학
수
개념탑
중학수학
1 2
Ⅰ . 도형의 기초
1 기본 도형
2 작도와 합동
Ⅱ. 평면도형
1 다각형의 성질
2 원과 부채꼴
Ⅲ. 입체도형
1 다면체와 회전체
2 입체도형의 겉넓이와 부피
Ⅳ. 통계
1 자료의 정리와 해석
002
012
017
025
032
037
045
Ⅰ 도형의 기초
1 기본 도형
3 AC¯ 와 BA¯ 의 공통 부분은 ABÓ이다.
점, 선, 면
1
CHECK
1 ⑴ 4개 ⑵ 4개 ⑶ 6개
2 ⑴ 8개 ⑵ 12개 ⑶ 18개
본문 10쪽
③, ④
1 ③, ④
A
직선, 반직선, 선분 ⑴
본문 13쪽
③ 서로 다른 두 점을 지나는 선분은 오직 하나뿐이다.
④ 직선과 반직선은 끝없이 뻗어가는 것이므로 그 길이를
본문 11쪽
생각할 수 없다.
1 ③, ④ 두 반직선이 같으려면 시작점과 방향이 모두 같아야
A
교점과 교선
4
1 10
a=12, b=8 ∴ a-b=4
1 a=6, b=9, c=5이므로 a+b-c=6+9-5=10
B
직선, 반직선, 선분 ⑵
본문 13쪽
B
기본 도형의 이해
본문 11쪽
ㄴ, ㄹ
2 ㄱ, ㄴ, ㄷ
ㄱ. 교점은 모두 6개이다.
ㄷ. 모서리 AF와 모서리 FE의 교점은 점 F이다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.
① PQÓ+QRÓ ④ QP¯ +RP¯ ⑤ PQê=RQê
2 점 D에서 시작하여 점 B로 향하는 반직선을 찾는다.
따라서 DB¯ 와 같은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
2 ㄹ. 삼각뿔에서 교선의 개수는 모서리의 개수와 같다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
C
직선, 반직선, 선분의 개수 ⑴
본문 14쪽
2
CHECK
직선, 반직선, 선분
본문 12쪽
1 ⑴ PQÓ ⑵ PQê ⑶ QP¯ ⑷ PQ¯
2 ⑴ = ⑵ +
3 ②
2 Ⅰ . 도형의 기초
서로 다른 직선의 개수는
=3(개)이므로 a=3, 반직
3_2
2
선의 개수는 3_2=6(개)이므로 b=6
선분의 개수는
=3(개)이므로 c=3
3_2
2
∴ a+b+c=3+6+3=12
한다.
②, ③
2 ㄱ, ㄷ
12
3 ③
[다른 풀이]
직선은` AB é
ê, AC ê
é, BC ê이므로 a=3
반직선은` AB¯ , AC¯ , BA¯ , BC¯ , CA¯ , CB¯ 이므로 b=6
선분은 ABÓ, ACÓ, BCÓ이므로 c=3
∴ a+b+c=3+6+3=12
3 서로 다른 직선의 개수는
4_3
2
반직선의 개수는 4_3=12(개)이므로 b=12
=6(개)이므로 a=6
선분의 개수는
=6(개)이므로 c=6
4_3
2
∴ a+b-c=6+12-6=12
1 ⑴ (선분 AB의 길이)=8`cm
⑵ (선분 BC의 길이)=7`cm
2 AMÓ=
ABÓ
;2!;
=
;2!;
_16=8(cm)
3 AMÓ=
ANÓ=
_10=5(cm)이므로
;2!;
;2!;
NBÓ=AMÓ=5`cm
ABÓ=3AMÓ=3_5=15(cm)
(cid:18)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:46)
(cid:34)
개
념
탑
(cid:35)
D
직선, 반직선, 선분의 개수 ⑵
본문 14쪽
직선 1개, 반직선 6개, 선분 6개
ㄹ. ANÓ=
AMÓ=
;2!;
_
;2!;
;2!;
ABÓ=
ABÓ
;4!;
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
4 ③
서로 다른 직선은 1개
서로 다른 반직선은 PQ¯, QP¯, QR¯, RQ¯, RS¯, SR¯의 6개
서로 다른 선분은 PQÓ, PRÓ, PSÓ, QRÓ, QSÓ, RSÓ의 6개
4 서로 다른 직선은 DAê, DBê, DCê, ACê의 4개이므로 a=4
서로 다른 반직선은 AB¯ , AD¯ , BA¯ , BC¯ , BD¯ , CB¯ , CD¯ ,
DA¯ , DB¯ , DC¯ 의 10개이므로 b=10
∴ a+b=4+10=14
두 점 사이의 거리
본문 15쪽
3
CHECK
1 ⑴ 8`cm ⑵ 7`cm
2 8`cm
3 NBÓ=5`cm, ABÓ=15`cm
A
선분의 중점
ㄱ, ㄴ, ㄷ
1 ⑤
1 ⑤ ABÓ=BCÓ=CDÓ=
;3!;
ADÓ이므로
2BDÓ=2_
ADÓ=
ADÓ
;3@;
;3$;
본문 16쪽
본문 16쪽
B
두 점 사이의 거리
15`cm
2 9`cm
3 9`cm
MNÓ=
`ABÓ+
`BCÓ=
`ACÓ=
_30=15(cm)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
2 BNÓ=14-10=4(cm), MBÓ=
이므로
;2!;
MNÓ=MBÓ+BNÓ=5+4=9(cm)
`ABÓ=
_10=5(cm)
;2!;
3 BCÓ=2ABÓ=2_6=12(cm)이므로
ACÓ=6+12=18(cm)
∴ MNÓ=MBÓ+BNÓ=
ACÓ=
_18=9(cm)
;2!;
;2!;
정답과 풀이 3
각
4
CHECK
1 ⑴ ㄱ, ㅁ ⑵ ㄴ ⑶ ㄷ, ㅂ ⑷ ㄹ
2 ⑴ 155ù ⑵ 25ù ⑶ 115ù
2 ⑴ ∠AOC=65ù+90ù=155ù
⑵ ∠DOC=180ù-(65ù+90ù)=25ù
⑶ ∠DOB=90ù+25ù=115ù
본문 17쪽
∠MON=∠BOM+∠BON
=
;2!;
=
;2!;
(∠AOB+∠BOC)
_180ù=90ù
4 오른쪽 그림에서
∠COE=∠COD+∠DOE
(∠AOD+∠DOB)
(cid:34)
(cid:48)
=
;3!;
=
;3!;
_180ù=60ù
(cid:36)
(cid:37)
(cid:38)
(cid:35)
본문 19쪽
D
각의 크기의 비
40ù
5 60ù
6 80ù
∠a=180ù_
[다른 풀이]
2
2+3+4
=40ù
∠a=2x, ∠b=3x, ∠c=4x라 하면
2x+3x+4x=180ù ∴ x=20ù
∴ ∠a=2x=2_20ù=40ù
2
3+1+2
∠COE=∠COD+∠DOE=50ù+30ù=80ù
6 ∠COD=150ù_
=50ù, ∠DOE=30ù이므로
맞꼭지각
5
CHECK
본문 19쪽
본문 20쪽
1 ⑴ ∠BOD ⑵ ∠DOE ⑶ ∠AOF
2 ⑴ ∠a=45ù, ∠b=45ù ⑵ ∠a=45ù, ∠b=35ù
3 ⑴ 29ù ⑵ 20ù
본문 18쪽
본문 18쪽
A
각의 분류
ㄱ, ㄴ, ㅂ
1 ④
ㄷ은 직각이고 ㄹ, ㅁ은 예각이다.
따라서 둔각인 것은 ㄱ, ㄴ, ㅂ이다.
1 ① 평각 ② 둔각 ③ 직각 ④ 예각
B
각의 크기
35ù
2 70ù
3 ④
2 ∠AOC=90ù, ∠BOD=90ù이므로
40ù+2∠BOC=180ù
∴ ∠BOC=
(180ù-40ù)=70ù
;2!;
3 (4∠x-10ù)+(∠x+20ù)+40ù=180ù이므로
5∠x=130ù ∴ ∠x=26ù
C
각의 등분
90ù
4 60ù
4 Ⅰ . 도형의 기초
(∠x+10ù)+(4∠x-5ù)=180ù이므로
5∠x=175ù ∴ ∠x=35ù
5 ∠y=180ù_
2
1+2+3
=60ù
2 ⑴ ∠a=∠b=180ù-135ù=45ù
⑵ ∠a=45ù, ∠b=35ù
3 ⑴ 2∠x=58ù ∴ ∠x=29ù
⑵ 오른쪽 그림에서
수직과 수선
6
CHECK
1 ⑴ 90ù ⑵ 10`cm
2 ⑴ BCÓ ⑵ 점 D ⑶ `4`cm
본문 22쪽
개
념
탑
2∠x+3∠x+4∠x=180ù이므로
9∠x=180ù ∴ ∠x=20ù
(cid:19)(cid:89)
(cid:20)(cid:89)
(cid:19)(cid:89)
(cid:21)(cid:89)
2 ⑶ (점 A와` BCÓ 사이의 거리)=ADÓ=4`cm
본문 21쪽
A
맞꼭지각의 성질
∠x=65ù, ∠y=25ù
1 70ù
2 140ù
∠y=∠x-40ù이므로
(∠x-50ù)+(∠x-40ù)+(2∠x+10ù)=180ù
4∠x=260ù ∴ ∠x=65ù
∴ ∠y=65ù-40ù=25ù
④
1 ⑤
8`cm이다.
A
수직과 수선
본문 23쪽
④ 점 D와 BCÓ 사이의 거리는 ABÓ의 길이와 같으므로
1 ∠x+30ù=2∠x-40ù ∴ ∠x=70ù
1 ⑤ 점 B와 선분 CD 사이의 거리는 BHÓ의 길이이다.
2 ∠x=180ù-(90ù+65ù)=25ù, ∠y=90ù+25ù=115ù
∴ ∠x+∠y=25ù+115ù=140ù
B
맞꼭지각의 쌍의 개수
본문 21쪽
B
맞꼭지각과 수직, 수선
본문 23쪽
∠AOE와 ∠BOF, ∠AOD와 ∠BOC의 6쌍이다.
∠BOC=∠AOC-∠AOB=90ù-20ù=70ù
∠AOC=90ù이고 ∠AOB=∠DOE=20ù(맞꼭지각)
6쌍
3 ③
∠AOF와 ∠BOE, ∠AOC와 ∠BOD,
∠COE와 ∠DOF, ∠COF와 ∠DOE,
[다른 풀이]
(맞꼭지각의 쌍의 개수)=3_(3-1)=6(쌍)
3 (맞꼭지각의 쌍의 개수)=5_(5-1)=20(쌍)
70ù
2 60ù
이므로
2 ∠y=∠DOE=75ù(맞꼭지각)
∠x=∠AOC-∠y=90ù-75ù=15ù
∴ ∠y-∠x=75ù-15ù=60ù
정답과 풀이 5
A
점과 직선의 위치 관계
본문 25쪽
이 중 모서리 BC와 평행하면서 모서리 CG와 꼬인 위치에
⑴ 점 A, 점 B ⑵ 점 B, 점 D ⑶ 점 B
있는 모서리는 모서리 AD, EH이다.
7
CHECK
평면에서 점과 직선, 두 직선의 위치 관계 본문 24쪽
1 ⑴ 점 A, 점 B, 점 C ⑵ 점 P, 점 Q
2 ⑴ 한 점에서 만난다. ⑵ 점 C ⑶ BCê
⑷ ADê, BCê, CDê
1 ③ 직선 l은 점 D를 지난다.
1 ③
5
B
평면에서 두 직선의 위치 관계
본문 25쪽
2 ⑴ 변 AB, 변 DC ⑵ 변 DC
직선 AB와 한 점에서 만나는 직선은 직선 AF, BC, CD,
FE이므로 a=4
∴ a+b=4+1=5
직선 CD와 평행한 직선은 직선 AF이므로 b=1
8
CHECK
공간에서 두 직선의 위치 관계 본문 26쪽
1 ⑴ 모서리 AD, AE, BC, BF
⑵ 모서리 DC, EF, HG
⑶ 모서리 CG, DH, FG, EH
2 ⑴ 모서리 BE, DE, EF ⑵ 모서리 BC, EF
A
꼬인 위치에 있는 모서리
본문 27쪽
ADÓ, EHÓ
1 ④, ⑤
EH이므로
모서리 BC와 평행한 모서리는 모서리 AD, FG, EH이고
CG와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AB, AD, EF,
1 모서리 OA와 만나지도 않고 평행하지도 않은 모서리는
BCÓ, CDÓ이다.
B
공간에서 두 직선의 위치 관계 ⑴
본문 27쪽
11
2 9
모서리 BC와 평행한 모서리는 모서리 FE, HI, LK의 3개
모서리 BC와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AG,
FL, EK, DJ, GH, JK, IJ, LG의 8개
∴ a+b=3+8=11
2 모서리 BF와 수직인 모서리는 AB, BC, EF, FG의 4개
모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 CG,
DH, EH, FG, GH의 5개
∴ a+b=4+5=9
1 ⑴ 점 A 또는 점 B를 지나는 모서리이므로 모서리 AD,
AE, BC, BF
⑵ 모서리 AB와 한 평면 위에 있고 만나지 않는 모서리
이므로 모서리 DC, EF, HG
⑶ 모서리 AB와 만나지도 않고 평행하지도 않은 모서
⑤
3 5
C
전개도에서 두 직선의 위치 관계
본문 28쪽
리이므로 모서리 CG, DH, FG, EH
⑤ 모서리 HE와 모서리 CE는 한 점에서 만난다.
6 Ⅰ . 도형의 기초
3 전개도를 접어서 삼각뿔을 만들면 오른쪽
(cid:34)(cid:9)(cid:36)(cid:13) (cid:38)(cid:10)
A
공간에서 직선과 평면의 위치 관계
본문 30쪽
그림과 같다.
모서리 AB와 한 점에서 만나는 모서리는
(cid:35)
(cid:39)
모서리 AD, AF, BD, BF이므로 a=4
(cid:37)
꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 DF이므로 b=1
∴ a+b=4+1=5
③, ④
1 10
2개이다.
개
념
탑
① 모서리 BC와 평행한 면은 면 FLKE, 면 GHIJKL의
② 면 ABCDEF와 점 J 사이의 거리는 DJÓ이다.
⑤ 면 FLKE와 면 AGLF의 교선은 FLÓ이다.
1 면 AEGC와 한 점에서 만나는 모서리는 모서리 AB, BC,
CD, AD, EF, FG, GH, EH이므로 a=8
모서리 CD와 수직인 면은 면 BFGC, 면 AEHD이므로
b=2
∴ a+b=8+2=10
D
공간에서 두 직선의 위치 관계 ⑵
본문 28쪽
③, ⑤
4 ④, ⑤
① 평행한 두 직선은 한 평면 위에 있지만 만나지 않는다.
② 평행한 두 직선은 만나지 않지만 한 평면 위에 있다.
④ 꼬인 위치에 있는 두 직선을 포함하는 평면은 없다.
4 ④ 평행하거나 만날 수도 있다.
⑤ 만나거나 꼬인 위치에 있을 수도 있다.
B
공간에서 여러 가지 위치 관계
본문 30쪽
공간에서 직선과 평면의 위치 관계 본문 29쪽
9
CHECK
1 ⑴ 면 ABCD, 면 BFGC
⑵ 면 ABCD, 면 EFGH
⑶ 면 AEHD, 면 CGHD
⑷ 면 ABFE, 면 CGHD
2 ⑴ 면 ABC ⑵ 면 ADEB, 면 BEFC, 면 ADFC
ㄴ, ㄷ
2 ㄷ
⑶ EFÓ
1 ⑴
(cid:35)
(cid:36)
⑶
(cid:35)
(cid:39)
면 ABCD, 면 BFGC
면 ABCD, 면 EFGH
⑵
(cid:34)
⑷
(cid:37)
(cid:41)
(cid:37)
ㄱ. 두 직선 l, m은 만나거나 평행할 수도 있고, 꼬인 위치
에 있을 수도 있다.
ㄹ. 직선 m과 평면 P는 평행하거나 직선 m이 평면 P에
포함될 수도 있다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
2 ㄱ. 두 평면 Q, R는 서로 평행하거나 만날 수도 있다.
ㄴ. 두 평면 P, Q는 서로 평행하거나 한 직선에서 만날 수
도 있다.
ㄹ. 두 평면 P, R는 수직으로 만난다.
정답과 풀이 7
면 AEHD, 면 CGHD
면 ABFE, 면 CGHD
따라서 옳은 것은 ㄷ이다.
10
CHECK
동위각과 엇각
본문 31쪽
평행선의 성질
본문 33쪽
1 ⑴ ∠d=80ù ⑵ ∠b=120ù ⑶ ∠f=100ù
1 ⑴ ∠x=45ù, ∠y=60ù ⑵ ∠x=60ù, ∠y=75ù
11
CHECK
⑷ ∠d=80ù
2 ⑴ ∠g=70ù, ∠j=50ù ⑵ ∠f=110ù, ∠i=130ù
1 ⑴ (∠a의 동위각)=∠d=180ù-100ù=80ù
⑵ (∠e의 동위각)=∠b=180ù-60ù=120ù
⑶ (∠c의 엇각)=∠f=100ù
⑷ (∠b의 엇각)=∠d=80ù
2 ⑴ ∠b의 동위각은 ∠g, ∠j이고 각의 크기는 각각
∠g=180ù-110ù=70ù, ∠j=50ù
∠f=110ù, ∠i=180ù-50ù=130ù
2 ⑴ 직선 n, 직선 k ⑵ 직선 k
1 ⑴ 오른쪽 그림에서
∠x=45ù
∠y=180ù-120ù=60ù
⑵ 오른쪽 그림에서
∠x=60ù
∠y =180ù-(45ù+60ù)
=75ù
k는 동위각의 크기가 120ù로
같으므로 평행하다.
∴ 직선 n, 직선 k
(cid:90)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:21)(cid:22)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:21)(cid:22)(cid:177)
(cid:21)(cid:22)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:90)
(cid:89)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:18)(cid:22)(cid:177)
(cid:23)(cid:22)(cid:177)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:77)
(cid:78)
(cid:77)
(cid:78)
(cid:77)
(cid:78)
(cid:79)
(cid:76)
⑵ 두 직선 l과 k는 엇각의 크기가 60ù로 같으므로 평행
⑵ ∠c의 엇각은 ∠f, ∠i이고 각의 크기는 각각
2 ⑴ 오른쪽 그림에서 세 직선 l, n,
A
동위각, 엇각의 크기
본문 32쪽
하다.
∴ 직선 k
∠FGB의 동위각의 크기는 ∠DHB=70ù
∠CHB의 엇각의 크기는 ∠AGF=130ù
∴ 70ù+130ù=200ù
1 ⑤ ∠e=180ù-120ù=60ù
200ù
1 ⑤
220ù
2 ②
B
세 직선이 세 점에서 만날 때 동위각,
엇각의 크기
본문 32쪽
1 오른쪽 그림에서
∠x=180ù-52ù=128ù
오른쪽 그림에서 ∠x의 엇각의 크기
는 180ù-85ù=95ù, 125ù이므로 그
합은 95ù+125ù=220ù이다.
(cid:25)(cid:22)(cid:177)
(cid:18)(cid:25)(cid:17)(cid:177)(cid:14)(cid:25)(cid:22)(cid:177)
(cid:89)
(cid:18)(cid:19)(cid:22)(cid:177)
2 ② ∠b와 ∠f 는 동위각이지만 크기가 같은지는 알 수 없다.
8 Ⅰ . 도형의 기초
20ù
2 85ù
A
평행선에서 동위각, 엇각의 크기
본문 34쪽
55ù
1 128ù
오른쪽 그림에서
50ù+∠x+75ù=180ù
∴ ∠x=55ù
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:24)(cid:22)(cid:177)
(cid:89)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:24)(cid:22)(cid:177)
(cid:77)
(cid:78)
(cid:77)
(cid:78)
(cid:89)
(cid:22)(cid:19)(cid:177)
(cid:22)(cid:19)(cid:177)
(cid:79)
(cid:89)
(cid:76)
B
평행선에서 삼각형의 성질
본문 34쪽
(cid:21)(cid:22)(cid:177)
(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:22)(cid:177)
(cid:23)(cid:89)(cid:14)(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:89)(cid:14)(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:77)
5 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m
에 평행한 직선 n을 그으면
+(6∠x-50ù)=180ù
(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:22)(cid:177)
120ù=(2∠x-15ù)
+(3∠x+10ù)
5∠x=125ù ∴ ∠x=25ù
(cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:22)(cid:177)
(cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:22)(cid:177)
(cid:20)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:20)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:17)(cid:177)
(cid:77)
(cid:79)
(cid:78)
개
념
탑
오른쪽 그림에서
45ù+(2∠x+25ù)
이므로 8∠x=160ù
∴ ∠x=20ù
2 오른쪽 그림에서
∠x=40ù+45ù=85ù
(cid:21)(cid:22)(cid:177)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
④ 엇각의 크기가 같지 않으므로 두 직선 l, m은 평행하지
6 ⑴ 111ù ⑵ 65ù
7 ②
8 ①
C
평행선이 되기 위한 조건
본문 35쪽
④
3 ②
않다.
하다.
3 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, k의
엇각의 크기가 50ù로 같으므로 평행
(cid:18)(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:22)(cid:19)(cid:177)
(cid:22)(cid:21)(cid:177)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
D
평행선에서 보조선을 1개 긋는 경우
본문 35쪽
60ù
4 85ù
5 ④
오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m과
평행한 직선 n을 그으면
∠x=25ù+35ù=60ù
4 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m
과 평행한 직선 n을 그으면
∠x=65ù+20ù=85ù
(cid:19)(cid:22)(cid:177)
(cid:19)(cid:22)(cid:177)
(cid:20)(cid:22)(cid:177)
(cid:89)
(cid:20)(cid:22)(cid:177)
(cid:23)(cid:22)(cid:177)
(cid:23)(cid:22)(cid:177)
(cid:89)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
E
평행선에서 보조선을 2개 긋는 경우
본문 36쪽
30ù
오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m
(cid:89)
에 평행한 두 직선 n, k를 그으면
∠x=96ù-66ù=30ù
(cid:23)(cid:23)(cid:177) (cid:18)(cid:20)(cid:17)(cid:177)(cid:14)(cid:23)(cid:21)(cid:177)(cid:30)(cid:23)(cid:23)(cid:177)
(cid:26)(cid:23)(cid:177)
(cid:23)(cid:21)(cid:177)
(cid:23)(cid:21)(cid:177)
(cid:77)
(cid:79)
(cid:76)
(cid:78)
6 ⑴ 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m
에 평행한 두 직선 n, k를 그으면
∠x=86ù+25ù=111ù
⑵ 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m
에 평행한 두 직선 n, k를 그으면
∠x=20ù+45ù=65ù
(cid:18)(cid:23)(cid:177)
(cid:18)(cid:23)(cid:177)
(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:177)
(cid:26)(cid:21)(cid:177)
(cid:26)(cid:21)(cid:177)
(cid:25)(cid:23)(cid:177)
(cid:89)
(cid:19)(cid:22)(cid:177)
(cid:19)(cid:22)(cid:177)
(cid:20)(cid:22)(cid:177)
(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:177)
(cid:20)(cid:22)(cid:177)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:22)(cid:22)(cid:177)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:21)(cid:22)(cid:177)
(cid:21)(cid:22)(cid:177)
7 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에
평행한 두 직선 n, k를 그으면
180ù=(2∠x+10ù)+(∠x-28ù)
(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)(cid:14)(cid:19)(cid:25)(cid:177)
(cid:89)
(cid:19)(cid:25)(cid:177)
(cid:89)(cid:14)(cid:19)(cid:25)(cid:177)
(cid:19)(cid:25)(cid:177)
(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:25)(cid:177)
3∠x=198ù ∴ ∠x=66ù
(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:17)(cid:177)
8 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에
평행한 두 직선 n, k를 그으면
∠x=40ù
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:177)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
정답과 풀이 9
(cid:77)
(cid:79)
(cid:76)
(cid:78)
(cid:77)
(cid:79)
(cid:76)
(cid:78)
(cid:77)
(cid:79)
(cid:76)
(cid:78)
(cid:77)
(cid:79)
(cid:76)
(cid:78)
(cid:78)
(cid:77)
(cid:78)
(cid:77)
(cid:78)
(cid:79)
(cid:76)
(cid:77)
(cid:79)
(cid:78)
(cid:77)
(cid:79)
(cid:78)
F
종이 접기
68ù
9 26ù
10 20ù
본문 37쪽
02 ③ `ACÓ：점 A와 점 C를 양 끝점으로 하는 선분
④ `CA¯：점 C를 시작점으로 하여 점 A의 방향으로 뻗어
나가는 반직선
(cid:37)
(cid:36)
(cid:37)
(cid:36)
오른쪽 그림과 같이
∠GEF=∠FEC=56ù(접은 각)
ADÓBCÓ이므로
∠GFE=∠FEC=56ù(엇각)
(cid:34)
(cid:35)
(cid:40)
(cid:22)(cid:23)(cid:177)
(cid:22)(cid:23)(cid:177)
(cid:39)
(cid:22)(cid:23)(cid:177)
(cid:38)
△GEF의 세 내각의 크기의 합이 180ù이므로
∠EGF+56ù+56ù=180ù ∴ ∠EGF=68ù
9 오른쪽 그림과 같이
∠EGF =∠AGH
=128ù(맞꼭지각)
∠FEC=∠x(접은 각)
∠GFE=∠FEC=∠x(엇각)
이므로 △GEF에서
(cid:41)
(cid:18)(cid:19)(cid:25)(cid:177)
(cid:89)
(cid:39)
(cid:34)
(cid:35)
(cid:18)(cid:19)(cid:25)(cid:177)
(cid:40)
(cid:89)
(cid:89)
(cid:38)
∠x+∠x+128ù=180ù ∴ ∠x=26ù
10 오른쪽 그림에서
100ù=80ù+∠x
∴ ∠x=20ù
(cid:89)
(cid:25)(cid:17)(cid:177)
(cid:25)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:17)(cid:17)(cid:177)
01 2
05 ⑤
09 ④
02 ③, ④ 03 6`cm
06 ③, ⑤ 07 11
11 ①
10 210ù
04 ③
08 ⑤
12 75ù
01 교점의 개수는 오각기둥의 꼭짓점의 개수와 같으므로
a=10
교선의 개수는 오각기둥의 모서리의 개수와 같으므로
b=15
면의 개수는 5+2=7(개)이므로 c=7
∴ a-b+c=10-15+7=2
10 Ⅰ . 도형의 기초
03 오른쪽 그림에서
MNÓ=MBÓ+BNÓ
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34) (cid:46) (cid:35)
(cid:47)
(cid:36)
ABÓ+
BCÓ
=
;2!;
=
;2!;
;2!;
;2!;
ACÓ=
_12=6(cm)
04 90ù-∠x=3∠x+10ù, 4∠x=80ù
∴ ∠x=20ù
05 ⑤ 점 A와 `BCÓ 사이의 거리를 나타내는 선분은 ABÓ이다.
06 두 점 Q, S를 지나는 직선과 평행한 직선은 직선 m이므로
그 직선 위의 점은 점 R, 점 T이다.
07 모서리 BG와 한 점에서 만나는 모서리는 모서리 AB,
BC, GF, GH이므로 a=4
모서리 AE와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 GF,
GH, HI, IJ, BG, CH, DI이므로 b=7
∴ a+b=4+7=11
08 ⑤ 면 DIJE와 모서리 GF는 평행하다.
09 ① 모서리 AB와 모서리 GH는 평행하다.
② 모서리 FG는 면 BFGC에 포함된다.
③ 모서리 AD와 모서리 CG는 꼬인 위치에 있다.
10 오른쪽 그림과 같이
lm이므로 ∠x=100ù
mn이므로
∠y+∠z=180ù-70ù=110ù
∴ ∠x+∠y+∠z=210ù
(cid:18)(cid:17)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:177)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:91)
(cid:89)
(cid:90)
11 ∠y=26ù(맞꼭지각)
두 직선 l, m에 평행한 두 직선 n,
k를 그으면
∠x=70ù-24ù=46ù
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:21)(cid:23)(cid:177)
(cid:19)(cid:21)(cid:177)
(cid:19)(cid:21)(cid:177)
(cid:19)(cid:23)(cid:177)
(cid:90)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:19)(cid:23)(cid:177)
(cid:19)(cid:23)(cid:177)
(cid:77)
(cid:78)
(cid:79)
(cid:77)
(cid:79)
(cid:76)
(cid:78)
기본 다지기 문제
본문 40~41쪽
⑤ 모서리 BF와 면 AEHD는 평행하다.
∴ ∠x+∠y=46ù+26ù=72ù
12 ∠x+∠x+30ù=180ù
2∠x=150ù
∴ ∠x=75ù
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:89) (cid:89)
kl이므로 ∠b=180ù-60ù=120ù
(cid:26)(cid:22)(cid:177)
5 오른쪽 그림과 같이
kl, mn이므로
∠a=180ù-95ù=85ù
kl, mn이므로
∠c=180ù-(95ù+60ù)=25ù
∴ ∠a+∠b+∠c
=85ù+120ù+25ù=230ù
(cid:78)
(cid:79)
(cid:26)(cid:22)(cid:177)
(cid:19)(cid:22)(cid:177)
(cid:66)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:26)(cid:22)(cid:177)
(cid:76)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:67)
(cid:77)
(cid:68)
개
념
탑
실력 올리기 문제
본문 42~43쪽
라 하면 △ABC에서
2 20분 후 3 ②, ⑤
1 10개
6 60ù
5 230ù
8 ① 모서리 AB, DC, HG / 3, 3
7 180ù
② 면 AEHD, 면 BFGC / 2, 2
4 ③, ⑤
③ 3+2, 5
③ 30`cm
9 ① APÓ=
;5@;
ABÓ, AQÓ=
ABÓ ② PQÓ=
ABÓ
;1¢5;
;3@;
6 오른쪽 그림과 같이 점 C를 지나면
서 두 직선 l, m에 평행한 직선 n을
긋고 ∠DAC=∠a, ∠CBE=∠b
(cid:34)
(cid:66)
(cid:19)(cid:66)
(cid:37)
(cid:38)
(cid:36)
(cid:66)
(cid:67)
(cid:19)(cid:67)
(cid:67)
(cid:35)
(cid:77)
(cid:79)
(cid:78)
3∠a+3∠b=180ù, ∠a+∠b=60ù
∴ ∠ACB=∠a+∠b=60ù
7 오른쪽 그림과 같이 보조선을 이
∠a+∠b+∠c+∠d+∠e
용하면
=180ù
(cid:66)
(cid:77)
(cid:66) ∠(cid:68)(cid:12)∠(cid:69)(cid:12)∠(cid:70)
∠(cid:69)(cid:12)∠(cid:70)
(cid:67)
(cid:68)
(cid:70)
(cid:69)
(cid:70)
(cid:78)
8 ① 모서리 EF와 평행한 모서리는 모서리 AB, DC, HG의
3개이므로 `a=3
개이므로 `b=2
③ a+b=3+2=5
9 ① APÓ=
;5@;
`ABÓ, AQÓ=
`ABÓ
;3@;
1 PQÓ, PRÓ, PSÓ, PTÓ, QRÓ, QSÓ, QTÓ, RSÓ, RTÓ, STÓ로 10개
② 모서리 EF와 수직인 면은 면 AEHD, 면 BFGC의 2
2 구하는 시각을 4시 x분이라 하면
시침이 시계의 12를 가리킬 때부터 움직인 각도는
30ù_4+0.5ù_x=120ù+0.5ù_x
분침이 움직인 각도는 6ù_x
시침과 분침이 이루는 각의 크기가 처음으로 10ù가 될 때는
② PQÓ=AQÓ-APÓ=
ABÓ-
ABÓ=
ABÓ
;3@;
;5@;
;1¢5;
(120ù+0.5ù_x)-6ù_x=10ù이므로
5.5ù_x=110ù ∴ x=20
③ 따라서 PQÓ=
ABÓ=8`cm이므로
;1¢5;
따라서 시침과 분침이 이루는 각의 크기가 처음으로 10ù가
ABÓ=
_8=30(cm)
;;Á4°;;
될 때는 지금으로부터 20분 후이다.
3 ② 모서리 AB와 모서리 CG는 꼬인 위치에 있다.
⑤ 모서리 CG와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AB,
AE, BE, DE, EF의 5개이다.
4 ③ 평행하거나 만나거나 꼬인 위치에 있을 수도 있다.
⑤ 꼬인 위치에 있거나 평행하거나 만날 수도 있다.
정답과 풀이 11
2 작도와 합동
A
삼각형의 대각과 대변
본문 49쪽
6`cm, ∠C
1 ⑤
작도
1
CHECK
1 컴퍼스
∠B의 대변의 길이는 ACÓ=6`cm
본문 46쪽
ABÓ의 대각은 ∠C
2 ⑴ ㉠, ㉣, ㉢ ⑵ OQÓ, O'P'Ó
1 ⑤ QRÓ의 대각은 ∠P로 그 크기는 70ù이다.
A
길이가 같은 선분의 작도
본문 47쪽
㉡ → ㉢ → ㉠
1 ㉣ → ㉢ → ㉠ → ㉡
(cid:34)
(cid:34)
(cid:77)
(cid:77)
(cid:35)
(cid:35)
(cid:49)
(cid:49)
∴ ㉡ → ㉢ → ㉠
㉢
㉢
㉠
㉠
(cid:50)
(cid:50)
㉡ ∴ ABÓ=PQÓ
㉡
1 ㉣ 임의의 직선을 긋는다.
㉢ 직선 위에 두 점 A, B를 잡아 그 길이를 잰다.
㉠ 두 점 A, B를 중심으로 각각 반지름의 길이가 ABÓ인 원
을 그려 그 교점을 C라고 한다.
㉡ ACÓ, BCÓ를 긋는다.
∴ ㉣ → ㉢ → ㉠ → ㉡
B
삼각형이 될 수 있는 조건
본문 49쪽
③ 7+2<12이므로 가장 긴 변의 길이가 나머지 두 변의
길이의 합보다 크다.
따라서 삼각형을 작도할 수 없다.
2 (2, 4, 5), (2, 4, 6), (2, 5, 6), (4, 5, 6) 중에서
(2, 4, 6)은 2+4=6이므로 삼각형을 작도할 수 없다.
따라서 작도할 수 있는 삼각형의 개수는 3개이다.
B
평행선의 작도
본문 47쪽
C
삼각형에서 미지수의 범위
본문 50쪽
②
2 ④
② CDÓ=ABÓ
삼각형의 작도
2
CHECK
1 ⑴ ∠B ⑵ ABÓ ⑶ ∠C ⑷ ACÓ
2 ⑴ × ⑵ ⑶ × ⑷
12 Ⅰ . 도형의 기초
삼각형이 만들어지려면 가장 긴 변의 길이가 나머지 두 변
의 길이의 합보다 작아야 한다.
Ú x cm가 가장 긴 변의 길이이면
4+7>x ∴ x<11
본문 48쪽
Û 7 cm가 가장 긴 변의 길이이면
따라서 x의 값의 범위는 3<x<11이므로 자연수 x는 4,
4+x>7 ∴ x>3
5, 6, 7, 8, 9, 10의 7개이다.
③
2 3개
7개
3 ①
3 Ú x cm가 가장 긴 변의 길이이면`
5+11>x ∴ x<16
Û 11 cm가 가장 긴 변의 길이이면
5+x>11 ∴ x>6
따라서 x의 값의 범위는 6<x<16이므로 ①은 x의 값이
Ü 주어진 변의 양 끝각 ∠A와 ∠B`(주어진 변의 양 끝
각이 아닌 두 각이 주어져도 나머지 한 각을 알 수 있다.)
를 만족하면 △ABC가 하나로 결정된다.
개
념
탑
D
삼각형의 작도
본문 50쪽
㉡ → ㉢ → ㉣ → (㉠ ↔ ㉤) → ㉥
①, ④
1 ②, ④
A
삼각형이 하나로 결정되는 경우
본문 52쪽
될 수 없다.
4 ①, ⑤
㉡ → ㉢ → ㉣ ∠B와 크기가 같은 각을 작도한다.
㉠ ABÓ를 반지름으로 하는 원을 그려 점 A를 작도한다.
㉤ BCÓ를 반지름으로 하는 원을 그려 점 C를 작도한다.
㉥ 점 A와 점 C를 이어 △ABC를 작도한다.
∴ ㉡ → ㉢ → ㉣ → (㉠ ↔ ㉤) → ㉥
4 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 주어질 때는 선분을
작도한 후 두 각을 작도하거나 한 각을 작도한 후 선분을
작도하고 나머지 각을 작도한다.
삼각형의 결정조건
본문 51쪽
3
CHECK
1 ⑴ × ⑵ ⑶ × ⑷ ×
2 ①, ⑤
1 ⑴ 5+3=8<10이므로 삼각형을 만들 수 없다.
⑵ ∠A, ∠B가 주어졌으므로 ∠C도 알 수 있다.
① 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 경우이다.
② ∠B+∠C=120ù+60ù=180ù이므로 삼각형이 만들어
③ 세 각의 크기가 주어진 경우는 삼각형이 하나로 결정되
④ ∠C=22ù이므로 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가
지지 않는다.
지 않는다.
주어진 경우이다.
⑤ 9+8<20이므로 삼각형이 만들어지지 않는다.
1 ② ∠C=70ù이므로 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가
주어진 경우이다.
④ 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 경우이다.
B
삼각형이 하나로 결정되지 않는 경우
본문 52쪽
②, ⑤
2 ㄴ, ㄹ
다.
다.
따라서 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 주어진
② 세 변의 길이가 주어졌으나 가장 긴 변의 길이가 나머지
경우와 같으므로 △ABC가 하나로 결정된다.
두 변의 길이의 합보다 크다.
⑶ ∠C는 ABÓ, BCÓ의 끼인각이 아니므로 △ABC가 하
⑤ ∠A는 ABÓ, BCÓ의 끼인각이 아니다.
