기하와 벡터● 정답을 확인하려고 할 때에는 <빠른 정답 찾기>를 이용하면 편리합니다.평면 곡선I01 이차곡선 202 평면 곡선의 접선 15평면벡터II03 벡터의 연산 2904 평면벡터와 평면 운동 36공간도형과 공간좌표III05 공간도형 5206 공간좌표 61공간벡터IV07 공간벡터 7108 도형의 방정식 80라이트쎈기벡(해1강)4.indd 115. 2. 26. 오전 11:15 2 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0011 주어진 포물선은 포물선 x^2=-4y를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.이때 포물선 x^2=-4y의 초점의 좌표는 (0, -1), 준선의 방정식은 y=1이므로 초점의 좌표: (2, -2), 준선의 방정식: y=0또 포물선 (x-2)^2=-4(y+1)은 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조 0012 y^2+2y=8x-9에서 (y+1)^2=8(x-1) cc ㉠이므로 포물선 ㉠은 포물선 y^2=8x를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.이때 포물선 y^2=8x의 초점의 좌표는 (2, 0), 준선의 방정식은 x=-2이므로 초점의 좌표: (3, -1), 준선의 방정식: x=-1 초점의 좌표: (3, -1), 준선의 방정식: x=-1 0013 x^2-6x+9=-y-2에서 (x-3)^2=-(y+2) cc ㉠이므로 포물선 ㉠은 포물선 x^2=-y를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다.이때 포물선 x^2=-y의 초점의 좌표는 (0, -1/4), 준선의 방정식은y=1/4이므로 초점의 좌표: (3, -9/4), 준선의 방정식: y=-7/4 초점의 좌표: (3, -9/4), 준선의 방정식: y=-7/4 0014 구하는 타원의 방정식을 x^2a^2+y^2b^2=1 (a>b>0)이라 하면2a=8에서 a=4a^2-b^2=3^2에서 b^2=4^2-3^2=7 .t3 x^216+y^27=1 x^216+y^27=1 0015 구하는 타원의 방정식을 x^2a^2+y^2b^2=1 (b>a>0)이라 하면2b=10에서 b=5b^2-a^2=(17 )^2에서 a^2=5^2-(17 )^2=18 .t3 x^218+y^225=1 x^218+y^225=1 0016 타원 x^23^2+y^22^2=1의 장축의 길이는 2.c13=6단축의 길이는 2.c12=429-4x =15이므로 초점의 좌표는 (15, 0), (-15, 0)또 타원 x^29+y^24=1은 오른쪽 그림과같다. 풀이 참조(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:19)(cid:90)(cid:48)(cid:14)(cid:19)(cid:19)(cid:14)(cid:20)(cid:20)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:14)(cid:22)(cid:22)이차곡선01Ⅰ. 평면 곡선0001 y^2=4.c12x=8x y^2=8x0002 y^2=4.c1(-1)x=-4x y^2=-4x0003 x^2=4.c14y=16y x^2=16y0004 x^2=4.c1(-3)y=-12y x^2=-12y0005 4p=16에서 p=4이므로 초점의 좌표: (4, 0), 준선의 방정식: x=-4또 포물선 y^2=16x는 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조0006 4p=-2에서 p=-1/2이므로 초점의 좌표: (-1/2, 0), 준선의 방정식: x=1/2또 포물선 y^2=-2x는 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조0007 4p=1에서 p=1/4이므로 초점의 좌표: (0, 1/4), 준선의 방정식: y=-1/4또 포물선 x^2=y는 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조0008 4p=-1/4에서 p=-1/16이므로 초점의 좌표: (0, -1/16), 준선의 방정식: y=1/16또 포물선 x^2=-1/4y는 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조0009 (y+2)^2=3(x-1)0010 주어진 포물선은 포물선 y^2=4x를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.이때 포물선 y^2=4x의 초점의 좌표는 (1, 0), 준선의 방정식은 x=-1이므로 초점의 좌표: (2, -1), 준선의 방정식: x=0또 포물선 (y+1)^2=4(x-1)은 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:89)(cid:30)(cid:14)(cid:21)(cid:21)(cid:14)(cid:21)(cid:89)(cid:48)(cid:90)(cid:19)(cid:18)(cid:89)(cid:30)(cid:19)(cid:18)(cid:19)(cid:18)(cid:14)(cid:48)(cid:21)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:21)(cid:18)(cid:21)(cid:18)(cid:14)(cid:89)(cid:90)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:18)(cid:23)(cid:18)(cid:90)(cid:30)(cid:18)(cid:23)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:23)(cid:18)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:18)(cid:14)(cid:18)라이트쎈기벡(해1강)4.indd 215. 2. 26. 오전 11:15 01``이차곡선 • 3본책이차곡선016~8쪽이때 타원 x^2 +y^2 9=1의 초점의 좌표는 (0, 212 ), (0, -212 )이므로 주어진 타원의 초점의 좌표는 (-3, 212+2), (-3, -212+2)평행이동하여도 장축, 단축의 길이는 변하지 않으므로 주어진 타원의 장축, 단축의 길이는 각각 2.c1 3=6, 2.c1 1=2또 타원 (x+3)^2 +(y-2)^2 9=1은 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조 0023 x^2 +4y^2 -4x-8y+4=0에서 (x-2)^2 +4(y-1)^2 =4 .t3 (x-2)^2 4+(y-1)^2 =1 cc ㉠따라서 타원 ㉠은 타원 x^2 4+y^2 =1을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.⑴ 타원 x^2 4+y^2 =1의 중심은 원점이므로 타원 ㉠의 중심의 좌표는 (2, 1)⑵ 타원 x^2 4+y^2 =1의 초점의 좌표는 (13, 0), (-13, 0)이므로 타 원 ㉠의 초점의 좌표는 (13 +2, 1), (-13 +2, 1)⑶ 평행이동하여도 장축의 길이는 변하지 않으므로 타원 ㉠의 장축의 길이는 2.c1 2=4⑷ 평행이동하여도 단축의 길이는 변하지 않으므로 타원 ㉠의 단축의 길이는 2.c1 1=2 ⑴ (2, 1) ⑵ (13 +2, 1), (-13 +2, 1) ⑶ 4 ⑷ 2 0024 구하는 쌍곡선의 방정식을 x^2 a^2 -y^2 b^2 =1 (a>0, b>0)이라 하면 2a=8에서 a=4a^2 +b^2 =6^2 에서 b^2 =6^2 -4^2 =20 .t3 x^2 16-y^2 20=1 x^2 16-y^2 20=1 0025 구하는 쌍곡선의 방정식을 x^2 a^2 -y^2 b^2 =-1 (a>0, b>0)이라 하면 2b=6에서 b=3a^2 +b^2 =(215 )^2 에서 a^2 =(215 )^2 -3^2 =11 .t3 x^2 11-y^2 9=-1 x^2 11-y^2 9=-1 0026 쌍곡선 x^2 3^2 -y^2 4^2 =1에서 19+16z=5이므로 초점의 좌표는 (5, 0), (-5, 0)꼭짓점의 좌표는 (3, 0), (-3, 0)주축의 길이는 2.c1 3=6또 쌍곡선 x^2 9-y^2 16=1은 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:22)(cid:19)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:21)(cid:14)(cid:20)(cid:14)(cid:22)(cid:22)(cid:14)(cid:20)(cid:20)(cid:89)(cid:90)(cid:48)0017 타원 x^2 4^2 +y^2 5^2 =1의장축의 길이는 2.c1 5=10단축의 길이는 2.c1 4=8125-16z =3이므로 초점의 좌표는 (0, 3), (0, -3)또 타원 x^2 16+y^2 25=1은 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조 0018 x^2 +2y^2 =36에서 x^2 36+y^2 18=1장축의 길이는 2.c1 6=12단축의 길이는 2.c1 312=612136-18z=312이므로 초점의 좌표는 (312, 0), (-312, 0)또 타원 x^2 +2y^2 =36은 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조 0019 3x^2 +2y^2 =18에서 x^2 6+y^2 9=1장축의 길이는 2.c1 3=6단축의 길이는 2.c1 16=21619-a6a =13이므로 초점의 좌표는 (0, 13 ), (0, -13 )또 타원 3x^2 +2y^2 =18은 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조 0020 구하는 타원의 방정식을 x^2 a^2 +y^2 b^2 =1 (a>b>0)이라 하면2a=12에서 a=6a^2 -b^2 =3^2 에서 b^2 =6^2 -3^2 =27 .t3 x^2 36+y^2 27=1 x^2 36+y^2 27=1 0021 주어진 타원은 타원 x^2 6+y^2 4=1을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.이때 타원 x^2 6+y^2 4=1의 초점의 좌표는 (12, 0), (-12, 0)이므로 주어진 타원의 초점의 좌표는 (12+1, 1), (-12+1, 1)평행이동하여도 장축, 단축의 길이는 변하지 않으므로 주어진 타원의 장축, 단축의 길이는 각각 2.c1 16=216, 2.c1 2=4또 타원 (x-1)^2 6+(y-1)^2 4=1은 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조 0022 주어진 타원은 타원 x^2 +y^2 9=1을 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.(cid:14)(cid:21)(cid:14)(cid:22)(cid:14)(cid:20)(cid:22)(cid:21)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:20)(cid:14)(cid:23)(cid:23)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:20)(cid:19)(cid:14)(cid:20)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:14)(cid:20)(cid:19)(cid:14)(cid:20)(cid:20)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:14)(cid:20)(cid:14)(cid:23)(cid:23)(cid:20)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:18)(cid:18)(cid:20)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:14)(cid:23)(cid:18)(cid:12)(cid:23)라이트쎈기벡(해1강)4.indd 315. 2. 26. 오전 11:15 4 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0035 x^2-27y^2=-27에서 x^2(313 )^2-y^2=-1따라서 구하는 점근선의 방정식은 y=z1313x, 즉 y=z139x y=z139x 0036 (x-3)^29-(y+1)^27=1 0037 주어진 쌍곡선은 쌍곡선 x^24-y^29=1을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.이때 쌍곡선 x^24-y^29=1의 초점의 좌표는 (113q, 0), (-113q, 0)이고, 꼭짓점의 좌표는 (2, 0), (-2, 0)이므로 주어진 쌍곡선의 초점의 좌표: (113q +2, -1), (-113q +2, -1) 꼭짓점의 좌표: (4, -1), (0, -1)쌍곡선 x^24-y^29=1의 점근선의 방정식이 y=z3/2x이므로 주어진 쌍곡선의 점근선의 방정식은 y+1=z3/2(x-2) .t3 y=3/2x-4, y=-3/2x+2또 쌍곡선 (x-2)^24-(y+1)^29=1은 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조 0038 주어진 쌍곡선은 쌍곡선 x^2-y^216=-1을 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.이때 쌍곡선 x^2-y^216=-1의 초점의 좌표는 (0, 117q ), (0, -117q )이고, 꼭짓점의 좌표는 (0, 4), (0, -4)이므로 주어진 쌍곡선의 초점의 좌표: (-3, 117q +2), (-3, -117q +2) 꼭짓점의 좌표: (-3, 6), (-3, -2)x^2-y^216=-1의 점근선의 방정식이 y=z4x이므로 주어진 쌍곡선의 점근선의 방정식은 y-2=z4(x+3) .t3 y=4x+14, y=-4x-10또 쌍곡선 (x+3)^2-(y-2)^216=-1은 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조 0039 3(x-4)^2-4(y+5)^2=12에서 (x-4)^24-(y+5)^23=1이므로 주어진 쌍곡선은 쌍곡선 x^24-y^23=1을 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 것이다.이때 쌍곡선 x^24-y^23=1의 초점의 좌표는 (17, 0), (-17, 0)이고, 꼭짓점의 좌표는 (2, 0), (-2, 0)이므로 주어진 쌍곡선의(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:19)(cid:14)(cid:18)(cid:89)(cid:48)(cid:19)(cid:14)(cid:20)(cid:90)0027 쌍곡선 x^2(212 )^2-y^22^2=-1에서 18+a4a=213 이므로 초점의 좌표는 (0, 213 ), (0, -213 )꼭짓점의 좌표는 (0, 2), (0, -2)주축의 길이는 2.c12=4또 쌍곡선 x^28-y^24=-1은 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조 0028 4x^2-3y^2=12에서 x^23-y^24=113+a4a=17이므로 초점의 좌표는 (17, 0), (-17, 0)꼭짓점의 좌표는 (13, 0), (-13, 0)주축의 길이는 2.c113=213또 쌍곡선 4x^2-3y^2=12는 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조 0029 2x^2-y^2=-4에서 x^22-y^24=-112+a4a=16 이므로 초점의 좌표는 (0, 16 ), (0, -16 )꼭짓점의 좌표는 (0, 2), (0, -2)주축의 길이는 2.c12=4또 쌍곡선 2x^2-y^2=-4는 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조 0030 구하는 쌍곡선의 방정식을 x^2-y^2b^2=1이라 하면1^2+b^2=(15 )^2에서 b^2=(15 )^2-1^2=4 .t3 x^2-y^24=1 x^2-y^24=1 0031 구하는 쌍곡선의 방정식을 x^2a^2-y^2b^2=-1 (a>0, b>0)이라 하면 주축의 길이가 12이므로 2b=12 .t3 b=6a^2+b^2=8^2에서 a^2=8^2-6^2=28 .t3 x^228-y^236=-1 x^228-y^236=-1 0032 쌍곡선 x^26^2-y^22^2=1의 점근선의 방정식은 y=z2/6x, 즉 y=z1/3x y=z1/3x 0033 쌍곡선 x^25^2-y^2(216 )^2=-1의 점근선의 방정식은 y=z2165x y=z2165x 0034 7x^2-4y^2=84에서 x^2(213 )^2-y^2(121`q` )^2=1따라서 구하는 점근선의 방정식은 y=z121q213x, 즉 y=z172x y=z172x(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:19)(cid:20)(cid:14)(cid:19)(cid:20)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:14)(cid:24)(cid:14)(cid:20)(cid:24)(cid:20)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:14)(cid:23)(cid:23)라이트쎈기벡(해1강)4.indd 415. 2. 26. 오전 11:15 01``이차곡선 • 5본책이차곡선018~10쪽0042 9x^2 -16y^2 -36x-32y+164=0에서 9(x-2)^2 -16(y+1)^2 =-144 .t3 (x-2)^2 16-(y+1)^2 9=-1따라서 주어진 쌍곡선은 쌍곡선 x^2 16-y^2 9=-1을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.이때 쌍곡선 x^2 16-y^2 9=-1의 중심은 원점이고, 초점의 좌표는 (0, 5), (0, -5)이므로 주어진 쌍곡선의 중심의 좌표: (2, -1) 초점의 좌표: (2, 4), (2, -6)쌍곡선 x^2 16-y^2 9=-1의 점근선의 방정식이 y=z3/4 x이므로 주어진 쌍곡선의 점근선의 방정식은 y+1=z3/4 (x-2) .t3 y=3/4 x-5/2 , y=-3/4 x+1/2 풀이 참조 0043 x^2 +y^2 -4=0에서 x^2 +y^2 =4따라서 주어진 방정식은 원을 나타낸다. 원 0044 4x^2 -9y^2 +144=0에서 4x^2 -9y^2 =-144 .t3 x^2 36-y^2 16=-1따라서 주어진 방정식은 쌍곡선을 나타낸다. 쌍곡선 0045 y^2 +x+2y=0에서 (y+1)^2 =-(x-1)따라서 주어진 방정식은 포물선을 나타낸다. 포물선 0046 x^2 +2y^2 -8=0에서 x^2 +2y^2 =8 .t3 x^2 8+y^2 4=1따라서 주어진 방정식은 타원을 나타낸다. 타원 0047 초점의 좌표가 (-3, 0)이고 꼭짓점이 원점인 포물선의 방정식은 y^2 =4.c1 (-3)x, 즉 y^2 =-12x이 포물선이 점 (k, 6)을 지나므로 36=-12k .t3 k=-3 -30048 포물선 y^2 =8x=4.c1 2x의 초점의 좌표는 (2, 0)이고 준선의 방정식이 x=-2이므로 원의 반지름의 길이는 2+2=4따라서 구하는 원의 넓이는 pai .c1 4^2 =16pai ③0049 포물선 x^2 =4y의 초점의 좌표는 (0, 1)포물선 y^2 =kx=4.c1 k/4 x의 초점의 좌표는 (k/4 , 0)두 초점 사이의 거리가 15이므로 5Ñk/4Ò^^2 +b(-1)^2 b=15 , k^2 16+1=5 k^2 =64 .t3 k=8 (.T3 k>0) 8 초점의 좌표: (17+4, -5), (-17+4, -5) 꼭짓점의 좌표: (6, -5), (2, -5)쌍곡선 x^2 4-y^2 3=1의 점근선의 방정식이 y=z132x이므로 주어진쌍곡선의 점근선의 방정식은 y+5=z132(x-4) .t3 y=132x-213-5, .t3 y=-132x+213-5또 쌍곡선 3(x-4)^2 -4(y+5)^2 =12는 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조 0040 4x^2 -(y+1)^2 =-36에서 x^2 9-(y+1)^2 36=-1이므로 주어진 쌍곡선은 쌍곡선 x^2 9-y^2 36=-1을 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.이때 쌍곡선 x^2 9-y^2 36=-1의 초점의 좌표는 (0, 315 ), (0, -315 )이고, 꼭짓점의 좌표는 (0, 6), (0, -6)이므로 주어진 쌍곡선의 초점의 좌표: (0, 315 -1), (0, -315 -1) 꼭짓점의 좌표: (0, 5), (0, -7)쌍곡선 x^2 9-y^2 36=-1의 점근선의 방정식이 y=z2x이므로 주어진 쌍곡선의 점근선의 방정식은 y+1=z2x .t3 y=2x-1, y=-2x-1또 쌍곡선 4x^2 -(y+1)^2 =-36은 오른쪽 그림과 같다. 풀이 참조 0041 x^2 -4y^2 -6x+5=0에서 (x-3)^2 -4y^2 =4 .t3 (x-3)^2 4-y^2 =1따라서 주어진 쌍곡선은 쌍곡선 x^2 4-y^2 =1을 x축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.이때 쌍곡선 x^2 4-y^2 =1의 중심은 원점이고, 초점의 좌표는 (15, 0), (-15, 0)이므로 주어진 쌍곡선의 중심의 좌표: (3, 0) 초점의 좌표: (15 +3, 0), (-15 +3, 0)쌍곡선 x^2 4-y^2 =1의 점근선의 방정식이 y=z1/2 x이므로 주어진 쌍곡선의 점근선의 방정식은 y=z1/2 (x-3) .t3 y=1/2 x-3/2 , y=-1/2 x+3/2 풀이 참조(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:21)(cid:14)(cid:22)(cid:22)(cid:14)(cid:24)(cid:14)(cid:18)(cid:89)(cid:90)(cid:48)라이트쎈기벡(해1강)4.indd 515. 2. 26. 오전 11:15 6 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0054 y^2-4x+6y+21=0에서 (y+3)^2=4(x-3)이 포물선의 초점의 좌표는 (1+3, -3), 즉 (4, -3)x^2-8x-8y+a=0에서 (x-4)^2=8(y+16-a8)이 포물선의 초점의 좌표는 (4, 2-16-a8), 즉 (4, a/8)두 포물선의 초점이 일치하므로 a/8=-3 .t3 a=-24 ①0055 축이 x축에 평행하므로 구하는 포물선의 방정식을 y^2+ax+by+c=0 (aL0)이라 하고 주어진 세 점의 좌표를 각각 대입하면 -a+c=0, 16+a-4b+c=0, 16+5a+4b+c=0위의 세 식을 연립하여 풀면 a=-4, b=2, c=-4따라서 구하는 포물선의 방정식은 y^2-4x+2y-4=0 y^2-4x+2y-4=00056 포물선 y^2=4x의 준선의 방정식은 x=-1점 P에서 준선 x=-1에 내린 수선의 발을 H라 하면 PH^_=6이므로 |a-(-1)|=6 .t3 a=5 (.T3 aj0)점 P(5, b)는 포물선 y^2=4x 위에 있으므로 b^2=4.c15=20 .t3 a^2+b^2=5^2+20=45 ⑤점 P(a, b)는 포물선 y^2=4x 위에 있으므로 b^2=4a cc ㉠또 포물선 y^2=4x의 초점의 좌표는 (1, 0)이므로 2(a-1)^2x+b^2x=6 .t3 a^2-2a+1+b^2=36㉠을 위의 식에 대입하여 정리하면 a^2+2a-35=0 (a+7)(a-5)=0 .t3 a=5 (.T3 aj0)a=5를 ㉠에 대입하면 b^2=200057 포물선 y^2=24x=4.c16x에서 F(6, 0)이므로 세 점 A, B, C의 x좌표를 각각 x_1, x_2, x_3이라 하면 x_1+x_2+x_33=6 ∴ x_1+x_2+x_3=18한편 포물선의 준선의 방정식은 x=-6이므로 오른쪽 그림과 같이 세 점 A, B, C에서 준선에 내린 수선의 발을 각각 A', B', C'이라 하면 AF^_+BF^_+CF^_ =AA'4+BB'4+CC'4 =(x_1+6)+(x_2+6)+(x_3+6) =x_1+x_2+x_3+18 =18+18=36 ⑤축이 좌표축에 평행한 포물선의 방정식① 축이 x축에 평행한 포물선의 방정식 ➲ y^2+ax+by+c=0 (단, aL0)② 축이 y축에 평행한 포물선의 방정식 ➲ x^2+ax+by+c=0 (단, bL0)△ABC의 무게중심의 x좌표(cid:90)(cid:5144)(cid:30)(cid:19)(cid:21)(cid:89)(cid:14)(cid:23)(cid:34)(cid:39)(cid:23)(cid:35)(cid:8)(cid:36)(cid:8)(cid:34)(cid:8)(cid:36)(cid:35)(cid:89)(cid:89)(cid:30)(cid:14)(cid:23)(cid:90)(cid:48)0050 꼭짓점이 원점이고 제 1 사분면 위의 점과 제 4 사분면 위의 점을 지나므로 포물선의 방정식을 y^2=4px (pL0)로 놓을 수 있다.이때 이 포물선이 두 점 (1, -4), (4, 8)을 지나므로 16=4p, 64=16p .t3 p=4즉 포물선의 방정식은 y^2=4.c14x, 즉 y^2=16x ⇨ ❶이 포물선의 초점의 좌표는 (4, 0)이므로 초점을 지나고 y축에 수직인 직선의 방정식은 x=4x=4를 y^2=16x에 대입하면 y=z8이므로 직선 x=4가 포물선 y^2=16x와 만나는 두 점의 좌표는 (4, 8), (4, -8) ⇨ ❷따라서 구하는 두 점 사이의 거리는 8-(-8)=16 ⇨ ❸ 16 0051 y^2-x+2y+5=0에서 (y+1)^2=x-4 cc ㉠이므로 포물선 ㉠은 포물선 y^2=x를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.이때 포물선 y^2=x의 초점의 좌표는 (1/4, 0), 준선의 방정식은 x=-1/4이므로 포물선 ㉠의 초점의 좌표는 (1/4+4, -1), 즉 (17/4, -1)이고 준선의 방정식은 x=-1/4+4, 즉 x=15/4따라서 a=17/4, b=-1, c=15/4이므로 a+b+c=7 ⑤ 0052 x^2-4x-4y=0에서 (x-2)^2=4(y+1)ㄱ. 주어진 포물선은 포물선 x^2=4y를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.ㄴ. 포물선 x^2=4y의 꼭짓점은 원점이므로 주어진 포물선의 꼭짓점의 좌표는 (2, -1)ㄷ. 포물선 x^2=4y의 초점의 좌표는 (0, 1)이므로 주어진 포물선의 초점의 좌표는 (2, 0)ㄹ. 포물선 x^2=4y의 준선의 방정식은 y=-1이므로 주어진 포물선의 준선의 방정식은 y=-2이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다. ③ 0053 주어진 포물선은 초점의 좌표가 (1, 0)이고 준선이 x=-1인 포물선 y^2=4x를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로 (y-1)^2=4(x-1) .t3 y^2-4x-2y+5=0따라서 a=-4, b=-2, c=5이므로 abc=40 40채점 기준비율❶ 포물선의 방정식을 구할 수 있다.50%❷ 직선과 포물선의 교점의 좌표를 구할 수 있다.30%❸ 두 점 사이의 거리를 구할 수 있다.20%라이트쎈기벡(해1강)4.indd 615. 2. 26. 오전 11:15 01``이차곡선 • 7본책이차곡선0110~13쪽오른쪽 그림과 같이 두 점 P, A에서 준선 x=-2에 내린 수선의 발을 각각 H, H'이라 하면 PB^_ =PH^_ 이므로 PA^_ +PB^_ =PA^_ +PH^_ jAH'4 PA^_ +PB^_ =8-(-2)=10따라서 PA^_ +PB^_ 의 최솟값은 10이다. ④0064 포물선 x^2 =4y의 초점을 F라 하면 F(0, 1)이고 준선의 방정식은 y=-1이다.오른쪽 그림에서 PF4=PH^_ 이므로 AP^_ +PH^_ =AP^_ +PF4jAF^_ AP^_ +PH^_ =2a^2 +1x즉 2a^2 +1x=3이므로 a^2 +1=9 a^2 =8 .t3 a=212 (.T3 a>0) 2120065 y^2 =20x=4.c1 5x에서 F(5, 0)이고 준선의 방정식은 x=-5이다.오른쪽 그림과 같이 두 점 P, A에서 준선 x=-5에 내린 수선의 발을 각각 H, H'이라 하면 PF4=PH4이므로 PF4+PA^_ =PH4+PA^_ jAH'4 =6-(-5)=11이때 FA4=2(6-5)x^2 +5^2 x=126q 이므로 △ APF의 둘레의 길이는 AP^_ +PF4+FA 4jAH'4+FA4=11+126q따라서 △ APF의 둘레의 길이의 최솟값은 11+126q 이다. 11+126q0066 점 P의 좌표를 (a, b)라 하면 점 P가 포물선 y^2 =6x 위에 있으므로 b^2 =6a cc ㉠OP^_ 의 중점 Q의 좌표를 (x, y)라 하면 x=a/2 , y=b/2 .t3 a=2x, b=2y이것을 ㉠에 대입하면 (2y)^2 =6.c1 2x .t3 y^2 =3x ④0067 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 2(x-1)^2 +(yx-2)^2 x=|x+4|위의 식의 양변을 제곱하면 x^2 -2x+1+y^2 -4y+4=x^2 +8x+16 .t3 y^2 -10x-4y-11=0 y^2 -10x-4y-11=00068 원이 y축에 접하므로 원의 방정식을 (x-a)^2 +(y-b)^2 =a^2 이라 하자. ⇨ ❶이 원이 점 (2, 0)을 지나므로 (2-a)^2 +b^2 =a^2 .t3 b^2 =4(a-1) ⇨ ❷따라서 구하는 원의 중심의 자취의 방정식이 y^2 =4(x-1)이므로 p=4, q=-1 ⇨ ❸ .t3 p-q=5 ⇨ ❹ 5(cid:41)(cid:8)(cid:41)(cid:49)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:30)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:34)(cid:9)(cid:25)(cid:13)(cid:65)(cid:21)(cid:10)(cid:90)(cid:5144)(cid:30)(cid:25)(cid:89)(cid:35)(cid:9)(cid:19)(cid:13)(cid:65)(cid:17)(cid:10)(cid:89)(cid:5144)(cid:30)(cid:21)(cid:90)(cid:41)(cid:34)(cid:66)(cid:39)(cid:18)(cid:49)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:18)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:14)(cid:22)(cid:90)(cid:5144)(cid:30)(cid:19)(cid:17)(cid:89)(cid:89)(cid:30)(cid:14)(cid:22)(cid:22)(cid:39)(cid:34)(cid:9)(cid:23)(cid:13)(cid:65)(cid:22)(cid:10)(cid:49)(cid:41)(cid:41)(cid:8)0058 주어진 포물선의 꼭짓점이 원점이고 F(3, 0)이므로 준선의 방정식은 x=-3점 P에서 준선 x=-3에 내린 수선의 발을 H'이라 하면 PF^_ =PH'4 ∴ PH^_ +PF^_ =PH^_ +PH'4=HH'4=6 ③0059 주어진 포물선의 꼭짓점이 원점이고 F(0, 1)이므로 준선의 방정식은 y=-1점 P_n 에서 준선 y=-1에 내린 수선의 발을 P_n '이라 하면 FP_n 4=P_n P_n '4이때 x^2 =4y에서 x=n일 때 y=n^2 4이므로 P_n (n, n^2 4)따라서 P_n P_n '4=n^2 4+1이므로 8|n=1FP_n 4=8|n=1P_n P_n '4=8|n=1(n^2 4+1) =1/4.c1 8.c1 9.c1 176+8=59 59 0060 오른쪽 그림에서 AH^_ =AF^_ , BH'4=BF^_ .t3 AH^_ +BH'4 =AF^_ +BF^_ =AB^_ =4따라서 nemo AHH'B의 둘레의 길이는 AH^_ +HH'4+BH'4+AB^_ =(AH^_ +BH'4)+HH'4+AB^_ =4+3+4=11 11 0061 포물선 y^2 =4x의 준선의 방정식은 x=-1오른쪽 그림과 같이 두 점 A, B에서 준선 x=-1에 내린 수선의 발을 각각 H, H'이라 하면 AF^_ =AH4, BF^_ =BH'4이때 AP^_ =2, BQ^_ =1/2 이므로 AF^_ =AH4=AP^_ +1=2+1=3 BF^_ =BH4=BQ^_ +1=1/2+1=3/2 .t3 AB^_ =AF^_ +BF^_ =3+3/2 =9/2 9/2 0062 오른쪽 그림에서 AH^_ =AF^_ , BH'4=BF^_ .t3 AH^_ +BH'4 =AF^_ +BF^_ =AB^_ =10nemo AHH'B의 넓이가 40이므로 1/2.c1 (AH^_ +BH'4).c1 HH'4=40 1/2.c1 10.c1 HH'4=40 .t3 HH'4=8 8 0063 y^2 =8x=4.c1 2x에서 점 B(2, 0)은 주어진 포물선의 초점이고, 준선의 방정식은 x=-2이다.(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:77)(cid:21)(cid:39)(cid:35)(cid:34)(cid:41)(cid:20)(cid:41)(cid:8)(cid:41)(cid:14)(cid:18)(cid:89)(cid:90)(cid:89)(cid:30)(cid:14)(cid:18)(cid:90)(cid:5144)(cid:30)(cid:21)(cid:89)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:39)(cid:50)(cid:35)(cid:41)(cid:8)(cid:89)(cid:90)(cid:39)(cid:34)(cid:41)(cid:8)(cid:77)(cid:18)(cid:17)(cid:41)(cid:35)(cid:48)라이트쎈기벡(해1강)4.indd 715. 2. 26. 오전 11:15 8 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0073 주어진 타원의 장축의 길이가 12이므로 2|a|=12 .t3 |a|=626^2-8x=217이므로 두 초점의 좌표는 (217, 0), (-217, 0)따라서 두 초점 사이의 거리는 2.c1217=417 417 0074 ④ 초점의 좌표는 (0, 3), (0, -3)이다. ④ 0075 두 초점이 F(4, 0), F'(-4, 0)이므로 타원의 방정식을 x^2a^2+y^2b^2=1 (a>b>0)이라 하면 a^2-b^2=16 cc ㉠장축과 단축의 길이의 차가 4이므로 2a-2b=4 .t3 a-b=2 cc ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, b=3 .t3 PF4+PF'4=2a=10 ④ 0076 포물선 x^2=-8y=4.c1(-2)y의 초점의 좌표는 (0, -2)즉 타원 x^28+y^2b^2=1의 초점의 좌표가 (0, 2), (0, -2)이므로 b^2-8=2^2, b^2=12 .t3 |b|=213따라서 타원의 장축의 길이는 2|b|=2.c1213=413 413 0077 2x^2+3y^2-8x+6y+5=0에서 2(x-2)^2+3(y+1)^2=6이 타원을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 타원의 방정식은 2(x-2-a)^2+3(y+1-b)^2=6이 식이 2x^2+3y^2=c와 일치해야 하므로 -2-a=0, 1-b=0, c=6 .t3 a=-2, b=1, c=6 .t3 a+b+c=5 ② 0078 4x^2+y^2+8x-8y+8=0에서 4(x+1)^2+(y-4)^2=12 .t3 (x+1)^23+(y-4)^212=1 cc ㉠ ⇨ ❶타원 ㉠은 타원 x^23+y^212=1을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 것이다.이때 타원 x^23+y^212=1의 초점의 좌표는 (0, 3), (0, -3)이므로 타원 ㉠의 초점의 좌표는 (-1, 7), (-1, 1) ⇨ ❷따라서 오른쪽 그림에서 △OFF'=1/2.c11.c1(7-1)=3 ⇨ ❸ 3(cid:89)(cid:90)(cid:39)(cid:39)(cid:8)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:24)(cid:48) 0069 x^2+y^2-8y+15=0에서 x^2+(y-4)^2=1이므로 원의 중심의 좌표는 (0, 4)이고 반지름의 길이는 1이다.오른쪽 그림과 같이 원 x^2+y^2-8y+15=0의 중심을 A, 중심이 P인 원과 직선 y=-3의 접점을 B라 하면 PA^_=PB^_+1점 P의 좌표를 (a, b)라 하면 2a^2+(bx-4)^2x=b+3+1위의 식의 양변을 제곱하면 a^2+(b-4)^2=(b+4)^2 .t3 a^2=16b따라서 점 P의 자취의 방정식이 x^2=16y=4.c14y이므로 구하는 초점의 좌표는 (0, 4) (0, 4) 0070 두 초점이 F(0, 2), F'(0, -2)이므로 구하는 타원의 방정식을 x^2a^2+y^2b^2=1 (b>a>0)이라 하자. 이 타원이 점 (0, 4)를 지나므로 16b^2=1 .t3 b^2=16b^2-a^2=2^2에서 a^2=16-2^2=12따라서 구하는 타원의 방정식은 x^212+y^216=1 x^212+y^216=1 0071 PA^_+PB^_=6을 만족시키는 점 P의 자취는 타원이고, 두 점 A(15, 0), B(-15, 0)은 이 타원의 초점이다.구하는 타원의 방정식을 x^2a^2+y^2b^2=1 (a>b>0)이라 하면 2a=6에서 a=3a^2-b^2=(15 )^2에서 b^2=3^2-(15 )^2=4따라서 구하는 타원의 방정식은 x^29+y^24=1 ② 0072 타원 x^22+y^29=1의 초점의 좌표는 (0, 17 ), (0, -17 )이므로 구하는 타원의 방정식을 x^2a^2+y^2b^2=1 (b>a>0)이라 하면 2b=14에서 b=7b^2-a^2=(17 )^2에서 a^2=7^2-(17 )^2=42따라서 구하는 타원의 방정식은 x^242+y^249=1 x^242+y^249=1채점 기준비율❶ y축에 접하는 원의 방정식을 세울 수 있다.30%❷ a, b 사이의 관계식을 구할 수 있다.40%❸ p, q의 값을 구할 수 있다.20%❹ p-q의 값을 구할 수 있다.10%(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:20)(cid:14)(cid:20)(cid:20)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:22)(cid:49)(cid:9)(cid:66)(cid:13)(cid:65)(cid:67)(cid:10)(cid:67)(cid:12)(cid:20)19-2z=17라이트쎈기벡(해1강)4.indd 815. 2. 26. 오전 11:15 01``이차곡선 • 9본책이차곡선0113~16쪽이때 a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 a+bj21abq (단, 등호는 a=b일 때 성립) 12j21abq .t3 abi36따라서 AP^_ .c1 BP^_ 의 최댓값은 36이다. ④ 0084 최단 거리와 최장 거리의 합은 타원 궤도의 장축의 길이와 같으므로 장축의 길이는 4000+8000=12000 (km)타원 궤도의 중심에서 초점인 지구까지의 거리는 1/2 .c1 12000-4000=2000 (km)따라서 구하는 타원 궤도의 단축의 길이는 226000^2 -x2000^2 x=800012 (km) 800012 km 0085 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 2(x-2)^2 x+y^2 x : |x-5|=1 : 2 .t3 |x-5|=22(x-2)x^2 +y^2 x위의 식의 양변을 제곱하면 x^2 -10x+25=4(x^2 -4x+4+y^2 ) 3x^2 -6x+4y^2 -9=0, 3(x-1)^2 +4y^2 =12 .t3 (x-1)^2 4+y^2 3=1 (x-1)^2 4+y^2 3=1 0086 점 P(a, b)가 원 x^2 +y^2 =27 위의 점이므로 a^2 +b^2 =27 cc ㉠점 H의 좌표는 (a, 0)이므로 PH^_ 를 2 : 1로 내분하는 점의 좌표를 (x, y)라 하면 x=a, y=1/3b .t3 a=x, b=3y이것을 ㉠에 대입하면 x^2 +(3y)^2 =27 .t3 x^2 +9y^2 =27 ⇨ ❶따라서 p=9, q=27이므로 ⇨ ❷ pq=243 ⇨ ❸ 243 0087 두 꼭짓점의 좌표가 (1, 0), (-1, 0)이므로 쌍곡선의 방정식을 x^2 a^2 -y^2 b^2 =1이라 하면 a^2 =1산술평균과 기하평균의 관계a>0, b>0일 때, a+b2j1abq (단, 등호는 a=b일 때 성립)(cid:23)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:65)(cid:76)(cid:78)(cid:19)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:65)(cid:76)(cid:78)(cid:25)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:65)(cid:76)(cid:78)(cid:21)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:65)(cid:76)(cid:78)(2.c1 a+a2+1, 2.c1 0+1.c1 b2+1)이므로 (a, 1/3 b)채점 기준비율❶ 자취의 방정식을 구할 수 있다.60%❷ p, q의 값을 구할 수 있다.30%❸ pq의 값을 구할 수 있다.10%0079 두 점 A, C의 y좌표가 같으므로 AC^_ 는 타원의 장축 또는 단축이다. 선분 AC의 중점을 M이라 하면 M(1, 2) .t3 AM^_ =3, BM^_ =1이때 점 M은 타원의 중심이므로 세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하는 타원은 타원 x^2 3^2 +y^2 =1을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것과 같다.즉 구하는 타원의 방정식은 (x-1)^2 9+(y-2)^2 =1이므로 a=-1, b=9, c=-2, d=1 .t3 abcd=18 180080 타원의 정의에 의하여 AF^_ +AF'4=BF^_ +BF'4=2.c1 16=216따라서 △ ABF'의 둘레의 길이는 AB^_ +BF'4+AF'4 =AF^_ +BF^_ +BF'4+AF'4 AB^_ +BF'4+AF'4=(AF^_ +AF'4)+(BF^_ +BF'4) AB^_ +BF'4+AF'4=216+216=416 ③0081 타원의 정의에 의하여 PF^_ +PF'4=2.c1 5=10PF^_ : PF'4=1 : 4에서 PF^_ =10.c1 1/5 =2또 125-9z=4에서 타원의 두 초점의 좌표는 (0, 4), (0, -4)이므로 FF'4=8 .t3 PF^_ FF'4=2/8=1/4 1/40082 주어진 타원의 장축 위의 다른 꼭짓점을 C라 하면CF'4=BF^_ =2이므로 BC^_ =BF^_ +FF'4+CF'4=2+10+2=14타원의 정의에 의하여 AF^_ +AF'4=BC^_ =14 ⇨ ❶AF^_ =14-AF'4이므로 직각삼각형 AF'F에서 (14-AF'4)^2 =AF'4 ^2 +10^2 28AF'4=96 .t3 AF'4=24/7 ⇨ ❷ .t3 △ AF'F=1/2.c1 FF'4.c1 AF'4=1/2.c1 10.c1 24/7=120/ ⇨ ❸ 120/0083 AP^_ =a, BP^_ =b라 하면 타원의 정의에 의하여 a+b=2.c1 6=12채점 기준비율❶ 주어진 타원의 방정식을 변형할 수 있다.30%❷ 타원의 초점의 좌표를 구할 수 있다.40%❸ △ OFF'의 넓이를 구할 수 있다.30%채점 기준비율❶ AF^_ +AF'4의 길이를 구할 수 있다.40%❷ AF'4의 길이를 구할 수 있다.40%❸ △ AF'F의 넓이를 구할 수 있다.20%라이트쎈기벡(해1강)4.indd 915. 2. 26. 오전 11:15 10 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0092 3x^2-4y^2-12x-8y-4=0에서 3(x-2)^2-4(y+1)^2=12 .t3 (x-2)^24-(y+1)^23=1 cc ㉠따라서 쌍곡선 ㉠은 쌍곡선 x^24-y^23=1을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.ㄱ. 평행이동하여도 주축의 길이는 변하지 않으므로 쌍곡선 ㉠의 주축의 길이는 2.c12=4ㄴ. 쌍곡선 x^24-y^23=1의 중심은 원점이므로 쌍곡선 ㉠의 중심의 좌표는 (2, -1)ㄷ. 쌍곡선 x^24-y^23=1의 꼭짓점의 좌표는 (2, 0), (-2, 0)이므 로 쌍곡선 ㉠의 꼭짓점의 좌표는 (4, -1), (0, -1)ㄹ. 14+3z=17에서 쌍곡선 x^24-y^23=1의 초점의 좌표는 (17, 0), (-17, 0)이므로 쌍곡선 ㉠의 초점의 좌표는 (17+2, -1), (-17+2, -1)이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다. ④0093 주어진 쌍곡선은 쌍곡선 x^216-y^29=-1을 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.이때 116+9z=5에서 쌍곡선 x^216-y^29=-1의 초점의 좌표는 (0, 5), (0, -5)이므로 주어진 쌍곡선의 초점의 좌표는 (-3, 6), (-3, -4) ⇨ ❶ .t3 △OFF'=1/2.c110.c13=15 ⇨ ❷ 150094 쌍곡선의 방정식을 x^2a^2-y^2b^2=1 (a>0, b>0)이라 하면 b/a=2 .t3 b=2a즉 쌍곡선 x^2a^2-y^24a^2=1이 점 (1, 1)을 지나므로 1a^2-14a^2=1, 34a^2=1 .t3 a^2=3/4따라서 b^2=4a^2=3이므로 쌍곡선의 방정식은 x^23/4-y^23=1, 즉 4x^2-y^2=3이 쌍곡선이 점 (2, k)를 지나므로 16-k^2=3, k^2=13 .t3 k=-113q (.T3 k<0) ① 쌍곡선의 방정식을 x^2a^2-y^2b^2=-1이라 하면 a^2=-3/4이 되므로 조건을 만족시키지 않는다.