체크체크 수학 3-2
1. 대푯값과 산포도
2. 피타고라스 정리
3. 피타고라스 정리의 활용
4. 삼각비
5. 원과 직선
6. 원주각
7. 원주각의 활용
02
11
20
30
42
50
58
진도 교재
대푯값
1
대푯값과 산포도
1-1 (cid:9000) 16점
(평균)=
11+17+19+15+18+16
6
(평균)=
=16(점)
:ª6§:
1-2 (cid:9000) 9
(평균)=
9+8+7+9+10+11+9
7
(평균)=
=9
:§7£:
2-1 (cid:9000) ⑴ 1, 1, 4, 5, 6, 7, 8 ⑵ 4, 5
2-2 (cid:9000) ⑴ 2, 4, 5, 7, 9, 15 ⑵ 3, 4, 6
3-1 (cid:9000) ⑴ 77점 ⑵ 78점
⑴ 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면
10, 71, 72, 74, 77, 78, 78, 83, 87
⑵ 78점이 2개이고 다른 자료는 모두 다르므로 최빈값은 78점이
다.
다.
3-2 (cid:9000) ⑴ 14.5권 ⑵ 없다.
⑴ 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면
6, 8, 10, 12, 14, 15, 22, 23, 28, 30
자료의 개수가 10개이므로 중앙값은 5번째와 6번째 자료의 값
의 평균이다.
∴
14+15
2
=
:™2ª:
=14.5(권)
⑵ 자료의 값이 모두 다르므로 최빈값은 없다.
중앙값은 자료의 개수가 홀수인 경우 한가운데 값을 사용하지
만 자료의 개수가 짝수인 경우 한가운데 놓이는 두 값의평균을
참고
사용한다.
02
체크체크 수학 3-2
p. 8~9
p. 10~11
01 ⑴ 평균 : 23회, 중앙값 : 26회 ⑵ 중앙값
02 ⑴ 평균 : 28인치, 중앙값 : 28.5인치, 최빈값 : 29인치 ⑵ 29인치
03 평균：8.3점, 중앙값：8.5점, 최빈값：9점
04 평균：260 mm, 중앙값：260 mm, 최빈값：260 mm
05 평균：66점, 중앙값：65점, 최빈값：75점
06 평균：12.4점, 중앙값：10점, 최빈값：18점
07 7
11 4
09 ⑴ 5 ⑵ 10 10 ⑴ 80 ⑵ 68
13 70점
08 8
12 84
14 70점
01 ⑴ (평균)=
26+25+28+30+1+24+27
7
161
⑴ (평균)= =23(회)
7
자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면
1, 24, 25, 26, 27, 28, 30
이므로 중앙값은 4번째 자료의 값인 26회이다.
⑵ 극단적인 값인 1이 있으므로 중앙값을 대푯값으로 사용하는
것이 적당하다.
02 ⑴ (평균)=
29+31+27+26+29+25+29+28
8
224
⑴ (평균)= =28(인치)
8
자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면
25, 26, 27, 28, 29, 29, 29, 31이므로
(중앙값)=
=28.5(인치)
28+29
2
(최빈값)=29(인치)
03 (평균)=
6_1+7_4+8_5+9_8+10_2
20
(평균)=
=8.3(점)
166
20
중앙값은 10번째와 11번째 자료의 값의 평균이므로
8+9
2
=8.5(점)
최빈값은 학생 수가 가장 많은 9점이다.
04 (평균)=
250_1+255_2+260_3+265_2+270_1
9
(평균)=
=260 (mm)
2340
9
중앙값은 5번째 자료의 값인 260 mm이다.
최빈값은 학생 수가 가장 많은 260 mm이다.
자료의 개수가 9개이므로 중앙값은 5번째 자료의 값인 77점이
⑵ 최빈값인 29인치의 바지를 가장 많이 준비해야 한다.
05 (평균)=
45_5+55_7+65_5+75_8+85_3+95_2
30
10 ⑴
63+80+70+67+x+72
6
=72에서
(평균)=
=66(점)
1980
30
크기순으로 15번째, 16번째 자료의 값은 모두 60점 이상 70점 미
만인 계급에 속하므로 이 계급의 계급값인 65점이 중앙값이다.
또 도수가 가장 큰 계급은 70점 이상 80점 미만인 계급이므로 이
계급의 계급값인 75점이 최빈값이다.
x+352=432
∴ x=80
⑵ 중앙값이 69점이므로
63, 67, 70, 72, 80에서 670)
02 잘못 측정한 키를 x cm, 제대로 측정한 7명의 키의 합을 y cm라
하면
(제대로 구한 평균)-2=(잘못 구한 평균)이므로
176+y
8
x+y
8
-2=
, 176+y-16=x+y
∴ x=160 (cm)
06 (평균)=
5+x+9+7+y
5
=7에서 x+y=14
yy`㉠
(분산)=
(-2)¤ +(x-7)¤ +2¤ +0¤ +(y-7)¤
5
=2
x¤ +y¤ -14(x+y)+106=10
㉡에 ㉠을 대입하면
x¤ +y¤ -14_14+106=10
∴ x¤ +y¤ =100
yy`㉡
yy`㉢
다른 풀이
8명의 키의 평균이 2 cm 낮게 나오려면 총 키의합이
(x+y)¤ =x¤ +2xy+y¤ 에 ㉠, ㉢`을대입하면
16 cm가 덜 나와야 하므로 176-16=160 (cm)로 잘못보았다.
14¤ =100+2xy ∴ xy=48
1. 대푯값과 산포도
07
07 (평균)=
7_6+7_4
10
=
;1&0);
=7(점)
02 ⑴ (평균)=
270_2+260_3+230+250_2+245+235
10
진도 교재
전체 평균이 각 모둠의 평균과 같으므로 편차 역시 모둠별로 구한
편차와 같다.
A모둠 6명의 편차의 제곱의 합은 표준편차가 1점이므로
6_1¤ =6
B모둠 4명의 편차의 제곱의 합은 표준편차가 '2점이므로
4_('2 )¤ =8
두 모둠을 합한 전체 10명의 편차의 제곱의 합은 6+8=14
∴ (분산)=
=1.4
;1!0$;
`
08
a+b+c+d+e
5
=5이고
(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ +(e-5)¤
5
=4이므로
3a+2, 3b+2, 3c+2, 3d+2, 3e+2에서
(평균)=
(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)+(3d+2)+(3e+2)
5
(평균)=
3(a+b+c+d+e)+10
5
(평균)=3_5+2=17
(분산)=
(3a+2-17)¤ +(3b+2-17)¤ +y+(3e+2-17)¤
5
(평균)=
(3a-15)¤ +(3b-15)¤ +(3c-15)¤ +(3d-15)¤ +(3e-15)¤
5
(평균)=
9{(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ +(e-5)¤ }
5
(평균)=9_4=36
⑴ (평균)=
=253 (mm)
2530
10
⑵ 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면
230, 235, 245, 250, 250, 260, 260, 260, 270, 270
∴ (중앙값)=
=255 (mm)
250+260
2
⑶ 260 mm의 신발이 3개로 가장 많으므로 최빈값은 260 mm
이다.
(cid:9000) ⑴ 253 mm ⑵ 255 mm ⑶ 260 mm
03 선수들의 나이를 표로 나타내면 다음과 같다.
23세 24세 25세 26세 27세 29세 30세 34세
1명
1명
4명
7명
2명
1명
6명
1명
㉠ 26세가 7명으로 가장 많으므로 최빈값은 26세이다.
㉡ 26세인 선수들의 몸무게를 작은 값에서부터 크기순으로 나열
하면 73, 74, 74, 75, 79, 80, 94이므로
(중앙값)=75 (kg)
따라서 나이가 26세이고 몸무게가 75 kg인 선수는 구자철이다.
(cid:9000) 구자철
04 ⑴ 호준이의 몸무게의 편차를 x kg이라 하면
2+x+1+(-2)+4=0 ∴ x=-5
따라서 호준이의 몸무게의 편차는 -5 kg이다.
⑵ (편차)=(변량)-(평균)이므로
-5=(호준이의 몸무게)-78
∴ (호준이의 몸무게)=73 (kg)
⑶ (분산)=
(편차)¤ 의 총합
(변량의 개수)
이므로
(분산)=
2¤ +(-5)¤ +1¤ +(-2)¤ +4¤
5
=
:∞5º:
=10
(cid:9000) ⑴ -5 kg ⑵ 73 kg ⑶ 10
p. 20~21
01 ④
06 ⑤
02 ③
07 ②
03 ③
08 ②
12 ③, ⑤
11 ③
15 평균：24, 분산：80
13 81점
16 0
04 ③
09 :£2¡:
14 88
17 80
p. 22~24
05 ③
10 2시간
18 A
⑤
02 가장 많은 표를 얻은 학생이 학급 대표가 되므로 대푯값으로 적절
한 것은최빈값이다.
01 (cid:9000)
④
①
⑥
②
⑦
③
08
체크체크 수학 3-2
03 (평균)=
30+10+20+10+10+20+10+50
8
=
160
8
=20
자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면
10, 10, 10, 10, 20, 20, 30, 50
09 (-3)+5+x+(-4)=0이므로 x=2
(-3)¤ +5¤ +2¤ +(-4)¤
4
y=
:∞4¢:
=
=
:™2¶:
∴ x+y=2+
=
:™2¶:
:£2¡:
15가 중앙값이다.
11 ①`~`⑤`의 평균은 모두 3으로 같다.
㉢ (평균)=
5_7+15_14+25_11+35_5+45_2+55_1
40
이때 ①`~`⑤ 중에서 표준편차가 가장 크다는 것은 자료의 평균으
로부터의 흩어진 정도가 가장 심한 것을 말하므로 표준편차가 가
(중앙값)=
10+20
2
=15
(최빈값)=10
∴ (최빈값)<(중앙값)<(평균)
04 ㉠ 도수가 가장 큰 계급은 10 이상 20 미만인 계급이므로 이 계급
의 계급값인 15가 최빈값이다.
㉡ 작은값에서부터 크기순으로 20번째와 21번째인 자료의 값은
모두 10 이상 20 미만인 계급에 속하므로 이 계급의 계급값인
㉢ (평균)=
=21
840
40
따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢`이다.
05 (평균)=
77+86+93+x+83+91
6
=
430+x
6
(점)
주어진 수학 시험 점수가 모두 다르므로 최빈값을 가지려면 x는
77, 86, 93, 83, 91 중 하나이어야 한다.
이때 최빈값은 x점이고 평균과 최빈값이 같으므로
=x, 5x=430
430+x
6
∴ x=86
06 ① 분산은 편차의 제곱의 평균이고, 표준편차는 분산의 음이 아닌
제곱근이다.
② 편차는 변량에서 평균을 뺀 값이다.
③ 편차의 합은 항상 0이다.
④ 두 자료의 분산만으로는 평균이 같은지 다른지 알 수 없다.
07 정우의 음악 성적의 편차를 x점이라 하면
3+3+(-2)+x+1+(-1)=0 ∴ x=-4
따라서 정우의 음악 성적은 65+(-4)=61(점)
10 (평균)=
1_4+3_3+5_2+7_1
10
30
10
= =3(시간)
(분산)=
(-2)¤ _4+0¤ _3+2¤ _2+4¤ _1
10
40
= =4
10
∴ (표준편차)='4=2(시간)
장 큰 것은 ③`이다.
다른 풀이
①~⑤`의 평균은 모두 3으로 같다.
① (분산)=
(-1)¤ _3+1¤ _3
6
=1
∴ (표준편차)=1
② (분산)=
(-1)¤ _2+1¤ _2+0¤ _2
6
=
;3@;
∴ (표준편차)=Æ;3@;
③ (분산)=
(-2)¤ _3+2¤ _3
6
=4
∴ (표준편차)=2
④ (분산)=
(-2)¤ _2+2¤ _2+0¤ _2
6
=
;3*;
∴ (표준편차)=Æ;3*;
⑤ (분산)=
=0(cid:0)
(cid:0)∴ (표준편차)=0
0¤ _6
6
따라서 표준편차가 가장 큰 것은③`이다.
12 ① 주어진 자료만으로는 알 수 없다.
② 편차의 총합은 항상 0이므로 4개 반 모두 같다.
③ 2반의 표준편차가 가장 작으므로 2반 학생들의 성적이 가장
고르게 분포되어 있다.
08 ② (편차)=(변량)-(평균)이므로
④ 표준편차가 클수록 분산도 크므로 표준편차가 가장 큰 3반이
몸무게가 가장 많이 나가는 학생은 A이다.
분산도 가장 크다는 것을 알 수 있다.
③ A는 평균보다 2 kg이 더 나가고, B는 평균보다 1 kg이 덜 나
따라서 옳은 것은 ③, ⑤이다.
가므로 A는 B보다 몸무게가 3 kg 더 나간다.
④ (분산)=
2¤ +(-1)¤ +0¤ +(-2)¤ +1¤
5
=
:¡5º:
=2
⑤ (표준편차)='2 (kg)
13 12과목 성적의 평균이 1점 더 나오려면 총 점수가 12점이 더 나
와야 하므로 69+12=81(점)으로 잘못보았다.
1. 대푯값과 산포도
09
진도 교재
14 (평균)=
70_15+70_10
15+10
=
1750
25
=70(점)이므로
(A반의 편차의 제곱의 합)=15_80=1200
(B반의 편차의 제곱의 합)=10_100=1000
17 평균이 4이므로
1+3+a+b
4
분산이 6.5이므로
따라서 두 반 전체의 분산은
1200+1000
15+10
=
2200
25
=88
15 a, b, c, d, e의 평균이 6, 분산이 5이므로
a+b+c+d+e
5
=6
(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ +(d-6)¤ +(e-6)¤
5
=5
4a, 4b, 4c, 4d, 4e에서
(평균)=
4a+4b+4c+4d+4e
5
(평균)=
4(a+b+c+d+e)
5
=4_6=24
(평균)=
16{(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ +(d-6)¤ +(e-6)¤ }
5
(평균)=16_5=80
16 (평균)=
9+7+10+7+6+7+8+9+10+7
10
= =8(점)
80
10
자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면
6, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 10이므로
(분산)=
(4a-24)¤ +(4b-24)¤ +(4c-24)¤ +(4d-24)¤ +(4e-24)¤
5
18 A의 기록에서
=4에서 a+b=12 yy`㉠
`3점
(1-4)¤ +(3-4)¤ +(a-4)¤ +(b-4)¤
4
=6.5에서
a¤ +b¤ -8(a+b)+42=26
yy`㉡
`3점
㉡`에 ㉠`을대입하면
a¤ +b¤ -96+42=26
∴ a¤ +b¤ =80
채점 기준
평균을 이용하여 식 세우기
분산을 이용하여 식 세우기
a¤ +b¤ 의 값 구하기
(평균)=
13+15+14+16+17
5
=
:¶5∞:
=15(회)
(분산)=
(-2)¤ +0¤ +(-1)¤ +1¤ +2¤
5
=
:¡5º:
=2
∴ (표준편차)='2(회)
B의 기록에서
(평균)=
15+11+13+17+19
5
=
:¶5∞:
=15(회)
(분산)=
0¤ +(-4)¤ +(-2)¤ +2¤ +4¤
5
=
:¢5º:
=8
`2점
배점
3점
3점
2점
`3점
`2점
배점
3점
3점
2점
(중앙값)=
=7.5(점)
7+8
2
(최빈값)=7(점)
∴ a=8, b=7.5, c=7
∴ a-2b+c=8-2_7.5+7=0
채점 기준
평균, 중앙값, 최빈값 각각 구하기
a-2b+c의 값 구하기
∴ (표준편차)='8=2'2(회)
따라서 A가 B보다 표준편차가 더 작으므로 기록의 분포가 더 고
`3점
`6점
`2점
배점
각 2점
2점
른 사람은 A이다.
채점 기준
A의 표준편차 구하기
B의 표준편차 구하기
표준편차를 비교하여 A, B 중 기록의 분포가 더 고른 사람 구하기
10
체크체크 수학 3-2
2
피타고라스 정리
02 △ABD에서 x="√20¤ -16¤ ='∂144=12
△ADC에서 y="√13¤ -12¤ ='2å5=5
피타고라스 정리
1-1 (cid:9000) ⑴ '1å3 ⑵ 6
⑴ x="√3¤ +2¤ ='1å3
⑵ x="√10¤ -8¤ =6
1-2 (cid:9000) ⑴ '4å1 ⑵ '1å1
⑴ x="√5¤ +4¤ ='4å1
⑵ x="√6¤ -5¤ ='1å1
2-1 (cid:9000) ⑴ '5 ⑵ 3
⑴ △BCD에서 BD”="√2¤ +1¤ ='5
⑵ △ABD에서 AD”="√2¤ +('5 )¤ ='9=3
2-2 (cid:9000) 2'1å1
△BCD에서 BD”="√20¤ -16¤ ='ƒ144=12
△ABD에서 x="√12¤ -10¤ ='4å4=2'1å1
3-1 (cid:9000) ⑴ 25 cm¤ ⑵ 5 cm
⑴ (cid:8772)AFGB=(cid:8772)ACDE+(cid:8772)CBHI=16+9=25 (cm¤ )
¤ =25 (cm¤ )이므로
⑵ (cid:8772)AFGB=AB”
AB”=5 (cm) (∵ AB”>0)
3-2 (cid:9000) ⑴ 64 cm¤ ⑵
cm
:£5™:
⑴ (cid:8772)AFKJ=(cid:8772)ACDE=8¤ =64 (cm¤ )
⑵ △ABC에서 AB”="√8¤ +6¤ ='∂100=10 (cm)
AF”=AB”=10 (cm),
(cid:8772)AFKJ=AF”_F’K”이므로 64=10F’K”
∴ F’K”=
;1^0$;=:£5™:
(cm)
01 x=15, y=17
04 4
06 ⑴ 10 ⑵ 2'3å7
05 ⑴ 2 cm ⑵ 4'2 cm ⑶ 24'2 cm¤
08 ㉡, ㉤
07 ④
02 x=12, y=5
03 '5 cm
01 △ABC에서 x="√25¤ -(8+12)¤ ='∂225=15
△ABD에서 y="√8¤ +15¤ ='∂289=17
03 PB”="√1¤ +1¤ ='2 (cm), PC”="√('2)¤ +1¤ ='3 (cm)
PD”="√('3)¤ +1¤ ='4=2 (cm)
∴ PE”="√2¤ +1¤ ='5 (cm)
p. 28~29
04 OA”=OA'”=2이므로
OB”=OB'”="√2¤ +2¤ ='8=2'2
OC”=OC'”="√(2'2)¤ +2¤ ='1å2=2'3
∴ OD”=OD'”="√(2'3 )¤ +2¤ ='1å6=4
05 ⑴ 점 D에서 BC”에 내린수선의 발을
A
4`cm
D
⑴ H'이라 하면
⑴ △ABH™△DCH'(`RHA 합동)이고
6`cm
B
H
CH'H'
8`cm
⑴ HH'”=AD”=4 (cm)이므로
⑴ BH”=CH'”=;2!;(BC”-HH'”)
⑴ BH”=;2!;_(8-4)=2 (cm)
⑵ △ABH에서
⑴ AH”="√6¤ -2¤ ='3å2=4'2 (cm)
⑶ (cid:8772)ABCD=;2!;_(4+8)_4'2=24'2 (cm¤ )
06 ⑴ 점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을
A
6
D
H라 하면
⑴ AH”=DC”=4'3, CH”=AD”=6
⑴ △ABH에서
8
B
H
÷(cid:2)34
C
⑴ BH”="√8¤ -(4'3 )¤ ='1å6=4
⑴ ∴ BC”=BH”+CH”=4+6=10
⑵ △DBC에서 BD”="√10¤ +(4'3 )¤ ='ƒ148=2'3å7
07 △EBA=△EBC (∵ EB”∥DC”`)
=△ABF (∵ △EBC™△ABF)
=△BFJ (∵ BF”∥AK”)
+△ABC
p. 30
08 (cid:8772)ACHI=2△HAC
=2△HBC (∵ BI”∥CH”`)
=2△AGC (∵ △HBC™△AGC)
=2△JGC (∵ AK”∥CG”`)
=(cid:8772)JKGC
+2△AKG
+△ABH
2. 피타고라스 정리
11
즉 △AEH, △BFE, △CGF, △DHG는 모두합동인 직각삼
7-1 (cid:9000) ㉡, ㉣
진도 교재
4-1 (cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 36 ⑶ 2'5 ⑷ 20
⑴ AD”=BC”=2 (∵ △EAD™△ABC)
∴ CD”=CA”+AD”=4+2=6
⑵ (cid:8772)CDFH는 한 변의 길이가 6인 정사각형이므로
(cid:8772)CDFH=6¤ =36
⑶ △ABC에서 AB”="√2¤ +4¤ ='2å0=2'5
⑷ (cid:8772)AEGB는 한 변의 길이가 2'5인 정사각형이므로
(cid:8772)AEGB=(2'5 )¤ =20
4-2 (cid:9000) ⑴ '1å0 ⑵ '6 ⑶ 2+'6 ⑷ 10+4'6
⑴ (cid:8772)ABCD는 정사각형이므로 네 변의길이가 모두 같고
AE”=BF”=CG”=DH”=2이므로
AH”=BE”=CF”=DG”이다.
각형이므로 (cid:8772)EFGH는 정사각형이다.
이때 (cid:8772)EFGH=EF”
EF”='1å0 (∵ EF”>0)
¤ =10이므로
⑵ △EBF에서 EB”="√('1å0)¤ -2¤ ='6
⑶ AB”=AE”+EB”=2+'6
⑷ (cid:8772)ABCD=AB”
¤ =(2+'6 )¤
=4+4'6+6=10+4'6
5-1 (cid:9000) 90, a+b, ;2!;c¤
△ABC™△EAD이므로 ∠ABC=∠EAD
∴ ∠BAE=180˘-(∠BAC+∠EAD)
∴ ∠BAE=180˘-(∠BAC+∠ABC)
∴ ∠BAE=180˘-90˘=
90
˘
(사다리꼴 BCDE의 넓이)=2△ABC+△BAE에서
;2!;_(
a+b
)¤ =2_;2!;ab+
c¤
;2!;
(a+b)¤ =2ab+c¤ , a¤ +2ab+b¤ =2ab+c¤
∴ a¤ +b¤ =c¤
5-2 (cid:9000) 40 cm¤
△ABE™△ECD이므로
BE”=CD”=8 (cm), EC”=AB”=4 (cm)
AE”=ED”="√8¤ +4¤ =4'5 (cm)
한편 ∠BAE+∠AEB=90˘, ∠BAE=∠CED이므로
∠CED+∠AEB=90˘ ∴ ∠AED=180˘-90˘=90˘
따라서 △AED는 ∠AED=90˘이고 AE”=ED”=4'5 (cm)
인 직각이등변삼각형이므로
△AED=
_4'5_4'5=40 (cm¤ )
;2!;
12
체크체크 수학 3-2
p. 31~33
6-1 (cid:9000) ⑴ 12 cm ⑵ 3 cm ⑶ 9 cm¤
⑴ E’A”=AB”=15 (cm)
△EAH에서 EH”="√15¤ -9¤ =12 (cm)
⑵ EG”=AH”=9 (cm)이므로
GH”=EH”-EG”=12-9=3 (cm)
⑶ (cid:8772)CFGH는 한 변의 길이가 3 cm인 정사각형이므로
(cid:8772)CFGH=3¤ =9 (cm¤ )
6-2 (cid:9000) 36-10'1å1
△ABC에서 BC”="√6¤ -5¤ ='1å1
△BDF™△ABC이므로 BF”=AC”=5
∴ CF”=BF”-BC”=5-'1å1
이때 (cid:8772)CFGH는 한 변의 길이가 5-'1å1인 정사각형이므로
(cid:8772)CFGH=(5-'1å1)¤ =36-10'1å1
삼각형의 가장 긴 변의 길이의 제곱이 나머지 두 변의 길이의 제
곱의 합과 같으면 직각삼각형이다.
㉠ 4¤ +2¤ +3¤
㉢ (2'5 )¤ +4¤ +(2'3 )¤
㉤ 5¤ +('1å4)¤ +4¤
따라서 직각삼각형인 것은 ㉡, ㉣이다.
㉡ ('6å1)¤ =5¤ +6¤
㉣ 13¤ =5¤ +12¤
㉥ 7¤ +3¤ +5¤
7-2 (cid:9000) 3개
㉠ 2¤ =1¤ +('3 )¤
㉢ 10¤ +7¤ +8¤
㉤ 14¤ +5¤ +13¤
㉡ ('4å1)¤ =4¤ +5¤
㉣ 16¤ +8¤ +15¤
㉥ ('2 )¤ =1¤ +1¤
따라서 직각삼각형인 것은 ㉠, ㉡, ㉥의 3개이다.
가장 긴 변의길이가 x+2이므로
(x+2)¤ =x¤ +6¤ , x¤ +4x+4=x¤ +36
4x=32 ∴ x=8
8-1 (cid:9000) 8
8-2 (cid:9000) 9
가장 긴 변의길이가 x+6이므로
(x+6)¤ =12¤ +x¤ , x¤ +12x+36=144+x¤
12x=108 ∴ x=9
01 5 cm¤
06 8
02 98 cm¤
07 6, -2+2'7
03 34 cm¤
04 8'3-8
08 4'1å5
05 7
p. 34
p. 35~37
yy㉠
yy㉡
yy㉠
yy㉡
01 (cid:8772)ABCD는 넓이가 9 cm¤ 인 정사각형이므로 BC”=3 cm
∴ FC”=3-1=2 (cm)
△CFG에서 FG”="√2¤ +1¤ ='5 (cm)
이때 (cid:8772)EFGH는 정사각형이므로
(cid:8772)EFGH=FG”
¤ =('5 )¤ =5 (cm¤ )
¤ 가장 긴 변의길이가 4일 때
⁄ 4¤ =2¤ +x¤ , x¤ =12 ∴ x=2'3 (∵ x>0)
따라서 모든 x의 값의 곱은
2'5_2'3=4'1å5
02 △ABE™△CDB에서
BE”=DB”, ∠EBD=90˘
이므로 △EBD는 직각이등변삼각형이다.
이때 △EBD=50 cm¤ 이므로
¤ =100
_BE”_DB”=50, BE”
;2!;
∴ BE”=10 (cm) (∵ BE”>0)
즉 AB”=CD”="√10¤ -8¤ =6 (cm)
∴ (cid:8772)EACD=
;2!;
_(6+8)_14=98 (cm¤ )
03 (cid:8772)CFGH는 정사각형이고, 넓이가 4 cm¤ 이므로 CF”=2 (cm)
BC”=2+3=5 (cm), AC”=BF”=3 (cm)
△ABC에서 AB”="√5¤ +3¤ ='3å4 (cm)
∴ (cid:8772)ABDE=AB”
¤ =('3å4)¤ =34 (cm¤ )
04 △ABQ에서 AQ”="√4¤ -2¤ ='1å2=2'3이므로 PQ”=2'3-2
이때 (cid:8772)PQRS는 정사각형이므로 둘레의 길이는
4PQ”=4_(2'3-2)=8'3-8
05 변의 길이는 양수이므로 x-1>0에서 x>1
가장 긴 변의길이가 x+3이므로 직각삼각형이 되려면
(x+3)¤ =(x+1)¤ +(x-1)¤ , x¤ +6x+9=2x¤ +2
x¤ -6x-7=0, (x-7)(x+1)=0 ∴ x=7 (∵ x>1)
06 변의 길이는 양수이므로 x-2>0에서 x>2
가장 긴 변의길이가 x+2이므로
(x+2)¤ =(x-2)¤ +x¤ , x¤ +4x+4=2x¤ -4x+4
x¤ -8x=0, x(x-8)=0 ∴ x=8 (∵ x>2)
07 ⁄ 가장 긴 변의길이가 x+4일 때
⁄ (x+4)¤ =8¤ +x¤ , 8x=48 ∴ x=6
¤ 가장 긴 변의길이가 8일 때
⁄ 8¤ =x¤ +(x+4)¤ , x¤ +4x-24=0
⁄ ∴ x=-2+2'7 (∵ x>0)
08 ⁄ 가장 긴 변의길이가 x일 때
⁄ x¤ =2¤ +4¤ , x¤ =20 ∴ x=2'5 (∵ x>0)
피타고라스 정리를 이용한 성질
1-1 (cid:9000) 2, 14, 8, 10, 2, 10
삼각형이 결정되는 조건에 의하여
8-60)
10
㉠, ㉡에서 90˘이므로 x¤ >4¤ +5¤
∴ x>'4å1 (∵ x>0)
㉠, ㉡에서 '4å15¤ +6¤ (둔각삼각형)
⑶ 가장긴 변의 길이는 10 cm이다.
⑴ 10¤ <5¤ +9¤ (예각삼각형)
⑷ 가장긴 변의 길이는 13 cm이다.
