |2x-1|dx=int^1/20```(-2x+1)dx+int1/2A (2x-1)dx =[-x^2+x]^1/20+[x^2-x]A1/2 =-1/4+1/2+(a^2-a)-(1/4-1/2) =a^2-a+1/2이때 a^2-a+1/2=13/2이므로 a^2-a-6=0 (a+2)(a-3)=0 .t3 a=3 (.T3 a>1/2) ①0949 |x-a|={x-a-x+a(x_>a)(x_1)(-1_ 0)(x_< 0)이므로 int-2 @`(3x^5 -|x^3 |+4x+1)dx=int-2 @`(-|x^3 |+1)dx=int-2 )`(x^3 +1)dx+int0 @ (-x^3 +1)dx=[1/4x^4 +x])-2+[-1/4x^4 +x]@0=-(4-2)+(-4+2)=-4 -40955 f(x)=f(-x)에서 f(x)는 우함수이고, g(x)=-g(-x)에서 g(-x)=-g(x)이므로 g(x)는 기함수이다. .t3 int-2 @`{f(x)+g(x)}dx=int-2 @``f(x)dx+int-2 @``g(x)dx =2int0 @`f(x)dx =2· 2=4 ①0956 f(-x)=f(x)에서 f(x)는 우함수이므로 x^3 `f(x), xf(x)는 모두 기함수이다. .t3 int-1 !`(3x^3 -x+2)f(x)dx=3int-1 !` x^3 `f(x)dx-int-1 !` xf(x)dx+2int-1 !``f(x)dx=2int-1 !``f(x)dx=4int0 !`f(x)dx=4.c1 5=20 200957 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f(x+1)=f(x)이므로 int1 @`f(x)dx=int2 #`f(x)dx=int3 $`f(x)dx=int4 %`f(x)dx=4 .t3 int1 %`f(x)dx=int1 @`f(x)dx+int2 #`f(x)dx+int3 $`f(x)dx+int4 %`f(x)dx =4.c1 4=16 ⑤0958 int-1 !``f(x)dx=int-1 !``3x^2 dx=2int0 !`3x^2 dx=2[x^3 ]!0=2 ⇨ ❶ 이때 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f(x)=f(x+2)이므로 실수 a에 대하여 inta A/@`f(x)dx=int-1 !` f(x)dx=2우함수, 기함수의 곱① (우함수)\(우함수)=(우함수)② (우함수)\(기함수)=(기함수)③ (기함수)\(기함수)=(우함수) .t3 int-4 $``f(x)dx=int-4 _@`f(x)dx+int-2 )``f(x)dx+int0 @`f(x)dx +int2 $`f(x)dx =4.c1 2=8 ⇨ ❷ 80959 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f(x+3)=f(x)이므로 int-1 %``f(x)dx=int-1 @``f(x)dx+int2 %`f(x)dx=2int0 #`f(x)dx이때 2int0 #`f(x)dx=10이므로 int0 #`f(x)dx=5 .t3 int0 # {2x+f(x)}dx=int0 #`2xdx+int0 #`f(x)dx=[x^2 ]#0+5=9+5=14 140960 int0 @`f(t)dt=k`(k는 상수) … … ㉠로 놓으면 f(x)=-2x+k이것을 ㉠에 대입하면 int0 @ (-2t+k)dt=k, [-t^2 +kt]@0=k -4+2k=k .t3 k=4따라서 f(x)=-2x+4이므로 f(1)=2 ④0961 int0 !`tf(t)dt=k`(k는 상수) … … ㉠로 놓으면 f(x)=x^2 -3x+k이것을 ㉠에 대입하면 int0 !`t(t^2 -3t+k)dt=k, int0 !(t^3 -3t^2 +kt)dt=k [1/4t^4 -t^3 +k/2t^2 ]!0=k, -3/4+k/2=k .t3 k=-3/2 .t3 f(x)=x^2 -3x-3/2 f(x)=x^2 -3x-3/20962 f(x)=3x^2 +int0 ! (x+1)f(t)dt f(x)=3x^2 +xint0 !`f(t)dt+int0 !`f(t)dt int0 !`f(t)dt=k (k는 상수) … … ㉠로 놓으면 f(x)=3x^2 +kx+k ⇨ ❶이것을 ㉠에 대입하면 int0 ! (3t^2 +kt+k)dt=k, [t^3 +1/2kt^2 +kt]!0=k채점 기준비율❶ int-1 !``f(x)dx의 값을 구할 수 있다.40%❷ int-4 $``f(x)dx의 값을 구할 수 있다.60%라이트쎈미적1(해091-128).indd 10714. 8. 29. 오후 2:23 108 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 1+3/2k=k .t3 k=-2 ⇨ ❷ 따라서 f(x)=3x^2-2x-2이므로 f'(x)=6x-2 .t3 f'(-1)=-8 ⇨ ❸ -80963 intaX`f(t)dt=x^2-x의 양변에 x=a를 대입하면 a^2-a=0, a(a-1)=0 .t3 a=1 (∵ a>0)주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 `f(x)=2x-1 .t3 f(a)=f(1)=1 10964 f(x)=int1X (t^2+2t)dt의 양변에 x=1을 대입하면 `f(1)=0주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 `f'(x)=x^2+2x .t3 f'(1)=3 .t3 f(1)+f'(1)=3 ⑤0965 f(x)=int1X (2t-1)(t^2+3)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 `f'(x)=(2x-1)(x^2+3) .t3 limh=0``f(1+3h)-f(1)h=limh=0``f(1+3h)-f(1)3h.c13 =3 f'(1)=3.c14 =12 120966 주어진 등식의 양변에 x=2를 대입하면 4+2a-10=0 .t3 a=3주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 `f(x)=2x+a=2x+3 .t3 f(5)=13 ②0967 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 `-f(-1)=-2-1 .t3 f(-1)=3주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)+xf'(x)=6x^2-2x+f(x) xf'(x)=6x^2-2x .t3 f'(x)=6x-2 .t3 f(x)=int`f'(x)dx=int`(6x-2)dx=3x^2-2x+C …… ㉠㉠㉠x=-1을 ㉠에 대입하면 f(-1)=3+2+C=3 .t3 C=-2따라서 f(x)=3x^2-2x-2이므로 f(k)=19에서 3k^2-2k-2=19, 3k^2-2k-21=0 (3k+7)(k-3)=0 .t3 k=3 (.T3 k는 정수) ③채점 기준비율❶ 정적분을 k로 치환하고 f(x)를 k를 이용하여 나타낼 수 있다.30%❷ k의 값을 구할 수 있다.40%❸ f'(-1)의 값을 구할 수 있다.30%0968 int-1X (x-t)f(t)dt=x^3+3x^2+3x+1에서 xint-1X`f(t)dt-int-1X`tf(t)dt=x^3+3x^2+3x+1위의 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 int-1X` f(t)dt+xf(x)-xf(x)=3x^2+6x+3 .t3 int-1X `f(t)dt=3x^2+6x+3위의 등식의 양변을 다시 x에 대하여 미분하면 f(x)=6x+6 .t3 f(0)=6 ④0969 int1X (x-t)f(t)dt=x^3+ax^2+9x-4의 양변에 x=1을 대입하면 1+a+9-4=0.t3.t3.t3 a=-6 int1X (x-t)f(t)dt=x^3-6x^2+9x-4에서 xint1X`f(t)dt-int1X`tf(t)dt=x^3-6x^2+9x-4위의 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 int1X`f(t)dt+xf(x)-xf(x)=3x^2-12x+9 .t3 int1X`f(t)dt=3x^2-12x+9위의 등식의 양변을 다시 x에 대하여 미분하면 f(x)=6x-12 .t3 b=f(1)=-6 .t3 a+b=-12 -120970 int0X (x-t)f'(t)dt=x^3에서 xint0X`f'(t)dt-int0X tf'(t)dt=x^3위의 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 int0X`f'(t)dt+xf'(x)-xf'(x)=3x^2 int0X`f'(t)dt=3x^2, [f(t)]X0=3x^2 .t3 f(x)-f(0)=3x^2이때 f(0)=4이므로 f(x)=3x^2+4 f(x)=3x^2+40971 f(x)=int1X (t^2+t-2)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f'(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1)`f'(x)=0에서 x=-2 또는 x=1x…-2…1…`f'(x)+0-0+`f(x)↗극대↘극소↗따라서 f(x)는 x=-2에서 극댓값 a, x=1에서 극솟값 b를 가지므로 a=f(-2)=int1_@ (t^2+t-2)dt=[1/3t^3+1/2t^2-2t]1_@ =(-8/3+2+4)-(1/3+1/2-2)=9/2라이트쎈미적1(해091-128).indd 10814. 