(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:39)(cid:39)(cid:8)(cid:14)(cid:20)(cid:23)(cid:14)(cid:21)채점 기준비율❶ 쌍곡선의 초점의 좌표를 구할 수 있다.60%❷ △OFF'의 넓이를 구할 수 있다.40% .t3 x^2-y^2b^2=1이 쌍곡선이 점 (2, 115q )를 지나므로 4-15b^2=1 .t3 b^2=5따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은 x^2-y^25=1 x^2-y^25=10088 점 P의 자취는 쌍곡선이고 두 점 A, B가 쌍곡선의 초점이므로 |PA^_-PB^_|=10에서 2|a|=10 .t3 |a|=5a^2+b^2=6^2에서 b^2=6^2-5^2=11 .t3 a^2-b^2=5^2-11=14 ①0089 8x^2+4y^2=64에서 x^28+y^216=1116-8z=212이므로 타원의 초점의 좌표는 (0, 212 ), (0, -212 )쌍곡선의 방정식을 x^2a^2-y^2b^2=-1 (a>0, b>0)이라 하면 주축의 길이가 4이므로 2b=4 .t3 b=2a^2+b^2=(212 )^2에서 a^2=(212 )^2-2^2=4따라서 쌍곡선의 방정식은 x^24-y^24=-1, 즉 x^2-y^2=-4이므로 k=-4 -40090 두 점 (0, 15 ), (0, -15 )가 쌍곡선의 초점이므로 쌍곡선의 방정식을 x^2a^2-y^2b^2=-1이라 하자.a^2+b^2=(15 )^2에서 b^2=5-a^2 cc ㉠쌍곡선이 점 (3, 212 )를 지나므로 9a^2-8b^2=-1 .t3 9b^2-8a^2=-a^2b^2 cc ㉡㉠ 을 ㉡에 대입하여 정리하면 a^4+12a^2-45=0 (a^2+15)(a^2-3)=0 .t3 a^2=3 (.T3 a^2>0)a^2=3을 ㉠에 대입하면 b^2=2따라서 쌍곡선의 방정식은 x^23-y^22=-1이므로 이 쌍곡선의 주축의 길이는 2.c112=212 2120091 x^2-4y^2+4x=0에서 (x+2)^2-4y^2=4 .t3 (x+2)^24-y^2=1 cc ㉠따라서 쌍곡선 ㉠은 쌍곡선 x^24-y^2=1을 x축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다.이때 14+1z=15 에서 쌍곡선 x^24-y^2=1의 초점의 좌표는 (15, 0), (-15, 0)이므로 쌍곡선 ㉠의 초점의 좌표는 (15 -2, 0), (-15 -2, 0) .t3 a+b=(15 -2)+(-15 -2)=-4 -4라이트쎈기벡(해1강)4.indd 1015. 2. 26. 오전 11:15 01``이차곡선 • 11본책이차곡선0116~18쪽x^2 =12를 ㉠에 대입하면 y^2 =4따라서 원과 점근선의 교점의 좌표는 (213, 2), (213, -2), (-213, 2), (-213, -2)이므로 구하는 사각형의 넓이는 413.c1 4=1613 16130099 주어진 쌍곡선의 주축의 길이는 2.c1 3=6이므로 쌍곡선의 정의에 의하여 BC^_ -AC^_ =6, BD^_ -AD^_ =6 .t3 BC^_ =AC^_ +6, BD^_ =AD^_ +6한편 △ BCD의 둘레의 길이가 40이므로 BC^_ +BD^_ +CD^_ =40 (AC^_ +6)+(AD^_ +6)+CD^_ =40이때 AC^_ +AD^_ =CD^_ 이므로 2 CD^_ +12=40 .t3 CD^_ =14 140100 19+7z=4이므로 주어진 쌍곡선의 초점의 좌표는 (4, 0), (-4, 0) .t3 FF'4=8주축의 길이는 2.c1 3=6이므로 쌍곡선의 정의에 의하여 PF'4-PF^_ =6 cc ㉠이때 FF'4, PF^_ , PF'4의 길이가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 PF4 ^2 =FF'4 .c1 PF'4=8PF'4 cc ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 PF'4=18, PF4=12 .t3 PF'4 ^2 -PF4 ^2 =18^2 -12^2 =180 ⑤0101 2x^2 -3y^2 =6에서 x^2 3-y^2 2=113+2z=15이므로 두 초점의 좌표는 (15, 0), (-15, 0) .t3 FF'4=215쌍곡선의 정의에 의하여 |PF^_ -PF'4|=2.c1 13=213이때 PF'4=2PF^_ 이므로 PF^_ =213, PF'4=413따라서 △ PFF'의 둘레의 길이는 PF^_ +FF'4+PF'4=613+215 613+2150102 14+5z=3에서 쌍곡선의 초점의 좌표는 (3, 0), (-3, 0)이고 125-1z6z=3에서 타원의 초점의 좌표도 (3, 0), (-3, 0)이므로 쌍곡선과 타원은 초점을 공유한다. ⇨ ❶쌍곡선의 주축의 길이가 2.c1 2=4이므로 쌍곡선의 정의에 의하여 PF'4-PF^_ =4 ⇨ ❷또 타원의 장축의 길이가 2.c1 5=10이므로 타원의 정의에 의하여 PF'4+PF^_ =10 ⇨ ❸ .t3 PF'4 ^2 -PF^_ ^2 =(PF'4+PF^_ )(PF'4-PF^_ ) =10.c1 4=40 ⇨ ❹ 40채점 기준비율❶ 쌍곡선과 타원이 초점을 공유함을 알 수 있다.20%❷ PF'4-PF^_ 의 길이를 구할 수 있다.30%❸ PF'4+PF^_ 의 길이를 구할 수 있다.30%❹ PF'4 ^2 -PF^_ ^2 의 값을 구할 수 있다.20%0095 점근선의 방정식은 y=z13 x두 직선 y=13 x, y=-13 x가 x축의 양의 부분과 이루는 각의 크기를 각각 t_1 , t_2 (0it_1 0, b>0)이라 하면 점근선의 방정식은 y=zb/ax두 점근선이 서로 수직으로 만나므로 b/a.c1 (-b/aÒ=-1 .t3 a^2 =b^2 즉 쌍곡선 x^2 a^2 -y^2 a^2 =1이 점 (3, 1)을 지나므로 9a^2 -1a^2 =1 .t3 a^2 =8따라서 쌍곡선 x^2 8-y^2 8=1의 초점의 좌표는 (4, 0), (-4, 0)이므로 두 초점 사이의 거리는 8 ③ 쌍곡선의 방정식을 x^2 a^2 -y^2 b^2 =-1이라 하면 a^2 =-8이 되므로 조건을 만족시키지 않는다.0098 112+4z=4에서 쌍곡선 x^2 12-y^2 4=1의 초점의 좌표는 (4, 0), (-4, 0)이 두 초점을 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 방정식은 x^2 +y^2 =16 cc ㉠또 쌍곡선의 점근선의 방정식은 y=z2213x, 즉 y=z133x이것을 ㉠에 대입하면 x^2 +1/3x^2 =16, 4/3x^2 =16 .t3 x^2 =12채점 기준비율❶ 쌍곡선의 초점의 좌표를 구할 수 있다.30%❷ 쌍곡선의 점근선의 방정식을 구할 수 있다.30%❸ 초점에서 점근선까지의 거리를 구할 수 있다.40%18+8z=4중심이 원점이고 반지름의 길이가 4이다.라이트쎈기벡(해1강)4.indd 1115. 2. 26. 오전 11:15 12 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0109 포물선 위의 점에서 초점과 준선까지의 거리가 같음을 이용한다.y^2=12x=4.c13x에서 F(3, 0), 준선의 방정식은 x=-3이다.포물선의 정의에 의하여 점 P에서 초점 F와 준선 x=-3까지의 거리가 같으므로 PF^_=a+3=6 .t3 a=3이때 점 P(a, b)는 포물선 위의 점이므로 b^2=12a=36 .t3 a^2+b^2=3^2+36=45 450110 타원 x^2a^2+y^2b^2=1 (a>b>0)의 장축의 길이는 2a, 단축의 길이는 2b임을 이용한다.점 (213, 1)을 지나는 타원의 방정식을 x^2a^2+y^2b^2=1 (a>b>0)이라 하면 타원 x^216+y^28=1과 장축의 길이가 같으므로 a^2=16즉 타원 x^216+y^2b^2=1이 점 (213, 1)을 지나므로 12/16+1b^2=1, 1b^2=1/4 b^2=4 .t3 b=2 (.T3 b>0)따라서 구하는 단축의 길이는 2.c12=4 40111 주어진 타원의 방정식을 (x-m)^2a^2+(y-n)^2b^2=1 꼴로 변형한다.5x^2+y^2-10x+2y+1=0에서 5(x-1)^2+(y+1)^2=5 .t3 (x-1)^2+(y+1)^25=1 cc ㉠ ⇨ ❶따라서 타원 ㉠은 타원 x^2+y^25=1을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.이때 15-1z=2에서 타원 x^2+y^25=1의 초점의 좌표는 (0, 2), (0, -2)이므로 타원 ㉠의 초점의 좌표는 (1, 1), (1, -3) ⇨ ❷ .t3 FF'4=1-(-3)=4 ⇨ ❸ 40112 쌍곡선 x^2a^2-y^2b^2=z1의 점근선의 방정식은 y=zb/ax임을 이용한다.주어진 쌍곡선의 점근선의 방정식이 y=z3x이므로 b/a=3 .t3 b=3a cc ㉠채점 기준비율❶ 주어진 타원의 방정식을 변형할 수 있다.40%❷ 타원의 초점의 좌표를 구할 수 있다.40%❸ FF'4의 길이를 구할 수 있다.20%0103 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 2(x-3)x^2+y^2x : |x-1|=2 : 1 .t3 2|x-1|=2(x-3)x^2+y^2x위의 식의 양변을 제곱하면 4x^2-8x+4=x^2-6x+9+y^2 .t3 3x^2-y^2-2x-5=0따라서 a=3, b=-1, c=-2이므로 a+b+c=0 ③ 0104 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 Q(0, y)이므로 PQ^_=AQ^_ 에서 |x|=2(-2)^2+(yx-1)^2x위의 식의 양변을 제곱하면 x^2=4+(y-1)^2 .t3 x^24-(y-1)^24=1따라서 구하는 주축의 길이는 2.c12=4 ④ 0105 이차곡선 (1-k)x^2+(5+2k)y^2+2x+y=0이 포물선이려면 1-k=0 또는 5+2k=0 .t3 k=1 또는 k=-5/2따라서 구하는 모든 실수 k의 값의 합은 -3/2이다. ③ 0106 kx^2+3y^2+k-6=0에서 kx^2+3y^2=6-k이 이차곡선이 타원이려면 k>0, kL3, 6-k>0 .t3 06이면 주어진 식을 만족시키는 실수 x, y가 존재하지 않는다. 0107 x^2+(k-3)y^2+4x+8y+4=0에서 x^2+4x+4+(k-3){y^2+8k-3y+(4k-3)^^2}=16k-3 .t3 (x+2)^2+(k-3)(y+4k-3)^^2=16k-3이 이차곡선이 쌍곡선이려면 k-3<0 .t3 k<3 k<3 이차곡선 Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0이 쌍곡선이려면 AB<0, C^24A+D^24B-EL0이어야 한다. 0108 초점이 (0, p)이고 준선이 y=-p인 포물선의 방정식은 x^2=4py임을 이용한다. (단, pL0)초점이 (0, 6)이고 준선이 y=-6인 포물선의 방정식은 x^2=4.c16y, 즉 x^2=24y이 포물선이 점 (12, a)를 지나므로 12^2=24a .t3 a=6 ②라이트쎈기벡(해1강)4.indd 1215. 2. 26. 오전 11:15 01``이차곡선 • 13본책이차곡선0118~20쪽타원의 방정식을 x^2 a^2 +y^2 b^2 =1 (a>b>0)이라 하면 장축의 길이가 2a이므로 2a cos 30°=6, 2a.c1 132=6 .t3 a=213단축의 길이가 2b이므로 2b=6 .t3 b=33(213 )^2 -3^2 c=13이므로 두 초점 사이의 거리는 2.c1 13=213 ③0117 주어진 타원의 방정식을 (x-m)^2 a^2 +(y-n)^2 b^2 =1 꼴로 변형한다.2x^2 +3y^2 -4x+12y+8=0에서 2(x-1)^2 +3(y+2)^2 =6 .t3 (x-1)^2 3+(y+2)^2 2=1 cc ㉠타원 ㉠은 타원 x^2 3+y^2 2=1을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다.이때 13-2z=1에서 타원 x^2 3+y^2 2=1의 초점의 좌표는 (1, 0), (-1, 0)이므로 타원 ㉠의 초점의 좌표는 (2, -2), (0, -2) .t3 FF'4=2타원의 정의에 의하여 AF^_ +AF'4=2.c1 13=213따라서 △ AF'F의 둘레의 길이는 AF^_ +FF'4+AF'4=213+2 213+20118 주어진 타원을 좌표평면 위에 놓고 타원의 방정식을 구한다.오른쪽 그림과 같이 타원의 장축이 x축, 단축이 y축 위에 오도록 타원을 좌표평면 위에 놓고, 타원의 방정식을 x^2 a^2 +y^2 b^2 =1 (a>b>0)이라 하면 2a=10, 2b=8 .t3 a=5, b=4즉 타원의 방정식은 x^2 25+y^2 16=1 ⇨ ❶제 1 사분면 위에 있는 닭장의 꼭짓점을 P(c, d)라 하면 c^2 25+d^2 16=1c^2 >0, d^2 >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 c^2 25+d^2 16j25c^2 25.c1 d^2 16b (단, 등호는 c^2 25=d^2 16일 때 성립) 1jcd10 .t3 cdi10 ⇨ ❷따라서 닭장의 넓이는 2c.c1 2d=4cdi4.c1 10=40이므로 닭장의 최대 넓이는 40 m^2 이다. ⇨ ❸ 40 m^2 (cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:14)(cid:22)(cid:22)(cid:49)(cid:21)(cid:14)(cid:21)주축의 길이가 4이므로 2a=4 .t3 a=2a=2를 ㉠에 대입하면 b=6 .t3 ab=12 ③ 0113 주어진 포물선의 방정식을 (y-n)^2 =4p(x-m) 꼴로 변형한다.y^2 +8x+2y+k=0에서 (y+1)^2 =-8(x+k-18) cc ㉠이므로 포물선 ㉠은 포물선 y^2 =-8x를 x축의 방향으로 -k-18만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.이때 포물선 y^2 =-8x=4.c1 (-2)x의 초점의 좌표는 (-2, 0)이므로 포물선 ㉠의 초점의 좌표는 (-2-k-18, -1), 즉 (-k+158, -1)이 점이 점 (-1, -1)과 일치하므로 k+158=1 .t3 k=-7 ④ 0114 점 P의 좌표를 (a, a^2 ) (a>0)으로 놓고 FH4=PH^_ 임을 이용한다.포물선 x^2 =y=4.c1 1/4 y의 초점 F의 좌표는 (0, 1/4 )이고, 준선의 방정식은 y=-1/4 이다.점 P의 좌표를 (a, a^2 ) (a>0)이라 하면 H(a, -1/4 )이고 △ PFH가 정삼각형이므로 FH4=PH^_ 4a^2 +(-1/4 v-1/4 )^^2 v=a^2 +1/4 위의 식의 양변을 제곱하면 a^2 +1/4 =a^4 +a^2 2+1/16, 16a^4 -8a^2 -3=0 (4a^2 +1)(4a^2 -3)=0 .t3 a^2 =3/4 (.T3 a^2 >0)따라서 점 P의 y좌표는 3/4 이다. ② 0115 점 P의 좌표를 (a, b)라 하고 주어진 조건을 만족시키는 a, b 사이의 관계식을 구한다.점 P의 좌표를 (a, b)라 하면 a^2 =6b cc ㉠점 Q의 좌표를 (x, y)라 하면 x=2/3a, y=2/3b .t3 a=3/2 x, b=3/2 y cc ㉡㉡을 ㉠에 대입하면 (3/2 x)^^2 =6.c1 3/2 y .t3 x^2 =4y따라서 점 Q의 자취를 나타내는 포물선의 초점의 좌표는 (0, 1)이므로 p=0, q=1 .t3 p-q=-1 ① 0116 직각삼각형에서 cos 30°의 값을 이용하여 타원의 장축의 길이를 구한다.라이트쎈기벡(해1강)4.indd 1315. 2. 26. 오전 11:15 14 • 정답 및 풀이정답 및 풀이㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=212, b=212 (.T3 a>0, b>0)따라서 주축의 길이는 2.c1212=412ㄷ. 주어진 쌍곡선의 방정식은 (x+1)^28-y^28=1이므로 이 쌍곡선을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동하면 쌍곡선 x^28-(y-3)^28=1과 포갤 수 있다. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③0122 점 (a, b)를 지나고 x축에 수직인 직선의 방정식은 x=a임을 이용한다.x^2-y^2=18에서 x^218-y^218=1118+18z=6이므로 초점의 좌표는 (6, 0), (-6, 0)점 F(6, 0)을 지나고 x축에 수직인 직선의 방정식은 x=6이므로 x=6을 x^2-y^2=18에 대입하면 y^2=18 .t3 y=z312따라서 A(6, 312 ), B(6, -312 )이므로 AB^_=312-(-312 )=612 ⑤0123 배의 자취의 방정식은 두 점 A, B를 초점으로 하고 주축의 길이가 40인 쌍곡선임을 이용한다.배가 두 점 A, B에서의 거리의 차가 일정하도록 움직이므로 점 P의 자취는 쌍곡선이다.쌍곡선의 방정식을 x^2a^2-y^2b^2=1 (a>0, b>0)이라 하면 2a=40 .t3 a=20A(-60, 0), B(60, 0)이므로 a^2+b^2=60^2 .t3 b^2=60^2-20^2=3200따라서 점 P의 자취의 방정식은 x^2400-y^23200=1 x^2400-y^23200=10124 포물선 위의 점에서 초점과 준선에 이르는 거리가 같음을 이용하다.y^2=8x=4.c12x에서 F(2, 0)이고 준선의 방정식은 x=-2 이다.오른쪽 그림과 같이 두 점 A, B에서 준선에 내린 수선의 발을 각각 H, H'이라 하고, 준선이 x축과 만나는 점을 P라 하자. 또 점 A에서 x축, BH'4에 내린 수선의 각각 Q, R라 하면 AH^_=AF^_=3이므로 FQ4=FP4-QP4=4-3=1BF^_=BH'4=k라 하면 BR^_=BH'4-RH'4=k-3△AQFZ△ARB (AA 닮음)이므로 1 : (k-3)=3 : (k+3), k+3=3k-9 2k=12 .t3 k=6 .t3 BF4=6 6(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:51)(cid:39)(cid:50)(cid:41)(cid:49)(cid:41)(cid:8)(cid:35)(cid:34)(cid:20)QP4=AH4RH'4=AH4FQ4 : BR4=AF4 : AB4 0119 타원과 쌍곡선의 초점의 좌표를 각각 구한 후 네 초점을 꼭짓점으로 하는 사각형이 어떤 사각형인지 파악한다.타원 x^24+y^22=1의 초점의 좌표는 (12, 0), (-12, 0)또 쌍곡선 x^2a-y^2=-1의 초점의 좌표는 (0, 1a+1z ), (0,-1a+1z )이때 타원과 쌍곡선의 초점을 네 꼭짓점으로 하는 사각형은 마름모이므로 그 넓이는 1/2.c1212.c121a+1z=616 1a+1z=313, a+1=27 .t3 a=26 ④ 0120 쌍곡선 x^2a^2-y^2b^2=z1의 점근선의 방정식은 y=zb/ax임을 이용한다.점 P(a, b)가 쌍곡선 위의 점이므로 a^2-4b^2=4 cc ㉠x^2-4y^2=4에서 x^24-y^2=1이므로 쌍곡선의 점근선의 방정식은 y=z1/2x, 즉 xz2y=0점 P(a, b)와 직선 x+2y=0 사이의 거리는 |a+2b|21^2+2^2x=|a+2b|15또 점 P(a, b)와 직선 x-2y=0 사이의 거리는 |a-2b|21^2+(-x2)^2x=|a-2b|15 .t3 PQ^_ .c1 PR^_=|a+2b|15 .c1 |a-2b|15 .t3 PQ^_ .c1 PR^_=|a^2-4b^2|5=4/5 (.T3 ㉠) ④ 0121 주어진 조건을 이용하여 쌍곡선의 방정식을 구한다.ㄱ. y=x+1, y=-x-1을 연립하여 풀면 x=-1, y=0즉 두 점근선의 교점의 좌표가 (-1, 0)이므로 쌍곡선의 중심의 좌표는 (-1, 0)이다.ㄴ. ㄱ에서 점 (-1, 0)이 중심이고 점 (-5, 0)이 한 초점이므로쌍곡선의 방정식을 (x+1)^2a^2-y^2b^2=1 (a>0, b>0)이라 하자. 두 점 (-5, 0), (-1, 0) 사이의 거리가 4이므로 2a^2+b^2x=4 .t3 a^2+b^2=16 cc ㉠또 점근선의 기울기가 z1이므로 b/a=1 .t3 a=b cc ㉡채점 기준비율❶ 타원의 방정식을 구할 수 있다.30%❷ cd의 값의 범위를 구할 수 있다.40%❸ 닭장의 최대 넓이를 구할 수 있다.30%라이트쎈기벡(해1강)4.indd 1415. 2. 26. 오전 11:15 본책02``평면 곡선의 접선 • 1520~22쪽0125 포물선의 준선을 그어 거리의 합이 최소가 되는 지점을 찾는다.포물선 위의 한 지점을 X라 하면 점 X와 두 동네 A, B로부터의 거리의 합은 AX^_ +BX^_ 오른쪽 그림과 같이 두 점 X, B에서 포물선의 준선 l에 내린 수선의 발을 각각 X', B'이라 하면 AX^_ =XX'4이므로 AX^_ +BX^_ =XX'4+BX^_ jBB'4이때 점 S는 BB'4 위에 있으므로 두 점 A, B로부터의 거리의 합이 최소인 지점은 S이다.따라서 공항의 위치로 가장 알맞은 지점은 S이다. S0126 타원의 정의를 이용하여 PF'4의 길이를 PF4의 길이로 나타낸다.타원의 정의에 의하여 PF4+PF'4=2.c1 5=10이므로 PF'4=10-PF4 .t3 AP^_ -PF'4 =AP^_ -(10-PF4) =AP^_ +PF4-10 jAF4-10125-9z=4에서 F(0, 4), F'(0,-4)이므로 AF4=2a^2 +(-x4)^2 x=2a^2 +16x즉 2a^2 +1x6x-10=1이므로 2a^2 +16x=11, a^2 +16=121 .t3 a^2 =105 ②0127 사각형 PF'QF가 평행사변형임을 이용한다.점 P(a, b)가 쌍곡선 x^2 20-y^2 16=1 위의 점이므로 a^2 20-b^2 16=1 cc ㉠220+x16x=6에서 쌍곡선의 초점의 좌표는 (6, 0), (-6, 0) .t3 FF'4=12이때 nemo PF'QF는 평행사변형이므로 △ PF'F=1/2nemo PF'QF=1/2.c1 96=48즉 1/2.c1 12.c1 b=48이므로 b=8 ⇨ ❶b=8을 ㉠에 대입하면 a^2 20-6416=1, a^2 =100 .t3 a=10 (.T3 a>0) ⇨ ❷ .t3 a+b=18 ⇨ ❸ 18(cid:35)(cid:35)(cid:8)(cid:57)(cid:8)(cid:57)(cid:77)(cid:34)채점 기준비율❶ b의 값을 구할 수 있다.50%❷ a의 값을 구할 수 있다.40%❸ a+b의 값을 구할 수 있다.10%평면 곡선의 접선02Ⅰ. 평면 곡선0128 ㈎ 2x ㈏ dydx ㈐ -x2y0129 y^2 -5x=0의 양변을 x에 대하여 미분하면 2y`dydx-5=0 .t3 dydx=52y`(ynot= 0) dydx=52y`(ynot= 0)0130 2x^2 +y^2 =6의 양변을 x에 대하여 미분하면 4x+2y`dydx=0 .t3 dydx=-2xy`(ynot= 0) dydx=-2xy`(ynot= 0)0131 xy=10의 양변을 x에 대하여 미분하면 y+x`dydx=0 .t3 dydx=-yx dydx=-yx0132 x^2 +xy+y^2 =1의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x+y+x`dydx+2y`dydx=0 (x+2y)dydx=-(2x+y) .t3 dydx=-2x+yx+2y`(x+2ynot= 0) dydx=-2x+yx+2y`(x+2ynot= 0)0133 y^3 =1x^2 의 양변을 x에 대하여 미분하면 3y^2 `dydx=-2x^3 .t3 dydx=-23x^3 y^2 dydx=-23x^3 y^2 0134 xy-yx=1의 양변을 x에 대하여 미분하면 1/y +x.c1 (-1y^2 )dydx-(dydx.c1 1/x -yx^2 )=0 (1/x +xy^2 )dydx=1/y +yx^2 .t3 dydx=x^2 +y^2 x^2 yx^2 +y^2 xy^2 =yx dydx=yx평면 곡선의 접선02라이트쎈기벡(해1강)4.indd 1515. 2. 26. 오전 11:15 16 • 정답 및 풀이정답 및 풀이앞의 식에 x=-3, y=3을 대입하면 dydx=1따라서 구하는 접선의 방정식은 y-3=x+3 .t3 y=x+6 y=x+60142 -2y=2.c11.c1(x+1) .t3 y=-x-1 y=-x-10143 4x=2.c14.c1(y+1) .t3 y=1/2x-1 y=1/2x-10144 -3.c1x12+1.c1y4=1 .t3 x-y+4=0 x-y+4=00145 2.c1(-1).c1x+2.c1y=6 .t3 x-y+3=0 x-y+3=00146 3.c1x6-2.c1y8=1 .t3 2x-y-4=0 2x-y-4=00147 3.c12x-2.c13y=-6 .t3 x-y+1=0 x-y+1=00148 t=y-2이므로 x=(y-2)^2 x=(y-2)^20149 sin^2 t+cos^2 t=1이므로 x^2+y^2=1 x^2+y^2=10150 dxdt=6t^2, dydt=1이므로 dydx=dydtdxdt=16t^2 dydx=16t^20151 dxdt=2t, dydt=1-1t^2이므로 dydx=dydtdxdt=1-1t^22t=t^2-1t^22t=t^2-12t^3 dydx=t^2-12t^30152 ⑴ dxdt=cos t, dydt=-sin t이므로 dydx=dydtdxdt=-sin tcos t=-tan t`(cos tnot=0)⑵ x=sin`pai6+1=3/2, y=cos`pai6=1320135 2y^2+1x=x^2의 양변을 제곱하면 y^2+1=x^4위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 2y`dydx=4x^3 .t3 dydx=2x^3y`(ynot=0) dydx=2x^3y`(ynot=0)0136 ln|y|=x^2의 양변을 x에 대하여 미분하면 1/y.c1`dydx=2x .t3 dydx=2xy dydx=2xy0137 x^2-2x+y^2=1의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x-2+2y`dydx=0 .t3 dydx=-x+1y`(ynot=0)위의 식에 x=2, y=1을 대입하면 dydx=-1 -10138 sin x+cos y=1의 양변을 x에 대하여 미분하면 cos x-sin y`dydx=0 .t3 dydx=cos xsin y`(sin ynot=0)위의 식에 x=pai6, y=pai3를 대입하면 dydx=1 10139 ⑴ x^2+4xy-y^2=1의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x+4y+4xdydx-2y`dydx=0(2x-y)dydx=-(x+2y).t3 dydx=-x+2y2x-y`(2xnot=y)⑵ x=-1, y=0을 대입하면 dydx=-1/2⑶ y=-1/2(x+1) .t3 y=-1/2x-1/2 풀이 참조0140 x^2+xy-y^3=1의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x+y+xdydx-3y^2dydx=0 (x-3y^2)dydx=-(2x+y) .t3 dydx=-2x+yx-3y^2`(xnot=3y^2)위의 식에 x=1, y=0을 대입하면 dydx=-2따라서 구하는 접선의 방정식은 y=-2(x-1) .t3 y=-2x+2 y=-2x+20141 (x+1)^2+(y-1)^2=8의 양변을 x에 대하여 미분하면 2(x+1)+2(y-1)dydx=0 .t3 dydx=-x+1y-1`(ynot=1)라이트쎈기벡(해2강)(16-29)육.indd 1615. 2. 26. 오전 11:56 02``평면 곡선의 접선 • 17본책평면 곡선의 접선0222~26쪽0157 x+sin x-xy=0의 양변을 x에 대하여 미분하면 1+cos x-y-xdydx=0 .t3 dydx=1+cos x-yx`(xnot= 0)위의 식에 x=pai , y=1을 대입하면 dydx=1+cos pai -1pai =-1pai -1pai 0158 2x^2 y-y^3 =8의 양변을 x에 대하여 미분하면 4xy+2x^2 dydx-3y^2 dydx=0 (2x^2 -3y^2 )dydx=-4xy .t3 dydx=-4xy2x^2 -3y^2 `(2x^2 not= 3y^2 )따라서 점 (3, 4)에서의 접선의 기울기는 dydx=-4.c1 3.c1 42.c1 3^2 -3.c1 4^2 =8/5 8/5 0159 x+^2x /y =4의 양변을 x에 대하여 미분하면 1+2/y +2x.c1 (-1y^2 )dydx=0 2xy^2 .c1 dydx=1+2/y .t3 dydx=y+2y2xy^2 =y^2 +2y2x한편 x=2를 x+^2x /y =4에 대입하면 2+4/y =4, 4/y =2 .t3 y=2따라서 점 (2, 2)에서의 접선의 기울기는 dydx=2^2 +2.c1 22.c1 2=2 ④0160 x sin y+y sin x=pai 6의 양변을 x에 대하여 미분하면 sin y+x cos y`dydx+dydx`sin x+y cos x=0 (sin x+x cos y)dydx=-(sin y+y cos x) .t3 dydx=-sin y+y cos xsin x+x cos y`(sin x+x cos ynot= 0)따라서 점 (pai 6, pai 6)에서의 접선의 기울기는 dydx=-sin pai 6+pai 6 cos pai 6sin pai 6+pai 6 cos pai 6=-1 -10161 점 (1, 2)가 곡선 x^3 +ay^3 -2xy+b=0 위에 있으므로 1+8a-4+b=0 .t3 8a+b=3 cc ㉠x^3 +ay^3 -2xy+b=0의 양변을 x에 대하여 미분하면⑶ t=pai 6이면 dydx=-tan `pai 6=-133이므로 y-132=-133(x-3/2 ) .t3 y=-133x+13 풀이 참조0153 dxdt=-2t^2 , dydt=1이므로 dydx=dydtdxdt=1-2t^2 =-t^2 2x=1, y=3일 때 t=2이므로 점 (1, 3)에서의 접선의 기울기는 dydx=-2^2 2=-2따라서 구하는 접선의 방정식은 y-3=-2(x-1) .t3 y=-2x+5 y=-2x+50154 x^3 +ax-by^3 =0의 양변을 x에 대하여 미분하면 3x^2 +a-3by^2 `dydx=0 .t3 dydx=3x^2 +a3by^2 `(ynot= 0)x=1, y=1에서의 dydx의 값이 2/3 이므로 3+a3b=2/3 , 9+3a=6b .t3 a-2b=-3 cc ㉠또 주어진 곡선이 점 (1, 1)을 지나므로 1+a-b=0 .t3 a-b=-1 cc ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=2 .t3 a+b=3 ③0155 (x+1)^2 -(y-1)^2 =2의 양변을 x에 대하여 미분하면 2(x+1)-2(y-1)dydx=0 .t3 dydx=x+1y-1`(ynot= 1) dydx=x+1y-1`(ynot= 1)0156 ⑴ x^2 +y^2 =5^2 , 즉 x^2 +y^2 =25 ⇨ ❶⑵ x^2 +y^2 =25의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x+2y`dydx=0 .t3 dydx=-xy`(ynot= 0) ⇨ ❷⑶ x=3일 때 y=4이므로 dydx=-3/4 ⇨ ❸ ⑴ x^2 +y^2 =25 ⑵ dydx=-xy`(ynot= 0) ⑶ -3/4 채점 기준비율❶ x, y 사이의 관계식을 구할 수 있다.30%❷ dydx~를 구할 수 있다.40%❸ x=3일 때, dydx~의 값을 구할 수 있다.30%라이트쎈기벡(해2강)(16-29)육.indd 1715. 2. 26. 오전 11:56 18 • 정답 및 풀이정답 및 풀이채점 기준비율❶ dydx~를 구할 수 있다.30%❷ 접선의 방정식을 구할 수 있다.40%❸ 접선과 원점 사이의 거리를 구할 수 있다.30%0165 y^2=ln(2-x^2)+xy+20의 양변을 x에 대하여 미분하면 2ydydx=-2x2-x^2+y+xdydx (x-2y)dydx=2x-2y+x^2y2-x^2 ∴ dydx=2x-2y+x^2y(2-x^2)(x-2y)`(xnot=2y)따라서 점 (1, 5)에서의 접선의 기울기는 dydx=2-10+51.c1(-9)=1/3이므로 접선의 방정식은 y-5=1/3(x-1) ∴ y=1/3x+^14/3즉 a=1/3, b=^14/3이므로 ^b/a=14 ③0166 포물선 y^2=4x 위의 점 (4, -4)에서의 접선의 방정식은 -4y=2(x+4) ∴ y=-1/2x-2이 직선이 점 (a, 1)을 지나므로 1=-1/2a-2 ∴ a=-6 ④0167 점 (18, a)가 포물선 y^2=2x 위에 있으므로 a^2=36 ∴ a=6`(.T3 a>0)따라서 점 (18, 6)에서의 접선의 방정식은 6y=2.c11/2(x+18) ∴ y=1/6x+3 y=1/6x+3y^2=2x에 x=18, y=a를 대입하면 a^2=36 ∴ a=6`(.T3 a>0)y^2=2x의 양변을 x에 대하여 미분하면 2y`dydx=2 ∴ dydx=1/y`(ynot=0)따라서 접선의 기울기는 1/6이므로 구하는 접선의 방정식은 y-6=1/6(x-18) ∴ y=1/6x+30168 포물선 x^2=-8y=4.c1(-2)y의 초점의 좌표는 (0, -2)점 (8, -8)에서의 접선의 방정식은 8x=2.c1(-2)(y-8) ∴ y=-2x+8이 직선과 평행한 직선의 기울기는 -2이므로 기울기가 -2이고 점 (0, -2)를 지나는 직선의 방정식은 y+2=-2(x-0) ∴ y=-2x-2 y=-2x-2 3x^2+3ay^2`dydx-2y-2x`dydx=0 (2x-3ay^2)dydx=3x^2-2y .t3 dydx=3x^2-2y2x-3ay^2`(2xnot=3ay^2)점 (1, 2)에서의 접선의 기울기가 ^1/10이므로 3-42-12a=^1/10, 12a-2=10 .t3 a=1a=1을 ㉠에 대입하면 b=-5 .t3 a-b=6 ⑤0162 1x+1y=5의 양변을 x에 대하여 미분하면 121x+121y.c1dydx=0 .t3 dydx=-1y1x`(xnot=0)따라서 점 (1, 16)에서의 접선의 기울기는 dydx=-4이므로 접선의 방정식은 y-16=-4(x-1) .t3 y=-4x+20이 직선이 점 (3, a)를 지나므로 a=-4.c13+20=8 ③0163 x^3+y^2-4xy=0의 양변을 x에 대하여 미분하면 3x^2+2ydydx-4y-4xdydx=0 (4x-2y)dydx=3x^2-4y ∴ dydx=3x^2-4y4x-2y`(2xnot=y)따라서 점 (3, 9)에서의 접선의 기울기는 dydx=3.c13^2-4.c194.c13-2.c19=3/2이므로 접선의 방정식은 y-9=3/2(x-3) ∴ y=3/2x+9/2이 직선이 점 (a, 0)을 지나므로 0=3/2a+9/2 ∴ a=-3 -30164 xy^2=8의 양변을 x에 대하여 미분하면 y^2+x.c12ydydx=0 ∴ dydx=-^y/2x ⇨ ❶따라서 점 (2, 2)에서의 접선의 기울기는 dydx=-1/2이므로 접선의 방정식은 y-2=-1/2(x-2) ∴ x+2y-6=0 ⇨ ❷이 직선과 원점 사이의 거리는 |-6|21^2+2^2x~=6155 ⇨ ❸ 6155라이트쎈기벡(해2강)(16-29)육.indd 1815. 2. 26. 오전 11:57 02``평면 곡선의 접선 • 19본책평면 곡선의 접선0226~27쪽0173 초점의 좌표가 (0, 1)이고 준선의 방정식이 y=-1인 포물선의 방정식은 x^2 =4y ⇨ ❶포물선 x^2 =4y 위의 점 (x_1 , y_1 )에서의 접선의 방정식은 x_1 x=2(y+y_1 ) .t3 y=x_1 2x-y_1 직선 y=-2x+1에 평행한 직선의 기울기는 -2이므로 x_1 2=-2 .t3 x_1 =-4 ⇨ ❷이때 x_1 ^2 =4y_1 이므로 y_1 =x_1 ^2 4=(-4)^2 4=4 ⇨ ❸따라서 접선의 방정식은 y=-2x-4 ⇨ ❹ y=-2x-40174 포물선 y^2 =2x=4a1/2 x 위의 점 (x_1 , y_1 )에서의 접선의 방정식은 y_1 y=2.c1 1/2 (x+x_1 ) ∴ y=1y_1 x+x_1 y_1 이 직선이 직선 y=mx-2m+2와 일치해야 하므로 1y_1 =m, x_1 y_1 =-2m+2m=1y_1 을 x_1 y_1 =-2m+2에 대입하면 x_1 y_1 =-2y_1 +2 ∴ x_1 =-2+2y_1 이때 y_1 ^2 =2x_1 이므로 y_1 ^2 =-4+4y_1 , y_1 ^2 -4y_1 +4=0 (y_1 -2)^2 =0 ∴ y_1 =2 ∴ m=1y_1 =1/2 1/2 0175 포물선 y^2 =12x=4a3x 위의 점 (x_1 , y_1 )에서의 접선의 방정식은 y_1 y=2.c1 3(x+x_1 ) ∴ y=6y_1 x+6x_1 y_1 직선 x+y+9=0, 즉 y=-x-9와 평행한 직선의 기울기는 -1이므로 6y_1 =-1 ∴ y_1 =-6이때 y_1 ^2 =12x_1 이므로 x_1 =y_1 ^2 12=(-6)^2 12=3따라서 접선의 방정식은 y=-x-3직선 y=-x-3 위의 점 (0, -3)과 직선 x+y+9=0 사이의 거리는 |-3+9|21^2 +1^2 x~=312이므로 구하는 거리의 최솟값은 312`이다. 312채점 기준비율❶ 포물선의 방정식을 구할 수 있다.20%❷ x_1 의 값을 구할 수 있다.30%❸ y_1 의 값을 구할 수 있다.30%❹ 접선의 방정식을 구할 수 있다.20%0169 포물선 y^2 =12x=4a3x 위의 점 (1/3 , 2)에서의 접선의 방정식은 2y=2.c1 3(x+1/3 ) ∴ y=3x+1 cc ㉠점 (3, 6)에서의 접선의 방정식은 6y=2.c1 3(x+3) ∴ y=x+3 cc ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=1, y=4따라서 두 접선의 교점의 좌표가 (1, 4)이므로 a=1, b=4 ∴ a+b=5 ⑤0170 포물선 y^2 =4x 위의 점 P(a, b)에서의 접선의 방정식은 by=2(x+a)이 접선이 x축, y축과 만나는 점의 좌표는 각각 (-a, 0), (0, 2ab)이므로 접선과 x축, y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 1/2 .c1 a.c1 2ab=1/2 , 즉 a^2 b=1/2 cc ㉠이때 점 P(a, b)가 포물선 y^2 =4x 위에 있으므로 b^2 =4a .t3 a=b^2 4이것을 ㉠에 대입하면 b^3 16=1/2 , b^3 =8 .t3 b=2b=2를 ㉠에 대입하면 a^2 2=1/2 , a^2 =1 .t3 a=1`(.T3 a>0) .t3 ab=2 20171 포물선 y^2 =8x=4.c1 2x 위의 점 (x_1 , y_1 )에서의 접선의 방정식은 y_1 y=2.c1 2(x+x_1 ) .t3 y=4y_1 x+4x_1 y_1 `직선 y=-1/2 x+8에 수직인 직선의 기울기는 2이므로 4y_1 =2 .t3 y_1 =2이때 y_1 ^2 =8x_1 이므로 x_1 =y_1 ^2 8=2^2 8=1/2 따라서 접선의 방정식은 y=2x+1이고, 이 직선의 y절편은 1이다. ②0172 포물선 x^2 =-y=4.c1 (-1/4 )y 위의 점 (x_1 , y_1 )에서의 접선의 방정식은 x_1 x=2.c1 (-1/4 )(y+y_1 ) .t3 y=-2x_1 x-y_1 이 직선의 기울기가 -1이므로 -2x_1 =-1 .t3 x_1 =1/2 이때 x_1 ^2 =-y_1 이므로 y_1 =-x_1 ^2 =-(1/2 )^2 =-1/4 따라서 접선의 방정식은 y=-x+1/4 이 직선이 점 (-1/4 , a)를 지나므로 a=1/4 +1/4 =1/2 ⑤라이트쎈기벡(해2강)(16-29)육.indd 1915. 2. 26. 오전 11:57 20 • 정답 및 풀이정답 및 풀이이때 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 ��=16a이므로 16a=-64 ∴ a=-4 ⇨ ❸ -4포물선 x^2=4py 밖의 한 점 (a, b)에서 포물선에 그은 두 접선이 서로 수직이면 점 (a, b)는 포물선의 준선 y=-p 위에 있다.0179 접점의 좌표를 (x_1, x_1^24)이라 하면 포물선 x^2=4y 위의 점(x_1, x_1^24)에서의 접선의 방정식은 x_1x=2(y+x_1^24) ∴ y=x_12x-x_1^24이 직선이 점 (4, 3)을 지나므로 3=2x_1-x_1^24, x_1^2-8x_1+12=0 (x_1-2)(x_1-6)=0 ∴ x_1=2 또는 x_1=6따라서 두 접점의 좌표는 (2, 1), (6, 9)이므로 PQ^_=2(6-2)x^2+(9x-1)^2x=415 4150180 접점의 좌표를 (y_1^26, y_1)이라 하면 포물선 y^2=6x=4.c13/2x위의 점 (y_1^26, y_1)에서의 접선의 방정식은 y_1y=2.c13/2(x+y_1^26) ∴ y=3y_1x+y_12이 직선이 점 A(-6, 0)을 지나므로 0=-18y_1+y_12, y_1^2=36 ∴ y_1=z6따라서 P(6, -6), Q(6, 6)이라 하면 오른쪽 그림에서 semoAPQ=1/2.c112.c112=72 ③0181 타원 x^22+y^28=1 위의 점 (1, 2)에서의 접선의 방정식은 x/2+2y8=1 .t3 x/2+y/4=1이 직선의 x절편은 2, y절편은 4이므로 구하는 합은 2+4=6 ③0182 타원 x^2+3y^2=12 위의 점 (3, 1)에서의 접선의 방정식은 3x+3y=12 .t3 x+y=4이 직선이 점 (a, -4)를 지나므로 a-4=4 .t3 a=8 8채점 기준비율❶ 접선의 방정식을 구할 수 있다.20%❷ ��의 값을 구할 수 있다.50%❸ a의 값을 구할 수 있다.30%(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:23)(cid:14)(cid:23)(cid:14)(cid:23)(cid:34)(cid:50)(cid:49)(cid:23)기울기가 m인 직선 l과 포물선 사이의 거리의 최솟값은 기울기가 m인 포물선의 접선과 직선 l 사이의 거리와 같다.0176 포물선 y^2=x=4a1/4x 위의 점 (x_1, y_1)에서의 접선의 방정식은 y_1y=2.c11/4(x+x_1) ∴ y=12y_1x+x_12y_1이 직선이 점 (-9, 0)을 지나므로 0=-92y_1+x_12y_1 ∴ x_1=9이때 y_1^2=x_1이므로 y_1^2=9 ∴ y_1=z3따라서 구하는 접선의 방정식은 y=1/6x+3/2, y=-1/6x-3/2 y=1/6x+3/2, y=-1/6x-3/20177 포물선 y^2=-8x=4a(-2)x 위의 점 (x_1, y_1)에서의 접선의 방정식은 y_1y=2.c1(-2)(x+x_1) ∴ y=-4y_1x-4x_1y_1이 직선이 점 (4, -2)를 지나므로 -2=-16y_1-4x_1y_1 ∴ x_1=y_12-4이때 y_1^2=-8x_1이므로 y_1^2=-8(y_12-4), y_1^2+4y_1-32=0 (y_1+8)(y_1-4)=0 ∴ y_1=-8 또는 y_1=4따라서 접점의 좌표는 (-8, -8), (-2, 4)이므로 두 접선의 방정식은 y=1/2x-4, y=-x+2점 (a, 2)는 직선 y=1/2x-4 위에 있으므로 2=1/2a-4 ∴ a=12 ⑤0178 포물선 x^2=16y=4a4y 위의 점 (x_1, y_1)에서의 접선의 방정식은 x_1x=2.c14(y+y_1) ∴ y=x_18x-y_1 ⇨ ❶이 직선이 점 (8, a)를 지나므로 a=x_1-y_1 ∴ y_1=x_1-a이때 x_1^2=16y_1이므로 x_1^2=16(x_1-a), x_1^2-16x_1+16a=0이 이차방정식의 두 실근을 �, �라 하면 접선의 기울기는 �8, �8이고 두 접선이 서로 수직이므로 �8.c1�8=-1 ∴ ��=-64 ⇨ ❷라이트쎈기벡(해2강)(16-29)육.indd 2015. 2. 26. 오전 11:57 02``평면 곡선의 접선 • 21본책평면 곡선의 접선0227~29쪽0187 타원 x^2 12+y^2 4=1 위의 점 (x_1 , y_1 )에서의 접선의 방정식은 x_1 x12+y_1 y4=1 .t3 y=-x_1 3y_1 x+4y_1 이 직선의 기울기가 tan 45°=1이므로 -x_1 3y_1 =1 .t3 x_1 =-3y_1 이때 x_1 ^2 12+y_1 ^2 4=1이므로 (-3y_1 )^2 12+y_1 ^2 4=1, y_1 ^2 =1 .t3 y_1 =z1따라서 접선의 방정식은 y=xz4즉 두 접선의 y절편은 4, -4이므로 구하는 곱은 4.c1 (-4)=-16 ③0188 타원 x^2 a+y^2 9=1 위의 점 (x_1 , y_1 )에서의 접선의 방정식은 x_1 xa+y_1 y9=1 .t3 y=-9x_1 ay_1 x+9y_1 이 직선이 직선 y=2x-5와 일치하므로 -9x_1 ay_1 =2, 9y_1 =-5 .t3 x_1 =2a5, y_1 =-9/5 이때 x_1 ^2 a+y_1 ^2 9=1이므로 4a25+^9 /25 =1 .t3 a=4즉 타원의 방정식은 x^2 4+y^2 9=1이므로 19-4z=15`에서 초점의 좌표는 (0, 15`), (0, -15`)따라서 두 초점 사이의 거리는 15`-(-15`)=215 ②0189 타원 x^2 5+y^2 20=1 위의 점 (x_1 , y_1 )에서의 접선의 방정식은 x_1 x5+y_1 y20=1 .t3 y=-4x_1 y_1 x+20y_1 이 직선의 기울기가 -4이므로 -4x_1 y_1 =-4 .t3 x_1 =y_1 이때 x_1 ^2 5+y_1 ^2 20=1이므로 x_1 ^2 5+x_1 ^2 20=1, x_1 ^2 =4 .t3 x_1 =z2따라서 두 접선의 방정식은 y=-4xz10 ⇨ ❶구하는 거리는 직선 y=-4x+10 위의 점 (0, 10)과 직선 y=-4x-10, 즉 4x+y+10=0 사이의 거리와 같으므로 |10+10|24^2 +1^2 x~=20117q`17 ⇨ ❷ 20117q`170183 타원 x^2 a+y^2 b=1 위의 점 (2, 6)에서의 접선의 방정식은 2xa+6yb=1 .t3 y=-b3ax+b6이 직선의 기울기가 -2이므로 -b3a=-2 .t3 b=6a cc ㉠이때 점 (2, 6)이 타원 x^2 a+y^2 b=1 위에 있으므로 4a+36b=1㉠을 위의 식에 대입하면 4a+366a=1, 10a=1 .t3 a=10㉠에서 b=6a=60이므로 ab=600 6000184 P(x_1 , y_1 )이라 하면 H(x_1 , 0) ⇨ ❶타원 x^2 16+y^2 4=1 위의 점 P(x_1 , y_1 )에서의 접선의 방정식은 x_1 x16+y_1 y4=1y=0일 때 x=16x_1 이므로 Q(16x_1 , 0) ⇨ ❷ .t3 OH^_ .c1 OQ^_ =x_1 .c1 16x_1 =16 ⇨ ❸ 160185 타원 x^2 +4y^2 =20 위의 점 (4, 1)에서의 접선의 방정식은 4x+4y=20 .t3 x+y-5=0 cc ㉠직선 ㉠과 점 P 사이의 거리의 최댓값은 점 (4, 1)을 원점에 대하여 대칭이동한 점 (-4, -1)과 직선 ㉠ 사이의 거리와 같으므로 |-4-1-5|21^2 +1^2 x~=512 ②0186 타원 x^2 8+y^2 2=1 위의 점 (x_1 , y_1 )에서의 접선의 방정식은 x_1 x8+y_1 y2=1 .t3 y=-x_1 4y_1 x+2y_1 직선 2x+y-5=0, 즉 y=-2x+5에 수직인 직선의 기울기는 1/2 이므로 -x_1 4y_1 =1/2 .t3 x_1 =-2y_1 이때 x_1 ^2 8+y_1 ^2 2=1이므로 (-2y_1 )^2 8+y_1 ^2 2=1, y_1 ^2 =1 .t3 y_1 =z1따라서 구하는 직선의 방정식은 y=1/2 xz2 y=1/2 xz2채점 기준비율❶ 점 H의 좌표를 구할 수 있다.30%❷ 점 Q의 좌표를 구할 수 있다.50%❸ OH^_ · OQ^_ 의 값을 구할 수 있다.20%라이트쎈기벡(해2강)(16-29)육.indd 2115. 2. 26. 