⑴ 13¤ >8¤ +9¤ (둔각삼각형)
⑴ 8¤ <5¤ +7¤ (예각삼각형)
⑵ 13¤ =5¤ +12¤ (직각삼각형)
⑶ 9¤ <6¤ +7¤ (예각삼각형)
⑷ 13¤ >7¤ +10¤ (둔각삼각형)
3-1 (cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 9
⑴ AD” ="√(2'1å3)¤ -4¤ ='3å6=6
⑵ 6¤ =4_DC” ∴ DC”=9
2-1 (cid:9000) ⑴ 직각삼각형 ⑵ 둔각삼각형 ⑶ 예각삼각형 ⑷ 둔각삼각형
2-2 (cid:9000) ⑴ 예각삼각형 ⑵ 직각삼각형 ⑶ 예각삼각형 ⑷ 둔각삼각형
2. 피타고라스 정리
13
진도 교재
3-2 (cid:9000) ⑴ 8 ⑵ 4.8
⑴ △ABC에서 AC”="√10¤ -6¤ =8
⑵ 6_8=10_AD” ∴ AD”=4.8
4-1 (cid:9000) 3
DE”
¤ +CD”
¤ +BC”
¤ =BE”
¤ +7¤ =('2å2)¤ +6¤ , DE”
¤ 에서
¤ =9
DE”
∴ DE”=3 (∵ DE”>0)
4-2 (cid:9000) 3'5
4¤ +BC”
∴ BC”=3'5 (∵ BC”>0)
¤ =5¤ +6¤ , BC”
¤ =45
③ 가장긴 변의 길이는 '4å1 cm이므로
① ('4å1)¤ =4¤ +5¤
(cid:0) ∴ 직각삼각형
④ 가장 긴 변의 길이는 '5 cm이므로
① ('5)¤ <('3)¤ +2¤
⑤ 가장긴 변의 길이는 3 cm이므로
① 3¤ >('2)¤ +('3)¤
(cid:0) ∴ 둔각삼각형
(cid:0) ∴ 예각삼각형
05 ⑴ △ABC에서 AC”="√5¤ -3¤ =4 (cm)
¤ =CH”_CB”에서
⑵ AC”
⑵ 4¤ =CH”_5 ∴ CH”=
(cm)
:¡5§:
06 ⑴ AB”
¤ =BH”_BC”에서
⑵ 2¤ =1_BC” ∴ BC”=4 (cm)
⑵ △ABC에서 AC”="√4¤ -2¤ ='1å2=2'3 (cm)
p. 38
07 DE”는 삼각형의 두 변의중점을 연결한 선분이므로
DE”=;2!;AC”=;2!;_10=5
∴ AE”
∴ AE”
¤ +CD”
¤ +CD”
¤ +AC”
¤ =DE”
¤ =5¤ +10¤ =125
01 8개
02 '3å464 ∴ x>8 (∵ x>0)
yy㉡
08 △DBE에서 DE”="√2¤ +4¤ ='2å0=2'5
¤ =DE”
¤ +AC”
=(2'5 )¤ +9¤ =101
¤ +CD”
∴ AE”
㉠, ㉡에서 85이므로 53¤ +5¤ , a¤ >34 ∴ a>'3å4 (∵ a>0)
㉠, ㉡에서 '3å42¤ +2¤ (둔각삼각형)
② (3'2 )¤ =3¤ +3¤ (직각삼각형)
③ 3¤ =2¤ +('5 )¤ (직각삼각형)
④ 6¤ <4¤ +5¤ (예각삼각형)
⑤ 10¤ >5¤ +8¤ (둔각삼각형)
04 ① 가장 긴 변의 길이는 '6 cm이므로
(cid:0) ∴ 둔각삼각형
① ('6)¤ >1¤ +2¤
② 가장긴 변의 길이는 6 cm이므로
① 6¤ >(2'2)¤ +5¤
(cid:0) ∴ 둔각삼각형
14
체크체크 수학 3-2
yy㉠
yy㉡
5-1 (cid:9000) 2'1å0 cm
¤ +CD”
¤ =7¤ +4¤
AB”
¤ =40 ∴ CD” =2'1å0 (cm) (∵ CD”>0)
¤ 에서 5¤ +CD”
¤ =AD”
¤ +BC”
CD”
p. 39~41
5-2 (cid:9000) 3'3 cm
¤ +CD”
¤ +5¤
AB”
¤ =27 ∴ AD”=3'3 (cm) (∵ AD”>0)
¤ 에서 4¤ +6¤ =AD”
¤ =AD”
¤ +BC”
AD”
6-1 (cid:9000) 2'5 cm
¤ +3¤ , BP”
5¤ +2¤ =BP”
∴ BP”=2'5 (cm) (∵ BP”>0)
¤ =20
6-2 (cid:9000) 4
AP”
¤ +(2'2å1)¤ =6¤ +8¤ , AP”
¤ =16
∴ AP”=4 (∵ AP”>0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
¤
¤
7-1 (cid:9000) 8p cm¤
S¡+S™=(BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이)
S¡+S™=;2!;_p_4¤ =8p (cm¤ )
7-2 (cid:9000) :™2∞:
p
S=(`AB”를 지름으로 하는 반원의 넓이)
S=+(`AC”를 지름으로 하는 반원의 넓이)
S=;2!;_p_3¤ +;2!;_p_4¤ =:™2∞:p
다른 풀이
직각삼각형 ABC에서 BC”="√6¤ +8¤ =10
∴ S=;2!;_p_5¤ =:™2∞:p
8-1 (cid:9000) 100 cm¤
(색칠한 부분의 넓이)=△ABC
(색칠한 부분의 넓이)=;2!;_20_10=100 (cm¤ )
8-2 (cid:9000) 54 cm¤
(색칠한 부분의 넓이)=△ABC
(색칠한 부분의 넓이)=;2!;_12_9=54 (cm¤ )
9-1 (cid:9000) ⑴ 1, 10, '3, 5'3 ⑵ '2, 4'2, 4, 4 ⑶ '3, '3, 2, 2'3
⑴ 5 : x=
1
: 2 ∴ x=
10
⑴ 5 : y=1 :
⑵ 4 : x=1 :
'3
'2
∴ y=
5'3
∴ x=
4'2
⑴
4
: y=1 : 1 ∴ y=
4
⑶ x : 3=1 :
'3
, '3x=3 ∴ x=
'3
⑴ 3 : y='3:
2
, '3y=6 ∴ y=
2'3
9-2 (cid:9000) ⑴ x=4'3, y=4 ⑵ x=5'2, y=5'2 ⑶ x=12, y=6'3
∴ x=4'3
⑴ 8 : x=2 : '3
⑴ 8 : y=2 : 1 ∴ y=4
⑵ x : 10=1 : '2 ∴ x=5'2
⑴ x : y=1 : 1 ∴ y=5'2
⑶ x : 6=2 : 1 ∴ x=12
⑴ 6 : y=1 : '3 ∴ y=6'3
10-1 (cid:9000) x=3'3, y=
3'6
2
△ABC에서 6: x=2: '3 ∴ x=3'3
△ACD에서 x : y='2 : 1, 3'3 : y='2 : 1
∴ y=
3'6
2
10-2 (cid:9000) x=2'3, y=2'6
△ABC에서 2 : x=1 : '3 ∴ x=2'3
△DBC에서 y : 2'3='2 : 1 ∴ y=2'6
p. 42
03 16 cm¤
06 4'3
01 ⑴ 4'2 cm ⑵ 9 cm 02 16
4'3
04 20
3
05 ⑴ 30˘ ⑵
⑶ ;3$;
01 ⑴ △AOD에서 AD”="√4¤ +4¤ =4'2 (cm)
⑵ 8¤ +7¤ =(4'2 )¤ +BC”
⑵ 64+49=32+BC”
¤ , BC”
¤ =81
⑵ ∴ BC”=9 (cm) (∵ BC”>0)
02 AP”
¤ +CP”
¤ =BP”
¤ +DP”
¤ 에서
5¤ +y¤ =3¤ +x¤
∴ x¤ -y¤ =25-9=16
03 △ABC에서 AB”="√(4'5 )¤ -4¤ =8 (cm)
∴ (색칠한부분의 넓이)=△ABC=;2!;_8_4=16 (cm¤ )
04 30p+20p=
_p_{
;2!;
BC”
2
}
BC”
¤ =50, BC”
¤ =400
;8!;
∴ BC”=20 (∵ BC”>0)
05 ⑴ △ABC에서 ∠C=180˘-(90˘+60˘)=30˘
⑵ △AHC에서 AH” : 4=1 : '3 ∴ AH”=
⑶ △ABH에서 BH” : AH”=1 : '3, BH” :
4'3
3
4'3
3
=1 : '3
⑵ ∴ BH”=
;3$;
06 △AHC에서 6'2 : AH”='2 : 1 ∴ AH”=6
△ABH에서 x: 6=2 : '3 ∴ x=4'3
2. 피타고라스 정리
15
¤
¤
진도 교재
1 ⑴ 15 cm ⑵ 12 cm ⑶ 3 cm ⑷ QC”=(9-x) cm, x=5
2 ⑴ BE”=(10-x) cm, x=
:¡4∞: ⑵
125
8
cm¤
1 ⑴ AP”=AD”=15 cm
⑵ △ABP에서 BP”="√15¤ -9¤ =12 (cm)
⑶ CP”=BC”-BP”=15-12=3 (cm)
⑷ PQ”=x cm이므로
DQ”=PQ”=x cm, QC”=DC”-DQ”=9-x (cm)
△QPC에서 x¤ =(9-x)¤ +3¤
18x=90 ∴ x=5
2 ⑴ ∠EBD=∠DBC (접은 각)
=∠EDB (엇각)
⑴ 즉 △EBD는 BE”=DE”인
이등변삼각형이다.
⑴ 이때 AE”=x cm라 하면
⑴ ED”=(10-x) cm
⑴ ∴ BE”=ED”=(10-x) cm
5`cm
A
B
C'
(10-x)`cm
xx`cm
E
D
C
10`cm
⑴ △ABE에서
⑴ (10-x)¤ =x¤ +5¤ , 100-20x+x¤ =x¤ +25
⑴ 20x=75 ∴ x=
:¡4∞:
⑵ △BDE=;2!;_ED”_AB”
⑴ △BDE=;2!;_{10-:¡4∞:}_5=
;:!8@:%;
(cm¤ )
p. 43
03 오른쪽 그림과 같이 점 A, D에서 BC”
에 내린수선의 발을 각각 E, H라 하면
A
4`cm
D
4`cm
B
2`cm
E
4`cm
2`cm
H
C
△DHC에서
DH”=øπ DC”
¤ -CH”
="√4¤ -2¤ =2'3 (cm)
즉 △DBH에서
BD”=øπBH”
¤ +DH”
¤ ="√6¤ +(2'3 )¤ ='4å8=4'3 (cm)
04 (cid:8772)GFBA=AB”
¤ =81 (cm¤ )이므로
AB”=9 (cm) (∵ AB”>0)
△ABC에서 BC”=CE”=15 (cm)이므로
AC”="√15¤ -9¤ ='ƒ144=12 (cm)
∴ △BCH=△ACH=
;2!;(cid:8772)ACHI=
;2!;
_12¤ =72 (cm¤ )
05 정사각형 ABCD의 넓이가 90이므로 AB”
¤ =90에서
AB”=3'1å0 (∵ AB”>0)
(cid:8772)PQRS도 정사각형이고 그 넓이가 36이므로 PQ”
¤ =36에서
PQ”=6 (∵ PQ”>0)
BQ”=AP”=x이고 AQ”=x+6이므로
△ABQ에서
(3'1å0)¤ =x¤ +(x+6)¤ , 2x¤ +12x+36=90
x¤ +6x-27=0, (x+9)(x-3)=0
∴ x=3 (∵ x>0)
06 BE”=x cm라 하면 DE”=AE”=(12-x) cm
BD”=;2!;BC”=6 (cm)이므로 △EBD에서
(12-x)¤ =x¤ +6¤ , x¤ -24x+144=x¤ +36
24x=108 ∴ x=
;2(;
07 △BCD에서 BD”="√8¤ +4¤ =4'5 (cm)
∠EBD=∠DBC (접은 각), ∠DBC=∠EDB (엇각)이므로
AE”=a cm라 하면 ED”=EB”=(8-a) cm
△ABE에서 (8-a)¤ =a¤ +4¤
64-16a+a¤ =a¤ +16, 16a=48 ∴ a=3
∴ BE”=5 cm
한편 △BDE는 이등변삼각형이고 이등변삼각형의 꼭짓점에서
밑변에 내린 수선은 밑변을 이등분하므로
BH”=
BD”=2'5 (cm)
;2!;
따라서 △EBH에서
EH”="√5¤ -(2'5 )¤ ='5 (cm)
03 ③
02 '2
07 '5 cm 08 4
04 72 cm¤
4'3
3
09
01 ④
06 ;2(;
cm
11 ①
12
4'5
5
p. 44~45
05 3
`cm 10 풀이 참조
13 32
14 12
15 84'3 cm¤
∠EBD=∠EDB ∴ EB”=ED”
01 △ABC에서 BC”="√13¤ -5¤ =12
∴ MC”=BM”=;2!;BC”=6
△AMC에서 AM”="√6¤ +5¤ ='6å1
02 OA”=OA'”=x라 하면
OB”=OB'”="√x¤ +x¤ ='2x
OC”=OC'”="√x¤ +('2x)¤ ='3x
이때 '3x='6이므로 x='2
16
체크체크 수학 3-2
¤
13 △ABC에서 AB”="√6¤ +4¤ ='5å2=2'1å3
¤ =AD”
¤ +DE”
AB”
(2'1å3)¤ +DE”
¤ -DE”
∴ BE”
¤ +BE”
¤ 에서
¤ =(2'5 )¤ +BE”
¤ =52-20=32
F
7`cm
14 오른쪽 그림에서
S¡+S™=△ABD
S£+S¢=△BCD
∴ S¡+S™+S£+S¢
=△ABD+△BCD
=(cid:8772)ABCD
=3_4=12
A
D
S™
3
S¡
4
S£
B
C
S¢
8 cm
A
D
12 cm
60˘
H
H'
C
15 두 점 A, D에서 BC”에 내린수선의
발을 각각 H, H'이라 하면
△ABH에서
12 : AH”=2 : '3이므로
AH”=6'3 (cm)
12 : BH”=2 : 1이므로 BH”=6 (cm)
이때 △ABH™△DCH'(`RHA 합동)이므로
B
CH'”=BH”=6 (cm)
BC”=BH”+HH'”+CH'”=6+8+6=20 (cm)
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(8+20)_6'3=84'3 (cm¤ )
(7-a)`cm
H
A
5`cm
a`cm
E
b`cm
B
D
G
C
08 (cid:8772)ABCD와 (cid:8772)EFGH의 한 변의길
이는 각각 7 cm, 5 cm이다.
오른쪽 그림에서
△AEH™△BFE™△CGF
™△DHG (RHA 합동)이므로
AH”=BE”=b=7-a (cm)
△AEH에서
a¤ +(7-a)¤ =5¤ , 2a¤ -14a+49=25
a¤ -7a+12=0, (a-3)(a-4)=0
∴ a=3 또는 a=4
이때 a>b이므로 a=4
09 CD”=x cm라 하면
BC”="√4¤ -2¤ ='1å2=2'3 (cm)이므로 BD”=(2'3-x) cm
각의 이등분선의 성질에 의해 4：2=(2'3-x)：x
4x=2(2'3-x), 6x=4'3 ∴ x=
2'3
3
∴ AD”=æ≠{
2'3
3
¤ +2¤ =Æ…:¡3§:
}
=
4'3
3
(cm)
10 삼각형이 결정되는 조건에 의하여
이때 a는 가장긴 변의 길이이므로
7
12
∴
12
5¤ +12¤ 에서 a¤ >
169
∴ a>
13
(∵ a>0)
yy`㉡
㉠, ㉡`에 의하여
13
a¤ +b¤ 이면 둔각삼각형이다.
고은：9¤ >5¤ +7¤
지현：14¤ >9¤ +10¤
04 ① 15¤ +x¤ =17¤ , x¤ =64 ∴ x=8 (∵ x>0)
② x：6'2=1：'2, '2x=6'2 ∴ x=6
③ x¤ +3¤ =4¤ , x¤ =7 ∴ x='7 (∵ x>0)
④ '5：x=1：'2 ∴ x='1å0
⑤ 1¤ +3¤ =x¤ , x¤ =10 ∴ x='1å0 (∵ x>0)
⑥ 4：x=1：2 ∴ x=8
⑦ x¤ +(3'2 )¤ =5¤ , x¤ =7 ∴ x='7 (∵ x>0)
⑧ 3'3：x='3：2, '3x=6'3 ∴ x=6
따라서 x의 값이서로같은것끼리 짝지으면
① - ⑥, ②` - ⑧, ③- ⑦, ④ - ⑤`이다.
(cid:9000) 풀이 참조
01 ④
06 ④
15 ⑤
19
9'3
2
02 ④
07 ⑤
16 ①
20 15
11 2'1å30)
18
체크체크 수학 3-2
AE”=5 cm이므로 △ABE에서
BE”="√5¤ -3¤ =4 (cm)
CE”=5-4=1 (cm)
따라서 △FEC에서
x¤ =(3-x)¤ +1¤ , 6x=10
∴ x=
;3%;
11 삼각형이 결정되는 조건에 의하여
6-46이므로 64¤ +6¤ , a¤ >52 ∴ a>2'1å3 (∵ a>0)
㉠, ㉡에서 2'1å37)
채점 기준
x의 값 구하기
피타고라스 정리를 이용하여 식 세우기
21 사각형의 두 대각선이 직교할 때
¤ +BC”
¤ +CD”
¤ =AD”
AB”
('5 )¤ +6¤ =5¤ +x¤ , 5+36=25+x¤
x¤ =16 ∴ x=4 (∵ x>0)
¤ 이 성립하므로
△BOC에서 피타고라스 정리에 의해
y="√x¤ -2¤ ="√4¤ -2¤ =2'3
∴ x+y=4+2'3
채점 기준
x의 값 구하기
y의 값 구하기
x+y의 값 구하기
`2점
`2점
`2점
배점
2점
2점
2점
`2점
`4점
배점
2점
4점
`3점
`2점
`1점
배점
3점
2점
1점
2. 피타고라스 정리
19
진도 교재
3
피타고라스 정리의 활용
평면도형에서의 활용
1-1 (cid:9000) ⑴ 10 cm ⑵ 3'2 cm
⑴ AC”="√8¤ +6¤ =10 (cm)
⑵ BD”='2_3=3'2 (cm)
1-2 (cid:9000) ⑴ 20 cm ⑵ 5'2 cm
⑴ BD”="√16¤ +12¤ =20 (cm)
⑵ BD”='2_5=5'2 (cm)
2-1 (cid:9000) ⑴ 15 ⑵
7'2
2
⑴ x="√17¤ -8¤ =15
⑵ '2x=7 ∴ x=
7'2
2
2-2 (cid:9000) ⑴ '3å3 ⑵ 5'2
⑴ x=AD”="√7¤ -4¤ ='3å3
⑵ '2x=10 ∴ x=5'2
3-1 (cid:9000) ⑴ 3'3 cm ⑵ 9'3 cm¤
⑴ (높이)= _6=3'3 (cm)
'3
2
'3
4
'3
2
'3
4
3-2 (cid:9000) ⑴ 5'3 cm ⑵ 25'3 cm¤
⑴ (높이)= _10=5'3 (cm)
⑵ (넓이)= _10¤ =25'3 (cm¤ )
4-1 (cid:9000) ⑴ 12, 8'3 ⑵ 8'3, 32, 4'2
x=
12
∴ x=
8'3
(cm)
⑴
⑵
'3
2
'3
4
x¤ =
8'3
, x¤ =
32
∴ x=
4'2
(cm) (∵ x>0)
4-2 (cid:9000) ⑴ 12 cm ⑵ 2'1å0 cm
⑴ 정삼각형의 한 변의길이를 a cm라 하면
20
체크체크 수학 3-2
'3
2
a=6'3 ∴ a=12 (cm)
⑵ 정삼각형의 한 변의길이를 a cm라 하면
a¤ =10'3, a¤ =40
'3
4
∴ a=2'1å0 (cm) (∵ a>0)
p. 54~55
p. 56
01 ⑴ 5 cm ⑵ :¡5™:
cm 02 ;1^3);
cm 03 16'2 cm 04 8'2 cm
05 ⑴ 4'3 cm ⑵ 12'3 cm¤
07 18'3 cm¤ 08 96'3 cm¤
06
3'3
2
cm¤
01 ⑴ BD”="√3¤ +4¤ =5 (cm)
⑵ △ABD의 넓이관계에서 AB”_AD”=BD”_AH”이므로
⑵ 3_4=5_AH” ∴ AH”=
(cm)
:¡5™:
02 AC”="√5¤ +12¤ =13 (cm)
이때 AD”_DC”=AC”_DH”에서 12_5=13_DH”
∴ DH”=
(cm)
;1^3);
'2x=8 ∴ x=4'2 (cm)
따라서 정사각형의 둘레의 길이는
4_4'2=16'2 (cm)
04 정사각형에 내접하는 원의 반지름의 길
A
D
이를 r cm라 하면
pr¤ =16p
∴ r=4 (cm) (∵ r>0)
즉 오른쪽 그림에서 대각선 BD의 길이
는 '2_8=8'2 (cm)
4`cm
8`cm
4`cm
B
8`cm
C
05 ⑴ △ABC에서
⑵ AD”= _8=4'3 (cm)
'3
2
⑵ △ADE= _(4'3 )¤ =12'3 (cm¤ )
'3
4
⑵ (넓이)= _6¤ =9'3 (cm¤ )
03 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
'3
06 △ABC에서 AD”= _4=2'3 (cm)이므로
2
△ADE= _(2'3 )¤ =3'3 (cm¤ )
'3
4
정삼각형의 한 꼭짓점에서 밑변에 내린 수선은 밑변을 수직이등
⑶ △ABH에서
AH”="√9¤ -6¤ ='4å5=3'5
⑷ △ABC=;2!;_8_3'5=12'5
분하므로 색칠한 부분의 넓이는
3'3
2
;2!;△ADE=
(cm¤ )
07 AC”를 그어서 생각하면 AB”=BC”이고 ∠B=60˘이므로
△ABC는 한 변의 길이가 6 cm인 정삼각형이다.
∴ (cid:8772)ABCD=2_△ABC
'3
∴ (cid:8772)ABCD=2_{ _6¤ }=18'3 (cm¤ )
4
08 (정육각형의 넓이)
=6_(한 변의 길이가 8 cm인 정삼각
형의 넓이)
=6_{ _8¤ }=96'3 (cm¤ )
'3
4
8 cm
60˘
60˘60˘
6-2 (cid:9000) ⑴ 2'6 ⑵ 6'6
⑴ BH”=x라 하면 CH”=6-x이므로
7¤ -x¤ =5¤ -(6-x)¤
49-x¤ =25-36+12x-x¤
12x=60 ∴ x=5
이때 △ABH에서
AH”="√7¤ -5¤ ='2å4=2'6
⑵ △ABC=;2!;_6_2'6=6'6
-1, 5, -2, 5, 5, 5, 5'2
■개념 적용하기 | p. 58 ■
5-1 (cid:9000) ⑴ 8 cm ⑵ 48 cm¤
⑴ AH”=æ≠10¤ -{;2!;_12}2
⑴ AH”='ƒ100-36='6å4=8 (cm)
⑵ △ABC=;2!;_BC”_AH”
⑵ △ABC=;2!;_12_8=48 (cm¤ )
5-2 (cid:9000) ⑴ 2'5 cm ⑵ 8'5 cm¤
⑴ AH”=æ≠6¤ -{;2!;_8}2
⑴ AH”='ƒ36-16='2å0=2'5 (cm)
⑵ △ABC=;2!;_8_2'5=8'5 (cm¤ )
6-1 (cid:9000) ⑴ 8-x ⑵ 6 ⑶ 3'5 ⑷ 12'5
⑵ △ABH에서 AH”
△ACH에서 AH”
¤ =9¤ -x¤
¤ =7¤ -(8-x)¤
㉠, ㉡에서 9¤ -x¤ =7¤ -(8-x)¤
81-x¤ =49-64+16x-x¤
16x=96 ∴ x=6
7-1 (cid:9000) '3å4
AB”="√{2-(-1)}¤ +{3-(√-2)}¤ ='3å4
p. 57~58
7-2 (cid:9000) ⑴ '2å9 ⑵ 5
⑴ AB”="√2¤ +5¤ ='2å9
⑵ CD”="√{3-(-1)}¤ +(4-1≈)¤ =5
8-1 (cid:9000) ⑴ AB”='6å5, BC”='6å5, CA”=4'5 ⑵ 이등변삼각형
⑴ A(-5, 0), B(2, -4), C(3, 4)이므로
AB”="√{2-(-5)}¤ +(-4√-0)¤ ='6å5
BC”="(√3-2)¤ +{4-(-4)}¤ ='6å5
CA”="√{3-(-5)}¤ +(4-≈0)¤ =4'5
⑵ △ABC는 AB”=BC”인 이등변삼각형이다.
yy㉠
yy㉡
8-2 (cid:9000) ⑴ OA”='1å3, OB”='1å3, AB”='2å6 ⑵ 직각이등변삼각형
⑴ OA”="√2¤ +3¤ ='1å3
OB”="√3¤ +(-2)¤ ='1å3
AB”="√(3-2)¤ +(-2-3)¤
='2å6
⑵ OA”=OB”이고 AB”
¤ =OA”
¤ +OB”
이므로 △OAB는 직각이등변삼각형
이다.
y
3
2
1
O
-1
-2
A
B
-2
-1
1
2 3
x
3. 피타고라스 정리의 활용
21
¤
진도 교재
01 12 cm 02 3'5å5 cm¤ 03 15'7 cm¤ 04 84 cm¤
06 -4 또는 807 ③
08 직각이등변삼각형
05 7
01 이등변삼각형의 꼭지각에서 밑변에 내린 수선은 밑변을 수직이
등분하므로
BH”=CH”=5 cm
△ABH에서 AH”="√13¤ -5¤ =12 (cm)
02 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에 내린 수
선의 발을 H라 하면 이등변삼각형의 꼭지각
A
에서 밑변에 내린 수선은 밑변을 수직이등분
하므로
BH”=CH”=3 cm
△ABH에서 AH”="√8¤ -3¤ ='5å5 (cm)
∴ △ABC=
_6_'5å5=3'5å5 (cm¤ )
;2!;
03 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에
A
내린 수선의 발을 H라 하고
BH”=x cm라 하면
△ABH에서 AH”
△ACH에서 AH”
¤ =8¤ -x¤ yy`㉠
¤ =10¤ -(12-x)¤
8`cm
10`cm
B
x
12-x
H
12`cm
C
yy`㉡
㉠, ㉡`에서 8¤ -x¤ =10¤ -(12-x)¤
64-x¤ =100-x¤ +24x-144
24x=108 ∴ x=
(cm)
;2(;
이때 AH”=æ≠8¤ -{;2(;}
¤ =
5'7
2
(cm)
∴ △ABC=
_12_
;2!;
=15'7 (cm¤ )
5'7
2
04 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에 내
린 수선의 발을 H라 하고 BH”=x cm
A
13`cm
15`cm
라 하면
△ABH에서 AH”
△ACH에서 AH”
¤ =13¤ -x¤ yy ㉠
¤ =15¤ -(14-x)¤
B
x
14-x
H
14`cm
C
㉠, ㉡에서 13¤ -x¤ =15¤ -(14-x)¤
169-x¤ =225-x¤ +28x-196
(cid:0) ∴ x=5 (cm)
28x=140(cid:0)
이때 AH”="√13¤ -5¤ =12 (cm)
∴ △ABC=;2!;_14_12=84 (cm¤ )
22
체크체크 수학 3-2
p. 59
05 AB”="{√2-(-1)}¤ +(3-aΩ)¤ =5
9+9-6a+a¤ =25, a¤ -6a-7=0
(a-7)(a+1)=0 ∴ a=7 또는 a=-1
이때 점 A(-1, a)가 제2 사분면 위의 점이므로 a=7
06 AB”="√(x-2)¤ +(-1-2)¤ =3'5
x¤ -4x+4+9=45, x¤ -4x-32=0
(x+4)(x-8)=0
∴ x=-4 또는 x=8
8`cm
8`cm
B
H
3`cm
C
3`cm
07 AB”="√{2-(-1)}¤ +(4-≈3)¤ ='1å0
BC”="√(4-2)¤ +(-1-4)¤ ='2å9
CA”="√{4-(-1)}¤ +(-1ç-3)¤ ='4å1
즉 CA”
¤ >AB”
¤ +BC”
형이다.
¤ 이므로 △ABC는 ∠B>90˘인 둔각삼각
08 AB”="√(-1-2)¤ +(-1-≈0)¤ ='1å0
BC”="{√-2-(-1)}¤ +{2-√(-1)}¤ ='1å0
CA”="(√-2-2)¤ +(2-0)¤ ='2å0=2'5
즉 AB”=BC”이고 CA”
¤ =AB”
¤ +BC”
¤ 이므로 △ABC는
∠B=90˘인 직각이등변삼각형이다.
입체도형에서의 활용
p. 60~62
1-1 (cid:9000) ⑴ EG”=5 cm, AG”=5'2 cm
⑵ EG”=4'2 cm, AG”=4'3 cm
⑴ EG”="√4¤ +3¤ ='2å5=5 (cm)
AG”="√4¤ +3¤ +5¤ ='5å0=5'2 (cm)
⑵ EG”='2_4=4'2 (cm)
AG”='3_4=4'3 (cm)
yy ㉡
1-2 (cid:9000) ⑴ 2'2å9 cm ⑵ 3'3 cm
⑴ AG”="√4¤ +8¤ +6¤ ='ƒ116=2'2å9 (cm)
⑵ AG”='3_3=3'3 (cm)
2-1 (cid:9000) '3å9
8="√4¤ +3¤ +x¤ 에서 양변을 제곱하여 정리하면
x¤ =39 ∴ x='3å9 (∵ x>0)
2-2 (cid:9000) 2'3 cm
정육면체의 한 모서리의 길이를 x cm라 하면
'3x=6 ∴ x=2'3 (cm)
①
'3
2
,
9'3
2
② 3'3 ③ 3'3, 3'6
■개념 적용하기 | p. 61 ■
5-2 (cid:9000) (높이)=2'7 cm, (부피)=
32'7
3
BD”='2_4=4'2 (cm)이므로
cm‹
BH”=;2!;BD”=;2!;_4'2=2'2 (cm)
△OBH에서 OH”="√6¤ -(2'2 )¤ ='2å8=2'7 (cm)
따라서 (높이)=2'7 (cm), (cid:8772)ABCD=4¤ =16 (cm¤ )이므로
(부피)=;3!;_16_2'7=
32'7
3
(cm‹ )
3-1 (cid:9000) ⑴
cm ⑵
4'6
3
cm‹
16'2
3
4'6
3
16'2
3
(cm)
(cm‹ )
'6
⑴ AH”= _4=
3
'2
12
⑵ (부피)= _4‹ =
3-2 (cid:9000) ⑴
10'6
3
cm ⑵
cm‹
'6
⑴ AH”= _10=
3
'2
⑵ (부피)= _10‹ =
12
250'2
3
10'6
3
250'2
3
(cm)
(cm‹ )
4-1 (cid:9000) ⑴
3'2
2
cm ⑵
cm‹
;8(;
⑴ 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
'6
3
a='3 ∴ a=
3'2
2
(cm)
⑵ (부피)= _{
'2
12
3'2
2
}3 =
;8(;
(cm‹ )
4-2 (cid:9000) 18'2
정사면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
'6
3
a=2'6 ∴ a=6
'2
∴ (부피)= _6‹ =18'2
12
① '2, 2'2 ② '2 ③ '2, '2
■개념 적용하기 | p. 62 ■
5-1 (cid:9000) ⑴ 8'2 ⑵ 4'2 ⑶ 2'1å7 ⑷
128'1å7
3
⑴ (cid:8772)ABCD는 한 변의 길이가 8인 정사각형이므로
BD”='2_8=8'2
⑵ BH”=;2!;BD”=;2!;_8'2=4'2
⑶ △OBH에서 OH”="√10¤ -(4'2)¤ ='6å8=2'1å7
⑷ (cid:8772)ABCD=8_8=64 이므로
(부피)=;3!;_64_2'1å7=
128'1å7
3
6-1 (cid:9000) ⑴ 10'2 cm ⑵ 5'2 cm ⑶ '8å6 cm
⑴ BD”='2_10=10'2 (cm)
⑵ BH”=;2!;BD”=;2!;_10'2=5'2 (cm)
⑶ △OBH에서 OB”="√(5'2 )¤ +6¤ ='8å6 (cm)
6-2 (cid:9000) 2'5
BD”='2_4=4'2이므로
BH”=;2!;BD”=;2!;_4'2=2'2
△OBH에서 x="√(2'2)¤ +(2'3)¤ =2'5
p. 63
01 3'3 cm‹
02 ⑴ 2 cm ⑵ 24 cm¤
03 ⑴ 10'2 cm
⑵ 5'2 cm 04
5'6
3
05 ⑴ 12 ⑵ 24'2
06 3'2
07 8'2 cm¤ 08 'ƒ194 cm
01 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
'3a=3 ∴ a='3 (cm)
∴ (부피)=('3 )‹ =3'3 (cm‹ )
02 ⑴ 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
'3a=2'3 ∴ a=2 (cm)
⑵ (겉넓이)=6_2¤ =24 (cm¤ )
03 ⑴ DF”="√8¤ +6¤ +10¤ =10'2 (cm)
⑵ HF”="√8¤ +6¤ =10 (cm), △DHF는 ∠DHF=90˘인 직각
삼각형이고 DF”⊥HM”이므로 DH”_HF”=DF”_HM”
10_10=10'2_HM”
∴ HM”=5'2 (cm)
3. 피타고라스 정리의 활용
23
(cid:0)
진도 교재
04 HF”='2_5=5'2, DF”='3_5=5'3
DH”_HF”=DF”_HM”이므로 5_5'2=5'3_HM”
∴ HM”=
5'6
3
7-2 (cid:9000) ⑴ 2'7 cm ⑵ 56'2p cm‹
⑴ 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
⑴ r="√10¤ -(6'2 )¤ =2'7 (cm)
⑵ (부피)=;3!;_p_(2'7 )¤ _6'2=56'2p (cm‹ )
05 ⑴ 정사면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
⑴
'6
3
a=4'6 ∴ a=12
⑵ CM”= _12=6'3이므로
'3
2
⑴ CH”=;3@; CM”=;3@;_6'3=4'3
⑴ ∴ △OCH=;2!;_CH”_OH”=;2!;_4'3_4'6
⑴ ∴ △OCH=24'2
06 AH”= _6=2'6, DM”= _6=3'3
'3
2
'6
3
MH”=;3!;DM”=;3!;_3'3='3
∴ △AMH=;2!;_MH”_AH”=;2!;_'3_2'6=3'2
07 AC”='2_4=4'2 (cm)이므로
CH”=;2!;AC”=
;2!;
_4'2=2'2 (cm)
△OHC에서 OH”="√(2'6 )¤ -(2'2 )¤ =4 (cm)
∴ △OAC=
_4'2_4=8'2 (cm¤ )
;2!;
08 ;3!;
_(10_10)_OH”=400에서 OH”=12 (cm)
AC”='2_10=10'2 (cm)이므로
CH”=
AC”=
;2!;
_10'2=5'2 (cm)
;2!;
△OHC에서 OC”="√12¤ +(5'2 )¤ ='∂194 (cm)
따라서 옆면의 모서리의 길이는 '∂194 cm이다.