⑷ 세 각의 크기가 주어진 경우는 △ABC가 하나로 결
2 ㄱ. ∠A의 크기를 알 수 있으므로 삼각형이 하나로 결정된
나로 결정되지 않는다.
정되지 않는다.
2 한 변의 길이가 주어졌으므로
Ú 다른 두 변의 길이 BCÓ와` CAÓ
ㄴ. 모양은 같고 크기가 다른 무수히 많은 삼각형이 결정된
Û 다른 한 변과 그 두 변의 끼인각
ㄹ. ∠A의 크기를 알 수 없으므로 삼각형이 하나로 결정되
ACÓ와 ∠A, BCÓ와 ∠B
지 않는다.
정답과 풀이 13
도형의 합동
4
CHECK
1 ⑴ EFÓ ⑵ ∠A ⑶ 점 F
2 ⑴ 80ù ⑵ 10`cm ⑶ 75ù
2 ⑴ ∠G=∠C=80ù
⑵ EFÓ=ABÓ=10`cm
본문 53쪽
삼각형의 합동 조건
본문 55쪽
5
CHECK
1 △ABCª△NOM`(SSS 합동)
△DEFª△QPR`(ASA 합동)
△GHIª△KLJ`(SAS 합동)
2 ⑴ ⑵ ⑶ × ⑷
⑶ ∠A=∠E=360ù-(90ù+80ù+115ù)=75ù
2 ⑴ ASA 합동 ⑵ ASA 합동 ⑷ SSS 합동
④ 두 도형 P, Q가 서로 합동일 때, 기호 P≡Q로 나타낸다.
④ ∠A, ∠D가 두 변의 끼인각이 아니므로 합동이 아니다.
A
도형의 합동
④
1 ㄴ, ㅁ
1 ㄴ. 오른쪽 그림과 같이 두 삼각형
의 넓이는 같지만 합동이 아닐
수도 있다.
ㅁ. 오른쪽 그림과 같이 두 사
(cid:22)
각형의 둘레의 길이는 같
(cid:20)
지만 합동이 아닐 수도 있다.
(cid:20)
(cid:21)
(cid:20)
(cid:21)
(cid:21)
(cid:21)
(cid:21)
(cid:21)
A
두 삼각형이 합동일 조건
본문 56쪽
본문 54쪽
④
1 ㄱ, ㄹ, ㅂ
① SSS 합동 ② ∠B=∠E이므로 ASA 합동
③ SAS 합동
⑤ ASA 합동
1 오른쪽 그림에서
ㄱ. ACÓ=DFÓ이면 SAS 합동
(cid:34)
(cid:37)
(cid:35)
(cid:36)
(cid:38)
(cid:39)
이다.
ㄹ. ∠B=∠E이면 ASA 합동이다.
ㅂ. ∠C=∠F이면 ∠B=∠E이므로 ASA 합동이다.
B
합동인 도형의 성질
본문 54쪽
SSS 합동
B
삼각형의 합동 조건 ⑴ - SSS 합동
본문 56쪽
③
2 ②
2 SSS 합동
△ABC와 △ADC에서
③ ∠B의 대응각은 ∠E이므로
ABÓ=ADÓ, BCÓ=DCÓ, ACÓ는 공통이므로
∠B=∠E=180ù-(60ù+70ù)=50ù
△ABCª△ADC(SSS 합동)
2 EFÓ의 대응변은 BCÓ이므로 EFÓ=BCÓ=4`cm
∠F의 대응각은 ∠C이므로
2 △ABC와 △CDA에서
ABÓ=CDÓ, BCÓ=DAÓ, ACÓ는 공통이므로
∠F=∠C=180ù-(45ù+70ù)=65ù
△ABCª△CDA(SSS 합동)
14 Ⅰ . 도형의 기초
C
삼각형의 합동 조건 ⑵ - SAS 합동
본문 57쪽
기본 다지기 문제
본문 59~60쪽
ㄱ, ㄷ, ㅁ
3 SAS 합동 4 정삼각형
△ABC와 △DBE에서` ABÓ=DBÓ, BCÓ=BEÓ, ∠B는 공통
∴ △ABCª△DBE`(SAS 합동)
02 ④
01 ③
05 ㉡ → ㉢ → ㉠
08 ③
11 ②
09 ②
12 ③
03 ⑤
04 ①
06 ㄷ, ㅁ 07 ④
10 SAS 합동
개
념
탑
3 △ABE와 △BCF에서
01 ③ 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 도형을 그리는 것
ABÓ=BCÓ`(∵ ABCD는 정사각형), BEÓ=CFÓ
을 작도라 한다.
∠ABE=∠BCF=90ù`(∵ ABCD는 정사각형)
∴ △ABEª△BCF(SAS 합동)
02 OPÓ=OQÓ=O'P'Ó=O'Q'Ó, PQÓ=P'Q'Ó,
∠POQ=∠P'O'Q'
4 △ADFª△BEDª△CFE (SAS 합동)이므로
DFÓ=EDÓ=FEÓ
즉, △DEF는 정삼각형이다.
03 ⑤ OCÓ=ODÓ=PRÓ=PQÓ이지만 QRÓ는 같지 않다.
04 ① 가장 긴 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 크
므로 삼각형을 작도할 수 없다.
06 ㄴ. 2+6<9이므로 삼각형을 만들 수 없다.
ㄷ. ∠A=40ù, ∠B=50ù이므로 ∠C=90ù이다.
따라서 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 주어진 경
우와 같으므로 삼각형이 하나로 결정된다.
ㅁ. 세 변의 길이가 주어지고 가장 긴 변의 길이가 나머지
두 변의 길이의 합보다 작으므로 삼각형이 하나로 결정
된다.
07 DEÓ=ABÓ=6`cm이므로 x=6
∠D=∠A=180ù-(100ù+40ù)=40ù이므로 y=40
∴ x+y=6+40=46
08 ① SAS 합동 ② ASA 합동
③ 세 각의 크기가 각각 같은 삼각형은 무수히 많으므로 합
동이 아니다.
④ ASA 합동 ⑤ SSS 합동
09 주어진 삼각형의 나머지 한 각은 180ù-(70ù+60ù)=50ù
이므로 주어진 삼각형과 합동인 삼각형은 ㄱ(SAS 합동),
ㄷ(ASA 합동)이다.
정답과 풀이 15
D
삼각형의 합동 조건 ⑶ - ASA 합동
본문 58쪽
ASA 합동
5 ASA 합동 6 4`cm
△ABC와 △ADE에서 BCÓ=DEÓ, ∠C=∠E이고
∠BAC=∠DAE`(맞꼭지각)이므로 ∠B=∠D
∴ △ABCª△ADE`(ASA 합동)
5 △AOP와 △BOP에서
∠AOP=∠BOP이고 ∠OAP=∠OBP=90ù이므로
∠OPA=∠OPB, OPÓ는 공통
∴ △AOPª△BOP(ASA 합동)
6 △ABC와 △CDA에서
ACÓ는 공통, ∠BAC=∠DCA=120ù,
∠ACB=∠CAD=40ù이므로
△ABCª△CDA (ASA 합동)
∴ CDÓ=ABÓ=4`cm
10 △ABE와 △ACD에서
ABÓ=ACÓ, ∠A는 공통, AEÓ=ADÓ이므로
△ABEª△ACD`(SAS 합동)
11 ∠AOB=180ù-70ù=110ù
△OAB와 △OCD에서
AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ이고, ∠AOB=∠COD이므로
5 △OBH와 △OCI에서 OBÓ=OCÓ, ∠OBH=∠OCI=45ù
∠BOH=∠BOC-∠HOC=90ù-∠HOC=∠COI
∴ △OBH≡△OCI(ASA 합동)
따라서 색칠한 부분의 넓이는
△OHC+△OCI=△OHC+△OBH=△OBC
=
;4!;
ABCD=
_4_4=4(cmÛ`)
;4!;
6 △ABE, △BCF, △CAD에서
ABÓ=BCÓ=CAÓ, BEÓ=CFÓ=ADÓ
∠ABE=∠BCF=∠CAD=60ù이므로
△ABE≡△BCF≡△CAD(SAS 합동)
따라서 ∠BAE=∠CBF=∠ACD이고
∠BEA=∠CFB=∠ADC이므로
△BEQ≡△CFR≡△ADP(ASA 합동)
따라서 ∠BQE=∠CRF=∠APD이므로
∠PQR=∠QRP=∠QPR
∴ ∠PQR=60ù
7 △ABE와 △BCF에서 ABÓ=BCÓ, BEÓ=CFÓ,
∠B=∠C=90ù이므로
△ABEª△BCF(SAS 합동)
∠BAE+∠AEB=∠CBF+∠AEB=90ù이므로
∠APB=∠BPE=90ù
8 ① 가장 긴 변의 길이가 9일 때
9<(x+2)+7 ∴ x>0
② 가장 긴 변의 길이가 x+2일 때
9 ① △ABE와 △ADC에서` ABÓ=ADÓ, AEÓ=ACÓ
∠BAE=∠BAC+60ù=∠DAC
∴ △ABEª△ADC`(SAS 합동)
② △ABEª△ADC이므로 BEÓ에 대응하는 변은 DCÓ이
다.
따라서 BEÓ와 길이가 같은 선분은 DCÓ이다.
△OABª△OCD(SAS 합동)
∴ ∠A=∠C=40ù
∴ ∠B=180ù-(110ù+40ù)=30ù
12 △OABª△ODC(SAS 합동)
△BDAª△CAD(SAS 합동)
△ABCª△DCB(SAS 합동)
실력 올리기 문제
본문 61~62쪽
1 ㉦, ㉡, ㉤, ㉥
4 ①
8 ① 9, (x+2)+7, x>0 ② x+2, 7+9, x<14
2 ④
6 60ù
3 ③
7 90ù
5 4`cmÛ`
③ 0<x<14
9 ① △ABEª△ADC(SAS 합동) ② DCÓ
3
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
4 △ACD와 △BCE에서 `ACÓ=BCÓ, CDÓ=CEÓ,
∠ACD=∠ACE+60ù=∠BCE
∴ △ACDª△BCE(SAS 합동)
②, ③, ④ △ACDª△BCE이므로
∠CAD=∠CBE, ADÓ=BEÓ
⑤ ∠ACB=∠ECD=60ù이므로
∠ACE=180ù-2_60ù=60ù
16 Ⅰ . 도형의 기초
2 만들 수 있는 삼각형은 (4, 4, 6), (4, 6, 6), (4, 6, 8),
(4, 8, 10), (6, 6, 8), (6, 6, 10), (6, 8, 10)의 7개이다.
x+2<7+9 ∴ x<14
③ ①, ②에서 0<x<14
ⅠⅠ 평면도형
1 다각형의 성질
1
CHECK
다각형
1 ①, ④
2 105ù
2 오른쪽 그림과 같이 다각형에서
(cid:37)
1 ② 도형 전체 또는 일부가 곡선
③ 선분의 끝점이 만나지 않는 도형
⑤ 입체도형
이므로 다각형이 아니다.
한 내각의 크기와 그와 이웃한 한
외각의 크기의 합은` 180ù이므로
(cid:34)
(cid:35)
(∠C의 외각의 크기)
=180ù-75ù
=105ù
본문 66쪽
(cid:24)(cid:22)(cid:177)
(cid:36)
본문 67쪽
① 사각뿔은 입체도형이므로 다각형이 아니다.
② 부채꼴은 두 개의 선분과 하나의 곡선으로 이루어져 있
으므로 다각형이 아니다.
1 ① 3개 이상의 선분으로 둘러싸여 있지 않거나
② 도형의 일부가 곡선
⑤ 입체도형
이므로 다각형이 아니다.
A
다각형
①, ②
1 ③, ④
B
정다각형
③, ⑤
2 ㄱ, ㄷ
① 부채꼴 ② 직사각형 ③ 정삼각형 ④ 마름모 ⑤ 정육
각형이므로 모든 변의 길이가 같고, 모든 내각의 크기가 같
개
념
탑
은 정다각형은 ③, ⑤이다.
2 ㄴ. 정육각형의 경우 대각선의 길이가 다르다.
C
내각과 외각
⑴ ∠CBF ⑵ 115ù
본문 68쪽
3 ⑴ 130ù ⑵ 100ù
4 ③
5 ①
⑴ ∠ABC의 외각은 ∠CBF
⑵ ∠ADC=180ù-∠HDA=180ù-65ù=115ù
3 ⑴ ∠x=180ù-50ù=130ù
⑵ ∠x=180ù-80ù=100ù
4 (한 내각의 크기)+(그와 이웃한 한 외각의 크기)=180ù이
므로 (한 내각의 크기)=180ù-109ù=71ù
5 한 내각의 크기와 그와 이웃한 한
외각의 크기의 합은 180ù이므로
주어진 오각형의 내각의 크기는
오른쪽 그림과 같다.
따라서 주어진 오각형의 내각의
크기가 아닌 것은 ①이다.
(cid:66)
(cid:18)(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:70)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:67)
(cid:18)(cid:20)(cid:22)(cid:177)
(cid:68)
(cid:18)(cid:17)(cid:22)(cid:177)
(cid:69)
본문 67쪽
2
CHECK
다각형의 대각선
1 풀이 참조
본문 69쪽
정답과 풀이 17
C
대각선의 개수 ⑴
본문 71쪽
⑴ 10-3=7(개) ⑵ 20-3=17(개)
D
대각선의 개수 ⑵
본문 71쪽
한 꼭짓점에서
그을 수 있는
대각선의 개수
사각형
오각형
육각형
칠각형
4-3
=1(개)
5-3
=2(개)
6- 3
7- 3
= 3 (개)
= 4 (개)
대각선의
개수
4_1
2
=2(개)
5_2
2
=5(개)
6_ 3
2
= 9 (개)
7 _ 4
2
= 14 (개)
65개
4 9번
A
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의
개수 ⑴
본문 70쪽
⑴ 7개 ⑵ 17개
1 ③
1 a=7-3=4
b=7-2=5
∴ a+b=4+5=9
B
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의
개수 ⑵
본문 70쪽
④
2 ④
3 23개
구하는 다각형을 n각형이라 하면 n각형의 한 꼭짓점에서
그을 수 있는 대각선의 개수는 (n-3)개이므로`
n-3=8 ∴ n=11
따라서 구하는 다각형은 십일각형이다.
2 구하는 다각형을 n각형이라 하면
n-3=11 ∴ n=14
따라서 십사각형의 꼭짓점의 개수는 14개이다.
3 구하는 다각형을 n각형이라 하면
n-3=20 ∴ n=23
따라서 이십삼각형의 변의 개수는 23개이다.
18 ⅠⅠ . 평면도형
구하는 다각형을 n각형이라 하면 n각형의 한 꼭짓점에서
그을 수 있는 대각선의 개수는 (n-3)개이므로`
n-3=10 ∴ n=13
따라서 십삼각형의 대각선의 개수는
=65(개)
13_10
2
4 양옆의 사람을 제외한 두 사람씩 짝을 지으면 악수를 한 총
횟수는 육각형의 대각선의 개수와 같으므로
6(6-3)
2
=9(번)
④
5 정십이각형
구하는 다각형을 n각형이라 하면 대각선의 개수가 90개이
므로
n(n-3)
2
=90, n(n-3)=180
180=15_12이므로 n=15
따라서 구하는 다각형은 십오각형이다.
5 변의 길이가 모두 같고, 내각의 크기가 모두 같은 다각형은
정다각형이므로 구하는 다각형을 정n각형이라 하면
n(n-3)
2
=54, n(n-3)=108
108=12_9 ∴ n=12
따라서 구하는 다각형은 정십이각형이다.
삼각형의 내각의 크기의 합
본문 72쪽
3
CHECK
1 30ù
2 ⑴ 80ù ⑵ 35ù
1 50ù+∠x+100ù=180ù
∠x+150ù=180ù ∴ ∠x=30ù
2 ⑴ ∠x+45ù+55ù=180ù
∠x+100ù=180ù ∴ ∠x=80ù
⑵ (∠x+10ù)+30ù+3∠x=180ù
4∠x+40ù=180ù, 4∠x=140ù
∴ ∠x=35ù
2 ∠C=∠x라 하면 ∠A=4∠x,
∠B=∠x+30ù이므로
4∠x+(∠x+30ù)+∠x=180ù
6∠x=150ù, ∠x=25ù
∴ ∠B=25ù+30ù=55ù
(cid:34)
(cid:21)(cid:89)
(cid:89)(cid:12)(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:35)
(cid:89)
(cid:36)
개
념
탑
C
삼각형의 내각의 크기의 합의 이용 ⑶
본문 74쪽
-
모양
⑴ 90ù ⑵ 45ù ⑶ 135ù
3 50ù
⑴ △ABC에서 ∠B+∠C=180ù-90ù=90ù
⑵ 점 D가 ∠B와 ∠C의 이등분선의 교점이므로
∠DBC=
;2!;∠B, ∠DCB=
∴ ∠DBC+∠DCB=
;2!;
⑶ △DBC에서
;2!;∠C
(∠B+∠C)=
∠x =180ù-(∠DBC+∠DCB)
_90ù=45ù
;2!;
=180ù-45ù
=135ù
(cid:34)
(cid:89)
(cid:42)
(cid:18)(cid:18)(cid:22)(cid:177)
(cid:66)
(cid:66)
(cid:35)
(cid:67)
(cid:67)
(cid:36)
∠a+∠b=180ù-115ù=65ù
∴ ∠x =180ù-2(∠a+∠b)
=180ù-2_65ù=50ù
D
삼각형의 내각의 크기의 합의 이용 ⑷
본문 74쪽
모양
-
95ù
4 ①
오른쪽 그림과 같이 BCÓ를 그으면
△ABC에서
∠DBC+∠DCB
=180ù-(60ù+24ù+11ù)=85ù
(cid:34)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:37)
(cid:89)
(cid:19)(cid:21)(cid:177)
(cid:35)
(cid:18)(cid:18)(cid:177)
(cid:36)
정답과 풀이 19
A
삼각형의 내각의 크기의 합의 이용 ⑴
- 기본형
본문 73쪽
65ù
1 ⑴ 70ù ⑵ 122ù
△ABE에서 ∠ABE=180ù-(70ù+55ù)=55ù
∠CBD=∠ABE`(맞꼭지각)이므로 ∠CBD=55ù
∴ ∠x=180ù-(55ù+60ù)=65ù
1 ⑴ ∠ADB=180ù-∠BDC=180ù-80ù=100ù
∠DBC=∠ABD=180ù-(50ù+100ù)=30ù
∴ ∠x=180ù-(50ù+60ù)=70ù
B
삼각형의 내각의 크기의 합의 이용 ⑵
- 세 각 사이의 관계가 주어진 경우
본문 73쪽
③
2 55ù
삼각형의 세 내각의 크기의 비가 3`:`4`:`5이므로 세 내각
의 크기를 각각 3∠x, 4∠x, 5∠x라 하면
3∠x+4∠x+5∠x=180ù, 12∠x=180ù ∴ ∠x=15ù
따라서 가장 작은 내각의 크기는 3_15ù=45ù
[다른 풀이]
180ù_
3
3+4+5
=45ù
⑵ △ABC에서 ∠ACB=180ù-(70ù+90ù)=20ù
△DBC에서 ∠DBC=180ù-(52ù+90ù)=38ù
3 오른쪽 그림에서
∠ABI=∠IBC=∠a,
따라서 △EBC에서 ∠x=180ù-(38ù+20ù)=122ù
∠ACI=∠ICB=∠b라 하면
△DBC에서
∠x =180ù-(∠DBC+∠DCB)
=180ù-85ù=95ù
4 오른쪽 그림과 같이
BCÓ를 그으면
△ABC에서
(cid:34)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:19)(cid:18)(cid:177)
(cid:19)(cid:25)(cid:177)
(cid:18)(cid:20)(cid:18)(cid:177)
(cid:20)(cid:19)(cid:177)
(cid:66)
(cid:18)(cid:20)(cid:18)(cid:177)
(cid:89)
(cid:67)
(cid:35)
(cid:36)
60ù+(32ù+∠a)+(∠x+∠b)
=180ù
∠a+∠b=180ù-131ù=49ù이므로
60ù+32ù+49ù+∠x=180ù, ∠x+141ù=180ù
∴ ∠x=39ù
삼각형의 외각의 성질
본문 75쪽
4
CHECK
1 ⑴ 75ù ⑵ 77ù
⑴ ∠x=40ù+35ù=75ù
⑵ ∠x+58ù=135ù ∴ ∠x=77ù
A
삼각형의 외각의 성질
본문 76쪽
⑴ 50ù ⑵ 15ù
1 ⑴ 30ù ⑵ 50ù
⑵ (∠x+10ù)+50ù=5∠x에서
4∠x=60ù ∴ ∠x=15ù
1 ⑴ (3∠x-20ù)+(∠x+10ù)=110ù
4∠x=120ù ∴ ∠x=30ù
⑵ (∠x+30ù)+50ù=3∠x-20ù
2∠x=100ù ∴ ∠x=50ù
삼각형의 세 외각의 크기의 합은 360ù이므로
∠x+130ù+135ù=360ù ∴ ∠x=95ù
2 ⑴ ∠x+90ù+125ù=360ù ∴ ∠x=145ù
⑵ 100ù+(2∠x-20ù)+2∠x=360ù
4∠x=280ù ∴ ∠x=70ù
C
삼각형의 외각의 성질의 응용 ⑴
-
모양
본문 77쪽
③
3 ⑤
오른쪽 그림에서 △DBC는
이등변삼각형이므로
∠DCB=∠B=35ù,
∠ADC=∠B+∠DCB=70ù
△CAD는 이등변삼각형이므로
∠x=∠ADC=70ù
(cid:34)
(cid:89)
(cid:37)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:20)(cid:22)(cid:177)
(cid:35)
(cid:20)(cid:22)(cid:177)
(cid:36)
3 오른쪽 그림에서 ABÓ=ACÓ
이므로 ∠ACB=20ù이고
(cid:34)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:38)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:37)
∠EAC=20ù+20ù=40ù
(cid:35)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:36)
CAÓ=CEÓ이므로
∠CEA=40ù
D
삼각형의 외각의 성질의 응용 ⑵
본문 77쪽
모양
-
15ù
4 ③
∠ACD=∠DCE=∠b라 하면
△ABC에서 2∠b=2∠a+30ù이므로 ∠b=∠a+15ù
△DBC에서 ∠b=∠a+∠x ∴ ∠x=15ù
⑴ ∠x+2∠x=150ù에서 3∠x=150ù ∴ ∠x=50ù
∠x =∠ECD=∠EBC+∠BEC=20ù+40ù=60ù
B
삼각형의 외각의 크기의 합
본문 76쪽
∠ABD=∠DBC=∠a,
8.5
21
=
10
2
=?
95ù
2 ⑴ 145ù ⑵ 70ù
20 ⅠⅠ . 평면도형
⑶ 정오각형의 내각의 크기는 모두 같으므로 한 내각의 크
C
다각형의 내각의 크기의 응용
본문 80쪽
4 ∠ABD=∠DBC=∠a, ∠ACD=∠DCE=∠b라 하면
△DBC에서 ∠b=∠a+20ù
△ABC에서 2∠b=∠x+2∠a
∴ ∠x =2∠b-2∠a=2(∠a+20ù)-2∠a=40ù
⑴
⑵
⑶
180ù_(6-2)
6
180ù_(8-2)
8
180ù_(10-2)
10
=120ù
=135ù
=144ù
개
념
탑
5
CHECK
다각형의 내각의 크기
본문 78쪽
1 ⑴ 3 ⑵ 3, 180ù, 3, 540ù ⑶ 540ù, 108ù
⑴, ⑵ 정오각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 삼각형
3개로 나누어지므로 내각의 크기의 합은
180ù_3=540ù이다.
A
다각형의 내각의 크기의 합
본문 79쪽
기는
540ù
5
=108ù이다.
⑴ 360ù ⑵ 720ù ⑶ 1080ù
1 ④
2 140ù
⑴ 180ù_(4-2)=360ù
⑵ 180ù_(6-2)=720ù
⑶ 180ù_(8-2)=1080ù
1 구하는 다각형을 n각형이라 하면
180ù_(n-2)=1260ù, n-2=7 ∴ n=9
따라서 구각형의 변의 개수는 9개이다.
2 육각형의 내각의 크기의 합은
180ù_(6-2)=720ù이므로
(∠x-10ù)+100ù+115ù+110ù+∠x+125ù=720ù
2∠x+440ù=720ù, 2∠x=280ù ∴ ∠x=140ù
3 구하는 정다각형을 정n각형이라 하면
180ù_(n-2)
n
=140ù, 180ù_n-360ù=140ù_n
40ù_n=360ù ∴ n=9
따라서 구하는 정다각형은 정구각형이다.
36ù
4 90ù
5 ④
6 107.5ù
∠B는 정오각형의 한 내각이므로
∠B=
180ù_(5-2)
5
=108ù
△ABC는 ABÓ=BCÓ인 이등변삼각형이므로
∠x=
_(180ù-108ù)=36ù
;2!;
4 정팔각형의 한 내각의 크기는
180ù_(8-2)
8
=135ù
△CDE는 `DCÓ=DEÓ인 이등변삼각형이므로
∠DEC=
_(180ù-135ù)=22.5ù
;2!;
마찬가지로 ∠FEG=22.5ù
∴ ∠x=135ù-22.5ù_2=90ù
5 ∠BAD=180ù-40ù=140ù
∠EBC+∠ECB=
(∠ABC+∠DCB)
;2!;
=
;2!;
{360ù-(140ù+100ù)}=60ù
따라서 △EBC에서 ∠x=180ù-60ù=120ù
B
정다각형의 한 내각의 크기
본문 79쪽
⑴ 120ù ⑵ 135ù ⑶ 144ù
3 정구각형
6 ∠BAD=180ù-80ù=100ù
∠ADC=180ù-65ù=115ù
∠EBC+∠ECB =
(∠ABC+∠DCB)
;2!;
정답과 풀이 21
{360ù-(100ù+115ù)}
=
;2!;
=72.5ù
따라서 △EBC에서
∠x=180ù-72.5ù=107.5ù
6
CHECK
2 내각의 크기의 합이 2340ù인 정다각형을 정n각형이라 하면
180ù_(n-2)=2340ù, n-2=13
∴ n=15
따라서 정십오각형의 한 외각의 크기는
=24ù
360ù
15
3 한 외각의 크기는 180ù_
1
5+1
외각의 크기의 합은 항상 360ù이므로 한 외각의 크기가 30ù
=30ù
다각형의 외각의 크기
본문 81쪽
인 정다각형을 정n각형이라 하면
1 ⑴ 180ù ⑵ 5, 900ù ⑶ 180ù, 540ù
⑷ 900ù, 540ù, 360ù
⑴ 오각형에서 한 내각과 이웃하는 외각의 크기의 합은
180ù(평각)이다.
=30ù, 360ù=30ù_n
360ù
n
∴ n=12
따라서 정십이각형의 대각선의 개수는
12_(12-3)
2
=54(개)
A
다각형의 외각의 크기의 합
본문 82쪽
다각형의 내각과 외각의 활용 본문 83쪽
7
CHECK
1 310ù
⑴ ∠B의 외각의 크기는 180ù-75ù=105ù이므로
53ù+105ù+125ù+∠x=360ù, ∠x+283ù=360ù
⑵ ∠C의 외각의 크기는 180ù-125ù=55ù이므로
80ù+∠x+55ù+90ù+70ù=360ù, ∠x+295ù=360ù
오른쪽 그림과 같이 보조선을 그어 생기
는 각의 크기를 각각 ∠x, ∠y라 하면
∠x+∠y=180ù-130ù=50ù이므로
360ù-(∠a+∠b+∠c+∠d)
=∠x+∠y=50ù
∴ ∠a+∠b+∠c+∠d=360ù-50ù=310ù
(cid:69)
(cid:90)
(cid:66)
(cid:67)
(cid:18)(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:68)
⑴ 77ù ⑵ 65ù
1 137ù
∴ ∠x=77ù
∴ ∠x=65ù
1 ∠B의 외각의 크기는 180ù-∠x이므로
(180ù-∠x)+80ù+77ù+75ù+85ù=360ù
497ù-∠x=360ù ∴ ∠x=137ù
정십각형
2 ①
3 54개
구하는 정다각형을 정n각형이라 하면
360ù
n
=36ù ∴ n=10
22 ⅠⅠ . 평면도형
B
정다각형의 한 외각의 크기
본문 82쪽
2 ①
3 ④
75ù
1 ②
A
오목한 부분이 있는 다각형에서 각의
크기 구하기
본문 84쪽
오른쪽 그림과 같이 보조선을 그으면
오각형의 내각의 크기의 합은
180ù_(5-2)=540ù
540ù-(110ù+50ù+60ù+120ù+95ù)
(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:177)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:26)(cid:22)(cid:177)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
=180ù-∠x
따라서 구하는 정다각형은 정십각형이다.
105ù=180ù-∠x ∴ ∠x=75ù
1 오른쪽 그림과 같이 보조선을 그으
면 ∠x+∠y=∠a+∠b이므로
140ù+75ù+80ù+∠x+∠y
(cid:24)(cid:22)(cid:177)
(cid:18)(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:177)
(cid:90)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
4 오른쪽 그림의
△AHD에서
∠AHB=20ù+60ù+80ù
+70ù+110ù
(cid:25)(cid:17)(cid:177)
(cid:66)
(cid:67)
△GBH에서
(cid:38)
(cid:39)
(cid:40)
(cid:19)(cid:17)(cid:177) (cid:89)
(cid:25)(cid:17)(cid:177)
(cid:41)
(cid:20)(cid:22)(cid:177)
(cid:34)
(cid:35)
(cid:43)
(cid:42)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:37)
(cid:36)
개
념
탑
=(오각형의 내각의 크기의 합)
=180ù_(5-2)=540ù
∠x+∠y+475ù=540ù ∴ ∠x+∠y=65ù
(cid:34)
(cid:39)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
2 오른쪽 그림과 같이 보조선을 그으면
∠a+∠d=∠x+∠y
따라서 ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e
+∠f의 크기는 사각형의 내각의 크기
(cid:66)
(cid:67)
(cid:89)
(cid:90)
(cid:68)
의 합인 360ù와 같다.
3 오른쪽 그림과 같이 보조선을 그으면
∠x+∠y=∠u+∠v이므로
∠a+∠b+∠c+y+∠j+∠k의
크기는 칠각형과 사각형의 내각의 크
기의 합과 같다.
칠각형의 내각의 크기의 합은
180ù_(7-2)=900ù,
사각형의 내각의 크기의 합은
180ù_(4-2)=360ù
이므로 구하는 각의 크기는
900ù+360ù=1260ù
∠x=180ù-(35ù+80ù)=65ù
5 오른쪽 그림의
△BDF에서
∠GBC=20ù+40ù=60ù
△BGC에서
∠y=40ù+60ù=100ù
△ACE에서
∠A=180ù-(35ù+100ù)=45ù
△ADH에서
∠x=180ù-(40ù+45ù)=95ù
∴ ∠x+∠y=95ù+100ù=195ù
(cid:71)
(cid:71)
(cid:70)
(cid:72)
(cid:69)
(cid:66)
(cid:76)
(cid:67)
(cid:68)
(cid:73)
(cid:74)
(cid:75)
(cid:89) (cid:90)
(cid:69)
(cid:86) (cid:87)
(cid:70)
(cid:41)
(cid:89)
(cid:20)(cid:22)(cid:177)
(cid:38)
(cid:35)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:90)
(cid:40)
(cid:36)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:37)
6 삼각형의 외각의 성질에 의해
∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f
의 크기는 삼각형의 외각의 크기의
합인 360ù와 같다.
(cid:67)
(cid:66)
(cid:66)(cid:12)(cid:67)
(cid:68)(cid:12)(cid:69)
(cid:68)
(cid:69)
(cid:70)(cid:12)(cid:71)
(cid:71)
(cid:70)
B
복잡한 도형에서 각의 크기 구하기
본문 85쪽
⑴ 360ù ⑵ 540ù
4 65ù
5 195ù
6 ③
⑴ ∠a+∠c+∠e=180ù,
∠b+∠d+∠f=180ù이므로
∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f=360ù
⑵ ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g
=(7개의 삼각형의 내각의 크기의 합)
=180ù_7-360ù_2=540ù
기본 다지기 문제
본문 88~89쪽
01 ②, ⑤ 02 풀이 참조
04 ∠x=87ù, ∠y=140ù 05 ∠x=44ù, ∠y=147ù
09 ①, ③
06 ①
10 135ù
08 10개
12 360ù
07 ②
11 ⑤
03 ④
01 ② 정사각형은 정다각형이므로 네 변의 길이가 모두 같고,
네 내각의 크기가 모두 같은 사각형이다.
④
9_(9-3)
2
=27(개)
17-3=14(개)이다.
정답과 풀이 23
-{(칠각형의 외각의 크기의 합)_2}
⑤ 십칠각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는
02 n각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 (n-2)개의 삼각
④ 한 외각의 크기는
=18ù이다.
형이 만들어지므로
n-2=12 ∴ n=14
따라서 십사각형의 대각선의 개수는
14_(14-3)
2
=77(개)
03 ∠x+3∠x+(∠x-10ù)=180ù, 5∠x=190ù
∴ ∠x=38ù
∠y=(180ù-105ù)+50ù=125ù
04 오른쪽 그림에서
∠ABE=∠CBD=50ù이므로
△ABE에서
∠x+43ù+50ù=180ù
∴ ∠x=87ù
△BCD에서 ∠y=50ù+90ù=140ù
(cid:34)
(cid:21)(cid:20)(cid:177)
(cid:89)
(cid:38)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:35)
(cid:36)
(cid:90)
(cid:37)
05 △ABC에서
△ACD에서
∠x=180ù-(90ù+46ù)=44ù
∠y=90ù+57ù=147ù
360ù
20
3240ù
20
⑤ 한 내각의 크기는
=162ù이다.
10 오른쪽 그림과 같이 보조선을 그으면
360ù-(125ù+45ù+35ù+110ù)
=180ù-∠x
45ù=180ù-∠x
∴ ∠x=135ù
11
(cid:49)
(cid:34)
(cid:40)
(cid:41)
(cid:35)
(cid:36)
(cid:39)
(cid:38)
(cid:37)
(cid:45)
(cid:44)
(cid:42)
(cid:43)
(cid:18)(cid:19)(cid:22)(cid:177)
(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:177)
(cid:21)(cid:22)(cid:177)
(cid:89)
(cid:20)(cid:22)(cid:177)
정육각형과 정팔각형의 한 외각의 크기는 각각
360ù
6
=60ù,
=45ù이고
360ù
8
∠AFG =360ù-∠AFE-∠GFE
=360ù-120ù-135ù=105ù
이므로 AFGP에서
∠APG =360ù-∠PAF-∠PGF-∠AFG
=360ù-60ù-45ù-105ù=150ù
06 ∠ABD=∠DBC=∠a, ∠ACD=∠DCE=∠b라 하면
△ABC에서 2∠a+60ù=2∠b에서 ∠b=∠a+30ù
△DBC에서 ∠a+∠x=∠b이므로 ∠a+∠x=∠a+30ù
∴ ∠x=30ù
12 오른쪽 그림과 같이 구하는 각의 크기
의 합은 색칠한 다각형의 외각의 크기
의 합과 같으므로 360ù이다.
(cid:66)
(cid:67)
(cid:66)(cid:12)(cid:67)
(cid:73)
(cid:72)
(cid:72)(cid:12)(cid:73)
(cid:68)(cid:12)(cid:69)
(cid:68)
(cid:69)
(cid:70)(cid:12)(cid:71)
(cid:71)
(cid:70)
07 구하는 정다각형을 정n각형이라 하면
=72ù, 72ù_n=360ù ∴ n=5
360ù
n
따라서 정오각형의 내각의 크기의 합은
180ù_(5-2)=540ù
08 구하는 정다각형을 정n각형이라 하면
(정n각형의 한 외각의 크기)=180ù_
1
4+1
=36ù이므로
360ù
n
=36ù, 36ù_n=360ù ∴ n=10
따라서 정십각형의 꼭짓점의 개수는 10개이다.
20_(20-3)
2
=170(개)이다.
② 내각의 크기의 합은 180ù_(20-2)=3240ù이다.