오전 11:57 22 • 정답 및 풀이정답 및 풀이이 직선이 점 (0, -1)을 지나므로 b/3=1 .t3 b=3이때 a^2-b^23=1이므로 a^2-9/3=1, a^2=4 .t3 a=2`(.T3 a>0) .t3 a+b=5 ①0194 쌍곡선 x^26-y^22=1 위의 점 (a, b)에서의 접선의 방정식은 ax6-by2=1 .t3 y=a3bx-2/b이 직선의 기울기가 1이므로 a3b=1 .t3 a=3b이때 a^26-b^22=1이므로 (3b)^26-b^22=1 .t3 b^2=1a^2=9b^2=9이므로 a^2+b^2=10 100195 쌍곡선 4x^2-y^2=a 위의 점 (b, 8)에서의 접선의 방정식은 4bx-8y=a .t3 y=b/2x-a/84x^2-y^2=a에서 a<0이므로 4|a|x^2-1|a|y^2=-1쌍곡선의 점근선의 방정식은 y=z1|aqq|qq`1|aq|q`2x, 즉 y=z2xb<0이므로 직선 y=b/2x-a/8는 직선y=2x와 수직이다.즉 b/2=-1/2이므로 b=-1이때 4b^2-64=a이므로 a=-60 .t3 a+b=-61 ①0196 쌍곡선 x^22-y^2=1 위의 점 A(2, 1)에서의 접선의 방정식은 ^2x/2-y=1 .t3 y=x-1 .t3 P(0, -1) ⇨ ❶한편 점 A(2, 1)을 지나고 직선 y=x-1에 수직인 직선의 방정식은 y-1=-(x-2) .t3 y=-x+3 .t3 Q(0, 3) ⇨ ❷따라서 semoAPQ의 무게중심의 좌표는 (2+0+03, 1-1+33), 즉 (2/3, 1) ⇨ ❸ (2/3, 1)(cid:90)(cid:48)(cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:89)0190 타원 12x^2+y^2=16 위의 점 (-1, 2)에서의 접선의 방정식은 -12x+2y=16 .t3 y=6x+8 cc ㉠타원 x^2+y^23=1 위의 점 (a, b)에서의 접선의 방정식은 ax+by3=1 .t3 y=-3abx+3/b cc ㉡두 직선 ㉠, ㉡이 서로 평행하므로 -3ab=6 .t3 a=-2b이때 a^2+b^23=1이므로 (-2b)^2+b^23=1 .t3 b^2=^3/13a^2=4b^2=4.c1^3/13=^12/13이므로 a^2+b^2=^15/13 ^15/130191 타원 x^2+3y^2=12 위의 점 (x_1, y_1)에서의 접선의 방정식은 x_1x+3y_1y=12이 직선이 점 (2, 2)를 지나므로 2x_1+6y_1=12 .t3 x_1=-3y_1+6이때 x_1^2+3y_1^2=12이므로 (-3y_1+6)^2+3y_1^2=12, y_1^2-3y_1+2=0 (y_1-1)(y_1-2)=0 .t3 y_1=1 또는 y_1=2따라서 접점의 좌표는 (3, 1), (0, 2)이므로 구하는 접선의 방정식은 3x+3y=12, 6y=12 .t3 y=-x+4, y=2 y=-x+4, y=20192 타원 x^26+y^2=1 위의 점 (x_1, y_1)에서의 접선의 방정식은 x_1x6+y_1y=1 .t3 y=-x_16y_1x+1y_1이 직선이 점 (0, 5)를 지나므로 5=1y_1 .t3 y_1=1/5이때 x_1^26+y_1^2=1이므로 x_1^26+(1/5)^2=1, x_1^2=14425 .t3 x_1=z^12/5따라서 접선의 기울기 m은 -x_16y_1=z2이므로 m^2=4 ④0193 쌍곡선 x^2-y^23=1 위의 점 (a, b)에서의 접선의 방정식은 ax-by3=1채점 기준비율❶ 두 접선의 방정식을 구할 수 있다.60%❷ 두 접선 사이의 거리를 구할 수 있다.40%라이트쎈기벡(해2강)(16-29)육.indd 2215. 2. 26. 오전 11:57 02``평면 곡선의 접선 • 23본책평면 곡선의 접선0229~31쪽0200 쌍곡선 x^2 k-y^2 2=1 위의 점 (x_1 , y_1 )에서의 접선의 방정식은 x_1 xk-y_1 y2=1 .t3 y=2x_1 ky_1 x-2y_1 이 직선이 직선 y=-x-2와 일치하므로 2x_1 ky_1 =-1, -2y_1 =-2 .t3 x_1 =-k/2 , y_1 =1이때 x_1 ^2 k-y_1 ^2 2=1이므로 k^2 4k-1/2 =1, k/4 =3/2 .t3 k=6즉 쌍곡선의 방정식은 x^2 6-y^2 2=1이므로 16+2z=212에서 두 초점의 좌표는 (212, 0), (-212, 0)따라서 두 초점 사이의 거리는 212-(-212`)=412 ③0201 쌍곡선 x^2 -y^2 3=1 위의 점 (x_1 , y_1 )에서의 접선의 방정식은 x_1 x-y_1 y3=1 .t3 y=3x_1 y_1 x-3y_1 이 직선의 기울기가 3이므로 3x_1 y_1 =3 .t3 x_1 =y_1 이때 x_1 ^2 -y_1 ^2 3=1이므로 y_1 ^2 -y_1 ^2 3=1, 2/3 y_1 ^2 =1 .t3 y_1 =z162따라서 두 접선의 방정식은 y=3xz16두 접선 사이의 거리는 직선 y=3x+16 위의 점 (0, 16`)과 직선 y=3x-16, 즉 3x-y-16=0 사이의 거리와 같으므로 |-16-16|23^2 +(x-1)^2 x~=2115q`5 2115q`50202 쌍곡선 x^2 -y^2 =2 위의 점 (x_1 , y_1 )에서의 접선의 방정식은 x_1 x-y_1 y=2 .t3 y=x_1 y_1 x-2y_1 이 직선이 점 (0, -1)을 지나므로 -1=-2y_1 .t3 y_1 =2이때 x_1 ^2 -y_1 ^2 =2이므로 x_1 ^2 -4=2, x_1 ^2 =6 .t3 x_1 =z16따라서 접선의 방정식은 y=z162x-1즉 m=162, n=-1`(.T3 m>0)이므로 m^2 +n^2 =31624^2 +(-1)^2 =5/2 5/2 0197 쌍곡선 x^2 -y^2 =5 위의 점 (3, 2)에서의 접선의 방정식은 3x-2y=5 cc ㉠쌍곡선의 두 점근선의 방정식은 y=x 또는 y=-x cc ㉡㉡을 ㉠에 대입하면 x=5 또는 x=1따라서 P(5, 5), Q(1, -1)이므로 PQ^_ =2(1-5)x^2 +(-1x-5)^2 x=2113q 2113q0198 타원 x^2 8+y^2 2=1 위의 점 (2, 1)에서의 접선의 방정식은 2x8+y2=1 .t3 y=-1/2 x+2 cc ㉠ ⇨ ❶쌍곡선 x^2 a^2 -y^2 b^2 =1 위의 점 (2, 1)에서의 접선의 방정식은 2xa^2 -yb^2 =1 .t3 y=2b^2 a^2 `x-b^2 cc ㉡ ⇨ ❷두 직선 ㉠, ㉡이 서로 수직이므로 -1/2 .c1 2b^2 a^2 =-1 .t3 a^2 =b^2 cc ㉢이때 점 (2, 1)이 쌍곡선 위에 있으므로 4a^2 -1b^2 =1㉢을 위의 식에 대입하면 4a^2 -1a^2 =1 .t3 a^2 =b^2 =3 ⇨ ❸ .t3 a^2 +b^2 =6 ⇨ ❹ 60199 쌍곡선 x^2 5-y^2 =1 위의 점 (x_1 , y_1 )에서의 접선의 방정식은 x_1 x5-y_1 y=1 .t3 y=x_1 5y_1 x-1y_1 이 직선의 기울기가 2이므로 x_1 5y_1 =2 .t3 x_1 =10y_1 이때 x_1 ^2 5-y_1 ^2 =1이므로 100y_1 ^2 5-y_1 ^2 =1, y_1 ^2 =^1 /19 .t3 y_1 =z1119q`따라서 구하는 접선의 방정식은 y=2xz119q` y=2xz119q`채점 기준비율❶ 점 P의 좌표를 구할 수 있다.40%❷ 점 Q의 좌표를 구할 수 있다.40%❸ semo APQ의 무게중심의 좌표를 구할 수 있다.20%x^2 -y^2 =5에서 x^2 5-y^2 5=1이므로 y=zx채점 기준비율❶ 타원의 접선의 방정식을 구할 수 있다.30%❷ 쌍곡선의 접선의 방정식을 구할 수 있다.30%❸ a^2 , b^2 의 값을 구할 수 있다.30%❹ a^2 +b^2 의 값을 구할 수 있다.10%라이트쎈기벡(해2강)(16-29)육.indd 2315. 2. 26. 오전 11:57 24 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0207 dxdt=10, dydt=-10t+10이므로 dydx=dydtdxdt=-10t+1010=-t+1따라서 t=3/2일 때 dydx=-3/2+1=-1/2 -1/20208 dxdt=1, dydt=2t이므로 dydx=dydtdxdt=2t1=2t이때 2t=-1, 즉 t=-1/2이므로 a=1-1/2=1/2, b=(-1/2)^2+2=9/4 .t3 a+b=^11/4 ^11/40209 dxdt=2 cos t, dydt=-sin t이므로 dydx=dydtdxdt=-sin t2 cos t=-1/2 tan t따라서 t=pai4에 대응하는 점에서의 접선의 기울기는 -1/2 tan pai4=-1/2 ①0210 dxdt=t, dydt=2t+a이므로 dydx=dydtdxdt=2t+at ⇨ ❶x=5일 때 t의 값은 5=t^2+12 .t3 t=3`(.T3 t>0) ⇨ ❷t=3일 때 dydx=1/3이므로 6+a3=1/3 6+a=1 .t3 a=-5 ⇨ ❸ -5채점 기준비율❶ dydx~를 구할 수 있다.40%❷ t의 값을 구할 수 있다.30%❸ a의 값을 구할 수 있다.30%0211 곡선 x=a sec t, y=1-cot t가 점 (b, 0)을 지나므로 1-cot t=0, cot t=1 .t3 t=pai4`(.T3 00) .t3 ab=3 ③0221 매개변수로 나타낸 함수 x=f(t), y=g(t)가 미분가능하고 `f`'(t)not=0이면 dydx=`g`'(t)`f`'(t)임을 이용하여 접선의 기울기를 t에 대한 식으로 나타낸다.dxdt=4t, dydt=8이므로 dydx=dydtdxdt=84t=2/t`(tnot=0)이때 2/t=2, 즉 t=1이므로 a=2-1=1, b=8-3=5 .t3 a+b=6 ⑤0222 직선 y=ax+b를 x축의 방향으로 k만큼 평행이동한 직선의 방정식은 y=a(x-k)+b임을 이용한다.직선 x-y+3=0, 즉 y=x+3을 x축의 방향으로 k만큼 평행이동한 직선의 방정식은 y=x-k+3 cc ㉠ ⇨ ❶한편 포물선 y^2=24x=4.c16x 위의 점 (x_1, y_1)에서의 접선의 방정식은 y_1y=2.c16(x+x_1) .t3 y=12y_1x+12x_1y_1이 직선이 직선 ㉠과 일치하므로 12y_1=1, 12x_1y_1=-k+3 .t3 y_1=12, x_1=-k+3 ⇨ ❷이때 y_1^2=24x_1이므로 144=24(-k+3), 6=-k+3 .t3 k=-3 ⇨ ❸ -30223 기울기가 m인 직선 l과 포물선 사이의 거리의 최솟값은 기울기가 m인 포물선의 접선과 직선 l 사이의 거리와 같음을 이용한다.포물선 위의 점 P와 직선 y=-x+10 사이의 거리가 최소이려면 점 P에서의 접선이 직선 y=-x+10과 평행해야 한다.포물선 y^2=-2x=4.c1(-1/2)x 위의 점 P(a, b)에서의 접선의 방정식은 by=2a(-1/2)(x+a) .t3 y=-1/bx-ab채점 기준비율❶ 평행이동한 직선의 방정식을 구할 수 있다.40%❷ y_1의 값을 구하고 x_1을 k로 나타낼 수 있다.30%❸ k의 값을 구할 수 있다.30%즉 이 접선에 수직인 직선의 기울기는 133이므로 점 (13, 1)을 지나고 기울기가 133인 직선의 방정식은 y-1=133(x-13`) .t3 y=133x따라서 구하는 직선의 y절편은 0이다. ③0217 음함수의 미분법을 이용하여 dy/dx를 구한다.x^2+2xy-y^2+7=0의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x+2y+2xdydx-2ydydx=0 (x-y)dydx=-(x+y) .t3 dydx=-x+yx-y따라서 점 (-1, 2)에서의 접선의 기울기는 dydx=--1+2-1-2=1/3이므로 구하는 접선의 방정식은 y-2=1/3(x+1) .t3 y=1/3x+7/3 y=1/3x+7/30218 포물선 y^2=4px 위의 점 (x_1, y_1)에서의 접선의 방정식은 y_1y=2p(x+x_1)임을 이용한다.포물선 y^2=-12x=4.c1(-3)x의 초점의 좌표는 (-3, 0)포물선 위의 점 (-3, 6)에서의 접선의 방정식은 6y=2.c1(-3)(x-3) .t3 y=-x+3따라서 점 (-3, 0)과 직선 y=-x+3, 즉 x+y-3=0 사이의 거리는 |-3-3|21^2+1^2x~=312 ④0219 x축의 양의 부분과 이루는 각의 크기가 t인 직선의 기울기는 tan t임을 이용한다.타원 x^24+y^2=1 위의 점 (x_1, y_1)에서의 접선의 방정식은 x_1x4+y_1y=1 .t3 y=-x_14y_1x+1y_1이 직선의 기울기가 tan 45°=1이므로 -x_14y_1=1 .t3 x_1=-4y_1이때 x_1^24+y_1^2=1이므로 16y_1^24+y_1^2=1, 5y_1^2=1 .t3 y_1=z155따라서 접선의 방정식은 y=xz15`이므로 a=1, b=15``(.T3 b>0) .t3 a^2+b^2=1^2+(15`)^2=6 ②0220 쌍곡선 x^2a^2-y^2b^2=1 위의 점 (x_1, y_1)에서의 접선의 방정식은 x_1xa^2-y_1yb^2=1임을 이용한다.라이트쎈기벡(해2강)(16-29)육.indd 2615. 2. 26. 오전 11:57 02``평면 곡선의 접선 • 27본책평면 곡선의 접선0233~35쪽이 직선이 점 (2, 4)를 지나므로 2x_1 +y_1 =1 .t3 y_1 =-2x_1 +1이때 x_1 ^2 +y_1 ^2 4=1이므로 x_1 ^2 +(-2x_1 +1)^2 4=1 8x_1 ^2 -4x_1 -3=0이 이차방정식의 두 실근이 a_1 , a_2 이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a_1 +a_2 =1/2 , a_1 a_2 =-3/8 .t3 b_1 +b_2 =(-2a_1 +1)+(-2a_2 +1) =-2(a_1 +a_2 )+2=-2.c1 1/2 +2=1 10228 쌍곡선 x^2 a^2 -y^2 b^2 =1 위의 점 (x_1 , y_1 )에서의 접선의 방정식은 x_1 xa^2 -y_1 yb^2 =1임을 이용한다.x^2 -y^2 =9에서 x^2 9-y^2 9=1이고 19+9z`=312이므로 두 초점의 좌표는 F(312`, 0), F'(-312`, 0) ⇨ ❶쌍곡선 x^2 -y^2 =9 위의 점 (5, 4)에서의 접선의 방정식은 5x-4y=9, 즉 5x-4y-9=0 ⇨ ❷이므로 FP4=|1512-9|25^2 +(x-4)^2 x~=1512`-9141q` F'4Q4=|-1512-9|25^2 +(x-4)^2 x~=1512`+9141q` ⇨ ❸ .t3 FP4.c1 F'4Q4=1512`-9141q`.c1 1512`+9141q`=36941=9 ⇨ ❹ 90229 쌍곡선 x^2 a^2 -y^2 b^2 =1 위의 점 (x_1 , y_1 )에서의 접선의 방정식은 x_1 xa^2 -y_1 yb^2 =1임을 이용한다.쌍곡선 x^2 10-y^2 6=1 위의 점 (a, b)에서의 접선의 방정식은 ax10-by6=1이 접선의 x절편은 ^10 /a , y절편은 -6/b 이고 접선과 x축 및 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 2이므로 1/2 .c1 |^10 /a |.c1 |-6/b |=2, |ab|=15 .t3 ab=15`(.T3 a>0, b>0) ⑤채점 기준비율❶ 점 F, F'의 좌표를 구할 수 있다.20%❷ 접선의 방정식을 구할 수 있다.30%❸ FP4, F'Q4의 길이를 구할 수 있다.30%❹ FP4.c1 F'Q4의 값을 구할 수 있다.20%이 직선의 기울기가 -1이므로 -1/b =-1 .t3 b=1이때 b^2 =-2a이므로 1=-2a .t3 a=-1/2 .t3 ab=-1/2 -1/2 0224 접점의 좌표를 (x_1 , y_1 )로 놓고 접선이 점 (-2, -1)을 지남을 이용한다.포물선 y^2 =4x 위의 점 (x_1 , y_1 )에서의 접선의 방정식은 y_1 y=2(x+x_1 )이 직선이 점 (-2, -1)을 지나므로 -y_1 =2(-2+x_1 ) .t3 y_1 =-2x_1 +4이때 y_1 ^2 =4x_1 이므로 (-2x_1 +4)^2 =4x_1 , x_1 ^2 -5x_1 +4=0 (x_1 -1)(x_1 -4)=0 .t3 x_1 =1 또는 x_1 =4따라서 두 점 A, B의 좌표는 (1, 2), (4, -4)이므로 직선 AB의 기울기는 -4-24-1=-2 ③0225 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 -1임을 이용한다.포물선 y^2 =-2x=4.c1 (-1/2Òx 위의 점 (x_1 , y_1 )에서의 접선의 방정식은 y_1 y=2.c1 (-1/2 )(x+x_1 ) .t3 y=-1y_1 x-x_1 y_1 이 직선이 점 (a, 0)을 지나므로 0=-ay_1 -x_1 y_1 .t3 x_1 =-a이때 y_1 ^2 =-2x_1 이므로 y_1 ^2 =2a .t3 y_1 =z12aq따라서 접선의 기울기는 z112aq이고 두 접선이 서로 수직이므로 112aq.c1 (-112aq)=-1, 12a=1 .t3 a=1/2 ②0226 타원 x^2 a^2 +y^2 b^2 =1 위의 점 (x_1 , y_1 )에서의 접선의 방정식은 x_1 xa^2 +y_1 yb^2 =1임을 이용한다.타원 x^2 +4y^2 =20 위의 두 점 (4, 1), (-2, 2)에서의 접선의 방정식은 각각 4x+4y=20, -2x+8y=20 .t3 x+y=5, x-4y=-10위의 두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=3따라서 교점의 좌표는 (2, 3)이다. (2, 3)0227 타원 위의 점 (x_1 , y_1 )에서의 접선이 점 (2, 4)를 지남을 이용한다.타원 x^2 +y^2 4=1 위의 점 (x_1 , y_1 )에서의 접선의 방정식은 x_1 x+y_1 y4=1라이트쎈기벡(해2강)(16-29)육.indd 2715. 2. 26. 오전 11:57 28 • 정답 및 풀이정답 및 풀이P(x_1, y_1)이라 하면 점 P에서의 접선의 방정식은 x_1x+2y_1y=6 .t3 y=-x_12y_1x+3y_1이 직선의 기울기가 -1이므로 -x_12y_1=-1 .t3 x_1=2y_1이때 x_1^2+2y_1^2=6이므로 6y_1^2=6 .t3 y_1=z1따라서 두 접점의 좌표는 (2, 1), (-2, -1)이고 점 P와 직선 AB 사이의 거리가 최소일 때는 오른쪽 그림에서 접점의 좌표가 (2, 1)일 때이다.점 (2, 1)과 직선 y=-x+8, 즉 x+y-8=0 사이의 거리는 |2+1-8|21^2+1^2x=5122이때 AB^_=2(4-3)x^2+(4x-5)^2x=12이므로 semoAPB의 넓이의 최솟값은 1/2.c112.c15122=5/2 ②0234 쌍곡선의 방정식과 직선 l의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 구한다.쌍곡선 2x^2-y^2=1 위의 점 (-1, 1)에서의 접선의 방정식은 -2x-y=1, 즉 y=-2x-1이므로 직선 l의 방정식은 y=1/2x직선 l과 쌍곡선 2x^2-y^2=1의 교점의 x좌표는 2x^2-(1/2x)^2=1, x^2=4/7 .t3 x=z2177따라서 교점의 좌표는 (2177, 177), (-2177, -177)이므로 a=2177, b=177`(.T3 a>0, b>0) .t3 ab=2/7 2/70235 직선 AC와 타원의 접점의 좌표를 (a, b)로 놓고 두 직선 AB, AC의 방정식을 구한다.직선 AC와 타원의 접점의 좌표를 (a, b)`(a>0, b>0)라 하면 접선의 방정식은 ax16+by9=1 .t3 y=-9a16bx+9b cc ㉠직선 AB와 타원의 접점의 좌표는 (-a, b)이므로 접선의 방정식은 -ax16+by9=1 .t3 y=9a16bx+9b cc ㉡두 직선 ㉠, ㉡이 서로 수직이므로 -9a16b.c19a16b=-1 .t3 a=^16/9b`(.T3 a>0, b>0)이때 a^216+b^29=1이므로(cid:90)(cid:48)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:89)0230 r(t)와 V(t)를 구한 후 t에 대하여 미분하여 drdt, dVdt를 구한다.r(t)=5+0.2t, V(t)=4/3pai(5+0.2t)^3이므로 drdt=0.2, dVdt=4/5pai(5+0.2t)^2 .t3 dVdr=dVdtdrdt=4/5pai(5+0.2t)^20.2=4pai(5+0.2t)^2따라서 t=5일 때 dVdr=4pai.c16^2=144pai 144pai0231 t=-2일 때 dy/dx=-1/3임을 이용하여 a의 값을 구한다.dxdt=6t^2+2at, dydt=2t이므로 dy/dx=dydtdxdt=2t6t^2+2at=13t+a`(tnot=-a3)t=-2일 때 dy/dx=-1/3이므로 1-6+a=-1/3 .t3 a=3따라서 t=-2일 때 x=-4, y=3이므로 접선의 방정식은 y-3=-1/3(x+4) .t3 y=-1/3x+5/3즉 구하는 직선의 y절편은 5/3이다. ④0232 theta=pai/2일 때 x, y, dy/dx의 값을 구한 후 접선의 방정식을 구한다.dx/dtheta=1-costheta, dy/dtheta=-sintheta이므로 dy/dx=dydtdxdt=-sintheta1-costheta`(costhetanot=1)theta=pai/2일 때 x=pai/2-1, y=1, dy/dx=-1이므로 접선의 방정식은 y-1=-(x-pai/2+1) .t3 y=-x+pai/2따라서 A(pai/2, 0), B(0, pai/2)이므로 AB^_의 중점의 좌표는 (pai/4, pai/4) (pai/4, pai/4)0233 AB^_를 semoAPB의 밑변으로 생각하면 높이가 최소일 때 semoAPB의 넓이가 최소이다.AB^_의 길이가 일정하므로 semoAPB의 넓이가 최소이려면 점 P와 직선 AB 사이의 거리가 최소이어야 하므로 점 P에서의 접선이 직선 AB와 평행해야 한다.직선 AB의 방정식은 y-5=4-54-3(x-3) .t3 y=-x+8라이트쎈기벡(해2강)(16-29)육.indd 2815. 2. 26. 오전 11:57 본책03``벡터의 연산 • 2935~39쪽 ^16 /81 b^2 +b^2 9=1, b^2 =^81 /25 .t3 b=9/5 `(.T3 b>0) .t3 a=^16 /9 .c1 9/5 =^16 /5 따라서 직선 AB, AC의 방정식이 각각 y=x+5, y=-x+5이므로 A(0, 5)한편 두 점 B, C의 y좌표가 -3이므로 B(-8, -3), C(8, -3) .t3 semo ABC=1/2 .c1 {8-(-8)}.c1 {5-(-3)}=1/2 .c1 16.c1 8=64 640236 미분계수의 정의를 이용하여 주어진 식을 f'(3)에 대한 식으로 변형한다.limh=0 f(3+5h)-f(3)h=limh=0 f(3+5h)-f(3)5h.c1 5=5`f'(3)한편 dxdt=1t^2 , dydt=1(t+1)^2 이므로 dydx=dydtdxdt=t^2 (t+1)^2 이때 t-1t=3에서 t-1=3t .t3 t=-1/2t=-1/2일 때 dy/dx=(-1/2 )^2 (-1/2 +1)^2 =1이므로 f'(3)=1따라서 주어진 식의 값은 5f'(3)=5 ⑤0237 x=1/2 , y=132을 만족시키는 theta 의 값을 구한다.dx/dtheta =-sin theta , dy/dtheta =cos theta 이므로 dy/dx=dydtheta dxdtheta =-cos theta sin theta =-cottheta ⇨ ❶이때 cos theta =1/2 에서 theta =pai /3`(.T3 0 |=4 40242 DB^_ =3AB^_ `^2 +cAD^_ `^2 c`=23^2 +4^2 x`=5이므로 |DB^> |=5 50243 d7 0244 `f70245 AB^> 0246 BC^> , AO^> 0247 AB^> `=`OC^> `=`c7BC^> `=`AO^> `=-`OA^> `=-a7BO^> `=-`OB^> `=-b7 AB^> `=`c7, BC^> `=-a7, BO^> `=-b70248 (cid:67)(cid:66)(cid:66)(cid:12)(cid:67) 0249 (cid:67)(cid:66)(cid:66)(cid:12)(cid:67)0250 (cid:67)(cid:66)(cid:66)(cid:14)(cid:67) 0251 (cid:67)(cid:66)(cid:66)(cid:14)(cid:67)0252 AB^> +BC^> +CA^> =AC^> +CA^> =07 070253 AB^> `+`BC^> `+`CD^> `+`DE^> `=(AB^> `+`BC^> )+(CD^> `+`DE^> ) =AC^> `+`CE^> =`AE^> AE^> 0254 BA^> `+`CB^> `+`AD^> =(BA^> `+`CB^> )+`AD^> =(CB^> `+`BA^> )+`AD^> =CA^> `+`AD^> `=`CD^> CD^> 0255 BC^> `+`AB^> `-`AC^> =(BC^> `+`AB^> )-`AC^> =(AB^> `+`BC^> )-`AC^> =AC^> `-`AC^> `=`07 070256 OA^> `-`OB^> `+`AC^> `-`BD^> =(OA^> `-`OB^> )+`AC^> `-`BD^> =BA^> `+`AC^> `-`BD^> =(BA^> `+`AC^> )-`BD^> =BC^> `-`BD^> `=`DC^> DC^> 벡터의 연산03라이트쎈기벡(해2강)(16-29)육.indd 2915. 2. 26. 오전 11:57 30 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0272 p7+q7=2a7+3b7r7-q7=(4a7+9b7)-3b7=4a7+6b7이때 4a7+6b7=2(2a7+3b7)이므로 r7-q7=2(p7+q7)따라서 두 벡터 p7+q7, r7-q7`는 서로 평행하다. .t3 ㈎ 4a7+6b7 ㈏ 2 ㈐ r7-q7 ㈎ 4a7+6b7 ㈏ 2 ㈐ r7-q70273 p7+q7=(a7+b7)+2b7=a7+3b7r7-p7=(3a7+7b7)-(a7+b7)=2a7+6b7이때 2a7+6b7=2(a7+3b7)이므로 r7-p7=2(p7+q7)따라서 두 벡터 p7+q7, r7-p7`는 서로 평행하다. 풀이 참조0274 (m-1)a7+(2n+3)b7=07`에서 m-1=0, 2n+3=0 .t3 m=1, n=-3/2 m=1, n=-3/20275 (2m+1)a7+(4-3n)b7=-a7+b7`에서 2m+1=-1, 4-3n=1 .t3 m=-1, n=1 m=-1, n=10276 ka7+3b7`와 6a7+9b7`가 서로 평행하므로 ka7+3b7=t(6a7+9b7)`(tnot=0)라 하면 k=6t, 3=9t .t3 t=1/3, k=2 20277 ⑴ AB^>=OB^>-OA^>=b7-a7⑵ AC^>=OC^>-OA^>=(-a7+2b7)-a7=-2a7+2b7⑶ AC^>=2(b7-a7)=2AB^>따라서 세 점 A, B, C는 한 직선 위에 있다. 풀이 참조0278 정육각형의 한 내각의 크기는 180°\(6-2)6=120°오른쪽 그림과 같이 점 B에서 AC^_에 내린 수선의 발을 H라 하면 gakABH=60°따라서 AH^_=AB^_ sin 60°=132이므로 AC^_=2AH^_=13 ∴ |AC9|=13 130279 ㄱ. AB4=AC^_=2이므로 |AB^>|=|AC^>|=2ㄴ. BD4=1/2BC^_=1이므로 |BD^>|=1ㄷ. AD4는 정삼각형 ABC의 높이와 같으므로 AD4=132a2=13 .t3 |AD9|=13이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. ⑤(cid:23)(cid:17)(cid:11)(cid:34)(cid:37)(cid:35)(cid:41)(cid:39)(cid:36)(cid:38)(cid:18)0257 AB^>`=`AO^>`+`OB9` =-OA^>`+`OB^>=-a7`+`b7 -a7+b70258 CB^>`=`CO^>`+`OB9` =`OA^>`+`OB^>`=`a7+`b7 a7+b70259 ⑴ (cid:20)(cid:66) ⑵ (cid:14)(cid:21)(cid:67) ⑶ (cid:14)(cid:21)(cid:67)(cid:20)(cid:66)(cid:14)(cid:21)(cid:67)(cid:20)(cid:66) 풀이 참조0260 2a7+5b70261 3a7-4b70262 4(a7-b7)+3(2a7+b7) =4a7-4b7+6a7+3b7 =(4+6)a7+(-4+3)b7 =10a7-b7 10a7-b70263 2(3a7+b7)-5(a7-b7) =6a7+2b7-5a7+5b7 =(6-5)a7+(2+5)b7 =a7+7b7 a7+7b70264 3(3a7+2b7+c7)-2(a7-3b7+2c77) =9a7+6b7+3c7-2a7+6b7-4c7 =(9-2)a7+(6+6)b7+(3-4)c7 =7a7+12b7-c7 7a7+12b7-c70265 a7+x7=3a7-b7`에서 x7=2a7-b7 2a7-b70266 2(x7-2a7)=3b7+x7`에서 2x7-4a7=3b7+x7 .t3 x7=4a7+3b7 4a7+3b70267 3(b7-x77)+2(x7-2a7)=4b7`에서 3b7-3x7+2x7-4a7=4b7, -x7=4a7+b7 .t3 x7=-4a7-b7 -4a7-b70268 오른쪽 그림에서 |a7+2b7|=|AC'9|=22^2+1^2x`=15 150269 c7=a7+b7`이므로 a7+b7+c7=2c7 .t3 |a7+b7+c7|=2|c7|=221^2+1^2x`=212 2120270 c7=a7+b7`이므로 2a7+b7-c7=2a7+b7-(a7+b7)=a7 .t3 |2a7+b7-c7|=|a7|=1 10271 c7=-2m7`이므로 m7tc7 c7(cid:34)(cid:18)(cid:19)(cid:35)(cid:37)(cid:8)(cid:36)(cid:8)(cid:66)(cid:19)(cid:67)(cid:66)(cid:12)(cid:19)(cid:67)라이트쎈기벡(해3강)(30-35)육.indd 3015. 2. 26. 오전 11:58 03``벡터의 연산 • 31본책벡터의 연산0339~44쪽0288 OA^> +OC^> =OB^> +OD^> `에서 OA^> -OB^> =OD^> -OC^> .t3 BA^> =CD^> 따라서 BA^_ =CD^_ , BA^_ tCD^_ 이므로 □ ABCD는 평행사변형이다. ⇨ ❶gak ABC=pai 2일 때 □ ABCD의 넓이가 최대이므로 구하는 최댓값은 4· 2=8 ⇨ ❷ 80289 x7+2y7=a7 cc ㉠2x7+3y7=b7 cc ㉡㉠\2-㉡을 하면 y7=2a7-b7이것을 ㉠에 대입하면 x7+2(2a7-b7)=a7 .t3 x7=a7-2(2a7-b7)=-3a7+2b7 .t3 3x7-y7=3(-3a7+2b7)-(2a7-b7) =-9a7+6b7-2a7+b7 =-11a7+7b7 ②0290 3(a7-2b7)-4(a7+3c7)+2(a7-b7+2c7) =3a7-6b7-4a7-12c7+2a7-2b7+4c7 =a7-8b7-8c7 a7-8b7-8c70291 3(x7+a7)=2(x7-a7+2b7)에서 3x7+3a7=2x7-2a7+4b7 .t3 x7=-5a7+4b7 ⇨ ❶4(-a7+2y7)+2b7=6y7`에서 -4a7+8y7+2b7=6y7, 2y7=4a7-2b7 .t3 y7=2a7-b7 ⇨ ❷ .t3 x7+y7=(-5a7+4b7)+(2a7-b7)=-3a7+3b7 ⇨ ❸ -3a7+3b70292 a7+b7=2x7 cc ㉠b7+c7=2y7 cc ㉡c7+a7=2z7 cc ㉢㉠+㉡+㉢을 하면 2(a7+b7+c7)=2(x7+y7+z7) .t3 a7+b7+c7=x7+y7+z7 cc ㉣㉣-㉢을 하면 b7=(x7+y7+z7)-2z7=x7+y7-z7 ①채점 기준비율❶ □ ABCD가 어떤 사각형인지 알 수 있다.50%❷ □ ABCD의 넓이의 최댓값을 구할 수 있다.50%채점 기준비율❶ x7를 a7, b7로 나타낼 수 있다.40%❷ y7를 a7, b7로 나타낼 수 있다.40%❸ x7+y7를 a7, b7로 나타낼 수 있다.20%0280 오른쪽 그림과 같이 AD^_ ,CE^_ 의 교점을 F라 하면 AF^_ 는 정삼각형 ACE의 높이와 같으므로 AF^_ =132a1=132따라서 AD^_ =2AF^_ =13이므로 |AD^> |=13또 |BD^> |=2, |EC^> |=1이므로 |AD^> |+|BD^> |+|EC^> |=3+13 3+130281 ②0282 AB^> `와 CD^> , AC^> `와 BD^> 0283 ②0284 AF^> `와 같은 벡터는 BE^> .t3 a=1 ⇨ ❶FD9`와 크기는 같고 방향이 반대인 벡터는 BH9, IG9, CI9, DF^> .t3 b=4 ⇨ ❷ .t3 a+b=5 ⇨ ❸ 50285 AB^> +BC^> +CD^> +DC^> -AD^> =AC^> -AD^> =DC^> ⑤0286 ② AB^> +BC^> +CA^> =AC^> +CA^> =07③ BA^> +AC^> -BD^> =BC^> -BD^> =DC^> ④ AD^> -CD^> +CB^> =AD^> +DC^> +CB^> =AC^> +CB^> =AB^> ⑤ BC^> -BA^> -DC^> =AC^> -DC^> =AC^> +CD^> =AD^> ④0287 오른쪽 그림과 같이 열기구가 출발한 지점을 O, 바람이 불지 않을 때 열기구가 1초 동안 움직여 도착하는 지점을 A, 바람이 지점 O에서 1초 동안 이동한 지점을 B, 열기구가 실제로 1초 후 도착한 지점을 C라 하면 OC^> =OA^> +OB^> OA^_ jikgak OB^_ 이므로 OC^_ =24^2 +3^2 x`=5`(m)따라서 |OC^> |=5`m이므로 열기구가 실제로 움직이는 속력은 5`m/s이다. 5`m/s(cid:18)(cid:35)(cid:36)(cid:34)(cid:38)(cid:39)(cid:37)삼각형의 중점 연결 정리semo ABC에서 두 변 AB, AC의 중점을 각각 M, N이라 하면BC^_ tMN^_ , MN^_ =1/2 BC^_ (cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:47)(cid:46)채점 기준비율❶ a의 값을 구할 수 있다.40%❷ b의 값을 구할 수 있다.40%❸ a+b의 값을 구할 수 있다.20%CD^> -CD^> =07(cid:20)(cid:65)(cid:78)(cid:21)(cid:65)(cid:78)(cid:48)(cid:35)(cid:34)(cid:36)라이트쎈기벡(해3강)(30-35)육.indd 3115. 2. 26. 오전 11:59 32 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0300 ㄱ. a7+b7=AD^>+BE^>=AD^>+DF^>=AF^>.t3 |a7+b7|=|AF^>|=1ㄴ. a7-c7=AD^>-CF^>=AD^>+FC9=AD^>+DE^>=AE^>이때 AE^_는 정삼각형 ABC의 높이와 같으므로AE^_=132a2=13.t3 |a7-c7|=|AE^>|=13ㄷ. a7+b7-c7 =AD^>+BE^>-CF^>=AD^>+DF^>+FC9 =AF^>+FC9=AC^>.t3 |a7+b7-c7|=|AC^>|=2이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ②0301 AB^>+AC^>+AD^>+AE^>+AF^> =(AB^>+AE^>)+(AC^>+AF^>)+AD^> =(AB^>+BD^>)+(AC^>+CD^>)+AD^> =AD^>+AD^>+AD^>=3AD^>이때 |AB^>+AC^>+AD^>+AE^>+AF^>|=6이므로 3|AD^>|=6 .t3 |AD^>|=2따라서 BC^_=1/2AD^_=1이므로 정육각형의 한 변의 길이는 1이다. 10302 (2x+y)a7-(x+3y)b7=5a7-10b7`이므로 2x+y=5, x+3y=10위의 두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=3 .t3 xy=3 ④0303 m(a7-b7)+n(2a7-3b7)-b7=na7+m(-a7+3b7)에서 ma7-mb7+2na7-3nb7-b7=na7-ma7+3mb7 .t3 (m+2n)a7+(-m-3n-1)b7=(n-m)a7+3mb7따라서 m+2n=n-m, -m-3n-1=3m이므로 2m+n=0, 4m+3n=-1위의 두 식을 연립하여 풀면 m=1/2, n=-1 .t3 m+n=-1/2 ②0304 AC^>=OC^>-OA^>=(ka7+2b7)-a7=(k-1)a7+2b7,BA^>=OA^>-OB^>=a7-b7 ⇨ ❶이므로 4AC9=mBA9`에서 4(k-1)a7+8b7=ma7-mb7 ⇨ ❷따라서 4(k-1)=m, 8=-m이므로 m=-8, k=-1 .t3 k+m=-9 ⇨ ❸ -9채점 기준비율❶ AC^>, BA^>를 a7, b7로 나타낼 수 있다.30%❷ 4AC^>=mBA^>를 a7, b7로 나타낼 수 있다.30%❸ k+m의 값을 구할 수 있다.40%0293 오른쪽 그림과 같이 원점을 지나면서 원 x^2+(y-4)^2=4에 접하는 두 직선과 원의 접점을 각각 Q, R라 하면 OP^>`는 OQ^>`와 OR^> 사이(OQ^>, OR^> 포함)에 있다. 이때 원의 중심을 C, gakCOR=t라 하면 sin t=CR^_OC^_=1/2 .t3 t=pai6 .t3 gakQOR=pai3또 OX^>=OP^>|OP^>|에서 OX^>`는 OP^>`와 방향이 같고 크기가 1인 벡터이므로 종점 X가 나타내는 도형은 반지름의 길이가 1이고 중심각의크기가 pai3인 부채꼴의 호이다.따라서 구하는 도형의 길이는 1·pai3=pai3 pai30294 EF9=CB^>, OE^>=CD^>`이므로 AB^>-EF9+OE^>=AB^>-CB^>+CD^>=AB^>+BC^>+CD^> =AC^>+CD^>=AD^> ②0295 BD^>=2`BO^>=-2`OB^>=-2b7CD^>=BA^>=OA^>-OB^>=a7-b7 .t3 BD^>+CD^>=-2b7+(a7-b7)=a7-3b7 ④0296 PQ^>=AQ^>-AP^>=3/4AC^>-1/2AB^>=3/4b7-1/2a7 3/4b7-1/2a70297 CH^>=CJ^>+JH9=CJ^>+BJ^>=CJ^>+BC^>+CJ^> =2`CJ^>+BC^>=-4`AB^>+BC^>=-4a7+b7 -4a7+b70298 AB^>+CD^>+GH9=AB^>+CD^>+DC^>=AB^>이므로 |AB^>+CD^>+GH9|=|AB^>|=1 ①0299 5BA9+5BC9+5BD9=(5BA9+5BC9)+5BD9 =5BD9+5BD9=25BD9 ⇨ ❶이때 |5BA9+5BC9+5BD9|=412이므로 2|5BD9|=412 .t3 |5BD9|=212 ⇨ ❷따라서 정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 k라 하면 대각선의 길이가 212이므로 12k=212 .t3 k=2즉 정사각형의 한 변의 길이는 2이다. ⇨ ❸ 2(cid:48)(cid:36)(cid:49)(cid:51)(cid:50)(cid:19)(cid:21)(cid:489)(cid:90)(cid:89)25BA9채점 기준비율❶ 5BA9+5BC9+5BD9`를 간단히 할 수 있다.40%❷ |5BD9|를 구할 수 있다.30%❸ 정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 구할 수 있다.30%라이트쎈기벡(해3강)(30-35)육.indd 3215. 2. 26. 오전 11:59 03``벡터의 연산 • 33본책벡터의 연산0344~47쪽 y7+4b7=m(a7-b7)-(2a7-3b7) .t3 y7=(m-2)a7-(m+1)b7x7`와 y7`가 서로 평행하므로 y7=tx7`(tnot= 0)라 하면 (m-2)a7-(m+1)b7=t(2a7-3b7) .t3 m-2=2t, m+1=3t위의 두 식을 연립하여 풀면 m=8, t=3 ④0311 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 AC^> =kAB^> `(knot= 0)이때 AC^> =OC^> -OA^> , AB^> =OB^> -OA^> `이므로 (ma7-4b7)-3a7=k(-b7-3a7) .t3 (m-3)a7-4b7=-3ka7-kb7따라서 m-3=-3k, -4=-k이므로 k=4, m=-9 ①0312 평면 위의 세 점 A, B, C에 대하여AC^> =3AB^> `이므로 세 점 A, B, C는 한 직선 위에 있다.이때 |AB^> |=1이므로 |AC^> |=3 .t3 |BC^> |=2 20313 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으므로 AC^> =kAB^> (kL0) ⇨ ❶즉 (m-1)a7+2b7=k(2a7-b7)이므로 m-1=2k, 2=-k .t3 k=-2, m=-3 ⇨ ❷ -30314 세 점 P, B, C가 한 직선 위에 있으려면 PB^> =kBC^> `(knot= 0) .t3 AB^> -AP^> =k(AC^> -AB^> )이때 AP^> =mAB^> +2AC^> 이므로 AB^> -(mAB^> +2AC^> )=k(AC^> -AB^> ) .t3 (1-m)AB^> -2AC^> =-k`AB^> +k`AC^> 따라서 1-m=-k, -2=k이므로 k=-2, m=-1 -10315 오른쪽 그림과 같이 5BA9=a7, 5BC9=b7`라 하면 5BE9=a7+1/2 b7세 점 B, F, E가 한 직선 위에 있고 |5BF9|=m|5BE9|이므로 5BF9=m5BE9=ma7+m/2 `b7 cc ㉠(cid:35)(cid:20)(cid:18)(cid:34)(cid:36)채점 기준비율❶ 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있을 조건을 알 수 있다.40%❷ m의 값을 구할 수 있다.60%(cid:67)(cid:66)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)0305 □ ABCD가 평행사변형이므로 AB^> =DC^> 이때 AB^> =OB^> -OA^> , DC^> =OC^> -OD^> `이므로 3ma7+(n-1)b7-2a7-mb7=-na7+2b7+(m+3)a7-4nb7 .t3 (3m-2)a7+(n-m-1)b7=(m-n+3)a7+(2-4n)b7따라서 3m-2=m-n+3, n-m-1=2-4n이므로 2m+n=5, m-5n=-3위의 두 식을 연립하여 풀면 m=2, n=1 .t3 m-n=1 10306 4a7+kb7와 2b7-a7`가 서로 평행하므로 4a7+kb7=m(2b7-a7)`(mnot= 0)라 하면 4=-m, k=2m .t3 m=-4, k=-8 ①0307 p7-q7=(a7-b7)-(2a7+b7)=-a7-2b7q7+r7=(2a7+b7)+(a7+kb7)=3a7+(k+1)b7p7-q7`와 q7+r7`가 서로 평행하므로 q7+r7=m(p7-q7)`(mnot= 0)라 하면 3a7+(k+1)b7=m(-a7-2b7)따라서 3=-m, k+1=-2m이므로 m=-3, k=5 50308 ㄱ. a7+c7=a7+(2a7+3b7)=3a7+3b7=3(a7+b7)따라서 두 벡터 a7+c7`와 a7+b7`는 서로 평행하다.ㄴ. a7-c7=a7-(2a7+3b7)=-a7-3b7따라서 두 벡터 a7-c7`와 a7+b7`는 서로 평행하지 않다.ㄷ. b7+c7=b7+(2a7+3b7)=2a7+4b7따라서 두 벡터 b7+c7`와 a7+b7`는 서로 평행하지 않다.ㄹ. b7-c7=b7-(2a7+3b7)=-2a7-2b7=-2(a7+b7)따라서 두 벡터 b7-c7`와 a7+b7`는 서로 평행하다.이상에서 벡터 a7+b7`와 평행한 벡터는 ㄱ, ㄹ이다. ③0309 ⑴ a7`와 b7`가 서로 평행하므로 b7=ma7`(mnot= 0)라 하면2a7+k(c7-2a7)+2b7-4c7=07`에서 2a7+k`c7-2ka7+2ma7-4c7=07 .t3 (2-2k+2m)a7+(k-4)c7=07따라서 2-2k+2m=0, k-4=0이므로 k=4, m=3 ⇨ ❶⑵ ⑴에서 m=3이므로 b7=3a7 .t3 |b7|=3|a7|=3a3=9 ⇨ ❷ ⑴ 4 ⑵ 90310 조건 ㈎에서 x7=2a7-3b7이것을 조건 ㈏의 식에 대입하면채점 기준비율❶ k의 값을 구할 수 있다.60%❷ |a7|=3일 때, 벡터 b7`의 크기를 구할 수 있다.40%라이트쎈기벡(해3강)(30-35)육.indd 3315. 2. 26. 오전 11:59 34 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0322 크기와 방향이 각각 같은 벡터는 서로 같은 벡터임을 이용한다.ㄱ. |AO^>|=|BC^>|=1이고 두 벡터 AO^>, BC^>`의 방향이 같으므로 AO^>=BC^>ㄷ. |CF^>|=2|BA^>|=2이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③0323 주어진 두 식을 연립하여 x7, y7`를 각각 a7, b7`로 나타낸다.x7+2y7=5a7+b77 cc ㉠x7-y7=-a7+4b77 cc ㉡㉠-㉡을 하면 3y7=6a7-3b77 .t3 y7=2a7-b77이것을 ㉡에 대입하면 x7-(2a7-b77)=-a7+4b7 .t3 x7=a7+3b77 .t3 2x7-3y7=2(a7+3b77)-3(2a7-b77) =2a7+6b77-6a7+3b77 =-4a7+9b77 ③0324 AB^>+BC^>=AC^>`임을 이용하여 CE^>`를 두 벡터의 합으로 나타낸다.CE^>=CF^>+FE9=2BA^>+BC^>=-2AB^>+BC^>=-2a7+b77 ①0325 삼각형의 세 중선의 교점은 무게중심임을 이용한다.점 G는 삼각형 ABC의 무게중심이므로 GF9=1/3BF^>=1/3(AF^>-AB^>) =1/3(1/2AC^>-AB^>)=-1/3AB^>+1/6AC^> =-1/3a7+1/6b7 7 따라서 m=-1/3, n=1/6이므로 m-n=-1/2 -1/20326 AB^>=OB^>-OA^>`임을 이용하여 한 벡터를 두 벡터의 차로 나타낸다.AB^>+CD^>-EF^> =(OB^>-OA^>)+(OD^>-OC^>)-(OF^>-OE^>) =(OB^>+OE^>)-OA^>+OD^>-(OC^>+OF^>) =07-OA^>+OD^>-07 =AO^>+OD^>=AD^>=2OD^> ④채점 기준비율❶ m, n에 대한 연립방정식을 세울 수 있다.50%❷ m, n의 값을 구할 수 있다.40%❸ mn의 값을 구할 수 있다.10%한편 세 점 A, F, C가 한 직선 위에 있으려면 AF^>=kAC^>`(knot=0) BF^>-BA^>=k(BC^>-BA^>) .t3 BF^>=(1-k)BA^>+kBC^>=(1-k)a7+kb7 cc ㉡㉠, ㉡에서 m=1-k, m/2=k위의 두 식을 연립하여 풀면 m=2/3, k=1/3 ②0316 AP^>=k(FA9+FE9-FD9) =k(FA9+DE^>)=k(FA9+CF^>) =k`CA^>=-k`AC^>따라서 세 점 A, C, P는 한 직선 위에 있으므로 점 P는 직선 AC 위에 있다. ②0317 오른쪽 그림과 같이 정사각형 OADB를 그리면 OA^>+OB^>=OD^>즉 OC^>=k(OA^>+OB^>)=k`OD^>`이므로 세 점O, C, D는 한 직선 위에 있다.이때 OC^_=1, OD^_=12이므로 OC^>=112`OD^>=122(OA^>+OB^>) .t3 k=122 1220318 직사각형의 대각선은 서로를 이등분함을 이용한다.AC^_=24^2+6^2x=2113q이므로 AO^_=1/2AC^_=113q .t3 |AO^>|=113q 113q0319 AB^>=-5BA9, AB^>+5BC9=AC^>, AB^>-AC^>=CB^>`임을 이용한다.③ AB^>-AC^>=CB^>④ -(AB^>+BC^>)=-AC^>=CA^>⑤ AB^>+BD^>-AC^>=AD^>-AC^>=CD^> ③0320 AB^>=-BA^>`이고, 평행사변형 ABCD에서 AB^>+AD^>=AC^>`임을 이용한다.AB^>-DA^>+AC^>=AB^>+AD^>+AC^>=AC^>+AC^>=2AC^> ④0321 벡터가 서로 같을 조건을 이용하여 m, n에 대한 연립방정식을 세운다.(4-m)a7+(m-2n)b7=(m-n)a7+(n+7)b7`에서 4-m=m-n, m-2n=n+7 .t3 2m-n=4, m-3n=7 ⇨ ❶위의 두 식을 연립하여 풀면 m=1, n=-2 ⇨ ❷ .t3 mn=-2 ⇨ ❸ -2(cid:48)(cid:34)(cid:35)(cid:37)(cid:36)라이트쎈기벡(해3강)(30-35)육.indd 3415. 