7-1 (cid:9000) ⑴ 3'3 cm ⑵ 9'3p cm‹
⑴ (높이)="√6¤ -3¤ ='2å7=3'3 (cm)
⑵ (부피)=;3!;_p_3¤ _3'3=9'3p (cm‹ )
24
체크체크 수학 3-2
8-1 (cid:9000) ⑴ 2'1å0 cm ⑵ 40p cm¤
⑴ 단면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
⑴ r="√7¤ -3¤ ='4å0=2'1å0 (cm)
⑵ (넓이)=p_(2'1å0)¤ =40p (cm¤ )
8-2 (cid:9000) 51p cm¤
△AOB에서 AB”="√10¤ -7¤ ='5å1 (cm)
∴ (단면인원의 넓이)=p_('5å1)¤ =51p (cm¤ )
9-1 (cid:9000) 3, 5, 6, 8, 10
A
3
B
5
F
D
C
G
6
위의 전개도에서 구하는 최단 거리는 AG”의 길이이다.
△AFG에서
AG”="√(3+5)¤ +6¤ =Æ…
8
¤ +6¤ =
10
9-2 (cid:9000) 4'5 cm
오른쪽 전개도에서 구하는 최단 거리는
D
BH”의 길이이다.
△HBG에서
BH”="√(4+4)¤ +4¤ =4'5 (cm)
4 cm
A
B
H
G
4 cm 4 cm
C
10-1 (cid:9000) 5p, 4p, 4p, '4å1p
A
B
A'
5p
B'
p. 64~65
4p
위의 전개도에서 구하는 최단 거리는 BA'”의 길이이다.
△A'BB'에서
BA'”=Æ…(
4p
)¤ +(5p)¤ = '4å1p
10-2 (cid:9000) 15p
오른쪽 전개도에서 구하는 최단 거리는
A
BA'”의 길이이다.
△A'BB'에서
BA'”="√(12p)¤ +(9p)¤ =15p
B
12p
A'
9p
B'
05
A
x
8
8
B
B'
01 ⑴ 5 ⑵ 12 ⑶ 100p 02 15 cm
03 ⑴ 6p cm ⑵ 3 cm ⑶ 4 cm ⑷ 12p cm‹
04
128'2
3
p cm‹
05 8, 8, 8, 2, 90, '2, 8'2
06 12 cm
01 ⑴ 밑면인 원의 반지름의 길이를 r라 하면
⑴ 2pr=10p
∴ r=5
⑵ (높이)="√13¤ -5¤ =12
⑶ (부피)=;3!;_p_5¤ _12=100p
02 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
pr¤ =64p, r¤ =64 ∴ r=8 (cm) (∵ r>0)
∴ (높이)="√17¤ -8¤ ='ƒ225=15 (cm)
03 ⑴ 밑면인 원의 둘레의 길이는 부채꼴의 호의 길이와 같으므로
⑴ 2p_5_
=6p (cm)
216˘
360˘
∴ r=3 (cm)
⑵ 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
⑴ 2pr=6p
⑶ (높이)="√5¤ -3¤ =4 (cm)
⑷ (부피)=;3!;_p_3¤ _4=12p (cm‹ )
04 부채꼴의 호의 길이는
2p_12_
=8p (cm)
120˘
360˘
밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
2pr=8p
∴ r=4 (cm)
오른쪽 그림에서 원뿔의 높이는
"√12¤ -4¤ ='∂128=8'2 (cm)
따라서 원뿔의 부피는
;3!;_p_4¤ _8'2=
128'2
3
p (cm‹ )
부채꼴의 호의 길이는 밑면인 원의 둘레의 길이와 같으므로
2p_ _
8
=2p_
2
∴ x=
90
˘
x
360˘
위의 전개도에서 구하는 최단 거리는 BB'”의 길이이다. 이때
△ABB'은 직각이등변삼각형이므로
p. 66
'2
BB'”= _8=
8'2
06 원뿔의 옆면인 부채꼴의 중심각의 크기를 x라 하면
2p_12_
=2p_2 ∴ x=60˘
x
360˘
오른쪽 전개도에서 구하는 최단 거리는
B’B'”의 길이이다. 이때 △ABB'은 정삼
각형이므로 BB'”=AB”=12 (cm)
A
60˘
12 cm
12 cm
B
B'
1 ⑴ (2, -1) ⑵ 3'2 ⑶ 3'2
2 ⑴ 이등변삼각형 ⑵ '2 cm ⑶ '2 cm¤
01 ⑴ B'(2, -1)
⑵ AB'”="√{2-(-1)}¤ +(-1√-2)¤
='1å8=3'2
⑶ BP”=B'P”이므로
AP”+BP”=AP”+B'P”
æAB'”=3'2
따라서 AP”+BP”의 최솟값은 3'2이다.
y
A
2
1
-1
O P
-1
p. 67
B
x
2
B'
02 ⑴ B’M”=C’M”= _2='3 (cm)
'3
2
이므로 △MBC는 이등변삼각형
cm3
⑵ 이등변삼각형의 꼭지각에서 밑변
에 그은 중선은 밑변을 수직이등
B
M
N
2 cm
cm3
C
12 cm
분하므로 ∠MNB=90˘
△MBN에서 MN”="√('3 )¤ -1¤ ='2 (cm)
4 cm
⑶ △MBC=
_BC”_MÚN”=
;2!;
_2_'2='2 (cm¤ )
;2!;
3. 피타고라스 정리의 활용
25
진도 교재
02 ④
06 3'2
03 ⑴ 4'3 ⑵ 2'3
07 10'2
01 ③
08 15 cm
05 ④
09 ⑴ 마름모 ⑵ 6'3 cm ⑶ 6'2 cm ⑷ 18'6 cm¤
11 320p
10 ⑤
13 6'5 cm 14 12 cm
12 ⑴ 18'3 cm¤ ⑵ 2'3 cm
01 오른쪽 그림에서
AB”=8 cm이므로 OH”=4 cm
BD”='2_8=8'2 (cm)
OB”=
BD”=
;2!;
_8'2=4'2 (cm)
;2!;
(큰 원의 넓이)=p_(4'2 )¤
=32p (cm¤ )
(작은 원의넓이)=p_4¤ =16p (cm¤ )
∴ (색칠한 부분의 넓이)
=(큰 원의 넓이)-(작은 원의 넓이)
=32p-16p=16p (cm¤ )
02 BD”="√3¤ +4¤ =5 (cm)
△ABD에서 AB”
¤ =BE”_BD”이므로
3¤ =BE”_5(cid:0)
(cid:0) ∴ BE”=;5(; (cm)
이때 △ABE™△CDF (RHA 합동)이므로
DF”=BE”=;5(; cm
∴ EF”=BD”-(BE”+DF”)
∴ EF”=5-{;5(;+;5(;}=;5&; (cm)
03 ⑴ △ABC= _4¤ =4'3
'3
4
⑵ 오른쪽 그림과 같이 AP”를 그으면
A
△ABC=△ABP+△ACP
=;2!;_4_PQ”+;2!;_4_PR”
4
Q
=2(PQ”+PR”)
이때 ⑴에서 △ABC=4'3이므로
2(PQ”+PR”)=4'3 ∴ PQ”+PR”=2'3
B
P
04 BH”=x라 하면
△ABH에서 A’H”
△ACH에서 A’H”
¤ =5¤ -x¤
¤ =7¤ -(6-x)¤
㉠, ㉡에서 5¤ -x¤ =7¤ -(6-x)¤
25-x¤ =49-x¤ +12x-36 , 12x=12
∴ x=1, 즉 AH”="√5¤ -1¤ ='2å4=2'6
26
체크체크 수학 3-2
R
C
yy㉠
yy㉡
p. 68~69
04 2'7
이때 BM”=
BC”=
_6=3이므로
;2!;
;2!;
HM”=BM”-BH”=3-1=2
∴ AM”="√2¤ +(2'6)¤ ='2å8=2'7
A
D
8`cm
O
4`cm
B
H
C
05 AB”="(√-2-0)¤ +(-1-3Ω)¤ ='2å0=2'5
BC”="√{4-(-2)}¤ +{1-(≈-1)}¤ ='4å0=2'1å0
CA”="√(4-0)¤ +(1-3)¤ ='2å0=2'5
즉 AB”=CA”, BC”
¤ =AB”
¤ +CA”
¤ 이므로 △ABC는 ∠A=90˘
인 직각이등변삼각형이다.
∴ △ABC=;2!;_2'5_2'5=10
06 x¤ +1=-x+3에서
x¤ +x-2=0, (x+2)(x-1)=0
∴ x=-2 또는 x=1
즉 A(-2, 5), B(1, 2)
∴ AB”="√{1-(-2)}¤ +√(2-5)¤ ='1å8=3'2
07 점 A를 y축에 대칭이동시킨 점을
점 A'(-3, 5)라 하면
AQ”=A’'Q”이므로
AQ”+BQ”=A’'Q”+BQ”æA’'B”
A’'B”="√{7-(-3)}¤ +√(-5-5)¤
='∂200=10'2
따라서 AQ”+BQ”의 최솟값은 10'2이다.
A'(-3, 5)
A(3, 5)
y
Q
O
x
B(7, -5)
08 오른쪽 그림과 같이점 A를
BC”에 대칭이동하면
AP”+PD”의 최솟값은 A’'D”의
길이이다.
△A'ED에서
A’'D”="√12¤ +√(5+4)¤
='2∂25=15 (cm)
A
4`cm
B
4`cm
P
12`cm
D
5`cm
C
4`cm
A'
12`cm
E
09 ⑴ AM”=MG”=GN”=AN”="√6¤ +3¤ ='4å5=3'5 (cm)
이므로 (cid:8772)AMGN은 마름모
⑵ AG”='3_6=6'3 (cm)
⑶ MN”=BD”='2_6=6'2 (cm)
⑷ 마름모의 두 대각선은 서로 직교하므로 AG”⊥MN”
∴ (cid:8772)AMGN=;2!;_AG”_MN”=;2!;_6'3_6'2
=18'6 (cm¤ )
12 ⑴ AC”=AF”=CF”=6'2 (cm)이므로 △AFC는 정삼각형이
(cid:9000) ⑴ 126 m¤ ⑵ 1260000원
10 △OPB에서 OP”="√5¤ -3¤ =4 (cm)
AO”=OB”=5 cm이므로 AP”=5+4=9 (cm)
△APB에서 원뿔의 모선의 길이는
AB”=øπAP”
¤ +PB”
¤ ="√9¤ +3¤ ='9å0=3'1å0 (cm)
11 직각삼각형 AOB를 직선 l을 회전축으로
1회전시키면 오른쪽 그림과 같은 회전체
가 생긴다.
AO”="√17¤ -8¤ ='2∂25=15
∴ (부피)=;3!;_p_8¤ _15
∴ (부피)=320p
A
17
B
O
8
다.
⑴ ∴ △AFC= _(6'2 )¤ =18'3 (cm¤ )
'3
4
⑵ ;3!;
_△ABC_BF”=
_△AFC_B’M”이므로
;3!;
⑴ ;3!;_{;2!;_6_6}_6=;3!;_18'3_B’M”
⑴ 6'3 _B’M”=36 ∴ B’M”=2'3 (cm)
13 원뿔의 옆면인 부채꼴의 중심각의 크기를 x라 하면
2p_12_
=2p_3 ∴ x=90˘
x
360˘
오른쪽 그림의 원뿔의 옆면의 전개도에
A
서 최단거리는 BM”의 길이와 같다.
∴ BM”="√12¤ +6¤ ='1∂80
=6'5 (cm)
12`cm
B
M
B'
14 오른쪽 전개도의 △ABA"
에서
AA"”="√26¤ -10¤ ='∂576
=24 (cm)
10 cm
26 cm
A
B
A'
B'
A''
B''
이때 원기둥의 밑면의 둘레의 길이는 A’A'”의 길이와 같다.
따라서 원기둥의 밑면의 둘레의 길이는
:™2¢:=12 (cm)
p. 70~71
01 ⑴ 방문의 가로의 길이와 세로의 길이의 비가 2 : 5이므로
80 : (세로의 길이)=2 : 5
∴ (세로의 길이)=200 (cm)
⑵ "√80¤ +200¤ ='ƒ46400=40'2å9 (cm)
(cid:9000) ⑴ 200 cm ⑵ 40'2ß9 cm
02 ⑴ 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에
내린 수선의 발을 H라 하고
BH”=x라 하면
⑴ △ABH에서 AH”
¤ =20¤ -x¤
⑴ △ACH에서 AH”
yy㉠
¤ =13¤ -(21-x)¤
⑴ ㉠, ㉡에서 20¤ -x¤ =13¤ -(21-x)¤
⑴ 400-x¤ =169-x¤ +42x-441
A
20`m
13`m
21-x
x
21`m
C
H
B
yy㉡
⑴ 42x=672 ∴ x=16 (m)
⑴ △ABH에서 AH”="√20¤ -16¤ ='1∂44=12 (m)
⑴ ∴ △ABC=
_21_12=126 (m¤ )
;2!;
⑵ 126 m¤ 의 땅을화단으로 만들 때 필요한 비용은
126_10000=1260000(원)
03 기차역을 P라 라고 오른쪽 그림과
같이 점 A를 철도에 대칭이동하면
AB”+BP”의 최솟값은 A’'B”의 길이
A
10`km
B
6`km
P
이다.
△A'HB에서
A’'B”="√12¤ +16¤ =20 (km)
따라서 구하는 최단 거리는 20 km이다.
10`km
10`km
A'
12`km
H
(cid:9000) 20 km
04 지훈 : '3x=3'3 ∴ x=3
은정 : x="√10¤ -6¤ =8
태종 : 밑면의 대각선의 길이가 '2_6=6'2 (cm)이므로
√+(3'2)¤ =9
x="√(3'7 )¤
한결 : x="√6¤ +√3¤ +2¤ =7
미용 : x="√6¤
√-(4'2)¤ =2
원지 : "√x¤ +√3¤ +3¤ ='3å4, x¤ =16
∴ x=4 (∵ x>0)
(cid:9000) 풀이 참조
p. 72~74
02 5'2 cm, 4'2 cm
07 ⑤
06 ⑤
03 2'1å0 cm 04 ⑤
08 ③, ⑤
01 ③
05 ①
09 ②
10
4'3
3
11 ⑴ 4'3 cm ⑵
4'3
3
cm ⑶
cm ⑷
8'6
3
16'2
3
cm¤
12 ④
13 9'3p cm‹ 14 ①
4'1å1
3
17 9p cm 18 ⑴ ;3&; ⑵
cm ⑶ 6'1å1 cm¤
15 2 cm
16 2'3å4 cm
19
4'3
3
cm 20 ⑴ 6'2 cm ⑵ 3'1å4 cm ⑶ 36'1å4 cm‹
3. 피타고라스 정리의 활용
27
진도 교재
01 ① 한 변의 길이가 3인 정사각형의 대각선의 길이는 '2_3=3'2
② 한 모서리의 길이가 5인 정육면체의 대각선의 길이는
07 A(2, 3), C(-3, -4)이므로
AC”="√(-3-2)¤ +(-4√-3)¤ ='7å4
'3_5=5'3
③ 한 변의 길이가 3인 정삼각형의 높이는 _3=
④ 한 변의 길이가 4인 정삼각형의 넓이는 _4¤ =4'3
3'3
2
'3
2
'3
4
'6
3
08 AB”="√{-3-(-1)}¤ +√{3-(-3)}¤ ='4å0=2'1å0
BC”="√{3-(-3)}¤ +(5-ç3)¤ ='4å0=2'1å0
CA”="√(-1-3)¤ +(-3-ç5)¤ ='8å0=4'5
즉 AB”=BC”이고, CA”
¤ =AB”
¤ +BC”
¤ 이므로 △ABC는
⑤ 한 모서리의 길이가 6인 정사면체의 높이는 _6=2'6
따라서 옳지 않은 것은 ③`이다.
∠B=90˘인 직각이등변삼각형이다.
따라서 옳지 않은 것은 ③, ⑤이다.
02 오른쪽 그림과 같이 구하는 직사각형
의 가로의 길이를 5k cm, 세로의 길
cm82
4k`cm
이를 4k cm(k>0)라 하면
(5k)¤ +(4k)¤ =('8å2)¤
25k¤ +16k¤ =82
k¤ =2 ∴ k='2 (∵ k>0)
따라서 직사각형의 가로의 길이는 5'2 cm, 세로의 길이는 4'2 cm
이다.
5k`cm
03 정사각형의 한 변의길이를 a cm라 하면
"√(2a)¤ +a¤ =2'5
양변을 제곱하여 정리하면 a¤ =4 ∴ a=2 (∵ a>0)
∴ AB”="√6¤ +2¤ ='4å0=2'1å0 (cm)
04 정사각형의 한 변의길이를 x cm라 하면
'2x=2'2 ∴ x=2
따라서 원의 반지름의 길이는 1 cm이므로 원의 넓이는
p_1¤ =p (cm¤ )
05 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
AD”=3GD”=3 (cm)
△ABC의 한 변의 길이를 a cm라 하면
'3
2
(cid:0) ∴ a=2'3 (cm)
a=3(cid:0)
∴ △ABC= _(2'3)¤ =3'3 (cm¤ )
'3
4
06 △ADE의 한 변의 길이를 a cm라 하면
'3
4
a¤ =9'3, a¤ =36 ∴ a=6 (cm) (∵ a>0)
△ABC의 한 변의 길이를 b cm라 하면 AD”=6 cm이므로
'3
2
b=6 ∴ b=4'3 (cm)
∴ △ABC=
_4'3_6=12'3 (cm¤ )
;2!;
28
체크체크 수학 3-2
09 정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
'3a=2'3에서 a=2 ∴ BF”=2
FH”='2_2=2'2
△BFH는 ∠BFH=90˘인 직각삼각형이므로
△BFH=;2!;_FH”_BF”=;2!;_2'2_2=2'2
10 DF”="√2¤ +2¤ +4¤ =2'6
HF”='2_2=2'2
DH”_HF”=DF”_H’M”이므로
4_2'2=2'6_H’M”
∴ H’M”=
4'3
3
11 ⑴ AM”=
;2!;
AB”=4 (cm)이므로 OM”="√8¤ -4¤ =4'3 (cm)
⑵ MC”=OM”=4'3 cm이므로
MH”=
MC”=
;3!;
_4'3=
;3!;
(cm)
⑶ OH”=æ≠(4'3 )¤ -{
4'3
3
}2 =
(cm)
4'3
3
8'6
3
⑷ △OMH=
_
;2!;
4'3
3
_
8'6
3
=
16'2
3
(cm¤ )
12 ① 오른쪽 그림의 정사각뿔에서
A
4`cm
① BD”=4'2 cm ∴ BH”=2'2 cm
② △ABH에서
① AH”="√4¤ -(2'2 )¤ =2'2 (cm)
① ∴ AF”=2AH”=2_2'2=4'2 (cm)
③ △ABD에서 4¤ +4¤ =(4'2 )¤ 이므로 △ABD는 직각이등변
4`cm
4`cm
H
D
E
B
C
삼각형이다.
④ (정사각뿔의 부피)=
_(4_4)_2'2=
;3!;
(cm‹ )이므로
32'2
3
① (정팔면체의 부피)=2_(정사각뿔의 부피)
64'2
3
① (정팔면체의부피)=2_
32'2
3
=
(cm‹ )
`
=8_4'3=32'3 (cm¤ )
⑶ △ABC=
_BC”_AH”
⑵ △ABH에서
AH”=Æ…5¤ -{;3&;}
¤ =æ≠
176
9
=
4'1å1
3
(cm)
⑷ △ABC=
_9_
4'1å1
3
=6'1å1 (cm¤ )
;2!;
;2!;
⑤ △ABC= _4¤ =4'3 (cm¤ )이므로
'3
4
① (정팔면체의 겉넓이)=8_△ABC
13 VO” : OA”='3 : 1이므로
VO” : 3='3 : 1 ∴ VO”=3'3 (cm)
∴ (부피)=;3!;_(p_3¤ )_3'3=9'3p (cm‹ )
14 2p_9_
=2px(cid:0)
(cid:0) ∴ x=3 (cm)
120˘
360˘
원뿔의 높이는 "√9¤ -3¤ =6'2 (cm)
따라서 원뿔의 부피는
;3!;_(p_3¤ )_6'2=18'2p`(cm‹ )
15 단면인 원의 넓이가 12p cm¤ 이므로
¤ =12p, A’H”
¤ =12
p_A’H”
∴ AH”=2'3 (cm) (∵ AH”>0)
△AOH에서
OH”="√4¤ -(√2'3 )¤
='4=2 (cm)
16 오른쪽 전개도에서 구하는 최단 거리는
6 cm
AH”의 길이이다.
△AHD에서
AH”="√6¤ +(3+4+3)¤
='∂136=2'3å4 (cm)
A
B
F
E
17 밑면인 원의 둘레의 길이가
2p_6=12p (cm)
이므로 오른쪽 전개도에서 최단 거
리는 A’'B”의 길이와 같다.
∴ AB”="(√15p)¤
=9p (cm)
√-(12p)¤
A
B
15p`cm
12p`cm
D
3 cm
C
4 cm
G
3 cm
H
A'
B'
18 ⑴ △ABH에서 AH”
¤ =5¤ -x¤ =25-x¤
yy㉠
CH”=BC”-BH”=(9-x) cm이므로 △ACH에서
AH”
¤ =8¤ -(9-x)¤ =64-81+18x-x¤
=-x¤ +18x-17
yy㉡
㉠, ㉡에서 25-x¤ =-x¤ +18x-17
18x=42 ∴ x=
;3&;
19 AF”=FC”=CA”=4'2 (cm)이므로 △AFC는 정삼각형이다.
∴ △AFC= _(4'2 )¤ =8'3 (cm¤ )
'3
4
;3!;_△ABC_BF”=;3!;_△AFC_BIÚ이므로
;3!;_{;2!;_4_4}_4=;3!;_8'3_BIÚ
8'3_BIÚ=32(cid:0)
(cid:0) ∴ BIÚ=
4'3
3
(cm)
`
채점 기준
△AFC가 정삼각형임을 알기
△AFC의 넓이 구하기
BIÚ의 길이 구하기
`2점
`2점
`3점
배점
2점
2점
3점
20 ⑴ (cid:8772)ABCD가 정사각형이므로 AC”='2_6=6'2 (cm)
△PAH에서 PH”="√12¤ -(3'2 )¤ ='ƒ126=3'1å4 (cm)
⑵ AH”=
AC”=3'2 (cm)
;2!;
⑶ (cid:8772)ABCD=6_6=36 (cm¤ )
따라서 정사각뿔의 부피는
;3!;_(cid:8772)ABCD_PH”=
;3!;
_36_3'1å4=36'1å4 (cm‹ )
3. 피타고라스 정리의 활용
29
진도 교재
4
삼각비
삼각비의 뜻
1-1 (cid:9000) sin B=;5$;, cos B=;5#;, tan B=;3$;,
sin C=;5#;, cos C=;5$;, tan C=;4#;
BC”="√6¤ +8¤ =10이므로
∠B에 대하여 높이：AC”, 밑변：AB”
sin B=
=;1•0;=
;5$;
cos B=
=;1§0;=
;5#;
tan B=
=;6*;=;3$;
∠C에 대하여 높이：AB”, 밑변：AC”
sin C=
=;1§0;=
;5#;
cos C=
=;1•0;=;5$;
tan C=
=;8^;=
;4#;
AC”
BC”
AB”
BC”
AC”
AB”
AB”
BC”
AC”
BC”
AB”
AC”
1-2 (cid:9000) sin A=;1∞3;, cos A=;1!3@;, tan A=;1∞2;,
sin C=;1!3@;, cos C=;1∞3;, tan C=:¡5™:
AB”="√13¤ -5¤ =12이므로
∠A에 대하여 높이：BC”, 밑변：AB”
sin A=
, cos A=
, tan A=
;1∞3;
;1!3@;
;1∞2;
∠C에 대하여 높이：AB”, 밑변：BC”
sin C=
, cos C=
, tan C=
;1!3@;
;1∞3;
:¡5™:
2-1 (cid:9000) ⑴ '3 ⑵
'3
3
⑶
⑷
'3
2
'3
2
'3
4
'3
2
⑴ sin 60˘+cos 30˘= + ='3
⑵ sin 45˘-cos 45˘+tan 30˘= - + =
'2
2
'2
2
'3
3
3
⑶ cos 60˘÷tan 30˘=;2!;÷ =;2!;_ =
2'3
⑷ sin 30˘÷tan 30˘_cos 60˘=;2!;÷ _;2!;= '3
3
'3
'3
3
'3
3
4
=
'3
3
'3
2
30
체크체크 수학 3-2
2-2 (cid:9000) ⑴ ;2#; ⑵ '3 ⑶ 1 ⑷ 0
⑴ tan 45˘+sin 30˘=1+;2!;=
;2#;
⑵ sin 60˘-cos 30˘+tan 60˘= - +'3='3
'3
2
'3
2
⑶ tan 30˘_tan 60˘= _'3=1
'3
3
p. 78~81
⑷ cos 30˘-tan 45˘_sin 60˘= -1_ =0
'3
2
'3
2
3-1 (cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 12
⑴ tan 30˘=
=
=
∴ AC”=6
⑵ cos 30˘=
=
=
∴ BC”=12
'3
3
'3
2
AC”
AB”
AB”
BC”
BC”
AB”
AC”
BC”
AC”
6'3
6'3
BC”
'2
AB”
AC”
'2
3-2 (cid:9000) ⑴ 2 ⑵ '2
⑴ cos 45˘=
=
∴ AB”=2
=
'2
2
⑵ tan 45˘=
=
=1 ∴ AC”='2
4-1 (cid:9000) ⑴ AB” ⑵ OB” ⑶ CD”
⑴ sin x=
AB”
OA”
=
AB”
1
=AB”
⑵ cos x=
=
=OB”
OB”
OA”
CD”
OD”
OB”
1
CD”
1
⑶ tan x=
=
=CD”
4-2 (cid:9000) ⑴ 0.7547 ⑵ 0.6561 ⑶ 1.1504
⑴ △AOB에서 sin 49˘=
=AB”=0.7547
⑵ △AOB에서 cos 49˘=
=OB”=0.6561
⑶ △COD에서 tan 49˘=
=CD”=1.1504
AB”
OA”
OB”
OA”
CD”
OD”
5-1 (cid:9000) ⑴ 0 ⑵ -1
⑴ (1+sin 90˘)_cos 90˘-sin 0˘=(1+1)_0-0=0
⑵ tan 0˘-sin 90˘_cos 0˘=0-1_1=-1
5-2 (cid:9000) ⑴ 1 ⑵ -1
⑴ cos 90˘+sin 90˘=0+1=1
⑵ tan 0˘-cos 0˘=0-1=-1
⑶ 삼각비의 표에서 42˘의 가로줄과 tan의 세로줄이 만나는 곳의
08 ⑴ ;5$; ⑵ ;5#; ⑶ ;3$;
09 3+'3
10 4
6-1 (cid:9000) ⑴ 0.6428 ⑵ 0.7771 ⑶ 0.9004
⑴ 삼각비의 표에서 40˘의 가로줄과 sin의 세로줄이 만나는 곳의
⑵ 삼각비의 표에서 39˘의 가로줄과 cos의 세로줄이 만나는 곳의
수를 읽으면 sin 40˘=0.6428
수를 읽으면 cos 39˘=0.7771
수를 읽으면 tan 42˘=0.9004
6-2 (cid:9000) ⑴ 1.3179 ⑵ 1.3788
⑴ sin 23˘+cos 22˘=0.3907+0.9272
⑵ cos 21˘+tan 24˘=0.9336+0.4452
=1.3179
=1.3788
01 4, 2, 2, 2 02 12
03 sin A=
, tan A=2
2'5
5
04
2'2
9
05 ;4#;
06 ;1∞3;
07 ;5$;
p. 83~84
11 ⑴ -'3 ⑵ ;2#;
12 ④
13 ④
14 ②
15 ⑤
16 ㉢, ㉤, ㉣, ㉠, ㉡
01 sin B=
AC”
AB”
=
AC”
4
=;2!;
∴ AC”=
2
2
∴ BC”="√4¤ - ¤ ='∂12= '3
2
1 ⑴ 0 ⑵1 ⑶ ;4!;
2 ;5$;
3 2'3
1 ⑴ sin 60˘_tan 30˘-cos 45˘_sin 45˘
'3
= _ - _
3
'2
2
'3
2
'2
2
=;2!;-;2!;=0
⑵ sin 90˘+cos 0˘-tan 45˘
=1+1-1=1
⑶ tan 0˘+sin 30˘_cos 60˘
=0+;2!;_;2!;=;4!;
2 BC”="√3¤ +4¤ =5
△ABCª△DEC(`AA 닮음)이므로
∠ABC=∠DEC=∠x
∴ sin x= =;5$;
AC”
BC”
3 BC”="√(2'3)¤ +2¤ =4
△ABCª△HBA(`AA 닮음)이므로
∠ACB=∠HAB=∠x
∠x+∠y=90˘이므로 ∠ABC=∠y
즉 tan x= =
AB”
AC”
2'3
2
='3
AC”
즉 sin y= =;4@;=;2!;
BC”
∴ tan x÷sin y='3÷;2!;=2'3
p. 82
02 tan A=
BC”
AB”
=
8
AB”
=
;3@;
∴ AB”=12
03 cos A= 이므로 오른쪽 그림에서
'5
5
BC”="√5¤ -('5 )¤ ='∂20=2'5
2'5
2'5
5
'5
∴ sin A=
, tan A=
=2
04 tan B=2'2이므로 오른쪽 그림과 같이 직각삼
A
각형 ABC를 그리면
AB”="√1¤ +(2'2 )¤ =3
2'2
sin B= , cos B=
3
;3!;
∴ sin B_cos B= _
2'2
3
2'2
9
;3!;=
05 △ABC에서 AB”="√5¤ -4¤ =3
△ABCª△DBE`(AA 닮음)이므로 ∠C=x
∴ tan x=tan C=
AB”
AC”
=;4#;
06 △ABC에서 AB”="√5¤ +12¤ =13
△ABCª△AED`(AA 닮음)이므로 ∠B=x
∴ cos x=cos B=
BC”
AB”
=;1∞3;
07 △ABC에서 BC”="√9¤ +12¤ =15
△ABCª△HBA`(AA 닮음)이므로 ∠C=x
∴ cos x=cos C=
AC”
BC”
=;1!5@;=;5$;
C
5
52
A
B
5
3
22
B
C
1
4. 삼각비
31
08 △ABCª△DAC`(AA 닮음)이므로 ∠B=x
15 ⑤ A>45˘이면 tan A>tan 45˘ ∴ tan A>1
진도 교재
⑴ sin x=sin B=
=;1•0;=;5$;
⑵ cos x=cos B=
=;1§0;=;5#;
⑶ tan x=tan B=
=;6*;=;3$;
AC”
BC”
AB”
BC”
AC”
AB”
09 △ABH에서 tan 45˘=
=1 ∴ BH”=3
△ACH에서 tan 60˘=
='3 ∴ CH”='3
∴ BC”=BH”+CH”=3+'3
10 △DBC에서 tan 45˘=
=1 ∴ BC”=2'3
△ABC에서 sin 60˘=
∴ AC”=4
3
BH”
3
CH”
BC”
2'3
2'3
AC”
=
'3
2
11 ⑴ sin 30˘_cos 90˘-sin 90˘_tan 60˘
=;2!;_0-1_'3=-'3
⑵ cos 60˘_tan 45˘+sin 90˘_cos 0˘
=;2!;_1+1_1=;2#;
12 ① tan 45˘_cos 60˘=1_;2!;=;2!;
② sin 30˘+cos 60˘=;2!;+;2!;=1
③ tan 60˘-cos 90˘='3-0='3
'3
2
④ sin 30˘_tan 60˘=;2!;_'3=
⑤ sin 45˘÷cos 45˘+tan 30˘_cos 30˘
= ÷ + _ =1+;2!;=;2#;
'2
2
'3
3
'3
2
'2
2
13 cos x=
=AB”
tan y=
=CD”
AB”
OA”
CD”
OD”
14 ② sin y=
OB”
OA”
=
OB”
1
=OB”
④ sin z=sin y=OB”
32
체크체크 수학 3-2
16 0˘…x…90˘인 범위에서 x의 값이증가하면
sin x의 값은 0에서 1까지 증가하므로
sin 50˘0)
⑵ BQ”를 그으면 ∠BAP=∠CAP,
∠ACB=∠AQB
(호 AB에 대한원주각)이므로
△ABQª△APC (AA 닮음)
따라서 AB”：AP”=AQ”：AC”에서
9：7=(7+3)：x ∴ x=:¶9º:
A
6
P
x
2
Q
A
B
9
x
7
B
P
3
Q
C
C
2 ∠ACB=90˘(반원에 대한 원주각)
∠PCA=∠PBC=30˘
(cid:0)(접선과 현이 이루는 각)
이므로 ∠P=30˘이고 △APC는
AP”=AC”인 이등변삼각형이다.