09 ① 대각선의 개수는
24 ⅠⅠ . 평면도형
실력 올리기 문제
본문 90~91쪽
1 ③
5 835ù
7 ① 180ù-70ù=110ù, 180ù-140ù=40ù
2 103ù
6 56ù
3 ④
4 75ù
② 180ù-(110ù+40ù)=30ù
③ 30ù, 180ù-(30ù+70ù)=80ù
8 ① 24ù ② 15 ③ 90개
1 ∠DBC=∠x, ∠DCE=∠y라 하면
∠ABD=2∠x, ∠ACD=2∠y
△ABC에서 3∠y=60ù+3∠x, ∠y-∠x=20ù yy`㉠
180ù_(5-2)
6 정오각형의 한 내각의 크기는
5
오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에
(cid:89)
=108ù
평행한 직선 n을 그으면 `
∠x=108ù-52ù=56ù
△DBC에서
∠y=∠x+∠BDC
∴ ∠BDC=∠y-∠x=20ù (∵ ㉠)
(cid:22)(cid:23)(cid:177)
(cid:22)(cid:19)(cid:177)
(cid:18)(cid:17)(cid:25)(cid:177)
(cid:22)(cid:19)(cid:177)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
개
념
탑
(cid:77)
(cid:79)
(cid:78)
(cid:18)(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:36)
(cid:38)
7 오른쪽 그림에서
① ∠ADB=70ù이므로
∠BDC=180ù-70ù=110ù
∠ACE=140ù이므로
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:35)
∠ACB=180ù-140ù=40ù
(cid:34)
(cid:89)
(cid:37)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:177)
② △DBC에서
∠DBC =180ù-(∠BDC+∠BCD)
=180ù-(110ù+40ù)=30ù
③ △ABD에서 ∠ABD=∠DBC=30ù이므로
∠x=180ù-(30ù+70ù)=80ù
(cid:72)
(cid:71)
8 ① 한 내각과 한 외각의 크기의 합은 180ù이므로 주어진 정
다각형의 한 외각의 크기는 180ù-156ù=24ù
② 구하는 정다각형을 정n각형이라 하면 다각형의 외각의
크기의 합은 360ù이므로
=24ù, 24ù_n=360ù ∴ n=15
③ 따라서 정십오각형의 대각선의 총 개수는
360ù
n
15_(15-3)
2
=90(개)
2 △ABC에서 ∠CBA=∠BCA=73ù이므로
∠BAC=180ù-2_73ù=180ù-146ù=34ù
∠BAE=∠BAC+∠CAE=34ù+60ù=94ù
△ABE는 ABÓ=AEÓ인 이등변삼각형이므로
∠ABE=
_(180ù-94ù)=
_86ù=43ù
;2!;
;2!;
∴ ∠DBF =∠DBA+∠ABE=60ù+43ù=103ù
3 오른쪽 그림에서
∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f
+∠g
= (사각형의 내각의 크기의 합)_2
(cid:67)
(cid:68)
(cid:69)
(cid:66)
(cid:70)
+(삼각형의 내각의 크기의 합)_3
-(오각형의 외각의 크기의 합)_2
=360ù_2+180ù_3-360ù_2
=540ù
4 ∠a+∠b+30ù+35ù+40ù
= (삼각형의 내각의 크기의 합)_5
-(오각형의 외각의 크기의 합)_2
=180ù_5-360ù_2=180ù
∴ ∠a+∠b=180ù-105ù=75ù
(cid:34)
(cid:49)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:35)
(cid:36)
(cid:40)
(cid:20)(cid:22)(cid:177)
(cid:50)
(cid:39)
(cid:38)
5 오른쪽 그림과 같이
두 점 D, E를 잇는 보조선을 그으면
△RDE에서
∠RDE+∠RED=30ù+35ù=65ù
(cid:37)
(cid:51)
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
+∠F+∠G+65ù
=(칠각형의 내각의 크기의 합)
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G
=180ù_(7-2)-65ù=900ù-65ù=835ù
2 원과 부채꼴
원과 부채꼴
1
CHECK
1 ⑴ BCÓ ⑵ µAB ⑶ ABÓ, BCÓ ⑷ ∠AOC
2 ⑴ 중심, 지름 ⑵ 활꼴, 부채꼴
본문 94쪽
정답과 풀이 25
④
2 ②
A
원과 부채꼴의 용어
본문 95쪽
A : 부채꼴, B : 반지름, C : 현, D : 호, E : 활꼴
1 ②, ④
두 반지름과 호로 이루어진 도형은 부채꼴이고, 호와 현으
로 이루어진 도형은 활꼴이므로
A : 부채꼴, B : 반지름, C : 현, D : 호, E : 활꼴
1 ② 원에서 같은 중심각에 대한 현과 호로 이루어진 도형은
활꼴이다.
④ 원에서 호의 양 끝점을 이은 선분은 현이다.
⑴ 같은 크기의 중심각에 대한 호의 길이는 같으므로
⑵ 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로
⑶ 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않으므로
µAB=µ BC
µAC=2µAB
ACÓ+2ABÓ
1 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로
(µ BC에 대한 중심각의 크기)=∠BOC
=360ù_
=120ù
3
4+3+2
B
원과 부채꼴의 기본 성질
본문 95쪽
B
부채꼴의 중심각의 크기와 넓이
본문 97쪽
⑴ 35 ⑵ 40
2 ④
④ ABÓ와 µAB로 둘러싸인 도형은 활꼴이다.
⑤ 부채꼴이 활꼴이 되는 경우는 반원일 때이므로 부채꼴
의 중심각의 크기는 180ù이다.
⑴ 30`:`105=10`:`x, 30x=1050 ∴ x=35
⑵ x`:`200=5`:`25, 25x=1000 ∴ x=40
2 반지름의 길이와 현의 길이가 같을 때, 반지름과 현으로 둘
러싸인 삼각형 AOB는 정삼각형이므로 부채꼴의 중심각의
2 원 O의 넓이를 x`cmÛ`라 하면
150`:`360=30`:`x, 150x=10800
크기는 60ù이다.
∴ x=72
2
CHECK
원과 중심각
1 ⑴ 15 ⑵ 105
본문 96쪽
C
부채꼴의 중심각의 크기와
호, 현의 길이와 넓이의 응용
본문 98쪽
⑴ 20：100=3：x, 20x=300 ∴ x=15
⑵ 35：x=2：6, 2x=210 ∴ x=105
②, ⑤
3 ④
A
부채꼴의 중심각의 크기와 호, 현의 길이
본문 97쪽
⑴ = ⑵ = ⑶ +
1 ②
26 ⅠⅠ . 평면도형
①, ③ CDÓ<2ABÓ ④ △AOB+
`△COD
;2!;
3 ③ µ BC=
µ BE=
µAE
;3!;
;3!;
④ 한 원에서 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않
으므로 3CDÓ>AEÓ, 즉 3CDÓ+AEÓ
D
원에 평행선이 있는 경우 호의 길이
구하기
본문 98쪽
2pr=14p ∴ r=7
∴ (원 O의 넓이)=prÛ`=p_7Û`=49p(cmÛ`)
1 원의 반지름의 길이를` r`cm라 하면
prÛ`=81p ∴ r=9 (∵ r>0)
따라서 원의 둘레의 길이는 2p_9=18p(cm)
개
념
탑
2`cm
4 ⑤
∠COD=100ù이고` OCÓ
Ó=ODÓ
Ó`이므로
∠OCD=∠ODC=
_(180ù-100ù)=40ù
;2!;
ABÓCDÓ이므로 ∠AOC=∠OCD=40ù`(엇각)`
∴ µAC=18_
=2(cm)
;3¢6¼0;
4 오른쪽 그림에서 OCÓ를 그으면
∠CAO=∠DOB`(동위각)이고
△OCA는 이등변삼각형이므로
∠OCA=∠OAC=30ù
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:36)
(cid:37)
(cid:34)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:48)
(cid:26)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
∠AOC=180ù-2_30ù=120ù이므로
120：30=µAC：9, 30µAC=1080 ∴ µAC=36`cm
3
CHECK
원의 둘레의 길이와 넓이
본문 99쪽
1 ⑴ 4p`cm, 4p`cmÛ` ⑵ 10p`cm, 25p`cmÛ`
2 16p`cm, 64p`cmÛ`
1 ⑴ (원의 둘레의 길이)=2p_2=4p(cm)
(원의 넓이)=p_2Û`=4p(cmÛ`)
⑵ (원의 둘레의 길이)=2p_5=10p(cm)
(원의 넓이)=p_5Û`=25p(cmÛ`)
2 (원의 둘레의 길이)=2p_8=16p(cm)
(원의 넓이)=p_8Û`=64p(cmÛ`)
B
색칠한 부분의 둘레의 길이와 넓이
본문 100쪽
⑴ 32p`cm ⑵ 32p`cmÛ`
2 24p`cm, 48p`cmÛ`
⑴ 2p_8+2p_4_2=32p(cm)
⑵ p_8Û`-p_4Û`_2=32p(cmÛ`)
2 오른쪽 그림에서 ABÓ=24`cm이고
두 점 C, D가 ABÓ를 삼등분하므로
ACÓ=CDÓ=DBÓ=8`cm
∴ (색칠한 부분의 둘레의 길이)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:35)
(cid:34)
(cid:48)(cid:36)
=2p_8+2p_4=24p(cm),
(색칠한 부분의 넓이)=p_8Û`-p_4Û`=48p(cmÛ`)
부채꼴의 호의 길이와 넓이
본문 101쪽
4
CHECK
1 ⑴
p`cm ⑵ 4p`cm
;2%;
2 ⑴ 3p`cmÛ` ⑵ 30p`cmÛ`
3 20p`cmÛ`
1 ⑴ 2p_9_
;3°6¼0;
=
;2%;
p(cm)
⑵ 2p_3_
=4p(cm)
;3@6$0);
2 ⑴ p_3Û`_
=3p(cmÛ`)
⑵ p_6Û`_
=30p(cmÛ`)
;3!6@0);
;3#6)0);
A
원의 둘레의 길이와 넓이
본문 100쪽
④
1 18p`cm
3 부채꼴의 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l, 넓이를 S
라 하면
S=
rl=
_5_8p=20p(cmÛ`)
;2!;
;2!;
정답과 풀이 27
A
부채꼴의 호의 길이
본문 102쪽
9
1 90ù
호의 길이가 3p`cm이므로
2p_x_
=3p ∴ x=9
;3¤6¼0;
1 호의 길이가 6p`cm이므로
2p_12_
;36{0;
=6p ∴ ∠x=90ù
3 ⑴ (둘레의 길이)
=2p_4_
+2p_8_
;3@6$0);
;3@6$0);
+2p_12_
+12_2
;3!6@0);
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
=
p
;;Á3¤;;
+;;£3ª;;
p+8p+24=24p+24(cm)
(넓이)=p_12Û`_
=48p(cmÛ`)
;3!6@0);
⑵ (둘레의 길이) =2p_7+14_2
=14p+28(cm)
(넓이)=
_14_14=98(cmÛ`)
;2!;
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
B
부채꼴의 넓이
본문 102쪽
D
부채꼴의 호의 길이와 넓이의 응용
본문 103쪽
90ù
2 60p`cmÛ`
중심각의 크기를 ∠x라 하면
p_8Û`_
=16p ∴ ∠x=90ù
;36{0;
2 원 O의 둘레의 길이가 2p_15=30p(cm)이므로
µAC=30p_
=8p(cm)
4
6+5+4
∴ (색칠한 부분의 넓이)=
_15_8p=60p(cmÛ`)
;2!;
C
변형된 도형의 둘레의 길이와 넓이
구하기
(6p+6)`cm,
p`cmÛ`
;2(;
3 ⑴ (24p+24)`cm, 48p`cmÛ`
⑵ (14p+28)`cm, 98`cmÛ`
(둘레의 길이)=2p_6_
+2p_3_
+6
;3»6¼0;
;2!;
=6p+6(cm)
(넓이)=( 의 넓이)-( 의 넓이)
=p_6Û`_
-p_3Û`_
;3»6¼0;
;2!;
=
;2(;
p(cmÛ`)
28 ⅠⅠ . 평면도형
(12p+36)`cm
4 (52+4p)`cmÛ`
오른쪽 그림에서 끈의 최소 길이는
3개의 호와 3개의 선분으로 이루
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
어져 있으므로
2p_6_
{
;3!6@0);}
_3+12_3
=12p+36(cm)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
4 오른쪽 그림에서 원이 지나간 부분은
4개의 직사각형과 4개의 부채꼴로 이
루어져 있으므로 구하는 넓이는
2_(2_8+2_5)+p_2Û`
(cid:18)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
기본 다지기 문제
본문 106~108쪽
02 풀이 참조
05 110ù
09 ⑤
01 ①
04 ①
08 ①
12 (72+36p)cm
15 8p
18 12p`cm
16 ②
03 ④
07 12`cmÛ
11 10p+6
14 ①
06 ④
10 ①
13 ①
17 (6p+36)cm
본문 103쪽
=52+4p(cmÛ`)
01 ② 한 원에서 중심각의 크기가 180ù인 부채꼴의 넓이는 그
∴ (부채꼴 AOE의 넓이)：(부채꼴 AOB의 넓이)
=∠AOE：∠AOB=4∠x：(90ù-∠x)
③ 한 원에서 중심각의 크기와 그 중심각에 대한 현의 길이
=120ù：60ù=2：1
개
념
탑
④ 한 원에서 호의 길이는 그 호에 대한 중심각의 크기에
⑤ 원의 호와 현으로 둘러싸인 도형을 활꼴이라 한다.
09 ⑤ 삼각형의 넓이는 중심각의 크기에 정비례하지 않으므로
△AOC+
;2!;△COG
반원의 넓이와 같다.
는 정비례하지 않는다.
정비례한다.
02 미경 : 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않으므로
ABÓ+3 CDÓ야.
10 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l이라 하면
(부채꼴의 넓이)=
_6_5=15(cmÛ`)
rl=
;2!;
;2!;
(cid:36)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:37)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:34)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:48)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
03 µAC`:`µ BC=10`:`2=5`:`1
5
∴ ∠AOC=180ù_
5+1
=150ù
04 오른쪽 그림에서 ACÓODÓ이므로
∠OAC=∠BOD=50ù(동위각),
OAÓ=OCÓ이므로
∠OCA=∠OAC=50ù
∠COD=∠OCA=50ù(엇각)
호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로
µ CD=µ BD=4`cm
05 ∠AOB：∠BOC：∠COA
=µAB：µ BC：µ CA=11：12：13
∴ ∠AOB=360ù_
11
11+12+13
=110ù
06 ∠AOB+∠COD=180ù-85ù=95ù이고
∠AOB`:`∠COD=µAB`:`µ CD=2`:`3이므로
∠AOB=95ù_
=38ù
2
2+3
07 부채꼴 AOJ의 넓이가 9`cmÛ`이므로 부채꼴 한 개`(AOL)
의 넓이는 3`cmÛ`이다.
따라서 부채꼴 COG의 넓이는 3_4=12(cmÛ`)이다.
14 (색칠한 부분의 넓이)
08 오른쪽 그림에서
∠BOC=∠EOF=∠x (맞꼭지각)
로 놓으면 ∠AOE=4∠x이므로
∠AOF=4∠x-∠x=90ù에서
∠x=30ù
(cid:35)
(cid:36)
(cid:48)(cid:89)
(cid:21)(cid:89)
(cid:89)
(cid:39)
(cid:38)
(cid:34)
(cid:37)
11 (작은 부채꼴의 호의 길이)=2p_6_
=4p
;3!6@0);
(큰 부채꼴의 호의 길이)=2p_9_
=6p
;3!6@0);
∴ (구하는 둘레의 길이)=4p+6p+3_2=10p+6
12 (색칠한 부분의 둘레의 길이) =9_8+2p_9_2
=72+36p(cm)
13 원 O와 원 O'의 둘레의 길이가 20p이
므로
두 원의 반지름의 길이는 모두 10이다.
오른쪽 그림과 같이 ABÓ, O'AÓ, O'BÓ
(cid:48)
(cid:34)
(cid:35)
(cid:48)(cid:8)
를 그으면
△AOB와 △AO'B에서
OAÓ=O'AÓ, OBÓ=O'BÓ, ABÓ는 공통이므로
△AOBª△AO'B (SSS 합동)
따라서 ∠AO'B=90ù이므로
(어두운 부분의 넓이)
=(정사각형 AOBO'의 넓이)-(부채꼴 AO'B의 넓이)
=10Û`-p_10Û`_
=100-25p
;3»6¼0;
= (ABÓ가 지름인 반원의 넓이)+(ACÓ가 지름인 반원의 넓
이)+(△ABC의 넓이)-(BCÓ가 지름인 반원의 넓이)
=p_4Û`_
+p_3Û`_
_8_6-p_5Û`_
+
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
=8p+
p+24-
;2(;
p
;;ª2°;;
=24(cmÛ`)
정답과 풀이 29
15 오른쪽 그림에서
(점 A가 움직인 거리)
=2p_12_
=8p
;3!6@0);
(cid:38)
(cid:36)
(cid:34)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:19)
(cid:35)
(cid:37)
16 색칠한 두 부분의 넓이가 같으므로 직사각형 ABCE와 부
채꼴 ABD의 넓이가 같다.
4_x=p_4Û`_
∴ x=p
;3»6¼0;
17 곡선 부분의 길이의 합은 2p_3=6p(cm)
직선 부분의 길이의 합은 12_3=36(cm)
따라서 필요한 끈의 길이의 최솟값은 (6p+36)cm
18 점 O가 움직인 모양은 다음 그림과 같다.
①
②
③
(cid:34)(cid:8)
(cid:48)
(cid:35)(cid:8)
(cid:77)
(cid:34)
(cid:48)
(cid:35)
(cid:23) (cid:68)(cid:78)
따라서 구하는 거리는
2p_6_
+2p_6_
+2p_6_
;3»6¼0;
①
;3!6*0);
②
;3»6¼0;
③
=3p+6p+3p
=12p(cm)
실력 올리기 문제
본문 109~110쪽
1 ②
2 ①
3 ③
4 ②
5 6p`cm
6 :Á2Á:
p`cmÛ`
7 ① µ BC, µ CA, 5`:`2`:`1 ② 360ù_
1
5+2+1
=45ù
③ 360ù_
=90ù ④ 90ù-45ù=45ù
2
5+2+1
8 ① 3p`cmÛ`, 3p`cmÛ` ② (36-6p)cmÛ`
30 ⅠⅠ . 평면도형
1 오른쪽 그림에서 ∠BOD=∠x
라 하면 △DAO는 DAÓ=DOÓ인
이등변삼각형이므로
∠DAO=∠DOA=∠x
(cid:38)
(cid:19)(cid:89)
(cid:19)(cid:89)
(cid:89)
(cid:37)
(cid:35)
(cid:89)
(cid:34)
(cid:20)(cid:89)
(cid:48)
(cid:36)
∠EDO=∠DAO+∠DOA=∠x+∠x=2∠x
OEÓ를 그으면 △ODE는 ODÓ=OEÓ인 이등변삼각형이므로
∠OED=∠ODE=2∠x
△EAO에서
∠EOC=∠EAO+∠AEO=∠x+2∠x=3∠x
부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로
µ BD`:`µ CE =∠BOD`:`∠EOC
=∠x`:`3∠x
=1`:`3
2 작은 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
prÛ`=4p, rÛ`=4 ∴ r=2
큰 원의 반지름의 길이는 3r=3_2=6(cm)
따라서 큰 원의 둘레의 길이는 2p_6=12p(cm)
3 ( 의 넓이)+(
의 넓이)
=p_3Û`_
+
p_6Û`_
-p_3Û`_
;3!6@0);
{
;3@6$0);
;3@6$0);}
=3p+24p-6p
=21p(cmÛ`)
4 구하는 넓이는 오른쪽 그림에서 색칠한 부분의
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
넓이의 8배이다.
따라서 구하는 넓이는
p_5Û`_
{
;3»6¼0;
;2!;
-
_5_5
_8
}
=
p
{;;ª4°;;
-;;ª2°;;}
_8=50p-100(cmÛ`)
5 점 A가 움직인 모양은 다음 그림과 같다.
(cid:34)
(cid:34)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)(cid:34)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:34)(cid:8)
(cid:77)
따라서 구하는 거리는
2p_3_
+2p_5_
+2p_4_
;3»6¼0;
;3»6¼0;
;3»6¼0;
=
p+
p+2p=6p(cm)
;2#;
;2%;
6 시침이 1시간(=60분) 동안 움직이는 각의 크기는
360ùÖ12=30ù
8 ① BEÓ, ECÓ는 부채꼴 ABE, ECD의 반지름이므로 그 길
이는 모두 6`cm이다. `
7 ① (¨APB의 중심각)`:`(µ BC의 중심각)`:`(µ CA의 중심각)
(부채꼴 ABE의 넓이)=(부채꼴 ECD의 넓이)
10분 동안 시침이 움직인 각의 크기는 30ù_
=5ù
;6!0);
분침이 움직인 각의 크기는 30ù_2=60ù
이때 시침과 분침이 이루는 각의 크기는 60ù-5ù=55ù
따라서 부채꼴의 넓이는 p_6Û`_
=
;3°6°0;
;;Á2Á;;
p(cmÛ`)
=¨APB`:`µ BC`:`µ CA
=5`:`2`:`1
② ∠AOC=∠x
=360ù_
1
5+2+1
=45ù
③ ∠BOC=∠y
=360ù_
2
5+2+1
=90ù
④ ∠y-∠x =90ù-45ù
=45ù
△BCE에서 BEÓ=BCÓ=CEÓ이므로 △BCE는 정삼각형
이다. 즉, ∠EBC=∠ECB=60ù
개
념
탑
∠ABE =∠DCE
=90ù-60ù
=30ù
이므로
=p_6Û`_
;3£6¼0;
=3p(cmÛ`)
② (색칠한 부분의 넓이)
=(사각형 ABCD의 넓이)-{(부채꼴 ABE의 넓이)
+(부채꼴 ECD의 넓이)}
=6_6-3p_2
=36-6p(cmÛ`)
정답과 풀이 31
ⅠⅠⅠ 입체도형
1 다면체와 회전체
B
다면체의 옆면의 모양
본문 115쪽
②, ④
2 ④
다면체
1
CHECK
1 ⑴ 육각기둥, 직사각형, 팔면체
⑵ 오각뿔, 삼각형, 육면체
⑶ 삼각뿔대, 사다리꼴, 오면체
① 오각기둥 － 직사각형 ③ 삼각뿔대 － 사다리꼴
본문 114쪽
⑤ 칠각뿔 － 삼각형
2 ④ 오각뿔대의 옆면의 모양은 사다리꼴이다.
⑴ 밑면이 육각형인 각기둥이므로 육각기둥이고 각기둥의
⑵ 밑면이 오각형인 각뿔이므로 오각뿔이고 각뿔의 옆면은
옆면은 항상 직사각형이다.
∴ 육각기둥, 직사각형, 팔면체
항상 삼각형이다.
∴ 오각뿔, 삼각형, 육면체
⑶ 삼각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 자른 도형, 즉 밑면이
삼각형인 각뿔대이므로 삼각뿔대이고 각뿔대의 옆면은
항상 사다리꼴이다.
∴ 삼각뿔대, 사다리꼴, 오면체
C
다면체의 꼭짓점, 모서리, 면의 개수
본문 116쪽
v=10, e=15, f=7
3 2
4 24개
오른쪽 그림과 같은 오각뿔대에서
꼭짓점의 개수는 10개, 즉 v=10
모서리의 개수는 15개, 즉 e=15
면의 개수는 7개, 즉 f=7
3 사각뿔에서 `v=5, e=8, f=5 ∴ v-e+f=2
4 구하는 각뿔대를 n각뿔대라 하면
n각뿔대의 꼭짓점의 개수는 `2n=16 ∴ n=8
따라서 팔각뿔대이므로 모서리의 개수는 8_3=24(개)
D
조건을 만족하는 다면체 구하기
본문 116쪽
옆면의 모양이 삼각형인 다면체는 각뿔이고 구면체이므로
A
다면체의 이해
본문 115쪽
ㄱ : 육면체, ㄷ : 팔면체, ㅁ : 사면체, ㅂ : 육면체
1 ㄴ, ㄷ, ㅁ
ㄱ. 사각기둥이므로 육면체이다.
ㄷ. 두 개의 사각뿔의 밑면을 붙인 다면체로 팔면체이다.
ㅁ. 삼각뿔이므로 사면체이다.
ㅂ. 사각뿔대이므로 육면체이다.
팔각뿔
5 칠각뿔대
팔각뿔이다.
1 ㄱ. 사면체 ㄹ. 육면체 ㅂ. 육면체 ㅅ. 칠면체 ㅇ. 육면체
따라서 오면체인 것은 ㄴ, ㄷ, ㅁ이다.
5 두 밑면이 서로 평행하고 칠각형이면서 옆면의 모양이 사
다리꼴인 구면체는 칠각뿔대이다.
32 ⅠⅠⅠ . 입체도형
2
CHECK
정다면체
1 풀이 참조
본문 117쪽
정다면체의 전개도
본문 119쪽
1 ⑴ 정육면체 ⑵ 3개 ⑶ 점 M, 점 I ⑷ MLÓ
3
CHECK
2 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 다르다.
1
정사면체 정육면체 정팔면체 정십이면체 정이십면체
는 입체도형이므로 겨냥도를 그리면
(cid:34)(cid:9)(cid:46)(cid:13) (cid:42)(cid:10)
면의 모양
정삼각형 정사각형 정삼각형 정오각형 정삼각형
오른쪽 그림과 같은 정육면체이다.
합동인 정사각형 6개로 이루어져 있
개
념
탑
(cid:47)
(cid:43)(cid:9)(cid:45)(cid:10)
(cid:36)
(cid:44)
(cid:39)
(cid:37)(cid:9)(cid:35)(cid:13) (cid:41)(cid:10)
(cid:38)(cid:9)(cid:40)(cid:10)
한 꼭짓점에 모이는
면의 개수(개)
면의 개수(개)
꼭짓점의 개수(개)
모서리의 개수(개)
3
4
4
6
3
6
8
4
8
6
12
12
3
12
20
30
5
20
12
30
A
정다면체의 전개도 ⑴
⑴ 정사면체, 3 ⑵ F, DAÓ
본문 120쪽
A
정다면체의 성질
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ × ⑸ ×
본문 118쪽
1 ⑤
⑷ 면의 모양이 정삼각형인 것은 정사면체, 정팔면체, 정이
꼭짓점에 모이는 면의 개수는 3개이다.
십면체이다.
⑵ 점 A와 겹치는 꼭짓점은 점 F이고, DFÓ와 겹치는 모서
주어진 전개도로 만든 정다면체는 오른쪽
(cid:34)(cid:9)(cid:39)(cid:10)
그림과 같은 정사면체가 되므로
⑴ 정다면체의 이름은 정사면체이고, 한
(cid:37)
(cid:36)
(cid:38)(cid:9)(cid:35)(cid:10)
1 ④
⑸ 모든 면이 합동인 정삼각형이고 각 꼭짓점에 모이는 면
리는 DAÓ이다.
의 개수가 다르므로 정육면체가 아니다.
1 ④ 정십이면체`-`3개
1 주어진 전개도로 겨냥도를 그리면
오른쪽 그림과 같은 정팔면체이다.
따라서 점 A와 겹치는 꼭짓점은
(cid:34)(cid:9)(cid:42)(cid:10)
(cid:35)(cid:9)(cid:41)(cid:10)
점 I이다.
(cid:37)(cid:9)(cid:39)(cid:10)
(cid:36)(cid:9)(cid:40)(cid:10)
(cid:43)
(cid:38)
B
정다면체의 전개도 ⑵
본문 120쪽
B
조건을 만족하는 정다면체 구하기
본문 118쪽
정이십면체
2 정팔면체
모든 면이 합동인 정삼각형이고, 각 꼭짓점에 모이는 면의
개수가 5개로 같으므로 정다면체이다.
BFÓ
2 5개
따라서 위의 조건을 모두 만족하는 입체도형은 정이십면체
주어진 전개도로 정다면체를 만들면 오른
(cid:34)(cid:9)(cid:36)(cid:13)(cid:38)(cid:10)
이다.
다.
2 모든 면이 합동인 정삼각형이고, 각 꼭짓점에 모이는 면의
개수가 4개로 같으므로 정다면체이다.
따라서 위의 조건을 모두 만족하는 입체도형은 정팔면체이
쪽 그림과 같은 정사면체이므로` CDÓ와 꼬
인 위치에 있는 모서리는 BFÓ이다.
(cid:35)
(cid:39)
2 주어진 전개도로 만들어지는 정다면체는 정이십면체이므
로 한 꼭짓점에 모이는 면의 개수는 5개이다.
(cid:37)
정답과 풀이 33
회전체
4
CHECK
1 ⑴ 원기둥 ⑵ 원뿔 ⑶ 원뿔대 ⑷ 구
㈎ ACÓ ㈏ ABÓ ㈐ BCÓ
⑴ 원기둥
(cid:77)
⑵ 원뿔
(cid:77)
3 ①
본문 122쪽
C
회전축
본문 124쪽
⑶ 원뿔대
(cid:77)
⑷ 구
(cid:77)
㈎
㈏
㈐
(cid:34)
(cid:36)
(cid:34)
(cid:35)
(cid:35)
(cid:36)
(cid:35)
(cid:36)
(cid:34)
축 : ACÓ 축 : ABÓ 축 : BCÓ
3 ①
(cid:34)
(cid:35)
③
(cid:34)
(cid:37)
(cid:36)
(cid:35)
(cid:36)
(cid:37)
(cid:34)
②
(cid:37)
(cid:35) (cid:36)
④
(cid:34)
(cid:37)
(cid:35) (cid:36)
A
회전체 고르기
본문 123쪽
ㄷ, ㄹ
1 4개
ㄷ, ㄹ이다.
②
2 ⑤
ㄱ. 원뿔 ㄴ. 구 ㄷ. 사각기둥 ㄹ. 오각뿔대 ㅁ. 원기둥
따라서 회전체인 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ이고, 회전체가 아닌 것은
원뿔대
4 ②, ③
D
회전체의 단면의 모양
본문 124쪽
1 회전체는 ㄷ, ㅁ, ㅅ, ㅇ의 4개이다.
회전축에 수직인 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면이 원이고
회전축을 포함하는 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면이 두
변의 길이가 같은 사다리꼴이므로 이 회전체는 원뿔대이다.
B
평면도형을 회전시킨 입체도형의 모양
본문 123쪽
4 ② 원뿔대 - 사다리꼴 ③ 반구 - 반원
오른쪽 그림과 같이 직선 l을
(cid:77)
(cid:77)
회전축으로 하여 1회전 시
(cid:8857)
(cid:8857)
키면 평면도형이 회전축에
(단면의 넓이) =(가로의 길이)_(세로의 길이)
서 떨어져 있는 부분은 회전체의 비어 있는 부분이 된다.
=(3+3)_7=42(cmÛ`)
E
회전체의 단면의 넓이 구하기
본문 125쪽
42`cmÛ`
5 24`cmÛ`
2 오른쪽 그림과 같이 회전축을
포함하는 평면으로 자른 단면
의 모양을 그린 다음 한 쪽의
도형만 남긴다.
34 ⅠⅠⅠ . 입체도형
(cid:8857)
(cid:8857)
5 단면은 오른쪽 그림과 같으므로
_(4+8)_4
(단면의 넓이)=
;2!;
=24(cmÛ`)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:34)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:36)
F
회전체의 성질
본문 125쪽
①
②
③
④
6 ①, ③
⑤ 그릴 수 없다.
개
념
탑
④ 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면은 직
사각형, 이등변삼각형, 사다리꼴, 원 등 여러 가지이다.
2 전개도로 만든 원기둥은 오른쪽 그림과 같
으므로 회전축을 포함하는 평면으로 잘랐을
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
6 ① 생기는 회전체는 원뿔이다.
③ 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자른 단면은 모두
원이지만 합동은 아니다.
때 생기는 단면의 넓이는
(가로의 길이)_(세로의 길이)
=4_5=20(cmÛ`)
또, 회전축에 수직인 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면의 넓
이는
(밑면인 원의 넓이)=p_2Û`=4p(cmÛ`)
회전체의 전개도
5
CHECK
1 4p
본문 126쪽
옆면이 되는 직사각형의 가로의 길이는 원기둥의 밑면인
원의 둘레의 길이와 같으므로 2p_2=4p
기본 다지기 문제
본문 132~133쪽
㈎의 삼각형을 직선 l을 회전축으로 하여
따라서 면의 개수가 가장 많은 것은 ⑤이다.
A
회전체의 전개도 ⑴
본문 127쪽
원뿔, a=5, b=3
1 원뿔대, µ BC
1회전 시키면 오른쪽 그림과 같은 원뿔이
된다.
따라서 a는 원뿔의 모선의 길이이므로
a=5이고, b는 밑면인 원의 반지름의 길이이므로 b=3이다.
(cid:21)
(cid:22)
(cid:20)
1 이 회전체는 원뿔대이고 원뿔대의 밑면인 ㈎의 둘레의 길
이는 µ BC의 길이와 같다.
01 ⑤
02 ①
05 ①, ③, ⑤ 06 ③
10 ⑤
09 ⑤
03 팔면체 04 십각기둥
07 IHÓ
11 ②
08 ④
12 ④
01 다면체의 면의 개수는 각각 다음과 같다.
① 4개 ② 7개 ③ 8개 ④ 8개 ⑤ 9개
02 ① 옆면과 밑면이 수직으로 만나는 입체도형은 각기둥이다.
03 구하는 각뿔을 n각뿔이라 하면
n(n-3)
2
=14, n(n-3)=28 ∴ n=7
따라서 밑면이 칠각형인 각뿔, 즉 칠각뿔이므로 팔면체이다.
04 ㈏, ㈐에서 이 입체도형은 각기둥이다.
이 기둥을 n각기둥이라 하면 ㈎에서 십이면체이므로
B
회전체의 전개도 ⑵
본문 127쪽
n+2=12 ∴ n=10
따라서 주어진 입체도형은 십각기둥이다.
④
2 20`cmÛ`, 4p`cmÛ`
05 ①, ③, ⑤ 정삼각형 ② 정사각형 ④ 정오각형
정답과 풀이 35
07 주어진 전개도로 만든 다면체는 오
른쪽 그림과 같이 정팔면체이므로
모서리 AB와 겹치는 모서리는 IHÓ
(cid:34)(cid:9)(cid:42)(cid:10)
(cid:35)(cid:9)(cid:41)(cid:10)
1 주어진 각뿔을 n각뿔이라고 하면 모서리의 개수는 2n개이
고, 면의 개수는 (n+1)개이므로
2n=(n+1)+14 ∴ n=15
이다.
따라서 십오각뿔의 밑면의 모양은 십오각형이다.
(cid:43)
(cid:38)
(cid:37)(cid:9)(cid:39)(cid:10)
(cid:36)(cid:9)(cid:40)(cid:10)
08 주어진 전개도로 만들어지는 정다면체는 정이십면체이다.
④ 모서리의 개수는 30개이다.
2 주어진 전개도로 만들어지는 입체도형은 오른
쪽 그림과 같은 정팔면체이다.
따라서 정팔면체의 각 면의 한가운데에 있는
점을 연결하여 만든 입체도형은 꼭짓점의 개수가 8개인 정
다면체이므로 정육면체이다.
3 v-e+f=2이므로
e, f=
v=
e에서
;5@;
;3@;
;5@;
e-e+
e=
e=2 ∴ e=30
;3@;
;1Á5;
따라서 v=12, f=20이므로 구하는 다면체는 정이십면체
이다.
4 주어진 전개도로 만들어지는 정육면체에서 마주 보는 두
면에 적힌 것은 각각 a와 2, b와 3, c와 1이므로
a+2=7에서 a=5
b+3=7에서 b=4
c+1=7에서 c=6
∴ a-b+c=5-4+6=7
5 주어진 전개도로 만들어지는 정육면체를
세 점 A, B, C를 지나는 평면으로 자를 때
(cid:34)
(cid:36)
생기는 단면은 오른쪽 그림에서 △ABC이
다.
(cid:35)
이때 △ABC는 ABÓ=BCÓ=CAÓ이므로 정삼각형이다.
∴ ∠ABC=60ù
6 오른쪽 그림에서
(부채꼴의 호의 길이)
(cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
=(밑면인 원의 둘레의 길이)이므로
2p_x_
=2p_2 ∴ x=8
;3»6¼0;
(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
따라서 2p_(8+8)_
=2pr이므로
;3»6¼0;
r=4
7 주어진 원을 직선 l을 회전축으로 하여 1회전 시킬 때 생기
09
(cid:77)
(cid:77)
(cid:8857)
(cid:8857)
10 ①
②
③
④
11 ①
③
④
⑤
12 ④ 원뿔대를 회전축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단
면은 모두 원이지만 그 크기는 다를 수 있으므로 항상
합동인 것은 아니다.
실력 올리기 문제
본문 134~135쪽
1 십오각형 2 정육면체 3 정이십면체 4 7
5 60ù
8 ① 12`cm, 3`cm, 12_3=36(cmÛ`), 36
7 16p`cmÛ`
6 4
② 6`cm, p_6Û`=36p(cmÛ`), 36p
③ p
9 ① 육각뿔대 ② 8 ③ 12 ④ 96
36 ⅠⅠⅠ . 입체도형
는 회전체는 가운데가 비어 있는 도넛 모양이다.
이때 원의 중심 O를 지나면서 회전축
에 수직인 평면으로 자른 단면은 오른
쪽 그림과 같으므로
(구하는 단면의 넓이)
=(큰 원의 넓이)-(작은 원의 넓이)
=p_5Û`-p_3Û`
=25p-9p=16p(cmÛ`)
2 ⑴ (밑넓이)=
_4_3=6(cmÛ`)
;2!;
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
⑵ (옆넓이)=(3+4+5)_7=84(cmÛ`)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
⑶ (겉넓이) =(밑넓이)_2+(옆넓이)
=6_2+84=96(cmÛ`)
개
념
탑
8 ① 원기둥을 회전축을 포함하는 평면으로 잘랐을 때 생기
는 단면은 가로의 길이가 12`cm이고, 세로의 길이가
3`cm인 직사각형이므로
440`cmÜ`
1 ⑴ 300`cmÜ` ⑵ 75`cmÜ`
(단면의 넓이)=12_3=36(cmÛ`)에서 a=36
(부피)=(밑넓이)_(높이)
A
각기둥의 부피 구하기
본문 139쪽
② 원기둥을 회전축에 수직인 평면으로 잘랐을 때 생기는
단면은 반지름의 길이가 6`cm인 원이므로
(단면의 넓이)=p_6Û`=36p(cmÛ`)에서 b=36p
③
=p
;aB;
9 ① 주어진 각뿔대를 n각뿔대라 하면 모서리의 개수가 18개
이므로 3n=18 ∴ n=6
따라서 육각뿔대이다.