2. 26. 오전 11:59 03``벡터의 연산 • 35본책벡터의 연산0347~49쪽0331 정육각형의 넓이는 합동인 6개의 정삼각형의 넓이의 합과 같음을 이용한다.-AB^> +2BC^> =BA^> +AD^> =BD^> `이므로 |-AB^> +2BC^> |=|BD^> |=6 .t3 BD^_ =6정육각형의 한 변의 길이를 a라 하고 오른쪽 그림과 같이 점 C에서 BD^_ 에 내린 수선의 발을 H라 하면 gak BCH=60°이므로 2.c1 a sin 60°=6 2a.c1 132=6 .t3 a=213따라서 구하는 정육각형의 넓이는 6.c1 134.c1 (213`)^2 =1813 ④0332 타원 위의 점에서 두 초점에 이르는 거리의 합은 타원의 장축의 길이와 같음을 이용한다.OF^> =5F'O9`이므로 |OF^> +OP^> |=|5F'O9+OP^> |=|5F'P9|=6 .t3 F'4P4=6한편 9x^2 +25y^2 =225에서 x^2 25+y^2 9=1타원의 정의에 의하여 PF^_ +P4F'4=2· 5=10이므로 PF^_ =10-P4F'4=4 4(cid:34)(cid:37)(cid:35)(cid:39)(cid:41)(cid:23)(cid:17)(cid:11)(cid:36)(cid:38)(cid:66)타원의 정의의 활용타원 x^2 a^2 +y^2 b^2 =1 위의 점 P와 두 초점 F, F'에 대하여① a>b>0일 때, PF^_ +5PF'4=2a② b>a>0일 때, PF^_ +5PF'4=2b0327 6m8=kn7`(knot= 0)이면 6m8, n7`은 서로 평행함을 이용한다.① a7+2p7=a7+2(a7-2b7)=3a7-4b7② a7-p7=a7-(a7-2b7)=2b7③ -a7-p7=-a7-(a7-2b7)=-2a7+2b7=-2(a7-b7)④ b7-p7=b7-(a7-2b7)=-a7+3b7⑤ -3b7-p7=-3b7-(a7-2b7)=-a7-b7 ③0328 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으면 AC^> =m`AB^> `(mnot= 0)임을 이용한다.세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 AC^> =m`AB^> `(mnot= 0) ⇨ ❶이때 AC^> =OC^> -OA^> , AB^> =OB^> -OA^> `이므로 a7-kb7-(2a7-3b7)=m{4a7+b7-(2a7-3b7)} .t3 -a7+(-k+3)b7=2ma7+4mb7 ⇨ ❷따라서 -1=2m, -k+3=4m이므로 m=-1/2 , k=5 ⇨ ❸ 50329 주어진 도형에서 기준이 되는 벡터 a7, b7`를 정하여 OR^> , OP^> , OQ^> `를 a7, b7`로 나타낸다.오른쪽 그림과 같이 a7, b7`를 정하면 OR^> =2a7+b7 OP^> =-2a7+b7 OQ^> =a7+3b7 ⇨ ❶OR^> =m`OP^> +n`OQ^> `이므로 2a7+b7=m(-2a7+b7)+n(a7+3b7) =(-2m+n)a7+(m+3n)b7 .t3 2=-2m+n, 1=m+3n위의 두 식을 연립하여 풀면 m=-5/7 , n=4/7 ⇨ ❷ .t3 m+n=-1/7 ⇨ ❸ -1/7 0330 각 벡터를 PO^> `와 다른 한 벡터의 합으로 나타낸다.PA^> +PB^> +PC^> +PD^> +PE^> +PF^> =(PO^> +OA^> )+(PO^> +OB^> )+(PO^> +OC^> ) +(PO^> +OD^> )+(PO^> +OE^> )+(PO^> +OF^> ) =(OA^> +OB^> +OC^> +OD^> +OE^> +OF^> )+6`PO^> =6`PO^> 이므로 k=6 6채점 기준비율❶ 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있을 조건을 알 수 있다.30%❷ AC^> =mAB^> 를 a7, b7로 나타낼 수 있다.50%❸ k의 값을 구할 수 있다.20%(cid:48)(cid:51)(cid:50)(cid:49)(cid:66)(cid:67)채점 기준비율❶ OR^> , OP^> , OQ^> 를 a7, b7로 나타낼 수 있다.40%❷ m, n의 값을 구할 수 있다.50%❸ m+n의 값을 구할 수 있다.10%07라이트쎈기벡(해3강)(30-35)육.indd 3515. 2. 26. 오전 11:59 36 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0348 a7-b7=(5, 1)-(-2, 3)=(7, -2) (7, -2)0349 -3c7=-3(1, -4) =(-3, 12) (-3, 12)0350 2a7-b7+3c7 =2(5, 1)-(-2, 3)+3(1, -4) =(10, 2)+(2, -3)+(3, -12) =(15, -13) (15, -13)0351 3(a7+2b7)-2(a7+c7)=3a7+6b7-2a7-2c7 =a7+6b7-2c7 =(5, 1)+6(-2, 3)-2(1, -4) =(5, 1)+(-12, 18)+(-2, 8) =(-9, 27) (-9, 27)0352 AB^>=(-3-1, 1-2)=(-4, -1)이므로 |AB^>|=2(-4x)^2+(x-1)^2x`=217w AB^>=(-4, -1), |AB^>|=217w0353 AB^>=(4-(-2), 3-5)=(6, -2)이므로 |AB^>|=26^2+s(-2)^2x=2210w AB^>=(6, -2), |AB^>|=2210w0354 a7`.C1`b7=|a7||b7|cos pai/3=3\2\1/2=3 30355 a7`.C1`b7=|a7||b7|cos 135°=3\2\(-rt^2/2)=-322 -3220356 ⑴ AB^>`.C1`AC^>=|AB^>||AC^>|cos A=5\3\3/5=9⑵ BA^>`.C1`BC^>=|BA^>||BC^>|cos B=5\4\4/5=16⑶ CA^>`.C1`CB^>=|CA^>||CB^>|cos C=3\4\0=0 ⑴ 9 ⑵ 16 ⑶ 00357 a7`.C1`b7=2\(-3)+4\2=2 20358 a7`.C1`b7=-3\1+5\(-4)=-23 -230359 a7`.C1`b7=0\(-8)+(-7)\3=-21 -210360 ㈎ a7+b7 ㈏ b70361 (a7+b7).C1(a7-b7) =(a7+b7).C1`a7-(a7+b7).C1`b7 =a7`.C1`a77+b7`.C1`a7-a7`.C1`b7-b7`.C1`b7 =|a7|^2-|b7|^2 풀이 참조0362 15`, 110q`, 5, 12`2, pai/4평면벡터와 평면 운동04Ⅱ. 평면벡터0333 AC^>=OC^>-OA^>=2a7+b7-a7=a7+b7 a7+b70334 BC^>=OC^>-OB^>=2a7+b7-b7=2a7 2a70335 AB^>=b7-a7, BC^>=c7-b7`이므로 AB^>+2BC^> =b7-a7+2(c7-b7) =b7-a7+2c7-2b7 =-a7-b7+2c7 -a7-b7+2c70336 AC^>=c7-a7, 5BA9=a7-b7`이므로 3AC^>-5BA9 =3(c7-a7)-(a7-b7) =3c7-3a7-a7+b7 =-4a7+b7+3c7 -4a7+b7+3c70337 p7=3b7+2a73+2=2a7+3b75 p7=2a7+3b750338 m7=a7+b720339 q7=2b7-a72-1=-a7+2b7 q7=-a7+2b70340 ㈎ a7+b7+c73 ㈏ OC^>-OG^> ㈐ a7+b7+c70341 ⑴ 오른쪽 그림에서 (cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:19)(cid:14)(cid:21)(cid:67)(cid:66)(cid:67) a7=(2, 3), b7=(-3, 1)⑵ a7=(2, 3)이므로 a7=2e_18+3e_28b7=(-3, 1)이므로 b7=-3e_18+e_28 ⑴ a7=(2, 3), b7=(-3, 1) ⑵ a7=2e_18+3e_28, b7=-3e_18+e_280342 a7=(-2, 5)0343 b7=(4, -3)0344 m-1=2, 3=3n이므로 m=3, n=1 m=3, n=10345 m+n=1, 4=m-2n이므로 m=2, n=-1 m=2, n=-10346 |a7|=23^2+(x-4)^2x`=5 50347 |b7|=2(-1)x^2+2^2x`=15 15라이트쎈기벡(해4강)(36-51)육.indd 3615. 2. 26. 오후 12:01 04``평면벡터와 평면 운동 • 37본책평면벡터와 평면 운동0450~55쪽0377 x-13-1=y-52-5이므로 x-12=5-y3 x-12=5-y30378 x-(-6)2-(-6)=y-41-4이므로 x+68=4-y3 x+68=4-y30379 (x-4)-3(y+7)=0에서 x-3y-25=0 x-3y-25=00380 법선벡터가 n7=(2, 1)이므로 2(x-5)+(y-6)=0 .t3 2x+y-16=0 2x+y-16=00381 법선벡터가 (4, -1)이므로 4(x-3)-(y-2)=0 .t3 4x-y-10=0 4x-y-10=00382 두 직선의 방향벡터를 각각 u7, v7`라 하면 u7=(2, -1), v77=(4, 3) .t3 cos t=|u7`.C1 `v7||u7||v7|=|2\4+(-1)\3|22^2 +(-x1)^2 x 24^2 +3^2 x` =515`\5=15`5 15`50383 두 직선의 방향벡터를 각각 u7, v7`라 하면 u7=(-6, 2), v77=(2, 1) .t3 cos t=|u7`.C1 `v7||u7||v7|=|-6\2+2\1|2(-6)^2 +2x^2 x``202^2 +1^2 sx`=102110q``15`=12`2 12`20384 두 직선의 방향벡터를 각각 u7, v7`라 하면 u7=(3, -2), v77=(-1, 5) .t3 cos t=|u7`.C1 `v7||u7||v7|=|3\(-1)+(-2)\5|203^2 +(x-2)^2 sx``2(-1)x^2 +5^2 x` =13113q`126q`=12`2 .t3 t=pai/4 `(.T3 0_< t_< pai/2 ) pai/4 0385 두 직선의 방향벡터를 각각 u7, v7`라 하면 u7=(23 , -1), v77=(1, -23 ) .t3 cos t=|u7`.C1 `v7||u7||v7|=|13\1+(-1)\(-23 )|3(13 )^2 c+d(-1)^2 c``31^2 +d(-c13 )^2 c`=213`2\2=13`2 .t3 t=pai/6 `(.T3 0_< t_< pai/2 ) pai/6 0363 cos t =1\4+2\331^2 +2^2 c 34^2 +3^2 c`=1015`\5=215`5 215`50364 cos t =6\0+(-4)\236^2 +d(-4)^2 c 30^2 +2^2 c=-82113q`\2=-2113q`13 -2113q`130365 cos t =-7\5+1\(-5)3(-7)^2 c+1^2 c 35^2 +(c-5)^2 c`=-40512`\512`=-4/5 -4/5 0366 cos t =4\5+(-1)\334^2 +d(-1)^2 c 35^2 +3^2 c`=17117q`134q`=12`2 .t3 t=pai/4 `(.T3 0_< t_< pai ) pai/4 0367 cos t=13\(-223)+1\23(13 )^2 c+1^2 c 3(-d213 )c^2 +2^2 `c=-42\4=-1/2 .t3 t=2/3 pai `(.T3 0_< t_< pai ) 2/3 pai 0368 a7`.C1 `b7=0에서 2\x+(-5)\1=0 2x=5 .t3 x=5/2 5/2 0369 a7`.C1 `b7=0에서 3x\1+2\(-4)=0 3x=8 .t3 x=8/3 8/3 0370 b7=ka7 (knot= 0)라 하면 (2, 4x+5)=k(6, 3) 2=6k, 4x+5=3k .t3 k=1/3 , x=-1 -10371 b7=ka7 (knot= 0)라 하면 (x, x+2)=k(4, -1) x=4k, x+2=-k .t3 k=-2/5 , x=-8/5 -8/5 0372 x-23=y+14 0373 x-82=y-250374 방향벡터가 (7, -1)이므로 x-57=y-3-1 .t3 x-57=3-y x-57=3-y0375 y=40376 x=7라이트쎈기벡(해4강)(36-51)육.indd 3715. 2. 26. 오후 12:01 38 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0393 dxdt=6t, dydt=4t+1이므로 v7=(6t, 4t+1)따라서 t=3에서의 속도는 v7=(18, 13)d^2xdt^2=6, d^2ydt^2=4이므로 a7=(6, 4)따라서 t=3에서의 가속도는 a7=(6, 4) v7=(18, 13), a7=(6, 4)0394 dxdt=3t^2-6t, dydt=4t^3-8이므로 v7=(3t^2-6t, 4t^3-8)따라서 t=3에서의 속도는 v7=(9, 100)d^2xdt^2=6t-6, d^2ydt^2=12t^2이므로 a7=(6t-6, 12t^2)따라서 t=3에서의 가속도는 a7=(12, 108) v7=(9, 100), a7=(12, 108)0395 dxdt=cos t, dydt=-sin t이므로 v7=(cos t, -sin t) 따라서 t=pai/6에서의 속도는 v7=(rt^3/2, -1/2)d^2xdt^2=-sin t, d^2ydt^2=-cos t이므로 a7=(-sin t, -cos t)따라서 t=pai/6에서의 가속도는 a7=(-1/2, -rt^3/2) v7=(rt^3/2, -1/2), a7=(-1/2, -rt^3/2) 0396 dxdt=1+cos t, dydt=2t+sin t이므로 v7=(1+cos t, 2t+sin t) 따라서 t=pai/6에서의 속도는 v7=(1+rt^3/2, pai/3+1/2)d^2xdt^2=-sin t, d^2ydt^2=2+cos t이므로 a7=(-sin t, 2+cos t)따라서 t=pai/6에서의 가속도는 a7=(-1/2, 2+rt^3/2) v7=(1+rt^3/2, pai/3+1/2), a7=(-1/2, 2+rt^3/2) 0397 점 P의 시각 t에서의 속도를 v7`라 하면 dxdt=1, dydt=11t`이므로 v7=(1, 11t`)따라서 t=1에서의 속도는 v7=(1, 1)이므로 속력은 |v7|=21^2+1^2x`=12 0386 두 직선의 방향벡터를 각각 u7, v7`라 하면 u7=(3, a+6), v7=(1, -2) 두 직선이 평행하면 두 직선의 방향벡터도 평행하므로 u7=kv7`(knot=0)라 하면 (3, a+6)=k(1, -2)따라서 k=3, a+6=-2k이므로 a=-12 -120387 두 직선의 방향벡터를 각각 u7, v7`라 하면 u7=(3, a+6), v7=(1, -2) 두 직선이 수직이면 두 직선의 방향벡터도 수직이므로 u7`.C1`v7=0, 3\1+(a+6)\(-2)=0 -2a-9=0 .t3 a=-9/2 -9/20388 점 P의 좌표를 (x, y)라 하고 점 P의 위치벡터를 p7라 하면 OP^>=p7이므로 |p7|=2즉 p7`.C1`p7=2^2이므로 (x, y).C1(x, y)=4 .t3 x^2+y^2=4 x^2+y^2=4 점 P가 나타내는 도형은 중심이 원점이고 반지름의 길이가 2인 원이다.0389 점 P의 좌표를 (x, y)라 하고 두 점 A, P의 위치벡터를 각각 a7, p7라 하면 AP^>=p7-a7이므로 |p7-a7|=1즉 (p7-a7).C1(p7-a7)=1^2이므로 (x-2, y+1).C1(x-2, y+1)=1 .t3 (x-2)^2+(y+1)^2=1 (x-2)^2+(y+1)^2=1 점 P가 나타내는 도형은 중심이 점 A(2, -1)이고 반지름의 길이가 1인 원이다.0390 점 P의 시각 t에서의 속도와 가속도를 각각 v(t), a(t)라 하면 v(t)=f`'(t)=-e^-^t, a(t)=f`"(t)=e^-^t이므로 t=0에서의 점 P의 속도와 가속도는 v(0)=-1, a(0)=1 속도: -1, 가속도: 10391 점 P의 시각 t에서의 속도와 가속도를 각각 v(t), a(t)라 하면 v(t)=f`'(t)=1+2 cos t, a(t)=f`"(t)=-2 sin t이므로 t=0에서의 점 P의 속도와 가속도는 v(0)=3, a(0)=0 속도: 3, 가속도: 00392 dxdt=4, dydt=2t+1이므로 v7=(4, 2t+1)따라서 t=3에서의 속도는 v7=(4, 7)d^2xdt^2=0, d^2ydt^2=2이므로 a7=(0, 2)따라서 t=3에서의 가속도는 a7=(0, 2) v7=(4, 7), a7=(0, 2)라이트쎈기벡(해4강)(36-51)육.indd 3815. 2. 26. 오후 12:01 04``평면벡터와 평면 운동 • 39본책평면벡터와 평면 운동0455~57쪽0403 dxdt=cos t, dydt=sin t이므로 (dxdt)^^2 +(dydt)^^2 =cos ^2 t+sin ^2 t=1따라서 구하는 거리는 int0 pai/2 11` dt=[`t`]0pai/2 =pai/2 pai/2 0404 dxdt=2 cos t, dydt=-2 sin t이므로 (dxdt)^^2 +(dydt)^^2 =4 cos ^2 t+4 sin ^2 t=4따라서 구하는 거리는 int0 pai/2 14` dt=[2t]0pai/2 =pai pai 0405 dxdt=e^t cos t-e^t sin t=e^t (cos t-sin t),dydt=e^t sin t+e^t cos t=e^t (sin t+cos t)이므로 (dxdt)^^2 +(dydt)^^2 =e^2 ^t (1-2 sin t cos t)+e^2 ^t (1+2 sin t cos t)=2e^2 ^t 따라서 구하는 거리는 int0 @ 22e^2 ^t s` dt=int0 @ 12 e^t dt=[12 e^t ]0@=12 (e^2 -1) 12 (e^2 -1)0406 y'=1/2 x^2 -12x^2 이므로 구하는 곡선의 길이는 int1 # 51+(1/2 x^2 b-12x^2 )^^2 b`dx=int1 # 51/4 x^4 +g1/2 +14x^4 b``dx =int1 # 5(1/2 x^2 g+12x^2 )^^2 b``dx =int1 # (1/2 x^2 +12x^2 )`dx =[1/6 x^3 -^1 /2x ]1# =14/3 14/30407 y'=e^x -e^- ^x 2이므로 구하는 곡선의 길이는 int-1 ! 51+t(e^x -e^- ^x 2)^^2 b`dx=int-1 ! 5e^2 ^x +2+e^- ^2 ^x 4b`dx=int-1 ! 5(e^x +e^- ^x 2)^^2 b`dx=int-1 ! e^x +e^- ^x 2`dx=1/2 [e^x -e^- ^x ]! -1=e-1/e e-1/e또 점 P의 시각 t에서의 가속도를 a7`라 하면 d^2 xdt^2 =0,d^2 ydt^2 =-12t1t`이므로 a7=(0, -12t1t`)따라서 t=1에서의 가속도는 a7=(0, -1/2 )이므로 가속도의 크기는 |a7|=40^2 +r(-1/2 )^^2 v=1/2 속력: 12, 가속도의 크기: 1/2 0398 점 P의 시각 t에서의 속도를 v7`라 하면 dxdt=1+e^t ,dydt=1-e^t 이므로 v7=(1+e^t , 1-e^t ) 따라서 t=2에서의 속도는 v7=(1+e^2 , 1-e^2 )이므로 속력은|v7|=2(1+e^2 )^2 x+(1x-e^2 )^2 x`=22+2e^4 x또 점 P의 시각 t에서의 가속도를 a7`라 하면 d^2 xdt^2 =e^t , d^2 ydt^2 =-e^t 이므로 a7=(e^t , -e^t ) 따라서 t=2에서의 가속도는 a7=(e^2 , -e^2 )이므로 가속도의 크기는|a7|=2(e^2 )^2 s+(-xe^2 )^2 x`=12 e^2 속력: 22+2e^4 x, 가속도의 크기: 12 e^2 0399 t=0에서의 위치가 0이므로⑴ int0 T 31t`dt=[2t3/2 ]0T=2t1t⑵ int0 $ 31t`dt=[2t3/2 ]0$=2\43/2 =16 ⑴ 2t1t` ⑵ 160400 t=0에서의 위치가 0이므로⑴ int0 T 2 sin t dt=[-2 cos t]0T=-2 cos t+2⑵ int pai/2 2 sin t dt=[-2 cos t]pai/2 =13 ⑴ -2 cos t+2 ⑵ 130401 dxdt=2t, dydt=-2t이므로 (dxdt)^^2 +(dydt)^^2 =(2t)^2 +(-2t)^2 =8t^2 따라서 구하는 거리는 int0 ! 28t^2 s dt=int0 ! 212 t dt=[12 t^2 ]0!=12 120402 dxdt=6t, dydt=3t^2 -3이므로 (dxdt)^^2 +(dydt)^^2 =(6t)^2 +(3t^2 -3)^2 =9t^4 +18t^2 +9=(3t^2 +3)^2 따라서 구하는 거리는 int0 ! 2(3t^2 s+3)^2 x dt=int0 ! (3t^2 +3)dt=[t^3 +3t]0!=4 4pai/6 pai/6 라이트쎈기벡(해4강)(36-51)육.indd 3915. 2. 26. 오후 12:01 40 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 OE^>=3b7+a73+1=1/4a7+3/4b7 ⇨ ❷ .t3 OC^>+OE^>=(3/4a7+1/4b7`)+(1/4a7+3/4b7`)=a7+b7 ⇨ ❸ a7+b7 OA^>+OB^>=OC^>+OE^>=2OD^>0416 점 D의 위치벡터를 d7`라 하면 nemoABCD는 평행사변형이므로 AD^>=BC^>, OD^>-OA^>=OC^>-OB^> d7-a7=c7-b7 .t3 d7=a7-b7+c7 ⇨ ❶점 P의 위치벡터를 p77`라 하면 p7=3d7+2a73+2=2/5a7+3/5d7 =2/5a7+3/5(a7-b7+c7)=a7-3/5b7+3/5c7 ⇨ ❷ a7-3/5b7+3/5c770417 semoABC에서 BD^_`:`CD^_=AB^_`:`AC^_=2`:`1즉 점 D는 BC^_를 2 : 1로 내분하는 점이므로 AD^>=2AC^>+AB^>2+1=1/3AB^>+2/3AC^>따라서 m=1/3, n=2/3이므로 mn=2/9 2/90418 OG^>=a7+b7+c73, OP^>=c7-2a71-2=2a7-c7`이므로 GP^>=OP^>-OG^> =(2a7-c7)-a7+b7+c73 =5/3a7-1/3b7-4/3c7따라서 p=5/3, q=-1/3, r=-4/3이므로 p+q+r=0 00419 GA^>+GB^>+GC^>=07`에서 GC^>=-GA^>-GB^>=-a7-b7 ∴ BC^>=GC^>-GB^>=(-a7-b7)-b7=-a7-2b7`따라서 m=-1, n=-2이므로 m-n=1 1 OG^>=OA^>+OB^>+OC^>3 이므로 6GA9+6GB9+6GC9 =(OA^>-OG^>)+(OB^>-OG^>)+(OC^>-OG^>) =OA^>+OB^>+OC^>-3OG^>=07채점 기준비율❶ OC^>`를 a7, b7`로 나타낼 수 있다.40%❷ OE^>`를 a7, b7`로 나타낼 수 있다.40%❸ OC^>+OE^>`를 a7, b7`로 나타낼 수 있다.20%채점 기준비율❶ 점 D의 위치벡터를 a7, b7, c7`로 나타낼 수 있다.50%❷ 점 P의 위치벡터를 a7, b7, c7`로 나타낼 수 있다.50%0408 3 AB^>+2 AC^>-BC^> =3(OB^>-OA^>)+2(OC^>-OA^>)-(OC^>-OB^>) =3 OB^>-3 OA^>+2 OC^>-2 OA^>-OC^>+OB^> =-5 OA^>+4 OB^>+OC^> =-5 a7+4 b7+c7 ③0409 AB^>=OB^>-OA^>=(4a7+3b7)-(2a7-b7)=2a7+4b7 2a7+4b70410 OC^>=AB^>=OB^>-OA^>=b7-a7 b7-a70411 오른쪽 그림에서 (cid:48)(cid:34)(cid:35)OB^>=1/3OA^>=1/3a7.t3 AB^>=OB^>-OA^>=1/3a7-a7=-2/3a7 오른쪽 그림에서 (cid:35)(cid:34)(cid:48)OB^>=-1/3OA^>=-1/3a7.t3 AB^>=OB^>-OA^>=-1/3a7-a7=-4/3a7, 에서 k=-2/3 또는 k=-4/3이므로 모든 k의 값의 합은 -2/3+(-4/3)=-2 ②0412 점 P의 위치벡터를 p7`라 하면 p7=b7+2a71+2=2/3a7+1/3b7따라서 점 M의 위치벡터를 m7`이라 하면 m7=p7+c72=1/2{(2/3a7+1/3b7)+c7}=1/3a7+1/6b7+1/2c7 1/3a7+1/6b7+1/2c70413 m7=OA^>+OB^>2=(a7-2b7)+(2a7+3b7)2=3/2a7+1/2b7 ④0414 OP^>=b7+3a71+3=3/4a7+1/4b7점 Q는 OP^_를 2`:`3으로 외분하는 점이므로 (cid:50)(cid:49)(cid:48)오른쪽 그림에서 OQ^>=-2OP^>=-2(3/4a7+1/4b7) =-3/2a7-1/2b7 ②0415 점 C는 AB^_를 1 : 3으로 내분하는 점이므로 OC^>=b7+3a71+3=3/4a7+1/4b7 ⇨ ❶점 E는 AB^_를 3 : 1로 내분하는 점이므로라이트쎈기벡(해4강)(36-51)육.indd 4015. 2. 26. 오후 12:01 04``평면벡터와 평면 운동 • 41본책평면벡터와 평면 운동0458~61쪽0426 b7-2a7+c7=(3, 0)-2(-1, 2)+(-2, -5)=(3, -9) ∴ |b7-2a7+c7|^2 =3^2 +(-9)^2 =90 ⑤0427 3(2a7-x7)=x7+2b7에서 4x7=6a7-2b7 ∴ x7=3/2 a7-1/2 b7 =3/2 (2, 7)-1/2 (-4, -3)=(5, 12) ⇨ ❶ ∴ |x7|=25^2 +12^2 x`=13 ⇨ ❷ 130428 a7+tb7=(2, -3)+t(-1, -1)=(2-t, -3-t)이므로 |a7+tb7|=2(2-xt)^2 +x(-3x-t)^2 x`=22t^2 +2tx+13x=42(t+1/2 )v^^2 +^25 /2 v따라서 |a7+tb7|는 t=-1/2 일 때 최솟값 4^25 /2 r`=512`2를 갖는다. -1/2 0429 c7=ma7+nb7에서 (5, 2) =m(3, -1)+n(-1, 4) =(3m-n, -m+4n) ∴ 3m-n=5, -m+4n=2위의 두 식을 연립하여 풀면 m=2, n=1 ∴ mn=2 ②0430 a7=b7`이므로 x+2y=1, 2x-y=7 ⇨ ❶위의 두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=-1 ⇨ ❷ ∴ x+y=2 ⇨ ❸ 20431 c7=qa7+b7`에서 (1, -2p) =q(p, 2)+(-1, -6) =(pq-1, 2q-6) ∴ pq-1=1, 2q-6=-2p즉 p+q=3, pq=2이므로 p^2 +q^2 =(p+q)^2 -2pq=5 50432 □ ABCD가 평행사변형이므로 AB^> =DC^> OD^> =(a, b)라 하면 AB^> =OB^> -OA^> =(0, 4)-(5, 1)=(-5, 3) DC^> =OC^> -OD^> =(-1, 6)-(a, b)=(-1-a, 6-b)채점 기준비율❶ x7`를 성분으로 나타낼 수 있다.60%❷ x7`의 크기를 구할 수 있다.40%채점 기준비율❶ 평면벡터가 서로 같을 조건을 이용할 수 있다.50%❷ x, y의 값을 구할 수 있다.40%❸ x+y의 값을 구할 수 있다.10%0420 점 G는 semo OAB의 무게중심이므로 OG^> =a7+b73 ∴ GB9=OB^> -OG^> =b7-a7+b73=-1/3 a7+2/3 b7따라서 m=-1/3 , n=2/3 이므로 m+n=1/3 ③0421 m+ni1, mj0, nj0일 때, (cid:20)(cid:34)(cid:35)(cid:21)(cid:89)(cid:90)(cid:48)OP^> =mOA^> +nOB^> 를 만족시키는 점 P가 나타내는 도형은 semo OAB의 내부와 그 둘레이다.따라서 구하는 넓이는 semo OAB=1/2 \3\4=6 ⑤0422 m+n=1, mj0, nj0이므로 OP^> =2mOA^> +3nOB^> =m(2OA^> )+n(3OB^> )m+n즉 점 P는 두 벡터 2OA^> , 3OB^> `의 종점을 이은 선분을 m`:`n으로 내분하는 점이다.6OA'9=2OA^> , 6OB'9=3OB^> `라 하면 A'(4, 0), B'(0, 3)따라서 점 P의 자취의 길이는 A'B'4=2(-4)x^2 +3^2 x`=5 50423 0imi1, 0ini1일 때, (cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:17)(cid:11)(cid:19)(cid:19)(cid:36)AP^> =mAB^> +nAC^> `를 만족시키는 점 P가 나타내는 도형은 AB^_ 와 AC^_ 를 이웃하는 두 변으로 하는 평행사변형의 내부와 그 둘레이다.따라서 구하는 넓이는 AB^_ \AC^_ \sin 60°=2\2\13`2=213 ②평행사변형의 넓이평행사변형 ABCD에서 이웃하는 두 변의 길이가 a, b이고 그 끼인 각의 크기가 t일 때, 평행사변형 ABCD의 넓이 S는 S=ab sin t0424 2(-a7+3b7)+3(2a7-b7)=-2a7+6b7+6a7-3b7 =4a7+3b7 =4(-1, 1)+3(3, -4) =(5, -8) (5, -8)0425 4a7+3b7=4(e_1 8-2e_2 8)+3(-2e_1 8+4e_2 8) =4e_1 8-8e_2 8-6e_1 8+12e_2 8 =-2e_1 8+4e_2 8 =-2(1, 0)+4(0, 1) =(-2, 4) ∴ |4a7+3b7|=2(-2)^2 x+4^2 x=215 ③라이트쎈기벡(해4강)(36-51)육.indd 4115. 2. 26. 오후 12:02 42 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0438 AB^>=(5-1, -1+4)=(4, 3)AC^>=(-3-1, x+4)=(-4, x+4)AB^>tAC^>`이므로 AC^>=tAB^> (tL0)라 하면 (-4, x+4)=t(4, 3) -4=4t, x+4=3t ∴ t=-1, x=-7 ③0439 a7+kb7=(3, 2)+k(-1, 2)=(-k+3, 2k+2)3a7+b7=3(3, 2)+(-1, 2)=(8, 8)두 벡터 a7+kb7, 3a7+b7`가 서로 평행하므로 a7+kb7=t(3a7+b7) (tL0)라 하면 (-k+3, 2k+2)=t(8, 8) -k+3=8t, 2k+2=8t ∴ k=1/3, t=1/3 1/30440 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 AB^>=tAC^> (tL0)AB^>=OB^>-OA^>=(k-3, -2), AC^>=OC^>-OA^>=(-6, -3)이므로 (k-3, -2)=t(-6, -3) k-3=-6t, -2=-3t ∴ t=2/3, k=-1 -10441 gakB=45°이므로 gakA=135°BC^>=AD^>`이므로 AB^>`.C1`BC^>=AB^>`.C1`AD^>=|AB^>||AD^>|cos 135° =1\1\(-rt^2/2)=-rt^2/2 ②0442 |OM^>|=25^2-3^2x=4이므로 gakAOM=t라 하면 cos t=4/5 ∴ OA^>`.C1`OM^>=|OA^>||OM^>|cos t=5\4\4/5=16 160443 오른쪽 그림과 같이 정육각형의 세 대각(cid:23)(cid:34)(cid:37)(cid:40)(cid:35)(cid:39)(cid:36)(cid:38)선 AD, BE, CF의 교점을 G라 하면 BC^>=AG^> ⇨ ❶정육각형의 한 내각의 크기는 180°\(6-2)6=120°이므로 두 벡터 AB^>, AG^>`가 이루는 각의 크기는 60°이다. ⇨ ❷ ∴ AB^>`.C1`BC^>=AB^>`.C1`AG^>=|AB^>||AG^>|cos 60°=6\6\1/2=18 ⇨ ❸ 18채점 기준비율❶ BC^>`와 같은 벡터를 찾을 수 있다.40%❷ AB^>, AG^>`가 이루는 각의 크기를 구할 수 있다.30%❸ AB^>`.C1`BC^>`를 구할 수 있다.30%따라서 (-5, 3)=(-1-a, 6-b)이므로 -1-a=-5, 6-b=3 ∴ a=4, b=3 ∴ a+b=7 ③평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등분하므로 1/2(OA^>+OC^>)=1/2(OB^>+OD^>) ∴ OD^>=OA^>+OC^>-OB^>=(4, 3)0433 점 D의 좌표를 (x, y)라 하면 AB^>=(6-3, -2-3)=(3, -5), CD^>=(x, y-4)AB^>=CD^>`에서 x=3, y-4=-5 ∴ x=3, y=-1따라서 점 D의 좌표는 (3, -1)이다. ④0434 AB^>=(2-x, x+1)이므로 |AB^>|=3에서 2(2-x)x^2+(xx+1)^2x`=3, (2-x)^2+(x+1)^2=9 2x^2-2x-4=0, x^2-x-2=0 (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 -1, 20435 5PA9=(2-a, 2-b), PB^>=(-1-a, -1-b),PC^>=(-a, 5-b)이므로 5PA9+PB^>+PC^> =(2-a, 2-b)+(-1-a, -1-b)+(-a, 5-b) =(1-3a, 6-3b)5PA9+PB^>+PC^>=07`이므로 1-3a=0, 6-3b=0 ∴ a=1/3, b=2 ∴ a-b=-5/3 ①0436 M(1+72, -6-22), 즉 M(4, -4)이므로 AM^>=(4-x, -4-3)=(4-x, -7) MC^>=(5-4, y+4)=(1, y+4)이때 AM^>=MC^>`이므로 4-x=1, -7=y+4 ∴ x=3, y=-11 ∴ x-y=14 14`AM^>=MC^>`가 성립하려면 점 M은 대각선 AC의 중점이어야 한다.따라서 대각선 AC의 중점 (x+52, y+32)과 대각선 BD의 중점 M(4, -4)가 일치하므로 x+52=4, y+32=-4 ∴ x=3, y=-110437 a7+2b7=(2, 4)+2(x, 3)=(2x+2, 10)2a7-b7=2(2, 4)-(x, 3)=(4-x, 5)두 벡터 a7+2b7, 2a7-b7`가 서로 평행하므로 a7+2b7=t(2a7-b7) (tL0)라 하면 (2x+2, 10)=t(4-x, 5) 2x+2=t(4-x), 10=5t ∴ t=2, x=3/2 ③라이트쎈기벡(해4강)(36-51)육.indd 4215. 2. 26. 오후 12:02 04``평면벡터와 평면 운동 • 43본책평면벡터와 평면 운동0461~64쪽 ∴ |x7+3y7|^2 =|x7|^2 +6`x7`.C1 `y7+9|y7|^2 =1^2 +6\1/2 +9\1^2 =13 ∴ |x7+3y7|=113q ⑤ 0452 a7+b7+c7=07`이므로 a7=-b7-c7 ∴ |a7|=|b7+c7|이때 b77`.C1 `c7=|b7||c7|cos 2/3 pai =7\4\(-1/2 )=-14이므로 |b7+c7|^2 =|b7|^2 +2`b77`.C1 `c7+|c7|^2 =7^2 +2\(-14)+4^2 =37 ∴ |a7|=|b7+c7|=137q 137q 0453 |a7+b7|=2의 양변을 제곱하면 |a7|^2 +2`a77`.C1 `b7+|b7|^2 =4 cc ㉠|a7-b7|=213 의 양변을 제곱하면 |a7|^2 -2`a`77.C1 `b7+|b7|^2 =12 cc ㉡㉠-㉡을 하면 4`a7`.C1 `b7=-8 ∴ a7`.C1 `b7=-2 ①0454 |a7+b7|=13 의 양변을 제곱하면 |a7|^2 +2a77`.C1 `b7+|b7|^2 =3, 2^2 +2a77`.C1 `b7+1^2 =3 ∴ a7`.C1 `b7=-1 ⇨ ❶ ∴ (a7-b77).C1 (a7+3b7) =|a7|^2 +2a7`.C1 `b7-3|b7|^2 =2^2 +2\(-1)-3\1^2 =-1 ⇨ ❷ -10455 |a7+b7|=3의 양변을 제곱하면 |a7|^2 +2`a7`.C1 `b7+|b7|^2 =9 cc ㉠|a7-b7|=1의 양변을 제곱하면 |a7|^2 -2`a7`.C1 `b7+|b7|^2 =1 cc ㉡㉠+㉡을 하면 2|a77|^2 +2|b7|^2 =10 ∴ |a7|^2 +|b7|^2 =5 ∴ |a7+2`b7|^2 +|2a7-b7|^2 =|a7|^2 +4`a777`.C1 `b7+4|b7|^2 +4|a7|^2 -4`a777`.C1 `b7+|b7|^2 =5(|a7|^2 +|b7|^2 )=5\5=25 250456 cos t=a7`.C1 `b7|a7||b7|=-11\2=-1/2 ∴ t=2/3 pai �(.T3 0itipai ) ⑤0457 cos pai/3 =1\(-3)+13\k31^2 +(c13 )^2 c`3(-3)^2 c+k^2 c` 1/2 =-3+13 k239+k^2 c`, 29+k^2 x=-3+13 k 9+k^2 =9-613 k+3k^2 , 2k^2 -613 k=0 2k(k-313 )=0 ∴ k=313 `(.T3 k>0) 313채점 기준비율❶ a7`.C1 `b7`를 구할 수 있다.50%❷ (a7-b7).C1 (a7+3b7)를 구할 수 있다.50%0444 a7`.C1 `b7=-3에서 (2, x+1).C1 (1, 3-x)=-3 2+(x+1)(3-x)=-3 x^2 -2x-8=0, (x+2)(x-4)=0 ∴ x=4`(.T3 x>0) 40445 AB^> =(2+3, 1-3)=(5, -2)BC^> =(4-2, -2-1)=(2, -3) ∴ AB^> `.C1 `BC^> =(5, -2).C1 (2, -3) =10+6=16 ④0446 |a7|=113q 에서 2(1-xk)^2 x+3^2 x=113q , (1-k)^2 +9=13 k^2 -2k-3=0, (k+1)(k-3)=0 .t3 k=-1`(.T3 k<0)따라서 a7=(2, 3), b7=(-1, 4)이므로 a7`.C1 `b7=(2, 3).C1 (-1, 4)=-2+12=10 100447 두 점 P, Q가 포물선 y^2 =4x 위의 점이므로 P(a^2 4, a), Q(b^2 4, b)라 하면 OP^> =(a^2 4, a), OQ^> =(b^2 4, b) ∴ OP^> `.C1 `OQ^> =(ab)^2 16+ab=1/16{(ab)^2 +16ab} =1/16(ab+8)^2 -4따라서 OP^> `.C1 `OQ^> `는 ab=-8일 때 최솟값 -4를 갖는다. ④0448 |2a7-b7|^2 =(2a7-b7).C1 (2a7-b7) =4|a7|^2 -4`a7`.C1 `b7+|b7|^2 =4\3^2 -4\1+2^2 =36 ∴ |2a7-b7|=6 60449 a77`.C1 `b7=|a7||b7|cos pai/6 =6\3\132=913 이므로 (2a7-b7).C1 (a7+2b7) =2|a7|^2 +3`a7`.C1 `b7-2|b7|^2 =2\6^2 +3\913 -2\3^2 =54+2713 따라서 p=54, q=27이므로 p-q=27 270450 a77`.C1 `b7=|a7||b7|cos pai/3 =5\2\1/2 =5PQ^> =OQ^> -OP^> =(2a7+b7)-(a7+2b7)=a7-b7`이므로 |PQ^> |^2 =|a7-b7|^2 =|a7|^2 -2`a7`.C1 `b7+|b7|^2 =5^2 -2\5+2^2 =19 ∴ PQ^_ =|PQ^> |=119q 119q0451 |x7|=1, |y7|=1이고 gak A=60°이므로 x7`.C1 `y7=|x7||y7|cos 60°=1\1\1/2 =1/2 라이트쎈기벡(해4강)(36-51)육.indd 4315. 2. 26. 오후 12:02 44 • 정답 및 풀이정답 및 풀이따라서 a7=(2/3, -2/3), b7=(3, 3)이므로 3`a7-b7=3`(2/3, -2/3)-(3, 3)=(-1, -5) .t3 |3`a7-b7|=3(-1d)^2+(c-5)^2c=226w ②0464 semoABC는 gakB=90°인 직각삼각형이므로 AB^>`.C1`BC^>=0이때 BC^>=AC^>-AB^>=(4m^2-3, m-3)이므로 (1, 4).C1(4m^2-3, m-3)=0 4m^2-3+4(m-3)=0 4m^2+4m-15=0, (2m+5)(2m-3)=0 .t3 m=3/2`(.T3 m>0) 3/2 0465 |a7+b7|=8의 양변을 제곱하면 |a7|^2+2`a7`.C1`b7+|b7|^2=64, 6^2+2`a7`.C1`b7+4^2=64 2`a7`.C1`b7=12 .t3 a7`.C1`b7=6이때 a7+kb7와 a7-b7`가 서로 수직이므로 (a7+kb7).C1(a7-b7)=0 |a7|^2+(k-1)a7`.C1`b7-k|b7|^2=0 6^2+6(k-1)-4^2k=0 -10k+30=0 .t3 k=3 ①0466 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 AP^>=(x-2, y+1), BP^>=(x+3, y-4)|AP^>|=|BP^>|에서 2(x-s2)^2x+(yx+1)^2x=2(x+s3)^2x+(yx-4)^2x (x-2)^2+(y+1)^2=(x+3)^2+(y-4)^2 10x-10y+20=0 ∴ x-y+2=0 ②0467 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 5PA9+PB^> =(3-x, 2-y)+(-1-x, -4-y) =(2-2x, -2-2y) ⇨ ❶|5PA9+PB^>|=4에서 2(2-s2xx)^2+x(-x2-x2y)^2x=4 (2-2x)^2+(-2-2y)^2=16 ∴ (x-1)^2+(y+1)^2=4 ⇨ ❷따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 (1, -1)이고 반지름의 길이가 2인 원이므로 구하는 둘레의 길이는 2pai\2=4pai ⇨ ❸ 4pai0468 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 AP^>`.C1`BP^>=0에서 (x+1, y-2).C1(x-1, y+6)=0 (x+1)(x-1)+(y-2)(y+6)=0 x^2+y^2+4y-13=0 ∴ x^2+(y+2)^2=17채점 기준비율❶ PA^>+PB^>`를 성분으로 나타낼 수 있다.30%❷ 점 P가 나타내는 도형의 방정식을 구할 수 있다.40%❸ 점 P가 나타내는 도형의 둘레의 길이를 구할 수 있다.30%0458 a7+b7=(-2, 6), a7-b7=(4, -2)이므로 cos t=-2\4+6\(-2)3(-2)^2c+6^2c 34^2+(c-2)^2c`=-202110q\215`=-12`2 ∴ t=3/4pai`(.T3 0itipai) ⑤0459 |a7-b7|=1의 양변을 제곱하면 |a7|^2-2`a7`.C1`b7+|b7|^2=1, (13`)^2-2`a7`.C1`b7+2^2=1 2`a7`.C1`b7=6 `∴ a7`.C1`b7=3따라서 cos t=a7`.C1`b7|a7||b7|=313\2=13`2이므로 t=pai/6`(.T3 0itipai) pai/60460 두 벡터 OA^>, OB^>`가 이루는 각의 크기를 t라 하면 cos t=OA^>7`.C1`OB^>7|OA^>7||OB^>7|=6123\4=12`2 ∴ t=pai4`(.T3 0=(6, 3)이므로 cos t=5BA9.C1`BC^>7|5BA9||BC^>7|=1\6+2\331^2+2^2c 36^2+3^2c` =1215 \315=4/5 ∴ sin t=31-dcos^2 tc=51-(4/5)^^2b=3/5`(.T3 0, OB^>`가 이루는 각의 크기를 구할 수 있다.60%❷ 평행사변형 AOBC의 넓이를 구할 수 있다.40%라이트쎈기벡(해4강)(36-51)육.indd 4415. 2. 26. 오후 12:02 04``평면벡터와 평면 운동 • 45본책평면벡터와 평면 운동0464~67쪽 122=|4m-2|3m^2 +(c-1)^2 cc 34^2 +2^2 c` 122=|4m-2|2m^2 +1x`\215`, 210m^2 x+10x`=|4m-2| 10m^2 +10=16m^2 -16m+4, 6m^2 -16m-6=0 3m^2 -8m-3=0, (3m+1)(m-3)=0 .t3 m=3`(.T3 m>0) ③0474 주어진 두 직선의 방향벡터를 각각 u7, v7`라 하면 u7=(1, 3), v7=(2, -6) .t3 cos t=|u7`.C1 `v7||u7||v7|=|1\2+3\(-6)|31^2 +3^2 cc 32^2 +(c-6)^2 c` =16110q \2110q`=4/5 .t3 sin t=21-xcos ^2 tx`=41-(4/5 )^2 v`=3/5 `(.T3 0_< t_< pai 2) 3/5 0475 주어진 직선의 방향벡터를 u7, x축의 방향벡터를 e_1 7, y축의 방향벡터를 e_2 7`라 하면 u7=(2, -1), e_1 7=(1, 0), e_2 7=(0, 1) .t3 cos �=|u7`.C1 `e_1 7||u7||e_1 7|=|2|32^2 +(c-1)^2 cc`=215, cos �=|u7`.C1 `e_2 7||u7||e_2 7|=|-1|32^2 +(c-1)^2 cc`=115 .t3 cos � cos �=2/5 2/5 0476 주어진 두 직선의 방향벡터를 각각 u7, v7`라 하면 u7=(k-2, -1), v7=(3, k)두 직선이 서로 수직이므로 u7`.C1 `v7=0 3(k-2)-k=0, 2k-6=0 .t3 k=3 ⑤0477 주어진 세 직선의 방향벡터를 각각 u_1 7, u_2 7, u_3 7`이라 하면 u_1 7=(3, 2), u_2 7=(6, a), u_3 7=(b, -3)두 직선 x-13=y+32, x+26=y/a가 서로 평행하므로 u_2 7=tu_1 7 (tL0)이라 하면 (6, a)=t(3, 2) 6=3t, a=2t .t3 t=2, a=4 ⇨ ❶두 직선 x-13=y+32, x+5b=4-y3가 서로 수직이므로 u_1 7`.C1 `u_3 7=0 3b-6=0 .t3 b=2 ⇨ ❷ .t3 a+b=6 ⇨ ❸ 6채점 기준비율❶ a의 값을 구할 수 있다.40%❷ b의 값을 구할 수 있다.40%❸ a+b의 값을 구할 수 있다.20%따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 (0, -2)이고 반지름의 길이가 117q 인 원이므로 구하는 넓이는 pai \(117q )^2 =17pai ④0469 직선 x+12=1-y3의 방향벡터는 (2, -3)이므로 점 (3, -2)를 지나고 방향벡터가 (2, -3)인 직선의 방정식은 x-32=y+2-3이 직선이 점 (1, a)를 지나므로 1-32=a+2-3 .t3 a=1 ④0470 직선 {x=3t-1y=2t+4의 방향벡터는 (3, 2)이므로 점 (2, 5)를지나고 방향벡터가 (3, 2)인 직선의 방정식은 x-23=y-52 x-23=y-520471 점 (1, 2)를 지나고 법선벡터가 n7=(1, -3)인 직선의 방정식은 x-1-3(y-2)=0 .t3 x-3y+5=0 cc ㉠ ⇨ ❶점 (-5, -4)를 지나고 방향벡터가 u7=(3, 2)인 직선의 방정식은 x+53=y+42 .t3 2x-3y-2=0 cc ㉡ ⇨ ❷㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=7, y=4따라서 a=7, b=4이므로 a+b=11 ⇨ ❸ 110472 AB^> =(1, -3)이므로 두 점 A, B를 지나는 직선과 수직인 직선의 법선벡터는 (1, -3)이다.점 (-3, 1)을 지나고 법선벡터가 (1, -3)인 직선의 방정식은 x+3-3(y-1)=0 .t3 x-3y+6=0이 직선의 x절편은 -6, y절편은 2이므로 이 직선과 x축, y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 1/2 \|-6|\2=6 60473 주어진 두 직선의 방향벡터를 각각 u7, v7`라 하면 u7=(m, -1), v7=(4, 2)두 직선이 이루는 각의 크기가 pai/4 이므로 cos pai/4 =|u7`.C1 `v7||u7||v7|채점 기준비율❶ 점 (1, 2)를 지나고 법선벡터가 n7인 직선의 방정식을 구할 수 있다.30%❷ 점 (-5, -4)를 지나고 방향벡터가 u7인 직선의 방정식을 구할 수 있다.30%❸ a+b의 값을 구할 수 있다.40%라이트쎈기벡(해4강)(36-51)육.indd 4515. 