정답과 풀이
2-1중
I 유리수와 순환소수 .................................. 02
II 식의 계산 ................................................... 08
III 일차부등식 ................................................ 17
IV 연립방정식 ................................................ 24
V 일차함수 .................................................... 40
I
유리수와 순환소수
⑤ aÖb=
는 유리수이므로 순환하지 않는 무한소수가 될 수
01
유리수와 순환소수
확인 1 답 ⑤
;bA;
⑤ 없다.
확인 2 답 7
=0.H07H4이므로 순환마디의 숫자는 0, 7, 4의 3개이다.
;2ª7;
이때 50=3_16+2이므로 소수점 아래 50번째 자리의 숫자는 순
환마디의 2번째 숫자인 7이다.
확인 3 답
3
2Ü`_5
,
15
2_3_5Û`
=
,
;3!;
;2£8;
;9#;
=
,
;9@0$;
=
;1¢5;
=
3
2Û`_7
4
3_5
,
3
2Ü`_5
,
7
2_3Û`
,
15
2_3_5Û`
=
1
2_5
,
12
2Ý`_7
=
3
2Û`_7
따라서 유한소수로 나타낼 수 있는 것은
3
2Ü`_5
,
15
2_3_5Û`
이다.
2 답 ⑴ _ ⑵ _
⑴ 0.H1+(-0.H1)=
+
-
{
;9!;
;9!;}
=0과 같이 무한소수와 무한소수
⑻ 의 합이 정수인 경우도 있다.
⑵ 0.3_0.H3=
_
=
;9#;
;1Á0;
;1£0;
=0.1과 같이 유한소수와 순환소수
⑻ 의 곱이 유한소수인 경우도 있다.
4-1 답 15
=0.8H3이므로 A=3
;6%;
A=3을
에 대입하면
A
198
=
;19#8;
;6Á6;
=0.0H1H5
따라서 구하는 순환마디는 15이다.
=0.H1이므로 순환마디의 숫자는 1의 1개이다.
=0.H1H8이므로 순환마디의 숫자는 1, 8의 2개이다.
=0.H23076H9이므로 순환마디의 숫자는 2, 3, 0, 7, 6, 9의 6개
확인 4 답 ⑴ 1000 ⑵ 10 ⑶ 990 ⑷ 1241 ⑸ :Á9ª9¢0Á:
∴ a+b+c=1+2+6=9
확인 5 답 ⑴ _ ⑵ _
⑴ 무한소수 중 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아니다.
⑵ 유리수 중 순환소수는 유한소수로 나타낼 수 없다.
=0.H28571H4이므로 소수점 아래 첫 번째 자리부터 순환마디가
시작되고, 순환마디의 숫자는 2, 8, 5, 7, 1, 4의 6개이다.
이때 2000=6_333+2이므로 소수점 아래 2000번째 자리의 숫
자는 순환마디의 두 번째 숫자인 8이다.
STEP 1
억울하게 울리는 문제
pp. 008 ~ 009
1 ⑴ 유리수이다 ⑵ 유리수가 아니다 ⑶ 순환소수 ⑷ 기약분수
2 ⑴ _ ⑵ _
4-1 15
5-1 8
6-1 4
3 ⑴ 순환소수 ⑵ 유리수
4-2 9
5-2 2
6-2 1
1 답 ⑴ 유리수이다 ⑵ 유리수가 아니다 ⑶ 순환소수 ⑷ 기약분수
⑶ 무한소수 중 순환소수는 분수로 나타낼 수 있고, 순환하지 않는
무한소수는 분수로 나타낼 수 없다.
=0.H38461H5이므로 소수점 아래 첫 번째 자리부터 순환마디가
시작되고, 순환마디의 숫자는 3, 8, 4, 6, 1, 5의 6개이다.
이때 20=6_3+2이므로 소수점 아래 20번째 자리의 숫자는 순
또 100=6_16+4이므로 소수점 아래 100번째 자리의 숫자는
환마디의 두 번째 숫자인 8이다.
∴ a=8
순환마디의 4번째 숫자인 6이다.
∴ b=6
∴ a-b=8-6=2
02 정답과 풀이
4-2 답 9
;9!;
∴ a=1
;1ª1;
∴ b=2
;1£3;
이다.
∴ c=6
5-1 답 8
;7@;
∴ a2000=8
5-2 답 2
;1°3;
=0.0H4H5이므로 소수점 아래 두 번째 자리부터 순환마디가 시
작되고, 순환마디의 숫자는 4, 5의 2개이다.
이때 30-1=2_14+1이므로 소수점 아래 30번째 자리의 숫자
는 순환마디의 첫 번째 숫자인 4이다.
전략
성을 찾아본다.
03 답 ㉠, ㉢
먼저 ;1£4;을 소수로 나타낸 후 순환마디를 구한다. 이때 순환마디가 소수
점 아래 몇 번째 자리부터 시작하는지 유의하여 xÁ, xª, x£, y, xÁ°의 규칙
=0.1H14285H7이므로 소수점 아래 두 번째 자리부터 순환마디
가 시작되고, 순환마디의 숫자는 1, 4, 2, 8, 5, 7의 6개이다.
이때 50-1=6_8+1이므로 소수점 아래 50번째 자리의 숫자는
의 6번째 숫자인 8이다.
㉡ ∴ f(30)=8
순환마디의 첫 번째 숫자인 1이다.
STEP 2
반드시 등수 올리는 문제
pp. 010 ~ 014
따라서 보기 중 옳은 것은 ㉠, ㉢이다.
6-1 답 4
;2Á2;
6-2 답 1
;3¢5;
01 225
04 9개
07 1
10 14개
13 13개
16 3
19 2
22 0.000H1
01 답 225
;2ª1;
=225
전략
;2ª1;
02 답 61
;1£4;
02 61
05 419
08 84
11 24개
14 ⑤
17 0.H0H9, 0.H2H7
20 ;1»4;
23 24
03 ㉠, ㉢
06 88
09 567
12 23, 56, 89
15 ㉢, ㉣, ㉥
18 0.000H1
21 14, 19
=0.H09523H8이므로 소수점 아래 첫 번째 자리부터 순환마디가
시작되고, 순환마디의 숫자는 0, 9, 5, 2, 3, 8의 6개이다.
이때 50=6_8+2이므로
aÁ+aª+a£+y+a°¼
=8_(0+9+5+2+3+8)+0+9
를 소수로 나타낸 후 순환마디를 구한다.
=0.2H14285H7이므로 소수점 아래 두 번째 자리부터 순환마디
가 시작되고, 순환마디의 숫자는 1, 4, 2, 8, 5, 7의 6개이다.
이때 15-1=6_2+2이므로
xÁ+xª+x£+y+xÁ°
=2+2_(1+4+2+8+5+7)+1+4
=61
=0.H57142H8이므로 소수점 아래 첫 번째 자리부터 순환마디가
;7$;
시작되고, 순환마디의 숫자는 5, 7, 1, 4, 2, 8의 6개이다.
㉠ 30=6_5이므로 소수점 아래 30번째 자리의 숫자는 순환마디
㉡ 순환마디의 숫자의 개수가 6개이므로
㉡ f(n)=f(n+6)
㉢ 순환마디의 숫자는 5, 7, 1, 4, 2, 8이므로 f(n)=1을 만족하는
자연수 n의 값은 3, 9, 15, y이다.
㉡ 즉 두 자리의 자연수 n은 15, 21, 27, y, 99의 15개이다.
f(1)=f(6), f(2)=f(7), f(3)=f(8), f(4)=f(9), y임을 의미한다.
=2.H232H1이므로 소수점 아래 첫 번째 자리부터 순환마디
가 시작되고, 순환마디의 숫자는 2, 3, 2, 1의 4개이다.
=0.H85714H2이므로 소수점 아래 첫 번째 자리부터 순환마디가
;7^;
시작되고, 순환마디의 숫자는 8, 5, 7, 1, 4, 2의 6개이다.
전략
f(n)=f(n+5)이면
04 답 9개
:ª9ª9£9Á9»:
aÁ=a°=a»=y=2
aª=a¤=aÁ¼=y=3
a£=a¦=aÁÁ=y=2
a¢=a¥=aÁª=y=1
bÁ=b¦=bÁ£=y=8
bª=b¥=bÁ¢=y=5
b£=b»=bÁ°=y=7
b¢=bÁ¼=bÁ¤=y=1
b°=bÁÁ=bÁ¦=y=4
b¤=bÁª=bÁ¥=y=2
Ú n이 100 이하의 자연수일 때, aÇ=bÇ=2인 경우
Ú aÇ=2인 n의 값은 1, 3, 5, y, 99
Ú bÇ=2인 n의 값은 6, 12, 18, y, 96
Ú 따라서 aÇ=bÇ=2를 만족하는 n의 값은 없다.
Û n이 100 이하의 자연수일 때, aÇ=bÇ=1인 경우
Ú aÇ=1인 n의 값은 4, 8, 12, y, 100
Ú bÇ=1인 n의 값은 4, 10, 16, y, 100
Ú 따라서 aÇ=bÇ=1을 만족하는 n의 값은 4, 16, 28, 40, 52, 64,
76, 88, 100의 9개이다.
I. 유리수와 순환소수 03
Ú, Û에서 aÇ=bÇ을 만족하는 자연수 n의 값은 9개이다.
전략
먼저 두 분수 :ª9ª9£9Á9»:와 ;7^;을 소수로 나타낸 후 순환마디를 각각 구한다.
이때 aÇ과 bÇ의 규칙성을 찾아 aÇ=bÇ인 경우를 구해 본다.
두 분수를 기약분수로 나타낸 후 분모의 소인수 중 2 또는 5 이외의 수를
동시에 약분할 수 있는 A의 값을 구한다.
전략
전략
05 답 419
06 답 88
11
2Ü`_5Û`_a
2Ü
_11=88
`
전략
07 답 1
=
;7#;
;2»1;
∴ 9★21=-1
=
:Á8°:
15
2Ü`
∴ 15★8=1
=
:Á6¤5»:
:Á5£:
∴ 169★65=1
전략
08 답 84
=
;3!7%5^;
;1°2ª5;
=
=
52
5Ü`
52_2Ü
`
5Ü`_2Ü`
=
416
10Ü`
=
4160
10Ý`
=
41600
10Þ`
=y
따라서 a+n의 최솟값은 416+3=419
먼저 분수를 기약분수로 나타낸 후 분모를 10의 거듭제곱 꼴로 나타낸다.
이 유한소수가 되려면 a는 2 또는 5를 소인수로 갖는
수이거나 11의 배수이면서 2 또는 5를 소인수로 갖는 수이다.
따라서 a의 값이 될 수 있는 가장 큰 두 자리의 자연수는
63_3Û
=567
`
전략
기약분수의 분모를 소인수분해하였을 때, 소인수가 2 또는 5뿐이면 유한
소수로 나타낼 수 있다.
10 답 14개
이므로 유한소수로 나타낼 수 없다.
이므로 유한소수로 나타낼 수 있다.
이므로 유한소수로 나타낼 수 있다.
∴ (9★21)+(15★8)+(169★65)=-1+1+1=1
먼저 분수를 기약분수로 나타낸 후 분모를 소인수분해한다.
11 답 24개
09 답 567
조건 ㈏에서
A
630
=
A
2_3Û`_5_7
배수이어야 한다.
조건 ㈐에서
A
630
2Û
_A
`
3Û`_7
가 유한소수가 되려면 A는 3Û
_7, 즉 63의
`
_40=
가 어떤 자연수의 제곱이 되려면 A는
3Û
_7_(자연수)Û
`
즉 조건 ㈏, ㈐를 만족하는 A는 63_(자연수)Û
의 꼴이어야 한다.
`
의 꼴이어야 한다.
`
따라서 가능한 A의 값은
A=63_1Û
, 63_2Û
, 63_3Û
, y
`
`
`
이 중 조건 ㈎를 만족하는 A의 값은
먼저 조건 ㈏, ㈐를 만족하는 A의 값을 모두 구한다.
Ú 분모의 소인수가 2만 있는 경우
Ú 2, 2Û
, 2Ü
, 2Ý
, 2Þ
, 2ß
의 6개
`
`
Û 분모의 소인수가 5만 있는 경우
`
`
`
Ú 5, 5Û
의 2개
`
Ü 분모의 소인수가 2와 5가 있는 경우
Ú 2_5, 2_5Û
, 2Û
_5, 2Û
_5Û
, 2Ü
_5, 2Ý
_5의 6개
`
`
`
`
`
`
Ú ~ Ü에서 유한소수로 나타낼 수 있는 것은
6+2+6=14(개)
전략
분모의 소인수가 2만 있는 경우, 분모의 소인수가 5만 있는 경우, 분모의
소인수가 2와 5가 있는 경우로 나누어 생각해 본다.
É
É
;3@0!;
;3Ó0;
:Á3¼0¼:
에서
=
;3Ó0;
x
2_3_5
가 유한소수가 되려면 x는
3의 배수이어야 한다.
이때 21ÉxÉ100을 만족하는 자연수 x의 값 중 3의 배수는
3_7=21, 3_8=24, 3_9=27, y, 3_33=99이므로 27개이
고 이 중에서
를 정수로 만드는 x의 값은 30, 60, 90의 3개이다.
;3Ó0;
27-3=24(개)
전략
는 3의 배수이어야 한다.
분모인 30을 소인수분해하면 2_3_5이므로 유한소수가 되려면 분자
_A가 유한소수가 되려면 A는 7의 배수
따라서 유한소수로 나타낼 수 있는 것은
;1Á1»4;
_A=
_A=
;6!;
1
2_3
_A가 유한소수가 되려면 A는 3의
즉 A는 3과 7의 공배수인 21의 배수이어야 한다.
따라서 구하는 가장 큰 두 자리의 자연수는
배수이어야 한다.
9
2Û`_5_7
_A=
;14(0;
이어야 한다.
21_4=84
04 정답과 풀이
12 답 23, 56, 89
165x-k=10에서 165x=k+10
∴ x=
k+10
165
=
k+10
3_5_11
야 하므로
k+10=33, 66, 99, 132, y
∴ k=23, 56, 89, 122, y
이때 x가 유한소수가 되려면 k+10은 3_11, 즉 33의 배수이어
먼저 일차방정식의 해를 구한 후 해가 유한소수가 되도록 하는 k의 값을
Û a=5일 때, b=
337+5
3
=114
Ú ∴ b-a=114-5=109
Ü a=8일 때, b=
337+8
3
=115
Ú ∴ b-a=115-8=107
Ú ~ Ü에서 b-a의 값이 될 수 있는 것은 ㉢, ㉣, ㉥이다.
전략
16 답 3
0.Hx=
이므로
É0.Hx<
에서
;9{;
;3!;
;7%;
따라서 구하는 두 자리의 자연수 k의 값은 23, 56, 89이다.
순환소수 0.3H4Ha를 분수로 나타낸 후 a와 b의 값을 각각 구한다.
=
,
;3!5$;
;7^;
;5@;
=
;3#5);
이므로 구하는 분수를
라 하면
;35;
É
<
;7%;
;9{;
;3!;
∴
É
<
;6&3{;
;6$3%;
;6@3!;
이때 x는 한 자리의 자연수이므로 x의 값은 3, 4, 5, 6이다.
이를 만족하는 자연수 a의 값은 15, 16, 17, y, 29의 15개이다.
가 유한소수가 되려면 a의 값은 14x인 한 자리의 자연수이므로
x=1, y=4 또는 x=2, y=3
Ú 0.HyHx-0.HxHy=
=0.H2H7
;9@9&;
Û x=2, y=3일 때
Ú 0.HyHx-0.HxHy=0.H3H2-0.H2H3=
-
;9#9@;
;9@9#;
Ú 0.HyHx-0.HxHy=
=0.H0H9
;9»9;
Ú, Û에서 구하는 순환소수는 0.H0H9, 0.H2H7이다.
전략
10x+y
0.xy=
100 이므로 0.HxHy=
10x+y
99
, 0.HyHx=
10y+x
99
이다.
이때 0.HxHy를
xy
99 로 생각하지 않도록 주의한다.
I. 유리수와 순환소수 05
15 답 ㉢, ㉣, ㉥
0.3H4Ha=
340+a-3
990
이므로
337+a
990
=
;33B0;
즉 337+a=3b이므로 b=
337+a
3
b는 자연수이므로 337+a는 3의 배수이어야 한다.
이때 a는 한 자리의 자연수이므로
Ú a=2일 때, b=
337+2
3
=113
Ú ∴ b-a=113-2=111
18 답 0.000H1
21 답 14, 19
와 같이 분수의 분모나 분자가 분수로 되어 있는 분수를 번분수라
∴ (1.9H8 ◎ 1.99) ◎ 0.001 =0.00H1 ◎ 0.001
<2, 3, 5, 7>=0.H2+0.0H3+0.00H5+0.000H7
<2, 3, 5, 7>=
+
+
+
;9@;
;9£0;
;90%0;
;90¦00;
<2, 3, 5, 7>=
;9@0#0%0&;
<2, 3, 5, 7>=2357_
;90Á00;
<2, 3, 5, 7>=2357_0.000H1
∴ A=0.000H1
전략
<2, 3, 5, 7>을 조건에 맞게 분수로 나타내어 본다.
19 답 2
2
1-
=1-
2x
x+1
=
1-x
x+1
1+
;[!;
0.H6H3=
=
;9^9#;
;1¦1;
이므로
1-x
x+1
=
;1¦1;
에서 7x+7=11-11x
18x=4
∴ x=
;9@;
따라서 0. Ha=
=0.H2이므로 a=2
;9@;
;aB;
한다. 이때 번분수는 다음과 같이 계산한다.
➡
=
Ö
;cD;
;aB;
=
;cD;
_
;bA;
=
ad
bc
특히
=1Ö
=1_
;aB;
=
;bA;이다.
;bA;
전략
;cD;
;cD;
;aB;
1
;aB;
20 답 ;1»4;
a=1+
+
;1£0;
2
10Û`
+
+
+
+
+y
7
10Ü`
2
10Ý`
7
10Þ`
2
10ß`
a=1.3H2H7=
=
:Á9£9Á0¢:
;5&5#;
b=
+
;1ª0;
2
10Û`
+
+
+
+
+y
2
10Ý`
8
10Þ`
2
10ß`
8
10Ü`
=
a=0.2H2H8=
;9@9@0^;
;4!9!5#;
즉 a=
, b=
;5&5#;
;4!9!5#;
이므로
a+b=
+
;5&5#;
;4!9!5#;
;4&9&5);
:Á9¢:
=
=
∴ =
;1»4;
전략
06 정답과 풀이
0.0Hb=
, 0.Ha=
, 0.00Hc=
이므로
;9õ0;
;9A;
;90C0;
(0.0Hb)Û
=0.Ha_0.00Hc에서
`
2`
{;9õ0;}
=
_
;9A;
;90C0;
,
bÛ
`
8100
=
ac
8100
∴ bÛ
=ac
`
따라서 주어진 조건을 만족하는 세 자연수 a, b, c는
a=2, b=4, c=8 또는 a=4, b=6, c=9이므로
a+b+c의 값은 14 또는 19이다.
전략
순환소수를 분수로 나타낸 후 조건에 맞는 a, b, c의 값을 각각 구한다.
22 답 0.000H1
1.9H8=1.9888y이므로 1.9H8<1.99
∴ 1.9H8 ◎ 1.99=1.99-1.9H8
∴ 1.9H8◎1.99=
-
;1!0(0(;
:Á9¦0»:
∴ 1.9H8◎1.99=
=0.00H1
;90!0;
0.00H1=0.00111y이므로 0.00H1>0.001
∴ 0.00H1 ◎ 0.001=0.00H1-0.001
∴ 0.00H1◎0.001=
-
;90!0;
;10Á00;
∴ 0.00H1◎0.001=
=0.000H1
;90Á00;
=0.000H1
전략
•순환소수의 대소 관계
방법 1 순환소수를 풀어 써서 소수점 아래 첫 번째 자리의 숫자부터 차
례로 비교한다.
방법 2 순환소수를 분수로 나타내어 비교한다.
23 답 24
c_9999.H9-c=c_
99999-9999
9
-c
c_9999.H9-c=10000c-c=9999c
c_9999.H9-c=9999_
b
a_1111
=9_
;aB;
이때 9_
가 자연수이므로 a는 1이 아닌 9의 약수이다.
;aB;
한편 두 자연수 a, b는 서로소이므로
a=3일 때, b=2, 4, 5, 7, 8
a=9일 때, b=2, 4, 5, 7, 8
따라서 구하는 최댓값은 a=3, b=8일 때이므로
9_
=9_
=24
;aB;
;3*;
전략
b
a, b를 각각 순환소수로 나타낸 후 분수로 나타내어 본다.
a_1111 는 기약분수이므로 a와 b는 서로소이다.
STEP 3
전교 1등 확실하게 굳히는 문제
pp. 015 ~ 016
1 0.H8
4 5개
2 2
5 18
3
{:ª3£:, :°9¥:}
전략
이때 1234=4_308+2이므로 소수점 아래 1234번째 자리의 숫
자는 순환마디의 두 번째 숫자인 2이다.
…… 30 %
1 답 0.H8
A
720
=
A
2Ý`_3Û`_5
야 한다.
가 유한소수가 되려면 A는 3Û
, 즉 9의 배수이어
`
aÇ의 값이 규칙적으로 반복되는 것을 이용한다.
aÁ은 3의 일의 자리의 숫자이므로 3
aª는 3+3Û
=12의 일의 자리의 숫자이므로 2
a£은 3+3Û
`
a¢는 3+3Û
`
+3Ü
`
+3Ü
`
`
`
=39의 일의 자리의 숫자이므로 9
+3Ý
=120의 일의 자리의 숫자이므로 0
따라서 A의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 9이므로 x=9
한편 소수점 아래 두 번째 자리부터 순환마디가 시작되는 순환소
수는 분수로 나타내었을 때, 분모에서 일의 자리의 숫자만 0이고
3 답
{:ª3£:, :°9¥:}
일의 자리를 제외한 나머지 자리의 숫자는 9이어야 한다.
점 P의 x좌표가 가까워지는 값은
즉 기약분수로 나타내었을 때, 분모의 소인수에 2 또는 5가 1개씩
1+6+6_
+6_
;1Á0;
{;1Á0;}
+6_
{;1Á0;}
+y
⑴ 소수점 아래 첫 번째 자리부터 순환마디가 시작되는 순환소수
따라서 점 P가 가까워지는 점의 좌표는
,
{:ª3£:
:°9¥:}
이다.
만 있어야 한다.
Ú 분모의 소인수에 2만 1개 있을 때
A의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 2Ü
_5=40
Û 분모의 소인수에 5만 1개 있을 때
A의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 2Ý
`
Ü 분모의 소인수에 2, 5가 각각 1개씩 있을 때
=16
A의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 2Ü
=8
`
`
Ú ~ Ü에서 y=8
∴
=
;9*;
;[};
=0.H8
전략
⑴ ➡ 분모가 9, 99, 999, y의 꼴이다.
⑴ ➡ 분모의 소인수에 2와 5가 없다.
⑴ ➡ 분모가 90, 900, 990, y의 꼴이다.
⑴ ➡ 분모의 소인수에 2 또는 5가 있다.
⑵ 소수점 아래 첫 번째 자리부터 순환마디가 시작되지 않는 순환소수
2 답 2
3의 일의 자리의 숫자는 3이므로 aÁ=3
3+3Û
의 일의 자리의 숫자는 2이므로 aª=2
3+3Û
+3Ü
의 일의 자리의 숫자는 9이므로 a£=9
3+3Û
+3Ü
+3Ý
의 일의 자리의 숫자는 0이므로 a¢=0
3+3Û
+3Ü
+3Ý
+3Þ
의 일의 자리의 숫자는 3이므로 a°=3
`
`
`
`
`
`
`
`
`
`
⋮
∴ aÁ=a°=a»=y=3
∴ aª=a¤=aÁ¼=y=2
∴ a£=a¦=aÁÁ=y=9
∴ a¢=a¥=aÁª=y=0
…… 40 %
즉 0.aÁaªa£yaÇy=0.32903290y=0.H329H0이므로 소수점 아
래 첫 번째 자리부터 순환마디가 시작되고, 순환마디의 숫자는 3,
2, 9, 0의 4개이다.