8. 29. 오후 2:23 10``정적분 • 109본책정적분10139~141쪽 b=f(1)=int1 ! (t^2 +t-2)dt=0 .t3 2a+b=2.c1 9/2+0=9 ⑤0972 f(x)=int-2 X`(t^2 -kt+3)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f'(x)=x^2 -kx+3함수 f(x)가 x=1에서 극값을 가지므로 f'(1)=0 1-k+3=0 .t3 k=4 40973 f(x)=int-1 X (-t^2 +at-a)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f'(x)=-x^2 +ax-a함수 f(x)가 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 이차방정식 f'(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식을 D라 할 때, D=a^2 -4a>0, a(a-4)>0 .t3 a<0 또는 a>4따라서 자연수 a의 최솟값은 5이다. ⑤0974 f(x)=int0 X (3t^2 +at+b)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f'(x)=3x^2 +ax+b함수 f(x)가 x=2에서 극솟값 2를 가지므로 f(2)=2, f'(2)=0 f'(2)=12+2a+b=0이므로 2a+b=-12 … … ㉠㉠㉠ f(2)=int0 @ (3t^2 +at+b)dt=[t^3 +1/2at^2 +bt]@0=8+2a+2b=2이므로 a+b=-3 … … ㉡㉠㉠㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-9, b=6 ⇨ ❶ 따라서 f'(x)=3x^2 -9x+6이므로 f'(x)=0에서 3x^2 -9x+6=0, (x-1)(x-2)=0 .t3 x=1 또는 x=2 ⇨ ❷ 따라서 f(x)는 x=1에서 극댓값을 가지므로 구하는 극댓값은 f(1)=int0 ! (3t^2 -9t+6)dt =[t^3 -9/2t^2 +6t]!0=5/2 ⇨ ❸ 5/20975 int0 X (x-t)f(t)dt=1/4x^4 -2x^3 +x^2 에서 xint0 X`f(t)dt-int0 X`tf(t)dt=1/4x^4 -2x^3 +x^2 채점 기준비율❶ a, b의 값을 구할 수 있다.50%❷ f'(x)=0을 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다.20%❸ f(x)의 극댓값을 구할 수 있다.30%앞의 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 int0 X`f(t)dt+xf(x)-xf(x)=x^3 -6x^2 +2x .t3 int0 X`f(t)dt=x^3 -6x^2 +2x위의 등식의 양변을 다시 x에 대하여 미분하면 f(x)=3x^2 -12x+2=3(x-2)^2 -10따라서 f(x)는 x=2에서 최솟값 -10을 갖는다. -100976 f(x)=3x^2 -2int0 !`xf(t)dt=3x^2 -2xint0 !`f(t)dt int0 !`f(t)dt=k (k는 상수) .c3 .c3 ㉠로 놓으면 f(x)=3x^2 -2kx이것을 ㉠에 대입하면 int0 ! (3t^2 -2kt)dt=k, [t^3 -kt^2 ]!0=k 1-k=k .t3 k=1/2 .t3 f(x)=3x^2 -x=3(x-1/6 )^^2 -1/12따라서 f(x)는 x=1/6에서 최솟값 -1/12을 갖는다. -1/120977 f(x)=intx X/! (t^2 +t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f'(x) ={(x+1)^2 +(x+1)}-(x^2 +x) =2x+2=2(x+1)`f'(x)=0에서 x=-1이때 -2_< x_< 2이므로 f(-2)=int-2 _! (t^2 +t)dt=[1/3t^3 +1/2t^2 ]-2_!=5/6 f(-1)=int-1 )`(t^2 +t)dt=[1/3t^3 +1/2t^2 ])-1=-1/6 f(2)=int2 # (t^2 +t)dt=[1/3t^3 +1/2t^2 ]2#=53/6따라서 M=53/6, m=-1/6이므로 M-m=9 ⑤0978 g(k)=int0 ! (x+k)^2 f(x)dx=int0 ! (x^2 +2kx+k^2 )f(x)dx=int0 !`x^2 f(x)dx+2kint0 !`xf(x)dx+k^2 int0 !`f(x)dx=int0 !`x^2 f(x)dx+10k+2k^2 =2(k+5/2)^^2 +int0 !`x^2 f(x)dx-25/2이때 정적분 int0 !`x^2 f(x)dx는 상수이므로 g(k)는 k=-5/2에서 최솟값을 갖는다. ②라이트쎈미적1(해091-128).indd 10914. 8. 29. 오후 2:23 110 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0979 주어진 그래프에서 f(x)=ax(x-4)=a(x-2)^2-4a`(a>0)로 놓을 수 있다. 이때 f(x)의 최솟값이 -2이므로 -4a=-2 .t3 a=1/2 .t3 f(x)=1/2x(x-4)=1/2x^2-2x한편 F(x)=int0X`f(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 F'(x)=f(x)즉 f(x)는 F(x)의 도함수이다.주어진 y=f(x)의 그래프에서 f(4)=0이고 x=4의 좌우에서 f(x)의 값이 음에서 양으로 바뀌므로 F(x)는 x=4에서 극솟값을 갖는다.따라서 구하는 극솟값은 F(4)=int0$`f(t)dt=int0$ (1/2t^2-2t)dt F(2)=[1/6t^3-t^2]$0=-16/3 -16/3 주어진 y=f(x)의 그래프에서 f(0)=0이고 x=0의 좌우에서 f(x)의 값이 양에서 음으로 바뀌므로 F(x)는 x=0에서 극댓값을 갖는다.0980 주어진 그래프에서 F(x)=a(x-1)(x-2)=a(x^2-3x+2) (a<0)로 놓을 수 있다. 이때 F(x)=int1X`f(t)dt에서 a(x^2-3x+2)=int1X`f(t)dt위의 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=a(2x-3) f(2)=-1이므로 a=-1따라서 f(x)=-(2x-3)=-2x+3이므로 f(0)=3 ⑤0981 주어진 그래프에서 f(x)=x(x-3)=x^2-3x ⇨ ❶ F(x)=intxX/@`f(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 F'(x)=f(x+2)-f(x) ={(x+2)^2-3(x+2)}-(x^2-3x) =4x-2 ⇨ ❷F'(x)=0에서 x…1/2…F'(x)-0+F(x)↘극소↗ x=1/2 ⇨ ❸따라서 함수 F(x)는 x=1/2에서 극극소이면서 최소이므로 구하는 최솟값은 F(1/2)=int1/25/2 (t^2-3t)dt=[1/3t^3-3/2t^2]5/21/2 =(1/3.c1125/8-3/2.c125/4)-(1/3.c11/8-3/2.c11/4) =-23/6 ⇨ ❹ -23/60982 f(x)=4x^2-5x+1, F'(x)=f(x)로 놓으면 limx=0`1/x int0X (4t^2-5t+1)dt=limx=0`1/x int0X f(t)dt=limx=0`F(x)-F(0)x=F'(0)=f(0)=1 ①0983 f(x)=int0X (2t^3+t^2)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f'(x)=2x^3+x^2 .t3 limh=0`1/h int2-h@/H`f'(x)dx=limh=0``f(2+h)-f(2-h)h =limh=0`{f(2+h)-f(2)}-{f(2-h)-f(2)}h =limh=0``f(2+h)-f(2)h+limh=0``f(2-h)-f(2)-h =f'(2)+f'(2)=2f'(2)=2.c1(2.c12^3+2^2)=40 400984 F'(x)=f(x)로 놓으면 limh=0 1/h int1-3h!