② 육각뿔대의 면의 개수는 6+2=8(개)이므로 x=8
③ 꼭짓점의 개수는 6_2=12(개)이므로 y=12
④ ∴ xy=8_12=96
B
각기둥의 겉넓이 구하기
본문 139쪽
=
{;2!;
_6_8+
_8_5
_10=440(cmÜ`)
;2!;
}
1 ⑴ (부피)=(밑넓이)_(높이)
=
_5_12
{;2!;
}
⑵ (부피)=(밑넓이)_(높이)
_10=300(cmÜ`)
=
[;2!;
_(4+6)_3
_5=75(cmÜ`)
]
294`cmÛ`
2 240`cmÛ`
(밑넓이)=
_(5+8)_4=26(cmÛ`)
;2!;
(옆넓이)=(5+4+8+5)_11=242(cmÛ`)
∴ (겉넓이)=26_2+242=294(cmÛ`)
2 (옆넓이) =(밑면의 둘레의 길이)_(높이)
=(4_6)_10=240(cmÛ`)
C
각기둥의 부피를 알 때 높이 구하기
본문 140쪽
정답과 풀이 37
2 입체도형의 겉넓이와 부피
1
CHECK
각기둥의 부피와 겉넓이
본문 138쪽
1 ⑴ 25`cmÛ` ⑵ 200`cmÜ``
2 ⑴ 6`cmÛ` ⑵ 84`cmÛ` ⑶ 96`cmÛ`
1 ⑴ ( ABCD의 넓이)=5_5=25(cmÛ`)
⑵ (부피) =(밑넓이)_(높이)=25_8=200(cmÜ`)
16
3 ③
A
원기둥의 부피 또는 겉넓이 구하기
본문 142쪽
324p`cmÜ`, 180p`cmÛ`
1 720p`cmÜ`
(부피 )=p_6Û`_9=324p(cmÜ`)
(겉넓이) =p_6Û`_2+2p_6_9
=72p+108p=180p(cmÛ`)
1 오른쪽 그림과 같이 밑면의 반지
름의 길이를 r`cm라 하면
2pr=12p, r=6
∴ (부피) =p_6Û`_20
=720p(cmÜ`)
(cid:18)(cid:19)(cid:76)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:19)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(부피)=(밑넓이)_(높이)이므로
{;2!;
}
_6_8
_(높이)=384 ∴ (높이)=16
_(4+8)_6=36(cmÛ`)이고 부피가
3 (밑넓이)=
108`cmÜ`이므로
;2!;
108=36x ∴ x=3
D
각기둥의 겉넓이를 알 때 높이 구하기
본문 140쪽
9`cm
4 4`cm
삼각기둥의 높이를 x`cm라 하면
(겉넓이)=
_9_12
_2+(9+12+15)_x
{;2!;
}
=108+36x=432
36x=324 ∴ x=9
따라서 삼각기둥의 높이는 9`cm이다.
4 오른쪽 그림과 같이 정육면체의 한 모
서리의 길이를 a`cm라 하면
(겉넓이) =(한 면의 넓이)_6
=aÛ`_6=6aÛ``
6aÛ`=96, aÛ`=16 ∴ a=4
따라서 한 모서리의 길이는 4`cm이다.
(cid:66)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:66)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:66)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
2
CHECK
원기둥의 부피와 겉넓이
1 ⑴ 9p`cmÛ` ⑵ 45p`cmÜ`
1 ⑴ p_3Û`=9p(cmÛ`)
⑵ 9p_5=45p(cmÜ`)
2 ⑴ p_3Û`=9p(cmÛ`)
⑵ 2p_3=6p(cm)
⑶ 6p_7=42p(cmÛ`)
⑷ 9p_2+42p=60p(cmÛ`)
38 ⅠⅠⅠ . 입체도형
B
원기둥의 부피 또는 겉넓이가 주어진 경우
본문 142쪽
`cm
;2%;
2 8
(사각기둥 모양의 수조에 담겨 있는 물의 부피)
=4_5_8=160(cmÜ`)
원기둥 모양의 수조에 담긴 물의 높이를 h`cm라 하면
본문 141쪽
(원기둥 모양의 수조에 담겨 있는 물의 부피)=64h`cmÜ`
두 수조에 담긴 물의 부피가 같으므로
2 1회전 시킬 때 생기는 입체도형은 오른
쪽 그림과 같으므로
(겉넓이) =p_5Û`_2+2p_5_h
=130p
10hp=80p ∴ h=8
;2%;
(cid:77)
(cid:73)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
2 ⑴ 9p`cmÛ` ⑵ 6p`cm ⑶ 42p`cmÛ` ⑷ 60p`cmÛ
160=64h ∴ h=
;2%;
따라서 원기둥 모양의 수조에 담긴 물의 높이는
`cm이다.
3
CHECK
복잡한 기둥의 부피와 겉넓이 본문 143쪽
1 ⑴ 12p`cmÛ` ⑵ 48p`cmÜ` ⑶ 32p`cmÛ`
⑷ 16p`cmÛ` ⑸ 72p`cmÛ`
⑴ (큰 원기둥의 밑넓이)-(작은 원기둥의 밑넓이)
=p_4Û`-p_2Û`=12p(cmÛ`)
⑵ (밑넓이)_(높이)=12p_4=48p(cmÜ`)
⑶ 2p_4_4=32p(cmÛ`)
⑷ 2p_2_4=16p(cmÛ`)
⑸ (밑넓이)_2+(큰 원기둥의 옆넓이)
+(작은 원기둥의 옆넓이)
=12p_2+32p+16p=72p(cmÛ`)
A
속이 뚫린 기둥의 부피와 겉넓이 구하기
본문 144쪽
147p`cmÜ`, 140p`cmÛ`
1 55`cmÜ`, 112`cmÛ`
(밑넓이)=p_5Û`-p_2Û`=21p(cmÛ`)
∴ (부피)=21p_7=147p(cmÜ`)
(옆넓이)=2p_5_7+2p_2_7=98p(cmÛ`)
∴ (겉넓이) =(밑넓이)_2+(옆넓이)
=21p_2+98p=140p(cmÛ`)
1 (부피)=(3_4-1_1)_5=55(cmÜ`)
(겉넓이) =(3_4-1_1)_2+14_5+4_5
=22+70+20
=112(cmÛ`)
2 ⑴ (부피)=
(겉넓이)
{
p_6Û`_
_8=192p(cmÜ`) `
;3@6$0);}
=
p_6Û`_
{
;3@6$0);}
{
_2+
6+6+2p_6_
_8
;3@6$0);}
=48p+96+64p=112p+96(cmÛ`)
⑵ (부피) =p_2Û`_4+p_7Û`_4
=16p+196p=212p(cmÜ`)
(겉넓이) =p_7Û`_2+2p_2_4+2p_7_4
개
념
탑
=98p+16p+56p
=170p(cmÛ`)
각뿔의 부피와 겉넓이
본문 145쪽
4
CHECK
1 400`cmÜ`, 360`cmÛ`
2 305`cmÛ
1 (부피)=
_(10_10)_12=400(cmÜ`)
;3!;
(밑넓이)=10_10=100(cmÛ`)
(옆넓이)=
_10_13
_4=260(cmÛ`)
{;2!;
}
∴ (겉넓이) =(밑넓이)+(옆넓이)
=100+260=360(cmÛ`)
2 (겉넓이)=(아랫면의 넓이)+(윗면의 넓이)+(옆넓이)
=10_10+5_5+
_(5+10)_6
_4
[;2!;
]
=100+25+180=305(cmÛ`)
A
각뿔의 부피와 겉넓이
본문 146쪽
B
복잡한 기둥의 부피와 겉넓이 구하기
본문 144쪽
6`cm
20p`cmÜ`, (18p+40)`cmÛ`
2 ⑴ 192p`cmÜ`, (112p+96)cmÛ
⑵ 212p`cmÜ`, 170p`cmÛ`
1 9`cm
2 42`cmÜ`, 90`cmÛ`
3 ;;¤3¢;;
`cmÜ`
_27_(높이)=54 ∴ (높이)=6`cm
;3!;
(부피)=
p_4Û`_
_5=20p(cmÜ`)
{
;3»6¼0;}
p_4Û`_
(겉넓이)=
{
;3»6¼0;}
_2+
4+4+2p_4_
{
;3»6¼0;}
_5
1 사각뿔의 높이를 h`cm라 하면
_8_6_h ∴ h=9
144=
;3!;
=8p+40+10p=18p+40(cmÛ`)
따라서 사각뿔의 높이는 9`cm이다.
정답과 풀이 39
_(6_6)_4-
_(3_3)_2=42(cmÜ`)
;3!;
2 (부피)=
;3!;
(아랫면의 넓이)+(윗면의 넓이)
=6_6+3_3=45(cmÛ`)
(옆넓이)=
_(3+6)_2.5
_4=45(cmÛ`)
[;2!;
]
∴ (겉넓이) =(아랫면의 넓이)+(윗면의 넓이)+(옆넓이)
=45+45=90(cmÛ`)
3 주어진 정사각형을 접었을 때 생기는 입
(cid:37)
체도형은 오른쪽 그림과 같다.
∴ (부피)=
_
;3!;
{;2!;
_4_4
_8
}
=
;;¤3¢;;
(cmÜ`)
(cid:39)
(cid:35)(cid:9)(cid:36)(cid:13)(cid:65)(cid:34)(cid:10)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:38)
원뿔의 부피와 겉넓이
본문 148쪽
5
CHECK
1 16p`cmÜ`, 36p`cmÛ`
2 84p`cmÜ`, 90p`cmÛ`
1 (부피)=
_p_4Û`_3=16p(cmÜ`)
(겉넓이)=p_4Û`+p_4_5=36p(cmÛ`)
2 (부피)=
_(p_6Û`)_8-
_(p_3Û`)_4
;3!;
=96p-12p=84p(cmÜ`)
;3!;
;3!;
=9p+36p+60p-15p
=90p(cmÛ`)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(겉넓이) =p_3Û`+p_6Û`+(p_6_10-p_3_5)
A
원뿔의 부피와 겉넓이 구하기
본문 149쪽
④
1 33p`cmÛ
(구하는 부피)
B
직육면체에서 잘라낸 각뿔의 부피
본문 147쪽
③
4 10
5 10`cm
6 ;3*;
정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
(삼각뿔 B-AFC의 부피)=
_
_a_a
}
{;2!;
;3!;
_a=
aÜ`,
;6!;
=(원기둥의 부피)-(원뿔의 부피)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
=p_5Û`_12-
_p_5Û`_12
;3!;
=300p-100p=200p(cmÜ`)
1 (겉넓이) =p_3Û`+2p_3_2+p_3_4
=9p+12p+12p
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(나머지 입체도형의 부피)=aÜ`-
aÜ`=
aÜ`
;6%;
;6!;
=33p(cmÛ`)
따라서 두 입체도형의 부피의 비는
aÜ`：
aÜ`=1：5
;6!;
;6%;
4
;3!;
_
{;2!;
}
_12_x
_5=100 ∴ x=10
B
원뿔의 전개도로 겉넓이 구하기
본문 149쪽
5 BCÓ=2x`cm라 하면 BMÓ=x`cm이므로
_8_x
_6=40, 8x=40 ∴ x=5
_
;3!;
{;2!;
}
∴ BCÓ=2_5=10(cm)
_
{;2!;
_4_8
_6=
_6_x
_4
}
{;2!;
}
6
;3!;
32=12x
∴ x=
;3*;
40 ⅠⅠⅠ . 입체도형
16p`cmÛ`
2 ⑴ 288p`cmÛ` ⑵ 468p`cmÛ
밑면의 반지름의 길이를` r`cm라 하면
2p_6_
=2p_r ∴ r=2
;3!6@0);
∴ (겉넓이)=p_2Û`+p_2_6=16p(cmÛ`)
2 ⑴ p_12_32-p_6_16=288p(cmÛ`)
⑵ p_6Û`+p_12Û`+288p=468p(cmÛ`)
6
CHECK
구의 부피와 겉넓이
1 ⑴ 972p`cmÜ`, 324p`cmÛ`
⑵
p`cmÜ`, 300p`cmÛ`
:ª:¼3¼:¼:
본문 150쪽
C
원기둥에 내접하는 원뿔, 구의 관계
본문 152쪽
18p`cmÜ`, 54p`cmÜ`
3 ;;Á;;¼3¼;;¼;;
p`cmÜ
개
념
탑
A
구의 부피와 겉넓이 구하기
본문 151쪽
(원뿔의 부피)=
_36p=18p(cmÜ`),
구의 반지름의 길이가 5`cm이므로 정육면체의 한 모서리
3 구의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
prÛ`_2r=2prÜ`=500p에서 rÜ`=250
(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:19)(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
⑴ (부피)=
p_9Ü`=972p(cmÜ`)
;3$;
(겉넓이)=4p_9Û`=324p(cmÛ`)
⑵ (부피)=
_
;2!;
;3$;
p_10Ü`=
2000
3
p(cmÜ`)
(겉넓이)=
_4p_10Û`+p_10Û`=300p(cmÛ`)
;2!;
p：6
1 ③
의 길이는 10`cm이다.
(구의 겉넓이)：(정육면체의 겉넓이)
=(4p_5Û`)：(6_10Û`)=p：6
1 구의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
4prÛ`=36p, rÛ`=9 ∴ r=3
∴ (부피)=
p_3Ü`=36p(cmÜ`)
;3$;
B
구의 일부를 포함하는 도형의 부피와
겉넓이 구하기
본문 151쪽
p`cmÜ`
:;@3@:$;
2 30p`cmÜ`, 33p`cmÛ`
(부피)=
p_4Ü`
_
}
=
;8&;
:;@3@:$;
p(cmÜ`)
{;3$;
2 (부피)=
;3!;
_(p_3Û`)_4+
p_3Ü`
_
}
;2!;
{;3$;
=12p+18p=30p(cmÜ`)
(겉넓이)=p_3_5+(4p_3Û`)_
;2!;
=15p+18p=33p(cmÛ`)
구의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
;3$;
prÜ`=36p, rÜ`=27에서 r=3이므로
(원뿔의 부피)=
_p_3Û`_6=18p(cmÜ`),
(원기둥의 부피)=p_3Û`_6=54p(cmÜ`)
[다른 풀이]
부피의 비는 (원뿔)：(구)：(원기둥)=1：2：3이므로
;3!;
;2!;
(원기둥의 부피)=18p_3=54p(cmÜ`)
∴ (구의 부피)=
p_rÜ`=
p_250
;3$;
;3$;
[다른 풀이]
=
1000
3
p(cmÜ`)
(구의 부피)`:`(원기둥의 부피)=2`:`3이므로
(구의 부피)`:`500p=2`:`3
∴ (구의 부피)=
p(cmÜ`)
1000
3
D
구의 부피와 겉넓이의 활용
본문 152쪽
1`cm
4 ;;ª;3%;¤;;
p`cmÜ
이므로
수면의 높이가 h`cm 더 높아졌다고 하면
(구슬의 부피)=(높아진 수면의 높이 만큼의 물의 부피)
;3$;
p_3Ü`=p_6Û`_h ∴ h=1
따라서 수면의 높이는 1`cm 더 높아진다.
정답과 풀이 41
4 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 원기둥의
높이는 4r`cm이므로
(원기둥의 부피)=p_rÛ`_4r=256p(cmÜ`), rÜ`=64
06 원기둥의 부피는 p_1Û`_2=2p(cmÜ`)이므로 a=2p
p(cmÜ`)이므로
_p_2Û`_4=
원뿔의 부피는
;3!;
:Á3¤:
∴ r=4
반지름의 길이가 4`cm인 구 1개의 부피는
;3$;
p_4Ü`=
:ª;3%;¤:
p(cmÜ`)
따라서 원기둥에 남아 있는 물의 부피는
(원기둥의 부피)-(구 2개의 부피)
=256p-2_
p=
:ª;3%;¤:
:ª;3%;¤:
p(cmÜ`)
기본 다지기 문제
본문 153~154쪽
01 ④
05 ①
02 78p`cmÛ 03 8`cm
06 ⑤
07 ⑤
04 ④
08 6
`cmÜ` 10 ⑤
11 126p`cmÜ
09 ;;£3ª;;
12 108p`cmÛ
01 정육면체의 한 모서리의 길이를 `a`cm라 하면
6_aÛ`=54, aÛ`=9 ∴ `a=3
∴ (부피)=3_3_3=27(cmÜ`)
02 주어진 전개도로 만들어지는 입체도형은 원기둥이고, 원기
둥의 밑면의 둘레의 길이가 6p`cm이므로 반지름의 길이를
r`cm라 하면
2pr=6p ∴ r=3
따라서 원기둥의 겉넓이는`
p_3Û`_2+6p_10=78p(cmÛ`)
03
;3!;
_(9_9)_(높이)=216 ∴ (높이)=8`cm
04 (겉넓이)=p_8Û`+p_8_r=136p(cmÛ`)
8pr=72p ∴ r=9
05 (부피)=(직육면체의 부피)-(밑면이 부채꼴인 기둥의 부피)
p_2Û`_
=(2_2_6)-
_6
{
;3»6¼0;}
=24-6p(cmÜ`)
42 ⅠⅠⅠ . 입체도형
b=
p
:Á3¤:
∴ a`:`b=3`:`8
07 주어진 도형을 1회전 시킬 때 생기는 입
체도형은 오른쪽 그림과 같다.
∴ (부피)
=(원기둥의 부피)+(원뿔의 부피)
(cid:19)
(cid:23)
(cid:21)
=p_4Û`_2+
_p_4Û`_4=32p+
p
;;¤3¢;;
=:Á;3^;¼:
p
;3!;
08 원뿔 모양의 그릇에 담긴 물의 부피는
_p_6Û`_8=96p(cmÜ`)
;3!;
원기둥 모양의 그릇에 담긴 물의 부피는
p_4Û`_h=16hp(cmÜ`)
두 물의 부피는 같으므로 96p=16hp
∴ h=6
09 △ABC를 밑면, 모서리 BF를 높이로 하는 삼각뿔의 부피
를 구하면 된다.
∴ (삼각뿔 B-ACF의 부피)
=
_
;3!;
{;2!;
_4_4
_4=
(cmÜ`)
}
:£3ª:
10 지름의 길이가 2`cm인 쇠구슬 16개의 부피와 지름의 길이
가 4`cm인 쇠구슬 x개의 부피가 같다고 하면
{;3$;
p_1Ü`
_16=
p_2Ü`
_x ∴ x=2
}
{;3$;
}
따라서 지름의 길이가 4`cm인 쇠구슬을 2개 만들 수 있다.
11 180ù 회전 시킨 입체도형은 오른쪽 그림과
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
=(큰 반구의 부피)-(작은 반구의 부피)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
_;2!;-
{;3$; p_3Ü`
}
_;2!;
같으므로
(부피)
=
{;3$; p_6Ü`
=144p-18p
}
=126p(cmÜ`)
12 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라
하면 3개의 구의 반지름의 길이는 r`cm로
모두 같고, 원기둥의 높이는
2r+2r+2r=6r(cm)이므로
(cid:19)(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:19)(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:19)(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(원기둥의 부피)=prÛ`_6r=162p(cmÜ`)
rÜ`=27 ∴ r=3
∴ (구 3개의 겉넓이의 합) =(4p_3Û`)_3
=108p(cmÛ`)
p_4Û`_
-p_2Û`_
;3»6¼0;
;3»6¼0;
=4p-p
=3p
개
념
탑
이므로 원뿔대의 겉넓이는
p+p+3p=
p이다.
;4!;
;;Á4¦;;
3 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
(원 O의 둘레의 길이)
=(원뿔의 밑면의 둘레의 길이)_8
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:48)
이므로
2pr=(2p_2)_8 ∴ r=16
∴ (원뿔의 겉넓이) =p_2Û`+p_2_16
=36p(cmÛ`)
4 정사각뿔의 밑면은 정사각형이므로 반구의 반
지름의 길이를 r`cm라 하면 오른쪽 그림에서
(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(정사각뿔의 밑넓이)=
_2r_2r
;2!;
=2rÛ`(cmÛ`)
3 36p`cmÛ` 4 22p`cmÜ`
이때 정사각뿔의 부피가 22`cmÜ`이므로
실력 올리기 문제
본문 155~156쪽
1 ⑤
5 2`cm
7 ① 6, 12p`cm ② 10, 12p, 216ù
2 ①
6 224p`cmÜ
③ p_10Û`_
=60p(cmÛ`), p_6Û`=36p(cmÛ`),
;3@6!0^;
60p+36p=96p(cmÛ`)
8 ① 128`cmÜ` ② 384`cmÜ` ③ 1 : 3
_2rÛ`_r=22 ∴ rÜ`=33
;3!;
∴ (반구의 부피)=
_
;2!;
;3$;
prÜ`
=
;3@;
p_33
=22p(cmÜ`)
1 주어진 도형을 1회전 시킬 때 생기는 입체
도형은 오른쪽 그림과 같다.
∴ (겉넓이) =(밑넓이)+(옆넓이)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
각형이므로
5 정육면체의 한 모서리의 길이를 a`cm라
하면 정팔면체는 정사각뿔 2개를 붙여
놓은 것과 같고 정사각뿔의 밑면은 정사
(cid:66)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:66)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
=p_5Û`+(2p_5_12
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(정사각뿔의 밑면의 넓이)=
_a_a
+p_5_13)
=25p+120p+65p
=210p(cmÛ`)
2 윗면인 원의 반지름의 길이를 r라 하면
=2p_r ∴ r=
2p_2_
;3»6¼0;
;2!;
아랫면인 원의 반지름의 길이를 r'라 하면
2p_4_
=2p_r' ∴ r'=1
;3»6¼0;
또, 정사각뿔의 높이는
`cm이므로
;2A;
(정팔면체의 부피)=(정사각뿔의 부피)_2
;2!;
aÛ`
2
=
(cmÛ`)
=
{;3!_
aÛ`
2 _;2A;}
_2
=
(cmÜ`)
aÜ`
6
따라서 윗면과 아랫면의 넓이는 각각
p, p이고 원뿔대의
;4!;
옆넓이는
따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 2`cm이다.
이때 정팔면체의 부피가
`cmÜ`이므로
;3$;
aÜ`
6
=
;3$;
, aÜ`=8 ∴ a=2
정답과 풀이 43
6 주어진 평면도형을 직선 l을 회전축
으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 회
전체는 오른쪽 그림과 같으므로
(부피)=(원뿔대의 부피)_2
(cid:77)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
8 ① 삼각기둥의 밑넓이를 △QGH, 높이를` PQÓ라 하면
V1=(밑넓이)_(높이)
-
;3!;
_(p_4Û`)_3
_2
]
② V2 =(정육면체의 부피)-V1
=
{;2!;
_GHÓ_QGÓ
_PQÓ
}
=
{;2!;
_8_4
_8
}
=128(cmÜ`)
=8_8_8-V1
=512-128
=384(cmÜ`)
③ ∴ V1`:`V2 =128`:`384
=1`:`3
=
[;3!;
_(p_8Û`)_6
=(128p-16p)_2
=112p_2
=224p(cmÜ`)
7 ① 부채꼴의 호의 길이는 2p_6=12p(cm)
② 부채꼴의 중심각의 크기를 ∠x라 하면
2p_10_
=12p ∴ ∠x=216ù
;36{0;
③ (옆넓이)=p_10Û`_
;3@6!0^;
=60p(cmÛ`)
(밑넓이) =p_6Û`
=36p(cmÛ`)
∴ (겉넓이) =60p+36p
=96p(cmÛ`)
44 ⅠⅠⅠ . 입체도형
ⅠV 통계
1 자료의 정리와 해석
줄기와 잎 그림
1
CHECK
1 ⑴ ㉠ 4, ㉡ 2, ㉢ 3 ⑵ 9 ⑶ 88점
2 ⑴ 15명 ⑵ 4명 ⑶ 30시간
2 ⑴ 4+6+3+2=15(명)
⑶ 43-13=30(시간)
A
줄기와 잎 그림의 이해
본문 161쪽
ㄷ
1 25`%
22`kg
2 40%
로 전체의
_100=40(%)이다.
;1¤5;
따라서 옳지 않은 것은 ㄷ이다.
1 기록이 14.8초보다 느린 학생은 15.1초, 15.2초, 15.4초,
15.5초의 4명이므로
_100`=25(%)이다.
;1¢6;
B
두 집단에서의 줄기와 잎 그림
본문 161쪽
2 남학생 수는 1+2+3+1=7(명), 여학생 수는
4+2+1+1=8(명)이므로 전체 학생 수는 7+8=15(명)
개
념
탑
이다.
윗몸 일으키기 횟수가 30개 이상인 학생은 32회, 33회, 34
회, 38회, 46회, 49회의 6명이므로
본문 160쪽
_100=40(%)
;1¤5;
도수분포표
2
CHECK
1 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 112.5분 ⑶ 7명
본문 162쪽
1 ⑴
사용 시간 (분)
0 이상 ~ 45 미만
학생 수 (명)
45
90
~ 90
~ 135
135
~ 180
합계
6
7
4
3
20
계급값은
=112.5(분)이다.
90+135
2
⑶ 인터넷 사용 시간이 80분인 학생이 속하는 계급은
45분 이상 90분 미만이므로 도수는 7명이다.
A
도수분포표에서의 용어
본문 163쪽
ㄴ, ㄷ
1 2개
ㄱ. 계급의 크기는 변량을 나눈 구간의 너비이다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
ㄷ. 수학 점수가 80점 미만인 학생 수는 2+4=6(명)이므
⑵ 도수가 4명인 계급은 90분 이상 135분 미만이므로
남학생 중 몸무게가 가장 많이 나가는 학생의 몸무게는
57`kg이고, 여학생 중 몸무게가 가장 적게 나가는 학생의
1 ㄴ. 계급의 개수는 보통 5~15개가 적당하다.
ㄷ. 각 계급에 속하는 도수를 조사하여 나타낸 표를 도수분
몸무게는 35`kg이다.
∴ 57-35=22(kg)
포표라 한다.
따라서 옳지 않은 것은 ㄴ, ㄷ의 2개이다.
정답과 풀이 45
B
도수분포표의 이해
본문 163쪽
③
2 ⑴ 5개 ⑵ 5 ⑶ 0권 이상 3권 미만
③ 점수가 56점인 학생 수는 알 수 없다.
2 도수가 가장 큰 계급은 35세 이상 40세 미만이므로 계급의
크기는 40-35=5(세), 그 계급의 도수는 11명이다.
따라서 직사각형의 넓이는 5_11=55이다.
2 ⑴ 계급의 개수는 5개이다.
⑵ A=30-(15+6+3+1)=5
⑶ 도수가 가장 큰 계급은 0권 이상 3권 미만이다.
③
1 35`%
A
히스토그램의 이해
본문 166쪽
C
특정 계급의 백분율 구하기
본문 164쪽
42.5`%
3 ④
숙제를 하는 시간이 20분 이상 40분 미만인 계급의 도수는
40-(9+8+2+4)=17(명)이므로
;4!0&;
_100=42.5(%)
3 A+B=25-(10+4+1)=10
즉, 허리 둘레가 70`cm 미만인 학생 수는 10명이므로
_100=40(%)
;2!5);
3
CHECK
히스토그램
1 풀이 참조
2 55
1
(명)
(cid:18)(cid:17)
(cid:25)
(cid:23)
(cid:21)
(cid:19)
(cid:17)
(cid:18)
(cid:19)
(cid:20)
(cid:21)
(cid:22)
(cid:23) (만 원)
46 ⅠV . 통계
③ 수면 시간이 8시간 이상인 학생 수는 8+4=12(명)이므
로 전체의
_100=30(%)이다.
;4!0@;
1 전체 학생 수는 20명이고 기록이 16초 미만인 학생 수는
3+4=7(명)이므로
_100=35(%)이다.
;2¦0;
B
히스토그램에서의 직사각형의 넓이
본문 166쪽
250
2 120
14명
3 60`%
계급의 크기는 5`cm이고, 도수의 총합은
4+7+12+15+9+3=50(명)이므로
각 직사각형의 넓이의 합은 5_50=250
2 도수가 가장 큰 계급의 직사각형의 넓이는 10_10=100이
고, 도수가 가장 작은 계급의 직사각형의 넓이는
본문 165쪽
10_2=20이므로 그 합은 100+20=120
C
찢어진 히스토그램
본문 167쪽
(타율이 2할 이상 2.5할 미만인 계급의 도수)
=35-(1+3+6+8+3)=14(명)
3 일별 최고 기온이 20`¾ 이상 25`¾ 미만인 계급의 도수는
30-(3+9+5+2)=11(일)
최고 기온이 20`¾ 이상인 날은 11+5+2=18(일)이므로
;3!0*;
_100=60(%)
⑴ 150 ⑵ 150
2 240
B
도수분포다각형의 넓이
본문 169쪽
개
념
탑
도수분포다각형
본문 168쪽
4
CHECK
1 풀이 참조
2 25`%
(명)
1
(cid:25)
(cid:23)
(cid:21)
(cid:19)
(cid:17)
(cid:19)
(cid:21)
(cid:23)
(cid:25)
(cid:18)(cid:17) (cid:18)(cid:19)
(시간)
2 영화를 관람한 전체 학생 수는
2+7+10+11+5+1=36(명)이고, 영화를 6편 미만
관람한 학생은 2+7=9(명)이므로 전체의
;3»6;
_100=25(%)
A
도수분포다각형의 이해
본문 169쪽
①
1 50명, 155`cm 이상 160`cm 미만
① 계급의 개수는 5개이다.
1 전체 학생 수는 3+7+10+11+10+6+3=50(명)이고,
키가 160`cm 이상 165`cm 미만인 학생이 3명, 155`cm 이
상 160`cm 미만인 학생이 6명이므로 키가 큰 쪽에서 5번째
인 학생이 속하는 계급의 계급은 155`cm 이상 160`cm 미
⑴ (직사각형의 넓이의 합) =5_(3+5+10+8+4)
=150
⑵ (도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이)
=5_30=150
2 계급의 크기는 5`m이고, 전체 도수는
3+6+8+11+9+7+4=48(명)이므로
(도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이)
=5_48=240
C
찢어진 도수분포다각형
본문 170쪽
9명
3 11가구
식사 시간이 20분 미만인 학생 수는 18명, 25분 이상인 학
생 수는 5+2+1=8(명)이므로 20분 이상 25분 미만인 학
생 수는 35-(18+8)=9(명)
3 전체 가구 수를 x가구라고 하면
=6 ∴ x=30
x_
;1ª0¼0;
따라서 쓰레기 배출량이 26`kg 이상 30`kg 미만인 가구 수는
30-(2+4+8+5)=11(가구)
상대도수
5
CHECK
2 9명
1 ⑴ 0.6 ⑵ 0.56 ⑶ A지역
1 ⑴
=0.6 ⑵
=0.56
;2!5%0);
;5@0*0);
본문 171쪽
정답과 풀이 47
만이다.
⑶ A지역이 상대적으로 남자 아기가 더 많이 태어났다.
2 (어떤 계급의 도수)=(전체 도수)_(그 계급의 상대도수)
상대도수의 분포표
본문 173쪽
6
CHECK
1 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 4만 원 이상 6만 원 미만
2 ⑴ A=0.09, B=0.25, C=1 ⑵ 30명 ⑶ 30`%
이므로
(구하는 학생 수)=50_0.18=9(명)
전체 학생 수는 2+5+7+9+8+6+3=40(명)이고 이용
B=1-(0.06+0.09+0.15+0.30+0.15)=0.25
1 ⑴
학생 수 (명) 상대도수
용돈 (만 원)
2 이상 ~ 4 미만
4
6
8
~ 6
~ 8
~ 10
합계
12
20
6
2
40
0.3
0.5
0.15
0.05
1
2 ⑴ A=
=0.09
;10(0;
C=1
⑵ 100_0.30=30(명)
⑶ (0.06+0.09+0.15)_100=30(%)
A
상대도수
0.2
1 1반
본문 172쪽
횟수가 10회 이상 12회 미만인 학생 수는 8명이므로
(상대도수)=
=0.2
;4¥0;
1 각 반의 전체 학생 수에서 안경을 낀 학생 수가 차지하는
비율은 각각
1반：
=0.45, 2반：
=0.44, 3반：
=0.4,
;4!5*;
;4!0*;
;4!8@;
;5@0@;
;4!4!;
4반：
=0.25, 5반：
=0.25
따라서 안경을 낀 학생의 비율이 가장 높은 반은 1반이다.
B
상대도수, 도수, 전체 도수
본문 172쪽
6
2 100명
3 0.26
A
상대도수의 분포표의 이해
본문 174쪽
A=4, B=8, C=0.24, D=25, E=1
1 84`%
상대도수의 총합은 항상 1이므로
E=1, D=
=25, A=25_0.16=4
7
0.28
B=25_0.32=8, C=
=0.24
;2¤5;
(전체 도수)=
=40이므로 상대도수가 0.15일 때, 그
24
0.6
계급의 도수는 40_0.15=6
1 전체 학생 수는
18
0.36
=50(명)이고,
60개 이상 90개 미만인 상대도수는
=0.28,
2 (전체 도수)=
(그 계급의 도수)
(어떤 계급의 상대도수)
=
20
0.2
=100(명)
3 (통학 시간이 1시간 이상인 남학생 수)=60_0.3=18(명)
(통학 시간이 1시간 이상인 여학생 수)=40_0.2=8(명)
(전체 학생 수)=60+40=100(명)
∴ (상대도수)=
18+8
100
=
26
100
=0.26
48 ⅠV . 통계
;5!0$;
;5!0);
90개 이상 120개 미만인 상대도수는
=0.2이므로
(0.36+0.28+0.2)_100=84(%)
[다른 풀이]
전체 학생 수는
18
0.36
학생 수는 18+14+10=42(명)이므로
=50(명)이고 30개 이상 가지고 있는
전체의
_100=84(%)
;5$0@;
B
찢어진 상대도수의 분포표
본문 174쪽
0.2
2 5명
(상
대
도
수
)
(cid:17)(cid:15)(cid:21)
(cid:17)(cid:15)(cid:20)
(cid:17)(cid:15)(cid:19)
(cid:17)(cid:15)(cid:18)
(cid:17)
(전체 도수)=
=100(명)이므로 5개 이상 10개 미만
8
0.08
(cid:22)
(cid:18)(cid:17)
(cid:18)(cid:22)
(cid:19)(cid:17)
(cid:19)(cid:22) (cid:20)(cid:17) (회)
인 계급의 상대도수는
=0.2
;1ª0¼0;
2 (전체 도수)=
3
0.12
인 학생 수는 25_0.2=5(명)
=25(명)이므로 70점 이상 80점 미만
50_0.1=5(명)이고, 맥박 수가 80회 이상 85회 미만인
2 ⑴ 맥박 수가 70회 이상 75회 미만인 계급의 상대도수는 0.2
이므로 학생 수는 50_0.2=10(명)
⑵ 맥박 수가 85회 이상 90회 미만인 학생 수는
학생 수는 50_0.3=15(명)이므로 맥박 수가 높은 쪽에
서 15번째인 학생이 속하는 계급의 상대도수는 0.3이다.
개
념
탑
C
전체 도수가 다른 두 집단의 상대도수
본문 175쪽
A
상대도수의 분포를 나타낸 그래프의 이해
본문 177쪽
여학생
3 ①
이 더 높다.
150명
1 23명
5시간 이상 7시간 미만인 학생의 상대도수는 각각
(남학생)=
=0.15, (여학생)=
=0.16이므로 여학생
;4¤0;
;5¥0;
상대도수가 두 번째로 큰 계급은 80점 이상 90점 미만이므
로 (전체 학생 수)=
=150(명)
30
0.2
3 전체 도수를 각각 2a, 3a라 하고 어떤 계급의 도수를 각각
4b, 3b라 하면 상대도수의 비는
4b
2a
：
3b
3a
=2：1
1 전체 학생 수는
10
0.2
=50(명)이고 25`m 이상 던진 학생의
상대도수가 0.26+0.14+0.06=0.46이므로
구하는 학생 수는 0.46_50=23(명)
상대도수의 분포를 나타낸 그래프 본문 176쪽
7
CHECK
1 풀이 참조
2 ⑴ 10명 ⑵ 0.3
B반
2 480명
B
전체 도수가 다른 두 집단의 비교
본문 177쪽
1 팔굽혀펴기 횟수 (회) 학생 수 (명)
상대도수
므로 B반이 더 많다.
A반은 80_0.4=32(명)이고 B반은 120_0.3=36(명)이
5 이상 ~ 10 미만
10
15
20
25
~ 15
~ 20
~ 25
~ 30
합계
2
14
16
6
2
40
0.05
0.35
0.4
0.15
0.05
1
2 (남학생 수)=
=220(명)
(여학생 수)=
=260(명)
11
0.05
39
0.15
∴ (전체 학생 수)=220+260=480(명)
정답과 풀이 49
기본 다지기 문제
본문 180~181쪽
⑤ 상대도수의 총합은 항상 1이므로 E=1
01 ④
05 ④
09 ③
02 ②
06 ②
10 ⑤
03 ③
07 ②
11 ⑤
04 ⑤
08 ③
12 ④
01 줄기 5, 6, 7, 8, 9의 잎의 개수는 각각 5개, 4개, 5개, 9개,
7개이므로 잎이 가장 많은 줄기는 8이다.
02 67점 이상 85점 미만인 학생의 점수는 67점, 74점, 77점,
78점, 79점, 79점, 80점, 81점, 82점, 82점, 83점이므로
학생 수는 11명이다.
03 A=40-(1+3+18+4)=14이므로 도수가 가장 큰 계급
은 15초 이상 17초 미만이다.
따라서 계급값은 16초이다.
04 달리기 기록이 11초 이상 15초 미만인 학생 수는
1+3=4(명)이고 11초 이상 17초 미만인 학생 수는
1+3+18=22(명)이므로 달리기 기록이 좋은 쪽에서 10번
째인 학생이 속하는 계급은 15초 이상 17초 미만이다.
따라서 이 계급의 도수는 18명이다.
06 전체 학생 수는 4+10+9+6+1=30(명)이고, 수면 시간
이 6시간 이상 8시간 미만인 학생 수는 9+6=15(명)이므로
전체의
_100=50(%)
;3!0%;
07 도수가 가장 큰 계급의 직사각형의 넓이는 1_10=10이
고, 도수가 4명인 계급의 직사각형의 넓이는 1_4=4이므
로 넓이의 차는 10-4=6
08 계급의 크기는 10분이므로 a=10
가장 작은 도수는 3명이므로 b=3
은 55분, 즉 c=55
∴ a+b+c=10+3+55=68
도수가 가장 큰 계급은 50분 이상 60분 미만이므로 계급값
09 ① A=
;5»0;
=0.18 ② B=50_0.24=12
③ C=
=0.12 ④ D=50_0.1=5
;5¤0;
50 ⅠV . 통계
10 걸린 시간이 6분 이상인 계급의 상대도수는
0.12+0.1=0.22이므로 전체의 0.22_100=22(%)이다.
11 ① 10대 남자 관람객은 150_0.12=18(명)이다.
② 20대 남자 관람객은 150_0.2=30(명), 여자 관람객은
100_0.15=15(명)이므로 20대 관람객은 전체의
30+15
150+100
_100=18(%)이다.
③ 30대 남자 관람객은 150_0.3=45(명), 여자 관람객은
④ 남자는 30대 관람객의 비율이 가장 높고, 여자는 40대
100_0.3=30(명)이다.