…… 30 %
=7+0.6+0.06+0.006+y
=7+0.666y=7.H6
=
=
:¤9»:
:ª3£:
점 P의 y좌표가 가까워지는 값은
2`
2`
2+4+4_
+4_
;1Á0;
{;1Á0;}
+4_
{;1Á0;}
+y
=6+0.4+0.04+0.004+y
=6+0.444y=6.H4
3`
3`
=
:°9¥:
전략
점 P가 움직이는 규칙을 이용하여 점 P가 가까워지는 점의 x좌표와
y좌표를 각각 순환소수로 나타낸다.
주어진 조건에 의하여 A는 0.HabHc (a, b, c는 0 또는 한 자리의 자
즉 약분하기 전의 분모가 999이어야 하므로 기약분수의 분모로 가
능한 수는 999의 약수이다.
999=3Ü
_37이므로 999의 약수는 1, 3, 9, 27, 37, 111, 333, 999
이때 분모가 1이 될 수는 없고, 분모가 3, 9인 기약분수는 순환마
디의 숫자가 1개이므로 조건에 맞지 않다.
따라서 분모가 될 수 있는 수는 27, 37, 111, 333, 999의 5개이다.
4 답 5개
연수)의 꼴이다.
이다.
전략
`
`
999=3Ü
_37이므로 약수는 다음과 같다.
1
3
1
1_1=1
1_3=3
37
37_1=37
37_3=111
3Û
`
=9
`
=333
1_3Û
37_3Û
`
3Ü
`
=27
`
=999
`
1_3Ü
37_3Ü
I. 유리수와 순환소수 07
5 답 18
2.HabcHd+1.HcdaHb=2+0.HabcHd+1+0.HcdaHb
2.HabcHd+1.HcdaHb=3+0.HabcHd+0.HcdaHb
2.HabcHd+1.HcdaHb=(자연수)
이때 0<0.HabcHd<1, 0<0.HcdaHb<1이므로
0.HabcHd+0.HcdaHb=1이어야 한다.
1000a+100b+10c+d
9999
+
1000c+100d+10a+b
9999
=1
101(10a+b+10c+d)
9999
=1
10a+b+10c+d=99
∴ 10(a+c)+(b+d)=99
a+c=9, b+d=9
∴ a+b+c+d=9+9=18
전략
이때 a, b, c, d가 한 자리의 자연수이므로
0.HabcHd와 0.HcdaHb는 모두 1보다 작은 순환소수이고, 1보다 작은 두 순환
소수의 합이 자연수이므로 합은 1이어야 한다.
II
식의 계산
01
단항식과 다항식의 계산
확인 1 답 ①, ④
_aÛ
=a3+2=aÞ
`
① aÜ
`
② (3aÛ
③ (xÝ
`
)Û
bÜ
`
)Û
`
`
Öx¡
`
}
`
x
yÝ
`
④
{
=
2`
⑤ x_(xÛ
=3Û
a2_2b3_2=9aÝ
bß
`
`
`
=x¡
`
`
x1_2
y4_2 =
Öx¡
=1
`
xÛ
y¡
`
`
=x_xß
)Ü
Ö(xÜ
)Þ
`
`
`
`
따라서 옳은 것은 ①, ④이다.
_
`
1
x15 =
1
x¡
`
확인 2 답 ⑴ 4a22b18 ⑵ -
aÜ
b ⑶
;6!;
`
27
xÞ`yÛ`z13
⑴ (-2aÜ
bÛ
)Û
_(aÛ
`
`
`
)Ü
_(aÛ
b)Þ
bÜ
`
`
`
`
_aß
bá
_a10bÞ
`
`
`
bÝ
=4aß
`
`
=4a22b18
`
⑵
{
-
aÛ
b
`
}
;2!;
Ö
aÜ
bÛ
=-
;4#;
`
`
aß
bÜ
_
`
`
;8!;
4
3aÜ`bÛ`
3`
=-
aÜ
b
`
;6!;
⑶ (3xyÛ
z)Ü
Ö{(xyzÛ
)Û
}Ü
Ö(xyzÛ
)Û
`
`
`
=27xÜ
yß
zÜ
_
`
`
`
`
`
1
xß`yß`z12 _
`
`
=
1
xÛ`yÛ`zÝ`
27
xÞ`yÛ`z13
확인 3 답 4x
7x-[6x-4y+{-x+3y-(2x-y)}]
=7x-{6x-4y+(-x+3y-2x+y)}
=7x-{6x-4y+(-3x+4y)}
=7x-3x=4x
확인 4 답 8xy
{3x+(x-2y)}_3y-(6xÜ
y-9xÛ
yÛ
)Ö
`
`
`
xÛ
`
;2#;
2
3xÛ`
2
3xÛ` }
=(4x-2y)_3y-(6xÜ
y-9xÛ
yÛ
)_
`
`
`
=12xy-6yÛ
-
6xÜ
y_
{
`
-9xÛ
yÛ
_
`
`
`
`
`
=12xy-6yÛ
-(4xy-6yÛ
=12xy-6yÛ
-4xy+6yÛ
=8xy
2
3xÛ`
)
`
`
08 정답과 풀이
확인 5 답 12x-8y
a-{b-3(a+b)}+2b
=a-(b-3a-3b)+2b
=a-(-3a-2b)+2b
=a+3a+2b+2b
=4a+4b
=4(2x+y)+4(x-3y)
=8x+4y+4x-12y
=12x-8y
STEP 1
억울하게 울리는 문제
pp. 020~022
1-1 ①
2-1 33
1-2 ③
2-2 -1
3-2
3-1
4-2 1
xÜ`y
2
9xÛ`
yzÝ`
4-1 -3
5-1 0
6-1 n이 홀수일 때, 0 / n이 짝수일 때, 2n+1-2n+2
6-2 n이 홀수일 때, 1 / n이 짝수일 때, -3
7-1 ③
8-1 ②
9-1 ③
7-2 ④
8-2 ⑤
9-2 ⑤
5-2 6y
1-1 답 ①
① (x yÞ`)Þ`=x _5y25=x10y25이므로
_5=10
∴ =2
② -2_
x
{;2!;
=-2_
x _2=-
;4!;
xß
이므로
`
;2!;
_2=6
∴ =3
}
2`
③
{;2#;
xÜ`y
=
;4(;
}
xß`y _2=
xß`y¡
이므로
`
;4(;
2`
_2=8
∴ =4
_3+1=10
∴ =3
3`
⑤ ( -3x yÛ
`
_4=28
)Ý
`
=81x _4y¡
`
∴ =7
=81x28y¡
이므로
`
따라서
안에 들어갈 수가 가장 작은 것은 ①이다.
1-2 답 ③
① (aÛ
b )Ü
=aß
`
`
_3=18
`
b _3=aß
b18이므로
`
∴ =6
Öa =a12- =a¡
이므로
`
② (aÜ
)Ý
`
`
12- =8
∴ =4
-
③
{
bÛ
`
aÜ` }
=9
3`
=-
=-
이므로
bß
`
aá`
bß
a
`
④ aÞ
_aÝ
Ö(a )Û
`
`
`
9- _2=1
∴ =4
=a9- _2=a이므로
)Û
⑤ a Ö(aÛ
`
-5=3
`
Öa=a -4-1=aÜ
이므로
`
∴ =8
따라서
안에 들어갈 수가 가장 큰 것은 ③이다.
2-1 답 33
`
`
`
yÜ
(4xÛ
`
`
즉 36xÜ
`
yß
(4xÛ
yÜ
)Û
Ö(2xy)Û
_9xyÛ
=16xÝ
yß
_
)Û
Ö(2xy)Û
_9xyÛ
=36xÜ
yß
=axº
y`이므로 a=36, b=3, c=6
`
`
∴ a+b-c=36+3-6=33
`
1
4xÛ`yÛ`
_9xyÛ
`
`
`
`
`
axÜ
yÞ
Ö(-2xyº
)Ý
_8x`yÜ
=axÜ
yÞ
_
1
`
`
16xÝ`y4b _8x`yÜ
`
2-2 답 -1
`
`
`
`
axÜ
yÞ
Ö(-2xyº
)Ý
_8x`yÜ
=
xc-1y8-4b
;2A;
즉
;2A;
xc-1y8-4b=-2xyÝ
이므로
`
=-2에서 a=-4
;2A;
c-1=1에서 c=2
8-4b=4에서 4b=4
∴ b=1
∴ a+b+c=-4+1+2=-1
`
`
`
`
`
`
`
`
`
`
(-3xÛ
y)Û
Ö _(xÛ
z)Û
=(xÛ
yzÛ
)Ü
`
`
에서
`
`
`
3-1 답
9xÛ`
yzÝ`
`
1
9xÝ
yÛ
_
`
`
`
`
`
`
9x¡
yÛ
zÛ
_
1
_xÝ
zÛ
=xß
yÜ
zß
`
`
`
`
`
`
=xß
yÜ
zß
`
`
=
4yÜ`
3x
에서
1
6xÛ`yÛ`
4yÜ`
3x
=
3-2 답 xÜ`y
2
(-2xÛ
yÜ
)Û
Ö _
`
`
`
4xÝ
yß
_
`
`
2xÛ`yÝ`
3
_
1
1
_
=
1
6xÛ`yÛ`
4yÜ`
3x
∴ =
∴ =
2xÛ`yÝ`
3
2xÛ`yÝ`
3
Ö
_
4yÜ`
3x
3x
4yÜ`
=
xÜ`y
2
④ 3x_
x yÞ
`
3 }
{
=3x_
x _3y15
27
=
x _3+1y15
9
=
x10y15
9
이므로
∴ =
9x¡`yÛ`zÛ`
xß`yÜ`zß`
=
9xÛ`
yzÝ`
II. 식의 계산 09
4-1 답 -3
n이 홀수일 때, n+1은 짝수이므로
(-1)Ç`=-1, (-1)n+1=1
∴ (-1)Ç`-(-1)n+1+(-1)Ç`_(-1)n+1
∴ =-1-1+(-1)_1
∴ =-2-1=-3
4-2 답 1
n이 짝수일 때, n+1은 홀수이므로
=1, (-1)n+1=-1
(-1)Ç
`
`
∴ (-1)Ç
-(-1)n+1+(-1)Ç
_(-1)n+1
`
∴ =1-(-1)+1_(-1)
∴ =1+1-1=1
자연수 n에 대하여 2n+1은 홀수, 4n은 짝수이므로
(-1)2n+1+(-1)4n=-1+1=0
5-1 답 0
5-2 답 6y
자연수 n에 대하여 2n-1은 홀수, 2n+2는 짝수, 4n+1은 홀수
이므로
(-1)2n-1(3x-y)+(-1)2n+2(x+4y)-(-1)4n+1(2x+y)
=-(3x-y)+(x+4y)-{-(2x+y)}
=-3x+y+x+4y+2x+y
=6y
6-1 답 n이 홀수일 때, 0
n이 짝수일 때, 2n+1-2n+2
Ú n이 홀수일 때, n+1은 짝수이므로
Ú 2Ç`+(-2)n+1-2n+1+(-2)Ç`=2Ç`+2n+1-2n+1-2Ç`
Ú 2Ç`+(-2)n+1-2n+1+(-2)Ç`=0
Û n이 짝수일 때, n+1은 홀수이므로
Ú 2Ç`+(-2)n+1-2n+1+(-2)Ç`=2Ç`-2n+1-2n+1+2Ç`
Ú 2Ç`+(-2)n+1-2n+1+(-2)Ç`=2_2Ç`-2_2n+1
Ú 2Ç`+(-2)n+1-2n+1+(-2)Ç`=2n+1-2n+2
6-2 답 n이 홀수일 때, 1
n이 짝수일 때, -3
Ú n이 홀수일 때, n+1은 짝수, 3n-1은 짝수, 2n은 짝수이므로
Ú (-1)n+1+(-1)3n-1-(-1)2n=1+1-1
Ú (-1)n+1+(-1)3n-1-(-1)2n=1
Û n이 짝수일 때, n+1은 홀수, 3n-1은 홀수, 2n은 짝수이므로
Ú (-1)n+1+(-1)3n-1-(-1)2n=-1+(-1)-1
Ú (-1)n+1+(-1)3n-1-(-1)2n=-3
10 정답과 풀이
7-1 답 ③
(3Û
)à
Ö81Ü
Ö
_243Û
=314Ö(3Ý
(3Û
)à
Ö81Ü
Ö
8`
_243Û
=314_
(3Û
)à
Ö81Ü
Ö
_243Û
=336=3_(3Þ
(3Û
)à
Ö81Ü
Ö
_243Û
=3Aà
`
`
`
`
`
{
{
{
{
27
3ß` }
}
8`
}
}
8`
8`
`
`
`
`
`
`
`
`
`
`
`
`
_(3Þ
)Û
`
`
`
`
{
)Ü
Ö
3Ü`
3ß` }
8`
1
312 _324_310
)à
`
`
7-2 답 ④
2201+16100
4100 =
2_2200+(2Ý`)100
(2Û`)100
=
=
2_2200+2400
2200
2_2200+(2200)Û`
2200
=2+2200
=a+2
8-1 답 ②
251-249=2_250-
_250
;2!;
251-249=2A-
A
;2!;
251-249=
A
;2#;
8-2 답 ⑤
2_381+6_379=2_3_380+6_
_380
;3!;
2_381+6_379=6_380+2_380
2_381+6_379=6A+2A
2_381+6_379=8A
)=5x+2_2x+1+5x+2_3Å
`
_5Û
)=5Å
_5Û
_2Å
_2+5Å
`
`
`
)=50_(5_2)Å
_3Å
`
`
+25_(5_3)Å
`
`
`
+25_15Å
`
)=50_10Å
`
)=50a+25b
b=5x-2=5Å
Ö5Û
=
`
`
이므로 5Å
=25b
`
5Å`
25
9-1 답 ③
5x+2(2x+1+3Å
5x+2(2x+1+3Å
5x+2(2x+1+3Å
5x+2(2x+1+3Å
5x+2(2x+1+3Å
`
`
`
`
`
9-2 답 ⑤
∴ 80Å
∴ 80Å
_5)Å
=(2Ý
`
=24x_5Å
`
`
_5Å
`
`
`
_25b
∴ 80Å
=(2Å
)Ý
∴ 80Å
∴ 80Å
=aÝ
`
=25aÝ
b
`
`
`
`
`
`
STEP 2
반드시 등수 올리는 문제
pp. 023 ~ 027
01 12
02 3
04 622<533<277<444<366
06 2
07 9
09 6
10 36
13 xÜ
12 12
yÜ`
`
16 10
15 -
a¡`bß`
:£3ª:
18 xyÝ`장
20 ⑴ x+4 ⑵ 4xÛ
21 26
24 3aÛ
19 -4xÛ
`
+2 ⑶ -xÛ
`
22 -4
+5ab-2bÛ
25 -3y+9
`
50(c-a)
27 :¢9»:
100-c
`
26 b=
`
03 29
05 x=5, 24
08 ⑴ 1 ⑵ 12
11 8
14 375
17 ;8(;
a
+10x+4
-2x-1 ⑷ 3xÛ
-2x+1
`
23 xy+x+8y
28 -
;5&;
29 ;3$;
01 답 12
108Û
`
즉 2Ý
=(2Û
_3ß
`
`
)Û
_3Ü
=2Ý
_3ß
`
`
`
=22x_3y이므로
`
`
2x=4에서 x=2, y=6
∴ 3x+y=3_2+6=12
전략
참고
108을 소인수분해하여 거듭제곱의 꼴로 나타낸다.
4a=16에서 a=4
4b=48에서 b=12
4c=36에서 c=9
전략
l, m, n이 자연수일 때,
(aÂ`bµ``)Ç`=alnbmn
∴ a+b+c+d=4+12+9+4=29
04 답 6Û`2<533<277<444<366
277=(2à
444=(4Ý
622=(6Û
)11=12811, 366=(3ß
)11=25611, 533=(5Ü
)11=3611이다.
`
`
`
`
`
)11=72911,
)11=12511,
이때 각 수의 지수가 같을 때에는 밑이 큰 수가 더 크므로
622<533<277<444<366
지수법칙을 이용하여 주어진 수들의 지수가 같아지도록 변형한다.
전략
참고
a>0, b>0이고 m, n은 자연수일 때
① aµ
>bµ
이면 a>b
``
``
② a>1일 때, aµ
>aÇ` 이면 m>n
③ 0aÇ` 이면 m2=6(m-2)에서 x=26(m-2)
`
;]{;
=
⑴ ∴
⑴ < y>4=3m-6에서
⑴ y=43m-6=(2Û
`
26(m-2)`
26(m-2) =1
)=4에서 x=(2kÛ
⑵ (2kÛ
=3에서
`
⑴ < y>(2k)=2에서 y=(2k)Û
kÛ`
⑴ <;2Z;>
2
xz
`
y
⑴ < xz
y > k=12
∴ A=12
kÛ`
2 }
=16k¡
Ö4kÛ
kß`
4
⑴
_
=
;2Z;
3`
=16k¡
{
`
`
전략
약속에 따라 x, y, z를 거듭제곱의 꼴로 나타낸다.
)Ý
=16k¡
`
=4kÛ
`
`
kß`
8
=
∴ z=
kß`
4
kß`
4
_
`
_
1
4kÛ`
=k12이므로
09 답 6
`
`
=(4_2Þ
=4_2Þ
`
=4_10Þ
전략
(2Þ
+2Þ
+2Þ
+2Þ
)(5Ý
+5Ý
+5Ý
+5Ý
+5Ý
)
`
`
`
`
`
`
`
)
)_(5_5Ý
`
_5Þ
`
=4_(2_5)Þ
`
`
=400000
`
따라서 주어진 수는 6자리의 자연수이므로 n=6
aµ
+aµ
``
``
( |
+aµ
+y+aµ
``
{ | 9
a개
``
=a_aµ
=am+1
``
12 정답과 풀이
참고
2Ç`_5Ç`=(2_5)Ç`=10Ç` 임을 이용하여 주어진 수를 a_10Ç` ( a, n은 자연
수)의 꼴로 나타낸다.
이때 ( a_10Ç` 의 자릿수)=( a의 자릿수)+n이다.
10 답 36
215_1520
4510 =
215_(3_5)20
(3Û`_5)10
215_320_520
320_510
=
=215_510
_(2_5)10
`
=2Þ
=32_1010
리의 숫자는 3이므로 b=3
∴ ab=12_3=36
전략
낸다.
11 답 8
+218+227
2á
`
1+2á`+218 =
2á
`
+218)
(1+2á
1+2á`+218 =2á
`
`
이므로
5_
+218+227
2á
`
1+2á`+218 }
{
100
=5_(2á
)100=5_2900
`
=5_2_2899
=2899_10
2Ú
=2, 2Û
=4, 2Ü
=8, 2Ý
=16, 2Þ
=32, y와 같이 2의 거듭제곱의
`
`
`
`
`
일의 자리의 숫자는 2, 4, 8, 6의 4개의 숫자가 반복하여 나타난다.
이때 899=4_224+3이므로 2899의 일의 자리의 숫자는 8이다.
따라서 2899_10의 십의 자리의 숫자는 8이다.
2á
+218+227 =2á
_1+2á
`
`
=2á
(1+2á
_2á
`
`
+218)
`
+2á
_218
`
전략
`
참고
a_10 (a는 자연수)의 꼴로 나타내어진 자연수의 십의 자리의 숫자는
a의 일의 자리의 숫자와 같다.
12 답 12
xyÛ
_
`
xÛ
yÛ
`
`}
{;3@;
Ö
-
{
;3!;
xy
}
`
;4!;
=
xyÛ
_
;4!;
`
xÝ
yÝ
`
`
;9$;
-
xÜ
yÜ
`
;2Á7;
{
2`
Ö
3`
`}
=
`
_
xyÛ
4
yÝ`
4xÝ
`
9
_
-
{
27
xÜ`yÜ` }
yÜ
=-3xÛ
`
=-3_2Û
`
_(-1)Ü
`
`
=-3_4_(-1)=12
[
전략
•단항식의 곱셈과 나눗셈의 혼합 계산
•① 괄호가 있으면 먼저 지수법칙을 이용하여 괄호를 푼다.
•② 나눗셈은 역수의 곱셈으로 바꾼다.
•③ 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 계산한다.
13 답 xÜ
yÜ
`
`
:ª8¦:
_ Ö
-
xy
_(-3xyÛ
)Û
[{
;2!;
}
`
`]
3`
yÜ
`
`
`
{
{
{
=
:ª8¦:
_ Ö
-
xÜ
;8!;
_9xÛ
yÝ
`
`}
=
:ª8¦:
_ Ö
-
xÞ
yà
;8(;
`}
=
:ª8¦:
_ _
-
8
9xÞ`yà` }
= _
-
3
xÞ`yà` }
3
xÞ`yà` }
{
{
즉 _
-
=-
에서
3
xÛ`yÝ`
3
xÞ`yà` }
yà
xÞ
`
`
3 }
=
-
Ö
-
3
xÛ`yÝ` }
3
xÛ`yÝ` }
{
{
{
{
=
-
_
-
A_☐ÖB=C ➡ A_☐_
=C ➡ ☐=
1
B
BC
A
=xÜ
yÜ
`
`
전략
14 답 375
(3abÜ
)Ü
Ö(abÞ
)Û
_
(3abÜ
)Ü
Ö(abÞ
)Û
_
a
3b }
=27aÜ
bá
`
`
ÖaÛ
b10_
`
2`
=27aÜ
}
bá
_
`
`
1
aÛ`b10 _
aÛ
`
9bÛ`
aÛ
`
9bÛ`
`
`
`
`
{
{
`
`
`
`
)Û
_
(3abÜ
)Ü
Ö(abÞ
`
`
`
`
{
한편 a=52x이므로 aÜ
b=52y이므로 bÜ
`
=(52y)Ü
=
2`
}
2`
=(52x)Ü
`
=56y
`
3aÜ
bÜ`
=56x
`
=
=
3aÜ
bÜ`
3_56x
56y
=3_56(x-y) (∵ a>b)
=3_56_
;2!;
=3_5Ü
`
=375
`
`
`
`
a
3b }
∴(3abÜ
)Ü
Ö(abÞ
)Û
_
`
`
`
`
`
`
`
`
`
`
∴(3abÜ
)Ü
Ö(
abÞ
)_
∴(3abÜ
)Ü
Ö(
abÞ
)_
∴(3abÜ
)Ü
Ö(
abÞ
)_
∴(3abÜ
)Ü
Ö(
abÞ
)_
`
`
`
`
`
`
`
`
{
{
{
{
{
2`
}
}
}
}
2`
2`
2`
2`
대입하여 식의 값을 구한다.
15 답 -
:£3ª:
a¡
bß
`
`
)
S(6_a_T(b))=S(6abÜ
`
)Û
S(6_a_T(b))=(6abÜ
`
bß
`
S(6_a_T(b))=36aÛ
`
`
전략
지수법칙을 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 a 대신 52x, b 대신 52y을
T(-2_T(a)_b)=T(-2aÜ
b)
T[-2_T[a]_b]=(-2aÜ
T[-2_T[a]_b]=-8aá
`
b)Ü
`
`
bÜ
`
`
T(3ab)=(3ab)Ü
bÜ
`
∴ S(6_a_T(b))_T(-2_T(a)_b)ÖT(3ab)
=27aÜ
`
`
∴ =36aÛ
bß
_(-8aá
bÜ
)Ö27aÜ
`
`
`
`
`
`
`
`
bÜ
`
`
1
27aÜ`bÜ`
∴ =36aÛ
bß
_(-8aá
bÜ
)_
∴ =-
:£3ª:
a¡
bß
`
`
16 답 10
-
{
xÛ
`
y }
_
{
a`
=(-1)`_
=(-1)`_
=(-1)`_
즉 (-1)`_
Ö
3`
_
yÛ
`
xº` }
x2a
y`
x2a
y`
9x2ay¡
`
x3b+8y`
9x2ay¡
`
x3b+8y`
_
-
{
yß
x3b Ö
`
yß
x3b _
`
xÝ
`
3y }
2`
x¡
`
9yÛ`
9yÛ
``
x¡`
=-
9yc+1
xà`
…… ㉠
이때 (-1)`=-1이고 34이므로 m+n=11을 만족하는 순서쌍
(m, n)은 (6, 5), (8, 3), (10, 1)의 3개이다.
