중등 수학의 힘 알파 (개념) 2-2.pdf 다운로드 | 답지저장소
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수학의 힘 알파 중2-2
정답과 해설
I. 삼각형의 성질
II. 사각형의 성질
III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리
IV. 확률
2
13
24
48
I . 삼각형의 성질
개념의
유제
01 ㈎ ACÓ ㈏ ∠CAD ㈐ ADÓ ㈑ SAS ㈒ ∠C
03 ⑴ 100ù ⑵ 69ù
08 65ù
07 53ù
04 35ù
05 38ù
11쪽~14쪽
02 ③
06 14`cm
01
이등변삼각형의 성질
기초의
1 ⑴ ∠B, ∠C ⑵ ∠A ⑶ BCÓ
2 ⑴ 55ù ⑵ 100ù ⑶ 40ù ⑷ 105ù
4 ⑴ 8 ⑵ 10 ⑶ 7 ⑷ 5
3 ⑴ 10 ⑵ 90
5 ㉡, ㉤
2 ⑴ ABÓ=ACÓ이므로 ∠x=
_(180ù-70ù)=55ù
;2!;
⑵ ABÓ=ACÓ이므로 ∠C=∠B=40ù
∴ ∠x=180ù-(40ù+40ù)=100ù
⑶ ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠ACB=180ù-110ù=70ù
∴ ∠x=180ù-(70ù+70ù)=40ù
⑷ ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=
_(180ù-30ù)=75ù
;2!;
∴ ∠x=180ù-75ù=105ù
3 ⑴ CDÓ=BDÓ이므로
BCÓ=2_5=10`(cm)
∴ x=10
⑵ ADÓ⊥BCÓ이므로 ∠ADC=90ù
∴ x=90
4 ⑴ ∠A=∠C이므로 BAÓ=BCÓ=8`cm
∴ x=8
⑵ ∠B=180ù-(50ù+65ù)=65ù
∠B=∠C이므로 ABÓ=ACÓ=10`cm
∴ x=10
⑶ ∠ABC=180ù-120ù=60ù
∠ABC=∠A이므로 BCÓ=ACÓ=7`cm
⑷ ∠A=∠ACD-∠B=56ù-28ù=28ù
∠A=∠B이므로 ACÓ=BCÓ=5`cm
∴ x=7
∴ x=5
02 ① ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C=68ù
②, ④, ⑤ ADÓ는 BCÓ를 수직이등분하므로
∠ADC=90ù, BDÓ=CDÓ=7`cm
10쪽
BCÓ=2CDÓ=2_7=14`(cm)
③ △ABD에서
∠BAD=180ù-(68ù+90ù)=22ù
03 ⑴ △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC=∠C=70ù
이때 ∠A=180ù-(70ù+70ù)=40ù
△ABD에서 DAÓ=DBÓ이므로
∠ABD=∠A=40ù
∴ ∠x=180ù-(40ù+40ù)=100ù
⑵ △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ACB=
_(180ù-32ù)=74ù
;2!;
∠ACD=
∠ACB=
;2!;
△ADC에서
∠x=∠A+∠ACD=32ù+37ù=69ù
;2!;
_74ù=37ù
04 ∠B=∠x라 하면
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ACB=∠B=∠x
∴ ∠CAD =∠B+∠ACB
D
A
2x
2x
x
B
x
105∞
C E
=∠x+∠x
=2∠x
△ACD에서 CAÓ=CDÓ이므로
∠CDA=∠CAD=2∠x
따라서 △DBC에서
∠DCE=∠B+∠D=∠x+2∠x=3∠x이므로
3∠x=105ù, ∠x=35ù
∴ ∠B=35ù
5 ㉡ ∠A=180ù-(45ù+65ù)=70ù이므로 △ABC는 이등변삼
각형이 아니다.
㉣ ∠A=180ù-(45ù+90ù)=45ù
즉 △ABC는 ∠A=∠B=45ù이므로 이등변삼각형이다.
㉤ ∠C=180ù-(50ù+70ù)=60ù이므로 △ABC는 이등변삼각
형이 아니다.
㉥ ∠ACB=180ù-112ù=68ù이므로
∠B=180ù-(44ù+68ù)=68ù
즉 △ABC는 ∠B=∠ACB=68ù이므로 이등변삼각형이다.
따라서 이등변삼각형이 아닌 것은 ㉡, ㉤이다.
05 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC=∠ACB=
_(180ù-76ù)=52ù
;2!;
∴ ∠DBC=
∠ABC=
_52ù=26ù
;2!;
;2!;
∠ACE=180ù-52ù=128ù이므로
∠DCE=
∠ACE=
_128ù=64ù
;2!;
;2!;
따라서 △DBC에서
∠x=∠DCE-∠DBC=64ù-26ù=38ù
2 정답과 해설
06 △ABC에서 ∠C=180ù-(60ù+90ù)=30ù
△ABD에서 ADÓ=BDÓ이므로
∠ABD=∠A=60ù
따라서 ∠ADB=60ù이므로 △ABD는 정삼각형이다.
∴ ADÓ=BDÓ=ABÓ=7`cm
한편 ∠DBC=90ù-60ù=30ù이므로
∠DBC=∠C=30ù
따라서 △DBC는 DBÓ=DCÓ인 이등변삼각형이므로
DCÓ=DBÓ=7`cm
∴ ACÓ=ADÓ+DCÓ=7+7=14`(cm)
07 ∠GEF=∠FEC=∠x`(접은 각),
∠GFE=∠FEC=∠x`(엇각)이므로
∠GEF=∠GFE=∠x
따라서 △GEF에서
∠GEF=
_(180ù-74ù)=53ù
;2!;
∴ ∠x=53ù
08 ∠A=∠x라 하면
∠DBE=∠A=∠x (접은 각)
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠C =∠ABC=∠DBE+∠EBC
=∠x+15ù
따라서
∠x+(∠x+15ù)+(∠x+15ù)=180ù이므로
3∠x=150ù, ∠x=50ù
∴ ∠C=∠x+15ù=50ù+15ù=65ù
A
x
D
x
B
15∞
x+15∞
E
C
내공의
15쪽~17쪽
01 80ù
04 35ù
09 50ù
12 ⑤
17 17ù
02 ㈎ ADÓ ㈏ SAS ㈐ ∠ADC ㈑ 90ù 03 ⑤
05 52ù
10 22ù
13 13`cm 14 38ù
18 8`cm
06 50ù
07 44ù
11 ㈎ ∠ACB ㈏ ∠ABC ㈐ ∠PCB
15 70ù
08 102ù
16 84ù
01 ∠ACB=180ù-130ù=50ù
ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠ACB=50ù
∴ ∠x=180ù-(50ù+50ù)=80ù
03 ①, ② ADÓ는 BCÓ를 수직이등분하므로
∠ADB=∠ADC=90ù, BDÓ=CDÓ
③, ④ △PBD와 △PCD에서
BDÓ=CDÓ, ∠PDB=∠PDC=90ù, PDÓ는 공통
따라서 △PBDª△PCD ( SAS 합동)이므로
BPÓ=CPÓ, ∠PBD=∠PCD
⑤ ∠ABP=∠PBD인지는 알 수 없다.
04 ABÓ=ACÓ이므로 ∠C=∠B=55ù
△ABC는 이등변삼각형이고 점 D는 BCÓ의 중점이므로
∠ADC=90ù
따라서 △ADC에서 ∠x=180ù-(90ù+55ù)=35ù
05 △BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로
∠C=∠BDC=64ù
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC=∠C=64ù
∴ ∠A=180ù-(64ù+64ù)=52ù
06 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠B=
_(180ù-80ù)=50ù
;2!;
07 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ACB=
_(180ù-58ù)=61ù
;2!;
△DCE에서 DCÓ=DEÓ이므로
∠DCE=
_(180ù-30ù)=75ù
;2!;
∴ ∠ACD=180ù-(61ù+75ù)=44ù
이때 ADÓ∥BCÓ이므로 ∠EAD=∠B=50ù (동위각)
08 △BAC에서 BAÓ=BCÓ이므로 ∠BCA=∠A=34ù
∴ ∠CBD=34ù+34ù=68ù
△BCD에서 CBÓ=CDÓ이므로 ∠CDB=∠CBD=68ù
따라서 △DAC에서
∠DCE=∠A+∠D=34ù+68ù=102ù
A
5x 4x
5x
B
4x
C
M
09 ∠B：∠C=5：4이므로
∠B=5∠x, ∠C=4∠x라 하면
△ABM에서 AMÓ=BMÓ이므로
∠BAM=∠B=5∠x
△AMC에서 AMÓ=CMÓ이므로
∠MAC=∠C=4∠x
따라서 △ABC에서
18∠x=180ù
∴ ∠x=10ù
∴ ∠BAM=5∠x=5_10=50ù
(5∠x+4∠x)+5∠x+4∠x=180ù이므로
10 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC=∠ACB=
_(180ù-44ù)=68ù
;2!;
∴ ∠DBC=
∠ABC=
_68ù=34ù
;2!;
;2!;
∠ACE=180ù-∠ACB=180ù-68ù=112ù이므로
∠DCE=
∠ACE=
_112ù=56ù
;2!;
;2!;
따라서 △DBC에서
∠x=∠DCE-∠DBC=56ù-34ù=22ù
I. 삼각형의 성질 3
12 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC=∠C=
_(180ù-36ù)=72ù
①, ③ ∠ABD=
∠ABC=
_72ù=36ù이므로
;2!;
;2!;
;2!;
∠ABD=∠A
② △ABD에서
즉 △ABD는 BDÓ=ADÓ인 이등변삼각형이다.
∠BDC=∠A+∠ABD=36ù+36ù=72ù이므로
∠C=∠BDC
④ △BCD는 BCÓ=BDÓ인 이등변삼각형이므로
BCÓ=BDÓ=ADÓ
⑤ BCÓ=CDÓ인지는 알 수 없다.
13 ∠FEG=∠DEG`(접은 각),
∠FGE=∠DEG`(엇각)이므로
∠FEG=∠FGE
따라서 △EFG는 FEÓ=FGÓ인 이등변삼각형이므로
EFÓ=FGÓ=13`cm
14 ∠A=∠x라 하면 ∠DBE=∠A=∠x (접은 각)
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠C=∠ABC=∠x+33ù
따라서 △ABC에서
∠x+(∠x+33ù)+(∠x+33ù)=180ù이므로
3∠x=114ù, ∠x=38ù
∴ ∠A=38ù
15 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠B=∠C=
_(180ù-40ù)=70ù
;2!;
BDÓ=CEÓ, ∠B=∠C, BEÓ=CFÓ
△BED와 △CFE에서
따라서 △BEDª△CFE ( SAS 합동)이므로
∠BDE=∠CEF
∴ ∠DEF =180ù-(∠BED+∠CEF)
=180ù-(∠BED+∠BDE)
=∠B=70ù
16 △ABD와 △ACE에서
ABÓ=ACÓ, ∠B=∠C, BDÓ=BEÓ-DEÓ=CDÓ-DEÓ=CEÓ
따라서 △ABDª△ACE ( SAS 합동)이므로
ADÓ=AEÓ, ∠BAD=∠CAE
즉 △ADE에서 ADÓ=AEÓ이므로
∠ADE=∠AED=
_(180ù-48ù)=66ù
;2!;
이때 △ABE에서 BAÓ=BEÓ이므로
∠BAE=∠BEA=66ù
따라서 ∠BAD=66ù-48ù=18ù이므로
∠CAE=∠BAD=18ù
∴ ∠BAC=18ù+48ù+18ù=84ù
4 정답과 해설
17 ∠B=∠x라 하면
△ABC에서
ABÓ=ACÓ이므로
∠ACB=∠B=∠x
F
D
4x
A
x
2x 2x
C
3x 3x
4x
85∞
E
G
B
x
∴ ∠CAD =∠B+∠ACB=∠x+∠x=2∠x
△ACD에서 CAÓ=CDÓ이므로
∠CDA=∠CAD=2∠x
△BCD에서
∠DCE=∠B+∠CDB=∠x+2∠x=3∠x
△DCE에서 DCÓ=DEÓ이므로
∠DEC=∠DCE=3∠x
△BED에서
∠EDF=∠B+∠DEB=∠x+3∠x=4∠x
△DEF에서 EDÓ=EFÓ이므로
∠EFD=∠EDF=4∠x
따라서 △BEF에서
∠FEG=∠B+∠BFE이므로
85ù=∠x+4∠x, 5∠x=85ù
∴ ∠x=17ù
∴ ∠B=17ù
18 △ABC에서 ∠B=∠C이므로 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변
삼각형이다.
∴ ACÓ=ABÓ=10`cm
오른쪽 그림과 같이 APÓ를 그으면
△ABC=△ABP+△ACP이므로
40=
_10_PDÓ+
_10_PEÓ
;2!;
;2!;
40=5(PDÓ+PEÓ)
∴ PDÓ+PEÓ=8`(cm)
A
10 cm
D
B
P
E
C
02
직각삼각형의 합동 조건
기초의
20쪽
1 ⑴ △ABCª△DFE (RHA 합동) ⑵ 5`cm
2 ⑴ △ABCª△FDE (RHS 합동) ⑵ 12`cm
3 ㉡, ㉣
4 △DEFª△MNO (RHA 합동), △JKLª△RPQ (RHS 합동)
5 ⑴ 4 ⑵ 9
6 ⑴ 60ù ⑵ 35ù
1 ⑴ △ABC와 △DFE에서
∠C=∠E=90ù, ABÓ=DFÓ=10`cm, ∠B=∠F=30ù
∴ △ABCª△DFE`(RHA 합동)
⑵ DEÓ=ACÓ=5`cm
2 ⑴ △ABC와 △FDE에서
∠C=∠E=90ù, ABÓ=FDÓ=13`cm, BCÓ=DEÓ=5`cm
∴ △ABCª△FDE`(RHS 합동)
⑵ ACÓ=FEÓ=12`cm
3 주어진 삼각형과 합동인 것은 ㉡ RHA 합동, ㉣ RHS 합동이다.
4 △DEF와 △MNO에서
∠D=∠M=90ù, EFÓ=NOÓ=7`cm,
∠N=180ù-(90ù+35ù)=55ù이므로 ∠E=∠N=55ù
∴ △DEFª△MNO (RHA 합동)
△JKL과 △RPQ에서
∠L=∠Q=90ù, JKÓ=RPÓ=7`cm, JLÓ=RQÓ=4`cm
∴ △JKLª△RPQ (RHS 합동)
5 ⑴ △AOPª△BOP`(RHA 합동)이므로
⑵ △AOPª△BOP`(RHA 합동)이므로
PAÓ=PBÓ=4`cm
∴ x=4
OBÓ=OAÓ=9`cm
∴ x=9
6 ⑴ △AOPª△BOP`(RHS 합동)이므로
∠AOP=∠BOP=30ù
∴ ∠x=180ù-(90ù+30ù)=60ù
⑵ △AOPª△BOP`(RHS 합동)이므로
∠AOP=∠BOP
∴ ∠x=
∠AOB=
_70ù=35ù
;2!;
;2!;
따라서 △ADB≡△CEA`(RHA 합동)이므로
AEÓ=BDÓ=6`cm
∴ CEÓ=ADÓ=DEÓ-AEÓ=10-6=4`(cm)
⑵ (사각형 DBCE의 넓이)=
_(6+4)_10
;2!;
=50`(cmÛ`)
05 △ABD와 △AED에서
∠ABD=∠AED=90ù, ADÓ는 공통, ABÓ=AEÓ
따라서 △ABDª△AED (RHS 합동)이므로
∠DAE=∠DAB=28ù
∠ADB=∠ADE=90ù-28ù=62ù
∴ ∠x =180ù-(∠ADB+∠ADE)
=180ù-(62ù+62ù)=56ù
06 △AOP와 △BOP에서
∠PAO=∠PBO=90ù, OPÓ는 공통, PAÓ=PBÓ
따라서 △AOPª△BOP (RHS 합동)이므로 (⑤)
OAÓ=OBÓ (①), ∠AOP=∠BOP (②),
∠APO=∠BPO (③)
07 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ABÓ에 내
린 수선의 발을 E라 하면
△AED와 △ACD에서
∠AED=∠ACD=90ù, ADÓ는 공통,
∠EAD=∠CAD
따라서 △AEDª△ACD`(RHA 합동)이므로
EDÓ=CDÓ=3`cm
A
10 cm
E
B
D 3 cm
C
개념의
유제
21쪽~24쪽
∴ △ABD=
_ABÓ_DEÓ
02 ㉠과 ㉣, ㉢과 ㉤
=
_10_3=15`(cmÛ`)
;2!;
;2!;
01 ㈎ ∠E ㈏ DEÓ ㈐ ∠E ㈑ SAS
03 ㉡, ㉢, ㉣ 04 ⑴ 4`cm ⑵ 50`cmÛ` 05 56ù
07 15`cmÛ`
06 ④
02 ㉠과 ㉣：RHA 합동
㉢과 ㉤：RHS 합동
03 ㉡ △ABC와 △DEF에서
∠A=90ù-∠B=90ù-∠E=∠D,
ACÓ=DFÓ, ∠C=∠F
∴ △ABCª△DEF (ASA 합동)
㉢ △ABC와 △DEF에서
∠C=∠F=90ù, ABÓ=DEÓ, ACÓ=DFÓ
∴ △ABCª△DEF (RHS 합동)
㉣ △ABC와 △DEF에서
ACÓ=DFÓ, ∠C=∠F, BCÓ=EFÓ
∴ △ABCª△DEF ( SAS 합동)
04 ⑴ △ADB와 △CEA에서
∠D=∠E=90ù, ABÓ=CAÓ,
∠DBA=90ù-∠DAB=∠EAC
내공의
25쪽~26쪽
01 ㉡과 ㉤, ㉢과 ㉣
05 22.5ù
10 4`cm
06 52ù
11 5`cmÛ`
03 37`cmÛ` 04 37
02 ③
07 12`cm 08 18`cmÛ` 09 ④
12 85ù
01 ㉡과 ㉤：RHA 합동
㉢과 ㉣：RHS 합동
02 ① ASA 합동
④ RHS 합동
② SAS 합동
⑤ RHA 합동
03 △ADB와 △CEA에서
∠BDA=∠AEC=90ù, ABÓ=CAÓ,
∠DBA=90ù-∠DAB=∠EAC
따라서 △ADBª△CEA (RHA 합동)이므로
DAÓ=ECÓ=5`cm, AEÓ=BDÓ=7`cm
I. 삼각형의 성질 5
∴ △ABC=(사다리꼴 DBCE의 넓이)-2△ADB
=
_(7+5)_(5+7)-2_
_5_7
{;2!;
}
;2!;
=72-35=37`(cmÛ`)
04 △ADE와 △ACE에서
∠ADE=∠ACE=90ù, AEÓ는 공통, ADÓ=ACÓ
따라서 △ADEª△ACE ( RHS 합동)이므로
∴ x=7
DEÓ=CEÓ=7
∠CAE=∠DAE=30ù이므로
△ABC에서
∠B=180ù-(90ù+30ù+30ù)=30ù
∴ x+y=7+30=37
∴ y=30
05 직각삼각형 ADE에서 DAÓ=DEÓ이므로
∠DAE=
_(180ù-90ù)=45ù
;2!;
△ABC에서 ∠ABC=180ù-(90ù+45ù)=45ù
△BED와 △BEC에서
∠BDE=∠BCE=90ù, BEÓ는 공통, DEÓ=CEÓ
따라서 △BEDª△BEC (RHS 합동)이므로
∠ABE=
∠ABC=
_45ù=22.5ù
;2!;
;2!;
06 △BMD와 △CME에서
∠BDM=∠CEM=90ù, BMÓ=CMÓ, DMÓ
따라서 △BMDª△CME (RHS 합동)이므로
∠B=∠C
△ABC에서
Ó=EMÓ
∠B=
_(180ù-76ù)=52ù
;2!;
07 △ADE와 △ACE에서
∠ADE=∠ACE=90ù, AEÓ는 공통, ADÓ=ACÓ
따라서 △ADEª△ACE (RHS 합동)이므로
DEÓ=CEÓ
BDÓ =ABÓ-ADÓ=ABÓ-ACÓ
=10-6=4`(cm)
∴ (△BED의 둘레의 길이) =BEÓ+EDÓ+DBÓ
=BEÓ+ECÓ+DBÓ
=BCÓ+DBÓ
=8+4=12`(cm)
08 △QOP와 △ROP에서
∠PQO=∠PRO=90ù, OPÓ는 공통, ∠POQ=∠POR
따라서 △QOPª△ROP (RHA 합동)이므로
∴ (사각형 QORP의 넓이)=2△POR
PRÓ=PQÓ=3`cm
=2_
_6_3
{;2!;
}
=18`(cmÛ`)
6 정답과 해설
09 △ABD와 △AED에서
∠ABD=∠AED=90ù, ADÓ는 공통, ∠BAD=∠EAD
따라서 △ABDª△AED (RHA 합동)이므로 (⑤)
ABÓ=AEÓ (①)
∠ADB=∠ADE이므로
∠BAD+∠ADE=∠BAD+∠ADB=90ù (②)
∠BAC=90ù-∠ACB=∠EDC (③)
10 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ABÓ에 내린
수선의 발을 E라 하면
△AED와 △ACD에서
∠AED=∠ACD=90ù, ADÓ는 공통,
A
14 cm
E
B
D
C
∠EAD=∠CAD
따라서 △AEDª△ACD (RHA 합동)이므로
EDÓ=CDÓ
이때 △ABD=
_14_DEÓ=28이므로
;2!;
DEÓ=4`(cm)
∴ CDÓ=DEÓ=4`cm
11 △ABD와 △CAE에서
∠ADB=∠CEA=90ù, ABÓ=CAÓ,
∠BAD=90ù-∠CAE=∠ACE
따라서 △ABDª△CAE ( RHA 합동)이므로
ADÓ=CEÓ=12`cm, BDÓ=AEÓ=5`cm
이때 DFÓ=12-5-5=2`(cm)이므로
△BDF=
;2!;
_5_2=5`(cmÛ`)
12 △ABE와 △ADF에서
∠ABE=∠ADF=90ù, AEÓ=AFÓ, ABÓ=ADÓ
따라서 △ABEª△ADF (RHS 합동)이므로
∠BAE=∠DAF
이때 ∠EAF=∠EAD+∠DAF=∠EAD+∠BAE=90ù
즉 △AEF는 AEÓ=AFÓ인 직각이등변삼각형이므로
∠AEF=45ù
∴ ∠FEC=180ù-50ù-45ù=85ù
03
삼각형의 외심
기초의
1 ⑴ ◯ ⑵ _ ⑶ _ ⑷ ◯ ⑸ ◯ ⑹ _
2 ㉠
3 ⑴ x=7, y=25 ⑵ x=124, y=6
4 ⑴ 6 ⑵ 52
5 ⑴ 40ù ⑵ 30ù ⑶ 20ù ⑷ 31ù
6 ⑴ 124ù ⑵ 70ù
29쪽
2 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 점 O가 삼각
형의 외심인 것은 ㉠이다.
3 ⑴ ADÓ=CDÓ=7`cm이므로 x=7
△OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OBC=
_(180ù-130ù)=25ù
∴ y=25
;2!;
⑵ △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠OBA=∠OAB=28ù
∴ ∠AOB=180ù-(28ù+28ù)=124ù
∴ x=124
CDÓ=BDÓ=6`cm이므로 y=6
4 ⑴ OAÓ=OBÓ=OCÓ이므로
OBÓ=
ACÓ=
_12=6`(cm)
∴ x=6
;2!;
;2!;
⑵ △OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로
∠OAC=∠OCA=26ù
∠AOB=∠OAC+∠OCA=26ù+26ù=52ù
∴ x=52
5 ⑴ ∠OBA+∠OCB+∠OAC=90ù이므로
30ù+20ù+∠x=90ù
∴ ∠x=40ù
⑵ ∠OBA+∠OCB+∠OAC=90ù이므로
∠x+20ù+40ù=90ù
∴ ∠x=30ù
⑶ ∠OBA=∠OAB=45ù
∠OBA+∠OCB+∠OAC=90ù이므로
45ù+∠x+25ù=90ù
∴ ∠x=20ù
⑷ ∠OAB=∠OBA=34ù
∠OAB+∠OBC+∠OCA=90ù이므로
34ù+∠x+25ù=90ù
∴ ∠x=31ù
6 ⑴ ∠x=2∠A=2_62ù=124ù
⑵ ∠x=
∠BOC=
_140ù=70ù
;2!;
;2!;
03 ∠OBA+∠OCB+∠OAC=90ù이므로
∠x+2∠x+3∠x=90ù, 6∠x=90ù
∴ ∠x=15ù
04 △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠BOC=180ù-2_26ù=128ù
∴ ∠A=
∠BOC=
_128ù=64ù
;2!;
;2!;
내공의
01 42`cm 02 4`cm
06 56ù
11 20ù
07 35ù
12 96ù
32쪽~33쪽
03 ②
08 65ù
04 12`cmÛ` 05 54ù
10 90ù
09 210ù
01 점 O는 △ABC의 세 변의 수직이등분선의 교점이므로
∴ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ
BDÓ=ADÓ=7`cm, CEÓ=BEÓ=8`cm, CFÓ=AFÓ=6`cm
=2(ADÓ+BEÓ+AFÓ)
=2_(7+8+6)
=42`(cm)
02 점 O가 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OCÓ
△AOC의 둘레의 길이가 14`cm이므로
따라서 △ABC의 외접원의 반지름의 길이는 4`cm이다.
OAÓ+OCÓ+6=14, 2 OAÓ=8
∴ OAÓ=4`(cm)
03 ① ADÓ=BDÓ, AFÓ=CFÓ이지만 ADÓ=AFÓ인지는 알 수 없다.
③ △OCEª△OBE, △OCFª△OAF이지만
△OCEª△OCF인지는 알 수 없다.
④ ∠OBD=∠OAD, ∠OBE=∠OCE이지만
∠OBD=∠OBE인지는 알 수 없다.
⑤ OEÓ=OFÓ인지는 알 수 없다.
개념의
유제
30쪽~31쪽
04 점 O가 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ
01 ㉠, ㉡, ㉣
04 64ù
02 ⑴ 7`cm ⑵ 70ù
03 15ù
∴ △OBC=
;2!;△ABC
01 ㉢ ODÓ=OEÓ=OFÓ인지는 알 수 없다.
㉤ △OBDª△OAD, △OBEª△OCE이지만
△OBDª△OBE인지는 알 수 없다.
02 ⑴ 점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ
_14=7`(cm)
∴ OCÓ=
ABÓ=
;2!;
⑵ △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OCB=∠OBC=35ù
;2!;
∴ ∠AOC =∠OBC+∠OCB
=35ù+35ù=70ù
=
_
;2!;
{;2!;
_8_6
}
=12`(cmÛ`)
05 ∠AMC：∠BMC=3：2이므로
∠BMC=180ù_
;5@;
점 M이 △ABC의 외심이므로 MBÓ=MCÓ
=72ù
∴ ∠B=
_(180ù-72ù)=54ù
;2!;
06 △AMH에서
∠AMH=180ù-(90ù+22ù)=68ù
점 M이 △ABC의 외심이므로 MAÓ=MCÓ
I. 삼각형의 성질 7
따라서 △AMC에서
∠C=
_(180ù-68ù)=56ù
;2!;
07 △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠OAB=
_(180ù-110ù)=35ù
;2!;
∠OAB+∠OBC+∠OCA=90ù이므로
35ù+∠x+20ù=90ù
∴ ∠x=35ù
08 △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OCB=∠OBC=25ù
∠BOC=180ù-(25ù+25ù)=130ù
∴ ∠A=
∠BOC=
_130ù=65ù
;2!;
;2!;
09 오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으면
△OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OCB=∠OBC=25ù
△OCA에서 OCÓ=OAÓ이므로
∠OCA=∠OAC=45ù
∴ ∠x=45ù+25ù=70ù
∠AOB=2∠ACB이므로
∠y=2_70ù=140ù
∴ ∠x+∠y=70ù+140ù=210ù
10 ∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5이므로
3
3+4+5
∠A=180ù_
=45ù
∴ ∠BOC=2∠A=2_45ù=90ù
11 △OCB에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OBC=∠OCB=15ù
△OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠OAB=∠OBA=15ù+55ù=70ù
∠ACB=∠x라 하면
△OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로
∠OAC=∠OCA=∠x+15ù
따라서 △ABC에서
2∠x=40ù
∴ ∠x=20ù
(70ù+∠x+15ù)+55ù+∠x=180ù이므로
12 △ABC의 외심 O가 BCÓ 위에 있으므로
∠BAC=90ù
△OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠OAB=∠OBA=42ù
∴ ∠OAC =∠BAC-∠OAB
=90ù-42ù=48ù
이때 점 O'이 △AOC의 외심이므로
∠OO'C=2∠OAC=2_48ù=96ù
8 정답과 해설
04
삼각형의 내심
기초의
1 ⑴ ◯ ⑵ _ ⑶ ◯ ⑷ _ ⑸ ◯
2 ㉡, ㉢
3 ⑴ 30ù ⑵ 126ù
4 ⑴ 32ù ⑵ 125ù ⑶ 80ù ⑷ 118ù
5 ⑴ 5 ⑵ 5 ⑶ 10 ⑷ 6
37쪽
2 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이고 삼각형의 내심에
서 세 변에 이르는 거리는 같으므로 점 I가 삼각형의 내심인 것은
㉡, ㉢이다.
3 ⑴ ∠x=∠IBC=30ù
⑵ ∠IBC=∠IBA=28ù, ∠ICB=∠ICA=26ù이므로
△IBC에서 ∠x=180ù-(28ù+26ù)=126ù
A
45∞
y
O
25∞
45∞
x
C
B
25∞
4 ⑴ ∠IAB=∠IAC=33ù
∠IAB+∠IBC+∠ICA=90ù이므로
33ù+25ù+∠x=90ù
∴ ∠x=32ù
⑶ ∠BIC=90ù+
∠A이므로 130ù=90ù+
∠x
;2!;
⑵ ∠x=90ù+
∠A
;2!;
;2!;
=90ù+
_70ù=125ù
∠x=40ù
∴ ∠x=80ù
;2!;
⑷ ∠IAC=∠IAB=28ù이므로
∠BAC=2_28ù=56ù
∴ ∠x=90ù+
∠BAC
=90ù+
_56ù=118ù
;2!;
;2!;
;2!;
5 ⑴ BEÓ=BDÓ=5
⑵ CFÓ=CEÓ=4이므로
∴ x=5
AFÓ=ACÓ-CFÓ=9-4=5
∴ x=5
⑶ AFÓ=ADÓ=3, CFÓ=CEÓ=7이므로
ACÓ=AFÓ+CFÓ=3+7=10
∴ x=10
⑷ BEÓ=BDÓ=4이므로
CFÓ=CEÓ=BCÓ-BEÓ=10-4=6
∴ x=6
개념의
유제
38쪽~41쪽
01 ①, ④
06 9`cm
02 48ù
07 15ù
03 30ù
08 92ù
04 9`cm
05 4p`cmÛ`
01 ②, ③ 삼각형의 외심
⑤ 직각삼각형의 내심은 삼각형의 내부에 있다.
02 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠ICA=∠ICB=36ù
오른쪽 그림과 같이 IAÓ를 그으면
∠IAB+∠IBC+∠ICA=90ù이므로
∠IAB+30ù+36ù=90ù
∴ ∠IAB=24ù
∴ ∠x=2∠IAB=2_24ù=48ù
03 ∠AIB=360ù_
7
7+8+9
=105ù
이때 ∠AIB=90ù+
∠ACB이므로
;2!;
105ù=90ù+
∠ACB
;2!;
∠ACB=15ù
∴ ∠ACB=30ù
;2!;
04 CEÓ=CFÓ=10-4=6`(cm)
ADÓ=AFÓ=4`cm이므로
BEÓ=BDÓ=7-4=3`(cm)
∴ BCÓ=BEÓ+CEÓ=3+6=9`(cm)
05 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
_12_5=
_r_(13+12+5)
;2!;
;2!;
30=15r
따라서 △ABC의 내접원의 넓이는 p_2Û`=4p`(cmÛ`)
∴ r=2
06 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB
DEÓ∥BCÓ이므로
∠IBC=∠DIB (엇각), ∠ICB=∠EIC (엇각)
따라서 ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC이므로
DIÓ=DBÓ=5`cm, EIò=ECÓ=4`cm
∴ DEÓ=DIò+EIò=5+4=9`(cm)
07 점 O가 △ABC의 외심이므로
∠BOC=2∠A=2_40ù=80ù
△OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OBC=
_(180ù-80ù)=50ù
;2!;
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC=
_(180ù-40ù)=70ù
;2!;
이때 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠IBC=
∠ABC=
_70ù=35ù
;2!;
;2!;
∴ ∠OBI =∠OBC-∠IBC
=50ù-35ù=15ù
08 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠BIC=90ù+
∠A에서
;2!;
점 O가 △ABC의 외심이므로
∠BOC=2∠A=2_46ù=92ù
A
x
I
B
30∞
36∞
C
내공의
42쪽~43쪽
01 ①
06 ⑤
11 70ù
02 28ù
04 40`cm 05 2`cm
03 146ù
09 210ù
08 115ù
07 ⑤
12 ⑴ 10`cm ⑵ 4`cm ⑶ 84p`cmÛ`
10 39
01 ② ADÓ=AFÓ, BDÓ=BEÓ이지만 ADÓ=BDÓ인지는 알 수 없다.
③ IBÓ=ICÕ인지는 알 수 없다.
④ ∠BIE=∠BID, ∠CIE=∠CIF이지만 ∠BIE=∠CIE인
지는 알 수 없다.