관람객의 비율이 가장 높다.
12 지출한 금액이 10만 원 이상인 계급의 상대도수는
0.24+0.1=0.34이므로 구하는 사람 수는
50_0.34=17(명)
실력 올리기 문제
본문 182~183쪽
1 7점
2 ②
3 32명
4 ㄴ, ㄹ
5 ①
;;¢1¼0¼;;
=40 ② 1+3+8+6+2, 20, 11, 9
③ 9, 6, 2, 17
6 ① 40명 ② 0.5 ③ 15`%
1 전체 학생 수는 5+6+6+7=24(명)이고
은 24_
전체 학생의
=6(명)
;4!;
;4!;
출전하는 학생 중에서 점수가 가장 좋은 학생은 89점, 가장
안 좋은 학생은 82점이므로 두 점수의 차는
89-82=7(점)
2 몸무게가 50`kg 이상인 학생 수는
20_;1¢0¼0;=8(명)이므로
B+3=8 ∴ B=5
∴ A=20-(2+6+5+3)=4
3 대화 시간이 60분 이상인 계급의 상대도수가 0.1이고 도수
6 ① TV 시청 시간이 40분 이상 60분 미만인 계급의 도수가
14명, 상대도수가 0.35이므로 전체 학생 수는
대화 시간이 40분 이상인 계급의 상대도수는
② 20분 이상 40분 미만인 계급의 상대도수는
개
념
탑
14
0.35
=40(명)
;4¥0;
=0.2
상대도수의 총합은 항상 1이므로 80분 이상 100분 미만
인 계급의 상대도수는
1-(0.2+0.35+0.30)=0.15
③ 따라서 시청 시간이 80분 이상 100분 미만인 계급의 학
생은 전체의 0.15_100=15(%)이다.
가 5명이므로
(전체 도수)=
=50(명)
5
0.1
0.16+0.1+0.1=0.36
따라서 대화 시간이 40분 미만인 학생 수는
50_(1-0.36)=50_0.64=32(명)
4 ㄱ. 상대도수의 그래프로는 학생 수를 알 수 없다.
ㄷ. B반이 A반보다 성적이 대체로 더 우수하다.
5 ① 모든 직사각형의 넓이의 합이 400이므로 전체 도수는
=40(편)이다.
:¢1¼0¼:
② 상영 시간이 100분 이상 120분 미만인 계급의 도수는
40-(1+3+8+6+2)=20(편)이므로 100분 이상
110분 미만인 계급의 도수는 11편이고, 110분 이상
120분 미만인 계급의 도수는 9편이다.
③ 상영 시간이 110분 이상인 영화는
9+6+2=17(편)이다.
정답과 풀이 51
학
수
중학수학
1 2
개념익힘탑
Ⅰ . 도형의 기초
1 기본 도형
2 작도와 합동
Ⅱ. 평면도형
1 다각형의 성질
2 원과 부채꼴
053
060
064
070
Ⅲ. 입체도형
1 다면체와 회전체
2 입체도형의 겉넓이와 부피
Ⅳ. 통계
1 자료의 정리와 해석
중간 모의고사
기말 모의고사
075
079
085
091
093
Ⅰ 도형의 기초
1 기본 도형
개념익힘문제
개념익힘탑 2~20쪽
03 ⑤
02 ④
06 ㄱ, ㄴ, ㄷ
09 ⑤
04 ㄱ, ㄷ
01 ㄴ
07 ①
05 ④
08 ⑤
11 ④
12 ABê, ACê, BCê / CA³, CB³ / ACÓ, CAÓ 13 ⑤
14 ③
16 30
15 ③
17 직선 1개, 반직선 4개, 선분 3개
20 14개
19 10개
10 ②
18 ③
21 ④
22 ⑴ 4 ⑵
⑶
⑷
;2!;
25 5`cm
27 ④
31 ③
36 ②
40 ①
44 ②
;4#;
24 ②
28 16`cm 29 ③
;2!;
23 풀이 참조
26 ②
30 8`cm
32 ⑴ ㄱ, ㅂ ⑵ ㄴ ⑶ ㄷ, ㅁ ⑷ ㄹ 33 ④
35 ②
37 35ù
34 ㄷ
39 18ù
41 ④
38 ⑤
43 60ù
42 30ù
45 ②
46 30ù
47 ②
48 ⑴ 40ù ⑵ 60ù ⑶ 80ù ⑷ 140ù
51 60ù
50 ⑴ 30ù ⑵ 20ù
55 ③
53 ④
58 ⑤
57 ⑴ 점 C ⑵ 4.8`cm
62 ⑤
60 ③
66 평행하다. 67 6개
64 ⑤
68 ②, ③ 69 모서리 BC, CD, DE, GH, HI, IJ
70 ⑤
71 ⑴ 한 점에서 만난다. ⑵ 평행하다.
49 90ù
52 2쌍
56 ②, ⑤
59 ④
63 ㄷ, ㄹ
61 ⑤
65 ③
54 ③
⑶ 꼬인 위치에 있다.
72 모서리 AB, AE, FG, FJ
74 모서리 BF, DH
75 11
73 3개
76 -2
개
념
익
힘
탑
78 4
82 ①, ④
86 ②, ⑤
90 ②
79 ①, ⑤
77 ⑤
80 ㄱ, ㄴ, ㄷ
81 ③
83 ②, ④ 84 ㄴ, ㄹ 85 6
89 ⑤
88 ⑤
87 ①
92 ①, ⑤ 93 ④, ⑤ 94 ③, ④
91 ②
96 ⑴ 65ù ⑵ 125ù
95 ④
100 ②
98 ③
99 ③
104 ④
102 240ù 103 ③
108 38ù
107 ①
106 ①
112 ③
110 35ù
111 92ù
114 ①, ④ 115 ③
116 ②
118 100ù 119 118ù 120 50ù
124 ③
122 100ù 123 ③
97 ④
101 ②
105 70ù
109 100ù
113 ③, ⑤
117 ②
121 ②
125 95ù
01 ㄱ, ㄹ은 교선이 모두 직선이고, ㄷ은 교선이 없다.
02 (교점의 개수)=(꼭짓점의 개수)=8개
(교선의 개수)=(모서리의 개수)=12개
(면의 개수)=6개
03 교점의 개수는 6개, 교선의 개수는 12개, 면의 개수는 8개
이므로
a=6, b=12, c=8
∴ a-b+c=6-12+8=2
04 ㄴ. 교선은 모두 8개이다.
ㄹ. 면 BCDE와 면 AED가 만나서 생기는 교선은 EDÓ이
다.
이다.
05 ④ 면과 면이 만나서 생기는 교선은 직선 또는 곡선이다.
⑤ 사각뿔에서 면의 개수는 5개, 꼭짓점의 개수는 5개이다.
06 ㄹ. 삼각뿔에서 교점의 개수는 4개, 모서리의 개수는 6개
07 ② 두 반직선이 같으려면 시작점과 방향이 모두 같아야 한다.
정답과 풀이 53
③ 두 점을 지나는 직선은 오직 하나뿐이다.
④ 직선과 반직선은 끝없이 뻗어 나가는 것이므로 그 길이
를 잴 수 없다.
⑤ 한 점을 지나는 직선은 무수히 많다.
24 ANÓ=NMÓ=
;2!;
AMÓ, AMÓ=MBÓ=
ABÓ
;2!;
∴ NMÓ=
AMÓ=
;2!;
_
;2!;
;2!;
ABÓ=
ABÓ
;4!;
=
;4!;
_8=2(cm)
08 ⑤ AB³+BA³
09 ⑤ 방향이 같아도 시작점이 다른 두 반직선은 같지 않다.
13 BA³는 점 B를 시작점으로 하여 점 A의 방향으로 가는 반
직선이므로 BCÓ를 포함하지 않는다.
14 ABê, BCê, CAê의 3개이다.
25 두 점 B, C는 각각 ACÓ, BDÓ의 중점이므로
Ó, BCÓ=CDÓ=
ABÓ=BCÓ=
ACÓ
BDÓ
;2!;
;2!;
∴ ABÓ=BCÓ=CDÓ=
ADÓ=
_15=5(cm)
;3!;
;3!;
26 ADÓ=ACÓ+CDÓ=2CDÓ+CDÓ=3CDÓ=18(cm)
∴ CDÓ=6`cm, ACÓ=2CDÓ=2_6=12(cm)
ACÓ=ABÓ+BCÓ=3BCÓ+BCÓ=4BCÓ=12(cm)
∴ BCÓ=3`cm
15 서로 다른 직선은 ABê, ACê, ADê, BCê, BDê, CDê의 6개이
다.
27 PQÓ=2MQÓ=4MNÓ=4_3=12(cm)
16 직선은 PQê, PRê, PSê, PTê, QRê, QSê, QTê, RSê, RTê, STê
의 10개이므로 a=10
반직선의 개수는 10_2=20(개)이므로 b=20
∴ a+b=30
17 직선은 ABê=ACê=BCê이므로 1개
반직선은 AB³(=AC³), BA³, BC³, CA³(=CB³)의 4개
선분은 ABÓ, ACÓ, BCÓ의 3개
18 점 D와 한 직선 위에 있는 세 점 A, B, C 중 두 점을 골라
만들 수 있는 직선은 ADê, BDê, CDê, ABê의 4개이다.
19 한 직선 위에 있는 세 점 B, C, D와 그 밖의 두 점 A, E
중 두 점을 골라 만들 수 있는 선분은 ABÓ, ACÓ, ADÓ,
AEÓ, BCÓ, BDÓ, BEÓ, CDÓ, CEÓ, DEÓ의 10개이다.
20 한 점에서 만들 수 있는 반직선은 4개씩이므로
4×5=20(개)
이 중에서 AB³=AC³=AD³, BC³=BD³, CA³=CB³,
DA³=DB³=DC³이므로 반직선의 개수는
20-(2+1+1+2)=14(개)
21 ④ PRÓ=2PQÓ
23
54 Ⅰ . 도형의 기초
또는
(cid:37)
(cid:35)
(cid:35)
(cid:37)
28 점 M은 ABÓ의 중점이므로
ABÓ=2AMÓ=2_12=24(cm)
또한, BCÓ=
ABÓ=
_24=8(cm)이고
;3!;
;3!;
BNÓ=
BCÓ=
_8=4(cm)이므로
;2!;
;2!;
MNÓ=BMÓ+BNÓ=AMÓ+BNÓ=12+4=16(cm)
29 AMÓ=MCÓ, CNÓ=NBÓ이므로
ABÓ =AMÓ+MCÓ+CNÓ+NBÓ
=2(MCÓ+CNÓ)=2_6=12(cm)
30 MBÓ=AMÓ=3`cm, BNÓ=NCÓ=5`cm
∴ MNÓ=MBÓ+BNÓ=3+5=8(cm)
31 3AOÓ=2OBÓ이므로
_ABÓ=
AOÓ=
2
2+3
;5@;
점 M이 AOÓ의 중점이므로
_20=8(cm)
AMÓ=
AOÓ=
_8=4(cm)
;2!;
;2!;
33 (예각)<(직각)<(둔각)<(평각)이므로
크기가 작은 것부터 차례로 나열하면 ㄴ, ㄱ, ㄹ, ㄷ이다.
34 ㄱ.
(cid:18)(cid:19)
(cid:18)(cid:18)
(cid:18)(cid:19)
(cid:18)
(cid:18)(cid:18)
(cid:18)(cid:19)
(cid:18)
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(cid:21)
(cid:25)
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(cid:23)
(cid:22)
(cid:24)
(cid:23)
(cid:22)
(cid:24)
(cid:23)
(cid:22)
(cid:23)
ㄷ.
(cid:19)
(cid:21)
(cid:19)
(cid:21)
(cid:18)
(cid:20)
(cid:22)
(cid:19)
(cid:21)
ㄹ.
(cid:18)(cid:19)
(cid:18)(cid:18)
(cid:18)(cid:19)
(cid:18)
(cid:18)(cid:18)
(cid:18)(cid:19)
(cid:18)
(cid:18)(cid:18)
(cid:18)(cid:19)
(cid:18)
(cid:18)(cid:18)
(cid:18)(cid:17)
(cid:18)(cid:17)
(cid:18)(cid:17)
(cid:19)
(cid:18)(cid:17)
(cid:19)
(cid:21)
(cid:19)
(cid:21)
(cid:18)
(cid:20)
(cid:22)
(cid:19)
(cid:21)
(cid:20)
(cid:19)
(cid:21)
(cid:19)
(cid:21)
(cid:18)
(cid:20)
(cid:22)
(cid:19)
(cid:21)
ㄴ.
(cid:19)
(cid:21)
(cid:19)
(cid:21)
(cid:18)
(cid:20)
(cid:22)
(cid:19)
(cid:21)
(cid:37)
(cid:37)
(cid:34)
(cid:34)
(cid:38)
(cid:38)
(cid:36)
(cid:36)
(cid:34)
(cid:34)
(cid:36)
(cid:36)
(cid:38)
(cid:38)
(cid:35)
(cid:35)
예각
예각
둔각
직각
35 ∠BOC+40ù=90ù ∴ ∠BOC=50ù
∠BOC+∠x=90ù, 50ù+∠x=90ù ∴ ∠x=40ù
∠y=
_180ù=36ù
2
3+2+5
36 ∠x+(3∠x+10ù)=90ù이므로
4∠x=80ù ∴ ∠x=20ù
37 (∠x+30ù)+(2∠x+10ù)+∠x=180ù
4∠x=140ù ∴ ∠x=35ù
38 ∠AOB+∠BOC=90ù, ∠BOC+∠COD=90ù
두 식을 변끼리 더하면
∠AOB+∠COD+2∠BOC=180ù
50ù+2∠BOC=180ù, 2∠BOC=130ù
∴ ∠BOC=65ù
39 ∠x+2∠x+3∠x+4∠x=180ù
10∠x=180ù ∴ ∠x=18ù
40 25ù+∠x=90ù ∴ ∠x=65ù
60ù+90ù+∠y=180ù ∴ ∠y=30ù
∴ ∠x-∠y=65ù-30ù=35ù
41 ∠BOD=∠BOC+∠COD
(∠AOC+∠COE)
=
_180ù=90ù
;2!;
=
;2!;
42 ∠AOC+∠COD+∠DOB=180ù
∠AOC+90ù+2∠AOC=180ù
3∠AOC=90ù ∴ ∠AOC=30ù
43 ∠AOD=4∠COD에서 ∠AOC=3∠COD이므로
90ù=3∠COD ∴ ∠COD=30ù
∠DOB=60ù이므로
∠DOE=
∠DOB=
_60ù=30ù
;2!;
;2!;
∴ ∠COE=∠COD+∠DOE=30ù+30ù=60ù
개
념
익
힘
탑
46 ∠x+∠y+∠z=180ù이고
∠x`:`∠y`:`∠z=2`:`7`:`3이므로
∠x=
_180ù=30ù
2
2+7+3
47 ∠a`:`∠b=2`:`3, ∠a`:`∠c=1`:`2이므로
∠a`:`∠b`:`∠c=2`:`3`:`4
∠a+∠b+∠c=180ù이고
∠a`:`∠b`:`∠c=2`:`3`:`4이므로
∠a=
_180ù=
_180ù=40ù
;9@;
2
2+3+4
49 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로
2∠x-40ù=∠x+50ù
∴ ∠x=90ù
50 ⑴ (∠x+50ù)+∠x+(2∠x+10ù)=180ù
4∠x+60ù=180ù, 4∠x=120ù ∴ ∠x=30ù
⑵ 2∠x+(∠x+30ù)=90ù, 3∠x=60ù ∴ ∠x=20ù
51 ∠a+∠b+∠c=180ù이므로
2
_180ù=60ù
∠b=
3+2+1
52 ∠AOB와 ∠COD, ∠AOD와 ∠COB의 2쌍이다.
53 ∠AOB와 ∠DOE, ∠BOC와 ∠EOF,
∠COD와 ∠AOF, ∠AOC와 ∠DOF,
∠BOD와 ∠AOE, ∠BOF와 ∠COE의 6쌍이다.
[다른 풀이]
3_(3-1)=6(쌍)
54 (맞꼭지각의 쌍의 개수)=4×(4-1)=12(쌍)
44 ∠COE
=∠COD+∠DOE
=
∠AOD+
∠BOD
;4!;
;4!;
;4!;
;4!;
=
∠AOB=
_180ù=45ù
45 ∠x+∠y+∠z=180ù이고
∠x`:`∠y`:`∠z=3`:`2`:`5이므로
(cid:38)
(cid:37)
(cid:36)
PCÓ이다.
55 점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발 C까지의 거리이므로
(cid:34)
(cid:48)
(cid:35)
56 ② BCÓ⊥CDÓ
⑤ 점 A와 CDÓ 사이의 거리를 나타내는 선분은 BCÓ이다.
57 ⑵ 점 C와 ABÓ 사이의 거리는 점 C에서 ABÓ에 내린 수선
의 발 H까지의 거리이므로 4.8`cm이다.
정답과 풀이 55
58 ∠y=30ù
∠x=∠BOD-30ù=90ù-30ù=60ù
∴ ∠x-∠y=60ù-30ù=30ù
59 ∠y=∠x+90ù이므로 ∠y-∠x=90ù
60 ∠AOD=90ù이므로 (∠x+15ù)+30ù=90ù
∴ ∠x=45ù
75 모서리 BC와 한 점에서 만나는 모서리는 모서리 AB,
DC, BF, CG이므로 a=4
모서리 AD에 평행한 모서리는 모서리 BC, FG, EH이므
모서리 DH와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AB,
로 b=3
EF, BC, FG이므로 c=4
∴ a+b+c=4+3+4=11
∠y-25ù=90ù+30ù=120ù이므로 ∠y=145ù
76 모서리 BC와 평행한 모서리는 모서리 AD, EH, FG의 3
∴ ∠y-∠x=145ù-45ù=100ù
개이므로 a=3
61 ⑤ 직선 l은 두 점 A, C를 지나고 두 점 B, D를 지나지 않
CG, EH, HG, FG의 5개이므로 b=5
는다.
∴ a-b=3-5=-2
모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 DH,
62 ⑤ 점 D는 직선 l 위에 있고, 직선 m 위에 있지 않다.
63 ㄱ. 직선 l 위에 있지 않은 점은 점 C, D, E의 3개이다.
ㄴ. 세 점 A, B, E가 평면 P 위에 있다.
64 ④ 서로 직교하는 경우는 한 점에서 만나는 특수한 경우이다.
⑤ 한 평면 위에 있는 두 직선은 평행하거나 만난다.
65 ③ 점 A는 CDê 위에 있지 않다.
66 l⊥m, m⊥n이므로 오른쪽 그림과 같이
나타낼 수 있다.
(cid:77)
(cid:79)
따라서 두 직선 l과 n은 평행하다.
(cid:78)
즉, ln
67 ABê와 한 점에서 만나는 직선은 BCê, CDê, DEê, FGê, GHê,
AHê의 6개이다.
BC, BE이다.
68 모서리 DF와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AB,
EI이다.
70 모서리 BG와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AE,
AD, EF, EH, DH의 5개이다.
72 모서리 AF와 수직으로 만나는 모서리는 모서리 AB, AE,
FG, FJ이다.
73 모서리 BC와 평행한 모서리는 모서리 AD, FG, EH의 3
개이다.
56 Ⅰ . 도형의 기초
77 주어진 전개도로 만든 정육면체는
오른쪽 그림과 같으므로 모서리
BC와 꼬인 위치에 있는 모서리는
모서리 NK이다.
(cid:34)(cid:9)(cid:46)(cid:13)(cid:65)(cid:42)(cid:10)
(cid:45)(cid:9)(cid:43)(cid:10)
(cid:35)(cid:9)(cid:37)(cid:13)(cid:65)(cid:41)(cid:10)
(cid:47)
(cid:36)
(cid:38)(cid:9)(cid:40)(cid:10)
(cid:44)
(cid:39)
78 주어진 전개도로 만든 삼각기둥은 오른쪽
그림과 같으므로 모서리 AB와 평행한 모
서리는 모서리 JC, HE의 2개이므로
a=2
(cid:43)
(cid:36)
(cid:34)(cid:9)(cid:42)(cid:13)(cid:65)(cid:40)(cid:10)
(cid:41)
(cid:38)
(cid:35)(cid:9)(cid:37)(cid:13)(cid:65)(cid:39)(cid:10)
모서리 HE와 꼬인 위치에 있는 모서리는
모서리 JI(=AJ), CD(=BC)의 2개이므로 b=2
∴ a+b=2+2=4
79 주어진 전개도로 만든 정팔면체는 오
(cid:41)
른쪽 그림과 같으므로
(cid:34)
(cid:43)
(cid:42)
(cid:40)
(cid:35)
모서리 AJ와 꼬인 위치에 있는 모서
(cid:37)
리는 모서리 BD, CD(=DE), FI,
(cid:38)
(cid:39)
(cid:36)
(cid:35)(cid:9)(cid:39)(cid:10)
(cid:34)(cid:9)(cid:40)(cid:10)
(cid:36)(cid:9)(cid:38)(cid:10)
(cid:43)(cid:9)(cid:41)(cid:10)
(cid:42)
(cid:37)
① 모서리 AJ와 모서리 BC는 평행하다.
⑤ 모서리 AJ와 모서리 GI는 한 점에서 만난다.
80 ㄹ. 공간에서 만나지 않는 두 직선은 평행하거나 꼬인 위
치에 있다.
81 ① 한 직선에 수직인 서로 다른 두 직선은 한 점에서 만나
거나 평행하거나 꼬인 위치에 있다.
② 서로 다른 두 직선이 만나지 않으면 평행하거나 꼬인
위치에 있다.
④ 꼬인 위치에 있는 두 직선을 포함하는 평면은 없다.
⑤ 한 직선과 꼬인 위치에 있는 서로 다른 두 직선은 평행
91 오른쪽 그림과 같이 수직으로 만난다.
즉, PQ, P⊥R이면 Q⊥R이다.
하거나 한 점에서 만나거나 꼬인 위치에 있다.
(cid:49)
(cid:50)
(cid:51)
82 ① 공간에서 서로 만나지 않는 두 직선은 평행하거나 꼬인
위치에 있다.
92 ② 한 평면에 평행한 서로 다른 두 직선은 평행하거나 한
점에서 만나거나 꼬인 위치에 있다.
④ 꼬인 위치에 있는 두 직선은 한 평면 위에 있지 않다.
③ 한 직선에 수직인 서로 다른 두 직선은 평행하거나 한
83 ① 면 BGFA, 면 AFJE, 면 DIJE의 3개이다.
③ 모서리 CD는 면 CHID에 포함된다.
⑤ 모서리 AE는 면 FGHIJ와 평행하다.
84 ㄱ. 면 BFGC와 수직인 모서리는 ABÓ, CDÓ, EFÓ, GHÓ의
4개이다.
ㄴ. 점 A와 EFÓ를 포함하는 면은 면 ABFE이다.
ㄷ. BDÓ와 평행한 면은 면 EFGH이다.
ㄹ. CGÓ와 수직인 면은 면 ABCD, 면 EFGH의 2개이다.
85 면 ABC에 포함되는 모서리는 모서리 AB, BC, CA의 3
면 DEF와 수직인 모서리는 모서리 AD, BE, CF의 3개
개이므로 a=3
이므로 b=3
∴ a+b=3+3=6
86 주어진 전개도로 만든 삼각기둥은 오른쪽
그림과 같다.
② 모서리 BC는 면 CDE에 포함된다.
⑤ 모서리 HE는 면 CDE와 수직이다.
(cid:43)
(cid:36)
(cid:34)(cid:9)(cid:42)(cid:13)(cid:65)(cid:40)(cid:10)
(cid:41)
(cid:38)
(cid:35)(cid:9)(cid:37)(cid:13)(cid:65)(cid:39)(cid:10)
개
념
익
힘
탑
점에서 만나거나 꼬인 위치에 있다.
④ 한 평면에 수직인 서로 다른 두 평면은 평행하거나 한
직선에서 만난다.
94 ① lP, mP이면 오
른쪽 그림과 같이 두
(cid:77) (cid:78)
(cid:77)
(cid:77)
(cid:78)
직선 l, m은 평행하
(cid:49)
(cid:49)
(cid:49)
거나 한 점에서 만나거나 꼬인 위치에 있다.
② lP, m⊥P이면 오른쪽 그림과
같이 두 직선 l, m은 한 점에서 만
나거나 꼬인 위치에 있다.
⑤ P⊥Q, Q⊥R이면 오른쪽 그림과
같이 두 평면 P, R는 평행하거나
(cid:77)
(cid:78)
(cid:49)
(cid:51)
(cid:49)
(cid:50)
한 직선에서 만난다.
(cid:78)
(cid:77)
(cid:78)
(cid:49)
(cid:51)
(cid:49)
(cid:50)
95 ① ∠a의 동위각은 ∠e이고, ∠a의 엇각은 존재하지 않는
다.
② ∠d의 엇각은 존재하지 않는다.
③ ∠b의 동위각은 ∠f이다.
⑤ ∠b의 엇각은 ∠h이다.
96 ⑵ 180ù-55ù=125ù
87 면 CGHD와 평행한 모서리는 모서리 BF, AE의 2개이다.
97 ④ ∠b의 동위각의 크기는 30ù이다.
88 ① 면 AEF, 면 DHG, 면 AEHD의 3개
② 모서리 EH의 1개
③ 모서리 EH, DH, GH의 3개
④ 모서리 DH, DG, GH의 3개
⑤ 면 AFE에 수직인 모서리는 모서리 AD, EH, FG의
3개이다.
98 두 직선 m, n이 다른 한 직선 l과 만나서 생기는 각 중에
서 ∠d의 동위각은 ∠r이고,
두 직선 l, n이 다른 한 직선 m과 만나서 생기는 각 중에
서 ∠d의 동위각은 ∠h이다.
100 오른쪽 그림과 같이 ∠a의
모든 동위각의 합은
95ù+60ù=155ù
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177) (cid:26)(cid:22)(cid:177)
(cid:66)
(cid:26)(cid:22)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
89 주어진 전개도로 만든 정육면체는
오른쪽 그림과 같다.
⑤ 면 ABCN과 면 KHIJ는 평행하다.
(cid:43)(cid:9)(cid:39)(cid:13)(cid:65)(cid:45)(cid:10)
(cid:34)(cid:9)(cid:38)(cid:13)(cid:65)(cid:46)(cid:10)
(cid:42)(cid:9)(cid:40)(cid:10)
(cid:35)(cid:9)(cid:37)(cid:10)
(cid:44)
(cid:41)
(cid:47)
(cid:36)
101 lm이므로
∠x=70ù(엇각), ∠y=110ù(동위각)
∴ ∠x+∠y=70ù+110ù=180ù
정답과 풀이 57
∴ ∠x+∠y=140ù+70ù=210ù
(cid:89)
112 ③ 동위각의 크기가 같지 않으므로 두 직선 l과 m은 평
102 오른쪽 그림에서 lm이므로
∠a=∠c=180ù-60ù=120ù(동위각)
∠b=∠a=120ù(맞꼭지각)
∴ ∠a+∠b=120ù+120ù=240ù
103 오른쪽 그림에서 nk이므로
∠a+75ù=180ù ∴ ∠a=105ù
(cid:76)
(cid:79)
(cid:77)
(cid:24)(cid:22)(cid:177)
(cid:78)
lm이므로
∠b=75ù(동위각)
∴ ∠a-∠b=105ù-75ù=30ù
104 ∠x=180ù-40ù=140ù
∠y=70ù(동위각)
105 오른쪽 그림과 같이 ∠x의 동위각의
크기가 70ù+∠y이므로
∠x=70ù+∠y
∴ ∠x-∠y=70ù
106 오른쪽 그림에서 lmn이므로
∠x=100ù(엇각)
∠z=100ù(동위각)이므로
∠y=180ù-100ù=80ù
∴ ∠x-∠y=100ù-80ù=20ù
107 오른쪽 그림에서 lm이므로
125ù+∠x=180ù ∴ ∠x=55ù
nk이므로
∠y+50ù+60ù=180ù
∴ ∠y=70ù
∴ ∠x+∠y=55ù+70ù=125ù
108 오른쪽 그림에서 삼각형의 내각의
크기의 합은 180ù이므로
(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:177)
∠x =180ù-(72ù+70ù)=38ù
109 ∠x=40ù+60ù=100ù
58 Ⅰ . 도형의 기초
(cid:77)
(cid:78)
(cid:78)
(cid:77)
(cid:78)
(cid:77)
(cid:78)
(cid:79)
(cid:77)
(cid:79)
(cid:78)
(cid:76)
(cid:77)
(cid:78)
(cid:68)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:66)
(cid:67)
(cid:24)(cid:22)(cid:177)
(cid:66)
(cid:67)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:77)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:90)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:90)
(cid:90)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:17)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:90)
(cid:91)
(cid:18)(cid:19)(cid:22)(cid:177)
(cid:89)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:90)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:90)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:24)(cid:19)(cid:177)
(cid:89)
(cid:77)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
110 오른쪽 그림에서 삼각형의 세 내각
의 크기의 합은 180ù이므로
40ù+(2∠x+25ù)+(∠x+10ù)
(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:17)(cid:177)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:17)(cid:177)
(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:22)(cid:177)
(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:22)(cid:177)
=180ù
3∠x=105ù ∴ ∠x=35ù
111 오른쪽 그림에서 lm이고,
정삼각형 ABC의 한 내각의 크기
(cid:90)
(cid:35)
(cid:34)
(cid:89)
(cid:77)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
는 60ù이므로
∠x=46ù+60ù=106ù(엇각)
∠y+60ù+∠x=180ù이므로
(cid:21)(cid:23)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:36)
∠y+60ù+106ù=180ù ∴ ∠y=14ù
∴ ∠x-∠y=106ù-14ù=92ù
행하지 않다.
113 두 직선 l, m에서 180ù-102ù=78ù
즉, 동위각의 크기가 78ù로 같으므로 mn이다.
또 두 직선 p, q에서 엇각의 크기가 78ù로 같으므로
114 오른쪽 그림과 같이
① 엇각의 크기가 140ù로 같으므
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:26)(cid:22)(cid:177)
(cid:18)(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:25)(cid:22)(cid:177)
(cid:18)(cid:21)(cid:17)(cid:177)
④ 동위각의 크기가 85ù로 같으
(cid:25)(cid:22)(cid:177)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
pq이다.
로 ac
므로 bd
115 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l,
m에 평행한 직선 n을 그으면
∠x=40ù+70ù=110ù
116 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l,
m에 평행한 직선 n을 그으면
95ù=60ù+∠x ∴ ∠x=35ù
117 오른쪽 그림과 같이 점 C를 지나
고 두 직선 l, m에 평행한 직선
(cid:34)
n을 그으면
∠ACB=•+×
△ABC에서
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:177)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:26)(cid:22)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:89)
(cid:37)
(cid:36)
(cid:38)
(cid:35)
(cid:77)
(cid:78)
(cid:78)
(cid:66)
(cid:67)
(cid:68)
(cid:69)
(cid:77)
(cid:79)
(cid:78)
(cid:77)
(cid:79)
(cid:78)
(cid:77)
(cid:79)
(cid:78)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:78)
∴ ∠ACB=60ù
3•+3×=180ù ∴ •+×=60ù
120 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l,
m에 평행한 두 직선 n, p를 그
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:17)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:18)(cid:17)(cid:17)(cid:177)
01 오각뿔에서 교점의 개수는 꼭짓점의 개수와 같으므로 6개,
교선의 개수는 모서리의 개수와 같으므로 10개이다.
118 오른쪽 그림과 같이
∠x=60ù+40ù=100ù
119 오른쪽 그림과 같이
∠x=92ù+26ù=118ù
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:25)(cid:25)(cid:177)
(cid:20)(cid:19)(cid:177)
(cid:20)(cid:19)(cid:177)
(cid:25)(cid:25)(cid:177)
(cid:26)(cid:19)(cid:177)
(cid:89)
(cid:19)(cid:23)(cid:177)
(cid:19)(cid:23)(cid:177)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:77)
(cid:78)
(cid:77)
(cid:78)
(cid:77)
(cid:79)
(cid:81)
(cid:78)
(cid:77)
(cid:79)
(cid:81)
(cid:78)
(cid:37)
(cid:36)
(cid:37)
(cid:36)
으면
30ù+∠x+100ù=180ù
∴ ∠x=50ù
121 오른쪽 그림에서 두 직선 l, m에
평행한 두 직선 n, p를 그으면
∠x+∠y =180ù+25ù+40ù
=245ù
(cid:19)(cid:22)(cid:177)
(cid:89)
(cid:90)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:19)(cid:22)(cid:177)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
122 오른쪽 그림에서
∠EGF=180ù-130ù=50ù
이고
(cid:34)
(cid:35)
(cid:38)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:39)
(cid:18)(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:40)
∠DEG=∠EGF=50ù(엇각)
∠FEG=∠DEG=50ù(접은 각)
∠x=∠DEF(엇각)이므로 ∠x=50ù+50ù=100ù
123 오른쪽 그림에서
∠EFG=180ù-115ù=65ù
∠FGC=∠EFG=65ù(엇각)
∠EGF=∠FGC=65ù(접은 각)
(cid:34)
(cid:35)
(cid:38)
(cid:89)
(cid:39)
(cid:18)(cid:18)(cid:22)(cid:177)
(cid:40)
△EGF에서 ∠x=180ù-(65ù+65ù)=50ù
124 오른쪽 그림에서
(180ù-50ù)=65ù
;2!;
180ù-(90ù+65ù)=25ù
∴ ∠x=90ù-(25ù+25ù)=40ù
125 오른쪽 그림에서
2∠y=60ù ∴ ∠y=30ù
2∠y+70ù=2∠x
2∠x=2_30ù+70ù=130ù
∴ ∠x=65ù
∴ ∠x+∠y=65ù+30ù=95ù
(cid:89)
(cid:19)(cid:22)(cid:177)
(cid:19)(cid:22)(cid:177)
(cid:23)(cid:22)(cid:177)
(cid:23)(cid:22)(cid:177)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:90)
(cid:90)
실전연습문제
개념익힘탑 21~22쪽
01 ④
05 ⑤
09 ③
13 ②
02 ④
06 ③
10 10
14 40ù
03 ③
07 ⑤
11 ⑤
04 ⑤
08 ④, ⑤
12 ③
개
념
익
힘
탑
따라서 교점과 교선의 개수의 합은 6+10=16(개)
02 ④ CB³와 CD³는 시작점은 같으나 방향이 다르므로 같지 않
다.
03 AMÓ=MBÓ=
;2!;
ABÓ=
_16=8(cm)
;2!;
NMÓ=
AMÓ=
_8=4(cm)
;2!;
;2!;
∴ NBÓ=NMÓ+MBÓ=4+8=12(cm)
04 ∠AOC+∠COD+∠DOE+∠EOB=180ù이므로
2∠COD+∠COD+∠DOE+2∠DOE=180ù
3(∠COD+∠DOE)=180ù
∴ ∠COD+∠DOE=60ù
∴ ∠COE=∠COD+∠DOE=60ù
05 ∠AOC의 맞꼭지각은 ∠DOF이므로
∠DOF=∠DOE+∠EOF=70ù+30ù=100ù
06 ③ AOÓ=BOÓ인지 아닌지 알 수 없다.
07 ⑤ 두 점 P, S는 직선 m 위에 있지 않다.
08 ④, ⑤ 꼬인 위치에 있는 두 직선, 한 직선 위에 있는 세 점
은 한 평면을 결정할 수 없다.
09 점 D와 면 BFGC 사이의 거리는 CDÓ=5`cm
10 모서리 AB와 수직으로 만나는 모서리는 모서리 AF, BG
이므로 a=2
모서리 AB와 평행한 모서리는 모서리 FG이므로 b=1
모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 CH,
DI, EJ, GH, HI, IJ, JF이므로 c=7
∴ a+b+c=2+1+7=10
정답과 풀이 59
11 ① ∠a의 동위각은 ∠d=105ù
② ∠e의 동위각은 ∠b=95ù
③ ∠b의 동위각은 ∠e=180ù-105ù=75ù
④ ∠c의 엇각은 ∠d=105ù
⑤ ∠d의 엇각은 ∠c이므로 ∠c=180ù-95ù=85ù
12 ∠x=60ù(엇각), ∠x+∠y=100ù(엇각)이므로
∠y=100ù-∠x=40ù
∴ ∠x-∠y=60ù-40ù=20ù
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:26)(cid:17)(cid:177)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:77)
(cid:79)
(cid:81)
(cid:78)
(cid:37)
(cid:38)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:24)(cid:17)(cid:177)
(cid:40)
(cid:34)
(cid:35)
(cid:39)
(cid:36)
13 오른쪽 그림에서 두 직선 l, m에
평행한 두 직선 n, p를 그으면
∠x=20ù
14 오른쪽 그림에서
∠GEF=∠DEF(접은 각)
이므로
∠AEG+2_70ù=180ù
∴ ∠AEG=40ù
∴ ∠EGF=∠AEG=40ù(엇각)
60 Ⅰ . 도형의 기초
2 작도와 합동
개념익힘문제
개념익힘탑 23~30쪽
14 ⑤
03 ㄱ
13 ⑤
08 ④
12 ④
16 ⑴ ⑵ × ⑶ ⑷ ×
02 ④
05 ㉡ → ㉤ → ㉠ → ㉥ → ㉢ → ㉣
01 ㉢ → ㉠ → ㉡
04 ③
06 ⑴ ACÓ ⑵ ∠C
07 ⑴ 12`cm ⑵ 30ù ⑶ 90ù
09 ⑴ × ⑵ × ⑶ ⑷ ⑸ × 10 ①, ④
11 3개
15 ②
17 ②, ④ 18 ③
21 3개
20 ①
24 ⑤
23 ②
27 12`cm 28 ④
26 75ù
30 ㄴ, ㄷ 31 ㄴ, ㄷ, ㄹ
32 △ABDª△ACD, SSS 합동
34 ①
36 SAS 합동
39 ④
40 △ABOª△DCO, △ABCª△DCB,
19 ㄱ, ㄹ, ㅁ
22 풀이 참조
25 풀이 참조
35 BCÓ, ∠ABD, 60, SAS
37 ③
38 ⑤
33 ③
29 ③
△ABDª△DCA
41 △DCB, BCÓ, ∠DBC, ∠DCB, △DCB, ASA
42 ㄱ, ㄹ, ㅂ
44 △CEM, ASA 합동 45 풀이 참조
46 ④
43 ③
03 ㄴ. 눈금 없는 자와 컴퍼스가 사용된다.