2. 26. 오후 12:02 46 • 정답 및 풀이정답 및 풀이따라서 원이 x축과 만나는 두 점의 좌표가 (-10, 0), (-2, 0)이므로 두 점 사이의 거리는 -2-(-10)=8 8 0481 원 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하면 (cid:35)(cid:49)(cid:34) AP^>=(x-3, y+4) BP^>=(x-7, y+2)AP^>jikgakBP^>이므로 AP^>`.C1`BP^>=0 (x-3)(x-7)+(y+4)(y+2)=0 x^2-10x+21+y^2+6y+8=0 .t3 (x-5)^2+(y+3)^2=5 (x-5)^2+(y+3)^2=50482 (p7-b7).C1(p7-b7)=9에서 |p7-b7|^2=3^2 .t3 |p7-b7|=3 따라서 점 P는 중심이 점 B(2, 1)이고 반지름의 길이가 3인 원 위의 점이다. 이때 |p7-a7|는 두 점 A, P 사이의 거리를나타내므로 |p7-a7|가 최대, 최소인 경우는 오른쪽 그림과 같이 점 P가 각각 점 P_1, P_2에 있을 때이다.이때 AB^_ =3(2-d1)^2c+(1c-2)^2c`=12이므로 (최댓값)=P_1A4=AB^_+BP_14=3+12`, (최솟값)=P_2A4=P_2B4-AB^_4=3-12 최댓값: 3+12, 최솟값: 3-120483 점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t)라 하면 v(t)=f`'(t)=a/2 cos t/2v(2pai)=2이므로 a/2 cos pai=2 -a/2=2 .t3 a=-4 -40484 점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t)라 하면 v(t)=f`'(t)=1-2 sin 2t운동 방향을 바꿀 때의 속도는 0이므로 t=a일 때 점 P의 속도가 0이라 하면 1-2 sin 2a=0, sin 2a=1/2a>0이므로 2a=pai/6, 5/6pai, 13/6pai, 17/6pai, c .t3 a=pai/12, 5/12pai, 13/12pai, 17/12pai,c따라서 점 P가 처음으로 운동 방향을 바꾸는 시각은 pai/12이다. ①0485 점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t), 가속도를 a(t)라 하면 v(t)=f`'(t)=p cos t-q sin t a(t)=v`'(t)=-p sin t-q cos t(cid:34)(cid:35)(cid:19)(cid:19)(cid:18)(cid:49)(cid:5188)(cid:49)(cid:5187)(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:18)0478 ⑴ x+43=y-12=t`(t는 실수)로 놓으면x=3t-4, y=2t+1점 H는 주어진 직선 위에 있으므로 H(3t-4, 2t+1)로 놓으면AH^>=(3t-5, 2t+1)이때 직선 x+43=y-12의 방향벡터를 u7`라 하면 u7=(3, 2)이고AH^>jikgaku7`이므로 AH^>`.C1`u7=03(3t-5)+2(2t+1)=013t-13=0 .t3 t=1.t3 H(-1, 3)⑵ 두 점 A(1, 0), H(-1, 3)을 지나는 직선의 방정식은x-1-1-1=y-03-0 .t3 1-x2=y/3 ⑴ H(-1, 3) ⑵ 1-x2=y/3 ⑴ 점 H의 좌표를 (a, b)라 하면 점 H는 주어진 직선 위의 점이므로 a+43=b-12 .t3 2a-3b=-11 cc ㉠주어진 직선의 방향벡터를 u7라 하면 u7=(3, 2)AH^>`.C1`u7=0이므로 (a-1, b).C1(3, 2)=0 3(a-1)+2b=0 .t3 3a+2b=3 cc ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=3 .t3 H(-1, 3)0479 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 AP^>=(x-4, y-1), BP^>=(x, y-3)AP^>`.C1`BP^>=0에서 x(x-4)+(y-1)(y-3)=0 x^2-4x+y^2-4y+3=0 .t3 (x-2)^2+(y-2)^2=5따라서 점 P의 자취는 중심의 좌표가 (2, 2)이고 반지름의 길이가 15 인 원이므로 a=2, b=2, r=15 .t3 a+b+r^2=9 ①AP^>`.C1`BP^>=0에서 gakAPB=90°이므로 점 P의 자취는 두 점 A, B를 지름의 양 끝 점으로 하는 원이다.AB^_의 중점의 좌표는 (4+02, 1+32), 즉 (2, 2)이고AB^_=3(0-4)^2c+(3c-1)^2c=215 이므로 a=2, b=2, r=150480 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 AP^>=(x+6, y-3)|AP^>|=5, 즉 |AP^>|^2=25에서 (x+6)^2+(y-3)^2=25 cc ㉠즉 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 (-6, 3)이고 반지름의 길이가 5인 원이다.y=0을 ㉠에 대입하면 (x+6)^2=16 x+6=z4 .t3 x=-10 또는 x=-2라이트쎈기벡(해4강)(36-51)육.indd 4615. 2. 26. 오후 12:02 04``평면벡터와 평면 운동 • 47본책평면벡터와 평면 운동0467~69쪽이고 등호는 t=1/t, 즉 t=1일 때 성립하므로 구하는 속도는 (0, 2)이다. (0, 2)0490 dxdt=512 , dydt=-10t+512 이므로 시각 t에서의 축구공의 속도를 v7`라 하면 v7=(512 , -10t+512 )축구공이 지면에 떨어질 때 y=0이므로 -5t^2 +512 t=0, -5t(t-12 )=0 .t3 t=12 `(.T3 t>0)따라서 시각 t=12 에서의 축구공의 속도는 (512 , -512 )이므로 구하는 속력은 3(512 )^2 c+(-c512 )^2 c=10`(m/s) ④0491 dxdt=6, dydt=3t^2 -4이므로 점 P의 시각 t에서의 속도를 v7라 하면 v7=(6, 3t^2 -4)점 P의 속력이 10이므로 36^2 +(3t^2 c-4)^2 c=10, (3t^2 -4)^2 =64 3t^2 -4=z8, t^2 =4 (.T3 t^2 >0) .t3 t=2 (.T3 t>0)d^2 xdt^2 =0, d^2 ydt^2 =6t이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도를 a7`라 하면 a7=(0, 6t)따라서 시각 t=2에서의 가속도는 (0, 12)이므로 구하는 가속도의 크기는 30^2 +12^2 c =12 ②0492 dxdt=2 cos t, dydt=-8 cos t`sin t=-4`sin 2t에서 d^2 xdt^2 =-2 sin t, d^2 ydt^2 =-8 cos 2t이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도를 a7`라 하면 a7=(-2 sin t, -8 cos 2t) ⇨ ❶x=1일 때 2 sin t=1에서 sin t=1/2 이므로 t=pai/6 `(.T3 0itipai/2 ) ⇨ ❷따라서 시각 t=pai/6 에서의 가속도는 (-1, -4)이므로 구하는 가속도의 크기는 3(-1)^2 c+(c-4)^2 c =117q ⇨ ❸ 117q0493 dxdt=-sin t, dydt=cos t이므로 점 P의 시각 t에서의 속도v7`는 v7=(-sin t, cos t)채점 기준비율❶ 점 P의 시각 t에서의 가속도를 구할 수 있다.40%❷ 점 P의 위치가 (1, 3)일 때의 시각을 구할 수 있다.30%❸ 점 P의 위치가 (1, 3)일 때의 가속도의 크기를 구할 수 있다.30%v(pai ) =-6이므로 p cos pai -q sin pai =-6 -p=-6 .t3 p=6a(pai )= 4이므로 -p sin pai -q cos pai =4 .t3 q=4따라서 `f(t)=6 sin t+4 cos t이므로 t=pai/4 에서의 점 P의 위치는 f`(pai/4 )=6 sin pai/4 +4 cos pai/4 =6\12`2+4\12`2=512 ③0486 dxdt=4, dydt=4-4t이므로 점 P의 시각 t에서의 속도를 v7`라 하면 v7=(4, 4-4t)따라서 시각 t에서의 점 P의 속력은 34^2 +d(4-c4t)^2 c=43t^2 -c2t+2ct=a일 때 점 P의 속력이 4117q 이라 하면 43a^2 -2ca+2c=4117q , a^2 -2a+2=17 a^2 -2a-15=0, (a+3)(a-5)=0 .t3 a=5 (.T3 a>0)따라서 구하는 시각은 5이다. 50487 dxdt=2t, dydt=2t-8이므로 점 P의 시각 t에서의 속도를v7`라 하면 v7=(2t, 2t-8)따라서 시각 t에서의 점 P의 속력은 3(2t)^2 c+(2tc-8)^2 c=38(t-c2)^2 c+32c이므로 t=2일 때 최솟값 132q`=412`를 갖는다. ②0488 dxdt=6t, dydt=3t^2 이므로 v7=(6t, 3t^2 ) ⇨ ❶속도 v7`가 x축의 양의 부분과 이루는 각의 크기를 t라 하면 tan t=3t^2 6t=t/2 따라서 t=2일 때 tan t=1이므로 t=pai/4 ⇨ ❷ pai/4 0489 dxdt=t-1/t , dydt=2이므로 시각 t에서의 점 P의 속도를 v7라 하면 v7=(t-1/t , 2)따라서 시각 t에서의 점 P의 속력은 5(t-1/t )^^2 b+2^2 b =5(t+1/t )^^2 b=t+1/t이때 t>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 t+1/tj25t\1/tt=2채점 기준비율❶ 점 P의 시각 t에서의 속도를 구할 수 있다.50%❷ t=2에서 속도 v7가 x축의 양의 부분과 이루는 각의 크기를 구할 수 있다.50%t>0이므로 t+1/t >0라이트쎈기벡(해4강)(36-51)육.indd 4715. 2. 26. 오후 12:02 48 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 t=pai/3일 때, 점 P의 위치는 intpai/3(sin t-sin 2t)dt=[-cos t+1/2cos 2t]pai/3=-1/4� t=pai일 때, 점 P의 위치는 int0PAI (sin t-sin 2t)dt=[-cos t+1/2cos 2t]0PAI=2이상에서 원점과 점 P 사이의 거리의 최댓값은 2이다.0497 dxdt=-pai sin pai t, dydt=pai cos pai t이므로 t=0에서 t=2까지점 P가 움직인 거리는int0@ 3(-pai csin pait)c^2+(cpai cosc pait)^2c`dt =int0@ 3pai^2(esin^2 paict+cosc^2 pait)c`dt =int0@ pai dt=[pait]0@=2pai ④0498 dxdt=2t-2, dydt=41t이때 t=0에서 t=a까지 점 P가 움직인 거리가 8이므로int0A 3(2t-c2)^2c+(4c1t`)^2c`dt=8int0A 3(2t+c2)^2c`dt=8, int0A(2t+2)dt=8[t^2+2t]0A=8, a^2+2a=8 a^2+2a-8=0, (a+4)(a-2)=0 .t3 a=2`(.T3 a>0) ②0499 dxdt=-3 cos^2 t`sin t, dydt=3 sin^2 t`cos t이므로 점 P의 시각t에서의 속도를 v7`라 하면 v7=(-3 cos^2t`sin t, 3 sin^2t`cos t) ⇨ ❶점 P의 속력은 39 cos^4 tc`sin^2ct+9c sin^4 t`ccos^2 tc =39 sin^2 t`ccos^2tc(cosc^2 t +csin^2 t)c =3|sin t`cos t|=3/2|sin`2t| ⇨ ❷이때 출발 후 처음으로 점 P의 속력이 0이 되는 때는 3/2|sin 2t|=0,즉 |sin 2t|=0에서 t=pai/2 ⇨ ❸따라서 t=0에서 t=pai/2까지 점 P가 움직인 거리는intpai/23/2|sin 2t|dt=intpai/23/2sin 2t dt=[-3/4cos 2t]pai/2=3/2 ⇨ ❹ 3/200000채점 기준비율❶ 점 P의 시각 t에서의 속도를 구할 수 있다.20%❷ 점 P의 시각 t에서의 속력을 구할 수 있다.20%❸ 점 P의 속력이 0일 때의 시각을 구할 수 있다.30%❹ 점 P의 속력이 0이 될 때까지 점 P가 움직인 거리를 구할 수 있다.30%d^2xdt^2=-cos t, d^2ydt^2=- sin t이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도a7`는 a7=(-cos t, -sin t) .t3 v7`.C1`a7 =(-sin t, cos t).C1(-cos t, -sin t) =sin t`cos t-cos t`sin t=0따라서 점 P의 속도 v7`와 가속도 a7`가 이루는 각의 크기는 pai/2이다. pai/20494 0iti1일 때 v(t)_<0이므로 점 P가 움직인 거리는 int0! |(t-1)e^t|dt=int0! (1-t)e^tdt이때 u(t)=1-t, v'(t)=e^t으로 놓으면 u'(t)=-1, v(t)=e^t .t3 int0! (1-t)e^tdt=[(1-t)e^t]0!+int0! e^tdt=-1+[e^t]0!=-1+(e-1)=e-2 ①0495 t=a`(0 , CA^> `가 이루는 각의 크기를 구한다.두 벡터 BC^> , CA^> `가 이루는 각의 크기는 2/3 pai 이므로 ⇨ ❶ BC^> `.C1 `CA^> =|BC^> ||CA^> |cos `2/3 pai =222 \222 \(-1/2 )=-4 ⇨ ❷ -40507 점 P의 시각 t에서의 위치 (x, y)가 x=f(t), y=g(t)일 때, 시각 t에서 점 P의 속력은 3{`f`'(t)}^2 c+{gc`'(t)}^2 c`임을 이용한다.dxdt=e^t , dydt=e^- ^t 이므로 점 P의 시각 t에서의 속도를 v7`라하면 v7=(e^t , e^- ^t )따라서 t=ln`2에서의 속도는 v7=(2, 1/2 )이므로 구하는 속력은 |v7|=52^2 +(1/2 )^^2 b=117q2 ②0508 단위벡터의 크기는 1임을 이용하여 k에 대한 방정식을 세운다.1/5 a7-b7=1/5 (2, 5)-(1, k)=(-3/5 , 1-k)이 벡터가 단위벡터이므로 5(-3/5 )^^2 b+(1b-k)^2 b=1 (k-1)^2 =^16 /25 , k-1=-4/5 `(.T3 k<1) .t3 k=1/5 ①0509 정삼각형의 외심과 무게중심은 일치함을 이용한다.정삼각형의 외심과 무게중심은 일치하므로 점 P는 정삼각형 ABC의 외심이면서 무게중심이다.즉 OP^> =a7+b7+c73이므로 a7+b7+c7=3`OP^> .t3 |a7+b7+c7|=3|OP^> |=333^2 +d2^2 c=3113q 3113q채점 기준비율❶ BC^> , CA^> `가 이루는 각의 크기를 구할 수 있다.50%❷ BC^> `.C1 `CA^> `를 구할 수 있다.50%0500 y'=1/2 ex/2 -1/2 e-x/2 =ex/2 -e^- x/2 2이므로 구하는 곡선의 길이는 int-2 @ 51+r(ex/2 -e^- x/2 2b)^^2 b`dx=int-2 @ 5e^x +2+e^- ^x 4b`dx=int-2 @ 5(ex/2 +e^- x/2 2)^^2 b`dx=int-2 @ ex/2 +e^- x/2 2 dx=[ex/2 -e^- x/2 ]@ -2=2(e-1/e ) 2(e-1/e )0501 y'=1/4 x-1/x 이므로 l=int1 E`51+(1/4 xb-1/x )^^2 bdx=int1 E5^1 /16 x^2 t+1/2 t+1x^2 t`dx=int1 E`5(1/4 xt+1/x )^^2 bdx=int1 E`(1/4 x+1/x )`dx=[1/8 x^2 +ln|x|]1E`=1/8 (e^2 +7) .t3 8l=e^2 +7 e^2 +70502 y=1/3 (x^2 +2)3/2 이므로 y'=1/2 (x^2 +2)1/2 \2x=x2x^2 +2x따라서 주어진 곡선의 길이는 int0 A 31+(xd2x^2 +c2x`)^2 c`dx=int0 A 2x^4 +2xx^2 +1x`dx=int0 A 2(x^2 +1)^2 x`dx=int0 A (x^2 +1)dx=[1/3 x^3 +x]0A=a^3 3+a즉 a^3 3+a=12에서 a^3 +3a-36=0 (a-3)(a^2 +3a+12)=0 .t3 a=3 (.T3 a>0) ③0503 OP^> , OQ^> `를 각각 OA^> , OB^> `로 나타낸다.OP^> =2`OB^> +OA^> 2+1=1/3 OA^> +2/3 OB^> OQ^> =2`OB^> -OA^> 2-1=-OA^> +2OB^> .t3 OP^> +OQ^> =(1/3 OA^> +2/3 OB^> )+(-OA^> +2OB^> ) =-2/3 OA^> +8/3 OB^> 따라서 m=-2/3 , n=8/3 이므로 m+n=2 ④라이트쎈기벡(해4강)(36-51)육.indd 4915. 2. 26. 오후 12:02 50 • 정답 및 풀이정답 및 풀이이때 두 직선이 서로 수직이므로 AB^>`.C1`u7=0 ⇨ ❷ 3(k+3)-(5-k)=0, 4k+4=0 .t3 k=-1 ⇨ ❸ -10516 p7=(x, y)라 하고 주어진 식을 이용하여 x, y 사이의 관계식을 구한다.p7=(x, y)라 하면 (p7-a7).C1(p7-b7)=0에서 (x-2, y+1).C1(x-4, y-3)=0 (x-2)(x-4)+(y+1)(y-3)=0 x^2-6x+8+y^2-2y-3=0 .t3 (x-3)^2+(y-1)^2=5따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 (3, 1)이고 반지름의 길이가 15 인 원이므로 구하는 넓이는 5pai이다. 5pai0517 점 P의 시각 t에서의 위치 (x, y)가 x=f(t), y=g(t)일 때, 시각 t에서 점 P의 속도는 (`f`'(t), `g`'(t)), 가속도는 (`f`''(t), `g`''(t))임을 이용한다.ㄱ. 시각 t에서의 점 P의 위치벡터를 p7`라 하면 p7=(e^t+e-t, e^t-e-t)dxdt=e^t-e-t, dydt=e^t+e-t이므로 점 P의 시각 t에서의 속도를 v7`라 하면 v7=(e^t-e^-^t, e^t+e^-^t)d^2xdt^2=e^t+e-t, d^2ydt^2=e^t-e-t이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도를 a7`라 하면 a7=(e^t+e-t, e^t-e-t) .t3 p7=a7ㄴ. t=ln 2에서의 속도는 v7=(3/2, 5/2)이므로 속력은 5(3/2)^2+g(5/2)^2b=134q2또 t=ln 2에서의 가속도는 a7=(5/2, 3/2)이므로 가속도의 크기는 5(5/2)^^2+b(3/2)^^2b=134q2따라서 t=ln 2에서의 점 P의 속력과 가속도의 크기는 서로 같다.ㄷ. 점 P가 t=0에서 t=2까지 움직인 거리는 int0@ 3(e^t-ce-t)c^2+(ce^t+ce-t)^2c dt=int0@ 22e^2^t+x2e^-^2^txdt이때 2e^2^t>0, 2e^-^2^t>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 2e2t+2e^-^2^t_>222e2t\x2e^-^2^tx=2\2=4(단, 등호는 t=0일 때 성립) .t3 int0@ 22e^2^t+x2e^-^2^txdt_>int0@ 2 dt=[2t]0@=4이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③채점 기준비율❶ 두 직선의 방향벡터를 구할 수 있다.20%❷ 두 직선이 서로 수직일 조건을 알 수 있다.50%❸ k의 값을 구할 수 있다.30%0510 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으면AB^>=kAC^>`(knot=0)임을 이용한다.세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 AB^>=kAC^>`(knot=0)AB^>=PB^>-5PA9=(a+1, -10), AC^>=PC^>-5PA9=(3, -5)이므로 (a+1, -10)=k(3, -5) a+1=3k, -10=-5k .t3 k=2, a=5 50511 평면벡터의 내적의 연산법칙을 이용하여 주어진 식을 정리한다.|a7|=2, |b7|=4, a7`.C1`b7=|a7||b7|cosPAI/3=2\4\1/2=4이므로 (3a7+b7).C1(a7-2b7)=3|a7|^2-5a7`.C1`b7-2|b7|^2=3\2^2-5\4-2\4^2=-40 ①0512 평면벡터의 내적의 연산법칙을 이용하여 주어진 등식을 정리한다.AB^>`.C1`(BC^>-CA^>)=0에서 (CB^>-CA^>).C1(BC^>-CA^>)=0 (CB^>-CA^>).C1(-CB^>-CA^>)=0 -|CB^>|^2+|CA^>|^2=0 .t3 |AC^>|^2=|BC^>|^2, 즉 |AC^>|=|BC^>|따라서 semoABC는 AC^_=BC^_인 이등변삼각형이다. ⑤0513 내적의 연산법칙을 이용하여 주어진 등식의 양변을 제곱한다.a7`.C1`b7=|a7||b7|cosPAI/4=2\12 \122=2|a7+kb7|=110q 의 양변을 제곱하면 |a7|^2+2k a7`.C1`b7+k^2|b7|^2=10 2^2+2k\2+k^2\(12 )^2=10 2k^2+4k-6=0, k^2+2k-3=0 (k+3)(k-1)=0 .t3 k=1`(.T3 k>0) 10514 두 변의 길이가 a, b이고 그 끼인 각의 크기가 theta인 삼각 형의 넓이는 1/2ab sin theta임을 이용한다.AB^>, AC^>`가 이루는 각의 크기를 theta라 하면 cos theta=AB^>7`.C1`AC^>7|AB^>7||AC^>7|=427\413`=132 .t3 t=pai/6`(.T3 0=(k+3, 5-k)직선 x-13=2-y의 방향벡터를 u7`라 하면 u7=(3, -1) ⇨ ❶라이트쎈기벡(해4강)(36-51)육.indd 5015. 2. 26. 오후 12:02 04``평면벡터와 평면 운동 • 51본책평면벡터와 평면 운동0472~73쪽0521 P(x, y)라 하고 주어진 조건을 이용하여 x, y 사이의 관계식을 구한다.P(x, y)라 하면 |OA^> `.C1 `OP^> |i6에서 |3x|i6 .t3 -2ixi2 … … ㉠|OP^> |^2 i16에서 x^2 +y^2 i16 … … ㉡㉠, ㉡에서 점 P가 존재하는 영역은 오른쪽그림의 색칠한 부분(경계선 포함)과 같다.gak QOR=t라 하면 cos theta =1/2 이므로 t=PAI/3 .t3 gak QOS=pai -2\PAI/3 =PAI/3 따라서 점 P가 존재하는 영역의 넓이는 2\{2semo QOR+(부채꼴 OQS의 넓이)} =2\(2\1/2 \2\4\sin PAI/3 +1/2 \4^2 \PAI/3 ) =813 +16/3pai 따라서 a=8, b=16/3이므로 a-b=8/3 ③ 0522 벡터 5AH9`는 직선 x-12=y+23에 수직임을 이용한다.x-12=y+23=t`(t는 실수)로 놓으면 x=2t+1, y=3t-2점 H는 주어진 직선 위에 있으므로 H(2t+1, 3t-2)로 놓으면 AH^> =(2t-1, 3t+5)이때 직선 x-12=y+23의 방향벡터를 u7`라 하면 u7=(2, 3)이고 AH^> jikgak u7`이므로 AH^> `.C1 `u7=0 2(2t-1)+3(3t+5)=0 13t+13=0 .t3 t=-1따라서 AH^> =(-3, 2)이므로 AH^_ =|AH^> |=2(-3)x^2 +2^2 x`=113q` ④0523 점 P의 좌표를 시각 t에 대하여 나타낸다.점 P는 매초 2라디안의 속력으로 이동하므로 시각 t에서 y축의 양의 부분과 직선 OP가 이루는 각의 크기는 2t라디안이다.즉 직선 OP가 x축의 양의 부분과 이루는 각의 크기가 pai/2 -2t이므로 P(cos (pai/2 -2t), sin (pai/2 -2t)), 즉 P(sin 2t, cos 2t)x=sin 2t, y=cos 2t로 놓으면 dxdt=2 cos 2t, dydt=-2 sin 2t이므로 d^2 xdt^2 =-4 sin 2t, d^2 ydt^2 =-4 cos 2t따라서 시각 t에서의 점 P의 가속도의 크기는 3(-4c sin 2ct)^2 +c(-c4 cos c 2t)^2 c =316(sin ^2 c 2t+ccos ^2 c 2t)c`=4 4(cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:50)(cid:51)(cid:489)(cid:19)(cid:89)(cid:30)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:30)(cid:19)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:21)(cid:21)(cid:21)(cid:14)(cid:21)(cid:52)0518 닫힌 구간 [a, b]에서 곡선 y=f(x)의 길이는inta B 31+{`f`'c(x)}^2 c`dx임을 이용한다.y=-1/4 x^2 +1/2 ln x이므로 y'=-1/2 x+12x따라서 구하는 곡선의 길이는 int1 $ 51+(-b1/2 xb+12x)^^2 bdx=int1 $ 51/4 x^2 +1/2 b+14x^2 b`dx=int1 $ 5(1/2 x+b12x)^^2 bdx=int1 $(1/2 x+12x) dx=[1/4 x^2 +1/2 ln|x|]1$=15/4+ln 2 15/4+ln 20519 AB^_ 를 m`:`n`(m>0, n>0)으로 내분하는 점을 P라하면 OP^> =mOB^> +nOA^> m+n임을 이용한다.p_k 8=kb7+(10-k)a7k+(10-k)=(10-k)a7+kb710이므로 sigk=1 ^9 p_k 8=sigk=1 ^9 (10-k)a7+kb710 =a710 sigk=1 ^9 (10-k)+b710 sigk=1 ^9 `k =a710`(9\10-9\102)+b710\9\102 =9/2 a7+9/2 b7따라서 m=9/2 , n=9/2 이므로 ^n /m =1 10520 두 벡터 a7, b7`가 수직이 되지 않으려면 a7`.C1 `b7not= 0이어야 함을 이용한다.a7`.C1 `b7=(4t-k, -2t+1).C1 (t^2 , 2t^2 +kt-1)=t^2 (4t-k)+(-2t+1)(2t^2 +kt-1)=(2-3k)t^2 +(k+2)t-1 ⇨ ❶이때 모든 실수 t에 대하여 a7`.C1 `b7not= 0이려면 t에 대한 이차방정식 (2-3k)t^2 +(k+2)t-1=0이 실근을 갖지 않아야 한다.이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=(k+2)^2 +4(2-3k)<0 k^2 -8k+12<0, (k-2)(k-6)<0 .t3 20)정삼각형 ABC는 내심과 무게중심이 일치하므로 정사면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면 1/3.c1132a=13 .t3 a=6따라서 구하는 정사면체의 한 모서리의 길이는 6이다. 6△HBC=1/3△BCD=1/3△ABC라이트쎈기벡(해5강)4.indd 6015. 2. 26. 오전 11:15 06``공간좌표 • 61본책공간좌표0691~95쪽0649 x^2 +y^2 +z^2 =490650 구의 반지름의 길이는 21^2 +(-2)x^2 +2^2 x=3따라서 구하는 구의 방정식은 (x-1)^2 +(y+2)^2 +(z-2)^2 =9 (x-1)^2 +(y+2)^2 +(z-2)^2 =90651 구의 반지름의 길이는 2{0-(-4)}^2 +(2-2)^2 +(-3x-0)^2 x=5따라서 구하는 구의 방정식은 (x+4)^2 +(y-2)^2 +z^2 =25 (x+4)^2 +(y-2)^2 +z^2 =250652 (x-2)^2 +(y+6)^2 +(z-1)^2 =10653 (x+3)^2 +(y+1)^2 +(z-7)^2 =90654 (x-5)^2 +(y-4)^2 +(z-2)^2 =160655 x^2 +y^2 +z^2 +4x-2z-11=0에서 (x^2 +4x+4)+y^2 +(z^2 -2z+1)=16 .t3 (x+2)^2 +y^2 +(z-1)^2 =4^2 따라서 중심의 좌표는 (-2, 0, 1), 반지름의 길이는 4이다. 중심의 좌표: (-2, 0, 1), 반지름의 길이: 40656 x^2 +y^2 +z^2 -6x-8y+2z=0에서 (x^2 -6x+9)+(y^2 -8y+16)+(z^2 +2z+1)=26 .t3 (x-3)^2 +(y-4)^2 +(z+1)^2 =26따라서 중심의 좌표는 (3, 4, -1), 반지름의 길이는 126q이다. 중심의 좌표: (3, 4, -1), 반지름의 길이: 126q0657 x^2 +y^2 +z^2 -2x+2ky-6z+4k+22=0에서 (x-1)^2 +(y+k)^2 +(z-3)^2 =k^2 -4k-12이 방정식이 구를 나타내려면 k^2 -4k-12>0, (k+2)(k-6)>0 .t3 k<-2 또는 k>6 k<-2 또는 k>60658 점 (a, b, c)와 x축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (a, -b, -c)이 점에서 zx평면에 내린 수선의 발의 좌표는 (a, 0, -c) ④0659 점 (4, -2, 7)을 xy평면에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (4, -2, -7)이 점을 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (-4, 2, 7) (-4, 2, 7)0660 점 F는 점 B에서 xy평면에 내린 수선의 발이므로 F(a, 4, 0)점 F와 y축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (-a, 4, 0)따라서 -a=-3, 4=b이므로 a=3, b=4 .t3 a+b=7 7y좌표와 z좌표의 부호가 바뀐다.y좌표가 0이다.공간좌표06Ⅲ. 공간도형과 공간좌표0624 A(0, 0, 2), B(0, 4, 0), C(3, 4, 2)0625 A(3, 0, 0), B(0, -3, 5), C(3, -3, 5)0626 x축 0627 z축0628 xy평면 0629 zx평면0630 (3, 0, 0) 0631 (0, 4, 0)0632 (0, 4, -1) 0633 (3, 0, -1)0634 (-1, 5, 2) 0635 (1, -5, -2)0636 (-1, -5, 2) 0637 (-1, 5, -2)0638 AB^_ =2(4-2)^2 +{-2-(-1)}^2 +(3x-5)^2 x=3 30639 AB^_ =2{3-(-1)}^2 +(-2-2)^2 +(1x-3)^2 x=6 60640 AB^_ =2{-3-(-2)}^2 +(7-4)^2 +(16x-0)^2 x=4 40641 OA^_ =23^2 +1^2 +(x-1)^2 x=111q 111q0642 P(2a(-2)+1a12+1, 2a0+1a32+1, 2a5+1a(-4)2+1) .t3 P(-1, 1, 2) P(-1, 1, 2)0643 M(1+(-2)2, 3+02, -4+52) .t3 M(-1/2, 3/2, 1/2 ) M(-1/2, 3/2, 1/2 )0644 Q(3a(-2)-2a13-2, 3a0-2a33-2, 3a5-2a(-4)3-2) .t3 Q(-8, -6, 23) Q(-8, -6, 23)0645 G(2+2+(-1)3, 1+8+03, 1+1+43) .t3 G(1, 3, 2) G(1, 3, 2)0646 중심의 좌표: (2, -1, 1), 반지름의 길이: 30647 중심의 좌표: (0, 0, 0), 반지름의 길이: 50648 (x-1)^2 +(y-5)^2 +(z+2)^2 =4라이트쎈기벡(해6강)4.indd 6115. 2. 26. 오전 11:15 62 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0669 구하는 점을 R(0, a, 0)이라 하면 PR^_=QR4에서 PR4 ^2=QR4 ^2이므로 (-1)^2+(a-1)^2+2^2=(-2)^2+(a-4)^2 a^2-2a+6=a^2-8a+20 6a=14 .t3 a=7/3따라서 구하는 점의 좌표는 (0, 7/3, 0)이다. (0, 7/3, 0) 0670 PO^_=PA^_=PB^_에서 PO^_ ^2=PA^_ ^2=PB^_ ^2PO^_ ^2=PA^_ ^2에서 a^2+b^2=(a+3)^2+(b-4)^2+(-1)^2 a^2+b^2=a^2+6a+b^2-8b+26 .t3 3a-4b+13=0 cc ㉠PO^_ ^2=PB^_ ^2에서 a^2+b^2=(a-3)^2+(b+1)^2+2^2 a^2+b^2=a^2-6a+b^2+2b+14 .t3 3a-b-7=0 cc ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=41/9, b=20/3 .t3 a+b=101/9 ① 0671 점 C의 좌표를 (a, 0, b)라 하면 AB^_=BC^_=CA^_에서 AB^_ ^2=BC^_ ^2=CA^_ ^2AB^_ ^2=BC^_ ^2에서 (-2)^2+(2-1)^2+1^2=a^2+(-2)^2+(b-1)^2 6=a^2+b^2-2b+5 .t3 a^2+b^2-2b-1=0 cc ㉠BC^_ ^2=CA^_ ^2에서 a^2+(-2)^2+(b-1)^2=(a-2)^2+(-1)^2+b^2 a^2+b^2-2b+5=a^2-4a+b^2+5 .t3 b=2a cc ㉡㉡을 ㉠에 대입하면 a^2+4a^2-4a-1=0, 5a^2-4a-1=0 (5a+1)(a-1)=0 .t3 a=-1/5 또는 a=1a=-1/5을 ㉡에 대입하면 b=-2/5a=1을 ㉡에 대입하면 b=2따라서 점 C의 좌표는 (-1/5, 0, -2/5) 또는 (1, 0, 2) (-1/5, 0, -2/5), (1, 0, 2) 0672 두 점 A, B의 z좌표의 부호가 같으므로 두 점은 좌표공간에서 xy평면을 기준으로 같은 쪽에 있다.점 A와 xy평면에 대하여 대칭인 점을 A'이라 하면 A'(6, 1, 4)이때 AP^_=A'P4이므로 AP^_+PB^_ =A'P4+PB^_jA'B4 =2(2-6)^2+(3-1)^2+(-2x-4)^2x =2114q ②0661 H(1, 3, 0)이고 AB4=4, AD^_=AE^_=3이므로 B(1+3, 3+4, 0+3), 즉 B(4, 7, 3) ⇨ ❶따라서 구하는 합은 4+7+3=14 ⇨ ❷ 140662 오른쪽 그림과 같이 점 P에서 xy평면에 내린 수선의 발을 Q라 하면 삼수선의 정리에 의하여 HQ4⊥OH^_OQ^_=2이고 gakQOH=45°이므로 직각삼각형 OHQ에서 HQ4=OQ^_ sin 45°=2a1224=12또 PQ^_=1이므로 직각삼각형 PHQ에서 PH^_=3(12)^2c+1^2c=13 ②0663 P(-3, -2, 5), Q(-3, -2, -5)이므로 PQ^_=2(-3+3)^2+(-2+2)^2+(-5x-5)^2x=10 ③0664 PQ^_=6이므로 2(-2-2)^2+(a+3)^2+(3x-a)^2x=6 2a^2+34=36, a^2=1 .t3 a=z1따라서 모든 a의 값의 곱은 -1이다. ② 0665 구하는 점의 좌표를 (0, 0, a)라 하면 2(-5)^2+3^2+(-1x-a)^2x=512 a^2+2a+35=50, a^2+2a-15=0 (a+5)(a-3)=0 .t3 a=-5 또는 a=3따라서 구하는 점의 좌표는 (0, 0, -5) 또는 (0, 0, 3) (0, 0, -5), (0, 0, 3) 0666 AB^_ ^2=OA^_ ^2+OB^_ ^2이므로 (a-2)^2+(1-a-3)^2+(3-4)^2 =2^2+3^2+4^2+a^2+(1-a)^2+3^2 2a^2+9=2a^2-2a+39 2a=30 .t3 a=15 ⑤ 0667 주어진 도형을 오른쪽 그림과 같이 좌표공간에 놓으면 A(2, 0, 2), B(-1, 5, 3)이므로 AB^_=2(-1-2)^2+5^2+(3x-2)^2x AB^_=135q 135q 0668 AB^_ =2(a-4)^2+(-a)^2+(5x-b)^2x =22a^2-8a+16+(5x-b)^2x =22(a-2)^2+(b-5)x^2+8x따라서 선분 AB의 길이는 a=2, b=5일 때 최솟값 212 를 갖는다. ③채점 기준비율❶ 점 B의 좌표를 구할 수 있다.70%❷ 점 B의 x좌표, y좌표, z좌표의 합을 구할 수 있다.30%(cid:90)(cid:91)(cid:89)(cid:49)(cid:9)(cid:17)(cid:13)(cid:65)(cid:19)(cid:13)(cid:65)(cid:18)(cid:10)(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:41)(cid:50)(cid:48)(cid:90)(cid:91)(cid:89)(cid:34)(cid:19)(cid:19)(cid:19)(cid:22)(cid:35)(cid:48)라이트쎈기벡(해6강)4.indd 6215. 2. 26. 오전 11:15 06``공간좌표 • 63본책공간좌표0695~98쪽0678 두 점 A, B의 yz평면 위로의 정사영을 각각 A', B'이라 하면 A'(0, 3, 111q ), B'(0, 7, 2111q )따라서 선분 AB의 yz평면 위로의 정사영의 길이는 A'B'4=3(7-3)^2 +(2111q-c111q )^2 c=313이때 A'B'4=AB^_ cos 60°이므로 313=3(a-3)^2 +(7-3)^2 +(2111q-c111q )^2 c · 1/2 108=(a-3)^2 +27, (a-3)^2 =81 a-3=z9 .t3 a=12 (.T3 a>0) 12 0679 선분 AB를 1 : 2로 내분하는 점 P의 좌표는 P(1a2+2a11+2, 1a3+2a01+2, 1a1+2a11+2) .t3 PÑ4/3, 1, 1)선분 AB를 2 : 1로 외분하는 점 Q의 좌표는 Q(2a2-1a12-1, 2a3-1a02-1, 2a1-1a12-1) .t3 Q(3, 6, 1)따라서 선분 PQ의 중점의 좌표는 (4/3+32, 1+62, 1+12), 즉 Ñ13/6, 7/2 , 1) ② 0680 점 A의 좌표를 (a, b, c)라 하면 선분 OA를 3 : 2로 내분하는 점의 좌표는 (3aa+2a03+2, 3ab+2a03+2, 3ac+2a03+2) .t3 Ñ3/5a, 3/5b, 3/5c)따라서 3/5a=3, 3/5b=-9, 3/5c=6이므로 a=5, b=-15, c=10 .t3 A(5, -15, 10) A(5, -15, 10) 0681 P(2, -4, -3), Q(-2, 4, 3)이므로 선분 PQ를 3 : 1로 외분하는 점의 좌표는 (3a(-2)-1a23-1, 3a4-1a(-4)3-1, 3a3-1a(-3)3-1) .t3 (-4, 8, 6) ② 0682 2AP^_ =BP^_ , 즉 AP^_ : BP^_ =1 : 2이고 점 P가 선분 AB 위의 점이므로 점 P는 선분 AB를 1 : 2로 내분하는 점이다. 즉 점 P의 좌표는 P(1aa+2a21+2, 1ab+2a31+2, 1ac+2a61+2) .t3 P(a+43, b+63, c+123)채점 기준비율❶ 선분 AB의 길이를 구할 수 있다.30%❷ 선분 AB의 xy평면 위로의 정사영의 길이를 구할 수 있다.40%❸ cos t의 값을 구할 수 있다.30%0673 두 점 A, B는 xy평면 위의 점이고 두 점의 y좌표의 부호가 같으므로 xy평면에서 x축을 기준으로 같은 쪽에 있다.점 A와 x축에 대하여 대칭인 점을 A'이라 하면 A'(-3, 4, 0)이때 AP^_ =A'P4이므로 AP^_ +PB^_ =A'P4+PB^_ jA'B4 AP^_ +PB^_ =2(5+3)^2 +(-2x-4)^2 x AP^_ +PB^_ =10 ②0674 두 점 A, B의 y좌표의 부호가 같으므로 두 점은 좌표공간에서 zx평면을 기준으로 같은 쪽에 있다. ⇨ ❶점 A와 zx평면에 대하여 대칭인 점을 A'이라 하면 A'(-2, -5, -1) ⇨ ❷이때 AP^_ =A'P4이므로 AP^_ +PB^_ =A'P4+PB^_ jA'B4 AP^_ +PB^_ =2(a+2)^2 +(1+5)^2 +(2+x1)^2 x AP^_ +PB^_ =2a^2 +4ax+49x ⇨ ❸즉 2a^2 +4ax+49x=316이므로 a^2 +4a-5=0 (a+5)(a-1)=0 .t3 a=1 (.T3 a>0) ⇨ ❹ 10675 두 점 A, B의 x좌표의 부호가 같으므로 두 점은 좌표공간에서 yz평면을 기준으로 같은 쪽에 있다.점 B와 yz평면에 대하여 대칭인 점을 B'이라 하면 B'(-3, -2, -1)이때 BP^_ =B'P4이므로 △ ABP의 둘레의 길이는 AB^_ +BP^_ +PA4 =AB^_ +B'P4+PA4 jAB^_ +AB'4 =2(3-1)^2 +(-2-2)^2 +(-1x-1)^2 x +2(-3-1)^2 +(-2-2)^2 +(-1x-1)^2 x =216+6 216+60676 두 점 A, B의 zx평면 위로의 정사영을 각각 A', B'이라 하면 A'(-1, 0, 1), B'(2, 0, -1)따라서 선분 AB의 zx평면 위로의 정사영의 길이는 A'B'4=2(2+1)^2 +(-1x-1)^2 x=113q ⑤0677 ⑴ AB^_ =2(5-2)^2 +(8-4)^2 +(8x-3)^2 x=512 ⇨ ❶⑵ 두 점 A, B의 xy평면 위로의 정사영을 각각 A', B'이라 하면 A'(2, 4, 0), B'(5, 8, 0) 따라서 선분 AB의 xy평면 위로의 정사영의 길이는 A'B'4=2(5-2)^2 +(8x-4)^2 x=5 ⇨ ❷⑶ A'B'4=AB^_ cos t이므로 5=512 cos theta .t3 cos t=122 ⇨ ❸ ⑴ 512 ⑵ 5 ⑶ 122(cid:89)(cid:35)(cid:49)(cid:34)(cid:8)(cid:34)채점 기준비율❶ 두 점 A, B가 zx평면을 기준으로 같은 쪽에 있음을 알 수 있다.10%❷ 점 A와 zx평면에 대하여 대칭인 점의 좌표를 구할 수 있다.20%❸ AP^_ +PB^_ 의 최솟값을 a에 대한 식으로 나타낼 수 있다.40%❹ a의 값을 구할 수 있다.30%라이트쎈기벡(해6강)4.indd 6315. 2. 26. 오전 11:15 64 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0687 점 C의 좌표를 (a, b, c)라 하면 선분 AC의 중점의 좌표는 (-3+a2, 9+b2, 1+c2) ⇨ ❶AC^_의 중점은 두 대각선의 교점이므로 -3+a2=0, 9+b2=-1, 1+c2=3 .t3 a=3, b=-11, c=5따라서 C(3, -11, 5)이므로 ⇨ ❷ BC^_ =2(3+5)^2+(-11-5)^2+(5x-5)^2x=815 ⇨ ❸ 815 0688 선분 AC의 중점의 좌표는 (a-1 2, -4+72, -4+12), 즉 (a-12, 3/2, -3/2)선분 BD의 중점의 좌표는 (b+2 2, 0+32, 1-42), 즉 (b+22, 3/2, -3/2)이때 마름모의 두 대각선의 중점은 일치하므로 a-12=b+22 .t3 b=a-3 cc ㉠또 마름모의 네 변의 길이는 모두 같으므로 AD^_=CD^_에서 AD^_ ^2=CD^_ ^2 (2-a)^2+(3+4)^2+(-4+4)^2 =(2+1)^2+(3-7)^2+(-4-1)^2 (a-2)^2+49=50, (a-2)^2=1 a-2=z1 .t3 a=1 (.T3 a<2)a=1을 ㉠에 대입하면 b=-2 .t3 a+b=-1 -1 0689 △ABC의 무게중심의 좌표는 (a+2+03, -4+b+63, 2+4+c3) .t3 (a+23, b+23, c+63)따라서 a+2 3=2, b+23=-2, c+63=0이므로 a=4, b=-8, c=-6 .t3 a-b+c=6 ⑤ 0690 P(1, 3, 6), Q(-1, 3, -6), R(1, -3, -6)이므로 △PQR의 무게중심의 좌표는 (1-1+1 3, 3+3-3 3, 6-6-6 3), 즉 (1/3, 1, -2)따라서 a=1/3, b=1, c=-2이므로 a+b+c=-2/3 ①채점 기준비율❶ C(a, b, c)라 하고 AC^_의 중점의 좌표를 구할 수 있다.30%❷ 점 C의 좌표를 구할 수 있다.40%❸ BC^_의 길이를 구할 수 있다.30%따라서 a+43=1, b+63=1, c+123=2이므로 a=-1, b=-3, c=-6 .t3 a+b+c=-10 ①2AP^_=BP^_, 즉 AP^_ : BP^_=1 : 2이므로 AB^_ : BP^_=3 : 2즉 점 B는 선분 AP를 3 : 2로 외분하는 점이므로 B(3.c11-2.c123-2, 3.c11-2.c133-2, 3.c12-2.c163-2) .t3 B(-1, -3, -6)따라서 a=-1, b=-3, c=-6이므로 a+b+c=-10 AP^_ : BP^_=1 : 2에서 점 P는 선분 AB를 1 : 2로 외분하는 점일 수도 있으나, 이때 점 P는 선분 AB 위에 있지 않으므로 조건을 만족시키지 않는다. 0683 점 A는 선분 PP'의 중점이므로 점 P'의 좌표를 (a, b, c)라 하면 A(1+a2, b/2, -3+c2)따라서 1+a2=2, b/2=1, -3+c2=-5이므로 a=3, b=2, c=-7 .t3 P'(3, 2, -7) ④ 0684 선분 AB를 m : 1로 내분하는 점이 zx평면 위에 있으므로 내분점의 y좌표는 0이다.즉 ma(-3)+1a6m+1=0이므로 -3m+6=0 .t3 m=2 2 0685 선분 AB를 2 : 3으로 내분하는 점이 yz평면 위에 있으므로 내분점의 x좌표는 0이다.즉 2aa+3a22+3=0이므로 2a+6=0 .t3 a=-3또 선분 AB를 2 : 1로 외분하는 점이 x축 위에 있으므로 외분점의 y좌표, z좌표는 모두 0이다.즉 2ab-1a(-1)2-1=0, 2ac-1a42-1=0이므로 2b+1=0, 2c-4=0 .t3 b=-1/2, c=2 .t3 a+b+c=-3/2 ② 0686 선분 AC의 중점의 좌표는 (-3+12, a+4 2, 7+12), 즉 (-1, a+42, 4)선분 BD의 중점의 좌표는 (b-12, -1+82, 4+42), 즉 (b-12, 7/2, 4)평행사변형의 두 대각선의 중점은 일치하므로 -1=b-1 2, a+42=7/2 .t3 a=3, b=-1 .t3 ab=-3 ②라이트쎈기벡(해6강)4.indd 6415. 2. 26. 