⑤ △IABª△IAC인지는 알 수 없다.
02 ∠AIB=90ù+
∠C
;2!;
=90ù+
_76ù=128ù
;2!;
△IAB에서
∠x=180ù-(24ù+128ù)=28ù
03 ∠ICB=∠ICA=30ù이므로
△IBC에서
∠IBC=180ù-(122ù+30ù)=28ù
∴ ∠x=∠IBC=28ù
∠ABC=2∠x=2_28ù=56ù이므로
∠y=90ù+
∠ABC
;2!;
;2!;
=90ù+
_56ù=118ù
∴ ∠x+∠y=28ù+118ù=146ù
04 오른쪽 그림과 같이 IFÓ를 그으면
사각형 IECF는 정사각형이므로
CEÓ=CFÓ=IEÓ=3`cm
ADÓ=AFÓ=8-3=5`(cm),
BDÓ=BEÓ=15-3=12`(cm)
B
이므로
ABÓ=ADÓ+BDÓ=5+12=17`(cm)
∴ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ
=17+15+8=40`(cm)
05 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
_8_6=
_r_(6+8+10)
;2!;
;2!;
24=12r
∴ r=2`
A
8 cm
F
C
D
I
E
3 cm
15 cm
I. 삼각형의 성질 9
113ù=90ù+
∠A,
∠A=23ù
∴ ∠A=46ù
;2!;
;2!;
따라서 내접원의 반지름의 길이는 2`cm이다.
06 ⑤ DBÓ=DIÕ, ECÓ=EIÕ이므로
ADÓ+DEÓ+AEÓ =ADÓ+(DIÕ+EIÕ)+AEÓ
오른쪽 그림과 같이 OBÓ, OCÓ를 그으
면 점 O가 △ABC의 외심이므로
=(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+AEÓ)
∠OBA=∠OAB=30ù
40∞
A
I
30∞
O
=ABÓ+ACÓ
=12+8=20`(cm)
∠OCA =∠OAC
B
D E
x
C
=10ù+40ù=50ù
한편 ∠OAB+∠OBC+∠OCA=90ù이므로
07 ⑤ 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점은 외심이므로 외접원의
중심이다.
30ù+∠OBC+50ù=90ù
∴ ∠OBC=10ù
즉 ∠ABC=30ù+10ù=40ù이므로
△ABD에서
∠x=∠ABD+∠BAD=40ù+30ù=70ù
12 ⑴ 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로
OAÓ=
ABÓ=
_20=10`(cm)
;2!;
;2!;
따라서 원 O의 반지름의 길이는 10`cm이다.
⑵ 원 I의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
_16_12=
_r_(20+16+12)
;2!;
;2!;
96=24r ∴ r=4
따라서 원 I의 반지름의 길이는 4`cm이다.
C
⑶ (색칠한 부분의 넓이)
=(원 O의 넓이)-(원 I의 넓이)
=p_10Û`-p_4Û`
=100p-16p=84p`(cmÛ`)
A
a a
y
80∞
E
B
I
x
D
b
b
yy ㉠
yy ㉡
실전의
44쪽~47쪽
01 ㈎ ∠CAD ㈏ ADÓ ㈐ ∠ADC ㈑ ASA
03 72ù
08 40ù
13 80ù
18 7
04 30ù
05 27ù
09 24`cmÛ` 10 ③
15 9
14 60ù
20 11`cm 21 76ù
19 18ù
02 102ù
07 17`cmÛ`
12 60ù
06 80ùÙ
11 5`cm
16 36`cm 17 9p`cmÛ`
22 84ùÙ
23 10ù
24 ;2&;
`cm
C
02 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC=∠C=68Ùù
∴ ∠DBC=
;2!;
∠ABC=
_68ù=34ù
;2!;
따라서 △BCD에서
∠ADB=∠DBC+∠C=34ù+68ù=102ù
03 ∠A=∠x라 하면
△ADC에서 ADÓ=CDÓ이므로
∠DCA=∠A=∠x
∴ ∠BDC=∠A+∠DCA=∠x+∠x=2∠x
△BCD에서 BCÓ=CDÓ이므로
∠B=∠CDB=2∠x
08 점 O가 △ABC의 외심이므로
∠A=
∠BOC=
_100ù=50ù
;2!;
;2!;
점 I가 △ABC의 내심이므로
∠BIC=90ù+
∠A
=90ù+
_50ù=115ù
;2!;
;2!;
09 ∠IAB=∠a, ∠ICB=∠b라 하면 점 I
는 △ABC의 내심이므로
∠IAC=∠IAB=∠a,
∠ICA=∠ICB=∠b
이때 △ABC에서
2∠a+80ù+2∠b=180ù이므로
2(∠a+∠b)=100ù
한편 △ABD에서
∠x=80ù+∠a
△EBC에서
∠y=80ù+∠b
㉠+㉡ 을 하면
∠x+∠y =(80ù+∠a)+(80ù+∠b)
=160ù+(∠a+∠b)
=160ù+50ù=210ù
∴ ∠a+∠b=50ù
10 오른쪽 그림과 같이 IDÓ를 그으면 사각
A
형 DBEI는 정사각형이므로
BEÓ=BDÓ=IEÓ=3
ADÓ=a, CEÓ=b라 하면
a
I
3
F 10
b
a
D
3
B
AFÓ=ADÓ=a, CFÓ=CEÓ=b이므로
3
E
b
a+b=10
∴ △ABC=
_3_{(a+3)+(b+3)+10}
;2!;
;2!;
;2!;
=
_3_{(a+b)+16}
=
_3_26=39
11 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠IAB=∠IAC=40ù
∴ ∠OAI =∠IAB-∠OAB
=40ù-30ù=10ù
10 정답과 해설
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ACB=∠B=2∠x
이때 ∠x+2∠x+2∠x=180ù이므로
∴ ∠x=36ù
∴ ∠B=2∠x=2_36ù=72ù
5∠x=180ù
04 △BAC에서 ABÓ=BCÓ이므로
∠BCA=∠A=25ù
∴ ∠CBD=∠A+∠BCA=25ù+25ù=50ù
△BCD에서 BCÓ=CDÓ이므로
∠CDB=∠CBD=50ù
△DAC에서
∠DCE=∠A+∠CDA=25ù+50ù=75ù
△DCE에서 DCÓ=DEÓ이므로
∠DEC=∠DCE=75ù
∴ ∠CDE=180ù-(75ù+75ù)=30ù
05 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ACB=
;2!;
_(180ù-36ù)=72ù
∠ACE=180ù-∠ACB=180ù-72ù=108ù이므로
∠DCE=
;2!;
∠ACE=
_108ù=54ù
;2!;
따라서 △CDB에서 CBÓ=CDÓ이므로
∠DBC=∠BDC=∠x
∠DCE=∠BDC+∠DBC=∠x+∠x=2∠x이므로
∴ ∠x=27ù
54ù=2∠x
06 ∠CAB=∠DAB=50ù (접은 각),
∠ABC=∠DAB=50ù (엇각)이므로
△ACB에서
∠ACB=180Ùù-(50ù+50ù)=80ù
07 △ADB와 △CEA에서
∠D=∠E=90Ùù, ABÓ=CAÓ,
∠DBA=90ù-∠DAB=∠EAC
따라서 △ADB ª△CEA (RHA 합동)이므로
DAÓ=ECÓ=3`cm, AEÓ=BDÓ=5`cm
∴ DEÓ=DAÓ+AEÓ=3+5=8`(cm)
∴ △ABC=(사각형 DBCE의 넓이)-2△ADB
=
_(5+3)_8-2_
_3_5
{;2!;
}
;2!;
=17`(cmÛ`)
08 △ADE와 △ACE에서
∠ADE=∠ACE=90ù, AEÓ는 공통, ADÓ=ACÓ
따라서 △ADE ª△ACE ( RHS 합동)이므로
∠AEC=∠AED=65ù
∴ ∠DEB=180ù-(65ù+65ù)=50ù
따라서 △DBE에서
∠B=180ù-(90ù+50ù)=40ù
09 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ABÓ에 내
A
12 cm
E
4 cm
D 4 cm
C
린 수선의 발을 E라 하면
△ADE와 △ADC에서
∠AED=∠ACD=90ù,
ADÓ는 공통, ∠EAD=∠CAD
따라서 △ADE ª△ADC ( RHA 합동)이므로
DEÓ=DCÓ=4`cm
B
∴ △ABD=
;2!;
_12_4=24`(cmÛ`)
10 ③ ODÓ=OEÓ=OFÓ인지는 알 수 없다.
11 ;2!;
_8_6=
_ABÓ_
;2!;
에서
:ª5¢:
24=
ABÓ
∴ ABÓ=10`(cm)
:Á5ª:
이때 점 M이 △ABC의 외심이므로
MCÓ=
;2!;
ABÓ=
_10=5`(cm)
;2!;
∴ ∠OBC=25ù
45ù+∠OBC+20ù=90ù
12 △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠OBA=∠OAB=45ù
∠OAB+∠OBC+∠OCA=90ù이므로
∴ ∠y=45ù+25ù=70ù
△OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로
∠OAC=∠OCA=20ù
따라서 ∠BAC=45ù+20ù=65ù이므로
∠x=2∠BAC=2_65ù=130ù
∴ ∠x-∠y=130ù-70ù=60ù
13 ∠AOB：∠BOC：∠COA=2：3：4이므로
∠COA=360ù_
4
2+3+4
=160ù
이때 점 O는 △ABC의 외심이므로
∠ABC=
;2!;
∠COA=
_160ù=80ù
;2!;
14 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠IAB=∠IAC=40ù
오른쪽 그림과 같이 ICÓ를 그으면
∠IAB+∠IBC+∠ICA=90ù
이므로
∴ ∠ICA=30Ùù
∴ ∠C=2∠ICA=2_30ù=60ù
40ù+20ù+∠ICA=90ù
A
40∞
I
B
20∞
C
I. 삼각형의 성질 11
15 BEÓ=BDÓ=4
AFÓ=ADÓ=9-4=5이므로
CEÓ=CFÓ=10-5=5
∴ BCÓ=BEÓ+CEÓ=4+5=9
16 △ABC의 둘레의 길이를 x`cm라 하면
54=
_3_x, 54=
;2!;
x
;2#;
∴ x=36
따라서 △ABC의 둘레의 길이는 36`cm이다.
17 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
_15_8=
_r_(17+15+8)
;2!;
;2!;
60=20r
∴ r=3
따라서 △ABC의 내접원의 넓이는
p_3Û`=9p`(cmÛ`)
18 DBÓ=DIÓ, ECÓ=EIÓ이므로
(△ADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DEÓ+AEÓ
=ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+AEÓ
=(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+AEÓ)
=ABÓ+ACÓ
즉 ABÓ+ACÓ=13
따라서 (△ABC의 둘레의 길이)=ABÓ+BCÓ+ACÓ이므로
ABÓ+BCÓ+ACÓ=20, 13+BCÓ=20
∴ BCÓ=20-13=7
19 점 O가 △ABC의 외심이므로
∠BOC=2∠A=2_36ù=72ù
△OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
_(180ù-72ù)=54ù
∠OBC=
;2!;
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC=
;2!;
_(180ù-36ù)=72ù
이때 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠IBC=
;2!;
∠ABC=
_72ù=36ù
;2!;
∴ ∠OBI =∠OBC-∠IBC
=54ù-36ù=18ù
20 △ABD와 △CAE에서
∠ADB=∠CEA=90ù, ABÓ=CAÓ,
∠ABD=90ù-∠BAD=∠CAE
따라서 △ABD ª△CAE ( RHA 합동)이므로
ADÓ=CEÓ=18`cm, AEÓ=BDÓ=7`cm
∴ EDÓ =ADÓ-AEÓ
=18-7=11`(cm)
12 정답과 해설
A
46∞
B
C
30∞
O
A
aa
105∞
E
B
I
b
b
111∞
D
C
yy ㉠
yy ㉡
21 오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면
△OCB에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OBC=∠OCB=30ù
∴ ∠OBA=30ù+46ù=76ù
△OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠OAB=∠OBA=76ù
2∠a+∠b=75ù
2∠a+105ù+∠b=180ù
22 ∠IAB=∠a, ∠ICB=∠b라 하면
점 I는 △ABC의 내심이므로
∠IAC=∠IAB=∠a,
∠ICA=∠ICB=∠b
△AEC에서
△ADC에서
∠a+111ù+2∠b=180ù
∠a+2∠b=69ù
㉠+㉡을 하면
이때 △ABC에서
∠B+2(∠a+∠b)=180ù
∠B+2_48ù=180ù
∴ ∠B=84ù
2∠a+∠B+2∠b=180ù이므로
3∠a+3∠b=144ù
23 △ABC에서
∠ABC=180ùÙ-(42ùÙ+62ùÙ)=76ùÙ
점 I는 △ABC의 내심이므로
∴ ∠a+∠b=48ù
∠IBC=
;2~
!;
∠ABC=
_76ù=38ùÙ
;2!;
오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으면 점 O는
△ABC의 외심이므로
∠BOC=2∠A=2_42ù=84ù
△OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
_(180Ùù-84ùÙ)=48ùÙ
∠OBC=
;2!;
∴ ∠OBI =∠OBC-∠IBC
=48ù-38ù=10ù
A
42∞
O
I
B
62∞
C
24 점 O는 △ABC의 외심이므로 외접원 O의 반지름의 길이는
ABÓ=
_5=
`(cm)
;2!;
;2!;
;2%;
내접원 I의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
_3_4=
_r_(5+3+4)
;2!;
;2!;
6=6r
∴ r=1
따라서 내접원 I의 반지름의 길이는 1`cm이므로
외접원 O와 내접원 I의 반지름의 길이의 합은
+1=
`(cm)
;2&;
;2%;
II. 사각형의 성질
㉣ ADÓ∥BCÓ이므로 ∠BCD+∠ADC=180ù
∠BCD+70ù=180ù
∴ ∠BCD=110ù
㉤ ∠ABC=∠ADC=70ù
따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢, ㉤이다.
01
평행사변형의 성질
기초의
1 ⑴ x=7, y=110 ⑵ x=4, y=130 ⑶ x=6, y=60 ⑷ x=8, y=45
2 ⑴ x=7, y=8 ⑵ x=3, y=4 ⑶ x=4, y=4 ⑷ x=9, y=12
3 ⑴ ⑵ _ ⑶ ⑷ _ ⑸ ⑹ _ ⑺
4 ㉠, ㉢, ㉤
개념의
유제
53쪽~55쪽
52쪽
01 ⑴ 60ù ⑵ 65ù
03 ⑴ 5 ⑵ 3 04 40ù
02 ⑴ x=3, y=9 ⑵ x=84, y=70
05 ∠C=100ù, ∠D=80ù 06 19`cm
1 ⑴ BCÓ=ADÓ=7`cm이므로 x=7
∠C=∠A=110ù이므로 y=110
⑵ DCÓ=ABÓ=4`cm이므로 x=4
ABÓ∥DCÓ이므로 ∠B+∠C=180ù
50ù+∠C=180ù, ∠C=130ù
∴ y=130
⑶ ADÓ=BCÓ=6`cm이므로 x=6
∠D=∠B=60ù이므로 y=60
⑷ ABÓ=DCÓ=8`cm이므로 x=8
ADÓ∥BCÓ이므로 ∠A+∠B=180ù
∠A+135ù=180ù, ∠A=45ù
∴ y=45
2 ⑴ OAÓ=OCÓ=7이므로 x=7
OBÓ=ODÓ=8이므로 y=8
⑵ OAÓ=OCÓ=3이므로 x=3
OBÓ=ODÓ이므로
OBÓ=
BDÓ=
_8=4
∴ y=4
;2!;
;2!;
⑶ OCÓ=OAÓ=4이므로 x=4
OBÓ=ODÓ이므로 y+1=5
∴ y=4
⑷ OBÓ=ODÕ
Ó이므로
OBÓ=
BDÓ=
_18=9
∴ x=9
;2!;
;2!;
OCÓ=OAÓ이므로
ACÓ=2 OAÓ=2_6=12
∴ y=12
3 ⑺ △OAB와 △OCD에서
ABÓ=CDÓ, ∠OAB=∠OCD (엇각),
∠OBA=∠ODC (엇각)
∴ △OABª△OCD ( ASA 합동)
4 ㉠ AOÓ=
;2!;
ACÓ=
_8=4`(cm)
;2!;
㉡ BDÓ의 길이는 알 수 없다.
㉢ CDÓ=ABÓ=6`cm
01 ⑴ ADÓ∥BCÓ이므로
∠DAC=∠ACB=40ù (엇각)
△ACD에서
40ù+∠x+80ù=180ù
∴ ∠x=60ù
⑵ ∠C+∠D=180ù이므로
100ù+∠D=180ù
∴ ∠D=80ù
△AED에서
35ù+∠x+80ù=180ù
∴ ∠x=65ù
02 ⑴ ADÓ=BCÓ이므로 10=3x+1
ABÓ=DCÓ이므로 8=y-1
∴ y=9
∴ x=3
⑵ ∠BAD=∠C=110ù이므로
∠BAE=110ù-26ù=84ù
이때 ABÓ∥DCÓ이므로
∠AED=∠BAE=84ù
∴ x=84
∠B+∠C=180ù이므로
∠B+110ù=180ù, ∠B=70ù
∴ y=70
03 ⑴ ADÓ∥BCÓ이므로 ∠DEC=∠ADE (엇각)
∠EDC=∠ADE이므로 ∠DEC=∠EDC
따라서 △CDE는 이등변삼각형이므로 CEÓ=CDÓ
이때 DCÓ=ABÓ=5`cm이므로 CEÓ=CDÓ=5`cm
∴ x=5
⑵ ABÓ∥FCÓ이므로 ∠BFC=∠ABE (엇각)
∠FBC=∠ABE이므로 ∠BFC=∠FBC
따라서 △CFB는 이등변삼각형이므로
CFÓ=CBÓ=10`cm
이때 CDÓ=ABÓ=7`cm이므로
DFÓ=CFÓ-CDÓ=10-7=3`(cm)
∴ x=3
04 ∠DAB=∠C=100ù이므로
∠DAH=∠BAE=
∠DAB
;2!;
=
_100ù=50ù
;2!;
이때 △AHD에서
50ù+90ù+∠x=180ù, 140ù+∠x=180ù
∴ ∠x=40ù
II. 사각형의 성질 13
05 ∠A+∠B=180ù이고 ∠A：∠B=5`:`4이므로
∠A=180ù_
=100ù
5
5+4
∠B=180ù-100ù=80ù
∴ ∠C=∠A=100ù, ∠D=∠B=80ù
06 두 대각선의 길이의 합이 24`cm이므로
ACÓ+BDÓ=24`cm
이때 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로
AOÓ+BOÓ=
(ACÓ+BDÓ)=
_24=12`(cm)
;2!;
;2!;
∴ (△ABO의 둘레의 길이)
=ABÓ+BOÓ+AOÓ
=7+12=19`(cm)
내공의
56쪽~57쪽
01 ③, ④
02 ㈎ ∠OCD ㈏ ∠ODC ㈐ CDÓ ㈑ △OCD ㈒ OBÓ=ODÓ
03 11
08 65ù
06 90ù
05 12
10 10`cm 11 55ù
04 3`cm
09 ⑤
07 ④
12 14
01 ① CDÓ=BAÓ=10
② ODÓ=
BDÓ=
_18=9
;2!;
;2!;
③ ∠ADB의 크기는 알 수 없다.
④ ∠ADC+∠BDC=180ù이므로
∠ADC=180ù-120ù=60ù
⑤ ∠BAD=∠BCD=120ù
03 AFÓ∥BCÓ이므로 ∠AFB=∠FBC (엇각)
∠ABF=∠FBC이므로 ∠AFB=∠ABF
따라서 △ABF는 ABÓ=AFÓ인 이등변삼각형이므로
AFÓ=ABÓ=8
∴ x=8
ABÓ∥DCÓ이므로 ∠CEB=∠ABE (엇각)
∠CBE=∠ABE이므로 ∠CEB=∠CBE
따라서 △CEB는 CEÓ=CBÓ인 이등변삼각형이므로
CEÓ=CBÓ=5
이때 DCÓ=ABÓ=8이므로
DEÓ=DCÓ-ECÓ=8-5=3
∴ y=3
∴ x+y=8+3=11
04 ADÓ∥BCÓ이므로 ∠AEB=∠DAE (엇각)
∠BAE=∠DAE이므로
∠AEB=∠BAE
따라서 △BEA는 BEÓ=BAÓ인 이등변삼각형이므로
BEÓ=BAÓ=CDÓ=5`cm
14 정답과 해설
또 ADÓ∥BCÓ이므로 ∠DFC=∠ADF (엇각)
∠CDF=∠ADF이므로 ∠DFC=∠CDF
따라서 △CDF는 CDÓ=CFÓ인 이등변삼각형이므로
CFÓ=CDÓ=5`cm
이때 BCÓ=ADÓ=7`cm이므로
BCÓ=BEÓ+CFÓ-FEÓ에서 7=5+5-FEÓ
∴ FEÓ=3`(cm)
05 △AED와 △FEC에서
ADÓ∥BFÓ이므로 ∠ADE=∠FCE (엇각),
∠AED=∠FEC (맞꼭지각), DEÓ=CEÓ
따라서 △AEDª△FEC ( ASA 합동)이므로
CFÓ=DAÓ=6
이때 BCÓ=ADÓ=6이므로
BFÓ=BCÓ+CFÓ=6+6=12
06 ∠BAD+∠ADC=180ù이므로
2∠DAP+2∠ADP=180ù, 2(∠DAP+∠ADP)=180ù
∴ ∠DAP+∠ADP=90ù
따라서 △APD에서
∠APD =180ù-(∠DAP+∠ADP)
=180ù-90ù=90ù
07 ① ∠ADC=∠B=60ù이므로
∠ADE=∠CDE=
_60ù=30ù
;2!;
∴ ∠DEC=∠ADE=30ù (엇각)
② △AFD에서 ∠DAF=180ù-(90ù+30ù)=60ù
③ ∠C=180ù-∠B=180ù-60ù=120ù
④ ∠BAD=∠C=120ù이므로
∠BAF=∠BAD-∠DAF=120ù-60ù=60ù
⑤ ∠BEF=180ù-∠DEC=180ù-30ù=150ù
08 ∠ADC=∠B=60ù이고
∠ADE：∠EDC=3：1이므로
∠ADE=60ù_
=45ù
;4#;
즉 ∠DEC=∠ADE=45ù (엇각)
∴ ∠x =180ù-(∠AED+∠DEC)
=180ù-(70ù+45ù)=65ù
09 △OPA와 △OQC에서
∠AOP=∠COQ`(맞꼭지각) ( ① )
OAÓ=OCÓ ( ④ )
ADÓ∥BCÓ이므로 ∠PAO=∠QCO`(엇각) ( ③ )
따라서 △OPAª△OQC`( ASA 합동)이므로
OPÓ=OQÓ ( ② )
⑤ ∠POD=∠COD인지는 알 수 없다.
10 AEÓ∥BCÓ이므로 ∠DEB=∠EBC (엇각)
∠DBE=∠EBC이므로 ∠DEB=∠DBE
즉 △DBE는 DEÓ=DBÓ인 이등변삼각형이므로
DEÓ =DBÓ=2BOÓ=2_5=10`(cm)
11 ∠BAE=∠a, ∠ABE=∠b라 하면
△ABE에서 ∠a+∠b=90ù이고
∠BFC=∠ABE=∠b (엇각)
이때 ∠C=∠BAD=∠a+∠x이므로
△BCF에서 35ù+(∠a+∠x)+∠b=180ù
∴ ∠x =180ù-35ù-(∠a+∠b)
=180ù-35ù-90ù=55ù
12 OCDE는 평행사변형이므로
EDÓ=OCÓ=OAÓ, OCÓ∥EDÓ
△AOF와 △DEF에서
OAÓ=EDÓ, ∠AOF=∠DEF (엇각),
∠FAO=∠FDE (엇각)
따라서 △AOFª△DEF ( ASA 합동)이므로
AFÓ=DFÓ=
ADÓ=
BCÓ=
_16=8
OFÓ=EFÓ=
OEÓ=
CDÓ=
ABÓ=
_12=6
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
∴ AFÓ+OFÓ=8+6=14
02
평행사변형이 되는 조건
기초의
1 ⑴ DCÓ, BCÓ ⑵ DCÓ, BCÓ ⑶ ∠DCB, ∠CDA
⑷ OCÓ, ODÓ ⑸ DCÓ, DCÓ
2 ⑴ ㉠ 6 ㉡ 5 ⑵ ㉠ 70 ㉡ 110 ⑶ ㉠ 9 ⑷ ㉠ 4 ㉡ 3
3 ⑴ _ ⑵ ⑶ _ ⑷ _ ⑸
4 ⑴ 6`cmÛ` ⑵ 18`cmÛ`
5 12`cmÛ`
4 ⑴ △AOD=
;4!;
ABCD=
_24=6`(cmÛ`)
;4!;
⑵ △ABO=△CDO=
ABCD
;4!;
=
_36=9`(cmÛ`)
;4!;
∴ △ABO+△CDO=9+9=18`(cmÛ`)
5 △APD+△BCP=
ABCD
;2!;
;2!;
=
_40=20`(cmÛ`)
이때 △APD의 넓이가 8`cmÛ`이므로
8+△BCP=20
∴ △BCP=12`(cmÛ`)
유제
개념의
01 x=8, y=9
04 ㈎ FCÓ ㈏ NCÓ ㈐ GCÓ ㈑ MCÓ
06 ㉡, ㉣, ㉤
02 ②
07 60`cmÛ` 08 13`cmÛ`
62쪽~65쪽
03 ㈎ NCÓ ㈏ NCÓ
05 40ù
01 ABCD가 평행사변형이려면
ADÓ=BCÓ이어야 하므로
2x-3=x+5
∴ x=8
ABÓ=DCÓ이어야 하므로
x+2=y+1, 10=y+1
∴ y=9
02 ① 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다.
② ∠A+∠C, ∠B+∠D, 즉 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같지 않
으므로 평행사변형이 아니다.
③ ∠BAC=∠DCA이므로 ABÓ∥DCÓ, 즉 한 쌍의 대변이 평행
하고 그 길이가 같으므로 평행사변형이다.
④ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다.
⑤ ∠BAC=∠DCA이므로 ABÓ∥DCÓ
∠ADB=∠DBC이므로 ADÓ∥BCÓ
즉 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다.
05 ∠BPQ=∠DQP=90ù, 즉 엇각의 크기가 같으므로
BPÓ∥DQÓ
yy ㉠
△ABP와 △CDQ에서
∠BPA=∠DQC=90ù, ∠PAB=∠QCD (엇각),
ABÓ=CDÓ
따라서 △ABPª△CDQ (RHA 합동)이므로
BPÓ=DQÓ
yy ㉡
㉠, ㉡에서 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로
△BQP에서
∠x=180ù-(90ù+50ù)=40ù
06 AECF에서
AOÓ=COÓ, EOÓ=
BOÓ=
DOÓ=FOÓ
;2!;
;2!;
변형이다.
따라서 옳은 것은 ㉡, ㉣, ㉤이다.
즉 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 AECF는 평행사
07 △BCD=△ABC=15`cmÛ`
이때 BFED는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행
사변형이다.
∴ BFED=4△BCD=4_15=60`(cmÛ`)
08 △PAB+△PCD=△PDA+△PBC이므로
12+16=△PDA+15
∴ △PDA=13`(cmÛ`)
II. 사각형의 성질 15
61쪽
PBQD는 평행사변형이다.
따라서 PDÓ∥BQÓ이므로 ∠BQP=∠DPQ=50ù (엇각)
내공의
66쪽~67쪽
즉 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 AECF는 평행
01 ㈎ ABÓ ㈏ ∠DCA ㈐ SAS ㈑ ∠CAD ㈒ ADÓ
02 ㉠, ㉢, ㉣ 03 80ù
05 ②, ④
08 15`cmÛ` 09 8`cmÛ`
06 8`cm
10 8`cm
07 ㉠, ㉢, ㉤, ㉥
11 27`cmÛ` 12 10 cmÛ`
04 ④
사변형이다. ( ㉥ )
㉤ ABCD는 평행사변형이므로 AOÓ=COÓ
따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢, ㉤, ㉥이다.
03 ABCD가 평행사변형이 되려면 ADÓ∥BCÓ이어야 한다.
즉 엇각의 크기가 같아야 하므로 ∠DAE=∠AEB=50ù
AEÓ가 ∠A의 이등분선이므로
∠BAD=2∠DAE=2_50ù=100ù
또 ABÓ∥DCÓ, 즉 ∠BAD+∠D=180ù이어야 하므로
100ù+∠D=180ù
∴ ∠D=80ù
다른 풀이
∠BAE=∠DAE=50ù이므로
08 오른쪽 그림과 같이 MNÓ을 그으면
AMÓ=DMÓ=BNÓ=CNÓ이고
ADÓ∥BCÓ이므로 ABNM과
MNCD는 모두 평행사변형이다.
A
P
B
N
M
D
Q
C
△PNM=
ABNM
;4!;
=
_
;4!;
;2!;
ABCD=
ABCD
;8!;
△QMN=
MNCD
;4!;
△ABE에서 ∠B=180ù-2_50ù=80ù
ABCD가 평행사변형이 되려면 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같
=
_
;4!;
;2!;
ABCD=
ABCD
;8!;
∴ MPNQ=△PNM+△QMN
아야 하므로 ∠D=∠B=80ù
04 ① 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다.
② ∠BAC=∠DCA (엇각)이므로 ABÓ∥DCÓ이고
ABÓ=DCÓ=5
다.
즉 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평행사변형이
=
ABCD+
ABCD
;8!;
;8!;
;4!;
;4!;
=
ABCD
=
_60=15`(cmÛ`)
09 ABCD=7_4=28`(cmÛ`)이므로
③ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다.
△PDA+△PBC=
ABCD=
_28=14`(cmÛ`)
;2!;
;2!;
④ ∠B+∠C=180ù이므로 ABÓ∥DCÓ이다.
즉 한 쌍의 대변만 평행하므로 평행사변형이라고 할 수 없다.
⑤ ∠BAC=∠DCA (엇각)이므로 ABÓ∥DCÓ
∠ADB=∠CBD (엇각)이므로 ADÓ∥BCÓ
즉 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다.
05 ② ABCD에서
∠D=360ù-(100ù+80ù+100ù)=80ù
즉 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 ABCD는 평행사
④ ∠DAC=∠ACB (엇각)이므로 ADÓ∥BCÓ
즉 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 ABCD는
변형이다.
평행사변형이다.
06 ADÓ∥BCÓ이므로 ∠CFD=∠ADF (엇각)=∠CDF
즉 △CDF는 CDÓ=CFÓ인 이등변삼각형이므로
CFÓ=CDÓ=12`cm
∴ BFÓ =BCÓ-CFÓ=20-12=8`(cm)
이때 EBFD는 평행사변형이므로 DEÓ=BFÓ=8`cm
즉 △PDA+6=14
∴ △PDA=8`(cmÛ`)
10 ABCD, OCDE는 평행사변형이므로
ADÓ=BCÓ=10`cm, EOÓ=DCÓ=ABÓ=6`cm
AODE에서 EDÓ∥AOÓ, EDÓ=OCÓ=AOÓ
즉 AODE는 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평행
사변형이다.
EFÓ=OFÓ=
EOÓ=
_6=3`(cm)
;2!;
;2!;
FDÓ=AFÓ=
ADÓ=
_10=5`(cm)
∴ EFÓ+FDÓ=3+5=8`(cm)
11 △ABP+△CDP=
ABCD
=
_90=45`(cmÛ`)
이때 △ABP：△CDP=3：2이므로
△ABP=45_
=27`(cmÛ`)
3
3+2
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
07 △ABE와 △CDF에서
∠AEB=∠CFD=90ù, ABÓ=CDÓ, ∠ABE=∠CDF (엇각)
따라서 △ABEª△CDF ( RHA 합동) ( ㉠ )이므로
AEÓ=CFÓ ( ㉢ )
또 ∠AEF=∠CFE=90ù (엇각)이므로 AEÓ∥CFÓ
12 오른쪽 그림과 같이 세 점 M, R, N을 지
나면서 ABÓ와 평행한 직선을 각각 그으면
ABRS에서
△OMR=
ABRS이고
;8!;
A
P
M
S
O
D
Q
N
B
R
C
16 정답과 해설
SRCD에서 △ORN=
SRCD이므로
△MRN=△OMR+△ORN
;8!;
;8!;
=
ABRS+
SRCD
;8!;
;8!;
;8!;
=
ABCD
=
_80=10`(cmÛ`)
03
여러 가지 사각형
기초의
1 ⑴ x=5, y=8 ⑵ x=90, y=60
2 ㈎ DBÓ ㈏ BCÓ ㈐ ∠CDA ㈑ ∠CDA ㈒ 직사각형
3 ⑴ x=6, y=4 ⑵ x=90, y=55
4 ㈎ ODÓ ㈏ ∠AOD ㈐ SAS ㈑ ADÓ ㈒ 마름모
5 ⑴ x=4, y=90 ⑵ x=6, y=45
6 ⑴ x=110, y=70 ⑵ x=5, y=8
1 ⑴ ACÓ=BDÓ=10이므로
OCÓ=
`ACÓ=
_10=5
∴ x=5
;2!;
;2!;
ADÓ=BCÓ=8이므로 y=8
⑵ ∠D=90ù이므로 x=90
△ABC에서 ∠B=90ù이므로
∠BAC=180ù-(90ù+30ù)=60ù
∴ y=60
3 ⑴ BOÓ=DOÓ=6이므로 x=6
COÓ=AOÓ=4이므로 y=4
⑵ ACÓ⊥BDÓ이므로 ∠AOB=90ù
∴ x=90
△AOD에서 ∠AOD=90ù이므로
∠OAD=180ù-(90ù+35ù)=55ù
∴ y=55
5 ⑴ ABÓ=ADÓ=4이므로 x=4
ACÓ⊥BDÓ이므로 ∠COD=90ù
∴ y=90
⑵ BDÓ=ACÓ=12이므로
BOÓ=
BDÓ=
_12=6
∴ x=6
;2!;
;2!;
ACÓ⊥BDÓ이므로 ∠AOD=90ù이고
∴ y=45
6 ⑴ ∠C=∠B=70ù이므로 y=70
ADÓ∥BCÓ이므로 ∠C+∠D=180ù에서
70ù+∠D=180ù
∴ ∠D=110ù
∴ x=110
⑵ DCÓ=ABÓ=5이므로 x=5
BDÓ=ACÓ=8이므로 y=8
개념의
유제
71쪽~75쪽
01 ∠x=30ù, ∠y=60ù
05 53
06 ㉢, ㉤
02 직사각형 03 30`cmÛ` 04 30ù
08 73ù
07 25ù
09 ∠x=25ù, ∠y=115ù 10 ;2%;
`cm
01 ∠AOD=∠BOC=120ù (맞꼭지각)
이때 OAÓ=ODÓ이므로 △AOD는 이등변삼각형이다.