ㄷ. 작도 순서는 ㉥ → ㉤ → ㉡ → ㉣ → ㉢ → ㉠이다.
04 ACÓ=ABÓ=PRÓ=PQÓ, BCÓ=QRÓ
08 BCÓ의 대각은 ∠A이다.
09 ⑴ 1+4=5<7 (×)
(×)
⑵ 3+3=6
⑶ 6+8=14>9 ()
⑷ 9+9=18>9 ()
⑸ 5+6=11<15 (×)
10 ① 3+8=11<12이므로 만들수 없다.
② 2+3=5>4
③ 7+7=14>12
④ 2+4=6이므로 만들수 없다.
⑤ 5+7=12>10
11 (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (1, 3, 5),
(1, 4, 5), (2, 3, 4), (2, 3, 5), (2, 4, 5), (3, 4, 5)
(가장 긴 변의 길이)<(다른 두 변의 길이의 합)을 만족
하는 것을 고르면 (2, 3, 4), (2, 4, 5), (3, 4, 5)의 3개
중에서
이다.
12 가장 긴 변의 길이가 x일 때, x<3+4 ∴ x<7
가장 긴 변의 길이가 4일 때, 4<x+3 ∴ x>1
따라서 x의 값의 범위는 1<x<7
13 가장 긴 변의 길이가 a일 때, a<4+7 ∴ a<11
가장 긴 변의 길이가 7일 때, 7<4+a ∴ a>3
따라서 a의 값의 범위는 3<a<11
14 변의 길이는 양수이므로 x-3>0 ∴ x>3
가장 긴 변의 길이는 x+4이므로
x+4<(x-3)+(x+2) ∴ x>5
따라서 x의 값의 범위는 x>5
15 ② c
④ 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어졌으므로
△ABC가 하나로 결정된다.
⑤ ∠A+∠B=180ù이므로 △ABC를 만들 수 없다.
18 ① 4+5<10이므로 삼각형을 만들 수 없다.
② 무수히 많은 삼각형이 만들어진다.
③ ∠B =180ù-(∠A+∠C)=180ù-(30ù+110ù)=40ù
따라서 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어졌으
므로 삼각형이 하나로 결정된다.
④, ⑤ ∠B가 주어진 두 변의 끼인각이 아니다.
개
념
익
힘
탑
19 ㄱ. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어졌으므로 삼
각형이 하나로 결정된다.
ㄹ, ㅁ. 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어졌으므
로 삼각형이 하나로 결정된다.
20 ① ∠A+∠B=120ù+90ù=210ù
삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 삼각형을
만들 수 없다.
21 나머지 한 각의 크기는 180ù-(40ù+60ù)=80ù
한변의 길이가 7`cm이고, 그 양 끝 각의 크기가 40ù, 60ù
또는 40ù, 80ù 또는 60ù, 80ù인 3개의 삼각형이 결정된다.
22 다음의 예와 같이 네 변의 길이가 주어진 사각형은 하나로
결정되지 않는다.
`
23 ② 오른쪽 그림의 두 삼각형은 넓
이가 같지만 합동은 아니다.
(cid:19)
(cid:20)
16 ⑵, ⑷ 두 변의 길이와 주어진 각이 그 끼인각이 아니므로
△ABC를 하나로 작도할 수 없다.
합동이다.
24 ⑤ 중심각의 크기와 반지름의 길이가 같아야 두 부채꼴은
17 ① 세 변의 길이가 주어졌지만 8>2+5이므로 △ABC를
만들 수 없다.
② 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어졌으므로
△ABC가 하나로 결정된다.
③ BCÓ=5`cm이고 ∠B=90ù인 삼각형은 무수히 많다.
25 오른쪽 그림과 같은 두 사각형은
넓이가 같지만 합동은 아니다.
(cid:23)
(cid:23)
26 ∠D에 대응하는 각은 ∠A이므로
180ù-(40ù+65ù)=75ù
(cid:19)
(cid:21)
(cid:20)
(cid:26)
정답과 풀이 61
27 BCÓ=EFÓ=4`cm, DEÓ=ABÓ=8`cm이므로
Ó=4+8=12(cm)
BCÓ+DEÓ
40 △ABO와 △DCO에서
AOÓ=DOÓ, ∠AOB=∠DOC(맞꼭지각), BOÓ=COÓ
28 ④ 점 B의 대응점은 점 E이다.
29 ① SAS 합동
②, ④ ASA 합동
로 합동이 아니다.
⑤ SSS 합동
③ 세 각의 크기가 각각 같은 두 삼각형은 무수히 많으므
∴ △ABOª△DCO(SAS 합동)
△ABC와 △DCB에서
BOÓ=COÓ이므로 ∠ACB=∠DBC
BCÓ는 공통, ACÓ=DBÓ
∴ △ABCª△DCB (SAS 합동)
△ABD와 △DCA에서
AOÓ=DOÓ이므로 ∠ADB=∠DAC
ADÓ는 공통, BDÓ=CAÓ
30 ㄱ, ㅁ. 주어진 한 각이 두 변의 끼인각이 아니므로 합동이
∴ △ABDª△DCA(SAS 합동)
ㄹ. 세 각의 크기가 각각 같은 두 삼각형은 무수히 많으므
아니다.
로 합동이 아니다.
42 ADÓCBÓ이므로 ∠DAE=∠CBE(엇각)
∠AED=∠BEC(맞꼭지각), AEÓ=BEÓ
∴ △AEDª△BEC(ASA 합동)
31 ㄴ. SAS 합동 ㄷ. ASA 합동 ㄹ. ASA 합동
32 ABÓ=ACÓ, BDÓ=CDÓ, ADÓ는 공통
∴ △ABDª△ACD(SSS 합동)
33 △ABD와 △CDB에서
ABÓ=CDÓ, ADÓ=CBÓ, BDÓ는 공통이므로
△ABDª△CDB(SSS 합동)
36 △AEC와 △BED에서
AEÓ=BEÓ, CEÓ=DEÓ, ∠AEC=∠BED(맞꼭지각)
∴ △AECª△BED(SAS 합동)
37 △EBC와 △EDC에서
BCÓ=DCÓ, ECÓ는 공통, ∠BCE=∠DCE=45ù
∴ △EBCª△EDC(SAS 합동)
∠BEC=∠DEC=65ù이므로
∠EBC=180ù-(65ù+45ù)=70ù
∴ ∠x=90ù-70ù=20ù
38 △BCE와 △ACD에서
BCÓ=ACÓ, CEÓ=CDÓ, ∠BCE=60ù+∠ACE=∠ACD
따라서 △BCEª△ACD(SAS 합동)이므로 BEÓ=ADÓ
39 △GBC와 △EDC에서
∴ △GBCª△EDC(SAS 합동)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ이다.
62 Ⅰ . 도형의 기초
OPÓ는 공통, ∠AOP=∠BOP, ∠OAP=∠OBP이므로
43 △AOP와 △BOP에서
∠APO=∠BPO
∴ △AOPª△BOP(ASA 합동)
44 △BDM와 △CEM에서
BMÓ=CMÓ, ∠BMD=∠CME(맞꼭지각)
∠BDM=∠CEM이므로 ∠MBD=∠MCE
∴ △BDMª△CEM(ASA 합동)
45 △ABC와 △CDA에서 AD Ó BCÓ이므로
∠BCA=∠DAC(엇각)
ABÓ CDÓ이므로 ∠BAC=∠DCA(엇각)
ACÓ는 공통
∴ △ABCª△CDA(ASA 합동)
46 ∠DBA=∠a, ∠DAB=∠b라 하면
∠a=90ù-∠b이고, ∠b+90ù+∠EAC=180ù이므로
∠EAC=90ù-∠b=∠a
같은 방법으로 하면 ∠ACE=∠b
△ADB와 △CEA에서
ABÓ=CAÓ, ∠DBA=∠EAC, ∠DAB=∠ECA
즉, ADÓ=CEÓ=8`cm, AEÓ=BDÓ=3`cm
∴ DEÓ=ADÓ+AEÓ=11(cm)
BCÓ=DCÓ, GCÓ=ECÓ, ∠GCB=∠ECD=90ù
∴ △ADBª△CEA(ASA 합동)
실전연습문제
개념익힘탑 31~32쪽
01 ⑤
03 ⑴ ㉥ → ㉢ → ㉠ → ㉡ → ㉤ → ㉣
02 ④
⑵ 두 직선이 한 직선과 만날 때 엇각의 크기가 같으
다.
07 나머지 한 각의 크기는 180ù-(60ù+75ù)=45ù
한 변의 길이가 5`cm이고, 그 양 끝 각의 크기가 60ù, 75ù
또는 60ù, 45ù 또는 75ù, 45ù인 3개의 삼각형을 만들 수 있
면 두 직선은 평행하다.
04 ④
08 ③
11 정삼각형 12 ④
05 4개
09 109
06 ④
10 ⑤
07 ③
09 DFÓ=BAÓ이므로 x=4, ∠B=∠D이므로 y=105
∴ x+y=109
개
념
익
힘
탑
01 ⑤ 주어진 선분의 길이를 재어 다른 직선 위로 옮길 때 컴
퍼스를 사용한다.
02 ④ ACÓ+BCÓ
10 ⑤ 오른쪽 그림에서
180ù-(40ù+80ù)=60ù
따라서 주어진 삼각형과 한 변의 길이
와 그 양 끝 각의 크기가 각각 같으므로 합동이다.
(cid:25)(cid:17)(cid:177)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
04 ④ 3+4<9이므로 삼각형을 작도할 수 없다.
05 세 변의 길이를 a, b, b라 하면 순서쌍 (a, b, b)는
(8, 6, 6), (6, 7, 7), (4, 8, 8), (2, 9, 9)의 4개이다.
11 △BEDª△CFEª△ADF(SAS 합동)이므로
DEÓ=EFÓ=FDÓ
따라서 △DEF는 정삼각형이다.
06 ㄱ. 세 각의 크기가 주어진 경우 △ABC가 하나로 결정되
지 않는다.
12 △ABC와 △ADC에서
ACÓ는 공통, ∠BAC=∠DAC=30ù
ㄴ. 3+4=7이므로 삼각형을 만들 수 없다.
∠BCA=∠DCA=60ù
ㄹ. ∠C는 ABÓ, BCÓ의 끼인각이 아니므로 △ABC가 하나
∴ △ABCª△ADC(ASA 합동)
로 결정되지 않는다.
④ ∠BCD=∠DCA+∠BCA=120ù
정답과 풀이 63
II 평면도형
1 다각형의 성질
개념익힘문제
개념익힘탑 33~43쪽
05 ④, ⑤ 06 정십각형
09 70ù
11 ④
15 ②
19 ④
12 12개
16 오각형
21 ①
25 11개
28 ④
32 90ù
36 ①
24 ③
08 95ù
14 5개
18 ④
02 ③, ⑤ 03 ③
31 40ù
35 ③
39 ③
01 ⑤
04 ⑴ × ⑵ × ⑶
07 125ù
10 ∠x=60ù, ∠y=75ù
13 ④
17 ②
20 ⑴ 20개 ⑵ 65개 ⑶ 90개
22 십칠각형 23 ②
26 30ù
27 ∠x=50ù, ∠y=40ù
29 100ù
30 90ù
33 80ù
34 ④
38 35ù
37 ③
40 ⑴ 105ù ⑵ 65ù ⑶ 65ù ⑷ 85ù
42 ④
41 ⑴ 40ù ⑵ 25ù
43 ⑴ 135ù ⑵ 120ù ⑶ 113ù ⑷ 150ù 44 ③
48 ①
45 ③
47 ④
52 ④
49 85ù
51 0ù
53 ⑴ 85ù ⑵ 130ù
54 ⑴ 60ù ⑵ 102ù
55 14개
57 ⑴ 정육각형 ⑵ 정팔각형
59 ④
63 36ù
67 ④
71 ③
75 ②
61 35ù
60 ④
65 90ù
64 360ù
68 정삼각형 69 30ù
72 490ù
73 360ù
76 ②
56 ⑴ 140ù ⑵ 156ù
46 ④
50 40ù
58 ②
62 150ù
66 90ù
70 ③
74 ②
02 ③ 부채꼴은 두 개의 선분과 하나의 곡선으로 이루어져 있
으므로 다각형이 아니다.
⑤ 삼각기둥은 입체도형이므로 다각형이 아니다.
03 ①, ⑤ 도형의 일부에 곡선이 있으므로 다각형이 아니다.
② 선분의 끝점이 만나지 않으므로 다각형이 아니다.
④ 입체도형이므로 다각형이 아니다.
04 ⑴ 네 변의 길이가 모두 같은 사각형은 마름모이다.
⑵ 네 각의 크기가 모두 같은 사각형은 직사각형이다.
05 ④ 모든 외각의 크기는 항상 같다.
⑤ 한 꼭짓점에서 내각과 외각의 크기의 합은 180ù이다.
06 10개의 변으로 이루어진 정다각형은 정십각형이다.
07 180ù-55ù=125ù
08 180ù-85ù=95ù
09 180ù-110ù=70ù
10 ∠x=180ù-120ù=60ù,
∠y=180ù-105ù=75ù
11 9-3=6(개)
13 a=15-3=12
b=15-2=13
∴ a+b=12+13=25
12 n각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 모두 그었을 때 생기는
삼각형의 개수는 (n-2)개이므로 14-2=12(개)
14 오른쪽 그림과 같이 정십삼각형은
선분 AB를 기준으로 좌우 대칭이다.
따라서 길이가 서로 다른 대각선의 개수는
5개이다.
(cid:34)
(cid:35)
01 ⑤ 다각형의 각 꼭짓점에서 한 변과 그 변에 이웃하는 변
의 연장선이 이루는 각을 외각이라 한다.
15 구하는 다각형을 n각형이라 하면
n-3=7 ∴ n=10
따라서 구하는 다각형은 십각형이다.
64 II . 평면도형
16 구하는 다각형을 n각형이라 하면 각 꼭짓점에 그은 선분
이 5개이므로 n=5
따라서 구하는 다각형은 오각형이다.
따라서 구하는 다각형은 십이각형이고 꼭짓점의 개수는
17 구하는 다각형을 n각형이라 하면
n-2=10 ∴ n=12
12개이다.
18 구하는 다각형을 n각형이라 하면
n-3=17 ∴ n=20
따라서 구하는 다각형은 이십각형이고 꼭짓점의 개수와
변의 개수는 각각 20개이므로 20+20=40(개)
19 14_(14-3)
2
=
14_11
2
=77(개)
20 주어진 다각형을 n각형이라 하면
⑴ n-3=5이므로 n=8
따라서 구하는 대각선의 개수는
⑵ n-3=10이므로 n=13
따라서 구하는 대각선의 개수는
⑶ n-3=12이므로 n=15
따라서 구하는 대각선의 개수는
8_(8-3)
2
=20(개)
13_(13-3)
2
=65(개)
15_(15-3)
2
=90(개)
21 구하는 씨름 경기의 총 판수는 구각형의 대각선의 총 개수
와 같으므로
=27(판)
9_(9-3)
2
22 구하는 다각형을 n각형이라 하면
n(n-3)
2
따라서 구하는 다각형은 십칠각형이다.
23 구하는 다각형을 n각형이라 하면
n(n-3)
2
=20, n(n-3)=40=8_5 ∴ n=8
따라서 구하는 다각형은 팔각형이다.
24 구하는 다각형을 n각형이라 하면
n(n-3)
2
=35, n(n-3)=70=10_7 ∴ n=10
따라서 구하는 다각형은 십각형이고 꼭짓점의 개수는 10
개이다.
25 구하는 다각형을 n각형이라 하면
n(n-3)
2
=44, n(n-3)=88=11_8 ∴ n=11
따라서 구하는 다각형은 십일각형이고 변의 개수는 11개
이다.
26 ∠ACB=180ù-(45ù+60ù)=75ù
∠DCE=∠ACB=75ù(맞꼭지각)이므로
∠x=180ù-(75ù+75ù)=30ù
개
념
익
힘
탑
27 △AHC에서 40ù+90ù+∠x=180ù
∴ ∠x=50ù
△ABC에서 90ù+∠y+∠x=180ù
90ù+∠y+50ù=180ù
∴ ∠y=40ù
28 2∠BAD+2∠CAD=180ù이므로
∠BAD+∠CAD=90ù
△ABC에서 ∠x=180ù-(90ù+55ù)=35ù
29 ∠ACB=180ù-(75ù+55ù)=50ù이므로
∠ACB=
∠DCB=
_50ù=25ù
;2!;
;2!;
∴ ∠x=180ù-(55ù+25ù)=100ù
30 가장 큰 내각의 크기는
180ù_
9
4+5+9
=180ù_
=90ù
;1»8;
31 가장 큰 내각의 크기는
180ù_
4
2+3+4
=180ù_
=80ù
;9$;
180ù_
2
2+3+4
=180ù_
=40ù
;9@;
이므로 가장 큰 내각의 크기와 가장 작은 내각의 크기의
차는 80ù-40ù=40ù
32 ∠A+60ù+∠C=180ù에서
∠A+∠C=180ù-60ù=120ù
∠A=3∠C, 즉 ∠C=
∠A이므로
∠A+
∠A=120ù,
∠A=120ù
;3!;
∴ ∠A=
_120ù=90ù
;4#;
;3!;
;3$;
정답과 풀이 65
=119, n(n-3)=238=17_14 ∴ n=17
가장 작은 내각의 크기는
33 ∠C=∠A-20ù에서 ∠A=∠C+20ù이고 ∠B=2∠C
삼각형의 세 내각의 합은 180ù이므로
△ABC에서 ∠x+(49ù+∠b)+(51ù+∠a)=180ù
∠x+49ù+51ù+∠a+∠b=180ù,
∠A+∠B+∠C =(∠C+20ù)+2∠C+∠C
∠x+49ù+51ù+45ù=180ù
=4∠C+20ù=180ù
∴ ∠x=35ù
4∠C=160ù ∴ ∠C=40ù
∠B=2∠C=2_40ù=80ù
34 ∠ABD=∠DBC=∠a, ∠ACD=∠DCB=∠b라 하면
△ABC에서
60ù+2∠a+2∠b=180ù
2∠a+2∠b=120ù ∴ ∠a+∠b=60ù
따라서 △DBC에서
∠x=180ù-(∠a+∠b)=180ù-60ù=120ù
39 오른쪽 그림과 같이 EFÓ, BCÓ를
그으면
∠FEG+∠EFG=∠GBC+∠GCB
(cid:38)
∴ ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f
(cid:67)
=180ù_2=360ù
(cid:35)
(cid:36)
(cid:34)
(cid:66)
(cid:37)
(cid:69)(cid:70)
(cid:68)
(cid:40)
(cid:39)
(cid:71)
40 ⑴ ∠x=60ù+45ù=105ù
⑵ ∠x+50ù=115ù에서 ∠x=65ù
⑶ 25ù+∠x=90ù에서 ∠x=65ù
⑷ 45ù+∠x=130ù에서 ∠x=85ù
35 ∠ABE=∠EBC=∠x, ∠DCE=∠ECB=∠y라 하면
120ù+2∠x+2∠y+70ù=360ù
41 ⑴ ∠x+2∠x=120ù에서 3∠x=120ù ∴ ∠x=40ù
⑵ 50ù+3∠x=5∠x에서 2∠x=50ù ∴ ∠x=25ù
2∠x+2∠y=170ù
∴ ∠x+∠y=85ù
따라서 △EBC에서
∠BEC=180ù-(∠x+∠y)=180ù-85ù=95ù
36 △DBC에서 125ù+∠DBC+∠DCB=180ù
∴ ∠DBC+∠DCB=55ù
△ABC에서 65ù+∠x+30ù+∠DBC+∠DCB=180ù
65ù+∠x+30ù+55ù=180ù ∴ ∠x=30ù
37 오른쪽 그림과 같이 ABÓ를 그으면
△ABD에서
(cid:34)
(cid:19)(cid:22)(cid:177)
∠DAB+∠DBA =180ù-110ù
(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:177)
(cid:37)
(cid:89)
(cid:36)
=70ù
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
△ABC에서
∠x =180ù-(∠CAB+∠CBA)
(cid:35)
=180ù-(∠CAD+∠DAB+∠DBA+∠CBD)
=180ù-(25ù+70ù+30ù)=55ù
(cid:89)
(cid:21)(cid:22)(cid:177)
(cid:22)(cid:22)(cid:177)
(cid:22)(cid:22)(cid:177)
42 오른쪽의 그림에서
∠x=55ù+45ù=100ù
43 ⑴ 110ù+115ù+∠x=360ù에서
∠x=360ù-225ù=135ù
⑵ 120ù+120ù+∠x=360ù에서
∠x=360ù-240ù=120ù
⑶ 107ù+140ù+∠x=360ù에서
∠x=360ù-247ù=113ù
⑷ 90ù+120ù+∠x=360ù에서
∠x=360ù-210ù=150ù
44 (145ù-∠x)+(210ù-2∠x)+(165ù-∠x)=360ù
520ù-4∠x=360ù, 4∠x=160ù ∴ ∠x=40ù
45 (∠C의 외각의 크기) =180ù-(∠x+60ù)
=120ù-∠x
삼각형의 세 외각의 크기의 합은 360ù이므로
38 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면
△ADC에서
∠ADC =∠EDF
=180ù-(20ù+25ù)
=135ù(맞꼭지각)이므로
(cid:89)
(cid:35)
∠a+∠b=180ù-135ù=45ù
66 II . 평면도형
(cid:34)
(cid:22)(cid:18)(cid:177)
(cid:66)
(cid:38)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:37)
(cid:19)(cid:22)(cid:177) (cid:21)(cid:26)(cid:177)
(cid:39)
(cid:67)
(cid:36)
5∠x+4∠x+(120ù-∠x)=360ù
8∠x=240ù ∴ ∠x=30ù
46 ∠ x=60ù+55ù=115ù
∠y=45ù+∠x=45ù+115ù=160ù
∴ ∠x+∠y=115ù+160ù=275ù
47 △BDE에서 ∠AEF=∠D+∠B=25ù+70ù=95ù
△AEF에서 ∠x=∠AEF+∠A=95ù+45ù=140ù
55 주어진 다각형을 n각형이라 하면
180ù_(n-2)=900ù, n-2=5 ∴ n=7
48 △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠ACB=∠B=∠x
△ABC에서 ∠CAD=∠ACB+∠B=∠x+∠x=2∠x
△ACD는 이등변삼각형이므로 ∠CDA=∠CAD=2∠x
△DBC에서 ∠BDC+∠DBC=123ù이므로
2∠x+∠x=123ù, 3∠x=123ù
∴ ∠x=41ù
따라서 칠각형의 대각선의 개수는
7_(7-3)
2
=14(개)
56 ⑴
⑵
180ù_(9-2)
9
180ù_(15-2)
15
=140ù
=156ù
개
념
익
힘
탑
∠x=∠BAD+∠ABD=35ù+50ù=85ù
⑵ 구하는 정다각형을 정n각형이라 하면
49 ∠BAD=∠CAD=
=
;2!;
∠BAC
;2!;
_(180ù-110ù)=35ù
∠ABD=180ù-130ù=50ù
따라서 △ABD에서
50 ∠ABD=∠DBC=∠a, ∠ACD=∠DCE=∠b라 하면
△ABC에서 80ù+2∠a=2∠b ∴ ∠b-∠a=40ù
△DBC에서 ∠x+∠a=∠b이므로 ∠x=∠b-∠a=40ù
51 ∠ABD=∠DBC=∠a, ∠ACD=∠DCE=∠b라 하면
△ABC에서 ∠x+2∠a=2∠b ∴ ∠x=2∠b-2∠a
△DBC에서 ∠y+∠a=∠b ∴ ∠y=∠b-∠a
∴ ∠x-2∠y=(2∠b-2∠a)-2(∠b-∠a)=0ù
52 구하는 다각형을 n각형이라 하면
180ù_(n-2)=1620ù, n-2=9 ∴ n=11
따라서 구하는 다각형은 십일각형이다.
53 ⑴ 사각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(4-2)=360ù이
므로 80ù+85ù+110ù+∠x=360ù에서
∠x=360ù-275ù=85ù
⑵ 오각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(5-2)=540ù이
므로 100ù+∠x+110ù+120ù+80ù=540ù에서
∠x=540ù-410ù=130ù
57 ⑴ 구하는 정다각형을 정n각형이라 하면
180ù_(n-2)
n
=120ù에서 180ù_(n-2)=120ù_n
60ù_n=360ù ∴ n=6
따라서 구하는 정다각형은 정육각형이다.
180ù_(n-2)
n
=135ù에서 180ù_(n-2)=135ù_n
45ù_n=360ù ∴ n=8
따라서 구하는 정다각형은 정팔각형이다.
58 주어진 정다각형을 정n각형이라 하면
180ù_(n-2)
n
=150ù, 180ù_(n-2)=150ù_n
30ù_n=360ù ∴ n=12
따라서 정십이각형의 대각선의 개수는
12_(12-3)
2
=54(개)
59 주어진 정다각형을 정n각형이라 하면
n_(n-3)
2
따라서 정팔각형의 한 내각의 크기는
=20, n_(n-3)=40=8_5 ∴ n=8
180ù_(8-2)
8
=135ù
60 사각형의 내각의 크기의 합은 360ù이므로
∠EBC+∠ECB=360ù-(120ù+115ù+35ù+30ù)=60ù
54 ⑴ 사각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(4-2)=360ù이
∴ ∠x=180ù-60ù=120ù
므로 2∠x+∠x+∠x+2∠x=360ù
6∠x=360ù ∴ ∠x=60ù
⑵ 오각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(5-2)=540ù이
61 ∠EBC+∠ECB=180ù-130ù=50ù
∴ ∠x =360ù-(120ù+110ù+45ù+∠EBC+∠ECB)
므로 120ù+100ù+∠x+(180ù-80ù)+118ù=540ù
=360ù-(120ù+110ù+45ù+50ù)
∠x+438ù=540ù
∴ ∠x=102ù
=360ù-325ù
=35ù
정답과 풀이 67
62 ∠ABC+∠CDA=360ù-(70ù+130ù)=160ù
따라서 ∠EBC+∠EDC=
(∠ABC+∠CDA)=80ù
;2!;
70 구하는 정다각형을 정n각형이라 하면
(정n각형의 한 외각의 크기)=180ù_
1
3+1
이므로
∠x =360ù-(∠EBC+∠EDC+130ù)
=360ù-(130ù+80ù)=150ù
=180ù_
=45ù
;4!;
즉,
=45ù이므로 n=8
360ù
n
따라서 구하는 정다각형은 정팔각형이다.
63 오른쪽 그림에서
∠B=
180ù_(5-2)
5
BAÓ=BCÓ이므로
=108ù
(cid:35)
(cid:18)(cid:17)(cid:25)(cid:177)
(cid:38)
(cid:34)
(cid:89)
71 오른쪽 그림과 같이 보조선을 그으면
∠a+∠b=180ù-∠x이고 오각형의
내각의 크기의 합은 540ù이므로
(cid:18)(cid:18)(cid:25)(cid:177)
(cid:25)(cid:26)(cid:177)
(cid:89)
(cid:66)
(cid:24)(cid:21)(cid:177)
(cid:67)
(cid:26)(cid:19)(cid:177)
(cid:21)(cid:21)(cid:177)
(cid:36)
(cid:37)
540ù-(118ù+92ù+44ù+74ù+89ù)
∠BAC=
_(180ù-108ù)=36ù
;2!;
마찬가지로 ∠EAD=36ù이므로
∠x=108ù-2_36ù=36ù
64 다각형의 외각의 크기의 합은 360ù이다.
65 오른쪽 그림에서
∠x =360ù-(120ù+45ù+60ù+45ù)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:21)(cid:22)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:21)(cid:22)(cid:177)
=360ù-270ù
=90ù
66 오른쪽 그림에서
80ù+(180ù-∠x)+77ù
+(180ù-130ù)+18ù+45ù
(cid:18)(cid:25)(cid:17)(cid:177)(cid:14)(cid:89)
(cid:89)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:25)(cid:17)(cid:177)
(cid:21)(cid:22)(cid:177)
(cid:18)(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:25)(cid:177)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:24)(cid:24)(cid:177)
=360ù
450ù-∠x=360ù
∴ ∠x=90ù
67 구하는 정다각형을 정n각형이라 하면
=24ù ∴ n=15
360ù
n
따라서 구하는 정다각형은 정십오각형이다.
68 ㈎, ㈏ 에 의해 구하는 다각형은 정다각형이다.
㈐ 에 의해 한 외각의 크기가 둔각인 정다각형은 정삼각형
뿐이다.
따라서 조건을 만족하는 삼각형은 정삼각형이다.
69 주어진 정다각형을 정n각형이라 하면
n(n-3)
2
=54, n(n-3)=108=12_9 ∴ n=12
따라서 정십이각형의 한 외각의 크기는
=30ù
360ù
12
68 II . 평면도형
(cid:66)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:67)
(cid:70)
(cid:68)
(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:69)
(cid:90)
(cid:75)
(cid:71)
(cid:74)
(cid:66)
(cid:72) (cid:73)
(cid:68)
(cid:69)(cid:67)
(cid:76)
(cid:70)
(cid:77)
=180ù-∠x
123ù=180ù-∠x ∴ ∠x=57ù
72 오른쪽 그림과 같이 보조선을 그으면
∠x+∠y=20ù+30ù=50ù이므로
∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠x+∠y
=∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+50ù
=(오각형의 내각의 크기의 합)
=540ù
∴ ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e=490ù
73 오른쪽 그림과 같이
보조선을 그으면
∠c+∠d=∠k+∠l,
∠g+∠h=∠i+∠j
이고 사각형의 내각의 크기의 합은
360ù이므로
∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g+∠h
=∠a+∠b+∠k+∠l+∠e+∠f+∠i+∠j
=360ù
74 오른쪽 그림에서
∠x=(∠a+∠c)+∠d
(cid:66)
(cid:67)
(cid:70)
(cid:66)(cid:12)(cid:68)
(cid:69)
(cid:89)
(cid:68)
(cid:90)(cid:12)(cid:91)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:25)(cid:17)(cid:177)
(cid:90)
(cid:91)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
75 오른쪽 그림에서
∠x+80ù+(∠y+∠z)=180ù
∴ ∠x+∠y+∠z=100ù
[다른 풀이]
∠x+∠y+50ù+∠z+30ù
=180ù_5-360ù_2=180ù
∴ ∠x+∠y+∠z=100ù
76 ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g
= (7개의 삼각형의 내각의 크기의 합)
07 ∠DBC=∠x,
∠DCE=∠y라 하면
-(칠각형의 외각의 크기의 합)_2
∠ABD=2∠x, ∠ACD=2∠y
=180ù_7-360ù_2
=1260ù-720ù=540ù
△ABC에서
∠ACE=57ù+∠ABC,
(cid:34)
(cid:22)(cid:24)(cid:177)
(cid:37)
(cid:19)(cid:89)
(cid:89)
(cid:35)
(cid:90)
(cid:19)(cid:90)
(cid:36)
(cid:38)
3∠y=57ù+3∠x, ∠y-∠x=19ù
yy ㉠
△DBC에서 ∠DCE=∠BDC+∠DBC
∠y=∠BDC+∠x
개
념
익
힘
탑
실전연습문제
개념익힘탑 44~45쪽
∴ ∠BDC=∠y-∠x=19ù(∵ ㉠)
01 ②, ④ 02 88
05 ②
04 15개
09 99ù
08 ④
12 135개 13 ②
03 풀이 참조
06 ②
10 58ù
14 ⑤
07 ③
11 ⑤
08 오른쪽 그림에서
∠x+∠y=∠g+∠f이므로
∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g
=(오각형의 내각의 크기의 합)
(cid:66)
(cid:71)
(cid:70)
(cid:69)
(cid:90)
(cid:67)
(cid:72)
(cid:68)
(cid:89)
=180ù_(5-2)=540ù
01 ② 십이각형은 12개의 꼭짓점과 12개의 변을 가지고 있다.
④ 다각형에서 이웃한 두 변으로 이루어지는 각을 내각이
라 한다.
⑤
15_(15-3)
2
=90(개)
02 a=14-3=11, b=
∴ a+b=11+77=88
14_(14-3)
2
=77
09 △ABC에서 ∠CBA=∠BCA=69ù이므로
∠BAC=180ù-2_69ù=180ù-138ù=42ù
∠BAE=∠BAC+∠CAE=42ù+60ù=102ù
△ABE는 ABÓ=AEÓ인 이등변삼각형이므로
∠ABE=
_(180ù-102ù)=
_78ù=39ù
;2!;
;2!;
∴ ∠DBF=∠DBA+∠ABE=60ù+39ù=99ù
03 n각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 (n-2)개의 삼
각형이 만들어지므로 n-2=14 ∴ n=16
10 정오각형의 한 내각의 크기는
오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에
180ù_(5-2)
5
=108ù
따라서 십육각형의 대각선의 개수는
16_(16-3)
2
=104(개)
평행한 직선 n을 그으면
∠x=58ù
(cid:89)
(cid:22)(cid:25)(cid:177)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:17)(cid:25)(cid:177)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:19)(cid:19)(cid:177)
(cid:77)
(cid:79)
(cid:78)
04 6개의 위성도시 사이에 통신선은 육각형의 변의 개수와 대
각선의 개수의 합과 같다.
대각선의 개수는
6_(6-3)
2
=9(개)
따라서 통신선의 개수는 6+9=15(개)
05 2∠x+3∠x+(2∠x-9ù)=180ù, 7∠x=189ù
∴ ∠x=27ù
∠y=(180ù-115ù)+55ù=120ù
11 주어진 정다각형을 정n각형이라 하면
=60ù ∴ n=6
360ù
n
따라서 정육각형의 내각의 크기의 합은
180ù_(6-2)=720ù
12 주어진 정다각형을 정n각형이라 하면 한 외각의 크기는
=180ù_
180ù_
=20ù
;9!;
1
8+1
360ù
n
06 ∠ABD=∠DBC=∠a, ∠ACD=∠DCE=∠b라 하면
2∠a+58ù=2∠b에서 ∠b=∠a+29ù
∠a+∠x=∠b이므로 ∠a+∠x=∠a+29ù
∴ ∠x=29ù
즉,
=20ù ∴ n=18
따라서 정십팔각형의 대각선의 총 개수는
18_(18-3)
2
=135(개)
정답과 풀이 69
13 ∠ABC=180ù-2•, ∠ACB=180ù-2 _
△ABC에서 60ù+(180ù-2•)+(180ù-2 _)=180ù
2•+2 _=240ù ∴ •+_=120ù
따라서 △BDC에서
∠x+•+_=180ù, ∠x+120ù=180ù
∴ ∠x=60ù
14 ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g+∠h
= (사각형의 내각의 크기의 합)_3
+(삼각형의 내각의 크기의 합)_2
-(오각형의 외각의 크기의 합)_2
=360ù_3+180ù_2-360ù_2
=720ù
2 원과 부채꼴
개념익힘문제
개념익힘탑 46~52쪽
01 ⑴ OAÓ, OBÓ, OEÓ ⑵ ABÓ ⑶ µCD ⑷ ∠BOE
⑸ AEÓ
02 ①
06 ⑤
09 ③
03 ④
07 ⑴ 80ù ⑵ 45ù
04 ④, ⑤ 05 ④
08 ③
10 ⑴ 3 ⑵ 90
`cmÛ`
11 ;3$;
14 6배
13 ②
16 ⑴ 50ù ⑵ 80ù ⑶ 50ù ⑷ 16`cm
18 100`cm 19 7`cm
12 144ù, 20`cmÛ`
15 1`:`2
17 ②
20 ⑴ 22p`cm ⑵ 121p`cmÛ`
21 ⑴ 4`cm ⑵ 12`cm
23 ⑴ 20p`cm ⑵ 50p`cmÛ`
25 (둘레의 길이)=16p`cm, (넓이)=32p`cmÛ`
26 ②
22 25p`cmÛ`
29 4p`cm
24 ⑤
28 ④
27 ④
p`cmÛ`
30 ;;ª3¥;;
32 10+10p 33 풀이 참조
31 ;;°4°;;
p`cmÛ`
34 ②
70 II . 평면도형
35 ⑴ (둘레의 길이)=40p`cm,
(넓이)=(200p-400)`cmÛ`
⑵ (둘레의 길이)=(8p+32)`cm,
(넓이)=(192-32p)`cmÛ`
36 ④
p`cm 38 (20p+80)`cm
37 ;;Á3¤;;
40 (4p+36)`cmÛ`
39 2`cm
41 (216p+432)`cmÛ`
42 ⑤
43 ;;;!2!;£;;
p`mÛ`
02 ① BCÓ를 현이라 한다.
03 ④ 지름 AC가 가장 긴 현이다.
04 ④ 호와 현으로 이루어진 도형을 활꼴이라 한다.
⑤ 원 위의 두 점을 잇는 선분을 현이라 한다.
05 ∠AOB=180ù일 때, 부채꼴 OAB는 원 O의 반원이므로
ABÓ는 원 O의 지름이다.
06 부채꼴이 활꼴일 때는 부채꼴의 모양이 반원일 때이므로
중심각의 크기는 180ù이다.
07 ⑴ 20ù`:`∠x=2`:`8, 2∠x=160ù ∴ ∠x=80ù
⑵ 135ù`:`∠x=12`:`4, 12∠x=540ù ∴ ∠x=45ù
08 30：150=4：µ CD, 30µ CD=600 ∴ µ CD=20(cm)
09 ∠AOB`:`∠BOC`:`∠COA=3`:`4`:`5이므로
µAC에 대한 중심각의 크기는
∠AOC=360ù_
5
3+4+5
=360ù_
=150ù
;1°2;
10 ⑴ 15`:`150=x`:`30, 150x=450 ∴ x=3
⑵ 45`:`x=15`:`30, 15x=1350 ∴ x=90
11 부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로
∠AOB`:`∠COD=µAB`:`µ CD=3`:`1
부채꼴 OCD의 넓이를 x`cmÛ`라 하면 부채꼴의 넓이는 중
심각의 크기에 정비례하므로
4`:`x=3`:`1, 3x=4 ∴ x=
따라서 부채꼴 OCD의 넓이는
`cmÛ`이다.