/H`f(x)dx=limh=0`F(1+h)-F(1-3h)h =limh=0`{F(1+h)-F(1)}-{F(1-3h)-F(1)}h =limh=0`F(1+h)-F(1)h+3 limh=0`F(1-3h)-F(1)-3h =F'(1)+3F'(1)=4F'(1)=4f(1)=4(4+a)=4a+16이때 4a+16=2이므로이이4a=-14 .t3 a=-7/2 -7/20985 f(t)=|t-a|, F'(t)=f(t)로 놓으면 limx=0`1/x int0X |t-a|dt=limx=0`1/x int0X f(t)dt =limx=0`F(x)-F(0)x =F'(0)=f(0) =|-a|=-a (.T3 a<0)채점 기준비율❶ f(x)를 구할 수 있다.20%❷ F'(x)를 구할 수 있다.30%❸ F'(x)=0을 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다. 20%❹ F(x)의 최솟값을 구할 수 있다.30%라이트쎈미적1(해091-128).indd 11014. 8. 29. 오후 2:23 10``정적분 • 111본책정적분10141~143쪽따라서 -a=a^2 -6이므로 a^2 +a-6=0 (a+3)(a-2)=0 .t3 a=-3 (.T3 a<0) -30986 F'(t)=f(t)로 놓으면 limx=2 `1x-2 int2 X`f(t)dt=limx=2 `F(x)-F(2)x-2 =F'(2)=f(2) =2.c1 2^3 +2^2 -2-1 =17 ④0987 F'(t)=f(t)로 놓으면 limx=1 `1x-1 intx 2! `f(t)dt=limx=1 `-1x-1 int1 X@`f(t)dt =-limx=1 `F(x^2 )-F(1)x-1 =-limx=1 `F(x^2 )-F(1)x^2 -1· (x+1) =-2F'(1)=-2f(1) =-2(1-3+1+5) =-8 -80988 F'(t)=f(t)로 놓으면 limx=1 `1x^2 -1 int1 X`f(t)dt=limx=1 `F(x)-F(1)x-1· 1x+1 =1/2F'(1)=1/2f(1)=5+a2따라서 5+a2=7이므로 a=9 ⑤0989 limn=inf `sigk=1 ^n `f(1+k/n)· 2/n=2limn=inf `sigk=1 ^n `f(1+k/n)· 1/n=2int1 @`f(x)dx=2int0 !`f(1+x)dx따라서 바르게 나타낸 것은 ④이다. ④0990 limn=inf `sigk=1 ^n (1+3k/n)^^3 · 2/n=2/3 limn=inf `sigk=1 ^n (1+3k/n)^^3 · 3/n1+3k/n를 x로, 3/n을 dx로 나타낼 때, k=1이고 n @B �이면 x=1 k=n이면 x=4이므로 적분 구간은 [1, 4]이다. .t3 (주어진 식)=2/3int1 $`x^3 dx=2/3[1/4x^4 ]$1 =1/6(4^4 -1)=85/2 .t3 ㈎ 1 ㈏ 4 ㈐ 85/2따라서 a=1, b=4, c=85/2이므로 a+b-c=-75/2 -75/20991 limn=inf `2/n{(1+1/n)^^2 +(1+2/n)^^2 +.c3 +(1+n/n)^^2 } =limn=inf `2/nsigk=1 ^n (1+k/n)^^2 ⇨ ❶ =2limn=inf `sigk=1 ^n (1+k/n)^^2 · 1/n =2 int1 @`x^2 dx ⇨ ❷ =2[1/3x^3 ]@1=14/3 ⇨ ❸ 14/30992 limn=inf `sigk=1 ^n `a-1n{a+(a-1)kn}^^3 에서 a+(a-1)kn를 x로, a-1n을 dx로 나타내면 k=1이고 n`@B`X이면 x=a k=n이면 x=2a-1이므로 적분 구간은 [a, 2a-1]이다. .t3 (주어진 식)=inta @A_!`x^3 dx =int0 A_! (a+x)^3 `dx따라서 바르게 나타낸 것은 ④이다. ④0993 limn=inf `1/n {f(2/n)+f(4/n)+f(6/n)+… +f(2n/n)} =limn=inf `sigk=1 ^n `f(2k/n)· 1/n=1/2limn=inf `sigk=1 ^n `f(2k/n)· 2/n =1/2int0 @`f(x)dx=1/2int0 @ (3x^2 -8x+5)dx =1/2[x^3 -4x^2 +5x]@0=1/2· 2=1 ⑤0994 semo ABCZsemo AB_k C_k (k=1, 2, 3, .c3 , n-1)이므로 AC^_ `:`BC^_ =AC_k 4`:``B_k C_k 4, 1`:`1=kn`:`B_k C_k 4 .t3 `B_k C_k 4=kn .t3 limn=inf 1/nN_!sig k=1 B_k C_k 4^2 =limn=inf 1/nN_!sig k=1(kn)^^2 =limn=inf `N_!sig k=1(kn)^^2 · 1n =int0 !`x^2 dx =[1/3x^3 ]!0=1/3 1/3채점 기준비율❶ 주어진 급수를 sig 를 이용하여 나타낼 수 있다.20%❷ 주어진 급수를 정적분으로 나타낼 수 있다.50%❸ 답을 구할 수 있다.30%라이트쎈미적1(해091-128).indd 11114. 8. 29. 오후 2:23 112 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0995 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에ccc(cid:35)n-1(cid:35)(cid:36)(cid:36)n-1(cid:38)n-1(cid:36)3(cid:38)3(cid:38)2(cid:38)1(cid:36)2(cid:36)1(cid:37)(cid:34)(cid:38)(cid:35)3(cid:35)2(cid:35)1서 변 AB에 평행하게 직선을 그어 변 BC와 만나는 점을 E라 하고 선분 B_kC_k와 만나는 점을 E_k라 하면 B_kE_k4=2, EC^_=1한편 semoDECZsemoDE_kC_k`(k=1, 2, 3, …, n-1)이므로 DE^_`:`EC^_=DE_k4`:`E_kC_k4 4`:`1=4k/n`:`E_kC_k4 .t3 E_kC_k4=k/n따라서 B_kC_k4=B_kE_k4+E_kC_k4=2+k/n이므로 limn=inf`2/nN_!sigk=1 `B_kC_k4^2=limn=inf`N_!sigk=1 (2+k/n)^^2·2/n =2limn=inf`N_!sigk=1 (2+k/n)^^2·1/n =2int2#`x^2dx=2[1/3x^3]#2 =2(9-8/3)=38/3 ⑤0996 `f(x)의 한 부정적분을 F(x)라 할 때, intaB`f(x)dx=F(b)-F(a)임을 이용한다.int0K (6x-1)dx=[3x^2-x]K0=3k^2-k이때 3k^2-k=5/4이므로 12k^2-4k-5=0 (2k+1)(6k-5)=0 .t3 k=-1/2 (.T3 k<0) ③0997 `intaB`f(x)dx+intbC`f(x)dx=intaC`f(x)dx임을 이용한다.int-1)` (x^3-4x)dx+int0! (y^3-4y)dy+int1@ (z^3-4z)dz=int-1)` (x^3-4x)dx+int0! (x^3-4x)dx+int1@ (x^3-4x)dx=int-1@` (x^3-4x)dx=[1/4x^4-2x^2]@-1=(4-8)-(1/4-2)=-9/4 -9/40998 `f(x+k)=f(x)이면 intaB`f(x)dx=inta+kB/K`f(x)dx임을 이용한다.함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f(x+4)=f(x)이므로 int0@`f(x)dx=int4^`f(x)dx따라서 항상 같은 것은 ⑤이다. ⑤0999 d/dxintaX`f(t)dt=f(x)임을 이용한다.intaX`f(t)dt=x^2+4x-5의 양변에 x=a를 대입하면 a^2+4a-5=0, (a+5)(a-1)=0 .t3 a=1 (.T3 a>0)주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=2x+4 .t3 f(a)=f(1)=6 61000 limn=inf`sigk=1^n`f(a+pnk)·pn=intaA/P`f(x)dx임을 이용한다.limn=inf`sigk=1^n 2/n(2+k/n)^^3=2 limn=inf`sigk=1^n (2+k/n)^^3·1/n=2int2#`x^3`dx따라서 a=2, b=3이므로 ab=6 ⑤1001 F'(x)=f(x)일 때, intaB`f(x)dx=F(b)-F(a)임을 이용한다.int1# {5f'(x)-4x}dx=[5f(x)-2x^2]#1={5f(3)-18}-{5f(1)-2}=5f(3)-5f(1)-16=5f(3)-26 (.T3 f(1)=2)따라서 5f(3)-26=4이므로 5 f(3)=30 .t3 f(3)=6 ⑤1002 `intaB {f(x)+g(x)}dx=intaB`f(x)dx+intaB`g(x)dx임을 이용한다.int1@ {1+f(x)}^2dx=int1@ [{f(x)}^2+2f(x)+1]dx=int1@ {f(x)}^2dx+2int1@`f(x)dx+int1@`1dx=4-2int2!`f(x)dx+[x]@1=4+2+(2-1)=7 71003 `구간에 따라 다르게 정의된 함수는 구간을 나누어 각각 정적분의 값을 구한다.|x|={x-x(x_>0)(x_<0)이므로 f(x)=i1x-x(x_<-1 또는 x_>1)(0_ 0이다.