∴ ∠x=
_(180ù-120ù)=30ù
;2!;
또 ∠OAD=30ù이고 ∠BAD=90ù이므로
∠y=90ù-30ù=60ù
02 △ABM과 △DCM에서
AMÓ=DMÓ, MBÓ=MCÓ, ABÓ=DCÓ
70쪽
따라서 △ABMª△DCM`( SSS 합동)이므로
∠A=∠D
이때 ∠A+∠D=180ù이므로 ∠A=∠D=90ù
따라서 평행사변형 ABCD에서 한 내각의 크기가 90ù이므로
ABCD는 직사각형이다.
즉 평행사변형 ABCD에서 두 대각선이 서로 수직으로 만나므로
03 ACÓ⊥BDÓ이고 OCÓ=OAÓ=3`cm이므로
ABCD=2△ABD
=2_
_10_3
=30`(cmÛ`)
{;2!;
}
04 ADÓ∥BCÓ이므로 ∠ADO=∠CBO=30ù (엇각)
△AOD에서
∠AOD=180ù-(60ù+30ù)=90ù
ABCD는 마름모이다.
따라서 △CDB에서 BCÓ=CDÓ이므로
∠x=∠CBO=30ù
05 ACÓ=BDÓ=2 OBÓ=2_4=8`(cm)이므로 x=8
ACÓ⊥BDÓ이므로 ∠AOB=90ù이고
AOÓ=BOÓ이므로 ∠OAB=
_(180ù-90ù)=45ù
;2!;
∴ y=45
∴ x+y=8+45=53
06 ㉢ ABCD가 마름모이므로 ∠BAD+∠ABC=180ù이고
∠BAD=∠ABC이면 ∠BAD=∠ABC=90ù이므로 한 내
㉤ ABCD가 마름모이므로 OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ
이때 OAÓ=OBÓ이면 OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ이므로 두 대각선
의 길이가 같다.
따라서 정사각형이 되는 조건은 ㉢, ㉤이다.
07 △ABP에서 ∠BPC=∠PAB+∠ABP이고
∠PAB=45ù이므로 70ù=45ù+∠ABP
∴ ∠ABP=25ù
II. 사각형의 성질 17
AOÓ=DOÓ이므로 ∠ODA=
_(180ù-90ù)=45ù
;2!;
각의 크기가 90ù이다.
이때 △ABP와 △ADP에서
ABÓ=ADÓ, ∠PAB=∠PAD=45ù, APÓ는 공통
따라서 △ABPª△ADP ( SAS 합동)이므로
∠x=∠ABP=25ù
03 ∠D'AF=∠C=90ù이므로
∠EAF=90ù-28ù=62ù
∠AFB=∠EAF=62ù (엇각)이고
∠AFE=∠EFC (접은 각)이므로
08 △ABE에서 ABÓ=ADÓ=AEÓ이므로 △ABE는 이등변삼각형
∠AFE=
_(180ù-62ù)=59ù
;2!;
이다.
∠AEB=∠ABE=28ù이므로
∠BAE=180ù-(28ù+28ù)=124ù
이때 ∠DAB=90ù이므로 ∠DAE=124ù-90ù=34ù
또 △ADE는 ADÓ=AEÓ인 이등변삼각형이므로
∠ADE=
_(180ù-34ù)=73ù
;2!;
09 △ABC에서 ∠ACB=180ù-(75ù+65ù)=40ù
∠DCB=∠B=65ù이므로
∠x+40ù=65ù
∴ ∠x=25ù
∠D+∠DCB=180ù이므로
∠y+65ù=180ù
∴ ∠y=115ù
에 내린 수선의 발을 F라 하면
AFED는 직사각형이므로
FEÓ=ADÓ=7`cm
B
F
C
E
12 cm
한편 △ABF와 △DCE에서
ABÓ=DCÓ, ∠ABF=∠DCE, ∠AFB=∠DEC=90ù
따라서 △ABFª△DCE (RHA 합동)이므로 BFÓ=CEÓ
∴ ECÓ=
(BCÓ-FEÓ)
;2!;
;2!;
=
_(12-7)=
`(cm)
;2%;
04 ②, ④ 마름모가 되는 조건이다.
⑤ 평행사변형의 성질이다.
05 ABÓ=ADÓ이므로 5x-4=2x+5
∴ x=3
3x=9
∴ CDÓ=ABÓ=5x-4=5_3-4=11
06 ㉠ △ABC와 △ADC에서
ABÓ=ADÓ, ACÓ는 공통, BCÓ=DCÓ
따라서 △ABCª△ADC ( SSS 합동)이므로
∠BAC=∠DAC, ∠BCA=∠DCA
따라서 ACÓ는 ∠BAD, ∠BCD의 이등분선이다.
㉡ 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므로
㉢ 마름모는 평행사변형이므로 ∠BAD=∠BCD
따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡, ㉢이다.
07 △BCD에서 BCÓ=CDÓ이므로
∠BDC=
_(180ù-116ù)=32ù
;2!;
△FED에서
∠DFE=180ù-(90ù+32ù)=58ù
∴ ∠AFB=∠DFE=58ù (맞꼭지각)
08 △ABE와 △ADF에서
∠AEB=∠AFD=90ù, ABÓ=ADÓ, ∠B=∠D
따라서 △ABEª△ADF`( RHA 합동)이므로 AEÓ=AFÓ
즉 △AEF는 이등변삼각형이므로
10 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ
A
7 cm
D
OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ
09 정사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 서로 다른 것을 수직이등분
내공의
02 ⑤
01 ④
06 ㉠, ㉡, ㉢ 07 58ù
11 35ù
16 4`cmÛ`
12 63`cmÛ` 13 5`cm
17 34ù
18 63ù
03 59ù
08 26ù
04 ①, ③
09 8`cmÛ`
14 55ù
05 11
10 105ù
15 110ù
76쪽~78쪽
01 ④ 직사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 서로 다른 것을 이등분하
므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ
02 ② OCÓ=OAÓ=5`cm
③ ∠OCB=∠OAD=30ù (엇각)이고
OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC=∠OCB=30ù
∠AEF=
_(180ù-52ù)=64ù
;2!;
∴ ∠CEF =∠AEC-∠AEF
=90ù-64ù=26ù
하므로
DOÓ=AOÓ=
ACÓ=
_8=4`(cm)
;2!;
;2!;
∴ △AOD=
_4_4=8`(cmÛ`)
;2!;
10 △EBC가 정삼각형이므로 ∠ECB=60ù
∴ ∠x=90ù-60ù=30ù
마찬가지 방법으로
④ ∠OAB=90ù-30ù=60ù이고 OAÓ=OBÓ이므로 △OAB는
한 변의 길이가 5`cm인 정삼각형이다.
∴ ABÓ=5`cm
⑤ △ABC에서 ACÓ=10`cm이므로 BCÓ<10`cm
∠ABE=30ù이고 △ABE에서 BEÓ=BAÓ이므로
∠y=
_(180ù-30ù)=75ù
;2!;
∴ ∠x+∠y=30ù+75ù=105ù
18 정답과 해설
11 ADÓ∥BCÓ이므로 ∠ADB=∠DBC=∠x
ABÓ=ADÓ이므로 ∠ABD=∠ADB=∠x
이때 ∠ABC=∠C=70ù이므로
2∠x=70ù
∴ ∠x=35ù
12 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서 BCÓ에
내린 수선의 발을 F라 하면
A
5 cm
D
7 cm
EFÓ=ADÓ=5`cm
△ABEª△DCF (RHA 합동)이므로
CFÓ=BEÓ=4`cm
B
4 cm
E
F
C
즉 BCÓ=BEÓ+EFÓ+CFÓ=4+5+4=13`(cm)이므로
ABCD=
_(5+13)_7
;2!;
=63`(cmÛ`)
13 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서 ABÓ
와 평행한 직선을 그어 BCÓ와 만나는
점을 E라 하면
ABED는 평행사변형이므로
DEÓ=ABÓ=4`cm
A
60∞
4 cm
B
D
60∞
60∞
C
E
9 cm
ABCD는 등변사다리꼴이므로 ∠C=∠B=60ù이고
∠DEC=∠B=60ù`(동위각)이므로 △DEC는 정삼각형이다.
즉 ECÓ=DCÓ=ABÓ=4`cm이므로
BEÓ=BCÓ-ECÓ=9-4=5`(cm)
∴ ADÓ=BEÓ=5`cm
14 △ABG와 △DFG에서
ABÓ=DFÓ, ∠ABG=∠DFG (엇각), ∠BAG=∠FDG (엇각)
따라서 △ABGª△DFG (ASA 합동)이므로
AGÓ=DGÓ
이때 ADÓ=2ABÓ이므로 AGÓ=GDÓ=ABÓ
마찬가지 방법으로
이고 ABÓ=AGÓ이므로 마름모이다.
∴ ∠FPE=90ù
이때 ∠DFG=∠ABG=35ù (엇각)이므로
△FPE에서 ∠E=180ù-(90ù+35ù)=55ù
15 △AEB에서 AEÓ=ABÓ이므로
∠AEB=∠ABE=65ù
∠EAB=180ù-2_65ù=50ù
△AED에서 ∠EAD=50ù+90ù=140ù이고
AEÓ=ABÓ=ADÓ이므로 △AED는 이등변삼각형이다.
∴ ∠ADE=
_(180ù-140ù)=20ù
;2!;
따라서 △AFD에서
∠DFB =∠DAF+∠ADF=90ù+20ù=110ù
16 △OEC와 △OFD에서
∠COE=90ù-∠FOC=∠DOF,
OCÓ=ODÓ, ∠OCE=∠ODF=45ù
따라서 △OECª△OFD (ASA 합동)이므로
△OEC=△OFD
∴ OECF =△OEC+△OCF
=△OFD+△OCF
=△OCD=
ABCD
;4!;
=
_(4_4)=4`(cmÛ`)
;4!;
17 △GEC에서
∠DGC=∠GEC+∠GCE=28ù+45ù=73ù
△CBG와 △CDG에서
BCÓ=DCÓ, ∠BCG=∠DCG=45ù, CGÓ는 공통
따라서 △CBGª△CDG (SAS 합동)이므로
∠BGC=∠DGC=73ù
∠FGB+∠BGC+∠DGC=180ù에서
∠FGB=180ù-(73ù+73ù)=34ù
A
B
45∞
72∞
P
R
D
Q
C
18 오른쪽 그림과 같이 CDÓ의 연장선 위에
BPÓ=DRÓ인 점 R를 잡으면
△ABPª△ADR ( SAS 합동)이므로
APÓ=ARÓ, ∠BAP=∠DAR
또 △APQ와 △ARQ에서
APÓ=ARÓ, AQÓ는 공통,
∠PAQ =45ù
=∠BAP+∠QAD
=∠DAR+∠QAD
=∠RAQ
04
여러 가지 사각형 사이의 관계
기초의
81쪽
1 ⑴ , , , ⑵ _, _, , ⑶ _, , _,
⑷ _, , _, ⑸ _, _, ,
2 ⑴ 마름모 ⑵ 직사각형 ⑶ 마름모 ⑷ 직사각형 ⑸ 마름모
⑹ 정사각형 ⑺ 정사각형
3 12`cmÛ`
4 ⑴ 3：4 ⑵ 16`cmÛ` ⑶ 28`cmÛ`
5 ⑴ 16`cmÛ` ⑵ 36`cmÛ`
II. 사각형의 성질 19
△ABHª△ECH (ASA 합동)이므로 BHÓ=HCÓ
따라서 ABHG는 AGÓ∥BHÓ이고 AGÓ=BHÓ이므로 평행사변형
Ó=ABÓ
따라서 △APQª△ARQ (SAS 합동)이므로
∠AQD =∠AQP
=180ù-(45ù+72ù)=63ù
2 ⑸ ADÓ∥BCÓ이므로 ∠ADB=∠CBD (엇각)
즉 ∠ADB=∠ABD이므로 ABÓ=ADÓ
04 ① 두 대각선이 서로 수직으로 만나는 평행사변형은 마름모이다.
③ 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형은 마름모이다.
따라서 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 마름모이다.
④ 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형은 직사각형이다.
3 △A'BC=△ABC=
_6_4=12`(cmÛ`)
;2!;
4 ⑴ △ABP：△APC=BPÓ：CPÓ=3`:`4
⑵ △ABP：△APC=3`:`4에서
12：△APC=3`:`4
⑶ △ABC =△ABP+△APC
=12+16=28`(cmÛ`)
∴ △APC=16`(cmÛ`)
5 ⑴ ACÓ∥DEÓ이므로 △ACD=△ACE=16`cmÛ`
⑵ △ABE =△ABC+△ACE
=△ABC+△ACD
=ABCD=36`cmÛ`
개념의
유제
82쪽~86쪽
01 마름모 02 정사각형 03 ①, ⑤ 04 ②
05 ㉡, ㉢, ㉣, ㉤
06 ③
07 8`cmÛ`
08 ⑴ 15`cmÛ` ⑵ :ª2°:
`cmÛ` 09 15`cmÛ` 10 16`cmÛ`
01 △ABP와 △ADQ에서
APÓ=AQÓ, ∠BPA=∠DQA=90ù,
∠B=∠D이므로 ∠BAP=∠DAQ
따라서 △ABPª△ADQ`(ASA 합동)이므로
ABÓ=ADÓ
므로 마름모이다.
02 △AEH와 △BFE에서
∠A=∠B=90ù, AHÓ=BEÓ,
AEÓ=ABÓ-BEÓ=BCÓ-CFÓ=BFÓ
따라서 △AEHª△BFE ( SAS 합동)
이므로 HEÓ=EFÓ
마찬가지 방법으로
A
E
B
H
F
D
G
C
△AEHª△BFEª△CGFª△DHG ( SAS 합동)이므로
HEÓ=EFÓ=FGÓ=GHÓ
yy ㉠
△AEH에서 ·+×=90ù이므로
EFGH에서 ∠E=180ù-(·+×)=180ù-90ù=90ù
마찬가지 방법으로
∠E=∠F=∠G=∠H=90ù
yy ㉡
㉠, ㉡에서 EFGH는 네 변의 길이가 모두 같고, 네 내각의 크기
가 모두 같으므로 정사각형이다.
03 ② ∠A=90ù 또는 ACÓ=BDÓ
③ ABÓ=BCÓ 또는 ACÓ⊥BDÓ
④ ABÓ=BCÓ 또는 ACÓ⊥BDÓ
20 정답과 해설
⑤ 이웃하는 두 내각의 크기가 같은 평행사변형은 직사각형이다.
06 △APS와 △CRQ에서
ASÓ=CQÓ, APÓ=CRÓ, ∠A=∠C
따라서 △APSª△CRQ (SAS 합동)이므로
PSÓ=RQÓ
마찬가지 방법으로 △BQPª△DSR (SAS 합동)이므로
PQÓ=RSÓ
즉 PQRS는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형
이다.
따라서 옳은 것은 ③ ∠SPQ=∠SRQ이다.
07 ABÓ∥DEÓ이므로 △DAE=△DBE
∴ △DBE =△DAE
=AECD-△DEC
=15-7=8`(cmÛ`)
08 ⑴ BEÓ：ECÓ=3：2이므로
△DBE：△DEC=3：2, 즉 △DBE：10=3：2
∴ △DBE=15`(cmÛ`)
⑵ ADÓ：DBÓ=1：2이므로
△ADC：△DBC=1：2, 즉 △ADC：(15+10)=1`:`2
∴ △ADC=
`(cmÛ`)
:ª2°:
09 △ABE+△DEC=
ABCD
;2!;
;2!;
이때 △ABE와 △DEC에서 밑변은 각각 BEÓ, CEÓ이고 높이는
같으므로
△ABE：△DEC=BEÓ：CEÓ=1：3
1
1+3
∴ △ABE=
_60=
;4!;
_60=15`(cmÛ`)
10 △OAB：△OBC=AOÓ：COÓ=1：3이므로
△OAB：12=1：3
∴ △OAB=4`(cmÛ`)
이때 △DOC=△OAB=4`cmÛ`이므로
△DBC =△DOC+△OBC
=4+12=16`(cmÛ`)
87쪽~89쪽
내공의
01 6`cm
04 ③
02 ㉠, ㉢, ㉣, ㉤
03 마름모, 24`cm
05 ①, ③
10 18`cmÛ` 11 9`cmÛ`
06 정사각형 07 9
08 44`cm
12 10`cmÛ` 13 15`cmÛ`
09 ②
14 25`cmÛ` 15 15`cmÛ` 16 15`cmÛ` 17 ⑴ 9`cmÛ` ⑵ 9`cmÛ`
18 4`cmÛ`
따라서 ABCD는 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형이
=
_120=60`(cmÛ`)
01 △AOE와 △COF에서
AOÓ=COÓ, ∠AOE=∠COF=90ù, ∠EAO=∠FCO (엇각)
09 마름모의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 직사각형이므로
EFGH는 직사각형이다.
따라서 직사각형에 대한 설명으로 옳지 않은 것은 ②이다.
따라서 △AOEª△COF ( ASA 합동)이므로
OEÓ=OFÓ
즉 AFCE의 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하므로
AFCE는 마름모이다.
∴`AFÓ =AEÓ=ADÓ-EDÓ
=8-2=6`(cm)
02 ABCD는 평행사변형이므로
∠ABC+∠BAD=180ù
∠ABE+∠BAE=
∠ABC+
∠BAD
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
=
(∠ABC+∠BAD)
=
_180ù=90ù
∴ ∠AEB =180ù-(∠ABE+∠BAE)
=180ù-90ù=90ù
∴ ∠HEF=∠AEB=90ù (맞꼭지각)
마찬가지 방법으로
∠EFG=∠FGH=∠GHE=90ù
즉 EFGH는 네 내각의 크기가 모두 같으므로 직사각형이다.
따라서 직사각형에 대한 설명으로 옳은 것은 ㉠, ㉢, ㉣, ㉤이다.
03 ∠AFB=∠FBE (엇각)이므로 ∠ABF=∠AFB
즉 △ABF는 이등변삼각형이므로 ABÓ=AFÓ
또 ∠BEA=∠FAE (엇각)이므로 ∠BAE=∠BEA
즉 △BEA는 이등변삼각형이므로 BAÓ=BEÓ
따라서 AFÓ=BEÓ이고 AFÓ∥BEÓ이므로 ABEF는 평행사변형
이때 ABÓ=AFÓ이므로 ABEF는 마름모이고 그 둘레의 길이는
이다.
6_4=24`(cm)
04 ③ 한 내각의 크기가 90ù이거나 두 대각선의 길이가 같다.
05 ① 사다리꼴 중에는 평행사변형이 아닌 경우도 있다.
③ 직사각형 중에는 정사각형이 아닌 경우도 있다.
06 ㈎, ㈏에서 두 대각선의 길이가 같고 서로 다른 것을 수직이등분하
므로 ABCD는 정사각형이다.
07 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하는 것은 ㉡, ㉢, ㉣, ㉥의 4개
이므로 x=4
두 대각선의 길이가 같은 것은 ㉢, ㉤, ㉥의 3개이므로 y=3
두 대각선이 서로 수직으로 만나는 것은 ㉣, ㉥의 2개이므로 z=2
∴ x+y+z=4+3+2=9
08 등변사다리꼴의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 마름모이
므로 EFGH는 마름모이다.
따라서 EFGH의 둘레의 길이는
11_4=44`(cm)
10 ACÓ∥DEÓ이므로 △ACE=△ACD
∴ △ABE =△ABC+△ACE
=△ABC+△ACD
=ABCD
=54`cmÛ`
이때 △ABE에서 BCÓ：CEÓ=2：1이므로
△ACE=
1
2+1 △ABE
=
_54=18`(cmÛ`)
;3!;
∴ △ACD=△ACE=18 cmÛ`
11 △ABC에서 BDÓ=CDÓ이므로
△ADC=
;2!;△ABC=
△ADC에서 AEÓ：EDÓ=4：3이므로
;2!;
_42=21`(cmÛ`)
△EDC=
3
4+3 △ADC
=
_21=9`(cmÛ`)
;7#;
12 ABÓ∥DCÓ이므로 △AQD=△BQD
BDÓ∥PQÓ이므로 △BQD=△BPD
∴ △AQD=△BPD
이때 BPÓ：PCÓ=1：2이므로
△BPD=
1
1+2 △DBC=
_
ABCD
;3!;
;2!;
=
ABCD
;6!;
;6!;
=
_60=10`(cmÛ`)
∴ △AQD=△BPD=10`cmÛ`
13 ADÓ∥BCÓ이므로
△DBC=△ABC=35 cmÛ`
∴ △DOC =△DBC-△OBC
=35-20=15 (cmÛ`)
14 △DOC=△ABO=6`cmÛ`이므로
ABCD =△AOD+△ABO+△OBC+△DOC
=4+6+9+6=25`(cmÛ`)
15 오른쪽 그림과 같이 DEÓ를 그으면
BFÓ：FEÓ=3：5이므로
△DBF：△DFE=3：5
즉 9：△DFE=3：5
∴ △DFE=15`(cmÛ`)
A
D
B
F C
E
II. 사각형의 성질 21
=
_
ABCD+
_
ABCD-
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
_
;2!;△BCD
;2!;
03 ABCD는 평행사변형이므로 ∠ADC=∠B=70ù
17 ⑴ 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면
△ABE：△AEC =BEÓ：ECÓ
A
D
04 ∠ADC=∠B=45ù
∠ADE=
∠ADC=
_45ù=30ù
;3@;
;3@;
E
C
△AED에서 ∠DAE=180ù-(75ù+30ù)=75ù
ADÓ∥BCÓ이므로 ∠AEB=∠DAE=75ù (엇각)
DCÓ∥AEÓ이므로 △ADC=△EDC
∴ ADFC =△DFC+△ADC
=△DFC+△EDC
=△DFE=15`cmÛ`
16 오른쪽 그림과 같이 ACÓ, BDÓ, MDÓ를
그으면
A
△AMN
=△AMC+△ACN-△MCN
B
M
C
D
N
=
;2!;△ABC+
;2!;△ACD-
;2!;△MCD
=
ABCD+
ABCD-
;4!;△BCD
=
ABCD-
_
ABCD
;4!;
;2!;
=
ABCD-
ABCD
=
ABCD=
_40=15`(cmÛ`)
;4!;
;2!;
;2!;
;8#;
;4!;
;8!;
;8#;
B
F
=3：4
이므로
△ABE=
3
3+4 △ABC
=
_
;7#;
;2!;
ABCD
=
;1£4;
ABCD=
_42=9`(cmÛ`)
;1£4;
⑵ ADÓ∥BCÓ이므로 △DBE=△ABE
AFÓ∥DCÓ이므로 △DBF=△CBF
∴ △CEF =△CBF-△EBF
=△DBF-△EBF
=△DBE=△ABE=9`cmÛ`
18 △ABE=△ABD=△DBC이므로
△ABF+△FBE=△DFE+△FBE+△EBC
즉 △ABF=△DFE+△EBC이므로
△DFE =△ABF-△EBC=16-12=4`(cmÛ`)
01 ① ADÓ∥BCÓ이므로 ∠ADB=∠DBC=42ù (엇각)
② ADÓ∥BCÓ이므로 ∠ACB=∠DAC=30ù (엇각)
③ △ACD에서 30ù+∠x+(42ù+∠y)=180ù
∴ ∠x+∠y=108ù
④ △AOD에서 ∠DOC=30ù+42ù=72ù
02 ABÓ∥CEÓ이므로 ∠CEB=∠ABE (엇각)이고
∠CBE=∠ABE이므로 ∠CEB=∠CBE
따라서 △BCE는 BCÓ=CEÓ인 이등변삼각형이므로
CEÓ=BCÓ=7`cm
∴ ∠ADH=
_70ù=35ù
;2!;
△AHD에서
∠DAH=180ù-(90ù+35ù)=55ù
ADÓ∥BCÓ이므로 ∠AEB=∠DAH=55ù (엇각)
∴ ∠x=180ù-55ù=125ù
05 ∠A+∠B=180ù이고 ∠A：∠B=7：3이므로
∠B=180ù_
=54ù
3
7+3
∴ ∠D=∠B=54ù
06 ADÓ=BCÓ이므로 3x+4=5x
∴ AOÓ=4x-3=4_2-3=5
∴ x=2
이때 AOÓ=COÓ이므로 ACÓ=2AOÓ=10
07 ③ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다.
④ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평행사변형이다.
⑤ ∠D=360ù-(50ù+130ù+50ù)=130ù
즉 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사변형이다.
08 ① EDÓ∥BFÓ,``EDÓ=BFÓ에서 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가
같으므로 EBFD는 평행사변형이다.
② EOÓ=FOÓ,``AOÓ=COÓ에서 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분
하므로 AECF는 평행사변형이다.
③ AECF는 평행사변형인지 아닌지 알 수 없다.
실전의
02 7`cm
07 ①, ②
01 ⑤
06 10
11 28`cmÛ` 12 54ù
16 ②
17 ③, ⑤
90쪽~93쪽
④ AEÓ∥CFÓ, AEÓ=CFÓ에서 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가
03 125ù
08 ③
13 72ù
05 54ù
04 75ù
09 4개
10 72`cmÛ`
14 41`cm 15 ②, ④
같으므로 AECF는 평행사변형이다.
⑤ EHÓ=FGÓ, EFÓ=HGÓ에서 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므
로 EFGH는 평행사변형이다.
18 ⑴ ㉣, ㉤, ㉥ ⑵ ㉡, ㉢, ㉣, ㉤ ⑶ ㉢, ㉤ 19 ④
21 20`cmÛ` 22 81`cmÛ` 23 45ù
24 30`cmÛ`
20 46`cmÛ`
09 BFED는 BCÓ=CEÓ, DCÓ=CFÓ에서 두 대각선이 서로 다른 것
을 이등분하므로 평행사변형이다.
22 정답과 해설
ABFC는 ABÓ∥CFÓ, ABÓ=CFÓ에서 한 쌍의 대변이 평행하고
그 길이가 같으므로 평행사변형이다.
17 ③ 한 내각의 크기가 90ù이거나 두 대각선의 길이가 같다.
⑤ 이웃하는 두 변의 길이가 같거나 두 대각선이 서로 수직으로 만
ACED는 ADÓ∥CEÓ, ADÓ=CEÓ에서 한 쌍의 대변이 평행하고
난다.
그 길이가 같으므로 평행사변형이다.
따라서 평행사변형은 ABCD, BFED, ABFC, ACED
19 직사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 마름모이므로
마름모의 성질이 아닌 것은 ④이다.
14 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서 ABÓ
와 평행한 직선을 그어 BCÓ와 만나는 점
A
7 cm
D
9 cm
120∞
이때 ADÓ∥BCÓ이므로 ABHG와 GHCD는 평행사변형이다.
의 4개이다.
10 ABCD =4△OAB=4_18=72`(cmÛ`)
11 △ABP+△PCD=
;2!;
ABCD=
_84=42`(cmÛ`)
;2!;
이때 △ABP=14`cmÛ`이므로
14+△PCD=42
∴ △PCD=28`(cmÛ`)
12 ABCD는 마름모이므로 ∠AOD=90ù
ADÓ∥BCÓ이므로 ∠ADB=∠CBD=36ù (엇각)
∴ ∠DAC=180ù-(90ù+36ù)=54ù
13 △AED와 △CED에서
ADÓ=CDÓ, EDÓ는 공통, ∠ADE=∠CDE=45ù
따라서 △AEDª△CED ( SAS 합동)이므로
∠DCE=∠DAE=27ù
△ECD에서
∠BEC=∠EDC+∠DCE=45ù+27ù=72ù
을 E라 하면
ABED는 평행사변형이므로
BEÓ=ADÓ=7`cm
ADÓ∥BCÓ이므로 ∠A+∠B=180ù
∴ ∠B=180ù-120ù=60ù
60∞
B
60∞ 60∞
C
E
ABCD는 등변사다리꼴이므로 ∠C=∠B=60ù이고
∠DEC=∠B=60ù (동위각)이므로 △DEC는 정삼각형이다.
∴ ECÓ=DCÓ=ABÓ=9`cm
∴ (ABCD의 둘레의 길이) =9+(7+9)+9+7
=41`(cm)
15 ① 이웃하는 두 변의 길이가 같은 직사각형은 정사각형이다.
③ 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형은 직사각형이다.
⑤ 두 대각선이 서로 수직으로 만나는 평행사변형은 마름모이다.
16 ADÓ∥BCÓ이므로 ∠BAD+∠ABC=180ù
∴ Z+×=90ù
△ABQ에서 ∠AQB=180ù-90ù=90ù
마찬가지 방법으로
∠ BPC=∠DSC=∠ARD=90ù
20 ACÓ∥DEÓ이므로 △ACD=△ACE=20`cmÛ`
∴ ABCD =△ABC+△ACD
=△ABC+△ACE
=26+20=46`(cmÛ`)
21 ADÓ∥BCÓ이므로 △ABE=△DBE
BDÓ∥EFÓ이므로 △DBE=△DBF
∴ △DBF=△ABE=20`cmÛ`
22 △ABG와 △DFG에서
ABÓ=DFÓ, ∠ABG=∠DFG (엇각), ∠BAG=∠FDG (엇각)
따라서 △ABGª△DFG (ASA 합동)이므로
AGÓ=DGÓ
마찬가지 방법으로
△ABHª△ECH (ASA 합동)이므로 BHÓ=CHÓ
ADÓ=2ABÓ이므로
AGÓ=DGÓ=BHÓ=CHÓ=
ADÓ=ABÓ
;2!;
△DFG=△ECH=△ABH=18`cmÛ`
GHCD=ABHG=2△ABH=2_18=36`(cmÛ`)
△PHG=
;4!;
ABHG=
_36=9`(cmÛ`)
;4!;
∴ △PEF =△PHG+△ECH+GHCD+△DFG
=9+18+36+18=81`(cmÛ`)
23 ADÓ=DCÓ=DEÓ이므로 △DAE는 이등변삼각형이다.
∠DAE=∠DEA=∠a라 하면
∠ CDE =180ù-(90ù+∠a+∠a)=90ù-2∠a
따라서 △DCE에서 ∠DCE=∠DEC=∠a+∠x이므로
(90ù-2∠a)+(∠a+∠x)+(∠a+∠x)=180ù
2∠x=90ù
∴ ∠x=45ù
24 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면
AFÓ∥BCÓ이므로
△DBF=△DCF
∴ △DBE =△DBF-△DEF
=△DCF-△DEF
=△ECF=6`cmÛ`
A
B
이때 △DBE：△EBC=DEÓ：CEÓ=2：3이므로
F
D
E
C
즉 ∠PQR=∠QRS=∠RSP=∠SPQ=90ù이므로 PQRS는
△EBC=
;2#;△DBE=
;2#;
_6=9`(cmÛ`)
직사각형이다.
∴ ABCD =2△DBC=2(△DBE+△EBC)
따라서 직사각형의 성질이 아닌 것은 ②이다.
=2_(6+9)=30`(cmÛ`)
II. 사각형의 성질 23
Ó
III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리
01
닮은 도형의 성질
기초의
1 ⑴ 점 F ⑵ ABÓ ⑶ ∠D
2 ⑴ ◯ ⑵ _ ⑶ _ ⑷ ◯
3 ⑴ 2：3 ⑵
`cm ⑶ 40ù ⑷ 60ù
:Á3¼:
4 ⑴ 4：3 ⑵ 6`cm ⑶ 75ù ⑷ 120ù
5 ⑴ 2：1 ⑵ B'E'Ó ⑶ x=10, y=7
6 ⑴ 3：5 ⑵ 6
3 ⑴ 닮음비는 BCÓ：EFÓ=4：6=2：3
⑵ ABÓ：DEÓ=2：3이므로
ABÓ：5=2：3
∴ ABÓ=
`(cm)
:Á3¼:
⑶ ∠E=∠B=40ù
⑷ ∠C=∠F=60ù
4 ⑴ 닮음비는 BCÓ：FGÓ=12：9=4：3
⑵ ABÓ：EFÓ=4：3이므로
8：EFÓ=4：3
∴ EFÓ=6`(cm)
⑶ ∠A=∠E=75ù
⑷ ∠H=∠D=360ù-(75ù+80ù+85ù)=120ù
5 ⑴ 닮음비는 ABÓ：A'B'Ó=8：4=2：1
⑵ BEÓ에 대응하는 모서리는 B'E'Ó이다.