A
30˘
P
30˘
C
B
20`cm
O
30˘
△ABC에서 AB” : AC”=2 : 1이므로
20 : AC”=2 : 1 ∴ AC”=10 (cm)
∴ PA”=AC”=10 (cm)
따라서 PC”
¤ =PA”¥PB”이므로
¤ =10_(10+20)=300
PC”
∴ PC”=10'3 (cm) (∵ PC”>0)
p. 159~160
01 :™5ª: 02 10 03 :¡5¢:
cm
04 ⑤ 05 4
06 ③ 07 15'3 cm
08 ⑴ 10 cm ⑵ :£5™:
11 ⑴ 3 ⑵ 3'3 12 4'6
cm ⑶ :¡5•:
cm
09 4'3 cm
10 ③
13 ⑴ 6'2 cm ⑵ 8'2 cm
01 AB”
”⊥CD”이므로 CP”=PD”=
CD”=4
;2!;
PA”¥PB”=PC”¥PD”에서
10PB”=4_4 ∴ PB”=
;5*;
따라서 원 O의 반지름의 길이는
AB”=
_{10+;5*;}=:™5ª:
;2!;
;2!;
02 PB”¥PA”=PD”¥PC”에서
6_(6+10)=4_(4+2x)
96=16+8x ∴ x=10
03 OB”=OC”=6 cm이므로 OP”=6+2=8 (cm)
△OPC에서 CP”="√8¤ +6¤ ='∂100=10 (cm)이므로
PB”¥PA”=PD”¥PC”에서 2_(2+12)=PD”_10
28=10PD” ∴ PD”=:¡5¢: (cm)
7. 원주각의 활용
61
(cid:0)
BD”를 그으면 D’A”가 원 O의 지름이므로 ∠DBA=90˘, 즉
진도 교재
04 PC”¥PD”=PB”¥PA”에서
5_(5+3)=PB”_(PB”+6)
PB”
¤ +6PB”-40=0
(PB”+10)(PB”-4)=0
∴ PB”=4 (∵ PB”>0)
△PBD는 직각삼각형이다.
△PBD에서 BD”="8√
∴ AD”="(√4'3)√
¤ +6¤ =2'2å1
¤ -4¤ =4'3
05 오른쪽 그림과 같이 BE”를 그으면
BC”가 반원 O의 지름이므로
∠BEC=90˘
A
18
D
E
12
C
O
18
이때 이등변삼각형의 꼭지각에서 밑변에
B
내린 수선은 밑변을 이등분하므로
AE”=EC”=6
따라서 AD”_18=6_12 ∴ AD”=4
06 ∠ABT=∠APT=∠ATP이므로 AP”=AT”=5 cm
즉 PT”
¤ =PA”¥PB”에서
¤ =5_(5+10)=75(cid:0)
PT”
(cid:0) ∴ PT”=5'3 (cm) (∵ PT”>0)
△PTAª△PBT (AA 닮음)이므로
PT” : PB”=TA” : BT”에서 5'3 : 15=5 : BT”
5'3 BT”=75(cid:0)
(cid:0) ∴ BT”=5'3 (cm)
07 AB”가 원 O의 지름이므로 ∠BTA=90˘
PT”가 원 O의 접선이므로 ∠ABT=∠PTA=30˘
이때 △ABT는 세 내각의 크기가 30˘, 60˘, 90˘인 직각삼각형이
므로
AB” : AT”=2 : 1, 30 : AT”=2 : 1 ∴ AT”=15 (cm)
△BTP에서 ∠BPT=180˘-(30˘+90˘+30˘)=30˘이므로
AP”=AT”=15 cm
¤ =PA”¥PB”=15_(15+30)=675
따라서 PT”
∴ PT”=15'3 (cm) (∵ PT”>0)
08 ⑴ OB”=OT”=3 cm이므로 TB”=6 (cm)
∠PTB=90˘이므로 △PBT에서
PB”="√8¤ +6¤ =10 (cm)
¤ =PA”¥PB”에서
⑵ PT”
8¤ =10PA” ∴ PA”=
(cm)
:£5™:
⑶ AB”=PB”-PA”=10-
=
:£5™:
:¡5•:
(cm)
09 BQ”=AQ”="√5¤ -3¤ =4 (cm)
¤ =PB”¥PA”이므로 PT”
PT”
∴ PT”=4'3 (cm) (∵ PT”>0)
¤ =4_(4+8)=48
62
체크체크 수학 3-2
D
3
C
6
B
P
5
4
O
A
10 원 밖의한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같으므로
PQ”=PT”=6 cm
PB”=PQ”+QB”=6+3=9 (cm)
¤ =PA”¥PB”이므로
큰 원에서 PT”
6¤ =PA”_9 ∴ PA”=4 (cm)
T
P
x
30˘
3
A
x
O
B
11 ⑴ 오른쪽 그림과 같이 OT”를 긋고
⑵ OT”=x라 하면
⑵ OA”=OT”=x
⑵ ∠PTO=90˘이므로
⑵ PO” : OT”=2 : 1에서
⑵ (3+x) : x=2 : 1
⑵ 3+x=2x ∴ x=3
⑵ PT”
¤ =PA”¥PB”에서
¤ =3_(3+6)=27
⑵ PT”
⑵ ∴ PT”=3'3 (∵ PT”>0)
12 μAC=μ BC에서 AC”=BC”이므로
∠CBA=∠CAB이고
∠CAB=∠CDB (호 CB에 대한 원주
각)이므로
∠CBA=∠CDB
D
A
x
6
C
10
P
B
접선과 현이 이루는 각의 성질에 의해
BC”는 세 점 P, B, D를 지나는 원의 접선이다.
따라서 CB”
¤ =CP”¥CD”이고 CB”=AC”=x이므로
(cid:0) ∴ x=4'6 (∵ x>0)
x¤ =6_(6+10)=96(cid:0)
13 ⑴ 원 O'에서 AP”
¤ =AO”¥AB”이므로
¤ =6_(6+6)=72
(cid:0) AP”
(cid:0) ∴ AP”=6'2 (cm) (∵ AP”>0)
⑵ 원의 접선은 접점을 지나는 반지름
에 수직이므로 원 O'에서
6
2 cm
O
6 cm
A
P Q
B
O'
∠APO'=90˘이고, 원 O에서 ∠AQB는 지름에 대한 원주각
이므로 ∠AQB=90˘ ∴ ∠APO'=∠AQB
(cid:0) 또한 ∠BAQ는 공통이므로 △APO'ª△AQB (AA 닮음)
(cid:0) AO'”：AB”=AP”：AQ”에서
9：12=6'2：AQ”, 9AQ”=72'2
∴ AQ”=8'2 (cm)
(cid:0)
01 ⑴ AB”⊥CD”이므로 PC”=PD”
⑴ AP”¥PB”=PC”¥PD”에서
⑴ 3_12=PC”
¤ ∴ PC”=6 (km)(∵ PC”>0)
⑵ AC”를 그으면 △APC에서
¤ 이므로
⑴ AC”
¤ +PC”
¤ =AP”
¤ =3¤ +6¤ =45 ∴ AC”=3'5 (km)(∵ AC”>0)
⑴ AC”
(cid:9000) ⑴ 6 km ⑵ 3'5 km
p. 161~162
01 PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로
2_(2+7)=3_(3+CD”)
∴ CD”=3 (cm)
02 반지름의 길이를 r라 하면
① PA”¥PB”=PC”¥PD”에서
(7-r)(7+r)=5_8 ∴ r=3 (∵ r>0)
② OH”⊥AB”이므로 BH”=AH”=8, OC”의 연장선이 원 O와 만
나는 점을 D라 하면 AH”¥BH”=CH”¥DH”에서
8_8=4_(2r-4) ∴ r=10
③ PA”¥PB”=PC”¥PD”에서
(cid:9000) 100 m
12_9=
r_
r ∴ r=12 (∵ r>0)
;2!;
;2#;
④ PT”
¤ =PA”¥PB”에서
5¤ =3_(3+2r) ∴ r=;3*;
⑤ PO”의 연장선이 원 O와 만나는 점을 B라 하면
PT”
¤ =PA”¥PB”에서
8¤ =(10-r)(10+r) ∴ r=6 (∵ r>0)
따라서 반지름의 길이가 가장 긴 것은③이다.
(cid:9000) ⑴ 10 m ⑵ 6'5 m
03 5_(5+3)=x_(x+6)이므로
x¤ +6x-40=0, (x+10)(x-4)=0 ∴ x=4 (∵ x>0)
02 PT”
¤ =50_200=10000
∴ PT”=100 (m) (∵ PT”>0)
03 ⑴ BC”=x m라 하면
⑴ PA”
¤ =PC”¥PB”에서
⑴ 12¤ =8(8+x)
⑴ 144=64+8x, 8x=80
⑴ ∴ x=10
⑵ △PAB에서 PB”
⑴ 18¤ =12¤ +AB”
⑴ ∴ AB”=6'5 (m)
¤ +AB”
¤ 이므로
¤ =PA”
¤ , AB”
¤ =180
04 동희：(cid:8641)_6=4_3이므로 (cid:8641)=2
영옥：(cid:8641)_3=1_6이므로 (cid:8641)=2
성욱：3_(3+5)=4_(4+(cid:8641))이므로
24=16+4_(cid:8641) ∴ (cid:8641)=2
미진：(cid:8641)_((cid:8641)+5)=2_(2+10)이므로
(cid:8641)¤ +5_(cid:8641)-24=0
((cid:8641)+8)((cid:8641)-3)=0
∴ (cid:8641)=3 (∵ (cid:8641)>0)
따라서 (cid:8641) 안에들어갈 수가 나머지 세 명과다른 것을들고있는
학생은 미진이다.
(cid:9000) 미진
01 ②
05 ①, ③
10 7 cm
14 ①
02 ③
06 9
11 ①
15 4
03 8
07 ⑤
12 ;2(;
16
169
4
p cm¤
p. 163~165
04 x=7, y=:£2∞:
08 ②
09 ④
13 x=4, y=3
17 ⑴ 6 cm ⑵ ① ∠P는 공통 ② ∠PTA=∠PBT ⑶ ;2(;
cm
y¤ =2_8=16이므로 y=4 (∵ y>0)
∴ x+y=4+4=8
04 x_5=y_2에서 5x-2y=0
(10+x)_(5+10)=(2+8)_(y+8)에서
3x-2y=-14
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=7, y=:£2∞:
yy ㉠
yy ㉡
05 ① 10_10+12_8이므로 한 원 위에 있지 않다.
② ∠BAC=∠BDC이므로 한 원 위에 있다.
③ ∠B+∠D+180˘이므로 한 원 위에 있지 않다.
④ ∠A+∠C=180˘이므로 한 원 위에있다.
⑤ PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로 한 원 위에 있다.
06 PA”=x라 하면 PA”¥PD”=PB”¥PC”에서
x(x+18)=8_(8+10), x¤ +18x-144=0
(x+24)(x-6)=0 ∴ x=6 (∵ x>0)
△PBA와 △PDC에서
∠P는 공통, ∠PBA=∠ADC이므로
△PBAª△PDC (AA 닮음)
즉 PA” : PC”=AB” : CD”이므로
6 : 18=3 : CD” ∴ CD”=9
7. 원주각의 활용
63
”
진도 교재
07 ∠AFC=∠ADC=90˘이므로 네 점 A, F, D, C는 한 원 위에
있다.
CD”=x라 하면 BF”¥BA”=BD”¥BC”에서
6_(6+4)=5_(5+x), 60=25+5x
5x=35 ∴ x=7
08 △OAB는 정삼각형이므로
OA”=AB”=OB”=3
이때 OC”=OB”=3
오른쪽 그림과 같이 OC”의 연장선이
원 O와 만나는 점을 D라 하고,
PB”=x라 하면 PC”¥PD”=PB”¥PA”이므로
4_(4+3+3)=x(x+3), x¤ +3x-40=0
(x+8)(x-5)=0 ∴ x=5 (∵ x>0)
D
3
O
60˘
3
A
3
B
C
4
x
P
09 ① 원 O'에서 PA”¥PB”=PE”¥PF”
② 원 O에서 PE”¥PF”=PC”¥PD”
③ ①, ②에의해 PC”¥PD”=PA”¥PB”
⑤ PA”¥PB”=PC”¥PD”가 성립하므로 네 점 A, B, C, D는 한 원
위에 있다.
11 ∠PTB=90˘이므로 PB”="√3¤ +4¤ =5 (cm)
PT”
¤ =PA”¥PB”에서
3¤ =5PA” ∴ PA”=
(cm)
;5(;
12 PT”
PT”
¤ =PA”¥PB”이므로
¤ =4_9=36 ∴ PT”=6 (cm)(∵ PT”>0)
△PTA와 △PBT에서
∠P는 공통, ∠PTA=∠PBT(접선과 현이 이루는 각)이므로
△PTAª△PBT (AA 닮음)
즉 PT” : PB”=AT” : TB”이므로
6 : 9=3 : x, 6x=27 ∴ x=;2(;
13 DA”¥DB”=DC”¥DT”에서
x_6=3_8 ∴ x=4
PT”
¤ =PA”¥PB”에서 ('3å9)¤ =y_(y+10)
y¤ +10y-39=0, (y+13)(y-3)=0
∴ y=3 (∵ y>0)
64
체크체크 수학 3-2
14 T’T'”
¤ =T’A”¥TB”에서
(2'1å4)¤ =4_(4+AB”)
56=16+4AB”
∴ AB”=10 (cm)
이때 PA”=x cm라 하면 PB”=(10-x)cm이므로
PA”¥PB”=PC”¥PD”에서
x(10-x)=4_4, x¤ -10x+16=0
(x-2)(x-8)=0 ∴ x=2 또는 x=8
한편 PA”>PB”이므로 PA”=8 cm
15 AM”을 그으면 μAM=μ BM이므로
∠MBA=∠MAB=∠MQB
접선과 현이 이루는 각의 성질에 의
해 MB”는 세 점 Q, P, B를 지나는
A
원의 접선이다.
¤ =MP”¥MQ”에서
MB”
(2'6)¤ =x_(x+2), x¤ +2x-24=0
(x+6)(x-4)=0 ∴ x=4 (∵ x>0)
Q
2
B
62
P
x
M
16 PA”¥PC”=PB”¥PD”이므로
4_PC”=6_6 ∴ PC”=9 (cm)
이때 AC”는 BD”의 수직이등분선이므로 원의 중심은 AC” 위의 점
따라서 AC”는 원의지름이므로 원의 반지름의 길이는
;2!; AC”=;2!;`(9+4)=:¡2£: (cm)
169
4
∴ (원의넓이)=p_{:¡2£:}
¤ =
p (cm¤ )
채점 기준
PC”의 길이 구하기
원의 중심이 AC” 위에 있음을 설명하기
원의 반지름의 길이 구하기
원의 넓이 구하기
2점
2점
2점
2점
배점
2점
2점
2점
2점
17 ⑴ PT”
PT”
¤ =PA”¥PB”에서
¤ =4_(4+5)=36 ∴ PT”=6 (cm)(∵ PT”>0)
⑵ △PTA와 △PBT에서
∠P는 공통
∠PTA=∠PBT(접선과 현이 이루는 각)
∴ △PTAª△PBT (AA닮음)
yy ①
yy ②
⑶ △PTAª△PBT이므로
PA” : PT”=TA” : BT”에서
4 : 6=3 : BT”
4BT”=18 ∴ BT”=
(cm)
;2(;
10 BP”¥PD”=AP”¥PC”이므로 BP”_12=(14+BP”)_4
8BP”=56 ∴ BP”=7 (cm)
이다.
(cid:0)
(cid:0)
체크체크 수학 3-2
1. 대푯값과 산포도
2. 피타고라스 정리
3. 피타고라스 정리의 활용
4. 삼각비
5. 원과 직선
6. 원주각
7. 원주각의 활용
66
70
77
84
92
96
101
개념 드릴
1
대푯값과 산포도
대푯값
p. 2~3
1 ⑴ 7 ⑵ 23 ⑶ 21
2 12건
5 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 13.9 g 6 35개
8 ⑴ 중앙값：9, 최빈값：9 ⑵ 중앙값：19, 최빈값：21
⑶ 중앙값：11, 최빈값：9 ⑷ 중앙값：11, 최빈값：11
3 15회
7 ⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ _
4 2.3시간
9 ⑴ 6.5점 ⑵ 6점
11 ⑴ 6.3시간 ⑵ 7시간 ⑶ 5시간
10 야구
12 ⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ _
5 ⑴
딸기의 무게 (g) 도수`(개) 계급값 (g)
(계급값)_(도수)
18이상~10미만
10이상~12미만
12이상~14미만
14이상~16미만
16이상~18미만
합계
1
3
4
10
2
20
9
11
13
15
17
9_1=9
11_3=33
13_4=52
15_10=150
17_2=34
278
03 ⑴
10+7+8+x+10+9+5+7+6+11
10
=8
⑵ ∴ x=7
⑵ 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면
5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 11이므로
(중앙값)=
=7.5(시간)
7+8
2
⑶ 7시간이 3회로 가장 많이 나타나므로 최빈값은 7시간이다.
04 ⑴
7+9+16+a
4
=11, 32+a=44 ∴ a=12
⑵ 중앙값이 11이므로 a는 9보다 크고 16보다 작다.
⑴ 즉
=11, 9+a=22 ∴ a=13
9+a
2
05 최빈값이 5이므로
(평균)=
5+6+x+5+8+4+5
7
=5
33+x=35 ∴ x=2
06 진희가 다음 시험에서 받아야 하는 점수를 x점이라 하면
76+72+80+85+x
5
=80 ∴ x=87(점)
11 ⑴ (평균)=
1_1+3_1+5_7+7_6+9_5
20
⑴ (평균)=
=6.3(시간)
126
20
⑵ 크기순으로 10번째, 11번째 자료의 값은 모두 6시간 이상 8시
간 미만인 계급에 속하므로 중앙값은 이 계급의 계급값인 7시
간이다.
07 2+A+4+8+B=20 ∴ A+B=6
2_2+4_A+6_4+8_8+10_B
20
=7
4A+10B+92=140 ∴ 2A+5B=24
㉠, ㉡`을 연립하여 풀면 A=2, B=4
∴ A-B=2-4=-2
⑶ 도수가 가장 큰 계급은 4시간 이상 6시간 미만인 계급이므로 최
빈값은 이 계급의 계급값인 5시간이다.
08 (평균)=
80_11+70_9
20
=
1510
20
=75.5(점)
yy`㉠
yy`㉡
p. 5
02 ①
01 ③, ④
04 ⑴ 12 ⑵ 13
08 75.5점
03 ⑴ 7 ⑵ 7.5시간 ⑶ 7시간
05 ①
06 87점
07 ②
02 (평균)=
3+7+9+8+10+10+10+7+8
9
=
:¶9™:
=8
자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면
3, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10이므로
(중앙값)=8, (최빈값)=10
∴ A=8, B=8, C=10
∴ A=B0)
(x-10)¤ +0¤ +(y-10)¤ +1¤ +3¤
5
=4
x¤ +y¤ -20(x+y)+210=20
위의 식에 ㉠`을 대입하면
x¤ +y¤ -20_16+210=20 ∴ x¤ +y¤ =130
(x+y)¤ =x¤ +y¤ +2xy에 ㉠, ㉡`을대입하면
16¤ =130+2xy, 2xy=126 ∴ xy=63
yy`㉡
이때 표준편차가 가장 작다는 것은 자료들이 평균에 가까이 밀집
되어 있는 것을 말하므로 표준편차가 가장 작은 것은 ③`이다.
04
x+10+y+11+13
5
=10 ∴ x+y=16
yy`㉠
(x¡-3)¤ +(x™-3)¤ +(x£-3)¤ +(x¢-3)¤
4
=2¤ =4
01 (평균)=
7+14+14+9+13+16+13+9+13
=12(개)
㉠ 9
p. 12
05
x¡+x™+x£+x¢
4
=3
이때 4x¡, 4x™, 4x£, 4x¢에서
(평균)=
4x¡+4x™+4x£+4x¢
4
(평균)=
4(x¡+x™+x£+x¢)
4
(평균)=4_3=12
(분산)=16_4=64
(표준편차)='6å4=8
채점 기준
평균 구하기
표준편차 구하기
(분산)=
(4x¡-12)¤ +(4x™-12)¤ +(4x£-12)¤ +(4x¢-12)¤
4
(분산)=
16{(x¡-3)¤ +(x™-3)¤ +(x£-3)¤ +(x¢-3)¤ }
4
06 (평균)=
5_4+5_6
10
=5(점)
전체 평균이 각 모둠의 평균과 같으므로 편차 역시 모둠별로 구한
편차와 같다.
이때 {A모둠의 (편차)¤ 의 합}=4_5=20
{B모둠의 (편차)¤ 의 합}=6_10=60
이므로 전체 학생 10명의 분산은
20+60
10
=8
3점
3점
배점
3점
3점
자료를작은값에서부터크기순으로나열하면
7, 9, 9, 13, 13, 13, 14, 14, 16
이므로중앙값은
㉡ 13
개이고최빈값은
㉢ 13
개이다.
(cid:9000) 평균：12개, 중앙값：13개, 최빈값：13개
02 ⑴ (평균)=
7+9+12+7+8+7+8+6
8
=8
⑵ 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면
6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 12
이므로 중앙값은 4번째와 5번째 자료의 값의 평균이다.
∴ (중앙값)=
7+8
2
=
:¡2∞:
=7.5
⑶ 최빈값은 자료의 값이 가장 많은 7이다.
(cid:9000) ⑴ 8 ⑵ 7.5 ⑶ 7
03 ⑴ (평균)=
92+84+66+90+68
5
=
㉠ 80
(점)
⑵편차는
㉡ 12, 4, -14, 10, -12
이므로
(분산)=
12¤ +4¤ +(-14)¤ +10¤ +(-12)¤
㉢ 5
㉤ 2'3å0
⑶(표준편차)="√(분산)=
=
㉣ 120
(점)
(cid:9000) ⑴ 80점 ⑵ 120 ⑶ 2'3å0점
04 ⑴ 편차의 합은 0이므로 -6+5+(-4)+x+3=0
-2+x=0 ∴ x=2
⑵ (분산)=
(-6)¤ +5¤ +(-4)¤ +2¤ +3¤
5
=
=18
:ª5º;
⑶ (표준편차)="√(분산)='1å8=3'2(점)
(cid:9000) ⑴ 2 ⑵ 18 ⑶ 3'2점
1. 대푯값과 산포도
69
개념 드릴
2
피타고라스 정리
피타고라스 정리
p. 13~17
1 ⑴ 2'1å3 cm ⑵ 12 cm ⑶ '7 cm ⑷ 3'5 cm
2 ⑴ x=10, y=5'3 ⑵ x=4'2, y='7
3 ⑴ 4'2 ⑵ 5 cm ⑶ 4'5 ⑷ 2'1å3
4 ⑴ '7 ⑵ 2'5 ⑶ 4'3 ⑷ 2'4å1
5 114 cm¤
7 ⑴ 36 cm¤
`⑶ 50 cm¤
`⑵ 25 cm¤
`⑷ 5 cm¤
6 EBA, ABF, BFL, BFML, LMGC
`⑹ 36 cm¤
`⑸ 34 cm¤
8 8 cm¤
9 GEF, BGH, c, 90˘, 정사각형, ABC, ;2!;
ab
11 289 cm¤
16 4-2'3
10 ⑴ 4 cm ⑵ 5 cm ⑶ 25 cm¤
12 ⑴ 8 cm ⑵ 10 cm ⑶ 90˘ ⑷ 10'2 cm
14 a-b, 90˘, ABC, (a-b)¤ , a¤ +b¤
15 ⑴ 3 cm ⑵ 1 cm ⑶ 1 cm¤
17 16-8'3 18 (16'2-8) cm
19 ⑴ (cid:8776) ⑵ × ⑶ (cid:8776) ⑷ (cid:8776) ⑸ × ⑹ (cid:8776)
20 ⑴ (cid:8776) ⑵ × ⑶ × ⑷ (cid:8776) ⑸ ×
21 ㉠, ㉣
22 ⑴ 10 ⑵ 12
1 ⑴ x¤ =4¤ +6¤ ∴ x=2'∂13 (cm) (∵ x>0)
⑵ x¤ +5¤ =13¤ ∴ x=12 (cm) (∵ x>0)
⑶ x¤ +3¤ =4¤ ∴ x='7 (cm) (∵ x>0)
⑷ x¤ =3¤ +6¤ ∴ x=3'5 (cm) (∵ x>0)
2 ⑴ 6¤ +8¤ =x¤ 에서 x=10 (∵ x>0)
⑴ 5¤ +y¤ =10¤ 에서 y=5'3 (∵ y>0)
⑵ x¤ +7¤ =9¤ 에서 x=4'2 (∵ x>0)
⑴ 5¤ +y¤ =(4'2)¤ 에서 y='7 (∵ y>0)
3 ⑴ AD”
¤ =5¤ -3¤ 에서 AD”=4 (∵ AD”>0)
⑴ x¤ =4¤ +4¤ ∴ x=4'2 (∵ x>0)
⑵ AD”
¤ =20¤ -16¤ 에서 AD”=12 (cm) (∵ AD”>0)
⑴ x¤ =13¤ -12¤ ∴ x=5 (cm) (∵ x>0)
¤ =5¤ -4¤ 에서 CD”=3 (∵ CD”>0)
⑶ CD”
⑴ x¤ =8¤ +4¤ ∴ x=4'5 (∵ x>0)
⑷ BC”
¤ =10¤ -6¤ 에서 BC”=8 (∵ BC”>0)
⑴ ∴ DC”=
BC”=4
;2!;
⑴ x¤ =4¤ +6¤ ∴ x=2'1å3 (∵ x>0)
4 ⑴ 점 D에서 BC”에 내린수선의 발을 H라 하면 CH”=3이므로
⑴ x¤ +3¤ =4¤ ∴ x='7 (∵ x>0)
⑵ 점 A에서 BC”에 내린수선의 발을 H라 하면 BH”=2이므로
⑴ x="√2¤ +4¤ =2'5
70
체크체크 수학 3-2
⑶ 점 A에서 BC”에 내린수선의 발을 H라 하면
⑴ BH”=2이므로 DC”=AH”="√4¤ -2¤ =2'3
⑴ ∴ x="√6¤ +(2'3)¤ =4'3
⑷ 점 A에서 BC”에 내린수선의 발을 H라 하면
⑴ BH”=6이므로 DC”=AH”="√10¤ -6¤ =8
⑴ ∴ x="√8¤ +10¤ =2'∂41
5 점 A에서 BC”에 내린수선의 발을 H라 하면
BH”=5 cm이므로 AH”="√13¤ -5¤ =12 (cm)
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(7+12)_12=114 (cm¤ )
13 4 cm
⑶ S=
_10¤ =50 (cm¤ )
7 ⑴ S=6¤ =36 (cm¤ )
⑵ S=5¤ =25 (cm¤ )
;2!;
;2!;
⑷ S=
_('1å0)¤ =5 (cm¤ )
⑸ S=72-38=34 (cm¤ )
⑹ S=81-45=36 (cm¤ )
23 9
24 6
8 AB”="√5¤ -3¤ =4 (cm)
∴ △EBC=△EBA=;2!;(cid:8772)ADEB=;2!;_4¤ =8 (cm¤ )
10 ⑴ AF”=AB”-BF”=7-3=4 (cm)
¤ +4¤ =5 (cm)
⑵ EF”="3√
⑶ (cid:8772)EFGH=EF”
¤ =5¤ =25 (cm¤ )
11 (cid:8772)EFGH=EF”
¤ =169 (cm¤ )이므로
EF”=13 (cm) (∵ EF”>0)
△AFE에서 5¤ +AF”
¤ =13¤ 이므로
AF” =12 (cm) (∵ AF” >0)
∴ (cid:8772)ABCD=AB”
¤ =(12+5)¤ =17¤ =289 (cm¤ )
12 ⑴ BE”=CD”=8 cm
⑵ AE”="√6¤ +8¤ =10 (cm)
⑶ ∠AEB+∠EAB=90˘, ∠EAB=∠DEC이므로
∠AEB+∠DEC=90˘(cid:0)
(cid:0) ∴ ∠AED=90˘
⑷ AD”="1√0¤ +10¤ =10'2 (cm)
13 AC”=CE”=x cm라 하면 △ACE에서 ∠ACE=90˘이므로
(2'1å0)¤ =x¤ +x¤ ∴ x=2'5 (∵ x>0)
¤ -2¤ =4 (cm)
△ABC에서 BC”="(√2'5)√
15 ⑴ `BE”="√5¤ -4¤ =3 (cm)
⑵ `EF”=4-3=1 (cm)
⑶ (cid:8772)EFGH는 정사각형이므로
(cid:8772)EFGH=EF”
¤ =1¤ =1 (cm¤ )
x¤ -4x-12=0, (x-6)(x+2)=0
∴ x=6 (∵ x>1)
16 AQ”="2√
¤ -1¤ ='3이므로 PQ”='3-1
(cid:8772)PQRS는 정사각형이므로
(cid:8772)PQRS=PQ”
¤ =('3-1)¤ =4-2'3
17 AQ”="√4¤ -2¤ =2'3이므로 PQ”=2'3-2
∴ (cid:8772)PQRS=PQ”
¤ =(2'3-2)¤ =16-8'3
18 AE”="√6¤ -2¤ =4'2 (cm)이므로 EH”=4'2-2 (cm)
이때 (cid:8772)EFGH는 정사각형이므로 둘레의 길이는
4EH”=4_(4'2-2)=16'2-8 (cm)
19 ⑴ 5¤ =3¤ +4¤ ∴ 직각삼각형 ((cid:8776))
⑵ 8¤ +4¤ +7¤ ∴ 직각삼각형이 아니다. (×)
⑶ 13¤ =12¤ +5¤ ∴ 직각삼각형 ((cid:8776))
⑷ (5'2 )¤ =(2'1å0)¤ +('1å0)¤ ∴ 직각삼각형 ((cid:8776))
⑸ (5'3 )¤ +5¤ +5¤ ∴ 직각삼각형이 아니다. (×)
⑹ (3'5 )¤ =6¤ +3¤ ∴ 직각삼각형 ((cid:8776))
20 ⑴ 3¤ =2¤ +('5)¤ ∴ 직각삼각형 ((cid:8776))
⑵ 6¤ +('1å4)¤ +4¤ ∴ 직각삼각형이 아니다. (×)
⑶ 6¤ +3¤ +4¤ ∴ 직각삼각형이 아니다. (×)
⑷ 10¤ =6¤ +8¤ ∴ 직각삼각형 ((cid:8776))
⑸ 10¤ +7¤ +8¤ ∴ 직각삼각형이 아니다. (×)
21 ㉠ ('3 )¤ =1¤ +('2 )¤ ∴ 직각삼각형
㉡ 3¤ +2¤ +2¤ ∴ 직각삼각형이 아니다.