;3$;
;3$;
12 ∠BOC=360ù_
4
1+4+5
=360ù_
=144ù
;1¢0;
부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례하므로 부채꼴
BOC의 넓이를 x`cmÛ`라 하면
∠a`:`4∠a=5`:`x, 1`:`4=5`:`x ∴ x=20
따라서 부채꼴 BOC의 넓이는 20`cmÛ`이다.
19 ∠CAO=∠DOB=60ù(동위각)
오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으면
△OAC에서 OAÓ=OCÓ이므로
(cid:37)
(cid:36)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:34)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:48)
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
∠OCA=∠OAC=60ù
∴ ∠COA=180ù-(60ù+60ù)=60ù
즉, ∠COD=180ù-(60ù+60ù)=60ù
∠COD=∠DOB=60ù이므로 µ CD=µ BD=7(cm)
개
념
익
힘
탑
13 한 원에서 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않으
므로
② ADÓ<2CDÓ, 즉 ADÓ+2CDÓ
20 ⑴ 2p_11=22p(cm)
⑵ p_11Û`=121p(cmÛ`)
14 ∠AOC=∠COD=∠DOB=180ù_
(원의 둘레의 길이)：µ BD=360：60=6：1
;3!;
=60ù
21 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
⑴ prÛ`=16p에서 rÛ`=16 ∴ r=4(cm)
따라서 원의 둘레의 길이는 µ BD의 길이의 6배이다.
⑵ prÛ`=144p에서 rÛ`=144 ∴ r=12(cm)
15 오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으면
△COB에서 OCÓ=OBÓ이므로
∠OCB=∠OBC=30ù
(cid:36)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:34)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:48)
(cid:35)
22 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
2pr=10p ∴ r=5
따라서 원의 넓이는 p_5Û`=25p(cmÛ`)
∠COB=180ù-(30ù+30ù)=120ù
∠COA=180ù-120ù=60ù
∴ µAC：µ CB=60：120=1：2
16 오른쪽 그림에서
⑵ 180ù-(50ù+50ù)=80ù
⑶ ∠BOD=∠ABO=50ù(엇각)
⑷ 50`:`80=10`:`µAB, 50µAB=800
∴ µAB=16`cm
(cid:34)
(cid:35)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:25)(cid:17)(cid:177)
(cid:48)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:37)
(cid:36)
17 OCÓABÓ이므로 ∠OBA=∠BOC=40ù(엇각)
OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB=∠OBA=40ù
△OAB에서 ∠AOB=180ù-(40ù+40ù)=100ù
µAB`:`µ BC=100`:`40, µAB`:`5=5`:`2, 2µAB=25
∴ µAB=12.5(cm)
18 △OCD에서 OCÓ=ODÓ이므로
∠OCD=∠ODC=
_(180ù-150ù)=15ù
;2!;
ABÓCDÓ이므로 ∠AOC=∠OCD=15ù(엇각)
15`:`150=µAC`:`µ CD, 1`:`10=10`:`µ CD
∴ µ CD=100(cm)
23 ⑴ 2p_10_
;2!;
+2p_5=20p(cm)
⑵ p_10Û`_
=50p(cmÛ`)
;2!;
24 (색칠한 부분의 넓이)
=(정사각형의 넓이)
-(반지름의 길이가 4`cm인 원의 넓이)
=8_8-p_4Û`=64-16p(cmÛ`)
25 (색칠한 부분의 둘레의 길이)
= (지름의 길이가 12`cm인 원의 둘레의 길이)
+(지름의 길이가 4`cm인 원의 둘레의 길이)
=2p_6+2p_2=16p(cm)
(색칠한 부분의 넓이)
=(지름의 길이가 12`cm인 원의 넓이)
-(지름의 길이가 4`cm인 원의 넓이)
=p_6Û`-p_2Û`=32p(cmÛ`)
26 4p=2p_12_
;36{0;
∠ x=60ù
27 (둘레의 길이)=15_2+2p_15_
;3ª6¼0;
=30+
p(cm)
;3%;
정답과 풀이 71
28 점A가움직인거리는부채꼴ABC의호의길이의4배이다.
따라서구하는거리는2p_4_
p(cm)
_4=
60
360
;;Á3¤;;
(넓이)=10_10-p_10Û`_
=100-25p(cmÛ`)
⑶오른쪽그림에서
;4!;
;4!;
(둘레의길이)=2p_12_
_2
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
=12p(cm)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(넓이)
=
p_12Û`_
-
_12_12
_2
{
;4!;
;2!;
}
(cid:34)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:48)
(cid:24)(cid:22)(cid:177)
=(36p-72)_2
=72p-144(cmÛ`)
⑷오른쪽그림에서
(둘레의길이)=2p_6_
+2p_3
;4!;
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
=9p(cm)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(넓이)=p_6Û`_
_6_6=9p-18(cmÛ`)
-
;2!;
;4!;
34 오른쪽그림과같이이동하면구하는
넓이는
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
p_12Û`_
_2=72p(cmÛ`)
;4!;
△OBC는OBÓ=OCÓ인이등변삼각형
(cid:35)
(cid:36)
29 부채꼴의호의길이를l`cm라하면
_7_l=14p∴l=4p(cm)
;2!;
30 오른쪽그림과같이OCÓ를그으면
△OCA는OAÓ=OCÓ인이등변삼각형
이므로∠OAC=∠OCA
이므로∠OBC=∠OCB
이때부채꼴의중심각의크기는
∠AOC+∠BOC
=180ù_2-(∠OAC+∠OBC+∠ACB)
=180ù_2-(∠OCA+∠OCB+∠ACB)
=180ù_2-(∠ACB+∠ACB)
=180ù_2-2∠ACB
=180ù_2-2_75ù=210ù
따라서구하는부채꼴의넓이는
p_4Û`_
=
;3@6!0);
;;ª3¥;;
p(cmÛ`)
31 정사각형의한내각의크기는90ù,정오각형의한내각의
=108ù이므로색칠한부분의넓이는
(넓이)
크기는
180ù_(5-2)
5
p_5Û`_
198
360
=
;;°4°;;
p(cmÛ`)
32 (둘레의길이)
=10+2p_5_
=10+10p
+2p_10_
;4!;
;2!;
35 오른쪽그림에서
⑴(둘레의길이)=2p_10_2
(cid:19)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
=40p(cm)
(cid:19)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
=
p_10Û`_
-
_10_10
_8
{
;4!;
;2!;
}
=(25p-50)_8=200p-400(cmÛ`)
⑵오른쪽그림에서
(cid:18)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(둘레의길이)
=2p_8_
+16_2
;2!;
=8p+32(cm)
(cid:18)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(넓이)=
8_8-p_8Û`_
_2+8_8
{
;4!;}
=(64-16p)_2+64=192-32p(cmÛ`)
⑵(둘레의길이)=2p_10_
+10_2=5p+20(cm)
p_3Û`_
=p_6Û`_
∴∠x=45ù
;4!;
36 색칠한두부분의넓이가같으므로반원과부채꼴의넓이
는같다.
;2!;
x
360
33 ⑴(둘레의길이)=2p_3_
;4!;
+2p_9_
+6_2
;4!;
=
;2#;
p+
p+12
;2(;
=6p+12(cm)
(넓이)=p_9Û`_
-p_3Û`_
;4!;
;4!;
p
=
p
;;¥4Á;;
-;4(;
=;;¦4ª;;
p=18p(cmÛ`)
72 II . 평면도형
37 오른쪽 그림에서 BEÓ, BHÓ를 그으면
∠EBH=30ù이므로
30
360
µ EH=2p_8_
p(cm)
=
;3$;
이때 색칠한 부분의 둘레의 길이는
(cid:38)
(cid:41)
(cid:39)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:40)
(cid:34)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:36)
4µ EH=4_
p=
p(cm)
;3$;
;;Á3¤;;
38 오른쪽 그림에서
(필요한 끈의 최소 길이)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:19)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
=2p_10+20_4
(cid:19)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:19)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
=20p+80(cm)
(cid:19)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
39 [방법 A] 2p_1+2_3=2p+6(cm)
[방법 B] 2p_1+2_4=2p+8(cm)
따라서 두 끈의 길이의 차는
(2p+8)-(2p+6)=2(cm)
40 오른쪽 그림에서
(원이 지나간 부분의 넓이)
=p_2Û`+3_(6_2)
=4p+36(cmÛ`)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
41 오른쪽 그림에서
(원이 지나간 자리의 넓이)
300
360
+12_18_2
=p_12Û`_
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
+
p_30Û`_
-p_18Û`_
{
60
360
60
360 }
=120p+432+96p=216p+432(cmÛ`)
42 오른쪽 그림에서
(원이 지나간 자리의 넓이)
=p_4Û`+(12+10+9)_4
=16p+124(cmÛ`)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:26)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
43 오른쪽 그림에서 움직일 수 있는 최대
영역의 넓이는
(cid:20)(cid:65)(cid:78)
(cid:22)(cid:65)(cid:78)
(cid:22)(cid:65)(cid:78)
(cid:20)(cid:65)(cid:78)
p_8Û`_
+p_3Û`_
+p_5Û`_
;4#;
;4!;
;4!;
=48p+
p+
p
;4(;
;;ª4°;;
=;;;!2!;£;;
p(mÛ`)
실전연습문제
개념익힘탑 53~54쪽
01 ⑤
05 100ù
09 ;;ª6°;;
p
02 7`cmÛ` 03 ②
06 11`:`7 07 ②
04 40
08 14p+18
10 ④
11 ③
12 (8p-16)`cmÛ`
13 ;;Á4£;;
p`cmÛ`
개
념
익
힘
탑
01 ⑤ 원 위의 두 점 A, C를 양 끝점으로 하는 호는
µAC, ¨ABC의 2개이다.
02 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례하므로
부채꼴 COD의 넓이를 x`cmÛ`라 하면
15：75=x：35, 1：5=x：35 ∴ x=7
따라서 부채꼴 COD의 넓이는 7`cmÛ`이다.
03 µAC：µ BC=2：1
∴ ∠AOC=180ù_
2
2+1
=180ù_
=120ù
;3@;
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
04 오른쪽 그림에서
BCÓODÓ이므로
(cid:37)
(cid:21)(cid:22)(cid:177)
(cid:19)(cid:17)
(cid:34)
(cid:21)(cid:22)(cid:177)
(cid:21)(cid:22)(cid:177)
(cid:35)
(cid:36)
(cid:48)
∠CBO=∠DOA=45ù(동위각)
△OBC는 OBÓ=OCÓ인 이등변삼각형
이므로
∠OCB=∠OBC=45ù
∴ ∠COB=180ù-(45ù+45ù)=90ù
20`:`µ BC=45`:`90=1`:`2 ∴ µ BC=40
05 ∠AOB`:`∠BOC`:`∠COA
=µAB`:`µ BC`:`µ CA=5`:`6`:`7
∴ ∠AOB=360ù_
5
5+6+7
=360ù_
=100ù
;1°8;
06 오른쪽 그림에서
∠BOC=∠EOF=∠x (맞꼭지각)로
놓으면 ∠x`:`∠AOE=2`:`11에서
2∠AOE=11∠x,
∠AOE=
∠x이고,
;;Á2Á;;
∠AOF=∠COD=90ù(맞꼭지각)이므로
(cid:35)
(cid:36)
(cid:48)
(cid:89)
(cid:18)(cid:18)
(cid:19)
(cid:89)
(cid:89)
(cid:39)
(cid:38)
(cid:34)
(cid:37)
정답과 풀이 73
11 작은 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
prÛ`=16p, rÛ`=16 ∴ r=4
큰 원의 반지름의 길이는 3r=3_4=12(cm)
따라서 큰 원의 둘레의 길이는 2p_12=24p(cm)
12 오른쪽 그림과 같이 이동하면 구하는
넓이는
의 색칠한 부분의 넓이의
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
2배이다.
따라서 구하는 넓이는
p_4Û`_
{
;3»6¼0;
;2!;
-
_4_4
_2
}
=(4p-8)_2
=8p-16(cmÛ`)
13 시침이 1시간(=60분) 동안 움직이는 각의 크기는
360ùÖ12=30ù이므로 3시 정각에서 40분 동안 시침이 움
직인 각의 크기는 30ù_
=20ù이고, 분침이 움직인 각
;6$0);
의 크기는 360ù_
=240ù이다.
;6$0);
시침과 분침이 이루는 각의 크기는
240ù-(90ù+20ù)=130ù
따라서 부채꼴의 넓이는
p_3Û`_
=
;3!6#0);
:Á4£:
p(cmÛ`)
∠AOF=
∠x-∠x=90ù ∴∠x=20ù
;;Á2Á;;
∴ (부채꼴 AOE의 넓이)：(부채꼴 AOB의 넓이)
=∠AOE`:`∠AOB=
∠x`:`(90ù-∠x)
;;Á2Á;;
=110ù`:`70ù=11`:`7
07 (넓이)=
;2!;
_3_8=12(cmÛ`)
08 (작은 부채꼴의 호의 길이)=2p_6_
=4p
;3!6@0);
(큰 부채꼴의 호의 길이)=2p_15_
=10p
;3!6@0);
∴ (구하는 둘레의 길이)=4p+10p+9_2=14p+18
(cid:36)
(cid:21)
(cid:18)(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:34)
(cid:22)
(cid:35)
(cid:38)
(cid:37)
(cid:38)
(cid:19)(cid:89)
(cid:19)(cid:89)
(cid:89)
(cid:20)(cid:89)
(cid:48)
(cid:36)
(cid:37)
(cid:35)
(cid:89)
(cid:34)
09 오른쪽 그림에서
(점 A가 움직인 거리)
=2p_5_
;3!6%0);
=
p
:ª6°:p
10 오른쪽 그림에서
∠BOD=∠x라 하면
△DAO는 DAÓ=DOÓ인
이등변삼각형이므로
∠DAB=∠DOB=∠x
∠EDO =∠DAB+∠DOB
=∠x+∠x
=2∠x
∠OED=∠ODE=2∠x
△AEO에서
∠EOC =∠EAO+∠AEO
=∠x+2∠x
=3∠x
△ODE는 ODÓ=OEÓ인 이등변삼각형이므로
부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로
µ BD`:`µ CE=∠x`:`3∠x, 2`:`µ CE=1`:`3
∴ µ CE=6(cm)
74 II . 평면도형
III 입체도형
1 다면체와 회전체
개념익힘문제
개념익힘탑 55~62쪽
01 ㄱ, ㄹ, ㅁ 02 ㄱ, ㄷ, ㄹ 03 ⑤
05 ⑴ 직사각형, 오면체 ⑵ 삼각형, 육면체
04 ④
⑶ 사다리꼴, 육면체
13 삼각뿔대
17 ④
20 정팔면체
22 3개
08 ㄱ, ㅁ, ㅂ 09 2
12 ②
16 ④
07 ④
06 ④
10 ④
11 ④
14 오각기둥 15 25
18 풀이 참조 19 정십이면체
21 정이십면체
23 ⑴ DEÓ ⑵ 면 NKHC ⑶ 점 E, 점 M
24 ⑴ 정팔면체 ⑵ EFÓ
28 ③
27 ③
31 ㄱ, ㅁ, ㅂ 32 ⑤
30 ①
36 ①, ③, ④
35 ④
34 ③
40 ③
39 ①
38 ④
37 ⑤
44 ④, ⑤
41 16`cmÛ`` 42 160`cmÛ` 43 ⑤
47 ⑤
46 ①
45 ④
48 ⑤
51 풀이 참조, 36`cmÛ`
50 ③
49 ⑤
25 5
29 ㄷ, ㅁ, ㅅ, ㅈ
33 ③
26 ⑤
01 ㄴ, ㄷ, ㅂ은 다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형이 아
니므로 다면체가 아니다.
02 ㄱ. 평면도형이다.
ㄷ, ㄹ. 다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형이 아니다.
03 면의 개수는 각각 다음과 같다.
① 4개 ② 6개 ③ 6개
④ 5개 ⑤ 7개
04 삼각기둥보다 면이 2개 더 많으므로 5+2=7, 즉 칠면체
이다.
06 ④ 삼각뿔대 - 사다리꼴
개
념
익
힘
탑
07 옆면의 모양은 다음과 같다.
① 직사각형 ② 사다리꼴 ③ 직사각형
④ 삼각형 ⑤ 직사각형
따라서 ①, ②, ③, ⑤는 사각형, ④는 삼각형이므로 ④이다.
08 옆면의 모양은 다음과 같다.
ㄱ. 삼각형 ㄴ. 직사각형 ㄷ. 사다리꼴
ㄹ. 직사각형 ㅁ. 삼각형 ㅂ. 삼각형
09 v=12, e=18, f=8이므로 v-e+f=2
10 꼭짓점의 개수와 면의 개수는 각각 다음과 같다.
① 꼭짓점 6개, 면 5개
② 꼭짓점 8개, 면 6개
③ 꼭짓점 12개, 면 8개
④ 꼭짓점 6개, 면 6개
⑤ 꼭짓점 12개, 면 8개
11 주어진 각기둥을 n각기둥이라 하면 모서리의 개수는
3n개, 꼭짓점의 개수는 2n개이므로
3n=2n+10 ∴ n=10
따라서 주어진 각기둥은 십각기둥이므로 밑면은 십각형이
다.
12 ② n각뿔의 모서리의 개수는 2n개이다.
13 옆면이 모두 사다리꼴인 다면체는 각뿔대이고, 두 밑면의
모양이 삼각형이므로 삼각뿔대이다.
정답과 풀이 75
14 ㈎, ㈏`에 의해 각기둥이며 ㈐`에 의해 밑면의 모양이 오각
형인 오각기둥이다.
15 ㈎, ㈏`에서 구하는 입체도형은 각뿔이다.
이 각뿔을 n각뿔이라고 하면 ㈐`에서
n+1=9 ∴ n=8
따라서 구하는 입체도형은 팔각뿔이므로 면의 개수는
8+1=9(개)
모서리의 개수는 8_2=16(개)
즉, x=9, y=16이므로 x+y=25
16 ① 정다면체의 종류는 5가지뿐이다.
② 정사면체의 모서리의 개수는 6개이다.
③ 정팔면체의 꼭짓점의 개수는 6개이다.
⑤ 정육각형을 한 면으로 하는 정다면체는 존재하지 않는다.
17 ① 5가지이다.
② 정이십면체의 꼭짓점의 개수는 12개이고 정십이면체의
꼭짓점의 개수는 20개이다.
③ 3가지이다.
⑤ 3개 또는 4개 또는 5개이다.
18 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 4개 또는 5개로 다르므로
정다면체가 아니다.
21 모든 면이 합동인 정삼각형이고, 각 꼭짓점에 모인 면의
개수가 5개인 정다면체이므로 정이십면체이다.
22 정육면체이므로 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 3개이다.
23 전개도를 접어 입체도형을 만들면 오른쪽 그림과 같다.
⑴ DEÓ ⑵ 면 NKHC
(cid:34)(cid:9)(cid:38)(cid:13) (cid:46)(cid:10)
⑶ 점 E, 점 M
(cid:43)(cid:9)(cid:39)(cid:13)(cid:65)(cid:45)(cid:10)
(cid:35)(cid:9)(cid:37)(cid:10)
(cid:42)(cid:9)(cid:40)(cid:10)
(cid:36)
(cid:47)
(cid:44)
(cid:41)
76 III . 입체도형
24 전개도를 접어 입체도형을 만들면
오른쪽 그림과 같다.
⑴ 정팔면체 ⑵ EFÓ
(cid:34)(cid:9)(cid:40)(cid:10)
(cid:42)
(cid:41)(cid:9)(cid:43)(cid:10)
(cid:37)
(cid:36)(cid:9)(cid:38)(cid:10)
(cid:35)(cid:9)(cid:39)(cid:10)
25 주어진 주사위의 전개도에서 면 A와 마주 보는 면에 있는
면 B와 마주 보는 면에 있는 점의 개수가 1개이므로
점의 개수는 3개이므로
a+3=7 ∴ a=4
b+1=7 ∴ b=6
면 C와 마주 보는 면에 있는 점의 개수가 2개이므로
c+2=7 ∴ c=5
∴ a+b-c =4+6-5=5
26 ⑤ 정팔면체의 한 꼭짓점에 모이는 면의 개수는 4개이다.
27 주어진 전개도로 만들어지는 정사면체
는 오른쪽 그림과 같다.
즉, ABÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는
(cid:35)(cid:9)(cid:37)(cid:10)
(cid:39)
(cid:34)(cid:9)(cid:38)(cid:10)
(cid:36)
CFÓ이다.
28 주어진 전개도로 만들어지는 정육면
체는 오른쪽 그림과 같으므로 ABÓ와
(cid:35)(cid:9)(cid:43)(cid:10)
(cid:36)(cid:9)(cid:42)(cid:10)
(cid:39)
꼬인 위치에 있는 모서리는 CDÓ(IHÓ),
(cid:46)
EFÓ(GFÓ), MDÓ, ELÓ이다.
(cid:37)(cid:9)(cid:41)(cid:10)
(cid:38)(cid:9)(cid:40)(cid:10)
(cid:44)(cid:9)(cid:34)(cid:10)
(cid:45)(cid:9)(cid:47)(cid:10)
29 ㄱ, ㄴ, ㅂ, ㅇ. 다면체
ㄷ, ㅁ, ㅅ, ㅈ. 회전체
31 회전체는 평면도형을 한 직선을 회전축으로 하여 1회전 시
킬 때 생기는 입체도형이다.
32 각 평면도형을 1회전 시킬 때 생기는 입체도형은 다음과
41 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로
잘랐을 때 생기는 단면은 오른쪽 그림과
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
같다.
① 도넛 모양
② 반구
③ 원기둥
④ 원뿔
⑤ 구
같다.
∴ (단면의 넓이)
=
_8_10-
_8_6
;2!;
;2!;
=40-24=16(cmÛ`)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
개
념
익
힘
탑
42 단면의 넓이가 가장 큰 경우는 두 밑면의 중심을 지나는
35 ①, ②, ③, ④를 회전축으로 한 회전체는 다음과 같다.
①
②
평면으로 자를 때이다.
따라서 단면의 넓이는
(5+5)_16=160(cmÛ`)
③
④
43 ⑤ 구면 위의 모든 점은 구의 중심에서 거리가 모두 같다.
44 ④ 원뿔에 대한 설명이다.
⑤ 모두 원이지만 크기가 다르다.
36 ②, ⑤를 회전축으로 한 회전체는 다음과 같다.
②
⑤
45 ④ 회전체에 따라 직사각형, 이등변삼각형, 사다리꼴, 원
등이 될 수 있다.
47 ① 원뿔대이다. ② 원이 아닌 경우도 있다.
③ 원이다.
④ 모양은 같으나 크기는 다르다.
38 ④ 원기둥을 한 평면으로 자를 때 생기는 단면은 삼각형이
나올 수 없다.
49 실의 길이가 가장 짧게 되는 경로는 주어진 원기둥의 전개
도에서 옆면인 직사각형의 대각선과 같다.
39 ②
③
④
⑤
50 점 A는 옆면과 밑면의 접하는 부분에 있으므로 전개도에
서의 경로는 점 A에서 점 A'까지이다. 또, 실을 팽팽하게
감을 때의 경로는 직선으로 나타난다.
따라서 바르게 나타낸 것은 ③이다.
40 단면은 오른쪽 그림과 같은 사다리꼴이므
(cid:77)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
로 단면의 넓이는
_(8+10)_6=54(cmÛ`)
;2!;
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
51 전개도를 그리면 오른쪽 그림과
같고 단면의 넓이는
_(8+16)_3=36(cmÛ`)
;2!;
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
정답과 풀이 77
실전연습문제
개념익힘탑 63~64쪽
01 ④, ⑤ 02 ②, ⑤ 03 구각형
04 정십이면체
06 정육면체 07 ③
09 60ù
10 ②, ③ 11 ②
13 ⑴ 14p`cm ⑵ 28`cmÛ` 14 5
05 정이십면체
08 ㄱ, ㄴ, ㄷ
12 ③
15 8p`cmÛ`
01 ① 팔면체 ② 구면체 ③ 구면체
따라서 십면체인 것은 ④, ⑤이다.
02 ① 두 밑면의 모양은 같지만 크기는 다르다.
③ 삼각뿔대와 사각뿔의 면의 개수는 5개로 같다.
④ n각뿔대의 꼭짓점의 개수는 2n개, 모서리의 개수는
3n개로 다르다.
03 주어진 각뿔대를 n각뿔대라 하면 모서리의 개수는 3n개이
고, 면의 개수는 (n+2)개이므로
3n=(n+2)+16 ∴ n=9
따라서 구각뿔대이므로 밑면의 모양은 구각형이다.
05 꼭짓점의 개수가 12개인 정다면체이므로 정이십면체이다.
06 다면체에서 v-e+f=2이므로
v=
e, f=
e에서
;3@;
;2!;
e-e+
e=
e=2
;2!;
;6!;
;3@;
∴ e=12
07 주어진 전개도로 만들어지는 입체도
형은 오른쪽 그림과 같다.
따라서 v=8, f=6이므로 구하는 다면체는 정육면체이다.
09 주어진 전개도로 만들어지는 정육면체를
세 점 A, B, C를 지나는 평면으로 자를
(cid:34)
때 생기는 단면은 오른쪽 그림에서
△ABC이다.
(cid:36)
(cid:35)
이때 △ABC는 ABÓ=BCÓ=CAÓ이므로 정삼각형이다.
∴ ∠ABC=60ù
10 ② 원뿔대 - 사다리꼴 ③ 반구 - 반원
11 ①
③
④
⑤
12 ③ 원이다.
13 ⑴ 2p_7=14p(cm)
⑵
_(7+7)_4=28(cmÛ`)
;2!;
14 오른쪽 그림에서
(부채꼴의 호의 길이)
=(밑면인 원의 둘레의 길이)이므로
2p_x_
=2p_3 ∴ x=9
;3!6@0);
따라서 2p_(9+6)_
=2pr이므로
;3!6@0);
15_
=r ∴ r=5
;3!;
(cid:77)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
(cid:20)
(cid:23)
(cid:83)
(cid:34)(cid:9)(cid:42)(cid:10)
(cid:35)(cid:9)(cid:41)(cid:10)
(cid:37)(cid:9)(cid:39)(cid:10)
(cid:36)(cid:9)(cid:40)(cid:10)
(cid:43)
(cid:38)
15 주어진 원을 직선 l을 회전축으로 하여 1회
전 시킬 때 생기는 회전체는 가운데가 비어
있는 도넛 모양이다.
이때 원의 중심 O를 지나면서 회전축에
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:18)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
수직인 평면으로 자른 단면은 오른쪽 그림과 같으므로
(단면의 넓이) =(큰 원의 넓이)-(작은 원의 넓이)
08 주어진 전개도로 만들어지는 입체도형은 정십이면체이다.
ㄹ. 꼭짓점의 개수는 20개이다.
78 III . 입체도형
=p_3Û`-p_1Û`
=9p-p
=8p(cmÛ`)
2 입체도형의 겉넓이와 부피
개념익힘문제
개념익힘탑 65~72쪽
20 16`cm
17 450p`cmÜ`
02 375`cmÜ`
04 120`cmÜ` 05 ⑴ 52`cmÛ` ⑵ 224`cmÛ`
11 6`cm
12 6`cm
15 ⑴ 6p ⑵ 30p`cmÛ` ⑶ 48p`cmÛ`
01 ⑴ 160`cmÜ` ⑵ 168`cmÜ`
03 ①
06 120`cmÛ` 07 272`cmÛ` 08 104`cmÛ` 09 13`cm
10 4
13 10`cm
14 7`cm
16 ⑴ 432p`cmÜ` ⑵ 216p`cmÛ`
18 15`cm 19 9`cm
21 (부피)=90p`cmÜ`, (겉넓이)=90p`cmÛ`
22 (부피)=24`cmÜ`, (겉넓이)=64`cmÛ`
23 100p`cmÜ`
26 (81p-162)`cmÜ`
29 ④
33 5
35 (부피)=672p`cmÜ`, (겉넓이)=360p`cmÛ`
36 (부피)=192p`cmÜ`, (겉넓이)=192p`cmÛ`
37 108p`cmÛ`
30 36`cmÜ` 31 207`cmÜ` 32 160`cmÜ`
34 10`cm
24 126`cmÛ` 25 24p`cmÜ`
27 48`cmÜ` 28 ③
38 ⑴ 120ù ⑵ 135ù
39 ③
40 ②
41 1`:`8
42 ;;£3ª;;
p`cmÜ`
43 68p`cmÛ` 44 8p`cmÜ`
45 (부피)=240p`cmÜ`, (겉넓이)=132p`cmÛ`
46 (부피)=54p`cmÜ`, (겉넓이)=51p`cmÛ`
47 ⑴
;;Á3¤;;
49 8`:`1
52 ③
p,
p, 16p ⑵ 1`:`2`:`3
;;£3ª;;
50 144p`cmÛ`
53 큰 수박, 풀이 참조
48 ③
51 144p`cmÜ`
01 ⑴ (부피) =4_4_10=160(cmÜ`)
⑵ (부피)=
_6_8
_7=168(cmÜ`)
{;2!;
}
02 (부피)=
[;2!;
=375(cmÜ`)
_(3+12)_5
_10
]
개
념
익
힘
탑
03 (밑넓이)=
;2!;
=4+6
_4_2+
_4_3
;2!;
=10(cmÛ`)
∴ (부피) =10_10
=100(cmÜ`)
04 (밑넓이)=
;2!;
=8+16
_8_2+
_4_8
;2!;
=24(cmÛ`)
사각기둥의 높이가 5`cm이므로
사각기둥의 부피는 24_5=120(cmÜ`)이다.
05 ⑴ (밑넓이)=3_2=6(cmÛ`)
(옆넓이)=(3+2+3+2)_4=40(cmÛ`)
∴ (겉넓이)=6_2+40=52(cmÛ`)
⑵ (밑넓이)=
_(4+10)_4=28(cmÛ`)
;2!;
(옆넓이)=(4+5+10+5)_7=168(cmÛ`)
∴ (겉넓이)=28_2+168=224(cmÛ`)
06 (옆넓이) =(밑면의 둘레의 길이)_(높이)
=(3_5)_8=120(cmÛ`)
07 (겉넓이)=
[;2!;
=52+220=272(cmÛ`)
_(8+5)_4
_2+(8+5+5+4)_10
]
_(2+6)_3=12(cmÛ`)
08 (밑넓이)=
;2!;
(옆넓이)=(2+3+6+5)_5=80(cmÛ`)
∴ (겉넓이)=12_2+80=104(cmÛ`)
09 IHÓ는 이 삼각기둥의 높이이므로
_5_12
390=
_IHÓ
{;2!;
}
∴ IHÓ=
=13(cm)
;;£3»0¼;;
정답과 풀이 79
구하는 오각기둥의 높이를 h`cm라 하면 부피가
즉, p_6Û`_25_
=450p(cmÜ`)
;2!;
10 (부피)=
=48(cmÜ`)
_3_x
_8
}
{;2!;
12x=48 ∴ x=4
11 주어진 오각형을 오른쪽 그림과
같이 두 부분으로 나누면
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(밑넓이)=
_8_3+8_2
;2!;
=28(cmÛ`)
168`cmÜ`이므로
28_h=168 ∴ h=6
따라서 오각기둥의 높이는 6`cm이다.
12 삼각기둥의 높이를 x`cm라 하면
(겉넓이)=
_6_8
{;2!;
}
_2+(6+8+10)_x
=48+24x
=192
∴ x=6
따라서 삼각기둥의 높이는 6`cm이다.
16 1회전 시킬 때 생기는 회전체는 밑면인 원의 반지름의 길
이가 6`cm`이고 높이가 12`cm인 원기둥이다.
⑴ (부피)=p_6Û`_12=432p(cmÜ`)
⑵ (겉넓이) =p_6Û`_2+2p_6_12
=72p+144p=216p(cmÛ`)
17 주어진 입체도형을 위아래로 붙이면 높이가 25`cm인
원기둥이 된다.
18 원기둥의 높이를 h`cm라 하면
252p=p_6Û`_2+2p_6_h,
252p=72p+12ph
∴ h=15
따라서 원기둥의 높이는 15`cm이다.
19 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
p_rÛ`_7=567p, rÛ`=81 ∴ r=9
따라서 밑면의 반지름의 길이는 9`cm이다.
13 사각기둥의 높이를 x`cm라 하면
(겉넓이) =(2_4)_2+(2+4+2+4)_x
20 그릇 A의 부피는
p_4Û`_4=64p(cmÜ`)
=16+12x=136
∴ x=10
그릇 B의 물의 높이를 h`cm라 하면
64p=p_2Û`_h ∴ h=16
따라서 사각기둥의 높이는 10`cm이다.
따라서 그릇 B의 물의 높이는 16`cm이다.
14 한 모서리의 길이를 a`cm라 하면
(겉넓이) =(한 면의 넓이)_6
=aÛ`_6
=6aÛ`(cmÛ`)
6aÛ`=294, aÛ`=49 ∴ a=7
따라서 한 모서리의 길이는 7`cm이다.
15 ⑴ 2p_3=6p(cm) ∴ x=6p
⑵ 6p_5=30p(cmÛ`)
⑶ p_3Û`_2+30p=48p(cmÛ`)
80 III . 입체도형
21 회전체는 속이 뚫린 원기둥이다.
(밑넓이)=p_4Û`-p_1Û`=15p(cmÛ`)
∴ (부피)=(밑넓이)_(높이)=15p_6=90p(cmÜ`)
(옆넓이)=2p_4_6+2p_1_6=60p(cmÛ`)
∴ (겉넓이) =(밑넓이)_2+(옆넓이)
=15p_2+60p=90p(cmÛ`)
22 (부피)=(3_3-1_1)_3=24(cmÜ`)
(겉넓이) =(3_3-1_1)_2+(3_4)_3+(1_4)_3
=16+36+12=64(cmÛ`)
23 빵 전체의 양(부피)은 큰 원기둥의 부피에서 작은 원기둥
의 부피를 뺀 것과 같으므로
(빵의 부피) =p_10Û`_8-p_5Û`_8
31 (잘려나간 삼각뿔의 부피)=
=9(cmÜ`)
_
;3!;
{;2!;
_3_3
_6
}
∴ (남은 입체도형의 부피)=(6_6_6)-9=207(cmÜ`)
겉넓이에 해당하는 면은 14개의 면의 넓이의 합과 같으므
=800p-200p
=600p(cmÜ`)
따라서 한 사람이 먹은 빵의 양은
_600p=100p(cmÜ`)
;6!;
24 정육면체의 한 면의 넓이가
3_3=9(cmÛ`)이고
로
(겉넓이)=9_14=126(cmÛ`)
25 (부피)=(밑넓이)_(높이)
p_4Û`_
=
{
;3!6@0);
-p_2Û`_
_6
;3!6@0);}
=24p(cmÜ`)
26 그릇의 단면은 오른쪽 그림과 같다.
색칠한 부분의 넓이는
p_6Û`_
-
;4!;
;2!;
_6_6=9p-18(cmÛ`)
따라서 남은 물의 부피는
(9p-18)_9=81p-162(cmÜ`)
27 (부피)=
_
;3!;
{;2!;
_6_6
_8=48(cmÜ`)
}
28 (겉넓이)=2_2+
{;2!;_2_3
}
_4=16(cmÛ`)
29 정사각뿔의 높이를 h`cm라 하면
_(8_8)_h=384 ∴ h=18
;3!;
30 사각형 ABCD의 넓이는
_6_6=18(cmÛ`)
;2!;
∴ (부피)=
_18_6=36(cmÜ`)
;3!;
개
념
익
힘
탑
32 (부피)=
_
;3!;
{;2!;
_12_16
_5=160(cmÜ`)
}
33 기울인 직육면체에 담긴 물의 부피는
_9=225(cmÜ`)
_10_15
_
;3!;
{;2!;
}
즉, 9_5_h=225 ∴ h=5
34 원뿔의 높이를 h`cm라 하면
_(p_6Û`)_h=120p ∴ h=10`
;3!;
따라서 원뿔의 높이는 10`cm이다.
35 (부피)= (큰 원뿔의 부피)-(작은 원뿔의 부피)
_p_12Û`_16-
_p_6Û`_8
=
;3!;
;3!;
=768p-96p=672p(cmÜ`)
(아랫면의 넓이)+(윗면의 넓이) =p_12Û`+p_6Û`
(cid:21)(cid:22)(cid:177)
=180p(cmÛ`)
(옆넓이) =(큰 원뿔의 옆넓이)-(작은 원뿔의 옆넓이)
=p_12_20-p_6_10
=180p(cmÛ`)
∴ (겉넓이) =180p+180p
=360p(cmÛ`)
36 (부피)=p_6Û`_8-
=288p-96p
;3!;
_p_6Û`_8
=192p(cmÜ`)
(겉넓이)=p_6Û`+2p_6_8+p_6_10
=36p+96p+60p
=192p(cmÛ`)
37 (겉넓이) =p_6Û`+p_6_12
=36p+72p
=108p(cmÛ`)
정답과 풀이 81
38 ⑴ 2p_4=2p_12_
;36{0;
∴ ∠x=120ù
⑵ 2p_3=2p_8_
∴ ∠x=135ù
;36{0;
39 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
=2pr ∴ r=7
2p_12_
210
360
(밑넓이)=p_7Û`=49p(cmÛ`)
(옆넓이)=p_7_12=84p(cmÛ`)
∴ (겉넓이)=49p+84p=133p(cmÛ`)
40 반지름의 길이가 5`cm인 구의 부피를 구하면 된다.