⑶ x：5=2：1
∴ x=10
14：y=2：1
∴ y=7
6 ⑴ 두 원기둥의 닮음비는 높이의 비와 같으므로 닮음비는
12：20=3：5
⑵ x：10=3：5
∴ x=6
01 다음의 경우에는 닮은 도형이 아니다.
②
⑤
24 정답과 해설
02 ⑴ 닮음비는 BCÓ：EFÓ=6：9=2：3
ABÓ：DEÓ=2：3이므로
9：DEÓ=2：3
∴ DEÓ=
`(cm)
:ª2¦:
⑵ ∠E=∠B=25ù이므로 △DEF에서
∠D=180ù-(25ù+120ù)=35ù
03 닮음비는 ACÓ：GIÓ=4：6=2：3
ABÓ：GHÓ=2：3이므로
98쪽
x：9=2：3
∴ x=6
ADÓ：GJÓ=2：3이므로
8：y=2：3
∴ y=12
∴ x+y=6+12=18
04 두 원기둥 A, B의 닮음비는 3：5
원기둥 A의 높이를 x`cm라 하면
x：15=3：5
∴ x=9
따라서 원기둥 A의 높이는 9`cm이다.
내공의
01 ②
05 16p`cmÛ` 06 4：1
02 ④
03 ④
04 ⑤
101쪽
01 ② 다음의 경우에는 닮은 도형이 아니다.
120∞
30∞
30∞
75∞
75∞
30∞
02 ③ ∠E=∠B=70ù
④ BCÓ：DFÓ는 알 수 없다.
⑤ 닮음비는 ACÓ：DFÓ=15：6=5：2
ABÓ：DEÓ=5：2이므로
10：DEÓ=5：2
∴ DEÓ=4`(cm)
03 ① ∠A=∠E=120ù
② ∠F=∠B=85ù
③ 닮음비는 ADÓ：EHÓ=18：9=2：1
BCÓ：14=2：1
∴ BCÓ=28`(cm)
⑤ ABÓ：EFÓ=2：1이므로
ABÓ：6=2：1
∴ ABÓ=12`(cm)
따라서 ABCD의 둘레의 길이는
12+28+22+18=80`(cm)
04 ① 닮음비는 ABÓ：A'B'Ó=4：6=2：3
ADÓ：A'D'Ó=2：3이므로
ADÓ：6=2：3
∴ ADÓ=4`(cm)
⑤ BCÓ：B'C'Ó=FDÓ：F'D'Ó
개념의
유제
99쪽~100쪽
④ BCÓ：FGÓ=2：1이므로
01 ②, ⑤
02 ⑴
`cm ⑵ 35ù
03 18
04 9`cm
:ª2¦:
05 두 원기둥 A, B의 닮음비는 5：10=1：2
원기둥 B의 밑면의 반지름의 길이를 x`cm라 하면
2：x=1：2
∴ x=4
따라서 원기둥 B의 밑면의 넓이는
p_4Û`=16p`(cmÛ`)
06 오른쪽 그림과 같이 A4 용지의 가로의 길이를
a라 하면 A8 용지의 가로의 길이는
a이다.
;4!;
따라서 A4 용지와 A8 용지의 닮음비는
1
2
a
A6
a
1
4
A8
A9
A7
a：
a=4：1
;4!;
A5
a
A4
⑵ △ACB와 △DCE에서
ACÓ：DCÓ=4：8=1：2,
BCÓ：ECÓ=2：4=1：2,
∠ACB=∠DCE`(맞꼭지각)
∴ △ACB »△DCE`(SAS 닮음)
3 ⑴ △ABC와 △ADB에서
ABÓ：ADÓ=6：4=3：2,
ACÓ：ABÓ=9：6=3：2,
∠A는 공통
∴ △ABC »△ADB`(SAS 닮음)
⑵ BCÓ：DBÓ=3：2에서 12：x=3：2
∴ x=8
4 ⑴ △ABC와 △AED에서
∠A는 공통, ∠ACB=∠ADE
∴ △ABC »△AED`(AA 닮음)
1 △ABC »△GHI (AA 닮음), △DEF »△RPQ (SSS 닮음),
02
삼각형의 닮음 조건
기초의
△JKL »△NMO (SAS 닮음)
2 ⑴ △ABC »△EDC (AA 닮음)
⑵ △ACB »△DCE (SAS 닮음)
3 ⑴ △ABC »△ADB (SAS 닮음) ⑵ 8
4 ⑴ △ABC »△AED (AA 닮음) ⑵ 14
5 ⑴ x, ax ⑵ y, ay ⑶ x, xy
6 ⑴ 3 ⑵ 16
1 △ABC에서 ∠A=180ù-(45ù+55ù)=80ù
즉 △ABC와 △GHI에서
∠A=∠G=80ù, ∠B=∠H=45ù
∴ △ABC »△GHI (AA 닮음)
△DEF와 △RPQ에서
DEÓ：RPÓ=5：10=1：2,
EFÓ：PQÓ=4：8=1：2,
FDÓ：QRÓ=6：12=1：2
∴ △DEF »△RPQ (SSS 닮음)
△JKL과 △NMO에서
JKÓ：NMÓ=4：5,
KLÓ：MOÓ=6：7.5=4：5,
∠K=∠M=50ù
∴ △JKL »△NMO (SAS 닮음)
2 ⑴ ∠A=180ù-(90ù+65ù)=25ù
△ABC와 △EDC에서
∠A=∠E, ∠ACB=∠ECD=90ù
∴ △ABC »△EDC`(AA 닮음)
⑵ ABÓ：AEÓ=ACÓ：ADÓ에서 12：6=(6+x)：10
36+6x=120, 6x=84
∴ x=14
104쪽
6 ⑴ ABÓ Û`=BHÓ_BCÓ에서 6Û`=x_12
⑵ AHÓ Û`=HBÓ_HCÓ에서 12Û`=9_x
∴ x=3
∴ x=16
개념의
유제
01 △ABC »△DAC (SSS 닮음)
03 ⑴ 10 ⑵
:Á2°:
04 ⑴ 12 ⑵ 5
105쪽~108쪽
02 ①
05 8
06 3
07 :ª2Á:
01 △ABC와 △DAC에서
ABÓ：DAÓ=9：6=3：2,
BCÓ：ACÓ=18：12=3：2,
CAÓ：CDÓ=12：8=3：2
∴ △ABC »△DAC (SSS 닮음)
02 ① △ABC에서 ∠A=70ù이면
∠C=180ù-(70ù+50ù)=60ù
이때 △DEF에서 ∠E=50ù이면
∠B=∠E=50ù, ∠C=∠F=60ù이므로
△ABC »△DEF (AA 닮음)
03 ⑴ △ABC와 △AED에서
ABÓ：AEÓ=8：4=2：1,
ACÓ：ADÓ=6：3=2：1,
∠A는 공통
∴ △ABC »△AED (SAS 닮음)
즉 BCÓ：EDÓ=2：1이므로
x：5=2：1
∴ x=10
III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 25
⑵ △ABC와 △EBD에서
ABÓ：EBÓ=12：8=3：2,
BCÓ：BDÓ=9：6=3：2,
∠B는 공통
∴ △ABC »△EBD (SAS 닮음)
즉 ACÓ：EDÓ=3：2이므로
x：5=3：2
∴ x=
:Á2°:
04 ⑴ △ABC와 △EBD에서
∠B는 공통, ∠ACB=∠EDB=90ù
∴ △ABC »△EBD (AA 닮음)
즉 ABÓ：EBÓ=BCÓ：BDÓ이므로
∴ x=12
x：6=10：5
⑵ △ABC와 △EDC에서
∠C는 공통, ∠ABC=∠EDC
∴ △ABC »△EDC (AA 닮음)
즉 BCÓ：DCÓ=ACÓ：ECÓ이므로
(x+3)：4=6：3, 3x+9=24
3x=15
∴ x=5
05 △ADC와 △BEC에서
∠C는 공통, ∠ADC=∠BEC=90ù
∴ △ADC »△BEC (AA`닮음)
즉 DCÓ：ECÓ=ACÓ：`BCÓ이므로
4：6=8：(x+4), 4x+16=48
4x=32
∴ x=8
06 ADÓ Û`=DHÓ_DBÓ에서
5Û`=4_(4+BHÓ), 25=16+4BHÓ
∴ BHÓ=
;4(;
AHÓ Û`=HBÓ_HDÓ에서
xÛ`=
_4=9
∴ x=3 (∵ x>0)
;4(;
07 △DBE와 △ECF에서
∠B=∠C=60ù, ∠BDE=120ù-∠BED=∠CEF
∴ △DBE »△ECF (AA 닮음)
ADÓ=EDÓ=7이므로 BCÓ=ABÓ=7+8=15
∴ ECÓ=BCÓ-BEÓ=15-3=12
이때 DBÓ：ECÓ=DEÓ：EFÓ이므로
8：12=7：x
∴ x=
:ª2Á:
연산의
1 ⑴ 6 ⑵
:ª3¼: ⑶
;2%; ⑷ 8
2 ⑴ 4 ⑵ 6 ⑶
:£5¤: ⑷ 3
3 ⑴ 6 ⑵
:£5ª: ⑶ 15 ⑷ 4
26 정답과 해설
1 ⑴ △ABC와 △AED에서
ABÓ：AEÓ=12：4=3：1,
ACÓ：ADÓ=15：5=3：1,
∠A는 공통
∴ △ABC »△AED (SAS 닮음)
즉 BCÓ：EDÓ=3：1이므로
∴ x=6
18：x=3：1
⑵ △ABC와 △ACD에서
ABÓ：ACÓ=9：6=3：2,
ACÓ：ADÓ=6：4=3：2,
∠A는 공통
∴ △ABC »△ACD (SAS 닮음)
즉 BCÓ：CDÓ=3：2이므로
10：x=3：2
∴ x=
:ª3¼:
⑶ △ABC와 △CBD에서
ABÓ：CBÓ=9：3=3：1,
BCÓ：BDÓ=3：1,
∠B는 공통
∴ △ABC »△CBD (SAS 닮음)
즉 ACÓ：CDÓ=3：1이므로
:Á2°:
：x=3：1
∴ x=
;2%;
⑷ △ACE와 △BDE에서
AEÓ：BEÓ=6：9=2：3,
CEÓ：DEÓ=4：6=2：3,
∠AEC=∠BED (맞꼭지각)
∴ △ACE »△BDE (SAS 닮음)
즉 ACÓ：BDÓ=2：3이므로
x：12=2：3
∴ x=8
2 ⑴ △ABC와 △ACD에서
∠A는 공통, ∠ABC=∠ACD
∴ △ABC »△ACD (AA 닮음)
즉 ABÓ：ACÓ=ACÓ：ADÓ이므로
9：6=6：x
∴ x=4
⑵ △ABC와 △AED에서
∠A는 공통, ∠ABC=∠AED
∴ △ABC »△AED (AA 닮음)
즉 ABÓ：AEÓ=ACÓ：ADÓ이므로
(4+x)：5=8：4, 16+4x=40
109쪽
4x=24
∴ x=6
⑶ △ABC와 △EDA에서
∠ACB=∠EAD (엇각), ∠BAC=∠DEA (엇각)
∴ △ABC »△EDA (AA 닮음)
즉 ACÓ：EAÓ=BCÓ：DAÓ이므로
8：5=x：
∴ x=
;2(;
:£5¤:
⑷ △ABE와 △ACD에서
∠A는 공통, ∠AEB=∠ADC=90ù
∴ △ABE »△ACD (AA 닮음)
즉 ABÓ：ACÓ=AEÓ：ADÓ이므로
8：6=4：x
∴ x=3
3 ⑴ ABÓ Û`=BHÓ_BCÓ에서
xÛ`=4_9=36
⑵ ACÓ Û`=CHÓ_CBÓ에서
∴ x=6 (∵ x>0)
8Û`=x_10, 64=10x
∴ x=
:£5ª:
⑶ ACÓ Û`=CHÓ_CBÓ에서
10Û`=5_(5+x), 100=25+5x
⑷ AHÓ Û`=HBÓ_HCÓ에서
∴ x=15
xÛ`=8_2=16
∴ x=4 (∵ x>0)
내공의
110쪽~112쪽
01 ③
02 ②
03 12
04 12
05 8`cm
06 :Á2°:
`cm 07 6`cm 08 ⑤
09 :Á2°:
10 ⑤
11 39`cmÛ` 12 ;2@5&;
13 :ª5¥:
`cm 14 15`cm 15 15`cm
16 :Á5¤:
`cm 17 4`cm 18 :Á2°:
`cm
01 ㉢의 삼각형에서 주어지지 않은 한 내각의 크기는
180ù-(30ù+105ù)=45ù
따라서 ㉢, ㉤ 은 두 쌍의 대응하는 각의 크기가 각각 같으므로 닮은
삼각형이다. (AA 닮음)
02 ② △ABC에서 ∠C=80ù이면
∠A=180ù-(40ù+80ù)=60ù
이때 △EDF에서 ∠D=40ù이면
∠B=∠D=40ù, ∠A=∠E=60ù이므로
△ABC »△EDF (AA 닮음)
03 △ACE와 △DBE에서
AEÓ：DEÓ=2：6=1：3,
CEÓ：BEÓ=3：9=1：3,
∠AEC=∠DEB (맞꼭지각)
∴ △ACE »△DBE (SAS 닮음)
즉 ACÓ：DBÓ=1：3이므로 4：x=1：3
∴ x=12
04 △ABC와 △AED에서
ABÓ：AEÓ=8：4=2：1,
ACÓ：ADÓ=10：5=2：1,
∠A는 공통
∴ △ABC »△AED (SAS 닮음)
즉 BCÓ：EDÓ=2：1이므로 x：6=2：1
05 △ABC와 △ACD에서
∠A는 공통, ∠ABC=∠ACD
∴ △ABC »△ACD (AA 닮음)
즉 ABÓ：ACÓ=ACÓ：ADÓ이므로
18：12=12：ADÓ
∴ ADÓ=8`(cm)
06 △AFE와 △CFB에서
∠AFE=∠CFB (맞꼭지각),
∠EAF=∠BCF (엇각)
∴ △AFE »△CFB (AA 닮음)
즉 AFÓ：CFÓ=AEÓ：CBÓ이므로
4：8=AEÓ：15
∴ AEÓ=
`(cm)
:Á2°:
한편 ADÓ=BCÓ=15`cm이므로
DEÓ=ADÓ-AEÓ=15-
=
:Á2°:
:Á2°:
`(cm)
07 △BFE와 △CDE에서
∠BEF=∠CED (맞꼭지각),
∠EBF=∠ECD (엇각)
∴ △BFE »△CDE (AA 닮음)
CEÓ=x`cm라 하면
BEÓ=9-CEÓ=9-x`(cm)
이때 BFÓ：CDÓ=BEÓ：CEÓ이므로
2：4=(9-x)：x, 2x=36-4x
6x=36
∴ x=6`
따라서 CEÓ의 길이는 6`cm이다.
08 Ú △ABC와 △AEF에서
∠A는 공통, ∠ABC=∠AEF=90ù
∴ △ABC »△AEF (AA 닮음)
Û △ABC와 △DEC에서
∠C는 공통, ∠ABC=∠DEC=90ù
∴ △ABC »△DEC (AA 닮음)
Ü △DEC와 △DBF에서
∠D는 공통, ∠DEC=∠DBF=90ù
∴ △DEC »△DBF (AA 닮음)
Ú~Ü에서
△ABC »△AEF »△DEC »△DBF (AA 닮음)
09 △ABE와 △ADF에서
∠AEB=∠AFD=90ù, ∠ABE=∠ADF
∴ △ABE »△ADF (AA 닮음)
즉 ABÓ：ADÓ=AEÓ：AFÓ이므로
10：12=AEÓ：9
∴ AEÓ=
:Á2°:
∴ x=12
10 ⑤ ABÓ Û`=BDÓ_BCÓ
III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 27
11 AHÓ Û`=HBÓ_HCÓ에서
6Û`=HBÓ_9
∴ HBÓ=4`(cm)
16 점 M은 △ABC의 외심이므로
AMÓ=BMÓ=CMÓ
∴ △ABC=
;2!;
_(4+9)_6=39`(cmÛ`)
=
BCÓ=
_10=5`(cm)
;2!;
;2!;
12 △ABC에서 BAÓ Û`=ADÓ_ACÓ이므로
3Û`=ADÓ_5
∴ ADÓ=
;5(;
△ABD에서 DAÓ Û`=AEÓ_ABÓ이므로
=AEÓ_3,
=3AEÓ
∴ AEÓ=
;2*5!;
;2@5&;
{;5(;}
2`
13 △DBE와 △ECF에서
∠B=∠C=60ù, ∠BDE=120ù-∠DEB=∠CEF
∴ △DBE »△ECF (AA 닮음)
CFÓ=12-7=5`(cm), EFÓ=AFÓ=7`cm
이때 BEÓ：CFÓ=DEÓ：EFÓ이므로
4：5=DEÓ：7 ∴ DEÓ=
`(cm)
:ª5¥:
∴ ADÓ=DEÓ=
`cm
:ª5¥:
14 △ABC와 △DEF에서
∠EDF =∠ABD+∠BAD
=∠CAF+∠BAD=∠BAC
∠DEF =∠BCE+∠EBC
=∠ABD+∠EBC=∠ABC
∴ △ABC »△DEF (AA 닮음)
즉 ABÓ：DEÓ=ACÓ：DFÓ이므로
7：DEÓ=10：5
∴ DEÓ=
`(cm)
;2&;
BCÓ：EFÓ=ACÓ：DFÓ이므로
13：EFÓ=10：5
∴ EFÓ=
`(cm)
:Á2£:
∴ (△DEF의 둘레의 길이)=DEÓ+EFÓ+FDÓ
=
+
;2&;
:Á2£:
+5
=15`(cm)
15 △ABC와 △FOA에서
∠ABC=∠FOA=90ù, ∠ACB=∠FAO (엇각)
∴ △ABC »△FOA (AA 닮음)
즉 ABÓ：FOÓ=BCÓ：OAÓ이므로
12：FOÓ=16：10
∴ FOÓ=
(cm)
:Á2°:
한편 △AOF와 △COE에서
AOÓ=COÓ, ∠OAF=∠OCE (엇각),
∠AOF=∠COE (맞꼭지각)
∴ △AOF ª△COE (ASA 합동)
EOÓ=FOÓ=
`cm이므로
:Á2°:
EFÓ=EOÓ+FOÓ=
+
:Á2°:
:Á2°:
=15`(cm)
28 정답과 해설
△ABC에서
ADÓ Û`=DBÓ_DCÓ이므로
ADÓ Û`=8_2=16 ∴ ADÓ=4`(cm) (∵ ADÓ>0)
△DAM에서
ADÓ Û`=AEÓ_AMÓ이므로
4Û`=AEÓ_5 ∴ AEÓ=
`(cm)
:Á5¤:
17 △BFH와 △CGF에서
∠B=∠C=90ù,
∠BHF=90ù-∠BFH=∠CFG
∴ △BFH »△CGF (AA 닮음)
BCÓ=ADÓ=DCÓ=15+9=24`(cm)이므로
BFÓ=BCÓ-FCÓ=24-12=12`(cm)
FGÓ=DGÓ=15`cm
이때 BFÓ：CGÓ=HFÓ：FGÓ이므로
12：9=HFÓ：15
∴ HFÓ=20`(cm)
EFÓ=ADÓ=24`cm이므로
EHÓ=EFÓ-HFÓ=24-20=4`(cm)
18 ∠PBD=∠DBC (접은 각),
∠PDB=∠DBC (엇각)이므로
∠PBD=∠PDB
따라서 △PBD는 PBÓ=PDÓ인 이등변삼각형이므로
BQÓ=DQÓ=
BDÓ=
_20=10`(cm)
;2!;
;2!;
△PBQ와 △DBC에서
∠PBQ=∠DBC, ∠PQB=∠DCB=90ù
∴ △PBQ »△DBC (AA 닮음)
즉 BQÓ：BCÓ=PQÓ：DCÓ이므로
10：16=PQÓ：12 ∴ PQÓ=
`(cm)
:Á2°:
03
삼각형과 평행선
기초의
1 ⑴ x=12, y=6 ⑵ x=9, y=12
⑶ x=15, y=14 ⑷ x=3, y=12
2 ⑴ 3 ⑵ 8 ⑶ 10 ⑷ 12
3 ⑴ × ⑵ ◯
4 ⑴ 10, 5, 4 ⑵ 10, 6, 5
5 ⑴ 4, 16 ⑵ 9, ;2(;
116쪽
1 ⑴ 10：15=8：x
10：15=y：9
∴ x=12
∴ y=6
⑵ x：3=6：2
∴ x=9
y：4=6：2
∴ y=12`
⑶ 10：x=12：18
∴ x=15
y：21=12：18
∴ y=14
⑷ 8：4=6：x
∴ x=3
8：4=y：6
∴ y=12
2 ⑴ x：3=(10-5)：5
⑵ 5：x=10：(10+6)
∴ x=3
∴ x=8
⑶ 8：4=x：5
∴ x=10
⑷ 3：x=4：(4+12)
∴ x=12
3 ⑴ 4：5+3：4이므로 BCÓ와 DEÓ는 평행하지 않다.
⑵ 3：1=4.5：1.5이므로 BCÓ∥DEÓ이다.
06 ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ이므로
5：3=(4+CDÓ)：CDÓ, 5 CDÓ=12+3 CDÓ
2 CDÓ=12 ∴ CDÓ=6
∴ △ABC：△ACD =BCÓ：CDÓ
=4：6=2：3
내공의
120쪽~121쪽
01 16
06 7
02 12
07 4`cm
03 17
08 27
04 2
09 4`cm
05 17
10 ②
11 :ª7¢:
12 :Á3¤:
`cm 13 :Á2°:
`cm
개념의
유제
117쪽~119쪽
01 ⑴ x=6, y=4 ⑵ x=9, y=8
02 3`cm
03 9
04 ②, ③
05 32`cmÛ` 06 2：3
02 BCÓ∥DEÓ이므로 ABÓ：BDÓ=ACÓ：CEÓ에서
(6+8)：8=21：x
∴ x=12
01 BCÓ∥DEÓ이므로 ADÓ：DBÓ=AEÓ：ECÓ에서
∴ x=4
10：5=8：x
ADÓ：ABÓ=DEÓ：BCÓ에서
10：(10+5)=8：y
∴ y=12
∴ x+y=4+12=16
03 BCÓ∥DEÓ이므로 ABÓ：BDÓ=ACÓ：CEÓ에서
6：x=8：(8+4)
∴ x=9
ACÓ：AEÓ=BCÓ：DEÓ에서
8：4=y：4
∴ y=8
∴ x+y=9+8=17
04 ABÓ∥FGÓ이므로 ACÓ：CGÓ=BCÓ：CFÓ에서
9：(6+6)=12：x
∴ x=16
DEÓ∥FGÓ이므로 CEÓ：CGÓ=DEÓ：FGÓ에서
6：(6+6)=9：y
∴ y=18
∴ y-x=18-16=2
05 BCÓ∥DEÓ이므로 ADÓ：DBÓ=AEÓ：ECÓ에서
∴ y=8
12：9=y：6
DEÓ∥FGÓ이므로 ADÓ：AGÓ=AEÓ：AFÓ에서
12：x=8：6
∴ x=9
∴ x+y=9+8=17
06 △ABF에서 DGÓ∥BFÓ이므로
ADÓ：ABÓ=DGÓ：BFÓ에서
8：(8+4)=x：6
∴ x=4
또 AGÓ：AFÓ=ADÓ：ABÓ=8：12=2：3
△AFC에서 GEÓ∥FCÓ이므로
AGÓ：AFÓ=GEÓ：FCÓ에서
01 ⑴ 6：(6+3)=x：9 ∴ x=6
6：3=y：2 ∴ y=4
⑵ (x-6)：6=6：12 ∴ x=9
4：y=6：12 ∴ y=8
02 △ABF에서 DGÓ∥BFÓ이므로
ADÓ：ABÓ=AGÓ：AFÓ에서 6：(6+4)=AGÓ：AFÓ
∴ AGÓ：AFÓ=3：5
△AFC에서 GEÓ∥FCÓ이므로
AGÓ：AFÓ=GEÓ：FCÓ에서
3：5=GEÓ：5
∴ GEÓ=3`(cm)
03 BCÓ∥DEÓ이므로 AEÓ：ECÓ=ADÓ：DBÓ=12：4=3：1
DCÓ∥FEÓ이므로 AFÓ：FDÓ=AEÓ：ECÓ=3：1
즉 AFÓ：(12-AFÓ)=3：1이므로
AFÓ=36-3AFÓ
∴ AFÓ=9
04 ②, ③ ADÓ：DBÓ+AFÓ：FCÓ이므로 BCÓ와 DFÓ는 평행하지 않다.
∴ ∠ADF+∠ABC
05 ADÓ가 ∠A의 이등분선이므로
9：12=BDÓ：CDÓ, 즉 BDÓ：CDÓ=3：4
이때 높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같
으므로
△ABD：△ADC =BDÓ：DCÓ=3：4
즉 24：△ADC=3：4
∴ △ADC=32`(cmÛ`)
2：3=2：y
∴ y=3
∴ x+y=4+3=7
III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 29
즉 ABÓ：ADÓ+ACÓ：AEÓ이므로 BCÓ와 DEÓ는 평행하지 않다.
1 ⑴ 5：7=6：x
∴ x=
07 ABED는 평행사변형이므로
DEÓ=ABÓ=10`cm
ADÓ∥ECÓ이므로 FAÓ：FCÓ=FDÓ：FEÓ에서
4：6=FDÓ：(10-FDÓ), 6FDÓ=40-4FDÓ
10FDÓ=40
∴ FDÓ=4`(cm)
08 ABÓ∥CDÓ이므로 GBÓ：GCÓ=ABÓ：DCÓ에서
6：x=8：(4+16)
∴ x=15
EFÓ∥GCÓ이므로 DFÓ：DCÓ=EFÓ：GCÓ에서
16：(4+16)=y：15
∴ y=12
∴ x+y=15+12=27
09 CBÓ∥EDÓ이므로 AEÓ：ECÓ=ADÓ：DBÓ=12：6=2：1
EFÓ∥CDÓ이므로 AFÓ：FDÓ=AEÓ：ECÓ=2：1
즉 (12-FDÓ)：FDÓ=2：1이므로 12-FDÓ=2FDÓ
3FDÓ=12
∴ FDÓ=4`(cm)
10 ① ABÓ：ADÓ=5：10=1：2
ACÓ：AEÓ=6：11
즉 ABÓ：ADÓ+ACÓ：AEÓ이므로 BCÓ와 DEÓ는 평행하지 않다.
② ADÓ：ABÓ=6：9=2：3
AEÓ：ACÓ=4：6=2：3
즉 ADÓ：ABÓ=AEÓ：ACÓ이므로 BCÓ∥DEÓ
③ ABÓ：ADÓ=20：9
ACÓ：AEÓ=18：10=9：5
즉 ADÓ：DBÓ+AEÓ：ECÓ이므로 BCÓ와 DEÓ는 평행하지 않다.
즉 ABÓ：BDÓ+ACÓ：CEÓ이므로 BCÓ와 DEÓ는 평행하지 않다.
④ ADÓ：DBÓ=5：3
AEÓ：ECÓ=6：4=3：2
⑤ ABÓ：BDÓ=8：22=4：11
ACÓ：CEÓ=7：23
따라서 BCÓ∥DEÓ인 것은 ②이다.