…… 30 %
…… 40 %
지수법칙을 이용하여 주어진 식을 간단히 정리하였을 때, 우변이 양수이
므로 (-1)m+2n-2의 지수 m+2n-2는 짝수이어야 한다.
전략
2 답 -2
1
aÇ
`
+bÇ
=aÇ
`
`
=aÇ
+bÇ
+bÇ
=aÇ
`
=-2
전략
ab=-1이고 n이 홀수이므로 aÇ
bÇ
=(ab)Ç
=-1
`
`
`
aÇ
+
`
+bÇ
+
`
+aÇ
bÇ
+
`
`
1
bÇ
aÇ
`
`
+(-1)+
1
-1
1
bÇ
`
+
+
1
1
bÇ
aÇ
`
+bÇ
aÇ
`
bÇ
aÇ
`
`
+bÇ
-(aÇ
`
+
`
`
`
`
`
`
-2
)-2
지수가 홀수일 때, 음수의 거듭제곱은 음수이다.
II. 식의 계산 15
3 답 9
(ab)1319=a1319b1319의 일의 자리의 숫자가 3이고, a1319의 일의 자
리의 숫자가 7이므로 b1319의 일의 자리의 숫자는 9이어야 한다.
n=1, 2, 3, 4, 5, y일 때
2Ç
의 일의 자리의 숫자는 2, 4, 8, 6, 2, y
3Ç
의 일의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1, 3, y
`
이때 1319=4_329+3이므로 b의 일의 자리의 숫자가 3일 때,
b1319의 일의 자리의 숫자는 7이다.
4Ç
의 일의 자리의 숫자는 4, 6, 4, 6, 4, y
5Ç
의 일의 자리의 숫자는 5, 5, 5, 5, 5, y
6Ç
의 일의 자리의 숫자는 6, 6, 6, 6, 6, y
7Ç
의 일의 자리의 숫자는 7, 9, 3, 1, 7, y
`
이때 1319=4_329+3이므로 b의 일의 자리의 숫자가 7일 때,
b1319의 일의 자리의 숫자는 3이다.
8Ç
의 일의 자리의 숫자는 8, 4, 2, 6, 8, y
9Ç
의 일의 자리의 숫자는 9, 1, 9, 1, 9, y
`
이때 1319=2_659+1이므로 b의 일의 자리의 숫자가 9일 때,
b1319의 일의 자리의 숫자는 9이다.
따라서 b1319의 일의 자리의 숫자가 9가 되는 b의 일의 자리의 숫자
`
`
`
`
`
두 자연수 a, b에 대하여 ab의 일의 자리의 숫자는
( a의 일의 자리의 숫자)_( b의 일의 자리의 숫자)의 일의 자리의 숫자와
는 9이다.
전략
같다.
4 답 ⑤
`
`
`
`
`
`
`
`
`
`
⑤ 두 종이 A, B를 각각 2번 접었을 때
⑤ (종이 A의 두께)=0.5_2Û
=
_2Û
=2
(mm)
`
;2!;
⑤ (종이 B의 두께)=0.2_3Û`=1.8
(mm)
⑤ 두 종이 A, B를 각각 3번 접었을 때
⑤ (종이 A의 두께)=0.5_2Ü
=
_2Ü
=2Û
=4
(mm)
`
;2!;
⑤ (종이 B의 두께)=0.2_3Ü`=5.4
(mm)
⑤ 두 종이 A, B를 각각 4번 접었을 때
⑤ (종이 A의 두께)=0.5_2Ý
=
_2Ý
=2Ü
=8
(mm)
⑤ (종이 B의 두께)=0.2_3Ý`=16.2
(mm)
⑤ 즉 두 종이 A, B를 각각 3번 접었을 때부터 종이 B의 두께가
`
;2!;
`
종이 A의 두께보다 두꺼워진다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
전략
종이를 접었을 때, 종이의 두께를 지수법칙을 이용하여 구해 본다.
5 답 ⑴
{;5@;}
⑵ 133
5`
⑴ 별의 각 등급 사이에는 2.5배, 즉
배의 밝기 차이가 나므로
;2%;
⑴ 1등성의 밝기를 1이라 하면 2등성, 3등성, 4등성, 5등성, 6등성
⑴ 의 밝기는 각각
,
;5@;
{;5@;}
{;5@;}
{;5@;}
{;5@;}
,
,
,
이다.
⑵ 2등성인 별의 밝기는
2`
이고, 5등성인 별의 밝기는
3`
4`
5`
이므로
;5@;
5Ý
2Ý
`
`
5Ü
2Ü
`
`
⑴
Ö
;5@;
{;5@;}
=
_
;5@;
=
=
:Á;8@:%;
⑴ 따라서 m=8, n=125이므로
4`
{;5@;}
4`
가장 밝게 보이는 별이 1등성, 가장 어둡게 보이는 별이 6등성임에 주의
전략
한다.
종이 A를 반으로 접을 때마다 종이 A의 두께는 2배가 된다.
⑴ m+n=8+125=133
종이 A를 1번 접었을 때, 종이 A의 두께는 0.5_2
mm
`
종이 A를 2번 접었을 때, 종이 A의 두께는
0.5_2_2=0.5_2Û
(mm)
``
종이 A를 3번 접었을 때, 종이 A의 두께는
0.5_2Û`_2=0.5_2Ü
(mm)
``
즉 종이 A를 n번 접었을 때, 종이 A의 두께는 0.5_2Ç
mm
``
같은 방법으로 종이 B를 삼등분하여 접을 때마다 종이 B의 두께
6 답 ;2#7@;
는 3배가 되므로 종이 B를 n번 접었을 때, 종이 B의 두께는
0.2_3Ç
mm
``
① 종이 A를 n번 접었을 때, 종이 A의 두께는 0.5_2Ç
② 종이 B를 n번 접었을 때, 종이 B의 두께는 0.2_3Ç
mm
``
mm
``
③ 종이 A를 6번 접었을 때, 종이 A의 두께는
① 0.5_2ß
=
_2ß
=2Þ
=32
(mm)
`
;2!;
`
`
`
④ 종이 B를 7번 접었을 때, 종이 B의 두께는 0.2_3à
mm
``
⑤ 두 종이 A, B를 각각 1번 접었을 때
⑤ (종이 A의 두께)=0.5_2=
_2=1
(mm)
⑤ (종이 B의 두께)=0.2_3=0.6
(mm)
`
;2!;
`
16 정답과 풀이
v=
(RÛ
-rÛ
)에 r=
, v=vÁ을 대입하면
vÁ=
RÛ
-
`
{
_
RÛ
=
`
;9*;
2PRÛ
9gl
`
v=
(RÛ
-rÛ
, v=vª를 대입하면
`
R
3
=
R
3 }
]
2`
)에 r=
P
4gl
R
2
`
vª=
RÛ
-
`
{
R
2 }
=
]
P
4gl
_
RÛ
=
`
;4#;
3PRÛ
`
16gl
`
`
P
4gl
P
4gl [
P
4gl
P
4gl [
∴
=vÁÖvª
vÁ
vª
2`
∴ =
∴ =
2PRÛ
9gl
2PRÛ
9gl
`
Ö
`
_
3PRÛ
`
16gl
16gl
3PRÛ
`
=
;2#7@;
주어진 식에 r=
;;3;R;, v=vÁ을 대입하고 r=
;;2;R;, v=vª를 대입하여
vÁ
vª
III
일차부등식
전략
의 값을 구한다.
7 답 :¢9¤:
A=2x-0.H1_y=2x-
y
;9!;
B=0.H6_x+0.0H2_y
B=
x+
;9^;
;9ª0;
B=
x+
;3@;
;4Á5;
y
y
(A◎B)◎(A★B)=(2A-3B)◎(A+4B)
(A◎B)◎(A★B)=2(2A-3B)-3(A+4B)
(A◎B)◎(A★B)=4A-6B-3A-12B
(A◎B)◎(A★B)=A-18B
(A◎B)◎(A★B)=
2x-
{
y
;9!;
}
-18
x+
;4Á5;
y
}
{;3@;
(A◎B)◎(A★B)=2x-
y-12x-
;9!;
y
;5@;
(A◎B)◎(A★B)=-10x-
y
;4@5#;
따라서 a=-10, b=-
이므로
;4@5#;
ab=-10_
-
=
{
;4@5#;}
:¢9¤:
전략
A, B에 알맞은 식을 대입한다.
8 답 b=100-
10000q
p(100+a)
(정가)=(원가)_{1+(이익률)}
(정가)=p
1+
{
;10A0;}
=
p(100+a)
100
(할인가)=(정가)_{1-(할인율)}
(할인가)=
(할인가)=
(할인가)
즉 q=
_
1-
{
;10B0;}
p(100+a)
100
p(100+a)
100
_
100-b
100
p(100+a)(100-b)
10000
=
p(100+a)(100-b)
10000
에서
∴ b=100-
10000q
p(100+a)
전략
① (정가)=(원가)_{1+(이익률)}
② (할인가)=(정가)_{1-(할인율)}
10000q=p(100+a)(100-b), 100-b=
10000q
p(100+a)
먼저 A, B에서 순환소수를 분수로 나타낸 후 주어진 식을 간단히 하여
01
일차부등식과 그 활용
확인 1 답 ①, ③
① -0.8+1.5<0 (거짓)
② -
+10¾7 (참)
;2!;
③ -3-0¾0 (거짓)
④ -1+8<12 (참)
⑤ 10+9>2 (참)
따라서 해가 아닌 것은 ①, ③이다.
확인 2 답 ④
-
+3>-
+3에서 -
>-
∴ a-b
∴
-a>
-b
;2%;
;2%;
⑤ a-2b
∴
-2a>
-2b
;3!;
;3!;
따라서 옳은 것은 ④이다.
확인 3 답 ⑴ -4 ⑵ 4
⑴ 0.2(x-5)<1+0.6x의 양변에 10을 곱하면
⑴ 2(x-5)<10+6x
⑴ 2x-10<10+6x, -4x<20
⑴ ∴ x>-5
-4이다.
⑵ 3-
x-2
4
-
2x-1
2
<0의 양변에 4를 곱하면
⑴ 12-(x-2)-2(2x-1)<0
⑴ 12-x+2-4x+2<0, -5x<-16
⑴ 따라서 일차부등식을 만족하는 x의 값 중 가장 작은 정수는
⑴ 따라서 일차부등식을 만족하는 x의 값 중 가장 작은 정수는 4
⑴ ∴ x>
:Á5¤:
이다.
확인 4 답 6
km
`
km를 올라갔다가 내려온다고 하면
x
`
+
;3{;
;2{;
É5
∴ xÉ6
따라서 올라갈 수 있는 거리는 최대 6
km이다.
`
III. 일차부등식 17
STEP 1
억울하게 울리는 문제
pp. 034 ~ 036
즉 ax¾-10에서 a>0이고 x¾-
:Áa¼:
1 ⑴ _ ⑵ _ ⑶ _ ⑷ _ ⑸ _ ⑹ ◯ ⑺ ◯ ⑻ ◯
이유는 풀이 참조
2-1 x¾
;a&;
3-1 2
4-1 -12Éa<-9
5-1 4
6-1 100
g
`
7-1 17명
2-2 x>-3
3-2 3
4-2 -120일 때, a>b이면 ac>bc
⑴ c=0일 때, a>b이면 ac=bc
⑴ c<0일 때, a>b이면 acb이지만
>
;a!;
;b!;
⑶ a=2, b=-3일 때, aÛ
=4, bÛ
=9이므로
`
`
⑴ a>b이지만 aÛ
b이지만 |a|<|b|
⑸ 01일 때, aÛ
>a
⑹ c+0일 때, cÛ
`
⑴ a>b이면 acÛ
`
>0이므로
>bcÛ
`
`
⑺ a<0ab
⑻ a<0이면
<0, b>0이면
>0
;a!;
`
;b!;
⑴ 따라서 a<0-3
a>0이므로 -a<0
x>-3
3-1 답 2
18 정답과 풀이
따라서 -
=-5이므로 a=2
:Áa¼:
3-2 답 3
4-ax¾-8에서 -ax¾-12
이때 부등식을 만족하는 x의 값 중 가장 큰 값이 4이므로 xÉ4
즉 -ax¾-12에서 -a<0이고 xÉ
:Áaª:
2x+a<-x에서 3x<-a
∴ x<-
;3A;
이때 일차부등식을 만족하는 자연수
x의 개수가 3개이므로 오른쪽 그림
0
1
2
4
3
-
a
3
2x+aÉ-x에서 3xÉ-a
∴ xÉ-
;3A;
이때 일차부등식을 만족하는 자연수
x의 개수가 3개이므로 오른쪽 그림
0
1
2
4
3
-
a
3
따라서
=4이므로 a=3
:Áaª:
4-1 답 -12Éa<-9
에서
3<-
É4, 9<-aÉ12
;3A;
∴ -12Éa<-9
4-2 답 -125000_
_20
∴ x>16
;1¥0¼0;
따라서 17명 이상일 때, 단체 입장권을 사는 것이 유리하다.
7-2 답 26권
책을 x권 빌린다고 하면
1000x>5000+800x
∴ x>25
따라서 26권 이상 빌릴 때, 회원으로 가입하여 빌리는 것이 유리
하다.
STEP 2
반드시 등수 올리는 문제
pp. 037 ~ 043
01 ⑤
04 5a+5b
02 ①, ④
05 ⑴ 5, 6 ⑵ 1, 2 06 -2, -1, 0
03 -45
07 x<-
;2!;
09 a>2일 때, x>-3
08 ;3!;
a=2일 때, 해가 없다.
a<2일 때, x<-3
10 a=4, b=1
11 -7
12 x<
;4#;
14 :Á2°:
-1
16 19
`
g
cm
19 시속 3.6
22 75
25 24
`
28 2명
`
km
01 답 ⑤
① ab
④ 2aÉb에서 2a-1Éb-1
∴ -2(2a-1)¾-2(b-1)
⑤
2a-2
3
>
-3b-2
3
에서 2a-2>-3b-2
④ 2a>-3b
∴ -2a<3b
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
전략
부등식의 성질을 이용하여 식을 변형한다.
02 답 ①, ④
a>b이고 2a-bÛ
① -aÛ
`
`
② 2a-b
`
>5-bÛ
`
① 이때 b<0이므로 -b>0
∴ -b>b
① 즉 -2a>-b>b이므로 -2a>b
③ b2b
④ b1
∴
;bA;
;aB;
<
;bA;
;aB;
⑤ b0이면 bcac
따라서 옳은 것은 ①, ④이다.
03 답 -45
-4<-2xÉ6, -6<-2y<0
장 작은 정수는 -9이다.
∴ 5_(-9)=-45
전략
먼저 -2x, -2y의 범위를 구한다.
04 답 5a+5b
a-bÉxÉa+b에서
3a-3bÉ3xÉ3a+3b
…… ㉠
-a-bÉyÉ-a+b에서
2a-2bÉ-2yÉ2a+2b
…… ㉡
㉠, ㉡에서 5a-5bÉ3x-2yÉ5a+5b
따라서 3x-2y의 최댓값은 5a+5b이다.
전략
aÉxÉb, cÉyÉd일 때
⑴ a+cÉx+yÉb+d
⑵ a-dÉx-yÉb-c
즉 -10<-2x-2y<6이므로 A의 값 중 가장 큰 정수는 5, 가
05 답 ⑴ 5, 6 ⑵ 1, 2
⑴ 12일 때, x>-3
a=2일 때, 해가 없다.
a<2일 때, x<-3
⑴ 따라서 {b-a}가 나타낼 수 있는 정수는 1, 2이다.
ax+3a>2x+6에서 ax-2x>6-3a
전략
먼저 a+b, b-a의 값의 범위를 구하고 약속에 맞는 정수를 구한다.
(a-2)x>-3(a-2)
Ú a-2>0, 즉 a>2일 때
06 답 -2, -1, 0
|x|É2를 만족하는 정수 x의 값은 -2, -1, 0, 1, 2이다.
x-6<-2x-3에서 3x<3
따라서 x<1을 만족하는 정수 x의 값은 -2, -1, 0이다.
∴ x<1
전략
먼저 |x|É2를 만족하는 정수 x의 값을 구한다.
Ú (a-2)x>-3(a-2)의 양변을 a-2로 나누면
Ú x>-3
Û a-2=0, 즉 a=2일 때
Ú 0_x>0이므로 해가 없다.
Ü a-2<0, 즉 a<2일 때
Ú (a-2)x>-3(a-2)의 양변을 a-2로 나누면
Ú x<-3
전략
생각한다.
주어진 부등식을 간단히 하여 x의 계수가 양수, 0, 음수인 경우로 나누어
일차부등식 ax>1, 즉 -2x>1의 해는 x<-
;2!;
-ax+5<-2x+a+8에서 (2-a)x0에서 ax>-6
이때 해가 x<3이므로 a<0
따라서 x<-
이므로
;a^;
-
;a^;
=3
∴ a=-2
전략
부등식 ax>b의 해가
⑴ x>k이면 a>0이고 ;aB;
=k
⑵ x0
∴ a<2
따라서 x<
이므로
a+3
2-a
a+3
2-a
=2, a+3=2(2-a)
a+3=4-2a, 3a=1
∴ a=
;3!;
전략
20 정답과 풀이
10 답 a=4, b=1
5x-8¾2(x-1)에서 5x-8¾2x-2
3x¾6
∴ x¾2
bx-6Éa(x-3)에서 bx-6Éax-3a
ax-bx¾3a-6, (a-b)x¾3a-6
이때 두 일차부등식의 해가 서로 같으므로 a-b>0
따라서 a+2b=6을 만족하는 자연수 a, b의 값은
따라서 x¾
이므로
3a-6
a-b
3a-6
a-b
=2, 3a-6=2(a-b)
3a-6=2a-2b, a+2b=6
a=4, b=1 또는 a=2, b=2
그런데 a-b>0이어야 하므로
a=4, b=1
전략
미지수가 없는 부등식의 해를 먼저 구한다.
11 답 -7
Ú b=3일 때
Ú ax-b>2x에서 ax-3>2x
Ú (a-2)x>3
Ú 이때 해가 x<
이므로 a-2<0
;2!;
3
a-2
Ú 따라서 x<
이므로
Ú
3
a-2
;2!;
=
, a-2=6
∴ a=8
먼저 주어진 수직선을 보고 부등식의 해를 부등호를 사용하여 나타낸다.
Ú 그런데 a-2>0이므로 조건을 만족하지 않는다.
|b|=3이므로 b=3인 경우와 b=-3인 경우로 나누어 조건을 만족하
2
3
4
k
2
5
Û b=-3일 때
Ú ax-b>2x에서 ax+3>2x
Ú (a-2)x>-3
Ú 이때 해가 x<
이므로 a-2<0
Ú 따라서 x<
이므로
;2!;
-3
a-2
Ú
-3
a-2
;2!;
=
, a-2=-6
∴ a=-4
Ú, Û에서 a=-4, b=-3이므로
a+b=-4+(-3)=-7
전략
는 a의 값을 구한다.
12 답 x<
;4#;
(2a+b)x-a-3b>0에서 (2a+b)x>a+3b
이때 해가 x<
이므로 2a+b<0
따라서 x<
이므로
;3@;
a+3b
2a+b
a+3b
2a+b
;3@;
=
, 3(a+3b)=2(2a+b)
3a+9b=4a+2b
∴ a=7b
a=7b를 2a+b<0에 대입하면
14b+b<0, 15b<0
∴ b<0
a=7b를 (a-3b)x+2a-17b>0에 대입하면
(7b-3b)x+14b-17b>0
4bx-3b>0, 4bx>3b
∴ x<
(∵ b<0)
;4#;
전략
해가 x<
;3@;임을 이용하여 2a+b의 부호를 구한다.
13 답 x>-1
Ú a>0, b<0일 때
Ú 조건 ㈏, ㈐에서 c0일 때
Ú 조건 ㈏에서 c>0
Ú 그런데 조건 ㈐를 만족하지 않는다.
Ú, Û에서 ccx-b에서
(a+b)x-cx>-b+c-a
(a+b-c)x>-(a+b-c)
이때 c0
(a+b-c)x>-(a+b-c)의 양변을 a+b-c로 나누면
x>
-(a+b-c)
a+b-c
∴ x>-1
조건 ㈎에서 a>0, b<0 또는 a<0, b>0
전략
주어진 일차부등식을 간단히 하고 조건을 이용하여 x의 계수의 부호를
전략
구한다.
14 답 :Á2°:
3◎k에서
(x-1)-2(3x-2)+3>3-2k+3
-5x+6>6-2k, -5x>-2k
∴ x<
k
;5@;
이때 이 부등식을 만족하는 정수 x의 최
댓값이 3이므로 오른쪽 그림에서
3<
kÉ4, 15<2kÉ20
;5@;
∴
:Á2°:
3{10x+(10-x)}
∴ x<
;1#8%;
이때 x는 1 이상 9 이하의 자연수이므로 x=1
따라서 처음 수는 19이다.
십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자의 합이 10이므로 십의 자리의 숫
자를 x로 놓으면 일의 자리의 숫자는 (10-x)이다.
17 답 62.5점
남학생 20명의 수학 성적의 평균을 x점이라 하면
30_75+20x
30+20
¾70
∴ x¾62.5
따라서 남학생 20명의 수학 성적의 평균은 62.5점 이상이어야 한
다.
전략
a명의 평균이 x점, b명의 평균이 y점일 때,
(전체 평균)=
ax+by
a+b
(점)
III. 일차부등식 21
22 답 75
g
`
버린 소금물의 양을 x
g이라 하면
`
버린 양의 2배만큼, 즉 2x
g만큼 5
%의 소금물을 섞으므로
`
`
(소금물의 양)=300-x+2x=x+300
(g)
`
(소금의 양)=
_300-
_x+
_2x=30
(g)
;1Á0¼0;
;1Á0¼0;
;10%0;
`
이때 농도가 8 % 이하이므로
30É
_(x+300)
∴ x¾75
;10*0;
따라서 버린 소금물의 양은 최소 75
g이다.
`
23 답 38명
하면
1인당 입장료를 a원이라 하고 x명(20Éx<40)이 입장한다고
a_
;1¥0°0;
_x>a_
_40
∴ x>
;1¥0¼0;
:¤1¢7¼:
따라서 38명 이상이면 40명의 단체 입장권을 사는 것이 유리하다.
1인당 입장료를 a원, 단체 입장객 수를 x명이라 하고 x명이 15 % 할인
된 입장료와 40명이 20 % 할인된 입장료를 각각 구하여 비교한다.
24 답 40000
km
`
중고차 A, B의 1
L당 주행거리는 각각 10
km, 12
km이므로
`
`
1
`
km를 주행할 때 필요한 휘발유의 양은 각각
L,
;1Á0;`
;1Á2;`
L이다.
중고차를 구입한 후 x
km를 탄다고 하면
`
`
4000000+
_x_1500>5000000+
_x_1500
;1Á2;
;1Á0;
∴ x>40000
따라서 주영이는 적어도 시속 3.6
km로 걸어야 한다.
전략
`
18 답 ;1°7;, ;2¦3;, ;2»9;
구하는 기약분수를
(x, y는 서로소)라 하면
;]{;
3x=y-2
yy ㉠
[
;5@;
y(c+d-a)+d에서 2a>2d
∴ a>d
…… ㉠
조건 ㈎에서 a=c+d-b를 조건 ㈏에 대입하면
(c+d-b)+c>b+d에서 2c>2b
∴ c>b
조건 ㈐에서 a는 양수이므로 cb, a>c
`
`
이고 a>b, a>c이므로
`
+a_cÛ
+cÛ
)
=a(bÛ
`
+cÛ
`
b, a>c이므로
`
+a_cÜ
=a(bÜ
+cÜ
`
`
`
)=a_aÜ
=aÝ
`
`
bÝ
`
㉠ bÛ
`
㉠ 즉 bÞ
+cÛ
_cÜ
`
+cÞ
`
b, a>c이므로
`
_bÜ
`
>bÞ
`
+cÞ
=aÛ
`
+aÛ
_cÜ
+cÜ
(bÜ
`
`
`
따라서 보기 중 옳은 것은 ㉠, ㉡이다.