따라서 구하는 넓이 S는 S=int1 @ (-x^2 +3x-2)dx=[-1/3x^3 +3/2x^2 -2x]@1 =(-2/3)-(-5/6)=1/6 .t3 ㈎ 2 ㈏ _> ㈐ 1/6 풀이 참조1018 S=int1 $`|x^2 -3x|dx =int1 # (-x^2 +3x)dx+int3 $ (x^2 -3x)dx =[-1/3x^3 +3/2x^2 ]#1+[1/3x^3 -3/2x^2 ]$3 =9/2-7/6+(-8/3)-(-9/2) =31/6 .t3 ㈎ -x^2 +3x ㈏ x^2 -3x ㈐ 31/6 풀이 참조1019 곡선 y=(x+1)(x-2)와 x축(cid:90)(cid:30)(cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:10)(cid:9)(cid:89)(cid:14)(cid:19)(cid:10)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:19)(cid:89)(cid:90)(cid:48)의 교점의 x좌표는 (x+1)(x-2)=0에서 x=-1 또는 x=2y=(x+1)(x-2)=x^2 -x-2이므로구하는 넓이는 int-1 @`{-(x^2 -x-2)}dx=-int-1 @`(x^2 -x-2)dx =-[1/3x^3 -1/2x^2 -2x]@-1 =-(-10/3-7/6)=9/2 9/21020 곡선 y=-x^2 +2x와 x축의 교점의(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)2(cid:12)(cid:19)(cid:89)(cid:19)(cid:89)(cid:90)(cid:48) x좌표는 -x^2 +2x=0에서 -x(x-2)=0 .t3 x=0 또는 x=2따라서 구하는 넓이는 int0 @ (-x^2 +2x)dx=[-1/3x^3 +x^2 ]@0 =4/3 4/3정적분의 활용11 Ⅳ. 다항함수의 적분법라이트쎈미적1(해091-128).indd 11514. 8. 29. 오후 2:24 116 • 정답 및 풀이정답 및 풀이1025 곡선 y=x^2과 직선 y=-x+2의(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:90)(cid:30)(cid:89)2(cid:90)(cid:48)(cid:14)(cid:19)(cid:18)(cid:19) 교점의 x좌표는 x^2=-x+2에서 x^2+x-2=0 (x+2)(x-1)=0 .t3 x=-2 또는 x=1따라서 구하는 넓이는 int-2!`{(-x+2)-x^2}dx=int-2!`(-x^2-x+2)dx =[-1/3x^3-1/2x^2+2x]!-2 =7/6-(-10/3) =9/2 9/21026 곡선 y=x^2-1과 직선 y=3x+3(cid:90)(cid:30)(cid:89)2(cid:14)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:89)(cid:12)(cid:20)(cid:21)(cid:20)(cid:48)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:89)(cid:90)의 교점의 x좌표는 x^2-1=3x+3에서 x^2-3x-4=0 (x+1)(x-4)=0 .t3 x=-1 또는 x=4따라서 구하는 넓이는 int-1$`{3x+3-(x^2-1)}dx=int-1$ (-x^2+3x+4)dx=[-1/3x^3+3/2x^2+4x]$-1=56/3-(-13/6)=125/6 125/61027 곡선 y=-x^2+x와 직선 (cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)2(cid:12)(cid:89)(cid:18)(cid:19)(cid:48)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89) y=-x의 교점의 x좌표는 -x^2+x=-x에서 x^2-2x=0, x(x-2)=0 .t3 x=0 또는 x=2따라서 구하는 넓이는 int0@ {(-x^2+x)-(-x)}dx=int0@ (-x^2+2x)dx=[-1/3x^3+x^2]@0=4/3 4/31028 곡선 y=x^3과 직선 y=2x의 교 (cid:14)1(cid:19)1(cid:19)(cid:48)(cid:89)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:89)3점의 x좌표는 x^3-2x=0에서 x(x+12)(x-12)=0 .t3 x=0 또는 x=z12따라서 구하는 넓이는 int-)12 (x^3-2x)dx+int012 (-x^3+2x)dx=[1/4x^4-x^2])-12+[-1/4x^4+x^2]012=1+1=2 21021 곡선 y=x^2-2x-3과 x축의 교점34.138 mm(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:89)2(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:20)(cid:90)(cid:48)(cid:20)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:19)의 x좌표는 x^2-2x-3=0에서 (x+1)(x-3)=0 .t3 x=-1 또는 x=3따라서 구하는 넓이는 int-2!`|x^2-2x-3|dx=int-2_! (x^2-2x-3)dx+int-1!`(-x^2+2x+3)dx=int-2_! (x^2-2x-3)dx+2int0!`(-x^2+3)dx=[1/3x^3-x^2-3x]_!-2+2[-1/3x^3+3x]!0=5/3-(-2/3)+2.c18/3=23/3 23/31022 곡선 y=-x^2+4와 x축의 교점의 (cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)2(cid:12)(cid:21)(cid:90)(cid:20)(cid:19)(cid:48)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:18) x좌표는 -x^2+4=0에서 -(x+2)(x-2)=0 .t3 x=-2 또는 x=2따라서 구하는 넓이는 int-1#`|-x^2+4|dx=int-1@`(-x^2+4)dx+int2# (x^2-4)dx=[-1/3x^3+4x]@-1+[1/3x^3-4x]#2=16/3-(-11/3)-3-(-16/3)=34/3 34/31023 y=1x에서 x=y^2따라서 구하는 넓이는 int1#`y^2dy=[1/3y^3]#1=9-1/3=26/3 26/31024 ⑴ 곡선 y=x^2-2와 직선 y=4x+3의 교점의 x좌표는 x^2-2=4x+3에서 x^2-4x-5=0 (x+1)(x-5)=0 .t3 x=-1 또는 x=5 .t3 a=-1, b=5 (.T3 a0) 11045 x=y(y^2 -1)에서 x=y^3 -y따라서 구하는 넓이는 int-1 !`|y^3 -y|dy=int-1 )`(y^3 -y)dy+int0 ! (-y^3 +y)dy=[1/4y^4 -1/2y^2 ])-1+[-1/4y^4 +1/2y^2 ]!0=1/4+1/4=1/2 ② 1046 y=11-xz-1에서 y+1=11-xz (y+1)^2 =1-x .t3 x=-y^2 -2y따라서 구하는 넓이는 int-1 !`|-y^2 -2y|dy=int-1 )`(-y^2 -2y)dy+int0 ! (y^2 +2y)dy =[-1/3y^3 -y^2 ])-1+[1/3y^3 +y^2 ]!0 =2/3+4/3=2 ②1047 x=(y-2)(y-a)=y^2 -(2+a)y+2a이므로 색칠한 부분의 넓이는 int2 A |y^2 -(2+a)y+2a|dy=int2 A {-y^2 +(2+a)y-2a}dy =[-1/3y^3 +1/2(2+a)y^2 -2ay]A2 =1/6a^3 -a^2 +2a-4/3따라서 1/6a^3 -a^2 +2a-4/3=9/2이므로 a^3 -6a^2 +12a-35=0, (a-5)(a^2 -a+7)=0 .t3 a=5 51048 곡선 y=x(x-2)^2 과 직선 y=x의 (cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:48)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:9)(cid:89)(cid:14)(cid:19)(cid:10)2(cid:90) 교점의 x좌표는 x(x-2)^2 =x에서 x(x^2 -4x+3)=0 x(x-1)(x-3)=0 .t3 x=0 또는 x=1 또는 x=3따라서 구하는 넓이는 int0 ! {x(x-2)^2 -x}dx+int1 # {x-x(x-2)^2 }dx=int0 ! (x^3 -4x^2 +3x)dx+int1 # (-x^3 +4x^2 -3x)dx=[1/4x^4 -4/3x^3 +3/2x^2 ]!0+[-1/4x^4 +4/3x^3 -3/2x^2 ]#1=5/12+8/3=37/12 ④라이트쎈미적1(해091-128).indd 11914. 