11 BDÓ：CDÓ=ABÓ：ACÓ=6：8=3：4
이때 ABÓ∥EDÓ이므로
CDÓ：CBÓ=EDÓ：ABÓ에서
4：(4+3)=x：6
∴ x=
:ª7¢:
12 △AFE에서 EFÓ∥GHÓ이므로
AGÓ：GEÓ=AHÓ：HFÓ=9：3=3：1
△ADE에서 EDÓ∥GFÓ이므로
AFÓ：FDÓ=AGÓ：GEÓ=3：1
∴ FDÓ=4`(cm)
(9+3)：FDÓ=3：1
△ADC에서 CDÓ∥EFÓ이므로
AEÓ：ECÓ=AFÓ：FDÓ=3：1
△ABC에서 BCÓ∥DEÓ이므로
ADÓ：DBÓ=AEÓ：ECÓ=3：1
(9+3+4)：DBÓ=3：1
∴ DBÓ=
`(cm)
:Á3¤:
30 정답과 해설
13 ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ이므로
5：3=(4-CDÓ)：CDÓ, 5 CDÓ=12-3 CDÓ
8 CDÓ=12
∴ CDÓ=
`(cm)
;2#;
또 ABÓ：ACÓ=BEÓ：CEÓ이므로
5：3=(4+CEÓ)：CEÓ, 5 CEÓ=12+3 CEÓ
2 CEÓ=12
∴ CEÓ=6`(cm)
∴ DEÓ=CDÓ+CEÓ=
+6=
`(cm)
;2#;
:Á2°:
04
평행선과 선분의 길이의 비
기초의
1 ⑴
:¢5ª: ⑵
:ª5¢: ⑶ 18 ⑷ 9
2 ⑴ GFÓ=6, HCÓ=6, BHÓ=6 ⑵ 1：3 ⑶ EGÓ=2, EFÓ=8
3 ⑴ 1：3 ⑵ 4 ⑶ 2：3 ⑷ GFÓ=4, EFÓ=8
4 ⑴ 2：1 ⑵ 2：3 ⑶ 2
5 ⑴ 2：3 ⑵ 2：5 ⑶
:Á5¤:
124쪽
⑵ 10：6=8：x
∴ x=
⑶ 6：(x-6)=7：14에서
:¢5ª:
:ª5¢:
7x-42=84, 7x=126
∴ x=18
⑷ x：(21-x)=6：8에서
8x=126-6x, 14x=126
∴ x=9
BHÓ=BCÓ-HCÓ=12-6=6
2 ⑴ GFÓ=HCÓ=ADÓ=6
⑵ △ABH에서
⑶ EGÓ：BHÓ=1：3이므로
EGÓ：6=1：3
∴ EGÓ=2
∴ EFÓ=EGÓ+GFÓ=2+6=8
EGÓ：BHÓ =AEÓ：ABÓ=2：(2+4)=1：3
3 ⑴ △ABC에서
EGÓ：BCÓ=AEÓ：ABÓ=2：(2+4)=1：3
⑵ EGÓ：BCÓ=1：3이므로
EGÓ：12=1：3
∴ EGÓ=4
⑶ △ACD에서
GFÓ：ADÓ=CGÓ：CAÓ=BEÓ：BAÓ=4：(4+2)=2：3
⑷ GFÓ：ADÓ=2：3이므로
GFÓ：6=2：3
∴ GFÓ=4
∴ EFÓ=EGÓ+GFÓ=4+4=8
개념의
유제
125쪽~126쪽
01 ⑴ 17 ⑵
:£3¢:
02 4`cm
03 2
04 12
4 ⑴ △ABE »△CDE`(AA 닮음)이므로
BEÓ：DEÓ=ABÓ：CDÓ=6：3=2：1
⑵ BEÓ：BDÓ=2：(2+1)=2：3
⑶ BEÓ：BDÓ=EFÓ：DCÓ에서
2：3=x：3 ∴ x=2
5 ⑴ △ABE »△CDE (AA 닮음)이므로
BEÓ：DEÓ=ABÓ：CDÓ=4：6=2：3
⑵ BEÓ：BDÓ=2：(2+3)=2：5
⑶ BEÓ：BDÓ=BFÓ：BCÓ에서
2：5=x：8
∴ x=
:Á5¤:
01 ⑴ 4：6=6：x
4：6=y：12
∴ x=9
∴ y=8
∴ x+y=9+8=17
⑵ x：(14-x)=6：8에서
8x=84-6x, 14x=84
∴ x=6
6：8=4：y에서 y=
:Á3¤:
∴ x+y=6+
=
:Á3¤:
:£3¢:
02 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그어 EFÓ와
만나는 점을 G라 하면
△ABC에서
AEÓ：ABÓ=EGÓ：BCÓ이므로
1：(1+2)=EGÓ：6
∴ EGÓ=2`(cm)
△ACD에서
GFÓ：ADÓ=CGÓ：CAÓ=BEÓ：BAÓ이므로
GFÓ：3=2：(2+1)
∴ GFÓ=2`(cm)
∴ EFÓ=EGÓ+GFÓ=2+2=4`(cm)
03 △ABC에서 AEÓ：ABÓ=EQÓ：BCÓ이므로
2：(2+3)=EQÓ：14 ∴ EQÓ=
:ª5¥:
△ABD에서 BEÓ：BAÓ=EPÓ：ADÓ이므로
3：(3+2)=EPÓ：6 ∴ EPÓ=
:Á5¥:
∴ PQÓ=EQÓ-EPÓ=
;;ª5¥;;-:Á5¥:
=2
04 △ABC에서
CEÓ：CAÓ=EFÓ：ABÓ=4：6=2：3이므로
CEÓ：AEÓ=2：(3-2)=2：1
이때 △ABE »△CDE (AA 닮음)이므로
AEÓ：CEÓ=ABÓ：CDÓ
1：2=6：CDÓ
∴ CDÓ=12
내공의
01 3
06 21
11 36
02 31
07 14`cm
12 30`cmÛ`
127쪽~128쪽
03 :°5¢:
08 8`cm
04 16`cm 05 17
09 4`cm 10 ④
01 3：y=2：5
∴ y=
:Á2°:
5：x=
：9이므로
x=45
∴ x=6
:Á2°:
:Á2°:
∴ 3x-2y=18-15=3
02 6：3=8：x
∴ x=4
(6+3)：6=y：9이므로 6y=81
∴ y=
:ª2¦:
∴ x+2y=4+27=31
03 오른쪽 그림에서
8：(8+12)=(x-6)：(18-6)
20x-120=96, 20x=216
∴ x=
:°5¢:
l
m
n
8
12
6
6
x
6
18
3 cm
A
E
G
D
F
04 오른쪽 그림과 같이 점 A를 지나고
DCÓ에 평행한 직선을 그어 EFÓ,
BCÓ와 만나는 점을 각각 G, H라 하
면
A
10 cm
D
6 cm
E
4 cm
B
G
H
20 cm
F
C
B
6 cm
C
HCÓ=GFÓ=ADÓ=10`cm,
BHÓ =BCÓ-HCÓ=20-10=10`(cm)
△ABH에서 AEÓ：ABÓ=EGÓ：BHÓ이므로
∴ EGÓ=6`(cm)
6：(6+4)=EGÓ：10
∴ EFÓ=EGÓ+GFÓ=6+10=16`(cm)
05 오른쪽 그림과 같이 점 A를 지나고 DCÓ에
평행한 직선을 그어 EFÓ, BCÓ와 만나는 점
A
9
D
을 각각 G, H라 하면
HCÓ=GFÓ=ADÓ=9,
EGÓ=EFÓ-GFÓ=15-9=6
△ABH에서 AEÓ：ABÓ=EGÓ：BHÓ이므로
3：(3+1)=6：BHÓ
∴ BHÓ=8
∴ BCÓ=BHÓ+HCÓ=8+9=17
E
B
G
15
H
F
C
III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 31
AGÓ：GCÓ=AEÓ：EBÓ=8：4=2：1이므로
각 I, J, K라 하면
06 △ABC에서 AEÓ：ABÓ=EGÓ：BCÓ이므로
8：(8+4)=y：18
∴ y=12
이때 GFÓ=15-12=3`(cm)
CGÓ：CAÓ=1：(1+2)=1：3
△ACD에서 CGÓ：CAÓ=GFÓ：ADÓ이므로
∴ x=9
1：3=3：x
∴ x+y=9+12=21
07 AEÓ=2EBÓ에서 AEÓ：EBÓ=2：1
△ABC에서 ENÓ：BCÓ=AEÓ：ABÓ이므로
△ABD에서 EMÓ：ADÓ=BEÓ：BAÓ이므로
EMÓ：18=1：(1+2)
ENÓ：30=2：(2+1)
∴ EMÓ=6`(cm)
∴ ENÓ=20`(cm)
∴ MNÓ=ENÓ-EMÓ=20-6=14`(cm)
08 △ABD에서 MOÓ：ADÓ=BMÓ：BAÓ이므로
MOÓ：6=2：(2+1) ∴ MOÓ=4`(cm)
△ABC에서
AOÓ：OCÓ=AMÓ：MBÓ=1：2이므로
ACÓ：OCÓ=(1+2)：2=3：2
△ACD에서 ONÓ：ADÓ=COÓ：CAÓ이므로
ONÓ：6=2：3 ∴ ONÓ=4`(cm)
∴ MNÓ=MOÓ+ONÓ=4+4=8`(cm)
09 ABÓ, EFÓ, DCÓ가 모두 BCÓ에 수직이므로
ABÓ∥EFÓ∥DCÓ
△BCD에서
BEÓ：BDÓ =EFÓ：DCÓ=3：12=1：4
이때 △ABE »△CDE (AA 닮음)이므로
BEÓ：DEÓ=ABÓ：CDÓ
1：(4-1)=ABÓ：12
∴ ABÓ=4`(cm)
10 ① △ABE와 △CDE에서
∠ABE=∠CDE (엇각), ∠EAB=∠ECD (엇각)
∴ △ABE »△CDE (AA 닮음)
AEÓ：CEÓ=ABÓ：CDÓ=10：15=2：3
② △ABE »△CDE이므로
③ △ABC에서
(20-BFÓ)：BFÓ=3：2
CFÓ：BFÓ=CEÓ：AEÓ=3：2이므로
3BFÓ=40-2BFÓ
∴ BFÓ=8`(cm)
④ △ABC에서
EFÓ：ABÓ=CEÓ：CAÓ=3：(3+2)=3：5
⑤ EFÓ：ABÓ=3：5이므로
EFÓ：10=3：5
∴ EFÓ=6`(cm)
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
32 정답과 해설
11 오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나
고 ABÓ에 평행한 직선을 그어
EFÓ, GHÓ, BCÓ와 만나는 점을 각
3
E
6
G
9
8 A
D
F
I
J
B
K
38
H
C
BKÓ=GJÓ=EIÓ=ADÓ=8,
KCÓ=BCÓ-BKÓ=38-8=30,
DIÓ：DKÓ =AEÓ：ABÓ
=3：(3+6+9)=1：6
△DKC에서 IFÓ：KCÓ=DIÓ：DKÓ이므로
IFÓ：30=1：6
∴ IFÓ=5
∴ x=EIÓ+IFÓ=8+5=13
DIÓ：DJÓ=AEÓ：AGÓ=3：(3+6)=1：3
△DJH에서 IFÓ：JHÓ=DIÓ：DJÓ이므로
5：JHÓ=1：3
∴ JHÓ=15
∴ y=GJÓ+JHÓ=8+15=23
∴ x+y=13+23=36
12 오른쪽 그림과 같이 점 P에서
BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하
면 ABÓ∥PHÓ∥DCÓ이므로
△ABP »△CDP (AA 닮음)
∴ BPÓ：DPÓ =ABÓ：CDÓ
=6：12=1：2
D
12 cm
A
6 cm
B
P
H
15 cm
C
△BCD에서 PHÓ：DCÓ=BPÓ：BDÓ이므로
PHÓ：12=1：(1+2) ∴ PHÓ=4`(cm)
∴ △PBC=
_15_4=30`(cmÛ`)
;2!;
05
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분
131쪽
기초의
1 ⑴ 6 ⑵ 10 ⑶ 16 ⑷ 7
2 ⑴ 9 ⑵ 8 ⑶ 5 ⑷ 11
3 ⑴ 6 ⑵ 4 ⑶ 10
4 ⑴ 12 ⑵ 4 ⑶ 2 ⑷ 14
5 ⑴ 8 ⑵ 6
1 ⑴ MNÓ=
;2!;
;2!;
BCÓ=
_12=6
∴ x=6
⑵ BCÓ=2MNÓ=2_5=10
∴ x=10
⑶ BCÓ=2MNÓ=2_8=16
∴ x=16
⑷ MNÓ=
BCÓ=
_14=7
∴ x=7
;2!;
;2!;
2 ADÓ=DBÓ, DEÓ∥BCÓ이므로 AEÓ=ECÓ
⑴ DEÓ=
BCÓ=
_18=9
∴ x=9
;2!;
;2!;
⑵ BCÓ=2DEÓ=2_4=8
∴ x=8
⑶ AEÓ=
ACÓ=
_10=5
∴ x=5
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
⑷ DEÓ=
BCÓ=
_22=11
∴ x=11
하면
04 오른쪽 그림과 같이 점 A를 지나고 BCÓ
에 평행한 직선이 DFÓ와 만나는 점을 G라
D
A
G
E
B
F
9 cm
C
3 ⑴ △ABC에서 MPÓ=
BCÓ=
_12=6
⑵ △ACD에서 PNÓ=
ADÓ=
_8=4
⑶ MNÓ=MPÓ+PNÓ=6+4=10
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
4 ⑴ PNÓ=QCÓ=ADÓ=12
⑵ BQÓ=BCÓ-QCÓ=16-12=4
⑶ △ABQ에서 MPÓ=
BQÓ=
_4=2
;2!;
;2!;
⑷ MNÓ=MPÓ+PNÓ=2+12=14
△AEG와 △CEF에서
∠EAG=∠ECF (엇각), AEÓ=CEÓ,
∠AEG=∠CEF (맞꼭지각)
따라서 △AEG ª△CEF (ASA 합동)이므로
AGÓ=CFÓ=9`cm
∴ BFÓ=2AGÓ=2_9=18`(cm)
05 △ABC에서 EFÓ=
ACÓ=
_10=5`(cm)
△BCD에서 FGÓ=
BDÓ=
_8=4`(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
5 ⑴ 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그어 MNÓ과
A
6
D
△ACD에서 HGÓ=
ACÓ=
_10=5`(cm)
만나는 점을 P라 하면
MPÓ=
BCÓ=
_10=5
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
PNÓ=
ADÓ=
_6=3
M
B
N
C
P
x
10
△ABD에서 EHÓ=
BDÓ=
_8=4`(cm)
∴ (EFGH의 둘레의 길이) =EFÓ+FGÓ+GHÓ+HEÓ
=5+4+5+4=18`(cm)
따라서 MNÓ=MPÓ+PNÓ=5+3=8이므로 x=8
⑵ 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그어 MNÓ과
A
x
D
만나는 점을 P라 하면
MPÓ=
BCÓ=
_12=6
;2!;
;2!;
PNÓ=MNÓ-MPÓ=9-6=3
따라서 ADÓ=2PNÓ=2_3=6이므로
x=6
M
B
P
9
12
N
C
06 AEÓ=EBÓ, BFÓ=FCÓ, CGÓ=GDÓ, AHÓ=HDÓ이므로
EFÓ∥ACÓ∥HGÓ, EHÓ∥BDÓ∥FGÓ
따라서 EFGH는 평행사변형이다.
이때 ACÓ⊥BDÓ이므로 EFÓ⊥FGÓ
즉 ∠EFG=90ù이므로 EFGH는 직사각형이다.
이때 △ABD에서
EHÓ
Ó=
BDÓ=
_24=12`(cm)
;2!;
;2!;
△ABC에서
EFÓ=
ACÓ=
_16=8`(cm)
;2!;
;2!;
132쪽~135쪽
∴ EFGH=12_8=96`(cmÛ`)
개념의
유제
03 9`cm
02 7`cm
01 7
06 96`cmÛ` 07 10`cm 08 10`cm
04 18`cm 05 18`cm
01 BCÓ=2MNÓ=2_7=14
∴ PQÓ=
BCÓ=
_14=7
;2!;
;2!;
02 점 M은 △ABC의 외심이므로
AMÓ=BMÓ=CMÓ=
ACÓ=
_28=14`(cm)
△CMB에서 DEÓ=
BMÓ=
_14=7`(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
03 △ABF에서 ADÓ=DBÓ, AEÓ=EFÓ이므로 DEÓ∥BFÓ
∴ DEÓ=
BFÓ=
_12=6`(cm)
;2!;
△CED에서 CFÓ=FEÓ, PFÓ∥DEÓ이므로
;2!;
PFÓ=
DEÓ=
_6=3`(cm)
;2!;
;2!;
∴ BPÓ=BFÓ-PFÓ=12-3=9`(cm)
오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그어 EFÓ와
A
D
07 AEÓ=EBÓ, DFÓ=FCÓ이므로
ADÓ∥EFÓ∥BCÓ
만나는 점을 P라 하면
△ABC에서
EPÓ=
BCÓ=
_18=9`(cm)
;2!;
;2!;
∴ PFÓ=EFÓ-EPÓ=14-9=5`(cm)
△ACD에서 DFÓ=FCÓ, PFÓ∥ADÓ이므로
ADÓ=2PFÓ=2_5=10`(cm)
F
C
E
B
P
14 cm
18 cm
08 AMÓ=MBÓ, DNÓ=NCÓ이므로 ADÓ∥MNÓ∥BCÓ
△ABD에서
MPÓ=
ADÓ=
_6=3`(cm)
;2!;
;2!;
∴ MQÓ=MPÓ+PQÓ=3+2=5`(cm)
△ABC에서 BCÓ =2MQÓ=2_5=10`(cm)
III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 33
내공의
01 11
06 6`cm
11 20ù
03 2
05 12`cm
02 ①
07 12`cm 08 24`cm 09 12`cm 10 3`cm
12 4`cm
04 12
136쪽~137쪽
△ABC에서 BCÓ=2GDÓ=2EBÓ
이때 ECÓ=EBÓ+BCÓ=EBÓ+2EBÓ=3EBÓ이므로
18=3EBÓ
∴ EBÓ=6`(cm)
01 BCÓ=2MNÓ=2_4=8
ANÓ=NCÓ이므로
∴ x=8
ANÓ=
ACÓ=
_6=3
∴ y=3
;2!;
;2!;
∴ x+y=8+3=11
02 ②, ③ △ABC에서 DEÓ∥ACÓ, DEÓ=
ACÓ=AFÓ
;2!;
④ DEÓ∥ACÓ이므로 ∠DEB=∠C (동위각)
⑤ △ADF와 △DBE에서
ADÓ=DBÓ, ∠DAF=∠BDE (동위각), AFÓ=DEÓ
따라서 △ADF ª△DBE (SAS 합동)이므로
△ADF=△DBE
따라서 옳지 않은 것은 ①이다.
03 △ABC에서 BCÓ=2MNÓ=2_9=18
△DBC에서 PQÓ=
BCÓ=
_18=9
;2!;
;2!;
∴ PRÓ=PQÓ-RQÓ=9-7=2
04 오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나고 BEÓ
에 평행한 직선이 ACÓ와 만나는 점을 G
△BCE에서 CDÓ=DBÓ, DGÓ∥BEÓ이
라 하면
므로
EGÓ=GCÓ=
ECÓ=
_10=5
;2!;
;2!;
△ADG에서 DGÓ=2FEÓ=2_4=8
△BCE에서 BEÓ=2DGÓ=2_8=16
∴ BFÓ=BEÓ-FEÓ=16-4=12
05 △BCE에서 BDÓ=DCÓ, BFÓ=FEÓ이므로 FDÓ∥ECÓ
즉 ECÓ=2FDÓ
△AFD에서 AEÓ=EFÓ, EPÓ∥FDÓ이므로
FDÓ=2EPÓ=2_4=8`(cm)
따라서 ECÓ=2FDÓ=2_8=16`(cm)이므로
PCÓ=ECÓ-EPÓ=16-4=12`(cm)
07 오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나고 BEÓ에
평행한 직선이 ACÓ와 만나는 점을 G라
A
하면
△DFG와 △EFC에서
∠FDG=∠FEC (엇각), DFÓ=EFÓ,
∠DFG=∠EFC (맞꼭지각)
D
G
F
C
4 cm
B
E
GFÓ=CFÓ=4`cm
따라서 △DFG ª△EFC`(ASA 합동)이므로
△ABC에서 ADÓ=DBÓ, DGÓ∥BCÓ이므로
AGÓ=GCÓ=GFÓ+FCÓ=4+4=8`(cm)
∴ AFÓ=AGÓ+GFÓ=8+4=12`(cm)
08 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면
ABCD가 직사각형이므로
BDÓ=ACÓ=12`cm
△ABC에서
EFÓ=
ACÓ=
_12=6`(cm)
;2!;
;2!;
△BCD에서
FGÓ=
BDÓ=
_12=6`(cm)
;2!;
;2!;
A
E
B
H
12 cm
F
D
G
C
A
5
E
7
F
4
10
G
C
B
D
△ACD에서 HGÓ=
ACÓ=
_12=6`(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
△ABD에서 EHÓ=
BDÓ=
_12=6`(cm)
∴ (EFGH의 둘레의 길이) =EFÓ+FGÓ+GHÓ+HEÓ
=6+6+6+6=24`(cm)
09 AMÓ=MBÓ, DNÓ=NCÓ이므로 ADÓ∥MNÓ∥BCÓ
△ABD에서
MPÓ=
ADÓ=
_6=3`(cm)
;2!;
;2!;
PQÓ=MPÓ=3 cm이므로
MQÓ=MPÓ+PQÓ=3+3=6`(cm)
따라서 △ABC에서
BCÓ=2MQÓ=2_6=12`(cm)
10 오른쪽 그림과 같이 ABÓ와 MNÓ의 연장선의
교점을 E라 하면 ADÓ∥ENÓ∥BCÓ이므로
4 cm
A
D
A
06 오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나고 ECÓ
에 평행한 직선이 ABÓ와 만나는 점을
G라 하면
△GFD와 △BFE에서
∠FDG=∠FEB (엇각), FDÓ=FEÓ,
E
∠GFD=∠BFE (맞꼭지각)
G
F
B
18 cm
D
C
△ABC에서
ENÓ=
BCÓ=
_10=5`(cm)
;2!;
;2!;
△ABD에서
EMÓ=
ADÓ=
_4=2`(cm)
;2!;
;2!;
따라서 △GFD ª△BFE (ASA 합동)이므로 EBÓ=DGÓ
∴ MNÓ =ENÓ-EMÓ=5-2=3`(cm)
M
E
N
B
10 cm
C
34 정답과 해설
11 △ABD에서 MPÓ=
ABÓ
;2!;
△BCD에서 PNÓ=
DCÓ
;2!;
이때 등변사다리꼴 ABCD에서 ABÓ=DCÓ이므로
MPÓ=PNÓ
따라서 △PNM은 이등변삼각형이다.
한편 ABÓ∥MPÓ이므로 ∠MPD=∠ABD=30ù (동위각)
⑵ DCÓ=
BCÓ=
_8=4
∴ x=4
;2!;
;2!;
AGÓ：GDÓ=2：1이므로
GDÓ=
ADÓ=
_9=3
∴ y=3
;3!;
;3!;
⑶ ABÓ=2AEÓ=2_5=10
∴ x=10
BGÓ：GDÓ=2：1이므로
BGÓ=2GDÓ=2_3=6
∴ y=6
PNÓ∥DCÓ이므로 ∠BPN=∠BDC=70ù (동위각)
⑷ DCÓ=ADÓ=7
∴ x=7
이때 ∠DPN=180ù-70ù=110ù이므로
BGÓ：GDÓ=2：1이므로
∠MPN=30ù+110ù=140ù
따라서 △PNM에서
∠PNM=
_(180ù-140ù)=20ù
;2!;
12 오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나고 BEÓ
에 평행한 직선이 ACÓ와 만나는 점을 G
△ABE에서 ADÓ=DBÓ, DGÓ∥BEÓ이
라 하면
므로 AGÓ=GEÓ
A
G
E
D
16 cm
F
B
C
이때 AEÓ：ECÓ=2：1이고 AGÓ=GEÓ이므로 AGÓ=GEÓ=ECÓ
따라서 △CGD에서
FEÓ=
DGÓ=4`(cm)
;2!;
BDÓ=
BGÓ=
_10=15
∴ y=15
;2#;
;2#;
3 ⑴ △GCA=
;3!;△ABC=
;3!;
_24=8`(cmÛ`)
⑵ △GBD=
;6!;△ABC=
⑶ (색칠한 부분의 넓이)=△GAF+△GAE
_24=4`(cmÛ`)
;6!;
=
;6!;△ABC+
;6!;△ABC
=
;3!;△ABC=
;3!;
_24=8`(cmÛ`)
=
;6!;△ABC+
;6!;△ABC+
;6!;△ABC
=
;2!;△ABC=
;2!;
_24=12`(cmÛ`)
∴ DGÓ =
BEÓ
Ó=
_16=8`(cm)
;2!;
;2!;
⑷ (색칠한 부분의 넓이)=△GAE+△GBD+△GCD
06
삼각형의 무게중심
기초의
1 ⑴ 16`cm ⑵ 15`cmÛ` ⑶ 22`cmÛ`
2 ⑴ x=6, y=9 ⑵ x=4, y=3
⑶ x=10, y=6 ⑷ x=7, y=15
3 ⑴ 8`cmÛ` ⑵ 4`cmÛ` ⑶ 8`cmÛ` ⑷ 12`cmÛ`
4 ⑴ 18`cm ⑵ 12`cm ⑶ 6`cm
⑷ 12`cm ⑸ 18`cm ⑹ 1：1：1
1 ⑴ BCÓ=2BDÓ=2_8=16`(cm)
⑵ △ABD=
;2!;△ABC
=
_30=15`(cmÛ`)
;2!;
⑶ △ABC =2△ADC
=2_11=22`(cmÛ`)
2 ⑴ BDÓ=
;2!;
;2!;
BCÓ=
_12=6
∴ x=6
BGÓ：GEÓ=2：1이므로
BEÓ=3 GEÓ=3_3=9
∴ y=9
4 ⑴ BOÓ=DOÓ이므로
BOÓ=DOÓ=
BDÓ=
;2!;
⑵ 점 P는 △ABC의 무게중심이므로
;2!;
_36=18`(cm)
BPÓ=
BOÓ=
_18=12`(cm)
;3@;
;3@;
140쪽
⑶ POÓ=BOÓ-BPÓ=18-12=6`(cm)
⑷ 점 Q는 △ACD의 무게중심이므로
QDÓ=
DOÓ=
_18=12`(cm)
;3@;
;3@;
∴ OQÓ=DOÓ-QDÓ=18-12=6`(cm)
∴ PQÓ=POÓ+OQÓ=6+6=12`(cm)
⑸ △BCD에서
MNÓ=
BDÓ=
_36=18`(cm)
;2!;
;2!;
⑹ BPÓ：PQÓ：QDÓ =12：12：12
=1：1：1
개념의
유제
141쪽~144쪽
01 4`cmÛ`
02 ⑴ 3`cm ⑵ 9`cm
03 :Á2°:
`cm
04 ⑴ 5`cm ⑵
`cm 05 8`cmÛ`
06 4`cmÛ` 07 6`cm
:Á3¼:
08 96`cmÛ`
III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 35
01 △ABD=△ADC=
;2!;△ABC
=
_24=12`(cmÛ`)
;2!;
∴ △EBD=△EDC=△ADC-△AEC
=12-8=4`(cmÛ`)
02 ⑴ 점 G'이 △GBC의 무게중심이므로
GDÓ=
GG'Ó=
_2=3`(cm)
;2#;
;2#;
⑵ 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
ADÓ =3GDÓ=3_3=9`(cm)
03 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
ADÓ=
AGÓ=
_10=15`(cm)
;2#;
;2#;
이때 △ADC에서 AEÓ=ECÓ, DFÓ=FCÓ이므로
EFÓ=
ADÓ=
_15=
`(cm)
;2!;
;2!;
:Á2°:
04 ⑴ MDÓ=
BDÓ=
_4=2`(cm)
DNÓ=
DCÓ=
_6=3`(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
∴ MNÓ=MDÓ+DNÓ=2+3=5`(cm)
⑵ △AGG'과 △AMN에서
AGÓ：AMÓ=2：3,
AG'Ó：ANÓ=2：3,
∠MAN은 공통
∴ △AGG' »△AMN (SAS 닮음)
따라서 AGÓ：AMÓ=GG'Ó：MNÓ이므로
2：3=GG'Ó：5
∴ GG'Ó=
`(cm)
:Á3¼:
05 △GBG'=
;3!;△GBC=
;3!;
_
;3!;△ABC
=
;9!;△ABC=
;9!;
_72=8`(cmÛ`)
06 △GCE=
;6!;△ABC=
;6!;
_48=8`(cmÛ`)
이때 CGÓ：GDÓ=2：1이므로
△GED=
;2!;△GCE=
;2!;
_8=4`(cmÛ`)
07 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그어 BDÓ
와 만나는 점을 O라 하면 두 점 P, Q는
각각 △ABC, △ACD의 무게중심이
다.
이때 BOÓ=DOÓ이므로
BPÓ=PQÓ=QDÓ
∴ PQÓ=
BDÓ=
_18=6`(cm)
;3!;
;3!;
36 정답과 해설
08 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면 점 P
A
D
는 △ABC의 무게중심이다.
∴ ABCD =2△ABC
=2_6△PBM
=12△PBM
=12_8=96`(cmÛ`)
P
B
M
C
내공의
01 12`cmÛ` 02 9
06 6
11 ②
16 4`cm
03 24`cm 04 6`cm
07 32`cmÛ` 08 48`cmÛ` 09 6`cmÛ`
12 36`cmÛ` 13 24`cmÛ` 14 2`cm
18 25`cmÛ`
17 5`cmÛ`
145쪽~147쪽
05 2`cm
10 36`cmÛ`
15 15`cmÛ`
01 △ABC =2△ABD=2_2△AED
=4△AED=4_3=12`(cmÛ`)
02 GEÓ=
;2!;
BGÓ=
_7=
`(cm)
∴ x=
AEÓ=
ACÓ=
_11=
`(cm)
∴ y=
;2!;
;2!;
;2!;
;2&;
:Á2Á:
;2&;
:Á2Á:
∴ x+y=
+
;2&;
:Á2Á:
=9
03 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
CDÓ=3GDÓ=3_4=12`(cm)
점 D는 직각삼각형 ABC의 외심이므로
ADÓ=BDÓ=CDÓ=12`cm
∴ ABÓ=ADÓ+BDÓ=12+12=24`(cm)
04 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
GDÓ=
ADÓ=
_27=9`(cm)
;3!;
;3!;
점 G'이 △GBC의 무게중심이므로
GG'Ó=
GDÓ=
_9=6`(cm)
;3@;
;3@;
05 △ABD에서
AEÓ=EBÓ, ADÓ∥EFÓ이므로
ADÓ=2EFÓ=2_3=6`(cm)
이때 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
A
18 cm
D
GDÓ=
ADÓ=
_6=2`(cm)
;3!;
;3!;
Q
N
O
P
M
B
C
06 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
AGÓ=2GDÓ=2_2=4`(cm)
∴ x=4
△ABD에서 AGÓ：ADÓ=EGÓ：BDÓ이므로
∴ y=2
2：3=y：3
∴ x+y=4+2=6
15 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그어 BDÓ와
만나는 점을 O라 하면 두 점 P, Q는 각
각 △ABC, △ACD의 무게중심이다.
∴ △APQ=△APO+△AOQ
A
D
Q
P O
B
M
N
C
=
;6!;△ABC+
;6!;△ACD
=
ABCD=
_90=15`(cmÛ`)
;6!;
;6!;
A
EG
B
D
C
07 △GAB =△GBC=2△GBD
=2_16=32`(cmÛ`)
08 오른쪽 그림과 같이 CGÓ를 그으면
=△GAB+△GDC+△GCE
(색칠한 부분의 넓이)
=
;3!;△ABC+
;6!;△ABC
+
;6!;△ABC
=
;3@;△ABC=
;3@;
_72=48`(cmÛ`)
09 △AMC=
;2!;△GCA=
;2!;△GAB
=
_12=6`(cmÛ`)
;2!;
10 △ABC =3△GBC=3_6△G'BD
=18△G'BD=18_2=36`(cmÛ`)
11 ② BEÓ=CFÓ인지 알 수 없으므로 GEÓ=GFÓ인지는 알 수 없다.
⑤ △GCA=
;3!;△ABC
FBDG=△GFB+△GBD
=
;6!;△ABC+
;6!;△ABC
=
;3!;△ABC
∴ △GCA=FBDG
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
12 AGÓ：GDÓ=2：1이므로
△AEG=2△EDG=2_4=8`(cmÛ`)
∴ △AED=△AEG+△EDG=8+4=12`(cmÛ`)
△ABD에서
AEÓ：EBÓ=AGÓ：GDÓ=2：1이므로
△EBD=
;2!;△AED=
;2!;
이때 △ABD=△AED+△EBD=12+6=18`(cmÛ`)
∴ △ABC=2△ABD=2_18=36`(cmÛ`)
_12=6`(cmÛ`)
13 BGÓ：GEÓ=2：1이므로
△BGD=2△GED=2_6=12 (cmÛ`)
△GBC=2△BGD=2_12=24 (cmÛ`)
GCÓ：DGÓ=2：1이므로
14 AOÓ=COÓ이므로
COÓ=
ACÓ=
_12=6`(cm)
;2!;
;2!;
이때 점 Q는 △DBC의 무게중심이므로
OQÓ=
COÓ=
_6=2`(cm)
;3!;
;3!;
16 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
GDÓ=
ADÓ=
_24=8`(cm)
;3!;
;3!;
FEÓ∥BCÓ
△ABC에서 AFÓ=FBÓ, AEÓ=ECÓ이므로
△GEH와 △GBD에서
∠GEH=∠GBD (엇각), ∠GHE=∠GDB (엇각)
∴ △GEH »△GBD (AA 닮음)
따라서 GEÓ：GBÓ=HGÓ：DGÓ에서
1：2=HGÓ：8 ∴ HGÓ=4`(cm)
17 GDCE=
;3!;△ABC=
;3!;
_24=8`(cmÛ`)
오른쪽 그림과 같이 AFÓ를 그으면
△EFC=
;2!;△AFC
=
_
;2!;△ADC=
;4!;△ADC
;2!;
=
_
;2!;△ABC=
;8!;△ABC
;4!;
=
_24=3`(cmÛ`)
;8!;
A
G
E
B
D
F
C
∴ GDFE=GDCE-△EFC=8-3=5`(cmÛ`)
18 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그어 BDÓ와
만나는 점을 O라 하면 두 점 P, Q는 각
각 △ABC, △ACD의 무게중심이므
로
A
O
P
D
Q
N
B
M
C
(오각형 PMCNQ의 넓이)
=PMCO+ OCNQ
=
;3!;△ABC+
;3!;△ACD
=
ABCD=
_120=40`(cmÛ`)
;3!;
;3!;
DMÓ을 그으면
△NMC=
;2!;△DMC=
;2!;
_
;2!;△DBC
=
;4!;△DBC=
;4!;
_
;2!;
ABCD
=
ABCD=
_120=15`(cmÛ`)
;8!;
;8!;
∴ PMNQ =(오각형 PMCNQ의 넓이)-△NMC
=40-15=25`(cmÛ`)
III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 37
07
닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비
개념의
유제
150쪽~153쪽
149쪽
01 12`cmÛ` 02 25`cmÛ` 03 96p`cmÛ` 04 64개
08 4`km
05 1：7：19 06 234`cmÜ` 07 40`m
01 △ADE »△ACB ( AA 닮음)이고
닮음비는 AEÓ：ABÓ=6：(4+8)=1：2이므로
△ADE：△ABC=1Û`：2Û``=1：4
즉 △ADE：48=1：4
∴ △ADE=12`(cmÛ`)
02 △AOD »△COB (AA 닮음)이고 넓이의 비가 4：9=2Û`：3Û`이
므로 닮음비는 2：3이다.
4：△ABO=2：3
즉 ODÓ：OBÓ=2：3이므로 △AOD：△ABO=2：3
이때 △DOC=△ABO=6`cmÛ`
∴ ABCD =△AOD+△ABO+△OBC+△DOC
=4+6+9+6=25`(cmÛ`)
∴ △ABO=6`(cmÛ`)
03 작은 구와 큰 구의 겉넓이의 비는 3Û`：4Û`=9：16이므로
54p：(큰 구의 겉넓이)=9：16
∴ (큰 구의 겉넓이)=96p`(cmÛ`)
04 지름의 길이가 20`cm인 쇠구슬과 지름의 길이가 5`cm인 쇠구슬
의 닮음비가 20：5=4：1이므로 부피의 비는 4Ü`：1Ü`=64：1
따라서 지름의 길이가 5`cm인 쇠구슬은 64개 만들 수 있다.
05 세 원뿔 P, (P+Q), (P+Q+R)는 닮은 도형이고
닮음비는 1：(1+1)：(1+1+1)=1：2：3이므로
부피의 비는 1Ü`：2Ü`：3Ü`=1：8：27
1：(8-1)：(27-8)=1：7：19
06 물이 들어 있는 부분과 그릇의 닮음비는 2：5이므로
부피의 비는 2Ü`：5Ü`=8：125
기초의
1 ⑴ 2：3 ⑵ 4：9
2 ⑴ 3：5 ⑵
p
cmÛ`
:Á5¥:
`
3 ⑴ 1：4 ⑵ 1：8
4 ⑴ 288p`cmÛ` ⑵ 136p`cmÜ`
5 ⑴ 1：4 ⑵ 324`cmÜ`
6 ⑴ 2.5`km ⑵ 12`cm
1 △ABC »△DEF (AA 닮음)이므로
닮음비는 ACÓ：DFÓ=10：15=2：3
⑴ 둘레의 길이의 비는 닮음비와 같으므로 2：3이다.
⑵ 넓이의 비는 2Û`：3Û`=4：9
2 ⑵ 원 O와 원 O'의 넓이의 비는 3Û`：5Û`=9：25
9：25=(원 O의 넓이)：10p
∴ (원 O의 넓이)=
p`(cmÛ`)
:Á5¥:
두 원기둥 A, B의 닮음비는 5：10=1：2
3
⑴ 겉넓이의 비는 1Û`：2Û`=1：4
⑵ 부피의 비는 1Ü`：2Ü`=1：8
4 ⑴ 작은 구와 큰 구의 지름의 길이의 비가 2：3이므로
겉넓이의 비는 2Û`：3Û`=4：9
4：9=128p：(큰 구의 겉넓이)
∴ (큰 구의 겉넓이)=288p`(cmÛ`)
부피의 비는 2Ü`：3Ü`=8：27
8：27=(작은 구의 부피)：459p
∴ (작은 구의 부피)=136p`(cmÜ`)
이다.
1Û`：2Û`=1：4
⑵ 작은 구과 큰 구의 지름의 길이의 비가 2：3이므로
따라서 세 입체도형 P, Q, R의 부피의 비는
5 ⑴ 두 구 A, B의 부피의 비가 1：8=1Ü`：2Ü`이므로 닮음비는 1：2
즉 (물의 부피)：250=8：125이므로
따라서 두 구 A, B의 겉넓이의 비는
따라서 그릇의 빈 공간의 부피는
⑵ 두 정육면체 A, B의 겉넓이의 비가 1：9=1Û`：3Û`이므로 닮음
비는 1：3이다.