오전 11:15 06``공간좌표 • 65본책공간좌표0698~101쪽0693 구하는 구의 중심의 좌표가 (1, 3, -2)이므로 반지름의 길이는 2(-2-1)^2 +(4-3)^2 +(3x+2)^2 x=135q따라서 구하는 구의 방정식은 (x-1)^2 +(y-3)^2 +(z+2)^2 =35 (x-1)^2 +(y-3)^2 +(z+2)^2 =35구하는 구의 방정식을 (x-1)^2 +(y-3)^2 +(z+2)^2 =r^2 이라 하면 이 구가 점 (-2, 4, 3)을 지나므로 (-2-1)^2 +(4-3)^2 +(3+2)^2 =r^2 .t3 r^2 =35 .t3 (x-1)^2 +(y-3)^2 +(z+2)^2 =35 0694 x^2 +y^2 +z^2 +2x-4y+4z-16=0에서 (x+1)^2 +(y-2)^2 +(z+2)^2 =25따라서 구의 중심의 좌표는 (-1, 2, -2)이고 반지름의 길이는 5이므로 a=-1, b=2, c=-2, r=5 .t3 a+b+c+r=4 ④ 0695 x^2 +y^2 +z^2 +6x-2y-4z+5=0에서 (x+3)^2 +(y-1)^2 +(z-2)^2 =9따라서 구의 중심의 좌표는 (-3, 1, 2)이므로 구하는 거리는 2(-3)^2 +1x^2 +2^2 x=114q 114q 0696 구하는 구의 중심은 AB^_ 의 중점이므로 그 좌표는 (2-62, 7+52, 1-32), 즉 (-2, 6, -1)또 AB^_ 가 구의 지름이므로 구의 반지름의 길이는 1/2 AB^_ =1/2 2(-6-2)^2 +(5-7)^2 +(-3x-1)^2 x=121q따라서 구하는 구의 방정식은 (x+2)^2 +(y-6)^2 +(z+1)^2 =21 (x+2)^2 +(y-6)^2 +(z+1)^2 =21 0697 선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점 P의 좌표는 P(2a(-2)+1a12+1, 2a6+1a32+1, 2a3+1a(-3)2+1) .t3 P(-1, 5, 1)선분 AB를 2 : 1로 외분하는 점 Q의 좌표는 Q(2a(-2)-1a12-1, 2a6-1a32-1, 2a3-1a(-3)2-1) .t3 Q(-5, 9, 9) ⇨ ❶구하는 구의 중심은 PQ^_ 의 중점이므로 그 좌표는 (-1-52, 5+92, 1+92), 즉 (-3, 7, 5) ⇨ ❷또 PQ^_ 가 구의 지름이므로 구의 반지름의 길이는 1/2 PQ^_ =1/2 2(-5+1)^2 +(9-5)^2 +(9x-1)^2 x=216 ⇨ ❸따라서 구하는 구의 방정식은 (x+3)^2 +(y-7)^2 +(z-5)^2 =24 ⇨ ❹ (x+3)^2 +(y-7)^2 +(z-5)^2 =240691 세 점 P, Q, R의 좌표는 각각 P(6+4 2, 4-22, -1-32), 즉 P(5, 1, -2) Q(4+2 2, -2-22, -3+52), 즉 Q(3, -2, 1) R(2+62, -2+42, 5-12), 즉 R(4, 1, 2) ⇨ ❶따라서 △ PQR의 무게중심의 좌표는 (5+3+43, 1-2+13, -2+1+23) .t3 (4, 0, 1/3 ) ⇨ ❷ (4, 0, 1/3 )△ PQR의 무게중심은 △ ABC의 무게중심과 일치하므로 그 좌표는 (6+4+23, 4-2-23, -1-3+53), 즉 (4, 0, 1/3 )0692 점 C의 좌표를 (a, b, c)라 하면 CM^_ 을 2 : 1로 내분하는 점의 좌표는 (2a2+1aa2+1, 2a3+1ab2+1, 2a5+1ac2+1) .t3 (4+a3, 6+b3, 10+c3)이 점이 점 (1, -4, 3)과 일치하므로 4+a3=1, 6+b3=-4, 10+c3=3 .t3 a=-1, b=-18, c=-1 .t3 C(-1, -18, -1) C(-1, -18, -1)1세 점 A, B, C의 좌표를 각각 (a_1 , b_1 , c_1 ), (a_2 , b_2 , c_2 ), (a_3 , b_3 , c_3 )이라 하면 AB^_ 의 중점의 좌표는 (a_1 +a_2 2, b_1 +b_2 2, c_1 +c_2 2)따라서 a_1 +a_2 2=2, b_1 +b_2 2=3, c_1 +c_2 2=5이므로 a_1 +a_2 =4, b_1 +b_2 =6, c_1 +c_2 =10△ ABC의 무게중심의 좌표는 (a_1 +a_2 +a_3 3, b_1 +b_2 +b_3 3, c_1 +c_2 +c_3 3) .t3 (4+a_3 3, 6+b_3 3, 10+c_3 3)따라서 4+a_3 3=1, 6+b_3 3=-4, 10+c_3 3=3이므로 a_3 =-1, b_3 =-18, c_3 =-1 .t3 C(-1, -18, -1)2△ ABC의 무게중심을 G라 하면 점 C는 MG4를 3 : 2로 외분하는 점이므로 C(3.c1 1-2.c1 23-2, 3.c1 (-4)-2.c1 33-2, 3.c1 3-2.c1 53-2) .t3 C(-1, -18, -1)채점 기준비율❶ 세 점 P, Q, R의 좌표를 구할 수 있다.60%❷ △ PQR의 무게중심의 좌표를 구할 수 있다.40%△ ABC의 무게중심과 일치한다.라이트쎈기벡(해6강)4.indd 6515. 2. 26. 오전 11:16 66 • 정답 및 풀이정답 및 풀이이때 구의 중심에서 x축에 내린 수선의 발의 좌표는 (a, 0, 0)이므로 구의 반지름의 길이는 2a^2+a^2x=12a (.T3 a>0)즉 12a=4이므로 a=212따라서 구의 중심의 좌표는 (212, 212, 212)이므로 원점과 구의 중심 사이의 거리는 3(212)^2+(212)^2+(c212)^2c=216 ④ 0704 구가 xy평면, yz평면, zx평면에 동시에 접하면 구의 중심에서 xy평면, yz평면, zx평면에 이르는 거리가 모두 반지름의 길이와 같고, 이 구가 점 (5, 1, -2)를 지나므로 구의 반지름의 길이를 r라 하면 구의 방정식은 (x-r)^2+(y-r)^2+(z+r)^2=r^2 ⇨ ❶점 (5, 1, -2)가 이 구 위에 있으므로 (5-r)^2+(1-r)^2+(-2+r)^2=r^2 r^2-8r+15=0, (r-3)(r-5)=0 .t3 r=3 또는 r=5 ⇨ ❷따라서 두 구의 반지름의 길이의 곱은 15이다. ⇨ ❸ 15 0705 점 A의 좌표를 (a, b, c)라 하면 점 A는 구 x^2+y^2+z^2=36 위에 있으므로 a^2+b^2+c^2=36 cc ㉠ 선분 AB의 중점의 좌표를 (x, y, z)라 하면 x=a+82, y=b-22, z=c+42 .t3 a=2x-8, b=2y+2, c=2z-4이것을 ㉠에 대입하면 (2x-8)^2+(2y+2)^2+(2z-4)^2=36 .t3 (x-4)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=9따라서 AB^_의 중점의 자취는 반지름의 길이가 3인 구이므로 그 부피는 4/3pai.c13^3=36pai 36pai 0706 점 P의 좌표를 (x, y, z)라 하면 AP^_ ^2`+BP^_ ^2`=16에서 (x-2)^2+(y+1)^2+(z+1)^2+(x-3)^2+y^2+(z-1)^2=16 2x^2+2y^2+2z^2-10x+2y=0 .t3 x^2+y^2+z^2-5x+y=0 ② 0707 주어진 조건을 만족시키는 점을 P(x, y, z)라 하면 AP^_ : BP^_=2 : 1에서 AP^_=2BP^_, 즉 AP^_ ^2 =4BP^_ ^2 x^2+(y+3)^2+z^2=4{x^2+y^2+(z-9)^2} x^2+y^2+z^2-2y-24z+105=0 .t3 x^2+(y-1)^2+(z-12)^2=40따라서 점 P의 자취는 반지름의 길이가 2110q인 구이므로 그 겉넓이는 4pa(2110q )^2=160p ④채점 기준비율❶ 구의 반지름의 길이를 r라 하고 구의 방정식을 구할 수 있다.40%❷ r의 값을 구할 수 있다.40%❸ 두 구의 반지름의 길이의 곱을 구할 수 있다.20%0698 x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0에 주어진 네 점의 좌표를 각각 대입하면 D=0, 1+A+D=0, 4+4+2A+2C+D=0, 16+9-4B+3C+D=0위의 네 식을 연립하여 풀면 A=-1, B=4, C=-3, D=0 .t3 A+B+C+D=0 ③0699 구의 방정식을 x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0이라 하고 주어진 네 점의 좌표를 각각 대입하면 D=0, 4-2A+D=0, 16+4B+D=0, 1+1-B+C+D=0위의 네 식을 연립하여 풀면 A=2, B=-4, C=-6, D=0따라서 구의 방정식은 x^2+y^2+z^2+2x-4y-6z=0 .t3 (x+1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=14즉 구하는 구의 반지름의 길이는 114q 이다. ④0700 구의 방정식을 x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0이라 하고 주어진 네 점의 좌표를 각각 대입하면 D=0, 49+7C+D=0, 4+1-2A+B+D=0, 1+4-B+2C+D=0위의 네 식을 연립하여 풀면 A=-2, B=-9, C=-7, D=0따라서 구의 방정식은 x^2+y^2+z^2-2x-9y-7z=0이때 점 (a, 2, 5)가 이 구 위의 점이므로 a^2+4+25-2a-18-35=0 a^2-2a-24=0, (a+4)(a-6)=0 .t3 a=-4 또는 a=6 -4, 60701 x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z-k=0에서 (x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=k+14이 구가 xy평면에 접하므로 k+14=(-3)^2 .t3 k=-5 ①0702 구가 y축에 접하므로 구의 중심에서 y축에 이르는 거리는 반지름의 길이와 같다. 이때 구의 중심에서 y축에 내린 수선의 발의 좌표는 (0, -6, 0)이므로 구의 반지름의 길이는 24^2+3^2x=5따라서 구하는 구의 부피는 4/3p.c15^3=500/3p 500/3p0703 구가 x축, y축, z축에 동시에 접하면 구의 중심에서 x축, y축, z축에 이르는 거리가 모두 같으므로 구의 중심의 좌표를 (a, a, a) (a>0)로 놓을 수 있다.채점 기준비율❶ 두 점 P, Q의 좌표를 구할 수 있다.30%❷ 구의 중심의 좌표를 구할 수 있다.20%❸ 구의 반지름의 길이를 구할 수 있다.30%❹ 구의 방정식을 구할 수 있다.20%라이트쎈기벡(해6강)4.indd 6615. 2. 26. 오전 11:16 06``공간좌표 • 67본책공간좌표06101~104쪽0714 구의 방정식은 (x-a)^2 +(y-b)^2 +(z-c)^2 =25yz평면 위의 점은 x좌표가 0이므로 위의 식에 x=0을 대입하면 (y-b)^2 +(z-c)^2 =25-a^2 이 식이 (y-1)^2 +(z-1)^2 =9와 같으므로 b=1, c=1, 25-a^2 =925-a^2 =9에서 a^2 =16 .t3 a=4 (.T3 a>0) .t3 a+b+c=6 ② 0715 구의 중심의 좌표를 (a, b, c), 반지름의 길이를 r라 하면 구의 방정식은 (x-a)^2 +(y-b)^2 +(z-c)^2 =r^2 cc ㉠xy평면 위의 점은 z좌표가 0이므로 z=0을 ㉠에 대입하면 (x-a)^2 +(y-b)^2 =r^2 -c^2 이 식이 x^2 +y^2 -6y=0, 즉 x^2 +(y-3)^2 =9와 같으므로 a=0, b=3, r^2 -c^2 =9 cc ㉡또 yz평면 위의 점은 x좌표가 0이므로 x=0을 ㉠에 대입하면 (y-b)^2 +(z-c)^2 =r^2 -a^2 이 식이 y^2 +z^2 -6y+4z=0, 즉 (y-3)^2 +(z+2)^2 =13과 같으므로 b=3, c=-2, r^2 -a^2 =13 cc ㉢㉡, ㉢에서 a=0, b=3, c=-2, r=113q따라서 구하는 구의 반지름의 길이는 113q이다. 113q 0716 x축 위의 점은 y좌표와 z좌표가 모두 0이므로 주어진 구의 방정식에 y=0, z=0을 대입하면 (x-2)^2 =25, x-2=z5 .t3 x=-3 또는 x=7따라서 주어진 구와 x축의 두 교점 A, B의 좌표는 (-3, 0, 0),(7, 0, 0)이므로 AB^_ =|7-(-3)|=10 ③ 0717 y축 위의 점은 x좌표와 z좌표가 모두 0이므로 주어진 구의 방정식에 x=0, z=0을 대입하면 y^2 -8y+k=0 cc ㉠주어진 구와 y축이 만나는 두 점 사이의 거리가 4이므로 y에 대한 이차방정식 ㉠의 두 근의 차가 4이다.따라서 ㉠의 두 근을 �, �+4라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 �+(�+4)=8, �(�+4)=k .t3 �=2, k=12 ④ 0718 구의 중심은 AB^_ 의 중점이므로 그 좌표는 (0-22, -3+12, 5+12), 즉 (-1, -1, 3)또 AB^_ 가 구의 지름이므로 구의 반지름의 길이는 1/2 AB^_ =2(-2)^2 +(1+3)^2 +(1x-5)^2 x=3따라서 구의 방정식은 (x+1)^2 +(y+1)^2 +(z-3)^2 =9z축 위의 점은 x좌표와 y좌표가 모두 0이므로 위의 식에 x=0, y=0을 대입하면0708 x^2 +y^2 +z^2 -2x-4y+6z+10=0에서 (x-1)^2 +(y-2)^2 +(z+3)^2 =4주어진 구의 중심을 C라 하면 C(1, 2, -3)이므로 PC^_ =2(1-3)^2 +(2+2)^2 +(-3x-1)^2 x=6점 P에서 구에 그은 접선의 접점을 Q라 하면 △ PCQ는 직각삼각형이므로 구하는 접선의 길이는 PQ^_ =26^2 -2^2 x=412 ③ 0709 점 A에서 구에 그은 접선의 접점을 P라 하면 PA4=2115q CA^_ =2(4+2)^2 +(-1-6)^2 +(1x-1)^2 x CA=185q△ PAC는 직각삼각형이므로 구하는 구의 반지름의 길이는 CP^_ =3(185q )^2 -(2c115q )^2 c=5 ① 0710 주어진 구의 중심의 좌표가 (0, 3, -4)이므로 원점과 구의 중심 사이의 거리는 23^2 +(s-4)^2 x=5주어진 구의 반지름의 길이는 3이므로 원점과 점 P 사이의 거리의 최솟값은 5-3=2 2 0711 x^2 +y^2 +z^2 +2x-4y-4z+6=0에서 (x+1)^2 +(y-2)^2 +(z-2)^2 =3주어진 구의 중심을 C라 하면 C(-1, 2, 2)이므로 AC^_ =2(-1-2)^2 +(2-1)^2 +(2x-2)^2 x=110q주어진 구의 반지름의 길이는 13이므로 AP^_ 의 길이의 최댓값은 110q+13, 최솟값은 110q-13이다.따라서 구하는 곱은 (110q+13)(110q-13)=7 ② 0712 x^2 +y^2 +z^2 +4x+6y-12z+33=0에서 (x+2)^2 +(y+3)^2 +(z-6)^2 =16주어진 두 구의 중심의 좌표가 각각 (0, 0, 0), (-2, -3, 6)이므로 두 구의 중심 사이의 거리는 2(-2)^2 +(-3)x^2 +6^2 x=7두 구의 반지름의 길이는 각각 2, 4이고, 오른쪽 그림과 같을 때 PQ^_ 의 길이가 최대이므로 구하는 최댓값은 2+7+4=13 13 0713 zx평면 위의 점은 y좌표가 0이므로 주어진 구의 방정식에 y=0을 대입하면 (x-4)^2 +(z+2)^2 =16따라서 주어진 구와 zx평면이 만나서 생기는 도형은 반지름의 길이가 4인 원이므로 그 넓이는 pa4^2 =16p 16p(cid:19)(cid:23)(cid:49)(cid:50)(cid:36)(cid:34)(cid:36)(cid:49)(cid:25)(cid:22)(cid:18)(cid:22)(cid:19)(cid:49)(cid:24)(cid:19)(cid:21)(cid:50)라이트쎈기벡(해6강)4.indd 6715. 2. 26. 오전 11:16 68 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0723 y축 위의 점 P의 좌표를 (0, a, 0)으로 놓고 AP^_=BP^_에서 AP^_ ^2=BP^_ ^2임을 이용한다.점 P의 좌표를 (0, a, 0)이라 하면 AP^_=BP^_에서 AP^_ ^2=BP^_ ^2이므로 2^2+a^2+(-3)^2=(-2)^2+(a+1)^2+(-4)^2 a^2+13=a^2+2a+21, 2a=-8 .t3 a=-4따라서 P(0,-4, 0)이므로 AP^_=22^2+(-4)^2+(x-3)^2x=129q ② 0724 두 점 A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)에 대하여 AB^_를 m : n (m>0, n>0, mLn)으로 외분하는 점의 좌표는(mx_2-nx_1m-n, my_2-ny_1m-n, mz_2-nz_1m-n)임을 이용한다.AB^_를 2 : 3으로 외분하는 점의 좌표는 (2a(-1)-3aa2-3, 2a(-4)-3a(-2)2-3, 2a2-3a02-3) .t3 (3a+2, 2, -4)따라서 3a+2=5, 2=b, -4=c이므로 a=1, b=2, c=-4 .t3 a+b+c=-1 -1 0725 세 점 (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심의 좌표는(x_1+x_2+x_33, y_1+y_2+y_33, z_1+z_2+z_33)임을 이용한다.점 C의 좌표를 (a, b, c)라 하면 △ABC의 무게중심의 좌표는 (0+4+a3, -2+0+b3, 4-1+c3) .t3 (4+a3, -2+b3, 3+c3)따라서 4+a3=2, -2+b3=-1, 3+c3=2이므로 a=2, b=-1, c=3 .t3 C(2, -1, 3) C(2, -1, 3) 0726 구의 부피를 이등분하는 평면은 구의 중심을 지남을 이용한다.주어진 구의 중심의 좌표는 (1, -2, -k)이고, xy평면이 구의 부피를 이등분하므로 xy평면은 구의 중심을 지난다.즉 구의 중심의 z좌표는 0이므로 k=0 0 0727 주어진 구의 중심은 AB^_의 중점이고 반지름의 길이는 1/2AB^_의 길이와 같음을 이용한다.구의 중심은 AB^_의 중점이므로 그 좌표는 (2-22, -1+32, 3+12), 즉 (0, 1, 2)또 AB^_가 구의 지름이므로 구의 반지름의 길이는 1/2AB^_=1/22(-2-2)^2+(3+1)^2+(1x-3)^2x=3 (z-3)^2=7, z-3=z17 .t3 z=3z17즉 구와 z축의 두 교점의 좌표는 (0, 0, 3-17 ), (0, 0, 3+17 )이므로 구하는 길이는 |3+17-(3-17)|=217 217 0719 x^2+y^2+z^2+8x+4y-4z+k=0에서 (x+4)^2+(y+2)^2+(z-2)^2=24-k즉 두 구의 중심의 좌표가 각각 (0, 0, 0), (-4, -2, 2)이므로 두 구의 중심 사이의 거리는 2(-4)^2+(-2)x^2+2^2x=216또 두 구의 반지름의 길이가 각각 16, 124-kz 이므로 두 구가 외접하려면 16+124-kz=216, 124-kz=16 24-k=6 .t3 k=18 ④ 0720 x^2+y^2+z^2-4z=0에서 x^2+y^2+(z-2)^2=4두 구의 중심의 좌표가 각각 (0, 0, 2), (-2, 4, 6)이므로 두 구의 중심 사이의 거리는 2(-2)^2+4^2+(6x-2)^2x=6중심의 좌표가 (-2, 4, 6)인 구의 반지름의 길이를 r라 하면 두 구가 내접하므로 |r-2|=6, r-2=z6 .t3 r=8 (.T3 r>0)따라서 구하는 구의 반지름의 길이는 8이다. ⑤ 0721 두 구의 중심의 좌표는 각각 (-1, 0, 2), (1, k, 0)이므로 두 구의 중심 사이의 거리는 2(1+1)^2+k^2+(x-2)^2x=2k^2+8x ⇨ ❶두 구의 반지름의 길이는 각각 3, 4이므로 두 구가 만나려면 4-3i2k^2+8xi4+3 ⇨ ❷ 1i2k^2+8xi7, 1ik^2+8i49 0ik^2i41 (.T3 k^2j0) .t3 -141qiki141q ⇨ ❸ -141qiki141q 0722 점 (a, b, c)에서 y축, zx평면에 내린 수선의 발의 좌표는 각각 (0, b, 0), (a, 0, c)임을 이용한다.점 P의 좌표를 (a, b, c)라 하면 두 점 A, P에서 y축에 내린 수선의 발의 좌표는 각각 (0, 5, 0), (0, b, 0)이므로 b=5또 두 점 B, P에서 zx평면에 내린 수선의 발의 좌표는 각각 (2, 0, 1), (a, 0, c)이므로 a=2, c=1 .t3 P(2, 5, 1) P(2, 5, 1)채점 기준비율❶ 두 구의 중심 사이의 거리를 구할 수 있다.30%❷ 두 구가 만나도록 하는 k의 조건을 구할 수 있다.40%❸ k의 값의 범위를 구할 수 있다.30%라이트쎈기벡(해6강)4.indd 6815. 2. 26. 오전 11:16 06``공간좌표 • 69본책공간좌표06104~106쪽따라서 선분 AB의 zx평면 위로의 정사영의 길이는 A'B'4=2(3-7)^2 +(x-3)^2 x=5구하는 각의 크기를 theta 라 하면 A'B'4=AB^_ cos theta 이므로 5=512 cos theta .t3 cos theta =122 .t3 theta =45° (.T3 0°0) ④0730 점 (a, b, c)에서 xy평면, yz평면, zx평면에 내린 수선의 발의 좌표는 각각 (a, b, 0), (0, b, c), (a, 0, c)임을 이용한다.점 P의 좌표를 (a, b, c)라 하면 A(a, b, 0), B(0, b, c), C(a, 0, c)AB^_ =BC^_ =CA^_ =213에서 AB^_ ^2 =BC^_ ^2 =CA^_ ^2 =12이므로 a^2 +c^2 =a^2 +b^2 =b^2 +c^2 =12 .t3 a^2 =b^2 =c^2 =6 .t3 AP^_ +BP^_ +CP^_ =|c|+|a|+|b|=316 ③0731 △ ABC의 세 변의 길이를 구하여 △ ABC가 어떤 삼각형인지 먼저 파악한다.AB^_ ^2 =(-4+2)^2 +(-1+1)^2 +(-1-1)^2 =8BC^_ ^2 =(-3+4)^2 +1^2 +(-2+1)^2 =3CA^_ ^2 =(-2+3)^2 +(-1)^2 +(1+2)^2 =11 .t3 CA^_ ^2 =AB^_ ^2 +BC^_ ^2 따라서 △ ABC는 gak B=90°인 직각삼각형이므로 △ ABC=1/2 aAB^_ aBC^_ =1/2 a212a13=16 ①0732 두 점 A, B의 zx평면 위로의 정사영을 각각 A', B'이라 하고 직선 AB와 zx평면이 이루는 각의 크기를 theta 라 하면 A'B'4=AB^_ cos theta 임을 이용한다.AB^_ =2(3-7)^2 +(-7+2)^2 +(x-3)^2 x=512두 점 A, B의 zx평면 위로의 정사영을 각각 A', B'이라 하면 A'(7, 0, 3), B'(3, 0, 0)채점 기준비율❶ 구와 yz평면이 만나서 생기는 도형의 방정식을 구할 수 있다.50%❷ 도형의 둘레의 길이를 구할 수 있다.50%라이트쎈기벡(해6강)4.indd 6915. 2. 26. 오전 11:16 70 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0740 평면 alpha를 xy평면으로 생각한다.평면 alpha를 xy평면으로 생각하면 세 구의 중심 A, B, C의 z좌표는 각각 5, 10, 15이므로 △ABC의 무게중심의 z좌표는 5+10+153=10따라서 △ABC의 무게중심과 평면 alpha 사이의 거리는 10이다. 100741 네 점 P, Q, R, S를 좌표공간에 나타낸 후 사면체의 모양을 파악한다.Q(1, 3, -2), R(-1, 3, 2), S(1, -3, 2)이므로 네 점 P, Q, R, S 를 좌표공간에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.이때 PQ^_=2-(-2)=4, PR^_=1-(-1)=2, PS^_=3-(-3)=6이므로 사면체 P-QRS의 부피는 1/3.c11/2.c1PQ^_.c1PR^_.c1PS^_=1/3.c11/2.c14.c12.c16=8 80742 점 B에서 zx평면에 내린 수선의 발을 H라 하면 원 위의 한 점 P에 대하여 PH^_의 길이가 최대일 때 BP^_의 길이가 최대임을 이용한다.점 B에서 zx평면에 내린 수선의 발을 H, 원 위의 한 점을 P라 하면 BP^_=3BH^_ ^2+cPH^_ ^2c이때 H(3, 0, 1)이므로 BH^_=3또 PH^_의 길이가 최대일 때는 PH^_가 원의 중심 A를 지날 때이고 AH^_=2(3+1)^2+(1x+2)^2x=5, PA^_=1이므로 PH^_의 길이의 최댓값은 5+1=6따라서 구하는 최댓값은 23^2+6^2x=315 ①0743 두 점 A, B와 각각 xy평면, zx평면에 대하여 대칭인 점을 이용하여 구하는 최솟값과 길이가 같은 선분을 찾는다.두 점 A, B의 z좌표의 부호가 같으므로 두 점 A, B는 좌표공간에서 xy평면을 기준으로 같은 쪽에 있다.점 A와 xy평면에 대하여 대칭인 점을 A'이라 하면 A'(2, 1,-3)또 두 점 A, B의 y좌표의 부호가 같으므로 두 점 A, B는 좌표공간에서 zx평면을 기준으로 같은 쪽에 있다.점 B와 zx평면에 대하여 대칭인 점을 B'이라 하면 B'(4, -3, 1)이때 AP^_=A'P4, QB4=QB'4이므로 AP^_+PQ^_+QB4 =A'P4+PQ^_+QB'4jA'B'4 =2(4-2)^2+(-3-1)^2+(1x+3)^2x =6 60744 구의 반지름의 길이를 r, 구의 중심과 yz평면 사이의 거리를 d라 하면 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 2r^2-d^2x 임을 이용한다.x^2+y^2+z^2+6x-6y-2z-6=0에서 (x+3)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=25(cid:90)(cid:91)(cid:89)(cid:49)(cid:48)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:19)(cid:20)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:20)(cid:14)(cid:18)(cid:18)(cid:91)(cid:89)평면(cid:35)(cid:41)(cid:49)(cid:34)0737 a^2+b^2+c^2의 값은 원점과 점 P(a, b, c) 사이의 거리와 같음을 이용한다.주어진 구의 중심을 C라 하면 C(8, 9, 12)이므로 원점 O에 대하여 OC^_=28^2+9^2x+12^2x=17 OP^_=2a^2+b^2x+c^2x주어진 구의 반지름의 길이가 10이므로 OP^_의 길이, 즉 2a^2+b^2x+c^2x의 최솟값은 17-10=7따라서 a^2+b^2+c^2의 최솟값은 7^2=49 ④ 0738 구와 zx평면의 교선의 방정식은 구의 방정식에 y=0을 대입하여 구한다.x^2+z^2+4x-10z-20=0에서 (x+2)^2+(z-5)^2=49 cc ㉠구의 중심의 좌표를 (a, b, c)라 하면 반지름의 길이가 512이므로 구의 방정식은 (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=50zx평면 위의 점은 y좌표가 0이므로 위의 식에 y=0을 대입하면 (x-a)^2+(z-c)^2=50-b^2이 식이 ㉠과 같으므로 a=-2, c=5, 50-b^2=4950-b^2=49에서 b^2=1 .t3 b=z1따라서 두 구의 중심의 좌표는 (-2, -1, 5), (-2, 1, 5)이므로 구하는 거리는 |1-(-1)|=2 2 0739 두 구의 중심 사이의 거리와 반지름의 길이를 이용하여 위치 관계를 파악한다.두 구의 중심의 좌표는 각각 (2, 0, 3), (1, -2, 1)이므로 두 구의 중심 사이의 거리를 d라 하면 d=2(1-2)^2+(-2)^2+(1x-3)^2x=3두 구의 반지름의 길이를 각각 r, r'이라 하면 r=1a, r'=1ㄱ. a=9이면 r=3이므로ㄱ. 3-1<3<3+1, 즉 r-r'16이면 r>4이므로 r-r'>d 따라서 두 구는 만나지 않는다.이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ④ ㄱ. 두 구가 내접하려면 |r-r'|=d이어야 하므로ㄱ. |1a-1|=3, 1a=4 .t3 a=16채점 기준비율❶ AC^_의 길이를 구할 수 있다.40%❷ PC^_의 길이를 구할 수 있다.40%❸ a의 값을 구할 수 있다.20%(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:18)(cid:24)(cid:18)(cid:17)라이트쎈기벡(해6강)4.indd 7015. 2. 26. 오전 11:16 07``공간벡터 • 71본책공간벡터07106~111쪽공간벡터07Ⅳ. 공간벡터0746 HD9=-AE^> =-c7 -c70747 HF9=DB9=AB9-AD9=a7-b7 a7-b70748 CF9=DE9=AE9-AD9=c7-b7 c7-b70749 AG9=AC^> +CG^> =AB^> +AD^> +AE^> =a7+b7+c7 a7+b7+c70750 e_1 8+2e_2 8-4e_3 80751 3e_1 8-2e_3 80752 m-4=2, 10=n+6이므로 m=6, n=4 m=6, n=40753 2m-8=-4, -2=3n+1이므로 m=2, n=-1 m=2, n=-10754 |a7|=22^2 +(-1x)^2 +2^2 x=3 30755 |b7|=23^2 +(-x2)^2 +(x15)^2 x=312 3120756 2a7+4b7 =2(2, 1, 0)+4(-1, 3, 5) =(0, 14, 20) (0, 14, 20)0757 -a7+3c7 =-(2, 1, 0)+3(4, 0, -2) =(10, -1, -6) (10, -1, -6)0758 3(a7-b7)+c7 =3a7-3b7+c7 =3(2, 1, 0)-3(-1, 3, 5)+(4, 0, -2) =(13, -6, -17) (13, -6, -17)0759 a7-2b7+3(a7-c7) =4a7-2b7-3c7 =4(2, 1, 0)-2(-1, 3, 5)-3(4, 0, -2) =(-2, -2, -4) (-2, -2, -4)0760 AB9=(2, -2, 3)이므로 |AB9|=22^2 +(-2x)^2 +3^2 x=117q AB^> =(2, -2, 3), |AB^> |=117q0761 AB9=(-4, 1, -1)이므로 |AB9|=2(-4)^2 +1^2 +(x-1)^2 x=312 AB^> =(-4, 1, -1), |AB^> |=3120762 12, 60, 60, 1이므로 구의 중심을 C라 하면 C(-3, 3, 1)점 C에서 yz평면에 내린 수선의 발을 H라 하면 H(0, 3, 1)이므로 CH^_ =3따라서 원기둥의 높이가 6이고 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는25^2 -3^2 x=4이므로 원기둥의 부피는 pa4^2 a6=96p ③0745 주어진 도형을 좌표공간에 놓은 후 구의 방정식을 구한다.오른쪽 그림과 같이 PS^_ , QS4, RS4가 각각 z축, x축, y축의 양의 방향에 오도록 주어진 도형을 좌표공간에 놓으면 P(0, 0, 2), Q(4, 0, 0), R(0, 3, 0), S(0, 0, 0) ⇨ ❶사면체 P-QRS에 외접하는 구의 방정식을 x^2 +y^2 +z^2 +Ax+By+Cz+D=0이라 하고 네 점 P, Q, R, S의 좌표를 각각 대입하면 4+2C+D=0, 16+4A+D=0, 9+3B+D=0, D=0 .t3 A=-4, B=-3, C=-2, D=0즉 구의 방정식은 x^2 +y^2 +z^2 -4x-3y-2z=0 .t3 (x-2)^2 +(y-3/2 )^^2 +(z-1)^2 =29/4 ⇨ ❷따라서 구의 반지름의 길이는 129q2이므로 구의 겉넓이는 4pa(129q2)^^2 =29p ⇨ ❸ 29p(cid:90)(cid:91)평면(cid:36)(cid:22)(cid:20)(cid:41)(cid:90)(cid:91)(cid:89)(cid:49)(cid:19)(cid:51)(cid:50)(cid:48)(cid:9)(cid:52)(cid:10)(cid:21)(cid:20)채점 기준비율❶ 주어진 도형을 좌표공간에 놓고 네 점 P, Q, R, S의 좌표를 구할 수 있다.30%❷ 구의 방정식을 구할 수 있다.50%❸ 구의 겉넓이를 구할 수 있다.20%라이트쎈기벡(해7강)4.indd 7115. 2. 26. 오후 5:46 72 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0778 a7 .C1 b7=0에서 -12+5k+k=0 6k=12 .t3 k=2 20779 a7 .C1 b7=0에서 -3+k^2+2k=0 k^2+2k-3=0, (k+3)(k-1)=0 .t3 k=-3 또는 k=1 -3, 10780 b7=ka7 (kL0)라 하면 (2x, -2, 5y)=k(2, 1, -5) 2x=2k, -2=k, 5y=-5k .t3 k=-2, x=-2, y=2 x=-2, y=20781 b7=ka7 (kL0)라 하면 (3, 5x+1, 4y)=k(1, -3, 4) 3=k, 5x+1=-3k, 4y=4k .t3 k=3, x=-2, y=3 x=-2, y=30782 |DF9|=DF4=24^2+3^2x+3^2x=134q|FC9|=FC4=23^2+3^2x=312 .t3 |DF9||FC9| =134q\312=6117q ④0783 주어진 정육면체의 대각선의 길이가 13 이므로 구하는 벡터는 AG9, BH9, CE9, DF9, EC9, FD9, GA9, HB9의 8개이다. 80784 ①, ② 정팔면체의 모든 모서리의 길이는 같으므로 AB^_=BC^_=CD^_=EB^_=2 ∴ |AB9|=|BC9|=|CD9|=|EB9|=2③, ④ BD^_, AF^_, CE^_의 길이는 한 변의 길이가 2인 정사각형의 대각선의 길이와 같으므로 BD^_=AF^_=CE^_=212 ∴ |BD9|=|AF9|=|CE9|=212⑤ |FA9|=|AF^>|=212 ⑤0785 오른쪽 그림과 같이 AN^_, BN^_을 그으면 △ACD, △BCD는 모두 한 변의 길이가 4인 정삼각형이므로 AN^_=BN^_=132\4=213 ⇨ ❶따라서 △ABN은 AN^_=BN^_인 이등변삼각형이므로 직각삼각형 AMN에서 MN^_=2(213)^2x-2^2x=212 .t3 |MN^>|=212 ⇨ ❷ 2120786 ②0787 ④(cid:34)(cid:35)(cid:47)(cid:46)(cid:21)(cid:37)(cid:36)채점 기준비율❶ AN^_, BN^_의 길이를 구할 수 있다.50%❷ MN^>의 크기를 구할 수 있다.50%0763 AB^>jikgakAE^>이므로 AB9 .C1 AE9=|AB9||AE9| cos 90°=2\2\0=0 00764 DC^>=EF^>이므로 DC9 .C1 EF9=|DC9||EF9| cos 0°=2\2\1=4 40765 AE9tGC9 이고 두 벡터의 방향이 서로 반대이므로 AE9 .C1 GC9=|AE9||GC9| cos 180° AE9 .C1 GC9=2\2\(-1)=-4 -40766 nemoABCD가 정사각형이므로 gakCAB=45° .t3 AB9 .C1 AC9=|AB9||AC9| cos 45° .t3 AB9 .C1 AC9=2\212\122=4 40767 2, 3, -1, -40768 a7 .C1 b7 =1\3+2\(-1)+4\0=1 10769 a7 .C1 b7 =-2\3+5\5+(-1)\6=13 130770 a7 .C1 b7 =-7\1+1\(-3)+2\5=0 00771 a7 .C1 b7 =-6\0+2\1+3\(-4)=-10 -100772 16, 16, 3, 1/2, pai/30773 cos t=0\(-2)+1\1+2\020^2+1^2x+2^2x 2(-2)^2+1x^2+0^2x cos t=115 15=1/5 1/50774 cos t=2\1+(-1)\(-2)+7\(-1)32^2+(-1)c^2+7^2c 31^2+(-2)^2+(c-1)^2c cos t=-3154q 16=-1/6 -1/60775 cos t=5\(-1)+(-4)\0+3\735^2+(-4)c^2+3^2c 3(-1)^2+0c^2+7^2c cos t=16150q 150q=8/25 8/250776 cos t=1\2+1\1+0\(-2)31^2+1^2c+0^2c 32^2+1^2+(c-2)^2c cos t=312\3=122 .t3 t=pai/4 (.T3 0ithetaipai) pai/40777 cos t=1\3+2\(-1)+3\231^2+2^2c+3^2c 33^2+(-1)c^2+2^2c=7114q 114q=1/2 .t3 t=pai/3 (.T3 0ithetaipai) pai/3라이트쎈기벡(해7강)4.indd 7215. 2. 26. 오전 11:16 07``공간벡터 • 73본책공간벡터07111~115쪽0788 ㄱ. BC9=EF9=-FE9ㄴ. nemo ADEB가 직사각형이므로 AE^_ =BD^_ ㄴ. .t3 |AE9|=|BD9|ㄷ. FB9 와 EC9 는 크기는 같지만 방향이 다르므로 같은 벡터가 아니다.이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ② 0789 주어진 전개도로 만든 정육면체는 오른쪽 그림과 같다.따라서 벡터 AB9와 같은 벡터는 ED9이다. ④ 0790 2(a7-2b7+2c7)-3(a7-b7+c7) =2a7-4b7+4c7-3a7+3b7-3c7 =-a7-b7+c7 =-AB9-AD9+AE9 =CD^> +DA^> +AE^> =CA9+AE9=CE9 ④ 0791 c7 =OC9=OB9+BC9 c=OB9+AD9=OB9+(OD9-OA9) c=-a7+b7+d7 -a7+b7+d7 0792 AC9+DB9-EC9-HB9 =(AC9-EC9)+(DB9-HB9) =(AC9+CE9)+(DB9+BH9) =AE9+DH9=2 CG9 .t3 m=2 ② 0793 오른쪽 그림과 같이 합동인 두 정육면체를 나란히 붙이면 AE9+DH9-HG9 =AE9+EI^> +GH9 =AI9+BA9=BI^> 이때 BI^_ =21^2 +2^2 x=15이므로 |AE^> +DH^> -HG9|=|BI^> |=15 ⑤ 0794 직사각형의 두 대각선은 서로를 이등분하므로 점 P는 EG^_ 의 중점이다. .t3 DP^> =DE^> +DG^> 2이때 DE^> =AE^> -AD^> =c7-b7, DG^> =DC^> +CG^> =AB^> +AE^> =a7+c7이므로 DP^> =(c7-b7)+(a7+c7)2 DP=1/2 a7-1/2 b7+c7 1/2 a7-1/2 b7+c7(cid:39)(cid:35)(cid:38)(cid:36)(cid:34)(cid:37)(cid:34)(cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:36)(cid:40)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:41)(cid:45)(cid:19)(cid:37)0795 점 M은 CD^_ 의 중점이므로 AM9=b7+c72 .t3 BM9=AM9-AB9=b7+c72-a7=-a7+1/2 b7+1/2 c7따라서 l=-1, m=1/2 , n=1/2 이므로 l+m+n=0 ③0796 점 G는 △ ABC의 무게중심이므로 OG9=a7+b7+c73 .t3 AG9=OG9-OA9=a7+b7+c73-a7 .t3 AG9=-2/3 a7+1/3 b7+1/3 c7 -2/3 a7+1/3 b7+1/3 c70797 점 P는 EG^_ 를 1 : 2로 내분하는 점이므로 CP^> =CG^> +2CE^> 1+2=1/3 CG^> +2/3 CE^> 이때 CG^> =AE^> =c7, CE^> =AE^> -AC^> =AE^> -(AB^> +AD^> )=c7-a7-b7이므로 CP^> =1/3 c7+2/3 (c7-a7-b7)=-2/3 a7-2/3 b7+c7 ⇨ ❶따라서 l=-2/3 , m=-2/3 , n=1이므로 lmn=4/9 ⇨ ❷ 4/9 CP^> =CG^> +GP9=AE^> +2/3 GE9=AE^> -2/3 AC^> =c7-2/3 (a7+b7)=-2/3 a7-2/3b7+c70798 2(a7-b7)+3(a7+b7-c7) =2a7-2b7+3a7+3b7-3c7 =5a7+b7-3c7 =5(2, 1, 0)+(-3, 3, -4)-3(3, 0, -2) =(-2, 8, 2)따라서 구하는 크기는 2(-2)^2 +8x^2 +2^2 x=612 ③0799 4(a7-2b7)-(2a7-3c7) =4a7-8b7-2a7+3c7 =2a7-8b7+3c7 =2(-1, 0, 3)-8(2, -4, 1)+3(3, -7, -2) =(-9, 11, -8)따라서 구하는 합은 -9+11+(-8)=-6 ④채점 기준비율❶ CP^> 를 a7, b7, c7로 나타낼 수 있다.70%❷ lmn의 값을 구할 수 있다.30%라이트쎈기벡(해7강)4.indd 7315. 2. 26. 오전 11:16 74 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0806 3AB^>=3(-1, 4, -3)=(-3, 12, -9)CD^>=(x-2, y+3, z)3AB^>=CD^>에서 x-2=-3, y+3=12, z=-9 .t3 x=-1, y=9, z=-9 .t3 x+y-z=17 ⑤ 0807 AB^>=(4, 2, -4)이므로 |AB^>|=24^2+2^2+(x-4)^2x=6따라서 구하는 단위벡터는 -AB^>|AB^>|=-1/6(4, 2, -4) -=(-2/3, -1/3, 2/3) (-2/3, -1/3, 2/3) 0808 AB^_를 1 : 2로 내분하는 점 P의 좌표는 P (1\5+2\(-1)1+2, 1\(-3)+2\31+2, 1\1+2\41+2) .t3 P(1, 1, 3) ⇨ ❶BC^_를 2 : 1로 외분하는 점 Q의 좌표는 Q (2\2-1\52-1, 2\0-1\(-3)2-1, 2\(-3)-1\12-1) .t3 Q(-1, 3, -7) ⇨ ❷따라서 PQ^>=(-2, 2, -10)이므로 |PQ^>|=2(-2)^2+2^2+(-x10)^2x=613 ⇨ ❸ 613 0809 OD^>=(a, b, c)라 하면 nemoABCD가 평행사변형이므로 AB^>=DC^>이때 AB^>=OB^>-OA^>=(-4, -1, -1), DC^>=OC^>-OD^>=(-2-a, -b, -4-c)이므로 -2-a=-4, -b=-1, -4-c=-1 .t3 a=2, b=1, c=-3따라서 OD^>=(2, 1, -3)이므로 구하는 합은 2+1+(-3)=0 ③채점 기준비율❶ 점 P의 좌표를 구할 수 있다.30%❷ 점 Q의 좌표를 구할 수 있다.30%❸ PQ9의 크기를 구할 수 있다.40%선분의 내분점과 외분점좌표공간에서 두 점 A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)에 대하여 AB^_를 m : n (m>0, n>0)으로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라 하면 P(mx_2+nx_1m+n, my_2+ny_1m+n, mz_2+nz_1m+n), Q(mx_2-nx_1m-n, my_2-ny_1m-n, mz_2-nz_1m-n) (단, mLn)0800 3(x7+a7)=2(b7-x7)-a7에서 3x7+3a7=2b7-2x7-a7 5x7=-4a7+2b7 .t3 x7 =-4/5a7+2/5b7 ⇨ ❶ .t3 x=-4/5(-4, 2, 1)+2/5(-3, -1, 2) .t3 x=(2, -2, 0) ⇨ ❷ .t3 |x7|=22^2+(-2)x^2+0^2x=212 ⇨ ❸ 2120801 a7+tb7 =(-1, 3, 5)+t(2, 1, 1)=(2t-1, t+3, t+5)이므로 |a7+tb7| =2(2t-1)^2+(t+3)^2+(tx+5)^2x |a7+tb7|=26t^2+12tx+35x |a7+tb7|=26(t+1)^2x+29x따라서 |a7+tb7|는 t=-1일 때 최솟값 129q 를 가지므로 �=-1, �=129q .t3 �^2+�^2=(-1)^2+(129q)^2=30 300802 c7=ma7+nb7이므로 (-8, 5, 3) =m(-3, 2, 4)+n(2, -1, 5) =(-3m+2n, 2m-n, 4m+5n) .t3 -3m+2n=-8, 2m-n=5, 4m+5n=3위의 세 식을 연립하여 풀면 m=2, n=-1 .t3 mn=-2 -20803 a7=b7이므로 x+y+z=4, x-y-z=0, 2x+z=7위의 세 식을 연립하여 풀면 x=2, y=-1, z=3 .t3 x^2+y^2+z^2=2^2+(-1)^2+3^2=14 ③0804 2a7-b7=a7+2b7+c7에서 a7=3b7+c7이므로 (2, 5, 4) =3(-1, x, 2)+(y, -4, z) =(-3+y, 3x-4, 6+z) .t3 2=-3+y, 5=3x-4, 4=6+z따라서 x=3, y=5, z=-2이므로 x+y+z=6 60805 OP^>=(1, 1, -1)이므로 OA^>=(1, 1, 0), OB^>=(0, 1, -1), OC^>=(1, 0, -1)OP^>=lOA^>+m OB^>+n OC^>에서 (1, 1, -1) =l(1, 1, 0)+m(0, 1, -1)+n(1, 0, -1) =(l+n, l+m, -m-n) .t3 l+n=1, l+m=1, -m-n=-1위의 세 식을 연립하여 풀면 l=1/2, m=1/2, n=1/2 .t3 lmn=1/8 1/8채점 기준비율❶ ~x7 를 a7, b7 로 나타낼 수 있다.40%❷ x7 를 성분으로 나타낼 수 있다.30%❸ x7 의 크기를 구할 수 있다.30%라이트쎈기벡(해7강)4.indd 7415. 2. 26. 오전 11:16 07``공간벡터 • 75본책공간벡터07116~118쪽0810 a7-c7=(2-x, -2, 8-2y), b7+c7=(x+1, -4, 2y+4)두 벡터 a7-c7, b7+c7가 서로 평행하므로 a7-c7=k(b7+c7) (kL0)라 하면 (2-x, -2, 8-2y)=k(x+1, -4, 2y+4) .t3 2-x=k(x+1), -2=-4k, 8-2y=k(2y+4)따라서 k=1/2 , x=1, y=2이므로 x+y=3 ③두 벡터 a7-c7=(2-x, -2, 8-2y), b7+c7=(x+1, -4, 2y+4)가 서로 평행하므로 두 벡터의 각 성분의 비가 일정하다.