8. 29. 오후 2:24 120 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 [-1/3x^3+a+4/2`x^2]0A/$=36 (a+4)^36=36, (a+4)^3=6^3 a+4=6 .t3 a=2 ④1052 두 곡선 y=x^3-2x, y=x^2의 교점(cid:14)(cid:18)(cid:19)(cid:52)1(cid:90)(cid:30)(cid:89)3(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:89)2(cid:48)(cid:89)(cid:90)(cid:52)2의 x좌표는 x^3-2x=x^2에서 x^3-x^2-2x=0 x(x+1)(x-2)=0 .t3 x=-1 또는 x=0 또는 x=2따라서 두 도형의 넓이는 S_1=int-1)`{(x^3-2x)-x^2}dx =int-1)`(x^3-x^2-2x)dx =[1/4x^4-1/3x^3-x^2])-1=5/12 S_2=int0@ {x^2-(x^3-2x)}dx =int0@ (-x^3+x^2+2x)dx =[-1/4x^4+1/3x^3+x^2]@0=8/3 .t3 S_2-S_1=9/4 9/41053 두 곡선 y=x^3+2x^2-1, (cid:89)(cid:90)(cid:20)(cid:14)(cid:19)(cid:48)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:89)3(cid:12)(cid:19)(cid:89)2(cid:14)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)2(cid:12)(cid:20)y=-x^2+3의 교점의 x좌표는x^3+2x^2-1=-x^2+3에서 x^3+3x^2-4=0 (x+2)^2(x-1)=0 .t3 x=-2 또는 x=1따라서 구하는 넓이는 int-2!`{(-x^2+3)-(x^3+2x^2-1)}dx=int-2!`(-x^3-3x^2+4)dx=[-1/4x^4-x^3+4x]!-2=11/4-(-4)=27/4 ③1054 두 곡선 y=x^3+ax와 y=x^2+b가 모두 점 (1, 0)을 지나므로y=x^3+ax에서 1+a=0 .t3 a=-1y=x^2+b에서 1+b=0 .t3 b=-1두 곡선 y=x^3-x, y=x^2-1의 교점의 (cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:89)2(cid:14)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:89)3(cid:14)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:14)(cid:18)x좌표는 x^3-x=x^2-1에서 x^3-x^2-x+1=0 (x+1)(x-1)^2=0 .t3 x=-1 또는 x=11049 곡선 y=-x^3+x와 직선 (cid:48)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)3(cid:12)(cid:89)(cid:90)(cid:14)1(cid:19)1(cid:19)y=-x의 교점의 x좌표는 -x^3+x=-x에서 x^3-2x=0 x(x+12)(x-12)=0 .t3 x=0 또는 x=z12따라서 구하는 넓이는 int-)12`{-x-(-x^3+x)}dx+int012 {(-x^3+x)-(-x)}dx=int-)12`(x^3-2x)dx+int012 (-x^3+2x)dx=[1/4x^4-x^2])-12+[-1/4x^4+x^2]012=1+1=2 ①1050 y=x|x-1|={x^2-x-x^2+x(x_>1)(x<1) ⇨ ❶ y=x|x-1|의 그래프와 직선 y=x의 교점(cid:89)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:93)(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:93)(cid:19)(cid:18)(cid:48)(cid:90)(cid:30)(cid:89)의 x좌표는 x_>1일 때, x^2-x=x에서 x^2-2x=0x(x-2)=0.t3 x=2 (.T3 x_>1) x<1일 때, -x^2+x=x에서 -x^2=0.t3 x=0 ⇨ ❷ , 에서 구하는 넓이는 int0! {x-(-x^2+x)}dx+int1@ {x-(x^2-x)}dx=int0!`x^2dx+int1@ (-x^2+2x)dx=[1/3x^3]!0+[-1/3x^3+x^2]@1=1/3+2/3=1 ⇨ ❸ 11051 곡선 y=x^2-4x와 직선 y=ax(cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:89)2(cid:14)(cid:21)(cid:89)(cid:48)(cid:90)(cid:89)(cid:21)(cid:66)(cid:12)(cid:21)의 교점의 x좌표는 x^2-4x=ax에서 x^2-(a+4)x=0 x{x-(a+4)}=0 .t3 x=0 또는 x=a+4곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이가 36이므로 int0A/$ {ax-(x^2-4x)}dx=36 int0A/$ {-x^2+(a+4)x}dx=36채점 기준비율❶ 주어진 함수를 구간을 나누어 정리할 수 있다.20%❷ 함수의 그래프와 직선 y=x의 교점의 x좌표를 구할 수 있다.30%❸ 도형의 넓이를 구할 수 있다.50%라이트쎈미적1(해091-128).indd 12014. 8. 29. 오후 2:24 11``정적분의 활용 • 121본책정적분의 활용11152~153쪽따라서 구하는 넓이는 int-1 !`{(x^3 -x)-(x^2 -1)}dx=int-1 !`(x^3 -x^2 -x+1)dx=2int0 ! (-x^2 +1)dx=2[-1/3x^3 +x]!0=2.c1 2/3=4/3 4/31055 두 곡선 y=x^2 -2, y=-x^2 +4n^2 의 교점의 x좌표는 x^2 -2=-x^2 +4n^2 에서 2x^2 =2+4n^2 , x^2 =1+2n^2 .t3 x=z41+2n^2 f41+2n^2 f =a라 하면 n`@B`�일 때 a`@B`1이고 S_n =int -;:`{(-x^2 +4n^2 )-(x^2 -2)}dx =int -;:`(-2x^2 +2+4n^2 )dx =2int0 : (-2x^2 +2+4n^2 )dx =2[-2/3x^3 +(2+4n^2 )x]0: =2{-2/3a^3 +(2+4n^2 )a} =-4a(1/3a^2 -1-2n^2 ) .t3 limn=inf `S_n =limn=inf `{-4a(1/3a^2 -1-2n^2 )} =-4.c1 1.c1 (1/3· 1-1) =8/3 8/3 n @B X일 때, 곡선 y=-x^2 +4n^2 는 곡선 y=-x^2 에 한없이 가까워지므로 limn=inf `S_n 의 값은 두 곡선 y=x^2 -2, y=-x^2 으로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.1056 y=x^2 +1에서 y'=2x이므로 곡선(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:14)(cid:18)(cid:19)(cid:90)(cid:30)(cid:89)2(cid:12)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19)(cid:89) 위의 점 (-1, 2)에서의 접선의 기울기는 2.c1 (-1)=-2따라서 접선의 방정식은 y-2=-2(x+1), 즉 y=-2x이므로 구하는 넓이는 int-1 )`{(x^2 +1)-(-2x)}dx=int-1 )`(x^2 +2x+1)dx=[1/3x^3 +x^2 +x])-1=1/3 ①1057 y=x^3 에서 y'=3x^2 이므로 곡선 위(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:89)3(cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:90)(cid:48)(cid:19)(cid:14)(cid:18)의 점 (-1, -1)에서의 접선의 기울기는 3.c1 (-1)^2 =3따라서 접선의 방정식은 y-(-1)=3(x+1), 즉 y=3x+2곡선 y=x^3 과 직선 y=3x+2의 교점의 x좌표는 x^3 =3x+2에서 x^3 -3x-2=0, (x-2)(x+1)^2 =0 .t3 x=-1 또는 x=2따라서 구하는 넓이는 int-1 @`{(3x+2)-x^3 }dx=int-1 @`(-x^3 +3x+2)dx =[-1/4x^4 +3/2x^2 +2x]@-1 =6-(-3/4)=27/4 27/41058 ⑴ y=x^2 -3x+3에서 y'=2x-3접점의 좌표를 (t, t^2 -3t+3)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 