따라서 부피의 비는 1Ü`：3Ü`=1：27이므로
1：27=12：(정육면체 B의 부피)
∴ (정육면체 B의 부피)=324`(cmÜ`)
6 ⑴ 실제 거리는
5`cmÖ
=5`cm_50000
;500!00;
(물의 부피)=16`(cmÜ`)
250-16=234`(cmÜ`)
07 △ADB »△BEC (AA 닮음)이므로
ABÓ：BCÓ=DBÓ：ECÓ
60：BCÓ=30：20
∴ BCÓ=40`(m)
08 ABÓ=x`cm라 하면
△ABC »△ADE (AA 닮음)이므로
x：(x+2)=6：9
9x=6x+12
∴ x=4`
=250000`(cm)=2.5`(km)
따라서 실제 강의 폭 A, B 사이의 거리는
⑵ 6`km=600000`cm이므로 지도에서의 거리는
600000`cm_
=12`(cm)
;500!00;
4`cmÖ
=4`cm_100000
;100Á000;
=400000`(cm)=4`(km)
38 정답과 해설
내공의
01 45`cmÛ` 02 15`cmÛ` 03 3：5
06 128`cmÛ` 07 ⑴ 2：3 ⑵ 54`cmÛ`
10 57p`cmÜ` 11 135`cmÛ` 12 13`m
16 8번
15 95분
17 0.7`kmÛ` 18 3`m
154쪽~156쪽
04 45p`cmÛ` 05 49`cmÛ`
08 125개
09 76`cmÜ`
13 11.1`m 14 21`cmÛ`
01 △ADE »△ABC`(AA 닮음)이고 닮음비는 3：4이므로
△ADE：△ABC=3Û`：4Û`=9：16
즉 △ADE：80=9：16
∴ △ADE=45`(cmÛ`)
02 △ADE »△ABC`(AA 닮음)이고
닮음비는 ADÓ：ABÓ=2：(2+1)=2：3이므로
△ADE：△ABC=2Û`：3Û`=4：9
즉 △ADE：27=4：9
∴ DBCE =△ABC-△ADE
=27-12=15`(cmÛ`)
∴ △ADE=12`(cmÛ`)
03 △ADE »△AFG »△ABC (SAS 닮음)이고
닮음비는 1：2：3이므로
넓이의 비는 1Û`：2Û`：3Û`=1：4：9
∴ DFGE：FBCG=(4-1)：(9-4)=3：5
04 가장 작은 원과 가장 큰 원의 닮음비는 1：3이므로
넓이의 비는 1Û`：3Û`=1：9
5p：(가장 큰 원의 넓이)=1：9
∴ (가장 큰 원의 넓이)=45p`(cmÛ`)
05 △AOD »△COB (AA 닮음)이고
닮음비는 ADÓ：CBÓ=4：10=2：5이므로
△AOD：△COB=2Û`：5Û`=4：25
즉 4：△COB=4：25
또 ODÓ：OBÓ=2：5이므로
△AOD：△ABO=2：5
즉 4：△ABO=2：5
이때 △DOC=△ABO=10`cmÛ`
∴ ABCD =△AOD+△ABO+△OBC+△DOC
∴ △ABO=10`(cmÛ`)
∴ △COB=25`(cmÛ`)
=4+10+25+10
=49`(cmÛ`)
06 작은 원기둥과 큰 원기둥의 닮음비가 4：8=1：2이므로
겉넓이의 비는 1Û`：2Û`=1：4
32：(큰 원기둥의 겉넓이)=1：4
∴ (큰 원기둥의 겉넓이)=128`(cmÛ`)
07 ⑴ 두 정팔면체 A, B의 부피의 비가 8：27=2Ü`：3Ü`이므로 닮음비
따라서 두 정팔면체 A, B의 한 모서리의 길이의 비는 2：3이
는 2：3이다.
다.
⑵ 두 정팔면체 A, B의 닮음비가 2：3이므로
겉넓이의 비는 2Û`：3Û`=4：9
24：(정팔면체 B의 겉넓이)=4：9
∴ (정팔면체 B의 겉넓이)=54`(cmÛ`)
08 한 모서리의 길이가 1인 정육면체 모양의 나무블록과 한 모서리의
길이가 5인 정육면체의 닮음비가 1：5이므로
부피의 비는 1Ü`：5Ü`=1：125
따라서 필요한 나무블록의 개수는 125개이다.
09 세 원뿔 P, (P+Q), (P+Q+R)는 닮은 도형이고
닮음비는 1：2：3이므로 부피의 비는
1Ü`：2Ü`：3Ü`=1：8：27
따라서 두 입체도형 Q, R의 부피의 비는
(8-1)：(27-8)=7：19
28：(입체도형 R의 부피 )=7：19
∴ (입체도형 R의 부피 )=76`(cmÜ`)
10 물이 들어 있는 부분과 그릇의 닮음비는 8：12=2：3이므로
부피의 비는 2Ü`：3Ü`=8：27
빈 그릇에 물을 가득 채우는 데 필요한 물의 양을 V`cmÜ`라 하면
24p：V=8：27
∴ V=81p
따라서 그릇에 물을 가득 채우려면 81p-24p=57p`(cmÜ`)의 물
을 더 넣어야 한다.
11 원래 그림과 확대 복사된 그림의 닮음비는 100：150=2：3이므
로 넓이의 비는 2Û`：3Û`=4：9
확대 복사된 그림의 넓이를 x`cmÛ`라 하면
60：x=4：9
∴ x=135
따라서 확대 복사된 그림의 넓이는 135`cmÛ`이다.
12 △ACD »△FED (AA 닮음)이므로
ACÓ：FEÓ=CDÓ：EDÓ
ACÓ：7=24：8 ∴ ACÓ=21`(m)
∴ ABÓ=ACÓ-BCÓ=21-8=13`(m)
13 △ABC »△A'B'C' (AA 닮음)이므로
ACÓ：A'C'Ó=BCÓ：B'C'Ó, ACÓ：1.9=2000：4
∴ ACÓ=950`(cm)=9.5`(m)
따라서 나무의 실제 높이는
9.5+1.6=11.1`(m)
14 △ABE와 △DEC에서
ABÓ∥DEÓ이므로 ∠ABE=∠DEC (동위각),
BEÓ：ECÓ=2：1
AEÓ∥DCÓ이므로 ∠AEB=∠DCE (동위각)
따라서 △ABE »△DEC ( AA 닮음)이므로 닮음비는
△ABE：△DEC=2Û`：1Û`=4：1이므로
∴ △DEC=3`(cmÛ`)
12：△DEC=4：1
III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 39
A
08
피타고라스 정리
기초의
159쪽
1 ⑴ 5 ⑵ 6 ⑶ 12 ⑷ 15
2 ⑴ xÛ
=175, yÛ
`
cmÛ
3 ⑴ 36
=191 ⑵ xÛ
cmÛ
`
⑵ 25
`
`
⑶ 72
`
`
`
=85, yÛ
cmÛ
=60
`
⑷ 25
`
`
`
cmÛ
`
4 ㉠, ㉣
5 14, 8, 100, 9
6 ⑴ 직각삼각형 ⑵ 둔각삼각형 ⑶ 예각삼각형
1 ⑴ xÛ
`
⑵ xÛ
=4Û
`
=10Û
`
-8Û
+3Û
=25
∴ x=5 (∵ x>0)
=36
∴ x=6 (∵ x>0)
⑶ xÛ
=13Û
-5Û
=144
∴ x=12 (∵ x>0)
⑷ xÛ
=17Û
-8Û
=225
∴ x=15 (∵ x>0)
`
`
`
`
`
`
`
`
`
`
`
+4Û
`
+6Û
`
`
2 ⑴ xÛ
yÛ
`
⑵ xÛ
`
=xÛ
`
=7Û
`
=xÛ
`
yÛ
`
=20Û
-15Û
=175
=175+16=191
=85
`
-5Û
`
=85-25=60
=36
(cmÛ
)
3 ⑴ S=6Û
⑵ S=5Û
`
=25
(cmÛ
)
`
⑶ S=34+38=72
`
`
⑷ S=80-55=25
(cmÛ
)
`
`
`
(cmÛ
)
`
`
4 ㉠ 5Û
`
㉡ 15Û
=3Û
+4Û
`
+10Û
`
+12Û
㉢ 8Û
`
㉣ 25Û
`
`
+5Û
`
+6Û
`
=7Û
`
+24Û
이므로 직각삼각형이다.
이므로 직각삼각형이 아니다.
이므로 직각삼각형이 아니다.
`
따라서 직각삼각형인 것은 ㉠, ㉣이다.
`
`
이므로 직각삼각형이다.
6 ⑴ 가장 긴 변의 길이는 ;3%;`cm이고
{;3%;}
`=1Û
+
`
{;3$;}
`이므로 직각삼각형이다.
⑵ 가장 긴 변의 길이는 4
cm이고
`
이므로 둔각삼각형이다.
⑶ 가장 긴 변의 길이는 10
cm이고
`
이므로 예각삼각형이다.
4Û
>2Û
+3Û
`
`
`
10Û
<6Û
+9Û
`
`
`
한편 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면
△ABE：△AEC=2：1에서
12：△AEC=2：1
∴ △AEC=6`(cmÛ`)
이때 AEÓ∥DCÓ이므로
△AED=△AEC=6`cmÛ`
∴ ABCD =△ABE+△AED+△DEC
B
=12+6+3=21`(cmÛ`)
D
C
E
15 물이 들어 있는 부분과 그릇의 닮음비가 2：3이므로
부피의 비는 2Ü`：3Ü`=8：27
빈 그릇에 물을 가득 채우는 데 걸리는 시간을 x분이라 하면
40：x=8：27 ∴ x=135
따라서 물을 가득 채우려면 135-40=95(분)이 더 걸린다.
16 냄비 A와 냄비 C의 부피의 비가 1：64=1Ü`：4Ü`이므로
닮음비는 1：4
냄비 C의 높이를 x라 하면
1：4=2：x
∴ x=8
이때 냄비 B와 냄비 C의 닮음비는 4：8=1：2이므로
부피의 비는 1Ü`：2Ü`=1：8
따라서 물을 냄비 B에 가득 담아서 냄비 C를 가득 채우려면 8번을
부어야 한다.
17 축척이
;100!00;
이므로 닮음비는 1：10000이다.
즉 지도에서의 넓이와 실제 넓이의 비는 1Û`：10000Û`이고
지도에서 꽃밭의 넓이는 10_7=70`(cmÛ`)이므로
1Û`：10000Û`=70：(꽃밭의 넓이)
∴ (꽃밭의 넓이) =70`cmÛ`_10000Û`
=7000000000`(cmÛ`)
=0.7`(kmÛ`)
18
A
D
1.2 m
A'
1 m
B
2.7 m
C
E
B'
1.5 m
E'
위의 그림과 같이 담장이 그림자를 가리지 않았다고 할 때, ADÓ의
연장선과 BCÓ의 연장선의 교점을 E라 하면
△DCE »△A'B'E' ( AA 닮음)이므로
DCÓ：A'B'Ó=CEÓ：B'E'Ó에서
1.2：1=CEÓ：1.5
∴ CEÓ=1.8`(m)
또 △ABE »△A'B'E' ( AA 닮음)이므로
ABÓ：A'B'Ó=BEÓ：B'E'Ó에서
ABÓ：1=(2.7+1.8)：1.5
∴ ABÓ=3`(m)
따라서 나무의 높이는 3`m이다.
40 정답과 해설
개념의
유제
01 15
06 169 cmÛ
02 21
` 07 45
`
03 20 cm 04 18
cmÛ
08 ㉠, ㉣
`
09 9
160쪽~164쪽
05 10 cmÛ
`
10 3개
Û
Û
`=13Û`-12Û`=25
01 △ABD에서 BDÓ Û
∴ BDÓ=5 (∵ BDÓ>0)
△ADC에서 DCÓ=BCÓ-BDÓ=14-5=9이므로
ACÓ Û
∴ ACÓ=15 (∵ ACÓ>0)
`=12Û`+9Û`=225
07 △ABFª△BCGª△CDHª△DAE이므로
EFÓ=FGÓ=GHÓ=HEÓ이고
∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90ù이다.
따라서 EFGH는 정사각형이다.
EFGH의 넓이가 9
이므로
`
(cm) (∵ EFÓ>0)
cmÛ
`
EFÓ=3
`
한편 AEÓ=BFÓ=3
cm이므로
`
AFÓ=AEÓ+EFÓ=3+3=6
△ABF에서 ABÓ Û
∴ ABCD=ABÓ Û
`=3Û
`
`=45
+6Û
`
(cmÛ
(cm)
`
=45
)
`
`
=BHÓ_BCÓ
Ó이므로
02 ABÓ
2Û
`
=1_BCÓ
`
∴ x=BCÓ
△ABC에서 yÛ
∴ xÛ`+yÛ`=3Û
`
∴ BCÓ=4
Ó-BHÓ=4-1=3
=4Û
-2Û
=12
`
`
`
+12=21
03 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서
BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면
cm,
cm
`
HCÓ=ADÓ=7
`
AHÓ=DCÓ=12
△ABH에서
BHÓ
=15Û`-12Û`=81
`
따라서 BCÓ=9+7=16
△BCD에서 BDÓ
∴ BDÓ=20
=16Û
`
(cm) (∵ BDÓ>0)
`
+12Û
`
`
=400
`
04 A'DÓ=ABÓ=12이므로
△A'ED에서
A'EÓ Û
`
=13Û`-12Û`=25
∴ A'EÓ=5 (∵ A'EÓ>0)
AEÓ=A'EÓ=5이므로
BCÓ =ADÓ=AEÓ+EDÓ
=5+13=18
08 ㉠
Û`=
Û`+6Û
{:Á2£:}
{;2%;}
이므로 직각삼각형이다.
`
㉡ 10Û
+6Û
이므로 직각삼각형이 아니다.
A
7 cm
D
15 cm
12 cm
㉢ 17Û
㉣ 26Û
`
+6Û
`
+13Û
`
+24Û
`
`
+8Û
`
=10Û
`
`
`
이므로 직각삼각형이 아니다.
이므로 직각삼각형이다.
따라서 직각삼각형인 것은 ㉠, ㉣이다.
B
H
C
∴ BHÓ=9
`
(cm)이므로
(cm) (∵ BHÓ>0)
09 x가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되기 위한 조건에 의하여
yy ㉠
∴ 8<x<13
8<x<5+8
예각삼각형이 되려면 xÛ
<5Û
+8Û
`
`
`
∴ xÛ
<89
yy ㉡
따라서 ㉠, ㉡을 모두 만족하는 자연수 x의 값은 9이다.
10 ㉠ 5Û
㉡ 7Û
>2Û
+4Û
이므로 둔각삼각형이다.
<4Û
+6Û
이므로 예각삼각형이다.
`
`
`
`
>5Û
+7Û
이므로 둔각삼각형이다.
㉢ 9Û
`
㉣ 11Û
`
>7Û
이므로 둔각삼각형이다.
`
`
`
`
+8Û
`
+12Û
`
`
`
`
=9Û
`
<12Û
`
`
`
C
F
㉤ 15Û
이므로 직각삼각형이다.
㉥ 13Û
+6Û
이므로 예각삼각형이다.
따라서 둔각삼각형인 것은 ㉠, ㉢, ㉣의 3개이다.
A'
12
A
E
D
13
12
B
05 △ABC에서 ACÓ Û
`
오른쪽 그림과 같이 ECÓ, EBÓ를 그으면
=20
-4Û
=6Û
`
`
D
I
C
E
(SAS 합동)이므로
△AFCª△ABE
`
△AFC =△ABE
=△CEA
△AFC=
ACDE=
;2!;
ACÓ Û
`
;2!;
△AFC=
;2!;_
20=10
(cmÛ
)
`
`
06 △AEHª△BFEª△CGFª△DHG (SAS 합동)이므로
EHÓ=FEÓ=GFÓ=HGÓ이고
∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90ù
따라서 EFGH는 정사각형이다.
GCÓ=DCÓ-DGÓ=17-12=5
(cm)이므로
△CGF에서 GFÓ Û
`
∴ EFGH=GFÓ Û
`
=169
=12Û
+5Û
`
`
`=169 (cmÛ
)
`
4 cm
H
6 cm
B
G
A
F
내공의
165쪽~166쪽
01 84
06 ②
11 18
02 3
cmÛ
`
07 49
`
12 :¢4°:
03 7
08 13
04 17 cm
09 ④
05 5
cm
`
10 50
cm
`
13 98 cmÛ
14 ∠D>90ù인 둔각삼각형
`
=13Û
01 △ADC에서 ADÓ Û
`
∴ ADÓ=12 (∵ ADÓ>0)
△ABD에서 BDÓ Û
`
`
∴ BDÓ=9 (∵ BDÓ>0)
=15Û
`
-5Û
=144
`
-12Û
=81
`
∴ △ABC=
_BCÓ_ADÓ
=
_(9+5)_12
;2!;
;2!;
=84
III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 41
Û
Û
Û
02 BCÓ Û
`=BHÓ_ABÓ이므로
`
4Û
=
_ABÓ
:Á5¤:
△ABC에서 ACÓ Û
∴ ACÓ=3 (∵ ACÓ>0)
∴
`
`=5Û
`
ABÓ=5
-4Û
=9
`
03 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면
△ABC에서
Ó Û
+3Û
`=11Û
ACÓ
△ACD에서
=ACÓ
Ó Û
Ó Û
Ó Û
`-CDÓ
ADÓ
`
`
=49
=130-9Û
=130
`
`
∴ ADÓ=7 (∵ ADÓ>0)
BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면
BHÓ
Ó=ADÓ=9
cm이므로
HCÓ =BCÓ-BHÓ=15-9=6
△DHC에서 DHÓ
∴ DHÓ=8
Ó Û
`=10Û
(cm) (∵ DHÓ>0)
-6Û
`
`
`
=64
(cm)
따라서 ABÓ=DHÓ=8
△ABC에서 ACÓ Û
∴ ACÓ=17
`
`=15Û
`
cm이므로
+8Û
=289
`
(cm) (∵ ACÓ>0)
`
05 AEÓ=ADÓ=10
△ABE에서 BEÓ Û
∴ BEÓ=6
cm이므로
`=10Û
(cm) (∵ BEÓ>0)
-8Û
`
`
`
=36
`
`
`
`
04 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서 A
9 cm
D
`
(cm)
∴ CEÓ=BCÓ-BEÓ=10-6=4
△ABE와 △ECF에서
∠B=∠C=90ù, ∠BAE=90ù-∠AEB=∠CEF
이므로 △ABE»△ECF (AA 닮음)
따라서 ABÓ：ECÓ=AEÓ：EFÓ이므로 8：4=10：EFÓ
8EFÓ=40
∴ EFÓ=5
(cm)
`
06 ① △EAB와 △CAF에서
EAÓ=CAÓ, ABÓ=AFÓ,
∠EAB=90ù+∠CAB=∠CAF이므로
△EABª△CAF (SAS 합동)
② △CFJ와 △CEB의 넓이가 같은지 알 수 없다.
③, ⑤ △EAC=△EAB=△CAF=△JAF=△JFK
이므로 ACDE=2△EAC=2△JFK
④ CBHI=2△CBH, JKGB=2△JGB이고
△CBH=△ABH=△GBC=△JGB이므로
CBHI=JKGB
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
42 정답과 해설
07 △AEHª△BFEª△CGFª△DHG (SAS 합동)이므로
EHÓ=FEÓ=GFÓ=HGÓ이고
∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90ù이다.
cmÛ
즉 EFGH는 넓이가 29
EFGH=EHÓ Û
`=29
△AEH에서 AHÓÛ`=EHÓÛ`-AEÓÛ`=29-2Û
∴ AHÓ=5
(cm) (∵ AHÓ>0)
`
(cmÛ
)
`
`
`
인 정사각형이므로
`
=25
`
∴ ADÓ=AHÓ+HDÓ=5+2=7
(cm)
따라서 ABCD는 한 변의 길이가 7
cm인 정사각형이므로
`
`
C
ABCD=7Û
=49
(cmÛ
)
`
`
`
08 x가 가장 긴 변의 길이이므로 직각삼각형이 되려면
∴ x=13 (∵ x>0)
=169
+12Û
=5Û
xÛ
`
`
`
9
D
11
A
3
B
10 cm
C
09 ④ aÛ
`
<bÛ
`
+cÛ
이면 ∠A는 예각이다. 그런데 a가 가장 긴 변의 길
`
이가 아닐 때에는 ∠B나 ∠C가 둔각 또는 직각일 수 있으므로
△ABC는 예각삼각형이 아닐 수도 있다.
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
B
H
15 cm
10 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내
린 수선의 발을 H라 하면 △ABC의 넓이가
120
cmÛ
`
이므로
`
A
_16_AHÓ=120
;2!;
∴ AHÓ=15
(cm)
`
이때 BHÓ=8
ABÓÛ`=8Û
`
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
ABÓ+BCÓ+CAÓ=17+16+17=50
cm이므로 △ABH에서
∴ ABÓ=17
`
+15Û
=289
`
`
(cm)
`
H
B
8 cm 8 cm
C
(cm) (∵ ABÓ>0)
11 ADÓ：GDÓ=3：1이므로 ADÓ=3GDÓ=3_5=15
이때 점 D는 △ABC의 외심이므로
BCÓ=2ADÓ=2_15=30
△ABC에서 ACÓÛ`=30Û
∴ ACÓ=18 (∵ ACÓ>0)
=324
-24Û
`
`
12 △ABC에서 BCÓÛ`=5Û
`
∴ BCÓ=4 (∵ BCÓ>0)
-3Û
=16
`
CDÓ=x라 하면 BDÓ=4-x
ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ이므로
5：3=(4-x)：x, 5x=3(4-x)
8x=12
∴ x=
;2#;
따라서 △ADC에서
ADÓ
ÓÛ`=
{;2#;}
+3Û
=
`
:¢4°:
2`
cmÛ
`
인 직각이등변삼각형이므로
`
참고 오른쪽 그림의 △ABC에서
ADÓ가 ∠A의 이등분선일 때
ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ
A
B
D
C
13 △ABCª△CDE이므로
ACÓ=CEÓ이고 ∠ACE=90ù
따라서 △ACE는 넓이가 50
ACÓÛ`=50에서 ACÓÛ`=100
;2!;
`
(cm) (∵ ACÓ>0)
∴ ACÓ=10
△ABC에서 ABÓÛ`=10Û
∴ ABÓ=6
(cm) (∵ ABÓ>0)
`
이때 △ABC와 △CDE에서
CDÓ=ABÓ=6
cm, DEÓ=BCÓ=8
-8Û
=36
`
`
`
;2!;
cm이므로
`
`
`
`
-7Û
=576
14 △ABC에서 ACÓÛ`=25Û
∴ ACÓ=24 (∵ ACÓ>0)
△ACD에서 ACÓ가 가장 긴 변이고 24Û
△ACD는 ∠D>90ù인 둔각삼각형이다.
`
`
3Û
2 ⑴ ABÓ Û
+5Û
⑵ ABÓ Û
+8Û
`+CDÓ Û
=xÛ
`
`
`+CDÓ Û
=xÛ
6Û
`
`=BCÓ Û
+4Û
`
`=BCÓ Û
+4Û
`
`+ADÓ Û
∴ xÛ
`
`+ADÓ Û
∴ xÛ
`
`이므로
=18
`이므로
=84
`
`
`
`
`
`
3 ⑴ xÛ
`
⑵ xÛ
+yÛ
`
+yÛ
=6Û
`
=5Û
+9Û
`
+8Û
=117
=89
`
4 ⑴ (색칠한 부분의 넓이)=100p-64p=36p (cmÛ
`
)
⑵ (색칠한 부분의 넓이)=56p+24p=80p (cmÛ
)
⑶
색칠한 부분의 넓이는 ACÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이와
BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이의 합과 같으므로
⑶ (색칠한 부분의 넓이)=
p_3Û`+
p_2Û`
;2!;_
;2!;_
⑶ (색칠한 부분의 넓이)=
p+2p
;2(;
=:Á2£;;
p (cmÛ
)
`
BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이의 합과 같으므로
(색칠한 부분의 넓이)=
_p_4Û
+
_p_7Û
;2!;
`
;2!;
`
`
`
⑸ (색칠한 부분의 넓이)=12+20=32 (cmÛ
`
⑹ (색칠한 부분의 넓이)=24-10=14 (cmÛ
)
)
`
⑺ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC=
_9_6=27 (cmÛ
)
⑻ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC=
_3_4=6 (cmÛ
)
;2!;
;2!;
`
`
>18Û
+15Û
이므로
`
`
⑹ (색칠한 부분의 넓이)=8p+
p
p (cmÛ
)
:¢2»;;
=:¤2°;;
ABDE=
_(6+8)_14=98
(cmÛ
)
⑷
색칠한 부분의 넓이는 ACÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이와
09
피타고라스 정리의 활용
기초의
1 ⑴ 40 ⑵ 28 ⑶ 33 ⑷ 120
2 ⑴ 18 ⑵ 84
3 ⑴ 117 ⑵ 89
4 ⑴ 36p cmÛ
⑸ 32
cmÛ
`
⑵ 80p cmÛ
`
⑹ 14
`
⑶
`
⑺ 27
cmÛ
`
`
`
:Á2£:
cmÛ
p cmÛ
⑷
`
⑻ 6
`
cmÛ
`
`
p cmÛ
`
:¤2°:
`
`
`
5Û
`
+8Û
+11Û
=40
xÛ
∴ xÛ
1 ⑴ DEÓ Û`+BCÓ Û`=BEÓ Û`+CDÓ Û`이므로
+7Û
=xÛ
`
⑵ DEÓ Û`+BCÓ Û`=BEÓ Û`+CDÓ Û`이므로
=28
`
⑶ DEÓ Û`+BCÓ Û`=BEÓ Û`+CDÓ Û`이므로
+xÛ
⑷ DEÓ Û`+BCÓ Û`=BEÓ Û`+CDÓ Û`이므로
=120
∴ xÛ
∴ xÛ
∴ xÛ
=33
=10Û
+10Û
+xÛ
=7Û
=8Û
+6Û
+9Û
`
`
4Û
4Û
`
`
`
`
`
`
`
`
`
`
`
`
개념의
유제
170쪽~171쪽
01 125
02 14
03 20
04 48
cmÛ
`
`
169쪽
01 DEÓ
Ó는 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분이므로
DEÓ=
ACÓ=
_10=5
;2!;
;2!;
AEÓ
+CDÓ
AEÓ
+CDÓ
=5Û
=DEÓ
`
+ACÓ
이므로
`
=125
`
+10Û
`
`
`
`
`
02 △AOD에서 ADÓ
=1Û
+2Û
`
`
`=BCÓ Û
`+CDÓ Û
ABÓ Û
`+ADÓ Û
`+CDÓ Û
ABÓ Û
+5=14
`=3Û
=5
`
`이므로
`
03 색칠한 부분의 넓이는 BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이와 같으므
BCÓ
2 }
로 30p+20p=
_p_
;2!;
{
`
p
BCÓ Û
;8!;
`=50p, BCÓ Û
`=400
∴
`
BCÓ=20 (∵
`
BCÓ>0)
2`
III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 43
Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
04 △ABC에서 ACÓ Û
∴ ACÓ=6
`=10Û
(cm) (∵ ACÓ>0)
-8Û
`
`
=36
`
(색칠한 부분의 넓이)=2△ABC
∴
`
∴
`
∴
`
(색칠한 부분의 넓이)=2_
_8_6
{;2!;
}
(색칠한 부분의 넓이)=48
(cmÛ
)
`
`
07 오른쪽 그림과 같이 색칠한 부분을 각각
SÁ, Sª, S£, S¢라 하고 BDÓ를 그으면
SÁ+Sª=△ABD
S£+S¢=△BCD
∴ SÁ+Sª+S£+S¢
A
D
S2
3
S1
4
S3
B
C
S4
=△ABD+△BCD
=ABCD
=3_4=12
내공의
01 189
06 45
02 6
07 12
03 45
04 2p
cmÛ
`
05 13
`
172쪽
01 △ADE에서 DEÓ Û
∴ BEÓ Û
`=3Û
` =DEÓ Û
`+CDÓ Û
+6Û
`
`
`+BCÓ Û
=45
`=45+12Û
=189
`
`=ADÓ Û
`+15Û
`+BCÓ Û
, ADÓ Û
`이므로
`=25
02 ABÓ Û
13Û
`+CDÓ Û
+9Û
`
`
`
=ADÓ Û
∴ ADÓ=5 (∵ ADÓ>0)
△AOD에서 AOÓ Û
∴ AOÓ=3 (∵ AOÓ>0)
`=5Û
`
=9
-4Û
`
∴ △AOD=
_DOÓ_AOÓ
;2!;
;2!;
=
_4_3=6
03 ABÓ=CDÓ이므로
`+CDÓ Û
ABÓ Û
`=BCÓ Û
2ABÓ Û
+3Û
`=9Û
`+ADÓ Û
`=90
, 2ABÓ Û
`
`
`에서
∴ ABÓ Û
`=45
04 색칠한 부분의 넓이는 BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이와 같으므
로 (색칠한 부분의 넓이)=
_p_2Û
=2p
(cmÛ
)
;2!;
`
`
`
05 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로
_ABÓ_12=30
;2!;
∴
`
ABÓ=5
△ABC에서 BCÓ Û
∴ BCÓ=13 (∵ BCÓ>0)
`=5Û
`
+12Û
=169
`
06 DEÓ는 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분이므로
DEÓ=x라 하면 ACÓ=2DEÓ=2x
또 점 G는 △ABC의 무게중심이므로
AEÓ：GEÓ=3：1에서 AEÓ：3=3：1
∴ AEÓ=9
CDÓ：GDÓ=3：1에서 CDÓ：4=3：1
∴ CDÓ=12
한편 DEÓ Û
+(2x)Û
xÛ
`
∴ xÛ
`
`=AEÓ Û
`+ACÓ Û
, 5xÛ
+12Û
=9Û
`
`
=45, 즉 DEÓ Û
`=45
`
`
`+CDÓ Û
=225
`이므로
44 정답과 해설
실전의
173쪽~177쪽
01 ①
02 4
03 :Á5ª:
`cm 04 :Á5¢:
05 2`cm
06 18
11 ①
16 6`cmÛ`
20 40`m
09 6
`cm 08 12
07 :ª9¼:
12 27`cmÛ` 13 24`cmÛ` 14 36`cmÛ` 15 16`cmÛ`
17 10`cmÛ` 18 117p`cmÜ`
19 294`cmÜ`
21 17
22 108`cmÛ` 23 25`cm 24 12
10 6`cm
25 ㉠, ㉣
26 32`cmÛ` 27 45
28 36p
29 :Á3¢:
30 :ª5¢:
`cm 31 3
32 18`cm 33 10`cm 34 10`cmÛ`
35 ;1^3);
∠H=360ùÙ-(110ù+65ù+70ù)=115ù
01 ① DCÓ：HGÓ=BCÓ：FGÓ=9：12=3：4
② ∠A=∠E=110ù
③ ∠F=∠B=65ù이므로
④ ABÓ：EFÓ=BCÓ：FGÓ이므로
⑤ 닮음비는 BCÓ：FGÓ=9：12=3：4
따라서 옳지 않은 것은 ①이다.
6：EFÓ=9：12
∴ EFÓ=8
02 △ABC와 △ADE에서
∠A는 공통, ∠ABC=∠ADE
이므로 △ABC »△ADE (AA 닮음)
즉 ABÓ：ADÓ=ACÓ：AEÓ이므로
∴ ACÓ=16
∴ CDÓ=ACÓ-ADÓ=16-12=4
24：12=ACÓ：8
03 BCÓ∥DEÓ이므로
△AQC에서 APÓ：AQÓ=PEÓ：QCÓ=6：10=3：5
△ABQ에서 APÓ：AQÓ=DPÓ：BQÓ이므로
3：5=DPÓ：4
∴ DPÓ=
`(cm)
:Á5ª:
04 BEÓ∥DFÓ이므로 ADÓ：DBÓ=AFÓ：FEÓ=5：2
BCÓ∥DEÓ이므로 ADÓ：DBÓ=AEÓ：ECÓ
5：2=(5+2)：ECÓ
∴ ECÓ=
:Á5¢:
05 ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ이므로
∴ CDÓ=10`(cm)
∴ BCÓ =BDÓ-CDÓ=12-10=2`(cm)
6：5=12：CDÓ
∴ x=8
06 3：4=6：x
5：y=7：(6+8)
∴ x+y=8+10=18
∴ y=10
BPÓ：DPÓ=ABÓ：CDÓ=4：5
07 △ABP »△CDP (AA 닮음)이므로
△BCD에서
BPÓ：BDÓ=PQÓ：DCÓ이므로
4：(4+5)=PQÓ：5
∴ PQÓ=
`(cm)
:ª9¼:
A
D
G
E
F
18
08 오른쪽 그림과 같이 점 A를 지나고 BCÓ
에 평행한 직선이 DFÓ와 만나는 점을 G
라 하자.
B
△AEG와 △CEF에서
∠EAG=∠ECF (엇각),
AEÓ=CEÓ,
∠AEG=∠CEF (맞꼭지각)
따라서 △AEG ª△CEF ( ASA 합동)이므로
AGÓ=CFÓ
△DBF에서
이때 BCÓ=BFÓ+FCÓ=2 CFÓ+CFÓ=3 CFÓ이므로
∴ BFÓ=BCÓ-CFÓ=18-6=12
BFÓ=2AGÓ=2CFÓ
∴ CFÓ=6
18=3CFÓ
A
E
B
D
G
8
10
F
C
09 AEÓ=EBÓ, DFÓ=FCÓ이므로
ADÓ∥EFÓ∥BCÓ
오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그어 EFÓ와 만
나는 점을 G라 하면
△ABC에서
EGÓ=
BCÓ=
_10=5
;2!;
;2!;
∴ GFÓ=EFÓ-EGÓ=8-5=3
따라서 △ACD에서
ADÓ=2GFÓ=2_3=6
10 BEÓ=EDÓ, DFÓ=FCÓ이므로
EFÓ=EDÓ+DFÓ=
BDÓ+
DCÓ
;2!;
;2!;
=
BCÓ=
_18=9`(cm)
;2!;
;2!;
△AGG'과 △AEF에서
AGÓ：AEÓ=2：3, AG'Ó：AFÓ=2：3, ∠EAF는 공통
이므로 △AGG' »△AEF ( SAS 닮음)
따라서 GG'Ó：EFÓ=AGÓ：AEÓ이므로
GG'Ó：9=2：3
∴ GG'Ó=6`(cm)
11 ① AGÓ=BGÓ=CGÓ인 것은 △ABC가 정삼각형일 때에만 성립
한다.