)=aÛ
_aÜ
=aÞ
`
`
`
`
`
`
+cÝ
㉡ bÝ
`
㉠ b_bÜ
=b_bÜ
`
+c_cÜ
㉠ 즉 bÝ
㉢ bÞ
`
+cÝ
`
=bÛ
`
`
+cÞ
`
_bÜ
`
호스 A로 물을 x분 동안 채운다고 하면 호스 B로 최대한 (15-x)
3 답 5
분 동안 물을 채우므로
10x+20(15-x)¾180
∴ xÉ12
따라서 호스 A로 물을 최대한 12분 동안 채울 수 있다.
호스 A로 물을 x분 동안 채운다고 하면 호스 B로 최대한 (15-x)분 동
x, y, z가 자연수이므로 x
>
;]!;
;z!;
;[!;
이므로
<
+
+
<
;z!;
;]!;
;[!;
+
;[!;
+
;[!;
=
;[#;
;[!;
;[!;
<1<
;[#;
;[!;
∴ 1
100(b-a)
a-2b
⑴ a>b>0이면 ;a!;
<
;b!;
⑵ a>1이면 0<
<1
;a!;
…… 30 %
…… 30 %
…… 30 %
…… 10 %
III. 일차부등식 23
따라서 달걀 한 개당 20
% 이상의 이익을 붙여서 팔아야 한다.
확인 1 답 ㉢, ㉣, ㉥
`
달걀 한 개의 원가를 a원이라 하고 달걀 한 개당 x
%의 이익을 붙
`
(달걀 한 개의 판매 가격)=a+a_
x
100
=a
{
1+
x
100 }
(원)
1900a
1+
{
x
100 }
-2000a¾2000a_
;1Á0¢0;
4 답 20
%
`
인다고 하면
∴ x¾20
전략
원가가 a원인 물건에 x`%의 이익을 붙인 정가
➡ a+a_
;10{0;
=a
1+
{
;10{0;}
원
한 창구에서 1분 동안 발매하는 표를 a장이라 하면
8분 이내에 x개 발매 창구에서 사람들이 모두 표를 사려면
5 답 2개
3_15_a=300+10_15
45a=450
∴ a=10
x_8_10¾300+10_8
80x¾380
∴ x¾
:Á4»:
2개 더 있어야 한다.
전략
먼저 한 창구에서 1분 동안 발매하는 표의 수를 구한다.
따라서 발매 창구가 5개 이상이어야 하므로 발매 창구는 적어도
6 답 x>
100(b-a)
a-2b
A 요금제를 사용할 때의 월 사용 요금은
{
a+a_
;10!0;
_x
원
}
B 요금제를 사용할 때의 월 사용 요금은
{
b+b_
;10@0;
원
_x
}
a+
;10A0;
_xb이어야 한다.
또 한 통화당 요금은 B 요금제가 더 비싸야 하므로
;10A0;
<
;1ª0õ0;
∴ a-2b<0
따라서 ㉠의 양변을 a-2b로 나누면
x>
100(b-a)
a-2b
24 정답과 풀이
IV
연립방정식
01
연립방정식과 그 풀이
㉠ 미지수 x, y가 분모에 있으므로 미지수가 2개인 일차방정식이
아니다.
㉡ xy항이 있으므로 미지수가 2개인 일차방정식이 아니다.
㉤ 2xÛ
`
㉤ -xÜ
`
+x-y=2xÛ
+11+xÜ
`
에서
`
+x-y-11=0
㉤ 즉 -xÜ
항이 있으므로 미지수가 2개인 일차방정식이 아니다.
`
㉥ xÛ
+2x-5y+2=2xÛ
-x+y-xÛ
`
에서
`
`
㉤ 3x-6y+2=0
㉤ 즉 미지수가 2개인 일차방정식이다.
따라서 미지수가 2개인 일차방정식인 것은 ㉢, ㉣, ㉥이다.
확인 2 답 x=2, y=1, z=4
(
[{
x+y=3
y+z=5
z+x=6
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
9
㉠+㉡+㉢ 을 하면 2x+2y+2z=14
x+y+z=7 yy ㉣
㉣-㉠ 을 하면 z=4
㉣-㉡ 을 하면 x=2
㉣-㉢ 을 하면 y=1
확인 3 답 x=-2, y=3
;4!;
[
(3x+y)=
y-
;2!;
;4(;
3x+y=2y-9
3y-(y-2x)=4+x
3y-y+2x=4+x
➡
[
➡
[
3x-y=-9 yy ㉠
x+2y=4
yy ㉡
㉠_2+㉡을 하면
7x=-14
∴ x=-2
㉠에 x=-2를 대입하면
-6-y=-9
∴ y=3
확인 4 답 ⑴ ㉡과 ㉢ ⑵ ㉠과 ㉣
㉠ y=-
x+2에서 x+2y=4
;2!;
㉡ y=2x-1에서 2x-y=1
㉢ -4x+2y+2=0에서 2x-y=1
㉣ x+2y=2
⑴ ㉡과 ㉢ 을 한 쌍으로 하는 연립방정식을 풀면 해가 무수히 많다.
⑴ x=2k, y=3k, z=4k에 k=
을 대입하면
;1Á2;
⑵ ㉠과 ㉣ 을 한 쌍으로 하는 연립방정식을 풀면 해가 없다.
⑴ x=
, y=
, z=
;4!;
;3!;
;6!;
⑸
=X,
=Y로 치환하면
;[!;
;]!;
2X+3Y=10
X+4Y=20
⑸
[
∴ X=-4, Y=6
⑸ 즉
=-4,
=6이므로 x=-
, y=
;[!;
;]!;
;4!;
;6!;
x+
=4 yy ㉠
;]@;
xy+6y=3 yy ㉡
⑹
[
⑸ ㉠에서 x=4-
;]@;
⑸ ㉡에 x=4-
를 대입하면
;]@;
⑸
{
4-
;]@;}
y+6y=3, 4y-2+6y=3
⑸ 10y=5
∴ y=
;2!;
⑸ ㉡에 y=
을 대입하면
;2!;
⑸
x+3=3
∴ x=0
;2!;
2-1 답 ;5*;
0.2x+0.7y=2.4
2x+7y=24
➡
[
4x+10y=25k
[
;5@;
x+y=
k
;2%;
yy ㉠
yy ㉡
y의 값이 x의 값보다 3만큼 작으므로 y=x-3 yy ㉢
㉠에 y=x-3을 대입하여 풀면 x=5
㉢에 x=5를 대입하여 풀면 y=2
㉡에 x=5, y=2를 대입하여 풀면 k=
;5*;
2-2 답 -2, -11
Ú x-y=3일 때
Ú
[
2x-y=7
x-y=3
을 풀면 x=4, y=1
Ú x+y+2a=1에 x=4, y=1을 대입하면
Ú 4+1+2a=1, 2a=-4
∴ a=-2
Û y-x=3일 때
Ú
[
2x-y=7
y-x=3
을 풀면 x=10, y=13
Ú x+y+2a=1에 x=10, y=13을 대입하면
Ú 10+13+2a=1, 2a=-22
∴ a=-11
따라서 가능한 상수 a의 값은 -2, -11이다.
STEP 1
억울하게 울리는 문제
pp. 050~052
1 ⑴ x=18, y=5
⑵ x=8, y=2
⑶ x=1, y=-1, z=1
⑷ x=
;6!;, y=
;4!;, z=
;3!;
⑸ x=-
;4!;, y=
;6!;
⑹ x=0, y=
;2!;
2-1 ;5*;
3-1 9
4-1 a=8, b=2
5-1 4
6-1 5
7-1 3
2-2 -2, -11
3-2 74
4-2 5
5-2 4개
6-2 -4
7-2 -2
1 답 ⑴ x=18, y=5
⑵ x=8, y=2
⑶ x=1, y=-1, z=1 ⑷ x=
;6!;, y=
;4!;, z=
;3!;
⑴
[
⑴
⑵
[
⑴
⑴
(
⑶
[{
9
⑸ x=-
;4!;, y=
;6!;
⑹ x=0, y=
;2!;
0.2x-0.7y=0.1
x+2
4
-
y-3
2
=4
➡
[
2x-7y=1
x+2-2(y-3)=16
➡
[
2x-7y=1
x-2y=8
⑴ 위의 연립방정식을 풀면 x=18, y=5
0.H2x-0.H3y=1.H1
x-1
6
-
y+1
3
=
;6!;
x-
y=
;9#;
;9@;
:Á9¼:
x-1-2(y+1)=1
2x-3y=10
➡
[
➡
[
x-2y=4
⑴ 위의 연립방정식을 풀면 x=8, y=2
x-y+z=3
2x+y+z=2
x+2y+3z=2
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
yy ㉣
⑴ ㉠+㉡ 을 하면 3x+2z=5
⑴ ㉡_2-㉢ 을 하면 3x-z=2 yy ㉤
⑴ ㉣-㉤ 을 하면 3z=3
∴ z=1
⑴ ㉤ 에 z=1을 대입하여 풀면 x=1
⑴ ㉠ 에 x=1, z=1을 대입하여 풀면 y=-1
x : y : z=2 : 3 : 4 yy ㉠
6x+4y-3z=1
yy ㉡
⑷
[
⑴ ㉠에서 x=2k, y=3k, z=4k(k+0)로 놓고 ㉡에 대입하면
⑴ 6_2k+4_3k-3_4k=1
⑴ 12k=1
∴ k=
;1Á2;
3-1 답 9
x와 y의 값의 비가 2 : 1이므로
x :
y
=
2
: 1, 즉 x=2y
IV. 연립방정식 25
x=2y를 주어진 연립방정식에 대입하면
5-2 답 4개
Ú 따라서 가능한 모든 상수 a의 값은 7, 67이므로 그 합은
∴ a+b=1+4=5
의 해가 서로 같으므
연립방정식
x-
y=
;2!;
;2%;
[
ax+2y=-10
, 즉
[
2x-y=5
ax+2y=-10
의 해가 2개
6y-y=a+1
[
2y+2y=a-1
➡
[
5y=a+1
4y=a-1
∴ y=2, a=9
따라서 구하는 a의 값은 9이다.
3-2 답 74
Ú x=2y일 때
x+y=9
Ú
[
x=2y
를 풀면 x=6, y=3
Ú 3x-2y=5+a에 x=6, y=3을 대입하면
Ú 18-6=5+a
∴ a=7
Û x=-2y일 때
Ú
[
x+y=9
x=-2y
를 풀면 x=18, y=-9
Ú 3x-2y=5+a에 x=18, y=-9를 대입하면
Ú 54+18=5+a
∴ a=67
Ú 7+67=74
4-1 답 a=8, b=2
두 연립방정식
[
2x-3y=-1
x+2y=3
ax+3y=11
x+y=b
,
[
로 연립방정식
[
2x-3y=-1
x+2y=3
을 풀면 x=1, y=1
ax+3y=11에 x=1, y=1을 대입하면
a+3=11
∴ a=8
x+y=b에 x=1, y=1을 대입하면
1+1=b
∴ b=2
4-2 답 5
두 연립방정식
[
6x+y=8
4x+y=4
ax-by=16
bx-ay=14
,
[
의 해가 서로 같으
므로 연립방정식
[
6x+y=8
4x+y=4
를 풀면 x=2, y=-4
ax-by=16에 x=2, y=-4를 대입하면
2a+4b=16
…… ㉠
bx-ay=14에 x=2, y=-4를 대입하면
2b+4a=14
…… ㉡
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=2, b=3
∴ a+b=2+3=5
5-1 답 4
연립방정식
[
x+2y=5
2x+ay=4
의 해가 없으려면
=
;2!;
;a@;
+
;4%;
이어야 하므로 a=4
26 정답과 풀이
두 일차방정식 2x+3y=3a, 6bx+9y=-18의 공통인 해가 없
으므로 연립방정식
[
2x+3y=3a
6bx+9y=-18
의 해가 없다.
따라서
2
6b
=
;9#;
+
3a
-18
이어야 하므로
a+-2, b=1
즉 m=-2, n=1이므로 일차방정식 2x+y=9를 만족하는 자
연수 x, y의 순서쌍 (x, y)는 (1, 7), (2, 5), (3, 3), (4, 1)의 4개
이다.
6-1 답 5
연립방정식
[
ax+3y=2
2x+6y=b
=
=
;6#;
;b@;
;2A;
이어야 하므로
a=1, b=4
의 해가 무수히 많으려면
6-2 답 -4
이상이려면
=
;a@;
-1
2
=
5
-10
참고
7-1 답 3
이어야 하므로 a=-4
연립방정식의 해가 2개 이상이다.
➡ 연립방정식의 해가 무수히 많다.
이외의 해를 가지려면
k
2-k
=
-3
1
이어야 하므로
-6+3k=k, 2k=6
∴ k=3
7-2 답 -2
연립방정식
[
으려면
=
;a@;
-3
b
=
;1°0;
a=4, b=-6
이어야 하므로
∴ a+b=4+(-6)=-2
연립방정식
kx-3y=0
[
2x+y=kx
, 즉
[
kx-3y=0
(2-k)x+y=0
이 x=0, y=0
=
x-1
3
y+1
2
ax+by=10
, 즉
[
2x-3y=5
ax+by=10
의 해가 무수히 많
STEP 2
반드시 등수 올리는 문제
pp. 053 ~ 058
03 답 2개
① xy+y=8은 xy항이 있으므로 x, y에 대한 일차방정식이 아니
17x+13y=82를 만족하는 자연수 x, y의 순서쌍 (x, y)는
03 2개
06 ⑤
02 15
05 2
08 4 : 9
01 ①, ⑤
04 6
07 x=3, y=2
09 x=2, y=-4 또는 x=-1, y=-5
10 a=3, b=-2
13 2
15 -2
12 12
11 3
14 p=2, q=-2
16 a=3, b=-4, c=1, d=2
17 x=
;4!;, y=
;5!;, z=1
18 60
a-6>0
∴ a>6
㉣-㉢ 을 하면 y=
26-a
2
이때 y가 양수이므로
26-a
2
>0
26-a>0
∴ a<26
19 답 -;4#;
x-2y+z=0
yy ㉠
[
3x+2y+z=0 yy ㉡
㉠+㉡ 을 하면
4x+2z=0
∴ z=-2x
㉠에 z=-2x를 대입하면
x-2y-2x=0
∴ x=-2y
전략
x, z를 y에 대한 식으로 나타낸다.
20 답 24
x+y-z=0
yy ㉠
[
3x+8y-6z=0 yy ㉡
30 정답과 풀이
즉 z=-2x=-2_(-2y)=4y, 즉 z=4y
∴
y+z
x
+
z+x
y
+
x+y
z
=
y+4y
-2y
+
4y-2y
y
+
-2y+y
4y
∴
+
+
=-
+2-
=-
;4!;
;4#;
;2%;
따라서 x : y : z=
z : z=2 : 3 : 5이므로
z : ;5#;
;5@;
x=2k, y=3k, z=5k( k는 자연수)로 놓으면 x, y, z의 최소공배
수는 30k이다.
즉 30k=180이므로 k=6
따라서 x=12, y=18, z=30이므로
x-y+z=12-18+30=24
x :
y
: z를 가장 간단한 자연수의 비로 나타낸다.
전략
21 답 16
(a+b) : (b+c) : (c+a)=3 : 4 : 5이므로
a+b=3k, b+c=4k, c+a=5k(k+0)로 놓고
위의 세 식을 변끼리 더하면
2(a+b+c)=12k
∴ a+b+c=6k
즉 a=2k, b=k, c=3k이고 a+b+c=24이므로
2k+k+3k=24, 6k=24
∴ k=4
1 ç 5=1-5=-4, 3 ç (-2)=3+(-2)+1=2이므로
aÛ
-bc=8Û
-4_12=16
`
전략
`
여 나타낸다.
22 답 x=-1, y=3
x-y=1 ç 5
x-y=-4
[
x+y=3 ç (-2)
x+y=2
➡
[
∴ x=-1, y=3
전략
먼저 1 ç 5, 3 ç (-2)의 값을 구한다.
23 답 x=-3, y=-2
Ú x>y일 때
Ú {x, y}=x, =y이므로
{x, y}=x-y-1
x=x-y-1
=x+y+2
y=x+y+2
➡
[
Ú
[
Ú ∴ x=-2, y=-1
해가 아니다.
Û x=x이므로
Ú 그런데 xb이다.
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=9, b=8
∴ 3a-2b=3_9-2_8=11
전략
xC2=A, 3Cy=B로 놓고 A, B의 값을 구한 후 x, y의 값을 구한다.
Ú ∴ x=8, y=20
{x, y}=x-y-1
y=x-y-1
=x+y+2
x=x+y+2
➡
[
Ú
[
Ú ∴ x=-3, y=-2
전략
x>y인 경우와 x0이므로 조건을 만족하지 않는다.
Ý x<0, x+y<0일 때
|x|-x+y=4
-x-x+y=4
-2x+y=4
Ú
[
➡
[
|x+y|-y=8
-(x+y)-y=8
-x-2y=8
➡
[
Ú x=-
, y=-
이므로
:Á5¤:
:Á5ª:
Ú
=xÖy=-
;]{;
:Á5¤:
Ö
-
{
:Á5ª:}
Ú
=-
;]{;
:Á5¤:
_
-
{
;1°2;}=;3$;
Ú ~ Ý에서
의 값은 2,
이다.
;]{;
;3$;
전략
|A|=
[
-A (A¾0)
-A (A<0)
임을 이용한다.
4 답 0
a+2b+4c+5d=100
yy ㉠
6a+4b+c-2d=100
a+3b+2c+5d=-100
(
\
[{
\
9
㉠+㉣ 을 하면 5(a+b)+7(c+d)=0 yy ㉤
4a+3b+3c+2d=-100
yy ㉢
yy ㉣
yy ㉡
㉡+㉢ 을 하면 7(a+b)+3(c+d)=0 yy ㉥
㉤과 ㉥에서 a+b=0, c+d=0
∴ a+b+c+d=0
IV. 연립방정식 31
천의 자리의 계산에서 a-1=b …… ㉠
이때 a>b이므로 일의 자리의 계산에서 십의 자리에서 받아내림
전략
을 하면 (10+b)-a=a
…… ㉡
상수항끼리 더했을 때, 우변이 0이 되는 경우를 생각해 본다.
yy ㉣
조건 ㈏에서 0_a+1_b+(-2)_c=-5
연립방정식의 각 식에서 양변을 역수로 나타낸다.
를 이용하여 b와 c에 대한 연립방정식을 세운다.
5 답 13
주어진 연립방정식의 각 식에서 양변을 역수로 나타내면
xy
x+y
yz
y+z
zx
z+x
=
;3!;
=
;5!;
=
;4!;
(
\
{
\
9
(
\
➡
{
\
9
x+y
xy
y+z
yz
z+x
zx
=3
=5
=4
+
;]!;
;[!;
+
;z!;
;]!;
+
;z!;
;[!;
(
\
➡
{
\
9
=3 yy ㉠
=5 yy ㉡
=4 yy ㉢
㉠+㉡+㉢ 을 하면 2
{;[!;
+
+
;]!;
;z!;}
=12
∴
+
+
;]!;
;z!;
;[!;
=6
㉣-㉠ 을 하면
=3
㉣-㉡ 을 하면
=1
㉣-㉢ 을 하면
=2
;z!;
;[!;
;]!;
3xy+2yz+zx
xyz
=
+
;z#;
;[@;
+
;]!;
=9+2+2=13
∴
∴
전략
6 답 x=
;1@0#;, y=
:ª6£:, z=
:ª2£:
1
x
1
y
1
z
+
+
+
1
y+z
1
z+x
1
x+y
=
;2!;
=
;3!;
=
;4!;
(
\
➡
{
\
9
(
\
{
\
9
x+y+z
x(y+z)
x+y+z
y(z+x)
x+y+z
z(x+y)
=
;2!;
=
;3!;
=
;4!;
=2
yy ㉠
=3 yy ㉡
…… 20 %
=4 yy ㉢
xy+zx
x+y+z
yz+xy
x+y+z
(
\
➡
{
\
zx+yz
x+y+z
9
2(xy+yz+zx)
x+y+z
㉠+㉡+㉢ 을 하면
=9
∴
xy+yz+zx
x+y+z
㉣-㉠ 을 하면
㉣-㉡ 을 하면
㉣-㉢ 을 하면
=;2(;
yz
x+y+z
=
;2%;
zx
x+y+z
=
;2#;
xy
x+y+z
=
;2!;
yy ㉣
yy ㉤
yy ㉥
yy ㉦
㉤Ö㉥ 을 하면
=
;3%;
;[};
∴ y=
x
;3%;
∴ x=
, y=
, z=
:ª2£:
:ª6£:
;1@0#;
…… 10 %
전략
연립방정식의 각 식을 통분하고 역수로 나타낸다.
7 답 -125
조건 ㈎에서 xÁ, xª, x£, y, xÇ 중에서 값이 0인 것의 개수를 a개,
값이 1인 것의 개수를 b개, 값이 -2인 것의 개수를 c개라 하면
∴ b-2c=-5 …… ㉠
조건 ㈐에서 0Û
`
∴ b+4c=19
_a+1Û
_b+(-2)Û
_c=19
`
`
…… ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 b=3, c=4
∴ xÁÞ
+xªÞ
`
∴ xÁÞ
+xªÞ
`
+y+xÇÞ
+y+xÇÞ
`
=0Þ
_a+1Þ
_3+(-2)Þ
_4
`
`
`
=3-128=-125
`
`
`
전략
조건 ㈎에서 xÁ, xª, x£, y, xÇ 중에서 값이 0인 것의 개수를 a개, 값이 1인
것의 개수를 b개, 값이 -2인 것의 개수를 c개로 놓고 조건 ㈏와 조건 ㈐
8 답 ④
①, ② 연속한 두 식을 변끼리 빼면
④ xÁ=x¢=x¦=y
④ xª=x°=x¥=y
④ x£=x¤=x»=y
③ n이 3의 배수일 때,
④ xÁ=x¢=x¦=y=xn-2
④ xª=x°=x¥=y=xn-1
④ x£=x¤=x»=y=xÇ
④ n이 3의 배수일 때, xÁ=xª=x£인지는 알 수 없다.
⑤ n=10일 때, 연속한 모든 식을 변끼리 더하면
④ 3(xÁ+xª+x£+y+xÁ¼)=90
④ ∴ xÁ+xª+x£+y+xÁ¼=30
④ 이때 xÁ+xª+x£=9, x¢+x°+x¤=9, x¦+x¥+x»=9이므로
④ 9+9+9+xÁ¼=30
∴ xÁ¼=3
④ 마찬가지 방법으로 xÁ=xª=x£=y=xÁ¼=3
참고
연속한 두 식을 변끼리 빼면
xÁ=x¢=x¦=y=xn-2
xª=x°=x¥=y=xn-1
x£=x¤=x»=y=xÇ
Ú n이 3의 배수가 아니면
xÁ=xª=x£=y=xÇ
Û n=3k(k는 자연수)이면
㉤Ö㉦ 을 하면
=5
∴ z=5x
;[Z;
…… 50 %
따라서 x : y : z=x :
x : 5x=3 : 5 : 15이므로
;3%;
x=3k, y=5k, z=15k(k+0)로 놓고 ㉣에 대입하면
15kÛ
+75kÛ
+45kÛ
3k+5k+15k
`
`
`
=
;2(;
∴ k=
;3@0#;
xÁ=x¢=x¦=y=x3k-2=s
xª=x°=x¥=y=x3k-1=t
…… 20 %
x£=x¤=x»=y=x3k=9-(s+t)
32 정답과 풀이
확인 2 답 효중: 분속 250
m, 경민: 분속 150
m
`
`
`
`
효중이의 속력을 분속 x
m, 경민이의 속력을 분속 y
m(x>y)라
02
연립방정식의 활용
확인 1 답 27, 4
큰 수를 x, 작은 수를 y라 하면
x+y=31
[
x=6y+3
∴ x=27, y=4
따라서 구하는 두 수는 27, 4이다.