2t-3이므로 접선의 방정식은 y-(t^2 -3t+3)=(2t-3)(x-t) .t3 y=(2t-3)x-t^2 +3이 직선이 점 (2, 0)을 지나므로 0=2(2t-3)-t^2 +3 t^2 -4t+3=0, (t-1)(t-3)=0 .t3 t=1 또는 t=3따라서 접선의 방정식은 y=-x+2, y=3x-6 ⇨ ❶⑵int1 @ {(x^2 -3x+3)-(-x+2)}dx (cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:89)(cid:14)(cid:23)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:90)(cid:30)(cid:89)2(cid:14)(cid:20)(cid:89)(cid:12)(cid:20)(cid:20)(cid:19)(cid:18)(cid:19)(cid:48)(cid:90)+int2 # {(x^2 -3x+3)-(3x-6)}dx=int1 @ (x^2 -2x+1)dx+int2 # (x^2 -6x+9)dx=[1/3x^3 -x^2 +x]@1+[1/3x^3 -3x^2 +9x]#2=1/3+1/3=2/3 ⇨ ❷ ⑴ y=-x+2, y=3x-6 ⑵ 2/3``⑵ 구하는 넓이는 int1 # (x^2 -3x+3)dx-1/2· 1· 1-1/2· 1· 3 =[1/3x^3 -3/2x^2 +3x]#1-2 =8/3-2=2/3채점 기준비율❶ 접선의 방정식을 구할 수 있다.50%❷ 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다.50%라이트쎈미적1(해091-128).indd 12114. 8. 29. 오후 2:24 122 • 정답 및 풀이정답 및 풀이1063 곡선 y=-x^2+4x와 직선 y=mx의 교점의 x좌표는 -x^2+4x=mx에서 x^2+(m-4)x=0, x(x+m-4)=0 .t3 x=0 또는 x=4-m따라서 오른쪽 그림의 색칠한 부분의 넓이는 (cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)2(cid:12)(cid:21)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:78)(cid:89)(cid:21)(cid:21)(cid:14)(cid:78) int0$_M {(-x^2+4x)-mx}dx=int0$_M {-x^2+(4-m)x}dx=[-1/3x^3+4-m2x^2]0$_M` =(4-m)^36이때 곡선 y=-x^2+4x와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 int0$ (-x^2+4x)dx=[-1/3x^3+2x^2]$0=32/3이므로 1/6(4-m)^3=1/2.c132/3=16/3 .t3 (4-m)^3=32 321064 두 곡선 y=ax^2, y=3x-x^2의 교점의 x좌표는 ax^2=3x-x^2에서 (a+1)x^2-3x=0, x{(a+1)x-3}=0 .t3 x=0 또는 x=`3/a+1따라서 오른쪽 그림에서 색칠한 부분의(cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:89)(cid:14)(cid:89)2(cid:90)(cid:48)(cid:20)(cid:20)(cid:14)(cid:66)(cid:12)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)2(cid:89) 넓이는 int0`3/a+1 {(3x-x^2)-ax^2}dx=int0`3/a+1 {3x-(a+1)x^2}dx=[3/2x^2-a+1/3`x^3]0`3/a+1=92(a+1)^2이때 곡선 y=3x-x^2과 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 int0# (3x-x^2)dx=[3/2x^2-1/3x^3]#0=9/2이므로 92(a+1)^2=1/2·9/2=9/4 (a+1)^2=2 .t3 a=12-1 (.T3 a>0) ①1065 곡선 y=x^2+x와 직선 y=ax의 교점의 x좌표는x^2+x=ax에서 x^2+(1-a)x=0, x(x+1-a)=0 .t3 x=0 또는 x=a-1 ⇨ ❶ 따라서 오른쪽 그림의 색칠한 부분의 넓(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:90)(cid:30)(cid:89)2(cid:12)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:66)(cid:14)(cid:18)이는 inta-1)``{ax-(x^2+x)}dx=inta-1)``{-x^2+(a-1)x}dx=[-1/3x^3+a-1/2`x^2])a-1=-(a-1)^36 ⇨ ❷ 1059 곡선 y=x(x+1)(x+k)와 x축의 교점의 x좌표는x(x+1)(x+k)=0에서 x=0 또는 x=-1 또는 x=-k오른쪽 그림에서 색칠한 두 부분의 넓이(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:10)(cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:76)(cid:10)(cid:14)(cid:18)(cid:48)(cid:90)(cid:14)(cid:76)가 같으므로 int-k)` x(x+1)(x+k)dx=0 int-k)` {x^3+(k+1)x^2+kx}dx=0 [1/4x^4+k+13x^3+k/2x^2])-k=0 k^3(-k+2)12=0, k^3(k-2)=0 .t3 k=2 (.T3 k>1) ②1060 곡선 y=x^3-(a+3)x^2+3ax와 x축의 교점의 x좌표는 x^3-(a+3)x^2+3ax=0에서 x(x-3)(x-a)=0 .t3 x=0 또는 x=3 또는 x=a오른쪽 그림에서 색칠한 두 부분의 넓 (cid:66)(cid:20)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:90)(cid:30)(cid:89)3(cid:14)(cid:9)(cid:66)(cid:12)(cid:20)(cid:10)(cid:89)2(cid:12)(cid:20)(cid:66)(cid:89) 이가 같으므로 int0A {x^3-(a+3)x^2+3ax}dx=0 [1/4x^4-1/3(a+3)x^3+3/2ax^2]A0=0 1/4a^4-1/3(a+3)a^3+3/2a^3=0 -1/12a^4+1/2a^3=0, a^3(a-6)=0 .t3 a=6 (∵ a>3) ⑤1061 A : B=1 : 2에서 B=2A (cid:90)(cid:30)(cid:89)2(cid:14)(cid:25)(cid:89)(cid:12)(cid:76)(cid:76)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:34)(cid:21)(cid:35)곡선 y=x^2-8x+k가 직선 x=4에 대하여 대칭이므로 오른쪽 그림에서 빗금친 도형의 넓이는 A와 같다.즉 곡선 y=x^2-8x+k와 x축, y축 및 직선 x=4로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 같으므로 int0$ (x^2-8x+k)dx=0, [1/3x^3-4x^2+kx]$0=0 64/3-64+4k=0 .t3 k=32/3 32/31062 색칠한 두 부분의 넓이가 같으므로 int0@ {-x^2(x-2)-ax(x-2)}dx=0 int0@ {-x^3+(2-a)x^2+2ax}dx=0 [-1/4x^4+2-a3x^3+ax^2]@0=0 -4+8(2-a)3+4a=0 4/3a+4/3=0 .t3 a=-1 -1라이트쎈미적1(해091-128).indd 12214. 8. 29. 오후 2:24 11``정적분의 활용 • 123본책정적분의 활용11154~155쪽이때 곡선 y=x^2 +x와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 -int-1 )`(x^2 +x)dx=-[1/3x^3 +1/2x^2 ])-1=1/6 ⇨ ❸이므로 -(a-1)^3 6=2.c1 1/6 .t3 (1-a)^3 =2 ⇨ ❹ 21066 00, 1/k>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 1/4(k+1/k)_> 1/4.c1 24k.c1 1/kf=1/2 (단, 등호는 k=1일 때 성립)채점 기준비율❶ 주어진 곡선과 직선의 교점의 x좌표를 구할 수 있다.20%❷ 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다.30%❸ 곡선과 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다.30%❹ (1-a)^3 의 값을 구할 수 있다.20%따라서 주어진 두 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 k=1일 때 최솟값 1/2을 갖는다. ②1068 함수 f(x)=x^3 +1의 역함수가(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:18)(cid:19)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:30)(cid:72)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:18)(cid:19)(cid:34)(cid:36)(cid:35) g(x)이므로 y=f(x)의 그래프와 y=g(x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이다.