㉢ 6¤ +4¤ +5¤ ∴ 직각삼각형이 아니다.
㉣ 5¤ =3¤ +4¤ ∴ 직각삼각형
㉤ 17¤ +8¤ +13¤ ∴ 직각삼각형이 아니다.
㉥ 7¤ +3¤ +5¤ ∴ 직각삼각형이 아니다.
따라서 직각삼각형인 것은 ㉠, ㉣이다.
22 ⑴ (x+7)¤ =8¤ +(x+5)¤ 이므로
4x=40 ∴ x=10
⑵ (x+3)¤ =x¤ +(x-3)¤ 이므로
x¤ -12x=0, x(x-12)=0
∴ x=12 (∵ x>3)
23 (x+6)¤ =x¤ +(x+3)¤ 이므로
x¤ -6x-27=0, (x-9)(x+3)=0
∴ x=9 (∵ x>0)
24 (x+7)¤ =(x-1)¤ +(x+6)¤ 이므로
01 ①
06 ②
11 ①
02 8
07 9
12 ③
03 '3å1 cm 04 3'5
08 ②
13 8
09 34 cm¤
14 25, '5∂27
05 6
10 ⑤
p. 18~19
01 △ADC에서 AC”="√13¤ -5¤ =12
따라서 △ABC에서
x="√(11+5)¤ +12¤ =20
02 (x+2)¤ =x¤ +6¤ 이므로 4x=32(cid:0)
(cid:0) ∴ x=8
03 BD”="2√
¤ +6¤ =2'1å0 (cm)
∴ x="(√2'1å0)¤ -3¤ ='3å1 (cm)
04 AC”="√3¤ +3¤ ='1å8=3'2
√+3¤ ='2å7=3'3
AD”="(√3'2)¤
AE”="(√3'3)¤
√ +3¤ ='3å6=6
∴ AF”="√6¤ +3¤ ='4å5=3'5
05 O’B'”="√3¤ +3¤ =3'2이므로 OB”=O’B'”=3'2
O’C'”="√(3'2)√
OD'”="√(3'3)√
¤ +3¤ =3'3이므로 OC”=O’C'”=3'3
¤ +3¤ =6이므로 OD”=O’D'”=6
채점 기준
OB”의 길이 구하기
OC”의 길이 구하기
OD”의 길이 구하기
2점
2점
2점
배점
2점
2점
2점
06 점 A에서 CD”에 내린수선의 발을 H라 하면 HD”=1 m이므로
△AHD에서 AD”="√4¤ +1¤ ='1å7 (m)
07 직각삼각형 ABC에서 BC”
¤ =AB”
¤ +AC”
¤ 이므로
(Q의 넓이)=(P의 넓이)+(R의 넓이)
100=(P의 넓이)+19 ∴ (P의 넓이)=81
¤ =81이므로 AB”=9 (∵ AB”>0)
즉 AB”
08 ② ∠ECB=∠AFB
09 (cid:8772)ABCD는 넓이가 64 cm¤ 인 정사각형이므로 AD”=8 cm
∴ AH”=8-3=5 (cm)
△AEH에서 EH”="3√
¤ +5¤ ='3å4 (cm)
이때 △AEH™△BFE™△CGF™△DHG(`SAS 합동)이므
로 (cid:8772)EFGH는 정사각형이다.
∴ (cid:8772)EFGH=EH”
¤ =('3å4)¤ =34 (cm¤ )
2. 피타고라스 정리
71
”
10 △ABE™△ECD이므로 △AED는 ∠AED=90˘이고
04 OB”="√1¤ +1¤ ='2, OC”="√('2)¤ +1¤ ='3
OD”="√('3)¤ +1¤ ='4=2, OE”="√2¤ +1¤ ='5
OF”="√('5)¤ +1¤ ='6
개념 드릴
AE”=DE”인 직각이등변삼각형이다.
AE”=DE”=x cm라 하면
_x_x=25, x¤ =50(cid:0)
;2!;
△ABE에서 BE”="(√5'2)¤ -3¤ ='4å1 (cm)
(cid:0) ∴ x=5'2 (∵ x>0)
11 ② GH”=3-'7
③ EF”+GH”=2GH”=2(3-'7 )=6-2'7
¤ =(3-'7 )¤ =16-6'7
④ (cid:8772)EFGH=GH”
⑤ (cid:8772)EFGH의 둘레의 길이는 4GH”=12-4'7
12 ① 6¤ +3¤ +5¤
(cid:0) ∴ 직각삼각형이 아니다.
(cid:0) ∴ 직각삼각형이 아니다.
② ('5 )¤ +('3 )¤ +2¤
③ ('5 )¤ =1¤ +2¤
④ 8¤ +5¤ +7¤
⑤ 24¤ +7¤ +21¤
(cid:0) ∴ 직각삼각형
(cid:0) ∴ 직각삼각형이 아니다.
(cid:0) ∴ 직각삼각형이 아니다.
13 (a+2)¤ =(a-2)¤ +a¤ 이므로
a¤ -8a=0, a(a-8)=0(cid:0)
(cid:0) ∴ a=8 (∵ a>2)
14 ⁄ 가장 긴 변의길이가 a일 때
a¤ =7¤ +24¤
(cid:0) ∴ a=25 (∵ a>0)
¤ 가장 긴 변의길이가 24일 때
24¤ =a¤ +7¤
(cid:0) ∴ a='5∂27 (∵ a>0)
따라서 a의 값은 25와 '5∂27이다.
01 33
06 ⑤
11 36-10'1å1
02 15
07 ④
03 ⑤
08 ③
12 ①, ③
04 ③
09 ④
13 5
01 x¤ +15¤ =17¤ 에서 x=8 (∵ x>0)
20¤ +15¤ =y¤ 에서 y=25 (∵ y>0)
∴ x+y=33
02 x¤ +(x-7)¤ =(x+2)¤ 이므로
x¤ -18x+45=0, (x-3)(x-15)=0
∴ x=15 (∵ x>7)
03 BD”="√5¤ +7¤ ='7å4 (cm)
BC”=CD”=x cm라 하면
x¤ +x¤ =('7å4)¤
(cid:0) ∴ x='3å7 (∵ x>0)
72
체크체크 수학 3-2
05 AE”=AC”="√1¤ +1¤ ='2
AG”=AF”="√1¤ +√('2)¤ ='3
AIÚ=AH”="√1¤ +√('3)¤ ='4=2
AK”=AJÚ="√1¤ +2¤ ='5
∴ B’K”=A’K”-AB”='5-1
06 점 A에서 BC”에 내린수선의 발을 H라 하면 BH”=5-3=2
△ABH에서 AH”="√3¤ -2¤ ='5
△DBC에서 BD”="√5¤ +√('5 )¤ ='3å0
07 △EBA=△EBC=40 cm¤ 이므로
(cid:8772)EBAD=2△EBA=80 (cm¤ )
∴ AB”='8å0=4'5 (cm)
△ABC에서 BC”="(√4'5 )¤ +4¤ ='9å6=4'6 (cm)
09 ④ ab=12일 때, (cid:8772)AGHB의 넓이는 알 수 없다.
p. 20~21
05 '5-1
10 ②
14 ②, ⑤
10 ② a+b
11 △ABE에서 AE”="√6¤ -('1å1)¤ =5이므로
HE”=5-'1å1
(cid:8772)EFGH는 정사각형이므로
(cid:8772)EFGH=(5-'1å1 )¤ =36-10'1å1
12 ① 10¤ =6¤ +8¤
② 7¤ +5¤ +5¤
③ ('2å9)¤ =2¤ +5¤
④ 2¤ +1+('2 )¤
⑤ 16¤ +8¤ +15¤
(cid:0) ∴ 직각삼각형
(cid:0) ∴ 직각삼각형이 아니다.
(cid:0) ∴ 직각삼각형
(cid:0) ∴ 직각삼각형이 아니다.
(cid:0) ∴ 직각삼각형이 아니다.
13 (x+5)¤ =(x+1)¤ +(x+3)¤ 이므로
x¤ -2x-15=0, (x+3)(x-5)=0
∴ x=5 (∵ x>-1)
채점 기준
x의 값 구하기
피타고라스 정리를 이용하여 식 세우기
2점
4점
배점
2점
4점
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
14 나머지 한 변의길이를 x cm라 하면
⁄ 가장 긴 변의길이가 x cm일 때
⁄ x¤ =6¤ +8¤
(cid:0) ∴ x=10 (∵ x>0)
6 3-290˘이므로 3¤ >a¤ +2¤ 에서 00)
피타고라스 정리를 이용한 성질
p. 22~26
1 2, 8, <, 16, 0, 4, 2, 4
3 55이므로 590˘이므로 x¤ >4¤ +3¤ 에서 x>5 (∵ x>0)
㉠, ㉡에서 50)
74
체크체크 수학 3-2
가장 긴 변의길이는 a cm이고 둔각삼각형이므로
a¤ >4¤ +6¤ , a¤ >52 ∴ a>2'∂13 (∵ a>0)
㉠, ㉡에서 2'∂13BC”
¤ +CA”
¤ 이므로 △ABC는 ∠C>90˘인 둔각삼각형이다.
∴ ∠A+∠B<90˘
02 ① 2¤ =1¤ +('3 )¤ 이므로 직각삼각형
② 14¤ >9¤ +10¤ 이므로 둔각삼각형
③ 7¤ <5¤ +6¤ 이므로 예각삼각형
④ 17¤ =8¤ +15¤ 이므로 직각삼각형
⑤ 10¤ <7¤ +8¤ 이므로 예각삼각형
(cid:0)
03 삼각형이 결정되는 조건에 의하여 27이므로 70
)
8¤ +10¤ =x¤ , x¤ =
㉤ 2'4å1
∴ x=
㉣ 164
(∵ x>0)
따라서 x의 값은
㉥ 6, 2'4å1
이다.
02 ⁄ 가장 긴 변의길이가 x일 때
(x-2)¤ +6¤ =x¤ , 4x=40(cid:0)
¤ 가장 긴 변의길이가 6일 때
(cid:0) ∴ x=10
x¤ +(x-2)¤ =6¤ , x¤ -2x-16=0
∴ x=1+'1å7 (∵ x>2)
따라서 x의 값이 될 수 있는 것은 10, 1+'1å7이다.
채점 기준
가장 긴 변의 길이가 x일 때 x의 값 구하기
가장 긴 변의 길이가 6일 때 x의 값 구하기
모든 x의 값 구하기
03 △ABE에서 5¤ +BE”
㉡ 12
BE”=
¤ =
㉠ 13¤
이므로
(cm) (∵ BE”>0) ∴ EC”=
㉢ 1
(cm)
EF”=x cm라 하면 CF”=(
㉣ 5-x
)cm이므로
△FEC에서 1¤ +(5-x)¤ =x¤ , 10x=
㉤ 26
∴ x=
㉥ 2.6
(cid:9000) 2.6 cm
04 △ABQ에서 9¤ +BQ”
¤ =15¤ 이므로 BQ”=12 (∵ BQ”>0)
∴ CQ”=3
CP”=x라 하면 PQ”=DP”=9-x
△CPQ에서 3¤ +x¤ =(9-x)¤
(cid:0) ∴ x=4
∴ △CPQ=
_3_4=6
;2!;
채점 기준
CQ”의 길이 구하기
CP”의 길이 구하기
△CPQ의 넓이 구하기
CP”, PQ”의 길이를 x에 대한 식으로 나타내기
p. 33
(cid:9000) 6, 2'4å1
(cid:9000) 10, 1+'1å7
4점
4점
2점
배점
4점
4점
2점
3점
2점
3점
2점
(cid:9000) 6
배점
3점
2점
3점
2점
(cid:0)
(cid:0)
3
피타고라스 정리의 활용
11 ⑴ 점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
평면도형에서의 활용
p. 34~36
1 ⑴ 5 ⑵ 5'2 ⑶ 4'5 ⑷ 6 ⑸ 3'5 ⑹ 5'2
2 17 cm
5 ⑴ 8 ⑵ 8'3 ⑶ 64'3
6 ⑴ h=2'3, S=4'3 ⑵ h=9, S=27'3
3 '9å1 cm
4 6'2 cm
7
7'3
2
cm
9 4'2 cm 10 ⑴ 6 cm ⑵ 8 cm ⑶ 48 cm¤
8 45'3
11 ⑴ h=15, S=120 ⑵ h='3å9, S=5'3å9
12 ⑴ 21-x ⑵ 15 ⑶ 8 ⑷ 84
13 ⑴ ;4(;
cm ⑵
5'7
4
cm ⑶
15'7
4
cm¤
15 ⑴ 5 ⑵ '4å1 ⑶ '2å9 ⑷ '1å7
14 15'7 cm¤
16 ⑴ 2'2 ⑵ 4'2 ⑶ '1∂45 ⑷ 2'1å3 ⑸ 4'5 ⑹ 2'5
17 ⑴ '2å9 ⑵ '2å9 ⑶ '5å8 ⑷ 직각이등변삼각형
18 ⑴ 2'5 ⑵ 3'5 ⑶ '6å5 ⑷ 직각삼각형
2 (대각선의 길이)="1√5¤ +≈8¤ ='2∂89=17 (cm)
3 직사각형의 가로의 길이를 x cm라 하면
x¤ +3¤ =10¤ , x¤ =91(cid:0)
(cid:0) ∴ x='9å1 (∵ x>0)
4 (대각선의 길이)='2_6=6'2 (cm)
5 ⑴ BH”=
;2!;
BC”=
_16=8
;2!;
⑵ AH”="√16¤ -8¤ =8'3
⑶ △ABC=
_16_8'3=64'3
;2!;
7 (높이)= _7=
'3
2
7'3
2
(cm)
8 정삼각형의 한 변의길이를 a 라 하면
'3
2
a=3'∂15 ∴ a=6'5
따라서 정삼각형의 넓이는
'3
4
_(6'5)¤ =45'3
9 정삼각형의 한 변의길이를 a cm라 하면
'3
4
a¤ =8'3, a¤ =32 ∴ a=4'2 (∵ a>0)
10 ⑴ BH”=
;2!;
BC”=
_12=6 (cm)
;2!;
⑵ AH”="1√0¤ -6¤ =8 (cm)
⑶ △ABC=
_12_8=48 (cm¤ )
;2!;
⑵ 점 A에서 BC”에 내린수선의 발을 H라 하면
(cid:0) BH”=
BC”=
_16=8
;2!;
;2!;
(cid:0) △ABH에서
(cid:0) h=AH”="1√7¤ -8¤ =15
_16_15=120
(cid:0) 또 S=
;2!;
(cid:0) BH”=
BC”=
_10=5
;2!;
;2!;
(cid:0) △ABH에서
(cid:0) h=AH”="√8¤ -5¤ ='3å9
(cid:0) 또 S=
_10_'3å9=5'3å9
;2!;
12 ⑵ 17¤ -x¤ =10¤ -(21-x)¤
(cid:0) ∴ x=15
42x=630(cid:0)
⑶ AH”="√17¤ -15¤ =8
⑷ △ABC=
_21_8=84
;2!;
13 ⑴ BH”=x cm라 하면 CH”=(6-x) cm이므로
4¤ -x¤ =5¤ -(6-x)¤
12x=27 ∴ x=;4(;
⑵ △ABH에서 AH”=æ≠4¤ -{;4(;}
¤ =
5'7
4
(cm)
⑶ △ABC=;2!;_6_
5'7
4
=
15'7
4
(cm¤ )
14 BH”=x cm라 하면 CH”=(10-x) cm
12¤ -x¤ =8¤ -(10-x)¤ , 20x=180 ∴ x=9
△ABH에서 AH”="√12¤ -9¤ =3'7 (cm)
∴ △ABC=;2!;_10_3'7=15'7 (cm¤ )
17 ⑴ OA”="√2¤ +5¤ ='∂29
⑵ OB”="√5¤ +(-2)¤ ='∂29
⑶ AB”="√(5-2)¤ +(-2-5)¤ ='∂58
⑷ OA”=OB”이고 OA”
¤ =AB”
¤ +OB”
¤ 이므로
⑷ △OAB는 직각이등변삼각형이다.
18 ⑴ AB”="√{2-√(-2)}¤ +(5-3)¤ ='∂20=2'5
⑵ BC”="√(5-2)¤ +(-1-5)¤ ='∂45=3'5
⑶ CA”="√{5-√(-2)}¤ +(-1-3)¤ ='∂65
⑷ AB”
¤ 이므로
¤ =CA”
¤ +BC”
△ABC는 ∠B=90˘인 직각삼각형이다.
3. 피타고라스 정리의 활용
77
(cid:0)
cm 02 ④
03 ③
04 54'3 cm¤
02 36p
03 ⑴ 9'3 cm¤ ⑵ 3'3 cm ⑶
p. 38
27'3
4
cm¤
p. 37
01 ④
04 ③
07 ②
개념 드릴
01 ⑴ 13 cm ⑵ ;1^3);
05 12 cm¤
06 ②
07 -1, 5
08 ②
01 ⑴ BD”="√5¤ +12¤ =13 (cm)
⑵ △ABD에서 AB”_AD”=AP”_BD”이므로
5_12=AP”_13 ∴ AP”=;1^3); (cm)
02 정사각형의 대각선의 길이가 '2_6=6'2이므로 외접원의 지름
의 길이가 6'2이다. 따라서 원의 넓이는 p_(3'2 )¤ =18p
03 △ABC의 한 변의 길이를 x cm라 하면
'3
AM”=3 cm이므로 _x=3에서 x=2'3
2
∴ △ABC= _(2'3 )¤ =3'3 (cm¤ )
'3
4
04 오른쪽 그림과 같이 정육각형은 정삼각
형 6개로 나누어지므로
(정육각형의 넓이)=6_ _6¤
'3
4
(정육각형의 넓이)=54'3 (cm¤ )
05 점 A에서 BC”에 내린수선의 발을 H라 하면
BH”=
BC”=
_6=3 (cm)
;2!;
;2!;
AH”="√5¤ -3¤ =4 (cm)
∴ △ABC=
_6_4=12 (cm¤ )
;2!;
채점 기준
삼각형의 높이 구하기
삼각형의 넓이 구하기
06 점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라
하고 BH”=x라 하면 CH”=14-x이므로
A
13¤ -x¤ =15¤ -(14-x)¤
28x=140 ∴ x=5
△ABH에서 AH”="√13¤ -5¤ =12
∴ △ABC=;2!;_14_12=84
13
15
x
B
H
14
C
07 "√(p-2)¤ +(-3-1)¤ =5에서 양변을 제곱하여 정리하면
p¤ -4p-5=0, (p+1)(p-5)=0 ∴ p=-1 또는 p=5
05 '5 cm 06 ⑴ 4'2 cm ⑵ 20'2 cm¤
08 ①
01 BD”="√6¤ +8¤ =10 (cm)
△ABD에서 AB”_AD”=BD”_AH”이므로
6_8=10_AH”
(cid:0) ∴ AH”=4.8 (cm)
02 정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 x라 하면
(cid:0) ∴ x=12
'2x=12'2(cid:0)
즉 원 O의 지름의 길이가 12이므로
(원의 넓이)=p_6¤ =36p
'3
03 ⑴ △ABC= _6¤ =9'3 (cm¤ )
4
⑵ AD”= _6=3'3 (cm)
'3
2
60˘
60˘
O60˘
'3
⑶ △ADE= _(3'3 )¤ =
4
27'3
4
(cm¤ )
12`cm
04 정육각형은 정삼각형 6개로 나누어지므로
4점
2점
배점
4점
2점
(정육각형의 넓이)=6_ _('3-1)¤
'3
4
(정육각형의 넓이)=
3'3
2
_(4-2'3 )
(정육각형의 넓이)=6'3-9
05 점 A에서 BC”에 내린수선의 발을 H라 하면
BH”=
BC”=
_4=2 (cm)
;2!;
;2!;
△ABH에서 AH”="√3¤ -2¤ ='5 (cm)
06 ⑴ CH”=x cm라 하면 BH”=(10-x) cm이므로
(4'6 )¤ -(10-x)¤ =6¤ -x¤
20x=40(cid:0)
(cid:0) ∴ x=2
(cid:0) △ACH에서 AH”="√6¤ -2¤ =4'2 (cm)
⑵ △ABC=
_10_4'2=20'2 (cm¤ )
;2!;
07 "√{a-(-1)}¤ +√(1-3)¤ =2'2이므로
양변을 제곱하여 정리하면 a¤ +2a-3=0
(a+3)(a-1)=0 ∴ a=-3 또는 a=1
이때 점 B(a, 1)이 제`2`사분면 위의 점이므로 a=-3
08 AB”="√{-3-(-1)}¤
BC”="√{1-(-3)}¤
CA”="√{1-(-1)}¤ +√{4-(-3)}¤ ='∂53
즉 CA”
√+{2-(-3)}¤ ='∂29
√+(4-2)¤ ='∂20=2'5
¤ >AB”
¤ +BC”
¤ 이므로 △ABC는 ∠B>90˘인 둔각삼각
08 AB”="√{-3√-(-2)}¤
√+(1-0)¤ ='2
BC”="{√4-(√-3)}¤ +(2-1)¤ ='5å0=5'2
CA”="{√4-(√-2)√}¤ +(√2-0)¤ ='4å0=2'1å0
즉 BC”
¤ >AB”
¤ +CA”
¤ 이므로 △ABC는 ∠A>90˘인 둔각삼각
형이다.
형이다.
78
체크체크 수학 3-2
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
입체도형에서의 활용
p. 39~43
7 ⑴ 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
256'2
3
cm‹
⑷ (부피)=;3!;_16_2'∂14=
32'∂14
3
(cm‹ )
1 ⑴ '7å4, 3'1å0 ⑵ 9'2, 9'3
2 ⑴ 2'6 cm ⑵ 4'3 ⑶ 6 cm ⑷ 3'2
9'2
4
⑵ ;3@; ⑶ '3 ⑷ '6 ⑸
4 ⑴
5 ⑴
⑵ 3'3 ⑶ 3'6 ⑷
81'3
4
⑸
243'2
4
3'3
2
9'3
2
3 27 cm‹
6 ⑴ h=4'6 cm, V=144'2 cm‹ ⑵ h=3'2 cm, V=
27'6
4
cm‹
7 ⑴ 9 cm ⑵ 4 cm
8 ⑴ 4'2 cm ⑵ 2'1å4 cm ⑶ 16 cm¤
`⑷
32'1å4
3
cm‹
9 ⑴ h='8å2 cm, V=12'8å2 cm‹ ⑵ h=4'2 cm, V=
10 5'2
11 ⑴ (높이)=4 cm, (부피)=12p cm‹
`
⑵ (높이)=3'5å5 cm, (부피)=81'5å5p cm‹
⑶ (높이)='5å5 cm, (부피)=3'5å5p cm‹
11 ⑷ (높이)=2'2å1 cm, (부피)=
32'2å1
3
p cm‹
12 9'1å5p cm‹
32'2å1
3
14 ⑴
p cm‹ ⑵
13 ⑴ 6 cm `⑵ 12'2 cm
p cm‹
8'1å5
3
17 4, 7, 3, 4, 10, 2'2å9
15 8 cm
16 144p cm¤
18 '5ß41
21 ⑴ 6'5p cm ⑵ 18'2p cm
23 20, 20, 10p, 90˘, 20, 20, 20'2
19 5'5 cm
20 4p, 4p, 4p, 4p, 4'2p
22 20 cm
24 16'2 cm
¤ +x¤
2 ⑴ x="√4¤ +2¤ +2¤ =2'6 (cm)
√+x¤ =12에서 x¤ =48
⑵ "x√
(cid:0) ∴ x=4'3 (∵ x>0)
⑶ "√x¤ +3¤ +3¤ =3'6에서 x¤ =36
⑴ ∴ x=6 (cm) (∵ x>0)
⑷ "√x¤ +x¤ +6¤ =6'2에서 x¤ =18
⑴ ∴ x=3'2 (∵ x>0)
3 정육면체의 한 모서리의 길이를 x cm라 하면
'3x=3'3 ∴ x=3
따라서 구하는 정육면체의 부피는 3‹ =27 (cm‹ )
5 ⑴ DM”= _9=
'3
2
9'3
2
⑵ 점 H는 △BCD의 무게중심이므로
⑵ DH”=
9'3
2
_;3@;=3'3
⑶ △AHD에서 AH”="√9¤ -(3'3 )¤ =3'6
⑷ △BCD= _9¤ =
'3
4
81'3
4
⑸ (부피)=;3!;_
81'3
4
_3'6=
243'2
4
'6
3
a=3'6(cid:0)
(cid:0) ∴ a=9
⑵ 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
'2
12
a‹ =
16'2
3
, a‹ =64(cid:0)
(cid:0) ∴ a=4
8 ⑴ BD”='2_4=4'2 (cm)
⑵ BH”=;2!;BD”=2'2 (cm)이므로
△ABH에서 AH”="√8¤ -(2'2 )¤ =2'∂14 (cm)
⑶ (cid:8772)BCDE=4¤ =16 (cm¤ )
9 ⑴ AC”=6'2 cm이므로 AH”=
AC”=3'2 (cm)
;2!;
(cid:0) △OAH에서 h="1√0¤ -√(3'2 )¤ ='8å2 (cm)
(cid:0) ∴ V=
_6¤ _'8å2=12'8å2 (cm‹ )
;3!;
⑵ AC”=8'2 cm이므로 AH”=
(cid:0) △OAH에서 h="√8¤ -√(4'2 )¤ =4'2 (cm)
(cid:0) ∴ V=
(cm‹ )
AC”=4'2 (cm)
;2!;
_8¤ _4'2=
256'2
3
;3!;
10 BD”=8'2이므로 BH”=
BD”=4'2
;2!;
△OBH에서 x="(√3'2 √)¤ +√(4'2 )¤ =5'2
12 밑면인 원의 반지름의 길이는
"1√2¤ -(√3'1å5)¤ =3 (cm)
∴ (원뿔의부피)=
_p_3¤ _3'1å5=9'1å5p (cm‹ )
;3!;
13 ⑴ 부채꼴의 호의 길이를 l이라 하면
l=2p_18_
=12p (cm)
120˘
360˘
밑면의 반지름의 길이가 r이므로
2pr=12p(cid:0)
ç-≈
(cid:0) ∴ r=6 (cm)
¤ ='2ß8å8=12'2 (cm)
Ω6Ω
⑵ h="1ç8¤
14 ⑴ 2p_x=2p_10_
이므로 x=4
144˘
360˘
(cid:0) 따라서 원뿔의 높이는 "1√0¤ -4¤ =2'2å1 (cm)이므로
p (cm‹ )
_p_4¤ _2'2å1=
(cid:0) 원뿔의 부피는 ;3!;
32'2å1
3
⑵ 2p_x=2p_8_
이므로 x=2
90˘
360˘
(cid:0) 따라서 원뿔의 높이는 "√8¤ -2¤ =2'1å5 (cm)이므로
p (cm‹ )
_p_2¤ _2'1å5=
(cid:0) 원뿔의 부피는 ;3!;
8'1å5
3
3. 피타고라스 정리의 활용
79
(cid:0)
(cid:0)
개념 드릴
15 x="1√7¤ -15¤ =8
16 PH”="√13¤ -5¤ =12 (cm)
따라서 원의 넓이는 p_12¤ =144p (cm¤ )
18 다음 전개도에서 구하는 최단 거리는 AG”의 길이와 같다.
D
15
C
6
G
10
A
B
F
∴ AG”="√21¤ +10¤ ='5ß4å1
19 다음 전개도에서 구하는 최단 거리는 EC”의 길이와 같다.
A
E
B
F
10`cm
C
G
5`cm
∴ `EC”
”="√10¤ +5¤ =5 '5 (cm)
21 ⑴ 오른쪽 전개도에서 구하는 최단
거리는 Q’P'”의 길이와 같다.
Q’P'”="(√12p)√
¤ +(6p)¤
P
Q
=6'5p (cm)
P'
6p`cm
12p`cm
Q'
⑵ 오른쪽 전개도에서 구하는 최단 거
P
P'
리는 Q’P'”의 길이와 같다.
`Q’P'”="(√18p)√
¤ +(18p)¤
=18'2p (cm)
Q
18p`cm
Q'
18p`cm
A'
12 cm
16 cm
B'
O
x
16`cm
16`cm
A
A'
22 오른쪽 전개도에서 구하는 최단
”의 길이와 같다.