하면
20x-20y=2000
x-y=100
[
5x+5y=2000
➡
[
x+y=400
∴ x=250, y=150
150
m이다.
`
확인 3 답 10시간
따라서 효중이의 속력은 분속 250
m, 경민이의 속력은 분속
`
전체 일의 양을 1이라 하고, A, B 두 사람이 한 시간 동안 할 수 있
는 일의 양을 각각 x, y라 하면
6x+6y=1
[
9x+4y=1
∴ x=
, y=
;1Á5;
;1Á0;
따라서 B가 혼자서 이 일을 끝마치려면 10시간이 걸린다.
%의 소금물: 80
확인 4 답 8
`
g, 3
%의 소금물: 120
`
`
g
`
8
%의 소금물의 양을 x
g, 3
%의 소금물의 양을 y
g이라 하면
`
`
`
`
x+y=200
x+y=200
➡
[
8x+3y=1000
[
;10*0;
x+
y=
;10#0;
;10%0;
_200
∴ x=80, y=120
따라서 8
%의 소금물의 양은 80
g, 3
%의 소금물의 양은 120
`
`
g
`
`
이다.
확인 5 답 여학생: 330명, 남학생: 240명
x+y=600
[
x-
;1Á0¼0;
;1ª0¼0;
y=-30
∴ x=300, y=300
x+y=600
➡
[
x-2y=-300
따라서 올해의 여학생 수는 300+
_300=330(명),
;1Á0¼0;
남학생 수는 300-
_300=240(명)이다.
;1ª0¼0;
확인 6 답 12000원
A 제품의 원가를 x원, B 제품의 원가를 y원이라 하면
x+y=35000
x+y=35000
[
0.2x+0.3y=9500
2x+3y=95000
➡
[
∴ x=10000, y=25000
따라서 A 제품의 정가는
10000+10000_
=12000(원)
;1ª0¼0;
STEP 1
억울하게 울리는 문제
pp. 064 ~ 066
1-2 25
2-2 11세
4-2 20
km
`
1-1 84
2-1 13세
3-1 삼각형: 14개, 사각형: 9개
3-2 어른: 1000원, 어린이: 600원
4-1 2
`
km
m
5-1 150
m, 길이: 100
`
5-2 속력: 초속 5
`
6-1 남학생: 380명, 여학생: 330명
6-2 남학생: 450명, 여학생: 675명
7-1 57
m
g
`
`
7-2 5명
1-1 답 84
를 y라 하면
x+y=12
1-2 답 25
를 y라 하면
3x=y+1
처음 두 자리의 자연수의 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자
x+y=12
x-y=4
➡
[
[
10y+x=10x+y-36
∴ x=8, y=4
따라서 처음 수는 84이다.
처음 두 자리의 자연수의 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자
[
10y+x=2(10x+y)+2
19x-8y=-2
➡
[
3x-y=1
∴ x=2, y=5
따라서 처음 수는 25이다.
현재 어머니의 나이를 x세, 아들의 나이를 y세라 하면
x-y=26
[
x+12=2(y+12)+1
∴ x=39, y=13
x-y=26
x-2y=13
➡
[
따라서 현재 아들의 나이는 13세이다.
2-2 답 11세
올해 민수의 부모님의 나이의 합을 x세, 민수의 나이를 y세라 하면
x=8y
x=8y
[
x-10=13(y-5)
x-13y=-55
➡
[
∴ x=88, y=11
따라서 올해 민수의 나이는 11세이다.
IV. 연립방정식 33
작년의 여학생 수를 x명, 남학생 수를 y명이라 하면
2-1 답 13세
참고
합은 (x-10)세이다.
올해 민수의 부모님의 나이의 합을 x세라 하면 5년 전 부모님의 나이의
1.6
km=1600
m, 1분 10초=70초
참고
`
참고
`
`
`
5-2 답 속력: 초속 5
m, 길이: 100
m
`
`
기차의 속력을 초속 x
y+1700=360x
`
y+50=30x
[
m, 기차의 길이를 y
m라 하면
`
∴ x=5, y=100
따라서 기차의 속력은 초속 5
m, 기차의 길이는 100
m이다.
`
`
1.7
km=1700
m, 6분=360초
6-1 답 남학생: 380명, 여학생: 330명
작년의 남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이라 하면
x+y=700
[
-
x+
;10%0;
;1Á0¼0;
y=10
∴ x=400, y=300
x+y=700
➡
[
x-2y=-200
따라서 올해의 남학생 수는 400-
_400=380(명),
;10%0;
여학생 수는 300+
_300=330(명)이다.
;1Á0¼0;
6-2 답 남학생: 450명, 여학생: 675명
작년의 남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이라 하면
(
[{
x+
;1!0)0@;
;1»0ª0;
y=1080
(x+y)=1080
;1»0¤0;
9
∴ x=450, y=675
51x+46y=54000
➡
[
x+y=1125
따라서 작년의 남학생 수는 450명, 여학생 수는 675명이다.
7-1 답 57
g
`
x+y=73
[
x+
y=5
;8!;
;1Á9;
∴ x=57, y=16
합금에 섞여 있는 금의 무게를 x
g, 구리의 무게를 y
g이라 하면
`
`
x+y=73
➡
[
8x+19y=760
따라서 합금에 섞여 있는 금의 무게는 57
g이다.
`
물속에서 합금의 무게는 73-68=5
(g)만큼 덜 나간다.
`
7-2 답 5명
남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이라 하면
x+y=35
[
x+
y=7
;3!;
;1Á0;
∴ x=20, y=15
x+y=35
➡
[
3x+10y=210
따라서 안경을 낀 여학생 수는 15_
=5(명)이다.
;3!;
만들 수 있는 삼각형의 개수를 x개, 사각형의 개수를 y개라 하면
3-1 답 삼각형: 14개, 사각형: 9개
3x+4y=78
x+y=23
[
∴ x=14, y=9
따라서 만들 수 있는 삼각형의 개수는 14개, 사각형의 개수는 9개
이다.
3-2 답 어른: 1000원, 어린이: 600원
어른 1명의 입장료를 x원, 어린이 1명의 입장료를 y원이라 하면
4x+10y=10000
2x+5y=5000
[
5y=3x
➡
[
5y=3x
∴ x=1000, y=600
따라서 어른 1명의 입장료는 1000원, 어린이 1명의 입장료는 600
원이다.
4-1 답 2
km
`
x+y=3
[
+
=
;4{;
;1Õ0;
∴ x=1, y=2
;6@0&;
세희가 걸은 거리를 x
km라 하면
km, 뛴 거리를 y
`
x+y=3
`
➡
[
5x+2y=9
따라서 세희가 뛴 거리는 2
km이다.
`
참고
오전 8시에 집에서 출발하여 오전 8시 27분에 학교에 도착하였으므로 집
에서 학교까지 가는 데 걸린 시간은 27분, 즉 ;6@0&;시간이다.
세현이가 걸은 거리를 x
km, 버스를 탄 거리를 y
km라 하면
`
➡
[
x+y=22
10x+y=40
`
4-2 답 20
km
`
x+y=22
[
+
+
Ô0;
;6{;
;6Õ
;6°0;
∴ x=2, y=20
=
;6$0%;
참고
오전 7시 35분에 집을 나서서 오전 8시 20분에 학교에 도착하였으므로
집에서 학교까지 가는 데 걸린 시간은 45분, 즉 ;6$0%;시간이다.
따라서 세현이가 버스를 탄 거리는 20
km이다.
`
참고
5-1 답 150
m
`
기차의 속력을 초속 x
m, 기차의 길이를 y
`
`
m라 하면
y+600=30x
y+1600=70x
[
∴ x=25, y=150
따라서 기차의 길이는 150
m이다.
`
34 정답과 풀이
참고
03 답 이모: 48세, 조카: 32세
안경을 낀 학생 수는 반 전체 학생 수의 ;5!;이므로 35_
;5!;
=7(명)이다.
현재 이모의 나이를 x세, 조카의 나이를 y세라 하고 a년 전에 이
STEP 2
반드시 등수 올리는 문제
pp. 067 ~ 072
따라서 현재 이모의 나이는 48세, 조카의 나이는 32세이다.
02 475
01 5회
03 이모: 48세, 조카: 32세
05 편지지: 60장, 봉투: 40장
06 거리: 3
km, 예정 시간: 40분
`
km
08 :ª3¼:`
11 8
09 6시간
12 :¢7¥:시간
%
04 4개
07 24
km
`
10 1시간 12분
13 100
g
`
`
`
%
%, 소금물 B: 7
`
%, 소금물 B: 4
14 소금물 A: 2
`
15 소금물 A: 19
16 3 : 17
18 315명
20 28800원
22 노새: 18자루, 당나귀: 12자루
23 금화 1개: 5마리, 은화 1개: 1마리
합금 B: 250
g,
17 합금 A: 200
`
19 A 제품: 25개,
B 제품: 20개
`
21 18000원
`
g
`
미선이가 이긴 횟수를 x회, 진 횟수를 y회라 하면 지유가 이긴 횟
01 답 5회
수는 y회, 진 횟수는 x회이므로
3x-2y=2
3y-2x=7
[
∴ x=4, y=5
따라서 지유가 이긴 횟수는 5회이다.
전략
⑴ 계단을 올라가는 것을 +, 내려가는 것을 -로 생각한다.
⑵ 가위바위보를 하여 이기면 a계단 올라가고 지면 b계단 내려갈 때, 어떤
사람이 x회 이기고 y회 졌다면 위치의 변화는 (ax-by)계단이다.
⑶ A, B 두 사람이 가위바위보를 할 때, A가 이긴 횟수를 x회, 진 횟수를
y회라 하면 B가 이긴 횟수는 y회, 진 횟수는 x회이다.
이다.
전략
02 답 475
처음 세 자리의 자연수의 백의 자리의 숫자를 x, 십의 자리의 숫자
를 y, 일의 자리의 숫자를 z라 하면
x+y+z=16
x+y+z=16
100z+10y+x=100x+10y+z+99
x-z=-1
(
➡
[{
9
3x-y-z=0
3x=y+z
9
∴ x=4, y=7, z=5
따라서 처음 수는 475이다.
(
[{
전략
처음 세 자리의 자연수의 백의 자리의 숫자를 x, 십의 자리의 숫자를 y,
일의 자리의 숫자를 z로 놓고 연립방정식을 세운다.
모의 나이가 현재 조카의 나이였다고 하면
x+y=80
x-a=y
(
[{
x+y=80
x-y=a
(
➡
[{
x-2y=-a
y-a=
(x-a)
;2!;
9
∴ x=48, y=32, a=16
9
현재와 몇 년 전의 이모와 조카의 나이에 대한 연립방정식을 세운다.
전략
04 답 4개
100원짜리 동전의 개수를 x개, 500원짜리 동전의 개수를 y개라
하면 500원짜리 동전을 사용하여 450원짜리 음료수를 뽑고 받은
거스름돈은 50원이므로 50원짜리 동전의 개수도 y개이다.
x+y=15
x+y=15
[
100x+50y=2_450+50
2x+y=19
➡
[
따라서 처음에 가지고 있던 100원짜리 동전의 개수는 4개이다.
∴ x=4, y=11
전략
받은 거스름돈과 100원짜리 동전을 모두 합하면
2_450+50=950(원)이다.
05 답 편지지: 60장, 봉투: 40장
편지지의 수를 x장, 봉투의 수를 y장이라 하면
x-y=20
x-y=20
[
x-3(y-20)=0
x-3y=-60
➡
[
∴ x=60, y=40
따라서 편지지 세트 속에 들어 있는 편지지는 60장, 봉투는 40장
예준이가 편지를 보낸 결과 편지지만 20장 남았으므로 예준이가 보낸 편
지의 수는 y통이고, 수희가 편지를 보낸 결과 봉투만 20장 남았으므로 수
희가 보낸 편지의 수는 (y-20)통이다.
06 답 거리: 3
`
km, 예정 시간: 40분
집에서 약속 장소까지의 거리를 x
km, 가는 데 걸리는 예정 시간
`
을 y분이라 하면
=
-
;5{;
;6Õ0;
;6¢0;
(
[{
9
∴ x=3, y=40
;6Õ0;
=
+
;4{;
;6°0;
12x-y=-4
➡
[
15x-y=5
IV. 연립방정식 35
`
`
`
07 답 24
km
`
속 y
km라 하면
`
(x+y)=30
;3%;
(
[{
9
∴ x=15, y=3
(x-y)=30
;2%;
x+y=18
x-y=12
➡
[
력은 시속 3
km이다.
`
이때 관광 코스를 따라 내려오는 거리를 a
km라 하면
a
15+3
+
a
15-3
=
:Á3¼:
, 5a=120
∴ a=24
따라서 24
km를 내려왔다가 돌아가면 된다.
`
전략
(강을 따라 내려올 때의 속력)
=(정지한 물에서의 배의 속력)+(강물의 속력)
(강을 거슬러 올라갈 때의 속력)
=(정지한 물에서의 배의 속력)-(강물의 속력)
참고
1시간 40분=1
;3@;시간=
;3%;시간
2시간 30분=2
;2!;시간=
;2%;시간
3시간 20분=3
;3!;시간=
:Á3¼:시간
따라서 집에서 약속 장소까지의 거리는 3
km, 가는 데 걸리는 예
09 답 6시간
정 시간은 40분이다.
전략
예정 시간보다 일찍 도착한다는 것은 시간이 덜 걸린다는 뜻이고, 예정 시
간보다 늦게 도착한다는 것은 시간이 더 걸린다는 뜻이다.
전체 일의 양을 1이라 하고, A, B, C 세 사람이 한 시간 동안 할 수
정지한 물에서의 유람선의 속력을 시속 x
km, 강물의 속력을 시
따라서 이 일을 B가 혼자서 할 때, 6시간이 걸린다.
따라서 정지한 물에서의 유람선의 속력은 시속 15
km, 강물의 속
`
물통에 물을 가득 채웠을 때의 물의 양을 1이라 하고, 세 수도꼭지
A, B, C에서 한 시간 동안 나오는 물의 양을 각각 x, y, z라 하면
있는 일의 양을 각각 x, y, z라 하면
x+y+z=1
x+y+z=1
3z=1
(
[{
x+
(y+z)=1
9
;2!;
;2#;
∴ x=
, y=
, z=
;6!;
;3!;
;2!;
(
➡
[{
9
3z=1
x+3y+3z=2
참고
30분=
;2!;시간, 1시간 30분=1
;2!;시간=
;2#;시간
10 답 1시간 12분
x+y+z=1
2(x+y)=1
(y+z)=1
;2#;
(
[{
9
x+y+z=1
(
➡
\
[{
\
9
x+y=
y+z=
;2!;
;3@;
∴ x=
, y=
, z=
;6!;
;2!;
;3!;
이때 두 수도꼭지 A, C를 함께 사용하여 물통에 물을 가득 채우는
데 걸리는 시간을 t시간이라 하면
t_
{;3!;+;2!;}
;6%;
=1,
t=1
∴ t=
;5^;
따라서 두 수도꼭지 A, C를 함께 사용하여 물통에 물을 가득 채우
는 데 걸리는 시간은
시간, 즉 1시간 12분이다.
;5^;
11 답 8
전체 일의 양을 1이라 하면 지은이는 하루에
만큼, 준민이는 하
;[!;
대호가 걸은 거리를 x
km, 자전거를 탄 거리를 y
`
`
km라 하면
x+y
16
+
;2!;
3x=8
3x=2y
➡
[
08 답 :ª3¼:
`km
+
;4{;
=
;4{;
=
;1Õ6;
x+2y
16
(
[{
9
∴ x=
, y=4
;3*;
따라서 학교와 도서관 사이의 거리는
+4=
;3*;
:ª3¼:`
(km)
루에
만큼 일을 하므로
;]!;
+
=
;]!;
;[!;
;1ª5;
+
=
;]!;
;[!;
;1ª5;
3
{;[!;
+
+
+
=1
;]@;
;[^;
;]!;}
+
=1
;]%;
;[(;
(
➡
[{
9
(
[{
9
=X,
=Y로 치환하면
;[!;
;]!;
X+Y=
;1ª5;
9X+5Y=1
[
∴ X=
, Y=
;1Á2;
;2Á0;
따라서
=
,
;1Á2;
;]!;
=
;[!;
;2Á0;
이므로 x=12, y=20
전략
`
이다.
대호가 걸은 거리를 x
km, 자전거를 탄 거리를 y
km라 할 때, 대호가
`
`
x
km를 걷는 동안 철수는 학교에서 도서관까지 갔다가 다시 대호가 걷는
곳까지 가므로 대호를 만날 때까지 철수가 움직인 거리는 (x+2y)
`
km
∴ y-x=20-12=8
전략
만큼 일을 한다.
;]!;
전체 일의 양을 1이라 하면 지은이는 하루에 ;[!;
만큼, 준민이는 하루에
36 정답과 풀이
12 답 :¢7¥: 시간
Û Ú에서 얻은 소금물 B의 반을 소금물 A에 넣고 섞었을 때
물탱크에 물을 가득 채웠을 때의 물의 양을 1이라 하고, 한 시간 동
Ú 소금물 A의 양은 200+
_600=500
(g)
;2!;
`
안 A 호스로 채우는 물의 양을 x, B 호스, C 호스로 빼내는 물의
Ú 소금물 A에 들어 있는 소금의 양은
따라서 B 호스와 C 호스로 물을 완전히 빼내는 데 걸리는 시간은
물탱크에 물을 가득 채웠을 때의 물의 양을 1로 놓고 연립방정식을 세운
이다.
전략
양을 각각 y, z라 하면
6(x-y)=1
(x-z)=1
(
\
[{
\
9
:Á3¤:
:¢5¥:
(
\
➡
[{
\
9
∴ x=
, y=
, z=
;1Á2;
;1Á6;
;4!;
x-y=
;6!;
x-z=
;1£6;
(x-y-z)=1
x-y-z=
;4°8;
1Ö
{;1Á2;+;1Á6;}
=
:¢7¥:
(시간)
전략
다.
13 답 100
g
`
4
%의 소금물의 양을 3x
`
더 넣은 물의 양은 2x
`
`
g이므로
g, 6
`
3x+y+2x=600
[
;10$0;
_3x+
_y=
_600
;10^0;
4.5
100
∴ x=50, y=350
%의 소금물의 양을 y
g이라 하면
`
16 답 3 : 17
5x+y=600
2x+y=450
➡
[
Ú
;10{0;
_200+
2x+4y
2
=3x+2y
(g)
`
Ú 또 소금물 B의 양은
_600=300
(g)
;2!;
`
Ú 소금물 B에 들어 있는 소금의 양은
2x+4y
2
=x+2y
(g)
`
이때 섞은 후 두 소금물 A, B의 농도를 식으로 나타내면
_100=13
(
[{
3x+2y
500
x+2y
300
_100=9
9
∴ x=19, y=4
3x+2y=65
x+2y=27
➡
[
따라서 처음 소금물 A의 농도는 19
%, 소금물 B의 농도는 4
%
`
`
섞은 후 두 소금물 A, B에 들어 있는 소금의 양을 각각 식으로 나타낸다.
소금물 A의 농도를 x
%, 소금물 B의 농도를 y
`
금물 A, B에서 덜어 낸 소금물의 양을 각각 m
`
g이라 하면
%라 하고, 두 소
x
100
x
100
{
(
[{
9
_m+
_m=
_2m
;4!;
_m+
+
_m
}
x
100
_2m=
;5!;
y
100
y
100
`
_4m
따라서 더 넣은 물의 양은 2_50=100
(g)이다.
전략
`
의 양을 3x
`
4
%의 소금물의 양과 더 넣은 물의 양의 비가 3 : 2이므로 4
%의 소금물
g이라 하면 더 넣은 물의 양은 2x
g이다.
`
`
x+y=50
3x+y=80
➡
[
∴ x=15, y=35
14 답 소금물 A: 2
%, 소금물 B: 7
%
`
`
따라서 소금물 A의 농도는 15
%, 즉
`
=
;1Á0°0;
;2£0;
이므로 소금물 A
처음 소금물 A의 농도를 x
%, 소금물 B의 농도를 y
%라 하면
에 들어 있는 소금의 양과 물의 양의 비는 3 : 17이다.
(
[{
;10{0;
_60+
;10}0;
`
_40=4
_40+
_60=5
;10}0;
;10{0;
9
∴ x=2, y=7
3x+2y=20
2x+3y=25
➡
[
%, 소금물 B의 농도는 7
따라서 처음 소금물 A의 농도는 2
%이다.
`
`
전략
(소금물의 양)=(소금의 양)+(물의 양)이므로 소금의 양과 물의 양의
비가 1:3이면 소금의 양과 소금물의 양의 비는 1:4이다. 즉
(소금의 양)=
_(소금물의 양)이다.
;4!;
물을 증발시켜도 소금의 양은 변하지 않음을 이용하여 연립방정식을 세
17 답 합금 A: 200
g, 합금 B: 250
g
전략
운다.
15 답 소금물 A: 19
%, 소금물 B: 4
%
`
`
처음 소금물 A의 농도를 x
%, 소금물 B의 농도를 y
%라 하면
`
Ú 소금물 A의 반을 소금물 B에 넣고 섞었을 때
Ú 소금물 B의 양은 200+400=600
`
Ú 소금물 B에 들어 있는 소금의 양은
(g)
Ú
;10{0;
_200+
;10}
}0;
_400=2x+4y
(g)
`
`
`
g, 합금 B의 양을 y
`
g이라 하면
`
15x+8y=5000
5x+12y=4000
➡
[
필요한 합금 A의 양을 x
x+
y=
_450
(
[{
;4#;
;4!;
;5@;
;5#;
;9%;
;9$;
x+
y=
_450
9
∴ x=200, y=250
따라서 필요한 합금 A의 양은 200
g, 합금 B의 양은 250
g이다.
`
`
전략
구리의 양과 아연의 양에 대한 연립방정식을 세운다.
IV. 연립방정식 37
`
`
`
18 답 315명
농구를 선택한 학생 중 남학생 수는 150_
=90(명),
;5#;
여학생 수는 150_
=60(명)이다.
;5@;
2학년 남학생 수를 4x명, 여학생 수를 3x명이라 하고, 야구를 선
택한 남학생 수를 6y명, 여학생 수를 5y명이라 하면
∴ x=18000, y=12000
따라서 A 제품의 원가는 18000원이다.
전략
⑴ (정가)=(원가)+(이익)
⑵ (판매 가격)=(정가)-(할인 금액)
⑶ (이익)=(판매 가격)-(원가)
4x=90+6y
2x-3y=45
[
3x=60+5y
➡
[
3x-5y=60
∴ x=45, y=15
22 답 노새: 18자루, 당나귀: 12자루
노새의 짐의 수를 x자루, 당나귀의 짐의 수를 y자루라 하면
따라서 2학년 전체 학생 수는 7x=7_45=315(명)이다.
전략
먼저 농구를 선택한 학생 중 남학생 수와 여학생 수를 구한다.
x+2=2(y-2)
x-2y=-6
➡
[
x-y=6
[
x-3=y+3
∴ x=18, y=12
따라서 노새의 짐은 18자루, 당나귀의 짐은 12자루이다.
노새가 당나귀에게서 a자루의 짐을 가져오면 당나귀의 짐은 a자루 줄어
전략
든다.
23 답 금화 1개: 5마리, 은화 1개: 1마리
금화 1개와 바꿀 수 있는 염소의 수를 x마리, 은화 1개와 바꿀 수
있는 염소의 수를 y마리라 하면
6x+5y=35
x+10y=15
[
∴ x=5, y=1
수 있는 염소는 1마리이다.
전략
따라서 판매한 A 제품의 개수는 25개, B 제품의 개수는 20개이다.