따라서 오른쪽 그림에서 (B의 넓이)=(C의 넓이)이므로 int0 !`f(x)dx+int1 @`g(x)dx=(A의 넓이)+(B의 넓이)=(A의 넓이)+(C의 넓이)=1.c1 2=2 ②1069 함수 f(x)=1x-3z의 역함수가(cid:48)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:36)(cid:35)(cid:34)(cid:89)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:30)(cid:72)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:20)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:18)(cid:19) g(x)이므로 y=f(x)의 그래프와 y=g(x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이다.따라서 오른쪽 그림에서 (B의 넓이)=(C의 넓이)이므로 int0 #`g(x)dx+int3 !@`f(x)dx=(A의 넓이)+(B의 넓이)=(A의 넓이)+(C의 넓이)=3.c1 12=36 361070 함수 f(x)=x^2 +x (x_> 0)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:30)(cid:72)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:48)(cid:90)(cid:89)(cid:66)(cid:66)(cid:12)(cid:18)(cid:66)(cid:12)(cid:18)(cid:66)(cid:71)(cid:9)(cid:66)(cid:12)(cid:18)(cid:10)(cid:71)(cid:9)(cid:66)(cid:12)(cid:18)(cid:10)(cid:71)(cid:9)(cid:66)(cid:10)(cid:71)(cid:9)(cid:66)(cid:10)(cid:36)(cid:34)(cid:35)의 역함수가 g(x)이므로 y=f(x)의 그래프와 y=g(x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이다.따라서 오른쪽 그림에서 (B의 넓이)=(C의 넓이)이므로 int aA/!`f(x)dx+int f[a]F{A/!}`g(x)dx=(A의 넓이)+(B의 넓이)=(A의 넓이)+(C의 넓이)=(a+1)f(a+1)-af(a)=3a^2 +5a+2즉 3a^2 +5a+2=14이므로 3a^2 +5a-12=0, (a+3)(3a-4)=0 .t3 a=4/3 (.T3 a>0) 4/3산술평균과 기하평균의 관계a>0, b>0일 때, a+b/2`_> 1abq (단, 등호는 a=b일 때 성립)라이트쎈미적1(해091-128).indd 12314. 8. 29. 오후 2:24 124 • 정답 및 풀이정답 및 풀이1076 점 P가 출발한 후 다시 원점을 지나는 시각을 t=a`(a>0)라 하면 int0A (t^2-2t)dt=0, [1/3t^3-t^2]A0=0 1/3a^3-a^2=0, 1/3a^2(a-3)=0 .t3 a=3 (.T3 a>0)따라서 t=3까지 점 P가 움직인 거리는 (cid:85)(cid:87)(cid:9)(cid:85)(cid:10)(cid:87)(cid:9)(cid:85)(cid:10)(cid:30)(cid:85)2(cid:14)(cid:19)(cid:85)(cid:48)(cid:19)(cid:20) int0# |t^2-2t|dt=int0@ (-t^2+2t)dt+int2# (t^2-2t)dt=[-1/3t^3+t^2]@0+[1/3t^3-t^2]#2=4/3+4/3=8/3 ②1077 시각 t에서 두 점 A, B의 위치를 각각 xA(t), xB(t)라 하면 xA(t)=0+int0T (-2t+6)dt=[-t^2+6t]T0=-t^2+6t xB(t)=0+int0T (2t-6)dt=[t^2-6t]T0=t^2-6t ⇨ ❶ t=t_1일 때 다시 만나므로 -t_1^2+6t_1=t_1^2-6t_1, 2t_1(t_1-6)=0 .t3 t_1=6 (.T3 t_1>0) ⇨ ❷ 또 두 점 A, B 사이의 거리는 |(-t^2+6t)-(t^2-6t)|=2|-t^2+6t|=2|-(t-3)^2+9|0_0)라 하면 int0A (8-4t)dt=0, [8t-2t^2]A0=0 -2a^2+8a=0, a(a-4)=0 .t3 a=4 (.T3 a>0)따라서 t=4일 때 점 P가 원점으로 되돌아오므로 걸리는 시간은 4이다. 41075 t=3에서 점 P의 위치는 0+int0#`v(t)dt=int0! (t^2-t)dt+int1# (-t^2+4t-3)dt =[1/3t^3-1/2t^2]!0+[-1/3t^3+2t^2-3t]#1 =-1/6+4/3=7/6 ④라이트쎈미적1(해091-128).indd 12414. 8. 29. 오후 2:24 11``정적분의 활용 • 125본책정적분의 활용11155~158쪽로 구하는 높이는 5+int0 3/2 (15-10t)dt=5+[15t-5t^2 ]03/2 =5+45/4=65/4(m) ②1080 t=a`(a>0)일 때 열차가 달린 거리가 4`km라 하면 int0 A (t^2 +2/3t)dt=4 [1/3t^3 +1/3t^2 ]A0=4, 1/3a^3 +1/3a^2 =4 a^3 +a^2 -12=0, (a-2)(a^2 +3a+6)=0 .t3 a=2열차가 출발한 후 t=2일 때의 속도는 v(2)=2^2 +2/3.c1 2=16/3(km/m)이므로 구하는 거리는 4+int2 %`16/3dt=4+[16/3t]%2=4+16=20(km) 20`km1081 t=3에서 점 P의 위치는 int0 #`v(t)dt이므로 1/2.c1 2.c1 (-2)+1/2.c1 (3-2).c1 2=-1 -11082 t=a일 때, 원점을 다시 지난(cid:85)(cid:87)(cid:9)(cid:85)(cid:10)(cid:48)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:52)1(cid:52)2 다고 하면 int0 A`v(t)dt=0이어야 한다.오른쪽 그림에서 S_1 =S_2 이므로 t=2일 때 원점을 다시 지난다. 21083 t=3에서의 점 P의 위치는 int0 #`v(t)dt이므로 1/2.c1 1.c1 3a+1/2.c1 (3-1).c1 (-a)=2 1/2a=2 .t3 a=4따라서 t=0에서 t=5까지 점 P가 움직인 거리는 int0 % |v(t)|dt=1/2.c1 1.c1 12+1/2.c1 (3-1).c1 4+1/2.c1 (5-3).c1 12 =22 ①1084 y_> 0인 구간과 y_< 0인 구간으로 나누어 정적분의 값을 구한다.곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 int-2 A`|x^3 |dx=int-2 )`(-x^3 )dx+int0 A`x^3 dx=[-x^4 4])-2+[x^4 4]A0 =4+a^4 4 즉 4+a^4 4=8이므로 a^4 4=4, a^4 =16 .t3 a=2 (.T3 a>0) ④1085 두 곡선의 교점의 x좌표를 구한 다음 두 곡선의 위치 관계를 파악한다.