즉 2-xx+1=-2-4=8-2y2y+4이므로 -8+4x=-2x-2, -4y-8=-32+8y .t3 x=1, y=2 0811 두 벡터 a7, b7가 서로 평행하므로 a7=kb7 (kL0)라 하면 (4, 2x-4, 2)=k(-6, x-6, 2y-5) .t3 4=-6k, 2x-4=k(x-6), 2=k(2y-5)따라서 k=-2/3 , x=3, y=1이므로 xy=3 ④ 0812 AB^> =(-3, -1, 2), CD^> =(x-5, y-2, 1)AB^> tCD^> 이므로 CD^> =kAB^> (kL0)라 하면 (x-5, y-2, 1)=k(-3, -1, 2) .t3 x-5=-3k, y-2=-k, 1=2k따라서 k=1/2 , x=7/2 , y=3/2 이므로 x-y=2 20813 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으므로 AC^> =k AB^> (kL0)라 하면 AC^> =(4x-3, -3, 3y+6), AB^> =(-3, 1, 4)이므로 (4x-3, -3, 3y+6)=k(-3, 1, 4) .t3 4x-3=-3k, -3=k, 3y+6=4k따라서 k=-3, x=3, y=-6이므로 x^2 +y^2 =3^2 +(-6)^2 =45 450814 점 P의 좌표를 (x, y, z)라 하면 AP^> =(x, y-1, z+1), BP^> =(x-3, y+2, z-5)|AP^> |=2|BP^> |에서 2x^2 +(y-1)^2 +(zx+1)^2 x=22(x-3)^2 +(y+2)^2 +(zx-5)^2 x x^2 +(y-1)^2 +(z+1)^2 =4{(x-3)^2 +(y+2)^2 +(z-5)^2 } 3x^2 +3y^2 +3z^2 -24x+18y-42z+150=0 x^2 +y^2 +z^2 -8x+6y-14z+50=0 .t3 (x-4)^2 +(y+3)^2 +(z-7)^2 =24따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 (4, -3, 7)이고 반지름의 길이가 216인 구이므로 구하는 겉넓이는 4p\(216)^2 =96p ⑤0815 점 P의 좌표를 (x, y, z)라 하면 PA^> +PB^> +PC^> = (2-x, 3-y, -2-z)+(-2-x, -1-y, -z) +(-x, 4-y, -1-z) =(-3x, 6-3y, -3-3z)|PA^> +PB^> +PC^> |=6에서 2(-3x)^2 +(6-3y)^2 +(-3x-3z)^2 x=6 (-3x)^2 +(6-3y)^2 +(-3-3z)^2 =36 ∴ x^2 +(y-2)^2 +(z+1)^2 =4따라서 점 P의 자취는 중심의 좌표가 (0, 2, -1)이고 반지름의 길이가 2인 구이므로 a=0, b=2, c=-1, r=2 ∴ a+b+c+r=3 ①0816 OP^> =(1-t)OA^> +tOB^> (0iti1)를 만족시키는 점 P가 나타내는 도형은 선분 AB이므로 구하는 길이는 AB^_ =2(3-2)^2 +(2+1)^2 +(1x-4)^2 x=119q 119q0817 EH^> =AD^> 이므로 두 벡터 AG^> , AD^> 가 이루는 각의 크기를 theta 라 하면 직각삼각형 AGD에서 cos t=AD^_ AG4=113 .t3 AG^> .C1 EH^> =AG^> .C1 AD^> =|AG^> ||AD^> |cos t .t3 AG^> .C1 EH^> =13\1\113=1 ②0818 DE^> =CF^> 이므로 두 벡터 CE^> , CF^> 가 이루는 각의 크기를 theta 라 하면 직각삼각형 CEF에서 cos theta =CF^_ CE^_ .t3 CE^> .C1 DE^> =CE^> .C1 CF^> =|CE^> ||CF^> | cos theta .t3 CE^> .C1 DE^> =CE^_ \CF^_ \CF^_ CE^_ =CF^_ ^2 .t3 CE^> .C1 DE^> =2^2 +1^2 =5 50819 정사면체의 한 모서리의 길이를 x라 하면 a=AB^> .C1 AD^> =|AB^> ||AD^> | cos 60°=1/2 x^2 오른쪽 그림과 같이 점 A를 시점으로 하고 CB9와 같은 벡터를 AB4'9이라 하면 두 벡터 AC^> , AB4'9이 이루는 각의 크기는 120°이므로 b=AC^> .C1 CB^> =AC^> .C1 AB4'9 b=|AC^> ||AB4'9| cos 120°=-1/2 x^2 오른쪽 그림과 같이 AC^_ 의 중점을 M이라 하면 AC^_ ⊥ BM^_ , AC^_ ⊥ DM^_ 이므로 AC^_ ⊥ (평면 BMD)따라서 AC^_ ⊥ BD^_ 이므로 두 벡터 CA^> , BD^> 가 이루는 각의 크기는 90°이다. .t3 c=CA^> .C1 BD^> =|CA^> ||BD^> | cos 90°=0이때 x>0이므로 b .C1 OA^>=(a, b, c) .C1 (8, 0, 0)=8a한편 점 P(a, b, c)는 중심의 좌표가 (2, -1, 3)이고 반지름의 길이가 3인 구 위의 점이므로 2-3iai2+3, 즉 -1iai5 .t3 -8i8ai40따라서 -8iOP^> .C1 OA^>i40이므로 M=40, m=-8 .t3 M+m=32 320827 2a7+b7=2(1, -1, 0)+(1, 0, -1)=(3, -2, -1),3a7-2b7=3(1, -1, 0)-2(1, 0, -1)=(1, -3, 2)이므로 cos t=3\1+(-2)\(-3)+(-1)\223^2+(-2)^2+(x-1)^2x 21^2+(-3)x^2+2^2x cos t=7114 q114q=1/2 .t3 t=pai/3 (.T3 0itip) pai/30828 cos 2/3pai=2\(-3)+1\2+x\(-1)22^2+1^2x+x^2x 2(-3)^2+2^2+(x-1)^2x -1/2=-4-x25+x^2x114 q, 25+x^2x 114q =8+2x 70+14x^2=64+32x+4x^2 5x^2-16x+3=0, (5x-1)(x-3)=0 .t3 x=3 (.T3 x는 자연수) ②0829 AB^>=(2, -2, 1), AC^>=(-1, 2, 2)이므로 ⇨ ❶ cos t=AB^> .C1 AC^>|AB^>||AC^>|=2\(-1)+(-2)\2+1\222^2+(-2)^2x+1^2x 2(-1)^2+2^2x+2^2x cos t=-43\3=-4/9 ⇨ ❷ .t3 sin t=21-cosx^2 tx=41-(-4/9v)^^2v .t3 sin t=165q9 (.T3 0itip) ⇨ ❸ 165q90830 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 H가 원점, 모서리 HE, HG, HD가 각각 x축, y축, z축의 양의 방향과 일치하도록 직육면체를 좌표공간에 놓으면 H(0, 0, 0), E(1, 0, 0), F(1, 2, 0), C(0, 2, 1)이므로 EC^>=(-1, 2, 1), HF9=(1, 2, 0)채점 기준비율❶ AB^>, AC^>를 성분으로 나타낼 수 있다.20%❷ cos t의 값을 구할 수 있다.50%❸ sin t의 값을 구할 수 있다.30%(cid:34)(cid:38)(cid:18)(cid:18)(cid:39)(cid:36)(cid:35)(cid:37)(cid:40)(cid:19)(cid:48)(cid:9)(cid:41)(cid:10)(cid:91)(cid:90)(cid:89)0820 △OAB는 정삼각형이므로 gakAOB=60°정사면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면 OA^> .C1 OB^>=|OA^>||OB^>| cos 60°=a\a\1/2=1/2a^2즉 1/2a^2=16이므로 a^2=32 .t3 a=412 (.T3 a>0) ⑤0821 BC^>=FG9이므로 두 벡터 FG9, FD9가 이루는 각의 크기를 theta라 하면 직각삼각형 DFG에서 cos theta=FG4FD4 .t3 BC^> .C1 FD9=FG9 .C1 FD9=|FG9||FD9| cos t .t3 BC^> .C1 FD9=FG4\FD4\FG4FD4 =FG4 ^2즉 FG4 ^2=9이므로 FG4=3따라서 주어진 정육면체의 한 모서리의 길이가 3이므로 구하는 부피는 3^3=27 270822 a7 .C1 b7=-4에서 (3, x+1, -2) .C1 (x, 2-x, 5)=-4 3x+(x+1)(2-x)-10=-4 x^2-4x+4=0, (x-2)^2=0 .t3 x=2 ④0823 a7+2b7=(3, -1, 4)+2(-1, 2, 5)=(1, 3, 14)3a7-2b7=3(3, -1, 4)-2(-1, 2, 5)=(11, -7, 2) .t3 (a7+2b7) .C1 (3a7-2b7)=(1, 3, 14) .C1 (11, -7, 2) .t3 (a7+2b7) .C1 (3a7-2b7)=11-21+28=18 ⑤|a7|^2=3^2+(-1)^2+4^2=26|b7|^2=(-1)^2+2^2+5^2=30 a7 .C1 b7=(3, -1, 4) .C1 (-1, 2, 5)=-3-2+20=15 .t3 (a7+2b7) .C1 (3a7-2b7) =3|a7|^2+4a7 .C1 b7-4|b7|^2 =3\26+4\15-4\30 =180824 |a7|=512에서 |a7|^2=50이므로 (3k-1)^2+3^2+(4-k)^2=50 5k^2-7k-12=0, (k+1)(5k-12)=0 .t3 k=-1 (.T3 k<0) ⇨ ❶따라서 a7=(-4, 3, 5), b7=(-2, -3, 3)이므로 a7 .C1 b7 =(-4, 3, 5) .C1 (-2, -3, 3) =8-9+15=14 ⇨ ❷ 140825 a7tc7이므로 c7=ka7 (kL0)라 하면 b7 .C1 c7=10에서 (1, 1, -1) .C1 (3k, -2k, 6k)=10 -5k=10 .t3 k=-2따라서 c7=(-6, 4, -12)이므로 |c7|=2(-6)^2+4^2+(-x12)^2x=14 ③채점 기준비율❶ k의 값을 구할 수 있다.50%❷ a7 .C1 b77 를 구할 수 있다.50%라이트쎈기벡(해7강)4.indd 7615. 2. 26. 오전 11:16 07``공간벡터 • 77본책공간벡터07118~121쪽 .t3 cos theta =EC^> .C1 HF9|EC^> ||HF9| .t3 cos theta =-1\1+2\2+1\02(-1)^2 +2x^2 +1^2 x 21^2 +2^2 x+0^2 x .t3 cos theta =316 15=130q10 130q100831 BP^> =OP^> -OB^> =(x-1, y+1, z-2)두 벡터 BP^> , OA^> 가 서로 평행하므로 BP^> =kOA^> (kL0)라 하면 (x-1, y+1, z-2)=k(3, 1, -2) x-1=3k, y+1=k, z-2=-2k .t3 x=3k+1, y=k-1, z=-2k+2 cc ㉠또 두 벡터 OP^> , OB^> 가 서로 수직이므로 OP^> .C1 OB^> =0 (x, y, z) .C1 (1, -1, 2)=0 .t3 x-y+2z=0 cc ㉡㉠을 ㉡에 대입하면 3k+1-(k-1)+2(-2k+2)=0 -2k+6=0 .t3 k=3k=3을 ㉠에 대입하면 x=10, y=2, z=-4 .t3 xyz=-80 ①0832 a7-kb7 =(1, 3, -1)-k(2, 1, 2) =(1-2k, 3-k, -1-2k)2a7+b7=2(1, 3, -1)+(2, 1, 2)=(4, 7, 0)두 벡터 a7-kb7, 2a7+b7가 서로 수직이므로 (a7-kb7) .C1 (2a7+b7)=0 (1-2k, 3-k, -1-2k) .C1 (4, 7, 0)=0 4(1-2k)+7(3-k)=0, 25-15k=0 .t3 k=5/3 5/3 0833 두 벡터 a7, b7가 서로 수직이므로 a7 .C1 b7=0 (2, k+1, 3) .C1 (2-k, -1, 2k)=0 2(2-k)-(k+1)+6k=0, 3+3k=0 .t3 k=-1따라서 a7=(2, 0, 3), b7=(3, -1, -2)이므로 2a7+b7=2(2, 0, 3)+(3, -1, -2)=(7, -1, 4) .t3 |2a7+b7|=27^2 +(-1)x^2 +4^2 x=166q ④0834 BC^> =AC^> -AB^> =(x-2, 1, -2)AB^> jikgak BC^> 이므로 AB^> .C1 BC^> =0 (2, 0, -1) .C1 (x-2, 1, -2)=0 2(x-2)+2=0, 2x-2=0 .t3 x=1 10835 두 벡터 a7, p7가 서로 수직이므로 a7 .C1 p7=0 (1, 3, -4) .C1 (x, y, z)=0 .t3 x+3y-4z=0 cc ㉠두 벡터 b7, p7가 서로 서로 수직이므로 b7 .C1 p7=0 (2, -1, -1) .C1 (x, y, z)=0 .t3 2x-y-z=0 cc ㉡㉠\2-㉡을 하면 7y-7z=0 .t3 y=zy=z를 ㉡에 대입하면 2x-z-z=0 .t3 x=z .t3 p7=(z, z, z)이때 |p7|=313이므로 2z^2 +zx^2 +z^2 x=313, 3z^2 =27 z^2 =9 .t3 z=z3그런데 xyz>0에서 z^3 >0이므로 z>0 .t3 z=3따라서 x=y=z=3이므로 x+y+z=9 ② 0836 AM^> 의 크기는 AM^_ 의 길이와 같음을 이용한다.AM^_ =24^2 +4^2 x+2^2 x=6이므로 |AM^> |=6 ⑤ 0837 주어진 벡터를 성분으로 나타낸다.a7+3b7-2c7 =(2, 0, -1)+3(-1, 2, 2)-2(2, 1, -3) =(-5, 4, 11) .t3 |a7+3b7-2c7|=2(-5)^2 +4^2 x+11^2 x=912 912 0838 두 벡터 a7=(a_1 , a_2 , a_3 ), b7=(b_1 , b_2 , b_3 )에 대하여 a7=b7이면 a_1 =b_1 , a_2 =b_2 , a_3 =b_3 임을 이용한다.c7=2a7+3b7이므로 (-1, z, 9) =2(2x, 1, -3)+3(1, -4, y) =(4x+3, -10, -6+3y) .t3 -1=4x+3, z=-10, 9=-6+3y따라서 x=-1, y=5, z=-10이므로 xyz=50 ② 0839 두 점 A(a_1 , a_2 , a_3 ), B(b_1 , b_2 , b_3 )에 대하여AB^> =(b_1 -a_1 , b_2 -a_2 , b_3 -a_3 )임을 이용한다.점 P의 좌표를 (x, y, z)라 하면 AP^> =(x+1, y-4, z-5), PB^> =(3-x, -y, -2-z) ⇨ ❶AP^> =PB^> 에서 x+1=3-x, y-4=-y, z-5=-2-z ⇨ ❷ .t3 x=1, y=2, z=3/2 .t3 P (1, 2, 3/2 ) ⇨ ❸ P(1, 2, 3/2 ) 0840 △ AFC가 정삼각형임을 이용하여 AC^> , AF^> 가 이루는 각의 크기를 구한다.△ AFC는 한 변의 길이가 312인 정삼각형이므로 gak CAF=60°채점 기준비율❶ AP^> , PB^> 를 성분으로 나타낼 수 있다.40%❷ 벡터가 서로 같을 조건을 이용할 수 있다.30%❸ 점 P의 좌표를 구할 수 있다.30%라이트쎈기벡(해7강)4.indd 7715. 2. 26. 오전 11:16 78 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 .t3 l+m=-1, l+n=1, m+n=1위의 세 식을 변끼리 더하면 2(l+m+n)=1 .t3 l+m+n=1/2 1/2 0845 두 점 A(a_1, a_2, a_3), B(b_1, b_2, b_3)에 대하여 AB^>=(b_1-a_1, b_2-a_2, b_3-a_3)임을 이용한다.~BD^>+CD^> =(x+1, y-4, z)+(x-3, y-5, z+7)~BD^>+CD^> =(2x-2, 2y-9, 2z+7)AD^>=BD^>+CD^>에서 (x-1, y-3, z+2)=(2x-2, 2y-9, 2z+7) .t3 x-1=2x-2, y-3=2y-9, z+2=2z+7따라서 x=1, y=6, z=-5이므로 x+y+z=2 ① 0846 두 벡터 a7, b7가 서로 평행하면 a7=kb7 (kL0)임을 이용한다.na7+b7 =n(-1, 1, 2)+(6, 0, -2) =(-n+6, n, 2n-2)두 벡터 na7+b7, c7가 서로 평행하므로 na7+b7=kc7 (kL0)라 하면 (-n+6, n, 2n-2)=k(-8, -4, m) .t3 -n+6=-8k, n=-4k, 2n-2=km위의 세 식을 연립하여 풀면 k=-1/2, m=-4, n=2 .t3 mn=-8 -8 0847 두 벡터 a7, b7가 이루는 각의 크기를 t (0itip)라 할 때, a7 .C1 b7=|a7||b7| cos t임을 이용한다.ㄱ. CG9=AE9이고 gakCAE=90°이므로 AC9 .C1 CG^>=AC9 .C1 AE^>=|AC^>||AE^>| cos 90°=0ㄴ. AB^>=DC^>, CF^>=DE^>이고 gakCDE=90°이므로 AB^> .C1 CF^>=DC^> .C1 DE^>=|DC^>||DE^>| cos 90°=0ㄷ. EF^>=DC^>이고 gakCDB=45°이므로 DB^> .C1 EF^>=DB^> .C1 DC^>=|DB^>||DC^>| cos 45° DB^> .C1 EF^>=12\1\122=1ㄹ. DG^>=AF^>이고 △AFH는 한 변의 길이가 12인 정삼각형이므로 gakHAF=60° .t3 AH^> .C1 DG^>=AH^> .C1 AF^>=|AH^>||AF^>| cos 60° .t3 AH^> .C1 DG^>=12\12\1/2=1이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다. ② 0848 AB^> .C1 AC^>=|AB^>||AC^>| cos (gakBAC)임을 이용하여 정팔면체의 한 모서리의 길이를 구한다.△ABC는 정삼각형이므로 gakBAC=60°정팔면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면 AB^> .C1 AC^>=|AB^>||AC^>| cos 60°=a\a\1/2=1/2a^2즉 1/2a^2=9이므로 a^2=18 .t3 AC^> .C1 AF^> =|AC^>||AF^>| cos 60° .t3 AC^> .C1 AF^> =312\312\1/2=9 90841 두 벡터 a7=(a_1, a_2, a_3), b7=(b_1, b_2, b_3)에 대하여 a7 .C1 b7=a_1b_1+a_2b_2+a_3 b_3임을 이용한다.a7-b7=(-1, 3, 6)-(2, 4, 2)=(-3, -1, 4)a7+c7=(-1, 3, 6)+(5, -1, 0)=(4, 2, 6) .t3 (a7-b7) .C1 (a7+c7) =(-3, -1, 4) .C1 (4, 2, 6) =-12-2+24=10 ①0842 AB^_의 중점이 M이면 OM^>=OA^>+OB^>2임을 이용한다.AB^_의 중점이 M, OC^_의 중점이 N이므로 OM^>=OA^>+OB^>2=1/2a7+1/2b7 ON^>=1/2OC^>=1/2c7 .t3 MN^>=ON^>-OM^> .t3 MN^>=1/2c7-(1/2a7+1/2b7) .t3 MN^>=-1/2a7-1/2b7+1/2c7따라서 l=-1/2, m=-1/2, n=1/2이므로 l+m+n=-1/2 ②0843 주어진 두 식을 연립하여 a7, b7 를 성분으로 나타낸다.a7+b7=(-2, -3, 4) cc ㉠3a7-b7=(2, -5, 0) cc ㉡㉠+㉡ 을 하면 4a7=(0, -8, 4) .t3 a7=(0, -2, 1)이것을 ㉠에 대입하면 b7=(-2, -3, 4)-(0, -2, 1)=(-2, -1, 3) ⇨ ❶ .t3 a7-2b7 =(0, -2, 1)-2(-2, -1, 3) =(4, 0, -5) ⇨ ❷ .t3 |a7-2b7|=24^2+0^2+(x-5)^2x=141q ⇨ ❸ 141q0844 정육면체를 좌표공간에 놓고 각 벡터를 성분으로 나타낸다.오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 H가 원점, 모서리 HE, HG, HD가 각각 x축, y축, z축의 양의 방향과 일치하도록 정육면체를 좌표공간에 놓으면 A(1, 0, 1), C(0, 1, 1), E(1, 0, 0), F(1, 1, 0)이때 EC9=(-1, 1, 1)이므로 (-1, 1, 1) =l(1, 1, 0)+m(1, 0, 1)+n(0, 1, 1) =(l+m, l+n, m+n)채점 기준비율❶ a7, b7 를 성분으로 나타낼 수 있다.50%❷ a7-2b7 를 성분으로 나타낼 수 있다.30%❸ |a7-2b7|를 구할 수 있다.20%(cid:34)(cid:38)(cid:36)(cid:35)(cid:37)(cid:40)(cid:91)(cid:90)(cid:18)(cid:18)(cid:18)(cid:89)(cid:48)(cid:9)(cid:41)(cid:10)(cid:39)라이트쎈기벡(해7강)4.indd 7815. 2. 26. 오전 11:16 07``공간벡터 • 79본책공간벡터07121~123쪽따라서 구하는 겉넓이는 8\134a^2 =213\18=3613 36130849 x축 위의 점은 y좌표, z좌표가 모두 0임을 이용한다.점 P의 좌표를 (x, 0, 0)이라 하면 PA9=(-1-x, 2, 1), PB^> =(3-x, 2, -4)이므로 PA9 .C1 PB^> =(-1-x, 2, 1).C1 (3-x, 2, -4) =(-1-x)(3-x)+4-4 =x^2 -2x-3=(x-1)^2 -4따라서 PA9 .C1 PB^> 는 x=1일 때 최솟값 -4를 갖는다. ②0850 두 벡터 a7, b7가 이루는 각의 크기를 theta (0itheta ipai )라 할 때, cos theta =a7 .C1 b7|a7||b7|임을 이용한다.a7+b7=(x, 2, 0), a7+c7=(1, 1, 16)이므로 cos pai/3 =x\1+2\1+0\162x^2 +2^2 x+0^2 x 31^2 +1^2 +(c16)^2 c 1/2 =x+22x^2 +4x\212, 22x^2 +x8x=x+2 2x^2 +8=x^2 +4x+4, x^2 -4x+4=0 (x-2)^2 =0 .t3 x=2 ⑤0851 a7tb7이면 a7=kb7 (kL0), a7jikgak c7이면 a7 .C1 c7=0임을 이용한다.OA^> tOC^> 이므로 OC^> =kOA^> (kL0)라 하면 OC^> =(-3k, k, 2k)BC^> =OC^> -OB^> =(-3k-8, k-2, 2k+3)이고 BC^> jikgak OC^> 이므로 BC^> .C1 OC^> =0 (-3k-8, k-2, 2k+3) .C1 (-3k, k, 2k)=0 3k(3k+8)+k(k-2)+2k(2k+3)=0 14k^2 +28k=0, 14k(k+2)=0 .t3 k=-2 (.T3 kL0)따라서 OC^> =(6, -2, -4)이므로 |OC^> |=26^2 +(-2)^2 +(x-4)^2 x=2114q 2114q0852 △ ABC의 무게중심이 G일 때, OG^> =OA^> +OB^> +OC^> 3임을 이용한다.△ BCD의 무게중심을 G라 하면 AG^> =AB^> +AC^> +AD^> 3 .t3 AB^> +AC^> +AD^> =3AG^> 이때 BG^_ =2/3 \132\313=3이므로 직각삼각형 ABG에서 AG^_ =3(313 )^2 c-3^2 c=312 .t3 |AB^> +AC^> +AD^> |=3|AG^> |=3\312=912 9120853 점 P의 좌표를 (x, y, z)로 놓고 주어진 조건을 만족시키는 점 P의 자취의 방정식을 구한다.(cid:34)(cid:20)(cid:20)(cid:35)(cid:37)(cid:36)(cid:40)점 P의 좌표를 (x, y, z)라 하면 AP^> =(x-1, y-4, z+2), BP^> =(x+3, y-2, z-2)이므로 AP^> .C1 BP^> =(x-1, y-4, z+2) .C1 (x+3, y-2, z-2) AP^> .C1 BP^> =(x-1)(x+3)+(y-4)(y-2)+(z+2)(z-2) AP^> .C1 BP^> =x^2 +2x-3+y^2 -6y+8+z^2 -4 AP^> .C1 BP^> =(x+1)^2 +(y-3)^2 +z^2 -9즉 (x+1)^2 +(y-3)^2 +z^2 -9i0이므로 (x+1)^2 +(y-3)^2 +z^2 i9따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 (-1, 3, 0)이고 반지름의 길이가 3인 구의 경계와 그 내부이므로 구하는 부피는 4/3 p\3^3 =36p ④0854 x7=l a7+mb7+nc7를 x7의 내적에 대한 식에 대입하여 l, m, n에 대한 연립방정식을 세운다.△ OAB, △ OBC, △ OCA는 모두 한 변의 길이가 2인 정삼각형이므로 |a7|^2 =|b7|^2 =|c7|^2 =4, a7 .C1 b7=|a7||b7| cos 60°=2\2\1/2 =2, b7 .C1 c7=|b7||c7| cos 60°=2\2\1/2 =2, c7 .C1 a7=|c7||a7| cos 60°=2\2\1/2 =2x7=la7+mb7+nc7이므로 x7 .C1 a7=7에서 (la7+mb7+nc7) .C1 a7=7, l|a7|^2 +ma7 .C1 b7+na7 .C1 c7=7 .t3 4l+2m+2n=7 cc ㉠x7 .C1 b7=6에서 (la7+mb7+nc7) .C1 b7=6, la7 .C1 b7+m|b7|^2 +nb7 .C1 c7=6 .t3 2l+4m+2n=6 cc ㉡x7 .C1 c7=3에서 (la7+mb7+nc7) .C1 c7=3, la7 .C1 c7+mb7 .C1 c7+n|c7|^2 =3 .t3 2l+2m+4n=3 cc ㉢㉠+㉡+㉢을 하면 8(l+m+n)=16 .t3 l+m+n=2 ⑤0855 정육면체를 좌표공간에 놓고 각 점의 좌표를 구한다.오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 H가 원점, 모서리 HE, HG, HD가 각각 x축, y축, z축의 양의 방향과 일치하도록 정육면체를 좌표공간에 놓으면 C(0, 4, 4), E(4, 0, 0), F(4, 4, 0), M(0, 0, 2) ⇨ ❶이므로 EC^> =(-4, 4, 4), FM9=(-4, -4, 2) ⇨ ❷ .t3 cos t=EC^> .C1 FM9|EC^> ||FM9| .t3 cos t=-4\(-4)+4\(-4)+4\22(-4)^2 +4x^2 +4^2 x 2(-4)^2 +(-4)x^2 +2^2 x .t3 cos t=8413\6=139 ⇨ ❸ 139(cid:34)(cid:39)(cid:36)(cid:35)(cid:37)(cid:40)(cid:38)(cid:46)(cid:89)(cid:21)(cid:21)(cid:48)(cid:9)(cid:41)(cid:10)(cid:91)(cid:90)(cid:21)라이트쎈기벡(해7강)4.indd 7915. 2. 26. 오전 11:16 80 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0856 주어진 조건을 이용하여 x, y, z에 대한 연립방정식을 세운다.|p7|=16이므로 x^2+y^2+z^2=6 cc ㉠두 벡터 a7, p7가 이루는 각의 크기가 pai/3이므로 a7 .C1 p7=|a7||p7| cos pai/3 (1, 1, -2) .C1 (x, y, z)=21^2+1^2+(x-2)^2x\16\1/2 .t3 x+y-2z=3 cc ㉡b7jikgakp7이므로 b7 .C1 p7=0 (2, -1, -4) .C1 (x, y, z)=0 .t3 2x-y-4z=0 cc ㉢㉡\2-㉢을 하면 3y=6 .t3 y=2y=2를 ㉡에 대입하면 x+2-2z=3 .t3 x=2z+1 cc ㉣x=2z+1, y=2를 ㉠에 대입하면 (2z+1)^2+2^2+z^2=6, 5z^2+4z-1=0 (z+1)(5z-1)=0 .t3 z=-1 또는 z=1/5z=-1을 ㉣에 대입하면 x=-1z=1/5을 ㉣에 대입하면 x=7/5이때 x<0이므로 x=-1, y=2, z=-1 .t3 x+y+z=0 ③채점 기준비율❶ 정육면체를 좌표공간에 놓고 네 점 C, E, F, M의 좌표를 구할 수 있다.30%❷ EC^>, FM9 을 성분으로 나타낼 수 있다.30%❸ cos t의 값을 구할 수 있다.40%도형의 방정식08Ⅳ. 공간벡터0857 (2, -5, 4) 0858 (6, 0, 3)0859 주어진 직선의 방정식을 t에 대하여 풀면 t=x+42=y-13=5-z이므로 구하는 방향벡터는 (2, 3, -1) (2, 3, -1)0860 x-12=y-45=z+5-50861 x-3=2-y2=z-840862 직선 x+24=1-y2=z-2의 방향벡터는 (4, -2, 1)이므로 구하는 직선의 방정식은 x-24=6-y2=z+3 x-24=6-y2=z+30863 x+4=y+1, z=1 xy평면에 평행한 직선이다.0864 x=3, y=-50865 주어진 직선의 방정식을 t에 대하여 풀면 t=x/2=y+93=-z즉 방향벡터는 (2, 3, -1)이므로 구하는 직선의 방정식은 x+32=y-23=-z-7 x+32=y-23=-z-70866 주어진 직선의 방정식을 t에 대하여 풀면 t=x+54=8-y4, z=1즉 방향벡터는 (4, -4, 0)이므로 구하는 직선의 방정식은 x+34=y-2-4, z=-7, 즉 x+3=2-y, z=-7 x+3=2-y, z=-70867 x-02-0=y-01-0=z-0-2-0 .t3 x/2=y=z-2, 즉 x=2y=-z x=2y=-z0868 x-34-3=y-63-6=z-1-2-1 .t3 x-3=y-6-3=z-1-3, 즉 x-3=6-y3=1-z3 x-3=6-y3=1-z3라이트쎈기벡(해8강)3.indd 8015. 2. 26. 오전 11:17 08``도형의 방정식 • 81본책도형의 방정식08123~126쪽두 직선이 서로 평행하므로 u7 =kv7 (kL0)라 하면 a=-2k, -2=k, 4=bk .t3 k=-2, a=4, b=-2 a=4, b=-2 0876 a(x+4)=4(y-3)=az에서 x+44=y-3a=z/412(x+1)=-6(y-2)=b(z-3)에서 x+1b=y-2-2b=z-312두 직선의 방향벡터를 각각 u7, v7 라 하면 u7 =(4, a, 4), v7 =(b, -2b, 12)두 직선이 서로 평행하므로 u7 =kv7 (kL0)라 하면 4=bk, a=-2bk, 4=12k .t3 k=1/3 , a=-8, b=12 a=-8, b=12 0877 두 직선의 방향벡터를 각각 u7, v7 라 하면 u7 =(1, k, -2), v7 =(k+3, -2, 1)두 직선이 서로 수직이므로 u7 .C1 v7 =0 k+3-2k-2=0, 1-k=0 .t3 k=1 1 0878 k(x-3)=y-4=2(z+1)에서 x-32=y-42k=z+1k2x-3=k(y+2)=6-2z에서 x-3/2 k=y+22=3-zk두 직선의 방향벡터를 각각 u7, v7 라 하면 u7=(2, 2k, k), v7=(k, 2, -k)두 직선이 서로 수직이므로 u7 .C1 v7=0 2k+4k-k^2 =0, k^2 -6k=0 k(k-6)=0 .t3 k=6 (.T3 kL0) 6 0879 (3, 5, -1) 0880 (1, -2, 4) 0881 3(x-1)-3(y+6)+(z-4)=0 .t3 3x-3y+z-25=0 3x-3y+z-25=0 0882 (x+2)+4(y-5)-2(z-5)=0 .t3 x+4y-2z-8=0 x+4y-2z-8=0 0883 직선 x+8=y-12=z+43의 방향벡터는 (1, 2, 3)이므로 구하는 평면의 방정식은 (x-3)+2(y+2)+3z=0 .t3 x+2y+3z+1=0 x+2y+3z+1=00869 x+5-4+5=y+21+2, z=3 .t3 x+5=y+2/3 , z=3 x+5=y+2/3, z=30870 u_1 8=(2, -1, -2), u_2 8=(1, -1, 0)이때 |u_1 8|=22^2 +(-1)^2 +(x-2)^2 x=3, |u_2 8|=21^2 +(-1)^2 x+0^2 x=12, |u_1 8.C1 u_2 8|=|2\1+(-1)\(-1)+(-2)\0|=3이므로 cos t=|u_1 8.C1 u_2 8||u_1 8||u_2 8|=3312=122 .t3 t=pai/4 (.T3 0itheta ipai/2 ) 풀이 참조0871 두 직선의 방향벡터를 각각 u7, v7 라 하면 u7 =(3, -1, 1), v7 =(-1, 3, 1) .t3 cos t=|3\(-1)+(-1)\3+1\1|23^2 +(-1)^2 x+1^2 x 2(-1)^2 +3^2 +x1^2 x .t3 cos t=5111q 111q=5/11 5/110872 두 직선의 방향벡터를 각각 u7, v7 라 하면 u7 =(1, 3, 5), v7 =(2, -4, -1) .t3 cos t=|1\2+3\(-4)+5\(-1)|21^2 +3x^2 +5^2 x 22^2 +(-4)^2 +(x-1)^2 x .t3 cos t=15135q 121q=115q7 115q70873 두 직선의 방향벡터를 각각 u7, v7 라 하면 u7 =(-1, 4, -1), v7 =(3, 1, 1) .t3 cos t=|-1\3+4\1+(-1)\1|2(-1)^2 +4^2 +(x-1)^2 x 23^2 +1^2 x+1^2 x=0 .t3 t=pai/2 (.T3 0itheta ipai/2 ) pai/2 0874 2(1-x)=3(y+2)=6z에서 1-x3=y+22=z3(x-4)=6(y+1)=-2(z-5)에서 x-42=y+1=z-5-3두 직선의 방향벡터를 각각 u7, v7 라 하면 u7 =(-3, 2, 1), v7 =(2, 1, -3) .t3 cos t=|-3\2+2\1+1\(-3)|2(-3)^2 +2^2 x+1^2 x 22^2 +1^2 +(x-3)^2 x .t3 cos t=7114q 114q=1/2 .t3 t=pai/3 (.T3 0itheta ipai/2 ) pai/3 0875 두 직선의 방향벡터를 각각 u7, v7 라 하면 u7 =(a, -2, 4), v7 =(-2, 1, b)라이트쎈기벡(해8강)3.indd 8115. 2. 26. 오전 11:17 82 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0893 두 평면의 법선벡터를 각각 n_18, n_28 라 하면 n_18 =(1, -4, 5), n_28 =(2, 3, 2) .t3 cos t=|1\2+(-4)\3+5\2|21^2+(-4)x^2+5^2x 22^2+3x^2+2^2x=0 .t3 t=pai/2 (.T3 0ithetaipai/2) pai/2 0894 두 평면의 법선벡터를 각각 n_18, n_28 라 하면 n_18 =(a, -2, 3), n_28 =(2, 4, b)두 평면이 서로 평행하므로 n_18 =kn_28 (kL0)라 하면 a=2k, -2=4k, 3=bk .t3 k=-1/2, a=-1, b=-6 a=-1, b=-6 0895 두 평면의 법선벡터를 각각 n_18, n_28 라 하면 n_18 =(3, a, 1), n_28 =(b, -6, 3)두 평면이 서로 평행하므로 n_18 =kn_28 (kL0)라 하면 3=bk, a=-6k, 1=3k .t3 k=1/3, a=-2, b=9 a=-2, b=9 0896 두 평면의 법선벡터를 각각 n_18, n_28 라 하면 n_18 =(2, -3, 4), n_28 =(5, 6, k)두 평면이 서로 수직이므로 n_18 .C1 n_28 =0 10-18+4k=0, 4k-8=0 .t3 k=2 2 0897 두 평면의 법선벡터를 각각 n_18, n_28 라 하면 n_18 =(6, 3, k), n_28 =(2, -k, -9)두 평면이 서로 수직이므로 n_18 .C1 n_28 =0 12-3k-9k=0, 12-12k=0 .t3 k=1 10898 |1-(-3)+2|21^2+(-1)x^2+1^2x=613=213 2130899 |-3+4-2\5+5|21^2+1^2+(x-2)^2x=416=2163 21630900 |2\6-3\3+6\(-1)+10|22^2+(-3)x^2+6^2x=1 10901 |3|21^2+4^2+(x-8)^2x=3/9=1/3 1/30902 구 위의 한 점을 P(x, y, z)라 하고 두 점 A, P의 위치벡터를 각각 a7, p7라 하면 |AP^>|=AP^_=4이므로 |p7-a7|=4즉 (p7-a7).C1(p7-a7)=4^2이므로 (x-1, y+2, z-4).C1(x-1, y+2, z-4)=4^2 .t3 (x-1)^2+(y+2)^2+(z-4)^2=16 (x-1)^2+(y+2)^2+(z-4)^2=160884 평면 4x-2y+3z-5=0의 법선벡터는 (4, -2, 3)이므로 4(x-1)-2(y+2)+3(z-3)=0 .t3 4x-2y+3z-17=0 4x-2y+3z-17=00885 z=4 0886 x=-10887 y=30888 구하는 평면의 방정식을 ax+by+cz+d=0이라 하고 세 점 A, B, C의 좌표를 각각 대입하면 b+c+d=0, 2a+c+d=0, 3a+b+d=0 .t3 b=2a, c=3a, d=-5a따라서 구하는 평면의 방정식은 ax+2ay+3az-5a=0aL0이므로 x+2y+3z-5=0 x+2y+3z-5=00889 구하는 평면의 방정식을 ax+by+cz+d=0이라 하고 세 점 A, B, C의 좌표를 각각 대입하면 2b+d=0, 4a-9c+d=0, a-4b+6c+d=0 .t3 a=2b, c=2/3b, d=-2b따라서 구하는 평면의 방정식은 2bx+by+2/3bz-2b=0bL0이므로 2x+y+2/3z-2=0 .t3 6x+3y+2z-6=0 6x+3y+2z-6=00890 n_18=(1, 2, 3), n_28=(3, -1, 2)이때 |n_18|=21^2+2x^2+3^2x=114q, |n_28|=23^2+(-1)x^2+2^2x=114q, |n_18 .C1 n_28|=|1\3+2\(-1)+3\2|=7이므로 cos t=|n_18 .C1 n_28||n_18||n_28|=7114q 114q=1/2 .t3 t=p3 (.T3 0ithetaipai/2) 풀이 참조0891 두 평면의 법선벡터를 각각 n_18, n_28라 하면 n_18=(4, 5, -3), n_28 =(2, 3, 6) .t3 cos t=|4\2+5\3+(-3)\6|24^2+5^2+(x-3)^2x 22^2+3x^2+6^2x .t3 cos t=5512\7=1214 12140892 두 평면의 법선벡터를 각각 n_18, n_28 라 하면 n_18 =(4, -3, -1), n_28 =(3, 1, -4) .t3 cos t=|4\3+(-3)\1+(-1)\(-4)|24^2+(-3)^2+(x-1)^2x 23^2+1^2+(x-4)^2x .t3 cos t=13126q 126q=1/2 .t3 t=pai/3 (.T3 0ithetaipai/2) pai/3a=0이면 b=c=d=0라이트쎈기벡(해8강)3.indd 8215. 2. 26. 오전 11:17 08``도형의 방정식 • 83본책도형의 방정식08126~130쪽yz평면 위의 점은 x좌표가 0이므로 x=0을 ㉠에 대입하면 -2=y-1-2=z-33 .t3 y=5, z=-3 .t3 B(0, 5, -3) .t3 AB^_ =2(-4)^2 +(5-3)^2 +(x-3)^2 x=129q ④0909 점 P의 좌표는 P (1\6+2\31+2, 1\2+2\(-4)1+2, 1\(-2)+2\71+2) .t3 P(4, -2, 4)따라서 점 P를 지나고 방향벡터가 u7=(1, -1, 2)인 직선 l의 방정식은 x-4=y+2-1=z-42③ 1-4=1+2-1=-2-42 이므로 점 (1, 1, -2)는 직선 l 위의 점이다. ③0910 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식은 x-210-2=y+4-2+4=z-38-3 .t3 x-28=y+42=z-35zx평면 위의 점은 y좌표가 0이므로 위의 식에 y=0을 대입하면 x-28=4/2=z-35 .t3 x=18, z=13따라서 주어진 직선이 zx평면과 만나는 점의 좌표는 (18, 0, 13)이므로 p=18, q=0, r=13 .t3 p+q-r=5 ③0911 x^2 +y^2 +z^2 +2x-2z-7=0에서 (x+1)^2 +y^2 +(z-1)^2 =9따라서 구의 중심의 좌표는 (-1, 0, 1)이므로 두 점 (1, 2, -3), (-1, 0, 1)을 지나는 직선의 방정식은 x-1-1-1=y-20-2=z+31+3 .t3 x-1=y-2=z+3-2이 직선이 점 (a, b, -1)을 지나므로 a-1=b-2=-1+3-2 .t3 a=0, b=1 .t3 a+b=1 10912 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식은 x-03-0=y+21+2=z-64-6선분의 내분점과 외분점좌표공간에서 두 점 A(x_1 , y_1 , z_1 ), B(x_2 , y_2 , z_2 )에 대하여 선분 AB를 m : n(m>0, n>0)으로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라 하면 P(mx_2 +nx_1 m+n, my_2 +ny_1 m+n, mz_2 +nz_1 m+n), Q(mx_2 -nx_1 m-n, my_2 -ny_1 m-n, mz_2 -nz_1 m-n) (단, mLn)0903 두 점 (-2, 1, 3), (-1, 0, 6) 사이의 거리는 2(-1+2)^2 +(-1)^2 +(6x-3)^2 x=111q이므로 구의 반지름의 길이는 111q이다.따라서 구 위의 한 점을 P(x, y, z)라 하고 두 점 A, P의 위치벡터를 각각 a7, p7 라 하면 |AP^> |=AP^_ =111q이므로 |p7-a7|=111q즉 (p7-a7).C1 (p7-a7)=(111q )^2 이므로 (x+2, y-1, z-3).C1 (x+2, y-1, z-3)=(111q )^2 .t3 (x+2)^2 +(y-1)^2 +(z-3)^2 =11 (x+2)^2 +(y-1)^2 +(z-3)^2 =110904 점 P의 좌표를 (x, y, z)라 하고, 점 P의 위치벡터를 p7 라 하면 OP^> =p7 이므로 |p7|=3즉 p7 .C1 p7=3^2 이므로 (x, y, z) .C1 (x, y, z)=9 .t3 x^2 +y^2 +z^2 =9 x^2 +y^2 +z^2 =90905 점 P의 좌표를 (x, y, z)라 하고, 두 점 A, P의 위치벡터를 각각 a7 , p7 라 하면 AP^> =p7-a7 이므로 |p7-a7|=2즉 (p7-a7) .C1 (p7-a7)=2^2 이므로 (x+1, y-3, z-5) .C1 (x+1, y-3, z-5)=4 .t3 (x+1)^2 +(y-3)^2 +(z-5)^2 =4 (x+1)^2 +(y-3)^2 +(z-5)^2 =40906 직선 x-13=y+34=z+4의 방향벡터는 (3, 4, 1)이므로 점 (1, 6, -5)를 지나고 방향벡터가 (3, 4, 1)인 직선의 방정식은 x-13=y-64=z+5이 직선이 점 (4, a, b)를 지나므로 4-13=a-64=b+5 .t3 a=10, b=-4 .t3 a+b=6 ⑤0907 3(x-5)=-2(y+2)=6(z-3)에서 x-52=y+2-3=z-3이므로 점 (2, 3, -7)을 지나고 방향벡터가 (2, -3, 1)인 직선의 방정식은 x-22=y-3-3=z+7 x-22=y-3-3=z+70908 직선 x+1/4 =2-y/ =z-1/3 의 방향벡터는 (4, -2, 3)이므로 점 (8, 1, 3)을 지나고 방향벡터가 (4, -2, 3)인 직선의 방정식은 x-8/4 =y-1-2=z-33 cc ㉠xy평면 위의 점은 z좌표가 0이므로 z=0을 ㉠에 대입하면 x-8/4 =y-1-2=-1 .t3 x=4, y=3 .t3 A(4, 3, 0)라이트쎈기벡(해8강)3.indd 8315. 2. 26. 오전 11:17 84 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0916 직선 AB의 방정식은 x-34-3=y-02-0=z-05-0, 즉 x-3=y2=z/5이므로 x-3=y2=z/5=t (t는 실수)로 놓으면 x=t+3, y=2t, z=5t cc ㉠직선 CD의 방정식은 x+21+2=y-0m-0=z+31+3, 즉 x+23=ym=z+34이므로 x+23=ym=z+34=s (s는 실수)로 놓으면 x=3s-2, y=ms, z=4s-3 cc ㉡두 직선 AB, CD가 한 점에서 만나려면 ㉠, ㉡에서 t+3=3s-2, 2t=ms, 5t=4s-3을 만족시키는 (t, s)가 하나 존재해야 한다.t+3=3s-2, 5t=4s-3을 연립하여 풀면 t=1, s=2이것을 2t=ms에 대입하면 2m=2 .t3 m=1 ③ 0917 x-24=y-23=z+1-3=t (t는 실수)로 놓으면 x=4 t+2, y=3 t+2, z=-3 t-1이것을 주어진 구의 방정식에 대입하면 (4 t+2)^2+(3 t+2)^2+(-3 t-1)^2=9 34t^2+34t=0, 34t(t+1)=0 .t3 t=0 또는 t=-1따라서 교점의 좌표는 (2, 2, -1), (-2, -1, 2)이므로 AB^_=2(-2-2)^2+(-1-2)^2+(2x+1)^2x=134q ③ 0918 ⑴ x-4/3 =1-y=z=t (t는 실수)로 놓으면 x=3t+4, y=1-t, z=t cc ㉠ ⇨ ❶㉠을 주어진 구의 방정식에 대입하면 (3t+4)^2+(1-t)^2+t^2=k 11t^2+22t+17-k=0 cc ㉡ ⇨ ❶직선과 구가 접하려면 이차방정식 ㉡이 중근을 가져야 하므로 이차방정식 ㉡의 판별식을 D라 하면 D4=11^2-11(17-k)=0 11k-66=0 .t3 k=6 ⇨ ❷⑵ k=6을 ㉡에 대입하면 11t^2+22t+11=0, 11(t+1)^2=0 .t3 t=-1t=-1을 ㉠에 대입하면 x=1, y=2, z=-1따라서 접점의 좌표는 (1, 2, -1)이다. ⇨ ❸ ⑴ 6 ⑵ (1, 2, -1)채점 기준비율❶ 주어진 직선의 방정식을 매개변수 t에 대한 식으로 나타낼 수 있다.20%❷ k의 값을 구할 수 있다.50%❸ 접점의 좌표를 구할 수 있다.30% .t3 x/3=y+23=z-6-2 ⇨ ❶점 C(a, b, 8)이 이 직선 위에 있으므로 a/3=b+23=8-6-2 .t3 a=-3, b=-5 ⇨ ❷ .t3 ab=15 ⇨ ❸ 150913 정육면체의 한 모서리의 길이가 3이므로 C(0, 3, 3), P(3, 2, 0)따라서 두 점 C, P를 지나는 직선의 방정식은 x-03-0=y-32-3=z-30-3 .t3 x=9-3y=3-z ①0914 x-3/4 =y+1=z-2=t (t는 실수)로 놓으면 x=4t+3, y=t-1, z=t+2 cc ㉠x-5/6 =-y-3=z-43=s (s는 실수)로 놓으면 x=6s+5, y=-s-3, z=3s+4 cc ㉡㉠, ㉡에서 4t+3=6s+5, t-1=-s-3, t+2=3s+4 .t3 t=-1, s=-1따라서 두 직선의 교점의 좌표는 (-1, -2, 1)이므로 p=-1, q=-2, r=1 .t3 p+q+r=-2 -20915 직선 l의 방정식은 x-23=y+1-1=z-52이므로 x-23=y+1-1=z-52=t (t는 실수)로 놓으면 x=3 t+2, y=-t-1, z=2 t+5 cc ㉠ ⇨ ❶직선 m의 방정식은 x-13-1=y-41-4=z+32+3, 즉 x-12=y-4-3=z+35이므로 x-12=y-4-3=z+35=s (s는 실수)로 놓으면 x=2s+1, y=-3s+4, z=5s-3 cc ㉡ ⇨ ❷㉠, ㉡에서 3t+2=2s+1, -t-1=-3s+4, 2t+5=5s-3 .t3 t=1, s=2따라서 두 직선의 교점의 좌표는 (5, -2, 7)이다. ⇨ ❸ (5, -2, 7)채점 기준비율❶ 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식을 구할 수 있다.50%❷ a, b의 값을 구할 수 있다.40%❸ ab의 값을 구할 수 있다.10%채점 기준비율❶ 직선 l의 방정식을 매개변수 t에 대한 식으로 나타낼 수 있다.30%❷ 직선 m의 방정식을 매개변수 s에 대한 식으로 나타낼 수 있다.30%❸ 두 직선의 교점의 좌표를 구할 수 있다.40%라이트쎈기벡(해8강)3.indd 8415. 2. 26. 