거리는 BA'”
∴ BA'”="√16¤ +12¤ =20 (cm)
A
B
24 원뿔의 옆면인 부채꼴의 중심각의
크기를 x라 하면
2p_4=2p_16_
x
360˘
∴ x=90˘
오른쪽 전개도에서 구하는 최단 거
리는 A’A'”의 길이와 같다. △OAA'은 직각이등변삼각형이므로
A’A'”='2_16=16'2 (cm)
80
체크체크 수학 3-2
p. 44~45
01 '7å0
06
25'2
3
10 ②
02 ②
03 2'6 cm 04 ③
05 3'3 cm
cm¤
07 7 cm
08 100p cm‹ 09 ④
11 3'5 cm 12 ③
13 ④
14 ④
01 (대각선의 길이)="3√
¤ +5√
¤ +6¤ ='7å0
02 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
(cid:0) ∴ a=2'3
'3a=6(cid:0)
따라서 정육면체의 부피는
2'3_2'3_2'3=24'3 (cm‹ )
03 EG”=4'2 cm이므로 EO”=
EG”=2'2 (cm)
△AEO에서 AO” =øπ4¤ +(2'2 )¤ =2'6 (cm)
;2!;
04 EG”="√3¤ +4¤ =5 (cm), AG”="√3¤ +4¤ +5¤ =5'2 (cm)
이때 △AEG는 ∠AEG=90˘인 직각삼각형이고
AG”⊥EI”이므로 AG”_EI”=AE”_EG”
5'2_EI”=5_5 ∴ EI”=
5'2
2
(cm)
05 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
'6
3
a=3'2 ∴ a=3'3 (cm)
'3
06 OE”=CE”= _10=5'3 (cm)
2
점 H는 △ABC의 무게중심이므로
EH”=
CE”=;3!;_5'3=
;3!;
5'3
3
(cm)
△OEH에서
OH”=æ≠(5'3 )¤ -{
5'3
3
=
}
10'6
3
(cm)
따라서 △OEH의 넓이는
;2!;_
5'3
3
_
10'6
3
=
25'2
3
(cm¤ )
채점 기준
OE”, CE”의 길이 구하기
EH”의 길이 구하기
OH”의 길이 구하기
△OEH의 넓이 구하기
07 AC”=8'2 cm이므로 `CH”=;2!; AC”=4'2 (cm)
△OHC에서 h="‘9¤ -(4'2)¤ =7 (cm)
08 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
r="√13¤ -12¤ =5
∴ (원뿔의부피)=;3!;_p_5¤ _12=100p (cm‹ )
1점
2점
2점
3점
배점
1점
2점
2점
3점
¤
09 AB”="√8¤ -6¤ =2'7
주어진 직각삼각형을 직선 l을 축으로 1
회전시킬 때 만들어지는 입체도형은 오른
A
72
01 "√x¤ +x¤ +4¤ =6'2에서 2x¤ +16=72, x¤ =28
∴ x=2'7 (∵ x>0)
쪽 그림과 같은 원뿔이므로 부피는
_p_6¤ _2'7=24'7p
;3!;
B
C
02 정육면체의 한 모서리의 길이를 x라 하면
'3x=9 ∴ x=3'3
8
6
10 밑면인 원의 반지름의 길이를 r라 하면
2p_r=2p_6_
∴ r=2
120˘
360˘
∴ (원뿔의높이)="√6¤ -2¤ =4'2
03 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
AB”='2a cm이고, △ABC의 넓이가 4'3 cm¤ 이므로
'3
4
_('2a)¤ =4'3, a¤ =8(cid:0)
(cid:0) ∴ a=2'2 (∵ a>0)
11 오른쪽 전개도에서 구하는 최단 거
D
C
G
리는 AG”의 길이와 같다.
∴ AG”="√6¤ +3¤ =3'5 (cm)
3 cm
2 cm
F
A
4 cm
B
12 △DEF에서
A
B
C
A'
DF”="√4¤ +3¤ =5 (cm)
오른쪽 전개도에서 구하는 최단
5 cm
거리는 AD'”의 길이와 같다.
∴ AD'”="√5¤ +12¤ =13 (cm)
E
F
4 cm 3 cm 5 cm
D
D'
13 오른쪽 전개도에서 구하는 실의 최소 길
A
A'
이는 AB'”의 길이와 같다.
∴ AB'”="√(8p)¤ +(6p)¤
=10p (cm)
8p cm
04 AF”=9'2 cm이고 FD”=9'3 cm
△AFD에서 AF”_AD”=FD”_A’M”이므로
9'2_9=9'3_A’M”
(cid:0) ∴ A’M”=3'6 (cm)
05 정사면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
'6
3
a='2 ∴ a='3
∴ (정사면체의 부피)= _('3 )‹ =
'2
12
'6
4
'3
06 CD”= _12=6'3
2
점 H는 △ABC의 무게중심이므로
CH”=
CD”=
;3@;
_6'3=4'3
;3@;
또 OH”= _12=4'6이므로
'6
3
B
6p cm
B'
△OHC=
_4'3_4'6=24'2
;2!;
O
x
24 cm
24 cm
A
A'
07 ④ CE”=6'2이므로 CH”=;2!;CE”=3'2
(cid:0) ∴ AH”="√6¤ -(3'2 )¤ =3'2
08 (높이)=AH”="√26¤ -10¤ =24 (cm)
(부피)=;3!;_p_10¤ _24=800p (cm‹ )
14 원뿔의 옆면인 부채꼴의 중심각의 크기
를 x라 하면
2p_6=2p_24_
x
360˘
∴ x=90˘
위의 전개도에서 구하는 최단 거리는 AA'”의 길이와 같다.
△OAA'은 직각이등변삼각형이므로
AA'”='2_24=24'2 (cm)
09 △OAH에서 AH”：OH”=1：'3이므로
AH”：6'3=1：'3(cid:0)
(cid:0) ∴ AH”=6
p. 46~47
∴ (원뿔의 부피)=
_p_6¤ _6'3=72'3p
;3!;
02 3'3
07 ④
10 ②
03 ③
04 ①
'6
4
08 (높이)=24 cm, (부피)=800p cm‹
11 2'3å4 cm 12 7'2 cm 13 ④
05
01 ②
06 24'2
09 ⑤
14 12'2
10 2pr=8p ∴ r=4 (cm)
원뿔의 높이는 "√5¤ -4¤ =3 (cm)
∴ (원뿔의부피)=;3!;_p_4¤ _3=16p (cm‹ )
3. 피타고라스 정리의 활용
81
(cid:0)
11 오른쪽 전개도에서 구하는 최단 거리
B
DC
A
01 BD”="9√
¤ +12¤ =15 (cm)
G
4`cm
F
6`cm
2`cm
H
4`cm
E
A
4 cm 3 cm
B
C
7 cm
D
E
△ABD에서 9¤ =BE”_15(cid:0)
:™5¶:
이때 △ABE™△CDF(`RHA 합동)이므로
(cid:0) ∴ BE”=
(cm)
DF”=BE”=
(cm)
:™5¶:
∴ EF”=BD”-(BE”+DF”)=15-{:™5¶:+:™5¶:}=
(cm)
:™5¡:
02 △ADE의 한 변의 길이를 x라 하면
'3
4
x¤ =
3'3
2
∴ x='6 (∵ x>0), 즉 AD”='6
△ABC의 한 변의 길이를 y라 하면 y='6 ∴ y=2'2
'3
2
'3
∴ △ABC= _(2'2 )¤ =2'3
4
10p
V
x
A
6p
A'
03 (cid:8772)ABCD는 마름모이므로 AB”=BC”
또 ∠B=60˘이므로 ∠BAC=∠BCA=60˘
즉 △ABC는 정삼각형이므로 한 변의길이를 x cm라 하면
높이가 2'6 cm이므로
'3
2
_x=2'6 ∴ x=4'2
12
12
04 점 A에서 BC”에 내린수선의 발을 H라 하면
개념 드릴
는 FA”의 길이와 같다.
∴ FA”="1√0¤ +6¤
=2'3å4 (cm)
12 오른쪽 전개도에서 구하는 최단
거리는 AF”의 길이와 같다.
∴ AF”="√7¤ +7¤ =7'2 (cm)
13 밑면인 원의 둘레의 길이가
B
2p_3=6p이므로 오른쪽 전개도에서 최
단 거리는 AB”'”의 길이와 같다.
∴ AB”="(√10p)¤
√ -(√6p)¤ =8p
14 △VAO에서
V’A”="(√3'1å5 √)¤ +3¤ =12
원뿔의 옆면인 부채꼴의 중심각의
크기를 x라 하면
2p_3=2p_12_
x
360˘
∴ x=90˘
2점
A
위의 전개도에서 구하는 최단 거리는 A’A'”의 길이와 같다.
△VAA'은 직각이등변삼각형이므로
A’A'”='2_12=12'2
채점 기준
V’A”의 길이 구하기
부채꼴의 중심각의 크기 구하기
최단 거리 구하기
F
B'
2점
A'
2점
배점
2점
2점
2점
AH”="√8¤ -(4'2)¤ =4'2 (cm)
∴ △ABC=
_8'2_4'2=32 (cm¤ )
;2!;
또 AP”를 그으면
△ABC=△ABP+△ACP
AB”_DP”+
_AC”_EP”
=;2!;_
;2!;
△ABC=
_8_DP”+
_8_EP”=4DP”+4EP”
;2!;
;2!;
즉 4(DP”+EP”)=32(cid:0)
(cid:0) ∴ DP”+EP”=8 (cm)
05 P(a, 0)이라 하면 "√(a-4)¤ +12¤ =13
양변을 제곱하여 정리하면 a¤ -8a-9=0
(a+1)(a-9)=0(cid:0)
(cid:0) ∴ a=-1 또는 a=9
따라서 구하는 점 P의 좌표는 (-1, 0), (9, 0)
06 2x¤ =-2x+4에서 2x¤ +2x-4=0, x¤ +x-2=0
(x+2)(x-1)=0 ∴ x=-2 또는 x=1
즉 A(-2, 8), B(1, 2)이므로 AB”="√3¤ +(-6)¤ =3'5
02 ③
01 ②
05 (-1, 0), (9, 0)
09 ②
10 ①
04 ③
03 ⑤
06 3'5
07 ⑤
11 10p cm 12 ⑤
82
체크체크 수학 3-2
p. 48~49
08 8'6 cm¤
07 오른쪽 그림과 같이 점 P를 AB”에 대
하여 대칭이동하면 CP”+CQ”의 최솟
값은 P'Q”의 길이이다.
△P'DQ에서
P'Q”="√4¤ +(1+2)¤ ='2å5=5
P
1
A
1
P'
C
4
4
Q
2
B
1
D
02 ⑴ AB”="√(-3-2)¤
BC”="{√1-(-3)}¤
CA”="(√2-1)¤
√+{1-(-3)}¤ ='4å1
√+(5-1)¤ =4'2
√+(-3-5)¤ ='6å5
⑵ CA”가 가장 긴 변이고 AB”
¤ +BC”
¤ >CA”
¤ 이므로 △ABC는
예각삼각형이다.
(cid:9000) ⑴ AB”='4å1, BC”=4'2, CA”='6å5 ⑵ 예각삼각형
03 ⑴ 부채꼴의 호의 길이는 밑면인 원의 둘레의 길이와 같으므로
2점
4점
배점
2점
4점
2p_9_
㉠
=2pr(cid:0)
(cid:0) ∴ r=
㉡ 6
(cm)
240˘
360˘
⑵ h=
㉢ "√9¤ -6¤ =3'5
(cm)
⑶ V=
㉣ ;3!;
_p_6¤ _3'5
=
㉤ 36'5p
(cm‹ )
(cid:9000) ⑴ 6 cm ⑵ 3'5 cm ⑶ 36'5p cm‹
04 ⑴ 밑면인 원의 반지름의 길이를 r라 하면
120˘
360˘
⑵ (높이)="√12¤ -4¤ =8'2 (cm)
2p_12_
=2pr(cid:0)
(cid:0) ∴ r=4 (cm)
⑶ (부피)=
_p_4¤ _8'2=
;3!;
128'2
3
p (cm‹ )
(cid:9000) ⑴ 4 cm ⑵ 8'2 cm ⑶
128'2
3
p cm‹
08 MF”=FN”=DN”=MD”="√4¤ +2¤ =2'5 (cm)이므로
(cid:8772)MFND는 마름모이다.
∴ (cid:8772)MFND=;2!;_MN”_FD”=;2!;_4'2_4'3
∴ (cid:8772)MFND=8'6 (cm¤ )
채점 기준
(cid:8772)MFND가 마름모임을 알기
(cid:8772)MFND의 넓이 구하기
'3
09 △AFC= _(3'2 )¤ =
4
9'3
2
삼각뿔 B-AFC의 부피는
;3!;_△AFC_BI”=;3!;_△ABC_BF”
;3!;_
9'3
2
_BI”=;3!;_{;2!;_3_3}_3 ∴ BI”='3
10 BQ”, CQ”를 그으면 BQ”=CQ”= _8=4'3 (cm)
'3
2
이고 CP”=
_8=4 (cm)이므로
;2!;
△QPC에서 PQ”="(√4'3 √)¤ -4¤ =4'2 (cm)
11 오른쪽 전개도에서 구하는 최단 거
A
A'
A"
리는 B’A"”의 길이와 같다.
√+(6p)¤
∴ B’A"”="(√8p)¤
=10p (cm)
12 원뿔의 옆면인 부채꼴의 중심각의
크기를 x라 하면
2p_8_
=2p_2
x
360˘
∴ x=90˘
∴ (최단거리)=B’M”="√8¤ +4¤
=4'5 (cm)
6p`cm
B
4p`cm 4p`cm
B'
B"
A
4 cm
M
8 cm
B
B'
p. 50
01 ⑴ AB”=
(cid:0) BC”=
(cid:0) CA”=
㉠ "(√-5-2)¤
㉡ "{√5-(-5)}¤
㉢ "(√2-5)¤
㉣ '5å8
¤ =BC”
⑵ AB”=CA”=
¤ +CA”
AB”
√+(-1-2)¤ ='5å8
√+{-5-(-1)}¤ =2'2å9
√+{2-(-5)}¤ ='5å8
이고,
¤ 이 성립하므로 △ABC는
㉤ 직각이등변삼각형
이다.
(cid:9000) ⑴ AB”='5å8, BC”=2'2å9, CA”='5å8 ⑵ 직각이등변삼각형
3. 피타고라스 정리의 활용
83
(cid:0)
(cid:0)
개념 드릴
4
삼각비
삼각비의 뜻
p. 51~54
1 ⑴ ;5#; ⑵ ;5$; ⑶ ;4#; ⑷ ;5$; ⑸ ;5#; ⑹ ;3$;
2 ⑴ ;2¶5; ⑵ ;2@5$; ⑶ ;2¶4; ⑷ ;2@5$; ⑸ ;2¶5; ⑹ :™7¢:
3 ⑴ ;1•7; ⑵ ;1!7%; ⑶ ;1•5; ⑷ ;1!7%; ⑸ ;1•7; ⑹ :¡8∞:
4 ⑴ 5 ⑵ 10 ⑶
8'3
3
5 ⑴ ;5#; ⑵ ;5$; ⑶ ;4#;
6 ⑴ ;5#; ⑵ ;5$; ⑶ ;4#; ⑷ ;5$; ⑸ ;5#; ⑹ ;3$;
7 ⑴ 13 ⑵ ∠C ⑶ ;1!3@; ⑷ ;1∞3; ⑸ :¡5™:
⑹ AC”, BD”
9 ⑴ ∠C ⑵ ∠B ⑶ ;5#; ⑷ ;5$; ⑸ ;4#; ⑹ ;5$; ⑺ ;5#; ⑻ ;3$;
6 오른쪽 그림에서
△ABCª△EBD(AA 닮음)
⑷ sin`A=sin (∠BED)=;5$;
⑸ cos`A=cos (∠BED)=;5#;
⑹ tan`A=tan (∠BED)=;3$;
A
D
4
3
B
5
E
C
7 ⑴ BC”="√12¤ +5¤ =13
⑵ △ABCª△EBD(AA 닮음)이므로 ∠x=∠C
⑶ sin x=sin C=;1!3@;
⑷ cos x=cos C=;1∞3;
⑸ tan x=tan C=:¡5™:
8 ⑴ BC”, AD” ⑵ BC”, AC” ⑶ BC”, AD” ⑷ BD”, AC” ⑸ AC”, BC”
8 △ABCª△CBDª△ACD(AA 닮음)
A
D
10 ⑴ ;2!; ⑵
'2
2
⑶
'3
2
⑷
'3
2
⑸
'2
2
⑹;2!; ⑺
'3
3
⑻1 ⑼'3
9 BC”="√12¤ +16¤ =20이고
△ABCª△HBAª△HAC(AA 닮음)
11 ⑴
'3+1
2
⑵ ;2#; ⑶
'6
6
⑷
'6
4
12 ⑴
1-'3
2
⑵ 0
13 ⑴ x=6, y=3'3 ⑵ x=2'3, y=4'3 ⑶ x=2'2, y=2
14 ⑷ x=2'2, y=2'2 ⑸ x=10, y=5'3 ⑹ x=6, y=6'3
14 ⑺ x=4, y=4'3 ⑻ x=2, y=2'3
14 ⑴ AB” ⑵ OB” ⑶ CD” ⑷ OB” ⑸ AB” ⑹ OB” ⑺ AB”
15 ⑴ 0.64 ⑵ 0.77 ⑶ 0.84 ⑷ 0.77 ⑸ 0.64
16 ⑴ -1 ⑵ 1 ⑶ 0 ⑷ -1
17 ⑴ 0.7193 ⑵ 0.2079 ⑶ 0.2126 ⑷ 44˘ ⑸ 78˘ ⑹ 45˘
18 ⑴ <, < ⑵ >, > ⑶ <, < ⑷ = ⑸ =
⑶ sin x=sin C=;2!0@;=;5#;
⑷ cos x=cos C=;2!0^;=;5$;
⑸ tan x=tan C=;1!6@;=;4#;
⑹ sin y=sin B=;2!0^;=;5$;
⑺ cos y=cos B=;2!0@;=;5#;
⑻ tan y=tan B=;1!2^;=;3$;
B
12 x
y
B
A
y
H
20
16
x
C
C
2 BC”="√25¤ -24¤ =7
3 AC”="√17¤ -8¤ =15
4 ⑴ cos A=
;1”0;=;2!; ∴ x=5
⑵ sin B=
⑶ tan C=
;1”5;=;3@; ∴ x=10
8
'3
'3
4
;[@;
=
∴ x= =
8'3
3
5 BC”="√10¤ -8¤ =6
DE”
AD”
BC”
AB”
=
⑴
=;1§0;=;5#;
⑵
⑶
AE”
AD”
DE”
AE”
=
=
AC”
AB”
BC”
AC”
=;1•0;=;5$;
=;8^;=;4#;
84
체크체크 수학 3-2
12 ⑴ cos`60˘_tan`45˘-sin`60˘=;2!;_1- =
'3
2
1-'3
2
⑵ sin`30˘÷cos`30˘-tan`30˘=;2!;÷ - =0
'3
2
'3
3
13 ⑴ sin`30˘=
;[#; ∴ x=6
;[#;, ;2!;=
'3
;]#;, =
3
'3
;]^;, =
2
'3
;6{;, =
3
'2
;[@;, =
2
tan`30˘=
;]#; ∴ y=3'3
⑵ cos`30˘=
;]^; ∴ y=4'3
tan`30˘=
;6{; ∴ x=2'3
⑶ cos`45˘=
;[@; ∴ x=2'2
tan`45˘=
;2};, 1=
;2}; ∴ y=2
⑷ sin`45˘=
;4{; ∴ x=2'2
cos`45˘=
;4}; ∴ y=2'2
⑸ cos`60˘=
;[%;, ;2!;=
;[%; ∴ x=10
tan`60˘=
;5}; ∴ y=5'3
'2
;4{;, =
2
'2
;4};, =
2
;5};, '3=
'3
;1’2;, =
2
⑹ sin`60˘=
;1’2; ∴ y=6'3
cos`60˘=
;1”2;, ;2!;=
;1”2; ∴ x=6
⑺ cos`60˘=
;[@;, ;2!;=
;[@; ∴ x=4
tan`60˘=
;[};, '3=
;4}; ∴ y=4'3
⑻ △ADH에서
cos`30˘=
'3
;]#;, =
2
;]#; ∴ y=2'3
△ABD에서
tan`30˘=
'3
;]{;, =
3
x
2'3
∴ x=2
14 ⑹ sin z=sin y=OB”
⑺ cos z=cos y=AB”
15 ⑴ sin`40˘=
AB”
OA”
=
0.64
1
=0.64
OB”
OA”
CD”
OD”
=
0.77
1
=
0.84
1
=0.77
=0.84
OB”
OA”
=
0.77
1
=0.77
AB”
OA”
=
0.64
1
=0.64
⑵ cos`40˘=
⑶ tan`40˘=
⑷ sin`50˘=
⑸ cos`50˘=
16 ⑴ sin`0˘-cos`0˘=0-1=-1
⑵ cos`0˘_tan`45˘=1_1=1
⑶ sin`90˘_cos`0˘-tan`45˘=1_1-1=0
⑷ tan`0˘_sin`90˘-cos`0˘=0_1-1=-1
17 ⑹ sin 45˘=cos 45˘=0.7071 ∴ x=45˘
18 ⑷ sin 11˘=cos 79˘=0.1908
⑸ sin 44˘=cos 46˘=0.6947
p. 55~56
01 ⑤
04 ②
09 ②
02 ⑤
05 ④
10 ③
'2
03 cos A= , tan A=1
2
06 ②
11 ②, ⑤
07 ;5$;
12 30˘
08 6'3
01 ① sin A= =
② tan A=
③ sin B= =
④ cos B= =
;2!;
1
'5
'5
5
1
'5
2
'5
'5
5
2'5
5
02 sin B=
이므로
AC”
6
AC”
6
=
;3!; ∴ AC”=2
∴ BC”="√6¤ -2¤ =4'2
03 오른쪽 그림에서
'2
cos A= , tan A=1
2
B
2
C
2
A
2
04 △ABCª△EBD(AA 닮음)이므로
∠BCA=∠BDE=∠x
이때 △ABC에서 BC”="√15¤ +8¤ =17
∴ cos x=
AC”
BC”
=;1•7;
05 △ABC에서 AB”="√5¤ -4¤ =3 (cm)
△ABCª△HBAª△HAC(AA 닮음)이므로
∠B=∠y, ∠C=∠x
sin x=
=;5#;, cos y=
AB”
BC”
AB”
BC”
=;5#;
∴ sin x+cos y=;5#;+;5#;=;5^;
06
각도
sin
cos
tan
30˘
① ;2!;
③ '3
2
⑤ '3
3
45˘
② '2
2
'2
2
1
60˘
'3
2
④ ;2!;
'3
07 △ABD에서 BD”="√8¤ +6¤ =10
△ABDª△HBA (AA 닮음)이므로
∠BDA=∠BAH=x
∴ cos x=
AD”
BD”
=
=
;1•0;
;5$;
4. 삼각비
85
개념 드릴
08 △DBC에서 sin 45˘=
이므로
BC”
6
3'2
AB”
BC”
6
=
'2
2
∴ BC”=3'2
△ABC에서 tan 60˘=
이므로
='3 ∴ AB”='6
3'2
AB”
∴ AB”_BC”='6_3'2=6'3
채점 기준
BC”의 길이 구하기
AB”의 길이 구하기
AB”_BC”의 값 구하기
09 ② tan 45˘_sin 60˘÷sin 90˘=1_ ÷1=
'3
2
'3
2
10 sin x=BC”, cos x=OC”, tan x=AD”
11 ② cos 30˘>cos 75˘
⑤ sin 45˘=cos 45˘=
'2
2
12 sin x=0.2419이므로 x=14˘
tan y=0.2867이므로 y=16˘
∴ x+y=30˘
01 ④
02 ⑤
06 풀이 참조 07 ④
11 ⑤
12 0.5877
01 ① sin A=
③ sin B=
;1!7%;
;1•7;
p. 57~58
03
5'5
6
08 4+4'3
04 ⑤
09 ④
05 ④
10 ③
② cos A=
⑤ tan B=
;1•7;
;1•5;
02 tan B=
이므로
AC”
AC”
5
5
∴ AB”="√5¤ +4¤ ='4å1
=
;5$; ∴ AC”=4
03 cos A=
;3@;이므로 오른쪽 그림과 같이 직각
삼각형 ABC를 그리면
'5
sin A= , tan A=
3
∴ sin A+tan A=
'5
2
5'5
6
86
체크체크 수학 3-2
3
A
2
`2점
`2점
B
5
C
`2점
`2점
`2점
`2점
배점
2점
2점
2점
채점 기준
직각삼각형 그리기
sin A, tan A의 값 구하기
sin A+tan A의 값 구하기
배점
2점
2점
2점
04 △ABC에서 BC”="√3¤ +4¤ =5
△ABCª△EDC (AA 닮음)이므로
∠CBA=∠CDE=∠x
∴ sin x=
AC”
BC”
=;5$;
05 BC”
¤ =AB”
¤ +AC”
¤ 이므로 △ABC는 ∠A=90˘인 직각삼각형
이다.
따라서 △ABCª△HBAª△HAC (AA 닮음)이므로
∠BCA=x, ∠ABH=y
∴ cos x+cos y=
;1!3@;+;1∞3;=;1!3&;
06
각도
sin
cos
tan
0˘
0
1
0
30˘
;2!;
'3
2
'3
3
45˘
'2
2
'2
2
1
60˘
'3
2
;2!;
'3
90˘
1
0
07 △ABD에서 BD”="√3¤ +4¤ =5
△ABDª△HBA(AA 닮음)이므로
∠BDA=∠BAH=x
∴ sin x=
AB”
BD”
=
;5#;
08 △ABH에서
tan 60˘=
이므로
='3 ∴ BH”=4
4'3
BH”
4'3
BH”
△AHC에서
tan 45˘=
4'3
4'3
CH”
CH”
∴ BC”=BH”+CH”=4+4'3
이므로
=1 ∴ CH”=4'3
09 sin 60˘_tan 30˘-sin 45˘_cos 45˘+sin 90˘
= _ - _ +1
'3
3
'2
2
'2
2
'3
2
=
;2!;-;2!;
+1=1
10 ① sin 55˘=0.82
④ sin 35˘=0.57
② cos 55˘=0.57
⑤ cos 35˘=0.82
11 ⑤ tanA의 최솟값은 0이고, 최댓값은 무한히 커지므로 알 수 없다.
12 sin 40˘+cos 41˘-tan 39˘=0.6428+0.7547-0.8098
07 ∠APQ=∠CPQ(접은 각), ∠CQP=∠APQ(엇각)
=0.5877
즉 ∠CPQ=∠CQP이므로 △CPQ는 `CP”=CQ”인 이등변삼각
p. 59
B
`2점
`2점
`2점
배점
2점
2점
2점
02 ②
03 1+
04 ⑤
05 ④
'3
2
01 ;2!;
06 ④
07 2+'3
01 직선 x-2y+4=0의 x절편은 -4, y절편은 2이므로
tan a=
;4@;=;2!;
02 sin 2x= 이므로 2x=60˘ (∵ 0˘<2x<90˘) ∴ x=30˘
'3
2
03 오른쪽 그림과 같이 OC”를 그으면
OA”=OC”이므로
∠OAC=∠OCA=15˘
∴ ∠COB=30˘
2
C
30˘
15˘
2
O
A
△COB에서 sin 30˘= =
;2!; ∴ BC”=1
BC”
2
cos 30˘= =
OB”
2
'3
2
∴ OB”='3
∴ △ABC=
_(2+'3 )_1=1+
;2!;
'3
2
채점 기준
∠COB의 크기 구하기
BC”, OB”의 길이 구하기
△ABC의 넓이 구하기
04 정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
'3a=5'3 ∴ a=5
△HEF에서 HF”="√5¤ +5¤ =5'2
∴ cos x=
HF”
HB”
=
5'2
5'3
=
'6
3
05 sin 43˘=
OB”
OA”
=OB”=0.68, tan 47˘=
=DC”=1.07
DC”
OC”
∴ sin 43˘+tan 47˘=0.68+1.07=1.75
06 0˘…x…90˘일 때, 0…sin x…1이므로
sin x-1…0, sin x+1>0
∴ "√(sin x-1)¤ +"√(sin x+1)¤ =-(sin x-1)+(sin x+1)
=-sin x+1+sin x+1=2
형이다.