따라서 금화 1개와 바꿀 수 있는 염소는 5마리, 은화 1개와 바꿀
할인하기 전 티셔츠의 판매 가격을 x원, 바지의 판매 가격을 y원
금화 1개와 바꿀 수 있는 염소의 수를 x마리, 은화 1개와 바꿀 수 있는 염
소의 수를 y마리로 놓고 연립방정식을 세운다.
19 답 A 제품: 25개, B 제품: 20개
판매한 A 제품의 개수를 x개, B 제품의 개수를 y개라 하면
x+y=45
[
;1£0¼0;
_1500_x+
_2000_y=31250
;1°0¼0;
x+y=45
➡
[
9x+20y=625
∴ x=25, y=20
20 답 28800원
이라 하면
x+y=56000
[
x+
y=10200
;1Á0°0;
;1ª0¼0;
∴ x=20000, y=36000
따라서 할인한 바지의 판매 가격은
36000-36000_
=28800(원)
;1ª0¼0;
x+y=56000
➡
[
3x+4y=204000
21 답 18000원
A 제품의 원가를 x원, B 제품의 원가를 y원이라 하면
(A 제품의 판매 가격)=x_
_
=
;1!0#0);
;1»0¼0;
;1!0!0&;
x(원)
(A 제품의 이익)=
;1!0!0&;
x-x=
x(원)
;1Á0¦0;
(B 제품의 판매 가격)=y_
_
=
;1!0@0);
;1»0¼0;
;1!0)0*;
y(원)
(B 제품의 이익)=
;1!0)0*;
y-y=
y(원)
;10*0;
즉 연립방정식을 세우면
x+y=30000
[
x+
;1Á0¦0;
;10*0;
y=4020
x+y=30000
➡
[
17x+8y=402000
38 정답과 풀이
STEP 3
전교 1등 확실하게 굳히는 문제
pp. 073 ~ 076
2 4장
5
550
9 분
3 8곡
6 6.71`g
1 55점
4 32
7 24
1 답 55점
50명 중 30명이 합격했으므로 불합격자는 20명이다.
합격자의 평균 점수를 x점, 불합격자의 평균 점수를 y점이라 하면
(50명의 평균 점수)=
30x+20y
50
=
3x+2y
5
(점)
합격자의 최저 합격 점수는
3x+2y
5
-2=x-20=2y-5이므로
-2=x-20
3x+2y
5
[
x-20=2y-5
∴ x=75, y=30
x-y=45
x-2y=15
➡
[
따라서 합격자의 최저 합격 점수는
x-20=75-20=55(점)
합격자의 평균 점수를 x점, 불합격자의 평균 점수를 y점으로 놓고 합격
자의 최저 합격 점수를 식으로 나타낸다.
학생 A가 갖게 된 사탕의 개수가 14개이므로
p+
q+
r=14 …… ㉠
;2!;
;3!;
;8#;
학생 B가 갖게 된 사탕의 개수가 12개이므로
p+
q+
r=12 …… ㉡
;4!;
;3!;
;8#;
학생 C가 갖게 된 사탕의 개수가 10개이므로
p+
q+
r=10 …… ㉢
;4!;
;3!;
;4!;
㉠, ㉡, ㉢ 을 연립하여 풀면 p=8, q=12, r=16
∴ p+2q=8+2_12=32
전략
A가 가진 카드 중 숫자 1이 적힌 카드를 x장, 숫자 2가 적힌 카드
각 단계별로 세 학생 A, B, C가 갖게 된 사탕의 개수를 p, q, r를 사용하
를 y장, 숫자 3이 적힌 카드를 z장이라 하면 B가 가진 카드 중 숫
여 나타낸다.
자 1이 적힌 카드는 (6-x)장, 숫자 2가 적힌 카드는 (5-y)장,
숫자 3이 적힌 카드는 (4-z)장이므로
x+y+z=9
x+2y+3z={(6-x)+2(5-y)+3(4-z)}+2
_(4-z)}-4
_(5-y)+3Û
_(6-x)+2Û
_z={1Û
_y+3Û
_x+2Û
1Û
`
`
`
`
`
`
x+y+z=9
5 답 :°;;9%;:); 분
x+2y+3z=15
x+4y+9z=29
∴ x=4, y=4, z=1
9
따라서 A가 가진 카드 중 숫자 2가 적힌 카드는 모두 4장이다.
3
km는 3000
m이고, 시속 9
km는 분속 150
`
은수가 출발한 후 지용이와 3번째로 만날 때까지 은수가 걸은 시
`
`
`
m이다.
간을 x분, 지용이가 걸은 시간을 y분이라 하면
x=y+10
x-y=10
[
120x+150y=5_3000
4x+5y=500
➡
[
∴ x=
, y=
550
9
460
9
간은
분이다.
550
9
전략
A가 가진 카드 중 숫자 1이 적힌 카드를 x장, 숫자 2가 적힌 카드를 y장,
숫자 3이 적힌 카드를 z장으로 놓고 연립방정식을 세운다.
따라서 은수가 출발한 후 지용이와 3번째로 만나는 데 걸리는 시
처음 계획한 9분짜리 곡의 수를 x곡, 4분짜리 곡의 수를 y곡이라
9x+4y+20+(x+y-2)=128
2x+y=22
[
4x+9y+15+(x+y-2)=113
x+2y=20
➡
[
따라서 처음 계획한 9분짜리 곡의 수는 8곡이다.
9분짜리 곡 x곡과 4분짜리 곡 y곡을 연주할 때, 곡과 곡 사이의 여유 시
간이 1분이므로 1부와 2부를 통틀어 총 여유 시간은 (x+y-2)분이다.
은수는 A 지점에서 출발하고 지용이는 B
은수
지용
지점에서 출발하여 마주 보고 걸으므로
A
두 사람이 처음으로 만날 때까지 걸은 거
3000`m
리의 합은 3000
m이다.
`
또 두 사람이 처음으로 만난 지점에서 두
지용
은수
번째 만날 때까지 걸은 거리의 합은
A
2_3000=6000
(m)이고, 두 사람이
3000`m
두 번째 만난 지점에서 3번째 만날 때까지
걸은 거리의 합도 2_3000=6000
(m)이다.
`
따라서 은수가 출발한 후 지용이와 3번째 만날 때까지 걸은 거리의 합은
B
B
5_3000=15000
(m)이다.
`
`
전략
2 답 4장
(
\
[{
\
9
(
➡
[{
전략
3 답 8곡
하면
∴ x=8, y=6
전략
4 답 32
같다.
1단계
A
p개
;2!;
각 단계에서 세 학생 A, B, C가 갖게 된 사탕의 개수는 다음 표와
6 답 6.71
g
`
B
C
첫 번째 시행 후 각 컵에 들어 있는 소금의 양을 식으로 나타내면
p_
=
;2!;
;2!;
;4!;
p(개)
p_
=
;2!;
;2!;
;4!;
p(개)
컵 A:
;1Á0¼0;
_70+
_30=7+
;10}0;
y
(g)
;1£0;
`
2단계 ;3@;
q
_;2!;=;3!;
q(개)
q개
;3!;
q
;3@;
_;2!;=;3!;
q(개)
컵 B:
_70+
;10{0;
;1Á0¼0;
_30=
x+3
(g)
;1¦0;
`
3단계 ;4#;
r
_;2!;=;8#;
r(개)
r
;4#;
_;2!;=;8#;
r(개)
r개
;4!;
컵 C:
;10}0;
_70+
;10{0;
_30=
x+
y
(g)
;1¦0;
`
;1£0;
IV. 연립방정식 39
이때 첫 번째 시행 후 세 컵 A, B, C의 소금물의 농도는 각각
7+
y
%,
;1£0;
}`
{
{;1¦0;
x+3
%,
}`
{;1£0;
x+
y
%이므로 두 번
;1¦0;
}`
째 시행 후 컵 A, 컵 B에 들어 있는 소금의 양을 식으로 나타내면
V
일차함수
이므로 두 번째 시행 후 컵 C에 들어 있는 소금의 양은
즉 하나의 x의 값에 대하여 y의 값이 하나씩 정해지므로 함수
컵 A:
_70+
_30=7.72
7+
y
;1£0;
100
x+
y
;1¦0;
;1£0;
100
컵 A: ∴ 3x+14y=94
…… ㉠
컵 B:
_70+
_30=8.57
x+3
;1¦0;
100
7+
y
;1£0;
100
컵 A: ∴ 49x+9y=437 …… ㉡
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 x=8, y=5
따라서 첫 번째 시행 후 컵 B의 소금물의 농도는
_8+3=8.6 (%),
;1¦0;
컵 C의 소금물의 농도는
_8+
_5=5.9 (%)
;1£0;
;1¦0;
_70+
_30=6.71 (g)
8.6
100
5.9
100
전략
첫 번째, 두 번째 시행 후 각 컵에 들어 있는 소금의 양을 식으로 나타내
어 본다. 이때 소금물의 양이 100
g이므로 소금의 양이 a
g이면 소금물의
`
`
농도는 a
%이다.
`
A 지점과 B 지점 사이의 거리를 x, B 지점과 C 지점 사이의 거리
…… 10 %
yy ㉠
…… 20 %
지윤
a
B
A
x
세준
y
x+y
2
7 답 24
를 y라 하면
㈎에서
x+
x+y
2
=a
Ú
㈏에서
x+a=y
C
C
01
일차함수와 그래프
확인 1 답 ⑴ _ ⑵ _ ⑶ ◯
⑴ x=2일 때, y=1, 2로 하나의 x의 값에 대하여 y의 값이 2개 이
상 정해지는 것이 있으므로 함수가 아니다.
⑵ x=2일 때, y=2, 4, 6, 8, y로 하나의 x의 값에 대하여 y의 값
이 2개 이상 정해지는 것이 있으므로 함수가 아니다.
⑶ x=1일 때, y=1
x=2일 때, y=2
x=3일 때, y=2
⋮
이다.
확인 2 답 ①, ⑤
① y=
x(x-3)
2
=
xÛ
-
;2!;
`
;2#;
x ➡ 일차함수가 아니다.
② 1 : 3=y : x에서 3y=x
∴ y=
x
;3!;
➡ 일차함수이다.
③ y=500-40x ➡ 일차함수이다.
④ y=
_300에서 y=3x ➡ 일차함수이다.
;10{0;
⑤ y=pxÛ
➡ 일차함수가 아니다.
`
따라서 일차함수가 아닌 것은 ①, ⑤이다.
확인 3 답 -
;5@;
-
=
;5!;
(y의 값의 증가량)
-3-(-5)
이므로
(y의 값의 증가량)=-
;5@;
확인 4 답 ⑤
yy ㉡
…… 20 %
지윤
B
A
x
세준
Ú
y
y
a
이때 지윤이와 세준이가 이동한 거리의 총합은 66이므로
① -3=-
_3+1이므로 점 (3, -3)을 지난다.
;3$;
② y=-
x+1에 y=0을 대입하면 x=
;4#;
y=-
x+1에 x=0을 대입하면 y=1
;3$;
;3$;
;3$;
…… 20 %
따라서 x절편은
이고, y절편은 1이다.
;4#;
…… 30 %
③ y=-
x+1의 그래프는 오른쪽 그림
과 같으므로 제 1, 2, 4 사분면을 지난다.
A 지점과 B 지점 사이의 거리를 x, B 지점과 C 지점 사이의 거리를 y로
1
y
O
-3
3
x
(x+y)+y=66
…… ㉢
㉠, ㉡, ㉢ 을 연립하여 풀면
x=6, y=30, a=24
전략
놓고 그림으로 나타내어 본다.
40 정답과 풀이
④ y=-
x+1의 그래프는 y=-
x-10의 그래프와 기울기
;3$;
;3$;
가 같으므로 서로 평행하다.
⑤ x의 값이 증가할 때, y의 값은 감소한다.
⑷ 일차함수 y=ax-b의 그래프가 제 1, 2, 4 사분면을 지나면
a<0, -b>0에서 b<0
따라서 일차함수 y=bx+a의 그래프
는 b<0, a<0이므로 오른쪽 그림과
같다. 즉 제 2, 3, 4 사분면을 지난다.
y
O
x
이때 y=x+3의 그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 그
3 답 ⑴ -
;aB;, b ⑵ 위, 아래
확인 5 답 -5
y=ax+3의 그래프가 점 (1, 4)를 지나므로
4=a+3
∴ a=1
래프의 식은 y=x+3+b
위 식이 y=cx-4와 일치하므로
c=1, 3+b=-4에서 b=-7
∴ a+b+c=1+(-7)+1=-5
STEP 1
억울하게 울리는 문제
pp. 080 ~ 082
1 ⑴ ◯ ⑵ _ ⑶ _ ⑷ ◯
2 ⑴ ;2#; ⑵ 2, 4 ⑶ 있다 ⑷ 2, 3, 4
3 ⑴ -
;aB;, b ⑵ 위, 아래
4-1 a=-4b-15
5-1 -15
6-1 ㉠, ㉢
7-1 ④
8-1 ⑤
4-2 6
5-2 98
6-2 ㉡, ㉢
7-2 제 4 사분면
8-2 ④
⑴ 일차함수 y=ax+b의 그래프에서 기울기는 a, x절편은 -
,
;aB;
y절편은 b이다.
⑵ 일차함수 y=-ax+b의 그래프에서 a<0이면 -a>0이므
로 오른쪽 위로 향하는 직선이고, a>0이면 -a<0이므로 오
른쪽 아래로 향하는 직선이다.
4-1 답 a=-4b-15
세 점 (2, -3), (-2, a), (3, b)가 일직선 위에 있으므로
a-(-3)
-2-2
b-(-3)
3-2
a+3
-4
=b+3
에서
=
a+3=-4b-12
∴ a=-4b-15
세 점 (1, 2), (5, k), (2, 3)이 일직선 위에 있으므로
4-2 답 6
k-2
5-1
=
3-2
2-1
에서
k-2
4
=1
k-2=4
∴ k=6
1 답 ⑴ ◯ ⑵ _ ⑶ _ ⑷ ◯
로 함수이다.
⑴ y=20x, 즉 하나의 x의 값에 대하여 y의 값이 하나씩 정해지므
5-1 답 -15
⑵ x=2일 때, y=1, 3, 5, y로 하나의 x의 값에 대하여 y의 값이
2개 이상 정해지는 것이 있으므로 함수가 아니다.
⑶ x=160일 때, y=45, 48, 50, y으로 하나의 x의 값에 대하여
m=-6
f(2b)-f(3a)
3a-2b
=6에서
f(2b)-f(3a)
2b-3a
=-6
즉 일차함수 y=mx+n의 그래프의 기울기는 -6이므로
y의 값이 2개 이상 정해지는 것이 있으므로 함수가 아니다.
y=-6x+n의 그래프가 점 (2, -3)을 지나므로
⑷
_x_y=8에서 y=
, 즉 하나의 x의 값에 대하여 y의 값
;2!;
:Á[¤:
이 하나씩 정해지므로 함수이다.
-3=-12+n
∴ n=9
∴ m-n=-6-9=-15
5-2 답 98
2 답 ⑴ ;2#; ⑵ 2, 4 ⑶ 있다 ⑷ 2, 3, 4
⑴ y=-
x+1에 y=0을 대입하면 x=
;3@;
;2#;
따라서 y=-
x+1의 그래프에서 x절편은
이다.
;3@;
;2#;
y
⑵ 일차함수 y=ax+b에서 a<0이고
b=0이면 그래프는 오른쪽 그림과 같
으므로 제 2, 4 사분면을 지난다.
O
일차함수 y=f(x)를 y=ax+b(a+0)라 하면
f(50)-f(1)
49
+
f(49)-f(2)
47
+y+
f(26)-f(25)
1
=
f(50)-f(1)
50-1
+
f(49)-f(2)
49-2
+y+
f(26)-f(25)
26-25
x
=a+a+a+y+a
( | { | 9
25개
=25a
즉 25a=50에서 a=2
따라서 f(x)=2x+b이므로
f(50)-f(1)=2_50+b-(2_1+b)=98
V. 일차함수 41
6-1 답 ㉠, ㉢
㉠ 직선 l은 오른쪽 위로 향하는 직선이므로 기울기는 양수이다.
㉡ 두 점 (1, 0), (0, 1)을 지나는 직선이 직선 m보다 y축에 가까
우므로 직선 m의 기울기의 절댓값은 1보다 작다.
㉢ 점 (1, 0)과 점 P(xÁ, yÁ)을 지나는 직선 n의 기울기는
y절편이 양수이므로 b>0
따라서
>0,
>0이므로 y=
x+
;bA;
;b!;
;bA;
;b!;
의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 제 4 사분
면을 지나지 않는다.
y
O
x
㉢ 점 (0, 1)과 점 Q(xª, yª)를 지나는 직선 m의 기울기는
8-1 답 ⑤
㉢ 이때 두 직선 m, n은 모두 오른쪽 아래로 향하는 직선이므로
a>0
기울기는 음수이고, 직선 n이 직선 m보다 y축에 가깝다.
(y절편)=b+1<1
∴ b<0
y=ax+b+1의 그래프가 오른쪽 위로 향하는 직선이므로
㉢
yÁ-0
xÁ-1
=
yÁ
xÁ-1
㉢
yª-1
xª-0
=
yª-1
xª
㉢ ∴
yÁ
xÁ-1
<
yª-1
xª
따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢이다.
6-2 답 ㉡, ㉢
선의 기울기보다 작으므로
㉠
<
;cD;
;aB;
선의 기울기보다 작으므로
㉠
<
;aB;
b+d
a+c
선의 기울기보다 작으므로
㉠
b+d
a+c
<
;cD;
따라서 옳은 것은 ㉡, ㉢이다.
7-1 답 ④
두 점 A, P를 지나는 직선의 기울기는
두 점 P, C를 지나는 직선의 기울기는
두 점 A, C를 지나는 직선의 기울기는
;aB;
;cD;
b+d
a+c
㉠ 두 점 A, P를 지나는 직선의 기울기가 두 점 P, C를 지나는 직
㉡ 두 점 A, P를 지나는 직선의 기울기가 두 점 A, C를 지나는 직
㉢ 두 점 A, C를 지나는 직선의 기울기가 두 점 P, C를 지나는 직
-a>0
∴ a<0
y절편이 양수이므로 b>0
따라서 -b<0, a<0이므로
y=-bx+a의 그래프는 오른쪽 그림과
같다.
y
O
x
y=-ax+b+1의 그래프가 오른쪽 아래로 향하는 직선이므로
점 (-1, 0)을 지나므로
0=-a+b+1
∴ a-b-1=0
x=2일 때, y>0이므로
2a+b+1>0
∴ 2a+b>-1
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
8-2 답 ④
-a<0
∴ a>0
(y절편)=b+1=1
∴ b=0
점 (1, 0)을 지나므로
0=-a+b+1
∴ a-b-1=0
x=-1일 때, y>0이므로
a+b+1>0
따라서 옳은 것은 ④이다.
참고
그래프가 두 점 (0, 1), (1, 0)을 지나므로
-a=
=-1
∴ a=1
0-1
1-0
03 -2
06 -4
09 ㉠, ㉡
12 12
15 7
04 ;3!;
07 ;3$;
10 -3ÉkÉ0
13 -8, 0
16 15
05 :Á2Á:
08 ⑤
11 ;3!;
14 -7
17 :Á3¤:
01 답 ㉡, ㉣, ㉤, ㉥
y=-ax+b의 그래프가 오른쪽 위로 향하는 직선이므로
01 ㉡, ㉣, ㉤, ㉥
02 4
STEP 2
반드시 등수 올리는 문제
pp. 083 ~ 086
y=-ax+b의 그래프가 오른쪽 아래로 향하는 직선이므로
㉠ x=2일 때, 2보다 작은 소수는 없다. 즉 하나의 x의 값에 대하
여 y의 값이 없는 경우가 있으므로 함수가 아니다.
7-2 답 제4사분면
-a<0
∴ a>0
42 정답과 풀이
㉡ 하나의 자연수 x에 대하여 그 모든 약수의 합 y의 값은 하나로
정해지므로 함수이다.
㉢ x=1일 때 y=-1, 1이다. 즉 하나의 x의 값에 대하여 y의 값
이 2개 정해지는 경우가 있으므로 함수가 아니다.
05 답 :Á2Á:
3x+2
x-1
=1에서 3x+2=x-1
㉣ 1분은 60초이므로 y=60x, 즉 하나의 x의 값에 대하여 y의 값
2x=-3
∴ x=-
;2#;
이 하나씩 정해지므로 함수이다.
㉤ y=6xÛ
, 즉 하나의 x의 값에 대하여 y의 값이 하나씩 정해지므
`
로 함수이다.
㉥ y=
_200=2x, 즉 하나의 x의 값에 대하여 y의 값이 하
;10{0;
따라서 f
{
3x+2
x-1 }
=-3x+1에 x=-
을 대입하면
;2#;
f(1)=-3_
-
+1=
{
;2#;}
:Á2Á:
전략
3x+2
x-1
=1일 때의 x의 값을 구한다.
x의 값이 하나 정해질 때, y의 값이 정해지지 않거나 y의 값이 2개 이상
06 답 -4
나씩 정해지므로 함수이다.
따라서 함수인 것은 ㉡, ㉣, ㉤, ㉥이다.
전략
정해지면 함수가 아니다.
02 답 4
35=4_8+3이므로 f(35)=3
36=4_9이므로 f(36)=0
37=4_9+1이므로 f(37)=1
∴ f(35)+f(36)+f(37)=3+0+1=4
전략
x를 4로 나눈 나머지는 0, 1, 2, 3 중 하나이다.
03 답 -2
f(2)=6에서 2a+2-2+a=6
3a=6
∴ a=2
f(x)=ax+2-x+a에 a=2를 대입하면
f(x)=2x+2-x+2=x+4
f(0)=4, f(k)=k+4이므로 f(0)=2f(k)에서
4=2(k+4), 4=2k+8
-2k=4
∴ k=-2
전략
먼저 f(2)=6임을 이용하여 a의 값을 구한다.
04 답 ;3!;
f(x)=-
x에서 f(1)=-f(a+b)이므로
;3!;
-
=
;3!;
;3!;
(a+b)
∴ a+b=-1
∴ f(a)+f(b)=-
a-
b
;3!;
;3!;
=-
(a+b)
;3!;
;3!;
=-
_(-1)=
;3!;
f(x)=ax+b의 그래프의 기울기가 최소가 되려면
f(-2)=6, f(3)=-4이어야 한다.
즉 6=-2a+b, -4=3a+b를 연립하여 풀면
기울기가 최소가 되려면 오른쪽 아래로 향하는 직선이어야 한다.
점 B의 좌표를 (p, 0)이라 하면 A(p, ap+3), C(p, bp+3)
a=-2, b=2
∴ ab=-2_2=-4
전략
07 답 ;3$;
이때
ACÓ=OBÓ이므로
;4#;
{ap+3-(bp+3)}=p
;4#;
;4#;
(a-b)p=p
이때 p>0이므로
(a-b)=1
;4#;
∴ a-b=
;3$;
전략
08 답 ⑤
y=
x+
;aB;
;cB;
점 A가 제 1 사분면 위의 점이므로 점 A의 x좌표는 양수이다.
의 그래프가 오른쪽 위로 향하는 직선이므로
>0
;aB;
y절편이 양수이므로
>0
;cB;
즉 a, b, c의 부호는 모두 같으므로 -
<0,
>0
;bA;
;aC;
따라서 y=-
x+
의 그래프는 오른쪽
y
;bA;
;aC;
그림과 같다.
⑤ a와 c의 부호가 같으므로 a의 절댓값과 c
⑤ 의 절댓값이 같으면 y절편은
=1이다.
O
x
;aC;
V. 일차함수 43
전략
일차함수 y=-
x+
;bA;
;aC;의 그래프를 그려 본다.
y=ax-1의 그래프가 두 점 A, B를 각각 지날 때, a의 값을 구한다.