두 곡선 y=x^2 -3x+4, (cid:89)(cid:90)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19)(cid:89)2(cid:12)(cid:26)(cid:89)(cid:14)(cid:22)(cid:90)(cid:30)(cid:89)2(cid:14)(cid:20)(cid:89)(cid:12)(cid:21)(cid:48)(cid:18)(cid:20)y=-2x^2 +9x-5의 교점의 x좌표는 x^2 -3x+4=-2x^2 +9x-5에서 3x^2 -12x+9=0 x^2 -4x+3=0 (x-1)(x-3)=0 .t3 x=1 또는 x=3따라서 구하는 넓이는 int1 # {(-2x^2 +9x-5)-(x^2 -3x+4)}dx=int1 # (-3x^2 +12x-9)dx=[-x^3 +6x^2 -9x]#1=4 41086 시각 t=a에서의 점 P의 위치가 x_0 일 때, 시각 t에서 점 P의 위치는 x_0 +inta T`v(t)dt임을 이용한다.t=0에서 점 P의 위치를 x_0 이라 하면 t=2에서 점 P의 위치는 x_0 +int0 @ (3-2t)dt=x_0 +[3t-t^2 ]@0 =x_0 +2x_0 +2=10이므로 x_0 =8따라서 t=0에서 점 P의 위치는 8이다. ⑤1087 t=a에서 t=b까지 점 P의 위치의 변화량은 inta B`v(t)dt, 움직인 거리는 inta B`|v(t)|dt임을 이용한다.t=0에서 t=c까지 이 물체의 위치의 변화량은 int0 C`v(t)dt이므로 p=-2+3-16=-15또 움직인 거리는 int0 C |v(t)|dt이므로 q=2+3+16=21 .t3 p+q=6 61088 y_> 0인 구간과 y_< 0인 구간으로 나누어 정적분의 값을 구한다.곡선 y=-3x^2 +12와 x축의 교점의 x좌표는 -3x^2 +12=0에서 x^2 =4 .t3 x=-2 또는 x=2 ⇨ ❶라이트쎈미적1(해091-128).indd 12514. 8. 29. 오후 2:24 126 • 정답 및 풀이정답 및 풀이1091 평행이동한 곡선의 함수식을 찾은 다음, 두 곡선의 교점의 x좌표를 구한다.곡선 y=-x^2을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동하면 y=-(x+1)^2+5=-x^2-2x+4 ⇨ ❶두 곡선 y=x^2, y=-x^2-2x+4의 교점의(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:90)(cid:30)(cid:89)2(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10) x좌표는 x^2=-x^2-2x+4에서 x^2+x-2=0 (x+2)(x-1)=0 .t3 x=-2 또는 x=1 ⇨ ❷ 따라서 구하는 넓이는 int-2!`{(-x^2-2x+4)-x^2}dx=int-2!`(-2x^2-2x+4)dx=[-2/3x^3-x^2+4x]!-2=7/3-(-20/3)=9 ⇨ ❸ 91092 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선의 방정식은 y=f'(a)(x-a)+f(a)임을 이용한다.y=x^2-1에서 y'=2x점 P(a, a^2-1)에서의 접선의 기울기는 2a이므로 접선의 방정식은 y-(a^2-1)=2a(x-a), 즉 y=2ax-a^2-1따라서 주어진 도형의 넓이는 int0! {x^2-1-(2ax-a^2-1)}dx=int0! (x^2-2ax+a^2)dx=[1/3x^3-ax^2+a^2x]!0=a^2-a+1/3=(a-1/2)^^2+1/12이므로 구하는 최솟값은 1/12이다. 1/121093 int0! {(1-x^2)-k}dx=0임을 이용한다.색칠한 두 부분의 넓이가 같으므로 int0! {(1-x^2)-k}dx=0, int0! (-x^2+1-k)dx=0 [-1/3x^3+(1-k)x]!0=0, -1/3+1-k=0 .t3 k=2/3 2/3채점 기준비율❶ f(x)를 구할 수 있다.20%❷ 두 곡선의 교점의 x좌표를 구할 수 있다.30%❸ 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다.50%오른쪽 그림에서 색칠한 부분의 넓이는(cid:48)(cid:90)(cid:89)(cid:66)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:20)(cid:89)2(cid:12)(cid:18)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:18)(cid:19)(cid:18)(cid:19) int-1A`|-3x^2+12|dx=int-1@`(-3x^2+12)dx+int2A (3x^2-12)dx=[-x^3+12x]@-1+[x^3-12x]A2=27+a^3-12a-(-16)=a^3-12a+43 ⇨ ❷ 따라서 a^3-12a+43=34이므로 a^3-12a+9=0 (a-3)(a^2+3a-3)=0 .t3 a=3 (.T3 a>2) ⇨ ❸ 31089 주어진 곡선과 y축의 교점의 y좌표를 구한다.곡선 x=-y^2+4와 y축의 교점의 y좌표는 -y^2+4=0에서 (y+2)(y-2)=0 .t3 y=-2 또는 y=2따라서 구하는 넓이는 int-2@`(-y^2+4)dy=2int0@ (-y^2+4)dy =2[-1/3y^3+4y]@0 =2.c116/3=32/3 ④1090 두 곡선의 교점의 x좌표를 구한 다음 두 곡선의 위치 관계를 파악한다.두 곡선 y=x^4-4x^2+4, (cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:19)(cid:21)(cid:18)(cid:48)(cid:90)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:89)4(cid:14)(cid:21)(cid:89)2(cid:12)(cid:21)(cid:90)(cid:30)(cid:89)2y=x^2의 교점의 x좌표는x^4-4x^2+4=x^2에서 x^4-5x^2+4=0 (x^2-1)(x^2-4)=0 (x+2)(x+1)(x-1)(x-2)=0 .t3 x=-2 또는 x=-1 또는 x=1 또는 x=2따라서 구하는 넓이는 int-2@`|x^2-(x^4-4x^2+4)|dx=2int0! {(x^4-4x^2+4)-x^2}dx+2int1@ {x^2-(x^4-4x^2+4)}dx=2int0! (x^4-5x^2+4)dx+2int1@ (-x^4+5x^2-4)dx=2[1/5x^5-5/3x^3+4x]!0+2[-1/5x^5+5/3x^3-4x]@1=2.c1(38/15+22/15)=8 ②채점 기준비율❶ 곡선과 x축의 교점의 x좌표를 구할 수 있다.20%❷ 색칠한 부분의 넓이를 a에 대한 식으로 나타낼 수 있다.50%❸ a의 값을 구할 수 있다.30%라이트쎈미적1(해091-128).indd 12614. 8. 29. 오후 2:24 11``정적분의 활용 • 127본책정적분의 활용11158~159쪽1094 두 곡선이 직선 y=x에 대하여 대칭임을 이용한다.함수 f(x)=x^2 +2의 역함수가 (cid:48)(cid:90)(cid:89)(cid:19)(cid:23)(cid:19)(cid:34)(cid:36)(cid:35)(cid:23)(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:72)(cid:9)(cid:89)(cid:10) g(x)이므로 y=f(x)의 그래프와y=g(x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이다.따라서 오른쪽 그림에서 (B의 넓이)=(C의 넓이)이므로 int0 @`f(x)dx+int2 ^`g(x)dx=(A의 넓이)+(B의 넓이)=(A의 넓이)+(C의 넓이)=2.c1 6=12 121095 t=a에서 t=b까지 물체가 움직인 거리는 inta B |v(t)|dt임을 이용한다.낙하를 시작한 지 t(t>0)초부터 t+1초까지 물체가 낙하한 거리는 intt T/!|-10t|dt=intt T/!`10tdt=[5t^2 ]tT/!=10t+5(m)이때 물체가 1초 동안 낙하한 거리가 50`m 이상이 되려면 10t+5_> 50 .t3 t_> 4.5따라서 이 물체가 1초 동안 낙하한 거리가 50`m 이상이 되는 것은 낙하를 시작한 지 4.5초가 지나서부터이다. ③1096 곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)의 교점의 x좌표는 방정식 f(x)=g(x)의 실근임을 이용한다.곡선 y=x^2 과 직선 y=ax+1의 교점의 x좌표는 x^2 =ax+1에서 x^2 -ax-1=0방정식 x^2 -ax-1=0의 두 실근을 a, b`(a (ax+1-x^2 )dx=[-1/3x^3 +a/2x^2 +x];>=-1/3(b^3 -a^3 )+a/2(b^2 -a^2 )+(b-a)=(b-a){-1/3(b^2 +ab+a^2 )+a/2(a+b)+1}=(b-a){-1/3(a^2 +1)+^a^2 /2 +1}=@a^2 +4s`(1/6a^2 +2/3)이때 a^2 _> 0이므로 구하는 최솟값은 14.c1 2/3=4/3 4/3(a+b)^2 -ab=a^2 +11097 물이 멈추면 v(t)=0임을 이용한다.v(t)=0일 때 물이 멈추므로 3t-t^2 =0, t(3-t)=0 .t3 t=0 또는 t=3따라서 t=3일 때까지 흘러나온 물의 양은 2^2 .c1 int0 # (3t-t^2 )dt=4[3/2t^2 -1/3t^3 ]#0=4.c1 9/2=18 ②1098 v(t)=0을 만족시키는 t를 기준으로 점 P의 운동 방향이 바뀐다.ㄱ. 0