∴ CQ”=CP”=AP”=2 (cm)
오른쪽 그림과 같이 △PQC의 점 P에서
QC”에 내린수선의 발을 H라 하면
△PHC에서 HC”="2√
QH”=QC”-HC”=2-'3 (cm)
¤ -1¤ ='3 (cm)
∴ tan x=
PH”
QH”
=
1
2-'3
=2+'3
1`cm
x
Q
P
x
H
2`cm
C
2`cm
삼각비의 활용`⑴~ 삼각비의 활용`⑵
'3
2
, 3'3
1 ⑴ x, 6, 6, 3 ⑵ y, y,
p. 60~63
2 ⑴ x=
4
sin 50˘
, y=
4
tan 50˘
⑵ x=
12
cos 29˘
, y=12 tan 29˘
3 ⑴ x=2, y=2'3 ⑵ x=6'3, y=12
4 x=2.25, y=4.45
5 4.2
7 ⑴ 3 ⑵ 3'3 ⑶ 2'3 ⑷ '2å1 8 ⑴ 3 ⑵ 3'3 ⑶ 3'6
6 6'3 m
9 ⑴ 10'5 ⑵ 5+5'3
10 ⑴ h ⑵
h ⑶ 5(3-'3 )
'3
3
11 ⑴ '3h ⑵ h ⑶ 5('3+1)
12 ⑴ 50('3-1) ⑵
13 ⑴ :™2¡;; ⑵ 6'2 ⑶ 18'3 ⑷
15 16
16 ⑴ 27'3 ⑵ 14'3 cm¤
15'2
4
17 ⑴ 24'3 cm¤ ⑵ 15 cm¤
18 ⑴ 30'2 cm¤ ⑵
9'3
2
14 45˘
15'6
4
19 4
20 :™3º:
3 ⑴ x=4 sin 30˘=4_;2!;=2
y=4 cos 30˘=4_ =2'3
'3
2
⑵ x=6 tan 60˘=6'3
cos 60˘=
;]^;에서 y=
6
cos 60˘
=12
4 x=5 cos 63˘=5_0.45=2.25
y=5 sin 63˘=5_0.89=4.45
5 AC”=6 tan 35˘=6_0.7=4.2
6 AB”=6 tan 30˘=2'3 (m)
6
cos 30˘
=4'3 (m)
AC”=
∴ (나무의 높이)=AB”+AC”=2'3+4'3=6'3 (m)
4. 삼각비
87
’
개념 드릴
7 ⑴ AH”=6 sin 30˘=6_;2!;=3
⑵ CH”=6 cos 30˘=6_ =3'3
'3
2
⑶ BH”=BC”-CH”=5'3-3'3=2'3
¤ +BH”
⑷ AB”="√AH”
¤ =øπ3¤ +(2'3 )¤ ='2å1
8 ⑴ CH”=6 cos 60˘=6_;2!;=3
⑵ AH”=6 sin 60˘=6_ =3'3
'3
2
⑶ sin 45˘=
에서 AB”=
AH”
AB”
AH”
sin 45˘
'2
=3'3÷ =3'6
2
9 ⑴ 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에 내
린 수선의 발을 H라 하면 △AHC에서
AH”=20'2 sin 45˘
'2
2
AH”=20'2_ =20
A
x
20
B
10
H
30
20
2
45˘
20
C
CH”=20'2 cos 45˘=20'2_ =20
'2
2
BH”=BC”-CH”=30-20=10
△ABH에서 x="√10¤ +20¤ =10'5
⑵ 오른쪽 그림과 같이 점 B에서 AC”에 내
A
10
30˘
린 수선의 발을 H라 하면 △BCH에서
H
x
∠HBC=180˘-(90˘+45˘)=45˘
이므로 ∠ABH=75˘-45˘=30˘
B
45˘
45˘
C
△ABH에서 BH”=10 cos 30˘=10_ =5'3
'3
2
AH”=10 sin 30˘=10_
=5
;2!;
△BCH에서 CH”=5'3 tan 45˘=5'3
∴ x=AH”+CH”=5+5'3
10 ⑴ BH”=h tan 45˘=h
'3
3
⑵ CH”=h tan 30˘= h
'3
⑶ h+ h=10,
3
3+'3
3
h=10
∴ h=10_
=5(3-'3 )
3
3+'3
11 ⑴ BH”=h tan 60˘='3h
⑵ CH”=h tan 45˘=h
⑶ '3h-h=10, ('3-1)h=10
∴ h=
10
'3-1
=5('3+1)
88
체크체크 수학 3-2
A
45˘
30˘
h
H
10
45˘
B
60˘
C
60˘
A
45˘
h
B
30˘ 45˘
C
10
H
12 ⑴ △ABH에서 ∠HAB=45˘이므로
BH”=h tan 45˘=h
△AHC에서 ∠CAH=60˘이므로
CH”=h tan 60˘='3h
이때 BC”=BH”+CH”이므로 h+'3h=100
∴ h=
100
1+'3
=
100('3-1)
2
=50('3-1)
⑵ △ACH에서 ∠ACH=60˘이므로 ∠HAC=30˘
CH”=h tan 30˘= h
'3
3
△ABH에서 ∠HAB=60˘이므로
BH”=h tan 60˘='3h
이때 BC”=BH”-CH”이므로 '3h- h=9
'3
3
2'3
3
h=9 ∴ h=
9'3
2
13 ⑴ △ABC=
_6_7_sin 30˘=
:™2¡:
⑵ △ABC=
_4_6_sin 45˘=6'2
⑶ △ABC=
⑷ △ABC=
_6_12_sin (180˘-120˘)=18'3
15'2
4
_5_3_sin (180˘-135˘)=
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
14 ;2!;_4_6_sin B=6'2
'2
2
sin B=
∴ ∠B=45˘
15 ;2!;_AB”_10_sin (180˘-120˘)=40'3
5'3
2
AB”=40'3 ∴ AB”=16
16 ⑴ (cid:8772)ABCD=△ABD+△BCD
(cid:8772)ABCD=;2!;_2'7_2'7_sin (180˘-120˘)
(cid:8772)ABCD=+;2!;_10_8_sin 60˘
(cid:8772)ABCD=7'3+20'3=27'3
⑵ (cid:8772)ABCD=△ABD+△BCD
(cid:8772)ABCD=;2!;_4_2'3_sin (180˘-150˘)
(cid:8772)ABCD=+;2!;_8_6_sin 60˘
(cid:8772)ABCD=2'3+12'3=14'3 (cm¤ )
17 ⑴ (cid:8772)ABCD=6_8_sin 60˘=24'3 (cm¤ )
⑵ (cid:8772)ABCD=5_6_sin (180˘-150˘)=15 (cm¤ )
`2점
`2점
`2점
배점
2점
2점
2점
p. 65
18 ⑴ (cid:8772)ABCD=;2!;_10_12_sin 45˘=30'2 (cm¤ )
06 등변사다리꼴이므로 AC”=BD”=x라 하면
⑵ (cid:8772)ABCD=;2!;_5_3'2_sin (180˘-120˘)=
15'6
4
19 (cid:8772)ABCD=5'3_x_sin (180˘-120˘)=;;¡2∞;;x=30
∴ x=4
;2!;
;2!;
∴ AC”=
:™3º:
20 (cid:8772)ABCD=
_AC”_6_sin(180˘-135˘)
(cid:8772)ABCD=
_AC”_6_sin 45˘=10'2
07 (정육각형의 넓이)=6△ABO
(cid:8772)ABCD
_x_x_sin (180˘-120˘)
=;2!;
(cid:8772)ABCD=21'3
x¤ =84 ∴ x=2'2å1 (cm) (∵ x>0)
채점 기준
AC”=BD”임을 알기
넓이에 대한 식 세우기
AC”의 길이 구하기
(정육각형의 넓이)=6_{;2!;_8_8_sin 60˘}
(정육각형의 넓이)=96'3 (cm¤ )
01 100'3 m 02 ②
03 ②
04 :™4∞:
06 2'2å1 cm 07 96'3 cm¤
p. 64
05
75'3
4
cm¤
01 4.8 m
02 ②
03 10(3-'3 ) m
04 :¶4∞:
cm¤
01 AB”=100 tan 60˘=100'3 (m)
05 20 cm 06 14'2 cm¤ 07 ③
02 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에 내
A
01 BC”=AC” tan 45˘=3.2 (m)
린 수선의 발을 H라 하면
AH”=6 sin 60˘=3'3 (cm)
HC”=6 cos 60˘=3 (cm)
BH”=BC”-HC”=8-3=5 (cm)
∴ AB”="√(3'3 )¤ +5¤ ='∂52=2'∂13 (cm)
6 cm
60˘
C
B
H
8 cm
∴ BD”=BC”+CD”=3.2+1.6=4.8 (m)
02 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에
내린 수선의 발을 H라 하면
'3
2
BH”=10 cos 30˘=10_ =5'3
10
30˘
B
A
45˘
45˘
C
H
AH”=10 sin 30˘=10_;2!;=5
HC”=5 tan 45˘=5_1=5
∴ BC”=BH”+HC”=5'3+5
03 AH”=h라 하면 ∠BAH=60˘, ∠CAH=45˘이므로
BH”=h tan 60˘='3h (cm), CH”=h tan 45˘=h (cm)
BC”=BH”-CH”이므로10='3h-h
('3-1)h=10 ∴ h=5('3+1)(cm)
04 △ABC=;2!;_5_5_sin 30˘=:™4∞:
05 오른쪽 그림과 같이 BD”를 그으면
A
5 cm
D
(cid:8772)ABCD
=△ABD+△DBC
=;2!;_5_5_sin (180˘-120˘)
=+;2!;_10_5_sin 60˘
=
25'3
4
+
25'3
2
=
75'3
4
(cm¤ )
03 AH”=h라 하면 ∠BAH=45˘, ∠CAH=30˘이므로
BH”=h tan 45˘=h, CH”=h tan 30˘= h
'3
3
'3
3
5 cm
120˘
cm5
B
10 cm
60˘
C
BC”=BH”+CH”이므로 20=h+ h
h=20 ∴ h=10(3-'3 ) (m)
3+'3
3
채점 기준
AH”=h로 놓고 BH”, CH”의 길이를 h에 대한 식으로 나타내기
BC”=BH”+CH”임을 이용하여 식 세우기
h의 값 구하기
`2점
`2점
`2점
배점
2점
2점
2점
4. 삼각비
89
개념 드릴
04 ∠A=180˘-2_75˘=30˘
AC”=AB”=5'3 cm
∴ △ABC=;2!;_5'3_5'3_sin 30˘
∴ △ABC=;2!;_5'3_5'3_;2!;=;;¶4∞;; (cm¤ )
05 마름모의 한 변의길이를 x cm라 하면
(cid:8772)ABCD=x_x_sin 45˘=200'2
x¤ =400 ∴ x=20 (∵ x>0)
06 ∠COD=180˘-(80˘+55˘)=45˘이므로
(cid:8772)ABCD=
8_7_sin 45˘=14'2 (cm¤ )
;2!;_
07 (정팔각형의 넓이)=8△ABO
(정팔각형의 넓이)=8_{;2!;
(정팔각형의 넓이)=50'2 (cm¤ )
_5_5_sin 45˘}
01 114.4
03 ⑴ 50 m ⑵
04 ①
09 ③
02 '2-1
50'3
3
05 ①
10
63'3
2
m ⑶ {50+
50'3
3
} m
06 24'3 cm¤ 07 4'3
08 ④
11 (3'3-3) cm¤
12 ;3*;
cm
01 x=80 tan 55˘=80_1.43=114.4
02 AB”=DB”이므로 △ADB에서 ∠BAD=∠BDA=22.5˘
△ABC에서 BC”=AB” cos 45˘=4_ =2'2
'2
2
AC”=AB” sin 45˘=4_ =2'2
∴ tan 22.5˘=
AC”
DC”
=
='2-1
03 ⑴ BH”=50 tan 45˘=50 (m)
⑵ DH”=50 tan 30˘=
(m)
⑶ BD”=BH”+DH”=50+
(m)
'2
2
2'2
4+2'2
50'3
3
50'3
3
90
체크체크 수학 3-2
04 △AHC에서 ∠HCA=50˘이므로 AH”=h tan 50˘
△CHB에서 ∠BCH=35˘이므로 BH”=h tan 35˘
이때 AB”=AH”+BH”이므로
h tan 50˘+h tan 35˘=100
∴ h=
100
tan 50˘+tan 35˘
05 △APQ에서 ∠APQ=45˘이므로 AQ”=10 tan 45˘=10 (m)
△BPQ에서 ∠BPQ=30˘이므로
'3
BQ”=10 tan 30˘=10_ =10_0.58=5.8 (m)
3
∴ AB”=AQ”-BQ”=10-5.8=4.2 (m)
06 오른쪽 그림과 같이 점 A, D에서 BC”
에 내린 수선의 발을 각각 H, H'이라
A D
하면 △ABH에서
AH”=8 sin 60˘
'3
AH”=8_ =4'3 (cm)
2
8`cm
60˘
B
C
H H'
10`cm
BH”=8 cos 60˘=8_
4 (cm)
;2!;=
이때 C’H'”=BH”=4 cm이므로 AD”=HH'”=2 cm
∴ (cid:8772)ABCD=
(2+10)_4'3=24'3 (cm¤ )
;2!;_
07 △ABC=
_8_12_sin 60˘=24'3
;2!;
∴ △GBD=
;6!;△ABC
=;6!;
_24'3=4'3
p. 66~67
08 오른쪽 그림과 같이 OC”를 그으면
OA”=OC”이므로 ∠AOC=120˘
∴ (색칠한 부분의 넓이)
C
A
120˘
30˘
8`cm
O
B
=(부채꼴 AOC의 넓이)-△AOC
∴ =p_8¤ _
-
_8_8_sin (180˘-120˘)
120˘
360˘
;2!;
∴ =
p-16'3 (cm¤ )
:§3¢:
09 (cid:8772)ABCD=8_6_sin B=24'2 (cm¤ )
∴ sin B=
∴ ∠B=45˘
'2
2
∴ ∠C=180˘-45˘=135˘
10 △BCD에서 BD”=6 tan 60˘=6'3이므로
△BCD=
_6_6'3=18'3
;2!;
△ABD에서 AD”=6'3 cos 30˘=9
∴ △ABD=
_6'3_9_sin 30˘=
;2!;
∴ (cid:8772)ABCD=18'3+
27'3
2
=
63'3
2
27'3
2
11 △DBC에서 BC”=
'6
sin 45˘
=2'3 (cm)
△EBF에서 ∠FEB=45˘
△ABC에서 ∠BCA=30˘이므로 △EFC에서 ∠CEF=60˘
따라서 EF”=x라 하면
BF”=x tan 45˘=x, CF”=x tan 60˘='3x
이때 BC”=BF”+CF”이므로 x+'3x=2'3
∴ x=3-'3 (cm)
∴ △EBC=
_2'3_(3-'3)=3'3-3 (cm¤ )
;2!;
12 AD”=x cm라 하면
△ABC=△ABD+△ADC이므로
4_8_sin (180˘-120˘)
;2!;_
;2!;
;2!;
=
_4_x_sin 60˘+
_x_8_sin 60˘
;2!;
_4_8_ =
4_x_ +
_x_8_
'3
2
;2!;_
'3
2
;2!;
'3
2
8'3=3'3x ∴ x=
;3*;
넓이를 이용하여 AD”의 길이를 구하는 식 세우기
채점 기준
AD”의 길이 구하기
`3점
`3점
배점
3점
3점
p. 68
02 ⑴ '3x-y='3은 A(1, 0), B(0, -'3 )을 지나므로
x절편은 1, y절편은 -'3이다.
'3
1
∴ tan a= ='3
⑵ tan a='3이므로 a=60˘
(cid:9000) ⑴ '3 ⑵ 60˘
03 ∠CDB=30˘이므로 △CDB에서
CD”=
1
sin 30˘
=
㉠ 2
이때 AD”=CD”이므로 AD”=
㉡ 2
또 DB”=
1
tan 30˘
=
㉢ '3
∴ tan 15˘=
= ㉣
BC”
AB”
1
2+'3
=
㉤ `2-'3
04 △CDB에서 CD”=
2
sin 45˘
=2'2
DB”=
2
tan 45˘
=2
△CAD에서 ∠DCA=45˘-22.5˘=22.5˘이므로
AD”=CD”=2'2
∴ tan 22.5˘=
BC”
AB”
=
2
2'2+2
='2-1
01 ⑴ x+'3y=2'3은 A(
로 x절편은
㉢ `2'3
㉠ `2'3
, y절편은
㉣ 2
이다.
, 0), B(0,
㉡ `2
)를 지나므
⑵ tan a=
= ㉤
2
2'3
=
'3
3
⑶ tan a= ㉥
이므로 a=
㉦ `30˘
OB”
OA”
'3
3
(cid:9000) ⑴ x절편：2'3, y절편：2 ⑵
⑶ 30˘
'3
3
채점 기준
CD”, DB”의 길이 구하기
AD”의 길이 구하기
tan 22.5˘의 값 구하기
(cid:9000) 2-'3
`2점
`2점
`2점
배점
2점
2점
2점
(cid:9000) '2-1
4. 삼각비
91
원의 현
p. 69~71
16 ⑵ △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠B=;2!;_(180˘-40˘)=70˘
개념 드릴
5
원과 직선
3 ⑴ 6 cm ⑵ 8 cm
2 ⑴ 50˘ ⑵ 30˘
5 40 cm
1 ⑴ 5 ⑵ 80
4 8 cm
6 ⑴ 20˘ ⑵ 40˘ ⑶ 40˘ ⑷ 60˘ ⑸ 6 cm
8 ⑴ 2'3å9 ⑵ 4'3 ⑶ 6 ⑷ 2'2
10 ⑴ :™6∞: ⑵ :™4ª: ⑶ :¡2∞: ⑷ 10
12 ⑴ 6 ⑵ 2
15 6
13 x=2, y=2
16 ⑴ 8 cm ⑵ 70˘
7 9 cm
9 2'5
11 ⑴ 5 cm ⑵ 25p cm¤
14 10
17 9 cm
4 AD”∥OC”이므로 ∠DAO=∠COB=50˘ (동위각)
OD”를 그으면 OA”=OD”(반지름)이므로
∠ADO=∠DAO=50˘
즉 ∠AOD=180˘-(50˘+50˘)=80˘
이때 50˘：80˘=5：μAD ∴ μAD=8 (cm)
11 ⑴ r¤ =(r-2)¤ +4¤ , 4r=20
∴ r=5 (cm)
⑵ (넓이)=p_5¤ =25p (cm¤ )
15 AM”="√(3'2 )¤ -3¤ =3 ∴ x=AB”=2AM”=6
17 OM”=ON”이므로 AB”=AC”
∴ ∠B=∠C=
_(180˘-60˘)=60˘
;2!;
즉 △ABC는 정삼각형이므로 BC”=9 cm
01 ③
06 ④
02 35 cm 03 ①
07 8 cm
04 ⑤
05 4'2
01 ③ AB”=CD”=DE”이므로 2AB”=CD”+DE”>CE”
5 AB”∥DC”이므로 ∠DCO=∠COB=30˘ (엇각)
02 AB”∥CD”이므로 ∠DCO=∠BOC=20˘ (엇각)
OD”를 그으면 OD”=OC”이므로 ∠CDO=∠DCO=30˘
OD”를 그으면 OD”=OC”이므로 ∠CDO=∠DCO=20˘
즉 ∠COD=180˘-(30˘+30˘)=120˘
이때 30˘：120˘=10：μ CD ∴ μ CD=40 (cm)
∴ ∠DOC=180˘-(20˘+20˘)=140˘
20˘ : 140˘=5 : μ CD ∴ μ CD=35 (cm)
p. 72
`4점
`2점
배점
4점
2점
B
채점 기준
∠DOC의 크기 구하기
μ CD`의 길이 구하기
03 CM”이 현 AB의 수직이등분선이므
로 CM”의 연장선은 원의 중심을 지난
다. 원의중심을 O, 원의 반지름의 길
이를 r라 하면 OM”=r-3이므로
△OAM에서 r¤ =5¤ +(r-3)¤
A
5
r
C
3
M
O
r¤ =25+r¤ -6r+9, 6r=34 ∴ r=;;¡3¶;;
A
B
O'
H
6
O
04 오른쪽 그림에서
OH”=O'H”=3
△AOH에서 AH”="√6¤ -3¤ =3'3
∴ AB”=2AH”=6'3
05 CD”=AB”=8, CN”=DN”=4
△OCN에서 x="ç4¤ +4¤ =4'2
06 △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이므로
∠B=∠C=;2!;_(180˘-50˘)=65˘
6 ⑷ △OCE에서 ∠AOC=20˘+40˘=60˘
⑸ 2：μAC=20˘：60˘ ∴ μAC=6 (cm)
7 ∠BOD=15˘이므로 ∠OCD=∠ODC=30˘
△OCE에서 ∠AOC=30˘+15˘=45˘
3 : μAC=15˘ : 45˘ ∴ μAC=9 (cm)
8 ⑴ AH”="√8¤ -5¤ ='∂39
⑵ AH”="√4¤ -2¤ =2'3
∴ x=2AH”=2'∂39
∴ x=2AH”=4'3
⑶ AH”=
AB”=8 ∴ x="√10¤ -8¤ =6
⑷ AH”=
AB”=4 ∴ x="√(2'6 )¤ -4¤ =2'2
;2!;
;2!;
9 (반지름의 길이)="√4¤ +2¤ =2'5
10 ⑴ x¤ =(x-3)¤ +4¤ , 6x=25
⑵ x¤ =(x-2)¤ +5¤ , 4x=29
∴ x=;;™6∞;;
∴ x=;;™4ª;;
⑶ x¤ =(x-3)¤ +6¤ , 6x=45 ∴ x=
:¡2∞:
⑷ x¤ =(x-2)¤ +6¤ , 4x=40 ∴ x=10
92
체크체크 수학 3-2
07 OD”와 현 AB가 수직으로 만나므로 AD”=BD”
원의 접선
p. 74~76
AD”="√5¤ -3¤ =4 (cm) ∴ AB”=2AD”=2_4=8 (cm)
1 ⑴ 22˘ ⑵ 130˘ ⑶ 30˘
2 14p cm¤
3 12
p. 73
01 ③, ④
06 67.5˘
02 15 cm 03 :¶6£:
07 ②
cm 04 8'3 cm 05 ⑤
02 AD”∥OC”이므로 ∠DAO=∠COB=40˘(동위각)
OD”를 그으면 OA”=OD”이므로 ∠ADO=∠DAO=40˘
∴ ∠AOD=180˘-(40˘+40˘)=100˘
이때 40˘：100˘=6：μAD ∴ AD”=15 (cm)
6 3'5 cm
9 3
13 ⑴ 8 ⑵ 4 cm
16 9 cm
cm
5 7 cm
4 ⑴ 4 ⑵ :¡3§:
7 ⑴ 7 cm ⑵ 5 cm ⑶ 12 cm 8 6 cm
11 1 cm
10 3 cm
14 18
15 ⑴ 15 cm ⑵ 12 cm
18 8 cm
17 5 cm
12 5
2 ∠AOB=180˘-40˘=140˘
∴ (넓이)=p_6¤ _
=14p (cm¤ )
140˘
360˘
3 ∠PTO=90˘이므로 PT”="√13¤ -5¤ =12
03 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 O라 하
고, 반지름의 길이를 x cm라 하면
3`cm
A
C
8`cm
P
D
4 ⑴ r="√8¤ -(4'3 )¤ =4
⑵ (r+6)¤ =r¤ +10¤ , 12r=64
∴ r=;;¡3§;; (cm)
OC”=x cm, OP”=(x-3) cm이므로
△OPC에서 x¤ =(x-3)¤ +8¤
6x=73 ∴ x
=:¶6£:
04 오른쪽 그림에서 OH”=O'H”=4 cm
△OAH에서
AH”="√8¤ -4¤ =4'3 (cm)
∴ AB”=2AH”=8'3 (cm)
05 AB”=CD”=16 cm이므로 ON”=O’M”=x cm
CN”=
CD”=8 (cm)이므로
;2!;
△OCN에서 x="√10¤ -8¤ ='3å6=6
06 OM”=ON”이므로
△ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이다.
(cid:8772)AMON에서
∠A=360˘-(90˘+135˘+90˘)=45˘
∴ ∠C=∠B=
_(180˘-45˘)=67.5˘
;2!;
채점기준
△ABC가 이등변삼각형임을 알기
∠A의 크기 구하기
∠C의 크기 구하기
07 오른쪽 그림과 같이 OA”, OT”를 그으
면 AB”는 작은원의접선이므로
OT”⊥AB”, AT”=BT”
△OAT에서
AT”="√3¤ -1¤ =2'2 (cm)
∴ AB”=2AT”=2_2'2=4'2 (cm)
3`cm
A
1`cm
B
O
T
O
6 PB”=PA”="√7¤ -2¤ =3'5 (cm)
8 cm
O
A
B
H
O'
7 ⑵ AF”=3 cm이므로 CE”=CF”=8-3=5 (cm)
⑶ BC”=BE”+CE”
”=7+5=12 (cm)
8 BE”=BD”=4 (cm), CE”=CF”=2 (cm)
∴ x=BE”+CE”=4+2=6 (cm)
9 AD”=x라 하면 BE”=BD”=7-x, CE”=CF”=9-x
BC”=(7-x)+(9-x)=10 ∴ x=3
`2점
`2점
`2점
배점
2점
2점
2점
10 △ABC에서
AB”="√15¤ +8¤ =17 (cm)
원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
AD”=AF”=8-r (cm),
BD”=BE”=15-r (cm)
A
F
r
C
D
O r
r
E
8 cm
B
15 cm
AB”=(15-r)+(8-r)=17에서 r=3 (cm)
11 △ABC에서 AC”="√5¤ -4¤ =3 (cm)
원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
(3-r)+(4-r)=5에서
r=1 (cm)
12 AE”=AF”=x라 하면 BE”=BD”=2,
CF”=CD”=1이므로
(x+2)¤ =3¤ +(x+1)¤
2x=6 ∴ x=3
∴ AB”=2+3=5
5 cm
A
O r
r
C
B
4 cm
A
x
F
1
C
x
O
E
2
B
2
1
D
5. 원과 직선
93
개념 드릴
16 CD”=2_6=12 (cm)이므로
15+12=AD”+18 ∴ AD”=9 (cm)
17 AB”="√10¤ -8¤ =6 (cm)
6+7=AD”+8에서 AD”=5 (cm)
18 AB”=CD”이므로 2AB”=6+10 ∴ AB”=8 (cm)
01 ④
06 2
02 ;2(;
07 4
cm 03 3
04 11 cm 05 5
01 △ABO에서 OA”=OB”이므로 ∠OBA=∠OAB=15˘
∴ ∠AOB=180˘-(15˘+15˘)=150˘
∴ ∠APB=180˘-150˘=30˘
02 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 ∠OTP=90˘이므로
(r+3)¤ =r¤ +6¤ , 6r=27
∴ r=;2(; (cm)
03 PC”+PD”+CD”=PA”+PB”이고 PA”=PB”이므로
6+4+8=2PA” ∴ PA”=
_18=9 (cm)
;2!;
∴ x=PA”-PC”=9-6=3
채점 기준
PA”의 길이 구하기
x의 값 구하기
04 CD”=8+3=11 (cm)
05 AF”=AD”=x cm, BE”=BD”=6 cm,
CF”=CE”=9-6=3 (cm)
이때 AB”+BC”+CA”=28 cm이므로
2(x+6+3)=28, x+9=14(cid:0)
(cid:0) ∴ x=5
06 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 AE”=AF”=r
BF”=BD”=4, CE”=CD”=6이므로
(4+6)¤ =(4+r)¤ +(6+r)¤
r¤ +10r-24=0 ∴ r=2 (∵ r>0)
07 AB”+CD”=AD”+BC”에서
9+14=x+(5+10) ∴ x=8
BP”=BQ”=5 cm이므로
94
체크체크 수학 3-2
01 ③
06 3
02 9p cm¤
07 2 cm
03 ②
04 12 cm 05 2 cm
01 ∠PBO=90˘이므로 x=20
CO”=AO”=4 cm ∴ PO”=PC”+CO”=10 (cm)
△PAO가 직각삼각형이므로 y="√10¤ -4¤ =2'∂21
02 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
△OAB에서 ∠OBA=90˘이므로
p. 77
(2+r)¤ =4¤ +r¤ , 4r=12 ∴ r=3
따라서 원 O의 넓이는 p_3¤ =9p (cm¤ )
채점 기준
∠OBA=90˘임을 알기
원의 반지름의 길이 구하기
원의 넓이 구하기
p. 78
`2점
`2점
`2점
배점
2점
2점
2점
03 ∠OTC=90˘이므로 △OCT에서 CT”="√8¤ -3¤ ='5å5
∴ (△ABC의 둘레의 길이)=2CT”=2'5å5
04 CD”=CE”+DE”=CB”+DE”
=9+4=13 (cm)
점 D에서 BC”에 내린 수선의발
을 H라 하면
9 cm
E
4 cm
D
4 cm
A
O
C
5 cm
H
4 cm
B
BH”=DA”=DE”=4 cm이므로
CH”=9-4=5 (cm)
△CDH에서 DH”="√13¤ -5¤ =12 (cm)
∴ AB”=DH”=12 cm
`4점
`2점
배점
4점
2점
05 CF”=x cm라 하면
AD”=AF”=(5-x) cm, BD”=BE”=(7-x) cm
AB”=(5-x)+(7-x)=8 ∴ x=2
06 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
BE”=BD”=5, AF”=AD”=12, CE”=CF”=r이므로
(r+5)¤ +(r+12)¤ =17¤ , r¤ +17r-60=0
∴ r=3 (∵ r>0)
07 PR”, QO”를 그어생각하면 오른쪽
그림에서 (cid:8772)AQOP, (cid:8772)QBRO
는 정사각형이므로
AQ”=QB”=4 cm
AP”=AQ”=4 cm
A
DP
x
4 cm
10 cm
S
4 cm
O
4 cm
R
12 cm
C
Q
8 cm
B
AP”=AB”-BP”=9-5=4 (cm) ∴ y=4
∴ x-y=8-4=4
AB”+CD”=AD”+BC”에서
8+10=(4+x)+12 ∴ x=2 (cm)
01 12 cm 02 36p cm¤ 03 ⑤
04 9-
p
;4(;
05 150 cm¤
06 ④
01 △AOM™△BOM(RHS 합동)이므로
∠BOM=∠AOM=30˘ ∴ ∠AOB=60˘
60˘：90˘=8：μ CD ∴ μ CD=12 (cm)
02 큰 원의반지름의 길이를 R cm, 작은 원의
반지름의 길이를 r cm라 하면
R¤ =6¤ +r¤ ∴ R¤ -r¤ =36
∴ (색칠한 부분의 넓이)=pR¤ -pr¤
R`cm
O
r`cm
6`cm 6`cm
=p(R¤ -r¤ )
=36p (cm¤ )
03 BD”=BE”=x라 하면 CF”=CE”=13-x, AF”=AD”=9-x
이때 AC”=AF”+CF”이므로 8=(9-x)+(13-x)에서 x=7
∴ (△BHI의 둘레의 길이)=BH”+HI”+BI”
=BD”+BE”=2BD”=14
04 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
15¤ =(9+r)¤ +(6+r)¤
r¤ +15r-54=0, (r-3)(r+18)=0
9
∴ r=3 (∵ r>0)
∴ (색칠한 부분의 넓이)
`3점
B
∴ =(cid:8772)OFCD-(부채꼴 OFD의 넓이)
∴ =3¤ -p_3¤ _
90˘
360˘
=9-
p
;4(;
6
E
r
O
r
A
6
D
r
9
r
C
F
채점 기준
원의 반지름의 길이 구하기
색칠한 부분의 넓이 구하기
05 원 O의 반지름의 길이가 6 cm이므로
AB”=2_6=12 (cm)
12+13=AD”+15 ∴ AD”=10 (cm)
∴ (cid:8772)ABCD
_(10+15)_12=150 (cm¤ )
=;2!;
p. 79
p. 80
01 OD”=OE”=OF”이므로 AB”=BC”=CA”=
㉠ 10
cm
즉 △ABC는 한 변의 길이가
㉡ 10
cm인 정삼각형이다.
이때 OA”를 그으면 AE”는 정삼각형의 높이이므로
AE”=
'3
㉢ 122
_10=5'3 (cm)
또 점 O는 △ABC의
㉣ 무게중심
이므로
AO”：OE”=
㉤ 2：1
에서
OE”=
㉥ ;3!;
AE”=
5'3
㉦ 113
(cm)
02 OM”=ON”이므로 AB”=AC”=2_4=8 (cm)
즉 ∠B=∠C=60˘이므로 △ABC는 한 변의 길이가 8 cm인
정삼각형이다.
`2점
이때 점 A에서 BC”에 내린수선의 발을 H라 하면
AH”= _8=4'3 (cm)
'3
2
또 점 O는 △ABC의 무게중심이므로
AO”：OH”=2：1에서 AO”=
AH”=
(cm)
따라서 원 O의 반지름의 길이는 `
cm이다.
8'3
3
;3@;
8'3
3
채점 기준
△ABC가 정삼각형임을 알기
원 O의 반지름의 길이 구하기
`3점
배점
3점
3점
03 CT”=CA”=
㉠ 7
cm, DT”=DB”=
㉡ 3
cm
이므로 CD”=CT”+DT”=
㉢ 10
(cm)
점 D에서 AC”에 내린수선의 발을 H라 하면
cm이므로 CH”=
㉣ 3
HA”=DB”=
△CHD에서 DH”="√10¤ -4¤ =
cm
∴ AB”=DH”=
㉦ 2'2å1
㉤ 4
㉥ 2'2å1
cm
(cm)
04 CD”=CT”+DT”=CA”+DB”=13+7=20
점 D에서 AC”에 내린수선의 발을 H라 하면
CH”=CA”-HA”=CA”-DB”=13-7=6
△CHD에서 DH”="√20¤ -6¤ =2'9å1 ∴ AB”=2'9å1
따라서 반원 O의 지름의 길이는 2'9å1이다.