전략
12 답 12
㉠ 두 일차함수의 그래프는 모두 오른쪽 아래로 향하는 직선이고,
A(3, 4), D(-1, -3)을 지날 때
y=cx+d의 그래프가 y=ax+b의 그래프보다 y축에 더 가
a의 값이 최대가 되므로
Ú y=ax+b의 그래프가 두 점
09 답 ㉠, ㉡
까우므로
㉡ c0
㉡ c+d<0
㉡ y=ax+b의 그래프에서 x=1일 때, y>0이므로
㉢ y=cx+d의 그래프에서 x=1일 때, y<0이므로
A
B
3
x
y
4
2
-2
-1
O
C
-3
D
Ú a=
-3-4
-1-3
=
;4&;
Û y=ax+b의 그래프가 두 점
B(3, 2), C(-2, -3)을 지날 때
a의 값이 최소가 되므로
Ú a=
-3-2
-2-3
=1
㉣ y=ax+b의 그래프의 x절편은 -
, y=cx+d의 그래프의
;aB;
Ú, Û에서 M=
, m=1이므로
㉡ x절편은 -
이고 -
>-
이므로
;cD;
;aB;
;cD;
<
;cD;
;aB;
4M+5m=4_
+5_1=12
;4&;
;4&;
따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡이다.
전략
전략
네 점 A, B, C, D를 좌표평면 위에 나타낸 후 a의 값이 최대가 될 때와 최소
두 일차함수의 그래프의 기울기, 함숫값, x절편을 비교해 본다.
가 될 때를 각각 구한다.
10 답 -3ÉkÉ0
Ú y=2x+k의 그래프가 점 A(1, 2)
를 지날 때
Ú 2=2+k
∴ k=0
y
3
2
O
B
A
Û y=2x+k의 그래프가 점 B(3, 3)
1
3
x
을 지날 때
Ú 3=6+k
∴ k=-3
Ú, Û에서 -3ÉkÉ0
전략
y=2x+k의 그래프가 두 점 A, B를 각각 지날 때, k의 값을 구한다.
11 답 ;3!;
Ú y=ax-1의 그래프가 점 A(3, 4)
Ú 를 지날 때
Ú 4=3a-1
∴ a=
Û y=ax-1의 그래프가 점 B(5, 0)
y
4
O
A
3
-1
B
5
x
;3%;
;5!;
을 지날 때
Ú 0=5a-1
∴ a=
Ú, Û에서
ÉaÉ
;5!;
;3%;
따라서 M=
, m=
이므로 Mm=
;3%;
;5!;
_
=
;5!;
;3%;
;3!;
44 정답과 풀이
13 답 -8, 0
두 일차함수의 그래프가 평행하므로 a=2
y=2x-6에 y=0을 대입하면
0=2x-6, 2x=6
∴ x=3
즉 y=2x-6의 그래프의 x절편은 3이고 ABÓ=2이므로
y=2x+b의 그래프의 x절편은 1 또는 5이다.
Ú y=2x+b의 그래프가 점 (1, 0)을 지날 때
Ú 0=2+b
∴ b=-2
Ú ∴ a+b=2+(-2)=0
Û y=2x+b의 그래프가 점 (5, 0)을 지날 때
Ú 0=10+b
∴ b=-10
Ú ∴ a+b=2+(-10)=-8
Ú, Û에서 a+b의 값은 -8, 0이다.
두 일차함수의 그래프가 평행하면 기울기는 같고, y절편은 다르다.
전략
14 답 -7
y=ax+3-a에서 (x-1)a+3-y=0
즉 그래프는 a의 값에 관계없이 항상 점 P(1, 3)을 지난다.
이때 일차함수 y=bx+c의 그래프가 일차함수 y=-2x-1의
그래프와 평행하므로 b=-2
y=-2x+c에 x=1, y=3을 대입하면
3=-2+c
∴ c=5
∴ b-c=-2-5=-7
전략
y=ax+3-a에서 (x-1)a+3-y=0
이 식이 a의 값에 관계없이 성립하려면 x-1=0, 3-y=0이어야 한다.
두 일차함수의 그래프는 점 (k, 4)에서 만나므로
17 답 :Á3¤:
∴ k=-1
4=ak+b, 4=-bk-a
위의 두 식을 변끼리 빼면 0=(a+b)k+(a+b)
세 점 A(-3, 2), B(-4, a), C(-1, b)가 일직선 위에 있으므
즉 두 일차함수의 그래프는 점 (-1, 4)에서 만난다.
또 세 점 A, B, C를 지나는 직선이 일차함수 f(x)=mx+n의
;2!;
그래프와 일치하므로 f(x)=mx+n에 점 A(-3, 2)의 좌표를
일차함수 y=mx+n의 그래프가 두 점 (-3, 2), (1, -4)를 지
15 답 7
로
a-2
-4-(-3)
=
b-2
-1-(-3)
2a-4=-b+2
∴ 2a+b=6
대입하면
-3m+n=2 …… ㉠
f(1)=-4이므로
m+n=-4
…… ㉡
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 m=-
, n=-
;2#;
;2%;
∴ 2a+b+m-n=6+
{-;2#;}-{-;2%;}=
7
다른 풀이
나므로 m=
-4-2
1-(-3)
=-
;2#;
y=-
x+n에 x=1, y=-4를 대입하면
;2#;
-4=-
+n
∴ n=-
;2#;
;2%;
16 답 15
y=-x+20에 y=0을 대입하면
0=-x+20, x=20
∴ A(20, 0)
y=-x+20에 x=0을 대입하면
y=20
∴ B(0, 20)
점 P의 x좌표를 p라 하면 P(p, -p+20)
△OPB=
_20_p=10p
△OQP=
_p_(-p+20)=
p(-p+20)
;2!;
이때 △OPB=4△OQP이므로
;2!;
;2!;
;2!;
10p=4_
p(-p+20)
10p=2p(-p+20)
이때 p>0이므로 양변을 2p로 나누면
5=-p+20
∴ p=15
따라서 점 P의 x좌표는 15이다.
전략
y=ax+b의 그래프의 y절편은 b, y=-bx-a의 그래프의 y절
편은 -a이고 두 일차함수의 그래프와 y축으로 둘러싸인 부분의
넓이가 4이므로
_{b-(-a)}_1=4
∴ a+b=8
…… ㉠
또 일차함수 y=ax+b의 그래프가 점 (-1, 4)를 지나므로
4=-a+b
∴ a-b=-4
…… ㉡
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=2, b=6
따라서 y=2x+6의 그래프의 x절
y=-6x-2
y=2x+6
y
편은 -3, y=-6x-2의 그래프의
x절편은 -
이므로 두 일차함수
;3!;
의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부
분의 넓이는
_
-
[
;3!;
;2!;
-(-3)
_4=
]
:Á3¤:
전략
6
4
-
1
3
-2
-3
-1 O
x
먼저 k의 값을 구한 후 두 일차함수의 그래프와 y축으로 둘러싸인 부분
의 넓이가 4임을 이용하여 a, b의 값을 각각 구한다.
STEP 3
전교 1등 확실하게 굳히는 문제
pp. 087 ~ 089
2 10
1 3
4 l-㉡, m-㉢, n-㉠
3 (6, 0)
5 a=4, b=-6
6 -
;3!;
7 -
;2£5;
1 답 3
㉠ f(3x)=f(x)에서
f(135)=f(3_45)=f(45)
f(45)=f(3_15)=f(15)
f(15)=f(3_5)=f(5)
∴ f(135)=f(5)
㉡ f(2x-1)=x에서 2x-1=5이면
2x=6
∴ x=3, 즉 f(5)=3
㉠, ㉡에서 f(135)=f(5)=3
전략
을 안다.
V. 일차함수 45
점 P의 x좌표를 p로 놓고 △OPB, △OQP의 넓이를 p를 사용하여 나
타낸다.
135=3_45, 45=3_15, 15=3_5임을 이용하여 f(135)=f(5)임
f(m)+m=f(n)+n에서 f(m)-f(n)=n-m
y=x+3에 y=0을 대입하면
따라서 일차함수 y=f(x)의 그래프의 기울기가 -1이므로
2 답 10
∴
f(n)-f(m)
n-m
=-1
f(x)=-x+b라 하면
f(-2)+f(2)=12에서
(2+b)+(-2+b)=12, 2b=12
∴ b=6
따라서 f(x)=-x+6이므로
f(-4)=-(-4)+6=10
전략
(기울기)=
(y의 값의 증가량)
(x의 값의 증가량)
임을 이용한다.
y=ax+b
y=x+3
P
-3
A
O
p
x
y
p+3
B
3
C
b
5 답 a=4, b=-6
0=x+3, x=-3
∴ A(-3, 0)
y=x+3에 x=0을 대입하면
y=3
∴ B(0, 3)
y=ax+b에 x=0을 대입하면
y=b
∴ C(0, b)
점 P의 x좌표를 p라 하면
P(p, p+3)
△PAO=
_3_(p+3)=
(p+3)
;2#;
;2!;
;2!;
△AOB=
_3_3=
;2(;
이때 △PAO=2△AOB이므로
(p+3)=2_
, p+3=6
;2(;
;2#;
∴ p=3, 즉 P(3, 6)
3 답 (6, 0)
B(a, 0), C(b, 0)이라 하면
A
a,
{
a
, D(b, -b+14)
}
;3@;
이때 사각형 ABCD는 정사각형이므로 ABÓ=BCÓ에서
a=b-a
∴ 5a-3b=0
…… ㉠
또 ABÓ=CDÓ에서
;3@;
;3@;
전략
나타낸다.
a=-b+14
∴ 2a+3b=42 …… ㉡
전략
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=6, b=10
따라서 점 B의 좌표는 (6, 0)이다.
…… 50 %
…… 20 %
B(a, 0), C(b, 0)으로 놓고 두 점 A, D의 좌표를 a, b를 사용하여 각각
…… 30 %
△PBC=
_(3-b)_3=
(3-b)
;2!;
;2#;
△PBC=3△AOB에서
(3-b)=3_
, 3-b=9
∴ b=-6
;2#;
;2(;
즉 y=ax-6의 그래프가 점 P(3, 6)을 지나므로
6=3a-6, 3a=12
∴ a=4
점 P의 x좌표를 p로 놓고 △PAO, △AOB, △PBC의 넓이를 구한다.
4 답 l-㉡, m-㉢, n-㉠
㉡과 ㉢의 그래프의 기울기는 같은 부호이고, ㉠의 그래프의 기울
기는 ㉡, ㉢의 그래프의 기울기와 다른 부호이다.
이때 직선 m, l의 그래프는 오른쪽 아래로 향하는 직선이고, 직선
n의 그래프는 오른쪽 위로 향하는 직선이므로 ㉠의 그래프는 직선
즉 ㉠ y=-ax+
의 그래프는 오른쪽 위로 향하는 직선이고 y
;b#;
절편이 양수이므로
-a>0,
>0
∴ a<0, b>0
n이다.
;b#;
;a!;
직선 l이다.
다.
전략
46 정답과 풀이
y
B
C
4
C
2
O
y=- +4x4
3
D
y=ax+2
A
p
3
x
6 답 -
;3!;
y=-
x+4에 y=0을 대입하면
;3$;
;3$;
;3$;
0=-
x+4,
x=4
;3$;
∴ x=3, 즉 A(3, 0)
y=-
x+4에 x=0을 대입하면
y=4
∴ B(0, 4)
y=ax+2에 x=0을 대입하면
y=2
∴ C(0, 2)
△OAB=
_3_4=6
;2!;
△BCD=
_2_p=p
;2!;
△BCD=
_△OAB에서
1
1+2
p=
_6=2
;3!;
따라서
<0이고 a-b<0이므로 ㉡ y=
+a-b의 그래프는
점 D의 x좌표를 p라 하면
;a{;
또 2a<0이고 b>0이므로 ㉢ y=2ax+b의 그래프는 직선 m이
△BCD의 넓이와 사각형 COAD의 넓이의 비가 1 : 2이므로
주어진 그래프의 기울기와 y절편의 부호를 알아본다.
;3$;
;3$;
y=-
x+4에 x=2를 대입하면
y=-
_2+4=
;3$;
∴ D
2,
{
;3$;}
y=ax+2에 x=2, y=
를 대입하면
;3$;
=2a+2, 2a=-
∴ a=-
;3@;
;3!;
;3$;
전략
점 D의 x좌표를 p로 놓고 △BCD의 넓이와 사각형 COAD의 넓이의
비가 1 : 2임을 이용하여 p의 값을 구한다.
㉠ y=
x
;2#;
7 답 -
;2£5;
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에서
EDÓ에 내린 수선의 발을 F라 하면
F(3, 2)
(사각형 ABFE의 넓이)
=△ABF+△AFE
=
_5_2+
_1_2=6
;2!;
;2!;
A
y
4
2
3
E
F
P
D
O
1
3
x
B
C
-2 -1
(사각형 BCDF의 넓이)=
_(5+4)_2=9
;2!;
(오각형 ABCDE의 넓이)
=(사각형 ABFE의 넓이)+(사각형 BCDF의 넓이)
이때 점 B를 지나면서 오각형 ABCDE의 넓이를 이등분하는 직
=6+9=15
선은 FDÓ와 만난다.
이 직선이 FDÓ와 만나는 점을 P(3, a)라 하면
△BPF=
_5_(2-a)=
(2-a)
;2%;
;2!;
(사각형 BCDP의 넓이)
=(사각형 BCDF의 넓이)-△BPF
=9-
(2-a)
;2%;
=4+
a
;2%;
(사각형 BCDP의 넓이)=
_(오각형 ABCDE의 넓이)에서
;2!;
따라서 두 점 B(-2, 2), P
3,
을 지나는 직선의 기울기는
{
;5&;}
4+
a=
_15,
;2%;
;2!;
a=
;2&;
;2%;
∴ a=
, 즉 P
3,
;5&;
{
;5&;}
-2
;5&;
3-(-2)
전략
=-
Ö5=-
;5#;
;2£5;
02
일차함수와 일차방정식
확인 1 답 ㉠ : y=
x+3 ㉡ : y=
x ㉢ : y=-
x+3
;2#;
;2#;
;4#;
㉠ x절편이 -4, y절편이 3인 직선이므로
㉠ y=
x+3
;4#;
㉡ 원점과 점 (2, 3)을 지나는 직선이므로
㉢ x절편이 2, y절편이 3인 직선이므로
㉠ y=-
x+3
;2#;
3분마다 15
L씩 물이 흘러나오므로 1분마다 5
L씩 물이 흘러나
`
확인 2 답 y=200-5x
`
온다.
∴ y=200-5x
확인 3 답 ㉠, ㉣
3x-y-6=0에서 y=3x-6
y=3x-6의 그래프의 x절편은 2, y절편
은 -6이므로 그래프는 오른쪽 그림과
같다.
㉡ x절편과 y절편의 합은
㉡ 2+(-6)=-4
㉢ 기울기가 서로 다르므로 일차함수
y=-3x+1의 그래프와 평행하지 않다.
따라서 옳은 것은 ㉠, ㉣이다.
3x-y-6=0
2
x
y
O
-6
확인 4 답 -1
두 일차방정식의 그래프의 교점의 x좌표가 2이므로
x+2y=4에 x=2를 대입하면
2+2y=4, 2y=2
∴ y=1
즉 두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표가 (2, 1)이므로
ax+y=-1에 x=2, y=1을 대입하면
2a+1=-1, 2a=-2
∴ a=-1
두 직선의 교점이 2개 이상이려면 두 직선이 일치해야 하므로
확인 5 답 1
3-k
2k-5
=
2
-3
∴ k=1
V. 일차함수 47
점 B에서 EDÓ에 내린 수선의 발을 F라 하고 오각형 ABCDE의 넓이를
사각형 ABFE의 넓이와 사각형 BCDF의 넓이로 나누어 구한다.
-3(3-k)=2(2k-5), -9+3k=4k-10
STEP 1
억울하게 울리는 문제
pp. 092 ~ 094
2-2 답 ;2!;
1-2 5
2-2
;2!;
3-2 10
4-2 -
;4#;
5-2
;2!;
6-2 5
7-2 -3
8-2 36
1-1 16
2-1 1
3-1 1, -1
4-1
;3@;
5-1 32
6-1 -
;5$;
7-1 6
8-1 12
1-1 답 16
2x-y+2=0에서 y=2x+2
x-2=0에서 x=2
y+2=0에서 y=-2
두 직선 2x-y+2=0, x-2=0의 교점의 좌표는 (2, 6), 두 직
선 2x-y+2=0, y+2=0의 교점의 좌표는 (-2, -2)이다.
따라서 세 직선으로 둘러싸인 도형은
x-2=0
오른쪽 그림과 같으므로 그 넓이는
2x-y+2=0
_4_8=16
;2!;
-2
2
x
y+2=0
1-2 답 5
연립방정식
[
x-y=4
3x+2y=2
정식의 그래프의 교점의 좌표는 (2, -2)이다.
따라서 두 일차방정식의 그래프와 y축
으로 둘러싸인 도형은 오른쪽 그림과
x-y=4
2
4
x
같으므로 그 넓이는
_5_2=5
;2!;
y
6
O
-2
y
1
O
-2
-4
ax-3+y=0에서 y=-ax+3
두 직선 ax-3+y=0, x=-3의 교점의 좌표는 (-3, 3a+3),
두 직선 ax-3+y=0, x=1의 교점의 좌표는 (1, -a+3)이다.
따라서 세 직선과 x축으로 둘
x=-3
y
x=1
3a+3
3
-a+3
-3
O
1
ax-3+y=0
x
러싸인 도형은 오른쪽 그림과
같고 넓이가 14이므로
_{3a+3+(-a+3)}_4
;2!;
=14
∴ a=
;2!;
3-1 답 1, -1
x+2=0에서 x=-2
y-3k=0에서 y=3k
Ú k>0일 때
Ú 네 직선으로 둘러싸인 도형은 오
x+2=0
y
x=4
른쪽 그림과 같고 넓이가 18이
Ú 네 직선으로 둘러싸인 도형은
x+2=0
y
x=4
오른쪽 그림과 같고 넓이가 18
6k
3k
y=6k
y-3k=0
-2 O
4
x
-2 O
3k
6k
4
x
y-3k=0
y=6k
므로
6_3k=18
Ú ∴ k=1
Û k<0일 때
이므로
6_(-3k)=18
Ú ∴ k=-1
1, -1이다.
3-2 답 10
x+1=0에서 x=-1
y-3=0에서 y=3
를 풀면 x=2, y=-2이므로 두 일차방
Ú, Û에서 구하는 상수 k의 값은
3x+2y=2
Ú m<-1일 때
2y+4=0에서 2y=-4
∴ y=-2
Ú 네 직선으로 둘러싸인 도형은 오
x=m
x+1=0
y
른쪽 그림과 같고 넓이가 10이므
로 (-1-m)_5=10
Ú ∴ m=-3
Û m>-1일 때
Ú 네 직선으로 둘러싸인 도형은 오
른쪽 그림과 같고 넓이가 10이므
3
y-3=0
m
-1
O
-2
x
2y+4=0
x+1=0
x=m
y
3
y-3=0
-3
O
2
로 (m+1)_5=10
-1
O
m
x
Ú ∴ m=1
-2
2y+4=0
2-1 답 1
x+3=0에서 x=-3
y+k=0에서 y=-k
5_4k=20
∴ k=1
48 정답과 풀이
2x-4=0에서 2x=4
∴ x=2
네 직선으로 둘러싸인 도형은 오른
x+3=0
2x-4=0
쪽 그림과 같고 넓이가 20이므로
y
3k
-k
y=3k
x
y+k=0
Ú, Û에서 구하는 상수 m의 값은 -3, 1이므로
5-1 답 32
a=1, b=-3
∴ aÛ
+bÛ
=1Û
+(-3)Û
=10
`
`
`
`
4-1 답 ;3@;
2x+3y-12=0에서 y=-
x+4
;3@;
y=-
x+4의 그래프의 x절편은 6,
;3@;
y절편은 4이므로
A(6, 0), B(0, 4)
∴ △OAB=
_6_4=12
;2!;
y
4
B
O
y=ax
C
A
6
2x+3y-12=0
x
y=-
x+4의 그래프와 직선 y=ax의 교점의 좌표를 C(p, q)
;3@;
라 하면
△OAC=
_6_q=3q
;2!;
이때 △OAC=
;2!;△OAB이므로
3q=
_12
∴ q=2
;2!;
;3@;
;3@;
y=-
x+4에 x=p, y=2를 대입하면
2=-
p+4
∴ p=3
따라서 y=ax에 x=3, y=2를 대입하면
2=3a
∴ a=
;3@;
4-2 답 -
;4#;
3x-4y-24=0에서 y=
x-6
;4#;
y=
x-6의 그래프의 x절편은 8,
;4#;
y절편은 -6이므로
A(8, 0), B(0, -6)
∴ △OBA=
_8_6=24
;2!;
y
O
3x-4y-24=0
8
A
x
C
-6
B
y=ax
y=
x-6의 그래프와 직선 y=ax의 교점의 좌표를 C(p, q)라
;4#;
하면
△OBC=
_6_p=3p
;2!;
이때 △OBC=
;2!;△OBA이므로
3p=
_24
∴ p=4
;2!;
;4#;
q=3-6=-3
y=
x-6에 x=4, y=q를 대입하면
x-y+4=0에서 y=x+4
x-y+4=0
y=x+4의 그래프의 x절편은 -4,
y절편은 4이므로
A(-4, 0), B(0, 4)
∴ △AOB=
_4_4=8
;2!;
x+y-k=0에서 y=-x+k
y
C
B
k
4
D
-4
OA
x
x+y-k=0
y=-x+k의 그래프의 y절편은 k이므로 C(0, k)
두 일차방정식 x-y+4=0, x+y-k=0의 그래프의 교점의 좌
표는 D
k-4
2
,
{
k+4
2 }
∴ △CBD=
_(k-4)_
;2!;
k-4
2
=
(k-4)Û`
4
이때 △AOB=△CBD이므로
8=
(k-4)Û`
4
∴ (k-4)Û
=32
`
5-2 답 ;2!;
ax-y+b=0에서 y=ax+b
y=ax+b의 그래프의 x절편은
-
;aB;
, y절편은 b이므로
A
-
{
;aB;
}
, 0
, B(0, b)
∴ △AOB=
_
;2!;
;aB;
_b=
bÛ`
2a
y
y=2x
ax-y+b=0
b
B
C
b
- a
A
O
x
y=ax+b의 그래프와 직선 y=2x의 교점의 좌표는
C
{
b
2-a
,
2b
2-a }
∴ △CBO=
_b_
;2!;
b
2-a
=
bÛ`
2(2-a)
이때 △AOB : △CBO=3 : 1이므로
=2bÛ
`
`
(2-a)
△AOB=3△CBO에서
bÛ`
2a
bÛ`
2(2-a)
=3_
, 6abÛ
이때 b>0이므로
6a=2(2-a), 8a=4
∴ a=
;2!;
6-1 답 -
;5$;
연립방정식
[
x-y+3=0
3x+y+5=0
을 풀면 x=-2, y=1
따라서 2ax-4y-a=0에 x=-2, y=1을 대입하면
V. 일차함수 49
따라서 y=ax에 x=4, y=-3을 대입하면
-4a-4-a=0, -5a=4
-3=4a
∴ a=-
;4#;
∴ a=-
;5$;
6-2 답 5
연립방정식
[
3x+4y=7
3x-2y=1
을 풀면 x=1, y=1
따라서 ax-2y=3에 x=1, y=1을 대입하면
a-2=3
∴ a=5
7-1 답 6
Ú 두 직선 ㉠, ㉢이 평행할 때
Ú 1=
;2A;
∴ a=2
Û 두 직선 ㉡, ㉢이 평행할 때
Ú -3=
;2A;
∴ a=-6
Ü 세 직선 ㉠, ㉡, ㉢이 한 점에서 만날 때
Ú ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 x=
, y=-
;4!;
;4#;
세 직선의 기울기가 각각 다르므로 세 직선이 한 점에서 만날 때
Ú ㉢에 x=
, y=-
을 대입하면
;4!;
;4#;
삼각형을 이루지 않는다.