따라서 옳지 않은 것은 ①이다.
12 △ABC =3△GBC=3_3△GBG'
=9△GBG'
=9_3=27`(cmÛ`)
13 오른쪽 그림과 같이 AGÓ를 그으면
(색칠한 부분의 넓이)
=△ABD+△AEC
=
;2!;△ABG+
;2!;△AGC
=
_
;3!;△ABC+
;2!;
;2!;
_
;3!;△ABC
A
G
E
D
B
C
=
;6!;△ABC+
;6!;△ABC
C
=
;3!;△ABC
=
;3!;
_72=24`(cmÛ`)
BGÓ：GNÓ=2：1
14 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
즉 △BGM：△GNM=2：1이므로
△BGM=2△GNM=2_3=6`(cmÛ`)
∴ △ABC =6△BGM=6_6=36`(cmÛ`)
15 점 P가 △DBC의 무게중심이므로
OBMP=
;3!;△DBC=
;3!;
_
;2!;
ABCD
=
_
;3!;
{;2!;
_12_8
}
=16`(cmÛ`)
16 △ABC »△EDC ( SAS 닮음)이고 닮음비는 2：1이므로
△ABC：△EDC=2Û`：1Û`=4：1
즉 8：△EDC=4：1이므로 △EDC=2`(cmÛ`)
∴ ☐ ABDE =△ABC-△EDC
=8-2=6`(cmÛ`)
17 △AOD »△COB ( AA 닮음)이고
닮음비는 ADÓ：CBÓ=5：10=1：2이므로
△AOD：△COB=1Û`：2Û`=1：4
III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 45
즉 △AOD：40=1：4
∴ △AOD=10`(cmÛ`)
18 두 원뿔 P, P+Q는 닮은 도형이고
닮음비는 2：(2+3)=2：5이므로
부피의 비는 2Ü`：5Ü`=8：125
따라서 두 입체도형 P, Q의 부피의 비는
8p：(입체도형 Q의 부피)=8：117
∴ (입체도형 Q의 부피)=117p`(cmÜ`)
8：(125-8)=8：117
19 물이 들어 있는 부분과 그릇의 닮음비는 9：15=3：5이므로
부피의 비는 3Ü`：5Ü`=27：125
빈 그릇에 물을 가득 채우는 데 필요한 물의 양을 V`cmÜ`라 하면
∴ V=375`(cmÜ`)
따라서 그릇에 물을 가득 채우려면 375-81=294`(cmÜ`)의 물을
81：V=27：125
더 넣어야 한다.
20 △ACB »△ECD ( AA 닮음)이므로
ABÓ：EDÓ=BCÓ：DCÓ
ABÓ：8=60：12
따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 40`m이다.
∴ ABÓ=40`(m)
21 △ABC에서 ABÓ Û`=25Û`-(8+12)Û`=225
∴ ABÓ=15 (∵ ABÓ>0)
△ABD에서 ADÓ Û`=8Û`+15Û`=289
∴ ADÓ=17 (∵ ADÓ>0)
_24=12`(cm)
;2!;
BCÓ=
22 BHÓ=CHÓ=
;2!;
△ABH에서 AHÓ Û`=15Û
∴ AHÓ=9
`
(cm) (∵ AHÓ>0)
-12Û
`
=81
`
∴ △ABC=
_24_9=108
;2!;
(cmÛ
`
`
)
23 ABCD의 넓이가 49`cmÛ`이므로
ABÓ=7`(cm) (∵ ABÓ>0)
∴ BCÓ=ABÓ =7`cm
GCEF의 넓이가 289
cmÛ`이므로
`
`
CEÓ=17
(cm) (∵ CEÓ>0)
△ABE에서 BEÓ=BCÓ+CEÓ=7+17=24 (cm)
따라서 AEÓ Û`=7Û
AEÓ=25
(cm) (∵ AEÓ>0)
=625이므로
+24Û
`
`
`
24 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ에
내린 수선의 발을 H라 하면 HCÓ=ADÓ=7
A
7
D
13
△ABH에서
AHÓ Û`=13Û
`
-5Û
=144
`
BHÓ=BCÓ-HCÓ=12-7=5이므로
B
H
12
C
46 정답과 해설
∴
∴
`
`
AHÓ=12 (∵ AHÓ>0)
DCÓ=AHÓ=12
25 ㉠ 1Û
=
`
{;5#;}
{;5$;}
`+
`이므로 직각삼각형이다.
㉡ 12Û
+5Û
+8Û
이므로 직각삼각형이 아니다.
㉢ 10Û
+6Û
이므로 직각삼각형이 아니다.
`
`
`
`
`
+7Û
`
+15Û
㉣ 17Û
=8Û
이므로 직각삼각형이다.
`
따라서 직각삼각형인 것은 ㉠, ㉣이다.
`
`
26 ADEB=ACHI+BFGC이므로
∴ ACHI=64
100=ACHI+36
(cmÛ
)
`
`
`△ABI=△ACI=
=
_64=32
;2!;
;2!;
ACHI
(cmÛ
)
`
`
27 DEÓ는 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분이므로
DEÓ=
BCÓ=
_6=3
;2!;
Û`+CDÓ
;2!;
Û` =DEÓ
BEÓ
`
∴
Û`+BCÓ
Û`=3Û
`
+6Û
=45
`
∴
28 P+Q=R이고 R=
p_6Û
=18p이므로
;2!;_
`
P+Q+R=2R=2_18p=36p
BCÓ=ACÓ=AFÓ+FCÓ=7+3=10
29 AFÓ=EFÓ=7이므로
∴ BEÓ=BCÓ-ECÓ=10-8=2
△DBE와 △ECF에서
∠B=∠C=60ù,
∠BDE=120ù-∠BED=∠CEF
이므로 △DBE »△ECF ( AA 닮음)
즉 DEÓ：EFÓ=BEÓ：CFÓ이므로
DEÓ：7=2：3
∴ DEÓ=
:Á3¢:
∴ ADÓ=DEÓ=
:Á3¢:
30 점 M은 △ABC의 외심이므로
AMÓ=BMÓ=CMÓ=
BCÓ=
_15=
`(cm)
;2!;
;2!;
:Á2°:
△ABC에서 ADÓ Û`=DBÓ_DCÓ이므로
ADÓ Û`=12_3=36
또 △AMD에서 ADÓ Û`=AHÓ_AMÓ이므로
∴ ADÓ=6`(cm) (∵ ADÓ>0)
6Û`=AHÓ_
:Á2°:
∴ AHÓ=
`(cm)
:ª5¢:
31 점 I 는 △ABC의 내심이므로 ADÓ는 ∠A의 이등분선이다.
ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ이므로
6：4=BDÓ：(5-BDÓ), 4BDÓ=6(5-BDÓ)
∴ BDÓ=3
10BDÓ=30
Û
Û
32 오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나고 ECÓ
에 평행한 직선이 ABÓ와 만나는 점을 G
라 하면 △BCE에서
BDÓ=DCÓ, GDÓ∥ECÓ이므로
BGÓ=GEÓ
A
F
D
E
G
B
24 cm
C
∴ GDÓ=
ECÓ=
_24=12`(cm)
;2!;
;2!;
이때 AEÓ：EBÓ=1：2이고 BGÓ=GEÓ이므로
△AGD에서
BGÓ=GEÓ=EAÓ
EFÓ=
GDÓ=
_12=6`(cm)
;2!;
;2!;
∴ FCÓ=ECÓ-EFÓ=24-6=18`(cm)
FDÓ=AFÓ=15`cm
33 AEÓ=EBÓ이고 EFÓ∥BCÓ이므로
△EGF »△CGD ( AA 닮음)이므로
FGÓ：DGÓ=EGÓ：CGÓ=1：2
∴ GDÓ=
FDÓ=
_15=10`(cm)
;3@;
;3@;
다른 풀이
AEÓ=EBÓ이고 EFÓ∥BCÓ이므로
FDÓ=AFÓ=15`cm
∴ GDÓ=
ADÓ=
(AFÓ+FDÓ)
;3!;
=
_(15+15)=10`(cm)
;3!;
;3!;
A
D
Q
O
P
E
B
F
C
∴ △AEF=18`(cmÛ`)
34 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면 두 점
P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게
중심이고 BOÓ=DOÓ이므로
BPÓ=PQÓ=QDÓ
∴ △APQ =△ABP=8`cmÛ`
△AEF»△APQ ( AA 닮음)이고
AEÓ：APÓ=3：2이므로
△AEF：△APQ=3Û`：2Û`=9：4
△AEF：8=9：4
∴ PEFQ =△AEF-△APQ
=18-8
=10`(cmÛ`)
35 12x+5y-60=0에
x=0을 대입하면
5y-60=0
∴ y=12
y=0을 대입하면
12x-60=0
∴ x=5
즉 이 직선의 x절편은 5, y절편은 12이다.
△AOB에서 OAÓ=12, OBÓ=5이므로
ABÓ Û`=12Û`+5Û`=169
∴ ABÓ=13 (∵ ABÓ>0)
이때 OAÓ_OBÓ=ABÓ_OHÓ이므로
12_5=13_OHÓ
∴ OHÓ=
;1^3);
III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 47
IV. 확률
01 700원을 지불하는 방법을 표로 나타내면 다음과 같다.
500원짜리 동전(개)
100원짜리 동전(개)
50원짜리 동전(개)
1
2
0
1
1
2
1
0
4
0
6
2
0
5
4
따라서 구하는 방법의 수는 5이다.
01
경우의 수
기초의
1 ⑴ 5 ⑵ 4 ⑶ 4
3 ⑴ 28 ⑵ 40
5 ⑴ 36 ⑵ 6 ⑶ 6
2 ⑴ 7 ⑵ 8 ⑶ 6
4 6
6 ⑴ 8 ⑵ 3 ⑶ 2
1 ⑴ 짝수는 2, 4, 6, 8, 10이므로 구하는 경우의 수는 5
⑵ 소수는 2, 3, 5, 7이므로 구하는 경우의 수는 4
02 ⑴ 3 이하의 수가 적힌 공이 나오는 경우는 1, 2, 3의 3가지
10 이상의 수가 적힌 공이 나오는 경우는 10, 11, 12, 13, 14의
182쪽
따라서 구하는 경우의 수는
5가지
3+5=8
⑵ 3의 배수가 적힌 공이 나오는 경우는 3, 6, 9, 12의 4가지
4의 배수가 적힌 공이 나오는 경우는 4, 8, 12의 3가지
이때 3의 배수이면서 4의 배수인 경우, 즉 12의 배수가 적힌 공
이 나오는 경우는 12의 1가지
⑶ 8의 약수는 1, 2, 4, 8이므로 구하는 경우의 수는 4
따라서 구하는 경우의 수는
⑶ 3 이하의 수가 적힌 카드를 뽑는 경우는 1, 2, 3의 3가지
8 이상의 수가 적힌 카드를 뽑는 경우는 8, 9, 10의 3가지
따라서 구하는 경우의 수는
2 ⑴ 3+4=7
⑵ 5+3=8
3+3=6
3 ⑴ 4_7=28
⑵ 4_10=40
4 2_3=6
4+3-1=6
03 남자 선수 한 사람을 뽑는 경우의 수는 6
여자 선수 한 사람을 뽑는 경우의 수는 4
따라서 구하는 경우의 수는
6_4=24
04 Ú 집 → 학교 → 도서관으로 가는 방법의 수는
4_2=8
Û 집 → 도서관으로 직접 가는 방법의 수는 1
따라서 구하는 방법의 수는
5 ⑴ 6_6=36
⑵ 같은 수의 눈이 나오는 경우는 (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4),
8+1=9
(5, 5), (6, 6)의 6가지
⑶ 주사위 A에서 홀수의 눈이 나오는 경우는 1, 3, 5의 3가지
05 ⑴ Ú 두 눈의 수의 차가 1이 되는 경우는 (1, 2), (2, 1), (2, 3),
(3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)의 10
주사위 B에서 5 이상의 눈이 나오는 경우는 5, 6의 2가지
가지
따라서 구하는 경우의 수는
3_2=6
Û 두 눈의 수의 차가 2가 되는 경우는 (1, 3), (2, 4), (3, 1),
(3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4)의 8가지
6 ⑴ 2_2_2=8
⑵ 앞면이 한 개만 나오는 경우는 (앞, 뒤, 뒤), (뒤, 앞, 뒤),
따라서 구하는 경우의 수는
10+8=18
(뒤, 뒤, 앞)의 3가지
⑵ 두 눈의 수의 합이 6의 배수가 되는 경우는 두 눈의 수의 합이
⑶ 모두 같은 면이 나오는 경우는 (앞, 앞, 앞), (뒤, 뒤, 뒤)의 2가지
6 또는 12가 되는 경우이므로
Ú 두 눈의 수의 합이 6이 되는 경우는 (1, 5), (2, 4), (3, 3),
(4, 2), (5, 1)의 5가지
Û 두 눈의 수의 합이 12가 되는 경우는 (6, 6)의 1가지
따라서 구하는 경우의 수는
5+1=6
개념의
유제
183쪽~187쪽
02 ⑴ 8 ⑵ 6 03 24
06 9
08 24
04 9
07 3
06 동전 1개를 던질 때, 나오는 모든 경우는 앞, 뒤의 2가지
주사위 1개를 던질 때, 나오는 모든 경우는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6가지
∴ a=2_6=12
01 5
05 ⑴ 18 ⑵ 6
09 30
48 정답과 해설
동전이 앞면이 나오는 경우는 앞의 1가지
주사위에서 2의 배수의 눈이 나오는 경우는 2, 4, 6의 3가지
∴ b=1_3=3
∴ a-b=12-3=9
07 A, B 두 사람이 가위바위보를 내는 경우를 순서쌍 (A, B )로 나타
내면 승부가 나지 않는 경우는 (가위, 가위), (바위, 바위), (보, 보)
의 3가지이다.
08 A에 칠할 수 있는 색은 4가지
B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지
C에 칠할 수 있는 색은 A, B에 칠한 색을 제외한 2가지
따라서 구하는 경우의 수는
4_3_2=24
09 Ú 집에서 서점까지 최단 거리로
가는 방법의 수는 3
Û 서점에서 학교까지 최단 거리
로 가는 방법의 수는 10
따라서 구하는 방법의 수는
3_10=30
1
3
6
학교
10
3
1
4
1
1
2
1
서점
1
2 3
1
1
집
내공의
01 ④
06 12
10 ⑴ 5 ⑵ 12
14 6
19 24
03 3
02 3
07 ⑴ 5 ⑵ 9 08 16
11 8
16 20
15 24
20 9
188쪽~190쪽
04 8
09 8가지
12 10
17 4
05 7
13 6
18 5
01 ① 소수는 2, 3, 5, 7이므로 구하는 경우의 수는 4
② 홀수는 1, 3, 5, 7, 9이므로 구하는 경우의 수는 5
③ 9의 약수는 1, 3, 9이므로 구하는 경우의 수는 3
④ 4의 배수는 4, 8이므로 구하는 경우의 수는 2
⑤ 3 이하의 수는 1, 2, 3이므로 구하는 경우의 수는 3
따라서 경우의 수가 가장 작은 것은 ④이다.
02 앞면이 두 개 나오는 경우는 (앞, 앞, 뒤), (앞, 뒤, 앞), (뒤, 앞, 앞)
의 3가지
03 4000원을 지불하는 방법을 표로 나타내면 다음과 같다.
1000원짜리 지폐 (장)
500원짜리 동전 (개)
3
2
2
4
1
6
따라서 구하는 방법의 수는 3이다.
05 3의 배수가 적힌 카드를 뽑는 경우는 3, 6, 9, 12, 15의 5가지
5의 배수가 적힌 카드를 뽑는 경우는 5, 10, 15의 3가지
이때 3의 배수이면서 5의 배수인 경우, 즉 15의 배수가 적힌 카드
를 뽑는 경우는 15의 1가지
따라서 구하는 경우의 수는
5+3-1=7
06 3_2_2=12
07 ⑴ 3+2=5
⑵ 3_3=9
08 윷가락 1개를 던져 나오는 경우는 등, 배의 2가지이다.
이때 4개의 윷가락을 동시에 던지므로 일어날 수 있는 모든 경우의
수는 2_2_2_2=16
09 전등 한 개로 나타낼 수 있는 경우는 켜진 경우와 꺼진 경우의 2가
지이므로 전등 3개로 보낼 수 있는 신호는
2_2_2=8(가지)
다른 풀이
세 전등 A, B, C가 각각 켜진 경우를 ◯, 꺼진 경우를 ×로 표시하
여 순서쌍 (A, B, C)로 나타내면 다음과 같다.
(◯, ◯, ◯), (◯, ◯, ×), (◯, ×, ◯), (×, ◯, ◯)
(◯, ×, ×), (×, ◯, ×), (×, ×, ◯), (×, ×, ×)
10 ⑴ 3+2=5
⑵ 놀이 공원에 갈 때 버스를 타고, 올 때 지하철을 타는 방법의 수는
놀이 공원에 갈 때 지하철을 타고, 올 때 버스를 타는 방법의 수는
3_2=6
2_3=6
따라서 구하는 방법의 수는
6+6=12
11 Ú 안내소 → 천왕봉까지 직접 가는 방법의 수는 2
Û 안내소 → 휴게소 → 천왕봉으로 가는 방법의 수는
3_2=6
따라서 구하는 방법의 수는
2+6=8
12 두 눈의 수의 합이 7이 되는 경우는 (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3),
(5, 2), (6, 1)의 6가지
두 눈의 수의 차가 4가 되는 경우는 (1, 5), (2, 6), (5, 1), (6, 2)
의 4가지
따라서 구하는 경우의 수는
6+4=10
04 5의 배수가 적힌 구슬이 나오는 경우는 5, 10, 15, 20, 25의 5가지
8의 배수가 적힌 구슬이 나오는 경우는 8, 16, 24의 3가지
13 동전이 서로 같은 면이 나오는 경우는 (앞, 앞), (뒤, 뒤)의 2가지
주사위에서 4의 약수의 눈이 나오는 경우는 1, 2, 4의 3가지
따라서 구하는 경우의 수는
5+3=8
따라서 구하는 경우의 수는
2_3=6
IV. 확률 49
14 가위바위보를 내는 경우를 순서쌍 (유정, 준영)으로 나타내면
유정이가 이기는 경우는 (가위, 보), (바위, 가위), (보, 바위)의
따라서 구하는 경우의 수는
3+6=9
서로 비기는 경우는 (가위, 가위), (바위, 바위), (보, 보)의 3가지
따라서 구하는 경우의 수는
3가지
3+3=6
15 한 부분에 색을 칠하는 경우는 빨강, 파랑, 노랑, 초록의 4가지이고,
각 부분에 서로 다른 색으로 칠해야 하므로 A, B, C, D의 순서로
색을 칠할 경우에 A는 4가지, B는 3가지, C는 2가지, D는 1가지
=27-9=18
참고
세 사람이 가위바위보를 할 때
⑴ (모든 경우의 수)=3_3_3=27
⑵ (비기는 경우의 수)
=3+6=9
⑶ (승부가 결정되는 경우의 수)
=(모든 경우의 수)-(비기는 경우의 수)
=(모두 같은 것을 내는 경우의 수)+(모두 다른 것을 내는 경우의 수)
를 각각 칠할 수 있다.
따라서 구하는 경우의 수는
4_3_2_1=24
16 Ú A 지점에서 B 지점까지 최
단 거리로 가는 방법의 수는
Û B 지점에서 C 지점까지 최
단 거리로 가는 방법의 수는
10
2
따라서 구하는 방법의 수는
10_2=20
1
B
2
C
1
1
1
A
3
2
6
3
10
4
1
1
1
17 x-y=2를 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (3, 1), (4, 2), (5, 3),
(6, 4)의 4가지
02
여러 가지 경우의 수
기초의
1 ⑴ 24 ⑵ 20 ⑶ 60
3 ⑴ 48 ⑵ 36
5 ⑴ 16개 ⑵ 48개
7 ⑴ 60 ⑵ 10
1 ⑴ 4_3_2_1=24
⑵ 5_4=20
⑶ 5_4_3=60
193쪽
2 120
4 ⑴ 20개 ⑵ 60개
6 ⑴ 20 ⑵ 10
18 점 P의 위치가 3이 되는 경우는 앞면이 4번, 뒷면이 1번 나오는 경
우이므로 (앞, 앞, 앞, 앞, 뒤), (앞, 앞, 앞, 뒤, 앞),
2 5명을 한 줄로 세우는 경우와 같으므로
5_4_3_2_1=120
(앞, 앞, 뒤, 앞, 앞), (앞, 뒤, 앞, 앞, 앞), (뒤, 앞, 앞, 앞, 앞)의 5가
참고
앞면이 x번 나온다고 하면 뒷면은 (5-x)번 나오므로 점 P의 위치가
4_3_2_1=24
3 ⑴ B, C를 1명으로 생각하고 4명을 한 줄로 세우는 경우의 수는
이때 묶음 안에서 B, C를 한 줄로 세우는 경우의 수는
19 Ú A → P → B → A로 왕복하는 방법의 수는
⑵ A, B, C를 1명으로 생각하고 3명을 한 줄로 세우는 경우의 수는
Û A → B → P → A로 왕복하는 방법의 수는
이때 묶음 안에서 A, B, C를 한 줄로 세우는 경우의 수는
지
3이 되려면
1_x-1_(5-x)=3이어야 한다.
즉 x-5+x=3
∴ x=4
따라서 앞면이 4번, 뒷면이 1번 나오면 된다.
3_2_2=12
2_2_3=12
따라서 구하는 방법의 수는
12+12=24
20 승부가 나지 않는 경우는 세 사람이 모두 같은 것을 내는 경우 또는
세 사람이 모두 다른 것을 내는 경우이다.
4 ⑴ 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 5가지
일의 자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자리에 놓인 숫자를 제외
가위바위보를 내는 경우를 순서쌍 (A, B, C)로 나타내면
한 4가지
세 사람이 모두 같은 것을 내는 경우는
따라서 구하는 정수의 개수는
(가위, 가위, 가위), (바위, 바위, 바위), (보, 보, 보)의 3가지
5_4=20(개)
세 사람이 모두 다른 것을 내는 경우는
⑵ 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 5가지
(가위, 바위, 보), (가위, 보, 바위), (바위, 가위, 보),
십의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리에 놓인 숫자를 제외
(바위, 보, 가위), (보, 가위, 바위), (보, 바위, 가위)의 6가지
한 4가지
50 정답과 해설
따라서 구하는 경우의 수는
2_1=2
24_2=48
3_2_1=6
3_2_1=6
6_6=36
따라서 구하는 경우의 수는
일의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리와 십의 자리에 놓인
03 부모님을 1명으로 생각하고 4명을 한 줄로 세우는 경우의 수는
일의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리와 십의 자리에 놓인
⑵ 홀수가 되려면 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 1 또는 3 또는 5
5 ⑴ 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 4가지
일의 자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자리에 놓인 숫자를 제외
⑵ 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 4가지
십의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리에 놓인 숫자를 제외
숫자를 제외한 3가지
따라서 구하는 정수의 개수는
5_4_3=60(개)
따라서 구하는 정수의 개수는
한 4가지
4_4=16(개)
한 4가지
숫자를 제외한 3가지
따라서 구하는 정수의 개수는
4_4_3=48(개)
6 ⑴ 5_4=20
⑵ 5_4
2_1
=10
7 ⑴ 5_4_3=60
⑵ 5_4_3
3_2_1
=10
02 ⑴ 6 ⑵ 48
01 20
04 ⑴ 120개 ⑵ 15개
05 52개
08 ⑴ 30 ⑵ 15 ⑶ 5 ⑷ 10 09 21번
03 48
06 7개
10 10개
07 6
01 5명 중 2명을 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수와 같으므로
5_4=20
02 ⑴ A를 맨 앞에, E를 맨 뒤에 고정시키고 나머지 3명을 한 줄로 세
우는 경우의 수는
3_2_1=6
⑵ Ú A
F인 경우의 수는
4_3_2_1=24
Û F
A인 경우의 수는
4_3_2_1=24
따라서 구하는 경우의 수는
24+24=48
4_3_2_1=24
이때 묶음 안에서 부모님을 한 줄로 세우는 경우의 수는
따라서 구하는 경우의 수는
2_1=2
24_2=48
04 ⑴ 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 6가지
십의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리에 놓인 숫자를 제외
한 5가지
일의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리와 십의 자리에 놓인
숫자를 제외한 4가지
따라서 구하는 자연수의 개수는
6_5_4=120(개)
이다.
Ú
1인 경우：21, 31, 41, 51, 61의 5개
Û
3인 경우：13, 23, 43, 53, 63의 5개
Ü
5인 경우：15, 25, 35, 45, 65의 5개
따라서 구하는 홀수의 개수는
5+5+5=15(개)
05 짝수가 되려면 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 0 또는 2 또는 4이다.
Ú
0인 경우：5_4=20(개)
Û
2인 경우：4_4=16(개)
Ü
4인 경우：4_4=16(개)
따라서 만들 수 있는 짝수의 개수는
20+16+16=52(개)
06 Ú 1 인 경우：10, 12, 13, 14의 4개
Û 2 인 경우：20, 21, 23의 3개
07 B가 반드시 뽑히는 경우의 수는 B를 제외한 A, C, D, E 4명 중 자
격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로
4_3
2_1
=6
08 ⑴ 6_5=30
⑵ 6_5
2_1
=15
같으므로
5_4
2_1
=10
하는 경기의 수는
=21(번)
7_6
2_1
⑶ A를 제외한 5명 중 대표 1명을 뽑는 경우의 수와 같으므로 5
⑷ A를 제외한 5명 중 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수와
09 7명 중 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로 치러야
IV. 확률 51
개념의
유제
194쪽~198쪽
따라서 24보다 작은 정수의 개수는
4+3=7(개)
10 5명 중 자격이 같은 대표 3명을 뽑는 경우의 수와 같으므로 만들 수
또 묶음 안에서 성환이와 미진이를 한 줄로 세우는 경우의 수는
있는 삼각형의 개수는
5_4_3
3_2_1
=10(개)
은 삼각형이다.
참고
△ABC, △ACB, △BAC, △BCA, △CAB, △CBA는 모두 같
2_1=2
따라서 구하는 경우의 수는
24_2_2=96
07 여학생 3명을 1명으로 생각하고 3명을 한 줄로 세우는 경우의 수는
3_2_1=6
이때 묶음 안에서 여학생 3명을 한 줄로 세우는 경우의 수는
3_2_1=6
따라서 구하는 경우의 수는
199쪽~201쪽
6_6=36
내공의
02 12
07 36
11 24
01 24
06 96
10 42
14 28경기 15 15개
19 315
20 12
04 6
09 ⑴ 25개 ⑵ 11개
05 48
03 48
08 36개
12 ⑴ 56 ⑵ 21
16 144
21 19개
17 72
13 18
18 15번째
01 4명을 한 줄로 세우는 경우의 수와 같으므로
4_3_2_1=24
08 5의 배수가 되려면 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 0 또는 5이다.
Ú
0인 경우：5_4=20(개)
Û
5인 경우：4_4=16(개)
따라서 만들 수 있는 5의 배수의 개수는
20+16=36(개)
09 ⑴ 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 5가지
일의 자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자리에 놓인 숫자를 제외
한 5가지
5_5=25(개)
따라서 만들 수 있는 두 자리의 정수의 개수는
⑵ Ú 1 인 경우：10, 12, 13, 14, 15의 5개
Û 2 인 경우：20, 21, 23, 24, 25의 5개
Ü 3 인 경우：30의 1개
따라서 30 이하인 정수의 개수는
5+5+1=11(개)
10 7명 중 자격이 다른 대표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로
7_6=42
11 남자 4명 중 대표 1명을 뽑는 경우의 수는 4
여자 3명 중 대표 1명, 부대표 1명을 뽑는 경우의 수는
따라서 구하는 경우의 수는
3_2=6
4_6=24
12 ⑴ 8명 중 자격이 다른 대표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로
8_7=56
04 수학과 과학을 수학, 과학 순으로 하나로 묶어 생각하고 3과목을
05 C를 제외한 5명 중에서 A와 B를 1명으로 생각하고 4명을 한 줄로
이때 묶음 안에서 A와 B를 한 줄로 세우는 경우의 수는
⑵ 영희를 제외한 7명 중 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수
06 민석이와 주연, 성환이와 미진이를 각각 1명으로 생각하고 4명을
13 수학책 4권 중 2권을 사는 경우의 수는
이때 묶음 안에서 민석이와 주연이를 한 줄로 세우는 경우의 수는
과학책 3권 중 2권을 사는 경우의 수는
와 같으므로
7_6
2_1
=21
4_3
2_1
=6
3_2
2_1
=3
02 Ú ‘부
Û ‘모
3_2_1=6
3_2_1=6
모’인 경우의 수는
부’인 경우의 수는
따라서 구하는 경우의 수는
6+6=12
03 K가 맨 앞에 오는 경우의 수는
4_3_2_1=24
R가 맨 앞에 오는 경우의 수는
4_3_2_1=24
따라서 구하는 경우의 수는
24+24=48
한 줄로 나열하는 경우의 수는
3_2_1=6
세우는 경우의 수는
4_3_2_1=24
따라서 구하는 경우의 수는
2_1=2
24_2=48
한 줄로 세우는 경우의 수는
4_3_2_1=24
2_1=2
52 정답과 해설
따라서 구하는 경우의 수는
6_3=18
14 8명 중 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로 구하는
이때 일직선 위에 있는 세 점 A, B, C를 선택하는 경우에는 삼각형
이 만들어지지 않는다.
따라서 만들 수 있는 삼각형의 개수는
20-1=19(개)
참고 일직선 위에 있는 세 점으로는 삼각형을 만들 수 없다.
총 경기의 수는
8_7
2_1
=28(경기)
선분의 개수는
6_5
2_1
=15(개)
15 6명 중 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로 구하는
16 남학생 4명을 먼저 한 줄로 세우는 경우의 수는
4_3_2_1=24
남학생 사이에 여학생 3명을 한 줄로 세우는 경우의 수는
03
확률의 뜻과 성질
기초의
1 ⑴ 4 ⑵ 2 ⑶ ;2!;
3 ⑴ ;9!; ⑵ ;9$; ⑶ ;3!; ⑷ ;9%;
2 ⑴ ;8#; ⑵ ;4!;
4 ⑴ 0 ⑵ 1
203쪽
따라서 구하는 경우의 수는
3_2_1=6
24_6=144
세우는 경우의 수는
2_1=2
3_2_1=6
3_2_1=6
2_6_6=72
따라서 구하는 경우의 수는
18 a
b
인 경우：3_2_1=6(개)
인 경우：3_2_1=6(개)
ca
인 경우：2_1=2(개)
에 온다.
19 Ú 1
Û 2
인 경우：5_4=20(개)
인 경우：5_4=20(개)
17 남학생 3명과 여학생 3명을 각각 1명으로 생각하고 2명을 한 줄로
5 ;6!;
6 ;1»0»0£0;
7 ⑴ ;4!; ⑵ ;4#;
이때 묶음 안에서 남학생을 한 줄로 세우는 경우의 수는
1 ⑴ (앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 앞), (뒤, 뒤)의 4가지
⑵ (앞, 뒤), (뒤, 앞)의 2가지
또 묶음 안에서 여학생을 한 줄로 세우는 경우의 수는
⑶
=
;4@;
;2!;
2 모든 경우의 수는 3+2+3=8
⑴ 주머니 안에 빨간 공은 3개 들어 있으므로 빨간 공이 나올 확률
⑵ 주머니 안에 파란 공은 2개 들어 있으므로 파란 공이 나올 확률
따라서 cbad 앞에 6+6+2=14(개)가 있으므로 cbad는 15번째
3 모든 경우의 수는 9
⑴ 3이 적힌 카드가 나오는 경우는 3의 1가지이므로 구하는 확률
이때 백의 자리의 숫자가 1 또는 2인 수는 20+20=40(개)이므로
작은 수부터 차례로 나열할 때, 41번째 수는 312, 42번째 수는 314,
구하는 확률은
;9$;
43번째 수는 315이다.