(cid:9000)
5'3
3
cm
(cid:9000)
8'3
3
`4점
cm
배점
2점
4점
(cid:9000) 2'2å1 cm
`2점
`4점
(cid:9000) 2'9å1
배점
2점
4점
5. 원과 직선
95
06 QE”=RE”=x cm라 하면
AS”=AP”=PB”=BQ”=3 cm
DR”=DS”=8-3=5 (cm),
EC”=8-(3+x)=5-x (cm)
∴ (△CDE의 둘레의 길이)=(5+x)+(5-x)+6=16 (cm)
채점 기준
CD”의 길이 구하기
반원 O의 지름의 길이 구하기
개념 드릴
6
원주각
원주각
1 ⑴ 64˘ ⑵ 210˘ ⑶ 48˘ ⑷ 80˘
3 ∠x=110˘, ∠y=70˘
5 35˘
8 ⑴ 40˘ ⑵ 55˘ ⑶ 55˘ ⑷ 50˘
10 45˘
12 60˘
6 98˘
2 ∠x=;2!;_52˘=26˘
2 26˘
4 ⑴ 55˘ ⑵ 40˘
7 65˘
9 40˘
11 `⑴ 5 cm ⑵ 60 ⑶ 10 cm ⑷ 8 cm
13 `50˘
3 ∠x=;2!;_(360˘-140˘)=110˘
∠y=;2!;_140˘=70˘
4 ⑴ ∠BOC=180˘-(35˘+35˘)=110˘
⑴ ∴ ∠x=;2!;∠BOC=;2!;_110˘=55˘
⑵ ∠AOB=2_50˘=100˘
⑴ ∴ ∠x=;2!;_(180˘-100˘)=40˘
5 ∠DBC=∠DAC=10˘
∴ ∠x=10˘+25˘=35˘
6 BD”를 그으면 ∠ABD=∠ACD=50˘
∠DBC=∠DAC=48˘
∴ ∠x=∠ABD+∠DBC=98˘
7 ∠ACD=∠ABD=35˘
∴ ∠x=180˘-(80˘+35˘)=65˘
8 ⑶ ∠ACD=∠ABD=∠x
∠x+35˘=90˘ ∴ ∠x=55˘
⑷ ∠ACD=∠ABD=∠x
∠x+40˘=90˘ ∴ ∠x=50˘
9 ∠CDB=∠CAB=∠x
∠x+50˘=90˘ ∴ ∠x=40˘
10 ∠DBC+60˘=90˘에서 ∠DBC=30˘
30˘+∠x=75˘ ∴ ∠x=45˘
11 ⑷ 6：x=45˘：60˘ ∴ x=8 (cm)
96
체크체크 수학 3-2
12 ∠y=;2!;∠AOC=40˘
μAB=;2!;μAC이므로 ∠x=;2!;∠y=20˘
∴ ∠x+∠y=60˘
p. 81~82
13 μAC=μ BD이므로 ∠BCD=∠ABC=25˘
∴ ∠APC=25˘+25˘=50˘
01 ③
06 ②
02 ④
07 45˘
03 ③
04 ④
05 ④
p. 83
01 △OBC에서 ∠OCB=∠OBC=40˘이므로
∠x=180˘-(40˘+40˘)=100˘
∠y=;2!; ∠x=;2!;_100˘=50˘
∴ ∠x+∠y=100˘+50˘=150˘
02 ∠PAO=∠PBO=90˘이므로
∠AOB=180˘-60˘=120˘
∴ ∠ACB=;2!;_(360˘-120˘)
∴ ∠ACB=120˘
P 60˘
C
120˘
O
A
B
03 AC”가 원 O의 지름이므로 ∠ABC=90˘
∠DBC=∠DAC=35˘
∴ ∠DBA=90˘-35˘=55˘
04 ∠ACB=∠ADB=45˘
△PBC에서 ∠x=25˘+45˘=70˘
05 AD”를 그으면 ∠ADB=90˘이므로
△PAD에서 ∠CAD=20˘
∴ ∠COD=2∠CAD=40˘
06 μ CD에 대한원주각의 크기를 ∠y라 하면
∠y=;2!; ∠DOC=;2!;_120˘=60˘
20˘ : 60˘=3 : x ∴ x=9 (cm)
07 ∠ABC=180˘_
3
5+4+3
=45˘
P
70˘
C
D
A
O
B
01 ③
02 ②
06 10 cm 07 ③
03 ⑤
04 ②
05 ③
⑹ ∠ABD=∠ACD=80˘이므로 호 AD에 대한원주각의 크기
p. 84
⑶ ∠ABD=∠ACD=40˘이므로 호 AD에 대한원주각의 크기
가 같다.
가 같다.
5 ∠x+110˘=180˘ ∴ ∠x=70˘
∠y=2∠BCD=2_110˘=220˘
6 ∠ADB=90˘이므로 ∠DAB=60˘
∠x+60˘=180˘ ∴ ∠x=120˘
A
67˘
P
46˘
O
67˘
B
C
7 ∠x=∠ABC=90˘
∴ ∠x+∠y=120˘
△ABC에서 ∠y+60˘+90˘=180˘ ∴ ∠y=30˘
8 ∠DCE=∠DAB=∠x이므로
△DCE에서 ∠x+35˘=100˘ ∴ ∠x=65˘
9 ⑴ 원 O에서 ∠ABQ=∠DPQ`
원 O'에서 ∠DPQ=∠DCE`
⑵ ∠PQC=∠BAP=70˘이므로
⑵ 70˘+∠CDP=180˘ ∴ ∠CDP=110˘
01 ∠x=
;2!;_
(360˘-160˘)=100˘
02 ∠AOB=130˘이므로 ∠x=180˘-130˘=50˘
03 AB”가 원 O의 지름이므로 ∠ADB=90˘
∴ ∠ADP=90˘-39˘=51˘
∠ABC=∠ADC=51˘ (원주각)이므로
△BPC에서 ∠BPC=180˘-(51˘+36˘)=93˘
04 △ABC에서 AB”=AC”이므로
∠ABC=∠ACB=;2!;_(180˘-46˘)
46˘
∠ABC=67˘
오른쪽 그림과 같이 PC”를 그어생각하면
∠BPC=∠BAC=46˘
∠APC=∠ABC=67˘
∴ ∠APB=∠APC+∠BPC=67˘+46˘=113˘
05 ∠CAD=;2!;∠COD=30˘, ∠ADB=90˘
∴ ∠x=180˘-(30˘+90˘)=60˘
06 ∠APB=;2!;∠AOB=40˘
20˘：40˘=5：x ∴ x=10 (cm)
07 ∠B=180˘_
6
4+5+6
=72˘
01 ⑤
06 80˘
02 ①
07 100˘
03 ⑤
04 ③
05 ③, ④
p. 87
01 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에있으므로
∠CDB=∠CAB=60˘
△DPC에서 ∠DPC=180˘-(60˘+40˘)=80˘
02 (cid:8772)EABC가 원에내접하므로
100˘+∠ECB=180˘ ∴ ∠ECB=80˘
∠ACB=∠ECB-∠ACE=80˘-45˘=35˘
∴ ∠ADB=∠ACB=35˘
03 ∠PAB=∠BCD=75˘이므로
△APB에서 ∠x=180˘-(75˘+45˘)=60˘
원과 사각형
p. 85~86
1 ⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ _ ⑸ _ ⑹ ◯
2 ⑴ 65˘ ⑵ 45˘
3 ⑴ 100˘ ⑵ 120˘
4 ⑴ ∠x=95˘, ∠y=80˘ ⑵ ∠x=70˘, ∠y=75˘
5 ∠x=70˘, ∠y=220˘
6 120˘
9 ⑴ ∠DPQ, ∠DCE ⑵ 110˘
11 ㉠, ㉢, ㉣, ㉤
8 65˘
10 ④
7 120˘
1 ⑴ ∠ABD=∠ACD=20˘이므로 호 AD에 대한원주각의 크기
04 ∠ABC=∠x라 하면
⑵ ∠BAC=∠BDC=90˘이므로 호 BC에 대한 원주각의 크기
△ADF에서 (∠x+40˘)+∠x+30˘=180˘
∠ABC=∠ADF=∠x, ∠FAD=∠x+40˘
∴ ∠x=55˘
가 같다.
가 같다.
6. 원주각
97
개념 드릴
06 오른쪽 그림과 같이 BD”를 그으면
(cid:8772)ABDE는 원에내접하므로
70˘+∠EDB=180˘
∴ ∠EDB=110˘
1점
2점
A
70˘
O
150˘
D
C
이때 ∠BDC=150˘-110˘=40˘이므로
B
E
06 BD”를 그으면 (cid:8772)ABDE는 원에내접하는 사각형이므로
∠BDE+80˘=180˘ ∴ ∠BDE=100˘
따라서 ∠BDC=140˘-100˘=40˘이므로
∠x=2∠BDC=2_40˘=80˘
07 ∠DPQ=∠ABQ=∠x
95˘+∠x=180˘ ∴ ∠x=85˘
∠BOC=2∠BDC=2_40˘=80˘
채점 기준
보조선 긋기
∠EDB의 크기 구하기
∠BDC의 크기 구하기
∠BOC의 크기 구하기
07 ∠PQC=∠BAP=80˘이므로
80˘+∠CDP=180˘ ∴ ∠CDP=100˘
03 ③
04 31˘
05 ②
01 ②, ④
06 ④
02 ⑤
07 85˘
01 ② ∠BAC+∠BDC
④ ∠DAC=90˘-15˘=75˘이므로 ∠DAC+∠DBC
02 (cid:8772)ABCE가 원에내접하므로
75˘+∠AEC=180˘ ∴ ∠AEC=105˘
△FCE에서
∠AFC=∠AEC+∠DCE=105˘+24˘=129˘
03 ∠x=∠BAC=50˘
∠ADC=90˘이고, ∠ACD=∠ABD=40˘이므로
△ACD에서 ∠CAD=180˘-(90˘+40˘)=50˘
∴ ∠y=∠BAD=50˘+50˘=100˘
∴ ∠x+∠y=50˘+100˘=150˘
04 ∠DAP=∠BCD=47˘
∠ADP=55˘+47˘=102˘
채점 기준
∠DAP의 크기 구하기
∠ADP의 크기 구하기
∠x의 크기 구하기
98
체크체크 수학 3-2
1점
2점
배점
1점
2점
1점
2점
2점
2점
2점
배점
2점
2점
2점
접선과 현이 이루는 각
p. 89~90
4 30˘
1 ⑴ 45˘ ⑵ 65˘
2 ⑴ ∠x=40˘, ∠y=80˘ ⑵ ∠x=110˘, ∠y=70˘
3 41˘
7 ⑴ ∠ATP, ∠CTQ, ∠CDT ⑵ ∠BAT, ∠BTQ, ∠DTP
8 ∠x=75˘, ∠y=65˘
10 ⑴ ①, ② ⑵∠ DCT=65˘, ∠BAT=65˘
11 ∠x=60˘, ∠y=60˘
12 100˘
9 75˘
5 25˘
6 45˘
1 ⑵ ∠BCA=80˘
p. 88
⑵ ∴ ∠x=180˘-(80˘+35˘)=65˘
2 ⑵ ∠y=∠BCT=70˘이므로
⑵ ∠x+70˘=180˘ ∴ ∠x=110˘
3 ∠CAT=∠CBA=∠x이므로
∠x+28˘=69˘ ∴ ∠x=41˘
4 AC”를 그으면 △ABC에서 ∠ACB=60˘, ∠BAC=90˘
∠x+60˘+90˘=180˘ ∴ ∠x=30˘
5 ∠BAT=∠ADB=65˘, △ABD에서 ∠BAD=90˘이므로
∠CAD=180˘-(65˘+90˘)=25˘
6 ∠D=80˘이므로 ∠CAD=180˘-(80˘+55˘)=45˘
∴ ∠x=∠CAD=45˘
8 ∠ABT=∠TDC, ∠TCD=∠BAT이므로
∠x=75˘, ∠y=65˘
∠x+45˘+60˘=180˘ ∴ ∠x=75˘
10 ⑵ 원 O'에서 ∠DCT=∠DTQ=65˘
⑵ 원 O에서 ∠BAT=∠BTQ=65˘
△APD에서 47˘+102˘+∠x=180˘ ∴ ∠x=31˘
9 ∠DCT=∠BAT=45˘
11 원 O'에서 ∠CDT=∠CTP ∴ ∠x=60˘
원 O에서 ∠ABT=∠ATP ∴ ∠y=60˘
12 원 O'에서 ∠x=∠DTQ=50˘
원 O에서 ∠y=∠BTQ=50˘
∴ ∠x+∠y=100˘
01 ④
06 ①
02 ①
03 60˘
04 ⑤
05 61˘
p. 92
01 ∠x=35˘, ∠y=100˘ ∴ ∠y-∠x=65˘
02 AB”∥CD”이므로 ∠BTD=∠PBT=35˘ (엇각)
접선과현이이루는 각의 성질에 의하여 ∠BQT=∠BTD=35˘
△QPB에서 ∠PBQ=180˘-(114˘+35˘)=31˘
03 오른쪽 그림과 같이 AC”를 그으면
∠ACB=90˘이고
p. 91
∠BAC=∠BCT=∠x이므로
∠CBA=90˘-∠x
CP”=CB”이므로
∠BPC=∠CBA=90˘-∠x
B
O
x
C
T
xA
P
01 ②
06 ⑤
02 40˘
03 ②
04 10˘
05 ②
01 OT”=OB”이므로 ∠TBO=∠OTB=
_(180˘-108˘)=36˘
;2!;
△BPC에서 ∠CBA+∠BPC=∠BCT이므로
접선과현이이루는 각의 성질에 의하여 ∠PTA=∠TBO=36˘
(90˘-∠x)+(90˘-∠x)=∠x, 3∠x=180˘ ∴ ∠x=60˘
04 ∠CAP=∠CPT=40˘이므로 ∠BAP=60˘+40˘=100˘
(cid:8772)APCB는 원에내접하므로 ∠BCP=180˘-100˘=80˘
05 PA”=PC”이므로 ∠ACP
=;2!;
_(180˘-62˘)=59˘
∠BCA=∠BAD=60˘
∴ ∠BCE=180˘-(59˘+60˘)=61˘
C
60˘
D
T
A
60˘
O
30˘
B
채점 기준
∠ACP의 크기 구하기
∠BCA의 크기 구하기
∠BCE의 크기 구하기
06 ∠BTQ=∠BAT=75˘, ∠CTQ=∠CDT=55˘이므로
∠x=180˘-(75˘+55˘)=50˘
2점
2점
2점
배점
2점
2점
2점
p. 93
02 △CPA에서 30˘+∠CAP=70˘
∴ ∠CAP=40˘
∴ ∠x=∠CAP=40˘
03 AD”를 그으면 ∠DAB=90˘
∠ADB=∠TAB=60˘
∠CAD=180˘-(90˘+60˘)=30˘
△ACD에서 삼각형의 외각의 성질에
의하여
∠ACB=60˘-30˘=30˘
04 ∠x=∠ACB=45˘
∠ABC=180˘-100˘=80˘이므로
∠y=180˘-(45˘+80˘)=55˘
∴ ∠y-∠x=55˘-45˘=10˘
채점 기준
∠x의 크기 구하기
∠y의 크기 구하기
∠y-∠x의 값 구하기
05 △PAB에서 PA”=PB”이므로
∠PAB=∠PBA=;2!;_(180˘-50˘)=65˘
∠CBA=∠CAD=70˘
∴ ∠CBE=180˘-(70˘+65˘)=45˘
06 ∠x=∠ATP=70˘, ∠y=∠CTQ=∠ATP=70˘
∴ ∠x+∠y=140˘
2점
2점
1점
배점
2점
2점
1점
02 ④
03 2p
04 55˘
05 ④
01 108˘
06 ②
01 BC”를 그으면
∠BCA=180˘
=36˘
_;5!;
μAB：μ CD=1：2이므로
∠DBC=2∠BCA=72˘
∴ ∠x=36˘+72˘=108˘
1점
2점
2점
2점
A
D
72˘
36˘
B
x
C
6. 원주각
99
개념 드릴
채점 기준
보조선 긋기
∠BCA의 크기 구하기
∠DBC의 크기 구하기
∠x의 크기 구하기
배점
1점
2점
2점
2점
01 ⑴ AC”는 원 O의
`㉡ 90˘
∠x=
`㉠ 지름
이므로
⑵ △ABC에서 ∠C=
`㉢ 60˘
02 AC”가 원 O의 지름이므로 ∠ABC=90˘
∠BAC=∠BDC=52˘, ∠ABD=∠ACD=30˘
△ABC에서 ∠ACB=180˘-(90˘+52˘)=38˘
OB”=OC”이므로 ∠OBC=∠OCB=38˘
∠DBO=90˘-(30˘+38˘)=22˘
∴ ∠ACB+∠DBO=38˘+22˘=60˘
∠ACB와 ∠ADC는 μAB에 대한원주각이므로
∠y=
`㉣ 60˘
(cid:9000) ⑴ 90˘ ⑵ 60˘
02 BC”는 원 O의 지름이므로 ∠BAC=90˘
(cid:8772)ABCD가 원에내접하므로 ∠BAD+∠BCD=180˘
(90˘+25˘)+(20˘+∠x)=180˘
∴ ∠x=45˘
03 오른쪽 그림과 같이 BC”를 긋고
∠ACD=∠x라 하면
△ACE에서
∠BAC=20˘+∠x
μAB=μ BC=μ CD이므로
B
C
20˘+x
O
x
A
D
20˘+x
20˘
E
채점 기준
∠BAC의 크기 구하기
∠x의 크기 구하기
p. 94
3점
4점
(cid:9000) 45˘
배점
3점
3점
2점
3점
(cid:9000) 90˘
배점
2점
3점
03 ∠ACB：∠BAC：∠CBA
`㉠ μAB：μ BC：μ CA
=
=2：3：1
∴ ∠BAC=㉡ 180˘_
=
`㉢ 90˘
(cid:9000) 90˘
3
2+3+1
04 ∠ACB：∠BAC：∠CBA
=μAB：μ BC：μ CA
=1：3：4
∴ ∠ABC=180˘_
4
1+3+4
=90˘
채점 기준
원주각의 크기의 비를 호의 길이의 비로 나타내기
∠ABC의 크기 구하기
∠ACB=∠BAC=∠CAD=20˘+∠x
(cid:8772)ABCD는 원에내접하므로
∠BCD+∠BAD=180˘
(20˘+∠x+∠x)+(20˘+∠x+20˘+∠x)=180˘
4∠x=120˘ ∴ ∠x=30˘
∴ ∠AOD=2∠x=60˘
∴ (μAD의 길이)=2p_6_
=2p
60˘
360˘
04 AD”=AF”이므로 ∠ADF=
_(180˘-60˘)=60˘
;2!;
∠EDB=∠DFE=65˘이므로
∠x=180˘-(60˘+65˘)=55˘
05 μAB=μ BT이므로 ∠BAT=∠ATB
이때 ∠BAT=∠PTB=32˘이므로 ∠ATB=32˘
06 오른쪽 그림과 같이 AB”를 그으면
∠ABP=∠ACB=∠x이므로
∠CAB=36˘+∠x
△ABC에서 AC”=BC”이므로
∠CBA=∠CAB=36˘+∠x
△ABC에서
C
x
O
B
Q
A
36˘
x
P
(36˘+∠x)+(36˘+∠x)+∠x=180˘ ∴ ∠x=36˘
100 체크체크 수학 3-2
7
원주각의 활용
01 ⑤
06 17.5
02 ②
07 x=9, y=3.5
03 4 cm
04 ④
05 ⑤
p. 97
원에서 선분의 길이 사이의 관계
p. 95~96
1 ⑴ 8 ⑵ 5 ⑶ 6 ⑷ 8
2 ⑴ 12 ⑵ 3 ⑶ 5 ⑷ :¡2ª:
3 ⑴ 4 ⑵ 4 ⑶ 2'5 ⑷ 6 ⑸ '7 ⑹ 2'3
4 ③
5 ①, ⑤
6 ⑴ ;2%; ⑵ 7
7 ⑴ 3 ⑵ 6
8 3
1 ⑶ (15-3)_3=x_x, x¤ =36 ∴ x=6 (∵ x>0)
⑷ x(11-x)=6_4, x¤ -11x+24=0
(x-3)(x-8)=0 ∴ x=8 (∵ x>4)
2 ⑴ 3_x=4_9 ∴ x=12
⑵ 4_10=5(5+x) ∴ x=3
⑶ x(x+3)=(10-6)_10
x¤ +3x-40=0, (x+8)(x-5)=0
∴ x=5 (∵ x>0)
⑷ 3_10=(12-x)_12
12x=114 ∴ x=
:¡2ª:
3 ⑴ x¤ =2_8 ∴ x=4 (∵ x>0)
⑵ 6¤ =9_x ∴ x=4
⑶ (6-x)(6+x)=2_8, x¤ =20 ∴ x=2'5 (∵ x>0)
⑷ 2(2x-2)=4_5 ∴ x=6
⑸ (5-x)(5+x)=3_6, x¤ =7 ∴ x='7 (∵ x>0)
⑹ (6-x)(6+x)=3_8, x¤ =12 ∴ x=2'3 (∵ x>0)
④ PD”="√10¤ -6¤ =8 (cm)이므로 3_8=6_4
4 ③ 2_5+3_4
5 ① 4_5=10_2
⑤ 4_9=3_12
6 ⑴ 4_x=2_5 ∴ x=;2%;
⑵ 8(8+x)=10_12 ∴ x=7
7 ⑴ 6_x=2_9 ∴ x=3
⑵ 4_2=(x+2)_1 ∴ x=6
01 x¤ =2_8 ∴ x=4 (∵ x>0)
02 PO”의 길이를 x라 하면 (6-x)(6+x)=4_7
x¤ =8 ∴ x=2'2 (cm) (∵ x>0)
03 PC”의 길이를 x라 하면 3_(3+13)=x_12
12x=48 ∴ x=4 (cm)
04 원 O의 반지름의 길이를 x라 하면 (12-x)(12+x)=6_16
x¤ =48 ∴ x=4'3 (∵ x>0)
05 ④ PD”="√4¤ +3¤ =5이므로
5_(5+7)=4_(4+11)
06 (a+5)_7.5=9_10 ∴ a=7
(b+7.5)_5=9_10 ∴ b=10.5
∴ a+b=17.5
07 3(3+x)=4_9 ∴ x=9
4.5(4.5+y)=4_9 ∴ y=3.5
p. 98
01 :¡2∞:
06 ③
02 24
07 3
03 ③
04 ④
05 ④
01 3_5=2_PD” ∴ PD”=
:¡2∞:
02 AM”=x라 하면 x¤ =6_24 ∴ x=12 (∵ x>0)
∴ AB”=2AM”=24
03 4_(4+2)=3(3+CD”), 3CD”=15 ∴ CD”=5 (cm)
04 원 O의 반지름의 길이를 x라 하면
3_(3+5)=(7-x)(7+x)
x¤ =25 ∴ x=5 (∵ x>0)
05 ④ 2_8+3_5
8 x(x+3)=2_9, x¤ +3x-18=0
(x+6)(x-3)=0 ∴ x=3 (∵ x>0)
06 PA”¥PB”=PE”¥PF”=PC”¥PD”에서
4_x=8_3 ∴ x=6
7. 원주각의 활용
101
할선과 접선
p. 99~100
03 ∠ATP=∠TBA (접선과 현이 이루는 각)이므로
개념 드릴
07 PA”¥PB”=PE”¥PF”=PC”¥PD”에서
5(5+x)=4(4+6), 5x=15 ∴ x=3
1 ⑴ 5 ⑵ 15 ⑶ 2'6 ⑷ 6
2 ⑴ :¡5™: ⑵ 3'3
3 ⑴ 4 ⑵ :£4£:
5 ⑴ x=2'6, y=2'6 ⑵ x=12, y=12
7 ⑴ 24 ⑵ 5
4 ⑴ 4 ⑵ 9
6 5 cm
8 ⑴ x=9, y=6 ⑵ x=2'1å0, y=6
1 ⑴ 6¤ =4(4+x) ∴ x=5
⑵ 10¤ =5(5+x) ∴ x=15
⑶ x¤ =3_(3+5)=24 ∴ x=2'6 (∵ x>0)
⑷ x¤ =3_(3+9)=36 ∴ x=6 (∵ x>0)
2 ⑴ 7¤ =5(5+2x) ∴ x=;;¡5™;;
⑵ x¤ =3_9=27 ∴ x=3'3 (∵ x>0)
3 ⑴ x¤ =2_8=16 ∴ x=4 (∵ x>0)
⑵ 7¤ =4(4+x) ∴ x=;;£4£;;
4 ⑴ PT”
¤ =PA”¥PB”=PT'”
¤ 에서 PT”=PT'” ∴ x=4
⑵ PT”=P’T'”이므로 x=9
5 ⑴ x¤ =4_(4+2)=24 ∴ x=2'6 (∵ x>0)
y¤ =4_(4+2)=24 ∴ y=2'6 (∵ y>0)
⑵ x¤ =9_(9+7)=144 ∴ x=12 (∵ x>0)
y¤ =9_(9+7)=144 ∴ y=12 (∵ y>0)
6 PT”
¤ =PA”¥PB”=P’T'”
¤ 에서
PT”=P’T'” ∴ PT”=
T’T'”=5 (cm)
;2!;
7 ⑴ PT”
⑵ PT”
¤ =8_(8+6)=4(4+x) ∴ x=24
¤ =3(3+x)=4_(4+2) ∴ x=5
8 ⑴ 4_(4+5)=3(3+x) ∴ x=9
y¤ =4_(4+5)=36 ∴ y=6 (∵ y>0)
⑵ 5_(5+3)=4(4+y) ∴ y=6
x¤ =5_(5+3)=40 ∴ x=2'1å0 (∵ x>0)
102 체크체크 수학 3-2
02 ③
03 ③
04 ③
05 4
01 :¡2∞:
06 ②
p. 101
01 9¤ =6(6+x), 6x=45 ∴ x=
02 6¤ =3(3+2x), 6x=27 ∴ x=
:¡2∞:
;2(;
∠ATP=∠TPA
따라서 △APT는 이등변삼각형이므로 AP”=AT”=5
¤ =5_15=75 ∴ PT”=5'3 (∵ PT”>0)
PT”
04 4_AQ”=2_6에서 AQ”=3
12¤ =x(x+7), x¤ +7x-144=0
(x+16)(x-9)=0 ∴ x=9 (∵ x>0)
05 PA”¥PB”=PT”
¤ 이고 PT”
¤ =PC”¥PD”이므로
PA”¥PB”=PC”¥PD”
즉 3_(3+9)=x(x+5), x¤ +5x-36=0
(x+9)(x-4)=0 ∴ x=4 (∵ x>0)
PA”¥PB”=PC”¥PD”임을 보이기
채점 기준
x의 값 구하기
¤ =PC”¥PD”이고 PC”¥PD”=PA”¥PB”이므로
¤ =PA”¥PB”
06 PT”
PT”
즉 x¤ =5_(5+5)=50 ∴ x=5'2 (∵ x>0)
`2점
`4점
배점
2점
4점
01 ③
06 ②
02 ③
03 3'3 cm 04 ③
05 9
p. 102
01 x¤ =2_(2+10)=24 ∴ x=2'6 (∵ x>0)
02 원 O의 반지름의 길이를 x라 하면
4¤ =2(2+2x), 16=4+4x ∴ x=3
03 ∠PCA=∠CBA (접선과 현이 이루는 각)이므로
∠CPA=∠PCA
따라서 △CPA는 이등변삼각형이므로 PA”=AC”=3 cm
06 BQ”를 그으면 ∠ABC=∠ACB=∠AQB이므로
AB”는 세 점 B, P, Q를 지나는 원의 접선이다.
AB”
¤ =6_(6+2)=48 ∴ AB”=4'3 (cm) (∵ AB”>0)
¤ =PA”¥PB”이므로 PC”
PC”
∴ PC”=3'3 (cm)`(∵ PC”>0)
¤ =3_(3+6)=27
04 2_6=AQ”_4 ∴ AQ”=3
(7'2 )¤ =x(x+3+4), x¤ +7x-98=0
(x+14)(x-7)=0 ∴ x=7`(∵ x>0)
05 PT”
¤ =PA”¥PB”=P’T'”
¤ 이므로 PT”=P’T'” ∴ PT”=9
06 x¤ =4_(4+5)=36 ∴ x=6`(∵ x>0)
3_(3+y)=4_(4+5), 3y=27 ∴ y=9
01 5
05 6 cm
02 a=11, b=2'1å5
06 ⑤
01 PA”=PB”=
AB”=4
;2!;
DO”=x라 하면 OP”=x-2
PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로
4_4=2(2x-2)
16=4x-4 ∴ x=5
02 4(4+a)=6_(6+4) ∴ a=11
b¤ =6_(6+4)=60 ∴ b=2'1å5 (∵ b>0)
03 PT”
¤ =4_16=64 ∴ PT”=8 (∵ PT”>0)
∠ATP=∠TBA이므로 △APTª△TPB(AA 닮음)
따라서 PA” : PT”=AT” : TB”이므로
4 : 8=6 : BT” ∴ BT”=12
04 오른쪽 그림과 같이 BC”를 그으면
BC”=12 sin 30˘=6 (cm)이고
∠CAB=∠DCB=30˘
(접선과 현이 이루는 각),
∠CBA=60˘이므로
∠BDC=60˘-30˘=30˘
p. 103
03 ⑤
04 ④
01 OT”=4 cm이므로 BT”=2OT”=
`㉡ 90˘
이므로 PT”=
¤ =PA”¥PB”이므로
PA”=x라 하면 PT”
∠BTP=
`㉠ 8
`㉢ 6
cm
cm
`㉣ 6¤ =10x
∴ x=
`㉤ :¡5•:
(cm)
(cid:9000) :¡5•:
cm
¤ =3_(5+3)=24
02 PT”
¤ =PA”¥PB”에서 PT”
∴ PT”=2'6 (∵ PT”>0)
∠BTP=90˘이므로 △BTP에서
BT” ="√8¤ -(2'6 )¤ =2'1å0
OT”=
BT”='1å0
;2!;
∴ (원 O의 넓이)=p_('1å0)¤ =10p
채점 기준
PT”의 길이 구하기
BT”의 길이 구하기
원의 반지름의 길이 구하기
원의 넓이 구하기
C
30˘
30˘
D
A
60˘
30˘
O
12`cm
B
03 (cid:8772)ACDB가 원에내접하려면
`㉠ PA”¥PB”=PC”¥PD”
가 성립해야 하므로
4_(4+6)=
`㉡ 5_(5+x)
∴ x=
`㉢ 3
(cid:9000) 3, 풀이 참조
즉 △BDC는 이등변삼각형이므로 BD”=BC”=6 cm
CD”
CD”
¤ =BD”¥AD”이므로
¤ =6_(6+12)=108 ∴ CD”=6'3 (cm) (∵ CD”>0)
05 AP”=x라 하면
RA”=RB”="√5¤ -3¤ =4 (cm)
¤ =PA”¥PB”에서
PT”
(2'∂21 )¤ =x(x+8)
x¤ +8x-84=0
T
5 cm
O
R
3 cm
B
2
21 cm
A
x
P
(x+14)(x-6)=0 ∴ x=6 (cm) (∵ x>0)
04 (cid:8772)ABCD가 원에내접하므로
PA”¥PB”=PC”¥PD”
8_(8+7)=(12-x)_12
120=144-12x
∴ x=2
채점 기준
(cid:8772)ABCD가 원에 내접할 조건 쓰기
조건을 식으로 나타내기
x의 값 구하기
p. 104
`2점
`2점
`1점
`2점
(cid:9000) 10p
배점
2점
2점
1점
2점
`2점
`3점
`2점
(cid:9000) 2
배점
2점
3점
2점
7. 원주각의 활용
103
새로운 강의 패러다임 체크체크
p99999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
999999999999999