연립방정식
[
x-y=0
x+y-4=0
을 풀면 x=2, y=2
Ú -
=
+
,
;8A;
;4!;
;8A;
;4#;
a=-
;4#;
∴ a=-3
따라서 10x-7y-a=0에 x=2, y=2를 대입하면
Ú ~ Ü에서 구하는 모든 상수 a의 값의 곱은
20-14-a=0
∴ a=6
2_(-6)_(-3)=36
7-2 답 -3
세 일차방정식의 그래프의 기울기가 각각 다르므로 세 일차방정
식의 그래프가 한 점에서 만날 때 삼각형을 이루지 않는다.
연립방정식
[
2x-3y=-12
2x+y=12
를 풀면 x=3, y=6
따라서 x-y=a에 x=3, y=6을 대입하면
3-6=a
∴ a=-3
8-1 답 12
세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 세 직선 중 두 직선이 평
행하거나 세 직선이 한 점에서 만나는 경우이다.
x+y=3에서 y=-x+3
4x-y=2에서 y=4x-2
…… ㉠
…… ㉡
ax-y=-5에서 y=ax+5
…… ㉢
Ú 두 직선 ㉠, ㉢이 평행할 때, a=-1
Û 두 직선 ㉡, ㉢이 평행할 때, a=4
Ü 세 직선 ㉠, ㉡, ㉢이 한 점에서 만날 때
Ú ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 x=1, y=2
Ú ㉢에 x=1, y=2를 대입하면
Ú 2=a+5
∴ a=-3
Ú ~ Ü에서 구하는 모든 상수 a의 값의 곱은
-1_4_(-3)=12
8-2 답 36
세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 세 직선 중 두 직선이 평
행하거나 세 직선이 한 점에서 만나는 경우이다.
x-y=1에서 y=x-1
3x+y=0에서 y=-3x
…… ㉠
…… ㉡
4ax-8y+a=0에서 y=
x+
…… ㉢
;2A;
;8A;
의 식은 ⑤이다.
전략
의 식을 구한다.
50 정답과 풀이
STEP 2
반드시 등수 올리는 문제
pp. 095 ~ 100
03 y=4x-8
06 ①, ⑤
09 오후 2시 30분
02 y=3x-7
05 (5, 0)
08 22.5ùC
11 a=5, (-2, 1)
13 3
16 -21, 15
14 2
17 ;3$;
19 y=-
x+
;3$; 20 ;2!;
;3*;
22 y=
x
;9&;
23 :¤3Á:
p
01 ⑤
04 16
07 116곡
10 ②
12 (-3, -3)
15 ⑤
18 30
21 ;3@;
24 ;2%;
01 답 ⑤
두 점 (-1, 10), (2, -2)를 지나는 직선의 기울기는
=-4
-2-10
2-(-1)
즉 y=-4x+b로 놓고 x=-1, y=10을 대입하면
10=4+b
∴ b=6
따라서 y=-4x+6의 그래프의 y절편은 6이므로 직선
y=-4x+6과 y축 위에서 만나는 그래프를 나타내는 일차함수
두 점 (-1, 10), (2, -2)를 지나는 직선의 기울기를 구한 후 일차함수
두 점 ( -k, 6k-5), (-2k+2, 3k+1)을 지나는 직선의 기울
y=ax+2에 x=3, y=4를 대입하면
02 답 y=3x-7
기는
3k+1-(6k-5)
-2k+2-(-k)
즉 y=3x+b로 놓고 x=3, y=2를 대입하면
-3(k-2)
-(k-2)
=3
=
2=9+b
∴ b=-7
따라서 구하는 일차함수의 식은
y=3x-7
전략
두 직선이 평행하면 기울기가 같다.
03 답 y=4x-8
+
=1에 y=0을 대입하면
;2{;
;3};
=1
∴ x=2, 즉 P(2, 0)
;2{;
-
=2에 x=0을 대입하면
;3{;
;4};
-
;4};
=2
∴ y=-8, 즉 Q(0, -8)
-8-0
0-2
=4
따라서 구하는 일차함수의 식은 y=4x-8
전략
먼저 두 점 P, Q의 좌표를 구한다.
04 답 16
f(1+3h)-f(1-h)=-8h이므로
f(1+3h)-f(1-h)
1+3h-(1-h)
=
-8h
4h
=-2
05 답 (5, 0)
4=3a+2, 3a=2
∴ a=
;3@;
즉 y=
x+2에 x=k, y=8을 대입하면
;3@;
8=
k+2,
k=6
∴ k=9
;3@;
;3@;
점 A(3, 4)와 x축에 대칭인 점을 A'이라 하면 A'(3, -4)
이때 APÓ=A'PÓ이고
APÓ+PBÓ=A'PÓ+PBÓ¾A'BÓ이므로
APÓ+PBÓ의 길이가 최소가 되게 하려
면 오른쪽 그림과 같이 점 P가 A'BÓ 위
두 점 A'(3, -4), B(9, 8)을 지나는
B
y
8
4
A
O
3
P
9
x
-4
A'
즉 y=2x+b로 놓고 x=3, y=-4를 대입하면
-4=6+b
∴ b=-10
따라서 y=2x-10의 그래프의 x절편은 5이므로 점 P의 좌표는
에 있어야 한다.
직선의 기울기는
8-(-4)
9-3
=2
(5, 0)이다.
전략
06 답 ①, ⑤
`
=
;6*;
;3$;`
y=20-
x
;3$;
두 점 P(2, 0), Q(0, -8)을 지나는 직선의 기울기는
점 A와 x축에 대칭인 점의 좌표를 구한다.
① 양초에 불을 붙인 지 6분 후에 양초의 길이가 20
cm에서
12
cm로 줄어들었으므로 6분 동안 8
`
cm가 탔다. 즉 1분에
`
(cm)가 탔으므로 x와 y 사이의 관계식은
따라서 y는 x에 대한 일차함수이다.
② y=20-
x의 그래프를 그리면 오른쪽
y
20
그림과 같으므로 그래프는 오른쪽 아래로
즉 일차함수 y=f(x)의 그래프의 기울기는 -2이다.
향하는 선분이다.
또 y=f(x)의 그래프가 y=
x+8의 그래프와 y축 위에서 만나
;4!;
③ y=20-
x에 y=0을 대입하면
O
15 x
므로 y절편은 8이다.
∴ f(x)=-2x+8
으므로 그 넓이는
_4_8=16
;2!;
전략
따라서 f(x)=-2x+8의 그래프와 x축,
y축으로 둘러싸인 도형은 오른쪽 그림과 같
y
8
따라서 양초가 모두 탈 때까지 걸리는 시간은 15분이다.
④ y=20-
x에 x=12를 대입하면
O
4
x
y=-2x+8
따라서 양초에 불을 붙인 지 12분 후에 남은 양초의 길이는
f(1+3h)-f(1-h)=-8h임을 이용하여 일차함수 y=f(x)의 그
래프의 기울기를 구한다.
⑤ 그래프와 x축, y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는
;3$;
;3$;
;3$;
;3$;
;3$;
0=20-
x
∴ x=15
y=20-
_12=4
4
cm이다.
`
_15_20=150
;2!;
V. 일차함수 51
따라서 옳은 것은 ①, ⑤이다.
이때 이 그래프가 y축에 수직이고, 제 3 사분면과 제 4 사분면을 동
양초에 불을 붙이고 6분 동안 8
cm가 탔으므로 1분에 ;6*;
`
=
;3$;`
(cm)가
=0,
<0
∴ a=0, b<0
;bA;
;b!;
시에 지나므로
전략
y축에 수직인 직선의 방정식은 y=q (q+0)의 꼴이다.
07 답 116곡
한 달 동안 내려받은 음악 파일의 수를 x곡, 요금을 y원이라 하면
y=6000+500(x-100)=500x-44000
y=500x-44000에 y=14000을 대입하면
14000=500x-44000
∴ x=116
따라서 한 달 동안 내려받은 음악 파일은 116곡이다.
3x+y+a=0에 x=k, y=2k+5를 대입하면
한 달 동안 내려받은 음악 파일의 수를 x곡이라 할 때, 한 곡당 내려받는
x-2y+a-1=0에 x=k, y=2k+5를 대입하면
요금이 500원인 음악 파일의 수는 (x-100)곡이다.
k-2(2k+5)+a-1=0
∴ -3k+a=11
yy ㉡
11 답 a=5, (-2, 1)
표를 (k, 2k+5)라 하자.
두 일차방정식의 교점이 직선 y=2x+5 위에 있으므로 교점의 좌
3k+(2k+5)+a=0
∴ 5k+a=-5
yy ㉠
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 k=-2, a=5
따라서 두 일차방정식의 교점의 좌표는 (-2, 1)이다.
전략
기온이 5 ¾씩 올라갈 때마다 소리의 속력은 초속 3 m씩 늘어나
두 일차방정식의 교점이 직선 y=2x+5 위에 있으므로 교점의 좌표를
므로 기온이 x ¾일 때 소리의 속력을 초속 y m라 하면
(k, 2k+5)라 하고, 이 교점의 좌표를 두 일차방정식에 대입한다.
전략
탔다.
전략
08 답 22.5 ¾
y=331+
x
;5#;
4134 m 떨어진 곳에서 번개가 친 지 12초 후에 천둥소리가 들렸
다면 소리의 속력은 초속
m이므로
:¢;1!2#:$;
344.5
344.5=331+
x,
x=13.5
∴ x=22.5
;5#;
;5#;
따라서 기온은 22.5 ¾이다.
전략
주어진 표를 보고 기온이 x
¾일 때 소리의 속력을 초속 y
m로 놓고 x,
`
`
y 사이의 관계식을 세운다.
09 답 오후 2시 30분
처음 주사약의 양은 3_60+450=630 (mL)이므로 주사를 x분
동안 맞았을 때 남아 있는 주사약의 양을 y
mL라 하면
`
y=630-3x
y=630-3x에 y=0을 대입하면
0=630-3x
∴ x=210
두 점 A(-5, 0), C(-1, -6)을 지나는 직선의 기울기는
12 답 (-3, -3)
-6-0
-1-(-5)
=-
;2#;
즉 y=-
x+b로 놓고 x=-5, y=0을 대입하면
;2#;
0=
:Á2°:
+b
∴ b=-
, 즉 y=-
x-
;2#;
:Á2°:
:Á2°:
…… ㉠
두 점 B(-5, -5), O(0, 0)을 지나는 직선의 기울기는
0-(-5)
0-(-5)
즉 y=x+b'으로 놓고 x=0, y=0을 대입하면
=1
0=0+b'
∴ b'=0, 즉 y=x
…… ㉡
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 x=-3, y=-3
따라서 두 대각선 AC, BO의 교점의 좌표는 (-3, -3)이다.
즉 주사를 다 맞는 데 걸리는 시간은 210분, 즉 3시간 30분이다.
따라서 주사를 다 맞은 시각이 오후 6시이므로 주사를 맞기 시작
13 답 3
한 시각은 (오후 6시)-(3시간 30분)=(오후 2시 30분)
mx-y+10=0에서 y=mx+10
전략
먼저 처음 주사약의 양을 구한다.
10 답 ②
ax-by+1=0에서 y=
x+
;bA;
;b!;
52 정답과 풀이
13x+11y=248에 y=mx+10을 대입하면
13x+11(mx+10)=248
13x+11mx+110=248, (13+11m)x=138
∴ x=
138
13+11m
이때 138=2_3_23이므로 x가 자연수가 되려면
13+11m=1, 2, 3, 6, 23, 46, 69, 138
∴ m=-
, -1, -
;1!1@;
, -
,
;1¦1;
;1!1);
;1!1);
, 3,
,
;1%1^;
:Á1ª1°:
따라서 구하는 자연수 m의 값은 3이다.
따라서 구하는 b의 값은 -21, 15이다.
전략
두 직선의 교점이 없다. ➡ 두 직선이 서로 평행하다.
두 식을 연립하여 x를 m에 대한 식으로 나타낸 후 교점의 x좌표가 자연
m=3일 때 x=
138
13+11m
=
138
13+33
=3
y=3x+10에 x=3을 대입하면 y=3_3+10=19
두 직선 ax+2y-8=0, x=2의 교점의 좌표는 (2, -a+4)이
고, 두 직선 ax+2y-8=0, x=4의 교점의 좌표는 (4, -2a+4)
전략
참고
수임을 이용한다.
14 답 2
x+3y-5=0
연립방정식
[
=
;a!;
3
-6
=
ax-6y-b=0
-5
-b
∴ a=-2, b=-10
의 해가 무수히 많으므로
따라서 두 직선 -2x-y-10=0, kx+y-2=0이 서로 평행하
므로
-2
k
=
-1
1
+
-10
-2
∴ k=2
전략
연립방정식의 해가 무수히 많다.
➡ 두 일차방정식의 그래프가 일치한다.
15 답 ⑤
연립방정식
[
ax+2y-4=0
x-4y-b=0
의 해가 무수히 많으므로
=
;1A;
2
-4
=
-4
-b
∴ a=-
, b=-8
;2!;
∴ y=-
x-8
;2!;
⑤ x-2y+10=0에서 y=
x+5
;2!;
⑤ 즉 기울기가 다르므로 평행하지 않다.
16 답 -21, 15
두 직선 2x-y-3=0, ax-y+b=0의 교점이 없으므로
=
;a@;
-1
-1
+
-3
b
∴ a=2, b+-3
2x-y-3=0에 y=0을 대입하면
2x-3=0, 2x=3
∴ x=
, 즉 P
;2#;
, 0
}
{;2#;
ax-y+b=0, 즉 2x-y+b=0에 y=0을 대입하면
2x+b=0, 2x=-b
∴ x=-
, 즉 Q
;2B;
{-;2B;
, 0
}
이때 PQÓ=9이므로
-
-
=9 또는
-
;2B;
;2#;
;2#;
{-;2B;}
=9
-
-
=9에서 b+3=-18
∴ b=-21
;2B;
;2#;
-
;2#;
{-;2B;}
=9에서 3+b=18
∴ b=15
17 답 ;3$;
이다.
;2!;
=4
전략
18 답 30
3-5
5-3
=-1
따라서 세 직선과 x축으로 둘러
y
x=2 x=4
싸인 도형의 넓이가 4이므로
_{-a+4+(-2a+4)}_2
-a+4
-2a+4
O 2
4
ax+2y-8=0
x
-3a+8=4, 3a=4
∴ a=
;3$;
두 직선 ax+2y-8=0, x=2의 교점의 좌표와 두 직선
ax+2y-8=0, x=4의 교점의 좌표를 구한다.
두 점 A(3, 5), B(5, 3)을 지나는 직선의 기울기는
즉 y=-x+b로 놓고 x=3, y=5를 대입하면
5=-3+b
∴ b=8
따라서 직선 y=-x+8이 x축과 만나는 점 C의 좌표는 (8, 0)이
를 풀면 x=2, y=6
사각형 OCPH는 오른쪽 그림과 같으
y=3x
다.
y=-x+8
연립방정식
[
y=3x
∴ P(2, 6), H(0, 6)
므로 그 넓이는
;2!;_(2+8)_6=30
H
y
6
5
3
O
P
A
B
32
C
5
8
y=-x+8
x
전략
점 C, P, H의 좌표를 구한 후 좌표평면 위에 나타낸다.
19 답 y=-
x+
;3$;
;3*;
4x-y+8=0에 y=0을 대입하면
4x+8=0, 4x=-8
∴ x=-2, 즉 A(-2, 0)
x+y-3=0에 y=0을 대입하면
x-3=0
∴ x=3, 즉 B(3, 0)
V. 일차함수 53
연립방정식
[
4x-y+8=0
x+y-3=0
을 풀면
x=-1, y=4, 즉 P(-1, 4)
∴ △PAB=
_5_4=10
;2!;
오른쪽 그림과 같이 구하는 직선이
x축과 만나는 점을 C(c, 0)이라 하면
△PAC=
_{c-(-2)}_4
;2!;
△PAC=2(c+2)
이때 △PAC=
;2!;△PAB이므로
2(c+2)=
_10, 2c+4=5
;2!;
2c=1
∴ c=
;2!;
21 답 ;3@;
E(3, 3a+2), F(6, 6a+2)이므로
BEÓ=(3a+2)-2=3a, FCÓ=(6a+2)-2=6a
y
4x-y+8=0
∴ (사각형 EBCF의 넓이)=
_(3a+6a)_3=
a
:ª2¦:
이때 (사각형 EBCF의 넓이)=
_(사각형 ABCD의 넓이)이
;2!;
;8#;
므로
P
4
C
B
3
A
-2
-1
O
x
x+y-3=0
a=
_(3_8),
a=9
∴ a=
:ª2¦:
;8#;
:ª2¦:
;3@;
전략
(사각형 AEFD의 넓이) : (사각형 EBCF의 넓이)=5 : 3이므로
(사각형 EBCF의 넓이)=
_(사각형 ABCD의 넓이)
;8#;
두 점 P(-1, 4), C
, 0
을 지나는 직선의 기울기는
{;2!;
}
0-4
-(-1)
;2!;
=-
;3*;
즉 y=-
x+b로 놓고 x=-1, y=4를 대입하면
;3*;
22 답 y=
x
;9&;
4=
+b
∴ b=
;3*;
;3$;
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=-
x+
;3*;
;3$;
먼저 점 P를 지나면서 △PAB의 넓이를 이등분하는 직선이 x축과 만나
는 점의 좌표를 구한다.
전략
20 답 ;2!;
오른쪽 그림과 같이 네 직선
x=2, x=4, y=-2, y=5의 교점
y
5
x=2 x=4
D
A
을 각각 A, B, C, D라 하면
(사각형 ABCD의 넓이)
=2_7=14
y=5
y=ax
x
4a
2a
O
F
E
2
4
C
일차함수 y=ax의 그래프가 사각
-2 B
y=-2
형 ABCD의 넓이를 이등분할 때,
y=ax의 그래프가 ABÓ, CDÓ와 만나는 점을 각각 E, F라 하면
참고
E(2, 2a), F(4, 4a)
(사각형 AEFD의 넓이)=
_{(5-2a)+(5-4a)}_2
;2!;
(사각형 AEFD의 넓이)=-6a+10
이때 (사각형 AEFD의 넓이)=
_(사각형 ABCD의 넓이)이
;2!;
-6a+10=;2!;_14, -6a=-3
∴ a=;2!;
y=ax의 그래프와 직선 x=2, x=4와 만나는 점을 각각 E, F라 하고
두 점 E, F의 좌표를 각각 구한다.
므로
전략
54 정답과 풀이
점 C에서 x축에 내린 수선의 발을
P라 하면 P(3, 0)
(사각형 EOPD의 넓이)=3_3=9
(사각형 CPAB의 넓이)=2_1=2
∴ (주어진 도형의 넓이)
y
3
1
E
O
l
B
A
5
x
D
Q
C
3
P
∴ =(사각형 EOPD의 넓이)+(사각형 CPAB의 넓이)
∴ =9+2=11
직선 l을 y=ax라 하고, 직선 l은 CDÓ 위의 점을 지나므로
직선 l이 CDÓ와 만나는 점을 Q라 하면 Q(3, 3a)
(사각형 EOQD의 넓이)=
_{3+(3-3a)}_3=
;2!;
18-9a
2
이때 직선 l이 주어진 도형의 넓이를 이등분하므로
18-9a
2
_11, 18-9a=11
=
;2!;
9a=7
∴ a
=;9&;
따라서 구하는 직선 l의 방정식은 y=
x
;9&;
직선 l이 CDÓ 위의 점을 지나는 이유
Ú 직선 l이 점 D를 지날 때
Ú △EOD=
_3_3=
<
;2(;
:Á2Á:
;2!;
Ú 따라서 직선 l은 EDÓ 위의 점을 지나
지 않는다.
Û 직선 l이 점 C를 지날 때
Ú (사각형 COAB의 넓이)
Ú =
_(5+2)_1=
<
;2&;
:Á2Á:
;2!;
Ú 따라서 직선 l은 ABÓ, BCÓ 위의 점을
지나지 않는다.
y
3
1
y
3
1
O
E
O
E
D
l
C
3
D
C
3
B
A
5
x
l
x
B
A
5
23 답 :¤3Á:
p
편은 1이다.
연립방정식
[
x=1, y=3
y=-x+4의 그래프의 x절편은 4, y절
편은 4이고 y=2x+1의 그래프의 y절
4
y
3
1
y=-x+4
y=2x+1
을 풀면
O
1 4
x
y=-x+4
따라서 두 직선의 교점의 좌표는 (1, 3)이다.
네 직선 y=-x+4, y=2x+1, x=0,
y=0으로 둘러싸인 도형을 y축을 축으로
하여 1회전시킬 때 만들어지는 입체도형
은 오른쪽 그림과 같으므로
1
2
1
1
4
(부피)=
_(p_4Û
)_4-
`
;3!;
_(p_1Û
)_1-
`
;3!;
_(p_1Û
)_2
`
;3!;
밑면인 원의 반지름의 길이가 r, 높이가 h인 원뿔의 부피 V는
(부피)=
p
:¤3Á:
전략
V=
prÛ`h
;3!;
24 답 ;2%;
서로 다른 세 직선으로 좌표평면이 4개의 부분으로 나누어지므로
세 직선이 모두 평행해야 한다.
ax+y+1=0에서 y=-ax-1
x+by+3=0에서 y=-
x-
;b!;
;b#;
2x+y+5=0에서 y=-2x-5
따라서 -a=-
=-2이므로 a=2, b=
;b!;
;2!;
∴ a+b=2+
=
;2!;
;2%;
전략
서로 다른 세 직선에 의하여 좌표평면이 4개
y
의 부분으로 나누어지는 경우에는 세 직선이
서로 평행하다.
① ② ③ ④
O
x
1 답 ⑴ y=4x-30 ⑵ :Á2°: ⑶ -
;3*;
y=2x+1
⑴ 두 점 C(6, 4), M(5, 0)을 지나는 직선의 기울기는
⑴
0-4
5-6
=4
⑴ 이므로 두 점 B, N을 지나는 직선의 기울기도 4이다.
⑴ 즉 y=4x+b로 놓고 x=9, y=6을 대입하면
⑴ 6=36+b
∴ b=-30
⑴ 따라서 두 점 B, N을 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수의
식은 y=4x-30
…… 40 %
⑵ y=4x-30에 y=0을 대입하면
⑴ 0=4x-30, 4x=30
∴ x=
:Á2°:
⑴ ∴ N
{:Á2°:
, 0
}
…… 30 %
⑶ 두 점 C(6, 4), N
, 0
을 지나는 직선의 기울기는
{:Á2°:
}
=-4Ö
=-
;2#;
;3*;
…… 30 %
직선 CM과 두 점 B, N을 지나는 직선이 평행하므로
△CMN=△CMB
0-4
⑴
-6
:Á2°:
전략
2 답 ㉠, ㉢
㉠ 직선 l이 y축에 평행하려면 x=p(p+0)의 꼴이어야 하므로
㉠ k+1=0
∴ k=-1
㉡ (2-k)x+(k+1)y+k+2=0에서
㉠ 이때
=1을 만족하는 k의 값은 존재하지 않는다.
㉠ y=
k-2
k+1
x-
k+2
k+1
k-2
k+1
㉢ (2-k)x+(k+1)y+k+2=0에서
㉠ (2x+y+2)+k(-x+y+1)=0
㉠ 이때 2x+y+2=0, -x+y+1=0이어야 하므로 두 식을 연
립하여 풀면
㉠ x=-
, y=-
;3!;
;3$;
㉠ 따라서 직선의 방정식 (2-k)x+(k+1)y+k+2=0이 k의
㉠ 값에 관계없이 항상 지나는 점의 좌표는
{
-
;3!;
, -
;3$;}
이므로
㉠ 제 3 사분면 위에 있다.
따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢이다.
㉡에서 기울기가 1이 되려면
=1이어야 한다.
k-2
k+1
이때 k-2=k+1을 만족하는 k의 값은 없다.
㉢에서 k의 값에 관계없이 식이 성립해야 하므로 0+0_k=0의 꼴로 나
타낸다.
V. 일차함수 55
STEP 3
전교 1등 확실하게 굳히는 문제
pp. 101 ~ 103
전략
1 ⑴ y=4x-30 ⑵ :Á2°: ⑶ -
3 5
5 11
6 ⑴ 물통 A: 3 L, 물통 B: 2 L ⑵ 9초 후, 30 L
;3*;
4 -1