오전 11:17 08``도형의 방정식 • 85본책도형의 방정식08130~132쪽 .t3 cos �=|u77 .C1 u_3 8||u7||u_3 8|=|2\1|21^2 +2^2 x+2^2 x=2/3 .t3 cos �+cos �+cos �=5/3 5/3 0923 두 점 A, B를 지나는 직선의 방향벡터를 u7 라 하면 u7 =AB^> =(a+4, 4, b-2)직선 x+13=y-42=z+83의 방향벡터를 v7 라 하면 v7 =(3, 2, 3)두 직선이 서로 평행하므로 u7 =kv7 (kL0)라 하면 a+4=3k, 4=2k, b-2=3k .t3 k=2, a=2, b=8 .t3 ab=16 ⑤u7tv7이므로 a+4/3 =4/2=b-2/3 .t3 a=2, b=80924 두 점 A, B를 지나는 직선의 방향벡터를 u7 라 하면 u7 =AB^> =(2, -4, 2)직선 x-13=y+24=z+1k의 방향벡터를 v7 라 하면 v7=(3, 4, k)두 직선이 서로 수직이므로 u7 .C1 v7 =0 6-16+2k=0, 2k-10=0 .t3 k=5 50925 구하는 직선의 방향벡터를 u7 =(l, m, n)이라 하고 주어진 두 직선의 방향벡터를 각각 u_1 8 , u_2 8 라 하면 u_1 8=(1, -2, 4), u_2 8=(2, -3, 5)구하는 직선이 주어진 두 직선과 모두 수직이므로 u7 .C1 u_1 8=0, u7 .C1 u_2 8=0 l-2m+4n=0, 2l-3m+5n=0 .t3 l=2n, m=3n따라서 u7 =(2n, 3n, n)이므로 구하는 직선의 방정식은 x-12n=y-23n=z-3n .t3 x-12=y-23=z-3 x-12=y-23=z-30926 직선 x+1a=y-3b=z/2와 두 직선 l, m의 방향벡터를 각각 u7, u_1 8 , u_2 8 라 하면 u7 =(a, b, 2), u_1 8 =(2k-1, k+2, 2), u_2 8 =(5-k, 3k-2, k) ⇨ ❶직선 x+1a=y-3b=z/2가 두 직선 l, m과 모두 평행하므로 ltm따라서 u_2 8=tu_1 8 (tL0)이라 하면 5-k=t(2k-1), 3k-2=t(k+2), k=2t k=2t를 5-k=t(2k-1)에 대입하면 5-2t=t(4t-1), 4t^2 +t-5=0 (4t+5)(t-1)=0 .t3 t=-5/4 또는 t=10919 두 점 A, B를 지나는 직선의 방향벡터를 u7 라 하면 u7 =AB^> =(1, 3, 4)직선 x-14=2-y=z-6/3 의 방향벡터를 v7 라 하면 v7 =(4, -1, 3)두 직선이 이루는 예각의 크기를 t라 하면 cos t=|u7 .C1 v7||u7||v7|=|1\4+3\(-1)+4\3|21^2 +3^2 x+4^2 x 24^2 +(-1)x^2 +3^2 x cos t=13126q 126q=1/2 .t3 t=pai/3 (.T3 0<θ =(-1, -2, -1)두 직선 l, m 사이의 거리는 AH^_의 길이와 같으므로 AH^_=|AH^>|=2(-1)^2+(-2)^2+(x-1)^2x=16 ② 0930 AH^> 는 주어진 평면의 법선벡터이고, 점 H는 주어진 평면 위의 점이므로 점 H(4, -1, -1)을 지나고 법선벡터가 AH^> =(3, -6, 1)인 평면의 방정식은 3(x-4)-6(y+1)+z+1=0 .t3 3x-6y+z-17=0따라서 a=3, b=1, c=-17이므로 a+b-c=21 ① 0931 점 (5, -1, -3)을 지나고 법선벡터가 (1, -2, 3)인 평면의 방정식은 x-5-2(y+1)+3(z+3)=0 .t3 x-2y+3z+2=0따라서 a=-2, b=3, c=2이므로 abc=-12 -12 0932 직선 x-3=y+1/6 =5-z/6 의 방향벡터는 (1, 6, -6) ⇨ ❶따라서 점 (-1, 0, 7)을 지나고 법선벡터가 (1, 6, -6)인 평면의 방정식은 x+1+6(y-0)-6(z-7)=0 .t3 x+6y-6z+43=0 ⇨ ❷이 평면이 점 (a, -6, 0)을 지나므로 a-36+43=0 .t3 a=-7 ⇨ ❸ -7 0933 구의 중심을 C라 하면 C(-2, 1, 4) .t3 CP^>=(2, 1, -2)벡터 CP^>는 주어진 평면에 수직이므로 점 P(0, 2, 2)를 지나고 법선벡터가 CP^>=(2, 1, -2)인 평면의 방정식은 2(x-0)+y-2-2(z-2)=0 .t3 2x+y-2z+2=0y축 위의 점은 x좌표, z좌표가 모두 0이므로 x=0, z=0을 위의 식에 대입하면 y+2=0 .t3 y=-2 ④ 0934 주어진 세 점을 지나는 평면의 방정식을 ax+by+cz+d=0이라 하고 세 점의 좌표를 각각 대입하면 a+b+2c+d=0, -2a+2c+d=0, 3a-b+d=0 .t3 b=-3a, c=4a, d=-6a따라서 평면의 방정식은 ax-3ay+4az-6a=0 .t3 x-3y+4z-6=0채점 기준비율❶ 직선의 방향벡터를 구할 수 있다.20%❷ 평면의 방정식을 구할 수 있다.50%❸ a의 값을 구할 수 있다.30% k=2t를 3k-2=t(k+2)에 대입하면 6t-2=t(2t+2), t^2-2t+1=0 (t-1)^2=0 .t3 t=1, 에서 t=1이므로 k=2 .t3 u_18 =(3, 4, 2) ⇨ ❷이때 u7=s u_18 (sL0)이라 하면 a=3s, b=4s, 2=2s .t3 s=1, a=3, b=4 .t3 a+b+k=9 ⇨ ❸ 9 0927 x-32=y+1=2-z5=t (t는 실수)로 놓으면 x=2t+3, y=t-1, z=-5t+2점 A에서 주어진 직선에 내린 수선의 발을 H라 하면 점 H는 주어진 직선 위에 있으므로 H(2t+3, t-1, -5t+2)로 놓을 수 있다. .t3 AH^> =(2t+5, t+5, -5t-3)이때 주어진 직선의 방향벡터를 u7 라 하면 u7 =(2, 1, -5)이고 AH^>jikgaku7 이므로 AH^> .C1 u7 =0 2(2t+5)+t+5-5(-5t-3)=0 30t+30=0 .t3 t=-1따라서 AH^>=(3, 4, 2)이므로 구하는 거리는 |AH^>|=23^2+4^2x+2^2x=129q ④ 0928 ⑴ x+13=5-z2=t (t는 실수)로 놓으면 x=3t-1, y=6, z=5-2t점 H는 주어진 직선 위에 있으므로 H(3t-1, 6, 5-2t)로 놓으면 OH^> =(3t-1, 6, 5-2t)이때 주어진 직선의 방향벡터를 u7 라 하면 u7 =(3, 0, -2)이고 OH^>jikgaku7 이므로 OH^> .C1 u7 =0 3(3t-1)-2(5-2t)=0 13t-13=0 .t3 t=1 .t3 H(2, 6, 3)⑵ OH^_ =22^2+6^2x+3^2x=7 ⑴ H(2, 6, 3) ⑵ 7 0929 x+25=y-1=3-z7=t (t는 실수)로 놓으면 x=5t-2, y=t+1, z=3-7t점 A에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 하면 점 H는 직선 l 위에 있으므로 H(5t-2, t+1, 3-7t)로 놓을 수 있다. .t3 AH^>=(5t-6, t-3, 6-7t)이때 직선 l의 방향벡터를 u7 라 하면 u7 =(5, 1, -7)이고 AH^>jikgaku7이므로 AH^> .C1 u7=0 5(5t-6)+t-3-7(6-7t)=0 75t-75=0 .t3 t=1채점 기준비율❶ 세 직선의 방향벡터를 구할 수 있다. 20%❷ u_18을 구할 수 있다.50%❸ a+b+k의 값을 구할 수 있다.30%라이트쎈기벡(해8강)3.indd 8615. 2. 26. 오전 11:17 08``도형의 방정식 • 87본책도형의 방정식08132~134쪽0938 구하는 평면의 방정식을 ax+by+cz+d=0으로 놓으면 평면의 법선벡터 (a, b, c)와 주어진 직선의 방향벡터 (3, -1, 1)이 서로 수직이므로 (a, b, c).C1 (3, -1, 1)=0 .t3 3a-b+c=0 cc ㉠한편 점 (3, 3, 1)과 직선 위의 점 (-1, -4, -2)는 모두 평면 위에 있으므로 3a+3b+c+d=0, -a-4b-2c+d=0 cc ㉡㉠, ㉡에서 a=2b, c=-5b, d=-4b따라서 구하는 평면의 방정식은 2bx+by-5bz-4b=0 .t3 2x+y-5z=4 ③ 0939 두 직선의 방향벡터를 각각 u7 , v7 라 하면 u7 =(4, 1, -2), v7 =(2, 2, 5)평면이 두 직선을 포함하므로 n7 jikgak u7 , n7jikgak v7 n7 jikgak u7 에서 n7 .C1 u7 =0이므로 (a, b, 2).C1 (4, 1, -2)=0 .t3 4a+b-4=0 cc ㉠n7jikgak v7에서 n7 .C1 v7=0이므로 (a, b, 2).C1 (2, 2, 5)=0 .t3 2a+2b+10=0 cc ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-8 .t3 a-b=11 ② 0940 두 직선의 방향벡터를 각각 u7, v7 라 하면 u7 =(1, 3, 1), v7 =(2, 1, 3)구하는 평면의 방정식을 ax+by+cz+d=0이라 하고 이 평면의 법선벡터를 n7 =(a, b, c)라 하면 평면이 두 직선을 포함하므로 n7jikgak u7, n7jikgak v7n7jikgak u7 에서 n7 .C1 u7=0이므로 (a, b, c).C1 (1, 3, 1)=0 .t3 a+3b+c=0 cc ㉠n7jikgak v7 에서 n7 .C1 v7=0이므로 (a, b, c).C1 (2, 1, 3)=0 .t3 2a+b+3c=0 cc ㉡이때 평면은 직선 x-2=y+2/3 =z-6 위의 점 (2, -2, 6)을 지나므로 2a-2b+6c+d=0 cc ㉢㉠, ㉡, ㉢에서 a=-8b, c=5b, d=-12b따라서 구하는 평면의 방정식은 -8bx+by+5bz-12b=0 .t3 8x-y-5z+12=0 8x-y-5z+12=0 0941 주어진 두 평면의 교선을 포함하는 평면의 방정식은 2x+y-z+1+k(x-3y+3z-2)=0 (k는 실수)으로 놓으면 이 평면이 점 (1, 1, 2)를 지나므로① -1-3+4\3-6L0② -3\2+4-6L0③ 2-3+4\3-6L0④ 4-3\2+4\(-1)-6L0⑤ 5-3+4-6=0따라서 평면 x-3y+4z-6=0 위의 점은 ⑤이다. ⑤ 0935 주어진 세 점을 지나는 평면의 방정식을 ax+by+cz+d=0이라 하고 세 점의 좌표를 각각 대입하면 a+4b+c+d=0, 2a+3b-4c+d=0, -3a+5c+d=0 .t3 a=3c, b=-2c, d=4c따라서 평면의 방정식은 3cx-2cy+cz+4c=0 .t3 3x-2y+z+4=0z축 위의 점은 x좌표, y좌표가 모두 0이므로 x=0, y=0을 위의 식에 대입하면 z+4=0 .t3 z=-4즉 z축과 만나는 점의 좌표는 (0, 0, -4)이다. (0, 0, -4) 0936 세 점 A, B, C를 지나는 평면의 방정식을 ax+by+cz+d=0이라 하고 세 점의 좌표를 각각 대입하면 a+b-c+d=0, 3a-b+3c+d=0, 5a+b+d=0 .t3 b=-7a, c=-4a, d=2a따라서 세 점 A, B, C를 지나는 평면의 방정식은 ax-7ay-4az+2a=0 .t3 x-7y-4z+2=0 ⇨ ❶이 평면의 법선벡터가 (1, -7, -4)이므로 구하는 직선의 방향벡터는 (1, -7, -4)이다. 따라서 점 A(1, 1, -1)을 지나고 방향벡터가 (1, -7, -4)인 직선의 방정식은 x-1=1-y7=z+1-4 ⇨ ❷ x-1=1-y7=z+1-4 0937 x^2 +y^2 +z^2 -4x-2z=0에서 (x-2)^2 +y^2 +(z-1)^2 =5x^2 +y^2 +z^2 -2x+6y=0에서 (x-1)^2 +(y+3)^2 +z^2 =10x^2 +y^2 +z^2 -2x+2y-2z=0에서 (x-1)^2 +(y+1)^2 +(z-1)^2 =3평면 ax+by+cz-4=0이 세 구의 부피를 모두 이등분하려면 세 구의 중심 (2, 0, 1), (1, -3, 0), (1, -1, 1)을 지나야 하므로 2a+c-4=0, a-3b-4=0, a-b+c-4=0위의 세 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-1, c=2 .t3 a+b+c=2 2채점 기준비율❶ 세 점 A, B, C를 지나는 평면의 방정식을 구할 수 있다.60%❷ 직선의 방정식을 구할 수 있다.40%라이트쎈기벡(해8강)3.indd 8715. 2. 26. 오전 11:17 88 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0945 x-13=y/2=z+25=t (t는 실수)로 놓으면 x=3 t+1, y=2 t, z=5 t-2이것을 주어진 평면의 방정식에 대입하면 3 t+1-10 t+2(5 t-2)=0 3 t-3=0 .t3 t=1따라서 교점의 좌표는 (4, 2, 3)이므로 a=4, b=2, c=3 .t3 a-b+c=5 ⑤ 0946 x-2=y+13=3-z4=t (t는 실수)로 놓으면 x=t+2, y=3t-1, z=3-4t이것을 주어진 평면의 방정식에 대입하면 2(t+2)-2(3t-1)-3(3-4t)-5=0 8t-8=0 .t3 t=1따라서 교점의 좌표는 (3, 2, -1)이때 직선 l의 방향벡터는 (1, 3, -4)이므로 직선 l에 수직인 평면의 법선벡터는 (1, 3, -4)이다.따라서 구하는 평면의 방정식은 x-3+3(y-2)-4(z+1)=0 .t3 x+3y-4z-13=0 x+3y-4z-13=0 0947 벡터 AH^> 와 평면 3x-2y+z=8은 서로 수직이므로 이 평면의 법선벡터 (3, -2, 1)이 두 점 A, H를 지나는 직선의 방향벡터가 된다.따라서 점 A(-2, 0, 0)을 지나고 방향벡터가 (3, -2, 1)인 직선의 방정식은 x+23=y-2=zx+23=y-2=z=t (t는 실수)로 놓으면 x=3t-2, y=-2t, z=t이것을 3x-2y+z=8에 대입하면 3(3t-2)+4t+t=8 14t=14 .t3 t=1따라서 점 H의 좌표는 (1, -2, 1)이므로 a=1, b=-2, c=1 .t3 a+b+c=0 0 0948 두 평면 x-y+z+3=0, x+2y-z+6=0의 법선벡터를 각각 n_18 , n_28 라 하면 n_18 =(1, -1, 1), n_28 =(1, 2, -1) .t3 cos t=|1\1+(-1)\2+1\(-1)|21^2+(-1)x^2+1^2x 21^2+2^2+(x-1)^2x .t3 cos t=213 16=123 .t3 sin t=51-(123)^^2b=173 ⑤ 0949 yz평면과 평면 2x+y-2z+3=0의 법선벡터를 각각 n_18, n_28 라 하면 2+2k=0 .t3 k=-1따라서 구하는 평면의 방정식은 2x+y-z+1-(x-3y+3z-2)=0 .t3 x+4y-4z+3=0 ② 0942 x-4y+3z+1=0 cc ㉠x+z-5=0 cc ㉡㉠-㉡을 하면 -4y+2z+6=0 .t3 y=z+32 cc ㉢㉠-㉡\3을 하면 -2x-4y+16=0 .t3 y=8-x2 cc ㉣㉢, ㉣에서 두 평면의 교선의 방정식은 8-x2=y=z+32 ⇨ ❶따라서 교선의 방향벡터는 (-2, 1, 2)이므로 ⇨ ❷ a=-2, b=2 .t3 ab=-4 ⇨ ❸ -4 0943 x-y+z=0 cc ㉠2x+y+z=4 cc ㉡㉡-㉠을 하면 x+2y=4 .t3 y=-x+42 cc ㉢㉠\2-㉡을 하면 -3y+z=-4 .t3 y=z+43 cc ㉣㉢, ㉣에서 두 평면의 교선의 방정식은 -x+42=y=z+43 .t3 x-42=-y=z+4-3 ① 0944 x+y-2z+5=0 cc ㉠x-y+4z-3=0 cc ㉡㉠+㉡을 하면 2x+2z+2=0 .t3 x=-z-1 cc ㉢㉠\2+㉡을 하면 3x+y+7=0 .t3 x=y+7-3 cc ㉣㉢, ㉣에서 두 평면의 교선의 방정식은 x=y+7-3=-z-1이때 이 직선과 직선 x+5/3 =y-4/k =z+1-3이 서로 수직이므로 (1, -3, -1).C1(3, k, -3)=0 6-3k=0 .t3 k=2 2채점 기준비율❶ 교선의 방정식을 구할 수 있다.60%❷ 교선의 방향벡터를 구할 수 있다.20%❸ ab의 값을 구할 수 있다.20%라이트쎈기벡(해8강)3.indd 8815. 2. 26. 오전 11:17 08``도형의 방정식 • 89본책도형의 방정식08134~136쪽0953 두 평면 x+(k-2)y+3kz=2, 3x+(4-k)y-4z=1의 법선벡터를 각각 n_1 8 , n_2 8 라 하면 n_1 8 =(1, k-2, 3k), n_2 8 =(3, 4-k, -4)두 평면이 서로 수직이므로 n_1 8 .C1 n_2 8 =0 (1, k-2, 3k).C1 (3, 4-k, -4)=0 3+(k-2)(4-k)-12k=0 k^2 +6k+5=0, (k+5)(k+1)=0 .t3 k=-5 또는 k=-1따라서 모든 실수 k의 값의 합은 -6이다. -6 0954 주어진 두 평면의 법선벡터를 n_1 8, n_2 8라 하면 n_1 8=(1, -1, 1), n_2 8=(3, 1, -5)구하는 평면의 방정식을 ax+by+cz+d=0이라 하고 이 평면의 법선벡터를 n7=(a, b, c)라 하면 n7jikgak n_1 8, n7jikgak n_2 8n7jikgak n_1 8에서 n7 .C1 n_1 8=0이므로 (a, b, c).C1 (1, -1, 1)=0 .t3 a-b+c=0 cc ㉠n7jikgak n_2 8에서 n7 .C1 n_2 8=0이므로 (a, b, c).C1 (3, 1, -5)=0 .t3 3a+b-5c=0 cc ㉡구하는 평면이 점 (0, 2, -1)을 지나므로 2b-c+d=0 cc ㉢㉠, ㉡, ㉢에서 a=c, b=2c, d=-3c따라서 구하는 평면의 방정식은 cx+2cy+cz-3c=0 .t3 x+2y+z-3=0 x+2y+z-3=0 0955 주어진 네 평면의 법선벡터를 차례대로 n_1 8, n_2 8, n_3 8, n_4 8라 하면 n_1 8 =(a, -2, 6), n_2 8 =(2, -1, 2a-5), n_3 8 =(2, a, -b), n_4 8 =(2-b, 2, a-2)n_1 8tn_2 8 이므로 n_1 8 =kn_2 8 (kL0)라 하면 a=2k, -2=-k, 6=k(2a-5) .t3 k=2, a=4n_3 8jikgak n_4 8 이므로 n_3 8 .C1 n_4 8 =0 2(2-b)+2a-b(a-2)=0 12-4b=0 .t3 b=3 .t3 a+b=7 ① 0956 주어진 직선의 방향벡터를 u7 , 평면의 법선벡터를 n7 이라 하면 u7 =(2, 3, 1), n7 =(3, 1, -2)직선과 평면이 이루는 예각의 크기를 t라 하면 두 벡터 u7 , n7 이 이루는 예각의 크기는 pai /2-t이므로 cos (p2-t)=|2\3+3\1+1\(-2)|22^2 +3^2 x+1^2 x23^2 +1^2 +(x-2)^2 x cos (-t)=7114q 114q=1/2 n_1 8 =(1, 0, 0), n_2 8 =(2, 1, -2) .t3 cos t=|1\2|22^2 +1^2 +(x-2)^2 x=2/3 2/3 0950 두 평면 ax+y+z=4, x+2y-z=5의 법선벡터를 각각 n_1 8, n_2 8 라 하면 n_1 8 =(a, 1, 1), n_2 8 =(1, 2, -1)두 평면이 이루는 각의 크기가 p3이므로 cos p3=|n_1 8 .C1 n_2 8||n_1 8||n_2 8| 1/2=|a+1\2+1\(-1)|2a^2 +1^2 x+1^2 x21^2 +2^2 +(x-1)^2 x, 1/2=|a+1|16 2a^2 +x2x 26a^2 +x12x=2|a+1|, 6a^2 +12=4a^2 +8a+4 2a^2 -8a+8=0, 2(a-2)^2 =0 .t3 a=2 2 0951 평면 2x+2y+z-2=0과 xy평면의 법선벡터를 각각 n_1 8, n_2 8 라 하면 n_1 8 =(2, 2, 1), n_2 8 =(0, 0, 1) ⇨ ❶두 평면이 이루는 각의 크기를 t라 하면 cos t=|1\1|22^2 +2^2 x+1^2 x=1/3 ⇨ ❷이때 한 변의 길이가 4인 정삼각형의 넓이는 134\4^2 =413이므로 구하는 정사영의 넓이는 413 cos t=413\1/3 =4133 ⇨ ❸ 4133 0952 두 평면 x-2y+3z-1=0, 2x+ay+bz+1=0의 법선벡터를 각각 n_1 8, n_2 8 라 하면 n_1 8 =(1, -2, 3), n_2 8 =(2, a, b)두 평면이 서로 평행하므로 n_2 8 =kn_1 8 (kL0)이라 하면 2=k, a=-2k, b=3k .t3 k=2, a=-4, b=6 .t3 a+b=2 ②채점 기준비율❶ 두 평면의 법선벡터를 구할 수 있다.20%❷ 두 평면이 이루는 각의 크기를 theta 라 할 때, cos theta 의 값을 구할 수 있다.40%❸ 정사영의 넓이를 구할 수 있다.40%정사영의 넓이평면 alpha 위의 넓이가 S인 도형의 평면 beta 위로의 정사영의 넓이를 S'이라 할 때, 두 평면 alpha , beta 가 이루는 각의 크기를 theta (0itheta ipai/2 )라 하면 S'=S cos theta 라이트쎈기벡(해8강)3.indd 8915. 2. 26. 오전 11:17 90 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 .t3 x+3y-z-5=0 ⇨ ❸ x+3y-z-5=00961 2x-1=y+3=z-5에서 x-1/2=y+32=z-52이므로 주어진 직선의 방향벡터는 (1, 2, 2)이다.직선과 평면이 만나지 않으려면 서로 평행해야 하므로 직선의 방향벡터와 평면의 법선벡터가 서로 수직이어야 한다.ㄱ. 평면의 법선벡터가 (2, 1, 1)이므로 (1, 2, 2).C1(2, 1, 1)=2+2+2L0따라서 직선과 평면은 만난다.ㄴ. 평면의 법선벡터가 (2, 1, -2)이므로 (1, 2, 2).C1(2, 1, -2)=2+2-4=0이때 2\1/2+(-3)-2\5-2L0에서 직선 위의 점 (1/2, -3, 5)가 평면 위에 있지 않으므로 직선과 평면은 만나지않는다.ㄷ. 평면의 법선벡터가 (2, -2, 1)이므로 (1, 2, 2).C1(2, -2, 1)=2-4+2=0이때 2\1/2-2\(-3)+5-12=0에서 직선 위의 점 (1/2, -3, 5)가 평면 위에 있으므로 직선은 평면에 포함된다.이상에서 주어진 직선과 만나지 않는 것은 ㄴ뿐이다. ② 0962 AB^_의 중점의 좌표는 (a+42, b-52, c+52)AB^_의 중점은 평면 x+y-4z=-3 위에 있으므로 a+42+b-52-4\c+52=-3 .t3 a+b-4c=15 cc ㉠또 평면 x+y-4z=-3과 직선 AB가 서로 수직이므로 평면의 법선벡터 (1, 1, -4)와 직선 AB의 방향벡터 AB^>=(a-4, b+5, c-5)는 서로 평행하다.즉 (a-4, b+5, c-5)=k(1, 1, -4) (kL0)라 하면 a-4=k, b+5=k, c-5=-4k .t3 a=k+4, b=k-5, c=-4k+5이것을 ㉠에 대입하면 k+4+k-5-4(-4k+5)=15 18k=36 .t3 k=2따라서 a=6, b=-3, c=-3이므로 a+b+c=0 ③ 0963 AB^_의 중점의 좌표는 (-1-32, -2+42, 1+32), 즉 (-2, 1, 2)채점 기준비율❶ 평면이 두 점 A, B를 지남을 이용할 수 있다.20%❷ 주어진 직선과 평면이 서로 평행함을 이용할 수 있다.40%❸ 평면의 방정식을 구할 수 있다.40%따라서 sin t=1/2이므로 t=p6 p6 0957 x축의 방향벡터를 u7 , 평면 x-2y+z-3=0의 법선벡터를 n7 이라 하면 u7 =(1, 0, 0), n7 =(1, -2, 1)두 벡터 u7 , n7 이 이루는 예각의 크기는 pai/2-t이므로 cos (pai/2-t)=|1\1|21^2+(-2)x^2+1^2x=166 .t3 sin t=166 ② 0958 주어진 평면의 법선벡터를 n7 , 직선의 방향벡터를 u7 라 하면 n7 =(a, -4, 1), u7 =(2, -1, b)평면과 직선이 서로 수직이므로 n7 =ku7 (kL0)라 하면 a=2k, -4=-k, 1=bk .t3 k=4, a=8, b=1/4 .t3 ab=2 2 0959 두 점 (1, 2, 3), (-2, k, 4)를 지나는 직선의 방향벡터를 u7 라 하면 u7=(-3, k-2, 1)주어진 평면의 법선벡터를 n7 이라 하면 n7=(1, -2, k)직선과 평면이 서로 평행하므로 u7 .C1 n7=0 -3-2(k-2)+k=0 .t3 k=1 ③ 점 (1, 2, 3)의 좌표를 x-2y+z-1=0에 대입하면 1-2\2+3-1L0즉 점 (1, 2, 3)은 평면 x-2y+z-1=0 위에 있지 않으므로 주어진 직선과 평면은 서로 평행하다. 0960 구하는 평면의 방정식을 ax+by+cz+d=0이라 하면 이 평면이 두 점 A, B를 지나므로 3a+b+c+d=0, -a+2b+d=0 cc ㉠ ⇨ ❶또 주어진 직선과 평면이 서로 평행하므로 직선의 방향벡터 (4, -3, -5)와 평면의 법선벡터 (a, b, c)는 서로 수직이다.즉 (4, -3, -5).C1(a, b, c)=0이므로 4a-3b-5c=0 cc ㉡ ⇨ ❷㉠, ㉡에서 a=-c, b=-3c, d=5c따라서 구하는 평면의 방정식은 -cx-3cy+cz+5c=0pai/2zt의 삼각함수① sin (pai/2zt)=cos t② cos (pai/2zt)=ysin t (복호동순)③ tan (pai/2zt)=ycot t (복호동순)평면의 법선벡터와 직선의 방향벡터가 서로 평행하다.라이트쎈기벡(해8강)3.indd 9015. 2. 26. 오전 11:17 08``도형의 방정식 • 91본책도형의 방정식08136~139쪽 0969 점 P의 좌표를 (x, y, z)라 하면 p7 =(x, y, z), p7 -a7 =(x-2, y-4, z-2)p7 .C1 (p7 -a7 )=0에서 x(x-2)+y(y-4)+z(z-2)=0 x^2 -2x+y^2 -4y+z^2 -2z=0 .t3 (x-1)^2 +(y-2)^2 +(z-1)^2 =6따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 (1, 2, 1)이고 반지름의 길이가 16인 구이므로 구하는 부피는 4/3 p\(16 )^3 =816 p ③ 0970 구 위의 임의의 점을 P(x, y, z)라 하면 AP^> =(x+1, y, z+3), BP^> =(x-1, y+4, z-5)AP^> jikgak BP^> 이므로 AP^> .C1 BP^> =0 (x+1)(x-1)+y(y+4)+(z+3)(z-5)=0 x^2 -1+y^2 +4y+z^2 -2z-15=0 .t3 x^2 +(y+2)^2 +(z-1)^2 =21점 (4, -3, k)가 이 구 위에 있으므로 4^2 +(-1)^2 +(k-1)^2 =21, (k-1)^2 =4 k-1=z2 .t3 k=3 (.T3 k>0) ③ 0971 |x7|^2 -2 a7 .C1 x7 +|a7|^2 =9|b7|^2 에서 |x7-a7|^2 =|3b7|^2 따라서 점 P가 나타내는 도형은 점 A를 중심으로 하고 반지름의 길이가 3|b7|인 구이다.이때 |b7|=22^2 +(-1)x^2 +4^2 x=121q이므로 구하는 겉넓이는 4p\(3121q )^2 =756p 756p 0972 구의 중심 (2, -1, 0)과 평면 4x-y+8z-a=0 사이의 거리가 구의 반지름의 길이와 같으므로 |8+1-a|24^2 +(-1)x^2 +8^2 x=2, |9-a|=18 9-a=z18 .t3 a=27 (.T3 a>0) ⑤ 0973 구의 중심 (1, 1, 1)과 평면 6x+3y-2z-21=0 사이의 거리가 구의 반지름의 길이와 같으므로 |6+3-2-21|26^2 +3^2 +(x-2)^2 x=2 ① 0974 평행한 두 평면에 구가 동시에 접하면 두 평면 사이의 거리는 구의 지름의 길이와 같다. ⇨ ❶평면 4x-y+z-5=0 위의 한 점 (1, 0, 1)과 평면 4x-y+z-8=0 사이의 거리는 |4+1-8|24^2 +(-1)x^2 +1^2 x=3312=122 ⇨ ❷따라서 구의 반지름의 길이가 124이므로 구하는 겉넓이는채점 기준비율❶ 구의 방정식을 변형할 수 있다.20%❷ 구의 중심과 평면 사이의 거리를 구할 수 있다.50%❸ 구 위의 점과 평면 사이의 거리의 최댓값을 구할 수 있다.30%AB^_ 의 중점은 평면 ax+by+cz+7=0 위에 있으므로 -2a+b+2c+7=0 cc ㉠또 평면 ax+by+cz+7=0과 직선 AB가 서로 수직이므로 평면의 법선벡터 (a, b, c)와 직선 AB의 방향벡터 AB^> =(-2, 6, 2)는 서로 평행하다.즉 (a, b, c)=k(-2, 6, 2) (kL0)라 하면 a=-2k, b=6k, c=2k 이것을 ㉠에 대입하면 4k+6k+4k+7=0 14k+7=0 .t3 k=-1/2따라서 a=1, b=-3, c=-1이므로 abc=3 3 0964 세 점 (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 1)을 지나는 평면의 방정식을 ax+by+cz+d=0이라 하고 세 점의 좌표를 각각 대입하면 a+d=0, 2b+d=0, c+d=0 .t3 a=-d, b=-d/2 , c=-d따라서 세 점을 지나는 평면의 방정식은 -d x-d/2 y-d z+d=0, 즉 2x+y+2z-2=0이므로 이 평면과 점 (7, -3, 1) 사이의 거리는 |14-3+2-2|22^2 +1x^2 +2^2 x=11/3 ④ 0965 점 P(-5, 1, 0)과 평면 x-3y+z-14=0 사이의 거리는 |-5-3-14|21^2 +(-3)x^2 +1^2 x=22111q=2111q .t3 PP'4=2\2111q=4111q 4111q 0966 두 평면 사이의 거리는 평면 x-12y+5z=6 위의 점 (1, 0, 1)과 평면 x-12y+5z-8=0 사이의 거리와 같으므로 |1+5-8|31^2 +(-12)c^2 +5^2 c=2217=177 177 0967 벡터 n7 =(4, -1, 2)와 수직이고 점 (-3, 5, -2)를 지나는 평면의 방정식은 4(x+3)-(y-5)+2(z+2)=0 .t3 4x-y+2z+21=0이때 OP^_ 의 길이의 최솟값은 원점 O와 평면 4x-y+2z+21=0 사이의 거리와 같으므로 |21|24^2 +(-1)^2 x+2^2 x=121q ② 0968 x^2 +y^2 +z^2 -2x-4y+4z+8=0에서 (x-1)^2 +(y-2)^2 +(z+2)^2 =1 ⇨ ❶구의 중심 (1, 2, -2)와 평면 2x+y+2z-9=0 사이의 거리는 |2+2-4-9|22^2 +1^2 x+2^2 x=3 ⇨ ❷구의 반지름의 길이가 1이므로 구하는 최댓값은 3+1=4 ⇨ ❸ 4라이트쎈기벡(해8강)3.indd 9115. 2. 26. 오전 11:17 92 • 정답 및 풀이정답 및 풀이0979 ⑴ 구하는 원의 중심을 C(a, b, c)라 하면 OC^> =(a+1, b, c-1)이 벡터와 주어진 평면은 서로 수직이므로 평면의 법선벡터를 n7 =(1, 1, 1)이라 하면 OC^>tn7 즉 OC^> =kn7 (kL0)이라 하면 a+1=k, b=k, c-1=k .t3 a=k-1, b=k, c=k+1 ⇨ ❶이때 점 C(k-1, k, k+1)은 평면 x+y+z-6=0 위에 있으므로 k-1+k+k+1-6=0 3k-6=0 .t3 k=2따라서 구하는 원의 중심의 좌표는 (1, 2, 3)이다. ⇨ ❷⑵ OC^> =(2, 2, 2)이므로 |OC^>|=32^2+2^2c+2^2c=213 ⇨ ❸따라서 평면과 구가 만나서 생기는 원의 반지름의 길이는 34^2-(2c13 )^2c=2이므로 구하는 넓이는 p\2^2=4p ⇨ ❹ ⑴ (1, 2, 3) ⑵ 4p 0980 점 (x_1, y_1, z_1)을 지나고 방향벡터가 u7 =(u_1, u_2, u_3)인 직선의 방정식은 x-x_1u_1=y-y_1u_2=z-z_1u_3임을 이용한다.3(x+1)=4(y-1)=-12z에서 x+14=y-13=-z이 직선의 방향벡터는 (4, 3, -1)이므로 구하는 직선의 방정식은 x-34=y+73=1-z이 직선이 점 (a, b, 0)을 지나므로 a-34=b+73=1 .t3 a=7, b=-4 .t3 a-b=11 110981 방향벡터가 각각 u7 , v7 인 두 직선이 이루는 예각의 크기를 t라 하면 cos t=|u7 .C1 v7 ||u7||v7|임을 이용한다.두 직선의 방향벡터를 각각 u7 , v7 라 하면 u7=(-7, 1, 2), v7 =(2, 1, -1) .t3 cos t=|-7\2+1\1+2\(-1)|2(-7)^2+1x^2+2^2x 22^2+1^2+(x-1)^2x .t3 cos t=15154q 16=5/6 5/60982 두 평면 ax+by+cz+d=0, a'x+b'y+c'z+d'=0의 교선을 포함하는 평면의 방정식을ax+by+cz+d+k(a'x+b'y+c'z+d')=0 (k는 실수)으로 놓는다.채점 기준비율❶ OC^>tn7 임을 이용할 수 있다.30%❷ 원의 중심의 좌표를 구할 수 있다.20%❸ |OC^>|를 구할 수 있다.20%❹ 원의 넓이를 구할 수 있다.30% 4p\(124)^^2=pai/2 ⇨ ❸ pai/2 0975 x-1=y+2=z-12=t (t는 실수)로 놓으면 x=t+1, y=t-2, z=2t+1점 C는 주어진 직선 위에 있으므로 C(t+1, t-2, 2t+1) (t>2)로 놓으면 점 C와 평면 2x-y+2z-5=0 사이의 거리는 구의 반지름의 길이와 같다. 즉 |2(t+1)-(t-2)+2(2t+1)-5|22^2+(-1)x^2+2^2x=7 |5t+1|=21, 5t+1=z21 .t3 t=4 (.T3 t>2)따라서 C(5, 2, 9)이므로 a=5, b=2, c=9 .t3 a-b+c=12 12 0976 구의 중심 (1, 1, 1)과 평면 x-y+z-4=0 사이의 거리는 |1-1+1-4|21^2+(-1)x^2+1^2x=313=13구의 반지름의 길이는 2이므로 구가 평면과 만나서 생기는 원의 반지름의 길이는 32^2-(c13 )^2c=1 ② 0977 구의 중심 (2, 1, -3)과 zx평면, 즉 평면 y=0 사이의 거리는 |1|20^2+1^2x+0^2x=1구의 반지름의 길이는 4이므로 구가 zx평면과 만나서 생기는 원의 반지름의 길이는 24^2-1^2x=115q따라서 구하는 원의 둘레의 길이는 2p\115q=2115q p 2115q pzx평면 위의 점은 y좌표가 0이므로 주어진 구의 방정식에 y=0을 대입하면 (x-2)^2+(z+3)^2=15따라서 주어진 구와 zx평면이 만나서 생기는 원의 반지름의 길이는 115q이므로 구하는 원의 둘레의 길이는 2p\115q=2115q p 0978 구의 중심 (-3, 1, -2)와 평면 x+2y+2z-7=0 사이의 거리는 |-3+2-4-7|21^2+2x^2+2^2x=4이때 평면과 구가 만나서 생기는 원의 반지름의 길이를 r라 하면 pr^2=9p .t3 r=3따라서 구의 반지름의 길이는 24^2+3^2x=5이므로 k=5^2=25 ⑤채점 기준비율❶ 두 평면 사이의 거리가 구의 지름의 길이와 같음을 알 수 있다.20%❷ 두 평면 사이의 거리를 구할 수 있다.40%❸ 구의 겉넓이를 구할 수 있다.40%b>0이므로 t-2>0 .t3 t>2라이트쎈기벡(해8강)3.indd 9215. 2. 26. 오전 11:17 08``도형의 방정식 • 93본책도형의 방정식08139~141쪽x+3=y-24=z-22=s (s는 실수)로 놓으면 x=s-3, y=4s+2, z=2s+2 cc ㉡㉠, ㉡에서 2t+1=s-3, -t=4s+2, 3t+8=2s+2 .t3 t=-2, s=0 ⇨ ❶따라서 두 직선의 교점의 좌표는 (-3, 2, 2) ⇨ ❷두 점 (-3, 2, 2), (-1, 3, 5)를 지나는 직선의 방정식은 x+3-1+3=y-23-2=z-25-2 .t3 x+32=y-2=z-23 ⇨ ❸ x+32=y-2=z-23 0987 직선의 방향벡터를 u7라 하면 CP^> jikgak u7임을 이용한다.x+13=1-y=z+32=t (t는 실수)로 놓으면 x=3t-1, y=1-t, z=2t-3점 P는 주어진 직선 위에 있으므로 P(3t-1, 1-t, 2t-3)으로 놓으면 CP^> =(3t-7, -t-3, 2t-5)주어진 직선의 방향벡터를 u7 라 하면 u7 =(3, -1, 2)이고 CP^> jikgak u7 이므로 CP^> .C1 u7 =0 3(3t-7)-(-t-3)+2(2t-5)=0 14t-28=0 .t3 t=2따라서 P(5, -1, 1)이므로 a=5, b=-1, c=1 .t3 a+b+c=5 ① 0988 방향벡터가 각각 u7 , v7 인 두 직선이 서로 수직이면 u7 .C1 v7=0임을 이용한다.구하는 직선의 방향벡터를 u7 =(a, b, c)라 하고 주어진 두 직선의 방향벡터를 각각 u_1 8 , u_2 8 라 하면 u_1 8 =(1, -1, 2), u_2 8 =(-1, 3, 2)구하는 직선이 주어진 두 직선과 모두 수직이므로 u7 .C1 u_1 8=0, u7 .C1 u_2 8=0 a-b+2c=0, -a+3b+2c=0 .t3 a=-4c, b=-2c따라서 u7 =(-4c, -2c, c)이므로 구하는 직선의 방정식은 x-2-4c=y-2c=z-1c .t3 x-2=2y=4-4z ④ 0989 직선 PQ는 주어진 직선과 서로 수직이고, PQ^_ 의 중점은 주어진 직선 위에 있음을 이용한다.점 Q의 좌표를 (a, b, c)라 하면 PQ^> =(a-1, b, c-2)채점 기준비율❶ t, s의 값을 구할 수 있다.40%❷ 교점의 좌표를 구할 수 있다.20%❸ 직선의 방정식을 구할 수 있다.40%주어진 두 평면의 교선을 포함하는 평면의 방정식은 2x+y-z-6+k(x-y+3z-2)=0 (k는 실수)으로 놓으면 이 평면이 원점을 지나므로 -6-2k=0 .t3 k=-3따라서 구하는 평면의 방정식은 2x+y-z-6-3(x-y+3z-2)=0 .t3 x-4y+10z=0즉 a=-4, b=10이므로 a+b=6 ⑤ 0983 평면에 수직인 직선의 방향벡터는 그 평면의 법선벡터임을 이용한다.주어진 평면의 법선벡터를 n7 이라 하면 n7 =(2, -1, 4)따라서 점 (3, 2, -2)를 지나고 방향벡터가 n7 =(2, -1, 4)인 직선의 방정식은 x-32=2-y=z+24이 직선이 점 (a, 4, b)를 지나므로 a-32=2-4=b+24 .t3 a=-1, b=-10 .t3 ab=10 ④ 0984 구의 중심과 평면 사이의 거리가 구의 반지름의 길이와 같음을 이용한다.구의 중심 (0, 5, -2)와 평면 x+2y-3z-2=0 사이의 거리는 구의 반지름의 길이와 같으므로 |10+6-2|21^2 +2^2 +(x-3)^2 x=14114q=114q 따라서 구하는 겉넓이는 4p\(114q )^2 =56p ⑤ 0985 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구한 후 yz평면 위의 점은 x좌표가 0임을 이용한다.x^2 +y^2 +z^2 -4x-6y+2z+13=0에서 (x-2)^2 +(y-3)^2 +(z+1)^2 =1이므로 점 A(3, 5, 2)와 구의 중심 (2, 3, -1)을 지나는 직선의 방정식은 x-32-3=y-53-5=z-2-1-2 .t3 x-3=y-52=z-23yz평면 위의 점은 x좌표가 0이므로 x=0을 위의 식에 대입하면 -3=y-52=z-23 .t3 y=-1, z=-7따라서 B(0, -1, -7)이므로 AB^_ =2(-3)^2 +(-1-5)^2 +(-7x-2)^2 x=3114q ③ 0986 두 직선의 방정식을 매개변수로 나타낸 후 연립하여 교점의 좌표를 구한다.x-12=-y=z-83=t (t는 실수)로 놓으면 x=2t+1, y=-t, z=3t+8 cc ㉠평면과 직선이 수직이므로 n7 은 직선의 방향벡터이다.라이트쎈기벡(해8강)3.indd 9315. 2. 26. 오전 11:17 94 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 cos t_2=|n_28 .C1 n7||n_28||n7|=|2\1|22^2+6^2+(x-3)^2x=2/7 ⇨ ❷따라서 sin t_1=41-(2/3)^^2v=153, sin t_2=41-(2/7)^^2v=3157이므로 sin t_1 sin t_2=5/7 ⇨ ❸ 5/7 0993 두 직선이 서로 평행하면 두 직선의 방향벡터도 서로 평행하고, 직선과 평면이 평행하면 직선의 방향벡터와 평면의 법선벡터는 서로 수직임을 이용한다.두 직선 l, m의 방향벡터를 각각 u_18 , u_28 라 하고 평면 alpha의 법선벡터를 n7 이라 하면 u_18 =(2, 2, -1), u_28 =(a, b, 2), n7 =(3, c, -4)ltm이므로 u_28 =ku_18 (kL0)이라 하면 a=2k, b=2k, 2=-k .t3 k=-2, a=-4, b=-4또 ltalpha에서 u_18jikgakn7 이므로 u_18.C1 n7 =0 6+2c+4=0 .t3 c=-5 .t3 a+b+c=-13 -13 0994 구의 중심과 평면 사이의 거리가 구의 반지름의 길이와 같음을 이용한다.직선 x/2=3-y=z+52에 수직인 평면의 법선벡터는 (2, -1, 2)이므로 구하는 평면의 방정식을 2x-y+2z+k=0 (k는 상수)으로 놓을 수 있다.이 평면이 주어진 구와 접하므로 구의 중심 (3, -1, -2)와 평면 2x-y+2z+k=0 사이의 거리는 구의 반지름의 길이와 같다. 즉 |6+1-4+k|22^2+(-1)x^2+2^2x=2, |k+3|=6 k+3=z6 .t3 k=-9 또는 k=3따라서 구하는 평면의 방정식은 2x-y+2z-9=0 또는 2x-y+2z+3=0 2x-y+2z-9=0, 2x-y+2z+3=0 0995 구의 반지름의 길이를 r, 구의 중심과 평면 사이의 거리를 d라 하면 교선인 원의 반지름의 길이는 2r^2-d^2x 임을 이용한다.x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z-3=0에서 (x+1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=9구의 반지름의 길이가 3이고, 원의 반지름의 길이가 15이므로 구의 중심 (-1, 2, 1)과 평면 x+2y+2z-k=0 사이의 거리는 2이어야 한다. 즉채점 기준비율❶ 주어진 두 평면의 법선벡터를 구할 수 있다.20%❷ cos t_1, cos t_2의 값을 구할 수 있다.50%❸ sin t_1 sin t_2의 값을 구할 수 있다.30%23^2-(x15)^2x=2주어진 직선의 방향벡터를 u7 라 하면 u7 =(1, 1, 1)이고 PQ^>jikgaku7 이므로 PQ^> .C1 u7 =0 a-1+b+c-2=0 .t3 a+b+c=3 cc ㉠PQ^_의 중점 (a+12, b/2, c+22)는 주어진 직선 위에 있으므로 a+12=b/2-1=c+2+52 .t3 a=c+6, b=c+9이것을 ㉠에 대입하면 c+6+c+9+c=3 3c=-12 .t3 c=-4따라서 a=2, b=5이므로 Q(2, 5, -4) .t3 OQ^_=22^2+5^2+(x-4)^2x=315 ④ 0990 직선에 수직인 평면의 법선벡터는 그 직선의 방향벡터임을 이용한다.점 (a, 2, b)가 주어진 직선 위에 있으므로 a/3=4-22=b+54 .t3 a=3, b=-1또 주어진 직선의 방향벡터를 u7라 하면 u7 =(3, -2, 4)점 (3, 2, -1)을 지나고 법선벡터가 u7 =(3, -2, 4)인 평면의 방정식은 3(x-3)-2(y-2)+4(z+1)=0 .t3 3x-2y+4z-1=0따라서 c=4, d=-1이므로 a+b+c+d=5 ④ 0991 평면의 방정식을 ax+by+cz+d=0으로 놓고 세 점 A, B, C의 좌표를 대입한다. 세 점 A, B, C를 지나는 평면의 방정식을 ax+by+cz+d=0이라 하고 세 점의 좌표를 각각 대입하면 a+b+d=0, a+4b+2c+d=0, 2a+3b+c+d=0 .t3 b=-2a, c=3a, d=a따라서 세 점 A, B, C를 지나는 평면의 방정식은 ax-2ay+3az+a=0 .t3 x-2y+3z+1=0이 평면의 법선벡터는 (1, -2, 3)이므로 원점을 지나고 방향벡터가 (1, -2, 3)인 직선의 방정식은 x=-y2=z/3 x=-y2=z/3 0992 법선벡터가 각각 n_18, n_28인 두 평면이 이루는 각의 크기를 theta (0ithetaipai/2)라 하면 cos theta=|n_18 .C1 n_28||n_18||n_28|임을 이용한다.주어진 두 평면의 법선벡터를 각각 n_18 , n_28 라 하면 n_18 =(2, -2, 1), n_28 =(2, 6, -3) ⇨ ❶yz평면의 법선벡터를 n7이라 하면 n7=(1, 0, 0)이므로 cos t_1=|n_18 .C1 n7||n_18||n7|=|2\1|22^2+(-2)x^2+1^2x=2/3라이트쎈기벡(해8강)3.indd 9415. 2. 26. 오전 11:17 08``도형의 방정식 • 95도형의 방정식08본책141~142쪽 x-12=y+22=2-zx-12=y+22=2-z=t (t는 실수)로 놓으면 x=2t+1, y=2t-2, z=2-t점 A에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 하면 AP^_ 의 길이의 최솟값은 |AH^> |와 같다.이때 점 H는 직선 l 위의 점이므로 H(2t+1, 2t-2, 2-t)로 놓으면 AH^> =(2t-4, 2t, 1-t)직선 l의 방향벡터를 u7 라 하면 u7=(2, 2, -1)이고 AH^> jikgak u7 이므로 AH^> .C1 u7 =0 2(2t-4)+4t-(1-t)=0 9t-9=0 .t3 t=1따라서 AH^> =(-2, 2, 0)이므로 구하는 최솟값은 |AH^> |=2(-2)^2 x+2^2 x=212 2120999 직선 AB와 평면이 이루는 각의 크기를 t (0itip2)라 하면 구하는 정사영의 길이는 AB^_ cos t임을 이용한다.직선 AB의 방향벡터를 u7 라 하면 u7 =AB^> =(4, -2, 4)주어진 평면의 법선벡터를 n7 이라 하면 n7 =(1, 1, -2) ⇨ ❶직선 AB와 평면이 이루는 예각의 크기를 t라 하면 두 벡터 u7, n7이 이루는 예각의 크기는 pai /2-theta 이므로 cos (p2-t)=|4\1+(-2)\1+4\(-2)|24^2 +(-2)x^2 +4^2 x 21^2 +1^2 +(x-2)^2 x =6616=166즉 sin t=166이므로 cos t=51-(166)^^2 b=130q6 ⇨ ❷따라서 구하는 정사영의 길이는 |AB^> | cos t=6\130q6=130q ⇨ ❸ 130q1000 OH^> , OH4'9 은 각각 평면 alpha , beta 의 법선벡터와 서로 평행함을 이용하여 두 직선 OH, OH'의 방정식을 구한다.OH^> 는 평면 alpha 의 법선벡터 (3, -2, 1)과 평행하므로 직선 OH의 방정식은 x/3 =-y/2 =zx/3 =-y/2 =z=t (t는 실수)로 놓으면 x=3t, y=-2t, z=tH(3t, -2t, t)로 놓으면 점 H는 평면 alpha 위에 있으므로 9t+4t+t+14=0 .t3 t=-1채점 기준비율❶ 직선 AB의 방향벡터와 평면의 법선벡터를 구할 수 있다.20%❷ cos t의 값을 구할 수 있다.50%❸ 정사영의 길이를 구할 수 있다.30% |-1+4+2-k|21^2 +2^2 x+2^2 x=2 |5-k|=6, 5-k=z6 .t3 k=11 (.T3 k>0) ① 0996 직선의 방정식을 매개변수로 나타낸 후 구의 방정식에 대입하여 교점의 좌표를 구한다.중심이 점 C(1, 6, -3)이고 반지름의 길이가 6인 구의 방정식은 (x-1)^2 +(y-6)^2 +(z+3)^2 =36 cc ㉠x-12=3-y=z=t (t는 실수)로 놓으면 x=2t+1, y=3-t, z=t이것을 ㉠에 대입하면 (2t)^2 +(-t-3)^2 +(t+3)^2 =36 t^2 +2t-3=0, (t+3)(t-1)=0 .t3 t=-3 또는 t=1따라서 교점의 좌표가 (-5, 6, -3), (3, 2, 1)이므로 AB^_ =2(3+5)^2 +(2-6)^2 +(1x+3)^2 x=416오른쪽 그림에서 △ CAB의 높이는 36^2 -(2c16 )^2 c=213 .t3 △ CAB=1/2 \416\213 .t3 △ CAB=1212 ④ 0997 점 A와 직선 사이의 거리는 정삼각형 ABC의 높이와 같음을 이용한다.x+1=2y-4=4-2z에서 x+12=y-2=2-zx+12=y-2=2-z=t (t는 실수)로 놓으면 x=2t-1, y=t+2, z=2-t점 A에서 주어진 직선에 내린 수선의 발을 H(2t-1, t+2, 2-t)로 놓으면 AH^> =(2t-3, t+3, 3-t)주어진 직선의 방향벡터를 u7 라 하면 u7 =(2, 1, -1)이고AH^> jikgak u7 이므로 AH^> .C1 u7 =0 2(2t-3)+t+3-(3-t)=0 6t-6=0 .t3 t=1따라서 AH^> =(-1, 4, 2)이므로 정삼각형 ABC의 높이는 AH^_ =|AH^> |=2(-1)^2 +4^2 x+2^2 x=121q정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 a라 하면 132a=121q .t3 a=217즉 구하는 길이는 217이다. 217 0998 AP^_ 의 길이의 최솟값은 점 A에서 직선 l에 내린 수선의 길이와 같음을 이용한다.직선 x/2 =y-12=3-z의 방향벡터는 (2, 2, -1)이므로 직선 l의 방정식은(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:36)(cid:21)(cid:23)라이트쎈기벡(해8강)3.indd 9515. 2. 26. 오전 11:17 96 • 정답 및 풀이정답 및 풀이 .t3 H(-3, 2, -1)OH4'9 은 평면 beta의 법선벡터 (1, 3, -4)와 평행하므로 직선 OH'의 방정식은 x=y/3=-z/4x=y/3=-z/4=s (s는 실수)로 놓으면 x=s, y=3s, z=-4sH'(s, 3s, -4s)로 놓으면 점 H'은 평면 beta 위에 있으므로 s+9s+16s-52=0 .t3 s=2 .t3 H'(2, 6, -8) .t3 OH^> .C1OH4'9 =(-3, 2, -1).C1(2, 6, -8) .t3 OH^> .C1OH'9 =-6+12+8=14 ③1001 xy평면, yz평면, zx평면에 동시에 접하는 구의 중심의 x좌표, y좌표, z좌표의 절댓값과 반지름의 길이는 모두 같음을 이용한다.세 평면 x=0, y=0, z=0에 접하는 구의 방정식을 (x-a)^2+(y-a)^2+(z-a)^2=a^2 (a>0)이라 하면 구의 중심 (a, a, a)와 평면 x+y+z-3=0 사이의 거리가 구의 반지름의 길이와 같으므로 |a+a+a-3|21^2+1^2x+1^2x=a, |3a-3|=13a 9a^2-18a+9=3a^2 .t3 2a^2-6a+3=0이 이차방정식의 두 근을 alpha, beta라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 alpha+beta=3, alphabeta=3/2이때 두 구의 반지름의 길이가 각각 alpha, beta이므로 구하는 겉넓이의 합은 4palpha^2+4pbeta^2 =4p(alpha^2+beta^2)=4p{(alpha+beta)^2-2alphabeta} =4p(3^2-3)=24p 24p본책142쪽라이트쎈기벡(해8강)3.indd 9615. 2. 26. 오전 11:17