500
∴ (부피)=
3
p(cmÜ`)
p_5Ü`=
;3$;
41 (구 A의 부피)`:`(구 B의 부피)
=
`:`
p_4Ü`
p_2Ü`
{;3$;
}
{;3$;
}
=8`:`64
=1`:`8
42 구의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
4prÛ`=16p, rÛ`=4 ∴ r=2
∴ (부피)=
p_2Ü`
;3$;
=
;;£3ª;;
p(cmÜ`)
43 (겉넓이)=(4p_4Û`)_
=56p+12p
=68p(cmÛ`)
+
p_4Û`_
;8&;
{
_3
;4!;}
44 (부피)=
;3$;
p_2Ü`_
=8p(cmÜ`)
;4#;
p_6Ü`
_
}
+
;3!;
;2!;
{;3$;
_(p_6Û`)_8
45 (부피)=
=144p+96p
=240p(cmÜ`)
(겉넓이)=(4p_6Û`)_
+p_6_10
;2!;
=72p+60p
=132p(cmÛ`)
82 III . 입체도형
p_3Ü`_
+p_3Û`_4
;2!;
46 (부피)=
;3$;
=18p+36p
=54p(cmÜ`)
(겉넓이)=4p_3Û`_
+2p_3_4+p_3Û`
;2!;
=18p+24p+9p
=51p(cmÛ`)
47 ⑴ 오른쪽 그림에서
(원뿔의 부피)=
_(p_2Û`)_4
;3!;
=
;;Á3¤;;
p
(구의 부피)=
p_2Ü`=
;3$;
p
;;£3ª;;
(원기둥의 부피)=(p_2Û`)_4=16p
⑵
p
`:`;;£3ª;;
;;Á3¤;;
p`:`16p=1`:`2`:`3
(cid:21)
(cid:19)
48 원기둥의 높이는 2r이므로
(원기둥의 부피)`:`(구의 부피)=prÛ`_2r`:`
prÜ`
;3$;
=2`:`
;3$;
=3`:`2
49 작은 공의 반지름의 길이를 r라 하면 공 한 개의 부피는
prÜ`이다.
원기둥의 밑면인 원의 반지름의 길이는 2r, 높이는 4r이
;3$;
므로
(원기둥의 부피)=p_(2r)Û`_4r=16prÜ`
∴ (물의 부피)=16prÜ`-
prÜ`_4=
prÜ`
;3$;
;;£3ª;;
∴ (물의 부피)`:`(공 한 개의 부피)=
prÜ
``:`;3$;
prÜ`
;;£3ª;;
=8`:`1
50 (겉넓이)=(구의 겉넓이)+(원기둥의 옆넓이)
=4p_4Û`+2p_4_10
=144p(cmÛ`)
51 먹을 수 있는 부분의 부피는 지름의 길이가 12`cm인 반구
실전연습문제
개념익힘탑 73~74쪽
의 부피와 같으므로
p_6Ü`_
=144p(cmÜ`)
;3$;
;2!;
52 반지름의 길이가 9인 쇠공의 부피는
p_9Ü`=972p이고
반지름의 길이가 3인 쇠공의 부피는
;3$;
;3$;
p_3Ü`=36p이다.
∴
=27(개)
972p
36p
53 (큰 수박의 부피)=
p_15Ü`
;3$;
=4500p(cmÜ`)
(작은 수박의 부피)=
p_12Ü`
;3$;
=2304p(cmÜ`)
따라서 1`cmÜ 당 가격은 각각
20
3p
18000
2304p
30000
4500p
(원),
=
=
125
16p
큰 수박을 사는 것이 더 유리하다.
(원)이므로
라 하면
2pr=8p ∴ r=4
따라서 원기둥의 겉넓이는
p _4Û`_2+8p_10=112p(cmÛ`)
02 112p`cmÛ`
03 ①
01 ③
07 6
04 11`cm 05 36`cmÜ`` 06 ③
08 48p`cmÛ` 09 54p`cmÛ` 10 84p`cmÜ` 11 ③
13 남은 물의 양은 같다.
p`cmÜ`
12
112
3
14 48p`cmÛ`
개
념
익
힘
탑
01 정육면체의 한 모서리의 길이를 a`cm라 하면
6_aÛ`=24, aÛ`=4 ∴ a=2
∴ (부피)=2_2_2=8(cmÜ`)
02 만들어지는 입체도형은 원기둥이고, 원기둥의 밑면의 둘
레의 길이가 8p`cm이므로 밑면의 반지름의 길이를 r`cm
03 (부피)
=(직육면체의 부피)-(밑면이 부채꼴인 기둥의 부피)
=(3_3_8)-
p_3Û`_
{
_8
;3»6¼0;}
=72-18p(cmÜ`)
04 ;3!;
_(6_6)_(높이)=132 ∴ (높이)=11`cm
05 △ABC를 밑면, 모서리 BF를 높이로 하는 삼각뿔의 부피
를 구하면 된다.
∴ (B-ACF의 부피)=
_
;3!;
{;2!;
_6_6
_6
}
=36(cmÜ`)
06 (겉넓이)=p_6Û`+p_6_r=78p(cmÛ`),
6pr=42p
∴ r=7
정답과 풀이 83
11 지름의 길이가 4`cm인 쇠구슬 24개의 부피와 지름의 길이
가 8`cm인 쇠구슬 x개의 부피가 같다고 하면
p_2Ü`
_24=
p_4Ü`
_x, 192=64x
{;3$;
}
{;3$;
}
∴ x=3
따라서 지름의 길이가 8`cm인 쇠구슬을 3개 만들 수 있다.
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
12 180ù 회전 시키면 오른쪽 그림과 같으므로
(부피)
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
=(큰 반구의 부피)-(작은 반구의 부피)
=
p_4Ü`
_
-
;2!;
{;3$;
p_2Ü`
_
}
;2!;
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
}
16
3
{;3$;
128
3
112
3
=
p-
p
=
p(cmÜ`)
07 원뿔 모양의 그릇에 담긴 물의 부피는
_p_3Û`_8=24p(cmÜ`)
;3!;
원기둥 모양의 그릇에 담긴 물의 부피는
p_2Û`_h=4hp(cmÜ`)
두 물의 부피는 같으므로
24p=4hp ∴ h=6
08 1회전 시킬 때 생기는 입체도형은
오른쪽 그림과 같으므로
(겉넓이)
=(밑넓이)+(옆넓이)
=p_3Û`+(2p_3_4+p_3_5)
=9p+24p+15p
=48p(cmÛ`)
09 오른쪽 그림에서 원 O의 반지름의 길
이를 r`cm라 하면
(원 O의 둘레의 길이)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:48)
=(원뿔의 밑면의 둘레의 길이)_5
이므로
2pr=(2p_3)_5 ∴ r=15
=9p+45p
=54p(cmÛ`)
∴ (원뿔의 겉넓이) =p_3Û`+p_3_15
p_6Ü`=288p(cmÜ`)
13 지름의 길이가 6`cm인 구슬 8개의 부피는
p_3Ü`_8=288p(cmÜ`)
지름의 길이가 12`cm인 구슬 1개의 부피는
;3$;
;3$;
따라서 남은 물의 양은 같다.
10 주어진 평면도형을 직선 l을 회전축
으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 회
전체는 오른쪽 그림과 같으므로
(부피)=(원뿔대의 부피)_2
(cid:77)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
=
[;3!;
_(p_6Û`)_4-
_(p_3Û`)_2
_2
]
;3!;
=(48p-6p)_2
=84p(cmÜ`)
14 오른쪽 그림에서 원기둥의 밑면의 반지름의
길이를 r`cm라 하면 구의 반지름의 길이는
r`cm로 모두 같고, 원기둥의 높이는
2r+2r+2r=6r(cm)이므로
(원기둥의 부피)=prÛ`_6r=48p(cmÜ`)
rÜ`=8 ∴ r=2
2r`cm
2r`cm
r`cm
2r`cm
∴ (구 3개의 겉넓이의 합)=(4p_2Û`)_3=48p(cmÛ`)
84 III . 입체도형
IV 통계
1 자료의 정리와 해석
개념익힘문제
개념익힘탑 75~86쪽
01 3, 4 / 2, 5, 5, 8 / 2 02 5명
04 81점, 80점
06 풀이 참조
09 ㉠ 계급 ㉡ 계급값 ㉢ 도수
10 풀이 참조
12 ③
16 30`%
19 17명
13 13명
17 ④
20 36`%
03 40`%
05 경미네 반
07 ②
08 ②, ⑤
11 x=5, y=6
15 42.5`%
14 ④
18 40점 이상 50점 미만
21 ⑤
22 ③
36 ④
40 60
44 A 학교
배
25 ⑤
24 70
26 28명
30 12개
29 40개
33 35`%
28 10명
32 40명
46 여학생 47 33명
50 ②
39 ③
38 ④
42 ①, ④ 43 7명
23 ;;Á3¢;;
27 30`%
31 16명
34 A=12, B=15, C=60
35 4만 원 이상 5만 원 미만
37 ④
41 15명
45 0.1, 0.25
49 ③
48 32명
51 A=14, B=50, C=0.32, D=1
53 9명
55 40명
58 50명
59 3학년이 6명 더 많다. 60 A=0.22, B=0.2
63 8`:`5
61 A형, B형
67 35`%
64 ②
71 ④
68 20명
72 ⑤
74 풀이 참조
76 100명 77 남학생
62 ④
66 10명
65 12명
70 ②
69 9일
73 1반：20`%, 2반：35`%, 2반
54 A=0.1, B=0.2, C=1
56 14명
52 60`%
57 0.2
75 18초 이상 20초 미만
01
학생들의 키
잎
(13|2는 132`cm)
줄기
13
14
15
16
17
2 5 8
2 5 5 8 8
3 4
2
2 5 5 8
개
념
익
힘
탑
02 국어 성적이 85점 이상 95점 미만인 학생 수는
3+2=5(명)
03 국어 성적이 83점 미만인 학생 수는 4+2=6(명)이므로
_100=40(%)
;1¤5;
04 남학생 중 8등인 학생의 점수는 81점이고, 여학생 중 8등
인 학생의 점수는 80점이다.
05 신발 크기가 가장 큰 것은 278`mm이고 이는 경미네 반에
속해 있다.
06 준석이네 반 학생들의 신발 크기가 경미네 반 학생들의 신
발 크기보다 대체적으로 큰 편이다.
07 ① 변량：자료를 수량으로 나타낸 것
③ 도수：각 계급에 속하는 변량의 개수
④ 계급의 크기：구간의 너비
⑤ 도수분포표：주어진 자료를 몇 개의 계급으로 나누고,
각 계급에 속하는 도수를 조사하여 나타낸 표
08 ① 한 도수분포표에서 각 계급의 크기는 일정하다.
③ 변량을 일정한 간격으로 나눈 구간을 계급이라 한다.
④ 도수분포표를 만들 때, 계급의 개수는 5~15개가 되도
록 계급의 크기를 정한다.
10
키`(cm)
145 이상 ~ 150 미만
학생 수`(명)
150
~ 155
155
~ 160
160
~ 165
165
~ 170
170
~ 175
합계
3
4
6
9
2
1
25
정답과 풀이 85
11 x=150-145=155-150=…=5, y=6 `
23 도수가 가장 큰 계급의 직사각형의 넓이는 10_14=140
이고, 도수가 가장 작은 계급의 직사각형의 넓이는
12 가장 큰 도수는 9명이고, 이 계급은 160`cm 이상 165`cm
10_3=30이므로
;;Á3¢0¼;;=;;Á3¢;;
(배)
미만이다.
13 3+4+6=13(명)
14 봉사 활동 시간이 12시간 이상인 학생 수는 5+4=9(명)
이므로 전체의
_100=45(%)
;2»0;
15 A =40-(1+3+11+8+4)=13
이므로 수면 시간이 7시간 미만인 학생 수는
1+3+13=17(명)
∴
_100=42.5(%)
;4!0&;
16 당도가 10`Brix 미만인 과일이 전체의 30`%이므로
20_0.3=6(가지)
∴ A=6-4=2, B=20-(2+4+8+5)=1
따라서 당도가 15`Brix 이상인 과일은 5+1=6(가지)이므
로 전체의
_100=30(%)이다.
;2¤0;
17 ④ 직사각형의 개수는 계급의 개수이다.
19 2+6+9=17(명)
20 11+7
50
_100=36(%)
24 계급의 크기는 2점이고, 도수의 총합은
4+6+12+8+4+1=35(명)이므로
직사각형의 넓이의 합은 2_35=70
25 두 직사각형 A, B의 넓이의 비가 2`:`1이므로
a`:`2=2`:`1 ∴ a=4
계급의 크기는 200`mm,
전체 도수는 1+4+7+5+2+1=20(개국)이므로
구하는 넓이는 200_20=4000
26 100`m 달리기 기록이 17초 이상` 18초 미만인 학생 수를
x명이라 하면 3+8+13+18+x+17+9+4=100
∴ x=28
따라서 구하는 학생 수는 28명이다.
27 17+9+4
100
_100=30(%)
28 직사각형 A의 넓이는 5_14=70이므로 직사각형 B의 넓
이를 x라고 하면 7`:`5=70`:`x, 7x=350 ∴ x=50
이때 25시간 이상 30시간 미만인 계급의 도수를 y명이라
고 하면 5_y=50 ∴ y=10
따라서 봉사 활동 시간이 25시간 이상 30시간 미만인 학
생 수는 10명이다.
21 ⑤ TV 시청 시간이 50분 이상인 학생 수는 8+6=14(명)
_100=28(%)이다.
이므로 전체의
;5!0$;
29 무게가 120`g 이상 130`g 미만인 토마토의 수는 5개이므
로 재배한 토마토의 전체 개수를 x개라고 하면
22 ① 계급의 크기는 0.5초이다.
② 전체 학생 수는 4+6+14+8+2+2=36(명)이다.
④ 50`m 달리기 기록이 빠른 순서로 5번째인 학생이 속하
는 계급은 7.5초 이상 8초 미만이므로 계급값은
7.5+8
2
=7.75(초)이다.
⑤ 50`m 달리기 기록이 8.5초 이상인 학생은
8+2+2=12(명)이므로 전체의
;3!6@;
_100=33.33y(%)
86 IV . 통계
_100=12.5 ∴ x=40
;[%;
따라서 재배한 토마토의 전체 개수는 40개이다.
30 무게가 140`g 이상 150`g 미만인 토마토의 수는
40-(5+7+9+5+2)=12(개)
31 키가 155`cm 이상 160`cm 미만인 학생 수를 x명이라 하면
_100=70, x+12=28 ∴ x=16
2+10+x
40
따라서 구하는 학생 수는 16명이다.
32 2+12+18+8=40(명)
33 2+12
40
_100=35(%)
34 C=6+12+18+15+9=60
35 저축을 11번째로 많이 한 학생이 속하는 계급은 4만 원 이
상 5만 원 미만이다.
44 A, B 두 학교의 여학생의 상대도수는 각각
=0.47이므로
=0.48,
;5@0$0);
;6@0*0@;
여학생의 비율이 더 높은 학교는 A 학교이다.
45 (남학생의 상대도수)=
=0.1,
;3£0;
(여학생의 상대도수)=
=0.25
;2°0;
;3!0);
;2¥0;
개
념
익
힘
탑
36 ④ 도수가 가장 큰 계급은 30분 이상 40분 미만이므로
(계급값)=
=35(분)
30+40
2
46 (남학생의 상대도수)=
=0.33y,
(여학생의 상대도수)=
=0.4이므로
37 ① 가장 가벼운 학생은 55`kg 이상 60`kg 미만으로 여학
70점 이상` 80점 미만인 학생은 남학생보다 여학생의 비율
이 더 높다.
② 여학생：2+3+7+2+1=15(명),
남학생：2+3+6+4=15(명)
③ 남학생 중 도수가 가장 큰 계급은 70`kg 이상 75`kg 미
47 (어떤 계급의 도수)
=(도수의 총합)_(그 계급의 상대도수)
=60_0.55=33(명)
④ 남학생 수와 여학생 수가 같고, 계급의 크기가 같으므
로 각각의 그래프와 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이
48 (전체 학생 수)=
8
0.25
=32(명)
생이다.
만이다.
는 서로 같다.
38 A와 B, C와 D, E와 F는 각각 넓이가 같다.
40 히스토그램의 각 직사각형의 넓이의 합과 같으므로
(1+4+10+3+2)_3=60
41 전체 선수의 수가 45명이므로
홈런의 개수가 25개 이상 30개 미만인 선수의 수는
45-(2+3+5+6+9+5)=45-30=15(명)
42 ② 10명이다.
③ 38.5초이다.
2+5
35
④
⑤ 9명이다.
_100=20(%)
49 (전체 도수)=
따라서 상대도수가 0.4인 계급의 도수는
=50
5
0.1
50_0.4=20
50 (전체 도수)=
9
0.3
=30
x=
=0.4, y=30_0.2=6
;3!0@;
∴ x+y=0.4+6=6.4
51 B=
2
0.04
=50, A=50_0.28=14,
C=
=0.32, D=1
;5!0^;
52 (0.32+0.24+0.04)_100=60(%)
43 달리기를 한 거리가 20`km 이상 30`km 미만인 학생 수는
25-(1+4+10+1)=9(명)
53 30_0.3=9(명)
이때 달리기를 한 거리가 25`km 이상 30`km 미만인 학
생 수를 x명이라고 하면 달리기를 한 거리가 20`km 이상
25`km 미만인 학생 수는 (x+5)명이므로
x+(x+5)=9, 2x=4 ∴ x=2
따라서 구하는 학생 수는 2+5=7(명)
=0.1,`C=1
;3£0;
54 A=
B=1-(0.1+0.3+0.3+0.1)=0.2
55 (전체 학생 수)=
2
0.05
=40(명)
정답과 풀이 87
=24(명)
④ 80점 이상 90점 미만인 학생의 비율은 남학생은
이므로 3학년이 6명 더 많다.
65 40_0.3=12(명)
56 60점 이상` 80점 미만인 학생 수는 40_
따라서 70점 이상` 80점 미만인 학생 수는
;1¤0¼0;
24-10=14(명)
57 전체 학생 수는
따라서 수학 성적이 65점 이상 75점 미만인 계급의 상대
=20(명)
2
0.1
도수는
=0.2
;2¢0;
58 문자메시지 수가 30건 이상인 계급의 상대도수는 0.6이므
로 문자메시지 수가 10건 이상 30건 미만인 계급의 상대
도수는 1-(0.15+0.6)=0.25
이때 전체 학생 수는
=200(명)
30
0.15
따라서 문자메시지 수가 10건 이상 30건 미만인 학생 수
는 200_0.25=50(명)
59 키가 140`cm 이상 150`cm 미만인 학생 수는
1학년은 200_0.15=30(명), 3학년은 300_0.12=36(명)
60 키가 150`cm 이상 160`cm 미만인 1학년의 학생 수는
200_0.33=66(명)이므로 3학년의 상대도수는
=0.22 ∴ A=0.22
;3¤0¤0;
∴ B=1-(0.12+0.22+0.42+0.04)=0.2
61 오른쪽 표에서 남학생보다 여학생
의 상대도수가 더 큰 혈액형은 A
형, B형이다.
혈액형
A
B
O
상대도수
남학생 여학생
0.16
0.1875
0.28
0.3
0.32
0.3125
AB
합계
0.24
1
0.2
1
62 ① 90점 이상인 학생 수는 9+22=31(명)이므로 전체의
_100=31(%)
31
40+60
② 70점 미만인 학생의 비율은 남학생은
=0.1, 여학생
은
=0.0666y이므로 남학생이 더 높다.
;6¢0;
③ 80점 이상인 학생의 비율이 남학생은
=0.625, 여학
;4¢0;
;4@0%;
생은
=0.816…이므로 여학생의 성적이 더 높다.
;6$0(;
88 IV . 통계
=0.4, 여학생은
=0.45이므로 여학생이 더 높다.
⑤ 60점 이상 70점 미만인 계급의 상대도수는 남학생은
=0.1, 여학생은
=0.0666y으로 남학생이 여학
;6!0^;
;4¢0;
생보다 더 크다.
;6@0&;
;6¢0;
63 전체 도수를 각각 3a명, 4a명이라 하고 어떤 계급의 도수
를 각각 6b명, 5b명이라 하면 상대도수의 비는
6b
3a
=8`:`5
=2`:`
5b
4a
`:`
;4%;
64 체육 성적이 90점 이상인 학생 수는 각각
300_0.16=48(명), 500_0.18=90(명)이므로
두 학교 전체에서 체육 성적이 90점 이상인 학생 수는
48+90=138(명)이다.
따라서 구하는 상대도수는
138
300+500
=
138
800
=0.1725
66 30분 이상 40분 미만인 계급의 상대도수는 0.25이므로 학
생 수는 40_0.25=10(명)
67 (0.25+0.10)_100=35(%)
68 (전체 학생 수)=
4
0.20
=20(명)
69 전체 날 수는
30_0.3=9(일)
15
0.5
=30(일)이므로 구하는 계급의 도수는
70 80점 이상 90점 미만인 계급의 상대도수는
1-(0.16+0.38+0.12)=0.34이므로
학생 수는 50_0.34=17(명)
71 50점 미만인 학생의 상대도수의 합은 0.14+0.2=0.34이
므로 전체 학생 수는
=1000(명)
340
0.34
100등은 전체의 10`%이므로 상대도수는 0.1이다.
따라서 80점 이상인 학생의 상대도수는 0.04+0.06=0.1
이므로 100등 이내에 들려면 최소 80점 이상이어야 한다.
72 ② A 중학교에서 4분 이상 5분 미만인 계급의 상대도수는
0.3이므로 학생 수는 100_0.3=30(명)
③ B 중학교에서 도수가 가장 큰 계급은 5분 이상 6분 미
⑤ B 중학교 학생 중 3분 미만의 기록을 가진 학생은 전체
만이다.
의 5`%이다.
73 등교 시각이 7시 30분 미만인 학생은 각각 전체의
1반：(0.05+0.15)_100=20(%)
2반：(0.10+0.25)_100=35(%)
또한, 2반의 그래프가 왼쪽으로 더 치우쳐 있으므로 대체
로 일찍 등교하는 반은 2반이다.
74 B 지역의 그래프가 오른쪽으로 더 치우쳐 있으므로 B 지
역의 평균이 더 높다.
실전연습문제
개념익힘탑 87~88쪽
01 ③
05 ③
09 40명
13 ④
02 50`%
06 ①
10 ⑤
03 12
07 12
11 2회
04 ⑤
08 21
12 ④
01 1+3=4(명)
개
념
익
힘
탑
02 전체 학생 수는 12명이고, 훌라후프 횟수가 25회 미만인
학생 수는 6명이므로
_100=50(%)
;1¤2;
75 도수가 가장 큰 계급의 상대도수가 가장 크므로 구하는 계
03 A=32-(3+9+4+3+1)=12
급은 18초 이상 20초 미만이다.
76 남학생 중 12초 이상 14초 미만인 계급의 상대도수는
0.12이므로 전체 남학생 수는
=100(명)
12
0.12
04 ① 6개 ② 5`kg ③ 알 수 없다. ④ 4명
⑤
_100=25(%)
4+3+1
32
77 남학생의 그래프가 왼쪽으로 더 치우쳐 있으므로 남학생
의 기록이 더 좋다고 말할 수 있다.
05 25세 미만인 사람 수는 18+36=54(명)이므로 30세 이상
인 사람 수는 54-32=22(명)이고, 30세 이상 35세 미만
인 사람 수는 22-9=13(명)이다.
따라서 전체 사람 수는 100명이고, 25세 이상 35세 미만
인 사람 수는 24+13=37(명)이므로
전체의
_100=37(%)이다.
;1£0¦0;
06 16초 미만인 학생 수는 3+5=8(명)이므로 기록이 좋은
쪽에서 여섯 번째인 학생이 속하는 계급은 15초 이상 16
초 미만이고, 그 계급값은 15.5초이다.
07 도수가 가장 큰 계급은 16초 이상 17초 미만이므로 직사각
형의 넓이는 1_9=9이고, 기록이 18초 이상 19초 미만인
계급의 도수는 3명이므로 직사각형의 넓이는 1_3=3이
다. 따라서 두 직사각형의 넓이의 합은 9+3=12
정답과 풀이 89
08 계급의 개수는 5개이므로 a=5, 가장 큰 도수는 13명이므
로 b=13, 도수가 가장 작은 계급은 2시간 이상 4시간 미
만이므로 계급값은 3시간, 즉 c=3
∴ a+b+c=5+13+3=21
09 점심 식사 시간이 25분 이상 30분 미만인 계급의 학생 수
는 8명이고, 상대도수는 0.2이므로 지연이네 반 전체 학생
11 도수가 가장 큰 계급의 상대도수는 0.3이고, 이 계급의 도
수가 12회이므로 지진이 일어난 총 횟수는
=40(회)
12
0.3
따라서 규모가 3.5M 이상 3.8M 미만인 지진이 일어난 횟
수는 40_0.05=2(회)이다.
12 30회 이상 40회 미만인 계급의 상대도수는
1-(0.1+0.15+0.25+0.2)=0.3이므로
팔굽혀펴기 횟수가 30회 이상인 학생 수는
40_(0.3+0.25+0.2)=30(명)
수는
=40(명)
8
0.2
10 ① 40_0.25=10
②
=0.15
;4¤0;
③ 40_0.35=14
④
=0.05
;4ª0;
⑤ 상대도수의 합은 항상 1이므로 E=1
13 ④ 상대도수의 합이 1로 같으므로 상대도수의 그래프와 가
로축으로 이루어진 다각형의 넓이는 서로 같다.
90 IV . 통계
중간 모의고사
개념익힘탑 89~92쪽
4 ③
8 ④
12 ㄱ, ㄷ
3 12`cm
2 ②
7 50ù
6 ②
10 ①, ② 11 ②
1 ③
5 ④
9 ⑤
13 ③, ④ 14 100ù
17 ④
21 ③
23 (4p+32)`cm, (4p+32)`cmÛ`
18 ②
22 (10p+20)`cm, 50`cmÛ`
15 ④, ⑤ 16 ②
20 ②
19 ③
1 ③ 한 점을 지나는 직선은 무수히 많다.
7 오른쪽 그림과 같이
∠x=180ù-50ù=130ù
∠y=180ù-100ù=80ù
∴ ∠x-∠y=130ù-80ù=50ù
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:77)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:17)(cid:17)(cid:177)
(cid:90)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:89)
8 오른쪽 그림과 같이 꺾어진 부분에서
두 직선 l, m에 평행한 직선을 그으면
∠y=∠x+60ù
∠x`:`∠y=1`:`4이므로 ∠y=4∠x
(cid:89)
(cid:89)
(cid:90)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
개
념
익
힘
탑
4∠x=∠x+60ù에서 3∠x=60ù ∴ ∠x=20ù
따라서 ∠y=4∠x=80ù이므로 ∠x+∠y=20ù+80ù=100ù
(cid:78)
(cid:77)
(cid:78)
2 ② 같은 반직선이려면 시작점과 방향이 모두 같아야 한다.
9 작도 순서는 ㉠ → ㉤ → ㉡ → ㉥ → ㉢ → ㉣이므로 ㉡을
∴ CA³+BA³
작도한 다음에 작도해야 할 것은 ㉥이다.
3 점 P는 ABÓ의 중점이므로 PBÓ=
점 Q는 BCÓ의 중점이므로 BQÓ=
ABÓ
BCÓ
;2!;
;2!;
yy`①
yy`②
∴ PQÓ=PBÓ+BQÓ=
ABÓ+
BCÓ
Ó=
ACÓ
;2!;
;2!;
;2!;
=
;2!;
_24=12(cm)
yy`③
단계
①
②
③
채점 기준
PBÓ의 길이를 ABÓ로 표현하기
BQÓ의 길이를 BCÓ로 표현하기
PQÓ의 길이 구하기
비율
30`%
30`%
40`%
4 오른쪽 그림과 같이
(3∠x+10ù)+(40ù-∠x)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)(cid:14)(cid:89)
+(2∠y+30ù)=180ù
(cid:20)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:17)(cid:177)
(cid:19)(cid:90)(cid:12)(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:21)(cid:17)(cid:177)(cid:14)(cid:89)
2∠x+2∠y=100ù
∴ ∠x+∠y=50ù
5 ④ 면 ABCD와 선분 EG는 평행하다.
10 ① 무수히 많은 삼각형이 만들어진다.
② ∠A가 주어진 두 변의 끼인각이 아니다.
11 ② 넓이가 같은 두 도형이 항상 합동인 것은 아니다.
12 ㄱ. SAS 합동 ㄴ. SSS 합동
ㄷ. SAS 합동 ㄹ. ASA 합동
13 ②
7_(7-3)
2
=14(개)
8-3=5(개)이다.
③ 팔각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는
④ 정다각형의 대각선의 길이가 모두 같지는 않다.
6 ①, ② (cid:77)
(cid:77)
(cid:78)
③
(cid:77)
(cid:78)
(cid:77)
(cid:77)
(cid:78)
(cid:78)
(cid:79)
(cid:79)
(cid:79)
(cid:79)
(cid:79)
(cid:79)
④, ⑤
(cid:78)
(cid:78)
(cid:77)
(cid:79)
(cid:79)
(cid:77)
(cid:78)
(cid:77)
(cid:78)
(cid:77)
(cid:79)
(cid:79)
(cid:78)
(cid:79)
(cid:79)
(cid:79)
(cid:79)
(cid:79)
(cid:79)
(cid:79)
(cid:79)
ln
수직으로 만나
평행하거나 한 점
14 오른쪽 그림에서
∠ABD=∠ADB
_(180ù-120ù)
=
;2!;
=30ù
(cid:34)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)
(cid:37)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:20)(cid:17)(cid:177)
(cid:35)
(cid:22)(cid:17)(cid:177)
(cid:36)
거나 꼬인 위치 에서 만나거나 꼬
ADÓBCÓ이므로 ∠DBC=∠ADB=30ù(엇각)
에 있다.
인 위치에 있다.
△DBC에서 ∠BDC=180ù-(30ù+50ù)=100ù
정답과 풀이 91
21 오른쪽 그림과 같이 이동하면 구하는
둘레의 길이는 반지름의 길이가
3`cm, 7`cm인 원의 둘레의 길이의
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:48)
합과 같으므로
2p_3+2p_7=20p(cm)
22 (색칠한 부분의 둘레의 길이)
=
_2+10_2
2p_5_
{
;2!;}
=10p+20(cm)
오른쪽 그림과 같이 이동시키면
(색칠한 부분의 넓이)
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
=
_10_10=50(cmÛ`)
;2!;
(cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
23 원판이 지나간 부분은 오른쪽 그림과
같으므로
(직선인 부분의 둘레의 길이)
=(5+3)_4=32(cm)
(부채꼴 부분의 둘레의 길이) =2p_2=4p(cm) yy`①
∴ (원판이 지나간 부분의 둘레의 길이)=(4p+32)`cm
yy`②
(직사각형 부분의 넓이) =(5_2)_2+(3_2)_2
=32(cmÛ`)
채점 기준
(부채꼴 부분의 넓이)=p_2Û`=4p(cmÛ`)
yy`③
∴ (원판이 지나간 부분의 넓이)=(4p+32)`cmÛ` yy`④
단계
①
②
③
④
직선의 부분과 부채꼴 부분의 둘레의 길이 각각 구하기 40`%
원판이 지나간 부분의 둘레의 길이 구하기
직사각형 부분과 부채꼴 부분의 넓이 각각 구하기
원판이 지나간 부분의 넓이 구하기
비율
10`%
40`%
10`%
15 n(n-3)
∴ n=9
2
=27에서 n(n-3)=54, 9_6=54
㈎, ㈐에서 모든 변의 길이와 모든 내각의 크기가 같으므로
정다각형이고, ㈏에서 대각선의 총 개수가 27개인 정다각
형은 정구각형이다.
① 한 외각의 크기는
=40ù이다.
360ù
9
② 9개의 선분으로 둘러싸인 평면도형이다.
③ 한 꼭짓점에서 6개의 대각선을 그을 수 있다.
④
180ù_(9-2)
9
=140ù
16 구하는 정다각형을 정n각형이라 하면 한 외각의 크기는
=60ù ∴ n=6
=60ù이므로
180ù_
1
2+1
360ù
n
따라서 정육각형의 대각선의 총 개수는
6_(6-3)
2
=9(개)
17 오른쪽 그림과 같이 보조선을 그으면
180ù-(∠x+34ù+38ù)=180ù-142ù
108ù-∠x=38ù ∴ ∠x=70ù
(cid:89)
(cid:20)(cid:25)(cid:177)
(cid:20)(cid:21)(cid:177)
(cid:18)(cid:21)(cid:19)(cid:177)
18 ∠x+20ù+40ù+35ù+60ù=180ù_5-360ù_2
∠x+155ù=180ù ∴ ∠x=25ù
19 오른쪽 그림에서 ACÓODÓ이므로
∠CAO=∠DOB=60ù(동위각)
OCÓ를 그으면
△AOC에서 OAÓ=OCÓ이므로
∠ACO=∠CAO=60ù
(cid:37)
(cid:36)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:23)(cid:17)(cid:177)
(cid:34)
(cid:48)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:35)
따라서 ∠AOC=60ù이므로 µAC=µ BD=6`cm
20 원 O의 둘레의 길이를 x`cm라 하면
360`:`(360-60)=x`:`10
360`:`300=x`:`10
6`:`5=x`:`10 ∴ x=12
92 중간 모의고사
기말 모의고사
개념익힘탑 93~96쪽
2 2명
3 ⑤
1 ②
6 24p`cmÛ` 7 ⑤
5 ②
9 ③
10 ④
13 13`cm 14 ③
17 ⑤
21 ⑤
18 13개
22 ④
11 ①
15 ⑤
19 ①, ③ 20 ③
23 ④
4 ③
8 64p`cmÛ`
12 ③
16 40`%
7 밑면인 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
(부채꼴의 호의 길이)=(밑면인 원의 둘레의 길이)이므로
2p_12_
=2pr ∴ r=4
;3!6@0);
∴ (밑넓이)=p_4Û`=16p(cmÛ`)
8 (겉넓이) =(p_3Û`-p_1Û`)_2+2p_3_6+2p_1_6
=16p+36p+12p=64p(cmÛ`)
개
념
익
힘
탑
1 주어진 조건을 만족하는 입체도형은 정다면체 중에서 정육
면체이다.
_
9 24=
∴ x=6
;3!;
_6_4
_x
}
{;2!;
2 지은： 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이
10 (잘라낸 입체도형의 부피)=
_
;3!;
{;2!;
_6_8
_9
}
면체, 정이십면체로 5가지뿐이다.
=72(cmÜ`)
영진： 모든 면이 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모이는
(잘라내고 남은 입체도형의 부피)
면의 개수가 같은 다면체를 정다면체라고 한다.
=(직육면체의 부피)-(잘라낸 입체도형의 부피)
따라서 잘못 말한 학생은 2명이다.
3 ①
②
③
④
4 ③ 주어진 전개도로 만들어지는 정다면체는 정팔면체이므
로 꼭짓점의 개수는 6개이다.
=6_8_9-72=360(cmÜ`)
∴ (잘라낸 입체도형의 부피)`
=72`:`360=1`:`5
:`(잘라내고 남은 입체도형의 부피)
11 (겉넓이)=4p_6Û`_
;2!;
+p_6_10=132p(cmÛ`)
12 원기둥의 밑면인 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 원기둥
의 높이는 6r`cm이다.
5 원뿔대를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면의 모양은
사다리꼴이고, 두 밑면과 평행한 평면으로 자른 단면의 모
원기둥의 부피가 48p`cmÜ`이므로
prÛ`_6r=48p, rÜ`=8 ∴ r=2
양은 항상 원이다.
따라서 구 한 개의 부피는
p_2Ü`=
p(cmÜ`)
;3$;
;;£3ª;;
6 주어진 직사각형을 1회전
시킬 때 생기는 입체도형은
오른쪽 그림과 같은 원기둥
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
∴ (구하는 넓이)=2p_3_4=24p(cmÛ`)
이다.
단계
①
②
채점 기준
1회전 시킬 때 생기는 회전체 알기
회전체의 옆면의 넓이 구하기
(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
yy`①
yy`②
비율
40`%
60`%
13 남학생 중에서 다섯 번째로 좋은 기록은 143`cm이고, 여
학생 중에서 네 번째로 안 좋은 기록은 130`cm이므로 두
기록의 차는 143-130=13(cm)
15 ⑤ 점수가 12점 이상인 학생 수는 4+3=7(명)이고, 8점
이상인 학생 수는 9+4+3=16(명)이므로 점수가 8번
째로 높은 학생이 속하는 계급의 도수는 9명이다.
정답과 풀이 93
16 용준이네 반 전체 학생 수는 3+7+11+8+6=35(명)
yy`①
20 상대도수의 총합은 1이므로 소요 시간이 30분 이상 40분
미만인 계급의 상대도수는
영어 성적이 80점 이상인 학생은 8+6=14(명)이므로
1-(0.10+0.30+0.15+0.05)=0.40
_100=40(%)
;3!5$;
단계
①
②
채점 기준
반 전체 학생 수 구하기
80점 이상인 학생의 비율 구하기
yy`②
비율
40`%
60`%
17 계급의 크기가 2점이므로 (2+3+4+8+3)_2=40
18 높이가 500`m 이상 1000`m 미만인 산의 개수는
17-7=10(개)
따라서 높이가 1500`m 이상 2000`m 미만인 산의 개수는
35-(10+7+4+1)=13(개)
21 전체 학생 수는
는 20_(0.10+0.30+0.40)=20_0.80=16(명)
=20(명)이므로 40분 미만인 학생 수
1
0.05
22 A반, B반의 학생 수를 각각 3a, 4a라 하고 80점 이상인
학생 수를 각각 2b, 3b라 하면 상대도수의 비는
2b
3a
=8：9
3b
4a
;1¥2;
;1»2;
=
=
;4#;
;3@;
：
：
：
19 ① 남학생 수와 여학생 수는 각각 25명으로 같다.
③ 시간이 적게 걸릴수록 기록이 좋은 것이므로 대체로 남
23 ④ 상대도수의 그래프로는 전체 학생 수를 알 수 없다.
⑤ A중학교：(0.17+0.07)_100=24(%)
학생의 기록이 더 좋다.
B중학교：(0.24+0.13)_100=37(%)
94 기말 모의고사
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