⑶ 7 이상의 수가 적힌 카드가 나오는 경우는 7, 8, 9의 3가지이므
⑵ 소수가 적힌 카드가 나오는 경우는 2, 3, 5, 7의 4가지이므로
20 남학생 4명 중 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수는
4_3
2_1
=6
여학생 2명 중에서 대표 1명을 뽑는 경우의 수는 2
따라서 구하는 경우의 수는
6_2=12
⑷ 홀수가 적힌 카드가 나오는 경우는 1, 3, 5, 7, 9의 5가지이므로
로 구하는 확률은
=
;9#;
;3!;
구하는 확률은
;9%;
4 ⑴ 두 눈의 수의 합이 1인 경우는 없으므로 구하는 확률은 0
⑵ 두 눈의 수의 합은 항상 12 이하이므로 구하는 확률은 1
21 6개의 점 중 3개의 점을 뽑는 경우의 수는
(합격하지 못할 확률)=1-(합격할 확률)
6_5_4
3_2_1
=20
=1-
=
;6%;
;6!;
은
;8#;
은
=
;8@;
;4!;
은
;9!;
5
IV. 확률 53
(합격품이 나올 확률)=1-(불량품이 나올 확률)
남학생 1명, 여학생 1명을 대표로 뽑는 경우의 수는
6 불량품이 나올 확률은
이므로
;10¦00;
=1-
;10¦00;
=
;1»0»0£0;
률은
;4!;
⑵ (적어도 한 개는 앞면이 나올 확률)
=1-(모두 뒷면이 나올 확률)
=1-
=
;4!;
;4#;
04 모든 경우의 수는
7_6
2_1
=21
4_3=12
따라서 구하는 확률은
=
;2!1@;
;7$;
(2, 1), (3, 1), (4, 1)의 5가지
따라서 구하는 확률은
;3°6;
7 모든 경우의 수는 2_2=4
⑴ 모두 뒷면이 나오는 경우는 (뒤, 뒤)의 1가지이므로 구하는 확
05 모든 경우의 수는 6_6=36
이때 x+3y<8을 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (1, 1), (1, 2),
06 ㉠ 주사위에서 7 이상의 눈은 없으므로 7 이상의 눈이 나올 확률은
0이다.
㉡ 모든 경우의 수는 2_2=4
서로 같은 면이 나오는 경우는 (앞, 앞), (뒤, 뒤)의 2가지
따라서 구하는 확률은
=
;4@;
;2!;
개념의
유제
204쪽~207쪽
㉢ 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 두 눈의 수
01 ;8#;
02 ⑴ ;5@; ⑵ ;8%;
03 ;1Á0;
04 ;7$;
의 합은 항상 자연수이므로 나오는 두 눈의 수의 합이 자연수일
확률은 1이다.
05 ;3°6;
06 ㉠, ㉣
07 ;5$;
08 ;4#;
㉣ 주머니에는 빨간 공이 없으므로 빨간 공이 나올 확률은 0이다.
앞면이 1개만 나오는 경우는 (앞, 뒤, 뒤), (뒤, 앞, 뒤), (뒤, 뒤, 앞)
5의 배수는 5, 10, 15, 20, 25, 30의 6가지이므로 카드에 적힌 수가
01 모든 경우의 수는 2_2_2=8
의 3가지
따라서 구하는 확률은
;8#;
02 ⑴ 모든 경우의 수는 5_4=20
3의 배수는 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수이다.
07 모든 경우의 수는 30
5의 배수일 확률은
=
;3¤0;
;5!;
∴ (5의 배수가 아닐 확률)=1-(5의 배수일 확률)
=1-
=
;5!;
;5$;
Ú 각 자리의 숫자의 합이 3인 경우：12, 21의 2가지
Û 각 자리의 숫자의 합이 6인 경우：15, 24, 42, 51의 4가지
08 모든 경우의 수는 6_6=36
모두 짝수의 눈이 나오는 경우는 (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2),
(4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)의 9가지이므로 모두 짝수의
Ü 각 자리의 숫자의 합이 9인 경우：45, 54의 2가지
Ú~Ü에서 3의 배수인 경우는 2+4+2=8(가지)
따라서 구하는 확률은
=
;2¥0;
;5@;
⑵ 모든 경우의 수는 4_4_3=48
짝수인 경우는 일의 자리 숫자가 0 또는 2 또는 4인 경우이다.
Ú
Û
Ü
0인 경우：4_3=12(가지)
2인 경우：3_3=9(가지)
4인 경우：3_3=9(가지)
Ú~Ü에서 짝수인 경우는 12+9+9=30(가지)
따라서 구하는 확률은
=
;4#8);
;8%;
03 모든 경우의 수는 5_4_3_2_1=120
A와 B가 양 끝에 서는 경우의 수는
(3_2_1)_2=12
따라서 구하는 확률은
=
;1Á2ª0;
;1Á0;
54 정답과 해설
눈이 나올 확률은
=
;3»6;
;4!;
∴ (적어도 하나는 홀수의 눈이 나올 확률)
=1-(모두 짝수의 눈이 나올 확률)
=1-
=
;4!;
;4#;
내공의
208쪽~209쪽
01 ;1£0;
02 ;6!;
03 ;1°2;
06 ;1Á2;
11 3
07 ㉡, ㉣
08 ③, ⑤
12 ;4!;
13 ;3°6;
04 ;3!;
09 ;3@;
05 ;8#;
10 ;1»4;
01 모든 경우의 수는 20
3의 배수는 3, 6, 9, 12, 15, 18의 6가지
따라서 구하는 확률은
=
;2¤0;
;1£0;
02 모든 경우의 수는 6_6=36
두 눈의 수의 합이 7이 되는 경우는 (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3),
09 모든 경우의 수는 2+4+3=9
노란 공을 꺼낼 확률은
=
;9#;
;3!;
∴ (노란 공을 꺼내지 않을 확률)
=1-(노란 공을 꺼낼 확률)
=1-
=
;3!;
;3@;
(5, 2), (6, 1)의 6가지
따라서 구하는 확률은
=
;3¤6;
;6!;
03 모든 경우의 수는 4_3=12
Ú 3 ☐인 경우：32, 34의 2가지
Û 4 ☐인 경우：41, 42, 43의 3가지
Ú, Û에서 32 이상인 경우는 2+3=5(가지)
따라서 구하는 확률은
;1°2;
04 모든 경우의 수는 3_3=9
승부가 나지 않는 경우는 두 사람 모두 같은 것을 내는 경우이므로
(가위, 가위), (바위, 바위), (보, 보)의 3가지
따라서 구하는 확률은
=
;9#;
;3!;
05 모든 경우의 수는
8_7_6
3_2_1
=56
7_6
2_1
=21
따라서 구하는 확률은
=
;5@6!;
;8#;
이때 도유를 제외한 7명 중 대표 2명을 뽑는 경우의 수는
06 모든 경우의 수는 6_6=36
x+2y=7을 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (1, 3), (3, 2), (5, 1)의
3가지
따라서 구하는 확률은
=
;3£6;
;1Á2;
07 ㉠ 주사위에서 7의 눈이 나오는 경우는 없으므로 7의 눈이 나올 확
률은 0이다.
㉢ 어떤 사건이 일어날 확률을 p라 하면 0ÉpÉ1이다.
08 ③ 모든 경우의 수는 6_6=36
두 눈의 수의 합이 2보다 작거나 같은 경우는 (1, 1)의 1가지이
므로 그 확률은
;3Á6;
따라서 두 눈의 수의 합이 2보다 클 확률은
1-
=
;3Á6;
;3#6%;
⑤ 모든 경우의 수는 3_3=9
(바위, 보), (보, 가위)의 3가지
따라서 구하는 확률은
=
;9#;
;3!;
B가 이기는 경우를 (A, B)로 나타내면 (가위, 바위),
10 모든 경우의 수는 8_7=56
2명 모두 여학생이 뽑히는 경우의 수는 5_4=20이므로
2명 모두 여학생이 뽑힐 확률은
=
;5@6);
;1°4;
∴ (남학생이 적어도 1명 뽑힐 확률)
=1-( 2명 모두 여학생이 뽑힐 확률)
=1-
=
;1°4;
;1»4;
11 전체 구슬의 개수는
5+4+x=9+x(개)
노란 구슬이 나올 확률이
이므로
;3!;
4
9+x
=
, 9+x=12
;3!;
∴ x=3
12 모든 경우의 수는 2_2_2_2=16
점 P의 위치가 1인 경우는 앞면이 3번, 뒷면이 1번 나오는 경우이
므로 (앞, 앞, 앞, 뒤), (앞, 앞, 뒤, 앞), (앞, 뒤, 앞, 앞),
(뒤, 앞, 앞, 앞)의 4가지
따라서 구하는 확률은
=
;1¢6;
;4!;
13 모든 경우의 수는 6_6=36
두 직선이 평행하려면 기울기는 같고, y절편은 달라야 한다. 즉
a=2, b+3을 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (2, 1), (2, 2), (2, 4),
(2, 5), (2, 6)의 5가지
따라서 구하는 확률은
;3°6;
04
확률의 계산
기초의
1 ⑴ ;4!; ⑵ ;1°2; ⑶ ;3@;
3 ⑴ ;2!; ⑵ ;3@; ⑶ ;3!;
5 ⑴ ;2!5$; ⑵ ;2¤5;
7 ⑴ ;1ª0Á0; ⑵ ;3¦0;
212쪽
2 ⑴ ;5#; ⑵ ;2!;
4 ⑴ ;4!; ⑵ ;3!;
6 ⑴ ;6@4%; ⑵ ;1°4;
1 모든 경우의 수는 3+5+4=12
⑴ 흰 공이 3개 있으므로 흰 공이 나올 확률은
;1£2=;4!;
IV. 확률 55
⑵ 노란 공이 5개 있으므로 노란 공이 나올 확률은
;1°2;
6 ⑴ 첫 번째에 노란 공이 나올 확률은
⑶
+
;4!;
=
=
;1¥2;
;3@;
;1°2;
2 모든 경우의 수는 10
⑴ 소수가 적힌 카드가 나오는 경우는 2, 3, 5, 7의 4가지이므로
4의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우는 4, 8의 2가지이므로
두 번째에 노란 공이 나올 확률은
⑵ 3의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우는 3, 6, 9의 3가지이므로
7 ⑴ 처음에 당첨 제비를 뽑을 확률은
;1£0;
5의 약수가 적힌 카드가 나오는 경우는 1, 5의 2가지이므로
두 번째에 노란 공이 나올 확률은
따라서 구하는 확률은
_
=
;8%;
;8%;
;6@4%;
⑵ 첫 번째에 노란 공이 나올 확률은
;8%;
;8%;
;8%;
;7$;
따라서 구하는 확률은
_
=
;7$;
;8%;
;1°4;
두 번째에 당첨 제비를 뽑지 않을 확률은
;1¦0;
따라서 구하는 확률은
_
;1£0;
;1¦0;
=
;1ª0Á0;
⑵ 처음에 당첨 제비를 뽑을 확률은
;1£0;
두 번째에 당첨 제비를 뽑지 않을 확률은
;9&;
따라서 구하는 확률은
_
=
;9&;
;3¦0;
;1£0;
3 ⑵ 주사위에서 6의 약수의 눈이 나오는 경우는 1, 2, 3, 6의 4가지
이므로 그 확률은
=
;6$;
;3@;
⑶
_
=
;3@;
;3!;
;2!;
4 ⑴ 짝수의 눈이 나오는 경우는 2, 4, 6의 3가지이므로 그 확률은
⑵ 소수의 눈이 나오는 경우는 2, 3, 5의 3가지이므로 그 확률은
06 ;1Á9;
07 ;1¦2;
08 ;9%;
4 이하의 눈이 나오는 경우는 1, 2, 3, 4의 4가지이므로 그 확률
그 확률은
;1¢0;
그 확률은
;1ª0;
따라서 구하는 확률은
+
=
=
;1¤0;
;5#;
;1ª0;
;1¢0;
그 확률은
;1£0;
그 확률은
;1ª0;
따라서 구하는 확률은
+
=
=
;1°0;
;2!;
;1ª0;
;1£0;
따라서 구하는 확률은
=
;6#;
;2!;
_
=
;2!;
;4!;
;2!;
=
;6#;
;2!;
은
=
;6$;
;3@;
따라서 구하는 확률은
_
=
;3@;
;3!;
;2!;
5 ⑴
_
;5$;
;1¦0;
=
;2!5$;
⑵ 내일 비가 오지 않을 확률은
1-
=
;1¦0;
;1£0;
따라서 구하는 확률은
_
;5$;
;1£0;
=
;2¤5;
56 정답과 해설
개념의
유제
213쪽~216쪽
01 ;2!;
02 20`%
03 ;1»2¥5;
04 ;1°2;
05 ;9$;
01 모든 경우의 수는 6_6=36
두 눈의 수의 차가 1인 경우는 (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2),
(3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)의 10가지이므로 그
확률은
;3!6);
두 눈의 수의 차가 2인 경우는 (1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5),
(4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4)의 8가지이므로 그 확률은
;3¥6;
따라서 구하는 확률은
+
;3!6);
;3¥6;
;3!6*;
;2!;
=
=
은 1-
=
;5#;
;5@;
02 선수 A가 자유투를 성공할 확률은
=
;1¤0¼0;
;5#;
이므로 실패할 확률
선수 B가 자유투를 성공할 확률은
이므로 실패할 확률
따라서 구하는 확률은
=
;1°0¼0;
;2!;
따라서 두 선수 A, B가 모두 자유투를 실패할 확률은
은 1-
=
;2!;
;2!;
_
=
;2!;
;5!;
;5@;
즉
_100=20`(%)
;5!;
03 명중률이
;5@;
인 사격 선수가 명중시키지 못할 확률은
1-
=
;5@;
;5#;
∴ (적어도 한 발은 명중시킬 확률)
=1-( 3발 모두 명중시키지 못할 확률)
=1-
_
_
;5#;
;5#;
;5#;
=1-
=
;1ª2¦5;
;1»2¥5;
04 (두 문제 중 한 문제만 맞힐 확률)
=( A 문제만 맞힐 확률)+( B 문제만 맞힐 확률)
=
_
1-
;3@;
{
+
1-
;4#;}
{
_
;4#;
;3@;}
=
_
+
_
;3!;
;4!;
;4#;
;3@;
=
+
=
;1ª2;
;1£2;
;1°2;
05 처음에 파란 구슬이 나올 확률은
=
;9^;
;3@;
두 번째에 파란 구슬이 나올 확률은
=
;9^;
;3@;
따라서 구하는 확률은
_
=
;3@;
;9$;
;3@;
06 처음에 불량품을 꺼낼 확률은
=
;2°0;
;4!;
두 번째에 불량품을 꺼낼 확률은
;1¢9;
따라서 구하는 확률은
_
;4!;
;1¢9;
=
;1Á9;
표시하면
+
=
;4!;
;3!;
;1¢2;
+
;1£2;
=
;1¦2;
08 가장 작은 원의 반지름의 길이를 r라 하면
과녁 전체의 넓이는 p_(3r)Û`=9prÛ`
8점 영역의 넓이는
p_(3r)Û`-p_(2r)Û`=9prÛ`-4prÛ`=5prÛ`
따라서 구하는 확률은
5prÛ`
9prÛ`
=
;9%;
내공의
01 ;5@;
06 82`%
11 ;1Á0;
02 ;6!;
07 ;5#;
12 ;7%;
217쪽~219쪽
03 ;3!;
08 ;5#;
04 ;9@;
05 ;6%;
09 ;3!5*;
10 ;2¢5;
13 ;1£6;
14 ;4!
!;
15 ;1!5!;
16 ;9$0!;
17 ;5@0(;
18 ;5!;
19 ;5!0!0(;
01 4의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우는 4, 8, 12, 16, 20의 5가지이
5의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우는 5, 10, 15, 20의 4가지이므
이때 4와 5의 최소공배수인 20의 배수는 20의 1가지이므로 그 확
므로 그 확률은
;2°0;
로 그 확률은
;2¢0;
률은
;2Á0;
따라서 구하는 확률은
+
-
;2°0;
;2¢0;
;2Á0;
=
=
;2¥0;
;5@;
02 주머니 A에는 홀수가 적힌 공이 9의 1개이므로 주머니 A에서 홀
수가 적힌 공이 나올 확률은
;3!;
07 (오늘, 다음 날)의 순서로 버스를 탄 날을 ◯, 지하철을 탄 날을 ×로
주머니 B에는 짝수가 적힌 공이 4, 6, 8의 3개이므로 주머니 B에서
(◯, ◯)
(◯, ×)
(×, ◯)
(×, ×)
;3@;
1-
=
;3@;
;3!;
;2!;
1-
=
;2!;
;2!;
이때 월요일에 지하철을 타고 등교했을 때, 같은 주 수요일에 버스
를 타고 등교하는 경우는 다음과 같다.
03 혜수가 본선에 진출하지 못할 확률은
짝수가 적힌 공이 나올 확률은
=
;6#;
;2!;
따라서 구하는 확률은
_
=
;2!;
;6!;
;3!;
1-
=
;5#;
;5@;
_
=
;6%;
;3!;
;5@;
따라서 민호만 본선에 진출할 확률은
월
×
×
화
◯
×
수
◯
◯
확률
_
=
;3@;
;3!;
;2!;
_
=
;2!;
;4!;
;2!;
IV. 확률 57
06 내일 비가 올 확률은
=
;1¦0¼0;
;1¦0;
이므로 내일 비가 오지 않을 확률
따라서 구하는 확률은
04 모든 경우의 수는 3_3=9
첫 번째에 승부가 나지 않는 경우는 (가위, 가위), (바위, 바위),
(보, 보)의 3가지이므로 그 확률은
09 주머니 A에서 빨간 공, 주머니 B에서 파란 공을 꺼낼 확률은
주머니 A에서 파란 공, 주머니 B에서 빨간 공을 꺼낼 확률은
두 번째에 승부가 날 확률은
=
;9#;
;3!;
1-
=
;3!;
;3@;
_
=
;3@;
;9@;
;3!;
따라서 첫 번째에 승부가 나지 않고 두 번째에 승부가 날 확률은
05 태희가 문제를 맞히지 못할 확률은 1-
=
;3!;
;3@;
민석이가 문제를 맞히지 못할 확률은 1-
=
;4#;
;4!;
∴ (두 명 중 적어도 한 명은 문제를 맞힐 확률)
=1-(두 명 모두 문제를 맞히지 못할 확률)
=1-
_
;3@;
;4!;
=1-
=
;6!;
;6%;
은 1-
=
;1¦0;
;1£0;
모레 비가 올 확률은
이므로 모레 비가 오지 않을 확률은
=
;1¢0¼0;
;5@;
1-
=
;5@;
;5#;
∴ (적어도 하루는 비가 올 확률)
=1-(이틀 모두 비가 오지 않을 확률)
=1-
_
;1£0;
;5#;
=1-
=
;5»0;
;5$0!;
즉
_100=82`(%)
;5$0!;
07 (두 사람이 만나지 못할 확률)
=1-(두 사람이 만날 확률)
=1-
_
;3@;
;5#;
=1-
=
;5@;
;5#;
08 A, B, C 세 사람이 풍선을 맞히지 못할 확률은 각각
1-
=
;3!;
;3@;
, 1-
=
, 1-
=
;4!;
;4#;
;5!;
;5$;
∴ (풍선이 터질 확률)
=(적어도 한 사람이 풍선을 맞힐 확률)
=1-(세 사람 모두 풍선을 맞히지 못할 확률)
=1-
_
_
;4#;
;5$;
;3@;
=1-
=
;5@;
;5#;
58 정답과 해설
_
=
;5#;
;7$;
;3!5@;
_
=
;5@;
;7#;
;3¤5;
따라서 구하는 확률은
+
=
;3!5@;
;3¤5;
;3!5*;
10 A가 당첨 제비를 뽑을 확률은
=
;1¢0;
;5@;
B가 당첨 제비를 뽑을 확률은
=
;1¢0;
;5@;
따라서 구하는 확률은
_
=
;5@;
;5@;
;2¢5;
11 처음에 흰 공이 나올 확률은
;5@;
두 번째에 흰 공이 나올 확률은
;4!;
12 (적어도 한 자루는 파란색 볼펜이 나올 확률)
=1-(두 자루 모두 검은색 볼펜이 나올 확률)
_
=
;4!;
;5@;
;1Á0;
=1-
_
;7$;
;6#;
=1-
=
;7@;
;7%;
13 원판 A의 바늘이 홀수를 가리키는 경우는 1, 3, 5의 3가지이므로
원판 B의 바늘이 4의 약수를 가리키는 경우는 1, 2, 4의 3가지이므
그 확률은
=
;6#;
;2!;
로 그 확률은
;8#;
따라서 구하는 확률은
_
=
;8#;
;2!;
;1£6;
14 모든 경우의 수는 6_6=36
점 P가 꼭짓점 C에 오게 되는 경우는 두 눈의 수의 합이 2 또는 6
또는 10인 경우이다.
Ú 두 눈의 수의 합이 2인 경우：(1, 1)의 1가지이므로 그 확률은
;3Á6;
Û 두 눈의 수의 합이 6인 경우：(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2),
(5, 1)의 5가지이므로 그 확률은
;3°6;
Ü 두 눈의 수의 합이 10인 경우：(4, 6), (5, 5), (6, 4)의 3가지
이때 월요일에 비가 왔을 때, 같은 주 목요일에 비가 오는 경우는 다
이므로 그 확률은
;3£6;
따라서 구하는 확률은
+
;3Á6;
;3°6;
;3£6;
;3»6;
;4!;
+
=
=
15 a가 홀수일 확률은 1-
=
;5#;
;5@;
b가 홀수일 확률은 1-
=
;3!;
;3@;
∴ ( ab가 짝수일 확률)
=1-( ab가 홀수일 확률)
=1-
_
;5@;
;3@;
=1-
=
;1¢5;
;1!5!;
16 A만 합격할 확률은
_
1-
;3!;
{
_
1-
;5@;}
{
;6!;}
=
_
;3!;
;5#;
_
;6%;
=
;6!;
B만 합격할 확률은
1-
_
_
1-
;3!;}
;5@;
{
=
_
_
;5@;
;3@;
;6%;
=
;9@;
;6!;}
{
C만 합격할 확률은
1-
_
1-
;3!;}
{
;5@;}
_
=
_
;3@;
;5#;
;6!;
_
;6!;
=
;1Á5;
{
∴ (한 사람만 합격할 확률)=
+
+
;9@;
;6!;
;1Á5;
=
';
;9$0!
17 두 번 모두 흰 공을 꺼낼 확률은
_
=
;1£0;
;1£0;
;10(0;
두 번 모두 검은 공을 꺼낼 확률은
_
=
;1¦0;
;1¦0;
;1¢0»0;
따라서 구하는 확률은
;10(0;
;1¢0»0;
;1°0¥0;
;5@0(;
=
=
+
_
=
;1£5;
;1ª4;
;3Á5;
_
=
;1!5@;
;1£4;
;3¤5;
따라서 구하는 확률은
+
=
=
;3¦5;
;5!;
;3¤5;
;3Á5;
음과 같다.
월
◯
◯
◯
◯
화
◯
◯
×
×
수
◯
×
◯
×
목
◯
◯
◯
◯
확률
_
_
=
;5!;
;5!;
;5!;
;12!5;
_
_
;5$;
;4!;
;5!;
=
;2Á5;
_
_
=
;5!;
;4!;
;5$;
;2Á5;
_
_
=
;4!;
;4#;
;5$;
;2£0;
따라서 구하는 확률은
+
+
+
=
;12!5;
;2Á5;
;2Á5;
;2£0;
;5!0!0(;
실전의
01 5
06 24
02 30
07 ④
11 30
12 20개
16 ④
17 ;8#;
21 ;1¦5;
22 ;2»9;
220쪽~223쪽
03 6
08 ④
13 ;9$;
18 ;4#;
23 ③
04 6
05 ⑤
09 100개 10 20개
14 ;1£0;
15 ;6!;
19 ;7!;
24 60
20 ;1¦0;
25 ;1»0;
26 ;9@;
27 ;3!0#;
28 ;7#5@;
01 공책의 값을 지불하는 방법을 표로 나타내면 다음과 같다.
100원짜리 동전 (개)
50원짜리 동전 (개)
10원짜리 동전 (개)
5
2
0
5
1
5
4
4
0
4
3
5
3
5
5
따라서 구하는 방법의 수는 5이다.
02 올라가는 길을 선택하는 방법의 수는 6
올라간 길을 제외하고 내려오는 길을 선택하는 방법의 수는 5
6_5=30
4가지
4+2=6
03 Ú 두 눈의 수의 합이 9인 경우는 (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)의
Û 두 눈의 수의 차가 5인 경우는 (1, 6), (6, 1)의 2가지
따라서 구하는 경우의 수는
18 민지가 당첨 제비를 뽑고, 찬형이가 당첨 제비를 뽑을 확률은
민지가 당첨 제비를 뽑지 않고, 찬형이가 당첨 제비를 뽑을 확률은
따라서 구하는 방법의 수는
19 (오늘, 다음 날)의 순서로 비가 온 날을 ◯, 비가 오지 않은 날을 ×
로 표시하면
(◯, ◯)
(◯, ×)
(×, ◯)
(×, ×)
;5!;
1-
=
;5!;
;5$;
;4!;
1-
=
;4!;
;4#;
04 A에 칠할 수 있는 색은 3가지
B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 2가지
C에 칠할 수 있는 색은 A와 B에 칠한 색을 제외한 1가지
IV. 확률 59
D에 칠할 수 있는 색은 A와 C에 칠한 색을 제외한 1가지
따라서 구하는 경우의 수는
3_2_1_1=6
05 Ú A 지점에서 P 지점까지 최단 거
리로 가는 방법의 수는 4
Û P 지점에서 B 지점까지 최단
거리로 가는 방법의 수는 10
따라서 구하는 방법의 수는
4_10=40
B
10
6
3
1
4
3
2
1
1
1
1
4
P
1
1
A
2
1
3
1
06 A를 제외한 4명을 한 줄로 세우는 경우의 수와 같으므로
4_3_2_1=24
07 부모님을 1명으로 생각하고 3명을 한 줄로 세우는 경우의 수는
3_2_1=6
이때 묶음 안에서 부모님을 한 줄로 세우는 경우의 수는
따라서 구하는 경우의 수는
2_1=2
6_2=12
로 나타내면
08 자음 1개와 모음 1개를 짝 지어 만든 글자를 순서쌍 (자음, 모음)으
Ú (ㄱ, )인 경우：(ㄱ, ㅏ), (ㄱ, ㅓ), (ㄱ, ㅗ), (ㄱ, ㅜ)의 4개
Û (ㄴ, )인 경우：(ㄴ, ㅏ), (ㄴ, ㅓ), (ㄴ, ㅗ), (ㄴ, ㅜ)의 4개
Ü (ㄷ, )인 경우：(ㄷ, ㅏ), (ㄷ, ㅓ), (ㄷ, ㅗ), (ㄷ, ㅜ)의 4개
따라서 자음이 ㄱ 또는 ㄴ 또는 ㄷ인 글자는 4+4+4=12(개)이므
로 글자를 국어사전식으로 나열할 때, 13번째 글자는 ‘라’이다.
09 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 5가지
십의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리에 놓인 숫자를 제외한
5가지
일의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리와 십의 자리에 놓인 숫자
를 제외한 4가지
따라서 구하는 정수의 개수는
5_5_4=100(개)
10 Ú 31 인 경우：312, 314의 2개
Û 32 인 경우：320, 321, 324의 3개
Ü 34 인 경우：340, 341, 342의 3개
Ý 4
인 경우：4_3=12(개)
따라서 310보다 큰 정수의 개수는
2+3+3+12=20(개)
11 a=5_4=20
b= 5_4
2_1
=10
∴ a+b=20+10=30
있는 삼각형의 개수는
6_5_4
3_2_1
=20(개)
60 정답과 해설
12 6명 중 자격이 같은 대표 3명을 뽑는 경우의 수와 같으므로 만들 수
13 모든 경우의 수는 3_3=9
Ú 1인 경우：21, 31의 2가지
Û 3인 경우：13, 23의 2가지
Ú, Û에서 홀수인 경우는 2+2=4(가지)
따라서 구하는`확률은
;9$;
14 모든 경우의 수는 5_4_3_2_1=120
여학생 3명이 이웃하여 서는 경우의 수는
(3_2_1)_(3_2_1)=36
따라서 구하는 확률은
=
;1£2¤0;
;1£0;
15 모든 경우의 수는 6_6=36
2x+y<7을 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (1, 1), (1, 2), (1, 3),
(1, 4), (2, 1), (2, 2)의 6가지
따라서 구하는 확률은
=
;3¤6;
;6!;
16 모든 경우의 수는 3_3=9
A, B 두 사람이 가위바위보를 내는 경우를 순서쌍 (A, B)로 나타
내면 비기는 경우는 (가위, 가위), (바위, 바위), (보, 보)의 3가지이
므로 비길 확률은
=
;9#;
;3!;
∴ (승부가 결정될 확률)=1-(비길 확률)
=1-
=
;3!;
;3@;
17 모든 경우의 수는 2_2_2_2=16
점 P의 위치가 다시 원점인 경우는 앞면이 2번, 뒷면이 2번 나오는
경우이므로 (앞, 앞, 뒤, 뒤), (앞, 뒤, 앞, 뒤), (앞, 뒤, 뒤, 앞),
(뒤, 앞, 앞, 뒤), (뒤, 앞, 뒤, 앞), (뒤, 뒤, 앞, 앞)의 6가지
따라서 구하는 확률은
=
;1¤6;
;8#;
18 모든 경우의 수는 5_4=20
25보다 작은 경우는 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24의 7가지이므로 그
40보다 큰 경우는 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54의 8가지이므로 그
확률은
;2¦0;
확률은
;2¥0;
따라서 구하는 확률은
+
;2¦0;
;2¥0;
;2!0%;
;4#;
=
=
19 태민이가 영화관에 나갈 확률은
지현이가 영화관에 나갈 확률은
1-
=
;7$;
;7#;
1-
=
;3@;
;3!;
∴ (두 사람이 영화관에서 만날 확률)=
_
=
;3!;
;7#;
;7!;
25 모든 경우의 수는
5_4_3
3_2_1
=10
삼각형이 만들어지는 경우는 (3, 4, 5), (3, 4, 6), (3, 5, 6),
(3, 5, 7), (3, 6, 7), (4, 5, 6), (4, 5, 7), (4, 6, 7), (5, 6, 7)의 9
가지
따라서 구하는 확률은
;1»0;
26 모든 경우의 수는 6_6=36
점 P가 꼭짓점 C에 오게 되는 경우는 두 눈의 수의 합이 2 또는 7
또는 12인 경우이다.
Ú 두 눈의 수의 합이 2인 경우：(1, 1)의 1가지이므로 그 확률은
;3Á6;
Û 두 눈의 수의 합이 7인 경우：(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3),
(5, 2), (6, 1)의 6가지이므로 그 확률은
;3¤6;
Ü 두 눈의 수의 합이 12인 경우：(6, 6)의 1가지이므로 그 확률
은
;3Á6;
따라서 구하는 확률은
+
+
;3Á6;
;3¤6;
;3Á6;
=
=
;3¥6;
;9@;
27 A, B는 합격하고 C는 합격하지 못할 확률은
_
_
1-
;2!;
;3@;
{
=
_
;2!;
;3@;
_
;5@;
=
;1ª5;
;5#;}
A, C는 합격하고 B는 합격하지 못할 확률은
_
1-
;2!;
{
;3@;}
_
=
_
;2!;
;3!;
;5#;
_
;5#;
=
;1Á0;
B, C는 합격하고 A는 합격하지 못할 확률은
1-
{
;2!;}
_
_
=
_
;2!;
;3@;
;5#;
;3@;
_
;5#;
=
;5!;
따라서 구하는 확률은
+
+
=
;5!;
;3!0#;
;1Á0;
;1ª5;
20 호준이가 문제를 맞히지 못할 확률은
희선이가 문제를 맞히지 못할 확률은
1-
=
;5#;
;5@;
1-
=
;4!;
;4#;
∴ (적어도 한 사람은 문제를 맞힐 확률)
=1-(두 사람 모두 문제를 맞히지 못할 확률)
=1-
_
;5@;
;4#;
=1-
=
;1£0;
;1¦0;
21 두 번 모두 노란 공을 꺼낼 확률은
_
=
;9%;
;3!;
;1¤0;
두 번 모두 파란 공을 꺼낼 확률은
_
=
;9#;
;1¢0;
;1ª5;
따라서 구하는 확률은
+
;3!;
;1ª5;
=
;1¦5;
22 (적어도 한 개는 당첨 제비를 뽑을 확률)
=1-( 2개 모두 당첨 제비를 뽑지 않을 확률)
=1-
_
;3@0%;
;2@9$;
=1-
=
;2@9);
;2»9;
23 3의 배수는 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수이다.
Ú 각 자리의 숫자의 합이 3인 경우：12, 21, 30의 3개
Û 각 자리의 숫자의 합이 6인 경우：24, 42의 2개
따라서 구하는 3의 배수의 개수는
3+2=5(개)
24 Ú 남학생을 회장으로 뽑는 경우
남학생 3명 중 회장 1명을 뽑는 경우의 수는 3
회장으로 뽑힌 1명을 제외한 남학생 2명과 여학생 4명 중 남,
여 부회장을 각각 1명씩 뽑는 경우의 수는
_로 표시하면
28 (오늘, 다음 날)의 순서로 비가 온 날을 , 비가 오지 않은 날을
따라서 구하는 경우의 수는
2_4=8
3_8=24
(◯, ◯)
(◯, ×)
(×, ◯)
(×, ×)
;5#;
1-
=
;5#;
;5@;
;6!;
1-
=
;6!;
;6%;
이때 월요일에 비가 왔을 때, 같은 주 수요일에 비가 오는 경우는 다
Û 여학생을 회장으로 뽑는 경우
여학생 4명 중 회장 1명을 뽑는 경우의 수는 4
음과 같다.
남학생 3명과 회장으로 뽑힌 1명을 제외한 여학생 3명 중 남,
여 부회장을 각각 1명씩 뽑는 경우의 수는
월
화
_
수
확률
_
=
;5#;
;5#;
;2»5;
_
=
;6!;
;5@;
;1Á5;
따라서 구하는 경우의 수는
3_3=9
4_9=36
24+36=60
Ú, Û에 의하여 구하는 경우의 수는
따라서 구하는 확률은
+
=
;2»5;
;1Á5;
;7#5@;
IV. 확률 61
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